/
Text
ВИБРАЦИИ
В ТЕХНИКЕ
ВИБРАЦИИ
В ТЕХНИКЕ
СПРАВОЧНИК
В 6 ТОМАХ
Редакционный совет
Председатель — В. Н. Челомей (главный редактор издания)
Члены: В. С. Авдуевский, И И. Артоболевский И. И. Блехман,
А. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов, В. В. Бойцов, В. В. Болотин,
Н. В. Бутенин, И. И, Быховский, Р. Ф. Ганиев, М. Д. Генкин,
Э. И. Григолюк (зам. председателя и главного редактора),
Ф. М. Диментберг, А. Е. Кобринский, К. С. Колесников,
М 3. Коловский, Э. Э. Лавендел, А. И. Лурье, Ю. А. Митропольски
Я. Г. Пановко, К. М. Рагульскис, В. В. Румянцев, Л. И. Седов.
[ С. В. Серенсен , К. В. Фролов (зам. главного редактора)
КОЛЕБАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
том
1
Под редакцией чл.-корр. АН СССР
В. В. БОЛОТИНА
ББК 34.41
В41
УДК 62-752(031)
А вторы:
И. И. Артоболевский,| А- Н. Боголюбов, В. В. Болотин. В Ю. Волоховский,
Н. И. Жинжер, Г В. Мишенков, В. Г. Москвин, Ю Н. Новичков, Ю. А. Окопный,
В. В. Парцевский, К. В. Фролов, В. П. Чирков
Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./Ред. совет:
В41 В, Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1978— —
Т. 1. Колебания линейных систем/Под ред. В. В. Болотина.
1978. 352 с., ил.
В пер : 1 р. 70 к
На обороте тит. л авт.: И. И. Артоболевский, Л. Н. Боголюбов, В. В. Болотин
(и др ).
В первом томе изложены современные методы аналитического исследования колеба-
тельных систем с конечным числом степеней свободы и линейных систем с распреде-
ленными параметрами. Дана теория устойчивости колебательных систем, приведены
методы аналитического описания и анализа колебательных процессов Приведены ре-
зультаты новейших достижений, методы определения собственных частот и форм ко-
лебаний систем сложной структуры Большое внимание уделено параметрическим и
случайным колебаниям, ударным процессам и распространению волн, а также теории
вибрационной надежности.
Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых про-
ектированием, изготовлением н эксплуатацией современной техники,
ББК 34.41
31301-601
В-----------подписное
038(01)-78
6П5.1
£ Издательство «Машиностроение», 1978 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к справочнику „Вибрации в технике"............, . . . II
Предисловие к 1-му тому , ...................................... 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Гл а е а 1. Введение. Основные понятия (И. И. Артоболевский, А. Н. Бого-
любов, В. В. Болотин, К. В. Фролов, Ю. А. Окопный)............. 15
1 . Предмет теории колебаний........................... 15
2 . Классификация колебательных систем ................ 16
3 Классификация колебательных процессов................ 18
4 Кинематические характеристики периодических колебательных
процессов ............................................. 18
5 Кинематические характеристики непериодических колебательных
процессов.......................................... 26
6 . Другие характеристики колебательных процессов....... 28
Глава II. Математическое описание колебательных систем с конечным
числом степеней свободы (В. В. Болотин, Г. В. Мишенков,
К). А. Окопный) .......................... 31
1 , Основные теоремы классической механики............... 31
2 Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа для механических
систем................................................. 36
3 . Распределение масс в абсолютно твердом теле .......... 40
4 Уравнения динамики абсолютно твердого тела............ 48
5 Аналогии в динамике Электрические и электромеханические
системы 1 . 51
Глава 111. Свободные колебания консервативных систем (В. В. Боло-
тин, Г. В. Мишенков, Ю. А. Окопный) ................................ 54
1. Уравнения малых свободных колебаний....................... 54
2 Собственные частоты и собственные формы колебаний......... 58
3. Нормальные координаты.................................... 60
4 Собственные частоты и собственные формы систем с одной
и несколькими степенями свободы............................ 62
5. Вариационные принципы для собственных частот и собственных
форм колебаний ........................................... 69
6. Свободные колебания упруго подвешенного твердого тела .... 71
7. Свободные колебания системы упруги подвешенных твердых
тел ..................................................... 76
Глава IV Методы вычисления собственных частот и собственных форм
для систем с большим числом степеней свободы (Н. И. Ж ин-
жер) ............................................................... 78
I. Обзор численных методов решения алгебраической задачи о соб-
ственных значениях........................................ 78
2. Решение полной задачи о собственных значениях . . . ...... 80
3. Определение низших (высших) собственных частот............ 84
4. Развертывание характеристического определителя............ 85
Глава V. Неконсервативные автономные системы с постоянными парамет-
рами. Устойчивость линейных систем (В. В. Болотин,
Н. И. Жинжер) ........ . ........... ....... 89
1. Классификация линейных неконсервэтивных систем......... . 89
2. Свободные колебания диссипативных систем.................. 91
3. Устойчивость автономных систем . ....................... 94
4. Критерии асимптотической устойчивости..................... 96
Глава VI. Вынужденные колебания (10. Н. Новичков, Г. В. Мишенков,
В. П. Чирков) ........................... 101
1. Недиссипативные системы с одной степенью свободы......... 101
2 Системы с одной степенью свободы при учете сил вязкого сопро-
тивления ................................................ Ю2
3. Недисснпативмые системы с конечным числом степеней свободы 105
4. Диссипативные системы с конечным числом степеней свободы 108
5, Неустановившиеся вынужденные колебания в системах с одной
степенью свободы........................................ 109
6. Расчет систем с одной Степенью свободы на импульсные воздей-
ствия .................................................. 114
7. Неустановившиеся вынужденные колебания в системах с конеч-
ным числом степеней свободы . , ......................... 115
Глава VII. Параметрические колебания (В. В. Болотин)................. 116
I. Общие сведения........................................... 116
2. Параметрические резонансы. . ............................ 117
3. Системы с одной степенью свободы. Области неустойчивости урав-
нения Матье — Хилла...................................... 121
4. Области неустойчивости для систем с конечным числом степеней
свободы................................................... 126
5. Свойства параметрически возбуждаемых систем.......... 131
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Глава VIII. Математическое описание распределенных колебательных сис-
тем (Ю. Н. Новичков) ................................................ 135
1. Принцип Гамильтона — Остроградского для упругих распреде-
ленных систем............................................... 135
2. Уравнения динамики упругих тел.......................... 137
3. Учет диссипации в уравнениях движения. Вязкоупругое пове-
дение деформируемых материалов ............................. 140
4. Колебания струны. Продольные и крутильные колебания
стержней.................................................. 145
5. Изгибные колебания стержней.............................. 152
6. Изгибные колебания пластин............................... 157
7. Колебания тонких упругих оболочек........................ 160
Глава IX. Общие свойства собственных частот и собственных форм
упругих систем (В. В. Болотин) ...................................... 166
1. Основные соотношения..................................... 166
2. Свойства собственных частот и собственных форм........... 168
3. Вариационные принципы о теории собственных колебаний упру-
гих систем................................................ 171
4. Структура спектра собственных частот..................... 172
5. Плотность собственных частот........................... 173
Глава X. Определение собственных частот и собственных форм упругих
систем (Ю. Н. Новичков, В. В. Пирцевский) .......... 177
1. Точные методы......................................... 177
2. Метод малого параметра (метод возмущений).............. 179
3 Метод последовательных приближений ...................... 180
4. Методы теории линейных интегральных уравнений........... 180
5 Асимптотический метод.................................... 181
6. Метод Релея и родственные методы........................ 182
7 Методы Ритца, Бубнова — Галеркина, коллокаций и родствен-
ные методы............................................. 183
8. Метод конечных разностей............................. 185
9. Метод конечных элементов........................... 187
10. Методы динамических жесткостей и податливостей........ 189
Глава XI. Собственные частоты и собственные формы упругих стержней
н стержневых систем (Ю. Н Новичков, 10. Л. Окопный) . . . 19)
1. Продольные и крутильные колебания стержней............. 190
2. Изгибные колебания стержней........................... 193
3. Изгибно-крутильные колебания стержней.................. 200
4. Расчет собственных частот и собственных форм колебаний по мето-
дам динамических жесткостей и динамических податливостей 201
Глава XII. Собственные частоты и собственные формы упругих пластин
(IO. Н. Новичков) ........................ 203
1. Пластины, прямоугольные в плане........................ 203
2. Круговые и кольцевые в плане пластины................. 206
3. Применение асимптотического метода к упругим пластинам .... 209
4. Многопролетные пластины . ............................ 212
5. Расчет собственных частот и собственных форм на основе уточ-
ненных теорий . , 215
Глава XIII. Собственные частоты и собственные формы упругих ооилочск
(Ю. Н. Новичков) ........................ 2HS
1. Классификация собственных форм колебаний .............. 218
2. Круговые цилиндрические оболочки....................... 219
3. Сферические оболочки.............................. 223
4. Конические оболочки.................................. 226
5. Пологие криволинейные панели.......................... 228
6. Применение асимптотического метода к расчету собственных
частот и собственных форм колебаний ..................... 229
7. Плотность собственных частот....... . . ............. 232
Глава XIV. Вынужденные колебания упругих систем (Ю. Л. Окопный) 234
1. Установившиеся вынужденные колебания недиссипагивных сис-
тем под действием периодических внешних сил............. 234
2. Вынужденные колебания стержней . .................... 235
3. Метод разложения по собственным формам................ 236
4. Применение вариационных методов к расчету вынужденных коле-
баний ............................................. 237
5. Неустановившиеся вынужденные колебания ............... 238
6. Вынужденные колебания в диссипативных системах 238
Глава XV Динамическая устойчивость распределенных систем (В. В. Бо-
лотин) ............................................................ 240
I. Свободные колебания распределенных неконсервативных систем 240
2. Устойчивость распределенных систем...................... 241
3. Методы исследования устойчивости........................ 243
4. Параметрические колебания распределенных систем......... 245
5. Уравнения динамической устойчивости..................... 246
6. Методы сведения к системам обыкновенных дифференциальных
уравнений.............................................. 248
7. Построение областей неустойчивости.......... ........... 254
Глава XVI. Распространение волн и ударные процессы в упругих системах
(Ю- Н. Новичков) ............ . ........... 256
1. Волны • неограниченной упругой среде..................... 256
2. Поверхностные волны Релея............................... 258
3. Упругие волны в стержнях........................... . 259
4 Соударение двух упругих шаров............................ 261
5. Продольный удар в упругих стержнях...................... 262
6. Поперечный удар по упругим балкам....................... 265
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Глава XVII. Сведения из теории случайных процессов и полей (В. В. Бо-
лотин, В. Ю. Волоховский) . ... . . ........... . 268
1. Методы описания случайных функций . ..................... 268
2. Стационарные случайные процессы......................... 271
3. Многомерные случайные процессы.......................... 275
4. Марковские случайные процессы.......................... 27G
5. Вероятностные характеристики случайных полей ......... 278
6. Статистическое моделирование случайных процессов и полей 280
Глава XVIII. Случайные колебания систем с конечным числом степеней
свободы (В. В. Болотин, В. П. Чирков) .......... 286
1. Задачи теории случайных колебаний ....................... 286
2. Метод дифференциальных уравнений относительно моментных
функций.................................................... 287
3. Метод функций Грина (импульсных переходных функций).... 288
4 Метод спектральных разложений . ......................... 289
5. Стационарные колебания линейных систем ................. 290
6 Методы теории марковских процессов.................... 294
7. Метод статистического моделирования в задачах случайных коле-
баний ................................................. 296
Глава XIX. Параметрические колебания при случайных воздействиях
(В. В. Болотин, В. Г. Москвин) ............... 299
1. Определения стохастической устойчивости............... 299
2. Метод стохастических функций Ляпунова ................ 301
3. Метод моментных функций ............................. 303
4. Системы, возбуждаемые белыми шумами.................. 306
5. Системы, возбуждаемые процессами с конечной дисперсией .... 308
Глава XX. Случайные колебания распределенных систем (В. Ю. Воло-
ховский) ......................... ..... 310
1. Метод моментных функций .............................. 310
2. Методы спектральных представлений..................... 312
3. Метод разложения по собственным формам................ 315
4. Широкополосные случайные колебания.................... 318
Глава XXI. Основы теории вибрационной надежности (В. В- Болотин,
В. П. Чирков)................................................. 319
1. Основные понятия..................................... 319
2. Критерии вибрационной надежности..................... 322
3. Методы аналитической оценки функции надежности ....... 324
4. Теория выбросов случайных процессов................... 326
5. Расчет вибрационной надежности ....................... 332
Список литературы............................................... 335
Предметный указатель............................................ 341
ПРЕДИСЛОВИЕ К СПРАВОЧНИКУ
„ВИБРАЦИИ В ТЕХНИКЕ”
Цель издания настоящего справочника — дать читателю необходимые сведения
из важнейшей сферы современной физики, механики и техники — теории колебаний.
Можно без преувеличения сказать, что методы теории колебаний являются одними
из самых важных и общих при исследовании в различных областях естествознания.
В настоящее время колебания приобретают особое значение в связи с бурным
ростом мощностей машин, скоростей движения их агрегаго): и механизмов, умень
шением относительной массы, увеличением их долговечности и надежности, обеспе-
чением устойчивости и управляемости систем Значительную роль в технике играют
механические колебания, многие виды которых часто называют вибрациями.
Большое, еще недостаточно изученное влияние оказывают колебания на живые
организмы.
В ряде случаев колебания чрезвычайно опасны. Вследствие непредвиденных
колебаний возникают погрешности в работе машин и механизмов, увеличивается
износ и заметно понижается их надежность, возможны разрушения и аварии.
В других случаях колебания могут оказаться весьма полезными. Целые области
современной техники (радиотехника, акустика, вибротранспорт, вибрационная
технология) построены на основе использования различных колебательных про-
цессов.
Уметь рассчитать колебания различных объектов машиностроения, приборостро-
ения, транспортной и строительной техники, правильно оценить их т оздействие
на изучаемые системы, экспериментально исследовать параметры колебаний и долж-
ным образом толковать результаты наблюдений — необходимые качества современ-
ного квалифицированного инженера.
Справочник рассчитан на широкий круг читателей. В основном, однако, мы пред-
назначаем его инженерам, работающим в области создания новой техники и техно-
логии.
Каждый том в рассматриваемом аспекте является самостоятельным и закончен-
ным руководством.
Том первый посвящен колебаниям линейных систем. Здесь формулируются и
рассматриваются методы изучения колебательных процессов механических систем
с конечным числом степеней свободы, а также систем с распределенными парамет-
рами. Рассмотрены консервативные и неконсервативные системы, анализируются
вопросы устойчивости решений.
Наряду со свободными колебаниями с одной, двумя и многими степенями сво-
боды освещены также вынужденные колебания с диссипацией и без нее. Изложена
теория параметрических колебаний. Применительно к упругим системам обсу-
ждаются )бщие свойства собственных частот и собственньх форм колебаний, точные
к приближенные методы их определения Представлены методы вычисления собствен-
ных форм и частот упругих стержней, пластин и оболочек, рассмотрены вопросы
динамической устойчивости и теории удара упругих систем. Изложены методы иссле-
дования колебаний при случайных возбуждениях систем с конечным числом степе-
ней свободы и некоторых упругих систем с распределенными параметрами. Дана
оценка вибрационной надежности.
Том второй посвящен нелинейным колебаниям механических систем. В нем при-
ведены сведения о нелинейных колебаниях систем и рассмотрены их основные
мидели (консервативные, диссипативные, автоколебательные системы, системы
с заданным внешним воздействием). Изложены математические методы изучения
нелинейных колебаний, в том числе важнейшие методы исследования устойчивости.
В отличие от известных руководств по нелинейным колебаниям том содержит раздел,
в котором рассмотрены задачи о взаимодействии нелинейных колебательных систем
с источниками возбуждения, проблемы синхронизации колебательных и вращатель-
ных движений, виброперемещение и виброреология, теория внброударных и электро-
механических систем, колебания сосудов с жидкостью, колебания твердого тела
на нелинейно-упругих опорах.
Оба первых тома носят не только характер справочного руководства, но и дают
достаточно подробное представление о математических методах, применяемых
в современной теории колебаний.
Том третий посвяшен расчету колебаний элементов и систем упругих конструкций.
В нем даны методы расчета систем, состоящих из прямых и криволинейных стерж-
ней, пластин и оболочек, расчет важнейших конструктивных элементов — валов,
пружин, турбинных и компрессорных лопаток, дисков, колец. Описаны способы
оценки выносливости конструктивных элементов, подверженных вибрациям, метсды
определения вибраций в газовых и паровых турбинах, двигателях внутреннего
сгорания, станках, автомобилях и в других машинах и агрегатах. Рассмотрены
методы построения расчетных моделей.
Том четвертый посвящен полезному применению вибраций в современных техно-
логических процессах. В нем описаны системы возбуждения колебаний, широко
используемые н промышленности, — пневматические, гидравлические, электромаг-
нитные и инерционные. Рассмотрены кинематические и силовые методы возбуждения
вибраций Даны сведения о некоторых типах вибрационных машин.
Том пятый посвящен современным методам экспериментального определения
характеристик колебательных процессов. В нем дан анализ гармонических, полигар-
монических, нестационарных и случайных колебательных процессов. Приведены
сведения о виброизчерительной аппаратуре для всестороннего исследования слож-
ных колебательных систем, даны характеристики ниброизмерительных приборов
и методы обработки результатов наблюдения.
Рассмотрены вопросы вибрационных испытаний механических систем, подго-
товка и проведение испытаний, их автоматизация и использование результатов
испытаний в задачах идентификации и диагностики систем.
Том шестой посвящен вопросам, связанным с методами защиты от воздействия
вибраций. В нем рассмотрены системы и механизмы, которые следует предохранить
от динамических воздействий, обсуждены в этой связи вопросы проектирования
таких систем и механизмов. Изложена теория упругих подвесов, упругих вибро-
изоляторов и динамических гасителей. Описаны схемы и конструкции динамиче-
ских гасителей, предохраняющих и защищающих машину и человека от воздействия
вибраций. Рассмотрены также некоторые вопросы биодинамики человеческого орга-
низма. Приведены допускаемые уровни вибрационного воздействия на человека.
Таким образом, справочный материал, заключенный в шести томах, должен дать
достаточно полную информацию о проблемах вибраций при проектировании, изго-
товлении, испытаниях и эксплуатации различного рода машин, аппаратов и соору-
жений. Изложение построено так, что для решения этих проблем могут быть исполь-
зованы современные электронно-вычислительные машины.
Это издание мы рассматриваем как первый опыт создания уникального справоч-
ного руководства. В дальнейшем целесообразно будет дополнить его такими глу-
боко связанными с теорией колебаний проблемами, как сложный удар, взрыв, аэро-
гидр оу пр у гость, построение и исследование моделей, правильно отражающих дина-
мические характеристики реальных конструкций.
К написанию и редактированию томов справочника были привлечены крупные
научные силы нашей страны. Для настоящего издания большую помощь оказал
академик И. И. Артоболевский.
Можно надеяться, что предлагаемый справочник окажется полезным читателям
в их практической работе. В этом случае цель, которую ставили перед собой авторы
и редакционный совет, будет достигнута.
Председатель редакционного совета
Академик В. Н. Челомей
ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-му ТОМУ
В данном томе приведены основы теории колебаний линейных систем, методы этой
теории, наиболее существенные аналитические и численные результаты. Материал
изложен . последовательной, единой и методически отработанной форме, чтобы спра-
вочником могли пользоваться как инженеры-конструкторы и инженеры-исследова-
тели, так и студенты и аспиранты высших технических учебных заведений. Авторы
постарались в максимальной степени отразить современную терминологию, современ-
ные формы исследования и подачи материала, а также применение электронных
вычислительных машин для решения инженерных проблем.
Большое внимание уделено основным понятиям теории колебаний и смежных
разделов механики, выбору и обоснованию моделей колебательных систем, методам
их аналитического и численного анализа; приведено большое количество справоч-
ного материала, который может быть непосредственно использован в вибрационных
расчетах.
В этом томе рассмотрены эффективные численные методы и алгоритмы, рассчитан-
ные на применение ЭВМ; в отдельных случаях даются указания на возможность исполь-
зования стандартных программ из библиотеки математического обеспечения для
ЭВМ серии ЕС.
Том состоит из трех частей. В первой части изложена теория колебаний линейных
систем с конечным числом степеней свободы, во второй — теория колебаний линейных
распределенных систем. В них подробно рассмотрены методы расчета собственных
частот и собственных форм колебаний, вынужденных и параметрически возбуждаемых
колебаний, методы исследования устойчивости некинсерзативпых линейных систем.
В третьей части изложена теория колебаний линейных систем с конечным числом
степеней свободы и распределенных систем при случайных воздействиях.
Редактор чл.-корр АН СССР В. В,Волошин
Часть первая
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Глава I
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Понятие о колебаниях. Рассмотрим некоторую систему, т. е. совокупность объектов,
взаимодействующих между собой и с окружающей средой по некоторому закону. Это
может быть как механическая система материальных точек, абсолютно твердых тел,
упругие и вообще деформируемые тела и т. п., так и электрическая, биологическая
и смешанная (например, электромеханическая) системы. Пусть состояние системы
в каждый момент времени / описывается некоторым набором параметров. Задача тео-
рии состоит в том, чтобы предсказать эволюцию системы во времени, если задано
начальное состояние системы и внешнее воздействие на нее.
Возьмем один из числовых параметров системы, обозначив его через и. Это может
быть скалярная величина, одна из компонент вектора или тензора и т. п. Рассмотрим
изменение этого параметра на некотором отрезке времени, например, при /е (0, со).
Это изменение может быть монотонным, немонотонным, существенно немонотонным
(рис. 1). Наибольший интерес представляет последний случай.
Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочеред-
ным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным
процессом или просто колебаниями, а соответствующий параметр называется колеблю-
щейся величиной.
Невозможно установить четкую границу, отделяющую колебательные процессы
от неколебательных. Например, в экономике процесс такого типа, как на рис. 1,6,
может быть отнесен к колебательным процессам. Можно сформулировать более общее
определение колебательного процесса: параметр совершает на заданном отрезке
времени колебания относительно параметра н2(/) (и наоборот), если разность ыД/) —
— ы2(0 на этом отрезке многократно изменяет знак (рис. 1,г). Например, можно гово-
рить о колебательном изменении угла ф(/) вращения диска относительно равномер-
ного вращения ср = со/ -+- const с постоянной угловой скоростью со.
Если все или наиболее существенные параметры системы — колеблющиеся вели-
чины, то говорят, что система испытывает колебания. Система, способная при опреде-
ленных условиях совершать колебания, называется колебательной системой. Строго
говоря, под это определение подходит любая система, так как для любой системы
можно выбрать такое воздействие, при котором она будет совершать колебательное
движение. Поэтому обычно используют более узкое определение: система называется
колебательной, если она способна совершать колебания при отсутствии внешних
воздействий (только за счет первоначально накопленной энергии).
Место колебательных процессов в науке и технике. Большинство наблюдаемых в
природе и технике процессов являются колебательными. К колебательным процессам
относятся самые разнообразные явления: от ритмов головного мозга и биения сердца
до колебаний звезд, туманностей и других космических объектов; от колебаний атомов
или молекул в твердом теле до климатических изменений на Земле, от вибраций зву-
чащей струны до землетрясений. Все акустические явления и явления, связанные с
распространением электромагнитных волн, также сопровождаются колебательными
процессами.
Рис. I. Изменение параметра и (О:
а — монотонное; б — немонотонное; в — существенно немонотонное; г — относительное изме-
нение параметров и,(/) и ut(l)
В данном томе будут рассмотрены в основном механические системы Колебатель-
ные процессы, происходящие в этих системах, называются механическими колебаниями.
В технике, особенно в машиностроении, широко применяют также термин вибрация.
Он является почти синонимом терминов механические колебания или колебания меха-
нической системы. Термином вибрация чаще всего пользуются там, где колебания
имеют относительно малую амплитуду и не слишком низкую частоту (например, едва
ли можно принять термин вибрация, говоря о колебаниях маятника часов или о рас-
качивании качелей).
Прикладная теория колебаний и вибротехника. Совокупность методов и средств
для измерения величин, характеризующих колебания, называется виброметрией.
Совокупность методов и средств для уменьшения вредного воздействия вибрации
на человека, приборы и механизмы называется виброзащитой. Совокупность техно-
логических приемов, основанных на целенаправленном использовании вибрации,
называется виброобработкой, а использование вибрации для перемещения материалов,
изделий и т. п. называется вибротранспортировкой. Для обеспечения способности
объектов выполнять свои функции и сохранять параметры в пределах установленных
норм, а также сохранять прочность в условиях вибрации необходимы расчеты на
виброустойчивость и вибропрочность или, в более общей постановке, на вибронадеж-
ность. Задачей виброиспытаний является изучение виброустойчивости, вибропроч-
ности и эффективности объектов в условиях вибраций, а также изучение эффектив-
ности виброзащиты; задачей вибродиагностики — изучение состояния объекта на
основе анализа эксплуатационных или искусственно возбуждаемых вибраций.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Понятие об уравнении системы. Классификация колебательных систем связана со
свойствами операторного уравнения, устанавливающего зависимость между вектором
состояния системы и(6 и вектором q(Z) воздействий на систему со стороны окружаю-
щей среды-
Lu=q. (1)
Здесь L — оператор системы, включающий в себя все уравнения и дополнительные
услония, необходимые для однозначного описания поведения системы и(0 при внеш-
нем воздействии q(f).
Для механических систем операторное уравнение (1), как правило, сводится
к совокупности некоторых дифференциальных уравнений с граничными и начальными
условиями, а также с дополнительными соотношениями типа уравнений связи.
Системы с конечным числом степеней свободы и распределенные системы. Класси-
фицировать колебательные системы можно по различным признакам. Одним из
важнейших признаков является число степеней свободы системы, т. е. количество
независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию сис-
темы в любой фиксированный момент времени t. Понятие конфигурации само по себе
нуждается в определении. Здесь ограничимся указанием на то, что для механических
систем под конфигурацией понимается положение всех точек системы в простран-
стве.
Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Б послед-
нем случае множество степеней свободы может быть либо счетным, либо континуаль-
ным. Системы, обладающие континуальным множеством степеней свободы, называют
распределенными (континуальными). Число степеней свободы зависит от характера
идеализации реальной системы. Упругие системы с распределенной массой являются
распределенными системами; заменяя распределенную массу конечным числом сосре-
доточенных масс, получим систему с конечным числом степеней свободы. С математи-
ческой точки зрения колебания систем с конечным числом степеней свободы описы-
ваются обыкновенными дифференциальными уравнениями; колебания распределенных
систем — дифференциальными уравнениями в частных производных. Математическое
описание весьма широкого и наиболее важного для приложений класса распределен-
ных систем может быть сведено к бесконечным системам обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Этот класс распределенных систем эквивалентен, таким обра-
зом, системам с бесконечным счетным числом степеней свободы. Приближенная трак-
товка последних приводит к системам с конечным числом степеней свободы.
Линейные и нелинейные системы. Принцип суперпозиции. Система называется
линейной, если ее оператор является линейным, т. е. удовтетворяет условию
L (cqu! -f- a2u2) = сег L ux -ф a2Lua (2)
для любых допустимых законов изменения состояния и3(/) и и2(0 и любых числовых
множителейОЦ иа2. Если условие (2) не выполняется, система называется нелинейной.
Соотношение (2) содержит в себе принцип суперпозиции для линейных систем. Пусть
при внешнем воздействии qt(/) поведение системы описывается вектором uj(/), а при
внешнем воздействии q2(0 описывается вектором и2(<). Тогда при внешнем воздейст-
вии q3(0 4' q2(0 поведение системы будет описываться вектором Uj(0 + и2(0- Прин-
цип суперпозиции — одно из важнейших свойств линейных систем — широко ис-
пользуется как при теоретическом исследовании, так и в технических приложе-
ниях.
Стационарные и нестационарные системы. Если свойства системы не изменяются
на данном отрезке времени, то систему называют стационарной на этом отрезке.
Отрезком времени, в частности, может быть вся числовая ось (— со, со). Если свой-
ства системы изменяются во времени, то ее называют нестационарной. Процессы,
происходящие в стационарных системах, описываются дифференциальными урав-
нениями с постоянными коэффициентами; процессы, происходящие в нестационарных
системах,—дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.
В литературе встречаются также термины система с постоянными параметрами и
система с переменными параметрами.
Автономные и неавтономные системы. В операторном уравнении (1) для автономной
системы следует положить q = 0. Колебательные процессы в автономных системах
могут происходить лишь за счет внутренних источников энергии либо энергии, сооб-
щенной системе в виде начального возмущения. Остальные системы называются
неавтономными. Различие между автономными и неавтономными системами условно,
поскольку граница, отделяющая систему от окружающей среды, выбирается при
формулировке математической модели.
Консервативные и неконсервативные системы. Система называется консерватив-
ной, если ее полная механическая энергия остается постоянной при колебаниях.
В противном случае система называется неконсервативной. В свою очередь, среди
иекинсервативных систем могут быть выделены системы, обладающие определенными
характерными свойствами. Так, система называется диссипативной, если полная
механическая энергия при любом движении соответствующей автономной системы
убывает. Систему называют автоколебательной, если она стационарна и автономна
и если при определенных условиях в ней возможно самовозбуждение колебаний.
Автоколебательные системы характеризуются наличием в них источника энергии
неколебательной природы, причем поступление энергии регулируется движением
самой системы.
3. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Свободные колебания. Колебания, которые совершаются при отсутствии перемен-
ного внешнего воздействия и без поступления энергии извне, называются свободными
колебаниями. Они происходят за счет первоначально накопленной энергии, величина
которой определяется перемещениями и скоростями, заданными системе в некоторый
начальный момент времени. Свободные колебания могут происходить лишь в авто-
номных системах.
Вынужденные колебания. Колебания, которые вызываются переемнным внешним
воздействием, называют вынужденными колебаниями. Они характерны для неавто-
HOMfbrx систем.
Параметрические колебания. Колебания называют параметрическими, если они
вызываются изменением во времени параметров системы. Такие колебания возможны
лишь в нестационарных системах.
Автоколебания (самовозбуждающиеся колебания). Колебания называют самовоз-
буждающимися или автоколебаниями, если они возникают и поддерживаются от
источника энергии некилебательион природы, причем этот источник ьключен в сис-
тему. Поступление энергии регулируется движением системы. Автоколебания воз-
можны лишь в неконсервативных стационарных системах. Чагто под автоколеба-
ниями понимают установившиеся колебательные процессы, которые поддерживаются
источниками энергии неколебательной природы; при этом параметры установившихся
автоколебаний в существенной степени определяются нелинейными свойствами
системы.
В колебательных системах возможны процессы смешанного характера, которые
представляют собой результат наложения свободных колебаний, колебаний, воз-
буждаемых внешними воздействиями, параметрически возбуждаемых колебаний
и колебаний, возбуждаемых внутренними источниками энергии.
4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Дадим кинематическое описание колебательных процессов для случая, когда
процесс характеризуется одной скалярной переменной u(t). Пусть эта переменная —
перемещение; тогда ее первая производная по времени — скорость и вторая произ-
водная — ускорение.
Рис. 2 Реализация периодического процесса п(<) с периодом Т
Периодические колебания. Колебания называются периодическими, если любые
значения колеблющейся величины повторяются через равные отрезки времени. Более
точно, колебания называются периодическими, если существует такое число Т, что
для любого t выполняется условие (рис. 2) u(t-M Т) — и((). Наименьшее из этих
значений называется периодом колебаний. Обозначим его через Т. Величина, обратная
периоду колебаний, называется частотой колебаний: f — МТ. В технике период
колебаний обычно измеряется в секундах; частота f, следовательно, имеет размер-
ностъ с"1. В теоретические формулы входит величина
_ . 2л
и) = 2л/=-^,
(3)
называемая угловой (циклической) частотой. Она также измеряется в с-1. Эта частота
равна числу периодов колебаний, которые укладываются на отрезке времени продол-
жительностью 2л с. Необходимо остерегаться смешения частот / и ш. Частоту /
обычно измеряют в герцах (Гц). Для угловой частоты наряду с размерностью с-1 часто
используют размерность рад/с.
Гармонические колебания. Простейшим (и наиболее важным) видом периодических
колебаний являются гармонические (синусоидальные) колебания, при которых колеб-
лющаяся величина изменяется во времени по закону
и (0 = Л sin (и^+ф) (4)
Здесь А, io, ф — постоянные параметры. Параметр А равен наибольшему значению
колеблющейся величины и называется амплитудой гармонических колебаний или
просто амплитудой. Постоянный параметр ф называется начальной фазой колебаний.
а аргумент <ot 4- ф называется фазой колебаний в момент времени /. Параметр со
является угловой частотой. Период гармонических колебаний выражается через
угловую частоту:
Для наглядного представления гармонических колебаний можно использовать
круговую диаграмму (рис. 3). Для этого на плоскости вводится вектор длиной А,
который вращается с постоянной угловой скоростью, равной <о (отсюда происходит
термин угловая скорость). Начальное положение вектора задается углом ф. Проекти-
руя конец вектора на вертикальную ось, получим закон движения в форме (4).
Скорость при гармонических колебаниях
и== <0И COS (й)/+ф), (6)
а ускорение
сРи
0)=-, - = — соМ sin (ш/4-ф). (7)
Таким образом скорость п(0 и ускорение ш(/) при гармонических колебаниях
также изменяются во '-ремени по синусоидальному закону с той же частотой, что и
перемещение u(t). Амплитуды скорости и ускорения равны соответственно мА и ш2А.
В технической литературе перемещение, скорость и ускорение при колебательном
движении называют соответственно виброперемещением, виброскоростью и вибро-
ускорением.
Часто удобнее пользоваться следующей записью гармонических колебаний:
и (/) = Л cos (lOf-f-lp),
(8)
где вновь введенная начальная фаза ф сгязана с фазой q ь формуле (4) соотношением
ф=ф—Иногда начальная фаза вводится с противоположным знаком.
Сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами будет гармони-
ческим колебанием с той же частотой:
Аг cos w/-|-Л2 cos (w/+4') — cos (art + у).
(9)
Амплитуда .4 и фаза у результирующих колебаний могут быть найдены, например,
из круговой диаграммы {рис. 4):
А = 4- + 2ЛjЛ2 cos ф ;
tCT., Л8!П*
А1 + Агсоьф'
Комплексное представление гармонических колебаний. Формула Эйлера
е'ш'=cos at -f- i sin ш/
(Ю)
(H)
(i — мнимая единица) дает удобную интерпретацию закона гармонических колебаний
(4) на комплексной плоскости. Так, используя формулу (1J), представим выражение
(4) в виде
и= A sin (си/4-<р) = ltn [Aef (12)
Это тождество соответствует интерпретации гармонических колебаний при помощи
круговой диаграммы (см. рис. 3).
Возможны другие варианты комплексного представления гармонических колеба-
ний. Например, закон колебаний в форме (8) получается из комплексного представ-
и= A cos ((0/4-$) = Re (Ае' ‘•М»]. (13)
В формулах (12) и (13) амплитуда А является действительным числом. Наряду
с действительной амплитудой используются также комплексные амплитуды, равные
в зависимости от способа задания гармонических колебаний Ае’Ф или Ае'43. Рассмот-
рим, например, выражение и = Re (Асе;ш/)> где Ас — комплексное число, действи-
тельная и мнимая части которого равны соответственно Аг и А(. Тогда с учетом выра-
жения (11) приходим к формуле (8), причем амплитуда и начальная фаза равны
соответственно
________ Д .
Л=]/Л>+Л;=|Ле|; tg»~7-. (14)
Полигармонические колебания. Следующий вид периодических колебаний — это
полигар.ионические колебания. Полигармоническими называют колебания, которые
могут быть представлены в виде суммы двух пли более гармонических колебаний
с частотами (периодами), находящимися между собой в рациональном соотношении.
Примером может служить колебательный процесс
и (0 = Aj cos oV4- A2cos uV, (15)
который является суммой двух гармонических процессов типа (8). Существенно, чтобы
)тношение частот было рациональным числом. Пусть сол и соа выражаются через
некоторую частоту ю так, что = /жо, = zna, где шил — целые числа, причем
т'п — несократимая дробь. Тогда сумма (15) будет периодической функцией с пери-
одом 2л/й>.
Ряд Фурье для периодическою процесса. В общем случае периодические функции
с периодом Т могут быть представлены в виде ряда Фурье:
оо со
cos k to/-]- 6ftsin&ci)f. (16)
k=i k=i
Этому разложению соответствует представление периодических колебании в виде
суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте а = 2л/Т.
Для представления функции u(f) в форме (16) она должна удовлетворять условиям
Дирихле, т. е. быть ограниченной и иметь конечнее число максимумов, минимумов
и точек разрыва первого рода на любом
конечном интервале.
Коэффициенты и0, alt а.2, ..., bir Ь2, . . .
называются коэффициентами Фурье. Коэф-
фициент - а0 характеризует среднее зна-
чение колеблющейся величины; коэффи-
циенты «1 и — компоненту движения
с основной частотой со. Эта компонента
называется первой или основной гармони-
кой колебательного движения. Компонен-
ты движения с частотой ka>, где k > 1,
называются высшими гармониками, а чис
ло k — номером гармоники. Ряд Фурье
для колебательного процесса может быть
как бесконечным, так и конечным. Так,
колебательный процесс (15) содержит
Рис. 5. Амплитудный спектр колебательно-
го процесса
лишь две гармоники: /по) и по).
Совокупность частот гармонических составляющих, расположенных в порядке
их возрастания, называется частотным спектром данного периодического
процесса. Каждой частоте соответствуют амплитуда и начальная фаза <pft:
18Ф»=-|‘-- 07)
Совокупность амплитуд, характеризующих гармонические колебания и располо-
женных в порядке возрастания частот, называется амплитудным спектром периоди-
ческого процесса. Совокупность начальных фаз, характеризующих гармонические
колебания и расположенных в порядке возрастания частот, называется фазовый
спектром. Понятие амплитудного спектра проиллюстрировано на рис. 5.
Примеры типичных колебательных процессов, содержащих две гармоники, при-
ведены в табл. 1. Существенно, что вид колебательного процесса зависит не только
от соотношения между частотами и амплитудами гармоник, но и от фазовых соотно-
шений.
Спектральный анализ периодических процессов. Определение спектра частот и ко-
эффициентов Фурье по заданным периодическим функциям называется спектральным
анализом. Коэффициенты Фурье связаны с функцией и(/) следующими соотношениями:
т
2 С
= \ и (/) cos k ы/ di (6 = 0, 1, 2, ..,);
2 Г
— и (/) sin k wt dt (Л=1, 2, ...)
о
1. Типичные колебательные процессы, содержащие две гармоники
Если функция задана аналитически, то спектральный анализ в принципе может
быть произведен по формулам (18). Коэффициенты Фурье для некоторых часто
воречающихся в теории колебаний периодических функций даны в табл. 2.
Помимо рядов Фурье в действительной форме в теории колебаний используются
комплексны? ряды Фурьг. Комплексный ряд Фурье для действительной периодической
функции и{1) с пе[ юдом Т — 2л/ш имеет вид
ОО
u(/) = V ckeib^. (19)
Л = —со
Коэффициенты этого ряда (кроме с0) являются комплексными числами:
сЛ = cl k = -jr \ и (/) e~lkta1 dt.
(20)
Здесь звезд.-чка обозначает переход к комплексно-сопряженной величине. Зависи-
мость между коэффициентами рядов (18) и (19) можно записать в следующем виде:
со = уа0; Iе* 1 = 4 V: argcA = -arctg (21)
Если информация о колебательном процессе задана в графической или табличной
форме, представлена в виде магнитозаписи и т. п., то для спектрального анализа
применяются графические, численные или аппаратурные методы.
2. Коэффициенты Фурье для некоторых периодических процессов
sin л х'
лх
Периодическая функция f (t) = f (t 4- T)
Прямоугольный импульс
Симметричный треугольный
импульс
t
Коэффициенты Фурье
1: Ь„=0
I: &л=°
Симметричный трапецеидаль-
ный импульс
! । та
И>
X 6
X в
П о луси нусоидал ьн ый
импульс
л=0
Срезанная синусоида
в
Треугольная форма сигнала
; Ъп = 0
— 2 cos^-2 б
а -0; Ь„ = (л =1,2,
л п пл
Численная реализация преобразования Фурье. Чтобы осуществить спектральный
анализ колебательных процессов на ЭВМ, применяют численное преобразование
Фурье. Для этого процесс u(t) подвергается дискретизации, т. е. процесс u(t) на основ-
ном периоде Т задается N + 1 его значениями в моменты времени /0, (рис. 6).
Обычно выбирают равноотстоящие интервалы Л= Т/Л/, причем число У выбирают
Рис. 6. Дискретизация колебательного процесса
таким образом, чтобы частота = 2я/Л = 2nN/T превышала максимальную ожи-
даемую частоту процесса и(0 в 1,5—2 раза. Частота называется частотой среза
или частотой Котельникова—Найквиста. Для определенности примем, что N —
четное число и что = uGo) = 0- Кроме того, введем обозначения
u(ta)^ua (а=0, 1, ... , Л/). (22)
Дискретный аналог преобразования Фурье (16) имеет вид
причем для выполнения однозначности преобразования в правой части сохранены
частоты, не превышающие половины частоты среза сод. Для коэффициентов дискрет-
ного преобразования Фурье имеем формулы
N N N
2 V 1 V 2 V 2ц«а
а°=’лГ 2 а\ 2л ““COSaJi; Q* = 7F Zi Ua C°S -ЛГ'1
2 N a = l
N
bk==* 7Г 2л Ua Sm ~~N~ V ’ 2........................~2N4' (24)
<x= I
Алгоритм вычислений содержит следующие операции: вычисление величин 0 fta, =
— 2nto/.V при различных значениях k и а; вычисление cos Ь Ьа и sin 0 Ла; вычисление
выражений «Ocos0$a и uasinG суммирование этих выражений. Этот алгоритм тре-
бует примерно N2 операций сложения и умножения. Объем вычислений можно умень-
шить, используя идею быстрого преобразования Фурье [4].
Понятие о быстром преобразовании Фурье. Идея этого преобразования вытекает
из рассмотрения комплексного аналога формул (23) и (24):
(25)
При вычислении правых частей в этих формулах многократно используются раз-
личные комбинации произведений чисел ck и иа на экспоненциальные функции. Если
Л’ — составное число, т. е. может быть представлено в гиде произведения целых
чисел: то многократного повторения операций можно избежать.
Количество операций сложения и умножения имеет при этом порядок N (гг 4* г2 4-
— ... Гр). Обычно берется Д' = 2Р, что приводит к уменьшению объема вычислений
примерно в N/2р раз. Один из вариантов быстрого преобразования Фурье известен
под названием метода Кули и Тьюки [6].
Стандартные программы для численного анализа Фурье периодических функций.
Для численного анализа Фурье заданной периодической функции в области (0, 2л)
в математическом обеспечении ЭВМ серии ЕС предназначена подпрограмма FORIF
|6OJ, которая осуществляет вычисление заданного числа коэффициентов ряда Фурье
N
• F {х) = Ао ф- V cos kx -f- Bfi sin kx),
fe=i
аппроксимирующего заданную периодическую функцию. Обращение к подпрограмме
FOR IF осуществляется следующим образом:
CALL FOR IF (FUN, N, M, А, В, I ER).
Здесь FUN — имя внешней подпрограммы-функции пользователя, использующейся
для вычисления функции в заданных точках; параметр FUN должен быть описан
оператором EXTERNAL; N — число, определяющее подынтервал таким образом,
что 2N 4- 1 точка содержится на интервале [0, 2л), т. е. подынтервал равен 2n/(2N 4~
4-1); М — максимальный порядок аппроксимирующих гармоник, А — вычисленный
вектор коэффициентов Фурье при косинусах размерности М4- 1: Aq, Аь .... Ач;
В—вычисленный вектор коэффициентов Фурье при синусах размерности М 4- 1:
Ви, Вь ..., В.Д, IER — код ошибки. Внешняя подпрограмма-функция FUN должна
быть составлена пользователем.
Для вычисления коэффициентов Фурье периодической функции, заданной табли-
цей ее значений с постоянным шагом 2jt/(2N -ф 1)> предназначена подпрограмма
FOR1T [ЬО]. Обращение к подпрограмме FOR1T осуществляется следующим обра-
зом;
CALL FORIT (ENT, N, М, А, В, IER),
где ENT—входной вектор табличных значений функции размерности 2N-f- 1;
N — число, определяющее подынтервал таким образом, что N + 1 точка содержится
на интервале [0, 2л); М — максимальный порядок аппроксимирующих гармоник;
А, В — вычисленные векторы коэффициентов Фурье размерности М + Г. Ао, А1т ...,
Ам; Во, .... Вм; IER — код ошибки. Подпрограмма FOR1T не требует использо-
вания никаких других подпрограмм и подпрограмм-функций.
Фигуры Лиссажу для полигармонических процессов. При геометрическом сложе-
нии двух процессов u^f) = sin (put + q); u2(T) = A2 sin q(ot получаются плоские
кривые, называемые фигурами Лиссажу. Для получения уравнения кривых, описы-
вающих траекторию движения точки на плоскости (ult Mg), необходимо рассматривать
выражения для нх(0 и u2(f) как уравнение кривой, заданной в параметрической форме.
В общем случае вид траекторий, описываемых точкой, зависит от соотношений между
частотами, амплитудами и фазами слагаемых процессов
Пример. На рис. 7 показаны траектории, описываемые точкой при различных р, q и <р.
Принято, что 4i = As = 1, так как изменение соотношений между амплитудами процессов ц, (т,
и и* (/) влияет на пропорции фигур Лиссажу, не изменяя -бщего характера форм кривых.
6)
г) е)
Рис. 7. Фигуры Лиссажу:
д—<oi-(o2, ф -- 0; б— ф = л/3; в - 2cot = wtl ф = 0;
г — Зад, = ы2, ф = л/3; д — Зсо, = 2(ог, ф = 0; е — За», = 2ш2, Ф = л/3
Траектории движения точки могут быть незамкнутыми кривыми; это наблюдается
в случае, когда частоты суммируемых процессов несоизмеримы, т. е. число piq не
является рациональным. По фигурам Лиссажу достаточно просто находят отношения
частот и сдвиг фаз суммируемых процессов [75].
5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классификация непериодических колебаний. Непериодические колебания могут
быть стационарными и нестационарными. Стационарные (установившиеся) колебания
п*> определению заданы на отрезке — оо t оо. Их можно определить как коле-
бания, происходящие около постоянного среднего значения, причем максимальные
КИНЕМА ТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
27
и минимальные значения колеблющейся величины, достигаемые на некотором доста-
точно большом отрезке времени, относительно мало изменяются при перемещении
этого отрезка по временной оси. Периодические колебания можно трактовать как
частный случай стационарных колебаний.
Среди колебательных процессов, которые нельзя отнести к стационарным, разли-
чают затухающие и расходящиеся колебания. Колебания называют затухающими,
если максимальные по модулю значения колеблющейся величины убывают (не обя-
зательно монотонно) во времени, причем при i -* ос эти значения стремятся к
нулю.
Почти периодические колебания. Примером стационарных колебаний, не являю-
щихся периодическими, могут служить почти периодические колебания. Строгое
определение почти периодических колебаний базируется на понятии почти периоди
ческих функций.
Колебания называют почти периодическими (квазипериодическими), если для лю-
бого е > 0 можно найти такое число I > 0, что любой интервал оси t длиной I содер-
жит хотя бы одно значение т, для которого при всех t выполняется неравенство
|//(/ 4- т) — и(/)| < е. Числа т называют квазипериодами почти периодических коле
баНИЙ.
Почти периодическим процессом будет, например, процесс, представляющий собой сумму
двух гармонических колебаний, отношение частот которых не явтяется рациональным числом
Так, в случае
и (t) — Ai cos a>t + А, cos V2 co/ (26)
нельзя подобрать такого числа Г, чтобы при любом / выполнялось услопне u (/4-Г) = u (Z)
Тем не менее через достаточно большие отрезки времени параметры движения будут с большей
или меньшей точностью повторяться. Более того, если аппроксимировать К 2 при помощи
рациональной дроби, например дроби 141/100, то можно построить периодический процесс,
достаточно хорошо воспроизводящий заданный почтя периодический процесс при не слишком
больших t
Периодические колебания являются идеализацией колебательных процессов,
которые протекают в природе и технике. Достаточно ввести малые флуктуации час-
тоты, фазы или амплитуды, чтобы нарушить строгую периодичность процесса.
Спектральное представление почти периодических колебаний. Большинство почти
периодических колебаний можно представить в виде ряда Фурье. Запишем комплекс-
ную форму этого ряда:
«(0= 2 . (27;
< — — ОО
Здесь съ — комплексные коэффициенты Фурье. Частоты (Of, ©2,... в отличие от ряда
Фурье (19) для периодических функций не находятся между собой i простом кратном
отношении. Представление (27) соответствует колебаниям с дискретным спектром.
Спектр почти периодических функций может быть также и непрерывным.
Почти гармонические колебания. Колебания называют почти гармоническими,
если закон изменения колеблющейся величины может быть представлен в виде
и (I) = A cos (©/ — у)
(28)
Здесь А (0, ©(0, Y(0 — медленно меняющиеся функции по сравнению с функцией
cos ©/, т. е. функции, удовлетворяющие неравенствам
ISI
(29)
Некоторые из этих функций могут быть постоянными. В частности, фазу у(/)
можно выбрать так, что частота © будет постоянной. Б этом случае будем называть
ее несущей частотой колебательного процесса. В радиотехнике колебательные про-
цессы типа (28) называются модулированными. В зависимости от того, какая из трех
перечисленных величин медленно изменяется во времени, говорят об амплитудной,
частотной или фазовой модуляции.
Биения. Биениями называют почти гармонические колебания, амплитуда 4(0
которых является колеблющейся функцией времени с квазипериодом, большим по
сравнению с квазипериодом 2л/ю несущего колебательного процесса. В простейшем
случае биения можно получить при наложении двух гармонических колебаний с близ-
кими частотами cdj и со2. Пусть частоты удовлетворяют условию
| ц>1 — ь>21 Н- ша- (30)
Применяя формулы (9) и (10), найдем
и (0 = 4Х cos + А2 cos <o2t ~ Aj cos (i^t + Аг cos (ш2/—ф),
где сдвиг фазы ф = (wj — o)2)Z в силу условия (30) можно трактовать как медленно
изменяющуюся по сравнению с coso)^ функцию времени. Применяя формулу (9),
найдем
u(0 = 4(0cos(Q1i-y(0], (31)
где амплитуда и фаза результирующих колебаний являются медленно изменяющимися
функциями времени:
А (0 = У 4« + 4* + 24x4j cos (©j — ©2) t» (32)
te v (n=
' 4i +42 cos (toi —a>2) /
(33)
Рис. 8. Биения, возникающие при наложении двух
близких по частоте колебаний (Т — период биений)
Изменение u(f) согласно формуле (31) при выполнении условия (30) представлено
на рис. 8. Амплитуда 4(0 периодически изменяется во времени с частотой |coj — to2|
и периодом
6. ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Пиковые значения и размах колебаний. Рассмотрим реализацию некоторого,
вообще говоря, непериодического колебательного процесса. Длина реализации —
Г (Т « не обязательно период колебаний). Абсолютные значения максимума и
минимума колеблющейся величины на рассматриваемом отрезке 7 = |0, Г]
Д = max и (О,; А_ = min u(/)l
называются пиковыми значениями. Разность max и (i) — гшп и (Г) называется
t Е Т t f=T
размахом колебаний на отрезке Т (рис. 9).
1«W
Рис. 9. Пиковые значения и размах реализации колебательного
процесса
Осредненные характеристики колебательного процесса. Используг- операции осред-
нения по времени t на отрезке Т, запишем выражение:
для среднего значения
т
“сР= y \
о
для среднего абсолютного значения
_ 1
иср. абс — J
и для среднего квадратического значения
иср. кв —
(35)
колеблющейся величины и (Г) на отрезке Т. Для гармонического процесса, заданною
2 I
в виде (4), эти значения равны соответственно нулю, — А и —А (А — амплитуда
л У 2
колебаний).
В приложениях особый интерес представляют средние квадраты и®р кв, которые
обычно оказываются пропорциональными энергии процесса или его средней мощности.
Если процесс и(!) периодический и его можно представить в виде ряда Фурье (19),
то, применяя формулу (35), можно записать
со
“:Р. кв-4 2 л‘- (36)
k= 1
Здесь принято ад = 0. Эта формула справедлива также для почти периодических
процессов, представимых в виде обобщенного ряда Фурье (22). При этом в формуле
(35) должен быть проведен предельный переход при Т -* оо.
Уровень вибраций. Уровень интенсивности колебаний характеризуется соотноше-
нием между измеренным значением параметра процесса и некоторым стандартным
значением, которое соответствует нулевому уровню. Поскольку параметры либраций
могут изменяться на несколько порядков и даже более, то удобно пользоваться лога-
рифмической шкалой, принимая за уровень вибраций десятичный логарифм отноше-
ния измеряемой величины к ее стандартному значению. Логарифмическая единица
измерения называется белом (Б), а ее десятая часть —децибелом (дБ). Возрастание
уровня на 1 Б означает, что параметр увеличился в 10 раз, а увеличение на 1 дБ —
в 100,1 ~ 1,57 раз. Если измеряется энергетическая величина V (энергия, средняя
мощность и т. п.), то логарифмический уровень (в децибелах)
l = 101g-£-,
I о
(37)
где Vo — значение, соответствующее нулевому уровню. Если измеряется вибриуско-
рение, виброскорость, вяброперемещение и т. п., то логарифмический уровень
L = 2Q lg А,
ао
(38)
где й0 — начальное значение параметра а, соответствующее нулевому уровню. При
V = const-о2 определения (37) и (38) эквивалентны. За стандартное значение зибро-
ускорения, т. е. за опорное виброускорение, принимают а0 = 9,81 м-с~а. Нулевому
уровню акустического давления соответствует значение р0 = 2-10”? Н-м-2.
Пример. Рассмотрим гармонические колебания с частотой / = 1000 Гп. и амплитудой А = 1 мм.
Амплитуда виброускореннч
а= (2л))2 (6,28-1000)’-10-’= 39,4-10’ м-с-’.
Отсюда уровень виброускорения
L - 20 1т -Л = 20 lg = 72,1 дБ
tZo
Уровень вибраций, отнесенный к полосе частот. Интенсивность вибрационных
воздействий на человека, приборы и другие объекты зависит от частоты. Поэтому
при оценке уровня вибраций целесообразно разбивать ось частот на отрезки (полосы
частот) и вычислять уровни вибраций для каждой полосы в отдельности. Рассмотрим
полосу частот сон со < <цв, где сон и —граничные частоты. Будем учитывать
г правой части формулы (36) только те гармоники, частоты которых удовлетворяют
условию сов). Отсюда найдем средний квадрат величины и для полосы
К ®в):
“2р.«=| Z <39)
“в)
При внброизмерениях выделение из спектра процесса тех составляющих, которые
принадлежат данной полосе частот, обычно осуществляется автоматически введением
в измерительную схему соответствующих полосовых фильтров.
В качестве стандартных частотных полос берут либо декадные полосы, у которых
отношение верхних граничных частот к нижним равно десяти, либо октавные полосы,
у которых это отношение равно двум. В случае необходимости октавная полоса делится
на полуоктавные полосы с соотношением граничных частот, равным 1'2, на треть-
октавные полосы с соотношением j 2 и т. д. Частоты стандартных октавных диапазо-
нов приведены в табл. 3.
S. Верхние и нижние частоты стандартных октавных Диапазонов (Гц)
Октавы Октавы к
Первая 22 44 Шестая 704 1 408
Вторая 44 88 Седьмая 1408 2 816
Третья 88 176 Восьмая 2816 5 632
Четвертая 176 352 Деь ятая 5632 11 264
Пятая 352 704
Замечание о многомерных колебательных процессах. Пусть поведение системы
во времени описывается совокупностью параметров «](/), ^г(0» •••» wn(0- Введем не-
которые понятия, относящиеся к многомерным колебательным процессам. Пусть
Ui (1) = Аг sin (<01/+ф1);
н2 (0 = Л2 sin (U)2t + фг);
u„(0 = ^nsin (1йяГ + ф„).
Если все частоты равны между собой, т. е. cjj = со2 = ... = (оп, то колебания
называются синхронными (одночастотными). Если, кроме того, равны между собой
все начальные фазы, т. е. Ф1 = ф2 = ... = <$я, то колебания называются синфазными.
Пусть п = 2, ь>! = и>2, ф2 = Фг 4“ Тогда иг(Т) = Axsin (toji + ф^; u2(f) =
= —<42sin (to2? + (j j. Такие колебания называются антифазными.
Глава II
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В настоящей главе изложены методы математического описания механических
систем с конечным числом степеней свободы. Существование аналогий между матема-
тическим описанием механических, электрических и тому подобных систем позволяет
переносить результаты, сформулированные для механических систем, на системы
иной природы.
Уравнения динамики системы материальных точек. Рассмотрим систему N мате-
риальных точек с массами т}, т2, ...,тл (рис. 1). Радиус-вектор массы ihj относи-
тельно некоторой инерциальной системы координат Охуг обозначим через гу Q =
~~ 1. •••, А’). Векторы скоростей и ускорений обозначим соответственно через v, и w,.
Внешние силы, характеризующие взаимодействие системы с окружающей средой,
обозначим через F ' 1 (у = 1» • ••» N)- Внутренние силы, т. е. силы взаимодействия между
точками системы, обозначим через F,ft, где первый индекс указывает номер массы rrij,
на которую действует сила, второй индекс — номер массы т^, со стороны которой эта
сила действует. Всюду в дальнейшем полагаем, что справедлив третий закон Ньютона
F/a-----Г •
(1)
Главный вектор всех внутренних сил, действующих на /ю массу, обозначим через
FyJ, Третью группу сил образуют реакции связей, г. е. силы, действие которых на
Z
Рис. 1. Система JV материальных точен
систему эквивалентно действию рас-
сматриваемых связей. Главный век-
тор всех реакций, действующих на
массу т/, обозначим через Ry.
Уравнения динамики системы
материальных точек имеют вид
/n/w/=Fr+F!z,+R/
(/=1,2......Л), (2)
Эта система уравнений не яв-
ляется замкнутой, поскольку со-
держит неизвестные реакции свя
зей.
Классификация связей. Связи
списываются при помощи равенств
и неравенств относительно коорди-
нат и скоростей точек, образующих
систему Различают связи удержи-
вающие, условия которых выра-
жаются в виде равенств, и неудер-
живающие, условия которых за-
писываются в пиде неравенств.
Уравнение удерживающей связи, наложенной на движение системы, имеет вид
f(rV Г2.....Vl’ v2- - VN> 0 “°
(3)
Связь называют стационарной (склерономной), если время t не входит явно в урав-
нение связи; в противном случае ина нестационарная (реонимная). Связь называют
геометрической, если она накладывает ограничения только на положение (на коор-
динаты) точек системы; i уравнение геометрической связи не входят векторы скоро-
стей. В противном случае ее называют кинематической или дифференциальной. Связь
называют голономной, если она является геометрической или интегрируемой диффе-
ренциальной связью, т. е. уравнение связи может быть приведено к i-иду
/(ГГ Ч......rN- 0-°- W
Неинтегрируемые дифференциальные связи называют неголономными.
Малые перемещения точек системы, совместимые с уравнениями связей, называют
виртуальными или возможными перемещениями системы. Они обозначаются через
ди, дгг, .... drv. Связь называют идеальной, если работа ее реакции на любых вирту-
альных перемещениях равна нулю. Если все связи, наложенные на систему, идеальны,
то для любых виртуальных перемещений системы будет выполняться условие
/V
V R/.6r/=0 (5)
/ = 1
В дальнейшем будем полагать все связи удерживающими и голономпыми.
основные теоремы классической механики
33
(6)
Замкнутая система уравнений динамики. Пусть на систему наложено $ связей,
выражаемых равенствами типа (4). Добавляя к уравнениям (2) уравнения связей,
получим замкнутую систему
fb(rv г2, ... . rN- /)=0 (/==1,2....Л^; Л = 1, 2...$),
содержащую 3N -|- s неизвестных функций (3W координат материальных точек
системы и s составляющих реакций).
Основные теоремы динамики системы материальных точек. Введем вектор
Q=2^vy (7)
/ = 1
и псевдовектор (аксиальный вектор)
N
K==S (r/X/n/v/). (8)
/= 1
Вектор Q называют количеством движения (импульсом) системы, а псевдовектор
К —главным моментом количества движения (кинетическим моментом, моментом им-
пульса) системы относительно начала выбранной системы координат. Из уравнений
(2) следует теорема об изменении количества движения системы
и теорема об изменении главного момента количества движения системы
Здесь F — главный вектор всех внешних сил и всех реакций, действующих на си-
стему, a G — главный момент перечисленных сил относительно начала координат.
В соотношениях \8) и (10) вместо начала координат можно взять любую точку, непо-
движную относительно выбранной системы координат. Существенно, что внутренние
силы, связанные соотношением (I), в правые части уравнений (9) и (10) не входят.
Введем скалярную величину
N
(1|)
/ = 1
называемую кинетической энергией системы. Из уравнений (2) следует математическая
формулировка теоремы об изменении кинетической энергии системы:
N
dT=^( + F/1 + Ry) dry. (12)
/ = 1
В правой части уравнения (12) записана работа всех внешних и внутренних сил
и всех реакций связей на элементарных перемещениях dry точек системы. Если все
связи идеальные, т. е. выполняется условие (5), то работа реакций в правую часть
формулы (12) не входит.
Пусть все связи идеальные, а элементарная работа всех внешних и гнутренних сил
является взятым с обратным знаком полным дифференциалом некоторой функции
координат:
2 (Ff’+F}0) dr^-dU. (13)
/ = i
2 п/р. Болотина В. В, т. 1
Функцию U (и, г2, .... Гд,) называют потенциальной энергией системы. Из (12
и (13) следует математическая формулировка теоремы о сохранении полной механиче-
ской энергии:
Е = T-j-U=const
(14)
Силы, удовлетворяющие условию (13), называют потенциальными или консерва-
тивными, а механические системы, для которых выполняется теорема о сохранении
полной механической энергии, называют консервативными.
Принцип Даламбера. Составление уравнений динамики для конкретных механи-
ческих систем значительно облегчается, если использовать принцип Даламбера:
Рис. 2. Инерциальная и подвижная системы координат
уравнения динамики механической системы формально совпадают с уравнениями равно-
весия этой системы, если к действующим внешним силач, внутренним силам и реак-
циям связей добавить фиктивные (далимберовы) силы инерции:
\, = ~т,^ (/-1,2.......Л’). (15)
С учетом (15) уравнения (2) принимают вид
F^+Fp+Ry+I^O (/ = 1, 2, .... N). (16)
Общее уравнение динамики Даламбера—Эйлера. Уравнения динамики системы
материальных точек и уравпения связей (6) эквивалентны следующему утверждению'
движение системы происходит так, что в любой момент времени сумма работ всех
внешних и внутренних сил, реакций связей и даламберовых сил инерции на любых вирту-
альных перемещениях равна нулю. Аналитическая запись этого утверждения имеет вид
Л'
Е (F'«+F}'>+R(+l().6rf=0 (17)
/ = 1
и называется общим уравнением динамики. Если все связи идеальные, то работа реак-
ций связей в общее уравнение динамики не входит.
Уравнения динамики относительного движения. Пусть движение системы описы-
вается в некоторой подвижной (неинерцнальной) системе отсчета Охуг. Наряду с этой
системой введем неподвижную (инерциальную) систему (рис. 2). Движение по
отношению к подвижной системе отсчета будем называть относительным, движение
по отношению к неподвижной системе — абсолютным. Движение подвижной системы
отсчета по отношению к неподвижной системе называется переносным. Движение мате*
риальной точки /Пу в системе отсчета Охуг будем характеризовать радиус-вектоосм
г,- и относительным ускорением w'* . Абсолютное ускорение
w, = w]e) + wj'1 + wjc\ (18)
где w(z’ и w — соответственно переносное и кориолисово ускорения.
С учетом выражений (2) и (18) уравнения динамики относительного движения
принимают вид
т^'^ F<e1+ Rz+ l}e)+ 1<C) (/ = 1, 2, ... , У), (19)
где в правой части стоят переносные и кориолисовы силы инерции, приложенные
к массе mf.
I == — т} wV’1; ljc) = — т. w Jr‘. (20)
Принцип Даламбера для относительного движения формулируется следующим
образом: уравнения динамики для относительного движения формально совпадают
с уравнениями равновесия этой системы, если к действующим внешним силам, внутрен-
ним силам и реакциям связи добавить фиктивные (даламберовы) силы инерции относи-
тельного движения, а также переносные и кориолисовы силы инерции.
Движение системы материальных точек относительно центра масс. Центром масс
называется точка, радиус-вектор которой
Л’
S т/г/
'с-Чг--------• <21)
=i
Движение центра масс определяется теоремой, вытекающей из уравнений (9)
и (21): центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой
равна суммарной массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех
внешних сил и реакций, действующих на систему.
Движение в системе отсчета, которая перемещается поступательно вместе с цент-
ром масс, происходит так, что выполняются следующие две теоремы (в аналитической
формулировке): теорема об изменении главного момента количества движения в отно-
сительном движении
^=0' (22)
и теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
N
dT'=m F/₽) + F/° + R/) • dr'i’ (23)
/el
Здесь
N
К'=У (r/xm/v/) (24)
/=i
— главный момент количества движения относительно центра масс; г'- и v' — соот-
ветственно радиус-векторы и скорости материальных точек в системе координат, кото-
рая движется поступательно вместе с центром масс; G" — главный момент всех внеш
них сил и реакций связи относительно центра масс; Т — кинетическая энергия си-
стемы, соответствующая скоростям материальных тряси в движении относительцр
центра масс.
2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Обобщенные координаты. Рассмотрим систему Л; материальных точек с s удержи-
вающими голономными идеальными связями (некоторые ограничения на свойства
связей могут быть в дальнейшем смягчены). Движение этой системы описывается
уравнениями (6), чисто которых равно 3N + s. Если при помощи уравнений связей
удастся исключить из системы (6) все реакции связей и, кроме того, s координат мате-
риальных точек, то система (6) будет сведена к системе 3N — s дифференциальных
уравнений относительно оставшихся координат. Уменьшение числа неизвестных до
ЗЛ; — s может быть достигнуто и другим путем — введением некоторых взаимно одно-
значных функций координат материальных точек, определяющих в каждый момент
времени положение системы в пространстве с учетом наложенных связей. Эти вновь
введенные переменные, называемые обобщенными координатами системы, обозначают
Я1 (Or (0> (0- Число обобщенных координат
n = 3N—s (25)
равно числу степеней свободы системы.
Обобщенные скорости и ускорения. Пространства аналитической механики. Про-
изводные^}, q2, •••' Qv °т обобщенных координат по времени называют обобщенными
скоростями, а вторые производные qx, q2 qn— обобщенными ускорениями. Обобщен-
ные координаты однозначно определяют положение всех точек системы н каждый мо-
мент времени, т. е. конфигурацию системы. Пространство п измерений, элементами
которого являются совокупности обобщенных координат
<7=(<7i. Я-2< > qJ’ (26)
называют пространством конфигураций (конфигурационным пространством). До-
полняя пространстве- конфигураций временной осью, получим (л + 1)-мерное про-
странство переменных q^ q2, .... qn\ t, которое называют расширенным пространством
конфигураций. Пространство 2п измерений, элементами которого являются совокуп-
ности обобщенных координат и обобщенных скоростей
u = (qi, q3, ... . qn; tff, ... , tf„), (27)
называют пространством состояний. Простейшим примером пространства состояний
может служить плоскость (q, q) Для системы с одной степенью свободы. Эту плоскость
называют фазовой плоскостью.
Вариационный принцип Гамильтона (общий случай). Общее уравнение динамики
Даламбера—Эйлера является вариационным принципом механики, выраженным в
дифференциальной форме. Важнейшим интегральным вариационным принципом
аналитической механики является принцип Гамильтона, который может быть выведен
из общего уравнения динамики. Пусть все связи, наложенные на систему, — идеаль-
ные. Уравнение (17) принимает вид
N
2 (FW+F}n + l,)-6r, = 0. (28)
/= 1
Рассмотрим движение системы на некотором отрезке времени (/0, /Д. При этом
истинном движении в каждый момент времени удовлетворяются как уравнения дви-
жения, так и уравнения связей. Наряду с истинным движением рассмотрим совокуп-
ность бесконечно близких движений, для которых уравнения связей удовлетворены
(в силу выбора обобщенных координат), а уравнения движения не удовлетворяются.
Эти движения будем называть смежными. Соответствующие приращения обобщенных
координат будем называть вариациями обобщенных координат и обозначать dq2,
.... 6qn. Существенно, что при вычислении этих вариаций время i не варьируется, т. е.
смежные конфигурации должны удовлетворять уравнениям связей в тот же момент
времени (эта оговорка имеет значение только для нестационарных связей). Вариации,
удовлетворяющие поставленному условию, называют изохронными. На концах вре-
менного отрезка (/0, 1Х) движение варьировать не будем, т. е. в моменты времени Го
и ti все 6<?; — 0. Введенные представления проиллюстрирсваны на рис. 3, где пока-
заны истинная и смежные траектории в расширенном пространстве конфигураций для
случая, когда п = 2.
Из уравнения (28) следует
утверждение: истинное движение
системы происходит так, что
при любых изохронных
циях, обращающихся на
отрезка ,(70« в нуль,
няется условие
вариа-
концах
вы пол-
\ (67 + 6'4) d/ = 0
<0
(29}
Здесь 67 — вариация кинетиче-
ской энергии системы, т. е. при-
ращение кинетической энергии
при отклонениях от истинного
движения; 6'4 — сумма работ
всех внешних и внутренних сил
системы на вариациях 6^], 6<?2,
.... qbn (штрих в 6'4 поставлен
для того, чтобы подчеркнуть,
некоторой функции 4).
Яг
Рис. 3. К формулировке принципа Гамильтона
что 6'4 не является, вообще говоря, вариацией
Знак р;ариации в первом члене подынтегрального выражения (29) может быть
вынесен за знак интеграла. В результате получаем соотношение
6 \ Т dt+\ &'Adt = O,
tg tg
(30)
которое выражает вариационный принцип Гамильтона, сформулированный при отно
сительно общих предположениях о характере действующих на систему сил и о харак-
тере связей.
Существенно, что кинетическая энергия 7 и виртуальная работа 6'4, входящие
в соотношения типа (30), должны быть выражены через обобщенные координаты и ско-
рости. В частности, выражение для виртуальной работы имеет вид
п
6'4= V Q/fy,
i= i
(31)
где коэффициенты Qt(qi, q3qn’, Яъ Яъ •••> Яп> 0 при вариациях обобщенных коорди-
нат называют обобщенными силами.
Принцип Гамильтона для консервативных систем. Пусть все действующие на си
стему внешние и внутренние силы консервативны, так что выполняется условие
6'4 = — 8U. (32)
Здесь Ьи — вариация некоторой функции обобщенных координат U (gx, qit ..., qn)
называемой потенциальной энергией системы. Тогда вместо соотношения (30) поту-
чаем
6} (T~U)dt = 0
to
(33)
Выражение, стоящее под знаком интеграла, называют функцией Лагранжа или
лагранжианом-.
L = T-U. (34)z
Соотношение (33) можно записать н виде
Л
6 $ Ldt = Q. (35)
in
Интеграл от лагранжиана по времени, входящий в соотношение (35), называют
интегралом действия. Принцип Гамильтона для консервативных систем может быть
сформулирован таким образом: истинное движение системы под действием консерва-
тивных сил происходит так, что на любых изохронных вариациях, обращающихся
в нуль на концах отрезка (70< /Д вариация от интеграла действия обращается в нуль
(или, иначе, интеграл действия принимает для истинного движения стационарное зна-
чение).
Рис. 4. Движение материальной точки по Рис. 5. Двойной маят-
жесткой сфере ник
Уравнения Лагранжа. Дифференциальные уравнения, соответствующие вариаци-
онному принципу Гамильтона, называют уравнениями Лагранжа (второго рода). Сово-
купность уравнений Лагранжа для рассматриваемой механической системы описы-
вает движение этой системы наиболее экономным образом и является основным рабо-
чим аппаратом аналитической механики.
В зависимости от характера ограничений, наложенных на силы и связи, уравнения
Лагранжа могут иметь различный вид. Пусть действующие на систему силы некон-
сервативны. Исходя из принципа Гамильтона в форме (30) и учитывая выражения (31),
приходим к уравнениям
2....">•
Если все силы консервативны, то, применяя принцип Гамильтона в форме (33),
получим
(/'=1’2....л) (37)
В тех случаях, когда некоторые силы, действующие на систему, консервативны,
целесообразно учесть влияние этих сил через их потенциальную энергию U. Осталь-
ные силы войдут в уравнения Лагранжа через обобщенные силы Qp Такая трактовка
целесообразна, например, если внутренние силы консервативны, а внешние неконсер-
вативны. Тогда в уравнениях Лагранжа вклад внутренних и внешних сил естествен-
ным образом разделяется:
4(^)-47(Г-У)=<?' 0'=1. 2. (38)
Примеры составлений уравнений Лагранжа. В первом примере рассмотрим движение мате-
риальной точки по жесткий сфере радиуса R (рис. 4). За обобщенные координаты примем угол
широты ф и угол долготы ф Тогда кинетическая энергия Т = [(/?•) )г л (/?ф sin ф)г] Вир
туальная работа силы F, приложенной к материальной точке, 6'Л = F< /?6q,-f 7’^7? sin фвф. где
р и — проекции силы на направления касательных к меридиану и параллели соответ-
стт»енно. Отсюда Q ^ = F^R, = F^R sin ф Лагранжиан просто равен Т Подстановка выра-
жений для кинетической энергии и обобщенных сил в уравнение (36) дает
mR (ф — ф2 sin фсоэ ф)» F^‘. mR (ф sin ф 4-2ф-ф cos ф^ = F^,
Во втором примере рассмотрим плоские колебания двойного маятника. Пусть масса маят-
ника сосредоточена в двух точках (рис. 5). Сила тяжести направлена вдоль оси Oz. Кинети-
ческая энергия системы
Т = m 1/2ф>1 4- ~ т2 [/?ф1 + 2/1/4фкра cos (<Pl — <pa) 4- Zs<pf ]-
(39)
Силу тяжести можно ввести в уравнения движения либо через обобщенные силы, либо
через потенциальную энергию. Введем силу тяжести через потенциальную энергию
О = mi&li. (1 — cos фц) -J- m4g LZt (1 — cos ф£) 4- (1 — cos ф2)]. HOi
Подставляя выражения (39) и (40) ь уравнения Лагранжа в форме (37), получим
[(>”1 + п>») ^Ф) + cos (ф, - ф>,) — ж^Лфгф, sin (ф, — ф,)] =
= — (mi + nit) gli sin фх;
cos (ф! — ф2) 4- шЛ/яфчф» Siu (ф! — ф,)] =
(41)
= — mtglа sin фа
Учет диссипативных сил. Диссипативная функция Релея. Процесс рассеяния
(диссипации) механической энергии проще всего учитывается введением сил, пропор-
циональных обобщенным скоростям. В общем случае системы с п степенями свободы
диссипативные силы
<?/ = - 5 bikqk (/ = 1, 2......п), (42)
k= 1
где Ь/к — некоторые числовые коэффициенты. Чтобы эти силы действительно описы-
вали рассеяние механической энергии, необходимо, чтобы их виртуальная работа
почти на всех совместимых со связями перемещениях была отрицательная. Удобн§«
говорить о мощности диссипации
а п
w = s s W/4*. (43,
/= 1 Л= 1
Матрицу
/Ьц &12 ... Ьщ
В = | ^2I ^23 ^2Л । (44)
дП2 ••• bnni
называют матрицей коэффициентов диссипации. Если соответствующая ей квадратич-
ная форма мощности диссипации (43) является положительно определенной, то дисси-
пация называется полной (в том смысле, что любое допустимое перемещение будет со-
провождаться рассеянием энергии). При этом все диагональные элементы матрицы
В, а также все главные миноры, включая определитель матрицы, положительны.
Если же к&адратичная форма, соответствующая матрице В, является неотрицатель-
ной, то возможны движения, не сопровождаемые рассеянием механической энергии.
Знакопеременность квадратичной формы указывает на возможность автоколебаний
в системе.
Диссипативные силы могут быть введены в уравнения Лагранжа либо непосред-
ственно (т. е. через обобщенные силы), либо через квадратичную форму
п п
\ <45>
/ ,= 1 k -= I
которую называют диссипативной функцией Редея
±/дТ_ 3F д(Т — Ц)_
dt \ dqj I d^j dq;
л).
(46)
Уравнения (4G) содержат диссипативные силы в левых частях.
Циклические координаты. Обобщенную координату, которая не входит явно в
функцию Лагранжа, называют циклической. Пусть в системе с п степенями свободы
г циклических обобщенных координат. Соответствующие им уравнения Лагранжа
имеют вид
d / дТ \ п .. .
ar\w)=0 ......................
и легко интегрируются относительно циклических координат.
Циклические координаты обычно соответствуют монотонным движениям, происхо-
дящим по инерции, например, равномерному поступательному движению или равно-
мерному вращению, происходящему в силу начальных условий.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАСС В АБСОЛЮТНО ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Предварительные замечания. Абсолютно твердым телом называют материальное
тело, в котором расстояние между двумя любыми точками всегда осгается неизмен-
ным. Тело, не удовлетворяющее этому условию, называют деформируемым телом.
В дальнейшем для краткости абсолютно твердое тело будем называть просто твердым
телом.
Твердое тело является континуумом материальных точек. Поэтому использование
теорем классической механики в применении к твердому телу требует предельного
перехода, в частности, замены суммирования по материальным точкам системы интег-
рированием по объему, занятому телом. Распределение массы в теле характеризуется
функцией р (г), равной плотности тела в точке с радиус-вектором г,
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Его движение описывается
шестью уравнениями динамики, в качестве которых можно взять, например, вектор-
ное уравнение (9), выражающее теорему об изменении количества движения, И вектор-
ное уравнение (10), выражающее теорему об изменении главного момента количества
движения твердого тела. Поскольку уравнение (9) определяет закон движения центра
масс тела, то в качестве второго векторного уравнения целесообразно взять уравнение
(22), описывающее изменение главного момента количества движения относительно
центра масс. В связи с этим в динамике твердого тела особое значение приобретают
центр масс и распределение массы тела относительно этого центра.
Центр масс твердого тела. Центр масс системы материальных точек вводится со-
гласно формуле (21), которая для твердого тела принимает вид
$ гр (Г) Л’
_у_________________
с Ср (г) dV ’
(47)
где интегрирование распространено по всему объему V, занятому телом. Запишем
эту формулу в составляющих
\ гр (г) dV \ ур (г) dV \ гр (г) dV
у у у
(p(r)dV ' Ус $p(r)dP *с= $р (г) 4V ' (48)
V V V
Величины, стоящие в числителях, называют статическими моментами массы.
Во многих случаях тело может быть разбито на части, массы и положения центров
масс которых известны или легко определяются. Пусть V = V\U V2U ... U Массу
объема V* обозначим через Mk, радиус-вектор центра масс этого объема обозначим
через г*. Для центра масс тела
У ьм1
•с—^г-------• <«
/ = 1
Данные о положении центра масс некоторых однородных тел простейшей геомет-
рической формы можно найти в табл. 1, Отыскание центра масс упрощается, если тело
обладает симметрией (как в геометрическом смысле, так и е смысле распределения
массы в теле). Если тело имеет плоскость симметрии, то центр масс лежит в этой пло-
скости; если оно имеет ось симметрии, то центр
масс лежит на этой оси. Если тело имеет центр
симметрии, то центр масс совпадает с этим цент-
ром, Пате плотности р (г) должно удовлетворять
при этом соответствующим условиям симмет-
рии.
Моменты распределения масс в твердом теле.
Введем систему координат Oxyz, начало которой
совмещено с центром масс тела (рис. 6). Соответ-
ствующие оси координат называют центральны-
ми. Для удобства написания общих формул бу-
дем пользоваться также индексными обозначе-
ниями: х = *1, у х2, г = х3.
Распределение масс в теле может быть опи-
сано как скалярной функцией р (г), так и пос-
ледовательностью интегралов
Jx,p(c)dV, \ XjXkp (г) dV,
V V
Рис. 6. Распределение масс в твер-
дом теле
\ (г) dV, ... .
V
Здесь Xj, Xk, Xi, ... — координаты точек тела, включая повторяющиеся. Эти интегралы
называют моментами распределения масс. Моменты первого порядка — это введенные
ранее статические моменты. Относительно центральных осей эти моменты тождественно
равны нулю.
Для выбранных координатных осей главная информация о распределении масс
в теле содержится в моментах второго порядка
lik= \xjXtip{y)dV (/, A=l, 2, 3).
v
(50)
Моменты второго порядка составляют симметричную квадратную матрицу (1 ~
(Л1 /ц ' ха'.
Ли 722 /аа .
Ли ^32 ^зз
Совокупность этих моментов характеризует некоторый тензор второго ранга по отно-
шению к ортогональному преобразованию системы координат.
1. Положение центра масс, объем и моменты инерции однородных тел
Схема тела и расположение
системы координат
Координата
центра масс
Объем тела
Моменты инерции
Тонкий стержень
Л1£.
у 12 ’
/ _ мн
Jy~ з •
Тонкое кольцо
j = мяг,
- Л1Д2
Тонкая шьцебая
пластина
Зх = Т(/?! +'*):
; = -/2 = т</?г+
Тонкая прямоугольная
пластина
i
!,с~ 2 '
b
2с 2
г 12
м
Jx = -та (За* + h*);
Af
6
а*.
2
У г
2
Jx = ~ (М + *’);
, _ м
У “ 12
h
'с 3 :
J
У 18 '
Продолжение табл. I
Схема тела и расположение системы координат Координата центра масс Объем тела Моменты инерции
Прсмоцголыыд
параллелепипед
V = abd
Jx=T2(ft‘+d’):
</ = Тз(а’ + *2):
Jz = (a‘ + bi>
Г * , . М Г п, 5 х Jг ' 1 "^-4- Х 2лЧ2'—Зд)-М! б)]
(г рад Край от А V 'тая ешг Кругодой тор ругодого лечения, ние центра лечения ра кольца) K=2nV?6(2r-6) 2г-б ]’ [я‘+±х 2гЦ2г -?б) Х 2г —6 1
Полый uiOp
Продолжение табл I
Схема тела и расположение Координата
системы координат центра масс
Объем тела Моменты инерции
1 == Jy 1 (в* + аг)’ Уг = ^(а* + й»)
V =-|-яЯ‘ ,x=rys= ~Б~М1^г
Сегнент кольцевой
пластинки
= 0;
с ’
R sin 0
“с ' 0
’Г°
jx = МН'-,
1 г м R2(Q—sinflcosfl)
JV Ус-----------------20 '
MR* (fl-f-sin fl cos fl)
г~ 20
Моменты инерции твердого тела. Сумму диагональных элементов матрицы 1
Л-/и + 'м + 'з»-$И+^ + х!)р(г) dV (51)
v
называют полярным моментом инерции твердого тела относительно начала координат
(в данном случае — центра масс). Образуем из моментов второго порядка (50) новые
величины
J ! jk- (52)
Здесь бд — символ Кронеккера (6/* =* 1, если / = k, и б/* = 0, если / т= k). В развер-
нутом виде формулы (52) с учетом (51) принимают вид
Л1== $ (*1+*з)р(г) dV;
v
/b»J(«Mp(0 Ж-,
v
Лчя= J(*i+*l)P(r) dV;
V
r - (53)
^12 = ^21=S— J *1*2” (rt dV;
v
J13 ^=J31^— \ *1*зр (Г) dV;
и
J 23 & 32 \ x2*3P (0 dV
V
Эти величины называют моментами инерции тела относительно координатных
осей, при этом моменты JU1 J22 и J33, равные суммам произведений элементарных масс
на квадраты расстояний от этих масс до осей 0х1г 0х2 и Ох3 соответственно, называют
осевыми моментами инерции. Остальные моменты J12 = J21, Jl3 = J3I J23 = J32,
содержащие произведения неодинаковых координат, называют центробежными мо-
ментами инерции. Осевые моменты инерции положительные; центробежные моменты
могут принимать положительные, нулевые и отрицательные значения.
.Матрица моментов инерции
(Vn J J2 J13v
J22 J23 I (54)
•^31 ^32 J 33 '
характеризует (в приближении вторых моментов) распределение масс в твердом теле.
Она является симметричной и положительно определенной.
Технические обозначения для моментов инерции. Возвращаясь к обозначениям
х, у, г, запишем моменты инерции в виде
Jx = \(y*+z*)p(t)dV',
V
Jy = $(z«+x2)p(r)dIZ;
V
Jz = $(х«+^)р(г)^;
v
Jxy = Jyx= \ХУР (r) dV;
v
Jxz = Jzx= pzp(r) dV\
и
J yZ ~ Jzy — \ У2Р (r) •
V
(55)
Выражения для осевых моментов инерции отличаются от (53) только обозначени-
ями; для центробежных моментов, кроме того, знаком. В матрице моментов инерции
целесообразно сохранить знак, который содержится в формулах (53), т. е.
f Jx J xy J xz'
J = ~jyx Jy J yz
J zx J гу J2 1
(56)
Отказ от этого знака нарушает тензорные свойства моментов инерции.
Тензорные свойства моментов инерции. Перейдем от «старой» системы координат
OxiX2x3 к «новой» системе Ох'х2х', с помощью ортогонального преобразования. Это
преобразование характеризуется косинусами углос* между координатными осями
u,a = cos(x;, ха).
(57)
Формула перехода от моментов инерции J в системе Oxi.r2x3 к моментам инерции
JjK в системе Ох^х^з имеет ВИД
3 3
Ё Ё О' 2. 3>' I581
а = i г - I
Формула (58) означает, что совокупность моментов инерции относительно коорди-
натных осей, имеющих общее начало, образует тензор второго ранга.
Формула преобразований (58) позволяет вычислять моменты инерции относительно
осей, полученных из исходных путем вращения. Приведем формулы для частного слу-
чая. когда вращение осуществляется относительно одной из координатных осей, на-
пример, оси Ох3. Матрица косинусов из выражения (57)
имеет вид
ис. 7. Вращающаяся
система координат
/ cosq> sin ср IX
V<p = I — sin ф cos ср I’ ,
где ф — угол поворота на плоскости Ох^ (рис.
Применяя формулы (58), получим
JJi = Jn COS2 q 4- J22 яп2ф- J12 sin 2ф;
7).
22
= sin2 + J22 cos2 q 4- J и sin 2cp:
21
Л1 ~ ^22
sin 2ф4- J12cos 2qi.
(59)
(60)
(55), так и с выбором
Остальные моменты инерции остаются без изменения.
Некоторые знаки в системе (60) могут не совпадать со
знаками, приводимыми е отдельных руководствах, что
связано как с использованием технических обозначений
правила знаков для ф. В данной книге всюду используется
правая система координат, а знаки псевдоскаляров и псевдовекторов согласованы
с выбранной системой координат.
Главные оси и главные моменты инерции. Осн координат, в которых матрица (54)
или (56) приводится к диагональному виду
о
0 1
2
/21 0 0\
J= 0 J2 0 1
\о о jJ
(61)
называют главными осями инерции. Иначе, главные оси инерции — это те, относитель-
но которых центробежные моменты инерции обращаются в нуль.
Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инер-
ции. Они обычно упорядочиваются по убыванию:
Главные моменты инерции обладают экстремальными свойствами: момент инерции
21 является максимальным, а 23 — минимальным среди всех осевых моментов инерции
относительно осей, проходящих через то же начало координат.
Определение главных осей и главных моментов инерции сводится к алгебраиче-
ской задаче о приведении матрицы моментов инерции к диагональному виду. Так,
главные моменты инерции равны корням характеристического уравнения
det (J — 2Е) = 0, (63)
где Е •— единичная матрица. В развернутом виде уравнение (63) имеет ^ид
Если положение одной из главных осей известно (например, из соображений сим-
метрии), то задача нахождения двух других главных осей упрощается. Пусть ось
Ог «=• главная. Положение двух других главных осей будем характеризовать углом ф
(см. рис. 7), Угол наклона главных осей к оси Ох (в технических обозначениях)
2JXU
‘g2<p=7----(65)
d X--J у
а главные моменты инерции
Пусть тело обладает геометрической симметрией и симметрией в распределении
масс. Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к ней,
будет главной осью; если тело имеет ось симметрии, порядок которой выше двух, то
одна из главных осей совпадает с этой осью.
Моменты инерции тонких и тонкостенных тел. Рассмотрим тонкое тело (стержень)
с массой на единицу длины tn (s). Здесь s — длина дуги, отсчитываемая вдоль, вообще
Рис. 8. К приближенному вычислению моментов инерции тонких (а) и
тонкостенных (б) тел
говоря, криволинейной оси стержня (рис. 8, а). С погрешностью порядка Л2//2 (Л —
характерный размер поперечного сечения тела, I — его длина или характерный радиус
кривизны оси) можно записать
Jx~№+z*)m(s)ds, (67)
l
где у (s), z (s) — декартовы координаты точек оси тела относительно системы коорди-
нат Oxyz. Аналогично вычисляются остальные моменты инерции.
Для плоского тонкого тела (пластины) с массой на единицу срединной плоскости
т (*i. х2) и площадью срединной плоскости Q имеют место приближенные соотноше-
ния
Jх— \ У*гп (*i« xz)
й
Jy — 5 (xi> хг) dQ-,
Q
Jz = $ (x3-f-t/2) т (*i. *2) Л2;
й
(68)
J xv — \ xytn (x1₽ x2) dS2.
Здесь x (xlf Xj), у fa, x2} — декартовы координаты точек срединной плоскости отно-
сительно системы Oxyz-, х1( х2 — координаты на срединной плоскости (рис. 8, б).
Вычисление моментов инерции. Для тел простейшей формы моменты инерции опре-
детяются непосредственным интегрированием по формулам (55), (67) и (68). Данные
об осевых и
центробежных моментах инерции некоторых тел содержатся в табл. 1.
Если оси главные, то значения центробежных
моментов инерции не выписываются. Вычисле-
ние моментов инерции составных тел произво-
дят с учетом следующих двух положений:
1) моменты инерции аддитивны по области,
занятой телом, т. е. моменты инерции тела
равны сумме моментов инерции его частей от-
носительно тех же осей;
2) при переходе от центральных осей Схоуого
к произвольным параллельным осям (рис. 9)
моменты инерции преобразуются по формулам
Штейнера
Рис. 9. К формулам преобразования
моментов инерции при переходе к
параллельным осям
Jx.+<b‘+c‘) И; Jw,+a4M;
Jy= Jy.+^+<^)
JU!=J„.+bcM. ,
(69)
Здесь а, Ь, с — расстояния между осями; .И —
масса тела. В формулах (GQ) использованы тех-
нические обозначения (55) для моментов инерции.
4. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинематическое описание конечных перемещений твердого тела, Любое конечное
перемещение твердого тела эквивалентно поступательному перемещению вместе с не-
(теорема
которым полюсом с последующим вращением
Шаля). Любое конечное вращение твер-
дого тела относительно неподвижной
точки эквивалентно вращению относи-
тельно некоторой оси, проходящей
через эту точку (теорема Даламбе-
ра—Эйлера).
В динамике твердого тела движе-
ние тела представляется в виде сово-
купности поступательного движения
с центром масс и вращений относи-
тельно центра масс. Для кинематичес-
кого описания конечных вращений
обычно используют углы Эйлера.
Способ введения углов Эйлера по-
казан на рис. 10. Рассмотрим три пос-
ледовательных вращения системы ко-
ординат, «вмороженной» в тело. На-
чальному положению тела соответствует
система координат О£т]£. Эта система
переводится в положение О£'т]'£' вра-
щением относительно оси Ot, на угол
относительно этого
полюса
Рис 10. Инедение эйлеровых углов <р, ф. 0
ф (угол прецессии). Затем система
О£'т]'£' поворачивается на угол Ь (угол
нутации) относительно оси 0% (оси
узлов). В результате система координат пе-
реводится в положение Третье и последнее вращение на угол ср (угол
собственного вращения) производится относительно оси OZ," = Ог. Этим последним
вращением определяется конечное г.оюжение системы координат Oxyz.
Операции конечного вращения некоммутативны, а тройка углов ф, ф, 0 не обра
зует вектора. Аналитическое описание вращений произвият при помощи ортого-
нальных матриц. Вектор декартовых координат р — (£, ц, £) н системе ОйП= связан
с соответствующим вектором г = (х, у, г) в системе Oxyz соотношением г = V р, где
У = УфУ0Уф. (70)
Матрицы, входящие в правую часть выражения (70), описывают три последова-
тельных вращения на углы (р, 0 , <р. Эти матрицы имеют специальную структуру. На-
пример,
(cos ф sin ф. 0
— sin q: cos ф 0
0 0 1
Распределение скоростей и ускорений в твердом теле. В отличие от конечных вра-
щений бесконечно малые вращения и, следовательно, угловые скорости абсолютно
твердого тела обладают векторными свойствами. По формуле Эйлера скорость любой
точки тела
v=vc-ru)Xr, (71)
где vr — скорость центра масс; г — радиус-вектор рассматриваемой точки, отсчитывае-
мый от центра масс; © — лсевдовекгор мгновенной угловой скорости тела. Ускорение
в любой точке тела
w=-wc 4-8 х г + w х (© X г), (72)
где wc — ускорение центра масс; 8 — мгновенное угловое ускорение. Первый член
в правой части представляет собой ускорение поступательного движения, второй —
тангенциальное ускорение, третий — осестремительное ускорение.
Кинематические уравнения Эйлера. Обозначим проекции вектора © на подвижные
оси координат Охуг через ©^, ©г. Связь между этими составляющими и углами
Эйлера дается уравнениями
=ф sin 0 sin ф -f- 6 cos ф;
Юу = ip sin 0 cos ф — 0 sin ф;
©г=гр cos 0-Нф
(73)
Уравнения динамики твердого тела. Примем за обобщенные координаты тела три
координаты хе, ус, ?с его центра масс и три угла Эйлера ф,гр, 6. Движение центра
масс описывается уравнением (9) теоремы об изменении количества движения. Для
твердого тела это уравнение приводится к виду
дзгг
ПО
где Л4 — масса тела; гс — радиус-вектор центра масс относительно некоторой непо-
движной точки; Г — главный вектор активных и реактивных сил. приложенных к
телу. В проекциях на неподвижные координатные оси это уравнение принимает вид
Л1
М
&хг
-^=х;
л/2
^Ус у.
df-
(75)
>
d2zr
at2
Еще три уравнения дает векторное уравнение (22) теоремы об изменении момента
количества движения относительно центра масс. Совершая предельный переход в фор-
муле (24), находим
К --= ((rxv) р (г) dV.
v
Отсюда с учетом формул (53) и (71) К = Jto, где произведение тензора инерции (54)
на вектор угловой скорости <о понимается как результат матричного умножения.
В технических обозначениях (55) и (56) это соотношение имеет вид
Л J д'СО д. dXyUy J
К (/ = — J ул ® ж + J i/to у ( угиг',
Кг = J J гу®у “F J г^г-
(76)
Динамические уравнения Эйлера. Уравнение (22) в системе координат Oxyz,
«вмороженной в тело», имеет вид]
-+®хк=с.
(77)
Здесь
—
dt
dKx
dt
dKy
dt
dKz\
dt /'
Подстановка в (77) выражений (76) дает динамические уравнения Эйлера. Обычно
уравнения Эйлера выписывают для случая, когда Oxyz — главные оси инерции:
у
d^x
dt
dKiy
d>
duz
dt
+- (J г — J у) (ayuz = Gx;
-J- (J у -J Д.) ©,V(0^ - (3Z ,
(78)
Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела. Аналитически теорему
об изменении кинетической энергии (12) применительно к твердому телу можно запи-
сать так:
dT = F-6r):4-G-6(p,
(79)
где 6г, — виртуальное перемещение центра масс; 6<р — виртуальный угол поворота.
Кинетическая энергия Т— g-(Jio)o), или в развернутом виде
Т = ~2 Jy®y + Jz^~2jxy®xWy~2Jxz^x®z~2Jух^г). (80)
Частные случаи движения абсолютно твердого тела. Плоскопараллельное движе-
ние твердого тела (рис. 11) описывается системой уравнений
сРхг
dt2
М^=У:
d^p_
JC dp ~UC>
51
где ср — угол поворота тела; Jг — момент инерции тела относительно оси, проходя-
шей через центр масс перпендикулярно плоскости движения; Gc — момент всех актив-
ных и реактивных сил относительно этой оси.
Рис. Н. Частные сл>чаи движения твердого тела:
а — плоскопараллельное.
би,— соответственно вращение относительно неподвиж-
ной оси и неподвижной точки
Движение относительно неподвижной оси описывается уравнением
Jz dt*
(82)
где ср — угол поворота тела; Jг и Gz — соответственно момент инерции и момент всех
активных и реактивных сил относительно оси вращения Ог.
Движение относительно неподвижной точки описывается уравнениями Эйлера
(73) и (78) с выбором начала координат в неподвижной точке.
Оставшиеся уравнения динамики твердого тела могут быть использованы для
нахождения реакций связей.
5. АНАЛОГИИ В ДИНАМИКЕ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Существование динамических аналогий между механическими, электрическими, аку-
стическими и тому подобными системами основано на формальном сходстве диффе-
ренциальных уравнений, описывающих колебательные движения этих систем. Вы-
воды, полученные путем исследования дифференциального уравнения движения си-
стемы, могут быть распространены на динамически аналогичные системы иной при-
роды. Рассмотрим аналогии между механическими системами и электрическими
цепями.
Аналогия «сила — напряжение». Для механической системы с п степенями сво-
боды кинетическая энергия, потенциальная энергия, виртуальная работа и диссипа-
тивная функция определяются соотношениями (fl), (13), (31) и (45).
Рассмотрим n-контурную электрическую цепь, состоящую из источников напряже-
ния е7, активных резисторов конденсаторов емкостью и катушек индуктив-
ности Ток в /-м контуре
do/
= (/=1. 2, ... , п), (83)
где qf — количество электричества. Энергия магнитного поля такой цепи
л=| 2 2 (84)
/=!Л=|
энергия электрического поля
п п
Ue=2 S 2 ’~С^Як' (85)
/=|А=)
диссипативная функция, характеризующая потери энергии на активном сопроти-
влении,
п п
Fe=4 2 2 <86)
/=|6 = 1
Обобщенная сила и диссипативная функция связаны соотношением
= <87>
а виртуальная работа напряжений в электрической цепи
б'Л = J] uf Sqf. (88)
/=1
Рассмотренные характеристики механической и электрической систем подобны.
Для составления динамических уравнений электрической цепи могут быть приме-
нены уравнения (36) Лагранжа второго рода (уравнения Лагранжа—Максвелла),
если за обобщенные координаты принять количества электричества q/ (J = 1,2, .... п).
Для механической системы
+ < + «=‘.2......л); (89)
для электрической
d fdTe\ , dUe , dFe n
dt ' dqf ,)+ dqj + dqj ~ef (/" ’ 2' (90)
Уравнения (90) выражают второй закон Кирхгофа для электрической цепи: алгебраиче-
ская сумма э. д. с. в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напря-
жений на элементах этого контура.
Кинетической энергии механической системы соответствует энергия магнитного
поля, потенциальной энергии — энергия электрического поля, диссипативной функ-
ции — функция Fe и обсб ценным силам Q, — з. д. с. ej.
Уравнения (89) и (90) для системы с одной степенью свободы (п = 1) имеют вид
al} + bq+cq=Q(t) (91)
и
^ + Rq+-^-q^e(f). (92)
Уравнение (91) описывает вынужденные колебания механической системы с одной
степенью свободы, уравнение (92) — вынужденные колебания в одноконтурной
электрической цепи (рис. 12).
Аналогия «сила — ток» . Для электрической системы с п парами узлов, в которой
за обобщенные координаты выбраны электрические напряжения и/, выражения (84),
(85) и (86) имеют соответственно вид
п п
= ~2 Cfbul «Л » (93)
/•=14 = 1
л п
'е=? 2 _ ~L^UlUk- (94)
/=16=1
л л
Ле=2 i — ~RjkU'Uk’ (95)
/=14=|
Здесь кинетической энергии механической системы соответствует энергия электриче-
ского поля, потенциальной энергии — энергия магнитного поля, обобщенным силам —
скорость изменения тока.
Уравнения Лагранжа второго рода для электрической системы по аналогии «сила—
ток» выражают первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле ровна нулю
Рис. 13. Электрическая
цепь с одной парий узлов
Рис. 12. Одноконтурная
электрическая цепь
Запишем дифференциальное уравнение электрической цепи с одной парой узло з
(л = 1) (рис. 13):
с“+'-“ + -г“=з-- <96>
В табл. 2 приведены выражения для потенциальной и кинетической энергии, дис-
сипативной функции и обобщенных сил для систем с одной степенью свободы для
различных типов аналогий.
2. Выражения для аналогий «сила — напряжение» и «сила — ток»
Системы и аналогии Обобщен ная коор дин а та Обобщен- ная сила Кинети ческая энергия Потенциаль- ная энергия Диссипатив- ная функция
Механическая <7 (П Q (7) 1 2^’ 2 Ь<}*
Электрическая «сила — напряжение» «сила — ток» <7 (б е (Л 7^’ 1 1 , 2 С Q
а «1 di di Iе* । 1 . 2 L U
Электромеханические системы. Объединение механической и электрической систем
в общий рабочий блок, в котором преобразование механической и электромагнитной
энергии взаимно обратимо, называется эгектромеханической системой. Примерами
таких систем могут служить электрические генераторы, громкоговорители, микро-
фоны, вибраторы и т. п.
54
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Пример. Рассмотрим электромеханическую систему (рис 14) —внброво4будитель, состоящий из
массы т, установленной на пружинах жесткостью с, демпфера с'коэффицнентом демпфирования b
и подвижной катушки, помещенной в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В
Катушка имеет индуктивность L и активное сопротивление R На обмотку катушки подается
переменное напряжение е (?) Электрическая цепь системы приведена на рис. 15
Введем обобщенные координаты: х (t) — линейное смещение массы т, $ (?) — заряд, соответ-
ствующий току в цепи. Выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной
функции (табл. 2) имеют вид
Т = у mi* 4- 4 Ед*-.
(97)
Обобщенная сила находится по формуле Q = г (?) — и 4- цС Здесь щ = ВН — обобщенная
сила, Действующая на подвижную катушку; I — эффективная длина катушки. Коэффициент
ц = В1 называют коэффициентом связи; и = fix — индуцированное напряжение в подвижной
катушке. Уравнений Лагранжа (89), (90; можЧо записать так:
d*x , dx . . ,,, >
т ~dP + b ~dt + СХ = (Z):
L dt* + R dt + Ц dt s (/)‘ J
Второе уравнение (98) может быть получено непосредственно из второго закона Кирхгофа,
составленного для цепи (см рис 15):
Е -а~ 4- 4- и = е (?)
(99)
С учетом принятых в соотношении (83) обозначений выражение (99) приводится ко второму
уравнению (98),
Глава III
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
1. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Постановка задачи о малых свободных колебаниях. Рассмотрим механическую си-
стему с голономнЫми стационарными идеальными связями. Все силы, действующие
на систему, являются консервативными, причем энергия всех этих сил входит в потен-
циальную энергию системы U (qlt q2, ...,qflY При / < 0 система находится в положении
устойчивого равновесия. При этом первая и вторая вариации потенциальной энергии
системы удовлетворяют условиям
6У-0, бч/>о,
т. е. потенциальная энергия системы в положении равновесия обладает изолирован-
ным минимумом. Без ограничения общности можно принять, что в положении равно-
УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ
55
весия = q2 = ... = дя = О Это всегда может быть достигнуто соответствующим
выбором обобщенных координат.
Пусть при t = 0 системе дается отклонение от положения устойчивого равновесия и
(или) ее точкам сообщаются начальные скорости. Совокупность этих воздействий будем
называть начальными возмущениями, которые сообщают системе некоторое количе-
ство механической энергии, дополнительное к потенциальной энергии в положении
равновесия. Колебания, происходящие з системе при t > 0, представляют собой
свободные колебания, определение которых дани в гл. I.
Ограничимся рассмотрением таких свободных колебаний, которые описываются
линейными дифференциальными уравнениями. Для того чтобы уравнения движения
были линейными, необходимо, чтобы отклонения системы от положения равновесия
были достаточно малы (что обеспечивается малостью начальных возмущений). Кроме
того, система должна быть такова, чтобы уравнения движения допускали линеариза-
цию в окрестности положения равновесия. Последнее условие накладывает ограниче-
ния на структуру системы, тип связей и свойства действующих сил.
Уравнения Лагранжа для консервативных систем имеют вид
d t' дТ
Л \ дф/ )
(/ = 1, 2, ... , л),
(2)
где Т — кинетическая, U — потенциальная энергия системы. Для того чтобы урав-
нения (2) были однородно линейны относительно обобщенных координат и обобщен-
ных скоростей, необходимо, чтобы кинетическая и потенциальная энергии системы
были однородными функциями второй степени (квадратичными формами) соответст-
венно обобщенных скоростей и координат. Это условие будет выполнено, если кине-
тическая и потенциальная энергии допускают разложения в сходящиеся степенные
ряды по соответствующим переменным, причем эти ряды начинаются с членов вто-
рого порядка.
Кинетическая энергия системы. Инерционные коэффициенты. При малых колеба-
ниях относительно положения равновесия = qt = ••• — Чп = ® кинетическая
энергия
п п
(3)
/=1л=1
Здесь ajh — постоянные, называемые инерционными коэффициентами. Они удовле-
творяют условию симметрии и образуют симметричную квадратную мат-
рицу размерностью п X п:
/°11 а12 а1П
А = а*1 а22 • • • а2П
(4)
ап2 ••• апп‘
Эта матрица называется матрицей инерционных коэффициентов или просто инерцион-
ной матрицей.
При помощи матрицы А можно представить квадратичную форму кинетической
энергии (3) в более компактном виде. Введем обычную операцию умножения матрицы
на вектор (матрицу-столбец) и скалярное произведение двух векторов х и у ь л-мерном
пространстве:
л
(х, У) = У x/у/. (5)
/=1
С учетом этих обозначений формулу (3) можно переписать гак:
Здесь q — матрица-столбец обобщенных скоростей, т. е.
/$Г.
4 = ' Ь . (7)
Если ввести соответствующую матрицу-строку (транспонированную матрицу)
Чт=(?ь 4* , 4п), (8)
то квадратичная форма кинетической энергии может быть представлена в виде произ-
ведения трех матриц:
Т=^’Аф (9)
Поскольку Т > 0, если хотя бы одна из обобщенных скоростей отлична от нуля,
то квадратичная форма (3) и соответствующая ей инерционная матрица А будут поло-
жительно определенными. Исключение составляют некоторые вырожденные случаи,
например, системы с полуцелым числом степеней свободы, для которых квадратичная
форма кинетической энергии может оказаться неотрицательной. Из положительной
определенности квадратичной формы (3) вытекает положительность определителя
инерционной матрицы А и ее главных миноров, а также существование обратной мат-
рицы А'1.
Потенциальная энергия системы. Квазиупругие коэффициенты. Пусть потенци-
альная энергия системы U допускает разложение в степенной ряд в окрестности поло-
жения равновесия. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до
аддитивной постоянной, то значение этой энергии в положении равновесия можно
принять равным нулю. Линейные члены разложения обращаются в нуль вследствие
первого условия (1). Таким образом, разложение потенциальной энергии в степенной
ряд начинается с квадратичных членов. Отбрасывая члены более высокого порядка,
получим
п п
у=т 2 2c,tqiqk- (,0)
/.= 1 fe— I
Здесь Cjk — постоянные коэффициенты, равные значениям вторых производных от
потенциальной энергии по обобщенным координатам при = q2 — ... = qn = 0.
Эти коэффициенты называют квазиупругими. а образованную из них матрицу
(си •- Од \
С21 С22 ••• С2П I (Ц)
Сп2 СПП‘
называют матрицей квазиупругих коэффициентов или просто квазиупругой матрицей.
Квазиупругая матрица является симметричной c/k — ck}- и положительно определен-
ной. Последнее свойство следует из положительности второй вариации ог потенци-
альной энергии системы в окрестности устойчивого положения равновесия, т. е. из
второго условия (1). Отсюда, в свою очередь, вытекает положительность определи-
теля матрицы С и всех ее главных миноров, а также сх'щесиювание обратной мат-
рицы С1
Если по формуле (31) гл. П ввести обобщенные силы, соответствующие потенци-
альной энергии п виде (10), то эти силы --кажутся линейными функциями обобщенных
координат:
Qj =— Cjk4k (/“I- 2, ... , п). (12)
Положительная определенность квадратичной формы (10) в данном случае означает
что при любом малом отклонении от положения равновесия действующие силы будут
стремиться вернуть систему к этому положению. Силы такого типа называют восста-
навливающими. Важный пример восстанавливающих сил — линейно упругие силы.
Термин квазиупругие коэффициенты связан с понятием о линейно упругих силах и соот-
ветствующих упругих коэффициентах.
Квадратичная форма потенциальной энергии может быть записана в битее ком-
пактном виде, если использовать обозначения (7) и (И);
^=4(СЧ1Ч)- (13)
Здесь q — матрица-столбец обобщенных координат. Вводя соответствующую мат-
рицу-строку qT, можно записать
о*)
Уравнения свободных колебаний. Подставляя (3) и (10) в уравнение (2), получаем
уравнения свободных колебаний линейных консервативных систем
п
2 0 е L 2’ — . Я). (15)
Л= 1
или, в матричных обозначениях (4), (7) и (11),
Aq + Cq=0 (16)
Если исходная система нелинейна то уравнения (15) описывают малые колеба-
ния системы относительно положения равновесия Для получения этих уравнений
следует либо непосредственно использовать малость отклонений от положения равно-
весия при составлении уравнений (если последние выводятся из законов динамики),
либо линеаризировать соответствующие нелинейные уравнения, либо аппроксимиро-
вать кинетическую и потенциальную энергию системы при помощи квадратичных
форм, коэффициенты котсрык совпадают с коэффициентами уравнений малых коле-
баний (15).
Пример. Рассмотрим колебания двойного маятника (см. рис. 5, гл. II). Точные выражения
для кинетической и потенциалън-й энергии даются формулами (39) и (40). Так как
cos «pt = I — | фЗ -|- ..., cos фв = I — j фЗ + ...»
cos (ф, — ф1) = 1 - 1 (ф, — ф,)* + ,
аппроксимируем эти точные выражения квадратичными формами
Т — у 1Ф1 + (Л<Р1 4* /афг)'1.
U — у т т у 01Фт + ^Ф*)-
Отсюда получаем уравнения свободных колебаний в форме (15) или (16) о матрицами инер-
ционных и квазиупругих коэффициентов:
(т Ы + tn ^ gh 0 \
A I * * « J ® A * 1 £ __ | I
\тг1112 m2l2 /’ \ 0
Матрица единичных перемещений (единичных податливостей). Пусть линейная
система поочередно загружается квазистатическими силами Q2, .... Qn, вызываю-
щими обобщенные перемещения qlt q2, .... qn. Обозначим через f}k величину обобщен-
ного перемещения qj от действия квазистатической обобщенной силы = 1. Матрицу
(Zu Дл ••• f\n\
/21 /22 ••• /2л j
/л1 ’л2 /лл'
называют матрицей единичных перемещений (единичных податливостей). Перемеще-
ния от произвольного квазистатического загружения
п
0 = 1. 2.....") (|8)
А= I
Матрица единичных перемещений симметрична = fkj), а соответствующая
ей квадратичная форма — положительно определенная. Из сопоставления (12) и (18)
следует, что матрицы единичных перемещений и квазиупругих коэффициентов явля-
ются взаимно обратными, т. е. F — С"1.
Составление уравнений свободных колебаний с использованием матрицы единич-
ных перемещений. Вводя обобщенные даламберовы силы инерции —ajkQk и используя
соотношения (18), получим уравнения свободных колебаний линейной системы
У 3 fz**W/ + <7/ = ° (/=1, 2.....п)
k = \l=\
или в матричной записи
FAq-hq=O.
(19)
(20)
Уравнение (20) непосредственно следует из уравнения (16), если последнее умно-
жить слева на матрицу С"1 = F. Вместе с тем оно имеет самостоятельное значение
Рис. 1. Плоские изгибные колебания
балки с двумя сосредоточенными
массами
2. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ
в практике вибрационных расчетов, особенно
там, где упругие свойства системы рассчиты-
вают методами строительной механики.
Пример Балка с постоянной по длине изгибной
жесткостью EJ (рис. I) песет две сосредоточенные
массы mt и mt. В случае плоских изгибных колебаний
число степеней свободы равно двум. Единичные пере-
мещения определяют путем «перемножения» соответ-
ствующих единичных эпюр (рис. 1):
31 — п
. _ С Af I _ / я .
11 } EJ 9 EJ '
0
3/ _
(j * *
J с J \о EJ
0
4
<Г EJ
Матричные коэффициенты уравнения (20) прини
И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
Собственные частоты. Решение уравнения (16), соответствующее гармоническим
колебаниям с частотой to и начальной фазой х, имеет вид
q(0 = v sin (coZ-f-x)-
(21)
Здесь v — постоянный вектор (матрица-столбец), характеризующий соотношение
между различными обобщенными координатами в решении данного вида. Частота
ш и вектор v удовлетворяют матричному уравнению
(С —со2А) v = 0, (22)
эквивалентному системе п линейных однородных алгебраических уравнений относи-
тельно компонентов вектора v. Условие существования ненулевого решения однород-
ной системы (22) приводит к характеристическому уравнению
det (С — ш2А) = 0 (23)
или в развернутой форме
сп — w2an с12— ш2а12 ... С1я —й)2а1я
С21—<02^21 с22 — W2O2.2 ... С2п— (О2О2п _ q (24)
СЛ1 to247nj Сл2 to2fln2 ••• ^лл ш2Плл
Число положительных корней этого уравнения равно числу степеней свободы
п. Согласно уравнению (21) эти корни представляют собой угловые частоты свобод-
ных колебаний линейной системы, называемые собственными частотами системы.
Упорядоченную совокупность собственных частот
(1)| (1)2 (Од
(25)
называют спектром собственных частот (данной системы).
Характеристическое уравнение (23) или (24) называют уравнением собственных
частот. Его можно представить в одной из следующих эквивалентных форм:
det (Е —w2C-1A) = 0, det (А~1С—ю2Е) =0, det (Е — w2FA) = 0. (26)
В развернутом виде последняя форма уравнения имеет вид
п —®2 У fi^ki k=l —to2 У f2kakl k = \ “to2 2 •• fe=l n 1— to2 У f2kak2 k= 1 • to2 У fikakn 1 • to2 У fzkakn k=* 1
n n n
-to2 у fnkaki k= 1 to- 2 fnkak2 •• • ' to- 2 fnkakn 4 = 1
(27)
Собственные формы колебаний. Как уже указывалось, вектор v характеризует
соотношение между обобщенными координатами при колебаниях с частотой со. Каж-
дой собственной частоте Юу соответствует вектор vy, характеризующий форму колеба-
ний системы с этой собственной частотой. Векторы v1( v2, ...» vn называются собствен-
ными формами колебаний или просто собственными формами.
Собственные формы определяются из однородной системы (22) после подстановки
в нее соответствующих собственных частот. Если собственная частота (О; — простой
корень уравнения (23), то ранг системы (22) равен п — 1. Пусть отбрасывание послед-
него уравнения системы дает систему п — I линейно независимых уравнений. Тогда
для определения компонентов вектора
МА
vz = l v2t (28)
получаем систему п — 1 уравнений
2 (c/fe-a>fa/fc)vw = 0 (/’-I, 2, ... , п-1).
*= 1
(29)
Форма колебаний определяется при этом с точностью до произвольного постоян-
ного множителя.
Если собственная частота имеет кратность г, го ранг системы (22) равен п — г.
Пусть переменные занумерованы так, что независимыми оказываются первые п — г
уравнсний
п
£ {c,k-^iaik)vki = Q (/-*1,2..........n—r). (30)
k = i
Решение этой системы содержит г произвольных постоянных, которые могут быть
выбраны так, чтобы получить г независимых собственных форм, соответствующих
r-кратной собственной частоте со/. Итак, каждой собственной частоте соответствует
собственная форма колебаний. Дополняя спектр собственных частот (25) совокуп-
ностью собственных форм
Vi, v2,...vn, (31)
образуем спектр собственных колебаний системы.
Свойства собственных частот и собственных форм колебаний. Как следует из урав
нения (22), квадраты собственных частот и2 равны собственным значениям матрицы
А-1С, а собственные формы v равны собственным векторам этой матрицы. Поскольку
матрица А-1С — симметризуемая и положительно определенная, то из известных тео-
рем линейной алгебры следует:
1) все собственные частоты действительны;
2) собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, по-
парно ортогональны с весом матрицы А, т. е.
vaAvp = ° (32)
В развернутой форме это соотношение имеет вид
п п
У! У W/at>fc₽ = 0 (a^p); (33)
/=1й=i
3) собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, по
парно ортогональны С весом матрицы С:
v;Cvp = 0 (a^P) (34)
Запишем эго условие ортогональности в развернутом виде:
я п
У У c/ft°/auAP= Q (а т2- Р); (35)
/= 14 = 1
4) собственные формы vj, v2, .... ул являются линейно независимыми и образуют
базис в л-мерном векторном пространстве Wn.
В случае кратных собственных частот всегда можно провести соответствующую
ортогонализацию линейно независимых векторов; поэтому перечисленные свойства
в полной мере распространяются на кратные частоты.
Обобщенные соотношения ортогональности (32) и (34) имеют энергетический смысл.
Входящие в эти условия билинейные формы аналогичны квадратичным формам кине-
тической и потенциальной энергии соответственно. Условие (32) называют условием
ортогональности по кинетической энергии, условие (34) — ортогональности по по-
тенциальной энергии.
3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Нормальные (главные) координаты. Сформируем по столбцам из собственных форм
квадратную матрицу V-
rVU ...
V = (VX ......Vn)= V« У22 ”• ). (.36)
'Уд! °л2 ••• vnJ
Преобразование подобия при помощи матрицы V приводит матрицу А-1С к диаго-
нальному виду, т. е.
V-,A-1CV = diag (©>), (37)
а подстановка
q=Vq', (38)
связывающая первоначальные обобщенные координаты с новыми обобщенными коор-
динатами q], q"2, .... q'n, приводит уравнение (16) к виду
q'-f-diag (<в^) q'=0. (39)
/Матричное уравнение (39) описывает независимые колебания с собственными ча-
стотами coj, (02, .... соя относительно вновь введенных обобщенных координат
+ = •
?;+о>^ = О; (40)
Обобщенные координаты системы, которые описывают несвязанные свободные
колебания, называют нормальными (главными) координатами. Нормальными коор-
динатами широко пользуются как при качественном описании колебательных про-
цессов, так и в прикладных вибрационных расчетах. Формула (38), связывающая про-
извольно выбранные и нормальные обобщенные координаты, а развернутом виде запи-
сывается так:
п
2 р/а^. <41)
а = I
Матрица преобразования (38) является ортогональной. Формула обратного пре-
образования имеет вид
п
9/ = 5 (42)
1
В нормальных координатах квадратичные формы кинетической и потенциальной
энергий приводятся к сумме квадратов:
п п
г=42®’; "-Hw- <«)
/=| /=|
Свободные колебания, удовлетворяющие начальным условиям. Пусть при / =0
заданы значения всех обобщенных координат и обобщенных скоростей:
q(0) = qo; q(O) = qo- (44)
Здесь q0 и qu — числовые векторы. Общее решение уравнения свободных колебаний
(16) равно сумме п частных решений, каждое из которых описывает колебания с соб-
ственной частотой соа и собственной формой va. Представим это решение в виде
л
q (0 = У, Va (Са cos coa/+Do sin (Oa0- (45)
a=l
Постоянные в правой части находят из условий (44) с учетом соотношений ортого-
нальности (32) или (34). Например,
qMva . D = J qu Avg
vaAva ’ ° wa vaAva ’
Эти формулы (как и некоторые последующие, в которых используются разложе-
ния по собственным формам) можно упростить, если ввести нормированные собствен-
ные формы, т. е. если выбрать произвольный множитель, с точностью до которого опре-
деляются собственные формы, из условий нормировки
V£Ava = 1
(47)
4. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ
С ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Системы с одной степенью свободы. Кинетическая и потенциальная энергии си-
стемы равны соответственно
Т = t/=lC93, (48)
а дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет нид
aq-\-cq = 0. (49)
Собственная частота
где / = с-1 — единичная податливость, соответствующая квазиупругому коэффици-
енту с.
Пример Для математического маятника массой т и длиной / имеем
Т = ~ /п2«ф»; U = 4 mg/ф»,
где ф — угол наклона маятника относительно положения равновесия. Отсюда а
Применение формулы (50) дает
' & \1,>я
—(т)
(51)
/п(«,
(52)
В виде другого примера возьмем опертую по концам балку длиной. I с постоянной изгибной
жесткостью EJ Единичная податливость будет Z3,'(48£J). Отсюда по формуле (50)
I _ / 48B J \*А
, ml» J
(53)
Формулы для вычисления собственных частот системы с одной степенью свободы
приведены в табл. 1.
Свободные колебания системы с одной степенью свободы, удовлетворяющие на-
чальным условиям q (0) = q0, <?(0) = ^0, описываются выражением
<7 (0 — <7о cos о/ -|-------------q4 sin at,
(54)
которое можно трактовать как частный случай формул (45) и (46).
Системы с двумя степенями свободы. Кинетическая и потенциальная энергии си-
стемы равны соответственно
r ~~2 (u117: +°22(h + ~‘JJ2'7j?2); (СИЧ* 'F-f12?l?i) » (55)
а дифференциальные уравнения свободных колебаний имеют вид
1 '71 + ais?2 4“ cngi + Ci2?2 — 0:
‘,а1^14"ааз?з4‘ c-aflx 4" = 0
1. Собственные частоты систем с одной степенью свободы
(масса упругой системы мала по сравнению с величиной сосредоточенной массы)
Примечания
Продольные колебания;
Е—площадь постоянного попе-
речного сечения;
d—диаметр кругового попереч-
ного сечения
Иэгибные колебания;
J — момент инерции поперечного
сечения (J = const)
16nD (1 Ч- v)
MR- (•> -г- v)
16nD
MR*
Круговая пластина постоянной
толщины Л;
D =
Eh*
12 (I — V’) ’
V— коэффициент Пуассона
G — модуль сдвига; п — число
витков пружины: d — диаметр
сечения витка;
D — средний диаметр пружины
Крутильные колебания;
G jp — жесткость поперечного се
чения вала; /„—момент инерции
диска относительно оси системы
(диск абсолютно жесткий)
Продолжение табл. I
Схема системы Квадрат собственной частоты Примечания
H PS M Вертикальные колебания поплав- ка; р — плотность жидкости; 5 — площадь сечения тела А по го- ризонтали
— :
- — -lx - ~P~.
1 J и i Колебания столба жидкости . {/-образной постоянного сечения трубке
g <1 G/F,)
hd + Ft F,) [ /Ft'Fu
Ft, F, — площади поперечного се-
чения первого и второго сосудов;
FP — площадь поперечного сече-
ния соединительной трубки
Я
Математический маятник
✓У"/* 5g 7 (R - г) Движение шара радиуса г по ци линдрической поверхности радиу- са R
% Л’ г 2g 3 (R - г) Движение цилиндра радиуса г г. 1 цилиндрический поверхности радиуса И
«3 ] /* 1 ) \1 go Абсолютно жесткое тело; г—радиус инерции; С— центр масс
/ с
Составим характеристическое уравнение (уравнение собственных частот)
или в развернутом виде
сц — w2an См—<*>2а12
C2l — Ci)2Z721 Сет — 0)2%2
(и 110'22— а1г) — (а11с22 + ^22^11— 2а12С12) <О2-|-С11Сг2—ef2=0. (57)
Положительные корни a>j и со2 биквадратного уравнения (57) представляют собой
собственные частоты системы. Собственные формы задаются парой векторов
*2
которые можно определить с точностью до постоянных множителей. Для отношения
составляющих о21/ип и этих векторов имеем формулу
^2а
и1а
_ С12~Шаа12
С12 ~ °аа12 С22 “ Шаа22
(а=1, 2).
(58)
Парциальные частоты и диаграмма Вина. Введем параметры
имеющие размерность частоты и совпадающие с собственными частотами системы при
ан — Оц = 0; cJ2 = f2i = 0. Эти частоты называются парциальными; их введение
соответствует разделению системы на
две подсистемы, называемые парциальны-
ми системами, В большинстве случаев
такое разделение допускает механическое
истолкование. Связанность между пар-
циальными системами может быть инер-
ционной (через инерционные коэффи-
циенты а12), квазйупругой (через квази-
упругие коэффициенты cJ2) или ком-
бинированной. Различают слабую связан-
ность, при которой побочные элементы
матриц удовлетворяют неравенствам
й12 Я11а22. Cts *< С11С22» И сильную СвЯ-
занность.
Понятие о парциальных системах поз-
воляет сформулировать некоторые общие
Рис. 2. Диаграмма Вйна
качественные выводы о влиянии парамет-
ров системы на ее собственные частоты. Один из выводов можно выразить в виде
неравенств
tOj sgmin w{1}; to^^max
(60)
где равенство достигается в случае отсутствия связанности между парциальными си-
стемами. Неравенства (60) удобны для предварительной оценки собственных частот
на основании данных, относящихся к парциальным системам.
Более подробную информацию дает график (рис. 2), называемый диаграммой
Винса Штриховые линии на рисунке соответствуют слабой связанности, сплошные
линии — более сильной связанности. В связанной системе одна из собственных частот
системы всегда меньше, вторая — больше, чем любая из парциальных частот, причем
влияние связанности на частоты будет тем больше, чем связанность сильнее и чем
ближе друг к другу парциальные частоты.
3 п/р. Болотина В, В. т, I
1
2. Инерционные и квазиупрутие коэффициенты (или единичные податливости)
для систем с двумя степенями свободы (собственная масса упругой системы мала
по сравнению с величинами сосредоточенных масс)
Схема системы
Инерционные коэффициенты
Квазиупругие коэффициенты
или единичные податливости
а,, - /п:
ati = т;
□и = ait = О
с1( = c-j + с;
С; а = с1 -4- с;
Сц = с21 =— с(
я», = И|!
Он ~ mi\
а,, =- а2| = О
Си— С| + Сг!
с2;
Cl« = ^Х1 — ~ct
— JC
зв Ял О
(Ji, Тг — моменты инерции
диск-ы при крутильных коле-
баниях)
сп ₽t + Св)
Сц Сц “•=
Продолжение табл. 2
Схема системы
Инерционные коэффициенты
Квазиупругие коэффициенты
или единичные податливости
4 ,
flu = - ml»-,
«и = J пи*;
I
Jia = afl = ml*
(масса стержней т раеномер
но распределена по длине /)
au = Оц —— ^21 == 0» • a»&« ~ 3EJJ* ’ . _ . a*b* /12 lit — X [3P - 3/ (a + b)+ 2ab]; — 6gos 3EJP
dll = ml> f — _2L_ - /n ~ 3EJ’
fl'll = #2i = 0; . _ f _ (zd -t- c). fn hi
Ojt f = -^— ” ЗГ J
Сведения об инерционных и квазиупругих коэффициентах. Формулы для собствен-
ных частот систем с двумя степенями свободы, как правило, слишком громоздки.
Поэтому ограничимся тем, что приведем в табл. 2 выражения для инерционных и ква-
зиупругих коэффициентов. Там, где это целесообразно, вместо квазиупругих коэф-
фициентов даны соответствующие единичные податливости. В табл. 3 содержатся
также некоторые данные для систем с тремя и большим числом степеней свободы.
Свободные колебания систем с циклическими координатами. Понятие о цикличе-
ских координатах было дано в гл. II. Приведенная выше теория свободных колебаний
в линейных консервативных системах неприменима к системам, содержащим цикличе-
ские координаты. В таких системах квадратичная форма потенциальной энергии (13)
не будет содержать членов с циклическими координатами. Поэтому в положении
q = 0 потенциальная энергия не будет обладать изолированным минимумом, т. е.
не будут выполнены условия (1). Между тем системы с циклическими координатами
часто встречаются в технике. Примером могут служить свободно вращающиеся в опо-
рах роторы (циклическая координата — угол поворота ротора как твердого тела),
неуправляемые летательные аппараты (если не учитывать влияния внешних сил, то
все шесть обобщенных координат, описывающих движение аппарата как твердого
тела, будут циклическими).
Вообще, циклические координаты описывают монотонные, происходящие вследствие
инерции процессы. Если по отношению к остальным обобщенным координатам потен-
циальная энергия системы является положительно определенной формой, то измене-
ние этих координат во времени является колебательным процессом. Для вибрацион-
ных расчетов наибольший интерес представляют нециклические координаты. Из
Уравнений движения можно исключить все циклические координаты. Но можно также
пользоваться уравнениями (22) к (23). При этом циклическим координатам соогвет-
8. Матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов (или единичных податливостей)
для систем с тремя и ббльшнм числом степеней свободы
(I* ("»i 4- + т,) ltlt (тг 4- т3) 1Д3т,
l3l3 Оя» 4- '”»> /а 4- ма) 1г13т»
1313т3 ljm3 <
(Vn, 4-т, 4-ms>О О
о (та Н~ /> о I
О 0 rthhl
ствуют нулевые собственные частоты, остальным обобщенным координатам — собст-
венные частоты, отличные от нуля.
Пример. Упругий вал с двумя дисками (рис. 3)
совершать крутильные колебания. Квазиупругий
ченне GJ ь и расстоянием между дисками I ра-
вен c—GJkll. Моменты инерции дисков обозна-
чим через J, и /», их углы поворота — через
и <ра- Кинетическая и потенциальная энергия
системы соответственно равны
Т ~ у (Ji<pi + J2Ф2); U в 2" с — Ф1)3 •
Обобщенные координаты <pt и не являют-
ся циклическими; однако потенциальная энергия
системы не удовлетворяет условию (1). Вводя
новые координаты qt = <pi и <?»=?»—<Pi (угол
поворота одного из дисков и угол закручивания
вала), получим
свободно вращается в подшипниках и может
коэффициент вала с жесткостью на кру-
Рис. 3. Крутильные колебания вала с дву
мя дисками
Т — у [/iflj + Jt (<)i 4- U = g cqi-
Отсюда видно, что координата qi циклическая. Уравнение собственных частот при первом выборе
обобщенных координат
-с I
| — С С — tspjf |
а во втором случае
I -<и» (Л + Л) — «V, ( о
| — со2/» с— со2/» I
Корни этих уравнений, разумеется, совпадают. Одна из собственных частот нулевая-, она
соответствует вращению вала как твердого тела с постоянной угловой скоростью, задаваемой
начальными условиями. Ненулевая собственная частота
(61)
5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
Формула Релея. Квадраты собственных частот и собственные формы связаны между
собой тождественным соотношением
которое называют формулой Релея. Выражение, стоящее в правой части, называют
дробью Релея. Формула (62) непосредственно следует из матричного уравнения (22).
Развернутая запись этой формулы имеет вид
п п
S У CjkVjVk
-------• (бз)
S S aikvivk
i= 1 k= 1
Числитель формулы (63) с точностью до */з равен максимальному во времени значе-
нию потенциальной энергии системы (10) при свободных колебаниях по соответствую-
щей форме. Знаменатель с точностью до соа/2 равен максимальному во времени значе-
нию кинетической энергии (3). Формула (63) может быть также непосредственно полу-
чена из теоремы о сохранении полной механической энергии.
Вариационные принципы для собственных частот и форм колебаний. Точное
(хотя н тривиальное) соотношение (63) служит исходным пунктом для следующих
вариационных принципов;
1) среди всех возможных значений вектора v истинными формами колебаний будут
те, которые сообщают дроби Релея стационарное значение;
2) вариационный принцип Релея — форма колебаний, соответствующая низшей
(основной) собственной частоте, сообщает дроби Релея минимальное значение. Иначе
говоря, низшая (основная) собственная частота удовлетворяет соотношению
, . vTCv
w? = min-^7—,
1 vTAv
(64)
в котором к сравнению допускаются любые значения вектора 0;
3) расширенный вариационный принцип Релея — собственная частота coft удовле-
творяет соотношению
= min Уд - ,
(65)
где v =^0; vn v2, v„_ft — первые k — 1 собственных форм; — подпро-
странство, элементы которого v удовлетворяют условиям ортогональности
vTAva = 0 (а=1, 2......k— 1);
(66)
4) минимаксный вариационный принцип Куранта — собственная частота
удовлетворяет соотношению
(0| =
vTCv
max mm —,
•2...vAv
(67)
где v =4 0; w1( w2,.... w*_i — произвольные линейно независимые векторы; Wn_k-f—
подпространство, элементы которого удовлетворяют условиям ортогональности
vTAwa = 0 (а=1, 2, k-1). (68)
Вариационные принципы широко используют для построения приближенных алго-
ритмов вычисления собственных частот и форм колебаний при больших п. Кроме того,
они позволяют оценить влияние некоторых изменений условий задачи на поведение
собственных частот.
Влияние изменений инерционных и квазиупругих параметров на собственные ча-
стоты. Пусть параметры системы изменяются при неизменном числе степеней свободы.
Тогда увеличение инерционности уменьшает или хотя бы оставляет неизменными соб-
ственные частоты исходной системы. Возрастание жесткости увеличивает или хотя бы
оставляет неизменными собственные частоты. Для системы с одной степенью свободы
это непосредственно следует из формулы (50). Для систем с произвольным конечным
числом степеней свободы точная формулировка основана на теоремах о сравнении.
Пусть спектр собственных частот упорядочен с учетом кратности: ojj ag w2 sg
^ ... ^ соп. Тогда прибавление к матрице А положительной матрицы не может уве-
личить ни одну частоту в этой последовательности, а прибавление к матрице С поло-
жительной матрицы не может уменьшить ни одну частоту в последовательности.
Влияние наложения связей на собственные частоты. Пусть на систему с п степенями
свободы наложено г идеальных голономных связей. При рассмотрении частот и форм
колебаний это означает, что в n-мерном пространстве собственных форм v выделено
(п — г)-мерное подпространство Wn_r. Рассмотрим спектр собственных частот си-
стемы со связями ••• ^'п-г' Выполняются следующие неравенства:
юа < < ша+г (а== 2..........п~ГУ (69)
Эти соотношения обобщают неравенства (60), связывающие частоты системы с дву-
мя степенями свободы с ее парциальными частотами. Согласно неравенствам (69)
парциальные частоты всегда лежат в интервале, ограниченном частотами связанной
системы, что согласуется с неравенствами (60).
Пример. На рис. 4 показаны собственные формы и обозначены частоты как тройного
маятника, так и систем, получаемых из него наложением связей. Из неравенств (69) выте-
кает, что, например,
<o2s<a^(o3.
Рис. 4. К влиянию наложения связей на собственные частоты
6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО ПОДВЕШЕННОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Определение положения твердого тела. Наряду с неподвижной системой осей
введем систему подвижных осей Oxyz, жестко связанную с телом. В начальный
момент времени полюса обеих систем совместим с центром масс тела (рис. 5). В ка-
честве обобщенных координат выберем перемещения центра масс тела = ^,Qi = т],
<7з = £ и три угла поворота тела относительно осей инерциальной системы д4 = а,
Яъ ~ Яй— У- Положительные направления обобщенных координат показаны
Рис. 5. Упруго подвешенное
твердое тело
Рис. 6. Положительные направ-
ления обобщенных координат
на рис. 6. Будем предполагать, что линейные и угловые перемещения твердого тела
при колебаниях достаточно малы, чтобы величинами второго и более высоких поряд-
ков малости можно было пренебречь. Тогда кинематические соотношения [см. фор-
мулу (73) гл. II] примут вид
da dp
dy
(70)
Матрица инерционных коэффициентов. Если система подвижных осей Охуг
совпадает с главными центральными осями инерции твердого тела, то матрица инер-
ционных коэффициентов
A —diag (М, М, М, Jx, Jy, Jz), (71
где М — масса твердого тела; Jy, Jг — главные центральные моменты инерции
твердого тела.
Матрица жесткостей упругого подвеса. Предположим, что упругий подвес состоит
из No произвольно ориентированных амортизаторов. Каждый s-й (s = 1, 2, ..., Л'о)
амортизатор не обладает вращательной жесткостью
4. Косинусы углов между осями и может быть представлен в виде системы трех уп-
Оси fs «s zs
5 als a2S a3s
T) Pis Pas Рз$
£ V1S V2S Yas
ругих взаимно перпендикулярных элементов, нап-
равленных по главным осям жесткости амортиза-
тора. Главные оси жесткости образуют систему
координатных осей 0ах5Узга, называемую в дальней-
шем s-й системой осей (см. рис. 5). Внешняя сила,
приложенная к s-му амортизатору в направлении
одной из его главных осей жесткости, деформирует
его по направлению силы.
Координаты точки крепления s-ro амортизатора
к телу обозначим через ориентацию осей
s-й системы будем задавать направляющими коси-
нусами (табл. 4). Обозначим через cxs, cys> czs коэффициенты жесткости s-ro аморти-
затора в направлении соответствующих осей s-й системы координат.
Матрица квазиупругих коэффициентов упругого подвеса имеет вид
С =
lcu c12 C13 CJ4 Clfi Qe\
1 C21 c22 C23 C2i C26 с2в
C31 c32 c33 c34 C35 C3fl
C41 Cj2 C43 C44 C45 C4e
C51 C62 СБЗ С51 СБВ с5в
’ C«1 С«2 С63 СМ СЬЪ Съъ1
(72)
Элементы этой матрицы выражаются через коэффициенты жесткости всех амор-
тизаторов, образующих упругий подвес [5]:
N» No
= X Cll)== X a3sf«)j
s= 1 s= 1
Wo
s=l s = l
Wo Wo
Сзз-Х СМ)=ЯХ (v1s^+y2^+y3scJ;
f12 —C21 — X C12 — X
S=| S=»l
w. w.
c13 = c3 == X cn)= X («isYis^ + aasWys + aasYssCzs);
s= 1 s = 1
Wo W.
023 = ^32= X X (PlsYl^ATJ PlsYx*ty$ 4" PwYsjQj);
s-1 S=1
No = = v s= 1 No C(S)_ у (c(s) _c(s)f cu ~ Zj via 4s cn4sJ> S = 1
ЛГО С1Э = С51= 2 S = 1 4?=2(^.-4Ю; S= 1
No cu~cii— 2 s=1 No 4J=2(4X-4?ns); s=l
No c2i~ca— 2 s = l , N° 2 (4Ч-Ф,); S = 1
No C25 = C52 = £ s = 1 No s= 1
No ^26 = ^82= 2 S= 1 No ^’= 2 (‘S*,-4U); «=)
Ne c34 ~ f43 = 2 s = 1 No C3i Zj V33 rk ^7» t= 1
No c85=c»3= 2 S = 1 ^’= 2 s= 1
No c36~c63~ 2 S = 1 No 4б = 2 (с«^-4аЧ); S=1
No , CU = 2 S = 1 No cu = 2(c«4-<'Q; Ss=l
No C65 = 2 S= 1 Nn 4?- 2 (^-4S,’U; s = 1
No Qe = 2 S= 1 No 4? = 2(4’s5-4sM S=J
No C4S = «M= 2 S=1 4?= 2 s — 1
No С4в = с64= 2 S = 1 Wo C46= 2 (C86,Tls —4?Q’, lb \ 00 'S -v ^3/ r s = l
No сБв = свБ = 2 2 (Ф.-Ш
(74)
(75)
Главные оси жесткости и центр жесткости упругого подвеса. Выражение £3 +
+ с22П2 4" сзз£2 = 1 определяет эллипсоид жесткостей упругого подвеса.. Если
система неподвижных осей 0|т|£ параллельна главным осям жесткости подвеса, то
матрица С принимает вид
'Сц О О с14 с15 с1в\
О С-22 С24 С2п О>6
О О £33 С34 с35 сзя
С = , (/6)
f41 r42 f43 С41 с45 С40
С51 Г52 СБЗ с54 гй& сйв
\Г61 Cfl2 ГвЗ би ^65 I
В этом случае можно найти три непересекающиеся друг с другом прямые £*,
q#, £*, которые параллельны соответствующим осям О|, Oq, О£ и для которых выпол-
няются условия с14 = с25 = сзв = 0. Эти прямые являются осями поступательной,
жесткости упругого подвеса [27]. На плоскости Oq^ ось жесткости проектируется
в точку, координаты которой
Т] = -^; ^=—. (77)
сы ~ cii
Аналогичным образом можно определить положение оси жесткости q#, парал-
лельной оси Оту.
^ = -^1; £ = — (78)
с22 с22
и положение оси жесткости параллельной оси OZ'
£=->; Ч->. <79)
с33 г33
Если в число координатных осей, параллельных главным осям эллипсоида, вклю-
чить одну из осей поступательной жесткости q# или £*, то обращаются в нуль
коэффициенты жесткости, являющиеся числителями в выражениях (77), (78), (79),
а в матрице (76) по каждую сторону от главной диагонали появятся еще два пулевых
элемента. При некотором упорядоченном расположении амортизаторов три оси
жесткости q., могут пересекаться в одной точке D — главном центре жестко-
сти упругого подвеса, В этом случае эти оси являются главными центральными осями
жесткости подвеса. Если неподвижную систему осей совместить с осями D6eq*£#,
то матрица жесткости С примет вид
'C=diag(c5, cn, cs, са, ср, cY). (80)
Здесь элементы матрицы
Nt Nt И»
<8I>
8=1 8 = 1 S = l
характеризуют поступательные жесткости подвеса, а элементы
Nt No No
<«= 2 (£Й+«): Ч>= 2 (е.2+ад; <•,= 2; («+<Х2) (82)
S = 1 S = 1 S=1
— его вращательные жесткости.
Уравнение собственных частот. Матричную фирму уравнений свободных коле-
баний упруго подвешенного тела можно записать так:
Aq+Cq=0, (83)
где q = (£, q, £, а, р, у) — вектор, характеризующий перемещение тела при колеба-
ниях; А — матрица инерционных коэффициентов (71); С — матрица упругих коэф-
фицнептов (72). Характеристическое уравнение для определения собственных ча-
стот имеет вид
С1Я С13 с14 с16 с1в
С21 С22 —№М с23 CU с25 с2в
С31 с32 СтЗ— №М с34 С33 c3t = 0- (84)
С41 С42 С4Э Сц — X2/х с45 CU
С51 С52 С53 с54 ^55 №Jy Ci>3
Св1 С62 Cfi3 fflo Qe — z
Разделение форм колебаний. Возможные разделения обобщенных координат
т), £, а, Р, у на группы по формам колебаний определяют наличием у упругого под-
веса иентра жесткости D, а также взаимным расположением осей Ox,yz и осей жест-
кости !•*, т]#,
5. Варианты разделения обобщенных координат при свободных колебаниях
№ варианта Группы обобщенных координат Коэффициенты жесткости, равные нулю
I g. п. & a, ₽, V Где, Гдд, Сц, Сда, Сдд, Гдд, Сдд, Одд, С3д
2 g. i), y; g, a, p Гдд, Сда, Сц, CIS> Сдд, Сдд, Сдд, Сад, Сдд
3 n. L g. fl- V Гц, Сдд, Гда, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд
4 g, g, P; T), a, у Гд2, Сда. Гдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сда, Сад, Сдд
5 g. и. a; g, P, V Гц, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, С4Д, Сдд
6 g. T], P; g, a, у Гдд, Гдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд
7 I. t, ® и, B. v Гдд. Сдд, С1в, Сдд, Сда, Сдд, Сдд, Сад, Сад
8 £. ь, v; л. a. В Гц, Сда, Гдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сдд, Сад, Сдд
9 g. a, В; T)> C. V Гдд, Cls, С1д, Сда, Сдд, Сда, С,д, Сад, г8<
10 6. a> v; 7). g. В Гдд, Сц, Сда, Сда, Сдд, Сда, Сдд, Сад, Сдд
Пример. Центр жесткости упругого подвеса D совпадает с центром масс тела О; главные
центральные оси инерции и жесткости не совпадают. Возможные варианты разделения обобщен-
ных координат на две группы по трп координаты в каждой сведены в табл, 5; здесь же указаны
коэффициенты жесткости, которые должны быть равны нулю, чтобы такое разделение коор-
динат было возможным. Например, для вариант» № 1 (табл, 5) система уравнений (83) распа-
дается на две пез.висимые с тремя уравнениями в каждой. Уравнение частот (84) примет вид
сп — Х’Л( С13 С13
Г21 r22-^Af С23 = 0
Г31 С32 сзд - Х’М
— Л’ J
44
С45
С4в
СБ4 ‘K-VJy СБв = 0.
Св4 Свв ~
Пример. Центр жесткости упругого подвеса D совпадает с центром масс тела О; одна
из главных осей жесткости подвеса (например, ось 0g,) совпадает с одной из главных цент-
ральных осей инерции тела (например, с осью Og). Матрицу С (72) можно записать в виде
/Си 0 0 0 0 0 1
О Cji с^з ООО
'' Газ о О О
О О 0 с<4 Сдд с<д
ООО Сда Сдд Сдд
\ О О 0 Сда Сдд Сдд /
76
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБЛИ И Я КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Пример. LJtHip жесткости упругого подвеса D совпадает с центром масс тела О; главные
центральные осн инерции и жесткости совпадают. Матрица С (72) принимает вид С= diag(c_,
с„, гу, са, гр, с0, s-лсменты которой определяются формулами (81)—(82) Система уравнений
(83) распадается на шесть независимых уравнений.
7. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ УПРУГО ПОДВЕШЕННЫХ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Построение матрицы преобразования усилий. Уравнения (83) можно распростра-
нить на механические системы, состоящие из N абсолютно твердых тел, соединенных
друг с другом и основанием Л’о упругими элементами, амортизаторами и опорами.
Число твердых тел, их взаимное расположение, число, расположение и динамические
Рис. 7 Система упруго подвешенных твердых тел
характеристики упругих элемен-
тов могут быть произвольными.
Наряду с неподвижной сис-
темой координат введем
систему координат OjXjyjZj
(j ~ 1, 2, ..., N), жестко свя-
занную с /-ым телом (рис. 7).
Введем вектор обобщенных ко-
ординат q системы как прямую
сумму векторов q7 при / — 1,
2, .... N, Обозначим множества
целых чисел, определяющие но-
мера упругих опор, располо-
женных между /-м и k-м телами
системы, через (/, k — 1,2,
.... /V), и множества целых чи-
сел, определяющие номера уп-
ругих опор, присоединенных к
/-му телу, через Nr {j = 1, 2,
N
.... N), причем N}-= U A7/*'
Предположим далее, что s-ая (s=
= 1,2, .... Л’о) упругая опора произвольно ориентирована в пространстве; характе-
ристики такой опоры будем описывать матрицей в главных осях жесткости s-й опоры
элементы этой матрицы заданы.
Введем матрицу (6%6) Б^преобразования усилия, заданного в А-й системе от-
счета в точке Р при приведении его в точку Q, в /-й системе отсчета.
Матрица преобразования sfy строится следующим образом. Положение произ-
вольных /-й и k-fi систем координат задается в системе осей (Лт|£ координатами
полюса и косинусами углов наклона соответствующих осей. Тогда косинусы углов
между произвольными системами осей определяются следующим образом: а./, =
= «о)аоь' Здесь а/к — матрица (3x3) косинусов углов между осями /-й и А’-й систем
координат; cty, — заданные матрицы (3%3) косинусов углов между осями /-и
или Л-й систем координат и осями системы координат 0|т]£- Вследствие того, что все
системы координат ортогональные, выполняется соотношение
а/> — ао/аол«
(85)
Главный вектор F и главный момент G сил, определяемые в А-й системе коорди-
нат, при проведении к различным точкам той же системы преобразуются следую-
щим образом:
где г = {Ах*, ДуА, Az*’ — вектор в k-n системе координат с началом в точке Р
я концом в точке Q. Проекции этого вектора на оси Jfe-й системы координат
д**=*а-*£
(86)
Здесь х®, у *, .... z^ — координаты точек Р и Q в k-Ъ системе осей.
Выразим составляющие вектора г$р через величины, задаваемые в неподвижной
системе координат г^р — aJ ;, г1','где г$ир — вектор, заданный в неподвижной си-
стеме. Тогда соотношения (86) примут зид
Лхй = %* (5q — Ip) +ajrfrT1 (11q — Пр) + (?q- tP);
Gq — Ы + %ftT] (Пq — Пр) + Gq — Cp);
Д z* = azk% Gq — ёр) + az*n (Hq — Hp) + «(Iq—^p),
(87)
где Bp, Пр, ..., — координаты точек P, Q в неподвижной системе координат.
Матрица преобразования включает как преобразование переноса в £-й си-
стеме осей, так и преобразование поворота до совпадения ее с осями /-й системы
координат:
F? = «/X’ G9 = ayft(Gp-r^xFp).
(88)
Подставляя выражения (85) и (87) в выражение (88), получим матрицу преобра-
зования в виде
= а^Л atxk •: : i 0 0 0 < i arKft 0 0 0 -0 0 0 - (89)
- °WZA + а4ДГйДгЛ - - -f- . Л aUh aivk a^-A 4- a^j.
— а.мДгА + + ацл£ДгА — anvAA(/A + + авд,Ах»
— "t- \+ a-lz/Ьуь aE-vftAzA - —«ьхлдуа+; j I A ^Xk + alyk^ /
Косинусы углов а,* определяются по формуле (85), приращения Ах*, АуЛ, Az* —
по формулам (87).
Матричная форма уравнений свободных колебаний. Уравнения свободных коле-
баний системы упруго подвешенных тел имеют вид (83), где А и С — матрицы размер-
ностью 6.V X 6N. Матрица А имеет блочно-диагональную структуру:
(90)
где А/ — матрица инерционных коэффициентов размерностью 6X6 отдельно взя-
того /-го тела. Если главные оси инерции /-го тела совпадают с осями неподвижной
системы координат (?E.r|L, то матрица А/ будет диагональной. Матрица С имеет блоч-
ную структуру:
<Cii ’ ............С1ЛГ '
СЛ'1...............СЛ'Л\
(91)
Построение блоков матрицы (91) аналогично построению матрицы (72), а именно:
2 <•
sGNf s \ s/
2 <• </*ч.
Глава IV
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ ДЛЯ СИСТЕМ
С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Предварительные замечания. В вибрационных расчетах наиболее распростра-
ненными являются следующие задачи о собственных колебаниях, в которых необ-
ходимо вычислить: все собственные частоты и соответствующие им формы; только
собственные частоты; наименьшую (наибольшую) собственную частоту или несколько
низших (высших) собственных частот и соответствующие им формы; несколько соб-
ственных частот, ближайших к заданному числу, и соответствующие им формы.
Отыскание собственных форм v и соответствующих им частот со эквивалентно ре-
шению обобщенной алгебраической проблемы о собственных значениях
(С—co2A)v=0. (1)
Для систем с несколькими степенями свободы решение задачи (1) не представляет
серьезных затруднений. Если число степеней свободы п велико, то необходимо при-
менять специальные численные методы линейной алгебры [22, 106, 108].
Если используется симметричная матрица единичных податливостей F = С"1, то
вместо (1) имеем
(Е— w-H)v=0. (2)
где матрица Н = FA, вообше говоря, несимметричная. Аналогично, вводя матрицу
G = А~гС = Н-1, которая тоже является несимметричной, получим
(G—co2E)v=O. (3)
Задача о собственных значениях симметричной матрицы. Задачи в форме уравне-
ний (2) и (3) можно привести к аналогичным задачам с симметричной матрицей [22].
Рассмотрим задачу в форме (2).
Первый прием заключается в предварительном представлении матрицы инерцион-
ных коэффициентов А в виде произведения двух треугольных матриц
/ sii si3 ••• $1я\
A=STS S =1 0 $22 $23 ••• ?2П I
ООО
• • • $пп>
Элементы матрицы S вычисляются по следующим формулам (метод квадратного
корня): 5д-»КаГ1, s1/=a1//sii, аи— У s’/ (/> 1).
/ /— 1 \
s/A = i aik— V SifSih ' (k > /), stk = 0 (j > k).
\ f=i /
Полагая v — S-1w получим
(E—a2H1)w=0, (4)
где Hf = SFST — симметричная матрица. В случае диагональной матрицы А =
= diag (оу), О/>0 имеем H^diag (V aj) F diag (Kty), v= diag (1/|/оу) w
Второй прием состоит в предварительном приведении матрицы А посредством
ортогонального преобразования подобия к диагональному виду U-1AU = diag (dp =
= Da. Отыскание U и d~ эквивалентно отысканию собственных векторов я собственных
значений матрицы А. После подстановки v = UD~Jw задача (2) сводится к уравнению
(Е—со2Н2) w = 0 (5)
с симметричной матрицей Н2 = DlTlFUD.
Итак, для отыскания собственных частот и собственных форм систем с конечным
числом степеней свободы применимы численные методы решения алгебраической
проблемы собственных значений (G — ХЕ) х = 0 или (рЕ — Н) х = 0, где р. = 1 /X =
= 1/о>2, G и II — или симметричные матрицы, или каждая из них есть произведение
двух симметричных матриц.
Другие типы задач. Задачи колебаний и устойчивости неконсервативных ли-
нейных систем (см. гл. V) приводят к квадратичной проблеме о собственных значе-
fAX24-BX4-C) v = 0 (6)
с вещественными матрицами. При этом матрица С, вообще говоря, несимметричная.
Задачу в форме (6) легко привести к задаче (G — ХЕ) х = 0 с несимметричной
матрицей
_/ ° Е \
G~\— А-*С А ^В
порядка 2п и вектором х размерности 2п. Характеристические показатели X в этих
задачах комплексные.
Краткая характеристика численных методов решения стандартнзй алгебраи-
ческой проблемы. Отыскание собственных значений эквивалентно отысканию кор-
ней алгебраического полинома. Все методы решения алгебраической проблемы
являются в сущности итерационными. Численные методы решения алгебраической
проблемы получили свое дальнейшее развитие в связи с широким применением ЭВМ.
При выборе метода следует руководствоваться общими требованиями к устойчивости
счета, точности результатов, простоте реализации алгоритма на ЭВМ н экономич-
ности по затратам машинного времени. Основные методы решения алгебраической
проблемы, машинно-ориентированные версии методов и особенности реализации
можно найти в [22, 106, 107, 108].
Краткие характеристики некоторых из наиболее распространенных методов при-
ведены в табл. I. Мотивировки алгоритмов и дополнительные сведения для случая
вещественных матриц приведены ниже.
Отдельную группу образуют методы, основанные на предварительном вычисле-
нии коэффициентов характеристического полинома и численных методах решения
алгебраического уравнения. Вычисление коэффициентов полинома осуществляется
за конечное число шагов. В этом смысле их можно было бы назвать прямыми мето-
дами, В случае вещественных собственных значений коэффициенты полинома сильно
чувствительны к малым изменениям элементов матрицы и промежуточным ошибкам
округления. По этой причине эти методы следует применять с осторожностью. При-
менительно к задачам устойчивости линейных систем (см. гл. V) некоторые из этих
методов описаны в п. 4 на с. 85. По возможности описание методов иллюстрируется
ссылками на ФОРТРАН — подпрограммы транслятора для ЕС ЭВМ [60 —65J.
I. Основные методы решения алгебраической проблемы
Метод Назначение Тип матрицы Характеристика сходимости
Вращений Симметричная эрми- това Квадратичная
Обобщенных вращений Полная проблема соб- ственных значений Произвольная Асимптотически квадратичная
Ортогональный степенной QR-алгоритм Используются прие- мы ускорения
Треугольный степенной LR-алгоритм С вещественными соб- ственными значениями Симметричная эрми- това
Предварительного приве- дения к трехдиагональ- ной форме Полная нлн частичная проблема собственных значений
Предварительного приве- дения к почти треуголь- ной форме Частичная проблема собственных значений Произвольная Высокая
2. РЕШЕНИЕ ПОЛНОЙ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Метод вращений или метод Якоби. Вещественная симметричная матрица G
всегда имеет линейные элементарные делители. Отыскание собственных значений
и собственных векторов такой матрицы равносильно построению такой ортогональ-
ной матрицы U, для которой
UTGU = diag(X/). (7)
В этом случае столбцы матрицы И будут собственными векторами, а X/ — собствен-
ными значениями матрицы G.
Для квадрата евклидовой (или сферической) нормы матрицы |]G||^ =
п п п
= 2 2 । Sjk I2 справедливо неравенство Ilf, причем равенство
/=1Л=1 /=1
возможно лишь тогда, когда G — диагональная матрица. Эга норма инвариантна
относительно ортогональных преобразований. Поэтому среди всех ортогональных
преобразований матрицы G преобразование типа (7) делает сумму квадратов
диагональных элементов наибольшей, а внедиагональных элементов наименьшей.
В методе вращений матрица U получается как предел произведения (теоретически
бесконечного числа) элементарных матриц вращения
Р (р. <?;
— sin О
cos 9
’*1
p-я строка
q-я строка,
(8)
каждая из которых отличается от единичной матрицы только строками и столбцами
с номерами р и q.
На каждом шаге желательно вращение выбирать таким, чтобы максимально
уменьшить сумму квадратов внедиагональных элементов. В классической схеме
метода матрица вращения R* на 6-ом шаге выбирается такой , чтобы в позиции наи-
большего по модулю г недиагонального элемента g'k~^qlL ’ (Р < 9) матр ицы G (к ~ 1 \ по-
лученной на предыдущем шаге, в матрице О'Л’был нуль. Элементарный шаг состоит
в преобразовании G'k' = R^G'fe-1,Rft. При этом tg 2G = 2g<* ~ l}/(g(pk~ °—°)’
101 л/4, cos 0 — cos arctg 20 j, sin 0=sin arctg 20 j.
Тогда последовательность G=G'01, G11’ ,...,G'*’, ... стремится к диагональной мат-
рице, а матрица собственных векторов получается как результат накопления произ-
ведений U = RoRtRj... .
Метод имеет квадратичную сходимость. Если внедиагональные элементы мат-
рицы G**’ уже имеют порядок не выше е, то их порядок станет не выше в2 после
выполнения одного цикла, состоящего из п (п — 1)/2 вращений.
Метод вращений имеет несколько вычислительно-ориентированных модификаций,
сокращающих непроизводительные затраты машинного времени на поиск наиболь-
шего по модулю внедиагонального элемента (циклический метод вращений, метод
вращений с барьерами [22]) или уменьшающих влияние ошибок округления [106].
Метод гарантирует точность, сравнительную с точностью вычислительной машины,
на которой реализован алгоритм. Для этого требуется от 6 до 10 циклов или от Зп2
до 5п2 вращений. Метод прост и компактен. Этот метод неэффективен при использо-
вании двухступенчатой памяти. По затратам машинного времени он уступает мето-
дам, основанным на предварительном приведении к трехдиагональной форме, по-«
скольку не использует преимуществ симметричных ленточных матриц.
Применение стандартных подпрограмм. Оператор обращения к подпрограмме
метода вращений имеет вид CALL EIGEN (G, U, N, MV). Здесь G — симметричная
матрица порядка N; U — матрица вычисленных собственных векторов порядка N;
MV — входной признак (если MV = 0, то вычисляются собственные значения и соб-
ственные векторы, если MV = 1 — только собственные значения; массив U в этом
случае не используется, но его имя должно быть обязательно в обращении). Собст-
венные значения располагаются на главной диагонали массива G в порядке убы-
вания.
Задача (2) может быть решена двукратным обращением в подпрограмме EIGEN.
Вначале решаем задачу для матрицы А посредством обращения CALL EIGEN (A, U,
N, О) и формируем симметричную матрицу Н= Н2 = DU-1FUD- При этом элементы
диагональной матрицы D равны корню квадратному из диагональных элементов
преобразованной матрицы А, а матрица U ортогональная, и поэтому U-1 = UT.
После второго обращения CALL EIGEN (Н, W, N, О) можно найти собственные
частоты и собственные формы: иа = 1/рлра, va — суть столбцы матрицы U-1W.
Этот алгоритм реализован в подпрограмме NROOT. Оператор обращения к под-
программе в случае задачи (3) с матрицей G = А-1С имеет вид CALL NROOT (N,
С, А, X, V). Здесь N — число степеней свободы; А и С — матрицы инерционных
и квазиупругих коэффициентов соответственно; X — вектор, содержащий вычислен-
ные частоты (0^; V — матрица, столбцы которой являются собственными формами va.
Обобщение метода вращений. В основе обобщений лежит следующее соотношение:
л
inf || U'KJU |Ц = £ | I2, det U #= О,
о /=1
справедливое для произвольной матрицы G. Это значгит, что можно построить такую
невырожденную матрицу U, что матрица U-1GU будет сколь угодно близка к нор-
мальной; тогда необходимо решить задачу для почти нормальной матрицы. Однако
более удобно объединить процессы нормализации матрицы и диагонализации нор-
мальной матрицы [22].
82
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ
В случае вещественных несимметричных матриц строится последовательность
матриц G*o’, G'1’, G,ftl, ..., каждая из которых получается из предыдущей при
помощи элементарного шага G(m’= U Матрица выбирается в виде
произведения двух матриц Rm (р, q; 6) и (р, q: а), где Rm (р, q; 0) — матрица
крашения в плоскости (р, q), a Sm (р, q\ а) — невырожденная матрица, зависящая
от параметра а. Параметр а при фиксированных р и q выбирается так, чтобы умень-
шилась норма l)G,ff” Н^. Пара индексов (р, q) на каждом шаге выбирается путем цик-
лического перебора.
В качестве матрицы S (р, q', а) можно взять
\
... p-я строка
... q-я строка
‘1/
или
sha
\
Если представить матрицу G(n” » виде суммы G(ff” = & т> 4- где A,/n*
и B[mi — соответственно симметричная и кососимметричная матрицы, то справед-
ливо соотношение
Эти равенства означают, что с точностью до перестановки строк и столбцов все мат-
рицы G т> при достаточно больших значениях т будут близки к квазидиагональной
матрице. Блоки размера 1 X 1 содержат действительные собственные значения,
а блоки размера 2X2
(а<т) ______\
sii si. /+Н
(т) (т) I
S). /4-1 ёц }
соответствуют комплексным собственным значениям g{^^c.ig^x матрицы G.
Может оказаться, что один из блоков имеет вид^ЕтЬ S, где S — кососимметричная
матрица. Тогда действительные части собственных значений этого блока равны g,
а мнимые части равны собственным значениям матрицы S.
Если матрица G имеет лишь вещественные собственные значения, то предельная
матрица будет диагональной.
Методы, основанные на приведении симметричной матрицы к трехдиагональной
форме. Эти методы позволяют использовать свойства симметричных трехдиагональ-
ных матриц
/а, 0а 0 ... О 0\
02 03 О О
О 03 сс3 ... О О
О 0 0 ... an_f 0Я
\0 О U ... 0Л ал /
Характеристический полином рп (к) такой матрицы вычисляют по рекуррентной
формуле р0 (X) = 1, рх (X) = — X, pf (X) = (a, — X)pM(X) — tfPj_s (X) (j = 2, 3,
.... n). Здесь ph (X) —главный диагональный минор порядка ft характеристической
матрицы. Нули этого полинома являются собственными значениями подматрицы
главного диагонального минора порядка k трехдиагональной матрицы и, следова-
тельно, вещественные.
Последовательность полиномов р0 (1), р$ (X), ..., рп (А.) является последователь-
ностью Штурма. Пусть величины р0 (со), pi (w),.... рп (ш) вычислены для некоторого
значения X = со. Тогда число совпадений знаков в последовательных членах этой
последовательности равно числу тех собственных значений матрицы, которые строго
больше, чем со. Это свойство позволяет отделить собственные значения для последую-
щего уточнения, например, по методу половинного деления.
Для симметричной трехдиагональной матрицы существует явное выражение для
компонент собственного вектора х, соответствующего собственному значению X,
.q = 1, Xj = (—1)Л1Р/ (Х)/(Р8р3...Ру) (/ = 2, 3, ri). Однако оно непригодно в прак-
тических расчетах из-за неустойчивости процесса вычислений: при достаточно хо-
рошем приближении А к точному значению X можно получить вектор, не являющийся
собственным и даже почти ортогональный к нему.
В методе Гивенса исходная симметричная матрица приводится к симметричной
трехдиагональной форме путем элементарных преобразований подобия с матрицами
вращения <8). С учетом симметрии для этого требуется выполнить около 4п3/3 умно-
жений и /г/2 извлечений квадратных корней. В классической схеме метода Якоби
на одном цикле выполняется около 2/г3 умножений и п2/2 извлечений квадратных
корней.
В методе Хаусхолдера приведение к трехдиагональной форме осуществляется
при помощи матриц отражения Р = Е — 2wwT, wrw = 1. Процесс приведения тре-
бует приблизительно 2л3/3 умножений и около п извлечений квадратных корней.
Свойство последовательности полиномов д0 (X), р{ (X), ..., pn (X) позволяет вы-
числять собственные частоты из заданного диапазона или найти несколько собствен-
ных частот, ближайших к некоторому числу, или построить гистограмму распре-
деления собственных частот без вычисления самих частот.
Для вычисления отдельных собственных векторов трехдиагональной матрицы
эффективен метод обратной итерации [106]. Если требуется вычислить все собствен-
ные векторы, то наиболее эффективным окажется применение методов LR- и (?/?-алго-
ритмоп к трехдиагональной матрице.
Задачи о собственных колебаниях в форме (2) или (3) необходимо предварительно
привести к задачам с симметричной матрицей по методу квадратного корня. В про-
тивном случае несимметричные матрицы Н и G преобразуют к верхней или нижней
почти треугольной форме (форме Хессенберга). Этот процесс может быть осуществлен
теми же устойчивыми преобразованиями и требует того же числа действий, чго и
для симметричных матриц.
LR- и QR-алгоритмы. Они относятся к универсальным алгоритмам. Алгоритм
Рутисхаузера [22, Юб] основан на разложении матрицы G на произведение двух
треугольных G = LR, где L — нижняя треугольная матрица с единичными эле-
ментами на главной диагонали, R — верхняя треугольная матрица. Такая факто-
ризация всегда существует, если главные диагональные миноры матрицы G не обра-
щаются в нуль. Из соотношения L~XGL = L-1 (LR) L = RL следует, что произве-
дение сомножителей в обратном порядке является матрицей, подобной G. В LR-
алгоритме этот процесс повторяется многократно: Glft-1) = j R*_i, G ft’ — RjuLfe-i.
В пределе L* стремится к E, a G,ft) — к верхней треугольной матрице с собствен-
ными значениями Ха = ©а на главной диагонали в порядке убывания. Объем вычис-
лений на одном шаге составляет около 2п3/3 умножений, причем половина из них
необходима для разложения на сомножители; поддиагональные элементы стремятся
к нулю, как (X/+1/X;)ft. Поэтому для сокращения объема вычислений исходную матри-
цу следует сначала привести к верхней почти треугольной форме. Эта фирма является
инвариантной относительно £/?-алгоритма (этим же свойством обладает и ленточная
форма). Если вместо G использовать матрицу G — уЕ. то элемент gn<k^_} стремится
к нулю, как [(Хл — — у)]*, и если у — достаточно хорошее приближение
к то gn будет быстро убывать. Один из способов ускорения сходимости состоит
в том, что сдвиг осуществляется на каждом шаге: Glfe' —уйЕ = L^R*. R^L* = G1A+1),
причем в качестве у/г+1 принимают последний диагональный элемент матрицы R^Lft-
В Qtf-алгоритме Френсиса—В. Н. Кубланс дской осуществляется факторизация
G=QR, где Q—ортогональная матрица; R—верхняя треугольная матрица.
Алгоритм метода определяется соотношениями Gtfc) = QftRA, G'ft + 1) = Q^ 7 ^ft =
= Q^Qa,RaQ/s= RAQft,которые напоминают предыдущий алгоритм.
84
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЗШИХ (ВЫСШИХ) СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Формула Релея дает тем лучшее приближение сверху к низшей собственной
частоте, чем ближе v к первой форме колебаний vx. Однако в сложных системах
удачно выбрать аппроксимацию v трудно. Поэтому кажется естественным использо-
вать методы итерации.
Для определения низших собственных частот и форм следует воспользоваться
уравнениями (2) в форме pv = Hv, ц = 1 /со®. Собственные значения нумеруют в по-
рядке убывания: ..., ц„.
Прямые итерации одного вектора. Начиная с произвольного вектора v(01 строится
последовательность векторов vlft) и u(ft* по формулам ufft+1) = Hv(ftl, v(ft+1) —
_ u<fe+ny у U(fe+n || ^|| u и — max I uj |y Очевидно, что после выполнения т итераций
п
vtmi =н,лу(0’/ II H'7Iv,0,||. Если предположить, что v'01 == V aava, то с точностью
a= J
до нормирующего множителя
v(m)
Из этого соотношения следует, что при а^Ои р, > р2 с увеличением числа
итераций v,m> -* vj II vr II и ||u(т> II -» Hi = ртах = 1 /wm2in. Скорость сходимости
будет медленной, если (p8/pi) близко к единице. Если рх имеет кратность /, то vtm> =
Г I п
= Р-7 Sflava+ S
v(m) близка к некоторой линейной ком-
_a=i a=/-H
бинации форм v , v2.....V/.
Более быструю сходимость к минимальной собственной частоте дает процесс
одновременной итерации двух векторов, соответствующих Н и Нт. Строят две после-
довательности векторов v<fe’= Hv,/f_n и где vf0’ = w,£” — произвольный
вектор. При этом (w’fc), v’ft>)/(w,fe-1), vlfe,)= Щ + 0 (р.гМ1)2& и Для получения той же
точности потребуется вдвое меньше итераций. В задаче (1) о собственных колебаниях
эта схема эквивалентна итеративному применению формулы Релея [(62) гл. III].
Степенной метод. Для матрицы Н имеем
п
H = Vdiag(pa)V-1= Vdiag(pa) WT= J На*сХ-
a= 1
Здесь V = (Vp v2< .... vn), va — формы собственных колебаний; строки wj мат-
рицы wT удовлетворяют условию нормировки w^va = 1.
В k-ii степени матрицы
п
Hfe= Vdiag(p*)WT = J n£vaw*
a— 1
главным членом в сумме справа является матрица рЛ Vj wt, где р1 = ртаг. Поэтому
вместо итерирования вектора можно построить последовательность степеней мат-
рицы Н, Нг, Н4, Н2/л, причем при различных р/ в Н2 " доминирующей является
матрица рг^уруу, у которой все строки параллельны wt, а все столбцы параллельны vr
Скорость сходимости теперь определяется величиной (pa/pi)2m и поэтому потребуется
небольшое число шагов даже тогда, когда значения рх и р2 близкие. Во избежание
переполнения или получения машинного нуля можно умножать каждую степень матри-
цы на подходящую степень двойки, чтобы наибольший по абсолютной величине эле-
л (2т) 2т
мент имел нулевой порядок. Так как след матрицы 1г Нгт= У? /ш = pi wIvj “
fe=i
«= то легко вычислить ptj, а векторы vx и Wj можно найти, используя свойство
матрицы VjWy и условие нормировки.
Двусторонние оценки низших частот дают формулы следов [22], которые можно
получить из алгебраического соотношения 1гНп= р™ 4- ... 4- Ц™. В частности
для низшей частоты
I т /
Гн^т- Ст
Для получения оценок высшей частоты следует рассматривать следы степеней
матрицы Н*1 = G-
Пример, Для безынерционной балки, несущей три одинаковые сосредоточенные массы т,
уравнение (2) принимает вид
£»*znfn — 1 fij’mfu
a*mftt w‘mfla — 1 w’rnfjs I o, | = 0,
wlm/8] bPmf 13 — I \vj
=f = f =39_2L f _r =2Ll’.i _1A
” “ 3b88£J’ ,г 3888 EJ ' 3888 EJ' ** 48 EJ
<1 очное» значение безразмерной низшей частоты
Qi » Wi/coo = 5,693 wo = ]/ |).
Формула Релея при vT = (I. 2, I) дает Q, = 5,82. Вычислив следы
25 1 25 _ 131 , 14 473
tr H — 3888 48 ‘3888 “ 3888’ ' " (3888)’ ’
получим двустороннюю оценку для низшей частоты: 5,45 < £?, <5,УЗ.
Вычисление следующих собственных частот и форм. Для отыскания последующих
собственных частот <о2 = 1/р и форм (кроме уже вычисленных <0] и vt) можно при-
менить методы исчерпывания. Например, при использовании преобразования по-
добия вычисления осуществляют по такой схеме. Выбираем неособенную матрицу U
такую, что IJV] = aej, a ^U. В качестве U можно взять матрицу отражения или
матрицу, равную произведению вращений в плоскостях (1, 2), (1,3), (1,л). Тогда
UHlr1 (Uvi) = щ (Uvi) или UHU ^e, = Отсюда следует, что первый столбец
матрицы UGU 1 равен pjCj и
ини-^ыь:).
Матрица В порядка (л — 1) имеет собственные значения р2, .... рл. Собственное
значение р2 находят одним из методов вычисления наибольшего собственного зна-
чения. Далее из равенства
РНЬт\/у\ (у\
"б” И2\х27
определяют число у и затем форму v2 = LT1 (у, xJ)T.
4. РАЗВЕРТЫВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
Характеристический полином матрицы G запишем в виде
det(G-XE) = (-I)«(X'> + p1X«-4-...+Pff-iX+pn). (Ю)
Рассмотрим некоторые методы вычисления коэффициентов этого полинома.
Метод А. Н. Крылова. Алгебраическая сущность алгоритма метода состоит в сле-
дующем [22, 106, 108]. Если вектор v есть собственный вектор матрицы G, то
векторы v и Gv линейно зависимы. Для произвольного вектора b существует наи-
меньшее значение т п степени k, при котором векторы b, Gb, G2b, ...» G*b явля-
ются линейно зависимыми, и тогда
(G'«H-clG^-i + ..,+cmE)b=O. (И)
Полином Am-|- с1Ая*-1-]- ... -Ь ст, соответствующий левой части выражения (11),
является минимальным полиномом вектора b относительно G, а его степень назы-
вают высотой вектора Ь относительно G. Если матрица G имеет различные собствен-
ные значения или различным собственным значениям соответствует лишь одна жор-
данова клетка в канонической форме, то почти все векторы имеют высоту п.
Пусть Ьо — вектор высоты п. Тогда векторы Ьд = СйЬо (Аг = 0,1.....п) в силу
теоремы Гамильтона—Кэли удовлетворяют уравнению
Ьл+Pib«+ РлЬо = 0, (12)
где Xя + pt Xя-1 + ... + рп — характеристический полином матрицы G.
Уравнение (12) удобно записать в матричной форме
Вр = -Ьл, (13)
где в = (Ьо, Ь], .... Ьл-1) — матрица, столбцами которой являются указанные век-
торы; р = (рл, рл_1, ..., Pi)T — вектор коэффициентов характеристического полинома.
Таким образом, развертывание характеристического определителя сводится
к решению системы линейных алгебраических уравнений (13). Эту систему удобно
решать по методу Гаусса с исключением по столбцам. Для этого требуется Злй (л-4-
4- 1)/2 умножений и делений. За начальный вектор Ь„ можно принять любой вектор,
не совпадающий с собственным вектором.
Пример. Методом А. Н. Крылова вычислим коэффициенты характеристического полинома
матрицы
(1 2 Зх
1 7 4]. (14)
5 1 2/
Для этого положим Ьо = (1, 0, 0)т. Последовательное умножение на матрицу G дает: Ь, =
= Gbe = (1, 1, 5)т; b, = G2bo = (18, 28. 16)т; b, = G3b0 = (122, 278, 150)т. Система (13) прини-
мает вид
рз 4* Pi + i = — 1221
Pt -C 28p j г=. — 278;
5pi -j- lop, =— 150.
Ее решение, как легко видеть: ра=56, р2 = 2, pt =— 10. Непосредственное развертывание
хар -ктеристического определителя приводит к тому же результату-
Метод А. М. Данилевского [108] Сопровождающей матрицей характеристиче-
ского полинома называется матрица
(0 0 ... 0 —р„ У
I 0 ... О —рл_1|
о 1 ... О 05)
0 0 ... 1 —pf /
где pj — коэффициенты характеристического полинома. Эта матрица является част-
ным случаем канонический формы Фробениуса. Ее характеристический определи-
тель легко раскрывается и совпадает с полиномом (10). В этом методе матрицу G
приводят к форме (15) путем выполнения (п — 1) неортогональных преобразований
подобия.
Геометрическая интерпретация алгоритма такова. Исходной матрице G в базисе
еу (/ = 1, 2, .... п) евклидова пространства соответствует оператор. При этом /-й
столбец матрицы — коэффициенты разложения вектора Gey по базису е/. Пред-
положим, что Ci = (1, 0...0)т — вектор высоты п. Тогда соотношение (12) можно
записать в таком виде:
Ояе1 = -р1Ся^е]-р2Оя-2е1-...-рле1. (16)
Так как векторы d. Ge1( G’*1 et линейно независимы, то они принимаются в ка-
честве нового базиса е<:
ei=er e2 = Cei.....ел = Сл‘1ег
Исходный оператор в новом базисе е'., очевидно, имеет матрицу в форме Фробениуса
(15).
Переход от базиса е^ к базису е' осуществляют за (п — 1) шагов, при этом на каж-
дом шаге изменяется только один вектор. Получается последовательность базисов,
при этом в k-м базисе первые k векторов уже совпадают с первыми k векторами но-
вого базиса, т. е. он имеет вид е[, е?, .... е'к, ъ , .... eR. Пусть G'*’ матрица опера-
тора в А*-м базисе. В первых столбцах она уже совпадает с матрицей (15), а Л-й столбец
суть компоненты вектора G = G*ek в А-м базисе. Очевидно, что G‘*J — G, так как
е[ = ег
Переход от £-го к (k -}- 1)-му базису осуществляют путем преобразования с мат-
рицей Щ+1. Столбцами ее, как известно, служат коэффициенты разложения (k 4- 1)-го
базиса по векторам £-го базиса. Очевидно, что она будет отличаться от единичной
матрицы только (k 1)-м столбцом. Последний будет совпадать с координатами век-
тора е£+| в k-м базисе, т. е. с А-м столбцом матрицы GW).
Итак, элементарное преобразование подобия на А-м шаге имеет вид
где
° — иА-|-1и иЛ + 1’
.1 "ь* + 1 х J—“'Ч.Лч-1
u»+1 = ' )• чг+1=:
1 ^n,k+i 1' u ^'^п< k+i ।
На всех л — 1 шагах потребуется выполнить и2 (п — 1) умножений и делений.
Пример Вычислим по методу А М. Данилевского коэффициенты характеристического
полинома матрицы (14) из предыдущего примера. Необходим! выполнить два шага. Так как
е' = ejr то Uj = Е и G<i' = G. Строим матрицы
/1 1 0. /I — 1 (X
U2 = (0 1 0], U?1 = 10 1 О*
\0 5 1/ \0 — 5 1/
Матрица L', отличается от единичной лишь вторым столбцом, который равен первому столбцу
матрицы G'l). Вычисляем
, 1 — 1 (X I 2 3у ,1 1 Оу /0—10 — 1
G,s’ = U^GU, = 10 10 I 7 4|j0 I 0| = (1 28 4
\Q — 5 1/ \5 1 2/ \0 5 1/ \0 —124 —1!
В матрице U, последний столбец должен быть равен второму столбцу матрицы Gf2>
/1 0 — 10 у /1 0 —5/62 у
Us = | ) 1 28 J, U7’ = ' 0 1 7/31 V
\0 0 - 124/ \0 0 — 1/124
Последний шаг
(1 0 — 5/62 , ,0 — 10 — I , И 0 — 10 у /0 0 — 56у
0 1 7/31 | 1 28 4 ) I э 1 28 ] = I 1 0 — 2 ].
0 0 — 1/124/ ' — 124 — 18 \0 0 — 124/ \0 1 10^
приводит к тому же результату р, = 56, pt = 2, pi = — 10
Подпрограмма вычисления коэффициентов характеристического полинома по
методу А. М. Данилевского. Оператор обращения имеет вид
CALL EVCPD (G, Р, R, RN, В, N, О, IER)
Здесь G — матрица, N — порядок матрицы, Р — массив коэффициентов полинома
размерности N -Ь 1; R, RN, В — массивы размерности N + 1. Матрица G не со-
храняется. Если фактическое значение предпоследнего параметра равно 1, то под-
программа вычисляет дополнительно и корни характеристического уравнения по
методу Берстоу |б2]. Для этого используется соответствующая подпрограмма PRBM.
Метод Д. К- Фаддеева [108]. Алгоритм метода сводится к вычислению после-
довательности матриц G'1’, G(”, ..., G,zl) по нижеприведенной схеме:
G,1: = G, trG1' —Bfl, = G‘1’ — ftE,
G(2» = GB<i>, -* -tr G‘2> = 92, B<2, = G'2’- q2E,
G{/1,₽ GB<*-11, - trG'«’=<7M, В‘Я, = О,Л’ —<?nE.
При этом Bfnl = 0; = —qi, p2 = ~q2. .... pn = —qn, где pj — коэффициенты
характеристического полинома матрицы G. Кроме того, если detG =/= 0. то —Вл"17рл=
= G-1 Для нахождения коэффициентов характеристического полинома требуется
л3 (п — 1) умножений. Этот алгоритм представляет собой видоизмененный метод
Леверъе.
Пример. Для матрицы (14) эта схема выглядит так:
/12 3^ /—9 2 3,
GU,= G = J 7 4 , tr G(” = 10, В Ы = 1—3 4
5 12 \ 5 1 — в'
8—1—13, .10-1-13,
G,a’ = 18 — 15 — 1 | tr G'2i = — 2, B'!> = j 18—13—1];
\—34 9 3 ' \— 34 9 5
(—56 0 0 -0 0
0 — 56 0 j, |trG'3> = — 56, B<8iK fl 0 0].
0 0 — 56. \0 0 О?
Следовательно, имеем p, = 56, pt — 2, — — 10.
Подпрограмма метода Д. К. Фаддеева. Оператор обращения имеет вид [162]
CALL FADD (G, N, GINV, DET, GDJUG, Р).
Здесь G, GINV, GDJUG — матрицы порядка N; Р — массив коэффициентов характе-
ристического полинома размерности N; DET — значение определителя матрицы G;
GINV — вычисленная матрица G"1, если detG =£ 0; GDJUG — вычисленная присо-
единенная матрица
О методе косвенного вычисления коэффициентов характеристического уравнения.
Вычислив значения определителя р (X) = det (G — ХЕ) при некоторых заранее
выбранных Х2, Хд+1, можно получить систему уравнений р^ + +
+ ... + p„_]hj + рп = Р/ (/ = 1, 2, ..., п-р 1) относительно коэффициентов харак-
теристического полинома. Здесь Pf — вычисленные значения определителя. Воз-
можны другие варианты с использованием интерполяционных полиномов. Подроб-
ный анализ [108] показал, что этот метод приводит к большим относительным по-
грешностям коэффициентов полинома и собственных значений.
Вычисление корней характеристического полинома. Рассмотрим характеристи-
ческий полином, заданный в явном или неявном виде [р (1) = det (G —ХЕ)]. Метод
Мюллера основан па применении квадратичной интерполяции (отсюда происходит
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
89
другое название — метод парабол). Для произвольных начальных значений Х<0',
X11*, Х,2) независимой переменной вычисляют значения полинома р (Х<0)). Р (X'11)
и р (Х<2)). По найденным значениям строят интерполяционный полином Лагранжа
второй степени и вычисляют его корни. Тот из его корней, который ближе
к Х(2’, принимают в качестве следующего приближения Х(3' и т. д. После вы-
числения приближенного корня X = а удаляют этот корень путем деления на мно-
житель (X—а) и метод применяют к полиному меньшей степени.
Если полином р (X) задан в неявном виде, аХь Хг, ..., Хл — вычисленные значения
его корней, то для нахождения следующего корня рассматривают функцию
k
РНХ) = Р(Х)/П (x-М-
/=1
Оператор обращения к подпрограмме вычисления корней характеристического
полинома явного вида записывают в форме
CALL POLRT (Р, COF, N, ROOTR, ROOT1, IFR).
Здесь Р = (рп, Pn_i, pi, 1)—массив коэффициентов характеристического поли-
нома; COF — рабочий массив размерности N + I; N — порядок полинома (N 36);
ROOTR и POOTI — массивы размерности N, содержащие вычисленные значения
действительных и мнимых частей корней полинома соответственно.
Глава V
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Предварительные замечания. Понятие о консервативных и неконсервативных
системах было введено в гл. II. В настоящей главе будут рассмотрены линейные
автономные системы, колебания которых описываются уравнениями
(1)
Здесь q (0 — матрица-столбец обобщенных координат; А, В и С — квадратные мат-
рицы с постоянными действительными элементами a/*, bjk и С/к соответственно.
Матрица А является матрицей инерционных коэффициентов; в дальнейшем будем
ее считать симметричной и положительно определенной. На свойства матриц В и С
не накладывается ограничений. Тогда уравнения (1) будут соответствовать некото-
рой неконсервативной системе.
Классификация сил. Слагаемые, входящие в левую часть уравнения (1), можно
истолковать как взятые с противоположным знаком обобщенные силы, действую-
щие на систему. В левой части последовательно стоят даламберовы силы инерции,
силы, пропорциональные обобщенным скоростям
— 2 »/»«*. <2)
А=1
и силы, пропорциональные обобщенным координатам (позиционные),
q;”—- о)
k-- 1
Представим матрицы В и С в виде сумм симметричных к антисимметричных мат-
риц: В = Bj + В2; С = Cj 4- С2. Вновь введенные матрицы удовлетворяют соотно-
шениям Е— В ; Вт = —В ; С = С ; Ст = —С , а их элементы
1 1’ S 2 1 12 2
। .1 (4)
2’ + сД — 2 (С/А
Обобщенные силы, соответствующие матрицам В} и В2, называют соответственно
диссипативными и гироскопическими. Если матрица В, — положительно определен-
ная, то мощность диссипации при любых движениях будет величиной положитель-
ной. В этом случае диссипативные силы обладают полной диссипацией. Ест и мат-
рица Вх положительно полуопределенная, то говорят о неполной диссипации-, если
матрица BL отрицательно определенная, то любое движение будет сопровождаться
отрицательной диссипацией, т. е. амплитуды будут возрастать. Соответствующие
силы будем называть силами с отрицательной диссипацией или ускоряющими силами.
Этоттермин будем применять и для сил (2) со знакопеременной матрицей коэффициен-
тов, т. е. со знакопеременной квадратичной формой мощности диссипации. Мощ-
ность гироскопических сил на любых действительных перемещениях равна нулю;
в этом смысле гироскопические силы являются консервативными.
Рассмотрим силы, зависящие от положения. Если коэффициенты в соотношениях
(3) образуют симметричную матрицу, то эти силы являются консервативными. Они
совпадают с квазиупругими силами, введенными в гл. II при рассмотрении малых
свободных колебаний консервативных систем. Позиционные силы с антисимметрич-
ной матрицей коэффициентов неконсервативны. Для этих сил общепринятого тер-
мина нет. Их называют псевдогироскопическими, циркуляционными,следящими', мы
будем пользоваться термином неконсервативные позиционные силы.
Приведенная классификация основана на формальных свойствах коэффициентов
дифференциальных уравнений движения (1). Одни и те же силы могут вносить вклад
в различные группы членов уравнений движения. Например, силы, зависящие от
положения, могут иметь несимметричную (не обязательно антисимметричную) мат-
рицу коэффициентов, а разложение матрицы коэффициентов на симметричную и
антисимметричную составляющие может не допускать физической интерпретации.
В этом случае термин неконсервативные позиционные силы можно применять к си-
лам с несимметричной (не обязательно антисимметричной) матрицей коэффициентов.
Классификация линейных систем. Введенная классификация сил позволяет
классифицировать линейные системы с постоянными параметрами, Системы, нахо-
дящиеся под действием одних только консервативных позиционных сил, называют
консервативными системами. Системы, находящиеся под действием одних только
гироскопических сил или гироскопических и позиционных консервативных сил,
называют гироскопическими. Для этих систем выполняется теорема о сохранении
полной механической энергии, т. е. эти системы также являются консервативными.
Все остальные системы можно отнести к неконсервативным. Будем считать, что
во всех колебательных системах имеются позиционные консервативные (квазиупру-
гие) силы. Системы, находящиеся под действием диссипативных сил, будем называть
диссипативными системами. В зависимости от характера сил диссипации будем
различать системы с полной диссипацией, с неполной диссипацией и с отрицательной
диссипацией. Первые два типа систем называют также пассивными системами. Си-
стемы с отрицательной диссипацией и (или) с позиционными некоисервативными
силами относят к активным системам. В пассивных системах возможны либо стацио-
нарные, либо затухающие колебания, В активных системах возможно самовозбуж-
дение колебаний. Активные линейные системы являются линейными моделями авто-
колебательных или потенциально автоколебательных систем.
2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ
Общее решение задачи о свободных колебаниях. Рассмотрим линейную диссипа-
тивную систему, движение которой описывается матричным уравнением (1) с сим-
метричными матрицами А, В и С. Уравнение будет удовлетворено, если положить
q(/) = ve?/, (5)
где 1 — комплексное число; v — комплексная числовая матрица-столбец. Числа 1
называют характеристическими показателями, а числа tk или —iX —комплексными
частотами. Характеристические показатели X равны корням характеристического
уравнения
del (АХ2 + В/. + С) = О, (6)
или в развернутом виде,
ОцХ24-^1А + г11 а12^24-&12ХЧ-С12 ... atnk2 H-biiA + ci/j
а2Л2_Ь ^21^4'f21 а22^г4" ^ггХ-ГСгз ... -j- b.lnk. Д- с2л _Q (У)
+ + ал2^г + ЬлгХ + Сл2 • • • ^пп+^лдА + спя I
Система с п степенями свободы имеет 2л характеристических показателя Xlt Х2,
Х2л. Поскольку коэффициенты уравнения (7) являются действительными величи-
нами, то все характеристические показатели либо действительные, либо попарно
комплексно сопряженные величины. Каждому характеристическому показателю
соответствует одно из частных решений уравнения (1). Если все характеристические
показатели — простые корни уравнения (7), то общее решение уравнения (1) будет
равно сумме 2л частных решений типа (5):
2п
q (О = У! * . (8)
I
Здесь Q — произвольные комплексные постоянные, wA — числовые матрицы-столбцы.
Так как по условию решение q (/) является действительной величиной, а характе-
ристические показатели связаны соотношением Х*^ = ХА (звездочка означает пере-
ход к комплексно-сопряженной величине), то должно выполняться условие
Представим характеристические показатели в виде
Х*=— e* + iwft8; Хл+Й=—еА —(£=1, ...» л). (9)
где ей > 0 и шАв > 0 —действительные числа, называемые коэффициентами демп-
фирования и собственными частотами демпфированной системы соответственно.
Взяв действительную часть ог выражения (8), получаем
q(0=S« (^UACosw*e/ + Gftvftbin<D*e0, (10)
Ч J
где Fk и Gk — действительные постоянные величины; uA и — действительные
матрицы-столбцы. При заданных начальных значениях всех обобщенных координат
и скоростей постоянные и Gk однозначно определяются из начальных условий.
Если среди корней уравнения (7) имеются кратные, вид общего решения зависит
от структуры элементарных делителей некоторой матрицы, (формируемой из матриц
А, В и С. Поскольку для рассматриваемого класса систем все эти матрицы симмет-
ричные, то все элементарные делители простые. Общее решение по-прежнему имеет
вид (8) или (10), где каждому характеристическому показателю соответствует такое
количество решений, какова кратность показателя.
Зависимость характера колебаний системы от свойств ее коэффициентов. Дей-
ствительные характеристические показатели, представленные в виде (9), соответ-
ствуют монотонным (неколебательным) движениям системы, комплексные показа-
тели — колебательным движениям. При этом частное решение будет затухающей,
периодической или неограниченно возрастающей функцией времени в зависимости
от того, будет ли действительная часть соответствующего характеристического
показателя отрицательна, равна нулю или положительна.
Для консервативной системы все характеристические показатели — чисто мнимые
(рис. 1, а) и равны с точностью до ±i собственным частотам системы. Все частные
решения являются периодическими функциями времени, а движение в общем слу-
чае — стационарным (почти периодическим).
Если система диссипативная и обладает полной диссипацией, то все характеристи-
ческие показатели лежат в левой полуплоскости комплексного переменного (рис. 1, б).
/тЛ
LU)3 ( ।
1ыг о
i>
~ i(i)f (Reл
- 1(1)^ 1>
- 1• ^2
RpA
?
I
I
I
I
u Im Л
i
9
ю
Рис. 1. Расположение характеристических показателей на
плоскости для различных систем;
комплексной
а—консервативной; б— с полной диссипацией; в —с неполной дисси-
пацией; г—с отрицательной диссипацией
Все частные решения — затухающие функции, и, следовательно, общее решение —
затухающая функция времени. Если система обладает неполной диссипацией, то
часть ее показателей лежит в левой полуплоскости, а часть — на мнимой оси (рис. 1, в).
Среди частных решений содержатся периодические, отвечающие незадемпфирован-
ным степеням свободы.
Если система обладает отрицательной диссипацией, то среди характеристических
показателей могут найтись такие, действительные части которых положительны
(рис. 1,е). Соответствующие частные и общее решения будут неограниченно воз-
растающими во времени функциями.
Свободные колебания диссипативной системы с одной степенью свободы.
При п = 1 уравнение (1) принимает вид
°^+6s+"?=0’ <")
где а > 0; д 0; с > 0. Это уравнение можно также представить в виде
+2ел|-““’=0, (12>
где е — коэффициент демпфирования; w0—собственная частота соответствующей
консервативной системы
е=й: “’=W • <13>
Характеристические показатели
^1.2 = - 8 + i Kwg —ёз, (14)
т. е. собственная частота демпфированной системы равна ше = — е3. Общее
решение (10) имеет вид
q (Г) =е~8/ (Гcos t-J-G sin - e3 t). (15)
При e = 0 движения системы будут иметь периодический характер, при е > 0
они будут неограниченно затухать во времени, при е<0 будут неограниченно
возрастающими. Если 0 < е < ш0, то затухание будет сопровождаться колебаниями.
При е > ш0 затухание будет монотонным (кроме, может быть, небольшого началь-
ного отрезка времени). Значение коэффициента демпфирования е = а»0, соответ-
ствующее переходу от колебательного процесса затухания колебаний к монотон-
ному, называют критическим.
Характеристики демпфирования. Коэффициент демпфирования е, задаваемый
первой из формул(13), имеет размерность с-1. За безразмерную характеристику демп-
фирования может быть принята одна из следующих величин:
4л_В в = 2ле д
(00 ’ о0 ц>0
При ь3 (й^ первая величина может быть истолкована как относительное рассеяние
энергии за один цикл колебаний, т. е. как отношение величины рассеянной энергии
к среднему значению энергии колебательного процесса. Параметр О равен натураль-
ному логарифму отношения двух последовательных максимальных значений обоб-
щенной координаты (логарифмический декремент колебаний)'.
(14
4-1
Параметр fi, равный отношению коэффициента демпфирования к его критиче-
скому значению, называют относительным демпфированием. Критическому демпфи-
рованию соответствуют значения ф = 4л, О = 2л, 0=1. Демпфирование можно
считать малым, если выполнена хотя бы одно из условий: фа < 1, и2 <; 1, 02
Нормальные координаты для диссипативных систем. По аналогии с консер-
вативными системами (гл. Ill) будем называть нормальными координатами для
диссипативных систем такие обобщенные координаты, при переходе к которым си-
стема уравнений (1) распадается на независимые уравнения. Запишем эти уравне-
ния в виде
2.....л>- <18>
Нормальные координаты диссипативных систем существуют только при некоторых
ограничениях, накладываемых на матрицы А, В и С. Эго является отражением ал-
гебраического факта — невозможности одновременного приведения трех произ-
вольных квадратичных форм к сумме квадратов посредством линейного преобразо-
вания переменных.
Укажем два простейших частных случая, когда такое приведение возможно.
Пусть диссипативная матрица В с точностью до числового множителя пропорцио-
нальна матрице инерционных коэффициентов, т. е. В = 2еА, где е — некоторая
постоянная. Тогда нормальные координаты диссипативной системы совпадают с нор-
мальными координатами соответствующей консервативной системы, а коэффициенты
демпфирования для всех нормальных координат равны = е2 = ... = ед = е.
Рис. 2. Система с внешним трением
Примером может служить система, изображенная на рис. 2. Уравнения диссипатив-
ной системы можно привести к виду (18), если все диссипативные силы, прило-
женные к сосредоточенным массам, пропорциональны этим массам. Qf'— —
Демпфирогание такого типа называют внешним.
Во втором случае диссипативная матрица пропорциональна квазиупругой мат-
рице. Пусть В = Т]С, где т] — некоторая постоянная. Вновь нормальные координаты
совпадают с таковыми для консер-
вативной системы. Коэффициенты
демпфирования пропорциональны
квадратам собственных частот
= тро* (k = 1, 2, .... л). Этот
тип демпфирования иногда назы-
вают внутренним (по аналогии с
трением Фойхта в распределенных
системах).
Случай малой диссипации. На-
зовем диссипацию малой, если эле-
менты матрицы (А-1 В)3 достаточно
малы по сравнению с элементами матрицы А-1С, собственные значения которой
равны квадратам собственных частот консервативной системы. Сравнивая матрицы
по некоторой норме, представим условие малости диссипации в виде
II (А-1В)2 Н
II А-1СЦ
(19)
В случае, если п = 1, это условие равносильно соотношению в2 << ©2.
При малой диссипации можно в первом приближении пренебречь недиагональ-
ными элементами матрицы А-1В. Тогда уравнение (1) приближенно приведется к виду
(18) с коэффициентами демпфирования е* = -0 {АВ) Этот прием оправдан в тех
случаях, когда отсутствует достаточно достоверная информация о диссипативных
связях в системе. Заметим, что при малой диссипации собственные частоты будут
мало отличаться от собственных частот соответствующей консервативной системы.
3. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характе-
ризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы ь окрестности ее по-
ложения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отно-
шению к малым возмущениям начальных условий, малым возмущениям коэффициен-
тов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответ-
ствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, за-
пишем уравнение (1) относительно 2л-мерной матрицы-столбца фазовых перемен-
ных х
- Gx. (20)
где G — матрица размерностью 2л X 2л:
G =
/ О
АЮ
Е
— А-Ш/’
(21)
Равновесию системы соответствует тривиальное решение х = 0 уравнения (20).
Близость решения к положению равновесия будем оценивать одной из норм типа
/ 2п у/,
Цх|1= 2М •
||х||= шах |хл1
1 г= k 2п
(22)
и ДР- Определения устойчивости будем формулировать применительно к частному
случаю равновесия.
Определение устойчивости по Ляпунову. Равновесие х = О называют устой-
чивые по Ляпунову, если для любого 8 > О можно найти такое 6 > 0. что из условия
II х (fo) II < в при любим t > t0 следует неравенство || х (t) II < 8. В противном слу-
чае равновесие х = 0 называют неустойчивым.
Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых
начальных возмущениях фазовые траектории системы будут достаточно мало откло-
няться от положения равновесия. Неустойчивость равновесия означает, что система
может удалиться от положения равнове-
сия даже в том случае, если начальные
возмущения сколь угодно малы.
Равновесие х = 0 называют асимпто-
тически устойчивым, если оно устойчиво
по Ляпунову и, кроме того, выполняется
)слоьие
lim || х (011=0.
(23)
Графическая иллюстрация определе-
ния устойчивости по Ляпунову на при-
мере двухмерного фазового пространства
дана на рис. 3. •
Теоремы об устойчивости линейных
автономных систем. Устойчивость равно-
весия q = 0 линейной автономной систе-
мы, движение которой описывается урав-
нением (1), полностью определяется свойствами характеристических показателей
^1, ^2> •••> ^-2л — корней характеристического уравнения (6) или, что то же, корней
уравнения
р (X) = det (G - ХЕ) = 0. (24)
Здесь G — матрица (21).
Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех
характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характе-
ристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо
имеют простые элементарные делители.
Равновесие системы асимптотически устойчиво, если все характеристические по-
казатели имеют отрицательные действительные части.
Равновесие системы неустойчиво, если среди характеристических показателей
имеется хотя бы один с положительной действительной частью.
Четыре наиболее типичных случая расположения характеристических корней
на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной си-
стемы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О,
устойчиво по Ляпунову при 8 = 0 и неустойчиво при е б.
Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при крат-
ных показателях с нулеьыми действительными частями. Техника установле-
ния структуры элементарных делителей сьязана с приведением матриц к нормальной
форме Жордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограни-
чимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях
±icofe с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1)
частных решений вида Р (/) sinioft/, Q(r)cosio^t, где P(f) и Q(/) — полиномы,
степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если
матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические
показатели имеют простые элементарные делители.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные урав-
нения типа (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нели-
нейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости
равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей не-
линейной системе, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений
нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функ-
циями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы
асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по
Ляпунову независимо ат нелинейных членов.
Если при тех же условиях среди характеристических показателей линейной си-
стемы найдется хотя бы один, имеющий положительную действительную часть, то
равновесие нелинейной системы будет неустойчиво независимо от нелинейных членов.
Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голо-
номными стационарными связями находится в равновесии под действием одних кон-
сервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равнове-
сия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
Эту теорему использовалп ранее при рассмотрении малых свободных колебаний
консервативных систем.
Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия
(движения) линейных систем. Приведенные ниже теоремы, связанные с именами
Кельвина и Тета, относятся к изменению характера устойчивости систем, находя-
щихся под действием консервативных позиционных сил, при добавлении диссипа-
тивных и (или) гироскопических сил [114].
Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, становится асимптоти-
чески устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией, а также
диссипативных сил с полной диссипацией и гироскопических сил.
Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, остается устойчивым
при добавлении диссипативных сил (не обязательно обладающих полной диссипацией)
и (или) гироскопических сил.
Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, может быть стабили-
зировано путем добавления гироскопических сил только в том случае, если степень
неустойчивости (число отрицательных коэффициентов у квадратичной формы по-
тенциальной энергии) четная.
Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, не может быть стаби-
лизировано добавлением гироскопических сил и диссипативных сил, если последние
обладают полной диссипацией.
4. КРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Для того чтобы доказать асимптотическую устойчивость линейной автономной
системы, Достаточно убедиться, что все корни характеристического уравнения имеют
отрицательные действительные части. Ниже сформулированы необходимые и доста-
точные условия, при которых корни характеристического уравнения (24) лежат
в открытий левой полуплоскости.
Критерий Рауса—Гурвица и родственные алгебраические критерии. Рассмотрим
алгебраический полином с вещественными коэффициентами. Пусть левая часть урав-
нения (24) задана в виде полинома
р (^)=Р<Лп+рЛп'1+-”+Р4-А+Рл< (25)
Коэффициенты этого полинома можно получить одним из методов, описанных в гл, V.
Необходимым условием того, чтобы действительные части корней полинома (25)
были отрицательными, является положительность всех его коэффициентов: pk > О
(А = 0, 1, 2...п). Поэтому можно считать, что рс > 0.
Составим из коэффициентов полинома квадратную матрицу порядка п
(Pi Рз Рь ••• Рал-Г
Ро Pi Pi ' • • Р2л - 2
0 р^ р3 ... рап..3
0 0 0 ... Рп t
КРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
97
по следующим правилам: ь верхний левый угол ставим коэффициент далее мат-
риц)’ заполняем так, чтобы индексы коэффициентов в строках увеличивались на двой-
ку, а в столбцах — уменьшались на единицу. При этом вместо коэффициентов с ин-
дексами k <; 0 или k > п ставим нули.
Для того чтобы все корни полинома (25) имели отрицательные действительные
части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диаго-
нальные миноры его матрицы H,t (критерий Рауса—Гурвица):
Д2 =
Pi Рз
РО Р'2
(27)
Дл = риАл_3>0.
В табл. 1 приведены условия устойчивости для полиномов до четвертой степени
включительно. В случае полиномов более высокой степени проверка условий (27)
требует вычисления определителей и проводится на ЭВМ по стандартной подпро-
грамме.
1. Условия устойчивости Для ПОЛИНОМОВ
Полином Условия устойчи- вости Полином Условия устойчи- вости
Р<Л + Р1 Ро > о, Р1 > о pijk* 4- pAj 4- Рз^2 4" 4- Р»^ 4" Р« Ро > 0, р, > 0, Рз > 0. Рз > 0. Р« > 0, р, (р2рз — -PjPJ-PoPI >°
Г<Л! 4* РЛ 4* Рг Ро >0. р, > 0, Pi >0
Р(Л* + р,Ь« 4 р4Х + 4 Рз Ро > о, Pl > 0, рг >0. Рз > 0. PiPa - PoPs > 0
Критерий В, И. Зубова. Рассмотрим алгебраический полином с вещественными
коэффициентами, заданный в неявном виде. Чаще всего в теории устойчивости
систем с конечным числом степеней свободы характеристический полином встре-
чается в виде (24), где G —вещественная матрица порядка п. При помощи дроб-
но-линейного преобразования
Л = (р4-1)/(р-1)
левая полуплоскость ReX<0 отображается на единичны!! круг I р I
вместо (24) получаем
det (Г —рЕ) = О,
(28)
1. При этом
(29)
где Г = (G — Е)-1 (G 4- Е). Корпи полинома (29) являются собственными значе-
ниями матрицы Г, и все они по модулю меньше единицы.
Для того чтобы корни полинома (24) лежали в левой полуплоскости, необходимо
и достаточно, чтобы
rfe -г 0 при k оо, (30)
где Г = (G — Er1 (G + Е) = Е + 2 (G — Е)-1. Условие (30) будет выполнено,
если для какого-либо з окажется, что I I s^a/n для всех j и т, тдр bfy — элемент
матрицы Г1; 0 <; а < 1.
Алгебраический полином с комплексными коэффициентами. Пусть коэффициенты
полинома (25) — комплексные числа. Если корни полинома р (X) лежат в левой полу-
4 п/р. Болотина В. В.,т. I
плоскости, то корни полинома Р (ш) = р (iw) находятся в верхней полуплоскости,
т. е. имеют положительные мнимые части. Положим X = /со. Отделяя действительную
и мнимую части, получим
Р (со) == р (iu>) = аои>г' ф-aju)71 ал _-f-ал + 4 (бои)”-ф"1 ф...
• +М» (31)
где ад, bk (k ~ 0, 1, 2, .... п) —вещественные чиста. Составим из коэффициентов
полинома (31) вещественную матрицу порядка 2н:
/ aJ ai аг •
Ьп Ь{ ... Ь, :
ао (,1 ап
Н2л = Ьо Ь, . Ьп (32)
ао а, ... ал
( ьо ... ьп I
Элементы вне блоков равны нулю.
Число корней полинома р (X) с комплексными коэффициентами, имеющих отри-
цательные действительные части, равно числу перемен знака ь ряду 1, Д2, А4, ...»
Д2л_2, Д2л, где А2Л — главные диагональные миноры четного порядка матрицы Н2Л.
Поменяем местами строки в каждом блоке матрицы Н2я. В результате получим
матрицу
Ьо ... Ьл
°о at ••• йп
Для того чтобы все корни полинома р (X) с комплексными коэффициентами лежали
в левой полуплоскости [или все корни полинома Р (ш) находились г верхней полу-
плоскости], необходимо и достаточно, чтобы главные диагональные миноры Д'А
(# = 1, 2.... п) матрицы Н'л были положительные (критерий Рауса—Гурвица).
Пример. Исследование устойчивости цилиндрической оболочки в потоке газа [11] приводит
к решению проблемы Рауса — Гурвица для полинома р (А.) = Л* — Яу — i (е 4- V) Л 4~ iykU.
Здесь е, у, k, U, О, — вещественные параметры По физическому смыслу задачи нево змущенное
движение оболочки будет устойчивым, если этот полином не имеет корней в нижней полуплос-
кости. Составим матрицу Hj.n полинома
(О — щ 4- у) ykU 0 >
1 о — я] о \
I
о о - (е 4- у) ykU /
0 1 о - ар
Условия Рауса — Гурвица дают Д^ = (е 4- У) > 0, aJ = Я, (8 4" V)* — (УМ)1 > 0.
Критерий Коши—Михайлова—Найквиста. Рассмотрим полином р (X) (25) с ве-
щественными коэффициентами. Криь)ю г = р (цо) [где ш — вещественный параметр
(О to < ос)] называют годографом Михайлова полинома р (X). Каждой точке годо-
графа соответствует вектор z, зыходящий из начала координат. В силу необходимых
условий р (0) = цп > 0.
Для того чтобы все корни полинома (25) лежали в левой полуплоскости, необхо-
димо и достаточно, чтобы угол поворота против хода часотой стрелки вектора р («о)
Рис. 4. Примеры устойчивых годографов для полиномов степени п
при изменении параметра и от 0 до « был равен лл/2, где п — степень полинома
(критерий Коши —М ихайлова—Найквиста ).
Таким образом, график годографа полинома, имеющего все корни в левой полу-
плоскости, выходит из точки р (0) = ап > 0 положительной полуоси Re z > 0,
при ш -> оо будет последовательно пересекать полуоси Imz >0, Re z < 0, Im z < 0,
.... а вектор z асимптотически стремиться к и-й по счету полуоси. Примеры годографов
для иатинимов, имеющих все корни в ле-
вой полуплоскости, показаны на рис. 4.
Представим выражение р ((to) в виде
суммы действительной и мнимой частей:
р (tto) = и (х) 4- (ио (х).
Здесь х = и2; и (х) — полином степени
п/2 при четном п или (л — 1)/2 при не-
четном л; v (х) — полином степени л/2 — 1
при четном л или (л — 1)/2 при нечет-
ном л.
Для того чтобы все корни полинома (25)
с положительными коэффициентами имели
Рис. 5. Графики полиномов и (х) и v (х)
отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы корни поли-
номов и (х) и v (х) были вещественными, положительными и перемежались между
собой, причем наименьшим должен быть корень полинома и (х).
Например, для полинома восьмой степени с положительными коэффициентами условия вы-
глядят так: все корни полиномов и (х) = р^х* — p2xs -j- р^х1 — pQx -)- pfi,v (х) = — PjX* -f- р3«» —
— р6х + должны быть вещественными положительными и располагаться, как на рис. 5.
Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами и запаздыванием.
Уравнения возмущенного движения таких систем являются дцфференциально-
4*
разностными запаздывающего типа:
, 2 л tn
dxj (t) Xi х1
—^~= а1’к1Хк^~х^ 2....2л>-
А = 1 / = О
(33)
Здесь xz — постоянные запаздывания, удовлетворяющие условию 0 = т0 < Tj
< t2 < ... < хт (сосредоточенные запаздывания). Отрезок |/0— тт, /0| (f0 — началь-
ный момент времени) называют начальным множеством. В случае распределенного
запаздывания система (33) будет интегро-дифференциальной.
Решение х (0 = 0 называют устойчивым по отношению к возмущениям на началь-
ном множестве |/и — ът, г0], если для любого е > 0 найдется такое 6 (е) > 0, что
для любой непрерывной начальной функции ха (0, удовлетворяющей неравенству
II *и (0 II < 6, i Ко — тт> U» решение х (0 с этой начальной функцией будет удовле-
творять неравенству || х (0 Г < в при всех t > То. Если, кроме того, выполняется
неравенство
Нт || х (0|| = О,
/-*00
то тривиальное решение называют асимптотически устойчивым по отношению к воз-
мущениям на начальном множестве.
Решение системы (33) можно искать в виде
x/(0 = X,-eV (/=1. 2> .... 2/0,
(34)
где X, и X — постоянные. После подстановки (34) в выражение (33) получаем характе-
рисгическое уравнение системы det \ а^/в 1 -— 6/*/.' =0,
V —о /
где — символ Кронекера. Раскрывая определитель, получим характеристическое
уравнение в виде квазиполинома р0 (X) е 4-pj(X)e ’’ +... + рт (X) е 1т',
где р, (X) — алгебраические полиномы. Квазиполином является целой трансцендент-
ной функцией, а множество его корней—бесконечным счетным множеством, не
имеющим конечных точек сгущения. Имеются общие методы, решающие проблему
Рауса—Гурвица для квазиполиномов, однако они очень громоздки и малопригодны
для приложений. Чаще всего на практике прибегают к методу D-разбиений.
Выделение областей устойчивости в пространстве параметров системы. Харак-
теристическое уравнение зависит от параметров |3Ъ р2. •••> ₽г системы. Каждой точке
r-мерного пространства параметров соответствует некоторое расположение корней
характеристического уравнения в комплексной плоскости. При перемещении точки
в пространстве параметров непрерывным образом изменяется расположение корней
характеристического уравнения. Различным областям пространства параметров
будет соответствовать различное число корней характеристического уравнения
в правой полуплоскости. Таким образом, пространство параметров, можно разделить
на области D (k), где k — число корней характеристического уравнения в правой
полуплоскости {D-разбиение). Поскольку при переходе в правую полуплоскость
корень характеристического уравнения пересекает мнимую ось, то уравнение гра-
ниц разбиения имеет вид Р (tco) = 0. Оно эквивалентни паре вещественных уравнений
PR(iu) = 0; P)(w) = 0,
(35)
где со — параметр (—оо < ш < °°)- Области D (0) соответствуют асимптотической
устойчивости системы. Если в выражении (35) исключить со, то получим уравнение
границ областей D-разбиения в пространстве параметров. Остается решить проблему
идентификации областей. Если левая часть характеристического уравнения —
полином, то граница областей D (0) в пространстве параметров определяется либо
уравнением Дя_х = 0, либс рп = 0.
Глава VI
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
1. НЕДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ
Действие гармонической силы. Дифференциальное уравнение вынужденных ко-
лебаний системы имеет вид
5 + “5<7=^(О. (1)
где F (/) — Fo cos со/ — обобщенная вынуждающая сила; Fo и со — ее амплитуда и
частота; остальные обозначения совпадают с принятыми в гл. III. Установившиеся
вынужденные колебания происходят с частотой со, совпадающей с частотой вынуж-
дающей силы. Таким колебаниям соответствует частное решение уравнения (1):
</ = Т-^?СО5((О/-ф),
где <?ст == F0!c — статическое смещение под действием амплитудного значения вы-
нуждающей силы; т] = со/о>о — частотное отношение: гр —фазовый угол. Отношение
Рис. I. Амплитудно-частот-
ная характеристика в случае
гармонической внешней
силы (0 = 0)
Рис. 2. Амплитудно-частотная ха-
рактеристика в случае амплитуды
внешней силы, пропорциональной
квадрату частоты (<> = 0)
амплитуды динамического смещения q к статическому смещению <?ст называют коэф-
фициентом динамического усиления (коэффициентом динамичности):
X —
JL
?ст
(2)
При низких частотах (т, <С 1) амплитуда колебаний близка к статическому сме-
щению, колебания происходят в фазе с колебаниями внешней силы (ср = 0). С уве-
личением частоты со амплитуда колебаний возрастает, а при со соо амплитуда q ->.оо.
Это явление называют резонансом, а частоту, при которой осуществляется резонанс, —
резонансной частотой. Колебания, частота которых выше резонансной (Т] > 1),
происходят в противофазе (ф — я); при со — со амплитуда q -> 0. График зависимо-
сти (2), которую называют амплитудно-частотной характеристикой, представлен
на рис. 1. В реальных системах амплитуда колебаний при резонансе ограничена.
На практике распространен случай, когда амплитуда вынуждающей силы про-
порциональна квадрату частоты Fo = уша {коэффициент у определяется параметрами
системы)- Для этого случая коэффициент динамического усиления
(3)
График амплитудно-частотной характеристики (3) представлен на рис. 2.
Случай кинематического возбуждения колебаний. При этом справедливо уравне-
ние (1), если в качестве внешней обобщенной силы принять переносную силу инерции.
Пусть точка подвеса массы т совершает колебания f = f (t)
(рис. 3). Если q — относительное перемещение массы, то
уравнение (1) примет вид q -|- (n*q = — /, где — mf — пере-
носная сила инерции. Предположим, что f = A cos (at
(А — амплитуда перемещения точки подвеса; w — ее часто-
та). Тогда коэффициент динамического усиления
Рис. 3. Кинематиче-
ское возбуждение ко-
лебаний
х_Х =
х- л -
(4)
График зависимости (4) показан на рис. 2.
2. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ
ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Действие гармонической силы. Дифференциальное уравнение вынужденных коле-
баний имеет вид
<7 2е<? = — Fo cos (at, (5)
где e — коэффициент трения. Частное решение уравнения (5), соответствующее уста-
новившимся вынужденным колебаниям,
имеет вид
Q
COS ((1)/ —ф),
где й » 2ле/соо — декремент колебаний,
Ф — фазовый угол, который находят из
формулы
О
-- п
. л 1
ф = arctg -t-п2-. (6)
Коэффициент динамического усиления
Графики амплитудно-частотных характе-
ристик (7) для различных значений О
представлены на рис. 4. Во всем частотном
Рис. 4. Зависимость х от отношения час-
тоту)
диапазоне амплитуды установившихся
колебаний остаются конечными. Силы вязкого сопротивления оказывают заметное
действие лишь в околорезонансной области. Максимальное значение х при фикси-
рованпом 0 и частите возбуждения
w* =(00
равно
При малых силах вязкого трения можно считать (с погрешностью ~ ft2), что х_ -т
= max х ~ я/О.
График изменения фазового угла (р представлен на рис. 5. При резонансе незави-
симо от величины 0- сдвиг фаз всегда равен п/2 и энергия, поступающая в систему
от внешней силы, максимальна. При переходе через
резонанс угол ф изменяется
тем быстрее, чем меньше трение.
Вязкое трение существенно влияет на силу Гф. передающуюся от колеблющегося
объекта основанию. Амплитудное значение этой силы Гф = хпА0, где хп = коэффт
циент передачи при виброизоляцин, равный отношению виброперемещения (вибро-
скорости, виброускорения) колеблющегося объекта или воздействующей на него
силы к значению этой же величины источника возбуждения:
Па рис. б показана зависимость изменения коэффициента хп от т] при различных
значения О/л. Все кривые проходят черед одну точку, абсцисса которой равна | 2,
а ордината равна единице. Для значений т| » 2 с ростом сил трения коэффициент
хн увеличивается.
Случай произвольной периодической возмущающей силы. Пусть F (f) = F (t 4-
+ Г), где Т — период колебаний. Представим функцию F (/) в виде ряда Фурье
ОО — —
f(/) = a04-^ (a, cos/w/H-ft/sin/wO,
i = i
где <70, а/, bj — постоянные, определяемые по следующим формулам гармоническогс
анализа: •
7 т 1
1 (* 2 (* 2 Г
а0= \ f (Q d/; а/= у \F (I) cos jut dt\ 6/= — I ^ (/) sin/ш/dt
и о о
Частное решение уравнения (5) можно представить в виде разложения ^ = Л04-
ОО
4- И/cos jw»+ В/ sin jo»/),
/=1
где
Лй
1
Дц .
nog ’
fl
(1-/2П2)й/—/ — И*/
' fl 2
(1-Л12)2+/\Д I +
! (l-/2n*)^ + /-^rp/
/ fl \2
(i-W+Z2 —! n2
Дифференциальное уравнение (5) можно записать также в виде
ОО
д4-2е(?‘-Н^<7 = Ло+ У A, sin (/aj/ + q7),
i=i
где ho == а0/а; hj = ~ Р а/ + А/ tg tp, = a, ,‘bj.
Тогда его частное решение будет
ОО
<7 = А+2 Л*/»*п (М+тД
где
А„=__________ ---------------
-» / г fl
cog]/ (1-Л]2)2 + /2^
. fl
1 IT*1
tg е/ = tg (Ф/ - Y/) = -j — .
Метод комплексных амплитуд. При рассмотрении установившихся вынужденных
колебаний этот метод является более экономичным, чем непосредственное аналити-
ческое решение. Вместо уравнения (5) рассматривают уравнение для комплексной
обобщенной координаты q:
q+ 2eJ->ci)^= | (8)
Если q = и-j-ip — частное решение уравнения (8), то tz —частное решение этого же
уравнения для правой, части, равной wIq„cos<ijZ, а и — для (o“qcl sin шЛ Пусть
частное решение уравнения (8J имеет вид q = Aei(at,
где
д_________?ст____
Л~ fl
1—11*+» П
— комплексная амплитуда гармонического колебания. Обозначим комплексную ве-
личину А — Л ое'Ф, где модуль
Ао=-----
.Л / О V
I (1- М*
и аргумент
Ь
, л
Ф = агс1Й—-j-.
Частное решение уравнения (5) имеет вид
q = Re q = Re (Ае'м/) = A cos (cdZ—<p).
(q)
Динамические жесткость и податливость, механический импеданс. Динамиче*
ской жесткостью механической системы называют отношение амплитуды внешней
гармонической силы к комплексной амплитуде колебаний. Для системы с одной сте-
пенью свободы динамическая жесткость
, ,
с(ц) = ^-=а
А
а
1 — п2 -н — п
Это понятие вводится по аналогии со статической жесткостью, как отношение силы
к смещению в системе, вызванному данной силой. Для системы без демпфирования
с (q)—действительная величина. При резонансе система обладает минимальной
динамической жесткостью. В частности, для системы без демпфирования при резо»
напсе динамическая жесткость равна нулю.
Динамической податливостью системы } (т|) называют величину, обратную дина-
мической жесткости:
I / \-i
/(’l)=,TT = a'1 1 — Tl? + i—Л •
с (П) \ л 7
В -крестности резонанса динамическая податливость системы оказывается наи-
большей (для системы без демпфирования она при резонансе принимает бесконечно
большое значение). При значениях т), малых по сравнению с единицей, функция
/ (гр мало отличается от статической податливости.
Механическим импедансом системы 1 (т|) или просто импедансом называют от-
ношение амплитуда гармонической вынуждающей силы к комплексной амплитуде
скорости при установившихся вынужденных колебаниях:
*(И) =
3. НЕДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Уравнение вынужденных колебании имеет вид
Aq + Cq = Fo cos со/,
(Ю)
где q — вектор обобщенных координат; А и С — матрицы инерционных и квази-
упругих коэффициентов; Fo — вектор амплитуд внешних вынуждающих сил.
Непосредственное решение. Оно основано на представлении вектора обобщенных
координат в виде q = q„ cos a>t. После выделения временного множителя задача об
установившихся вынужденных колебаниях свидится к решению неоднородной си-
стемы линейных алгебраических уравнений:
(С—<о2А) q0 = F0. (И)
Решение этой системы существует, если det (С — со2А) =£ 0. Тогда
q = (С—w2A)“l Fa. (12)
Определитель системы (11) равен нулю при совпадении частоты внешнего воз-
буждения с одной из собственных частот рассматриваемой механической системы о>/.
При о = (з), амплитудные коэффициенты обобщенных координат становятся неоп-
ределенными. В этих случаях говорят о резонансах на определенных частотах Напри-
мер, «резонанс на первой собственной частоте» и т. д. Условием существования резо-
нанса является совпадение частоты внешнего возбуждения с одной из собственных
частот со = со/. Однако возможен случай, когда при совпадении частот со = соу ре-
зонанса не будет; он реализуется при выполнении дополнительного условия
(РоЛД = О, означающего, что внешние силы не совершают работы на перемещениях,
FoCOSGjt
Рис. 7. Пример отсутствия резонанса
Рис. 8. Двухмас
совая система
Рис. 9. Амплитудно-частотная
характеристика для массы т,
двухмасс<- *ой системы
на первой частоте системы
соответствующих /-Й форме собственных колебаний. При этом существует решение си-
стемы алгебраических уравнений (II) с определителем, равным нулю, когда ранги
матрицы системы и расширенной матрицы равны (рис. 7).
Пример. Рассмотрим уравнения вынужденных колебаний двухмассовой системы (рис. 8);
tniQt + с1</| + ct (01 — = Ft, cos <0/; 1
•* I
"Mi + c* (<7i — <7i) = 0- '
Частное решение системы (13), описывающее стационарную часть процесса, имеет вид 0t =
^Адсоьш/, 01 = Д,соьш/. Амплитуды колебаний масс т, и тг соответственно равны
д Ft (ci —~гл,шЪ___________
' = (С1 + с2 - т1®') (с2 ~ <
' ' 6 + с2'
Из выражений (Ц) видно, что масса остается неподвижной, если и), = (Сг/т,)1^. В этом
случае А, = 0, А, = — F0/ct (рис. 9) Режим вынужденных колебаний системы при ш = со»
Рис. 10. Система с четырьмя степенями свободы
соответствует антирезонансу на первой обобщенной координате qt Возможности возникнове-
ния антирезонанса используют при устройстве динамического гасителя колебаний.
Пример. Система с четырьмя степенями свободы, совершающая установившиеся вынужден-
ные колебания, показана на рис. 10. Периодическая внешняя сила приложена к массе mt.
Амплитуды установиыиихся вынужденных колебаний Alf Аг, Аа и А4 масс т14 mt, т, и т4
представлены на рис. 1 1 как функции от возбуждающей частоты и. Резонансы устанони»шихся
колебаний Ечзникают при частоте (0. совпадающей с одной из собственных частот Ш|. w», ша и
Рис. 11. Амплитуды установившихся вынужденных колебаний как функ-
ции от возбуждающей частоты
<и4. Масса т, имеет три частоты аитирезопанса, находящиеся в интервалах между соседними
собственными частотами. Масса ms обладает двумя антирезонансами, масса та—одним анти-
резонансом Для массы т4 антирезонансное состояние невозможно
Использование главных нормальных координат. Основной идеен введения главных
нормальных координат является представление движения в виде разложения по фор-
мам собственных колебаний. С математической точки зрения введение главных нор-
мальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одно-
временно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов.
Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независи-
мые уравнения.
Введем преобразование
q = Vq$, (15)
где V — матрица, составленная по столбцам из форм собе 1 венных колебаний. С уче-
том соотношений
V^A-1CV = diag (<oj), V’C^AV = diag f-2-
(16)
н преобразования вектора статического перемещения к главным осям f*0 = V-1for
f0 = C-:IFO исходная система представляется в виде
7+ ш/9фу = <о^уо cos со/ (/ = 1, 2, ..., n). (17)
Каждое уравнение (17) описывает поведение системы с одной степенью свободы.
Решение каждого уравнения (17) имеет е ид
cos со/ (со (Оу).
Для получения решения в исходных обобщенных координатах необходимо учесть
преобразование (15)
п
qj = У Vjkf^ko 1 — Д cosco/. (18)
k= I
При этом ДОДжни быть выражено через статические перемещения.
4. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Уравнения движения диссипативной системы с конечным числом степеней свободы
под действием гармонических сил можно записать в форме
Aq 4- Bq Д Cq Fo cos to/. (19)
Матрица коэффициентов демпфирования В без ограничения общности может рас-
сматриваться как симметричная с ’реди диссипативных систем с конечным числом сте-
пеней свободы различают системы с полной и неполной диссипацией. К первым
относят системы, для которых диссипативная функция Релея R = 1/2 (Bq, q) яв-
ляется положительной |R > 0); матрица В при этом является положительно опреде-
ленной. Для систем с неполной диссипацией функция Релея является неотрицатель-
ной, а матрица В — неотрицательно определенной.
Диссипация существенно влияет на установившиеся вынужденные коелбания.
Для систем с полной диссипацией амплитуды при резонансах становятся конечными,
исчезают антирезонансы, сдвиги по фазам колебаний для обобщенных координат
не равны Ойл.
Непосредственное решение. Получается путем представления вектора q в виде
q = fj cos со/ -j- sin (20)
Компоненты векторов f( н f2 находят из системы уравнений
(C-co’AH + coBf^Fo; )
— wBf1-|-(C-(i)2A)f2 = 0. I '
Уравнения (21) для систем с полной диссипацией обладают отличным от нуля оп-
ределителем и, следовательно, всегда имеют единственное решение. В системе с непол-
ной диссипацией возможны случаи отсутствия единственного решения (наличие бес-
конечных значений амплитуд при определенных собственных частотах).
Применение метода комплексных амплитуд. Вместо уравнения (19) следует рас-
смотреть
Aq’+Bq + Cq^Foe^. (22)
Записывая решение уравнения (22) в виде q=fe/a,\ для комплексной амплитуды
получим уравнение (С— ш2А+ йвВ) f= Fo, откуда
f = (С—(о-А J- 1шВ)-1 Fo = (С—со2А + /оВ)1 Cf0, (23)
где fo—вектор статических смещений под действием амплитудных значений внеш-
ней нагрузки.
Решение исходного уравнения (19) можно записать следующим образом: q —
= Req, fj = Ref, f2 = —Im f.
Метод комплексных амплитуд является предпочтительным при аналитическом
решении задачи об установившихся вынужденных колебаниях систем с конечным
числом степеней свободы.
Использование главных нормальных координат. Решение задачи об установив
шихся вынужденных колебаниях в диссипативных системах с конечным числом сте-
пеней свободы может быть получено при введении главных нормальных координат
для соответствующей системы без диссипации. Использование преобразования (15)
с учетом (16) приводит к уравнениям
4*4-2 fe,*] q* + diag (io/)q* = diag (co7)f*o cos cot (24)
В общем случае матрица [«уй] не является диагональной и разделения на незави-
симые уравнения не происходит (между внсвь введенными парциальными системами
имеются диссипативные связи). В двух случаях имеет место полное разделение:
в случае внешнего трения, когда матрица коэффициентов демпфирования пропорцио-
нальна матрице инерционных коэффициентов В = 2еА. Тогда |r7fe] = diag (е);
в случае внутреннего трения, когда матрица коэффициентов демпфирования про-
порциональна матрице квазиупругих коэффициентов В = т]С; 2 |е/А] = ?)V-1A-1CV =
= г) diag (шр.
Приближенное решение получают, если в преобразованной системе пренебрегают
диссипативными связями (пренебрежение недиагональными элементами матрицы
[е/7г] в предположении, что eyft <Се/7> Это приводит к разделяющейся системе
уравнений
9*/ + 2е//^*/Н-й)/7*/=а)//*7оС05Сй/ (/=1, 2, .... п).
Решение каждого из этих уравнений, соответствующее установившимся колебаниям,
имеет вид
(2еу;<г> \
со2- I
ot — arctg ----i—-
1—со2/со- /
Решение в исходных обобщенных координатах получается как сумма
п
Qi — vjkQtic
А>= 1
5. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Неустановившиеся колебания в системе описывают уравнением
? 4-2tY/4-io2q= l-F (/)
(25)
с начальными условиями q (0) = q^, $ (0) = qQ.
Импульсная переходная функция. Рассмотрим вспомогательную задачу о дей-
ствии на систему единичного мгновенного импульса 6 (/ — т), приложенного в момент
времени t = т, при нулевых начальных условиях. Соответствующее решение диффе-
ренциального уравнения (25) называют импульсной переходной функцией h (/, т) (ино-
гда эту функцию называют весовой функцией или функцией Грина). Решение имеет вид
Л (/, т) -
0, t^x
1 / (26)
—- e~zti~x> sin fo6 (/—т), t>x.
Частное решение. Пусть начальные условия — нулевые. Представим внешнюю
вынуждающую силу F {/) в виде совокупности бесконечно малых импульсов F (т) dx
(рис. 12). Суммируя реакцию системы от каждого такого импульса на отрезке времени
[0 Л] (рис. 12), получим
t
x)F(x)dx. (27)
о
Представление решения в форме (27) называют интегралом Дюамеля.
Если вынуждающую силу F (I) представить в виде последовательности бесконечно
малых приращений F (т) г/т (рис. 13), то частное решение уравнения (25) примет вид
Я* (0 = 4-? (Л —7 F (°) е"е' <cos sin —
сс \ ше /
t
— у f £(т) е~8<г-т> Гс05гое (/—T)-|—— sin ше (/ —т)1г/т.
о L J
(28)
Здесь сохранены обозначения, принятые в гл. V.
Воспользуемся частными решениями в форме (27) или (28) для вычисления безраз-
мерной функции q (/) ocoe/Eq, представляющей собой реакцию системы на действие
Рис. 12. Бесконечно малые импуль-
сы силы F
Гис. 13. Бесконечно малые
приращения силы F
Рис. 14. Частные случаи внеш-
ней силы
произвольной вынуждающей силы F (/) = FJ (/). Результаты вычислений для раз-
личных законов изменения вынуждающих сил, распространенных в расчетной прак-
тике, представлены в табл. I.
Пример. Пусть вынуждающаяся сила сначала возрастает по закону F = ₽Z, а затем,
достигнув в момент f, значения F» = ₽^*, остается постоянной (рис. 14, а). Такую силу можно
представить в виде двух сил (рис. 14, б, в). Тогда реакцию системы на действие Ft при нуле-
вых начальных условиях можно определить по табл. 1, строка 9 (для случая е =0):
р/ Р ,
Qi-^—-----— ski а0/.
с C<B0
Реакцию, вызываемую силой Ft, можно определить по той же строке таблицы, если заме-
нить t на t— I, и изменить знак результата:
При t > t.
L с с®о J
F* [ , о $|П 2 ШиГ* '
<7 Ю = - [ । - 2-----------------cos Оо
l. Неустановившнеся вынужденные колебания в системе
с одной степенью свободы
f (/) = F (0/FB
№
строки
q (Z) aco|/FB
B2t2e~at
Bte
е & X
1 - Зц>
е/ х
4
(I — Зц») cos coEZ + ц (3 — цг) sin ©gZ
d
(1 + I*1)’
(I 4-U1)
-2 J-
<•)£(! 4- цг)
!^_2
e — a
ц =--------
e
e~al Г cos PZ — Hi sin Pr
2 I (I 4-V) (l 4-Hi)
, cos PZ 4* Ш sin pZ 1
' (>-v)(l+n»g) ]'
е
2ц cos aet — (I — ц«) sin wgZ
1 4- цг
5
6
1
1
Примечания
О
'~atslnJ3t
— eZ
COS CDgt + JJJ sin (Ogt
2 L (l-bv)(l+U
COS (Ogf 4- Ц2 sin OJgZ
COSj3t
0
t
-1
e—f ц, cos pz 4- sin Pz
2 | (.4-v)(l4-Hi)
ц, cos PZ — sin PZ 1
J”
r Hi cos ©gZ — sin ©gZ
(4-*)(i+H)
Д, COS WgZ — sin (i>g/ )
(1-V)(i 4-1*1) J
v = ;
f
e — a
ц= —----;
ME
£ — a
Ul~ 4- P :
e — a
----я
иБ - p
Продолжение табл. I
№
строки
q (t) a<ifyF0
Примечания
f(t) = F (l)/Fo
e al I 2 + cos 2fit — Ц, sin 2 fit +
4 [1+Ц- (1 4- V) (I + U2) -
, cos 2 fit 4- Ц, sin 2fit | __
~ (1-V)(I+UJ) J
e~et | cos toRt 4- ц sin Qe/
I i + H’
cos we? + ц( sin a&t
± (I+ V) (i + ц») -
COS Mg/ 4- Pa sin (OgZ 1
- (1- V)(l +U|) ]
Общее решение уравнения (25). Его представляют в виде суммы общего решения
соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям,
и частного решения, записанного в форме (27) или (28). Например, используя вы-
ражение (27), получим
9 (О = ' cos c<W + —- sin we/1 +
\ /
/
+ — e~ef sin (o6/~|---— ( F (t) e~E,t~x> sin w8 (/—t) dr. (29)
Wg OCBg ,1
0
Применение преобразования Лапласа, Интегрирование уравнения движения
с заданными начальными условиями можно осуществить также путем применения
преобразования Лапласа. Переход от оригинала функции и (/) к ее изображению
со
и* (Р) производят по формуле прямого преобразования Лапласа н*(р) = $ “ (0
о
при условии, что и (0 кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке; сущест-
вуют такие числа М > 0, с > 0, что I и (О I < Me0 и и (С) ~ 0 для t < 0.
Для уравнения (25) с начальными условиями q0 и <70 решение относительно изобра-
жений q* (р) и F* (р) имеет вид
(р + 2е) <Р)
».(₽)=----------------------------• РО»
Искомое решение q (/) находят путем обратного преобразования Лапласа.
Пример. Пусть механическая систему (рис. 15, а) находится под действием ступенчатого
внешнего возбуждения (рис. 15, б) Решение относительно изображения р, (р) запишем
в ферме (30):
(Р + 2е> <?о <?о 4~ ——
____________________ор_
Р* + 2ер + ш2
а
Atp т
Р2 + 2ер +(о2/
А* 4~ AtP
р* 4- 2ер 4- а»'
(31)
Используя правило преобразования простых дробей, получим Д,= 1/(и2; Д, = — 1/ш2;
д3 = — 2е/(оЗ: Дч = 2е?0 4- <м: Д& = q0
Подставим эти значения и решение (31):
л fns=Zo P- g________
<7’(₽ Owg | р (p4-e)’4-«*2g
_________Е ] , Р - .
(р 4- е)’ 4- ыз | q" (р 4- в)2 4- '
f •_______1 ___
q {Р 4- Е)« 4- ’ ** (р 4 в)’ т
Обратное преобразование Лапласа дает
реакцию системы
q(t}=aui [’ 'соьшеГ4-
fl L '
+ sin V ] + «~ е <J« cos +
Рис. 15. Ступенчатое внешнее возбуждение
+ '7°е Р70- sino>e, . (32)
Установление вынужденных колебаний. Пусть на систему в момент I = о начи-
нает действовать гармоническая сила F (/) = Fo sin со/. При нулевых начальных ус-
ловиях, используя решение (27), получим
cos со/ 4-(cog — ш2) sin со/ —
— 2есо cos сое/ 4- е2 4- со
со! — со2 \ 11
-----------sin шр/ । .
со8 / JJ
(33)
Процесс установления вынужденных колебаний в случае гармонической возбуж-
дающей силы для различных соотношений между частотами со8 и со показан на рис. 16.
<7. (р) —
q
' аш2 I
е-е/
Рис. 16. Процесс установления вынужденных колебаний
Прохождение системы через резонанс. Пусть F (/) = Fo sin ft/24-<p ], где b —
угловое ускорение; ф — начальный фазовый угол возбуждающей силы; со = bt —
мгновенная частота силы (в момент резонанса /* мгновенная частота равна частоте соб-
ственных колебаний системы со0, т. е. /* = со0/Ь). Реакцию системы определим, ис-
пользуя решение (27):
Результат вычисления интеграла (34) для случая, когда е = 0, представлен на рис. 17.
Для каждого параметра (05/2ЛЙ, изменяя фазовый угол <р, можно получить семейство
подобных кривых; показанные на рисунке огибающие позволяют определить наиболь-
шую амплитуду. Чем больше ускорение
Ь, тем меньше максимальная амплитуда
колебаний и тем больше ее смещение от
резонанса (<оо = Ы*). Аналогичные ре-
зультаты были получены при учете сил
вязкого трения [114].
6. РАСЧЕТ СИСТЕМ С ОДНОЙ
СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
НА ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Действие постоянной силы. Пусть пос-
тоянная вынуждающая сила Fo, внезапно
приложенная к системе в момент времени
t — 0, действует в течение некоторого
промежутка времени т. Колебания систе-
мы при нулевых начальных условиях
(при i < т) описываются по формуле,
приведенной в табл. 1 (строка 1). После
прекращения действия силы движение
системы становится свободным и осуществляется за счет начальных условий qx и
дх, сообщаемых системе в момент времени t — т:
q (t) = qxe~e,t~x> [cos<oE (/ —т)-|—— sin we (/— т)1 + sin<oe(/ —т).
L ®е J <*>е
(35)
График колебаний изображен на рис. 18. При i > л/юе максимальное значение q
достигается при = Ji/wg = Tg/2 и равно <7may = Fo [1 + схр(— еТе/2)] Г1.
При этом коэффициент динамического усиления х = 1 -ф ехр (—е7’е/2) всегда больше
Рис. 18. Реакция системы на импульс длитель-
ности т
Рис. 19. Ударный спектр Для
импульса прямоугольной формы
единицы, а при отсутствии сил вязкого трения равен двум. В случае, когда х < 7'е/2,
максимальное значение <7тах достигается вне отрезка [0, т] в момент времени
arctg
sin (ogT
cos weT — e"ex
и равно
F
9niax = ~r"e * kex coswe ('*—1)~COSCOg/*].
V
Для системы без диссипативных сил = л/2и)0 + т/2 и коэффициент динамиче-
ского усиления х= 2sin(o>T/'2). Зависимость ргаах от параметра импульса т/Те
называют ударным спектром. График х (т/Т) при в = 0 изображен па рис. 19.
Действие ударных импульсов. Импульсом силы S называют величину I ох. Если
т уменьшается, а величина Fox остается постоянной, то предел F = lim /ог называют
т-*о
ударным импульсом. После перехода в выражении (35) к пределу получим
q = F (aae)~l е “^sin со/в. Максимальное значение qm х = F (аи8)-1 где =
= со'1 arctg сое/е. Если е т. е. ы8 « ®0> го ртах = гы(с-1ехр(—ел/2о>)0.
Пусть на систему действуют через равные промежутки времени т одинаковые
ударные импульсы. При совпадении т с периодом колебаний Ts — 2л/о)е имеет место
ударный, резонанс. В этом случае
Я
F 11 — ехр (— леТе)]_
аюе |1 —ехр (— еТе)|
е Ft' sin ыв1 ,
4>0,
(3ti)
где tx = t — (n — 1) Te; n — число импульсов Максимальное значение по сравне-
нию с действием одиночного импульса увеличивается в [1—ехр (—п?Те)] X
X [1 — ехр (—£Te)]-i раз. При е = 0 это увеличение будет происходить в п раз.
Действие других форм импульса. Для формы пмпульса, отличного от прямоуголь-
ного, решение при t <^х находят по формуле (27). Движение системы при t > х вы-
числяется по формуле' (35). Например, для импульса в виде полуволны синусоиды
решение при I <^х вычисляется по формуле (27) или определяется по табл. 1 (строка 6)
при ср — 0.
Реакцию системы на действие любой кратковременной (т Т) силы приближенно
можно оценить ее импульсом
t
\ F (т) dx
---------sina)0/. (37)
Л(ОП
I
Движение системы определяется величиной импульса \ F (т) dx, форма им-
о
пульса за промежуток времени [0, т] не играет роли.
7. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В СИСТЕМАХ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Для системы с п степенями свободы уравнения вынужденных колебаний имеют
вид
Aq + Bq4-Cq = F (/).
(38)
Здесь F (/) — матрица-столбец обобщенных внешних сил.
Операторный метод решения. Применение преобразования Лапласа к дифферен-
циальным уравнениям (38) приводит к системе линейных алгебраических уравнений
(Ар2 + Вр + С) (p) = F, (р) + (Ар + В) q0 + Арй.
(39)
Здесь q¥(p) и F* (р) — матрипы-столбцы изобраякений, соответствующие матри-
цам q (0 и F(0; векторы q„ и q0 определяют начальные условия. Решая полученную
систему, например по правилу Крэмера, находим вектор изображении q* (р). Приме-
нение обратного преобразования Лапласа дает искомое решение.
Метод функций Грина. Частное решение системы уравнении (38) можно предста-
вить в виде
п I
<7/(0= £ $*/*('» r)Eft(T)dT, (40)
6=1 о
116
параметрические колебания
где hjk (/, т) — решения системы (38) с правой частью Fj — &jk б (/ — т). Матрицу,
составленную из функций hlk (I, т), называют матрицей Грина.
Метод разложения по собственным формам. Введем нормальные координаты
q-Vq+. (41)
Предположим, что преобразование подобия при помощи матрицы V приводит
матрицу А-1В к диагональному виду, т. е. V-1A-iBV = 2diag (esa). После перехода
к нормальным координатам уравнение (38) приводится к виду
q* + 2diag(Ea)q*4-diag (coa)q^F' (/), (42)
где F' (/) — вектор-функция внешних сил в главных координатах, связанная с век-
тором F (t) следующим соотношением:
F' (Z) =V‘a-1F (О-
Система уравнений (41) описывает независимые вынужденные колебания обоб-
щенных координат q* (?). Каждое из решения q*;- (Z) находится по формулам (28)
с начальными условиями
п п
У иа/<7ао> = У Ua/Vao-
а — I а =1
Переход к искомому решению осуществляется преобразованием (41).
Глава VII
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Предварительные замечания. Понятие о параметрически возбуждаемых колеба-
ниях было введено в гл. I. В отличие от вынужденных колебании параметрически
возбуждаемые (параметрические) колебания поддерживаются за счет изменения пара-
метров системы. Наиболее часто встречаются колебания с периодическим параметри-
ческим возбуждением, которые описываются дифференциальными уравнениями с пе-
риодическими коэффициентами. В этой главе рассматриваются колебания, возбуждае-
мые периодическими параметрическими воздействиями.
Примеры параметрически возбуждаемых колебаний в машиностроении. Параме-
трические колебания часто встречаются в задачах динамики механизмов и машин.
Вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости при изгибе, может
испытывать незатухающие поперечные колебания даже в том случае, когда он пол-
ностью уравновешен. Причиной поперечных колебаний является периодическое (при
постоянной угловой скорости) изменение изгибных жесткостей относительно непод-
вижных осей. В неподвижной системе координат поперечные колебания вала описы-
ьаются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Если
использовать координатную систему, которая вращается вместе с валом, то придем
к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Поэтому в данном
примере изгибные колебания можно трактовать и как параметрически возбуждаемые
колебания, и как автоколебания. Для вала, который может совершать поперечные
колебания только в одной плоскости, причиной поперечных колебаний является
периодическое изменение изгибной жесткости вала в этой плоскости. Примером
системы с периодически изменяющейся приведенной массой служит шатунно-криво-
шипный механизм. Параметрическое возбуждение колебаний возможно во многих
системах, где движение передается через упруго деформируемые звенья, например,
в спарниковий передаче в локомотивах.
Исследование устойчивости периодических движений в нелинейных системах,
как правило, также приводит к линейным дифференциальным уравнениям с перио-
дическими коэффициентами. Применительно к конкретным физическим и техниче-
ским объектам неустойчивость невозмущенных движений обычно может быть истол-
кована как параметрическое возбуждение колебаний (и наоборот). Некоторые из рас-
смотренных выше примеров также можно интерпретировать как неустойчивость
установившихся периодических движений.
Дифференциальные уравнения параметрических колебаний. Уравнения параметри-
ческих колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы в общем
случае могут быть представлены в виде
AW-^-+B(0^- + C(0q = 0, (I)
где q (0 — матрица-столбец обобщенных координат; A (fl, В (/) и С(/) — квадратные
матрицы, элементы которых — действительные функции времени. Матрица А (/)
при всех t является положительно определенной. На матрицы В (0 и С (I) это огра-
ничение не накладывают. Если не оговорено, то все коэффициенты уравнения (1) —
непрерывные периодические функции времени с периодом Т:
А(/+7’) = А(0, В(/-фЛ = В(0> С(/ + Л=С(0- (2)
Соответствующую этому периоду частоту со — 2зт/Т называют частотой парамет-
рического возбуждения или частотой возбуждения.
Вводя, как и в гл. V, матрицу-столбец фазовых переменных, запишем уравнение
(1) ь нормальной форме'.
-^-=0(0». ’ (3)
Здесь G (/) — матрица размерностью '2п X 2п:
/О Е \
°» = (_А-С — А"1В/ (4)
При периодическом параметрическом возбуждении
G (/+?) = GW- (5)
Понятие о парами рических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное ре-
шение qsO, которое отвечает невозмущенпому равновесию или невозмущенному
периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от не-
которых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и
(или) системы. При некоторых значениях параметров решение q = 0 может оказаться
неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний
механической системы. .Множества точек, соответствующих неустойчивости, как
правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями
неустойчивости (областями динамической неустойчивости) механической системы.
Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых па-
раметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес пред-
ставляет нахождение частогных соотношений, при которых наблюдается наиболее ин-
тенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуж-
даемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами.
2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ
Фундаментальная матрица Коши и матрица перехода. Рассмотрим систему линей-
ных дифференциальных уравнений (3) с периодической матрицей коэффициентов
G (t). Совокупность N =2п независимых решений системы (3) образует фундамен-
тальною матрицу
/хи (/) х12 (/) ... x1V (/)
' *21 Хаа (О - X2/V
*JV1W хД’2(0 - *Л'Л^
где первый индекс обозначает номер функции, второй — номер решения. Фундамен-
тальную матрицу, удовлетворяющую начальному условию
Х(0) = Е, (7)
чаэывают фундаментальной матрицей Коши или матрицантом.
Значения матрицанта в конце первого периода, т. е.
R = X(T), (8)
называют матрицей перехода (матрицей монодромии).
Мультипликаторы. Если известно решение системы (3) при t = tlt то решение
при i = Т (Т — период матрицы G (T)J выражается как
x(/i + 7)=Rx(M- (9)
Собственные значения матрицы перехода — корни уравнения
det (R — рЕ) = 0 (1(1)
называют мультипликаторами. Свойства решений уравнения (3), r частности устой-
чивость или неустойчивость его нулевого решения, полностью определяются свой-
ствами мультипликаторов, точнее, свойствами характеристического уравнения (10).
Для зсякого мультипликатора р найдется хотя бы одно решение, обладающее свой-
ством
x(/+T) = px(0. (11)
В частности, мультипликатору р — 1 отвечает периодическое решение с периодом Т,
мультипликатору р = — 1 — решение с периодом 27. Далее эти решения называют
соответственно Т- и 2Т~периидическими.
Мультипликаторы системы уравнений с действительными коэффициентами —
действительные или попарно комплексно-сопряженные числа. Если в уравнении (1)
матрица В = 0, а матрицы А (0 и С (0 — четные функции времени, т. е. А (— t) =
= А (0, С (—0 = С (0, то мультипликаторы попарно связаны соотношением
РаРй!л=1 (А=1, 2, ..., п). (12)
Соотношение (12) справедливо также для канонических систем (см. ниже).
Канонические системы. Уравнение (3) можно представить в виде
jh(/)k. <13)
Здесь Н (0 — симметричная матрица-функция; J — матрица вида
, / 0 Ел\
\-Ел 0
(Ел— единичная матрица размерности п). Уравнения (13) r компонентах имеют
ту же структуру, что и канонические уравнения Гамильтона в аналитической меха-
нике. Системы уравнений, приводимые к виду (13), а также соответствующие меха-
нические системы называют каноническими. Наиболее важный пример механических
систем канонического типа — системы с идеальными голономными стационарными
связями, нагруженные силами, которые выражаются через силовую функцию.
Если силовая функция — периодическая функция времени, то уравнения движения
можно привести к виду (13) с пернпдической матрицей II (t).
Аналитическая форма решений. Пусть все мультипликаторы р,, р2, ... , р2л —
простые корни уравнения (10). Тогда независимые решения уравнения (3) имеют вид
хА(0=Л'Хй(О (*=1, 2, .... 2п), (14)
где — Г-периодические непрерывные функции;
A* = ylnpfe. (15)
— характеристические показатели.
Если среди мультипликаторов имеются кратные, то структура решений зависит
ст свойств элементарных делителей матрицы R —рЕ. При простых элементарных де-
лителях решения, соответствующие кратному корню, по-лрежлему имеют вид (14),
причем каждому мультипликатору кратности г отвечает г решений типа (14) с незави-
симыми периодическими функциями х* (0- Если же кратному корню соответствует
блок нормальной формы Жордана размерностью г, то решение имеет вид
xft.s(/) = A'pis>(0 (s = 0. 1....г —1), (16)
где Pfe,st (f) — матрицы-столбцы, компоненты которых — полиномы от / степени s
с Т-периодическими коэффициентами.
Условия устойчивости систем с периодическими параметрами. Решение q = 9
уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если все мультипликаторы рь р2, ... , р2й
Рис. 1 Типичные случаи расположения мультипликаторов р = О -j- ft на комп-
лексной плоскости:
а — устойчивость по Ляпунову; б — асимптотическая устойчивость; в—неустой-
чивость
лежат в единичном круге [р[ I, причем мультипликаторы, лежащие на граничной
окружности р = 1, —либо простые корни уравнения (9), либо имеют простые
элементарные делители.
Решение q = 0 уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все мультипли-
каторы лежат внутри единичного круга р < I. Решение q = 0 уравнения (1)
неустойчиво, если среди мультипликаторов имеется хотя бы один, по модулю боль-
ц ил единицы, или найдутся кратные ]р = 1 с непростыми элементарными делителями.
Случаи расположения мультипликаторов на комплексной плоскости представлены
на рис. 1 Этим случаям соответствует рис. 1 гл. V для систем с постоянными пара-
метрами. если характеристические показатели определять согласно (15).
Классификация параметрических резонансов. Рассмотрим механическую систему,
движение которой описывается уравнением (1). При отсутствии параметрического
возбуждения уравнение системы имеет вид
А»-^-+В.^-+СЛ=О, (1?)
где Ао, В„ и Со — симметричные положительно определенные матрицы. Пусть коэф-
фициенты параметрически возбуждаемой системы заданы с точностью до двух пара-
метров: частоты возбуждения о и коэффициента возбуждения р, который характери-
зует интенсивность параметрического возбуждения (глубину модуляции параметров).
Например, пусть уравнение (1) получается из (17) заменой Ат на A,,-)- pAj (/),
Вс на Во -|- рВ( (/), Си на Со + р.Сх (/). где Ах (Д Bj 0 и Cj (Z) — периодические с пе-
риодом Т = 2л/ы матрицы достаточно произвольной структуры. Диссипацию будем
считать достаточно малой, например, удовлетворяющей условию (19) гл. V. Для этого
класса параметрических систем область динамической неустойчивости на плоскости ц,
со имеет ряд клиньев, заостряющихся в сторону малых ц. Клинья примыкают к оси
частот вблизи значений со, находящихся в некоторых соотношениях с собственными
частотами соответствующей консервативной системы, т. е. с положительными корнями
(01, со2, ••• । <o,i уравнения det (Ао — <о2В(|) = 0. Именно эти частотные соотношения
соответствуют параметрическим резонансам [9].
Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот
2йл
(0 = —-
Р
k= 1, 2, ..., п\
р=1, 2, ... /’
(18)
называют простыми. В механических системах, для которых уравнение (1) распа-
дается на независимые уравнения, описывающие изменение каждой обобщенной коор-
динаты в отдельности, возможны только простые резонансы.
Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот
| ©; ± (Ofe [
w =-------------------
Р
7, k=l, 2, ..., л; / ф k
р=1, 2, ...
(19)
называют комбинационными. Эти резонансы, обусловленные попарным взаимодей-
ствием форм колебаний, возможны только в системах, совершающих связанные коле-
бания. В зависимости от знака в правой части формулы (19) различают комбинацион-
ные резонансы суммарного типа (суммарные резонансы) и комбинационные резонансы
разностного типа (разностные резонансы). В канонических системах и (в силу не-
прерывности) в системах, достаточно близких к каноническим, возможны только ре-
зонансы суммарного типа.
В зависимости от значения целых чисел р в соотношениях (18) и (19) различают
главные (при р = 1) и побочные резонансы (при р 2). Число р называют порядком
резонанса. Согласно этой терминологии резонанс при со = -^- | ©i—' будем назы-
о
пать комбинационным резонансом разностного типа третьего порядка.
Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонический си-
стемы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной
окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому
резонансу, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо р = 1,
либо р = — 1 (рис. 2, а и б). В первом случае одно из решений на границе будет
Г-периодическим, во втором оно будет 2Т-периодическим. При комбинационных ре-
зонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные
от р = ± I (рис. 2, в). Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодиче-
ское решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более
общего типа, мультипликаторы которых удовлетворяют соотношению (12).
Для систем, где условие (12) не выполняется (например, для систем с диссипацией),
типичны случаи, показанные на рис. 2, г—е: в области устойчивости все мультипли-
каторы лежат внутри единичного круга, а на границе области один или пара комплекс-
но-сопряженных мультипликаторов попадает на единичную окружность. Уравнение
(1) имеет при этом соответственно хотя бы одно периодическое или почти периодиче-
ское решение.
3. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ — ХИЛЛА
Уравнение Матье — Хилла. Уравнение колебаний диссипативной системы с од-
ной степенью свободы приводится к виду
^.+ 2Elj+to;|l+2H®(0|, = 0, (20)
где использованы обозначения, приведенные в гл. III. Кроме того, введены обозначе-
ния для Г-периодической функции возбуждения Ф (/) и коэффициента возбуждения р.
При в = 0 из уравнения (20) получаем уравнение Матье — Хилла
_^ + о)2|1+2рФ(0]</ = 0. (21)
Если е 0, то уравнение (20) приводится к виду (21) подстановкой
q(t) = e-zt и(1). (22)
Функция и (0 удовлетворяет уравнению
-^-+«>ф—^+2рФ(о]«-О- (23)
Области неустойчивости уравнения Матье — Хилла на плоскости р, (в примыкаю!
к частотным соотношениям
(р-1,2....). (24)
Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости уравнения
Матье. При гармоническом возбуждении уравнение (21) называют уравнением Матье.
Запишем его в виде
-^r+^(JH-2pcoswO? = 0 (25)
или в другой употребительной форме
-^- + (a + 2Acos2x)^0. (26)
Переход от одной записи к другой осуществляется при помощи формул
2л = ш/; а = ^г-; Л = -^-р. (27)
UJ2 Си2 1
I. Границы областей неустойчивости уравнения Матье
Порядок области неустойчи- вости 44 4- (а 4- 2/i cos 2х) q — 0 4^- 4- <0 21 (1 — 2ц cos со/) q — 0 at* и
Периодическое решение Связь между параметрами а и Л Связь между параметрами ш, ц и ш0
1 sei (х) « -1 + » - т ± гг ~ тай* + ° |й“> со = 2соо | ) ± ц 4- -у М‘4- 0 (Hs) j’'4
се, (х)
2 se, (х) —4 й й’+ ига '• + 0 ‘Л’» СО = СО, | 1 4- 4 *’ + 0 <**> г
се, (х| a = 44-ql-/i«--T^/l*4-O<M) <0 = СО, 1 —4 и’4- о (Ц«) V,
3 зеа (х) t 1 13 /1-9 4- Л» "Г Я» -4- — Л<4- О 2 со = -,г соо U |*-4ц,±1' Ц«+О(Ц‘|] •/»
се3 (х) а 1 16 ” -1- 64 1 2U 4«0 1 ’
4 se4 (х) ° ~ 16 + 30 Л 864 000 Л + ° (Л ) 1 Ш = Шо 1 30 + 3375 Ц‘ + ° (Ц,)
се4 (х> «-« + X л,+ «ж со = -^ со. [, 16 „ 7888 л , 1 [’-10 *’—3375 И*4-О(Ц«)|
б se4 (X) «-»+ А ‘Ч-ТтИй '‘ + l„l(56»- + ow> 2 г СО = -у СО, , 25 . 381 875 t 390 625 „ , 48 Ц 774 144 * “ 147 456 * +
се» (х) 4- О (ц«)
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
кэ
to
Распределение областей неустойчивости па плоскости й, а показано на рис. 3. На
границе областей уравнение (26) имеет периодические решения, обозначаемые сел (х)
и se„ (х) (функции Матье целого порядка). Диаграмму, приведенную на рис. 3, назы-
вают диаграммой А йнса —
Стретта.
На рис. 4 изображены
первые три области неустой-
чивости на плоскости р., Г] =
= св/2<оо. Клинья областей
примыкают к частотам (24).
Относительная ширина обла-
сти главного параметрическо-
го резонанса имеет порядок р.
◄
Рис. 3. Диаграмма Айнса—
Стретта
Рис, 4. Первые три области не-
устойчивости для уравнения
Матье
При достаточно малых р. 1 границы этой области могутбыгь рассчитаны по формуле
ш 2шц | 1 ±. ji.
(2«)
Относительная ширина второго, третьего и т. д. побочных резонансов имеет поря-
док р2, р3, ... . Формулы для расчета границ первых пяти областей неустойчивости
даны в табл. 1.
Кусочно-постоянное параметрическое возбуждение. Области неустойчивости урав-
нения Мейсснера. Если функция Ф (/) — кусочно-постоянная, то фундаментальная
система решений и, следовательно, матрица перехода могут быть построены в замкну-
том виде в элементарных функциях.
Границы областей неустойчивости вычисляют из условия
|/1(Г)+/;(Т)1-2. (29)
где Л (О и fi (О — Решения уравнения (21), удовлетворяющие начальным условиям
fi (0) = 1, (0) = 0, /2 (0) = 0, f's (0) = 1. Пусть, например,
Ф(Т) =
(°<^у Т’у.
124
параметрические колебания
Уравнение (21) с функцией Ф (I) в виде (30) называют уравнением Мейсснера.
Условие (29) для этою уравнения
$iT s2T sf4-s| . SiT .
cos cos -----------' sin - SI)
| 2 2 2
Si,2 = «ol l±2p.
(31)
Области неустойчивости для уравнения Мейсснера показаны па рис. 5. В отличие
от рис. 4 по оси ординат отложено обратное частотное отношение 2<оо/е>. Характерным
для этой системы является «перекручивание» областей неустойчивости.
Рис. 5. Области неустойчивости для урав-
нени я Мейсснера
Рис. 6. Области неустойчивости для урав-
нения Матье с демпфированием при
е/соо = 0,01
Определение областей неустойчивости уравнения Матье — Хилла в общем случае.
Пусть функция Ф (/) представлена в виде сходящегося ряда Фурье
ф (/) = V (pfe cos kut + Vk sin ^0 • (32)
U i
На границах первой» третьей и т. д. областей неустойчивости одно из решений будет
2Т-периодическим. Используя этот факт, ищем границы этих областей из условия
существования решения с этим периодом. Уравнение для нахождения границ имеет
вид условия равенства нулю некоторого бесконечного определителя (р = 1).'
14~ ц5 — 25тр P14"P4 P3 4- P2 v3 —v2 v4—Vi v5
Н1+Н4 1+ Нз-9г]2 Pi 4-Pa V2 —Vi v3 vi4-v4
Р24~Рз Pi+Pz 14-Pi — n2 V1 vj4-v2 V2-I-V3
vs — v2 V8 —Vj V1 1—Pi-tl2 Pi-Pa Pa- Ps
V1 v8 Vi4-*e Pi — Ms !—Рз — 9Л2 Pi-P4
vs vi4-v< va4'Va Рг-Рз P1-P4 1 — Pi — 25т]'4
₽0. (33;
Границы второй, четвертой и т. д. областей неустойчивости ищем из условия су>
шествования /’-периодического решения. В результате приходим к уравнению
1 + Ш — 3 6т) Й1 + й& ЙЗ + Й4 ЙЗ V* — Vs Vs — Vt V.
’ Hi + Йе 1-Ьйз— 16П* Д| + Дз йз Vs—V, V. Vt +v,
. Дз + й» Д1 + Дз 1 -Г Д» — 4П! Pj V» Vs Vs Vs+Vs
Дз Дз Й1 1 ~2 V1 v2 VS
* V* — V, V»—V, V. Vt — Ps — 4Tp Й1 — Дз йз —Й*
. VS—Vt v« ViT-v, V3 Й1 — Mi 1 — й«— 16Т)г Д1 - Ms
' v* Vx+Vs Vs + v* Vs Дз—Й* Й1 — Й5 t—— 36rp
(34)
Приближенные аналитические и численные результаты можно получить, рас-
сматривая конечные определители, соответствующие усеченным рядам Фурье. В пер-
вом приближении (с точностью до членов порядка ц.) границы областей неустойчивости
находят по формуле
о) я» 2со0 [1 ± (pl-bvl)1 ]' ’>
(35)
из которой видно, что ширина k-й области зависит в первую очередь от соответствую-
щих коэффициентов Фурье в разложении (32).
Влияние диссипации на устойчивость параметрически возбуждаемых систем. Па-
раметрические колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением
(20). Согласно (22) области неустойчивости при е лежат внутри соответствующих
областей уравнения (23), но могут быть смещены относительно областей неустойчи-
вости уравнения (21). Наличие демпфирования делает невозможным параметрическое
возбуждение при достаточно малых р. При этом влияние демпфирования тем силь-
нее, чем выше порядок р побочного параметрического резонанса. Типичные области
неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием
^г+2е (1 +’U C0S(0/) = 0
(36)
приведены на рис. G.
Расчет границ областей неустойчивости при наличии диссипации. На границах
уравнение (20) имеет решение с периодом Т или 2Т Условие существования этих
решений для случая (3b) приводит к уравнению для нахождения границ первой,
третьей и т. п. областей неустойчивости:
1 —qT]a — Ц 0 -p о 1+p-tl2 “V11 fl — П 1—p—rj2 fl 4 ’ - л3т1 : 0 • = 0, (37) — ц ;
0 — p i-9t)a ;
где т) = <о/2соо — частотное отношение; О' = 2лг./®0 — декремент свободных колеба-
ний. Аналогичный вид имеет уравнение для границ областей четного порядка:
1 — 16Т|2 — М 0 0 # л 4п л
— И 1—4Т]2 0 1 а । Ф Ю 0
0 0 1 — И 0
0 л -2р 1 — 4 п3 — и
Л 1 0 0 — Р 1- 16rf
(38)
Приближенный расчет производят с использованием усеченных определителей
[9]. Для главного параметрического резонанса
1 _ Г / А \2
(ОК=;2(Оо \. 1-4-1/ Ц2—(------) • (39)
» F \ л j
Границы следующей области неустойчивости могут быть найдены по формуле
(l-Р) (40)
и т. д. Более точные формулы получаются путем систематического разложения по сте-
пеням малого параметра Ц.
Критические значения коэффициентов возбуждения. Наименьшее значение коэф-
фициента возбуждения, при котором возможно 1 юз ни кно вен ие неустойчивости, на-
зывают критическим. Приближенное критическое значение ц* для главного парамет-
рического резонанса в системе, описываемой уравнением (20), легко найти из соот-
ношения (39):
О
JX*~ л
(41)
Для второго резонанса аналогично получаем
/ О \%
Вообще для р-н области неустойчивости
(42)
(43)
4. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Общая схема метода малого параметра. Метод малого параметра позволяет
получить достаточно простые приближенные соотношения для границ областей неус-
тойчивости, если глубина модуляции параметров, а также диссипация в системе
достаточно малы. В этом случае уравнение (1) может быть записано в виде
lA.+f.A,ft + -НЧ.+ЛV. Н)1Ч-0. («)
где Ао, Вь и Со — симметричные положительно определенные постоянные матрицы;
AJA р), В7(/, р.) и Сд/, р) — периодические матрицы-функции; р —малый параметр.
Матрицы Аь В| и Сь кроме того, являются аналитическими функциями в окрестности
р =» 0.
По предположению диссипация в системе н глубина модуляции параметров имеют
одинаковый порядок малости. В реальных задачах эти факторы, как правило, изме-
няются независимо. Можно также построить схему вычислений, где используется
разложение по степеням двух независимых малых параметров.
Пусть to,, w3, ... , —собственные частоты соответствующей консервативной
системы, т. е. корни уравнения det (Cd— to2A„) = 0. В обычной схеме вычислений,
помимо разложения в ряд по степеням малого параметра искомого решения, исполь-
зуют разложение частоты возбуждения или соответствующего периода. Допустим,
что нужно построить решение в окрестности одной из критических частот, задаваемых
соотношениями (18) или (19). Обозначим эту частоту через to*. Введя безразмерное
время т — to/ и разлагая частоту to в ряд w = to* j- р.0 j р2б2 -f- ... , ищем решение
уравнения (44) в виде
ч(0—Чи (О+НЧт (0 + м"Чз (0+--
(45)
Последовательно решая уравнения метода малого параметра, найдем приближен-
ные значения характеристических показателей (15) также в виде рядов по степеням ц.
В области асимптотической устойчивости действительные части всех характеристиче-
ских показателей должны быть О1рицательны. Отрезки границ областей неустойчи-
вости, примыкающие к частоте и)*, найдем, приравпя.. нулю действительные части
соответствующих характеристических показателей.
Формулы первого приближения. Приведем формулы первого приближения (рас-
считанные с точностью до р.) для случая, когда уравнение параметрических колебаний
имеет вид
А—г+М + (C+2)1F C0S(0/) ч=°- (46)
Здесь матрицы А, В и С — симметричные, положительно определенные постоянные
матрицы; F — постоянная матрица произвольной структуры. Параметр малости
в диссипативный член не введен, хотя предполагается, что диссипация имеет порядок
малости р (или менее). Используя нормальные координаты [см. формулу (38) гл. Ill],
преобразуем уравнения (46) к главным осям матрицы А -1С;
При этом
^’- + 2-.В- (I 4-2,.F- cosM()<j' = 0.
В =V'1A"1BV;
с' = == diag (ша);
F' «(C'f’V’A^FV;
(47)
(48)
где V — матрица, составленная по столбцам из собственных форм консервативной
системы. Введем обозначения для безразмерных диагональных элементов матрицы дис-
сипации: При малой диссипации именно эти величины в основном
определяют демпфирование свободных колебаний. Элементы матрицы F' обозначим
через f/ft.
Границы областей неустойчивости при простых главных резонансах to = оп-
ределяют по приближенной формуле |9|
to 2шА ' 1 + g- V pV^-4y^ . (49)
Таким образом, в первом приближении взаимодействие главных обобщенных коор-
динат не влияет на условия возбуждения основных резонансов. Формула (49) экви-
валентна по точности формуле (39) для системы с одной степенью свободы. Одна фор-
мула переходит в другую, если разложить внешний радикал в (39) в, степенной ряд,
удержать два члена и заменить обозначения. Расхождение в формулах (39) и (49)
объясняется тем, что они получены различными приближенными методами.
Формула для случая отсутствия диссипации вытекает из (49) при — 0:
со 1 ±
(50)
Результат с точностью до членов порядка р, совпадает с приближенной формулой
(35).
Для главных комбинационных резонансов суммарного типа to = to, -f- анало-
гично получаем [137, 142]
Y/Coy + W ------------
со со/ -J- ± - ~2 _— ] Vtfjkfkj - 4у;у*.
(51)
Эта формула включает : себя только парное взаимодействие форм колебаний v
и vfr, входящих в условие комбинационного резонанса (независимо от числа степеней
свободы и характера взаимодействия остальных форм). Если Fjhfkj < 0. то резонанс
на сумме частот не обнаруживается даже при сколь угодно малой диссипации, Вместо
него появляется резонанс разностного типа с граничными частотами
W^Jtoy— шЛ| ±
ly/toz-Yfetofel
2 /w
(52)
Если диссипация отсутствует, то граничные частоты главных комбинационных
областей неустойчивости даклся приближенными формулами
to
(53)
',(0; —toft I
Метод обобщенных определителей Хилла. Метод малого параметра приводит
к простым формулам первого приближения типа (49)—(53) для границ главных обла-
стей неустойчивости. Уточнение этих формул, а также расчет побочных резонансов
требует построения высших приближений. Эти приближения громоздки и плохо ал-
горитмизируются для численной реализации. К тому же метод становится ненадеж-
ным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации ylf не
малы. Наконец, применение метода встречает затруднения при переходе к сущест-
венно неканоническим системам.
В основе метода обобщенных определителей Хилла [9] лежит представление од-
ного из решении общего уравнения (3) в форме (14). Пусть матрица-функция G (0
в уравнении (3) разложена в ряд Фурье по времени:
ОО
G (0 = Go -ф У (Gft cos ku>t -ф sin W)
(54)
с постоянными коэффициентами — матрицами Gk и Н*. Разлагая периодическую
вектор-функцию в решении (14) в аналогичный ряд, ищем это решение в виде
Р СО
з а.+ У (a* cos kwl 4- Ь, sill kwt) .
Здесь h — неизвестный характеристический показатель; ад. и Ь* — неизвестные чис-
ловые векторы. Подстановка рядов (54) и (55) в уравнение (3) после приравнивания
коэффициентов при одинаковых функциях времени приводит к бесконечной системе
линейных однородных алгебраических уравнений относительна компонентов векто-
ров — коэффициентов ряда (55). Условие существования ненулевого решения этой
системы состоит в равенстве нулю ее определителя. Таким образом, характеристиче-
ские показатели h являются корнями алгебраического уравнения
det (К — ЛЕ) = 0,
(56)
где К и Е — матрицы бесконечного порядка, причем матрица К имеет следующую
блочную структуру:
Go 2 Gj *2 (Gj -|- G3) 4 (Gi + G3) Gu + ^2 G2 ]-G2 -2‘Нз-Нт) 4 H4 —2®E 4 (H1 + H3)
401 4 H2 — coE
к= g2 4(Нз-Н1) Gt ту Hg-J-coE Gu 4H- Hi Go — г," Gs H2 4 <°i—°з) (57)
1 -^Н4 + 2шЕ 4 (Hx + H3) У H2 ~2- (Gj-G3) о о 1 - О
При достаточно широких предположениях о свойствах матриц G* и Нй бесконеч-
ный определитель оказывается сходящимся и, следовательно, допускает редукцию
к определителям конечного порядка.
Приближенные уравнения для основных параметрических резонансов. На границах
областей неустойчивости, отвечающих простым резонансам (18), уравнение (3) имеет
хотя бы одно либо Т-, либо 27’-периодическое решение. Отсюда можно вывести, что
коэффициенты уравнения на границах этих областей удовлетворяют следующим со-
отношениям:
при Т-периодическом решении det К = О или
Go-г J Gt ’ (Gj-г G3) 4 G2 4 ' H4—2u)E 4(G14-G3) Go-b’Ga g Gi 4H2“mE 4~(Hl+Hs) G2 Gj Go Hx H., 4(H3-H!) 2 H2 + wE 4 Hl GO^4G2 4(Gi-G3): 4н44-2ше 4<н1+нз) 4Нг 4(Gi~Gs) g«-4°4 = 0, (58)
5 п/р. Болотина В, В., т. 1
при 2Т периодическом решении
Go 4" 2 G3 i ($14-$г) I „ 3 _ 2 cp coE
~2 ($14" $г) Ge + j- Gj '-Hx-'-oE '2
"2 (Н2- Hi) 4 hi4-^-«e Go- * Gx 2 (Gi- G J
у Hs4- 2-wE 2 (Hi + H.) 4 (Gi-G2) Go— l} Gj
Пусть параметрические колебания описываются уравнением (46). Границы глав-
ных областей неустойчивости вблизи простых резонансов со = 2ш* (fe = 1,2, ... , п)
могут быть найдены из приближенного уравнения
tlj2A —усоВ
уюВ С— jiF —-д и2А
(60)
Левая часть обобщает центральный определитель в уравнении (37). Если у = О,
то вместо (60) получаем уравнение, обобщающее формулу (35):
det С ± pF—|-(о2А^ = О.
г 4
(61)
Тогда приближенные значения характеристических показателей могут быть найдены
как корни алгебраического уравнения достаточно высокой степени, а исследование
устойчивости решения х = 0 уравнения (3) сводится к чисто алгебраической задаче.
Все вычисления в методе Хилла производят над матрицами блочной структуры,
что упрощает алгоритмы и программы для вычислении на ЭВМ. Точность вычислений
может быть оценена сопоставлением результатов, относящихся к двум или несколь-
ким приближениям последовательно возрастающего порядка. В этом методе не ис-
пользуется ни малость глубины модуляции, ни малость демпфирования, ни близость
системы к канонической. Необходимое для удержания число членов в рядах (54)
и (55) зависит от области частот, в которой ищется решение. Для расчета области
неустойчивости вблизи побочного резонанса порядка р нужно сохранить в разложе-
ниях (54) и (55) по крайней мере гармоники до порядка р включительно.
Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с п степенями
свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых р0 и р гармоник соответ-
ственно размерность матрицы К равна 2п (2р0 -г I) (2р 4- 1). В связи с высокой
размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости.
Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать
предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является
полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей —
чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны.
Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней урав-
нения (56).
Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособлен-
ный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит
в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов
как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение
матрицанта X (Z) непосредственным численным интегрированием уравнения (3),
например, по методу Рунге — Кутта; для этого нужно решить 2п задач Коши с на-
чальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как зна-
чение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма —
проверка условий р < 1 (ищутся условия асимптотической устойчивости) или
|р 1 (условия устойчивости пи Ляпунову). В первом случае наиболее эффектив-
ным методом, особенно при высоких размерностях матрицы R и при немалом демпфи-
ровании, является исследование норм матриц в последовательности R, R2, R1, ..., R‘2₽.
Этот метод входит как составная часть в критерии Зубова для систем с постоян-
ными параметрами, Во втором случае приходится непосредственно вычислять корни
уравнения (10) и проверять условие | р | -^ 1.
Расчет на ЭВМ устойчивости систем с кусочно-пос тоя иными коэффициентами.
Эти системы рассматривают не только как самостоятельные модели, но и использую!
для аппроксимации весьма общего класса систем с кусочно-непрерывными коэффи-
циентами. Матрица перехода выражается при этом через элементарные функции.
Пусть в уравнении (3)
G(0=Gfr, 1е(/*_ъ 4=1,2.... V; /о = О, /„ = Го. (62)
Здесь Gfc — постоянные матрицы. Матрицант X (0 вычисляется как произведение
экспоненциальных матричных функций
X (t) = exp |(/ — /л) G*+1| exp |(l*-/A_i) GJ ...exp 1(0 —r0) G,]. (/ e= tk+l). (63)
Матрица перехода имеет вид
R=exp[(T-<v_1)GAJexp[(T7V 2) G^J-exp GJ. (64)
При реализации на ЭВМ целесообразно вычислять матричные экспоненты при
помощи разложения в ряд Тейлора
ОО
ехр (А0= У (65)
*=о
Для нормы остаточного члена можно дать оценку
sup
Т
JV
exp (— АГ)-V \k(k
~' Ж11A 1|Л,+ !?'V+'exp (IIA I'T>- <66>
Ряд (65) обрывается, как только величина, стоящая в правой части соотноше
ния (66), станет меньше, чем установленная малая часть (например, IO-8) от частичной
С) ммы.
5. СВОЙСТВА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫХ СИСТЕМ
Относительная ширина областей неустойчивости. Пусть система с несколькими
степенями свободы находится под действием гармонического параметрического воз-
буждения. Если все элементы матрицы F в уравнении (46) имеют одинаковый порядок,
то относительная ширина всех главных областей неустойчивости, измеряемая по от-
ношениям частот, имеет одинаковый пс-рядок р. При слабой связи между обобщенными
координатами области комбинационных резонансов могут оказаться Уже областей
простых резонансов. Напротив, если диагональные элементы матрицы F в главных
осях матрицы А-1С равны нулю или малы по модулю по сравнению с недиагональными
элементами, то области простых резонансов будут уже областей комбинационных
резонансов того же порядка. Например, при = 0 формула (50) указывает на слия-
ние границ основного резонанса (в действительности ширина этой области может
иметь порядок или менее).
Влияние диссипации на области неустойчивости. Как и в системах с одной степенью
свободы, диссипация приводит к невозможности возникновения неустойчивости при
малых глубинах модуляции, причем это проявляется в большей степени на побочных
резонансах, чем на главных,
Б*
В системах с несколькими степенями свободы возможен дестабилизирующий
эффект диссипации. Он состоит в расширении малых комбинационных областей
при введении в систему без диссипации диссипативных сил с существенно различными
парциальными коэффициентами. Этол эффект виден непосредственно из формулы (51).
В самом деле, коэффициент перед радикалом может быть сколь угодно большим. Для
этого достаточно принять, например, что yk у,-. На рис. 7 показаны результаты
3
вычислений по этой формуле при У] = 01 и различных значениях у*.
Еще один эффект диссипации — образование конечных (ограниченных) областей
неустойчивости в системах с полигармоническим и кусочно-постоянным возбужде-
нием. На рис. 8 видно, как изменяются области неустойчивости при введении з сис-
тему Мейсснера диссипации с коэффициентом у = е/со.
Рис. 8. Влияние диссипации на устойчивость системы
Мейсснера
___
ffiju
Влияние структуры коэффициентов возбуждения. Все приводимые ниже резуль-
таты, полученные численным методом матриц перехода, относятся к системе с двумя
степенями свободы типа (46). При этом
А = Е, В = Е, Со = diag (©’, со?), F==C-1J, (67)
где J — одна из матриц вида
На рис. 9 показаны области неустойчивости для случая <о2 = -% iOj; yt = у2 = 0,01.
Первые два графика относятся к системам, которые при у = 0 становятся канониче-
скими. На рис. 9, a (J = видны как простые, так и комбинационные резонансы
нескольких порядков. Например, клин у ©/<£>! = 2,5 соответствует главному ком-
бинационному резонансу со = и)! ш2. Рис. 9, б (J = построен для системы,
обобщенные координаты которой связаны лишь через недиагональные элементы
матрицы F. Простые резонансы вблизи (о = 2(1^ и <о = 2(о2 на диаграмме не обнару-
живаются, а доминируют области неустойчивости, отвечающие комбинационным ре-
зонансам на сумме частот.
Рис. 9, в и г (J = J3, J = J4) соответствуют существенно неканоническим систе-
мам. При малых значениях коэффициента возбуждения граница области устойчивости
оказывается весьма изрезанной. На рис. 9, в выделяются клинья области неустойчи-
вости, соответствующие главным простым резонансам со = 2«i и ш — 2сог, а также
главному комбинационному резонансу разностного типа о = (^ — (02 ! На рис. 9, г,
Рис. 9. Облает неустойчиь.1сти для систем
3
с двумя степенями свободы при со, = —СО,.
Yi = V» =
который построен для системы с антисимметричной матрицей коэффициентов воз-
буждения, ясно видны клинья, отвечающие простым резонансам второго порядка со =
= со1 и со = (о2, а также главному комбинационному резонансу при со == | сог — <о2 |.
Увеличение диссипации во всех случаях приводит к смещению областей неустойчи-
вости в сторону больших р., а также к сглаживанию границ этих областей. При
очень малых q = со/2сох 1 численные методы становятся неэффективными.
Параметрические резонансы в системах, находящихся под действием позиционных
неконсервативных сил. Если система нагружена постоянными позиционными не-
консервативными силами, то матрица С в уравнении (46) не будет симметрич-
ной. Влияние этих сил учтем, полагая, например, что C = Co~]-Pw!J, гДе J —одна
из несимметричных матриц типа (68); (3 — коэффициент, характеризующий величину
неконсервативных позиционных сил. Устойчивость системы
-^t+2YB + +2рф (О F] q = 0 (69)
при ц ~ 0 исследуегся методами гл. V. При п = 2, В = OjE, J = Jj решение q = О
уравнения (Ь9) устойчиво, пока |J < fJ*, где — критическое значение параметра 0:
0. = отЦ- V (М ~®Г)8 + 8?2 (®i -г
(70)
Из рис 10 видно, как последовательное возрастание параметра 0 влияет на устойчивость
системы в присутствии параметрических сил Вычисления проделаны для случая, когда функ
ция Ф (/) имеет вид (3(л. При 0 = 0 области неустойчивости весьма похожи на изображенные
на рис. 9, г. С ростом р появляются аналоги главных, простых резонансна <о = 2u)s и ш = 2wt,
однако соответствующая область неустойчивости имеет необычную серповидную форму
Грис 10, а) При дальнейшем увеличении 0 области неустойчивости приближаются к оси частот,
а при 0 > 0* все точки на этой оси принадлежат области неустойчивости (рис. 10, в) Но при
этом обнаруживаются изолированные области устойчивости, которые соответствуют некоторым
достаточно большим значениям коэффициента возбуждения.
Рис 10. Области неустойчивости для систем с двумя степенями свободы;
а) 0 = 0,1 0»; б) 0 = 0,9 ₽,; в) 0 = 1.1 0„
Параметрическая стабилизация динамически неустойчивых систем. Описанный
только что факт означает возможность параметрической стабилизации динамически
неустойчивых систем', система, динамически неустойчивая при р. = 0, становится
устойчивой при добавлении параметрических сил с надлежаще выбранными частотами
и коэффициентами возбуждения. Аналогичное явление известно для систем, находя-
щихся под действием консервативных сил. Например, известна возможность стаби-
лизации обращенного маятника путем сообщения его опоре определенного колеба-
тельного движения (стабилизация связана с попаданием в область устойчивости на
диаграмме Айнса — Стретта при а < 0). Возможность стабилизации существенно не-
потенциальных систем является не столь очевидной.
Параметрическая стабилизация возможна также в системах, равновесие которых
q = 0 неустойчиво из-за наличия ускоряющих сил. Так, можно стабилизировать
систему с двумя степенями свободы, диссипативная функция Релея которой — зна-
копеременная функция. Если же эта функция является отрицательно определенной
(т. е. любое движение сопровождается притоком энергии в систему), то параметри-
ческая стабилизация невозможна. Параметрическая стабилизация обнаруживается
также в системах, неустойчивых при наличии гироскопических и диссипативных сил.
Области устойчивости для этих систем по структуре напоминаю! области, показанные
на рис. 10, в jlO9J.
Часть вторая
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Глава VIII
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
1. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО ДЛЯ УПРУГИХ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами пони-
мают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жест-
костью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосре-
доточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое
поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных урав-
нений относительно обобщенных координат (/) (j = 1, 2, ... , п) (см. часть первую),
поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями
в частных производных относительно некоторых функций координат и времени.
Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются ли-
нейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для
распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формули-
ровка краевых условий.
Вариационный принцип. Сформулированный в гл. II принцип Гамильтона
для систем с конечным числом степеней свободы может быть распространен на
распределенные системы. Если внешние силы обладают потенциалом П, то после
введения интеграла действия
Ч
J = j (T-U-tydt (1)
to
(где Т — кинетическая энергия; U — потенциальная энергия деформации упругой
системы) вариационный принцип Гамильтона — Остроградского принимает форму
6J = 0.
(2)
Для упругого тела, занимающего объем V, ограниченный поверхностью S, интег-
рал действия может быть представлен в следующем виде:
(3)
где L — объемная плотность лагранжиана; R — поверхностная плотность; SCT —
часть поверхности S, где заданы усилия. При этом L и R зависят от перемещений
точек тела в направлениях координатных осей и, v, w и их первых производных по
координатам и времени.
В общем случае поведение упругой системы при введении соответствующих гипо-
тез описывает вектор-функция и (/) с компонентами tij (t) (j может быть как меньше,
так и больше 3). Объемная и поверхностная плотности лагранжиана зависят от U]
и их производных по координатам и времени t (порядок производных может быть
любым, но в большинстве практически используемых случаев порядок производных
по координатам $ 2, а по времени sg 1).
Уравнения движения и краевые условия. Уравнения Осгроградского — Эйлера
вариационной задачи (2) дают уравнения движения и естественные краевые условия.
Например, для двухмерной упругой системы, когда лагранжиан L не содержит тре-
тьих и более высокого порядка производных от Uj, уравнения и естественные крае-
вые условия имеют вид
(4)
(5)
где па — компоненты вектора внешней нормали к границе Г; vna и v/a — соответ-
ственно направляющие косинусы нормали и касательной к контуру.
Здесь использовано правило суммирования по немым (повторяющимся) индек-
сам аир. Это правило будет использоваться в дальнейшем (по греческим индексам
суммирование от 1 до 2, по латинским — от 1 до 3).
Выражения в (5) являются коэффициентами в подынтегральном выражении
/ duj \
поверхностного интеграла при вариациях би/, б. ч— и т. д. Следовательно, есгест-
\dXft/
венные краевые условия соответствуют незакрепленному по граничной поверхности
телу. В противоположном случае, когда соответствующие смещения (повороты и т. д.)
отсутствуют, то вариации равны нулю. Таким образом, в зависимости от характера
закрепления граничной поверхности должны выполняться условия
цу = 0 либо
дЬ
/duj\
д
\дха/
д / dL \ д / dL
Лгц &и, . dt / в'-ц .) '
•• v dxa dxp / / • dxu dt /-
, dR_ _ 0
duf dl
(6)
ди/
-s—=0 либо
an
dL
/ ^*ui
0 ~i—г-
- \dxadxfi
Краевые условия, записанные в виде (6), называют альтернативными.
2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ТЕЛ
Основные соотношения классической теории упругости. Линейная классическая
теория базируется на ряде гипотез, основными из которых являются предположе-
ния о сведении системы сил, действующих на элементарную площадку, только к рав-
нодействующей (отсутствие моментов), о малости градиентов перемещений (линей-
ная связь между деформациями и перемещениями), об идеальной упругости мате-
риала (линейная связь между напряжениями и деформациями).
Каждая точка упругого тела, отнесенного к прямоугольной декартовой системе
координат, характеризуется вектором перемещения и с компонентами иг, и2, иэ
в направлении осей координат. В каждой точке определены компоненты тензоров
напряжений и деформаций
(СТ11 а12 ст1з\ е12 €1з\
<^21 ^22 ^23 ]> 6 = 1е21 е22 е23 !• (7)
°31 °32 033/ Е32 ₽33/
В классической теории упругости эти тензоры симметричны (о;> = а*/, = Ejk).
Компоненты тензора напряжений представляют собой нормальные и касательные
напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках в данной точке тела.
Знание тензора о позволяет подсчитать компоненты вектора напряжения р, на любой
произвольно ориентированной площадке в данной точке (п — нормаль к площадке):
Pi~°jicos
cos(n, X2)-f-O;3C0S (п, X3).
(8)
Компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями формулами Коши:
1 fduj duk
^ik~ 2 \dXk dxj.
(9)
Компоненты e^y характеризуют относительные удлинения в направлении соответст-
вующих осей, a e/fe (j k) — относительные сдвиги (изменение углов между осями
Ох/ и Oxh).
Помимо прямоугольных декартовых координат упругое тело может быть отне-
сено к различным криволинейным системам координат. В качестве примера приве-
дем формулы выражения компонент тензора деформаций через перемещения в цилинд-
рических координатах'.
ди, ur . I &и(р да, мф 1 диг
е’г~' дг ’ В<р г г дф ’ е,г— дг ’ дг г г дф ’
ди(Е 1 ди, ди, диг
= -----1------д—; е/-г = "л-Ь Д' (Ю)
дг г дф ’ гг дг дг ’ ' '
в сферических координатах:
диг ur 1 ди™ ив
r dr ' г г sin 0 дф г е
dug ug , 1 dur
8r0~ dr г + 7 д0 ’
1 dug 1 /диф \ 1 dug
Rq~~ г г до * 8<₽6— г \ д0 “фс^®^+ sin 0 дф ’
1 dur duy Ujp
вгф — r sin 0 дф dr r ‘
Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука. Для упругого тела
в случае малых деформаций между компонентами тензоров напряжений и деформа-
138
ций существует линейная зависимость
°7Zr= hjklmFlm' (12)
где — тензор упругих постоянных. Этот тензор обладает свойствами симмет-
рии:
’^lklm = ^Inijk ~ "hjkml~ ^-kilm (13)
В частных случаях число независимых постоянных в законе Гука (12) умень-
шается. Для изотропного тела (все направления эквивалентны) число независимых
упругих постоянных равно двум. В этом случае упругие постоянные выражают
через постоянные Ламе X и р,:
X/ferm = X6j(<6(m + p, (14)
[ 0, если / =#= k-
где Ojk = \ —символ Кронеккера. Закон Гука принимает следующую
* 1, если j' = k
форму:
Oyy = Х0-|-2pezy (по / не суммировать): |
о/Л = 2ре/й /
Здесь относительное изменение объема. Между средним напряжением
<т = ~ (оп 4- о224- Озз) и объемной деформацией имеется линейная связь
o=3tf0, (J6)
О
где /< —объемный модуль. В технических обозначениях соотношения закона Гука
£
содержат модуль упругости Е, коэффициент Пуассонах и модуль сдвига G = —(—
Выраженные относительно компонент тензора деформаций соотношения закона Гука
имеют вид
е11 = £ [СГц — v (ст22 + °3з)1> е12 = ,pQ О12;
e2?=£'[or23— v (Ода + <311)1: е13 —2G Gj3’
F33=g[CT33—v (Oil 4-022)1: e23=2(jO23-
Потенциальная энергия деформации. Потенциальную энергию деформации можно
подсчитать по формуле Клапейрона:
причем справедливы следующие зависимости.
*Jk~doJlt’ (19)
Использование связи между напряжениями и деформациями позволяет выра-
зить потенциальную энергию деформации либо только через напряжения, либо
только через деформации. Для изотропного тела
Ф = ТЁ ,а*1 + СТ®2 + ст«а—2v (°11СТ22 + ^зз + а33оп) +
+ 2(l+v)(o?2 + oi.,+a|1)]; (20)
Ф = G £Bj।4-в},4-в’4- । _п- (вп4-е324-Езз)?4"у (®is + в!» + eii)j• (21)
Более подробные сведения по теории упругости можно найти в справочных руко-
водствах 187, 101].
Выражения для плотностей лагранжианов. Для упругой консервативной системы
существует потенциал внешних сил
П = — ( Ц Xjtij dV — И pjtij dS 4- const (22)
V sa
Соотношения Коши (9) и закон Гука (12) позволяют записать выражение для
потенциальной энергии деформации (18) через перемещения:
I Г С С dui dui
а=2 <23>
Кинетическая энергия
(24)
Объемная и поверхностная плотности лагранжиана имеют вид
1 (диД* 1 duj дц.[
L = ~2P Vdf/ “ 2 ljklm dx~k дх^+ X,Uf' R = W’ (25)
Уравнения движения и естественные краевые условия. С использованием (25)
уравнения (4) переходят в динамические уравнения Ламе
д / диА д2и,-
1^\^*1гн^ГРд*+Х/ = °‘ (26)
Естественные краевые условия на поверхностях, ограничивающих тело, где
заданы нагрузки, имеют вид
nk~Pj на $(т» (27)
где nk — компоненты вектора внешней нормали к поверхности.
Уравнения движения для изотропного упругого тела. Уравнения Ламе (26) при-
нимают форму
d‘1uk d*Uj )
+ + (/ = 1, 2, 3);
— 4- —4-—\ I
“ dxj ~ дх* + 6x1 +dxf)’ J
Естественные краевые условия запишутся так:
ди/г /ди/ duk \“|
Xaris'b+M "а s’- <29>
Кроме того, на остальной поверхности задаются перемещения
Uj = uq на Sa. (30)
При решении динамических задач должны быть заданы еще начальные условия
dui
Uf = u°f, = ПРИ ^=0. (31)
Операторная запись уравнений движения. При использовании различных моде-
лей для двухмерных и одномерных систем в рассмотрение вводят обобщенный вектор
перемещений u (х, t), размерность которого может быть как меньше, так и больше 3
Общую запись уравнений движения для всех случаев (включая рассмотренный выше
случай упругого тела) можн,- получить, если использовать операторную запись
A~+Cu = f. (32)
где А и С — линейные положительно определенные матричные операторы, соответ-
ственно инерционный и упругий; f — вектор внешних нагрузок. Конкретный вид
этих операторов для упругого тела нетрудно получить, сопоставляя (32) с (26) или
(28). Для других случаев выражения для А и С будут даны ниже.
Замечание. Уравнение (32) включает фактически и краевые условия через области опре-
деления операторов А и С
3. УЧЕТ ДИССИПАЦИИ В УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ»
ВЯЗКОУПРУГОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ
Классификация миделей диссипации. Причины, приводящие к рассеянию энергии
i упругих системах, условно могут быть разбиты на три группы. Первую группу
составляют потери энергии в окружающую среду («внешнее» трение). Ко второй
группе относят потери, вызнанные внутренними процессами в материале системы
(«внутреннее» трение). Наконец, третью группу образуют потери, связанные с тре-
нием в опорах, шарнирах и т. п. («конструкционное» трение). Границы между ука-
занными группами не всегда можно провести достаточно четко.
С учетом диссипативных сил уравнения движения можно записать следующим
образом:
А^+В£+Си='- <33>
где В — диссипативный оператор Вид диссипативного оператора существенно за-
висит от вида модели трения.
Учет конструкционного трения приводит, как правило, к нелинейным соотно-
шениям. В связи с этим эту группу причин диссипации энергии в упругих системах
при динамических процессах в данной книге не рассматривают.
Относительно простой линейной моделью является модель внешнего трения-
Считается, что диссипативные силы вязкие и пропорциональны скоростям движения.
В случае внешнего трения и полной диссипации диссипативный оператор В пропор-
ционален инерционному оператору:
В =-2Р. А, (34)
так что уравнения движения можно записать так:
A(^+281ir)+c“=f- w
Внутреннее трение связано с диссипативными процессами, происходящими во
время колебаний в материале системы Разнообразие свойств конструкционных
материалов, в частности их диссипативных свойств, обусловило многообразие мо-
делей учета диссипации энергии при динамических процессах. Условно эти модели
можно разделить на два класса: к первому относят нелинейные модели, описываю-
щие гистерезисные явления при циклическом деформировании (использование этих
моделей приводит к нелинейным уравнениям движения, поэтому эти модели в дан-
ной книге не рассматривают |82, 84]); ко второму — модели, связанные с вязкоупру-
гим поведением материалов при деформировании.
Поведение материала, которое объединяет в себе свойства упругости и вязкости,
называют вязкоупругим, Предельными противоположными случаями большого числа
вязкоупругих сред являются упругое тело и вязкая жидкость.
Простейшие модели вязкоупругого поведения. Дифференциальная фирма связи
между напряжениями и деформациями. Для описания одномерного процесса дефор-
мирования вязкоупругих сред могут быть использоьаны механические модели,
состоящие из линейных пружин и демпферов, соединенных определенным образом.
Различные соединения'позволяки моделировать различные уравнения, связывающие
напряжение ст, деформацию е и их производные по времени. Некоторые наиболее
употребительные моделл описаны в табл. 1.
1. Модели вязкоупругого поведения материалов
Модель
Схема
Уравнение
Диссипативный
оператор
Максвелла
Фойхта —
Кельвина
1 до о _ де
Е dl т\ ~ dl
г Е dt
~ Е dt
Стандартное
линейное
тело
т0 Hi ° = £ 00е
Обобщенная
модель
Кельвина
п
S (Ч+^4/Го=е
i=l
Обобщенная
модель
Максвелла
Трехэлемент-
ная модель
вязкоупру-
гости
p/W—Ср
1
dl
д*е де
dl* + д/
д2 . д
То дГ» + ~dt
Е д!^ п
В общем случае связь между напряжением и деформацией может быть записана
в следующей дифференциальной форме:
т п
У дко у д1в
LPb'№= Lq,'dF (36)
*=0 /-0
или в операторной форме
(37)
142
РЛСП РЕДЕЛЕН Н Ы Б КОЛЕБ\ТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
При переходе к трехмерной теории линейной вязкоупругости эффекты формо-
изменения и изменения объема изучают независимо. Математически это соответствует
разложению тензоров напряжений и деформаций на шаровую часть и девиатор:
°jk = $jk + б/* -у-; e.jk = ejft + . (38)
Основные соотношения линейной вязкоупругости в дифференциальной форме
имеют вид
(39)
Замечание. Довольно часто считают, что изменение объема происходит чисто упруго и
последнее соотношение заменяют на (16).
Интегральная форма связи между напряжениями и деформациями. Если в мо-
мент t = 0 мгновенно приложено напряжение ст0, которое в дальнейшем остается
постоянным, то происходит изменение деформации со временем, которое называют
ползучестью:
e(O = J(O<jo, (40)
где J (/) — функция ползучести. Если в момент t = 0 мгновенно фиксируется дефор-
мация е0, которая затем остается со временем неизменной, то происходит изменение
напряжения со временем, которое называют релаксацией:
— H (/) ео,
(41)
где Н (/) —функция релаксации.
В линейной теории вязкоупругости применим принцип суперпозиции. Поэтому
представление процесса нагружения во времени как последовательного ступенча-
того нагружения позволяет получить зависимость между деформацией и напряже-
нием в виде интеграла наследственности
е (0= f
V ** "
— ОО
(42)
Предположение, что до t = 0 в теле отсутствовали напряжения и деформации
и что в момент i = 0 имело место ступенчатое нагружение, позволяет записать
выражение
t
e(Z) = J(/)o(0)4- J(/_T)^dT. (43)
и
При t < О J (0 = 0, а при t == 0 7(0) =75-, где Ео — мгновенный модуль упру-
го
гости. После интегрирования по частям выражение (43) принимает вид
Здесь
е (0 = Р-
СО
I dJ(Q
J (0) dt
t
ff(0+J
и
К (t — т) о (т) di
— ядро ползучести.
(44)
Соотношения, подобные (43) и (44), но разрешенные относительно и, получаются
в результате аналогичных рассуждений при использовании функции релаксации
o(t) = H(f)e(0) +
Н (t—T)^^-dx\
dx
О (t)= Eq
t
в (/) — \ R (t~t) £ CO dx
о
(45)
(46)
о
называется
При полу гении последнего соотношения путем интегрирования по частям (45) исполь-
зовано, что Ео = Н (0). Входящая в (46) функция R (/) =----тгттд -v?1
п (О) dt
ядром релаксации.
Если (46) рассматривать как интегральное уравнение Вольтерра относительно
е (/), то ядро ползучести будет резольвентой этого уравнения.
Для стандартного тела (см. табл. 1) для определения Н (t) имеем уравнение
„ , <1Н _
H+’,‘~dT=Ea
(47)
которое необходимо проинтегрировать при условии Н (0) = Ео.
Искомый интеграл имеет вид
Отсюда
Н (0 = (£о - £оо) еХР (- + £оо-
р __Р /
/?(/)= 7 - ехр -
(48)
(49)
Итак, для стандартного тела ядро релаксации является экспоненциальной функ-
цией. Следовательно, и ядро ползучести будет экспоненциальной функцией. Вообще
при связи между напряжением и деформацией, заданной дифференциальным соот-
ношением с постоянными коэффициентами, ядра релаксации и ползучести будут
представлять собой суммы экспоненциальных функций. Дифференциальные соот-
ношения описывают поведение определенных линейных вязкоупругих сред, так
называемых сред с дискретным спектром времен релаксации. Большинство же поли-
мерных материалов, как показывают эксперименты, обладают сплошным спектром.
Для сред со сплошным спектром ядра ползучести и релаксации были предложены
многими авторами (см. (46, 55, 90]). Некоторые из предложений сведены в табл. 2,
где представлены ядра релаксации и их резольвенты.
Зависимости типа (44), (46) обобщаются на случай трехмерного состояния. Напри-
мер, вместо (46) получим
t
Sjk (t) =2G0 ejk (f) — \R(t — t) eJk (t) dr ;
(50)
(0= 3y<0 Zjj(t) — \Rr(t — T)ey7(T)dT ,
6
где Go — мгновенный модуль сдвига; Ko — мгновенный объемный модуль; R (() —
ядро релаксации для девиатора; (t) — ядро релаксации для объемной дефор-
мации.
Комплексные модули и податливости. Если задано напряжение, изменяющееся
по гармоническому закону
ст = о0 cos со/, (51)
то в результате устанавливается деформированное состояние, меняющееся по гар-
моническому закону с той же частотой, но со сдвигом по фазе:
в = ео cos (со/ — у). (52)
144
распределенные колебательные системы
2. Ядра релаксации и их резольвенты
Ядро
Резольвента
Ае s^s
(/ - s)1
е- Р (/ -
И - s)*>
а»?.гуе V P~~ s)'8
(/- s)1 "a’
е- Tit-s)^
(t ~ S)a2
a,y-
it — s)1 ' “1
p.tatr '2- J- ]" (/ _ s)(2«i
g-P v
(/ - S)“,
Ag- P(Z — s)
(/-s)'^“
00
e-P(/-s) \1 1ДГ tcOp (t — s)ng
it — S) Г (ла)
Ла
it - s)’
[ЛГ (g)]" (t - s)^-l
1 (ал)
Ait - s)a
Г (I -f- ct)
(/ _ sja V ЛРП (t — s)" <1 +“)
~'0 Г|(л-1)(1, а)]
Обобщение описания вязкоупругого поведения достигается представлением на<
пряжения и деформации в комплексной форме
(53)
При таком представлении связь между напряжением и деформацией записывают
с введением комплексного модуля
а~Е (а))е~[Ег (и)Ч-iEt (со)] е. (54)
Для модели (37) комплексный модуль
£ (u>)=Q(iu))/P (ito). (55)
о = а0е‘ш/; е = ₽(,£'
Отношение мнимой части комплексного модуля к его действительной части назы-
вают тангенсом потеры.
= (56)
' Ег (со) '
Эта характеристика может служить мерой рассеяния энергии в единице объема
вязкоупругого материала при колебаниях.
При введении комплексной податливости можно записать
е = J (со) о = [^Л (со) — iJi (со)] о. (57)
При распространении основных понятий на трехмерный случай вводят комплекс-
ный модуль сдвига и комплексный объемный модуль на классе гармонических дви-
жений следующим образом’
S k = 2$ (и) ejk = 2 lGr (со) iGt (со)] ejk\ | .
о/7=ЗК (со) е77 = 3 (со) + iKt (со)] е7/. .1
Уравнения динамики линейных вязкоупругих систем. Уравнения движения вяз-
коупругого тела по форме аналогичны уравнениям движения упругого тела при
условии, что вместо упругих констант в эти уравнения должны быть внесены опера-
торы. Динамические уравнения Ламе примут вид
д2и,' d2uk д2и/
йА+х/=°- <59>
где
p = G, k = K—2-G. (60)
О
Операторы G и К устанавливают связь между напряжениями и деформациями
(компонентами девиаторов и средними значениями):
.S'^ = 2Gey/;, 0y^=3Keyy. (G1)
Эти операторы берут либо в виде интегралов наследственности (50), либо диф-
ференциальных операторов (39), либо комплексных модулей (58).
При использовании уравнений движения в форме (33) необходимо получить явное
выражение для диссипативного оператора В Так, если для описания вязкоупругого
поведения материала используется модель Фийхта (см. табл. 1), то
В = т|С, (62)
где т] — положительная постоянная (коэффициент внутреннего трения). Для систем
из линейного вязкоупругого материала с наследственным трением .-водится наслед-
ственный оператор с ядром R ((, т), так что
t
в 3 = ),63)
— оо
Ядро R (t, т) выбирают по табл. 2.
Более подробные сведения по вопросам вязкоупругости можно найти в моногра-
фиях |49, 55, 90J.
4. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Поперечные колебания струны. Под струной понимают тонкое упругое одномер-
ное тело с пренебрежимо малой жесткостью на изгиб. Колебания струны длины /,
растянутой усилием N и закрепленной по концам, происходящие в плоскости Oxz,
описываются уравнением
д [die \ _ d2ie . „
1 ,V -3— ~ PF ' = Q (*• 0-
дх \ дх df2 1
(64)
146
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Здесь w — отклонение струны в направлении Ог; р — плотность материала струны;
F — площадь поперечного сечения; q — интенсивность нагрузки, действующей в пло-
скости Охг. На концах струны
и1 (0, f}=w (I, () = 0. (65)
При t — 0 должны выполняться начальные условия
w(x, °) =£(*)•
(66)
Замечание. В силу линейности задачи и одномерности упругого объекта произвольные
малые пространственные колебания могут быть представлены как суперпозиция колебаний
в Двух взаимна перпендикулярных плоскостях.
Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают
одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее
конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб Пусть стержень, отнесен-
ный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные
колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной
координаты х. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости,
перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения и1—и(х),
ut = н3 = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме оп и eu,
считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформа-
ции, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид
z
(67)
I
П = —\qudx — Na Q-f-const.
b
Продольные колебания описывают уравнением
д [ СГ ди \
а?)
Возможные типы краевых условий сведены в табл. 3. Решение уравнения (68),
удовлетворяющее на каждом конце одному из условий, приведенных в этой таб-
лице, должно также удовлетворять начальным условиям, аналогичным (66).
Уточненная теория продольных колебаний стержней. Эта теория учитывает влия-
ние поперечных деформаций (е22 = ем =» —ven). Поправка - золится только в выра-
жение для кинетической энергии
I
1 Г Г / ди \2 / д2и \21
г-г)Н«)+*Чст)г (б9)
где полярный момент инерции сечения
f« = }(y2+z*)dF.
F
Уравнение продольных колебаний принимает вид
- (EF д-) + pF - - v=,o'A- fv = q (x, t).
dx \ dx / 1 r dt2 • dx dt \ u dx dt / 4 '
Краевые и начальные условия остаются без изменения.
3. Основные типы краевых условий для продольных колебаний стержней
Схема Тип закрепления Условия при X = 0
Заделка и =0
Свибодный конец EF ~~ = 0 дх
На конце действует сила EF d~x = N
|мМ=^- ' к' X L к Упругое закрепление EF - си = 0; дх EF 4- си = 0 (при х = Z)
—— < к ?*• 0 1—1- L На конце закреплена масса сс. ди д*и ЕР~дТ = м 77«-' EF — — — М 'у (при х = Л дх di*
Техническая теория крутильных колебаний стержней. Для стержня с прямоли-
нейной осью, центр тяжести поперечного сечения которого совпадаете центром изгиба
(выполнение этого условия гарантирует существование чисто крутильных колебаний),
используют гипотезы статической задачи о чистом кручении призматических стерж-
ней, основной из которых является гипотеза плоских сечений.
Существенными считаются только напряжения о1а = ст21, о13 = о31. Введенные
гипотезы позволяют описать процесс деформирования при помощи одной перемен-
ной 5 (х, I) — угла закручивания. Потенциальную энергию деформации, кинетиче-
скую энергию и потенциал внешних сил определяют по формулам
и
dx-
о
(71)
П = — j |Л& dx — A l fl Q + const.
b
4. Геометрические характеристики поперечных сечений стержней
при изгибе и кручении
Вид сечения J X Jv 'о
( 1 ь \ х э лД4 64 лД4 64 лД4 32 лД4 “зГ
лД4 ( d< \ 64 V D* / лД4 / d4 \ 64 U Д4 ) лД4 / d* \ 32 V Д4 ) лД4 / d4 X 32 V Д4 )
ла/>’ ла*Ь лааЫ (Ы Ы)
If о ) *Т 4 4 а» + Ы
н X _ я, Ц* л (1 — с*) а< Ь, С = — = —А- а b л (1 - с4) , а*Ы П(' С%> + й« л (1 - с4) X X (а* + 63)
л bha 12 ЫН 12 ^Lf,-c.63‘ + 3 \, h + 0-052 4-1- + Ы)
«с ” X 0 * b
М» -- в= Ы — (Ь — 2d)4 М - (Ь — 2d)4 8 Г₽> - 1,2704рг + + 0,661 р - - 0,1043] d' при Р = — > 1,5 2а Ь*~ (Ь - 2d)4
ь * 12 12 6
Продолжение табл. 4
чпд сечения Jx Jy
9 - rf’j 1 d(b' + bd*_ - <p) ' p-0.46 4 'bd* о \ D / при 3; | (2 + 0,44660 - - 2.68-30’ + 4- 0,18450» - М» при 1,5 < 0= <3 a 4 *<**+ + bd* - d*)
L.
тт JT
|у ьы 36 b»tl 48 bh* 30 36 r+ T bt)
и ।
п У ьн* 36 b*h 36 X bn* при b > h IE
•ft1 X
1
ь
В эти формулы кроме полярного момента инерции /0 входит момент инерции
при кручении
F
где ф —функция кручения. Для некоторых видов сечений моменты инерции приве-
дены в табл. 4. Уравнение крутильных колебаний имеет вид
а-®- (72)
Характерные типы краевых условий представлены в табл. 5. Начальные усло-
вия аналогичны (66).
Уточненная теория крутильных колебаний стержней. Эта теория учитывает
депланационные эффекты при кручении (учет OjJ. Использование выражений для
энергий
5. Основные типы краевых условий для крутильных колебаний стержней
Схема Вид закрепления Условия при х = 0
1 X od -Н-*- Заделка 6=0
Свободный коней
Упругое закрепление
дб
Glu -г - = 0;
к дх
С/кЙ+с6 = °
(при X = /)
На конец действует момент М
дб
С/к ч- = М
R ах
Инерционный элемент па
кон це
г, дб _ д*&
° * дх 7 дР
(При X = /)
в которые введен депланационный момент инерции /$ = ( ф2</Л приводит к уточнен-
F
ным уравнениям крутильных колебаний стержней
д2 Iс. д^\ д f... д6\ & I . \ , , № . Л
дх2 \Е1*дх2) dx\G * дх) dxdt pf*dxdt + р/° dt2 <х’ (/4)
На каждом конце стержня должно быть поставлено по два условия
<30 п . г, № п
-Л-=0 либо £7„ — — 0;
дх * дх*
t к * , , Ж д fr, Ы \ , . д*') „
0 = 0 либо б/к-=---д- +р/фгтг = ^.
дх дх \ * ах / г 4 дх di
Техническая теория крутильных колебаний юнкостенных стержней открыюю
профиля. Предположим, что выполнено условие существования чисто крутильных
колебаний стержня с тонкостенным поперечным сечением, т. е. центры кручения
всех сечений совпадают с центрами тяжести и лежат на прямолинейной оси. Выра-
жение для кинетической энергии совпадает с (71). Потенциальная энергия
(76)
где секториалъный момент инерции dF (cd—секториальная площадь).
F
Уравнение крутильных колебаний тонкостенных стержней открытого профиля
имеет вид
д2 д^\ д <50 \ . . <?20 . А __
дх2 ।Е а дх2 дх J к дх ; + f' ° dt2 М 1 ’ "
Начальные условия аналогичны (66), а альтернативные краевые условия можно
записать в форме
Р, <320 _ д <50 п
либо -т- = 0;
ш дх2 дх
- +6/к^ = Л1 либо 0 = 0.
дх дх-, ь дх
(78)
Во втором условии левая часть представляет собой сумму момента касательных
усилий чистого кручения и момента от касательных сил сдвига срединной поверх-
ности.
Уточненная теория крутильных колебаний тонкостенных стержней открытого
профиля. Если при кручении тонкостенного стержня открытого профиля учитывать
наряду с чистым кручением и депланационными эффектами также напряжения сдвига
срединной поверхности, то потенциальная энергия деформации
о
где
I { „ ,F
j ш dy dF.
и
При этом кинетическая энергия
Сравнение крутильных колебаний тонкостенных стержней открытого профиля
по уточненной теории имеет вид
лр, ™ 1 . (г, ,720 \ a fr. де\,
дхз[2(+у) 7* dx»J + dxs '• а дх2) дх\°кдх) +
‘Pfj ЛЗ / , >2fi \
+ р/° ~ dTdi (р/а fa~dij = р (* 0- (81)
5. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Техническая теория. Рассмотрим стержень длины / с прямолинейной осью пере-
менного, но незакрученного сечения, совершающий изгибные колебания в плоско-
сти Oxz (ось Ох направлена вдоль оси стержня и проходит через центры тяжести
сечений, оси Оу и Ог являются главными, так что \ уг dF= \ у dF — 'j\z dF~O).
F F F
Предположим, что поперечные сечения при деформировании остаются плоскими и
перпендикулярными к деформированной оси стержня, а нормальные напряжения на
площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы. Существенными из компонент
тензоров напряжений и деформаций являются только оп и eu. Растяжением оси
пренебрегают. Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия связаны
с прогибом стержня w следующим образом:
(>)'*• (82)
о о
где (z2 dF—момент инерции сечения относительно Оу (см. табл. 4). Изгибные
F
колебания стержня описывают уравнением
d2 (с, d2w \ . _ д2ш , . 1а-.
F ^>+f (83)
Основные типы граничных условий сведены в габл. 6. Начальные условия анало-
гичны (66).
Учет продольных сил. Если в сечениях стержня действует продольная сила N (х),
то вместо (83) следует пользоваться уравнением
— [EJ-^-г — — W д- + pF-5—^=9 (х, /). (84)
дхг\ дхг дх\ дх) v дР ' ' '
Геометрические граничные условия и условия, содержащие изгибающий мо-
мент .М
не изменяются. В условия, содержащие поперечную силу
РРш \
наг)+
(ff^w \ д /
должно быть внесено ее новое выражение
дх
Уточненная теория Тимошенко изгибных колебаний стержней. Техническую тео-
рию изгиба стержней применяют, когда масштаб изменения напряженно-деформиро-
ванного состояния вдоль оси стержня велик по сравнению с характерным размером
поперечного сечения в направлении оси Ог. Если указанные величины сопоставимы,
то применяют уточненные теории, в которых учтены поперечные сдвиги и инерция
поворота сечений. В уточненной теории Тимошенко введены предположения: попе-
речные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформированной
оси стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны
нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений.
Потенциальная энергия деформации
и=НE1 № ~ ^dx+И(85)
о о
в Основные типы краевых условий для иэгибных колебаний стержней
Заделка
Плавающая
заделка
Свободное
опирание
Свободный
конец
Вид
закрепления
154
распределенные колебательные системы
Здесь $ — средний угол сдвига, х — коэффициент, зависящий от характера распре-
деления сдвигов по сечению и способа определения среднего значения для угла
сдвига. Если под р понимают среднеквадратическое значение
₽!=у I (W^.
F
(88)
а касательные напряжения при изгибе определяют по формуле Д. И. Журавского
QS
°13" Jb
(87)
(Q — поперечная сила; S — статический момент части сечения, отсеченного плоско-
стью z — const; b — ширина поперечного сечения при z — const), то
1 = F_ i' S3 dF
и J* J •
F
Для прямоугольного сечения x = 5/6.
Кинетическая энергия
d'*w dfi V J
dxdt dt X
(89)
Изгибные колебания стержней по уточненной теории описывают системой урав-
нений
<32 Г„,/с?2и> d₽\] d* Г ,/tto 'Л . _ д*ш
дх'1 [U дх* dx/J dxdt- | pJ дх ^!]+р' dt* ~4,
dl’/d^ dp I , д* fdw Д , п (90)
~ д7.1Нр'/ di* dT-^ +xGi Р-0'
Альтернативные краевые условия имеют вид
/ d*w dp \ п дш о г
EJ -т-л------х- = Л! либо ----------8 = 0;
\ дх* дх] дх г
— кбЛ'Р = Q либо w — 0.
Между функциями 0 и ю существует связь
(91)
(92)
которая позволяет из уравнений (90) исключить р. Так свободные колебания стержня
постоянного поперечного сечения будут описываться уравнением
(Зко I Е \ d*w d*w &J d*w _
EJ дх* р ' xg) дх* dt* + pF dt* + xG dt*“°’ (93^
которое известно как уравнение Тимошенко.
В дополнение к краевым условиям (91) (два условия на каждом конце стержня)
необходимо задать четыре начальных условия
и»(х, 0)=/t (х); Р (х, 0; =/3 (х);
«)=/.«; (JC- ’’>=/.»• <94)
Уравнения изгибных колебаний криволинейных стержней. Считаем, что ось
стержня лежит в плоскости, которая совпадает с главной плоскостью инерции сече-
ния стержня и с плоскостью действия сил. Стержень отнесен к криволинейной си-
стеме координат Osyz (Os по оси стержня). Кроме тоги, предполагаем, что л/min R <; 1,
где г — характерный размер сечения, R ($)—начальный радиус кривизны.
Для потенциальной энергии деформации и кинетической энергии имеем выра-
жения
Уравнения колебаний криволинейного стержня будут следующими:
д Г / du , w \1 d iEJ I d*w д / и \П , „ д*и . )
'ds *• ds + Я,']+ ds 1/?Ц ds* ds\/?,|l+p' ~др ~ q* |
/ дч w д* ( f d*w д / и \Ъ дЧ' . .. I
R v ds + R ds* \U L ds2 ds dt* |
При R -» ос (96) распадаются на два независимых уравнения, описывающих про-
дольные и изгибные колебания стержня. В общем случае на концах стержня должно
быть поставлено по три условия Альтернативные условия имеют вид
(97)
„ с n/du , w EJ I d2ay д f и 1 п
и = 0 или EF -s-t-ft--------ft । -у;---т ft =-V.
\ ds R ] R f ds2 ds R /J
Начальные условия
w (s. 0) = Zi (s); (s, 0) =/2 (s);
u(s, 0) = /3(S); ^(s, O)=f4(s).
(98)
Если деформацией оси стержня можно пренебречь, то из уравнений (96)
следует
ds п ds2 1 R ds
d2& d
ds2 ds
{-r )]}+₽f £ [a+® <")
Замена
n <?u
приводит к уравнению шестого порядка для и
!' d д2 1 d । [ d2 / du \ d_ { и_ h
\ds ds* + R ds) I | ds2 \ dT/' ~ di \ R /JJ +
+ pf= (ВД- (100)
Соответствующее уравнение для стержня с круговой осью и постоянными пара-
метрами EJ = const, EF = const, R — const, s = Ra можно записать в гиде
EJ d2 / d2 . ,\2 , _ d* (d2 . dq3 .,Л1.
R*dcc*(da2^ “ + pF d/2 \da2 1 U 41~^da'
Это уравнение является уравнением изгибных колебаний кольца. Если, кроме того,
кольцо загружено радиальной постоянной нагрузкой qP, то
Уравнения изгибио’крутильных колебаний стержней. Считаем, что стержень
имеет прямолинейную ось и незакрученное поперечное сечение. На основе допуще-
ний элементарной теории изгиба и теории кручения и учета эффектов депланации
получают следующие выражения для кинетической энергии и потенциальной энер-
гии деформации:
1 t 1
-Г 1 С ^17^ дд\2 rdw d0\2] . If . /dev2^
T 2 J p7[( d/+a* dj +\ dtf 02 dt I J"a + 2 ) Pa \ dt ) dx>
о о
i
.. 1 f /d2^ \2 , 1 f _z [d2v \2 , ,
U=2 J dx+2 J “X +
о 0
► (103)
где а2 и а3 — координаты центра изгиба. Перемещения и и о?1 центра изгиба сечения
в направлении осей Оу и Ог и угол закручивания Ь удовлетворяют уравнениям
д* &v\ , d2v с д2в . ..
₽ Д'a?;+₽f ^_₽faI *
д2 („, \ _ (fia> _ (fib
дх2 LJy'd^ , ^р'' + asd№93 ,V’ f):
d2 / 020 \ ^\ । с/
dx2 Eadx*) dx* Kdx,^p °3 dt2
°2 dt2 + p^ d/2—0»
(104)
где ZA = /„4* (a| + ag) f — полярный момент инерции относительно центра изгиба.
Если ^2= а3-- 0, то (104) разделяются на уравнения изгибных колебаний в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях и уравнение крутильных колебаний. Альтер-
нативные концевые условия для общего случая имеют вид
d /„. i n d I d-w\ n
u = 0 или —/=Q2; да = 0 или =Qy-
4°-=o
dx
или EJ
d2v .. dtv n _. (fiw ..
2 Ox2 “ U-’ dx ~ ° ИЛИ EJy dx2 ~Mu’
6 = 0 или -JUE/ +Glk~ = M-
dx \ dx2 j ' R dx
db _ r., 32j n
_ =0 или Е1^-- = 0.
dx “ dx2
(Ю5)
6. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
Под пластиной понимают тонкое двухмерное тело, .>дин размер которого (тол-
щина) много меньше двух других размеров и срединная поверхность которого есть
плоскость. Срединной поверхностью называют поверхность, равноотстоящую от
внешних (лицевых) поверхностей двухмерного тела.
Классическая теория. В основе теории лежит совокупность допущений, назы-
ваемая гипотезами Кирхгофа — Лява'. прямолинейный элемент, нормальный к сре-
динной поверхности до деформации, остается прямым и нормальным к срединной
поверхности, не меняя своей длины. Деформации предполагаются малыми. В пла-
стине реализуется обобщенное плоское напряженное состояние, в силу предположе-
ния о том, что о33 пренебрежимо малы. Существенные компоненты тензоров дефор-
маций и напряжений еар и оар (а, (3 = 1,2) линейно изменяются по толщине. Дефор-
мацию срединной поверхности при изгибе пластин не учитывают.
Пусть пластина отнесена к прямоугольной декартовой системе координат Охгх2г.
Потенциальная энергия деформации
d^w 2
dx| /
ЕЛ3
12 (1—v2)
—2(1—v)
d2au d“W
dx2 dx%
dQ, (106)
где D =
— цилиндрическая жесткость пластины. При подсчете кинети-
ческой энергии учитывают только нормальные силы инерции
(Ю7)
158
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Предполагаем, что на пластину действует нормальная нагрузка q, а на контуре
приложены поперечные силы Q, изгибающие и крутящие моменты Л4Л, Л1/ (ли/ —
нормаль и касательная к контуру), тогда потенциал внешних сил
П=— ( \ qw dQ - \ - Qw+Мп~ + dr-}-consi. (108)
О Г 4
силы
На элемент пластины действуют изгибающие и крутящие моменты и поперечные
Л1„ = О
д2ш
дх*
=Л121 = /?(1 -V) -—; Q] = Da-Aco; Q2 = D~bw,
« 11 ' ' dx. dx2’ dxj dx2
л d'2 , n
где A = yx5 + -д~;— оператор Лапласа.
Уравнение изгйбных колебаний имеет следующий вид:
A (D Аш) — (1 —v)
IId— ~ !d д—'
\ дх2 ) "г дх2 \U 'дх2 )
п д2 / _ d2w \ 1 д^ш
— 2 ----j— D —з— ф-рЛ - - - = q (х, /).
дх. дх2 \ дх. дх2 \ r dt2 '
(109)
(ИО)
Если толщина h. однородной пластины постоянна (цилиндрическая жесткость
D — const), то уравнение колебаний принимает форму
д2и)
DMw + ph^-^qtx, t).
(Ш)
dxj ' дх2. ) ’
Альтернативные граничные условия имеют . ид (Xi = const)
W = 0 ИЛИ
(2-v)
] _Г) , <^21 .
At] дх?2 ] 1 дх2 ’
Ош А
— = 0 или D
дх
d2w
дх2
(И2)
д3^ ,
т
и •
Другие виды краевых условий аналогичны подобным условиям для стержня (см.
табл. 6).
Криволинейные координаты. Пусть пластина отнесена к криволинейной системе
координат Oxjx.2a. Уравнение (111) для пластин постоянной жесткости остаётся
справедливым, только для оператора Лапласа следует взять выражение
1 Г д / Н2 д \ д (Н. д Я
Н.нДдх. \ Н. дх./'дх2 \ Н2 dx2/J' J
Пример. Круглые пластины, отнесенные к полярной системе координат х, = г, х3=н (пара-
метры Ламе равны Ht «!,//, = г), при колебаниях подчиняются уравнению [D — const)
дг , 1 д 1 д* \ /д*и> 1 дц> ! d*w\ , . d*w
dr* + Т ~дг + 7* d9» / + г 5/ г» дВ> j '' рЯ дн =
(114)
Приведем также выражения для моментов и поперечных сил в криволинейных
координатах:
1 дНг ды
H-Jil дх2 дх2
1 дН2 <ЭшЪ
Н-Н2 дх. dxjf’ 41
, I J_ д / 1_ди\
1 ’ [ Нг дх2 Н.г дх2 '
=П-2-д— Дю; Q2 = D~-^~\w,
Н. дх. хз Н2 дх2
]_ v гн. д / 1 дш- Н2 д ! 1 Зю Я
2 Н2 дх.)Л'Н^х. ^H:2dx2j\'
Ортотропные пластины. Колебания ортотропных пластин постоянной толщины
описывают уравнением
сМш д'1 и д2и _
’’ дх\ +“Z пдх\дх} ~rL'i dxi '' p dt2~g' ( b/
где Di и D2 — цилиндрические жесткости соответственно в направлении осей Oxt
и 0хг\ Dl2 — смешанная жесткость. Введенные жесткости определяют по формулам
D W г. .
' 12(1- v„v„) U‘ I2(l-v„v„)’
G№
Di2 = ^iDi^Dk = Vi2D2^2Dk, Dk^ — , (117)
где DK — жесткость при крученпи.
Учет тангенциальных усилий в срединной поверхности. При действии постоянных
усилий в срединной поверхности вместо уравнения (111) с учетом (113) следует взять
DS Ди’ —
1 1 д f Н2 ди
Hi Н2\дх! 1 11 Нг dxi
К Д'
12 дх.
дх2
12
ди Hi ди
дхх Н 2 дхг
= <?•
(П8)
При формулировке краевых условий необходимо учесть вклад тангенциальных
усилий в поперечные силы. Так, для незакрепленного загруженного края xt — const
должно быть
cWl2 1 дш 1 dw п , дМ1 .
Г~д^ -Лп /77^1
Мц=Мп.
(119)
Учет поперечных сдвигов и инерции вращения в теории колебаний пластин.
Классическая теория пластин применима, когда толщина пластины мала по сравне-
нию с характерным масштабом изменения напряженно-деформированного состоя-
ния (Л2 << Л2). В этом случае оправдано пренебрежение влиянием деформаций попе-
речных сдвигов и инерцией вращения нормальных элементов. Если указанное выше
условие нарушается (h •— X), то при рассмотрении задач колебаний пластин необходим
учет деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения нормальных элементов.
Распространение теории Тимошенко для стержней на пластины приводит к уравне-
ниям
'^1 ( 1-у Mi 1+у дЧ2 ( _ ди\ _ р/г3 <320,
дх» 2 дх» + 2 дх2дх2 1 dxi) 12 dt2 ~~ ’
D
dxi
1—у d202
2 дх»
1 -Kv (?201
2 дх2 дх,
——
2 дх2
рЛ3 д62
12 ~дЙ
0;
(120)
р/г8 д- \ ( c*0j
12 di2} dxi
О62 \ д2®
дх2J + dt* *
DA
где 01 и 0 2 — осредненные углы сдвига. Параметр х, также зависящий от распреде-
ления сдвигов по толщине пластины, может быть принят равным х = ь/в (распреде-
ление сдвигов, как в классической теории), или х = 2/3 (отношение среднего каса-
тельного напряжения к максимальному), или х = х*, где хж —корень уравнения
(!—х) ‘ 1
1—2v х 1’Д , х
1-у 2";] “ 2’
(121)
расположенный на отрезке [0, 1] (наилучшее совпадение скоростей распространения
малых возмущений с результатами трехмерной теории).
Естественные краевые условия на краю xt — const следующие:
D (1 —V) / d02 \ |
~ д^ + дх;)~
(122)
При решении задач динамики пластин в уточненной постановке удобно бывает
ввести потенциальные функции
0 dO , дТ 0 _ с?Ф _ dT
1 dxx ' дх2 ’ 2 ~ дх2 дху '
Тогда уравнения движения принимают следующую форму ]Ь9, 87]:
6x(l-v) /Л ч Р(1—V») д2Ф 1
ЛФ-—1.г->- (ф_ш)=РЗ-г^.—
15хУ _ 2p(l-f-v) <W .
№ ~ Е дР ’
, . 2(l-f-v)/ ,
(123)
(124)
При использовании этих уравнений краевые условия также должны быть выражены
через потенциальные функции Ф и Т.
Дополнительные сведения о различных типах уравнений колебаний пластин
можно найти в [1, 2, 7 . 9, 19, 20, 25, 33, 35, 77, 87, 100, 101, 109, 128, 139].
7. КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Перемещения и деформации в тонких оболочках. Оболочкой называют тело, огра-
ниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению
с основными размерами тела. В классической теории оболочек справедливы гипотезы
Кирхгофа — Лява,, состоящие в следующем: нормальный элемент к недеформирован-
ной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к де-
формированной срединной поверхности и не изменяет своей длины; нормальные
напряжения о33 пренебрежимо малы. Энергетическая погрешность гипотез Кирх-
гофа — Лява в случае оболочек равна ц2 = max {/г2 А2, Л/₽], где R — минимальный
радиус кривизны оболочки.
Пусть оболочка отнесена к ортогональной криволинейной системе координат
OxAx2z, так что ось Ог направлена по нормали к срединной поверхности, а линии
Xi = const и х, = const совпадают с линиями кривизны. Перемещения в любой
точке оболочки
ua = t'a—гфа! w3=u> (a= 1, 2), (125)
где Vj, vs, w — перемещения точек срединной поверхности, а утлы поворота
= «afa («=1, 2). (126)
где ka — главные кривизны-, — параметры Ламе.
Существенные компоненты деформации связаны с деформациями срединной по-
верхности ea[j и изменениями кривизн соотношениями
eaP~euji—2хсф (а> Р-=1» 2), (127)
где
1 dvr , t>2 дНх
еп~7Ц1)х^ ' 1Цн^~дъ.
j’A’joa (1—2, 2 — 1);
, д <L
2 | Я, дхг \ Н2) Я, дх.
(128)
1 д ( 1 dw . \ , 1 dHi I 1 dw . \ _ 14
Hi dxt H. dXi * НгН2 dx2\H2dx2 ^'2/bH;
1 f d2w 1 dHr dw 1 dH2 dw
H1H2\dxidx2 Hi dx2 dxi H2 dxt dx2
Z^ai _ U1 Z^2 L'2 ^2
H2\dx4 H2 dx2, Hi dxt Hi dxi/'
(129)
Здесь и далее в тексте запись (1 — 2, 2 —г 1) означает, что не выписанные вторые
соотношения получаются круговой перестановкой индексов I и 2. Выражение для х12
приведено в форме, данной В. В. Новожиловым 178].
Уравнения движения. Потенциальная энергия деформации тонких упругих обо-
лочек
U = ~2 \ I _V2 + ем)8 ~ 2 (1 — V) (₽ц?22 — еЬ)] +
*О
4- D [ (хп+х22)* — 2 (I — у) (хих22 — х| J]! HiH2 dXi dx2, (130)
Кинетическая энергия
'-ННтМ»Л®'1
Й
(131)
Использование выражения для виртуальной работы внешних сил
б'Л = \ \ (9] bvj 4- q2 6v2 4- q3 бш) ЛГ1/7а dxi dx2 4-
'0‘
4-\' (Л'я^’п + Hi&vi — Q бю4-6фл4-Я/6qz) dr (132)
г
и применение принципа Гамильтона — Остроградского приводит к уравнениям
движения
нл; -
-Wi-pS^+^-O, (1-2. 2+1);
+ (<г-'а)+Д (<?=Hi)]+P*j^-?3 = 0;
- тцнг 1Д- +4- (Л1“^+^л|- - sf -м“1
(1—2, 2— 1);
Л J2 — N2i -j- k2 Mgj — k2 И12 = 0.
6 п/р. Болотина В В„ т. I
(133)
Уравнения движения в перемещениях. Для их получения необходимо исполь-
зовать снизь между усилиями Л\ф и моментами с деформациями
Ни =-—з («,. +«Ы (1 - 2, 2 -> 1);
— [2*1^1 (1-*2, 2->.1);
M11=D (>cn 4'VXa2) О 2, 2-*- 1);
Af 12 = D (I — v) хр = М21>
(134)
В свою очередь, деформации связаны с перемещениями формулами (128), (129).
Усилия Л\2 и XZ2i выбраны так, чтобы удовлетворялось шестое уравнение (133) (соот-
ношения Балабуха — Новожилова).
Краевые и начальные условия. На каждом краю оболочки должны быть заданы
краевые условия, соответствующие характеру закрепления края. Альтернатив-
ные краевые условия имеют вид (х: = const)
Vi = 0 или АД = .Vn;
Vs = 0 или Л'12 — ^2^12
1 дЛ1.2 л 1 дМг
в,=0 ил“ «+777 *f = c,+ «;-S7;
Ф1=О или Мц = Мп.
(135)
Различные виды условий приведены также е табл. 7.
7, Основные типы краевых условий Для оболочек
Вид закрепления Условия при Д-j я= 0
Опертый край, свободный в направлении Xi (условия Навье) и» = М , ! <V। j = О, = 0
Опертый неподвижный край to = = О] = tf, =0
Опертый край, свободный в тангенциальных направлениях to= Л/ц = Nil = Л’и — ktM lt = 0
Полностью защемленный край ui = (f( И] =5, = 0
Защемленный край, свободный в направле- нии X, я- <Г1 — Л ,1 = о, -=0
Защемленный край, свободный в направле ним х2 И' = <Pi = Мц — кгМ1г = 01 =» и
Защемленный край, свободный в танген- циальных направлениях to = <р( = 7VU =₽ .У,, — = 0
Свободный край Ql + 4; «= Л‘„ = ,V„ - ktMlt = 0
При решении динамических задач должны быть поставлены начальные условия
°1Ь=0=°ж и2и=0 = %’
до2 । _ . dw I
dt |г=о ‘ dt |г=о
«О'».
(136)
Уравнения безмиментной теории. Безмоментное состояние имеет место, если
энергией изгиба и кручения можно пренебречь по сравнению с энергией растяжения-
сжатия срединной поверхности. В уравнениях (133) в этом случае следует пренебречь
изгибающими и крутящими моментами и поперечными силами:
(137)
11 + ^2'^22_Ь (Ж ~^2-----73 = d
Число граничных условий на одном краю должно быть уменьшено вдвое. Из (135)
следует сохранить только перные два условия. Энергетическая погрешность безмо-
ментной теории т]2 с; Л3/?2/Х4. Таким образом, безмиментная теория пригодна для до-
статочно тонких оболочек при колебательных процессах с большим масштабом изме-
нения напряженно-деформированного состояния срединной поверхности X.
Уравнения технической теории. Если характерные тангенциальные перемеше-
ния и0 -= w0 (ш0 — характерное нормальное перемещение), то вместо (126) и (129)
К
справедливы соотношения
dw . .
„ =J_ALL^\_!_______1 /1 н_>9 о
п H1dxr\H1dx1) HrH2 dx2\H2dx2) 1
_ 1 d2w 1 дНг dw I dH2 dw
*12 HiH-i \ dXj dx2 Hr dx2 dxt H2 dxt dx2 / ’
(138)
и уравнения движения для оболочек постоянной толщины (Л = const) принимают
вид
-'^Л,=!|-РЛ '£?- + «1 = О 0-2. 2-1);
WAji |
(139)
Л2пу
DA 4-й2Л’22-Ь рЛ = <?з.
где оператор Л определяется согласно (ИЗ).
Полосие оболочки. Уравнения Доннелла — Муштари — Власова. Считают, что
для пологих оболочек интенсивности тангенциальных усилий qT и q2, как и танген-
циальных перемещений, составляют величины порядка Х/Я (и менее) от интенсив-
ности q3 и нормального перемещения соответственно. Кроме того, предполагают, что
тангенциальными силами инерции можно пренебречь. Тогда первым двум уравне-
ниям з (133) можно удовлетворить, если ввести функцию напряжений у по формулам
Л --1 f 1 \ | 1 0Да ОХ
Н2 дх2\Н2 dxj т HfH2 dxt dxi 1 ’ h
______1 / ОП 1 OH. dl I dH2 Ox \
13 HiH2 >dx1dx2 Hi dx2 dxt H2 dx2 dx2. ’ •
Недостающее уравнение, связывающее w и х. получают, используя уравнения
деформаций срединной поверхности. В результате получают систему
совместности
уравнений
DS Да.+ДкХ+рй^в(?;
Jr ДДХ-Дкщ=0,
Eh
где оператор Д определяется согласно (113), а
1
НХН2
~дх} HL дх{. дхг Нг дх2, J'
(141)
(142)
Если метрика срединной поверхности меняется достаточно медленно по сравнению
с w и х. то Нг и Н2 можно считать постоянными и пренебречь производными от этих
величин по координатам
1_ дз _ 1
Н* дх* + Hi дх*:
Ак Н* дх*+ HI дх* • 11 Н~ дх*'
1 дЧ 1 дЧ
22 ~ Н* дх] ’ 12 HiH2 dXidx2-
Если оболочка достаточно пологая, так что криволинейные координаты мало
отличаются от координат на плоскости, го можно положить Hv— Н2 — 1- Уравне-
ния движения тогда принимают вид
ПА А /а А I А
ZMAK.-F к^+k, —^ + vh—=g3-
1 Л AV /а A d‘W \ л
~ь<~ Д Д — k2 , ——г k± = О
Eh \ 4 dxi дх* ]
\=dL^ д2_\
дх^дх*]'
(144)
Уравнения полубезмоментной теории. Эту теорию можно применять в том случае,
когда при колебаниях характер напряженно-деформированного состояния таков,
что масштаб изменяемости в одном направлении много меньше, чем в перпендику-
лярном направлении (Х3 Х2)< В этом случае оболочку в одном направлении рас-
сматривают как моментную, а в другом — как безмоментную. Уравнения движения
в данном случае принимают вид
D d*w k2 дЧ d2w
Н* dxj + Hi dxf + Н* dxf+ р 7 di* q'
1 сНХ k2 kr д2ш) _
ThH* ~дх[ ~ . Н\ dxf 77* ~дх[J~U
Уравнения краевого эффекта. Для изучения напряженно-деформированного со-
стояния у края оболочки (например, Xj — const), быстро убывающего при удалении
во внутреннюю область, можно использовать уравнения, которые получаются из
(141), если пренебречь зависимостью от координаты х2. Уравнения движения будут
в данном случае следующими.
(145)
D дЧэ fr2 5ЛХ &&
~7Г\ ~дх\ ^~H'[~dXi^vh~di2 "q'
1 o4X kz d*w n
EhH • dxf “ 77* dxi '
При исключении из этих уравнений % получим
D р
Н\ dx? + ^2 — ^о + <7.
(147)
где qa определяется тангенциальными краевыми условиями.
Учет влияния предварительного безмоментного состояния. Параметрические
члены. Члены, входящие в уравнения колебаний и содержащие компоненты пред-
варительного безмоментного состояния, называют параметрическими. Наиболее
общие выражения для этих членов имеют вид
$1 = 7ГХ дх[ + ТЦН2 "dxf “ И\ дхГ । (е21 + 021Л +
+ О ->2. 2-> 1);
/Id. I дЯ2 \ .... ... (148)
дз~\Н~дХ1 + НХН2 dXl ) (' пФ1+Л ифз) +
+( Я, д^ + ад ‘V?®ф2 + Л ’г~ 2 — Л «А (6?а + 0₽а),
а=1
где .V£p соответствуют предварительному безмоментному напряженному состоянию.
Величины фа и еар определяют согласно (126) и (128) и, кроме того,
011 = 022 = 0; (Я2°2)-^(ад]. (149)
Если удлинения и сдвиги малы по сравнению с углами поворота <р5 и нс углом
вращения элемента срединной поверхности относительно нормали 012, то в (148)
следует опустить члены, содержащие еар. Далее, если деформации срединной по-
верхности еар и сращение элемента вокруг нормали 012 пренебрежимо малы но срав-
нению с углами наклона (?ар < фа, 512 << фа), то вместо (148) можно использовать
выражения
?1 = -№1Мт + ^ (1->2, 2->1); ।
j <l50>
+ {тГ,д^ + ТЕЙ1 дхГрЛ"’л‘+ '"Vd- |
При изучении преимущественно изгибных форм колебаний с применением соот-
ветствующих гипотез параметрические члены следует взять в виде
?1 = ?2 = 0; I
д2ш 2№1а tfj, №1' [ (151)
g,~ Н2 дх2 + HrHt дХ1дх2 ' Hl дх* ’ I
Пример. Цилиндрическая оболочка радиуса R находится под внутренним давлением р0 и
продольным растягивающим усилием Na. Параметрические члены имеют вид
Q> ~ Л 0 dxi P°R dxs R dxt )*
" 0 dxi P°R + R dx^
.. dlu> D fd*a> 2 <?v, a> \
“ Ne TJf ' ₽0* \ dxi R dx2 Ri)
(152)
В случае колебаний с большим числом волн в окружном направлении в (152) следует сохра-
нить только подчеркнутые члены.
Более подробные сведения, касающиеся различных вариантов уравнений дви-
жения тонких упругих оболочек, можно найти в (1, 9 , 25 , 26, 27, 33, 35, 78, 79, 87,
100, 101, 102, 109, 132].
Глава IX
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ УПРУГИХ СИСТЕМ
1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Общие замечания. Распространение теории свободных колебаний систем с конеч-
ным числом степеней свободы (см. гл. Ш) на распределенные системы осуществляется
в рамках функционального анализа. Теория свободных колебаний упругих систем
может рассматриваться как физическая интерпретация спектральной теории линей-
ных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Операторные обо-
значения весьма удобны при изложении общих вопросов теории колебаний упругих
систем, поскольку они придают предельную краткость и общность. Чтобы облегчить
интерпретацию операторных обозначений, в табл. 1 и 2 дана их развернутая запись
для некоторых классов упругих систем.
I. Операторы теории колебаний
Система Инерционный оператор Аф Упругий оператор Сф
Струна рГф д дх («*'
Стержень, продольные колебания pF<p д дх \ дх
Стержень, крутильные колебания р/оф д ~ дх \ к дх j
Тонкостенный стержень открытого профиля, кру- тильные колебания р/ оф дх* \ дх* / d f дх \ 0/ * дх )
Стержень, изгибные колебания Р^Ф д* ! дх* 1 Л/-ft.) дх*
Тонкостенный стержень открытого профиля, из- гибно крутильные коле- бания / ~Та,\ /а>Л pl \ \~^Fag !А ) \Ч>0/ £) 0 \/»,\
Уравнение свободных колебаний. Общая запись уравнений свободных колеба-
ний упругих систем имеет вид
А-^г + Си=О, (I)
где и (х, 0 — поле перемещений, заданное при х (=S = Ra и на некотором отрезке
времени, например, при 0 rg t <; оо, А—инерционный оператор; С — упругий
оператор.
Операторное уравнение (1) включает в себя не только дифференциальные уравне-
ния, но и граничные условия (через область определения операторов). В дальней-
шем множество функций, дифференцируемых по всем переменным должное числи
раз, интегрируемых с квадратом в области S и, удовлетворяющих всем граничным
условиям (как кинематическим, так и динамическим), обозначим через D (С). Это
множество обычно совпадает с областью определения упругого оператора С, что
учтено в обозначениях. В дальнейшем полагаем, что D (А) S D (С),
Реализации уравнения (1) для различных типои упругих систем получаются из
дифференциальных уравнений гл. VIII, если в этих уравнениях приравнять нулю
члены, учитывающие внешние силы.
Собственные частоты и собственные формы упругих систем. Подстановкой типа
и (х, 7) = ф (х) sil1 М+Х) (2)
уравнение (1) приводится к уравнению относительно функции координат <р (х), опи-
сывающей формы колеблющейся системы:
(С—®2А)ф = 0. (3)
упругих одномерных систем
Скалярное произ- ведение (ф, гр) Энергетическое пр изведение [ф, гр] Энергетическое произведение 1ф. ч>1с Примечание
1 J фгр dX 0 / J рТДлр dx 0 0Ф J дх дх 0 См (64) гл. VIII
1 J pFtpip dx 0 1 С рр <Эф дф ОЛ дх dx 0 См. (67), (68) гл. VHI
I ] р/оДф dx 0 f0/.»» J к дх дх 0 См (71), (72) гл. VIII
I J Р/офф dx 0 J \ ы дх1 дх* *дх дх j 0 См (71), (76), (77) гл VIII
I J pFqnp dx 0 J дх* дх* 0 См. (82), (83) гл VIII
1 f (’Л + 0 + Ми)dx I J [P^-a^jX 0 x(%~Me) + + dx С/о. , J \EJг дх* дх* + 0 z ы дх* дх* + G/k дх дх d См (103), (104) гл. VIII Ог — ось симмет- рии ag — расстояние от центра инерции до центра изги- ба
2. Операторы теории колебаний
Система Инерцион- ный опера- тор Аф Упругий оператор Сф
Упругая пластина (классическая тео- рия) рАф DS Дф
Д(ОЛф>-0-у)[£1 0Л) + дх, \ дх,,' дх, дх, \ дх,дх, /\
Упругая круговая
цил индрическая
оболочка (техниче-
ская теория)
д* [ I — у да ' 1 -j-у Д*
{дх, 2 dx* 1 2 Эх, дх,
i4 V д* t ‘ 1 у д* + д» .
2 дх, дх, * 2 dxj dxfz
л4 —
R дх,
А, _д
R дх,
у д А, д
R дх, R дх,
Dl Sw+ *Е.
А
Значения параметра ш2. при которых операторное уравнение (3) имеет решения,
отличные от ф = 0, называют собственными значениями уравнения, а соответствую-
щие ненулевые решения ф (х) — собственными элементами уравнения. Совокуп-
ность собственных значений называют спектром уравнения. Положительные значе-
ния квадратных корней из собственных значений уравнения (3) имеют смысл собст-
венных частот, а собственные элементы совпадают с собственными формами колеба-
ний упругой системы.
Уравнение (3) есть уравнение Остроградского — Эйлера для вариационной
задачи о стационарных значениях квадратичного функционала
Мф) = ^о(ф)-со27'о(ф). «)
Здесь U.. (ф) — максимальное во времени значение потенциальной энергии упру-
гой деформации системы, колеблющейся по закону (2), То (ф) — максимальное во
времени значение кинетической энергии, взятое с точностью до множителя о>2.
2. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ
Скалярное и энергетические произведения. Скалярным произведением элементов ф
и ф называется величина
(ф, ф) = \ (q!фх + ф2ф24-...) dx, (5)
упругих двухмерных систем
Скалярное произведение (Ф, МО Энергетическое произведение |ф. Ф1л Энергетическое произведение [ф, ф]^ Примечания
J J тЧ' dx, Я J 1 Р^<гф4*1 dx, Я Х1 ip Я ) _о дх ) ^ЛфДф- 2(1 — v)X д4ф а4ф д*ф д*ф \ __ Эх? дх* дх* дх|У »Ф 11 -5—т- i dxi dx* дх, дх, дх, j h = const [см.(10Г>), Ж1; ГЛ‘ const [см. 0 06), (107), (ПО) гл VIII]
I f (М« + я + Мд + + Ma')X Xdx, dx, ПрЛ(фкф„+ Я + + + М»)Х X dx, dx, V а я -(1-У) R дх, <НГ + дх D td о Э’Ф, х3 с 4<Г, Эх, "Эф Ldx *1 а , д [Л<РИ- ха дх* 1 г ~ х2 дхгдх2 Л 4.^° дх, дх, дх, дх, -1^- 2 \дх, с х, дх, дх 2 (1 — V) X Эт<гс.^ 0x2 ЙХ2 у ' dx, dx, * дх, + Л» 41 a<pT 1 £ф дх, R дх % . х, ' дх, dXt d L 4W+ **»+ ?Х| Iff л Eh 4 “ i_V‘
где под знаком интеграла стоит сумма произведений одноименных компонент вектор
функций ф (х) и ф (х)
Энергетические произведения вводят при помоши квадратичных функционалов
Uo (ф) и Tv (ф) из формулы (4). А именно, произведением элементов ф и ф по кинети-
ческой энергии называют билинейный функционал [<р, ф]д в соотношении
То (ф + ф) = 7'о(ф)4-7’о (ф)-Нф. Ф1д (6)
а произоедением элементов ф и ф по потенциальной энергии — билинейный функцио-
нал в соотношении
^0(ф+ф) = ^0 ^) + 1ф. tic-
(7)
Энергетические произведения симметричны по отношению к сомножителям и
связаны с энергетическими функционалами формулами
1ф. ф1л = 2т\)(ф); 1ф> ф1с=26\/ф)- <8>
При ф, ф G D (С)
[ф. ф]д = (Аф, ф); [ф, ф]с=(Сф, ф). (9)
Для конкретных упругих систем эти равенства доказываются интегрированием
по частям (если система одномерна) или применением формулы Гаусса — Остроград-
ского. Примеры скалярных и энергетических произведений для некоторых систем
приведены в табл. 1 и 2.
Свойства операторов уравнений свободных колебаний. Операторы А и С являются
самосопряженными, т е. для них на любых ф и ф из области определения этих опе-
раторов выполняются равенства
(Аф, ф) = (ф, Аф); 1
(Cq:, ф) = (ф, Сф). j
Операторы А и С являются положительна определенными, т. е. для них на любом
ip eD (С) при ф 0 справедливы неравенства
(Аф, ф) > 0; (Сф ф) > 0. (11)
Исключения могут встретиться в некоторых переупрощенных схемах. Напри-
мер, если массу некоторых элементов системы принять равной нулю при отличной
от нуля упругой податливости, то
(Аф, ф)г>0. (12)
Для ограниченных упругих систем обратный оператор С-1 является вполне не-
прерывным (исключения могут составить системы с сильно «заостренными» элемен-
тами, однако эти системы следует рассматривать как искусственно сконструирован-
ные примеры). Определение вполне непрерывного оператора требует использования
понятия сходимости и компактности ь гильбертовых пространствах. Вполне непре-
рывный оператор улучшает сходимость последовательностей в соответствующем
пространстве, преобразуя ограниченную последовательность ь компактное множе-
ство, слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся
по норме, и т. п.
Интегральные уравнения собственных колебаний. Для большинства задач теории
упругих колебаний оператор О’ реализуется в форме интегрального оператора с сим-
метричным регулярным или слабо полярным ядром
С-1ф = \ G (х, х') ф (х') dx'. (13)
Уравнению (13) соответствует интегральное уравнение Фредгольма или родственное
ему интегро-дифференциальное уравнение (если оператор А — дифференциальный):
ф(х) — ц>2 ( G (х, х') Аф (х') dx' = 0. (14)
Свойства собственных частот и собственных форм. В дальнейшем будем считать,
что операторы А и С — самосопряженные и положительно определенные, а опера-
тор С-1 — вполне непрерывный.
Спектр собственных частот — дискретный (точечный) и не имеет точек сгуще-
ния, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки. Все собственные частоты —
действительные. Спектр собственных частот упорядочивается в порядке возрастания
(О ( О>2 Щд , (15)
а собственным формам придается номер соответствующей частоты.
Свойства собственных форм. Собственные формы колебаний попарно ортогональны
по кинетической энергии, т. е.
(Аф/, Ф*)«0 (/#=*). (16)
Собственные формы колебаний попарно ортогональны по потенциальной энергии,
т. е.
(С<Р/. Ф»)-0 (/*=*)• (17)
Собственные формы образуют н D (С) полный базис, т. е. любой элемент u <= D (С)
может быть представлен в форме ряда
со
и (х) = V М>/ (18)
который, во всяком случае, сходится по энергетической норме.
Перечисленные факты являются аналогами свойств собственных частот и собст
венных форм линейных консервативных систем с конечным числом степеней свободы
(см. гл. 111). При этом разложение (18) соответствует введению нормальных коорди-
нат, а его коэффициенты аналогичны нормальным обобщенным координатам.
3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
Формула Релея. Собственные частоты и соответствующие им собственные формы
связаны между собой тождественным соотношением
со
= «4, Т)
(Аф, ф) ’
(19)
2
которое непосредственно следует из уравнения (3). Выражение, стоящее в правой
части формулы (19), будем называть дробью Релея Формула Релея может быть также
записана в одном из следующих вариантов:
[ф, ф]с Uu (ф)
---------- OJ4 — — .
1<Г <Р1д то(ф)
(20)
Последний вариант поясняет энергетический смысл формулы Релея.
Основной вариационный принцип. Среди форм движения истинными формами
собственных колебаний будут те, которые сообщают дроби Релея стационарные
значения. Этот принцип является отправной точкой для получения ряда других
вариационных принципов. В дальнейшем будем выражать дробь Релея через энер-
гетические функционалы. Это позволит расширить область допустимых функций за
счет функций, которые удовлетве ряют кинематическим граничным условиям, но
не обязательно динамическим. Кроме того, снижаются требования к дифференци-
руемости функций (требуется существование производных, входящих в энергетиче-
ские произведения, что уменьшает вдвое требуемый порядок производных). Допол-
ненное таким образом энергетическое пространство будем обозначать через Et .
Среди всех ф <= Ес истинными собственными формами колебаний будут те,
которые удовлетворяют одному из следующих эквивалентных условий стационар-
ности:
Чт^г1=0: <21)
I 'и (ф) J
бро(ф)-шаТо(Ф)]=О; (22)
6(7о(ф) = О; Т0(ф) = const; (23)
6ТО (ф) = 0; Uo (ф) = const. (24)
Вариационный принцип Релея. Низшая (основная) собственная частота упругой
системы удовлетворяет соотношению
2 U0 (ф)
= пип
q>t=Ec 'о (<р)
(25)
где к сравнению допускаются любые ненулевые элементы энергетического прост-
ранства Е,-.
Для определения высших собственных частот и собственных форм служит рас-
ширенный вариационный принцип Релея: собственная частота удовлетворяет соот-
ношению
, • (ф)
* Ф«=УА'о(ф)
(26)
где Vh — подпространство энергетического пространства Ес, элементы которого
удовлетворяют условиям ортогональности
[Ф. Ф/]д = 0 0=1. 2, *-1). (27)
Иначе говоря, при определении ft-й собственной частоты и соответствующей формы
к сравнению допускаются только те элементы, которые ортогональны ко всем низ-
шим формам колебаний.
Вариационный принцип Куранта. Собственная частота удовлетворяет соот-
ношению
<й|= max min (28)
Ф8...<₽ € WkJ (Ф)
где фгф2, ... , фд, j—произвольные линейно независимые элементы пространства ЕС1
W’k — подпространство Ес, элементы которого, удовлетворяют условиям ортогональ-
ности
[<р. ф/]д = 0 (/ = 1,2....4-1). (29)
4. СТРУКТУРА СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Дискретный (точечный) спектр. Если С-1 — вполне непрерывный, а А — поло-
жительно определенный оператор, то спектр частот—точечный. Это характерно
для большинства прикладных задач теории упругих колебаний.
Сплошной спектр. Этот случай типичен для неограниченных упругих тел. Напри-
мер, уравнение для изгибных колебаний бесконечной балки постоянного сечения
имеет вид
£/^~рР<Лр=О, (30)
а дополнительные условия сводятся к требованию ограниченности функции ф (х)
и ее первых трех производных всюду при хе (-оо. оо). Эти условия будут
удовлетворены, если положить
ф(х) = 81П—, (31)
где 1 — любое положительное число (длина полуволны у собственной формы), ш —
собственные частоты:
п2 / EJ \*/«
° ~ 1» pF j
(32)
т. е. любое число из интервала (0, оо) будет собственной частотой (рис. 1, о).
Спектр может начинаться с частоты ш0 > 0 (рис. 1, б). Для примера достаточно
дополнить рассмотренную балку упругим безынерционным основанием Винклера
с коэффициентом упругости с. Тогда
(Оо = (i • (33)
Смешанный спектр. Можно сконструировать примеры упругих систем, где наряду
с участками сплошного спектра имеются точечные частоты. Так, добавляя к беско-
нечной балке на основании Винклера сосредоточенную массу Л1, получим спектр,
изображенный на рис.. 1, в. При этом точечная частота является действительным
корнем уравнения
со2Л4 fc—pF<o2W*
~8ЁТ = \ 4Ё~ / ’
а сплошной спектр начинается с частоты а>и (33).
Полосовой спектр. Спектр частот, состоящий из счетного множества отрезков при
О <и) < оо, показан на рис. 1,г. Такой спектр имеет, например, бесконечная
неразрезная балка с равными пролетами. Нижняя частота для каждой полосы ча-
стот равна собственной частоте однопролетной балки с опертыми концами, верхняя
частота — собственной частоте однопролетной балки с защемленными концами.
Рис. 1. Примеры спектров собственных частот:
а — сплошной; б — сплошной, начинающийся с некоторой частоты ш0; в — смешан-
ный; г — полосовой
Общие замечания о структуре спектра. Если рассматривать неограниченные
системы как предел систем конечных размеров, то в результате предельного перехода
получим системы с точечным, хотя и сколь угодно плотным спектром. С теоретиче-
ской точки зрения вопрос о структуре спектра является весьма существенным.
Например, если спектр сплошной, то вместо разложения (18) в ряд по собственным
элементам необходимо использовать аналогичное интегральное преобразование.
С практической точки зрения, начиная с некоторого достаточно плотного спектра,
различие между этим спектром и сплошным спектром становится несущественным.
11з-за наличия демпфирования и конечной разрешающей способности виброизме-
рителъных приборов, из-за случайного дрейфа частот и т. п. при эксперименте не
всегда удается разделить :-клад близких собственных частот в вибрационное поле.
5. ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Понятие о функции распределения и плотности собственных частот. Пусть спектр
собственных частот — точечный, но достаточно плотный, так что в диапазоне частот,
представляющем интерес для приложений, находится достаточно много собственных
частот. Это типично для тонких пластин и оболочек, а также для трехмерных тел,
находящихся под действием широкополосного возбуждения. Функция распределе-
ния собственных частит вводится следующим образом;
/¥(©) = 2 П (“—©*)-
(nh «а
(34)
где (со) — единичная функция Хевисайда. Производная от функции распределения
. . dN (со)
V (со) =---------------
’ с/<0
(35)
называется плотностью собственных частот. Так как т]' (со) = б (ио), где б (со) — дельта-
функция, то точное выражение для плотности собственных частот можно записать
через сумму дельта-функций.
Асимптотические распределения и плотность собственных частот. Задание
точного распределения частот полностью определяет весь спектр. Для качествен-
ных и некоторых количественных выводов о динамическом поведении упругих
систем достаточно иметь приближенные сведения о распределении собственных частот.
Пусть Pj, р2>...—некоторые безразмерные параметры системы, малые по сравне-
нию с единицей (например, относительная толщина пластины или оболочки). Функ-
цию частоты Л'(со) называют асимптотической функцией распределения собственных
Рис. 2. Распределение частот;
а — точное, б — асимптотическое: в — эмпирическое
частот по отношению к параметрам р2> ••• • если пна связана с точной функцией
распределения соотношением
(со) Л (со) л /я о \
-------------= О(Р1. Рг. •••) (36)
В отличие от N (со) асимптотическая функция распределения — дифференцируемая
или кусочно-дифференцируемая функция со. Производную
v (со) =
dN (со)
du)
(37)
называют асимптотической плотностью собственных частот. Асимптотические рас-
пределения особенно удобны в том случае, когда они позволяют выделить наиболее
существенные факторы и получить приближенные оценки для целого класса упру-
гих систем.
Эмпирическое распределение собственных частот. Группнруя собственные частоты
по некоторым достаточно широким отрезкам, вычислим среднюю плотность спектра
на каждом отрезке, т. е. число частот, приходящихся на единицу частотной оси.
Эту плотность будем называть эмпирической и обозначать через v (со). Связь с точ-
ной функцией распределения видна из формулы
;(u) = A_Wz' 13^11 (Q^e^Q,), (38)
«Л — «Л-j
где Qf, S22, ... — точки разбиения спектра. Как и асимптотическая плотность частот,
эмпирическая плотность не определяется единственным образом, так как ее значения
зависят от способа разбиения частотной оси. Введенные понятия проиллюстрированы
на рис. 2.
Общие формулы для вычисления асимптотических плотностей собственных частот.
Для получения асимптотических распределений необходимо иметь точные или при-
ближенные аналитические выражения для собственных частот во всем интересую-
щем нас частотном диапазоне. Пусть собственные частоты упорядочены при помощи п
параметров kit k2....kn, принимающих дискретные положительные значения.
Чаще всего этими параметрами являются волновые числа, характеризующие собствен-
ные формы (например, числа, обратные длинам
волн вдоль координатных осей). Назовем со-
ответствующий вектор k = fo, k2, ... , kn)
волновым вектором. Зависимость со = й (к),
а также объем ячейки Лк, приходящийся на
одну частоту спектра, будем считать задан-
ными. Асимптотическая функция распределе-
ния собственных частот (рис. 3)
У Л’ (39)
Q (к) < ы
Эта формула будет тем точнее, чем медленнее
меняется функция й (к) в рассматриваемой
области. Асимптотическую плотность частот
вычисляют согласно (37) дифференцирова-
нием функции А (со):
v(w)"=-Ak' ,1 | grad й (к) ’ ( °‘
Рис. 3. К обоснованию формулы для
асимптотическое,- распределения частот
где Г (<•») = { к: й (к) = со}, т. е. интегрирование в (40) производится по поверх-
ности Г (со) равных значений собственных частот в пространстве волновых чисел.
Если функция й (к) неоднозначная, то следует выделить однозначные ветви йу (к)
и применить к каждой ветви формулы (39) и (40). В результате получаем
*<“)=£ J
/ а,(к)<и
(41)
- у С йк
v(®)-^ j | grad й/(к) Д/к ’
/ Г;. (со)
где Гу (со) — {к : й; (к) = со}, причем предусмотрена возможность изменения объема
ячейки Дук в пространстве волновых чисел. Если упругая система такова, что может
быть разбита на части, в каждой из которых плотность частот подсчитывается неза-
висимо, то плотность частот для системы в целом получают суммированием по ча-
стям системы. Если число таких частей достаточно велико, афункцияv (со) достаточно
медленно меняется при переходе от одной части к другой, то для приближенной оценки
плотности частот можно привести интегрирование «локальной» плотности по всей
области, занятой системой.
Асимптотические точки сгущения собственных частот. Если в какой-либо точке
поверхности Г (св*) градиент функции Q (к) обращается в нуль, то интеграл (40)
при частоте соф может расходиться. В этом случае говорят, что частота соответствует
асимптотическому сгущению собственных частот. В этой точке оси св касательная
к кривой А = .V (со) становится вертикальной. Необходимо подчеркнуть, что асим-
птотические точки сгущения характеризуют лишь асимптотические (приближенные)
распределения- Вблизи точек сгущения наблюдается некоторое увеличение средней
3. Асимптотические распределения собственных частот упругих систем
Упругая система Область изменения аргумента Асимптотика Асимптотические Примечания
волновых чисел собственных частот функции распределения плотности частот
Струна , пл А г со О)о _£_ 10 <1 n f N V/» 1 (pF/
Стержень, про- дольные, колебания _ л ( Е М/> °°-т(р/
Стержень, кру тильные коле- бания <О|О. э oio. II 3
Стержень, изгиб- ные. колебании 1 л2 (EJ\4t “° 1* \рЕ /
Упругая пластина постоянной тол- щины ОО /Л/Л 4 И /Л/Л ? 5 ki . /п2л 1 в» О) ©0 I OJn ,, _ 4л* / л ул •ha» РА/
Трехмерный упругий парал- лелепипед <з 4 ~ V/V/V/ * V/V/V/ ОО ° A.-^L а, k т3л. о3 ь тлл. "S Оз е е Л ia2a3<u / J £ \ 2 л2 (с| Cf 1 / 1 1 \ 2 л2 \cf + с); k* = Al -{- A? -f Ag> (К -h 2)1 \’/s. 1 ( Р / ’ с С^~\р)
ОБЩИЕ свойства собственных частот и форм
плотности частот, тем более резкое, чем ближе асимптотическая оценка к точному
распределению.
Асимптотическое распределение собственных частот для некоторых классов упругих
систем. Данные об асимптотических распределениях даны в табл. 3. Для стержней,
совершающих продольные или крутильные колебания, а также для колеблющихся
струн собственные частоты распределены приблизительно равномерно. Асимпто-
тически равномерное распределение наблюдается также для тонких пластин и для
трехмерных упругих тел, все измерения которых сопоставимы. Плотность частот
для стержней, совершающих изгибные колебания, с увеличением частоты умень-
шается. Более сложный характер носит распределение собственных частот для тон-
ких упругих оболочек (см. гл. XIII).
Глава X
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ УПРУГИХ СИСТЕМ
1. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ
Собственные частоты и собственные формы колебаний являются собственными
значениями и собственными элементами краевой задачи для уравнения (3) гл. IX
при краевых условиях
Nay(V|0) = 0;
Мау(ф|ла) = 0 (® = 1, 7=1, 2, ..., п).
Одномерные системы (т = 1). Функция ф, входящая в (3) гл. IX, зависит только
от одной координаты хт = х. Точное решение можно построить, если удается найти
фундаментальную систему для (3) гл. IX: фх (х), ф2 (х), ... , ф„ (х). Функции ф/ (х)
зависят от частоты со, как от параметра. Общее решение
п
ч w <2)
/=1
содержит столько констант, сколько необходимо для удовлетворения краевым усло-
виям (1). Подстановка (2) в краевые условия приводит к системе линейных алгебраи-
ческих уравнений типа
= 0 (/=1,2......л), (3)
А= J
условие существования ненулевого решения которой [равенство нулю определителя
системы (2)] дает уравнение частот
Д (io2) = detfyfr (©2) = 0. (4)
Корни уравнения (4) есть собственные частоты системы, а ненулевое решение
системы (3), отвечающее какому-либо корню уравнения (4), определяет форму коле-
баний, происходящих с соответствующей частотой.
Двухмерные системы (т = 2), Метод разделения переменных Пусть упругое тело
занимает прямоугольную в обобщенном смысле область с границами, совпадающими
с координатными линиями ха = const.
Краевой задачей с разделяющимися переменными называют задачу, собственные
функции которой могут быть представлены в виде произведения функций каждого
аргумента в отдельности:
фр= IT tyafax) (₽=’. 2....п1- (5)
<х= I
Краевой задачей с квазиразделяющимися переменными называют задачу, которая
соответствующим выбором краевых условий (1) превращается в задачу с разделяю-
щимися переменными, т. е. допускает решение вида (5); кроме того, она допускает
решение в виде
т
Фр = фрао (ха0) II ^₽а (ха)> (6)
ат^<Хо
причем подстановка (6) в (3) гл. IX приводит к уравнению относительна Фас£о, а вид
решения (6) переводит (1) в условия, содержащие только Ф^а.
Пример. Для двухмерных систем, движение которых описывается одним уравнением
с постоянными коэффициентами, переменные разделяются, если все края свободне « черты или
на них реализуется «плавающая» заделка. К разделению переменных приводит решение в виде
Фгщгти х2* = s'q ^mL (xi — sin ^т, ~ (7)
Значения волновых чисел и фазовых постоянных *0 для различных сочетаний условий
даны в табл. I.
Случай с кваэиразделяющимися переменными в двухмерных системах реализуется, когда
два противоположных края свободно оперты, либо на них имеет место «плавающая» заделка
В этом случае решение имеет вид
Ф/Пх = Iх*) s*n ^rnt (xt St)' (8)
а для Фт| (%2) получается одномерная краевая задача на собственные значения
1. Значения золновых чисел и фазовых постоянных для различных типов
краевых условий
Условия k та
*а аа
Опирание V
Опирание аа 0
ш^л л
«Плавающая» заделка «Плавающая» заделка ~2~
Опирание «Плавающая» заделка \ а 2 ' atl 0
( 1 \ л л
«Плавающая» заделка Опирание Г« + Т.'Ъ- 2
а
Метод факторизации. Если операторы исходного уравнения таковы, что результат
их действия можно представить как последовательное действие двух операторов при
условии коммутативности
(С — io2A)<jp = Lll,L(aq?=L,2’L<1,(p = 0 (9)
и у уравнений
Ег]’ф] =0 и L'2<р2=0 (10)
известны фундаментальные системы решений фц, <pi2, ...» ф1л и ф31, ф^, ••• »фзт, то
в качестве фундаментальной системы (3) гл. IX можно взять совокупность фунда-
ментальных систем уравнений (10). Общее решение имеет вид
п т
Ф = 2 C/Pi/H- С&+пф2Ь- (II)
/= 1 k = 1
После удовлетворения (I) из условия существования ненулевого решения полу-
чается уравнение частот.
2. 'МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ)
Метод применяется в том случае, когда для рассматриваемой задачи можно ука-
зать «близкую» систему, решение которой получается достаточно просто. Пусть
краевая задача для уравнения
(Cq — ш2А0) ф = 0 (12)
при краевых условиях (1) имеет собственные значения (собственные частоты) (Oof и
собственные функции (собственные формы колебаний) ф0/ и коэффициенты операто-
ров Со и Av мало отличаются от коэффициентов операторов С и А исходного урав-
нения (3) гл. IX. Система, описываемая уравнением (12), называется порождающей
или невозмущенной, а исходная система—возмущенной. Если для порождающей
системы требуется выполнение условия самосопряженности, го для возмущенной
системы этого не требуется. Считается, что операторы возмущений пропорциональны
некоторому малому параметру р:
pCj — С—Ср, pAj = А — Ao (I •I)
Решение исходной (возмущенной) системы представляется в виде разложения по
степеням малого параметра ц:
Ф; = Фо/ + рХ1/ + р2Х2/+---> 1
(14)
Поправку к форме собственных колебаний находят из решения неоднородных
краевых задач
(Со—со§/Ао) хл/=1л (®о, 01/, ...» О*/» фо/, Xi/. Хй-1./), (15)
которые получаются посте подстановки (14) и (13) в (3) гл. IX и приравнивания коэф-
фициентов при одинаковых степенях малого параметра р.. Поправку к частоте в ка-
ждом следующем приближении определяют из условия существования решения
рассматриваемого приближения, состоящего в требовании выполнения условий орто-
гональности правых частей неоднородных систем (15) к собственной функции поро-
ждающего решения ф0/-:
(Ъ, <Ро/) = О- (16)
Поправка к частоте в первом приближении
Q3 _ (Гс1—То/)
° (Аофо/, Фо/)
(17)
Поправка к собственной функции должна удовлетворять при этом уравнению (15)
при k = 1 с учетом (17) и исходным краевым условиям (I). Решение задачи для Xjz
неоднозначно. Оно определяется с точностью до фоу с постоянным множителем. Этот
член обычно отбрасывают, считая, что он учитывается в разложении (14). При полу-
чении окончательного решения следует принять ц = 1.
Замечание. Если и)0 имеет кратность а, так что этому значению соответствуют а собствен
ныл форм колебаний ф = I, ... , а), то необходимо поставить условия ортогональности
ко всем чю приведет к расщеплению частот В первом приближении поправка к каждой
из «расщепленных» частот
(IC1 - <о§/А)| Vff,
,А а’в H>(Ph
» ф0/ >
(1В)
3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Метод заключается в построении последовательности функций, сходящихся
к одной из собственных форм колебаний, и нахождении по приближенным значениям
для форм соответствующих собственных частот колебаний. Для построения итера-
ционного процесса производят замену оэ2<р -> ф^, <р ->ф*, так что для определения
фа по известному фл_^ служит уравнение
Сф* = Аф*_1, (19)
которое на каждом приближении решают при краевых условпях (1) исходной задачи.
Начальную функцию ф0 выбирают достаточно произвольно, по так, чтобы выполня-
лись следующие условия: функция ф0 должна быть непрерывной вместе с необходи-
мым числом ее производных; она может не удовлетворять всем краевым условиям;
достаточно, чтобы для любой функции сравнения и (функции, удовлетворяющей
всем краевых условиям и нужное число раз дифференцируемой) выполнялось усло-
вие
(фо. Au) —(и, Афо) = О; (ф0, Аф0) > 0. (20)
Построенный итерационный процесс без наложения дополнительных ограниче-
ний сходится к первой собственной форме колебаний. При использовании формулы
Релея [(19) гл. IX] оценка для основной частоты
(СФ*’. Ф») = (Аф»-1 ф») или [ф<г-1. Ф*1д
1 (Аф*. ф*) (Аф*, ф*) 1 [ф*. ф*]л
Рекуррентные формулы (19) пригодны для определения высших собственных
форм и собственных частот колебаний, однако при получении каждого следующего
приближения необходимо выполнить требования ортогональности к ф^\ являю-
щимся достаточно хорошим приближением для предыдущих форм колебаний. Так,
при определении второй частоты и формы на /n-м шаге приближения должны выпол-
няться условия
(*ОД ОД=(«ОД ОД=° м»
[ОД ОД]4-[ОД. ОД]с = °-
На каждом шаге из ф'^’ вычитают,
первой собственной функции:
кроме того, компоненту, соответствующую
ОДДОД. од
(*од Од)
ф£?'* = ф*
TIM > т
(23)
где фД' — решение рекуррентной системы (19). Оценка для второй частоты
(V. ФГ)
’2 (Аф^‘*. ФГ)’
(24)
При определении третьей собственной функции на каждом шаге итерационного
процесса вычитают компоненты первой и второй собственных функций. Аналогично
поступают и при определении других высших собственных функций [50].
4. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Задачу о колебаниях упругих систем можно свести к интегральному уравне-
нию (14) гл. IX. Поэтому при определении собственных частот и собственных форм
используют специфику интегральных уравнений. В частности, рекуррентные соот-
ношения метода последовательных приближений имеют в данном случае вид фд. —
= С“1АфА_1, а частота определяется по формуле
(Фь Ф*)
(С^Аф*. ф*)
(25)
Если уравнение (14) гл. IX (для одномерного случая) является уравнением Фред-
гольма
I
ф (х)-®*$ т ($ G (х, $ Ф (В) d£ = 0, (26)
о
где G (х, В) = G (В, х) —функция Грина, то собственные частоты могут быть опре-
делены из уравнения А (о?) = 0. Здесь А (ю2) — определитель Фредгольма, первые
члены разложения которого в ряд по степеням со2 имеют вид
А (а>2)= 1 — ш2 j т (х) G (х, х) dx +
о
«4 С f m(x)G(x, х) m(B)G(x, В)1 .
2 J J m(x)G(B, x) m(B)G(B, B)l
о о
(27)
Использование первых двух членов в (27) приводит к оценке
т (х) G (х, х) dx.
(28)
Эта формула дает для основной частоты оценку снизу. Для получения оценки сверху,
а также оценки для второй частоты необходимо в разложении (27) сохранить три
члена ряда и т. д.
5. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Предварительные замечания. Асимптотические методы, использующие свойства
спектра упругих колебаний при высоких частотах, предназначены для эффективного
определения высших частот и форм. В некоторых случаях асимптотические методы
оказываются пригодными и при определении основных частот и форм. Асимптотиче-
ский метод [10, 87] применим для упругих тел, занимающих прямоугольную в
обобщенном смысле область в пространстве 0 ха аа (а = 1, ... , и). Он пригоден
для краевых задач с квазиразделяющимися переменными. Исходными будут урав-
нения (3) гл. IX с краевыми условиями (1).
Идея метода заключается в использовании при высоких частотах свойств малой
зависимости спектров упругих колебаний от краевых условий и концепции динами-
ческого краевого эффекта. Полагают, что для внутренней области справедливо
порождающее решение типа (5), вообще говоря, не удовлетворяющее краевым усло-
виям. На это порождающее решение накладывают у каждого края корректирующие
решения, которые убывают при удалении от края во внутреннюю область и позво-
ляют удовлетворить всем краевым условиям. Полученные решения для двух про-
тивоположных краев стыкуются. Процедура стыковки позволяет получить систему
трансцендентных уравнений для параметров, определяющих порождающее (внутрен-
нее) решение и динамические краевые эффекты, а затем получить асимптотические
выражения для частот.
Схема метода. Порождающее решение характеризуется волновыми числами ka и
фазовыми характеристиками £а. Подстановка порождающего решения в уравнение (3)
гл. IX дает связь между параметром to2 и волновыми числами ka. Затем в уравне-
ниях (о2 заменяют ее выражением через ka. Далее строят решение у каждого края.
С использованием условия квазиразделяемости находят уравнение для Ф(}ао (ха<1)»
одним из решений которого является (х^) [см. (5) и (6)]. Кроме того, для воз-
можности построения решения необходимо, чтобы полученная система допускала
р — 1 (2р — порядок системы) линейно независимых решений, обладающих свой-
ством краевого эффекта, т. е. затухающих при удалении во внутреннюю область.
182 определение Собственных частот и собственных форм
Сумма порождающего и корректирующего решений содержит р -+ 1 постоянных,
при помощи которых удовлетворяются р условий на границе и условие нормировки.
Волновые числа на этом этапе предполагаются известными. Требуется, чтобы ре-
шения, построенные у двух противоположных сторон области, занимаемой упругим
телом, совпадали во внутренней области с точностью до малой невязки. Условия
стыковки дают уравнения для определения волновых чисел. По известной связи
между ш2 и ka находят частоты собственных колебаний.
Примеры приложения асимптотического метода для определения частот и форм
собственных колебаний пластин и оболочек приведены в гл. XII и XIII.
6. МЕТОД РЕЛЕЯ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
Метод Релея. Для приближенного нахождения первой собственной частоты можно
использовать формулу Релея (19) гл. IX или (20) гл. IX, если в качестве ф выбрать
некоторую допустимую вектор-функцию (функцию, удовлетворяющую по крайней
мере кинематическим граничным условиям) е £с, близкую к предполагаемой пер-
вой форме собственных колебаний:
It. ф!с
Lt. '
(29)
Эта формула дает оценку сверху,
Для определения А-й собственной частоты необходимо знать первые k — I соб-
ственных форм колебаний. При применении формулы Релея требуется удовлетво-
рить дополнительным условиям
[ф. ф/1д = ° или (Ф> Ф/1С = О 2.............Ъ — 1)
(30)
Особенностью применения формулы (29) является необходимость задания вектор-
ной функции ф. Если зависимость каждой компоненты от координат нетрудно по-
добрать исходя из физического представления о характере деформирования упругой
системы и необходимости удовлетворения по крайней мере кинематическим гранич-
ным условиям, то соотношения между компонентами q задать достаточно сложно,
В этом случае может быть использован следующий прием. Вводят параметры Яу,
характеризующие амплитудные отношения между компонентами вектора:
(*); Ф/=/а^ W (/ = 2,..., л). (31
Отношение Релея (20) гл. IX будет зависеть от а,. Использование экстремальных
свойств собственных частот колебаний приводит к уравнениям
дю2
(/ = 2, .... о),
(32)
служащим для нахождения Яу. Для каждой совокупности решений (всего их п) из
(20) гл. IX находят значение для частоты, соответствующей форме с преимуществен-
ным движением по одной из компонент q .
Методы Данкерли и Саутвелла. Если уравнение (3) гл. IX можно представить
в виде
S
Сф — со2 У Aaq = 0, (33)
а = 1
где Аа —симметричные, положительно определенные операторы, то уравнения
Сфи-62Аафи=0 (я = 1, 2, s) (34)
МЕТОДЫ РИТЦА. БЪДНОПА-ГАЛЕРКИНА, КОЛЛОКАЦИИ 183
можно рассматривать как уравнения собственных колебаний парциальных по кине-
тической энергии систем. В этом случае получается формула Данкерли
Здесь 61а — собственная частота колебаний парциальной системы (34).
Если уравнение (3) гл. IX можно представить в виде
V c^-w’A^O,
а — 1
(36)
(т. е. исходная система состоит из парциальных по потенциальной энергии систем),
то получается формула Саутвелла
1а
1
(37)
Формулы Данкерли и Саутвелла дают для основной частоты оценки снизу.
Использование теорем сравнения. Если имеются две системы 1 и II с уравнениями
(Cj — ю2А) ф = 0 и (Сц — огА) ф = 0 и совпадающим классом допустимых функций
и для любых допустимых функций [<р, ф]с, [<р, то ©j Аналогично,
если есть две системы I и II с уравнениями (С — ш2А|) ф = 0 и (С — <о£Ац) ф = U
и для любых допустимых функций выполняется неравенстве [ф, ф]д1^[ф, ф!дп’
го соj Ш р В первом случае система I более жесткая, чем система II, во втором слу-
чае система I более»инерционная, чем система II.
7. МЕТОДЫ РИТЦА, БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА, КОЛЛОКАЦИЙ
И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
Метод Ритца. Этот метод основан на замене задачи нахождения минимума функцио-
нала нахождением минимума функции нескольких переменных. Исходным является
зариацнонный принцип (21) гл. IX. Согласно методу Ритца решение представляется
в виде ряда
N
ф(х)=* 2 /аФИ*)- (38)
А = 1
Последовательность (система) координатных элементов ф^ должна подчиняться
трем требованиям: координатные функции должны удовлетворять по крайней мере
кинематическим граничным условиям: ф^ е Ес\ при любом N линейно независимы;
система {ф^} полна по энергии. На практике при ограниченном числе членов ряда
(38) обычно требуется, чтобы система (фл) была представительной, т. е. чтобы любую
допустимую функцию можно было аппроксимировать данной системой функций с за-
данной степенью точности.
Подстановка (38; в (20) гл. IX дает
У S cfkhfk
«•- vV~ ,, • ;39)
?, ?. aiktiik
/ *
где
= ^*]ci °,/а = |Ф/> %]д- (40}
Очевидно, что Cjk = ck/ и aJtl = akJ. Условия экстремума (21) гл. IX приводят
к уравнениям для обобщенных координат
N
2 (cjk-&a^fk=0 (j=l, 2, .... п). (41)
*= 1
Условие существования ненулевого решения системы (41) дает уравнение частот
|г/Л-со2аЛ| = О. (42)
Формы собственных колебаний находят в результате определения ненулевого ре-
шения (41) при (о = со/ и использования разложения (38). Фирмы собственных коле-
баний при простых частотах определяют с точностью до постоянного множителя. При
кратных частотах всегда удается выбрать столько линейно независимых форм, какова
кратность частоты. Метод Ритца легко поддается алгоритмизации и поэтому удобен
для решения на ЭВМ.
Метод Стодолы. Идея сведения вариационной задачи к задаче отыскания минимума
функции нескольких переменных, являющаяся основной в методе Ритца, используется
и в методе Стодолы. Отличие заключается лишь в том, что вместо процесса мини-
мизации по обобщенным координатам (коэффициентам при координатных функциях) в
методе Стодолы рассматривают минимизацию по некоторым параметрам, входящим
в выражения для форм собственных колебаний (в аппроксимирующие функции).
Метод Бубнова—Галеркина. Уравнения колебаний упругой распределенной сис-
темы (3) гл. IX решают с использованием (38). Однако (в отличие от метода Ритца)
координатные функции должны удовлетворять всем краевым условиям (1), т. е.
ф* = D (С). Согласно методу Бубнова—Галеркина результат подстановки ряда (38)
в (3) гл. IX должен быть ортогонален ко всем координатным функциям
/ N ' I N
' с 2 “фу —“а • А 2 Ф' = ° (/ = !,...,#). (43)
\ *= I / \ *= I
После введения обозначений
(Сф*, ф,) = 0/*; (Аф*, ф/) = а,* (44)
(очевидно, что 0/й = 0/Л и a./k = а*/) из условия существования ненулевого решения
системы (43) получается уравнение частот
I 0/*-®2»/* 1 = 0. (45)
Собственные формы колебаний определяются после нахождения ненулевого'реше-
ния системы (43) рядом (38).
Связь между методами Бубнова—Галеркина и Ритца. Если координатные функции
принадлежат области определения симметричных и положительно определенных опе-
раторов А и С, то скалярные и энергетические произведения совпадают (см. гл. IX):
(Афу, Ф*) = [Ф/, Ф*]л; (Сф7, Ф*) = [Фу, Ф*]с
и, следовательно, a/ft = a/A; = cJk. В этом случае уравнения частот (45) в (42),
получаемые по методу Бубнова—Галеркина и методу Ритца, совпадают.
Замечание 1. Процедура вычислений по методу Бубнова — Галеркина часто оказывается
несколько проще.
Замечание 2. Метод Ритца допускает большую свободу выбора координатных функция
(удовлетворяются по крайней мере кинематические граничные условия).
Замечание 3. Для приближенного определения частот можно применять процедуру метода
Бубнова — Галеркина с выбором координатных функций, удовлетворяющих «смягченным» усло-
виям (как в методе Ритца).
Замечание 4. Метод Бубнова — Галеркина можно трактовать как Дискретизацию нахожде
ния экстремума в вариационном принципе (22) гл IX.
Замечание 5. Для сходимости метода Бубнова — Галеркина Достаточно потребовать полной
непрерывности оператора С, положительной определенности оператора А и полноты системы
базисных функций (Чд), принадлежащих области определения операторов А и С |68].
Применение метода Бубнова—Галеркина к интегральным уравнениям. Метод
Граммеля. Рассмотрим интегральное уравнение в форме (14) гл. IX. Представление
решения б виде (38) и выполнение формальной процедуры метода Бубнова—Галер-
кина приводит к уравнению вида (45), где
Р/* = (ф*, Чу); а;л = (С-1АфА, фу). (46)
Описанная процедура нахождения частот называется методом Граммеля.
Обобщение метода Бубнова—Галеркина. Обобщение состоит в ортогонализации
результата подстановки ряда (38) в уравнение (3) гл IX по отношению к новой сис-
теме функциях*}, от которой требуется по крайней мере представительности. Резуль-
тат разложения по введенному базису можно представить в форме
! N \ I N \
с S H.J А У /*фА, X =° (/=1.....ЛГ)« (47)
\ fe= 1 I \ *= 1 /
Введение обозначений
(Сф*. %/)«=₽> (Аф*, Х/) = аД (48)
приводит к уравнению частот вида (45).
Метод Власова—Канторовича. Данный метод состоит в частичном применении
метода Бубнова—Галеркина (по одной или двум координатам), в результате чего
задача сводится к решению ряда одномерных краевых задач на собственные значения.
Метод внутренней коллокации. Решение уравнения собственных колебаний (3)
гл. IX при краевых условиях (1) аппроксимируется функцией
ф = ф(х, fi, /2> ••• • fn) (49)
или рядом (38), где координатные функции фй удовлетворяют всем краевым условиям
фй е D (С). Коэффициенты fh выбирают так, чтобы удовлетворить уравнению (3)
гл. IX в А точках коллокаций ХА внутри области определения этого уравнения.
Это приводит к системе алгебраических уравнений относительно В случае аппро-
ксимации (38) эта система имеет вид (41), где
= = у = = (5°)
Условие существования нетривиального решения Д системы дает частотное уравнение.
Собственные формы находят по (38) после определения /й для каждого coft.
При назначении точек коллокации должна быть учтена геометрическая и упругая
симметрия системы. Вообще задача выбора этих точек связана с теорией интерполя-
ции и аппроксимации 1.501.
Связь метода внутренней коллокации с методом Бубнова—Галеркина. Формулы
(50) получаются из (48) выбором в качестве х* дельта-функций х* = 6 (х— *k)-
Метод граничной коллокации. Для границ сложной формы может оказаться полез-
ным представление решения в виде ряда (38) по координатным функциям фА, удовлет-
воряющим уравнению (3) гл. IX, но не удовлетворяющим краевым условиям (1).
Уравнения для определения коэффициентов получают из удовлетворения краевых
условий в N/y точках границы (у — число граничных условий).
Метод комбинированной коллокации. Если координатные функции в (38) удовлетво-
ряют только части граничных условий, например, только кинематическим условиям,
то точки коллокаций выбирают и внутри области, и на ее границе.
Метод минимума среднеквадратичной ошибки (50]. Решение задачи (3) гл. IX
и (1) аппроксимируется (49) или (38). Квадраты собственных частот со2 и коэффициенты
/* определяют из требования минимума среднеквадратичной ошибки d(<p) = \ < А<р —
S
— ш2С<р)г(1$ = min. Для нахождения w2 и служат уравнения д8/д (со2) = 0,
d6/dfk = 0 (k = 1,2, ...,). При использовании ряда (38) и & — 1 получаем формулу
Релея (19) гл. IX.
8. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Применение метода к одномерным системам. Область определения 0 х /
уравнения (3) гл. IX делится на л интервалов точками х* (k = 0, 1, .... п; х0 = 0;
= /). Ограничимся случаем равных интервалов хА — kXx (k — 0, 1, .... n), Дх =
— l/п. Неизвестную функцию представляют дискретным множеством значений в узлах
Фй — Ф (хй) (математическая дискретизация). Аналогичную операцию выполняют
с коэффициентами операторов С и А из (3) гл. IX. Дифференциальные операторы ап-
проксимируются конечными (центральными) разностями в точке xk
Ф' Фй-1);
ф" -* г (Фй+1 - 2ф* + Фй-j);
ф"# "*’2сАхр (Ф*+2 — 2Ф*+1Н-2фй,1—фй-г);
Ф1 v Щ)Г (<Р^2 ~ 4(pft+1 + 6ф* “ 4(p*-J + ф*-2)
и т. д. Уравнение (3) гл. IX заменяют системой алгебраических уравнений относи-
тельно Фй, составленных для внутренних точек области (k = 1, 2, .... п — 1). Контур-
ные и законтурные значения функции ф0> ф^ и т. д. определяют из разностной аппрок-
симации граничных условий. Например, из ф (0) = ф" (0) = 0 следует q-0 = 0,
Рис. 1. Схемы разностной аппроксимации смешанных производных
ф_г = —фх. Условие существования нетривиального решения однородной системы
алгебраических уравнений относительно фй дает уравнение собственных частот.
Применение метода конечных разностей к двухмерным системам. Выбирают
сетку значений координат xfe = х0 н- йДх, у} = /Ду (j, k = <1,1,...). Неизвестные
функции аппроксимируют дискретным множеством значений q>kj= Ф (*k> У/)- Диффе-
ренциальные операторы заменяют разностными. Некоторые схемы составления цент-
рально-разностных операторов показаны на рис. 1 (в кружках даны весовые коэффи-
циенты), остальные аналогичны одномерному случаю. После составления системы раз-
ностных уравнений для внутренних точек области удобно перенумеровать подряд
все узлы сетки (xft, yj) ~ Р (р = 1, 2, ...) и соответствующие значения функций ф^у =
= Фр-
Законтурные значения, как и в одномерных системах, исключают из граничных
условий. Для границы, не совпадающей с координатной линией, область определения
сеточной функции фду должна включать в себя область определения ф (х, у). Далее,
функция ф (х, у) должна быть разложена в ряд Тейлора в точках пересечения границы
с линиями сетки. Значения сеточной функции в законтурных точках получаются выра-
женными через граничные условия и значения во внутренних точках. Для обеспече-
ния такого же порядка точности, как в уравнениях для внутренних точек, в разложе-
ниях необходимо удержать члены до порядка, совпадающего с порядком уравнения.
Порядок точности. Сходимость разностной аппроксимации. Все приведенные выше
конечно-разностные соотношения имеют второй порядок аппроксимации [30, 95],
чго соответствует удержанию в разложении ф (х, у) в ряд Тейлора слагаемых до вто-
рого порядка включительно. В этом случае конечно-разностная аппроксимация схо-
дится к точному решению при Дх, Ду 0 со скоростью О (| h Is), где h — максималь-
ный шаг. Если требуется повысить скорость сходимости, необходимо повысить поря-
док аппроксимации. На рис. 2 показаны некоторые разностные операторы четвертого
порядка аппроксимации 130, 951.
Устойчивость разностных схем. Устойчивыми называют такие разностные схемы,
решения которых непрерывно зависят от параметров системы и равномерно от Л.
Для сложных систем априорные оценки устойчивости затруднены, поэтому о них
судят, непосредственно сопоставляя результаты вычислений для различных значений
й и входных параметров.
Рис 2. Разностная аппроксимация производных четвертого порядка
точности
Для двухмерных систем отношение шагов зависит от отношения порядков старших
производных по х и у и коэффициентов при дифференциальных операторах. Напри-
мер, для С<р = d2q 't)x2 4- а-02<р'ду2 необходимо выполнение условия Др/Дх < а;
для Cq = д2<р/дх2 -ф а2ду'ду необходимо &у,‘&х <а 1 2.
Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот
разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных
значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных
уравнений наиболее часто решают методом прогонки l различных модификациях,
в частности, методом матричной прогонки |30, 95]. В случае периодических решений
(полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95].
9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Общая схема метода конечных элементов (МКЭ). Континуальная система объема
V, ограниченная поверхностью S, для которой ищется минимум функционала
б/ = 0. ] = U0-a2T0,
(51)
аппроксимируется совокупностью М элементов конечных размеров (физическая диск-
Л1 \
ретизация) — конечными элементами (КЭ) объеме?. , V Элементы мо-
\й = 1
гут быть произвольной формы, но должны быть достаточно малыми, чтобы перемеще-
ния и (х) любой точки элемента можно было выразить через перемещения некоторых
точек на его поверхности (узлов).
Чаще всего для трехмерных областей используют КЭ в форме тетраэдров или па-
раллелепипедов (в осесимметричных — тело вращения треугольного или прямоуголь-
ного сечения), для двухмерных областей — КЭ треугольной и прямоугольной формы.
Пусть для определенности пространство трехмерно, конечные элементы — произ-
вольные тетраэдры. Занумеруем все узлы & V + S: j = 1, 2, ..., Л/. Аппроксимируем
поле перемещений в КЭ с номером Л (рис. 3):
u*=N*f*,
(52)
где ufe = (и, и, ш)т; И = (fy, f,, f„)T — вектор узловых перемещений КЭ составлен
из векторов перемещений узлов fy = (цу, vj, Wj-y. Здесь и далее верхний индекс обозна-
чает номер КЭ, нижний —номер узла. Элементы матрицы функции формы КЭ N*
(3 X 12) представляют в виде N*=( N , N*, N^, N*)} где N* (3 X 3)— подматрица
влияния вектора fy. Элементы N* выбирают так, чтобы совокупность перемещений (52)
Рис. 3. Объемный конечный элемент
удовлетворяла условиям непрерывности
внутри V.
Подстановка (52) j (51) приводит к за-
даче отыскания минимума функции мно-
гих переменных (узловых перемещений).
Условие минимума имеет вид матричного
уравнения
(С-о)2A) f = 0. (53)
Здесь f = (fi, f2, .... f V)T — полный век-
тор узловых перемещений системы. Мат-
рицу жесткости системы С и матрицу масс
А составляют из соответствующих под-
м ' м
матриц КЭ С= £ С*, А = Aft, ко-
А=1 £ = 1
торые вычисляют по формулам
С*= \ D'ADdV, А* = J NTpNdV,
vk
где D — матрица, определяемая соотношениями, по которым вычисляют деформации
через перемещения; А — матрица упругих постоянных; р — плотность; т — верхний
индекс, означающий транспонирование матрицы.
Из (53) следует уравнение det (С — <о2А) — 0, определяющее собственные частоты.
По найденным частотам из (53) определяют собственные формы колебаний системы.
МКЭ дает оценки сверху для собственных частот.
Для повышения порядка точности вместо дробления области на более мелкие КЭ
часто используют элементы с большим числом степеней свободы, что достигается введе-
нием внутренних узлов в КЭ. В целях лучшего приближения для областей сложной
формы применяют криволинейные — изопарамстрические КЭ [43, 86J.
Применение МКЭ к задачам колебаний пластин [86J. Разобьем срединную плос-
кость пластины на конечные элементы прямоугольной формы. В качестве обобщенных
перемещений узла / принимают нормальный прогиб пластины Wj и углы поворота
нормали Г = (цу, dwj/dy, дигудх).
Аппроксимируем функцию нормальных перемещений срединной плоскости плас-
тины внутри конечного элемента с номером k полиномом
и* = ccj -К а2т 4- «зу + а4х2 4- а-^ху 4- а6у2 4- а?*3 4- аах2у+
4-a9xy24-'x10y34-ciiiX3i/4-ai2^y3- (54)
Коэффициенты Ду определяют из условий совпадения to, dwldy, dwldx с обобщен-
ными перемещениями четырех узлов КЭ /, /, т, л:
dw' dwp dw dwp
w(xp, yp)-wp, d^^p,Vp~~dyl dx Xptyp~~dx
или в компактной форме CAa* = fA f£, f*)].
Отсюда с учетом (54)
w= Nf*
(р=/, I, m, n),
где
N « QTC -1;
QT = (1, x, y, x2, xy, y2, x3, x2y, xy2, y8, x3y, xy9).
Матрицы D (3 X 12) и Л (3 X 3) для конечного элемента имеют вид
/1 V 0
D= Э2/Э1/2 |N, _ ЕЛ3 ' v 1 Л-12(1-у2) 0
\d2/dx ду/ \0 0 2
где Е, v — упругие постоянные материала.
Интегрирование при вычислении С и А ведется по плошади КЭ на срединной
плоскости пластины, a dV = Л (х, yjdxdy (h — толщина пластины).
Применение МКЭ к задачам колебаний оболочек. Каждый из конечных элементов
на которые разбита срединная поверхность оболочки, можно рассматривать как плас-
тину с двумя системами напряжений и деформаций — мембранной и изгибиой. Вектор
узловых перемещений, отнесенный к локальной системе координат элемента с номе-
ром k, имеет шесть составляющих:
’/ = (“/ “р ш/. V М.
где первые три компонента — перемещения узла, а последние — углы поворота
относительно соответствующих осей. Перемещения в плоскости КЭ и из плоскости
аппроксимируют независимо. Подматрицы жесткости и масс КЭ вычисляют е локаль-
ной системе координат, затем находят их компоненты в общей для всей оболочки сис-
теме координат (глобальной). Матрицы жесткости и масс формируют в глобальной
системе координат.
Для определения собственных форм колебаний после вычисления собственных час-
тот и соответствующих векторов узловых перемещений в глобальной системе коорди-
нат к этой системе надо перейти и в выражениях, аппроксимирующих перемещения
в каждом КЭ.
Связь МКЭ с методом Ритца. МКЭ можно рассматривать как один из вариантов
метода Ритца. В классической форме метода Ритца функции, аппроксимирующие соб-
ственные формы, определены на всей области, занятой системой. В МКЭ функции
подбираются для отдельных участков этой области (КЭ), достаточно малых, чтобы
можно было применять функции наиболее простого вида.
10. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ
И ПОДАТЛИВОСТЕЙ
Метод динамических жесткостей. Его применяют для систем, которые могут быть
легко разбиты на такие подсистемы, поведение которых известно при задании гармо-
нических перемещений. Суть метода состоит в том, что систему условно расчленяют
на достаточно простые части. В местах расчленения системы снимают условия сопря-
жения обобщенных динамических сил. Определяют в каждой /n-й подсистеме реак-
ции г'.^> (ш) по направлениям /-го обобщенного перемещения от k-ro единичного
гармонического перемещения 1-eosin/. Действительные обобщенные перемещения
cos (о/ должны быть определены из условий сопряжения динамических обобщен-
ных сил
п \
2 2Лг/й(<й)--=0 ,/=!> 2, ...» п- = • (55)
k = 1 \ т '
Здесь п — число условий сопряжения, (со) — динамические жесткости, которые
определяют суммированием по всем подсистемам, реагирующим на k-e обобщенное
перемещение.
Условие det R (со) == 0, где R (со) — матрица системы, дает уравнение для первых
и собственных частот системы; далее из (55) определяют п векторов Z^^(cotf), по кото-
рым стрият собственные формы. Остальные собственные частоты и собственные формы
находят независимо для всех подсистем при однородных краевых условиях ZA = 0
(k = 1, 2, ..., л). В применении к статике стержневых систем этот метод совпадает
с методом перемещений.
Связь метода динамических жесткостей с методом конечных элементов. Этот метод
можно рассматривать как частный случай МКЭ. Для стержневых систем конечные
элементы — это элементарные балки, на которые разделяется система, линейные и
угловые перемещения узла составляют вектор fy.
Метод динамических податливостей. Этот метод альтернативен методу динамичес-
ких жесткостей. Ограничимся рассмотрением неразветвленной системы. Как и в ме-
тоде динамических жесткостей, систему условно расчленяют на простые части. В мес-
тах расчленения снимают условия сопряжения обобщенных перемещений и вместо
них вводят неизвестные гармонические обобщенные силы Xk cos со/. Вычисляют мат-
рицу F(co), элементы которой fjk (ю) есть относительные перемещения двух сосед-
них подсистем по направлению /-й обобщенной силы от k-н единичной гармонической
силы l-coscoi (динамические податливости). Действительные силы X* cos cot опре-
п
деляют из условий сопряжения по перемещениям 2 Х*/У*(®) = 0 0 = 1.2, .... я).
/г.-= I
Условие del Г (со) = 0 дает первые п собственных частот системы. По соответствую-
щим значениям Х(£- (си^) и решениям для парциальных подсистем можно построить п
собственных форм. Остальную часть спектра колебаний вычисляют с использованием
условий Xfe* 0. В применении к статике стержневых систем этот метод совпадает
с методом сил.
Глава X)
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
I. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Дифференциальное уравнение и краевые условия продольных колебаний стержней.
В качестве исходного может быть использовано уравнение технической теории
(см. гл, VIII) при q == 0. Если стержень имеет постоянные по длине характеристики
EF = const, pF = const, то уравнение для исследования собственных колебаний бу-
дет следующим;
дх*
где с0 = (Е/ py/t имеет смысл скорости распространения продольных волн в стержне
(см. гл. XVI).
Функция и (х, Л на концах стержня должна удовлетворять краевым условиям,
соответствующим характеру закрепления концов стержня. Некоторые основные виды
граничных условий приведены в табл. 3 гл. VIII,
Общее решение. Для стержня, совершающего собственные продольные колебания,
переменные разделяют введением временного множителя, гармонически изменяю-
щегося со временем:
и (х, t) = U (х) cos (со/ — х), (2)
где со и х — соответственно частота и фаза колебаний. При рассмотрении собственных
колебаний фаза несущественна и может быть положена раоной нулю х = 0. Подста-
новка (2) в (1) приводит к уравнению
4/' + рЧ/ = 0, (3)
Общее решение (3) можно представить в виде
и w = q COS рх-|- С2 Sin рх.
(5)
Определение собственных частот и форм продольных колебаний. Подстановка (5)
в краевые условия дает систему линейных однородных уравнений для определения
С/. Из условия существования ненулевого решения этой системы (равенств^ нулю ее
определителя) следует уравнение частот. Формы собственных колебаний определяются
ненулеьым решением при со = iuft, где (ид, — одна из собственных частот. Для раз-
личных случаев закрепления концов стержня собственные частоты или уравнения для
их определения и выражения для форм собственных продольных колебаний стержней
представлены в табл. 1.
1. Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний
дли некоторых траничных условий
Схема закрепления
стержня
Собственные частоты
Собственные формы
л (2fe — 1)с„
2/
Ik = 1, 2, . . .)
Uk (х) = sin
л (2А — I) л
21
Частотное уравнение
-L г — — р —
са g с» М
и ь = sin ~
К Со
kjlCo
(А = 1. 2,. . .)
Частотное уравнение
ы1
12L
и)1
EF
cl
i£>kx
UI, (К) = sin
с©
U. (х) = sin
д I
Со
Пример. Рассмотрим процесс решения задачи определения частот и форм собственных
колебаний консольного стержня с сосредоточенной массой М на свободном конце [х = I) Из
краевого условия при х = 0 следует, что Ct = 0. Из условия при х = I (см табл. 3 гл. VIII)
приходим к уравнению
Ktgx=p£-’ <б)
где х = р/ = —. В правой части (б) стоит отношение массы стержня и сосредоточенной массы
Со
Для различных отношений масс значения первого корня уравнения (6) приведены ниже:
FI
Р-Т7- 0.01 °.1 О.3 0,5 0,7 1,0 2.0 5.0 10,0 оо
М
х 0,10 0,32 0.52 0.65 0,75 0.86 1,08 1,32 1,12 1.57
Высшие частоты находят по приближенной формуле
Из рассмотрения данной задачи следуют некоторые частные случаи При М pF/ собст
венные частоты близки к частотам собственных колебаний консольного стержня [уравнение (6)
при М -* 0 переходит в уравнение cos И = и, что совпадает с уравнением для консольного
стержня]. При очень большой массе (Af -»оо) собственные частоты будут близки к частотам
для закрепленного на обоих концах стержня [уравнение (6) переходит прн М —► со в частотное
уравнение для закрепленного на обоих концах стержня sinx=*0] Еще чдин частный случай
получается, когда отношение массы стержня к сосредоточенной массе мало, так что инерцион-
ностью стержня можно пренебречь и учитывать только его упругость (переход к системе с одной
pF/
степенью свободы). В этом случае tg х х их’ = -~, лк уда
ЕГ
“* = Ml ~ М' *
(8)
где с — жесткость стержня на растяжение-сжатие.
Форма собственных колебаний с учетом (5) и того, что С8 - 0 описывается функцией
(и. х
Фй (х) = sin = sin -у-
(91
Колебания составных стержней. При получении частотного уравнения системы,
состоящей из нескольких стержней и совершающей продольные колебания, может
быть использован метод начальных параметров Коши. Решение (5) для каждого из
участков составного стержня можно переписать так:
U (х) = Uf (0) cos ftXf 4- sin Дт/
р
(10)
(для каждого участка введена своя система координат).
При применении этого метода последовательно выражают постоянные решения
для каждого участка через постоянные решения для предыдущего участка. Уравне-
ние частот получают при удовлетворении краевым условиям на последнем участке.
Характерные условия сопряжения решений на отдельных участках для различных
типов составных стержней приведены в табл. 2. Описанная выше процедура получения
уравнения частот может быть проведена в матричной форме с использованием матриц
перехода.
2. Условия сопряжения при продольных колебаниях составных стержней
Условия сопряжения
г г- дих ди, ,, д1и
Ui — их; (F-Eji (/ F), —_— — М “vnr
dxt дх dt*
С (и* - «.) = (EFh = (EF),
Дифференциальное уравнение и краевые условия крутильных колебаний стержней.
Исходным может являться уравнение технической теории (см. гл. VIII) при р = 0.
Для стержня постоянного сечения (G/K = const, = const) уравнение будет сле-
дующим: (11) 5x2 С8 а/2 нм
где ск —( “) имеет смысл скорости распространения крутильных волн в стержне
•.р/о /
(см. гл. XVI).
На концах стержня функция Q, характеризующая угол закручивания, должна
удовлетворять условиям, соответствующим характеру закрепления. Некоторые основ-
ные виды условий приведены : табл. 5 гл. VIII.
Аналогия между продольными и крутильными колебаниями. Между продольными
и крутильными колебаниями стержней постоянного поперечного сечения, движение
которых описывается по технической теории, имеется аналогия (табл. 3). Используя
эту аналогию, все результаты предыдущего параграфа, относящиеся к продольным
колебаниям, нетрудно перенести на крутильные.
3. Аналогичные параметры продольных и крутильных колебаний
Продольные колебания Крутильные колебания
Перемещение и Угол попорота 6
EF Жесткость на растяжение-сжатие - т— G/K Жесткость на кручение - —
„„ ди Продольная сила Ег ЭО Крутящий момент й1к —
_ д3и Инерционная сила рг Инерционная сила р/0 — — dl3
оги 1 дги \ равнение = 0 дх1 с* dt3 w 1 d‘6 п Уравнение — -— = 0 дх3 с* д(3
Краевые условия (см табл 3, гл. VIII) Граничные условия (см. табл. 5 гл. VIII)
( £ Wj Скорость продольных волн с0 = г — J Скорость крутильных ВОЛН - ( G YZt (Vz’ v Р / \ /о J
2. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Дифференциальные уравнения и краевые условия. Исходными служат уравнения
технической теории стержней (см. гл. \ III) при q = 0. На каждом краю должно быть
поставлено по два условия. Основные виды краевых условий представлены в габл. 6
гл. VIII. Решение может быть получено методом разделения переменных. Выделение
временного множителя путем подстановки
w= W (х)COSO)/
(12)
приводит для стержня с постоянными по длине параметрами к уравнению
й71У-Р4Ц7-=0.
(13)
7 п/р. Болотина В. В., т, 1
где
„ /р/Чй2\1/4
М-й)
(14)
Граничные условия для U" (х) получают после подстановки в исходные условия
выражения (12) и сокращения на временной множитель cos со/.
Общее решение. Применение метода начальных параметров. Функции Крылова.
Решением уравнения (13) является функция
Ц7 (х) = Cj sin Рх+С2 cos рх -j- С3 sh Рх ф- С4 ch рх (15)
Представление общего решения в виде (15) не является единственным. В качестве фун-
даментальной системы могут быть использованы другие функции, являющиеся линей-
ными комбинациями функций, входящих в (15). В частности, вместо (15) можно взять
выражение
W (х) = С; sin рх -j-С' созрх4-С'е^4-С;е-Р< (16)
При решении большого класса задач удобно использовать фундаментальную
систему Коши фу. Линейно-независимые функции фу, составляющие эту систему,
являются линейными комбинациями функций, входящих в (15), и обладают тем свой-
ством, что матрица Коши для этих функций при х = 0 является единичной
<Фт(О) ФИО) Фз(О) Ф4(0),
/фНО) ф'(0) ФИО) ФИ<>)\
ФИО) ФИО) ФИО) ФИО); ’ ( '
Ч"'(0) ФГ(0) ФГ (0) ф;"(0)'
Фундаментальной системой Коши в случае изгибных колебаний стержней с по-
стоянными по длине параметрами являются функции
Ф/(х) = р1-^/-(Рх),
где Sy (Рх) — функции Крылова:
Si (Рх) = (ch рх-1-cos рх);
S2 (рх) = у (sh рх 4- sin рх).
S3 (3х) = у (ch Рх — cos рх);
$4 (Рх) = у (sh рх - sin рх).
(19)
Общее решение, соответствующее методу начальных параметров, имеет вид
г W=V (0) S, +4^’51 (М + 5з (М s«• (20)
Функции Крылова Sy (х) и их производные по х, как это следует из (18) и (17), при
х = 0 составляют единичную матрицу. Таблицы численных значений функций Кры-
лова можно найти в (87, 100]. Функции Крылова и их производные связаны соотно-
шениями (штрих означает дифференцирование по х)
(Рх) — Р$4 (Рх); '
SHPx) = pS1(Px);
SJ(Px) = PS2(Px); ( }
5UPx) = pS3(Px).
Используя эти выражения, нетрудно получить выражения для производных от W (х)
V' (х) = U7 (0) 0S4 фх) + W (0) St (М+—S2 (₽х) + S3 фх);
UT (х) = IT (0) fps3 фх) + W (0) фх) 4- VT (0) Si фх) +
+ ^Sa(px);
W'" (x) = W (0) psS, фх) + V (0) P’S3'(Px) +
+ ^(0) PS4(Px) + ^"' (0)Si фх).
Собственные частоты и собственные формы колебаний. Для получения частотного
уравнения необходимо привлечь краевые условия (см. табл. 6 гл. VIII), Подстановка
в краевые условия одного из видов общих решений (15), (16) или (20) с учетом (22)
приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных, входящих в эти
решения. Условия существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение
частот. Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний. Для некоторых
основных видов краевых условий частотные уравнения и их корни, а также формы
собственных колебаний представлены в табл. 4.
4. Уравнения собственных частот и собственных изгибных колебаний стержней
для некоторых граничных условий
Схема закрепления стержня Уравнение частот Корпи уравнения частот Формы собственных колеоапий
Номер j Значение
I 3.142
sin pZ = 0 2 k 6,283 kit W (Px) = sin Px
у. cos pi ch pi = 1 I г 4,730 7,859 11/ (Px) = (sin pt — sh pi) x X (ch Px — cos px) — (ch pt - - cos pZ) (sh px — sin px)
%- V k -y <2*+l)
% —„ tg pl - - th pi = 0 1 2 3.927 7.ибэ U7 (px) == (sh pZ + sin pZ) x
г- k X (ch px — cos Px) — (ch pZ — — cos pl) (sh Px — sin Px)
Д COS pl x 1 2 1,875 4,694 W (Px) = (sh PZ -b sin p/) x X (ch Px — cos px) — (ch pi -j- + cos p/) (sh px — sin Px)
3 X ch pt = — 1 I ?Ok-l)
Пример. Рассмотрим процедуру получения собственных частот и собственных форм колеба
ний Если стержень, защемленный на одн^м конце, на другом оперт на пннейно-улругую опору
с коэффициентом г (рис. 1), то краевые условия для (V
^(0)^0; U 'v0;-0; UZ'(O-0j IF'"(0-- Л «'(О- (23)
Первые два условия (23) позволяют переписать решение (20) в виде
W (х) = С,5, (+ C,S4 фх).
Подстанс-Бка (24) в последние два условия (23) с учетом (21) и (22) Дает
C.p’S, (₽/) + C.p’S, (₽/) = О:
С, | В*5, (В/) + S, (р/)| + С, | ₽’S, (РЛ + S4 (fin] «= о.
Уравнение частот имеет вид
St S, ।
S‘+eJ^S’ S’ + £^5<=0'
или
, х«
(X) - 3, (X) S4 (х) + is, (х) St (X) - S, (X) Sa (x)] - 0,
где
j. _ pl vt — ll
X — pi, X,. -y
(241
(25)
(26)
(27)
(28)
Используя выражения для функции Крылова (19), получим следующее уравнение частот:
хз
1 ch х cos х 4- (sh х cos х — ch х sin x) « 0. (29)
Зависимость первых двуа корней уравнения (29) от хп показана на рис. 2. При ха-м.
it -* 0) уравнение (29) переходит г- уравнение
ch х cos х — — 1, (30)
совпадающее с уравнением для консольного стержня (см табл 4) При х, -» со (с -» оо) уравне-
ние (29) перейдет з
tgx= th х, (31)
совпадающее с уравнением частот для стержня,
оперт (см. табл 4).
один конец которого чаделан, а второй свободно
Рис. 1. К примеру определения частот
и форм собственных колебаний
Рис. 2. Зависимость корней уравнения
. (29) от Хо
Если х = у.р — корень уравнения (29), то собственная частота
4 fEJЛ»
Форма колебаний определяется функцией
f х \ Si (*k} f *\
k * 5з (хй Тj ~ Sj 7x^7 S4 ; ХА Т)’
(32)
(33,
Балочные функции. Собственные формы изгибныч колебаний стержней с постоян
ными по длине характеристиками для различных краевых условий называют балоч-
ными функциями. Так, формула (33) определяет балочную функцию для стержня
с одним заделанным и другим опертым на линейную пружину концом. Для других
видов краевых условий балочные функции представлены в табл. 4. Функции, соответ-
ствующие А-ой собственной частоте, обозначают обычно через Л* (х). Балочные
функции широко используют в качестве системы базисных функций для приближен-
ного решения различных задач теории колебаний упругих распределенных систем.
Это обусловлено тем, что будучи собственными формами колебаний, они обладают
свойствами ортогональности и полноты, что вытекает из общей теории собственных
колебаний распределенных систем (см. гл. IX).
Замечание 1. В табл 4 балочные функции не нормированы Обычно производят норми
ровку
J%|(x)dx=l. (34)
о"'
Замечание 2. В приложениях, в частности при применении вариационных методов (Ритца,
Бубнова — Галеркина и др.), приходится вычислять интегралы, содержащие балочные функ-
ции и их производные. Вычисление этих интегралов от балочных функций можн^. найти
ь руководствах [3, 87, 100, 109J
5. Условия сопряжения участков Для стержней с кусочпи-постоянными
характеристиками
Условия на границе участков Аналитические условия сопряжения
+ =4 j UZ' = IF';(£/№")_ = (£-/Г")+; (£7И7"')_ = (EJty"\
UZ - W =0; W'_ = W'; (EjW")_ = (£ (EJW"}_ = (£JIF'")+- R
\ J, —1 >С U7_=W ; (EJW") ={EJW")+; (EJW'")_ = (£JU7"')+ -j- cIF±
> -а«t JP_ = IT\ = 0; W'_ = W'+; (EJ W")_ = (£ J IF ')+ - c»'p (£JIF'")_ = (£ JW"")+ - R
W'_=W7. W'_ = (EJW")_ = (EJW"‘)+; (£ЛГ"')_ =(£JtF'")+-
*-<-4 IF_= B7+, = (EJW") ^(EJW")+ + {EJW'") ={EJW’") - — -г ф
198
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
Колебания стержней с кусочно-постоянными характеристиками. Уравнение
собственных частот колебаний стержней в этом случае может быть получено путем
применения метода начальных параметров. Решение для каждого участка записы-
вается в виде (20). Две константы, входящие в выражение (20), для первого участка
выражают при помощи краевых условий для этого участка при Xj = 0. Условия со-
пряжения при переходе от одного участка к другому позволяют последовательно вы-
разить все константы на любом участке через две константы первого участка, остав-
шиеся неопределенными. Удовлетворение условий на последнем участке при хп = 1п
для неопределенных постоянных дает линейную однородную систему алгебраических
уравнений, из условия существования ненулевого решения которой следует уравнение
частот. Условия сопряжения при переходе от одного участка к другому приведены
в табл. 5.
6. Зависимости для частотных коэффициентов для стержней,
имеющих промежуточные опоры и сосредоточенные массы
Схема закрепления
стержня
Зависимости для ча-
стотных коэффи-
циентов
Схема закрепления
стержня
Зависимости для ча-
стотных коэффи-
циентов
Основной тон симмет-
ричных колебаний
2L
Ж4 + Т
Колебания неразрезных балок. Описанный выше метод применим для неразрезных
балок. Однако более предпочтительно в этом случае использовать уравнения трех
моментов (tn — номер пролета, совпадающий с номером правой опоры):
АЛ 1'^4. т< Д4
’_1
№)т
$2. т$з, т ~~ $1,
S3, m — Si, tn
+----------
(P^^)OT+1
*^2. 014-1*^3. m+1 $1. т-ц$т, m+1
<$«. m-f-1 — Sm, in -j- j
___ zn-t-1
($EJ)rn hi $2. m j- 1 Sm, m 4-1
m
+
Если все пролеты одинаковы, то (35) принимает вид
*. т Н"-М/п ( т *$)> т$4гп) ~Ь ^m+1^4. m+i — (36)
Некоторые данные, определяющие частотные параметры, для различных стержней
с промежуточными опорами и сосредоточенными массами приведены и табл. 6. Дан-
ные для многопролетных неразрезных стержней приведены в табл. 7 [ 100J.
7. Корни уравнения частит х Для мног оиролет ных стержней
Схема закрепления стержня
Число проле- тов Номер фирмы
1 2 3 4 5
1 3,142 6,283 9,425 12.566 15,708
2 3,112 3.927 6,283 7,(169 9,425
3 3,142 3 55п 4,3(14 6,283 6,692
4 3,142 3,393 3,927 4,461 6 283
6 3,142 3 2ч9 3,7о7 4,147 4,555
1о 3,142 3.2и5 3,299 3,487 3,707
1 4,730 7,853 10,095 14.137 17,279
2 3,927 4.744 7,(69 7,855 10,210
3 3,550 4,304 4.744 6,692 7 446
4 3,393 3,927 4,461 4.744 6,535
5 3,299 3,707 4.147 4 555 4.744
10 3,205 3,299 3.487 3,7и7 3.927
1 3.927 7,(169 10,210 13.352 16.491
2 3,393 4,461 6.535 7.603 9,677
3 3,207 3,927 4,587 6,409 7,069
4 3.2(6 3,644 4.210 4,65(- 6.347
5 3.205 3.487 3.927 4.367 4,681
10 3,142 3,236 3,456 3.582 3,801
Замечание. Частоты неразрезных стержней с равными пролетами образуют «зоны сгу
щения». В каждой такой зоне находится число частот, равное числу пролетов стержней, а значе-
ния частот близки между собой.
Влияние начальных осевых усилий на собственные колебания. Исходным является
уравнение (84) гл. VIII при q = 0 и N = const. Общее решение этого уравнения может
быть записано в следующей фирме:
где
W (х) = С\ sin у ус + С2 cos ypr + С3 sh Y2* + ch Уг*>
Для опертой по концам балки форма
определяется функцией
(37)
(38)
(39)
а частоты при Л' =
U7 (х) =
. клх
sin - ,
1Де — собственные частоты [см. (32), где х^ = #л] стержня без учета продольной
k2z\'2EJ
силы; jP* = —г-' —значение k-й эйлеровой критической силы. Таким образом,
наличие растягивающей продольной силы приводит к увеличению собственных час-
Рис. 3. Влияние начальных осевых усилий
на собственные частоты изгибных коле-
баний стержней
тот, а при действии сжимающей продоль-
ной силы — к уменьшению. При Р = Рк
k-я собственная частота обращается в
нуль (рис. 3).
Замечание 1. Формулы, аналогичные (40),
могут быть получены для других краевых
условий стержня
Замечание 2. При больших растягивающих
значениях силы вместо (40) может быть исполь-
зована приближенная формула
(на рис. 3 эта зависимость дана штриховыми
линиями).
Влияние сдвигов и инерции вращения.
Для стержней небольшой длины уравне-
ния технической теории (см. гл. VIII)
становятся неприменимыми. В этом слу-
чае необходимо использовать уравнения
Тимошенко (см. формулу (93) гл. VIII), учитывающие влияние поперечных сдви-
гов и инерции вращения поперечных сечений.
Общее решение для прогиба W7 (х) имеет форму (37), где параметры и
(42)
(43)
Здесь
J / £ \ / /2£ \
<ч-₽'7! ч-йс); “s-f**
Для опертой по концам балки частоты определяют по формуле
/Е J\Vi fxG F3 Г. J I. E\
oh, 2, k - . ,i |2EJ«[ F \ 'xG/ *
/Г ^fij_£V2jx2l2 4 ^л4 E
FV+xG/ P J I* *GF*/ J.f ’
Замечание. Для стержней переменного сечения задачу и собственных колебаниях решают
приближенными методами (см. гл. X). Точное решение в бесселевых функциях г озможно для
балок в форме клина или конуса. Примеры применения приближенных методов для
определения собственных частот в собственных форм изгибных колебаний стержней можно
найти в [2, 35, 87, 100. 109]
3. ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Рассмотрим колебания шарнирно-опертого стержня, имеющего плоскость симмет-
рии [109). Система уравнений [см. формулу (104) гл. VIII] {q2 = 0» 9з = 0» М = 0,
°2 = 0) распадается на две независимые системы, из которых уравнение
d*v . „ efiv
LJzdx* + pF dP~J
(45)
описывает чисто изгибные колебания в плоскости симметрии, а два других уравнения
(Pw - <РЬ
дЧ дЧ . d2f) ^_л
1 к дх2 £/(0 дх* р ° di3 р? “3 др ~ °
— изгибно-крутильные колебания. Граничные условия при х = 0 и х = I имеют вид
ш = 0; 0=0; J? = 0; ^=0. (47;
дх2 дх2
Граничные условия и уравнения удовлетворяются, когда
tti (х, г) = w0 sin —j- cos co/;
0(x, O = 6osin~ cosaf (A=l, 2, ...). (48)
Собственные частоты колебаний определяют из характеристического уравнения
где
со2) (ш2 — со2) — = 0,
(49)
kW EJy
~ ^”7*” "pF *
. Z2 70p + P
(50)
(51)
F
— частоты чисто изгибных и крутильных колебаний соответственно; s = т. Совет-
ов
венные частоты колебаний, найденные из (49), равны
°KD
€0? » = —
1, 2
(шкр щи )2 “b
2 (I-fl!)
(52)
Если а3 = 0, т. е. центр тяжести сечения и центр изгиба совпадают, то cof = ©кр
w2 = co»-
4. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ
КОЛЕБАНИЙ ПО МЕТОДАМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ПОДАТЛИВОСТЕЙ
Общая характеристика методов динамических жесткостей и динамических подат-
ливостей дана в гл. X. Преимущество этих точных методов для систем, составленных
из прямолинейных стержней, заключается в том, что заранее могут быть построены
и затабулированы вспомогательные решения для элементов расчлененной системы.
Применение метода динамических жесткостей. По этому методу основная система
образуется наложением п дополнительных кинематических связей таким образом,
чтобы исходная система была расчленена на однопролетные стержни с неподвижными
опорами.
Обобщенные перемещения по направлению этих связей
г, (/) = Zj cos (at — х), (53)
где Z, — амплитудные значения перемещений. Налагаемые связи могут быть как угло-
выми. так и линейными. Полагая поочередно Zk = 1 при всех остальных Zj = 0
(/, k = 1,2, .... ri), находим обобщенные силы, возникающие во всех введенных свя-
зях. Амплитудные значения этих сил называют динамическими реакциями (динами-
ческими жесткостями), элементы которых rik (со) образуют квадратную матрицу
R (со) порядка л. При этом г,у (со) = гА? (со).
Амплитуды перемещений Z1( Z2, ..., Zn выбирают так, чтобы формы колебаний
основной и заданной систем совпадали. Условие равенства нулю обобщенных сил
имеет вид
S r/»WZ»-0 (/=1,2......п). (54)
I
8. Формулы для определения единичных реакций
Реакции
Схема стержня
Расчетные формулы
Блиния
ный
поворот
aEJ (SjS4 — S3S3)
rkk = $2 - S2S4 '
a'£ J (SXS3 - St)
'in- S2-S2S4
a,EJSt
rmk~ S2 _ s s :
Я 2 4
— azE JS3
'nk ~ S\ - Vl
g£J(S»-St)
** StS4 - StS3 '
a*EJ (S,S4 - S, S3)
rik ~ StS4 - SsS,
_____a*EJSa __
nk S.S4 — S3S3
s4
ф ~ S,S4 - S3S3
Единич-
ное
смещение
a’£J (S, Si - sss4)
r//- st-s8s4
_ alEJ (s* ~ Уз)
^7- S|-S2S4 ’
a*EJS3
rml~ S«-S8S4 :
a’FJSa
Лп?- S|-SsS4
(S« - St)
fn~' SiS4 - S;Sj '
a»EJ (SjSj - SsS4)
Г*/ S^* —StS, :
_ a*EJSt .
л' S]S4 SjS
________aS;,
ф“ StS4 - S,S,
Примечание. В таблице принято a = p, где H определяют по формуле (14)
Условие существования нетривиального решения системы линейных алгебраичес-
ких уравнений (54) приводит к уравнению частот
det R («) = 0.
(55)
Выражения для динамических реакций г/1{, вычисленные для некоторых частных
случаев, приведены в табл. 8 |87J.
Применение метода динамических податливостей. При динамическом расчете
стержневых систем по методу динамических податливостей основная система обра-
зуется (так же как и при статическом расчете) путем отбрасывания п «лишних» свя-
зей. За «лишние» неизвестные принимают реакции в отброшенных связях X/ =
= X,cos (tof — х). удовлетворяющие каноническим уравнениям
п
2 fik^)Xk = Q (/ = 1, 2, .... п).
к- ।
(56)
Здесь /д = fjk (со) — амплитуда перемещения по направлению неизвестной реакции
отброшенной связи от единичной силы Xk = 1. При этом реакции в остальных отбро-
шенных связях равны нулю. Перемещения
(/)£Ю
MjMb
EJ
dz,
(57)
где Mj — изгибающие моменты от статической силы X/ = 1. Величины Mk являются
амплитудными значениями изгибающих моментов от динамической силы Х^ (Х^ =
= 1). Для существования нетривиальных решений необходимо, чтобы определитель
матрицы F (со), составленной из коэффициентов канонических уравнений (56), был
равен нулю.
det F (cu) = O.
(58)
Раскрывая определитель, приходим к трансцендентному уравнению для определения
собственных частот колебаний стержневой системы.
Глава XII
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
УПРУГИХ ПЛАСТИН
1. ПЛАСТИНЫ, ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ
Уравнения. В случае свободных колебаний в уравнении (111) гл. VIII следует
положить q = 0. Подстановка tv = ф (х1э х2)-соз (ю/ — %) приводит при D = const
к уравнению
D ААф — рйсо2ф = 0. (I)
Краевые условия имеют тот же вид, что и (112) гл. VIII при замене w на <р.
Краевые условия Навье. Для шарнирно опертых по контуру пластин
д2Ф n п
Ф = ^5 = 0 при хг=0, в1;
д2Ф п
Ф==Ф?=0 ПР>1 = «2
(2)
переменные разделяются. Фирмы собственных колебаний описываются функциями
. /Л1ЛХ1 . т2лх2 j i п х
4mimAxv x2)“s,n ma=t’ 21 •••>•
Колебания по форме ф1П<1 , происходят с собственной частотой
, mfn2 D xfi
аз ph) ‘
(3)
(4j
Краевые условия Леви* Если на двух противоположных сторонах пластины реали
зуются условия свободного опирания типа (2), то формы колебаний описываются сле-
дующими функциями:
<Р U1, *») = Фт (*а) sin 1 (т -= 1, 2, ...), (5)
ai
где Фт удовлетворяет уравнению
-IV 2тгл2 _« //п4л4 рАю3Х
Ф™----------------------------D~)
Фт = 0
(6)
и краевым условиям, соответствующим характеру закрепления на других сторонах.
Эти условия служат для определения произвольных постоянных, входящих в общее
решение
Фт (хг) — С im COS Yim*a "И Cam s*n Yim-^a “Ь^з/n ch ?2т*2 4"^4m sh Угт-^г» (7)
где
КрЛш2\1/» znWl1/» Г/р/ко2?/» /n2n*j’/»
V) -TirJ ; Тг” = ['тН +-5П • (8)
Уравнение частот получается в виде равенства нулю определителя системы для
С)т. Например, если остальные кромки защемлены, так что выполняются условия
Фт (0) = Фт (*«) = Ф; (0) = Фщ (а2) = 0.
то уравнение частот имеет вид
1
0
COS у1та2
— Yim «л у1шо2
0
Yim
sin Tim^2
Yimcosylma3
1
0
ch Угта2
Yam sh Tam0’
О
Yam
sh Учта2
Yam ch Yama2
= 0.
(9)
Формы колебаний определяются функциями (5) с учетом (7), если для С1т взять
ненулевое решение соответствующей однородной системы при О) = okm, где ш^т —
ft-й корень уравнения (9). Если на двух противоположных сторонах при х2 = const
реализуются одинаковые условия, то уравнение частот распадается на два уравне-
ния, соответствующие симметричным и антисимметричным формам. Уравнения час-
тот для различных сочетаний краевых условий приведены в табл. 1.
Замечание. Разделение переменных юзможно также при реализации на двух противопо-
ложных сторонах условий скользящей заделки или комбинации опирания и скользящей за-
делки. Вместо (5) следует принять в перюм случае
во втором
<₽(*!• гг) = фт (га)СО3
Ч (Х1
тЛг,
а, '
хг)=Фт (X2)S'n
ПЛАСТИНЫ, ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ 205
1 Уравнения часто! для прямоугольных пластин
Краевые условия Уравнения частот
Опирание — опирание sin ?1/Л = 0
Опирание — заделка 'h W*2
Опирание — свободный край а'ЬЪта1 ~b^~ ^W2=° vlm
Заделка — заделка lih '-^t2-J"? tg x \ J ‘Vim 2 /
Заделка — свободный край 2(14- ab) ф(о )• bj ch V2ff,a2 cos Vlffloa P 4- ° ~ b sh Yima, sfn V,_a„ = 0 \ v V- / 'l/n 2 Iffl 2 \ Y2m Ylm/
Свободный край — свободный край 3 th - b tg J > X X j ctb Ya”a* 4- b —- ctg a2^ = 0 \ J vlm i /
Примечание. В таблице приняты обозначения:
» - (> - . ^) [rU - в - V, j- , „ _ (¥»m _ v 2^) х
X [v‘m + <2-’> -ат- {
Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного
случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные при-
ближенные подходы зариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина,
н др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинирован-
ные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота
--------------ГТ-------------------------------. <'<*
( ( рйф2 dx} dx3
о о
В качестве аппроксимирующих функций для фирм собственных колебаний могут
быть использованы произведения балочных функций (см. гл. XI):
Флтл= fo) Yп (х^). (11)
Выражение для частоты записывается ь зиде
, л2 / D \*/«
206
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ УПРУГИХ ПЛАСТИН
Значения безразмерного коэффициента kmn для различных случаев закрепления
пластин можно найти в руководствах [2, 20, 35, 77, 87, 93, 100, 101, 109, 139]. Там же
можно найти значения этого коэффициента для анизотропных пластин, пзастин пере-
менной толщины, пластин с сосредоточенными элементами и для других случаев.
2. КРУГОВЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ В ПЛАНЕ ПЛАСТИНЫ
Общий случай (пластины постоянной толщины). Подстановка 6) х
X cos(co/ — X) в уравнение (114) гл. VIII (д = 0) дает уравнение (1) с заменой опера-
тора Лапласа на его выражение в полярных координатах:
# _1 Й
дг2 г дг‘ г2 362 •
(13)
Краевые условия для края г = const приведены в табл. 2,
2. Краевые условия Для круговых пластин
Вид закрепления Схема Условия при г= const
Заделка ф = 0; А.. v dr
Опирание ф = 0: + * \дг* г dr J
Свободный край Г- — ,
Упругое закрепление Е Q + С1ф = 0; М 4- с, ~ 0
Для замкнутых в окружном направлении пластин
Ф(г, 9) = ФЯ (г) cos [л (6—0О)] (л = 0, 1, 2, ...), (14)
где п — число узловых диаметров. Функция Фл удовлетворяет уравнению
где
d2 t £ _ л2' ^2фп £ ЗФЛ
,dr2 г dr г2-] . dr2 "> т
ф„'-Р<ф„=о,
(15)
(16)
и краевым условиям, получающимся из условий, приведенных в габл. 2 после подста-
новки (14) и сокращения на cos (л (6 — 50)Ь
Общее решение уравнения (15) может быть найдено по методу факторизации
(см. гл. X) и записано в форме
ФЛ = С1Л/Я (Рг) + СаЛя (М+СЗЛ/Я (₽г)+С4яКл (₽г), (17)
где использованы стандартные обозначения для цилиндрических функций.
Круговые в плане пластины. Для круговых пластин из условия ограниченности
решения в центре (г = 0) постоянные С2п = Cin — 0. Для определения оставшихся
констант используют краевые условия (см. табл. 2). Уравнение частот получают из
условия существования ненулевого решения для Cjn (равенство нулю определителя
соответствующей системы), Для некоторых случаев закрепления уравнения частот
приведены в табл. 3.
3. Уравнения частот для круговых пластин
Вид закрепления Схема Уравнения частот
Заделка 7„(РА) ' /д(рЯ) ’
Опирание Ui № Jn (Р/?) !п <№> 1 - v
Свободный край VR’Jn (PA) + (1 - у) [РА7Л <РА) ~ Ф (РА) h-fl2/n (РА) - О -v) [р/?/; (РЯ) - п21п <₽/?)] р3/^ъ; (РА) -HI - У)2”2 [PflJn (pfl) - Jn (pfl)] p3/?3/; (p«) - (i - v2) п2[р/?/; (p/?) _ in <р/?)]
4 Значения коэффициентов Итп Для круговых пластин
л л
tn 0 1 2 3 т 0 1 2 3
Заделанная пластина Свободная пластина
0 1 3,196 6.306 4,611 7.79H 5,906 9 197 7,144 10,54
2 3 9 439 1253 Ю.аб 14,11 12.4о 15.58 13,79 17,иО 0 2.292 3.497
Опертая пластина 1 3.014 4,630 5,937 7.274
0 I 2 2 231 5.455 6,614 3.733 6.965 10.139 5,065 8.375 11 59 — 2 3 6,209 9,370 7,737 10,91 9.160 12.41 10,55 13,86
Частота
R2-\^h]
(18)
Значения коэффициентов *.тп приведены в табл. 4.
При больших п для заделанной по контуру пластины
а для свободной пластины
(19)
(20)
Кольцевые в плане пластины. В этом случае все константы в (17) отличны от нуля.
Частотные уравнения имеют достаточно громоздкий вид. Например, для пластины,
Рис. 1. Зависимость частотного пара-
метра Для кольцевой заделанной плас-
тины от а = Яй/Я1
заделанной по внутреннему контуру радиу-
са и внешнему контуру радиуса /?2, это
уравнение имеет вид
Л(₽Ят)
Jn ф^)
J п ФА?2)
л (т
Nn фАМ
Nn (РЯ1)
Л/я ф/?2)
Nn (₽/?»)
/Я Ф*1)
In ф/?,)
In Ф₽а)
/и (Р/?2)
КП (₽/?!>
Кп (р/?т)
Кп (ря2)
Кп (р/?2)
= 0.
(21)
Зависимости р/?,ота= ~ для данного
"1
случая показаны на рис. 1. Аналогичные
уравнения и зависимости для различных
сочетаний краевых условий на внутреннем
и внешнем контурах можно найти, напри-
мер, в [35, 87].
Применение приближенных подходов.
Для пластин переменной толщины (хотя
в ряде случаев и может быть получено точное
решение) применение различных прибли-
женных методов, например метода Ритца, более эффективно. Для оценки основных
частот удобной оказывается формула Релея
(22)
Широкое применение для определения собственных частот колебаний кольцевых
и круговых пластин переменной толщины находит метод Стодолы. Его отличие от
метода Ритца заключается в том, что минимизация проводится по параметру s, вхо-
дящему в выражение для аппроксимирующих функций. Так, для кольцевой круговой
пластины с защемленным внутренним контуром радиуса а решение ищется в классе
функций
g — (г—a)s cos п (0 —ft0) (л = 0, 1, 2, ...)
Для каждого п находят частоту по схеме метода Ритца с дальнейшей минимиза-
цией по параметру $.
3. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К УПРУГИМ
ПЛАСТИНАМ
Динамический краевой эффект. Асимптотический метод [101 применяют для пластин,
занимающих прямоугольную (в обобщенном смысле) область Он дает хорошие резуль-
таты для высших частот. Однако в ряде случаев и для основной частоты этот метод
дает приемлемые результаты. Для пластины постоянной толщины, когда уравнение
колебаний имеет вид (I), порождающее решение будет следующим:
<Р (*1. *2) = sin ky (X! — £i) sin k2 (x2—£2). (23)
Собственную частоту выражают через волновые числа ki и k2;
(0= (*?+*=) 1^
Вблизи края X] = 0 решение можно записать в следующем виде
ф (*ь х2) = Ф (X!) sin k2 (х2 — Е2)
(24)
(25)
Используя исходное уравнение (1), нетрудно получить уравнение для Ф. Реше-
ние этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при удалении во
летворении краевым условиям на этом
краю Рис. 2. Графическое решение уравнений
Условия СТЫКОВКИ. Решения, анало- асимптотического метода
гичные (26), строят вблизи всех краев
пластины Требование, чтобы с точностью до динамических краевых эффектов ре-
шения противоположных кромок совпадали, приводит к условиям стыковки
Ml = arctg пп (^, k2)4-arctg ul2 (kb
Мй = arctg u21 (kb 4-arctg u22 (Ль k2) 4 щуп,
(27)
1де mi и — целые числа или нули, a u/k равны тангенсам фазовых постоянных
£/. Для различных краевых условий выражения для и С даны в табл. 5.
Полученная система (27) может быть решена относительно волновых чисел Aj
и k2 методом последовательных приближений или графически. В качестве примера
на плоскости волновых чисел (рис. 2) показаны зависимости, построенные согласно
(27) для заделанной пластины. Точки пересечения кривых отвечают волновым числам,
соответствующим определенным формам колебаний. Частоты при этом находятся
по формуле (24).
Пластины при различных краевых условиях. Точное решение уравнений стыковки
получается для следующих случаен
б. Тангенсы фазовых постоянных и постоянные форм при применении асимптотического метода к пластинам
Вид закрепления Схема Краевые условия Ult c
Опирание й2ф , д’ф Ф = 4— 4- v F- = 0 * dxs ' дх* 0 0
Заделка д(Р о ф = ’^7==0 *t *»
(tf+M)1'* 12 (fcr+лг)]1/.
Свободный край 2? , v^4 = 0- dxf дх* ’ ^+(2 -у) -24 =о дхз 1 ' дхг дх* fc* [fe? + (2—v)feg]3 (kl 4-Vfc;>) (fej + 2ЛО)1 * _ (*? -f- vfej) “n 1*14 (2 —v ) *11 (14 uii)1/*
Упругое опирание 3 ф = О', С <Эф _ <?2ф _ <?2ф D дх. ~ дх~ V дх* 1 1 2 kt *t
^.(*;+»Р+М + 24Э'/. {»?+ [“ «+»?) + (*! + 24i)V, j}*'’
Опора на пружине g^> ^p+v^4=0- dxS v дх* ' с В’ф , д’ф D ф dxf ( dxt дх* kt4-(2—vui]2 (*i 4- v*a)un [*? + (2 —V) *5] (l +uti)1^1
(*? 4 +vAi)2. (kl+2*1) */»
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ УПРУГИХ ПЛАСТИН
бесконечная в одном направлении, заделанная по кромкам пластина при цилиндри-
ческом изгибе:
квадратная заделанная пластина при = т2 = т:
квадратная пластина, два противоположных края которой защемлены, а два опер-
ты:
2л2 « + /£П</,
со =----1 т------ I •
a2 \ph J
Асимптотический метод оказывается достаточно эффективным, так как он быстрее
приводит к результатам, чем другие методы О точности можно судить по табл. 6 и 7,
где дано сравнение значений частот, полученных асимптотическим и вариационным
Г а2 /рЛ\‘/1]
методами
Влияние тангенциальных усилий. Основное уравнение записывается в виде
D ААф - Nj - Л'2- р/по2ф = 0.
Частота
(28)
(29)
6 Результаты для оценки точности асимптотического метода
(заделанная пластина)
т, "12 kiai я ^гаг Л ш по методу Рас- хождение, % Ненязка. %
асимптоти- ческому варпацион’ ному
1 1 4/3 4/3 3,556 3,646 2,53 2-66
1 2 ) ,2> >27 2,4372 7,386 7.437 0.69 0,93
2 2 7/3 7'3 10,889 10.865 0.70 0.18
1 3 1.142Л 3 4688 13,337 13,393 0.42 0.24
3 3 10/3 10/3 22,222 — — 0,01
7. Результаты для оценки точности аснмптигическиго метода (квадратная пластина)
Закрепление л!ы по методу Расхож дение, %
х, =в, хг = С хг = аг асимпто- тическому вариаци- онному
Опирание Заделка Задели а 31,37 31,96 1.88
Заделка Заделка Опирание 28,96 28,99 0,24
Опирание Заделка Опирание Опирание 26,87 23 68 27,10 23,70 0,86 0,25
Решение вблизи края хх = 0 будет следующим:
Ф (Х1)« sin (xj - Ех) + С ехр j - Xl ’А? + 2Л* + . (30)
Если край Xj = 0 заделан, то
( ________kj_________ ..____________ki________
’ 2,z’^ + 2Ai+ ’
Краевой эффект может вырождаться при отрицательных N (при | N
М* — эйлерова критическая нагрузка).
Ортотропная пластина. Уравнение для фирм колебании имеет вид
где
<^Ф । #*Ф 1 д4ф рЛш2 п
дх} г l2dxfdxl ’ ^2 '2 дх} Du ** “ ’
Div
a12=^; a2? = ^.
(31)
Л\, где
(32)
Частота связана с волновыми числами соотношением
»-(*)+2а1Ж+«и*а,/' 1.
Вблизи края Xi = 0 решение выглядит следующим образом:
(Xj) = sin kt, (Xj — 4-Ci exp [— Xj (k* -f- 2a12A;)‘ «],
а вблизи x2 = 0
Фг (xa) *= sin k2 (xa — g2) + Сг exp Г— x2 (‘ I
L \ a22 / J
Для заделанных сторон пластины па1 и Са равны:
-----21_____. с.=--------21--------
(^+WD*'* ’ [2(*?+2а12ф]'/« ’
4. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ ПЛАСТИНЫ
(33)
(34)
(35)
(36)
Основные уравнения и граничные условия. Пусть прямоугольная пластина,
отнесенная к системе координат Оху, разделена на п пролетов длиной ду (/ = 1, 2,
л) жесткими линейными опорами. Для каждого пролета будет справедливо урав-
нение колебаний
f д2 62 \
Dz ДАФ/ - р/Л/вЛр/ - 0 ( д = + — j. (37)
Удобно для каждого пролета ввести свою систему координат Ох/у^ На краях
xt = 0; хп = ап; у, = 0; уп ~ b условия ставят, как обычно. На промежуточной
опоре
Ф/
tj = af — Ф/Ч1 х/^1 = 0
0;
дФ/
’> S—
^*7 х —а
п /Г?2фА1./
дхГ,—
4=ai 'ox/ + i
дф/+11
в дх/+11*/+1=с ’
<?2ф/+1\
^1 *г I х1.
= С
МНОГОПРОЛЕТНЫЕ ПЛАСТИНЫ
213
Если опора не является жесткой в нормальном направлении, то первые два усло-
вия (38) заменяют на
[ЗЗфу дЗфу 1 р3ф/+1
a^-+(2-v/)a^?J х _ “D/+1[^U7 +
I • V/-1 Xf-dj L /4-J
+ (2-—v/+1)
— Г/Ф/ U/=a/'
= 0 ’
(39)
где С/ — жесткость J-й опоры в нормальном направлении.
Точное решение. Точное решение возможно, если на краях У/ ~ 0, у/ =Ь имеют
место условия свободного опирания. Тогда подстановка
- . . . тлу
Ф/ = Ф/т^/)81П —
(40)
сводит задачу к одномерной. Пусть Dj = D; уу = v; ру = р; hj = h. После подста-
новки (40) в (37) получают уравнения, аналогичные (6), решения которых имеют вид
Ф/т = С/mi cos т1отх, 4- Clm2 sin ylmxy + Cfm3 ch v2mxz -f- Cimi sh y2mxh (41)
где и y2m определяют согласно (8) с заменой ах на Ь. Входящие в (41) постоянные
определяют из четырех условий на краях Xj = 0 и хп = ап и 4 (п — 1) условий (38)
или (39) на опорах. Равенство нулю определителя получающейся системы для
дает уравнение частот. Например, для заделанных краев Xj = 0; хп = ап и условий
(38) это уравнение будет иметь вид формулы (42) на стр 214.
Замечание. Уравнение частот может быть получено при использовании метода начальных
параметрои (см гл. XI). В этом случае решение для Фуот следует записать г форме
ф/т (х/) = ф/т <°> vfmi (*1) + ф/>" f0> (х/) + ФМ «» ^/тз(х/)+ф/« <°> (*/)• (43)
где функции Ч7 1т/г, образующие фундаментальную систему Коши, имеют вид
Mm chV8mxy+v|mCOSVlff|</);
2 sh W/+-v^-sin wj;
^тз = | (ch hmxf~cos^mxi);
4 ' —г—г ' \—-— shy„ x,-------— sinv,- x,Y
I mi 2 \ рЛ<оа / ™ i vIm hm <j
Применение асимптотического метода. Уравнение частот при точном решении
достаточно громоздко. Для других, пусть даже одинаковых на всех пролетах,условий
при у, = 0, у, = b точное решение вообще найти не удается (кроме условии скользя-
щей заделки). Для нахождения собственных частот и собственных форм можно реко-
мендовать асимптотический метод. Будем считать, что при у} = 0 и У] = b условия
закрепления по всем пролетам одинаковы. Порождающие решения для каждого
пролета имеют вид
Ф/ {xh у/) = Af sin «х — gy) sin ky (yf — r|)
(44)
Здесь 4, — произвольные постоянные. Заметим, что kx, ky и г| одинаковы для всех
п р ол етов. Ч астота
1 0 1 0 0 0 0 0
0 Vim 0 V2m 0 0 0 0
cos ylmai sin Yim°i ch у2таг sh Ylib3i' 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0
— Vim sin У1 mat Vim cos ylmat V2m sh y2ma! Vim ch Угта1 0 — Vim 0 Vim
-Vk cosW1 y'im chV2mai Vim sh V2mai Vjm 0 Vim 0
0 0 0 0 cos у1/Яа2 sin ylma.. ch Y2m«2 sh Угта2
0 0 0 0 — Yim sin ylma2 Vim cos У\та2 Yam sh V^ma2 Yam ch Yama2
= 0. (42)
to
собственные частоты и формы упругих пластин
Решение типа динамического краевого эффекта у края к, = а< обозначим
Ф (Х/|а/). Тогда
Ф7 (xf 1<W/sin k* + ехР [— xi (^+2Z?l) ];
Фу (*/ | aj) = Aj sin kx {Xj—l-) + Cj.exp [xz (Ax + 2Aj)1 «];
Ф/ (У/ । 0) = Az sin ky [yj — v^-\-Fj exp [— y} (A^ + 2Ax)’f];
Ф/ (У/ \b) = Af sin ky (у/ — т|) + Gz exp yf (ky + 26 0' ’]
Постоянные Aj в последних двух выражениях несущественны Удовлетворяя
условиям (38), получим посте исключения В,, С/ и Aj
kx sin kx (a,-£ZH/J = 2 (4+2^)’/* X
X sin kx (ay—c/) sin Ад|;+1 (j = 1, 2, .... л — 1). (46)
Эти уравнения следует дополнить условиями при хг = 0 и хп = ап
^^^arctgu^^, у, Ax(an-^)=arctgu<^^ AJ (47)
и, кроме того, условиями стыковки решения по направлению Оу
kyb = arctg u21 (kx, ky) -f- arctg u2a (kx, ky) + zn2n. (48)
Вместо (46) можно использовать соотношение
2 /^4-2К) ’/,
etgMa/-W+ctS«/+i—. ДО)
кх
Возможные потерянные корни при переходе к (49) содержатся среди корней урав
нений
sin kx (а/ — gy) = 0; sin k x£z+t = 0. (50)
Уравнения (46) или (49) и (50) вместе с (47) и (48) образуют замкнутую систему для
определения фазовых постоянных и волновых чисел kx и ky. Частоты определяют
затем по формуле (45) [см. [71, 87])-
5. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ НА ОСНОВЕ
УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИЙ
Уран нения и краевые условия. Условие применимости классической теории
в терминах волновых чисел имеет вид
(*? + *«) Л* <1. (51)
При невыполнении этого условия применяют уточненные теории. Для варианта
(124) гл. VIII выделение гармонического множителя
Ф = фсоз(сог—х); Ф = фсоз(ш/—у); ш = юсоз(со/—%) (52)
дает уравнения
6к(1 — v) j -ч рш2(1—V2) п Дф ла -(ф а,)+г——4 = 0; 12х . , 2рсо2 (1 + v) . г Дф- ^ФЧ- J—Ф = 0; -х 2ри2(1+г’)- _ д (ф_и,) _ _!—1 с,= о. (53)
На каждой стороне пластины должно выполняться по три условия. Для условий
опирания типа условий Навье
Ш=Л4п=62=0 При Xj = 0, Х]=С71!
И’«Л122 = Ог=0 при х2 = 0, х2 = а2,
где б j,2 связаны с Ф и V формулами (123) гл. VIII. Если пластина заделана по кром-
кам, то
Ы = 61 = в2 = О ПРИ *1 = 0. Я], -Ц = 0» О2- (55)
Пластина с краевыми условиями Навье. Для краевых условий (54) переменные
разделяются при подстановке
. т1ях1 . т2лх2 1
Ф=ФО sin ——- sin —£--
oi а2 ’ I
. . т,лх, т2пх2 i
ф = фо cos а со» ; J (56)
— . . т2п.х2
w = wa sm -—- sin - - - .
а2 l
Уравнение частот получают после подстановки
нулю определителя системы для ф0, фР| к'о:
(56) в (53) в приравнивания
Ь2 , 6х(1 —у) рю8 (I —V») п _ 6х(1—у)
+ А» £ Л3
О А2 -Ь О
-Л3 0 Лг 2ро)3(1+у)
где
Одна из частот
А2=А2 + А>; *i =—; А2=^.
«1 ’ аз
(12x+A2A3)v»/G */г
Две другие определяют из уравнения
(£)*-(£)[(’ +1тЧ 6к ° -v)]+
где характерная частота
\ / Е 1 у/,
®°“ А \ р I-V»/
(60)
(61)
имеет смысл собственной частоты продольных колебаний пластины в направлении,
нормальном к срединной плоскости. При условии 0<;х<_1иАА>0 частота, опре-
деляемая (59) (обозначим ее ш2)» расположена между частотами, являющимися кор-
нями уравнения (60), так что ©i ш2 <С Таким образом, у пластин при учете
сдвигов и инерции вращения нормальных элементов существуют три серии частот.
Наименьшая частота лги этом
(ОХ1/*
- (l+g^2)-(62)
г /
Эта частота соответствует преимущественно изгибным коле-
1Де£ ₽ 6х(1—у) + 12*
баниям и при малых АА близка к значению частоты, определяемому по классической
теории. Вообще при выполнении условия А2Ла < I имеют место следующие оценки:
А3
(1) ~ Од', ft»2
Приближенное выражение для ы3 имеет вид
о3 wy |6х (1 - у) (I Ч-^Л»)]'/*.
Результаты определения частот изгибных колебаний по уточненным теориям,
по классической теории и по трехмерной теории для квадратной опертой пластины
(й/а = 0,025, v = 0,3) представлены в табл. 3.
8. Результаты применения различных методов определения изгибных частот
прямоугольных пластин
Теории О_Л.‘ЯУ2 (Оо а
3 5 ы •-» I11 гл, = 1; /пг = 2 IIII W °* 6* сч IIII S Е mt = 2; т1=3 Э S II и 03 5с5 тх = 7; т3 = 7 лт, = 10; т, =10
Гипотезы Кирхгофа — Ляьа O.U642 0,160 0,321 0,257 0,417 U ,577 3,14 6,40
Уточненные теории- 2 х~ 3 о.иеза 0,159 0,316 0^5Т 0,4и9 0,564 2,80 5,21
5 х = 6 0,0640 0.159 0,317 0,254 0,411 0,566 2.84 5,36
Трехмерная теория 0,0640 0,159 0,317 0,254 0,411 0,5о6 2,86 5,39
Применение асимптотического метода. Метод применяют при условии, что дина-
мические краевые эффекты не вырождаются. Порождающее решение имеет вид
Ф = фа sin ki (xi — &) sin k2 (xt—b);
ф=ф0 cos /?, (*! — *!) cos (x2 — 92);
u> = &0 sin kt (Xi — |x) sin k2 (x2—b)-
(64)
Подстановка (64) з (53) приводит к уравнению частот, совпадающему с (57). Решение,
соответствующее динамическому краевому эффекту для края jq = 0, можно записать
следующим образом:
<р = Ф (Х1) sin kt (х2—В2); ф = ¥ (хх) cos k2 (х2 — £2)'« w == № (a) sin k2 (х2—Ь)• Iй5)
Функции Ф, f и находят из системы уравнений
ч" -[*!+~ - jg>a0+v)] ф=0;
_ ФЧ-^Ф _' И _ . IP _0.
Характеристическое уравнение
2 г 6х ( 1 — V) v1»
s “ **-----+ “—Ё------------ 0
о S* _ + W<» + v>
я к» h Е
- s2 + 0
имеет корни
Si,i= ± i^i, «а.1=Ра; s?,e=ga.
<6С)
6х (1 — v>
h‘
0
(68;
1 yE
При этом для первой серии частот сол
₽’ = ₽? = - Ш-ОЭ р (И«_Ы;);
?.=,;=t; + 2<r._(l+L=Tx\2PMH'+v).
для второй серии частот со2
(69)
«з-о = &
1 VMO+vJ-jr 1 / 1-v *^(I+vjp
2x\ ' 2 *)~~E "U 2х^1 + -Г"к/! Ё J +
2 (I 4-v) (1 — vs) V/,
H-----^£3-----P- (W5 — tol) (“5 — (0$)| (70)
и для третьей серии
2 Л- I ОА2 /1 1+1 * * V \2ptoH14-V)
92 = ?з = ^Н-2^-( 1--~х -2—
Из формул (70) и (71) видно, что динамический краевой эффект для второй и третьей
серий частот оказывается вырожденным. Для первой серии краевой эффект вырож-
дается при > А’о, где ~ Таким образом, при учете деформаций сдвига и инер-
ции вращения нормальных элементов динамический краевой эффект для преимуще-
ственно изгибных колебаний вырождается при больших волновых числах (сильное
влияние условий на контуре на поведение во внутренней области). Область приме-
нения асимптотического метода фактически совпадает с областью, где уточненная тео-
рия дает достоверные результаты.
Глава XIII
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ
УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
1. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
Дифференциальные уравнения и граничные условия. Различные варианты урав-
нений динамики оболочек приведены в гл. VIII. Для свободных колебаний (д;- = 0)
уравнения движения оболочек в перемещениях посте выделения гармонического
временного множителя могут быть записаны в форме
L1 it>* + + Ц3ю* + pWo* = 0;
L21h* ф- L2iu* -j- L23ny* 4 рЛю2у* = 0;
ЕзгН* + L32v? 4- L33ui* — pAw2ay* = 0,
(1)
(индекс * означает амплитудное значение величины). На краях оболочки, которые для
простоты будем считать совпадающими с координатными линиями, должно выпол-
няться по четыре условия (см. табл. 7 гл. VIII). Вид операторов Ljk в (1) зависит от
введенных предположений, его можно легко определить на основе общих уравнений
(см. гл. VIII).
Классификация собственных форм. Уравнения (1) есть реализация операторного
-.равнения (С — сн2А) <р = О для оболочек. Собственные формы колебаний опреде-
1яет вектор-функция
/У* (-V1, Л2)\
ф=ЧУ* Ob *2)). <2)
40* (лу, Xj'
Каждой собственной форме колебаний <р, соответствует определенная частота tHj.
Собственные формы колебаний обладаю! свойством ортогональности по потенциаль-
ной и по кинетической энертии. Например, условие ортогональности по кинетической
энергии
j jj рй (и? -f- -j- dQ =0 (/ k). (3)
Q
В некоторых случаях собственные формы колебаний, соответствующие различным
собственным частотам, отличаются друг от друга только числовыми коэффициентами,
характеризующими отношения между максимальными значениями перемещений
г1( t’2 и w ПРИ колебаниях.
Среди различных собственных форм колебаний можно выделить серии преимуще-
ственно нормальных и преимущественно тангенциальных форм колебаний. Частоты
для указанных серий имеют порядок
й IE V/. 1 f Е V/.
",л~Х2’7, ’ Л р/ ’
Здесь и далее введены характерные величины для толщины й, радиуса кривизны R,
размера области L, масштаба изменения напряженно-деформированного состояния X.
Поскольку отношение Юд/ш, ~ й/Х 1, то низшим частотам соответствуют преимуще-
ственно нормальные формы колебаний. Данные соотношения выполняются при усло-
виях
Л2/Х2< I; й//?<1; L~R; (Rh)*'* <К <R.
Замечание 1. При использовании уточненных теорий, когда дополнительно вводятся функ-
ции, характеризующие поперечные сдвиги, размерность вектор-функции формы колебаний уве
личивается; кроме преимущественн-j нормальных и тангенциальных форм колебаний появляются
преимущественно сдвиговые формы колебаний. Частоты таких форм колебаний обычно выше,
чем частоты форм колебаний первых двух типов.
Замечание 2. Для оболочек характерным является то, что не всегда низшей собственной
частоте соответствует самая простая собственная форма колебаний.
2. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Дифференциальные уравнения. Пусть одна из координат, к которым отнесена
оболочка, отсчитывается вдоль образующей, а вторая — в окружном направлении,
тогда параметры Ламе равны И1= Нг= 1, а йх = 0; й2 = 1/Я. Входящие в (1)
дифференциальные операторы имеют ьнд
। л ( & । 1—v 2 \. л Eh
п~А\дх* 2 dxf ’ А~' 1—v2 ’
I л /•— V д2 1 da \ , D Го .. . d2 , tf2 ]
I Г» A A I I 1 . । 4~ V С? 2 I I V.A 0
L33_DAA + ^; LI3-L31——;
(->)
Уравнения технической теории получаются, если в операторах, кроме LM, опус-
тить члены, содержащие цилиндрическую жесткость О:
, vdi\
п“ t22
lm=daa+A; £12=£21=л1+у__^_. (5)
уА d . _ A d
Если пренебречь тангенциальными силами инерции и использовать техническую
теорию, то после введения функции усилий / уравнения принимают вид
£)ДДШ*+ *
R дх;
pAco2tt’* = 0;
-X ДЛХ*
Eh Л
I д2кГ*
R дх*
0.
При применении этой системы тангенциальные краевые условия должны быть вы-
ражены через функцию усилий %, Например, условия свободного опирания, анало-
гичные условиям Навье (условия Власова), можно записать следующим образом
(jq = const):
д2^)* . д2®* d2v* J2-/*
dx] dx^ dx] dx%
(7)
Краевые условия Навье. Условиям свободного опирания при Xj = 0 и Xj = /
удовлетворяют функции
* .. mi^xi т2х2
v* = V j cos cos •
* к
ц* = Уаяп S^-sin^; •
W* = W sin W. cos
I H.
(8)
Параметр mt равен числу полуволн формы колебаний в продольном направлении,
а т2 — числу волн в окружном направлении. Число узловых линий формы колебаний,
параллельных образующей, равно 2mz, а в окружном направлении mi — I (не счи-
тая опорных линий). Случай т.г = 0 соответствует осесимметричным формам коле-
баний цилиндрической оболочки, а т2 — 1 — балочной форме колебаний.
Подстановка (8) в (I) при учете (4) приводит к системе линейных однородных урав-
нений для Vi, V2 и IF, из условия существования ненулевого решения которой следует
где
det (C-pWE) = 0,
(9)
Qi = А (k\ + k*j; с22 = А % -f- klj + £ (2 (1 - v) k* + klJ;
см = ^ J Ci2 = oal = Я —£13 = £31 = ;
C23 = c32~ ~D ^2+ "7Г 1(2—.
К К l к
Уравнение (9) является кубическим относительно квадрата частоты ш2. Паре чисел
пц и mz соответствуют три значения частоты, каждому из которых отвечает своя фор-
ма колебаний, характеризующаяся отношением : V2 : W. Это отношение получает-
ся как ненулевое решение системы для VJt V2, W при равенстве со одной из найденных
частот. Итак, имеются три серии частот, отвечающих преимущественно нормальным
формам колебаний, преимущественно крутильным и преимущественно продольным
формам колебаний. При осесимметричных колебаниях крутильные колебания не сая
заны с продольно-поперечными колебаниями. Полное разделение форм колебаний
возможно в осесимметричном случае при v = 0.
Для случая преимущественно нормальных форм колебаний могут быть использо-
ваны уравнения (6). Решение в форме
• I\
r = Xsin^-cos«
I IX
приводит к следующей формуле для частоты:
где
L ,+ г) + (^ + ^)2 ]
Eh \'f.
DR'-)
(Ю)
(П)
(12)
Формула (II) позволяет исследовать влияние волновых чисел и k2 на величины
собственных частот преимущественно нормальных форм колебаний. Минимум по
достигается при Аг = (пц = 1), так что наи-
меньшей частоте соответствует форма с одной
полуволной в продольном направлении (без-
узловая форма в продольном направлении); ми-
нимум по имеет место вблизи 1% ~ (^Aq)’'1,
или с учетом обозначений (12) вблизи
/ R V/. / R \‘/4
и; •
Следовательно, чем меньше отношение дли-
ны оболочки к радиусу и отношение h!Rt тем
больше т2. На рис. I приведены зависимости
[Е 1— V»
fl—
нормальной формы колебаний опертой по тор-
цам круговой цилиндрической оболочки от вол-
Рис. 1. Зависимость безразмерной
частоты нормальной формы колеба-
ний опертой цилиндрической обо
лочки от волнового числа для раз-
ных чисел волн в окружном направ
лении
нового числа для разных чисел волн н окруж-
ном направлении п при R!h= 100. Минималь-
ной частоте оболочки может соответствовать
число т2 от 2 до 6 (и более).
Произвольные краевые условия. Задача о собственных колебаниях круговой ци
линдрической оболочки постоянной толщины допускает точное решение при любых
краевых условиях (однородных в окружном направлении). Подстановка
t/f = Vl(Xi)cos-£r?;
Va(ri)sin-^;
w* = W (xijcos^~?
К
приводит задачу к одномерной для системы с постоянными коэффициентами
з ,|/;-Ц^4'и1 + ^-±I 2 * * *’*2и;+^-1Г”',+рЛШги1=0;
\ Z 4 А ]
л v; - 1# w - ™ +pw,=o;
\ 4 А /
D (W,v-2WT + k*W) + 4 (vy; + ^Va-f-4- W ) -рАоЯР =0
А \ А /
(уравнения выписаны для технической теории при k2 = m2iR). Разделение происхо-
дит и в краевых условиях. Так, в случае заделки условия имеют вид
Ц7 = 1Г'=Е1 = Г2 = 0.
(15)
Общее решение (14) можно записать следующим образом:
я
1/₽(х1)=2 (0=1,2);
/ = 1
8
и7 (*i) = 2 а3/С/'\
/=1
где г, — корни характеристического уравнения, соответствующего системе (14):
&ог8 4- Ьх>8 4- &2Н 4- V2 -тЬ^,
(17)
a akj — постоянные являющиеся ненулевым решением системы, получаемой из (14)
при г = Гу. Удовлетворение краевых условий приводит к однородной системе алгеб-
раических уравнений относительно Су, равенство нулю определителя которой дает
уравнение частот. Процесс нахождения собственной частоты состоит в последователь-
ном подборе значения о, удовлетворяющего уравнению частот с предварительным
нахождением для каждого фиксированного со корней уравнения (17), определением
коэффициентов aw и вычислением левой части уравнения частот, являющейся опре-
Рис. 2. Зависимость низшей часто-
ты цилиндрической оболочки от
числа волн в окружном направле-
нии для различных сочетаний крае-
вых условий:
I — свободный край — свободный
край; 2 — заделка — заделка; 3 —
опирание — заделка; 4 — опирание —
опирание; 5 — заделка — свободный
край; 6 — опир инне—свободный край
Рис. 3. Зависимость низших частот
для защемленной цилиндрической обо-
лочки от 1/R
делителем восьмого порядка. При
этом часть корней и коэффициентов
akl оказываются комплексными; эт.>
необходимо учитывать при приведе-
нии вычислений. В [87] можно найти
обширные числовые данные определе-
ния частот при различных соотноше-
ниях Rih и R/1. В качестве примера
приведем зависимость низшей час-
тоты для различных видов краевых
условий от числа волн в окружном
направлении (рис. 2) и зависимости
безразмерных значений
d Г Е
частоты ш = -—
низшей
]-’Л
от
1/R при различных Rfh (рис. 3).
Полуэмпирические формулы, Раз-
личными авторами были предло-
жены полуэмпирические прибли-
женные формулы для вычисления
собственных частот преимущест-
венно изгибных колебаний круго-
вых цилиндрических оболочек с заделанными торцами. В качестве примера при-
ведем формулу
где
, |i?x* 17,/П у/.
' (В?+^)21 \p/J
(J8,
Ц1»(1 4-а) лВД
0,3 (\<zl/R^2,
0.38 (1
0,42 (2 ^l/R^ 10,
x0 = koR\
100</?/Л^200);
200^/?/A^500);
100^/?/й^800)
3. СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Дифференциальные уравнения. Пусть оболочка отнесена к географической системе
координат ti = а, х2 = Р (а — угол широты, р — угол долготы). Параметры Ламе
= R: Н2= since, а параметры кривизны = k.2= MR. Наиболее удачным
вариантом являются уравнения Власова
(Д+1-v) О-(у2Д-ф1 -у) (A-f-2) w—a*ph 2L. (6-2ш)=0;
(Т2Л-1-т’)0_у2(Д+1_м)(Д + 2)ш~-£12рА-^ =0; (19)
(3-1-2) ЧГ—
где функции 6 и '1г связаны с перемещениями формулами
e=^|^(01Sin“’+<|1|+2“,;
у 1 р . <201
v=2^|s(“‘s,n«>—э?];
и, кроме того, использованы обозначения
1 [ о / . £\_______1 di 1
sin а [ да Л1П а да] r sin а dfi2 ] ’
v2=—-— '
‘ 12Z?3 ’
£Л
(21)
(22)
Замечание. Хотя из уравнения (19) >ыделилось уравнение для '(Г, такого разделения
в граничных условиях в общем случае не происходит.
Первые два уравнения (19) при пренебрежении тангенциальными силами инерции
могут быть после исключения 0 сведены к уравнению
[ь?7>(а+1: +2> ш+₽л о+* -v> ^=°>
из которого после упрощения можно получить уравнение
D Eh д2
ДДД1г/+^Дщ4-рЛ^ДоУ = О
(23)
для колебаний с больший изменяемостью напряженно-деформированного состоя-
ния по поверхности оболочки Эю уравнение получается так же как результат
исключения функции усилий х из уравнений (х, = /?а; х2 == /?р)
d^w
D Ду-^рЛ -^s в °-
(24)
Собственные колебания замкнутой сферической оболочки. Краевые условия в дан-
ном случае не ставят. Выделение временного множителя в (19) приводит к сле-
дующей системе уравнений;
(Д-Ь 1 — v) 0* — (у2д 4-1 —V) (Д+ 2) ю* +аЗрЛш2 (0* -2и>*)=- 0;
(у2Д—1—V) 0Ж—у2(Д+1_у) (Д4-2) I
и уравнению
где
ДчР*4-ХЧг* = 0,
2а2и)2рй
к~~(Г^Г+2
(25)
(20)
Собственными функциями уравнения (26) являются поверхностные сферические
функции
V (a, W = r< V’ (а, ₽) -Pg> (cos а)™ $, (27)
где Р,г£ (х) — присоединенные полиномы Лежандра. Собственные значения К =
= т (т 4~ 1), а собственные частоты
1. . |П oli/i/G\Vi
г [т (/и4-!)—2J ,
(28)
где т принимает целые значения, начиная с т = 2. Каждой частоте соответствует
2m 4- 1 форм собственных колебаний. Например, для m = 2 виды узловых линий
фирм собственных колебаний показаны на рис. 4.
Для системы (25) решение имеет вид
“'•=С/т W. в*=с/!»р. (^ = 0, 1. 2,
/» = 0, 1, 2, , т).
(29)
Входящие в (29) функции с учетом выражения для кт удовлетворяют уравнениям
iri± «>=_„, („,+1,
Из требования равенства нулю определителя системы для Cj и С2 получаем урав-
нение частот
ап — о)2&п 012_о)2/,12
П-21 — Cu2&21 @22 — (JJ2^22
Здесь использованы обозначения
аи = тн (m-f- 1)— I 4-v; аи = (у2/я 4-1) — 1 vj [m (zn+ 1) — 2];
а21 = у2/п (m_pi)4- l-j-v; аг2 = у2 [m (т-ф 1) — 1 4-v] [m (m-f-1)- 2];
611 = (?22 = р/га2; b12 ——2р/га2; fc21 = 0
В результате решения уравнения (30) получают значения частоты, каждому из
которых соответствует семейство собственных форм колебаний. Среди возможных
Рис. 4 Формы колебаний сферической оболочки
собственных форм можно выделить чисто радиальные при т = 0, у2
дящие с частотой
_ 1 Г 2Е ТЛ
0, проис хо-
(31)
При больших т можно выделить две серии собственных форм колебаний: преиму-
щественно нормальных и преимущественно тангенциальных. Для преимущественно
изгибных (нормальных) форм колебаний, происходящих с более низкими частотами,
можно получить приближенное выражение, если воспользоваться уравнением (23)
со =
£ [/п2(ж+1)2
1 — v ]’/. / D у/.
Т2 1 [ph)
(32)
Замечание. Для форм колебаний (29) справедливы те же выводы, что и для (27), т. е.
каждой собственной частоте соответствует 2т1 форм собственных колебаний
Колебания пологих сферических сегментов. Исходными являются уравнения для
пологих оболочек. При граничных условиях, не зависящих от полярного угла, реше-
ние можно представить в виде
ц/ = ф (г) cos [п (0—&о)] cos (ш/—т|);
у=ф (г) cos ]л (0 — fy>)] cos (0)/ — Г|).
Уравнения (24) после исключения ф приводятся к виду
где
(33)
_ d2 J_ d _ л2
п dr2 г dr г2 ’
8 п/р. Болотина В. В., т. 1
Применение метода факторизации (см. гл. IX) приводит к общему решению (33)
вида
Ф=С,Н +СИ-Я 4-C3J„ (fir) + CJV„ ФО 4-С6/я фг) +СвКя фг). (34)
Тогда
+ Д |- C,J„ <₽,)+
+ C6fn (рг) 4- С9Кп фг)] 4- С,гя + С8<«. (35)
Если сферический сегмент полный, то из условия ограниченности решения при
г = 0 следует, что С2 = С4 = Св = Св = 0. Остальные четыре постоянные находят
из условий на краю г = г0. Условие существования ненулевого решения для по-
стоянных дает уравнение частот.
Пример. Пусть на краю реализуется скользящая заделку (осесимметричные колебания)
dw _ dq> Л
tti = - = //,, = и или ф = —-Т- = — - = 0 при г —Га.
дг dr dr v
Уравнение частот имеет ьид
Jo (X) Л(х) + Л (X) / о (X)-* = °- (36)
Ч’+Ш]
где
_ к f Eh \>А
х—ргв; *о— дд,
Тогда частоты
1 Г /х \‘|«/, ГЕ W,
^=я11 + (^77 I (-р- (37)
Здесь хт—корень уравнения (36).
4. КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Дифференциальные уравнения. Пусть коническая оболочка отнесена к ортого-
нальной системе ко"рдинат х и ф, где х отсчитывают от вершины конуса вдоль обра-
зующей, а ф— в окружном направлении. Тогда параметры Ламе = 1; Н.2 =
— х sma (a — угол полураствора конуса), кроме того, = 0, k2 — (х Iga)-1.
Уравнения колебаний имеют вид
1 д /к, ч , I dNia 1 „ ^д2^
з"(Упх)т—---------j-------Л22 + <71 =
х дх 1 х sin а дф х 44 1 д/а ’
1 д I дЛ'22 । 1 .. Q2 . , д«о2
х дх' х sin а дф х 1 х tg а дг2
1 д (Qjx) . 1 д(?2 . Л'22 . д2ш
х дх х sin а дф х tg a 1 р 1 dt2 ’
Qi = - А (Мих) 4 — -- '4^ - - М22;
х дх 1 ' х sin а дф х
_ 1 д ., 1 дЛ4и , 1
Q2 —— 5— (Л142х) -{--------~ 4------Ию
х дх х sm а дф х
а усилия и моменты связаны с деформациями и изменениями кривизн выражениями
(134) гл. VIII. В свою очередь, деформации и изменения кривизн выражаются через
перемещения:
— . 1 dy2 , vi w
еи ~ дх ' е*г~ х sin а дх х х tg a ’
d2w 1 д /dw \ 1 ди>
дх2 ’ х28ш2адф.дф / х дх ’
1 / д2ш I dw ди2 \
х sm а \дх дф л дф дх у
Для изучения форм колебаний с большим показателем изменяемости в окружном
направлении могут быть использованы следующие уравнения.
D ЛДщ* -|----'— — р/гю2(с* = 0;
х tg а дх2
1 . . . 1 О2Ш*
Eh ~ х tga ~дх^ ’ |
. __L_
\ дх2 х дх х- sin2 а дц" / J
(39)
(индекс * означает аиттитуднэг значение величины).
Функция усилий в (39) введена по формулам
V 1 । 1 V
11 x2 sin2 а дф2 х дх' 23 дх2 *
12 х sin а дх dtp х dtp >
Исследование собственных колебаний конических оболочек на основе уравнений
с большим показателем изменяемости. Применение общих уравнений затруднительно
из-за их громоздкости и переменности коэффициентов. Известны решения для кони-
ческих оболочек на основе общих уравнений, полученные методом Бубнова—Галер-
кина [87]. Для исследования преимущественно нзгибных форм колебаний могут быть
использованы уравнения (39) с применением метода Бубнова—Галеркина Функции
прогиба w и усилий у в случае опертой по контуру оболочки можно аппроксимировать
при помощи рядов
со
K) « = COSH(f Ат sin ут Х1). ;
= 1
ОО
X* = cosn<p SOTsinym
т — I
Здесь Xi — расстояние до торца меньшего радиуса от вершины конуса: / — длина
образующей.
Замечание I. Функции (40) удовлетворяют только кинематическим граничным условиям
Замечание 2. Учет тангенциальных сил инерции приводит к появлению двух серий частот
преимущественно тангенциальных колебаний и дает снижение частоты, соответствующей пре-
имущественно изгнбным колебаниям (до 15 — 20%) Большее влияние оказывает учет инерцион-
ных членов окружном направлении
Применение энергетического метода. Выражения для потенциальной энергии
деформации и кинетической энергии в случае конических оболочек имеют вид
(41)
Xi -f- I
\ {Л[(ви + в22)«-2(1-^(епе22-4,)] +
0 £»
4-D КхцН-Хзз)2 —2 (I — V) (хпх2? — х»е)][ X sina dx;
0 £t
где e/k и х/Л определяют по формулам (38).
8*
228
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Для опертой по торцам оболочки с краевыми условиями w = v2 — Л/п = Л1}1 =
= 0 перемещения могут быть аппроксимированы выражениями
. ... . . .. /ПЛ (X—Xi) Cj = Aj (0 (х sin а)2 cos - . ... , . . тп (х—Х,1 (*) (х sm а)2 sir. - cos «ф; sin nq; (42)
, ... . . . тл(х —хх) а? == Л3 (7) (х sin а)2 sin — —. — COS Пф.
Рассматривая 4, (/) как обобщенные координаты и составляя }г>авнения Лагранжа
второго рода, получим по стандартной схеме t*o<o® + Ь1ш* 4- b2to2 ьэ = 0.
Коэффициенты Ьк имеют довольно сложный вид и здесь не приводятся (см. [87]).
и -а • , Гр О — vj* ]'/.
Некоторые результаты для наименьшей бе.пазмернои частоты ю, =ш/ - —
для различных а и hlR0 (/?0 = I sin а) даны в табл. I.
1. Наименьшая частота колебаний конической оболочки
ае ft/J?., tzr ft/Ло
0,001 0.005 0.010 0,030 0,001 0,005 0.010 0,030
5 0,0448 (6) 0,0967 (3) 0.141 (2) 60 0,172 (9) 0,350 (6) 0,479 (5i 0,776 (3)
10 0,*>b5G (71 u.138 (4) 0 193 (3) 75 0 2f*7 (71 0.400 (4) 0 548 (4) 0.877 (3)
15 0,0811 (8) u.]69 <51 0 236 (4) 0,419 (2) 80 0,229 (6) 0 432 (4) 0,553 <3) 0.891 (2)
30 0.119 <9j 0,244 (6) 0,337 (5) 0,562 (3) 85 0,283 (3) 0,488 (3) 0,643 (2) 0.963 (2)
45 0.147 (10) 0,299 (6) 0 4l*8 (5) 0,693 (3)
Примечание. В скобках указано
числ^ волн в окружном
направлении
5. ПОЛОГИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПАНЕЛИ
Дифференциальные уравнения. Для пологих оболочек, т. е. оболочек, у которых
стрела подъема не превышает 1/ь характерного размера, можно принять допущение,
что метрика срединной поверхности совпадает с евклидовой. Использование гипотез
для пологих оболочек (см. гл. УШ) приводит к уравнениям для форм колебании
д2^*
1
Eh
— р/(Ш3ш* = 0;
' dxi)
0x3 ’
(43)
д* д?
где Д= x~s 4- — • X] и *2—кривизны срединной поверхности, которые для пологих
ОХ
оболочек можно приближенно считать постоянными. На каждом контуре должны
быть сформулированы четыре условия.
Краевые условия Навье. Эти условия будут удовлетворены, если
* .у . rniixt . пюсг
mnsm~! sin -j
01 °2 (44)
v*-X <in тПХ1 sin "ЯХ2
X -Am/lsin sin .
Требование существования ненулевого решения для U7mn и Хтп приводит к уравне-
нию частот, решение которого можно записать в виде]
тг^$^7 ’ Р/₽Ч‘Л. («)
где k\ = mstlai, k2 = пя/а2. Если iq = х2 = 0, то приходим к формуле частот для
пластины (4) гл. XII. Если х-, = 0 (или х2 = 0), получаем формулу для определе-
ния частот цилиндрической панели. При Xi~ х2= \'R получаем формулу для сфе-
рической панели.
Другие виды краевых условий. В том случае, если на двух противоположных кром-
ках заданы условия типа свободного .тирания (пусть это кромки хг = const), то под-
становка
ву* = 1Гп (хх) sin —
X* = хп (*i) Sin
а2
в (43) сводит задачу к одномерной;
О («7iv - ») +(.*& - *ЛХ„) - »=0:
±. (X1V _ 2*Х + 4Х») - (^'» - VX) - 0
(47)
Эта задача может быть решена по схеме, описанной в п. 2 данной главы. Для других
случаев краевых условий необходимо использовать приближенные или численные
методы. При решении задачи методом Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина и др.
в качестве аппроксимирующих могут быть использованы балочные функции (см.
гл. X).
6. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ
СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
Построение решений типа краевого эффекта. Пусть оболочка является пологой
и занимает прямоугольную (i обобщенном смысле) область, ограниченную линиями
= const и х2 = const. Исходными являются уравнения (43). Порождающее решение,
справедливое во внутренней области, будет следующим [10].
Sin к> sin *» 1 (48)
х * = sin kt (Xi — £i) sin k2 (x2 — у, J
где fei и — волновые числа; и - фазовые постоянные. Частота со связана с вол-
новыми числами соотношением (45).
Решение вблизи края Xi = 0 имеет г-ид
и.* = W (Х1) sin k2 (х2—|2); |
X*= X (xj) sin k2(x2 — £2), I
Функции IF и X удовлетворяют уравнениям (47). Характеристическое уравнение имеет
корни г = ± iklf соответствующие порождающему решению. Остальные корни на-
ходят из уравнения
5б_(^ + 4г|) l—х
x[z;+fe>-~к) ]-». (50)
где безразмерные параметры
(Xi и иа предполагаются конечными и кг =/= 0).
Замечание. Если 'Исследуется краевой эффект вблизи неасимптотического края у оболочки
нулевой гауссовой кривизны (Xi = 0) (под гауссовой кривизной понимают произведение глав-
ных кривизн XiX»), to уравнение (50) непригодно, так как к-»со. В этом случае вместо (51)
вводят обозначения
$ *0 :
-----«о —
Йо
V.
(52)
и уравнение (50) примет вид
Г 2г» + га И Г г» |
«* - (2? + 4 г») 22? + 52» + —j s’ - гЦг} + ®
(53)
Динамический краевой эффект будет невырожденным, если уравнение (50) отно-
сительно sa имеет только действительные положительные или комплексные корни
(не имеет отрицательных дейст-
вительных или нулевых корней).
Достаточное условие невырож-
дения динамического краевого
эффекта можно записать в виде
z? + 2zf-
г? (1 — х2) + 2zj (1 — х)
(г’+г|)2 ‘
(54)
Если х 5s 1, то это условие вы-
полняется при всех Zj и zB. Сле-
довательно, у края Xi = const
при х2 5s х, динамический крае-
вой эффект всегда существует.
В оболочках нулевой гауссовой
кривизны (XjX2 = 0) динамичес-
кий краевой эффект всегда не-
вырожден вблизи неасимптоти-
ческого (кругового) края. При
х < 1 краевой эффект вырож-
дается при малых волновых чис-
лах Zj и za. Границы областей
Рис. 5. Области вырождения динамического краевого вырождения определяются не-
вффекта в оболочках равенством (54). На рис. 5 гус-
той штриховкой показаны обла
сти вырождения динамического краевого эффекта в зависимости от изменения
параметра х (87].
Типы динамических краевых эффектов. Если динамический краевой эффект не вы-
рождается, то возможны следующие случаи:
все корни уравнения (50) действительные положительные; тогда решение вблизи
края Xi — 0 имеет вид
' W+4)!
J К5ЁК| «;+«!
3 А
($/ —z|)2 _ s к
sinzA(x-k)4- 2 С/е ‘ЛМХ
/ = J J
X Sin koz2 (х2 —
Х(хх) =
3
sin Ziko (*i—&i) + V C/e~ '/Vi
/-1
sin zBk0(x2—fc2);
(55)
2
один корень действительный положительный и два комплексных, тогда решение
будет иметь вид
F (х,) = —!= I Т sin г^, Л-Ь)+(Ciar+ С^,) Г >/Л х
V DEh * । z2
X COS Si + (C2«r — ci«i) e~ V*0*1 sin «/Ml + C3 -“7-^T e~ '**'** I X
X Sin z2k0(x2 — g2);
X (xx) = [sin Zjko (xj—IiJ + Cjg ^«^coss/ftoXi-f-C^ sin s,Mi +
+ C3e~SaM1] sin z2ku (x8—Ы,
a” ia‘ x(s* —sJJ—z*— 2insrs.
(56)
Замечание. Два кратных действительных положительных корня появляются только для
сферической оболочки В этом случае кратный корень s2 = и решение у края л = 0 может
быть записано в виде
W(x) = • JpJ + ^sinzA^-'i)
k v V DEh I
+ (z; + zj;»+i • (5n
X (Xt) =fsin Zjfto (X, —51)4- Cie~/'iJr«4- Cte~ kt*i + хЛ^е-sin zft0 (xf—5»), ।
где
r, = U?4-2*I)V‘.
Первый случай и случай, приведенный в замечании, соответствуют неосциллирую-
тему краевому эффекту, а второй случай соответствует осциллирующему динамичес-
кому краевому эффекту. Второй случай реализуется при выполнении условия р34-
+ д2 > 0, где
р = —-5- |z4-f-3 sin2 0 [2х(1 — х) + (1 — х)2 sin2 0]};
У
q = — {ze-|-9z2 sin2 6 [х (1 —х) —(i — х)2 sin2 6]}.
(58)
Здесь введены полярные координаты
2i = z cos 0; z2=zsin0.
Замечание. Если Xi = (J и краевой эффект не вырождается, то услигие, при коте рол» он
будет осциллирующим, можно записать в виде
г< ^-77— [(1 4-4 sin!0)’/« — 1+ Ю sln! 04- 2 sin‘ 0]. (59)
Пример применения асимптотического метода. Дальнейшая процедура приме
нения асимптотического метода [посте построения решений типа (55), (56), (57)} будет
такой же, как описано выше, т. е. составляют уравнения стыковки типа (27) гл. XII,
из которых находят волновые числа fa и k2 (или Zj и г^. Частоты определяют затем
по формуле (45), В качестве примера приведем уравнения стыковки для сферической
панели. Частота в этом случае связана с волновыми числами соотношением
“=[«+ч)!+ла'/‘(Д),/'. (во)
Решение вблизи края Xi = 0 определяют согласно (57). Пусть на краю оболочки
= 0 выполняются условия (скользящая ь тангенциальном'направлении заделка)
W1 (0) = 1Г (0) = Х(0) = /Х'(0) = 0. (61)
232
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
Удовлетворение условиям (61) приводит к
стоянной
выражению для тангенса фазовой по-
где
«и (Л1, А3) = tg
1 ~ gj (*i &г)
(62)
r1 = ^ + 2ki)'\ gt =
(As+rJ КАт + М)2 + ЭД‘
(63)
Г1 2-^gi ^, Аг)
4fc2A*
Если на всех краях оболочки выполняются условия, аналогичные (61), то уравне-
ния стыковки можно записать следующим образом:
A1a1 = 2arctg —
1 Si
I Аа
1-Т' gi
+ три;
A2a2 = 2arctg
А2
1-&
т? । Ai
1—T~g2
Г2
(64)
-]- т2л
Здесь rtij и т2 — целые положительные числа, г2 и g2 находят по формулам (63), если
|- них произвести круговую замену индексов. Система (64) может быть решена методом
последовательных приближений. Более подробные сведения о применении асимпто-
ческого метода можно найти в работах [10, 87].
7. ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Основные формулы. Для пологой оболочки, прямоугольной в плане, из формулы
(39) гл. IX следует 113]
01
N (cu) = vo(o2
(65)
н
Здесь введены полярные координаты = k cos 6; k2 = k sin б и использовано обо-
значение x = Хг/xj = ©j/©!, где характерные частоты
Е \‘/«
Р /
®2 — Х2
(66)
Интервал б^^ 0 sS 02 определяется неотрицательностью подкоренного выражения
под интегралом (65). Параметр v0 совпадает с плотностью частот для пластин
V0 =
Замечание. Координаты и х2 можни занумеровать так, чтобы х^ 1
Оценка для плотности частот получается дифференцированием (65) по о:
v(o)=v0-
0|
m* Л— l/i
—| (х cos2 6 4- sin2 б)21 ।
М.
(67)
Интегралы, входящие в (67), могут быть выражены через эллиптические интегралы
или вычислены в конечном виде [13]. Для некоторых типов оболочек выражения для
асимптотической плотности распределения V (со) = v (w)/v0 приведены в табл. 2.
2. Асимптотические распределения собственных частот тонких упругих оболочек
Упругая система Область изменения координат Асимптотика Асимптотическая плотность распределения
волновых чисел собственных частот
Пологая сферическая панель V(©)= ' 0, ш<(0^ со / ’ м/ ’ “ > 71
Пологая кру- говая цилин- дрическая панель lO^Xi<ai; af 10 — [р>^+р«.и%Л Г ’к (а*), «<«/? v<“)= 2 / со V/« —- —; 1 К (a2), со > too ioQn^<04 MR ‘ к
Замкнутая круговая цилиндриче- ская оболочка О^х, <2л/? . Blj-Ч —гг ь . -’тг R V. v (<o) = 2v* (со)—(со) । 0, со < со^ Х’ (со) = 1 2со S 1 г—, со > со о 1 а2(% (<*>’-<“/?) 7‘
Примечания
4л ; D */.
ota3 ph '
w-f-cop
^R '
К(а2)—полный эл-
липтический интеграл
1-го рода;
(ш> — плотность ча-
стот цилиндрической
оболочки при
a2~nR. v$(o))— плот-
ность частот осесим-
метричных форм
ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Точки сгущении частот собственных колебании оболочек. Анализ результатов инте-
грирования (67) позволяет выявить интересные свойства плотности частот собственных
колебаний тонких упругих оболочек [13]. У зависимостей плотности частогсушествуют
полюса, где v (со) обращается в бесконечность. Эти точки соответствуют точкам сгу-
щения (см. гл. IX).
У оболочек положительной гауссовой кривизны (xix2 > 0) имеется одна точка
сгущения при <в = <о2. В интервале 0 < со < со1 плотность частот равна нулю и при
а) > ю2 стремится к v0 — плотности частот для пластин. Для оболочек нулевой гаус-
совой кривизны (x,x? = 0) характер зависимостей v (ш) будет аналогичным, нов)] -> 0
Частоты собственных колебаний оболочек отрицательной гауссовой кривизны (ххх2 <
<2 0) имею! две точки сгущения при о = в^ и в> = ш2; при увеличении частоты плот-
ность собственных частот для оболочек отрицательной гауссовой кривизны стремится
к плотности частот для пластин.
Рассмотренные точки сгущения принадлежат асимптотическим оценкам распре-
деления собственных частот. Эмпирические плотности частот будут иметь соответствую-
щие максимумы, если плотность v0 достаточно высока.
Глава XIV
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
НЕДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВНЕШНИХ СИЛ
Вынужденные колебания упругой недиссипативной системы описываются урав
нением
cr-u
C“ + A—=f(Z). (1)
Если внешние силы изменяются со временем по гармоническому закону с часто-
той в) и амплитудой lfl (х), т.е. f(0 = f0 (х) cos <о(, то при установившихся вынужден-
ных колебаниях в системе устанавливается периодический режим с той же частотой
и (х, 0 = ue (х)cos (2)
После подстановки (2) в (1) исследование сводится к неоднородной краевой задаче
для уравнения
(C-w2A)ue = fe (3)
при краевых условиях, получающихся из формулы (1) в гл. X подстановкой в них (2)
и сокращением на временной множитель cos (at.
Предполагается, что система имеет дискретный спектр собственных колебаний.
Если частота внешних сил ш не равна ни одной из собственных частот системы со*,
то неоднородное уравнение (3) имеет единственное решение
и0 = (С—ш2А)~1 f0. (4>
При совпадении частоты внешних сил с одной из собственных частот to = шА
уравнение (3) решения не имеет. Исключение составляет случай, когда правая часть
уравнения (3) ортогональна ко всем собственным элементам однородного уравнения,
отвечающим частоте
(fo, фла) = 0 (а = 1, 2, .... т). (5)
Здесь <р*,а — нетривиальные решения однородного уравнения
(С-©|А) <р* = 0 (6)
(учитывается, что собственные частоты могут быть кратными). При выполнении (5)
уравнение (3) имеет бесчисленное множество решений, которые представляют собой
произвольную линейную комбинацию собственных элементов, соответствующих
частоте (0^.
Теория установившихся вынужденных колебаний упругих систем с вполне не-
прерывными операторами аналогична теории вынужденных колебаний линейных
систем с конечным числом степеней свободы. Если С"]А не является вполне непре-
рывным оператором (это имеет место, например, для неограниченных упругих си-
стем), то указанная аналогия может частично или полностью утрачиваться.
2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Продольные колебания. Пусть на стержень, заделанный на одном конце и сво-
бодный на другом, действует периодически изменяющаяся ьо времени продольная
сила Р cos на свободном конце. Использование технической теории приводит
задачу к решению уравнения
р_Л >7)
дх* Е dt* ' '
при краевых условиях
u(0) = 0; EF I = Pens со/. (8)
Ijc-Z
Представление решения в виде (2) сводит исследование к неоднородной краевой
задаче
,9)
со \ \ г / /
при
l/o(O) = O; (10)
Замечание. Данная задача служит примером неоднородной крзевий задачи, обусловленной
неоднородностью краевых условий.
Решение краевой задачи (9) при краевых условиях (J0) можно записать в виде
(х)
. (ОХ
_ sin-----
С0Р______Ср
(О (О/ ’
COS------
(U)
а общее решение исходной задачи будет следующим:
u(x, f)
шх
,, яп------
СОР с0
(О
ш/
cos-----
св
COS (Ot
(12)
Решение (11) является реализацией
шествует для всех ш, кроме
(4) для рассматриваемого случая, оно су-
(0 = (0д
26 1 сол
(13)
2
I ’
где сой — собственные частоты колебаний, являющиеся корнями уравнения
cos — = 0. (14)
со
Замечание. Аналогичное решение имеет задача об установившихся вынужденных колеС.
ниях консольного стержня при действии на свободном конце крутящего момента .VI cos си/.
Изгибные установившиеся колебания стержня Пусть стержень постоянного
поперечного сечения, опертый по концам, находится под действием равномерно
распределенной нагрузки интенсивностью </0 cos wt Уравнение колебаний и крае-
вые условия имеют вид
EJ ---?оcos©/;
п I .
-° "P“ *=±y'
(15)
(16)
(начало координат выбрано в середине пролета). Подстановка в (15) решения типа
(2) w = К'о (х) cos 61 приводит к уравнению
где введено обозначение
pFtt,12
~ТТ
(17)
(18)
х =
Решение уравнения (17) можно представить в виде суммы общего решения соот-
ветствующего однородного уравнения, содержащего четыре постоянные, и частного
решения (70 = const)
tt’o (х) = С1 sin xx-f-C2 cos xx-f-C3 sh xx-{-C4 ch xx—•
(19)
Выполнение краевых условий (16) приводит к выражению
w°w Jej
cos хх
ch хх
о х/ _ , х/
2 cos 2 ch у
—1\,
(20)
которое является реализацией соотношения (4) для рассматриваемой задачи. Как
известно, для стержня с опертыми концами собственные частоты
kW f EJ \‘/«
P ' pF ) '
(21)
так что нетрудно заметить, что при <о = со* выражение (20) не определено.
Решения, аналогичные (20), можно получить также для некоторых других видов
нагрузок и других типов граничных условий.
3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ
Условия применения метода. Метод применим, если оператор С-1 вполне непре
рывный, а оператор А положительно определенный. В этом случае элементы, прн
надлежащие области определения оператора С, могут быть представлены в виде
разложения по собственным элементам оператора С-1 А, т. е. по нетривиальным
решениям уравнения (6).
Применительно к амплитудам установившихся вынужденных колебаний и0 (х),
удовлетворяющих уравнению (3), разложение имеет вид
СО
Мх)= У ил<рй(х).
(22)
Здесь <рI, (х) — собственные формы колебаний; — коэффициенты, подлежащие
определению. Для определения коэффициентов uk может быть использован метод
Бубнова—Галеркина. Подстановка (22) в уравнение (3; и умножение последнего
скалярно на элементы ф, (х) (j = 1, 2, ...) приводит к выражениям
У (C<jpfr, (О2 У (Aqft, <F/)uft=(f0. ф/) (/=1, 2, ...). (23)
| ft=i
Использование условий ортогональности форм
собственных колебаний
(C<Ffr. ф/) = 0; (Афй. ф/)==0
и формулы Релея (см. гл. IX) дает
Здесь через
(fo, 4 k)
(Аф*, фй)
(24)
(25)
(26)
обозначены амплитудные значения обобщенных сил.
=т^ сой находят коэффициенты uk. Окончательно для
нужденных колебаний имеем
Из соотношений (25) при со
амплитуд установившихся вы-
Uo(*)=2
* = 1
Fk4k (х)
(D|-(02 •
(27)
(ш|-ы2) uk = Fk.
(j^k)
4. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ
ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Многие из приближенных методов (см. гл. X) могут быть распространены на
задачи о вынужденных колебаниях. Так, при применении вариационного метода
Бубнова—Галеркина приближенное решение уравнения (3) ищется в виде ряда
“о (х) = У ийфА (к), (28)
k= 1
где — некоторые коэффициенты; ф] (х), ф2 (х)> — совокупность элементов из
области определении оператора С (например, функции, удовлетворяющие как кине-
матическим, так и динамическим граничным условиям). Подстановка ряда (28)
в уравнение (3) и требование ортогональности результата подстановки к каждому
элементу ф] (х), ф2 (х) приводят к системе п линейных алгебраических уравнений
У (Сфл, ф/)ий—со2 У (Афй, ф;) uk = (f0, ф/) (7=1, 2, .... л). (29)
а= 1 А= 1
Использование ранее введенных обозначений позволяет записать уравнения (29)
в виде
V (сд—co*a/*)uA==(fo. ф/) (/=1,2.....л). (30)
k -1
Система уравнений (30) разрешима, когда частота со не совпадает ни с одним из
корней уравнения det [сд. — ш2а/й) = 0, которое служит для определения собст-
венных частот колебаний по методу Бубнова—Галеркина, Если базисные элементы
в (28) совпадают с формами собственных колебаний системы, т. е. ф* = фй, мат-
рицы С и А становятся диагональными. Для случая, когда система фъ ф2, ... —пол-
ная, решение системы (30) переходит в точное решение (27).
238
вынужденные колебания упругих систем
5. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Неустановившиеся вынужденные колебания систем без демпфирования могут
быть исследованы методом собственных функций, непосредственна примененным
к уравнению (1). При этом кроме краевых условий должны быть сформулированы
начальные условия
u|z_e=v1(x), I = v2(x). (31)
ос И-0
При применении метода собственных функций непосредственно к уравнению (1)
решение мижни записать в виде
00
и(х. 0= 2 (Оф* (»)» (32)
k= 1
где, в отличие от (22), ик (f) — функции времени (обобщенные координаты). Метод
Бубнова—Галеркина приводит к уравнениям
п оо
<аф*. Ф/)-^- + (Сф». Ф/)“*=С. ф7) 0 = 1. 2....). (33)
fe=l k 1
которые при использовании условия ортогональности и формулы Релея имеют вид
= (^ = 1. 2. (34)
где
Q tfuhjp*)_ 35
(Аф*, ф*)
— обобщенные силы.
Решение уравнения (34) должно удовлетворять начальным условиям при t = О
«»(<>)=?»; -^|м=л»- (36)
Постоянные gk и hh определяют из соотношений
(Аф*. Vt) . (Аф*, v2)
ё*’ (Аф*, ф*) ’ k (Аф*, ф*) • ' J
Общее решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, записывают
с использованием интеграла Дюамеля в виде
t
3
ОО
U (X, 0=2
/>-= 1
gk cos со*/-Р ~ sin <d*Z +-A-
(0* co*
sin co* (t— г) Q* (t) dx
Ф* (X).
(38)
6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Установившиеся колебания в системах с «внешним» трением. Уравнение вынуж-
денных колебаний системы при наличии «внешнего» трейия (В = 2еА) имеет вид
с“ + А2да+2сА-дГ =,(')- (39)
При установившихся вынужденных колебаниях под действием нагрузки I =
= Гц (х) cos (Pi наличие трения в системе приводит к сдвигу фаз между нагрузкой
I (х, 0 и перемещением u (х, t). В этом случае решение для u (х, t) следует предста-
вить в виде
u = vr (х) cos ю/ — V( (х) sin и/, (40)
где v, (х) и V/ (х) — некоторые вектор-функпин координат. Если u (х, f) представ-
ляет собой скалярное поле и (х, /). то
u = v (х) cos (х)]. (41)
Здесь v (х) — амплитуда и у (х) — начальная фаза колебаний, которые соответ-
ственно равны
и= (в*» и у — arctg —. (42)
vr
Функции vr(x) и v,- (х) определяют из системы уравнений
(С — ш4А) vr — 2е<1)Ау( = f0: (
(С — ш’А) V/ + 2?<и Av, = 0. ।
(43)
Подстановка (40) в краевые условия после приравнивания коэффициентов при
cos юг и sin mt дает условия для определения vz и v,.-
Используя метод комплексных амплитуд (см. гл. VI) при рассмотрении внеш-
ней нагрузки в виде 1 = , где f* — комплексная амплитуда нагрузки, и раз-
ложение типа (22) для комплексной амплитуды перемещения v (u = vei(£>l)
ОО
V (X) = £ у m (х). (44)
А= 1
получим для Vh уравнения
(45)
Здесь ю| — собственное значение уравнения (б); F k — амплитуды обобщенных
сил, определяемые согласно (26) с заменой f0 на f#.
После решения уравнения (45) выражение для искомого перемещения и (х, Г)
записывается в виде
ОО
u(x, /) = Re V —"**? У-------(46)
м —co2-)-2teftw '
Установившиеся вынужденные колебания в вязкоупругих системах. При приме-
нении метода комплексных амплитуд (см. гл. VI) исходным является уравнение
d2u
(47)
где С —линейный вязкоупругий оператор. Подстановка u = приводит к урав-
нению
(Cr-j-tC/ —w2A) V-f„ (48)
связывающему комплексные амплитуды V (х) и f+ (х) перемещения и нагрузки. При
этом С, + гС, — образ оператора С в пространстве Фурье преобразований. Если С
содержит в качестве множителя единственный вязкоупругий оператор (например,
аналог модуля упругости), то имеет место соотношение С/ — С,х (ю), где х — тан-
генс потерь, зависящий только от частоты. Уравнение (48) преобразуется в этом
случае к виду
[Сг(1+«х)-ь)2А] V = f#. (49)
Далее стандартными методами решают краевую задачу для уравнения (49) при
соответствующих краевых условиях. Для определения установившихся вынужден-
ных колебаний используют действительную часть найденного решения.
Применение метода разложения по собственным формам дает
со
vW=2
k-- 1
(X)
®1, гО-Нх)- щ2‘
(50)
В (50) через <о| г обозначена собственная частота системы с оператором Сг.
Неустановившиеся вынужденные колебания в диссипативных системах. Коле-
бания системы описываются уравнением
d2u <Эн
Си + А ^2 + В = f (0 • (51)
где В — линейный диссипативный оператор. Пусть оператор В такой, что =
= Тогда относительно обобщенных координат имеем следующую систему урав-
нений:
+ (*=>• 2. (52)
Здесь обобщенные силы определяют по формуле (35). Уравнения (52) рассматри-
вают при начальных условиях (36), где£# и /ij. связаны с V] (х) и v2 (х) соотношениями
(37). Общее решение задачи может быть записано в форме
ОО /
и(х, 0= е Cft(/ 11 gk C0SGJ*e/-f- b + ^kgi s{n(B
- j }
t %
+ J_ \ e- ek«- T) sin [CDke (/ - t)] Qk (T) dr (X), (53)
J I
0 J
где
Глава XV
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Понятие о распределенных неконсервативных системах. В этой главе рассматри-
ваются свободные колебания линейных распределенных систем, которые описы-
ваются уравнениями
Au-р Bit 4* Си = 0, (1)
где А, 15 и С — линейные операторы, действующие на функции координат х. Точ-
ками обозначено частное дифференцирование по t. В отличие от операторов консер-
вативных систем операторы в уравнениях (I), зообще говоря, не будут симметрич-
ными.
Распределенные диссипативные системы. Если неконсервативный характер си-
стемы определяется только ее диссипативными свойствами, то систему называют
диссипативной. Операторы А п С при этом обладают свойствами инерционного и
квазиупругого операторов. Оператор В описывает рассеяние энергии в системе.
Некоторые конкретные реализации диссипативных операторов были рассмотрены
в гл. VIII.
Метод нормальных координат для распределенных неконсераативных систем.
Решение уравнения (1) с заданными начальными условиями естественно искать
в виде
U(x, t) = 2 Як (0 фй (X). (2)
где (fb (х) — собственные формы соответствующей консервативной системы. Относи-
тельнп обобщенных координат qk (t) получаем систему обыкновенных дифференциаль-
ных (в случае наследственного трения — интегро-дифференциальных) уравнений.
В общем случае эга система будет бесконечной. Для прикладных расчетов беско-
нечную систему заменяют конечной, что соответствует учету конечного числа членов
в разложении (2).
Разделение обобщенных координат для диссипативных систем. Пусть диссипатив
н ли оператор В и собственные формы <pfr(x) удовлетворяют условию (Bqy, ф&) =
— ° (/ ¥= *)
Тогда обобщенные координаты в уравнениях разделяются:
^ + 2еЛ + ®^* = ° 2, •••)
(3)
Для модели внешнего трения парциальные коэффициенты диссипации =
= е (k = 1, 2, ...); для модели внутреннего трения = 1, 2, ...), т. е.
парциальные коэффициенты демпфирования растут пропорционально квадратам
собственных частот Если В — наследственный оператор, то вместо уравнений (3)
получаем
+ Ц
t
qk+ \ R (*, т) qk (т) dT
— ОО
= 0
(* = 1, 2, ...).
(4)
2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Постановка задачи об устойчивости равновесия распределенных систем. Дисси-
пативные системы образуют частный класс неконсервативных систем. Для этих
систем каждое (или почти каждое) движение сопровождается уменьшением потной
механической энергии. Ниже рассмотрим такие системы с не зависящими от вре-
мени параметрами, в которых возможно возрастание полной механической энергии
за счет ее притока извне. Равновесие таких систем u (х, f) = 0 при определенных
значениях параметров может стать неустойчивым. В связи с этим возникает задача
об отыскании условий устойчивости распределенных неконсервативных систем.
Строгое определение устойчивости распределенных систем строится путем соот-
ветствующего обобщения определения устойчивости по Ляпунову. При этом сущест-
венное значение имеет ^ыбор метрики, при помощи которой оценивается близость
двух движений распределенной системы. Так, близость скалярной функции и (х,0
(где xeS) к решению и (х, 0 = 0 может оцениваться по нормам типа
II и Ц = sup 1 и (X, 0 || и II =1 J и2 (х, 0 dxT *,
и т. д. В теории устойчивости упругих систем широко применяют нормы (метрики)
энергетического типа: так, за меру близости двух состояний системы принимается
близость их полной механической энергии.
Области устойчивости и критические параметры. Пусть операторы А, В и С в урав-
нении (1) зависят от числовых параметрова, Р, у, ... . Выделим в пространстве этих
параметров область значений, при которых решение и (х, 0 = 0 уравнения (1) устой-
чиво. Эта область называется областью устойчивости. Остальная часть пространства
принадлежит области неустойчивости. Поверхность, отделяющую область устой-
чивости, называют критической, а соответствующие значения параметрон а, р, у,
... — критическими параметрами.
Типы неустойчивости распределенных систем. В зависимости от поведения си-
стемы непосредственно после выхода ее параметров из области устойчивости разли-
чают два типа неустойчивости. Если все решения и (х, /) имеют вблизи критической
поверхности монотонный характер, то говорят о потере устойчивости по типу ди-
вергенции или о монотонной неустойчивости. Если среди решений имеются колеба-
тельные, то говорят о потере устойчивости типа флаттера или о колебательной
неустойчивости. Поэтому критическую поверхность разбивают на части, одни из
которых соответствуют переходу от устойчивого равновесия к дивергенции, другие—
переходу от устойчивого равновесия к флаттеру.
Рис. I. Типы неустойчивости распределен
иых систем:
а — дивергенция: б — флаттер; в — переход
от квазиустойчивости к неустойчивости
Рис. 2. Упругие системы, нагруженные не-
консервативными позиционными силами:
а — задача
Николаи; б — задача Реута;
а — задача Бека
Связь с поведением характеристических показателей на комплексной плоскости.
Представим решение уравнения (1) в виде
и(х, = ф (х) е*7, (5)
где ф (х) — функция координат; X — характеристический показатель. Для опре-
деления ф (х) и X имеем обобщенную задачу о собственных значениях
(Х2А-НВ+С)ф = 0. (6)
Все дальнейшие выводы относятся также к более общему классу задач
О(Мф = 0, (7)
где оператор D является достаточно произвольной функцией показателя Л.
Распределенные системы, как правило, имеют бесконечное множество харак-
теристических показателей X. При изменении параметрова, Р, у, ... показатели пере-
мещаются по комплексной плоскости. В области устойчивости все ReX < 0. На
той части критической поверхности, которая соответствует переходу к дивергенции,
хотя бы один из показателей 1 обращается в нуль (рис. I, а). На части критической
поверхности, которая соответствует переходу к флаттеру, хотя бы пара комплексно-
сопряженных характеристических показателей попадает на мнимую ось и при
дальнейшем изменении параметров переходит на правую полуплоскость (рис. 1, б).
Примеры распределенных неконсервативных систем. Большую группу хорошо
изученных неконсервативных систем образуют упругие системы, нагруженные
неконсервативными позиционными (следящими) силами. На рис. 2, а показан кон-
сольный упругий вал, который скручивается следящим моментом М, т. е. момен-
том, вектор которого остается направленным по касательной к деформированной оси
вала. На рис, 2, б показан консольный стержень с жесткой траверсой, который на-
гружен силой Р, сохраняющей фиксированную в пространстве линию действия.
Эта сила не связана с материальными точками траверсы, а скользит по ней. На
рис. 2,в изображен консольный упругий стержень, нагруженный силой, которая на-
правлена по касательной к деформированной оси стержня. Во всех трех случаях
внешние силы не обладают потенциалом. Чтобы реализовать эти силы, нужны элек-
тромеханические следящие устройства, струйные устройства и тому подобные си-
стемы с внешним источником энергии. По именам авторов, впервые рассмотревших
эти задачи, они названы соответст-
венно задачами Николаи (рис. 2, а).
Реута (рис. 2, б) и Бека (рис. 2, в).
Вторую группу некоисерватив-
ных систем образуют упругие си-
стемы, взаимодействующие с пото-
ком газа или жидкости. Таковы
задачи об устойчивости крыла
(рис. 3. а) и плоских или криволи-
нейных панелей (рис. 3, б) в потоке
газа, об устойчивости труб и обо-
лочек, содержащих движущуюся
жидкость (рис. 3, в).
Теория колебаний и устойчивости
Рис. 3. Упругие системы в потоке жидкости или
газа:
а—крыло: б — упругая панель; в—оболочка, со
держащая движущуюся Жидкость
упругих систем, нагруженных неконсерва-
тивными силами или взаимодействующих с потоком жидкости или газа, изложена
в работе [И]. Обзор некоторых более поздних работ можно найти в |25, 129]. Обзор
задач устойчивости применительно к аэроупругим системам, а также сводка числен-
ных результатов, относящихся к различным частным случаям, имеется в [87].
3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Основной метод. Метод состоит в исследовании обобщенной задачи о собственных
значениях (7). К сожалению, даже ь простейших случаях, когда эта задача допу-
скает решение в замкнутом виде, исследование ее характеристических показателей
и выделение областей устойчивости представляет трудную вычислительную задачу.
Действительно, результат решения записывается в виде неявной зависимости харак-
теристических показателей X от параметров а, р, у, ...
F(X, а, р, у, ...)=0. (8)
В отличие от систем с конечным числом степеней свободы, где левая часть урав-
нения (8) — полином or X, уравнение (8) для распределенных систем трансцендент-
ное. Для нахождения критической поверхности обычно применяют метод, аналогич-
ный методу £>-разбиения (см. гл. V). Полагая X — гш (где пробегает значения
О w < оо), ищут отображение мнимой оси при помощи функции F (X, а, р, у, ...)
на пространство параметров а, Р, у, ... Исследование устойчивости несколько упро-
щается, если из предварительного анализа известны некоторые точки в пространстве
параметров, заведома принадлежащие области устойчивости.
Для численной реализации метода целесообразно применить алгоритм, основан-
ный на минимизации модуля от левой части уравнения (8), которая рассматривается
как функция параметров а, р, у, ... Таким образом, алгоритм включает в себя цикл
по частоте со, формирование модуля комплексной функции F (ко, а, Р, у, ...) и мини-
мизацию модуля этой функции по а, Р, у, ...
Метод нормальных координат. Решение ищут п виде ряда (2), где фд. (х) — соб-
ственные формы соответствующей консервативной системы или, в более общем слу-
чае, некоторые функции, удовлетворяющие граничным условиям для и (х, г) и об-
ладающие в некотором смысле полнотой. Уравнения относительно обобщенных
координат дь (/) могут быть получены, например, методом Бубнова—Галеркина.
Если функция и (х, /) аппроксимируется конечным числом членов, ряда, то прихо-
дим к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным чис-
лом степеней свободы. Дальнейший анализ проводят, пользуясь методами из гл. V.
Метод функционалов Ляпунмва. Строгий метод для получения достаточных усло-
вий устойчивости (неустойчивости) распределенных систем дает метод функций
Ляпунова, распространенный на распределенные системы Вместо функций Ляпунова
в классическом методе используют функционалы Ляпунова, по поведению которых
вдоль фазовых траекторий системы можно судить об устойчивости (неустойчивости).
Выбор функционалов Ляпунова обусловлен выбором метрики, по отношению к ко-
торой исследуется устойчивость и которая входит в строгое определение устой
чивости распределенных систем.
Упрощенный метод исследования устойчивости. Большое число опубликованных
численных результатов относится к задачам, которые приводят к уравнениям (6)
при В-0, т. е. к таким задачам об устойчивости упругих систем при действии
следящих нагрузок, где с самого начала не учитываются диссипативные силы. Урав-
нение (6) при подстановке X = ins принимает ьид
(С — о)2А) ф = 0.
(9)
Если все частоты и действительные, то это квалифицируется как устойчивость ре-
шения и (х, /) = 0. Критические соотношения параметров ищут из условия, что при
этих параметрах впервые появляется хотя бы одна пара кратных частот, которые
затем становятся комплексными (рис 1, в).
К полученным таким упрощенным способом результатам следует относиться
с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является
сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат
Рис. 4. Консольный
стержень с неконсер-
вативной нагрузкой
линеаризации соответствующих нелинейных задач. Даже
введение сколь угодно малого
демпфирования может
существенно изменить выводы об устойчивости, полу-
ченные упрощенным методом [II, 100]. Исключение состав
ляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее
трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия
устойчивости, совпадающие с теми, которые дает упрощен-
ный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай на-
хождения всех характеристических показателей на мнимой
оси следует называть квазиуетойчивостью, а значения пара-
метров, при которых первая пара показателей покидает
мнимую ось,—кваликритическими параметрами.
Пример Консольный стержень. Пусть консольный стержень
из вязкоупругого материала нагружен следящей силой Р и силой
веса Q (рис. 4) Материал стержня—стандартный вязкоупругий,
описываемый уравнением механического состояния
, • о о
е+те= - —+ т-р-
с<ю ва
__ 1 пЕ о
(Ю)
Здесь Eq— мгновенный модуль; Ех —длительный модуль; X—время релаксации Уравнение
малых колебаний стержня имеет вид
[ д \ d*w f lEc-a d ' Г d*w д*и> ]
£ou7 1+x 17/V 17 [(Р+0) =0, (ll)
Оно решается при граничных условиях
d2w [ д \ dlw [ xEqs d \ dw
7F' = 0; EccJ ’+xl? v + “ЕГ 17 17 =
Введем безразмерные параметры
x Qll PH Ex
1 I EaoJ
“co - 7J — ’
Производя подстановку w (r, t) = IF(x) получим обобщенную задачу о собственных
чениях
»'1V + (а + Э) 1 +vnx яг = 0;
1 -f- т|А I — 1|А
U7=U7' = 0 (6 = 0);
ЦТ" = ЦТ"'4-а 1J vn.L ip'~ 0 (j-1).
1 -f- ЦА
Уравнение (8), связывающее характеристические показатели с параметрами задачи, имеет вид
Г(Х, а, Р, v, W=-Yq7~(a + P)I-2X’(l4-chr1chr.)4-
+ Х«х-р) / shr1Shr1-a(a+₽)-^ry^(l-chrtchr,) = O. (12,
\ 1 + Л*- / * *Г ПА
где rt и г, — корни уравнения
(1 + цХ) г* + (а+ Р) (1 + уцХ) г* + X’ + УП>-‘ = 0. (13)
Задача сводится к отысканию условий, накладываемых
уравнения (12) находятся в левой полуплоскости. Вид
уравнений (12) и (13) дает представление о характере
трудностей при вычислениях даже в этой относительно
простой задаче.
Диаграмма устойчивости на плоскости параметров
а, р при различных значениях п и при у — 0,2 пока-
зана на рис. 5. Область устойчивости оставлена не-
защтрихованной. Штриховой лилией показана граница
облает» квазиустойчивости, которая получается, если
вместо вязкоупругого стержня взять чисто упругий
стержень. Существенно, что при учете демпфирования
значительная часть области квазнустойчивости в дей-
ствительности оказывается областью колебательной
неустойчивости, причем с уменьшением П область не-
устойчивости расширяется
4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Введение. Определение параметрических ко-
лебаний, данное в гл. VII применительно к си-
стемам с конечным числом степеней свободы,
справедливо для систем с распределенными па-
раметрами. Параметрические колебания рас-
пределенных систем описываются дифференци-
альными и интегро-дифференциальными уравне-
ниями в частных производных с переменными
коэффициентами. Наиболее важный случай —
системы с параметрами, периодически меняю-
щимися во времени. Далее будут рассмотрены
системы, описываемые уравнениями в частных
производных с коэффициентами — периодичес-
кими функциями времени.
Задачи динамической устойчивости упругих
систем. Большая часть задач параметрических
колебаний упругих систем связана с теорией
на а, Р, V, и, при которых все корни X
Рис, 5. Области флаттера и дивер-
генции при у = 0,2 и различных
значениях т)
упругой устойчивости. Примером служат колебания упругого прямолинейного
стержня, нагруженного периодической во времени продольной силой (рис. 6, а).
Рис. 6. Примеры упругих систем, нагруженных параметрическими силами
При такой нагрузке имеют место продольные колебания. Однако при определен-
ных соотношениях между частотой внешней силы и собственными частотами
стержня прямолинейная форма последнего может оказаться динамически неустой-
чивой; малые поперечные возмущения влекут за собой возбуждение интенсивных
поперечных колебаний.
На рис. 6 приведены и другие примеры упругих систем, нагруженных параме-
трическими силами: круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной ра-
диальной периодической во времени нагрузкой (рис. 6, б), изгибно-крутильные
колебания упругой балки, нагруженной периодическими силами и одной из главных
плоскостей инерции (рис. б, в), изгибные колебания пластин и оболочек, нагружен-
ных периодическими силами, действующими в срединной поверхности, и т. п.
(рис. б, г, д).
Перечисленные примеры относятся к широкому классу задач теории динамической
устойчивости упругих систем. В<- всех этих задачах причиной параметрического воз-
буждения колебаний служит периодическое изменение во времени нагрузок, кото-
рые, будучи приложены статически, могут вызвать потерю устойчивости путем раз-
ветвления форм равновесия. Параметрические колебания этих систем можно интер-
претировать и как результат изменения во времени их эффективной жесткости под
Рис. 7 Примеры распределенных систем с переменными параметрами
влиянием приложенных периодических сил. Эти силы обычно называют параме-
трическими (по отношению к возбуждаемым ими параметрическим колебаниям).
Другие примеры параметрических колебаний распределенных систем. Примеры
систем, в которых изменение параметров можно увидеть непосредственно из расчет-
ной схемы, показаны на рис. 7, а и б. В первом случае изгибные колебания стержня
возбуждаются за счет периодического изменения во времени коэффициента упру-
гости опоры, во втором случае — за счет периодического изменения длины стержня.
В обоих случаях изменение параметров системы в процессе изгибных колебаний
требует поступления энергии от внешнего источника.
Примером параметрически возбуждаемой гидродинамической системы служит
тяжелая жидкость, находящаяся в сосуде, который совершает периодическое дви-
жение в направлении силы тяжести (рис. 7, $). При некоторых соотношениях между
частотой движения сосуда и собственными частотами колебаний жидкости относи-
тельное равновесие жидкости становится неустойчивым и возникают ее интенсив-
ные колебания. Если стенки сосуда к тому же деформируются упруго, то возникает
задача о параметрических колебаниях гидроупругой системы.
Примером параметрически возбуждаемой электрической системы может слу-
жить пассивная линейная цепь с распределенными емкостью, индуктивностью и
омическим сопротивлением, один из параметров которой (например, сосредоточен-
ная емкость) периодически изменяется во времени.
5. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Динамическая устойчивость сжатого стержня. Пренебрегая продольными коле-
баниями jt действия силы N (/), запишем уравнение, которое в линейном прибли-
жении описывает изгибные колебания стержня
Г|^' . .. It.d2w „ д2ш
EJ N (О + Р^ Т7 =• 0.
дх4 '' дх2 dt2
(Н)
Здесь и в дальнейшем при обсуждении частных задач используются обозначения,
принятые в предыдущих главах. Сила Л' (/) считается положительной при сжатии.
Уравнение (14) отличается от аналогичного уравнения (84) гл. VIII тем, что сила
.V (Л является функцией времени. Граничные условия для функции поперечного
прогиба w (х, t) берутся в соответствии с данными таблиц гл. VIII. В простейшем
случае (при шарнирном опирании концов стержня) имеем усл -вия
д2к,'
ш = ^-2=0 (х = 0 х = /).
(15)
Задача состоит в нахождении условий, связывающих параметры стержня и внешней
силы, при которых решение к> = О поставленной задачи устойчиво.
Параметрические колебания упругого стержня как неустойчивость режима уста-
новившихся вынужденных продольных колебаний. Пусть и (х, I) — продольное
перемещение точек оси стержня, EF — жесткость сечения при растяжении (сжатии).
С учетом наиболее существенных нелинейных членов уравнения совместных продоль-
ных и поперечных колебаний имеют вид
,-гдгх , „ д*и .
— EF -ь- + = °;
dx r dt*
г д I dw d2w
дх* дх \ х дх J h dt2
ди , 1 /дш 2 ,
где еж = - -- —продольная деформация.оси стержня. Решение уравнений
(JX (JX t
(16) должно удовлетворять граничным условиям
U' = ‘?^=m=0 (х = 0);
<17)
^=^2-=°; -№,=v(o (х=/).
В случае установившихся продольных 'колебаний под действием силы N (f) =
= Л'о + Nt cos (at получаем
Nox Nt sin vx
и S=uo = — -----~------r cos (at;
EF vEF cos vl
w = wo=O,
где
р\1/*
Е/
(18)
(19)
Для исследования устойчивости решения (18) положим в уравнениях (17) и =
= и0 4- й, w = -j- к) и линеаризируем уравнения относительно малых возмуще-
ний й и kJ:
пид2й г л.
-EFdT* + PF Л?=0;
дх4
d_^L-Q
дх \ dx дх] + р dt2 ~
(20)
Второе уравнение обобщает уравнение (14) на случай, когда при исследовании
устойчивости учитывают перемещения невозмущенного движения. Это уравнение
можно также представить в виде
(Я? д ГА. dS] гд2й • о
EJ дх* + дх Р } дх ] + dt2 ~ °’ (2 )
где N (х, t) — продольная сила в стержне, найденная с учетом невозмущен hoi о
движения. Если частота возбуждения <о <оо (где <а0 — наименьшая собственная
частота продольных колебаний), то силу Лг (ж, t) можно заменить ее квазистатиче-
ским приближением. В результате возвращаемся к уравнению (14).
Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотноше-
ние между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозму-
щенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформи-
рованного состояния допустимо использовать квазист этическое приближение и
пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устой-
чивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений
нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением далам-
беровых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния
соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию,
то в уравнения добавляют также диссипативные силы.
Иначе уравнения динамической устойчивости получают из уравнений свободных
колебаний упругой системы при отсутствии внешних сил путем добавления параме-
трических членов, учитывающих параметрические силы, зависящие от времени. Эти
члены могут быть взяты из уравнений нейтрального равновесия для соответствую-
щей задачи статической устойчивости.
Пусть операторное уравнение свободных колебаний имеет вид
Au+Cu=0, (22)
а уравнение нейтрального равновесия при действии статически приложенных пара-
метрических сил
Cu + Gu = 0. (23)
Здесь А и С — инерционный и квазиупругий операторы, введенные в гл. IX; G —
линейный оператор, учитывающий параметрические силы в уравнениях нейтраль-
ного равновесия. Операторное уравнение динамической устойчивости получают пу-
тем объединения уравнений (22) и (23) и замены параметров нагрузки в операторе G
заданными функциями времени:
Au-j-Cu+G(f)u = O. (24)
Область определения решений и (х, /) уравнения (24) обычно совпадает с областью
определения оператора С, общего для уравнений (22) — (24).
Если параметрические силы заданы с точностью до двух множителей, один из
которых а характеризует постоянную составляющую нагрузки, а второй (3 — со-
ставляющую, изменяющуюся во времени по закону Ф (/), то уравнение (24) можно
записать так:
Au + IC + aF-гРФ (/) G] и ^О. (25)
Здесь учтено то, что операторы для постоянной и переменной составляющих нагруз-
ки различны.
6. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Общая схема сведения. Поскольку непосредственный анализ устойчивости по
уравнениям в частных производных затруднителен, то в прикладных расчетах их
обычно сводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого
функции и (х, /) разлагают по некоторому базису с коэффициентами — функциями
времени.
Полагая в уравнении (25)
п
Ц (х. П = 2 qk (/) ф* (х). (26)
где ф1 (х), ф2 W, ...,фл (х) — достаточно представительная система вектор-функ-
ций, удовлетворяющих всем граничным условиям для u (х, t), и применяя вариа-
ционный метод Бубнова—Галеркина» придем к системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений относительно коэффициентов ряда (26). Представим эту систему
в матричной форме, используя (поскольку это не приведет к недоразумениям) для
матриц те же обозначения, что и для соответствующих им операторов
Aq-HC4-aF + 0<D(O GJq=O. (27)
Здесь q (/) — вектор-столбец из функций qk (f). Элементы матриц А, С, F и G вы-
числяют по формулам
а/* = (Афа, ф/); <7* = (Сфь фу); //а=(Рф*> ф/); £/* = (Оф*. фу). (28)
Вместо метода Бубнова—Галеркина можно использовать вариационный прин-
цип Гамильтона—Остроградского для соответствующего квадратичного функции-
нала. Это позволяет расширить класс допустимых базисных функций, введя в рас-
смотрение функции, которые удовлетворяют всем кинематическим, но не обязательно
всем динамическим граничным условиям. Уравнения относительно функций qh (/)
сохраняют вид (27), а элементы матриц А, С, F и G определяют по формулам (28)
с заменой скалярного произведения на соответствующие энергетические произве-
дения.
Разложение по собственным формам колебаний. Собственные формы колеба-
ний — ненулевые решения уравнения
(С-и2А) <р = 0 (29)
образуют полную систему функций данной задачи, так что разложение
ОО
и (х, 0 = У qk (t) (х) (30)
fe-1
позволяет получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений относи-
тельно обобщенных координат qk (/), эквивалентную исходным уравнениям в част-
ных производных. Система типа (27) приводится при этом к бесконечной системе
уравнений 1113]
ОО со
?7 + &’/<7/-г« У //Wfc + PW) = </=1’ 2’
*=1 k=i
где W; — собственные частоты незагруженной системы. В отличие от (28) в уравне-
ниях (31) использованы обозначения
(Рф*. Ф/) (Оф*. Ф/)
/k “ (Аф/, ф7)' Sik~ (Аф/, фу) ’
Особый случай. Пусть собственные элементы задачи (29) и задач
(С + аГ)ф = 0; (C + PG)X=O (33)
совпадают. Это значит, что собственные формы колебаний совпадают с формами
потери устойчивости при действии статических нагрузок, заданных с точностью до
параметров а и р. В этом случае, называемом особым, уравнения бесконечной систе-
мы (31) распадаются на независимые уравнения, каждое из которых описывает пове-
дение одной из обобщенных координат (/), q2 (/),
?е+“41+^+^ф(о]’‘=<)- (34)
(А = 1, 2, ...).
Здесь и P* — критические значения параметров а и р в задачах статической устой-
чивости, равные собственным значениям операторных уравнений (33) при ф = X =
= Фа-
Стержень постоянной? сечения, опертый по концам и сжатый постоянной по дтине
продольной силой, — пример особого случая. Уравнение (14) и граничные условия
(15) удовлетворяются при помощи подстановки
СО
. « V /л • клх
М*. /) = 2, <7* (0 sm -J-.
Здесь функции qh (f) — решения уравнений типа (34):
-7^] »*-=».
При этом
*2ла /EJV/1 kWEJ
/а pF, ' k~ fi '
(35)
(36)
(37)
Неизвестные в уравнениях типа (31) разделяются также в более общем случае,
когда совпадают собственные элементы уравнений
(С-Q2A 4-aF; <р =0; (C + ocF + pG) ф = 0. (38)
Первое из них отвечает задаче о собственных колебаниях системы, загруженной
статическими силами с параметром а. Его собственные значения Qa (а) равны ква-
дратам собственных частот загруженной системы. Уравнения типа (31) принимают
вид
?*+Й(а)[|+|^-]?4=0 (4=1,2....). (39)
где (а) —собственные значения второго из уравнений (38), имеющие смысл кри*
тических значений параметра П при совместном статическом действии обеих групп
нагрузок,
Уравнения (34/ могут быть приведены к виду (39), если положить
Я8(а)=ыь 1+—> Н» =----Р (40)
21)71 +£.
Тогда вместо (34) имеем
^4-О|(а)П+2|£*Ф(0]<7*=0 (*=1,2,.,.). (41)
Наиболее часто встречающиеся задачи динамической устойчивости, приводя-
щие к уравнениям типа (34) и (39), приведены в табл. 1.
Обобщенный особый случай. Представляют интерес такие задачи, для которых
бесконечная система (31) распадается на группы, состоящие из конечного числа
независимых уравнении. Пусть в операторном уравнении (25) u (х, t) есть вектор-
функция размерности г.
“i (х> t) (
и(х, 0= U*(X’ ° , (42)
\«г(х» /).
причём собственные элементы уравнений (29) и (33) распадаются на группы по г эле-
ментов в каждой и допускают представление
ф1я=р1'¥'’; xM’»w {£!;£.’",)• <«)
Здесь <f'/J(x) — вектор-функции координат; Р^', Q/J и R* — числовые матрицы раз-
мерностью г X г. Верхний индекс указывает номер группы, нижний — номер эле-
мента в группе. Представление (43) означает, что вектор-функции, описывающие
формы колебаний и формы статической потери устойчивости, составляются для одно-
именных координат из одинаковых функций. При Р) = Q^‘ = R^' приходим к осо-
бому случаю.
1. Параметрически? колебания упругих систем (особый случай)
Упругая система и нагрузка Собственная частота с истемы Критический параметр
Шарнирно опертый стержень Г \l JM Л Хг n’fe2 / EJ\ й \9Г) ’/» kWEJ Nk~ р
Замкнутое круге женное радиальн вое кольцо, нагру- ой силой и/ чю г И у у Г А | pf (Л*+ 1) ]V. „ _ (*’- DEJ /?’
Шарнирно опертая пластина, нагру- женная вдоль краев равномерно рас- пределенными силами X 5-ft? q|o. К X kWD Г /а, \‘1’ /е L'+(‘«J1
Шарнирно опертая панель, нагру- женная а до ль краев равномерно рас- пределенными силами *7 ь х pF(n?+^)2 х [(«’+'” а)4+ + -2^'~-у8)-х x(V/ + *i^)2] П,= ^; ть^^- ! ам «а, — R 1 fej = Я : PnJ(nJ + ^)2 Г/ 3 । 2\4 12(1 — V2) [(п/ + ^) -Ь А. х = ^l(n? + w*)a Г/ 2 । 2\4 12(1—V2) [и?+т*) + м х x(*2«/+*i^i)2]
Сферическая обо равномерно расп верхности радиаз точка под действием ределенной по по- лной нагрузки Eh 0. + 2) phR’ (Х + l-v)X <>+] 2Eh »«+и Х=л(п+1); с2=у2(1—v2)-’ (л = 0, 1,
252 ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Решение операторного уравнения (25) для каждой группы ищут в виде ряда по
собственным формам, входящим в эту группу:
u (*. 0= У (х) 0' = 1, 2, ,..).
* = 1
(44)
В результате приходим к последовательности систем обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, каждая из которых содержит г уравнений:
(&= I, 2, г). (45)
Здесь — собственные частоты, упорядоченные при помощи двух индексов /
и и ~ коэффициенты, определяемые по формулам типа (32);
(F<JPP- <Р1Л) (/) (б^Л’
' HW) ’ в'' (М\ Ф1'1) ’
(46)
Такой случай частичного разделения обобщенных координат е уравнениях тео-
рии динамической устойчивости упругих систем называют обобщенным особым слу-
чаем.
Уравнения типа (45) для частных задач проще получить, если представить иско-
мое решение в форме
Здесь фф (х) — компоненты вектор-функцииф''1 (х). Полученные уравнения пере-
Рис. 8. У «ругая балка, опер-
тая по концам и нагружен-
ная в плоскости наибольшей
жесткости моментами М (Т)
ходят в (45) при помощи линейного преобразования
с матрицей Р'
Пример Рассмотрим задачу о динамической устойчиво-
сти плоской формы изгиба балки. Пусть упругая балка оперта
по концам н нагружена в плоскости наибольшей жесткости
моментами М (// (рис. 8). Рассмотрим изгибио крутильные
колебания, происходящие из этой плоскости Поперечный про-
гиб о (к, Г) и угол поворота у (х, 0 удовлетворяют уравнениям
(48)
где GI —жесткость при кручении; г —радиус инерции сечения Граничные условии имеют вид
сРъ
t> = V = — ь (х = 0, X — /). (49)
Решение ищем в виде
о(х, «)= Vft(nsin-^J£, V(x, «) = ГА(/)з1п-^- (*=1,2,...), (50)
где Vk(t) и Г^(Г) — искомые функции времени Представление (50) соответствует формуле (47).
Подстановка формул (50) в уравнения (48) позволяет записать
“Io [v*--игйтг»':-* 1
Т* + “1т[г*-47^ г. ...). J <6"
2. Матрицы коэффициентов уравнения (27) (обобщенный особый случай)
МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИИ
Здесь <%-о
ственно, т.
и <у^ — собственные частоты изгибных и крутильных колебаний балки соответ-
е.
**Я* EJ4/t Ьп :GlK Ч*
tuko = ('рг/ ' W*Y= ~гГ ~pf~ ]
(52)
Другие примеры задач, относящихся к обобщенному особому случаю, приведены в табл. 2.
Приближенное сведение к конечным системам обыкновенных дифференциальных
уравнений. В общем случае для приближенного расчета приходится проводить редук-
цию бесконечных систем уравнений к конечным системам. Количество членов, удер-
живаемых в разложениях (30), устанавливается из физических соображений. Если
дли данной упругой системы и для рассматриваемого диапазона частот собственные
формы колебаний достаточно близки к формам потери устойчивости, то в первом
приближении можно пренебречь связью обобщенных координат, заменив бесконеч
ную систему (31) последовательностью независимых уравнений [ИЗ].
?й + и>И1+«/^ + Р^йФ(0]^ = 0- {k = \, 2, ...) (53)
Элементы jkk и g^ выражают через приближенные значения критических пара-
метров аир;
. _ (Fer*, 4k) . (G?*, Ф») ~ 1 ,чд»
** (Аф*, ф*) ' а* ' 8kk (Аф*, ф*) ~ (V
В результате приходим к уравнениям особого случая (34).
Пример. Рассмотрим задачу о динамической устойчивости круговой пластины, защемленной
по контуру. Пусть пластина нагружена в срединной плоскости равномерными усилиями интен-
сивностью р (/) (рис Я) Поперечные колебания пластины описы-
Рис. 9. Круговая пласти-
на, защемленная по кон-
туру и нагруженная в
срединной плоскости рае
номерными усилиями ин-
тенсивностью р (t)
ваются уравнением
ОДДи’ + р (/) Ддо + рй = 0
/. » ,2 6 , 1 \
\ - dr’ -г г дг г* дйг /
с граничными условиями
(55)
(56)
Собственные формы (г, 0) и собственные частоты и)*ч на-
ходят из выражений (14), (17) и (18) гл. ХП Первый индекс
у (г, В) равен числу узловых окружностей минус единица,
второй — числу узловых диаметров у собственных форм Урав-
нения типа (63) принимают вид
’»» + -bp - °(*=о: 1671
где —приближенные значения критических параметров статической нагрузки, определяе-
мые по формуле
R 2л
J J <р£л «г, в) г dr dQ
о On
pkn ~ ~~ pllU)kn .
I I Г, 0) Ф*л (G А) г dr
П 0
7. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распре
деленной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для
обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные
методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем
строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полеченных для отдельных
обобщенных координат, либо по результатам численного анализа усеченных систем,
соответствующих бесконечным системам типа (31). В качестве примера на рис. 10
построены главные области неустойчивости для опертого на одном конце и защемлен-
ного на другом конце стержня, сжатого периодической силой Pt cos <Щ [131 ].
Рис. 10. Области неустойчивости для стержня, сжатого
периодической силой Р/ cos o>t
Случай плотного спектра собственных частот. Если спектр собственных частот
достаточно птотен, то области неустойчивости, соответствующие различным обоб-
щенным координатам, могут накладываться друг на друга, заполняя обширные об-
ласти в пространстве параметров. Примером может служить задача о параметриче-
ских колебаниях тонкостенной сферической оболочки под действием пульсирую-
щего давления д0 4- cos со/ (см. табл. 1). Спектр собственных частот, рассчитан-
ный согласно теории пологих оболочек,
начинается с частоты и тем плот-
нее, чем меньше относительная толщи-
на оболочки h/R. Допустим, что нас
интересует область неустойчивости,
получившаяся в результате наложения
главных областей для каждой из обоб-
щенных координат. По приближенной
формуле (28) из гл. VH нижняя гра-
ница главной области неустойчивости
для обобщенной координаты с собст-
венной частотой Q (X) и критическим
параметром q* (X) определяется из вы-
ражения
Рис. 11. Область неустойчивости для сфери-
ческой оболочки, находящейся под действием
пульсирующего давления qt + cos wt
co(X) = 2Q(X)]/ 1
qo~t~~2 <it
<58>
Здесь X = n (n -f- 1) — безразмерный
параметр, характеризующий собствен-
ные формы замкнутой оболочки. Явное
выражение для Q (X) и q„ (X) содер-
жится, например, в табл. 1. При достаточно плотном спектре собственных частот
параметр X можно считать непрерывным (рис. 11). Строя обычным способом оги-
бающую семейства кривых (58), приходим к формуле
2(0^
(59)
Здесь — минимальная собственная частота, упоминавшаяся ранее; q — ми-
нимальное критическое давление в классической теории упругой устойчивости:
2£Аа 1
Я2 | 3(1-v«) ’
(60)
Учет диссипации энер!ии. Уравнение параметрических колебаний в линейной
системе с учетом диссипативных сил имеет вид
Au-Ь Bii-f-[C-j-aF-f-рФ (/) G] и = 0. (61)
Они отличается от уравнения (25) наличием члена с диссипативным оператором В.
Используя разложение (26), придем к системе уравнений относительно обобщенных
координат. Обычно это обыкновенные дифференциальные уравнения того типа,
который был подробно рассмотрен в гл. VII. Исключение составляет случай наслед-
ственного оператора В При этом получается система интегро-дифференциальных
уравнений относительно обобщенных координат с интегральными операторами нас-
ледственного типа. Эти уравнения могут быть исследованы, например, методом
обобщенных определителей Хилла.
Достаточные условия устойчивости систем с диссипацией. Структура областей
неустойчивости для распределенных систем может быть весьма сложной, особенно
по частотным параметрам. Если система обладает диссипацией, то практический
интерес представляют достаточные условия устойчивости со слабой зависимостью
от возбуждающей частоты. Примером может служить нестрогий критерий устойчи-
вости для особого случая, основанный на использовании критических значений
коэффициентов возбуждения (см. гл. VII). Этот критерий отделяет область заведомой
устойчивости, проходя через «носики» главных областей неустойчивости. Аналити-
ческая запись этого критерия следует из формулы (41) гл. VII:
P<4-W'l+^ '* (*-1,2,...). (62)
^1г \ V'k /
Здесь о)А, ед,, а*, — значения собственной частоты, коэффициентов демпфирова-
ния и критических параметров нагрузки для k-й формы колебаний. Друтой способ
получения достаточных условий устойчивости основан на методе функционалов Ля-
пунова (54, 114]. Применительно к особому случаю этот метод приводит к строгим
результатам, близким к тому, который содержится и критерии (62).
Глава XVI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И УДАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
1. ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
Под упругими волновыми процессами понимают динамическое распространение
возмущений напряженно-деформированного состояния в упругой среде или упругих
телах.
Исходные уравнения. Процесс распространения волн в упругий среде описывается
динамическими уравнениями Ламе (26) гл. VIII, которые после введения вектора
перемещений u — (ult иг, и.,)1 могут быть записаны в форме
д2и
р Ди + (К + р) grad di v и — р = 0.
Вектор перемещений раскладывается на эквиволюмиальную и безвихревую
составляющие:
и = rot ф-j- grad <р.
(2)
Здесь ф и ф — скалярный и векторный потенциалы, удовлетворяющие системе не-
зависимых друг от друга волновых уравнений
(Х-г2И) Дф-р|^ = 0;
=°-
Эти уравнения описывают два типа волн, которые могут существовать в неограни-
ченной упругой среде. Эти волны распространяются с постоянными скоростями
г= /Л -Ь2р ул Г Е (1 —v) Т/>
Cl~ . Р ) ;
— V/a = Г Е Т/з
р1 “|2p(14-v)J
(5)
(6)
Со скоростью С{ распространяются безвихревые возмущения, описываемые по-
тенциалом <р. Волны этого типа называют дилатационными, или волнами расшире-
ния-сжатия. Со скоростью ct распространяются вихревые возмущения при неизмен-
ном объеме, описываемые векторным потенциалом if. Волны этого типа называют
эквиволюмиальными (волнами искажения, волнами сдвига).
Отношение скоростей распространения волн искажения и волн расширения-
сжатия зависит только от коэффициента Пуассона v:
Q Г -]1/.
P^Cz^L2(l-v)j ’
Поскольку 0 sr: v sg 0,5, то отношение fi меняется в пределах
Л Ct 1
0 .
Q I2
(7)
(8)
Замечание 1. Если возмущения распространяются только в одном направлении, например
з направлении оси Oxt, и перемещения зависят только от одной координаты х4 —и^ то
из уравнения (1) следует
d2Ut_____<?гЦ> _ _ |
дх* с2[ dt1 ~ 0: I
дги2 I дги-1 0 |
дх* Cf dt1 W
02us _ _1 d*Ui
дх* с| dt2
Первое уравнение описывает распространение продольных возмущений, поэтому назы-
вают скоростью продольных волн. Второе и третье уравнения описывают распространение по
перечных возмущений, и поэтому с. называют скоростью поперечных волн.
Замечание 2. Решение уравнения (1) может быть записано для прямоугольной системы
координат в форме (решение Даламбера)
«/ - fj(nkxk ~ ct) + (nkxk + ci)' (1 °>
либо для сферически симметричного случая (когда и зависит только от радиуса г) в форме
=+ < (11)
Здесь — направляющие косинусы; с — соответствующая скорость распространения. Два сла-
гаемых, входящие в (id) и (II), описывают волны, распространяющиеся в двух противополож-
ных направлениях. Функции f и g определяют из начальных условий.
Понятия о дисперсионном уравнении. Фазовая и групповая скорости. Анализ
одномерных волновых явлений в неограниченной среде или среде с граничными по-
верхностями может быть осуществлен на основе уравнения
'д
дх ’ dt /
ф —0,
(12)
где ф — обобщенная вектор-функция перемещений; L — матричный оператор, коэф-
д д
фициенты которого являются полиномами от операторов и . Исследование вол*
новых явлений приводит к изучению поведения бесконечной гармонической (моно-
хроматической) волны
Ф = Ф ехр [Z {kx — (13)
У в/р. Болотина В, В, г. 1
2зт
характеризуемой волновым числом k, частотой со и длиной волны Л = ~- . Величн-
R
на Ф, входящая в (13), — комплексная амплитуда (физический смысл имеет Req-).
Из уравнения (12) для вида решения (13) нетрудно получить связь между волновым
числом k и частотой со:
detL(^, — zu>)=0. (14)
Уравнение типа (14) называют дисперсионным. В результате решения этого урав-
нения находят зависимость частоты от волнового числа со = со (k).
Фазовой скоростью называют скорость распространения монохроматической
волны (13)
<?=со/'й. (15)
Групповой скоростью называют скорость распространения пакета волн, волно-
вые числа которых лежат вблизи заданных значений k и со (совокупность волн с близ-
кими длинами). Со скоростью, равной групповой скорости, переносится энергия
волновых движений с заданными значениями k и со. Групповую скорость определяют
по формуле
I 1 дС zICl
(16)
Если с, определенная согласно (15), не зависит от волнового числа k или от дли-
ны волны X, то форма волны при распространении не изменяется (волна распростра-
няется без дисперсии). В противном случае форма волны меняется за счет разной
скорости распространения отдельных компонент. Если dddk < 0 (или дс/дк > 0),
то cg < с и энергия в этом случае переносится медленнее, чем распространяется мо-
нохроматическая волна. Это явление называют нормальной дисперсией. Если dc/dk >
> 0 (или дс/дк < 0), то cg > с. Скорость переноса энергии больше, чем скорость
монохроматической волны. Это явление называют аномальной дисперсией.
2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ
Краевые условия. Поверхностными волнами (волнами Релея) называют волны,
распространяющиеся вдоль поверхности упругого полупространства при условии,
что возмущения, соответствующие этим волнам, характеризуются затуханием при
удалении от граничной поверхности полупространства. Исходными уравнениями
для изучения таких волн являются динамические уравнения Ламе (26) гл. VIII или
(1). На свободной поверхности (х3 = 0) должны обращаться в нуль напряжения
о13, °23 и °зз- Эго приводит к условиям
л. = o dUi .. _ q.
дх3 дхг ’ дх3 ' дх2
Х^+^. + ^\ + 2и^1=в
\CfXj дх2 дх3/ дх3
при х3=0,
(17)
Вид решения. Определение скорости распространения. Уравнения (I) с учетом
(5), (6) можно записать следующим образом:
d2uk д2и> д^иь
с?^- + (4~с/)5—г------т^ = 0 (* = 1. 2, 3).
i dxj х1 t} dxk dxj df2 ' ’ '
(18)
Для волн, распространяющихся в направленип оси Охъ для которых и2 = 0,
решение имеет вид
Uj = C] exp [— qxa-[-ik (хг — ci)] (/=1, 3), (19;
где q — некоторая положительная постоянная; k — волновое число; с — скорость
распространения поверхностной волны.
Из условия существования нетривиального решения системы (18) в виде (19)
следует уравнение для определения скорости поверхностных волн Релея
а2 [а0 4- 8а4 + 8 (3 — 2,В2) а2 — 16 (I - 02)] = 0,
где а = c/q; (5 = ctfc[. Параметр а должен
(20)
С 1
Рис. 2. Распределение перемещений,
связанных с поверхностными волна-
ми Релея (V—0,29)
Рис. 1. Зависимость скоростей распро-
странения волн от коэффициента Пу-
ассона v
Скорость поверхностных волн Релея
c№V/’-=aoPcr (2J>
Поскольку Р зависит только от коэффициента Пуассона v, cR также зависит от
этого коэффициента. Эта зависимость показана на рис. 1. На рис. 2 показано распре-
деление перемещений, характеризующее форму поверхностной волны (и0 = «з|ла-о)«
3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ
Продольные волны (техническая теория). Исходным при исследовании продоль-
ных волн в стержнях постоянного сечения, когда процесс деформирования описы-
вается в рамках гипотез сопротивления материалов, является уравнение продольных
колебаний стержня (68) гл. VIII, которое можно представить в виде
I
дх2 с2 dt2 ~ ’ С° ” \ р ,
(22)
Последнее равенство определяет скорость распространения продольных волн
в стержнях. Эта скорость оказывается меньше скорости волн расширения-сжатия
с1 (5) и больше скорости волн искажения с( (6): cR < с{ < с{.
Продольные волны, описываемые элементарной теорией, распространяются без
дисперсии (cg0 = с0).
Крутильные волны (техническая теория). Уравнение крутильных колебаний (72)
гл. VIII, описывающее крутильные волны в стержнях постоянного сечения, когда
используются гипотезы сопротивления материалов, можно переписать в виде
д2 Э __ 1 д^в
дх2 с* dt2
ск — (G^k/рЛ)) ’•
(23)
Для стержня кругового или кольцевого поперечного сечения 1К — /0 и ск = ct.
Параметр ск определяет скорость распространения крутильных волн по техниче-
ской теории. Так как /к /0, то ск ct. Крутильные волны, описываемые техни-
ческой теорией, распространяются без дисперсии = сЛ).
Изгибные волны (техническая теория). Решение исходного уравнения, которым
является уравнение изгибных колебаний стержня постоянного сечения (83) гл. VIII
(q = 0, EJ = const), можно представить в виде монохроматической волны
w=W exp [t {kx — ш/)]-
Дисперсионное уравнение имеет решение
pF•
Фазовую и групповую скорости определяют по формулам
(24)
(25)
(26)
(2?)
Таким образом, при распространении изгибных воли, описываемых техниче-
ской теорией, имеет место аномальная дисперсия. Поскольку скорость волн расши-
рения-сжатия с/ является верхней гранью для скоростей распространения возмуще-
ний в упругих телах, то cg < С[. При достаточно больших волновых числах k или
при достаточно малых длинах волн Л — 2л/£ это условие нарушается и техническая
теория оказывается непригодной. Необходимо применять уточненную теорию.
Изгибные волны (уточненная теория). За исходное в данном случае принимают
уравнение Тимошенко (93) гл. VIII. Нахождение решения в виде (24) приводит к ча-
стотному уравнению
Рис. 3. Зависимость фазовых скоростей изгиб-
ных волн в стержне от волнового числа по
различным теориям
со4 - Л2ш- с* -|- хс2 + +
+хс^/г4 = 0, (28)
где использованы (6), (22) и, кроме
того, обозначение для радиуса инер-
ции сечения г =
Для каждого фиксированного вол-
нового числа существует два значения
фазовой скорости
С0‘ЬХС1+"£2^ -
" 1 / с? 2
— Т ХС* ~
(29)
которые соответствуют преимущест-
венно изгибным и преимущественно
сдвиговым формам распространяющих-
ся волн.
При k-r'2 1 Ci^krCg; С2^'у
так что q совпадает со скоростью
изгибных волн, вычисленной по элементарной теории (26). Скорость с2 при
kr -> 0 бесконечно возрастает (групповая скорость стремится к нулю). При
/?2г2 1 характер явления меняется. Из оценок су х* ’Q, с8 ж cfl следует,
что Cj близка к скорости сдвиговых волн. При kr ~ 1 колебания при распростране-
нии волн носят связанный характер. На рис. 3 штриховой линией изображена зави-
симость, полученная по элементарной теории, штрихпунктиром — по уточненной
теории Тимошенко. Сплошными линиями показаны зависимости, являющиеся ре-
зультатом точного решения динамических уравнений Ламе для стержня кругового
поперечного сечения. Цифрами /, II, 111 отмечены кривые, соответствующие первым
трем формам колебаний. Сравнение приведенных кривых показывает, что уточнен-
ная теория Тимошенко дает удовлетворительное совпадение с низшей серией. Для
второй серии имеет место лишь качественное совпадение. При малых длинах волн
(больших /?) расхождение существенно. При k -+ ос точное значение дает в пределе
скорость релеевских волн cR, в то ьремя как по теории Тимошенко предельным зна-
чением ЯВЛЯеГСЯ СКОРОСТЬ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН Cq.
4. СОУДАРЕНИЕ ДВУХ УПРУГИХ ШАРОВ
Основные положения. При соударении тел обычно разделяют деформации на
местные и общие. В случае соударения массивных тел (в частности, шаров) об-
щей деформацией можно пренебречь по сравнению с местной. В этом состоит основ-
ное предположение теории Герца. Другим предположением является гипотеза, что
контактные сила и деформация связаны при ударе той же заьисимостью, что и при
статическом сжатии тел (силами инерции в области контакта пренебрегают).
Пусть два шара массы ту и т2 радиусов и R2 к моменту соударения имели
скорости Vj и Удар предполагается прямым и центральным (скорости c'i и v2 на-
правлены вдоль линии удара, проходящей через центры шаров). Пусть qA и q2 — обоб-
щенные координаты, отсчитываемые от начала соударения; а = qt — q2 — сближе-
ние тел. Предполагается, что зависимость контактной силы от сближения имеет
вид Р = koa ’, где k0 зависит от свойств материала и кривизны в точке контакта.
Для шаров
k°= "3
2Е
(1 -v2)
Замечание. В ряде случаев может быть использована зависимость Р = Аоап(1 3 2)
Определение максимального сближения, максимальной контактной силы и а се-
мени соударения. Уравнения движения шаров будут следующими;
d2q, г, d2q2
(а); = ^ («)• (30)
Отсюда нетрудно получить уравнение для а
d2a
1г-
tni + Р (а) = - — Р (а).
mitn2 4 ' т ' ’
Интеграл этого уравнения при начальных условиях а (0) = 0;
= I Vi — о31 имеет вид
(31)
da (0)
dt ~ 0°3
(32)
Максимальное сближение определяют
ного выражения в (32). Для шаров
из условия обращения в нуль подкорен-
5 /ПоЦ*/»
^тах
(33)
Соответствующая контактная сила
^шах = ^оятах = ^о ‘ ^"4 mv% у * (34)
Время соударения
(35)
Приведенные результаты справедливы при отсутствии у шаров пластических
деформаций при ударе.
5. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР В УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
Применение элементарной теории. Приведенная масса. В элементарной теории
соударения твердых деформируемых тел используют ряд упрощающих гипотез,
основными из которых являются предположения о возможности пренебрежения ло-
кальными инерционными силами и о возможности аппроксимации динамических
смещений статическими. Так, задаче об ударе твердого тела массы Л1 по свобод-
ному концу стержня, заделанного на другом конце принимается равномерное распре-
деление напряжений- Напряжение а определяют из теоремы об изменении кинетиче-
ской энергии
1 аI 2 * * * * * ВЛ
Y 1 = • (36)
где и0 — скорость ударяющего тела; F, I, Е — соответственно площадь сечения,
длина, модуль упругости материала стержня.
В случае соударения свободных стержней, движущихся в одном направлении
со скоростями V] и о2 (щ > о2), принимают линейное по длине каждого стержня рас-
пределение напряжений. Применение теоремы Карно и теоремы об изменении кине-
тической энергии позволяет записать
’ 1 ~ ЗЕг + 3£a
(37)
После присоединения к (37) условия c^F] == o3F2, выражающего закон равенства
действия противодействию, можно найти выражения для напряжений
ЕгЕ2Га_______\‘/e> _ OjFt
Ft (ZjFjEj-f-ZjFjFj) / ' 2 F2
(38)
Частично инерционные свойства стержней учитывают приведенной массой, кото-
рая вводится так, чтобы кинетическая энергия пли количество движения материаль-
ной точки, условно заменяющей стержень, равнялись соответствующим величинам
для стержня после аппроксимации динамических смещений статическими:
I I
. If и2 (X) 1 k* и (X) ,
Ипр = П1,,т (Я=РЯ), dx, n, = TJ—dx.
0 (I
(39)
где n1)2 — коэффициенты приведенной массы соответственно по кинетической энер-
гии и по количеству движения; и (х) — статическое смещение; х0 — координата при-
веденной массы.
В качестве примера приведем формулу для динамического удлинения при ударе
массы М по стержню массы т с вертикальной осью и заделанным вторым концом.
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР В УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
263
Это смещение (положительное при сжатии)
Чин = Чт+/Чт+2Л*А/ст, (40)
где
д/ -М&1
EF '
т
11 М
т'2 '
'2 М)
Используя формулу (40), можно оценить максимальное динамическое напряжение
Чин) шах °<
(41)
(Y + Пг)2 /
О
Здесь Cg = £/р; у = М/т; ост = Mg/F.
Волновая теория соударения стержней. Пусть стержень, имеющий закрепленный
конец х — 0, испытывает удар, наносимый твердым телом массы М по свободному
концу. Исходным является уравнение (22). Оно должно быть решено при следующих
начальных и краевых условиях:
«1/-»=°; ^1 =о
<Н |/-о
ди 1 сс[ди
di L-о - '’•(х-0; Е\дх
(42)
! и Ix-o^O-
Решение (22) выбирается в форме (10), данной Даламбером:
М = /1(С(/ — •’О+/2 (со^+*)- (43)
При удовлетворении условию (42) при х = 0 получим
и=/ (со/—х) —/ (Со/+х) (44)
Определяют функцию / (?) последовательно для участков (2п — 1)/ < ? <^
< (2n-j- 1)Z, n = 0, 1,2, ..., при использовании условий (42) и условий непрерыв-
ности. Результаты определения / (г) сведены в табл. I.
I. Функция / для задачи о продольном ударе твердого тела
по свободному концу консольного стержня
Интервал 1 (2) Г (2)
- I < 2 < 1 0 0
К г <31 f = У/г,о ' 1 _ г ~1 1-е V/ _г ~1 (' =£• е VI ‘ /о
3Z < z < 5Z с0 X (г - 3Z) {'-[,+¥х 2-3Z Л | е~ Vl j ff _ ff j X (г-31) /-Vх _г -3/ YZ
5/ < г < 11 f.-l.+yp С 9 X (2 — 5Z)» ~ + Х _ г -5Z т е П J f'a = lt + -^- « а Со X (2 - 5Z) + — _ г_ X е гТ (2 - 5Z)» j X -5Z vl
Используя данные табл. 1, определяют напряжения
о=£ ч- = - £ [Г (с</Н-х)].
(45)
Интерпретацию полученного решения можно дать на основе (44). Если 0 < t < —,
Со
то f (cot— х) = 0 и и = —/ (c^t 4- х). Смещения представляют волну, пере-
мещающуюся в отрицательном направлении оси Ох со скоростью с0. В момент i =
= 1/с0 волна доходит до заделанного конца, и на следующем интервале времени ре-
шение представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в проти-
воположных направлениях. Форма этих волн определяется [ (г) для I < z < 3/
подстановкой вместо z соответственно c^t — х и c^t -j- х в (44). Таким же образом мож-
но найти решение для последующих интервалов времени. Полученные соотношения
имеют смысл лишь при условии контакта между ударяющим телом и стержнем.
„ ди I
Окончание удара определяется моментом времени т, в который производная ।
обращается в нуль. Продолжительность удара т заьисит ит отношения массы ударя-
ющсго тела к массе стержня
личением у (табл. 2).
у = —. Продолжительность удара увеличивается с уве-
prl
2. Продолжительность
продольного удара
твердого тела
по свободному концу
консольного стержня
Отношение масс Продолжи- тельность Удара
V < 1,7283 21 < сот< 41
1,7283 < у< < 4,1511 41- < СцТ< 61
4,1511 < т< < 7,35 6h < С0Т < 81
3. Максимальные напряжения при продольном ударе
твердого тела по скободноиу концу консольного
стержня
Отношение МаСС | °о max
Y < 5,636 / 2 \ ^-Е 11 -f-е Y J Со
5.686 < у < < 13.816 2уо£ “— са L 2 4' +('-у)« т + е V
13,816 < у< < 25.16 **Е Со + 1 .+ г 1 X + + "bl* 1 ") -е( => 1 1 <1 ьо
Анализ решения показывает, что максимальные напряжения возникают при
х = 0. Зависимость максимальных напряжений от отношения масс у представлена
в табл. 3.
В случае продольного удара твердого тела по свободному стержню последнее
условие (42) необходимо заменить следующим:
ди I
дх |л-_0
= 0.
(46)
Решение, удовлетворяющее этому условию, имеет вид и = f (cot —х) -!- f (с0/ + х),
где функция / (z) определяется выражениями, сведенными в табл. 4.
л, ,2/
Удар заканчивается при t = —, т. е. когда волна сжатия пройдет длину стержня
в одном направлении и, отразившись от ненагруженного конца в виде волны расши*
рения, возвратится к концу стержня, подвергнутому удару.
4с Функция I для задачи о продольном ударе твердого тела по свободному стержню
Интервал
Г (Z)
Замечание. В приведенных выше задачах о соударениях стержней не учитывались местные
деформации. При их учете результаты будут существенно зависеть от геометрии ударяющего
тела и стержня Например, получено решение для удара сферического тела по стержню со сфе-
рическими концами, а также для других случаев 134, 48],
6. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГИМ БАЛКАМ
Элементарная теория. Пусть с высоты h на балку постоянного сечения падает
тело массы М. В элементарном подходе массой балки пренебрегают и используют
теорему об изменении кинетической энергии. Предположения, что балка свободно
оперта по концам и что удар приходится посредине между опорами, приводят к вы-
ражению для динамического смещения при ударе
(4?)
где /ст — статический прогиб, определяемый элементарными методами сопротивле-
ния материалов. Следующий шаг уточнения состоит в учете приведенной массы балки
(для опертой балки приведенная к середине балки масса равна 17 /л/35). Вместо
(47) применяют формулу ______
^я=4,+ 1Дг+^С1—(*-£)• <48>
Г ’+з5Т»
Замечание. Формула (47) пригодна для любой упругой системы, если ее масса пренебре-
жимо мала по сравнению с массой груза, а форма динамического прогиба совпадает с формой
статически о npoi иба Формула (48) также допускает обобщение, если надлежащим образом
вычислить приведенную массу.
Сен-Венан решил задачу в предположении, что тело после удара движется вместе
с балкой (абсолютно неупругий удар). При таком предположении задача сводится
к интегрированию (83) гл. VIII (g2 = 0- = const) при услог иях:
d2W л п , &W .
цу = -г-г = 0 при х=0, I; — = 0 при x=o-J
дх2 дх 2
— М -5-Z- + 2EJ д-„ =0 при х=—;щ = о при /=0,/
dt2 дх3 2
dw л п I dw . п /I
— = 0 при/ = 0, х=£ у; -^- = с0 при f=0, x=^.J
(49j
266
Решение получено в виде разложения по собственным формам малых колебаний.
Недостатком подхода Сен-Веиана является предположение об абсолютно неупругом
ударе, не позволяющее учесть возможность отскока массы и повторного удара.
Обобщение элементарной теории. Рассматривается прямой центральный удар
двух тел с массами, равными массе ударяющего тела и приведенной массе балки.
Для характеристики взаимодействия тел вводят коэффициент восстановления е
(приведенная масса вычисляется по кинетической энергии). Скорости тел после
удара
М — Е/ппр М (1-ре)
(50>
Отсюда следует, что с2 > и1э так что дальнейшее движение балки будет происходить
отдельно от ударяющего тела. Далее снова применяется теорема об изменении кине-
тической энергии, и в результате для динамического прогиба получается формула
, , 17 \2
,+35Уо/
17
2/ст(1 Yo
(51)
Приведенное решение не учитывает возможности повторного удара, когда тело
догоняет балку, скорость которой уменьшается за счет действия упругих восстанав-
ливающих сил.
Теория поперечного удара Тимошенко. Эта теория объединяет существенные
положения теории Сен-Венана и Герца. Она учитывает местные деформации ударя-
ющего по балке тела. Пусть тело в момент соприкосновения с балкой имеет скорость
t'o. Если прогиб балки в точке удара х = £ обозначить через у, смещение тела —через $,
а местное сжатие через а, то s= а 4- у. Это соотношение служит уравнением сов-
местности при использовании метода расчленения, состоящего в раздельном рас-
смотрении движения тела и балки под действием сил контактного давления Р (/).
Исходными являются уравнения движения тела и балки
(52)
Эти уравнения должны быть проинтегрированы при начальных условиях
s(0) = 0; ^(О) = по;
щ(х, 0)=0; ^(х, 0) —О
(53)
и краевых условиях для балки, соответствующих характеру закрепления концов.
Дополнительным условием является зависимость между сближением а и силой кон-
тактного давления Р (а = kP* ’). На параметр k влияют геометрия соударяемых
тел и упругие характеристики их материалов.
Решением (52), удовлетворяющим (53), является
Р (4) dt2 dti.
(54)
Задачу о движении балки можно решить методом собственных функций, представ-
ляя решение в виде разложения по балочным функциям Хп (х) (для опертой балки
v . плх\
X, = sin — :
«Ф. 0=ЕИМ). (55)
п
Обобщенную координату fn находят из уравнения
£.+“V,=—------------р<0. (56)
Р? \ Хп (х) dx
решение которого при нулевых начальных условиях можно представить ч виде ин-
теграла Дюамеля (см. гл. VI)
fn =---Т2”'----- \ Р (т) sin (* — г) dt. (57)
«„pF \ Хп (х) dx О
6
Прогиб балки в месте удара
00 2 к
i/ = iy(|, 0 “=2 -\ Р (т) sin (Z — т) dr. (58)
п <ЛпрР \ Хп (х) dx "
Контактное давление определяется из функционального уравнения
vot _ ’ С f Р (/,) dt2 dt. = kP1'* V----------------р (т) sin (/_Т) Л. (59)
о с я (Of.p/7 jXn dx о
0
Это основное уравнение теории удара
Тимошенко. Решалось оно различ-
ными авторами [34, 48] Поскольку
уравнение (59) справедливо только
при наличии контакта между уда-
ряющим телом и балкой, при отсут-
ствии контакта должны использо
ваться уравнения (52) при Р = 0.
На рис. 4 представлены харак-
терные результаты, относящиеся к
случаю свободно опертой стальной
балки, ударяемой посредине проле-
та стальным шаром при г0= 13 см/с,
I = 39 см, F = 1,6 см2.
Рис. 4. Зависимость силы взаимодейст-
вия (/), перемещения тела (2) и прогиба
балки (3) при поперечном ударе
При рассмотрении поперечного удара по пластинам и оболочкам также может
быть использовано как обобщение элементарной теории Кокса, так и обобщение
подхода Тимошенко [34 , 48].
Часть третья
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Глава XVII
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
И ПОЛЕЙ
1. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Стохастические модели. Математическая формулировка и исследование стоха-
стических моделей основаны на методах теории вероятностей, теории случайных
функций и математической статистики. Многие задачи прикладной теории колеба-
ний могут быть удовлетворительно сформулированы и решены лишь с использова-
нием стохастических моделей К ним относятся прежде всего задачи о колебаниях си-
стем, возбуждаемых случайными нагрузками. Примером служат нагрузки от атмо-
сферной турбулентности, пульсаций в пограничном слое, акустического излучения
работающих двигателей, морского волнения, транспортировки по неровной дороге
и т. и. Многие технологические процессы также сопровождаются случайным изме-
нением динамических нагрузок (например, нагрузки, действующие на элементы
1 орнодобывающих и горнообрабатывающих машин). Случайные факторы помимо
нагрузок могут войти в вибрационные расчеты также через параметры системы.
Так, случайный разброс собственных частот или коэффициентов демпфирования
может оказать сильное влияние на выводы о виброустойчивости.
Статистическая динамика и родственные вопросы* Предметом статистической
динамики является математическое описание и методы анализа стохастических
моделей систем самой общей природы. Это могут быль модели механических, элек-
трических, биологических и тому подобных систем. Теорию случайных колебаний
можно рассматривать как приложение статистической динамики к системам опреде-
ленного класса. Для расчета случайных колебаний необходимо иметь статистические
данные о нагрузках и о свойствах системы. Поэтому к теории случайных колебаний
примыкает теория статистической обработки опытных данных, а также теория
идентификации динамических систем. Интерпретация вероятностных выводов о ко-
лебаниях требует применения методов теории надежности.
Случайные функции. Предполагается, что читатель знаком с элементами теории
вероятностей, включая распределения многомерных (векторных) случайных вели-
чин. Необходимые сведения можно найти в 188]. Ниже на инженерном уровне изла-
гаются элементы теории случайных функций. Рассматриваются только непрерывно
распределенные функции непрерывных аргументов,
Случайные функции U (/) времени t называют случайными процессами. Область
изменения аргумента t, как правило, совпадает с действительной прямой Т =
= (—оо, ос). При рассмотрении задач с начальными данными будем в качестве этой
области брать полупрямую Т = [0, оо). Случайные функции U (х) координат х =
= (хх, ..., хт) евклидова пространства Rm называют случайными полями. Случай-
ные функции времени i и координат х называют либо пространственно-временными
случайными процессами, либо пространственно-временными случайными полями.
Далее будем называть эти функции случайными полями. Совокупность случайных
функций Ui (0... Un (0 называют п-мерным случайным процессом или векторным
случайным процессом в пространстве R". Если в контексте встречаются векторные или
тензорные величины, то во избежание недоразумений рекомендуется применять пер-
вый термин. Реализации (выборочные значения) случайных функций будем обозпа-
МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
269
чать, в отличие от самих случайных функций, соответствующими строчными бук-
вами. Например, реализации случайного процесса U (t) будут обозначаться сц (f),
»2 (О, ••• (рис. 1). Случайный процесс U (f) может быть истолкован либо как сово-
купность всех его реализаций, об-
разующих некоторое пространство
выборочных функций, либо как
случайная величина U, зависящая
от параметра t.
Плотности вероятности и функ-
ции распределения одномерного слу-
чайного процесса. Плотность веро-
ятности р (и, I), зависящая от t
как от параметра, характеризует не-
прерывное распределение значений
функции U (t) при любом t <= Т
так что
Рис. 1. Реализации случайного процесса
р (и, Г) du = P {и^ и (f) < u + du}.
(О
Здесь и в дальнейшем Р { А } — вероятность наступления события А. Функцию
распределения F (и, t) вводят через плотность вероятности р (и, t):
и
F (и, f) = \ р (и, f) du.
—ОО
(2)
Для исчерпывающего описания случайного процесса необходимо задать совмест-
ные гп-мерные распределения для любого т и любой комбинации значений eg ... eg
sg tm е Т. Соответствующие плотности вероятности вводят при помощи соотношений
Р(«1.....ит, fx, .... tm) dut... dum = Р {uftSg U (tk) <uk + duk- £ = 1........m}. (3)
Они должны удовлетворять условиям нормировки
со
У р(«1, .... иш, fl...fm)duj...dum-l,
— ОО
(4)
согласованности
ОО
\ Р (°1« "•> ит> ^1- 1 • пр dum = р (U{, ... , U/n-i, fi, ..., ‘m-i) (5)
—со
и симметрии относительно любых попарных перестановок аргументов и^, tk. Од-
номерную плотность вероятности р (и, f) называют также одновременной или одно-
точечной, многомерные плотности р (ult .... ит, fj, .... tm) —многовременными или
многоточечными.
Моментные функции случайного процесса. Составляя произведения значений
функции U (f) при различных f и производя осреднение по множеству реализаций,
получим последовательность моментных функций
(U(t)), ([/(fj (/(f2)) (t/(fi)t/(f2)t/(f3)). ... (6)
Угловые скобки обозначают операцию вероятностного осреднения (математиче-
ского ожидания). Число сомножителей в (6) называют порядком моментной функции.
Моментная функция первого порядка есть математическое ожидание случайной
функции. Для задания случайного процесса необходимо знать полную систему
моментных функций, зключающую функции сколь угодно высокого порядка при
любых комбинациях значений 4> •••> tm е Т. .Моментные функции связаны с плот
ностями вероятности следующими соотношениями:
<и (0>= ) up (и- оdu’
— оо
ОО
(С/ (0) и (0)) = \ Utu2p (ult u2, ti, t2) duA du2\
— 00
P)
00
(U (0) U (t2) U (0)) = \ WiPfUi, u2, u9, 0, t2, /3) du, du2du3
—00
и T. Д.
Корреляционная функция случайного процесса. Вспомогательный процесс
U (f) = U (I) — (U (0) называют центрированным, а его моментные функции —
центральными (в отличие от моментных функций (6), называемых начальными).
Центральную функцию второго порядка
Л(0. 0)=<t>(0)t40)>
(8)
называют корреляционной функцией процесса U (0. В переводной литературе ис-
пользуют также термин ковариационная функция, а термин корреляционная функция
сохраняется за аналогом коэффициента корреляции
р (0, t2) = —_=— .
/Л(0 МЛ'(4. М
Корреляционная функция связана с двухмерной плотностью вероятности соот-
ношением
Л (0. 0) = J J [«(0) — а (ЛИ 1“ (0)~а(0)]р («I» «2. 0. fjdu^du^ (9)
— 00 —00
Здесь и в дальнейшем а (0 = {U (0). Корреляционная функция обладает свой-
ствами
Л(Л 0>О, K(tlt /2) = Л(0, 0), №(0, 0)=^Л(0, ti)KV2, t2). (10)
Дисперсия случайного процесса
al(t) = D[U(l)]=K(t, t).
Рассмотрим т несовпадающих моментов времени 0, tm. Квадратную матрицу
/Л(0 0) Л(0. 0) -.К (0, tm) \
К _ Л (0, 0) Л (0 /2) ... К (t2, i т) (11)
\Л(6п. 0) K(tm 2)...K(fm tm)
называют корреляционной (ковариационной) матрицей. Она является симметрич-
ной и неотрицательной; если значения функции при различных 0 и th линейно неза-
висимы, то корреляционная матрица — положительно определенная.
Спектральные представления случайных процессов. Пусть случайная функция
U (0 допускает разложение в конечный или бесконечный ряд
и Ю= УХЧ’а (0 (12»
а
где фх (0, ф2 (0, ... — некоторая система детерминистических (неслучайных) функ-
ций; Uit Uit ... —случайные величины. Система базисных функций предполагается
полной. Случайный процесс U (/) задается совместной плотностью вероятности для
случайных коэффициентов Фурье Ult U2, ... или полной системой моментов для этих
коэффициентов. Разложение
U(l} = a(t) + ^Ua^a(t), (13)
а
где базисные функции выбраны таким образом, что все
(ПаПр)=0 (a^fJ). (14)
называют стохастически ортогональным или каноническим.
Рассмотрим спектральное разложение в виде обобщенного интеграла Фурье
U (t) —а (/)+ j U ((и) ф {t, со) dw. (15)
— со
Здесь ф (/, о) — детерминистическая функция времени t и действительного пара-
метра ur, U (со) — случайная функция параметра ш. Без ограничения общности
принято, что (и е (— <»). Функцию U (со) называют спектром процесса U (/).
Если выполняется условие
(U* (со) U (со')) = S (со) 6 (со— со')> (16)
где S (со) — детерминистическая функция параметра со, б (со)—дельта-функция,
то разложение называют каноническим (звездочка обозначает комплексно-сопряженную
величину). Функцию S (со) называют спектральной плотностью процесса U (f).
Корреляционная функция процесса связана со спектральной плотностью соотноше-
нием
СО
K(tlt /2)= J 5(®)Ф*(6. co)rfco. (17)
— ОО
Обычно U (со) — обобщенная функция со, так что интеграл (15) в обычном смысле
не существует и соотношение (16) не имеет точного смысла. Более строгая трактовка
спектрального разложения (15) имеет вид
U{t) = a{f) + J ф ((, co)dZ(co). (18)
— ОО
Здесь Z (со) — случайная функция, значения которой равны сумме комплексных
амплитуд процесса с частотами, меньшими чем со. Условие стохастической орто-
гональности (16) записывается и виде
( 5 (Асо) (Асо = Део')
<Z* (Aco) Z (Ди)')} = J ? . пл '
( 0 (Део f) Дю = ф).
где Z (Ди))= \ dZ (со).
Дю
2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Понятие стационарного случайного процесса. Процесс U (/) называют стацио-
нарным, если все его вероятностные характеристики инвариантны относительно вы-
бора начала отсчета времени. В частности, математическое ожидание и одномерная
плотность вероятности этого процесса не зависят от времени, а двухмерная плотность
вероятности и моментная функция иторого порядка зависят от разности аргумен-
тов t2 — ilt но не от каждого аргумента в отдельности. Если накладываются только
ограничения на одномерные и двухмерные распределения, то процесс называют
стационарным в широком смысле. Стационарные случайные процессы служат удоб-
ной моделью для реальных процессов, свойства которых достаточно медленно из-
меняются во времени.
Корреляционная функция стационарного случайного процесса. Корреляционная
функция А’ (Г], /2) зависит лишь от разности t2 — /ъ так что К (А, /2) =
Обычно применяют обозначения (т); т = t2 — tt, а индекс при опускают. Кор-
реляционная функция стационарного случайного процесса удовлетворяет условиям
А (0)^0; А(х) = А(-г); К (т) -С А (0).
Эргодические случайные процессы. Стационарный случайный процесс называют
эргодическим, если одна его реализация содержит всю информацию о вероятност-
ных свойствах процесса. Эргодические процессы выявляют свои свойства не только
на множестве реализаций, но и во времени Важной их особенностью является воз-
можность замены осреднения по множеству реализаций осреднением по времени.
В частности,
7/2
(U — lim 4, ( и (/) dt\
-Т/2
т 2
А (т)= lim 4 \ [и (0-й] [н 04-х) — о] dt.
Т-*со 1
-7/2
Вопрос о принадлежности стационарного случайного процесса к эргодическим
процессам обычно решается на основе физических соображений или предваритель-
ной обработки ансамбля реализаций.
Спектральное разложение стационарных случайных процессов. Стационарный
процесс U (0 может быть представлен в виде обобщенного интеграла Фурье
{/(0=а4- \ U (ю) ei(oi du), (19)
—ОО
где <0 — действительный параметр, спектр U (т) — комплексно-значная функция,
удовлетворяющая условию U* (—ш) = U (св). Разложение (19) является канони-
ческим в том смысле, что спектр U (и) удовлетворяет соотношению типа (16):
(U* (to) U (со) б (со —со/), (20)
где S (со) — спектральная плотность процесса.
Интеграл Фурье (19) в обычном смысле не существует, поэтому соотношения (19)
и (20) не имеют точного смысла. Общепринятая запись стохастического интеграла
Фурье — Стильтьеса имеет вид
t/(0 = n+ J ei(i>! dZ (со).
Спектральная плотность S (со) пропорциональна мощности случайного процесса,
отнесенной к единице частотного диапазона. Для действительного стационарного
процесса она является действительной неотрицательной четной функцией частоты со. <
Для процессов с ограниченной дисперсией S (со) — интегрируемая на отрезке '
(— оо, оо) функция. с
В табл. 1 приведены выражения для корреляционных функций и спектральных
плотностей наиболее распространенных типов стационарных случайных процессов.
1. Корреляционная функция К. (т) и спектральная плотность S (со) стационарных случайных процессор
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Продолжение табл. I
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Плотности вероятности многомерного случайного процесса. Плотность вероят
ности л-мерного случайного процесса р (и, I), характеризующая распределение зна-
чений непрерывной векторной случайной функции U (?) для любых значений пара-
метра t е Т, вводится как
р (u, t) du =Р {и U (0 < u-f- du}. (21)
Здесь и ниже неравенства в правой части означают п неравенств для соответствую-
щих компонентов векторного процесса; du — элемент объема в Rrt.
Совместные плотности вероятности многомерного случайного процесса вводятся
при помощи соотношений
Р (“г. •••, (j.....lm) duj ...dum =
= P{u^U(/ft)<uftH-duft; *=1.........m}. (22)
Здесь uA — реализация векторного процесса в момент времени ik. Совместные плот-
ности вероятности, как и в случае одномерного процесса, должны удовлетворять
условиям нормировки, согласованности и симметрии.
Моментные функции многомерного процесса. Последовательность моментных
функций векторного случайного процесса U (П получается перемножением значений
компонентов вектора U (/) при различных / и осреднением ло множеству реализаций
«//(0). «Л ('*)>. (/. к. / = 1, .., п) (23)
Для исчерпывающего описания многомерного случайного процесса необходим»
Задать либо полную систему совместных плотностей вероятности (22), либо полную
систему моментных функций (23). Связь между двумя способами описания дается
формулами типа (7), обобщенными на многомерный случай.
Взаимная корреляционная функция. Центральные моментные функции от ком по
нентов многомерного процесса
Л/Н4, '») = (/, к=>1, - , п) (24)
называют взаимными корреляционными функциями. Свойства взаимных корреля-
ционных функций аналогичны свойствам элементов корреляционной матрицы (11),
но эти свойства не тождественны. Например, условие симметрии (10) принимает вид
U) = Kki(h. Л). (25)
Спектральное разложение многомерного случайного процесса. Рассмотрим слу-
чай канонического интегрального разложения типа (15)
U/(t) = a/(f)+ J Ц/ИФ/С/, w)d(o, (26)
- ОО
в котором спектры U) (со) удовлетворяют условию стохастической ортогональности
(Uf (и>, uk (»') > = Slk (а>) 5 (ц> -ш'). (27)
Функции S/ь (оз) называют взаимными спектральными плотностями векторного
процесса U(f).
Стационарные и стационарно связанные многомерные процессы. Многомерный
случайный процесс называют стационарным, если все его компоненты стационарны,
или стационарно связанным, если все его взаимные вероятностные характеристики
инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Взаимная корреляцион-
ная функция K/k (Л> ^2) стационарного и стационарно связанного процесса зависит
лишь от разности t2 — h == т. Яри этом свойство симметрии (25) принимает гид
Kfk (т) = К(~'Т).
Спектральное разложение стационарных и стационарно связанных процессов
Для стационарных и стационарно связанных процессов функция ф/ (/, ш) в разло-
276
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
жении (26) определяется как фу (t, и) = exp (—/со/), а спектры Ui (со) являются
комплексно-значными функциями частоты. Взаимные спектральные плотности
SJk (63) стационарного и стационарно связанного процесса — действительные функ-
ции частоты при j = k и комплексно-значные при j =/= k. Свойства взаимной спек-
тральной плотности действительного многомерного процесса следуют из свойств
взаимной корреляционной функции:
S// (со) 0; S// (со) = Sff- (— со); Sfk (со) = Ski (со). (28)
Нормальные (гауссовские) процессы. Действительный случайный процесс
U (/) называют нормальным (гауссовским), если его пг-мерные плотности вероят-
ности при любом т являются гауссовскими. Например, в случае m — 2 плотность
вероятности нормального процесса U (/)
1
1
Р(“1, и2,
(ь ^2) =
-2р
2ло1а2,(1 - р2)71
(Ц1-о(/1))(н2-а(/2))
2(1-P2) 1
(и2—а (/2))Д
Old-2
o'i
~(“i-a(4))2
Здесь а? = D [// (/.)] — дисперсия процесса в момент времени / = /?.; р (tv /2) —
коэффициент корреляции. Плотность вероятности р (иъ .... ит, 1Ъ ..., /т) пол-
ностью задается математическим ожиданием а (/) = ((/ (/)) и корреляционной функ-
цией К (/ъ /2).
Совместные плотности вероятности (22) для многомерного случайного про-
цесса подчиняются нормальному закону распределения. Например, для п-мерного
случайного процесса одноточечная плотность вероятности
р ехр {-12 2w W) (0,]}-
Здесь К (/) — матрица, элементами которой являются взаимные корреляционные
функции (24), взятые в совпадающие моменты времени = /2 = /; Ljk (f) — эле-
менты обратной матрицы. Многомерный нормальный процесс полностью задается
математическим ожиданием оу (/) = (U/ (/)) и взаимными корреляционными функ-
циями K/k (ti, /2) (/. k = 1.«)•
4. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Определение марковского процесса. Случайный процесс называют марков-
ским или процессом без последействия, если для любых моментов времени /о < /1 <
< ... </т выполняется условие
Р (ит> ^т\ит-1> ^т-ъ > ио> to) = P(um> ^т\ит~1> ^т-1)- (29)
Условная плотность вероятности
Р (ит> ит~й ^т-1> ••• J ио> /о)—
Р {ит (Jm) < um~\~dllm
(tk)<“k + duk
ft=0, 1...m —1
(30)
Марковский процесс полностью определяется начальным распределением
р («о, Q и переходной вероятностью р (ит, tm I ит_\, tm_0, равной условной плот-
ности вероятности перехода из состояния u^i, /rt_i в состояние ит, tm.
Интегральное и дифференциальные уравнения для переходной вероятности.
Переходная вероятность р (и, /1 и0, /0) удовлетворяет интегральному уравнению
Смолуховского
СО
р(и2, /2|и0, /0)= \ р(н2 Г2|«1. <1)р(“1. to)dut (31)
00
и дифференциальному уравнению параболического типа
'dt ~ — k\ ' “ ди' {*ьр)> (32)
* = 1
где (и, t) — интенсивности марковского процесса, вводимые при помощи соот-
ношений
со
х/г (и, t)~ Jim \ (u —Uj)ftp(u, 11 ult t — At) du. (33)
д/ -* о J
— co
Решение уравнения (32) должно удовлетворять начальному условию
Р («, I I «0. *о) 1г-/0 = б (W — П0).
Для непрерывного марковского процесса все — Q при k > 2. Уравнение (32)
принимает вид
дР 3 ( \ |_ 1 \ пл\
дТ = ^ди<'Л'Р)+2^^ (34)
его называют уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова. Интенсивности (и, t)
и х2 (м, Z) — соответственно коэффициенты сноса и диффузии. Переходная вероят-
ность как функция переменных и0, 1а удовлетворяет также уравнению
др_ _ др______1 д2р
дГ0 Х1 дий~'2
(35)
которое является сопряженным по отношению к (34).
Многомерный марковский процесс. Векторный случайный процесс U (/) =
= {L'j (Z)..Un (Z)} называют п-мерным марковским процессом, если его исчерпыва-
ющей характеристикой является переходная вероятность р (u, t | и0. to), удовлетво-
ряющая уравнению Колмогорова
п п п
У/ = “ 2 5Й7 (Х/Р) + 2 2 2 d^duk ^ikP) (36)
/=1 /=~1Л=1
с начальным условием р (и, Л и0, t0) I /_/0 — 6 (и — и0). Интенсивности равны
ОО
х/(ц, 0= lim ду \ (и, — u;1) р (u, Л иь —Д/1) du;
— оо
оо
х/*(и, 0 = lim т- \ {Uj—ufl){uk — ukl)p(u, Л uj, t—Д/) du,
д/-*0J
(37)
— 00
где Uj — значение случайного векторного процесса L (f) в момент времени I — Kt.
Обратное уравнение Колмогорова имеет вид
п п п
д± = _ V х, др _ ± V V х„.
dtv f ди0/ 2 * диЬ/-ди0/1 ’
(38;
где и0/ — компоненты вектора и0.
5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
Моментные функции случайного поля. Рассмотрим n-мерное векторное про-
странственно-временное случайное поле U (х, /) (рис. 2). Система моментных функ-
ций порядка г (г = 1, 2, ...) поля U (х, /) образуется путем перемножения реали-
заций его компонентов при различных значениях координат х и времени t и осред-
нения по множеству реализаций
((/Дх, /)>, <(/,(/Дх, t; ж',Г)>
(UjUkUt(*, t; х', х\ Г)> (/,
= I.......«)
(39)
Моментные функции порядка r= I представляют собой математические ожи-
дания компонентов функции U (х, /) в произвольной точке х и в произвольный
момент времени t. Моментные функции порядков г > I характеризуют стохастиче-
Рис. 2. К определению понятия
пространственно-временнйго слу-
чайного поля
скую связь компонентов в г различных точках
поля в г различные моменты времени.
Взаимные корреляционные функции прост-
ранственно-временного случайного поля. Мо-
ментные функции порядка г центрированного
поля U (х, 0 = II (х, 0 — (U /)) назы-
вают центральными моментными функциями,
а моментные функции второго порядка — кор-
реляционными функциями. Совокупность корре-
ляционных функций Kjk (х, I; х', t') образует
тензорное поле удвоенного числа переменных
х, t, х', Г.
Спектральные разложения пространственно-
временных случайных полей. Простейший тип
спектрального разложения имеет вид
Щх, о= £ иа(0<р„«; («)
а= 1
здесь <ра (х) — некоторая полная система детерминистических вектор-функций;
коэффициенты Ua (/) — случайные функции времени I. Случайное пате U (х, /)
задается полной системой совместных плотностей вероятности или полной системой
моментных функций для процессов (t). Система моментных функций поля U (х, t)
с использованием разложения (40) находится по формулам
оо
<(/, (х, /» = 2 ((/«(/)> Ф/а(х);
а= I
со ОО
((//(х, ф(/Дх', 2 <^а(0^(П>Ф/а(х)Ф^(х')
а =13=1
и т. д.
Стационарные пространственно-временные случайные поля- Здесь и ниже огра-
ничимся рассмотрением скалярного поля. Поле U (х, /), t е (-—со, оо) называется
стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются во времени.
Моментные функции порядка r> 1 зависят от разностей t'—t, f —t и не зависят
от выбора начального момента наблюдения. Стационарное пространственно-вре-
менное поле U (х, I) называют эргодическим, если одна его достаточно продолжи-
тельная реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах поля.
В этом случае моментные функции определяют путем осреднения соответствующих
произведений сначала по времени, а затем по множеству реализаций-
Спектральное разложение стационарных пространственно-временных случай-
ных полей. Рассмотрим случай канонического интегрального разложения типа (19),
Стационарное случайное поле U (х, t) допускает спектральное разложение
оо
U (х, t) = a (х) 4- \ U (х, <») dm.
— оо
(41)
Случайная функция U (х, со) в пространстве х, со обладает свойством стохасти-
ческой ортогональности по со, т. е.
(L'* (х, со) U (х', со')) = 5(х, х'; со) 6 (со —со').
(42)
Здесь S (х, х'; со)—детерминистическая функция, связанная с соответствующей
корреляционной функцией соотношением
оо
S (х, х'; ш)=,^- К (х, /; х', (4-т)e~lu>x dx (43)
— оо
и обладающая свойствами корреляционной функции по пространственным коор
динатам и свойствами спектральной плотности по времени.
Однородные пространственно-временные случайные поля. Поле U (х, /),
заданное во всем пространстве Rm, называют однородным, если его вероятностные
характеристики инвариантны относительно сдвигов системы координат. Моментные
функции порядка г > 1 зависят от разностей координат р = х’ — х, р" = хя — х
и т. д. Если однородное поле является эргодическим, то осреднение по множеству
реализаций может быть заменено осреднением по всему пространству.
Спектральное представление однородных пространственно-временных случай-
ных полей Ограничимся случаем канонического интегрального представления
однородного по х и стационарного по t поля U (х, /) В этом случае поле допускает
представление
ЛЭ оэ
и (х, О==а-Ь 5 J и (k, W) ? (к * + “° Л dm, (44)
— оо — оо
где к—вектор с компонентами klt km', kx = kmxm. Спектр
U (к, ш) обладает свойством стохастической ортогональности
{(/* (к, и) U (к(о')> = S (к, со) 6 (к — к') 6 (со - со'). (45)
Здесь S (к, со) — спектральная плотность. Корреляционная функция К (.р, т)
и спектральная плотность S (к, со) связаны соотношениями
К (р, т)= J J S (к, со) ? (кх + dkdco;
— ОО — ОО
оо оо
3(к. “>) = (2^тт )’ \’ «(Р, </₽Л.
— 00—00
(46)
Разложение (44), как и разложения (19), (41), носит формальный характер.
Строгая интерпретация этих разложений требует применения понятия стохастиче-
ского интеграла Фурье — Стильтьеса.
Однородные и изотропные случайные поля. Однородное случайное поле назы-
вают изотропным, если его вероятностные характеристики инвариантны относи-
тельно сдвигов, вращений и отражений системы координат во всем пространстве Rzn.
Корреляционная функция однородного и изотропного поля зависит только от модуля
вектора р — |х —х |, а спектральная плотность —только от модуля волнового
вектора k = I k |. Корреляционная функция и спектральная плотность однородного
и изотропного поля связаны соотношениями
К (р) = (2л)т/2р~ (m ~ 2)/2 \ S (k) Jtn _ 2 (/г р) km!2 dk\
0 ~
S (k)(2л)- т'2 k~ (m - 2>/2 j К (р) Jт_2 (k р) pm/2 dp;
о ~
здесь Jv (?) — функции Бесселя.
(47)
6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
Методы моделирования случайных процессов и полей. Метод статистического
моделирования (метод Монте-Карло) [18, 41, 53, 138J применительно к моделиро-
ванию на ЭВМ случайных процессов и полей заключается в решении задачи вос-
произведения дискретных последовательностей, имитирующих непрерывные слу-
чайные функции с заданными вероятностными характеристиками
Ограничимся рассмотрением наиболее употребительных алгоритмов моделиро-
вания стационарных гауссовских скалярных процессов и полей. Будем считать
все рассматриваемые процессы и поля центрированными.
Существуют два типа алгоритмов, при помощи которых на ЭВМ могут выра-
батываться дискретные реализации случайного процесса U (/). Алгоритмы первого
типа предусматривают вычисление дискретной последовательности значений ит =
= « (*т). т. е, значений реализаций процесса U (0 в совокупности заранее выбран-
ных моментов времени tm (т = 0,1, 2...). Шаг дискретизации обычно принимается
постоянным. Д/ = const, тогда из стационарности процесса V (t) следует стацио-
нарность последовательности {wm}.
В основе алгоритмов этого типа положено линейное преобразование стацио-
нарной последовательности независимых гауссовских чисел i с параметрами (£) =
— 0. (£2) = 1 в последовательность {um}, коррелированную по заданному
закону
«m+lMR (48)
где X (т) — корреляционная функция моделируемого процесса. При этом опера-
тор соответствующего линейного преобразования записывается или в виде сколь-
зящего суммирования с весом о*
N
ит~ . ak±m-k> (49)
k = 1
или в виде рекуррентного уравнения типа
г Р
ит= У ^kvtn-k ckum-k‘ l’J^'
Вид корреляционной функции воспроизводимого при помощи соотношений (.49),
(50) случайного процесса определяет набор значений коэффициентов ak, bkl ср 118|
Ко второму типу относятся алгоритмы, основанные на представлении модели-
руемых процессов в виде разложений
0. (51)
а
где фа —некоторая система детерминистических функций; U —случайный вектор.
При этом моделирование случайного процесса сводится к воспроизведению реа-
лизаций векторов U и последующему вычислению значений ит = и (tm) по фор-
муле (51). Алгоритмы моделирования случайных векторов в рамках корреляцион-
ной теории можно найти, например, в [18, 31].
Целью статистического моделирования случайных полей является воспроиз-
ведение совокупности реализаций значений поля U (х) в дискретных точках х„ [х =
= (Xi, .... хт), л=1, .... #].
В дальнейшем не будем делать формального различия между пространственными
координатами и временем и ограничимся случаем однородных случайных полей.
Алгоритмы моделирования случайных полей, как правило, являются обобщением
соответствующих алгоритмов моделирования случайных процессов на случай т
переменных.
Моделирование гауссовского белого шума. При статистическом моделирова-
нии случайных процессов и полей возникает необходимость в моделировании ста-
ционарного дельта-коррелированного гауссовского процесса £ (0 (белого шума интен-
сивности s) или его многомерного аналога S. (х). На ЭВМ можно воспроизводить
только усеченный белый шум £ (0 с конечной дисперсией, спектральная плотность
и корреляционная функция которого приведены в табл. 1. Параметр (ос при мо-
делировании подбирается таким образом, чтобы последовательность = £ (тД0
была некоррелированной. Это условие будет выполняться, если выбрать <ос = л/А/,
где А/ — шаг дискретизации. Моделирующий алгоритм при этом имеет вид [18]
U(52)
Метод скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.
Алгоритм (49) позволяет воспроизводить на ЭВМ последовательности {ите} сколь
угодно большой длины, которые с самого начала обладают свойством стационарности.
Весовые коэффициенты ак могут быть вычислены различными способами. Эффектив-
ным является способ, основанный на разложении в ряд Фурье спектральной плот-
ности моделируемого процесса. Преобразование (49) при этом берется в виде
Р
ит~ У? akZm-kt ($$)
k=~P
а коэффициенты
л/дг
= = 'j ’ cos • С54)
О
Шаг дискретизации А/ и число членов ряда Р выбираются из условия
где е — допустимая погрешность; аги = К (0).
Моделирование стационарных случайных процессов с дробно-рациональной
спектральной плотностью. Для моделирования случайных процессов с дробно-
рациональной спектральной плотностью (см. табл. 1, процессы № 3, 4, 7, 8) вида
где В (ко) и С (tw) — полиномы относительно (ко) порядка г и р соответственно
(г < Р), эффективным является алгоритм типа (50). Спектральная плотность после-
довательности
ОО
5(ш)=^ 2 <56)
т — — аз
может быть приведена к виду
л/ IВ (г) р
S(“,=2s |етгг|
(57)
где
т р
S(z) = 2 *fcz*; C(z) = l+ £ cfcz*; г = ^,
A = 0 Л=1
Коэффициенты bk, ck используются в рекуррентных уравнениях (50).
Соотношения (50) позволяют получать дискретные реализации случайных про-
цессов сколь угодно большой длины. Начальные условия в (50) при вычислении
первых значении последовательности можно выбрать произвольными (напри-
мер, нулевыми). Вследствие этого возникает переходный процесс, в пределах кото-
рого начальный участок вырабатываемой реализации будет искажен. Величина
этого участка реализации зависит от корреляционных свойств моделируемого про-
цесса.
Моделирование случайных процессов с использованием канонического разложе-
ния. Для стационарных гауссовских случайных процессов справедливо разложение,
аналогичное (19):
ОО
U (0 = \ (“) cos со/-)- V (cd) sin со/] du),
о
где U (o>), V (w) — взаимно-независимые и стохастически ортогональные случай-
ные функции. Принимая, что 5 (св) = 0 при |(в| > сос, и заменяя интеграл конеч-
ной суммой, получим [18]
I/ (0 = 2 cos + sin cda/). (58)
Здесь <вй = &Ды (Дев = oc/N)-, Uk, — гауссовские случайные величины со сле-
дующими вероятностными характеристиками:
<</*) = <V*)=0;
<y,l/*) = <V/V4) = a’6/4 (/,*=0,1........N);
ojj (0) Дев; о* = 2S (св/,) Дев (k 1).
Число членов ряда (58) выбирается из условия
Наряду с (58) можно использовать разложение
N
</(/)=£ Ak cos + ak). (59)
Zt=O
Здесь A^, — случайные величины с совместной плотностью вероятности
N
Р (Л1....ЛЛГ> а1.....аЛ') = П Р1 (ЛА) р2 (ал):
k— 1
Ль Afa '
Р) (Л*) = —» ех₽ (Ak > °)’ Р1 (%) = (° ak < 2я)-
Реализации, получаемые при помощи выражений (58), (59), являются перио-
дическими (Т = 2л/Дсп), следовательно, свойством эргодичности не обладают.
Общее достоинство разложений (58) и (59) — простота алгоритма моделирования,
а недостаток — необходимость учитывать большое число членов ряда.
Разложения (58) и (59) удобно использовать для получения дискретных реа-
лизаций случайных процессов в неравпоотстоящих точках.
Другие методы моделирования случайных процессов. Во многих случаях эффек-
тивным оказывается метод моделирования, основанный на использовании разло-
жения [138]
N
= ’ S cos(w^ + a*)' (60>
* = I
Здесь — случайные величины с совместной плотностью вероятности
N
Р(юг ... , av ... , aN) = П
k = i
Pl (»ь) = рг (<o) = o u’s (to) (—co<to<oo), p2 (aft) = (2n)'1 (0 2л).
Согласно центральной предельной теореме распределение реализаций (60)
при N -> оо стремится к гауссовскому. Кроме того, при N -> оо реализации будут
асимптотически эргодическими по отношению к математическому ожиданию и кор-
реляционной функции.
Наряду с (60) можно использовать разложение
N
U (*) = У (AkCos<0fit+Bk sin<Dfct). (61)
* = f
Здесь .4ft, Bh, toft—случайные величины с совместной плотностью вероятности
N
p(Alt ... , An, Вх...BN, tox.....о^) = |]
*= I
Р2 (“*) = Р2 (w) = 2S (w) Ou ' (0 to < co).
Кроме того, (Ak) = (fift) = 0; (A|) = (B£) = o-u/N. Закон распределения величин
Ah и Bk можно принять равномерным на интервале (0,1), при этом их реализа-
ции моделируются при помощи соотношений
. /12у/,/, 1 _ /12 V/./, 1 \
(62)
Здесь у£ — случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1),
которые вырабатываются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Моделиро
вание реализаций выполняют одним из методов моделирования случайных вели-
чин с заданным законом распределения. Соответствующие алгоритмы можно найти,
например, в [18, 31 [.
В табл. 2 приведены наиболее распространенные типы корреляционных функ-
ций стационарных случайных процессов и соответствующие им моделирующие алго-
ритмы.
Методы скользящего суммирования для моделирования случайных полей. Алго-
ритмы этого типа связаны с преобразованием однородного дельта-коррелирсванного
поля Е (х) в поле с заданной корреляционной функцией К (р)- Это преобразование
имеет вид
U (х) = ’j h (х) t (х — х') dx'.
— 00
Функция Грина находится из уравнения
\ /i(x)A(x + p)dx = X (р).
— X»
2. Алгоритмы моделирования случайных процессов
№ по пор Корреляционная функция Моделирующий алгоритм Параметры алгоритма
1 оге-агт’ а* 1 6 -се Q •Л А* II в 3 a -р л V* < ’/«; V* — аЫ
2 ог6—а 1 т!, а > о ит ~ Ьо*т + с1ит-1 6о=01Г— р*; Cj = р; р = е~v*; V* = а Д/
3 аге—а И 1 (1 4- а | т |), а > 0 11 tn = + +ci“m-i + с2й т-2 < « * ^1*1 TJ- 1 1 11+11 ST ” ~ а - Q. — +| « 1 а у II . II СО. W 1 # < * + £ - "Т" ai О а 1 ' || <£ а । чь ° и „ ° И " « II « 1 . = с£
4 о’е”® т cos вцт+ + sin юо | т | , Шо / а > 0 b0 = ofl=o| (₽1±r3j-4₽?)/2; &1 = <jPo/₽. Cl = 2р cos V«; с8 = — ps; Po = P <Рг-1)С08Уо + + U + P2) P sin Vo! Wo P, = 1 - 4p! sin Vo cos Vo — p*; Р == «—V#; v* = OtA/; Vo — й)(?Д^
5 агг~а | т созйоТ, а > 0 T> ? II 11 V3- " "l - « i 11 - [ л * л II " « s 1 ~ "ij. ® ~i -о и IT > ?. X U —• -• * та о гч X? п . II 1 5 1 е = ТО о Ci
6 [ СТ’ (1 1 ( о. У | т к т. 1 X I > То Л-1 и = ай V г . т т-н fc=Q fl0 = -4-; n = [4-1 + 1; /Л L V* J Г 1 1 1 — целая часть числа • LV* J V# = аДг
Дискретные реализации поля U (х) воспроизводятся при помощи формулы
скользящего суммирования
ип , ... , п = ^х 2 '“.S k ’Л,— k , ... , и —А ($$)
1* * т “ 1’ * т 1 1’ ’ т т*
1 т
Здесь Дх = Axi ... Дхт — константа, определяемая выбором шага дискретизации;
..... у —дискретные значения поля | (х), реализации которого воспроизво-
дятся по формуле типа (52):
L • = (Ax),/sr (64)
Практически суммирование в (63) производят по всем значениям kf, .... km.
при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми.
Другие методы моделирования случайных полей. Эффективные алгоритмы
моделирования случайных полей основаны на разложениях типа (58), (59) и (60),
(61), обобщенных на случай т переменных (138). В качестве примера рассмотрим
разложение однородного гауссовского случайного поля U (х) в виде
N
U W =в У М/ cos (k/Х) + Bj sin (k/x)]. (65)
/=]
Здесь Aj, Bj — случайные величины: k, — гауссовские случайные волновые век-
торы. Величины Aj, Bj удовлетворяют условиямj
(А/>₽<3/>=0; (ЛуВ/) = 0;<
<Л,Л4) = (В,В,> = ^6/4. (66)
Совместную плотность вероятности величин Aj, Bt и волновых векторов к, можно
представить в виде
.V
р (Лг ... , An, Bv ... , BY, kt...V)= nPiHp^lBppJk.),
где
pa(k/) = o“«5(k). (67)
Для моделирования поля U (x) согласно (65) необходимо для каждой реали-
зации получить 2N значений случайных величин Aj, Bj a N-m значений компонент
волновых векторов ку. При получении реализаций Ду, By могут быть использованы
соотношения, аналогичные (62). Для получения реализаций компонент волнового
вектора необходимо воспользоваться алгоритмами моделирования гауссовских
случайных векторов. Соответствующие алгоритмы можно найти в [18].
Применение стандартных программ. В математическом обеспечении ЭВМ серии ЕС для
образования случайных чисел предназначены подпрограммы RANDU и GAUSS [60].
Подпрограмма RANDU вычисляет равномерно распределенные случайные действительные
числа на интервале (0 1) и случайные целые числа на интервале (0,2s1)- Каждое обращение
CALL RANDU (IX, 1Y, YFL) использует для ввода целое случайное число. В результате вы-
даются нооые целое и действительное случайные числа. При первом обращении к подпрограмме
параметр IX должен содержать некоторое целое нечетное число с девятью или меньшим числом
цифр При последующих -бращениях IX должен быть равен предшествующему значению IY,
гычисленному этой подпрограммой. Параметр YFL — образованное равномерно распределенное
случайное число.
Подпрограмма GAUSS вычисляет гауссовские случайные числа с заданным средним (АМ) и
средним квадратическим отклонением [S], При первом обращении GALL GAUSS (IX, S, AM,
V) параметр IX должен содержать некоторое целое нечетное число с девятью или меньшим
числом цифр. После этого IX будет содержать равномерно распределенное целое число, полу-
ченное г ходе Выполнения подпрограммы и необходимое для следующего обращения Пара
метр V — образованное 1ауссовское число В ходе выполнения подпрограммы GAUSS исполь-
зуется подпрограмма RANDU.
Глава XVIII
СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Основные понятия. Пусть некоторая система находится во взаимодействии
с окружающей средой. Состояние системы характеризуется элементами и из про-
странства V, а внешнее воздействие — элементами I из пространства F. Система
задастся оператором Н, посредство^ которого каждой реализации процесса f (Z)
приводится в соответствие реализация процесса и (Z);
u = Hf. (1)
Уравнение (1) разрешается относительно I, если существует оператор L <= Н"1:
Lu = f. (2)
Далее случайные функции обозначены строчными, а их коэффициенты (образы)
Фурье — соответствующими прописными буквами.
Большая часть задач теории колебаний формулируется при помощи дифферен-
циальных уравнений относительно вектора состояний, т. е. в форме (2). Переход
к соотношению (1) обычно требует построения функции Грина для данной системы
дифференциальных уравнений.
Классификация систем. Будем считать в дальнейшем, что внешнее воздейст-
вие I (/) и, следовательно, состояние системы u (0 являются случайными процес-
сами, а операторы L и Н (если не оговорено) — детерминистическими; соответствую-
щие системы также будем называть детерминистическими системами в отличие
от стохастических, свойства которых также случайны.
Систему, описываемую уравнением (I), называют линейной, если для любых
fx, fse F и произвольных чисел а1э а2 выполняется условие
Н (аЛ1 ~Ь =tXjHI (-J-agHtf
В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциаль-
ных уравнений и дополнительных условий относительно u (0 еще не означает линей-
ности оператора Н. Так, параметрические системы нелинейны по отношению к пара-
метрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их анали-
тического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колеба-
ний, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах
с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Опера-
торное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде диф-
ференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными
и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колеба-
ний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая
задача.
Классификация задач теории случайных колебании. Основная (первая) задача
заключается в отыскании вероятностных характеристик состояния системы пи за-
данным вероятностным характеристикам внешнего воздействия и (или) системы.
Если внешнее воздействие задано вероятностными распределениями, то ставится
задача о нахождении вероятностных характеристик вектора состояния. Если внеш-
нее воздействие задано его моментами, например, математическими ожиданиями и кор-
реляционными функциями, то ставится задача об отыскании аналогичных харак-
теристик вектора состояния и т. п.
Вторая задача теории случайных колебаний — обратная по отношению к пер-
вой — состоит в отыскании характеристик внешних воздействий по известным веро-
ятностным характеристикам вибрационного поля. Решение этой задачи может суще-
ственно осложниться при задании неполной информации относительно вибрацион-
ного поля или при наличии случайных помех.
Третья задача заключается в определении оператора системы или ее пара-
метров по известным характеристикам па входе и выходе системы. Эту задачу назы-
вают задачей идентификации. Если структура системы и часть ее параметров из-
вестны, то цель задачи состоит в отыскании остальных параметров. Такие задачи
возникают в технической диагностике и, в частности, в вибрационной диагностике,
где на основании измерений и надлежащей статистической обработки вибрационного
поля делают заключения о техническом состоянии системы и о ее надежности.
Четвертая задача предусматривает синтез систем, обладающих заданными
свойствами по отношению к некоторому классу внешних воздействий, Пример такой
задачи — подбор оптимальной структу ры и оптимальных параметров виброзащит-
ных систем при случайных воздействиях (см. гл. XXI).
2. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО
МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Стационарные линейные системы с конечным числом степеней свободы. Ниже
будут рассмотрены методы решения основной задачи применительно к системе урав-
нений
Au + Bu' + Cu = f. (3)
Здесь и (0 — вектор обобщенных координат (матрица-столбец размерностью м);
f (0 — вектор обобщенных сил той же размерности; А, В и С — постоянные матрицы
(соответственно инерционная, диссипативная и квазиупругая). Случай переменных
коэффициентов представляет особые трудности и будет рассмотрен отдельно в гл. XIX.
Векторы u (0 и f (0 являются случайными процессами. Уравнения (3) рассматри-
вают либо совместно с начальными условиями, либо (для стационарных процес-
сов) совместно с условиями стационарности, требующими инвариантности вероят-
ностных характеристик процессов и (0 и f (0 относительно выбора начального мо-
мента времени.
Матрицы А, В и С будем считать детерминистическими. Если же они случайны,
го решение задачи можно разбить на два этапа: на первом рассмотреть условные
процессы в системе с заданными матрицами А, В и С; на втором этапе перейти к без-
условным процессам, применяя формулу полной вероятности или производя осред-
нение по всему ансамблю систем со случайными параметрами.
Дифференциальные уравнения относительно моментных функций. Оператор L
для системы (3) — линейный, стационарный и детерминистический. Ок переставйм
с оператором осреднения по ансамблю реализаций процесса и (0. Для получения
дифференциальных уравнений относительно моментных функций перемножаем
уравнения (2) при различных 0, t2, ., затем осредняем почленно результат:
L(u(/)) = (f (0);
LL (u(0)u(/2)) = (f (0)f(0)>;
tdi
L L L <u (0) u (0) u (0)> = (0) f (0) f (0))
G ti *3
(4)
Здесь L — оператор, действующий на функции переменной 0, т. е. переводящий
процесс u (/fr) в процесс f (tk). Первое уравнение (4) связывает математические ожи-
дания входного и выходного процессов. Остальные уравнения связывают моментные
функции второго, третьего и т. д. порядков. Если и (0 и f (0 — векторные процессы,
то произведения в уравнениях (4) должны трактоваться как прямые (тензорные)
произведения. Например, прсизведение и (0) и (0) есть квадратная матрица раз-
мерностью п X п, составленная из упорядоченных попарных произведений компо-
нентов (0, так что второе уравнение (4) имеет вид
л л
V £ £/а£Лр(иаО1)«р(0)> = <//(0)/И^) (/•,*=!....,»)•
а=1 р= j
Решения уравнений (4) должны удовлетворять начальным условиям, которые
получаются из аналогичных условий для и (/), или (для стационарных процессов)
условиям стационарности.
Дифференциальное уравнение для корреляционной функции одномерного процесса.
Для корреляционной функции/?,, (/ъ /2) одномерного процесса и (/) имеем уравнение
LL/C.ft, /2) =^(/ь /2). (5)
Л ri
Здесь Л', (Zlf t2) — корреляционная функция для одномерного процесса / (/). Урав-
нение (5) — дифференциальное уравнение в частных производных. Если начальные
условия для и (0 — пулевые, то дополнительные условия для функции Ки Оь t3)
- = ° к„=-л-'^-’ = о и,-»)-
<7^2
При отыскании стационарной реакции системы на стационарное внешнее воз-
действие введением новой переменной т = /2 — уравнение (5) приводится к обык-
новенному дифференциальному уравнению относительно функции К„ (т).
Пример. Пусть уравнение (3) имеет вид
и 4- 2eu 4- (Оои = f (г), (6)
где — собственная частота; е — коэффициент демпфирования Уравнение (5) для этого слу-
чая будет
f д1 д \ г дг д \
U+28 «7 + “0 fe + 28'•) - к/
Для стационарных процессе* корреляционные функции процессов и (Г) и f(/) связаны
уравнением
/ d3 4 d \ f d* d \
c&~2sd^ “3J (^ + 2ed? + 4 Ка(т) = К/(т).
Функция Ku (г) и ее производная должны быть ограничены на бесконечности; кроме того,
функция (т) должна быть четной. В качестве простейшего примера возьмем процесс f (/)
в виде белого шума с интенсивностью s. Тогда
K/(T) = s6(T). (7)
Ищем решение однородного уравнения на отрезке (0, оо) с начальными условиями
и с условием ограниченности на бесконечности. В результате находим
К«(т)в4^е-е Т fcoS(BeT4-^sin<oe 1Т|), (8)
U \ Е /
где (йе = («з — е4) 7» — собственная частота системы, вычисленная с поправкой на демпфиро-
вание (Е < <!)„).
3. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА (ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ)
Интегральная связь моментных функций входною и выходного процессов.
Если оператор L в уравнении (2) — линейный дифференциальный оператор, то опе-
ратор Н в уравнении (1) является линейным интегральным оператором типа Воль-
терра с матрицей Грина Н (/, т) (см. гл. VI). Запишем уравнение (1) ь форме
t
u(/) = Hf(x). (9)
т
Здесь нижний индекс равен аргументу у f (т), верхний индекс — аргументу у и (/).
В компонентах получаем
п t
»/Ю=2 $*/»<'. ч/нчл 0 = 1..................<4- (10)
А = х — со
Для вывода операторных соотношений между моментными функциями входного
и выходного процессов нужно перемножить уравнения (9) или (10), записанные
для различных аргументов tlt t2, .... и осреднить результат:
т (u(6)«O = H H<f(T1)f(T2)>; Ti т2 (H)
4 'm
(u(/1)...u(^)) = H H (f(Tt)„ f(Tm)). T1
Здесь, как и в дифференциальных уравнениях (4), произведения трактуют как пря-
мые (тензорные) произведения. Например, второе соотношение (11) записывают
в виде
<«/(4) = У У \ J тх)х
<х= 1 0= 1 -оо—оо
х (t2, т2) {fa (Т])/р (т2)> dXj dx.2 (/, й=1, ... , л).
Аналогичные соотношения можно записать для взаимных корреляционных
функций входного и выходного процессов:
п п ti 1г
К it иft (^i> rJ= У У \ \ hja (Ту Ti) й^р (/2, т2)Х
’ а= 1 ₽= 1 — оо — оо
x/Qa/p (Ь, Ts) dx2dra (/, А=1, ... , л). (12)
Применение метода к стационарным процессам. Для стационарных систем
элементы матрицы Грнна зависят только от разности аргументог hjk (t, x)=hJl! (t—т).
Если внешнее воздействие является стационарным и стационарно связанным, то вы-
ходной процесс будет обладать такими же свойствами. Переходя в формуле (12)
к новым переменным Л — h — т> — "h = вь t2 — та = б2, получим
п л оз оо
Л’я и (т) = У У \ \ йуа (6j)//*р (02)Х
a= 1 0= 1 о О
х*/а'р(т + 01—(J, А = 1, ... , л). (13)
Пример. Рассмотрим одномерные процессы и (I) и f (t), связанные дифференциальным урав-
нением (6). Переход от дифференциального уравнения к интегральному осуществляется с по-
мощью функции Грина h(t — x) в форме и (/) = | h (t— т) [ (т) dx. Для корреляционной
— со
функции выходного процесса при заданной корреляционной функции процесса f(t) в виде (7)
после вычисления интегралов в (13) приходим к формуле (8). полученной методом дифферен-
циальных уравнений относительно моментных функций.
4. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
Сущность метода. Пусть входной процесс f (Г) допускает каноническое интег-
ральное разложение типа (26) [см. гл. XVII]
□э
f/(0-<//(0>+ J Мш)Ф/(Г, co)dw (/=1, ... ,л),
— оо
причем спектры F/ (си) удовлетворяют условию стохастической ортогональности
</'/ (®) A* (io')) = 5/y/ft(w)d(w —ш').
Ю u/р. Болотина В, В, т. 1
Взаимные спектральные плотности Sf//fe(m) процесса f (t) связаны с взаимными
корреляционными функциями соотношениями
Kfffk (ti, t2) = J Sfjfk (о) ф* (4, <о) <р* (t2, to) dco. (14)
— ОО
Решение уравнения (2) ищут в форме
п со
“/(0 = <«/(0>+2 J М Ф/fe (Л и) dw. (15)
k = I —00
Детерминистические функции ф7> (/, со) находят из решения системы уравне-
ний
п
. L/atyak = (/, Л=1, ... , л) (16)
а=1 г
с соответствующими начальными условиями, взятыми в той же форме, что и для
процесса u (t). Взаимные корреляционные функции выходного процесса
п п со
Кц/ЯЛ('1, 'г)= £ У $ S/e/ («)ф/а(4, £0)фЛ₽ (/а, (O)dto (/, 6=1, ... , л),
а - 1 |}-= 1 - сю р
(17)
Пример. Рассмотрим применение этого метода к нестационарным процессам. Пусть движе-
ние колебательной системы описывается уравнением (6). При t < 0 система находится в покое,
а а момент времени t = 0 начинает действовать случайная нагрузка, заданная в следующем виде;
О (t < 0),
оо
J F (ш) eiu>f аа (t^O).
— СО
Уравнение (16) при этом принимает вид
а начальные условия будут нулевыми Решение ф (/. со) легко получается методом вариации
произвольных постоянных
ei<ot_e-Et
f (0 =
. , (со 4-е
COS 0)£ J-----------1— s
e a,
Для корреляционной функции выходного процесса после вычисления интеграла в (17) по
теореме вычетов при Sу (со) — s /2л получим
*«(*! [COSft5e(4-/i)+^’,n®e|/a-/i |“
_ е-« + A) [cos (Ое (/2 - Ч + ± sin ше (/2 +
Для моментов времени, удовлетворяющих условию А + А > | А — 6 I. это выражение совпа-
дает с полученным ранее (S). что соответствует установившейся реакции системы на стационар-
ное воздействие.
5. СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Применение метода спектральных представлений. Стационарный и стацио-
нарно связанный векторный процесс 1 (/) допускает каноническое спектральное раз-
ложение в форме
fr(0 = tf/(0> + Г (/ = 1, ... , л). (18)
— OQ
Базисные функции фа& (t, ®), определяемые как частное решение системы
уравнений (16), имеют вид
Фий (Л ш) = Hak (Ja) ехр (turf),
где На1г (iw) удовлетворяют уравнениям
л
У Lja (fto) Hak (tco)= б/й.
a= 1
Функции L/a (tro) есть результат действия оператора L на функцию е*гЛ Их
t
можно трактивать так же, как образы Фурье операторов Lj^. Например, для опе-
ратора L, заданного в форме (3), функции L,* (iw) определяются как Lj(ito) «
— cjk + — (di(1jk> гДе °yfr> fyk и cjk — соответственно элементы матриц А, В
и С. В задачах теории колебаний функции Ьрг (ito) имеют смысл динамических
жесткостей. Функции Hjk (lai) (элементы матрицы Грина Н в пространстве Фурье),
называемые передаточными функциями системы или динамическими податливостями,
вычисляются как элементы матрицы, обратной матрице динамических жесткостей.
Таким образом, приходим к следующей форме записи разложения (15) для
стационарных и стационарно связанных выходных процессов:
П ОО
uy(0«(u/(0>+S ? Fk^)H/k(i^e^d^ (/=1......................п). (19)
fc = I — ОО
Разложение (19) обычно записывается в зиде
u/(/) = <u/(/)>+ f Uf^)e^da. (20)
— ОО
Спектры выходного процесса Uj (®) связаны со спектрами входного процесса
Fj (®) алгебраическими уравнениями
а
1/у(ш)=У]
*=i
или в обратной форме
V LJk (г®) Uk (cd) = Fk (ш).
k= i
В силу стохастической ортогональности спектров Fj (cd) спектры Uj (cd) явля-
ются также стохастически ортогональными:
(®) Uk (©')> = SUjUk (®) б (CD-®'). (21)
а взаимные спектральные плотности SUJ„k (®) и Sf fh (cd) связаны соотношениями
Saj„k (Ш) = 2 V н*а (i®) (Z®) sfaf (®) (22)
a-=i P-=J p
или
2 V Z.?«(ia>)L»p(ia>)S,a„ (<o)-Sz,;,(«)). (23)
Взаимную корреляционную функцию К„уИА (т) находят путем преобразования
Фурье взаимной спектральной плотности выходного векторного процесса:
*«;«*(*)== Г $^(®)^. (24)
Метод спектральных разложений для процессов, удовлетворяющих условиям
стационарности, позволяет довольно просто находить вероятностные характери-
стики производных случайного процесса. Например, пи известным взаимным спек-
тральным плотностям (и) находят взаимные корреляционные функции обоб-
щенных скоростей и ускорений:
00
К • (Т)= f co2S (co)efaTdw;
ujuk Joo “J“k
00
K.... (t)= f ©’S (©)e^d©.
Joo uJ"k
Пример. Предположим, что система уравнений (3) допускает полное разделение обобщенных
координат, что соответствует приведению исходной системы к главным координатам при неко-
торых ограничениях на свойства матрицы В (см. гл. VI). Запишем эти уравнения в виде
d’u> du,
-3^-+№1~1Г+ “>/ ='/ <в ('“1............”•
где ©у и бу — парциальные собственные частоты и коэффициенты демпфирования Функции
Hjk (Z©) и Ljh (io) образуют при этом диагональные матрицы Ljk (/©) = (ito) = (Гш)
где £у (fo) = coj4- 2i6y© — О8 Тогда (22) и (23) можно привести к виду
siiik 1<0)
По известным взаимным спектральным плотностям вычисляют взаимные корреляционные
функции выходного процесса и его производных по формулам (24) (25), а также дисперсии и
корреляционные моменты Последние находят по формуле
оо Sx , (©) rf©
KUiUb (0> “ J "* -----• (26)
Joe Lj (to) Lk (to)
Вычисление корреляционных моментов. Интеграл в правой части (26) берется
по теореме вычетов В табл. 1 приведены выражения (0) для различных типов
спектральных плотностей S/y/fe (со). При этом принято, что S/y^ (со) = Sf (©) — дей-
ствительная функция частоты со Это будет иметь место, например, если процессы
/у (0 и fk (0 отличаются постоянным множителем. Как частный случай в таблице
содержатся значения дисперсий /<„ (0) компонентов выходного процесса. В этом
случае нужно положить ©у = ©* = ©0, еу = в* = Е-
Вычисление интегралов типа (26) по теореме вычетов при числе полюсов в верх-
ней полуплоскости, большем двух, довольно сложно. Для случая j = k и дробно-
рациональных спектральных плотностей 5^ (©) интеграл (26) сводится к сле-
дующему:
17 oirt (/©) d©
J 1й(1зд(М- <27>
- оо
Где
I la w = + O„X” -1 +... + ay,;
w, « - V* M
1. Корреляционные моменты обобщенных координат
Sf «о) “и, (0)
s/2n е/+ еЛ 2s С1ь : Cjk ~ (“/ 4)‘ +4 (е/ 4 8*) х х (е/“*, + е*4)
а* а л а! + ш» Cjk +4а {с/ш / + Ч 4 + (в7 + «>) X х[а' + 2(Че/ + е*) + 4еА]} а* ' cjk (а* + 2е/0[ + а’) < 4 + 2ела + “2)
. (0* СТ’ . —: е 4аг 2а 17л 4 — 2еь о>Ул - АН, аш„ № ^-4~2^(ez+efe) J ®*g = V4“4 , «Ае>8
2ао» — Х а* + со* у . ° (со» — й)2 — а1)* -f- 4а»со« °’ [ 806 (%- + “*) Djk ] ЛИ—а)ь c/feAfe(a) * Aj(a) Afr (a) = (co> - - <oj)' + (e* + a)4 + 2 (8fe + a)1 x X ( co£ — + <o®); Bik = (ey- + ej [(«1 - 4 - M + a2)2 + 4 (a2co§ - 44)]+ +2e* (wI - ®J) (4 - 4 - 24 + °2): Djk = h (“ a) (a) + 44 ( e> + a) ( Sfr - a) + + 2a [(4 - a) fj (- «) - (e; + a) h (*)]; f (a) = 4 — 4 + 2e^a — a2
СТ2 —2~ 6 (! ш 1 - Фо) (4 - 4) (4 - 4) + 44e;e* ° [(4 - 4)’ + 444] [(4 - 4)’ + 4e/4]
причем все корни полинома /ул (х) лежат в левой полуплоскости. Очевидно, что
интеграл (27) рационально выражается через коэффициенты и bj^ полиномов
hn W и Sjn (х):
<28)
где Da — определитель л-го порядка (Da = det . Элементы выражаются
через коэффициенты а^:
dap= ) aj, 2a-P (0-<2a — р^л), 0 (2a —0<O, 2a —p>n).
Определитель Dat> получается из Da заменой элементов первого столбца коэф-
фициентами Ьд, bfa, .... bjn.
Интеграл (27) можно вычислить также рекурентно:
Д
K,.j(.0)=y (29)
k= 1
если представить полином (х) виде
gjn (х) = f/n (х) fJri х); f/n (х) = сдх" "1 + • •.+
Коэффициенты в (29) связаны с ац и су/ рекуррентными соотношениями |80]
cJin ~ cji\ aJin ~ aji>
ajo, 1г-l~ajlk = ajz, А-г 1 аУ, A-i Iaj3, A+ii
CJ1. A-l =cj2k = CJ3 A-jl A+laj3 A + 1J
ajA = a]^klajlk\ P/А ~ cjlk
Вычисления по формуле (29) могут быть проведены при помощи подпрограммы COLOSS
(А, В. N, 1ERR, V, IN) [80] Здесь А, В — векторы коэффициентов полиномов I и fjn со-
ответственно; N —порядок полинома /уп; IERR = 1 если aJ(j > 0, IERR = О, если a/(J < 0;
TN — длина вектора А; V — выходное значение интеграла.
Учет взаимных корреляций обобщенных координат. Корреляционные момен-
ты Kt,aH (0) в общем случае зависят от параметров затухания еу, парциаль-
ных частот оу, ю* и характера спектральных плотностей S г^(св), действительную
часть которых можно охарактеризовать параметром остроты максимума а и некото-
рой преобладающей частотой воздействия соо (см. табл. 1).
Анализ формул для KttjUk (0) и (0) позволяет сделать некоторые выводы
относительно условий, когда взаимной корреляцией обобщенных координат можно
пренебречь, т. е. когда
Киуг/Л(0)<Ки/(°)(/^)- (30)
ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО ВЫПОЛНЯЮТСЯ УСЛОВИЯ Еу ~ 8* ~ 8, |(0у — (0*| < (Wy -j- (О*)/2.
Если а велико, то при малом демпфировании условие (30) выполняется, если е2
(св,- — со*)2, т. е. частоты должны быть не слишком близки друг к другу.
Ёсли |to; — mJ ~ (coy -f- «*) /2, то условие (30) будет удовлетворено при малом
демпфировании.
Если а ~ е, то условие (30) выполняется при близости частоты ш0 к одной
из собственных частот и (или) при значительном удалении собственных частот
друг от друга.
В остальных случаях взаимной корреляцией пренебрегать нельзя, Исследо-
вания показывают, что при малом демпфировании вкладом мнимой части взаимной
спектральной плотности обобщенных сил можно пренебречь при выполнении усло-
вия 8 << |(Оу — (0*1.
6. МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Вводные замечания. Методы, основанные на теории марковских процессов,
позволяют в некоторых случаях найти распределения выходных процессов. При
использовании теории непрерывных марковских процессов (см. гл. XVII) необ-
ходимо наложить некоторые ограничения на вид оператора L и внешнее воздейст-
вие Г (/) в уравнении (2).
Одномерные процессы. Для того чтобы уравнение (2) описывало одномерный
марковский процесс, дифференциальный оператор L должен иметь первый порядок,
а внешнее воздействие должно быть белым шумом. Запишем уравнение (2) в виде
«+*(«, (31)
МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
295
где / (/) — нормальный белый шум с интенсивностью s: (/ (()) = 0, (/ (/,) / (/2)) —
= s6 (/2 — /J; h (и, f)—детерминистическая функция. При этом интенсивности
марковского процесса
X]— — (г (и, /); x2 = s.
Функция h (и, t) в (31) имеет смысл коэффициента сноса, взятого с обратным
знаком, а интенсивность белого шума s равна коэффициенту диффузии. Уравнение
Фоккера — Планка — Колмогорова принимает вид
mfu.DPtu. /)1+г^Д
dt ди 2 ди2
Если оператор L задан в форме
(32)
то даже в том случае, когда f (t) — белый шум, выходной процесс и (/) не будет мар-
ковским процессом; но он может рассматриваться как компонента двухмерного
марковского процесса в фазовом пространстве. Полагая = и (t); и2 — й (/),
вместо (32) получим
~ U2' ’ (33)
ii2=-2eu2-h(u, /)+/. J
Система уравнений (33) описывает двухмерный марковский процесс и (?) =
= {«1 (0; МО}-
Многомерный выходной процесс. Уравнение (2), записанное в виде
(u, t)=fj 0 = 1» ••• • л), (34)
описывает выходной процесс и (Г), который совместно с процессом й (0 можно рас-
сматривать как 2п-мерный марковский процесс, если входные воздействия являются
стационарными белыми шумами:
{fj (0>=0; {fj «) fk (t+xY)=Sjk& (т).
Вводя обозначения X/ — tij (/); хл+/ = iij (Г), уравнения (34) перепишем в виде
или
где
•fy— Xn+J’
xn+j= 2zxn+j hj (xj, ... xn, t)-\-fj (j = 1, ... > n)
4=I^Xi, ... , xin, t)^k (A = l, ... , 2n),
t ' _ j xn+k (A == в),
A 1 ^k-nxk hk - n {n k 2n),
JO (A<n),
** \ fk (n<A<2n).
(35)
Входной белый шум $k (t) будет иметь интенсивности
_ I 0 (/, А^п),
I Sj_n, k-n (« </, A^2n).
Уравнение (35) описывает 2п-мерный марковский процесс, интенсивности кото-
рого
ху v.jk— cjk •
Уравнение Колмогорова принимает вид
2п 2п 2п
=_ V .1(Лад+1 V V
dt ^дх/{Х 2
д^р
Cjk dxjdx^
(36)
/ = 1
или, после перехода к первоначальным обозначениям,
. л
др (и, и, г) у
dt ~ 2
4- +2е;
ди j < f' I 'ди,
+ hj (U, /)
п п
ал] 1 у v а=р
aaj + 2 Z Z S'A du}duk
/=14=1
7. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ
СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Общая схема метода. Предположим, что поведение системы описывается опе-
раторным уравнением (2). Требуется найти вероятностные характеристики вектора
состояний системы при условии, что вероятностные характеристики внешнего воз-
действия известны. Ограничимся рассмотрением установившихся стационарных
колебаний системы.
Вычислительный алгоритм метода Монте-Карло для данной задачи можно про-
иллюстрировать при помощи следующей схемы (рис. 1), которая содержит четыре
основных блока: датчик случайных чисел (ДСЧ); блок моделирования внешнего
воздействия (вход); блок численного решения уравнений, описывающих поведение
Рис. 1. Схема реализации метода Монте-Карло
системы (модель системы), блок анализа случайных процессов (ДСП) для опреде-
ления статистических оценок вероятностных характеристик вектора состояний
системы.
В случае, когда параметры системы —• скалярные или векторные случайные
величины с известными вероятностными характеристиками, схема должна быть
дополнена блоком моделирования их реализаций (параметры системы).
Воспроизведение реализаций вектора состояний системы. Эта задача может
быть решена различными методами. Если система задается оператором Н и матрица
Грина для него известна, то воспроизведение реализаций и (/) может быть осущест-
влено при помощи численной реализации соотношений (10) для фиксированных
реализаций f (Г) и параметров системы. Если система задается оператором L, то вос-
произведение реализаций и (/) производится путем интегрирования уравнения (3)
методом Рунге — Кутта или другими численными методами.
При воспроизведении стационарных реализаций последовательностей и (/я) =
= и (л Д7) шаг дискретизации Д/, длительность начального интервала То =
и интервала наблюдения 7* = ХМ выбирают из условий Д/ Т, То >• t0, Т* > т*.
Здесь Т — характерный период колебаний (например, период, соответствующий
высшей парциальной частоте системы); — интервал затухания переходных про-
цессов; т* — интервал корреляции выходных процессов. Начальные участки реа-
лизаций при определении статистических оценок вероятностных характеристик,
соответствующих стационарному решению, не используют.
Статистический анализ выходных последовательностей. Вопросы определения
статистических оценок вероятностных характеристик случайных последователь-
ностей достаточно панно освещены, например, в [6, 51, 99]. Поэтому ограничимся
рассмотрением простейших оценок вероятностных характеристик последователь-
ностей (и„) = и (1Я) (n = 1, .... /V).
Оценки для функции распределения и плотности вероятности. Используя
«V значений реализации последовательности {ип}, оценки для >дномерной функции
распределения F (и) и одномерной плотности вероятности р (и) могут быть полу-
чены по формулам
F(u)^F(u)=l,V(n), (37)
п М ~ п {и\ - (W - Д2“)
р(и)^р(и)----------\-—А2и--------’ (38)
где N (и) —число элементов, меньших и. Рационально принимать AjU = Дги = — Ди ,
Тогда (38) можно записать в виде
р (“) = '— (39)
здесь
u4. = u4--g Ди; и_ = и —-^-Ди.
Средние квадратические погрешности оценок (37), (39) в случае статистически
зависимой последовательности
и и
+ A У | \ \ Р(ит^итдип-РЦи) . (40)
п >т — оо — оо
°<’ = Д (Ли)2 № (Ди)2 У | ) ) Р ^т> dUm dUn~(ДГ)а] ’ ’-41)
п>т и. и-
где AF = F (и+) — F (uj.
Близость эмпирического распределения к теоретическому оценивают при по-
мощи статистических критериев согласия (51, 99].
Оценки математического ожидания, корреляционной и взаимной корреляцион-
ной последовательностей. Несмещенной оценкой математического ожидания после-
довательности {ия} является статистическое среднее
N
Ю ="/V У и*' (42)
л= I
Дисперсия этой оценки равна
»(WI—V (l-O.jK„(Z). (43)
/ = - .V
Опенки корреляционной и взаимной корреляционной последовательностей
(соответствующих аналогов корреляционных функций) двух стационарных и ста-
ционарно связанных последовательностей {нл}, {ол} находят по формулам
! A/-UI
(0 = д( । ^ । V ^rrflm +1 /1» (44J
т = 1
Ь
f^uv (0 = д-_| ।
/п = а
здесь а = max (1,1 — I)', b = min (Д', Л’ — /); ит = ит — (ит).
2S8 СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ числом степеней свободы
Математические ожидания оценок (44), (45)
^а(О>-Хм0)-2га|Г|+зм; |
<*™(0> = ^Л)-Ч^| + г«тО. /
где
Л/—л N
г“ ifi=.v(.v-'/'j
m=1o=l
b И
Zuv i I |= /V (,V “ ‘ Wf (P —
m = a p = 1
(46)
Для гауссовских последовательностей дисперсии оценок (46)
O|«„(0l = ^
n -HI
О[*аи01 = д^р-г
т — | / I — N
+ (К'«Т (m + 0> <Kuv (m-0)].
(47)
л^Т (<K«ffl>I+
Из формул (46), (47) следует, что опенки (44), (45) являются асимптотически
несмещенными и состоятельными.
Оценки спектральных плотностей стационарных случайных последовательно*
стей. Оценки спектральных и взаимных спектральных плотностей стационарных
случайных последовательностей {«„} (л = 1, 2, .... Д') получают обработкой перио-
дограмм — функций безразмерной частоты
3„(а>) = 2^(^+(/1). (48)
N N
где Uc = У, ип cos л©; Us = V ип sin лги.
п — 1 п = 1
Математическое ожидание и дисперсия оценки (48) соответственно равны
N
<S« (©)> = 2.Г 2 1 “ 4г ) Ка C0S Л“:
п — — N
И - 1
D [£,(»)] = А («>)?+2 К"(га)Х
гП = 1 — .V
N -\т\ N — 1
X У cos(2n4-|m |)И] Ка(т)Х
п= 1 m I — X'
tf-iml -р
X 2 sin (2n -J- j m 1) (о .
л = 1 -*
(49)
Периодограмма Stl (со) является асимптотически несмещенной, но несостоятель-
ной оценкой спектральной плотности. Периодограмма представляет собой сумму
математического ожидания и быстроколеблющейся около нуля функции. Поэтому
состоятельную оценку спектральной плотности можно полечить только путем отфиль-
тровывания быстроменяюшейся составляющей.
Оценки для взаимной спектральной плотности последовательностей {цл} и {сл}
(п = 1, .... N) могут быть получены при помощи периодограмм
^(“) = 5JS[(ytl/e+f/sVs)+i(yiVe-yct's)). (50)
Здесь
N N
Uc = V илсо8Пш; Гс= У vn cos n<o;
п — 1 П = 1
н N
Us= S’n П(0’ V 5 = V sin пи).
п— 1 п = 1
Применение стандартных программ. При решении задач о случайных колеба-
ниях методом статистического моделирования с использованием ЭВМ серии ЕС
могут быть использованы подпрограммы RANDU, GAUSS, RKGS, AUTO и CROSS.
Описание подпрограмм RANDU и GAUSS приведено в гл. XVII. Эти под-
программы могут быть использованы для воспроизведения реализаций внешних
воздействий на систему f (/).
Для воспроизведения реализаций вектора состояний системы и (/) путем инте-
грирования уравнения (3) может быть применена подпрограмма RKGS [61]. При
этом уравнение (3) предварительно должно быть преобразовано к системе обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Вычисления статистических оценок вероятностных характеристик реализаций
состояний системы могут быть проведены с использованием подпрограмм AUTO
и CROSS.
Подпрограмма AUTO вычисляет оценку (44). Обращение к подпрограмме AUTO
осуществляется следующим образом: CALL AUTO (A, N, L, R, S). Здесь А —вход-
ной вектор, содержащий последовательность {цл} (п = 1, .. , Л'); L — запаздывание
0, 1, .... L — 1; R — выходной вектор длины L.
Подпрограмма CROSS вычисляет оценку (45). Обращение к подпрограмме
CROSS осуществляется следующим образом: CALL CROSS (А, В, N, L, R, S).
Здесь А, В — входные векторы, содержащие последовательности {ил}, {ол} соот-
ветственно; L — запаздывание; R, S — выходные векторы длины L (R соответствует
запаздыванию по {сл}, S —запаздыванию по {ил}).
Глава XIX
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Понятие о параметрически возбуждаемых случайных колебаниях. В гл. VII были
рассмотрены параметрические колебания ь линейных системах, возбуждаемые детер-
министическими воздействиями. В технических приложениях часто встречаются
также случайные параметрические воздействия. Любой пример из первой части
(гл. VII) можно сформулировать в терминах теории случайных колебаний, если
параметрическое воздействие является случайной функцией времени.
К случайным параметрическим воздействиям, которые могут поддерживать
незатухающие колебания системы типа параметрических резонансов в соответствую-
щих детерминистических системах, относят, например, стационарные и периоди-
чески нестационарные воздействия. Распространение теории параметрических
колебаний на стохастические системы требует введения определений стохастиче-
ской устойчивости, которые могут быть введены по-разному |5б, 122]. Наиболее упо-
требительные из них приведены ниже.
Устойчивость по вероятности. Пусть состояние системы в каждый момент вре-
мени t описывается случайным вектором х (i) в некотор. >м фазовом пространстве U.
Эволюция системы описывается дифференциальным уравнением
£ = О’. (1)
где Н — матрица соответствующей размерности с элементами — случайными функ-
циями времени. Эта матрица может также зависеть от х {I). Пусть уравнение (1)
имеет тривиальное решение х (/) = 0. Начальное условие
х(/о) = х0 (2)
будем считать детерминистическим. В пространстве U введем норму ||х||. По анало-
гии с классическим определением устойчивости по Ляпунову (см. гл. V) введем
определение устойчивости по вероятности. Решение х (/) = 0 стохастического урав-
нения (1) называют устойчивым по вероятности, если для любых е > 0, р > 0
можно найти такое 6 (е, р) > 0, что
И х0 (| < б => Р { sup (I х (0 (| <е] > 1— р. (3)
г о < t < сю
Смысл соотношения (3) состоит в том, что при устойчивом решении х (/) = 0
начальные возмущения всегда можно выбрать такими, что вероятность больших
отклонений системы при t > /0 ог начала координат будет меньше любого наперед
заданного значения р > 0.
Решение х (0 = 0 называют асимптотически устойчивым по вероятности,
если оно устойчиво по вероятности и, кроме того, при любом е > 0 выполняется
условие
lim Р {|| х (-П || < е} = 1. (4)
t -*сю
Аналогично вводят понятия неустойчивости по вероятности, устойчивости
по вероятности на ограниченном интервале, времени и т. п.
Устойчивость по математическому ожиданию нормы и родственные определе-
ния. Некоторые определения могут быть введены на основе числовых характеристик,
связанных с вероятностью, которая входит в определение (3).
Решение х (/) ~0 называют устойчивым по математическому ожиданию нормы
|1х|| в пространстве {/, если для любых е > 0 можно найти б (е) > 0 такое, что
|| х01| < б =^> sup <||х(0||><е. (5)
Zq </ <00
Решение х (0 = 0 называют асимптота чески устойчивым по математическому
ожиданию нормы ||х||, если оно устойчиво по математическому ожиданию нормы и,
кроме того, выполняется условие
lim (||х(01|)=0. (6)
/—►ОО
Решение х (t) = О называют экспоненциально устойчивым по математическому
ожиданию нормы ||х11, если существуют такие постоянные С >• 0 и а > (I, что при
любом i > [0
<||х(П(|)^С||х0|(е-а(/-^. (7)
Обычно норму в U вводят соотношением
/ п \ 1/р
1|х||= У |хА|* , р5=1. (8)
\*«= 1 /
В этом случае говорят о p-устойчивости. При р = 2 имеем устойчивость в среднем
квад рати ческом.
Устойчивость по совокупности моментных функций. Рассмотрим моментные
функции случайного векторного процесса х (0‘. моменты первого порядка (мате-
матические ожидания компонентов), моменты второго порядка (математические
ожидания квадратов и попарных произведений компонентов) и т. д., используя
для этого обозначение
mjki ...(0 = (0 xk (О Xj (/)...), (9)
p раз
где число индексов означает порядок момента. Сформируем вектор моментных
функций до порядка г включительно 1122]:
тЛ(0 = {^1(0. «НО. 1 «ц(0. rn12(t), ... ; ...}.
(Ю)
Его размерность существенно уменьшается, если 'использовать свойства сим-
метрии моментных функций (9). Соответствующее евклидово пространство обозначим
через Мг. Норму вектора mr обозначим через ||mr||, причем
г раз
(Н)
Решение х (/) =0 называют устойчивым по совокупности моментных функций
до порядка г включительно, если для каждого е > 0 можно найти такое 6 (е) > 0,
что
II (/0) II < 6 =5 sup || mr (/) || < в. (12)
to < t < 00
Решение х (0 = О называют асимптотически устойчивым по совокупности
моментных функций до порядка г включительно, если оно устойчиво по этой сово-
купности и, кроме того,
lim ||mr(/)|| = 0. (13)
^-»оо
В дальнейшем будем использовать термины устойчивость и асимптотическая
устойчивость в пространстве Мг.
Связь между определениями стохастической устойчивости. Между некоторыми
из введенных определений существует связь. Например, если решение устойчиво
в среднем квадратическом, то оно устойчиво по вероятности (обратное утвержде-
ние, вообще говоря, неверно). Устойчивость в пространстве по существу эквива-
лентна устойчивости в среднем, а устойчивость в пространстве М2, грубо говоря,
отвечает совокупности требований устойчивости в среднем и среднем квадратиче-
ском. В формулировку условий устойчивости по совокупности моментных функций
входит математическое ожидание от нормы моментов в начальный момент времени,
что включает в рассмотрение случайные начальные условия.
2. МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Общая характеристика метода. Классический метод функций Ляпунова исполь-
зуют для получения строгих достаточных (иногда необходимых и достаточных)
условий устойчивости и неустойчивости. В основе метода лежит идея построения
таких функций, по знаку производных которых вдоль фазовых траекторий можно
судить об устойчивости невозмущенного движения. Если система является сто-
хастической, то необходимо исследовать поведение всего множества реализаций,
смежных с невозмущенным движением 156, 142].
Метод стохастических функций Ляпунова разработан применительно к систе-
мам, эволюция которых представляет собой диффузионный марковский процесс,
рассмотренный в гл. XVII. Существенную роль в этом методе играет производящий
дифференциальный оператор марковского процесса, заданный на множестве функций
v (х, 0 от процесса х (/) и времени /:
22 (М>
/=1 /=14=1
где Ху — коэффициенты сноса; Ху& — коэффициенты диффузии [см. (37) в гл. XVII].
Оператор Lu совпадает с оператором обратного уравнения Колмогорова [см. (38)
в гл. XVII], если оно представлено в виде Lp[(x0, /0)] — 0. В литературе по теории
случайных процессов производящим оператором называют также оператор L —
Выражение Lu имеет смысл производной по времени от математического ожидания
функции и (х, 0 при условии, что в момент времени t процесс имеет значение х.
Таким образом, величина Lu характеризует скорость изменения функции и (х, /)
на множестве всех траекторий системы, проходящих в момент времени I через точку
фазового пространства х.
Задача состоит в построении таких функций и (х, /), чтобы по знаку Lu в неко-
торой области фазового пространства можно было судить о стохастической устой-
чивости. Для этого используют функции, аналогичные классическим функциям
Ляпунова.
Функцию и (х, /), заданную в некоторой окрестности полупрямой х = 0, t t0,
называют положительно определенной (по Ляпунову), если в этой окрестности
выполняются условия и (х, 0 ~ w (х) ~ 0 при х = 0, и (х, f) > w (х) > 0 при
х 0. Функцией, имеющей бесконечно малый верхний предел (равномерно малой
по х), называют функцию и (х, t), если для любого h > 0 существует такое 6 (h) > 0,
что при любом t > t0 имеет место [I х (ОН < б rzj || и (х, /) II < h.
Ниже сформулированы три теоремы об устойчивости решения х (/) = 0 стоха-
стической системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывный
марковский процесс х (t) с производящим оператором L [56, 112].
Теоремы об устойчивости по вероятности. Пусть в окрестности х = 0, t 2= /0
существует непрерывная положительно определенная функция и (х, t), принадле-
жащая области определения оператора L и удовлетворяющая при х 0 условию
Lu 0. Тогда решение х (/) = 0 устойчиво по вероятности.
Пусть в окрестности х = 0, t t0 существует непрерывная имеющая беско-
нечно малый предел положительно определенная функция, принадлежащая области
определения оператора L и удовлетворяющая при х /= 0 условию Lu < 0. Тогда
решение х (0 = 0 асимптотически устойчиво по вероятности.
Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для ка-
кой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, /) с коэффи-
циентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась ква-
дратичная положительно определенная форма to (х, 0» удовлетворяющая условию
Lu = —w. (15)
Тогда решение х (/) = 0 будет асимптотически устойчивым в среднем квадра-
тическом.
Пример. Рассмотрим простейшую линейную колебательную систему, коэффициент демпфи
рования которой «зашумлен> белым шумом (/) интенсивностью n*s:
<?+[2у+^ (/)]<?+ <7 = 0. (16)
Система, возбуждаемая белыми шумами, может быть представлена также в виде
п
dX/ = fj(x, t)dt 4- J] в/а(«. 0 4а(П </ = >. 2............(17)
<2=1
где Ёа (О — независимые нормальные белые шумы единичной интенсивности; х = (<?, q}. Коэф-
фициенты сноса Kj в зависимости от определения стохастического интеграла можно записать
по-разному При использовании стохастического интеграла Ито (28]
Ху = /у(Х, О- (18)
Если использовать симметризованный стохастический интеграл Стратоновича [103], то
1 П п ди
2 S S <«>
а=13=1 р
В первом случае процессы ta(0 называются шумами Ито, во втором —шумами Стратоновича.
Коэффициенты диффузии в обоих случаях
п
*jk = X Vka- <2°)
Трактуя белый шум £ (/) по Стратоновичу, найдем коэффициенты диффузии и сноса (xj = q,
Xi = x„ x, = — xt — 2yx, + H’sx,;
x,, = Xu = Xgi = 0; xS2 = pssxi-
Отсюда производящий оператор (14)
L = £ + * - (*' +2?Jt* - T U*SX1) + 2 <22)
Применим теорему об асимптотической устойчивости. Квадратичные формы о и to ищем
в виде
о = cnxf + ZCijX.x, 4- c,tx|; to = х? + xf,
— неопределенные коэффициенты, которые находят из условия (15), т. е.
W c.k
C1‘ = 27^+M2v-^uts); С1, = 4: См=27^-
Форма v будет положительно определена тогда и только тогда, если
< 2у,
(23)
Это дает достаточное условие для асимптотической устойчивости системы (16) в среднем
квадратическом [ 112].
3. МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Основы метода. Метод состоит в исследовании детерминистических дифферен-
циальных уравнений относительно моментных функций процесса. Метод позволяет
исследовать устойчивость стохастических систем в среднем, в среднем квадрати-
ческом и т. п., а также устойчивость по отношению к совокупности моментных функ-
ций до некоторого порядка включительно. Применительно к системам, поведение
которых является диффузионным марковским процессом, можно указать два основ-
ных способа получения этих уравнений.
Применение формулы Ито. Пусть процесс х (/) описывается дифференциальными
уравнениями Ито (17). Рассмотрим функцию V (х, f), имеющую непрерывные част-
ные производные до второго порядка включительно по х и первого порядка по /.
Тогда стохастический дифференциал Ито от процесса V (х, ()
j = \ a—1/-=!* = !
a=-l/=l
Эта формула Ито отличается от формулы дифференцирования сложных функций
в математическом анализе последним членом в скобках перед dt. Для получения урав-
нения, содержащего производную от моментной функции rrijki.... (t) по времени,
достаточно положить V—х/х/р^... и провести осреднение левой и правой частей в фор-
муле (24).
Применение уравнения Колмогорова. Запишем уравнение Колмогорова
|см. (36) в гл. XVII]:
3 Л a t п п
др _ V д / х 1 у V /9^1
di 2^ дх] Х,Г 2 dxjdxk '
/ = 1 f=1*^=1
Здесь р (х, f) — плотность вероятности вектора х (/), удовлетворяющая некоторым
начальным условиям. Моментные функции m^i .. (/) связаны с плотностью веро-
ятности р (х, t) соотношением
m,ki... (О = \ XjX^i ...р(х, t) dx, (26)
где интегрирование производится по всему фазовому пространству. Чтобы полу-
чить уравнение, содержащее производную от (f), необходимо умножить урав-
нение (25) на XjXkXi... и произвести почленное интегрирование. Интегралы в правой
части преобразуются далее при помощи формулы Гаусса — Остроградского с тем,
чтобы правая часть содержала в качестве неизвестных только моментные функции
от процесса х (/). В результате приходим к искомым уравнениям относительно
моментных функций.
Дальнейшее исследование сводится к определению условий устойчивости нуле-
вого решения уравнений моментных функций.
Пример. Применим метод моментных функций для линейной колебательной системы (16).
Коэффициенты уравнений (17) для случая белого шума Стратоновича имеют вид
ft = — х, — 2ух2; = g1S = git = 0: Su — — pl/sx!.
Применяя один из указанных выше способов, получим уравнения относительно математи-
ческих ожиданий mt = (q) и т, = (q):
dm, dm, / I \
~dp = m»< ~dF = ~~ m‘ — 1~ 1 ц s ' (27)
Нулевое решение системы (27) асимптотически устойчиво, если
цЧ < 4 у. (28)
Это условие накладывает ограничение на интенсивность белого шума в 2 раза менее жесткое,
чем достаточное услоьие устойчивости в среднем квадратическом (23)
Модифицированный метод моментных функций. Применение метода моментных
функций усложняется, если параметрические воздействия не являются белыми
шумами, например, в случае, когда параметрические воздействия получаются путем
пропускания нормальных белых шумов через некоторые линейные фильтры.
Пусть совокупность процессов, происходящих в фильтрах, описывается вектором
z (/) размерностью пь совпадающей с суммарным порядком стохастических дифферен-
циальных уравнений для фильтров. Введем расширенное (п ~Г п^-мерное фазовое
пространство U' с элементами у (0 = х (f) + z (i).
Эволюция вектора у (Z) в пространстве U' будет представлять собой диффузи-
онный марковский процесс. Однако стохастические уравнения (24) для линейных
параметрических систем оказываются нелинейными по отношению к части из ком-
понентов вектора у (/) Поэтому уравнения относительно моментных функций обра-
зуют бесконечную систему. В уравнения, содержащие производные от моментных
функций низших порядков, войдут моментные функции более высокого порядка.
В связи с этим возникает проблема замыкания, т. е. приближенного сведения беско-
нечной системы дифференциальных уравнений к конечной системе. Кроме того, после
замыкания уравнения будут содержать смешанные моменты процессов х (Л и z (/),
которые не входят в определение устойчивости по совокупности моментных функций.
Поэтому вводят модифицированное определение устойчивости.
Гипотеза квазигауссовости. Для замыкания системы уравнений относительно
моментных функций применяют гипотезу квазигауссовости, которая аналогична
гипотезе М. Д. Миллионщикова в теории турбулентности. При замыкании системы
на уровне г все моменты порядка выше г связываются с моментами низших порядков
соотношениями, справедливыми для многомерного нормального процесса. Условия
замыкания на уровне г центральных моментов
М/... = <(У/ - т/) (уь — ™k) (У1 - mi) ...)
записываются в виде
р
0
Sfta1a2Ha3a4 • • • Pa25 _ га25
(29)
(30)
(p = 2s4-l >г),
(р = 2$>г).
Сумма, стоящая в правой части, содержит все возможные разбиения 2п индек-
сов а2, ..., a3s (включая повторяющиеся) на s пар {ala2}> ••• {a2.s i^}-
Общее число слагаемых равно (2п — 1)1!.
Гипотеза квазигауссовости может быть сформулирована также в терминах
кумулянтов (семиинвариантов):
VZ^ = ° (Р>0- (31)
р
Кумулянты Vjki-" случайного вектора у вводят через характеристическую
функцию
/ п \
ф(б) = <ехр(х 2 б/У/ )
следующим образом:
v/^. = (—0р
р
до 1п ф (б) I
dbjdekdQi... |е=о'
р
Замыкание на уровне г = 2 эквивалентно предположению, что действительное
распределение компонентов вектора у (/) близко к нормальному. Весьма правдопо-
добно утверждение, что повышение уровня замыкания уменьшает ограничения,
накладываемые на распределение; следовательно, повышение уровня должно при-
водить к повышению точности. Однако модельные примеры и численный анализ
фактического поведения кумулянтов показывают, что это не всегда так. Во всяком
случае, до сих пор не предложено более эффективного способа замыкания [122].
Выражения для начальных моментов процесса через моменты низших поряд-
ков при различных уровнях замыкания имеют вид
mjki = У fnaiaima3~2mjmliml',
mjhlm = У та ja2^<ima 4 4"
+ У "Jaia2ma3a| —2 + Ьгп/гп^т^,
mjklmn — У maja3a3a4Wa5
' 4~ -g* ^сца2Х
X zna3ma4ma6 — .
(32)
В этих формулах суммирование производится по всем перестановкам индек-
сов /, k, I, т и п, кроме перестановок внутри Ща1а2> ^а^ааз и т<ча2яза4‘
Модифицированное определение устойчивости. Рассмотрим вектор гп' (/), ана-
логичный вектору моментных функций тг (/), задаваемому формулой (10). Век-
тор т' (/) содержит все моментные функции процесса х (/) и все смешанные моменты
процессов х (0 и z (0 До порядка г включительно. Соответствующее евклидово про-
странство обозначим через М'г, а норму в нем — через
Введем следующее модифицированное определение устойчивости по совокуп-
ности моментных функции [122]: решение х (/) = 0 называют устойчивым в про-
странстве М'г для заданного входного процесса z (/), если для каждого 8 > 0 суще-
ствует б (?) > 0 такое, что || nv (t0) || < 6 sup || nv (t) || < в.
«о < t < оа
Решение х (/) = О называют асимптотически устойчивым в пространстве Л1'
для заданного входного процесса z (/), если оно устойчиво в М' и, кроме того, вы-
полняется условие lim || m' (0 || = 0.
( -»ог
Устойчивость в Л1' влечет за собой устойчивость в Мг (для того же порядка г).
Противоположное утверждение неверно. Если z (/) имеет ограниченные моменты до
порядка г включительно, то устойчивость в г? влечет за собой устойчивость
в пространстве М'г. Для частного случая г — 2 устойчивость в Л4' есть необходимое
и достаточное условие устойчивости в Целесообразность модификации опре-
деления устойчивости видна из того, что после замыкания и линеаризации система
дифференциальных уравнений относительно моментных функций имеет вид
dmr . !
—— = Aitv ,
at
(33)
т. е. содержит смешанные моменты входного и выходного процессов. При необхо-
димости может быть исследована устойчивость по отношению к части составляющих
вектора гл'.
4. СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ БЕЛЫМИ ШУМАМИ
Предварительные замечания. Используя метод моментных функций и определе-
ние устойчивости по совокупности моментных функций, рассмотрим систему с двумя
степенями свободы
Qi + [91 + Н Ф (О (бц<71 + —
V24-2y2^2 + w1 [<72-1- И® (0 (Mi + Мг>] = °- ’
где Ф (/) = £ (0 — белый шум интенсивностью s.
Типичные матрицы В, составленные из коэффициентов bj^, имеют вид
При Yi = = 0 матрицы (35) соответствуют гамильтоновским системам, мат-
рицы (36) — негамильтоновским.
Систему уравнений относительно моментных функций (t) порядка г век-
торного процесса х (Л запишем в матричной форме
dmr
л-=Ап’-
(37)
Уравнения (37) могут быть исследованы численно, а в некоторых случаях ана-
литически.
Условия устойчивости имеют вид [72] (л = ш2/с01)
?1 + пу2 > 0 (при r= I); (38)
b^) < HiHt+Ya&h)-[(nYi^2-Y^h)2+
-НлТГ.’г^г^!]' г (при г = 2). (39)
Устойчивость по моментам высоких порядков. Области асимптотической устой-
чивости могут быть получены относительно моментных функций различного
порядка. Однако при повышении уровня замыкания г изменяется определение сто-
хастической устойчивости Вопрос о том, насколько результат зависит от определе-
ния устойчивости, может быть исследован на примере стохастического аналога
Рис. 1. Границы областей устойчивости уравнения Матье-Хилла с коэффициентами,
возбуждаемыми случайными процессами:
в — в— частота, возбуждаемая: белым шумом, $=1 (а); экспоненциально-корре-
лированным процессом, 0^2 = р r= <оо = 1,0 (б); процессом со скрытой периодичностью,
o^=w0=I.O. V = 0,025, р — 0,02 (в); г—б—частота и демпфирование, возбуж-
даемые: белыми шумами Ито (штриховая линия — г = 2) и Стратоновича (сплошная
линия— г = 2) (г); экспоненциально-коррелированными процессами, г = 2, V = Pi =
= Р» — 0,5 (б)
уравнения Матье — Хилла (34) (6]г = Р21 = Ь22 = 0, = 1). Результаты числен-
ного анализа [73] приведены на рис. 1, а. Увеличение порядка г моментов ведет к мо-
нотонному уменьшению критических значений параметра ц. Анализ показывает,
что из устойчивости по отношению к моментам нечетного порядка г = 2п 1 не сле-
дует устойчивость при г — '2п. Для малых значений параметра демпфирования yj
границы области устойчивости практически не зависят от г.
Системы с двумя случайными параметрическими воздействиями. Пусть воз-
мущенное движение системы описывается дифференциальным уравнением
<? + c°u 1-Т+ И2Ф2 (01 I1 (01 Q — о.
(40)
коэффициенты которого возмущены гауссовскими белыми шумами Ф; (/) = т]( (/)
с корреляционной матрицей
<ф(0<и('-т)>=*7*в(т) (/,4=1,2). (41)
Вместо зависимых шумов ф (/) можно рассматривать линейные комбинации неза-
висимых белых шумов gy (/):
Ч/й=2«й- («)
k = 1
Для двухмерного вектора x. = (q,q) коэффициенты сноса зависят от определения
стохастического интеграла (по Ито или Стратоновичу).
Уравнения (37) для моментов можно получить разными способами. Отличные
от нуля элементы матрицы А для системы стохастических уравнений в форме Стра-
тоновича имеют вид
в/./+1 = гН-1-/ (/ = 1, 2, , г);
a/4i./ = [ /-^ M-1P2S12-1]/ (/ = 1.2..И;
а/./-(/-1>[|(/-1))ФЯ-2Т] (/' = 2,3.........г + 1); (43)
Я/./-,- ^O'-l)(/-2))lfs,i 0=3, 4.....г+1).
Трактуя белые ш)мы (/) по Ито, получим
aj+i.j='l Ш — О №^12-1] (/ = 1, 2, , г);
O/./=G-l)|^ 0-2)^и-2?| (/=2,3......г+1). (44)
Коэффициенты о/,/+1 и aj,j^ определяют по формулам (43). На рис. 1,г при-
ведены границы областей устойчивости, полученных для двух форм записи сто-
хастической । интеграла при г = 2.
5. СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПРОЦЕССАМИ
С КОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ
Предварительные замечании. Для параметрических воздействий в виде белых
шумов относительно моментных функций удается получить замкнутую систему диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если случайное воздействие
не является белым шумом, то уравнения относительно моментов имеют бесконечный
порядок. Применение модифицированного метода моментных функций позволяет
замыкать бесконечную систему уравнений относительно моментов на любом уров-
не г и рассматривать устойчивость в М'г.
Параметрическое возбуждение экспоненциально-коррелированными процессами.
В качестве примера рассмотрим стохастический аналог уравнения Матье — Хилла
Ч4-2ущоч4-«о11+Рф10}Ч=0- I45)
где Ф (/)—экспоненциально-коррелированный процесс (гл. XVII, табл. 1), кото-
рый получается, если белый шум £. (/) (Ито или Стратоновича) интенсивности s =
= 2аа^ поступает на вход линейного фильтра
Ф4-аФ = * (/). (46)
Замыкая систему уравнений относительно моментов rnjk[... (/) при помощи
гипотезы квазигауссовости, после линеаризации приходим к системе (33). Раз-
мерность матрицы А равна 7 при г = 2; 16 при г = 3 и 30 при г = 4. Результаты
СИСТЕМЫ. ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПРОЦЕССАМИ С КОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ 309
численного исследования устойчивости системы (45), (4G) при различных г пред-
ставлены на рис. 1, б сплошными линиями. Штриховой линией нанесены резуль-
таты 1118], полученные при условии узкополосности выходного процесса:
^5Ф(2Ш,)<^- (47)
где 5ф (ш) — спектральная плотность процесса Ф (/).
Система с двумя случайными параметрическими воздействиями. Применим
модифицированный метод моментных функций к задаче об устойчивости уравне
ния (40), в котором процессы Ф, (/) соответствуют зависимым экспоненциально-
коррелированным процессам. Эти процессы получаются, если зависимые белые
шумы т)у (I) (42) пропустить через линейные фильтры:
Фу + ауФу = г]У (0 (/ = 1,2). (48)
Выбор модели белого шума (по Ито или Стратоновичу) при 0 не влияет
па вид уравнения Колмогорова и, следовательно, на выводы об устойчивости си-
стемы.
Некоторые численные результаты приведены на рис. 1, d, отражающем влияние
коэффициента корреляции оф Ф1 на устойчивость системы при г = 2.
Параметрическое возбуждение процессом со скрытой периодичностью. Пара-
метрические резонансы возникают при выполнении определенных соотношений
между частотами системы. Если параметрическое воздействие представляет собой
случайный процесс со скрытой периодичностью, то можно ожидать, что аналогичные
резонансные явления будут наблюдаться и в стохастической системе. Подробное
обсуждение этого вопроса с использованием модифицированного метода моментных
функций приведено в [15].
Системы с одной степенью свободы. Рассмотрим уравнение (45), в котором
Ф(/)— процесс со скрытой периодичностью (см. гл. XVII, табл. 1). Уравнение филь-
тра имеет вид
ФН-2аф фе2Ф = Е (/). (49)
Интенсивность s белого шума ; (0 равна 4аб2ст^. После применения гипотезы
квазигауссовости и линеаризации приходим к системе (33). Размерность матрицы А
равна 9 при г = 2; 25 при г = 3 и 55 при г = 4. Результаты численного анализа
при различных уровнях замыкания представлены на рис. 1, в сплошными линиями.
Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, границы
области устойчивости обладают относительной стабильностью по отношению к уров-
ню г замыкания системы для моментов т/щ... (/) (особенно в области аналога глав-
ного параметрического резонанса при v = 0 /w0 = 2). Во-вторых, при увеличе-
нии г обнаруживается более тонкая структура границы области устойчивости:
в дополнение к аналогам главного параметрического резонанса (v = 2) и первого
дробного резонанса (v = 1) наблюдаются аналоги дробных параметрических резо-
нансов (v « 0,66; 0,5; 0,4; ...). Заметим, что критерий устойчивости (47) (штрихо-
вая линия) (см. рис. 1, в) дает лишь область, аналогичную главному параметриче-
скому резонансу.
Параметрическое возбуждение периодически модулированными процессами.
Модифицированный метод моментных функций может быть применен также к систе-
мам, параметрически возбуждаемым периодически нестационарными воздействиями.
Примером такого воздействия может служить стационарный процесс, модулиро-
ванный периодической функцией. Используя метод моментов, приходим к системе
уравнений типа (33); однако матрица А будет содержать члены, зависящие от вре-
мени. Дальнейшее исследование устойчивости может проводиться различными мето-
дами, например, методом матриц перехода (см. гл. VII).
Глава XX
СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
1. МЕТОДЫ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Стохастические краевые задачи в теории колебаний. Рассмотрим методы решения
стохастических краевых задач для случайных полей u (х, t) — функций времени t
и координат х, заданных в области х е V пространства Rn. Операторная форма
записи уравнений имеет вид
Lu = f, (1)
где I (х, 0 — случайное поле с заданными вероятностными характеристиками; L —
линейный детерминистический оператор. Рассмотрим также в терминах теории
колебаний линейных систем системы более частного вида
4г+с“='- «
Здесь А* В. С — соответственно инерционный, диссипативный и квазиупругий опера-
торы, свойства которых и конкретные реализации были подробно рассмотрены в гл.
VIII, IX и далее.
Пример. Пусть упругий стержень постоянного сечения совершает случайные изгибные ко-
лебания под действием случайной поперечной нагрузки f (х, t). Запишем уравнение относи
телып функции прогиба (х, f) в виде
EJ ^+pFV+2pFe * (3)
Концы стержня х = 0 и х = I будем считать опертыми. Рассмотрим случайные колебания,
которые начинаются из состояния покоя, а также установившиеся колебания под действием
стационарной случайной нагрузки, когда на решение накладывается требование стационарности
во времени. Примем, что нагрузка f (х, /) дельта-коррелиронана как по координате, так и по
времени, причем
<'“'»-* I w
SfcOld'.niMlU-nH'-n. I
। де интенсивность s = consi
Метод дифференциальных уравнений относительно моментных функций. Метод
отличается от описанного ранее (см. гл. XVIII) тем, что оператор L действует на
функции координат х и времени /. Например, уравнения относительно моментных
функций второго порядка принимают вид
L L (и(х, /)и(х\ H> = (f(x, W'. О>. (5)
X, t к', I'
где выражения и (х, /) и (х\ f) и Г (х, f) f (х‘, f) понимаются в смысле прямого (тен-
зорного) прсизведения. Уравнение (5) включает в себя также осредненные граничные
условия.
Для рассмотренного выше примера уравнение, связывающее корреляционные функции на
грузки J (х, t) и прогиба а> (X, t), т. е. функции
К, (х, t; х'. /') « (7(х. /) 7 (х'. /')>; I
> (6)
Ка, (*. С Н = <«’ I) w (Х-, /')>, J
Зудет следующим
EJ-1" + рЕ ~ + ?pFe - (ej -- + pF ) X
V dx* dt» dt J \ dx'* dt'* dt' I
X (x, f. x'. П = Kf (x, x', t') (7)
Для колебаний, начинающихся из состояния покоя, граничные и начальные условия вво-
дятся так;
д»Кт
= (х = 0, л = 0;
d’K
*®=^Г=° (*' = 0. х' = 2);
<8>
О (1 = 0);
К„—77?--» <'' = »>
Стационарные случайные колебания. Если f (х, О и w (х, I) —стационарные случайные
процессы, то корреляционные функции зависят от разности V — t (а не от каждого аргумента
порознь) Зьодя новую переменную т =/'—t, вместо уравнения (7) получим
EJ-&-+pF ——2pf8-5- -^-+pF-^-+2pFe — (х, х' х) = Kf (х, х'. х) (9)
\ дх* дх2 dr A dx'4 дхг dr / ® 1
Граничные условия из (8) остаются без изменения, а вместо прежних начальных условий
нужно взять следующие
= _ А = 0 (т = 0), К i < оо (т - ± со) (10)
dr dr’ 1 w 1
Е^ли входящие в (10) производные не существуют, то следует взять соответствующие усло-
вия скачка при т = 0 Уравнение (9) с условиями (10) легко решается по методу разделения
переменных Если нагрузка f (х, (} задана соотношениями (4), то получаем
со
„ s _я. । _ 1 / , е \ knx /глх'
Kw(x, х’. Т)=^з7^е * т ^2ji^(cos“AeT+^Esln(0Ae'Tl/sln Г&1а~Г’ (1,)
где а>£е = (йп, — г )' 1—собственные частоты стержня, вычисленные с поправкой на дисси
нацию
Метод функций Грина. Метод является естественным обобщением метода импульс-
ных переходных функций (см. гл. XVIII). За исходное в этом методе принято уравне-
ние (1), разрешенное относительно u (х, t):
u = Hf.
(12)
Для раскрытия конкретного содержания оператора Н необходимо построить
функцию Грина (тензор Грина) для соответствующей краевой задачи. Если и (х, t)
и / (х, 0 — скалярные поля, то функцию Грина G (х, t; т) определяют как решение
уравнения
LG(x, /; т) = б(х-£)6(/-т), (13)
X, /
удовлетворяющее граничным условиям для и (х, f) и нулевым начальным услсч иям
при t = т. По переменным х и | функция G (х, t\ т) является функцией Грина
в обычном смысле, по переменным t и т — импульсной переходной функцией. Реше-
ние уравнения (12) запишем в виде
t
ц(х, 0= J J G(x, /;
— оо V
(14)
Реализацию операторного соотношения (13) в случае, когда и (х, 0 и f (х, t) —
векторные поля, записывают при помощи тензора Гринас компонентами G/* (х, (;£, т):
i
«/(х> 0= 2 i t’, §> Vfk(l, T)J3-dT. (15)
ft —I — оз V
Выражения типа (14) и (15) можно представить в виде
u(x, 0 = ХН {f(§, т)}, (16)
где первая пара аргументов у функции (тензора) Грина выписана над знаком опера-
тора, вторая — под этим знаком. Осредняя соотношение (16), а также соотношения,
получаемые почленным перемножением при различных хи/, получим формулы для
моментных функций вибрационного поля. Так, для моментных функций второго по-
рядка
<u(x, фи(х', П>«ХН ХН {</(£', т)Н5', Т')>} (17)
s, Т V-V
и т. д.
Для рассмотренного выше примера функция Грина имеет вид
(° (К О.
2 I , knx totS _________ (18)
’ sin 1' ~ sln ~ sin -f- (/>t)
Л = | ke
Подстановка формул (4) и (18) в соотношение типа (17) для корреляционной функции при-
водит к формуле (11)
2. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Метод канонических разложений. Одним из эффективных методов решения сто-
хастических краевых задач является метод канонических разложений. Рассмотрим
случай, когда L в (2) является линейным скалярным оператором. Скалярное поле
f (х, /) можно представить в виде разложения
/(х, 0= У ЛхФа (X. 0, (19)
а = 1
которое является обобщением разложений (12) (см. гл. XVII) для пространственно-
временных случайных полей. Решение уравнения (1) можно искать в виде разло-
жения, аналогичного (19),
« (х, 0 = У, М’а (х. 0, (20)
а=1
где фа (х, Л — неслучайные функции, которые могут быть найдены из решения
вспомогательной детерминистической задачи
Ефа=фа (21)
методами, изложенными в гл. XIV. Моментные функции поля и (х, /) определяют при
этом следующим образом:
<«(«. <))= 2 <г„>фо(х, 0;
а =* I
(22)
(и* (х, 0 и (х', /')> = У У (/га/гр)фа(х 0Фр(х', И
«=1 J
и т. д. Если исходное разложение (19) выбрано каноническим (см. гл. XVII), то,
например, для моментной функции второго порядка имеем
(и* (х, о и (х', /')>= У <1 Fa |>> (х, 0 Фа (X', Г). (23)
а = 1
Метод временных преобразований Фурье. В случаях, когда внешняя нагрузка
и вибрационное поле являются стационарными случайными процессами, аффективен
метод временных преобразований Фурье.
Пример. Если ввести по формулам тнпа (43) (см. гл. XV11) спектральные плотности для
полей f (х, t) и w (х, t)
5/ (X, X', to) = -
. х', X) в ,шТ dx;
(24)
(X, X’, to) =-r-
w ' 2n
:, х', т) е~,их dx.
то они будут связаны между собой уравнением, которое получается после применения к урав-
нению (9) преобразования Фурье по
времени;
— pFw3 — 2pFeiw х
х
— pFto* + 2pFe(to j X
X (х, х' to) = Sj (x, x', to). (25)
Граничные условия для функции
Sa, (х, х', to) остаются такими же,
как и для Kw (х, х', и) (8). Решение
уравнения (25) можно представить
ь виде
sa, (-*. х', со) =
со
a=> I
0= 1
Sap (со)
,u (- ।ш) (ito)
алх рлх'
Xsin — sin —г—
l I
(26)
Здесь
Sa₽
x', (o) x
о о
cuir , flnx'
rsin-z-d
(27)
Корреляционная функция
(х, х', х) =
оо
= I sw *х* dt0- (28>
— 00
Если нагрузка f (х, t) задана со-
отношениями (4), то ьыражение для
(х, х', т) имеет вид (11).
Передача случайных
ций через конструкции,
на элемент конструкции
вибра-
Пусть
дейст-
Рис. 1. Зависимость спектральной плотности прогиба
цилиндрической оболочки от осевой координаты при
заданном на торце перемещении (а) и угле поворота (б)
вуют стохастически заданные
стационарные возмущения. Рас-
смотрим вопрос об определении
вероятностных характеристик реакции системы
в различных точках конструкции. Исследование передачи случайных вибраций
сводится к решению стохастических краевых задач.
На рис. 1, а показаны .характерные графики безразмерной спектральной плотности нормального
прогиба (х to)/Stt (to) для полубесконечной цилиндрической оболочки со стохастически
заданным на горце нормальным прогибом w (0, г), а на рис. 1, б — графики 5 (х, <a)i\RhSv (и)]
для стохастически заданного угла Поворота о (Q. t), построенные при значениях параметров
2e,to — 0,05, h/R = 0,004 [92]
Метод пространственных преобразований Фурье. Рассмотрим применение этого
метода с использованием канонических разложений. Предположим, что нагрузка
/ (х, t) образует центрированное однородное случайное поле, т. е. допускает разло-
жение
f(x, = J J F (k, co)кх+ш1' dkdw (29)
— co —co
co спектром F (k, co), обладающим свойством стохастической ортогональности
<F*(k, (a)F (k1, a')} = Sf(k, co)6(Jfe-A>')6(co-co'). (30)
Здесь Sj (k, co) — пространственно-временная спектральная плотность внешней
нагрузки.
Пример. Решение уравнения (3), если справедливо представление (29), можно искать в виде
СО ОО
w (х, t) = J J F (k, о) ф (х, I | k, o)dk do. (31)
— CO — 00
Функции if (x, t [ k, а) при этом будем определять из решения детерминистической задачи
EJ + РР + 2pFe (**+<->/). (32)
Если случайные колебания стержня начинаются из состояния покоя, то функция ф (х, t | k, со)
должна удовлетворять условиям
*=^Г = ° (* = *>. О, Ф=^ = 0 U=0), (33)
если же рассматривать установившиеся колебания под действием стационарной нагрузки, то
условиям
Ф = |2г = 0 (* = 0.0. , Ф I < оо (/-±оо). (34)
После решения вспомогательной детерминистической задачи (32) — (341 корреляционную
функцию прогиба w (х, /) определяют по формуле
оо оо
Kw (х, I; х', /') = J J Sj (fe. со) ф* (х, t | k, и) ф (x', /' | fe, co)dfe4co. (35)
— 00 —00
Метод пространственных преобразований Фурье наиболее эффективен в случае
бесконечных и пол у бесконечных областей.
Случай однородных и стационарных пространственно-временных полей. В случае,
когда нагрузка f (х, 0 и вибрационное поле u (х, t) являются центрированными
однородными и стационарными случайными функциями, их можно представить
в виде интегральных канонических разложений
f (х, 0= Т J Пк> co)e‘<kx+w/)dkdco;
— 00 — оо
ОО со
и (х, 0 = J j и (к, со) е'(кх + Jk dw
— 00 — оо
(36)
со стохастически ортогональными спектрами
(к, ы) Fk (к', со')) = sjjfk (к> и) 6 (к — к') б (со — со'); (37)
({/* (к, со) C7fe (к\ co')) = S„yrtfe(k, со) б (к —к') б (со —ю').
Взаимные спектральные плотности 5/у/Л(к, со) и SnyHft(k, со) связаны соотношением
SnJUk (к, со) = 2 У Я*а (к, со) Hk?l (к, со) S/y/ft (к, со). (38)
а 3
Здесь /7/а (к, со) — передаточные функции системы.
Корреляционная функция поля и (х, /)
(Р> т) = \ 1 5"/°* <k> и) е‘tkp+ Bt) Л d(a-
— 00 — 00
Случайные колебания бесконечной пластины с сосредоточенной массой. При действии на
пластину, выполненную из линейного вязкоупругого материала и несущую в точке х„ сосредо-
точенную массу М, случайных внешних сил можно записать уравнение колебаний
1> А Ли.' + ph + Мб (х - х0) ~ f (х, О,
(39)
где- D — линейный вязкоупругий оператор.
Для бесконечной пластины решение при однородной пространственной функции нагрузки
ищется в форме пространственно-временнбго канонического разложения (36). Спектральная плот-
ность прогиба w
“ Sj (к, «)
Sw (х, х', со) = J ___ ф. (х, к, и) ф (х', к, св) Л.
— со
где
ф (х, к, св) = f^x _|_
We'kxo f е,к‘ (х x.i
4дг [1 — А сон] J Г (ki, <в)’
— оо
rfkt;
оо
L (к, св) = D | к I* - рЛсв»; А (св) = J
— ОС
Здесь D — Dr (1 + fy) — образ Фурье оператора D, % — тангенс потерь.
3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ
Применение метода обобщенных координат. При решении стохастических краевых
задач в теории колебаний часто прнменяюг метод, основанный на представлении
вибрационных полей и внешней нагрузки в виде разложения в ряд по собственным
формам колебаний <ра(х) системы без учета диссипации:
СО
и (х, 0= V (40)
а = 1
Применение разложений типа (40) по существу эквивалентно замене рассматри-
ваемой системы системой со счетным числом степеней свободы. При практических
расчетах ряд (40) усекают, т. е. распределенную систему заменяют дискретной с ко-
нечным числом степеней свободы. Количество учитываемых членов ряда определяется
требуемой точностью вычислений, частотным диапазоном внешнего воздействия и
т. д. Случайные функции времени Ua(f) при этом можно интерпретировать как обоб-
щенные координаты для соответствующей системы с конечным числом степеней
свободы, Поэтому метод решения задач случайных колебаний распределенных систем,
основанный на использовании выражений, аналогичных (40), называют методом
обобщенных координат.
Путем подстановки ряда (40) в уравнения (1) с использованием, например, вариа-
ционного метода Бубнова— Галеркина можно получить уравнения относительно обоб-
щенных координат. Как правило, при определенных ограничениях, накладываемых
на свойства операторов А. В и С, эти уравнения имеют стандартный вид
-^-+28a-^f-4-toa(Ja = Fa(C£=l. 2, ...). (41)
at* at
Здесь (oa — собственные частоты рассматриваемой системы без учета диссипации,
eq — коэффициенты диссипации; Fa (t) — случайные функции времени, имеющие
смысл обобщенных сил:
Fa (0 = 4- (f (*. 0. Фа (х)), (42)
а
где va — нормы собственных форм; скобки означают скалярное произведение в функ-
циональном пространстве вектор-функций:
v) = J +
Разделение системы уравнений относительно обобщенных координат происходит
вследствие ортогональности форм собственных колебаний системы, вычисленных
без учета диссипации.
Вследствие разделения системы (41) оказывается возможным исследование по-
ведения каждой из обобщенных координат UQ (/) методами, изложенными в гл. XVIII.
Однако для исчерпывающего описания поведения рассматриваемой системы необ-
ходимо учитывать взаимную корреляцию обобщенных координат [12].
Рассмотрим скалярное поле и (х, /). Моментные функции для поля и (х, t) нахо-
дятся осреднением соответствующих рядов:
(u(x,/)> =2 (Ua (0> <pa <x); a = 1
(«* (x, 0 и (x', /')> = - S S ^*(0^ (')>?« w<₽«u') a = l fl = l ₽ (43)
Моментные функции обобщенных координат находятся из уравнений (41) при
помощи методов, изложенных в гл. XVIII. Эти функции выражают через моментные
функции обобщенных сил Fa (/), которые можно вычислить, если известны простран-
ственно-временная корреляционная функция нагрузки и формы собственных коле-
баний системы.
В случае неустановившихся колебаний моментные функции поля и (х, /)
00 t <“(*,<)> = 2 <pa(x) J Aa(/-T)(Fa(T)} dx; a = 1 —oo
oo oo
{U (x, 0 U (X, /')) = 2 5 Фа W Фр (x') X a = l t f X ha (t—т) Й0 (t‘ — x') (Fa (x) (x')> dx dx' (44)
и т. д. Здесь ha (t — т) — импульсная переходная функция для системы (41).
Пример. Решение уравнения (3) будем искать в виде ряда
оо
w (х* = (z) sln 1Г' (*5)
а= 1
Разлагая нагрузку f (х, О в ряд
оо
Нх, /) = 2fa<fl“nT (46)
а = I
и подставляя ряды (45) и (46) в уравнение (3), получим систему уравнений типа (4 1)
dW
77r + 2po / + aali?a’fa (a - i, 2, .. ф
С учетом (42) моментные функции обобщенных сил определяют по формуле
I I
(Fa (О Гр (/')) = (-^у)Г \ \ Л/ (*. Л < П sin sin dx dx‘.
О 0
(48)
Если о<раничиться случаем когда просгранственно-нременнйя корреляционная функция
имеет вид (4), то
2sflaP
(^<^(^=—6 (/-/') (49)
R случае установившихся стационарных колебаний взаимные корреляционные фугхцйн
збобсценных координат
^-~е|т|
2 (pF>* /<а^е
При этом корреляционная функция прогиба (х, х', г) имеет вид ( 11).
г g \
cos waer +---------------------sin Q)ae Tl-|. (50)
(%('> Wp(/ + T))
Вычисление спектральных плотностей обобщенных сил. Ограничимся рассмотре-
нием установившихся стационарных колебаний. Предположим, что / (х, Г) и и (х, /)
являются стационарными пространственно-временными скалярными полями. Тогда
из (43) получаем
ОО оо
S„(x. х', ш) = V У Sy у (со) ср (Х)ф (х').
a = I р = 1 a п a Р
(51)
Здесь Sn ,го (со) — элементы матрицы взаимных спектральных плотностей обобщен-
' ct. р
ных координат. Они могут быть найдены с использованием уравнений (41).
Оконча-
тельно получаем
~ -SFar₽ (“)
ас р (со^ —со2 — 2eaiuj) (соар — со8 4-2ер(ю) ’
Здесь
(52)
ОО
SFaFp(®)=2H \ <^(^в(,+т))г-‘штЛ (53)
— »
— элементы матрицы взаимных спектральных плотностей обобщенных сил, которые
могут быть найдены по формулам
SFaFp(“) = ^T \ \>S/(х> *'» trt) (Ja (х) (рр (xz) dx dx'. (54)
Случайные колебания пластины с сосредоточенной массой. Для прямоугольной пластины
конечных размеров, колебания которой описываются уравнением (39), внешнюю нагрузку ) (х, 1)
и нормальный прогиб w (х, () представим в виде разложения (401 по собственным формам фц (х)
и преобразования Фурье по времени. Спектральная плотность прогиба пластины
5^, (х, х', W) = У У. SF р ио (х. ю) фв (х', со)
a=1 ₽=I a Р
Взаимные спектральные плотности обобщенных сил Sp р (со) определяются через спект-
a Р
ральную плотн'ють Sj (х, со) по формуле (54) Функции
% (х, со) = L,
Мси’фа (*0) фп (х) фр (ж») 1
’»'”+ 6£J1 V.L₽ lB, ]
где у,, — квадраты норм базисных функций фр (х);
4П (“) = Р"1 (®a~ > ®а *= (£>фа> фа) . В (со)
° ' 1 (Р^а. Та) '
а-=)
Фа (хо)
4. ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Предварительные замечания. Обычный метод расчета вынужденных колебаний
упругих систем основан на разложении искомого решения по собственным элементам
соответствующей задачи собственных колебаний (см, гл. XIII). Ответ на вопрос о том,
при каких* условиях допустимо аппроксимировать систему с дискретным спектром
системой со сплошным спектром, дает теория распределения собственных частот
(см. гл. IX). Эта теория применима и к задачам случайных колебаний [13].
Интегральные оценки для вероятностных характеристик. Рассмотрим некоторый
параметр напряженно-деформируемого состояния системы v (х, /)> который можно
представить в виде ряда
t’(x, 0 = 2^а(0^а(х). (55)
а
Функции са(х) здесь таковы, что почти все обобщенные координаты Ua(t) достаточно
равномерно представлены в (55).
Пусть уравнение (2) после подстановки ряда (40) приводится к виду
। 1 ^сх । -п г
~ Ь Ь а — /’а-
Предположим, что выполняются следующие условия: плотность собственных
частот достаточно высока; для частот «а и форм колебаний q?a (х) могут быть взяты
асимптотические выражения (см. гл. IX); (оа, фа (х), са(х) и спектральные плотности
обобщенных сил могут быть представлены в виде функций волнового вектора к;
перечисленные функции мало изменяются на расстояниях, сопоставимых с размером
одной ячейки в пространстве волн-. вых чисел. Тогда, пренебрегая взаимной корреля-
цией обобщенных координат, для дисперсии
Рис. 2, Интегральные оценки для
дисперсий перемещений и напряже-
ний в гонкой упругой пластине
функции v (х, /) (55) при достаточно малом
демпфировании получаем
лей <Х) 5/ (<0а)
<|«(х,0|")'=2
а
фцШа
(56)
Заменяя функции индекса а соответствующи-
ми функциями от волнового вектора к, а сумми-
рование в формуле (56) — интегрированием в
пространстве волновых чисел, получим интег-
ральную оценку
л р с2 (х I k) Sj (к) dk
(| v (х, Г) - , ~ \ — (57)
К
где Akj — объем ячейки в К, соответствующий
одному слагаемому в (56).
На рис. 2 приведены оценки типа (56) и (57)
для дисперсии перемещений и напряжений
в тонкой упругой пластине под действием нагрузки, которая представляет
собой усеченный временной белый шум 113]. При этом со' и со’ — нижняя и верхняя
частоты спектра.
Для временной спектральной плотности функции и (х, Г) получаем аналогичную
оценку:
л д .» с2 (х | k) Sf (к) dk
(х, ш) - \ — (к) ш3
Й (к) < а
(58)
При некоторых условиях асимптотическая плотность частот v (со) явно входит
в окончательные аналитические результаты. Если функции с (х | k), Sy(k) и ф(к)
медленно меняются по сравнению с асимптотической функцией распределения соб-
ственных частот Л' (со), то, применяя теорему о среднем, выражение (58) мижнч пред-
ставить в виде
лДк с2 (х к) Sy (к) v (со)
SV(X, W)~—,------------------т—/------5-------
v' ' Дк! ф (со) (od
(59)
Таким образом, если функция v (to) при некоторой частоте имеет особенность,
то эта особенность сохраняется а спектральной плотности.
Пример. Рассмотрим изгибные колебания упругой защемленной по контуру пластины под
действием случайных сил с широким спектром. Пусть центрированная нормальная нагрузка на
пластину f (х, t) задана при помощи функции (х, х', и) = 47 (си) 6 (х — х'), где 'К (щ) — вре-
менная спектральная плотность
Дисперсии перемещений и максимальных нормальных напряжений во внутренней области
пластины определяются согласно (57) по формулам L13J
(|ш (х, I) |«)
со
1 / D у/, ( У (A) dk .
2£)! ph / ф (*) k> :
О
9 /DM/.
<1 а <*. О 1!> ~ . О + 2ц + Зц»)
У (fe) dk
ф {k) k
При тех же условиях дисперсия максимальных нормальных напряжений в заделке
(I о -х0,
Г У dk
' ф’ (A) k
О
Применение метода статистического моделирования. Этот метод для исследования случай-
ных колебаний в распределенных системах особенно эффективен в сочетании с методом обоб-
щенных координат. Статистическое моделирование этом случае осуществляют го сле-
дующей схеме На основании заданных вероятностных характеристик внешнего воздейст-
вия f (х, 0 моделируют реализации компонент вектора обобщенных сил Fa (/) (42). Для
каждой полученной реализации компонент векгора Fа (/) воспроизводят реализации компо-
нент вектора обобщенных координат U ( (/). Эту задачу можно решить методами, изложенными
в гл. XVIII. Реализации вектора состояний системы u (х, t) вычисляют при помощи разложе-
ний (40) Статистические оценки вероятностных характеристик находят путем обработки ан-
самбля полученных реализаций.
ГЛАВА XXI
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ
1. ОСНОВНЫЕ понятия
Случайные колебания и теория надежности. Многие приложения теории случай-
ных колебаний требуют применения понятий и методов теории надежности, особенно
того ее направления, в котором отказ рассматривается как результат изменения во
времени параметров системы (общая, физическая или параметрическая теория на-
дежности) Оценка надежности систем, испытывающих вибрации, в значительной
степени основана на анализе случайных выбросов колебательных процессов и свя-
занных с ними процессов накопления повреждений.
Отказ как случайное событие. Полную или частичную утрату системой способ-
ности выполнять низложенные на нее функции называют отказом. Последний может
быть как результатом развития дефектов, содержащихся в системе к началу эксплуата-
ции, так и результатом накопления повреждений и необратимых изменений в про-
цессе эксплуатации. Начальное распределение дефектов, условия эксплуатации
и взаимодействия системы с окружающей средой носят случайный характер. Поэтому
отказы следует рассматривать как случайные события.
В теории надежности принято различать внезапные и постепенные отказы. Понятие
внезапного отказа используют, если описание процессов, ведущих к отказу, затруд-
нительно или нецелесообразно. Тогда для анализа надежности применяют эмпири-
ко-статистический подход. Поведение механических систем может быть описано и
исследовано с высокой степенью подробности и точности. Это позволяет отказаться
от понятия внезапного отказа и трактовать все отказы как результат взаимодействия
системы с окружающей средой [12].
Пространства теории надежности. Рассмотрим поведение некоторой системы при
«вешних воздействиях. Запишем уравнение системы в виде
Lu = f, (1)
где f — элемент из пространства входных параметров F; и — элемент из простран-
ства выходных параметров U\ L—оператор системы. Пространство U выбирают
таким образом, чтобы при помощи его элементов и можно было полностью охаракте-
ризовать любое состояние системы; его называют пространством состояний. Эволю-
ция состояния но времени описывается функциями и (/); их геометрическим образом
служат траектории в пространстве состояний U.
Введем пространство для описания качества системы. Пусть каждому качеству
системы соответствует элемент v s У; при этом время t играет роль параметра
Рис. 1. Пространства теории надежности
Каждой траектории u (I) в пространстве U соответствует некоторая траектория v (/)
в пространстве качества V. Элементы этих пространств и траектории в них связаны
операторным соотношением
v = Mu. (2)
Оператор М может быть, в частности, тождественным оператором. В некоторых
случаях пространство V оказывается подпространством от U.
Множество состояний системы, допустимых с точки зрения качества, образует
в пространстве качества V область допустимых состояний Й. Граница области й
соответствует предельным состояниям. Эту границу будем называть предельной
поверхностью и обозначать через Г. Если v ей, то это означает, что параметры
качества системы сохраняются е установленных допусках. Первое пересечение
траекторией v (/) предельной поверхности Г в направлении внешней нормали соот-
ветствует отказу системы.
Еще одним пространством теории надежности является диагностическое (прост-
ранство признаков) К7, В результате наблюдений и измерений фиксируют значения
w (/) некоторых параметров, косвенно характеризующих качество системы. Вектор
признаков w (/) связан с вектором качества v (t) операторным соотношением
w=Nv, (3)
где N — оператор, отражающий неполноту информации, наличие шумов в системе
измерения и т. п.
Введенные понятия приобретают особую наглядность, если система является
конечномерной. Тогда пространства F, U, V и W — евклидовы пространства, На
рис. 1 схематически показаны траектории I (t), u (t), v (Т) и w (t) для случая, когда
F, U, V и W7 являются трехмерными евклидовыми пространствам и. Здесь Q' и Г -
образы допустимой области U и предельной поверхности Г в пространстве WA
Функция надежности. Эта функция служит основной характеристикой надеж-
ности, определяющей способность системы к безотказной работе на заданном отрезке
времени. Пусть внешнее воздействие f (t) и (или) оператор системы L являются сто-
хастическими. Тогда траектории v (?) в пространстве качества V будут также стоха-
стическими, а отказ — случайным событием. Функция надежности определяется [12]
как вероятность пребывания элемента v (т) в допустимой области Й на отрезке вре-
мени |0, ?]:
P(Q=P{v(t) ЕЙ; те [О,/]}. (4)
Определение функции надежности в форме (4) легко обобщается на случай, когда
допускаются повторные отказы, предусматриваются ремонт, восстановление и т. п.
Роль параметра t может играть не только физическое время, но и наработка, число
циклов или другие подходящие для данного типа систем параметры. Область до-
пустимых состояний может быть стохастической, например, может случайно меняться
при переходе от одного элемента ансамбля систем к другому. Если стохастические
свойства системы и внешнего воздействия характеризуются конечным числом слу-
чайных параметров, то задачу определения функции надежности целесообразно
решать в два этапа. На первом этапе рассматривают систему с фиксированными пара-
метрами, для которой строится функция надежности. Эта функция представляет
собой вероятность пребывания системы в допустимой области при условии, что пара-
метры системы г и воздействия s фиксированы:
Р (t | г, s) —Р {v (т | г, s) е Р (г); т е [0, tJ}.
По аналогии с условной вероятностью будем называть функцию Р (t I s, г) условной
функцией надежности. На втором этапе при помощи формулы полной вероятности
вычисляется функция надежности для выбранных наугад системы, принадлежащей
данному ансамблю, и воздействия:
Р (0= \ (* I г> s) Р (ri s) dr ds.
Здесь р (г, s) — совместная плотность вероятности для параметров г и $.
К характеристикам надежности относятся также вероятное пь отказа системы
на отрезке [0, /J, вычисляемая как Q (?) = 1 — Р плотность распределения (час-
тота) отказов f (?) = —Р' (?), интенсивность отказов — плотность вероятности от-
казов на множестве систем, не отказавших до момента времени t. к (?) = — Р' (f)iP (?).
Функция надежности и интенсивность отказов связаны фирмулой
Р (?) = Р (Ojexp
t
( А (т) с/т
(5)
Характеристики долговечности. Время до первого отказа
Т является случайной величиной с функцией распределения
(срок службы)
Средний срок службы
TF' (T)dT =
оо
P (?) dt.
(G)
Таким образом, характеристики долговечности содержатся в функции надежности
Р (/). Учет ремонта, восстановления, промежуточного контроля и т. п. требует вве-
дения специальных показателей долговечности [29, 85].
Нормативная надежность. Условие надежности системы имеет вид
Р(0^Рж(/), t е [0, TJ, (7)
где Рж (?) — нормативная надежность (вообще говоря, функция времени); 7\ —
нормативный срок службы. Обычно условие (7) ставится при t = Гж. Обозначая
Р* (?\) = Р*> перепишем (7) в виде Р (Тж) Рж.
11 п/р, Болотина В, В , т. 1
Для массовых систем функция надежности допускает статистическое истолкование.
Ее нормативные значения устанавливают путем статистического анализа опыта
эксплуатации. Другой путь получения нормативных значений основан на вероят-
ностно-оптимизационном подходе, при котором нормативные значения определяют
из условия минимума математического ожидания некоторой функции потерь, свя-
занных с отказом. Если система не является массовой, то статистическое истолкование
утрачивает смысл. Но характеристики надежности все же остаются при этом важными
показателями качества системы и могут быть использованы для сопоставления ва-
риантов технических решений или для оптимизации параметров. Так, из некоторого
набора технических решений виброзащитной системы наилучшим (при прочих рав-
ных или сопоставимых условиях) будет то, которое обеспечивает максимальную на-
дежность.
2. КРИТЕРИИ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ
Предварительные замечания. Цель расчета на вибрацию и проектирования вибро-
защитных систем состоит в том, чтобы свести до минимума или до допустимого пре-
дела уровни вибраций и внбронапряженности в машинах, конструкциях и приборах.
При расчетах на случайные вибрации требования к этим уровням целесообразно
формулировать в терминах общей теории надежности путем задания пространства
качества, т. е. совокупности параметров вибрационного поля и связанных с ним
физических полей, и области допустимых состояний в этом пространстве качества —
ограничений на параметры этих полей.
Основные критерии вибрационной надежности. Простейшей и наиболее употреби-
тельной мерой вибронапряженности служит максимальная величина виброускорения
а (/), либо измеряемая в абсолютных величинах, либо относимая к ускорению силы
тяжести на земной поверхности g. Условие качества требует, чтобы максимальное
виброускорение в точках системы не превышало предельно допустимых значений а*.
Другая мера вибронапряженности — виброперемещения. В зависимости от назначе-
ния элементов системы ограничения могут накладываться как на абсолютные, так
и на относительные перемещения.
Прочность системы, как правило, оценивают величиной вибронапряжений, возни-
кающих в ее элементах. Условие качества требует, чтобы максимальные напряжения
(в случае сложного напряженного состояния — некоторые максимальные эквива-
лентные напряжения) не превышали допускаемых значений. Включение в число
параметров качества усилий и моментов, возникающих в элементах системы, позво-
ляет вести расчет по несущей способности элементов. Поскольку вибрационное на-
гружение, которое в конечном счете приводит к отказу элемента системы, обычно
сопровождается накоплением повреждений, то более правильный подход к оценке
вибрационной надежности основан на рассмотрении процесса накопления поврежде-
ний. В число параметров качества системы при этом включаются меры повреждения
и остаточных деформаций, размеры трещин и других дефектов и т. п. Условие ка-
чества сводится к требованию, чтобы характеристики повреждаемости не превышали
предельно допустимых значений. Одно из преимуществ подхода к вибрационным
расчетам на основе методов теории надежности состоит в возможности комплексного
учета всего разнообразия факторов, влияющих на надежность и долговечность [12J.
Пример. Рассмотрим абсолютно твердое тело, помещенное ь контейнер, совершающий слу-
чайные колебании (рис. 2, а). Пусть а (> t) — поле перемещений тела относительно контейнера,
а (х, I) — поле абсолютных ускорений. Если по услоепям эксплуатации ииброперегрузкн огра-
ничены по модулю величиной а,, а относительные перемещения тела —величиной и,, то допу-
стимая область дается условиями
II а (х, 011<а,. || и (х,/) || С (8)
Здесь х принимает все значения для объема, занятого телом. Если поверхность тела — много-
гранник, то вместо (8) имеем
||a(x/t 0|1<%,||Н(ху, /)||^% {/=1,2, ...),
где х — координаты вершин многогранника. Функция надежности (4) вводится как
Р (О =
sup ft а (х/, Т) || < а,, sup || и (х? т) || С и „
7 = 1, 2, ..те (0, Ц
(9)
(Ю)
Пример. Рассмотрим приборы, установленные на упругой пластине Пусть пластина совер-
шает случайные колебания в направлении, ортогональном ее плоскости (рис 2, б) Вибрацион-
ное поле характеризуется функцией прогиба пластины ш (х, и абсолютными перемещениями
приборов и, (?) (/=1,2,.. .). Аналогично условиям (9) наложим ограничения на вибропере-
Рис. 2. Абсолютно твердое тело в контейнере, совершающем случайные
колебания (а), и приборы, установленные на упругой пластине (б)
грузки каждого прибора и на перемещения приборов относительно пластины. Допустимая об-
ласть Q дается системой неравенств
|а/(0|<аЛ! (ху,/)!<«/*
(7=1, 2, .. .).
(Н)
Другие примеры выбора параметров качества и допустимой области. Если два прибора соеди
йены связью, которая может быть повреждена или нарушена из-за >заимных смещений (рис. 3, а),
то к (9) и (11) добавляются еще условия j Uj (l) — (t) | + - Аналогичные условия ста-
вятся, если амортизируемые элементы смонтированы с зазором, причем требуется, чтобы при
<0
Ю
Рис. 3. Примеры выбора параметров качества и допустимой
области
вибрациях зазор не перекрывался (рис. 3, б). Системе сообщаются вибрации в горизонтальном
направлении. Зазор между элементами ш, и в начальном состоянии рален и*. Допустимая
область Q дается неравенствами | а, (0 | Д1#, | ай (f) | агф1 Ui (/) — и, (0 цф, а функция
надежности
Р (0 = Р
sup 1 а, (т) | С а,#> sup | а, (т) | С аг*
т т
sup [и, (т) — иг (т)] С ««I те [0, /]
т
К условиям вибронадежности часто добавляются ограничения, накладываемые на усилия и
деформации в амортизирующих элементах (амортизаторах). Условия нормальной работы _морти-
заторов записываются в виде
I I« Лг. </-1.2.
<121
где «у — относительные перемещения опорных плоскостей амортизаторов вдоль основной оси,
Гу — усилия, действующие на амортизаторы; Е,г — их предельно допустимые значения. Напри-
мер, для линейных амортизаторов с коэффициентами жесткости су и коэффициентами демпфиро-
вания Ь, условия (12) можно записать в виде
3. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ
Связь теории надежности с теорией выбросов случайных процессов. Чтобы вычис-
лить функпию надежности по известным вероятностным характеристикам процесса
v (0, нужно уметь находить вероятность пребывания случайных процессов в заданной
области на заданном отрезке времени, что является задачей теории выбросов случай-
ных процессов [12, 105].
Выбросом процесса v (f) из области Й называют пересечение процессом у (f) пре-
дельной поверхности Г в направлении внешней нормали к ней. Выброс является
случайным событием, а число выбросов N (/) на отрезке [0, /)—случайной величиной.
К сожалению, даже для одномерного случайного процесса v (/) и одностороннего
ограничения типа v (f) задача теории выбросов допускает полное решение
только в некоторых частных случаях. Для многомерных случайных процессов и для
допустимых областей сложной конфигурации и тем более для функциональных про-
странств качества приходится применять приближенные методы. Эффективное прибли-
женное решение задачи теории выбросов удается найти для высоконадежных систем,
у которых выброс вектора качества из допустимой области является редким событием.
Кумулятивные модели отказов. Для выпуклых областей Q функцию надежно-
сти Р (/) можно записать при помощи надлежаще выбранной нормы в пространстве V:
• P(0 = P{k(T)B^t’., те[0, dl-
Здесь о* — предельно допустимое значение этой нормы. Например, для допустимой
области н виде (11) норму можно представить как
hv 1оЧ01 1«1(0-^(хь01 1М0-^(х2, 01 1
“ 11 I 01. «2* “1» «2* f
причем = 1.
Процесс v (0 называют кумулятивным (квазимонотонным) на отрезке Т по норме
|| v |1, если при любых t2 е Т
l|v(4HsMv(0)|l,
Важным примером кумулятивного процесса служит процесс, компоненты которого
равны мерам «незалечивающихся» повреждений. Так, мера усталостного поврежде-
ния вводится как
= sk), (13)
где I — некоторая неотрицательная функция от меры повреждения vk и некоторого
характерного (например, максимального) напряжения А-го цикла нагружения
При этом принимается, что и0 = 0, и* = 1.
Функция надежности кумулятивного процесса непосредственно выражается
через одномерную плотность вероятности вектора v в момент времени
Р (О = \ Р (v> 0
1
или
Р(0= J p(vi, .... vn; f)dvt ... dvn. (14)
а"
Формула (14) совпадает по . иду с формулой для вероятности ненарушения усло-
вия ve Q в элементарных расчетах на надежность, когда качества системы описы-
вается при помощи числового вектора v.
Марковские модели отказов. Если эволюция вектора v (0 в пространстве V есть
диффузионный марковский процесс, то ею переходная плотность вероятности
р (у, t | v0. То) удовлетворяет уравнениям Колмогорова [см. (36) и (38) в гл. XVII] с со-
ответствующими начальными условиями. Условная по отношению к вектору на-
чальных данных v„ функция надежности Р (t | v„) связана с переходной вероятностью
соотношением (гР = 0)
Р (Ч *о) = \ Р У. Ч v0) dy,
Пусть интенсивности Ху и xyft процесса v (0 не зависят от времени. Тогда функция
надежности Р (t I v0) удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова
п п п
дР V дР , 1 V V &р ,1СХ
dt Х/ dvj0 -г 2 ы dvfydv/to
/=1 / =
с начальным условием Р (/1 v0) = 1 (t — 0, vu <= Q) и граничным условием
P(/[vo) = O (voeT). (16)
Точное решение уравнения (15) удается получить лишь в немногих частных слу-
чаях, не представляющих большого интереса для вибрационных расчетов. Вид гра-
ничного условия (16) подсказывает простои и эффективный путь нахождения прибли-
женных решений: функцию надежности представляют в форме ряда по координатным
функциям, обращающимся в нуль на Г, а коэффициенты ряда — функции времени —
определяют из обыкновенных дифференциальных уравнений метода Бубнова —
Галеркина.
Приближенные и двусторонние оценки функции надежности. Рассмотрим вероят
ностные модели, в которых отказы образуют ординарный поток, т. е. вероятность
повторения отказа на малом отрезке времени А/ имеет порядок о (At). Для таких
моделей известны эффективные оценки функции надежности, выраженные через
моменты числа выбросов [12].
Пусть Р(0) = 1,т. е. в начальный момент ->ремени система с вероятностью, равной
единице, находится в допустимой области. Тогда для функции надежности имеет
место строгая оценка снизу [12]:
Р(П^1- {N(f)Y (17)
Если привлечь моменты второго, третьего и т. д. порядков от числа выбросов, то
можно получить двусторонние оценки, например,
3 1
1 - <Л’ (0) Р (0 1 —2 </V (0) +у <№ (0).
К сожалению, нахождение моментов высших порядков связано с возрастающими
аналитическими и вычислительными трудностями.
Функция надежности высоконадежных систем. Пусть выполняется условие
1—Р (0 < 1, / е (О, Г*]. Системы, удовлетворяющие этому условию, называют
высоконадежными. Для таких систем может быть использована приближенная
оценка, основанная на соотношении (17), взятом со знаком равенства
P(t)^\-(N(t)). (18)
Эта оценка близка к той, которая получается при условии, что отказы образуют
пуассоновский поток;
Р(0^ехр(-^(0>]. (19)
В самом деле, переход от (19) к (18) соответствует разложению экспоненты в степенной
ряд с удержанием первых двух членов Введя математическое ожидание числа вы-
бросов в единицу времени
(20)
представим формулы (18) и (19) в виде
t
Р (0 «г 1 — \ Л, (т) dr;
о
Р (0 яг ехр
X (т) l/т
(21)
(22)
Сравнение формул (22) и (5) показывает, что функция К (0 имеет смысл интенсив-
ности отказов. При X = const из (21) и (22) получаем соответственно линейную и эк-
споненциальную зависимость функции надежности от времени (рис. 4). D связи
с этим говорят о линейной и об экспоненциальной оценках функции надежности. Фор-
мулы (18) и (21) сравнительно простые; они особенно предпочтительны, если требуется
дальнейшая аналитическая обработка.
Учет вероятности отказа в начальный момент времени. Оценки (17)—(19) полу-
чены при условии Р (0) = 1. Если Р (0) <; 1, то обобщением оценки (19) будет зави-
симость
Р(Г)==Р(0)ехр|- <Л/(/)>]-
При этом в правую часть формулы должно входить число выбросов, определенное на
множестве реализаций, выходящих при t = 0 из области Q. Таким образом, приходим
Рис. 4. Функция надежности и ее
оценки
Рис. 5. Функция надежности с учетом
вероятности отказа в начальный момент
времени
к необходимости рассматривать условные процессы. Однако неравенство Р (/) ^>
Р (0) (1 — (Д (/))] справедливо и в том случае, если под N (!) понимается чисто
выбросив безусловного процесса (рис. 5).
Применение теории надежности к распределенным упругим системам. Общие прин-
ципы теории надежности могут быть распространены на распределенные системы
[12J, в которых векторами качества будут некоторые функции координат и времени
(пространственно-временные случайные поля), а пространство V будет функциональ-
ным. Приближенные оценки (18) и (19) функции надежности справедливы и в этом
случае, если число выбросов N (t) трактовать определенным образом. Например,
пусть v (х, /) — скалярное поле, и условие качества задается в виде v (х, /) < и*>
х s й. Тогда N (t) равно числу выбросов поля о (х, г) за уровень с* в пространстве'нно-
временном цилиндре й, = Q X |0, /]. В свою очередь, математическое ожидание
числа выбросов может быть выражено через математические ожидания числа крити-
ческих точек поля о (х, 0 в Я/. Существует подход к оценке надежности распределен-
ных систем, основанный на представлении вектора качества в виде ряда по некоторым
координатным функциям с коэффициентами — случайными функциями времени.
В результате оценка функции надежности сводится к вычислению среднего числа
выбросов из области в конечномерном пространстве.
4. ТЕОРИЯ ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Среднее число выбросов одномерного процесса за уровень. Для отыскания оценок
функции надежности необходимо определить числовые характеристики выбросов
случайных процессов из области допустимых состояний, в частности, математическое
ожидание положительных пересечений (Д’ (Z)) векторным процессом v (/) предель-
ной поверхности Г в пространстве качества V и среднее число ныбросов в единицу
времени (20),
Рассмотрим непрерывный дифференцируемый одномерный случайный процесс
v (0 с заданной совместной плотностью вероятноеги р (v, v, t) процесса и его произ-
водной в совпадающие моменты времени. Среднее числи положительных пересечений
в единицу времени процессом и (Z) детерминистического уровня и* (Г) (рис. 6)
ОО
>. (и*, /)= \ (t> —и*) р (оф, V, t)dv.
v*
(23)
Если ввести вспомогательный процесс (t) = v (f) — и* (/), то задачу о выбросах
Рис. 6. Реализация случайною процесса v (Г) и Детерминистическая
функция v, (Z)
процесса v (/) за переменный уровень (/) можно свести к вычислению характеристик
выбросов процесса (t) за нулевой уровень [105]:
/)=J (24)
Если ограничения являются двусторонними, то среднее число выбросов
в единицу времени из области [и**, находят как сумму положительных пересе-
чений уровня и* и отрицательных пересечений уровня t'#*:
ОО
X (V*, V*,, /) = j О] [р (о,, г* + t\, 0 +р (у# ♦, v** - t'l, 0]
(25)
Для нахождения характеристик выбросов (23)—(25) необходимо вычислить сов-
местную плотность вероятности р (и, v, t). Для этого нужно знать двухмерную плот-
ность вероятности pi (ьу, и2) процесса и (t) в несовпадающие моменты времени, т. е
&), у2 = v (t2).
Если обозначить ог = и (/), vz = v (/) + v (/) St (где St = t2 — ^), то искомую
плотность вероятности можно найти после перехода от переменных v1( у2 к v, v по
формуле
р (о, v, t)= lim [pi (и, u-[-M/)A/].
ДГ -» О
Пересечения нормального процесса с детерминистической кривой. Для нормаль-
ного процесса совместная плотность вероятности
, • л 1
р (у, V, () = --------------- . .... х
2ло о. У 1 — ра
V V
! 2(1—р2)
Г (у — а)2
L
-2р
(о —а) (у— а)
о о.
е v
{V — а)2 Т
оа.
v
где fl,e, 0s, о? и р — соответственно математические ожидания, дисперсии и коэффи-
циент корреляции процесса и его производной. В общем случае эти параметры явля-
югся функциями времени. Формулы (23) или (24) принимают вид
°* I 1 р2 Г (а~ и*)21Г / «2\ /
ехг|----2ог“ Lexp(— '2 + 2яиФ(и)
(26)
где
1 а —о*
) ~°F
Ф(и)
1
/2л
е ’ dx.
Формулу (26) можно обобщить на случай, когда есть также нормальный слу-
чайный процесс. При этом среднее число положительных пересечений в единицу
времени находят по формуле (26), если в последней сделать замену
р о о. -i-p о о .
V тэ v i', V, и*
где — коэффициент корреляции процесса о* (?) и его производной. Предпола-
гается, что процессы и (?) и (?) не коррелируют.
Некоторые примеры применения формулы (26) для стационарного процесса и (?)
приведены в табл. 1.
1. Среднее число выбросов в единицу времени [/ (о#, ?)] длв различных уровней
р, (?) * (о., ?)
V, = const a. (e, - a)» I
2n% ₽ L 2ou J
Ч. = Оо — 01?, Св, а, — const a- ° (a - o0 -j- aj)« ‘ LJ
Зла v + Г2Й-£-ф|^ v \ — 1 F* ° / H t , e 2a? ; \ v /
о* = Оо — Л cos (Ы, а0, A, to — const a* v (a — a0 + A cos tot)* ~ / Ц1 \ exPj T +
Зло CZp V 2aa p 4- /глцФ (ц) ЦСГ. = Дф sin 0 0 >t
vt = const о«» = const G- I 0 — I exp 2na I ’ (Э, — fl)’’ + exp (»♦♦ — a)!
2o* 2a^
Среднее число максимумов (минимумов) и их распределение. При исследовании
процесса накопления повреждений важную роль играет изучение максимальных
(минимальных) значений случайного процесса. Среднее число максимумов в единицу
времени, превышающих уровень v*,
то о
Xmax^*’ J dv \ р(о» °'
V» —'.о
При этом предполагают, что процесс v (I) является непрерывным и дважды диф-
ференцируемым с заданной совместной плотностью вероятности р (v, и, v, t) про-
процесса и его первых двух производных.
Аналогично определяют среднее число ми-
нимумов в единицу времени, превышающих
уровень и*'.
оо со
0 = 5 dv °' O
о, б
При расчете вибрационной надежности
важно знать не только числовые характерис-
тики экстремумов случайного процесса, но и
их распределения. Плотность вероятности
максимумов
^тпахР*’ О' ' ^тах(°#’ ( °°» О-
(27)
рис. 7. Плотность вероятности макси-
мумов нормального стационарного про-
цесса
Штрихом обозначена операция дифференци-
рования по v*. Аналогичный вид имеет
плотность вероятности мипимумои.-
Для стационарного нормального процесса и (/) выражение для плотности вероят-
ности максимумов (27) имеет вид [12]
Pm.x(%) 1мр|
I V*~ а
+ р 2л — ехр
и
а)2]
2сто J
(28)
V*-и (
где
а..о 1 (—оо)
а__ v v max
а! “ Х(0)
V
— коэффициент шпрокополосности процесса, который изменяется от ж! (дня узко-
полосного процесса) до значений >> 1 (для широкополосного процесса). Если
psssl, то распределение максимумов приближенно следует распределению Ре-
лея. При Р > 1 распределение (28) приближается к нормальному с математиче-
ским ожиданием и* — а и дисперсией о*. Для промежуточных значений параметра
Р вид распределения (28) показан на рис. 7.
Выбросы многомерного процесса из области допустимых состояний. Для много-
мерного пространства качества V среднее чисто выбросов в единицу времени ста-
ционарного гауссовского процесса v (/) за пределы поверхности Г вычисляют по
формулам, приведенным в табл. 2.
2. Среднее число выбросов в единицу времени Z, (Г, I) многомерного процесса v (О Ы
Процесс Ограничение К (Г, Л Примечание
v (/) е R" v (/) е Q РГ f Р (vr- *) Г с’л>0 t'a — нормальная производная ь Г
v (1) е R* — 0* < 0, (/) < £'*; - »* < t’3 К) < »♦ 2л г (°:- -F (- at)+F (at> - °t) - — F (— 0*, — 1’«) + F (У*. ot) — F (— o*, o*) + + F (o*, — »*) — F (— a*, — v J] F (f*. г#) = 1 ' “ a2 X Ф - ' - Lvi - p» \ ae
V - У— ( exp Г- (±2^211 + k^} 2^k ( L 2n^ J + akY 1 I 1 | ~ ai \ + exp — ill Ф - / «*/+•/]! \ » /j p = 0
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРАЦИОННОЙ надежности
Продолжение табл. 2
Процесс Ограничение К (Г. П Примечание
v (Z) е Rn Т < vk < ч >г = 1. . . . , п д о, ( г Л 2„%VXP + £=1 я \ L J Г ^*-^'11 ГТ Г iVi~af\ + ехр „ » ( I 1 Ф ' L 2о* \ °/ / ф\ II Р/А ~ °’ Л
ТЕОРИЯ ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
5. РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ
Пример. Для расчета оптимальной виброзащиты рассмотрим систему, поведение которой спи-
сывается уравнением
й + 2еи + со'и = — (Л.
Условия качества запишем в виде
I U (f) I < Ц„ | a (/) а,,
(29)
где а — со 4- 0 — абсолютное виброускорепие В качестве критерия оптимальности системы
по надежности выберем такое условие, чтобы функция надежности (10) в момент времени 1=Г,
принимала максимальное значение. Для стационарных колебаний высоконадежных систем это
условие согласно (21) эквивалентно условию ?. (Г) = min, где среднее число выбросов в иди-
8, ш0
пицу времени подсчитывают для прямоугольной области допустимых состояний (29).
Пусть процесс а0 (/) на входе системы — узкополосный с несущей частотой 0. Па рис. - при-
ведены результаты вычислений А (Г) при и, = 10~3 м, а„ = 20 м-с-я На рис. 9 показан при-
Рис. 8, Оптимизация по надежности
при узкополосном входном воздействии
экспоненциально-коррелированном входном
воздействии
мер вычисления К (Г) для случая экспоненциально-коррелированного процесса на входе с корре-
ляционной функцией К (т) = О- ехр (— а | т |). Вычисления проводили для значений парамет-
«0 ч
ров е/(Во==О,5, о» = 2о0, и* = (о0*сс‘)'Ю-4- Кривые / на рис. 8 и 9 соответствуют ьыбросам из
полосы । а | < а,, кривые 2 — выбросам из волосы | и | < и,, кривые 3 построены для сум
мирного числа выбросот [12, 91].
Учет усталостных повреждений. Как правило, вибрационное нагружение сопро-
вождается процессом накопления усталостных повреждений. Рассмотрим простой
одномерный случай, когда повреждения характеризуются одномерным процессом
v (f). Если этот процесс является достаточно медленным, то можно от (13) перейти
к непрерывному аналогу — кинетическому уравнению
(30)
Мера повреждения и (t) есть неубывающая функция, 0 и 1. В уравнении (30)
s (/) — некоторое характерное значение для процесса нагружения f (f), например,
амплитудное. Условие качества выбирают в виде v < и* = 1, $ < (и),где f*(trt —
предельное значение несущей способности с учетом накопленных повреждений- При
этом функция надежности
Р(0 = Р {и (т) < 1, s(t) <s* (v), те |0, /|}.
Гипотеза линейного суммирования повреждений. Обычно в качестве меры уста-
лостного повреждения принимают
k
Vk= — ’
где N (Sj) — число циклов, приводящих к разрушению с характеристикой $/. Тогда
условие усталостного разрушения принимает вид
2лп^=1'
/
Для щенки долговечности используют величину 7\, равную времени нагружения,
которое необходимо для достижения условия и = о* = 1. При малом разбросе
долговечности величина Г, близка к математическому ожиданию (Т). Назовем
величину 7Ф ожидаемой долговечностью. Если не учитывать вероятность мгновенного
разрушения вследствие выброса процесса f (t) за уровень s* (у), то формула для
ожидаемой долговечности имеет вид
р (s) ds
Л' ($)
(31)
где Те — некоторый эффективный период цикла; р (з) — распределение параметра s
процесса нагружения f (t).
Вычисление ожидаемой долговечности для различных процессов нагружения.
Для стационарных нормальных узкополосных процессов нагружения в качестве
характерного значения s (t) принимают максимальное значение з (/) = При
этом распределение максимумов нормального процесса находят по формуле (28).
Вычисления по формуле (31) при степенной аппроксимации кривой усталости
/$,
= (s^sj,
Л' -> jo (s < sj
дают
т ____________NximTe__________
* 2т/2Г (1 4- т/2) Р (х2, m 4- 2) ’
где х= Si/o/fNi, sx, m — эмпирические константы, Р (%2, т) — функция х2-распре-
деления Пирсона. Эта же формула, выраженная через неполную гамма-функцию
Г (а, х), имеет вид
Т = NamTe
• 2П1/2Г (1 4-/П/2, у2/2)'
Для широкополосных процессов нагружения существуют различные способы
выбора параметра нагружения $, приводящие к различным оценкам долговечности.
В качестве параметра цикла можно рассматривать следующие друг за другом макси-
мумы, максимальные значения огибающей, полуразность следующих друг за другом
максимумов и минимумов, максимальные значения процесса на некотором характер-
ном интервале времени и т. д. Для схематизации заданного процесса нагружения
некоторым эквивалентным узкополосным процессом существуют различные методы:
выбросов (число циклип совпадает со средним числом нулей процесса), максимумов
(число циклов берется как среднее число максимумов процесса), размахов (цикл
характеризуется амплитудой, равной половине приращений процесса между сосед-
ними экстремумами), полных циклов (метод, состоящий в последовательном исключе-
нии из процесса промежуточных циклов со все более возрастающими амплитудами)
и т. д.
Приведем выражения для плотности вероятности р (s) параметра нагружения s (Г) в случае
стационарного нормального процесса f (Г) Распределение максимумов pt (s) дается формулой (28).
По методу выбросов
по методу размахов
Pt (S) =* —g fxp
Ра (s) = А- ехр
Os
где р — коэффициент широкоиолосности процесса; а, с, s$ — некоторые константы. Характер за-
висимости ожидаемой долговечности (31) от параметра шнрокополосности р изображен на рис. 10
Рис. 10. Сравнение оценок ожидаемой долго-
вечности при схематизации различными ме
тодами:
0 — выбросов; 1 — максимумов; 2 — размахов;
3 — полных циклов
Через Tj обозначена ожидаемая долговечность, соответствующая плотности вероятности (s).
При вычислениях принято, что Sj = 0, m = 5. Метод максимумов дает оценку снизу для ожи-
даемой долговечности, методы размахов и полных циклов — завышенные значения этой оценки
Для узкополосных процессов все методы приводят к практически одинаковым результатам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., «Наука», 1974.
446 с.
2. Ананьев И. В., Тимофеев П. Г. Колебания упругих систем в авиационных кон-
струкциях и их демпфирование М., «Машиностроение». 1965. 526 с.
3. Бабаков И. М. Теория колебаний. М., «Наука», 1968. 560 с.
4. Бахвалов Н. С. Численные методы. В 2-х т. т. 1. М., «Наука», 1973. 631 с.
5. Беликовский Н. Г. Конструктивная амортизация механизмов, приборов и аппа-
ратуры на судах. Л., «Судостроение», 1965. 523 с.
6. Бендат Д. С., Пирсол А. Дж. Измерение и анализ случайных процессов. Пер.
с англ. М., «Мир», 1971. 390 с.
7. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. М., «Высшая
школа», 1972. 416 с.
8. Бишоп Р. Э. Д. Колебания. Пер. с англ. М., «Наука», 1968. 143 с.
9. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., Гостехиздат,
1956. 600 с.
10. Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек. — «ПММ»,
т. 24. 1960, № 5, с. 831—842.
11. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.,
Физматгиз, 1961. 339 с.
12. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности
в расчетах сооружений. М., СтроЙиздат. 1971. 256 с.
13. Болотин В. В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее при-
менение к задачам случайных колебаний. — «Прикладная механика», т. 8,
1972, вып. 4, с. 3—29.
14. Болотин В. В. Численный анализ устойчивости линейных дифференциальных
уравнений с периодическими коэффициентами. — В кн.: Избранные проблемы
прикладной механики. М., изд. ВИНИТИ, 1974, с. 155—166.
15. Болотин В. В., Москвин В. Г. О параметрических резонансах в стохастических
системах. — «Изв. АН СССР. МТТ». 1972, № 4, с. 88—94.
16. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М., Изд-во АН СССР, 1957. 502 с.
17. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М., «Наука», 1968. 355 с.
18. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М., «Со-
ветское радио», 1971. 328 с.
19. Вайнберг Д. В., Писаренко Г. С. Механические колебания и их роль в технике.
М., «Наука», 1965. 276 с.
20. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин.
Киев. «Буд1вельник», 1973. 488 с.
21. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., «Машино-
строение», 1976. 278 с.
22. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М., «Наука»,
1966. 248 с.
23. Волоховский В. Ю. Некоторые задачи теории надежности для оболочек. Теория
оболочек и пластин.
[Труды IX Всесоюзной конференции но теории оболочек и пластин.]. Л., «Судо-
строение», 1975, с. 170—173.
24. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластпн и оболочек. М., «Наука», 1972
314 с‘
25. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.. «Наука». 1967. 984 с.
26 Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. И.,
«Наука», 1976. 416 с.
27. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М., «Наука», 1976.
431 с.
28. I нхман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения.
Киев, «Наукова думка», 1968. 354 с.
29. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории
надежности. М., «Наука», 1965. 524 с.
30. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М-, «Наука», 1973. 400 с.
31 Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел
на электронных вычислительных машинах. М., «Наука», 1965. 227 с.
32. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания механических
систем. Киев, «Наукова думка», 1966. 336 с.
33. Гольденблат И. И., Сизов А. М. Справочник по расчету строительных конструк-
ций! на устойчивость и колебания. М., Стройиздат, 1952. 252 с.
34. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. Пер. с англ.
М., Стройиздат, 1965. 448 с.
35. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, «Наукова
думка», 1964 288 с.
36. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней,
пластин и оболочек. М., Изд. ВИНИТИ, 1973. 271 с.
37. Гусев А. С. О распределении амплитуд в широкополосных случайных процес-
сах при схематизации их по методу полных циклов. — «Машиноведение», 1974,
№ 1. с. 65-71.
38. Ден-Гартог Дж. Механические колебания. Пер. с англ. М., Физматгиз, I960.
580 с.
39. Джанелидзе Г. Ю. Устойчивость упругих систем при динамических нагрузках —
В кн.: Проблемы устойчивости в строительной механике. М., Стройиздат. 1965,
с. 68—84.
40. Дженкинс Г., Ватгс Д. Спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. М.,
«Мир», вып 1, 1971. 316 с.; вып. 2, 1972. 287 с.
41. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. М.,
«Наука». 1976. 320 с.
42. Жинжер Н. И. О дестабилизирующем влиянии трения на устойчивость не-
конссрвативных упругих систем. — «Изв АН СССР. МТТ», 1968, № 3, с.
44—47.
43. Зенкевич О. К- Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. М., «Мир»,
1975. 541 с.
44. Зубов В. И- Математические методы исследования системы автоматического
регулирования. Л., «Машиностроение», 1974. 336 с.
45. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. М., «Машино-
строение», 1969. 199 с.
46. Ильюшин А. А.., Победря Б. Е. Основы математической теории термивязко-
упругости. М., «Наука», 1970 280 с.
47. Иориш Ю. И. Виброметрия. М., Машгиз, 1963. 771 с.
48. Кильчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар., Киев,
«Наукова думка», 1976. 319 с.
49. Кожешник Я. Динамика машин. Пер. с чеш. М., Машгиз, 1961. 421 с.
50. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями.
Пер. с англ. М., « Наука», 1968. 503 с.
51. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. Пер
с англ. М., «Мир», 1969. 312 с.
52. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. Пер. с агл. М , Изд-во иностр,
лит. 1955- 192 с.
53. Корн Г. Моделирование случайных процессе, на аналоговых и аналого-цифро-
вых машинах. Пер с англ. М., «Мир», 1968. 315 с.
54. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.( Физ-
матгиз, 1959. 211 с.
55. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. Пер. с англ. М., «Мир»,
1974. 338 с.
56. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1969. 198 с.
57. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел.
М., «Наука», 1970. 138 с.
58. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгнз, 1961. 824 с.
59. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр, лит. 1953. 475 с.
60. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. [Пакет научных подпрограмм]. Пер.
с англ. Пид ред. Т. И. Пыльцевой, Н. Д. Соколовой. Вып. 1, ч. 1, Минск, 1973.
228 с.
61. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. [Пакет научных подпрограмм]. Пер.
с англ. Под ред. Н. С. Жаврид, 4М. Л. Петрович. Вып. 2, ч. 2. Минск, 1973.
272 с.
62. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. |Пакет научных подпрограмм]. Пер.
с англ. Под ред. С. П. Ерашевской, Н. Д. Соколовой. Вып. 3, ч. 3, Минск. 1973.
240 с.
63. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. [Пакет научных подпрограмм]. Пер.
с англ. Под ред. Н. С. Жаврид, В. Н. Кузнецовой, Л, В. Ходыко. Вып. 4, ч. 4.
Минск. 1974. 284 с.
64. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. [Пакет научных подпрограмм]. Вып. 6.
ч. 5, Минск, 1975. 216 с.
65. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. [Пакет научных подпрограмм]. Вып. 10,
ч. 6. Минск, 1976. 240 с.
66. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных коле-
баний. М , «Наука», 1964. 431 с.
67. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М., «Наука»,
1966. 432 с.
68. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., «Наука»,
1970. 512 с.
69. Москаленко В. Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок в задаче
о собственных колебаниях. — «Инженерный журнал», 1961, т. 1, вып. 3,
с. 93—101.
70. Москаленко В. Н. Случайные колебания многопролетных пластин. — «Инже-
нерный журнал. МТТ», 1968, № 4, с. 79—84.
71 Москаленко В. Н., Чен-де-Лин. О собственных колебаниях многопролетных не-
разрезных пластинок. — «Прикладная механика», 1965, т. 1, вып. 3, с. 59—66.
72. Москвин В. Г., Окопный Ю. А. Исследование устойчивости систем с двумя сте-
пенями свободы при случайном параметрическом воздействии. — «Изв. вузов.
Сер. Машиностроение», 1972, № 3, с. 31—35
73. Москвин В Г., Смирнов А. И. К устойчивости линейных стохастических си-
стем. — «Изв. АН ССР. МТТ», 1975. № 4, с. 62—65.
74. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргу-
ментом. М., «Наука», 1972. 325 с.
75. Мэнли Р. Анализ и обработка записей колебаний. Пер. с англ. М., «Машинострое-
ние», 1972. 368 с.
76. Николаенко Н. А. Вероятностные методы динамнческог” расчета машинострои-
тельных конструкций. М., «Машиностроение», 1967. 368 с.
77. Новацкий В. Динамика сооружений. Пер. с польск. М., Стройиздат, 1963. 376 с.
78. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1962. 431 с.
79. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М., Изд-во МГУ.
1963. 419 с.
80, Острей К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления. Пер. с англ.
М-. «Мир», 1973. 322 с.
81. Пальмов В. А- Тонкие оболочки под действием широкополосной случайной на-
грузки — «ПММ», 1965, т. 29, № 4, с. 763—770-
82. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М • Физмат-
гиз, I960. 193 с.
83, Пановко Я- Г- Основы прикладной теории упругих колебаний. М., «Машиност-
роение», 1967. 316 с.
84. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упру-
госги материала. Киев, «Наукива думка», 1970. 380 с.
85. Половко А. М. Основы теории надежности. М., «Наука», 1964. 446 с.
86. Постнов В А., Хархурим И. Я- Метод конечных элементов в расчетах судовых
конструкций. Л., Сужпромгиз, 1974. 341 с.
87. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. Под ред.
И- А. Биргера и Я. Г. Пановко. М., «Машиностроение», 1968. т. 1—831 с; т. 2 —
<163 с.; т. 3 — 567 с-
88. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия, пре-
дельные теоремы, случайные процессы. М-, «Наука», 1967. 495 с.
89. Пугаче! В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автомати-
ческого управления. М., Физматгиз, 1962. 884 с.
90. Работнов ГО. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966.
752 с.
91. Радин В. П. Об оптимизации линейных виброзашитных систем по надеж-
ности. —- «Прикладная механика». 1972, т. 8. вып. 9. с. 134—137.
92. Радин В. П., Чирков В. П. О передаче случайных вибраций через тонкостенные
конструкции. — В кн.: Проблемы надежности в строительной механике. Виль-
нюс, РИНТИП, 1971, с. 128-135.
93. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 3. М., Машгиз, 1959, 1118 с.
Авт/. С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К- К- Лихарев, В. М. Макушкин,
Н. Н. Малинин, В. И. Феодосьев
94. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М-, Стройиздат,
1964, 380, с. Авт.: А- Ф Смирнов, А. В. Александров, Н. Н. Шапошников,
Б. Я. Лащеников.
95. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1971.552 с.
96. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М., «Машино-
строение», 1976. 216 с.
97. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М-, «Наука»,
1968. 463 с.
98. Случайные колебания Под ред. С. Крснделла. Пер. с англ. М., «Мир», 1967.
356 с.
99. Смирнов Н. В., Дун ин-Барковский Л. В. Курс теории вероятностей и матема-
тической статистики для технических 'приложений. Изд. 3. М., «Наука», 1969.
511 с.
100. Справочник по динамике сооружений. Под ред. Б. Г. Коренева и И. М. Раби-
новича. М., Стройиздат, 1972. 511 с.
101. Справочник по теории упругости. Под ред. П. В. Варвака и А. Ф. Рябова.
Киев, «Буд!вельник», 1971. 418 с.
102. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.4 «Машино-
строение», 1975, 375 с. Авт.: А. В. Кармишин, В А. Лясковец, В. И. Мяченков,
А. Н. Фролов.
103. Стратонович Р- Л. Условные марковские процессы и их применение в теории
оптимального управления. М., Изд-во МГУ,- 1966. 319 с.
104. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. М., «Наука»,
1967. 444 с.
105. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. Мм «Наука», 1970. 392 с.
106. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значении. Пер.
с англ. М., «Наука». 1970. 564 с.
107. Уилкинсон Дж. X., рейнш К, Сборник алгоритмов на АЛГОЛе. Линейная ал-
гебра. Пер. с англ. Мм «Машиностроение», 1976. 390 с.
198. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы л иней нов алгебры. М.,
Физматгнз, 1960. 655 с.
109. Федоров Ю. А. О параметрической стабилизации неконсервативных систем с
двумя степенями свободы. — В кн.: Механика деформируемого твердого тела и
теория надежности. М., изд. МЭИ, вып 280, 1976, с. 29—33.
110. Филиппов Л. П. Колебания дефор.мируемых систем. М., «.Машиностроение»,
1970. 736 с.
Ill Фролов К- В. Некоторые проблемы параметрических колебаний элементов ма-
шин — В кн.: Колебания и устойчивость приборов, машин и элементов систем
управления- М., '«Наука*, 1968, с. 5—20.
112. Хасьминский Р. 3. Устойчивость дифференциальных уравнений при случай-
ных возмущениях их параметров. М., «Наука», 1969. 368 с.
113. Челомей В. Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструк-
ций. М., «Аэрофлот», 1939. 77 с.
114. Четаев Н. Г. Устойчивость движения М.( Гостехиздат, 1955. 267 с.
115. Чирков В. II. Случайные колебания тонкостенных конструкций, несущих
сосредоточенные массы. — «Изи. АН СССР МТТ», 1975, № 3, с. 159—164.
116. Якубович В- А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения
с периодическими коэффициентами и их приложения. М., «Наука», 1972.
718 с.
117. Anderson R. Fundamentals of vibrations. New York, The Macmillan Company
London, Collier—Macmillan Limited, 1967. 412 p.
118 Ariarainam S. T. Dynamic stability of a column under random loading. Dynamic
stability of structures. Oxford a. o., Pergamon Press, 1967, p. 61—80.
119. Bishop R. E. D.. Gladnell G. M.L., Michaelson S. The matrix analysis of vibration
Cambridge, Univ. Press, 1965. 404 p.
120. Bishop R. E. D., Johnson D. C. The mechanics of vibration. Cambridge, Univ.
Press, 1966. 592 p
121. Bolotin V. V. Broadband random vibration of elastic systems. — «Intern. Journ.
of Solids and Struct.», 1966, vol. 2, N 1, p. 105—124.
122. Bolotin V. V- Reliability theory and stochastic stability. In: Study on Stability,
Univ, of Waterloo, 1971, N 6, p. 385—422.
123. Burton R. Vibration and impact. New York, Dover, 1968, 310 p.
124, Crandall S. H., Mark W. D. Random vibration in mechanical systems. New
York, Academic Press, 1963. 166 p.
125. Drgailia i fate. Warszawa, Bemovo, 1964, 467 p. Auth.: Z. Dzygadlo, S. Kaliski,
L. Solarz, S. Wlodarczyk.
126. Duggan T. V. Stress analysis and vibrations of elastic bodies. London, Tempi.
Press, 1964. 588 p.
127. Evan-Ivanowski R. M. On the parametric response of structures. — «Appl. Meeh.
Rev.», 1965, vol. 18, N 9, p. 699—702.
128. Handbook of engineering mechanics. Edited by W. Fltigge. New York, Me Graw—
Hill. 1962. 1632 p.
129. Herrmann G. Stability of equilibrium of elastic systems subjected to nonconser-
vative forces. —«Appl, Meeh. Rev.», 1967, vol. 20, N. 2, p. 103—108.
130. Hsu C. S., Lee T. H. A stability study of continuous systems under parametric
excitation via Liapunov’s direct method. In- Instability of continuous systems.
Berlin — Heidelberg — New York, Springer — Verlag. 1969, p. 112—118.
131. Iwatsubo T., Sugiyama Y.., Ogino S. Simple and combination resonances of co-
lumns under periodic axial loads. —«Journ. Sound and Vibr.», 1974, vol. 3.3(2),
p. 211-221.
132. Kolter W. T. A consistent first approximation in the general theory of thin elastic
shells. Proc. ШТАМ Symposium on the theory of thin shells (Delft, 1959), Amster-
dam, North Holland Publ., i960, p. 12—33.
133. Krajcinovic D., Herrmann G. Numerical solution of the dynamic stability prob-
lems. — «Intern. Journ. Numer. Methods in Engng.--, 1970, vol 2, p. 551—561.
134. Lin Y. К. M., Probabilistic theory of structural dynamics. New York a. o.,
Me Graw—Hill, 1967. 336 p.
135. Mettler E. Stability and vibration problems of mechanical systems under periodic
excitation. Proc. Int. Conf on Dynamic Stability of Structures (Evanston, 1965).
Oxford, Pergamon Press, 1967, p, 169—189.
136. Thomson W. Т. Vibration theory and applications. London, Allen and Unwin,
1971. 384 p.
137. Schmidt G. Parametererregte Schwingungen. Berlin, Deutscher Verl. der Wiss.
1975. 313 s.
138. Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional random proces-
ses. — «Journ. Acoust. Soc. Am.», 1971, vol. 49, N 1, p. 556—583.
139. Shock and vibration handbook. Edited by С. M. Harris, С. E. Crede. New York,
Me Graw—Hill, 1976. 1211 p.
140. Vernon J. B. Linear vibration theory. Generalized properties and numerical
methods. New York a. o., John Wiley and Sons, 1967. 365 p.
{41. Volterra E. G., Zachmanoglou E. C. Dynamic of vibrations. Columbus, Merril,
1965. 622 p.
142. Weidenhammer F. Zufallschwingungen. — «Zeitschr. angew. Math, und Meeh.»,
Sonderheft (GAMM — Tagung), Bd. 47, 1967, s. 25—28.
143. Weigand A. Einfuhrung in die Berechnung mechanischer Schwingungen. Leipzig,
FachbuchverL, 1967. 176 s.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоколебания — Определение 18
Алгоритм моделирования — Типы 280—
281
— — Рутисхаузера 83
— — Френсиса — Кублановской 83
Амплитуда действительная 20
— — комплексная 20, 104, 108
— — установившихся вынужденных
колебаний 106
Аналогии динамические — Виды 51—53
Антирезонанс 106
Б
Балка упругая 265—268 — Динами-
ческая устойчивость 252
Белый шум 281
----Ито 303, 307—309
— — Стратоновича 303, 307, 309
Биения — Определение 28
В
Вариационный принцип 69—71 171,
172
— — Гамильтона 36, 37, 135
— — Куранта 172
— — Релея 70, 171
— — Релея расширенный 70
Вектор волновой 175
---- признаков 320
----состояний системы 296
Вероятность отказа системы 321
Вибрации 16
— — случайные — Передача 313
Вибродиагностика 16
Виброзащита 16
Виброиспытание 16
Виброметрия 16
Вибринадежиость 16
Вибринапряжение 322
Виброобработка 16
Вибронерсмещение 322
Вибропрочность 16
Вибротранспиртировка 16
Виброускорение 322
---- опорное 30
Виброустойчнвость 16
Возбуждение кусочно-постоянное 123,
124
— — начальное 55
— — параметрическое 117
----ступенчатое внешнее 113
Воздействие импульсное 114
— — параметрическое 299
---- случайное 286
Волновое число 181, 209 , 213, 217, 229,
258
Волновой упрут ий процесс — Понятие
256
Волны — Амплитуда 257, 258 — Длина
258 — Частота 258
— —дилатационные (расширения-сжа-
тия) 257
— — изгибные 260, 261 — Фазовая
скорость 260 — Волновое число
260
— — крутильные 259 — Скорость рас-
пространения 259
— — поверхностные 258, 259 — Пеня-
тие 258 — Скорость распростра
нения 258, 259
— — продольные 259 — Скорость рас-
пространения 259
— — упругие 259, 260, 261
— — эквиволюмиальные (искажения
или сдвига) 257
Выброс процесса 324
Вынужденные колебания
-----в системе распределенной 101—
105, 109, 115, 116, 234—238
— — в системе с конечным числом сте-
пеней свободы 101—116
Вынужденные колебания неу ст ан овив-
шиеся 109, 115, 232
— — в распределенных системах 238
— — в системе с конечным числом
степеней свободы 102—109
-----в системе с одной степенью сво-
боды 109
Вынужденные колебания установив-
шиеся 101, 234
----- в вязко-упругих системах 239
— — в диссипативных системах 102.
238—240
-----изгибные 236
— — продольные 235
Г
Гамильтона принцип 36—38
Гамильтона—Остроградского принцип
135, 136
Гармонические колебания — Закон из-
менения 19
— Комплексное представление 20
— Круговая диаграмма 19, 20
— Начальная фаза 19
— Угловая скорость 19
Гауссовский (нормальный) процесс 276
----- стационарный дельта-коррелиро-
ванный 281
Гипотеза квазигауссовости 304, 305
-----Кирхгофа—Лява 157, 160, 217
— — линейного суммирования повре-
ждений 332, 333
-----Милл ио ищи ко в а 304
Гука закон 137, 138
Д
Даламбера принцип 34, 35
Движение абсолютное 35
----- истинное 36, 37
----- колебательное 19
----- относительное 35
— — относительно неподвижной оси
51
— — относительно неподвижной точки
51
— — переносное 35
— — плоскопараллельное 50, 51
— — равномерное вращательное 40
— — равномерное поступательное 40
— — смежное 36
Декремент колебаний 102
-----логарифмический 93
Демпфирование внешнее 94
----- внутреннее 94
----- относительное 93
Деформации местные 261
-----общие 261
Диагностика вибрационная 287
----- техническая 287
Диаграмма Айнса — Стретта 123
-----Вина 65
Диапазоны стандартные октавные 30
Динамика статистическая 268
Динамические аналогии — см. Анало-
гии динамические
Динамический гаситель колебаний 106
Дисперсия аномальная 258, 260
----- нормальная 258
-----случайного процесса 270
Диссипация малая 94
----- неполная 90, 92
----- отрицательная 92
----- полная 92
Долговечность ожидаемая — Вычисле-
ние 333
— Сравнение оценок 334
Ж
Жесткость динамическая 291—Опре-
деление 105
3
Задача алгебраическая о собственных
значениях 78, 79
----Бека 242, 243
— — краевая стахостическая 286, 310
— Операторная форма записи
310 — Пример 310
— — Николаи 242
----обобщенная алгебраическая о
собственных значениях 78, 79
----полная о собственных значениях
80—83
— — Реута 242
Затухающие колебания—Декремент
93, 102 — Определение 27
И
Изгибно-крутильные колебания стерж*
ней 156, 157, 200, 201
Изгибные колебания 193—200 — Влия-
ние начальных усилии 199, 200 — Кра-
евые условия 153, 154, 193, 194 — При-
меры 195—196— Собственные формы
195—Собственные частоты 195 —
— Уравнения 155, 193
----оболочек — Уравнения 160—
166—Частоты и формы 218—
234
— — пластин — Уравнения 157 — Ча-
стоты и формы 203—218
— — стержней — Уравнения 152—
156 — Частоты и формы 193—
200
Импеданс механический 105
Импульс 114
----прямоугольный 114, 115
— — силы 115
----ударный — Определение 115
Инерция вращения — Учет 159 160
Интеграл действия 38
— — Дюамеля 109, НО, 238
----Фурье—Стильтьеса 272
Интенсивность белого шума 281
----марковского процесса 277
---- отказов 321
Итерации прямые 84
К
Квазиустойчивость 244
Кирхгофа закон второй 53
---первый 53
Колебания — Виды см. под их назва-
ниями, например Вынужденные колеба-
ния — Определение 18
— — стержней 145, 146, 147, 148, 149,
150, 151
— — струны 145, 146
--- тонких упругих оболочек 160—
166 — Уравнения 163
Колебательный процесс — Амплитуд-
ный спектр 21
— Классификация 18
— Несущая частота 27
— Определение 15
— Пиковые значения 28
— Пример 21, 22
— Размах 29
— Реализация 18
— Уровень 30
Колебательный процесс многомерный
31
— — модулированный 28
--- непериодический 26—28
---неустановившийся 18
---периодический 18 — Амплитуда
21 — Амплитудный спектр 192 —
Анализ спектральный 21 — Ко-
эффициенты Фурье 21, 22, 23 —
Спектр частот 21
— — установившийся 26, 27
Количество движения 33
Координаты декартовы 47, 49
— — нормальные (главные) 93, 108,
109 — Использование 107
— — обобщенные 40 — Вариации
36
— — сферические 137
— — циклические 40, 67
— — цилиндрические 137
Коэффициент возбуждения 119
— — критический 126
Коэффициент демпфирования 91, 93
-----динамического усиления (дина-
мичности) 102 — Определение
101
-----диффузии 277
— — инерционный 55, 66, 67, 68
-----квазнупругий 56, 66, 67, 68
— — корреляции 270
— — Пуассона 138
----- сноса 277
-----Фурье 21, 25
Краевая задача с квазиразделяющими-
ся переменными 178
-----с разделяющимися переменными
177
----- стахостическая 286
Краевые условия 178
-----альтернативные 136
-----естественные 139
Кривизны главные 160
Критерий Зубова 97
-----Коши—Михайлова—Найквиста
98, 99
-----оптимальности системы по на-
дежности 332
-----Рауса—Гурвица 98, 99
Кронекера символ 44
Кумулятивный (квазимонотонны й) про-
цесс 324
Л
Лагранжиан 139
Ламе параметры 160
Ламе постоянные 138
Лапласа преобразования — Примене-
ние 112 — Примеры 113
Лиссажу фигуры — Определение zb =
Примеры 26
М
Марковский процесс
276
-----диффузионный 324
— — многомерный (п-мерный) 277,
295, 296
— — непрерывный 277
-----одномерный 294
Математическое ожидание 278
— — числа выбросов в единицу вре-
мени 325, 326
Матрица Грина 116
-----единичных перемещений (еди-
ничных податливостей) 57, 58
-----жесткостей упругого подвеса 72,
73
— — инерционных коэффициентов
(инерционная) 55, 72
— — квазиупругих коэффициентов
(квазиупругая) 56
— — корреляционная (ковариацион-
ная) 270
-----Коши 117
— — коэффициентов диссипации 39
— — моментов инерции 45
-----перехода (монодромии) 117, 118
-----преобразования усилий 76, 77
Матрицант (фундаментальная матрица
Коши) 118
Мера усталостного повреждения 324
Метод асимптотический — Применение
209—212, 229 — Примеры 231, 232
— Схема 181
-----Бубнова—Галеркина 227, 238 —
Обобщение 185 — Применение
184, 185
-----Власова—Канторовича 185
----- внутренней коллокации 185
-----вращения (Якоби) 8b — Обоб-
щение 81
-----временных преобразований Фу-
рье 313
----- выбросов 333
----- Гаусса 86
-----Гивенса 83
-----Граммеля 184—185
— — граничной коллокации 185
— — Данилевского 86—87
— — Данкерли 182
— — динамических жесткостей 189,
201, 202
— — динамических податливостей 203
----- дифференциальных уравнений
относительно моментных функций
310
— — исчерпывания 85
Метод канонических разложений 312
----- комбинированной коллокации
189
----- комплексных амплитуд 104 —
Применение 108
-----конечных разностей — Примене-
ние 185—186
-----конечных элементов. 190 — При-
менение 187 — Схема 187, 188
-----Крылова 85, 86 — Пример 86
-----Кули и Тьюки 25
-----Левер ье 88
-----малого параметра (возмущений)
126, 127, 179
-----минимума среднеквадратичной
ошибки 185
Метод моментных функций 303—306,
310—312
-----модифицированный 304
Метод Монте-Карло 280
Мюллера (метод парабол) 88, 89
-----начальных параметров Коши 192
— — нормальных координат 243
— — обобщенных определителей Хил-
ла 128, 129
----- обратной итерации 83
— — операторный 115
— — полных циклов 333, 334
- — последовательных приближений
180
— — пространственных преобразова-
ний Фурье 314 — Применение
314
-----разделения переменных 177, 178
— — разложения по собственным фор-
мам (собственных функций) 116,
238, 249, 315—317
----- размахов 333
-----Релея 182
— — Ритца 183
— — Саутвелла 182
-----скользящего суммирования 281,
283, 284
— — спектральных представлений
289, 312—315
-----степенной 84. 85
— — Стодолы (84
— — стохастических функций Ляпу-
нова 301—303
-----Фаддеева 88
-----факторизации 178, 207
— — функций Грина 115, 116, 311,
312
-----функционалов Ляпунова 243,
244
-----Хилла 265
Михайлова годограф 99
Модели отказов кумулятивные 324
-----марковские 324, 325
Модель t язкоупругого поведения ма-
териала 141
-----диссипации 140 — Классифика-
ция 140
-----Кельвина обобщенная 141
-----Максвелла 141
-----Максвелла обобщенная 141
-----стандартного линейного тела 141
----- стохастическая 2G8
----- трехэлементная вязкоупругости
141
-----Фойхта—Кельвина 141, 145
Модуль упругости 138
-----комплексный 143, 144
— — сдвига 138
Модуляция амплитудная 27
-----фазовая 27
— — частотная 27
Момент главный инерции 46
-----количества движения (момент
импульса) 133
Момент инерции — Вычисление 48 —
Тензорные свойства 45, 46 = Техниче-
ские обозначения 45
--дилатационный 150
— — осевой 45, 48
— — полярный 44
-- при кручении 149
— — сектор иальный 151
— — сечения полярный 146
-----тела относительно координатных
осей 45
— — тонких тел 47
— — тонкостенных тел 42
— — центробежный 45, 48
Момент масс статический 41
Момент распределения масс 41
Мощность диссипации 39
Мультипликатор 118, 119
Н
Надежность вибрационная — Расчет
332—334
----- нормативная 321
Непериодические колебания нестацио-
нарные — Определение 26
— — стационарные (установившие-
ся) — Определение 26
Неустойчивость колебательная 242
----- монотонная 242
Нормальная форма системы дифферен-
циальных уравнений 117
-----Жордана 95
О
Области неустойчивости 120, 133, 134,
254 — Влияние диссипации 131 — От-
носительная ширина 131 — Построение
254—256 — Расчет 125, 126
Область дивергенции 245
-----допустимых состояний 320, 323
----- устойчивости 307
-----флаттера 245
Оболочка безмоментная 163
-----коническая — Собственные ко-
лебания 227 — Уравнения колебаний
226,227
-----круговая цилиндрическая —
Уравнения колебаний 219, 220
----- пологая 163
-----сферическая 223 =— Собствен-
ные колебания 224, 225 — Уравнения
колебаний 223
-----тонкая упругая «— Деформация
161 — Перемещения 160 — Ура-
внения 161, 162
Оператор Лапласа 158
-----положительно определенный 170
-----производящий дифференциаль-
ный марковского процесса 302
— — самосопряженный 170
Определитель характеристический —
Развертывание 85—89
Оси жесткости главные 73, 74
---- инерции главные 74
— — поступательной жесткости упру-
гого подвеса 74
— — центральные главные жесткости
подвеса 74
Отказ 319
----внезапный 320
— — постепенный 320
Отношение частотное 101
Оценка функции надежности двусто-
ронняя 325
---- линейная 326
— — строгая снизу 325
— — экспоненциальная 326
П
Панель пологая криволинейная — Ура-
внения 164, 228
Параметр инерционный 70
----качества — Выбор 323
— — квазикритический 244
— — квазиупругий 70
---- критический 241
Параметрические колебания распреде-
ленных систем 245, 256 — Области не-
устойчивости 254—256 — Примеры
245 — Уравнения 246—248
— — систем с конечным числом степе-
ней свободы — Области неустой
чивости 121, 128—131 — Приме-
ры — 116 — Уравнения 121
— — систем с одной степенью свободы
121-128
Перемещения виртуальные (возмож-
ные) 32
Периодограмма 298
Пластина бесконечная — Колебания
315
----защемленная по контуру 205,
206
— — кольцевая в плане 158, 208
— — круговая в плане 158, 207
Устойчивость 254
— — многопролетная — Граничные
условия 212 — Точное решение
213 — Уравнения 212, 213
----- ортотропная 159, 212
— — переменной толщины 158
-----прямоугольная в плаке — Крае-
вые условия 202, 204, 205 —
Уравнения 203, 205
-----с сосредоточенной массой 317
Плотность распределения отказов 321
Плотность собственных частот асимп-
тотическая 174—177, 234, 318
----- эмпирическая 234
Плотность спектральная — Вычисле-
ние 281, 282, 317
— — спектральная взаимная 275
Поведение вязкоупругое материалов —
Понятие 140
Поверхность критическая 241
Повреждение усталостное — Учет 332
Податливость динамическая — Опре-
деление 105
----- комплексная 145
Подпрограмма 25, 81, 88, 89
Показатель характеристический 91
Поле случайное 268 — Вероятностные
характеристики 278—280 —Статисти-
ческое моделирование 280—285
-----изотропное 279, 280
----- однородное 280
-----пространственно-временное одно-
родное 279
-----пространственно-временное ста-
ционарное 278
----- стационарное 278
Полигармонические колебания — Опре-
деление 20 — Пример 20
Полином алгебраический с веществен-
ными коэффициентами 96
----------с вещественными коэффициента-
ми, заданный в неявном виде 97
-----с комплексными коэффициентами
97, 98
Полином характеристический — Корни
88—89
Полоса частот декадная 30
— — октатная 30
----- полуоктавпая 30
----- третьоктавная 30
Порядок моментной функции 269
----- резонанса 120
Поток ординарный 325
----- пуассоновский 325
Почти гармонические колебания Оп-
ределение 27
Почти периодические (квазипериодиче-
ские) колебания — Квазипериоды 27 —
Определение 27 — Пример 27 —
Спектральное представление 27
Принцип суперпозиции 17, 142
Проблема замыкания 304
— — квадратичная 79
Программа стандартная — Применение
285
Произведение энергетическое 169
Пространство диагностическое (призна-
ков) 320
— — качества 320
— — конфигураций (конфигурацион-
ное) 36
-----состояний 36, 320
Процесс — Виды см, под их названия-
ми, например Гауссовский процесс —
Понятие 256
Процесс с конечной дисперсией перио-
дически модулированный 309
*----со скрытой периодичностью 307,
309
•=- *— экспоненциально коррелирован-
ный 308
Р
Равновесие асимптотически устойчивое
95
-----неустойчивое 95
-----устойчивое по Ляпунову 95
Распределение масс 40, 47, 48
— — скоростей 49
— — ускорений 49
Расходящиеся колебания — Определе-
ние 27
Реакции единичные — Формулы 202
-----связей 32
Резонанс параметрический 101, 117
-----главный 120, 123
— — главный комбинационный раз
ностного типа 128
— — главный комбинационный сум-
марного типа 128
— — побочный 120
— — простой 120
Резонанс ударный 115
Релаксация 142
Релея дроэь 62, 170
Решение асимптотически устойчивое
в среднем квадратическом 302
----- асимптотически устойчивое по
вероят! ости 300
— — асимптотически устойчивое по
отношению к возмущениям на
начальном множестве 100
— — Даламбера 257
— — 2Т-периодическое 118
— — порождающее 209
— — Т-периодическое 118
- — устойчивое по вероятности 300
— — устойчивое по математическому
ожиданию нормы 300
-----устойчивое по отношению к воз-
мущениям на начальном множе-
стве 100
— — устойчивое по совокупности мо-
ментных функций 301
— — экспоненциально устойчивое по
математическому ожиданию 300
С
Свободные колебания — Определение
116—134
-----диссипативных систем 91—94
- — консервативных систем 54—78
— — неконсервативных систем 89
100
Связанность сильная 65
----- слабая 65
Связь
— — геометрическая 32
— — голономная 32
— — идеальная 32, 36
— — кинематическая (дифференци-
альная) 32
— - неголономная 32
- - нестационарная (реономная) 32
- — неудерживающая 32
— — стационарная (склерономная) 32
---удерживающая 32
Сдвиг поперечный — Учет 159, 160
Сегмент пологий сферический — Коле-
бания 225, 226
Сила внешняя 32, 310 — Действие 234
235
— — внутренняя 32, 37
— — возмущающая 103
— — восстанавливающая 57
- — вязкого сопротивления 102 —
Учет 102
— — гармоническая 102 — Действие
101
— — гироскопическая 90
— — диссипативная 39, 90
— — консервативная 38
— — неконсервативиая 37
— — неконсервативиая позиционная
90, 243
— — обобщенная 37
— — параметрическая 246
— — постоянная 114
— — с отрицательной диссипацией (ус-
коряющая) 90
Система — Вид 15 — Классификация
16, 17 — Колебания 15 — Параметры
15, 16 — Понятие 17 — Состояние
15
— — автономная — Устойчивость 94
— Теоремы 95
— — возбуждаемая белыми шумами
306
— — высоконадежная 325
— — гироскопическая 90
— — детерминистическая 286
— — каноническая 118—120
- — консервативная 17
- — материальных точек 31, 32
- — Мейсснера 132
- — неконсервативнгя 17
— - нестационарная 286
— — параметрически возбуждаемая
131—134
— — парциальная 65
Система распределенная 17, 135, 166—
169, 171—173, 177, 245, 246, 251, 310,
319 — Динамическая устойчивость 241,
242 •— Устойчивость 241 — Учет дис-
сипации 256
----- вязкоупругая 239
-----с внешним трением 238, 239
Система с двумя случайными парамет-
рическими воздействиями 307—309
Система с конечным числом степеней
свободы 15, 17, 31, 35, 78, 126 — Выну-
жденные колебания 105—109 — Сво-
бодные колебания 63, 64
-----диссипативная 91—94
— — недиссипативная 105
Система с кусочно-постоянными коэф-
фициентами 130
Система с одной степенью свободы 62,
92, 102, 111, 121, 307, 309 —Вынуж-
денные колебания 101—105 — Свобод-
ные колебания 63, 64
-----диссипативная 39, 91—92
----- недиссипативная 101
Система с отрицательной диссипацией
90
-----с периодическими параметрами
119
- — с постоянными параметрами 17
— — стохастическая 286
— — стационарная 286, 288, 289
-----упругоподвешенных твердых тел
76
----- уравнений динамики замкнутая
33
Скорость групповая 257, 258
----- поперечных волн 257
— — продольных волн 257
— — фазовая 257, 258
Случайные колебания 310—319
----- распределенных систем с конеч-
ным числом степеней свободы
292
«- — распределенных систем с одной
степенью свободы 288
Случайные параметрические колеба-
ния 299—309
----систем, возбуждаемых белыми
шумами 306
— — систем, возбуждаемых процесса-
ми с конечной дисперсией 308
Случайный процесс 268 — Реализации
267, 327 — Спектральные представле-
ния 270, 271 —Статистическое модели-
рование 280—285
— — векторный 268
----пространственно-временной 268
— — стационарный — Понятие 271 —
Спектральная плотность 273, 274
Случайный процесс многомерный 275,
276
----стационарно связанный 275, 276
----стационарный 275, 276
Собственные значения уравнений 168
Собственные формы 59, 60, 170, 171,
215—218 — Дифференциальные урав-
нения 218
— Классификация 219
— Методы вычисления 78
— Определение 177
— Расчет 201—203, 229—232
— Свойства 60, 168, 169, 170, 171
Собственные частоты 62—64, 69, 70,
71 — Асимптотическое распределение
176, 177
— Методы вычисления 78
— Определение 84, 174
— Плотность 173—177, 232—234
— Расчет 201—203,215—218,229—232
— Свойства 60, 168—171
— Точки сгущения 234
— Уравнение 74
— Формулы 232
Собственные частоты высшие 84
----демпфированной системы 91
----низшие 84
---- нулевые 69
Составляющая безвихревая 257
----эквиволюмиальная 257
Спектр — Структура 173
— — дискретный 172
т- — полосовой 173
— — смешанный 172
-----сплошной 172
Среда упругая 256
Срок службы нормапивный 321
Стационарные колебания 290—294
Стержень — Геометрические характе-
ристики 148, 149 — Колебания 146,
147, 152—157 , 235 , 23G, 247 , 248 —
Устойчивость 246 — Понятие 146
-----консольный 244—245
— — криволинейный 155. 156
-----опертый 255 — Области неустой-
чивости 255
— — с кусочно-постоянными характе-
ристиками 197, 198 — Колеба-
ния 198
-----тонкостенный открытого профи-
ля 151
— упругий 265 — Собственные формы
190 — Собственные частоты 190
Струна — Понятие 145
Схема разностная — Определение 187—
Устойчивость 187
Сходимость — Скорость 84
-----разностной аппроксимации 186
Т
Тангенс потерь — Определение 145
Тело абсолютно твердое 40, 48—51, 323
-----деформируемое 40
-----упругое — Уравнения динамики
137—140
Тензор упругих постоянных 138
Теорема Даламбера — Эйлера 48
-----Кельвина—Тета — Определение
96
— — Лагранжа 95, 96
— — Ляпунова 95. 96
— — об асимптотической устойчиво
сти 302, 303
— — об изменении главного момента
количества движения системы 33.
35
— — об изменении кинетической энер-
гии системы 33, 35
— — об изменении количества движе-
ния системы 33
---- об устойчивости по вероятности
302
---- о сохранении полной механиче-
ской энергии 34
— — о сравнении 70, 183
— — Шаля 48
Теория вероятностей 268
— — выбросов 324, 336—337 — Пере-
сечения 327, 328 — Среднее чис-
ло выбросов 327—328 — Среднее
число максимум jh 329
— — Герца 261, 266
— — динамической устойчивости —
Задача 246
— — идентификации динамических
систем 268
— — Кокса 267
— — колебаний 268, 267
— — марковских процессов — Методы
294, 295, 296
— — надежности 268 — Критерий
322, 323 — Понятия 319—322 —
Применение 326
— — поперечного удара 266. 267
— — Сен-Венана 266
— — случайных процессов и полей
268—286
----случайных функций 268
— - соударения волновая 263
— — статистической обработки опыт-
ных данных 268
— — техническая 259, 260
— — Тимошенко 260
— — упругости классическая — Ос-
новные соотношения 137
— — уточненная 215, 217,218,260,261
— — элементарная — Обобщения 266
Трение внешнее 109
— — внутреннее 109
— — Фойхта 94
У
Удар поперечный 267 — Силы взаимо-
действия 267 — Смещение тела 267 —
Элементарная теория 265, 266
----продольный 263 — Задача о со
ударении 263—265 — Макси-
мальные напряжения 264 — Про-
должительность 264 — Элемен-
тарная теория 262
Уравнение Даламбера—Эйлера 34
-----движения 139 — Операторная
запись 139, 140
----- динамики 148—51
-----дисперсионное 258 — Понятие
257
----- кинетическое 332
— — Колмогорова 277, 304
-----Лагранжа 36, 38, 40, 52, 55 —
Определение 38
— — Ламе 139, 256
-----Матье—Хилла 121 —Области
неустойчивости 121—125
----- Мейсснера — Области неустой-
чивости 123, 124
-----Остроградского—Эйлера 136
-----относительного движения 34, 35
-----разностное — Методы решения
187
— — свободных колебаний линейных
консервативных систем — При-
мер 57
— свободных колебаний с использо-
ванием матрицы единичных пере-
мещений — Пример 58
-----Смолуховского интегральное 276
— — собственных частот 59
-----Тимошенко 155
— — Фоккера—Планка — Колмогоро-
ва 277
— — Фредгольма 170, 181
-----Эйлера 49, 50
Усилие тангенциальное — Учет 159
Ускорение мгновенное угловое 44
-----осестремительное 49
-----поступательного движения 49
-----тангенциальное 49
----- центра масс 49
Условие нормировки 269
----- симметрии 269
----- согласованности 269
Условие ортогональности по кинетиче-
ской энергии 60
-----по потенциальной энергии 60
Условная плотность вероятности 276
Устойчивость — Исследование 243,
245 — Определение 305, 306 — Усло-
вия 99
----асимптотическая 119, 301 — Кри-
терии 96—100
— — в среднем квадратическом 300
----динамическая 246, 247, 248
— — линейных систем 89
----по Ляпунову 119—Определение
94—95
----по моментам высоких порядков—
Исследования 307 — Результаты
анализа 307
----по совокупности моментных фун-
кций 301
----стохастическая — Определение
299—301
Ф
Флуктуации амплитуды 27
----фазы 27
----частоты 27
Формула Ито 303
---- Клайперона 138
----Коши 137
----Релея 62, 84, 85, 171
— — Штейнера 48
— — Эйлера 49
Формы собственных колебаний — см
Собственные формы
Фурье анализ численный — Стандарт-
ные программы 25
Фурье преобразование 24
— — быстрое — Понятие 24, 25
Фурье ряд — Коэффициенты 22, 23
----в действительной форме 22
---- в комплексной форме 22
Функции моментные начальные 269,
270
----центральные 270, 278
Функция балочная 196, 197, 205
----Грина (тензор Грина) 181, 311
----имеющая бесконечно малый верх-
ний предел 302
— — импульсная переходная 109
— — ковариационная 270
— — корреляционная 270, 278
- — Лагранжа 40
— — надежности — Определение 321
— Оценки 325, 326
— — надежности условная 321
— — передаточная системы (динами-
ческая податливость) 291
---положительно определенная (по
Ляпунову) 302
— — распределения 269
— — Релея диссипативная 39, 40,108
— — Хевисайда 173
X
X арак терис ти к а а м п л итудно -ч астотн а я
101, 106
— — демпфирования 93
— — фазочастогная 103
Ц
Центрированный процесс 270
Центр масс 40, 42—44
Ч
Частота возбуждения 117, 119
--- комплексная 91
— — отказе:- 321
— — парциальная 65
— — резонансная 101
Частоты собственных колебаний — см.
Собственные частоты
Члены параметрические 1Ь5
Ш
Шары упругие — Время соударения
261. 262
— Контактная сила 261
Штурма последовательность 83
Э
Эйлера углы 48
---- нутации 48
— — прецессии 48
— — собственного вращения 48
Экспоненциально-коррелированный
процесс 307
Энергия кинетическая 33
---- потенциальная 34
Эргодический процесс 272
Эффект динамический краевой 209 —
Области вырождения 230
----динамический краевой невырож
денный неосциллирующий 209
— — диссипации дестабилизирующий
131, 132
Я
Ядро ползучести 142
----релаксации 143, 144 — Резоль-
венты 144
ИБ № 713
Иван Иванович Артоболевский, Алексей Николаевич Боголюбов,
Владимир Васильевич Болотин и др.
ВИБРАЦИИ В ТЕХНИКЕ. В 6 ти томах
Том 1
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Редактор Т Д. Онегина
Художественный редактор П Л Рогачеву Технический редактор Л. А. Макарова
Корректоры О Е Мишина н А. А. Снастина Переплет художника А. Я. Михайлова
Сдано в набор I9.lu.77. Подписано в печать 04.05.78. Т-09М2. Формат 6UX90i/ie- Бумага
типографская № 1. Гарнитура литературная Печать гысокая. Усл печ. л. 22,0. Уч.-изд.
л. 29,65. Тираж 30 000 экз. Заказ 15Ь5. Цена 1 р. 80 к.
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3
Ордена Октябрьский Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министр- в СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П 136, Гатчинская
ул., 26,
тл.аон.
ЯЛШИМММСМЯЕ