/
Tags: математика
Text
В. Н. САЧКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В КОМБИНАТОРНЫЕ
МЕТОДЫ
ДИСКРЕТНОЙ
МАТЕМАТИКИ
МОСКВА *НА\КА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
Ч ВЗПКО-МАТЕМАТИЧЕСКОП ЛИТЕР АТУРЬ'
2218
С 22
УДК 519 6
0ГЛ4ВЛЕНИЕ
ава I Основные понятия в элементарные методы .
§ J. Отношения, операции, алгебры ....
$ 5. Преобразования ... . .
Задачи ..................... ...................
Глава IT. Формулы обращения и метод включения — исключения
§ 1 Графт/ . . Р . . .
150
150
161
171
182
193
207
210
219
225
234
§ 8. Разделяющие шстеиы мно,кости
Задачи .....................
§ 2. Перманенты и трансверсали
§ 3. Неразложимые и вполне неразложимые матрицн
Задачи ' ................
$ 2. Блок-схемы г . ...
Задачи .... ........... . , .
Литература
Предметный
нпмают комбинаторные методы, развитие которых за последние
десятилетия нашло отражение ие только в многообразных науч-
ных публикациях, ио и в подготовке математиков и инженеров
кибернетического направления. Развитие этих методов обуслов-
лено появлением разнообразных задач дискретной математики,
< вязанных с существованием, алгоритмами построения и подсче
том числа некоторых конфигурации iij элементов данного мно
щества Такие конфигурации строятся в соответствии с опреде
лепными правилами и называются обычно комбинаторными. Круг
зАНпую с перечислением, обычно называют перечислительными
задачами комбинаторного анализа.
Предлагаемое учебпое пособие имеет целью систематически
изложить в перв.хю очередь перечислительные методы комбина-
торного анализа, нашедшие незначительное отражение в учебной
литературе по дискретной математике. В главе I изложены эле-
ментарные комбинаторные методы и приведен без доказательств
ряд основных сведении из других разделов математики, приме-
няемых в последу тощем изложении. В основном эти сведения да-
ются студентам факультетов прикладной математики па первых
курсах их обучения. В качестве основного инструмента в реше-
нии перечислительных задач используется метод производящих
функции. Различным аспектам данного метода, связанным с ис-
днище функции шратот в решении цере’шсттельных задач тео
Наряду с теорией групп метод производящих функции црц
меняется в теории перечисления Попа и в построении общей
комбинаторной схемы, включающей в себя целый ряд копкрет
вых комбинаторных схем Эти вопросы излагаются в главе V
Весьма эффективным в решении комбинаторных задач, в осо
бенпости связанных с получением асимптотических формул, яв-
ляется применение вероятностных методов, которым посвящена
глава VI. В этой области метод производящих функций, наряду
t известными предельными теоремами, также предоставляет
бонштие возможности в решении достаточно сложных задач.
Другие методы перечисления связаны с использованием пер-
манентов в главе VII и формул обращения па частично упоря-
доченных множествах, которым посвящена глава II В главе VIII
излагаются основы теории блок схем
Основная цель учебного пособия состоит в изложептпт мето-
дов решения комбинаторных задач Решение конкретных задач
служит прежде всего для иллюстрации комбинаторных методов
Для наибольшей наглядности задачи часто рассматриваются не
в максимальной общности, причем нередко для решения одной
и той же задачи в различных главах применяются различные
методы. Сравнение сложности решения одной и топ же задачи
различными методами в процессе обучения поможет выработать
умение правильно использовать арсенал комбинаторных мето-
дов в конкретной ситуации
Изложение в книге построено по принципу нарастающей слож-
ности, подавляющее большинство результатов приводится с под-
робными доказательствами. В конце глав и некоторых парагра-
фов содержатся задачи и упражнения. Главы имеют определен-
ную автономность, чю при необходимости обеспечивает их не-
зависимое изучение Такое построение книги позволяет ла ос-
нове приведенного в ней материала строить разнообразные учеб-
ные курсы и организовывать занятия семинаров в зависимости
от целей подготовки студентов.
По традиции, сложившейся при написании учебных пособии,
изложение, за редкими исключениями, не сопровождается точ-
ными ссылками па источники приводимых результатов. С учетом
целей книги она не содержит в ряде случаев исчерпывающею
изложения современного состояния известных комбинаторных
проблем. Для восполнения этих пробелов в информации чита-
телю следует обратиться к списку литературы, приведенному’ в
конце книги. Этот список содержит названия монографий и ста-
тей из журналов, в которых указанные вопросы изложены с
большей степенью детализации и содержат сведения о перво-
источниках.
ВИС ачкоз
§ 1. Множества
1, Понятие множества. Множество есть совокупность объеди-
ненных по некоторым признакам различных объектов, называе-
мых элементами множества Если х является элементом множе-
ства X пли, что то же самое, х принадлежит множеству X, то
применяют запись х s X; в противном случае пишут х&Х. Два
множества X и У равны, т е. X — У, если они состоят из одних
и тех же элементов. Если множества X’ я У не равны, то при-
Для описания множества X, состоящего из элементов xs, .
,.хп, обычно применяется запись X == {&ь х2, .,а?,,), где по-
рядок элементов в фигурных скобках несуществен п оирсдепя
ется соображениями наглядности. Так, в записи множества пер
вых п натуральных чисел Хп = (1, 2, . , , и} удобно располагать
числа в возрастающем порядке, хотя при этом надо иметь в виду,
Другой способ задания множества состоит в описании свойств,
однозначно определяющих принадлежность элементов данному
множеству. Такому способу задания множества X отвечает запись
стедующего вида'
X = (х х обладает свойством /‘(а:)}.
Выражение в фигурных скобках читается следующим образом
множество всех элементов х, которые обладают свойством Р{х).
Например, множество четных чисел М может быть задано сле-
дующим образом,
Л/ = {г г — целое число, делящееся да 2}.
Возможно также рекурсивное задание множества, при кото-
ром осуществляется последовательное описание элементов через
предыдущие Тат;, множество натуральных чисел N == {1, 2, ...}
может быть описано следующим образом.
Во всех указанных случаях описания множества с помощью
некоторого свойства необходимо следить за тем, чтобы каждый
элемент был четко определен, во избежание трудностей типа
парадокса Б. Рассела. Наглядно такой парадокс можно проил-
люстрировать в вида затруднения парикмахера, определившего
множество людей, которых он бресг, в виде совокупности всех
лиц некоторого населенного пункта, не бреющихся самостоятель-
но. При таком определении остается неясным, принадлежит ли
сам парикмахер этому множеству.
Недостаточно четким является, например, и определение мно-
жества X как множества слов русского языка, если пет ссылки
на какой-нибудь толковый словарь.
Множество, содержащее конечное число элементов, называет-
ся конечным; в противном случае множество является бесконеч-
ным, Число элементов конечного множества X' обозначается через
|Х1 Множество X, содержащее п элементов, будем называть п-
множествоч Ясно, чю все элементы «-множества X можно за-
нумеровать числами 1, 2, ..., п и записать в виде списка Х =
2. Операции над множествами. Если каждый элемент х мпо-
жества У, х е У, является элементом множества
называется подмножеством множества X. Для обозначения этого
свойства используется знак включения s и применяется запись
Y s X Включение обладает свойствами рефлексивности: X s X —
и транзитивности, если X £ Y и FeZ, toX^Z. Кроме тою,
иэ двух включении
чается собственным подмножеством X Очевидно, что если 1X1 =
= п и I У| = т, то ич Y s X следует т С п. а из Y = X вытекает
т<п Множество, не содержащее элементов, называется пустым
множеством и обозначается 0. Будем считать, что пустое множе-
ство является подмножеством любою множества и 101 = О
Для каждой пары множеств X и Y можно определить опе-
рацию объединения двух множеств. X LI Y = ta: х е X или х с= У}.
Пример. X = {0,1,3,5), У = {0,3, 4, 7, 9), Х9У =
Очевидно, что объединение обладает свойствами коммутатив-
ассоциативности. (X U У) U Z =
ности.
= XU (У U Z), что позволяет записывать без скобок объединение
любого количества множеств X, U Х2 U , .UX>, = {x: xeXt
ели . или х е XJ.
Операция пересечения множеств X и 1 определяется следу-
ющим образом. X Р У = {х. х е X и х е У).
Пример: Х={0, 2, 4, 81, У = {0,4,3}, ХРУ = {0,4>.
ределения следует, что пересечение коммутативно:
ляет записывать без скобок также и пересечение множеств.
Операции объединения и пересечения связаны законами ди
стрибутнвностщ X П (У J Z) = (X П У) U (X П Z), X U (У П Z) =
§ ! MlFO/KEiCTB 1
= (X U У) A iX U Z) Нервы» закон доказывав гея следующим об-
т е= X л одновременно х Z. Таким образом, j е (X А У) U (X A Z).
Отсюда следует, что X А (У U Z) s (X П У) И (X А У). Пусть те-
перь ге (АП У) J (XPZ). Тогда пли х е X и одновременно
х е У, либо х е X и одновременно х е Z. Отсюда вытекает, что
закон дистрибутивности доказан. Аналогично доказывается и вто-
рой закон.
Разность множеств X и У определяется следующим образом:
Из определения разности следует, что (Х\У) U IX А У, = X,
либо х е X и х <= У Используя попятно разности множеств, при
У s X определим дополнение У для У в мпоя.есгве X: Y — Х\У.
Пример: Х=(1,3,5,7,8}, У = {1,5,7}, У ={3,8}.
Используя операции объединения, пересечения и дополнения
множеств, сформулируем законы де Моргана: если X, У — под-
множества некоторого множества U, то
(Ш-1иГ, (ХйТ) = хпг. (1.Р
Докажем первое ггз этих равенств Если ге(Х') р, то А и У
Следовательно, пли «еХ, или д е= F, т. е. геХиУ. Таким об-
X U У s (X П У). Из двух включений следует первый закон
де Моргана Второй закон доказывается аналогичным образом,
Семейство множеств {X,, X-
Х4) называется покрытием
Множества
, X* называются блоками покрытия Ваяшым
примером покрытия является разбиение. Семейство множеств
{Х(. Х2, . , ХД называется разбиением множества с блоками
Хь Х2, .. Vfc, если X = X,UX2'J .. UX„, |XJ > О, X, А X; = 0,
Пример Множества {1,2,5}, {3,2,7} образуют покрытие
множества <1, 2. 3, 5, 7) Множества {1, 4, 7), {2, 3, У}, <5, 6, 8) пред-
ставляют собой блоки разбиения множества {J, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Из определения разбиения следует, что порядок записи бло-
ков, в силу коммутативности операции объединения множеств,
может быть произвольным. Например, два разбиения {1,2} U
U (5, 7} = {5,7> U {1,2} множества {1,2, 5, 7} считаются совпада-
ющими. В некоторых случаях удобно рассматривать разбиения,
ь которых порядок записи блоков фиксирован, т е. любая пере-
стаповка блоков дает повое разбиение. Такие разбиения будем
называть упорядоченными (поблочно)
3. Правило суммы. Для любого разбиения конечного мно-
жества Х = Xi U ... U Ак, Х4ПХ; —0, i=/= j, справедливо равеп-
1X1 = |Х.| + ...+ IXJ,
которое называется правило» суммы При к = 2 это правило оче-
видно Предполагая, что опо выполнено для А — 1 блоков, и при-
меняя математическую индукцию, получаем равенство |Х| =»
— |Х£ U ... U Xfc-J + IX,,'. из которого в силу предположения ин-
дукции следует выполнение правила суммы для к б юков.
Для покрытия конечного множества X = X, U . .UXk справед-
ливо неравенство
называемое обобщенным правилом суммы. Для к = 2 эго пра-
вило следует из правила суммы Действительно, если X = Xi U Х_,
то X^X^X.UJD, где И^ХЛХц Х1ПИ-'=0. Поскольку
IIFKIXJ, то I XI = |XtUXai = |Х,| 4- iwq < IXd + !XJ. Te-
< |Xi U «.. U XS_J + |X;,| путем применения математической ин-
дукции
4. Число подмножеств. Фундаментальную роль правило с>м-
мы играет при выводе рекуррентных соотношений, выражающих
мощности конечных множеств или классов, зависящих от неко-
торых параметров, через соответствующие мощности при мень-
ших значениях параметров. В качестве примера, иллюстрирую-
щего методику такого вывода, получим рекуррентное соотноше-
ние для числа m-подмпожеств п множества. Обозначим это число
через Все т подмножества n-мпожоства X разделим на два
класса: Ct — класс m-подмножеств, каждое из которых содержит
фиксированный элемент х е X; Сг — класс m-подмножеств, не со-
держащих этот элемент. Если С—класс всех ш-подмпожеств
ство из Ci получается присоединением фиксированного элемента
х к определенному (т — 1) подмножеству (п — D-множества X’ =
=»Х\{д), поэтому [(?! | = J)- Класс С» совпадает с классом
m-подмножеств (n — D множества Х'\ следовательно,] Сг]-=(" т
Таким образом, при К т «5 п справедливо рекуррентное соот-
ношение
(1 4)
причем (jj — (”]-=!. Полагая |"») -1 и 0 при т > п,
§ I МНОЖЕСТВА
можно распространить это соотношение на все натуральные зна-
чения тип.
Используя математическую индукцию по п и начальные зна-
чения для величин из рекуррентного соотношения можно
полхчить формулу для числа m-подмножеств п множества:
где функция п! определена для натуральных значении п равен-
ством п! = п(п — 1),. .2 1, 0! = 1. Действительно, ггрп п = 1
формула верпа, так как (J) = (j) = 1. Предположим, что она вер-
на дтя п = г — 1 и для всех целых значении т 1о;ца
[ г) _ (г - *)' + (г-1)1 _ г'
Ив полученной формулы и комбипаюряого смысла величин
следует равенство
(tb)
В комбинаторном анализе m подмножество n-мно/кества часто
называют лг-сочетаниом из п различных предметов Таким обра-
зом, число таких сочетаний равно
5. Теорема Шпернера. Рассмотрим п множество X и семейство
J = (4t, Аг, . , Лт) его различных подмножеств .4, = Х, 1 i <
< m Докажем следующую теорему.
нъи подмножеств п-миожества X удов гетворяет условию
г. е А, не является собственным подчножествоч 4}. 1огда имеет
место неравенство
(1 8)
Для доказательства рассмотрим так называемую полную це-
почку подмножеств 0 — Со С, <=...<= С, <=:,,.<= С„ — X Така»
цепочка является неуплотняемой (пли насыщенной), т. е. между
ее элементами нельзя вставить дополнительного множества и,
кроме того, !С>| =k, к =1,2, , п. Число полных цепочек в
п множестве X равно и'.
1Л i основные шшятни и э,1 r;.\ij.:iLi Ai'iibii'. методы
это будет цепочка вида
Рассмотрим теперь потную цепочку
множество А„ 1 < i т. при 14 I = ?
При i =А 1 п А;, раз; одном пол имеем Л,- Таким полные цепочки, проходящие i©ответственно через А< 1пчны. Действительно, если A,, Aj, i=^i. принадлежат ной цепочке, то найдутся такие ее элементы С„ л 'dh. А; = С( Полагая для определенности, что (ф — Сф --- Ск с: С_ = Л:, что противоречит условию (1 7) теоремы
iepe-i все подмножества семсиства 1 равно /1,| ' (л —MJ)'-
Но эта ве швина не превосходит общею числа полных цепочек,
поэтому У |Д I1 (н — | Аг|)’ и1 oiK\,ia следует поранен-
ство (1.8)
лежащую Шперперу.
ло т удовлетворяет неравенству
Неравенство (1.9) следует из неравенства (1.8) в силу оцешп
(см упражнение 5)
(и.ьмд)
iX, А) иногда называют гиперграфоч При атом Л
вершин, 4 — множество ребер Если L1J = 2 1
перграф называется просто графим
пое п имеет единственное пре [став юпие вида н =
d,n п d должно иметь представление
Пусть каноническое разложение числа п имеет
l!iPi...Pr п m— максимальное число делителей
числа
которые не делят дрлг цруи. Покажем, что
Шпериера
(1.10)
.г}. Каждому делителю вида PtjPi, pi,
поставим
соответствие подмножество
О множества X. Получим семейство подмножеств
Ат) Так как делители не делят друг друга, то
и, следовательно, (1 10) вытекает из теоремы
©(’МЖ4 4
§ 2. Отображения. соответствия, функции
1. Отображения. Будем говорить, что задано отображение ф
множества А' в множество У, если каждому элементу г е X по
ставлен в соответствие единственный элемент у е Y. При ото
Сражении ср соответствие между х и у записывается равенством
II ~ ср(х), а самому отображению соответствует запись ср-А-»-У.
Множество X есть область определения отображения, а У —
область его значений Два отображения ф. X У и ф' X' Y'
равны, если X — )
т&Х. Отображение
и ф(т)=ф'(х) для всех
называется сужением или
ограничением па X' отображения ср . X -*• Y, ecun X's.Y и
<р'(а:) = ср(аг) для всех х s Х‘
Множество cp-'(y) = {х у = ср(х), х X} называется полным
прообразом элемента у при отображении <р. Если X={ai, хп),
то отображение <р: Х-*-У может быть представлено в виде
двустрочной записи:
п. Рассмотрим, например, отображение
<р: X —*• У, где X = {1, 2, 3,4,5), У =«= {а, Ь, с}, ср = (а д ь с
Выпишем полные прообразы’ <р~’(а) = {1, 2, 5}, <р~'(&) = (3),
|р_’(с) = {4). Если X’ = {1, 3, 4 5} то сужение на X' отображе-
, fl 3 4 51
пня <р имеет вид<р = \а с а)’
Совокупность образов элементов множества X's X при ото-
бражении <р: X -* У называется образом X’ и обозначается ф(Х').
Например, для отображения <р = (
имеем <р({ 1,3, 4))
•= {jh, У»?. Отображение <р: X -* X множества X в себя называет-
ся преобразованием множества X Двустрочпая запись некоторого
преобразования <р множества {1, 2, 3, 4, 5} выглядит следующим
образом.
Рассмотрим некоторые свойства отображений. Отображение
<р- X -* У называется сюръективным, если любой элемент у е У
имеет хотя бы один прообраз при этом отображении Иными сло-
вами, для любого у е У существует х е X такой, что у = ср(х).
В этом случае иногда юлоряг, что ср отображав: X па У. Если
<р — сюръективное отображение, то <р(Х) = У и для любого
у е У справедливо условие ср~1(у) = 0 Для конечных мно-
жеств X и У сюръективность отображения ср: X -> У означает,
что 1X1 5ИУ1.
Например, отображение ср: {1,2 3,4}-*-{у1, у2, уг}, такое, что
<р(1) = <р(2) = <р(3) = г/2, <р(4) = у3, сюръективно. Отображение
ср' тех же множеств с условиями <р'(1) = <р'(3) = yt, <p'(2)=^
= <р'(4) — уз пе является сюръективным.
Отображение ср- XУ называется ин/ьек/ивным, если для
любого у е У его полный прообраз ср-1({/) содержит пе более од-
ного элемента Ипымп словами, отображение ср: X У инъектив-
но, если для любых х ¥= х', х, х' е X, ср(г) =?* <р(;г'). Если X и У
конечны, то инъективность отображения гр- X -*• У означает, что
Например, для Х={1,2,31, 1’ = {у1, уг, Уз, yj отображение
q XУ инъективно, если ср(1)~ уь ф(2)=у3, <р(3)=у4
Отображение ср: X -* Y называется биективным, если оно од-
новременно сюръективно и инъективно Из сюръективности еле
дует, что |ф_Чу)|>1 для любого у е У, из инъективности вы
биективпость отображения <р означает, что |ф~'(у)|—1 Для лю
бого у s У, т е условие у = <р(т) для каждого у е У однозначно
определяет единственное значение х е X В этом случае говорят,
что биективное отображение ср устанавливает взаимно однознач
ное соответствие между множествами X и У. Когда X и У ко
яечны, это означает равенство |Х| = |У1.
Например, отображение <р множества Х = {1,2, 3} в множество
1'— {t/t. У», Уз) биективно если Ч'(Й = у», tp<2) = у, ср(3) = уг
2. Двудольные графы. Рассмотрим два конечных множества
точек на плоскости, помеченных элементами множества X и мно-
жества У соответственно. Помеченные точки будем называть вер
гиинами. Рассмотрим отображение ср X-* У Из каждой точки
зеА' проведем стрелку в точку у е У, если у = ф(х). Каждую
стрелку будем ориентировать от .г к у и называть дугой, выхо
дящей из вершины х и входящей в вершину’ у Совокупность
вершин и инцидентных им дуг будем называть двудольным гра-
фой отображения ср. X -* У.
Отметим некоторые свойства двудольных графов отобра/кений
Из каждой вершины множества X выходит одна и только одна
дуга. В частности, если отображение сюръективно, то в каждую
вершину множества У входит по крайней мере одна луга. Если
отображение инъективно, то в nioovio вершину множества У
входит не более одной дуги. При биективном отображении в
каждую вершину множества У входит одна и только одна дуга
С помощью двудольных графов нетрудно показать, что при
IX] = |У| из сюръективности отображения ср: X -* У следуес
инъективность, и обратно Действительно, из сюръективности
отображения вытекает, что в каждую вершину У соответствую
щего двудольного графа входит но крайней мере одна дуга. Но
так как число дуг равно |Х| —)У1, то в любую вершину 1
входит единственная дуга, т. е отображение инъективно. Ана
ЛО1ИЧЦО доказывается обратное утверждение. Таким образом, при
1Х1 = 1У1 из сюръективности отображения ср: X — У следует
является биективным
3. Векторы. Возьмем множества Х = {1, 2, mJ, У =
=»{yt, Vii •. , Уп) и рассмотрим двустрочную закись отображения
/ 1 2 ... m \
’ф (1) ср (2) ... <р(гп)/’
где ф(г) е У, i = 1, 2, ..., m Упорядоченная нижняя строка этой
записи (ф(1), ф(2), ., ф(пг)) называется m-мерным вектором над
множеством Y или просто т вектором, соответствующим отобра-
жению <р. Величина <р(г) называется значением i-й координаты
пли просто i-й координатой m-вектора. В отличие от элементов
множества, значения коордипат могут совпадать и порядок рас-
положения различных значений коордипат существен. Иногда
wi-векторы называют та последовательностями, или m-ками (эм-
ками)
Из определения следует, что между отображениями <р: X -* У,
|Х| “ т, и m-мернымп векторами над множеством У имеется
взаимно однозначное соответствие
4. Декартово произведение. Понятно вектора позволяет вве-
сти еще одну операцию над множествами. Декартовым произве
дением множеств Xt
Хт будем называю множество всех
., т Иными сло-
тп-векторов (arlt х2, .х„д, тде .г
вами, декартово произведение Xt
множество вида
X,. представляет собой
Для декартова произведения X X .. X X с т сомножителями, на-
зываемого лг-й декартовой степенью множества X, введем обо-
значение Х(т). Например, если X, ~ {«, b, с, d, е, f, g, h}, Х2 =
«= <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). то декартово произведение Х',ХХ2 =
= {(а, 1), (а, 2), ..., (Л, 8)} представляет собой систему коорди-
нат шахматной доски, которые используются для записи позиций.
5. Соответствия и функции. Любое подмножество R s X X У
называется соответствием между мно/кествамц X и У. Если
(х, у) е R, то говорят, что у соответствует х при соответствии /?,
и записывают. хНу, при этом у называется образом х, а л —
прообразом у нри этом соотвен гвли. Если для каждою а, та-
кого, что (х, у) е R, имеется единственный образ, то соотве тствие
называется функциональным и определяет некоторую функцию /
на множестве X со значениями в множестве У Задание функции
означает, что определено отображение /• X'
а для элементов множества Х\Х' отображение /, а мгачпт, и со-
ответствующая функция но определены. Функцию, соответству-
тощую этому отображению,
функции равны, если равны еоогветствущие им отображения.
Ясно, что любая функция /:
У является сужением пекото-
рого отображения на некоторое подмножество X's X Отсюда
следует, что па функцию переносятся все рассмотренные свой-
ства отображештп. При .иом считаем^ что функция обладает не-
которым свойством, если этим свойством обладает соответствую-
щее отображение
Соответствие R определттет биективное отображение tp: X -*• У,
если каждый элемент х имеет единственный образ, а каждый
элемент у — единственный прообраз для. всех х X и у •= У.
Такое соответствие, как уже было упомянуто, называется вза-
пмно однозначным. Установление взаимно однозначного соответ-
ствия между множествами играет важную роль в комбинаторном
анализе. Так, определение числа элементов конечного множества
У, т. е. установление равенства IУ1 = п при некотором п, фак-
тически сводится к отысканию некоторою взаимно однозначного
соответствия между множествами V = {1, 2, , п} и У.
6. Правило произведения. Фундаментальную роль в решении
перечислительных задач комбинаторного анализа играет правило
произведения, которое утверждает, что ятя любых конечных мно-
жеств У,, А., ..., Хт имеет место равенство
|Х,ХХгХ...ХХ, | - [Х,| IX,| ... ’X, |. (2.1)
Из иравнта произведения в качестве следствия вытекает, что
число всех иг-векторов с координатами из «-множества X, назы-
ваемых иногда пг размещениями с повторениями из «-множества,
равно
2 В Н Cd4J и»
При т = п п размещение из п различных элементов
вается п-переаановкой Число n-нерестаповок равно
Заметим, что фиксированному пг-подмножеству п мноя>ества
X соответствуют ml различных /n-векторов с различными коор-
динатами из этого т подмножества Эти пг-векторы отличаются
только перестановкой своих координат. Отсюда следует формула
которая вытекает также и из формул, дающих выражения для
7. Мультимножества. Рассмотрим п множество А’ — (ж.
и п вектор («1, аз
с целыми координатами, такими,
af > 0, г = 1, 2, ..., ?г. Совокуп-
ное! ь из т элементов множества X, в которой элемент
встречается а< раз, называется т-мулъгимножеством первичной
спецификации\х11Х22.., хпп\, порожденным множеством X, и за-
писывается X = <л,, хр, х-, хр, х„. д-„>, где х, по-
вторяется а, раз, а при сц — О не встречается вовсе Иногда по-
лезно использовать и другую запись X = .
.... a„Gsn)>. Числа а>, 1 = 1, ..., п, называются показателями
первичной спецификации m-мультямножества X. Если среди чи-
сел <х,, ., , ап имеется р0 пулей, единиц, ..., рот значений т,
то символ [[0е°1Р1 ... m&m]], ipx -t- 2ps 4- ... -Ь т0то = т, назы-
вается вторичной спецификацией m-мультимпожества X, а числа
р,). pt, .... — ее показателями. Часто ш-мультимножество,
соответствующее «-множеству, называют т-сочетанием с повто-
рением из п элементов. Максимальное подмножество X' множе-
ства X, элементы которого входят в соответствующее мультимно-
жество X, называется носителем этого мультимножества. Очевид-
но, что носитель представляет собой совокупность таких элемен-
тов х. множества X, для которых соответствующие показатели
первичной спецификации а; положительны Например, пусть
X = {xt, х3, х'3, яд}. Тогда мультимножество с первичной специ-
фикацией [rrjx’agj:®] имеет вид X = <xt, хр, х3; xif г4, ац>. Вто-
ричная спецификация этою мультимножества выглядит следую-
щим образом: [[О1 l‘2,3lJJ. Носителем X является мпожество X' =
Рассмотрим над множеством X = {rt, х3
ти-веьтор
.., ут), в котором элемент х( используется а< раз в ка-
честве значения некоторых координат,
. , п, причем
т Вектору (у„ у2, , р„) можно поставить в со-
«1 +
ответсюие единственное т-му.'птпмио.кесгво X первичной спе-
цификации[х11г22
Рассмотрим обратною задачу определения количества т век-
торов над множеством X = {дц, д2
которые можно по-
строить по пг-мультимпожеству первичной спецификации
[зц ’ач 2 ... хпп], 04+ +ап=иг. Один m-векгор можно построить,
рассматривая в качестве ею координат элементы лг-мультимно-
жсства в принятом порядке записи Остальные лг-векторы полу-
чаются путем всевозможных перестановок элементов лг-мучьти-
мнюжества Обозначим через P„(at, , а„) число таких переста-
новок, т. е искомое число лг векторов Яспо, что перестановка
<х, элементов х,.
..х, не дает новых вариантов лг-векторов.
Если все эти элементы сделать различными, например путем
введения специальных пометок
то число таких
перестановок равпо а,1 Таким образом, если операция введения
пометок будет проделана для всех i — 1, 2, ..., п, то общее число
различных перестановок элементов т мультимножества стано-
вится равным ajaj.. .сс„! Р„;(сс!, ..., ссп). Так как в результате
введения пометок все элементы лг-мультимножества будут раз-
личны, то общее число перестановок равно т\ Отсюда следует
формула для числа иг векторов, отвечающих лг-мультимножествх
задапной первичной спецификации lTi’ ... хп‘“] •
Суммируя по всевозможным значениям показателей первичной
спецификации правую часть этого равенства, получим общее чис-
ло иг-векторов над n-множеством, т. е
«1
2
= nm.
Определим теперь Е(п, т) — общее число т мультимножеств,
порожденных заданным «-множеством Так как каждое лг-мулъ-
тимножество, порожденное множеством X — .., гп}, одно-
значно определяется своей первичной спецификацией [xi1^2 .
. z nr‘] ,04 + . .. + an == пг,то Г(/г, т) равпо числу решении
уравнения а,+... + ап = лг в целых неотрицательных числах,
представляющих собой п-векгоры (alr аг, , а„). Положим для
простоты X = {1, 2, .. , «} н заметим, что каждое fc-подмножество
множества X имеет вид {г1( Ц, где 1 г, < г, < < 4 «5 п.
Любое гп-мультимножество X, порожденное X, можно записать
в виде </t, Д, ..где 1 ]г . С }т < п Произвольно
му лг-мультимвожеству рассматриваемою вида </,, , ?„.>
можно поставить в соответствие совокупность элементов {ц
.. , imJ, где ii — 7», г2=7г+'1, .. , t,„ = jл+ т — 1. Очевлдт
1 г, < i2 <_. .< im sr, п + т — 1, и, следовательно, {?ц г3, , im}
представляет собой тп-подмножество множества X'=>{1, 2, ...
. ,п + т — 1). Так как число таких иг-подмножеств равно
™ то отсюда вытекает неравепс гво
'ггГ1}
Возьмем теперь т подмножество множества X' вида {г,, ?2, ...
. , г,„}, 1 С <t < i2 < < i,n se п + т - 1, и рассмотрим совокуи-
г» - т
щее множеству
Эта совокупность удовлетворяет условию 1 sS j, <
п и образует wi-мультпмножество, соответствую
Следовательно, V (и, т)
Из двух полученных неравенств вытекает формула
8. Сюръективные мультимножества. Мультимножество А -
. л, с лоситезем А — {з-,, z2, ..., х„} п первичной специфика-
цией хп"] называется сюръективным. Таким образом
для сюръективною мультимножества все показатели первичной
спецификации а,, а-.,
а — положительные числа. Например,
л,} соответствует сюръективное мулъ-
I, ,г:, 1г хи .r3; .r4>, для которого пока-
тпмпожество вида
>ателл первичной спецификации имеют вид а! = а —1, а. =
= а* ~ 2. Мультимножество Х'2 = <j1, г2. т> не является
Определим Иг(л, т) — число сюръективных т мультимно-
жеств, носителем которых является заданное «-множество. Ясно,
что Иг(«, т) равно числу решений (а.1, а2..а„) уравнения
а, + <х» + . а,, — т и целых положительных числах. Возьмем
такое уравнение и сделаем замену переменныха, = а. — 1, г -
число решении которого равно в целых неотрппательных числах
(( ^2 —;i 9 — Так как каждому решению уравнения
нетшяа1
^(”-1,1 Б<Т”
уравнение at —
- а, + 1. приходим к уравнению а, + + ап -= т, а > 0 С.чело-
вательно, IF (п, Из двух полученных неравенств
(2.8)
чго каждому отображению qr X
|Л| = т, IF: = п, можно поставить во взаимно однозначное со-
ответствие m-вектор Чр(1), ф(2\ ..., ф(т)) Этому вектору соот
ветствует некоторое пг-мультимпожество над У, которое сюръек-
•тниио тогда п только тогда, когда сюръективно отображение ф
Рассмотрим теперь совокупность сюръективных zn-мультнмно-
я.оств, носителями которых являются fc-нодмпожсства заданного
,. (п\ (т — Г,
п множества Число таких т мультимножеств равно |
Суммируя по к, получаем общее число m-мультимножеств, соот-
ветствующих заданному «-множеству. Следовательно, имеет ме-
разблеиие (n,.. .пг) можно рассматривать
носителем Лп = {1, 2, .... п} и первичной
i в разбиении (/г- п.'. Разбиение можно представлять н как
сюръективное мультимножество с носителем, состоящим из тех
чисел, которые фигурируют в этом разбиении, и первичной спс-
и обозначается 2'1
Например, булран множества Л = (О, 1}
Оиисаине элементов булеапа конечного множества X удобно
вводить с использованием понятия индикатора подмножеств
мц индикаторами подмножеств имеется взаимно однозначное со-
ответствие, при котором 3(0) = (О, ..0), б(Х) = (1, 1, .. , 1).
Общее число таких индикаторов равпо 2|л|. Отсюда следует фор-
121! = 2,-£|.
п-мно;кествои:
V(n, m) = 7(n, т — 1) 4- V(n— 1, tn}.
(n m — 1\
m )•
i«)ft = 23 ("Ob-, («— m),. 2” = 2
m’ fm \ Im — аД fln — aj~. — сл_,^
“i'®; ] '( % j:
s(:z‘)ffl=2”U-
4 Показать, что если /(m)—число m векторов над мао/ьеством А =
f(m) =/(m-l)+f(zn-2), m>l, /(1) =2, /(2) =3
Вынести формулу
§ 3. Отношения, операции, алгебры
двуместным, пли бинарным, отношениям, которые для кратко-
сти называются просто отношениями Если на множестве X за-
дано отношение RszX{i}, то запись хНм' означает, что х и х'
находятся в отношении R, т е (.х, х') е R.
принадлежит
А = (cv), i, ] = 1, ..., п, где
если XxRxj.
в противном случае.
— символ Кронекера
Отношение 7? на множестве X называется симметричным, ес
ли из xRx' следует, что x'Rx для любой пары {х, x'}^X'z>. До
пустпм, что элементы некоторой матрицы находятся в огноите-
шш R. если они принадлежат одной и той же строке матрицы.
Ясно, что в данном случае отношение R симметрично. Матрица
инцидентности Л = (яч), г, j = 1, ..., п, симметричного отноше-
ния, заданного на п-мпожеезве, обладает свойством симметрии
относительно главной диагонали, т. е. а,, = a)t Отношение R на-
зывается антисимметричным., если из xRx' и x‘Rx следует х’ =х.
Примером антисимметричного отношения может служить отно-
шение <. таз; как из х < х' и х' < х следует, что х' =х
Отношение R на множестве X называется транзитивным, если
из xRx' и x'Rx" следует, что xRx". Пример транзитивного от-
ношения — отношение включения заданное на булеане 2х
множества X. Другой пример — отношение заданное на мно-
жестве натуральных чисел. Для матрицы инцидентности А =
==(о,р, I, ) = 1, .. , п, транзитивного отношения, заданного па п-
множестве, справедливо условно: из равенства с,* = 0 для всех f
следует, что а;р;к — 0. Любому отношению R, заданному- па мпо-
жестве X, можно поставить в соответствие отношение R, которое
определяется так. xlix для х, х‘ s X, если существую! такие
zh —, хв е X, чю xRx,, XjRxt, ..., х,Вт.‘. Отношение R называ-
ется транзитивным замыканием отношения R. Если R 1раизптпв-
Рефлексивное, симметричное п транзитивное отпоотеппе ла
множестве X называется отношение и эквивалентности. Обычно
это отношение обозначается символом Отношение эквивалент-
ности па мио/кестве X’ индуцирует некоторое разбиение этого
множества, блоки которого называются классами эквивалентно-
сти. Любые два элемента из одного класса связаны отношением
эквивалентности, т. е эквивалентны, любые два элемента и; раз-
личных классов ле эквивалентны.
Построим разбиение множества А’, соозвешвующее отопте-
нню эквивалентности ла этом множестве Для х е X обозначим
через К{х) подмножество, состоящее из элементов, эквивалепт-
Л Тогда z ~~ х и з ~ х'. Отсюда, используя симметричность
приходим к про-
а транзитивность, получаем, чю х ~ х'
тиворечию.
Ясно, что л обратно каждому разбпетппо множества X’ соот-
ветствует некоторое отношение эквивалентности. Каждый блок
разбиения представляет собой подмножество мно/кества .V, со-
стоящее из элементов, эквивалентных некоторому фиксированно-
му элементу подмйожества. Множество всех классов эквивалент-
ности называется факторуножествоч по данному отношению эк-
вивалентности.
Рефлекс и впое, а и гпсимметричное и тра п.тптивпое о пюшспие
называется отношением частичного порядка. Если на множестве
X задай чаончпый порядок, то множество называется частично
упорядоченным. Очевидно, что отношение включения заданное
па булеапе 2х множества X, определяет частичный порядок.
Отношение Н на множестве X обладает свойством дихотомии,
если для любых х, х' е X либо xRx', либо x'Rx. Отношение ча
стичного порядка, удовлетворяющее свойству дихотомии, пазы
вается отношением мнейного порядка или просто отношением
порядка Отношение <, заданное на множестве натуральных чи-
сел, является отношенном порядка
Рассмотрим множество X, на котором задано отношение по
рядка
можно
На декартовой степени Х(г> этою множества также
установить
to, ,>Ж
отношение порядка
х'г) для (x1( ...,хт\
при котором
если для наименьшего индекса г со свойством хг^х, имеет ме-
сто отношение 1г
Такой порядок Я называется лексикогра-
фических, так как используется для определения расположения
слов в словарях.
2. Операции и алгебры. Будем говорить, что па множестве X
задана п-.местная операция тф, если задано отображение ф. Х;п> -*
—-V, которое вектору (дц, ..., х„)еХ<п' ставит в соответствие
единственный элемент х е X. Этот фаьт записывается следующим
образом- х = 1|1^ь •
Таких операций на множестве X
можно задать несколько Множество операций, заданных на X,
называется ею сигнатурой и обозначается Чг=={1|)1, •фг, • • 1
Множество X вместе с его сигнатурой Ф будем называть
алгеброй и обозначать /1(А’, гР). Множество X называется ос
шовным множеством алгебры. Наиболее распространенными яв-
ляются двухместные, пли бинарные, операции, которые в даль-
нейшем будем называть просто операииями. Для записи бинар-
ной операции вместо функциональной употребляется запись, при
которой пары элементов соединяются специальным значком. Так,
вместо ср(х, у) = z записывают х Д’ у — z. Операция Т называет-
Одерация “Г но.чмутгп иена, если для любых х, у^Х вымол
неш» условие
Операция г" unciрииутивна относительно операции -Ь, если для
любых х, у, z s X справедливы равенства
Элсмеш в является нейграгъным, или еоини шым, оьнисшеш-
по операции
Еслц такой элемент существует, то оп единствен. Действительно,
если бы cj шествовал нейтральный элемент е'=# е, то из равенств
е‘ = е' Д’ е —е У е' -= е следовало бы противоречие
Элемент х~' называется обратный к элементу х е X относи-
тельно операции ”] , если
Рассмотрим в качестве основного множества множество дей-
рации умножения
и сложения обозначаемые обычно -
п + соответственно. Обозначим соответствующую алгебру через
/KR, , +) В этой алгебре обе операции ассоциативны и комму-
тативны и операция умножения дистрибутивна относительно опе-
рации сложения. Нейтральными элементами при умпожеппи и
сложении являются соответственно числа 1 и 0.
3. Гомоморфизм
изоморфизм. Рассмотрим ал1ебры
ф], . , ср*), ЖУ, фч, ..., у которых операции ср, п
являются одинаково и,-местными,
7. X -*• Y с условием
к. Отображение
для всех г=1, .. ., к л всех цеУ пазывае1СЯ гомоморфизмом
алгебры /КХ, .. ср,) в алгебру B(Y, ф,, ..., 4.,). Взаимно
однозначным гомоморфизм называется изоморфизмом.
ственно множества целых и четных чисел, а + означает обычное
сложение чисел. Отображение Q -> ц' такое, что у(и) = 2/г,
является изоморфизмом
стнои операции ср на X, если ip(.P ") s У. Если У X замкнуто
относительно всех операции алгебры А(Х; q.,, .... <р,), ему соот-
ветствует алгебра 5(1; <рь . , ср,), которая называется подал-
геброй алгебры /КХ'. <р,, . , ср,,). Гомоморфизм алгебры в неко-
торую подалгебру называется гомоморфизмом в своя. Изомор-
физм алгебры в себя называется автоморфизмом
4. Группоиды, квазигруппы, полугруппы. Алгебра /НА, )
с операцией । называется группоидом. Группоид, в котором
уравнения a~x = b н y~Va — b однозначно разрешимы отно-
сительно х и г/ для любых a, b е X, называется квазигруппой.
Это свойство эквивалентно условию, что в соотношения а Д’ b = с
любые два элемента однозначно определяют третий для любых
Группоид, в котором операция *]” ассоциативна, называется
полугруппой. Полугруппа, содержащая нейтральный элемент,
иногда называется моноидом. Если операция коммутативна,
то полугруппа называется абелевой.
В дальнейшем операции -L п "Т мы для удобства будем обоз-
начать знаками сложения + и умножения • соответственно.
В полугруппе с операцией произведение х • х - . . • х с к
сомножителями называется к й степенью х и обозначается xh По-
лагаем х" = е, где е — нейтральный элемент (если е существует).
Полугруппа, состоящая из степеней одного и того же элемента,
называется циклической. Циклическая полугруппа абелева. Со
локуппость всех целых чисел с обычной операцией умножения
образует абелеву полугруппу. Множество матриц данною поряд
ла, замкнутое относительно операции матричною умножения, так-
же является полугруппой Эта полугруппа, вообще говоря, ие
абелева
5. Группы. Полугруппа с нейтральным элементом е, в которой
для каждою элемента g существует обратный g такой, что
gg~' — g~'g = е, называется группой. Элемент е называется еди-
ницей группы Совокупность Н элементов группы G, замкнутая
относительно операции в группе, п такая, что пз g^H следует
называется подгруппой Группа, в которой операция
коммутативна, называется абелевой
Например, множество всех рациональных чисел, пе содержа
щее нуля, с операцией обычного умножения образует абелеву
группу. Множество всех матриц данного порядка с отличным от
пуля определителем и операцией матричного умножения обра
зует группу Если группа G конечна, то число ее элементов обо-
значается IGI и называется порядком группы.
Рассмотрим непустое подмножество М группы G. Совокуп-
ность
где g
элементов G, представимых в виде g^gt* ... g,".
g,v^M, а ь3,...,ер принимают всевозможные це
лыс значения, образует подгруппу группы G. Опа называется
подгруппой, порожденной множеством Л/, п обозначается
<М>. Множество М называется системой образующих подгруппы
<Л/>. Если С ~ <М~>, то М — система образующих всей группы G.
Подгруппа группы G, порожденная элементом g <= G, называ
ется циклической и обозначается <g>. Если для элемента g rpvn
ны С существует натуральное число р, такое, что g” = e, то го
ворят, что g имеет конечный порядок. Наименьшее число р, удов
летворнющее этому свойству, называется порядком g. Цикличе-
ская группа, порожденная элементом g G порядка р, имеет вил
'*) Действительно, дли любого натурального
, 0 г р — 1, используя деление к на р с
к имеем к
остатком Поэтому для любого элемента из (g) получаем gh ==
- (Г)'Г - g'.
гл I основные понятия л элемент евнык методы
6. Смежные классы. Пусть Н — подгруппа группы G. Левым
смежным классом группы G по подгруппе 11 называется множе-
ство gll элементов вида gh, где h пробегает все элементы под-
группы И, a g — фиксированный элемент из G, называемый
представителем смежного класса Аналогично определяется пра-
вый смежный класс Hg.
Рассмотрим покрытие группы G левыми смежными классами:
G = И U gji U ... Покажем, что это покрытие является разбпо-
Тогда g = gji, *= gjh2, в, следовательно, g, — gji-ji*, \ Значит, лю-
бой элемент из класса gfl имеет вид — gih', h' е // Отсюда
вытекает, что gfl^giH. Аналогично доказываемся, что gjl^gjli.
Следовательно, gtH*=gjH. Таким образом, блоки покрытия либо
не пересекаются, либо совпадают, т. е. покрытие является раз
биением Существует аналогичное разбиение группы G и на пра-
вые смежные классы: G = И U Hgt U . Множество левых смеж-
ных классов группы G по подгруппе II обозначим через G/H.
Если группа G конечна, то из ее разбиения па смежные клас-
сы следует теорема Лагранжа, состоящая в том. что IGI --=
= [//I IG///I Отсюда следует, что порядок конечной труппы де-
лится на порядок каждом се подгруппы Таким образом, порядок
любого элемента группы делпг порядок группы Еста порядок
группы — простое число, то группа — циклическая
Подгруппа II группы G называется иориагьнпч делителем,
gH = Hg, g^G
Рассмотрим юмоморфпзм -р G G', где G и G' — ив
группы Ядром гомоморфизма у называется множество
где е' — единица труп группой G, обладающе Действительно, из ра дует, что gllg~' II Таким образом, gllg 1 матьным делителем в i Из совпадения соо классов группы G тто gH g'H — gg'II Совоь пу если операцию их тавенства Эта группа нормальному делителю Нортализатором по ты G' Ясно, что Н= koi х является нол- 1 следующим свойством: gll — п g g = G еиства "'\ghg')=e, g-^G. сле- Заменяя g па g А получаем п = gllg = И, g—G, и подгруппа И яв.1Я?ггл н<>р- jymie G тветствутощих левых и правых смежных умножения определить с помощью згою называется фактопгрцппои группы '< п> Н ri обозначается G/H. дтруппы G' в группе G пагывиетсн мио
WG ) — {g G gG g
Если G'—II, где II — нормальный делитель группы G, то
У(Я) =- G
1. Кольца и поля. Множество с двумя операциями + и »
называется кольцом, если относительно операции + опо образует
абелеву группу, а операция • дистрибутивна относительно опера-
ции т Нейтральные элеменш 0---относительно операции + и
J — относительно операции (если он существует) называют
обычно нулем и единицей кольца Если операция • коммутативна,
ю кольцо называется коммутативным. Кольцо, в котором опера-
ция ассоциативна, называется ассоциативным. В дальнейшем
мы будем рассматривать только ассоциативные кольца, поэтому
код термином кольцо будем понимать именно ассоциативное
кольцо
Множество целых чисел Z относительно обычных операций
сложения и умножения образует коммутативное кольцо Мпож'е
ство матриц заданного порядка с числовыми элементами пред-
ставляет собой пример кольца, которое пе является коммутатив-
ным. Сложение и умножение матриц определены обычным спо-
собом.
Говорят, что целые числа а ч b сравнимы по модулю т, если
их разность делится на т В этом случае применяется следующая
запись' а » 6(mod т) На множестве целых чисел определим би-
нарное отношение, полагая а ~ Ь, если а = Mmod т) Это бинар-
ное отношение является отношением эквивалентности Классы
экви валентности называются классами вычетов по модулю т
Каждый из классов Ко, К„ .. , Г-,_; содержит в точности одно
из чисел 0, 1, .... т- 1, которые являются их представителями
и образуют полную систему наименьших неотрицательных вы-
летов
На множество классов Ка
которые будем обозначать + и
.. , K^-i введем две операции,
и называть сложением я умна
если i-j = f(modm) В результате получаем кольцо
Z„„ которое называется кольцом классов вычетов по модулю m
Веди в произвольном кольце произведение двух отличных от н\-
элементы называются делителями, нуля Кольцо без делителей
нуля называется областью целостности
В кольце вычетов делители нуля могут быть тогда и толь-
ко югда, когда m пе является простым числом. Действительно,
если KfKj = Ktl, то i 1 = (Kniod m\ что невозможно при m при-
Ести в кольцо с единицей и с операциями Ч- п совокуп-
ность отличных от нуля элементов образует абелеву руппу отно-
сительно операции , то кольцо называется полем.
Примером ноля является множество всех действительных чи-
сел, в котором определены обычные операции сложения и умно-
жения Поле, содержащее конечное число элементов, называется
конечным. Если р—простое число, то совокупность классов вы-
четов но модулю р образует конечное поле из р элементов
Возьмем фиксированный класс К, Ка и покажем, что су-
ществует единственный класс КТ1 такой, что KiKi"1 = .£~1Ал =
Рассмотрим совокупность наименьших неотрицательных вычетов
по модулю р, соответствующих элементам il, i2, tip — 1).
Все эти элементы не сравнимы по модулю р, так как иэ равен-
ства гр — jvCxnod р) следует, что p=v Таким образом, соответ-
ствующая система вычетов является полной и, в частности, най-
дется единственный элемент
такой, что
в l(modр). Поэтому KfKt = 7<(, и, значит, Кг 1 ~ Kt.
8. Кольцо многочленов. Рассмотрим коммутативное кольцо К.
Многочленом степени п от переменной х, с коэффициентами
а,, а„ е К называется выражение вида
йп^0.
Два многочлена й(х) и Z>(x) равпы, а(г) = Ь(ж), если их соот-
ветствующие коэффициенты совпадают: aK = bk, k = 0, 1, п.
Степени равных многочленов одинаковы
Для многочленов одинаковой степени определим их сумму
с(х) = о(х) + Ь(х) как многочлеп с коэффициентами ch = ah + bh,
А“0, 1, . , п Если степени многочленов различны, скажем т
тральный по сложению элемент из К, сводим определение сложе-
ния многочленов к рассмотренному случаю
Произведение многочленов а(х) и Ь{х) определяется как мно-
гочлен р(х) — а(.х) Ых) с коэффициентами
Рь
т, п — cienenti многочленов я(х) и й(.т) се-
ответственно Заметим, что это определение умножения многочле-
нов совпадает с обычным почленным пх перемножением с иосте-
дующим приведением подобных членов
Операции сложения и умножения многочленов с коэффициен-
тами из коммутативного кольца К коммутативны, ассоциативны
и связаны законом дистрибутивности. Следовательно, совокуп-
ность всех таких многочленов образует коммутативное кольцо
Возьмем теперь в качество исходного коммутативное кольцо
7<[х] и построим над пнм Л'[т, у] — кольцо многочленов от иерс-
коэффпциенты которого будут многочленами от
менной
и называются многочленами от двух переменых х п у над коть-
\налогичлым образом молото построить кольцо многочленов
от трех, четырех и т д. переменных. Многочлен от k переменных
.су, ..хя записывается следующим образом:
где U„ ..., пробегает некоторое конечное множество векторов
( целыми неотрицательными координатами Величина и + ,. т-
называется степенью члена . • xk многочлена aGm, . .
..., X/J. Многочлен, все члейы которого имеют одну п ту же сте-
пень d, называется формой rf-й степени. При d=l форма назы-
вается .шнейиой, а при d~ 2— квадратичной.
9. Векторное пространство. Множество Я с двумя операциями:
сложения + н умножения на элемент из поля Р — образует
векторное пространство над этим полем, если эти операции удов-
летворяют следующим условиям:
5) а(х Ч- у) — ат + ау;
6) существует такой элемент О’е/?, что умножение нулевого
влемепта из Р на любой элемент tsR даег О'
Элементы из R называются векторами. Векторы х, у,
линейно зависимы, если существуют такие числа а, Р, ,
не равные все нулю, что ах + ру +... + yz = О'. В противном
случае векторы х, у, . , z называются линейно независимыми..
Векторное пространство Я имеет размерность п, или является
«мерным, еелп в пем сущеешует п лпнейно независимых векто-
ров, а любые it +1 векторов лпнейно зависимы. Упорядоченная
система из п линейно независимых векторов е„ е2,
кается базисом n-мерпого пространства Я. Любой вектор x~R
однозначно выражается через векторы базиса
элементы xi5 хг
в базисе еи е~,
хп~Р называются координатами вектора х
еп Имеют место следующие формулы, сечи
Если совокупность векторов fl' = R обладает свойствами:
R' называется подпространством R
Если R' и R" являются подпространствами пространства R,
причем fl'ПТ?" =0 и для любого .refl имеет место представ-
Я", то говорят, что пространство
пение х = х
fl разлагается в прямую сумму подпространств Я' и и запи-
сывают:
. еп* — базис fl ", то
Если . .с„'
есть базис п мерного пространства Я и
10. Линейный оператор. Рассмотрим над одним и тем же по-
лем два векторных пространства R и Q, имеющих базисы
es, е2, ,.е„ и q,, qz, .. , g„ Зададим матрицу А = (а0), I = 1,...
.... п, j — 1, ..., тп, tyeP, п рассмотрим отображение A: R-*Q,
при котором каждому вектору х = xtet -Г...+ хтет ставится в со-
ответствие вектор у = А(.х) = уррА- ..+ ynqn такой, что
Отображение Л называется линейным оператором и обладает
следующими свойства ми •
Гак как мри фшссироваиых пространствах R л Q матрица А
однозначно определяет лилейный оператор, то будем обозначать
их одной и той же буквой 4 Заметим, что в матрице А, опреде-
ляющей линейный оператор А, 1;-н столбец состоит из последо-
вательных координат вектора Лей, к — 1, . , т, в базисе д,, .. , qn-.
Сумма линейных операторов А и Я есть лннеипыи оператор
этому оператору отвечает матрица С = А + Я Произведение лл-
нейных операторов A: Q' Q и .
рагор С: R -* Q, такой, что
Сг = .4(/?г),
Q' есть линейный one-
этому оператору отвечаем матрица С = 1Я
Если А—линейный оператор и A. R^-Q, то совокупность
векторов Ах, x^R, образует подпространство пространства Q
и обозначается AR Размерность подпространства AR называется
рангом оператора А Размерность подпространства Q, образован-
ною векторами, удовлетворяющими условию Ах — 0, называется
? з отпошклия от рации а.;пт:ввьх
оефекточ операюра А. Ранг .шлейною оператора совпадает с
рангом определяющей его при фиксированных пространствах
матрицы А. Если г- ранг оператора, a d -его дефект, то г-Р
-г d — m, где hi — размерность пространства 7?
Линейный оператор Л, отображающий n-мсряое векторное
пространство К в себя, называется линейным преобразованием
Ирл фиксированном базисе е,. е:, . , е„ пространства Н этом)
преобразованию ставится во взаимно однозначное соответствие
квадратная матраца 4 = («,Д ?; = !,. , п, а-.^Р, такая, что
Вектор х о= 0' называется собственным вектором линейною
преобразования !• Rесли
Чосло /’. называется собственным значением преобразования А
]>се собственный значения являются корнями характеристическо-
го уравнения
не 1 —матрица, соо1весствующая преобразованию, a In — (6i;)
сдшигчиая матрица. Собственные векторы, соответствующие по
парно различным собственным значениям, линейно независимы
2. Пусть ®я есть совокупность преобразования п множества
торпй задана операция •, определяемая равенством
лсгруппу
§ 4. Числа, многочлены, операторы
В данном параграфе рассмотрим некоторые oic.'ia и много-
члены, которые играют важную роль в решении комбинаторных
I. Биномиальная формула. Число
личеству Л-иодмиожестп тп-мпожесj на,
коэффициентом. Основанием тому сл
lfc), 0 ^k in ранное ко-
казывае гея биномиальным
в качестве коэффициентов в /ат< называемой бниомннчъноЯ фор-
муле, и'in формуле бинома Ньютона-
где t — переметшая, принимающая любые дейсши ге и.иые зиа-
бражепин в /см классе равпо (*'j
всем к эти числа, получаем обще
чпсло о гображешш,
В левой и upavou частях равенства (4,1) стоят многочлены, сов-
равенство для всех деистлптельных значении I
Формула (4.1) является источником целою ряда полезных
тождеств. Например, потатая соответственно £=1 и С=-=—1 по-
лучаем
мн, число xicMeinoB в булеаяе 2Т множества Д’ равно 2
Вычисляя коэффициенты при Г н обеих частях равенства
f- t)m = (1 -г/)•(! + t}’"-’, O^s^m, получаем тождество
inncm - о
.А ни’готично нт равенства (l+t)2n =(1 +-f )п (1 + t)”' следует тож-
десI но
Интегрируя обе части равенства (!-<)* =
те су мм проаа и не осу щесткляется но всово пнмшым решениям
уравнении /с. Ч-1,-. 4-... + А-„ = т в целых неотрицательных чме
.чат. Иод решением понимается вектор (/у.
/>..) с целыми
неотрицательными координатами, удовлетворяющими равенству
Л', + ,-г 7с„ — т Обычно формулу (4.7) называют полиномиаль
ной, а выражения —-у—, по гинониалъиы,ни коэффициен-
При н = 2. полиномиальная формула верна, гак как опа сов
падаег с биномиальной формулой. Применяя формулу бипоча
3f. ГЛ I ОС1ГОВ1ГЬ£Е ПОНЯТИЯ И ЭЛСМЕ1Л ХГ)1ЫЕ МЕТОДЫ
И.7) для всех показателей степени к < т, получаем
(“14- • - • _г ^п—1 = m "V *1 i о“' «-« *:;><•
муле тая к„~ т — к и переходя от повторною суммирования к шрованцю одновременно по всем индексам, приходим к фор- (4.7). [олатая ut =... = «„= 1 в формуле (4.7), потухаем южде- - 2 ГГ--Т- <4 s> . .+А,т <а 1
щяаюрный смысл этою тождества состоит в том, что веля- г«!(Л,! ... £„!)“' согласно формуле (2.5) определяет число кторов с координатами из «-множества, у которых показа- первичной спедпфикапни равны kit кг к„. Суммирова- но всем таким показателям дает общее число т-векторов, . Биномиальные коэффициенты и формулы обращения. Фор-
нГ’ для разложения бинома 11 +1)а можно обобщить на слу- когда показатель степени а есть произвольное дейстлигель- чмсло Для этого разложим функцию (14-/)“ в окрестности н t — 0 в ряд Тейлора: (1 гг-1 ;,‘к (4.S)
эмиалъиый ряд, стоящий в правой частп сходится абсолютно ипомерпо для всех |Л =£г<1. Fro коэффициенты при Iм бу- называть также биномиа 1ьиыкоэффициентами, и обозна- jaj _ <а\и _ «(д- 1) . (tt —m 1)
1(’(Я всех /я = 0.1, ... При т-^О полагаем (”) — 0 Приравнп-
Z’(\ коэффициенты при 1' в обеих частях равеяс1ва (l-'-t)®^ + ?)“-’ + £( 1-г/)“', получаем соотношение для биномвать- коэффициеитов
Ii ЧИСЛ4
МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ
аналогичное соотношению
равнивая коэффициенты
(J ч (1 + t)’(H-Z)\
(1.4) для натуральных а Так же ври-
имеем
в обеих частях равенства
(4.12)
Вычисление коэффициента при tm в
(|^;Г,+”'^ = (1-ЬОГ11.. (1ч-С
тождеству.
обеих частях равенства
приводит к следующему
1,ю суммирование осуществляется ио всем векторам (w»f, .. , m,),
дество
(1 14)
тогда, когда а
где б,, 0— символ Кронекера.
Если а>0, то из равенства (1 9) инеем
() 16)
Приравнивая коэффициенты при t'n в обеих частях равенства
— i)"B(l — /)“ = 1, получаем тождество
(4 1«)
ГЛ Т GCHOBlIb.il ЛОПЯЛГЯ И □ПЕ.МГаП М’НЫЬ МЕТОДЫ
. ) связаны соотношением
0 W)
'I ос па ичеез место соотношение
Формула (4 20) называется формулой обращения для формулы
(4.19), п обратно
Допустим, чго справедливо равенство (4.19). Подставляя вы-
ражение для а, в равенство (4.20), получаем
ь,.-2 (;) b/SVi)’—(V)
Из равенства (4.3) следует, что данное равенство сводится к тож-
деству. Точно так же можно убедиться, что подстановка выраже-
ния для Ъ„ вида (4.20) в формулу (4.19) приводит к тождеству'.
Рассмотрим другой пример пары соотношений, которые явля-
ются взаимно формулами обращения'
Подставляя выражение из (4 21) в (4.22). получаем
Из (4.18) следует, что последнее равенство есть тождество Ана-
логично показывается, что из равенства (4.22) следует равеп-
Несколько более сложный пример формул обращении дает
пара соотношений
В обоих случаях суммирование провидится до обращения в нуль
», чтил многочлены оннриоры ,у
c laiaeMbii, при ном попользуйся условие, чю 1^ — 0 при
п < А, тде п и к Рассмотрим ’ — натуральные чнс га. аногочлепы вида W- 2 (-/|Г-Л (1.25)
с начальными г очевидною соо «= 1, 4, ... имеет качениями: & (т) = 1, bS^ — x, =л’ - 2. lit тношения для биномиальных козффндяен гок П к ‘)Ч (П a_j) cue’ijei, чю для н место равенство b ,Сг) = с/)л_| (х) - Ъ ,-Лх). (4.26)
111 >того рявеис । ва для п — 2,3, . имеем x/?rtu) = b ,+1(х) + bIL-, (х) <4 27)
Заметим юкже, Рассмотрим т что х6|(л) = ЬЛ.х’'! т'2Ь0(х), = Ь,М. еперь числа o„k, ОС 7т <[«/21, такие, что X = ^n^'n—ik (•*)•
И» равенства ('< .27) следует, что 1- п„_, 4<fn/2], . «гп < n = + аг„ t_|. Из атих соотношении
получаем а>л - ( и, с гедоватечъно, ~ 'to (4 28)
Из равенств йилп,f\ козффни (4.2.')) и t4.28) вытеьае! тождество для бииоми- (ПСИТОВ.
Эго южаеслво и дует равенство ( 4. Сюръекти! енты позволяют ектцвных отобр; записывается в । .озволяет убедшься, что и? равенства (4.24) еле- 4.23), п обратно тыс отображении. Полипомиатьные козффпцм- иолучнть выражение для D(n, т) — числа сюрь- аженнй ш-миожества в /t-множество Это число следующем виде:
/. 22 . (’аг
|-те суммирован» с целыми поло ie производится по всем векторам («ц а. , а/ жительиымн HoopAimaidMH, удовлетворяющими
1 л i ОС1КНШЫГ понятия и o.iemlhi spiiwh методы
тор, для которого носитель соответствующего т-мультимложе-
ства является 4-нодмпожеством Y, то отображение <р отнесем н
/с-му классу, 1
г: it Число отображений в /т-м классе равно
("Jz>(/..m), полому, nonaiaa £>(0, 0) = 1 и Z)(0, т) =1
т) (4 31)
Применяя формулы обращения (4.19) и (4 20), получаем выраа.е-
ние дчя Dht, т):
D (n,m) £ (- 1)"-‘((‘|Л"‘, »т=0,1,2... (4.32)
5. Разбиении множеств. Определим теперь число разбиении
|А’,) — а,:
п, а, + ... -г ап == т. Обозначим это чис-
а„). Ясно, что каждому разбиению рас-
смагриваемого вида соответствуют nf упорядоченных разбиении,
получаемых всевозможными перестановками блоков Таким об-
разом. число упорядоченных разбиении данного вида равно
7’„(а, а а„)=-7(’ 7Tm(tXi, а2, ач). Для определения числа
таких упорядоченных разбиении выберем способами эле-
мен >ы первого блоья, затем
способами — элементы лю-
рого блока и т д. Элементы последнего блока определяются од-
нозначно. Таким образом,
Г’".
Используя выражение величины ("у вида (1.5) через факто-
рпаты и проводя необходимые сокращения, приходим к формуле
О|сюда следует, ’по общее члпо разбиений, т множества па и
блоков равно
. т, (1.35)
Общее число разбиении т члоя.ес та равно
где полагаем Та = Гм = 1, Ттк — 0 при ?г>т.
6. Операторы. Рассмотрим функцию /Ст) доп с гви тельной пе-
ременной х, определенную в точке г+1, если она определена в
точке х Оператор А взятия конечной разности определим ра-
венством
мз которого следует, что операюр \ удовлетворяет свойств»
линейности
Х(с/(г)) = сА/(т), А[/(х) + <pGr)] = A/U) + ЦДг), (4 38)
те <:— постоянная
Индуктивно, с помощью равенства \пКх) — опре
делим оператор Д', действие которого па /(а*) заключается в
«-кратном примепеплп оператора А. Условимся считать A°f(x) =
= /<х). Справедлива формула
При п=1 формула (4.39) совпадает с формулой (4.37). Пред-
полагая, что она верна при п = г— 5, докажем ее при и —г, За
пишем (4.39) при п = / — 1 и к обеим частим иолученного
Во второй сумме произведем замену переменной, положив к-=
= ;4 1. л объединим обе суммы, воспользовавшись рекуррент-
ным соотношением для биномиальных коэффициентов В резуль-
тате получим формулу (4.39) при п = г
Используя формулы обращения (4 19) и (4.20), и» равенсжа
(4.39) находим
n) -
Рассмотрим применения формул (4.39) и (4.40/ Для сюненно»
функции /(аО = .с"1 чти формулы принимают виц
Ложная в
Числа Л”0’” называклся числами Моргана Из формул (4.30) и
(4.3 b следует комбинаторный смыс-i этих' чисел, а именно, имеет
место равенство
где Dkn, т)— число сюръективных оюбрал;снии т множества в
//-множество Так кап Din, /и) = 0 при н> т, то отсюда следует,
т н А = 0 при п > т
Возьмем сбывающую факториальнхю функцию
Поеледовснецьное взятие конечном разности ос згой функции
приводит к формуле
§ , ЧИСЛА МНОЮЧЛЕИЫ О11КРАЕОРЫ
Аналогично для возрастающей фамориальнои функции
имеем
Рассмотрим теперь показательную функцию f{x) = eax, 1де
а некоторый параметр, не зависящий от х. Применяя п раз
оператор А, получаем
.Нот же результат следует и из общей формулы (4.39).
Наряду с оператором А часто применяется также линейный
оператор сдвига Е, определяемый равенством
Ej(x) — jix + 1).
(4.49)
Применение к раз оператора F, дает результат А,*/(т) = /(х -г й).
Лет ко установить связь между операторами А и Е Из определе
лнй следует символическое равенство А = Z? — 1, которому соот-
ветствуют два символических, соотношения.
Применяя операторы, ооящпс в обеих частях равенств, к функ-
ции /(х), получаем уже доказанные соотношения (4.39) и 40).
7. Числа Стирлинга. Равенства
X а(пЛ)(х)к
определяют числа Стирлинга &(п, 4), o(n. к) соответственно перво
го о второго рода. Здесь s(0, 0) = о(0, 0) == 1 и полагаем sin. к) “
— а(н, А)=0 при и<к. Отметим, что числа sin, к) и о(п, /О
равенствами (4.50) и (4.51) определяются однозначно, так как
системы функции 1, х, х~, . ,
независимы.
Подставляя выражении х*
, х' и I, Сг)|, (х)2, ..., (т)„ линейно
из равенства (4.51) в равепсгво
И.50), поручаем соотношение ортогональности для чисел Стир-
линга:
где •б.,k— символ Кронекера И.з соотношения ортогональ пости
вытекают формулы обращении
которые при любых последовательностях ... и ..
взаимно обуславливают друг друга, т. е. из первой формулы еле
дует вторая, и наоборот.
8. Блоки разбиении множества. Из формул (4,34) и (4.35)
следуют выражения для T.„lt—числа разбиений лг-множества ла
к блоков. Выведем теперь рекуррентное соотношение Для этого
все разбиения лг-множества разделим на дна класса в зависимо-
сти от того, образует фиксированный элемент ,те¥ единичный
блок или по образует Первый класс содержит Т к_1 разбпе
ПИИ, в юрой кТ„
Следовательно,
Введем мноючлен
Умножая обе части соотноптрпня (4.54) па (х), и суммируя по-
дученные равенства по к от 0 до т, получаем
Т, U) = х I ,„-iix), ти=1, ...
Отсюда с учетом равенства 7\(а) — 1 находим
Сопоставляя (4.51) « (4.56), приходим к выводу, чю
Это равенство определяй! комбинаторный смысл чисел Стирлин-
га второго рода Из этого равенства, с учетом соотношения (4.54),
Найдем теперь выражение для чисел Стирлинга второю рода
в виде формулы. Ог обеих частей равенства (4.51) возьмем т-ю
конечную разность С учетом (4 46) имеем
Полатая в обеих частях згою равенства т = 0, получаем
V'u'B- 2 (- if’ (")/'- О,
. тедова । е.'К.ни
ill абсолютной СХОДИМОСТИ рядов
следуе i
возмоя.лосгь перестановки чк-иов в их ггрои тводепнн.
Ит t4.60) и (4 61) следует формула Дибипсн&го'.
соотношение
1’ самом деле, разделим все 7,._. । разбиений миол.ества .X. 1X1 —
--т — 1. па in классов в зависимости от величины блока содер-
а остальным т — 1с элементам cootboi-
3 Иадуицвей по га доказать, >ио
§ 5. Преобразования
1. Полугруппы преобразований. Рассмотрим множество пре-
образований ладанною множества X в себя. Для пары преобра-
зований (оь <т2) определим операцию умножения •, которая со-
стоит и последовательном применении этих преобразований, т. е
для простоты опускается Эта операция ассоциативна, гаь как
сцГогвД (х) = [ff,ojo„(r) = (Ts[<j2lо,(х)П, г е X
Роль нейтральною элемента играет преобразование е, при кою-
Например, для X —{1,2,3}, применяя двустрлчную записи
преобразований оу -- (j ']), о2 - Q ”3)’ °i о $)’ имеем
Отсюда следует, по
Совокупность преобразований множества X, замкнутая отно-
сительно операции умножения, называется полугруппой преобра-
нолугрулиы, замкнутое относительно операции умножения, ла
зывается подполугруппой.
Сели X есть /г-мпожесгво, то тюлутрупиа всех ею преобразо-
ваний называется симметрической полугруппой степени п и обо-
значается ®я. Любая полугруппа преобразовании тг-.множества яв-
ляется подполугруппой ®г„ Полугруппы преобразований играют
особую роль при изучении полугрупп в силу следующей теоремы.
Теорема 1. Любая полугруппа, содержащая нейтральный
лиемент, изоморфна некоторой полугруппе преобразований.
Рассмотрим полугруппу, элементы которой образуют мпоже-
. } Каждому д/юмрн-гу jtel поставим в со-
oineiciBue преобразование <рДх)—При эюм произведению
§ r. IIPIOI.!' Л ЗОН АЦП»
(.оно1.л'иност>. всех преобразовании (р< ооозпачмм через Ф Ска-
занное соответствие определяет отображение “f: А — Ф. которое
нейтральным
.пггрчппы.
телыи» операции последовательного осуществления преобразова-
нии. Нта группа называется симметрической группой степени «
и обозначается S„.
пветстнует единственная под
х) = их 4z) = cW. хеХ. где
(,г) = т для всех Поло-
где произведения содержат к
сомножителей, и заметим, что s « * —'«* = е Будем полагать
л" = е Множество подстановок степени п. замкнутое отпоептель-
.1юоая конечная группа изоморфна группе под-
Доьазательство атои теоремы аналогично доказа le.iuc ibv тео-
ремы 1 я предоставляется читателю
Испоп.зуя правило умножения подстановок, имеем, напртчер.
валентности. Действнтель г—х' следует .т'~.г, та что x = s_'(r') Наконец, равенства х'=х'(г), х" — s^Cr). но. х — г. поскольку т = У(.г) = e(z). из к как из равенства .г'-Лс) вытекает, из х — х', х' ~ х‘ следует х ~ х‘ , ибо -‘«’(х') означают, что с" —.r(s!lx)) =
Рассмотрим разбиение о тветствующее данному X,, . Хк этою разбиен сами транзитивности иод = Х’|, s(XM) =— ¥t и c-v , Xs являются снова подстановки s па орбиту ки. Он является подстапо дгостве X, Ее можно at (.1,5, (z), s'; (а-), . . < 1 (л Это позволяет $ _ ^-Г1( (( ,), , А' X = X(U.. JXS, Х,-ОА';=0, i =т= i со- отношению эквивалентности. Блоки ия будем называть орбитами или к.-шс [станонки «е5„. Очевидно, что s(X() = игспия подстановки s па орбиты X’,, ... подстановками Сужение s;, 1 < i < !-, X называется циклом, этой лодстанов- вкой степени IX,-1, действующей па мпо- шпеать в виде цикла длины 1, |ХЦ: с)) с зчетом toro, ню а/(я)^л, 1 всю подстановку л разложить на пикты г’(<>))• ..
Если подстановки 9,, . . пи п, полагая s6x)~x. ; рнвать как разложение и висимых циклон: s — s,s2 имеют общих элементов, рядка сомножителей. От U ГО) ••• s'r '(’))ад едят а, т е <ц доопределить до подс1вновок сгепе- г е Х\Х„ то эту заппсь можно рассмя !- одстапон1.-и s в виде произведения неза- . ...$•*. Поскольку орбиты X,. ..., Хл не то это произведение не зависит от по- метим также, что запись цикла х;— .позначна с точностью до циклического
Например, разложение следующей иоде i аповии степени 7 лмс-
et вид
р — наименьшее из чисел, обладающих этим свойством Тогда р
равно наименьшему общему кратному длин циклов, входящих в
разложение * Действительно, если эго разложение имеет вид 4 =-
го р совпадает с наименьшим общим кратным чисел /„ Л, А,.
Цикл длины 2 называется транспозицией и обозначается
т(т, у). Это есть подстановка, оставляющая на месте все симво-
лы, кроме хну. Каждый цикл можно представить в виде нро-
изветеиия транспозиций, например, следующим образом-
u riPJ OSPA 10В4ПИЯ
S„ == (U„ a',), . , Cr,, z.), (z2, z,), , (zn_b zn)>.
Б\дем юворпгь,
вому классу [1 1 2 '
ны j, 1 < I < п,
а . . , а,)
{1'*1.. 1а, Н
ню jiojicjanoBKa * s S„ принадлежит чикло-
если опа содор/ьлт а3 циклов длм-
по клановой
= п Покажем, чю
Обозначим
цикловом.
через
классе
С (а, а„ ., а„) = ----------------------------- (5.1)
1 'j 2 . в ’Ч/ а„| а„1
Рассмотрим разложение
поде гановки
1ШКЛОЯОГО
lcz, т 1
[в виде произведения независимых циклов:
’ = (лдо/п^ж.м (л „-а2) •
Путем всевозможных »’ перестановок элементов при сохранении
скобок можно получить любую другую подстановку из этого клас-
са. Перестановки, осуществляющие циклические сдвиги элемен-
тов внутри скобок, и перестановки, переводящие полностью эле-
менты из одной скобки в скобки, содержащие такое же число
элементов, очевидно, не дают поныл подстановок Число таких
ла1п*1 “п , . ,,,
перестановок равно! 2 .. п сс,’ а2: ... ап' г мпожая эт> вели-
чину па число различных подстановок в циклопом кчассе
>м число всех перестановок. Гакпм обра-
С(а,.я2 . ..а„) l/'S1*" .. . а,,’ /г!,
е верна формула (5 1) Лэ нее вытекает гождество
(5 2)
«“"а । а ' оп!
куррентпое соотношение
распространить па все целочисленные значения А, и п. Для до-
казателытва (.>.4) множество подстановок с к циклами, лсиству-
несем подстановки, оставляющие фиксированным элемент г на
месте, т. е. slz) --= г. а ко второму — все остальные подстановки
с /' циклами. Первым класс содержит С(п--1. к — 1! иолстано-
Тем самым соотношение до
Применяя это гои i ноше tine MHotoi.parno
0 гсюда, помимо комбииа lopnoi о смысла д ih чисел Стирлиш а
мерного родя, с учетом равенства Co.'i) следует также рекурреш-
лое соотношение для эги\ чисе к
— группа подстановок сте
£ ПРГОБРАЗОВАНИЕ
(5 tl)
ьюбЧа,, , а )- число элементов в цикловом клаые v р
определяемое формулой (5.1). Суммирование проводится ио всем
решениям (ан . , ап) уравнения iat + ... + паи~ п.
Рассмотрим теперь циклическую группу Сп подстановок сте-
пени п, все элементы которой являются степенями одном и той
являющейся циклическим сдвигом Сл
руппа имее! кпд С’, С, С~. .Г"-1. Ясно,
;t;e подстановки
общий наибольший делитель п и / Циклический индекс группы
(', имеет вид
5ф(0 - п.
S. - <(1 2). (1 3), .. , (< »)>.
содержащий наибольшее тис «о подстановок, удовлетворяет условию
52 ГЛ I ОСПОВНЫГ ПОНЯ1МЯ I? ЭЧЕМЕНТТРНЫЕ МЕТОДЫ
ЦК клов в разложении s. Подстановка а называется четной (нечетной), если
гр; 6. Доказать, что любая подстановка ? степени п, имеющая /г(«) цикю».
Жет быть представлена в виде произведения ,г — k(s) транспозиций, пр«- 7. Пусть d(n, 7s) — число подстановок степени п с к цяьлами, ня один
которых не является единичным. Вывести рекуррентное соотношение d(n 3, к) = nd(n, к) + nd(n — 1, к — 1), S. Используя равенство + = (и-Н)бДО для CR(t) = 7(7 + 1) Сп+,! (1) ^C»(f)C (/) (inoiin). 2 (-1)"-* !>(»,/.) = 2 ~Т- § 6. Булевы функции 1. Определения. Рассмотрим множество В из двух элементов.
торые будем обозначать 0, 1, т. е. В — Ю, 1}. Элемент (xi, а--г,..
Фу /Сё Фу , rr,)s5<"’, Вм = В X ... X В, называется булевым вектором. щкция /. J?1’0 -* В называется булевой функцией от п перемен* :х Х|, .. , хп, х, <= В, и обозначается /и) — /(.?+ х-, х„). Если ) = 1, то булев вектор х называется единичным относительно вьцмн /; если /<х) = 0, то х называется нулевыч относитель- функции /. Так как булева функция от п переменных вполне ределена заданием единичных и нулевых булевых «-векторов, число таких функций равно 22 ‘. Для булевой функции /(х(, хп) переменная х„ 1 < г < п,
на; зывастся несущественной, если выполнено равенство f(x х 1, х.-н, . , , x,_lt 0, /„)
Д-1; C.1J я всех значении переменных г,, х^.,, ..., г„ В этом ;чае функция fix,, . . х„) фактически не зависит от поремел- я X/ и можно рассматривать функцию, зависящую от п- 1 эемеиных, которая совпадает с исходном Поэтому, по опреде- тию, считаем, чю две функции /, п /2 равны между собой, гн /3 может быть получена из /, добавлением или удалением существенных переменных. Функция j{rt, гк) называется
S Ь БУЛЕВЫ ФМ1КЦИП
ciut.wei [>ическойч если
/(г,
и записывают ц>:!(.т) = 'С, тр4(;г) = г.
Перейдем теперь к рассмотрению 16 функции ol двух пере-
менных. Запишем их также в виде таблицы
ясение.ч х{ н хг по модулю 2
Некоторые из остальных функции также имеют специфичс
ские названия Например, Ч')5 называется импликацией и обоэиа
чается Чг)Г.(з* г-2) = ж, х2. Функции, означающие отрицание
а также конъюнкцию и дизъюнкцию, определяют иа множестве
ГЛ I ОСПОВНЫГ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТХ.РНЫЕ МЕТОДЫ
Я = {0, 1} унарную и соответственно бинарные операции, кото-
рые называются так ;ке, как и соответствующие функции. Jtii
операции обладают следующими свойствами.
1)
Идемпотентность:
Свойства констант:
4)
Комму! a fiunioci ь.
Дистрибутивное! ь:
6) Законы де Мортона'
Функция / называется суперпозицией булевых функции ...
..Д, еслп она получается некоторой подстановкой этих булевых
функций друг в друга. Выражение, описывающее результат этой
подстановки, называется формулой, задающей функцию /. Напри-
мер. фупкцня cp4(4r9(;r1, .гг)) задается формулой х, -Xt, а функции
Чг*(Ч/.1(а71, zs), 'F./aj, >тг)) соответствует формула х, • xt V(х, ® х2У.
О формуле, задающей некоторую булеву функцию, творят, что
она реализует ату функцию.
3. Совершенная д. н. ф. Всякую булеву функцию /Crt, .. , хЛ)
можно разложить по переменной ж>.
/U15 .. , х„ .. , х„) = x,/U„ .1, . , л„) V..., О, ..хп).
Справедливостг. этою равенства устанавливают непосредственной
проверкой, полагая д,- = 0, 1. Прояодя разложение по переменным
ад, Яг, ..хт можно иолу нить ири’пг С и
Я|.
где полагаем а1 = 0, 1 и — х,.
но всем 2’" булевым т-векторам.
и дизъюнкция берекя
Для доказательства формулы (6.1) вычислим значения обеих
частой отвечающего ей равенства дан произвольного, ио фикси-
рованною вектора Q,. .. , [}„. ^л*|, ..., [}„) значении аргументов.
Заметим, чю выражение а, равно 1 только при xt = а,. Иоатому
( рели 2"* конъюнкций. х,,™ в правой части равенства (6 1)
имеется только одна не обращающаяся в пуль при at —
-,fU
1№, ... р„)- ?.? ,₽.» р,,+„ ...
' - Pm" ~ И то формула (G.1) справедлива.
(6 2)
где суммирование ведется по всем булевым векторам (а,, ..., а»),
для которых /(а,, ..., a„) — 1. Это разложение называется со-
вершенной, дизъюнктивной нормальной формой булевой функция
ф;с,...а;„). Ввиду коммутативности конъюнкций и дизъюнкций
для всякой булевой функции, кроме константы 0, соответствую-
щая дизъюнктивная нормальная форма однозначно определяет
саму функцию. Отсюда следует, что всякая булева функция может
быть получена суперпозицией конъюнкция, дизъюнкции и отри-
цания.
4. Сокращенные, ттпиковые и минимальные д. it. ф. Формула
?Л =А о при k’f-l Формула
называется дизъюнктивной
чакон д л.ф. можно, например, взял, соответствующую ей совер
nuoitfvto д.н.ф. Множество векторов Л = {(«. «... . , а,,)}, я, =
.г..) в булевом
А, = {(а.....«.)• Ка...а„) = 1).
коюрое однозначно определяет '*т\ фкпьцию Если функция реа-
лмзуется элементарной конъюнкцией К (тн... тп.) = л|‘1 .
ю 100 1вектв\ющее множество иазываепя интервалом.
га i основные понятия и элементарпыт методы
ранга. Ясно, что VK является (п — г)-мерлои гранью. Очевидно,
что если
.. ., Х„) = ф(Х|, . . ., Я„) V Т|’(-Г|, • • , х„),
то Д’# ~ Л® U Aw. Следовательно, для функции /, реализуемой д и ф.
(6 3)
Это означает, что множество^ покрыто интервалами Vb ... , АК|
соответствующими элементарным конъюнкциям К,, ..., К, Если
г, — ранг К„ то число г — 2 Г} называется рангом покрытия
Импликапта К„ 1 i s функции /, заданной д.п.ф A,V...
___V К„ называется простой, если после отбрасывания любого
из входящих в пее сомножителей получается элементарная конъ-
юнкция, ле являющаяся имплпкантои функции ]. Если все им
нликаиты К^, . , К, простые, то соответствующая д. п. ф Ki''
..VК, называется сокращенной д.п.ф функции / ИитервалА
соответствующий простой имплмканте Ki, является максимальным
в том смысле, что не существует интервала Л'к-, такою, что -А к-с.
cz -Vk' S Kf. Покрытие множества К, максимальными цптерва-
нами jVkj
.Vr называется неприводимым, если при выбрасы-
вании любою пз этих интервалов оно перестает бьпь покрытием.
Д. и. ф., соответствующая неприводимому покрытию множества
V/, называется тупиковой.
В качестве примера рассмотрим функцию /(rt, .r2, з3), для ко-
торой
Совершенная д.и.ф., реализующая эту функцию. вьплядиг сле-
дующим образом
(6.5)
Используя свойства операции дизьюнкции, конъюнкции и отри
цаиия, д. н.ф., реализующую Kxt, х-, xt), можно представить в
следующем виде
(6 6)
Очевидно, что входящие в д и ф ^6 6) лмпликанты являются
простыми, т. е. сама д.н. ф. является сокращенной. Более того,
д н ф. (6 6) является и тупиковой, так как покрытие __
является неприводимым. Отметим, однако, что д.н.ф. (6 6) не
является самой «экономной» ип с точки зрения числа использу-
емых букв, обозначающих переменные, ни с точки зрения коли
честна имиликант.
Д.н.ф., реализующая функцию / и обладающая наименьшим
числом букв, обозначающих переменные, с учетом их повторения,
называется минимальной.. Д и. ф, ре-
ализующая функцию / и содержащая
наименьшее число импликант, пазыва
ется кратчайшей.
Для отыскания минимальных п
кратчайшихд.и.ф удобно использовать
геометрическим подход Рассмотрим
булев куб B'3i (рис. 1). Для рассматри-
ваемой» примере функции f множество
.V< изображается вершинами ко
торые отмечены точками. Интервалы
представляют собой ребра куба, uoi.pw
ваютцие вершины множества Л/. Можно указать два других
покрытия множества Лу ребрами куба И1'1’, содержащие меньшее
число ребер Одно из таких покрытии содержит ребраЛ'^-,.
А д х , -^к„яя. ДРУюе состоит in ребер V-, Лг- , Nx - . Этим
покрытиям отвечают две минимальные и кратчайшие д и. ф..
реализующие функцию /:
следует, что /(j.-) j(y). Показать, что суперпозиция двух монотонных
тарная конъюнкция ранга i является нмпликантой, равно а" г.
Г основные ПОНЯТИЯ И ЙЛТ'МРНТАРНЫГ методы
реализовала д. и ф„ содержащей не более 2"_| конъюнкции
-= (0 1}, paMoQjs’1-''
зуя пе более п церемонных, равно 3".
я переменных справедливо неравенство
11 Па множестве грапея п мерного куба й( >’ = I! X ... X В, В —
каждая из которых соединяет пхльмериую ipaub — верпптяу с я мерной
гранью Доказать, что.
б) число всевозможных неуилолняемых цепочек равно п'2/‘;
етп г, равно 2Г г! (п -т г)!;
д) для сокращенной д н ф Ос(/) произвольной булевон функция f or
где г —размерность грани К. являющейся пмп-шкангои Df.
Указание Использовать доказательства теоремы 1 I
§ В ЕУЛЬВЫ ФУ1ШШП1
Vil) х
Г_____________- -I)’1"' (п — 1)! dt______________
.1 U - (} V -Г f --1) • V - i- fn <1 — 1)
где Д —оператор конечном рязяоетя по г
2(„: ,.Н2
4 И; продыхщр1 о равенства вывести что
п‘~ k
«а, единиц, а, двоек,, вв чисел п, так, чтобы числу к 1 предшествовало
R. Для чнсел_Фибоначчи ; определяемых рекуррентным соотяпшенн-
У Доказать, что постоянная Эйлера, определяемая равенством
мо,ксг быть представлена двойным рядом
используя равенство^' ) — ь Лг(1—еА)п,
ее илсмеятов, что из g^E следует g_| е= £ Показать, что если 1) — яноя<е-
13. Доказать, что. а) п прямых разбивают плоскость ва +
•j — и BH кмш-otf
‘*'r ' I-UZ
-t j vh osiouediiodn эовйакчаЛх xoieanorcd иахаочзохп и (g
ИИПЧИ1Ф naauta э §
ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ - ИСКЛЮЧЕНИЯ
§ 1. Метод включения исключения
1. Классическая формула. Для любых конечных множеств X,
применяя правило суммы, получаем следующие равенства:
А’| = |ХЛ У1 НХ\(ХПУ)|, |У1 = 1ХП У|+ |У\(ХЛ У)|,
IX U У| = IX П У| + |Х\(Х О У)! + irxtxfmi
1ХИУ| = 1Х1 + 1У1 - IX Л У|.
Если заданы произвольные множества X,, X ,
X = A’, U ... U X,,-,, У = X , из (1 1) получаем
jo, полагая
Используя ото равенство, лоьад.ем следующую общую формулу:
|X,U-V,J • UA I -SlA'I t _2 JM-M-
. 2 .Г1Т„Н
Эта формула является классической формулой метода включе-
ния— исключения. Докажем ее индукцией по п. При и —2 она
совпадает с формулой (11). если положить Х = Х(, У = X. До-
пустим, что она верпа для п — 1 множеств. Тогда
Р.л-М- Ъ
вычитая из (14) равенство (1.5), с учетом f12) и равенства
• • • П
убеждаемся в справедлпвосш формулы (13). Заметим, что если
X, П .¥, = 0, j, то формула (1.3) совпадает с правилом суммы
2. Неподвижные элементы. Рассмотрим совокупность V все-
возможных преобразований /г-мпожестиа X Будем говорить, что
эчемент х^Х является неподвижным для преобразования фвГ,
если (pW=rr. Обозначим через U„ число преобразований п мно-
жества, не содержащих неподвижных элементов. Для определе-
ния АЛ. применим метод включения — исключения.
Положим Х = (.г\, -г2, ..., хп} п рассмотрим множества Lr(x,),
L(.x~). , U(.xn), где U(xd — совокупность преобразований <р мно-
жества А, таких, что х, является неподвижным элементом, т е
так как эта величала, равная числу отображении, у которых эле-
являются неподвижными, совпадает с числом
преобразовании (л. — АО-множества. Теперь, применяя формулу
(1.3), получим выражения для числа преобразований в-множест
ва, имеющих каждое хотя бы один неподвижный элемент:
. U U{r )[, то окончательно имеем
(1 6)
Рассмотрим теперь совокупность биективных преобразовапмп,
г о. подстановок «-множества. Определим h„. — число подстано-
вок степени п без неподвижных элементов множества
.хп), Обозначим через I (г,), т=1,
п, совокупность
подстановок А’, для которых xt является неподвижным элементом.
Очевидно, что
так как эта величина, равная количеству подстановок с непод-
вижными элементами ж, , . .Гц, совпадает с числом подста-
новок (п — АО-множества. Таким образом, согласно формуле (1.3)
число подстановок, имеющих хося бы один неподвижный элемент,
равно
а поскольку hn — п’ — I V(arf) U ... И Г(х») I, ю находим
3. Сюръективные отображения. Пользуясь методом включе-
ния— исключения, дадим другой вывод формулы (4.11) гл. 1
для D(.n, т) —числа сюръективных отображении т множества
X в п-множество / = {?/!, рг, г/J. Обозначим через HTyJ со-
вокупность отображений <р. X У, для которых yk, А‘=1, «,
не используется в качестве образа Тогда
| (УЧ) П • - П И' (уч) | = (п - Л)"1- К h <
Следовательно, соыасно формуле (1 3)
iw и... и ™ (s,) । _ х (-("i ('
Отсюда следует требуемая формула:
Р(п, т)= 2 (“ 'О''О “ ЛГ
(18)
4. Общие формулы, Получим теперь общие формулы метода
М(г)^ г-0,1, . п, (1.9)
ЛГ.= S(-l)‘ (ИО)
I MLTOX ИПЛЮЧКНИЯ — ИСКГ1ЮЧГНИЯ
5„ « («,) (^1,Д2 • Лъ), к-1, 2...n,
lf(-l • - Д,,) — суммарный вес элсмептов, обладающих фин
снрованными свойствами Ат, ,Л(_ . . А1:,.
Формулы (1.9), (1.10) называются общими формулами метода
включения — исключения. Для доказательства этих формул ио
кан.ем, что в правую часть равенства (1.9) входят все веса эле
ментов, обладающих г свойствами, и только они.
Веса элементов, обладающих точно г свойствами, учптыва
Ю1СЯ ровно один раз в сумме S, и не входят в остальные
г, учитываются раз Поэтому в правых
частях равенс/в (19) вес таких элементов входит с коэффицпеи-
Переходим к доказательству формул (1.10) Имеем
л, £ vo) ‘ S/»2r(-1)" ’Q <1.11)
i)-0
‘>’0
епт, коэффициент при х" ' в выражении (1 — т*)(1 — х)
* .1ЭУ1ОН стороны этот кожрфициепт равен (—1)A _ r j
ihi.iTOMV пл раненегг ; (1.11) следуют формулы (1 10). = й>ал1 = 1. то М(г) представляет сооои чис-
। именк 1 обттч 11 1 Et СВОЙСТВОМ Л.. 1 ~ 1. <Н11Х ХОТЯ ОЫ ОДН1 - X и ’! U 11 % 1 ающмх ровно г свойствами из числа заданных ли а21. — множество элементов попадающих п то число элементов, одновременно обла- Ai.. Л^. . . Л„. равно Л.1 (4,.Л,. . Л,А) • X, । Кроме того, число элементов, обладаю гм из свойств Л,. А>. .. А., равно М, — и таким обратом, из формул (1 10) следует
‘.-(ж спческая форму. ла включения — исключения.
5. Расстояние Хэмминга. Рассмотрим множество U, элемента-
ми которою являются все ш-векторы с координатами из и-мпо-
жества X. На множестве Um — UXU зададим функцию со зна-
чениями из множества N = W, 1,..тп). Для любой пары (w, г) s
е Ua> положим
Кронекера. Таким образом, p(u, и) равно числу несовпадающих
координат векторов и, v. Эго число называется расстоянием Хэм-
минга между векторами и и v.
Покажем, что функция р(п, и) является метрикой, т. е. удов-
летворяет условиям
1) р(и, и)>0и p(u, v)—0 тогда и только тогда, когда в —и;
3) p(u, р) <= p(ir, нЭ + p(u>, v) для всех u,n, tv^U (неравенство
треугольника).
Условия 1) и 2) очевидны, поэтому докажем только неравен-
ство треугольника Для фиксированных векторов u = (xi, xm),
v—(yi, • •Ут), w~(zi, zm) рассмотрим множества Л={г:
x.-=yt}, B = {i: х, = г.}, (7 = И: y<-z(}, A-N(\A, B = Nt\B, С =
= Ni\C, 2, ..., m}. Если a( = sj и у. —z<, то отсюда следу-
ет, что х, = у,. Значит, ВОС^А. Взяв от обеих частей включе-
ния дополнение и тем самым заменив включение на обратное,
получим Л АС. Наконец, применяя _первый закон де Моргана,
имеем А^В'эС. Отсюда [Al < |В1 +_ICl. Паьоттец, заметим, чго
р(ю, v) — 1Л1, p(u, w) = 1В|, p(ir, v) = ICl.
Зафиксируем некоторый m-вектор и = (x,, ..., хта), и е= U. Мно-
жество m-векторов и е U с координатами пз «-множества, таких,
что р(п, и) — т — г, будем называть сферой радиуса т — г с цент-
ром в точке и Множество векторов, принадлежащих сфере, обо-
значим через S,(u) Так как число ти-векторов, принадлежащих
Sr(u), совпадает с числом способов выбора т — г координат неко-
торого m-вектора и, не совпадающих с соответствующими коор-
т_,
динатами m-вектора и, то это число равпо! > (п — 1)
Рассмотрим теперь подмножество U' множества U, состоящее
из векторов с различными координатами, принимающими значе-
ния из «-множества X Сужение на U' метрики р, определенной
на U, представляет собой также метрику, которую б^дем обозна-
чать также р.
Определим hmr(n) — число m векторов
таких, что
p(u, и) = т — г, где « е £7'— фиксированный m-вектор Положим
u = (rl, а-„), v~(yt, .. , ут) и будем считать, что вектор v
обладает свойством Л(, если у, — х{. Тогда hmr(n) радио числу
т векторов из V, обладающих ровно г свойствами из заданной
совокупности At, A,, A„ Число m векторов из U', обладаю
dub. свойствами*^, А,ъ, . , A,h, l<ii<.. равя®
•• • *4»й) - (и — Теперь, применяя формулу (19)
метода включения — исключения, имеем
Лшг (») - S (- 4)‘“' (Г) (» -
Осуществляя очевидные преобразования, окончательно получаем
Для случая т — п необходимо рассматривать сужение метри-
ки р на множестве U” перестановок степени т; тогда и hmT =
= hmr(.m) равно числу перестановок v степени т, таких, что
р(и,п) =т — г, где и — фиксированная перестановка. Очевидно,
_ т1 vT (—D*
!mr - [ fc( .
А-=0
Отсюда следует, что для любого r = 0,1,
1,т^=
т-»оо т'
§ 2. Неравенства Бонферрони
1. Основные неравенства. Обратимся к общим формулам ме-
тода включения — исключения. При этом будем предполагать, что
элементы коммутативного кольца К, определяющего веса элемеп-
14 (Г) -У (- 4 = (“ 1)^г V (<2, г), (2 1)
[’(й. =
(2 2)
ГЛ II ФОР-ИУИЫ ОШ’АЩПШЯ
обе части равелс1ва (1 9) па п суммируя полученные выраже-
ния «о г от к до п, имеем
Выражая биномиальные коэффициенты через фаьюрпалы, легко
получаем
Используя >то равенство, m равенства (23) получаем формулу
обращения
.CW'-
Выражение S\ из формулы (2.4) подставим ь формулу i2 2).
Меняя порядок суммирования, имеем
Заметим, что
2 (- п*
С учетом <т(ло неравенства и> соотношения (2 1) имеем
Л/ (О —
Из mix двух, соотпошешш вытекают iai< называемы! нера-
венства Бонферрони
'2 о*
О'
UtPABLHCfBK ЬОИФЕРРОНИ
v<(n— г)/2. Они эквивалентны неравенствам
r'viV t rf^X ir u2v~. i\ „
M{r) - £ (-( r )5\r2v+1
’,+*V , (k\ ir+2v\
S (-Д-фр.Ц r )s,
функций, обладающих
, Л:к. равно
набором свойств
М(-1<, Д(.) 22" '• W
Поэтому согласно формуле (1.9) имеем
««(/) Ц“г)Т(-1)‘("; Г)2=”"- г- 0,1. п 1 (28)
Из этой формулы, используя неравенства Ъопферроин, полу-
чаем следующие оценки для числа булевых функций, сущрстея-
1-к/2-п (2.9)
! следует, чго относительная доля булевых функций
, z,c), у которых хотя бы одна переменная является нр-
суще» гвеннов, ne превосходит величины n.’2'J
hmAZn(0)/22’‘ - t
а т<1кя>е, что
(2 10)
3. Двойственные функции. Булева функция , хп) налы
ва<ггся свойственной к функции .Mx,, , л„), если ...,хп) =
eM*i, . , £„) Функция /(ж<, ..., %п) называется самодвойствен-
ной, если Дт,, , — , хп) Найдем выражение для
Nn — числа самодвойственных булевых функции f(xt, .. , rt), су-
щественно зависящих от всех п переменных.
Два булевых вектора (г,, .. , хп) л (xt, , хп) будем назы-
вать противоположными Если самодвойственная функция на
векторе (г„ х„) принимает значение 0, то на противополож-
ном векторе (х,, . , х„) она принимает значение 1 Следователь-
но, такая функция определяется своими значениями па 2П-’ бу-
левых векторах и общее число самодвойственных функций равно
22’1 1. Обозначим через А, свойство самодвойственной функции,
состоящее в том, что она не зависит от переменной xt.
Число самодвойственных функций /(хь
.. , тп), обладающих
; н. равно Л .
свойствами^, ,
. .л. 1=
Применяя формулу (19) метода включения —
исключения, получаем
Применяя неравенства Бонферроии так я>е, как и при дока-
зательстве равенства (2 9), имеем
Отсюда следует, что
1шт А',,/22"
§ 3. Формулы обращения для частично
упорядоченных множеств
1. Функции. Рассмотрим множество X, на котором задано би-
нарное отношение, обозначаемое символом и удовлетворяющее
следующим свойствам.
1) Рефлексивность. Для любого х<=Х имеем х С х
2) Антисимметричность Для любых х, у<=Х из х^у и
следует х = у.
3) Транзитивность. Для любых х, y,z^X из х^у и у <2
следует х «5 z.
Такое бинарное отношение называется отношением частично-
го порядка, а множество X называется частично упорядоченным.
Будем полагать, что у^х, если х^=у Кроме тою, считаем, что
х < у, если х < у н х=£ у Если для х и у пе имеет место отноше-
ние х у, то будем .записывать х у.
Еслп существуют элементы, обозначаемые h и П, такпе, что
h^.x и х < Н для всех х е= X, то эти элементы называются соот-
ветственно наименьшим и наибольшим элементами множества X.
Для х,у X .множество элементов
[х, у} —{z х
называется интервалом Если для любых. х,у=Х интервал [х, у]
есть конечное множество, то частично упорядоченное множество
А' называется локально конечным. Если X— множество натураль-
ных чисел, в котором отношение порядка х^у, х,у=Х, озпача
от, что х меньше или равно у, то это множество локально конеч-
но Возьмем в качестве X снова множество натуральных чисел
и отношение порядка х^у, х,у^Х, означает, что х делит у.
Это также локально конечное множество
РассмО1рим множество функции fix, у) определенных на
XXX, где X — локально конечное частично упорядоченное мно-
жество, принимающих действительные или комплексные значе-
ния и таких, что ](х, у) =0 при х^у.
Определим композицию двух функций fix, у) и gtx, у), обо-
значаемую символом *, с помощью равенства
2 «)?(з, 0, (3.1)
где суммирование проводится по всем элементам копенного ин-
тервала [i. yl. Композиция функций представляет собой ассоциа-
тивную операцию, т е.
(/ * g) * /г = /* (g * h).
Действительно, с одной стороны
К/ * g) ‘ (х, у) -= * h S) * 2^ Ж «) g г) =
= 2 /(г, U)g(u z)h{z, у).
То же самое выражение получаем и вычисляя I/* (g * h)] (х, у)
Единичным элементом для операции композиции в множестве
функций является дельта-функция Кропекера
Действительно,
Аналогично,
|Й * /} (г, у) = 8 (ж, 2) f (з, у) - / (г у).
Для функции j(.x, у) можпо определить тевыи обратный эле-
'«ент j '(х< у)' такой, что * /)(х, у) = &(.х, у) Если левый об-
ратный элемент существует, то он вычисляется по следующим
формулам
чю легко проверяется непосредственно
Кроме тою, полагаем
Г'(х,у)-0,
Известно, что если элемент / в мпожеспн! с ассоциативной
операцией обладает левым обратным /_|, то он является также и
правым обратным. Отмстим, что если множество функций улов
летворяст условию /сг, то >то множество образует группу
G но отношению к операции *
2. Дзета-функция и функция Мёбиуса. Функцию £(т, у), оп-
ределенную тт локально конечном частично упорядоченном мно-
жестве X равенствами
назовем длета-фу акцией. Из определения следует, что обратной
для функции Цт у) является функции р(т, р), такая, что
Ц(х, j) - 1. 0 6)
(3 7)
Эту функцию будем называть функцией Мёбиуса Функция Мё
биуса играет важную роль при полупеник формул обращения
в рассматриваемом множестве функций.
Теорема обращения. Пусть функции fix) и gix) заданы
на локально конечном частично упорядоченном множестве Д’ с
наименьшим )лемен1ом h^X, причем
Оля всех х <=- X Тогда имеет место формула обращения
g(x)-- 2 /(г)ц(г, х).
Псполыуя определение дзета функции ц(г, у), имеем
fl(x) = 2 { 3 Н«) 2)\p(i, z),
j
где h — паимеяьшац элемент X.
Мепяя порядок суммирования, получаем
feW=2?(“) S C(u,z)p(z, а).
Отсюда следует, что
А(х)= 2^(“)б(м, *)-г(д).
Этим теорема доказана
Если X—множество натуральных упорядоченных по величи-
не чисел, то согласно равенствам (3.6) и (3.7) функция Мёбиуса
имеет вид
И (ж, у) -
в остальных случаях
Отсюда следует, что для формулы
/(»)" S е(Ч
имеет место обращение
3. Функция Мёбиуса в теории чисел. Обратимся к тому сне
циальному случаю, котда X — множество всех натуральных чи-
сел, упорядоченных ио делимости, т о для d, п^Х полагаем
d^ n, если d делит п В этом частично упорядочением множест-
ве лаимеиыпий элемент существует и равен 1. Рассмотрим функ-
цию Мёбиуса для этого X Из формул (3.6) и (3 7) следует, чю
р (d, d) -- 1, р (d, п) — —
(3 10)
н utd, n)=0, d f п, и приняты обозначения din — d делит п
di п — d не делит п Отсюда вытекает, что дтя простого числа р
pld, dp)—
p(d, dp2) — О
Из последнего равенства для любого натуральною г.
Циен можно получить равенство
p(d, dp') = О
(3 И)
2 ипдуь-
(3 12)
Из равенств (3 10) и (3 11) следует, что для любых различных
р(<?, dpq) = (— l)s = 1.
(3.13)
Индукцией no с использованием равенств (3.10) и (3.13)
получаем следующую формулу.
p(d, dpj)2 .,pj = (- 1)“,
тде ph рг, .ph— различные простые числа, к > 1
Установим теперь окончательный вид функции Мёбиуса
(3 14)
п = (1ргр., ... ph
в остальных случаях,
(3 15)
где р2, , ph — различные простые числа Действтельпо, из
формул (3 10), (3 12) п (3 14) следует, что
u(d, dpf‘p“s ... -
если хотя бы одно а(> 1, 1
Мёбиуса (3,15) для равенства
/(«)
к С использованием функции
(3 16)
из теоремы обращения получаем следующую формулу обраще-
и-2.«(м/и
(3 17)
В теории чисел используется функция Мёбиуса ц(») от одного
натуральною переменною п - Р1Рг~ ... pi, , задаваемая равепст-
п - PtPi Pk-
в остальных случаях.
(3 18)
; />, р-2, .... рк — различные простые числа
Из равенств (3.15) и (3.18) следует, что
(3.19)
Следовательно, формула обращения (3 17) нрцпимае! влд
(3 20)
4. Циклические последовательности. На множестве отобрал:о-
нии <р: {1, 2, .., т)
лемтностн, гкншая
.., а) зададим огпотеиие эквнва-
ц(й п)
; = 1, 2, . , т, и сложение ведется по модулю т. Ясно, что
векторы (ф(1), .. , ср(иг)) и (<р'(1), .. , <р'(тп)), отвечающие экви-
валентным отображениям, отличаются некоторым циклическим
сдвигом. Поэтому совокупность векторов, отвечающих классу эк-
впвялевтности отображений, будем называть циклической после-
довательностью Определим число циклических последовательпо-
Число d является периодом вектора (<р(1), <р(т)), если
<р(г + d) =<p(i), i ~ 1, 2, .. , m. Все векторы (<p( 1), ..<p(m)) отоб-
ражений <р, принадлежащих одному классу эквивалентности,
имеют один и тот же наименьший период. Обозначим через Mid)
число классов эквивалентности <р, для которых векторы (ср(1), ...
, <р(тп)) имеют наименьший период d. Число элементов в каж-
дом из таких классов равно d. Следовательно, общее число отоб-
ражений (р, у которых векторы (ср(1), .. , <р(ш)) имеют наимень-
ший период d, равно dM(.d') Суммируя по всем d, являющимся
делителями числа т, получаем общее число отображений. Таким
образом.
S dM (d).
dim
При меняя к равенству (3 21) формул} обращения (3 20), полу- <3-22>
Все иаимспыгще периоды мвлякися делителями т. Следователь- и», - 3 ш<г) (3.23)
Из с формул 13.22) п (3 23) окончательно помучаем J,--S4e2i*(4)"e. (3 24) . Метод включения — исключения. Пусть X — конечное мно-
Фуп гво. На булеане 2х определим частичный порядок пола- Z < У, если 2=У, Z. Y^2X, Покажем, что в этом случае кция Мёбиуса имеет вид u (Z, Г) -»(-l)il',-,Ii. (3 25)
Дей( Мнительно, из равенств (3 6) и (3.7) следует, что ц(2,У) = - 3 II(Z.C'). (3 26) ZCLCY
Для любого у £ Z из равенств (3.26) имеем p»Z, ZU {у)) = — ]. (3 27)
Индукцией по к покажем, что для цобых различных у,, у,.
..,yk<£Z
p(Z, Z U {у„ у£> yk}) =( -1? (J 28)
При к = 1 равенство (3.28) сводится к формуле (3.27) Для про-
извольного натурального к из формулы (3.26) имеем
|i(Z, Z U {УьУ2.
Z U {у.})
Используя предположение индмщпи, получаем
Отсюда следует формула (3.23).
Пусть теперь па булеане 2Т конечною множества Y заданы
функции fag такие, что
/(У) S S'(Z). (3.29)
Тогда из теоремы обращения следуез, что
S(>') - 2 /(Z)r(z И
(3.30)
Из равенств (3.25) и (3.30) ььпекаеп, что
г(П™ 2 (- i)|Yi *171 / (Z)
Полагая IKI =п и суммируя отдельно и праной части равенства
(3 31) слагаемые
, 1, 0, получаем
?(!')-/(Г)- Ъ
2 /(Z)1/
jzT-o
Из формулы <3 32) могут быть получены различные варианты
формул метода включения—исключения. Эти варианты нсноль-
зуют понятие меры конечного множества. На конечном частично
упорядоченном множестве X зададим функцию а(г), х^Х, при-
нимающую значения из некоторого коммутагивпого кольца К.
Используя функцию а(х), можно определить функцию па булеа-
не 2Л, которую будем также обозначать через а. Для любого
(3 33)
Эту функцию а будем называть мерой Пусть А’ — кольцо дей-
У'€-.2Х. з. е мера совпадает с мощностью миоазества. Если для
каждозо 2^=Х имеем и S се(г) = 1,то мера пазы
лаотся вероятностным распределением. ! этом случае элементы
булсаиа 2х называются событиями Из равенства (3.33) следует,
Используя законы де Мортана, получаем
a(FlTz) = а(Е П Z).
;«}, элементы
каждым
Ьудсы с,читать, что элемент обладает (^-свойством, если он
обладает свойствами, индексы которых припал лежит множеству
. п) Пусть Q\j(J = R~. ОПу = 0 и ?(<?>
элементов из А. обладающих (7-своиством,
II Р I НПО III 1 В i
ном. и. может оытк. другими свойствами, номера которых при-
нт тежат <> Ionia очевидно следующее равенство-
/(« S«(Z) (3 37)
Применяя формулы обращения (3.31) и (3.32), получаем при
V (-!).<?. ^/(Z)--a(A)- 3 /(Z)+...
s /(Z) , ... + (-))” х Ж)
сл„ Zawn
(3.38)
п-мегим, что .?(/?„) есть мера множества элементов X, не обла
.. , Лп, f(Z) —мера множе-
Дающдх им одним из свойств А,
етьр элементов, обладающих свойствами с номерами из ft„\Z
в возможно, некоторыми свойствами с номерами из Z, /(йв) =
g(Bn) а[ПМ
Ьея„ )
rcc (X), Z =- Л,„
а / П Л|, 7^НЛ.
I \генп\е 1
Ил равенства (3.38) или используя индукцию по п, имеем
а( П Л,' 2 (- I)-171», (1 Лл.
\.еяп J 7с_яп Пел,,^ )
Отсюда следует, что
»| (1 41= S (- 1)|Д« I П л 1 (3.39}
(гея,,. ) Zrf?n 'ге/ )
Полагая Л/’(0) = а( П Л1И
Ьеяп )
50---а(Л). (3.40)
Sk- £<х(ПЛ), к- 1,2....,??, (3.40
zcr Vez )
|Z|-*
на формулы (3.39) получаем формулу Сильвестра:
-П(0) = 2 (- i)V (W
V[tj - а ( U /О.
VisH„ /
В силу очевидного равенства Mti) = а(Х) — W(0) из формул (3.39)
и (3 42) получаем
И..1 -2 (- ч'"'5'»
{ и Л|= S (- (п Л)
1 z<_n Vez }
(3 43)
(3.44)
Применяя к последнему соотношению формулу обращения (3 31),
нако'рш
X (-и^с
:с«п
(3.45)
Используя обозначения
(3.46)
|ZM<
it г формулы (3 45) подучаем
(3.47)
Обозначим теперь через М(г) меру множества элементов из
X. обладающих в точности г свойствами из совокунностиЛ1,4г,...
Лп. Используя обозначение Л, как множества элементов, об-
ладающих свойством Л„ можно записать
(3.48)
Полагая А - f] Л, из формулы (3 39) получаем
(- 1)йс
дует, что
(ПАП ЗЛ= 2 (- 1)iri-ivi«( П л,(.
Ver JGy ) Пеи )
ул (3 48) и (3 49) имеем
м(г) -22 (- i)|t'|-w о ла
5 и=вп '1SU '
(3.49)
(3.50)
Поменяем порядок суммирования в правои части последнего ра-
иенстна Получим
Отсюда следует, что
Л/ (7)-
«И- 2 (-«'"-'cf п Л,\ 2 4-
ССЛ \>eU ' Yell
Н-Ог”
|Г|2-гП
Полагая \U\=) получаем с и ишотыуя обозначения (441), окончательно
М(0 = = 2 (- 1)"Щ‘) ?», r-O.t, < (3.51)
6. Функция число вычетов и простых си Е п - р“Jp°2 . р, ели каноническое разложение п имеет вид
ф (В)-»(1-~Ц,-А) (3 52)
Получим эту ф( честно элементе: ег свойством Л,, что ф(п) равно свойств Л„ А2, свойствами / эрмулу методом включения — исключения В ка в возьмем числа 0, 1, , п— 1, Элемент облада если он делится на число р,. 1 i г Очевидно, числу элементов, не обладающих ни одним hi Аг Число элементов, обладающих заданными ij2. А^к, 1^у!< . < jk s? г, равно "АА .4,)
Применяя форм улу (3 42), получаем
<₽ (и) - п
3ja формула эк. Из формулы ф(п), а именно впваленгпа формуле (3 52) (3.52) следует мультипликативность функции если тип взаимно просты, т. е (т, п) = 1, то <p(w, п) = <р(т)<р(п)
Обозначим ч ..п — 1, имею Тохда очевидно, ерев cpd(n) число элемешов среди вычетов 0, 1, щих с п наибольший общий делитель, равный й <р,(л) = ср(?г)
Вес ивтересуюп т. е (d', n/d>) = сие пас вычеты имеют вид dd', причем (dd', n) — d, 1, 0 С d' n/d — 1 Отсюда следует, чю cpd(«) = q)((??/d) = q?(n/d).
Пусть df, d2, их доноянитель ..ds — все делители числа п, a dj, d2, — ные делители, т е dt d, = п, г — 1, ..., к. Тогда <р - (p^yd,) - <pd, («)•
Очевидно c.’ie/ij югцео равенство
2 Ф (d)
(3.5э)
ine p<d) -- гсорстнко-чнсловая функция Мебиуса, определенная
;ы1о. меняя порядок суммирования в иранок части ра-
J4) и умножая и деля на т, имеем
eian <(<)¥= s'(i) I = i. 2, ..., п где X = (1, 2, , л) — множество, на
2 Элементы мио.кесгва Х = {1. 2, . , п) расликтозкешл из прямой в ио-
Л”. Ч = (“ I *)
g (п, к) =
-2'
ГЛАВА HI
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Формальные степенные ряды
1. Последовательности. Пусть .¥0 = (0, 1, 2, ...) есть натураль-
lb и ряд с нулем и К — числовое кольцо с единицей, элементами юрого являются все действительные или все комплексные чис Отметим сразу, что некоторые из формулируемых ниже ут- |Ждеппй остаются верными и для произвольного кольца с едя- щй, не имеющего делителей нуля. Отображение <p:7V0—- К >еделяот бесконечномерный вектор а=(а0, щ, , ап, ...), = К, п — 0, 1, который называется последовательностью. следовательность а совпадает с последовательностью — (Ьс,
bt, На ..., Ьп, ...) тогда и только тогда, когда an—b„, п = 0, 1, ... множестве последовательностей зададим операции сложения умножения, обозначаемые соответственно 4- п • и определяе- е равенствами а + 3 = + Ьа, а, 4- bt, . , а, 4- Ь«, .. (1 1) аф = -г й]&0, .. j- (1-2)
Ле] ЯМ1 iKo проверяется, что обе операции коммутативны, ассоциатив- н связаны законом дистрибутивности. Нейтральные элементы сложению и умножению, играющие роль нуля и единицы, еют соответственно вид z-(0,0,. .,0,. ), iz = (1,0,. ..,0,...), (13)
где 1ел тат на i п 0 п 1 является нулем п единицей кольца К. Для последова- Ы1ОСТП а=(ао, а1( ..., а„. . ) обратным до сложению элемен- i является — а = (— <га, — а,, ..., — ап, ...), так как а 4- (— а) = Таким образом, множество последовательностей с элемента- нз кольца К и с двумя операциями 4- и • образуют комму- ивпое кольцо К. Рассмотрим некоторые свойства коль- Свойство 1 Кольцо К является областью целостности. Действительно, пусть а £ = z и а=Аз, Допустим, что ! — наименьшие индексы, такие, что я, 0, д,ч*О. Тогда 2 аЛ^и-;—Л 7^
6* k— 0
следовательно, G + y + O-n элемент последовательности а р
отличен от нуля, что противоречит условию а • р — z.
Элемент а 1 будем называть обратным плене
Свойство 2 Если а = (а0, at, .. , а„, то а-1 существу-
ет тогда и только тогда, когда для д0 существуем обратный эле-
мент а0 в кольце К
Действительно, из условия а - а ' = « при а 1 — (с0, с,,
которая разрешима тогда и только тогда, коша существует зле-
мент Щ гюбого 'де <Г = ь,, , 1 иство Пусть £=(}, bt, b2. , Ь„, . ) Тогда для целого положительного m инеем р"‘ = (1, с , с., .с,„ ), = (5 [J (J (т рал) При этом cl = mbI, с„= mbt, + f„,,Xb!r
целое ти — (1, А,. сать р Дейс вателын ’.войство легко доказывается ипдукциеи по m метко 4. Пусть а=(1. а-, .... д„, ..), и пусть m — сложитегыюе число Тогда существует единственное, {i = , .. bn, ) такое что £'“ = а' при этом, иуоем обагаа- тви-тельпо, из свойства 3 следует, что .тленен гы послед»' эсти р определяются последовательно ил уравнений
Легко доказывается следующее свойство
Свойство 5 Пусть ct- (1, ...) и пусть щ—
целое положительное число Тогда (а ')"* = (а”)"' и по определе-
Из свойств 4 и 5 вытекает следующее свойство
Свойство 6 Если m, s>0— целые числа, то для нобого
= (t, а(, , а„, ) существует единственное р—(1, bt, ..
, д„, ), такое, что а”' — ps, т е р = а”1''
2. Формальные степенные ряды. Рассмотрим .тлемепт т — (О,
), , 0, .) с-. к, Нетрудно проверить, что
где единственная единица стоит на (Д.л-1) м месте Кроме того,
ио определению считаем, что г" = и. Любая последовательность
) может быть записана в ваде
')।у запись будем называть формальным степенным рядом, <оот
ветствующим последовательности а В этом равенстве а,^К нож
стснеилой ряд является удобным представлением любою элемеп
та ар^А. Отметим, что в этих условиях вместо г и и в дальней
Дна формальных степенных ряда, соответствующих поспело
ватстьпостям а и₽ —равны (а-=^) тогда и только тотда,
когда о, = Ь;, 7=0, 1. Операции сложения и умножения для
формальных степенных рядов определяются следующим образом
(1Ь)
<1 7>
Относительно этик операций формальные степенные ряды обрэ
зуют кольцо, изоморфное кольцу К
Каждой последовательности а. — (<iQ, аг, .
поставить в соответствие последовательность
тг/?г’,__) Формальный степенной ряд
) можно
-2©
(1 8)
•будем называть лкспоненциальным формальным сгеиеялым ря
дом последовательности а Если для таких рядов ввести онера-
дни сложения и умножения по правилам
(1 10)
то относительно этик операции множество экспоненциальных фор-
мальных степенных рядов образует кольцо К,
Для формального степенного ряда а — 2 OjX1определим опера-
цию дифференцирования £)( а) равенством
D(a) =
(1 11)
Ясно, что эта операция не выводит из кольца К
Далее, определим п ю производную равенством Р"(а) =
= 1){Г)п~'(а.}) п положим Z)°(a)=a. Для последовательности а =
— («и, «1, ап, ...) положим
5(a) =«». (112)
Используя это обозначение, запишем равенство
= 2‘5<O”W)j,
(1 13)
которое можно рассматривать как разложение Маклорена для ос
Дифференцирование обладает следующими свойствами-
1) ZXa-f- р) = /)(«.) +/)(£), (114)
2) /)(а p)=aD(p) + £D(a), (1 13)
3) D(a”) *= raa”_1Z)(a), где п — на1уралыюе число, (116)
Z>(a-') =-а-2О(а),
7)(а“”) “ — na_’“"‘/)(a).
(1 17)
(1 18)
В последних двух случаях предполагается, что а ' существует.
Свойство 1) очевидно Для доказательства свойства 2) при-
равняем коэффициенты при х" в обеих частях равенства В ре-
зультате получаем
(n + 1) 1} akbn
(k ~ 1) i^n
| 5} (n -k J- ^)akbn s-up
В первой сумме в правом части равенства делаем замену нпдеь-
сов / = /с+1 и полученный результат объединяем со второй сум-
мой. В итоге получаем сумму, стоящую в левой части равенства.
Свойство 3) доказывается индукцией по и. Дифференцируя
обе части равенства а а-1 = 1, убеждаемся в справедливости
свойства 4). Накопец, из цепочки равенств
Z)(a.~”) = 2)((а_,)я) = n(a_l)’’_1Z)(a_‘) = —па~ '
что для любого pa-
вытекает свойство
ционалыюго s = m/n и для любой последовательности а.— К, та-
кой, что S(a) = 1, справедлива формула
Z)(cf) = «a1
(1 19)
Действительно, /)((а')л) = zz(a’)’1~'D(a5), Z>((ae)”) = D(a'1) =
=. ma.m~'D{a>, откуда и следует формула (1.19).
Для операции дифференцирования D можно рассмотреть об-
ратную ей операцию интегрирования D9 — такую, что если
5(a) =0, то D*D(<x) = DD*(a) = а. Из определения операции D
следует, что
/>•<«)= 2
Кроме того, при 5(a) = 5(£) = О
D*(a+ ₽)=£>*(«)+ Л*(р),
Z>*(a D((J)) = a 0-.D*(Z>(a) $)
(1.21)
(1 22)
Докажем теперь формулу бинома Ньютона для последователь-
ностей Пусть г— рациональное число и /с е К Тогда
(1+и=2(;)(<
(1 23)
(1-24)
Прежде всею заметим, что
0(1 + кхУ — г(1 + kx)T~'D{ \ + А-д) = гк(1 + кхУ"*.
Огсюда, используя индукцию по п, получаем
WW = r(r
1)АЯ(1 + kz}r~n,
а гак кан 5(1 + кхУ~” — 1, то S(Dn( 1 + кхУ) = {г)пк\ Теперь,
используя формулу разложения Маьлорепа для а=(1 + А.г)г,
убеждаемся в справедливости формулы (1 23).
3. Число неассоциативных систем. На примере решения одной
комбинаторной задачи проиллюстрируем применение формальных
степенных рядов
Пусть q„ есть число способов образования произведений из п
сомножителей в пеассоциативной системе Если обозначить со-
множители через у,, у2. • Уп, то дп равно числу способов рас
становии скобок таким образом, чтобы при последовательном
вычислении произведения обеспечить на каждом шаге отыскание
произведения двух элементов системы. Яспо, что qz = 1. При
п = 3 имеем следующие варианты расстановок скобок- У1(угУз) и
^1Уз)у3, т е уз = 2 Для п = 4 имеем уДугСузуД), у1((у’у8)у1),
{У1У2УузУУ), (уАУгУУУу^ (У1У2>Уз)у^. т. е у4 = 5,
В общем случае при п > 2 имеет место рекуррентное соот-
ношение
Докажем (1.25). разобьем все возможные расстановки скобок на
л—1 классов в зависимости от положения двух пар внешних
скобок Если первая из этих скобок содержит J элементов, то
после расстановки двух пар внешних скобок имеем (р,, у2, ...
.y})(yj+t, ..., у„). Если фиксированы внешние скобки, осталь-
ные скобки можно расставить q//,,-) способами Просуммировав
эти величины но }, получаем общее число расстановок скобок,
равное q„
Рассмотрим формальный степенной ряд
(1 26)
где (в соответствии с (1.25)) иолатаем с/, = 1.
Для всех п^2 правая часть равенства (125) есть коэффи-
циент при а71 в формальном степенном ряде у2 Отсюда следует,
ч*то, умножая обе части равенства (1.25) па х“ и схммируя по п
от 1 до °0, получаем соотношение для степенных рядов q — x = q2.
Таким образом, имеем квадратное уравнение
для разрешения которого потребуется следующая лемма.
Лемма. Пусть а, р — формальные степенные ряды с дей-
ствительными коэффициентами Тогда из равенства ос” = где
п— натуральное число, следует, что а = [3 при п нечетном, а
= ±(3 при п четном
Если а = 0, то а" = 0, и из равенства ап = следует, что
^" = 0, т е [3=0, и, значит а = [3 Аналогично рассматривается
случай £3 = 0.
Будем предполагать теперь, чго а 0, j) ¥• 0. Введем обозна
чепие (о = е2я,/” для корня п-и степени из единицы. Тогда мож-
но записать
Если о’ не является действительным числом, то а— ]3 б>' =/= О,
так как а и имеют действительные элементы и а^О, j3 =/= О
Если п печетпо, то <;)’ является действительным числом тогда
и только тогда, когда j — п. Отсюда следует, что a ——0 Так
Если п четно, то ы* является действительным числом в двух
случаях, при / = и/2 и при J=n Так как соп/г = — 1 при четном
п, то имеем либо а = £5, либо а = — (3
Обратимся теперь к квадратному уравнению (1.27), имеем
(1 — 2(у)2 = ((1 — ЛхУ'2)г. Отсюда согласно лемме получаем
4-и-
(1-28)
Перед кру!лой скобкой выбран знак минус, так как Stq) ~ 0
Применяя формулу бинома Ньютона (1 23), получаем
окончательно получаем
4. Линейные рекуррентные уравнения. Последовательность
щ, и-), . , ип, удовлетворяет линейному рекуррентному урав-
нению (соотношению) порядка г, если существуют действитель-
лые числа а,, а2,
называемые коэффициентами уравнении,
(1 30)
Величины м», ц,, ..., ur_t называются начальными значениями
Формальным степенном ряд, соответствующим последователь
пости (1, и,, «/, , аг\ сеть многочлен степени г
Перемножая его с формальным степенным рядом
2
(I 34)
г, п 0, в произведен.ш а
выражаются через коэффициенты уравнения (1.30) а.,
, иг~! следу
Рассмотрим теперь многочлен переменной х следующего
/w= 2
(i «)
Разложим этот многочлен на линейные множители:
/(z)~ (z-lj'1 . (»-?.,)'*, r,+ ...+r»=r, (137)
«де Xt, .. , Ха — корпи многочлена /(х? из поля комплексных чи-
сел Так как
2 а3х’ = (1 — Xjzf1 ... (1 — XfeT)FA,
. (1 —Xftr)
(1 38)
Применяя формулу бинома Ньютона и вычисляя коэффициент
при х" в обеих частях равенства, получаем
2
2
(139)
1де второе суммирование проводится по всем решениям (st, s£, ...
. , «ь) уравнения s1 4- 4- $>, = га — у, >0
Можно получить другую формулу для и,„ если рассмотреть
правую часть (1.38) как дробно рациональную функцию и разло-
жить ее в сумму простых дробей Тогда
г? Ц (1 — Х,х) Г‘ = 2 S Vo (1 —
где 'fy — некоторые постоянные Отсюда следует равенство
в правой части которого внутренняя сумма представляет собой
мноючлен g,(n) степени, пе превосходящий rt— 1. Поэтому мож-
но записать
= 2
(141)
Если среди корней Xj, ?2, . , X» имеется единственный максималь-
ный по модулю корень Х»ч то из этой формулы получаем.
асимптотическое представление
и» -- gт (п) 1" (1 Н-
0 42)
последова-
иоследователыюсть (а(, а2, .. , ай, .. ) будем называть сумми
руемой. если для любого целого числа г 0 существует целое
число N=V(r), такое, что для всех n^N имеем аап — а1п = ...
. . = аг„~0. Если последовательность суммируема, то определена
сумма
2 “л = 2 $гх\
так как при любом г 5- 0 вычисление s, как коэффициента при
хг достаточно проводить для суммы а, 4- . .4- а.-,, т. е
2
— 0, к — 1 2, . Для последовательности (l + y^ 1 Ь
, 14-у*, ...) определено умножение, если коэффициент
г' в upon {ведении Ц (1 4 ?л) совпадает с коэффициенты
при х' в произведении JJ (t 1 уО при цекоюром конечном V
Из суммируемости (у,, ’(2. .. ,
горыи определяется вкладом П 0 1 Т<)
С во йс г во .3 Если (а,, аг, , ccft, ) — суммируемая по-
следовшелънопь и D— оператор дифференцирования, то
- ijJfe,) (145)
) г 1едует существование
такого п, что вычисление коэффициента при а' в
MO/IUIO проводить в I)
(ледователъпоетъ (ji, [J2,
) сумчируеча
11 совпадает ( i.o |ффициен son при г' в 2 Ь*
6. Логарифм. Пусть р — (<). Ь,, Ьг, . Ь,,
Логарифм L(a.) последовательности а= (1, ft,, ft2
£(а) HI I Р) - 2 <1Л15)
Ил свойства 4 следуец ’ио Licr.) hcci
теперь некоторые свойства логарифма
/Л/Лсе); =а 'D(a).
(1 47)
Из свойства 5 суммируемых последов.! гелыюсгеи вытекает
"(s '—- оф) 2 ~ Л(а)
JAa х) = £(а) -г /,(у)
/)(/ (^у)) - (ауЬТЛар = г/ 7Ла' + у-‘7Ху) = 1)Ша) + Л(уП-
;ai; как 6(7Ла))=0, бШа)+Л(у))- 0, то Л(ау) — 7.(<z)+ Му)
Свойство 3 Д.гл любого рационального числа г справ,со-
то равенство
(Аа ) * j/><a) (1 zi4)
a a 1 = 1 следует.
слелл’рт свойство 3.
С волство 4. Если На) = Мр). то a = р
рацио-
Ввсдем обозначение
— ,s(>
И<люлыуя свойство I уимируечости 3. имеем (1 -г
Отсюда следует, что у-’/Лу) =*• r( 1 -1- *)-7Х1 + р) Так как из
с войства 1 логарифмов следует, что Р(Л(у)) — у '7?(у), то по-
лучаем
/)(/Ду))-г(1 + р) 'ЫЛ + р)
( другой стороны, непосредственно имеем 1)(ГА\ — р) ) =
•^'(1 й р;“’/>( 1 + р) Таким образом, £>(£.(у)) =--D(£(l + р)г)
Из условия 5(£(у)) = S(£(1 4- £)г) =0 следует, что ) =
= L((l -t- ($)г) Отсюда в силу свойства 4 для логарифмов вытека-
ет, что
7 = (! + £)’.
7. Экспонента. Для последовательности = (0, Ъ.
, &п, ...) экспоненту £'([3) определим равенством
(1.51)
Корректность определения вытекает из свойства 4 суммируемых
последовательностей Рассмотрим свойства экспоненты
£>(£(£))
(1 52)
Действительно, из свойства 3 суммируемых последователь-
ностей имеем
О(Л₽)) = П»)2 =О(₽)А(Р).
Свойство 2 Рели Е(р) = E("f), то (J = у.
По условию имеем Р(Е([}))—Е>(Е(у)); тогда /)(£)£(£) =
= ZX’f)E('f). Так как £([})= E(f) #= 0, то Z)((J) — Diy) и, следова-
тельно, (5 = т, с учетом того, чдо — S(y) = 0.
Свойство 3 Если р = (0, Ь1; Ь3, то E(E([J)) =
= fl Если а == (1, at. а2, .. , ап, то EkL(a)) — а.
Из свойства 1 логарифмов и свойства 1 экспоненты имеем
Z>(E(E(p))) = (E(^))-*Z)(E(fi)) = (E^-'E^D^)
1ак как Е(Е(Еф))) = S4p) = 0, то £(£([})) — р. Положим теперь
<Zi = E(A(a)), где 5(а) — 1 Имеем Л(а,) = £(Е(£(а))). Отсюда,
согласно доказанному, Е(аЗ = £(а) Из этого равенства в силу
свойства 4 логарифма вытекает, что а, = а, т с. £(Е(а)) = а
Свойство 4. Если 3 = (0, Ь1( ..Ьп, .. ), f = (0 ь, ...
.. ,7„,...), то Е(р4"г) = Е(^)Е(-1).
Из свойства 2 лоюрифма и свойства 3 экспоненты имеем
lAEl^E^)) = Е(Еф)) 4- £(Е(у)) = $ + ?
Закии образом, E(E(E,(^)E(f))) = Ety 4- у). Из свойства 3 экспо-
ненты вытекает, что Е(£(Е,(^)Е(,у))) — E^Eiy). Сравнивая два
последних равенства, убеждаемся в справедливости свойства 4.
8. Формальные тригонометрические функции. Из свойства 3
логарифмов и свойства 3 зкепонепты следует, что Е(г£(а)) = а'
для любого рацпопалыюго г и а=(1, аи а2, ...) Будем предпо-
лагать, что равенство Е(гЕ(а)) = а’’ выполнено для любого комп-
лексного числа г. Тогда согласно свойству 4 экспоненты a'as =*
в= аг+' где г и « — комплексные числа Если S(a)=1, зо для
комплексного числа г имеем
Z?(tz') = D(£’(rZ)(tz))) = Е{1 А(а))/?(гА(сх)) = arza_|ZXa) — лхг_'/)(а).
Аналогичным образом, используя свойство 3 экспоненты,
устанавливаем, что для комплексного г имеют место свойства ло-
1арифмов 3 и 5.
Указанные обобщения дают возможность определить формаль-
ные тригонометрические функции. Для последовательности а =“
= (0, «1, <h, вп, . ) формальные синус и косинус определим
равенствами
-Е(-»» = 2(- D*
cosa _ 4- {F (ta) + za)} = 2 О*
где а’ = 1,i — мнимая единица- ? = — 1
Используя эти определения, положим
sec а = (cos а)-’,
tg а = (ып а)(cos а)-1.
Из свойств экспоненты следует тождество
Отсюда вытекает тождество
sec’ а = 1 4- tg4 а
(1 56)
(1.58)
Из определения sin а и соьа л свойств 3 и 4 суммируемых по-
следовательностей следуют равенства
ZXsm a) = cos a, D(cos a) = —sin a.
Ич этих равенств имеем
.Ok tg a) = sec2 a,
D(sec a) = sec a tg a.
(1.59)
(1.60)
(1 61)
Используя свойства экспоненты, можно вывести п другие со-
отношения для тригонометрических функций.
9. Задача Андре. Пусть d2, d2, ..., dn есть неьогорая переста-
новка чисел 1, 2, ..., п. Перестановку d,, d-
d„ назовем E-ne-
реетановкой, если d. > ds-, upnj четном и d’-, при / печетпом.
Аналогично перестановку dt, d2, ..d„ будем называть О-пере
'тановкой, если при j нечетном н при 7 четном
Заметим, что каждой Е-перестановке di, d2, - , dn ставится во
взаимно однозначное соответствие (^-перестановка п — d, + 1,
*<> iJl HI ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
вок kO 1, п — d„ + 1 Обозначим через b„ число А перастапо- перестаповок) dlt dlt .. , da при п 2 и положим ф, = совокупность из 2ЬЯ ^'-перестановок и ^-перестановок
io (О-пе; число 1 может ( отвегстЕ .cln разобьем на п классов полагая последовательно ..., dn = п При d. = п число <? перестановок рав- /?-лсрестаповок при d, — п не существует. Если d2~nt рестапопок такою тина пе существует, а соответствующее ^-перестановок равно (и--1 )Z>„_2, так как ь качестве ф )ыть выбрано любое ш чисел 1, 2, , п — 1, а число се- тующих перестановок ds, , da павпо />,- Вообще, .,=щ го чисто элементов, предшествующих и, выбкрл-
/" отся 1 ) способами, а количества вариантов для иересчаио-
(}ледова , dj п dHS, , da соответственно равны Ъ, и тельпо, общее число перестановок с dit.i = и равно •фп_?_1 Таким обранш. s'("! (1 62)
ПилагаЕ I (л отсюда получаем 2иг„. 2 (1 Ь3>
Расс мотрим формальным степешюи ряд а-- 2г„г” (1(4)
Из (1.6: пению >) следует, что а удовлетворяет дифференциальному урав- 2/)Ы-а+1 (165)
Из при пых тр, алыюе печетнь веденных выше соотношений (1.58) — (1 61) для формаль- игоиометрических функций следует, что что днфферепци уравнение имеет решение а = tg х + secх. Заметим, что sec.T имеют ненулевые коэффициенты соответственно при ах и четных степенях д По.пому 1g7 J Q,(166) чес .г (167)
-В IlJHh тах 10 и 11 <>УД}т ио.чуnviiu язньк формулы для чисел еп.
, t форматьпьп стсикиныь ряды
10. Числа Бернулли.
«=(1. М2, 1/3, 1/(?г+1), .) и соответствующий ей экспо-
ненциальный формальный степенной ряд
Для лою ряда су: meciBjei обратный ему, ноотому (in»
Коэфффициентьг > мулли. Из равенст 9П, п — 0, 1, будем называю числами Вер- ва а-1 а — 1 следует соотношение 2())d-is"-‘ = (|И>
где f>„, а — СИМВОЛ соотношением opt из него следует р Кронекера Кто соотношение будем называть "огоналъности для чисел Бернулли При екуррентное соотношение для чисел Бернулли:
Вп = л21,11 = 2,3,... (170)
Рассмотрим фс £(.т) — 1 путем ул ниц). В смысле зЫ = CF(z) — 1)/д CTBV (1 68) »рмальныи сгелеымои ряд е(х), полученный из геньшения показателей степени при х на еди- ного определения будем понимать и запись : Ясно, что е-1(д) существует и согласно равен- (1-71)
В силу очевидною равенства
йз равенства (1 71) получаем
(1-72)
Из ранено на (I 72) вытекает, что
Гаким образом, равенство (171) мо;кет быть записано а сле-
дующем виде:
Ц.78)
можно получить следующее (.отношение для формальных сте-
пенных рядов-
с tg z = г_’(2г.г) — e-'(Aix) — it.
(1 74)
Возвращаясь к формальному степенному ряду (1.66), полу-
ченному прн решении задачи \ндре, из равенства (1.75) иочу-
Числа Бернулли ясно (ьзуются ханже в следующих формулах
обращения:
(I 78)
Доказательство основано на форм)те (1.69) и осуществляется
прямой подстановкой значений
другое
ч одного равенства в-
11. Числа Эйлера. Определим однопара метрические
)йлера /', i.ak коэффициенты формального степенного ряда
Стемеимои ряд в девон часто равенства ociaeicH неизменным при
замене х на — х Отсюда следует, что в нравом части равенства
отличны ох пуля только коэффициенты нрп четных степенях а
Таким обратом, E.,l+t =0, А.- = 0, 1, ..., л
-2л
(I 80)
Из (1.80) следует соотношение дтя чисел Эйлера;
(181)
где б _й — снмвот Кронекера и суммирование ведется до обраще-
ния слагаемых в njan. Cooinoiueinie (1.81/ позволяет потхчить
стсдующие формулы обращения
(1.82)
(1.83)
равенств (1.54), (1 55) и (1 80) находим
(1 84)
Теперь, возвращаясь к задаче А.ндре, из равенств (167) и (1.84)
получаем
§ 2. Производящие функция
1. Определения. Пусть С — множество комплексных
чисел,
от к еомпожгпелеп. Рассмотрим последовательность функции
<р(/), <р(О), .. , фп(4), ..., (2 1)
заданных- на множество G и принимающих значения из С. Бу-
дем называть асу последовательность базисной.
Рассмотрим последовательность функции от к переменных
(2 2)
и принимает комплексные зиа-
в ряд вида
..., а«), имекнцхю единственное разложение
“ 2 <- ‘>'я,
. Яь) =-
., a*) (plt (t),
производящей функцией последовательности (2.2) относительно
оазисной последовательности (2.1)
{-.ели вместо иостедоватетвлост (2 2) рассмжрпнать последо-
eaic.i ьпость
ая, «1, ..., а„, (2.4)
эдемешы 1.(норой суть комплексные числа, то производящая
функция последовательности (2.4) с базисной последовать гъ-
иостью (2 1) имеет вид
/(0 - 2й«»<Рп(0.
(2 4)
НО- 2
F(t) -
отвечающая базисной последовательности
Если элементы последовательности (2.4) и переменная t при-
нимают действительные шачегптя, го производящие функции
(2.7) и (2 8) являются степенными рядами функции fit) и Fit)
соответственно Известно, чю областью сходимости стеиенпого
ряда является интервал i—R, R). Число R > 0 называется ради-
усом сходимости. Дия любого /<= ( —Л, R) степенной ряд сходит-
ся абсолютно, а на отрезке f—r, rj, r<R, on сходится также я
равномерно. Следовательно, его сумма для всех значений
е(- R, R) представляет собой непрерывную функцию от t. Па
отрезке [0, f], где его можно почленно интегрировать,
причем радиус сходимости проинтегрированного ряда совпадает
с радиусом сходимости исходного ряда. Внутри области сходи-
мости степенной ряд можно многократно поч leiuio дифферен-
цировать
Если функция fit) разлагается в степенной ря г вида (2.7),
то этот ряд является рядом Тейлора для функции fit) н точке
t, = 0 и, следовательно,
«>. --Д-/*"'(0), «-ОС (2 10)
где /‘"’(О) — производная
порядка функции /,/) в точ-
Для радиуса сходимости степенного ряда известно следующее
выражение через верхний предел соответствующей последова-
Т( IlJlOCTIl- _____
jR ~ 1 / inu у I «„(. (2 11)
JI I разло пения
(1 + /)» = V [П) (2 12)
1-дн а — действительное число, следует, что при |il<l функция
<1т^)а является производящей функцией последовательности
с га.
ь1р [ “) = а (а — 1) ... (а — п 1)'п’
et' - 2 ₽" -£-• <213>
справедливою для веек действительных значении I.
Из равенства (2.12) следует, что upu Id < 1
Почленным итерированием этого ряда получаем выражение для
производящей функции
(2 15)
? (О i Н11-
(2 16)
102 ГЛ Ш НРОИ-ШОДЯЩИЪ Ф' пенни
Если зад. днусом СХОД! IMOCTH ряда А1 м производящая функция ^(р) = 2 М” (2-17)
с радиусом производят» сходимости ряда г, причем |а„| <?, то оущес1вуег 1Я функция <р (/(')) (2 18)
полученная имеет полон: 3. Разбнс в ряд, докая подстановкой ряда (2.7) в ряд (2 17) Ряд (2 18) лтелъныи радиус сходимости. •ння чисел. Используя возможность подстановки ряда <ем справедливость разложения » ™ (^')
<)_, П (1-1- amt) = 1 — У — : р- th (2 19)
при 1 f 1 < 1 Itl <• 1, f.rl < юм\, логарп п |ж| < 1/2. Бесконечное произведение в (2.19/ при '1 сходятся п имеет по юииггельпое значение 11оэ- 1фмируя. получим
lnF(; r,t) = 2ln(1 + ,=/)_ 2 V(_
Из формул1.| ( (2 16) следует, чю 1П/ <2 20) Л Hi-*’)
при |.т1 < 1/ пенства (2.2 разлол.епиз 2, Id < 1. ’Гак как ряд, стоящий в правой часш ра- :0), сходится при Ы < 1/2, Id < 1, то существует 1 (г, d = '> = S а,, (ж) tk. (2 21)
Из очевидце ►го соотношения Г{х, d = (1 + xt)F{x, rt) следует, что 2 «ь (^) I1' =- (1 ф xl} «а U)
Прправпива равенства, i я коэффициенты при 1“ в обеих частях последнего триходнм 1, соотношениям
причем < di) — 1. Отсюда имеем
Л, (.7 ’ .-„ц-Л (*-->*)’ Д = !'2’ ’ (2М)
•что сог.т 1“;1ССМОТ] асумся с равенством (’2.19). новиы теперь комбинаторный смысл равенства (2 19). зим числа Т„*-= 2 1, (723) !*,+•>«.,+ ...+чвп—п 6,-6.,+ .. .4 bn^k
числа п где 6,, 6 0 1. 1 = 1, ..., п. Всякое представ теине натурального в воде п — 1б( + 262 + ... + п6к, , fit —целые неотрицательные числа, 6, +...Ч-6п — к,
называв МСНОЛЬЗу Из фору ла А. ра СОМ НОЖИ дипся, ’ сея разбиением п па к слагаемых (б,--число единиц, емы\ в качестве слатаемых, б2— число двоек и т д). тулы (2.23) следует, что Vn К равно числу разбиений п яличных слагаемых. Непосредственным перемножением телей бесконечною произведения в (2 19) нетрудно убе- JJ (1 4- .т'Ч) =- 1 I- V 2 I’n4i*rn. (2 24) *-in=(*+i)
О ।«. ю да < 1ед\ег, ч io иля А > 1 < /о |l-±)(l-l‘) (!- И ' (‘“5) П-ф 2 )
превосх< иачим через число разбиения п на слагаемые, не >дящие к. Ясно, что /?lh> = v I.
II i этой ) равенства сюдует. что для /i 1 (1-+) <22б>
Ti пера ) и равенств (2 25) и (2 26) вытекает равенство я” ’ “ ’'«(‘J ).<.’ <2 27)
которое выражает содержание известной теоремы.
r.-r. m производящий -PS ш,unit
Количество разоиений чист п ( ( !| на k
мые, не превосходящие к
4. Д пиелевы множества многочленов. Последова гельностп
<ц, а., а , ... поставим в соответствие совокупность много-
членов
Рассмотрим иролаиодящу ю функцию
гц}- 2
и будем предполагать, чю ряд к правоц части имее1 радиус схо-
димости Л > 0 Для ироизводящен функции
из (2,28) имеем
Из (2,29) нъкскает, чю Fix, F удовлеiворяеi дифферепцна.чыю-
интегрирование которого также позволяет получить выражение
(2.32) для Fix, t). Множество многочленов, для которых цроизво
дящая функция имеет вид (2.32), называется иппелевын
Последоимелытость чисел Бернулли Вл
задать производящей функцией
?п, ... можио
ije i—действиге кивая переменная Многочлены Бернулли
oopajvioi аинелеио множество, тан кан
(2-“)
Л1 (2,33) „ (2 35) следуе), чю для n> I
й„(0)-й„(1)- Вп.
Отсюда, используя (2.34), получаем рскурреицюе cooinomertue
для чисел Бернулли
в„ - 2 (") В„-„ п-2.3,... (2 36)
совпадающее с соотношением (1.70).
Числа Бернулли можно выраигп, через числа Vopiana За
метим, то
t h,[t (/-4)J
(2 37)
Отсюда следует, чю
Подставляя это выражение в ряд (2.37) н меняя порядок сумми-
рования, чю возможно при достаточно малом I, получаем
О, сюда следув! формула
а —\0 1 ...
(2.39)
торою рода пчеег место вы-
io из равенства (2 38) следует формула
(2.40)
Выражение соответствующей яромизодящей функции для чи-
сел Стмрлиша первою рода имеет вид
где Ifl < 1. Действительно, умножая обе части равенства (2 41)
на хк н суммируя но А от 0 до <», получаем
Отсюда следует, что числа з(п, к) удовлетворяют соотношению
определяющему числа Стирлинга первого рода.
Последовательностям, определяющим аняелевы множества
многочленов, можно придать комбинаторный смысл. Рассмотрим
некоторую совокупность преобразований «-множества X, причем
через ап обозначим число преобразований этой совокупности,
не имеющих неподвижных точек. Ясно, что если А„(х) — много-
член вида (2 28), то общее число преобразовании рассматривае-
мой совокупности равно 4„(1). Если u„(hn) -- число всех преоб-
разований (подстановок) «-множества без неподвижных точек, то
= 2 С)
Применяя к этим равенствам формулы обращения (4 19) и (4.20)
гл. I, находим
5. Инволюции. Подстановка сюпеии п называется инволю-
цией, если она принадлс/ьит цикловому классу
.. п п;.
где а» а„ =» 0, т ₽ может содер,катъ только циклы длины
1 и 2 Обозначим через 1К число инволюций степени п, чере i J„ —
число инволюции без единичных циклов, примем нолжаем Jn — О,
если п — нечетное число. Очевидно, что
Пмсо! место рекуррентное соотношение
Рассмотрим производящую функцию
'ТО-
ио п от 2 до о», получаем дифференциальное уравнение F'il)
•==/f(t). Интегрируя его
получаем
начальном условии F(0)=1,
(2 46)
И) формулы 12.46) получаем
и — нечетное.
(2 4»)
Подставляя (2.49) в (2.44), приходим ь формуле дтя числа инво-
люций степени п;
(2-50)
Г r ITI ПРОН .ВОДЯЩПГ Ч>\ I1M1I1II
6. Регулярные функции. Функция /и) комплексного перемен-
ного ~ называется регулярной. в области I), являющейся связным
открытым множеством, если ома определена в этой области и в
окрестности каждой точки этой области разляжется в сходящий-
ся степенной ряд. Он представляет собой ряд Уеилорц функции
радиус
й определяется m с
Например ряды 'Гейлора
.к/?.
/(г) — Xi сп (z г«)п,
сходящийся в этом кольце Члены этого ряда с положительными
показателями степени образуют
сходящийся
дящийся при Is -• :-01 > .
ведтива формула Коши,
где С — простои замкнутый контур, i
кольца я охватывающий точку s0 Обх<
против часовой стрелки Коэффициент
лежащпн внутри
разложения /С‘) в ряд Лорана в кольце j < 1з — sj <Н называ-
ется вычетом этоп функции и обозначается с, = выч /(z), если
— изолированная особая точна опютпачпого характера.
Пусть функция /(z) регулярна в области, ограниченной п|м>
г toil замкнутой кривой С,
.пгроваипых особых точек
ты /и) относительно он
за исключением конечною числа изо
z,. . .... z,, и /Д , с'~{. , с1г/ — выче-
Например, функция f (s) - (--------------~
следующее раз.Ю/ьенпе в ряд Лорана для 0 <
- 2"-
Умножмм обе части последнего равенства на Г и просуммируем
от 0 до оо. При достаточно малом I п фиксированном R можно
поменять порядок суммирования к интегрирования В результате*
4(/'г
два полюса в точках
ни
При достаточно малом I имеем z, — z + 2/2 — ,.z; = —(i + z I-
+ i/2) +. г, e. первый полюс леяпп внутри контура ияте1риро-
вания, а второй—вне контура при соответствующем выборе Н,
Таким образом,
F (х, t) — выч
Известно, что если а—простои полюс функции —
<₽(а) 0, ф(д) = 0, ф’(а) 7== 0, то
Применяя эту формулу, получаем /(..г, 2) = Подстав-
ляя значение zh приходим к выражению для производящей
функции;
7. Ряд Бюрмана— Лагранжа. Рассмотрим заданною при помо-
щи ряда функцию
Если G^O, то существует достаточно малая окрестность точки
z=0, в которой <р(х) принимает каждое значение один раз.
На множестве этих значений существует функция z(ic) такая, что
<p(z(tp)) = w, ее называют обратной к функции <p(z). Если обрат-
ная функция z(w) удовлетворяет условию z(0)=0 и функция
f(z) регулярна в окрестности точки z = 0, то для функции /(з(п,’))
в некоторой окрестности точки iv — О существует разложение в
степенной ряд
— /(О)
(2 61)
коэффициенты которого опредечяются формулами
Ряд (2 61) называется рядом Бюрмана — Лагранжа
В качестве примера рассмотрим задачу отыскания ряда Г>юр-
мана — Лагранжа, когда
8. 1 рафы и деревья. Графом Г
емых ребрами. Если х. 7—Л, и?—tj, р) = И , то
ребро н; соединяет вершины .г и 7- иди и tttittite
Чередующаяся иос.'Щдонателъность вершин н ребер х
пар верянш. яазыв»
&1I и (г. инцидентно .г,
соединяющем вершины
* .л, называется никлом.
пена цепью
верш н'1.
к ребрами в корне, к<
.',->0, i=l, .. таким, что/( + ...-'-у* = п — j Действительно.
Tz’/i/f!число способов выбора корня в распределений
п — I остальных нсршш1 по к деревьям с чпслачн верптя jt. jh .
.., j... составляющих исходное дерево. Общее число таких де
ревьсв равно гр,- Перемножая эти величины, деля
на Л! и суммируя по всем ... ik. ло.'1учаечтребуе>цюформулу.
комбинаций
Рассмо трим иролэво щщпе функции ’(Ю.)- г,.т^- (2 1*)
Ка/кдо: поставить 1Х|=и. Д. В слое Аг0 глины, им вершины, Вершины отображен ^р(з-) = х‘, дуег, чю) му корневому дереву с фиксированным корнем можно в соответствие некоторое преобразование <р: X Хг ля этого все вершины разобьем на слои Х'с, Хь . , Х>. находится корневая вершина, в слое X, находятся вер- еющие общее ребро с корнем. К i-му слою относятся имеющие общие ребра с вершинами (/. — 1)-го слоя, последнего, h го слоя являются концевыми. Теперь :ие <р определяется следующим образом для геХ< где г'еХ,-,, а х и х' имеют общее ребро. Отсюда сле- •J.k') < гп п". Теперь из неравенства
следует, ч ствеиной го ряды (2,6“) и (2.68) сходятся при с< t/е Пепо<ред- проверкой можно убедиться, чю
'*Ю“я2Д+ i г«- (2Ь,)>
Из равеас тв (2 66), (2 68) и (2 69) следует, что ,(>;()- дГ*И, 4-1.2... (2 70)
Из равенг лв (2 68) и (2 70) с учеюм равенств - 2 ' п(/*). « — 2 3,. h 'ДО) 1, г(.,;0) с
находим
г(-с) -- г>1^‘
ИНЫМИ C’l швами, г(д) *довлетворяе) функциональному уравнению
1 (х) = хе
Положим и: = х, z = iix), ср(з) = re-s, /(z)=-r. Тогда из фор-
мулы (2 62) следует, что
Следовательно, из формулы (2.61) с учетом равенства Н0) = 0
находим
>(>) 2
Таким образом, число корневых деревьев с п помеченными вер-
шинами дается формулой
Дерево с помеченными вершинами, на одна из которых не
выделена, называется свободным Число свободных деревьев с п
помеченными вершинами равно
так как каждому свободному дереву с п вершинами отвечает
ровно п корневых деревьев, определяемых выбором корневом
вс рпгииы
§ 3. Метод дифференциальных сравнении
При решении комбииаюрпых задач церечиелшечыюго харак-
тера часто используется следующая схема. Для отыскания числа
некоторых конфигураций из п объектов с к свойствами ид
непосредственных комбинатор шах соображений составляется ре-
курреитноосоотношениеДк = ср(Д0 0, Л, „,
ной производящей функции F (х
1 к). Для двой-
с нспользова-
иием рекуррентного соотношения выводится дифференциальное
уравнение — обыкновенное или в частных производных. Решение
:ио го дифференциального у равнения при некоторых начальных
условиях позволяет определить функцию Fix, у). Разложение
Fix, у) в стеленной ряд позволяет найти искомые величины Д„, к
Проиллюстрируем применение этой схемы в копкретном слу-
чае при определении числа перестановок степени и с данным
шелон возрастаний.
1. Возрастания. Пусть а2
элементов 1,2,..п, л пусть дл
— перестановка < тенепи п
Лара элементов а, и ni;.t образует возрастание, если а, = 1 Писю
возрастаний к этой перестановки определяется равенством
Обозначим через А. Л число перестановок степени п с к воз-
ращениями В перестановках ч. п— 1, ..,1ц 1, 2,_________, п число
возрастаний равно соответственно 0 и п — 1. ’1ак как только эти
перестановки обладают данными свойствами, ю
Дтя величии Л, h имеет место рекуррентное соотношение
Действительно, любая перестановка степени п с к возрастаниями
получается из некоторой фиксированной перестановки степени
п— 1 из элементов 1,
п — 1 путем расположения элемента
п на одно из п мест в начале, между элементами перестановки
степени п — 1, him и конце. При этом имеются следующие четыре
случая-
Р Элемент и распилят ажея в начато, nepecianoBua степрпи
п— 1 имеет к возрастании.
МИ, НТО Щ
раетапнй.
перестановка степени п — 1 имеет к — 1 воэ-
щ+1; перестановка степени п — 1 имеет 1с возрастаний.
•пт п располагается в конце, перестановка степени
п— 1 имеет к — 1 возрастаний.
Определение числа перестановок, оiвечатощцх каждому
этих четырех случаев, приводи! к равенству
которое совпадает с соотношением (3.4)
Рассмотрим производящую функцию
/»-
С использованием рекуррентного соотношения (3.4) можно вы-
вести следующее дифференциально-разностное уравнение
(3.6)
Действительно умножая обе чаент
рол)чаем
Производя необходимое свертывание выражений, получаем урав-
Рассмотрим теперь двойную производящую фу пинию
2 л.
(3 7)
Из начальных условий: (3 3) вьпенае!, чю
Отсюда следует равенство
~(F(z,z) — z) - (1 — х) £(жЛ z)) - t^(;f(rz)). (39)
Проводя несложные преобразования и понятая
F-F^.z), F',^^F(z,z), Fi-^F^z), (310)
получаем следующее уравнение в частых производным
Uz—^(l-a-JA'-^’-i -0 (ЗЦ)
Произведем в зюм уравнении тамепу переменных с
равенств
ПОМ 0ЩЫ&
U — 111 Д 1 — 1),
’’отатая / ; -- ~-1 (а, /• 0 - '—I-' (i ;) и применяя правила
&•*
.чяфферепцирования сложных, функции имеем
Введем в рассмотрение частный длффереициа i
уравнение с ра пслятощимпся
(:.ад
ГГос.те замены и-= е'
интеграл приводился к виду
Интегрируя дифференциальное уравнение
Г. 18)
у)С(н(а г))
(3 !’•)
1-(1-1)(?{г(т О»
Для IrI г < I, |z| г < 1 имеем I те!(' 1 I Ые’г ] [ох омv,
применяя формулу разложения бинома Иыогоиа для а-----1 для
5 з. мгуго 4 in-Ki>i:pi:inniA,ibnblx Я'нипшцй
118
j'i in ЦРОПЗВОДЯ1ИИ1-' филлин
возрастаний и l убываний, то очевидно, что
Обозпачим через Aik, I) число nepecianonoi. степени п, име-
ющих к возрастаний и I убываний, причем к и I удовлетворяют
условию (3.25). Так как имеет место о 1евидиое равенство
то из соотношения (3.4) вытекает, 'ио
Из Э1Ш0 равенства счетуег, что
Равенство (3.28) можпо получить и непосредственно. Действи-
тельно, перестановке ал, аг, а, поставим во взаимно одноэнач-
ноо соответствие перестановку Ь{
раню, Отсюда и следует равенство (3.28).
Выведем теперь другое рекуррентное соотношение для чисел
4<А;, I). Калщая перестановка элементов 1.2.. ., к-
может быть получена из перестановки элементов 1
путем помещения элемента к 4-1 + 1 па очно из к -
Число перестановок степени к 4-1, дающих перестановку степени
/cH-Z-l-1 с к возрастаниями « I убываниями при помещении эле-
мепта к h / + I на первое и последнее места соответственно рав-
так, что элементы, сюящие слева, образую) г возрастаний и s
убываний, а элементы, стоящие справа, образуют 1с~г—1 возра-
станий и I ~ s — 1 убываний; 0 г =£ к — 1. О «S s I — 1 Соот-
ветствующая перестановка степени к 4-1 4- 1 имеет к возрастаний
и I убываний Элементы для перестановки степени г 4- «4-1,
1, можно выбрать (
стоящей слева
способами, а число способов образования перестановок слева и
справа от элемента k 4-14-1 равпо соответственно А(г, $) п
А(к— г — 1, I — ч— 1). Заметим, наконец, что в соответствии с
равенством (3.26) можно положить А(0, 0) = 1 Из этих сообра-
жений следует рекуррентное соотношение
А (к, I) = A(k,l — 1) + А (к - 1, /) 4-
н *SX(, "t-t1. И-»)
(3 30)
)аоипой pin сходятся абсолюто
I I . • 4 I ,,1 i 1- I 4/-
равномерно для всех
сходится (акже при
|.с| I < 1, Izl < г<- 1 и 1^1 < 1/г, т. е., в частности, он сходшси
при у = 1. Умножим обе части равенства (3.29) на г\г/.з*+7(/с *г IV
п просуммируем по к и I ог к — 1 до °° и от I — 1 до В ре
(3.31)
у. з) есть мастная нронзвотая Ф(.г, у, z) но з Пола
z), Фх= Ф (1, у. z), mi равенства (3 31) поту
чаем дифференциальное уравнен не
2) в виде
перепишем
•Ра.зто'.кив .чевчю чаеп. последнего равенства на простейшие дро
Инт» |рмруя это дифференциальное \ равнение, находим
(3.33)
лучаем выражение для 6’(х. ?/)• С(х, у) = у/т. Подставляя это
выражение в равенство (3,33) и проводя несложные иреобразова
Ф(г. у, г)
В равенстве (3.7' поменяем порядок суммирования и сделаем
1ен\ переменном п ла I с помощью равенства п = к~г1+1.
120
ГЛ ill ПРОИЗВОДЯЩИЕ фХПЬЛШ!
Тогда с учетом равенства (3 26) получим
г>(ГПТ7Т)Г
Теперь ju равенств (3 30), (3 34) и (3 35) следуец чю
что согласуется с формулой (3 21).
§ 4. Метод линейных функционалов
1. Коэффициенты Гаусса и числа Галуа. Пусть V,, есть п мер-
ное векторное пространство над конечным полем GF(q), содержа-
щим q — рг элементов, )де р— простое число. Поле GF(q) назы-
вается полем Галуа.
Лемма I. Число систем из к лииейно независимых векторов
в пространстве Fn равно
w, k=(qn-l)(gn-q) . (qn(4 1)
В частности, число базисов пространства V,. равно
ivn — (q'— 1)(д" - q) . .(q“- g"-1). (4 2)
Пусть г,, v,, i\— система к нннеГшо независимых векто-
ров в пространстве V,,. Вектор у, =5^=0 выбирается g‘—1 способа-
ми. Вектор типейно не выражается через р[т т е. может*
быть выбран q‘ — q способами, и т. д. Наконец, вектор линей-
но не выражается через векторы п,, ..., v\_t и, следовательно,
может быть выбран g“ — qk~' способами. Перемножая эти вели-
чины, получаем (4 1) Формула (4 2) вытекает из очевидного ра-
венства ?/;„ =-w„ ,
Лемма 2 Число подпространств размерности i-~'k
просгранст ее V, равно
М _ (/' iXg"'1-!) (^41-1)
Ы> (? -1) - 1) <?-1>
пашваются коэффициентами I аусса Примем, что
|oj — 1 Согласно формуле (4 2) число систем из к линейно не-
зависимых векторов в фиксированном /с-мериом подпространстве
пространства Г. райпо (д'— 1). .(<?* —д*-1) Так как число
к мерных подпространств равно , то чисто cnciew из к линей-
но независимых векторов в нрострацаве Г« равно и,^ =*
§ . МЕТОД ЧИНЕННЫХ ФМ1КЦИ0НТЛ0В
421
Из форм\ ты (4 1) следует равенство
(<;• - WTO (г-У"1)- [)],(?* ~ W -?) ••
..
У( которого после сокращении вытекает формула (4.3).
Коэффициенты Гаусса удовлетворяют соотношению
которое сяед\С1 из формулы (4.3), гак как
зпачает, что число /с-мерлых подпространств в
равно числу (п — /е)-мерных подпространств
иростраистке
] 1еиосредс1непио из леммы 2 вытекает следующая чемма
Лемма 3 Общее чисто подпространств пространства 17„
Лгч ма 4. Коэффициенты Гаусса удов i отворяют t отношению
(4 (•)
Щсп. А’ — векторное пространство над нолем GFiq), содер-
жащее г элементов. Рассмотрим линейный оператор A Vn~* X
осуществляющий линейное отображение пространства V„ в про
странство X Если с,, щ, .... vn— базис пространства V», то оно
разор А единственным образом определяется заданием векторов
являющихся образами базиса к,,
и прштад-те-
можно задать х" способами, то число операторов А равно х"
Определим число операторов А другим способом Выберем в
пространстве V„ подпространство 1У* размерности к, 1к < п
Вычистим количество операторов 4 для которых Wk является
ядроу. т. е. совокупностью векторов, отображающихся операто-
ром 1 в нулевом вектор пространства А’ Не ограничивая общно
чти, считаем, что векторы щ, .. , к* составляют базис W„ и, еле
Довагельно, Atx — 0, . ., Avk — 0, где 0 есть нулевой вектор в X
В качестве вектора 4щА1 можно взять любой ненулевой век
Т0Р пространства X, и, следовательно, число вариантов выбора
^гото вектора равно а — I Дтя выбора вектора ЛсК а имеется
Г I 1И производящие фмп гиш
т — q вариантов, причем каждый из векторов не является куле-
вым и линейно ле выражается через вектор и т. д. Наконец,
в качестве вектора Ло„ можно взять любой ненулевой вектор,
не принадлея.-ащий произвольной плоскости, построенной на век-
Число способов выбора равно x — q' “
торах Avh
Таким образом, число линейных операторов, v которых ядром
является фиксированное подпространство И*, равно
. !(»- 1) (г - 9) . Г-'"’). 1.
1, i^„
Умножая эту величину па число способов выбора И А. равное
L , и суммируя по всем к, подучаем правчю часть равенства
Для всех действительных значений z формула (4.6) следует из
известного факта совпадения двух полиномов, если они совпадают
при всех натура гьных значениях х
2. Линейный функционал. Рассмотрим бесконечномерное век-
торное пространство Р, элементами которого являются все поли-
номы с рациональными коэффициентами. Базисами являются сле-
дующие последовательности полиномов-
q — целое положительное число. Под линейным функционалом L
будем понимать линейное отображение L: Р D, где D — множе-
ство действительных чисел Из линейности ф\ нкциоиала следует,
что он полностью определен своими игаченпями на элементах
базиса Р
Возьмем базис вида (4 8) и рассмотрим лишними фупкциоиат,
заданный системой равенств
L(P (z)) ~ 1,
d 10)
где Р0{х'> — 1 Вычисляя значения функцнопя ia L or обеих ча-
стей равенства <4 6), находим
Из равенства (4 5)
(12)
Воспользуемся этим равенством пя ,(оказа1е.1ьства следующей
теоремы.
J Z/ля чисел 1 о tya имеет .место рекуррентное со-
G,+1 = 2G„ + (g’-l)G и - 0. 1 .. (413)
Для до1.азазельсгва формулы (4 13), соичаеио равенству (4 12),
Введем лииеиным оператор Dq.
DctP(')^-^(P(qz)-P(p:)), Р(Р)ЕЕР
оператора
(4 15)
и оператор
дан нроиэ-
)) + (4 16)
оправляется равенством (4 9).
Таь как последовательность (4.8) является базисом, то из (4.17)
вытекает (4.1b), а следовательно и (4.1;>). 1аьим образом, для до-
казательства теоремы достаточно убедиться в справедливости ра-
да следует равенство т/,г(х)=/,.х.(г) + 9 Р,(х). Применяя
лор L к обеим частям последнею равенства с учетом формул
(4 18)
2IAP (х)) 4-Z(DgPn(x)) = 1 + q”.
(4.19)
Из '4 18) и (4.19) следует (4 17) Теорема доказана
Для чисел Галуа рассмотрим производящую функцию, задаи-
В'ю формальным стспепным рядом
(4.20)
юнзвоцяшие функции этою типа инода называют производя-
Производящая функция Эйлера (4 20) для чи-
где бесконечное произведе.ние понимается как формальный сте-
пенной- ряд после соответствующих перемножений.
В равенстве (4 16) заменим Р(х) на DtP(..r). В результате по-
лучим
AlW’(a:)) = 2L(Z),P(z)) + L(Z^Z’(x)).
Полагая P{r) = с , из равенства (4.22) имеем
(?’-W) = 2(?‘- 1)Ш’-‘) + (?‘- 1)(ф:-‘-
Отсюда, вспо’п.зуя формулу' (4.12), получаем
полу член функциональ-
но.
Применяя соотношение (4.23) многократно, приходим к формуле
3. Свойства коэффициентов Гаусса. На пространстве поли-
номов Р с базисом (4 8) определим последовательность линейных:
функцконалов
которые заданы равенствами
('• 26>
Р ччеет место
। iini;fliiu\ i MiKLiiioimoii
Достаточно убедиться в справедливости равевова (4.27) для
[ивоыов базиса (4.8) Р, (х), п = 0, 1, . Вычислим значение-
фупицтч’яача от обеих частей очевидною равенства
р‘, к — п,
7лир„(4)_ 1, A п--1. (/,28)
(о, п п 1.
I стороны,
{(}", / /I,
чЧ^(Р„0)) ' .(<))-Ь, A-nit. (429)
(О, Д н. /г -1- 1.
Теорема 3 Для коэффициентов I'ayciu тп/нгведливы соотно
uieuitJi
В равенстве (4.2
получаем соотношение (4.30)
очевидного равенства (</"— 1)61г
имеем ((А* —
Путем многократного приме нения соотношения (4.31) no.n-
(.оотношение (4 30) vo-i>et быть ташке шиучеио путем рас
‘мотрепия некоторых подпространств пространства V, над полем
(‘ki.q}. Пусть и,, , 1 „ - базис пространства 1, н И.,-] — его
’'одпространство, натянутое ия векторы о,
А’-.мериое подпространство пространства
Имеют место два
есть подпространство
126
J JI III ПР0НоНОДЯЦ1)И ФИ1КШ1К
пространства размерности к — 1 Число таких подпрост-
ранств, согласно формуле (4 3), равио^” -
Случай 2. Подироорапство V» не содержит прямой, патя-
Hvroii на вектор V.,. В этом случае проекция Vk на Vn_t вдоль
прямои v, есть подпространство Иф размерности к пространства
Тф_1 В этом случае V» можно получить, выбирая базисные век-
определяющие Wt, а затем к каждому вектору
добавляя вектор, кратный и„ Пространство Й\
п —11 , .
сносооами, а кратные векторы добавить д
торы 'Г,
можно выбран.
способами. Таким образом, к мерные подпространства Vn можно
nocipoHTb
способами Отсюда и стедуот со-
отношение (4.30).
4. Биномиальные коэффипиепгы. В этом парат рафе мы всюду
предполагаем, что (/>2. Однако полученные формулы сохраняют
nt формулы (4.3) получаем
0-32)
т е. коэффициенты Гаусса при у — 1 совпадают с обычными би-
номиальными коэффициентами. Далее, из формулы (4 5) сюдуег
выражение при q -= 1 для чисел Галуа:
Эта формула следует также п in (4 13). Соотношение (4 6) сво-
дится 1. очен i тому равенству
Наконец, соотношения (4.30) и (4.31) при д = 1 сводя гея и
известным соотношениям для биномиальных коэффициентов
я.ц биномиальная формула. Имеет место следующая
Теорема 4. Пусть
теорема.
('i М
’’fo.’dn справедлива формула
ошетствпи с (4.32) она сводится i. биномиальной формуле, пред-
ставленной в виде
Для доказательства теоремы 4 рассмотрим векторные прост-
ранства kn, X, Y, 7. вад нолем G/’lg), такие, что /сУсХ и
X, У, 7 имеют соответственно х, у, z векторов Будем преднола
тать, чю если dim И7 есть размерность пространства W, то вы-
ношены условия п — dnu У„ < diniZ
Покажем, что как левая, так й правая части равенства (4 37>
определяют число взаимно однозначных линейных операторов
/: УП-*Х, таких чго /(У,.) AZ = 0, или, что ю же самое, /_‘(Z) *=
^=0, где 0 — нулевой век-тор пространства У„
Действительно, пусть и,. i:, .ь„ есть базис пространства
I Определим число способов отображения базиса в множество
лз и линейно независимых векторов пространства X, для которых
линейная оболочка пересекается с Z только по пулевому вектору.
Вектор базиса г, может быть х — z способами отображен в мно-
жество А\7. Вектор базиса г2 может быть отображен x — qz спо-
собами в те векторы пространства А’, которые не лежат в прост-
ранстве. натянутом на Z и /(к,), и т. д. Наконец, вектор базиса о»
может быть (z— q"~'z) способами отображен в векторы простран-
ства А', которые не лежат в подпространстве, натянутом па век-
торы Z я /(kJ, . , Таким образом, число взаимно одно-
jti.i4ui.ix операторов / I'.,
О, равно
Онрелелпм число указанных взаимно однолпачных операто-
ров, принимая во внимание расположение образа Jlv), vezV„,
относительно пространства У, Ясно, что /(Уя) П У являема под-
пространством Y. Если dim (ДУ„) A У) =к, то ДУДАУ является
образом некоторого /.-мерного подпространства пространства V„,
Выберем /.--мерное подпространство U пространства V„ и отобра-
MIM U в У так, чтобы образами пе были элементы Z\{0}, Осталь-
ные элементы, принадлежащие 4„\/Д отобразим в Х\У, Не огра-
вшивая общности, считаем, что v},
к^п, есть базис-
подпространства L, где ь-,, tn— базис всего пространства V,.
Определим теперь количество всех взаимно однозначных ли-
лейных операторов рассматриваемого вида. Числи линейных оие-
рагоров. отображающих V в Y\Z, по доказанному выше равно
Подпространство пространства I7,,, натянутое да базисные векто-
ры /*+1, .... v„, взаимно однозначно отображается в Х\Р Ло до-
казанному число таких отобрая.-енпй равно у). Таким об-
разом, имеется Ай/, г)Р, _кСт, у) взаимно однозначных линейных
операторов, отображающих фиксированное /v-мерное подпрост-
ранство пространства V,, в X с условней, что образ С совпадает
ного подпространства в n-мерпом пространстве
GFt.q'i равно
то общее число линейных операторов равно
Отсюда, с учетом равенства (4.4), следует <оотно1пенпе (4.37).
дует равенство <5.(>)
-текнет равенство
0 38)
б. Разбиения множеств. Пусть X и С — конечные непустые
множества, содержащие соответственно >г и и элементов Рассмот-
рим множество Ьх однозначных отображении вида /: А’ -*• U.
принадлежат одному блоку
разбиения, если = Разбиение л, соответствующее отоб-
ражению /. называется ядром этого отображения Определим
ний с данным ядром л равно utK-,— миг — 1 >... (и — Л 1л) + 1),
где Л (л/— число блоков в разбиении л Каждому отображению
f соответствует единственное ядро, а общее число отображении
равно ! 1/А| = ип, поэтому
2(и)'(л) 1,л.
где суммирование проводшся но всем разбиениям я множествах
Рассмотрим векторное пространство И над полем действитель-
ных чисел, элементами которого являются многочлены с действи-
тельными коэффициентами от одной переменно)! и. В качестве
базиса нространсгна возьмем последовательность mhoi очленов
(u),= l, (u)i, (и)2, . Рассмотрим .пшенный функцпона i L, за-
jaiutbin единпвенцым образом системой равенств
(4 40)
Вычисляя значения функционала L от обеих, частей
(4.391. получаем
2-^((г/)л(д)) (w“)
(4 41)
Ле пая часть равенства представляет собой сумму единиц, каждая которых соответствует единственному разбиению п множества
X Поэтому из равенства (4 41) имеем Т„ = 1Аип), (4 42)
’нТ : Т„ — число Белла, равное количеству разбиений гг-мцожестна блоки Формула (4.42) позволяет простым способом установить яе-
орые свойства чисел Белла Так, из очевидного равенства ; — 1), — (гз)п + 1 имеем £(«(н - 1)J-L((u),.4l) - 1, ??=0,1, . (443)
Та. г, как равенства (4.43) выполняются для базисных элементов >странства V, то в силу линейности функционала Л они сира нивы для любого многочлена Р(и.~) е 1’: 1АиР(а~ П) = 1АРШ. (4.44)
Но л-п ая Р(и) — iu + 1)л, из равенства (4 44) получаем £(U"+1) = i«u ^1)”)-Д("]ь(«*) (4.43)
Отс мода, с учетом равенства (4 42), следует известное соотношение I чисел Белла: г„« .£()) 7,. п-0,1.... (4.46) Заметим, что равенство (4.44) вместе с условием Б(1) = 1 од-
РН шачно определяет функционал L, заданный равенством (4 42), : как выполнение соотношения (4.44) для любого многочлена А означает выполнение его для многочленов, задающих базис о последовательность 1/= ), и, и~, и" Разложим фуик о ее и ряд Тейлора в окрестности точки ( = 0. 2?» 4). Цю Рассмотрим лптгеипыи функциона i W па пространстве V, та
Ясно, что этот функционал единственный Поваляем, что М = L.
Из линейности М следует, что
Дифференцируя левую и правую чапи по t и енота используя
линейность оператора получаем
- М (tie1”). (4.50)
Умножая на е' обе части равенства (4 49), имеем
(4.51)
Из равенств (450) и (4.51) следует, что
Л/(е'‘“+,)) = ^(це'“). (4.52)
Разлагая функции е’
в ряд Тейлора в окрестности точки
( = 0и вычисляя коэффициенты в обеих частях равенства при
t“!n\ получаем
+ 1)') = Ш+1),
(4 53)
.. , и", . . есть базисная последовательность
пространства V, то равенства (4.45) и (4 53) однозначно опреде-
ляют операторы Л и М соответственно. В силу одинакового вида
и, значит
(4.54)
Принимая во внимание равенство (7г)„ — 0 при к < и, рассмот-
рим очевидное тождество
^21=2
Для функционала L, заданною системой раиенов (4 40), имеем
L {(и)п) =
(4 56)
Поскольку («)(, = !, (н)„ ..., (п)„, ... есть базисная последова-
юльность, то из (4.56) следует аналогичное соотношение для про-
извольного полинома Р(и) & V
L(P(u)) =
Р1к)
(4 57)
Полагая Р{и) = и’ и используя (4.42), из соотношения (4..57) по-
дучаем форму гу Добинского дли чисел Белла:
(4 58)
§ 5. Асимптотические разложения
приближенные формулы, но которым not решиостъ мычпслеипи
тем меньше, чем ближе значения параметров к некоторым пре-
дельным величинам, в частности к бесконечности. Такие прибли-
женные формулы и полученные с их помощью оценки вычисляе-
в отпои и тон же строке, эквивалентны между собой;
2) ;(т) о(ф(х)), hm-£^t-0.
31 j(z) = (Xqtz)), х * х, I /Ы1 =е= с!ф(г); для х е U,
i) /и) = ()(ff(x)), |f(z)| cS cltp(x)I, x^X.
Выражения, содержащие символы о. О, называются осимп-
готическими формулами или асимптотическими оценками, a uhoi-
W - просто асимптотиками.
Примеры асимптотических оценок:
4) cY = O(1) при х - 0.
Выведем некоторые асимпюглческие формулы для сумм зиа
^ений функций, используя их связь с интегралами. Пусть функ-
ция ?щ) непрерывна, положительна и мопотонпо убывает па от
Резке [<т, 6] Разобьем [а, Ы на отрезки (х0, тД, [х,, ..., lxn_,,
z х0— а, xa=^b, и обозначим через Д5 длину отрезка |.Д4-1,Хл1,
к С н. Хотда мз очевидных неравеишв
j /( г) (/г </(.?>_,) А*
следует, что
/(«) (5.2)
В частности, если а и b
7(Ь)< 2 1 /(г) с/х</(о)
Для монотонно возрастающей функции /(г) формулы типа (5 2)
и (5.3) принимают соответственно вид
/ («) < -Цг1 2 1 W - J < М d*
-/(Ь), (.>4
/(»)< Z /Ы-
А=0 '
Оценку суммы значений произвольной поло.кительной функ-
ции следует проводить путем разбиения ее на участке монотон-
ности. В качестве примера рассмотрим функцию /(х) == 1/х и
возьмем а — 1, b — п Тогда и > формулы (5.3) имеем
Отсюда следует асимптотическая оценка
— In п —[ О (1),
Аналогично для функции /и)=д“,
асимптотическую формулу'
имеем
Используя неравенства (5 5), можно получил» асимптотике
О (In я),
а при помощи более детачьных рассуждении — формулу
л.нпвалетнуго швестпои формуле Стирлинга
(5 8)
2. Степенные асимптотические ряды. Рассмотрим
/(з) действительного переменного х. Ее представление
фу нкцию
/(*)
(5 10)
означающее, что при любом А
где ah. А =0,1, постоянные коэффициенты, называется сте-
пенным асимптотическим рядом. Нетрудно показать, что для
каждой функции /(х) представление вида (5.10) единственно. За-
метим, что обратное неверно, различные функции могут иметь
очин н тот же степенной асимптотическим ряд Если /(z) задана
формулой (5 10) и fp(i)?« *, то имеют место следующие
свойства степенных асимптотических рядов.
1°. Для постоянных аир
°7 (х) -г Pq, (г) як 2 (««г г
(3 И)
S
Коэффшщен гы <h и еЛ имеют такие же выражения пере*
/ *= 0, 1, как и в случае сходящихся при х -* «> рядов.
Доьазательства свойств вытекают непосредственно на опреде-
лений Например, свойство 2° доказывается следующим образом.
, *
/(z)ff(3-)= ^2
I, (5 15)
2 М-* 2 ^/г-' = 2 а-'1
и соопюшение (5.12) следует нз равенств (5.15) и (5.16).
Примером асимптотического разложения является формула
суммирования Эйлера — Маклорена Пусть функция действитель-
ною переменного /(х) непрерывна па отрезке En, т] вместе со
своими производными /(',|(х) для т =1,2, к Тогда
2 1 0) - j / W dx
X Z1'11 (7 - х + 1Их
.,,— числа Бернулли. Гамма-функция от дсйсг-
вительного переменного х обычно определяется эйлеровым интег-
ралом второго рода
(5 1S)
сходящимся при х > 0 и расходящимся при х s
функции имеет место рекуррентное соотношение
Пх + 1) = Я (х), Г(1) = 1.
Если х = п, где п — патуральпое число, го
Г(п + 1)«= п'.
Для гамма-
(5.19)
(5.20)
Используя формулу (5.17), можно записать для гамма функ-
ции асимптотическое разложение, называемое рядом Стирлинга'.
In Г (г — 1) — in /2л
|х - -р Ь X
J. Последовательно сюръективные преобразования. Преобра-
SOI С t<> <)б| г;п зите гр X — X, X — И, 2, ..п), называется последовательно ръекгивным. если существует такое к, 1 =£ А п, что это пре газование совпадает с сюръективным отображением т|?: Х'-'К, ? У —{1,2, , к) Отметим, что преобразование ip* Х-*Х яв-
л я ется последовательно сюръективным тогда и только тогда, ког- пз условия, что с[ принимает значение к, следует, что ср при-
Jill дает все значения, не превосходящие к, 'Гак как число сюръектинных отображений т|- X -* У, !Х| = п, [ — к. равно числу Моргана Д‘О”, 1 С к < п, то число последо-
]ЯГ le.ibiio сюръективных отображений равно Фп - V Д*(Г. (3.22) Разобьем все последовательно сюръективные преобразования
ю и классов в зависимости от значения числа 1=Су=Сп. равло- количеству ирообрагов элемента 1 При фиксированном > эти
пр S ообразы могут быть выбраны )’*) способами. Остальные n — j рмептов X сюръективно отображаются в элементы множества .3, , к} при некотором к, Os^k^n — j Таким образом, чис-
ЛО отобрая.ений в ]-м классе равно [ }Фп-р 1< » ^п, где Ф,в
1 Суммируя по всем классам, подучаем соотношение Ф„ = 2 (() Ф.ч, «-1,2,... (.5.23) Рассмотрим производящую функцию <5-24>
И.Г ; очевидной оценки ДА0п < кп следует, что Ф,. С ппе/(е — 1) От- да вытекает что ряд в правой части (5.24) при t<l/e абсо- •тно сходится Добавляя к обеим частям равенства (5.23) Фо, iwkah на обе части полученного равенства, суммируя по — 1,2,. ,и меняя порядок суммирования, получаем 2 2 ф- - 5 4 2 ф- -
01 сюда стедсст, что при \t> < 1/е <5-И)
Г ’оводч сначала ралло.ксние правой части по формуле геомет- ческой прогрессии, а затем раскладывая в ряд функцию е',
иолучаем при Id < J/e
l w-
2kn n
I «I
иепного x
fn(x)
(5.27)
функцию
Л*. 0 = 2 /"W'b’
(5.28)
Используя выражение для производящей функции чисел Моргана
(»' - 1)‘ - 2 Л"0“
(5 30)
Из (5 28) и (5.30), используя интегральную формулу Конт,имеем
(5.31)
Ф 4>п(2)^ ф 'Pa(Od2— Ф fPn(2)rf2, (5.32)
kl—Л 14=5 |5 R
Толпа z — In (1 + 1/х) для фулк-
дни <р.г(з) является простым полюсом. Поэтому, пользуясь теоре-
мой о вычетах, получаем
.1 .J
Окюда следует, что
срп (2) dz = —
1 + 6, имеем рявпомсрпую оценку
(5.33)
(5.34)
Теперь из формул (5.31)— (5.34) находим
(5.35)
где остаточный член при п -*• °° стремится к нулю равномерно
для всех х, 1 — 6 < х < 1 + 6
Полагая в (5.35) т = 1, с учетом очевидною равенства Ф„ =
—/„(1) получаем при п <» асимптотическую формулу для чис-
ла последовательно сюръективных преобра1ований «-множества-
Ф"-7П^Н°(^П]' <5-36>
причем оценку остаточною члена проводим заново, пользуясь пе
равенством (5.34).
§ 6. Числа Каталана
1. Комбинаторные задачи. Рассмотрим множество векторов
«с., , €>„), г,- = ±1, i — 1, .. , 2п, таких, что
(6 1)
Обозначим через С„ число 2п-мервых векторов рассматриваемого
а1гпа. Очевидно, что
Докам,ем рекуррентное cooi ношение
(6 3)
Обозначим через С„ >икло векторов (t,, .
вида, для которых
eU рассматриваемою
2 е. >0, к - 1 2,. - 1,
Рассмотрим вектор Cei,
, R».,) типа t6 I)
д тя которою
где s—наименьшее число удовлетворяющее этому свойству. Чис-
ло таких векторов при я=п равно Сп
С,С„~, Суммируя по всем », получаем
п — 1 равно
что для всех векторов этого типа с, — 1, г-.
I. Отбрасывая
первую и последнюю координаты у каждого из этих векторов, на-
ходим, что для полученного вектора (ег, .. , е2п~,)
2 ti>0, k — 2,i, . . 2п — 2, У, с, — 0. (6 7)
так как все последовательные суммы координат векторов
(6.4) уменьшены на единицу Отсюда следует, что векторы
относятся к тину (6 1), т е.
(67)
причем
Теперь из равенств (66), (68), (6.9) следует соотношение (63).
Рассмотрим производящую функцию
С(1) =
(в.10)
2'", го ряд (6.10) сходится при Id
Умножим
обе части равенства (6.3) па I" п просуммируем но п or 1 до
Имеем
2
Осуществляя замену п'— п— 1 индекса суммирования и правой
части последнего равенства, получаем соотношение
01СЮД.1, решая квадратное уранясние, находим, чю при
б (i) ~
(6 12)
Таким обрати,С-, (— 1)") 2"п‘г1 Отсюда, проводя необхо-
димые преобразования, окончательно получаем
(6.13)
Числа С„ называют числами Каталана. Эти числа встречаются
при рассмотрении ряда других комбинаторных задач.
Рассмотрим неассоциативпую систему из «элементов: . .
, ru. Обозначим через число способов расстановки п—1 пар
скобок в этой системе для выполнения бинарной операции над
каждой из нар полученных выражений. Очевидно, что
(6 14)
Ясно, я ю ипепгпяя пара спобоп об1>едшсяет два выражения, ка?к-
дое на которых заключено в скобки и содержит к и п — к элемен-
тов соответственно. Отсюда следует рекуррентное соотношение
(6.15)
В соотетствнп с агпм соотношением п равепстпами (6 14) лола-
Нетрудно проверить что рекуррентному соотношению (6.15)
п начальным условиям (6 14) удовлетворяет значение (см. такгке
формулу (1 29))
(6.16)
Числа Каталана встречакися также и при решении задача
•lii'iepa о числе разбиений па треугольники выпуклого (« +2)
Угольника с помеченными вершинами, диагоналями, не пересекаю
ШИчися внутри этого многоугольника. Обозначим соответствующее
ГТ ТТТ ПРОШВОДНЩНГ ФУНКЦИИ
чис ю через Qn Toi да очевидно, чю
<2.-1, С- — -
Qn 2-
(6 18)
Рекуррентное соотношение (6.18) совпадает с рекуррентным со-
отношением (6.3), а начальные условия (6 17) — с начальными
условиями (6 2). Отсюда следует, что согласно формуле (6.13)
<2..-<-«-"-01. • (619)
При п оо, применяя формул). Стирлинга (5.9), по 1}чаем
асимвтогическое представление для чисел Каталана:
(6.20)
2. Проверочные процедуры.
ИСПОЛГ 3SI01CH
их групповых
ментов конечною множества 15 т)
юрых обладает пли не обладает заданным свойством Й. Для вы-
яснения. какие элементы множества Л обладают свойствами 2,
туациях более эффективным оказывается применять групповые
процедуры, при которых на каждой стадии проверки рассматри-
ваются сразу подмножества множества Л. Одна из таких группе
1. Па каждом шаге проверки рассматривается подмножество
A s Л и устанавливается один из возможных фактов; все элемен-
ты А обладают свойством 2 или имеется но крайней мере одни
элемент ж® А', который не обладает свойством 2.
шаге подмножества У, X s У, при условии, что 1У! 5=2 и У со
дер.кит по крайней мере один элемент, не обладающий свойст
Если последнее ит рассмотренных на предшествующем ша
те множество У содержит только элементы, обладающие свойст
вом 91 или I К| = 1, то множество X выбирается из совокупно-
сти элементов множества Д', которые еще не прошли классифи-
кацию
4. Процедура заканчивается, когда бугут расклассифицирова
Проверочная процедура может быть изображена некоторым
эрнентировапным деревом Вершина дерева (fr, т) соответствует
тому шагу проверки, когда рассматривается подмножество X из
k элементов, среди которых по крайней мере один не обладает
свойством й, и число элементов, не прошедших классификацию,
равно т Наряду с пометкой (k, т) яс концевой вершине припи-
сывается еще число </, равное количеству элементов в множестве,
выбираемом для следующего niaia проверки. Из каждой вершины
выходят две стрелки, идущие в две вершины. Одла вершина от-
вечает выбору подмножества X с, элементами, обладающими свой-
ством Я. а другая — с элементами, из которых по крайней мере
один не обладает свойством 2С
В качестве примера для п — 2 приведем вид деревьев, отвеча-
ющих двум процедурам классификации (рис. 2).
Дадим краткие пояснения к первой процедуре Если выбран
элемент, обладающий свойством 2(. то по стрелке переходим в
левую вершин* Если второй элемент также обладает свойством
Й, то далее по стрелке идем влево, если не обладает — вправо
I' обоих случаях классификация на этом заканчивается. Вернем
ел теперь к исходной вершине (0, 2) и предположим, что выбран
элемент, не обладающий свойством 21 В этом случае переходи*!
вправо по стрелке в вершину (1, 2!. Гак как для последующей
классификации остался один элемент, то ясно, что d, 2) — (0, 1)
Далее рассуждения такие же, как для левой ветви дерева.
На множестве проверочных процедур определим отношение
эквивалентности. Две процедуры будем считать эквивалентными,
если па каждом шаге проверки рассматриваются подмножества с
одинаковым числом элементов. Заметим, что рассмотрение сово
купмости процедур, являющихся представителями этих классов
.эквивалентности, отвечает ситуации, когда рассматриваются про-
цедуры для множества N, элементы которого не помечены, а сле-
довательно, различимость процедур не зависит от порядка выбора
этих элементов. Обозначим через /-'(в) число грушговых процедур
рассматриваемого вида, необходимых для классификации мно-
жества Л', |7V| = п, элементы которого не помечены. Это число
совпадает с указанным выше числом классов эквивалентности
для случая, когда элементы множества V помечены
Пусть О^к^т^п и /(.к, т) — число групповых процедур
указанного вида, необходимых для классификации т элементов,
при условии, что заданлое подмножество из к элементов содержит
во крайней мере один объект, не обладающий свойством 91 Заме-
тим что
Ш = /(О,
(6 21)
При 7с = 0, т 1 можно выбрать подмножество ич г элемен-
л?, и продолжить процедуру проверки
I элементов обладают свойством Я, то остальные т — I элемен-
тов можно расклассифицировать /(0, n? — i) способами. Если
установлено, что по крайней мере один из i элементов не обла-
дает свойством Я, то имеется /(i, nt) способов их классификации.
Отсюда следует, что для т > 1
/(О, т) = S /(0, т — i) f(i, т)
(6 22)
Если 7с =1, то ясно, что для классификации остаются т — 1
элементов и
7(1, т) = 7(0, т — 1)
Отсюда следует, что можно положить
(6 24)
т, то необходимо продолжить классификацию
Если
собственного подмножества из к элементов, про которое извест-
но, что оно содержит по крайней мере один элемент, не обла-
дающий свойством 2L Выберем i элементов из этого водмложест-
— 1 Если все эти i элементов обладают свойством Я,
ю процедура проверки остальных ni — i элементов может быть
продолжена f(k — i, т — i) способами. Если же по крайней мере
одни из I элементов не обладает свойством Я, то процедуру мож-
но продолжить /(i, т) способами, так как нет никакой инфор-
Окюда, учитывая (63), приходим к равенству (6,26).
/(О, п) = CJ(O, п - 1 )/(0, п - 2) ,.. /(О, 1).
<6 27)
11'> !'> -2 /(- 7)/(О. 7 — <)-
- 2 С,-1С,_,/(О. / - 1) ...ЦО /-0/(0 / —1 — I) .. /(О, 1)
Отсюда с учетом равенства (6.3) получаем /(0,/) — 6,/(0. J — 1) ,
•••ДО, 1) Из равенства (6.21) в качестве следствия из теоремы 2
по тучаем соотношения
Л'(")‘777Л"<"-1) /”(»-<). (828)
•ilfioioi ратмо применял первое и< ши, иогучаем для п > 2
(6.2У)
Из (6 28) следует, что
> 1 (6.30)
f(»)=- /‘”"‘Й{1-7(ТТТгГ"’- <*3*>
Отсюда следует, чго
Непосредственным вычислением можно получить
« - 4 Д{1 - д;3 „} 1 526753 •
(6 32)
(6 33)
ду для F(n) при п — °= Из (6 31) имеем
(О 34)
гда R» - ЙИ’-
Н„ замену индексов
) Производя в выражении для
вида j~ i - п и логарифмируя, получаем
111 Л„= —к)
п 2/ 2 (/ -! н >- 1) >
Используя формулу Тейлора длд разложения логарифма, находим
зад vih
235 200
173 859 840 000
1. Пусть элементы шхлетовагельносги (<?„),
Показать, что производящая функция /(т) = У, «пхп удовлетворяет
дифференциальному уравнению /'(г) = е^Ц(х) 4-1
A) -re”V(- -г) = 0,
I If ц(п)
функция Мебиуса то /(-е) ~х it вывести тождество
гч)-М(п) п_
г)(1- «)(!-?)(!- А")
(1
2 А X ,
б) G (s) = F (z) JJ (1 — Л) удовлетворяет соотношении
8. Дотачан, что дтя цобого пат^рчлького р < п имеет место равенство
/ иче
—Цг— ftt-i (г) Вывеста отсюда, что
й1 '
hn = S
J'.l III. FTi'OH:il!<nHimiL ФЯ1КПИИ
zb(h HI/'
*") П (
(f (г)
TiiKrhe сек, решение сравнения (2),
(5)
(6)
/ и-i : За
ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Графы
1. Основные определения. Рассмотрим множество Х==
= {г,, х2, , х„), пТг-1, и множество Х(~* —{(х,, х2>, (х, х.),...
. хп)}, элементами которого являются 2-ш>дмиожества
множества X Напомним, что пара Г —Г(Х, W), W Х(г\ назы-
вается графом с множеством вершин X и множеством ребер W.
При атом юворят, что ребро (х,-, х,) соединяет вершины х, и х.
ребро
Xj инцидентны I раф
вершины
]'(Х, W) на множестве вершин X называется полным, если
W = V2), и пустым, если W = 0. Каждому графу (X, W) можно
поставить во взаимно однозначное соответствие симметричное ап-
тнрефлсксивное бинарное отношение W на множестве X по пра-
вилу: XtiVxj (х/, Xj) е TV. Матрица этого бинарного отношения
называется матрицей смежности графа 1.’(Х, W).
Граф Г(Х, TF) может быть изображен геометрически. Для это-
го некоторые п точек трехмерного ирострапства помечаются эле-
ментами множества вершин X и вершины хх и т, соединяются
линией, если (г,-, хр е W Если при этом линии не пересекаются
нигде, кроме вершил, то полученный геометрический образ называ-
ется топологической реализацией графа. Точки, помеченные эле-
ментами множества X, расположим на одной прямой L и каждо-
му ребру (х,, х;) поставим в соответствие плоскость, проходящую
через L и не совпадающую с плоскостями, соответствующими
другим ребрам. Проводя линии, соответствующие ребрам в отве-
чающих им плоскостях, убеждаемся, что любой граф имеет топо-
логическую реализацию в трехмерном пространстве Граф назы-
вается плоским, если оп имеет топологическую реализацию па
плоскости.
Число ребер, инцидентных вершине х„ называется ее сте-
пенью и обозначается d(xj, 1 С i п. Если <5(х<)= </,«=!, , ., п,
то граф Г называется однородным (регулярным) степени d Рас-
смотрим функцию
fl, (а.
Имеем d(x.) — zl d(r\ zj Так как ка/кдое ребро <r„ xj дваж-
ны учитывается при вычислении суммы ссевеией всех вер
dOI - 2|
Отсюда вытекает, пю в графе число вершин нечетной степени
четно Вершина xf е X графа Г(Х, W) называется концевой, если
Щх,') = 1, и изолированной, если dtzj = 0.
Кан у;ке отмечалось в гл Ш, чередующаяся последователь-
торон соседние ребра игщиденгньг одной и той же вершине, налы
лается цепью, причем ац— начало цепи, —ее конец, а ? —
длина агон цени Цепь называется простой, если все иринадле
жатцле ей вершины различны. В атом случае I называется рас
стоянием между вершинами х- л х, (.по этой цепи). Если — хч
то цепь называется циклом. Цикл, в котором все вершины par
личвы, называется простым.
Граф Г(Х, И7) называется связным, если любые две верши-
ны д,-, соединены иепгио с началом в х, я концом в х, Ии
симметрии следует, что в этом случае и вершина Xj соединена
цепью с вершиной х,. По определению будем считать, что любая
вершина соединена сама с собой цепью нулевой длины.
Граф Г(.Х', W') называется подграфом графа Г(Х, И7), если
Х'^Х. W's W. I раф Г(¥, И7'), W's И-', называется частич-
ным графом графа Г(Х. И7’). Будем говорить, что граф Г(Х, И7)
представляем собой сумму графов Г(Х(, ikt), , Г(Х», J7k),
и записывать Г(Х, Я7) ==« Г(А',, И7’,) L , . U Г(АЬ. Wj, если X —
—= А, U U Хп, И7 =-• IV) U ... U 1ГЙ. Эта сумма называется прямой,
сети дополнительно выполнены условия Х: П X, -- 0. i^=),
На множестве вершин графа Г(Х, W) определим отношение
львиналентиости, полагая z; — xj, где д,, zjeY, если вершины х,
и х, соединены цепью Это отношение щашвалентлосги индуци
руст разбиение множества вершин
Обозначим через И7, s W множество ребер графа Г(Х, W), ин-
пи юитпыс вершинам ш Х„ К i < к. Подграфы Г^Х15 W,\ ..
, Г(Х4, VV*) графа Г(Х, W) называются его компонентами
связности. Яспо, что всякий граф представляет собой прямую
Георема 1 Граф Г(Х, W), 1¥| = п, с к компонентами
связности имеет максимальное число ребер тогда и только тогда,
ком)в (,н состоит из k — 1 изолированных вершин и компоненты
с«язности, представляющей собой полный граф с n — k hl вер-
Действительпо, граф Г(Х, И7) имеет максимальное число ре-
бер, если его компоненты связности ГСХ,, TFJ, . , Г(Х , Wh}
сугь полные графы. Тогда общее число ребер равно
где п, = IXJ, 1 С i -С к Эта сумма достигает максимума тогда и
только тогда, когда существует такое 1 i -Z к, что п — п — к 4-1,
Таким образом, максимальное число ребер в графе с k компо-
нотами связности равно
^.Отсюда нытекаег, что чакси-
мадьпое число ребер в графе с двумя компонентами связности
[п—1\ , , — _
равно J I, гаг, что граф, имеющим больше чем I | ребер,
обяга(сльио связей.
Пара Г = Г(Х, И7), состоящая из конечного множества Л
менты которою называются вершинами, и множества И7 упорядо-
ченные пар элементов X, называемых дугами, представляет собой
ориентированный граф, или орграф Орграфу 1 (X, М7) можно по-
ставить в соответствие бинарное отношение II, при котором xRx ,
Пометим множество из 1X1 точек па птоскосгн различными
элементами множества X Две точки х и х' соединим стрелкой,
направленной из точки х в точку х', если в графе Г(Х, И7) име-
ется дуга Проводя все стрелки, соответствующие дугам
орграфа Г(Х, И7), получаем его геометрический образ на плоско-
сти При этотг точки пересечения дуг, не совпадающие с верши-
нами орграфа, не учитываются. Орграф Г'(Х\ ТУ') называется
подорграфом орграфа Г(Х, ТУ), если л s X, W'
Будем говорить, что дуга (х, х") инцидентна вершинам х их',
причем эта дуга выходит гг.з х и заходит в х' Чередующаяся по-
следовательность вершин и инцидентных им дуг орграфа х„ (z,, г2).
ту, i — 1, 2, . , ,, I — I, называется путем, соединяющим х, с Xs,
если х,=^х„ Если в указанной чередующейся последователь-
ности вершин и дуг х, = ал, а все остальные вершины различны,
го эта последовательность называется контуром. Орграф Г пазы
вается сильно связным, если для любых его вершин х и х' суще-
ствуют пути, соединяющие х с х' и х' с х. Компонентой сильной
связности орграфа Г называется максимальный сильно связный
подорграф Г, орграфа Г.
Если в орграфе Г не учитывать ориентацию дуг, то этот ор-
граф превращается в соответствующий граф Г. Компоненты связ-
ности этого графа Г будем называть компонентами связности ор-
граф'1 Г. Ясно, чю каждая компонента сильной свяаносш оргра-
фа Г принадлежит некоторой его компоненте связности.
В геометрических изображениях ьрафов можно удалить из вер-
шин элементы множества X, которыми они помечены В резуль-
тате получается некоторый геометрический образ, который также
называют графом с непомеченными или незаиумероваянымивер
шинами В противоположность этому определенные выше 1рафы
называются графами с помеченными или занумерованными вер
шинами Только такие 1рафы мы и будем рассматривать в этой
Из приведенных определений графов следует, что в их юомег-
рическом изображении не допускаются петли, т е ребра, инци-
дентные только одной вершине, а также отсутствуют кратные,
или параллельные, ребра, соединяющие одни и те же пары вер-
шин Если в графе допускаются параллельные ребра, то он иног-
да называется мультиграфом. В дальнейшем мы не будем при-
держиваться этой терминологии, а будем юворить только о гра-
фах, оговаривая наличие или отсутствие петель и параллельных
ребер. Аналогичное замечание относится также и к орграфам.
2. V-графы первого рода. Будем рассматривать графы с
п Кертицами Так как общее число ребер равпо Qj, а с учеши
/" Ц y е
петечь f , то чшло графов без петель с п вершинами есть
при наличии петель это число равно 2*
’оотво гсшенпо.
общее число ориентированных графов с п вершинами без петель
рг.гЩ1 2"’п~' , а при наличии петель это число есть 2" •
Рассмотрим теперь 1рафы с п вершинами и т ребрами Такие
петель равно
;нри наличии петель эш число равно!
Если ,ье допускаются параллельные ребра, то вместо «-сочета-
нии ребер следуег рассматривать «-сочетание с неограниченны-
। рафов равны
ми повторениями
соответствующие числа
Таким образом, мы рассмотрели два способа задания классов
графов, при одном из которых число ребер пе является постоян-
ным, а при другом равно фиксированной величине. Класс графов
< п вершинами, у которых число ребер не является постоянной
яелетияой, а может меняться в некоторых границах, зависящих
только от и, будем называть классом графов первого рода. Класс
графов с п вершинами, у которых число ребер т фиксировано,
будем называть классом графов второго рода Очевидно, чго если,
например, рассматривать объединение классов графов без петель
второго рода с п верптппами и т ребрами для т-= 0, 1, ..
получаем некоторый класс графов первого рода с п вершинами.
Описание классов графов первого и второго рода можно осу-
ществлять различными способами. Обычно дтя такого описания
задается некоторый комплекс ограничений 1 на способ построе-
ния графов, который позволяет выделять данный класс в виде
подкласса некоторого более широкого класса графов. Весьма ча<-
то встречается случаи, когда комплекс ограничений А формулиру-
ется одинаково при любом числе вершин графа п 'Гак, свойство-
А, состоящее в том, что в любом графе рассматриваемого класса
степень всех вершин равна одному и тому же числу с?, является
примером комплекса ограничения, по зависящего от числа вер-
шин графа п
Определим теперь один класс графов, задаваемых комплексом
условий Л, не зависящим от числа вершин графа п Этот класс
определяется некоторыми свойствами, связанными со способом пе-
речисления всех графов, принадлежащих данному классу
Класс । рафов с и вершинами, определяемый комплексом усло-
вий А, называется классом \-графов первого рода, если выполне-
ны следующие два условия:
которое можно построить на любых к из п вершин при
переборе графов данного кчасса, зависит только от к.
2) Независимость. При заданной компоненте связности с
к вершинами число способов построения па п — к вершинах остав-
шихся частей графов данного класса совпадает с D„-k(A.) — чис-
лом Дчрафов первого рода, построенных па n—k вершинах.
Зафиксируем некоторый класс А-графов первого рода и для
общего числа графов £>п —Д.(А) и числа связных графов С„ =
= C„(V с п вершинами установим рекуррентное соотношение
1)
Разобьем весь класс \ графов с к вершинами на п подклассов в
зависимости от числа вершин в компоненте связности, содержащей
фиксированную вершину х s X, |Х1 = п. Из свойства однородно-
сти А-графов следует, что число способов построения такой ком-
ноненты с Л вершинами равно
п Оставшеюся
часть A-графа на п — к вершинах, согласно свойству независимо-
сти, можно достроить D„-k способами.Умножая обе полученные
величины и суммируя результаты для А. — 1, 2, ,. , п, получаем
общее число \ графов с п вершинами, т е приходим ь соотпо
ли-иию (1.1)
Обозначим через D„, = D„f(A) число Л-трафов первого рода с
и вершинами и / компонентами связности 1
7Р,>с. = Си = 1, L)„!, = U при п < к и i>n(t = (J, если пк = О, но либо п,
либо к отличны от нуля. Будем предполагать, что класс Л-графов
первою рода обладает усиленной независимостью. Это свойство со
сюит в том. что в подклассе класса Л-графов с j компонентами
при фиксированной компоненте па к вершинах остальные j — i
компонент можно построить способами, где D — число
V-графов с п вершинами и j компонентами. Ясно, что из усилен-
ной независимости следует обычная независимость, указанная в
определении Л-графов первого рода. При выполнении усиленной
независимости имеет место рекуррентное соотношение
вывод контрою аналогичен выводу соотношения (1 1)
Рассмотрим прон вводящие функции
представляющие собой формальные степенные ряды.
после замены индексов приходим к соотношению
Соотношение (1.5) означает, что формальные стспеппьте ряды
(1.3) п (1.4) удовлетворяют следующему дифференциальному
уравнению'
F'i.x'l — Fix)®'(г),
Me штрих означает производную по х.
Если рассматривать е11 как формальный степенной ряд, тинеча-
10ЩИЙ разложению этой функции в ряд Маклорена, то нетрудно
Убедиться что
’Эго есть основное соотношение, выражающее производящую функ-
цию Ашрафов через соответствующую производящую функцию
связных трафов.
Рассмотрим производящие функции
(18)
(1.9)
Умножим теперь на z’r’_1/(n—1)! обе части равенства (1.2) и
просуммируем но всем допустимым значениям 1 и п. После заме-
ны индексов получаем
Отсюда следует дифференциальное уравнение дтя формальных
степенных рядов.
F'kx, z} = zFtr, 2)Ф’(х),
(1 10)
гдр штрих означает производною ио х. Снова рассматривай е'как
формальный степенной ряд, отвечающий разложению этой функ-
пни в ряд Маклорена, находим, что
Эю есть соотношение для Л-графов с усиленной независимостью.
При z= 1 соотношение (1 11) совпадает с соотношением (1 7L
В заключение отметим еще одно соотношение
(1 12)
которое вытекает из формул (1.9) и (1.11)
Рассмотрим теперь некоторые примеры Л-трафов. Примерами
Л-графов могут служить классы графов с п вершинами, отвечаю-
щие случаям отсутствия или наличия петель При перечислении
этих классов выполнены условия однородности и независимости,
iioaTOMj' из равенства (1 1) следуют соотношения
(1 13)
(1 14)
где С1’,,1’ и Сп1 — числа связных графов с п вершинами соответст-
венно ври отсутствии и наличии петель.
Другой пример Ачрафов связан с рассмотрением четных гра-
фов Граф без нетель называется четным, если каждой вершине
инцидентно четное число ребер Покажем, что дтя числа четных
графов Dn сп вершинами имеет место формула
Действительно, в произвольном 1рафе с п — 1 помеченными вер-
шинами имеется четное число вершин нечетной степени. Добавим
к такому графу новую вершину, помеченную элементом п, и сое-
диним ее ребрами с вершинами нечетной степени. В результате
получим четный граф с п вершинами. Обратно, если в четпом
трафе с п вершинами удалить одну вершину вместе с инцидент
ными ей ребрами, то будет получен некоторый граф сп-1 вер
шинами. Так как это соответствие взаимно однозначно, то отсюда
следует формула (1.15). Связный четный граф называется эйле-
ровым графом. Так как четные графы образуют класс Л-графов.
io для числа эйлеровых графов с п. вершинами Сеп в силу равен-
ства (11) имеет место соотношение
(1-16)
Исследуем теперь некоторые асимптотические свойства Л гра-
фов первого рода. Главное из этих свойств состоит в том, чго G
ростом числа вершин отношение числа связных Л-графов к обще-
му числу графов в классе стремится к единице.
Теорема 2 Для Х-графов первого рода равенство
(праведливо тогда и тогько тогда, когда-
(1.18)
Введем обозначения
И этих обозначениях соотношение (1 1) переписывается в следую-
щем виде:
JIo.iai ая
п — четное
(1.21)
ет неравенство
. , п, то иj соотношения 11 22) вытека-
d^d,,
Из jcjobhh (1 18) счецует, чю при п
Такнм образом из неравенпв (123) при выцо тении условия
(1 24) имеем при п °°
Этим доказана достаточное i г> условии теоремы
Допустим теперь. что условие ('1.25), эквивалентное условию
<1 171, выполнено Тогда для всех /v == 1, 2, . , [и/2] имеем при
(121)
Это означает в силу условия 11.25), что условие (I 24) выполнено.
В нечестие следствия из доказанной теоремы можно утверж-
даю, что при неограниченном увеличении числа вершин отноше-
ние числа четных 1рафов к числу эйлеровых графов близко к еди-
3. Л-графы второго рода. Будем рассматривать классы 1рлфов
< п вершинами и т ребрами Класс графов с и вершинами и т
ребрами, определяемый комплексом условий А, называется клас-
сом \-графов второго рода, если выполнены следующие дв,т ус-
ловия
1) Однородность. Число компонент связности СМ(А). 1
0 < i ш, которые можно построить на любых к из п
вершин с использованием i ребер в процессе перебора графов дан-
ного класса, зависит только ог к и i.
2) Независимость. При заданной компоненте связности с
к вершинами и i ребрами число способов построения па п — к
вершинах оставшихся частей графов совпадает с Л._».,теДА) -
числом Л-графа второю рода, построенных на п — к вершинах с
использованием т — i ребер
Используя свойства однородности и независимости А графов
второго рода, можно вывести соотношение
(W
i;ie £>Я.,П(Л) и — общее число и число связпых А-графов
второго рода с п вершинами и ni ребрами. Вывод соотношения
28) ио существу совпадает с выводом соотношения (1 1),
Обозначим через Pnni (А)— число Аграфов второго рода с п
вершинами, т ребрами п к компонентами связности Полошим
(А) — Лпо (\) - 1, D'um (Л) — 0, если т и • к = 0 и хотя бы
одни из индексов т, п, к отчичег-i от нуля, Л}»}, (А) = 0 при к > п.
Для класса Л-графов второго рода определим понятие усилен-
ной независимости. Опо состоит в том, что в классе Л-графов с к
компонентами при фиксированной компоненте с i вершпнамп и ;
ребрами остальные к— 1 компонент можно построитьТ)^Д’!п-ДЛ)
способами. Для Л-графов очевидно, что из усиленной независимо-
сти следует обычная независимость, указанная в определении
Л-графов второго рода, обладающих а сим свойством. Имеет место
соотношение
(1 29)
Вывод этого соотношения аналогичен выводу соотношения (1
1W ГЛ IX ГРАФЫ И ПРЬОБР ХЗОВЧНИЯ
мохрнм производящие функции Ра, у. г;Л)-= 222 (Л) д/"Л (1.30) Л)~2 (131)
являют второго уставов неся формальными степенными рядами. Для Л-графов рода, обладающих свойством усиленной независимости, ям следующее соотношение F(.Zc, у, z, Л) = е\р {гФ(х, у. Л)}, (1.32)
1де под разто/К« ехр {у! понимается формальный степенной ряд. отвечающий кию этой функции в ряд Маклорена Положим М(у. Л) — 2С(.Ч»’, (133) <fn(y. Л) (Л),” (134)
стимым я обе части равенства (129) на у"1 н суммируя по доку- щаченням т, получаем /.« „ (у. Л) = Д (") <(ч+1 (у; Л) f„ , (у Л). (1 35)
мгнрим еще одну производящую фхнкцию /,.(». г, Л) -2ХИ«:Л)?. (1.30)
У МНОЖЬ знамени п = (», 1, (м обе части равенства (1.35) на г" и просуммируем по всем ям А в пределах от 1 до п Так как /п+111(у: Л)"»0 мри . ., ю с учетом равенства (131!) в результате получаем U(,. г; Л) - г g (”j If.x, (у, \) /,_,(«, z, Л) (1 37)
Умножь всем до! гм обе части равенства (1.37) на хп/п) и просуммируем но пустммым значениям п Принимая во внимание равенства
F(r. у , г, Л) - У fn (у. z Л) Ф (х, у. Л) - 2 & Л>
в резула ьтате получаем дифференциальное уравнение F\x,y з, Д) =2 Г(х,у,х, Л)Ф'(х, у. Л), (1.38)
где штрих означает производную по х. Интегрируя это диффе
ренпнальное уравнение в мноящетве формальных степенных ря-
дов. приходим к соотношению (1.32).
Отметим, что примерами классов Л-графов второго рода явля-
ются класс всех
графов без петель с п вершинами и
т ребрами, класс всех
графов, допускающих петли с п
вершинами и т ребрами.
В заключение приведем без доказательства теорему, аналогич-
ную теореме 1
Пусть Dnm — общее число графов без петель с п вершинами
и т ребрами.
Теорема 2. Ес ни п, т—-оо и выполнено условие т/п —
— 1пУл -► ОО, ТО
Таким образом, если при неограниченном увеличении числа
вершин п число ребер т имеет порядок роста, болыпнй-^-п (In п->-
Ып), те -* *оо, то отношение числа связных графов к общему
числу графов стремится к единице.
§ 2. Деревья
1. Определение. В главе III было дано определение дерева,
как связного графа, нс содержащего циклов Теперь можно не-
сколько уточнить это определение в соответствии с расширением
класса рассматриваемых графов Связный граф, не содержащий
циклов и петель, называется деревом. Ясно, что любые две вер-
шины дерева соединены единственной цепью, так как в против-
ном случае имелся бы цикл, проходящий через эти вершины. От-
сюда следует, что удаление любого ребра приводит к песвязпому
1рафу. Выделим в дереве некоторую вершину Xt и назовем ео
корнем Совокупность вершин дерева, находящихся от х, па рас-
стоянии х, назовем v-м слоем дерева При фиксированном корне
число непустых слоен дерева называется его высотой Вершины
последнею слоя являются концевыми, так как вершина каждого
стоя соединяется единственной цепью с корнем.
Каждой вершине дерева поставим во взаимно однозначное со
ответствие единственное ребро, соединяющее эту вершину с неко-
юрой вершиной предыдущего слоя В этих условиях только кор-
11 В И Сачков
ню не соответствуем никакою ребра. Отсюда вытекает, что если
Г(Х, W) — дерево и IX; = п, то 11У| = п — 1
Будем теперь последовательно строить связный граф (пе обя-
зательно дерево) путем добавления одного ребра и не более од-
ном вершины. Начнем со случая, когда IX.I =2, |JY,I = 1 Насле-
дующем шаге либо добавим одну новую вершину и одно ребро,
соединяющее эту вершину с уже имеющимися, либо новое ребро,
соединяющее уже имеющиеся вершины Далее этот процесс пов-
торяется многократно
Рассмотрим величину х(Г,) 1ИЛ1 — IX,I + 1, отвечающуюгра-
фу Г, = Г(Х„ Wt) па г-м шаге построения Очевидно, что =
= 0 На следующем, (г + 1)-м шаге IWJ увеличивается на едини-
цу, а | XJ либо увеличивается на единицу, либо остается постоян-
ным Отсюда следует, что х(Г,)>0, г = 1,2, .. Пусть теперь
ГиХ, И') — произвольный связный граф Тогда величина
у(Г) = 1ИЛ-1X1+1 (2 1>
называется цикюмтическим чипом связного графа В соответст-
вии с проведенными выше рассуждениями х(Г)>0, причем
х(Г) = 0 тогда и только тогда, когда граф Г являетя деревом Ес-
ли граф Г состоит из к компонент связности Г„ Г2
цикломатическим числом графа назовем выражение
\ ТО
х(Г)^2х(Г,)
Отсюда следует, что
х(Г) = IIV | — [XI
(2 21
Граф, все связные компоненты которого являются деревьями,
называется лесом. Для леса, как и для дерена, ц-нкломатич₽ское
число равно пулю.
Рассмотрим теперь связный граф 1 (X, IV) Будем последова-
тельно удалять из него ребра так, чтобы оставались связными
графы. В результате получим дерево, содержащее IXI — 1 ребер.
Каждое такое дерево называется вставным деревом графа
Г(Х, W). Ясно, что число удаленных ребер до получения остов-
пого дерева равпо IW| — |Х| + 1, i е диктоматическому числу
графа Г(Х, W)
Некоторые д, циклов графа будем называть независимыми, ес-
ли каждый из них содержит ребро, не принадлежащее остальным
ц — 1 циклам Проведем теперь процесс образования основного де-
рева Г(Х, И7) в обратном порядке, последовательно добавляя к
остовному дереву удаленные ранее ребра, вплоть до получения
исходного графа Г(Х, И'). Па каждом шаге добавление ребра при*
водит к образованию по ьрайпей мере одного нового цикла При
этом каждому из |W’| — 1X1 + 1 шаюв можно поставить в соответ-
ствие такой цикл, чю полученная совокупность из {TV! — 1X1+1
2 Алгоритм Прюфера. Напомним что если дерево имеет од
лл выделенную вершину — корень, то оно называется кирневым
Дерево не являющееся корневым. называется свооодным Ес ш
I 1Т110 TI 1 Э1П21 Li рПТПНЫ ( ПМРОТ
1Де каш x.=z(«J. i=l.z, , п. оудем называть первичной специфи- чен графа. Гпореча 1 каждому дереву, вершины которого помечены
зле > гентами множества X = {.г., х-} и которое имеет первич
1 спеиификацию^х-^х* х„ j. можно поставить во взаимно ini tn и гредмегами в нотор м г ? wniha <.одсро ит , зге Тля доказательства приведем описание алгоритма Прюфера. с мпыо которого устанавливается ото соответствие. Пусть име- .1 и — 2 различных предметов и п различных ячеек Рассмот- евоиолиое дерево с п помеченными вершинами. Будем после- ашолиение ячеек предметами. 1а первом шаге удаляем концевую вершину дерева, имеющую чет.шил помер, и инцидентной си ребро Если другом конец ineMuro ребра инцидентен вершине с номером г., то пеовыи
гмет помещаем в ячейку с номером г,. На втором и последую шагах процесс повторяется. Процесс останавливается и тот епт, когда останется одно реоро Это соответствует заполнению 2 предметов в п ячейках, причем в г-н ячейке имеется х( Тметоь. Яченки. номера которых совпадают с номерами ьопцо- вершип дерева, оказываются цустыми другой стороны, если задано заполнение п различных ячо- г - 2 различными предметами, то по этому заполнению мож-
юстроить дерево с п вершинами Пусть >, , ? 1< f,
('£т - ... п,— номера пустых ячеек. Если первым пред находится в ячейке с померон it то в дереве имеется реоро /,) Удаляем ячейку с номером ц и первым предмет, в ревудь
ветс - получаем заполнение п— 1 ячеек и — .3 предметами 1 [риме- пндукцию, можно предположить, что этому заполнению слот- льует дерево с и—1 вершинами. Так как /( не принадлежит
рео; заве п.сжеству вершпп этою дерева, то добавление к нему w ^i, J,) снова дает дерево Этим доказательство теоремы 'Ршено
ЕЫ\ 11* Обозначим через r(xi, -х2, , х„) число помеченных свобод- деревьев с п вершинами, у которых кратпость вершины i
равна х, Справедлива формула
Г<Ъ, У;
(2 3)
так как ото число совпадает с числом (п — 2)-векторов с коор-
динатами из п-мио.кесгва, имеющих первичную спецификацию
[xj’a./ .. . Яц"} (см формулу (2 5) гл I).
Из формулы (2 3) следует, что общее число свободных де-
ревьев г„ равно
Таким образом, соыаспо формуле (2 6) гл I,
(2 4)
Так как каждому свободному дереву с п вершинами соответ-
ствуют п различных корневых деревьев, полученных при выборе
каждой из вершин в качестве корня, то число гп корневых де-
ревьев с п вершинами равно
г„- и”-1, ??>2. (2 5)
При заполнении п различных ячеек п — 2 различными пред-
метами число заполнений, для которых фиксированная ячейка
содержит у = к — 1 предметов, равно
(» - «)"
(2 6)
Это число совпадает с числом свободных деревьев с п вершина-
ми, у которых кратность фиксированном вершины равна х =•
— к— 1. Соответствующая величина для корневых деревьев вы-
числяется по формуле
(2.7)
Число свободных деревьев с w вершинами, из которых к кон-
цевых, равно
так как это число совпадает с числом заполнений п различных
ячеек л —2 предметами, когда имеется к пустых ячеек
3. Леса. В соответствии с данным выше определением граф
Г(Х, W), компоненты связности которого являются деревьями,
называется лесом Число лесов с вершинами, помеченными
, хя, состоящих из к свободных деревьев, у которых к
фиксированных вершин ад, х2, , „ хк лрпнадлея>ат различным
деревьям, равно
(2 8)
W-С-(29>
Для Xs{l, 2, , п} такого, что |Я| = А, обозначим через DU&
множество деревьев из D, в которых для любого i^K вершина
х, соединена с Xt, Ясно, что =г„ч Таким образом,
|о|-2|«(к)1-(“)гЛ.
Отсюда, с учетом (2 9), следует формула (2.8),
дество:
(2Л0)
1Де суммирование ведется по всем векторам (;1,
численными координатами, такими, что ;\+ .
;t) с цело-
Число корневых деревьев с п вершинами, с кратостыо кор-
ня х = к — 1, равно
'•.(« = К 2 ^т^...гл (2.Н)
Действительно,-^(?г — 1)'/(;,! /Д)— это число разбиений п — 1
некорневых вершин по деревьям леса,
rJft — число ле-
сов при фиксированных вершинах деревьев и п — число вариан-
тов выбора корня
С другой стороны, для r„(fc) имеется другое выражение, да-
ваемое формулой (2.7) Поэтому с учетом формулы (2,5) имеем
Пусть теперь r«
ит к корневых деревьев Тогда
число лесов с п кернитами, состоящих
(2 12)
2
Эта формула получается рассуждением, близким
мощью которого получена формула (2.11)
Используя тождесиао (2.10), ив (2 12) получаем
г?>, к. 1.2_______п
(2 13)
Общее число лесов с п верилитами, состоящих из корневых
деревьев, равно Ln =- 2 г?. Нс.,опьзуя формулу для г'**,
находим
Это равенство следует непосредственно ил формулы (2.ГР
4. Производящие функции. Гасс.мшрии производящие функ-
ции для корневых и свободных деревьев
1 ~ « г" „о ri
Прежде всего покажем, что г(д) удовлетвор/ют функциональ-
ному уравнению
(2 16)
Рассмотрим производящую функцию
(2 17)
корня v = к — 1 Нетрудно убедиться, что
Из (2 17) и (2 18) с учетом формулы (2 11) следует, что
г(г,й)= (219)
Из определения г,(А) следует, что
гп = 2 г, (к),
Кроме того, так как г,(0) = г, - 1, то г(х, 0) = г. Суммируя обе
части равенства (2 19), имеем
Отсюда следеет равенство (2.16),
Полагая в равенстве (2 16) у — у(х' = г(т) и возводя обе его
части в Аю степень, получаем yh = x!'ehv. Дифференцируя во х
обо части атого равенства, находим
Интегрируя обе части этого равенства, получаем
(2 20)
Нспосредстисппо и$ вида (2 11) и (2 15) производящих функций
r(z) и /~(х) следует, что
(2.21)
Поэтому, полагая в равенстве (2 20) к =-2 и у^г(х), с учетом
равенства (2 21) паходим
(2 22)
Обозначим через
число лесов с п вершинами, состоя-
Ujfx из к свободных деревьев. Распределяя п вершин /d(7c!yt!...
?/)' способами по к свободным деревьям и строя эти де-
ревья j’i ... способами, после суммирования по всем jt, ...
• , jk, таким, что /, + + /* = п, jt > 1, получаем, что
Нетрудно проверить, что
Используя снова обозначение y = rtz), из (2 22) имеем
(2 24)
Заметим, что
2
Отсюда в соответствии с формулой (2 12) получаем производя-
щую фупкцию для г(п1 — числа лесов с п верпшнами, состоя-
щих из к корневых деревьев
(2 25)
откуда в силу тождества (2 10) след} е г, что
(2 26)
Вычисляя выражение из формулы (2.26) и подставляя его в
равенство (2 24), с учетом формулы (2.23) получаем
(k — у) (n'lk+jiT
Представим г„' в следующем виде
ал;п’
(2 28)
(2 29)
—числа Стирлнша первою рода. Так как s(p
I) = — р*), то
“т^ЗН)’ <4+л
Заметим, что
<<«1-44(1-4Г~-И1--4Т1--о- (2зо)
Кроме того, аи = + ₽« + ₽*э, где
р«=-Ш(>)(-4)4+/) = °.
₽И = - (i-l)i 2 (,) (- ~т) 1 <4 + >1 - 2б-1 (4 _ •
₽«=--4±(П(-4-У('2)^+.) = -^^г
Отсюда получаем
~ 2^1 (й _ di
Теперь из (2.28) и формул (2 30) и (2 31) следует, что
7(к>
lim_!Ц. = 1----- k= 1,2, ...
n-co пп~2 ’
(2.31)
(2.32)
Ес ди С„—число лесов с п вершипами, состоящих
них деревьев, то Ln — У, r„’. Можно показать, что
из свобод-
5. Образующие симметрической группы. Пусть
Sn — симмет-
аом может быть представлен в виде произведения транспозиций.
Отсюда следует, что любая подстановка s^S„ может быть пред-
ставлена в виде произведения транспозиций, В атом смысле гово-
рят, что множество 7',, является системой образующих группы Sn,
или множество Тп порождает группу S„ (см. также п 3 § 5 гл I)
Однако существуют множества транспозиций, порождающие
группу S„, и являющиеся собственными подмножествами 7».
Примером может служить множество Гп={(1, 2) (1,3),.. ,(1 п)},
так как любая транспозиция (г, j) может быть записана в виде
Выясннм, при каких условиях множество транспозиции
7?п {тР т.г. . , тг} S Тп является системой образующих jруппы
$». Множеству 2?пГ) поставим в соответствие граф Гс мно-
к < г, в графе Г (7?» *) ставится в соответствие одно и только
одно ребро, соединяющее вершины г и ] Граф Г (7?‘4Г)) называ-
ется графом Пойа множества транспозиций/»'^-
Лемма Множество транспозиций —-- ,1?} при
г^п—\ тогда и только тогда порождает симметрическую груп-
пу S„, когда соответствующий граф Пойа Г (7?п*) — связный
Пуст ь граф Г (Япг>) — связный и вершпна i *= X может быть
соединена с вершиной /^=Х путем, составленным из ребер, отве-
чающих, транспозициям т,
равенство
Тогда справедливо
Отсюда следует, что произвольная транспозиция (г, у) е Т„ мо-
жет быть записана в виде произведения транспозиций из Tin*-
Так как Тп порождает группу S,
порождает 5Г
Допустим теперь, что множество порождает 5Г, ио [раф
Г (7?п’) содержит компоненты связности Г,, Г2, .., Гг, k > 1,
жет быть записана в виде
<h)
где т;” — транспозиция, соответствующая ребру графа, при-
надлежащего компоненте связности 1\ 1 *£ i -S к. Так как компо-
ненты связности не имеют общих вершин, то ? представляет со-
бой произведение к независимых циклов В силу условия к > 1
произведения транспозиций из 7?п> не могут порождать полно-
цикловых подстановок, и, следовательно,
не порождает 5„
Теорема 2 Множество из п — 1 транспозиций В'п 11 тог-
да и только тогда порождает симметрическую группу S„, когда
соответствующий граф Пойа Г (Я^л-1)) является свободным дере-
вом с п помеченными вершинами.
Действительно, созласио лемме, множество
зогда и
только тогда порождает группу когда 1раф Г (Я!Г">), ячею
щии п— 1 ребер, является связным, Таком граф может быть
только свободным деревом с п вершинами
Между множествами R'r.
порождающими симметрическую
группу, и свободными деревьями с п занумерованными верши па-
мп можно установить взаимно однозначное соогретсгвне Из это
го факта вытекает следствие
Следствие Чист систем образующих симметрической
группы Sn, состоящих icin-l транспозиций, равно n"~i
§ 3. Циклы подстановок
1. Цикловые классы. Пусть — симметрическая группа под
стаповок степени п на X Как отмечалось вл 3 § 5 гл I, для
любой подстановки & & Sn па X можно определить отношение
эквивалентности, пола1ая, что х ~ х‘, если существует такое чис
ло у, что х' = s,(x\ х,х'^Х. Этому отношению эквивалентности
отвечает разбиение X = Xt U . U Хк, Х,-ЛХ, = 0, блоки ко-
торого называются орбитами подстаповкн 8 Сужение подстанов-
ки ь на орбиту Xt называется циклом подстановки s и обозпачает-
к. Полагая 5,(х) = х, х
С, можно доопределить
s, до подстановки степени и, которую будем также обозначать 8,-,
к Так как циклы з,
к, не имеют общих дсй-
ствителъпо перемещаемых симво юв, то умножение соответствую-
щих им подстановок степени п коммутативно: s,s; ~ s,st. Кроме
того, подстановка s представима в виде произведения соответ-
ствующих ее циклам иодстаповок-
8=8,8; ,Sk (3 1)
Циклу s, можно поставить в соответствие запись (т, 8,(т), ..
....s 1 1 (т)), Ц = [X, |, содержащую в определенном порядно те
и только те элементы, которые содержатся в орбите Х(. Эту запись
также называют циклом подстановки я длины Л или 1,-циклом
Так как в качестве х может быть выбрал любой элемент орбиты
X,, то данная запись цикла я, определена с точностью до цикли-
ческого сдвига элементов. Отсюда следует, что каждая компонен-
та связности соответствующего подстановке з орграфа Г(Х, ?)
имеет в качестве компонент сильной связности контуры, отвечаю-
щие циклам этой подстановки Совокупность вершин каждой из
компонент сильной связности нрсдставлш т собой орбиту, соответ-
ствующую некоторому’ ииклу подстановки
Отмстим, что если — $гсг 1= е, 1де е —• единичная подста-
новка, то 8 1= s]
Si,1 в силу’ коммутативности умножения
Циклов подстановки. В дальнейшем всюду полагаем, чтоа" = е.
Подстановка припадлежцт цикловому классу {1а12“г ,..
циклов длины ] = 1, 2,
число подстановок,
+ па„
если опа содержит
п Обозначим через (Ла,, а2, • ., а„)
содержащихся
цикловом классе
(l“i2“2 . . п“"1 Выведем несколько иным способом формулу (5 1)
гл 1 вида
С (а„ а2
(3 2)
1а, + 2а. + 4- па„ = п
Деиствигельпо, элементы в записи любой подстановки s из цикло-
вого класса (1а12°'г пап| можно переставить п' способами Из
этих перестановок С(а,, а2, . , сс„) дадут различные подстановки
из циклового класса |1wi2’*2 п”'1}, а 1а’2а2 п^а^. а„*
вариантов перестановок будут давать пквиваленгпые подстановки,
так как циклическая перестановка элементов каждого цикла и
перестановка совокупностей элементов, принадлежащих циклам
одинаковой длины, не дают новых записей подстановок из задан-
ного циклового класса.
Ясно, что число различных цикловых классов в симметриче-
ской ipymie подстановок Sn равно числу разбиений числа п, т е.
представлений п в виде суммы п = 1 а, 4-2а> 4- 4-иа„.
2. Число циклов подстановок. Производящая функция для
2.
С (аь аг
(3 3)
называется цикловым индикатором совокупности всех подстановок
степени п Очевидно, что Cn(1, 1, .. , 1) = п| Кроме того, если
Cnk— число подстановок степени п, у которых имеется 1: /-цик-
лов, а С,л— число подстановок степени п, у которых общее число
циклов равно /с, то
2
(3 4)
2
(3 5)
Полагая в (3.3) сначала х, = х. х, = 1 для 1^1, а затем х, =
. =х„ = х, соответственно получаем
Сп (х) = С„ (х......х) = 5 C„kxk,
(3 7)
F (t; хг, х„, .) — (3 8)
следует, что
F(i,X!. х4,
Кроме того, при вычислении коэффициента при Г/п’ в правой
части равенства (3 9) фактически молено использовать производя-
l'v
щую функцию ехр|^ ; j or п 4-1 переменных Полагая в
(3 91 Xi—x, х, = 1 при i*&l, а за;ем xt =.. .= х„ = х, с учетом
формул (3 6), (3 7) и (3 8) находим
2с""<1)-г’ = -т=7ге‘1_,,"Л- (З-Ю)
2с.и4 = 1>-<)з
|!|<1. (ЗИ)
Из формулы (3.10) следует, что
И.з равенств (3.6) и (3 12) получаем формулу
(3 13)
Разматая правую часть равенства (3.11) по формуле бинома с
отрицательным показателем, получаем
(3 14)
причем С'о(т) == 1.
В равенстве
определяющем числа Стирлинга первого рода, заменим х иа — х
и умпожпм обе части полученною равенства на (—1)". В резуль-
тате получим
z(x 4-1) .
— 1) = У, (— l)n+As(n, k)xh.
Из (3 14) и (3 15) имеем (см также (5 8) r.i I)
(-l)"+'is(n, 4)
(3.16)
ТОЧНО А, ЦИКЛОВ длины
(7ct, к.. . , кг) и обозначим че-
степени п, у которых имеется
, г Тогда
2
(3 17)
Полагая в цикловом нядика юре Д;, = Tj, .. ,а;г —
.. , ZP, согласно формуле (317) получаем
Cn{xlt .. , if, ! г i£r} — Сп (1, , . тг, ., 1) =
(3 18)
С учетом (3.8) полагаем в обоих частях равенства (3 9) ==
l1, ., xi --хг и хг = 1, IФ Zj, . , lr, получаем
§ з циклы иодст тонок
Из этого равенства имеем
Из (3 18) и (3.20) получаем
где индексы суммирования ji
(3 31)
удовлетворяют условию
.п При г=1 формула (3 21) совпадает с форму-
лой (3.13)
3. А-подстановкп. В целом ряде комбинаторных задач рас-
сматрпваются подстановки из цикловых классов (1 2 п
тля которых каждый из показателей цикловых классов а(, аг, .
.а„ является элементом некоторой последовательности. Для
решения церечцелительных
производящую функцию
)’({• х,, ж2, ) вида (3.8) оказывается возможным видоизменить в
соответствии с заданными последовательностями.
Пусть А;, 7 = 1. 2, , — подпоследовательность носледовагель
посты Л(, = (0, 1, ...) и \=(А], А2, ). Производящую функцию
от бесконечною числа переменных
(3 22)
будем называть нумераюром цикловых классов подстановок, ког-
да показатели цикловых классов определяются последователь-
ностыо Л —
Л2, . ). Это означает, чго если!! 12 1 .
рассматриваемый цикловой класс, то <х3^А}, т е ctj принимает
значения из последовательности А„ j = 1, 2, ..
Нумератор (3.22) запишем в виде
F (t, хг, х2..А) —
-п 1°
(3.23)
Из этой записи видно, что коэффициент при -^-XiX
ложении F(t; xit хг, .. ; А) равен С(а,, а2, . , се,), где a^Aj,
/=1,2, т, е этот нумератор перечисляет цикловые классы
подстановок, у которых показатели циклового класса at, a2, ...оп-
ределяются А Подстановки, принадлежащие цикловым классам
пап\, laj -г 2я2-г'
, для которые
а, е Л„ где Л2, ..), называются Л подстановками Ну-
мератор F(t, х„ Хг, .. ; Л) перечисляет цикловые классы Л-под-
становок
Рассмотрим цпкловои индикатор Л подстановок стсиени п:
Cn(xl,j2, ..,ХП, Л) — 1 + 2 _ £(*1,^2, я/1 ...
(3 24)
Из (3’22) и (3.23) следует, что
2 С„ (%, Л) ^. = Ця2; (3.25>
По аналогии с формулами (3 7) и (3.18) имеем
Сп (х\ Л) = 2 Спл (Л) xh = Са(х,х, х, Л), (3.26)
ХГ,ГГ,КГ,Л)= 2Сп(^г, АГ;Л)Ж11 ... Хр -
= Сп (1, .. ,хъ ...,Хг, ..,1), (3.27)
С.(Л) = Cn(l, 1, .. , 1, V). (3.28)
Из равенства (3 25) и формул (3 27) и (3 28) имеем
ЙЛ 2Д,(4)”
(3 30)
JI, формулы (3 28) и равенства (3 25) вытекает, что
244=п 2 4)“’4- <зм>
П—0 j=l CCjGA, ' aj-
качестве примера рассмотрим случай,
!д, 3?, .. ), ] — 1, 2, .,. Заметим, что
когда Л3 =
(3 32)
1"Сп^ = п(т27р{Р»“")) (^-33)
встречаются, либо встречаются четное число раз.
2гС„-р-Й(ч4). (3.34)
I де ch у = (еу — с-1')/2
4. .1-подстановки. Подстановки, у которых длины циклов яв-
ляются элементами последовательности А е N, называются А-под
становками. Очевидно, что нумераторы Л-подстановок (3.29) —
(3.31) могут быть использованы для перечисления А-подстанонок,
)Л’о, ]^А,
1(0), А,
где А’с = {0,1, 2, } Положим
“« = 24
(3.35)
и обозначим через С^ь число Д-подстаповок с к циклами, а че-
рез С’н—общее число 1 подстановок Тогда из формул (3 29) и
(3 31) имеем
(3 36)
(3 37)
где
(3 38)
причем C^i, — Со — 1.
Обозначая через Cn (£r, ТС-)-Д. _ (lx I.,
к,), число 4 подстановок, имеющих к,
i — 1, 2, , г, и полагая
(3 39)
из равепсгна (3 30) получаем
(3.40)
5. Примеры Д-подстаповок. Подстановка а степени п, удов-
летворяющая уравнению
(3 41)
где е — единичная подстановка, является инвотцией (см § 2
гл III) Инволюция содержит голъко циклы длины 1 и 2 п, следова-
тельно, является Л-иодстаповкоп при А ={1,2). Если /nft — число
инволюций с к циклами, а 1„ — общее число инволюции степени
п, то из формул (3 36) и (3 37) с учетом формул (3 35) и (3 38)
имеем
(3.42)
— числа инволюции степени и с Л соотвст-
стлешго единичными и двоичными циклами, то из формулы (3.10'
(3.44)
(3 45)
В общем случае решениями у равнения
(3 46)
где d — натуральное число, а е — единичная подстановка, явля-
ются такие постановки s у которых длины циклов представляют
собой делители числа d Ясно, что s есть Л-нодстаповка, 1де
А =- {j: j\d} (j'ld означает, чю j делиг d)
Пусть Q„(d) — число подстановок s степени п. которые явля
ются решениями уравнения (3.46), a Q„Add — число таких подста-
новок, которые доиотпитслыю имеют к циклов. Тогда из (3.36) и
(3.37) имеем
(3 47)
(3 48)
Qn (х, d)
X XS.
(3 49)
Дифференцируя обе части равенсзва (3.48) ио t и вычисляя коэф-
фициент при £'7п!, приходим к соотношению
(?„+](ж, d) - жХ (П-),-1(4-;Т1 W Wo - 1- (3.50)
получаем
<?,и 1 W = X (^) ч 1 W,
да
(3 51)
Wo -= 1-
Если d — р, те р— простое число, то (3 30) и (3 51) прпни-
Qn+l(x, р) р) + (п)р_1()^рт1(г,-р)),
Qn+i(p) =QSp1-L’ (nlp-iQ ,-p+Sp)
Из формул (3,47) и (3 48) следует, что производящие функции
при d = р имеют вид
Вычисляя коэффициент при in/n!, находим
'S1 ^-«-1»
Qn (Г, Р) - »1 2, -----—.
РА*’(Л — ₽*)!
Полагая х=1, получаем формулу
2 -77-Л'-
(3 52)
(3.53)
(3.54)
(3.55)
6. Подстановки с конгруэнтными циклами. Подстановку s
степени п будем называть подстановкой с конгруэнтными цикла-
t'H+b
«(!:«.₽) =2-т^т
(3.56)
С помощью норией степени а из единицы можно записать
Обозначим через Cnft(a, JJ) число подстановок seS„(s, (5), име-
ющих к циклов, а через Cn(a, р) — общее число подстановок в
S„(a, £) и положим
С„ (х, а, р) = J, Сnk (a р) х1.
(3 60)
Тогда из формулы (3.36) с учетом (3.56), (3 58), (3.59) имеем
2с.(х,«,а) J=(l^ (ЗС1)
2 C„(i, а, <х/2) £ ((l+i"')/(l- (3.152)
Из равенств (3 61) и (3 62) находим
( {(х — п)/а — 1\ .
. п’ , а п, ,,
Сп (ж; а, а) = | а ) 1 (3 63}
. нап) четна тогда и только тогда, кода имеет место
равенство^— 1) — 1. т е. когда циклы четной длины в
совокупности встречаются четное число раз Отсюда следует, что
• + 2 _ а+(-1)“!+“*+ )х
X С («], а2, .... ап) т3 JZ22
•^)=4 +2 d-(-i)“i+“‘* )х
X С (ctj, а2, . ., ccn) Xj •.. тп .
Из этих равенств получаем следующие формулы
(-4 2-., • , Тп) = Сп (xlt х2, . . , 2П) -|-
(3 65)
(3 66)
Обозначим через п C°d, число четных и соответственно
нечетных подстановок степени п с к циклами Полагая в (3 65) и
(3.66) Xi = х~ — ... = хя = х, получаем
Из этих равенств, согласно (3 15) и (316), получаем формулы
Спи -- у (i s(re, A) j + s(n, fc)), = -i-( I i (re, A) I — s (n, A)),
1де s(n, A) — числа Стирлинга первого рода
§ 4. Графы преобразований
1. Строение графа преобразования. Рассмотрим симметриче-
скую группу ©„ преобразований ^-множества X Для каждого
о е= на множестве X определим отношение эквивалентности,
полагая х ~~ х', если существуют такие целые неотрицательные
числа i и 7, что o'U) = о;(х'), х, х' ^Х. Соответствующие классы
эквивалентности будем называть компонентами, преобразования о
Рассмотрим ориентированный граф Г(Х, о), вершины которого
помечены элементами множества X. Две вершины х и х' соедине-
ны дугой (ж, х'\ если х' = о(х) Этот ориентированный 1раф на-
зывается графом преобразования о В силу однозначности преобра-
зования о пз каждой вершины х графа Г(Х, о) выходит ровно
одна дуга Это свойство позволяет полностью описать строение
1рафа Г(Х, о). Пусть —компонента преобразования о и о,—
Г(Х1, ОД будем называть компонентой связности графа Г(Х, о).
Так как граф Г(Х, о) разбивается на компоненты связности, то
достаточно дать описание каждой из этих компонент
Предварительно напомним некоторые определения Последо-
доватсльность дуг графа Г(Х, о), в которой конец предыдущей
дуги является началом следующей, называется путем. Путь на-
зывается элементарным, если все его вершины различны Элемен-
тарный путь, у которого начальная вершина совпадает с конеч-
называется элементарным контуром Элементарным контур,
содержащий одну вершину, называется петлей. Элемент х^Х
называется циклическим относительно преобразования
если существует такое целое число р > 0, что 0₽(ж) = х. Соответ-
ствующую вершину х графа Г(Х, о) будем также называть цик-
лической Наименьшее целое число h > 0 называется высотой.
элемента х е X относительно преобразования ое2Л1 если сущест-
вует такое натуральное число р, что о'“Ь;’(х) ~ о'Чл:) Элемент вы-
соты h = 0 является циклическим Перейдем теперь к описанию
компоненты связности Г(Х\, о<) графа 1’(АХ, а).
Лемма 1 Все циклические вершины компоненты связности
liX,, os) графа Г(Х, о) связаны единственным экмемтарным
контуром
Действительно, пусть х - циклический элемент и р>0 есть
наименьшее число, такое, что х~ор(х). Тогда все элементы по-
следовательности х, а(х), ..., ор_|(х) различны и п силу условия
х = o₽tx) ь графе Г(ХИ оЭ связаны элементарным контуром.
Допустим, что в X, существует циклический элемент х', не при-
надлежащий указанной последовательности и такой, что х =
= a<,{r,'l Так как х и х' принадлежат одной компоненте, то су-
ществуют такие I и у, что о’(х) = о’(х') Следовательно,
=z'. Отсюда следует, что х принадлежит рас-
сматриваемой последовательности, что противоречит выбору х'.
Из леммы вытекает, чго су/кеине о преобразования о на цик-
лические элементы представляет собой подстановку, степень кото
рой совпадает с числом циклических элементов о, а число цик-
лов с числом компонент о Эта подстановка о называется осто-
Лусть х е Xt — циклическая вершина Г(Х, о) и Г/Х,, о,)—
подграф компоненты связности Г(ХЬ о;), имеющий своими верши-
нами, помимо х, нециклические элементы х', принадлежащие X,
н такие, что о’(х') =х при некотором j = 1, 2, ... Из однозначно-
сти преобразования о следует, что каждая вершина этою подграфа
х . имеющая высоту h, связапа с вершипой х единственным эле-
ментарным путем х , о(г'), . ., Ф'(х'), ф‘(х} ~х. Ориентация всех
атих путей направлена от нециклических вершин большей высо-
ты к нециклическим вершинам меньшей высоты Без учета ори-
ентации подграф Гх(Х,, о,) является корневым деревом с корнем
в точке х. Отсюда вытекает лемма
Лемма 2 Подграф Гх(Хъ о,) является корневым деревом,
все ребра которого обладают ориентацией, направленной к корне
вой вершине х
Из лемм 1 и 2 вытекает теорема
Теорема 1 Граф Г(Х, о) состоит из одной или нескольких
компонент связности. Каждая компонента связности состоит из
единственного элементарного контура и корневых деревьев кор
*ями которых являются циклические вершины этого контура
2. ^-преобразования. Пусть Л — (а,, а2,. ) есть некоторая иод-
последовательность из N Обозначим через ®ге(Л) множество всех:
преобразований о множества X, для которых размеры
контуров графа Г(Х, о) являются элементами последова-
тельности А Элементы Sn(4) будем называть А-преобравования-
ми. Ясно, что взаимно однозначное 4-преобразование является
А подстановкой. Если Л = (1), то ©о(4) состоит из совокупности
преобразований ае®, таких, что граф Г(Х, о) является корне-
вым лесом, причем у каждого корня имеется дополнительно петля-
Обозначим через U(k, п„ пг, , пк, А) число 4-преобразо-
ваний ое©„(4), имеющих j компонент и к циклических элемен-
тов, являющихся одновременно корнями к деревьев графа Г(Х, о),
которые при фиксированном порядке обхода имеют соответственно
«г, • •nh вершпп
СД — число Л подстановок степени к с ;
U (к, . ,nlt, = —Ck}, (4.1)
Действительно число способов образования остова о£®г.^)
равно Q) число корневых деревьев с фиксированным номе-
ром корпя и m вершинами равно тт~г, количество способов рас-
пределения п — к некорневых вершин для образования деревьев
Перемножая полученные вели-
чипы и проводя необходимые упрощения, убеждаемся в справед-
ливости леммы 3
Обозначим через Un(k, j; А) число преобразований с к цикли-
ческими элементами и } компонентами. Через U„(k, j, Л) очевид-
ным образом выражаются числа преобразований Un{k\ /1) и
Un)(.A) соответственно с к циклическими элементами и } компо-
нентами, а также U,.(A')— общее число А-преобразованип os
(4.2)
ГЛ,,М)-= 2 (.'„(Е/.Л), (4.3)
Р„(4)- 2 ^и.(к,г,А). (4 4)
fe-t Д=1
Для удобства в дальнейшем будем полагать, что
7 (0. С 4) = £Д(0 Л) = £/00(Л) = *7<.(Л) = 1 (4 5)
Кроме тою, будем считать, чю Un^k, j, 4)=0, если
нарушено
п. Найдем явпое выражение
Лемма 4 Если С£з —число A-подстановок степени к с ]
7 = 0, 1, ... (4.6)
Действительно, согласно лемме 3
г*-1
Применяя тождество (2.10), получаем
Отсюда после очевидных преобразований получаем формулу (4.6)
В качестве следствия из леммы 4 и формулы (4.2) находим
Un (к. /1) = J пп~яС^ к -= 0,1, .. , (4.7)
где Ch — число А подстановок степени к. Аналогично из леммы
4 и формул (4.3) и (4.4) получаем
(4 8)
(4.9)
;)-С-!)<•"“*ММ)I, <4.Ю)
Ь'„(Ч = ь(и)1»”-*^1,
к = 0,1, .
(4 11)
с»,= 2 CL])/ = (4.12)
При j = к из формулы (4 10), в силу равенства s(fc, /с) = 1, полу-
чаем выражение для числа лесов с п вершинами, состоящих из к
корневых деревьев
(4 43)
Эта формула совпадай с (2.13) При к — 1 из (4 13)
выражение для числа корковых деревьев с п вершинами:
следует
(4 14)
Из формулы (4 4) при 4=N потачаем тождество
(4 15)
Так как ls(fc 1)|—число полноцикловых подстановок степени к,
то \$(к, 1’1 “=(fc—1)' Поэюму из (4.12) получаем следующее вы-
ражение для чист преобразований ое=<$> с одной компонентой-
3. Производящие функции А преобразований. Рассмотрим
производящую функцию от бесконечного числа переменных.
C(i А 2. 71. ;Л>-
2 V !•
{i 17)
часть переменных равна нулю, а часть отлична от пуля.
Найдем выражение производящей функции (4 17) через произ-
водящею функцию числа корневых деревьев
(4 18)
Умножим обе части
и просуммируем по
получим
(1.1) па (уф)"1 • (</;.г)",‘//(?г1-!- • . + пк)
всем значениям индексов В результате
.Ф-22сйгЭ’г<!',1)
г (7,1) (4 19)
Полагая У1 = ?Л =
(4.17) по тучаем
<2(эх,г,1,1,
= 1 и меняя порядок суммирования, из
С другой стороны, полагая у>=щ-= =1, из (4 19)
находим
0 21)
Рассмотрим теперь производящую функцию
<?(t. х z.
(4.22)
Испои-зуя обозначение
я формулу (3.36), из (4,20) и (4 21) получаем следующую теорему.
Теорема 2 Производящая функция Q(.t, х, z; 4"1 следую
щим образом выражается “врез производящую функцию г(.1) для
чи^ы. корневых деревьев
Q{t, х, z, 4) — e.\pk(7.fzr(«)]} (423)
Из теоремы 2, полагая соответственно z - 1 и .г=1, получаем
выражения для производящих функций А преобразований по
листу циклических точек'
л по числу компонент:
Полагая z = x=1. из формулы (4.23) получаем производящую
Функцию для общего чпсча 4-преобразовапий:
(4 26)
Рассмотрим теперь производящую функцию
gn(x,z, 4)=г- 2 Un{k,],A)x!^.
.Из (4 22) следует, что
Q (t, х, z, 4) = 2 Чп U. z, 4)
(4 27)
(4 28)
С другой стороны, умножая обе части равенства (4 6)
суммируя ио ] и по к, получаем согласно (4 27)
где
0.29)
(4.30)
Из (4 29) с учетом формулы (2.13) имеем
S г?’С, (г, Л) J-,
(4.31)
где г<п — число лесов с п вершинами, состоящих из к корневых
деревьев. Умпожая обе части равенства (4.31) на /”/п! и сум-
мируя по всем значениям n = 0,1, .. , с учетом (4 28) имеем
<?((,?, г, Л)-2 С» (г; Л) а*
(4.32)
где полагаем Н?’ — 1 Принимая во внимание
получаем
(4 33)
откуда с учетом формулы (3 36) находим выражение для
Q{i,z,z, А) вида (4.23)
Вычисляя коэффициент при в обеих частях равенства
(4 31), получаем формулу
(4.34)
Впрочем, эта формула непосредственно вытекает из формул
(2.13) и (4 6) Содержание равенства (4 34) может быть сформу-
лировано в виде следующей теоремы
Теорема 3. Число А-преобразований п-множества с к цик-
лическими элементами и ] компонентами равно произведению чис-
ла A-подстановок степени к с / циклами на число лесов с п вер-
шинами и к корневыми деревьями.
Доказательство теоремы сразу следует из того, что граф А-
преобразования п-множества получается из корневою леса с Л
вершинами путем взаимно однозначного отображения его корней.
Псно, что это соображение может быть использовано при выводе
равенства (4.34).
fi. Производящие функции Аб-преобразований. Пусть задала
некоторая совокупность свойств В, которыми может обладать не-
которое дерево. В качестве примера совокупности В можно рас-
сматривать свойства, связанные с ограничениями па степени вер-
шин дерева, на длину путей в дереве и т п. Обозначим через
т„\.В} число корневых деревьев с п вершинами, обладающих со-
вокупностью свойств В, а через г??5 (В) — число лесов с п верши-
нами, состоящих из к корневых деревьев рассматриваемого вида.
Д-преобразоваиие n-мпожества называется АВ-преобразованием.,
если корневые деревья, являющиеся подграфами графа А-преоб-
разования, удовлетворяют совокупности свойств В.
Имеет место следующее обобщение теоремы 3
Теорема 4 Число ДВ-преобразований с к циклическими
элементами и ] компонентами Un(.k, j; АВ) равно произведению
числа А-подсгановок степени к с ] циклами С^з на гп\В)—
число лесов с п вершинами, состоящих из к корневых деревьев,
обладаюших совокупностью свойств В, т. е.
и„ (к, >,ЛВ) = cfr'" (В).
(4.35)
Доказательство ничем пе отличается от доказательства теоре-
Рассмотрим производящую функцию числа деревьев, облада
ющих совокупностью свойств 5:
г (г. В) = 2 г„ (В) €
(4 36)
Аналогично формуле (2 12) имеем следующее выражение для
числа лесов рассматриваемого вида
ri?’(В) “5 2 г„(В) г„(Д). (4.37)
’ 31+.;-+?А=П 1 " k
Из (4.36) и (4 37) получаем следующее обобщенно форму-
лы (2 25):
(^ в)-2'-пм(й)^-.
(4 38>
2i 2 2 Un {к, ],АВ) хк^1п/п\ = ехр{га[ят (4; 5)]}. (4.39)
5. Частые случаи. 1. Рассмотрим всевозможные преобразо-
вания «-множества без каких-либо ограничений на контуры н
деревья соответствующего графа. Этому случаю соответствуют
Я-преобразоваппя ирц Л=Х. Впедем следующие обозначения:
(4.40)
по формуле бинома Имеем
Me разложим
1)
(4А)
Ио равенств (4.40) и (4.41). вычисляя коэффициенты при z4n/n\
и применяя затем формулу (2.131, получаем
(2 —А—1). (4.42)
Вычисляя коэффициент при т’ в обеих частях чтою равенства,
получаем формулу для числа преобразований «-множества с А
циклическими элементами и ? компонентами-
(4.43)
где <;(£.,/)—числа Стирлинга первого рола. Ясно, что формула
(4.43) совпадает с полученной ранее формулой (4.10)
2 Рассмотрим теперь случай, когда контуры графов Л преоб-
разований могут быть только петлями 310 соответствует выбору
А =(1). Ясно, что в этом случае графы преобразований представ-
ляют собой леса, состоящие ив корневых деревьев с петлями в
корне Так как a(t) =1, то из формулы (4.24) в данном случае по-
(4 44)
Вычисляя в обеих частях этого равенства коэффициент при 2*,
получаем выведенную ранее формулу (2 25).
Аналогичным образом из формулы (4 26) в рассматриваемом
случае получаем выражение для производящей функции для
L — числа ле< ов с п вершинами, < «стоящих из корневых деревьев.
(4 45)
С учетом формулы (2.16) из равенства (4 45) получаем
г(<) = 2 nL” 1ТГ' (446'
Вычисляя коэфф приходим к форх 3. Пусть Xi, 9 В состоит в том, число свободных ством, а через R Из алгоритма П] дереву ставится п — 2 различным не более одного i ициент при tn/n< в обеих частях равенства (4 46), гуле (2 13) 'г, • • , и, — кратности вершин дерева и свойство что 1, 1 — 1, 2, . п Обозначим через ft,. деревьев с п вершинами, обладатопутх этим свой- — соответствующее число корневых деревьев мофера следует, что кахкдому такому свободному в соответствие заполнение п различных ячеек и предметами, причем каждая ячейка содержит гредмета. Отсюда следует, что ">2. <4 47> 11, п = 1, Лп- ’ _ (4 48) \nnV2., п^2.
Производящие ф уггьции для этих величин при lil < 1 имеют вид r4i). о-W) 0 50)
Согласно формул ла свободных : соответственно в ге (4 38) производящие функции для 7?п5 — чис- iccoB — и — чиста корневых лесов — имеют ИД
(4 51)
(4 52)
Вычисляя коэффициенты при гл/п’, получаем следующие фор-
0.53)
0 54)
Из формулы (4.55) суммироваппсм но ?, получаем формулу7 для
T ,.(7J—числа ЛВ преобразований «-множества рассматриваемого
вида о к цпклпческпми элементами’
0 56)
Отсюда суммированием ио к получаем общее число ЛВ преобра-
зований рассматриваемою веда
4. Рассмотрим теперь деревья с п вершинами, у которых
таковы, что имеется единственное
кратности верпшп
значение ?. такое, что и, = 2, а для всех i—i имеем х, 1 Такое
свойство деревьев обозначим через Bt. Снова используя алгоритм
Пргофера, убеждаемся, что числа свободных и корневых деревьев
2 «(«> ф -
(4 Cl)
n—i 0(1' ‘)
( помощью формулы (4.38) из равенств (4.Г>1) и (4.62) полу-
чаем формулы для чисел лесов с п вершинами, состоящих из К
соответственно свободных и корневых деревьев:
coo гнстствующих графов обладают свойством В,
’шя. если удаление этой иерпшны вместе с ппцндентиыми ей
пебрамл увеличивает число компонент связности графа Г(А’, ID.
б-вязиыи граф, не имеющий точек сочленения, называется бло
определено. При п = 2 граф имеющий единственное ребро,
шется блоком, причем обе вершины нс являются точками
блоком и все вершины, .за исключением концевых, являются точ-
ками сочленения. С другой стороны, ври п 2 любой полный
‘Раф с п вершинами является блоком и ни одна из вершин не
точкой сочтепення
не имеющий точек сочленения.
Ниже оудем рассматривать класс графов с и вершинами,
которых, совокупность ребер представляет собой крон зво и.ное
ми Рассмотрим производящие функции
С (i)
в О)-2 в„
Имеет место следующая георема
Теорема 1. Производящие фуикчии (5 1), (5 2) <вяшны
C'(z) — exp {W'[j;C'(rH),
где uj i pu.r узин nici производную no ,r.
Прежде чем приступить к доказательству
«ведем
некоторые обозначения Граф называется корневым, если у него
одна вершина, называемая корнем, выделена среди других вер-
шин. Обозначим через ('и* число корневых связных графов с п
вершинами, х которых корень принадлежит 1г блокам, а через
(— число таких же графов, ио у которых кореш, не является
помеченным, или. что ю же самое, имеет фиксированную метку.
i ie ПОЯ01 аем С?1 - 1
Обозначим через С,
Кроме мяо.
(5 6)
Ш>
Рассмотрим производящие функции
pi равенства (5.4) следует, что ми производящие функции свя-
юпы соотношением
(5 ><>)
Суммируя обе части равенства (5.8) и обе части равенства (5.9)
ио 4' от 0 до » и применяя равенства (5 7), убеждаемся, чю
w- 2 "2г«(д,
(5.11)
Отсюда, с учетом равенства (5 10), следует, чю
Лемма 1. Число связных корневых графов с и + 1 верши-
нами, у которых корень принадлежит й блокам и не является
поме /ениым, вычисляется по следующей- формуле:
т 2 г^т< Л+. «&’«. * "
. ч-у — п, вершинами соответственно, причем в каждом ич этих
графов корень не помечен н принадлежит единственному блоку.
Склеивая корпи этих i рафов и один кореш., получаем граф с
п+1 вершинами, у которого кореш, не помечен и принадлежит
А блокам. Обратная операция переводит граф с п+ 1 вррппптамн
Ji формуле (5 14) коэффициент пЧА!;,! . дает число на
РИантов распределения меток но графам с /1+1, , /»+ 1 вер
шипами соответственно, у которых непомеченные корни принял
•Н'.ннт каждый единственному блоку Число способов построения
Tai l'x графов раниоС^Ч-! ... С^,\: 2 Этим зе.м.ма доказана.
Равенство (5.14) ji.biih;viljiuio следующем^ vooiшпнепню для
производяших функций:
Л е мма 2 ?/;/< ™ С ,,я —
СЬ» „в,
ГДг) =/Г(дГЫ) (5 26)
Иодсмнляя но вырая.епне для Ct(x) в формулу (5.1b) с учетом
равенства (5 11), приходим g соотношению (5.3) Лтич теорема
до ка.чапа,
Выведем теперь. некоторые доиотппгрпьные соотношения, ян
ляющиеся следствиями еоотптяиеипй для производящих функ-
ций Дифференцируя обе пасти равенства (5 16), получаем
С l/l-GUlCH (5 27)
Вычисляя коэффициенты при ж,,/п! в обоих пастях равенства
(5.27), с спетом равенств (58) и (512) имеем
что н.вивалеитно равенству
(-. 28)
Мено |ьзуя ',5,4) и (5fe), jh соотношения (5.28) получаем
Из равенства (5.29) можно получить соотношение, связыва-
ющее величины Сп и В„
. Просуммируем по <7 обе ня-
сги равенства (5.18) с учетом формулы (5.17) Принимая во вни-
мание формулу (3 6), в результате получим
2
Из формул (5 29) и (5.30) получаем coonioinenije
2
Данное соотношение хотя и громоздко, по может быть использо-
вано для табулирования величин й„ при известных значения*
С», к — 0 1. , », а также при асимптотическом анализе В,,
когда п “
Теорема 2 Если В —число блоков с п помеченными вер-
шина шт, то имеет место следующее равенство
Иными словами для бо!ыпих п почт все графы
блоками.
Из соотношения (5.29) с учеюм формул (5 17) и
ходим
где
(5 35)
Из очевидны* опепоь С\У/н
Очевидно, чю величина
равна числу корневых связных графов с п помеченными верши-
нами. причем кореш, принадлежит единственному блоку величи-
iiii> как корневой блок с q вершинам» можно построить не более
i"\ (!)
•км I )д2' ' сносооами, а осипшая часть >рафа, содержащая
n, irv сочленения, достраивавiся (n — q) 2
способами Таким
(5.37)
lit опенок (5 36) и (5.37) получаем
Он юла следует, что
Испил) зум очевидную оценку
(5.38)
т - '
^енщц, ратделпм обе части равенства (5 33) па 2
за метим,
Inn 2
(5.39)
1 (илу равенства (5.38) проходим к тому,
с,1Раведдиво.
§ 1. Группы н эквивалентность отображении
1. G1I эквивалентность. Рассмотрим множества X — {1. 2, .
.m), Y = {у,, у>. , у ) и обозначим через Ух совокупность
веек отображений о. X — У. Каждому такому отображению но
ставим во взаимно одношачное соответствие вектор о = (<т(1),
о(2), .. о(/п)). где о(г) — образ ь=Х при отображении о. X -
-> I Множество всех векторов о, соответствующих отображеип
ям из У1, обозначим через F'. Пусть G группа подстановок
степени т, действующая на множестве А, а 11— ipyniia подста-
новок степени п, действующая на множестве У Если g ~ G н
h^H, то можно определит!, операцию действия элементами g
я h на отображение о соответственно слева и справа, приводя-
щую к получению нового отображения о' : X — У Будем считать,
что n'--g°o*h, если для векторов о и о' соответствующих
этим отображениям, имеет место равенство
о (2), . , o'tnj); = Лю1^(2)Э,
, Л (<Jkg(7n?)))
образы при действии подстановок g н h на эле-
менты i X, y—Y соответственно.
X Будем считать, чю о и о' связаны бинарным отношением.
если существуют такие
h^H, что о' -• g ’ о * h. Это бинарное отношение рефлексивно,
симметрично н 1рапзнтигщо в, следовательно, является отноше-
нием эквивалентности Будем называть его GН-эквиваленгносгъю.
Очевидно, что отношение (^//-эквивалентности заданное на мно-
жестве Yx, явгяется но существу отношением эквивалентности
па миоя-сстве УЛ Это дает возможность удобного описания клас-
сов б/Лэквнвалеитносзп путем разбиения па такие классы век-
торов множества Ух
В качестве примера рассмотрим случай, когда Х = {1,2, 3),
переметптая группа степени 3, а // — симметрическая группа сте-
пени 2, т е
имеются два класса б//-,»ьви
валентности, представителями которых
векторы
2 Лемма Бернсайда. Обозначим через G группу подстановок
действующую на множестве X На множестве X определим би
парное отношение, иола! ан х ~ у для х. у е X, если существует
ио д — х(.х) Нетрудно проверить, что
такая подстановка «1
;>то бинарное отношение рефлексивно, симметрично н транзи-
тивно, т. е является отлошеплем эквивалентности па множестве
Y п. следовательно, определяет разбиение этого множества Бло
повяи г- совпадает с понятием орбиты циклической группы, со-
стоящей из всех степе,пей этой подстановки
Стабилизатор элемента х <= X относительно группы G обозна-
чим через G(x) и определим с помощью равенства С(х) =
{s: s(x)—x, s *= G} Иными словами, С(х) — это совокупность
подстановок группы G, которые отображают элемент х в себя,
или, как иногда говорят, оставляют его на месте Ясно, ио G4r)
образует подгруппу группы G, так как ss'(x) — ? (sCr)) = s (х) —
= х. если ь, s'<=G{x). Если у — a(z), a<=G. то стабилизаторы
Действительно,
Лемма Бернсайда Число орбит V(G) группы подстано-
вок G. действующей на множестве X, равно среднему числу цик-
лов единичной длины в подстановках группы G
у<е’-тФ2’' <’>•
1 1 S£<?
(1 2)
ла пик we единичной
Имеем
С spjiou стороны,
Приравнивая выражения для одпоп и гой же величины, убежда-
емся в справедливости леммы
3. Степенная группа. По заданным группам подстановок G
и If, действующим соответственно на множествах X и У, по-
строим группу подстановок IIе,
У1. Действие элемента (g, h) s
которая действует па множество
HG на элемент о
следующим образом. Будем считан., что
(g, Л)(о) = о'
определим
(1 3)
Па множестве И'1 определим операцию умножения®, иолшая
Эта операция ассоциативна в сил?» ассоциативности соогветиву-
ющих операций в группах G и II Обратным по отношению к
элемепту (g, k) является ктемеит (g-1 /г-1), а единичный эле-
мент в № имеет вид (е; е'), где е н е' — единичные элементы
в группах G и И соответственно. Таким образом, множество //“
пой. Степень группы очевидно, равна I У1|х|. Порядок груп-
пы //“, т е число ее элементов, равен IС I //I
Используя лемму Бернсайда, определим теперь число клас-
сов GH эквивалентности Для цикловою класса подстановки s
степепи d используем обозначение Ь'} — (П11
где — число циклов длины i в подстановке «
тЛИ,
Теорема 1. Число классов GII -жвнвалешносги ла множа-
(I«)
где внутреннее суммирование ведется по всем делителям к.
GH-эквивалентность совладает
Из определения следует,
с эквивалентностью, определяемом степенной группой На ня
множестве Y’ Поэтому, применяя лемму Бернсайда, имеем
2
(1.5
§ i группы и эквивклинность огоьрлжсяил
Ул. Достаточно вычислить внутреннюю сумму, т е опре-
чпсчо отображений а, удовлетворяющих условию j’O*
Пусть область траптитивиости подстановки geG, содержащая
элемент хеХ, состоит из элементов х, g(x), .g'|_4x) Тотда
отображением о£ 1л, удовлетворяющим условию g ° <j * h =о,
переводятся в элементы о(г), Д_1(о(.г)),
элементы
. А_*+,(бй)). Отсюда следует, что если г—величина области
транзитивности. содержащей элемент о(т), для подстановки he
е: II, то г является делителем числа А При отображении о, удов
летворяющем условию g • а • h = <з, число способов выбора образа
элемента х, который принадлежит области транзитивности раз-
мер! к для подстановки ge G, равно 2г/г(^)- Это следует из
>Л
мио, что отображение а в данном случае однозначно определя-
ется указанием в качестве образа х одного из г элементов обла-
сти транзитивности цикла длины г подстановки he И. Посколь-
ку выбор значении образов различных элементов те! осуще-
ствляется независимо, то
П(2пЛЛ))'"'и. (1.6)
Применим георему для определения чиста классов
та.тептпостн в рассмотренном выше примере. Имеем
GII экви
5 (61 Я) _ X
<i£0
(ледова гельно, .V (G, А/1 — X [2J г 2 • 2j = 2 Выше это было
лежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда,
ьогда существует такая подстановка geG, что g°o = o'. Это
равенство означает, что о'(тп)) = (o(g(D), aig(m)),
т. е векторы принадлежат одному классу G-аквнвалеитности,
если они отличаются перестановкой координат, отвечающей под-
вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Число классов G эквивалентности равно
,Vfl --___L_ „Не»,
где п = | ] j u A(g) „ tn/с i: инк гов в подстановке g G.
(17)
(I 8)
>/G)—число no.iCTanoiKH. группы G, имеющих А циклом.
].сли G = {c). ю и j (1 7^ BKiienaei очевидное раветпо
пени m, имеем
В циклической группе подстановок С"'" степени т имеегся <р(А-)
подстановок, содержащих т/к циклон длины А, где <р(/с) - функ-
X ч> (/.)'
(I 13)
гчаи. koi да ipviina G—единичная, г. е.
отношение GH аьвпваленглости будем
другого с помотцыо по дета ловки
(1 lb)
- число подстановок степени п, не имеющих единичных
20
J! циклической группе подстановок С1 ’ имеется единственная
единичная подстановка, содержащая единичные циклы. Поэтому
(1 IK)
таких что (g. А)(о) = (Т, называется стабилизатором эле
аеУхи обозначаетсяII i Иными словами,
Ui- {(g,h) (?./<)(о) .----п ge=6’ h^il} (1 19)
Ясно 'но набили iarop U„ являекя подгруппой степенной i руи-
ны 11' Разложим групи) 1Г: па смежные классы ио подгруппе
Нь IIе’ и (g,, А,) и ... и И* (gi-H
эквивалентности.
Ясно что все
. . , (g,-,; Л(-1Яо) I1
или орбиту, содержа
out элементы припал
ii'iKai орбше ^Допустим что имеется элемент а, содержащийся
< >р(шге, такой, что o^fg,; Л,)(<т), г = 0, 1, ..., I— 1, g„ = e.
h„=->- Но это противоречит тому, что о принадлежит некото-
Отсюда вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 4. Число злемемтов из Vх принадлежащит орби
группы Hh содержащей элемент o^Yx. равно индексу стаби-
/; (н‘) -Ж1
> 1^1
(1.20)
',)7' чисто совпадает с размерен класса GH эквивв тентности, с<.
Из формулы (1.20) следует, что размеры классов G-эквива-
ленгпосги и Н эквивалентности, содержащих сеУ', даются со-
ответственно формулами
АДО = IGI/IG, I,
(121)
AJ/7) - \И\/\110\, (122)
G» = {g g°o = a, g^G},
П„ --{h а * h = ст. h <= Hi
(1.23)
(i 24)
Теорема 5 Пусть G=St, где S„,— симметрическая груп-
па степени, m. В этом случае о н о', а, а'е=УЛ’, G-эквиеалентны.
тогда, и только тогда, когда их первичные спецификации совпа-
дают [о)==[а']
Действительно, если о' ~ а, то существует такая подстановка
(о'(1), . , o'(/n)) = (o(g(J)), , o(#(m))), (1.25)
। ? [o'] = [о]
Обратно, если Io'] = [oJ, го найдется такая подстановка ge
e$m, что справедливо равенство (125) Отсюда следует, что
о ~о Если G—произвольная группа подстановок, то из усло-
вия а — о' следует, что [о] = [а'1 Обратное, вообще говоря,
неверно
и - г 1 Г а’ аг а»1 ।
Из |сорсмы о следует, чю если [о] -- iyi у2 yit !, ах
+ +. +а„ = т, то
(1 26)
- симметрическая
группа степени. k. J3 этом случае о а о', о,а’е)” GH эквива-
лентны тогда и только тогда, когда их вторичные спецификации,
совпадают- [[о]] = [[о'}].
Прежде всего заметим, чю для любого h^H
ИсШ ~М] (127)
Л’(5Г1, 5, )==(?,.(и),
(128)
от.щхя ничьинкгорпгя cxfmv
г1с </„(«) —число разбиений m не более чем па п слагаемых, т.е.
чпело векторов (£„, .... с пелыми неотрицательными ком-
понентами, такими что
$ 2. Общая комбинаторная схема
Решение комбинаторной задачи неречислительпшо характера
обычно состоит из нескольких этанов На нервом этапе строится
некоторая модель совокупности перечисляемых реальных объек-
тов. Эта модель называется комбинаторной схемой Примером
комбинаторной схемы, часто встречающейся при решении пере-
числительных задач, является урновая схема. В этой схеме име-
ется m некоторых элементов, называемых предметами или ча-
стицами, и и ячеек, или урн Задача состоит в том, чтобы опре-
делить количество различных размещений предметов по ячейкам
при различных ограничениях на емкости ячеек и характер за-
полнения Различимость размещений, естественно, зависит от
тою, считаем ли мы различимыми между собой предметы и со
ответственно ячейки. В зависимости от различимости исходных
объектов — предметов
можно рассматривать четыре
Для придания точною смысла понятию различимости нспаль-
каждому размещению m различных предметов в п различных
ячейках соответствует оюбражеппе о X К, IX’! = т, !У1— н
Для построения модели, в которой ячейки различны, а предметы
неразличимы (одинаковы), на множестве отображений, соответ
ствующих размещениям предметов в ячейках, можно задать от
иошеине эквивалентности. Два отображения будем считать экви-
валентными, если отвечающие им размещения отличаются толы о
нумерацией предметов Например, при w — 7, п — 3 двум разме
щениям
1® ® ® © © | ® ® I 1 1
@ @ ® ® ® i
-кет бып. проведена в соответсiвин с подстановкой11 н j ч j /. 7I.
Каждом;, различимому размещении» п> одинаковых предметов
окси валентности, заданный
ячейках, сводится
I (’Ч переводит сю во второе заполнение Именно гак опре-
деляется отношение эквивалентности в асом случае
couch отношение //-эквивалентности на множество
Указанный подход к формализации понятия различимости плЯ
я им ио однозначное
же самое, к определении) числа эд|
ио отношению С/Лэквивалеитлости.
и роиста вп геля. Совокупность таю
и-нивалептпостн будем называть
этом этапе фактически стрел о определяются те раили-
Следующие этапы связаны с
с помощью которой мг>;
леиия «г-выборок с заданными значениями показателен первич-
ных пли соответственно вторичных спецификации.
1. Определения.
эквивалентны, о ~ о
Ц1)). a(ifU)). ..
только тогда, когда fol =
следует, что первичная спецификация |а}--- (т// у,, |>
а, I + — m произвольного предс тавителя класса экви ва-
лентности л однозначно определяет этот класс эквивалентности.
Фактически каждый к част эквивалентности однозначно он ре де-
в рассматриваемом случае будем называть m выооркои в ком-
совокvnnocгь векторов IcHgUJ.l, ..., где подстановка %
пробегает всю группу У„. Эта сонокушюстт. векторов определяет
дои m-выборке в коммутативном несимметричном «-базисе ста-
вится во взаимно однозначное соснветствие 7«-c<ineiaHne нт эле-
ментов «-множества.
С другом стороны, так как каждое размещение тп одинаковых
предметов н п различных ячейках однозначно определяется ре-
шением уравнения cti + а + ... ач = m в целых неотрицатель-
ных числах, то каждой m-ныборке в коммутативном иеспммет-
рично м п-базисе <. тавится
взаимно однозначное
HV одинаковых
стиле размещения
ячейках.
Можно привести ц дрхше примеры комбинаторных схем, ко-
торые описываются данным частным случаем общей комбина-
торной схемы Так, статистика Боле — Эйнштейна определяется
следовательно, охваты тщетен данным
2. Нумератор. Рассмотрим вектор A = (A,, Л2, .А,.), в ко-
тором компонента lO/=Sn, является подпоследовательностью
последовательности Л'0 = (О,1,2, . т е j = 1,2,..п.
Нумератором в коммутативном несимметричном н-базнсе назо-
вем производящую функцию от п + 1 переменных.
где суммирование осуществляется ио всем а„ принимающим по
Zn. Осуществим персмпо
медова тельные значения из Л,
женив п сумм в правой части и представим нумератор в следу-
ющем виде'
|дс второе суммирование осуществляется по всевозможным век-
торам (а„ а-, ., а„) с целыми неотрицательными коммоиентами,
Из выражения для нумератора (3 2) следует, что каждому
,m “I «2 °-и
< (<1 слагаемому вида I хг х. ... хн можно поставить во взаимно
однозначное соответствие т выборку в коммутативном песни
, > Г ai ai “nl
матричном п-базнсе первичной спецификации [t/t Уч • Чп J
с условием, чю показатель нервичиой спецификации а, является
Отементом последовательности Л,, В этом смысле мож-
но говорить, что нумератор Ф(1; х,, лг, х,; Л) перечисляет
иг-ныборкн в коммутативном несимметричном w-базисе с показа-
телями первичной спецификация, определяемыми вектором Л
Выражение для нумератора позволяет найти выражение для
производящей функции величин
где
m выборок в комму гатнвном несимметричном п-бависе с яертач-
Г а а а п1
>1ы.мц спецификациями вида 1г/( у3 . уп J. ai~a‘-r
Md.Ti.no можно записан, следующее равенство
<з.з>
где сумма в правой части содержит еюлько единиц, сколько
имеется rn-пыбороь рассматриваемого вида Рассмотрим цроид-
1>1>д::щую функцию
(3.4)
ре А = (А,, \ , Для згою в произведении п одинаковых
скобок лида
(3 7)
> OMMyjajирном неснм-
(<8)
Ясно, что величина одновременно равна количеству т-соче-
•Iанnii l неограниченными повторениями из элементов л-множе-
гсва, а также числу размещений т одинаковых предметов в п
различных ячейках и, следовательно, числу решений уравнения
а + а. 3 ... 4- а„ — т в целых неотрицательных числах ..
line число. 1
нео1рииагель-
обозпачпм через
величина «акцепт не
значении qt, q.,
(3 9)
(3.10)
<j l КОММУ I' MlfHKMtt Ш'.СИММ1-:ГРИ'Л1ЫЙ п-НЛЗШ
Л СЛОВЦОМ С юрЫ!КТ||В|ЮСП1
Если К„,„— число композиций т
jc.io размещений т одинаковых я
•лопни, что нет пустых ячеек, то
, (s) число т выборок в номму гатив
ментов о-базиса у1р у,,, и только они, встречаются рению
i ра< Иными словами, равно числу m-выборок, имею
тих нерв нт ные сиецификацпл| щ1 у/ . уп‘' |. такие чю, а г= . .
Ясно, что в данном
черкиваипем элемента s.
Из формулы (3.5) по
Отсюда получаем формулу
Зга формула определяет также число размещении т одинако-
вых предметов в п различных ячейках с условием, что к фикси-
(3 15)
получаем выражение для числа т выборов в коммута
, А\) завнсиг точько от А Из равенства (3 17)
sj, 1 < у < п. '1оща из формул'
216 1 7 Л ОЕТПЛ Г КОМГ.ИИЛТОРН ХЯ СХЕМ А И НЮР И I П )П \ б) Паяа,1Ы1ь1€ координаты и последние координат образуют
сер к [ ига из едипцц 13 атом случае имеется к серям из нулей ц . (,пп — Л ''"ч' — - 1 серин из единиц н число лекторш равно 1 “ , 1 в) Начальные координаты образуют серию из нулей, а по-
тише координаты — серию из едппяц, пли наоборот. В этом -чае имеется k серий нз пулей и 1; серий ц$ единиц и общее f'”0 - - h/m. — 1\
с ло векторов равно 21 у. _ Il 1 Суммируя величины, определяющие число пек горев в клас- определяемых случаями а), б) и в), получаем число векторов г сериями из нулей, равное сю-сс;и"\’)
Из соображений симметрии с,чсд\ег формула ат ')|“с 1‘) о-25» Обозначим через N,„(k) число векторов с k сериями обоих ви-
а) i Заметим, что если k — 20, где 0 — натуральное число, то все ;торы, содержащие к серий, имеют вид, определяемый случа- в), если же А:—-20 4-1, то векторы определяются случаями и б) Отсюда следует, что |2("'»-Чр- С Л. = 26, А.Ю- ' 1 br^Vj-CVK1:,1!- * (3.26) 7°. Серин с ограничениями па длину. Ясно что
Об южетшая методика вывода формул дтя числа векторов с за- шым количеством серий может был распространена на слу- олпачим через Л'г„(/с; р, v) число векторов, у которых име- ся к серий, причем длина каждой серил из нулей не иреиосхо- г ц, а длина каждой серии из единиц не превосходит Число гторов, описываемых случаями а), б) л в), определяется соот- :ственно числом решений следующих систем уравнений. При к = 20 + 1 a) z(+ . 4- .тн ..., = т , у, + -'-ус, = т,, б) а 4- +хо = /щ, щ-т . 1 ya + i — ni При к ~ 26 в) х, + 4- .с9 — 'Ип, у 4 Ь ув т Здесь 1 Щ .с, ji, 1 sz у, щ у, 1 i si п
Используя формулч (3,23), при / —20 находим
ьоордпнаты вектора (хь у-, .... v,J, 7, = 0, 1, 1 С i т, расно
и о; иены последовательно в равноотстоящих точках окружности
В атом случае число серий является всегда четным числом Обои
начни через Мт(2к) число векторов рассматриваемого вида,
имеющих при расположении па окружности 2k серим. Очевидно,
;кеипи на онружчости имеет 2k серим. С другой стороны, разрс-
M,A2k) - ;V„,(2A) + V,„(2A, -b D (3 29)
I 1 ПЕК0ММЯИИ1.ЦЫЯ ПГСИММЬТРИ'ШЫЙ n-ЬЛЗИС
ю-ЙГ
ли |[1*,12|м «/'"’ll в " ячейках, средн
1Д.
§ 4. Некоммутативный несимметричный
Рассмотрим случай, когда группы G и Н -- единичные, т. о
лептпостп содержит единственное отображение о:* Х-- У, |А'|
= >п. 1У[ =л, и система представителей классов эквивалентности
совпадает с множеством всех отображений рассматриваемого ни
Да. Каждый элемент этой системы представителей называется
т-выборкой в некоммутативном несимметричном п-батисе.
Каждому размещению т различных предметов в п различных
ячейках ставится во взаимно одпозпачпое соответствие отобра-
жение о X -* У, |A|=;n, |У| — п, где элементами множества А’
помечены предметы, а элементами множества У — ячейки. Ге.м
с**мым каждой m-вьтборке в некоммутативном несимметричном
^-базисе ставится во взаимно однозначное соответствие размеще
Вий т различных предметов в п различных ячейках. Напомним,
'1Т0 схема размещения различных предметов в различных ячей
Ках в физике тесно связана со статистиком Максвелла Больц-
totuia. описывающей поведение элементарных частиц.
(rtj a ,
метрлвном «-базисе ставится no взаимно однозначное соответст-
вие вектор Ю(1) о(2> .. оип)\ о: Г, -¥ = {1 2 .... т},
— иевоюрая нодиоследовагельносi ь
ратором в некоммутативном несимметричном «-базисе называет-
Фа, . <„ \)-П ^'тт- (42)
1др суммировант производится ио псом сх„ пробегающим иосде-
довательность А, 1 п
C i IIEUOMMVT \ ГШП1ЫТ1 IlIXlIMMETPltЧНЫЛ
1 [o.i.n an j"i — у; = — х,= 1, зи равенств (4 J) и (4 4) полу- Ф(1, 1. 1. ... 1, 1) » V О11Щ( \)21 0.5)
fenep к из равенств (4.2) и (4 5) следует, чю j(i с - 2 ».,,(.))-£-11 2 £г
Поспелова следует t D i \> A ироваппе «прана проводится но всем сс.. принимающим тельные значения из А< 1 п Ия формулы v+.bl ипцни cjiocoi) построения производящих фуПК1Л1И для — (А,. А.. . . A.J. при лгооом виде последовательностей .. А,. определяющих значения показателем первичной
Cue цпфлк алии ос,, а . .а т выборок Возьмем п одинаковых.
14-4rJ £ ।.. )и £- £- 1 --и-ф-ф ). (4.7)
В (-и cko бке вычеркиваем все члены вида 1“/к\, если 4 А,, Оставшееся после вычеркивания произведение скобок
ирсдставл Рассм( (яет собой производящую функцию <p(f; А) этрим некоторые частные случаи = 'Vo = ((), 1.2,.. 1 < i п. J3 этом случае каьие-
днбо огра ООрОТч от< имеем пичения на показатели первичных спецификаций т-вы утствуют. Полагал /)„,„ = О, „.(Ац), лз равенства (4 6) Av/* < (48>
В.< этого выборо равенства и форму ня (4 4) следует чю общее число к в некоммутативном несимметричном л-баянсе равно
(1 9)
Zi. 0 is)
§ 4 ш:коммутл1 шшыи нксиммгири шый х-блзвс
Dnm ( г, Р, <?) - 11 ) ^'нм (/'. ч)
(4.22)
различных ячейках c vcioinroM,
§ 5 НОММУГ^ТИВЦЫЯ СИММЕТРИЧНЫЙ п БАЗИС
одержат соответственно S,, /2, •• , 1> предметов Показать, что
Г+ . Ji 4в-Я"‘ - У М. А.. ...кЛх
W
4. Для D„m(s)-— числа размещений <» разлитых предметов в п раз
личных ячейках с условием что каждая ячейка содержит но более г пред-
метен, вывести рекуррентные соотношения
5. Для E„m(s) — числа размещении т различных предметов в п раа-
яячиых ячейках при условии, что каждая ячейка содержит не менее * пред-
§ 5. Коммутативный симметричный о-базнс
1. Определения. Пусть G = Sn и И = Sn — симметрические
группы подстановок степеней тип соответственно. Рассмотрим
фактормножество классов G//-эквивалентное ги отображений
о. X -* У, |Х| = т, |У| = и, и соответствующую этому фактор-
множеству систему представителей классов эквивалентности.
Каждый элемент этой системы будем называть т-выборкой в ком-
мутативном симметричном п-базисе.
Из теоремы 6 § 1 следует, что каждый класс <?//-эквпвалент-
ности, G = Sn Н = S„, однозначно определяется вторичной спе-
цификацией [foil входящих в него отображений о е У*, где
ni т|
• +Рт = п-
’Таким образом, каждому классу эквивалентности ставится во
BiaiBuio однозначное соответствие разбиенпе натурального числа
т, т е представление его в виде суммы 1^, + 2^ + ... + тт>п =
“ т. где (Sj + + ... + < п и £1, Вт — целые неотри-
цательные числа. Величина Р« + Рг + .. + ?« определяет число
'латаемых в разбиении
Рассмотрим комбииа горную схему размещения т различных
предметов в п различных ячейках. Два размещения будем счи-
тать эквивалентными, если они отличаются перенумерацией либо
ячеек, либо предметов. Каждым класс эквивалентности будем на-
зывать размещением т одинаковых предметов в п одинаковых
ячейках Ясно, что каждому такому размещению ставится но
взаимно однозначное соответствие т выборка в коммутативном
симметричном п-блзисв.
2. Нумератор. Рассмотрим носледоватечьность А—(\|,Аг, \
(лемептами которой являются последовательности А.,
с элементами из А'о (0, 1, 2, .). т. о V=sA,, / = 1, 2, ...
Нумератор в коммутативном симметричном п базисе определяй
как цроизво 1яшую функцию
').....frpS к,е)|!;,
Ч'(<;с j
«»(')
§ 0 КОММУТХТПВНЫЯ СИММ1ТРИЧЦЫИ лВХ !ИС
Число та выборок в коммутативном симметричном п базисе,
jt которых показатели вторичных спецификаций суть е А„ у =
- 1, 2, ..А = (Ai, Аг, ...), равно
А)-=ХЛ„,,(Л)
е полагаем 7?в«( \) = (?га(0, Л)=/?п(А) и 1, йт1,(А)=0, к > т
Из выражений для нумератора (5.1) и (5 2) и формул (5 3),
-4) следует, что
W(l, 1,1, .
(5 6)
'V(t,x,x, ...; 4)
Рассмотрим некоторые частные случаи задания последова-
тельности А
had - S v-П 0-гГ‘.
Я(1. ’)-ДвД- П(1-»Ф‘-
Рассмотрим производящую функцию
(5 9)
(5 10)
Нетрудно проверить, что
R {t, а) —
Из (3 9) вытекает функциональное соотношение
(1 —я/)ЙП, я-)—й(£, xf).
(5.12)
Подставляя сюда выражение для R(t, х) из формулы (5 11) и
вычисляя коэффициенты при хп в обеих частях, полученного ра-
венства, находим
Ma Rf.(t) = 1 Последовательно применяя соотношения (5 13), по-
(5 14)
Из формулы (5.5) следуем, чю (Z>.b?) =QJn. Л',,) есть чпио раз-
биений т на не более чем п слагаемых
совпадает
с количеством тп-ныборок в коммутативном симметричном п-ба-
Из формулы (5.5) вытекает равенсюо
Г> 1S)
Применяя метод математической индукции
(5.15) получаем форму чу
и$ равепсin о 14) и
<2U,«)
(5.16)
2°. Обозначим чсрет R'm ’ число разбиении т содержащих
слагаемые величиной j. с условием, чго г < j С s Для перечисле-
ния таких разбиений следует взять
Из общего вида производящей функции (5.6) следуем, чю
В частности, есчиЛ'п? -
превосходящие п, ioRlm
число разбиении т на слагаемые, пе
(', 18)
3°. Обозначим мере 5
число разбиений /и па п различных
— общее число разбиений т па различ-
1М Г», = 1.1 = 1 и 14. = 0, п > т. Выби-
— J, 2, .. , лт формул (5 6) п \5.7) полу-
VW- =»П(1-Г), (5.19)
V(l, 3 = ^2 Л’). (5.20)
Рассмотрим производящую функцию
У» (0 — X Hjnnf1.
(5.21
]imcPi mc‘ljo функциональное соотлщпепие
(5.22)
(5.23)
вытекающее из равенства (5.20)
Подставляя выражение для V(t, х) из формулы (5 22) в со-
си ношение (5.23) п вычисляя коэффициенты при хп
сjлх полученного равенства, находим
в обеих ча-
11,( (но ।ношения (5 24) с учеюн равенства 1 ,(0 — t/(l — I) окои-
(5 23)
Суммируем полученные выше результаты. Из равепств
]’ (вспсгва (5 26) заключают в
<ебе содержание сюдующей тео-
1 Число разбиений т-}~п на п слагаемых равно:
иий т ца сгагаечые, не правое ходящие п, и числу разбиений
Случае т + п = 7 и имеются грн разбиения 7 па 2 слагаемых:
)“(>, 2-г 5, 3+5 Разбиения 5 на слагаемые, число которых
J|<- превосходя! 2, выглядят следующим образом- 5, 1 + 4, 2 + 3,
разбиения 5 па слагаемые не превосходящие 2 смеют вид'
различных слагаемых имеют вид-
ОВЩХЯ КОМБ1Ш МОГИ VI OXIIMC И ГЕОРИЯ ПОИ \
5е. Графоч Ферре разбиении т = 1р, + 2^. 4- ... -I- /n{Jm,
“I-+ ...+— п, называется точечный граф, содержащий п
строк, каждая из которых содержит число точек, равное величи-
не соответствующего слагаемого разбиения, причем максималь-
ному слагаемому соответствует первая строка Например, граф
Анало!пчпым образом путем рассмотрения графов Ферре исхода
пого и сопряженного разбиении устанавливается почучеипое рав-
нее равенство
означающее, что число разбиении т на слагаемые, не нревосхо^
дяшие п, равпо числу разбиений т па слагаемые, число кото
рых no превосходит п
Рассмотрим граф Ферре разбиения т. содержащею п ела
немых. Добавим в первую строку графа п— 1 точек, в следую
лцую строку — г. — 2 точек и i д.; наконец в предпоследняя
К любому графу Ферре разбиения ,п + (2.) на
вытекающее из равепщв (о 26).
§j гом'-птштинп симметричный -гсзис
6° Денучерак г Dim а,, а
iiuii т на слагаемые величин «,
а,) опреде1яв1 число разбге-
, а::, 1 е число решении
п уравнения
(5 30)
Пз формулы (3 6) ciepyer, что производящая функция дену*
Z) (т; ад. g0, .. ,
(1-г“0 (I - ... (1
(5.31)
Это выражение позволяет получить рекуррентное соотношение
Dim, щ, гь, ..., а,) = Dim — а„; аа,, . , а„) +
с начальным j словлен
D (т, ау
Полагая а = i, i — 1, 2. , ??, получаем выражение для числа
разбиении т
слагаемые, не
превосходящие
“ Dim~, 1, 2, ..., ?г). Соотношение (5 32) в этом случае прини-
мает вид
причем выполнены j словпя
т>1, «О,
7’. Различные статаемые. Обозначим через Rmn.
число разбиений т иа и слагаемых, среди которых к различных,
и рассмотрим производящую функцию
х, у) =
(5 35)
гДе полагаем ^оо =_ 1 Покажем, что
R (Л г.
Действительно, правая часть равенства представима в виде
Перемножая скобли в привои части, подучаем
= X/'
где
Заметим, что [3, + .. . + р,Г1 равно числу слагаемых, а
+ у™ — числу различных слагаемых разбиения
трт — т. Слсдонатсчьпо,
mf'r,,' ri
мула (5 36) доказана.
Рассмотрим производящую функцию
то фор-
Из равенства (5 За) следует
Формула (5 36) позволяет
шейпе
получи п. фу дицпонатытор
COO1I1O-
Подставляя выражение для R\t, т, у) из формулы
соотношение (5 39), находим
(5 40)
Непосредственно устанавливается, что
Применяя соотношение (540) многократно, с учетом равенства
(") 41) получаем
(5«)
С \ четом формулы (5.14) ил равеншва (5 42) получаем
Л„(/ В)-- я„(0Ц [i-i’U-i)],
п - 1, 2, ... (5 43)
р а s б и е п п я Рассмотрим разбиения
Каждое из этих разбиении обладает тем свойством, чю содер-
жит одно, и только одно, разбиение любого числя, меньшего т
При этом, естественно, одинаковые слагаемые рассматриваются
как неразличимые Например, для разбиения 1 4- J 4-1-1-4 име
Разбиение натуральною числа т называется сиве/пиенным, если
оно содержит одно, л только одно, разбиение каждого числа,
меньшего т.
Теорема 2 Каждому совершенному разбиению натураль-
ного числа т можно поставить во взаимно однозначное соответ-
стене упорядоченное разложение числа m 4- 1 на множители,
большие единицы
Действительно, пусть в совершенном разбиении m имеется
<7i — I единичных слагаемых, пг Э3 </, > 1. Тогда каждому из на-
туральных чисел, меньших q„ ставится в соответствие единст-
венное разбиение с единичными слагаемыми Ясно, что число ?<
должно быть следующим до величине после единицы слагаемым
совершенного разбиения т. Если число слагаемых величины qt
равно у2 — 1, Qz > 1, то следующее по величине слагаемое совер-
шенного разбиения m равно ц^Цг, и i. д Таким образом, если
величина максимального слагаемого в совершенном разбиении
равна q{q_ qk-t и оно встречается qk — 1 раз, </*>!, то имеет
х,есто равенство m — (р, — 1) 4- qSq^ — 1) + ... 4- q{q2 .. q^qk — 1),
тде qt > 1, i = 1? 2, ..., Д Отсюда следует что
m 4 1 — qsb . ,qk, g> > 1, 1 < l < к.
Теорема доказана
Например, совершенным разбиениям вида (5.64) числа 7 ст
и-гствуют следующие упорядоченные разложения на множи
л,, a , ик Показал
л 1иболыи nii делитель чисот
4 Пусть Кт.
1 — 2t
2
торых ис превосходит s ( имеется по грайпсй мере одно слагаемое рлвное
где R, — число ратбиеяяи т а о(г)~ сумма положительных делителей л
§ 6. Некоммутативный симметричный п-базпс
1. Определения Рассмотрим случаи общем комбинаторной
схемы, в котором G = {е)_ И — S,:, iде е— единичная подстанов-
ка степени т, а 5Ц- -симметрическая группа степени п В этом
случае два отображения о и о', о, о е= Ух, |Х1 =т, |У|=п,
принадлежат одном} классу СИ эквивалентности, если сущест-
вует цодстановка h е Sn такая, что о'(т)) =
=? (ЛСо(1)), . , й(о(?п))), ( е векторы, отвечающие о и с', мо-
гут быть переведены один в другой некоторой подстановкой мно-
жества Y Яспо, что такие векторы имеют одинаковые вторич-
ные спецификации
Элементы системы представителей классов бЯ-эквнвалепт
пости при G = {e}, f[ = Sn будем называть т-чыборками в не-
коммутативном симметричном п-базпсс.
Если занумеровать яг предметов элементами множества Х =
= {1, 2, .. т), а п ячеек — элементами множества У, I У1 = п.
го казкдому размещению т различных предметов и п различных
ячейках, как было указано, отвечает вектор (о(1), , о(пг)),
где о- X У. Ясно, что совокупность векторов вида Шб(1)), ...
Мо(лг))), где h пробегает множество всех подстановок сте-
пени п, отвечает единственному размещению т различных пред-
метов в п одинаковых ячейках. Отсюда следует, что каждой тп-
выборке в некоммутативном симметричном п-базисе ставится во
взаимно однозначное соответствие размещение пг различных пред-
метов в п одинаковых ячейках
Если отображение о X ~~ Y сюръективно, то вектору
..., <т(лг)) ставится во взаимно однозначное соответствие разме-
щение т различных предметов в п различных ячейках с усло-
вием, что каждая ячейка непустая В этом случае совокупности
векторов вида (/г(оИ)), . , /г(о(т))), h е 6'п, ставится во взаим-
но однозначное соответствие т выборка в некоммутативном сим-
метричном п базисе, в которой каждый элемент п базиса встре-
чается по крайней мере один раз В свою очередь каждой такой
т выборке можно поставить во взаимно однозначное соответст-
вие некоторое разбиение
(61)
мной есгва X на п блоков Отсюда следует, что общее число пт-
выборок в пекомхтутатявлом симметричном п-базисе равно листу
разбиении т множества с количеством блоков, не превосходя-
щим п
Обозначим через -рества X на блоки, IltKaK 1ft т 2 б'гоьов размера 1 1 < 1 Рз , .,., jJrJ число разбиении пг-мцо- имеющих вторичную спецификацию :рг л n?Pm т\ т. е содержащих < т Имеет место формула —аГ~т: V (6 2> (!') 1 Л!?' • ЩЛ’’"MV ... IV
pt + 2jJE + . . -г nijk, -= 'п
Действительно, расположим все блоки фиксированного раз-
01>епия т-мпожества -Y вторичной спецификации [[ltil2P2
“а ноямой в щкотором заданном порядке Любое другое разбив-
кой элементов па прямой. Отсюда следует, что общее число
таких разбиении равно частному от деления «Р па число эк-
вивалентных перестановок, не дающих новых разбиении. Экви-
валентные перестановки получаются при перестановке элемен-
тов внутри блоков п при перестановке между собой блоков оди-
накового объема Отсюда следует, чю число эквивалентных пере-
становок равно (1!/1 **-!/' (ш1)* "ф,1 ., рп,1 Нтим формула
(6 2) доказана.
Рассмотрим последовательность Л = (Л.. А,, ...), элементами
которой являются Г1о;11(оследонс1тельпостл из Л„ = (О, 1, 2 ...),
ним т множества А на и стоков с
ний m-множестна с указанным условием, содержащих /т блоков
размера I, через Т-ЛХ) обозначим общее число разбиении т мио-
Из формулы (ЬА) следует. чк> число т выборок в некомму-
тативном симметричном «-базисе со вторичными спецификациями
[[lP12ej... znh,'‘]], idhiiMH, чю jljsAi, i =- 1, 2, .... равно
В приведенных выше формулах
2. Нумератор. Рассмотрим производящую функцию вида
Т«,х, .
где суммирование проводится по всем р.. принимающим значе-
ния из последовательности .V. являющейся подпоследовательно-
стью из Л’о ~ 1.0, 1. 2, .. ), и А — UV, А», ..
функцию от /, т
часть в равенстве (6.7) определяет производящую
коэффициента при 1т сво
дигся ц вычислению такою коэффициента в выражении
равенства (0.7)
— м
Нумератор (6.7) с учетом его записи в виде (6.8) позволяет
вачодпп. выражения для производящих функций чисел ТДЛ),
7\„(Л), 7 „(Л; А, I). Действительно полагая в равенстве (6 8)
= 1, имеем
2/-.(ч^-Пг2 (ф)‘‘ |ф м
-Ui 11ОГПЧИО, иолагдя /ч = > • = . =r и соответственно х, ~ 1,
*=П ' = х, из равенств (6 7), (6 8) и формул (6.4), (6.5) иолу-
sin......«я(;.<- п2(4)8;4- МО)
>П О II 1> * 1 i\,S A, ' >
1 а<Чм(прим некоторые частные случаи задания Л.
Положим Aj = No = (0, 1, 2, = 1, 2, .. , н обозначим
Trt = T„(N0), Tmn = T„„(N0), Tm(k, /) = 7’В1(\0; к, /) Из формул
(6.9) —(6.11) следует, что
(В 12)
е^'-’), (6 В)
«рр-1 r (j--d4i- (6ii>
Числа Т,„, m = 0, 1, как указывалось ранее, представля-
ют собой числа Белла. Число Тт определяет количество разбие-
нии т-множества на блоки Дифференцируя обо части равенства
(612) и вычисляя коэффициенты при /"7m1, приходим к рекур-
рентному соотпошенпю для чисел Велла:
»• / пг\
Тм = 2 7 j
(в 15)
Путем разло-кеппя в ряд правой части равенства (6.12) л
вычисления коэффициента при получаем формулу Добин-
ского:
Из равенства (6.13) находим, чю
(6 17)
Отсюда следует, что для Т„п
разбиений m множества
на п блоков — имеет место равенство (см. (4.57) гл. I)
(6 18)
где о(пг, п)— числа Стирлипга второго рода Из равенства (6.18)
следуют формулы
(6 19)
= 2 o(m, k),
(6 20)
ые Umn— число m-выборок в некоммутативном симметричном
п-базисе.
§ в ныюммутмивпыя <:пмм1'.тР11чныи u-влзис
3, 4-разбиения. Пхсгь А есть пскоторая подпосчсдователь-
пость из N Будем считать, что разбиение т множества относится
к классу А разбиений, если размеры соответствующих блоков
являются элементами фиксированной последователь пости А
Обозначим через Т'т число А разбиений п? множеств i, iepe
Т,нп- чисто 4-рачбиен1Пг с п блоками н черс> Z„', (А I) —чис-
ло Л-разбпеипи с к блоками размера I. Возьмем
_рУ.„ ’е А
((0), 7 А 7
п рассмотрим производящую фми.цию
Тогда из выражении дтя проц нюдящпч функции (Ь9>—(fiJP
паходдм
(G 22)
2 2
со [m'd t f
2 2J'.(M)-^>--"p[o- о™
(G 22)
7”+1 ~ .S, G- l) 1'"-1
ни числам» Стирлинга второго рода Положим
$ 7. Теорема Пона
— /. 2п),
1. Основная теорема. Одни из наиболее общих методов пере-
.жвивалептпости отображений относительно
групп подстановок был разработай Пойа. Изложению основных
идей этого метода и посвящен данный napaipacf)
Пусть о X-*- У-- отображение лг-множсства X в п множест-
во Y ц УА — совокупность всех таких отображений. В соответ-
ствии с 1ермш1олог11сй Uoi'ta элементы множества X называются
местг/ми, элементы У — фигура.чн п элементы Vх — кочфигура^
множестве I причем о ~ а , л.
вектор
координаты которого принимают значепыя из не-
кого кольца А. <)тот вектор оудем называть sa-
il и записывать <o(r/) = (s>. лу. .. . b резуль-
В соответствии с этим л.
определим с помощью равепе
•.оифцгураи
(7 1)
, которое
,) число фигур и У. имею-
акции
прочем т —
(7 1)
суммирование проводится по всем
шеи ве^очпи
относительно
?, представляющий собой многочлен пищ (см (5 10). гл I)
С (Л. J,,
«де C'C't, 7i.
элементов цикловою
wiJm| группы подстановок G и суммирование
класса
ведется
Теорема Пойа. Производящая функция весовой сиеци-
фикации конфигураций, не эквивалентных относительно группы,
подстановок С, выражается через циклический индекс этой груп-
пы и производящую функцию весовой спецификации фигур со-
отношением
(zi.z2, •-.,гл) =
= Z(F (z1
s,(). F(zj .
Определим ipynny подстановок <7. действующую на множест-
ве YK и являющуюся гомоморфным образом группы G. Гомомор-
физм у G — G определим следующим образом. Считаем, что
па G определяет па множестве } т отношение эквивалентности,
при котором о лг д', если g(o) = o'. Очевидно что если о ~ </,
где ~ есть (7-эквивалентность. ю о ~ о', причем верпо и обрат-
ное Таким образом, отношения эквцвалептпостц ~ п опре-
деляемые соответственно группами G и G, совпадают.
Обозначим через fem(.«i, .?», ... s4; g) число конфигураций о
характеристикой Cs’i, s,. ... slt). являющихся неподвижными точ-
ками подстановки g е G Согласно лемме Бернсайда
ътл(щ.5„. . = s2....Sfc.g). (7.6)
Если Я—ядро гомоморфизма у С — G, при котором g =
то из условия g(o) = о следует, чго o(/?g(z)) — п(т), где h^H,
Таким образом, если X — произвольная система представителей
правых смежных классов G по подгруппе 1/, то имеют место
равенства
Теперь m (7 0) следует, чю
(7.7)
J’accMoipnM производящую функцию
(гг -г. • • • 2,,;^)- 2 bm(Sj, s'...
(srV Н)
где суммирование проводится ио всем значениям характеристик
1оиф11гурацнй, инвариантных относительно действия подстанов-
бига из I элементов, па которой действует цикл gj подстановки
g, то в силу равенств a (gj (а)) = о (g- (.г)) . о (gj (я)) = (г)
дня £ е X, убеждаемся, чю конфигурация а постоянна па X-..
Следовательно, множество конфигураций, инвариантных при
действии подстановки g*=C, может быть получено путем неза-
висимою задания тачепии о па орбитах подстановки g. Отсюда
следует, что если g=glga-. %<.—разложение g в произведение
независимых циклов и — чисто конфигурации
с характеристикой^'!1’: 4,) •• 4’)) являющихся сужением на ор-
биту X; всего множества конфигураций, инвариантных при дейст-
(7 iO)
d рассмотрим производящие функции вида
Ч (ю h - . - 2 «2- • . g,)^2 ... v-
Из 17 8> и (7.10) с гедуег, что
g) = <pU.,
g Z , , Z,\ g У ..
<[(£,, Z , . , Zt, g,) (7 11)
Пусть GlgW) gCz) для gsf, и всех г е X, и пусть у —
Достоянное лпачеппе, которое конфигурация о принимает па ор-
’Л) то характеристика сужения конфигурации
о па орбиту -V, nMcei вид л/, .... Следователи™,
ф (“1,
2
(7.12)
Это означает, что производящая функция tp(zlf z2, ..зй; g,') за.
подстановки ge G, Из формул (7,2) и (7.12) олещет^чю У 8‘
q>(Si,z2,. zlt; g}) -= /’(zl z'., z],). (7 13)
Теперь из (7 9), (7.11) и (7 13) находим
(zli “2i • • •» zk) = ~J(, | 2 (/l, /j, • • • > /mi 6’) z<
X I’ 1 (zx, z2, ..., zft) / 2 * * * * (zx, zj, ... z",) ... F ,n (z™. z™, ..., z^).
С учетом (7.4) данная формула эквивалентна формуле (7.5),
Теорема доказана
2. Первичные спецификации. Рассмотрим совокупность отоб-
ражений о. X -> Y, где X = {1, 2, ..., т), У = {у,, у;, ..., </„},
Группа G, действующая на множестве А\ определяет отношение
G-эквивалеытностп на множестве У*. В качестве характеристики
элемента у, возьмем n-мерный вектор со(у<) = (0, ..О, 1, 0, ...
- 0), У которого единственная i-я координата равна единице,
l^z^n Тогда производящая функция весовой спецификации
множества Y имеет вид
F(z,, z2, ..., z„) = z, + z, -r ... + z„. (7 14)
Ясно, чю конфшурацпя о тогда п только тогда имеет первич-
ную спецификацию [о| — [у1’р2г рп'!], когда вес конфигурация
равен со(о) = (as, а»..ап), Поэтому, если Сп/сц, аг, ..., а-., G) —
, - г I 7'i М
число конфигурации первпчпои спецификации [у у •.. уп J.
ие эквивалентных относительно ipyrnibi G, то производящая
функция
2
(7 15)
согласно теореме Поиа, имеет следующее выражение:
Фт (Zj, z2..... G) = Z (z, + .., + z\ 4- ...
(7 «)
где Z(ts, t«, .. , t,,, G1 — циклический индекс группы G. Из фор-
$ 7 ТГОРЕМА ПОЛЛ
классов эквивалентности, поро/кдаемых
следует формула для числа
1 руппой G на мно-
,(С) Zin, п.
(7.17)
1де •S’r,— симметриче-
•2, 5,)я1, то
-П(1
(7 18)
Правую часть равенства преобразуем следующим образом:
(7.19)
-=
Полагая в обеих частях последнего равенства Zt = .
Э го г результат хорошо известен, так как Спт есть число
1” выборок в коммутативном несимметричном и-базисе
М(|,|,иым. циклическим сдвигам. В атом случае отображение о
отличаются циклическим сдвигом. Если
С,„) — число неэквивалентных отображении
функции
®m(zl> ZV' • • i "rt> Cm) ~
аг, ..., a, t; Cw)z“Jz“2 ... z^1 (7.21)
в силу теоремы Пойа имеем
........- 4- 2 ф (<Г> {4 + г‘ т ... +
(7 22)
так как циклический
индекс группы Ст имеет вид (см.
(5 12)
2(ti, t2,
-..U: с„) = 4-2'00 Vм,
(7 23)
где ср(с7) — функция Эйлера и суммирование ведется по всем
делителям числа т. Из (7.21) п (7,22) вытекает следующая фор-
(aj, «2, ..<хп, Ст) — /it 2 4>(d) ,rj <01 (a ,dV
«'|(«rCt2 .°Д) 1 ''
(7.24)
где суммирование осуществляется по всем делителях! (а,, а., ...
..., ап)—наибольшего общего делителя чисел а>, а, .. ., а,,.
Из формул (7.17) и (7.23) получаем выражение для общего
числа классов эквивалентности, т. е. решение задачи о числе ци-
клических последовательностей (см. (3 56) тп. II);
'“-'TrS'rWn-
(7 25)
3° Задача об ожерельях. Пусть имеется запас из п
шариков, содержащих St шариков цвета с,, i==i, 2, .., k. п =
== 61 + 62 + ... + б*. Будем располагать т С п выбранных из за-
паса шариков в т равноотстоящих точках окружности. Класс
расположений шариков на окружности, отличающихся цикличе-
ским сдвигом, будем называть ожерельем
Если Y — множество заданных некоторым образом меток п
шариков иХ«{1, 2, .. , т), то каждое расположение т тпари-
окружности определяется некоторым отображением
о X Y. Каждому ожерелью ставится во взаимно однозначное
соответствие класс эквивалентности на множестве Ух, индуцируе-
мый циклической группой Ст.
Для числа ожерелий первичной спецификации цветов
Г Г£, ai “л!
[Ci сд . сЛ J где а> — число шариков цвета с. в ожерелье,
2 ч W
‘ (7 26)
где суммирование осуществляется ио всем делителям (alf a,
... од.) наибольшего общего делителя чисел а,. а2, - , 2, Вы-
вод этой формулы аналогичен выводу формулы. <7.2-4)
Производящая функция весовой спецификации фш>р в дай-
кон случае имеет вид
S
(7 27)
Формула (7 26) следует из равенства (7.27)
3. Деревья. Будем рассматривать множеств Y всевозможных
корневых деревьев, у которых все вершины, кроме нория, оди-
наковы. На множество Y определим одномерную характеристику,
слитая, что вес дерева у s У равен числу содержащихся в нем
вершин. Тогда функция весовой спецификации мноягеива Y
имес1 вид
(7 28)
Очевидно, что каждому дереву с те ребрами в корне можно
поставить во взаимно однозначное соответствие те корневых де-
ревьев Поэтому каждому корневому дереву можно поставить во
взаимно однозначное соответствие класс эквивалентности на мно
жесте Х={1, 2, ..., те), тде omonicnne эквивалентности
определяется 5,— симметрической группой степени те. Произ-
водящая функция весовой спецификации неэквивалентных фигур
имеет вид
(7 29)
где г„т — число деревьев с п верппшами н те ребрами, илцидент-
иь1Ми корню Согласно теореме Пойа имеем
(7 30)
гДг множитель z в правой части учитывает необходимость до-
бавления корневой вершины к фигуре из те корневых деревьев
Д-'л образования единого корневою дерева.
Теперь in очевидного равенства г (г) —
но 1учаем известное
соотношение Кэ.ы — Uoiia:
'(3) = =»4>{.2±-Vj
(7 33)
Отсюда можно получить рекуррентное сооигошепле
(7.34)
Допет внте и.по из равенства
(7.35)
(7 36)
(7.37)
(7 38)
Ьодставляя в атом равенстве вместо щ его выражение
ыулы (7.35), приходим к соотношению (7.3't).
и фор-
4. Связные графы. Рассмотрим в качестве множества Y сово
пучность всех связных графов. Выбирая, как и выше, в качест
ле характеристики элемента у е У чпело вершин, рассмотрим
производящую функцию весовой спецификации множества 1’
глс <% — число связных графов с п вершинами Каждому графу
<, т компонентами связности можно поставит!, во взаимно одно-
значное соответствие класс эквивалентности на множестве F ,
где Х = {1, 2, ..т}. а отношение эквивалентности определяет-
ся симметрической ipynnoii ?„, Производящая функция весовой
спецификации пеэквпвапептиых фигур записывается следующим
образом:
где g,..» — число графов с и вершинами и т компонентами связ-
ности, причем g>5 = 1 Из теоремы Пойа следует, что
Z(c(z), c(z2),
(7 40)
Обозначим через g , общее число графов с п вершинами н поло-
яшм go — 1 Из очевидного рлвепсгва gn
’ X ёпт следа ег, то
2 gm (г)-
(7 41)
Из (7.40) п (7.41) с учетом соотношения (7.32), верного для про-
извольной производящей функции r(z), находим
(7.42)
В силу формул (7 35) и (7 37) из (7 42) с гедует, что
^акёп-к-
(7 43'
где
42Х
Из соотношении (7.43) и (7 44) можно получить формулы
а определения числа связных графой. Применяя формулу
250
обращения ь равелслвх (7 41) получим
(7 /Л)
Эти формулы позволяют получить выражнптге <*,, для числа связ-
ных графов с п вершинами через общее число графов g .
Упражнения 1 Пусть 7(S„) — Z(/, t2, , Л,,: Л„) — цинлнчееьпй
индекс —симметрической группы степени п Винести рекуррентное
рач-еской группы 5„:
Z(v;,. ,i А„) = Z(ft, t, S„) -t- t3, -t4. S. ).
! ge<;
5 Прямое произведение гр\тш G н 7/. действующих соотвсл-твснпо
на множествах X и У, X Л У — 0, есть крупна G X степени iX'| + JF|
к к).
i„, GXU} = Z(l, t,,
ГЛАВА VI
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
§ 1. Вероятностные распределения
и случайные величины
1. Вероятностное пространство. Рассмотрим некоторый экспе-
римент, который допускает неограниченные повторения при фик-
сированном комплексе условии и результаты которого случайны,
т. е. не могут быть предсказаны до его проведения. Такой экспе-
римент называется случайным испытанием, а его результаты —
исходами случайного испытания.
Множество Q, элементы которого можно интерпретировать
как исходы случайного испытания, будем называть пространством
элементарных событий, а его элементы — элементарными собы-
тиями Система подмножеств ЗГ пространства элементарных со-
бытий Q называется о-алгеброй, если выполнены следующие ус-
ловия
.3) если {4,) - последовательность множеств пз то
Отметпм достаточное it. наличия одного включения, так как
/гое получается в качестве следствия в силу равенства:
1, - U Я, Если на множестве Q задана некоторая о алгеб-
называют измери-
ра ею
мы и пространством. Любое подмножество A s называется со-
бытием Говорят, что событие А является частным случаем собы-
тия В, если A s В Событие, состоящее пз элементарных событии,
принадлежащих либо событию А^бГ, либо событию В е есть
сумма этих событий А б В Произведение событий А П В состоит
и В&&" Разность событии А\В есть множество элементарных
событий, принадлежащих но пе прппадлежащпх В^ЯГ
Событие А ~ называется отрицанием события Все
множество И называется достоверным событием, a nveroe мно-
жество 0 = — невозможным событием. События А~б7~ и В
называются несовместными, если А П В = 0.
252
вгрояиюсгпыг методы
Например, эк кубик, трапп кот некоторой грани дующие А — чис выпавшей грани Очевидно, что А Вероятность 1 измеримою щ сперимепт состоит в том, что наугад opocaeicit орого помечены числами от i до 6. Выпадение в результате одного бросания является злемеи- В качестве событии можно рассматривать елн- ;ло па выпавшей грани нечетное; В -число на простое, С — число па выпавшей i рани четное. = /?, С = А< Л U(? = fi. 1 есть числовая функция, заданная и i т алгебре юстрапства <(), &"> и удовлетворяющая следую-
щим условиям
1) Р(Л) Ss 0 для любою А
событий справедливо равенство Р
3) Р(й)~1,
ме
s„~i 2 t ?V,n- n-M
пения — исключения, когда i
ьероятности (см. (1.9) гл. (Ь
5. Для любык событии /1,
Р(^,
Если пространство элементарных событии
роятности события Л справедливо равенство
всегда определена, ian. как ои абсолюте сходится в силу усло-
жни 0,
]5 частности, в указанном выше примере с бросаниями кубика
п;,ло.|.лм Q = {1, 2,"3, 4, 5, 6}, Р=2а, Р(Л) = Р(2) = ... =Р(6) =
.= 1/6. Тепла Р(А)'=Р(С) = 1/2, Р(.В) = 2/3
Для событии А,Ве&~ при условная вероятность со
бытия А при условии, что событие В произошло, определяется
формулой
Для нос щдователыюсгл событий (В,, Вг, .. ) такой, что Bi^Bj=*
лива формула. погнои вероятности.
/>(.4) _ 2 Р(В,)Р(А Вф
Р(Гр-Р (.4) Р (D | Л) + Р (С) Р (DIC) = ф Д
События Л,, Л-,, . , 4 взаимно независимы, осип .
П Alf<) - Р(АЧ) . . Р (А.^ для любых !</,< ,.<ik*£n.
Ясно, что если события А и В независимы, то PtA\B) = Р(.А).
В рассматриваемом примере события А и D (соотвегствешю
С и /)) независимы, так как P(D\A) = P\.D\C) = P(.D) = 1/3.
2. Случайные величины. Случайной величиной s на вероят-
ностном пространстве ,9~, Р~> называется функция g = c,(«),
0)S--), отображающая Р в множество действительных чисел R,
|'|ринадле,кит о алгебре Функция Z’=(x) — Z’(g < х) называ-
*;.т<?я Функцией распределения случайной величины $. Функция
определена на всей действительной оси, пе убывает и не
"Пгрывна слева Кроме того
Jim / _ ф) _ О,
hm I s(z) 1.
Если случайная величина £ дискретна, ч. е принимает с положи-
тельными вероятностями только значения х„ ,т2, , ар < ,г2 < ..
то вероятности
- о)-Л(’») 2^(ё -~Ы
Случайиая величина £ имеет распределение Пуассона с иара-
мспюм ?. > U, если
Футгнция распред
функции распределения существует такая функция /Дх) 2s
Функция/Да:) называется плотностью распределения £
случайная величина. имеющая нормальное распределение с г
метрами (т, о), определяемое функцией распределения вида
Для случайных величии
определенных па веро-
= °(£, < xt, ..., £„ < .г,,) — ее функцией распределения. Случай-
ная величина (5.. с,2, ..£п) непрерывна, если существует функ-
ция /(г/,, ..., у ) 2* 0 называемая плотностью распределения, та-
Случаилая величина (£<, .. £„) имеет ленырожденлое и мер
рое нормальное распределение, если плотность ее распределения
— положительно определенная
Случайные вс шчпиы
еслп I (а1. •
конечной последовательности С
называются независимыми.
..) независимы, если для
лих последнее равенство выполнено при любых и Еслп «-мерная
случайная величина (£ь ..., |„) непрерывна и t,, . , с„ незави-
симы, ю для плотностей распределении справедливо равенство
/(т-,.. ?„) = (Hj) .. (хп). Ддя дискретных независимых
.. , tt = Zi)i_p(^ = ri).. р^ = Хп).
§ 2. Моменты случайных величин
1. Интеграл Стилтьеса. Определим интеграл Стилтьеса для
функции распределения /(ж) и функции g(.x), непрерывной
отрезке 1я, Ы действительном прямой Разобьем отрезок [а, Ы
па п отрезков [х>-
= Ъ, и образуем суммы
п, Tai., чтобы а==х0
Я,- 2 V.IFW-F(аг.-.ж
где т, л Д/,— соогвеютвенно нижняя и верхняя траницы ф
-1. х,]. Из равномерной непрерывности глг)
три т, — ,г,-_। 6 для всех l^ic««. А.эким.
110 Функции / ы.
Если F(x) имеет па отрезке [а, б] непрерывную производную
то существует такая точка х
->) =- <Х; — В ЭТОМ
Стилтьеса
сводится к обычному интегралу Римана и
j g(x} dF (х) = 1 (r)dx
Соответствующий интеграл Стилтьеса с бесконечными предела-
ми определяется равенством
f s(x)dF(x)=, lun { ц ( т) dF (1}
В цельнейшем будем считать, что интеграл Стилтьеса от функ-
ции g{x) по функции F(x) существует, если существует соответ-
ствующий интеграл от функции ig(a:)l.
2. Моменты. Пусть случайная величина £ задана па вероят-
ностном пространство <Р, £?", Р'' Математическим ожиданием
или средним значением случайной величины g называется число
Л/g = J xdF(x),
(2 2)
где /’(а.) — функция распределения S Если I — дискретная слу-
чайная величина, такая, что P(g = ад) > О, к = 0, ± 1, ±2,
то соответствующий интеграл Стилтьеса сводится к сумме и ма-
тематическое ожидание имеет вид
лд= S ^(5 — j-л).
(2.3)
Для непрерывной случайной величины £ с плопгоиью распреде-
ления fix) математическое ожидание выражается иптегралом Ри-
Л/g — f zf(z)dx.
(2.4)
Из свойств интеграла Сшлтьеса вытекают свойства математиче-
ского ожидания.
1) iW(<zg + b) = cAfg -г Ь, где а п Ъ — постоянные;
2) Af(Ss +%2) =Л/М+ Л/£2, если существуют и Af£s;
3) если gi и g, — независимые случайные величины, то
МЦ
(2 5)
4) ес.ттт fe(|) — неотрицательная функция случайной величины
Mh (;)
с [утайкой величины £ определяется равенством
П1==М^-М1У. (2 7)
Из i пределе.игя вытекаты следующие свойства дисперсии-
1) />((?£) — где С — постоянная;
2' если Si и — независимые случайные величины, то
AUi + ь l-D^+D^. (2 8)
Нз свойства 1) математическою ожипаяпя ньпекает неравен-
(2 9)
•ли для сл\т.шшнт величины ч существует величина Л/к •=
. то она называется ее мом.ентом /с-го порядка. Аналогично
и у, = ААс — zWq А если они существуют, называются со-
пвенно аосо потным и центральным моментами k-то поряд-
з свойств математического ожидания следуют соотношения
(2 Ю)
(2.11)
Факториальные и биномиальные моменты определяются ра-
!Ж = Ш,
(2.12)
Bh = М |
^(е-
— I Используя з(7г, р и о(7г, ;) — числа Стярлинта первото и
ьГ1‘р,-.ц0 рода, нетрудно установить равенства
[Vb =
В качестве примера вычислим некоторые моменты для нор-
мального распределения и распределения Пуассона, Центральный
момент /с-ю порядка дпя норма илосо распредедепня с парамет-
рами (пг, о) имеет лид
Преобразованием s = (j —т)/о интеграла и правом части этого
равенства выражение для щ приводим к виду
Отсюда следует, что ^-=0 для к ~ 2r + 1, r = fl.J,„. В
ине р- , г = 1,2,.. , проведем с использованием тождества
Так как интеграл сходится равномерно для 1>0, то, дифферен-
цируя его г раз no I, получаем
Для закона Пуассона с параметром 2. > 0 имеем следующее
выражение для Л-го бипомнаibiioro момента-
Отсюда следует, что
3. Индикаторы. Рассмотрим случайные события А„ ...
А Случайная величина называется инаикпгороч события
А» если
пяступито при испытании.
ле насту пи ю при испытании.
Если ; — случайная величина, равная числу наступивших при
испытании собьпий из совокупности Л,
0-
где суммирование ведется по всем решениям уравнения к, + .
.-7-кя=^к в целых неотрицательных числах Возьмем математя
чесьые ожидания от обеих частей лого равенства Находим вира
ЛчЫН'е д гя А--го биномиального момента случайной величины £
Из формулы
(2.20)
следует формула, дающая выражение распределения | через би
номиальиые моменты.
В справделивос।н эюп формулы легко убедиться вепосредствен-
Теперь, если
то в силу тою, что
Р(ЛД1... лл) - Р(^ч = 1,
получаем равепшво
(2 22)
(2 23)
.ли РЛг)—вероятное ii> наступления ровно г
то из равенства Рп(.г) — Р(* = г) следует.
е. мы пришли к формулам метода включения — исключения,
когда веса элементов задаются вероятностным распределением.
Для упрощения вычислений при оценке распределения сду-
быть яснольдсшаны иераьенсгва
Р(Л„..
4. Предельная теорема. Установим условия, при которых рас-
пределение случайной величины £ при и <» будет стремиться
к распределению Пуассона
(2 26)
2Ч)
Рассмотрим неравенство
Из неравенства #<,
п условия (2.28’’, определяющего
выбор х, следует, что
(2 30)
]fa равенства (2 26) вытекает существование такого чю для
Из неравенства (2 28) следует, чю для n>nt и выбранном v
r j Br+2V п <С -у, а следоваюльно, согласно неравенству (2 25)
/?,<е/3. (2.31)
Наконец, из равенства (2 26) следует существование такого и»,
что для всех п > п2
6v'
«Эю означает, что для всех п
(2 32)
я2). Тогда для всех п>п, из неравенств
Этим теорема доказана.
5. Формулы обращения. Формулу обращения типа (2.21),
лающую выражение вероятностного распределения через бино-
миальные моменты, можно получить и в общем случае, когда
дискретная случайная величина не обязательно ограниченная
Имеет место следующая теорема
Теорема 2. Если биномиальные моменты Bh дискретной
случайной вегичины £ существуют для всех к
(2.33)
/>(5 = ^2:
(2 34)
мает вид
Например, для случайной величины имеющей распределепне
Пуассона с параметром 2, в силу формулы (2 18) имеем
р = = 0 Поэтому пз формул (2.35) п (2 18) следует, что
Фактически в теореме 2 сформулированы условия, при кото-
рых дискретное распределение определяется однозначно своими
биномиальными моментами, и дано выражение распределения
через эти моменты. Вопрос об однозначности определения веро-
ятностного распределеппя по ею моментам наиболее важное зна-
чение имеет при изучения сходимости распределении при нали-
чии сходимости соответствующих моментов
Теорема 3 Пусть {^„(т))—последовательность функций
распреде тения, все моменты которых
Мп
конечны, и пусть при каждой k > 1 Ьпт Mhn = Л/,. Тогда сущест-
вует подпоследовательность {/'эт (т)} пос гедовал ельности, {Fn(x)},
сходящаяся в точках, непрерывности к функции распределения
Fix), имеющей Мх, М2, ... своими моментами. Если эти моменты
однозначно определяют Fix), то последовательность {Еп(.х)} схо-
дится е точках непрерывности к Пх)
Известно, что нормальное распределение и распределение Пу-
ассона однозначно определяются своими моментами. Общин
признак однозначности определения моментами р, ] — 0, 1, ...
распределения состоит в том, что
Например, для биномиального распределения Р- — C'jp’g”
Р — ? — 1, J — 0, 1 • . п. факториальные моменты имеют вид
Если при п оо выполнено усювие пр
Ът[Л/К = 'А к~
Так как /? есть к й факториальный момент для распределения
Пуассона с параметром 7., то отсюда следует, что биномиальное
распределение при п -- пр — 7. сходится ь распределению Пу-
§ 3. Неотрицательные целочисленные матрицы
I. Число матриц. Пусть матрица Я=(ач), i=l, .... n, J ==
I, . , ш, имеет в качестве элементов целые неотрицательные
чиста и 2
Л’ Каждой такой матрице можно поставить
во взаимно однозначное соответствие Лг-мультимио;кество над
пиг-множеетвом. Следовательно, число таких матриц равно
«га 4-JV — 11 Линией матрицы бхдем называть со строку иля
столбец. Таким образом, матрица п X т имеет п + т линий Ли-
ния пазывается нулевой, если все ее элементы равны нулю
Обозначим через CAN; п, т~) число матриц п X т рассматри-
ваемою вида, имеющих г ну тевых линий, г — 0, 1,. , я 4- т. Но-
(3.1)
Занумеруем некоторым образом линии матрицы А н обозначим
через Aj свойство, состоящее в том. что ;-я линия является нуле-
вой, а через М (Л?1 . Л}(1) — число матриц, обладающих свой-
ствами А; , .. . А1Ь Если среди линии, занумерованных А, .. , jh,
имеется i строк и к— г столбцов, то
(3 2)
Отсюда стедуег, что
г/(4,2...л л)
(3 3)
[*• яерь, применяя формулу (1.9) гл II метода вк мочения — ис-
ключения, приходим к равенству (3 1).
2. Асимптотические формулы. При больших значениях п
и т вычисления по формуле (31) представляются достаточно
сложными Поэтому естественно па основе этой точной формулы
попытаться получить асимптотическое представление для С,(Л7;
п, т) при П, п, т «>, Для получения асимптотических формул
удобно сформулировать соответствующую вероятностную задачу.
Будем считать, что па множестве целочисленных неотрицатель-
ных пХ m-матриц задано вероятное гное распределение, полагая,
что каждая матрица при случайном испытании появляется с ве-
роЯТНОСТЫО ^*дЛ
случайную величину
равную числу пулевых .’ппшн в случайно выбранном мат*
рице Л. Если .Т3 — событие, состоящее в том, что выбранная на-
угад матрица обладает свойством Aj, и — индикатор события
JT), ю из равенства
р(Л,,... а,) = ,17(.у ...,i;t) IД “1) 1 •
следует, что биномиальный момент hmcci с юдующео вы-
ражение
(=14)
и. следовательно,
сущесг~
вует предел N/m — In т — 7. То.,да случайная величина
в пределе имеет распределение Пуассона с параметром X:
limP(U(Y) = г)
(3.6)
где X 2с-7 при а — 1 и к = е'7 при 0 < а < 1
Для доказательства теоремы докажем две леммы.
Лемма 1. При выполнении условий теоремы имеет месю
следующее равенство-
-(1)}, (.ТВ
где о(1)—О равномерно дтя всех 1
Проводя элементарные преобразования, находим
«.(КО- П (1+ у)'*.
При выполнении условии теоремы имеем
2
причем для достаточно больших т
;=(п—А)
j ie С — абсолютная постоянная Заменяя соответствующие сум-
мы интегралами, нетрудно убедиться, что
I,. К № ,1 _ _ Л/ 1_____ п Д1п,">Л
тле ос|аточный член при wz
для всех i и А., 1 ей i sSs A: sS тн‘
стремится к нулю равномерно
Разлагая в ряд логарифм в правой части последнего равенст-
ва, получаем
где остаточные члены стремятся к нулю при т -* «> равномерно
для всех 1 i «5 к С wz‘-d Этим лемма 1 доказана
Лемма 2 При еыпо гнении условий теоремы имеем
(3 8)
где о(1)-*0 при т-^-оо равномерно для весу 1
Используя очевидные равенства
и которых остаточные члены при т -*• <» равномерно стремятся к
нулю для всех О -Л к С т'~!, находим, что
В.|« »,1 = ±I., „(.у,
где о(1)-*0 равномерно для всех Из этого равенства
’’Млекает справедливость темми 2.
265
гл vi вьроятостные методы
Используя лемму
а при О
(3.10)
для /. = 0,1,... Отсюда справедливоеи> теоремы вытекает па ос-
нове предельной теоремы § 2
3. 0.1-матрицы Рассмотрим класс пХт 0,1-матриц, имеющих
ровно V элементов, равных 1 Общее число матриц ргтссматривае
мою вида равно Обозначим через С"г (Д'; it, т) число таких
матриц с г нулевыми линиями Покажем, что
(3 11)
Вывод этой формулы проводится методом включения — исключе-
ния так же, как вывод формулы <,3 1). Единственное отличие со-
стоит в том, что в дашюм случае
Па множестве пХт 0,1-матриц с V единицами зададим рав-
номерное вероятностное распределение, считая, что при случай-
ном испытании каждая матрица может появиться с вероятностью
( \ I Из тех же сообраакепии, что и в и 2, следует, что к й би-
номиальный момент случайной величины ранной числу
нулевых линий в случайной 0,1-матрице, имеет вид
Имеет место следующая теорема
Теорема 2 Пусть п = ат, 0 < а < 1 и при т -> ж сущесТ'
вует предел N/m— Inm. f Гояда случайная величина
алеет в пределе распреде teuue Пуассона с параметром /, причем
ло распределяемых в ячейках матрицы пХт единиц — сравни-
je.Tt-iio мачо и имеет порядок mClnzrrH), асимптотические распре-
деления случайных величин (А ) и £°ет (*V) совпадают.
Заметим, что при выполнении условий теоремы 2
л о.”Г ‘+°) (7Г - «р{- v(-t+4=-*)- <4
। е. 0 имеет такое же асимптотическое представление, что
и величина Ет{к, I) (см. формулу (3 7)). Отсюда следует, что би-
номиальные моменты й*(щ m) и В"(н. т) имеют одно и то же
асимптотическое представление (3.8). из которого следуют два
предельных выражения для т) вида i39) п (3 10) О|Сюда
и следует справедливость теоремы 2
Рассмотрим теперь множество п X т 0,1-матриц, у которых
п Общее чнс ю таких
I я строка содержит >', единиц и 1
Trf"1') т- г
матриц равно jj1 rJ- г.стп Л,— свопство матрицы рассматрива-
емою вида, состоящее в том, чю ее /-н столбец нулевой, то число
натри и, обладающих свойствами А; . . l<ji < < ]ц
равно
.Применяя формулы метода включения—исключения, с использо-
ванием итого равенства получаем выражение для числа 0,1 мат-
риц с ? путевыми столбцами:
г- 0 1, ...,т (1 13)
Еели ты мложесюе 0,1-матриц задать равномерное вероятно
стое распределение, при котором .любая из матриц появляется при
случайном испытании г иерояпюстыо ТТ . ю ДЛ» распреде
•тепля случайной величины равной числу' нулевых столбцов
в выбранной наугад матрице, получаем выражение
(- 1)'-’ ()) В„ (п и),
(3.14)
где 7? (??, — биномиальный момент £nm— вычисляется по фор-
П(»> - г.)1.
(3 15)
(3 16)
(3.17)
то случайная величина в предеге имеет распределение 11уас~
сона с параметром 7. = е~'
Пз формула (3 15) имеем
Для оценки сверху и снизу выражения, стоящею в правоп части
этого равенства, используем неравенства е 1
О < t < 1, Применяя эти неравенства, получаем
(3 18)
Из условии теоремы при т -> <» с тедукм оценки
Применяя Э1и оценки и нспольз5Я условия (3.16) и (3 17) теоре-
мы, из неравенства (3.18) при любом к имеем
где о( 1) -* 0 при m ->- » Это означав г, что
справедливость теоремы вьпеьает из предельной теоремы § 2
§ 4. Покрытия множеств
А'* — непустые различии
1. Покрытия. Пусть X,
подмножества X, являющиеся элементами булеана 2х. Напомним
что подмножество {Х(, А\, .... XJ булеана 2х является покрытие
Эта формула может быть непосредственно получена методом
включения — исключения
Гассмотрим2' 1 — 1 непустых подмножеств булеапа 2Г мно-
жества X = {xt, хг, ..., х„). Подмножество булеапа 2-1 обладает
свойством А;, если оно не покрывает элемент Xj, IsSj’S/z. Число
непусты'; подмножеств булеапа. не покрывающих элементы
Gj равно
Ясно, что D„ равно числу непустых подмножеств булеапа, ле об-
падающих ни одним из свойств At,
методу включения — исключения
Поггому согласно
Проводя очевидные j прошения, пз формулы (4 й) получаем фор-
муту (4 4' Применяя неравенства Бонферропн, получаем опенку
Отсюда следует, что
0 6)
Ото означает, что относительная доля подмножеств
восходит п/2’ и стремится к пу.тто при п — <*>.
зуя выражение д ih п-ц конечно»
получаем
D„ =- (1 2) Л"22'
(4 7)
Отметим также, что дгя числа покрытий п множества имеет
место соотношение
jnei-Uiii z. Разобьем псе непустые подмножества 2Х\& на п клас-
<ов. относя и i-.му классу все подмножества, которые одновре-
равно
,гля любо! о
.‘мепгов мшгиматьпого Adwibop
ждомт минимальному к б.точномт покрытю
п с различными ненулевыми строками. Все
тнуленые, путчем столбцы с номерами
.I. п. содержат по единственной едиил-
тому, что элементы X; .ц., .ri.^X
Если минимальное А’-блоимос покрытие является разбиением
все столоны соответствующей матрицы инцидентности содер
г ровно но одной единице Обозначим через (Л); и <Д): соот-
(( 1). И),)
Я' 7,), ню если минимальное к блочное иокрыше Х—Х
I VJ.
ортогональными.
Обозначим через Л р/с, у J
крытии n-множесгва Л, содержащих у однократно покрытых эде-
дующим образом Выбираем 1л| способами у однократно покры-
способами определяем блоки, к которым относятся
краипеи мере двум блокам.
О" = 1 эта формула оказывается верпом и для 1 =£ к у и.
Из формулы (4.10) следует выражение для L.sk) — числа ми-
нимальных к блочных покрышй п множества
Используя формулу дня чисел о(], к) с учетом того, что о(у. Л) =
для чисел L„(k):
Вводя обозначение Л’Ч2'‘ — к — 1 )’* =
можно записать в следующем виде
Отсюда следует выражение д>я числа минимальных покрытии
множества'
[L) формулы (4.10) следует также выражение для
минимальных покрытии п множества с j однократно покрытым»
(4.IG)
Отсюда при / = « следует твеситая формуга для числа разбяе-
/(•-блочному покрытию
равно ои. Л).
) 1).1-матри!Г Л а. п без пулевых" столбцов. Матрица I ои-
• свойством >1.-, если в г-н строке, 1 i к. не имеется еди-
Применяя мо-
i.(A) - S (-И fl (2‘ ~ *-0'-
не оо.тадающпх пи одном из свойств
Для агою возьмем в качестве однократно покрытых эле
1"Н.сматрнвать
xt . .,лД. а матрицу А ох дем
инцидентности некоторого мини-
3. Предельные теоремы. П<_с ничем reuej Др./г) —числа минимальных Л’-ч.тевиых тюкр) iaic как величина LSk> может быть получот! н нслоль.шошш! неравенства Ьолферропи ( ib асимптотическое п и к величина ытии п множества. ; в вероятностных изложенный в § 2 )дпако возмо.ьеп и
(4Л7)
асимптотическая формула
>. (Л) - (2‘ Л"*(1 «(D), (4.18)
то. 1>та аспмто1ическая формула может
Оцепим сначала величину 7?f. Прежде всего заметим, что при
выполнении условий теоремы для 1 О s «7 [A1/2-s] и /г, к -* »
справедливы следующие асимптотические оценки1
С2 — Абсолютные по-
стоянпые Пл этих оценок для всех 1
тоническая формула
г I 1П * Г - ТТ X.
. Cj ь -J , С5 — аосолютдая постоянная Из формулы
Применяя очевидное неравенство
(1.26)
и переходя к сумме модулей, получаем
О(Сюда следует сотержащая абсо потную постоянную Ci
оленья
погорая стремится
Значит, для
Переходим к оценке R- Используя асимптотическую оценку
(А.28>
1 ло Cs и Се — абсолютные постоянные. Так каь при к °° правая
часть неравенства (4.28) стремится к нулю, то существует такое
‘iio для всех к > /л имеем Яг<е/3. где е>0 — выбранная
ранее величина
Наконец, из равенства (4 19) следует сущее свивание такою кг
что для всех к
16*
ранепств i4
то формула i4.18) показана
^£^4,- »(*>] н-эд
где о(1) -* 0 при п к — о°
остается ограниченной при п, к ~ °с
Теорема 2. Если lim y]Ift — с
где правая
ства стремится it нулю при “'r)t
го равенство (4.30) спра-
ведливо
11ч равенства (4.30'' следует асимптотическая формула
(2?; — i)n
Ln(k)=^ о(1)],
справедливая
§□ произнот шип функции и првдельпьп. itopcmu
jj 5. Прои.«кодн1цие функции и предельные теоремы
1. Про ы .теина из но, <ящие функции моментов Пусть В — случайная с функцией распределения t'(x} и для эюи случайной
ВС 1 нчшгы существую! все моменты V, = vC- f 0 1,..., (5 1)
TIJMI ЮМ III print11'СТВО пргралы в равенстве (5.1) сходяюя абсолютно. Произ функцию моментов случайной величины £ определим <5-2)
если ряд БС< \ 1t1 Кч в правон част равенства (5.2) абсолютно сходится для : б, 6 > 0 15 этом с |учае молено записать g(l)_ J £*’<«. U), РЧ
где птег Л1( 1 и цу ’ столовые, п g-' рал сходится для всех 1/1 <6, 6 > 0 случайная величина р нырял.астся череп случайную не соотношением р=(с —н)/й, 1дс «, b — некоторые ио то соответствующие проивводищпе функции моментов (() связаны равенством
И шрммер ин 10. Р, g^t'i — e"r‘l/"g^t'b') (5.4) к естн Т| имеет норма jbnoe распределение с параметра- Т„(.)>/’(.1<т)--^= f
и, с ]едова] ел.по,
(/) - elVt
(3 3)
Отсюда следует, что для нормально распределенной случайной
величины & с параметрами (»?, о), где
F-, (г) -?(£<»)- -jyg, j tfu,
(5Ь)
ч (') = J W.
>=
(5-7)
щую функцию распределения F(.x).
Если S — целочисленная неотрицательная случайная величина
с производящей функцией
р (i) = 3 №,
(5.8)
1де р = Р($ =j), причем ряд в правой части сходится при неко-
тором х — х0 > 1, то все моменты It = 0. 1, этой случайном
величины существуют и для производящей функции моментов
имеет место равенство
где ряд сходится при [tl
(5 9)
Для гаком целочисленной слу-
чайной величины существуют также и производящие функции
("> 11)
г;1е ряды сходятся при I/!
Например, для распределения Пуассона с параметром Л
РЫ - е'-
(3 13)
/ф) = _B(Z) = ?
(5 14)
|.1Л, = /?. -В*~ У//;!, 1= 0.1. ... (3.15)
2 Теорема непрерывности. Рассмотрим последовательность
: пелочисленпых неотрицательных случайных величин и по
киитгедьность соответствующих нм производящих функций
> I, н1 2. ... Распределение вероятностей /и. А’=0. 1, ..
(Ываегся предельным при п -> для распределения = k),
= V, 1,. , c.iv'iainioii величины £n, если
lim P(in — А.) —щ,, /ъ = 0,1,...
называемая /еоре.чой непре-
Для выполнения равенств lim Р (gn = А) — Pk,
y-toduvo и дос/аточно, чтобы д^я любого х.
где Pit) — производящая функция распределения ph. А.=0, 1. ...
Например, для случайной величины с... имеющей биномналь-
вое распределение
(5 16)
Вронзко 1ящая функции вырал;аеи.я следующим обрати
(5 17)
2S0
имеем пр
3. Предельные георемы.
.. Говорят.
н <», если Jim Еп (х) — 1 (ус) в каждой тоще непрерывности
/(т). В дальнейшем часто будет лсгюльзоваи.ся теорема, принад-
распределения и производящая функция моментов случайной
величины $ , и— 1, 2,. . Если «,(/) существует при 1/1 </, для
ограниченная для всех UI
если существует функция «Я), определенная и
-g(0 при. UI
/о сущес/вует случайная, величина | < функ-
цией распределения F{x). такая что I'Wx) слаоо сходится к
причем сходимость равномерна в каждом интервале непрерывно-
сти F(.x) Производящая функция моментов £ суичествуе/ при
Например, если случайная величина имеет бином из лтлюе
распределение (5.16), то согласно равенству i5.17), производящая
функция моментов имеет вид
13 правой част, coi.'iacito формуле (5.5), стоит производящая
функция .моментов нормального распределения с параметрами
(О, 1). Согласно теореме Куртисса отсюда следует, что случайная
величина т]„ в пределе имеет нормальное распределение с пара-
метрами (0, 1).
При решении вероятностных задач в комбинаторном анализе
часто из асимптотической оценки производящей функции сооз
ветствукицей целочисленной случайной величины уже можно
получить информацию о характере ре предельно!о распределении
уста для последовательности случайных вели-
Так как усчоиня теоремы (5.22) и (5 23) выполнены, то случай-
ная величина г]„ вида (3 19) асимптотически нормальна с пара-
метрами (0, 1)
4. Центральная предельная теорема. Для характеристических
функций имеет место теорема, аналогичная теореме Куртисса.
личин и (срп(г)), (/„(t)) — соответствующие последовательности
характеристических функций и функиий распределения. Если-
существует непрерывная в точке t = 0 функция ср(£), такая, что
lim q-n (1) — «р (£) для любого t, то существует такая случайная
величина ; с функцией распределения F(.x). что Еп(х) слабо схо-
дится при п оо к 1 (х) равномерно е любом интервале пепре-
рыело^ти F(x). Характеристическая функция * равна tp(t)r
lim fpn(l) = ф (i) и стремление к пределу равночерно в каждом
конечном интервале.
В качестве следствия из этой теоремы мо;кет быть получена
центральная предельная теорема, которую мы дадим в формули-
ровке А. М. Ляпунова
Теорема 5. Пусть дана последовательность серий (gen)r
А=1, 2, ..п, п=1, 2, ..., взаимно независимых случайных ве-
личин, имеющих математические ожидания ni^.,t — Л/^Ап, диспер-
сии = и абсолютные моченты С„„ = 5/(1
б > 0, причем
ап — 2 Сп — 2 f/.ni
'1 огда, еси i выполнено условие ]im_iL = 0, (5 27)
то при п -* ео случайная величина (tkn—асимптоти-
чески. нормаль ка с парапет рами (0, 1), т. е.
lim Р 1 2^ (Ьл— тлл) < ^ = f e-'^du (5 28)
При приме: С л е д с т в! = 9* = 5д(я), j нении теоремы 5 удобно использовать ряд следствий- в е 1 Если = 1) — /Ц = Pi,(.n) а* + qh = 1, Е|п, с2„, .. , 1пп взаимно независимы и о л — 2 00 > (5 29)
r(i ирн га ~* °° случайная величина-(с, п — Рь} асимптот-че-
k=L
Cttti нормальна с параметрами (0, 1)
Действительно, выбирая 6 = 1, имеем т^п — МЪ,!т ~ рь ^ьп —
Отсюда
(5.30)
Следствие 2 Если существует такая последовательность
положительных чисел (stn), г=1, 2, п, что для взаимно не-
зависимых случайных величин tm, с2п, |Пп выполнено условие
I £jrt' Sm, 1 < i *5 га, причем при п~- °°
Од = 2 °°>
(5 31)
(5 32)
то случайная величина —т— 2 (£ш — 3/^д) асимптотически нор
малина с параметрами (0, 1)
Сп~П = 2 (I Sin — A/gi„ р-"6) < р msnsinj0 аХ-
перестановок
чодствие л тривиальным образом тштеьаег из следствия 2.
п) за чатим вероятностное распределение
Будем говорить, что элемент tk <= X, образует г ин-
версий в перестановке (/4, i2, .. , г„), если он расположен впере-
ди г элементов, имеющих меньшие значения. Так, в перестановке
(2 1435) 2 образует одпу инверсию, 1 — ни одной. 4 — одну ин-
версию и т. д Обозначим через 1 < к =5 п. число инверсии,
образованных к-м элементом, 1 < к п. в случайной подстановке
степени п Число перестановок, для которых элемент к образует
же число инверсии
равно
j) «= 1/4,
j = 0 1,..к - 1.
Таким образом, если
то прп п
0. Следовательно, согласно теореме 5 смучай-
ве игчина
асимптотически
нормальна.
Случайная величина
представляет
собой общее число инверсий в случайной перестановке стспенн п.
Кроме тою, прп п °°
0(0), Оа
с 1едующую
Поэтому окончаю и но
теорему.
Теорема 6. Если ц,, — число инверсии в случайной равно-
вероятной подстановке степени п то случайная величина 1]л =
- J!'* — ."—1 а<.имп1отически нормальна с парапет рами (0, 1)
6. Циклы подстановок. Рассмотрим случайный процесс, со-
стоящий ит и шагов Шаг с номером к состоит в случайном рав-
нонероятном выборе .«(7с) — образа элемента к, 1
п, случай-
ной иодстаповки s hi совокупности элементов, отличных от уже
выбранных образов s(l), .... stk — 1), Так как в качестве образа-
С/J может быть равновероятно выбран любой нт п — к + 1 эле-
ментов множества (1. 2, ... «}\{.«(1)..s'(t—1)1, то в результа
те каждая подстановка степени п может быть получена с вероят-
Шагу процесса с помором к поставим в соответствие случай
ную величину
к п, которая равна 1 если на этом тпа
ve выбран элемент, замыкающий цикл подстановки, п 0 — в про-
niBiioM случае. Так как среди п — fc+1 образов в{кУ имеется
е’ПШС1веиный. замыкающий ппкл, то P(|t„ = 1) =
k+ -I), = О) = (я — к)/(п — к -I-1) Случайные ве-
c.,,, 1;„. . |„п взаимно независимы и удовлетворяют
условиям следе гния 1 ш теоремы 5, прячем условие (5.29) вы-
полнено, гаи как при п -
77(1)-»- оо.
С.тедова ге.тыю. при п & случаи пая величина
асимптитп 1ески нормальна с параметрами (0,1).
Ясно, что случайная ветчина — У |/п равна общему чи
г i\ циклов в случайной подстановке Кроме того, при п -*• »
(5.33)
о (1), (5.34)
г;те С = 0,57/2... есть постоянная Эйлера Поэтому окончательно
^отучаем следующую теорему.
Георема 7. Если -число цикгов случайно раеиовероят
"о выбранной подстановки степени п, ю случайная величина-
Применяя формулу Стирлинга дня
Г (у + 1) == ]/~2л ijK+v-fe-jz-reM >j), 0 < 0 < 1,
находим следующее асимпюютесьоб представление при п
где о( 1) —0 равномерно для всех х, 1 — б-";г<1 + б, 0 < б < 1
gn W - exp | — ty In/г -I- (г1 ’ 1|1‘1 — 1) 1ц?г| (1 о (1))
для всех t, —6' < t < б', б' > 0. 01 сюда следует, что Inn gn{t) =
^е*2'-. а справедливость теоремы 7 вытекает из теоремы 2.
7. Возрастания перестановок. Элементы а, и а>+1 перестановки
а< < a14.i( 1. Будем предполагать, что элементу а,
предшествует возрастание. Отметим, что в этом состоит отличие
в определении возрастаний в перестановках от определения, дан-
Обозначим через 4П>. число перестановок степени п с к воз
расганиямн. Очевидно, что 4ЭТ1 — Апп = 1 и А,* — Ап я-*т1. Для
удобства положим Л0.0 = 1 Если из перестановки (а,, аг. , о.,),
имеющей к возрастаний, удалим элемент п. то в к случаях рас-
положения этого элемента между элементами, образующими воз-
растание, получим перестановки степени п — 1 с к возрастаниями-
в остальных п — й+1 случаях полученная перестановка имеет
к - I возрастании Отсюда следует рекуррентное соотношение
Индукцией ио п с использованием окно рекуррентного соог
ношения нетрудно получить формулу
Л.-2 (-I)'!" , /. — 12,. ,» (119)
теперь т)„—случайная величина, равная числу воз-
в случайно равновероятно выбранной перестановке
Т(ч„-Ч- 2(-‘bCT'J*' 1.2... .»
(140)
Применяя метод включения — исключения, находим
Г Ш - Л2 (- !)'• S\.
s„-i(O) S, „ту1-. л»,). ' = ».2,.
(.1 44)
Ы — целая часть от х
Из формул (5.42) л (5 43) получаем выражение для функции
Распределения
Г*1
НЮ)" Г-.41)
Непосредственно из формул (5 40) и (5.45) следует что
*4i], == lc') -= F, Ш — /’„(Л — 1), к = 1, 2, ,п, £. е. F„{x) при
в преОеле uveer нормальное распреае leitue
8. Производящие ф\нкцш1 — мцогоч ietii.1. При рассмотрении
комбинаторных задач часто встречается ситуация, когда произ-
водящая функция P„iz) случайной величины <•„ имеет вид
чисел а(, сс ,
тельными корнями. Положим
Теорема 9. Если производящая функция Р (аг) случайной
выпо тено усоеие
Ю случайная величина (с. — .'1/„)/о, оси нт о? ически порчтъна
с параметрами ((.), !).
]1з этого представления следует, что существует случайная ве
личина
такая, что
где
Т]1П, Цгп, - , Pn-m п взаимно независимы и Р{т\\п — 1)— 1/(1 + <*»).
Р (тр„ = 0) = а{/(1 j-сгч), 1^<О — ni Случайные величины
1]ш, Пгп, . •Цл-т » удовлетворяют условиям следствия 1 из тео
ремы 5, поэтому случайная величина (ip-AUX прп п -+ то
распределена асимптотически нормально с параметрами (0, 1)
Так как т^ н S,r. имеют одну и ту же производящую функцию, то
отсюда следует асимптотическая нормальность с теми же па-
раметрами.
В качестве следствия пз теоремы 9 дадим другое доказатель-
ство теоремы 7. Производящая функция случайной величины
равной числу циклов в случайно н равновероятно выбранной под-
становке, имеет вид
-j- х (г + 1) ... (х -Н п
?. имеет представление вида (5 51)
i SL п - 1 Так как при п -* °°
а£ =
2
ю условие (5.50) теоремы 9 выполнено Следовательно, с учетом
равенств (5.33) и (5.34) случайная величина (£„ — In п)/Т1а га при
п ~ «о асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
Сформулируем еще одну теорему об асимптотической пор-
малыюсти случайной величины, производящая функция которой
является многочленом
Теорема 10. Пусть случайная величина ичеет произво-
<1*’.цую функцию
выпо гиены условия
Тогда случайная ветчина (;
оо асимпто-
Рассмотрим взаимно независимые случайные величины
’ |:я, .. , £п4, причем имеет производящую функцию
nTix— . Из равенства (5.52) следует, что
распределения случайных величин + + п 2П совла-
дают и теперь справедливость теоремы 10 вытекает из следствия
2 теоремы 5, так как условия (5 31) и (5.32) эквивалентны vcjio-
Д.ля иллюстрации теоремы 10 дадим другое завершение до-
казательства теоремы 6 В процессе доказательства теоремы 6
было установлено, чю число инверсий т)„ в случайной равнове-
роятной подстановке cienemi п представляется в виде суммы не-
швиснмых случай ньтх величин *1Г„ g,„„ ц, — |1П т -1- ..
4- g„„, причем |4п имеет следующее распределение
= 7 = 0,1,., ,7.-1, i^k^n. (о.55)
Следовательно, производящая функция случайной величины г|„
имеет вид
(' 56)
1ак как = (2ns + Зм’— 5п)/72 п шах 1 то условия
теоремы 10 выполнены, и этим завершено доказательство тео-
ремы 6.
9. Локальная теорема. Говорят, что последовательность (£„)
взаимно независимых случайных величин удовлетворяет локаль-
ной теореме, если при п ->
="Р]
где Мп = 2
о» =- 2
Сформулируем некоторые достаточные условпя, когда имеет
место локальная теорема
Теорема 11. Пусть (£п) — пос.теаовагельностъ целочислен-
ных взаимно независимых случайных ветчин, имеющих конеч-
ные дисперсии, р„=Р(£,.
условия:
1) Р„0 Рлт для всех г
выполнены следующие
2) наибольший общий делитель таких m чго-
'*Рл>Рзт~
при п-*- равен единице-,
3) при п-+ ж имеем о„ •
3
(5 58)
Тогда
j «,:Р g Е, _ ™) - -4^ охр [- 11 _ о (_д
(5.59)
тогда иоо. Таким образом, все условия теоремы вьшочкечы и
имеет место равенство (5.59).
С другой стороны, пз вида производящей функция
2Л1п п ,
следует, что Р(г]г
Следовательно, если прп п
с„,.й/П(1 + ’,),
•Л/п)/о„ отранпчепы, то имеет место асимптотическая фор-
vTs 'р I--------тП И1 ~ ” I К/1? ' ’
Отметим, что формула (5.60) остался верной и прп более
слабом ограничении, ьотда при п -* °°
тах s;.
§ 6. Разбиения конечных множеств
хп = У, О' (п, А.) (т)ь.
(6 1)
где о(0, 0) = 1, о(ге, к)=0
(6 1) на tn/n и суммируя по
п = 0, 1, . . получаем
2
V £±£2
(6 2)
Рассматривая обе части этого равенства пак формальные степен-
ные ряды по степеням 1"/п\, возьмем от обеих его частей г-ю
конечную разность по х Взятие конечной разности от формаль-
ного степенного ряда фактически сводится к сложению некото-
рых степенных рядов, поэтому результат яв тяется снова степен-
ным рядом Из равенства (6 2) имеем
2 2)й2а(п ')A,'Wr. (6 2)
Используя формулы
из равенства (6 3) получаем
(6 6)
Полагая в обеих частях равенства х = 0 п используя легко до-
казываемую индукцией формулу д 1я формального степенного
получаем
(6 7)
Будем теперь рассматривать обе части равенства
(6 7) ъаь
степенные ряды от действительного переменного I. Используя
оценку
о(п. А.) <п7(/г)„, Л. = 0 1, (6 8)
вытекающую пз равенссва (6.1), и формулу Стирлинга для оцен-
ки факториалов, нетрудно установить, что ряд в правой части
равенства (6.7) абсолютно сходится при 0 < £ < 1/е. Поэтому
для этих значений £ имеем
2 о (»
(6 9)
Умно.ьим обе части равенства <6 9) па х‘‘ и просуммируем по
(6 10)
Применяя оценку (6.8) и формулу7 Стирлинга для факториалов,
можно получить следующую оценку 0 -S £ < 1/е.
(6 11)
С помощью этого неравенства нетрудно установить, что двойной
ряд в правой части равенства (6.10) сходится абсолютно для
0 О х < °°, 0^£< 1/е, и поэтому допустима перестановка зна-
ков суммирования, приводящая к равенству
(6 12)
Так как нрп любом действительном 0 х < °° фуикцг
целая, то равенство (6.12) справедливо для всех £, [£|
Используя формулу для чисел Белла
(6 13)
определяющую общее чисто разбиений п-мпожества, приходим ь
известному равенству.
Рассмотрим многочлен
fn(x) = X »(л, А.)хк.
Используя формулу пя чисел <т(п, к)
и условие о(и, к) = 0, к > п, можно аалисазь
/„«=1<>- ;г.
(6.15)
(6.16)
(6.17)
В правой части этого равенства можно поменять порядок сумми-
рования, так как по существу обе суммы являются конечными.
Проводя далее замепу персмсппыу суммирования, окончательно
получаем
/я(ж) = е га-01,.
(6.18}
для всех Ы < оо.
Отметим, что формула (6 18) может быть также найдена из
равенства
(6.19}
Н In ~ — п,
(6.20}
то для/п (i) = Д <f (п: k) зФ имеет место формула
(6.21)
ровашюм п, причем для всех т таких, что 1—б<х<1+6,
0<6< 1, сходимость равномерная. Общин член ряда при фикси
ролаином х достигает своею максимального значения при к,
близких R, где /? — R(x~) — действительное решение уравнения
(6.20). Представим ряд (6.18) в виде четырех сумм-
к'
(6.22)
в коюрых пределы суммирования удовлетворяют соответствен-
но условиям
(6.23)
Заметим, что при 1 — 6 <
пения (6 20) следуем что
(6 24)
поэтому при достаточно больших п все пределы (6 23) положи-
тельны
Оцепим сначала сумму 52 Для оценки /3 при А ®= приме-
ним формулу Стирлинга
п-тгя;».»
В результате получаем
(1 + o(D),
(6 25)
,де о(1) -* 0 при п оо равномерпо для вт
Используя асимптотическое представление
2R
формулу (6 25) запишем следующим образом:
о(1)) (6 27)
О при п -> <» равномерно для
веет х, 1 — 6 < х <1 + 6
Введем обозначения
г, - </ - щА2»--|++±-1
и воспользуемся формулой
'й' ыДзй == | е 2ds(l + о (1)),
(6 28)
равенства (G 27)
Отсюда при п
1-6<х<1 + 5:
f <T^2dz =
(б 29)
(G.30)
следуют оцепки, равномерные для всех х,
5t/52 = o(l), &/S2-o(l).
кб.-И)
Наконец, для 54 при п-*со имеем следующую равномерную
я 1 — 6<-г<1тб оценку.
(6.32)
Собирая оценки (6 30) —(6.32) и используя равенство (6.22), убеж-
даемся, что 8г дает главный вклад в асимптотическую оценку ря-
да (6.22), Теперь справедливость равенства (6.21) следует из
формулы (6.18) и оценки (6.30).
Следствие Для чисел Белла, определяемых равенством
(6,13), при п-*- 03 имеет место асимптотическая формула
(1+ *>(!)),
где г—единственное при п-*- » решение уравнения
(6.33)
(6.34)
Так как Тп = }Д1), то равенства (6.33) и (6.31) следуют со-
ответственно из равенств (6 21) и (6 20) при х~1 причем
г = 7?(1)
3. Случайные разбиения. На множестве разбиении п мно-
жества X зададим равномерное вероятностное распределение, при
котором каждое разбиение имеет вероятность 1/Тп, где Т„ — чис-
ло Белла, равное общему числу разбиений л-множсства Обозна-
чим через gn случайную величину, равную числу блоков в слу
чайном разбиении. Точное распределение этой случайной вели-
чины имеет вид
Р(|п = /с)=0(п, к)/Тт,
(6.35)
тде <j(n, к) — число Стирлинга второго рода, равное количеству
разбиений га-мпожества на к блоков.
Производящая функция случайной величины |п имеет вид
Рп{х) = /п(х)//„(1), п-=1, 2, .. , (6.36)
где /„(т) определено равенством (6 15).
Найдем биномиальные моменты Bh„, к — О, 1, , счучаиной
величины сп, воспользовавшись формулой
^?(1),
(6.37)
где Р„’(х) — к я производная Р„(х).
Для к-и производной/п° СО функции /п(х) из равенства (6.12)
имеем
1)^
Из этого равенства следует, что
Отсюда с учетом равенств (6 36) и (6 37) получаем
Используя эту формулу и связь между биномиальными и
обычными моментами, можно получить выражение для к ю обыч-
ною момента Однако обычные моменты имеют более простое
выраженпе, если пк получать с помощью следующего приема.
Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Стирлинга вто-
рого рода (см. (4.58) гч !)•
Суммируя обе части равенства (6.39) по ]. получаем
Отсюда следует формула для маюматичесього ожидания случай-
ион величины
(6/10)
Далее, умножая на / обе части равенства (6 39) п суммируя
по у, находим
Таким образом,
1 п ' п
Следовательно, дисперсия случайной величины имеет следую-
щее выражение
05,
(6.И)
Используя асимптотическую формулу (6.33) дтя чисел Белла,
при п -* °° из равенства (6.40) получаем Л/£я — г(14-о(1)) При
применим формулу7 (6.24), дающую асимптотическое выра-
жение г через п. В результате получаем окончательное выраже-
ние прп п
(6.42)
Можно показать, чю при п °° имеет место такя,е следую-
щая асимптотическая формула для дисперсии-
BS,, = (ПЩ2<1+ о(1)>- <6И>
Перейдем к доказательству следующей предельной теоремы.
Теорема
2 При п-*- случайная величина
>п — n/In п
Vn /'in п-
е пределе имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1),
lim Р (т]п < rr) = —= J е ul/idu.
где
(6.44)
Ml) = я - Г + 4гЛ - х + 1 + 1Ь ()^7я)
и о(1)-*0 при п <» равномерно для всех а,
При п -> оо производные Л„(х) имеют вид
h’n(x) = Rx— 1 + о(1),
h"n (х) =
2:' (n, 7? J- 11 ' (
hZ (x) = _ -—2!—_ -i- о (i).
—1) xaR (n 'Я -H 1 P ' '
Применяя формулу (6 24), находим
л; (о + (i) = ^<1 + о(1»,
(In п)
. о iW) _ 0(1)
оцепьи равномерны для 1—й<х<1+6 Таким об-
условил теоремы 2 § 5 выполнены, и теорема 2
причем все
разом, все
Доказана.
Упражвеэия 1 Используя производящую функцию для чисел
2. Рекуррентное соотношение (1) вывести путем рассмотрения классов
== 2 а (n, 1}(х)к
сел Белла
(3>
де Я = R (г) определяется уравнением (3). при ограниченном г п п-
§ 7. Конечные тоне гогив
1 Основные понятия. Пусть Л — конечное множество и 2А —
булеаи, соответствующий этому множеству. Некоторое подмно-
жество булеапа 9 = 2'' называется конечной топологией, на А,
если выполнены следующие условия.
2) Л! U А2 ей для 3) П А2 ей для Элементы конечно, жестеами. Множеств» а пара (.4, S) — топал жатая все элемен гы кретной топологией с рой является пустое и Теорема 1. Кон п-множеством, п > 1, множеств, совпадает с Пусть А = {at, а~, пересечение всех откр Обозначим через k {0(a), 0(a), .. , О(а, топология содержит i множество 0. Поэтом ния. Будем считать, мпо;кество может быт гов семейства (0(a), ется базой топологии -«и 1<11< С другой стороны, ОЧ( ватечьпо, А' = О(а}1 Пока/вем теперь, ' дискретной содержит три случая. Случаи 1. Пл ст ствует пары (О(а<). С 1огда все открытые ооъединенвм по 1 = 1 пых открытых мпоя; 1 Ф+ +0 если же к п — 1, то удовлетворяет условп Случаи 2 Ь се: одна пара (0(a). (Л В этом случае из г v .... к элементов се держащие одповреме число открытых мпо< ьесгва. равно любых А^ Аъ е= 81; любых А,, А- е Я й топология 81 называются открытыми, мно- ) А называется носителем топологии 81, огическим пространством Топология, содер- булеапа 2А множества А, называется дис носителем Л. Топология, носителем кото- [ножество 0, называется тривиальной. е.чная топология с носителем, являющимся содержащая больше чем 3 • 2п~2 открытых дискретной топологией с тем же носителем .., а) — носитель топологии Я и 0(a) — ытых множеств 81, содержащих а,, 1 i^n число различных множеств в семействе ,)} Если 7с = 1, то 0(a) = ... =О(а„) => А и jeero два элемента: множество А и пустое у данный случай исключаем из рассмотре- что k>i. Заметим, что каждое открытое ь представлено в виде объединения элемен- 0(a), ..0(a)}, т е. это семейство явля- Й. Действительно, если А' — jaj1, а1г , ... < ?» < га, то ясно, что О А', •видно, что А' £= О U • • • U О (а.^. Следо- )и. .и^Ы- что любая топология пе совпадающая с • менее чем 3 • 2П_3 элементов. Рассмотрим гь в семействе {0(a). .. . О(ап)} не суще ha.)} такой, что О\йА ~ 0(a), 0(a) 0(a) множества топологии 51 получаются путем . л. к элементов базы Число нолучен- ссгв, с учетом пустого множества, равпо л1. Гели к = га то ЮП0Л01ПЯ дискретна, । число открытых множеств топологии ЛЧ9Е) ю ЛчЯ) *--..>• л."— мсистве Юш,). .. О\а)} существует ровно nJ) такая, что О\а) <= 0{а), 0(a) 0(a). «аждого объединения, содержащего ] = 2, меисгва. надо удалить все объединения, со- нно (Да<> и (Aa-.i Следовательно общее кеств топологии й. с учетом пустого мно-
А'(Я) - 1 1 ! Отсюда следл ет что н ,i i-с--3 ри лтооом а к п A (ill «а 3 2
Случал 3. В семействе (0{at), 0<.ап)} существует по
крайней мере одна пара (О(аг), О(а^)) такая, что О(щ) <= <?(«,),
О(щ) =/= О(а;). Ясно, что число в данном случае не превосхо-
дит соответствующего числа в случае 2, т е 2V($t) <3 2'“2
Таким образом, установлено, что число элементов топологии,
не являющейся дискретной, не превосходит величины 3-2' "~.
Всякая топология, содержащая число элементов, большее 3 2" ,
является дискретной,
2. Цепочечные топологии. Совокупность элементов 0, Л.,
.... Аг, А булеапа 2А «-множества А удовлетворяющая условию
0с/]|С,_ сЛ.сЛ, образует конечную топологию с носителем
zl, которую будем называть цепочечной, а число г — ее рангом.
Обозначим через ГЛп) число цепочечных топологий ранга г, но-
сителем которых является «-множество Каждом цеиочечпой то-
пологии с открытыми множествами 0^А, с,. с^.сЛ можно
поставить во втаимно однозначное соответствие упорядоченное
разбиение п множества сг + 1 блоками:
Отсюда следует, чю
Тг(га) = а(я, г+1)(гЧ-1)’= Дг+'0’1, г=-0, 1, ?? — 1 (7 1)
Если 7(«) -общее число цепочечных топологий, носителем ко-
торых является п множество, и ТА)) = 1, то
7»
(7 2)
PaccMOipmr многочлен
(7 3)
Исиолыуя выражение для производящем функции чисел Моргана
(7 4)
для всех !/! < 1п(1 -г 1/1 х|) имеем
2 w 4г
(7 5>
Отсюда следует, чю
Ряд
2
формула
(пт
(7 8)
В формуле (7.6), дающей выражение /п(х), общий член ряда
в правой части равенства принимает максимальное значение при
“ г где г =
— целая часть
естесгвеино ожидать, что основной вклад в значение суммы ряда
дают слагаемые, не слишком далеко отстоящие от максимально*
ю слагаемого. В соответствии с этим соображением представим
/„(.г) в виде четырех сумм:
(7 9)
суммирования соответственно имеют вид
г - n,ZU!^fc<r+nw+,1 г + п"'2*е + 1 <
сс, где полагаем 0 < е < 1/2 и
(7 Ю)
Начнем с оценки суммы S.. Имеем
2туМ~т(23НЪ + 0<1))' (7-1,)
j де о(1)-*-0 при равномерно для всех 1~-6<х<1Ч 6.
Заменяя сумму в (7.11) интегралом и подставляя вместо г ею
значение из (7,10). получаем
ж) (In (1
<W + o(W
Переходя в интеграле к бесконечным пределам и внося при
этом погрешность экспоненциального характера, получаем
У^пп+У°у
(1 + о(1)).
(7 13)
В (712) и (7.13) о(1)-*-0 при п * со равномерно для
1 -6<х<1 + 6
Суммы и S3 оцениваются одинаковым способом. Имеем
(7.14)
<715>
Из неравенств (7 16) и (7.17) при п » следуют равномерные
для всех, х, 1 — 6 < х < 1 + 6, оценки
5р52=о(1), 5352-о(1). (7.18)
Наконец, для имеем оценку
(7 19)
Так как ог/(1 + х) < 1 для любых л;>0, то из неравенства (7.19)
следует, что при п-► “> S4 -* 0 равномерно для всех 1 — 8<х<
Теперь, собирая оценки (7 18) (7.16), (7 17) и (7 19), с сче-
том равенства (7 9) и формулы Стирлита приходим к формуле
(7 8). Другой ее вывод дан в § 5 гл. ПТ (см. (5.36))
Следствие При справедлива следующая асимпто-
тическая формула иля числа цепочечных /апологии, носителями,
которых являются п-множества
г<^тф^(1+<,<1’) (7 20>
равномерное вероятностное распределение и рассмотрим слу-
представляющуто собой ранг случайно
чайную величину
выбранной цепочечной топологии. Вероятностное распределение
имеет вид
k)^
Производящая функция случайной величины имеет следующее
выражение.
(7.22)
Из теоремы 2 следует, что при п -* эта производящая функция
имеет асимптотическое представление (1 — &<х< 1 + 6)
(7.23)
Введем обозначения
(7.24)
Докажем следующую теорему.
Теорема 3 При п~~ «
случайная величина р.
— ртг)/(о1'п) имеет в пределе асимптотически нормальное распре-
деление с параметрами (О, 1), т. е.
Производящая функция моментов случайной величины гр
имеет следующее выражение
Mn(t) - е
Заменой х = ехр {//(сП п)} отобразим окрестность 1—6<х<
’-х-1. + б в некоторую пепу левую окрестность точки t =0. Из ра-
венства (7 25), используя асимптотическое представление (7 23),
получаем
(7 26)
Используем теперь при п—-°° асимптотическое раз южение
du 2)
(7 27)
Таким образом
в пеьотороц ненулевой окрестности точки
i = U производящая функция моментов случайной величины рп
при п -* 00 сходится к производящей функции моментов нормаль-
ного распределения с параметрами (0, 1). Согласно теореме Кур-
тисса отсюда следует, что случайная величина в пределе имеет
нормальное распределение с параметрами (0, 1).
Упражнения. 1 Показать, чю топология Я с носителем А =
ммдгг для среднего и дисперсии ранга случайной цепочечной топологии, но
§ 8. Разделяющие системы множеств
1. Структуры и булевы алгебры. Множество © называется
структурой, если на iiqai определены бинариые операции умно-
жения л сложения +, ставящие в соответствие каждой паре
элементов а, йео лх произведение а Ь и сумм} а + Ь. причем
эти операции коммутативны и ассоциативны, т е a b = b а.
влетворяют условиям идемпотентности а а=-а. а-га = а и
поглощения из а- Ь — а следует, что а.-\-Ь = Ь, и обратно Если
сложение и умножение в структуре © связапы законом дистрибу-
тивности, т. е. для любых а, Ь. с^® (аЧ-Ь) с = а с+Ь-с, то
структура S называется дистрибутивной
Если в структуре © имеется такой элемент а>, что для всяко-
го Ъ s © имеет место равенство аг. Ь = ал. то щ называется нулем
структуры
для любого элемента b «= © справедливо равенство щ b — Ь, то
элемент щ называется единицей структуры ® Структура ®, со-
держащая нуль а0 п единицу а,, называется структурой с допол-
нениями, если для любого элемента существует таг«оп эле-
мент а е ©, что а а —ал, а + а — а. Дистрибутивная структура с
дополнениями называется булевой алгеброй.
Примером булевой алгебры является структура подмножеств
конечного множества X, в которой в качестве сложения и умно-
жения используются операции объединения и пересечения мно-
жеств. Нулем в данном случае является пустое множество 0,
а единицей — само множество X
Всякая конечная булева алгебра изоморфна некоторой буле-
вой алгебре, представляющей собой булеап 2Z некоторого конеч-
пересечепня н дополнения множеств. Такую булеву алхебру бу-
дем обозначать S3 = S3(X)
Если булева алгебра S3 совпадает с наименьшей булевой ал-
je6poii, содержащей систему множеств Е'={е1, е2, с„), то го-
ворят, что S3 порождается системой множеств Е, и пишут S3 ~ (ЕУ.
Множество Е называется системой образующих булевой ал
гебры S3 Система множеств Е — {е,, е, . , еД конечного мно-
жества X называется разделяющей для этою множества, если
для любых различных элементов х, х'
можно указать уакоо
множество <з4, 1 С k С пг что х>=ек, х'Фек либо х&ек, х'ек.
Теорема 1 Система подмножеств Е = {е1, е:, ет) ко-
разующих булевой алгебры ® = когда система Е является
разделяющей для множества X.
Пусть Е— система образующих булевой алгебры ® Покажем,
что она является разделяющей системой для множества X Вы-
ражение вида с = ег1 П П е r Q е, П . П е,г. где ц, . ir, С+1,
. , у — некоторое Z-сочетанпс пз чисел 1,2, .. , т, будем на-
зывать импликантои. Любой элемент б&23 можно представию
в виде
z?, .. —имиликанты Рассмотрим элементы х и х', х^=
I положим Ь — {х}. Пусть {и} = U 2а и найдется нмнли-
каита
такая, чю {а)^гл и.
следовательно т е zk С другой, стороны, так как Ш Л {я'} = 0,то
^3 пе может принадлежать ни одной из лмпликапт, включающих
и, следовательно, х'& zk. Отсюда следует существование либо
*-<k. чю х^ е,о х‘ сг В первом случае еХр разделяет х и х'.
&о втором случае^ а следоваюльно, и разделяют хих'.Та-
образом, Е — разделяющая система для множества X.
неведение
z= e[l) C]^,.q
(8-1)
Это произведение представляет собоп имплпкапту, п 2“{х}«
Теорема доказана
Положим X={xj, я2, .... хп} и каждому элементу ЬеЗ по-
ставим в соответствие вектор (еДб), .. , £„(?>)), где £,(6) = !, ес-
Пусть 77 = {е,, ..., ет) есть система о гементов булевой алгеб-
ры S. Рассмотрим матрицу из т и-мерных вектор строк, соответ-
ствующих этой системе.
(8 2)
Теорема 2. Для со^о чтобы векторы
s(i> = (£.(?,). i=| 2.. , п, €8 3)
являющиеся вектор столбцами матрицы р, отвечали системе об*
разующих Е = {<?,, е2, . . , е„,} бугевой алгебры 8, построенной на
булеане п-множества А, необходимо и достаточно, чтобы эти век-
торы были попарно различны
Допустим, что Е — {еи . , ет} есть система образующих бу-
левой алгебры, ио найдутся такие р и у, p^q, что в.'-?1 — £(ч>.
Это означает, что хР и х(1 ирннадлежат одной и той жо иодсисте-
ме системы Е Пришли к противоречию,
разделяющая система.
Обратно, если все векторы е(п, е1’1,
различны, те
система Е является разделяющей, а следовательно, является сис-
темой образующих булевой алгебры Э.
et, .. , em} была системой образующих булевой алгебры, необхо-
димо, чтобы бы to выпогчено неравенство
m > log п.
(8 4?
Действительно, при та [аппых тип число способов выбора
матриц f, удовлетворяющих условию, что все столбцы попарно
различны, равно 2'"(2"‘ — 1)... (2" — и — 1). Отсюда следует, что
для существования матрицы в необходимо выполнение условия
из которого вытекает требуемое неравенство.
Следствие 2. Минимальное число образующих булевой ал-
гебры S, построенной на булеане п-множества X, удовлетворяет
равенству
тв == {log,, л),
(8.5)
где {и-} — наименьшее, целое, большее или равное w
Действительно, возьмем Х = {0, 1, ..., п — 1} и рассмотрим
(вопчиые записи чисел 0, 1, .., п — 1 Число разрядов для запи-
си в двоичной системе числа, не превосходящего n— 1, равно
г' = |t: г J 2 6- - °- Л-Г, i,-t. (8.6)
1 е — миоя.ество чисел из X, таких, что в п\ двоичном раз
лоа.'еинп j-ii разряд равен I Ясно, чю Ео — разделяющая систе-
ма. Действительно.
X, то в двоичном разло-
л.епин и и х' найдется такой ;-й разряд, что для х этот разряд
равен 1, а д гя а' - - нулю, или наоборот В нервом случае х s е’,
х'с^е}, а во втором и ф с", х'>= щ i с е* разделяет элемеп-
Снстему образующих Е«, содержащую минимальное число
элементов, будем называть минимальной
2. Случайные образующие булевой алгебры. Пусть па 2" эле-
ментах булевой алгебры S задано равномерное вероятностное
распределение и Е — ег, , е„}-• система случайно и неза-
висимо выбранных элементов из 3 Обозначим через ВП7П событие,
состоящее в том, что Е есть система образующих булевой ал-
Теорема 3. Если Р{Втп) — вероятность того, что случайно
и независимо выбранная система Е—{е,, . ., ет) является систе-
мой, образующих булевой алгебры S. то имеет место формула
Р(В, J = (2’")н/2’пп.
Дейсгвпге.п.ио,
тс строки матрицы е
..., е,Л равновероятны.
являются равновероятными и для лю-
Р(е;Ц) 1) = ?(₽,(? ) = 0) = 1/2
силу независимости выбора с1(
векторы
B(1S,
(8 7)
е(п)
независимы и каждое из 2” значений принимается с вероят-
ностью 1/2”. Событие В„т состоит в том, что векторы s'1*, е<2),
.. , е!*” различны. Число способов выбора п различных т-мерпых
двоичных векторов равно (2"‘)„ = 2П1(2"1— 1)... (2,n — 1). Об-
щее число способов выбора таких векторов равно 2”‘л. Деля пер-
вое число на второе, получаем требуемую формулу
Теорема 4. Пусть (т}), (п;), — последовательно-
сти целых положительных чисел, такие, что предел
Jim (m, — 2 log2 п,) - a
существует. Тогда
fl, a =r Д- oo,
exp{—l'2“+‘). - oo < a. < oo. (8 9)
IP. a- oo.
Запитаем вероятность /*(/?„„,) в виде
W.J - П (1 - j/2").
Используя неравенство е'
следующие оценки:
Отсюда след^ец что если lim (m—21og2n) = а,-
~ вХР{-2«М
(8 10)
Р (».<«)-(2’К/2". (811)
Огсюда, с учетом теоремы 4, вытекает, что
lim Р(лп<2 !og2n + а) (’-1/га+1.
(8 12)
3. Схема выбо; случайным выбор построенной па без возвращения следующий (Z+1) костью 1/(2п —/). ванных элементов Обозначим мер» случайном выборе в соответстнующет рпм событие Dnm, ем все элементы е костей соответству ра без возвращения Булем предполагать, что образующих элементов из булевой алгебры 2), булеаие п множества А. происходит ио схеме Это означает, что после выбора 7 элементов -Г( элемент выбирается независимо и с вероят- В этом случае вероятность выбора иг фиксиро- е,, е2, .., равна l/(2n)m эз Г>пт событие, состоящее в том, что при : без возвращения элементов et, е2„ .. . t им матрице в все столбцы различны. Рассмот- состоящее в том, что при выборе с возвращени- !, в-,, , ет оказались различными. Для вероят- тощих событий имеет место равенство р(й* ) .. Р n D’^
Пл очевидных неравенств Р'ЛРР) — P{D „„) «5 PtBn„!} D,m)
Р(В ) вытекают следующие оценки.
Р(^т)
('обытие Рпт состоит в том, что средп случайно выбранных
т двоичных n-мерпых векторов есть хотя бы одна пара совпа-
дающих. Поэтому справедлива оценка
Р(В,.)<[’У 2*.
(8 13)
11ТП Р (/?*
(8 15)
'<• Разделяющие системы функций. Понятие разделяющем си-
стемы множеств можно естественным образом обобщить путем
рассмотрения разделяющих систем функции. Пусть X — задан-
ное n-множество, n 5s 2, па котором определены функции
ft(.x), ___, fm(.x), х^Х, со значениями из fc-множества Y.
Система функций F = (./Дх), /2(х), .. , /та(х)) является разделяю-
щей, если для любой пары элементов х, х = X, х х', сущест-
вует такая функция f,(x), что /3(х) #= /Дх'), 1 =5 $ < т.
Разделяющие системы функций можно характеризовать и дру-
гими способами Множество .4 = X будем называть уровневым
множеством для функции /(х), заданной па множестве X, если
А содержит все элементы х^Х такие, что Дх) = у, где у Y
фиксировано, У— область значений Дх). Пу’сть Y~{y,, у,}
и А,., ..., Д1(1, Л2|.. А^, ..., АП1, .. , Am!l — совокупность
уровневых множеств, отвечающих системе функции F.
Теорема 6 Система функций является разделяющей тогда
и только тогда, когда соответствующая совокупность уровневых
множеств является разделяющей
Действительно, пусть х^х', х, х' е X и существует тако©
что /Дх)#=/Дх'), /Дх) = .цг, /Дх') — г/,, 1 s= р, q^ik.
Тогда AtP — уровневое множество функции /в(т) — удовлетворя-
ет условиям х^Дьр, х’<£Аер В силу произвольности выбора
х, х‘ *= X, хФ х', отсюда следует, что совокупность уровневых
множеств является разделяющей. Для доказательства достаточ-
ности те я?е рассуждения следует провести в обратном порядке.
Рассмотрим теперь матрицу, отвечающую системе функций
F=(/1(x), .. , /т(х)), заданной ва множестве X — {хь ..., xlt5:
(8 16)
Теорема 7 Система функций Р является разделяющей
тогда и только тогда, когда все столбцы соответствующей матри-
цы F являются попарно различными
Справедливость теоремы вытекает непосредственно из опреде-
ления разделяющей системы функций.
Система функций F, определенных на п-мпожесгве X, назы-
вается минимальной разделяющей системой функций, еспи ни-
какая ее собственная подсистема
ляющей.
Теорема 8. Если F = (/< (х).
разде-
есть минимальная
разделяющая система функций, определенным на п множестве
(8 17)
и эта оценка наилучшая
Сформулированная теорема утверждает, что если разделяю-
щая система функций, определенных па n-миожестве Л, содер-
я.иг ие менее п функции, то из ни., можно выбрать п — 1 функ-
ций. образующих разделяющую систему Ясно, что данное ут-
верждение справедливо при п=2, так как в разделяющей си-
<теме F=={jI(x), f2U)) прп X = {ац. х2} либо функция удов-
летворяет условию /1(ь^ У=/,(а:2), т о образует разделяющую
систему F' = ififx')), либо 1Л%1) =£ h^'-г) и F' — (/zW)
Будем доказывать теорему индукцией по п Пусть F— разде-
ляющая система функций, определенных на множестве X —
-- {ац, ак, .... х„, хп^,}. Яспо, что эта система является разделяю-
щей и на множестве X' = {#,, х->,
и, следовательно, по
предположению индукции существует разделяющая система Функ
пин Z-' = (/f(x), . , /n-Jx)), рассматриваемых как определенные
ла множестве X'.
Ми грина
(8 18)
нмеег различные столбцы Рассмотрим вектор столбец (/1(гпх1),...
. .. J.,_1(.rn+1))T. Если этот вектор отличается от любою из вектор-
столбцов указанной матрицы, то система функций F' является
разделяющей на множестве X, и теорема доказана.
Пусть теперь существует такое г, 1 i п, что //ац-щ) =
= /Дх), I = 1, п — 1, 1 е рассматриваемый столбец совпадает
( некоторым, естественно, единственным г-м столбцом матрицы.
1огда в системе функции F должна существовать такая функ-
ция /, что f(.rn+t) ftxi), гак как в противном случае элементы
х, п .т-i, нельзя было бы разделить с помощью системы F Си-
стема функций F" = (fyiz), .. , fn_i(r), /(г)) является разделяю-
щей на множестве X — 1х,, х->, ..., хп, xn+J, так как столбцы
(8 19)
все различны.
Рассмотрим систему функций F=(/,(x), /.(аг), .. .
для всех 1 < i < п — 1. Ясно, что F является разделяющей си-
стемой функций и эта система содержит п~ 1 функций Теорема
5. Энтропия и оптимальные разделяющие системы функций.
11а множестве X = {xt, х-, .. , хп\ зададим равномерное перояг
постное распределение, полагая, что каждый из элементов X
имеет одну и ту же вероятность 1/п. Функцию /Ст), определен-
ную на множестве X, можно рассматривать как случайную ве-
личину Если Y — {у(, у t , yh} есть область значений функ-
ции 1{х) л зпачеиие у, принимается /(т) при 1} значениях аргу-
мента, ю
pU Ч) = >л) =
Энтропия верояшостиою распределения (Pi Р^- .?«•)• 2 1*
определяется формулой
Я(Р!, р2, .. р,) - - S Pj
где полагаем 0 log> 0 ~ О
Очевидно, что /Лр,. р2, .. , р,} 5=0 н 77(pi,
тогда и только тогда, когда найдется iai.oc 1
максимальною значения при pt *=
Ж Рг,
СВОЙСТВО
.. , 1>г) =S IHl/r 1/r. .. , 1/r) = log2 r.
следует
функций
выпуклости функции <flx) -=
«го неравенства для выпуклых
При задании равномерного вероятностною распределения па
77-множестве X энтропия функции /(аг), предс^вляющей собой
случайную величину, определяется равенством
я [/ Wl - - 2 p U (*) - y}) Jogs P(fW = y3)-
Эптроппя системы функций F = (f(W, j-ix), .. , /Ла)), за-
данных на n-множестве X, определяется равенством
ЯР1М fm (ж)] =
2^ W) = '7
vJlog^PC/Jx)-
принимает всевозможные значения функции А(х>,
Непосредственно из определения следует, что
И(/,(»)...../.W1<W(4
Если система функций Е=(А(г), /2(х), . , f,Xx)) — ра.зде
ляюгаая на п множестве X, то все векторы (/Дл,),_________
1 -щ; i лг, различны п, следовательно,
Р(/1(з') = /Дал), .. , /да(х) = /от(х,)) = Мп, К i п
Отсюда следует, что для разделяющей системы функции па
п множестве X имеет место равенство
/,ЛхУ1 — logs п.
Таким образом, доказала следующая теорема.
Теорема 9. Есяи F = (I,(.т), .. ., )т(.т)) есть разделяющая
система функций, определенных на п-множестве X, и 7/[/Дх)] —
энтпопия функции fXx), при задании равномерного
распределения на множестве X, го имев! место неравенство
2 НIA (а-)] 5s log.«
О । метим, чю равенство в данной оценке достигается тогда и
только тогда, когда функции ft(x),
. , рассматриваемые
как случайные величины, являются независимыми. В этом слу
чае разделяющую систему F называют оптимальной разделяю
щей системой функций
6. Задачи поиска. Рассмотрим следующую задачу’, относя-
щуюся к области медицины Имеется п болезней, которые мы
обозначим элементами множества X =* х2, . , хпУ. У каждой
из болезней есть определенный набор симптомов, характеризую
1цих эту болезнь. Вместе с тем известно, что один п тот же симп-
том может относиться ас к одной, а к нескольким болезням из
множества Поэтому естественно каждому симптому ставить в
гсответствпе некоторое подмножество множества X тех болезнен,
которые сопровождаются появлением этою симптома Совокуп-
ность всех m симптомов, сопровождающих болезни из множества
X, обозначим через щ, е2,_____, е,„., где е,
болезней, имеющих i-й симптом
И ё;— множество
Для того чтобы отличить болезпи xt ц х,, г=&}, необходимо
существование такого симптома ек, что я^е,, х, & е„ пли х,^ел,
я:^ек. Такие разделяющие болезни симптомы существуют тогда
л только тогда, когда система множеств Е = (с,, е2, ..., ега) яв
льется разделяющей.
Другая задача относится к области отыскания неисправностей
в приборах. Пусть X ~ {ль т2, . ;тл} — множество неисправно-
стей некоторого прибора. Для определения характера пепсправ-
полагаются заранее вычисленными.
Конечно, данную задачу можно просто решить с помощью
одной функции /, осуществляющей блекцщо множества Л’ в не-
которое множество У, 1У1 = п. Однако лапти систему измерений
работы реального прибора, отвечающую талон функции,—зада-
ча, как правило, довольно сложная
чайпо и равпоазероямо выбираются
множества
матрица инцидентности этой системы иодхьюжеств л множества X. Пока-
ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛП
§ 1. Свойства перманентов
1. Определения. Обозначим через Мп,АЮ множество матриц
п X т, п^т, с элементами пз коммутативного кольца К Пер-
манент per Л матрицы 4 = («,<) Мп,АЮ определяется равен-
ством
(1.1)
где суммирование проводится по всем инъективным отображепл-
Если а(г')=У,, 1 то (/i, ]2../я) есть п размещенье
пз множества У = (1, 2 . , ml ц перманент матрицы Д можно
записать в следующем вице.
(1.2)
где суммирование проводится по всем «-размещениям (п, .. ,
из множества {1, 2, . , от).
Два элемента а» и «м матрицы А будем называть неколлине-
(111агоналыо матрицы А. если координаты этого вектора яв гяются
попарно меколлипеарпыми элементами матрицы А, а
диагональным произведением Согласно формуле (1.2) перманент
.матрицы
диагональных произведений этой
слагаемых в этой сумме равпо («*)„. Если
р«^- s пЯ<,Й1Ь
(1.3)
где суммирование проводится по всем подстановкам s е £я, где
6',, — симметрическая группа степени п
Из формулы (1 3) следует, что при т — п перманент имеет
переделенную связь с понятием определителя det Л соотвегст-
Рассмотрим И — подгруппу симметрической группы Sn и
МАЮ— множество матриц пХп с элементами пз кольпа /С
с е диницей Гомоморфное отображение уу. Я К будем называть
характером группы П. Рассмотрим функцию Шура d? : А/п (X)-*- К,
определяемую с помощью формулы
(1.4)
где d% (.4)—образ ЛсД/ДХ) при отображении d%, s(,i)—образ
i при подстановке s е= Н и суммирование проводится по всем
•*=- per А. Если 11
s четная,
s нечетная,
2. Перманенты и определители. Учитывая аналогию выраже-
ний дтя перманента п определителя матрицы А естест-
венно попытаться найти общую формулу, сводящую вычисление
перманента к вычислению определителя соответствующей матри-
цы Один из подходов к решению этой задачи состоит в отыска-
нии линейного преобразования Z «'-мерного векторного прост-
ранства J/ДЮ, такого, что
per 7 (Л) =-det.4
(1,5)
Ограничимся случаем, когда К — кольцо действительных чи-
сел, и положим Мп ==• Ма(№. Для этого случая Пойа рассматри-
вал в качество линейного преобразования 7’ умножение на —1
одинаково расположенных па фиксированных местах элементов
всех матриц А <= Мп. Ясно, что для J е= Mz такое преобразование
2' существует и опредсляетсд равенством
Однако случаи п=2 представляет собой исключение, так как
справедлива следующая теорема
Теорема При п2=3 не существует линейного преобразова-
ния Пойа, при котором per 7’(Л) det/1
Сначала докажем теорему при ?г == 3, Допустим, что такое
линейное преобразование Койа 7 существует, lor,да для каящой
диагонали матрицы -4 М3, соответствующей четной подстановке
s е Ss, на —1 умножается четное число се элементов Все три
диагонали, соответствующие четным подстановкам, не имеют оо-
щих элементов, поэтому обтцее число элементов матрицы А, ум-
ножаемых на -1. является четным С другой стороны, число
умножаемых на —1 элементов диагонали, отвечающей нечетной
подстановке s *= S3, должно быть нечетным. Отсюда вытекает,
что общее число умножаемых па —1 элементов матрицы А^М3
должно быть нечетным. Получили противоречие
достаточно построить класс матриц А^Мп,
При п> 3
для которого
.'шлейного преобразования Пола
вует. В качество такого класса возьмем матрицы вида А =
= сИач(Л\ где /И s: Д/3, Zn_3— единичная матрица поряд
на п — ’>. В левом верхнем углу матрицы А стоит некоторая мат
рпца .1' А/3, а в правом нижнем — матрица У„-3, остальные эле-
менты нулевые. Очевидно, что рег/1 = рег/Г и det Л = del А';
а так как при п = 3 теорема доказана, ю отсюда следует, что
она верна и для произвольного п
В заключение отметим, чго теорема верпа и для произволь-
ною линейною преобразования, однако доказательство этою
фак1Д мы не будем здесь приводить
отрицательны, то
.. , п, и j шменты с,, не-
| det A j pei A =CjI
(1-Ь>
Зги неравенства сразу следуют из формулы (1 2) Если элемен-
ты матрицы А могут быть и отрицательными, то неравенства
(16) могут не выполняться, в чем легко убедиться, положив
3. Свойства перманента. Обозначим через Г™ множество век-
торов w = (w,, , со,) с цеточнелегшымп координатами, 1 < со. <
=<: т, 1=1, , г Положим
Gr,„ = {(io,, , <ог)еГг»: Ксо,<. .<сог<тп}, (17)
<?Гп = {(®1 , сОт)еГт.. 1 <01 < ... < ок < т). (18)
= М,1Г,,1К) матриц пАХ-тп с элемента-
еII а = (а, , ар) е~ Gp„, $ = (3,, . , 07) е G,.„ обозначим
через _4[сс1.3] матрицу pXq, в которой в i-й строке н i-м столбце
стоит элемент ааьр;- В частности, если a^QPr,, [J еQqm, то
ешь подматрица А, расположенная в пересечении строк
и столбцов, номера которых определяются соответственно cz и (3
Через М(а1?) будем обозначать матрицу, полученную из мат-
рицы А вычеркиванием строк и столбцов, номера которых опре-
деляются соответственно а и jk Матрица /Исс1^) называется до-
полнением к матрице Л[а1р]. Матрицы zl(a!—) ц А( —1£) полу-
чены соответственно вычеркиванием только строк, номера кото-
рых определяются а, и только столбцов, номера которых опре-
Сформулируем ряд свойств перманента
1°. Если ЛеМ„„, п < тп, П и П1 — подстановочные матрицы
порядков пии,ао
регПЛП, =рсгЛ.
Обозначим через лил, подстановки, соответствующие подстано-
вочным матрицам П и П,. Тогда
где б 1 — символ Кронекера. Если Пу1П1 = (ai}), i — 1,
т е матрица ПЛП, подучается пз матрицы Л перестановками
строк и столбцов в соответствии с подстановками л и я?1. Отсю-
да следует, что
per ПЛЩ
где суммирование ведется по всевозможным инъективным отоб-
ра/кемиям у.{л(1),
что у(л(г))=11, г
, Л;1(т) |, таким,
. п Так как л (/')} =
’(т)1 = {1, .. ,яг), то ретПЛП1 = per Л.
Ат — транспонированная матри-
per Лг = per Л.
(19)
Положим Л2 — (al
Тогда
рог Лт — 2j «5
где S„— симметрическая группа Осущес1внм взаимно одпозпач-
пое отображение диагоналей матрицы Л-у
‘ • • an,s-’(n)- В результате получаем
регЛТ= 2 I111-4
3°. Функция регЛ, Л^Мпт, п<.т, является нолилипсйпон
функцией строк матрицы А Обозначим через Л,, Л2, ..., А,
строки матрицы А Будем записывать матрицу А в следующем
соответствии с этим per/I ~
= per (Л., А-, .. Л J2' В этих обозначениях свойство ио.тили-
пейностп перманентной функции можно записать следующим об-
разном.
« /
, ^4 tnkAk I —
Lper(Ai( Ль< .
(1 10)
Действительно,
{ Д YiM«, ,
3 *i’i \а) jjy
порядок суммирования в правой пасти последнего равенства, при-
ходим к соотношению (1.10).
1 [усть A (aif)
2<nZm Дия получения разнооб-
разных рекуррентных соотношений, используемых при вычисли
пин перманентов, полезно следующее соотношение
per Л = per Лу -I- а„ per Л (.11 j), (111)
где Лу получается из матрицы Л заменой элемента нулем,
а Л(ф)— вычеркиванием г-й строки и /-го столбца Соотноше-
ние (1Л1) называется разложением перманента матрицы А по
'лементу ау. Разобьем все диагональные произведения перма-
нента па два класса в соответствии с тем, входит в пих элемент
'ч, в качестве произведения или пет Сумма диагональных произ-
ведений, не содержащих равна per 4(,, а сумма содержащих
произведений равна ciu per Л (ily). Отсюда следует равсист
Обобщим теперь равенство (1 11). В частности, покажем, что
а любой матрицы А еМят, 2^п^т, и любою a^Qm спра-
ведливо разложение
рргЛ= S per Л [а |£] per Л (а |0), (142)
называемое разложением Лапласа для перманентов. В частности,
для любого т, 1 < i < п, имеет место разложение
рог А — 2 «Р per А (I | ]),
(1 13)
называемое разложением перманента матрицы A no i и строке.
Если А е то для любого £ *= Qrn справедливо равенство
per А- 2 per А [а | ;3] per A (a] Р),
являющееся другим вариантом разложения Лап гаса для перма-
нентов В частности, дтя любою I, 1 < j < п.
Докажем справедливость разложения (1.12), из которого по-
следующие разложения получаются в качестве следствий. Каж-
дое из (пг)„ диагональных произведений матрицы А, сумма ко-
торых равна реГ'1, разобьем на два произведения, содержащие
соответственно г и п — г элементов диагонали К первому произ-
ведению отнесем элементы, расположенные в строках, оиреде-
ляемых а е Q,„, а ко второму — элементы
остальных п — г
строк. Пусть элементы первого произведения принадлежат столб-
цам, номера которых определяются р е Тогда первое произ-
ведение является диагональным произведением матрицы AlalfJ].
Элементы второго произведения принадлежат столбцам, номера
которых не входят в р = Qrm. Следовательно, второе произведе-
ние является диагональным произведением матрицы A(al^) От-
сюда следует, что сумма диагональных произведений матрицы
А, отвечающих фиксированным а е Qrn и равна
per Alalp] perA(a!3) Суммируя по всем ? е= получаем сум-
му всех диагональных произведении, т е германепт матрицы
А Отсюда и следует формула (1.12).
5° Для равенства пулю перманента к X т матрицы А доста-
ючпо выполнения любого из следующих условии:
а) матрица А имеет нулевую строке; при т = п достаточно
наличия и нулевого столбца;
б) матрица А имеет т — п + 1 пулевых сюлбцов.
Снраведливосш условия а) следует из разложения вида (1.14)
перманента матрицы А. по нулевой строке. Достаточность усло-
вия б) вытекает из разложения Лапласа для перманента матри-
и! Ясно, что
цы А вида (112), в котором а = 11 :
pcrAtl, 2, , nip] =0 при любом J3 s >аа
puna A[l, 2, , п|£] всегда содержит хотя бы один пулевой
столбец
6° Если 4, В с Мп, то
per(4-lB)-^ 2 регЛ[а|р| ррг/?(а|р), (115)
где при г = 0 регЛ[а, ?] = 1, регЖа, p)-=perS, а при г~п
рег/lla, (Я = регЛ, рег/?(а, (3) = 1
Положим Л = (а^), В ~ 7 1- • , п Имеем
per (/1-^13)- S П(^-.м о~^з(о)- (1-1Ь)
Рассмотрим тождество
П(^г<л) = 2^ Л? Д(1 i7)
хде 1а; .а,., ar'M. .. , oc-^l = 1.2,.. , п}.
Используя тождество (1 17), из (1.16) получаем
per (Л — В) - х X ( 2 ]!»«,,(«,) П / "Д <1-18)
.—О as«r п \s=sn г-1 v 11 i-r-1 «1Чв1/'
2 per 4 [а | pj per В (а | J3)
xeQrn
Теперь формула (1.15) следует из равенства (I 18).
~и. Прежде чем сформулировать очередное свойство перма-
нента, сформулируем и докажем некоторые
'тверждения
Пусть <1)==(©ь . , п |w] — [l г2
— rrep-
гжтпая спецификация о, где at — <7;(с>) определяет число появ
лепим г в качестве координаты со. Обозначим ,ч(и)^ 1Тяг(а)'
Теперь, если /(cat, .. , wn) — произвольная числовая фупкцня
от натуральных аргументов, то
ч(=ьп
, .... «„) Для доказательства равенства (I 19) мпо-
разобьеч па классы эквивалентности. Будем считать.
что со ~ со', если [со! = [о/] Ясно, что каждый класс эквивалент-
ности содержит единственный элемент множества С, Осущест
вляя всевозможные п! перестановок координат этого элемента,
получим все векторы, принадлежащие данному’ классу эквива-
лентности, причем каждый вектор повторится ц-(а>) раз Таким
образом, суммирование значений функции f по всем и е Г„эт в
правой части равенсхва (1 19) осущестн (яется сначала по эле-
ментам одного класса эквивалентности, а захем по всем таким
классам.
Покажем теперь, что для любых матриц В С^Мтп,
и < mf справедливо равенство
per(/jc)- 2
п | <о] per С | 1, .
коюроо называется формулой Вине — Коши для перманентов.
Обозначим через (ВС){ i-ro строку матрицы ВС. Тогда (ЙС),=
— %blkCk, где Ск— к я строка С, и, следовате 1ьно,
Использу я свойство полилинейное™ иермавен гной функции
(1 10), отсюда получаем
рог (7?С) =
=3 n^o,ptr(<\-
часть1
Используя (119), преображен правую
рет(ВС)= J Ж 2 Ш1..Я1«(С».
Н sc-s„ ’-I
Из свойства 1° перманента следует, что
Р" (с"мг ' • С“.И>)Г = РИ (с“,- ’1
Таким образом,
per (ВС) = J _±_ретС(ш|1,
Из этого равенства с учетом того, что
— per В [1,
получаем формулу (1.20).
4. Вычисление нерманентоп. Заметим, что перманенты пе об-
ладают рядом свойств, аналогичных свойствам детерминанта,
что создает трудности при их вычислении Так, свойство, ана-
логичное свойству детерминанта det (.45) = oct 4 del В, для пер-
манента, вообще говоря, не имеет места
per |
Правда, в некоторых случаях аналог отого свойства имеет место
и для перманентов Так, если /1 е М,. и А состоит из квадратных
матриц Д(”, Л(‘\ ... Д1'!), расположенных вдоль главной диаго-
нали, а все элементы Л вне нолей .4(|’. А--, ..., .4*61 равны пулю.
per А
(122)
Ото равенство сразу следует из формулы (1 12) разложения Лап-
ласа для перманентов.
Пусть st и s2 — некоторые подстановки степени п. а П, и
IJ= — соответствующие им подстановочные матрицы Матрицу
(аП, т ^112), где а и ^—действительные числа, назовем оболоч-
кой. натянутой на матрицы 1Т1 н Г12 Покажем, что для перма-
нента оболочки имеет место формула
per (all, 1 рП2) = Ц
(123)
1де l<, I, К — длины циклов подстановки $> s.
Будем предполагать, чю подстановка sf’s, записывается в вл
де произведения независимых циклов-
8ГЧ=(й........... «г) (Ъ„ ... (сг, . qa).
Рассмотрим подстановку
Легко проверить, что
Если И — подстановочная матрица, соответствующая подста
повкс s. 1Т=Г1_'П1 11.11, / — единичная матрица, то рег(аП>+
L рП?.) = per (а/ + рП). Заметим, что II = diag(n,, Г12, ..
кпм образом,
рет (all, + j}!!-.) = per Л, pei Az . per Л»,
(1 24)
где А, омь матрица I, X /, 1
к, вида
где вне двух диагоналей расположены нулевые элементы Раз
ложепием регк,- по элементу, стоящему в последней строке и
нервом столбце, получаем формулу
per А, = а1 + Р ', г — 1, 2. .
Теперь формула (1.23) следует из (1.24) и (1 25)
При а = р = 1 из (1 23) получаем
per (II, + 112) ~ 2*,
(1 25)
(126)
где к — число циклов в подстановке $1
Рассмотрим 0,1 матрицу п X п, у которой (ц /)-й элемент
равен единице, если ] — i е { — 1, 0 1, , к — 2), причем 3 к <
С п/2 + 1, и 4 Матрицы такого типа называются теплицевы-
ми Обозначим через 1)(н, к) перманент такой матрицы, так что
Разл ожени ом этого перманента
дчться, что
но первой строке можно убе-
(127)
Нощгая Ftn) = D(n, 3) из этого соотношения получаем
(1 28)
Числа F{ri) па шваются числами Фибоначчи.
Рассмотрим 0,1-матрипу и X п, являющуюся суммой
подста-
полочных матриц, соответствующих степеням полноцнкловой под-
становки с = (1, 2, ..п). Введем обозначение
где С— подстановочная матрица, отвечающая подстановке с.
3 имеем
Путем разложения Q(.n, 3) по ipexi единичным элементам, стоя-
щимв левом шикнем уыу матрицы, при п > й получаем (?(п,3) =
— D[n — 1, 3) 4- 2Din - 2, 3)4-2, т е Qin 3) имеет следующее
выражение через числа Фибоначчи
ен, 3) =Г(п - 1) + 2Г(п - 2) г2 (130)
Используя рекуррентное соотношение дтя чисел Фибоначчи, при
п>5 можно получить соотношение:
-1, 3) + ()(и-
(131)
Можно показать, что аиалошчиые соотношения имени место и
п>7 Аналогичные, но более сложные линейные рекуррентные
соотношения с постоянными коэффициентами известны для не-
которых других значений (Хн, к), Л =?5.
Отыскание значений перманентов из линейных рекуррентных
соотношений с постоянными коэффициентами приводит ь необ-
ходимости решения так называемых линейных рекуррентных урав
пений с постоянными коэффициентами (см. задачи 15 -20 гл.Ш)
Однородным линейным рекуррентным уравнением с постоян-
/U + A) +atf(x + k- 1)-F a2j{x + к - 2) +
Его решение Яг) будем исъатв в виде
/и) = Х’,
-l-flJW=0 (132)
(1 33)
1де л— неизвестное число К У 0 Подсчитан (133) в (1.32), по-
лучаем уравнение для определения ?>
(1 34)
коюрое называется характеристическим уравнением для рекур-
рентного уравнения (1 32). Если /,
(1.34), ТО ДЛЯ ЛЮбЫХ ПОСТОЯННЫХ Cj
, - корни уравнения
, ch функция
/(О - сА? + cAlH - • 4- cAfc (1 35)
также являеюя решением уравнения (1.32). Более того, если
корни уравнения (134) простые, то функция (135) является об
!цим решением уравнения (1.32), т е. подходящим выбором во-
из выражения (1.35) может быть uo.iv-
СТОЯППЫХ С;, С2,
чено любое частное решение уравнения (1.32). Если корень кк
имеет кратность 1к, то л сумхщ (135) вместо считаемою Cktil
ему соответствует выражение (с/, -> r^’z — . + с/ ^х‘‘ ) kJ
Например, рассматривая рекуррешное соотношение дтя чисеч
Фибопаччи (1 28) как рекуррентное уравнение с постоянными
коэффициентами, находим его общее решение F (я) = с&х ~|~ е2Хг,
где ?1 и к2 — корпи уравнения ?2 — к — 1 =• 0. Используя условия
F(l) = 1, F(2) = 2, находим
учетом того, чю К, 2 = (1 ± 1 5)/2, получаем
тстода, с учетом равенства (1 30), следует формула
5 Формула Райзера Д гя матрицы А = (а,.), » = 1, ..., /?,
j = 1,. , т, п < т, имеет место следующая формула,
принадлежащая Райзеру:
(137)
где
Sk= 2^. JI(a;i + - - + и™ ~ — — aijit)
Для вывода формулы (1.37) применим метод включения -
исключения В качестве элементов будем рассматривать тп отоб-
ражений множества 11, 2, . .п) в множество И, 2, . , т)
Отображению^;
I I припишем вес
Обозначим
через Aj свойство отображения^; i
среди чисел li, h, .. , 1Л отсутствует число 7, 1 < ] т По оп-
ределению перманент матрицы Л равен суммарному весу таких
отображений, для которых выполнены ровно т — п свойств из
совокупности At, А:, . , А,п Если М (Л-j Д»2 А/;) — cv-ммар
нып вес отображений, для которых одновременно выполнены
то, применяя формуты метода
где
— исключения (1 9) гл
II, получаем
регЛ-J) J- (J 38)
W(A;i ... Л7/) (1.39)
Суммарный вес всех тп отображений, очевидно, равен
So - II (а*т — • • — Я”и)-
Формулу’ (137) ыохкно записать в несколько более компакт-
ном виде. Для матрицы В = положим rt(B)=^ и обоз
начну через Лк совокупность «X (т — к) подматриц матрицы А,
таких, что
= {А ( -1 [J) £ е Q„ m—n<h^m.
Ss- 2 П>, (В),
№Лт 1=1
и формула (1 37) принимает вид
рог л- У (~1)‘-"И Ч 2 fir, (В). (1 43)
h=m-n \т п' Велк^=1
При т — п эта формула имеет вид
тле Ло = {Л1.
рогЛ-'2(-1)* 2 Пг. (В),
А-0
(1 44)
Используя неравенства Бонферровп, па формулы (143) по-
лучаем следующие оценки для перманента матрицы с неотрица-
тельными элементами'
2 П(В) - (>» -" -н а 2 П g (В) < р« л <
2 IP. (В). (1.45)
Аналогичным образом из формулы (144) следуют более на-
г 1ЯДПЫС оценки
П 2 °ч ~ 2 »«. (i 46)
справедливые для пХп матрицы А с неотрнца1ечьными эле-
ментами
§ 2. Перманенты и трансверсали
1. Норма вектора. На множестве /?=(0, 1} определим опера-
ции сложения в- и умножения удовлетворяющие следующим
Помимо ассоциативное!и н комму гативиости операций пред-
полагаем, что они связаны законом дистрибутивности, В этом
случае говорят, что множество /? представляет собой булево коль-
цо из двух элементов
6; е В определим операцию булева сложения
6-4-6' (6t-f-6j, , b„ 4- br
Эта операция коммутативна и ассоциативна, п, следовательно,
с помощью этой операции на множестве В,т, = ВХ.. ХВ опре-
делена полугруппа, которую удобно обозначить также В1т}
Нормой m-вектора b^Btm> назовем число его координат,
равных единице. Норму вектора b будем обозначать через II6IL
обладает следующими свойствами
Норма т вектора b 1
справедливо неравенство
116 п- 6’11 -s Е&Н + 116'11. (2 1)
Действительно, если D и D' — множества равных единице ко-
ординат m-векторов b и 6', то I'd'il = |Р'|, lib в- 6'11 =
— IDUD'I Поэтому неравенство (2 1) является следствием нера
вепегва ID U 7)'| e; jZ>[ + |Р' |
2. Критерий для 0,1-матрицы. Рассмотрим 0,1-матрицу раз-
мера п X т, п^т, и сформулируем необходимые и достаточные
условия, которым она должна удовлетворять для того, чтобы ее
перманент был положителен
Д1я того чтобы
(2 2)
необходимо и достаточно, чтобы
1Ж-Т-Ж +
дгя всех 1 i, < .. < iK С п, 1 С А С п
Эту теорему будем называть критерием положительности пер-
манента 0,1 матрицы
n-размещспие jt, . ]п из чисел 1,2,...,
— 1 Отсюда следует, что для всех 1 г,
имеем а,г,^ alft _ 1 Здесь a,sji
координаюй is й вектор-строки А,
, ю существует такое
. т, чтоа1}а.ц2 . аЯЗп =
К^’СА, является
матрицы А, причем
• , 7;.;,) есть часть размещения
. — Агк имеется ио крайней мере к координат, равных едини
це, и значит, выполнено условие (2.3)
Д ос та г очное т ь Доказательство проведем индукциеи
по » При п= 1 матрица А состоит из одной строки Неравен-
ство (2.3) в этом случае означает, что хотя бы один элемент этой
строки равен единице. В этом случае ясно, что неравенство (2.2>
выполнено Допустим, чго из неравенства (2,3) следует неравен-
ство (2.2) для любой матрицы А', составленной не более, чем и»
и — 1 строк матрицы А. Рассмотрим два случая.
Случай 1 Для всех 1 < к
полнены усиленные неравенства
(2.4)
Разложим per А по первой строке Имеем
ротЛ= 2 п„ретЛ(1 |
(2.5)
1дс Л(1|?) •—матрица, полученная из А вычеркиванием первой
(троки и 7-то столбца
Из условия Ш > 1, вытекающего из неравенства (2.3), еле
дует, что среди элементов atl, aim имеется по крайней мере
один элемент а1г~ 1 Из (2.5) следует, что
per4 > per4( 1 [*).
Из неравенства (2 4) следует, чю для всех 1
(2 6)
К + <+. (2 7)
где л'/’ — i я щрока матрицы А без s-й координаты Ио предпо
ложелия индукции, следует, что
per 4(1'з) > 0
(2 8)
Теперь из неравенств (2.6) и (2,8) следует справедливость тео-
ремы для рассматриваемою случая.
Случаи 2 Этот случаи характеризуется тем, что сущсству-
ют к строк, t
1, для которых неравенство (2.3) пренра-
щается в равенство. Перестановкой строк, не меняющей перма-
нента, всегда можно сделать тан, чтобы таким свойством обла-
дали первые к строк, т о
[14; Л2 ... -I- 4Й|| к, 1 <1 к^.п — 1
В силу; предположения индукции для матрицы 411, .
1 С к sS п — 4, состоящей пз первых к строк матрицы Л,
(2 9)
имеем
(2 10)
Из разложения
рег4[1,. ,А-|_]= 5] рег4[1 . , к | р |
следует, что существует такое ре=(?ЯП1, что per4[1, , 7c|pj >0
Перестаповкой столбцов матрицы Л, ле меняющей per Л, можно
всегда сделать
чтобы таким свойством обладало £ —
(2 11)
Из разложения Лапласа
рет4= 5 регЛ[1,
, 7> | р] рот Л (I,
следует, что
per4 > per А[ 1, .. , к\ 1, . , к] ре; 4(1,
,.,Л). (2 12)
Покажем теперь, что
per 4(1,
Обошачим через ,
(2.13)
строки матрицы 4(1, .. , к\ 1, ..
.. , Л'). Покажем, что ага матрица удовлетворяет условиям (2 3)
Для всех 1
(2.14)
Обозначим через A,, & + 1 у < n, m вектор, получепиый из век-
тора А, добавлением к первых нулевых координат. Имеем
I Ak-rv1 + • • v, || —
= ЦА+^4- - . - 4- Л TV, I -НА 4- + AJ -
>[4+ . 4 4 + 4^+ ...+4+v|-7c. (2.15)
Ич условия (2.11) следует, что первые к координат вектора
Aj 4- . Лк равны единице Отсюда следует, что А, 4-
В силу (2.3) имеем
р1+. . 4-A> + A,(HVi4- . . Aft+Vj || > к 4- I. (2.16)
Теперь условие (2.14) вытекает из соотношении (215) и (2 16).
По предположению индукции из (2 14) вытекает справедливость
неравенства (2.13), п теорема следует из неравенства (2 12) в си-
лу (2 11) п (2 13)
3. Оценки перманента. Заметим, что условие (2 3) теоремы 1
оказываются достаточными не только для положительности пер-
манента, по позволяют также получить содержательную оценку
снизу для величины перманента 0,1 матрицы. Соответствучощая
теорема принадлежит Радо.
7=1, .. , т, со строками Л,, Ait .. , Л„ выполнены условие (2.3)
и условие
44J;
(2 17)
то для перманента этой матрицы имеет место неравенство
П (Mill — » I
(2.18)
Неравенство (2.18) докажем индукцией по п При п = 1 оно
сводится к очевидному равенству рог .4 = 114,1 ц, значит, исрцо
Будем предполагать, что неравенство (2.18) справедливо для
любой матрицы, содержащей п — 1 строк, если для нее вьшолне-
доказательстве теоремы 1.
Случай 1. Дтя матрицы Л выполнено условие (2.4) Это
означав I, что условие (2.3) справедливо для любой подматрицы,
полученной ivi А вычеркитазшем произвольных строки и столбца.
Разложим нермаиен! матрицы 4 по первой строке Имеем
peiA= У, ре1Л(1|Д
где Л(1!у) — матрица, полученная пт 4 вычеркиванием первом
строки и у-го столбца Для этой матрицы выполнено условие (2 3)
Обозначим через А2 А3, ...,Ап строки матрицы A(li;) при
некотором 1 sS j < т. Так как вектор Av получается из век-
тора Av, 2^v^n, вычеркиванием j-й координаты, то, не ограни-
чивая общности, можно считать, что
Ml!
(2.20)
Это условие может оказаться невыполненным, если IIAJI = liAvll,
цСт, а 1141=1X1+1 В эюм случае перестановкой строк,
не меняющей per Л, можно придать им должную нумерацию.
Используя условие (2.20), применим к оценке регА(1|у)
предположение индукции Имеем
per Л (1 | j) >
(2 21)
1 ан как |Х||>!А1— 1, го, подставляя в правую часть пера
венства (2 21) Л„ вместо Av и проводя замену индексов г = v + 1,
получаем оценку, не зависящую от }
рогЛ(1|Я:
Усиливая «о неравенство заменой в верхнем пределе HAJI на
li.4 II и подставляя полученную оценку в (2 19), получаем
poi+>|).4ill 11 (М.|| - 1 т !)
Эта оценка совпадает с оценкой (2 18).
Случаи 2. Не ограничивая общности, считаем, что для
матрицы _4 выполнено условие (2.9). Так как IlAJI *£ 'L1-II С...
. С llAji и подматрица А', имеющая строки А,, А», ,
удовлетворяв! условию (2.3), го
m-‘n(4Aili)
С учетом этого равенства из неравенства (222) следует оценка
(2 18) Теорема доказана
те Если для ОД-матрицы А, имеющей
|п и т столбцов, п^т, выполнено условие
строки
(2 3) и
(2 24)
Применим неравенство (218)
пип (и, liXjll) = d -5 п Поэтому
первом случае
pei А JJ (d — 4—1) - d’.
Во втором случае имеем пцп(п, I Л,Н) = п d — Ы ,4 Потому
получаем
per А > П (<( — 1 + 0 (^)п
4. Неотрицательные матрицы. Прямоугольную матрицу А{а.Д,
i = l, , н, ; —1, .т, элементы которой являются действи-
тельными числами, будем называть неотрицательной и обозна-
чать А >0, если ац ^0,1=1, . , п, j = 1, , m Матрица А
называется положительной, чю обозначается А > 0, если а1} >0,
I- “ 1, ..п, j = 1, . , m Критерий положительности перманента
0,1 матрицы, составляющий содержание теоремы 1, распростра-
нить па случаи произвольной неотрицательной матрицы с число-
выми элементами. Рассмотрим неотрицательную матрицу А —
= {аД, i — 1, , п, 7 = 1, .. ,
назовем 0,1-матрицу А — ^аД), i =
О Решеткой матрицы А
Очевидпо. что ррт4>0 тогда л только тогда, когда рог А > 0,
так как per Л ц per Л имеют положительные диагональные про-
изведения, отмеченные одними и теми же индексами. Отсюда
следует
ема 3. Если И—ОД-матрица размера пХт со стро-
. Зп, являющаяся решеткой неотрицательной матри-
: т, выполнены условия
3^4- ..ц-Х.рА:.
(2 23)
Эту теорему будем называть критерием положительности пер-
манента неотрицательной матрицы Используя критерий поло-
ЛЛ Л-СРМлиЪЛШ И Т-РМГСВГРС 'ЛИ
жилсльности перманента неотрицательной матрицы, можно полу-
чить критерий равенства нулю перманента такой матрицы
Теорема 4. Пусть А — неотрицательная пХт-матрица,
п"^п Для того чтобы перманент матрицы А был равен нулю,
необходимо и достаточно существование подматрицы kX(m-
~ к-}-1)-матрицы A, l^zk^n, имеющей тотьно нулевые эле-
менты.
Сначала рассмотрим случаи, когда т~= п Пусть матрица А =
вия регД — 0 следует существование таких 1
1 < к s? п, что для строк А„ .. , Ап решетки
Ич
(2 26)
Это означает, что у вектора Аг
имеются по край-
ней мере п— 7 + 1 пулевых координат Омяода следует, что ну
левыми являются те же п — кА-\ координат и у векторов
А} , . , Aik, т. с матрица А имеет нулевую АХ (я — к — I)-
подматрицу
Обратно, если имеется нулевая подматрица А. X (и — А, 4-1),
расположенная в строках с номерами , г„, то у вектора
Аг -|_ .. имеются ио крайней мере п — 7с + 1 нулевых ко-
ординат, т е А
доказана
Для слулая т=п теорема
Рассмотрим теперь случай иХт матрицы А, когда н < т.
Рассмотрим т X ?га-матрццу В = где С есть
матрица, все элементы которой равны 1. Условие per 5 = 0 вы-
полняется тогда и только тогда, когда матрица 5, а следователь-
но, и матрица А содержат нулевую к X (яг — к + 1)-подматряцу.
Выбирая а = {п+1, , т) п применяя разложение Лапласа
для per 5, имеем
per5 -= (т — п)' 2 регВ(п-!-1, .
PS=Cm-n m
Заметим, что
У, per В (п 4- 1, , m | Р) = 2
peQ»!—п m •
Таким образом,
<2 27)
рот В = (т - п)' per А.
Отсюда следует, что per 5 = 0 тогда и только тогда, когда per А =
= 0, и, значит, георема доказана и при п<т
5. Трансверсали. Пусть X — конечное множество и (X,, Х2,...
.. , хп) — семейство ею непустых подмножеств, которое может
содержать и совпадающие подмножества Иными словами, се-
мейство— эго п вектор, координаты которою принимают значе-
ния из бу'леана 2х, за исключением пустою подмножества. Транс
версалью семейства (X,, X», , Х„) будем называть п-векгор
Граисверсаль (т,, ощ . , xj иногда называют системой рачлич-
XJ. Сформулируем
ных представителей, семейства (X,
кри серий существования трансверсали семейства подмножеств»
принадлежащий Ф. Холлу.
Теорема 5. Для существования трансверсали (xrj, х2, . .
. х,) семейства подмножеств (Хь Х'2, ..., Хп) множества X
необходимо и достаточно, чтобы для всех 1 it <{•><...< ц < п,
I -Z к С- п, выполнялись 2‘ — 1 неравенств
(2.28)
Доказательство критерия Ф Холла опирается на критерий
положительности перманента 01-матрицы, сформулированный в
1 сороме 1 Семейству (Xi
.ХД подмножеств множества
j,,,} поставим в соответствие 0,1-матрицу А = (а ),
Матрицу Л будем называть матрицей инцидентности семейства
( ¥,, Х2, , Х„) Гели Xj„. < 3in) является трансверсалью
семейства (Хь X, . , X,), то в матрице лпцидеягиостп суще-
ствует диагональ (а^. , ... япуп) такая, что • а^п = 1
Очевидно, верно п обратное Таким образом, каждой трансвер-
сали семейства (X,. Х2, Хя) в соответствующей матрице ин-
цидентности ставится в соответствие диагональ с положительным
произведением. Зиачш, если J?(Xlt X, .
сазей семейства (Хь Хг, . , Хп), то
число трансвер-
(2 29)
Отсюда следует, что трансверсаль семейства (Xlt Х>., ..., Х„) су-
ществует тогда и только тогда, когда для соответствующей мат-
рицы инцидентности выполнено условие рсгИ>0. Согласно тео-
реме 1 это условие имеет место тогда и только тогда, когда для
п, 1 =£ к п, выполнены неравенства
. Ясно, что норма вектора 4, -j- Д 4-
X,2U •• U X k |. Отсюда стедуст тео-
^2 в Н Сачков
Из условия (2,29) п теоремы 2 вытекает формула для оценки
снизу числа трансверсалей семейства (Xj, X.., , ХД
Л(Х1 Х„
. х.)>п"гГУ1!(1^1 - j -1),
(2.30)
условию добавлено неравенство IX/ > d, то из следствия теоре
мы 2 получаем оценки М Холла
( df. d п,
Я(Х, X - d>n (231>
6. Латинские прямо = (/.), t = i к X т-прямоуголышком, ляют собой нерестапов столбцов пе содержит т X от-прямоуголышк п т и обозначается .S7,, ( рата 3?т представляют Сформулируем л до, называть критерием су Теорема 6 Для существует nepecri ние которой к до Число способов Обозначим через Q J-MJ СТОЛбцу i =~ 1 ] — 1, . , m Покажем, воряег критерию суще< роваипыи элемент це! ц встречается ровно к i донательпо, ровно m— 1, Отсюда следует, что угольники и квадраты. Матрицу 2Дт = = 1, ..., т, будем называть латинским если ее строки Д'1'™. З^т представ ки элементов 1,2, ..., т, а каждый из повторяющихся элементов Латинский азывается ютикским квадраточ порядка Очевидно, что и столбцы латинского ивад- собой перестановки элементов 1,2,.. ,т кажем теорему М Холла, которую будем ществования латинского прямоугольника. шавка элементов 1,2,присоедине ter латинский (А + 1) X т-прямоцгольник з присоединения не меньше (т — к)] , множество элементов, принадлежащих , , т, п положим <Д ~ {1, 2. , что семейство ((Л, (Д, ., Q„.) удовлет- ’.твования трансверсали. Возьмем фиксн- 1, 2, , т) Из свойств 2Дт следует, что эаз среди множеств (Д, Q-, . , Q ,, а сде- : раз среди их дополнений (Д, (Д, . , кД. элемент ц среди множеств (Д , • v'vi
раз Так как общее чн< жсств Qv , • -, (?v; с ; 1 1 гп. встречается тю более т — k ?.ло элементов во всей совокупности мно- /четом их нов горений равно (пг — к)1, то
число различных a ie\iei дует, что | <2v, U • • U Q\ существует трапсверсал перестановку элементов Рассмотрим теперь 2^+и = (г, г,, .... г,,) нов в(Х (J U QVl не менее/ Отсюда сче- , । о для семейства (Д, , ь (п, г2, , гД, предемвлятощая собой 1 + 1 'строк М!1, • .ZiPa’iM'. где Они образуют латинский (A~rl, ml-
прямоугольник, так как Q:^Q! = 0> j~l> • • •» m- и, еле
довательыо, в его столбцах нет повторяющихся элементов.
Из неравенства \Qj\ =-т — к<тп следует, что для оценки
снизу числа трансверсалей /?((?,, Qm) следует применять стер
вое из неравенств (2.31). Таким образом, число способов присое
динения m-перестановки ь латинскому прямоугольнику S’*.m
для получения латинского прямоугольника
-#(@1, - , (>,<), оценивается следующим образом
R(Q>. . , QJ >(m- kV
равное
(2 32)
Следстие Если Ик, п)— число латинских кХтппрячо
А(т)>ПЧ'
Неравенство (2.33) докашвается индукцией по к. Очевидно,
। /А1, т)=т'. Допустим, что L (А — /)!. Иг тео-
ремы G следует,_что L(k+i, m) — Hk, т) nit?,. , Qm) Оце
нивая снизу R(Qi, ., ^m) с помощью неравенства (2.32), убеж-
даемся в справедливости оценки (2 33) Неравенство (2 34) по
лучается из (2 33) при к = т.
§ 3. Неразложимые и вполне неразложимые матрицы
1. Неразложимые матрицы. Неотрицательная матрица А на-
зывается разложимой, если существует такая подстановочная
матрица П, что
(3 1)
.'де В и D — квадратные матрицы, а 0 — матрица, состоящая
из пущевых элементов, называемая нулевой матрицей. Если мат-
рица не является разложимой, то она называется неразложимой
Гели А есть п X «-матрица, соответствующая некоторому ли-
нейному преобразованию «-мерною пространства R с базисом
то матрица ТЫП-1 соответствует тому ;ке лилейно-
му преобразованию, но с переставленными базисными векторами
е, ei2, . , е,п Подпространство R'^R называется инвариант
ным относительно линейного преобразования Л, если AR’^R'.
Матрица А является разложимой тогда и только тогда, когда со-
ответствующее ей преобразование «-мерною векторного простран-
ства R имеет к мерное инвариантное подпространство, причем
Рассмотрим i-ю степень поотрицательней п'
п матри-
0 нераз-
= (<."?),>> = 1.
Если матрица Л
ложима, то для любой пары индексов ICiJ-Sn существует та-
кое целое число к, что а'ц’ > 0.
Характер собственных значений и собственных векторов не-
разложимой матрицы описывается следующей гео ре пой Фробе-
ниуса
Теорема 1 Неразложимая нео/рицателъная матрица А
всегда имеет положительное собственное значение Ку. являю-
щееся простым корнем характеристического уравнения этой матри-
цы. Этому собственному значению соответствует положительный
собственный вектор т Модули всех других собственных значе-
ний не превосходят К,
Если имеется h — 1 собственных значений .... lt таких,
что 1л|!= . — iXft-J, то все они являются корнами уравпе-
ИИЯ к'1 —- к(‘
рицэ II, что
гакам подстановочная мат-
ПАП-1
где А,:, .... Ai.,- квадратные матрицы,
стоят квадратные нулевые матрицы.
(3 2)
а цо [лавнои диагонали
Неразложимая матрица 4>0 называется примитивной, если
существует такое к
ствениые значения матрицы А с максимальным модулем,
, I о для
примитивной матрицы h = 1. В случае h> 1 неразложимая мат-
Те орема 2. Если неотрицательная п X п-матрица А нераз-
ложима и I — единичная матрица, то матрица Л + / примитив-
на, причем
Обозначим через Л(г) число пулевых ьоордттпат вектора х
Для доказательства теоремы достаточно показать, что для лю-
бого вектор-столбца х > 0 (i*0) справедливо равенство Л((4 +
+ Г)”~'х) — 0, что эквивалентно неравенству (Л -г Гп~*х > 0
Для усыновления этого неравенства достаточно показать, что
<J0(.r). Допустим, что Л((А+ /)#) = ДЫ Тогда из
Л((А
те же пулевые координаты. Перенумерацией координат вектор-
тде векторы и и v имеют одпу и ту же размерность I Запишем
/4
матрицу /1 в виде А = I А 1, где Ап есть I X I матрица Тог
да из равенства
следует, что A ,« = (), и>0 Отсюда A t = (0), что противоречит
неразложимости ма1рицы А
2. Вполне неразложимые матрицы. Пстрицательпая матрица
/1 называется частично разложимой, если существуют iакне иод
становочные матрицы П и П., что
где В и D — квадратные матрицы, а 0—пулевая матрица. Ясно,
что матрица 4 частично разложима югда п только тогда, когда
она содержит пулевую s X (л — ьЗ-подматрицу, 1 < s п — 1. Ес-
ли неотрицательная матрица 4 не является частично разложи
мой, то опа называется вполне неразложимой. Рассмотрим неко
торне свойства ополие неразложимых матриц.
Свойство 1. Неотрицательная матрица А вполне неразло-
жима .огда а только тогда, когда для любой ее нулевой под-
(3 5)
Действительно, наличие обратного неравенства pA-q~^ полна
чает наличие нулевой подматрицы рХ(п — р), что
может быть тогда и только тогда, когда матрица А частично
разложима Фактически перефразировкой свойства 1 является
следующее свойство
Свойство 2 Неотрицательная матрица А = (а,,\ i, ] =
= 1, 2, , п, вполне неразложима тогда и только тогда, когда
для любого непцеюга множества XcV=-{l, 2, .. п) вы
полнены условия
(3 Ь)
Для произвольной неотрицательной матрицы А рассмотрим
величину р - рС4) = max(p -- q\ где максимум берется ио всем
р и q, определяющим размеры нулевых подматриц р Xq матри-
цы А, 1 Ы р, q п — 1. Для удобства положим
Из свойства 1 сразу вытекает следующее свойство
Свойство 3. Неотрицательная матрица А впогне неразло
жима тогда а только тогда, когда
^(Л)<?г (3 8)
Строки и столбцы некоторой матрицы будем называть в сово-
купности линиями. Будем говорить, что заданное множество ли-
ний неотрицательной матрицы А покрывает некоторые фиксиро-
ванные цоложительпые элементы матрицы, если эти элементы
принадлежат указанному множеству линий, Совокупность линий
образует покрытие неотрицательной матрицы А, если она покры-
вает все ос положительные элементы. Покрытие, содержащее ми-
нимальное число линии, называется минимальным. Покрытие, и
которое входят как строки, таки столбцы, называется смешанным
Если в неотрицательной матрице А максимальная нулевая
подматрица, определяющая значение [3(Л), имеет размер р X q,
1 р, q "Z п — 1, то п — р строк и н- q столбцов, пе пересекаю
щих нулевую подматрицу, образуют сметанное минимальное по-
крытие.
Итак, если г и ' — соответственно числа строк и столбцов в
сметанном минимальном покрытии и < =^(4) —г + з, то
pC4) + f(4b-.= 2« (3 9)
Величину
а = сс(Л) - ^(4) — п
(3 10)
назовем индексом смешанного минимального покрытия '1ак ван
а(А) — « — j3(A),
то в соответствии с (3 7) положим
(3 11)
(3 12)
жима тогда и. только тогда, когда
а(Л)
(3 13)
Справедливость свойства следует из (3.11) и свойства 3
Свойство 5. Если 1 — единичная матрица и А — неотрица-
тельная матрица, то матрица Л +1 вполне неразложима тогда и
только тогда, когда матрица А неразложима.
следовательно, а(Л (-/) —1, т е матрица А-VI вполне неразло-
жима Допустим теперь, что при п> 1 матрица Л +/ частично
разложима, т е а(А + 7) 0. Любое минимальное смешанное по-
крытие А+ 7 является смешанным минимальным покрытием
для 7; следовательно, из условий -у(Л + 7) > ^(7), и ра-
венства (3.10) вытекает, что о.(4-Ь7)=0. ^(4 4-7) = п Будем
рассматривать минимальное смешанное покрытие А 4- 7, являю
щееся одновременно п миштматьпым смешанным покрытием
для I Пусть в этом покрытии номера строк и столбцов представ
ляют собой множества Х = {ц, и, ... , ir), У = {/1,
стоящая на пересечении строк и столбцов с номерами из Д\Х и
Л'\У,
.и}, является нулевой. В силу минимальпости
покрытия имеем XC\Y=c^, X II У = V. Рассмотрим подстановку
Ясно, чго матрица 1КЛ + ЛП-* имеет вид где В и Л —
квадратные неотрицательные матрицы, а 0—нулевая р X q-ма г
ряда Отсюда следует, чю ПЛП ' - (о и-)' г«е В' И D'-
квадратные, а 0—пулевая рХдматрица, т е. матрица А раз
ложима. Получили противоречие.
Пусть теперь A+I вполне неразложима, т. е аС.4 4- I) S= 1
Допустим, что А — разложимая матрица. Тоща существует под
етамово’шая матрица П такая, чю НЛП-1 — £), ; де В и
В — квадратные матрицы, а 0 — нулевая матрица Отсюда
гте В’ и D' — квадратные матрицы, а 0 — пулевая матрица. Та-
ким образом, 3^4 4- Л = п, т с а(А + /) = 0 Получили противо-
речие
Свойство 6 Если неотрицательная .матрица 4 вполне не-
разложима, то матрица 4В также вполне неразложима дгя
любой неотрицательной, матрицы В
Справедливость свойства сразу следует пз очевидных нера-
венств
а(А 4- 2?) > а(/1)
(3 15)
Свойство 7. Если нео/рицательные пХп-матрицы А и В
вполне неразложимы, то матрицы АВ и В 1 также впогне иераз
ложимы
Обозначим через 4(, , 4п строки матрицы А, а через В
• •< 2?’"* — столбцы матрицы В Допустим, что матрица АВ час
тично разложима. Тогда, не ограничивая общности, можно ечн
тать, что для скалярных. произведений (Л , ВиА векторов Л( и
2?(J) справедливы равенства
Если столбцы В1-", .В11' имеют п — к. координат, равных одно-
временно нулю, то в строках Л,+1, . , Л , должно быть к коорди-
нат, одновременно рапных кулю. Так как матрицы А и В вполне
неразложимы, то должны быть одновременно выполнены неравен-
ства .s: + п — к < п, n — s~\-k.<~n Эти неравенства противоречивы
Следовательно, матрица ЛВ вполне неразложима Вполне не-
разложимость ВА доказывается точно так же
Свойство 8 Если неотрицательная матрица А вполне не-
разложима. то она примитивна.
Действительно, если матрица А вполне неразложима, то она
неразложима, п, следовательно, существуе! матрица П такая, что
Г1ЭП-' имеет вид (3.2) Если /г>1, то циклической перестанов-
кой сюлбцов матрицу (3.2) можно принести к виду diag(4n,
Э23, .. , Эл,), что противоречит вполне неразложимости А Следо-
ьательно, А=1, и матрица А примитивна. Заметим, что пз свой-
ства примитивности матрицы, вообще говоря, не следует се вполне
неразложимость. Так, матрица
примитивна, но не является вполне леразложимои.
разложима тогда и только тогда, когда для всех iu;,l
регЛ(ф) >0.
Деиствшельио, условие рог Л (Д') — О можел быть выполнено
только при наличии пулевой к X (и — к) подматрицы, 1 «S к -? п —
— 1. что эквивалентно частичной разложимости матрицы Л
Пусть элементы “ц,. • , аП)п матрицы 1 — («о). i, 7 = 1,. ,п,
образуют диагональ этой малицы Для матрицы диагональ
называется положительной, если а„ > 0, 1 sZisZn Свойство Ч
состоит в том, что любой положите ткный элемент вполне нераз-
ложимой неотрицательной матрицы принадлежит положительной
диагонали.
Свойство 10 Если неотрицательная матрица А вполне не-
разложима, то
(3 18>
Так как регД>0, то существует такая подстановка л, что
А = а.П(В+• /)•, где В>0 неразложима, П = (бм>, Д 0<а<
< пип а,-. Для вектор-.сю 1бца а >0 из равенств Ц\Ах} =
== 70Ш(7?Н-Дх1 = Д1(7?+ и доказательства теоремы 2 сле-
Свойство 11. Если At—неотрицательная вполне неразло-
и В, —неотрицательная ненулевая
жимая матрица
матрица (t = 1, 25 , г), то матрица.
(3.19)
является вполне неразложимой
Допустим, 1то матрица А частчпо разложима и А!г,, -
..г,1Д, .. /„-,]= О есть нулевая sX(n — s) подматрица. 1
с номерами из {/(
срок с номерами из (г,, .... г,} и f3 столбцов
пересекают подматрицу А,, !</<?.
вательно, существуют по крайней мере одно s
Рассмотрим первый с думай, когда s, S? I и I,
неразложимая матрица А, содержит нулевую подматрицу
В этом случае т, + <п} и, следовательно,
п — ь -р t _ У (sft tB) < S — n-
Уто противоречие исключает возможность использования дан-
ного случая. Таким образом, для всех 1
лпио s, = п-, О Следовательно, матрица /1.-, 1 X
держит нулевую подматрицу, являющуюся частью 4li,
не все и не все р
=£ с, равны нулю, то
где сложение в нп-
дексак ведется но модулю i Таким образом, матрица Вк, лежа-
щая на пересечении sk строк из {ц, .. , is) и Zft+t столбцов из
{/,, , 7»-.\ является пулевой Получено противоречие
Свойство 12. Если пХп-матрица 4 > 0 частично разложи-
ма, ю существуют такие подстановочные матрицы II и II,, что
где матрицы /1,
иадьиых блокэв частично разложимом матрицы до тех пор, пока
венное значение А., -1 и
. , и, называется дважды стохастической, если X i -
— 1, , п Если цпаясды стохастическая матрица примитивна, т. в
имеет единственное максимальное собственное значение Ао = 1,
отвечающее собственному вектору х =(1, 1, . , 1), то
lim (3 21)
Множество всех дважды стохастических гаХл-матриц обозначим
через Q„. Рассмотрим некоторые свойства дважды стохастических
матриц
Будем говорить, что матрица А представима в виде прямой
сучмы матриц А . 4г> , Ат, и записывать
А —А,® Аг® ® А, -- diag (Л,, А,
(3 22)
(3 23)
где вне матриц Л<, Аг. , Лг стоят пулевые элементы
Свойство 1 Если А есть частично разложимая дважды сто
хаотическая п X п-матрица, то существуют также подстановочные
матрицы П и П,, Ч7’о
плп1 = л1ел.,
где матрицы А, и А^~ дважды стохастические, порядков k X к
подстановочных матриц П и lit, что
(3 25)
где А1 и Аг — квадратные матрицы кХ к и (п — к) Х[п~ к) соот-
ветственно, а 0 — нулевая матрица Из условия дважды сюхастлч-
ности А вытекает, что если с(-4)—сумма всех элементов матри-
цы А, то о(.4) = оНТЛП!) = о(Л,) + б(Ло) + о(С) = к. Так как
о(А,) = к, о(Л2'1 = п — к, то о(С) = 0 Следовательно, С — нулевая
матрица.
Свойство 2 Если А есть дважоы стохастическая пХп-
матрица, то существуют такие подстановочные матрицы II и II,,
1Т° ИЛП^Л.еЛ.® ®Л„ (3 26)
где Л, есть вполне неразложимая п^п.-натрица и п^п
Свойство 2 является следствием свойства 12 частично разло
жнмых матриц и свойства 1 дважды стохастических матриц
Разложение (3 2G) для матрицы А будем называть канони
ческим, а подматрицы Л1, _42, 4, в этом разложении — ком-
понентами канонического разложения Если для двух п Хи-мат-
риц А п В существуют подстановочные матрицы П и П,, такие,
что В = 17417,, то будем использовать следующее обозначение:
А = В.
Теперь каноническое разложение (3 26) матрицы А можно запи-
сать следующим образом:
Л-^ А, © А2 ф ... ф Ат.
Каноническое разложение матрицы А оказывается единственным
с точностью до перестановки строк и столбцов этой матрицы
Свойство 3. Если для дважды стохастической матрицы А =
= («„) имеются два канонических разложения
А = Аг © Аг ф .. . ф 4Г,
В 28)
А = © В. ©
© Bt
где 4, и В, являются вполне неразложимыми матрицами соответ-
ственно т,- X m, а п, X п,, 1 X i X г. 1 X у Xi, то t = г и существу-
ет така я подстановка ч степени г, что п, " «ц(л) и В, = Л4ц), 1 sX
Обозначим через Lt и множества номеров строк соответст-
венно подматриц Лг и В, в матрице А, 1 X i X г, 1<у‘ХЛ Для
доказательства свойства 3 достаточно показать, что разбиения
Л' = L, U ... U Л, и N = Л/, U . U №,, N — {1, 2, ... тА, совпадают
] Гредположпм, что
п рассмотрим подматрицы
4(!) = (щА, vеЛД\(Л, П МД
4 г) — (a,,v), (i е= M}\(L, f) V,), v е
A ” = («,Д, p^L.\(L, П Л/Д
Aw = taiA, х>еЛД(Л, П Jfj.
(3 29)
Зак как матрицы А, и В3 — дважды стохастические, то о(4(") =
= <Д.4<;’) = 0 ц о(Л<3>) = о(4('") = 0. Отсюда следует, что А,—
Это противоречит вполне неразложимости компонент Ai и В,
Свойство 4 Иермаиеш дважды стохастической .матрицы по-
ложителен.
Пусть Л—дважды стохастическая матрица Допустим, что
регД = 0 Тогда существует нулевая k X (п — к -1- 1)-подматрнца,
—1, и, следовательно, матрица А частично разложима.
Таким образом, существуют такие подстановочные матрицы П я
дует, что о(Л,)=А'.
п + 1 = оСАД + о(Л2) = о(А), что противоречит очевидному равен-
ству oG4)=n. Свойство 4 означает, что любая дважды стохасти-
ческая матрица имеет положительную диагональ
Будем говорить, что неотрицательная матрица А имеет дваж-
ды стохастическую решетку, если решетка Л матрицы А является
одновременно решеткой и некоторой дважды стохастической мат-
рицей. Например, первая из решеток
является дважды стохастической а вторая не является.
Свойство 5. Неотрицательная вполне неразложимая матри-
ца А = (afj), i, ; = 1,2, , п, имеет дважды стохастическую ре-
шетку.
Действительно, в силу условия pei4(il/)>0 матрица Р =
— г — 1, 2, .. , ?i, где
имеег ту же решетку, что и матрица А, и является дважды сто-
хастической.
4. Декомпозиция. Докажем теперь теорему декомпозиции
дваяеды стохастических матриц, лринацле кап^то Бцрктофу
Теорема 3. Если А = {а^. i, /=1,2,..п есть дважды
стохастическая матрица, то сушествуют такие подстановочные
матрицы Hi, П^, , Пг, что
гое Oj, 9",
О, — неотриии'/ елысые числа, такие,
Равенство (3.31) определяет декомпозицию дважды сгохасти
ческой матрицы.
Теорему докажем индукцией по числу р(А), равному коли-
честву положительных элементов матрицы А Если р(Л)—-н, то
А является подстановочной матрицей и, следовательно, теорема
верна Будем считать, что р(А) > п, и предположим, что теорема
верпа для всех матриц из Q„, имеющих чпело положительных
алемеитов р' < р(Л)
Согласно свойству 4 pei А > 0 п, значит, существует диагональ
(а1з^ аи2' -ап>п) такая, что д1;1-а3,2. .«„^>0 Обозначим
через s такую подщаповку, что s(i)
. , п, и положим
Бу дем считать, чю минимум достигаеюя при i == ц.
< 1, так кок условие а = 1 означало бы, что а11{ =
и, следовательно, А — подстановочная матрица,
Яспо, что
1 е рС4'1 -•= п, что противоречит предположению
1’accMOipuM п X п матрицу В — (Ь,;) =- 2. д М— аПх), где
— подстановочная матрица, соответствующая полета
ловке s Покажем, что матрица В — дважды стохастическая.
Имеем
вечные матрицы IL, .
то существуют такие поде/ано
(3 32)
При k = 1 матрица А — подстановочная, и теорема верпа Tai,
как — А е Q,,, го регА>0 ч существует положительная дпаго
паль, соответствующая подстановочной матрице П*. Следователь-
но, В ~ А — Пд е Ап-1, и, по предположению индукции,
Отсюда следует справедливость теоремы.
5. Оценка сложности декомпозиции. Отметим, что в процессе
доказательства теоремы Биркгофа фактически был указан алго
ритм, последовательное применение которого приводит к декомпо
зиции дважды стохастической матрицы вида (3.31). Пусть А—
дважды стохастическая матрица порядка п Обозначим через А*'*
(г = 0, 1, . , х(Л)) матрицу, которая получается после (-кратного
применения алюритма декомпозиции А, где м(Д) — число шагов
в этом алгоритме, т е. Л,'’’л'1 = (0), тде (0) — пулевая матрица,
и А10> = А Через p(A(i)) обозначим число пололсительиых элемен
тов в матрице А{‘}, а через d{" —число вполне неразложимых ком
попепт А'1’ при ее каноническом разложении вида (3 27), z=0
1, , т(А), причем положим d —dm.
Теорема 5. Если р(А)— число положительных элементов <
дважды стохастической пХп матрице A, d — число вполне нераз-
ложимых компонент в ее каноническом разложении вида (3.27),
$ —«(.А) — наименьшее число подстановочных матриц в деконпо
зиции А вида (3 31), то
компоненты в каноническом разложении вида (3.27) дважды сто
хаотической матрицы А(!-1>, l=Si<v(A)—1, полученной из мат-
рицы А па (i—1)-м шаге алгоритма декомпозиции Рассмотрим
сначала случаи, когда после i го таю алгоритма декомпозиции
матрица Лц-1), l^p^Z, переходит в прямую сумму некоторых
вполне неразложимых компонент^
ионическою разложения матрицы А(!> Тогда можно записать
где * обозначены элементы, часть из которых заменяется пулями
на i м шаге алгоритма декомпозиции Так как матрица Вр‘-1>
вполне неразложима, то среди элементов * имеются по крайней
мерс положительных. Следовательно, по крайней мерс Ау поло
жителкцых элементов матрицы В‘£ заменяются пулями ла i м
шаге алгоритма декомпозиции Отсюда вытекает неравенство
+ i а,
(3 34)
Гак как в рассматриваемом случае число вполне неразложимых
компонент А(,) больше числа вполне неразложимых компонент
до-d на величину 2 (Ац— 1), то
(3.35)
Из неравенства (3.34) и равенства (3.35) находим, что
р(А( -’>) - р(А(”) dfi> - + I.
(3.36)
Рассмотрим теперь случай Ау=1, т е когда каждая вполне
неразложимая компонента А1’-1’ на i-м шаге алгоритма декомго
зицин переходит в единственную вполне неразложимую компо-
ненту А*'}. В этом случае d'" — и так как после г-го шага
алгоритма декомпозиции по крайней мере один положительный
элемент A(1-1J заменяется пулен, то
р(И <-'))- р(.4(,))
(3 37)
В общем случае, селя для некоторых t значений ц имеем
Ау = 1, а для остальных l~ t значений |т выполнены неравенства
Из неравенств (3.36) — (3.38) следует, что во всех рассматри-
ваемых случаях имеют место неравенства
р(А'!~") — р(А<;))
х(А)- 1, (3 39)
где х(А)—число шагов в алгоритме декомпозиции.
Из неравенств (3.39) получаем, что
р(А) - р(A|V(A 1 - d + v(A) -
(3 40)
Так как на (v(.4) — 1 )-.м шаге алгоритма декомпозиции Alv(A ’’ =
Из неравенства (3 40) и равенства (3 41) вытекает, что
v(A)^p(A)-2«4 d-H 1.
(.3 41)
Так как s(A)=Sv(A), го из неравенства (J 42) следует оценка
(3.33) Теорема доказана
Для числа шагов -v(A) в апюрптме декомпозиции дважды его
хаотической матрицы А можно указать также и очевидную оцеп
ку снизу
v(A)> max {г, (А), с, (4)},
где г,(А) — число положительных элементов в г-н строке, а с,(А'—
число положительных элементов в /-м столбце матрицы
В заключение заметим, что если дважды стохастическая мат
рица А вполне неразложима и ц(А) = с/А) = 2, 1 =5 г, }^п, то
из неравенств (3 42) и (3.43) следует, что т(А) — 2.
§ 4. Оценки перманента
1. Оценки для 0,1-матрицы. Полудим некоторые оценки енп
зу для перманента 0,1 матрицы, зависящие голько от нормы каж-
дой из ее строк, т. е от числа единиц в каждой строке.
per А > Д {г,
Если К4„11 = 0, то неравенство (4 1) тривиально. Предполо/ким,
что IIА„Н > 0, л, не ограничивая общности, будем считать что
Щи>0, j = 1, 2, . ., HAJI Разлагая перманент А по последней
строке и применяя предположение индукции к perA(nlj), полу-
Так как
per А pin II Ц {|! AJj — п — г} Отсюда
следует неравенство (4.1).
Для того чтобы оценка (4.1) была содержательной, необходи-
мо выполнение неравенств iiAJI > n, liA-JSsn — 1, ..., HAJI > 1.
Поэтому естественно перед применением неравенства (4 1) пере-
ставить строки матрицы А так, чтобы было выношено условие
Приведем теперь оценку сверху перманента для класса ОД
матриц с заданными строчными суммами
Теорема 2. Если Л — (а,,) есть 0,1 матрица пХп, такая что
И* II = 2 «О гг, 1 - !. • П, го
(4 2)
(4 3)
причем 0° = 4.
Действительно, из выпуклости функции ilni следует, что
Взяв экспоненты oi обеих частей этою неравенства, приходим к
неравенству (4.3).
жеетво таких подстановок s степени п, что at
П г.-гГ
П Р« л 1,11 s (s)) _
Ц (рог Л (,| ,))«№.
'4,-1
П por^uisw)» п П 1«ад)"
^£=9 j:a!j=l »:s(i)—1
= П (регЛ(ф)Г^.
Этим доказано равенство (4.5).
Доказательство теоремы 2 проведем индукцией по п. При п =
= 1 утверждение теоремы очевидно Положим va = alk per A(i|
для всех к, таких,
23 в К оачьив
= 1 Применяя лемму 1 при q — rt к
оценке правой части равенства
2 perAdj)
(регЛ)’ = >_j per A (i | ;)j-,;ow=1
получаем
(рег?1)ретЛ т?егЛ П (регЛ(ф))РеМ<;|Л
Применяя лемму 2, получаем
(per Л)ргаЛ С П npci Л(ф(г}),
Для оценки pei А (г I s(i)) применим предположение индукции.
Ясно, что если ah,,(it “ 1, -jo к я строчная сумма матрицы 4(ils(i))
равна Гд— 1; если ;ке ^,,,„ = 0, то к я строчная сумма равна rh
С учетом этою обстоятельства имеем оценку
Возьмем произведение no i от 1 до п от обеих час геи этого нера-
венства и поменяем порядок взятия произведений по i п по к
Получаем
JJ per Л (ф(0)<П
При фиксированных к и ssS определим число элементов г та-
ких, что о*. s|(] ----- 0 Это число равно количеству способов выбора
пулевых элементов в к и строке матрицы A{k\sUA), т е. п — гк.
Число таких г, что = 1, равпо количеству единичных эле
ментов в k-ii строке матрицы A(k\s(k)), т е /А—1. Таким обра-
ПрегД(ф(!))СП (»'/
(-Ш
Взяв произведение ио i от 1 до п от обеих частой неравенства
(4.6) и используя оценку (4.8), получаем
(per <>" < Ц (Й U (П Ы)'" (г, - О')
Отсюда следуе), чю
(рог 4)"В“<П(П(аЧ”г")
ses \a-i /
Так как 151 ^рогЛ, то из (4 9) следует иоравенство
(per < (П (М'"’ре"'.
эквивалентное (4 2). Теорема доказана
Следствие 1 Пусть к — делитель числа п и Л*п— класс
ОА-матриц пХп, у которых число единиц в каждой строке и
каждом столбце равно k Тогда
max рог А = (А’,)п' ‘
Следствие 2
что У at) - тг,
(4 11)
Для фиксированного г, рассмотрим числа 1, 2,
, г„ Известно,
Аналогичное неравенство имеется и для столбцов
Неравенство (4 12) следует из разложения per А по i й строке:
per .4~2 ао Рег А (г | /) > 2 яо — Il А‘ il-
рнцы,
дожимая пХ п-матрица, то для любых i j
Обозначим через AtJ матрицу, полученную из А заменой эле-
мента atj на пуль. Разлагая рег(А+с£'„) цо элементу аи + с,
имеем per (А + сЕц) — per Ai} -|- (ац + с) per А (г | у) — per А +
+ cperA(ily). Отсюда следуют неравенства (4 13)
Следствие. Если А — неотрицательная вполне неразложи-
мая матрица, то
(4.14)
Действительно, из теоремы 4 следует, что per (A I 5s
^perA + l Кроме того, матрица А + вполне неразчожи
ма Теперь для доказательства достаточно применить индукцию.
Неотрицательная вполне неразложимая п X п матрица А(«,<)
называется почти разложимой, если для любого аи>0 матрица
А —а^Ец является частично разложимой. Имеет место следующая
теорема.
Теорема 5. Если А -- почти разложимая пХ п-матрица, го
существуют подстановочные матрицы П, Hi и натуральное число
r> 1, такие, чго
ПЛП! -
(4 15)
менту.
Аг — почти разложимые матрицы и каждая из мат-
Е, содержит точно по одному положительному эле-
Каждой почти разложимой матрице Л, согласно своиству 5
п. 3, § 3 можно поставить в соответствие дважды стохастическую*
матрицу S ~ (sft), имеющую с А одинаковую решетку. Обозначим
с — g/tk — min Sjj, для «у > 0 Так как S почти разложима, то
матрица S — snt,Ehk является частично разложимой, т. е. существу-
ют подстановочные матрицы П2, П3 такие, что
где В, D — квадратные матрицы и 0 — нулевая sX i-матрица,
s + t = п. Отсюда следует, что
Н25П3 -
|де F есть sXi матрица с единственным ненулевым элементом,
равным с.
Обозначим через о(А) сумму элементов матрицы X Так как
матрица I12SI13 — дважды стохастическая, то
п = о(1 f2Sl Г3) = в(В) + о(С) + оСЛ + о(Р) =
Отсюда следует, что о(С) = с В силу минимальности с из этого
равенства вытекает, что матрица С содержит единственный поло
жительниц элемент, равный с
Если матрицы В и D почти разложимы, то теорема доказана,
так как И25П3 и 112АII, имеют одну и ту же решетку
Допустим, что матрицы В и D - частично разложимые. Тогда
существуют подстановочные матрицы Ц4 и II, такие, что
П45П5 =
(416)
где .4,, I — 1, ..р, р +-1. .г,— вполне неразложимые nt X п,-
матрицы и матрицы 1, и У2 содержат точно но одному ненулево-
му элементу, равному с. Так как матрица S является почти раз-
ложимой, то и матрицы At, i—1, 2, ..р, р+1, , г, являются
почти разложимыми
Положительный элемент матрицы У, должен располагайся в
левом нижнем углу на пересечении первых щ столбцов и послед
них пг строк Допустим, что это нс так. Toiaa первые и, столбцов
всей матрицы ll4i'II5 содержат пулевую (п — щ) X п,-лодматрицу
или последние н, строк содержат нулевую nr X (я — я,)-иодмат
ряду Это означает, что матрица S частично разложима, что про-
тиворечит условию теоремы Аналогично доказывается, что поло-
жительный элемеш матрицы У2 должен лежать на пересечении
пр строк, общих с матрицей Ар и nJ1+i столбцов, общих с мат-
рицей 4р+1
Из условия дважды сюхаетш пости матрицы П45115 следует,
что одна, скажем /-я, сголбповая сумма матрицы zlt равна 1 — с,
а остальные равны 1. Аналогичным свойством обладают и строч-
ные суммы Допустим, что это по зак Тогда существуют такие
с,, с2 >0, ct + с2 = е, что ц-я и i2 я координаты у го столбца имеют
Тогда сумма элементов ц-й
и г2-и строк матрицы А, равна 1 —с, и 1 — с2 соответственно и
что матрицы 512,
содержат два ненулевых элемента Ct и сг, меньшие с, что проти-
воречит минимальности с.
Таким образом, матрицы .., Bip содержат единственный
ненулевой элемент, равный с. Этот элемент принадлежит матри-
це В12. Если это не так, то матрица Bi2 является нулевой и п2
столбцов, общих с матрицей А2, содержат нулевую (n — nA X п2-
подматрицу, что противоречит вполне неразложимости матрицы
П4ЗП5.
Аналогичным образом, используя наличие в В12 единственно-
го ненулевого элемента, равного с, и минимальность с, доказыва-
ется, что в А2 имеются единственный столбец и единственная
строка, сумма элементов которых равна 1 — с. Остальные строч-
ные и столбцовые суммы А2 равны 1. Отсюда вытекает, что Вгл
содержит единственный ненулевой элемент, равный с, а матрицы
B2i, ..В2р являются нулевыми. Продолжая этот процесс, можем
установить, что верхний ящик матрицы П45П} имеет вид, указан-
ный в теореме. Аналогичное утверждение для нижнего ящика до-
казывается с использованием того факта, что матрица Y2 содер-
жит единственный положительный элемент, равный с.
Так как матрица П45ПГ, имеет указанный в формулировке тео-
ремы вид, то такой же вид имеет и соответствующая ей матрица
ПАП!. Используя теорему 5, получим оценку снизу для перма-
нента вполне неразложимой 0,1-матрицы.
Теорема 6. Если А — (а,,) — вполне неразложимая 0,1-тшт-
п н
рица пХп и о (А) =2.2? ТПО
7=1 3 = 1
per А ^о(А)-2п + 2. (4.17)
Сначала рассмотрим случай, когда матрица А почти разложи-
ма. Доказательство будем вести индукцией по п. При п = 1 и
п = 2 неравенство (4.17) превращается в равенство и является
очевидным. Предположим, что оно справедливо для всех почти
разложимых к X ^-матриц. к < п. Согласно теореме найдутся та-
кие подстановочные матрицы П и Пь что матрица ПДП4 имеет
канонический вид (4.15), где г>2и щ X щ-матрицы A,, i = 1, ...
..., г, являются почти разложимыми. Осуществляя разложение
per (ПАП!) по единственному ненулевому элементу, принадлежа-
щему матрице Ет, и используя условие, что per (ТТАПДь!/)) > О
г
для любых i и /, имеем per А = per (ПАЩ) А?- 1 + ТТ рог А^.
г=1
Применяя предположение ппдукции к оценке per А,, получаем
per А
1 4" П (а (^0 — 2йг + 2).
г=1
(4.18)
оаметим, что
(2ni, Wi > 1,
<’(Л)>\1, », = 1. <4Л9)
Кроме того, для положительных целых чисел alt ..ar, г 1,
справедливо неравенство
2 «i — (г— 1), (4.20)
{==1 i=i
так как оно вытекает из очевидного неравенства (2ц + 1) X
Х(^2 + 1)... (br + 1) > bi + &2 + • • • + Ьг 4- 1, где br — целые
неотрицательные числа. Применяя неравенство (4.20) при щ =
= о(Л;) — 2щ + 2, i=l, г, из неравенства (4.18) получаем
per А ^2 (^ (А) ~ 2гч -г 2) — г + 2. (4.21)
i==l
Используя очевидные равенства
О (А = 2 0 (А) + Г, 2 Hi = П,
i=l i=l
из (4.21) окончательно получаем
per А > о(4) — 2п + 2.
Рассмотрим теперь случай вполне неразложимой матрицы А,
которая не является почти разложимой. Тогда существует элемент
этой матрицы = 1 такой, что матрица А — -Ед j вполне не-
разложима. Если А — Eiit3A не является почти разложимой, то су-
ществует элемент такой «i2j2 = 1в матрицей — что матрица
— A2j2 вполне неразложима. Продолжая таким образом
m
придем к равенству А — В 2 где матрица В почти
Ь=1
разложима. Согласно следствию теоремы 4 имеем
per А 5* per В + т. (4.22)
Для почти разложимой матрицы В доказано, что
рег^>о(5)-2п + 2. (4.23)
Заметим, что а(В) = о(4) — т. Поэтому из неравенств (4.22) и
(4.23) следует оценка (4.17). Теорема доказана.
ЗАДАЧИ
1. Пусть А есть вполне неразложимая 0,1-матрица п X п- Показать, что
матрицы АТА и ААТ также вполне неразложимы.
2. Матрица пХге называется к-неразложимой, если per Л (и, ..[
|/ь •h) >0 для любых А-подмножеств {fb ..., гА} и {/i, .,Д} множе-
ства {1, 2, ..п}. Показать, что если 0,1-матрица А вполне неразложима
(1-неразложима), то 4ЛГ является 2-неразложимой.
3. Пусть £2П — множество дважды стохастических матриц п X п. По-
казать. что если
per А = min per В,
B^Qn
(1)
то матрица А вполне неразложима.
4. Используя метод множителей Лагранжа, показать, что если матрица
Л = ((ц}) определена равенством (1), ars > 0, то
per A (r]s) = per 4.
5. Пусть А — неотрицательная неразложимая матрица и К > 0 есть
максимальный корень ее характеристического уравнения. Показать, что
per А
6. Используя формулу Райзера для вычисления перманентов, вывести
тождества
7. Для любых положительных целых rh га, ..., п доказать неравенство
Используя ото неравенство, показать, что если А есть 0,1-матрица п
у которой число единиц в строках равно rt, г2, ..., г„, то
8. Пусть неотрицательная матрица А — (a,,), i — 1, ..., п, / — 1, ...
..., т, п т имеет строки 4[, Л2, ..., 4„, такие, что
т
ri Pi ||- ZL aij>
j=l
1 i n-
Поставим в соответствие zn-вектору Л, = («и, • • •, atm) два т-вектора
X ~ (aii’ ai2’ • • • ’ а'гт) и А* ’ : (а?*р ai2> • ’ ’ aim)’ полученные из 7«-векто-
ра Ai перестановкой координат соответственно в невозрастающем и иеубы-
вающем порядке, 1 i п. Индукцией по и доказать неравенства
i=l j=l г=1 1=1
(1)
9. Установить условия достижения равенства в оценке (4.12). Точнее,
показать, что для вполне неразложимой 0,1-матрицы п X п со строками
Ац А2, А„, удовлетворяющими условию: ЦЛЯ1 — rt, 1 i sc п, г\
г2 ___тп, если в неравенстве
per А max Г; =
1Сг<п
достигается равенство, то г2 = ... = гп = 2-
ГЛАВА VIII
§ 1. Системы инцидентности
1. Определения. Рассмотрим множество X = {х4, х2, . -
и положим Z = {1, 2, ..., &}. Будем говорить, что отображение
ф: Z -+ 2х определяет систему инцидентности, где 2х— булеан мно-
жества X, Очевидно, что каждой системе инцидентности можно
поставить во взаимно однозначное соответствие вектор (Xt, Х2, ...
..Х6\ компонентами которого являются элементы булеана 2х.
В дальнейшем мы не будем рассматривать отображения ф, в ко-
торых пустое множество 0 не используется в качестве образа. Сле-
довательно, можем считать, что каждой системе инцидентности
ставится во взаимно однозначное соответствие семейство
(Хъ Х2, ..Х6) непустых подмножеств множества X = {^lf х2, ...
..xv}.
2. Матрицы инцидентности. Матрицей инцидентности системы
инцидентности (Хь Х2, .. Х„) будем называть 0,1-матрицу
А = (а0, г=1,2, ..b, j = 1,2, ..., и такую, что
(1,
а*! = (о, х, £ X,.
Пусть Ait Аг, ..., Аь и А(1), Aw, ..., — соответственно строки
и столбцы матрицы А. Норму llyll вектора у = (уь у2, ..уп) опре-
делим равенством
м= 0-1)
г-1
Скалярное произведение (у, z) векторов у = (1/1? у2, ..уп) и г =
= (zt, z2, ..zn), как обычно, будем вычислять с помощью фор-
мулы
п
(У j z) ~ S
г=1
Нетрудно заметить, что
= S «и = |Х,-|, i = lt2, ..Ъ, (1.2)
7=1
= i=l,...,6}|- (1-3)
Аналогичным образом
(^ip -^*2) ~ a4iah? “ | ^‘1 П ^’2 I’ ^1’ ^2 (1-^)
(а(Л\ = X IH*: Xh' xh *= Xi> * = 1, • • • 1 Ь}|,
1<7п 7г (1-5)
Отметим также, что если
ААТ = (atl,i2), 4, is = l,2, ...,&, (1.6)
ЛТЛ = (₽М2), /„/, = !, 2,..., р, (1.7)
где Ат ~ транспонированная матрица А, то имеют место равенства
а11,гг = S ~ (^1’ 1^41 (1’8)
j=l
₽М, = 2 ®«,«и2 = (л(Ч л<>2)), 1 < Л, /,< V. (1.9)
?=1
Система инцидентности с матрицей инцидентности А называет-
ся блок-схемой, если для нее заданы числовые значения величин
|Л.|, 1 = 1....Ь; j = 1, ..., v;
(Л(1,Л1г), 1<ц. (Л(А), Л(У), 1<7„72<”.
3. Квадратичная форма. Будем рассматривать элементы мно-
жества X = {%!, х2, ..xv} как независимые переменные xt, хг, ...
..xv, принимающие действительные значения. Для матрицы ин-
цидентности А системы инцидентности можно записать
где Ух ~ равно сумме элементов, содержащихся в Х„
i ~ 1, 2, ..b. Транспонируя обе части равенства (1.10) и пере-
множая левые и правые части равенства (.1.10) и полуденного ра-
венства, находим
/гД
*Л Н yl + • • • + Уь = (^1, , ^) АтА Z.2 I. (1.11)
Равенство (1.11) определяет квадратичную форму, соответствую-
щую системе инцидентности. Осуществляя перемножение в пра-
вой части равенства (1.10), получаем
yl + yl + • • • + Уь = S + 2 2 (1 • 12)
7=1
Из равенства (1.12) с учетом равенств (1.3), (1.9) и равенства
= IIA(J)H следует, что в квадратичной форме (1.11) коэффициент
при х] равен 11А(,)Н, а коэффициент при х^х^ равен 2^А^Х\ A^j.
§ 2. Блок-схемы
1. Определения и свойства. Семейство (Хъ Х8, ..Х6) непу-
стых подмножеств множества X = {x17 х2, . .., называется сба-
лансированной неполной блок-схемой с параметрами (5, н, г, /с, X)
или (&, a, ri X)-конфигурацией с блоками Xt, Х2, .Хь, если
оно обладает следующими свойствами:
1°. |XJ = k, i = 1, 2, ..., b, причем к < v — 1.
2°. Любой элемент х,-, 1 j у, принадлежит точно г бло-
кам.
3°. Любая пара элементов хг, xh 1 = i, j С. v, принадлежит
точно % блокам, причем к > 0.
Ясно, что (£», о, г, Zf, X)-конфигурация представляет собой си-
стему инцидентности. Если А = (a{j), г=1, ..., 6, у = 1, ..., и,—
матрица инцидентности (Ь, и, г, к, X)-конфигурации и А,, Az,...
..А6 —строки, а А(1), А(2), ..., А(е) — столбцы матрицы А, то
из равенств (1.2), (1.3), (1.5) и определения (5, о, г, к, Х)-конфи-
гураций следует, что
2 Нц =
7=1
ъ
6Ц j Г ,
г=1
b
2 aij^ij — X, Д =5^= j2-
i=i
(2.1)
(2-2)
(2.3)
Условие (2.3) означает сбалансированность блок-схемы. Блок-
схема называется полной, если при выполнении равенства [2.1]
/г\
она содержит все L I ^-подмножеств множества X, В противном
случае блок-схема называется неполной.
Из равенств (1.7) и (1.9) с учетом формул (2.2) и (2.3) следу-
ет, что для (&, у, г, к, ^-конфигурации выполнено
(2.4)
Обозначим через Д и Jbv соответственно у X у-матрицу и b X у-мат-
рицу, у которых все элементы равны 1. Тогда из формул (2.1),
(2.2) и (2.4) вытекают равенства
A3v — kJbv^ (2.5)
JbA = (2.6)
АТА =kJ'v + (r-k)Iv, (2.7)
где Iv — единичная матрица и X и.
Из равенства (2.4) следует формула для определителя матрицы
ЛГЛ:
det. (АГА) = (г + х(р - 1))(г - (2.8)
Действительно, если в матрице АТА вычтем первый столбец из
всех остальных столбцов, а затем к первой строке прибавим все
остальные строки, то в результате получим
/г-[-А(е —1) 0 ... О \
det (ЛГЛ) = det I . А . . . . ° . )• (2.9)
у А, 0 ... г — kJ
Отсюда следует формула (2.8).
Общее число единиц в матрице инцидентности А (Ь, г, к, X)-
конфигурации можно вычислить двумя способами: суммируя еди-
ницы сначала в каждой строке, а затем складывая полученные вы-
ражения либо осуществляя аналогичную операцию с использова-
нием столбцов. В результате с учетом равенств (2.1) и (2.2) полу-
чаем соотношение
Ьк = vr.
(2.10)
Соотношение (2.10) можно интерпретировать как результат вы-
числения общего числа элементов в блоках (6, у, г, к, ^-конфигу-
рации с учетом их повторения. Величина блока равна к, а число
блоков равно поэтому искомое число есть bk. С другой стороны,
каждый элемент встречается в г блоках, а число элемёнтов есть v,
поэтому общее число элементов, с учетом их повторения, равно vr.
Вычислим теперь двумя способами общее число различных не-
упорядоченных пар, содержащих фиксированный элемент Xj и
принадлежащих блокам (&, у, г, /с, Х)-конфигурации. Это число
с учетом формулы (2.3) равно
S S а^ац = X (и — 1). (2.11)
j1==i i=i
Меняя порядок суммирования в левой части равенства (2.11),
имеем
b v
S ац 2 aij -- г (к — 1), (2.12)
1=1 Ц=1
так как
® f/r — 1, х^Хг,
0,
ii=£j
Из равенств (2.11) и (2.12) следует соотношение между пара-
метрами (Ь, г, г, к, к)-конфигурации:
г(к — 1) = Х(г — 1). (2.13)
Фиксированный элемент Xj е X встречается в г блоках и образует
в каждом из этих блоков к — 1 неупорядоченных нар. Таким об-
разом, общее число таких пар во всех блоках равно г(Аг—1).
С другой стороны, элемент х5 X образует с остальными элемен-
тами множества X число неупорядоченных пар, равное v— 1.
Каждая такая пара к раз повторяется в блоках (6, v, г, к, к)-
конфигурации. Следовательно, общее число пар во всех блоках
равно k(v — 1). В этом состоит несколько иной подход к доказа-
тельству равенства (2.13).
Из определения (b, v, г, к, к)-конфигурации следует, что
k<v— 1. Согласно равенству (2.13) это означает, что к < г. Те-
перь из формулы (2.8) вытекает, что йе1(ЛгЛ)>0. Таким обра-
зом, для рангов матриц (ЛС4) и А имеют место соотношения
v = rangG4C4) с; rang А < Ь, т. е. справедливо неравенство
Ъ > v, (2.14)
называемое неравенством Фишера. Следствием этого неравенства
и соотношения (2.10) является неравенство
к 'С г. (2.15)
Квадратичная форма типа (1.12) для (6, v, г, к, Х)-конфигура-
ции в силу формул (2.2) и (2.3) имеет вид
ь и
2 Уг ~ r 2 Xj + 2к 2 ^1^2’
а=1
Это равенство можно записать в более компактном виде:
2 у\ = (г — М 2 + X. [ 2 Xj j . (2.16)
i=l j=l \j=l /
Полагая в обеих частях последнего равенства . = х„ = 1,
получаем тождество Ьк2 = (г — Х)н + Хн2, справедливость которого
легко доказывается непосредственно с использованием равенств
(2.10) и (2.13).
2. Системы троек. При к = 3 будем называть (b, v, г, 3, X)-
конфигурацию системой троек. Условия существования систем
троек устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 1. Для существования (b, и, г, 3, к)-конфигурации
необходимо и достаточно, чтобы
Х(р - 1) 0 (mod 2), Xv(v -1)^0 (mod 6). (2.17)
Ограничимся доказательством необходимости. Доказательство
достаточности можно найти, например, в [45]. Из равенств (2.10)
и (2.13) имеем
35 — нг, 2г = Х(р-1). (2.18)
Отсюда следуют равенства
г = ь = (2.19)
Так как г и Ъ — целые числа, то сравнения (2.17) справедливы.
При X = 1 система троек называется системой троек Штейнера.
Теорема 2. Для существования системы троек Штейнера,
являющейся (Ь, и, г, 3, D-конфигурацией, необходимо и достаточ-
но, чтобы
1>М, 3 (mod6). (2.20)
Ограничимся также только доказательством необходимости.
Из равенств (2.19) при X = 1 имеем
5 = (2.21)
Так как Ъ — целое число, то из (2.21) вытекают две возможности:
а) г = 3ц, где ц.— целое число. В этом случае v — 6р. + 1 и,
следовательно, v = 1 (mod 6).
б) 2r + 1 = 3(2v + 1), где v — целое число. В данном случае
и ~ 6v + 3 и, значит, t? = 3 (mod 6).
3. (v,k, X)-конфигурации. Будем называть (5, v, г, к, Х)-коп-
фигурацию (р, к, ^-конфигурацией, если b = V. Иногда (р, к, X)-
конфигурации называют симметричными сбалансированными не-
полными блок-схемами.
Рассмотрим свойства (р, к, Х)-конфигураций, вытекающие из
свойств (b, и, г, к, Х)-конфигураций.
Свойство!. r = k. (2.22)
Следует из равенства (2.10).
Свойство 2. к(к — 1) = Х(г — 1). (2.23)
Следует из равенств (2.13) и (2.22).
Свойство 3. АТА=ААТ. (2.24)
Матрица А, удовлетворяющая равенству (2.24), называется
нормальной. Из (2.7) и (2.22) следует, что
АТА = АЛ + (к - Ж. (2.25)
Из формул (2.5) и (2.6) и невырожденности А следует, что
JVA~1 = jpJv, AJV — kjv. Поэтому
AAT = AATAA~1 = ШгА-1 + (к - Ж = АЛ + (к - Ж-. (2.26)
Теперь равенство (2.24) следует из равенств (2.25) и (2.26).
Теорема 3. Если v четно, то для существования {v, к, А)-
конфигурации необходимо, чтобы к — к представляло собой квад-
рат натурального числа.
При b = V, г = к из равенства (2.8) имеем
(det И)2 = (к + А(р -!))(&- АГ-1. (2.27)
Из равенства (2.23) следует, что к + k(v — i) = к2. В силу нечет-
ности о— 1 из этого равенства и равенства (2.27) следует, что
к — А есть квадрат натурального числа.
Приведем еще одно свойство (щ к, А)-конфигурации, которое
иногда используется в качестве ее определения.
Свойство 4. Для того чтобы семейство к-подмножеств
(X, Х2, .. ., Хг) множества X = х2, . . xv} являлось (к, к, А)-
конфигурацией, необходимо и достаточно выполнение следующих
условий:
(2-28)
причем параметры v, к, к удовлетворяют неравенствам 0 < А <
<к <17—1.
Действительно, если семейство /с-множеств (X, X, ..., X )
есть (у, к, А)-конфигурация, то, согласно равенствам (2.4), (2.22)
и (2.24), для скалярных произведений строк А2, ..А„ мат-
рицы инцидентности А имеют место равенства
(Л,Л) = Г (2.29)
Эти равенства эквивалентны равенствам (2.28).
Докажем теперь достаточность условий (2.28). Условия (2.28)
эквивалентны условиям (2.29)t из которых следует, что для мат-
рицы инцидентности А имеют место равенства Л/о = kJv, ААТ =
= ХЛ, + (X — Х)/„. В силу невырожденности матрицы А из этих
равенств следует, что Л“ХД= -у A, AATJV = (А: 4- X (р — 1)) Jv.
Из этих равенств находим, что
ATJV = у [к + X (v — 1)] Л. (2.30)
Транспонируя обе части последнего равенства и умножая их на
Л, получаемЛЛА = у {к + X (у — 1)] А = kvJv. Отсюда получаем
соотношение между параметрами: к{к — 1) = Х(р — 1). Транспони-
руя обе части равенства (2.30) и используя последнее соотноше-
ние, находим, что JvA=kJv. Используя это равенство, получаем
АТА =А~1ААТА =ХЛ"7Л + {к - УАЦ = ?JV + (Х-Х)/в.
Таким образом, для скалярных произведений столбцов 4(1),
Л<2), ..., Л(,:) матрицы инцидентности А имеют место равенства
Эти равенства означают, что любой элемент множества X принад-
лежит к блокам Х2, ..., Xv, а любая пара элементов — X бло-
кам, т. е. (Xi, Х2, ..., Х„) есть (р, /с, Х)-копфигурация.
4. Циклические (и, к, X)-конфигурации. Будем называть
(р, /с, Х)-конфигурацпю циклической, если ее матрица инцидент-
ности 4 = (а,р, ё, у = 1,2, ..., р, является циклической, т. е.
ац = а^ при v(mod р), 1 ё, j, ц, v р.
Множество D = {dif d2, ..dh}, элементами которого являются
наименьшие неотрицательные вычеты по модулю р, называется
(р, к, УА-разностным множеством, если для любого d 0 (mod р)
существуют точно X упорядоченных пар (й, d^, 1^ё</^р, та-
ких, что di — dj^ d (mod p); 0<X<Ai<p—-i.
Теорема 4. Множество D^{dx, d2, ..dj, состоящее из
вычетов no модулю v, есть (p, к, УА-разностное множество тогда
и только тогда, когда семейство множеств {D, ..., DV_A, яде
D, = {di + i, ..dk + Ё1, Dq = D, Ё = 0, 1, .p — 1, является цикли-
ческой (p, k, УА-конфигурацией.
Пусть D = {di, d2, ..., dh} есть (p, k, Х)-разностное множество.
Тогда семейство {D, Dx, ..Dv-A удовлетворяет условиям
|Z)J =fc, Ё = 0, 1, ..., p- 1, D0 = D,
|Д Л DJ = |{{dp, dqA. dp — dq^ U — j)(modp)}| =X, i^= j.
(2.31)
24 в. H. Сачков
Следовательно, (Лй, есть (н, А:, X)-конфигурация, име-
ющая циклическую матрицу инцидентности.
Обратно, пусть (7)0, Dtl ..ZD-J есть циклическая (к, /с, Л)-
конфигурация. Тогда Da = D = {dt, d2, ..., dk} в силу равенств
(2.31) является (н, к, А,)-разностным множеством.
Нетрудно убедиться, что множество вычетов по модулю 7
D = {1, 2, 41 является разностным множеством. Циклическая
(7, 3, D-конфигурация, соответствующая этому разностному мно-
жеству, имеет следующие блоки:
Do = {1, 2, 41, D, = {2, 3, 51, О2 = {3, 4, 6), D3 = {4, 5, 0},
Dt = {5, 6, 11, Ds = {6, 0, 21, D6 = {0, 1, 31. (2.32)
5. Матрицы Адамара. Матрица H = (ЛгД, г, / = 1, 2, ..., п;
Л,7 = ±1, называется матрицей Адамара, если она удовлетворяет
равенству
ННТ - п!п, (2.33)
где /п — единичная матрица п X п и Нт — транспонированная мат-
рица Н. Из равенства (2.33) следует, что
Л (Л 7 = i
* (2.34)
1 ’ io,
Следовательно, если Я1? Н2, ..., Нп — строки матрицы Н, то эти
строки как векторы удовлетворяют условию ортогональности:
(п, й = С,
(МН, (2-35)
где —скалярное произведение векторов Н\1 и Н^
Из очевидных равенств det(/77/r) = (det(Zf))2 = det(izZn) = пп
следует формула
det (Я) = пп/2, (2.36)
означающая, что матрица Н невырожденная. Это позволяет запи-
сать следующую серию равенств: НТН = Н~1ННТП = =
= nln = ННТ, означающую, что матрица Н удовлетворяет усло-
вию нормальности, т. е.
НТП = ННТ. (2.37)
Лемма. Перестановка строк или столбцов матрицы Адама-
ра Н, а также умножение строк или столбцов на — 1 переводят Н
в матрицу Адамара Нх.
Матрицы Н и Hi называются эквивалентными матрицами Ада-
мара. Действительно, перестановка строк матрицы Н в соответ-
ствии с формулой (2.35) сохраняет все скалярные произведения
строк, а перестановка столбцов связана лишь с изменением по-
рядка слагаемых в формуле (2.34). Аналогичным образом не из-
меняются скалярные произведения строк и при умножении строк
или столбцов на —1.
Теорема 5. Для существования матрицы Адамара порядка
п необходимо, чтобы либо п = 1, 2, либо
к = 0 (mod 4). (2.38)
При п > 4 с помощью эквивалентных преобразований приве-
дем матрицу Адамара II к виду, в котором первая строка и пер-
вый столбец состоят из элементов 1. Такой вид матрицы Адама-
ра II называется нормализованным и обозначается Й. Ясно, что
теорему достаточно доказать для матрицы Й. Рассмотрим мат-
рицу II, образованную первыми тремя строками матрицы Й. При-
надлежащие II столбцы могут принадлежать одному из 4 видов:
/IX / 1\ / 1\ / 1\
1 1 — 1 I 1 , — 1
\1/ \ 1/ \—1/ V
(2.39)
Обозначим через х, у, z, iv число столбцов матрицы II каж-
дого из 4 видов соответственно. Тогда из условий ортогонально-
сти 1-й и 2-й, 1-й и 3-й, 2-й и 3-й строк получаем систему урав-
нений
х + у + z + w = п,
х — у + z — w — О,
х + у — Z — W = О,
х — у — z + ш = 0.
(2.40)
Очевидно, что эта система имеет единственное решение х = у =
= z — w ~ п/4. Таким образом, при п^ 4 имеем и = 4ц, где ц--
натуральное число, и, значит, сравнение (2.83) доказано. Слу-
чай п = 3 исключается, так как два вектора размерности 3 с ко-
ординатами ±1 не могут быть ортогональными. При п = 1 и
п = 2 имеем следующие матрицы Адамара:
Я, = (1), Я, = ()_,). (2.41)
Этим завершается доказательство теоремы 5.
Теорема 6. Нормализованной матрице Адамара порядка
п = 4ц, ц 2, можно поставить в соответствие {v, к, кд-конфигу-
рацию с параметрами и — 4ц — 1, к = 2ц — 1, /. = ц - 1.
Пусть II — нормализованная матрица Адамара порядка
«= 4ц 2-^8 со строками /А, II2, ..., Нп. Заменяя в матрице Н
все элементы — 1 на 0 и отбрасывая первый столбец и первую
строку, получим 0, 1-матрпцу А порядка 4ц — 1. Покажем, что
эта матрица является матрицей инцидентности (щ к, ^-конфигу-
рации с параметрами н = 4ц—1, Ат = 2ц — 17 Х = ц—1. Для это-
24*
го согласно равенству (2.28) достаточно показать, что скалярные
произведения строк А1г А2, .. .,А4й-1 матрицы А удовлетворяют
равенствам
АД
(2ц- 1,
I Н — 1,
(2.42)
j = /,
Из ортогональности строк Н2, ..Нп следует, что в каж-
дой строке матрицы Н имеется 2ц элементов 1. Следовательно,
в каждой строке Аь А2, ..44ii~i имеется по 2ц — 1 единиц, т. е.
!!А>11 = 2ц — 1, i = 1,2, ..4ц — 1. В подматрице 2 X п, соответ-
ствующей каждой паре строк Hi и Hj, 2 i < j п, каждый из
д И) ( Л ("Л
столбцов вида \—1/ встречается точно ц раз,
что следует из доказательства теоремы 5. Соответственно для
2 X (п — 1)-подматрицы, соответствующей паре строк А{, А,,
^п— 1, столбец вида Q j встречается ц — 1 раз, а столб-
ГП (°) /л f л л \
цы встречаются ц раз. Отсюда следует, что (А,, АД =
=ц—1, 1 i <у м — 1. Таким образом, равенства (2.42) дока-
заны. Наконец, условие (2.29) вытекает из требования ц 5s 2.
Остановимся теперь на способе построения матриц Адамара,
исходя из матриц Адамара меньшего порядка. Кронекеровым
произведением А ® В матрицы А = (ац), i1 7 = 1, 2, ..., иг, на мат-
рицу В = (Ьц), i, / = 1, 2, ,.п, называется (тп X тп)-матрица
вида
A®B = UfiB), i, / = 1,2, ..., т. (2.43)
Имеют место следующие свойства кронекерова произведения мат-
риц, проверка которых осуществляется непосредственно, исходя
из определения:
1) сс(А ® В) = (аА) ® В — А ® (а/?), а — скаляр;
2) (At + A2) ®В = А±®В + А2®В-,
3) А ® (Bi + В2) = А ® В^ + А ® В2;
4) (А ® ВАС ® D) = AC ® BD-
5) (А ® ВА = АТ ® Вт.
Здесь А, Аъ А2, С и В, В^ В2, D — матрицы порядков тип
соответственно.
Теорема 7. Кронекерово произведение матриц Адамара по-
рядков тип есть матрица Адамара порядка тп.
Действительно, если Нт и Нп — матрицы Адамара порядков
тип соответственно, то для их кронекерова произведения
Нт ® Нп имеем
Нтп = (Нт 0 Нп) (Нт 0 Нп)Т = (Нт® Нп) (Н™ 0 Н^) =
— В n JI т 0 НпНп mlт 0 п1п — тпТщгц
тде Ih — единичная матрица порядка к. Из равенства (2.33) сле-
дует, что Нтп есть матрица Адамара порядка тп.
Следствие. Для любого п = 2d, 1, матрица Адамара су-
ществует.
В самом деле, при п = 2d, d > 1, матрица
Нп = Н2® Н2® ...® Н2 (</раз),
где Н2 — матрица вида (2.41), согласно теореме 7, есть матрица
Адамара.
6. f-схемы. В заключение отметим, что рассмотренные выше
(6, v, г, к, ^-конфигурации являются частным случаем систем
инцидентности, называемых t-схемами. Семейство блоков, являю-
щихся ^-подмножествами н-множества X, называется t-схемой с
параметрами (и, /с, Xt), если любое 2-подмножество множества X
содержится ровно в Х( блоках, причем к и — 1, It > 0.
Обозначим через Xi, 0 I 2, число блоков 2-схемы, содержа-
щих фиксированное 2-подмножество элементов X. При 2 = 0 по-
лагаем, что фиксированное 2-подмножество — пустое и к0 = Ь, где
Ъ — число блоков в 2-схеме. Соответственно при 2 =1,2 полагаем
Zj = г, = Z, где г и X — соответственно число блоков, содержа-
щих фиксированный элемент и пару фиксированных элементов.
Вычислим двумя различными способами общее число 2-под-
множеств, принадлежащих блокам и содержащих фиксированное
2-подмпожество. В любом блоке, содержащем фиксированное
2-подмножество, это 2-подмножество можно способами до-
полнить до 2-подмножества. Так как фиксированное 2-подмноже-
ство принадлежит Ki блокам, то искомое число 2-подмножеств рав-
но ki (к 1\.
\t — i /
С другой стороны, из определения 2-схемы следует, что каж-
дое 2-подмножество встречается в Х( блоках, а число способов об-
разования 2-подмножеств, содержащих фиксированное 2-подмпо-
жество, равно Q_^)- Таким образом, число 2-подмножеств, со-
держащих фиксированное 2-подмножество, в блоках 2-схемы рав-
А — П
но щ I
1 \t — I/
Сравнивая результаты двух подсчетов, приходим к равенству
М(‘ -г) = j=0,l,(2.44)
из которого, в частности, следует, что X,- не зависит от выбора
2-множества.
Отметим также, что при заданных параметрах v, к и Xt числа
Ао, ..., Хг-1 определяются однозначно из равенства (2.44).
Запишем систему (2.44) в следующем виде:
ХУ(/с)г = Хг(г),,
ХДА: — l)f-i = Af(n —
— t + Di « kt(v — t + 1)f,
kt(k — t + l)0 = ХДп — I + l)0.
Путем деления каждого предыдущего уравнения на последую-
щее и приведения полученных выражений к общему знаменате-
лю приводим эту систему к виду
Х0/с = Хщ,
Х1(Л:-1)=Х2(н-1),
ktSk — £+!) = Х((г — 2+1).
Ясно, что если t = 2, то 2-схема представляет собой (Ь, г, г,
к, 2J-конфигурацию при Хо = b, Xi = г, Хг = X, к < v — 1 и система
(2.45) сводится к известным соотношениям для параметров:
bk — vr, rik — D - Х(п — 1).
§ 3. Ортогональные латинские квадраты и конечные
проективные плоскости
1. Ортогональные латинские квадраты. Пусть заданы два ла-
тинских квадрата = Di, • • •, Ъп = [$i, • • •, где
•s'j, ..., snt ... , sn — подстановки степени п, удовлетворяющие
условиям
si (j) sk (7), si (j) sk (/), i к, 7 = 1,2, ..., n. (3.1)
Латинские квадраты Ln и Ln называются ортогональными, если
для любых упорядоченных различных пар (i, у) =/= (/с, Z) выполне-
но условие
s'i{})) ^(sk(l), (3.2)
Если Ln и Ln ортогональны, то этот факт записывается следу-
ющим образом: Ln_L^n. Таблицу (s^/)), i, у = 1, 2, ..., п, ла-
тинского квадрата Ln будем обозначать той же самой буквой Ln.
Обозначим через {Ln, Ln) таблицу, полученную наложением таб-
лицы Ln па таблицу Ln, т. е. размещением в положении с коор-
динатами (i, j) пар (si(7), (у)). Тогда условие (3.2) означает, что
все пары, входящие в (Ln,L^, различны.
Определим операцию умножения латинского квадрата Ln =
— [$£, а2, ..sn] слева на подстановку s с помощью равенства
sLn=[$s£, ssnJ. Если Ln = Ls£, s2, ..., sj, Ln = [sx, s3, ...
..., а71]и Ln I то для любых подстановок s и s имеем sLn_]_sLn.
В самом деле, для любых пар (г, у) (Ar, Z) выполнено условие
(а$г(7), ss';
В противном случае из равенств sst (у) = ssk (Z), ssi (j) — $8^(1),
следовало бы (у) — (О, st (у) = (Z), что противоречит ус-
ловию (3.2). Полагая .? = ($х)-1, из пары ортогональных ла-
тинских квадратов Ln и Ln получаем пару ортогональных латин-
ских квадратов Ln-= Ln — ($г) Ln, таблицы которых име-
ют одинаковые первые строки вида 1, 2, ..п. Такие латинские
квадраты называются полунормализованными.
Пусть {L(n \ Ln\ • •., L^} — множество латинских квадратов,
таких, что
L(n_LLn\
(3.3)
Покажем, что
г С п - - 1
(3.4)
Обозначим через полупормализованный латинский квадрат,
соответствующийLn\ l^i^r. Тогда 1 L^\ i=/= j, 1 у'^С/.
Наложим таблицы г полунормализованных латинских квадратов.
Ячейка со входами (1, у) содержит г элементов у. В ячейке со
входами (2, у) все элементы различны. Действительно, пусть в
ячейке (2, у) два элемента равны Z, 1 I п. Тогда в ячейке
(1, Z) уже имеется пара элементов, равных Z, принадлежащих па-
ре латинских квадратов; получаем противоречие с условием их
ортогональности. Ни один из различных элементов в ячейке (2, 1)
не может совпадать с элементами ячейки (1, 1). Отсюда следует
неравенство (3.4).
Если r = n—1, то множество попарно ортогональных латин-
г (I) т (2) т (и.— 1)
ских квадратов Ln , Lxn , .. ., Ln называется полным.
2. Метод построения. Укажем способ построения полных мно-
жеств попарно ортогональных латинских квадратов порядка
п = ра, где р — простое, а — натуральное число, п 3. Рассмотрим
конечное поле Галуа GF(p“) = {а0 = 0, щ = 1, а2, ..., «п-Д, где
О и 1 — соответственно нуль и единица этого поля. Покажем,
что множество таблиц
L(nZ) = (4f), Z = 1. 2, ..., re — 1, (3.5)
a{i-= ay, г, у = 0, 1, . .., п — 1, (3.6)
определяет полное множество попарно ортогональных латинских
квадратов. Равенства а-р — а</, J + f и а$ — а\!>\ , г =/= I', в си-
лу соотношения (3.6) означают выполнение условий а^—а^,
и соответственно = ан, 1=7^1',что противоречиво. Отсюда сле-
дует, что Ln\ 1 I <+—1, есть таблица латинского квадрата.
Покажем теперь, что кУ=1, 1 Ze, До-
пустим, что для (г, у) (Г, у") выполнено равенство (°^\ <4Р) =
— (ан/, аУ/). Это в силу условия (3.6) означает, что
+ dj -— dydk -J- П/, did; -j- dj = dj/di + dp. (3. /)’
Вычитая из первого равенства второе, получаем a, (dh — а>) —
=di>(dk — dt}, k^=l. Отсюда следует, что di = а^, т. е. i = i'. Те-
перь из первого равенства системы (3.7) находим, что dj — а^,
т. е. В результате получили противоречие с предположени-
ем (i, у) =/= а', у).
Положим р = 3, а = 1. Тогда GF(3) = {0, 1, 2} и для 2 = 1,2
имеем
д()о — 02 + О, aS — 01 +1, йоа —02 + 2,
= И 4- 0, 41 = 12+1, aS = 12+2,
а$ = 22 + 0, aS = 22+1, a(S = 22+2.
Отсюда получаем полное множество из двух попарно ортогональ-
ных латинских квадратов
/0 1 2\ /01 2\
IS? = 1 2 0 , Ц2} =201. (3.8)
\2 0 1/ \1 2 0/
3. Матрица С. Рассмотрим матрицу
С = (еД i=l,2, ..., п\ i = 1,2, ..., г + 2, (3.9)
с элементами ci;, которые могут принимать значения 1, 2, .. ., п.
Будем говорить, что матрица С обладает латинским свойством,
если
(cife, с«) =/= (cjft, с,7), i у, к 2.
(3.10)
Выполнение латинского свойства (3.10) для матрицы С означает,
что строки каждой ее п2 X 2-подматрицы представляют п2 различ-
ных упорядоченных пар, составленных из чисел 1, 2, ..., п. Так
как латинское свойство (3.10) определяется для пар элементов,
принадлежащих одной п той же строке, то оно сохраняется при
перестановке строк матрицы С. В результате перестановки строк
матрицу С можно привести к стандартному виду, в котором па-
ры элементов в двух ее первых столбцах располагаются в лекси-
кографическом порядке при возрастании номеров строк: (1, 1),
<1, 2), ..., (1, п), (2, 1), (2, 2), ..., (2, п\ ..., (п, 1), (п, п).
Теорема 1. При п^З, г^2 каждому множеству из г по-
парно ортогональных латинских квадратов можно поставить в со-
ответствие матрицу С, обладающую латинским свойством, и об-
ратно.
Пусть дано множество из г попарно ортогональных латинских
квадратов Ln \ Ln\ .. •, L-n\ таблицы которых состоят из элементов
1, 2, ..п. Этому множеству поставим в соответствие стандарт-
ную матрицу C=(ci3), i = 1, 2, ..п2, 7 = 1,2, ..., г+ 2, в кото-
рой два первых столбца стандартные, а j-й столбец при
7 = 3,4, . г+2 представляет собой выписанные последователь-
но сверху вниз по мере возрастания номеров п строк латинского
квадрата Ln-3), 3<( у г + 2. Например, для п = 3, г = 2 и пары
ортогональных латинских квадратов
/1 23\ /12 3\
L™ =[231, Li2) = 3 1 2 I
\3 1 2.1 \2 3 1/
(З.И)
матрица С имеет вид
1 1 1 I
1 2 2 2
1 3 3 3
2 1 2 3
e = 2 2 3 1
2 3 1 2
3 1 3 2
3 2 1 3
3 3 2 1
(3.12)
Полученная в общем случае стандартная матрица С=(сц),
1 = 1, 2, ..п2, j = 1,2, ..., г + 2, удовлетворяет латинскому свой-
ству (3.10). Действительно, равенство
(си, ci2) = (Cj,, cJ2),
противоречило бы свойству различия всех пар, принадлежащих
двум первым стандартным столбцам.
Далее, равенства
(Си, cik) = (Cji, cjk), (ci2, cjft) = (cj2, cjk), (3.13)
i =+ j, к = 3, 4, ..., г + 2,
противоречили бы условиям различия элементов в строках и со-
ответственно в столбцах латинского квадрата ^-2), 3 к г + 2.
Наконец, наличие равенства
<cik, си) = (сл, cj(), i =t=i, 3 к, l^r + 2, (3.14)
противоречило бы условию Ln \ Ln.
Обратно, пусть задана матрица С вида (3.9), обладающая ла-
тинским свойством (3.10). Не ограничивая общности, предполага-
ем, что матрица С имеет стандартный вид. В противном случае
перестановкой строк ее всегда можно привести к стандартному
виду с сохранением латинского свойства. Поставим в соответ-
ствие (Аг + 2)-му столбцу матрицы С таблицу n X и, в которой
строки являются последовательными сверху вниз отрезками дли-
ны п рассматриваемого (/с + 2)-го столбца матрицы С, 1 С к С г.
Таким образом,
/ Cl,fe + 2 С2,Й + 2 ' ' ' Cn,h+1 \
LW = Сп+1Л+2 Сп + 2Л + 2 | (3.15)
\ rt L' о с о /
\ п-—n+l,fe + 2 пг —ПЧ-2^+2 * • ’ П-,^ + 2/
При п = 3, г=2 указанным способом из матрицы (3.12) получа-
ются таблицы и L(32). Из условия невыполнения равенств
(3.13) для любых следует, что таблица является латин-
ским квадратом. Из условия невыполнения равенств (3.14) при
любых &=/=/, к^1 следует, что± Теорема доказана.
4. Конечные проективные плоскости. Назовем (у, к, 1)-копфи-
гурацию при п 2 и и = п2 + п + 1, к = п + 1, X — 1 конечной
проективной плоскостью порядка п. Геометрическая терминоло-
гия в данном случае мотивируется следующим образом. Элемен-
ты множества X = . ., дп2+п_х} назовем точками, а соот-
ветствующие блоки Х2, ..2 + п — 1, п + 1, 1)- кон-
фигурации будем называть прямыми. Тогда из общих свойств
(у, к, ^-конфигураций вытекают следующие свойства конечной
проективной плоскости:
1. Каждая прямая содержит n+ 1 точек, т. е.
|Х,-1 =п + 1, i=l,2, ..., м2 + п—1. (3.16)
2. Две прямые пересекаются только в одной точке, т. е.
1Х<ПХ3-| =1, (3.17)
3. В каждой точке х} пересекаются ровно п + 1 прямых, т. е.
1 i^n2 + n- 1)1 1. (3.18)
4. Через две различные точки проходит ровно одна прямая,
т. е.
| {Хг: , xi2 е X i, Ф i2,1 < i <1 п2 4- п — 1} | = 1. (3.19)
Отметим, что в силу равенств (2.28) блоки Х2, . . Xn, _j
определяют конечную проективную плоскость порядка «, если
выполнены равенства (3.16) и (3.17).
Теорема 2. При п>3 конечная проективная плоскость по-
рядка п существует тогда и только тогда, когда существует пол-
ное множество из п— 1 попарно ортогональных латинских квад-
ратов порядка п.
Пусть Х2, ..., — прямые конечной проективной
плоскости порядка п, причем АЗ = {д?15 xz, ..л;„+1} и точки пло-
скости обозначены через X = , хп+1; уг, у2,, .., уп--}. Для
прямых плоскости выполнено условие
Каждой прямой [уъ ж,(1, проходящей через точки у4 и хь, 1--С i -C
/г, 1 k п + 1, припишем некоторое число cfft, представляю-
щее собой одно из чисел 1, 2, ..п. В результате получим мат-
рицу С = (t\J, i = 1, 2, ..., п2, к = 1, 2, ..71+1, причем выбор
чисел clk должен быть таким, чтобы матрица С обладала латин-
ским свойством вида (3.10). Допустим противное, т. е. при
к^1 имеем равенства
С;А Cpil Cjl' (3.21)
Первое пз равенств (3.21) означает, что прямым [уi, rrj и [у,,
приписано одно и то же число, т. е. точки уь у} и х„ лежат па
одной прямой. Второе равенство (3.21) аналогичным образом при-
водит к выводу, что точки у,, Уз и xt также лежат па одной пря-
мой. Так как точки xk и xt лежат па одной прямой, то па этой
же прямой Xt лежат и точки ьщ и уь что противоречиво.
Таким образом, матрица С обладает латинским свойством, и,
следовательно, ей можно, согласно теореме 1, поставить в соот-
ветствие полное множество из п — 1 попарно ортогональных ла-
тинских квадратов.
Пусть теперь дано полное множество из п — 1 попарно орто-
гональных латинских квадратов порядка п, определяющих стан-
дартную матрицу 6’=(сц), i = 1, 2, ..., п2, / = 1, 2, ..., п+1,
с,, = 1,2, ..., п, обладающую латинским свойством (3.10). По-
строим проективную плоскость порядка п, отвечающую этой мат-
рице С.
Рассмотрим прямую X, = {х1г х2, . .., агп+1} и через yi-y2, •••
—, У+ обозначим точки, не лежащие па этой прямой. Прямой
(yit xh) приписывается число сгк. Так как в /с-м столбце матри-
цы С имеются п одинаковых элементов, то прямая, проходящая
через xh и отличная от содержит п+1 точек. Далее, покажем,
что любые две прямые пересекаются в одной точке. Если две пря-
мые пересекаются в точке хк, то элементы, определяющие припи-
сываемые этим прямым числа, берутся из одного столбца мат-
рицы С. Ясно, что в этом случае прямые могут пересекаться в
единственной точке хк.
Возьмем теперь прямые, отличные от Х7 и проходящие через1
точки Xi и xh, к. Так как у i-ro и /с-го столбцов в матрице С
при фиксированном I только один раз встречается пара U, Z), то
соответствующие прямые имеют единственную точку пересечения.
При п = 3 конечная проективная плоскость строится следую-
щим образом по таблице, соответствующей матрице С:
У1 Уг Уз Ун Уз Уе У- Уз Ун
*1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
X., 1 2 3 1 2 3 1 2 3
х3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 3 1 2 2 3 1
По этой таблице находятся прямые, проходящие через точку xir
1 z 4. Для этого выбираются те значения у;, которые располо-
жены против одинаковых элементов в i-й строке таблицы, 1 <
=£ i 4. В результате конечную проективную плоскость третьего-
порядка можно записать в следующем виде:
Xt = {.Xi, хг, х3, xj ,
= У1, У21 Уз\
Х3 = {xlf у4, у5, у6},
Хь = {т15 у7, ys, у9},
х5 = {х2, у4, у4, у7},
Хв — {т2, Уг, Уз, Ув\
Х7 = {xz, Уз, Уб, уЛ,
Х8 = {д;3, уь у6, у8},
Хэ = {ж3, у2, Уа уД,
Х10 = из, Уз, Уз, У1К
Хц=к4, у7, Уз, Уз},
Х12={т4, у2, у6, у7),
Х13={д:4, Уз, у4, у8}.
Конечная проективная плоскость 2-го порядка имеет вид?
{1,2,41, {2,3,5}, {3,4,6}, {4,5,7}, {5,6,1}, {6,7,2}, {7,1,3}.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если при определении (Ь, v, г, к, X)-конфигурации по-
ложить к = v — 1, v > 2, го отсюда следует, что Ь = v, г = и — 1, к = и — 2
и матрица инцидентности А имеет вид А = Д — П, где П — подстановочная
матрица порядка и.
2. Показать, что если (г, к, X)-конфигурацию определить при X ~ к, то»
X = к = v и матрица инцидентности есть А — Jv.
3. Показать, что два латинских квадрата ~ Pi’ s2’ • • ’ snl и ~
~ Is!’ ®2’ * • • ’ <] °РТ0Г(жальны тогда и только тогда, когда подстановки.
—1 ' — 1 ' — j '
si ,s2 s2’ • • • ’ sn sn ооразуют латинским квадрат.
1. Басакер Р., Саатв Т. Конечные графы и сети.—М.: Наука,
1974.
2. Б е л о в В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория гра-
фов.— М.: Высшая школа, 1976.
3. Берж К. Теория графов и ее применения.— М.: ИЛ, 1962.
4. Боровков А. А. Курс теории вероятностей.—М.: Наука, 1972.
5. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе,—М.: ИЛ, 1961.
6. Виленкин Н. Я. Комбинаторика.— М.: Наука, 1969.
7. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика.— М.: Паука, 1975.
8. В о р о б ь е в Н. Н. Числа Фибоначчи.— М.: Наука, 1969.
9. Гаврилов Г. П„ Сапоженко А. А. Сборник задач по дискрет-
ной математике,— М.: Наука, 1977.
10. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей,— М.: Наука, 1967.
11. Гончаров В. Л. Из области комбинаторики. — Изв. АН СССР. Сер.
матем., 1944, 8, № 1.
12. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики/Под
ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова,— М.: Наука, 1974.
13. Е г о р ы ч е в Г. П. Интегральное представление и вычисление комби-
наторных сумм.— Новосибирск: Наука, 1977.
14. Е ж о в И. И., Скороход А. В., Я д р е н к о М. И. Элементы комби-
наторики.— М.: Наука, 1977.
15. Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly».— М.:
Мир, 1977.
16. Калу ж н и н Л. А. Введение в общую алгебру.— М.: Наука, 1973.
17. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и ма-
тематическая статистика,— М.: Высшая школа, 1973.
18. К о л ч и н В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случай-
ные размещения.— М.: Наука, 1976.
19. Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Паука, 1977.
20. К о ф м ан А. Введение в прикладную комбинаторику.— М.: Наука.
1975.
21. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных нера-
венств.— М.: Наука, 1972.
22. Минк X. Перманенты.— М.: Мир, 1982.
23. О р е О. Теория графов.— М.: Паука, 1968.
24. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики/Под ред.
К. А. Пупкова.— М.: Высшая школа, 1974.
25. Перечислительные задачи комбинаторного анализа.— М.: Мир, 1979.
26. Платонов М. Л. Комбинаторные числа класса отображений и их
приложения.— М.: Наука, 1979.
27. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел.—М.:
Наука, 1971.
28. Прикладная комбинаторная математика/Под ред. Э. Беккенбаха.— М.:
Мир, 1968.
29. Проблемы комбинаторного анализа.— М.: Мир, 1980.
30. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей,—М.: Нау-
ка, 1973.
31. Райзер Г. Дж. Комбинаторная математика.—М.: Мир, 1966.
32. Р и о р д а н Дж. Введение в комбинаторный анализ,— М.: ИЛ, 1963.
33. Р и о р д а н Дж. Комбинаторные тождества,— М.: Наука, 1982.
34. Рыбников К, А. Введение в комбинаторный анализ.— М,: Изд-во
МГУ, 1972.
35. Савельев Л. Я. Комбинаторика и вероятность.— Новосибирск: Нау-
ка, 1975.
36. С а ч к о в В. Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе.—
М.: Паука, 1978.
37. Сачков В. Ы. Комбинаторные методы дискретной математики.— М.:
Паука, 1977.
38. С в е ш н и к о в А. Г., Тихонов А. II. Теория функций комплексной
переменной.— М.: Наука, 1967.
39. Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник
задач по теории вероятностей,— М.: Наука, 1980.
40. У и л с о н Р. Введение в теорию графов.— М.: Мир, 1977.
41. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.— М.:
Мир, 1967. Т. I.
42. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального п интегрального ис-
числения.— М.: Наука. Т. 1—3, 1969.
43. X а р а р и Ф. Теория графов,— М.: ИЛ, 1963.
44. Харари Ф„ Палмер Э. Перечисление графов.— М.: Мир, 1977.
45. Холл М. Комбинаторика.— М.: Мир, 1970.
46. Холл М. Комбинаторный анализ,— М.: ИЛ. 1963.
47. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей.— М.: Паука, 1978.
48. Э р д ё ш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинатори-
ке.— М.: Мир, 1976.
49. Я б л о и с к и й С. В. Введение в дискретную математику,— М.: Наука,
1979.
50. Barton D. Е., David F. N. Combinatorial chance.— Griffin, 1962.
51. Coldman J. R., Rota G. C. On the foundations of combinatorial theo-
ry. IV: Finite vector spaces and eulerial generating functions.— Studies
in Appl. Math., 1970, XLIX (3), p. 239—258.
52. C u r t i s s I. II. A note on the theory of moment generating functions.—
Ann. Math. Statist., 1942, 13, № 3, p. 430—433.
53. L о v a s z L. Combinatorial problems and exercises.— N. Y., 1979.
54. Moon G. W., Sobel M. Enumerating a class of nested group testing
procedures.— J. Comb. Theory, 1977, B23, p. 184—188.
55. Nishi A. An elementary proof of Johnson — Dulmage — Mendelsohns
refinement of Birkhoffs theorem on doubly stochastic matrices.— Canad.
Math. Bull., 1979. 22 (1), p. 81—86.
56. Niven I. Formal power series.—Amer. Math. Monthly, 1969, 76, p. 871—
889.
57. Prhfer A. Neuer Beweis eines Satzes йЬег Permutationen.— Archiv der
Mathem. und Physik, 1918, 27, p. 742—744.
58. Renyi A. On a problem of information theory.— Publ. Math. Inst. Hun-
gar. Acad. Sci., 1961, 6, p. 505—516.
59. R e n у i A. On random gerating elements of finite boolean algebra.—
Acta Sci. Math. (Szeged), 1961, 22, p. 75—81.
60. R ё n у i A. On the theory of random search.— Bull, of the Amer. Math.
Soc., 1965, 71, № 6, p. 809—828.
61. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения/Под ред. К. А. Рыбнико-
ва,— М.: Наука, 1982.
62. Эндрюс Г. Теория разбиений.— М.: Наука, 1982.
Алгоритм Прюфера 163
Аппелево множество 104
Асимптотический ряд степенной 133
Базисная последовательность 99
Блок 193
- покрытия 9, 269
— связного графа 193
Блок-схема 363
— — полная (неполная) 364
— — сбалансированная 364
Булеан 21
Вес конфигураций 241
— фигур 241
Весовая спецификация 241
Возрастание (убывание) перестановки
114, 286
Гиперграф 12
Граф 12, 111
— двудольный 15
— корневой 194
— однородный 150
— плоский 150
— Пойа 170
— полный 150
— преобразования 182
— с помеченными вершинами 153
— связный 151
— Ферре 229
— частичный 151
— четный 156
Группа знакопеременная 52
— подстановок 47
— симметрическая 47
— степенная 202
Групповые проверочные процедуры 140
Декомпозиция матрицы 349
Декремент 52, 181
Дснумерант 231
Дерево 111, 161
— корневое 111, 163
— остовное 162
— свободное ИЗ
— с помеченными вершинами 111
Дзета-функция 72
Дихотомия 25
Дуга 15. 152
Задача Андре 96
— об ожерельях 246
— о циклических последовательностях
75
— поиска 315
Законы де Моргана 9
Класс графов 1-го (2-го) рода 153, 154
— транзитивности 48
Комбинаторная схема 207
Коммутативный несимметричный п-ба-
зис 209
— симметричный п-базис 209
Компонента преобразования 182
— связности 151, 182
Конгруэнтные циклы 180
Конечная проективная плоскость 378
Контур 152, 183
Конфигурация 240
Коэффициент биномиальный 35
— • полиномиальный 35
Коэффициенты Гаусса 120
Кронекерово произведение 372
Латинский квадрат 82, 338, 374
— прямоугольник 82, 338
Латинское свойство матрицы 376
Лемма Бернсайда 201
Лес 162
Линия 342
- матрицы 263
Матрица Адамара 370
— вполне неразложимая 341
— дважды стохастическая 346
~ импримитивная 340
— инцидентности 23. 337, 362
— неотрицательная 335
— неразложимая 339
— й-неразложимая 360
— нормальная 368
— положительная 335
— почти разложимая 356
— примитивная 340
— разложимая 339
— смежности графа 150
— стохастическая 345
— теплицева 326
— частично разложимая 341
Место 240
Метод включения — исключения 62
Многочлен Аппеля 107
Бернулли 104
— Лежандра 109
— Моргана 136
Моноид 27
АТультиграф 153
Мультимножество 18
Некоммутативный несимметричный п-
базис 209
— симметричный тг-базис 209
Неравенства Бонферрони 69
Неравенство Фишера 366
Нумератор 175. 211, 220, 226. 237
Инверсия 284
Инволюция 106, 178
Индекс покрытия 342
Индикатор 21
Инцидентные вершины 150
Область транзитивности 201
Ожерелье 246
Орбита 48
— группы 201
— подстановки 171
Орграф 152
Период вектора 75 Перманент 317 Петля 183 Подграф 151 Подстановка 47 — противоречивая 81 — четная (нечетная) 181 Покрытие матрицы 342 — минимальное 271 — множества 9, 268 Правило произведения 17 — суммы 10 Производящая функция 99, 100 Эйлера 123 Путь 152, 182 Формула обращения 38 —• полиномиальная 35 — Райзера 328 — Сильвестра 78 — Стирлинга 133 Функция Мёбиуса 72 — Шура 318 — Эйлера 80 Характеристика 241 Цепь 111, 151 — простая 151 Цикл 111, 151, 171 — подстановки 48
Разбиение множества 9, 128, 269 — случайное 297 — совершенное 233 — сопряженное 230 — упорядоченное 10 — числа 21, 103 Разделяющая система множеств 307 функций 312, 315 Разложение Лапласа 321 — перманента 321 Размещение 226 Расстояние Хэмминга 66 Рекуррентное уравнение 89, 327 Решетка матрицы 335 — простой 151 Циклическая вершина 183 — ('», k, ^-конфигурация 369 Циклический индекс 51 — элемент 183 Цикловый индикатор 172 — класс 49 Цикломатическое число 162 Числа Белла 129, 238 — Бернулли 97, 104 — Галуа 121 — Каталана 139 — Паха 147 — Моргана 42
Серия 215 Сигнатура 25 Система инцидентности 362 — образующих 170, 307, 309 — представителей 209 — троек 367 — — Штейнера 367 Слой дерева 161 Спецификация первичная (вторичная), 18, 163 Стабилизатор 201, 205 Схема без возвращения 311 — Стирлинга 43, 240 — Фибоначчи 22, 326 — Эйлера 98 Эйлеров граф 157 Энтропия 314 А-подстановка 177 А-преобразоваиие 184 АВ-преобразование 189 Е-подстановка 95 G-эквивалентность 202
Теорема Куртисса 280 — Пойа 242 — Фробениуса 340 — Шпсрнера И Точка сочленения 193 Трансверсаль 337 Транспозиция 48, 169 GH-эквивалентность 202 Н-эквивалснтность 203 О-перестановка 95 ш-выборка 209, 225, 235 т-ка 16 ш-мультимножество 18 ш-носледовательность 16 т-размещение 17 с повторением 17
Урновая схема 207 Уровневое множество 312 Усиленная независимость 155 т-сочетание 11, 210 — — с повторением 18 п-базис 209 «-множество 8 «-перестановка 18 (7i, ?«)-граф 153
Фигура 240 Формальные тригонометрические функ- ции 95 Формальный степенной ряд 85 Формула Бине — Коши 324 — биномиальная 34 — Гаусса 81 — Добинского 45, 131, 238 Q-биномиальная формула 127 Q-ичное разложение 34 /-схема 373 (v, k, ^-конфигурация 367 (и, h, ?.)-разностное множество 369 А-граф 154 А-подстановка 176 0,1-матрица 26G