/
Author: Гусак А.А. Гусак Г.М. Бричикова Е.А.
Tags: математика учебные пособия и учебники по математике задачи по математике
ISBN: 985-06-0742-4
Year: 2003
Text
А А Гусак ГМ Гусак Е А Бричикова
МАТЕМАТИКА
для поступающих
оБУчАющий кУРс
Вышэишє-ЁЁшкеггдвнь-їт
20
УДК 51(075. 4)
ББК 22.1я729
Г9б
© Гусак А. А., Гусак Г. М.,
Бричикова Е. А., 2003
ІЅВІЧ 985-06-0742-4
© Издательство «Вышэйшая школа», 2003
пРвдисловии
Данное пособие соответствует новой программе по мате-
матике для вступительных экзаменов в высшие учебные заве-
дения Республики Беларусь. Оно включает материал, относя-
щийся к разделу <<Арифметика, алгебра, начала анализа». е
Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого
параграфа приведены соответствующие теоретические сведе-
ния.. Теоремы и формулы, входящие в вопросы программы и
отмеченные в ней звездочкой, даны с доказательствами и вь1~
водами; весь остальной теоретический материал приводится
без доказательств. За теоретическими сведениями следуют
примеры с подробными решениями. Авторы стремились к то-
му, чтобы решать сложные задачи наиболее простыми, рацио~
нальными методами. Далее читателям предлагаются задачи
для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы,
а к некоторым -- указания.
Теоретический материал, изложенный в пособии, будет по-
лезен при повторении Школьного курса математики; он необ-
ходим всем поступающим, особенно тем, кто закончил сред-
нюю школу ранее и не имеет в своем распоряжении учебников.
Внимательное изучение детальных решений многочислен-
ных примеров по разделам программы даст возможность аби~
туриенту хорошо подготовиться к вступительным экзаменам
и успешно вьщержать их.
Книга содержит 11 глав. Глава 1 посвящена вопросам логи-
ческого строения математики. Здесь разъясняется, что понима-
ют под определением математического понятия, что представ-
ляют собой понятия множества, аксиомы, теоремы, необходи-
мых и достаточных условий, в чем суть метода математической
индукции. Приведены примеры применения этого метода к до~
казательству ряда важных Числовых равенств и неравенств.
4
предисловия
Глава 2 посвящена различным множествам чисел: нату-
ральные числа, их делимость, признаки делимости, целые
числа и действия над ними, рациональные числа, обыкновен-
ные и десятичные дроби, пропорции, проценты, действитель-
ные числа. Вводятся прямоугольные координаты и их преоб-
разования при параллельном переносе, предлагаются вывод
формулы для расстояния между двумя точками на плоскости,
вывод уравнения окружности
В главе 3 рассматриваются: степени действительного чис-
ла с различными показателями, рациональные выражения,
тождественные преобразования, тождества; одночлены и
многочлены, действия над ними; схема Горнера для деления
многочлена Рп(х) на двучлен х Ы с, теорема Безу об остатке
этого деления и ее важные следствия; формулы сок1;›аЩЄНН0~ч
го умножения, различные способы разложения многочлена
на множители; корни п-й степени из действительного числа,
их свойства, действия над ними.
Функции и их пределы изучаются в главе 4. Вводятся ос-
новные определения: ограниченные, четные и нечетные, мо~
нотонные, периодические, обратные, сложные функции. Ис~
следуются прямая и обратная пропорциональные зависимос-
ти, линейная, квадратичная, степенная, показательная и лога-
рифмическая функции, строятся их графики. Исследованию
логарифмической функции предшествует изучение логариф-
мов чисел и их свойств. Рассматриваются различные преобра-
зования графиков функций (построение графика функции (р (х)
по известному графику функции І (х) на основании зависимос-
ти между этими фУНКіЦиями). Введены понятия предела функ-
ции, непрерывности функции. Рассмотрены свойства пределов
функций, некоторые важные пределы.
В главе 5, посвященной уравнениям, введены основные
понятия: уравнение, область определения уравнения, корень
уравнения; система уравнений, ее решение; совместная сис-
тема; несовместная система; совокупность уравнений, ее
решение, равносильные уравнения, уравнение-следствие
Рассмотрены свойства уравнений, а также линеюйные квад-
ратные, биквадратные, иррациональные, показательные,
логарифмические уравнения; уравнения, содержащие перемен~
ную в знаменателе дроби; уравнения с переменной под зна-
ком модуля, уравнения с параметром; алгебраические уравне-
ния высших степеней и их решение способом разложения на
пІЬе-дисловиє_
5
множители; возвратные уравнения третьей и четвертой степе-
ней, сводящиеся к квадратным уравнениям. Предложен гра-
фический метод решения уравнений..
Глава 6 посвящена системам уравнений. Рассматриваются
системы двух линейньпт уравнений с двумя неизвестными и их
решение с помощью определителей. Вводятся основные опреде-
ления, относящиеся к системам т линейньш уравнений с п неиз-
вестными, предлагается метод последовательного исключения
неизвестных для решения таких систем. Изложены способы ре-
шения систем нелинейных алгебраических уравнений: подста-
новка, введение новых переменных, разложение на множители,
использование тождеств, некоторые искусственные способы.
Приведены задачи на составление и решение систем алгебраи-
ческих уравнений, отмечены особенности решения таких задач.
На примерах показаны способы решения систем уравнений: по~
казательных, логарифмических, показательно -логарифмичес1<:ихІ
В главе 7 даны основные определения, относящиеся к не-
равенствам, приведены доказательства многих арифметиче-
ских и алгебраических неравенств. Рассматриваются теоремы о
равносильности неравенств. Изучаются линейные неравенст-
ва с одной переменной и их системы, неравенства, приводя-
щие к системам неравенств. При решении неравенств второй
степени с одной переменной используются свойства квадра-
тичной функции у = ах2 + Ьх + с и особенности ее графика в
зависимости от знака коэффициента а и дискриминанта
В == Ь2 -- 4ас. Разъясняются способы решения неравенств, со-
держащих переменную под знаком модуля. Указана схема, по
которой находят решение дробно-рациональных неравенств.
При рассмотрении способов решения иррациональных нера-
венств обращено внимание на необходимость определения
ОДЗ неравенства, изучения знаков двух его частей, на возмож-
ность появления посторонних корней. Решение показатель-
Ных неравенств основано на использовании свойств функции
у =-= ах, а > О, а и 1. При решении этих неравенств применяют-
ся способы приведения обеих частей неравенства к одному ос-
Нованию, вынесения за скобки общего множителя, введения
Новой переменной. Решение логарифмических неравенств ос~
Новывается на свойствах фУНКЦии у==103а х, а > 0 , а ф 1; здесь
также существенно нахождение ОДЗ неравенства. Рассматри-
Ваются неравенства с двумя переменными и их системы, при-
водится геометрическая интерпретация решений.
6
предисловие
В главе 8 введены основные определения, относящиеся к
числовым последовательностям, понятие предела последова-
тельности, сформулированы теоремы о свойствах пределов по-
следовательностей. Рассматриваются арифметическая и геоме-
трическая прогрессии, относящиеся к ним основные формулы.
В главе 9 приведено определение производной функции в
Данной точке, выяснен ее геометрический и механический
смысл, рассмотрены основные правила и формулы диффе-
ренцирования, применения производной к исследованию
функций и построению их графиков, к нахождению экстре-
мальных значений величин.
В главе 10 даны определения тригонометрических функций,
приведены их значения для некоторых углов, рассмотрены
соотношения между ними, формулы приведения. Доказаны
теоремы о тригонометрических функциях суммы и разности
двух углов, формулы для тригонометрических функций двой-
ного и половинного углов, формулы для суммы, разности и
произведения тригонометрических функций разных углов.
Приведены формулы для производных тригонометрических
функций включая производные ФУНКЦИИ от функции. Рас-
смотрены свойства и графики тригонометрических функций,
обратные тригонометрические функции и их графики.
Тригонометрическим уравнениям посвящена глава 11.
Здесь рассмотрены простейшие тригонометрические уравне-
ния, сводящиеся к алгебраическим, однородные уравнения.
Указаны способы решения тригонометрических уравнений:
введение вспомогательного угла, замена переменной, разло-
жение на множители, универсальная тригонометрическая
подстановка. При решении тригонометрических уравнений
бывает полезной предварительная оценка левой или правой
части уравнения. Такая оценка иногда помогает решить урав~
нение или убедиться в том, что оно не имеет решений.
Для удобства читателей в начале книги помещен список
основных обозначений, используемых в ней.
Все отзывы а пожелапия просьба присылать по адресу:
220048, Минск, проспект Машероаа, 1 1, издательство «Велоза-
шая школа».
Авторы
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
--
множество натуральных чисел
--
множество целых чисел
+- Множество рациональных чисел
-
множество действительных чисел
-
пустое множество
ы число а делится без остатка на число Ь
НОД - нашіольшийд общий делитель
НОК - наименьшее общее кратное
-
область допустимых значений
-
знак принадлежности
-
знак непринадлежности
-
знак включения
- ~ знак объединения
-
знак пересечения
-
знак тождества
-
знак логического следования
-
знак логической равносильности
Х = {х: Р} ~ множество Х состоит из таких элементов х, кото-
рые удовлетворяют условию Р
(11,113)
-
интервал:Х={х:а<х«сЬ}~
[сдЬ] ~отрезок,илисегмент:Х={х:аЅхЁЬ}
а,Ь)((а,Ь]) ~нолуинтервал:Х={х:а5х<:Ь}(Х={х:а<:хЅЫ)
(40,15)
-
Х={х:х<д}
(Нео, Ь] е- Х={х:х_<.,Ь}
д
о
м
о
м
:
1
2
ї
ї
і
і
т
Э
С
П
т
-
т
с
о
(а,+=›=›)
- Х={х:х>а}
щ
[а,+<›=>)
- Х={х:х2а}
`“
хІ
--
модуль действительного числа х
ао1 -- степень действительного числа а с показателем о:
2/5 - корень п-й степени из числа а
В (ї) ~Р область определении функции І
8
основНыЕ овозНА чения
Е (і) - область значений функции І _
Ла)
-
значение функции Дх) при х = а
у ї Лср(х)) - сложная функция, или функция от функции
111; ](х)=Ь
_ . предел функции у” (х) при х --› а
1ітхп=а
_
предел последовательности хп = ср (п), п = 1, 2, З,
наш
прип«вш
в - предел последовательности ,хп = (1+1/и)п при
п не» <=<= (е = 2,718...)
13 х - десятичный логарифм (13 х = Іоёюх)
Іп х Ы натуральный логарифм (111 х = їоёєх) ~
ехрх -функцияу=в”
Ах
-
приращение аргумента функции
ду _н приращение функции у = і (х)
/'(х0) - производная функции і (х) в точке хп
так І (х)
-
максимум функции Дх)
тіп І (х)
- ц минимум функции /(х)
Ь -- начало доказательств теорем, следствии, свойств,
ц
решений примеров
4
-
конец доказательств теорем, следствий, свойств,
решений примеров
1 0 ЛОГИЧЕСКОМ
СТРОЕНИИ МАТЕМАТИКИ
1.1. МНОЖЕСТВА
Все математические понятия подразделяются на неопреде-
ляемые, или первоначальные, и определяемые. К числу не~
определяемых понятий относится понятие множества.
Под множеством понимают совокупность некоторых объ-
ектов, обладающих общим свойством. Объекты множества
называют его элементами. Элементы множеств могут быть са-
мыми разнообразными: цифры, буквы, числа и др.
Примеры множеств: множество цифр, множество натуральных
чисел, множество букв белорусского алфавита и т. п.
Для обозначения принадлежности или непринадлежности
элемента данному множеству используют знаки в или е соот-
ветственно. Еслиг элемент х принадлежит множеству А, то пи-
шут: х е А. Запись у е В означает, что элемент у не принадле-
жит множеству В.
Если каждый элемент множества В принадлежит также и
множеству А, то говорят, что В есть подмножество А, и запи-
сывают: В с А или А Э В. Знак с называют знаком включения.
[ду/ІІ,
Объединенивм множеств А и В называют множество, состо~
яшее из всех тех игтолько тех элементов, каждый из которых
принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Обьедине~
ние множеств А и В обозначают так: А и В. На рис. 1.1 объ-
единение множеств А и В заштриховано в двух направлениях.
1О
о логи ческом строении мА тЕмА тики
Например, если А - множество четных чисел, В -Р- множество
нечетных чисел, то А и В Ы множество всех Целых чисел.
Пересеченыем множеств А и В называют множество, состо-
ящее их всех тех и только тех элементов, Каждый их которых
принадлежит как множеству А, так и множеству В. Пересече-
ние множеств А и *В обозначают так: А П В. На рис. 1.2 пересе-
чение множеств А и В заштриховано.
Рис. 1Ґ2
Например, если А е~ множество всех четньтх чисел, В -ч множество
чисел, кратных З, то А П В есть множество чисел, кратных 6.
Понятия объединения и пересечения можно распростран
нить на любое Число множеств.
1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ.
АКСИОМА. ДОКАЗАТЕЛЬС'ТВО
Определение математического понятия - предложение,
раскрывающее смысл (содержание) этого понятия. Определе-
ния математических понятий могут быть даны различными
способами. При конструктивном определении указывается
способ образования (конструирования) понятия. Например,
«окружность -- множестводочек плоскости, равноудаленных
от данной точки той же плоскости». Определение математи-
ческого понятия может быть дано сведением к другим извест-
ным понятиям. Например, «ромб'
-
параллелограмм, все стоР
роны которого равны». Используется также аксиоматическое
определение математических понятий -- определение посред-
ством аксиом.
Определение ма тематического понятия. Аксиома
11
Аксиомы*
-
основные исходные положения той или иной
теории, из которых путем дедукции, т. е. чисто логическими
средствами, извлекается все остальное ее содержание.
Аксиоматический метод
-
способ построения научной те-
ории, в основе которой лежат определенные исходные поло-
Жения (аксиомы этой теории) и все остальные предложения
теории получаются как логические следствия аксиом.
Аксиоматический метод зародился в работах древнегре-
ческих геометров. Блестящим образцом применения аксио-
матического метода вплоть до ХІХ в. была геометрическая
система, известная под названием «Начал» Евклида (около
300 лет до н. 9.). В системе Евклида уже достаточно четко
проведена идея получения вс'ето основного содержания
геометрической теории чисто дедуктивным путем, из неко-
торого относительно небольшого числа утверждений -- ак-
сиом, истинность которых представлялась наглядно очен
видной.
_
`
Доказательство -~ рассуждение с целью обоснования ис-
тинности какого~либо утверждения. Требования, предъявляе-
мые к доказательству в математике, вырабатывались уже на
раннем этапе ее развития в связи с использованием аксиома-
тического метода построения математических теорий.
Характерный для аксиоматических теорий метод доказа-
тельства состоит в том, что утверждения располагаются в
некоторой последовательности, называемой выводом, при-
Чем одни из этих утверждений принимаются в качестве до-
пущений, а другие логически вытекают из предшествующих
им в Этой последовательности. Если все допущения Предпо-
лагаются истинными не только в рамках данного вывода, а
во всей рассматриваемой теории, то такой вывод называют
доказательством. Конкретное доказательство может ис-
пользовать не только аксиомы, но и ранее доказанные
утверждения.
“.,
Вообще, то или иное рассуждение является доказательст-
'вом не само по себе, а лишь в рамках некоторой аксиоматиче*
ской теории.
'
г'
г”
* Термин «аксиома» происходит от древнегреческих слов осёъшдос - удо-
стоенное, принятое положение и осёъою т считаю достойным.
12
о логи ческом строении мА тЕмА тики
1.3. твоРвмА. нвовходимыв и достаточные
Условия
_
*
Теорема*
-
математическое утверждение, истинность ко-
торого устанавливается путем доказательства. Каждая область
математики состоит из теорем, доказываемых одна за Другой
на основании ранее уже доказанных теорем, самые же первые
предложения принимаются без доказательств и служат логи-
Ческой основой Данной области математики.
Формулировки теорем содержат условие и заключение.
Например: 1) если сумма Цифр числа делится на З, ,то и число
делится на 3; 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба
других - острые.
В каждом их этих примеров перед словом «то» находится
условие теоремы, а после слова «то» -~ заключение. В такой
форме можно высказать каждую теорему.
Например, теорему «всякий вписанный в окружность утол, опи-
рающийся на Диаметр,
-
прямой» можно сформулировать так: «если
вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой».
~ Для каждой теоремы, высказанной в форме «если ..., то»,
можно предложить обратную теорему, в которой условие дан-
ной теоремы заменяется заключением, а заключение
-
усло-
вием. Прямая и обратная теоремы взаимно обратны. Не для
всякой теоремы обратная теорема оказывается справедливой;
так, обратная теорема для примера 1 верна, а для примера 2 -~
неверна. Справедливость обеих взаимно обратных теорем
означает, Что выполнение условия любой из них не только до-
статочно, но и необходимо для справедливости заключения.
Некоторые теоремы доказывают методом от противного**.
Доказательство от противного используют в случаях, когда
прямую теорему доказать сложно. При доказательство теоре-
мы методом от противного заключение теоремы заменяют от-
* Термин «теорема» происходит от греческого слова твореро: -- пред~
ставление, зрелище. Такое название связано с тем, что в древности теоремы
часто доказывались публично, на площадях; их доказательство носило ха-
рактер спора, диспута.
** Название данного метода доказательства происходит от латинского ао
аЬзпгсіит
-
к нелепости (приведение к нелепоети).
Теорема. Необходимые и ,поста точные условия
13
рицанием и путем рассуждения приходят к отрицанию услоЩ
вия, т. е. к противоречию, к «противному» (противоположно-
му) тому, что дано; такое приведение к абсурду, к нелепости и
доказывает теорему.
Методом от противного можно доказать например, утверждение
о том Что Л не является рациональным числом Предположим,
что \/_= т / п ,где числа т и п не являются оба четными (в случае
четных т и л дробь можно сократить) Поскольку \/_= т / п, то
2:1:'12/л2 , т 1:2;12. Значит, т2 и т - четные числа, т. е т=21с , ра-
венство л12=2л2 принимает вид 4Іс2 =2л2 , откуда 2І<2= п2 , т. е. п2 и
п - четные числа, что противоречит условию.
Ряд теорем в математике формулируется в терминах «необ-
ходимо» и «достаточно».
Пусть справедлива теорема, в которой условием является
утверждение Р, а заключением - утверждение (2, т. е. верна
теорема Р => 0. В этом случае говорят, что Рявляется досто-
точным условием для (2; иными словами, истинности Рдоста-
точно для того, чтобы истинным было и (2.
В качестве примера приведем следующие утверждения: «натураль-
ное число п делится на 6» (Р), «натуральное число п делится на 2» (0);
в этом случае справедлива теорема Р :> (2 (делимости числа п на 6
достаточно, чтобы оно делилось на 2).
Если истинность (2 является следствием истинности Р, то
говорят, что 92 является необходимьш условием для Р.
В приведенном примере О с: Р: делимость числа п на 2 следует
из делимости этого числа на 6 (для делимости натурального числа
п на 6 необходимо, чтобы оно делилось на 2).
Если из Р следует (2, но из О не следует Р, то говорят, что
Рявляется достаточным, но не необходимым условием для (2,
а фпри этом -~ необходимое, но недостаточное условие для Р.
Отметим, что в общем случае из истинности теоремы Р => (2
не вытекает истинность обратной теоремы (2 => Р.
В рассмотренном выше примере из Р => (2 не следует (2 => Р, т. е.
12 не является достаточным условием для Р (из того, что натуральное
число делится на 2, не следует его делимость на 6); (2 - необходимое
условие для Р.
14
о логичЕскоМ отРоЕНии МА тЕмА тики
Если одновременно справедливы утверждения (теоремы)
Р => (2 и (2 => Р, т. е. Ри (2 оказываются равносильными выскаР
зываниими (истинность Р обеспечивает О и обратно), то гово-
рит, Что каждое из высказываний Р и Є является необходимым
и достаточным условием для другого высказывания, и обозна-
чают Р<:> Єили Оса Р.
Теорему Р <::› (2 или (2 <:> Р можно сформулировать так:
«Р справедливо тогда и только тогда, когда справедливо (2»
или «для истинности Р необходимо и достаточно, Чтобы было
истинно 9».
Ґ
В качестве примера рассмотрим утверждение Р: «натуральное
Число п делится на 6» и утверждение О: «натуральное число п делит~
си и на 2, и на 3». Здесь справедлива теорема РФ О, т. е. для делимо-
сти натурального числа п на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно
делилось и на 2, и на 3 одновременно.
Замечани е. Термин «условие» может быть заменен словом
«признак» (достаточный признак, необходимый признак, необходи-
мый или достаточный признак). В ряде случаев вместо «необходич
мый и достаточный признак» пишут кратко «признак». Например,
признаком делимости натурального числа п на 3 является делимость
на 3 суммы его цифр.
1.4. индукции. мвтод мАтвмАтичвской
индукции
Индуиция* -- форма мышления, посредством которой
мысль наводится на какое -либо общее утверждение или поло-
жение, присушее всем единичным предметам определенной
совокупности. В математике под индукцией (индуктивным
умозаключением) понимают следующие виды индукции:
1) индукции неполная; 2) индукции полная; 3) индукции ма~
тематическая.
Индукция неполная --› заключение (вывод) от частного к об-
Щему, т. е. общий вывод, основанный на изучении отдельных,
Частнык фактов (частных наблюдений или экспериментов).
Неполную индукцию называют также индуктивным методом,
несовершенной индукцией или короче - индукцией.
* От Лат. іпсіцсїіо
-
наведение.
Индукция. Метод математической индукции
15
Неполная индукции может привести как к верным, так и к
неверным выводам.
Например, рассматривая выражение вида н2 + н + 41 и под-
ставляя в него значения н, равные О; 1, 2, 3, 4, 5, получаем соответ-
ственно числа 41, 43, 47, 53, 61, 71, которые являются простыми.
Используя неполную индукцию, можно сделать вывод, что выраже-
ние н2 + н + 41 равно простому числу при любом натуральном н. Но
такой вывод неверен: уже при п "-" 40 получается число 1681, кото-
рое не является простым (оно делится на 41).
Рассматривая суммы последовательных нечетных чисел, получа-
ем:1+3=4=22,1+з+5=9=32,1+3+5+7=16=42,
1+З+5+7+9=25=52,1+3+5+7+9+31=Зб=62 0тсюдана
основании неполной индукции можно сделать вывод, что сумма всех
последовательных нечетных "чисел 1 + 3 +
+ (2н - 1) равна нд. Этот
вывод верен (см. ниже пример 1).
Ф
Индукция полная -- вывод, основанный на рассмотрении
всех частных фактов или всех элементов конечного множества.
Например, при доказательстве теоремы об измерении величины
вписанного в окружность угла рассматриваются все частные случаи
расположения центра окружности по отношению к стороне угла
(центр лежит на одной из сторон, центр лежит вне угла, центр лежит
внутри вписанного угла). Вследствие этого полученный вывод (за-
ключение) будет представлять собой полную индукцию._
Вывод, сделанный на основании применения полной ин-
дукции, всегда будет верным. Утверждения, основанные на
применении полной индукции, всегда истинны. Полную ин-
дукцию иначе называют совершенной индукцией.
Индунния математическая ж один из важнейших методов
доказательства в математике, основанный на принципе мате~
матической индукции. Принцип математической индукции со~
стоит в следующем: если предложение А(н), где н -- натураль-
ное число, истинно ддя н = 1 и из предположения о том, что оно
истинно для некоторого натурального числа н = к, вытекает, что
оно истинно для числа н = Іс + 1, то предложение верно для
любото натурального числа п.
_
Доказательство, основанное на принципе математической
индукции, называют методом математической индукции.
16
о логи чЕскоМ строении мА тЕмА тики
Этот метод доказательства состоит из двух частей: в Первой из
них доказывается (проверяется) истинность высказывания
А(1), во второй предполагают, что А(п) верно при и = іс, и до-
казывают истинность высказывания А(п) при л = Іс + 1, т. е. во
второй части доказательства обосновывают, что А(Іс) => АМ: + 1).
После этого устанавливается истинность предложения А(п)
для любого н е П.
Метод математической индукции имеет и более общую
формуш/Іровку: пусть А(п) и* некоторое утверждение, где п
-
натуральное Число. Если, во-первых, утверждение А(п0) спра-
всдливо и, во-вторых, из справедливости АНС) при Іс Р. по сле-
дует справедливость утверждения А(іс + 1), то утверждение
А(п) справедливо для любого п 2 по.
,
Примеры
1. Методом математической индукции доказать, что для
любого натурального числа п верно равенство
1+3+5+._.+(2п-1)=п2.
(1.1)
› При п = 1 по формуле (1.1) получаем 1 = 12, т. е. форму~
ла верна. Для того Чтобы доказать справедливость Этой фор-
мульт при любом л, допустим, что она уже доказана для неко-
торого определенного числа Іс, т. е. предположим, что
1+3+5+__.+(21<-.1)=А:2.
(1.2)
Теперь, опираясь на сделанное допущение, докажем, что
формула (1.1) верна для п = Іс + І. В данном случае достаточ-
но присоединить к сумме в левой части равенства (1.2) еще
одно слагаемое: 2% + 1. Тогда и правая часть должна увели-
читься на 216 + 1. Следовательно,
1+3+5+___+(2;<-1)+(21с+1)=1с2+(21<+1)=ь2+
+21с+1=(1«+1)2.
Итак, из справедливости формулы (1.1) при п = Кгслсдует
ее истинность при п = іс + 1; формула (1.1) верна для любого
натурального числа п. 4
Индукция. Метод математической индукции
17
Замечани е. Формула (1.1) означает, что сумма первых и нечет-
ньІх натуральных чисел равна квадрату числа п. Эта формула была
известна в Древней Греции, математики которой рассматривали ивадц
ратные числа. Натуральным числом они называли совокупность еди-
ниц, а единицы изображали точками (рис.г 1.3).
2. Доказать, что равенство
1.3
1+2+3+...+п:Ш
()
верно при любом натуральном п.
› При п = 1 получаем 1:-1 -:2~2-=1 . Следовательно, равенство
верно. Предположим, что оно верно при п = и, т. е.
1+2+3+...+І<=Ш _
Составим сумму для п = іс + І:
1+_2+3+...+1<+1<+1=Ш+І<+1 _
Поскольку
Іс(/с+1)+іс+1: МК +1)+2(і< +1) М(и +1)(І< +2) 3
2
““*2
ТО
1+2+3+...+!с+1<+1=(]<+1)(К+2)1
т. е. равенство (1.3) верно и п , .
ТЁЩ "3313ЫЪІН
при любом натуральном п. 4 Ё "
-і-
ч їїІҐ'Р 'г-
ы'г'ч-
д Ё:" `\іъ.. -}ІЧ-. Ё:і
Ё
і
Б
18
о логичЕском строении мА ТЕМА тики
3. Доказать, Что для любого натурального числа п справед-
Ливо равенство
2
13+2~3 +33+...+п3=[Ш5і)-)
_
(1.4)
2
Допустим, что равенство справедливо для п = Іс:
к(1<+1)2_
2
2
› ПрипЁ1равенствоверно: 13=[Ш],1 =1.
13 +23 +33 +...+1<25 =(
Докажем, что оно верно и при п а Іс + 1. Действительно,
2
(13 +23 +33 +... +І<3)+(1'<+1)3 =(Ш5__1.)_] +(;с+1)3 _
Так как
[К(К2+1)]+“(іс +1)3 =(/е +1)2 [її-Ис +1]=(Іс +1)2 [И +4 К +4 )=
4
=(1<:+1),(А:+2)2 _ (твоем) 2
Ґ4
2
то оно верно при и г Іс + 1. Значит, равенство (1.4) справедли-
во для любого натурального Числа п. 4
Замечание. Принимая во внимание равенство (1.3), равенство
(1.4) можно записать в виде
13+23+33+...+п3е(1+2+3+...+п)2,
т. е. сумма кубов первых п натуральных чисел равна квадрату суммы
этих чисел.
4. Доказать, что для любого натурального числа п верно ра-
Венство
ї
_Ё_+....1._..+_,,1__+___+ 1 = ”
.
(1.5)
1-2 2-3 3-4
п(п+1) п+1
й
Индукция. Метод математической индукции
19
І› Действительно, при п = 1 равенство (1.5) верно:
1
1І
_ __-“п т
121+12
Предположнм, Что равенство (1.5) верно при п = К:
111
1ў А:
`
Ч- --+~#-~+...+
=
,
1-2 2-3 3-4
Іс(/с+1) іс-'І-І
и докажем, что оно верно при и = и + 1. В самом деле,
1+1+1+...+
1
+
1
=
1-2 2-3 3-4
К(І<+1)
(1<+1)(і<+2)
Іє
1
І
+
_
іс+1 (Іс+1)(/с+2)
Поскольку
к“
1_/<,(1<+2)+1 1: +2к<+1 _
к+1+<1<+1)(1<+2):(к+1)(і<+2):(/<+1)(/<+2)
(Іс+1) _!с+1
=(1<+1)(1<+2)"1<+2”
ТО
111
р1
1
ь+1 і<+1
+
+
+...+
+
:.
ы
т-
1-2 2~з 3-4
мы) (ь+1)(і<+2) г<+2 (ь+1)+1
Значит, равенство (1.5) верно и при п = Іс + 1, поэтому оно
верно для любого натурального числа п. 4
Замечание. Равенство (1.5) можно доказать и другим спосо-
бом. Воспользуемся тождеством
1
11
косы) =+Ё<цк 1 “ИМ”
Тогда
11
1_
1
1
'ъ-
_
1
ї* 3-4 з 4""`н(п+1) п пы'
20
о логи чЕском строении мА тЕмА тики
С учетом последних равенств получаем:
1
1
1
1
1
1
11
- _-+----+-+---+...+
+-
=
1-- ----
1-2 2›3 3-4
(п-1)п п(п+1)
2
23
5. Доказать, что для любого натурального числа п справед-
ливо равенство
“
11
1
1
п
_-+---
---
...+
=
.
(15)
1а3. 3-5 5›7
(2п-1)(2п+1) 2п+1
› При п = 1 равенство справедливо:
_1_.Р 1 в.
1.3 2›1+І 3
Предположим, что оно справедливо для п = Іс:
_1_+щ_1__
_і. +
1
_.
16
1-3 3.5 5-7
(2ь-1)(21<+1) 21с+1
Доиажем, что равенство (1.6) будет справедливым и для
п=К+Ъ
Действительно,
1___-
1
*___
1-3 3-5
"'+(21<-1)(21<+1)]+Ё21<+1)(21<+3) _
К
1
2і<+1 (21є+1) (2І<+3)
Ґ
Поскольку
А:
1
_
іс(2іс+3)+1 _ц 21є2+31с+1
21<:+ 1 + (2к+1)(2к +3) 'щ +1)(2д: +3) '(2А: +1)(21< +3) І
Индукция. Метод ма тема ти ческой индукцш
21
'Н-
__ (21<2 +в)+(21<+1) _в(21<+1)+(21<+1) _ (2в+1)( 1<+1) _
_
(21<+1)(2в+3) Н (2/<+1)(2в+3)_ыіїі<±1)(2ї+їў'
_
Іє+1 _ Іє+1
_ Ё Ё+3_2(К+1)+1 а
ТО
1
1
1
1
+...+
+
а
=
3-5 5-7
(21<-1)(2і<+1) (21<+1)(2в+3)
Іс+1
:2(1<+1)+1 І
_1_
1›3
Значит, равенство (1.6) справедливо при п = Іс + 1, поэто-
Х му оно справедливо для любого натурального числа п. 4
6. Доказать справедливость равенства
'щ_
12+22+32+...+п2:п(п+1)6(2п+1) .
(1.7)
І› При п = І получаем ]2 =Ш=1 , т. е. равенство верно.
Предположим, Что равенство (1.7) верно при п = Іс:
+
12+22+32+Ш+Іс2 =ЁОС МММ) .
Докажем, что оно верно и для п = Іє + 1. Действительно,
12 +22 +32 +...+17<2 +(Іс +1)2 =ЦК+Ю22К+Ю +( ›1<:+1)2 =
_ ( _!; ±1)(21є2+1с)+6(іс +2)2 _
6
Упрощая числитель последней дроби, получаем:
(к+1)(21<2+1с)+6(1< +1)2=(х<+1)(2/<2+ к+6(в+1))=
=(1<+1)(21<2+1<+61<+6)=(/<:+1)(2/<2+31<+4і<+6)=
=(і<+1)(21<2+31с+12(21є+3))=(/<+1)(1с(21с+з)+2(21<:+з)) ш
=(1<+1)<(21с+3)(к +2))~_-(1<: +1)(к +2)(2/< +3) =
` =(1<+1)(к+2)(2к +3)'=(в +1)(1< +2)(2(1< +1) +1) .
22
о логическое: строении мА ТЕМА тики
Следовательно,
12 +22~1~32+...+І.:2+(1<:+1)2 =(К+1)(Ё+2()5(2(Ё+1) +1 .
Значит, равенство (1.7) справедливо для п = К + 1,І поэтому
оно верно для всех натуральных Чисел п. 4
7. Доказать неравенство
(1+а)”>1+ап ›
(ІІ-8)
гдеп>1
-
натуральное число и а > --1.
ў Применяем метод математической индукции в обобщен-
НОЙ формулировке ПРИ И = 2 получаем (1+а)2=1+2а+а2>1+2а,
т. е. неравенство (1.8) верно.
Пусть данное неравенство верно для п = Іс. Докажем, Что
оно будет верным и Для'п = Іс + 1: (1+а)* >1+аі< . Умножим пс-
следнее неравенство на (1+а) >О :
итд” >(1+.<л<)(1+0)=1+(/<+1)мы2 >1+а<1<+1),
т. е. (1+а)*+ї>т+а(1с+1).
Следовательно, неравенство (1.8) верно для всех натураль-
ныхчиселв;>1.4
в
8. Доказать, Что при всех натуральных Числах-п 2 3 верно
неравенство
2п>2п+1 _
(1.9)
Ь Применяем метод математической индукции в общей
формулировке. При п д 3 получаем: 23 >2-3+1 , 8>7 , т. е. не-
равенство справедливо. Предположим, Что неравенство верно
для натурального Числа Іс > 3, т. е. 2І< >21<+1 . Докажем, Что оно
верно и при п = іс + І. Умножив обе части последнего нера-
венства на 2, получим:
2-2*>2(21<+1),
2**>41с+2±2х+21<+2=2<1<+1)+21<>2(1<+1),
поскольку 21с > 1 при А: > 3.
Индукция. Метод Математической индукции
.
23
Таким образом, 2*+'>2(Іс +1)+1 , т. е. неравенство (1.9)
справедливо при п = А: + 1. Следовательно, оно справедливо
Для всех натуральных чисел и 2 3. 4
9. Доказать, что для всех натуральных чисел п > 1 верно не-
равенство
і+і+і~+ +_ІЩ>Л
(110)
лдЛ л
.
.
Ь При п = 2 неравенство верно Действительно
1+11
_ Л+1-2
Л-1
*ли лїїїїтї
1+1Л-1
лнллл
Л-1
×/_-1+ >
ш>
Поскольку Л >0 И Л
2Лтот+ЛЛ
Предположим, Что неравенство (1.10) верно при и = іс > 2:
І11
1
---+ ---+ --+...+_ -->×/Ё,
ЛЛЛ Л
Докажем, что оно будет верным и при и == Іс + 1. Прибавив
=1+
и обеим Частям последнего неравенства ЧіЛс +1 -Л , получим:
Т+ Т+ ..-І~`/_+\/Іс_+_1-×//Ё> Ас+1
ИЛИ
11
_ 1 (і/км-Лш/ННЛ)
Ш ---
-
_* «На1
«її/ё* На*
,Гид/12 `*"' + ›
11
1
1
--+- --+...+
+
н
щ/Іс-Ы
_
Л Л Л; финны/Ё
1
І
'Ъ
<____
Так Как `//с+1+×Нє «МН ”
111
1
І
то --+--+--+...+_--+--->1/Іс+1 _
х/їЛ#3
«НС 1Ш+І
24`
итогичєском сТРоЕнии мА тЕмА тики
Следовательно, неравенство (110) верно для п = А: + 1.
Значит, оно верно при любом натуральном числе п > 1. 4
Задачи
Методом математической индукции докажите равенства, в кото-
рых п _ натуральное число.
1. 1-4+2*7+3.1о+...+л(3п+1)=п(а+1)2 .\
2
2. 12а+32+52 +...+(2п#1)2=Ё-(і:--р -.
п(п+1)(п+2)
3, 1*2+2-3+3-4+...+п(п+1)=
3
4. 1-2~3+2-3-4+3~4-5+...+п(п+1)(п+2)=
ті; п(п+1)(п+2)(п+3)-
Методом математической индукции ,покажите неравенства.
5. 2”+4>(п +4)2 Для любого натурального числа п.
1
І
- --+
+.т.+
т п+1 п-1-2
3п+1
>1 при всех натуральных Числах п.
7. 2” > 113 для всех натуральных п 2 10.
8. 2МН > 2п+5 при любом натуральном п.
9. Докажите равенство
1
1
І
1
п
...+
=-
1-3 заз 5-7
(за-воды) 2п+1,
ВОСПОЛЬЗОВЕІВШИСЬ ТОЖ'ДЄСТВОМ
1
І
1
1
“_
д"
_
,
=1, 2,
,
.
(га-вето 2(2/<-1 21<+1 ] к 3
10. Докажите равенство
`
1
1
1
1
Ё
-
+
+...+
_.
,
(с+1)(с+2) (с+2)(с+3)
(с+п)(с+п+1) с+1 с+л+1
где п -- натуральное Число; с = сопаї; с=± -/с, іс=ї, 2, 3, ..., п+1 .
2 НчислА и координАты
2.1. нАтУРАльныв числА и их двлимость.
пгизнАки двлимости
Числа, используемые при счете предметов, называют на-
турал ьными. Наимсньшим натуральным Числом является чис-
ло 1. Наибольшего натурального числа не существует. Все на-
туральные числа, расположенные в порядке возрастания, об-
разуют ряд натуральных чисел. Бесконечный ряд натуральных
чисел можно записать так: 1, 2, З,
.
Множество натуральных
чисел обозначают буквой Ы: Игр, 2, 3, ..}.
Любое натуральное число Можно записать с помошью де-
сяти Цифр: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9; Цифры О, 2, 4, 6, 8 называ-
ют четными, Цифры 1, 3, 5, 7, 9 -- нечетными.
Любое натуральное число п + 1-разрядное число Ы в деся-
тичной системе счисления можно разложить по разрядам, т. е.
представить в виде суммы разрядных слагаемых (единиц, де-
сятков, сотен, тысяч и т. д._):
Ы=а,,-1О” +а,,ь, і10”“*~|-...+
.:1г2~102 + а1~10+ а0 ,
(2-1)
где каждое число 09, 01, 02, Ш, дм, 0,,
--
одна из Цифр О, 1, 2,
3, ..., 9; ад -- цифра единиц; а] Н- цифра десятков и т. д.
Например:
-
7835:?000 +800 +30 +5 і=7-103 +8-102 +3 40 +5;
:››201=:››-103+2-102 +о-10 +1 -
Натуральное число Ь называют делитєлем натурального
числа а, если а представимо в виде произведения
а=Ь-с,
(2.2)
где с тя натуральное число. В этом случае говорят, что число а
делится без остатка на число Ь и пишут а Ё Ь. Из равенства
(2.2) следует также, что число а делится без остатка и на чис-
лос,т.е.с
-
делитель числа а.
26
числл и кооРдинА Ты
Например,35 =7 -5,где7и5_делителичисла35.
Любое натуральное число а можно представить в виде
о==он+г,
(2.3)
гделе Ы;05г<о. Если г=0, то а-ІЬ.
Натуральные числа, делящиеся на 2, а таюке число О назы-
вают летними; натуральные числа, не деляшиеся на 2, назы-
вают нечетньиии.
~
Кратным числа Ь называют число а, которое делится без
остатка на Ь. Множество чисел, кратных данному числу Ь, бес-
конечно.
Замечание. Число 1 является делителем любого натурального
числа, поскольку любое натуральное число делится без остатка на 1.
Число О кратно любому натуральному числу, так как О делится без
остатка на любое натуральное число.
Основные свойства делимости натуральных чисел выража-
ют следующие теоремы.
Теорема 2.1. Если каждое слагаемое суммы делится на дан-
ное число, то и их сумма делится на это число.
Следствие. Если сумма двух слагаемых и одно из них де-
лятся на некоторое число, то и другое слагаемое делится на это
число.
ъ З ам еча н ие. Не следует полагать, что если каждое слатаемое не
делится на данное число, то их сумма не делится на это число. Напри-
мер, сумма 33 + 17 делится на 5, хотя ни одно из слагаемык не делит-
ся на число 5. Таким образом, условие теоремы 2.1 не необходимо
для делимоети суммы на число; оно является достаточным условием.
Теорема 2.2. Если уменьшаемое и аычитаемое делятся на
некоторое число, то и разность разделитсл на это число.
Теорема 2.3. Если каждое слагаемое, кроме одного, делит-
ся на некоторое число, а это одно на него не делится, то и сумы
ма на него не разделится.
Теорема 2.4. Если хотя бы один из множителеи делится на
данное число, то их произведение также делится на это число.
Замечание. Условие теоремы 2.4 является достаточным, но не
необходимым для делимости произведения на число. Например,
произведение 21 - [5 делится на 35, хотя ни 21, ни 15 на 35 не делится.
Натуральные числа и их двлимость. Признаки делимости
27
Теорема 2.5. Если натуральное число делится на произведе-
ние двух натуральных чисел, то оно разделится на каждое из
этих Ітисел в отдельности.
.
Теорема 2.6. Если натуральное число а делится порознь на
два натуральных числа Ь и с, причем о и с не имеют об'щих дели-
телеи, кроме единицы, то а делится на произведение ос.
З ам еча н и е. Условие, состоящее в том, что числа Ь и с не имеют
общих делителей, кроме единицы, является существенным: без это-
го условия теорема неверна. Например, число 24 делится-на 6 и на 8,
но не делится на их произведение 48,
Признак делимости на 2. На 2 делятся все те и только те на-
туральные числа, запись которых оканчивается летной цифрой.
Например, 40052, 5374 52 -
Признак делимости на З. На З делятся те и только те числа,
сумма цифр которых делится на 3.
Например, 213 561 53, поскольку 2+1+3+5+6+1п1853.
Признак делимости на 5. На 5 делятся те и только те числа,
запись которых оканчивается нулем или цифрой 5.
Например, ЫОЁЅ, 85 55,
Признак делимости на 10. На Ю делятся те и только те
числа, запись которых оканчивается нулем.
Например, 570 510, 6800 310.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те и только те числа,
которые делятся одновременно на 2 и на 3.
Например. 24 234 36, так как оно делится на 2 (последняя
Цифра - четная) и на 3 (2+4+2+3+4=15 53).
Признак делимости на 9. На 9 делятся те и только те числа,
сумма всех цифр которых делится на 9.
Например, 942 534 59 , поскольку 9+4.+2+5+3+4:27 59.
-
Признак дешімоети на 4. На 4 делятся те и только те нату-
ральные числа, две последние цифры в записи которых делятся на 4.
Например, 200054, 560854, 1752454.
28\
числїи кооРдинА Ты
Примеры
1. Доказать, что Число 10” +12п-14 делится на 2 при любом
Натуральном п.
› Запись числа 10" оканчивается нулем при любом п, по-
этому 10” делится на-2. Число 1211 делится на 2, так как мно-
житель 12 является четным. Число 14 тоже делится на 2.
Поскольку каждое слагаемое алгебраической суммы делится
на 2, то и сумма 10” +12пп-14 делится На 2. 4
2. Доказать, что число из +3л2 +2п делится на 6 при любом
натуральном п.
› Применяем метод математической индукции. При п = 1
число 1З +3-12 +2~1=6 делится на 6. Предположим, что это вын
ражение делится на 6 при некотором п == Іс: (Іс3+31<2+21<) 56 _
Докажем, что оно будет делиться на 6 и при п == Іс + 1. В самом
деле,
(мощи/“тупыми=1<3+зі<2+31< +1+31<2+61< +
+3+21<+2 =(к3+31<2+21<)+(3/<2+91<+6).
Сумма в первых скобках делится на 6 по предположению.
Преобразуем сумму во вторых скобках:
31с2+91<+6=31с2+31с+6іс+6=3/с(/<+1)+6(!с+1)~
Каждое слагаемое этой суммы делится на 6: среди любых
двух последовательных натуральных чисел А: и к + 1 имеется
число, кратное 2, поэтому ЗМК +1) 36 . Очевидно, что 6 (К + 1)
также делится на 6.
Итак, (іс+1)3+3(1с+1)2+2()<+1) делится на 6. Значит, число
п3+3п2+2л делится на 6 при любом натуральном п, 4
З амечани е. Доказательство можно осуществить и другим спо-
собом. Многочлен п3+3п2+2п разложим на множители:
из+3лд+2г*1=г13+21г12+л+2л=(лЗ-1г21×12 )+(п+2п)=
1:12(п+2)+п(п+2)=(п+2)(п2+п)=
г-(п+2)л(л+1)=п(п+1)(п+2)
Натуральные числа и их делимость. Признаки делимости
29
Среди трех последовательных натуральных чисел п, п + 1, л + 2
имеется число, кратное 2, и число, кратное 3; следовательно, произ-
ведение п (п + 1) (л + 2) кратно 6 (поскольку числа 2 и 3 не имеют об-
щих делителей, кроме единицы; см. теорему 2.6).
3. Доказать, Что Число 9”-1 является четным при любом
натуральном л.
І› Докажем данное утверждение методом математической
индукции. При п = 1 получаем четное Число: 9
-
1=8.Пусть
9*-1
-
четное число при п == к. Докажем, что 91И 1-1 также
Четное число. Действительно,
91С+Інч 1:9*.9_1=(9*~8)+(9М1› -
Каждое слагаемое полученной суммы является четным: в
первом слагаемом множитель 8 является четным, а второе
слагаемое является четным по предположению. Следователь-
но, число 9”-1 будет четным при любом натуральном п. 4
4. При делении числа на 3 остаток равен 2, при делении на
4 остаток равен 3. Найти остаток при делении этого числа на 12.
› В соответствии с условием задачи и формулой (2.3) по-
лучаем равенства:
а=3п+2, не Ы,
›
(2.4)
а=4т+3, те Ы.
(2.5)
При делении на 12 число представимо в виде
а=12іс+г,і<:є Мге Ы.
(2.6)
Из равенств (2.4) и (2.5) следует, что
За+2='4т+3,п=4т3+1.
Выделяем Целую часть числа п:
3т+т+1
т+1
п;-------=т+---- -
З
3
Так как л є П, то (т+1)/3 должно быть натуральным, т. е.
число т + 1 кратно 3:
30
числА и кооРДИНА ты
ШЁЫ, 16Ы,т==ЗІ-1.
Подставляем выражение Для т в равенство (2.5):
..
а=4т+3=4(31-1)+3=121~4+3 =12!-1 =12(1~1) +12 -І =
=12(і-1)+11.
Итак, а: 121<+ 11, где Іс==1т~ 1 #0.
Следовательно, г = 11, т. е. остаток от деления данного
числа на 12 равен 11.
Полученному решению удовлетворяют, например, числа
23, 47. Действительно,
23=з.7+2, 23:594+3,
23:12+11,
47:3-15+2,
47=4~11+3, 47:12-3+11.4
5. Решить в натуральных числах уравнение 23су"=х2 + 2 у.
›ПоусловиюхеЫ,уеП,тогдаи2уеЫ.
Решаем уравнение относительно 2у и выделяем Целую
часть:
х? '_щх_2-1+_1,=95-1)(х+1›+1=х+1+ 1 ,х__1,,0_
2=
_
у х-1
х~1
х-І
х-І
Так как 2у е Ы, (х + 1) є Ы, то 1/(х-1) также должно быть
натуральным числом, а это возможно лишь при х - 1 = 1,
откуда х == 2.
Находим значение у при х = 2:
224
__
2у=-+-=~=4, у ее 2.
2-1 1
Итак,х =2,у ==2
-
решение данного уравнения в нату-
ральных числах. 4
Зам е чание. Если бы ставилась задача о нахождении решения в
Целых числах, то получили бы еще одно решение: х = О, у = О.
Упражнения и задачи
1. Установите, делятся ли данные числа одно на другое:
а)213564на3;б)372318на6; в)_537462на9.
Простые и составные числа. Наибольший общий делитель
31
2. Докажите, что при любом натуральном числе п:
а) 10" -16п +18 Делится На 2;
б) 7”«-1 делится на 6;
в) 4" +15пш1 делится на 9;
г) бы”І +1 делится на 7;
д) 9"+1 -8д_9 Делится на 16;
е) п5 -п делится на 30.
3. При делении числа на 3 остаток равен 1; при делении его на
5 остаток равен 2. Каков остаток при делении числа на 15?
Найдите решения уравнений в натуральных числах.
4. ху=10(х+у)+1 .
5. 4х2у(х2у -х+1)=15х3 +2х-1.
Ответы
4. х=11,у=]11; х=111, у=11. 5. х=11у=2.
2.2. пРостыЕ и состАвныв Числа.
нАиволЬшии овщий двлитнль.
нАимвньшЕв овщвв кРАтнон
Натуральное Число р называют простым, если оно имеет
только Два натуральных целителя: единицу и само ето число.
Составным называют такое натуральное число, которое
имеет более двух натуральных делителей. Число 1 не относит-
ся ни к простым, ни к составным числам, так как оно имеет
лишь один натуральный Целитель
-
само это число.
Наименьшим простым числом является Число 2. Это един-
ственное четное простое число. Остальные простые Числа не-
Четные. Запишем несколько первых простых чисел:
Ё, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ит. д. Приведем примеры составных чисел:
4,6,8,9,10,12ит.Д.
Теорема 2.7. Множество простых чисел является беспо-
нечньннн Любое составное число можно представить в виде рав-
ного ему произведения простых множителеи, т. е. разложить на
простые множители.
Теорема 2.8. Всякое натуральное число, кроме единицы, мо-
жет быть единственнььи способом представлено в виде произве-
дения простых чисел (если не учитывать порядок: расположения
множителей).
82
числА и координд ты
Теорему 2.8 называют основной теорсмой орифматнкн.
Пусть составное Число о разложено в произведение про-
стых чисел, среди которых могут быть и равные. Записывая
Произведение равных множителей в виде степени, получаем
то?в? рї”1
(2-7)
где ,171, рд, ..., р, НН различные простые делители числа о; он,
он, ..., ок, - целые положительные числа, равные числу повто-
рения простых делителей в разложения Числа о. Равенство
(2.7) называют каноническим разложением натурального числа
а но простые множитєлн.
,_
При разложении натуральных чисел на простые множители
используют признаки делимости. Множители обычно записы-
вают в порядке их возрастания справа от вертикальной черты.
Приведем примеры таких разложений:
170 2
210 2
462 2
360 2
855
105 з
231 з
180 2
17 17
355
777
902
1
7
11 11
45з
\
1
1
15з
55
І
1
Итак, 170 = 26-17, 210 = 2-3 -5 -7, 462 2 2 3-7-11, 360 'ї 23-32-5.
Всякое натуральное число, на которое делятся одновре-
менно натуральные числа о и Ь, называют общим делителем
этих чисел. Наибольший из общих делителей чисел о и о назы-
вают их наибольшим общим делителем (НОД).
Любое натуральное число, которое делится на каждое из
данных натуральных чисел о и Ь, называют общим кратным
этих чисел. Наименьшее из общих кратных называют наантенаЁ
щим общим кратньни (НОК) чисел о и о.
Для того Чтобы найти НОД двух чисел, необходимо:
1) разложить данные числа на простые множители;
2) составить произведение из всех простых множителей,
входящих в каждое из разложений, причем если множитель
вход-итгв разложение с разными/1Ай показателями, то беру'т его с
меньшим показателем;
Простые и составные числа. Наибольший общий делитель
33
3) найти значение полученного произведения.
Для нахождения НОК двух чисел необходимо:
1) разложить данные числа на простые множители;
2) составить произведение из всех простых множителей
разложения одного из данных Чисел и недостающих простых
множителей из разложения Другого числа;
3) найти значение полученного произведения.
За меч ани е. Приведенные правила используют при ъл.-1хохо_1еі
нии НОК и НОД трех и более чисел.
Два натуральных числа, НОД которых равен единице, на-
зывают взаимно простыми. Числа 8 и 15, например, взаимно
простые, так как НОД (8, 15) = 1.
Теорема 2.9. Наименьшее общее кратное деух взаимно иро-
стых чисел равно их произведению.
Следств ие. Для того чтобы число а делштось на каждое из
взаимно простых чисел Ь и с, необходимо и достаточно, чтобы
оно делалось на их произведение.
Теорема 2.10. Для любых натуральных чисел а и а выполня-
ется равенство
`
нод(а,ь).ноК(а,ь)=на.
(2.8)
Примеры
1. Найти наибольший общий делитель чисел 180 и 240.
І› Разложим числа 180 и 240 на простые множители:
180 2
240 2
902
120 2
453
602
153
302
55
153
1
55
1
Итак, 180 = 22-326, 240 = 24-3-5. Выписываем общие мно-
Жители этих чисел и находим НОД (180, 240) = 22›3-5:60. 4
2. Найти наименьшее общее кратное чисел 396 и 360.
34
яислА и координаты
› Разложим числа 396 и 360 на простые множители:
396 2
360І2
198 2
180 2
993
90 2ч
333
45з
11 11
15з ,_
1
55
1
Получим: 396=22~32-ІІ, 360=23'З2-5. Выписывая все мно-
жители первого числа и недостающие множители второго, на-
ходим:
НОК (396, 360) = 22-32-1125 = 3960. <
3. Найти произведение НОД (72,120) - НОК(72,120).
ЪТаК как НОД (72, 120) = 24, НОК (72, 120) = 360, то
НОД (72, 120) « Н0К(72, 120) = 24 ' 360 = 8640. 4
2.3. ЦЕЛЬІЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Целыми называют числа, принадлежащие объединению
множества натуральных чисел, множества отрицательных чи-
сел и множества, состоящего из одного числа нуль. Множест-
во целых чисел обозначают буквой 2.:
2 = {..., #3, -2, Ы1, 0,1, 2, 3, ...}.
Целые числа изображают точками на числовой прямой. На
прямой, приведенной на рис. 2.1, зафиксированы две точки:
О (начало отсчета) и Е (единичная точка); точка О изобража-
ет число 0, точка Е п число 1.
0Е
в
'
*г
*2-1
і25
х
Рис.2.1
Число, показываюшее положение точки на прямой, назы-
вают координатой этой точки. Прямую линию с выбранным
на ней началом отсчета, единичным отрезхом и положитель-
ным направлением называют координатной осью.
Целые числа и действия над ними
35
Из двух чисел меньшим считается то, изображение которо-
го расположено левее на координатной оси, а большим то,
изображение которого расположено правее (рис. 2.1). Если
положительное направление координатной оси выбрано так,
как показано на рис. 2.1, то положительные числа изобра-
жаются справа от нуля, а отрицательные слева от нуля.
Число О отделяет на числовой прямой положительные чис-
ла от отрицательных. Само число О не является ни положи-
тельным, ни отрицательным. Все целые положительные
числа и число О вместе называют целыми неотрицательными
числами.
Числа а и -а называют противоположными числами. Для
каждого числа существует единственное противоположное
ему число. Число 0 противоположно самому себе. Два проти-
воположных числа на координатной оси изображаются точка-
ми, симметричными относительно начала отсчета.
Отметим, что сумма двух противоположных чисел равна
нулю:
аїї- (дату: 04. і
`
і
_
(2.9)
Модулем числа а называют неотрицател'ьное число ІаІ,
определяемое так:
І І а, если 02.0,
а=
-а, если а<0.
(2-10)
Модуль положительного числа равен самому числу, мо-
дуль нуля -- нулю, а модуль отрицательного числа -- противо-
положному числу.
Например: |7|=7э ъ0|201 І-'ЗІї8 -
Очевидно, что |-а|=|а| . Модуль числа равен расстоянию от
начала отсчета До точки, которой соответствует это число.
Расстояния измеряют с помощью единичного отрезка ОЕ.
Если отметить на координатной оси два отрицательных
числа, то левее окажется то число, у которого больше модуль.
Следовательно, из двух отрицательных чисел -а и -Ь меньше
то, у которого больше модуль, и больше то, у которого мень-
ше модуль: -а<:-Ь, если |-а|>|-Ь!.
86
числа и координаты
Например, -5<-3 ,так как |-5|>`-3|.
Введение отрицательных чисел делает во всех случаях вы-
полнимым действие вычитания (разность а - Ь имеет смысл и
при а < Ь; она выражается целым числом).
Арифметические действия Над Целыми числами выполня-
ются по следующим правилам.
1. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицатель-
ное. Для того чтобы найти модуль суммы, надо сложить моду-
ли слагаем'ых.
2. Сумма двух чисел с разными знаками есть Число, кото-
рое имеет тот же знак, что и слагаемое с ббльшим модулем.
Для того чтобы найти модуль суммы, Надо из большего моду-
ля вычесть меньший.
З. Для того чтобы из одного числа вычесть другое, надо кумень-
шаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое
больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое
меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое рав-
ны, то их разность равна нулю.
4. Произведение двух отрицательных чисел есть число по-
ложительное. Для того чтобы найти модуль произведения, на-
до перемножить модули этих чисел.
,
Н
5. Произведение двух чисел с разными знаками есть число
отрицательное. Для того чтобы найти модуль произведения,
надо перемножить модули этих чисел.
6. Частное двух отрицательных чисел есть число положи-
тельное. Для того Чтобы найти модуль частного, надо модуль
делимого разделить на модуль делителя.
7. Частное двух чисел с разными знаками есть число отри-
Цательное. Для того Чтобы найти модуль частного, надо мо-
дуль делимого разделить на модуль делителя. При делении ну-
ля на любое число, отличное от нуля, получается нуль.
Примеры
1. Найти сумму чисел --27 и - 18.
І
› Оба слагаемьгх «ч отрицательные числа, поэтому их сум-
ма является отрицательным числом. Найдем модуль суммы:
27 + 18 = 45. Следовательно, ~27 +. (-18) = -45. 4
Целые числа и действия над ними
37
2: Из числа -46 вычееть Число 28.
› В соответствии с правилом 3 получаем:
“46-28= -46+(_28)= *74.4
3. Перемножить чирла -7 и -14.
› Оба множителя -- отрицательные числа,І поэтому их
произведение -Ы положительное число. Найдем модуль про-
изведения: 7~14 = 98. Итак, (-7) (_14) = 98. 4
4. Перемножить числа "8 и 15.
› В соответствии с правилом 5 находим произведение:
(-8)-15 = 420. 4
5. Число Ш63 разделить на число Ь7'.
› Оба числа являются отрицательными, следовательно, их
частное -- число положительное. Найдем модуль частного:
6317 = 9. Следовательно, (_63):(-7) ї 9. 4
6. Число “72 разделить на 9.
› Данные числа имеют разные знаки, значит, их частное --
число отрицательное. Поскольку модуль частного равен 8
(7219 = 8), то (-72):9 = -8. 4
7. Решить в целых числах уравнение 2ху = х2+2у.
› Решаем уравнение относительно 2у и выделяем целую
часть:
2
2_
'___
2)): х :х_ 1+_1_=(х 1)(х+1)+1=ЭІС+1+ 1 _
х~1
х-І
х-І
х-І
ТаккакхЄ22,(х+1)е22,2уеЪ,тодолжнобытьцелыми
Число 1/(х-1), т. е. х-І 2 ±1, откуда х1=2, х2==0. Этим значени-
ям х соответствуют значения у1=2, у2=0 (получены из уравне-
ния 2у = х2/(х-1)).
Следовательно, уравнение имеет два решения в целых чис-
лах: х1=2, у1=2 и х2=0, у2=01 4
Упражнения
Выполните указанные действия над данными числами.
ї. 0-37) + (_28). 2. (_56) -44.
3.
-78 - (_14).
4. 36 +'(-15).
5. 52
-
84.
6..(-І2) (_7).
88
числА и координд ты
7. 14~ (-5).
8.0
-
(-29).
9. (-81) : (-3).
10. (72): (-8).
11.
-56:7.
12. 0 : (-16).
Решите в Целых числах уравнения.
ІЗ. ху=10(х+у)-І ,
14. 4х2у<х2у-х+1)=15х3+2х-1
.
Ответы
13.х1=11,у1= 111; х2= 9, у2=~±91; х3= 111, у3= 11;х4=-91,
у2=9. І4 -х1=1з уі: 2;ху21=1›_,
=н2
2.4. РАЦИОНАЛЬНЬІЕ ЧИСЛА
Дробью называют число, составленное из одной или не-
скольких равных частей (долей) единицы. Дробь записывает-
а
ся в виде -Ь' или а/Ь, где а и Ь -- натуральные йисла. Числи-
тель а дроби а/д показывает число взятых долей единицы,
разделенной на столько долей единицы, какова величина зна-
менателя Ь. Дробь можно рассматривать как частное от деле-
ния Числа а на число Ь. Если число а делится нацело на число
Ь, то частное о/Ь обозначает натуральное число.
Например, 15/3=5, 77/11=7.
В случае деления с остатком частное а/Ь является дробным
числом.
_
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, Называ-
ют правильной дробью. Дробь, в которой числитель больше
знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.
Правильная дробь меньше единицы, а неправильная #- боль-
ше или равна единице Значит, любая неправильная дробь
больше любой правильной дроби
Основное свойство дроби выражается равенством
а_шоп
ЬЬп”
где п -- натуральное число, т. е. если числитель и знаменатель
дроби умножить на одно и то же натуральное число, то полу-
чится равная ей дробь. Две равные дроби являются различны-
ми занисями одного и того же дробного числа.
(2.11)
Рациональныо числа
а39
Рассматривают также и отрицательные дроби, например
173
2,5э4
`
Число, которое можно записать в виде дроби, называют
рациональным числом *_ Всякое целое число является рацио-
нальным.
Например, 5:2,
*Вт-"Ё, 0:2.
1
1
1
Множество рациональных чисел состоит из всех целых,
всех дробных, положительных и отрицательных Чисел и Числа
нуль. Множество рациональных чисел обозначают О. Отме-
тим, что НС 2:: (2.
Равенство (2.11) означает, что Каждую обыкновенную
о
ДрОбЬ “Ь- МОЖНО ПРИВЄСТИ К НОВОМУ ЗНЕІМЄНЗТЄЛЮ ЬП; ЧИСЛО П
в этом случае называют дополнительным множителем.
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий де-
литель (отличный от единицы) называют сокращением дроби.
Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, есть
наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя.
Например, дробь 18/90 можно сократить на 2, 3, 6, 9, 18;
18 == НОД (18, 90):
_159вз21_
'Нч-пт
__
Щ
_
“ІІ
___
_"_"_
“___
9045зо15105`
1
Дробь называют несокротимой, если ее числитель и знаме-
натель взаимно простые Числа.
'
Из двух дробей с равными знаменателями больше та, у ко*
торой числитель больше, и меньше та, у которой числитель
Меньше:
ЕЗЁІ-:=-іЕІ)-- (спо), Е'~<:Ё- (0:11)).
(2.12)
сс
сс
-д__._
'
* Название «рациональное число» происходит от латинского слова гатіо --
ттношение (рациональное число понимается как отношение целых чисел).
40
.
числА и координд Ты
Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше,І у
которой анаменатель меньше, и та меньше, у которой знаме-
натель больше:
Ё>Ё (ат), ї<ї (аж).
(2.13)
Ьс
Ьс
Если даны две дроби а/Ь и с/а', то для того чтобы '
асас
ас
*під- _:
__:щ: щ>цт
Ьа*Ьа'
Ьа!
необходимо и достаточно выполнения соответствующих со-
отношений:
асі< Ьс, ад: Ьс, ад> Ьс-
(2-15)
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменате-
лями осуществляется соответственно по формулам:
аЬа+Ь
аЬа-Ь
- +ш-
=---.
_ц_
(2.14)
___- __-
___-__
,
(2 16)
сс
с
сс
с
Если дроби имеют разные знаменатели, то при сравнении,
сложении, вычитании и делении их предварительно заменяют
равными им дробями с одинаковыми знаменателями, т. е.
приводят к наименьшему общему знаменателю на основании
равенства (2.11) и выполняют указанные действия:
с асі _Ь _с_ _асі+Ьс
а с__аєі Ьс_асї_Ьс
а
Б ГЪЁ да” да* * БШЁЁЕїБїШБЁ-щ*
а_с _ас!_Ьс __асі
32535351?
Умножение дробей производится по правилу
Е _Є:ЕЕ_
'
(2.17)
Ьа?Ьсі
Аналогично умножаются натуральное число на дробь и
дробь на натуральное число, для чего достаточно представить
натуральное Число в виде дроби.
Замечание. Если произведение двух дробей # сократимая
дробь, то сначала следует произвести сокращение, а затем выпол-
нить умножение.
Рациональные числа
41
Взаимно обратнымн числами называют два числа, произве-
ДЄНИЄ КОТОРЫХ раВНО ЄДИНИЦЄ,
1
1
Например, числа 7 и ї взаимно обратны, ибо 7Э-=1.
Любые числа а/Ь и Ь/а, а і 0, Ь гг О, являются взаимно об-
ратными, так как
аЬ__аЬ_
Ьа Ьа
Замечание. Правилоделениядробей
а_с
_
на!
Ьа* Ьс
можно сформулировать так: чтобы разделить одно число на другое,
надо делимое умножить на число, обратное делителю.
(2.18)
Арифметические Действия Над Дробями Подчинены тем же
законам, что и арифметические действия над натуральными
числами.
Рассмотрим неправильную дробь а/Ь, предположив, что а
не кратно Ь (в противном случае, разделив а на Ь, получили бы
целое число). Поскольку а > Ь, то существуют числа а и г,
05г<Ь,такие,чтоа=Ь9+г,поэтому
334” =Ч+ї.
(2.19)
ЬЬ
Ь
×
Поскольку г < Ь, то г/Ь _ правильная дробь; Таким обра-
зом, любую неправильную дробь можно представить в виде
суммы натурального числа и правильной Дроби. Для этого
числитель нужно разделить на знаменатель. Неполное част-
ное от деления будет целой частью числа, остаток -- числитс-
лем, а делитель
-
знаменателем дробной части. Эта операция
называется выделением целой части из неправильной дроби.
Например:
4642+4424
---=
=---+-=6+-.
7
7
77
7
Сумму натурального числа и правильной дроби записывают ко~
4
4
роче: вместо 6+~7~ пишут 67 .
42
,
числд и координд ты
Обратно, сумму натурального числа и правильной дроби
можно записать в виде неправильной дроби.
Например:
2
283224224+226
8-=8+ -- === - -+-= -+ -=
=--.
3
3133333
3
2 83+2 26
Кратко это записывают так: 83: 3 =-
3.
Для того чтобы записать дробное Число в виде неправиль-
ной дроби, нужно умножить его Целую часть на знаменатель
дробной части и к их произведению прибавить Числитель
дробной Части. Полученнаи сумма будет числителем дроби, а
ее знаменателем
-
знаменатель дробной части.
При выполнении арифметических действий над дробными
Числами во многих случаях Целесообразно обратить их в не-
правильные дроби, а затем произвести соответствующие
действия.
Примеры
1. Найти сумму, разность, произведение и Частное дробей
5
2
_
Ид...
7
З
т В 'соответствии с правилами арифметических действий
над дробями получаем:
5 215+14_2_9 __18 5 215-14 1 52 10
-г-
І-' Ь
_
___ -
__-' _' ._пІ
ї212121473 21 21*732-1”
151
253
І-;=-~=--
1-- 4
372
ї
2
7
1 14'
3
5
2. От числа 7 - отнять Ч-
_
4
8
› Преобразуя первое число в неправильную дробь, нахо-
дим разность:
3531562-5571
7----= ---- =щ-- -Щ 7=--
4848888'
Ёциональные числа
_
43
16
З. Найти произведение чисел 33-27
І› Преобразуя данные числа в неправильные дроби, нахо-
дим их произведение:
21,222 1229135 2263222
47471-77 7
4. Выполнить указанные действия:
222.12. 22..
55 110 217
5 22232 -11
520а
›Найдем значении числителя и знаменателя, разделим
первый результат на второй. При вычислениях сначала вы-
полняем действия в скобках:
_ 7_ _ 617_ 447 677 _8944677 _217
55 110 55 110_110 _110”
21713_217220___2 2 3 8-3 51
110' 217_110 217_ 5_25_ _25_25_ 5
222132122 222212222
-484841515
15
2
Итак, данное выражение равно 15. 4
5. Найти х из равенства
114 1214:-33
8 =1-5-.
103
4
25 12
› ВОСПОЛЬЗУЄМСЯ ЗЕІВИСИМОСТЬЮ МЄЖДУ КОМПОНЕНТЗМИ ПРИ
3
а
а
делении:если Б=с ,тоа=Ьс, І):-
.
На основании этих ра-
С
венств получаем:
723
5а17з17-234
1_: 1-2-32н =1--=-Ц-=----=---,
1034
1225 12253-575
44
ЧИСПА И КООРДИНА ТЫ
ЕЕ 15]= 34 5 151734177511515
_
...__-
--,
_х___-_-__..'--= _щ:--«--ч_
_ --›-
10347534107510342-24
5 15_15 5 15 15_30
_15
х
х-+
515
15515З91
-х: -,
х:-- -: ---:- -=4«_-_
3
2
232522
Следовательно, х=4%_ 4
Упражнения
1. Найдите сумму, разность, произведение и частное данных
ЧИСЄЛ:
1
2
3
4
а5-и3-;
бь7-и2_;
)7
9
)5
11
2
7
1
3
в)9-иб~;
г)3~и4*_.
3
8
4
13
2. Выполните указанные действия:
5
7
4
1 + 5 1 2+1,2-0,5:--;
,
0,64-т
(6-__3.._),2___
5
259417
б) 111.51.. ,11.1 1525312. 5.
28
24
10
9
45+ 20 10
516
3. Найдите х из равенства
55
ҐҐ
1
Пропорции
45
Ответы
1
2
2.3 2'т,б 46щ.3 .
=
.
)3)5
х1
2.5. пропорции
Частное двух натуральных чисел а и Ь называют отноще-
нием а н Ь. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз
одно из них больше другого или какую часть одно Число со-
ставляет от другого.
Равенство двух отношений называют пропорцией. Пропор-
Цию можно записать так:
ас
_:щилиа:ЬІс:д.
(2.20)
Ь(і
Замечание. Равенство (2.20) теряет смысл и перестает быть
пропорциейиприЬ=0,иприо' = О,атакжевслучае,когдаЬї0и
а=О.
В пропорции а : Ь = с: д числа о и о' называют кройними чле-
нами, Ь и с ее средними членами пропорции; о : Ь называют пер-
вым отношением, с : д -- вторым отношением; о и с Ы-предыду-
щими Іи'єенами этих отношении, Ь и о' -- последующими членами.
Основное свойство пропорции (2.20) выражается равенством
*~ адшЬс,
(2.21)
т. е. произведение крайних членов пропорции равно произведению
ее средних членов.
Если произведение двух чисел равно произведению двух
других чисел, то из этих четырех чисел Можно составить про-
порцию, беря множители одного произведения за крайние, а
множители другого произведения за средние члены пропорш
Ции. (При этом предполагается, что последующие члены не
равны нулю.)
Пусть ад н Ьс и все числа о, Ь, с, д отличны от нуля. Раз-
делив обе части последнего равенства первый раз на Ьд, вто-
рой -- на аЬ, третий --- на ас, четвертый -- на сд, получим со-
ответственно четыре пропорции:
46
числа и кооРДИНА ты
а___с ві__с сі__Ь Ь _а
(222)
ЬсіЬиЭса(1с
І
Первое и второе равенства означают, что в пропорции
можно менять местами Крайние члены. Из второго и третьего
равенств следует, Что в пропорции можно менять средние
члены. Первое и Четвертое равенства свидетельствуют о том,
что в пропорции можно ставить оба крайних Члена на места
средних, а оба средних -~ на места крайних.
Из пропорций (2.22) получают следующие производные
пропорции:
а+Ь___с+а' а-Ь_ _с -аІ а+Ь с+сі а-Ь снаІ
в-а”д"а“а=с”а=с` (223)
Из двух последних равенств следует, Что
н
а+Ь с+д
=
.
224
а-Ь с-д
()
Пусть в пропорции а :х 1 с: а* х -- неизвестная величина,
а, с, еі -- заданные числа. По основному свойству пропорции
сх == ад, откуда х ж акі : с, т. е. неизвестный средний член про-
порции равен произведению крайних ее членов, деленному на
известный средний член. Аналогично определяется неизвест-
ныйКрайнийчленпропорции:еслих:Ь=с:а',тоха!щЬси
хїЬс:сі.
Если дан ряд равных отношений
іїїїї= їїі
(2.25)
Ь. 112 Ь;
и”
ТО
01+02+а3+ -+а 5321-53... ІЕь
(2.26)
Ь+Ь,..+Ь,+ +в в, ь,“ь,щ"' аІІ
Итак, если несколько отношений равны между собой, то
отношение суммы их предыдущих членов к сумме последую-
Щих равно каждому из этих отношений
Примеры
1. Найти хиз пропорции 151): = 3 : 5.
Пропорции Щ
47
> Из основного свойства пропорции следует, что Зх = 5 'х
><15, откуда х ш (5- 15)/3 щ 25. «і
и
х+а
2. Наити х из пропорции
-
х-а с
|› Составим производную пропорцию вида (2.24):
(х+а)+(х- а)_ Ь+с х___Ь _- ±-і
(х+а)- (х а) Ь с арзЬ-с,
_-
_ а(Ь+с)
_
Ьнс І
Замечание_ Определитьхможноис помощьюосновногосвой-
ства пропорции.
Задачи
11ь Найдите х из пропорций:
7
а2х
33
2_
2
а) ї_____; тдт:
В) а +Ь =а аЬ+Ь_;
93
с
а-Ь
х
21
2-~+4іі
Г)__
20__ 5 д)
х
3329І
х4
1.3 3.9. 21.2і+11__6ї
35353753
порций:
х
Ь
а-юс Ь
х+1 а
а) Ш=~; б)
“И”
_..
,г
В
изд.
атх С
х
с
х-І Ь
З Длины ад, 4:12, из, а4, 05 сторон одного пятиугольника пропор-
2 Пользуясь производными пропорциями, найдите х из про-
Циональны длинам ЬІ, Ьд, Ь3, Ь4, Ь5 друтого пятиугольника, т е
Наидите отношение периметров Р и О этих многоугольников
Ответы
1. а) х= 21; б) х= ас/(2Ь); в) х == (анЬ)/(а+Ь); г) х= 16; д) х= 5/18.
+в
Ь-с д
їЬ+с `0
зоваться формулой (2.26).
аЬ
ос
аЬ
Р =а_і
2. а) х=Гсї. б) Х=--; в)х
Указание Восполь-
1
48
числа И координд ты
2.6. десятичные дРови
Основные понятия. Десятичной дробью называют дробь,
знаменатель которой -- Число, выраженное единицей с одним
или несколькими нулями, т. е. дробь вида п/ЮЁ, где п е 2;
іс е ІЧ. Десятичные дроби принято записывать без знаменате-
лей: сначала пишут Целую часть, а потом числитель дробной
части. Целую Часть отделяют запятой от Числителя дробной
части. При этом числитель дробной Части записывают так,
чтобы в нем было столько цифр, сколько нулей в знаменате-
ле. Если в числителе меньше цифр, чем нулей в знаменателе,
то перед числителем записывают соответствующее количест-
во нулей.
23
7
3
17
Например, 6т:6›235
“20371 __:0303'г
9щ:93017з
9
100
10
100
1000
5-_ т-=5,009-
1000
Если к десятичной дроби приписать справа нули, то полу-
чится равная ей дробь.
Например, 0,37 ї 0,370 = 0,3700.
Если десятичная дробь оканчивается нулем, то этот нуль
можно отбросить; в результате получится равная ей дробь.
Например, 0,60 = 0,6.
Из двух десятичных дробей с разными Целыми частями
меньше та, у которой Целая часть меньше: 5,27 < 8,45. Для то-
то чтобы сравнить две дроби с одинаковыми Целыми частями,
надо уравнять, приписывая справа нули, число десятичных
знаков после запятой в обеих дробях и сравнить их дробные
части.
Например, 8,7 > 8,693, 8,700 > 8,693.
Как и в Целой части, значения Цифр после запятой в деся-
тичной дроби зависят от их места (позиции).
Например, дробь 0,333 можно представить так:
333 300 30
0,333:
==
+
+
і000 1000 1000 1000
=0,300+0,030+0,003.
Десятичные дроби
49
Таким образом, первая цифра 3 показывает число десятых, вто-
рая _-
число сотых, а третья и Число тысячнык. В соответствии с
этим первый разряд после запятой называют разрядом десятых, вто-
рой - разрядом еотых, третий _ разрядом тыс-явных и г. д. В числе
4568,?32 высшим (старшим) разрядом являются тысячи, а низшим
(младшим) ы тысячные. Запись 546,083 = 500 + 40 + 6 + 0,08 + 0,003
называют разложением числа на сумму разрядных слагаемых.
Действия над десятичньши дробями. Для того чтобы сло-
жить две десятичные дроби, необходимо:
1) уравнять в слагаемых число знаков после запятой;
2) записать слагаемые одно под другим так, чтобы запятая
“оказалась под запятой;
3) сложить получившиеся дроби, как складывают нату-
ральные числа;
"`
4) в полученной сумме поставить запятую'под запятыми в
слагаемых.
Аналогично формулируется правило для вычитания деся-
тичнык дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей,
как и натуральных чисел, удобно записывать «столбиком».
Для того чтобы умножить одну десятичную дробь на дру-
гую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на за-
пятые, а затем в произведении отделить справа запятой столь-
ко цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вмес-
те. Если в произведении получится меньше цифр, чем надо
отделить запятой, то впереди следует записать соответствую-
Щее количество нулей. По этому правилу умножается нату-
ральное число на десятичную дробь и десятичная дробь на на-
туральное число.
Отметим частные случаи умножения десятичных дробей.
Для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ,
необходимо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3,
.
Например: 7,34- 10 = 73,4, 4,658- 100 = 465,8, 3,592- 1000 = 3592.
При делении десятичной дроби на натуральное число за-
пятая в частном ставится, когда кончается деление целой ча-
сти. Если целая часть дроби меньше делителя, то в ответе по-
лучается нуль целых. Для того чтобы разделить десятичную
дробь на десятичную дробь, надо в делимом и делителе пере-
нести запятую вправо на столько цифр, сколько их после за-
50
числА и кооРдиНА ты
а,
пятой в делителе, а потом выполнить деление на натураль-
ное Число.
Ґ
Округление десятичных дробей. В некоторых случаях
представляется необходимым и Целесообразным округление
десятичных дробей до какого-нибудь разряда. При сравне-
нии Числа и ето приближения используют знак == (прибли-
же'нно равно). При округлении десятичных дробей до како-
го-нибудь разряда все следующие за этим разрядом Цифры за-›
меняют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбра-
сывают. Если первая следующая за данным разрядом цифра 5,
6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают
на единицу. Если первая следующая за этим разрядом циф-
ра 0, 1, 2, 3 или 4, последнюю оставшуюся Цифру не изменя-І
ют. Если отбрасываемая цифра стояла до запятой, то на ее
месте пишут нуль.
ь
Примеры
1. Окрутлить до сотых 235,1342 и 178,2762.
ў Отбросим все цифры, следУЮЩие за сотыми. В первом
числе за цифрой сотых 3 стоит Цифра 4, поэтому последняя
цифра остается неизменной: 235,1342 ш 235,13. Во втором чис-
ле за цифрой сотых 7 стоит Цифра 6, поэтому последнюю ци-
фру увеличиваем на единицу: 178,2762 я- 178,28. 4
2Ни
х Д _2_,6+1,9
.
аитихиз пропорции 435435 3,8_2,3~
Ъ Выполняя указанные действия, находим:
19:52, х=ЁЁ-з=з›з=9, х=9.
3,5
1,5
Упражнения
І. Выполните указанные действия:
а) 23,783 + 32,627; б) 347,8 - 253,689',
в) 225,17 - 0,23;
г)7,44:6;
д) 11,045 : 2,35;
.
е) 21,14: 0,7.
2. Округлите до десятых следующие Числа: 15,7871; 243,2314.
Проценты
І
51
3. Найдите значения выражений:
28,8:13Ё+6,6:Ё
5
7
4
а)
117 3; б) Ё:0,125+1,456.-_~4,5--5-.
1-;2,25
25
16
4. Найдите х из пропорции
х
щ*7,6-4,7+6,1':1-5,2
4,1.з,2+7,4-6,2 7,6-5,7~з,4-4,з`
Ответы
1. д) 4,7; е') 30,2. з. а) 16; б) 4,1. 4. х =1357.
2.7. пРоцвнты
Часто приходится рассматривать сотые доли разных вели-
чин: денежных сумм, массы продуктов, объема товаров и т. п.
Процентом* называют одну сотую Часть числа. Для записи
процентов используют знак %. Рассматривают следующие ви~
ды задач на проценты:
1) нахождение процентов данного числа;
2) нахождение числа по его ироцентам;
З) нахождение процентного отношения чисел.
Для того Чтобы найти а % от числа Ь, надо умножить Ь на
а/100 , т. е.
-
а_н
100 100.
Если известно, что а % числа х равно Ь, то число можно
найти из пропорции
Ьа
100Ь
-= ---,
х=----.
х 100
а
Для того чтобы найти процентное отношение двух чисел а
и Ь, надо отношение этих Чисеи умножить на 100 %:
х=%-100 %.
(2.29)
(2.27)
х=Ь
(2.28)
* Термин «процент» происходит от латинских слов рго сепшгп
-
за сто.
52
числА и координл ты
В хозяйственных и статистических расчетах, а также в
научной литературе части величин принято выражать в про-
центах. Если за год (или за какой-либо ДругОй промежуток
времени) нарастает р % величины а, то через тлет она превра-
тится в ,__ в
Щ
,5:0 14,25.
_
(2.30)
100
Формулу (2.30) называют формулой простых процентов.
При этом предполагается, что по истечении каждого года до-
ход за год изымается, поэтому за новый год доход исчисляет-
ся с первоначальной величины.
Если же доход причисляют к первоначальной величине и,
следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной
суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае вели-
чина, в которую превратится величина о Через Ілет, вычисля-
ется по формуле сложных процентов:
г
_
х=а 1+~ії .
(2.31)
100
З а м е ч ан и е . Тысячная доля целого, т. е. десятая часть процента,
имеет специальное название «промилле» и обозначается %о.
Примеры
1. В школе 600 учащихся. Среди них 318 девочек. Сколько
процентов учащихся этой школы составляют девочки?
› Сначала определим, сколько учащихся приходится на
1 %. Поскольку всех учащихся 600, то на 1 % приходится
600 : 100 щ 6 учащихся. Далее получаем, Что число девочек со-
ставляет53%,таккак318:6Ё53%.
Отметим, Что ответ на вопрос получен с помощью фор-
мулы (2.29):
хі-І-Ёюо иіїї %=53 %. 4
600
в
Проценты
53
2. Ученик прочитал 70 страниц, что составляет 35 % всех
страниц в книге. Сколько страниц в книге?
› Если 70 разделить на 35, то получим, что на 1 % Прихо-
дится 2 страницы. Поскольку число всех страниц в книге со-
ставляет 100 %, то в ней было 2 - 100 щ 200 страниц.
Отметим, что отвегна вопрос получен с помощью формулы (2.28):
х=1-(-]%5-7 -9=200 страниц. 4
3. В магазине за Два дня продано 1280 кг яблок. В первый
день продано 55 % всех яблок. Сколько килограммов яблок
продано во второй день?
Ь В первый день продано 55 % всех яблок, значит, во вто-
рой продано 45 % яблок. В соответствии с формулой (2.27) на-
Ходим:
1280-45
х=-----
100
4. 10 г соли растворили в 90 г воды. Какова концентрация
полученного раствора?
› Концентрация раствора -- это отношение массы соли к
массе раствора, выраженное в процентах. Значит,
10
10
=
-100 = ---.100 =10 . 4
10+90
% 100
%
%
5. Сколько граммов соли и воды содержится в 80 г 25 %-го
раствора соли?
› Пусть х -- масса соли, тогда
25-80 _
=576 кг. 4
х
і-юо %=25 %, х:
80
Находиммассуводы:80г-20г=60г. 4
б. Сколько граммов воды нужно добавить к 15 г соли, что-
бы получить 25 %~й раствор?
› Пусть х
-
масса воды, тогда х + 15 -~
масса раствора.
Значит,
15
15 _25_1
- 100 9'=25 ,ё 4- ---,х+15=15-4,х=45г.4
х+15 о 96х+151004
20г
54
числа и координл ты
Упражнения и задачи
1. Выразите в процентах следующие числа: 0,03; 21,7; 115; 1/25;
1
1/75; 5:1"
2. Выразите в виде дробей следующие проценты: 4 %; 20 %; 25 %;
37 %.
З. Найдите число, если: а) его 3 % составляют 60; б) 5 % составля~
гот 40; в) 75 % составляют 150.
4.Найдите:а)4%от100м;б)15%от300кг;в)40%от12т;
г)150%от120см.
5. Вычислите процентное отношение Чисел: 14 к 56; 0,35 к 7/4; 5,7
к 0,95.
6. Рабочий по плану должен был изготовить 60 деталей. Однако
он сделал на 18 деталей больше, чем предусматривалось планом. На
сколько процентов рабочий выполнил план?
7. В кратчайший срок требуется изготовить 12 800 комплек-р
тов рабочей одежды. Заказ поручен трем фабрикам: А, В и С.
Фабрика А может сделать за четыре дня 800 комплектов, фабри-
ка В т- за шесть дней 720 комплектов, а фабрика С за два дня --
40 % того количества, которое могут изготовить в течение трех
дней первая и вторая фабрики вместе. Через сколько дней заказ
будет готов и по сколько комплектов будет сделано каждой фа-
брикой?
8. Найдите число, 7,5 % которого равны выражению
82,.:611.
,3*
55 но
217
23, ,3
`
520`а
1
1.з%;2170%;11500%;4%;15%.2.1/25;1/5;1/4;0,37.
З.а)2000;б)800;в)200.4.а)4м;б)45кг;в)4,8т;г)180см.5.25%;
20%;600%.6.130%.7.25Дней.8.200.
Ответы
Бесконечные десятичные дроби. Действительные числа
55
2.8. Бесконечные десятичные дРоБи.
действительные Числа.
Периодические и непериодические десятичные дроби. С по-
мощью деления Числителя на знаменатель любое дробное не-
отрицательное число а/Ь, где а, о м Целые числа, а 2 0, Ь > 0,
можно обратить в конечную или бесконечную десятичную
дробь.
3
5
Например, Е:0,75, 5:1,666НН
Для единообразия конечные десятичные дроби и целые
числа дополняют бесконечной последовательностью нулей.
3
Например, Е=0,75000--~, 27 = 27,000... .
Следовательно, любое иеотрицательное рациональное
число можно представить в виде бесконечной десятичной
дроби г = а0,а1а203..., где ао _ целая Часть Числа г; 0,а1а2а3...-
его дробная часть. Такое представление возможно и для отри-
Цательнык рациональных чисел.
Бесконечную десятичную дробь а0,а1а2а3 называют перио-
дической, если в ней одна цифра или группа цифр повторяют-
ся, следуя друг за другом. Повторяющуюся группу цифр назы-
вают периодом и записывают в скобках.
Так, вместо 2,333...
`пишут 2,(3) и читают: 'два целых и три в
периоде.
Представление рационального числа в виде десятичной
дроби получают с помощью деления.
Теорема 2.11. Несократимўю дробь а/Ь можно обратить е
конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда е раз-
ложении ее знаменателя на простые множители содержатся
толькоцифры2и5илио=1.
Теорема 2.12. Если оф2т5р, где т ир -- иелые неотрииа-
тельньхе числа, то, обращая несократ имую дробь а/Ь е десятич~
ную, получают бесконечную периодическую дробь.
Следствие. Каждое рациональное число можно предста~
еить е еиде бесконечной периодической дроби.
Теорема 2.13. Любая периодическая дробь является предн
стаелениен некоторого рационального числа.
'
56
числа и Координд ты
Правил выполнения действий над нериодическими дробя-
ми не существует, Поэтому такие дроби необходимо преврач
Щать в обыкновенные.
Приведем правило обращения периодической дроби е обыкно-
ванную.
Для того чтобы записать данную периодическую дробь в
виде обыкновенной дроби, надо из числа, стоящего до второ-
го периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и
сделать их разность числителем, а в знаменателе записать ци-
фру 9 столько раз, сколько Цифр в периоде. После Цифры 9
следует Дописать столько нулей, сколько цифр между запятой
и первым периодом.
Кроме периодических бесконечных десятичных дробей су-
Ществуют непериодические дроби.
Такова, например, дробь 0,212112111211112111112..., в которой
после первой цифры 2 стоит одна единица, после второй - две едитн
ницыит.д.
'
Ирращюнальным числом называют всякую ненериодиче-
скую бесконечную дееятичную дробь х = а0,а1,а2...а,,...,
где
-
целая часть; а1,а2,
,от
--
десятичные знаки. Множе-
ство всех непериодических бесконечных десятичных дробей
называют множеством иррациональных чисел.
«
Множество действительньш чисел. Множестеом действи-
тельных (еещестеенньш) чисел называют множество всех рацио-
нальных и всех иррациональных чисел. Таким образом, ока-
зывается, что любое действительное Число можно предста-
вить в виде бесконечной десятичной дроби. Множество
действительных чисел обозначают В.
Действительные числа можно изображать точками коорди-
натной оси. Каждой точке прямой соответствует действитель-
ное число. Отметим на координатной прямой точки О и Е,
расстояние между которыми равно единице: ІОЕ |=1 (рис. 2.2).
Точка О делит прямую на два луча: положительный луч ОЕ и
отрицательный луч. Каждой точке М луча ОЕ соответствует
, которое называют координа-
той точки М и обозначают М (х) Координата начальной точ-
ки О равна нулю. Если точка М принадлежит отрицательному
лучу, то ее координатой служит число х:-Р|ОМ1.
Бесконечные десятичные дроби. Действительные числе
57
Вся координатная прямая обозначается Ох. Каждой точке
координатной прямой соответствует определенное действи-
тельное число -- ее координата; обратно, для любого действи-
тельного числа х можно построить точку, координатой кото-
рой является это число. Следовательно, между действитель-
ными числами и точками координатной прямой установлено
взаимно однозначное соответствие. Это соответствие позво-
ляет говорить о числах, пользуясь геометрической термино-
логиеи.
0Е
И
і
х
Рис.22
Будем считать, что координатная прямая расположена го-
ризонтально; за положительное направление на ней выбрано
направление слева направо. В этом случае неравенство х, <х2
означает, что точка М (хд) лежит справа от точки М (х,); мож-П
но говорить также, что само число х, лежит левее числа х2. Ес-
лих1<х»,<х3илихз<х2<хІ,тоговорят,чточислох2лежит
между числами х1 и хз.
Множество всех действительных чисел называют числовой
осью. Оно изображается всей координатной прямой; его обо-
значают (_м,+<×:›) (читается «промежуток от минус бесконеч-
ности до плюс бесконечности››).
Множество всех чисел, удовлетворяющих двойному нера-
венству с <х < Ь, называют интервалом и обозначают (що).
Множество всех чисел, удовлетворяющих двойному нера-
венству о Ѕх Ѕ. Ь, называют отрезком или сегментам и обозна-
чают [о,Ь].
Рассматривают также полуинтервслы: [а,о) - множество
всех чисел, удовлетворяющих неравенствам с Ѕх < о; (0,111 --
множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам
а <х 11 Ь. Интервал, отрезок, полуинтервал называют промт
жутком.
Рассматривают и бесконечные промежутки: (тщо),
(-ш,Ь], (а,+с×>), [а,+<>=›), т. е. множества всех чисел, удовлетво-
ряющих соответственно неравенствам х < о, х 5; о, х > о, х 2 о.
58
числА и координл ты
Модуль действительного числа. Модулем (абсолютной вели-
чиной) действительного числа х называют неотрицательное
число [хІ , определяемое формулой
х,
если х_>_0,
|х|={
(2.32)
цх, если х<0.
Например, ІЅ,ЗІ=5,З, |~7|=7, |0|==0.
Модуль действительного числа геометрически представля~
ет собой расстояние от точки, изображаюшей Данное число на
координатной прямой, до начала отсчета (точки О). Следова-
тельно, неравенство
|х|<є (ЮО)
(2.33)
равносильно неравенствам
~е<х<е,
,г
=
(2.34)
а неравенство
|х-а|<є (е>0)
(2.35)
равносильно неравенствам
а-Є<х<а+€.
(236)
Из определения модуля действительного числа следует,
что выполняются соотношения:
, ¦х|2=хї вы?
Отметим свойства модуля действительного числа.
1°. Модуль суммы двух действительных чисел не больше сум-
мы модулей слагаемьос:
Іх+уІЅІхІ+ІуІ~
и (2.37)
Данное свойство верно для любого числа слагаемых:
|х|_> _0, |-х|=|х[, хЅІх
ІхІ +х2 +. . .,+.›с,,|5|хІ |+|х2!+...+
хп
О
2°. Модуль разности двух действительных чисел не меньше
разности модулей уменьшаемого и вычитаемоео:
Іх~у|гіх|~|у|-
(2.38)
3°. Модуль произведения двух действительных чисел равен
произведению модулей множителей:
го» =|х у-
(2.39)
Бесконечные десятичные дроби. Действительные числа
59
«4*2 Модуль частного двух действительных чисел равен част-
ному модулей делимого и делителл:
“ЕЩІхІ
и0
(2 40)
ЁІУІ у
'
Таким образом, выполняются следующие соотношения:
ІхІ-ІУІЅІНУІЅІХІЧУЪ ІхІ-ІУІЅІх~уІЅІхІ+ІуІ-
к.
Если М1(Х1), М2(х2)
-
две точки координатной прямой, то
расстояние между ними вычисляется по формуле
а'=|М.М21=|х2 ~х1|~
(2.41)
Примеры
1 Записать периодическую дробь 0,(45) в виде обыкновен-
ной дроби
› Пользуясь правилом обращения периодической дроби в
обыкновенную, получаем:
0, (45)-Щ=Ё=-Ё- 4
"
999911
2. Записать периодическую дробь 2,3(41) в виде обыкно-
венной дроби.
› В соответствии с правилом обращения периодической
дроби в обыкновенную находим:
2341 23 :2318 =1159
990
990 495
3. Записать в виде обыкновенной дроби периодическую
дробь З,46(8).
› На основании правила обращения периодической дроби
в обыкновенную Получаем:
3,46(8):3468-346 =3122 31561 . <
900
900 450
4. Найти расстояние между точками М1(-5), М2(7)..
и › По формуле (2.41) находим:
в=\7-( -5)|±17+5|=12. 4
2, 3(41) =
60
числА и кооРдинд Ты
5. Вычислить
6
9
1,6 --2,3 --
()5+()7
3
2т(6)'_"
4
ї
› ОбраЩая периодические дроби в обыкновенные, полу-
чаем:
1,(6)__6 _ _+2(3)_9 56 +_7 _9
7 35 +37 Н2+35_21
_ ”-4
21672
ЁЁ.
222
4
34
Упражнения
1. Найдите расстояние между точками:
а) А(3),Б(8); б) СФ), Щ-2); В) 251-4)э т); г) М(-"9)э И(#18)-
2. Обратите в обыкновенные следующие периодические дроби:
а) 0,(3); б) 0,2(7): в) 1,3(8): г) 2,41(6); д) 0,037).
З. Обратите обыкновенные дроби в десятичные:
7_бЗ_
5І
3
а)12* )14* В) 7, Г) 8'
Вычислите значения выражений.
(45-1(6)+37)__ЁЁЁн
4- 1,7:
4995 ..0,41(6).
5/9
к
9
275
7
5* 642+3щї
2э
“Гц-* -
112,(6).
14:~-2,5;-- 24
к
7
18
6. 'Іі+6,8(3)+5,(.5)+139759129ц 2/9 40,60;
2
1/2~о,062_~,
1,91(6)_1_
6
Ответы
1.а)5;б)8;в)11;т)9.2.а)1/3;б)5/18;в)25/18;г)87/36;
д) 237/999. З. а) 0,588); б) 0,2(142857); в) О,(714285); г) 0,375. 4. 1.
5. 1,2. 6. 34.
Прямоугольные координаты на плоскости
61
2.9. ПРЯМОУГОЛЬНЬІЕ КООРДИНАТЫ
НА ПЛОСКОСТИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ _КООРДИНАТ
Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные
координатныв оси: Горизонтальную Ох (ось абсцисс) и верти-
кальную Оу (ось ординат). Точку О пересечения координат-
нык осей называют началом координат* (рис. 2.3). Плоскость,
на которой введена система координат, называют координат-
ной плоскостью.
Щ
Му......._тг1
--+
ІІ ++
ОІ
Нд
к
Рис. 2.3
Пусть дана произвольная точка М рассматриваемой плос-
кости. Через точку М проведем прямую, параллельную коор-
динатной оси Оу; точку пересечения этой прямой с осью Ох
обозначим Мх. Проведем через точку М прямую, параллель-
ную оси Ох, до пересечения с осью Оу в точке Му. Рассмотрим
длины отрезков ОМ,С и ОМу, взятые с соответствующими ана-
ками (знак «плюс» берется, если точка Мх принадлежит поло-
Жительной полуоси Ох, знак «минус» - в случае, когда она
принадлежит отрицательной полуоси Ох; аналогично выбира-
ются знаки для длины отрезка ОМУ).
Прямоугол ьнымы коордшчкппимиМ точки М но плоскости на-
зывают числа х и у, определяемые формулами:
х=ОМХ,у =ОМу,
(2.42)
где ОМх и ОМ),
-
длины отрезков ОМ, и ОМу, взятые с соот-
ветствующими знаками. Первую координату х называют аб-
* Термин «начало координат» и обозначение для него буквой О (от слова
огіёіпе - начало) впервые предложил французский ученый Филипп де Лагир
(1640 - 1718) в 1679 г.
** Термин «координаты» впервые ввел французский ученый Рене Декарт
(1596 - 1650) в 1637 г.
62
числа и Координд ты
сциссой, вторую у -- ординатой данной точки М. Запись
М (х, у) означает, что точка М имеет координаты (х, у). Если да-
но несколько точек, то их координаты записывают с соответ-
ствутощими индексами, например МІ (хї, уї), М2 (х2, 3/2) и т. д.
Отметим, что для точек, лежащих на оси Оу, х 2 О, а для то-
Чек, лежащих на оси Ох, у = О; начало координат (точка О)
имеет координаты х = 0, у -*= О. Координатные оси разбивают
на четыре Части Множество тех точек плоскости, которые не
лежат на осях. Каждая их этих Частей называется координат~
ной четвертью или квадрантом.` На рис. 2.3 указаны знаки ко-
ординат точек в каждой четверти.
Каждой точке М плоскости поставлена в соответствие
упорядоченная пара чисел (х, у), определяемых формулами
(2. 42) С Другой стороны, если дана упорядоченная пара чи-
сел х, у, то можно построить единственную точку, для кото-
рой х й у будут прямоугольными координатами. Одна и та
же точка имеет различные координаты в разных системах
координат.
І
Уік уік
ггг-__рдіщтычїм
І
а
х
,_
Ь0:
ІМХ
Х
1
з:-
0 »411
,Ё
“х
Х
Рис.2 .4
Рассмотрим две системы прямоугольных координат с об-
Щим масштабным отрезком: Оху и ОІХУ, соответствующие
оси которых параллельны (рис. 2.4), положительные полуоси
имеют одинаковые направления. Систему Оху называют ста-
рой, асистему ОІХУЁ новой. Начало новой системы находит-
ся в точке 01(а, Ь), старые координаты которой х = а, у = Ь
(новые координаты точки равны нулю). О таких системах гоа
ворят, что одна получена из другой путем параллельного пе-
реноса.Посколькуа=ОА,Ь =ОВ,х ==ОМх,у =ОМ),
Прямоугольные координаты на плоскости
53
Х = ОЁМХ, У: ОЕМ? (рис. 2.4), то старые координаты х, у точ~
ки М Через ее новые Координаты Х, Уи старые Координаты о
и о нового начала координат выражаются формулами:
х=Х+а,у=У+ Ь,
(2.43)
откуда
Х=х--о,_У='у-Ь.
(2-44)
Формулы (2.43) и (2.44) называют формулами преобразова-
ния прямоугольных координат при параллельном переносе.
З а м е ч а н и е . Прямоугольные координаты называют также пря-
моугольными декартовыми координатами.
Примеры
1. На координатной плоскости построить точки М1(2, 3),
М2(-3, 2), М3(4, О).
› Для того чтобы построить точку МІ, по оси Ох вправо от
точки 0 (начала координат) откладываем отрезок длиной 2;
по оси Оу вверх от точки О -- отрезок длиной 3. Через концы
построенных отрезков проводим прямые, параллельные соот-
ветственно координатным осям. Точка пересечения этих прл~
мых и будет точкой МЕ с координатами х = 2, у = 3 (рис. 2.5).
У*
5**"-'“"'1И1
М2
І
$- ~~~~~~~
І
І
І
ї
г
ё ,7.
1
.
,
т
.
__5* а
*5
"2
-101234БГ
Рис. 2.5
Для того чтобы построить точку М2, проводим аналогич~
ные построении: по оси Ох влево от точки О откладываем от-
резок длиной 3, по оси Оу вверх от точки О - отрезок длиной 2.
Через концы построенных отрезков проводим прямые, парал-
64
числа и кооРлинА ты
лельные соответственно оси Ох и оси Оу; точка пересечения
этих прямых и будет точкой М2 с координатами х = ф3, у = 2.
Точка МЗ лежит на оси Ох, так как ее вторая координата
равна нулю. Осталось отложить на оси Ох вправо от точки от-
реаок длиной 4, его конец будет точкой МЗ. 4
2. Построить точку М(4, 3) и точки, симметричные ей от--
н'осительно оси Ох, оси ОУ, начала координат.
› Напомним, что тоннами, снмметрнчнымн относительно
данной прямой, называют точки, расположенные на одном
перпендикуляре к этой прямой и по разные стороны от нее на
одинаковых расстояниях. Точками, снмметрнннымн относи-
тельно данной точки, называют точки, расположенные на
прямой, проходящей через эту точку, и по разные стороны от
нее на одинаковых расстояниях.
Строим точку М(4, 3), как в примере 1 (рис. 2.6). Пусть Ь ч-
точка, симметричная точке М относительно оси Ох. У этих то-
чек одинаковые значения абсциссы х, а ординаты отличаются
только знаком; следовательно, точка Ь имеет координаты
х=4,у=чт3.ЕслиП
-
точка, симметричная точке М относищ
тельно оси Оу, то точки М и П имеют одинаковые ординаты,
а абсЦиссы отличаются только знаком. Таким образом, точка
Ы имеет координаты ,х = ннЧ4, у = 3. Точка К, симметричная
точке М относительно начала координат, имеет координаты
х =~ -4, у = -3 (она симметрична точке Н относительно оси Ох
и симметрична точке Ь относительно оси Оу). 4
“к
'МГщщщщщщ3то* ----- -ТН
і
'
ї
ъ
1ъ
_._
1
ь
І
2::
1-4
~гок
Ых
і
а
т
|›
І
ді- щщщщщщ'*Ей-и-лд-н -іі
Рис,26
3. Найти координаты середины отрезка, концы которого
находятся в точках М1(х1, уІ), М2(х2, у2).
-
Прямоугольные координаты на плоскости
І65
› Построим точки М1(х], у1) и М2(х2, уд) в выбранной сисШ
теме прямоугольных координат (рис. 2.7). Пусть М(х,у) - се-
редина отрезка М1М2, тогда МІМ = ММ2. Из точек МІ, М, М2
опустим перпендикуляры на ось Ох, точки пересечения с этой
осью обозначим соответственно РІ, Р, Рд, тогда РІР = РР2.
Поскольку РІР = х-х1, РР2 = хд-х, то к-хІ = х2-х, откуда
2х = х1+х2, х = (х1+х2)/2. Аналогично можно получить (пред-
варительно спроектировав точки МІ, М, Мг на ось Оу) выра-
жение для у: у = (у,+у2)/2. 4
уд
МЕ
и
и,
¦
І
|
к
1
|
І
ії\
І
І
і
І
І
І,_
0Р,
Р
Ё,
х
Рис. 2.7
Итак, координаты середины отрезка М1М2 определяются
по формулам:
х1+х2
у1'1'у2
ры,
=Щ,
(2.45)
2у2
Т. Є. раВІ-ІЪІ ПОЛУСУММЕІМ ОДНОИМЄННЫХ КООРДИНЕІТ ЄГО КОНЦОВ.
Упражнения
1. Относительно прямоугольной системы координат постройте
тоЧКмА(1,4),В(2,-з), с(-4,5›,о(-1,-2), во, Л), Р(-\/Ё, з),
(го/ї, шк/Ёгї).
2. Найдите точки, симметричные точкам А (3,4), В (-2, 5), С (-3, -3),
В (6, -7) относительно оси Ох.
З. Найдите точки, симметричные точкам А (4, 2), В (-3, І), С (2, -5),
В (-1, -4) относительно оси Оу.
4. Найдите точки, симметричные точкам А (-1, 2), Б (-3, -2), С (4, 7),
В (5, -4) относительно начала координат.
66
числА и координд ты
5. Найдите точки, симметричные точкам А(-3, -1), В(-2, 4),
С (5, -6), В (8, 9) относительно биссектрисы первого координат-
ного угла.
6. Найдите точки, симметричные точкам А(-3, -І), В(-2, 4),
С(5, ы6), В (8, 9) относительно биссектрнсы второго координат-
ного угла.
*
7. Дан треугольнике вершинами/104, 2), В (2 6), С (4 8) Найди-
те основания его медиан К, Ь, М.
Ответы
5. АІ (-1, --3). 6. ВІ (-4, 2). 7. К(-1, 4).
2.10. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
НА ПЛОСКОСТИ
В прямоугольной системе координат заданы две точки.
Выведем формулу, по которой вычисляют расстояние между
ними. Покажем, что если М1(х1, уІ), М2(х2, уд) - две любые
точки плоскости, то расстояние между ними определяется по
формуле
р(М|э М:):\/(х2"х1)2+ (172- 3,1)2 -
(246)
Рассмотрим систему прямоугольных координат и, точки
'М,(х1, уІ), М2(х2, у2) (рис. 2.8). Через точки М, и М2 проведем
отрезки МЁРІ и М2Р2, перпендикулярные к оси Ох, а Через точ-
ку М1 - отрезок, параллельный оси Ох, до пересечения с пер-
пендикуляром М2Р2 в точке М В прямоугольном треугольни-
ке МІЫМЁ отрезок М1М2 -- гипотенуза, МІЫ и ЫМ2 - катеты,
поэтому М1МЁ їМ1~2+~МЁ› откуда МММ =\/М,Ы2+ММ22.
Поскольку МІЫ = Р1Р2- х2 х1, ПМ2= (2102: угу” то
МіМа :\/(х2 *351)2 +(у2 _уі ў-
Длина гипотенузы М1М2 есть расстояние между точками
М] и МЕ. Обозначив это расстояние р (МІ, М2), получим фор-
мулу (2.46).
Расстояние тещу двумя точками на плоскости
67
Рассмотрим частный случай, Когда одна из точек, напри-
мер МІ, совпадает с началом Координат. В этом случае х1 = 0,
у1 = О, поэтому формула (2.46) Принимает вид
р(о,М2) = 1/,-аї+у5.
* _ (2.47)
уіь
Рис. 2.8
Формула (2.47) имеет простой геометрический смысл: она
выражает теорему Пифагора Для прямоугольного треугольника
ОР2М2 (рис. 2.9).
удк
Рис. 2.9
Примеры
1. Найти расстояние между точ'ками М] (2, -5) и М2 (6, -8),
а также расстояние от точки М2 до начала координат.
› Воспользуемся формулой (2.46), полагая в ней х]==2,
уст-*5, гетб, у2=~31
и. кр(214.,Мт-ды-а/с-бг+(-8
-~<-€››>2 =\/<-4›2 а-зід
±1/16+9 =5.
68
числА и кооРДиНА ты
По формуле (2.47) вычисляем расстояние от второй точки
до начала координат:
р (о, ищет/62 ина)2 =1 /36 +64 210. 4
2. Доказать, Что треугольник с вершинами А (Ш2, ~1), 'В (6, 1),
С (3, 4) является прямоугольным.
› Обозначим длины сторон буквами а, Ь, с соответствен-
но. Тогда
взр (В, С>=\/<3-6›2 +а-1)2 =×/(-3›2 +32 =~/1_81
Ь=р <1<1,С)ш-_\/<з~«(-2›>2 +(4 -і~-(-1г)›2 =~`/52 +52 266,
шр (ища/(6 -(-3))2 +(1-(-1»2 1482 +22 щ/ёё.
Квадраты длин сторон будут соответственно равны: а2 == 18,
172=50,с2==68,откудаа2+172:с2=68.
На основании теоремы, обратной теореме Пифагора, за-
ключаем, Что Данный треугольник является прямоугольн-
ным. 4
3. Вычислить периметр треугольника с вершинами А (_1, -3),
В(2, _3), С(2, 1).
› Для того Чтобы найти периметр треугольника, необхо-
димо знать длины его сторон. По формуле (2.46) находим:
Ы=р (д Фея/(Ы)2 +(1-(-?›››2 Щ,
Ь=р (А, (Ла/(2 -і--~1››2+(1~<-3››2 =5,
с=р (А, В›=~/<2~1(-~1>>2 авт-(45))2 =3.
Следовательно, Р = а+Ь+сп4+5+3=12.
Задачи
1. Вычислите расстояние между точками МІ (4, 3) и МЗ (-2, -5)
и расстояние от первой точки до начала координат.
2. Вычислите периметр треугольника с вершинами А (І, _І),
В(4, --1), С(4, 3).
3. Докажите, Что треугольник с вершинами А (ИЗ,
- 1),
В(5, 1), С (2, 4) является прямоугольным.
Уравнение окружности
69
4. Выясните, имеется ли тупой угол среди внутренних углов тре-
угольника с вершинами А (1, З), В(3, 0), С (гг-4, 1).
5. Вычислите длину медианы треугольника с вершинами А (2, 1),
В (4, -5), С (-6, -І), проведенной из вершины А.
Ответы
1. о1=10, 14225. 2. Р=12. 4. Угол А. 5. 5.
2.11. УРАВНЕНИЕ ОБРУЖНОСТИ
Окружностью называют множество всех точек плоскости,
равноудаленных от данной точки этой плоскости, саму точку »-
центром, а отрезок, соединяющий любую точку окружности с
центром (а также его длину), -- радиусом.
уіь
Рис.2.10
Составим уравнение окружности радиусом К с центром в
точке С (а, Ь). Пусть М -~
произвольная точка окружности
(рис. 2.10), х, у --- ее координаты (их называют текущими коор~
динатами, так как они меняются при переходе от одной точки
окружности к другой). Из определения окружности следует, что
р (С, М) =К. С другой стороны, р (С, М)=`/(х-а)2+(у-Ь)2.
Из этих двух равенств имеем:
,их-ак »ну-из =Ьп
откуда
(лс-а)2 *І-(у-Ьт)2 = КЗ.
(2.48)
70
__
числА и кооРдинА ты
Получили уравнение окружности радиусом В с Центром в
точке С (а, Ь); ему удовлетворяют координаты любой точки
данной окружности и не удовлетворяют координатьїни одной
точки, не лежащей на этой окружности. Действительно, если
точка А? (х, у) не лежит на окружности, то р (С, М<В или
р (С, Ш) Ж, поэтому ее координаты не удовлетворяют уравне-
нию (2.48).
Замечание 1. Неравенство
(эт-а)2 + (у-Ь)2 < 132
(2.49)
определяет множество точек, лежащих внутри окружности (2.48).
Неравенство
(х- а)2 + (_у-~ -~1Тз~)2 > 132
(2.50)
определяет множество точек, лежащих вне окружности (2.48).
З а м е ч а н и е 2. В частном случае, когда центр окружности находит-
ся в начале координат, то а = Ь = 0 и уравнение (2.48) принимает вид
2:2+у2=122.
(2.51)
Примеры
І. Записать уравнение окружности радиусом К ї 7 с цент-
ром в точке С (2, м-3).
› Воспользовавшись формулой (2.48) и положив в ней
(2:2, Ь=-3, 1237, получим искомое уравнение:
(гс-2)2 + (у-( -3))2 = 72 или (ус-2)2 + (у+3)2 =49. 4
2. Записать уравнение окружности, диаметром которой
служит отрезок ММ где М(2, НЗ); Ы(-6, 3).
› Центром окружности будет середина отрезка МЫ, а ее
радиусом -- половина длины отрезка МЫ. По формуле (2.115)
найдем координаты середины отрезка:
х:2+(-*6) =~3+3
2*у2
а по формуле (2.46) -- длину отрезка ММ
р(л«ї,1\т)=`К-6_2)2 +(з Нр-зў =`/з2 +62 =10, в = 5.
На основании формулы (2.48) получаем искомое уравнение:
(эт:-( -2))2 + (у--0)2 = 52 или (х+2)2 + у2 = 25. 4
а х=_23у=0›
Уравнение окружности
71
3. Какое Множество точек определяет уравнение
хї +у2 +6х-8у -11=0?
› Выделим полные квадраты в левой части данного уран-
нения:
(х2 + 6х+ 9) + (у2 -8у+ 16) -9-16-11=0, (зе-Ю)2 + (уж-4)2 =36.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.48), ага--І
ключаем, что исходное уравнение определяет окружность ра-
диусомК=6сЦентромвточке С(-3,4). 4
Задачи
1. Запишите уравнение окружности радиусом К = 4 с Центром в
точке С (-5, 7).
2. Запишите уравнение окружности, диаметром которой служит
отрезок с концами в точках М (3, -2), П (9, 6).
З. Найдите центр и радиус окружности, определяемой уравненин
ем х2 + 322 -6х +10у~15=0.
4. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат
и проходящей через точку М (1, 2).
5. Составьте уравнение окружности, касающейся оси Оу и прохо-
дящей Через точки М(1, 6), Ы(5, -2).
6. Найдите центр и радиус окружности, проходящей через точки
К(--3, 1), О (О, 0), М(5, 5).
Ответы
2. (х-6)2 + (у-2)2 =25.3. со, -5),1г± 7. 4. (х_1)2 + (у-н2 =1,
(х-5)2 + (у_5)2 =25. 5. (гс-»юг + (у-3)2 =25, (гс-232 +(ущ1з)2 ==625.
6. Са), 5), к= 56
3 СТЕПЕНИ. МНОГОЧЛЕНЫ.
КОРНИ
3.1. СТЕПЕНЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Степень с натуральньш показателем. Стененью действи-
тельного числа а с натуральным показателем л (н>1) называют
произведение л множителей, каждый из которых равен а. Сте-
пень числа а с показателем п обозначают а". Таким образом,
по определению
Л
а =аа...а.
(31)
и раз
В выражении а” Число а (повторяюшийся множитель) на-
зывают основанием степени, Число п, показывающее, сколько
раз повторяется число а, -- показателем степени. Нахождение
значения степени называют возведением в степень. При возве-
дении в степень положительного числа получается число по-
ложительное. При возведении в степень отрицательного чис-
ла может получиться как положительное, так и отрицательное
ЧИСЛО .
например: 53=5~5.5=125, (~2>3= (#2)<-2)(_2)=_3, Не =
= (н2)(-2)(*2)(Ш2)=16-
Степень отрицательного числа с четным показателем есть
число положительное, степень отрицательного числа с нечет-
ным показателем -- число отрицательное. Степень числа О с
любым Натуральным показателем равна Нулю: 0”=-""0. Степе-
ныо любого числа а с показателем І является само число а:
а1= в.
(3.2)
Если основание степени а _ -
произвольное число, а т, н --
любые натуральные числа, то
ата”= ат".
ъ (3.3)
Равенство (3.3) выражает основное свойство степе -
н и : произведение двух степеней с одинаковыми основаниями
равно степени с тем же основанием и показателем, равнььи сум-
ме показателей неремножаемых степеней.
Степень действительного числа
73
_ Основное свойство степени справедливо для трех и более
степеней.
При возведениистепени в степень основание оставляют
прежним, а показатели степеней перемножают:
(ат)" ї ат".
(3.4)
Для любых Чисел а и Ь и произвольного натурального чис-
ла п верно равенство
(011)” ї 0%",
(3.5)
Т. Є . ПРИ ВОЗВЄДЄНИИ В СТЄПЄНЬ ПрОИЗВЄДЄНИЯ ВОЗВОДЯТ В ЭТУ
степень Каждый множитель и результаты перемножают. Дан-
ное свойство верно и для большего Числа множителей.
Например: (2аь2)3 = зазьд, (2-3-4)2 = 22-32-42 = 576.
Для любого числа а и 0 и произвольных натуральных чисел
т и п, таких, что т>п, Частное двух степеней с одинаковыми
основаниями определяется формулой
ада” =ат_“.
(3.6)
Равенство (3.6) выражает правило деления степе-
Н с й : при делении степеней с одинакоеьаии основаниями основа-
ние оставляют прежним, а из показателя степени делимого вы-
читают показатель степени делителя.
Например: 56:54=56“4=52=25; а7203 ===а7"3=а4.
Если п -- натуральное число, а и Ь
-
любые числа, причем
1210, то
ї *91,
(3.7)
ьд"
т. е. п-я степень дроби равна п-й степени числителя, деленной
на п-ю степень знаменателя. Итак, чтобы возвести дробь в
степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель
и первый результат записать в числителе, а второй -- в знаме-
нателе дроби.
~
Например:
74
'
сТЕПЕНи. Много члены. коРНи
Степень с целым показателем. Нулевая и отрицательная
степени действительного Числа а, а ф О, определяются соот-
ветственно формулами:
а“==1, то,
(3.8)
а'”=--н-,
а±О,пєН.
(3.9)
а
Таким образом, любое Число (кроме нуля) в Нулевой стеы
пени равно единице. Выражение 0О не имеет смысла.
Формула (3.9) означает, Что Целая отрицательная степень
Числа, отличного от нуля, равна единице, деленной на сте-
пень того же Числа с положительным показателем, равным
модулю отрицательного показателя.
Например, если а = 2, п = 3, то ГЗ =1/2З =1/8.
Целая отрицательная степень Числа нуль не определяется,
т. е. запись 0%, где п *- натуральное Число, считается лишен~
ной смысла.
-
_1
Свойства степеней с натуральными показателями справед-
ливы и для степеней с целыми показателями.
Например, (аЬ)ч"=а'"Ь'", пе Ы.
ДЕЙСТВИЯ Над СТЄПЄНЯМИ С ЦЄЛЫМИ ПОКЗЗЗТЄЛЯМИ ВЬІПОЛНЯ-
ЮТСЯ ПО ТСМ ЖЄ Правилам, ЧТО И ДЄЙСТВИЯ Над СТЄПЄНЯМИ С На-
ТУрЕІЛЬНЫМИ ПОКЗЗЕТЄЛЯМИ.
Например: (7т )2 (7-3 )т =72т _7ч3т =72т-3т гн7- т
а
_.
,_
_
и
,_
1_
Степень с рациональньш показателем. Если а > 0, х -- про-
извольное рациональное число, представленное дробыо т/п,
где т м- Целое число, н ь- натуральное число, п: 1, то по
определению
пятнатіпгндіат _
(310)
Если а = 0, х -- дробное положительное число, то ах = '0.
Свойства степеней с натуральными показателями справед-
ливы и для степеней с рациональными показателями.
Степень действительного числа
Ґ75
Если а > 0, х, у -- дробные рациональные показатели, то
илиу =сїх+у , (ах)у=аю'.
Еслиа>0,Ь>Ои х--рациональноечисло,то
ахах
аЬх=ахЬх,
-~
=щ~.
<›
ЫЬх
Степень с действительньш показателем. Пусть Действи-
тельное Число ос записано в виде десятичной дроби, а (оси) Не
последовательность его десятичных приближении с недостат-
ком. Для любого действительного Числа а > 0 степень а” опре-
деляется равенством
І
ац=1ішаад
(3.11)
НЧФФ
Степени с действительными показателями обладают всеми
свойствами степеней с рациональными показателями. Пусть
а и Ь - действительные положительные Числа, х, у -- произ-
вольные действительные Числа. Тогда:
'1) ахау =ах+у;
2) (дху =аму;
3) (ее)х сегяхех; 4) (а/12)* 2стх/Ьх;
5) если а>1 и х<у, то ахёау;
6) если 0<л<1~ и х<у, то ах>ау;
7) если а<Ь и х>0, то ах<ЬХ;
8) если а<Ь и х<0, то ах>ЬХ.
Примеры *
*
а 1. Найти произведение степеней:
а) 32-33; б) (-2›3<-2>ї*; в) (а+г›>2<а+1››3.
1 > Применяя формулу (3.3), последовательно находим:
а), 32-33=35=24з; е) (-2)3(-2)4=(_2)7= -12з;
в) (а+Ь)2(а+Ь)3=(а-ъ~ь)5. 4
2. Всзвести в степень произведение:
а) (идее б) если; в) (2:02)?
СТЕПЕНИ. МНОГОЧЛЕНЫ. КОРНИ
› На осноаании формулы (3.4) последовательно получаем:
а) (1:11)с)3=(г:з!15)3{:3'--'--1:13 Ьзсз;
б) (За212)4=34а8124=81а8124;
в) (2ху2)5=25х5уш:32х5ую. 4
3. Воз'вести в степень дробь:
а) [312]: б) (її-її; В) (23543) Т.
Ь
а+Ь
4х+5у
› Пользуясь формулой (3.7), последовательно находим:
(а:4из
а) КБї] =Ъїїё
“а-Ь Ца-Ьї.
_]
_
(гид)3 ,
Упражнения
1. Найдите произведение степеней:
а) 23-24; б) (щзўсгоё в) <х+у›3<х+у›2.
2. Возведите в степень произведение:
а) (левее 6) (газдае в) (зхїт.
З. Возведите в степень частное:
3з
з
Ьз, 3
а)-аї;б)ш;В)(ач) .
Ь
3а+2ь
(тдў
Рациональные выражения
77
3.2. национальные выражения.
тождвстввнныв пРвовРАзовАния.
тождвства
С помощью знаков действий и скобок можно составлять
выражения из Чисел и переменных. Выражения, составлен-
ные из переменных и Чисел с помощью действий сложения,
вычитания и умножения, называют целььии выражениями.
В целых выражениях произведение одинаковых множителей
может быть записано в виде степени.
Приведем примеры целых выражений относительно переменной х.
53
20-31) 4
23Зх
5Ь3
2
(х+5) (х-Ѕ), -ах +х,
-Тшх,ах--2-,
ах +--х
-ах .
2
а
Ь
4
Выражения, составленные из переменных и Чисел с помо-
Щью действий сложения, вычитания, умножения, а также де-
ления на выражение с переменной или на саму переменную,
называют дробньнии.
3а+х
2а+12
7а
-- +6 -- дробные выражения отно-
3
5'
2х2 ь2+1 у
сительно х, Ь и у соответственно.
Например,
Целью и дробные выражения называют рациональными.
Рациональное выражение а/Ь называют рациональной дра-
о'ыо. При сложении, умножении, вычитании рациональных
выражений получаются выражения того же вида. При состав-
лении выражений используют скобки, Которые указывают на
определенный порядок выполнения действий.
Если в выражении с переменными заменить каждую перен
менную ее Числовым значением и выполнить указанные дей-
ствия, соблюдая принятый их порядок, то получится число,
которое называют значением выражения при данных значениях
переменных. Если в выражении встречается деление на нуль,
то говорят, Что выражение При этих значениях переменных не
имеет смысла.
Значения переменных, при которых выражение имеет
смысл, называют донустимьєми значениями переменных. Сово-
купность всех допустимых значений переменных составляет
область определения рационального выражения.
78
стЕпЕни. многочлєны. Корни
Областыо определения Целого выражения служит множе-
ство всех чисел, так как Целое выражение имеет смысл при
любых значениях входящих в него переменных.
р Дробныевыражения при некоторых значениях перемен-
ных могут не иметь смысла.
Например, выражение 7/(3-х) не имеет смысла при х = 3, а при
всех остальных значениях х оно имеет смысл. Значит, областью
определения данного выражения служит множество всех чисел, хро-
ме чиела 3.
Два выражения называют тождвственно равными, если
при всех допустимых для них значениях переменных соответ-
ственные значения этих выражений равны.
Например, при всех значениях переменной х значения выраже-
ний (лс-2) и -4х-4 равны между собой, О таких выражениях гово-
рят, что они тождественно равны на множестве всех чисел. Значения
выражений 7х3/5х2 и 7х/5 равны при всех значениях х, хроме х = О.
О таких выражениях говорят, что они тождественно равны на мно-
жестве всех чисел, хроме нуля.
Замену одного выражения другим, тождественно равным
ему выражением, называют тождественным преобразованием
выражения.
Равенство, верное при всех допустимых значениях входя-
щих в него переменных, называют тождеством.
Приведем примеры тождеств: а(Ь+с)=аЬ+ас, (а+Ь)2=а2+2аЬ+Ь2.
3.3. одночлвны. многочлвны.
двйствия нАд одночлвнАми
и многочлвнАми
Однотен. Одноиаєном называют выражение, представляю-
Щее собой произведение чисел, переменных и степеней пере-
менных с натуральным показателем.
2
4
Например, кашое из выражений -5а4, 61312хЗ,І 7с4у, За(~5а)
является одночленом.
Числа, переменные, натуральные степени переменных
также называют одночленами. г
'
Одно члены. Многочлены
а
79
Одночлен За(-5а4) можно представить и как -15а5. Эти
выражения толщественно равны. Говорят, что одночлен име~
ет стандартный вид, если он содержит только один числовой
множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение
одинаковых переменных в нем представлено степенью.
Например, одночлен 24х3у2 отличается от тождественно равных
ему одночленов Зх2-Ѕху2 и 4ху-6х2у тем, Что он имеет лишь один Чис-
ловой множитель, стоящий на первом месте, и каждое произведение
одинаковых переменных х и у записано в виде степени; одночлен
2-4х3у2 записан в стандартном виде.
Группируя множители и используя свойства степени, лю-
бой одночлен можно привести к стандартному виду.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандарт-
ном виде, называют коэффициентом одночлена.
2дэ
Например, коэффициент одночлена За равен 5, а коэффициент
2
одночлена -З -ху равен 5 . Поскольку агЬ=1~а2Ь, н*0:33 =т1асЗ , то коэф-
фициентами Этих одночленов являются соответственно числа 1 и -І.
Два одночлена, отличающиеся только знаком, называют
противоположными.
Например, Заздз и -3а2Ь3 - противоположные одночлены.
Одночлены, записанные в стандартном виде, называют по-
добными, если они отличаются только коэффициентами или
совсем не отличаются.
Например, 5а2Ь3, Ьн71а2152', 41112123, 5а2д3 ы подобные одночлены.
Степенью одночлена Называют сумму показателей степеней
всех его переменных.
Так, степень одночлена 7):3 равна 3, а степень одночлена 1512у4
равна 6.
Если одночлен есть число, то его степень считают равной
нулю; исключение составляет число 0, этому одночлену не
приписывают никакой степени.
Если коэффициент одночлена равен нулю, например О-ад2,
0=сх, то его называют нулевым одночлєном.
80
отЕпЕни. много члены. корни
Сумма нескольких подобных одночленов равна одночле~
ну, подобному каждому из них, с коэффициентом, равным
сумме коэффициентов слагаемых.
Например, сумма одночленов 603152, -ЗоЗЬ2 и 403612 равна 7о3Ь2:
6.0343 низа-Чад) +403ь2 =(6 +(-з) +4) 0319 5103112.
При умножении одночленов стандартного вида Перемно-
Жают их коэффициенты, а показатели степеней одинаковых
переменных складывают.
Например: 5 хз у2 (__3 х2 у4 ) = 5( -3) х3+2 у2+4 =ш15х5у6 _
При делении одночленов стандартного вида делят их кон
эффициенты и из показателя степени каждой переменной де-
лимого вычитают показатель степени соответствующей пере-
менной делителя.
32061558* __32 06.4
ЁЗа4Ь2с3 8 ~
При ВОЗВЄДЄНИИ- В СТЄПЄНЬ ОДНОЧЛЄНЕІ СТЗНДарТНОҐО ВИДЕ!
ВОЗВОДЯТ В ЭТУ СТЄПЄНЬ ЄГО КОЭффІ/ІЦИЄНТ, а ПОКЕІЗЕІТЄЛИ СТЄПЄ-
ней каждой переменной умножают на показатель степени, в
которую возводят одночлен.
например: (чзаїьзў =(_3)3(а2)3(ь3)3 =~27а6ь9.
5-2 4-3
С
Например:
Ь
= 4а2д3с.
_
Многочлен. Многотеном называют сумму одночленов. Од-
ночлены, из которых составлен многочлен, называют Імвномн
многом/гена.
Например, многочлен 5.:'12+3.<1Ь*~-7Ь3 состоит из членов 5:12,
Зоо и -7оз.
Подобные слатаемые - одночлены в многочлене - на-
зыватот подобными членами многочлено. Если многочлен
содержит несколько подобных Членов, то их можно заме-
нить одним одночленом, подобным каждому из них, при-
няв за его коэффициент алгебраическую сумму коэффи-
циентов заменяемых Членов. Операцию замены суммы не-
скольких подобных членов одним одночленом, тождест-
венно равным этой сумме, называют приведенном подобных
членов.
Одночлены. Много члены
81
Например, В многочлене 5а2Ь+6а-8Ь-2а2а члены 5а2Ь и -2а2Ь
являются подобными. Выполнив приведение подобных членов в
этом многочлене, получим: 5а2Ь+6а_8д*2а2Ь == 3а2Ь+6а~8а
Многочлєном стандартного вида называют многочлен, в
котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приве-
дены подобные члены. Степенью многочлєна стандартного аи-
да называют наибольшую из степеней входящих в него одно-
членов.
Например, 7а3Ь-5аЬ+6а+3
-
многочлен стандартного вида четщ
вертой степени,
Многочлены стандартного вида в зависимости от числа
Членов называют двучленами, трехчаенами и т. д.
Например, За+5 - двучлен, х2~4х+8 «ш трехчлен.
Одночлены считают многочленами, состоящими из одно-
го члена.
Члены многочлена можно расположить в любом порядке.
Например, многочлен 2х2+6х5-5х3+2х4-9х+7 можно располо-
жить в порядке убывания показателей степени переменной х:
6х5+2х4- 5х3+2х2-9х+7 или в порядке возрастания показателей сте-
пени переменной х: 7~9х+2х2-5х3+2х4+6х5. В первом случае гово-
рят, что многочлен расположен по убывающим степеням перемен-
ной х, во втором
-
что он расположен по возрастающим степеням
переменной х.
Действия над одночаенаии и многочленаии. Сумму и раз-
ность многочленов можно преобразовать в многочлен стан-
дартного вида. При сложении Двух многочленов записывают-
ся все их члены и приводятся подобные члены. При вычита-
нии знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на
противоположные.
1
Например:
(9х2+7х~в)+(~зх2+2х+5>=9х2+7хы8-зх2+2х+5=6х2+9х~3,
(6х2- ах-5)-(-4х2+зх-9)=6х2-4х-5+4х2-зх+9ш1013- 7х+4.
Члены многочлена можно разбивать на группы и заклю-
чать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование,
82
степени. много члены. коРни
обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее
правило заключения в скобки: если перед скобнами
ставится знак «плюс», то все члены, заплючаемые в скобки, за-
писывают с их знаками; если перед скобками ставится знак
«минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с
противоположными знаками.
Например:
а5+7в4+зв3-ва3+в=а5+7а4+ї(303-зв2+6),
х4+6х3- 7Е+5х-з=х4+6х3-(7х2-5х+з).
С помощью распределительного закона умножения произ-
ВЄДЄНИЄ ОДНОЧЛЄНЭ. И МНОГОЧЛЄНЕІ МОЖНО ПрЄОбРЗЗОВаТЬ В МНО-
ГОЧЛЄН.
Например:
2х2<3х3_5х2+6хд9)=2х2-зх3+2х2(-5х2)+2х2-6х+2х2(-9)=
=6х5-10х4+12х3~18х2.
Правило умножения многочлен а на многочлен
можно сформулировать следующим образом: чтобы умно-
жить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного
многочлена умножить на каждый член другого многочлена и по-
лученные произведения сложить.
Например:
(зх+4у)(х2+2ху+у2)=зх(х2+2ху+у2)+4у(х2+2ху +у2)=
=3х3+6х2у+ Ёосуз+41~с2у~іе8ху32 +4у3=3х3+ 10х2у+ І 1ху2+4у3.
Итак, многочлены можно складывать, вычитать и умно-
жать. При этом в результате снова получается многочлен.
Многочаеном от одной переменной х степени п называют вы-
ражение вида
Ч
Е, (х)=апх” +а,,_,эг,”'І +...+а,х +а0,
где 0,, а,,_,,
..., а,, ао
--
любые числа, которые называют ко-
эффициентами многочлена, Причем пдд), п - целое неотрица-
тельное число. Это выражение может состоять и из одного
слагаемого; в таком случае многочлен является одночленом.
Одночлены. Многочлены
83
Кроме многочленов, содержащих переменную х в степени
п, рассматривают многочлены нулевой степени. Многочлен ну-
левой степени -- это число, отличное от нуля. Число, равное
нулю, также считают многочленом и называют нуль-многочле-
ном. В отличие от ДРУГИХ многочленов нуль-многочлен не
имеет степени.
л
Если аптО, коэффициент ап называют старшим коэффици-
ентом многочлена Рп(х), одночлен алх” _-
его старшим членом,
коэффициент ао -н свободным членом.
Используются и другие обозначения многочлена от пере-
менной х: (2(х), Ѕ(х), К(х) и т. п. Для того чтобы указать, что
многочлен Р(х) имеет степень п (а «- натуральное число), за-
Писывают Рп(х).
Если вместо переменной х в многочлен Рп(х) подставить
действительное число с, то в результате получится действи-
тельное число Рп(с), которое называют значением многочлена
Рп(х) при х = с. Итак, Р,,(с)=а,,с” +а,,_,с,, +...+а,с +00. Число с на-
зывают корнем многочлена Р,,(х), если Рд(с)=0.
Отметим, что свободный член многочлеиа Рп(х) является
его значением при РО, т. е. Р,,(0)=а0, а сумма коэффициентов
многочлена есть его значение при х=1:
Н,(1)=а,,+а,,_1+...+ а1+а0.
(3.12)
Примеры
1. Найти суммы многочленов:
а) а+Ь и а- Ь; б) 5х2-4х+3 и -3х2+6х-7.
ў ПРИ СЛОЖЄНИИ МНОГОЧЛЄНОВ СЛЄДУЄТ ЗЕІПИСЕІТЬ ВСЄ ИХ ЧЛЄНЬІ
И ПрИВЄСТИ ПОДОбНЬІЄ СЛЕІГЕІЄМЬІЄ. ПОСЛЄДОВЕІТЄЛЬНО НЗХОДИМІ
`
а) а+Ь+а-Ь*-“-*2а;
а) 5х2_4х+з-3х2+6х-7=2х2+2х-4. 4
2. Найти разности многочленов:
а) 2а+зь и 2а-зь; б) 7%-6х+5 и 2х2+3х-4.
› При вычитании знаки всех членов вычитаемого много-
члена меняются натпротивоположные:
а) 2а+3Ь-(2а~3Ь)=2а+3Ь~2а+3Ь=*-6Ь;
с) 728*-6х+5-<2х2+3х-4)=7›2-6х+5-218-,зх+4=5х2- яхта. 4
84
стЕпЕни. много члєны. коРни
3. Найти произведение одночлена на многочлен:
а) засады-1); а) В<5х2щ6хт7у
› При умножении одночлена на многочлен одночлен
умножается на каждый член многочлена:
а) За(2а2-4а-1)=За-2а2+3а(-4а)+3а(-1)=6аз-12а2-3а;
а) х2<512- вх_7)=х2-5х2+х2<±6х>+х2(-7)=5х4- вхЗ-иё 4
4. Разделить многочлен на одночлен:
*
а) самым/2; 6) (15д1-10хг +2ох2)/5х.
›Для того чтобы получить частное, надо Каждый член
многочлена разделить на одночлен:
а) (2а-6І7+8с)/2=а-3Ь+4с;
б) (15ху-10хд+20х2)/5х=3у-2г+4х. 4
5. Найти произведение многочленов:
а) 02щ2а+5 и а+2; б) хз+2х-3 1и х~5.
›Умножая каждый член одного многочлена на каждый
член другого и приводя подобные члены, получаем:
а) (а+2)(а2 -2а+5) =а адаыа) +а-5 +201+2<-2щ +
+2.5=а3-2а2+5а+2а2- 4а+І0=аЗ+а+10;
б) (х-5)(х2+2х-з)=х3+2х2_-зх-5х2-10х+15~=х3-
~
-3х2-1зх+15. 4
Задачи
Найдите суммы многочленов.
1. рт; и р-Ч.
2. 02+2ад+д2 и аЕ+2аЬ+Ь2.
з. 7х2-7х+5 и -зх2+6х-2.
4. Едіат+2Н и ~5ат+3дп.
Найдите разности многочленов.
5. а2+2ад+д2 и -а2+2аЬ- 222.
в. 6х2~ах+7 и Ч-зх2+2х--5.
7. ІбатЫЅЬ" и 6ат+ЗЬ".
81.. 12а3+3а2~5 и 7:13-202Н8.
Деление многочленов
85
Найдите произведение одночлена на многочлен.
9. мега-зам).
10. зцгхї-Ѕх-п.
11. займа-звёзд). 12. 4у2(зху~ 5х2+зу).
Выполните деление многочлена на одночлен.
13. (12а+18ь-21с)/з. 14. (21аьсызза2+14аз)/7а.
15. (Ж+Ж-даёт? 16. (10ху+15ха-5х2)/ Ѕх.
Найдите произведение многочленов.
17. а2~а+1 и а+2. 11,3.х2+ху+у2 и х2+ху+у2.
19. х3+зха1 и дсп-5. 20. 5х3-7х2+хщв и -2х2-зх+1.
Ответы
з. *од-ана. 5. 2а2+2ь2. 11. 1заь3-зоа2ь2-4зьї 15. еды-4.
20. -10х5-х4+24×3+2х2+19х-6.
3.4. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Рассмотрим деление многочлена
-1
12, (х)=о,,х" +ап_|х" +...+о,х+г:;г0
(3.13)
на многочлен
От (.›<:)=1іг,,,эст -+›І›,,,_~1.'›с""І +...+Ь,х+ЬО,
(3_14)
где п и т - натуральные числа. Деление возможно, если сте-
пень многочлена-делимого Рп(х) не меньше степени много-
члена-делителя Стоп), т. е. Когда п 2 т, и @т(х) -- не нуль-
многочлен.
Разделить многочлен Рп(х) на многочлен Отфс), п 2: т, --
знанит найти два таких многочлена Ѕп_т(х) и Ндх), чтобы
Ё:(х)=(2т (ЮЅМ (х) +К± (10-
' (3.15)
При этом многочлен Ѕп_т(х) степени п н- т называют мно-
гочленом-частньш, Едх)
-
остатком, іс < т.
Если делитель (2,,,(х) - не нуль-многочлен, то деление
Рп(х) на (2,,,(х), п 2: т, всегда выполнимо, а частное и остаток
определяются однозначно.
В случае, когда Ед(х)=0 при всех х, т. е.
В,(х)=0т(х)$т(х)›
(3.16)
86
степь-Ни. много члЕНы. коРни
говорят, Что многочлен Рп(х) нацело делится (или делится) на
многочлен @т(х).
Деление многочленов выполняется аналогично делению
многозначнык чисел: сначала старший Член многочлена-де-
лимого делят на старший член многочлена-делителя, затем
частное от деления этих членов, которое будет старшим чле-
ном мноточлена-частного, умиожают на многочлен-делитель
и полученное произведение вычитают из многочлеиа-дели-ІІ
мото. В результате получают многочлен -- первый оетаток,
Который делят на многочлен~делитель аналогичным образом
и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс
продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или
степень многочлена остатка будет меньше степени многочле-
на-делителя.
і
а
Рассмотрим деление многочлена (3.13) на двучлен х И с.
Равенство (3.15) в данном случае принимает вид
в,(х):(х-с)$,_,(х)+л,
(3.17)
где частное
Ѕпч(я)=Ь,,_\1л"*"”`1+2'э,,_2 за”2 +...+Ь,х + ЬО; =
(3.18)
В Й остаток. Так как степень многочлена-остатка должна
быть меньше степени многочлеНа-делителя х - с, т. е. меньше
единицы, то остаток К - некоторое число.
Равенство (3.17) запишем в Биде
1-2, (х)=(х-с) (15,,4л'Н +вї›\,,__2л””2 +. . . +Ь1х +60) +12 .
Выполнив умножение в правой части, получим:
анх” +<:1,,__,х“""'+...+а,л+аО =
-І
:Ь,,_1х" + (1;›,,___2
- сот, )х" +...-1-(Ь0 -еЬІ ):›сц сЬП +12.
Два многочлена, целые относительно переменной х, за-
данные в стандартном виде, тождественно равны тогда и
только тогда, когда равны коэффициенты их подобныя чле-
нов и степени их совпадают. Сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях переменной х в последнем равенстве,
получаем: ”
-
Ьт! =ал ,
Ьпмз _*сЬп_]
=ап_] ,дд .
,
до _СЬІ за] д
Кысьо =а0 ь
Деление многочленов
87
Отсюда находим коэффициенты многочлена Ѕп_1(х) и ос-
таток К:
Ьі=а
пч-
Ь_2= п,1+сопчі, , Ь
н?
л
=
н-2+сЬп-23 "' 3
н-З
од =от1 +01), , Н=ад +сЬ0.
(3.19)
Для того чтобы найти Коэффициенты многочлена-частно-
~го Ѕп_[(х), используют способ, который называют схемой Гор~
неро*. В рассматриваемом случае Деления многочлена Рд(х) на
х - с эта схема имеет вид:
*ж
ан
ап-І
ааа-2
'''
аІ
аО
й
Ьи-~1 :ап І,ни-2 у:
Ь'п-З І
"'
О:
К“_” '10+
= ап__1 +
= ап__2 +
Ё (ІІ +СЬ1 І +СЬ0
+сЬп_1
+сЬпшд
Рассмотрим теорему, которая позволяет нахоиить остаток
К от деления многочлена Рп(х) на двучлен х
-
с, не выполняя
самого деления.
~
Теорема 3.1 (Безу**). Остаток от деления многочлена
Вт(х)=дпхп *тд-415%! +Н-+а|х+00 на деучлен х - с равен значе-
ншо мноеотена при х = с, т. е. К = Рп(с).
›Действительно, выполнив деление многочлена Р”(х) на
двучлен х
-
с, согласно равенству (3.17), имеем
Н,(х)=(х-С)Ѕп_1(х)+1ї,
где К -- некоторое число. Полагая х = с, получаем
Е,(С)=(с~с)Ѕ_1(с)+К=К. итак, к == Рим). 4
'
Следствие І. Для делцмости могочлена Рп(х) на дошел
х
-
с необходимо и достаточно, чтобы число с бьто корнем'мно-
гочлено Рп(х), т. е. Рд(с)==0.
* Гарнер Уильям Джордж (1786 - 1837) -- английский математик.
** Безу Этьен (ПВО
-
1783) - французский математик.
88
СТЕПЕНИ. МНОГОЧПЕНЫ. КОРНИ
Следствие 2. Если с1, с2,
, с,ІІ
-
различные корни много-
Іалена Рп(х), то многочлен Рп(х) делится на произведение
(х_С1)(х_Са) (х'"Сн)-
Следствие 3. Число различных корней многочлена Рп(х) не
превосходит его степени.
І
Следствие 4. Если сі, с2,
,сЛ
Д,(х)=апх” +а,,_,к"_І +...+а, х+а0, то
ш все корни многочлена
ненавидел) они).
,І
Следствие 5. Многонлен Р,,(х)=х” - а" делится на двучлен
х --- а при любом натуральном п.
Следствие 6. Многочлен Р”(х)=х” - а" делится на двучлен
х + а при любом четном л.
Следствие 7. Многочлен Е,(х)=х" + а” делится на двучлен
х + а при любом нечетном п.
Многочлен со старшим Коэффициентом, равным единице,
называется приведенным многочленом.
Для нахождения корней многочлена полезны две следую-
Щие теоремы, приводимые здесь без доказательств.
Теорема 3.2 (о дробных корнях). Приведенный многочлен с
целыми коэффициентами не может иметь дробных корней.
Теорема 3.3 (о целых корнях). Всякий целый корень много-
члена с целыми коэффициентами является делителем свободно-
го члена.
Из теоремы 3 3 следует, Что при отыскании Целых корней
многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмот~
реть делители свободного члена
Примеры
1.. Многочлен 6х3+х2-5х-2 разделить на многочлен
2х2-х --1.
Ъ Деление производится следующим образом:
Деление многочленов
89
_ 6х3 +х2ш5х-2 |
2х2-х -1
6):3-3х2-Зх
1 Зх + 2 (многочлен-частное)
_
4х2
-
2х -- 2 (первый остаток)
4х2-2х-2
0 (второй остаток)
Итак, Первый многочлен нацело разделился на второй:
2
бл:3 +1:2 -5х-2 =(2х -х -1)(3х +2),
т. е. выполнено равенство (3.16). 4
2. Найти частное и остаток от деления многочлена
8х3-12х2+9х-6 на многочлен 4х2-2х+1.
› Выполняя деление, получаем:
ах3 -12х2+9х-6 |4>8- 2х+1
_зх3 П4х2+2х
І2х-2
_
-8х2+ 'їх-6
8х2+ 4х~2
3х-4
Значит, 2х
-
2
-
частное, Зх
-
4 - остаток. В этом случае
выполняется равенство (3. 15):
Ѕхз -12х2 +9х-6=(4х2 -2х+1)(2 х-2)+3х-4. 4
З. С помощью схемы Горнера найти частное и остаток при
делении многочлена 3154 -2х3 +51:2 -х+1 На х -- 2.
|› Составим схему Ґорнера:
с3-2
5
-1
'
1
2 3 3.2+(_2)=4 4*2+5=13 13-2+(-1)=25 2512+1=51
90
степени. много члены. корни
Следовательно, 3х3+4х2+13х+25 - частное, 51 -
ОСТЕҐГОК. 4
4. ННЙТИ
ОСТаТОК
ОТ
ДЄЛЄНИЯ
МНОГОЧЛЄНЕІ
11*_,,(л)±л3+5л2 -6х-6 на х - 2.
› Применяя теорему Безу, получаем:
там-“10,(2).-..2~""*+5›22 чт6›2-6=а+20-±12_6=10.
Итак, искомый остаток К = 10. 4
5. Найти корни многочлена 13,,(х)=.›<г4 -5х3+5х2+5х~6.
› Корни многочлена будем искать среди делителей сво-
бодного члена -6. Делителями -6 являются числа:
ц1, 1, -2, 2, -3, 3, Ш6, 6. Найдем значения многочлена Р4(х)
прих=-1, х =1,х =-2,х =2,.х =3:
н,(-1)=(-1)4-5(-1)3+5(-1)2+5(-1)-6 =1+5+5Ь5 т6 =0,
л(1)=1ч5+5+5-в=0, Р,(~н2)=(-2)4-5(-2)3+5(-2)2+
+5(-2)-6=16+40+20 -10-6 ево ео,
Р,(2)=24-5а23+5-22+5-2Н6=16-40+20+1о-6=0,
1=~,(з.)=з*ц -5›33+5~32 +5-з-6=а1-135 +45 +15 *в =о.
Поскольку Р(-2) ф О, то х = -2 не является Корнем данно-
го многочлена. Так как Р4(~+-І) = О, Р4(ї) = 0, Р4(2) = 0,
Р4(3)==О,тоЧисла-1,1,2,3
-
корни многочлена. Рассмат-
ривать значения х == -3, х = --6, х ш 6 нет необходимости, ибо
многочлен четвертой степени не может иметь больше нетырел`
корней.
Задачи
Выполните деление многочлена на многочлен.
1. (хїзхда) : (от).
2. (жён) : (ан).
з. (х4+х3+›2+х+1) :(х2+х+1). 4.(х8+1) : (азы).
С помощью схемы Горнера найдите частное и остаток от деления
указанных многочленов.
5. (х3+5х2~6х~е6) : (х-2).
6. (х5+2х3-~х+3) : (х+:2).
С помощью теоремы Безу найдите остаток от деления многочленов.
Формулы сокращенном умножения
д
91
7. (2х4-вх3+5х2+6х-10) : (вс-1),
в. (хд-зхдхїх-дга) : (хщз).
Найдите корни многочленов.
9. 61:34 1х2+6х_1. 10. х3щ2х2-5х+6.
11. Докажите, что многочлен (х2+;1с-1)2""+(х2 ~х+ї)2”-2 делится
На х2-Нх.
Ответы
1. х3+х2-2х-2. 2. х4-х3+х2-х+1. 3. хї (частное), х+1 (остаток).
4. х5-х (частное), х2+1 (остаток). 5. х2+7х+8 (частное), 10 (остаток).
6. х4-2х3+6х2-12х+23 (Частное), -43 (остаток). 7. «5. 8. 14. 9. х1=1,
х2=1/2, х3=1/3. 10. х]=1, х2=-2, х3=3. 11. Указание. Используйте ра-
венство х2-х=х(х-1). Сначала докажите делимость на х-І. Затем,
Чтобы доказать делимость на х, убедитесь в том, что Р(0)=0.
3.5. ФОРМУЛЬІ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим преобразование в многочлен стандартного
вида некоторых Часто встречающихся выражений. Соответ-
ствующие тождества называют формулами сокращенного умно-
жения.
Преобразуем в многочлен произведение разности двух вы-
ражений и их суммы:
(а-Ь)(а+Ь) щ а2+аЬ -аЬ -Ь2 = а2ЫЬ2.
Значит,
(а- Ь)(а+1›) = (12-19,
(3.20)
т. е. произведение разности двух выражений и их суммы рав-
Не разности квадратов этих выражений.
Преобразуем квадрат двучлена (о+І›)2 в многочлен. Пред-
ставим выражение (рН-111)2 в виде произведения (о+Ь)(о+Ь) и
вьтполним умножение, пользуясь Правилами` умножения мно-
гочлена на многочлен:
(изЬ)2=(а+Ь)(а+1›)=а2+аь+аь+д2 = а2+2аь+ь2.
Следовательно,
(о+Ь)2-т -=а2+2од+в2,
««а
~
_
(3.21)
92
степь-Ни. много чланы. корни
т. е. Квадрат суммы двух выражений тождественно равен квад-
рату первого выражения плюс удвоенное произведение пер-
вого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
Толщество (3.21) называют формулой квадрата суммы.
Рассмотрим квадрат разности апр. Очевидно, Что
(а-1))2=(а+(-15))2 =а2+2а(-Ь)+(-Ь)2=а2-2аЬ+Ь2.
Значит,
(а-а)2=а2-2а151›+17)2 ,
(322)
т. е. квадрат разности двух выражений равен квадрату первого
выражения минус удвоенное произведение первого'и второго
выражений плюс квадрат второго выражения.
Преобразуем куб суммы двух выражений (а+Ь)З в много-
члеи. Так как (а+Ь)3=(а+Ь)2(а+Ь), то, применив формулу
(3.21), получим:
(а+Ь)З=~(а+ь)2(а+ь)=(а2+2аь+а2)(а+а)=
=а3+2а2ь+аь2+а2ь+2аь2+а3 =а3+за2д+заь2+ь3.
Итак,
(а+ь)3=аз+за2ь+заь2+а3,
(3.23)
т.е. куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения
плюс утроенное произведение квадрата первого выражения
на второе плюс утроенное произведение первого выражения
на Квадрат второго плюс куб второго выражения.
Рассмотрим куб разности а- Ь. Очевидно, что
(а-Ьў=(а+(-1›)›3=а~'ї'+заё(щь)+за(ти ь)2+(~ из =
=а3-за2ь+заь2-Ь3 _
Значит,
(а-Ь)3=а3-3а2Ь+ЗаЬ2-Ь3.
(324)
Преобразуем в многочлен следующие произведения:
(а+Ь)(а2--аЬ+Ь2) и (а-Ь)(а2+аЬ+ЬЗ). Выражениевица а2+аа+112
называют неполным квадратом суммы двух выражений а и Ь, а
г.:т2-1сагі'зт+а2 -- неполньш квадратом разности а и Ь.
Формулы сокращенного умножения
_
93
Выполняя умножение, получаем:
(о+4!›)(::1г2-є.111+112)=.«:1г3«~~-оздї:›+«1152+о21)-.:1І›2+ЬЗ=о3+1їэ3 ,
(о-Іэ)(аЁ+оо+112)=оз'+с12о+«схог-гзЗЬ-аої-Ь3 =а3-Ь3.
Значит,
І
(а+Ь)(а2-аЬ+Ь2)=аЗ+ЬЗ,
(3.25)
(а- 1))(и2 +н12+122 )= и3 ЬЗ,
(326)
т. е. произведение суммы двух выражений и неполного квад-
рата их разности равно сумме кубов этих выражений, а произ-
ведение разности двух выражений и неполного квадрата их
суммы равно разности кубов этих выражений.
Выведем формулу для квадрата трехчлена. Представляя
трехчлен в виде суммы двух слагаемых и пользуясь формулой
(3.21), находим:
(1!1,'+Ь+С)2 =((Ц+Ь)+с)2=(а +Ь)2 +2(а +д) С +62:
=а2 +2ио+о2 + 2ас+2Ьс+с2=а2+Ь2+с2+ 2аЬ+ 2ас+ 2Ьс.
41
Следовательно,
(а+Ь+с)2=а2+Ь2+с2+2аЬ+2ас+2Ьс,
(3,27)
т. е. квадрат трехчлена равен сумме квадратов всех его Членов
и удвоенных произведений каждого Члена на каждый из по-
следующих Членов.
Примеры
1. Найти произведение многочленов (42:32323--~7)(4х:2уЗ +7).
› Воспользуемся формулой (3.20), положив в ней
гач=4х2у3 , Ь=7. Тогда (4х2у3ы7)(4х2у3+7)=16х4у6~49. 4
2. Вычислить произведение 99401.
› Применяя формулу (3.20), находим:
99-101=(1оо-1)(1оо+1›=100242100004=9999. 4
3 Представить в виде многочлена квадрат суммы двух вы-
ражений 5х и Зу
,
› Полагая в формуле (3 21) а т Ѕх Ь = Зу, получаем:
94
стєпєни. много члвны. корни
(5х+3у)2=(5х)2+2-5х*3у+(3у)2=25х2+30202+9у2. 4
4. Представить в виде многочлена Квадрат разности двух
выражений 7х и 4у.
› Применяя формулу (3.22) при а = 'їх и Ь = 4у, находим:
(7х-4у)2=(7х)2-2±7х-4у+(йу$2=49х2-562024Ё16у2. 4
5. Записать в виде многочлена Куб суммы _х + 2у.
› На основании формулы (3.23) получаемїг
а(.т+2у)3 =х2 +3х2 -2у +3х(2у)2 +(2у)3 =
=х2+6х2у+12ху2 + 83.12. 4
6. Найти квадрат трехчлена х+3у+22-
› Применяя формулу (3.27), находим:
(х+3у+22)=х2+(3у)2+(22)2+2х-3у+2х-22+2-3у-22:
=х2+9у2+422+щ+4х1+12уд. 4
Задачи
Вычислите значения выражений.
с
1. доз-0,95. 2. 2,оз~1,97. з. 1452-5522. 4. 122524752.
Найдите произведение указанных выражений.
5. (5+з)(52-5-з+32) 6. (9- 4)(92 +94+42.2)
7. (2а+зь)(4а2-6аь+982). 8 (Ь24+Ь2><а -Ь2Ь +2Ь4)
а. <х2+ах+а2›(82-~ах+а2>. 10. <х+у~о<х+у~о
11. (а+Ь+с+сі)(а+д+с+о').
12. (а+Ь+с_ - сі)(а+Ь+с~сі).
Найдите квадраты трехчленов.
13 (2х+у+32)2. 14 (32:+2у 232.
15. Выполните указанные действия;
к
2жг__2т
(а+Ь) НІ (а Ь) +1
К 4ад
,д К 48111
)×
Ґ(а+1:›)2__1ї 20:14:02 “ї
кад
)К'по_
,д
Разложение много члена на множи гели
95
(1(а+Ь)3-нзаь(а3ьь)) «_а-дў мама-ы)
((а3 +ь3)+заь(а+г›)) ((аЗ-ьЗу-заыащы) `
Ответы
1.0,9975. 2.331. 3.18000. 4. 90 000. 5. 53+33. 6. 93-43.
7. 8:23 +27Ь3 . 8. аб +Ь6 , 9. (х2 -І-о2)2-~±:'12х.2 =х4 +а2х2 +а4.
10. х2+у2+12+2т-2х2;-2у1. 11. аг+д2+с +а2 +2аь+2ас+ 2аа+
+2Ьс+2ш+2ад_ 12, а2+Ь2+с2+аГ2+2ад+2ас-2ш1'+2Ьс-2Ьсі-2ссі.
15. 1/16.
ў
3.6. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Общие сведения. При решении уравнений, при вычислени-
ях и в других случаях иногда бывает полезным представление
многочлеиа в виде равного ему произведения двух или не-
скольких многочленов (среди которых могут быть и одночле*
НЫ). Такое тождествеиное преобразование называют разложе-
нием многочлена на множители. Рассмотрим основные спосо-
бы такого разложения
Вынесение общего множитмя за скобки Для того чтобы
разложить многочлен на множители способом вынесения об-
Щего множителя за скобки, необходимо:
1) Найти общий множитель. Для этого, если все коэффи-
Циенты многочлена
-
Целые числа, в качестве коэффициента
общего множителя рассматривают наибольший по модулю
общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую
переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наи-
меньшим показателем, который она имеет в данном много-
члене;
2) найти частное от деления данного многочлена на общий
множитель;
3) записать произведение общего множителя и полученно-
го частного.
'
цЦпуп»травма членов. Разложение многочлена на множители
способом группировки его членов заключается в следующем.
Члены многочлена разбивают на две или более групп с таким
96
степь-ни. много члєны. корни
расчетом, Чтобы каждую из них можно было преобразовать в
произведение, и полученные произведения имели бы общий
множитель. После этого применяется способ вынесения за
скобки общего множителя вновь образовавшихся членов. '
Применение формул сокращенного умножения. В тек случа-
ях, когда многочлен, подлежащий разложению на множите-
ли, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращен-
ного умножения, его разложение на множители достигается
применением соответствующей формулы, записанной в дру-
гом порядке. Записывая эти формулы в ином порядке, полу-
чаем:
вы? =(а-Ь)(а+д),
(3.28)
из +2оЬ+Ь2 =(а+Ь)2,
(3.29)
из летит-ай,
(3.30)
а3+За2Ь+3аЬ2 +53 =(о+Ь)3 ,
(3,31)
03 ~за2ь+заь2 -ЬЗ =(а -ыї
(3.32)
в* +ь3=(а+1››(а2~аь+ь2›,
(3.33)
из -ьз =(а-Ь›(а2 мама2 ).
(3.34)
Введение новых вспомогательных членов. Данный способ
заключается в том, что многочлен заменяется другим много~
Членом, толсдественно равным ему, но содержащим другое
число членов, путем введения двух противоположных членов
или замены какого-либо его члена тождественно равной ему
суммой подобных одночленов. Замена производится с таким
расчетом, Чтобы к полученному многочлену можно было при-
менить способ группировки членов.
Примеры
1. Разлонопь на мнолопели многочлен 15:58):3 +10взх2 -4±~25взл3 .
› Все Члены данного многочлена содержат общий множи-
Тель 5а2х2. Следовательно, Бога:З +10озл2 +25в3х3 =5оїдз~с2 ><
>< (3х+ 2а+5ах )
РаЗЛОЖЄНИЄ МНОГОЧЛЄНЗ На МНОЖИТЄЛИ
-
97
Члены многочлена, записанного в скобках, получены в ре-
зультате деления каждого Члена данного многочлена на об-
щий множитель 5д2х2_ 4
2. Разложить на множители многочлен т(2х- у)-п( у -2х).
› Для того Чтобы выделить общий множитель 2х~у, вы-
несем за скобки ь1 во втором слагаемом. В результате полу-
Чим т(2хцу)+п(2х~у)=(2хпу)(т +п). 4
З. Разложить на множители многочлен
ах+Ьх+ау+Ьу+а1 +Ь21.
› Группируем отдельно Члены, содержащие Коэффициент
а, и Члены, содержащие Ь. Вынося за скобки общие множите-
ли этих групп, получаем:
ах+Ьх+ау+Ьу +0: +6: =( ах + ау +а2)+( Ьх +Ьу +Ь1) = Ж
=а(х+у+д)+Ь(х+у+г)=(х-+у +25)( а + Ь). 4
4. Разложить на множители многочлен 316.1:2 -25у2.
› Применяя формулу (3.28) и полагая в ней а = бх, Ь = 5у,
находим:
звх2~25у2=(6х)2-(5у)2=(6х~ч5у)(6х+5у). <
5. Разложить на множители многочлен 8102+900Ь+25Ь2_
› Используя формулу (3.29), получаем:
81.11+90аь+25ь2=(9а)2+2-9а-5Ь+(5Ь)2= (9а+5 1:02. 4
6. Разложить на множители многочлен 125щдзсї
› Применяя формулу (3.34), получим:
125 »113123 ==53 -~-(І›с)З =(5 пп-Ь›с)(52 +5 ~Ьс +(Ьс)-° -) =
=(5--Ьс)(25+5Ьс+Ь2с2). 4
7. Разложить на множители многочлеІ-І 27:13 +8.
› В соответствии с формулой (3.33) находим:
27а3+8=<за>3+23=<за+2х<3а>ёза2+2:-› =
Р
_
3 =(3а+2)(9а2-6а+4). 4
8. Разложить на множители многочлен 2Ьс+а2-Ь2-с2.
98
стЕпЕни. много члЕны. корни
› Применяя способ группировки и формулу (3.30), получаем:
21'л:+с:є2--›Ь2 шаре-ест2 -Ьэг +2Ьс- 02 = а2 *(122 -2Ьс + (22):-щ
=а2-(Ь- су:(а-(Ь-с))(а+(д-с))=(а+ Ь* с)(а- Ь+ с). ч
9. Разложить на множители многочлен х4 + 4.
Ъ Прибавим к многочлену и вычтем из него 4х2, применим
способ группировки, а затем формулу (3.28):
х4+4=х4+4х2+4~4х2=<х4+4х2+4)-4х2=(хі + 2)*-
-(2х)2=(х2+2-2х)(х2+2+2х)=(х2+2х+2)(х2-2х+2). <
10. Разложить на множители многочлен х3+х2+4_
Ъ Заменим 4 на 8-4, сгруппируем Члены, применим фор-
мулы (3.28) и (3.33):
х3+х2+4= х3+8+х2- 4: (х3+23)+(х2- 22):
=(х+2)(х --2х+4)+(х 2)(х+2)== (х+2)((х -2х+4)+(х- 2))-
=(л:+2)(2с2 -.х+2) 4
11* Разложить на множители многочлен
(х+1)(2х2+х)+6(1+х)2.
Ь Выполняя соответствующие действия, получаем:
(х+1)(2х2 +х) 46 (1 не)2 =(х +1)(2х2 + х +6 (х +1)) =
:=(х+1)(2х2+х+6х+6)=(х+1)(2х2+3х+4х+6)==
=(х+1)(2х2+Зх+2(2х+3))=(х+1)(х(2х+3)+2(2х+3)) $-
:(х+1)((2х+3)(х+2))=(х+1)(х+2)(2х+3).
Итак, (х+1)(2х2+х)+6(1+х)2=(х+1)(х+2)(2х +3). 4
12. Разложить на множители многочлен
х4+23х3+130х2+3х-1.
пЬТак как 23х3:13х3+10х3, 3х=13х-10х и х2+(-х2)=0,
Находим:
х4+23х3+130х2+3х+1==х4+13х3+10х3+130х2+13х+х2~
-10хщх2-1=х3(х+1з)+10х2(х+13)+х(х+13)*(х2+10х+1)=
Разложение многочлена на множм'толиь
99
=(х+1з)(х3+10х2+х)-(х2+10х +1) =х(х +1з)(х2+10х +1) -
щ<х2+10х+1)=(х2+10х+1)(х(х +13) 2-1):
=(х2+10х+1)(х2+13х-1).
Следовательно,
х*+23<х3+130х2 +зх_1=(х2 нод: нм:1 +13): -1). 4
Задачи
Вынееением общего множителя за скобки разложите многочле-
ны на множителн.
1- 6х2у3-12хзу2 +18х3у3:
2~ (х-у)-30(У-х)+7д(х-У)-
3. зх(а-д)+6у(Ь-а)-7г(а-Ь›. 4. 18ад2-12а2ь+36а2ь2 _
Способом группировки разложите многочлены На множитепи.
5. ах+Ьх+ау+Ьу.
6. ахидх+ау-ду+щпдъ
7. шс2+ау2+1Ьл:2+2';›у2 .
8. (а+Ь)2-7а-7Ь.
Применяя формулы сокращенного умножения, разложите мно-
гочлены на множители._
9. 4х2-9у2. 10. 64_48х+12х_х3_ 11. 03+6а2+12а+е
12. вх3т27. 13. 2703+64. 14. хЅ-х4-в1х+в1_
С помощью введения новых вспомогательных членов разложите
многочлены на множители.
'
15. х3-2х-4. 16. х2_4х+з. 17. х4+2х3_2х2_8хчз.
18.. х4_-10х2+9. 19. х4+1зх3+81х2+40х+3.
Разложите многочлены на множители.
20. абньб.
21. 'х3_зх2~зх+1.
22. х4-21х2+4.
23. х4+х2у2+у4.
Ответы
1. 6х2у2(у_2х+3ху)_
.з. (мышь-7). 10. (4-х)3. 11. (а+2)3.
14. (х-1)(х-з)(х+з)(х2+9). 15. (х-2)(х2+2х+2). указание. поло-
Жите -2х=-4х+2х. 16. (хы1)(х-3)- 17. (х-2)(х+2)(х2+2х+2).
Указание. Положите Ё3х:-4х-4х. 18. (х_1)(х+1)(ї-3)(х+3)~
100
степь-Ни: 4тагт/тг›'-кї›гг:› члены. корни
19. (х2+тх+з)(х2+11х+1). Указание. положите 13х3=11х3+7х3,
81х2=77х2+3х2+х2, 40х=ззх+7х. 20- (е-Ь)(е+д)(ез~ед+д2)×
><(а2+аЬ+Ь2). Указание. Положите аб-Ь6=(а3)2-(Ь3)2. 21. (х+1)×
><(х2о4х+1), 22. (х2+5х+2)(х2-5х+2). Указание. Положите
- 2 1х2 24х2-25х2. 23. (262 +у2 +ху)(х2+у2-ху). Указание. Поло-
жите х2у2=2х2у2-х2у2.
3.7. коРвиь а_й ствпвни
из действительного Числл.
АРифмвтичвскии коРвнь пд-й ствпвни..
пРАвилА действий нАд иоРняМи
Корнем п-й степени из действительного числа а называют
действительное число Ь, п-я степень которого равна а (п -- на-
туральное число). Корень п~й степени из Числа а принято
обозначать '1 а (читают «корень степени п из числа а››). Со-
гласно определению корня п-й степени,
я/Еёь, если ь"=а.
_
(3.35)
Если п -- нечетное нисло, то выражение 2/5 имеет смысл
при любом а; если п т- Четное число, то выражение *2/5 име-
ет смысл при 020 и не имеет смысла при а<0 (четная сте-
пень любого действительного числа неотрицательна).
Из формулы (3.35) следует равенство
(#Еу* =ь
(3.36)
при всех значениях а, если имеет смысл выражение % _
Нахождение корня п-'й степени из данного числа называют
изелечением корня п-й степени из числа а. Число а, из которого
извлекается корень п-й степени, называют подкоренным выра-
жением, а число п П показателем корня.
При нахождении корня п-й степени из действительного
числа необходимо иметь в виду следующее:
1) корень нечетной степени из числа а всегда существует, и
притом только один; если а>0 , то существует положитель-
ное число, являющееся кррнем нечетной степени из числа а;
если а<0 , то существует отрицательное число, служащее
корнем нечетной степени из числа а;
Корень п-й степени из действительного числа
101
2) существуют два противоположных числа, являющихся
корнями четной степени из положительного Числа а; положи~
тельньтй корень н-й степени в этом случае обозначают через
% , а отрицательный - через - Й ;
3) корень'любой натуральной степени н из числа нуль ра-~
вен нулю: ” 0 20 , поскольку 0"=0 ;
4) корень Четной степени из отрицательного Числа на мно-
Жестве действительных Чисел не существует.
Неотрицательный корень л-й степени из неотрицательно-
го числа называют арифметическим корнем н-и степени.
Замечание 1. В дальнейшем запись Ё/а будем использовать
только для обозначения арифметического корня н-й степени из не-
отрицательного числа.
Заме чани е 2. Если п = 2, то показатель корня не записывают.
Например, вместо Ё/Ё пишут 5 и читают «арифметический
корень из пяти».
Арифметический корень н-й степени обладает рядом
свойств.
1°. Если а20, Ь20 , п - натуральное число, то
ч/ВБЫ/дч/Б,
(3.37)
т. е. корень н-й степени из произведения неотрииательных мно-
жителей равен произведению корней той же степени из этих
множителей.
Данное свойство верно и для п множителей, например:
нервы/ММБ.
'
-
(3.38)
Из формулы (3.37), переписав ее в другом порядке, полу-
чим правило умножения корней.
2°. Если (120, Ь>0 , н
-
натуральное число, то
,ад/5 ц
(3.39)
Ь 2/5
3°. Еслиаї_>.0 ,ниіс
-
натуральные числа, то
мда/5,
(3.40)
(к/БҐЫ/а?
(3.41)
102
степени. много члены. корни
4°. При любом значении а еерно тождестео
#2*
а
:
(3.42)
где Іс
-
натуральное число.
5°. Если а20 , а, іс, т - натуральные числа, то
И:ти/атл _
(343)
6°. Если а20 , а и т - натуральные числа, то
ч/ьЪьт/Н.
(3.44)
7°. Если а и Ь *Ы неотрииательные числа, пн:- натуральное
число, то
МБА/Е.
(3.45)
Преобразование корня по формуле (3 45) называют енесе-
нием множителя под знак радикала
З В М Є Ч а Н И Є. КОрІ-ІИ ИЗ ЧИСЄЛ ИНОҐДЕІ НЗЗЬІВНЮТ рВДИКШІЕІМИ.
8°. Если а20 , 1920 , н - натуральное число, то
ч* ь"ь=м/Б.
(3.46)
Преобразование Корня по формуле (3.46) называют еыне~
сением множителн из-нод знака радикала.
9°. Если а20 , ,530 , а>Ь , п - натуральное число, то
а/Ьч/Б.
ь
Приведем прав ило умножения и деления Корней
с р азны ми п оказателями: для того чтобы неремножить
или разделить корни, имеющие разные показатели, необходимо
предварительно нриеести эти корни к общему показателю.
Приведение Корней к общему показателю осшествляется
по формуле (3 .43).
'
Примеры
І. Выполнить указанные действия над корнями:
ж' б) ї; В) (у5)ї Г) щз/ц4і4096.
3/2;
а)
а
а/Е
Корень п-й степени изцдействительнего числе
103
› С учетом формул (3 39)
-
(3 4ї) получаем:
ЮГГІ ЫЕЁЫМЁІЕІ
в) (355254733: г) узи/4096 =к2/4096=2. <
2. Произвести умножение и Деление корней с различными
показателями:
г
а)\/Ё×/ї,б)~/Ё×/Ё;В):/=2-.
› Пользуясь соответствующими правилами и формулами
(3.37), (3.39), находим:
а) 2/5 319234 Іё/ЁЫЗ/ёї *Маг/8164 326184;
б) Чї/БМІШН аптпЬтЕтр/Ттт;
В)×/__ Г_`/їш`[
3. Найти значение выражения 448-147.
› Полкоренное выражение можно представить в виде про-
изведения множителей, каждый из которых является квадра-
том натурального числа:
4`(48447 ==\/16 '3-49 «3 =~./5-16 -49.
Применяя формулу (3.38), получаем:
4946.49 =\/5 Л Ла -4-7 =е4. <
4. При каких значениях х справедливо равенство
і`/(х--7)'4 =х-7 '3
› Так как «ї/(лэ-'іу4 =[х-7[ в соответствии с формулой (3.42),
а [х-7|=х~7 при х-720 или у127, то данное равенство
справедливо при х>7. 4
2 5 Іїпростить выражение «а ч-ди:т+4+`/л -8а+16 при
<а<
104
стЕпЕни. Много иль-ны. корни
› Представим Данное выражение в виде 1Кан-2)2 +`/(а-4)2.
Поскольку
«итд =іа- 2|= а_ 2, (ет-#4? =|а--×-1|=-(аР 4): 4НР а
При 25612* ТО \1(а-2)*”'+\/(а-4)2 =а-2+4г-а==2. 4
49:116
ЬЁ
6. Упростить выражение
, если а<0, Ь>О.
Ъ Принимая во внимание формулы (3.39) и (3.42), получаем:
49а6:\/4906Ё7|а3|иї 4
а
Ии“и“Ь'
7. Внести множители под знак корня в выражении Зац4/2а ,
где а>0.
› В соответствии с формулой (3.45) получаем:
заа/Б:4/2а(за)4 дам-34 а* ы* 162.15. 4
8. Внести множитель под знак корня в выражении -3×/;.
› Отрицательный множитель -3 нельзя представить в виде
арифметического квадратного корня и внести под знак корня.
Запишем данное выражение в Биде (-1)-3\/а и внесем под
знак корня положительный множитель 3:
-3\/Е=(_1›-3\Г=ц\/з2 =-д ад. 4
9. Внести множитель под знак корня в выражении хх/З.
› В выражении хх/Ё множитель х может быть как отрица-
тельным, так и положительным, поэтому если и<0, то
х 5:-( -х)\/_==~\/5(цх 2:-к/56ї.
Если х> 0, то, внося множитель х под знак корня, получа-
ем хх/Ёгпхбхз. 4
і
.
45
10. Вывести множитель из- под знака корня в выражены/1 к? х .
4
_
к
›Вь1ражение мхэ имеет смысл только при 1:20. Предста-
вим подкоренное выражение х5 в виде произведения двух
степеней таким образом, чтобы показатель одной из них де-
Корень п-й степени из действительного числе
1Ё)
лился на показатель корня. В результате получим:
4а:5=4х4х=и4х, где1:20.4
11. Вынести множитель изчпод знаиакорня в выражении
обо.
› Вынося множитель из-под знака корня, получаем:
П {аЗ\/Б, если (20,520,
а1): 3
4
Н-о Ь, если а<0, «620.
І2
І2
І2.Доиазать, что Ш+ Ш: двд/Ё,
_ ! ЬРассмотрим Квадрат левой части равенства и покажем,
что он равен (гы/Ё (отсюда и будет следовать доказываемое
равенство):
`/а+у/а2-Ь + ,а-~`Іа2-Ь 2:а+\/02~Ь+
2
2
2
2ц 21__Ь
__
и 2__
+2`/а (а 2+а
ї Ь=а+\/Б. 4
4
Задачи
1. Выполните указанные действия Над корнями:
Ё-б)з“;в)(Г).г)Г МММ
2. Найдите значения корней:
а) 425-49-121; в) зла-27 216; в) ,3%
16
3. Упростите выражения:
а) хіібхї; б) «из 83:15; В) х/ХЁ 4; Г) 5м+2~/Ё-Ы.
4. Вынесите множители из-под знака корня:
а) Ш; о) Лу; в) Ш; г) 43261454; а) «Ива-Ё.
106
.
стЕпЕНи. Много члЕны. коРНИ
5. Внесите множцтєли под знак корня:
ч
а
а) 46; б) 2%; в) ад/с-І; г) (ЦБК/ё. и
6. ДокаЖИте, Что 10 +ж-и/ЅТО.
2
/2
7. Доканште, Что [ШщыЧШҐ-Є=Ца~д.
2
8. Вычислите значение выражения
ЫБЅ-л-ЅД)(\/Ё+х/Ё)(\/ЄЁ+Ы)(%ЬЁ_`/ё)
(ї/ЅТ-Ш)(\/1-×/П-`/4+Л>
'
Ответы
1.21) 2. 2. в) 7/4. 3.31) 4|х|. 4. 6) з\/5. 5.21) Ш. з.100.ука~
ЗЦНЦЄ. ВЬІНЄСИТЄ МНОЖИТЄЛИ ИЗ-ПОД ЗНЕІКЭ. КОрНЯ И ПРОИЗВЄДИТЄ СО-
КраЩЄНІ/ІЄ На ОбЩІ/ІЄ МНОЖИТЄЛИ ЧИСЛИТЄЛЯ И ЗНЕІМЄНЕІТЄЛЯ.
І 4 “ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬІ
4. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Понятие функции и способы ее задания. График функции.
Рассмотрим два множества Х и У. Если Каждому элементу
хе Х по вполне определенному правилу І ставится в соответ-
ствие единственный элемент уе У , то говорят, что на множе-
стве Х задана функция со значениями в множестве У, и пишут:
322/ (х) ; при этом х называют независимой переменной или стр-
гументом. Множество Х называют областью определения функ-
ции У=/ (х) и обозначают 1)(І ) Совокупность всех значе-
ний функции І (х) называют множеством значений (или об-
ластью значений) функции и обозначают Е (І ).
Зам еч ан и е . Область значений БО) функции уЅ/(х) может
и не совпадать с множеством У, но Е (І) всегда является подмно~
жеством множества У.
Отметим, что для функции и ее аргумента применяются и
Другие обозначения: у=Р(х), у=Ф(х), у:<р(х), У:У(х),
кшк(1*)3 5:](1), г=г(ї), и=и(и) и т. п.
Функция, область определения и область значений кото-
рой
-
числовые множества, называется числовой функцией
или действительной функцией одной действительной нере-
менной.
Введем на плоскости систему прямоугольных координат.
Грификом функции у=/ (х) называют множество точек плос-
кости М (х, у” (х )) , т. е. множество точек, абсциссы которых
равны значениям аргумента, а ординаты
-
соответствующим
значениям функции.
Для того чтобы задать функцию нужно указать способ, с
помощью которого для каждого значения аргумента можно
найти соответствующее значение функции.
Перечислим основные способы задания функции: 1) ана-
литический, 2) табличный; 3) графический.
108
Функции и ЛРЕДЕЛЫ
Если функция определяется формулой у=/ (х), то гово-
рят, что она задана аналитически. По этой формуле для любо-
го значения аргумента х из области определения Данной
функции можно найти единственное значение у из области ее
значений.
Примеры задания функций аналитическим способом: у=3х+7,
у=х2 , у=х2+5.
Если функция задана формулой у: І (х), то значение, ко-
торое она принимает при х:а, обозначают Ґ(а)-
Например, если І(х)=х3, то /(0)=0, І(1)=13=1, І(2)=23=8,
х<~з>=<~з>3=~27 Д.
Табличный способ зєїдания функции состоит в составлении
таблицы соответствующих значений х и у.
Отметим, что если задана функция у=](х), то всегда
можно составить таблицу значений хр, ук при к т 1, 2, 3,
.
Обратное утверждение неверно. По заданной таблице невоз-
можно найти точную формулу у=І(х), по которой вычисля-
ются значения ук при заданных значениях хк, к=1,2, 3,
.
В таких случаях ставится задача нахождения приближенной
формулы.
Графический способ задания функции состоит в том, что
функция задается с помощью графика.
Примером задания функции таким способом может служить гра-
фик температуры воздуха, вычерченный самопишущим прибором.
Из этого графика можно узнать, как изменилась температура возду-
ха в течение соответствующего промежутка времени.
Если на отрезке [сад] задан график функции у: І (х), то
для любого кое [0, Ь] можно найти соответствующее значение
уп. Для этого необходимо в точке М (хп) провести иерпенди*
куляр к оси Ох и найти точку Н пересечения перпендикуляра
с графиком (рис. 4.1). Вычислив длину отрезка МН с помо-
щью заданного масштаба и взяв ее со знаком «плюс», когда
точка И лежит выше оси Ох, и со знаком «минус», когда точ-
ка Ы находится ниже этой оси, получим искомое значение ус..
Основные понятия
.
109
Если функция задана формулой уїдх) или таблицей
значений хд,у,,,/с=1,2,3,...,
можно построить ее график.
График функции, заданной табличным способом, состоит из
отдельных точек.
щ
Ограниченные функции. Функцию у: І(х) называют огра-
ниченной сверху на множестве Х, если существует такое число
А, что для всех х е Х выполняется неравенство ](х)ЅА . Граг
фик функции у: 1” (х) , ограниченной сверху на множестве Х,
целиком расположен не выше горизонтальной прямой у = А
(рис. 4.2, в).
а
ё
ма,__,
т"х
ї/в
\,к
515%
Рис.4 .2'
Функцию у: Дх) называют ограниченной снизу но множе-
стве Х, если существует такое число о, что для всех х е Х вы-
полняется неравенство ЫЅЛХ). График функции, ограни-
ченной снизу на множестве Х, целиком лежит не ниже гори-
зонтальной прямой у == в (рис. 4.2, б).
Функцию у: Лх) называют ограниченной на множестве Х,
если она ограничена на нем сверху и снизу, т. е. `существуют
такие числа в и А, Что для всех х е Х выполняются неравен-
110
Функции и пРЕдЕлы
ства аЅІ(х).<_їА. График функции, ограниченной на некото-
ром множестве Х, целиком расположен в полосе между пря-
мымиу?а,упА.
Например, функция І(х)-=1/(1+х2) является ограниченной на
всей действительной оси. Для этой функции Б(І)==(-Ф<=~,+<=ю),
Е (І) ш(0, І]. Ее график расположен между прямыми у = 0 (ось Ох) и
у т 1 (рис. 4.3).
Рис.4.3
Функция 1”(х)=х2 ограничена на любом конечном промежутке
(ос, В), но не ограничена в апромежутке (шва, +00) . Эта функция в сво-
“ей области определения Х =(~оо, +00) ограничена снизу ( І(х)_>:0 для
всех хе Х ), но не ограничена сверху.
Определение ограниченной функции можно сформулиро-
вать иначе. Функцию у=/(х) называют ограниченной на мно-
жестве Х, если существует такое Число С>0, что для всех
х е Х выполняется неравенство
|І(х)[$С. .
(4.1)
Четные и нечетные функции. Числовое множество Х назы-
вают симметричный относительно точки О, если вместе с лю-
бым своим элементом х оно содержит и противоположный
элемент (тх).
Примеры симметричных множеств: (-5, 5), (--7, 7), (мя, +<1~==~)і
Множества [-~2, 41, [3, 9] Не являются симметричными.
Функцию у=І(х) называют четкой, если она определена
на симметричном множестве Х и для любого х є Х выполня-
ется равенство
ї(-х)=ї(х)-
(4.2)
Основные понятия
111
Примером четной функции является функция ;“(х):х2 _ Дейст-
вительно, эта функция определена в симметричном промежутке
(-т, +00) и І(-х):(-х)2=х2== Лх) для любого х. Четными являются
и функции 1” (х)==х", где п
-
четное число. Функция І(х)--=|х| -
также четная.
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Функцию у=ї(х) называют нечеткой, если она определе-
на на симметричном множестве Х и для любого х е Х выпол-
няется равенство
Ґ(-х)=-Ґ(11)-
(4-3)
Например, функция Лифт-х3
-
нечетная, так как она определена
на симметричном множестве (-ш, +00) и і(-х)=(-х)3=--х3=- у"(х)
для любого хе (-ФФ, +сю) . Нечетными являются функции І(х)=х" ,
где п -- нечетное число.
График нечетной функции симметричен относительно на-
чала координат.
Если у=/(х) и у=(р(х) -- нечетные функции, то их сум-
ма и разность
-
также нечетные функции, а частное и произ-
ведение щ Четные функции.
Сумма, разность, произведение и частное двух четных
функций являются четными функциями.
Монотонные функции. Функцию у: І (х) называют еозрас~
тающей на промежутке Х, если для любых хд, х2 е Х выполня-
ется условие
(х1<х2)=>(ї(х.)</(х2)).
(4.4)
Другими словами, функцию называют возрастающей на
некотором промежутке, если любому большему значению ар-
гумента из этого промежутка соответствует большее значение
функции. График возрастающей функции изображен на
рис. 4.4, а.
Функцию у:](х) называют убывающей на промежутке Х,
если для любых хІ, хзе Х выполняется условие
(х1<хг)=>(дх1)>ї(х2))-
(4-5)
Иначе говоря, функцию называют убывающей на некото-
ром промежутке, если любому большему значению аргумента
112
Функции и пределы
НК
3%
Рис.4.4
соответствует меньшее значение функции. График убываю-
щей функции изображен на рис. 4.4, 6.
Функцию, возрастающую на некотором промежутке или
убывающую на нем, называют монотонной на промежутке.
Функция / (1021:З
является монотонной на промежутке
(ное, +00), где она возрастает. Функция І(х):х2 не является моно-
тонной на этом промежутке, она монотонна на промежутках (-сю, О),
где убывает, и (0, +00) , где возрастает.
Периодические функции. Функцию, определенную на мно-
жестве Х, называют периодической, если существует такое от-
личное от нуля Число Т, Что выполняются следующие два
условия:
1) если хеХ, то (х+Т)еХ и (х-Т)еХ;
2) для любого хеХ справедливы равенства:
і(Х+Т)=Ґ(Х)=/(Х~Т)-
(4.6)
Число Т называют периодом функции у=/(х). Если Т
-
Период функции у=,І(х) , то любое число вида ісТ, где А: е 2,
также является периодом этой функции.
Наименьший из положительных периодов называют ос-
ноеньш. периодом (или короче т периодом).
График периодической функции обладает следующей осо-
бенностью. Если Т~ основной период функции у= у” (х) , то для
построения ее графика достаточно построить его ветвь на од-
ном из промежутков длиной Щ а затем произвести параллель-
ный перенос этой ветви вдоль оси Ох на ±Т, ±2Т, ±3Т,
.
Основные понятия
113
Периодическими являются тригонометрические функции
(см. гл. 9).
*
Если функция Лх) является периодической с периодом
Т, то функция А,Ґ(Кх+Ь), где А, Ь и іс, А: и 0, -- постоянные,
также периодическая, причем ее период равен Т/Щ
Если функция Дж) имеет период ТІ, а функция (р(х) --
период Т2, то общий период они имеют тогда и только тог-
да, когда отношение их периодов является рациональным
числом:
Ё=Ё, те Мне Н.
Т2п
В этом случае их общий период ТІТЩЫЪШ.
Обратная функция. Рассмотрим функцию
уїлх),
`
(43)
определенную на множестве Х. Каждому элементу хе Х по
определенному правилу І ставится в соответствие един-
ственный элемент у е У.
В случае, когда каждомувлеменгу у е Уставится в соответ~
ствие только один такой элемент х е Х, для которого
у” (х): у, получаем функцию
і
х=<Р(У)›
(43,)
заданную на множестве У со значениями в множестве Х.
ФунКЦию (4.8) называют обратной по отношению к функции
(4.7); функцию (4.7) при этом называют обратимой.
Функция обратима тогда и только тогда, когда каждое свое
'значение она принимает лишь при одно м значении аргумента.
Монотонная функция обратима, и обратная ей функция
также монотонна.
4
Две функции 1” и (р называют взаимно обратными, если
_ Е(ї)=д(<Р)› ЩІЁ=Е(Ф) И для ЛЮбЫХ хаё ЩҐ) И уОЄЩФ)
'(уа :[(хо)) '43050 749070 ))
Для взаимно обратных функций выполняются тождества:
н Лобода), уеУ; (нижних, хеХ.
114
Функции и пРЕдЕлы
Графики взаимно обратных функций у=І(Х) и У=<Р(Х),
построенные в одной и той же системе координат, симмет-
ричны относительно Прямой у=х (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Если придерживаться стандартных обозначений (у --
функция, 'х
-
аргумент), то функцию (4.8), обратную функ-
ции (4.7), можно записать в виде
'к
у=<р(х).
(4.9)
Замеч ание. Для того чтобы задать формулой функцию, обрат-
ную данной, нужно выразить переменную х через переменную у из
первоначальной формулы и в полученной формуле поменять обо-
значения:хнауиунах.
Примеры взаимно обратных функций: у=2х+4 и х=у/2'-2;
у=2х+4 и у=х/2-2 (в стандартных обозначениях);І
Сложная функция. Если у=Ґ(Н) и Ы=<Р(х) -- функции
своих аргументов, причем область определения функции
Ли) содержит область значений функции (РОС) , то каждому
х из области определения функции (р(х) соответствует е д и н -
ственное у, такое, что У=Ґ(Ы), где н:ср(х:). Эта функция,
определяемая соответствием
`^
у=/(Ф(х)),
(4-10)
называется сложной функцией или функцией от функции.
2
.
у1
Например, если у=и , и=зшх, то у=з1п х -- сложная
функция.
Прямая пропорциональная зависимость
115
4.2. пРямАя пгопогционьльнья
зьвисимость
Функцию, заданную формулой
ддт-_]Сх,
(4.1 і)
где к т действительное число, отличное от нуля, называют
прямой пропорциональностью. Число к, к ± О, называют коэф~
фиииентом пропорциональности; о переменной у при этом го-
ворят, что она пропорциональна переменной х.
Областью определения функции (4.11) является множест-
во В всех действительных чисел.
"
Из формулы (4.11) при х ± 0 следует, Что
шёл, к: 0.
(4.12)
х
Равеиство (4.12) можно использовать при выяснении во-
проса о том, является ли функция, заданная табличным спо-
собом, прямой пропорциональной зависимостью.
Если функция у: І (х)
-
прямая пропорциональная зави-
симость и (х,, уі), (хз, 322)
-
пары соответственных значений
переменных х и у, причем к2 нО, то
вы
хз у2
Действительно, в данном случае функцию можно задать
формулой у:ісх, где кіО. В соответствии с последней фор-
мулой у, =1€х,, Удысхт причем угфо, так как 132 но. Из
этих равенств получаем:
идти
У: Іос2 х:
(4.13)
Доказанное равенство выражает основное свойство
прямой пропорциональной зависимости: если к > О,
х и у -- переменные, принимающие только положительные зно-
чения, то при прямой пропорциональнои зависимости у=1сх с
увеличением значения х в несколько раз соответствующее значе-
ние у увелинится во столько же раз. Свойство прямой пропор-
Циональной зависимости, выражаемое формулой (4.13),
используют при решении задач.
1_ 16
Функции и пРЕдЕлы
Графиком функции у=10€ является прямая, проходящая
через начало координат и точку А (1, Іс).
Проведем прямую через две точки ОШ, О), АО, 16), где
Іс > О. Пусть Е и С -- проекции точки А на координатные оси
(рис. 4.6). Тогда ОЕ =1, ОС =Хс. Докажем, что любая точка
прямой ОА принадлежит графику функции у=ісх; любая точ-
ка графика функции у=1сх является точкой прямой.
их
И
Д ...___
А
5 __...щт
ї
ї
¦ъ11 ___,
0
ЁР
А*
Рис.4.6
Пусть М (х, у) ~ любая точка прямой ОА, РФС, 0)2
(ДО, у) -› - ее проекции на координатные оси; тогда ОР=х,
012 =у- Из подобия треугольников ОАЕ и ОМР получаем
АЕїОЕг-МРїОР, Откуда ОС:ОЕ=О@:ОР, значит, іс=у/х,
т. е. у=1сх. Поскольку при Іс > 0 положительным значением х
соответствуют положительные у, а отрицательный -- отрица-
тельные у, то у=1<х для всех точек прямой ОА. Аналогично
можно показать, что у=ісх и при Іс<0.
Пусть ПЩ, у')
-
любая точка графика функции у=Ісх,
где х - то же, что и для точки М(х, у) прямой ОА. Точка
А (1, іс) также принадлежит графику этой функции ( у=1с при
х=1). Запишем формулу (4.13) для двух пар значений (1, 16),
(26,301 у,/і€=х/ 1, откуда іс=у'/х. Сдругой стороны, 16=у/х.
Сравнивая два выражения для Іс, заключаем, что у'= у (по-
скольку в данных выражениях іс и х имеют одни и те же значе-
ния). Это означает, что точка Н(х,, у') совпадает с точкой
М (х, у), т. е. лежит на прямой ОА.
Прямая пропорциональная зависимость
117
Отметим, что всякая прямая, проходящая через начало ио-ь
ординат и не совпадающая ни с одной координатной осью,
является графиком прямой пропорциональной зависимости.
Величина угла наклона прямой у=Іос к оси Ох зависит от
значения коэффициента Іс: если Іс- положительное Число, то этот
угол острый; если же іс -- отрицательное число, то угол тупой.
Примеры
1. Разделить число Ь на п слагаемых прямо пропорцио-
нально числам 0,, (1,, ,а,,.
› Обозначим искомые слагаемые х,, х,, ..., х", тогда по
условию задачи должны выполняться равенства:
нд: Іа
а!
а2
ап
пользуясь СВОЙСТВОМ ряда раВНЬІХ ОТНОШЄНИЙ, Получаем:
-_”_
а,+а,+...+ап а, а,
а
х,+х-,+...+;~є,,___хІ _ёх2__
х
Н
Так Как х, +11:2 +...+.х,І =Ь, то
да]
Ьа2
х,=
, хд.:
,...,
а,+а,+...+а,,
а,+а,+...+а,,
Ьа
х_,
Л'
"_щ+%+т+щ'
Следовательно, чтобы разделить число на части, пропор-
циональные данным числам, надо разделить его на сумму
этих чисел и полученное частное последовательно умножить
на кахщое из данных чисел. 4
2. Разделить число 40 на части, пропорциональные числам
2,3,ЅҐ
Ь Необходимо найти три таких слагаемых х,, хз, хз, чтобы
выполнялись условия хрчс2 +х3=40 и хІ /х, /х3=2 / 3 / 5.
Поскольку 2+3+5=10, последовательно находим:
40
40
40
х1=_1 _б.2“=8, х,=_16.3=12, х,=1-О --5=20.
118
Функции и пРЕдь-ЛЫ
Получили числа, удовлетворяющие условиям задачи:
'
зд2щ20_Щ
хд+эс2 +х3=40, ї2ї'іїі ли ___-_
235
235
З. Вычислить длины сторон треугольника, если известно,
что они пропорциональны числам 3, 4, 5, а его периметр ра-
вен 36 см.
› Пусть А:
-
коэффициент пропорциональности. Тогда
длины сторон треугольника будут равны соответственно ЗК,
4іс, ЅІс. Из условия задачи получаем уравнение 31с+41< +51.: =36,
откуда 12%:36 и іс=3. Следовательно, ЗК=9, 42:12, 52:15.
Длины сторон треугольника соответственно равны 9 см,
12см, 15см. 4
4. Проверить, является ли прямой пропорциональной за-
висимостьюфункция, заданная табличным способом:
х
24І_6~8101214Ґ
у
6
12
18
24
30
36
42
ў Поскольку
224_6_ЁМШЁЕ,ЕЁЬ
6_1218-*24303642з”
т. е. выполняется условие (4.13), то данная функция является
прямой пропорциональной зависимостью. 4
Задачи
1. Разделите число 50 на Части, пропорциональные числам 2, 3, 5.
2. Вычислите длины сторон треугольника, если известно, что они
пропорциональны числам 4, 5, 6, а его периметр равен 30 см.
3. Проверьте, является ли прямой пропорциональной зависимо-
стью функция, заданная табличным способом:
х_
1
2
3
4
5
6
7
20_
21
22
23
24
25
26
Ответы
1. 10, 15, 25. 2. 8 см, 10 см, 12 см. 3. Не является.
Линейная функция
119
4.3. линвйнАя функция
Линейной функцией называют функцию, заданную формулой
у=І<х +Ь,
(4. 14)
гдекиЬ
-
некоторые Действительные числа.
Областью определения линейной функции (4.14) является
множество всех действительных чисел, так как выражение
Іос+Ь имеет смысл при любых значениях х.
Рассмотренная в ё 4.2 прямая пропорциональная зависи-
мость является частным случаем линейной функции. В самом
деле, при 6:0 и Іс±0 формула у=1<х +12 принимает вид
у=1<Х, а этой формулой задается прямая пропорциональная
зависимость.
`
В ё 4.2 было доказано, что графиком функции у=их явля-
ется прямая, проходящая через начало координат и точку
А(1, іс) . Рассмотрим график линейной функции У=1€х+Ь.
При х=х, получаем у1=1<3Х1 и У, =ісх1+д, откуда У, ту, =Ь;
при х=х2 имеем У2=І<Х2 и У2=Ісх2 +в, УЗ -у2=д. Очевидно,
что У-у=Ь при любом значении х. Это означает, Что при од-
них и тек же значениях х соответствующие ординаты точек от-
личаются на одну и ту же постоянную Ь. Следовательно, гра-
фиком функции Уїкхч-Ь является прямая, параллельная
прямой у=і<;х.
-
Расположение графика линейной функции У=1Сх +15 от-
носительно системы координат зависит от значений параметМ
ровА:иЬ.
От коэффициента к зависит величина угла наклона графи-
ка линейной функции к оси Ох: если Іс
-
положительное чис-
ло (іс >0), то угол наклона острый, если Іс
-
отрицательное
число (Іс<0), то угол наклона тупой. Число д: называют уало-
вым коэффициентом прямой.
`
Ф
Заме чание. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла
наклона этой прямой к оси Ох, т. е.
к=чач,
(415)
где от -- угол, образованный прямой и осью Ох.
Если іс==0, функция (4.14) принимает вид
у=Ь-
(436)
120
'
Функции и пРЕДЕлы
Графиком функции у=Ь является прямая, параллельная
оси Ох (рис. 4.7, а) и пересекающая ось Оу в точке Б(0, Ь).
Действительно, для любой точки М (х, у) этой прямой орди-
ната у=Ь (х может быть любым в зависимости от располо-
жения точки М). Если точка “(Х, у) не расположена на пря~
мой ВМ, то она лежит либо ниже ее, и тогда у<3>, либо выше
ее, и тогда у>Ь. Итак, равенство (4.16) не будет выполняться.
При Ь<0 прямая, определяемая уравнением (4.16), будет рас-
положена ниже оси Ох. Если Ь=0, то прямая совпадает с
осью Ох. Следовательно, уравнение
У=0
(4.17)
является уравнением оси Ох.
0
(ї
И
уд
І
І
а_
Ё?
*И
Ь
Щ
х
0
3?
Рис.4 .7
,
Зам ечани е. Прямая, параллельная оси Оу и псресекающая ось
Ох в точке А(а, 0), определяется уравнением
х=а,
(4-13)
так как любая точка М (х, у) этой прямой имеет абсциссу х=а
(рис. 4.7, б). Если точка Ы (х, у) не лежит на этой прямой, то она на-
ходится или слева от нее (тогда х<а), или справа (тогда х>а ). Ес-
ли (то, точка А лежит слева от начала координат. Если а:0, пряч
мая совпадает с осью Оу. Итак, уравнение
х=0
(4.19)
определяет ось Оу.
Выясним, как зависит расположение графика функции
у=кх+чїэ от числа Ь. Если х=0, то у=Ь. Это означает, что
график функции у=І<х+Ь пересекает ось Оу в точке Б(0, Ь),
Линейная функция
121
ордината которой равна Ь. Если дано несколько линейных
функций при различных Іс и одном и том Же Ь, то их графики --
прямые, проходящие через точку В(0, д).
Любая прямая на плоскости, не параллельная оси ординат,
является графиком некоторой линейной функции.
Графики двух линейных функций представляют собой
прямые, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Рассмотрим линейные функции, заданные формулами
у=дС1х+Ь1 и у=К2х+Ь2 с различными коэффициентами К
(Іс, #5), и выясним взаимное расположение их графиков.
Если графики функций пересекаются, то это означает,
что они имеют общую точку. В данном случае найдется та-
кое значение переменной х, которому соответствует одно и
то же значение у для обеих функций, т. е. будет справедли-
вым равенство
“'
10% +37] =1€х2 +Ь2-
(4.20)
Преобразуем данное равенство:
Іс,х_/\:2х=Ь2
-
Д , х(1с]«-1с2)=Ь2 - ЬІ.
Поскольку ісїиісз, то х=(112-Ь,)/(Іс, -іс2) - единствен-
ное значение переменной х, при котороїгй4 значения рас-
сматриваемых функций равны. Если іс,=/с,_, а 132121511, ра-
венство 20%, -Іс2)=Ь,_- Ь, противоречиво; следовательно,
уравнение (4.20) решений не имеет. Это означает, что пря-
мые, являющиеся графиками линейных функций
у=й1х+дІ и у=1с2х+Ь2, не имеют общих точек, т. е. они
параллельньь
Таким образом, графики двух линейных функций пересе-
каются, если их угловые коэффициенты различны, и парал-
лельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.
'
Равенство
к, =к,
(4.21)
выражает необходимое и достаточное условие параллельности
двух прямых, определяемых уравнениями у=ісрг:-ЫЕ›І и
у=1с2х+Ь2.
122
Функции и ПРЕДЕЛЫ
Примеры
І. Построить график линейной функции у=2х+4.
› Как было доказано, графиком линейной функции явля-
ется прямая. Для построения прямой линии достаточно опре-
Рис.4 .8
делить положение двух ее различных точек. Чтобы зафикси-
ровать точку на прямой, нужно придать определенное значе-
ние одной переменной и по данной формуле вычислить зна-
Чение другой переменной. Если х=0, то у=2-0+4:4, т. е.
получены координаты точки М (О, 4); если у=0, то 214420,
х=_2, т. е. получены координаты точки П(--2, О). На коорди-
натной плоскости построим точки М (0, 4) и Н(-~2, О) и про-
ведем через них прямую (рис. 4.8), которая является графиком
линейной функции у=2х+4. 4
у 2. Доказать, что уравнение
Ах+ Ву+С=0
(4.22)
при условии
А2+вз~±0
(4.23)
определяет прямую на плоскости.
› Условие (4.23) означает, что А и В одновременно в нуль
не обращаются.
Если В я О, то из уравнения (4.22) можно выразить у:
-АС
,в =-Ах-с
=--- ---.
у
,
у.ВхВ
Линейная функция
123
Введем обозначения:
_іІЁ #2:д
изо
В
В
тогда уравнение примет вид у:!сх+Ь; оно определяет прямую
с утловым коэффициентом Іс.
Если 8:0, то АяО в силу условия (4.23). Уравнение
(4.22) принимает вид Ах+С=0, откуда х=~~А:+ или х=а, где
а=-С/А. Уравнение х=0 определяет прямую, параллель-
ную оси Оу (см. уравнение (4.18)).
Следовательно, уравнение (4.22) при условии (4.23)
определяет прямую, параллельную оси Оу или пересекающую
эту ось. 4
Уравнение (4.22) называют общим уравнением прямой, а
уравнение у=ісх +Ь _ уравненивм прямой с угловьш коэффици-
ентом.
Замечан ие; Первое из равенств (4.24) определяет угловой ко-
эффициент прямой, заданной общим уравнением.
3. Найти угловой коэффициент прямой, заданной общим
уравнением 4х+2у-3=0.
ў Разрешим уравнение относительно у:
2у=~4х+3, у=т2х+З/2.
Следовательно, данная прямая имеет угловой коэффици-
ент Іс=ш2. Это значение коэффициента Іс можно получить и
с помошью первой из формул (4.24): К=ШЁ~=~2 (так как
А:4, В=2, С=-3). 4
4. Построить прямую, заданную общим уравнением
3х+4у-12=0.
› Зафиксируем две тояки данной прямой: при х = 0 получа-
ему=3;приу=0имеемх:4.ПолученыточкиМ(О,3)и
Ы (4, О), через которые и проходит искомая прямая (рис. 4.9). 4
124
Функции и пределы
Рис.4 .9
Задачи
1. Постройте графики линейных функций:
а) у=3х~1; б) у=-4х+ 2; в) у=-2х-.4.
2. Найдите угловые коэффициенты прямых, заданных общими
уравнениями:
ад 2х_6у+1=0; б) 4х+2ущ3=0; Ц)6х+14у+7=0.
3. Постройте прямые, заданные общими уравнениями:
а)3х+5у115=0; б)7х-3у-21=0; в)2хш3у+5=0.
Ответы
2. дам/3, в,=-2, к,=-3/7.
4.4. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Обратной пропорциональностью называют функцию, кото-
рую можно задать формулой
у=-,
”
(4.25)
х
где іс -- действительное число, отличное от нуля. О перемен-
ной у в этом случае говорят, что она обратно пропорциональ-
на переменной х. Областью определения функции (4.25) яв-
ляется множество всех действительных чисел, отличных от
нуля, поскольку выражение к/х имеет смысл при- любом зна-
чении х, кроме х Ё О.
Обратная пропорциональность
125
Из формулы (4.25) следует, что
ху=к,кфО.
(4.26)
Равенство (4.26) позволяет выяснить, является ли функ~
ция, заданная табличным способом, обратной пропорцио-
нальностью.
Если данная функция у= 1”(х) ~ обратная пропорцио~
нальность и (хр уІ), (х2, у2) Ш- любые пары соответствующих
значений переменных х и у, то
-~
31:22.
х: уі
Действительно, по формуле (4.25) получаем: ,РБК/хр
у2=к/х2, причем у'гвО, у22±0 (так как МФО). Из этих двух
равенств следует равенство (4.27 ):
и-1<_.!:_._!ш_в
У1хзх][052х:
(4.27)
Доказанное свойство (4.27) обратной пропорцио-
нальности можно сформулировать так: если переменные х и
у принимают положительные значения и Іс>0, то с увеличени-
ем значения к в несколько раз соответствующее значение у
уменьшается во столько же раз; с уменьшением значения х в не-
сколько раз соответствующее значение у увеличивается во
столько же раз. Данное свойство обратной пропорционально-
сти используют при решении задач.
Выясним особенности графика функции у=к/х, где
ісчЬО. График не имеет общих точек с осью Оу, поскольку
число О не входит в область определения функции и на графи-
ке нет точек с абсциссой 0. Так как значение у ни при каком
значении х не равно нулю, то общих точек с осью Ох график
не имеет. Итак, график обратной пропорциональности не пе-
ресекает ни одну из координатных осей.
Функция у=к/х при Іс>0 принимает положительные
значения, если х>0, и отрицательные, если х<0. Это следу-
ет из того, что знак дроби Іс/х, где іс>0, зависит от знака х: ес-
ли х>0, то К/х>0; если х<0, то к/х<0. График функции
у=/</х представляет собой кривую, расположенную в первой
и третьей координатных четвертях (рис. 4.10, и).
126
Функции и пРЕДь-лы
Рё ина
уткйт)
Рис. 4 .10
Функция у=іс/х при іс>0 убывает в каждом из проме-
жутков (-сю, 0) и (0, +00). Действительно, пусть х2>Х| >0 и
у]:](/х]а у2ІІС/х2- Тогда
[с
-Іс
ісх“х
ІС їісх]
х2:(І
2 )<0
У2_у|= “___”
хз хі
хіхз
х|х2
Значит, уг <у1, т е. в промежутке (0, +с×›) функция
у:-Іс/х убьтвает при Іс>0 Нетрудно убедиться в том, что
функция 32:16/х при іс>0 убьІвает и в промежутке (-ФФ, О)
Следовательно, чем больше положительная абсцисса хточки
графика, тем блшке данная точка к оси Ох. Для достаточно
больших значений х это расстояние может стать сколь угодно
малым. Чем ближе положительная абсцисса к нулю, тем больше
ордината точки графика и тем ближе эта точка к оси ординат.
Функция у=/с/ х при Іс<0 принимает отрицательные
значения, если х>0, и положительные, когда х<0- График
этой функции расположен во второй и четвертой координат-
ньІх четвертях (рис 4.10, б).
Нетрудно убедиться втом, что функция у=
- К/І при К<0
возрастает в каждом из промежутков (-ш, О) и (О, +00). От-
метим, что фшчкция у=/€/х , Іс ф 0, возрастает (или убьївает) в
каждом из промежутков (-ФФ, 0) и (О, +00), однако она не яв-
ляется возрастающей (или убывающей) на всей области опре-
деления.
Обратная пропорциональность
127
При любом значении Іс, А: і 0, график обратной пропорцио-
нальности у=1€/х представляет собой кривую, состоящую из
двух ветвей. Ее называют гиперболой Гипербола определяется
уравнением
хуыд ка:о.
(4.28)
Примеры
1 Разделить число Ь на п слагаемых обратно пропорцио-
нально числам 0|,02,-- -› 0-,1
› Обозначим искомые слагаемые буквами хІ, хз, ..., и:л ,
тогда, согласно условию задачи,
щщ=ид=Ш=щд
или
х1:х2___хп
і
1/1:І 1/«12 “ї/ап'
По свойству ряда равных отношений получаем:
21:1-1-31с2+...+хп _ хІ _ х2 _ _ хп
1/1:1]+1/с12+...+1/а,І 1/1:1 1/02
1/0,-
Тан как х' +х2 +...+;1:И =д, то отсюда находим:
х_
Ь І/аІ
х_
1')-1/::112
'
1/а,+1/а2+.. .,,+1/а 2 1/а'+1,/а2 чт-...+1/апа
Ь І/а
хп: 1/а|+1/аз+.. .+1/а
(4-29)
2. Разделить число 130 на части, обратно пропорциональ-
ные числам 2, 3, 4.
› Пользуясь формулами (4.29), приведенными в примере 1,
находим:
_1_+1+Ё_:ЁЁ_., х,=1/2-10-1213060
2з412
322
12
1301/3
1301/4
х,=
=10і12=40, 11,:
=10--:12 зо 4
13/12 з
13/12 4
128
Функции и пРЕдЕлы
З а ме чан и е. Данный пример можно решить и другим способом.
Для того Чтобы разделить число на части обратно пропорционально
данным числам, нужно это число разделить на части прямо пропор-
ционально обратным числам.
Числами, обратными числам 2, 3, 4, будут 1/2, 1/3, 1/4. Замеиим
1І1
отношения ЕЩЁ; дробных чисел отношением целых чисел 6 : 4 : 3
и разделим число 130 на части прямо пропорционально этим числам.
Обозначив искомые части через а, Ь, с, получим:
_
“О 62192640, ь:1_32.4=40, 639.3:30. <
6+4+3
13
13
13
З. Какую линию определяет уравнение ху+3х-2у~12=017
Построить зту линию.
› Преобразуем левую часть данного уравнения:
ху+3х~2у~12=(ху-:2у) +(3х -6) -6 =у(х -2) +3(х -2) -6 =
=(дв--2)(у+3›)--6=0, (х-2)(у+3)=6-
Введем новые координаты, используя формулы (2.44):
Х =х~2, У=у+3. В новых координатах уравнение примет
вид ХУ=6. Сравнивая его с уравнением (4.28), заключаем,
что в новой системе координат уравнение ХУ =6 определяет
гиперболу (это график обратной пропорциональной зависи-
мости У=6/ Х ). Начало новой системы координат находится
в точке О| (2, -3). Координаты точки О1 получены из уравнений
Х =0, УЗО, хч2:0, у+3=0. Строим обе системы координат
Оху, ОІХУи гиперболу ХУ==6 в системе ОНИ/(рис. 4.11), 4
ул *Нд
Ё
кг:
_5
_;
Рис. 4 .11
Квацра тичная функция
129
Задачи
1.. Постройте графики обратных пропорциональных зависимостей:
2
2
8
8
а) У=-; б) У=Щ-*; в) у=-_; г) у=-Р-<--.
х
х
х+1
,ты-2
2. Разделите Число 1457 на Части, обратно пропорциональные
Числам 2, 3, 5.
3. Какие линии определяют следующие уравнения:
а) хущх-у-1=0;
б) ху+2х+2у-`4=0;
В) у=---;
г) у=
'?
х-І
х+4
Постройте данные линии.
4. Проверьте, является ли обратной пропорциональной зависи-
мостью функция, заданная табличным способом:
`
х
-6
-3
-2
- 1,5
-1
1
1,5 2
3
б
у-1
-2
-3
-4
-6
6
4
3
2
1
Ответы
1. в) Указание. Перейдите к новым координатам Х =х+1, У: у;
г) Указание. Перейдите к новым координатам Х =х-2, У = у. 2. 705,
470, 282. 3. в) Указание. Уравнение запишите в виде ху-у -х -2=0,
затем преобразуйте левую часть; г) Указание. Уравнение запишите в
виде х):-х+4у-3=0. 4. Является.
4.5. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИИ
Квадратичной называют функцию, заданную формулой
у=а×г2+дх+о
~
(4.30)
где а, д, с -- действительные числа, причем (1:0. В случае
(1:0 формула (4.30) принимает вид у=Ьх+с и задает линей-
ную функцию.
Так как выражение ах2+Ьх+с имеет смысл при любом
значении х, то квадратичная функция определена для всех х,
т. е. областью ее определения является бесконечный проме-
жуток (-ФФ, +ФФ).
Рассмотрим Частные случаи квадратичной функции.
130
Функции и пределы
1°. Функция у=шс2. Формула у=шс2 получается из
формулы (4.30) при Ь=0, с=0. Рассмотрим случай, когда
0=1 и формула Принимает вид у=х2. Очевидно, что у=0
при х=0. Далее, у>0 при хеО, поскольку х2>0, если х±0.
Следовательно, все точки графика функции у=х2, кроме
точки (О, О), лежат выше оси Ох.
Докажем, что функция ў(х)=х убывает в промежутке
(-ее, 0) (на множестве отрицательных чисел) и возрастает в
промежутке (0, +00) (на множестве положительных чисел),
Действительно, если х, и х2 -- отрицательные числа, удовлетво-
ряющие неравенствам хІ <х2 <0 , то числа --х1 и -хд являются
полоящтельными, причем -~Эс1 >-х -,. , откуда (Шэс')2 :›(--.к2)2 или
хЁ>хЁ ,т. е. ](х,) >І(х,). Итак, из неравенств х|<х2<0 сле-
дует неравенство Ґ(х1)>1с(х2). Значит, функция }`"(л)='зс2
убывает в интервале (-ш, 0). Пусть х, и х2 _-
положительные
числа, причем 1,062. Отсюда следует, что х? <х22 или
Ґ(х,)<ї (152). Таким образом,
(хІ <х2)4:>(ї(х1)<1г(х2))›
т. е. функция ]г(эс)=э<:2 возрастает в интервале (О, +00).
Поскольку (Ёх)2=х2, т. е. /(-х)=/(х), то у"(х)=х2 - чет-
ная функция и ее график симметричен относительно оси Оу
(рис. 4.12).
2
ъ-'Ёк
`*
Рис.4і2
Рассмотрим функцию і(эс)=ах2 , аггО. При любом а, кро-
ме 0:20, областью определения функции является бесконеч-
ный интервал (-=›=›, +аа), так как выражение ах2 имеет смысл
для всех значений х.
Квадра тичная функция
131
Если а>0, то множеством значений функции /(;›::)=.:рс2
будет полуинтервал [0, +00). Функция І(х)=ах2, а>0, убы-
вает на множестве отрицательных Чисел, поскольку
(х, <х, <0)=>(х,2 >х;) щахї > ті),
и возрастает на множестве положительных чисел, так как
(Окт:| <х,)=>(х,2 -<х,2)=:›(ш›с|2 < 010,2):
Поскольку }“(л)=шс2
-
четная функция, то ее график сим-
метричен относительно оси Оу, проходит через начало коор-
динат и целиком расположен в первой и второй координат-
ных Четвертях.
`
Если а<0, то множеством значений функции І(х)=<:1'х2
будет полуинтервал (-ш, 0] . Функция у=ах2, а<0, возрасташ
ет на множестве отрицательных чисел, так как
(х, -<х2 <0)=>(х,2 >хр2_1)=>(а:~с|2 < ахЁ),
и убывает на множестве положительных чисел, поскольку
(О<:х,<:х1,)=:~(х,2 < х,,2)=:>(.«:1х:12 > ахЁ).
2
График функции І(х)=ах , а<0, проходит через начало
координат, целиком расположен в третьей и четвертой коорш
динатных четвертях и симметричен относительно оси Оу.
1
На рис. 4.13 изображен график функции 1"(Юг-5.13 .
Ул
Рис. 4.13
График функции у=ах2 называют параболой. Парабола
симметрична относительно оси ординат. Ось ординат называ-
ют осью сылшєтриы параболы. Точку пересечения параболы с
осью ее симметрии называют вершиной параболы.
132
Функции и пределы
Замечан ие. Если на одном рисунке изобразить графики функ-
._,
2
2
ции у=ах и у=-ах , то они будут симметричны относительно
оси Ох.
2°. Функция у=дос2 +Ьх+с, (#0. Так как 61120, то допус-
тимы следующие преобразования:
Ьс
у=::.1'›с2 +Ьх +с =о [2:2 +-х +--
=
а
а
2
=а
х2+2іх+ї_ї _+2 ...а х+_Ё_ _
_152-401:
20402402а
261 4.12
_ а х+і2_Ь2--4ас
у
20
4612
(4.31)
Следовательно, уравнение у=ах2+Ьх+с равносильно
уравнению (4.31). Введем обозначения:
р=--;Б, дььїїсїс.
(4.32)
Тогда уравнение (4.31) примет вид
у±а(х-р)2+9 или у-Ч=а(х-р)2.
я
(4.33)
Перейдем к новым координатам по формулам:
Х=хчер, У:у-Ч.
о.
(434)
Уравнение (4.33) примет вид
у=аХ2. г
(4.35)
Графиком функции, заданной уравнением (4.35) в системе
координат 0| ХУ , является парабола. Следовательно, график
функции (4.30) представляет собой параболу. Вершина этой
параболы находится в точке с координатами Х=0, Уг-О. Из
равенств Х =0, У=О и формул (4.32), (4.34) находим старые
координаты вершины параболы (4.30):
х=р=-д/(2д), у=9=_(4ас-д2)/(4а).
Прямая х=-Ь/(2а) служит осью симметрии параболы.
Кведра тичная функция
133
Примеры
'Ґ
1. Построить график функции у=2х2 _4х..1_
› Выделим из данного трехчлена квадрат двучлена:
у=2(х2-2х+1)~2-1, у=2(х-І)2-3, у+3=2(х-1)2.
Перейдем к новым координатам Х и Упо формулам:
Х=хы1, У=у+3.
(4-36)
Это формулы преобразования координат при параллель-
ном переносе (см. 5 2.9). В новых координатах данное уравне-
ние примет вид
У=2Х2.
} (4.37)
Оно определяет параболу, вершина которой находится в
точке с координатами Х =0, У=0. Старые координаты х и у
вершины найдем Из формул (4.36): х-1±0, у+3=0, откуда
х=1, у==-3. Следовательно, вершина параболы находится в
точке 0І (1, -3),.
Строим обе системы координат Оху, ОІХУ и
саму параболу, определяемую уравнением (4.37), в системе
координат ОІХУ (рис. 4.14); т. с. парабола построена по от-
ношению к системе Оху. 4
'ї *ь
711.
НЭ ЦБ
'
м
д
'
ч
_
_
ч
:
_і
і
І
+24 0,]ё_З
Ґ
Ъ
:
Рйс.4.14
134
›
І Функции и пРЕдь-лы
2. Найти координаты вершины параболы, определяемой
уравнением у:2х2+4х-1.
Ь Преобразуем данное уравнение:
у=2(х2+2х+1)-2-1, у=2(х+1)2-3, у+з=2<х+1)2. отсю-
да видно, что вершина параболы находится в точке
О](н1› щ3) 4
Задачи
1. Постройте графики функций: а) у=2х2; б) у±-2х2.
2. Постройте графики функций:
а) у=х2+4х+1; 6) у=~зх2+6х-1.
З. Найдите координаты вершины параболы:
а) у=2х2+4х-7; б) 4у=-х2+4х.
Ответы
аа) у=Х2, о,(-1,-з›; б) ушзхї оІ (1, 4). 3.8) 0. (-1, -9);
в) оІ (2, 1).
4.6. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степєнной называют функцию, заданную формулой
у=аха ,
(4.38)
где а и о: -- действительные числа, причем 0:0, (1420, х --
независимая переменная. Отметим, что при а==0 формула
(4.38) имеет вид у=0, а при (1:0 -- вид у=а. Уравнение
у=а определяет прямую, параллельную оси Ох (см. ё 4.3), а
уравнение у=0 -- ось Ох. Эти случаи исключаются из даль-
нейшего рассмотрения.
Будем рассматривать случаи, когда ов = п, где п -- натураль-
ное число. Функция у = ах” определена при всех значениях
аргумента.
При (1:1 формула (4.38) принимает вид у=шс и задает
прямую пронорциональную зависимость, график которой
-
прямая, проходящая через начало координат и точку А (І, а).
При (1:2 формула (4.38) имеет вид у=дх2 и задает квад-
ратичную функцию, график которой является параболой с
вершиной в начале координат. Осыо симметрии этой нарабо-
Степенная функция
135
лы будет ось ординат; парабола расположена выше оси Ох при
а>0 инижеее~приа<0.
Если ос=3, то формула (4.38) принимает вил у=ах3. По-
ложим а=1 и рассмотрим свойства функции у=х3.
1°`.
Функция у=хЗ определена при всех значениях х, т. е. об-
ластью ее определения является бесконечный интервал
(-Ш, тм)-
2°. Множество значений функции у=х3 совпадает с беско-
нечным интервалом (-оо, вт).
› В самом деле, любое действительное значение ув Дан-
ная функция принимает при ха:3 у0 . 4
3°. Если х=0, то у=0; это означает, что график функции
у=Х3 проходит через начало координат.
4°. Функция принимает положительные значения при х>0 и
отрицательные при х<0.
Из свойства 4О следует, что график данной функции распо-
ложен в первой и третьей координатных четвертях (так как
обе координаты любой точки графика, кроме точки (0, 0), ли-
бо положительные, либо отрицательные).
5°. Функция уїх3 является нечеткой; ,она определена на
сииметрическом множестве -- интервале (-Ш, +00), и при лю-
бом х выполняется равенство Ґ (-х)=--]Г (х)
поскольку
(-х)3 =-х3. Следовательно, график функции симметричен от-
носительно начала координат.
6*. Функция у==х3 возрастает во всей области ее опреде-
ления.
4Всамомделе,еслихїихз
-
любые действительные числа,
удовлетворяющие неравенству хІ ~<х2 , то
3
3
2
2
х2 -хІ =(х2 -х1)(х2 +х| х2 +хІ )
или
123
Поскольку х2 -х| >0, то из последнего равенства следует,
3
3
что 3х2 штх1 >О или х; >х|3. Итак, (я:І <х2)=>(х13<хї); значит,
у=х
--
возрастаюшая функция. 4
136
Функции и пРЕДЕлы
С учетом перечисленных свойств можно построить график
функции у=з›<:З (рис. 4.15).
М
их;
,-
10х
,т
_,
-
Рис. 4.15
Рассмотрим функцию у=ах”, где п
-
нечетное Число, т. е.
п=21с+1, Іс == 0, 1, 2,
.
Эта функция обладает свойствами,
аналогичными свойствам функции у=х3. График функции
у=шс2к+і при а>0 напоминает график функции у:х3, апри
0<0
-
график функции у=-эс3 _ При Іс=2 получаем функ-
цию у=х5 , график которой изображен на рис. 4.16.
уд
Рис. 4.16
Теперь рассмотрим функцию у=ах", где п -- четное Чис-
ло,т.е. п=21<, к:0,1,2,
.
Функция у=щ21< обладает свой-
ствами, аналогичными свойствам функции у=ах2. Ее график
напоминает график функции у=ах2. На рис. 4.17 изображен
график функции у=х4.
Показа тельная функция
`
137
І..
*2
'ід і
Х
Рис. 417
4.7. ПОКАЗАТЕЛЬІ-ІАЯ ФУНКЦИЯ
Функцию, заданную формулой
У=дх, а>0, (1:1,
(4.39)
называют показотельной функцией с основанием а.
Отметим, Что при а=1 функция у=ях постоянна
(у *'-"1Эс =1) при Всех х, и этот случай в дальнейшем рассматри-
вать не будем.
Так как выражение ах, а>0, от, Имеет смысл при лю~
бом значении к, то показательная функция определена На
Множество всех Действительных Чисел: В(дх)=(-°°, +°°)-
Функция ушах, а>0, азы, при неравных значениях аргу~
мента принимает различные значения.
При любом положительном о И любых действительных
значениях сс и [З справедливы равенства:
0
І
-
и
о =1, о =л, а”=1/а“,
ацов=ашв, (дцўтдв,
*1
а
4::1Ґ:'“/лВ == лтд, (ета: лада, [Ё =Ё_- ,
Ь
да
Перечислим свойства показательной функции.
1°. Функция у=лх принимает только положительные зна-
чения.
2°. Если е>1, то дх>1 при х>0 и лх<1 при х<0.
ЗҐ. Функция у=лх при л>І является возрастающей.
138
Функции и панда-ль:
4°. Если а~=і1, то ах<1 при х>0 инах >1 при х<0.
5°. Функция у=ах при а<1 является убывающей.
б” Каково бы ни было положительное число уп, существует
такое значение ХП, что а О =у0
7°`.
Если х неограниченно возрастает (х_ - ›+<ю),тто ах при
а>1 также неограниченно возрастет (а _›+=><›); еслихнеогра~
ниненно убывает (хЧ-яя), то их принимает сколь угодно ма-
лые положительные значения (ах-+0).
В случае а<1 функция ах неограниченно возрастает
(ах-++с›<>) При неограниченном убывании аргумента (ха-ФФ)
и принимает сколь угодно малые положительные значения
(ад-Ю) при неограниченном возрастании аргумента (х~:`›+<ю).
Пользуясь свойствами функции у=ах, можно построить
ее график при фиксированном значении а.
На рис. 4.18, а приведен график функции у=2х, на рис. 4 18, 6-
трафик функции у=2 Если эти графики изобразить в одной сис-
теме координат, то они будут симметричны относительно оси Оу
Той же особенностью обладают графики функций у=а и у=а х
при одном и том не значении а, а>01 оф І.
а
ЦС
гг*
їх
в
АТ
Рис.4 .18
З а м е ч а н и е. Многие процессы в природе (изменение атмосфер-
ного давления с изменением высоты над уровнем моря, рост численно~
сти бактерий, распад радиоактивного вещества и др.) могут быть опин
,І
саны с помощью формулы у=а* ,
д>0, а:1_ Фунщию у=а
, где
(1:9, 9:2, 713 _ __ , называют экспоненциальной и обозначают так:
у=ех или у=ехрх.
(4.40)
(Определение числа е дано в 5 4.12.)
Задачи
Постройте графики указанных фУНКІіий.
1.. у=(1,5)х. 2. у=3-х. 3,-у=ех.
Логарифмическая функция
139
4.8. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Логарифмы чисел и их свойства. Логирифмом числа Ь>0 но
основанию а, а> 0, ад, Называют показатель степени, в кото~
рую нужно возвести Число а, чтобы получить Число Ь. Для ло-
гарифма числа Ь по основанию а используется обозначение
103,5* (читается `«логарифм числа Ь по основанию ее). Вве-
денное определение означает следующее: если
а* =Ь,
(4-41)
то
х=Іоиа Ь.
(4.42)
Из равенств (4.41) и (4.42) следует равенство
Дюєдь =Ь,
(4.43)
которое называют основным логарифмическим тождестеом.
Если а и Ь - фиксированные числа, причем а>0, афІ и
Ь>О, то существует единственное значение х, удовлетворяю~
шее равенству а”с =Ь (поскольку каждое свое значение пока-
зательная функция с*к принимает только при одном значе~
нии аргумента х). Значит, при а>0, от] и Ь>0 логарифм
числа о по основанию а определен однозначно.
Поскольку а*к >0 для всех значений х, то при Ь.<..0 равен-
ство (4.41) не выполняется, т. е. отрицательные числаи число 0
не имеют логарифмов.
Итак, выражение 103,, Ь, где а>0, 0:1, имеет смысл толь-
ко при положительном Ь, Ь > О.
Например, 1032325, так как 25:32; 10%](1/8)=~.3, поскольку
2*3:1/23=1/8; 10341=0, так как 4°=]_
Свойства логарифмов следуют из соответствующих свойств
степеней, так как определение логарифма дано через понятие
степени. Будем считать, что основание а логарифмов - поло-
жительное и отличное от единицы число, действительные
~числа о, 6,, Ь, таковы, что Ь>0, Ь, >0, Ь2>0, т и п - дейст-
вительные числа, отличные от нуля.
1". Логарифм единицы равен нулю, т. е. 103,14).
Ь Действительно, если 103,1:х, то по определению лога-
рифма .0х=1, откуда, учитывая, что 42:21, имеем х±0, т. е.
~±103,,1=О. 4
140
`
Функции и пределы
2°. Если лоеарифм некоторого числа равен нулю, то это чис-
ло равно единице, т. е. когда 103,, 6:0, то Ь=І.
› В самом деле, поскольку 109,, Ь=0 при а°=о, то о: 1. 4
З“. Если число и основание лоеарифма равны между собой, то
логарифм равен единице, т. е. 103,, а=І.
›Действительно, если х=103а а, то ах=а, откуда х = 1,
т.е'. 103,а=1. 4
4°. Если логарифм некоторого числа равен единице, то число
и основание логарифма равны между собой (если 103а 6:1, то
Ь:а1=а)-
5°. Если два числа имеют один и тот же логарифм при дан-
ном основании, то эти числа равны между собой, т. е. когда
103, оі=х и ІОЁЛЬІ=х, то ЬІ=171.
› В самом деле, в этом случае «ах-«етап1 , ах=Ь,, т. с. о, = 1:12. 4
6". Если число и основание логарифма расположены но одну
сторону от единицы, т. е. они или оба больше, или оба меньше
единицы, то логарифм аоложителен.
›Докажем это свойство для случая а>1 и о>1. Предполо-
жим противиое, т. е. что х=ІоааЬ не является положитель-
Ным; тогда или аси-*0, или х<0. Если х=0, т. с. 103,6:0, то
Ь=1, что противоречит условию (Ь>1). Если х<0, то х=- у,
где у>0. Поскольку Ь=ах и ах=а*У=1/ду, то о=1/ау. Так
как а>1 и у>0, то ау>1, т. е. Ь<І, Что противоречит усло-
вию (бы). Итак, 103,, Ь>0, если а>1, Ь>1.
Аналогично доказывается, что 103а Ь>0, когда 0<а<1,
0<Ь<1, 4
”“
7". Если число и основание логарифма расположены но разные
стороны от единицы, т. е. одно из них больше, а другое меньше
единицы, то логарифм отрицателен.
Данное свойство предлагаем читателю доказать самостоя-
тельно.
8°. Если основание логарифма больше единицы, то большему
из двух ноложител ьных чисел соответствует бол ьшии логарифм
(а меньшаиу -- меньший) и, наоборот, большему лоеарифму со-
ответствует большее число. Если основание логарифма меньше
единицы, но положительно, то большему из двух положительных
Логарифмическая функция
141
чисел соответствует меньший логарифм (а меньшему -- боль-
ший) и, наоборот, большему логарифму соответствует меньшее
число.
Данноег свойство будет доказано ншке (см. пример 3).
Основные правила логарифмирования. Лоеарифмированием
называют операцию нахождения логарифма числа или лога-
рифма некоторого выражения. Логарифмирование использу~
ется при отыскании числовых значений выражений, при ре-
шении показательных уравнений. Действие, обратное лога-
рифмированию, называют потениированием. Потенцирова-
ние
-
это операция нахождения числа по его логарифму. Оно
используется при решении логарифмических уравнений и не-
равенств.
Рассмотрим основные правила логарифмирования.
1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен
сумме логарифмов множителей:
іоа,(/›.Ь2)=10а, Ь] +10а, и -
(4.44)
›Так как Ь, >0 и Ь,>0, то они имеют логарифмы. Обо-
значим эти логарифмы Через х] и х2 соответственно:
103,Ь,=х,, 10%, Ь2=х2. Отсюда по определению логарифма
мНа.,
а ,__
,
ах2=Ь2. Перемножив эти равенства, получим
ах'щг-Ьфг Значит,
103,,(151›,!'›,)=эсІ -Іьэс:2=103,,15›І Морда2 . 4
Отметим, что формула (4.44) справедлива для любого чис-
ла множителей.
2. Логарифм частного двух положительных чисел равен раз-
ности логарифмов делимого и делителя:
Н
о
ІФв,І Ё- ІОе, и -ІОаа дь-
(4.45)
2
› Введем следующие обозначения: 103а о, =х1, 103а о2=х,.
Тогда ох' =ЬІ , ах: 21,12, Разделив первое равенство на второе,
получим дхі'хг =Ь, /Ь2, Значит,
103,а Ё* жх,-х2=103ао,-103,,о2.. 4
2
142
'
Функции и ЛРЕДЕЛЫ
3. Логарифм степени равен произведению показателя стене-
ни и логарифма основания этой степени:
113%я от =т 10%Ы о.
-
(446)
› Пусть 103 ао=х, тогда ах =Ь и ат* =от.
Значит, 1031а от =тх=т 103,а Ь. 4
Замечание. Если т=Ёп, тоформула (4.46)принимаетвид
103.2 дэ” =
ЬЄ (-т, ОШ (0э +=><>)С
4. Логарифм корня равен логарифму иодноренного числа, де-
ленному на показатель корня:
10%1/11-9-тщё Ь
(4.47)
т
Данное правило следует из правила 3:
103,ІІ 'ддт-1103,І (ЬІ/т) =-1 --103а ЕШШ. 4
т
т
З а м е ч а н и с . Важные свойства логарифмов рассмотрены в при-
мерах 3Ё т~ 6.
Логарифмическая функция. Функцию, заданную формулой
у=1030х, а>0, а=±1,
(4.48)
называют логарифмическои' функцией с основанием а.
Логарифмическая функция у=10вах является обратной
поиазательной ФУНКЦИИ ушах. Графиком функции У=10Ѕа х
служит кривая, полученная из графика функции у=аЛ с по-
мощью преобразования симметрии относительно прямой
у=х (рис. 4.19, а).
0
І
'
'Ґ
г
3?
/
п
*ҐІР/
,Ґ
/
у іаўдх
/
1
/в< вс І)
Рис.4.19
Погарифмическая функция д
_
143
Логарифмическая функштя у=103_а х, а>0, агв1, определена
на множестве всех положительных чисел: В (Іода х)=(0, +ш) .
Область ее значений в* множество всех действительных чи-
сел: Е (103а х): (-ФФ, +00).
Перечислимсвойства логарифмической функции
у=103ах, а 7:0, а;±1.
1°. Логарифмическая функция является монотонной на всей
области ее определения, причем убывающей при 0<а<1 и возра-
стающей при а>1.
2°. При х=1 значение логарифмической функции равно нулю:
103а1=0.
Точка (1, О) не единственная точка пересечения графика
логарифмической фУНКЦИи с осями координат.
И
3°. Еслиа> 1, то у=1030х<0 при 0<х<1 и у=Іоёах>0 при
х>1; если 0<а<1_ то у=103ах<0 при х>1 и ушіоёах>0 при
0<х<1.
Указанные свойства логарифмической функции следуют
из рассмотренных ранее свойств логарифмов.
4°. Если а>1 и х, убывая, стремится к нулю (х->0), то
103а х неограниченно убывает (ІОЁДх-э -оо); если х неограни-
ченно возрастает (х->+=×›), то и 103а х неограниченно возрас-
тает (103а х-›+<×›). Если 0<а<І и х->0, то 103а х->+=›=›; ес-
ли х_›+~=×=›, то Іодах-э -с-Ф.
Перечисленные свойства дают возможность судить о пове-
дении логарифмической фУНКЦИи в зависимости от измене-ь
ния аргумента х.
Графики, приведенные на рис. 4.19, а и 6, иллюстрируют
свойства логарифмической функции при а > 1 и 0<а<1.
Десятичные лвгарифмы. Натуральные логарифмы. В теоре-
тических вопросах и вычислительной практике часто исполь-
зуют логарифмы с основанием е ( 82:2,7 18 ___; определение
числа е дано в 5 4.12) и с основанием 10.
Логарифмыцс основанием а=10 называют десятичными и
обозначают ІЁЬ :
13Ь±Іоёш Ь.
(4.49)
Лотарифмы с основанием аїг называют натуральными и
обозначают Іл о :
144
Функции и пределы
111 Ь: 1036, Ь.
(450)
В соответствии с равенствами рассматривают логарифми-
ческие функции
у=13х,
(4.51)
углы,
(4.52)
определенные на множестве всех положительных Чисел.
Установим связь между натуральными и десятичными ло-
гарнфмами. Если у=13х, то 10у =х. Прологарифмируем это
равенство по основанию е: у1п 10:11] х. Значит,
1пх=М13х, М=Іп10ш2,3.
(4.53)
Пользуясь данной формулой, можно построить график
функции у=1п х, если известен график фуНКЦии у=13х. Гра~
фики этих функций изображены на рис. 4.20.
Уд
умы!
у=ЁўХ
ъ
і
Е
Ъ
ы
'
г
Рис.420
Рассматривается также функция
у=1п|хі,
(4-54)
определенная на множестве всех действительных чисел, кро-
ме нуля. График этой функции приведен на рис. 4.21.
Ул
-
ТЕМЫ
Рис.421
Логарифмическая функция
145
в
Примеры
1. Доказать, что если основание логарифма больше едини-
цы, то большему из двух положительных чисел соответствует
больший логарифм; и наоборот, большему логарифму со`от-
ветствует большее число.
<
› Докажем, что если о > 1, то из неравенства 0<Ь, <:Ь2 сле-
дует 103 аЬ, <103а Ь2 , и, обратно, из неравенства 103 аЬ, «1:103,І Ь2
следует неравенство 171472-
`
и
__Ь' <1
Деиствительно, так как 0<Ь, <Ь,, то Ь , поэтому
2
Ь
с
о
103,,-'<0, где о > 1 (на основании своиства 7 логарифмов).
Согласно формуле (4.45),
103,, ч,43:103а Ь1 -103,, Ь2.
Значит, 103,, Ь, 403,, Ь, <0, откуда 103,, Ь, <103а Ь2. Итак,
(а > І, 0<Ь, <Ь2 )=> (103,, Ь, <103,, Ь2 )
Докажем обратное: если о > 1, то из неравенства 103а Ь, <103,, Ь2
следует, Что Ь, <Ь2 . Для этого сравним две степени: оІОВІІЬЕ и
оІОЕЄІІЬІ . Так как о> 1 и 103,, Ь, <103а Ь2 ,то атм (датам (съ/1.5 3.1),
откуда на основании формулы (4343) получаем, что Ь, <Ь2 . 4
2. Доказать, что
103 сЬ
Іовад=
,
в>0,а±1,с>0,д>0.
(4.55)
103 о
С
› Пусть о” =Ь, тогда х=103аЬ. Первое равенство пролога-
рифмируем по основанию с и используем второе равенство:
103 Ь
ІОв ,Ь
_103 ,Ь
х103, о=103С Ь, х=,
ОЅС а
103,. о
Доказанная формула позволяет перейти от одного основания
к другому. Она означает следующее: логорифм положительного
число Ь но основанию в роввн логорифму того же число Ь но осново-
нию с, двввнному но логврифм первого основания о по основанию с.
146
Функции и ПРЕДЕЛЫ
Отметим частный случай формулы (4.55): если с = д, то
1
іова Ь=
,
(4.56)
так как 103Ь Ь=І (см. свойство 3° логарифмов),
Замечание. Если а> 1, Ь> 1, то
105а Ь+103д 022
(4.57)
(так как сі+Ё22 при аЬО).
3. Доказать, что
Іоёап Ь'” =ш1030 Ь.
(4-58)
п
› Данная формула верна тогда и только тогда, Когда верно
равенство
л шюзад
т
(а )"
=Ь
.
В справедливости последнего равенства убеждаемся следу-
ющим образом:
т ІодпЬ
т
(ап):|°3ад: а п
=(ат)1050д=(аіодад)т =Ьт
(здесь использовано основное логарифмическое толщество). 4
Отметим частные случаи формулы (4.58). При п = 1 полун
Чаем формулу (4.46) для логарифма степени:
ІОЁД Ьт =т 103а Ь.
В случае п = т формула (4.58) принимает вид
10315125=103ат Ьт, к
(4.59)
т. с. значение логарифма не изменится, если Число и основа-
ние возвести в одну и ту же степень.
Когда т == 1, получаем формулу
4.60
Іоиа.. Ь=10Ё” Ь.
()
Н
Логарифмичвская функция
147
4. Доказать, Что-
(1030 Ьт)” =т'**(10ва 11)” -
(4.61)
› Принимая во внимание формулу (4.46) и возводя в п-то
степень обе ее части, получаем:
(10%Ізг Ь'")” =(т1слё>;шї 6)" =ітт"(103а 6)" .
4
За мечани е _ Формулу (4.61) можно записать в виде
103: Ьт =т" 10%: Ь.
5. Упростить выражение 103З 5 І1032581.
› Используя формулы (4.46), (4.56) и (4.59), находим, что
1% 540% а1=1од35 -10д5291 =10335~10$59 =
=10335 103532=10335-210353 =210335 -
=2. 4
103З 5
Замечание. Можно воспользоваться и формулами (4.56) и
(4.58):
4
10335.10ё2581=10335-10Ё5234 =10Ё35 .
-2-10Ё5 3 =
=2103з 54035 3 =2.
6. Найти 10356, если 132:а, 133=Ь.
› Перейдем к десятичным логарифмам с использованием
формулы (4.55):
6:136=1$2+133 :а+Ь
5 1%5 1%10-1д2 1-а'
4
1Оёх+3 6
103 2
7. Доказать, Что
=10326.
х+3
› Так как
__
1032 2
10,9,2 (х+3),
7
х+3
148
Функции иа пРЕДЕЛы
ТО
108х+36 10326 _ 10322 10326 '
=
_
=
=10326. 4
Іо$х+32 1032(х+3) 1032(х+3) 10322
анойти 1131215, ооли 1о'5=о, 1о7=о
› поскольку 1225=352, 1%122,5=1о352-131о, то
13122,5=2(135+137)-1=2(а+Ь)-1. 4
9. Вычислить разность ЗЧЩЗ'4 -4“'°Ё43 .
› Преобразуем первое выражение, умножив Показатель
степени на 1:1/Іоё34 *110334, использовав основное лога-
рифмическое тожлество и формулу 103а д=1/103_ь а:
3410334 =3\/1°Ё34\Л°334/\д0334 = (3ї0334)|/Ш =
=4І/ш »тміід/КТЁ'ЕЭ ЗМ =4ШІ 4
Следовательно,
3Ш_4\/15Ё4_3 Ѕ4Ш _4Ш =0. 4
Іоё3 12 _ 10334
ІОЁзо 3 10%108 3
10. Вычислить разность
› Переходя К основанию 3, используя формулу
ІОЁЙЬ=1/1оёдд иравенство 10333=1, получаем:
1оо312_1о334 _ 1оо312
1ооз4 _
103363 1031083 1о333/103336 10533/1033108
=1одо3 12-1оо336-1оо34 1оо3108=1о83<3 . 4) -1оо3(32« 4) -
-
1о83 4-1оо,З (3З -4).-_(1+1оо3 4)(2 нод З4) г-
-1о334.(з+1оо34)=2+1оо34+210в34+10вї4-310в34-
ндмоё-1:2. 4
11. Выяснить, Что больше: (_102040а 3) или (-НІонОдОА).
› Сравним сначала Іоёц4 0,3 и 113%О 3 0,4_ Основания лога~
рифмов меньше единицы. Логарифмическая функция в этом
Логарифми ческая функция
149
случае убывает: 103004 0,3>1, так как 0,3 < 0,4; 1030,З 0,4 <1, ибо
0,4 > 0,3. Следовательно, 10303 0,4 <10$004 0,3. Умножая это не-
равенство на -1, получаем ответ: _іодоз 0,4>_10Ё0 00,3, 4
12. Выяснить, что больше: 103, 5 или 10%5 32.
› Из очевидных неравенств 22<5<23, 52<32<53 получа-
ем, что 2<10305<3, 2<:10$5 32<3, т. е. эти значения находят-
ся в промежутке (2, 3). Разобьем данный промежуток на два:
(2, 9/4) И (9/4, 3).
Сравним 29” и 5 или 29 и 54.Та1< как 29:512, 54:625,
то 2(3 <54 или 29/4 <5.
Логарифмируя по основанию 2 неравенства 2944~<5<23 , по-
лучаем:
9
9/410322<10325<10%223 или Е<10ё25<3.
(4.62)
Сравним 32 И 59/4 или 324 и 59. Поскольку
32 =1о43576, 59:1773125 то з2<5914
Логарифмируя по основанию 5 неравенства 52<32<59/4,
находим:
2<103,з2<090
(4.93)
Из неравенств (4.62) и (4.63) следует, Что 10%2 5>1030 32. <
Задачи н упражнения
1. Выясните, какие из данных чисел положительные, а какие от-
рицательные:
а) 103015; 5) 1030021; В) 1034391; г) 1030070,02.
2. Выясните, что больше:
5
а) 10307 или 10300227; б) 10356 или 10303.
3. Вычислите: _
___3___
0
а) 105% 32-73: б) 3'032115; В) 16%4; Г) 625г'03253.
4. Упростите:
а) 10%03-1032064; б) 10334~10345~10$56 ---1030027;
150
`
Функции и пРЕдЕлы
ЗГІВЅ
ївіда
150 _
В)51%25;г)а ,
д) Ь'”Ё”“`-С'°Ѕдд, гдеа>0;аэ±1;Ь>0;с:=-0.
5. Прологарифмируйте:
д
56,23,
3:),4 зьїзёї гдеа>0; Ь>О; с>0; б) В:
(кН-Ь) _
123(а Ь2)
6. Найдите х, если:
5
а) 13х=813а+313Ь-513с, гдеа>0;д>0;с>0;
210ЁЗ7_108356 .
7. 'Упростите:
'0210015 Июнь тыщ)
1
Ь?
Ьзаа1315»
а) зцўщ'б5 +1г_›1"132 ~31°В936~Э
б)
8. Докажите, что І+133=1`55+136.
9. ,Покажите формулы:
1..
а) 103%, -~Б=1є:\3а Ь; б) 103,/аг І:›=--›103а Ь.
_
ІІ
І5
10. Вычислите разность 083 32- 033
.
ь 108153 1024053
1з12
11. Вычислите разность 2033 *5083 .
12. Выясните, что больше: 1052 3 или 1035 8 .
Ответы
1 а) 10%815 в) Юёвзгтмо 2 б) ІОЅЅЫОЁЗЗ З 205
-
;6) Г
в)9; г)45 4 а)2;б)1;в) 25\Г;Г) 1301100 6- а) Х=адї;
б) х=66-7 -4
.
7.а) 24; б) а + Ь. 10. З. 11 О. 12. ІОЁЗЗЫоЁЅЅ. Указание.
Рассмотінте очевидные неравенсгва: 2<3<22, 5<8<521 Убедитесьв
том, что 8<5ш.
Преобразования графиков функций
151
4.9. пРвовРАзовАния гРАфиков Функции
Во Многих случаях график функции может быть построен
как результат некоторых геометрических преобразований (па-
раллельный перенос, поворот, симметричное отражение от-
носительно какой-либо оси, сжатие к оси, растяжение от оси
и др.) известного графика исходной функции. Покажем, как
по графику функции 1,” (х) построить график некоторой функ-
ции (р (х). Будем считать, Что функция /(х) рассматривается в
области ее определения и график ее построен.
І. График функции ср(х)=](х)+а, о ± О. Области
определения функций Дх) и (р(х) совпадают. Замечаем, что
при любом фиксированном значении х=х0 (из области опре-
деления функций) значения функций отличаются на одно и
то же число а: <р(х)
-
І (х) == а, поэтому, если точка М (ха, уп)
принадлежит графику функции Лх), то точка Ы(х0, у0 +о) бу-
дет принадлежать графику функции (р(х) (рис. 4.22). Значит,
для построения графика функции <р(х) =/(х)+а , а ± О, сле-
дует график функции І (х) перенести параллельно в напраІяІе-и
нии оси ординат как единое целое на Іо' единиц вверх, если
о>0,иливниз,еслио<О.
Ч
к
ядру?
*0
0
с
а
:
ш
.
.
.
ь
.
,
2
Рис. 4.22
Замечание. Для построения графика функции (МКР/(КПЦ
можно перенести ось абсцисс на а' единиц вверх, если а > 0, или
вниз, если а «с 0, и в новой системе координат построить график
функции у” (х), который для исходной системы координат будет гра-
фиком функции (р (х).
2. График функции (р(х)ш]”(х+о) , Ь т О. Область опре-
деления функции ](х+Ь) состоит из таких х, что х + Ь при-
152
Функции и пРЕДЕлы
надлежит области определения функции і (х). Пусть Ь > О и в
некоторой точке 11:11, функция (р(х) имеет значение
(р(х0):/(х0+Ь) . Очевидно, Что такое значение будет у функ-
ции І (х) в точке х0+Ь, т. е. функция (р(х) принимает те же
значения, что и функция І (х), но в точках, расположенных на
оси абсцисс левее на Ь единиц. Заметим, что если Ь < О, то
функция (р(х) принимает те же значения, что и функция І (х),
но в точках х, расположенных на ІЬІ единиц правее. Таким
образом, если точка М (хо, уп) будет принадлежать графику
функции 1” (х), то точка 1\ї(х0 -Ь, уо) будет принадлежать гра-
фику функции (р(х) (рис. 4.23). Значит, для построения графин
ка фУНКЦИи (р(х)= ](х+Ь), Ь а: 0, график функции Х (х) как еди-
ное целое следует перенести параллельно в направлении оси
абсцисс на |Ь| единиц влево, если Ь > 0, или вправо, если Ь < 0.
Удъ
\ ПГЬЁ
Рис. 4 .23
Замечание. Для построения графика функции (р(х)= І (х+ Ь),
Ь ± О, можно перенести ось ординат на ІЬІ единиц влево, если Ь > 0,
или вправо, если Ь < 0, и в новой системе координат построить гра-
фик функции Лх), который Для исходной системы координат будет
графиком функции (р (х).
3. График функции (р(х)=]"(х+Ь)+а , где а т 0; Ь ± 0.
График функции (р(х)=/(х+Ь)+а можно построить по гра-
фику функции ](х), применив последовательно приведенные
выше правила.
Например, график квадратного трехчлена (р(х) =(хн2)1+3 мо-
жет быть получен из параболы у”(х)=х2 сдвигом ее параллельно оси
ординат на 2 единицы вправо и параллельно оси абсцисс на 3 единиР
Цы вверх.
4. График функции ср(х)=І(-х) . Функции/(х) и (р(х)
имеют области определения, симметричные относительно на-
Преобразования графиков функций
'
153
чала координат. Пусть в точке х=к0 функция І (х) принима-
ет значение [(хо). Функция (р(х)=](-х) принимает такое же
значение в точке х = -х,,, которая симметрична хо относи-
тельно оси ординат: (р (- хп)ш І(-(- 110)): І(хп). Следователь-
но, если точка М (хп, уп) принадлежит графику функции ьДи),
то симметричная ей относительно оси Оу точка П(-х,,, уп)
будет принадлежать графику функции ср (х). Значит, чтобы
построить график функции <р(х)= 1”(- х) , следует график
функции [(х) симметрично отобразить относительно оси Оу
(рис. 4.24).
'
Удк
т/х)
Ґ/х)
д* *т'щт--щ и
ІУа
1
1
1
'
г
1_
1 ___:
'Ха
17
кдх
"
Рис- 4.24
5. График функции (р(х)==-/(х). Функции 1” (х) и
(р (х) имеют одну и ту же область определения. Значения
функции <р(х)=щ 1” (х) при всех значениях х (из области опре~
деления функций) равны по модулю, но противоположны по
знаку значениям функции І (х) при тек же значениях х. Если
точка М (хп, уп) принадлежит графику фУНКЦИи І (х), то точ-
ка Лого, -у0) , симметричная ей относительно оси Ох, будет
принадлежать трафику функции ср (х). Значит, при построе-
нии графика функции (р(х)=- І(х) следует график функции
І (х) симметрично отобразить относительно оси Ох (рис. 4.25).
К
удщш
1
1
ъ
;
1
:
:
_
_
_
_
с
:
Ъ
:
154
Функции и пРЕдЕлы
6. График функции (р(х)=т](х), т > О. Функции/(х)
и (р (х) имеют одну и ту Же область определения. Замечаем, что
при равных значениях аргумента х (из области определения
функций) значения функции ср (х) будут в т раз больше соот-
ветствующих значений функции 1” (х) при т > 1 или в І/т раз
меньше, если О < т < 1. Значения аргумента, в которых функ-
ция равна нулю, совпадают (такие значения аргумента назы-
вают нулями функции). Если точка М (хп, уп) принадлежит
графику функции І (х), то точка АНхО, туо) будет принадле-
жать графику функции <р(х)=т/(х) . Значит, для построения
графика функции (р(х)=т] (х) следует каждую ординату гра-
фика функции І (х) увеличить в т раз, если т > 1 (произвести
растяжение от оси Ох), или уменьшить в І/т раз, если 0 < т < І
(произвести сжатие к оси Ох). Нули функций остаются на месте.
З амеч а ни е . Если т < 0, то к преобразованию сжатия (растяже-
ния) присоединяется симметрия относительно оси Ох.
7. График функции <р(х)={(пх) , п > 0. Функция
<р(х)= 1"(их) определена для тех х, при которых их принадле-
жит области определения функции І (х). Пусть в некоторой
точке х=х0 (из области определения функции 1*” (х)) функция
І (х) принимает значение І (хо). Функция ср (х) будет иметь то
же значение в точке хе-Ё -О- , так как
Ё
(р [32]?1/ (п 362)*7-1-(3511)
П
п
Значит, если точка М (хп, уе) принадлежит графику функ-
ции І (х), то точка Ы (хп/п, ус) будет принадлежать графику
функции (р (х)- Следовательно, чтобы построить график функ-
ции (р(х)= /(пх), необходимо абсциссы всех точек графика
функции І (х) уменьшить в п раз; если п > І (произвести сжа-
тие графика функции Лх) к оси Оу), или увеличить в І/п раз,
если О < п < 1 (произвести растяжение графика от оси Оу).
Точка пересечения графика с осью Оу остается на месте.
Ґ
Замечан ие. Если п < О, то к преобразованию сжатия (растяже-
ния) присоединяется симметрия относительно оси Оу.
Преобразования графиков функций
155
8. График функции (р(х)=|/(х)[. Из определения моду-
ля следует, что
Лх), если 111020,
-Лхь если і(х)<о.
Следовательно, для значений аргумента х, при которых
/ (1020, трафик функции ср(х) совпадает с графиком функции
Лх); для тех же значений х, при которых І(х)<0, трафик
функции ср(х) совпадает с графиком функции -[(х). Таким
образом, чтобы построить график функции ср(х)±|](х)|, сле-
дует оставить без изменения те Части графика функции І (х),
где І(1020, а те части графика функции Лх), где [(х)<0,
симметрично отобразить относительно оси Ох, Чтобы полу--`
чить точки графика функции <р(х), соответствующие тем же
абсциссам (рис. 4.26).
их) = [гот ={
Ц
“ті
НЫІ
0аС ,57
'
Ё),
Ри с. 4.26
9. График функции (р(х)=](|х[). Прежде всего заметим,
что И: х для всех 1:20. Следовательно /(|х|)=]`(х). Значит,
все точки графика функции Лх), лежащие в правой полуплос-
кости, будут принадлежать и графику функции (их). Для всех
х <: 0 (р(х)=](|-х|) = [(ІхІ), т. е. функция <р(х) - четная, а граш
фик четной функции симметричен относительно оси Оу
(см. 5 4.1; четные и нечетные функции). Таким образом, при
построении графика функции <р(х)= І(|х|) необходимо сохра-
нить без изменения ту часть графикадх), которая расположе-
на справа от оси Оу и на ней, и отобразить ее симметрично от~
носительно оси Оу. По этому правилу построен трафик функ-
ции І(х)=1п|х| (см. рис. 4.21).
156
Ф Ункции и пРЕДЕлы
10. График функции (р(х)=|] ([хІ) І При построении
графика функции кр(х)=|/ (Ы) мо>_кно последовательно при-
менять правила 8 и 9 построения графиков.
Примеры
1. Построить графики функций ср(х)=х2+1,5, ср(х)=х2-4.
Ь Построим сначала график функции ](х)=х2. Сдвинув
его параллельно вдоль оси ординат на 1,5 единицы вверх, по-
лучим график функции ср(х)=х2+1,5. Сдвинув график функ-
ции 1*"(х)=х2 вниз на 4 единицы, получим график функции
(р(х)=х2-4 (рис. 4.27). 4
Рис. 4.27
І
2. Построить график функции (р(х)=~1--3 или у=;-З.
х
› Запишем данную функцию в виде у+3=-; и перейдем к
новой системе координат по формулам: Х =х, У ==у+3. Тог-
да функция примет вид: У ---1 -
.
Строим график обратной
пропорциональной зависимости в новой системе координат
ОІХУ с началом в точке О| (О, -3) ; тем самым будет построен
график исходной функции у=І/х-3 в системе координат Оху
(рис. 4.28). 4
155
Преобразования графиков функций
уд
у
Рис.%28
3. Построить графики функций <р(х)=(х-2)2, Ф(х)=(х+3)2_
› Сначала построим график функции Ґ(х)=х2×. Сдвинув
его параллельно вдоль оси Ох на 2 единицы вправо, получим
график функции ср(х)=(х-2)2. Сдвинув график функции
1“(х)=х2 на 3 единицы влево, получим график функции
ф(х)=(х+з)2 (рис. 4.29). 4
Рис.429
ш
4. Построить график функции у: х_3.
Ь Перейдем к новым координатам по формулам: Х =х-3,
У = у. Тогда функция примет вид У=-Х-- Строим график об-
ратной пропорциональной зависимости в новой системе ко-
ординат 0| Ху с началом в точке О| (3, 0); тем самым постро--`
ен график функции у=1/(х-3) в системе Оху (рис. 4.30). 4
158
Функции и пРЕдЕлы
Рис.4.30
5. Построить график функции (р(х)=-х2_
› Построив график фУНКЦии ї(;›с)=х2 и отобразив его
симметрично относительно оси Ох, получим график функции
<р(х)=-х2 (рис. 4.31). <
УА
Рис. 4.31
6. Построить графики функций Ф(х)=2х2 и (р(х)=%х2.
› Пользуясь правилом 6, из графика функции ](х)=х2,
увеличивая в 2 раза ординату каждой его точки, получаем гра-
фик функции ф1(х)=2х2; уменьшая каждую ординату в
2 раза, получаем график функции Ф2(х)=5 112 (рис. 4.32). 4
Преобразования графиков функций
159
Удк
Рис.432
7. Построить графики функций ср(х)=|1032х| и ср(х)=|х2_4ъ.
› В соответствии с правилом 9 строим график функции
<р(х)=|1032х| исходя из графика функции Ґ(х)=10ё2х
(рис. 4.33). Построив график функции ](х)=х2-4, с помо-
`Щыо правила 9 і,получим график функции (р(х)=|х2-4І
(рис. 4.34). 4
УАЩхНХг--Н
4
`\
щЁои21%?
Р
1,
І
ц
і
1
'
\
І
І
\
1
г 'ІІ Лытшогх
\__,х
ЕДНҐ'ҐХРХЁ 4
Рис.433
Рис.434
8. Построить график функции (р(х)=1032 |х|
› Построив график фушкции [(х)=1032х и отобразив его
симметрично относительно оси Оу, получим график функции
ф(х)=1032]х| (рис. 4.35). <
160
.
_
Функции и пгЁЕлы
'
Рис. 4.35
Задачи
Постройте графики указанных функций.
1.1”(х)=х, Ф(х)=х+2, «р(х)=хч3.
2. Ґ(х)=3х, ср(х)=31+_1, ф(х)=3х-2.
3. Ґ(х)=1ёх, Ф(х)=13х-3, (р(х)=13х+4_
4:!(х):13х, єр(х):=1в(хй2), <р(х)=1д(х+2).
1
1
1
5. Ґ(Х)=-,
Ф(х)=-Ч -,
Ф(х)=ш--
х
д
хчб
х+5
6- [(Х)=х2› Ф(Х)=хІ-2х+3, ср(х)=х2+4х+1.
4.
'
7- Ф(х)=-~,
Ф(х)=3'х, Ф(Х)=І$(#х)-
1
3. *РНР-Ё, Ф(х>=-1вх, Ф(х)=+2х.
1_
9. Ф(х)=21ёх, <р(х)=~513х, ьр(х)=31ё\х|.
10. ср(х)=¦х|, ср(х)=|х-2|,_
ц;(х)=Іх2-6х+5!.
ІІ. (р(х)=х2-6|х,+5, (р(х)==|х2-6|х]+5'.
п[Другаяеп функции
161
4.10. пРвдвл функции
Рассмотрим функцию у: І(х), определенную в некото-
ром интервале, содержащем точку х = а; в самой точке х = а
данная функция может быть и не определена.
Число Ь называют пределом функции у: Ли) при х, стремяЁ
щемся к а (или е точке а), если для любого числа е>0 суЩеч
ствует такое Число б>0, что при всех х, удовлетворяющих
условию
пак-ана,
,,
(4.64)
выполняется неравенство
.
|у”(х)~1›|<а.
(4.65)
Используются следующие обозначения для предела функ-
ции у==ї(х) при х, стремящихся к а:
1іш у(х)=д
(4-66)
,ЗС-Н!
или І(.к)-›Ь при х-эа
Введенное определение предела функции означает следу~
юЩее: предел функции _ это число, к которому неограниченно
приближаются значения функции, когда значения аргумента не-
ограниченно приближаются к данному значению аргумента
(точке а). В неравенство (4.65) число е Н сколь угодно ма-
лое, б
_-
достаточно малое число.
Например, [іпЪ-хз = 8, Шпзрс-Іт)2 = 4.
Выясним геометрический смысл понятия предела функции,
воспользовавшись ее графиком (рис. 4.36). Неравенство (4.64)
означает, что котстоит от точки а на расстояние, меньшее б ,
т. е. принадлежит интервалу (ап-5, (Мб), который называют
б -окрестностью точки а на оси Ох. Неравенство (4.65) озна-
Чает, что значения функции у: у” (х) при этом не выходят из
интервала (Ь-е, Ь+е) оси Оу, т. е. принадлежит Є-окрестно-
сти точки Ь на этой оси.
162
Функции и пРЕДЕлЫ
УД
Ьнє
___
ь-Ё
щь_ЁЕ
0
гы?атд
х
ц*
Рис. 4.36
Следовательно, если Ііт 1”(х)=Ь, то точка М (а, о) графи-
Ка функции должна нахоБ/їться в полосе шириной 25, огра-
ниченной прямыми ` у=Ь-е, у=Ь+є для всех значений х,
удаленных от точки а меньше чем на б.
Из определения предела следует, что предел постоянной
равен этой постоянной:
1ітс=с.
(4.67)
Х-'УД
Действительно, для любого числа є>0 выполняется нера-
венство
|](х)-с|:|с-с|=0<є.
Основные свойства пределов функций выражаются следу-
ющей теоремой.
1
Теорема. Если каждая из функций у=у(х), ^2::(х) имеет
предел при х->а, то их сумма, разность, произведение и част-
ное имеют нределы, причем:
тот) +е(эг))=}їі_1г_3г3І у(х)+Ё_Ч1 гос),
(4-68)
Ъії(у(х)-г(х))=їі_12 ушу-1333:: их),
(4-69)
Ъііг;(у(х):(х))=13_13}їу(х)ёі_13 их),
_
(4-70)
Ііт Их)
-
у(х) І-НІ
-
11т--~=-_---- --,
Інпд х #20.
_
шт)ЧЕМ)ИИ
(471)
Предел функции
_
~
163
Сл ед ств и е 1. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела:
Ііт(су(х))=с1іту(х), с=сопзі.
(4-72)
І-ІНСІ
І-Ні '
Следствие. 2. Если [іту(х)=о и т _ натуральное число,
хай
то
11_1;1<у<х>*"›=(11шу(х››'"=Ьт;
(4-73)
в частности, 1іт(хт ) =ат _
(4.74)
1-
Примеры
1. Найти Ііп%(2х2+3х+1).
› Применяя формулы (4.67), (4.68), (4.72) и (4.74), находим:
~
1іпё<2х2+зх+1)=1ішё(2х2) +1іт2<з х) +1ітг 1 =
=21ішх +31ітх+1=~2 2 +3 2+1= 15 4
х-ўг
2-
2. Найти пт 5112 2х+9
Н* 4х -3х-І -2'
› На основании формул (4. 67)-(4 72) и (4. 74) получаем:
1іш5х-2х+9_їіії}(5х 2х+9) __512- 21+9 _1_ _2_
1444): -3х+2 1іт(4х _3х+2) 2-412 -31+2 3
2
З Найти ПШЩ
Н'х -5х+4
› При х-эІ числитель и знаменатель дроби стремятся к
нулю, получаем неопределенность вида 4 . Для того чтобы
раскрыть эту неопределенность (т. е. нет/“Ёп указанный пре-
дел), предварительно преобразуеи-дробь, разложив на множи-
тели Каждый трехчлен и сократив на критический множитель:
2х +4х-5 _1іт(х 1)(х+5)щ1ітх+5 :1+5
1П1 2
-
_-
:-2. 4
І-*Іх-5х+4 І-›1(х-І)(х~4) Идню-4 1- -4
164
Функции и пределы
Задачи
Найдите пределы функций.
1,, 1іпё<х3-2х2+зх-з).
2, ипїыїшдзхї-быа).
з
2
432
-5
-14
-
3. Іітх 2х +9х ___.
4. Іішх +5х3 7х +9х+10
х-*З х +3х-6
І-*І
х +8х-7
2
з2
Н-7 12
1
5. 1ітї3-Ёі--.
6.птхїх+х+
Нд х -5х+6
дН-ї х -х-2
Ответы
1.3. 2.4. 3. 5. 4. 9. 5.-1. 6. ~2/3.
4.11. НЕПРЕРЬІВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функцию у=/(х), определенную на интервале (а, Ь), на-
зывают непрерывной в точке хое (а, Ь), если предел этой функ-
Ции в данной точке Хо равен ее значению при х=х03
111512] ї(Х)=/(160)-
(4-75)
Приращением аргумента в точке Эго называют разность
Ах=х-х0,
(4.76)
где хеш, о). Из формулы (4.76) следует, что
х:х0+/_\х;
(4-77)
х называют приращенным значением аргумента.
Приращением функции у: Дх) в точке хп называют раз-
ность
Ау=/(х)-і(х0),
(4.78)
которую с учетом формулы (4.77) можно записать и так:
дуг-ЛКМАЮ-ЛХО).
(4.79)
1 Понятия приращения аргумента и приращения функции
иллюстрирует рис. 4.37.
Некоторые важные пределы
165
у!
с
т
г
-
п
-
5
:
1
1
!
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции
у: І (х) в точке хО выражается равенством
1ітву=0 Или 2Ьісгдгдоотх.,+Ах)-ї(›.:0))=0.
(4-80)
Ш-Ш
Замечание. Поскольку хо=1ітх, то формулу(4.75)можно за-
писать так:
Их”
пт і(х)=і(11т х),
(4.81)
І-ІФХО
І-ЪІП
*9
т. е. для Непрерывной функции символы предела и функции переста-
новочны.
Функцию у=](х) называют непрерывной в интервале
(и, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Отметим, что функции у=х", ущў, у=10Ёа х непрерыв-
Ны в области их определения.
4.12. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЬІЕ ПРЕДЕЛЬІ
Числом в`называют предел функции }“(дс)=(1+1/э›:)Эс при
х-эсю ;
-
г=1іт (1+1/в)х.
(4.82)
І-їт”
Если ввести новую переменную ос=1/х, тогда х=1/ос;
(хе-Ю, когда х-эсю. Формула (4.82) примет вид:
е=1іт(1+и)'/“.
(4.83)
[зи-Щ
166
ФУНКЦИИ и ПРЕДЕЛЫ
-Отметим, что число е является иррациональным:
єш2,718....
Найдем предел функции
ЛК)
Преобразуем заданную дробь, пользуясь свойствами лога-
рифмов:
=--_-~ - ---10Ё“(1+ х) при х 40
103а(1+ х) _ 1
х
х
Поскольку логарифмическая функция непрерывна, а Для
непрерывной функции символы предела и функции переста-
новочны (см. формулу (4.81)), то с учетом формулы (4.83), по-
лучаем:
1030(1+х)=1030(1+х)1/х.
пт 1030(1+х)
х-›0
±1іпё (1%(1 +х) “о =1<>3а втёш +в 'Щ =103а е.
Итак, ЕЩЁ-Щ:
х-›0
~
х
103 е.
(4.84)
й
В частном случае, при а=є, Получаем
.
1п 1+х
11111 (
)=
х-›0
х
1_
(4.85)
Докажем, что
І
н-ы-
11111
х-›0
х
=та-
швы
Введем новую переменную у по формуле ушах-1. Отсюда
следует, что ах=1+у и у~_>0 при 36-90. Принимая во внн~
мание формулу (4.84), получаем:
Ііш а _1=Ііп1
у
1
=
=1па
хееО х Утло 10%а(1+у) іоёае
(здесь использована формула 1030Ь21/1одьа; см. формулу
(456)). Следовательно,
І
Инта-1411.51
тох_
-
(4.87)
Некоторые важные пределы
167
В частном случае, при (1:2, формула принимает вид
пт ех-І Ь1
д-›О
х
_
.
(4.88)
Найдем предел функции
І(х)=Ш при х->0.
Введем Новую переменную у по формуле 1+зс=еу . Отсюда
х=еу-+1; уеО при х->0. Сучетом формулы (4.88) получаем:
Ц”
Цу-
Оіуц
ІіҐ'Ъ=`(-1'іг"'3ї)“_і~-=Іігп'г
1=<11іт (в І- у ].=
І-Ъ
х
учО ЄУЕІ
_\'-›СІ
(1))
ву _-1
ау__
=оє1іт
Ііт у =ов-1-1.-шос.
у-›0
0:); у-›0 еуафІ
Таким образом,
НО
х
-
(4.89)
Примеры
І. Найти Ііт 103204632).
“к у-Ю
у
е
› ПреобЬаз-уя данную функцию и применяя формулу (4. 84)
при уд=3уа получаем:
ПШ 1032(1+3у) =1іт3 10$2(1+3у) Езнт 1032(1+3у) :
у-эО
у
у-›0
3);
у-›0
Зу
=3\032е. 4
_
1
2. Найти ПШШ.
у-›0
2);
› С учетом формулы (4.8 5) при х=5у находим:
пт іп(1+5у) І]іш51п(1+5у) 22 іт 1п(1 +5у) 2212: 4
у-Ю 23;
у-›0 2~5у 2 у->0 Ѕу
22
2321
3. Найти Іігпщ.
ї-Ш І
168
Функции и пРЕДЕлы
› Преобразуя Данную функцию и принимая во внимание
формулу (4.86) при х=3ї, получаем:
г-ъО
2”
І-›0
3:
3г_
ЗгЬ
3г_
[пп 2 1=Ііп1[3 2 3Ґ1]=31іпё 2 1 =3 -1112 =31п2. 4
га
гдз-1
Ц 1іп1
4. Наити На І
› С учетом формулы (4.88) находим:
еІ/З-1_1
.
еҐ/3_1_1 1
_.-
_
пп
=-~.
3-г/33Не1/3334
ї
.
1+4у-1
и
1 --------.
5. Наити 32% у
4
і
› Преобразуя Данную функцию и применяя формулу (4.89)
при х:4у, получаем:
_
_
|ю_
Іітщ1+4у 1---1іт[4(і+4у) 1]-
1іп1
ІаО
у-›0
у
у-›0
Ду
1/2_Ь
=41іш(1+4у) 1=4і:2.
дЬШ
4у
2
Задачи'
Найдите пределы функций.
1
7
1 1-2
І+3
_
пт 03201: у)_ 2_ пт Фен у)_ 3_ Пт 110 у)_
у-›0
у
у-›О
у
у-›О
4);
1111-5
25;
_
у-Ю
у
у_›0
у
у-›03у
_1
7, іітШ-їт. з. пт-ш-їЁ.
у-Ш 103404131)
У->01033(1+2у)
*"`
Ё1+6Ґ-1
Щ1_Ѕї_1
9. 1іп1------.
10. Цтш.
Ґ-Ш
г
г-›0
41
Ответы
1. моде. 2: 410338. 3.3/4.4.--5.5. 21113. 6. 4/1113. 7. цёам.
з. Ёмз. 9.2.1о.-1/2.
І 5 Н УРАВНЕНИЯ
5.1. УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Зфаенением называют равенство, содержащее одну или не-
сколько переменных. Уравнением с одной переменной называют
равенство
нищих),
`
(5.1)
где І (х) и (р(х) _ некоторые функции переменной х, при
этом ЛК) считают левой частью уравнения, а (р(х) -- его
правой частью. Не исключается случай, когда (р(х) =с , где с -Р
постоянная.
Областью определения (или областью допустимых Значений
переменной) уравнения (5.1) называют множество значений
переменной х, при которых функции І(х) и <р(х) одновре~
менно имеют смысл. Область определения уравнения пред-
ставляет собой пересечение областей определения функций
их) И (их).
`Корнем (или ренпзнием)г уравнения называют значение пере-
менной, при котором уравнение обращается в верное Число*-
вое равенство.
Например,равенствох+2=7верноприхШ5(5+2=7).Зна-
чит, число 5 - корень уравнения х + 2 = 7.
Уравнение может иметь один, два, три и более корней или
вообще их не иметь.
-
Например, уравнение х + 3 = 5 имеет один корень х ї 2; уравне-
НИЄ х2 П7х+12=0
-
дВа Корня: х= 3 и х ==~4; уравнение 3х+6=3х+9
корней не имеет; корнем уравнения 1,5(х+4)±6+ї,5х является лю-
бое число из множества В.
Решить уравнение -- значит найти все его корни или дока-
зать, что уравнение не имеет корней. В процессе решения
уравнения обычно производят некоторые преобразования,
т. е. последовательно заменяют данное уравнение другими
уравнениями, пока не получат уравнение, которое можно ре-
170
Уравнения
шить очевидным образом. При выполнении таких преобразо~
ваний, как, например, приведение в уравнении подобных
Членов, умножение и деление обеих частей уравнения на об-
ший множитель, содержащий переменную, могут быть поте-
ряны или появиться посторонние корни (см. ё 5.2).
Понятия системы уравнений и совокупности уравнений
поясним на примере.
Рассмотрим уравнение
(ай-айчьих-мита»2 =0.
Очевидно, что (х2~-9)2 20 и ((х-Ч4)(х-3))220 , а сумма двух не-
отрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое
слагаемое равно нулю: (х2-9)2=0, ((х-4)(х-3))2=0 , Следователь-
но, чтобы решить заданное уравнение, надо найти такие значения
переменной х, которые обращают в верное равенство каждое из
уравнений лтд-9:0 и (х-4)(х_3)=0 , т. е. являются решениями как
первого, так и второго уравнения. В подобных случаях говорят, что
надо решить систему уравнений
х2-9=0,
(х-4)(х-3)=0.
Уравнение х2-9=0 имеет корни -3 и 3, а уравнение
(х-4)(х-3):0 т корни 3 и 4. Из найденных корней только корень
х = 3 является решением каждого из уравнений системы. Значит,
первоначальное уравнение имеет единственный корень х Щ 3.
Итак, в случае, когда ищут значения переменных, удовле-
творяющие одновременно нескольким заданным уравнени-
ям, говорят, что задана система уравнений.
Решением системы уравнений с одной переменной называют
значение переменной, обращающее каждое уравнение систет
мы в верное числовое равенство.
ж
Решить систему уравнений -- значит найти все ее решения
или Доказать, что система решений не имеет.
В случае, когда ищут значения переменной, удовлетворяю*
Щие хотя бы одному из заданных уравнений, говорят, что за-
дана совокупность уравнений. Для обозначения совокупности
уравнений иногда используют квадратную скобку.
Равносильные уравнения
171
Рассмотрим уравнение (х2-4)(х2-25)=0 _ Произведение двух чи-
сел равно нулю тогда и только тогда, когда котя бы один из множи-
телей равен нулю, т. е. х2-4=0 или 'х2-25=0. Для того чтобы ре-
шить данное уравнение, надо найти множества корней уравнений
хгт4=0 и х2-25=0 и взять объединение этих множеств; другими
словами, нужно решить совокупность уравнений
х2_4=0,
х2_2.5=0.
Корнями уравнения х2-4=0 являются числа -2 и 2:: корнями
уравнения х2~25=0
-~
числа щ5 и 5. Объединением множеств
{- 2, 2} и {-5, 5} является множество {- 2, 2, -5, 5}, которое будет
множеством корней исходного уравнения.
Итак, решить совокупность уравнений с одной пере-
менной
-
значит найти объединение множеств корней всех
уравнений, входящих в данную совокупность; решить с и сте -
му уравн ен ий с одной переменной -- значит найти пересе-
чение множеств корней каждого из уравнений системы. Ґ
Систему уравнений, не имеющую решений, называют не-
совместной; в этом случае пересечение множеств корней урав-
нений является пустым.
5.2. РАВНОСИЛЬНЬІЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть при решении уравнения
І(х)=<Р(х)
(5-2)
в результате его преобразования получено уравнение
І,(х)=(р,'(х).
(5.3)
Говорят, что при переходе от уравнения (5.2) к уравнению
(5.3) происходит потеря корней, если существует число х, яв-
ляюЩееся корнем уравнения (5.2) и не являющееся корнем
уравнения (5.3). Число х называют посторонним корнем урав-
нения (5.2), если это число, являясь корнем уравнения (5.3),
полученного в результате преобразования уравнения (5.2), не
является корнем уравнения (5.2).
172
уРАвНЕния
Если в результате Преобразования уравнения (5.2) получе-
но уравнение (5.3), такое, Что каждый корень уравнения (5.2)
является корнем уравнения (5.3), а каждый Корень уравнения
(5.3) является корнем уравнения (5.2), то говорят, что уравне-
Ния (5.2) и (5.3) равносильны (или эквивалентны).
Уравнения, имеющие одни и те же корнигназывают равно-
сильньши. Множества корней равносильных уравнений со-
впадают. В Частности, эти множества могут оказаться пусты-
ми. Уравнения, не имеющие корней, также считают равно-
сильными.
.
Для обозначения равносильности уравнений используют
знак <:::›. Запись І (х)=<р(х)<:=> І, (х) =(р, (х) или (5.2) с=> (5.3) озна-
Чает, Что уравнения (5.2) и (5.3) равносильны.
Например,
(5х-15=0) 4::>((х-3) =0).
(х2-7х+12=о)<==>((х-з)(х-4))=о.
Уравнение (5.3) называют уравнением-следствием уравне-
ния (5.2), если при переходе от уравнения (5.2) к уравнению
(5.3) не происходит потери корней, т. е. любой корень уравне-
ния (5.2) является корнем уравнения (5.3).
Из определения вытекает, что уравнение (5.3), являющееся
следствием уравнения (5.2), может иметь более широкое мно-
жество корней, Чем множество корней уравнения (5.2). В Част-
ности, если уравнение (5.2) не имеет корней, то уравнение (5.3)
есть его следствие. Запись (](х)=ср(х))==>(}2(х)==(р,(х)) или
(5.2) => (5.3) означает, Что уравнение (5.3) -- уравнение-след-
ствие уравнения (5.2).
Например, уравнение х-7:0 имеет один корень -- число 7,
уравнение х2-49=0
--
два корня -- числа -~7 и 7, поэтому
(х н- 7 == 0) =ъ (х2 в 49; 0) , т. е. второе уравнение -- уравнение-следствие
первого уравнения.
Если каждое из уравнений (5.2) и (5.3) является следстви*
ем другого, то эти уравнения равносильны.
Уравнения обладают свойствами, которые выражаются
приводимыми ниже теоремами.
Равносильные уравнения
173
Теорема 5.1. Если к обеим частям уравнения прибавить од-
но и то же число или функцию, определенную при всех значениях
переменной из области определения уравнения, то получится
уравнение, равносильное данному уравнению, т. е. уравнение
нищих)
(5.4)
равносильно уравнению
І(х)+в(х)=Ф(х) +в(х),
(5-5)
где функция 3(х) определена при всех х из области определения
уравнения (5.4) (в частности, 3(х)=с , где с -- некоторое число).
Следствие 1. Если в уравнении перенести слагаемов из од-
ной части в другую, изменив его знак, получится уравнение, рав-
носильное данному.
Следствие 2. Если в обеих частях уравнения имеются оди-
наковые слагаемые, то их можно опустить.
Следствие 3. Уравнение (5.4) можно записать в виде
Е(х)=0,
(5.6)
где РОС)
-
функция переменной х.
Зам ечан и е. Требование; предъявляемое к функции 806) усло~
вием теоремы 5.1, является существенным. Если функция 3(х)
определена не для всех х из области уравнения (5.4), то переход
к уравнению (5.5) может привести к потере корней уравнения (5.4).
Потерять можно те корни, которые не принадлежат области опреде-
ления функции 3(х).
Например, уравнение х(х-3)=0 имеет два корня: 0 и 3, а урав-
нение х(х_3)+__= _Ш
--
только один корень
-
число О, т. е. ес-
х-З хШЗ
ли к обеим частям исходного уравнения х(хш3):0 прибавить функ-
цию 3(х) =5/(х-3) , то будет потерян корень х = 3, так как функция
Ѕ(Х)=5/(х-3) не определена при х = 3.
Теорема 5.2. Если обе части уравнения умножить или раз-
делить на одно и то же отличное от нуля число или на функцию,
определенную при всех х из области определения уравнения и от-
личную от нуля, то получится уравнение, равносильное данному,
т. е.. уравнение
ї(х)“-"Ч>(х)
(57)
174
уРА знания
равносильно уравнению
і(х)в(х)=<я(х)а(х),
(5.8)
где функция 3(х) определена при всех х из области определения
первого уравнения и 3(х)±0 при любом х (в частности, 3(х)=с,
са±0 -- некоторое число).
Следствие. Если одновременно изменить знаки обеих час-
тей уравнения, получится уравнение, равносильное исходному.
Зам ечание , Требования, предъявляемые к функции 3(х) усло-
вием теоремы 5.2, являются существенными. Если функция 3(х)
определена не для всех х из области определения уравнения
І(х)=(р(х) или равна нулю при некоторых значениях переменной х,
то переход к уравнению (5.8) может привести к появлению посто-
ронних корней уравнения (5 .7). Этими корнями могут быть значения
х, для которых 3(х)=0 _ Умножение обеих Частей уравнения (5.7) на
функцию 304), которая не определена при некоторых значениях
переменной х, может привести к потере корней. Этими корнями
Могут быть значения переменной х, при которых функция 3\(х) не
определена.
Например:
1) уравнения х+4=7 и (х+4)(х2 +3)=7(х2+3) равносильны, так
как функция х2+3 , на которую умножили обе части уравнения
х+4=7 , определена при всех х и ни при одном значении х не обра-
Щается в нуль',
2) уравнения х+4:7 и (х+4)(х2~д~1)=7(х2~1) не равносильны,
поскольку второе уравнение кроме корня х = 3, являющегося и кор-
нем первого уравнения, имеет еще корни х = гр1 и х = 1, а это те зна-
Чения, при которых функция х2-1 равна нулю;
1
1
2 ---=4 ---' не равносильны, так как
х~2
х-2
множитель 1/ (х-2) при х = 2 теряет смысл, а х = 2 -- корень урав-
3) уравнения х2=4 и х
нения х2=4.
Теорема 5.3. Если на некотором множестве функции І (х)
и (р(х) неотрииатвльны, то на этом множестве равносильны
уравнения:
ї(х)=<Р(х) Ы (Ґ(х))”=(<і>(х))” ,И Є Ы,
Равносильныв уравнения
175
т- 2- (Ґ(І)=<Р(Х))Ф((і(х))" =(Ч>(х))")-
Теорема 5.4. Если а > О и а±1 , то уравнения
нищих), ат =е<х>
равносильны, т. е.
(ї(х)=Ф(х)) ФМШЕЫ'РШЪ
Теорема 5.5. Если а > 0, а±1 и функции Дх), (рос) поло-
жителвны на некотором множестве, то на этом множестве
равносильны уравнения:
ї(х)=<г›(х)› Юа, тег-Ива их),
т- г. (Ленин)е<`10е01<х>=10еа их».
Теорема 5.6. Если для любого действительного х справедли-
во тождество ср(х)г\р(х) , то уравнение І (х):(р(х) равносиль-
но уравнению І (х)=\р(х).
Говорят, что уравнение равносильно совокупности урав-
нений, если каждый корень уравнения является Корнем сово-
купности И, обратно, каждый Корень совокупности является
корнем уравнения.
Например, уравнение (ха-3014): х-3 равносильно совокупн
ности уравнений х-5=1 , х-3=0, так как числаб и 3, и только они,
являются решениями уравнения и совокупности уравнений.
Теорема 5.7. Уравнение
і(х)в(х)=<р(х)е(х)
(59)
равносильно совокупности двух уравнений
/(х)=<Р(х), в(х)=0,
рассматриваемых в области определения уравнения (5.9), т. е.
(ї(х)8(х)±<а(х)в(х))<==>(Ґ(х) =<Р(х)› ЖК) =0)~
З ам с ч ан и е. Равносильность уравнений рассматривается отно-
сительно определенного числового множества. Два уравнения мотут
быть равносильны на одном множестве и неравносильны на другом
множестве.
-
'
Например, уравнения (х-1)(х2-5)=0 и х~1=~=0 равносильны на
множестве целых чисел и неравносильны на множестве действитель-
Ных чисел.
176
УРАвнЕния
Если при решении уравнения невозможно выполнить рав-
носильный переход от одного уравнения к другому, переходят
к уравнению-следствию.
Теорема 5.8. Ивавнение
(І (10)" =(<Р(-×ї))”,
где п
-
натуральное число, является уравненаем-следствием
уравнения
Ґ(х)=<і>(х),
т. е. (,›*`(г›ь:)=<р(ї›€))=>((}Г(Х))М =(Ф(Х))п)-
Теорема 5.9. Если а>0 и (1:1, то уравнение [(х)=<р(х) --
уравнение-следствие уравнения 103а 1'(д.:)=10ёа (ры), т. е.
(те,я ЛК) =10еа Ф(х)) =>(І(х) =ч'›(><г)).і
Теорема 5.10. Уравнение І (х)=<р(х)3 (х) является уравне-
наем-следстваем уравнения
І (х)
ФСК)
т [і-(:)=е<х›]:(лентами.
=в(х),
()
Преобразование, связанное с освобождением уравнения
от знаменателя может привести К появлению посторонних
Корней
Замечание.Теоремы5.1
-
5.10 используют при решении уравП
нений.
5.3. линвйнов УРАВНЕНИЕ
с одной пвРвмвНной '
Ланеўным уравненаем с одной переменной называют уравне-
ние, содержащее эту переменную только в первой степени.
Так, уравнение і (х)=<р(х) с одной переменной является ли-
нейным, если ](х)=ах+в, (р(х)=ах+а', т._е.
ах+Ь=сэс+сі.
(5.10)
Линейное уравнение о одной переменной
177
Областью допустимых значений линейного уравнения яв-
ляется множество В.
Линейное уравнение с одной переменной можно решать,
используя теоремы о равносильных переходах и следствия из
них, таким образом:
1) если Дано уравнение с Дробными коэффициентами, то
прежде всего следует преобразовать его к уравнению с Целы-
ми коэффициентами;
2) если имеются скобки, затрудняющие решение уравне-
ния, их надо раскрыть;
3) перенести все члены, содержащие переменную, в одну
Часть уравнения, а все известные --- в другую (члены с пере-
менной обычно переносят в левую часть уравнения);
4) осуществить приведение подобных слагаемых (при на-
личии буквенных коэффициентов переменная выносится за
скобки).
В результате данных преобразований уравнение (5.10) бу-
дет приведено к виду
Ах=в.
(5.11)
Если А зе 0, то, разделив обе части уравнения (5.11) на А,
получим единственный корень уравнения х = В/А.
Линейное уравнение (5.11) (при А н 0 ) называют уравне-
нием первой степени с одной переменной.
Если А ± О, В зе 0, то уравнение (5.11) принимает вид
0-х = В, где В і О. Это уравнение не имеет корней (так, левая
часть равна нулю при любом значении х, а правая отшгп-Іа от нуля).
Если А 2 0, В = О, то уравнение (5.11) можно записать в
виде 0-х: О. Последнее равенство верно при любом значе-
нии х. Это уравнение имеет бесконечное множество корней.
Множеством его корней служит множество всех действитель-
ных чисел.
Итак, линейное уравнение может иметь только один ко-
рень, бесконечно много корней или не иметь их,
Примеры
1. Решить уравнение 10х+ 19 = 8х+ 33.
› Переносим Ѕх со знаком `«минус» в левую часть уравне-
ния, а --19 - в правую его часть:
178
УРА вНЕНия
10хгах=зз-19.`
Приводя подобные Члены, получаем уравнение 2х=14.
Разделив обе Части этого уравнения на 2, найдем Корень
х=7. 4
2. Решить уравнение 5(х + 2) + 8(х + 4) = 7х +108.
› Раскрывая скобки, получаем:
5х+10+8х+32 =7±+108 или 13х+42 = 7х +.108.
Далее, перенося соответствующие Члены со знаком «ми-
нус» из одной Части уравнения в Другую, находим:
13х-7х=108ц42, 6х=66, х=11. 4
3. Решить уравнение 4х - 57 2 325+ -Ё-
› Умножим обе части уравнения на 6:
24х-342=Зх+2х или 24х~342=Ѕх.
После переноса членов получаем:
24х-5х=342, 19х=342, х=18.4
4. Решить уравнение
2о-1›+5(у+1›=у-з+9.
11
8
2
›
Переменная здесь обозначена буквой у; это линейное
уравнение относительно у. Умножив обе его Части на 88 (об-
щее наименьшее кратное всех знаменателей), получим
16(у-1)+55(у +1) =44(у -3) +792.
Раскрыв скобки, найдем, Что
16у~16+55у+55=44уы132+792 или 71у+39=44у+660.
ПОСЛЄ ПЄрЄНОСа ЧЛЄНОВ ПОЛУЧЗЄМІ
71у-44у=660-39, 27у=621, у=23. 1
5. Решить уравнение
3(х+2)+5(х+5)=х+7(х+6).
Линейное уравнение о одной переменной
179
› Производя соответствующие преобразования, находим:
3х+6+5х+25:х+7х+42, 8х+31=8х+42, 8х-8х:
=42-31, 0-х=11.
Последнему равенству не удовлетворяет ни одно значение
х; данное уравнение корней не имеет. 4
З ам ечан и е . Данный вывод можно было сделать раньше - из
уравнения Ѕх + 31: Ѕх + 42.
6. Решить уравнение
3(х+ 2) +5(х+5) = х+7[х 44%).
› В результате соответствующих преобразований Получаем:
3х+6+5х+25 = х+7х+31, 8х+31= 8х+31,
8х-8х=31-31, 0.х=0.
Последнему равенству удовлетворяет любое значение
х е К; исходное уравнение Имеет бесконечное Множество Кор-
ней. ч
Замечание.
Данный
вывод
следует из уравнения
8х + 31 = 8х + 3 І, которое является тождеством.
7.Решитьуравнение ах+Ь=ох+с!.'
› Преобразуя данное уравнение, получаем:
ахшсхЩі-Ь, (а-с)х = сіШ-Ь.
Если о-сф0, то х= (сі-Ь)/(о-с). Данное уравнение
имеет один корень, когда а~с± 0, т. е. о фо. Если д: С,
Ь ф 1:1, то уравнение ох+ Ь = сх+ о' не имеет ни одного Корня.
Если о: с, енто, то оно верно при любом значении х из
множества В. 4
8. При всех о решить относительно х уравнение
((12 -4)х-2 = о.
›
Уравнение запишем так: (о2 -4)х = а+ 2, Если
1:12-4 =О, тоо= -2,он2:Прио= -2уравнениепринимает
вид 0'1' = 0; его решением является любое число х е В. Если
180
_
уРАвнєния
а == 2, то 0-х=4; это уравнение не имеет корней. В случае
(хз-4:0 находим:
_
а+2 _
а+2
1
хт
_...
__
,
хїм.
612....4 (а_2)(а+2)
(1-2
Следовательно, если а е (-оо; -2)ш(-2; 2)ш(2; +00), то
1
1
= ----
х
ха_2илиєа_2
то хе(25. 4
$еслиа=~2,тохе В;еслиа=2,
Задачи
Решите линейные уравнения.
1. 2(х+3) +4(х-1) = 5х+9.
2. 3(х-2)+6(х+1)= 7х+10.
4(х+2)+5(х~22_х+а+11
3
2
6
4 2()с+8)_' _7(х-1)=__5(х+3›)+4`
'
11
2
6
5. з(7-ау)-7(з-4у)=1. 6. 6(г-2)+3(1+1)=5(1~3)+26.
7. 2(х+з)+з(х-1)=х+4(х+2).
8. 7(х#1)-з(х+2)=4(х-2)-5. 9. аг~Ьг~а2+Ь2=0
10. Ґ/р-Ґ=Ч, теряет-»постоянные
11. у у =2а 12. “““+д+“=
а-Ь _а+1›
Ь
а
2'
Ответы
1.х=7.2.х=5. 3.х==4. 4.х= 3.5.х= 1/4. 6.1:5. 7. Корней нет.
8. Бесконечное множество корней. 9. 2: ї а+Ь. 10. г: рот/(1
-
р)і
11. У=с12-.1Ь2і
12. Ц= итд.
5.4. уРАвнвния, содвРжАЩив пвРвмвнную
в знАмвнАтвлв дРови
Рассмотрим уравнение вида
Их) = 300,
(5.12)
где р(х) и 3(х) н рациональные выражения, причем хотя
бы одно из них является дробным.
Уравнения с переменной в знамена теле дроби
181
Представим выражения р(х) и 800 в виде дробей с оди-
наковыми знаменателями. В результате получим уравнение
1”(х) = их)
их) что”
где Лх), (р(х), ч!(х) #0 - целые рациональные выражения,
которое равносильно уравнению (5.12), если при выполнении
тождественных преобразований область определения уравне-
ния (5.12) не изменилась. Уравнение (5.13) равносильно сис-
теме
Лх)=(их), щх)ао,
(5.14)
ТаК Как ДВЄ ДрОбИ С ОДИНЗКОВЬІМИ ЗНЭМЄНЭТЄЛЯМИ раВНЫ ТОГДЕІ
И ТОЛЬКО ТОГДЗ, КОГДЗ ИХ ЧИСЛИТЄЛИ раВНЬІ, а ОБЩИЙ ЗНЗМЄНЕІ-
тель имеет смысл при всех значениях переменной и отличен
от нуля.
(5.13)
Примеры
ІР
х+23_х
--
_
сшить уравнение х_ 8 2 х _* 8.
› Преобразуем данное уравнение к виду (5.13):
2(х+2)-3(х-8)__х -1
2х+4-3х+24_х-1
2(х-8)
х-З,
2(х_~8)
х-Ѕ,
*х+28_х~«1
- х/2+Ё4_х-1
2(х-8) х-8,
хш8 _х--ЅІ
Данное уравнение равносильно системе
х
нї+14±хш1> х-Зфо.
х
Решая уравнение -ї +14 = х -1, находим:
-х+28= 2х-2, 316: 30э х=10_
Поскольку выражение х - 8 не обращается в нуль при х = 10
(10 _3 а 2 ± 0)а то х = 10 -- Корень исходного уравнения. 4
2. Решить уравнение
9,5 +_7_Ш5х+2
2хн3 2 2х-3'
182
уРА внвния
› Данное уравнение приводим к виду (5.13):
2-9,5+7(2х-3) __5х+2
19+14х-21_5х+2
2(2х-3)
2хН-з”
2<2х-3) _ 2х-3”
14х-2
_5х+2
7х-1_5х+2
2(2х-3) 2х-3* 2х-3_2х-з`
Система (5.14) в этом случае принимает вид
7х-1=5х+2, 2х-3э20.
Решая уравнение2 находим:
7х-1: 5х+2, 7х-5х = 2+1, 2х= 3, х ї 3/2.
Однако выражение 2х - 3 при х = 3/2 равно нулю; правая и ле-
вая части исходного уравнения теряют смысл при этом значе-
нии переменной. Следовательно, Число 3/2 не является нор-
нем данного уравнения; это уравнение не имеет ни одного
корня.4
ах-5 За-1
З. Решить уравнение
-
=
+І.
х-І
3
› Уравнение не определено при х = 1. Поскольку
ахшЅ 3ач1
н
=а+Ь
х-І
3
х-1±0
или
Зал-15 _ 3ах-х -3а+1_3ах+3х-30 -3
эра-1)
зов-1)
3(х-1) *
то
(За+ 2).х = ба- 13,
ха: 1.
~
2
В случае когда 3а+2 = 0, или еше-ц уравнение прини-
3
мает вид 0-х=-17; это урєёвнензие не имеет корней.
а-1
Если 3а+2іО, то х=
.
Проверим, существуют ли
За+2 ба__13
значения а, для Которых х = 1:
:1, 6а-13=3а+2,
3а=15,а=5.
Квадратные уравнения
183
3
3
х=6а_13, хе 66143 ;если аЄ{-2 -, 5}, то хеїд. 4
3о+2
3о+2
3
2
2
Итак,
если
ЫЄ[-°°, --]Ы[--= 5]Ы(5, +°°), ТО
Задачи
Решите уравнения е переменной в знаменателе дроби.
1. 2х-1:29-5х+12_ 2. З+2х~1=29~4и
х-~5
х-5
хЬ-Ѕ
х-Ѕ
З. 'двиг-Щ.
4. 32__9+6=52ы1.
у-2
у-2
2;-2
2-2
Ответы
1.иш6.2.Корнейнет. 3.у=7.4.и =5.
5.5. квАдРАтнЬІЕ УРАвнвния
Квадратньш уравнением называют уравнение вида
ах2+ьх+с=0,
(5.15)
где х
-
переменная; о, Ь, с Ы Действительные числа, причем
а а: 0_ Коэффициент о принято называть первым (или стор-
щим) коэффициентом, Ь - вторым коэффициентом, с - ево-
бодным членом квадратного уравнения (5.15).
Квадратное уравнение (5.15) называют неполным, если ко-
тя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю. Если Ь = О
и с = 0, то уравнение (5.15) принимает вид дх2 = 0 и имеет
корень х = О, поскольку о т 0.
Если Ь ш О, с т 0, то имеем неполное квадратное уравне-
ние ох2+с=0, 11:20.
Для решения уравнения ох2 +с= 0, о ;± 0, перенесем с в
правую частьыуравнения с противоположным знакоми разде-
лим обе части полученного уравнения на о зе 0:
ах2="С, х2=-с/а.
Возможны Два случая: с/о>0 и е/о<0. Если С/д>0, то
-е/о<0 и уравнение хз =пс/а не имеет действительных
корней. Если с/о<0, то -с/о>0, Поэтому уравнение
184
уРАвнЕНия
хз = "с а имеет два действительных корня: х, = ,И- / а,
х2 = -аі- /а.
"
Таким образом, если знаки чисел а и с одинаковы, то урав-
нение ах2 + с = О не имеет действительных корней; если зна-
ки чисел а и с противоположны, то уравнение ах2 + с = О име-
ет два действительных корня.
Если с: О, Ь ее О, то имеем Неполное квадратное уравне-
ние ш? + Ьх = 0, а ± 0, которое можно решить, разложив его
левую часть на множители: х(ах+ Ь): 0. Отсюда либо х = 0,
либо ах+ Ь: 0, тогда х-е
- Ь/а Следовательно, уравнение
ах2 +Ьх= О имеет два корня: 111 - 0 112 =-д П
При решении квадратного уравнения общего вида
ах2 + Ьх± с = 0, а ± 0, используют метод выделения квадрата
двучлена. Разделим обе части уравнения (5.15) на а и получим
уравнение
х2 + (Ь/а)х+с/д= 0
которое запишем так:
1-2 + 2(д/2а)х+ с/а- 0 Прибавляя и вычитая Число (Ь/2а)2,
преобразуем уравнение:
2 Ь [ЬТ (ЬТҐС
Ь]2_ Ь2 с
х +2-Нх+ --
-
щ +-~=0, х+_-
-----,
2а
2а
2а
а
2а
4.92 а
Ь 2_Ь2 -4ас
ЭС+ЕЪІи
-------4а2
.
(516)
Поскольку 4,12 > 0 то знак в правой части уравнения
(5.16) зависит от знака выражения Ь2- 4ас и совпадает с ним.
Выражение Ь2 н4ас называют дискриминантам квадрат-
нога уравнения ак2 + Ьх + с = 0 и обозначают В:
0=Ь2-4вс.
_
(5.17)
Возможны три случая: В>0, 0:0, В<0.
1. Если В :> О, то уравнение (5.16) можно записать так:
(ьў «тя-ш2
__-ц
__-
х+_--
2а
2а
Извлекая квадратный корень из обеих Частей уравнения,
получаем, что это уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
Ь М-4вс
ь
М -4а<:
х --=-- --~,
-------- ----,
_
2а
2а
2а
2а
Квадратные уравнения
185
откуда
о
222 - 4ое
о
62
-
4ос
х1:__'+""'___'“1-",
хз ='-"' __
2:1
2:1
2а
2:1
Данные формулы можно объединить в одну:
-Ь±×/ь2 -4ас
-Ь±~/5
х
:
ИЛИ х12 =
1,2
2а
3
2а
где В - дискриминант, определяемый формулой (5.17).
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при В > О, уравнение (5.15) имеет два различных дейст-
вительных корня, определяемых формулой (5.ї8).
В случае когда второй коэффициент уравнения (5.15) явля-
ется четным, т. е. Ь: 2:1, формула (5.18) для Корней уравне~
ния
ах2+2ах+с=0
(5.19)
принимает вид
(5.18)
,_
+
2__,
,
из:а*аис.
(5.20)
а
2. Если дискриминант равен нулю (1) = 0), то уравнение
(5 , 16) принимает вид (х + Ь/2.51)2 = 0 и имеет два равных действи-
тельных корня:
х1=х2 =_Ь/2а.
(521)
Данные
корни
можно
получить
из
формул
л:1 = (-Ь+ 5)/261, х2 = (чо-«Буш при 1) = 0. Если В -э О,
то корни хі и х2 приближаются друг к другу.
3. Если В < О, то уравнение не имеет действительных
Корнеи.
Тео рема 5.11. Сумма корней х] и х2 квадратного уровне-
ныя ох2 + Ьх + с = О, о і 0, равно #Ь/о, о их произведение ровно с/а:
х1+х2 = -Ь/о, хіхз == с/а.
(5.22)
Если дискриминант уравнения В > О, то уравнение имеет
Два различных корня: х] = (ШЬ+×/Б)/2е, х2 = (-о -Л)/2о.
Следовательно,
186
'
УРА внЕния
-Ь+\/Б+-Ь-\Г1ї _ігдё Ь
х1+х2 =
_
__ .-
Р!
2а
2а
2а
а,
Ы *__-__Ьм/Б -Ь-І15_(-ь)2 - Лў _
І2
2а
2а
4.92
_
Ь2 -(Ь2 -4ас) “5435 __с _
да2
4а2 0.
Если дискриминант 1): 0а т. е. 192 _4ас: 0, ,52 = 4.90, то
уравнение ах2 +Ьх+ с: 0, а ф 0, имеет Два равных Действи~
тельных корня х1 = т-Ь/2а, х2 ± -Ь/2а (см. формулу (521)).
Таким образом,
Ь
Ь
212
о
а:1 +14:2 =---+
----
=---~=---
2а
2а
а
,х _ ті).
___2.
__ізіьїєсї
12
2а 2а 402 4,92 а`
Доказанная теорема называется теоремой Баета*.
Снраведлива также теорема, обратная теореме Виета.
Э
Теорема 5.12. Числа т и п являются корнями квадратного
уравнения ах2 + Ьх + с = 0, если их сумма равна шІэ/а, а произве-
дение равно с/а.
Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0, где а т 0, равноні
сильно уравнению х2 + (Ь/а)х+ с/а = 0. По условию
т + п = нЬ/а, тп : с/а. Подставляя эти выражения в послед-
нее уравнение, имеем х2 «- (т + п)х+ тп = 0_ Преобразуем ле-
вую часть полученного уравнения:
х2 _(т +п)х+ тп = х2 -тх Шпх+ пт = х(х -т)-п(х-т) =
2 (х -т)(х -Н).
Очевидно, что уравнение (х - т)(х - п) = О, равносильное
уравнению х2 П (т + п)х+ тп = О, имеет корни т, п и никаких
ДРУГИХ. ИТЕІК, ЧИСЛН т, П, И ТОЛЬКО ОНИ, ЯВЛЯЮТСЯ КОрІ-ІЯМИ
*Ваєт Франсуа (15404603) - французский математик, по профессии
юрист.
Квадратные уравнения
187
Ь
с
уравнения х2 + Ё-.т:+ Ш = О, а следовательно, и уравнения
а
а
ах2 +Ьх+с= О, где авг 0.
Зависимость между корнями квадратного уравнения и его
коэффициентами может быть использована при составлении
квадратного уравнения по его корням.
Квадратное уравнение вида
х2+рх+а=0~
(5.23)
называется приведенным. В этом уравнении старший коэффи-
Циент равен единице.
Всякое квадратное уравнение ах2 + Ьх+ с = 0 делением
обеих частей уравнения 1на а и О может быть приведено к виду
с
х2+рх+а=0, где Р=Б, 9:;
(5.24)
Корни приведенного уравнения (5.23) находятся по формуле
Р
Р2щ
хм=-їі(ї)-Ч›
(5.25)
которая следует из формулы (5.18).
Формулы (5.22) для корней приведенного квадратного
уравнения (5.23) с учетом формул (5.24) и того, что а = 1, при-
нимают вид
х1+х2 = "1% х1х2 = 9-
(5-26)
Следовательно, сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому со знаком
«минус», а произведение корней равно свободному члену.
Биквадратным уравнением называют уравнение
ше +ьх2+с=0,
(5.27)
где а, Ь, с Ш действительные числа, причем а гг О. Это уравне-
ние сводится к квадратному уравнению (5.15) путем введения
новой переменной по формуле у = х2, у 2 0.
Рассмотрим квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с, а в: 0. Корнем
квадратного трехалвна называют такое значение переменной,
при котором его значение равно нулю. Если дискриминант
квадратного трехчлена положителен, т. е. В ± Ь2 -4ас > 0, то
этот трекчлен имеет два различных действительных корня,
которые обозначим Х 1, 12- Докажем, Что
158
УРА вНЕНИЯ
2
ах +Ьх+с=а(х-х1)(х-х2).
(5.28)
В самом деле,
*
а(х-х,)(х- 1:2): 1:1(л2 -хІх-х2х+ хїхг) =
= Ща:2 -(х, +х2)х+х,х2).
По теореме Виета х1 +31:2 = -Ь/а, х1х2 = с/а. Следовательно,
а(х-х1)(х- х2) = а(х2 -(х1+ х2)х + х1х2) =
Ь
с
=а х2+-х+- :ах2 +Ьх ше.
а
а
Таким образом, при В> 0 и а ггг О справедливо тожде-
ство (5.28).
В случае когда В = О, многочлен имеет два равных действи-
тельных корня х1 = х2. Тождество (5.28) принимает вид
ах2 +Ьх+ с = а(х-х1)(х-х1)
или
ах2 +Ьх+с=а(х-х1)2.
(5.29)
Примеры
І. Решить квадратное уравнение х2 --7х +12 = 0.
› Это приведенное квадратное уравнение, корни которого
определяются по формуле (5.25). Применяя данную формулу,
находим:
1.
2
ч
'7
_
х1,2=-2~± (75] -12=22-±,,ЁЁ-12=-75± 49448 _:-Ё2-±-12~,
71
71
хІ=-+-=4,
х2=-2~--'2~=3.
Итак, квадратное уравнение имеет корни кІ = 4, 162 = 3- 4
2. Решить квадратное уравнение 5;›с2 + Зх - 26 = 0.
› Это квадратное уравнение вида (5.15), корни которого
вычисляются по формуле (5.18). Применяя эту формулу, по-
лучаем:
Квадратные уравнения
189
-з±\/з›2 «фл-26) _"
-з±-./529 _ Ь-з±23
2-5
_
10
10'
3531,2 2
Следовательно, л1 = 2, х2 = -13/5. 4
3. Решить квадратное уравнение х2 -10х + 25 = 0_
› В соответствии с формулой (5.25) находим:
хш =5.*І.:\/52 -25 =5±\/б, Э<11=5,эс2 =5.
Данное уравнение имеет два равных корня, поскольку его
дискриминант равен нулю. 4
4. Решить квадратное уравнение уг + Зу _65 = 0_
› Переменная здесь обозначена буквой у; это квадратное
уравнение относительно у. Применяя формулу (5.25), получаем:
уш =-4±~./42 -(-65) =-4±\/16+6 =~4±~/8_1 =4 ±9.
Следовательно, данное уравнение имеет два корня:
у1=5,у2 =-13. 4
5. Разложить на множители квадратный трехчлен
х2-8х+15.
› Найдем корни данного трехчлена, решив уравнение
х2 -8х+15: О. На основании формулы (5.25) получаем:
х1 = 3,122 = 5. В соответствии с формулой (5.28) находим ис-
комое разложение: л:2 - 8х +15 = (х- 3)(х-5). 4
6. Решить биквадратное уравнение х4 -10;›с2 + 9 = О.
›Введем новую переменную у по формуле у = хг, у 2 О,
получим квадратное уравнение 3.12
-
ІОу +9 = О, корни кото-
2,то х2=1и х2=9, от-
рого у1ш1,,у2=9. Поскольку у=х
Кудах1=-1,х2=1,хз=-З,х4=3.4
'7. Решить уравнение
×
(хг ~зх+6)2 тщхг -зх+6)+ъзв = о.
› Введем новую переменную у по формуле у = хг _ 3144.65
получим квадратное уравнение у2 - 13у + 36 = 0, которое
190
'
УРА внвния
имеет корни у1 : 4, у2 =9. Полагая сначала х2 -Зх+6= 4,
находим, Что х2 -3х+2 = 0, откуда х1 =1› 172 = 2- Прини-
МаЯ Затем х2-3х+6=9, получаем ;<;2_33,_~ _3,=0а
л3 : ЮГШ х = 3 _Ы, Следовательно, исходное уравне-
2”
2
НИЄ ИМЄЄТ ЧЄТЬІрЄ КОрІ-ІЯ:
з+«Ш
ыз_Ш
2”х4_2
'
8. Решить уравнение х2 + рх + 21 = 0, зная Что сумма квад-
ратов его корней равна 58.
ГВ соответствии с теоремой Виста имеем: атс2 =21,
х1=13х2=23х3=
4
а:1 + х2 = -~р. Возведем в Квадрат последнее равенство:
х? +;›с22 +2х1х2 = р2. Так как хё' +хё' = 58, 2х1х2 = 42, то
5.2 = 53+42 =100, р] : -10, 122 =10. Этим значениям р соот-
ветствуют уравнение х2 -10х+21 = О,
имеющее корни
х1 = 3, х2 = 7, и уравнение х2 +10х+21± 0, для которого
х1=-7, х2 = -3. 4
9. Составить квадратное уравнение, корнями которого яв-
ляются числа (54435)*І и (6+\/3_2)_].
› Квадратное уравнение запишем в виде х2 + рх+4~= 0.
С помощью теоремы Виста определим значения коэффици-
ентовриа:
'
1
1
1
1
р=-
+
=-
+
=
[6-4Л ещё] (6-45 в мб]
__
6+4Л+6Щ4Л __ 12
_І__т_2__
_
(6-4×/5)(6 +4Л) ' 36-32 _ 4
_
_
1
1__1
_і
Ч-в-ыї был Р36-32 І“4'
Подставляя найденные значения р и 9 в искомое уравне-
_.3,
1
ние, получаем х2 -3х+-; = О или 4:1:2 - 12х +1=0. 4
Квадратные уравнения
191
10 Составить квадратное уравнение с корнями Іт/л1 и
1/х2, если х] и 262 -- корни уравнения си:2 +Ьх+с=0.
› Пусть искомое уравнение имеет вид х2 + рх+ а = 0. Вы-
разим р и с; Через известные коэффициенты а, Ь, с. Так как Для
уравнения ах2 + Ьх + с = 0 по теореме Виета
х1+х2 =-Ь/а, х1х2 =с/а,
то
11
х+х
-Ь
Ь
Р:_[____+_.]=__1___2;=___12=а3
х, х2
хдхг
с/а с
111а
Ч:с--- щ:›---~- -- _
л1х2с/ас
Итак, получено уравнение
2Ь
а
х +“х+_=0 ИЛИ Щ2+Ьх+а=0. 4
С
С
11. Не решая уравнения ах2 + Ьх+ с = 0, найти хїг + хїз,
где Х] и х2 - корни данного уравнения.
› Поскольку по теореме Виета х] + х2 = -Ь/а, х1х2 = с/ а, то
2
2
2
хї2+х52=і+і=х1 +х2 =Ѕх1+х2) _2х1х2 =
х? »З хїхё
(мы
_
(На/а)2 -25/5 _ дг нм _ Ь2 -2ас
(с/а)2
а2 02 /1:12
с2в
12. Решить уравнение х4 -19х2 - 20 = 0.
› Вводя новую переменную у по формуле у 2 х2, у 2 О, по-
лучаем уравнение
у2-19у-20:О,
корни которого
уІ = -1, у2 = 20. Значение уї = -1 не удовлетворяет требова-
ниюу20;остается у2=20. Значит, х2ш20,ль2 =±×/2_0 , от-
куда х, = -2\/Ё, х2 = 2×/Ё.
13. Решить уравнение х4 + Ѕя:2 + 6 = 0.
192
уРАвНЕНия
› С помошью новой переменной у = х2 , у 2 0 приходим К
уравнению у2 + 5 у + 6 = О, корнями которого являются числа
Уі = -2, у2 = -3. Эти Числа не удовлетворит требованию у 2 0.
Следовательно, исходное уравнение не имеет Корней. 4
7.
10.
13.
16.
19.
Задачи и упражнения
Решите квадратные уравнения.
1. х2*2х=0.
2. х2+3х=0.
з. 9х2-16=0.
4. 25х2т49=а
5. х2-9х+14=0. 6. х2+ах+15=а
7. х2-6х+9=0.
8. 5х2-48х-20=0.
9.. 5х2-3х+2±0.
10. 4у2-12у+9=0.
Разложите на множители квадратные трехчлены.
11. 5х2_3х_14 _
12. Маме.
13. 4х2-4х-з.
Составьте Квадратные уравнения, если известны их корни.
14. х1=4, хг =5.
15. х, =1/2, х2 =1/з.
16. х1= т/п, х2 :п/т.
Решите биквадратньте уравнения.
17. х4-ш2+зе=о. 181х*а518-36=0.
Решите уравнения.
19. (1:2 +я+1>2 -2х2 Ы2х~26 =0.
20. (1:12 -з<г+2)2 -3(х2 -х+ 3)=1.
Ответы
1.0,2.2.0т-3.3. х=±4/3. 4. х=±7/5. 5.2,7.6.
-3, -5.
х1=х2=3. 8. 10, -2/5. 9. Нет действительных корней.
идти. 11. 5(х_2)(х+7/5). 12.-
2<х_3/2)(х-2)_,
4<х_з/2)<х+1/2). 14. хгщах+2о=а 15. 6х2_5х+1=0.
тахї-(тдпомтшо. 17.
-2,2,43,з. 13.м3,3.
_1+Ш_-1_Ш
2*2
.
20. _2.
Алгебраические уравнения высших степеней
193
5.6. АлгввРАичвснив УРАвнвния
Высших ствпвнвй
Алгебраичесним уравнением н-й степени, н е: Ы, называют
уравнениетида
аох” +а1хпд1 + ...+апі1х+ап = О,
(5.30)
где а0,а1,
а,,_1, ап -- заданные числа, причем во а: О.
Числа а,-,
і==0, 1, ..., н, называют коэффициентами уравне-
ния (5.30).
Алгебраическое уравнение н-й степени определено при
всех значениях х.
При и = 1 имеем алгебраичесное уравнение нервой степени,
или линейное уравнение, адх + а1 = 0.
Если н == 2, то получаем алгебраическое уравнение второй
степени, или квадратное уравнение аох2 + аІх + а2 = 0. В случа-
ях н = 2 и н ==" 4 получаем соответственно алгебраические урав-
нения третьей и четвертой степени:
адх3 +а|х2 +а2х+аз = О,
3
аох4 +а1х +а2х2 +а3х +а4 = 0.
Корнем алгебраического уравнения н-й степени называют та-
кое значение переменной х = с, при котором оно обращается
в Тождество:
-т
аос” +а1с” ,+...+а,,_1с+а,, = 0.
Решить алгебраическое уравнение - значит найти все его
корни или показать, что оно корней не имеет.
Как было Доказано выше, корниалгебраических уравне-
ний первой и второй степени выражаются через коэффици-
енты этих уравнений по соответствующим формулам. Такие
выражения найдены для уравнений третьей и четвертой сте-
пени. Для алгебраических уравнений высших степеней (н 2 5)
таких формул не существует.
В некоторых случаях корни алгебраического уравнения
вида (5.30), где н 2 3, можно найти способом разложения на
МНОЖИТЄЛИ ЛЄВОЙ ЧЕІСТИ ЭТОГО УраВНЄНИЯ, Т. Є. МНОГОЧЛЄНН
І(х)± пох” чг-вдх”ні +...+а,,__1х +а,, :
194
УРА внЕния
При решении уравнений высших степеней применяются
также метод понижения порядка уравнения и метод замены
переменной.
`
Метод понижения порядка уравнения основан на следую-
Щем утверждении: если хп - корень уравнения Рл (х) = 0, то
РАК) нацело делится на (х-хо); Рп(х)=(х-х0)Рп_і(х), где
Рпп1(х) --- многочлен степени п.
Если уравнение содержит члены вида их2 + Ьх+с,
их2 + одх + с, то замена выражения ах2 + с новой переменной
позволяет понизить степень уравнения.
Если уравнение содержит члены вида из.:2 + Ьх+с,
ах2 + ох + а, то метод замены переменной этих выражений да-
ет возможность понизить степень уравнения.
Введем понятие равносильности уравнения и совокупно-
сти уравнений.
І
Уравнение
.
1'(х)= (их)
(5.31)
называют равносильньш совокупности уравнений
Л (х) = Ф1(х),13(х)= тих), --~,іп(х) = сих),
(5.32)
если выполнены следующие условия:
1) каждый корень уравнения (5.31) является корнем хотя
бы одного из уравнений (5.32);
а
2) каждый корень любого из уравнений (5.32) является
корнем уравнения (5.31).
Из дан ного определения следует, что если уравнение (5.31)
равносильно совокупности уравнений (5.32) и Х -~› множество
корней уравнения (5.31), а ХІ, Хью, ХИ
-~ множество корней
каждого
из
уравнений
совокупности
(5.32),
то
Х =Х1 ыХ2 шпиц/п, т. е. множество корней уравнения
(5.3ї) является объединением множества корней всех уравне-
ний совокупности (5.32).
Теорема 5.13. Если все функции Л(х),ї2(х),---,Л,(Х) опре-
делены на множестве Х, содержащемся в области определения
каждой из данных функций, то на этом множестве уравнение
12001300 Іих) =0
(5.33)
равносильно совокупности уравнений
Л(х)=0›13(х>=0,-.-,Іп(х) =0- Ь
(5.34)
Алгебраические уравнения высших степеней
І 195
Предположим, Что левая Часть уравнения (5.30) разложена
на множители вида х - с и х2 +рх+е. Приравнивая нулю
каждый множитель, получаем уравнения, каждое из иоторых
можно решить. На основании теоремы заключаем, что корни
этих уравнений будут Корнями уравнения (5.30).
К решению квадратных уравнений сводятся возвратные
(симметричесиие) уравнения третьей и четвертой степени.
Возвратным уреенением третьей степени называют Кубин
ческое уравнение вида
ах3+Ьх2+Ьх+а=0.
(5-35)
Приводим подобные относительно коэффициентов Члены
и преобразуем полученное уравнение:
ихз+1)+дог+х)=о, а<х+1×х2-х+о+дх<х+1)=о,
(э›:+1)(аэс2 +(Ь-а)х+а) = О.
(536)
Следовательно, уравнение (5.35) равносильно совокупнос-
ти уравнений:
х+1=0, ах2+(а-а)х+а=0.
(5-37)
Отметим, что число х = н1 всегда является Корнем воз-
вратного уравнения третьей степени.
Возвратным уравненрем четвертой степени называют урав-
нение вида
Щ4+Ьх3+ы2+ьх+а=щ то.
(5.38)
Число х = 0 не является корнем уравнения (5.38), поэтому
данное уравнение можно разделить на х2 и О. В результате де-
ления и преобразований получим:
Ьа
сх2 +Ьх+с+-+--~= 0,
х
хз
а[х2+-15-]+Ь[х+і]+с=0.
(5.39)
х
х
Введем новую переменную у по формуле у = х + 1/ х, откуда
11
у2 = х2 + 2х--+--ї,
хх
х
Подставляя данные выражения в уравнение (5.39), получа-
ем квадратное уравнение с новой переменной у:
е(у2 -2)+Ьу+с= 0 или ау2 +Ьу+с-2а= О.
ХЗ-І-“тїїу2-2 .
196
И
УРА вНЕНия
Примеры
І. Решить уравнение х3 - 2х2 -х+ 2 = 0.
› Разложим на множители левую часть уравнения:
хз -2х2 -х+ 2:05* -2х2)-(х-2) =х2(х-2)-(х-2) =
= (х- 2)(х2 -1)= (х+1)(х-1)(х- 2).
Данное уравнение принимает вид (х + 1)(х -1)(х - 2) = 0.
Приравнивая нулю каждый множитель, получаем сово-
купность трех уравнений:
х+1=0,, х-1=0, х-2= О,
откуда х1=-1, х2 =1, хз =2. Это корни исходного урав*
нения. 4
2.Решитьуравнение х'4+2х3~х2-2х=О.
І› Поскольку
х* +21.:3 -х2 -2х= х3(х+2)-х(х+2)= (х+ 2)(х3 -х)=
= (х + то:2 -1) = (х+ 2)х(х- 1)(х+1),
то х(х-1)(х+1)(х+2) =0, откуда х+2=0, х+ї=0, Х= 0,
96-1: 0. Следовательно,
уравнение
имеет
корни:
х1=~2, хд =-1, хз =0, х4 =1. 4
3. Решить уравнение х4 + х3 -~3х2 -5х пк--2 = О.
› Разлагаем на множители левую Часть уравнения:
х4 +х3 -Зх2 -5х-2=х4 +хЗ ~3х2 -3х-2х-2:
= х3(х+1)-зх(х+1)-2(х+1) =(х+”1)(х3 щ-3х-2) =
=(х+1)(х3 -х-2х-2): (х+1)(х(х2 -1)-2(х+1)) =
=(х+1)(х(х +1)(х - 1) ц их +1))=(х +1)(х +1)(х(х -1) -2) =
=(,›.:+1)(х+1)(;›<;2 дх-1 ч#1): (х+1)(х+1)(х2-1-(х+т)) =
=(х+1)(х+1)(х+1)((х-1)_1)=(х+1)(х+1)(х+1)(х Ы2).
Уравнение принимает вид (х +1)(х +1)(х +1)(х -2) = 0; оно
имеет четыре корни: хІ = -1, х2 = -І, х3 = -1, х4 =2, среди
которых три равны между собой.. (Корень х =і -1 называют
трехкратным.) 4
Алгебраические уравнения высших степеней
197
4. Решить уравнение _(х + ї)(2х2 + х) + 6(х +1)2 = 0.
› Так как
(х+1)(2х2 +х) +6(х+ 1)2 = (х+ї)(2х2 +х+6(х+1))=
= (;›2+1)(2.«›.:2 + 7х+6),
то
(;›<:+1)(2;›(:2 +7х+6) = 0,
откуда
х1=-2, х2 =_3/2, хз =_1. 4
5. Решить уравнение 2):4 - 2х3 -Ѕх2 + 4х+ 2 = О.
Р ПрЄОбрНЗуЯ ЛЄВУЮ ЧЗСТЬ УраВНЄНИЯ, ПОЛУЧЕІВМІ
(2х4 -4х2) т(2х3 -4х) --(х2 -2) = 218062 -2) -2.››;(х2 -2) -
-(х2-2)=(х2-2)(2х2-2х-т)=~ 0.
прИРЗВНИВаЄМ НУЛЮ КЗЖДЫЙ МНОЖИТЄЛЬ И НаХОДИМ КОрІ-ІИ
ИСХОДНОГО УраВІ-ІЄНИЯІ
х2-2=0, х1=-Л, х2 =Л;_
1+×/Ё
їщ/Ё
эх4=
2
2
2х2-2х-1=0, Х3=
-
4
6.Ёешитьуравнение х4 -38х2 -24х-3 =О.
› Преобразуем левую часть уравнения:
х* -звхг -24х-з = (1:4 _2х2 +1)-36;(:2 -н24х-4 =
= (х4 ~2х2 -(«1)-4(9.›(:2 +6х+1)=(х2 -1)2 -4(зх+1)2 =
-_-
(о:2 -1)- 2(зх+ 1)) ((122 -1) +2(зх +1)) =
= (12 -6›.:-з,)(;›22 +6х+ 1).
Следовательно, (х2 - бх - 3)(и2 + бх +1) = О, откуда
и2 -6х-З = О, хід = 3±\/9Т3, хм =3±2\/Ё;
и?І +6х+1= О, хм =-3±\[9_-:ї, хм =-3±2\б. 4
7. Решить уравнение 2зс3
-
За:2-Зх+2=0.
› Это возвратное уравнение третьей степени. Преобразуя
левую часть уравнения, получаем:
198
УРАвНЕния
2х3 -зхї ~зх+2= 2063 +1)-зх(;›<;+1)=2(›т;+1)(;›«;2 -;›с+1)-ин
-зх(х+ 1) .=(;›<:+1)(2х2 -2х+2-3х) =(.›ъ:+1)<2х2 -5х+2).
Исходное уравнение принимает вид (х +1)(2::<:2 -Ѕх + 2) м О,
откуда
х+1=0, х1=_1;
2
5±\/25-їб
1
2х --5х+2=0, хзв:
4 ›х2г?хз=2-
Итак, данное уравнение имеет три корня: -1, 1/2, 2. 4
8. Решить уравнение 2х4 + х3 ----6х2 + х + 2 = 0.
› Данное уравнение является возвратным уравненяем чет-
вертой степени. Разделим его на хз '1* 0 и преобразуем полу-
ченное уравнение: 2):2 + х - 6 + ї/х + 2/1:2 ,
2`1
1
2х+-2-+х+--6=0.
(5.40)
х
х
Введем новую переменную у по формуле у = х + 1/х, тогда
,52 + 1/х2 ш у2 -2. Уравнение (5.40) принимает вид
2(у2 -2)+ у-в: 0, 2у2 + у-10= 0,
- 1±\/1+80
5
=
___-__,
=21
ОТКУДЗ У1,2
4
У)
2У:
Следовательно,
І
5
2
х+_=-* -› 2х +5+2=0,
х
2
-5±\/25-16
х1,2 2
'
4
›
1=“2›
='"",
х _|_
_1 ..
--
2
2
2“_
,__
_
1
х-
,
х -2х+1=0, (х--1)ц-0, хз -хд и.
Итак, данное уравнение имеет'четыре корня: `-2;-1/2, І, 1
(среди них~два равных)І 4
±
9. Решить уравнение х3*-9х2 + 26х- 24: О.
› Целый корень уравнения должен быть положительным
делителем числа 24 (при отрицательных значениях х левая
Алгебраические уравнения высших степеней
199
Часть уравнения отрицательна). Рассмотрим делители х Ш 1 и
х = 2 и значения левой Части уравнения при этих значениях х:
1~к9+26~24 == ~6 #0,
х = 1 не является корнем уравнения;
23 ьгь9-22 + 26244: з-зв+52-24 = 0,
х = 2 -- корень уравнения. Разделив многочлен на (х - 2),
получим:
хз -9х2 + 26х-24': (х-2)(х2 -7х+ ш) = 0,
х2-7х+12=0,
откуда х=3, х=4_ Следовательно, числа 2, 3, 4 #- корни
уравнения. «І
10. Решить уравнение (х т1)(х ...2)(х _3)(х т4) = 3_
› Преобразуя левую часть уравнения, получаем:
(хц1)(х_4)(хн-2)(х _3) =8, (1:2 -5х+4)(х2 -5х+ в) -= 8,
Переходим к новой переменной г = х2 т5х+4. Тогда по-
следнее уравнение примет вид г(г°+2)=8 или 12+2!-8 =0,
откуда г, = -4, їд = 2. Получаем совокупность уравнений:
х2-5х+4=-4, хг -5х+4= 2
или
1:2 -5х+з = о, 1:2 -5х+ 2= 0.
Первое уравнение действительных корней не имеет. Вто-
5+Л
5-\/1_7
И
Э
2
2
ЯШІЯЮТСЯ КОРНЯМИ ИСХОДНОҐО ураВНЄНИЯ. 1
рОЄ ураВНЄНИЄ ИМЄЄТ ДВа КОрНЯІ
которые
11. Решить уравнение (х + 2)(х+ з)(х + з)(х+ 12) = 418.
› Преобразуем уравнение к виду
(х+ 2)(х +12)(х+ зима) = 4х2,
(1:2 +14х+ 24)(х2 + 1 ы+ 24) = 4х2
200
УРА внЕния
и введем новую переменную ї: 1:2 + 24. Последнее УраВНЄ~
ние принимает вид (г+ 14х)(г+11х) = 4х2. Разделив это урав-
нение на 1:2 ;± 0 (х = О не является Корнем уравнения), по~
лучим:
Ґ
2
і+14їі+н1=щ [і] +25[і]+154 =4,
кх
х
'
х
х
к*2
_
+
_
_
+
1] +25[3_Ъ150=0,
= 25_\`/625 600: 25.5
Ґ
дх
х
х
2
2
Э
Ґ(___)
= #15, (і) ї_10,ї]= _]5х, 1,2 = _ІОХ-
хъ
х2
Так как І = х2 + 24, то имеем совокупность уравнений
1:2+24= -15х, х2+24= -10х
или
х2 +15х+ 24: 0, х2 +10х+24 =0.
-15 ± $179
Первое уравнение имеет корни х1,2 = _*
2 т, авторое-
корни хз = -6, хд = -4. Эти числа будут Корнями исходного
уравнения. 4
'
Задачи
Решите уравнения.
1. х3+2х2~х-2=о.
2. х3+2х2-9х-1з=0.
з. х3-3х2-4х+12=о.
4. хЗ-щзхдзх-ьо.
5. х4+-2х3-х2+2х=0.
6. х4п4х3+6х2-4х+1:0.
7. х5-5х3+4х=0.
8. хдзхцюхЗ-шхИзх-ьо.
9. х4+23х3+130х2+3х+1=0.
10- х4+18х3+81х2+40х+3=0.
_
11. х3~4х2-4х+1=0.
12. х4~2х3-х2-2х+1=0.
13. 6х3+х2-5х-2=0.
14. (х2-5х+7)2-(х-2)(х~3)=3.
15. (218 -зх+1)(2х2 + 5х+ 1) = 9.18.
Иррациональные уравнения
201
Ответы
1.-2,-1,1.2.-3,-2, 3. 3. щ2,2, 3. 4. І, 1, 1.5.
-1,0, 1,2. 6. І, 1, 1, 1.
Шї
7.-2,~1,о,1,2.з.1,1,1,1,1.9.
_5±2\/Ё нём*-
указа-
ние. См. ё3.6, пример 12. 10. ...7. +...`/2:п ...__ +“1_.ї..3
2 2`/_ 2± 2`/_
_
_3+
_3
-3
-3+
.
-1/3, -1/2, 1. 14.1365+\/'5І 5-43 15. 2`Г БГ,
2-45 2+Л '
2
2
2”2
`
5.7. ИРРАЦИОНАЛЬНЬІЕ УРАВНЕНИЯ
Иррациональньш уравнением называют уравнение, содержа-
щее переменную под знаком корня.
Примеры
иррациональньтх
уравнений:
1)х+9..4±0,
мы -\/х-1= 2, іхг -7х+12 -(х-3)(хп4)= о.
Для решения иррациональных уравнений в простейших
случаях могут быть использованы: метод «уединения» корня,
метод замены переменной, метод приведения х смешанной
системе уравнений и неравенств.
Иррациональное уравнение 241/ ](х =<р(х) равносильно
системе
их)а0. их)г0. их)=(форм.
Это означает, что для того чтобы решить исходное иррацио-
нальное уравнение, необходимо найти корни уравнения
Дх) = ((р(х))2” и проверить, удовлетворяют ли они условиям
Лх) 3: 0, <р(х) 2: 0. Целесообразно начинать с проверки вы-
полнения данных условий. Иногда можно решать уравнение
без предварительной проверки этих условий. Полученные
значения неизвестной необходимо подставить в уравнение и
включить в ответ те, которые удовлетворяют ему.
Метод «уединения» корня состоит в том, что, оставляя ко-
рень в одной части уравнения, возводят обе части уравнения
202
_
УРАвнвния
в соответствующую степень до получения уравнения, не со-
держащего радикалов. Поскольку при этом могут появиться
посторонние корни, то необходима проверка найденных
корней. Такая проверка нужна и при введении новой пере-
менной.
З аме ч ание. Если при решении уравнения А = В возводят в
квадрат обе его части, то полученное уравнение А2 = В2 будет иметь
своими корнями все корни данного уравнения А = В и корни урав-
нения А = -В. Действительно, А2 = 82 равносильно А2 - 82 ш 0
или (А
-
В)(А+В)=О, откуда А=В, А = -В. При этом могут по-
явиться посторонние корни.
'
Примеры
1. Решить уравнение а,/3_х+`/хч5+ х2+1=4,
› Для данного уравнения ОДЗ определяется системой не-
равенств:
'
3-х20, х-520, х2+1>_›0.
Третье неравенство верно при всех значениях х. Из перво-
го и второго неравенств следует, что х в 3, х 2 5. Этим нера~
венствам х одновременно удовлетворять не может. ОДЗ --
пустое множество. Уравнение не имеет решений. <
2. Решить уравнение их -1+ #х2 -1+ х/х2 + 2х- 3 = О.
› Сумма неотрицательньтх слагаемых равна нулю, если
каждое елагаемое равно нулю:
х-1=0, ,її-1:0, х2+2хчз=0,
откудаследует,чтох=1,х =±1,х1=1,х2= -3.
Всем трем равенствам удовлетворяет значение х = 1, кото*
рое является корнем уравнения. 4
3. Решить уравнение а/х +1 + «/2х+ 3 ~_ - ..
1,
› ОДЗ определяется системой неравенств:
х+І_>_>.0, 2х+320,
откуда следует, что х 2: -1.
«Уединяем» корень:
_ «і2х+3:1-\/х+1, 1-\/х+1_>:.0, 13а/х+*1, 12х+1,
хЅ 0, хе [-1, 01.
Иррациональные уравнения
203
Возводя в квадрат, получаем:
2х+3=1-2\/х+1+х+1, х+ї=-2×іх+1, 24х+1=~1-~х,
-1 -х20, хЅ-І.
С учетом ОДЗ находим х = -1. Это число является корнем
уравнения, в чем можно убедиться непосредственной про-
веркой. 4
4. Решить уравнение ё/х + 1 = д`Ь: _. 3 _
› Приведем обе части уравнения к одному показателю кор-
ня и преобразуем полученное уравнение:
€}(х+1)2 = ,б/(хчў, (мы)2 = (хшзў,
х2+2х+1= х3-9х2+27х-27, хз _10х2 +25х-2з: о.
Корни последнего уравнения -- делители числа 28. Дели-
тель х = 7 является корнем, поэтому
хз Ш~1ох2 + 25х-2а = (хщ7)(х2 +31: +4) = о.
Уравнение х2 + 3х+ 4 = О действительных решений не
имеет. Следовательно, х = 7
-
единственный корень исходно-
го уравнения. 4
`
5. Решить уравнение А24/33 .- х + «4/89 +х = 5_
› Полагая 8-х =ад, 89+х=1:4, получаем системуурав-
нений:
а+Ь==5, 114 +Ь4 =97.
Принимая во внимание, что
а+ь= 5 и ада* =(а2+в2ў-2а2ь2=((а+ьў-2аьў-м2а2ь2 ,
получаем уравнение (25 _ - 2аЬ)2 "2412512 = 97. Оно приводится
квиду д2Ь2_50дд+264=0, откуда аЬ=6 и ад=44.
Остается решить две системы уравнений:
а+Ь=5,
а+Ь=5,
ад=6,
аЬ=44.
Из первой системы находим а=2, Ь ==3 и а«1513, Ьг:2.
Вторая система действительных решений не имеет. Пользу-
ясь, например, уравнением 8 - х = а4, получаем корни исход-
ного уравнения: х] = 8, хз = #73. 4
г
204
,
уРАвНЕНия
6.Решитьуравнение х/х2+х+7+5=2х.
› Уедпним корень, получим Чх2 + х + 7 == 2х- 5. Возведем
Обе ЧаСТИ ЭТОГО УраВНЄІ-ІИЯ В КВЕЩрЕІТ И ПРИВЄДЄМ ЄГО К ВИДУ
(1:2 +х+7)=(2х-5)2, х2 +х+7=4х2 -20х+25,
Зх2 -21х+ 18 п 0.
Решим полученное квадратное уравнение:
21±×/212-з-4-1а 21±\/44:-216 21±\/225
351,2 2:
6
=
6
к:
6
::
__
21±15
Э
Проверка показывает, что Число 6 является корнем исход-
ного уравнения:
462+6+7+5=2-6; `/:Ё+5=12,7+5=12,
а Число 1
-
корнем уравнения не является:
Щ2+1+7+5=г±2~1.
Итак, данное нррациональное уравнение имеет лишь один
корень, равный числу 6. <
7.Решитьуравнение ЧхЁ +4 +Чх2+25=9.
І› Уравнение содержит два корня. Уединив сначала второй
корень, последовательно получим:
4х2+25=9-×/х2+4, х2+25=(9~\/х2+4›2,
х2+25=81-18 х2+4+х2+4, 18 х2+4=6с,
в
в
3 х2+4=10, 9(х2+4)=100, 9х2=64, х1=5,х2=-5.
Проверка показывает, что оба числа -8/3 и 8/3 являются
корнями исходного уравнения. 4
8. Решить уравнение \/2х-15 щ4х+1 = ~1.
› Уединив сначала первый корень, последовательно получим:
#2х-15 = 4х+16-1, 2х-15=х+16'-2~.іх+16 +1,_
х-32= -2~!х+16, (зи-32)2 ±(-2\/х+16)2,
Иррациональные уравнения
205
хї* -64х+1024 = гид-+16), хг -6ах+960 = о,
х: з4±«/1156--960 =з4±`/196 =з4±14, х1=48,х2 = 20.
Проверкой устанавливаем, что исходное уравнение имеет
только один Корень, равный Числу 20. 4
9.. Решить уравнение #3 х2 - ЗЁ/х + 2 = 0.
›Введем новую переменную у по формуле у = Ё/їс, тогда
Ё/хї = у2 и данное уравнение примет вид у2 ызу + 2 = 0, от-
куда у1 =1, у2 = 2. Приняв Ё/х: 2, получим, что х1 = 8. По-
ложивзатем Ё/Ё=1, найдем, что Х;=1. Обачисла 1 и8 яв-
ляются корнями исходного уравнения. 4
10-Решитьуравнение 24,8м2х+4-\/х2+-2х+9 =1.
› Введсм
новую
переменную у
по
формуле
\/х2 -2х+4 = у, ТОГДа х2 -2х+4= ув, х2 -2х= у2 -4 _ ОТ-
носительно новой переменной данное уравнение принимает
вид 2у - ц/у2 + 5 = 1. Освободившись от корня, получим урав-
нение Зу2 -4у-4 = О, для которого уІ = 2,312 = --2/З. Значе-
ние уг = _ 2/ 3 следует отбросить, поскольку у = ж/х2 - 2х+ 4 ,
а арифметический корень отрицательных значений прини-
мать не может.
Взяв у = 2 и подставив это значение в уравнение
х2 -2х+4=у2, получим х2 -2х+4 = 4 или х2 -2х= О, от-
куда х, = О, х2 = 2. Числа 0 и 2 являются корнями исходного
уравнения. Других действительных корней данное уравнение
не имеет. 4
11- РЄШИТЬ УРШЗНЄНРЮ` х/Зх2 + 5х+ 8 - хГЗх2 + 5х+1=1.
› Запишем систему уравнений:
Мзхї* +5х+8 -Лхї +5х+1ш1,
х/їэсЗ +5х+8 +~\/3х2 +5х+1=і.
Перемножая
уравнения
(и используя формулу
(а-Ь)(а+Ь)=из-152), находимзначение г:
(зх2+5х+8)-(зх2+5х+1)=г, 1:7.
206
УРАвнЕния
Складьївая уравнения и учитывая значение ї= 7, находим х:
2Ш2+5х+а=а \/зх2+5х+а=4, 3х2+5х+а=16,
з›;›<;2+5х-а=о,п
_ х, =-в/з, х2 =1.
СЛЄДОВЗТЄЛЬНО, ДЁІННОЄ ураВІ-ІЄНИЄ ИМЄЁТ ДВЕІ КОрНЯ:
х1=-8/3, хз =І. 4
Задачи
Решите иррациональные уравнения.
1- 53%- 2- \/х_2-_9=41 З. тим.
4. Ш_х=_7_ 5. Ш_Ш=1.
6.\/х_;_ _7 _`/:7=5_ 7?\/;5:;+х2+5=12.
8- хї~5х+10~зх2+15х=2е
9. ц/х+2×/П~ х-2×Гх~_1:2.
Ответы
1.х=7.2. х1=_5,х2=5_3.х=4.4.в:10.5.х=7.6.Корнейнет.
7. х] = -2, хз = 2. Указание. Введите новую переменную у = ц/ 3.12 + 5і
8.
х1 =2, х2 =3. Указание. Введите новую переменную
у=іхд_. 5х+10,
предварительно преобразовав уравнение.
9_ хе [2, +90).
5.8. ПОКАЗАТЕЛЬНЬІЕ УРАВНЕНИЯ
ПОКЄЗЦШЄЛЬНЬШ урЦЄНЄНЦЄМ НЗЗЫВЗЮТ УРЗВНЄНИЄ, СОДЄрЖа-
ЩЄЄ ПЄрЄМЄННУЮ В ПОКЭЗЭТЄЛЄ СТЄПЄНИ, Т. Є. УрЕІВНЄНИЄ ВИДЕ!
аЛх) = ЬФЦХ) а
(5.41)
где аи Ь-действительные числа, а>0, а#1, Ь#1; Лх) и
(р,(х) _ -
неиоторые функции переменной х.
Так Как Ь = аюёе Ь (ем. ё 4.81 основное тождество), то пока-
зательное уравнение (5.41) можно привести К Виду
аЛх) __. авт _
Показательные уравнения
207
Действительно, подставляя выражение Ь в уравнение
адх) = НИМ, получаем адх) = аіоёаьфїш или адх) = аф'дх), где
(р(х)=103,, Ь-(р, (х).
Решение показательных уравнений основано на приводи-
мой ниже теореме.
Теорема 5.14. Показатааьное уравнение
ада) = итог)
(542)
равносильно уравнению
1”(х) = ФСЖ)і
(5-43)
Простейшие из уравнений (5.42) получаются при <р(х) = 0,
(р(х) = от. Они имеют соответственно вид: адх) = 1э адх) __.. ад”
Первое из этих уравнений равносильно уравнению Лх) = 0,
второе - уравнению І (х) = от.
Если задано уравнение
тушь, то, аао, ь>о, два,
(5.44)
то его можно привести к виду
ада)=ат,
(5.45)
где от =103,, Ь. Это уравнение равносильно уравнению
і<х>= Юань.
(5.46)
Показательное уравнение
Ршдт) а 0З
(5.47)
где Р(аҐ(1)) -- заданный многочлен, а > 0, а #1, решают пу-
тем введения новой переменной гпо формуле
Для їполучают уравнение Ри) = О, г> О. Пусть Иду-"дп, _-
корни этого уравнения, удовлетворяющие условию г> О, тогда
корнями уравнения (5.47) будут все корни уравнения адх) = 1,., ,
где іс =1,2,...,т, т. е. Корни уравнений Дх): 103,,1* ,
11: = 1,2, ..., т
Примеры
1. Решить уравнение 1000х = 100.
› Представим левую и правую части уравнения в виде сте~
пеней, имеющих одинаковые основания: 10ЗК = 102. Отсюда
следует,ЧтоЗх=2их=2/3. <
208
с*
УРАвнвния
2. Решить уравнение 32х = 1/64_
› Преобразуя левую и правую части уравнения, получаем
25* = 2-6. Следовательно, 5х = -6, х д -6/5. 4
3 Решить уравнение 24245445/2 =16×/2.
› Поскольку 16\/2_ 242 4/2 = 29/2, то уравнение принимает
вид 2хЕпбх 5/2-
_ 29/2, откуда хз _6х_5/2 ї 9/2 или
л2 -блй 7-- 0. Решив это ивадратное уравнение, найдем:
хі=7, х2-_-
_І.
4
2
`4. Решить уравнение 3ІІС “4* = 32х`8.
ў Данное
уравнение
равносильно
уравнению
а:2-4х=2х-8 или х2-«6х+8=0. Решаяквадратноеуравн
нение, находим х] = 2, хг = 4. Эти числа являются корнями
исходного показательного уравнения. 4
5. Решить уравнение 3х+1 -1-15 .3х = 6_
› Преобразуем данное уравнение и найдем его корни. По-
скольку
3*” +15-зх -_~ зх(з+15)=зх-1з,
то уравнение принимает вид 3х.18 = 6, Зх щ1/3, 31” = 3-'15
откуда х: -1. 4
9
› Преобразуя левую Часть уравнения, получаем:
1Хх_,32х+6
6. Решить уравнение _9
-
-
(9х-1)х = 32х+6
9х(х-1) = 32х+6
32х(х-1) І 32х+6 '
Из последнего уравнения следует, что 2х(х-1)=2х+6,
х(х~1)=х+з, х2 -2х-з=о, откуда х, =-1, х, =з.
Итак, данное показательное уравнение имеет два Корня:
х] =_1, 1-2 ІЗ. 4
7. Решить уравнение 10.2х _4х = ]6_
›Перепишем данное уравнение в виде 10 2х- (24)2
-16= 0 ивведем новую переменную їпо формуле 2:24. По*
лучим2 уравнение относительно переменной Г. Юї-І2 -16=0
или г2-10г+16=0, откуда 1*] =2, тд =8. Этим значениям ї
соответствуют два уравнения: 2Х = 2а 23* =8,
откуда
х1 2,1, х2 =3. Полученные значения ф корни исходного
Показательные уравнения
_209
уравнения, в Чем можно убедиться непосредственной про-
верной. 4
8. Решить уравнение ЅХН,5 = 72х .
І›Пос1<ольку 7:510Ё57 (см. основное логарифмическое
ТОЖЦЄСТВО), ТО ураВНЄІ-ІИЄ ПрИНИМаЄТ ВИД
х+1,5 _*
1 7-2х
5
_
5 ОЁЅ
а
откуда
х+ 1,5 = 21110357, 1,5 = (210%5 7 -1)х,
х_
1,5
_
3
_
3
Н
_
2103,*7-1
_
2(210$,7 -1) пн2010357 т10Ё55)
3
3
т-щт3510349/551
210%5-“5”
9. Решить уравнение джип"5х = 8.
І› Логарифмируя по основанию 4, получаем:
х2 + 0,5х =1034 8 =103443Д = 3/2, х2 + 0,5;'єпЧ 1,5 = 0,
х1=1, х2 =-1,5. 4
10. Решить уравнение 62х+4 - _-
33х .21<+8І
› Перепишем уравнение в виде
32х+4_22х1_=4 = Ззх _2х+з _
Используя свойство Членов пропорции, получаем:
22х+4
33):
:32х+43 2хы4=3х-41 хщ4- 'с
2Х+8
11. Решить уравнение 81х -2-9х -3 = 0.
› Запишем'уравнение в виде (9”5)2 *2 -9д'с -3 = 0 и введем
новую переменную і=9х. Получим Квадратнре уравнение
12 _2;_3 = 0, имеющее положительный Корень х == 3 (отри-
цательный корень не подходит: т1±9х). Решив уравнение
93'с =3, найдем х ж 1/2. Следовательно, данное уравнение
имеет единственный корень х Ё 1/2. 4
12. Решить уравнение 7.4х2 “944%2 +2.49х2 = 0_
210
.
УРАвНЕНия
› Раздепив обе Части уравнения на 4х2 44 О, ПОЛУЧИМ
14 х:
49 хз
7“27*2
7~9(-] +2 _)
=о, 2(-]
-9[- +7=о.
4
4
2
2~
х
РЄШЕІЯ КВаДраТНОЄ ураВНЄНИЄ ОТНОСИТЄЛЬНО Ґ=(ї] , На-
ХОДИМЦ
7хг' 7
[_]
=5, х2=1› х1=_1›х2=1;
2
2
2
7Х
(5] =1“ *5220, хз=0- 4
13. Решить уравнение 4”с -3`ї“]/2 = ЗМІ",2 -22Н
.
› Разделив обе части уравнения на 4х, найдем:
х
х
3/2
1- Ё. Ні.: Ё Л-і, [Ё] 1315.: Ё] ,
4454
24
в
4
3
.
ІЁ==
4
ї.
З амечан и е. Уравнение можно решить и другим способом:
22111 + 2*1)= зн/їз + і), 22* -з = 3*-1/2-8, 224-3 = 34-1/1,
Ет-З
-
3
22Х=(`/ЗТ)2Х-3, [і]
21,
2х_3- _- 0,
х:5_
Л
14. Решить уравнение (П ї + (#2 + «[3: ї = 4.
› Преобразуем левую часть уравнения:
` ГЦГІҐ
(П;+[517514
=4,
Показательные уравнения
І
211
Х
Вводп новую переменную 2 = (#2 _Л) › получаем:
1
2+Е=4› а2-4г+1=0, 11,2 =2±`Б-
Итак, получены два уравнения:
ті =2-×/5, тїыд/ї.
Решив каждое из них, найдем два значения: х = 2, х = -2. 4
Задачи
Решите уравнения.
1. 4х+' +4х =з20.
2. вы +18-3'”с ±29.
з. 2х+12.2“х =9,5.
4. 52*3 :2.5х*2 +3.
2_
в
2х
5` 0,5): 20х+61,5 :__
6 ___ 141,5
Л
з
1. 0,125.42Г3 4:22] . з. М+М* ~5-2х'1*4;<”2 =6.
9. 4х+6х=9×.
10. 23х--Ё -н6 (г- 1 ]=1.
2х
2х-1
11. кеды/5:55.
`12.5Х.х+\*/ёї=100.
13. Д`/2+×/І`Ё)(+(`/2-\/Ёї=2х.
14., ё/з-Мёў + (ё/м #ёў =6'.
15. 53* +53<'*х)+15(5х+5'*×) =216.
16. ах” +8- (0,5)зх +3 '2)“3 = 125 -24(0,5)х.
17_ 2Х3ЭС-15І-і -2 24 .
Ответы
5. х! 2 4, х2 = 16. 6.х= Ы1/4. 7.х=6. 8.х= 3/2. Указание. Введите но-
х_на+#5_н2
на_н2 '
1І 2..
вую переменную 5:2” х 2, 9.
Указание.
212
-
“"
УРАвНЕНия
32* зё
Используйтеравенства 22І+3”“-2”“=:1,2”“а [ї] Ш[~2~] н*1:00. 10.х==1.
2х
*її
2
11. х =1о3`дЬЕ -5 Указание. Разделите обе части уравнения на #5;
2
2
новая переменная ї =1х,-5~ 12. ХІ = 2, 262 = -1/135. Указание. Запиши-
33,:
х
22
“
те уравнение в виде 5 .2х+1 = 5 .2 э прологарифмируите по основа-
ы-
х8
2
23
Указание. Используйте равенство 23 - 23х - 6 [Ёх _ Ш] = [2)с ) .
нию 10. 13. х === 2. 14. х] = 3, х2 = -3. Указание. Используйте равен~
ство 3-Л =1/(3+Л), 15. х] =О, хз =І. Указание.Запишитеурав-
нение в виде (5х +51“х)3 = 63, 16. хІ =1, хд = -1. Указание. Запиши-
х* 2+10323-210325
1+Іо$23+10325
з
х
_'х
5
те Уравнение в виде (2 +2 )3=(~2~) . 17.
Указание. Прологарифмируйте уравнение по основанию 2.
5.9. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Логарыфмичвским называют уравнение, содержащее пере-
менную под знаком логарифма:
103300 ](х)':1038(х) (р(.х).
(5-49)
Здесь рассматривается случай, когда переменная х входит
и в основание логарифмов, и в выражение, стоящее под зна-
ком логарифма. Функция <вы) должна удовлетворять услови-
ЯМІ 801) > 0, 8017) Ч* 1; фУНКЦИИ Лх) и (р(х) должны быть 110-
ложительными.
Ефивнением-следствыєм уравнения (5.49) является
ЛХ) = (РФС),
в
1 (5-50)
при переходе от уравнения (5.49) к уравнению (5.50) потери
корней не происходит. В то же время уравнение (5.50) может
иметь корни, не удовлетворяющие уравнению (5.49), если не
выполняется хотя бы одно из условий, налагаемых на фун-
кции 301), Дх) и (Их), т. е. если оказывается, Что или
8010) 5 0, ИЛИ 3017021, ИЛИ Ґ(х0) 5 О, или (р(х0) 5 0.
Логарифми ческие уравнения
213
Уравнение (5.49) равносильно смешанной системе:
і(х)=<р(х), Ф(х)>0, І(х)>0, в(х)>0, е(х)е1-
В частном случае, когда 3(х) їа, причем а>0, азы,
уравнение (5.49) принимает вид
Іеаа Лат) = 102,, (Их)-
Данное уравнение равносильно смешанной системе:
Лх)=их), Ла)>0, их)>0-
Отметим, что последняя система в свою очередь равно-
сильна каждой из следующих систем:
І(Х)=Ф(Х), І(Х)>0, і(Х)=Ф(х), Ф(х)>0-
При решении логарифмических уравнений используют
свойства логарифмов. Например, уравнение
Іова 1“(х)+10ваг их) =10е.а Их)
(5-51)
преобразутот к виду
103,(І(х><р<х›>=10а11<х›.
,
(5.52)
При переходе от уравнения (5.51) К уравнению (5.52) мо-
жет произойти расширение области допустимых значений
переменной. Значит, могут появиться посторонние корни.
Для того чтобы решить уравнение (5.51), необходимо ото-
брать те корни уравнения (5.52), которые принадлежат облас-
ти допустимых значений уравнения (5.51), т. е. удовлетворя-
ют системе неравенств Дх) > 0, (р(х) > О, Мх) > О, или еде-
лать проверку найденных корней подстановкой в исходное
уравнение (5.51).
При решении логарифмических уравнений используют
переход к новому основанию. Рассмотрим уравнение,
Іоадх)_і(х) ==103р<х5 (р(х).
'
(5.53)
В этом уравнений перейдем к новому основанию г(х), где
г(х) > 0, г(х) #1. В результате получим уравнение
Іоёгрх) Ґ(х) и ІОЁг-(х) (Их)
Юнга) их) Іовах) их)
Отметим, что уравнения (5.53) и (5.54) равносильны.
При решении уравнений
РООЁЦ ЛК» = 0,
(5-55)
І (5.54)
214
'
І
уРАвнЕния
где Р(103,, /(х)) - многочлен, вводится новая переменная у
по формуле у =103а х
Уравнения, содержащие переменную в основании и в по-
казателе степени, решают, как правило, логарифмированием
обеих частей. Если в показателе степени содержится лога-
рифм, то обе части уравнения логарифмируют по основанию
этого логарифма.
Примеры
1. Решить уравнение хІЁ = ІООх.
› Логарифмируя данное уравнение по основанию 10, полу-
Ч
чаем:
І3х І3х = 13100 +13 х, 132 х-13х --І3102 = О,
132 х-13х-2 = 0.
Введем новую переменную у по формуле у =13 х, относи-
тельно которой уравнение примет вид у2
-
у-2 = О. Этому
уравнению удовлетворяют два значения у: у, == 2, уг = -І. П е-
реходя к значениям х, находим:
13х1= 2, х1=102,13х2 = -1, х2 *1104.
Исходное уравнение имеет два корня: Х, == 100, х; = 0,1. 4
2. Решить уравнение 4-13 х = ЗШ .
› Освобождаясь от корня, получаем:
16-813х+132 х: 9131:, 182 х-Швхнб = о.
Данному квадратному уравнению относительно 131:
удовлетворяют два значения: 131: = 1 и 13): =16. Второе зна-
чение не принадлежит области аначений исходного уравне-
НИЯ (4ы13х=4-16 <0, а 3Ш=3Л> 0 )- При Первом ЗНа~
чении 13 х = 1 получаем х,= 10 -- корень данного логарифми-
ческого уравнения 4
З. Решить уравнение 103х 2 +1032 х: ¦2, 5.
› Применяя формулу (4.56), находим, что -103 ,2 = 10% х.
*
2
С учетом этого равенства данное уравнение принимает вид
Логарифмические уравнения
215
5
+10 х=-,
2__
=
10%2х Ёз 2 21032х 51032х+2 0.
Введем Новую переменную у но формуле у =1032 х и ре-
шим квадратное уравнение 2у2 -Ѕу + 2 = 0. Получим
у1 = 1/2, у2 = 2. Найденным значениям у по формуле
у =1032 х соответствуют значения х1 = «5,131 = 4. Эти числа
являются корнями данного логарифмического уравнения. 4
4. Решить уравнение 103111 х +1034 х+1032 х =7.
› Применяя формулу (4.59), находим:
1034 х =10342 за:2 =10316 х2, 1032 х =10324 л:4 =10316 х4.
С учетом данных равенств уравнение принимает вид
103111І х+ 10316 л:2 +10316 х4 = 7,
10в16(хх2х4) =7, 10в16 х? =7,
откуда х7 =167, х = 16. Это корень логарифмического урав-
нения. 4
1311,?
5. Решить уравнение х 4 =1013х+1.
ъ Логарифмируя по основанию 10, получаем:
13х+7
18Х=(18х+ї)18101 (1Бх+7)13х=4(13х+1),
132х+713х=413х+4,
1Ё1х+3іёх_4=0,
Решая последнее квадратное уравнение, находим:
13х=1, 13х=-4, откуда х1=10, 3112 =10”4_ Итак, корнями
данного логарифмичеокого уравнения являются числа
хІ 3:10, х2 =010001. 4
1366 -- хз)
----------
:..- 3
_
1 6. Решить уравнение 1%(2 _ х)
› Уравнение определено при х < 2, х ± 1 (т. е. ОДЗ уравне-
ния: х < 2, х ад ). Запишем его в другом виде:
веб
-
хз)=31812-х), 1306-хо=во-из.
Отсюда следует, что
зв-хз =(2-а3 или г56-19 =з~12х+6х2 -х3,
216
І
УРАвнЕния
6.12 -12х-4з=0, гады-8:0.
Даъшое квадратное уравнение имеет корни: х 1= *2, хз = 4.
Второе значение не принадлежит ОДЗ. Корнем исходного
уравнения является ї; = -2- 4
'7. Решить уравнение Іоё 2(зс+1)2 +1032 [х +1| =6.
› Уравнение не определено лишь при х = -1. Запишем его
в другом виде:
ёюё 2|х+1|+10в2|х+11=а
Отсюда получаем:
31032|х+1|= 6, 1032|х+1|= 2, |х+1[= 4.
ЕСЛИ х+ї>0, то х+1=4, х1=3. Если х+1<0, то
“їх-1:4, х2=“5. ОТВЄТ:х123,х2=-"5. 4
І
8. Решить уравнение 3*/13 х + 21% и; = 2.
› Уравнение определено при х 21. Перепишем его в дру-
гом~ виде:
3 13х+2(~-; -15х)=2 ИЛИ (а/Іёхў-д Іях+2=0.
Решая квадратное уравнение относительно ,3 ,.-.. 4133:, на-
ходим:
(1:1, 22=2; 13х=1, 35:10;
4`/13х=2, мы, х2=104. 4
9. Решить уравнение изох - 1) изохн - з) =6.
› Уравнение определено при х > 0. Так как
ввод* -з› = шее* -1›› =1+юг3<3х - 1) ,
то уравнение принимает вид
идёт -1) +1033<зх -1) -6 =0.
Решая данное квадратное уравнение относительно
2: = 103313х -1) , получаем:
10330Эс _1): -з, юёзо'* _1) = 2.
Логарифмические уравнения
217
Из первого равенства следует, Что 3** ь 1 = 3-3, Эх = 28/ 27,
11 =1033 28-3. Из второго равенства находим: 3х д1= 32,
3Х = 10, х2 2103310. 4
10. Решить уравнение
132 л+13л3 +3 *_
2
х
_
1
1
«Ёп-І
_
Ш+1
› Преобразуем знаменатель в правой части:
1
1 _(Ш+1)_(`/х_П-1)_
Ш-1_«/ЁП+1_(~/ЁҐ1-п(×/Ш+п Ш
_
1+1
2
(х+ 1) --1 хі
Следовательно, уравнение принимает вид
хм: х+13х3+з = х
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, по-
лучаем:
(132х+13х3+3)13х=13х, 13х(132х+13х3+2)=0,
13х(132х+313х+2)=0, 13х=0, х1=1, 13х=-1,х2=о,1,
І3х=-2, х3=0,01. 4
11. Решить уравнение 103х 3103 х/З 3 +103х/813 = О.
›
ОДЗ данного уравнения: х > О, х #1, х і 3, х #81. Все
логарифмы приведем к основанию 3, используя формулу
103 ад 21/1031ь а:
1
1
1
+
=О.
103.3 х Іо33(х/3) 103 3(х/8 І)
Преобразуя левую Часть уравнения, получаем:`
1
1
1
+
2
1033х Іо33х-1 1033х~4
5
1033 х-4 +1033 х(1033 х -1) _
1033 х 1033(х/3) Іо33(х/81)
21 851
УРд внєния
1
1
Іоёёх=4,1033х=±2, х1=-9-, хд =9. 4
12. Решить уравнение '10329364 + 7) = 2 +1032(3х*' -1 - 1).
› Потенцируя по основанию 2, находим:
1032<9Н +7) =10324 +108,(зх“ї +в,
,
103291*І +7) =10324(3х-' +1).
Отсюда получаем квадратное уравнение относительно
ї = зхд-І
.
(эх-52 -4(3х“') + 3 = 0.
Следовательно, ЗХ-І =3, х1 = 2, 3*ї = 1, х2 =1. <
13. Решить уравнение
1_2ї
2_7
_1051/7 х+105шї “Л -1051/7 «БС- +103х7 ЩЖ.
ў Прежде всего, отметим, что справедливы формулы:
-1031/01/Ь=Іоё,,17, Іоё]/,,Ь=-Іоёад, а>0, (1:1,
ь>о, мы.
(5.56)
Действительно, если ах = Ь, то х =10Ёа Ь (по определению).
-
1х1
Обозначим 1031/а1/Ь: х, тогда (Н) =Ъ~,
откуда а* =1д
а
х = 103,, Ь, т.. е. 103%, 1/ Ь =1=ова Ь. Первая формула доказана.
1
х
ДНЛЄЄ,ЄСЛИ103%]Ь=х, ТО(Б) тЬ, ашх=17,
-х:= 103,, Ь,
х = 403,, Ь. Значит, Іоё 17,, Ь = -Іоаа Ь. Вторая формула также
доказана.
Применяя формулы (5.56), перепишем данное уравнение в
виде
1037 х+103х7 2103372 х +Іоёї7 _;
Дополним левую часть уравнения до полного квадрата
суммы (с учетом того, Что 1037 хіоё,с 7 =1 ):
Логарифми ческие уравнения
219
7
1037 х+103х7 =Іодё х+21037 х 1033:? Новё х н~2 «ІІ-Е,
15
1037 х+103х 7 = (Іоё7 х+103х7 -Ет
Переходя к новой переменной у = 10%7 х +103х 7 , получа-
ем кЅвадратнЁе уравнение 4у2 _4у-15 ± 0, имеющее корни
У1=5›У2=-Е -
5
Если1037х+103х7=-2-,
то
1
5
2ь
103х7+
_-_.--,
2103х7~5103х7+2=0,
і
Іоёх'ї 2
5±З
11:33Эс =Т, 103х7=2, х1=49;
1
108х7=ї,
х2 247,
3
Если
103х 7+103~7 х = ---,
то получим уравнение
210%17 + 310%Эс 7 +2 = 0, у которого нет действительных кор-
ней. Следовательно, исходное уравнение имеет корни
х1=49, х2 “РТ-Л: ч
Задачи
Решите логарифмические уравнения.
18-11
1- Іе(4,Ѕ-х)=134,5-13х.
2, в хм; -213-6.
з. 1%(х-9)+213~/2х- =2. 4. х'БН Ч$100.
5. 13(вї°2х2~'4т51)=0.
в. 1д1о+-;-18(271+3Ш›=2.
3
7, ІОЁПх+103а4 х_10Ёа2х"-"
_.
8, (Л) ІОЕЅ 'тн-І: 5
4
_
1
11111»1я
І-Ё -(Ё-Ѕ -“Т-З-СЁ-Ё -=3
Мех-3” ИРН-5” . 10- вых) '
11. 561303 х2 -4х+4 -ЁІЁх-ІЕ 1____=0_
л
а
220
УРА внЕния
12. 2113(х2 -10х+25)+13(х2 +6х+3)= 213(х 5)+ 51325
13. 12030_5хх2 -11-'1103Н,,Ґ,,,х3 +401034х×д= О.
2
10%4 х.
103,5(х + З) 1032(3 +х)
3
14. 1+ 2103,Ґ 2 «103400 - Х) =
15.
18. 103,,(25х -4 -5х +43) =2 +10343.
19* ,радио-зимы =50.
103 зла
1032,,0
21. Найдите
значения
Іс,
при
которых уравнение
20.
-- --------- +103ах а 1031” 2х= 0.
13(Ісх) = 213(х +1) имеет только один корень.
2
22. Докажите, что уравнение 10324- 103211: +103Ёх=1 имеет
х
лишь один корень, удовлетворяющий неравенству х > 1, и найдите
этот корень.
Ответы
1. х1=3, хз =З/2. 2. х=11/12. 3. х = 13. 4. х1=0,1,х2 =100.
5. хІ = 2,5, х2 = 12. 6. х == 18. 7. х = а. Указание. Приведите все слага-
емые к одному основанию а4. 8. хІ = 0,2, х2 = 0,25. Указание. Про-
логарифмируйте данное равенство. 9. х = 100. Указание. Запишите в ле-
вой части слагаемые с основанием 5, вынесите за скобки 5'22, в пра-
вой части -- слагаемые с основанием 3, вынесите за скобки 3122.
10. х, =2, х, =з. 11. х, =1, х, 23. 1232113, х, =ъ,х, =1/Л, х, =4.
Указание. Перейдите к логарифмам по основанию х. 14. х, = 2, хз ш 8.
Указание. Приведите уравнение к общему знаменателю и отбросьте
его. 15. х = 3. Указание. Умножьте обе части уравнения на 1032 (3 + х),
полученное первое слагаемое преобразуйте к виду 10326 (снача-
ла перейдя к основанию (3+х), а затем _-
к основанию 2).
Уравнения о переменной под знаком модуля
221
16. хІ =4,х2=8. Указание. См. пример16.17. хі=3,х2=1,хз=1/9.
Указание. Перейдите к логарифмам по основанию 3. 18. х = 1. Указа-
ние. Представьте число 2 в виде 103416 и пропотенцируйте. 19. х = 1 1.
Указание. Воспользуйтесь равенством 10%01): Іояап оп. 20. х=а2.
Указание. Перейдите к логарифмам по основанию а, а>0, (1:21.
Воспользуйтесь второй из формул, выведенных в примере 18.
21. ,и ___ 4 _ 22. х: 2. Указание. Перейдите к логарифмам по основанию 2.
5.10. Уравнения, содвРжАЩив пвРвмвниую
под знаком модуля
Рассмотрим уравнения, которые содержат переменную
или функцию этой переменной под знаком модуля. К прос-
тейшим уравнениям такого рода относится уравнение
Іі(х)\ = а,
(5.57)
где Лх)
-
функция переменной х ; а - действительное Число.
Если а < О, то уравнение (5.57) не имеет Корней (так Как
|/(х)12 0. Если а = О, то уравнение равносильно уравнению
Лх) -- 0. Если а > 0, уравнение равносильно совокупности
уравнений: І (х) = а, І(х) = -а.
Уравнение
Р<|і<х>|> = 0
(5.58)
с помощью замены |](х)| г.- у, у 2 0, п сводится к уравнению
Р(у):0.
(5.59)
Если уравнение (5.59) имеет положительные Корни
уІ, уд, ..., ут, то для нахождения Корней уравнения (5.58) на-
до решить совокупность уравнений вида (5.57):
ІЛХЯ = и, ІЛХЯ = у2,.-.,1і(х)і = ут.
Уравнение вида
их, іх|)± 0,
где Их, Ы) - функция переменныхх и ІхІ, равносильно со-
вокупности уравнений
Р(х, х)=0, х20, Р'(х,-х) =0, х<0.
222
УРАвнєния
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля,
решают с помощью «раскрытия» модулей на неисресекающих-
ся промежутках. Суть метода состоит в следующем: 1) находят
те значения переменной, при которых рассматриваемые мо-
дули равны нулю; 2) область определения уравнений разбива-
ют на промежутки, концы которых т корни модулей; 3) опре-
деляют, какой знак имеет выражение, стоящее їпод знаком
модуля, на каждом из построенных промежутков; 4) на каж-
дом промежутке раскрывают модуль и решают уравнение;
5) проверяют, принадлежат ли найденные решения уравне-
ний рассматриваемому промежутку: если принадлежат, их
включают в ответ, если нет
-
отбрасывают.
Таким методом можно решить, например, уравнение вида
|д<х>|±|і2(х)і±...±|і,,(х)|±<р(х)=о,
(5.60)
где 12-00, і: І, 2, ..., п, ф(х) - заданные непрерывные функ-
ции переменной х.
Сначала находят область определения функции
Их) = Іл<х)|±|я<х)1±...±милым).
Далее находят корни модулей, т. е. корни каждой функции
1:-(26), і = 1, 2, ..., п (те значения переменной, при которых
функция обращается в нуль). Корни функций делятҐ область
определения функции Р(х) на промежутки, в которых функ-
Ции Л-(х) сохраняют знак. Затем определяют знаки всех
функций ЛИ) на каждом промежутке и, пользуясь определе-
нием модуля, переходят от уравнения с модулем к уравнению
без модуля. Решают полученные уравнения; выясняют, при-
надлежат ли рассматриваемому промежутку найденные кор-
ни. Объединение соответствующих корней будет множеством
решений уравнения (5.60).
Примеры
1. Решить уравнение [Зх - 5| = 16.
9
› Это уравнение вида (5.57). Оно равносильно совокупнос-
ти двух уравнений: Зх-Ѕ = 16, Зх--Ѕ = -16. Решая эти уравм
нения, находим: х1 = 7, х2 = -11/3. Данные числа являются
корнями исходного уравнения. 4
Уравнения о переменной под знаком модуля
223
2. Решить уравнение Іх2 -ЅхІ = 6.
› Данное уравнение равносильно совокупности двух урав-
нений:
х2-5х2-6, х2-5х=6 или х2-~5х+6=0, х2-5х-6=0.
Первое уравнение Имеет корни х] = 2, хз =3, второе --
корни хз = -1, х4 = 6. Каждое из этих Чисел является корнем
исходного уравнения. 4
х+1
___
х-4
=64, хэ±4.
ў ДаНІ-ІОЄ ураВІ-ІЄНИЄ МОЖНО ПЄрЄПИСЗТЬ ТНК:
х+1
3. Решить уравнение 2
2.7?-4 :26
х+1
откуда
4 =іі Іїоследнее_уравнение равносильно сово-
х-
кунности
х+1
х+1
=6
:_6›
хі4.
х-4
э х-4
Решая уравнения, находим: х1 =5, х.2 =23/7. Эти значе-
ния удовлетворяют условию х ф 4 и являются корнями дан-
ного уравнения. 4
4. Решить уравнение |х+ 2|+[х_1|= 9_
› Найдем сначала нули функций, записанных под знаком
модуля: х+2=0, х-1= 0. Отсюда х1=-2, х2 =1. Эти чис-
ла разбивают промежуток (-сю, +00) на три промежутка:
(-ш, -2), [т2, І), [1, +<=<›). Исследуем значения из каждого
промежутка.
Если х < ц2, то |х+ 2| = -(х+ 2), Іх-Ц = -(х-1), поэтому
Данное уравнение Принимает вид --(х+2)-(х ~1) = 9,
- х-2 -х+1=9,
-- 2;~є:ї 10, откуда):== -5.
Если -2 5 х <1, то Іх+2| = х+ 2, }х~+1|= -(хн-1). Уравне-
ние запишется так: х+2-(х-1)=9, откуда следует ложное
равенство З = 9. Значит, в промежутке [-2, 1) нет значений,
удовлетворяющих данному уравнению.
Если х 21, то |х+2| = х+ 2, |х-І|= х-І. Уравнение при-
мет вид (х+2)+(х-І) 29, откуда 2х= 8, х = 4.
224
УРАзнания
Итак, корнями исходного уравнения являются числа
х1:-5,х2 =4. 4
5. Решить уравнение З[х+ 2|
-
2|х+ІІ+[хІ=0.
› Сначала определим нули фУНКЦИЙ, записанных под знаком
модуля: х+2=0, х+1= 0, х=0, откуда х1= -2, х2 = #1, хз =0.
Эти числа разбивают числовую ось на четыре промежутка:
(Ню, -2), [_2, -І), [-1, О), [0, +=›<›).
При х < -2 получим уравнение Щ3(х + 2) + 2(х +1)-- х = О,
откуда ы-2х -4 = 0, х = -2, Что противоречит предположению,
При -2 5 х < -1 уравнение примет вид
3(х+2)+2(х+1) -х ==0, Откуда 4х+8 = 0, х = ~2 _* корень
уравнения.
Если -15х<О, то 3(х+2)-2(х+1)-х =0. Уравнениеоб-
ращается в ложное числовое равенство 4 = 0. На этом проме-
жутке нет решении.
Если х20, то 3(х+2)-2(х+ї) +х=0, 2х+4= 0, х ї - ,
что противоречит ограничению (х > О).
Итак, данное уравнение имеет единственный корень хщ -2._
4
6. Решить уравнение |х+ 2|+2|х-3|+|х-1|= х-5,
і Это уравнение имеет смысл при х-5 2 0 или х 2 5; об-
ластыо его допустимых значений является промежуток
[5, +00). В связи с этим нет необходимости исследовать урав-
нение в промежутках (-сю,
-2), [#2, Ы1), [1, 3), [3, 5). Рас-
смотрим случай, когда х 2 5; уравнение принимает вид
х+2+(хт3)+(хц1)=х±5, откуда Зх = 0, х = 0; однако это
значение не принадлежит промежутку [5, +оо).
Следовательно, данное уравнение решений не имеет. 4
7. Решить уравнение іх+ 1| + 2|х- 3|+ Іх-5[ = 2х.
› Это уравнение имеет смысл при х 2 0; областью его до*
пустимых значении является промежуток [0, +00). В связи с
этим нет необходимости исследовать уравнение в промежут-
ках (-ш,
-1), (-4, 0).
-
Если 0 я х < 3, то уравнение имеет вид
х+1-- 2(х*~3) -(х т-5) : 2х, откуда 4х = 12, х = З; од-нако
это значение не принадлежит промежутку [0, 3).
Уравнения о переменной под знаком модуля
225
Если 3 Ѕ х < 5, то х+1+2(х -3) -(х -5) =2х, откуда
Ох = О; последнему равенству удовлетворяют все значения х
из Промежутка [3, 5).
Если х25, ' то
х+1+2(х-3) +(х-5) =2х,
откуда
2х=10,х =5.
*
Следовательно, все корни данного уравнения заполняют
Промежуток[3,5),т. е. 35хЅ5. 4
8. Решить уравнение 'х2 -9І+Іх2 -442 5.
› Если рассматривать значения х, о рашаюшие в нуль вы-
ражения, записанные под знаком модуля, то придется разбить
числовую ось на пять промежутков. Удобнее ввести новую пе~
рЄМЄННуЮ у : х2 ,
При х2 = у уравнение принимает вид іу-9| +1у_4| = 5,
Точки у = 4 и у в 9 разбивают числовую ось на три промежут-
ка: (_ш, 4), [4, 9), [9, +00).
Если у < 4, уравнение имеет вид -›(у _9)
-
(уи4)=5, от-
куда у Ё 4. Это значение не принадлежит рассматриваемому
интервалу.
Если 4 Ѕ у < 9, то, раскрыв знаки модуля, получим урав-
нение -(у
-
9) + (у -4) = 5, или числовое равенство 5 я*- 5. Зна-
чит, все значения у из промежутка [4, 9) являются решениями.
При у 2 9 получаем уравнение у
-
9+у-4 =5, откудау=9.
Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку.
Принимая во внимание, что у = х2, запишем 4 Ѕ х2 Ѕ 9
или 2Ѕ|х|Ѕ3.
Следовательно, данное уравнение имеет бесконечное мно-
жество решений, определяемых неравенствами: ь3 5. х Ѕ -2;
2Ѕх53.4
4
9. Решить уравнение ў
х+ІІ~2
›Это уравнение имеет смысл при х+1иО, хф-І,хгг1,
х і -3. Областью допустимых значений для данного уравнения яв-
ляется объединение трех интервалов: (-<=<›,
-3) , (-3; -1) и (-1, +00).
=|х+1|.
Если х<-3 и-3<х<:-І, то [х+1[=-(х+1); уравнение
имеет вид
4
=-(х+1) или
2-х-1,
- (х+1)-2
- ікін-З
226
~
уРА вненин
откуда 4: (х+1)(х+3), 4: х2 +4х+з2
1-2 +4х-1: 0,
х! г; ~2~\/Ё, х2 =-2+\/Ё_ Второе значение не принадлежит
интервалам (чт, ч*3)2 (---32 #1).
Если х > -'-12 то |х+1|= (х+1); уравнение примет вид
Ш=х+1*4=(х+1)(х-1), хї -1=4, 112 = 5›
откуда хІ ± - 5, хз = Ё. Первое значение не принадлежит
интервалу (#1, +09).
'
Следовательно; данное уравнение имеет два корня:
х1:_2 _\/5, х2:\/5- 4
І
10.. Решить уравнение «ЛЭСН тм = Ъ-
› Это иррационапьное уравнение, в котором переменная
находится под знаком модуля. Переноея второй корень в пра-
вую часть уравнения и возводя обе части в квадрат, получаем:
1
1
3
9
он =\/П+-2 пан-админ, «ні-2, [хе-22,
9
х=±--.
4
16
Задачи
Решите уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
1. |х-з|:7.
2. [х2г16|=9. з. |х2+зв|=1оа
4. |х_1|+|х_2¦=1_
5. Іх+1|+3|х~1|+|х~3|=х.
6.(х*1)2+|хш1|=2.
т.-1-ї-21“~=1. з. |х2+5х1=а
~
ЗЬІХЧІІ
9. |х]_з]х+1]+9\х-4\=о.
10. 814 _ра]3 + 64111 Ра = о.
Ответы
1. х1=10,х2='“4.
2 35125, х2=щ51х3=“
7,х4='\/ї~
3. х1=-3,х2=8. 4. 15 хі2. 5. Нет решений. 6. х, = 02 хд = 2.
7.:
х=_'1/3. 8
х] :*6, х2 2**3, хз:'-“2, 1.431
9.
х! 33, х2=39/7
10. Х] =~0,125, 262 =0,125- Указание. Введите новую переменную
_
у = Щ, разложите на множители левую часть полученного уравнения.
Уравнения с параметром
227
5.11. УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Рассмотрим уравнение
Лх, 00=0±І
,
(5.61)
где у”(х, ос) “_ выражение с двумя переменными х и ос. Ре-
шить это уравнение “- значит отыскать такие пары значений
(х, ос), которые удовлетворяют равенству (5.61), т. е. обраща~
ют его в верное числовое равенство. Другими словами, урав-
нение вида (5.61) можно рассматривать как уравнение с двумя
переменными х и ос.
Если же придать переменной ОФ какое-нибудь фиксиро-
ванное значение ого, то равенство (5.61) превратится в урав-
нение с одной переменной х: Лх, 010) = 0, или Ґ] (х) = 0.
Когда ставится задача для каждого действительного значе-
ния оь решить уравнение (5.61) относительно х, то его назы-
вают уравнением с переменной х и параметром ос.
Решить уравнение (5.61) с параметром о:
-
значит для
каждого действительного значения 01 найти множество дей-
ствительных значений х, удовлетворяющих данному уравне-
нию. Отметим, что для некоторых значений Параметра урав-
нение имеет решения.
Таким образом, решить уравнение с параметром -- это
значит найти соответствие, с помощью которого для каждого
значения параметра указывается множество корней данного
уравнения.
Примеры
1. Решить уравнение 50101 -3)х = оь - 3.
› Если коэффициент при х отличен от нуля, то из уравне-
ния можно выразить х~. Рассмотрим те значения параметра оь,
при которых коэффициент равен нулю. Такими значениями
являются от = 0, ос = 3. Если ос = 0, уравнение принимает вид
0-х = -3. Это уравнение не имеет корней. При от 2 3 данное
уравнение запишется так: 0~х=0. Последнему уравнению
удовлетворяет любое значение х, уравнение имеет бесконеч-
ное множество корней. Если о: и: 0 и от и 3, уравнение при-
нимает вид 5щ=1 (на множитель оь-Зи 0 можно сокра-
тить); оно имеет единственное решение х = І/(ЅЦ), о: гг О. 4
228
уРА вНЕния
2. При каких значениях о: уравнение х2 - 2оос+ 9 = О
имеет два равных действительных корня?
› Квадратное уравнение имеет два равных действительных
корня, когда его дискриминант равен нулю. Найдем дискри~
минант этого уравнения и приравняем его нулю:
в=(_2аў-4-9 =о, 4012=36, 012=9.
Из последнего уравнения найдем два значения он
ою1=-З, (12 =3. 4
3. При каких значениях параметра О: уравнение
х4 -2шс2-х -ос2 щов = 0 имеет действительные решения?
› Уравнение с параметром можно рассматривать как урав-
нение с двумя переменными. Данное уравнение является
квадратным относительно раі Перепишем его в виде
0:2 - (2):2 +])оъ+(эс4 - х) = 0 и решим относительно от:
на_*2;›С2+1±(2х+р
_
2
Исходное уравнение сводится к двум квадратньтм уравне-
ниям:
`
011,2
,
оц:х2+х+1,оь2=х2-х.
-1±\/4оь-3 и 2
2д_
=
=
г,
х +х+1 О! О, 131,2
2
э
4
2
1±×И4оь+1
1
х -х-а=0, хм:
2 , аг-Е.
3
Следовательно, при 01 2 -- исходное уравнение имеет че-
4
тьІре решения:
- н -1±\/4оь-3
_1±\/4ос+і_
351,2 “_-
2
ах3,4_
2
В
1
3
при “Е5о:<Е --Дварешения:
х
1±\/4оъ+1
12_
-
Уравнения с параметром
229
Задачи
1. При каких значениях параметра ОЬ уравнение
(701 _ 9)х = 35 _ щ, имеет решение?
2. Решите уравнение (а, _ 2)х2 - 2(4сх -1)х +160г. +3 = 0, где о:
-
параметр.
3. При каких значениях параметра 011 будут рациональными
корни уравнения осх2
-
(1т*2ов)х+осш2=О?
4. При каких значениях параметра 01 будут равны корни Квад-
ратного уравнения 4х2 + Зоо: ц12): +1 = О?
5. Найдите
значения
ос,
при
которых уравнение
|1- осх| ± 1+ (1 - 2оъ)х+ от2 имеет единственное решение.
6. Найдите решения уравнения |х
-
2|+ос|х+3|=5 взависимости
от значения параметра ос. и
7. Найдите решения уравнения |х + ЗІ - оф: -1\= 4 в зависимости
от значения параметра а,
а
8. При 'каких значениях параметра ос уравнение
Іоиащх) = 21030(х +1), а :> 0, а а: 1, имеет равные корни?
Ответы
ї. щ±9/7_ 2. Если ос=2, тох=5/2. Если 0:2-1/3 и (1:22, то
4Ц~1±`1210Ь+7
(1-2
уравнение имеет два действительных корня: х 1, 2=
Если щ < _1/3, то действительных корней нет. 3. Когда дискрими-
нант В = 4ос+1 будет полным квадратом (осш2, 6, 12, 20, 30 и т. д.).
4. 0:]=1, ц2=2_ 5. схїп0, ос2=1. 6. ос=~1, тогда (чт, 3); ос=1,
тогда [-3, 21; |оє|>1, тогда х =
- 3; |ц|<1, тогда х =~=
-3,
х==(7-0==)/(и+1)- 7- УЩ>1= х = І; (1:4,
-звх<1; |<1[<1,
оє+7
х:
(1-1
=х=1; (1:1, х21.8. (1:4.
230
УРАВНЕНИЯ
5.12. ГРАФИЧЕСКИЙ Мвтод РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим уравнение
ЛК) = (РОС).І
(5-62)
Построим на одном чертеже графики функций уІ = Лх) и
уд = (р(х). Пусть МО
-
точка пересечения графиков
(рис. 5.1), хп
--
абсцисса этой точки, тогда у1=у2, т. е.
1" (х0)=(р(х0). Это равенство означает, что х0 -ы решение
уравнения (5.62).
УД
󥥥х)
На
І
І
/
І
ї уг “шаг-х]
и
,Ёд
_ї'ї
Рис. 5.1
Для того чтобы графически решить уравнение (5.62), необ-
ходимо построить в одной системе координат графики двух
функций у: = Дх) , у2 = ср(х) и найти точки пересечения гра-
фиков. АбсЦиссЫ этих точек будут корнями данного уравнения.
Например, для уравнения Х2 = “Х + 2 такими точками будут точ-
ки М1(-2, 4), М2(1, 1)
-
точки пересечения графиков функций
у, шх2 и уд =-х+2 (рис.5.2). Абсциссы точек МІ и М2, т.е. х=~2
их=1 _-
корни уравнения х2 ш -х+ 2.
Графический метод решения уравнений
231
Если уравнение имеет вид
Ля)=0,
(5.63)
то в качестве функции (р(х) выступает,функция уд = О. Гра~
фиком функции у = О является ось Ох. Решениями уравнения
(5.63) будут точки пересечения графика функции у е І(х) и
оси Ох, точки касания этого графика и оси Ох или другие об-
Щие точки графика и данной оси (рис. 5.3).
ц
М
У"
'
3
:
2
'
ж
1
:
:
д
у
г
*
Щ
Хд
Х0
Хд
Х
Рис. 5 .3
Для графического решения уравнения (5.63) необходимо
построить график функции у = [(х), найти общие точки гра-
фика и оси Ох (точки нересечения, касания или другие общие
точки).
Графический метод особенно удобен, когда требуется
определить только количество корней или найти интервалы,
в которых они находятся.
Примеры
х
-
1
І. Решить уравнение 10%3 х = -2 -м
Ъ Построим графики функций уі =1033х и У; = їёі
{рис. 5.4). Они пересекаются в двух точках: М [(1, 0), Мг (31 1)-
Абоциесы этих точек, т- е. числа хІ = І, х2 = 3, являются кор-
нями данного уравнения. 4
2. Сколько корней имеет уравнение «Е = (х -1)2 и в каких
тнтервалак нйодятоя эти корни?
232
УРА вне-ния
\
=
›
Рие.ї4
› Строим графики двух функций у! = л, у2 =(хш1)2.
Они пересекаются в точках М! и М2 (рис. 5.5). Следова-
тельно, данное уравнение имеет два корня: хІ
-
абсцисеа
точки М1 , х2 -- абсцисса точки М2- Очевидно, Что
О<хі <1, 2<х2 <3, т. е. одинКореньнаходится винтерва-
ле (О, І), второй #- в интервале (2, 3). 4
“г
ул
Ё*
Ё
Рис.55
З. Решить уравнение 13 х == як:3 .
› Построив графики функций уї = 131: и
у2 ==х
(рис. 5.6), обнаружим, что они не имеют общих точек.. Значит,
данное уравнение не имеет корней. 4
3
щ
Графический метод решения уравнений _
233
Задачи
Графическим способом найдите корни указанных уравнений.
1. х2=2+х.
2. х2=пх+2.
З. х3=*х+6.
6
1
1 -8ч4х
_:7_х.
-~==2--
_
--: :
_
4.х
5.х
х
6.х
3
Найдите интервалы, в которых находятся корни уравнений.
7.х3=1-3х.
8. Бет-1:0. 9. ддт-3:0.
Ответы
1. -1, 2. 2. “2, 1. з. 2. 4. 1, 6. 5. 1. 6. ч1/2, -3/2.7.(0,1).8.(0,1).
9. (1, 2).
| О ||систЕмы УРАвнЕний
6.1. систвмы двух линвйных уРАвнвний
с двумя пвРвмвннЬІми
Линейным уравнением с двумя переменными называют урав-
нение, содержащее переменные только в первых степенях и
не содержащее их произведения.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя нерв-
менньши х и у:
анх+012у=ди
“их-*дну 7-52-
Числа ан, вы, 021, 022 называют коэффициентами систе-
мы; ЬІ, 1,2 в» свободньиии членами. Коэффициенты обозначе-
ны одной буквой с двумя индексами: первый обозначает но-
Мер уравнения, второй -- номер переменной. Запись 011 Чи-
тают так: «а один-один», ад -- «а два-один» и т. д.
Решением системы (6.1) называют упорядочеиную пару
(хо, уо) действительных чисел, которые обращают в тожде~
ство каждое уравнение этой системы.
Для того Чтобы решить систему, сначала исключают из
данных уравнений переменную у и находят значение х; затем
исключают х и находят значение у.
Умножив первое уравнение на 022 , второе __ на т ап , по~
лучим систему:
'31102235 + “папу = Ь10:22 =
*а 214112:х “диапу = "55012-
Сложив данные уравнения, исключим у:
(011022 _021012)х 21714122 _Ь20т2~
Если не равен нулю коэффициент при х, т. е.
0114122 _аюаш *ц
(62)
то
а-а
х:15122Ь212_
“наш “длин
(61)*
Системы линейных уравнений с двумя переменными
235
Умножив первое уравнение системы на (12; › а второе -- на
(т011) и сложив полученные уравнения, найдем, что
(012021 “0220103” ї Ь1021 “02011 -
Если выполнено условие (6.2), то отсюда находим у:
У = (01021 “02011)/(012021 _022011) =
=(02011_01021)/(011022 _012021)-
Таким образом, при условии (6.2) решение системы (6.1)
определяется формулами:
1_ 01022 _02012 у: 02011-01021
х-
,
_
.
011022 -021012
011022 -012021
(6.3)
Данным формулам придадим другой вид, для чего введем
понятие определители второго порядка.
Рассмотрим таблицу из коэффициентов системы (6.1), ко-
торую Называют матрицей второго порядка:
А:011012_
(6.4)
021 022
Числа 011› 012 образуют первую строку, Числа 021› 022 ~*
вторую строку; числа 011, 021 составляют первый столбец,
числа 012, 022 - второй столбец.
Определителем матрицы А Или определителем второго ,по-
рядко называют Число, полученное по формуле
011 012 _
аж аж _ 011022 _012021› А = 011022 М012021-
(6-5)
Определитель обозначен двумя вертикальными чертами и
буквой А (дельта).
Рассмотрим два других определители, полученных из дан~
ного заменой первого столбца столбцом свободных членов, а
затем заменой второго столбца столбцом свободных членов:
АІ=01 012зА2=011 01_
(6.6)
02 022
021 02
Формулы (6.3) принимают вид
х=її,
= 3%,
(6 7)
А
А
-
'
236
_
систЕмы УРАБНЕНИЙ
где А определяется по формуле (6.5), а А1 и А2 --~ по фор-
мулам (6.6).
Если определитель А системы (6.1) отличен от нуля, т. е.
выполнено условие (6.2), то система имеет единственное ре-
Шение, которое выражается формулами (6.7). Эти формулы
дают решение системы (6.1) с помощью определителей.
Примеры
1. ВЫЧИСЛИТЬ ОПрЄДЄЛИТЄЛЬ МЕІТрИЦЬІ
4-з
А=
.
5-2
› В соответствии с формулой (6.5) получаем:
4-3
=4 -2
-5
-3 =-8+15=7.4
5“2()(>
2. Решить систему уравнений
2х+3у=12
5х-4у=7.
› Составляем определители А, Ад, 132:
23
123
А:
=-8+~+15=--23, Ад:
=-48-21=-69,
5 --4
7-4
212
Н
57
По формулам (6.7) находим решение:
ха-23”уА-23'
З. Решить систему уравнений
3х±у=1
6х-2у:4.
›ВЬІЧИСЛЯеМ Определитель сИСТеМЪІ А, ОпреДеЛИТеЛИ
Аї И52:
Системы линейных уравнений с двумя переменными
237
з _-1
2“1
а:
І=-в+6-_~0, 13,:
=-4+4=0,
в-2
4-2
А -3 2-12 12-0
Ґв 4”ь
_
'
Так как определитель системы А = 0, то пользоваться
формулами (6.7) в данном случае нельзя.
Сокращая на 2 второе уравнение, получаем систему, кото-
рая сводится к одному уравнению Зх- у = 2. Выражая етсьаЩ
да у, находим у = 3);
-
2. Придавая х значение, равное единичп
Це, получаем у: 3›1-2 =1; при х == 2 находим у: 3-2н2 = 4
и т. д. Система имеет бесконечное множество решений. 4
З а м е ч а н и е . Решение (6.7) в данном случае формально прини-
0
0
_
0
мает вид х=б, у==б. Но б тнеопределенность. 5:11,
любоеЧисло,таккак0Ёп'0.
ГДЄП-ц -
Если А = О, А] = О, 132 = О, то система имеет бесконечное
множество решений.
4. Решить систему уравнений
2х+3у = 5,
4х+6у=12
› Вычисляем определители:
23
53
А:
±12_12_-_0 А =
=30-36=-6,
46
*
1'12в!
25
412
Поскольку определитель системы равен нулю (А = О), то
формулами (6.7) пользоваться нельзя.
Сокращая на 2 второе уравнение, получаем систему урав-
нений
,
2х+3у=5,
2х+3у=6,
238
_
сис тЕмы УРАвНЕнии
которая не имеет решений. Действительно, вычитая первое
уравнение из второго, получаем 0 = 1, Что противоречиво.
Значит, исходная система решений не имеет. 4
Замечание. Если А = О, Аї г* 0, Аг а* 0, то система несовмест-
на (у нее нет решений).
5. Решить систему уравнений
боюс+2у=5,
{9х+3у=7.
› Составляем определители А, АІ, 132:
23:63 Ё=1аа-18, а,=|: ЁІЫЅ-мы,
боє 5
2: 9 7=-..42ос-45.
Система имеет решение, когда А т 0, т. е. 180: -18 гг 0,
(1 ± 1. Когда ов ± 1, решение системы выражается формулами:
ждал, ,:Ш_
1801-18
ШОС-18
1
39
Например, при оь=2 получаем решение х=~1~ё~,
у=їёы 4
Задачи
Решите системы уравнений.
1_ {зх+2у=4,
2_ {зх+у=7,
3_ {4х-3у=17,
7х+6у==8.
4х+3у=1.
2х+5у=-11.
4. {8х-у=5,
5. {6х+2у=3,
6. {(і+а)х~ау=1+а,
9х-2у=3.
9х+4у=5.
лх+(1-а)у=а-1.
Определите, при каких ос. система имеет решения.
+2 1:3,
2
=
4х+2 =6,
7.{ШС У
8'{оа х+30су 4, 9'{
У
8х+4о±у=9.
3х+цу=6_
6х+ову=9.
Ответы
1.х=2,у=~1.2.х==-4,у=-5.3.х=2,у=-3.4.х:1,у=3.
5, х = 1/3, у = 1/2. 6. х=1-а, у=-(1+а). 7. щ±-2,0;±2_
8. цф0,сх;±~3,оа±3. 9. Привсех ос.
Системы т линейных уравнений с п переменными
239
6.2. системы т линейных УРАвнвний
с и пвРвмвнными
Линейным уравнением с н переменными называют уравнение,
содержащее переменные только в первых степенях и не со-
дерЖаШее их Произведений.
Системой т линейных уравнений с н переменными
х',х2, ..., хп
или линейной системой называют множество
уравнений вида
а11х1+012х2 +
+аъпхп Тед,
021х1+022х2 + ... +а2пхп =Ь2,
<
(6.8)
ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ
ЪатіхІ +ат2х2 +"' +атпхп Іьт'
Числа а, , і= 1, 2, ..., т, іс =1, 2, ..,, н, называют коэффи-
циентами. Коэффициенты обозначают одной буквой а с двумя
индексами: первый индекс (і) указывает номер уравнения, вто-
рой индекс (Іс) -- номер переменной. Числа Ь,, і: 1, 2э _", т,
называют свободными членами; они обозначены одной буквой
Ь с одним индексом (і), указываюшим номер уравнения. Чис-
ло т уравнений может быть больше или меньше числа п перо-
менных либо равно ему.
Решением линейной системы (6. 8) называют упорядоченную
совокупность п чисел 01,02,.--,С,, , подстановка которых вместо
х1,х2,...,х,, соответственно (Х1= 01,162 = 02» --~› хп = Си) 05-
раЩает в толщество каждое уравнение этой системы.
Систему, имеющую хотя бы одно решение, называют со-
еместной, а систему, не имеющую ни одного решения,
-
не-
совместной.
Совместную систему называют определенной, если она
имеет единственное решение, и неонределенной, если имеет
более одного решения.
Две линейные системы называют равносильными (или экви-
еолентньиии), если они имеют одно и_ то же множество реше-
ний. Две несовместные системы считают равносильными.
Элементарными преобразованилми линейной системы на-
зываются следующие преобразования: 1) перестановка места-
ми двух уравнений; 2) умножение обеих частей уравнения на
240
систЕмы УРАВНЕНИЙ
число, отличное от нуля; 3) прибавление и одному уравнению
системы другого ее уравнения, умноженното на любое Число.
При элементарных преобразованиях системы получают сис-
тему, равносильную данной.
,
Систему (6.8) называют неоднородной, если хотя бы один из
свободных Членов отличен от нуля. Если все свободные чле-
ны равны нулю, линейную систему называют однородной. Од-
нородная линейная система имеет вид
они1 +а12х2 +...+а]пэсп 20,
021х1+а22х2 +...+а2пхп ьтдо,
_
*~
<
ьагпзлсз + ат2х2 +...+атпхп : О.
(6.9)
Отметим, что однородная линейная система всегда со--
вместна, так Как она имеет очевидное нулевое решение:
х1=0, 3:2 :0, ..., лп =О.
6.3. мвтод послвдовАтвльного исключвиия
пвввмвнных
Рассмотрим метод решения линейных систем, называе-
мый методом последовательного исключения переменных или
методом Гоусса*.
Пусть дана система т линейных уравнений с п переменны-
ми х1,х2,..., хп:
_анх1+аї2х2 + ...+а1пхп =Ь1,
а21х1+с122х2 + ...+1:12,,хИ =Ь2,
< а313'С1+аз:13'*ї2 + ~-'+азпхп =дз›
(6.10)
ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ
ат1х1+ат2х2 +...+ат,,х,, =Ьт.
Предположим, что он 120. Умножим первое уравнение
системы (6.10) на “ад /ап и прибавим Ко второму уравне-
нию; получим уравнение, в~котором коэффициент при х, ра-
вен нулю. Умножив первое уравнение на *031 а11 и прибавив
*Гаусс Карл Фридрих (ППП-1855) - немецкий математик.
Метод последовательного исключения переменных
241
и третьему, получим уравнение, также не содержащее пере-
менной ХІ- Аналогичным путем преобразуем все остальные
уравнения и получим систему, равносильиую системе.(6.10):
апхд + аюхд + аюхз + ...+ атх,І
= ЬІ,
а22х2+023х3 +...+а'2пхп =Ь2,
*4
0132х.ІІ+0'33хз +н. +аізпхп _-ш Ь'З,
(6.11)
и
п
с
_
Ь:
'_
ат2х2+ат3х3+...+атпхп-
т,
где а'т, і: 2,3, ..., т, К =1, 2, ..., п, - некоторые новые ко-
эффициенты; 5,.,
і=2,3, ..., т,
-
новые свободные члены.
Предположив, что а'22 а: 0, и оставив неизменными первые
два уравнения системы (6.12), преобразуем ее так, чтобы в каж-
дом из остальных уравнений Коэффициент при 162 был равен
нулю. После Конечного Числа элементарных преобразований
систему (6.10) можно привести к одной из следуюших систем:
,_
снхд +с12х2 -Ы'Юос3 +...+с1пхИ =о'1,
сдхд +с23хЗ +...+с2,,хЛ =єі2,
1:
Сззхз + ...+сзпхп :Сі3,
(6.12)
СпНх/“І
_ :сіп,
где“сда0, і:1,2, ..., п;
с11х1+с12х2 +сшос,< +...+с]нхп =сі1,
С22х2 +С2Кхй +...+С2пхп 2112,
<
(6.13)
іііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііііі
ь
СЁКХК +т+ Скпхп : ад,
где с,,›з±0; і=1,2,...,!с; Іс<п;
С11х1+С12х2 +...+С1Кхіс +...+С[пхп їаІ,
Ґ
С22х2 +...+С2І1{х,|< +... +С2пхп :а(2,
(6.14)
ы
0-хЛ =(ік,
где віКтО; Кіп.
242
систЕМы УРАБНЕНИЙ
Система (6.12) имеет единственное решение; значение ХП
определяется из последнего уравнения, значение 131-1
-
из
предпоследнего, значение х1
-
из первого уравнения.
Система (6.1-3) имеет бесконечное множество решений. Из
последнего уравнения выражают одну из переменных, напри-
мер хк, через все остальные переменные хын хыз» ---› хм
входящие в это уравнение. Через данные переменные выра~
Жают х:ІІЫ из предпоследнего уравнения и т. д., х1
-
из пер-
вого уравнения. В полученных формулах переменные
хр +1, зуд, ..., хп
могут принимать любые действительные
значения.
Система (6.14) несовместна, так как никакие значения пе-
ременных не могут удовлетворить ее последнему уравнению.
Итак, метод последовательного исключения неизвестных
применим к любой системе линейных уравнений. Решая ли-
нейную систему этим методом, преобразования совершаютне
над уравнениями, а над матрицами-таблицами из коэффици-
ентов при переменных и свободных Членов.
Примеры
1. Решить систему уравнений
х1 -4х2 +3х3 Ё5,
2х1 -7х2 +2х3 =3,
Зхд -8х2 +4х3 =9.
› Это линейная система уравнений с тремя переменными
ІІ, х2, хз (которые можно обозначить и так: Х, у, 2: ).
Составим матрицу из коэффициентов и свободных членов
уравнений:
1-435
2 --7 23.
3-849
В данной матрице вертикальная черта отделяет столбец из
свободных членов. Преобразуем матрицу следующим обра~
зом: первую строку умножим на -2, и Прибавим ко второй;
первую строку умножим на -3 и прибавим к третьей. Вторую
строку полученной матрицы умножим на -4 и прибавим к
Метод последовательного исключения переменных
243
третьей. Результаты этих преобразований запишем в следую-
Щем виде:
1-435
1-435
1-435
2 -7 23->0 І ~4-7 ->0 1 _4-7.
3-849
О4-5
-6
001122
Последней матрице соответствует система уравнений:
х1-4х2 + Зхз = 5,
,1:2-4х3 = -7,
11х3 = 22.
Решим данную систему. Из последнего уравнения находим
хз = 2, из предпоследнего х2: х2 =-4х3 --~7 =4-2е7 =1, из
первого х1: х1= 5+4х2 -Зхз =5 +4 -1
-нЗ -2 =3.
Итак, система имеет решение х1 : 3, хд = 1, хз = 2. По-
СКОЛЬКУ ПОСЛЄДНЯЯ СИСТЄМЕІ раВНОСИЛЬНа ИСХОДНОЙ, ТО ПЄІЭВО*
НЗЧЕІЛЬНЗЯ СИСТЄМЕІ ИМЄЄТ ТО ЖЄ рЄШЄНИЄ. 4
2. Решить систему уравнений
2хъ +х2
_4х3Ё3, _
Зх] 'щх2 _хз
=7.
› Составляем матрицу из Коэффициентов и свободных
Членов и преобразуем ее:
1-2341-2341-234
21«~43ъ~›0
5 -10-5
- ~>0 5 ц-10-5
3-1-17
05-10-5
00 00
Последней матрице соответствует система уравнений
{хд- 2х2 +3х3 =4,
5):2 -10лЗ =-5.
Переменные х2 и х! выражаем через переменную хз:
244
системы УРАвНЕнии
Решение данной системы определяется формулами:
х2 = 2х3 _1, х1:х3 +2,
где хз может принимать любые действительные значения.
Система имеет бесконечное множество решений. 4
3. Решить систему уравнений
х1 +1:2 +хз =3,
2х1 +3):2 +5х3 =10,
Зхд +4х2 +6х3 =12.
›Составляем матрицу из коэффициентов и свободных
Членов и нреобразуем ее:
1113
1113
1113
2 3 510%013440134
34612
0133
0 00-1
Последней матрице соответствует система уравнений
хІ+ х2+х3 =3,
х2+Зхз =4,
0~х1 +0-х2 +0-х3 =-1.
Данная система несовместна, так как никакие значения
переменных не могут удовлетворить последнему уравнению.
Следовательно, исходная система также несовместна. 4
Задачи
Методом последовательного исключения неизвестных решите
системы линейных уравнений.
1 х+зу=5,
2х+у=4,
3 5х+2у=1,
*
2х-у=з.
`
4х+3у=6.
`
1ох+зу=-1.
х+у-42=1,
х-2у+2=7,
х+у+2=6,
4.
х+2у-32,=5, 5.
х-Зу-2=2, 6.
2х+у-~а=],
3х-2у+42=4.
5х-9у-61=1.
3х+5у-32:=4.
Системы нелинейных алгебраических уравнений
245
_
2х1-4х2+х3+х4=3,
Ґ х1+7х2+х3+х4=2,
7
х]+2х2+5х3+2х4щ15, 8
2х1_” 51.2+2х3+3.364=6,
.
,д
.
,ї
5х1+ Зхд -хз +8х4 = 2,
х1-9х2 + 2,1:3 +5х4 = 9,
Ьбас] -х2 шбхз +9х4 = 1.
ц3х1+8х2 -6х3 -2х4 =5.
Ответы
1- х=2гу=ї 2 х=3,у:-2 _ 3 . х:-1,у:3_ 4,х=2,у=3,2=1_
5- х=2,у=-1,2:=3. б. х=1,у=2,2:=3. 7. Х1=-2,х2=-1,х3=1,
х4=2.8.х1=1,х2=0,х3=ш1,х4=2.
Ж
6.4. систвмы нвлинвйных АлгввРАиЧвскиХ
уРАвНЕНий
Системой нелинейных алгебраических уравнений называют
систему, в которой хотя бы одно уравнение содержит произ-
ведение переменных или их степени п 2 2. Простейшей из
таких систем является система уравнений
ах+Ьу+с=0,
Ах2+вю1+су2+ох+ву+л=о
Это система двух уравнений, одно из которых первой степе-
ни, а другое
-
второй.
Решением системы (6.15) называют упорядоченную пару
чисел (хе, уп), обращающую каждое уравнение в тождество,
т. е. при подстановке значений х = хо, у = уо левая часть каж-
дого уравнения обращается в нуль,
(6.15)
Например, упорядоченная пара чисел (8, б) является решением
систем ы уравнений
“гид-*0, х1+у2м1оо=а
Систему (6.15) можно решить методом подстановки, суть
которого состоит в следующем. Если Ь и 0, то из первого урав-
нения можно выразить у:
у=-(ех+г)/Ь-
'
(6-16)
Подставив последнее выражение во второе уравнение сис~
темы, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
квадратн ое уравнение
246
сис ТЕМЫ уРА вНЕниЙ
А1х2 +ВІх +С1 = 0,
(б-ц)
где А1, БІ, С1
-
Коэффициенты, выражаюшиеся Рчерез
а, Ь, с, А, В, С, В, Е, Р . Когда дискриминант уравнения
(6.І7) больше нуля или равен нулю, оно имеет Два действи-
тельных корня х1 и х2 (различных или равных). Подставив
значения х1 и х2 в формулу (6.16), получим два значения у: у1
и у2. Следовательно, (хІ, уІ), (х2, 322) ш решения системы (6.15):
Способ нодстановки применим и для решения систем
уравнений, одно из которых первой степени, а другое
-
тре-
тьей или четвертой степени. Решение таких систем сводится
соответственно к решению алгебраических уравнений третьей
или четвертой степени относительно переменной х. К реше-і-
нию алгебраических уравнений четвертой степени сводится
решение систем уравнений:
Ах2 +Вху+Су2 +Вх+Еу +Р =0,
6.18
А1х2 +ВІЮ7 +С1у2 + Віх +Е1у +Р! = О,
(
)
т. е. систем уравнений, каждое из которых является уравнениЫ
ем второй степени относительно переменных х и у.
В частных случаях решение системы (6.18) можно найти с
помощью введения новых переменных, а также некоторых
искусственных способов. Эти способы применяются и при
Ірешении нелинейных систем уравнений относительно трех и
большего числа переменных.
Примеры:
1. Решить систему уравнений
х_+у =15, ху: 56.
› Данная система является частным слунаем системы (6.15):
(1:1, 17,11, с=_15; А»ам-МО, В=1,С--0, 0:0, Е:0, Ре-Ѕб.
Вьтразим у из первого уравнения и подставим во второе:
у=15~х, х(15--х) = 56, 15х-х2 = 56.
Квадратное уравнение х2 м15х+ 56 = О имеет корни
х] =7, хз =8, поэтому у1=15-х1=8, у2 =15 Н-хд =7. Следо-
вательно, система уравнений имеет два решения: (7, 8) и
(8,7),Т-Є- хт =7›У]7-8 Ихг=8›У2-=7- 4
Системы нелинейных алгебраических уравнений
247
2. Решить систему уравнений
х2+ху=5, у2 +ху==20.
› Разложив на множители левые части уравнений, зани-
шем систему так:
х(х+у) =5, у(у+х)=20.
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим
у: 4х Подставив это2 выражение в первое уравнение систе-
мы, найдем, что и2 +«4х2 = 5, Ѕх2 _-
-5,
=1
откуда
х] = -1, х2-- 1. По формуле у - 4х вычисляем соответствую-
Щие значения у: уЕ = -4, у2 2 4. Следовательно, система име-
ет два решения: х1=ш1,у1=4 и х, =1, у2 =4. 4
Замечание. Те же решения (-1, -4), (1, 4) данной системы по-
лучим, если выражение для у подставим во второе уравнение.
З. Решить систему уравнений
х2 +у2+2х-у=27, х2-у2+4х+у=9.
› Это Частный случай системы (6. І 8). Сложив почленно дан"
ные уравнения, получим квадратное уравнение 21:2 +6х = 36
или х2 + Зх -18 = О, Корни которого х, = 3, х2 = м-6. Подставив
значение х = 3 в первое уравнение, получим 9+ у2 +6~Ш у=27,
у2 - у -12=0, откуда у, = -3, у2 = 4. Найдены два решения
системы:
в*
х,=3,у1=-3 и х2=3, уд =4.
Подставив значение х 2 -6 в первое уравнение системы, по-
--
2
2
1± МЕ
ЛУЧИМ 36+у -12 -у=27, у -у -3=О, откуда дтп-5*"-
Найдены еще два решения системы:
_1+×/_
ІШЛЁ
=,у-6
2
Ихд = *6,у4 =ЩНЕ'ЬШ'.
Следовательно, система имеет четыре решения: (3, -3),
(з, 4), ~6,'т1+;/Б и,___1“;/Б `
248
системы уРА анемии
4. Решить систему уравнений
х2 +ху+ 2у2 = 28, Зх2 +'3ху-Ь-у2 = 39.
ЬУмножим первое уравнение на 39, второе -- на (-28) и
сложим почленно полученные уравнения:
_ 45х2 -45ху+50у2 = о, 9х2 +9ху --10у2 = о.
(6.19)
Можно утверждать, что у ф 0. Действительно, предполо-
жив, что у == 0, из первого уравнения получили бы хз =28, а
из второго
-
равенство 31:2 = 39, 2 = 13, что противоречит
равенству х2 = 28. Разделив обе Части уравнения (6.19) на у,
у я: 0, получим Квадратное уравнение
2
.
9(-х-] +9(ї]-10=0, 9г2+9г-10=0, г=х,
ї
є
У
У
5
2
5
которое имеет корни тд = ~ё~,
12 =-3~›,
поэтому Х: -534
2
х=
-
.
3У
Подставляя выражение х = -5у/3 в первое уравнение
системы, получаем:
25
*
~9щу2 -Ёуг +23»2 =28, 2ау2 == 28-9, 1/2 ==9,
уі= _3,у2=3.
По формуле х = -Ѕу/З находим соответствующие значе-
ния х: хІ = 5, х2 = -5. Получены два решения системы:
х1=5,у1=--3 и х2 =-5, уд =3.
Подставляя выражение х: 2у/3 в первое уравнение сис-
темы, получаем:
4
2
Бу2+5у+2у2=2е у2=9, узи-дид-
Вычисляем соответствующие значения х: хз = -2, хд = 2.
Найдены еще два решения системы: хз =-2, уз = *З и
х4±2,у4=3.
Итак, система имеет четыре решения: (5, -3), (-5, 3),
(-2, -3), (2, 3). 4
Системы нелинейных алгебраических уравнений
249
5. Решить систему уравнений
_ х :_ .];_|_ _'?_с ..=53
Ш: 6_
у
у
› Введем новые переменные по формулам:
х
х-у=и, ЗСУ,
(6.20)
тогда Данная система примет вид
и+у=5, ву=6.
Решая ее (Как в 'примере 1), находим: щ = 2, у, = 3 и
и2 = 3, 112 = 2. Подставляя эти значения в формулы (6:20), по-
лучаем две линейные системы:
х
х
х_у=2› т=3 Их-у:3›
_:2-
У
У
Первой системе удовлетворяют значения х] = 3, уІ -:1,
второй - значения х2 =6, у2 =3. Следовательно, исходная
система имеет два решения: (3, 1), (6, 3). 4
6. Решить систему уравнений
х4+у4 =82, х+у=4.
› Преобразуем первое уравнение к другому виду, Использо-
вав тождество
(а+ь)2=а2+2аь+д2 или а2+ь2е<а+ь)2-2аь.
Поскольку
х2+у2=(х+у)2«-2ху
и
х+у=4,
то
х2+у2=42ы2ху_ Так как хд*+у4=(х2+у2)2н~2и2у2 и
х2+у2=16-2ху,
то_
х4 + у4 = (16-2102)2 -21с2у2 = 256 -64ху +4х2у2 -2х2у2 =і
= 256 -64ху + 2х2у2.
После выполненных преобразований данная система при-
мет вид
1
{256--64ху+21.2у2 =82, ИЛИ {х2у2-3213»+87=о,
х+у=4
х+у=4.
250 `
сис тЕмы УРАвНЕНиЙ
Первое уравнение этой системы является ивадратным отно-
сительно переменной 2= 2013 и 2-3223 +87: 0; оно имеет
корни 21 = 3, 22 = 29. Учитывая найденные значения я, полу-
чаем две системы уравнений:
ху=3› х+У*-"4 И ху=29, х+у=4.
Первая система имеет два действительных решения:
261 =1, у, = 3 и хд = 3, у2 = І; вторая не имеет Действитель-
ных решений. Следовательно, исходная система имеет два
действительных решения: (1, 3), (3, 1). 4
7. Решить систему уравнений
Эго/+1) = 10, у(2+х) = 6, 2(х+у) = 12-
Ъ Это система трех нелинейных уравнений относительно
трех переменных х, у, 25 . Раскрыв скобки, запишем систему
так:
Ж+Ж: =10, хуя-ух: =6, х: +у1 = 12.
Складывая почленно последние уравнения, получаем:
2ху+2х2 +2у2 =28, хуя-х: +у: = 14.
Вычитая из полученного уравнения каждое уравнение сис-
темы, находим, что:
уг=4, хг=8, ху=2`
(6.21)
Перемножив почленно данные уравнения, получим
(392,02 =~64, откуда хуя: =8, ху2=-8. Из этих уравнений и
уравнений системы (6.21) находим два решения:
х1=2,у1=1,21=4 и х: =-2,у2 =-1,2:2 =-4. і
8. Решить систему уравнений
'Р
х2 +ху+з<:,г;+угІ =-І, у2 +ху +хг +у1,= -4,
22 +ху+хд+у2 =4.
ЬРазложив на множители левые части уравнений, прида-
дим системе следующий вид:
(х+у)(х+:) = -1,(х +у)(у +2) = -4,(х +::>(у +2) =4- (6-22)
Перемножив почленно данные уравнения, найдем
(х +у›2(у +г>2<х+а2 =16,
Системы нелинейных алгебраических уравнений
251
откуда
(х+у)(ї+г)(у +2) =4,(х +у)(х +2)(У +2) = 4.
Разделив каждое уравнение на каждое из уравнений систе-
мы (6.22), получим две линейные системы:
у+21 г- -4, х+2 =-1, х+у =1
и
у+1=4, х+2±1, х+у= -1.
Решив первую систему, имеем: х1 _: 2, у1 == -І, 2,1 = -3; ре-
Шив вторую систему, найдем: х2 = ~2, у2 =1, 22 = 3. Итак,
исходная система уравнений имеет два решения: (2, -1, еЗ),
(-2, 1, 3). 4
9. Решить систему уравнений
КЗ -(у-2:)2 =1, 1/2 ~(а--х)2 = 4, 22 “ео-у)2 = 9~
Ь Разложив на множители левые части уравнений, запи-
ШЄМ СИСТЄМУ ТЗКІ
(х+у-цг)(х-у+г) =1,
(у+г-х)(у -г+х) =4,
(6.23)
(а +х-у)(2. -х +у) =9.
пЄрЄМНОЖЕІЯ ДаІ-ІНЬІЄ УраВНЄНИЯ ПОЧЛЄННО, ПОЛУЧаЄМ
(х+у-*2)2(хеу+г)2(у+г-х)2 = 36,
откуда
{(х+у-2)(х -у +2)(у+2: Не) =6, '
(х+у-г)(х-у +2)(у +2: -х) =- 6-
Разделив почленно каждое уравнение на каждое из уравне-
ний системы (6.23), получим две линейные системы:
З
2
у+:5-х:6, д+х-у=-2-, х-ї-у -і: =-3-
и
З
,
2
у+2-хп-6, 2+эс-у=-~2-, хтІ-у-гд-ї.
Решим первую систему. Сложив почленно первые два
уравнения, получим 22 = 15/ 2, откуда 21 =15/4. Сложив вто-
рое и третье уравнения, найдем: 2х = 13/6, г и1 = 13/12. Анало-
гично определим уІ =10/3. Таким же способом решая вто-
рую систему, находим: хд = «13/12, у2 = -10/3, 2:2 = -15/4.
252
системы УРАВНЕНИЙ
СЛЄДОВЕІТЄЛЬНО, ИСХОДННЯ СИСТЄМЗ ИМЄЄТ Два рЄШЄНї/ІЯІ
вш.
_вцдці 4
12”3*4
12” 3”
-4
10. Решить систему уравнений
х+У+ХУ =7, У+2+уг =1, 2 +х+хг =3.
› Прибавляи единицу к левой и правой Частям каждого
уравнения, получаем:
п1+д::+у+ху=7+1, 1+х+у(1+х)=8,
_
А
.
1+у+д+у15±1+1, І+у+д(1+у)=2,
1+д+х+хд =3+1, 1+г+х(1+1)=4.
Разложим на множители левые части полученных уравнений
(1+х)(1+у)=8, (1+у)(1+2) =2, (І +:)(1 +х) =4.
(6.24)
Перемножив почленно полученные уравнений, найдем
(1+х)2(1+у)2(1+г,)2 =64,
откуда
(1+х)(1+у)(1+2)=8,(1+х)(1+у)(1+:5) = -8.
Разделив каждое из данных уравнений на каждое из урав-
нений (6.24), получим две линейные системы:
1+2=1,1+хш4,1+у:2 и 1+2=~1,І+х=~4,1+у=--2.
Из данных систем 'непосредственно находим:
х1:3, уІЁІ, 2,150 И х2:""5, у2:_3, 222-2 .
Итак, исходная система имеет два решения: (3, 1, О),
(-5, -3, -2). 4
Задачи
Решите системы уравнений.
х~у=4,
х+у=10600,
~
х2+у=26,
1.
2.
3.
2
Щ
_
4- х:__у._.7а 5. хЗЧ-ху--і
6. {х+у+у/хы-8,
х+у=5.
у -ху=4,
(х+у)у/х=12_
Системы нелинейных алгебраических уравнений
,
253
7.{х2+у2=25,
8.{х3+у3=28,
9. {х2+у2=5,
х+у=7.
х+у=4_
хыу=Ъ
х(у+2)=8,
3_ 3:
44:
10. {х у 19* 11. г *у 17* 12. у(;_+х)=10,
хщу=1.
х+у=3.
2(х+у)=200
Ґ-7'ЁЪН'у2"23'5-у2:2;
ї+У+ХУШ53
13. ,у2+дх-ху-д2=_3,.
14. у+3+у2=14,
_
_,
2:__
'
~
2+х+х2=9.
(ех+ху у: х
6.
х2*у2-ё2+2у2=1,
х+уг=6,
15.{у2-х2-22+2х2=2,
16. у+х1=6,
22-х2-у2+21у=32.
1+ху=6*
'2
2_
х+у+щя=8,
х ш(У-ё) *8,
17. у+2+у2=0,
18.<у2ш(3-х)2=2,
г+х+х2=3.
"
д2_(х_у)2=1_
х-у+2=2,
-х-2у+32:*=9,
19. х2+у2+22=14,
_20. іх2+4у2+922=189,
хз-у3+23=20.
ь3162 =4у2.
Ответы
1.. (7, з), (из, Р7). 2. (9000, 1600), (1600, 9000). 3. (5, 1), (_6, -10).
4, (3, 2), (-4, 9). 5. (3, 4), (-3, -4). 6. (2, 4), (2/7, 12/7). 7. (3, 4), (4, 3).
11. (1, 2), (2, 1). 12. (1, з, 5), (1, з, 5). 13. (1, з, 4), (-1, -з, -4).
17 33
І7 33
.
'_
“'
“_
-
-
чан-16 з
*мг-“Зчб '
°
аз
3
14 (1,2,4),( з, 4, 6) 15[8 8 М 8 8 )16(222)
(1) 5, 1)) (1, 1, 5), (5, 1, 1)-18› (3:9/4: 5/4): (*31'-9/4Ґ5/4)- 20- (3, 3) 4),
(12, 3, І). Указание. Возведите в Квадрат первое уравнение и вычтите
ИЗ ВТОРОГО, ИСПОЛЬЗУЙТЄ ТрЁ'ГЪЄ уравнение.
254
системы Уравнения
6.5. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ
СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
Многие задачи приводят к необходимости составления и
решения систем алгебраических уравнений. К таким задачам
относятся, например, задачи на нахождение числа по услови-
ям, налагаемым на его Цифры, задачи на нахождение некото-
рых чисел, обладающих заданными свойствами, задачи, кото-
рые условно можно назвать задачами «на движение», и др. При
рассмотрении таких задач следует ввести обозначения для не-
известных, составить уравнения по условиям задачи, решить
полученную систему уравнений. Надо проверить, удовлетво-
ряют ли условиям задачи полученные решения.
Отметим некоторые особенности решения такого рода за-
дач. Если в задаче требуется, например, найти трехзначное
число по условиям, налагаемым на его цифры, то, обозначив
буквами х, у и а соответственно цифры единиц, десятков и со-
тен, само число запишем так: 1001+10 у+х (а не хуя; хуя
означает произведение цифр искомого числа). Число, запи-
санное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь
вид 100х+10у+2,.
Система уравнений, получающихся из условий задачи,
связанной с движением, обычно содержит такие параметры
движения, как пройденный путь, скорость движущихся тел,
время движения. В условиях этих задач обычно принимаются
следующие допущения:
1) движение на отдельных участках предполагается равно-
мерным, пройденный путь определяется формулой Ѕ = и, где
у -- скорость движения; 1- время;
2) повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е.
происходят без затрат времени; скорости также меняются
мгновенно;
3) если тело движется по течению реки, то его скорость ш
складывается из скорости у в стоячей воде плюс скорость и
течения реки: ш: у+и; в случае движения против течения
реки скорость тела равна разности указанных скоростей:
ш = у -~ и. Если в условии задачи речь идет о движении плота,
то имеется в виду, что тело движется со скоростью течения
реки.
Задачи на составление и решение систем уравнений
255
При решении задач, связанных с движением, полезно вы-
полнить чертеж.
К задачам «на движение» относятся также задачи, связан-
ные с наполнением и опорожнением резервуаров, задачи на
выполнение некоторой работы.
Примеры
1. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если к искомо-
му числу прибавить 18, то получится число, записанное теми
Же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
Ъ Обозначим буквой х Цифру единиц искомого двузначно-
го числа, буквой у
-
цифру его десятков, тогда ІОу + х -- ис-
комое число, 10х + у т число, записанное теми же Цифрами,
но в обратном порядке. Из условия задачи получаем систему
уравнений
х+у=&
х+у=&
10у+х+18=10х+у
х-у=2.
Решая систему, находим: х= 5, у = 3. Следовательно, 35
-
искомое число. 4
2. В двузначном числе десятков на 2 больше, чем единиц, а
произведение числа десятков на число единиц равно 3. Найти
число.
›Пусть10х+у
-
искомое Число. Условие задачи приводит
к системе уравнений
х-у:2,
ху=3.
Решим данную систему;
у=х-2, х(х-2)=з, х2 -2х-3 = о, х: 1±~/1+з =1±2,
откуда х] = 3, х2 = -цІ (не подходит по условию задачи). Тогда
уї = 3~2 =1. Итак, 31 Ш искомое число. 1
3. Найти четыре числа, образующих пропорцию, если из-
вестно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних
членов составляет 10, а сумма квадратов искомых четырех чи-
сел равна 200.
256
системы УРАвнєний
› Обозначим искомые числа буквами х, у, я, І. Из условия
задачи получаем систему уравнений
'х2у =212ї, х+1`214, у+г =10, х2+у2+212 +2'2 = 200.
Вовводя в квадрат второе и третье уравнения, находим:
х2 +2хї+г2 =196, у2 +2уд+д2 =100.
Складываем почленно последние уравнения:
х2 +у2 +12 НЗ +2хг+2уд = 296.
Вычитаем из полученного уравнения Четвертое уравнение
системы:
2хї+23/23щ96,хї+у:=48.
Ив первого уравнения системы следует, что хї = уд, поэ-
тому 2хг=48, хг=24, у: =24. Из уравнений х + і ї 14,
хз* = 24 находим х] =12, х2 =2, ІІ :2, 12 =12. Из уравнений
у+г= 10, у: =24 получаем: уі =6, 21:41, у2 =4, 2,2 =6.
Следовательно, условиям задачи удовлетворяют числа 12, 6,
4и2.4
`
4. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно
навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между ко-
торыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления.
Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает
в город А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в город В. Най-
ти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все
время двигались с постоянными скоростями.
› Обозначим буквой х (км/ч) скорость пешехода, буквой
у (км/Ч) «- скорость велосипедиста. В этих обозначениях 2х _-
путь, пройденный пешеходом до встречи с велосипедистом,
2у
-
путь, который проехал велосипедист до встречи с пеше-
ходом; 40/х _ время нахождения в пути пешехода, 40/у *Н вре~
мя нахождения в пути велосипедиста.
Из условия задачи получаем систему уравнений
2х+2у=4Ц
х+у=2Ц
Ё~ї9~ і ИЛИ 16” 16 -з
х у-2
у- хм ху'
Выразим у ив первого уравнения и подставим во второе:
Задачи на составление и решение систем уравнений
257
у = 20-х, 16(20-х)-16х 23х(20 їх), 3):2 ~92х+320= 0І
Решая квадратное уравнение, находим: хІ = 80/3, х2 =4.
Поформулеуї20-хвычисляем у1= -20/3, у2=16.
Система имеет два решения: х1 =-- 80/3, у1 2 -20/3 и
х2 = 4, у2 :16, однако только второе решение удовлетворяет
условию задачи. Первое решение не имеет физического и ре-
ального смысла: скорость велосипедиста не может быть отри-
нательной, скорость пешехода х = 26%р км/ч не является ре-
альной. Итак, х = 4 км/Ч -- скорость пешехода, у ї 16 км/Ч --~
скорость велосипедиста. 4
5. Две машины, рывшие туннель навстречу друг другу, за-
кончили его проходку за 100 дней. Если бы первая машина ра-
ботала 15 дней, а вторая 20 дней, то вместе они прошли бы
120 м туннеля. Если бы первая машина выполнила 2/3 всей
работы второй машины по прокладке туннеля, а вторая 0,3
всей работы первой машины, то первой понадобилось бы на
10 дней больше, чем второй. Сколько метров туннеля в день
проходит каждая машина?
› Производительности машин аналогично скоростям в за-
дачах на двшкение обозначим соответственно 11] (м/день), 122
(м/день). В этих обозначениях 100121
-
объем работы, выпол-
ненной первой машиной (количество метров туннеля, прой-
денное Этой машиной), 100122 -- объем работы, выполненной
второй машиной, 1001:І +1001›2 ~ величина всей работы, вь1-
полненной обеими машинами при проходке туннеля (длина
туннеля).
Из условий задачи получаем систему уравнений:
'151›,+ 201› 2$120,
3121+4122 == 24,
2
-
1001:
3( 2) __ 0,3(100У1) __: Ю
911]2 + 3121122 "201222 == 0.
1 1*”1
112
Второе уравнение последней системы является квадрат-
ным для отношения 121/122:
4
258
сис тьмы уравнєний
2
+зїї~2о=0
1,2
1”2
“г
9
.
у ч«4
"4
и имеет Положительное решение: і: ї, у] тэги. Подста-
1*2
вив последнее выражение в Первое уравнение системы, полу-
Чим 8122 = 24, откуда 112 = 3 м/день. Из уравнения 121 == *3-122
находим у] =`= 4 м/день. 4
6. Два велосипедиста и пешеход одновременно отправи-
лись из пункта А в пункт В. Менее Чем через час после выезда
у первого велосипедиста сломался велосипед, он продолжал
путь пешком, двигаясь в пять раз медленнее, чем на велосипе-
де. Через 15 мин его обогнал второй велосипедист, а через
5 Час 15 мин т пешеход. К моменту поломки второй велосин
педист проехал расстояние в два раза большее, Чем расстоя-
ние, которое прошел пешеход к тому моменту, когда второй
велосипедист догнал первого, двигавшегося пешком. Через
сколько минут после начала движения сломался велосипед?
›Время поломки (в часах) обозначим буквой 2*, скорости
велосипедистов -- соответственно буквами у] и 122, скорость
пешехода -- буквой и. Очевидно, что ищи, '<:.у2, у,/5<и,
ї < 1. Из условий задачи следуют три уравнения:
1220* + 1/4) = уІг + (121 /5)(1/4)
(второй велосипедист обогнал первого через 15 мин, т. е. че-
рез 1/4 Ч, после поломки);
а(г+5і]=р,г+їі-5і
4
54
(пешеход обогнал первого велосипедиста, шедшего пешком
1
после поломки велосипеда, через 5 Ч 15 мин, т. е. через 5-5: ч,
после поломки);
(к моменту поломки второй велосипедист проехал расстоя-
ние, в два раза большее того, которое прошел пешеход к мо-
Задачи на составление и решение систем уравнений
259
Менту, Когда второй велосипедист догнал первого, двигавше-
гося пешком).
`
Итак, получена система трех уравнений
122(І+1/4) = 12,1* +121/20,
и(ї + 21/4) = 1211” +(21/2012,),
122! = 2:40 + 1/4)
относительно переменных 1/1, 1:2, и, г.
Разделив на и каждое из уравнений, получим систему ,_,
*і1)“і1)
-- 1'+-
=---
ї+--~,
и
4
и
20
21 - 11|( 21)
а
І+-= -
Г+-,
4и
20
1,-2 -І=2(г+-1 -]
Ъ
и
4
относительно трех неизвестных 1*, 1:] /и, 1:2 /ц, Выражаем от-
ношение уІ/и из второго уравнения, 122/и
-
из третьего
уравнения и Подставляем найденные выражения в первое
уравнение:
21._Щ а _ 2(г+1/4)
а_-г+21/20*
"Ё
г
*
2(г +1/4)(г + 1/4) _ (1 + 21/4)(1І +1/20)
г
_
г+21/20 ”
2<г+1/4)2(г + 21/20) = ш +21/4)(г +1/20).
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
кубическое уравнение
гз -ЦЁ +-7-ЁНЗ-1- =0.
›
5
80 160
Разложив на множители левую часть данного уравнения,
найдем:
ІЗ--І-І-ЁЁЁН-ё-щЗ-З
----
5
80160~4
20
80 40 160
___-д*
_-12
-2-912 +87 7 т+ 21
260
сис тємы уРА внєнии
2(з]29(3]7[з](зЛ,292]
=г
гн--ь «_- г
г-- -ч -а гыц = г-Н г-*гд-+.
420
4404
4
20 40
Следовательно,
297-
,_2 ,2_д,_1. д, ,4340, (а_...їщро
4
20 40
4
20 40
Условиям задачи удовлетворяет корень г' = 3/4 первого
уравнения; корни квадратного уравнения не удовлетворяют
условиям задачи (2*1 > ї, 12 <0). Итак, велосипед сломался че-
рез 3/4 Ч, т. е. Через 45 мин, после выезда из пункта А. 4
Задачи
О
1. Найдите двузначное число, сумма Цифр которого равна 11, а
произведение Цифр равно 28.
2. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если искомое число
умножить на 2 и прибавить к произведению Число 7, то получится
число, записанное теми же пифрами, но в обратном порядке. Найди-
те Число.
З. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня.
В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 70 км, во второй
-
1/4
всего пути и еще 55 км, в третий - 1/5 всего пути и оставшиеся 50 км.
Найдите расстояние между городами.
4. Группа студентов во время каникул совершила поход по родно-
му краю. Первые 50 км они прошли пешком, 20 % оставшейся части
маршрута проплыли на плоту по реке, а затем прошли пешком рас*н
стояние, в два раза большее того, которое проплыли по реке. Осталь-
ное расстояние проехали за І ч на автобусе, который шел со скорос-
тью 60 км/ч. Какова длина всего маршрута?
5. Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой брига-
де для выполнения той же работы надо 75 % этого времени. После
того как в течение 5 дней работала одна первая бригада, к ней при~
соединилась вторая, и обе закончили работу. Сколько дней бригады
работали вместе?
6. Найдите три числа, если первое составляет 80 % второго, вто-
19
рое относится к третьему как 5 : 3-6, а сумма первого и третьего чи-
сел на 70 больше второго числа. ,
Системы показательных уравнений
261
7. Найдите сумму трех чисел, зная, что третье относится к перво~
му как 4,5 : 3,75 и составляет 40 0/6 второго,"а сумма первого и второ-
го чисел равна 400.
8. В трех секциях спортивной школы было 96 спортсменов. Чис~
ло членов конькобежной секции составляло 0,8 числа членов лыж-
1
нои, а число членов хоккеинои секции
-
ЗЗЕ % числа членов двух
первых секций. Сколько спортсменов было в Каждой секции?
9. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 3 ч навстре-
чу ему из города В выехал мотоциклист, скорость которого в три ра-
за больше скорости велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист
встречаются посередине пути между городами А и В. Если бы мото-
циклист выехал не через 3 ч, а через 2 ч после велосипедиста, то
встреча произошла бы на 15 км ближе к городу А. Найдите расстоя-І
ние между городами А и В.
10. Два экскаватора разной конструкции должны были проло-
жить две траншеи одинакового поперечного сечения длиной 960 м и
180 м. Вся работа продолжалась 22 дня, при этом первый экскаватор
начал работать на 6 дней позже второго, отрыл меньшую траншею, 3
дня был на ремонте и затем вновь работал. Если бы не надо было тра-
тить время на ремонт, то работа была бы закончена за 21 день.
Сколько метров траншеи мог отрыть в день каждый экскаватор?
Ответы
і1.74,47.2.38.З.500км.4.200км.5.3.6.80,100,90.7,520.
8.40,32,24.9.180км.10.40м,20м.
6.6. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЬІХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим на примерах, как решаются системы показа-
тельных уравнений.
~Примеры
1. РешитьҐ систему уравнений
Эх +3у =12, 3ту = 27.
› Запишем данную систему в виде
Зх +3у = 12, 3133у =27
262
систЕмы УРАвне-ничёІ
и введем новые переменные:
Зх=и, 2*:у=у.
(6.25)
Получим систему
и+у= 12, ип: 27,
откуда
у =12-*и,
-
(6.26)
и(12-ы)=27, 12и-и2 -27 = о, аї -12и427 = 0]
Последнее квадратное уравнение имеет корни и, = 3, 142 = 9;
по формуле (6.26) Получаем: у] = 9, у2 = 3.
Из уравнений (6.25) находим: 3** = 3, х] = 1; ЗІ = 9, х2 = 2;
3у =9, у, = 2, Зу =З, у2 =1, Следовательно, исходная систе-
маимеетдварешения: х1=1,уІ=2 иХг=2,У2=1-4
2. Решить систему уравнений
642* +642у = 12, 64хчъу = 445.
› Записав данную систему в виде
642: +64” = 12, 6421- 642)* = 32
и введя новые переменные по формулам:
642х=и, 6424=У,
получим систему
ы+1г= 12, ив ='32,
откуда
»мп-л, и(12--и)=32, а2-12а+32=0, и,=4, 42=8,
131=85132=43
і
поэтому
64:21:44, 642х=8; (43)2х=46х-_~4, 6х=1,`х,=1/6;
(85:11:44: =8, 4х=1, х2=1/4; 642У=8, у1=1/4;
6424 = 4, у, =1/6.
Итак, исходная система имеет два решения:
(тіпіі')
6,4, 4,6-4
З. Решить систему уравнений
г
2х+2у=12, х+у=5.
Системы показательных уравнений
253
› Ив второго уравнения находим у: 5 -х и подставляем
его в первое:
2х+25*х=12, 2*С+25-2“'х=12З 2х+ёё=
22х~12-2х+32=0.
Последнее уравнение является квадратным относительно
2х,егокорни: 2х=+4, 2х=8, откуда х1 =2, х2 =3.Посколь-
Ку у =5-х, то у] : 3, у2 =2. Система имеет два решения
(2, 3), (3, 2). 4
*в
12,
4. Решить систему уравнений
3х -2У2 = 77, 3%/2 -2112/2 = 7.
*
2
› Первое уравнение перепишем так: (3172 )2 н“(23” /2)2 = 77.
Разделив данное уравнение на второе, получим уравнение,
иоторое вместе со вторым даст следующую систему:
3*/2 +2у2/2 =11, 3*” -21'2/2 = 7,
2
откуда 3%/2 =9, х 2 4, 2у /2 '22, у=±\/5. Итак, получены
два решения: х, =4, у1=\/ї и х2 =4, у2 =~×/ї. 4
5. Решить систему уравнений
3-2х -2Му +2 = о, 5.2“1-2Щ'1-16: о.
› Данную систему запишем так:
2х(з-2У) - _-
- 2, 21%10-2у 2*):16.
РаЗДЄЛИВ ПОЧЛЄННО ВТОрОЄ УраВНЄНИЄ На ПЄрВОЄ, ПОЛУЧИМІ
1
..._
у ц..
10-2›*.2'1__+8 Ю 2 2___8 20-2у _н
3--2у
3-2у
* 6-22У-
”
20_2у=-48+16-2У, 68:17-2У, 2у=4, у=2.
Подставив значение у во второе уравнение системы, най-
дем х:
2х(1о-~22-2'1)ш16, 2х(10-2)=16, 2х-в=16, 2х=2,х==1.
Система имеет одно решение: х == 1, у 2 2. 4
264 ь
сие тЕмы УРАвНЕНиЙ
6. Решить систему уравнений
2
ху=243, 3/1”1024=8-х] .
› Поскольку 243 = 35, 1024 = 210 3 271024 = 337210 ± 21%, то
система принимает вид
22
ху-т-З5 2Ю/у=(--х] .
3
в
3
Логарифмируем по основанию 3:
у1033х=5103 33 =5,
1-91033 2 = 21033 [ё-х) = 21033 (2х)-210333 =
У
Получена система уравнений
у1033х=5,
_г-
191033 2 = 21033 2 +21033 х ~2.
У
Решаем Данную систему. Умножая первое уравнение на 2 и
подставляя полученное равенство 10: 2у1033х во второе
уравнение, находим:
21033 х 1033 2 = 21033 2 +21033 х -2,
1033 х 1033 2 = 1033 2 +1033 х-І,
1033 х(1033 2 -1) = 1033 2 -1, (1033 2 -1)(1033 х --1)= 0;
10332-1 ю, 1033 х-1=0, 108, х: 1, х=з.
Таккак 321033х=5, то у10333=5, у =5.
Итак, искодная система имеет решение х == 3, у == 5. 4
7. Решить систему уравнений
ху=ух, хр =у'ї, х>0, у>0, р9>0.
›П0л0>ким 9/р: от. Если оъшї, т. е.
,17:91, то система
удовлетворяется любой парой равных положительных чисел.
Будем считать, что от 1. Из второго уравнения находим
х = уц. Логарифмируя первое уравнение и используя это ра-
венство, получаем:
Системы показа тельных уравнений
265
уівх: хіау, уівуШ =хіву, Огуїву= уШ Іау,
уІау<<1-у““1)=0-
1
Поскольку у>0, то либо 13у=0, либо ос:уц' _
В пер-
ВОМ ,СЛУЧЕІЄ ПОЛУЧЕІЄМІ х] = 1, у! = 1. ВО ВТОрОМ СЛУЧЕІЄ НаХОДИМІ
о.
І
к2 = 02'1'4 , у2 = опт”1 _ Обе пары чисел удовлетворяют исход-
ной системе. 4
8. Решить систему уравнений
(вт»И =9,
*47351 = 1818 +12ху +2 у2.
› Преобразуя правую часть второго уравнения, систему за-
писываем так:
(Зх+у)хчу=9, *И =2(Зх+у)2.
Из второго уравнения находим, что
324 = 2І*У(зх+ у)2<х"”.
С учетом первого уравнения получаем равенство
324 ...-..
2х`у81, откуда 22 = 2х'у, т. е. х-у = 2. Первое
уравнение приводится к виду (Зх + у)2 = 9, откуда Зх + у = 3,
Зх+ у = --3. Получены две системы уравнений:
х-у:2з И
хчу=2т
3х+у=3
3х+у=-&
5
З
Решая данные системы, находим: 261 11, уі = *2- и
1
9
Ч
х2 = -Ец у2 = -Е Обе пары чисел удовлетворяют исходнои
системе. 4
Задачи
Решите системы уравнений.
5х+5у=30
2х<3у==12
х
У:
,_{
,
2_ ІІ
,
3_ Г, +3 '36,
БМу =125.
2у-3х =18.
х+у=5.
266
І
и систвмы УРАвнвниЙ
1
4 8х=10у, 5 642х+642у=4д 6 {хх+у =у12,
2х=5у.
64х+у = 12.
у”+у = хз.
х+ун х-у
$+Л= 8/3
у_х
74352” * в.. хїф у* 9.{х “у”
ух =1.
ух*у “21%
рх нету,
х>0, у>0, р>0, Ч>0.
_ 2х-у+|
_ 22х+у =2
2/5 21' ЗУ =53,
ЩГ;
+зу
,п.{((››
21:і22х+у+зу.вы =1.
(ттттыту'їтг +61” “6” = 1.
Р11Щ -2-5у =71,
12-41: +2.5у/2=21,
Ь1 вес-“ту” = 16.
_ Ответы
1. (1, 2), (2, 1). 2. (2, 1). з. (2, 3), (з, 2). 4. (1/2, 6/5).
5: (1%6/1364, 1/6),(1/6,136/1$64). 6. (І, 1), (4, 2). 7. (1, 1),
(1/ Ё/З: , Ё/Ѕї). Указание. Выразите у из второго уравнения и подставь-
те в первое. 8. (1, І), (16/81, 4/91, Указание. Выразите х из второго
уравнения и подставьте в первое. 9. Если р =9, то система имеет
бесконечное множество решений вида х=у=а, где а>0 -- лю-
бое. Если ргщ, то (0110*'4а ода-“1) ›- единственное решение, где
(1:9/ р. Указание. Прологврифмируйте уравнения, найдите х/у.
10. (13 --1). Указание. Запишите второе уравнение в виде
2х+2у (117.2хчу +1+3у-22х+у )=1 и используйте первое уравнение.
11414), (4, з), (в, 2), (6, 2), (246, #5), ($246, 45). Указание.
Преобразуйте первое уравнение к виду ЅЩҐ9 = 53, ху =12; во вто-
ром положите 1277770. 12. (2, 2, І). Указание. Выразите Нд и 112,
найдите их частное.
Системы логарифми ческих уравнений
257
6.7. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим на примерах решение систем логарифмичес-
ких уравнений.
Примеры
1. Решить систему уравнений
15х-13у=7, 13х+13у=5.
~
› Складывая почленно данные уравнения, находим:
21$х=12, Івх =6, х=106.
С учетом равенства 13 х = 6 из первого (или второго) урав-
нения системы получаем 13 у = -1, откуда у = 0,1.
Итак, система имеет решение х = 106, у = 0,1. 4
2. Решить систему уравнений
1Ёх+13у=и2, х2+у2=5.
.
› Потенцируя первое уравнение, получаем: 13(ху) =132,
ху=2.
Решаем систему уравнений
ху=2, эс2+у2 =5.
Выраиєаем у из первого уравнения и подставляем его во
второе:
2
4
уе? х2+т=5, х4+4=5х2, х4-5х2+4=о.
х
,
Полученное уравнение является квадратным относи-
тельно х2. Оно имеет корни х2 21, 1:2 = 4, откуда
х1 = 1, х2 =2, х3 ==-1, х4 ==-2. Условию задачи удовлет-
воряют лишь положительные значения х (отрицательные
числа не имеют логарифмов). Поскольку у = 2/х, то
у, =2/1=2, у2 =2/2«=І.
Следовательно, система имеет два решения: (1, 2) и (2, 1). 4
3. Решить систему уравнений
1%(х2 +у2)-1=1313, 13<х+у)-и(х-у) = 31д2.
268
сис тЕмы УРдвНЕНиЙ
› Потенцируем данные уравнения, принимая во внимание,
Что 1= 1%10:
13012 + уї) = 1%13 + 1310, 1208 + у2)=1$130,
1-2 +1/2 =130, 1в<х+у›~в(х-у›=в23,
Х+у___
215-1112”ч
13
138,
8.
хЬу
х-у
,
Решаем систему уравнений
1:2 +у2 =130,
“у =8_
х_У
Имеем:
.
7
х+у=8(х~у), 7х=9у,, у=~5х;
х2+:_ї-х2±130, 1зох2щ130в1, 18:81, х,=9,х,=-9.
Второе значение х условию задачи не удовлетворяет (отри-
Цательные Числа не имеют логарифмов). Поскольку у = 7х/ 9,
то у] = 7. Таким образом, система имеет решение (9, 7). 4
4. Решить систему уравнений
8
1051,,у х~103х у =-5, ху: 16.
› Воспользовавшись формулой 103 ух =
ем первое уравнение системы и виду
х
, преобразу-
31033С у+810ё,с у-З =0,
3
1
-з
откуда 103,с у: ї, т. е. у: х1/3 и 105,с у: --3, т.“е. у: х
Подставляя полученные значения во второе уравнение систе-
мы, находим:
х_х1/3=1,5, Ж,ат/21:21:а х;__(24)3/4:23=83
,51:83
,УТ-хм == 8*/3 =(23)1/3 2 2, у1=2;
1
1
хх
16, х
16, хз
Х24
Системы логарифми ческих уравнений
І 269
1
..
(х = -- не удовлетворяет условию задачи),
ч*3
_.
1
У2 =х 3 7-[1] 343 366% 372 264-
Итак, система имеет Два решения: (8, 2), (1/4, 64). 4
5. Решить систему уравнений
18(х-У)-21Е2=1 13х-133___
1-Ів(х+у) , Іву-Ів'ї
› Потенцируем данные уравнения:
13(х-у)-1Ё22ш1 Іх-у' 10 х-у 10
_,
=1
,
=
,
1310Н13(х+у)
34
ЁХ+У
4
х+у
7х7
ху40,в,
а7ёу›3у›*У
-
Таким образом, получена система уравнений
х2 -у2 т40, ху=21.
Решаем ее:
212
уіі, х2~-2-=40, х*-40х2-44_1=0,
Х
х
1:2 = 20± 7202 +44 2 20± `/в41= 2о±29,
х2=49, хі “17,371 371:
(х2 -- -9, х2 = -7 не удовлетворяет условию задачи). Итак,
Исходная система имеет решение х = 7, у = 3. 4
6. Решить систему уравнений
10%,а х+103а у+103а4 =2 +10309, х+у-5а щ 0.
› Потенцируем первое уравнение:
*
103а х+Іоёа у +10304 2103,, а2 +10509,
1.
92
Квант = 10%:(9112), му = 902, ху = і-
4
и
90:2
Решаем систему уравнении ху 2 _4- х+ у -5а ='0.
270
І
сис тЕмы уРдзнаний
Таккак у=Ѕа-х, то
2
2
х(5а-х)=9-Ё-,
х2-5ш+-9і=о,
4
4
2
2
9.2Ґ
а
х=22±м250 _9а =ЁЄ±ЁЕЗ
хіїщ, х2=--а
2
4422
2
2
94.1Ґ а
а9а
:ЅД----:-,
шЅ --=----_
У:
22У2а22
СПЄДОВЗТЄПЬНО, ИСХОДНЗЯ СИСТЄМЗ ИМЄЄТ Два рЄШЄНИЯЁ
(МНЕ-Ё)
2**2” 2*`2'<
7. Решить систему уравнений
1030ї=10$сх, ха = уЬ, аэ± Ь, аЬ±0.
у 10всу
› Логарифмируя второе уравнение по основанию с, получаем
аІоЁсх: Ыоясу.
(6.27)
Из первого уравнения находим, Что
Іох
103с зс-Іоёс у = і.
іовс у
Подставим сюда 105;С у из уравнения (6.27):
а
Ь
1-51-
10$сх--103сх=-,
Іоёсх д =-.
Ь
а
.
а
ПО'ГЄНЦИІЭУЯ, НаХОДИМІ
ш _1:
42
хдІса,
х=са(Ь-а),
а из второго уравнения Ё значение у: у = ха/Ь ± сЬ/(д"“). 4
8. Решить систему уравнений
х10д2 уІояІ/х 2 = уЛО -Іодх 2), Іояуз 240345 х =1.
› Используем формулы (4.55), (4.56) и переходим к лога-
рифмам по основанию 2 в каждом уравнении системы:
Системы погарифми ческих уравнений
271
10522
под у-----------=у у 1-
2 1052(1/х) І
105235]7
1
Іо52х-І
10~
=
----
,
х Ё2у -1052х у`/;[ 1052х ]
х1052 у = 3260-1052 х), х #1, 1052 х ± О;
1052 2 1052 х
1
1052 х
3
122=1,
=1.
1032 У 10%2 2
310%2 У ї/2
Следовательно, получена система уравнений
х1052у=уЛП-1052х), 21052х=31052у.
Из второго уравнения находим: 1052 х2 = 1052 уз, х2 = уз,
х = уж. Подставив это выражение в первое уравнение, опре-
Делим у:
'
з
у”10в2у=у3/2(1-1<›в2у3/2), іов2у=1т2~1<в2ж
ё2-1052у=1, 1052у=~:-,
у=22/5.`
Поскольку Х = уж, то х= (22/5)3/2 = 23/5. Итак,`исходная
система имеет решение х = 23/5 , у = 22/5 . 4
Задачи
Решите системы уравнений.
1 15х+15у=а,
2 181+1ЁУ=2>
215х-215у= Ь.
1:2 +у2 = 425.
З. Г (105у х+105х у): 26,
4. {1054 х *1-1054 у +10544 = 2 +10549,
ху=64_
х+у-20=0.
І
1
352 у+1_2
10%05(у“х)+1032н=“22
022
2
_
5
т
у
6
<
4
х2+у2=25,
1058х~1052<у+н2=ї
1
272
сИсТЕмы УРАвНЕНиЙ
7 {10Ё2(у-х)-1033(3у-5х) =0, 8 _{|10Ё2(х+у)|+|10ё2(х-У)|=3›
1:2 +у2р:5.
11:12:3'
9 10Ё5х_3'°еу =7,
к 10 210вах=1оёпду40ыа
Ху =5ю-
ахЬу =аЬ.
п- 3(210Ёу2 х -їоёд/х у) = 10,
ху=81Ё
Ответы
1..
х __"210(20+Ь)/4, у 210(2ашд)/4 . 2.
х]=5,у;=20;1.2:2,0,уз:5.
3. х1=2, 15:32; х2:,32, у2=2. 4. х]=18, у1=2; 1:2ж2, у2=18.
-
7
1
5. х] = щей, у] =:«/Ё-; х2 = 3, у2 : 4. 6. (Л, 15), (2, 3). Указание.
Чрологарифмируйте
и
введите
новые
переменные
и=1032х, 12:1032(у+1). 7. (~\/_5_,
0), (
], (1, 2). Указание.
__1._
і
Л” «Е
Запишите нервое уравнение в виде 1038(ут~эс)3 =1038(3у-5х), пе-
рейдите К системе уравнений (у-дк.)3 =(3у-5х), 5±х2+у2.
37
8. [ЖЕ Є] (З, 1). Указание. Исследуйте знаки х и у. Запишите
уравнение при (х+у)>1 и 0<х~у< 1, 9. (125, 4), (625, 3). Указа-
ние. ЗІОЁЗУ : у, 10. (103 ад, 103Ь а), (1, 1). Указание. Прологарифми-
руйте второе уравнение по основанию а. 11. (3, 27), (27, 3).
Системы показательно-логарифмических уравнений
273
6.8. систвмы
'покАзАтвлЬНо-логАРиФмичвских
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим на примерах решение систем показательно-
логарифмических уравнений.
Примеры
1. Решить систему уравнений
2х ~4у = 32, 1%(х_ у)2 -2182 = 0`
› Потенцируя второе уравнение, получаем (х *_ у)2 = 4, от-
Куда х-у = ±2, т. е. у = х+ 2, у*= х-2. Подставляя в первое
уравнение выражение у = х + 2, находим:
1
1
7
+2
3х4
5
__..
___
__.. .
х_1х
_
_
_..
3_
х __,
__+:_) _
___
Подставляя в то же уравнение у = х
-
2, получаем:
2441:-2 =32, гзх = 29, 3х=9, х, =3, у, =1.
Проверкой убеждаемся, что исходная система имеет два
решения: х1=1/3, у1=7/3 и х2 =3, у2 =1. 4
2. Решить систему уравнений
102'15(х-У) = 25, 13(х - у) +13(х +у) =1+2132.
› Логарифмируем первое уравнение и потенцируем второе:
(2 -15(х-у))1ё10 =1ё25, 2 -1Ё(х-у) =1325,
130:- у) 213100 -13 25, 1%(х- у) =134,
1%(х- у) ним у) =1ё10+182ї 1308 шу2)=1ё40.
Из уравнений 13(х -у) =134, 1308 -у2) = 13 40 следует,
что х -у п 4, х2 - у2 = 40. Решая эту систему, находим:
х=7,у =3.1
3. Решить систему уравнений
Наши.
ГТ і (__: 26"*3*
10
-250,
ху+2.х+уЮ
274
сис тЕмы УРА знании
› Упростим первое уравнение:
1000
ІЁМ
10
10*31““°“Щх-” = 250, 10 И=250, 00 в250, х-у =4.
х_У
Подставляя выражение х- у: 4 (и х= у+4) во второе
уравнение, находим:
-
-
1
26-
Л+ё~42у+4 =Ё-6-Л*ї, 2+“2'\/2у+4 Ітї'ї,
4+1/2у+4=26-У, Ч2у+4=22щу*
2у+4± 222 -44у+у2, у2 -46у+480=0.
Полученное квадратное уравнение имеет корни
У] =16› У2 = 30; Корень у2 = 30 не удовлетворяет второму
уравнению (26 и у < О, а левая часть второго уравнения неот-
рицательна). Поскольку х = у+4, то хІ = 20. Исходная сис-
тема имеет решение х1 = 20, у1 = 16. 4
4. Решить систему уравнений
= (ду)
› Логарифмируя уравнения, находим:
Еёт
(тх)
Ш, п13х=тїву, п>0, т>0, пфт.
13т(1ёт+13х) ==152203п+13у)
ИЛИ
13т13х-13п13у=132п-132т,
(6.28)
Івпїах-Івтіау=0-
(6.29)
Из системы уравнений (6.28) и (6.29) следует, Что
Іах = Чат, їех =1ет_' › Іау = -Іат Іау = 1004,
1
1
ОТКУДЕІ 3:1 шт",
у1:"'-
1
т
п
Задачи
Решите системы уравнений.
1 зхв2у=52а
2 (зх)1ё3=(2у›1€2,
і 100Л<у~х>=4-
' з'ЁУ=2*ЅХ.
Системы показательно-логарифмических уравнений
275
3. 20Х1083у+7у|0$3х ___ - '8135,
4.
ІОвах+10Ёа2х~11д
Ю* = 93/6-
ЬЩЛ*Л +31:2 = 20.
Р7'31441_2 _3 _',1-і-г;-:1с+1=9
І
,
==1+10 х,
5. <2›3х+1+3у“'х=27,
6.{уу46Ё4
Ів(х+у+;)-31вх=1вуг%13е
х_
Ответы
1. (2, 6). 2. х=1/з,у=1/2. 3. (#5, 9), (9, 3/5). 4. При 0<а<1,
1<а<з; ь>о,ь±1, х=%/Ьї,у=2а-ё/а7_ 5.<1,1,2),<і,2.1›.Ука-
+І
+2 -х
вание. Введите новые переменные и : 3х ` , *и == 3у
, тогда первых два
уравнения примут вид 7г/~61›=9, 2и+г=27. 6. (16, 3), (1/64, --2).
І | Н НЕРАВЕНСТВА
'7.1. ЧИСЛОВЬІЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ
Будем изображать Действительные числа точками коорди-
натной оси, положительное Направление которой выбрано
так, как показано на рис. 7.1. Из двух действительных чисел
меньшим считается то, которому на координатиой прямой
соответствует точка, лежащая левее, и большим то, которому
соответствует точка, лежащая правее. Отсюда, в частности,
следует, что всякое положительное число больше нуля, а вся-
кое отрицательное число меньше нуля. Если число а меньше
Ь,топишут<<а<Ь›>;есличислоЬбольшеа,топишут<<Ь>а››.
Отношения «меньше» и «больше» взаимосвязаны: если а < Ь,
то Ь>а,и,обратно,еслиа>Ь,то Ь<в.
І
*__
~1
0ї2
х
"
Рис.7.1
Неравенства а<Ь, с<с?(илиа>Ь, с>41)называютне-
равенствами одинакового смысла, а неравенства а < Ь и с > сі -
неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти
термины относятся лишь к форме записи неравенств. Так, по
отношению к неравенству а < Ь неравенство с < сі является
неравенством того же смысла, а в записи сі > с (означаюшей
то же самое, Что с<сі ) -- неравенством противоположного
смысла.
Используется также запись а -<- Ь, или, что то же самое,
Ь 2 а. Запись а 5 Ь по определению означает, что либо а < Ь,
либо а=Ь.
Наряду с неравенствами вида а < Ь, в Ѕ Ь используются и
так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида
в<с<Ь, в5с<Ь, в<сЅЬ, аЅсЅЬ. По определению за-
Чиоповые неравенства и их свойства
277
пись а < с < Ь означает, что справедливы оба неравенства:
а < с и с < Ь. Аналогичный смысл имеют и остальные нера-
венства.
Неравенства, составленные с помощью знаков < или >, на-О
зывают строгими неравенстеами; неравенства, составленные с
помощью знаков Ѕ или 2, -- нестрогими неравенстеами.
Числовые неравенства Имеют следующие о с н о в н Ы е
свойства.
1°. Число а меньше числа Ь тогда и только тогда, когда раз-
ность а - Ь отрицательно; число а больше числа Ь тогда и толь-
ко тогда, когда разность а - Ь положительна.
2". Еслии<Ьис--любоечисло,то а+с<Ь+с.
3°. Если а<Ь и с>0, то ас<Ьс; если и<д и с<0, то
ас>Ьс.
11
4°. ЕсличислааиЬодногознакааЬ>0 иа<Ь, то *->Б
5°. Если 0<Ьи с<д, то а+с<Ь+сї.
а
6°. Еслиа<д*ис<(1,гдеа,Ь,С,ё
-
положительные Ілис-
ла,то ас<Ьд.
Ь
а
7°.Если 0<0<Ь и 0<с<с1,то Е< Ё
8°. Если0<а<Ь, то а”<Ь” , гдеп--натуральноечисло.
Замечание. Свойства 1° - 8° сохраняются и для иестротих не-
равенств.
Отметим, что если слагаемое из одной части верного нера-
венства перенести в другую с противоположным знаком, то
получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства разделить на одно и то
же положительное число, то получится верное неравенство;
если же разделить на отрицательное число и изменить знак
неравенства, то получится также верное неравенство.
Примеры
22
1. Доказать неравенство а +Ь 2 2аЬ.
›'І`аика1<(а-Ь)2 20 или а2 -2аЬ+Ь2 20, то а2 +Ь2 22аЬ. 4
278
нЕРАвЕНствА
аЬ
2. Доказать неравенство Б+ -~ 2 2; где а и Ь н числа одно-
го знака, аЬ > 0.
а
› Неравенство (12 + ,52 2 2.511) разделим на аЬ > О, получим
“+-22.4
Ьа
3. Доказать неравенство
“+Ь2Ы, его, ЬзО.
›Поскольку
(ДМ-Лўго или а-ъ/Еыго,
ТО
“ив/в, тыл.
2
Отметим, что равенство будет при Ь = а. 4
Замечание. Число (а+ Ь)/2 является средним арифметичес~
ким чисел а и Ь, а число х/ЬЬ - их средним геометрическим. Дока-
занное неравенство означает, что среднее арифметическое двух не-
отрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Нера-
венство имеет простой геометрический смысл (рис. 7.2;
,43:11, вс=а ооїї-Ё-Ё, яиц/Е)-
П
г
тд
2
А
05б
Рис.7 .2
4. Доказать, что (02 щ*ба+ 10) `> О при любом действитель-
ном значении а.
›Выделяя полный Квадрат разности в левой части нера-
венства, получаем
(12 ныне:(а216а+9)+1=(а-3)2 +1.
Числовые неравенства и их свойства
279
Поскольку (а-3)2+1>0 при любом значении а, то
(а2-6а+10)>0. ч
5. Доказать, что
1
1
1
11
'
+.._+
-
>-,
Н
_
ТЄЛЬНОЄ ЧИСПО .
› Так Как
1
1
1
1
1
1
І
1
-= -,
>-,...,
>-,
>-~,
2п 2п 2:1-1 2п
п+2 2п п+1 2:1
то, складывая эти неравенства почленно, находим, что
1
1
1
1
1
1
п
1
+
+...+-->- - -+-›+...+-Ч -= -=~.
п+1 п+2
2п2п2п
2п2п2
6. Доказать, что при любом натуральном п
11
І п-1
- ---+ --+...+-<-- --.
22 32
п2
П
› Запишем ряд очевидных неравенств:
1
1
1
-.-.2- <
___ -.-
=
_
---1
2 1-2
2
І
111
1
1
11
_- Шг_
-+. ____ --
-
--
=
-~<_-
_
.
3.22-323,
'пї (п-1)п п-І п
Сложнв данные неравенства почленно, получим
11
1
1 п-І
- ї+-~2-*+...+~ї<1---=- - -.
2З
н
п
п
7. доказать, Что а? + Ь2 + 8 г ад+ ас+ Ь.:- для любых дейс-
твительных а, Ь, с.
›На основании неравенства х2 + у2 2 2ху (см. пример 1)
имеем:
(12 +1Ё1'2 2.2111), 112 +<с2 2 2Ьс, 02 +1:2 г2ас.
Сложнв данные неравенства, а затем разделнв обе части
полученного неравенства на 2, имеем доказываемос нера-
венство. 4
280 _
А
нЕРА вЕНствд
8. Доказать Что если а, Ь, с Ш положительные числа, то
Ьсасад
--+ -+- --> а+Ь+с
аЬ
с
› Пользуясь неравенством (х + у)/2 32 фо) (см. пример 3),
можно записать:
І
1асад
і. Ж+Ж)_ ЁЕ. Е...
-
с, щ*(*-*+“"-']Ё а,
2аЬ
Ь
2Ьс
Ьс+ ад
_Ь.
2ас
Сложив данные неравенства, получим доказываемое нера-
венство. 4
9. Доказать, Что
“С
аЬс 2 (а +Ь -с)(а +с -Ь)(Ь +с-а),
где а, Ь, с Ы длины сторон треугольника.
›В Данном случае
а>0,Ь>0,с>0,
а+Ь-с>0,
а+с-~Ь>0, Ь+с-а>0. ОЧеВиДно,Что
из > из -(-Ь с)2 , Ь2 гдз -(а-ес)2, с2 2 с2 -(а-Ь)2.
Перемножая эти неравенства почленно, получаем:
а'262с2 12 (а
-
Ь+с)(а + Ь- с)(Ь'- а+ с)(Ь+ а- с)(с- а+ Ь)×
><(с+а-Ь)=(а+ Ь-с)2(а+с_Ь)2(Ь+ с- а)2,
откуда аЬс 2: (а+Ь-с)(а+с -Ь)(Ь+с -а). 4
10. Доказать неравенство
(1+ а]')(1+а2)---(1+ ап) 2 2”,
где 01, 02, ---± дл - положительные числа и аіа2 І--ап =1.
›Воспользуемся неравенством (а + 17)/22 т/ад (см. пример 3).
ПОЛаГаЯ В НЄМ 0:1, 19:05, І`= 1, 2, ..., п, получаети:
1+012`/'а_21-1-202 ЁЁЗНЧІ-Ёад ЁДІ
2
Числовые неравенства и их свойства
281
ПЄрЄМІ-ІОЖЗЯ ЛЄВЫЄ И ПраВЬІЄ ЧаСТИ ДЕІННЫХ НЄраВЄІ-ІСТВ, На-
ХОДИМ.
(І+а1)(ї+а2)~- -,,>(1+а) 2`Г_-
21?
Так как по условию а1а2 Шап = 1, то
(1+а1)(1+а2)...(1+ап)
2”
11. Доказать, что для любых неотрицательных Чисел
а, Ь, с, с! справедливо Неравенство
а+Ь-;с+сі 2 4г-адсф
› Воспользуемся неравенством х + у 2 2`/ху (см. пример 3).
Полагая х=(а+Ь)/2, у =(с+сі)/2, азатем х=Ш,у =Ш,
последовательно получаем:
а+Ь с+д
а+Ь+с+а'__
2+2 >И+~Есї>
4
2
_
2
_
2 И ж=4адсф 4
12. Доказать неравенство
75 ТЗ Т>2Ш
› Поскольку
(Ш- Мои/ПМГ) (п+1)- п
_
ГІ:
МЛМ/_
ПМГ
21, (1+ад)(1+а2)---(1+а,,)2:2".
4
1
п+1+\/г_1<2\/_
_
_
1
то -->2×/п+1~2×/;. Записывая эти неравенства Для
Л
мы, 2, 3,
п-І, Получаем:
282
1
1>2×/_2 _-2,
~_›>2\/5-2×/_2 _,
Л
1
1
_ _ >2Л-2Л,...,
Л
«гг-1
- 1 ->2\1п+1+~2\/;.
Л
сЮ'ІЭіДЬІВаІЯ ДЕІННЫЄІ,,І-ІЄрҐ:ІІЕЪ'ЄНСТВ'61 НаХОДИМ, ЧТО
>24п+1-2 4
НЕРАВЕНСТВА
>2Л -2Л-1, -
1+Л+Л+ +Л
13. Доказать, что
1_1
1
1
111
<
2+
2+...+
2
›
п+1 п+р+1 (п+1) (п+2)
(п+р) п п+р
гдепир
-
Целые положительные числа, причем п 2 1, р 21.
›Очевидно, Что
1
1
І
<
<
Ь
.
(п+іс)(п +Іс +1) (утюг (п +іс --1)(п +Іс)
Так как
1
_
1_1
(п+к)(п+к+1)“п+к п+1<+1”
1___1
__
І
(п+!с-1)(п+К)-п+іс-1 п+Ісз
то
а
1
1
1
1
1
--
<:
<
--
.
п+І< п+1с+1 (п+іс)2 п+І<-І н+іс
Суммируя данные неравенства от Іс == 1 до Іс ~== р, получаем
искомое соотношение* 4
14.Доказать,чтопри а>0,Ь>О, с>О
(а+Ь+с)3 -(аз +1;3 +сз)г(а+1›)(а+а)(а+с).
›Преобразуем разность в левой Части неравенства:
Числовые неравенства и их свойства
283
(а+2':›+с)З -(а3 +Ь3+с3)= ((а+Ь)+с)3-(а3+д3+с3)=
ш (ана)3 +3(а+112)2с+?›(а+Ь)с2 +сЗ -(аЗ +53 +03) =
= аз +3±с2212+31є21322 + ЬЁ +3(а+Е:›)2с+3(а+!2)с2 +1:З “из --
-ЬЗ -сЗ = 3222202+І:1)+З(а+І'›)2г:+Ё›(а+І:›)с2 =
= з(а+ь)(аь+(а+ь)а+с2) = з<а+ь)(аь+ас+ьс+22) =
щ 3(а+ Ь)(а(Ь+с)+ с(Ь+с)) = 3(а+Ь)(Ь+с)(а+с) >
> (а+Ь)(Ь+с)(а +в).
Значит, (а+д+с)3-(а3+ь3+сз)г(а+ь)(г›+с)(а+с). <
15. Доказать, что
2
22
222
2
(х1у1+х2у2 +...+х,,у,,) Ѕ(х1+х2 +...+хп)(у1+у2 +...+у,,)
ДЛЯ ЛЮбЬІХ ДВУХ МНОЖЄСТВ ДЄЙСТВИТЄЛЬНЬІХ ЧИСЄЛ
(х13х22'Пїхп) И (у12у22**~›уп)°
›Введем обозначения:
Ан22
2
_
22
2
- х ъ +х2 +...+2сМ , В-у1+у2 +...+уп ,
С=х1у1+х2у2 +...+2с,,уп
и рассмотрим многочлен
Р(х)=Ах2 +2Сх+В=(хІх+у1)2+(х2х+у2)2+...+
+(хпх+уп)2.
Так как Р(х)20 и А 20,
то дискриминант
22:4(с2 -Ав)ко, откуда с2 к АВ, т. е.
.
2
22
222
2
(х1у1+х2у2 +...+хпу,,) $(х1+х2 +...-+х,,)(у1+у2 +...+у,,).
Данное неравенство называют неравенством Каши*-
Буняковского**. 4
З а м е ч а н и е . С помощью Неравен ства Коши-РБуняковского
можно Іпоказать многие другие неравенства, например неравенство
* Каши Огюстен (1789-1857) - французский математик.
** Бунякавский В. Я. ( 1804»"1889) -~ русский математик.-
284
НЕРАвь-Нствд
1
_ ]232, гле а>0,2›>0,с>0.
(а+Ь+с)(-1 -+і+
аЬс
*і-
›Действительно, положив х] .= #5, хг = #15, а:3 == #е,
1
1
У1-Т; У2= “Г у3=-:/-,
получим:
(сГ) +(І›2+(І) МТ): (Ё]2+[:;Ё]2]г
илиг[×/Е]Т +×Г~Т++×Г Т] =32
(а+Ь+с)(-ё+%+і]232. 4
С
Аналогично можно доказать, что
11
1
(х'+х2+...+х,,) --+ --+...+-- 2:12, х,->0, і=1,2,...,п
А]
х2
хп
Задачи
,Покажите неравенства.
1. а2
-
Юа + 28 > 0 при всех действительных значениях а.
1
2. а+-- _ >_2, если а>0.
а
153%, где “а а>0, ь>0, то.
Ь Ь-Нс
413.5.
_9_9_
__ 1_ 5 Её 2”-1<1
24в10010' 246 2”
`/2п+1'
6. Іс(п-К+І)2п, если пгдїгї.
7. 02+Ь2+1гаь+а+а
з. “3+Ь32(Щ]3, если мага.
2
2
9. а4+Ь421/8, если а+д.>:і.
10. а4+2а3д+2аьз+ь42602ьї если (то.
11. д4+а4~ад2а3д+4а2д, если аЬ<0.
Числовые неравенства и их свойства
285
12. (а+2›)(2›+с)(а+с)28с11›с, где а20, ЬЕО, сгО.
и+г+ш
13.
гцізииш, где и_>_0, у_>_0, 14120.
++_1.
_ 1*>›Ы1--+_ --_ +~і-1
если а>0 Ь>0 с>0
Ь+ с 4Ґ_+-ТЁУ~ЁЁЗ
а
а
_
1
а
15. ( +-гиг] +Ё+[ +5]+(5+3]26, где а>0, ь>0, с>0.
Ь
ас
16.
-+-Ь+5>з где а>е,1›>о с>0
Са
2
2
2
9
17.
+
+
2
,
где а>0, Ь>0, с>0.
Ь+с с+а а+Ь а+Ь+с
а +62 +...+0
_
18.І2
"22/0102Щап, где (1,20, 1:1,2,...,п.
п
ї4.
--
+1п
19. 1-2-3- - -п Ѕ[Ё~2~Н) при любом натуральном п.
20. (а+ь+с)(а2+ь2+с2)29аьс, где аго, ьго, его.
Указания
1
З. Воспользуйтесь свойствами неравенств при умножении их на
положительное Число и прибавлении числа. 4. Используйте то, 1ато
1/2 <: 2/3, 3/4< 4/5,...,99/100<100/101; обозначьте х=1/2.3/4...99/100_
5. В Данном произведении все дчриоби правильные, поэтому можно
воспользоваться неравенством задачи 3 при Іс д 1. 6. Рассмотрите
разность Мп-Іс + 1)-11._І '7. Умножьте неравенство на 2, перенесите
все члены в левую Часть, преобразуйте в сумму Квадратов. 8. Рас-
смотрите разность (аЗ+Ь3)/2-((а+Ь)/2)З. 9. Так как а+Ь2 1, то
а2 + 2:12) + 152 2 1; сложив это неравенство с очевидным неравенством
02 - 2612; + 172 2 0, получим (12 + 292 2 1/ 2. Последнее неравенство воз-
286
нЕРАаь-нствд
ведите в квадрат и сложите с неравенством 04
-
2612312 + Н* 2 0.
10. Неравенство д'* + 26131; + 261153 + Ы* _ 6612332 _> _ _ 0 иреобразуйте после-
довательно в равносильные неравенства. 11. Рассмотрите разность
(Ё + о4 - ад) -- (аЗЬ + 4121215). 12. Примените ,неравенство х + у 2 2`/х_у
3
3
(см. пример 3). 13. Обозначьте и = о , у = ЬЗ , и* = с и используйге нера-
венство <:13+1›З + сз 2 ЗаЬс. 14.Обозначьте х =1/\/;, у==1/\/Б, 2: =1/\/с
и используйте неравенство х2 + у2 + 2:2 2 ху + у: + х: (см. пример 7).
15. Воспользуйтесь неравенством х/у+ у/ х 2 2 (см. пример 2). 16. При-
Г
мените неравенство и+ у+ ш_> _ 3 от (см. задачу 13), положив
о+с
а+с
а+о
и=а/Ь,у =Ь/смг:с/а. 17.Обозначьте аІ= ~_-, о]=Т, с1= 2
11І-
и примените неравенство (а+ Ь+с) -+Ъ-+ - 2 9 (см. замечание к
а
*
с
примеру 15). 18. Используйте метод математической индукции; при
п = 2 неравенство верно (см. пример 3); оно верно при п = 3 (см. за-
дачу 13) и при и = 4 (см. пример 11). 19. Примените неравенство за-
дачи 18. 20. Примените неравенство задачи 18 при п = 3 (или нера-
венство задачи 13).
'7.2. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Неравенстаом с одной переменной х называют выражение
вида
Лат) < (их),
(7- 1)
где І (х) и (р(х) -- функции данной переменной. При этом
Дх) считают левой частью, а (р(х) -- правой частью нера-
венства (7.1).
Облостью определения неравенство І(х)<ср(х) называют
общую часть областей определения функций ЛК) и (р(х).
Рассматривают и другие неравенства с переменной х:
Неравенства с одной переменной
287
Лх) > (РФС), Лх) 2 сРФС), ЛК) Ё (РФС)-
Решением неравенство с одной переменной называют такое
значение этой переменной, при котором оно обращается в
верное числовое неравенство.
Решить неравенство с одной переменной -- значит найти
множество всех его решений или показать, что неравенство не
имеет решений.
Два неравенства называют равносильными, если множества
их решений совпадают. Равносильными считаются и нера-
венства, не имеющие решений.
Основная идея решения неравенства состоит в следую-
Щем: Данное неравенство заменяют другим, более простым,
но равносильным исходному. Такую замену иногда приходит-
ся делать несколько раз, пока не получится неравенство, рав-
носильное данному, решение которого находится очевидным
образом. Подобная замена чаще всего производится на осно-
вании приведенных ниже теорем.
Теорема 7.1. Неравенства Лх) < (р(х) и Лх) > ср(х) ров-
носильны.
Теорема 7.2. Нерввенства І(х) < (р(х) и І(х)+ 3(х) <
< ср(х) +3(х) равносильны, если 3(х) имеет смысл в области оп-
ределения неравенство 1”(х) < ф(х).
Отметим, что в данном случае равносильны неравенства
1”(х) < их) +в(х) и 1”(х) - их) < (их).
Те о ре Ма 7.3. Неравенстви [(х) < (р(х) и [(х)3(х) <
< Ф(х)3(х) равносильны, Іесли 306) > 0 для всех значений х из об~
лости определения неравенства Ґ(х) < ср(х).
_
В частности, для любого положительного числа с равно-
сильны неравенства І(х)<(р(х) и сў(х)<с<р(х), а также
их)<их)И 1”(х)<Ш),
с
с
Теорема 7.4. Неровенствв [(х) <: ср(х) и /(х)8(х) 3>
> (р(х)3(х) равносилвны, если 3(х) < 0 для всехх из области оп-
ределения неравенства 1” (х) < (р(х).
288
нЕРАвЕнствА
В частности, для любого отрицательного числа а равно-
сильны неравенства 1”(х)<<р(х) и аІ(х)>а(р(х), а также
дхжфш И їОСДЖФОС)і
П
а
Замечание. Неравенство ЖЖ)<(РОС) можно привести к виду
вы)<о.
(7.2)
› Действительно, прибавив -(р(х) к обеим частям неравенс-
тва І(х)<<р(х) и обозначив Р(х)=]“(х)-<р(ї), получим неравентц
ство (7.2). 4
а
7.3. линвиныв нвРАввнствА
с одной пвРвМвнноЙ
Линейным неравенством с одной переменной называют нера-
венство вида
`
ах+д<сх+єі.
(7.3)
С помощью свойств неравенств, выраженных теоремами
7.1-7.4, неравенство (7.3) можно записать так:
Ах<В.
(7.4)
Если А > 0, то, разделив почленно неравенство (7.4) на А,
получим решение этого Неравенства: х< В/А. Если А<0,
то, разделив почленно неравенство (7.4) на А, получим реше-
ние х > Б/ А. Если А = 0, В > 0, то неравенству (7.4) удовлет-
воряет любое *значение х (неравенство имеет бесконечное
множество решений). Если А = О и ВЅО, то неравенство
(7.4) решений не имеет.
В случае, когда коэффициенты неравенства (7.3) выража-
Ются дробными рациональными числами, целесообразно при-
вести его сначала к нераве-нству с целыми коэффициентами.
При решении неравенств первой степени с одной пере-
менной следует:
І) члены, содержащие переменную, перенести в одну часть
неравенства, а члены, не содержащие переменную, в другую
его часть и привести подобные слагаемые, т. е. привести нера~
венство к виду (7 .4);
Линейные неравенства с одной переменной
289
2) разделить обе Части неравенства на коэффициент при
переменной, если он не равен нулю; если коэффициент при
переменной равен нулю, т. е. Получено одно из неравенств
0-х > В или 0- х < В, то нужно выяснить, является ли нера-
венство верным при любом значении переменной или оно не
имеет решений.
Примеры
1. Решить неравенство 2(х«-1)+3(2х +4) < 4(х +7) +6.
› Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
2х-~2+6х+12 <4х+28 +6 4:>8х +10 <4х +34.
Переносим 10 со знаком «минус» в правую Часть неравенс-
тва, а 4х со знаком «минус»
-
в левую его часть:
8х-4х< 34-10 ф4х <24.
Разделив обе части последнего неравенства на 4, получим
х<6.
Итак, множеством решений последнего неравенства, а
также первоначального неравенства являются все числа про-
межутка (-ФФ, 6). 4
2. Решить неравенство
5-17
+8
9х-х+2-(х )>(х )+5.
3
2
6
І› Умножим обе части неравенства на 6 и преобразуем его:
54х-2(х+ 2)- 15(х--1) > 7(х+8)+30 <=> 54х-2х-4
--15х+
+15 > 7х+56+30<э 37х+11> 7х+86 с: 37х-7х> 86 -
- ІІ фЗОх >75 смс >75/30 <:.~>х >2,5.
Таким образом, множеством решений данного неравен-
ства является промежуток (2,5, +сю). 4
х-Ішх+2 х~2 х
3. Решить неравенство
>
ны.
3
4
123
› Умножнм обе части неравенства на 12 и преобразуем его:
4(х-1)-3(х+2)>х-2 -4хс>4х-4 -3х-6> х-2-4х<:>
е:>4х-Зх-х+4х>-2+4 +6 <:Ь4х>8 ых>2.
Следовательно, решение Данного неравенства -- бесконеччч
ный интервал (23 +ьв)_ 4
290
нЕРА вена твд
Задачй
Решите неравенства.
х+3 4х-б х-З 4х_6
+
<
+
.
7
3
3
7
21х+3 4х+5 х~3 4х-5
*
о
--
<
+
*_
9
7
7
9
3 2х+3 6х+5 6х-5 2х-3
.
+
<
-
.
*5
3
5
3
4 6х+4 3х+1 6х-4 Зх-І
-
<
+
7
3
3
7
5›3х+4+5х+6<3хч4+5хд6.
1.
6. х+2~<6х+5><х~2+6х75.
7 5х+4 2х+3 2х-з' 5х-4
-
+
<
__.
7
5
7
5
6х+4 +ы5х+ 1 < ЅХЧІ -(6х-4).
х-Ъ
х-2 х-З
>
_ ___. _-
2
4в
10, ї_3[5х_3:ї(_ї:_52]> “3.12
з
4
24
п тх+п _рх+с;<тх-п рх-г;
а+Ь
а-Ь
а-Ь
а+Ьр
9. х-
Ответы
1. (-м, -0,5). 2. (19/33, +00). з. (-ш, -17/14). 4. (2/3, +ш).
5- (-ш, -10). 6. (-7/27, +00). 7. (т, -7/16). в. (то, 5/28).
9. (-1,2,+с><›). 10. (_ш, 0,5). 11. х>(пад9Ь)/(тЬ+ра), если
(ад - Ь2)(тд+ ра) > о; х< (На- «гы/(тм ра), если (а2 - Ь2)><
><(тЬ+ ра) < 0.
"
Системы линейных неравенств
291
7.4. системы линейных НвРАввнств.
нвРАввНствА, сводящився к систвмАм
нвРАввнств
Будем рассматривать системы линейных неравенств вида
сх+аІ>0,
аїх+Ь2<0”
ах+Ь>0,
ах+Ь>0,
а'х+Ь'>0”
сх+сі<0,
а3х+Ь3 >0
ит.п.
Решением системы неравенств называют такое значение
переменной, при котором каждое из них обращается в верное
числовое неравенство.
К простейшим системам линейных неравенств относятся
следующие:
*
'
х>щ
х>щ
х<щ
7.5
х<й
х>Д
х<д
()
К системам линейных неравенств сводится и решение не!н
равенств вида:
(ах+Ь)(сх+сі) > 0, (ах+1›)(сх +а') < 0,
(7.6)
ах+Ь
ах+Ь
,
0 -н-ч О,
.
ех+сі > а сх+єі <
(7 7)
гдеа,Ь,с,а'
-
действительные числа.
Например, первое из неравенств (7.6) верно при тех и
только тех значениях переменной х, которые удовлетворяют
хотя бы одной из систем неравенств:
{ах+Ь> 0, {ех+Ь> 0,
(7.3)
сх+сі>0,
світі-(0,
тїе. совокупности систем неравенств (7.8), так как произведе-
ние двух множителей положительно тогда и только тогда, ког-
да множители одного знака, т. е. оба положительны или оба
отрицательны. Второе из неравенств (7.6) верно при тех и
только тех значениях переменной, которые удовлетворяют со~
вокупности систем неравенств
292
нЕРА вєнствд
(7.9)
ах+д>0,
ах+Ь<0,
сх+єі<0,
сх+сі>0,
так как произведение двух множителей отрицательно тогда и
только тогда, когда множители имеют разные знаки. Значе-
ние дроби положительно тогда и только тогда, когда ее числи-
тель и знаменатель имеют одинаковые знаки, поэтому первое
из неравенств (7.7) верно при тех и только тек значениях пе-
ременной х, которые удовлетворяют хотя бы одной из систем
(7.8). Значение дроби отрицательно тогда и только тогда, ког-
да ее*п числитель и знаменатель имеют разные знаки. Значит,
второе из неравенств (7.7) верно при тех и только тех значени-
ях переменной, которые удовлетворяют хотя бы одной из сис-
тем (7.9).
Примеры
1. Решить систему неравенств
4х-18 > 0, 5х+16 > О, 3х-20 <0.
› Данная система равносильна системе
х>9/2, х>-16/5, х<20/3,
которая в свою очередь равносильна системе двух нера-
венств х>9/2, х<20/3. Ее решением является интервал
(9/2, 20/ 3). Итак, решением исходной системы является ин-
тервал (9/2, 20/3). 4
2. Решить двойное неравенство -5 < 3 - 4х < 7.
› Двойное неравенство представляет собой иную запись
системы
неравенств:
З-4х> -5, 3-4х<:7 <:>8 > 4х,
~4х < 4 <:> х <: 2, х > -1. Решение данного неравенства ч- ин*
тервал (--1, 2). 4
'к
3. Решить неравенство (3х-7)(2х+19) > 0.
› Решением данного неравенства будут те значения пере-
менной х, которые удовлетворяют хотя бы одной из систем
неравенств:
3х-7:>0, 3Х-7<0,
2х+19>0, 2х+19<0.
Системы линейных неравенств
293
Первая из данных систем равносильна системе х>7/3,
х > ч*19/2 и имеет решение х > 7/3. Вторая система равно-
сильна системе х>7/3, х< -19/2; она имеет решение
х <: -19/2. Решением исходного неравенства будут все зна-
чения х, принадлежащие нромежутку (-сю, --19/2) и
(7/3, +00). 4
4. Решить неравенство
>1.
2-~ х
› Здесь нежелательно умножать обе Части неравенства на
2 - х, так как неизвестно, каким числом, положительным или
отрицательным, оно является. Перенесем единицу со знаком
«минус» в левую часть неравенства и преобразуем ее:
х-1_1 _>0э 2х-3
2~х
-
2~х
>0.
Решениями последнего неравенства будут только решения
следуюших двух систем:
2х-3>0, 2х-3<0,
Ґ 2-х>0, 2~х<о
Первой системе удовлетворяют все значения х, заключен-
ные между 3/2 и 2. Вторая система не имеет ни одного реше-
ния. Следовательно, исходное неравенство имеет решение
3/2 < х < 2, т. е. интервал (3/2, 2).
Задачи
Решите системы неравенств.
1 2х~ЦЮ4Ь 2 2х-З>Ц
3 З+х54+2щ
27~х>Ц
1-х>0.
ЕМ~3<4хеЪ
х...1<,0э
х-1>0,
3+х<4+2х,
4- х-2<О,
5~ х-2>0,
6~ 5х~3<4х~1,
х-7<&
х~7>а
7+2х>6+3и
Решите неравенства.
х-'І
_
2
2
7.
-_ - - >0. 8. (х-І)(2-х)>0. 9. (х+[) >(х+2) _
294
НЕРАвЕНс твА
2
10. (х-І)(2-х)(х-З)2>0. 11. (х-1)(2-х)(х--32-] >0.
12. (хщ1)(2-х)>5(х-1).
13. (х+з)(2х+2)(х-4)2(5~х) >0.
37~2х
<3х~8ых
14.
+9._
3
Ответы
1. 5<х<27. 2. Нет решений. З.
- 1$х<2. 4. х<1.
5. 2<х<7. 6.
~1<х<1. 7. 1<х<2. 8- (1, 2). 9. х>-1,5.
10. 1<х<2. 11. (1, 2), хгЬЗ/2. 12. Х<1 и І>7. 13. І<~31
~1<х<4, 4<х<5.14. [56, +00)-
7.5. нвРАввнствА второй ствнвни
с одной пвРвмвнноЙ
Нераеенстеом второй степени с одной переменной называют
неравенство вида
ах2+Ьх+с>0 или ах2+Ьх+с<0.
(7.10)
При решении неравенств (7.10) используют свойства квад-
ратичной функции у = ахз + Ьх+ с и особенности ее графика
в зависимости . от коэффициента а и дискриминанта
о±д2~4ас.
Рассмотрим случаи, когда о > 0 и а < 0.
При а>0 графиком функции у=ах2 +Ьх+с является
«восходящая» парабола (ветвь параболы направлена вверх).
При В>0 уравнение ах2+ох+с=0 имеетдва различных
действительных корня х! и х2 (будем считать, Что х; < х2) и
график функции у =: ах2 + ох + с пересекает ось Ох в точках хІ
их2.Следовательно, ах2+Ьх+с>0 Прих<х1 или х>х2_;
ах2 +ох+с< 0 при х1<х<х2 (рис. 7.3, а). Если В = 0Э то
уравнение ах2 + Ьх+с = О имеет два равных действительных
корня х] = 2:2. Графиком функции у === ах2 + Ьх + с является на-
рабола, расположенная выше оси Ох и касающаяся ее в точке
Неравонотва второй степени о одной переменной
295
х:хд.Вэтомслучае ох2+Ьх+с>0 привсехх,кромех=хі,
неравенство 0.262 +17х+€<0 решений не имеет (рис. 7.3, б).
При В < 0 уравнение ох2 + Ьх+ с == 0 не имеет Действитель-
ных корней. График функции у'-"-І ШСЁ +1Ж +6 не пересекает
ось Ох и целиком расположен выше оси абсцисс (рис. 7.3, в).
В этом случае ах2 +Ьх+с> 0 при всех х, решением данного
неравенства будет бесконечный промежуток (-ш, +00). Не-
равенство ох2 + ох +с < О решений не имеет.
о
д
д
Ул
Уд
их
С
а
2
:
4
4
'
к
у
'
3
:
1
Э
т
и
Рис.7 .3
“М
При о < 0 графиком функции у 2 ох2 + Ьх +с является
«нисходящая парабола» (ветвь параболы направлена вниз).
Если В > 0, график функции у = 0162 + Ьх + С пересекает
ось Ох в двух различных точках х1 и х2, где хІ и х2 - корни урав-
нения ах2 +Ьх+с= 0 (Х1< х2)- В этом случае ах2 +Ьх+с< 0
при х1<х2 или х>х2, ох2 +Ьх+с?0 при х1<х<х2.
При В=10 графикфункции у=ох2 +Ьх+с касается оси
Ох в точке хї, где хІ -- кратный корень (х, == х2) уравнения
ах2 + Ьх+е = О, все остальные точки параболы лежат ниже
этой оси. Следовательно, ах? + Ьх +с < 0 при всех х 42 л1 . Ре-
шением неравенства ох2 +Ьх+с< 0 являются все действи-
тельные числа, кроме х = х1. Неравенство ох2 + Ьх+ с > 0 ре-
Шений не имеет.
І Если В<О, графикфункции уШох2+Ьх+с не пересека-
ет ось Ох, он расположен целиком ниже этой оси. Таким об-
296
НЕРАвЕНс твА
разом, ах2 +Ьх+с< 0 при любом х; решением неравенства
ах2 +Ьх+с< 0 служит интервал (ща, +=›=›). Неравенство
ах2 + Ьх+ с > 0 решений не имеет.
а
Нм
і
и
их
х
х0
БГ
/\
Рис.7 .4
Рассмотренные случаи изображены на рис. 7.4, а'-п в.
Примеры
1. Решить неравенство х2 Ь 9х+ 14 > 0.
› В данном случае
а=1,Ь=~9,с=14,а>0, в=а2ф4ас=25>а
Уравнение х2 Щ9х+14 =0 имеет два различных действи-
тельныхкорни: х1 =2, х2 =7. Вточках х:1 =2,1:2І=7 график
фУНКЦииу=2:2-9х+14 пересекаетосьОх; у>0 при х<2
и х>7. Значит, х2 ~9х+14>0 при х<2 и х> 7. 4
2. Решить неравенство 2х2 -5х+ 7 < 0.
› Так как Д:25+~~56<О, то уравнение 2х2-5х+7 =0 не
имеет
действительных
корней. График функции
у = 2х2 - 5х + 7 не пересекает ось Ох, он целиком расположен
выше оси Ох, у > 0 при всех х. Значит, 2х2 Р-5.т:+7 > 0 для
любого х. Следовательно, неравенство 2х2 -5х+7 < 0 реше-
ний не имеет. 4
3. Решить неравенство х2 - 7х +12 <: О.
_
› Поскольку В = 49 -48 > 0, то уравнение х2
-
7х+12=0
имеет два различных действительных корня х; = 3, х2 = 4.
График функции у = х2 - 7х+ Ю пересекает ось Ох в точках
Нерееенотее второй степени с одной переменной
297
хІ=3, х2=4, причем у<О при 3<х<4. Итак,решением
неравенства х2 - 7х + 12 < 0 являются все значения х из интер~
вала (3, 4). 4
4. Решить неравенство 9х2 -12х +4 > 0.
› Уравнение 9х2 -12х+4 = 0 Имеет два равных действи-
тельных корня х] = хз = 2/3, поскольку В = 02 График фун~
кции у=9х2-12х+4 касаетсяосиОхвточкех=2/3.Всеос-
тальные точки графика расположены выше этой оси, т. е.
у > О при всех х в: 2/3. Следовательно, 9х2 Н12х+4 > 0 при
всехх,кромех=2/3.4
5. Решить неравенство 4х2 - 4х+1 5 0.
› Таккак В=16-16=0, тоуравнение <4х2-4х+1=0 име~
ет два равных действительных корня х1 = х2 = 0,5. График
функции у = 4х2 -4х+1 касается оси абсцисс в точке х = 0,5.
Таким образом, неравенство 4х2 -4х+1$ 0 верно лишь при
х ї 0,5. Решением данного неравенства является число х = 0,5. 4
6. Решить неравенство -2х2 +7х -6 > О.
› Поскольку В = 49 -48 > 0, то квадратное уравнение
-2х2 +7х-6 = 0
имеет два действительных
корня:
х1 = 1,5, х2 = 2. График функции у = -2х2 +7х-6 пересекает
осьОхвточкахх1:1,5, х2=2, причему>0 при1,5<х<2.
Следовательно, решением данного неравенства служит ин-
тервал (1,5, 2). 4
7. Решить неравенство -Зх2 + 5х - 8<0.
› Уравнение -Зх2 + 5х -~ 8 = 0 не имеет действительных
корней, так как 1) = 25 -96 < 0, График функции
у = н-3х2 +5х-8 не пересекает ось Ох, он целиком располо-
жен ниіке этой оси. Следовательно, -Зх2 +5х-8<0 при всех
х. Решением данного неравенства является бесконечный ин-
ТЄрВаЛ (-ев, +ев)_ 4
Задачи
Решите неравенства.
1. хї ~ех+15> о.
21-,8 +8х~15>е
298
НЕРА вєнс ТВА
*3. х2-5х+4>о.
4. 6х2-5х+1>0.
5. х2-4х+5>0.
6. х2е4х+4>0.
7. 6х2-29х+30<0.
з. ц:г›,›т:2+5ас+2>0.
9. (х- 2)3(х+1)(х-1)2(х2 +2х+5> <0.
10. 7х;12“х2 <о.
11. Ши.
2); Ьгрхчз
х +3х+2
Ответы
1. х<3 и х>5. 2. 3<х<5. З. х<1и х>4. 4. х<1/3 их>1/2.
5. (-ш, +ш). 6. Все значения х, кроме х= 2.7. (3/2, 10/3). 8. (-1/3, 2)..
9* (_191)э(132)10' (чт: _1)› (3/2, 3): (4: +°°)'11'(_ш*
_2), (_1* О).
'7.6. нвРАввнствА, содвРжАщив пвРвмвннуІо
под знАком модуля
Рассмотрим неравенство
|х|<ь.
(7.11)
Если Ь>0, то, согласно определению модуля действи~
тельного числа, неравенству (7.11) удовлетворяют все значе-
ния х из интервала (-Ь, Ь) (рис. 7.5, а), т. е.
-Ь<х<Ь.
(7.12)
Если Ь Ѕ О, то неравенство (7.11) решений не имеет.
Рассмотрим неравенство
[х-а|<1›.
(7.13)
Обозначим разность х - а Через и, т. е. и === х - а, тогда не-
равенство' (7.13) примет вид |и| < Ь. Это неравенство вида
(7.11), поэтому при Ь> 0 получаем -Ь< и <: Ь или
"Ь < х да < Ь. Прибавляя а ко всем частям неравенства, нахо-
дим, что
а-»Ь<:х<:а+Ь.
(7,14)
Итак, при Ь > 0 решения неравенства (7.13) образуют ин-
тервал (а-Ь, а+Ь) (рис. 7.5, б).
Если д її 0, то неравенство (7.13) решений не имеет.
Рассмотрим неравенство
~
|х|>Ь.
(7.15)
Неравенстве с переменной под знаком модуля
299
а
і
*Ь
0
Ь
х
6'
Н-д
0
(Нд х
Рис.7 .5
Из определения модуля действительного Числа следует,
Что при Ьг 0 неравенству (7.15) удовлетворяют все значения
х, для которых -х>Ь и х> Ь, т. е. х<-Ь и х>Ь.
Решением неравенства (7.15) является объединение двух
интервалов (-оо, -Ь) и (Ь, +00) (рис. 7.6, а).
Если Ь <: 0, то неравенству (7.15) удовлетворяет любое знаг
Чение х, его решение -- множество всех действительных чи»
сел, т. е. бесконечный интервал (ем, +00),
а
а
Ы.И
__
_
й*
~Ь
С?
Ь
х
0
а-Ь
а
ачд
х
Рис.7.6
Рассмотрим неравенство
Іх~а|>Ь.
(7.16)
Из определения модуля действительного числа следует,
Что при Ь 2 0 неравенству (7.16) удовлетворяют те значения х,
для которых -(х-е)>Ь и хпа>Ь, т. е. х-е<:-Ьп и
х-а>Ь, откуда
х<а-Ь их>а+Ь.
(7.17)
Первое из неравенств (7.17) определяет интервал
(-ее, дед), а второе -- интервал (д+1›, +ФФ). Объединение
этих двух интервалов (рис. 7.6, б) является решением нера-
венства (7.16).
Если Ь <: 0, то неравенству (7.16) удовлетворяет любое зна-
Чение х; решение этого неравенства в Данном случае -- мно-н
Жество всех действительных чисел, т. е. промежуток
(_шэ '#ічшш)І
300
НЕРАвЕНсТвА
При решении неравенств, содержащих переменную под
знаком модуля, следует иметь в виду, что на множестве опре-
деления функций у”(х) и (р(х):
1) неравенство І 1”(х)| <: а, где а> 0, равносильно двойно-
му неравенству -а < І(х) < а;
2) неравенство [10(х)| < а не имеет решений, если а 5 0;
3) неравенство ії(х)| `>а, если а>0, равносильно сово-
купности двух неравенств: і(х) > а и Лх) < -Щ
4) неравенство ІІ(х)| > а, где аЅ 0, справедливо при всех
значениях х, входящих в область определения функции ЛК);
5) неравенство 1І(х)| > (р(х) равносильно совокупности
двух неравенств і (х)> (р(х) и Ґ (х)< -ср (х); .
6) неравенство 110(ЭФІ < (РОС) равносильно системе нера-
венств
усе) > -чххх
1”(х) < (их)-
Примеры
1. Решить неравенство |х -11 < 7.
ў Это неравенство вида (7.13). ЕМУ Удовлетворяют те значе-
ниях,длякоторых -7<х-1<7 или -6<х<8.Решением
неравенства является интервал (6, 8). 4
2. Решить неравенство |2х-1|> 5.
ў Данное неравенство равносильно совокупности двух не-
равенств: 2х-І>5 и2х-1<-5, откуда х>З их<-2. Ре-
шение неравенства
-
объединение двух интервалов: (-ФФ, -2)
И (3, +00). 4
3. Решить неравенство |х- 2| > х+ 3.
› Данное неравенство равносильно совокупности двух не-
равенств: х-2 > х+3 и х-2 < -(х+3), откуда 0> 5 и
х < - 1/2. Так как неравенство 0 > 5 не имеет смысла, то
х<-1/2
-
решение неравенства. 4
Неравенотва с переменной под знаком модуля
301
4. Решить неравенство Іх-1|+|х-2[>З+х.
› Данное неравенство можно решить с помощью «раскры-
тия» модулей на непересекаюшихся промежутках. Отметим
на Числовой прямой значения х, при которых выражения х -- 1
и х - 2, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, т. е.
х, = 1 и х2 = 2. Эти точки разбивают числовую прямую на три
промежутка: х22, 1Ѕ,х<2, х<1 (рис.7.7).
Ш
Ц
І
___
г-
7
1
2
Х
Рис-?7
Рассматривая х последовательно на Каждом промежутке,
получаем, Что данное неравенство равносильно совокупности
трех систем неравенств:
хгЪ
15х<2
(ха-1)+(х-2)>З+х,
(х-1)+(2-х)>3+х,
х<1,
(1-х)+(2-х)>3+х.
Решением первой системы служат все х > 6, вторая систе-
ма несовместна, множество решений третьей системы состо-
ит из всех х < 0. Значит, решением данного неравенства яв-
ляются два интервала: (-Фо, 0), (6, +00). 4
5. Решить неравенство |2х2 -9х +15І 2 20.
І› Сначала исследуем знак трехчлена 2х2 -9х +15. Посколь-
ку уравнение 2х2 - 9х +15 = 0 не имеет действительных кор-
ней (его Дискриминант В=81-120<0), то 2х2-9х+15:>0
при всех х. Значит, 2х2 -9х+ 15 = 2х2 -9х +15 и неравенство
принимает вид 2х2 Ш9х +15 2 20 или 2х2 - 9х ЬН5 2 0. Уравне-
ние 2х2 - 9х-5 = 0 имеет два действительных Корня: х, = -0,5
их2=5;следовательно, 2х2-9х~520 при х5-0,5 и х25.
Решением данного неравенства являются два промежутка:
(-ш, 0,51, [5, +Ш). 1
302
НЕРАвЕНсТвА
Задачи
Решите неравенства.
ъ|х_щ<7.
2]хтя>2.
З.. 2|х+11>х+4.
4. |х+2|+|х-З\>х+5.
5. |5н2х\+\зхг4|г2х+з.
в. |2х+5|-|зх_4|5.2х›-4.
7. Іх2_5х|<6`
3. х2-7х+12<[х~4|.
9- |х~6|>х2~5х+9.
10. (Іх_Ц _3)(ІХ+2|_5)<0-
Ответы
1. (ш4, 10). 2. (шт, 3), (7, +<×›). 3. (-ш, -2), (2, +00).
4. (-ы, 0), (6, +00). 5. (-ш, 6/7), (4, +оо). 6. (_5, «5/3), (13/3, +00).
7. (ы1, 2), (3, 6). з. (2, 4). 9. (1, 3). 10. (4, 2), (3, 4).
'7.7. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЬІЕ НЕРАВЕНСТВА
'”
Дробно-рациональньш называют неравенство вида
их)<,с или их)
(РОС)
(РОС)
где 1” (х) и (РОС)
-
многочлены степени п и т; Ки данное чис-
ло. Левая часть неравенства представляет отношение двух
многочленов, а правая ц известное число. Очевидно, что
множество решений дробно-рационального неравенства не
дошкно содержать корней многочлена Ф(х)_ -
Дробно-рациональное неравенство можно заменить рав-
носильным ему Целым неравенством с помощью следующей
теоремы.
>іс,
(7.18)
Лх) > 0, (р(х) ± О, равносильно
Ш)
((х)
неровенству ](х)(р(х) > 0, о неравенство 7-3- < 0
(рх
Теорема 7.5. Неравєнство
-~
неро-
венству ](х)ср(х) < 0.
При решении дробно-рациональных неравенств удобно
пользоваться следующей схемой:
Дробно-рациональные неравенства
303
Жх)
1) перенести все Члены неравенства
ш)
ФФ”
нІс>0;
(их)
2) в левой части полученного неравенства все члены при-
>А: влевую
ЧаСТЬІ
вести К общему знаменателю; в результате получится нера~
венство вида ш > 0;
Ф(х
3) дробное неравенство ЁЁ-Э -їё- > 0 заменить Целым, т. е. рав~
(рх
носильным ему неравенством 3(х)(р(х) > 0;
4) разложить левую часть полученного неравенства на
простейшие множители (если это возможно);
5) использовать метод интервалов для решения получен-
ного неравенства.
З а м е ч а н и е. Если числитель и знаменатель дробно-рациональ-
Лх)
Лх)
ного неравенства ---- > Іс или тет- < іс являются линейными фун-
Ф(х)
ФМ
нциями одной переменной, то данное неравенство называют дробле-
линейным неравенством.
_ж
Неравенство
> Іс, где а, Ь, с, а? -- заданные числа,
сх+
причем с ф 0, является дробно-линейным неравенством.
Примеры
1. Решить неравенство
<О.
3х-2
› Заменим дробно-линейное неравенство равносиль-
ным ему целым неравенством (х-5)(3х-2)<0. Точками
х1=5, хд =5 разобьем Числовую прямую на три интер-
вала:
(щш, 2/3), (2/3, 5), (5, +00). Если
х<2/3,
то
(х-5)(3х-2)>0; когда 2/3<х<5, то (х-5)(3х-2)<0; если
304
'
нЕРАвЕнс ТвА
х > 5, то (хт5)(3х “2) > 0. Следовательно, решением дан-
ного неравенства является интервал (2/3, 5). €
1
2. Решить неравенство тм- < 1.
х-1
› Преобразуем данное неравенство:
1
2н
-ттп4<0«а х<о
хҐ1
х ц-1
Заменяя полученное дробно-линейное неравенство нера-
венством (2-х)(х-1)<0, находим, что х<1 и х> 2. Реше-
нием исходного неравенства являются интервалы (-сю, 1) и
(2, +сю). 4
1
5
3. Решить неравенство
+
<1.
2-х 2+х
› Неравенство имеет смысл при всех х, кроме х = -2, х = 2.
Преобразуем Данное неравенство:
1
5
1
5
2+х+10-5х
+
<1е=>
+
- 1<04:›
--
2ых 2+х
2-х 2+х
4-х2
2
2_
_ 1<0ф12 4х Ё+х <0<Эх 4х2+8 <0ф
4-х
4-х
н›(4-х2)(х2_4х+з)<0.
Полученное неравенство равносильно совокупности двух
систем неравенств:
~
4-х2>0,
4-х2<0,
х2-4х+8<0,
х2-4х+8>0.
Первая система не имеет решений (так как х2 - 4х+ 8 > 0 -).
Второй системе удовлетворяют все значения х, для которых
х<-2 и х>2. Следовательно, (-сю, -2)ы(2, +<=<=) -- решение
исходного неравенства. 4
-х2+2х+15
4. Решить неравенство
,25>0.
х-
› Неравенство определено при всех х, кроме'х = 5/2. Пре-
образуем неравенство:
Дробно-рациональные неравенства
305
-х2 +2х+15
х2 -2х-15
>0<=>
<0<:›
2х-5
2х-5
азы -2хп15)(2х-5) <0.
Поскольку уравнение х2 Н2х~15= 0
имеет корни
х1=-3, х2 =5, то хЁ-2х-15=(х+3)(х-5); последнее не-
равенство принимает вид (х+3)(2х--5)(х-5) <0. Точками
х1 =-3, хд =5/2, хз =5 числовую ось разбиваем на четыре
интервала: (-сю, -3), (-3, 5/2), (5/2, 5), (5, +00) и исследу-
ем знак произведения Р(х)=(х+3)(2х-5)(х -5). Если
х<-3, то Р(х)<0; если -3<х<5/2, то Р(х)>0; если
5/2<х<5, то Р(х)<0; если х> 5, то Р(х)>0. Значит, ис-
ходное неравенство имеет решение (-сю, -3)ш(5/2, 5). 4
х2~7х+12
>
х2-11х+30
›3аменим данное дробно-рациональное неравенство
0.
5. Решить неравенство
ЦЄЛЬІМІ,
(х2 -7х+12)(х2 -11х+30) > о
и разложим его левую часть на простые МноЖители:
(х-3)(х-4)(х-5)(х -6) >0.
Применяя метод интервалов, выбираем те промежутки, где
поставлен знак «плюс» (рис. 7.8). Значения х из промежутков
(-ФФ; 3), (4, 5), (6, +00) образуют множество решений дан-
ного неравенства. 4
306
нЕРА ввнс твА
з
6. Решить неравенство їх Зх 1 > 0.
х2(1:2 -4)
› Заменим дробно-рациональное неравенство Целым:
(4.19 “эх-*вод ~4>х2 > о.
Поскольку
428 -зх-1=(х-1)(4х2+4х+1)=(х-1)(2х+1)2,
то неравенство принимает вид (х -1)(2х+1)2(х2 -4)х2 > 0.
Таккак х2>0 привсех хе*0, а (2х+1)2>0 привсех
х±-1/2, то неравенство (ЗС-ЩЖ2 -4)>0 равносильно
неравенству (х-І)(2х+1)2(х2 -4)х2>0 при всех х, кроме
х = 0 и х = и-1/2. Неравенство (х-І)(х2 -4)>0, или
(х-1)(х~2)(х +2) >0, Имеет решение (-2, 1)ы(2, +00). Ре-
шением исходного неравенства будет объединение промежут-
ков: (-2;и -1/2), (1/2, 0), (0, 1), (2, +00). 4
х3+15
7. Решить' неравенство
3
х+8
<2.
І› Неравенство не определено при х = *2.
Если х3+8>0, т. е. х>-2, то х3+15<2(х3+8), х3+15<
3
<2х3+16, х >-1, х>-1; неравенство верно при х>-1.
Если х3+8<0, т. е. х<-2, то х3+15>2(х3+8), х3+15>
3
>2х3+16, х <-1, х<-1; неравенство верно при х<-2.
Итак, (-ФФ, -2)ы(-1, +00) -~ решение неравенства. 4
х4 --~2х2 ы›25'›
<
2
.
0.
х +2х+1
8. Решить неравенство
› Неравенство не определено при х = - 1. Преобразуем ето:
Дробно-рациональныг неравенства
307
4_ 2_
4_'2_
х 2 2:” 8 <0<в х 2*: 2 8<0<а<х4 -2х2 щадхнў <0.,
х +2х+1
(х+1)
*
Так как (ха-1)2 > 0 при всех ха: -1, то х4 -2х2 -8< О.
Введем новую переменную у: х2, уг 0, тогда последнее
неравенство примет вид у2 - 2 у- 8 < 0. Поскольку уравнение
у2-2у-8 =0 имееткорни у1= -2, у2:4, то у2-2у-8<0
при -2< у<4. Таккак уҐеО, то 05у<4; значит, ОЅх2 <:4,
-2 <: х < 2. Из интервала (Р2, 2) следует искяпочнгь значение х= -1,
при котором неравенство не определено. Следовательно, решением
данного неравенства является (-2,
-1)ш(-1, 2). 4
х3 +4
1432
›Введем новую переменную у=~/х, у_>:0, тогда нера-
у6+4
1~еу
в
в
в
_
у +424<=>у +4_4 _>_0фу +4 4+4у
1-у
1-у
І-у
6
Ш,у +4у
1-у
(поскольку у5+4>0). Так как 3120, то неравенство
9. Решить неравенство
2: 4.
венство примет вид
2 4. Преобразуем это неравенство:
20<::>
гоф(1-у)у(у5+4)го<-_:>(1-у)уго
(1--у)у20 будет выполнено при у20 и 1-уЁ:0, откуда
05уїї.1,05х51.1.Посколькуприу=1(их= 1)неравенствоне
определено, то решением исходного неравенства является
полуинтервал {0, 1). 4
Задачи
Решите неравенства.
ІО-х
2І<3і
хп6<1'
'х+2 х~3
Ъ
308
`
нЕРд вЕнствА
3. 4-х>____1 __ _.
а'І1_І_л-~4>х--2'
х-Ѕ 1-х
х-З
х--1
2
2
5. 33; "Юх+3>0_
-
в. Ща.
х ~10х+25
х+1
1
3
4
2
7.
2-
2>0. а. Ща.
3х-2 -х
7х-4-3х
х2-4х-5
3__ 2
4
з
2_
9_ х х +х+150.
10. х +3): 1-4): 8<0І
х+8
х
4
3___
11. 5*: *120
12. 7): Ікз
зад
3-1;
2
13..ї__:їїіЁ<_1,
14. 33'*"`1<з.
х2~е1
х-З
Ответы
1. (дм, вида, +00). 2. (-4,5; -2). з. (1, это, 5).
4. (-ш, 245), (1, 3), (2+\/зї, +00). 5. (мы, 1/3)о(з, 5)о(5, +00).
в. (4,3). 7. (ню, -2), (4/3, 2). а., (-1,5). 9. (-а,11.
10. (-2, било, 1). 11.11,4). 12. [0, 11 , На. 13. ы, ооо; 2,5).
14. (-Фо, 4/3).
'7.8. ИРРАЦИОНАЛЬНЬІЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенство Называют иррациональньш, если входящие в
него функции содержат иррациональности.
Рассмотрим иррациональные неравенства вида
41%) < (РОС), \/1”(х)> Ф(х)-
(7-19)
При решении иррационального неравенства применяется
возведение в степень обеих его частей, которое может привес~
ти к появлению посторонних решений. Следует также пом-
нить, что рассматриваются только арифметические корни и
операция возведения в квадрат обеих частей неравенства воз-
можна лишь при условии, что обе части неравенства неотри-
Цательны.
Иррациональные неравенства
309
Для неравенства ,/]“(х_) < <р(х) необходимо, чтобы Дх) 2: 0
и (р(х) > 0. С учетом этих условий после возведения в Квадрат
обеих частей неравенства получаем систему, равносильную
данному неравенству:
""
'м
Лх)20,
4100:) < (р(х) <=> у (р(х) > 0,
(7.20)
,мочить
О знаке правой части неравенства Одх) > (р(х) ничего оп-
ределенного сказать нельзя, поэтому следует рассматривать в
отдельности два сл ая: (р(х) < 0 и ср(х) 2 0. В первом случае
неравенство у/Дх) > кр(х) выполняется Для всех х, таких, что
Лх) 2 О и (р(х) < 0. Во втором случае, учитывая, что обе час-
ти неравенства неотрицательные, возводят их в квадрат и по-
лучают систему, равносильнукі данному неравенству. Следо-
вательно, в этом случае
'ішга
(РОС) < 0,
Млр>иое или,
ПШ)
_доыит?
Для получения множества решений неравенства
Лх) > (р(х) следует объединить все решения каждой систе-
мы совокупности.
При решении иррациональных неравенствгбольшую роль
Играет определение ОДЗ; особенно существенно предвари-
тельное изучение знаков двух частей неравенства.
В некоторых случаях с помощью перехода к новой пере-
менной удается привести решение иррационального нера-
венства к решению соответствующего рационального неранп
венства.
При решении иррациональных неравенств,їг с параметрами
для различных значений параметра получаются различные
значения решений.
К числу простейших иррациональных неравенств относят*-
ся следующие:
31О
НЕРА БЕНС твА
1)×/Е>\;2)×/Е>--1;3)д<1;4)×/Е<-1.
Первое из них имеет решение Х > 1, полученное возведением
в квадрат обеих частей неравенства, которые являются поло-
жительными. ОДЗ второго неравенства х 2 0 является его ре»-
шением (при возведении в квадрат получили бы х > 1, поте-
ряли бы решение 0 5; х 51). Третье неравенство имеет реше-
ние 0 53 х < 1 (получено возведением в квадрат и с учетом
ОДЗ: х 2 0). Четвертое неравенство не имеет решений: левая
его часть неотрицательна, а правая _ отрицательна (при воз-
ведении в квадрат получили бы х < І или с учетом ОДЗ
05х<1
-
постороннее решение).
Примеры
І. Решить неравенство 4 х - 1 < 7
-
х.
›Данное неравенство равносильно системе неравенств:
г
Ґ
х-Ігц
хЁЬ
<7-х>0,
<==><х<7,
Ь1с-1<49 -14х+.х2,
Ьк2 -15х +50 >0.
'Э
Решением неравенства х* -15х+50 > 0 является объеди-
нение промежутков х<5, х>10, поэтому Множеством ре-
шений данного неравенства будет полуинтервал [1, 5). 4
2. Решить неравенство ухч- 2 > х.
›Так как правая часть неравенства может быть отрица-
тельной и неотрицательной, то данное неравенство равно-
сильно совокупности двух систем неравенств:
Ё{х+220,
Р-{)Сш>___. 2э
х<0э
х<0,
-
Ѕ
О
#х+2>х<:>
со
<=>2х<*сс
хЕО,
1-20,
05х<2,
н х+2>х2,
_
т1<х<2,
<=>-25х<2.
Итак, решением Данного неравенства служит полуинтер-
вал [-2, 2). 4
3. Решить неравенство \/1+ 2х - 4х+ 4 < 1.
Ёррациональ ные неравенства
311
ЬДанное неравенство преобразуем в равносильное нера-
венство: А`/1+ 2х <1+ «іхіг 4 , обе части которого неотрица-
тельны. Полученное неравенство равносильно системе нера-
венств:
Г
1+2х_>_0,
1
хгнщ,
< х+420,
4::
2
ее»
11+2х<1+20х+4 +х+4 , 2\іх+4 >х-4
4хЗ--,
Ъ ___
Г
г
1
ф хгшії
'ЕП 1:24,
щ х_>_4, І
“в
116420,
х2-12х<0 _0<х<12
4(х+4›>х2-8х+16
ЬЪ
і
1
<=>
2
<:>--Ѕх<12.
5
Следовательно, множество решений неравенства образует
полуинтервал [-0,5; 12). 1
4. Решить неравенство к) Зх - х2 < 4 - х.
І› Данное неравенство равносильно системе неравенств:
эх_3:2го,
х/Зх-х2<4-х<::><4-х>0,
<=>
Ь(ааа-дед) <(4 тх):
Ру.-(3._-х)_> _о,
сына,
ф<х<4,
'
фїїх<4з
їзх-хї <16~ах+х2
21.1 _11х +16 >а
312
НЕРАвЕНс твА
Множеством решений неравенства 2):2 -11х+16г> 0 сну-
жит бесконечный интервал (_ш, +°°)› так как а> 2,1) <0~
Решением исходного неравенства является отрезок [0, 31. <
х-7
5. Решить неравенство
2
<0.
\/4х ~19х+12
› НЄраБЄІ-ІСТВО раВНОСИЛЬНО СИСТЄМЄ НЄраВЄНСТБЁ
ц.
хщ7<0,
{х<7,
2
ее
4х -19х+12>0
х<0,75, х>4.
Последние неравенства получены следующим образом:
уравнение 4):2 -19х+12 =0 имеет корни х] = 3/4, 1:2 ш4,
поэтому 4):2 -19х+12 >0 при х < 3/4 и х >4. Из этих не-
равенств и неравенства х < 7 следует, что решением данно~
ГО НЄраВЄІ-ІСТВа ЯВЛЯЄТСЯ ОбЪЄДИНЄІ-ІИЄ ИНТЄрВаЛОВ
(_ш; 0,75) и (4, 7). 4
`
х+ х~2
6. Решить неравенство щ < 0.
х-1;-2
› Неравенство определено при х > 0 и х а: 4.
Поскольку
“МЕ-2:4; МЕ~МЕ+2МЁ-2=Л(Л-1)+2(Л-о=
=<×/Е41›<×/ї+2>, ї
*ддт-2:4; &+&-2~/;-2=×/Ё(`/5+1)щ2(~/;+1)=
=<Л+1><×Ьї~2ж
ТО ДаННОЄ НераВЄІ-ІС'ТВО раВІ-ІОСИЛЫ-ІО НЄраВЄНСТВу
(д-1)(×/;+2)< О ИЛИ (д-1)<\/;~2)(×/5+1)(×/Е+2>< 0.
фонд-2)
Таккак д+1>0, д+2>0, то
Иррациональные неравенства
І
313
Г~/;-1>-0,
'Р\/)_с>1,
{Л-2<0, у{~/Е<2,
л-1<0,:$ ды,
Ч{~/.;-2>0 Ь{~/;:=-2.
Первая система имеет решение 1< х < 4, вторая решений
не имеет. Итак, решением исходного неравенства является
интервал (1, 4). 4
(х-ІУ >хщ7
(з+мз+хў
› Неравенство определено при 8 + х в 0, т. е. х 2 -8.
<Л_1)(\/Е-2)<о=>
7. Решить неравенство
Если х-7
_< _ 0, то неравенство выполняется при всех х из
отрезка -8 Ѕ х 51. 7.
При х> 7, преобразовав левую Часть неравенства осво-
бонщением от иррациональности в знаменателе, получим:
(Ринат/зы? І (х-пїз-«з-гхў ___
(з+`із+х)2(3~а«а+хў ((3+1`в+хиз~4`із+хрг
І (х-1)2(3_\/8+х)2 2 (хт1)2(3~\/а+х)2 :(3Щд)2_
(9--8- -х)2
(1'Р-х)2
Следовательно, данное неравенство равносильно нера-
венству
(3-\/8+х)2>х-7,
откуда
9-6т/8+х+8+х>хч7, 648+х<24, 48+х <4,
8+х<16, х<8.
Из последнего неравенства и неравенств -8 5 х < 7 следу-
ет, что множеством решений исходного неравенства является
полуинтервал [-8, 8). 4
4
2
8. Решить неравенство [Х - 2х +1 > 1-х.
› Неравенство не выполняется при х2 Ё і, т. е. х = е1,. х = 1,
в чем можно убедиться непосредственно.
314
-
НЕРАвЕНствА
Так как
х4~2х2+1=<х2-1)2, `/о:-1)2 ==|х2~1|,
то неравенство равносильно неравенству \х2 --1\> 1 н-Х-
Если х2 <1, т. е.
- 1^<х<1, то Іх2-І*=-(х2-І)=-х2+1.
Неравенство принимает вид нмРэс2 +1>1-х,
х2-х<0,
х(1- х) < 0, откуда 0 < х < І; множество решений этого нера-
венства составляет интервал (0, 1).
Когда х2 >1, т. е. х<-1 и х>1, то іх2 -1|=:~с2 -1. Нора-
венство принимает вид х2 Ні > Іых, х +х--2 > 0. Уравне-
ние х2 +х-2: 0 имеет корни х! = -~2, хд = 1, поэтому
к2-х
-
2:›0 при х<-2 и х>І, т.е.неравенствовыполняет-
ся в интервалах (мы, Н2), (1, +оо).
Таким образом, решением данного неравенства является
объединение полученных интервалов:
(-СЮ, -2)ш(0, 1) ш(1, +00). 4
тҐ
9. Решить неравенства \/х2 -9х+ 20 Ѕ \/х-1 5 х/х2 - 13.
› Неравенетва определены при х2 - 9х+ 20 2 0, х -1 2: 0,
х2 #13 2 0. Уравнение
х2-9х+20==0
имеет корни
Х1=4,1'2 =5, поэтому х2-9х+2020при хЅ4и хЁїЭтим
условиям удовлетворяют и неравенства х-І 2. 0, х2 ~ 13 г: 0.
Поскольку рассматриваются арифметические корни, то
верны следующие преобразования системы неравенств, к ко-
торой сводятся данные неравенства:
и х/х2ш9х+20$`/х-1,
х2-9х+20Ѕх-1,
ы
<=>
Чх-ІЅухд-ІЗ
х”ї5х2"13
х2-1ох+21:0,
ных-*12204
Щ
Уравнение х2 -10х+ 21ш 0 имеет корни х] = 3, х; = 7, по-
этому х2--10х+21Ѕ0 при 35хЅ7. Корнями уравнения
х2 -- х-12 = 0 являются Числа Х] = Ь-3, х2 -**= 4,
поэтому
х2-х-1220 при хЅ~3 и х24.
Иррациональные неравенства
315
Тах как при х Ѕ -3 выражение Ш не определено, то
изполученныхнеравенств хЅ4, хЁ:5, 3ЅхЅ7, х24 сле-
дует, что множество решений исходных неравенств составля-
ют следующие значения х: х ї 4, 5 _<.Р х 5 '7.
10. Решить неравенство хіх2 -х +1 < (х -1)2 +х2.
›Отметим, Что иодхоренное выражение положительно
при всех значениях х; неравенство определено в интервале
(-ш, +ш). Преобразуя правую Часть неравенства, получаем:
(х-1)2 +19 ±х2 -2х+1+х2 =2х2 н"мы *1 =
=2<х2-х+1)-1.
СЛЄДОВЗ'ГЄЛЬНО, НЄраВЄІ-ІСТВО МОЖНО 3аПНСаТЬ ТаКІ
х/х2 -х+1< 2(х2'-х+ 1)-1.
Введем новую переменную Іпо формуле г=ух2 -х+1,
І> О; тогда последнее неравенство примет вид
г< 2:2 --1, 21'2 `-зг“-І> 0.
Уравнение 21*2 -1 -1.: О имеет Корни Ґ1 = -1/2, Ґ2 =1з
поэтому 21*2 -ї -І > 0 при *ї < -1/2 и І> 1. Возможен только
случай Ґ> 1 (поскольку ї> 0), т. е. \/х2 -х+1 > 1. Возведи в
Квадрат это неравенство, получим: х2 -х+1> 1, х2 -х > О,
х(х-1)>0, откуда х< 0 и х> 1. Следовательно, множес-
твом решений исходного неравенства является объединение
интервалов: (-ш, 0)ш(1, +0а), 4
11. Решить неравенство ц/а+\/; + ціа- х < Л.
›Это иррапиональное неравенство с параметром а. ОДЗ
определяется неравенствами а 2 0, 0 Ѕ х Ѕ 02 _
ВОЗВОДЯ ДаННОЄ НераВЄІ-ІСТВО В КВЕІДраТ, ПОЛУЧЕІЄМІ
а+×/;+2\/а+~/;~щ/а- х+а-\/;< 2,
2а+2 а2--х<:2, а+хіа2~х<1,
`
«ад -х <1-а.
(7.22)
316
І
НЕРАвЕ-'Нствд
Отсюда следует, что 1- а > О, т. е. а < 1. Возведем в квад-
рат неравенство (7.22):
аг-х<1-2а+а2, х>2а-1.
Если 2а -13_> О, т. е. а 21/2, то с учетом ОДЗ и неравенства
2а 2 2а- 1, которое следует из неравенства (ат-1)2 2 0, нако-
дим, что 2а-1<х$а2.
Вслучае,когда 2а-'1<0, т.е. а<1/2, суйетомОДЗиме-
ем05,х51:12.
Итак, ОЅхЅа2 при ОЅаЅІ/ЁЗ; 2::1-1<х$и2 при
1
_Ѕа<Ъ 4
2
12. Найти наибольшее Целое значение х, удовлетворяюшее
х+3
Ґ
~
неравенству
>0.
×/147+14хтх2
› Сначала решим неравенство:
х+3>Ц
х>-1
2
СФ2
ф
147+14х-х >0
х --14х-147 <0
х>--3,
х>-3,
0
<::›
ф
(х+7)(х-21)<0
-7 <х <21,
откуда -3 < х < 21. В интервале (-3, 21) наибольшим Целым
ЗНЕІЧЄНИЄМ х ЯВЛЯЄТСЯ ЧИСЛО ЗС = 20 1
13. Решить неравенство хх/ 10 -х2 2 х2 - 6.
›Иррациональнь1е неравенства, как и рациональные,
можно решать методом интервалов.
Рассматриваем функцию
ї(х)--х\110-х2-х2+6, определенную на отрезке
[-м, 11-61. Находим нули функции, для Чего решаем
уравнение:
хх/Ш-х2 -х2 +6±~0::>:+с\/10-х2 ==х2 -6 =>
=±›,›с2(10-х2)=х“'-12х2+зв=>2х442124446=0=ї~І
ььх4~11х2+1з=ш
'Ґ'
Иррациональные неравенства
317
х2 ц_11±\!121-7'%_11±'7
_
2
_
2”
х2=25 хзщ-Л, х4=Л_
Разбиваем отрезок [-х/їб, (16] на интервалы:
(-Ш «мы жди-#5, «5) оь/і, з) со, Л).
Исследуем знак функции Лх) в каждом интервале. Если
х е (тм,-3)ы(-3, ЛуАЗ, \/1_0),
то
Лх)<О;
если
псы-«5, Л)ы(\/ї, 3), то /(х) > О.
С учетом того, что Лх) 2 0, получаем х Є [-Л, 3]І 4
2
_
_
.
х =9, хІт-шз, х2-3,
Задачи
Решите иррациональные неравенства.
1. «БН-_б<х-6.
2. ш>2х-і.
3. 5х-х2-6<3+2х.
' 4.ты.
5.3Ш>4х-2.
6. х2~4х>х-3.
7. хї-х-12<х,
8. 46~х~х2<т.
9-х1х2-3х-10>х-2.
10. х3+3х+4>-2.
11.Ш>0'
12. 1
3>1
+
_
_
/4_рхз
х-1 ІхІ-і -І ІхІ-І
2
'і
Ох -16
5
4
1-Р~-----~~~ -+\1х~~3>~
.
14.
--
2тх<2-
хшЗ
ўх-З
#2Нх
Найдите целое значение х, удовлетворяющее системе неравенств.
15.{2х-1>х,
16. 3х-2>2х,
х+4>2х+Ъ
х+5>2х+Ъ
Найдите наибольшее значение х, удовлетворяюшее системе нера-
венств.
17. {5х-3>і+х,
18. {0,4(20-3х) <-11,
0,5-3х>2х/з-15.
0,8(0,5х-1)<7,2-
Решите иррациональные неравенства с параметром а.
19.20х+а>х+1.
20.4х-а2+×/;>2с1.
13.
818
неравенства
Ответы
1. (10, ноу 2. На) 3. [2, 3). 4. [20/9, 4)о<5, +в). 5, [_2, 21,
6. (Ще, 0)Ы(4,5,+=›°). 7. [4› +°°)« 8. (О, 21. 9. (-ФФ, 2)1_.1(14, +Ш).
10. 1-1, +00). 11. 1-1, -ё/ї). 12. (-Ш, -з)о(-1, 1›о(1,›+<›<›).
13 [5 +Фе] 14 (-Фо 2\/5_-4) Указание Положите г-П ї>0
15 х== 2 16 х: 3 17 и1::418 х:1919.1-2`/Б<х<1+2\/Е при
0<а_<.1; ~а5х<1+2~д при а>1. 20. 12202 при а<0; х>0 при
а=0; х=25а2/16 при а>0.
'7.9. ПОКАЗАТЕЛЬНЬІЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение показательных неравенств основано на свойствах
функции у = ах , а > 0, а и І: эта функция является возраста-
ющей,еслиа>1,иубывающей,если0<а<1.
На основании указанного свойства неравенство
ад” > ат)
(7.23)
на пересечении областей определения функций Лх) и (ИХ)
равносильно неравенству
их) > их)
(7-24)
при а > 1 и неравенству
Юг) < (их)
(7.25)
при0<а<1.
Аналогичным образом
Гих)>1,
мы) > их),
0<ІЩас)<1,
$001) < (их).
(атм > (ионы е
(7.26)
Рассмотрим неравенство
адЮ>Ь,а>о.
оао
Если Ь -<- 0, то решением неравенства будет любое значе-
ние х є Щі); если Ь :> 0, то данное неравенство равносильно
неравенству /(х) > ІоваЬ, когда а > 1, и неравенству
І(х)<103аЬ когдаО<а<1 Еслиа=1 тополучаемЧисловое
неравенство 1> Ь
и
Показательные неравенства
'
319
.. ._-
Неравенство
ат<ь, а:›0,
(7.28)
при ЬЅ 0 не имеет решений, а при Ь > О равносильно сово-
Купности систем неравенств:
'_ а>1,
{І(х) «11030 Ь,
{0<а< 1,
(7.29)
ь[1*`(х)>10,<=;|,, Ь.
Неравенство вида
Аатх)+ваш)+с>0(илиАат”+ваш)+с<о) (7.30)
с помощью подстановки
адх)<Ь<::›
ад” =у, у>0,
(то
сводится к квадратному неравенству
Ау2+Ву+С>О (или Ау2+Ву+С<0)
(7.32)
и получающейся в результате подстановки совокупности не-
равенств адх) > уІ, адх) < у2 или системе неравенств
а](х) < у1›
аїц) > у2э
где уІ > у2 Ы корни Квадратного трехчлена Ау2 + Ву +С .
К квадратным неравенствам сводятся также неравенства
вида
Ааїдх) + винт +сь2дх) г 0
7.33
(145121117) +В(ад)ї(х) +СЬ2Лх) ЅО)
(
)
И
Аадх) +вддх> +с го
(Аадх) + ваш) +с з о),
где ад=1;АВ;±0.
При решении показательных неравенств применяется
приведение обеих частей неравенства к одному основанию,
вынесение общего множителя за скобки, введение новой пеЩ
ременной.
(7.34)
320
нЕРАвЕнствА
Примеры
2х~+7
7х~3
2
5
1. Решить неравенство щ
>
-
.
5
2
-1
52
›Заметїим, что 5:- Е
, иперепишем данное неравенс-
2х-7
2 3-7х
тво в виде (-5)
>(Е] _ Учитывая, что основание
2/5<1, получаем 2х~7<3_7х или 9х<10, откуда х<І0/9.
Итак, множеством решений неравенства является интервал
(РМ, 10/9). 4
'Н
2. Решить неравенство 3-16х -+~2-81х їі 5 -36х.
Разделив обе части неравенства на 36х > 0, получим
З(і] +2(Ё] 5.5.
9
4
Х
› Введем новую переменную у по формуле у = (В) - Тог-
да неравенство примет вид 3у+2/у ЅЅ или Зуз -5у+2$ 0.
2
Решая квадратное неравенство, получаем їЅ уЅІ, откуда
2 4**
2
и
5 Ѕ 5 Ѕ 1. Поскольку ё- < 1, то двоиное неравенство
223”2О
_
5(_
5 (_) равносильно неравенствам 0 Ѕ. 2х 5 1, отку-
33)
3
Да О Ѕ х 5 1/2. Следовательно, решением исходного неравен-
ства служит отрезок [0, 0,51. 4
7
3. Решить неравенство (х - 2))“'_6“Т+8 > 1.
›Данное неравенство равносильно совокупности нера-
венств:
Показательные неравенства
321
ггг
Рх~2>Ь
х>1
>4
х2-бх+8>0,
[х_
Х>4а
с:
х<2
съ
0<х-2<Ь
2<х<ї
268О
2<х<3,
Ъх-х+ <
_ 2<х<4
'
Таким образом, значения Х > 4 и 2 < х < 3 образуют мно-
жество решений данного неравенства. 4
х
2(х-1) а_(хча)
4. Решить неравенство 4 -2
+8
> 52.
› Преобразуя левую часть неравенства, находим:
1
1
_
11
16-4+1
4хЧ--4х+~Н-4х>52, 4* 1“Ш+- >52,
*Щ
416
[416] 416>52е
4 >-і-:--,52 4х>43, х>3.
Следовательно, (3, +00) -- решение данного неравенства. 4
3(2х-7)
'
5. Решить неравенство [ї]
(и12,25){4х+1)/2 2 1.
і» Поскольку
2
4х+1
12д=125= ї) ї ,(шдяштт==ї
,
іюо 4*: 2
2
ТО НЄраВЄНСТВО МОЖНО ЗЗПИСЭТЬ ТаКЁ
3(2х-7)
4х+1
3<2х-7)-4±-1
2
1
21или(3]
2І,
7
2
7
ОТКУда 3(2х-7) -4х-1$0, 2ХЅ22, хЅІІ. Итак, решением
неравенства являются все значения х из полуинтервала
(_сюэ 111* 4
6. Найти наименьшее целое х, удовлетворяюшее неравенству
5х+2 *5х+1 > 2х+2 + 2х+4 _
› Преобразуя обе Части неравенства, получаем:
5х(25-5) > 2х(4+16) авг -20 >2х 20, 5Эс > 2х,
322
нЕРАвЕНс твА
откуда х > 0. Наименьшим Цельтм значением х, Удовлетворя-
ющим неравенству, является число х == 1. 4
7. Решить неравенство 4х - 2 -52х < 10х.
› Поскольку 52х > 0, то, разделив обе части неравенства на
ЅЁХ, получим:
2х
х
х
х
-2-
-
-2-
-2<0
или
-2- +1
-2-
-2 <0.
5
5
5
5
Так как (2/5)х +1 > 0, то данное неравенство равносильно
неравенству (2/5)х-2<0 или (0,4)х <2, откуда х>1030і42
(при основании, меньшем единицы, степень убывает с воз-
растанием показателя). Таким образом, решением данного
неравенства является интервал (1030,4 2, +сю). 4
6чд
1 (х-2хНі
1 1-х
8. Решить неравенство (5]
<(5] .
› Решая данное простейшее неравенство с основанием,
меньшим единицы, получаем, что оно равносильно неравенс-
тву (х6 --2эс3 +1)1/2 >1-х.
Так как
(х6_2х3+1)1/2э: (хз _1)2 _:'хз _1'!ъ
то остается решить неравенство 'к3 -ІІ > 1-х. Поскольку ле-
вая часть последнего неравенства не отрицательна, то при
1-х<0, т.е. х>1, оноудовлетворяется.
Далее рассматриваем значения х, для которых х: 1.
В данном случае х3 51, поэтому 'хз -1І=1-х3; имеем нера-
венство
1--х3 >1-х или х(х-~І)(х+1)<0.
Решая последнее неравенство методом интервалов, полу-
чаем, что оно справедливо для х < -1 и для х из интервала
0 < х < 1. Все эти значения х принадлежат рассматриваемому
Показательные неравенства
323
промежутку х 51, поэтому являются решениями исходного
неравенства.
Итак, исходное неравенство справедливо при х<~1,
0<х<Д х>Ъ4
Задачи
Решите'ПоказателЬные неравенства.
1х
1 І,Ѕх+2
1.[ч] +23*а9.
2. 4"х :(-]
.
12
2
з. ода-3.21*$-20-499:1996. 4. 2×+3-5^':;4.
5. еще-*5100.
в. 9*-3х+2>=3х-9.
111
7. (1,31ш54гїщёцгт<«\3/0,33х2+5х <1.
в. 0,52Л+2>3.0,5`д.
9. 25-2х~10х+5х>25.
10. 4×<2х+1+3.
11. 4×_2«52×<10Х.
12. 9х-10›3*+9<_=_0.
13. х3х+1>х×.
14. (1:2 +х+1>х <1.
15. |х|хдИ <1.
х
1 _хНІ
16_ [і] +(щ)
53.
17. 3х+І/2 +3х-«1/2 24х+І/2 __22дс-1І
2
2
18. 424:2 + 3Л+1+ х~ 36: < 2х2- 3Л+ 2х+ 6.
19. Найдите наибольшее целое х, Удовлетворяющее Неравенству
(ти/“5 > (0,3)4.
2х-І
20. Найдите положительные решения неравенства х 3-х < 1.
Ответы
1. [0, +ш). 2. [8э +Ш). з. (-т, 01. 4. (-ш, 01. 5. (-ш, 21.
в. (2,+<ю). 7.,(-2,-5/з)о(0,1/з). в. (0,+<×›). 9. (0, 2).
10. (-ш,103,3).
'11. (10%,342 +00). 12. (0, 21. 13. (1, +00).
14. (_Ш, -1).15. (1, 2›._16. [4,01. 17. (-ш;1,5).
18. [0, 10%;21щ15; +00). 19.х=5. 20. (0,5, ооо, +00).
324
НЕРд вЕНс твА
7.10. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
При решении логарифмических неравенств используют
свойства логарифмической функции, которая при основании,
большем единицы, монотоино возрастает, а при положитель-
ном основании, меньшем единицы; - монотонно убывает.
В связи с этим при а>1 неравенство 103а [(х)<:103а (р(х)
равносильно неравенству І (х) < <р(х), а при 0 < х <1 -- нера-
венству І(х) > ср(х) в области определения неравенства. Ана-
логично
Чи >1,
2
103,і(х)>103, (их) «в Лх) > МЮ”
(7.35)
0<а<Д
ЫЛХ) < (РОС)-
Рассмотрим неравенства вида:
103ф(х)ї(х)>0 (или Іоёфш Лх) <0 ),
Іоёфш Дх) > Іс (или 103ф(х){(х) </<),
где К Н- некоторое число. Решение Каждого из указанных не-
равенств сводится к решению совокупности двух систем нера-
венств, равносильной данному неравенству в области его оп-
ределения. При этом используется следующее с войство
логарифмов: логарифм положителен, если логарифмируе-
мое число и основание логарифма расположены по одну сто-
рону от единицы; логарифм отрицателен, если они располо-
жены по разные стороны от единицы. На основании этого
свойства неравенство
103,0, их) > о
(7.36)
раВНОСИЛЬНО СОВОКУПНОСТИ_СИСТЄМ НЄРЗВЄНСТВІ
{Ґ(Х)>1, {0<ї(Х)<1±ъ
Ф(х)>1, 0<(рос)<1з
(7.37)
а НЄрЕІВЄІ-ІСТВО
наш,дх)<о
(7.38)
раВНОСИЛЪНО СЛЄДУЮЩЁЙ ООВОКУПНОСТИ СИСТЄМ НераВЄНСТВЁ
Логарифмические неравенства
325
ПКР-1,
0<~1Г(Х)<15
0<(р(х)<1, (р(х)> 1.
(7.39)
Неравенство 108Ф<х1д10 > [С можно заменить неравенс-
к
твом Іовфш І(х) > 1034,, ,)(<р(х)) и использовать свойство мо-
нотонности логарифмической функции, поэтому
Трос) >1,
их) > (июл,
{0<(р(х)<1,
, 0<их)<(так,н
Р{(р(х) > 17
Ь
0<то)<школ,
{0 <(р(х) < 1,
их) > (Фоел.
При решении логарифмических неравенств существенно
нахождение ОДЗ неравенства.
іоёфш у”(х) > іс <=>
(7.40)
103ф(х){(х)< Іс со
(7.41)
К числу простейших логарифмических неравенств отно-
сится неравенство ІЁх > 0, решением которого является ин-
тервал (1, +00). Действительно, неравенство определено при
Іёх 2 0, откуда х 21. Поскольку при х = 1 левая часть нера-
венства равна нулю, то это значение решением не будет; оста-
етсях>1.
Примеры
1. Решить неравенство 1050,,(1:2 +1) < Іовш (2.1: --5).
› Так как основание логарифмов меньше единицы, то с
учетом ОДЗ данное неравенство равносильно системе
Ёх2+1>2х--5,
4х2+1>0,
2х-5>0
(_326
нЕРАвЕНствА
Первое неравенство х2 -2х+6 > О выполняется при лю-
бом х, поскольку дискриминант квадратного трекчлена отри-
цателен, а коэффициент при х положителен. Второе нера-
венство также всегда справедливо. Остается последнее нера-
венство, откуда х > 5/2.
Итак, решением неравенства является интервал (5/2, +00). 4
2. Решить неравенство 21031);2 х > 1031/2 х +-2-
-1 _.
1
› Поскольку 1= 1031/2 ї, то неравенство приводится к виду
х+3/2
103,, х2 > 103,,
или 103,,2 хї >103,,,(2х+3).
Так как основание логарифмов меньше единицы, то пос-
леднее неравенство равносильно неравенству х2 < 2х+ 3 или
х2 -2х-3 < 0. Решая это квадратное неравенство, находим
- -1 < х < 3, С учетом ОДЗ (х :> 0) получаем решение исходного
неравенства: 0 < х < 3. 4
5
3. Решить неравенство 103% х+ 31032 х 2 5103 4 Л 16.
› Поскольку (5/2) 10345 16: 4 то неравенство принимает
вид 1032 х+31032 х_> 4 Введем новую переменную у по фор-
муле у=1032 х Получим неравенство у 2+3у- 4 -> 0 Реше-
Нием этого квадратного неравенства будут все у 2 1, а также
все у Ѕ -4. Значит, исходное неравенство будет справедливо
при тех х, для которых 1032 х 21, откуда х 2 2, а также и при
тек х, для которых 1032 х Ѕ _4, откуда 0 < х Ѕ 2'4. Получен-
ные значения х принадлежат ОДЗ (х > 0). Следовательно, ре-
шением данного неравенства является объединение двух про-
межутков: (0,1/16] и [2, +00). 4
12_з +1
4. Решить неравенство Хв х [Зх > 1000.
› Прологарифмируем по основанию 10 и введем новую пе-
ременную по формуле у 2 13 х:
(132 хт313х+1)13х> 131000, 133 кт3132 х+13х>3,
1/3 ~3у2 +у>3, у3 ~3у2 +у-3> 0.
Логарифмические неравенства _
327
Разложим на множители левую часть неравенства: ~
уз -зуї +у-З = до2 +1›-з(у2 +1) = о* иду-3),
(у2 +1)(у -3) > 0-
Полученное произведение будет положительным, когда
у-З>0,илиу:=- 3, т.е.Іёх>3,откудах>1000.Итак,реше-
нием исходного неравенства служит интервал (1000, +Ш). 4
5. Решить неравенство
1031/3(хщ1)+1031/3(х+1)+103Л(5 -х) <І,
› Неравенство определено при х~1> О,
х+1>О и
5 -нх > 0: ОДЗ -- Интервал (1, 5). Так Как
1031/3(хщ1)+10Ё1/3(х+1)=10Ё1,3(х2-1), 1:10333,
то неравенство принимает вид
Іод<;1/3(х2 -1)+103Л(5 ~ х) <1033 3.
Воспользовавшись формулами:
103,/а Ь = ~103а Ь, 10,5;0.І Ь '=10ёй,.п от,
запишем неравенства так:
-юёдхї-тнтьёЗо-хў<1ьё33, я
._
откуда
2
(52-х)1 <3, 25-10х+х2 <3х2-3,
х
_
поскольку 2:2 -1 > 0.
Последнее неравенство преобразуем к виду
2):2 +10х-28>0 или х2+5х~14>0.
Это квадратное неравенство верно при х<-7 и х> 2.
Принимая во внимание ОДЗ, находим решение
-
интервал
(2,г 5). 4
6. Решить неравенство
-1
10331034 4х
<0.
-Іо Іо
х+1
х+1 Ёї/З 31/44хыі
с
Ь
› Использовав формулы ІоВІ/а Ь = ьдона Ь, 102.1. Е = -1020 Б,
Придадим неравенству вид
328
~
НЕРАВЕНСтвА
4х-1
4х-1
Іо 10
+10 Іо
<0
83 24 х+1
Ёз 34 х+1
или
4х-1
210 Іо
<0,
Ез Ё4 х+1
откуда
_1
4_
0<10344х
<1И1<хї`«<4.
х+1
х+1
Полученное двойное неравенство равносильно системам
неравенств:
_
Г_
Ґ___
1<4х 1,
4х І_1>0э
4х1х1>03
44 х1+1 фі4х+11 Сми, х1+14 4 Щ
хп <4,
х- -4<0,
х-шхн<0,
.х+1
ьх+1
,
х+1
Юхе2 О,
ф* х-ЅІ-І
..._:___<0
х+1
Второе неравенство последней системы верно при
х+1>0, а первое при этом условии принимает вид
3х-2 > О, откуда х > 3/2.
Итак, решением исходного неравенства является интервал
0,5; +=›<>). 4
7. Решить неравенство Іоёх; [436 _ 5 ] 2 _1.
|х-~ 2| 2
› ОДЗ данного неравенства определяется из условий
(4х_5)/|х~2|> О, и2 > 0, х2 #1, откуда х>5/4 и хаг 2. Но
для всех этих х имеем х2 > 1, поэтому неравенство по свойс-
тву логарифмов с основанием, большим единицы, равносиль-
но в ОДЗ следующему неравенству:
4х-5
и* 2І
Так как х и 2, то 1х-2\> 0; исходное неравенство в ОДЗ
равносильно неравенству
їх.
Логарифмическиа неравенства
329
4х-5 2 хІх-2і.
Рассмотримдваслучая: х>2 и5/45х<2.
Если
х>2,
то
неравенство
перепишем
так:
4хЁ-52х2
-
2х или х2 - бх + 5 5 0. Решением данного квад-
ратного неравенства являются все значения х из промежутка
ІЅ х`.<_ 5, а решением исходного неравенства в этом случае
будутвсехизпромежутка 2<хЅ5.
Если 5/4Ѕх<2,
то неравенство принимает вид
4х-52-х2+2х или х2+2х-520. Решением его будутвсе
значения х из промежугков х 2 «[6- -1 и х Ѕ -×/б -1. Решени-
ем же исходного неравенства в этом случае будут все значения
хиз промежутка х/б-І 5 х< 2.
Объединяя оба случая, получаем, Что решением исходного
неравенства являются все значения х из промежутков
[43+д2)и(а5у<
1+ Іодё х
8. Решить неравенство ___ -
1+ 103.ІІ х
› Это логарифмическое неравенство с параметром а. По-
ложим у = 1030 х, тогда неравенство примет вид
>1.
1+у2
1+у
>1.
Так как 1+ у2 > О, то 1+у > 0. Данное неравенство равно-
сильно системам:
'
2
-І >О,
<0, >1,
1+у >1+у,ф{у(у ) ф? у
1+у>а
у>-Ь
у>-Ъ
Получаем два интервала решений: -1< у < 0, у > І. Пос-
кольку у = 1о3 а х, то нужно рассмотреть два случая:
І)еслиа>1,тоІоЁШх
-
функция возрастающая; получа-
и1
ем Два интервала решении: - < х <1, х > а;
а
2) если же 0 < а < 1, то получаем Другие два интервала ре-
Ц
1
"
шении:1<х<-,0<х<а. 4
а
330
нЕРА вЕНс твА
Задачи
Решите логарифмические неравенства.
1. 10ЁХ+725>2
'2. 10Ё3(х2т4х+3)<1.
з. гододў + 6х+ з)>10д0,2(10+5х).
4. 210$8(х-2)-1038(х-3)>2/3.
5. шахт гл.
6. 10дхг(х2_4х+з)>1.
7.1.-
1Ґ<1,
8.-1+ 2 <1.
Іоддх 1032х41
5-13): 1+15х
9. 1% хыІ <0.
16. 10Ё3|х2_4х1+320.
2х+1
х2+|х-5\
11. х2“'~°ЁЁ *Щ *д -1/х > 0. 12. ьоё2_х(х П з) г тд5.
13. 10Ё,/3х>10ёх35-5/2.
14. шёмноёхишгро, 0<А<<ї.
15. 10ЁЁХ_10Ё$,2ї4-_201ё2х+148<о.
16. 103Ш(1034(х2 -5)) > О.
1Ё2х+21вх-6
х+1
хщ1
17.
>І.
18. 10 10
<іо [о -~_- .
Іёх
Ё2 ЁЗэ~с---1
Ею ЕЩх+1
`
19. (103х2)(1032х2›(10ё24х) >1. 20. хювах м.
Ответы
1. (-6,
2).
2. (-1, і)ы(3, 5).
3. (3, 4)ш(4, +=><±).
4. [2, +90). 5. (1, 4). 6. (-ш, -1)ы(0,75; 1). 7. (О, 1)ы(2, +ш).
з. (105, +00). 9. (то, _2)ы(0, ыыы, +60). 10. (т, два/этюд; 21.
11. (0, І/ЅШП, 2). 12. нет решений. 13. (о, вид/27, 9).
14. (о, ыыы/г, +00). 15. (1/16, маша, 16). 16. (46, з)щ-з, 45).
17. (0; о,оо1)ы(1,1оо). 13. (2, +00). 19. (2-45, 2“*)ы(1,2*д).
20. (0, а)ш(1/а, +00) при 0<а<1, (1/0, 1)Ы(1, а) при а>1.
Неравенства с двумя переменными
331
7.11. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЬІМИ
Нераеенстеем с двумя переменньши х и у называют нера-
венство вида
ЛИ) < мы) (или Ли) > Фосу) ),
(7.42)
где І(х, у) и (р(х, у)
-
выражения с указанными переменными.
Решением неравенства (7.42) называют упорядоченную па-
ру чисел (хе, уе), при подстановке которых в Данное нера~
венство получают верное числовое неравенство. В этом случае
говорят, что пара чисел (хо, уо) удовлетворяет данному нера-
венству.
Например, упорядоченная пара чисел (2, 1) является решением не-
равенства 3х+4у +6 <4х+5у+7, таккак З.2+4-1+6 <412 +5-1+7,
16<20.
Неравенство (7.42) можно записать в виде
Р(х,у)<0 (илиЩх,у)>0),
(7.43)
Решить неравенство
-
значит найти множество всех его
решений. Изображение множества решений неравенства с
двумя переменными есть некоторая фигура на плоскости.
Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными:
{і1(х,у) < (носу),
у](му)<0,
13(х,у)< чашу) И Мэру) > 0.
Решением системы неравенств называют упорядоченную
пару чисел (х0,у0), которая удовлетворяет каждому нера-
венству данной системы.
Примеры
І. Выяснить, что представляет собой множество решений
неравенства у > 2х +1.
› Как известно, графиком функции у = 2х+1 является
прямая. Выберем на этой прямой точку А (рис. 7.9) и прове-
дем через нее прямую І, параллельную оси Оу. Координаты
точки А удовлетворяют уравнению у = 2х+ 1. У любой точки
В, расположенной на прямой Івыше точки А, абсцисса та же,
Что и у точки А, а ордината больше, чем ордината точки А.
ё2
НЕРАвЕнс твА
Значит, ее координаты удовлетворяют неравенству у > 2х +1-
Координаты точки А и любой точки С, лежащей на прямой І
ниже точки А, этому неравенству не удовлетворяют. Вообще,
неравенству у > 21” +1 удовлетворяют координаты тех и толь-
ко тех точек плоскости, которые расположены выше прямой
у = 2х+ 1. Решением неравенства у > 2х+1 будет открытая
полуплоскость, расположенная выше прямой У = 21? +1
(рис. 7.9). 4
а
ё*Е
_! а_._.._,_
*
\0є
Х
Рис,7.9
Замечание 1. Аналогично можно показать, что множество ре-
шений неравенства у < 2х +1 есть открытая полуплоскость, распо-
ложенная ниже прямой у = 2х +1.
Замечание 2. Прямая у = іос+ Ь, где Іс и Ь _-
некоторые числа,
разбивает множество точек плоскости, не принадлежащей этой пря-
мой, на две открытые полуплоскости, одна из которых определена
неравенством у > іос + Ь, а другая Н неравенством У < ЁХ + д-
2. Множество решений неравенства х2 + у2 5: К2 есть круг
радиусом К с Центром в начале координат.
›Действительно, пусть М0(ї0›У0) _ любая точка указан-
ного круга (рис. 7.10). Обозначим длин о езка ОМО через
КО, тогда КО Ѕ К. Поскольку 120 = хё +уё , то неравенство
НО 5 К принимает вид
2“2
2
,Іхёыё кв или х0+у0 ЗК-
Значит, координаты точки МО удовлетворяют данному не-
равенству. 4
Неравенстееьс двумя переменными
333
уд
Рис. '7.10
З а м с ч ан и е. Неравенству х2 + у2 а> 122 удовлетворяют коорди-
наты всех точек Мое, , ух) плоскости, расположенных вне окружнос-
ти за:2 +у2 = 122 (рис. 7.11).
щ
н
ы
*
д
ь
і
*
Ґ
н
т
І
Рис.7.11
3. Неравенству у>х2 удовлетворяют координаты тех точек
плоскости, которые, расположены «внутри» параболы у=х2
(рис. 7.12).
ум
1П
ЁЦ,
щ ,1*
в
_;'7
Рис. 7 .12
4. Множество решений системы неравенств
х2+у2<9, у>х
представляет собой совокупность точек плоскости, расположенных
внутри круга, ограниченного окружность-ю х2 + у2 = 93 и выше пря~
мой у = х (рис. 7.13).
334
НЕРАввнс ТвА
Рис.713
2
5. Системе неравенств х2 -1- у2 5 16, у 2 х удовлетворяют неор-
динаты всех точек круга х2 + у2 Ѕ 16, лежащих «внутри» нараболы
у = х:2 и на самой параболе (рис. 7.14).
Ух
щ
,1*
Ь,
0
4Ё:
Рис.714
6. Решением системы неравенств 4 _< _ х2 + у2 _< _ 25 является коль-
Цо, ограниченное Концентрическими охружностями радиусов КІ = 2
и 122 == 5 с центром в начале координат (рис. 7.15).
ул
Рие.715
7. Множество решений системы неравенств Зх + у 2 О, х - 2у 2 0
представляет собой угол - пересечение двух полуплоскостей, каждая
из которых определяется одним из данных неравенств (рис. 7.16).
Неравенства с двумя переменными
335
У
аІ///// /И
Рис.736
8. Система неравенств у 2 2);
-
3 и у Ѕ 2х +1 определяет полосу,
ограниченную параллельными прямыми у = 2х - 3 и у = 2х +1
(рис. 7.І?).
`
'
9. Решением системы неравенств у 2: х2 +1, х + у 5; 3 является
параболический сегмент (рис. 7.18).
к
*
Рис.118
336
.
НЕРА вЕнствА
10. Решением системы трех неравенств
у<-1?;-х+2, у>--;-х+3, У>2Х*-4
является множество внутренних точек треугольника АВС (рис. 7. І9).
...Ыд'
уъ
Рис.'7.19
Задачи
Изобразите на чертеже множество решений каждого из данных
неравенств с двумя переменными.
1. х>о. 2.4140. з. х>-1. 4. у<-2. 5. хгз. в. уЅ4.
7. у<2х. 8. уЗЗх. 9. у<3х-1. 10. у_> _-4х+5. 11. х<3у.
12. х>~2у. 13. у>х2. 14. уехдз. 15. ху>6. 16. ддт-12.
17. (х-2)2+(у-1)2<9. 18. (х+з)2+(у-4)2>25.
Изобразите на чертеже множество решений Каждой системы не-
равенств с двумя переменными.
19. х<0,у<0.
20. х>2,у<3.
21. хЅ1,у24.
22. у>3х+2,у<3х+5. 23. у>2х+3,у<2х+1.
24. у:_>_4х-5,уе4х-1. 25. х2+`у2<9,у>-х.
26. х2+у2<16,у>х2+1. 27. ху>-6,,х+у`:=п7'і
28. у>2х+1,у<Ёх-1.
29. х+у+2.3;0,х+уш1Ѕ0,х+220,,кс-1520.
30. х-у+1.320,х-у-150,у+320,у-2Ѕ.0.
послЕдовАтЕльности
1 и пРогРЕссии
8.1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Числовой носледовотельностью или носледоввтельностью
называют числовую функцию
хп = (р(н),
.
(8.1)
определенную на множестве натуральных чисел.
Числовую последовательность называют конечной, если
она определена на конечном подмножестве множества нату-
ральных числе: хП = ср(п_), н = 1, 2, 3,
т, н бесконечной, если
она определена на бесконечном подмножестве множества на~
туральных чисел: хп І ФМ), п = 1, 2, 3,
.
Значения функции
х1 = ср(1), хд = ср(2), хз = <р(3),...,х,, = (р(н),... ,
соответствую-
Щие значениям аргумента 1, 2, 3, ..., н,
называют первым,
вторым, третьим, ..., н-м,
членами последовательности, а
сами значения аргумента -- номершии Ітенов последователь-
ности. Член Х” называют также общим Ітенол/г носледователь~ь
ности. Последовательность, заданную формулой (8.1), будем
обозначать (х,, х2, хз, ...) или (хп). Зная функцию (р(н) и но-
мер н, по формуле (8.1) можно вычислить любой член после-
довательности. Отметим, что вместо х можно использовать и
другие буквы.
ПРИБЄДЄМ ПРИМЄрЫ ПОСЛЄДОВЕІТВЛЬНОСТЄЙ, ЗЕІПИСЫВЕІЯ НЄСКОЛЬКЁ?
Первых ИХ ЧЛЄНОВІ
1)если;.с-1
тох-1х-_1_х _*і.
н- 2:
І
а2
4, 3 9,...,
П
_(алі
_
1л
2) если уп “Та ТО у1=іэу2 __Еэ уз- 35*
і
в.,
З) если 2,, = созлн, то 3, = -1, 12 =1, ,23 = -1,....
Последовательность, все члены которой равны между со-›
бой, называют постоянной новледоввтельностью.
338
посла-дона тЕльности и прогеь-ссии
Так, хп = 5 - постоянная последовательность: х, = 5, я2 = 5, хз = 5,... .
Последовательность может быть задана не одной, а нес-
колькими формулами.
Например, последовательность
2 при п =2Кє, К =1,2,З,...,
щг'иг пшмнлк+ьв=аьазш
задана двумя формулами. Эта последовательность имеет вид:
1
1
1
1
Ы,2, -, 2, -, 2,щ,
2
4
8
16
Способ задания последовательности с помощью одной
или нескольких формул называют аналитическим. К основ-
ным способам задания последовательности, кроме аналити-
ческого, относятся табличный и рекуррентный.
Табличный способ задания последовательности состоит в
том, Что приводится таблица, в которой указаны номера п и
значения хп.
Примером данного способа задания последовательности являет-
ся таблица:
п
І
2
3ч
4
5
п
1
1
1т
1
(_1)Л+1
1
--
Н
--
-----
(х'д
4
9
16
25
,12
А
Р“_
» К табличному способу задания последовательности сво-
дится задание конечной последовательности путем перечис-
ления всек ее членов в порядке возрастания их номеров.
Рекуррентный способ задания последовательности состоит в
том, что указываются несколько первых Членов этой последо-
вательности и дается формула, позволяющая по члену с номе-
ром п вычислить член последовательности с номером п + 1.
Например, если х1=1,х; =1 и Хтд=хп+х,,+1, то хз=2,х4 =3,
1:5 = 5, хб = 8, х? = 13,...; это последовательность чисел Фибоноччи *2
*Леонардо Пизанский, Фибоначчн (1180-4240) -- итальянский математик.
Числовая последовательность
339
Последовательность называют возрастающей, если она яв-
ляется возрастающей функцией. Другими словами, (хп) -
возрастающая последовательность, если при всех н выполня-
ется неравенство хп < хп+1 .
НаПрИМЄр, Х” '__ Н
“т ВОЗраСТаЮЩЕІЯ ПОСЛЄДОБЕІТЄЛЬНОСТЬ.
Если при всех н выполняется неравенство Х” > ХМ), то
последовательность (Хп) называют убывающей.
Например, хп =1/п - убываюЩая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности называ-
ют монотонными.
`
Последовательность (хп) называют неубыеающей, если
каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыду-
Щего,т.е.хпЅп+1,п =І,2,3,
.
Последовательность
(хп) называют невозрост'оющей, если Каждый ее член, начи-
ная со второго, не больше предыдущего, т. е. хп +1 5 хп для
всех н.
,
Невозрастающие и неубывающие последовательности так-
же называют монотонными.
ПослеДОіЗательность (хп) называется ограниченной сверху,
если существует такое число А, что хп Ѕ А для всех номеров п.
Последовательность (хп) называется ограниченной снизу, если
существует такое число о, что а Ѕ хп при всех п.
Например, последовательность хп = п2, п == 1, 2, 3,
, ограниче-
на снизу, последовательность хп = н+н ограничена сверху, последо-
вательность хп = 1/ н ограничена снизу и сверху.
Последовательность, ограниченная сверху и снизу, назы-
вается ограниченной. Очевидно, что последовательность (хп)
ограничена тогда и только тогда, когда существует такое чис-
лос>0,что
{хп|Ѕс,“ пї1,2,3,....
(8.2)
Например, последовательность хп =1/н, н = 1, 2, З,
, ограни-
чена, так как |хп` 5 1 при всех н.
340
последовательности и пРогРЕссии
8.2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Число о называют пределом последовательности (хп), если
для любого числа в > 0 существует такой номер П, что при
всех п > К выполняется неравенство
Іхп ьчоІ <е.
(8.3)
Используют следующие обозначения предела последова-
тельности (хп):
Ііти,1 =а,
(8-4)
П-ІФШ
х,1 -›а при п-><›°.
(8.5)
Из определения предела последовательности следует, что
предел постоянной равен этой постоянной:
Іітс=с, с =солзг.
(8.6)
ЛЧШ
Действительно, в данном случае Х, = С, для числа а = с по-
лучаем [хпНа|=|с-с|<в прилюбом в>О.
*Ь
Последовательность, имеющую предел, называют сходя-
щейся.
Последовательность, у которой нет предела, называют рес-
ходящейся.
Отметим, Что неравенство (8.3) равносильно неравенствам
а-г<х,<а+г, мы
(8.7)
Интервал (а-е, а+ с) называют в-окрестностью точки а
и обозначают 0(а; є). Определение предела последователь~
ности имеет следующий геометрический смысл: число о явля-
ется пределом последовательности (хп), если в любой его ок-
рестности содержатся почти все ее члены, т. е. вне е-оирес-
тности находится лишь конечное число членов данной
последовательности: хІ, хд, хз, ..., хр.
.
Последовательность (пп) называют бесконечно малой, если
ее предел равен нулю:
,113330 щ = 0*
(8.8)
Основные свойства пределов последовательностей выра-
Жаются приводимыми ниже теоремами.
Предел последовательности
341
Теорема 8.1. Последовательность может иметь только
один предел.
Теорема 8.2. Если последовательность сходится, то она
ограничена.
Т е о р е м а 8.3. Всякая монотоннал ограниченная сверху (сии-
зу) последовательность имеет предел.
Теорема 8.4. Если (хп), (уп) - сходящиеся последова-
тельности, то их сумма, разностїі, произведение и частное име-
ют пределы, причем:
ііїіаып +уп)-- 1іт хп +1ішшуп,
(89)
ЧЕМ -уп)=1ї__г _;3°хп-Ііггіут
(8-10)
1іп1(х,, уп): Іізіхп Ьтзоуп,
~
(8.11)
х
Ііш хп
"
ІіІп-”-=Ш, Іігп уп #0.
(8.12)
п-›-=~= уИ
11111 уп п-›=›<=
п-›=×›
Следствие 1. Если (хп), (уп), (дп) - сходящиеся последо-
вательности, то:
1іш(х,, - у,І+дп)~= Іітх,І -[ітуп+Ііш1,,,
(8.13)
пв-ъш
п-›=><=
п-эш
пылш
Ііш(хпу,,2п)-- Ііт и:Л 1іп1 уИ Ііш дп.
(8_14)
"500
ЛЧ-ёш
НЮ-Згт
Равенство (8.13) верно также для любой конечной алгебра-
ической суммы сходящихся последовательностей, а равенство
(8.14) -- для любого конечного числа множителей.
Следствие 2. Если последовательность (хп) имеет предел,
то для любого числа с последовательность (схп) сходится, причем
1іт(сх,,) = сІіт хп.
(8_15)
Л-ёт
Л-Ут
Следствие 3. Если (хп) - сходящаяся последовательность
и т -- натуральное число, то
пт хд' =(1іт х,)т.
'
(3.16)
П'Ч'ш
Н-"дш
342
послЕдовА тЕльЁости и пРогРь-ссии
Последовательность
1
Л
хп=[1+-]
,
п=1,2,3,...
(8.17)
п
является возрастающей и ограниченной сверху, поэтому она в
соответствии с теоремой 8.3 имеет предел; этот предел назы-
вают числом е:
_
1”
,_
е=11гп(1+-)
_
(8.18)
л-аш
Н
Число е является иррациональным: е = 2,718.
Примеры
1. Последовательность хп =1/п, п = 1, 2, 3, ..., имеет пре-
делом нуль:
.
1
11т-ш0.
ф
(8.19)
пёс-ФЛ
1
1
›Действительно,
'ХаЩ«ЗІІ=;-0тд;<8 при всех п>Н,
где Ы >1/є. 4
Замечание. Верныравенства:
.
с
.
с
ІІш-=0, с = сопзі, 11111 Т=0, К = І, 2, 3, ...;
(8.20)
ЛЧШ П
п-ФФФ п
они следуют из формул (8.14), (8.15), (8.19).
`
1
2. Последовательность Х,ч = 3+;, п = 1, 2, 3,
имеет пре-
дела=З.
› В самом деле, каково бы ни было є > О, существует такой
номер М, Что іхп -аІ = (3+-1 -] -3}=~-1 -<є при всех п > М, если
п
п
только Н 21/е.
Например, если е1=0,1, то “1:10; если 82 =0,01, то И, =100;
если [-;_,,=0,()І[)1э то М3=100, ит.д. 4
Предел последовательности
343
З а м е Ч а н и е _ Не следует думать, Что предел последовательности
меньше всех ее членов (как в примере 2). Он может быть больше всех
членов последовательности.
Например, 1іт(2 - І/п) = 2.
Члены последовательности могут «колебаться» вокруг предела
(одни быть меньше его, другие больше).
Л-ЪШ
п
Например, 1іпт[7 + (-1) 1: 7.
3. Последовательность хп =созтсл, л = 0, 1, 2, 3,
,не
имеет предела.
›Данная последовательность принимает следующие зна-
Чения: х1=1,х2 = щ1,):3 = 1, х4 = Щ1,..., хИ = (-1)”+1,....
Како-
во бы ни было Число о, вне его а- окрестности при 0 < е <1
находится бесконечное множество Членов этой последователь-
ности (хотя среди них имеются равные). Принимая во внима-
ние геометрический смысл определения предела последова-
тельности, заключаем, Что число о не будет ее пределом. 4
4. Доказать, Что последовательность хп = о", п д І, 2, 3,
,
где 0 < о < 1, является бесконечно малой, т. е. Іігп о” = 0.
п-ию
›Данная последовательность монотонно убывает, пос-
кольку Х"+1<Хп, о”+1<о”,
и ограничена снизу, так как
'О < о” при всех п. Согласно теореме 8.3, эта последователь-
ность имеет предел. Обозначим его а: Ііт о" = о. Очевидно,
п-эт
Что последовательность хп =оп+| имеет тот же предел:
рІіпт от” = о. Принимая во внимание свойства пределов, по*
п--э›ее
лучаем:
Ііт опн = Іїш(о оп) = ов, т. е. отца.,
Н-еш
п-ьее
Поскольку о г: І, то последнее равенство возможно лишь
приоШО,т.е.
Іішо”±0, 0<9<1. 4
Н-*Э'т
344
последовательности и ПРОГРь-ссии
.
.
.
а:Л
,
Замечание. Если 111т1д1є,,}.=<=›~1›э итд-ды, то Іш'п--гР представля-
п-эш
п-ъш у”
ет неопределенность вида Ё, а 1іт(хМ - ул) - неопределенность ви-
оо
п-›=×=
да (ею-м). Раскрытием неопределенностей указанных видов назын
вают нахождение соответствующих пределов. В некоторых случаях
указанные неопределенности раскрываются злементарнытии спосо-
бами, С ПОМОЩЬЮ ПРИВЄДЄННЫХ ВЬІШЄ ТЄОрЄМ И ПрЄДВНРИТЄЛЬНЫХ
преобразований.
8п-1
2п+3і
ў КОГДН п СТрЄМИТСЯ К бЄСКОІ-ІЄЧНОСТИ, ЧИСЛИТЄЛЬ И ЗНаМЄ-
5. Найти предел последовательности хп =
натель данной дроби также стремятся к бесконечности: име-
(Ю
ЄМ НЄОІҐрЄДЄЛЄНІ-ІОСТЬ ВИДа *"“-
РаЗДЄЛИМ ЧИСЛИТЄЛЬ И ЗНаМЄ-
00
натель на п и перейдем к пределу, воспользовавшись форму-
лами (8.6), (8.9) -- (8.12), (8.19) и (8.20):
1.ҐІ
а*18~и
8пЕЦ]ано
.
.
8пт1
.
п
11тхп=11тт=11шныї=
3 =2+0=4 4
со
по
“доп
.
,РІ-_)
ЛЧ
п
,11
2+Ш
11т[2+_)
__
Л
п-ж-Ф
п
а
2п+3
6. Наити предел последовательности ХИ = 2
.
5п +4п-1
› Разделив Числитель и знаменатель дроби на п2 и перей-
дя к пределу, получим:
2
2м+з _НШ _ _2/п+з/п __ 0+0
11111
-
_
=0_і
Имидж-1 н-+~5+4/п-1/п2 5+0-0
7Ни
х
6п2+5п-~3
.
ИТИ П Є ЄЛ ПОСЛЄДОВЗТЄЛЬНОСТИ
=
--.
а
рД
”
2:12 -4п+7
2
..,
ъ Разделим числитель и знаменатель дроби на п и переи-
дем к пределу, воспользовавшись соответствующими форму-
лами. Получим:
Арифметическая прогрессия
г
І 345
6п2+5п- 3 =тн 6+5/п 3/112 _6+0-0__
Ііт
_
Нчт2п2 -4п+7 'ИЩЗЗ- «4/1'т+7/и2 2~0+0
1011- 3
8. Найти предел последовательности Х _
.
\/8п3 +5л2 7
› Разделив числитель и знаменатель дроби на п и перейдя к
пределу, найдем:
Юп- 3
:]іт 10--З/п
_
10-0
_19_54
“На” +5пЪ 7 “теё/ЁЅ/п 7/п «Чет-о 2
Задачи
Найдите пределы последовательностей.
1х ___п+3
2'хт6п-4
`
Н 2п~ч1'
'
п
2д+їі
3п~1
4п1+2п-3
3.х
=
.
4.х2
.
п п2+1
п
2п2~п+5
п2+5п~+3
8п3+4п2~2
5. хд=--3- _ ---- .
6. хп:
3
2.
Згг -2п+7
2:1 +6п +1
7х_
10п-7
8х_
3п+2
п мандат-5
”
#штпз
9. х,,щгг+1_л ш.,=1+2+3+1~~+п.
п
. .._
Ответы
1..0,5.2.3.3.О.4.2.5.0.6.4.7.2,5.8.1.9.0.10.0,5.
8.3. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Арифметической прогрессией называют числовую последо-
вательность, каждый член которой, начиная со второго, равен
предшествующему члену, сложенному с одним и тем же чис-
лом. Это число называют разностью арифметической щдогресн
сии и обозначают а'.
Таким образом, арифметическая прогрессия (ад) опреде-
ляется:
1) условием а] = а, где а - заданное число;
346
послЕдовАтЕльности и пРогРЕссии
2) рекуррентной формулой от] =ап +4. Для того Чтобы
задать арифметическую нрогрессию (ап), достаточно указать
ее первый член в1 и разность єі.
_
Например, если аі = 1, я: 2, то имеемлрогрессию 1, 3, 5, 7, 9, .. .
Отметим, что сі может быть любым числом. Если а > 0, то
арифметическая прогрессия является возрастающей последо-
вательностью (как в приведенном примере). Если а' < 0, то
арифметическая прогрессия будет убывающей последователь-
ностью. В случае с! = 0 все члены арифметической последова-
тельности равны между собой и прогрессия является постоян-
ной последовательностью.
Поскольку разность между любым членом арифметичес-
кой прогрессии (ап) и предшествуюшим ему членом одна и та
же, то
ап _ап-1=ап+1_ап› п22›
(821)
откуда
+
а” =щит2ат,
(8.22)
т. е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со
второго, есть среднее арифметическое предшествующего и
последующего членов.
Формула
ап=аі+с1(п- 1)
(8. 23)
выражает п- й член арифметической прогрессии (ад) через
первый член а! и разность с!
Сумма п первых членов арифметической прогрессии (ап)
определяется формулой
5,, = -----~(а1+2а” И
(8.24)
или, с учетом формулы (8.23),
Ѕ, = 201“ї” _1)п
(3.25)
У конечной арифметической прогрессии аІ, 02, ..., а” сум-
ма членов, равноотстояших от ее концов, равна сумме край-
нихчленов,т.е.дляІсШ1,2,. ., п
ак+ад_;с+[ =01+ад.
(8.26)
Арифметическая прогрессия
347
Примеры
1. Найти сумму первых десяти членов арифметической
прогрессии, если а! +05 = -2, а2 + ад = 2.
› Принимая во внимание формулу (8.23), получаем систе-
му уравнений и решаем ее:
Г, +в, = Мн2,@{а,+,.«1,+4а = _2, Г, + м: -1,
а1+Зсі=І
а2+аб=2
а1+д+а|+561=2
с: а1+2сі=~1, (1:2, а1=-1 -~2сі=-5.
-
С помощью формулы (8.25) Находим искомую сумму:
2(-5) + 2(10 -1)
ЅІО =
'10=(_5+9)'10, ЅІО =40. 4
2. Найти арифметическую прогрессию, у которой сумма
первых трех членов равна 27, а сумма квадратов этих же чле-
нов равна 275.
› Из условия задачи составляем систему уравнений:
а1+из+а5=27,
а? +11; +61; = 275.
Кроме того, в соответствии с формулой (8.24),
а+а
*#12 3-3 =27,
откуда 01 +а3 = 18. Подставляя это равенство в первое урав-
нение системы, находим а2 = 9. Система принимает вид
аІ+из=18,
а?+а;=194.
Решая данную систему, находим: ак1 = 5, из =13. Следова-
тельно, искомая арифметическая прогрессия имеет вид 5, 9,
13,
.
4
3. Найти арифметическую прогрессию, сумма любого Чис-
ла членов которой всегда будет равна утроенному квадрату
числа этих Членов.
348
по сладовд тальнос ти и пРогРЕссии
Ъ По условию задачи 5,, = 3:12 .
'Прии=1имеем
Ѕ1=а1 =3; прип=2получаем 5'2 =аІ+1:12 =12. Следователь-
но, 02 = 9, а 1:1 = а2 - аІ : 6. Арифметическаи прогрессия запи-
шется в виде 3, 9, 15, 21, .... 4
222
4. Пусть а , Ь , с образуют арифметическую прогрес-
сию. Доказать, что величины
1
1
1
Іэ+са с+*~.:27 а+Ь
также образуют арифметическую прогрессию.
› Из условия задачи и равенства (8.21) следует, Что
Ы* -а2 = 1:2 -дрц
(8.27)
Нужно Доказать, что
І
1ц1
І
с+1::_- 1'_7т-1::- _а+Ь-а+сі
(828)
Равенство (8.28) равносильно следующему:
Ь-а
с-Ь
_Ь--ашс--ІЬІ
=
или
_
(с+а)(Ь+с) (а+Ь)(а +с)
[Не а+д”
откуда 192 -а2 = с2 -Ь2. Значит, равенство (8.28) верно; дан-
ные величины образуют арифметическую прогрессию. 4
5. Найти число членов арифметической прогрессии, если
1:22 +04 +...+а_, _п = 126, 1:12 +02,2 =42.
› В соответствии с формулой (8.24) имеем
С учетомц второго условия получаем 2111 = 126, откуда
гг:6.4
6. Числа 01, 02, Ш, 0,, отличны от нуля и образуют арифме-
тическую прогрессию. Доказатъ, Что
1
І
1
1
п-І
+
+
+...+
,
=
.
0102 Ы21113 “304
“мал
010Н
› По условию задачи
02 -а1=а3 -02 =...=а,, н~<:1,,,1=а'.
Арифметическая прогрессия
349
'1
1
а-а
сі
Таккак ------
=
21=
,
а!
(12
(1102
(1102
то
І_11І
ЕЕ-(ЪТ-БЁ] Ё”
Аналогично
*
1_111
1 _ _1___1
__Іш
дтп] ь? :~:( а]
1_(1 1]1
*
апіІап
ага-4
ап
(і
.
Складывая полученные равенства, находим:
1
1
1
1
111
+
+
+...+
=
_-
---
--+
аїа2 02ад аза4
акт] ап
аі (22 с!
1111І1
1
11
+ ----
~+
--- Н~
-~+...+
«РН-_-
-+
(12 613 сі
азадсі
ап_2 (1,14 с!
+ 1 ___1_
_1__± льды..
_ш_в-1›Ы_п-1 4
выапа*а?аІаИ
сіаіап
єіаіап
аіа і
П
Замечание. Предполагалось, что а' ф 0. Если с! == 0, то равенсн
тво очевидно.
2
2.
.,
Ѕтт
7. Известно, что в арифметичесиои прогрессии _-
2 ЬЁ1
пп
Доказать, что їт-=
т
.
а:И 211 -1
› В соответствии с формулой (8.25)
2
ІЬЬ1
_.
Ѕт: а1+(;п Мт, Ѕд=2аї+21 Иди.
По условию задачи
(щ +(т -1)а)т _ т2 2:11 +(тш1)д = Ё
(2а1+(л-1)ы)п ,12 * 2611 +(м тд п'
Преобразуя последнее равенство, находим:
350
_
последовд тельностии пРогРЕссии
2а1п + (т -1)ші = 201т +(п -1)тсі,
201н+тші-~ті =2аІт +пта' ч-т<:і_.,
20101 - т) = (И -т)6ї,
п-т± о, а] = І972.
Следовательно,
ЁЩ_ а1+(т-1)а' _ а'/2+(т-1)сі ат _ 2т-1
а” а] +(п-1м 4/2 +(а-1м ” а” “_ їГ-Т
4
8. При каких значениях х три Числа І32, 1,9(2х-1) и
13(2х +3), взятые в указанном порядке, составляют арифме-
тическую прогрессию?
› Если Данные Числа, расположенные в указанном поряд-
ке, составляют арифметическуто прогрессию, то в соответс-
твии с формулой (8.22) должно выполняться равенство
21%(2х -1) =132 +13<2ЗС +3),
откуда
130* -1)2 =1$2.(2х +3).
Ґ.
_Ц_
ИЗ ДаНІ-ІОГО рЕІВЄНСТВа СЛЄДУЄТ, ЧТО
(2х -1)2 =2 (2х +3), 22ЭС -2-2Эс +1: 2-2х+6,
22х -4-2х -5 = о.
Введем новую переменную у = 2х, у > 0, и решим квадрат-
ноеуравнение у2~4у-5 =0; оноимееткорниуІ=5, у2= -1.
Поскольку у> 0, то 23С = 5, х: 105;2 5. 4
Задачи
І. Найдите двадцатый член возрастающей арифметической прог-
рессии,если 0205=52, а2+а3+а4+а5=34.
2. Найдите число членов арифметической ирогрессии, у которой
сумма всех членов равна 112, произведение второго Члена на раз-
ность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого Членов равна
32. Запишите три первых члена этой прогрессии.
3. Найдите десятый Член арифметической прогрессии, если сум-
маиеечленов 5” = 3:12-2п.
4. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма п ее Членов
5,, = 2112 -Зл.
Геометрическая прогрессия
_
351
5. Найдите арифметическую
прогрессию
(ап),
если
а, +в2 +а3 -_-9, 0,412 ад == 15.
б. Найдите арифметичесхую прогрессию, у Которой сумма любо-
го Числа Членов, начиная с первого, в четыре раза больше квадрата
числа членов.
7. Число членов арифметической прогрессии равно 10. Сумма
членов, стоящих на четных местах, равна 15, а нечетных - 12,5. За-
пишите все члены нрогрессии.
8. В арифметической прогрессии ар =<1, а, = р, где ад: П- Іс-й
член. Найдите ат.
9. Найдите сумму двадцати членов арифметической прогрессии
(ап),если ад+а9+ап+(1,5 =20.
10.. Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой
отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 Членов
равно 1/2, а отношение суммы всех Членов без первых трех к сумме
всех членов без последних трех равно 4/3.
Ответы
1.58.2.п =7;1,6,11, ___;7,10,13,
З. 55. 4.
-1, 3, 7, 11, ___.
5.1)1,з,5,7,
2) 5, з, 1, -1,'.__
_
в. 4, 12, 20, 28.
7. 0,5; 1; 1,5; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. 8. ат ='Ч"1'1'1+Р0 9. 100. Указа-
ние. Воспользуйтесь формулой (8.26). 10. 20.
_ _.-
8.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Гвомвтрической прогрессиєй называют числовую последо-
вательность, первый Член которой отличен от нуля, а Каждый
член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умно-
женному на одно и то же число, не равное нулю. Это число
называют знаменателем геометрической прогрессии и обычно
обозначают в. В соответствии с определением числовал пос~
ледователъность (ап) будет геометрической прогрессией, если
«21:0, а2=а,9, а3=а2є3,_. _,
-
ат, =аист, в =1,2,3,
(8.29)
где с]чё0.
Из определения следует, что в геометрической прогрес-
сии (ап)
352
послЕдовА тЕльносги и прогРь-ссии
Ё=Ё=Ш=б
мы)
5
01 02
ап-ъ
т. е. отношение любого ее члена, Начиная со второго, к преды-
дущему является постоянным и равно числу с; ш знаменателю
этой прогрессии.
Знаменатель 0 геометрической прогрессии есть действи-
тельное число, отличное от нуля. Если 9 > 0, а* 1, то гео-
метрическая прогрессия (ап) является либо возрастающей
последовательностью, либо убывающей последовательнос-
тью, в зависимости от знака а, и величины а. Если с; = 1, то все
члены геометрической прогрессии равны между собой, прог-
рессия будет постоянной последовательностью. В случае, ког-
да с; < 0,' члены прогрессии с нечетными номерами имеют тот
же знак, что и первый член, а члены с четными номерами
имеют знак, противоположный знаку первого члена прогрес-
сии. При отрицательном знаменателе прогрессия не является
ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии (ап),
начиная со второго, равен произведению смежных членов,
т.е.при п22
2__
ап _"
п~1 п-Н*
(831)
ЕСЛИ ВСЄ ЧЛЄНЫ ГЄОМЄТРИЧЄСКОЙ ПрОГрЄССИИ ПОЛОЖИТЄЛЬ-
ны, то каждый ее член, начиная со второго, равен среднему
геометрическому смежных с ним членов, т. е.
ап І: Чап-Іап-І -І '
Любой член геометрической прогрессии (ад) выражается
через ее первый член аї и знаменатель (1:
пші _
(21112010 эп:і,2,3,....
Сумма п первых членов геометрической прогрессии '(ап)
определяется формулой
Ѕ
аІ "ана
=-----, чи 1,
(8-33)
1-0
(8.32)
___
аІ(1*-ч") ш ат” -1)
1-9
9-1 ъ
(8.34)
Геометрическая Прогрессия
353
У конечной геометрической прогрессии (он) произведение
членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению
крайних членов, т. е.
де 'да-км = 010” -
(8.35)
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называ-
ют бесконечную геометрическую прогрессию, знаменатель
которой по модулю меньше единицы, т. е. ІЧІ < 1-
Суммой бесконечно убывающей геометрической проерессии
называют предел последовательности (Ѕп) при неограничен-
ном возрастании п:
Ѕ=Ііт3,, .
наш
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии (ап) равна ее первому члену, Деленному на разность Еда,
где о ~ знаменатель данной прогрессии:
а
Ѕ = __'-.
~
(8.36)
Ра
Примеры
1. В геометрической прогрессии (ап) дано:
(1:2, и=7, 3,, =635.
Найти а, и 07.
› Воспользовавшись формулой (8.34) и приняв во внима-
ние условие задачи, получим 635: а,(27 -1), откуда а, == 5.
В соответствии с формулой (8.32) находим: а7 = 5 - 26 = 320. 4
2. Доказать, что в геометрической прогрессии, состоящей
из четного числа членов, отношение суммы членов, стоящих
на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных мес~
тах, равно знаменателю прогрессии.
› В соответствии с соотношениями (8.30) имеем:
Еашїеїїе: ._,.__“2__п__:9
“1из“5
“ап-ъ
Отсюда, используя свойство ряда равных отношений
(см. формулу (226)), находим:
Ц2+Ц4 +Ц6 +...+и2п
=Чь
ЫІ 'Риз +Ц5 +...+и2п_1
что и требовалось доказать. 4
354
ПОСЛЕДОВА ТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ
3. Сумма трех последовательных Членов геометрической
прогрессии равна 62, а сумма их десятичных логарифмов рав-
на 3. Найти эти члены прогрессии.
› Обозначим последовательные Члены геометрической
прогрессии иди, Мун, 61,6, Іс 2 3. Согласно условию, получим
систему уравнений
ЦКИЁ+ЦК_І +ЦК =62,
13Ціс_2 +18ЦЁРЕ +1%ик =3.
Преобразуем каждое из данных уравнений. В соответствии
с формулой (8.32) получаем:
кнз
а_2
ды
“до = ЫЪЧ
,Над==ща ,щ2ще]
.
Первое уравнение принимает вид
идсуддз +в:|с]!с_2 +и19кщ1 = 62 Или и19к_2(1+с1 +<ҐІ ) = 62.
Второе уравнение запишется так:
к~з
в~2
хч1
130114 )+1в(ща )+1а(иа )=633
откуда
131,11 +(1<-~3)І3с1+13и1 +(Ієы2) І39+13ы1 +(1сц1')1341 =63,
313и1+(3іс-6)139=3, 13и,+(1с-2)1Ёс1=1,
народ ЧН =1310, 1Ё(и,а'<*2)=м1о, ты = 10.
Таким образом, получена система уравнений
щит +Ч+т1> = 62,
иІЧКЩЁ = 10.
Решая данную систему, находим: а, = 5, и, =2; (12 = 0,2,
иі' ==50. Итак, получены последовательности: 2, 10, 50 или
50,10,2.4
4. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 3,5, а сумма Квадратов тех же Членов равна 5,25. Найти
первый член и знаменатель прогрессии.
› Введем обозначения: х
-
первый член прогрессии, у -
знаменатель прогрессии. Согласно условию, получаем два
уравнения:
2
и+ху+1еу2 =3,5, х +х2у2 +х2у"4 = 5,25.Р
Геометрическая профессия
355
Первое уравнение возведем в квадрат, разделим на второе
и преобразуем полученное уравнение:
х2<1+у+у2>2 =12,25 (Ну-тут _1
Х2(1+у2 +У4) 5:25, І+у2 +у4 3э
3(1+у+у2)2 = т+2у2 +1/4 -уї
3(1+ у+ у2)2 = '/'((1+2)12)2 н#33),
з<1+ у+у2›2 = 7<1+ 1/2 + у)(1+ 1/2 - у),
(3(1+у+у2>-7<1+ у2 -ул = 0.
Уравнение 1+ у+ у2 = О не имеет вещественных корней.
Рассмотрим второе уравнение:
з<1+у+у2)-~7(1+у2 -у) =0, 2у2 -5у+2=0.
Данное уравнение имеет корни: у1 = 2, у2 = 1/2. Из урав-
нения х+ ху+ху2 = 3,5 находим х:
_ч
3,5
_3,5__
І 1+у`+у12 7
05.5э
х2:_і .5 __ _ї=Ш=2.
1-1-_112+у2
7
Х
Следовательно, задача имеет два решения: х, = 0,5, у1 -= 2
Их21:2,у230,5.4
5. Доказать, что если числа а, Ь и с образуют геометричес-
кую прогрессию, то числа
1
1
1
Іоёа И* Іод_, _.,і\їэ Іоё'с АТ
ТЗКЖЄ СОСТаВЛЯЮТ ГЄОМЄТрІ/ІЧЄСКУЮ ПрОГрЄССИЮ.
› Из равенства (8.31) и условия задачи следует, что Ь2 = ас.
Логарифмируя это равенство по основанию М Ы > О, Н гг 1,
находим 210%; Ь ==10$д а + 109,г д, с. Воспользуемся формулой
1031»; Х = 1/103х М (см. формулу (456)) и последнее равенство
запишем так:
221+1
1035, Н 103а Н 103с Ы
356
послЕдовА тельности и пРогРЕссии
Полученное равенство означает, что числа
1
1
1
103,14!5 ІОЁЬМ, Іоя, Ы
образуют арифметическую прогрессию. 4
_и.
6. В арифметической прогрессии 11 членов, первый ее
член равен 24. Первый, пятый и одиннадцатый члены состав-
ляют геометрическую прогрессию. Записать все Члены ариф-
метичесиой прогрессии.
› Обозначим разность арифметической прогрессии буквой
1:1, тогда а1 = 24, а5 = 24+4а', НН = 24+10€ї- Так как числа
611, 05, 411 образуют геометрическую прогрессию, то в соот~
ветствни с формулой (8.31)
(24+4а)2 =24<24+10а>, 42(6+а)2 =4а<12+5а),
(6+а)2 = зам-54).
Решаем полученное уравнение:
36+12а+а2 = 36+15а, 612 =за, а, = о, а, =з.
Имеем Две прогрессни, первая является постоянной с об-
щим Членом 24, а вторая имеет вид:
24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54. 4
7. Первый член бесконечно убывающей геометрической
протрессии равен 1. Каждый из остальных ее членов в 2% ра-
за меньше суммы двух смежных с ним членов. Найти сумму
этой прогрессии.
› Если 9 - знаменатель прогрессии, то данная прогрессия
имеетвид1+9+92+
.
Согласно условию, сумма членов 1 и 92
в 2і раза меньше члена 9, что приводит к уравнению
1+92 =%4. Это уравнение имеет 1<1орннрІ ї 2/3 и (32 = 3/2.
Второй корень не удовлетворяет условию задачи: при этом
значении 9 прогрессия не будет убывающей.
Геометрическая прогрессия
357
Сумму Данной прогрессии находим по формуле (8.36):
Ѕ 1_2/33.4
8. Сумма первых десяти членов арифметической прогрес-
сии равна 155, а сумма первых двух Членов геометрической
прогрессии равна 9. Найти эти прогрессии, если первый Член
арифметической прогрессии равен знаменателю геометричес-
кой прогрессии, а'первый Член геометрической прогрессии
равен разности арифметической прогрессии.
› Пусть (11, (12, ад,
-
арифметическая прогрессии с раз-
ностью (і, а ЬІ, Ь2, дэ,
+- геометрическая прогрессия со зна-
менателем 9. Согласно условию, Ь] == сі, аІ = о, Ь, + Ь, =± 9,
Ѕш =155. Пользуясь формулой для суммы арифметической
прогрессии, находим, Что
2Ё'Ш-'їЁЁі-.-1()=155 или 2а,+9а==зъ
Сучетом равенств Ь, =сі, 01:11, Ь, +Ь2 = 9, Ьд = др? запи-
сываем систему
_
й+йч=ї
для которой «у = 2, (11 Ё 12,5, Ь, *д 3, Ь; = 2/3. Следовательно,
получены следующие прогрессии:
иівдьндавдииешўёдЁДЁїш;Ёдёьёёгн.
266336
Задачи
1
1. Разность между вторым и первым Членами геометрической
прогрессии равна 18, разность между четвертым и третьим равна 162.
Найдите прогрессию.
2. Число Членов геометрической прогрессии Четное. Сумма всех
ее Членов в три раза больше суммы Членов, стоящих на нечетных
местах. Найдите знаменатель прогрессии.
З. Определите три Числа, образующих геометрическую прогрес-
сию, если их сумма равна 21, а сумма обратных величин равна 7/12.
4. Найдите обыкновенную дробь, при обращении которой в десины
тичную получились бы следующие периодические дроби: а) 0, (37);
б) 0,23 (345).
358
послЕдовА тЕльНости и пРогРЕссии
5, Запишите такую бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, начинающуюся с 3, сумма членов которой равна 7/2,
6, Если к четырем числам, составляющим арифметическую прог-
рессию, прибавить соответственно числа 5, 6, 9 и 15, то получится ге-~
ометрическая прогрессии, Найдите эти числа.
7, Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прог-
рессии, стоящих на четных местах, равна 12. Найдите эту прогрессию,
8, Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прог-
рессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна 108/13. Запишите нер-
вые три члена этой прогрессии.
9, Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если тре-
тий член уменьшить на 64, то полученные три числа составят ариф-
метическую прогрессию. Если затем второй член новой прогрессии
уменьшить на 8, то получится геометрическая прогрессии. Опреде-
лите эти числа.
1
10, Сумма первых четырех членов бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии равна 15. Сумма первого и четвертого чле-
нов в '3,5 раза больше суммы второго и третьего. Найдите сумму этой
геометрической прогрессии.
11, Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометричес-
кой прогрессии, зная, что сумма первых шести ее членов составляет
7/8 суммы всех ее членов.
12, Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрес~
сию, первый член которой равен 1 и каждый член в 3 раза больше
суммы всех следующих за ним членов,
13, В арифметической прогрессии, состоящей из 9 членов, пер-
вый член равен 1, а сумма равна 369, Геометрическая прогрессии то-
же содержит 9 членов, причем первый и последний совпадают с со-
ответствующими членами данной арифметической прогрессии.
Найдите седьмой член геометрической прогрессии.
14, Докажите, что сумма чисел, обратных членам геометрической
прогрессии, равна сумме всех членов прогрессии, деленной на про-
наведение первого и последнего членов,
Ответы
1,9, 27, 81, ,___
2,к;=2. 3,12,6,3или3,6,12.4,а)37/99;
б) 23 322/99 900, 5. 3,3/7, 3/49,
.
6, 3, 6, 9, 12. 7, 32, 32/3, 32/9, ____
8, 2, 2/3, 2/9,
_
9, 4, 20, 100 и 4/9, 52/9, 676/9. 10, Ѕ = 16,
11. 4:1/45. 12.1, 1/4, 1/16,
_
13.а, =27.
\ :7 НпРоизводнАя
9.1.. пРоизВоДНАл,
вв гвомвтРиЧвский и Физичвский смысл.
основныв правила ДиФФвРЕНЦиРовАНия
Производной функции в данной точке называют предел оти
ношения ириращения функции в этой точке к соответствую-
Щему приращению аргумента, когда последнее произвольным
образом стремится к нулю. Производную функции у = 1”(х) в
точке ко обозначим /'(х0), тогда по определению
Лхо +5х)_і(хо)
Ах
.
І'(х0)= Ето
(9.1)
Формула
100%) = '[ЁЦ
(9.2)
выражает геометрический смысл производной: производная
функции у = Лх) при х Ш хо равна тангенсу угла между каса-
тельной к графику данной функции в его точке МО (хо, уо) и
положительным направлением оси Ох (рис. 9.1).
Уд
к
“о
_
аІ
0
/ ,тд
Т
Рис. 9.1
Иэаенение касательной к графику функции у = Дх) в точ-
КС МО (ха, уд) ИМЄЄТ ВИД
уеуо =Ґ(Х0)(Х-х0)_›
(9-3)
Формула
у _: Гоп)
(9.4)
360
пРоизводнАя
выражает физический смысл производной: скорость прямояи-
нейного Движения точки, осуществляемого по закону
х = 1”(2*), в момент времени го равна производной от пути по
времени при І: го.
Функцию, имеющую производную в данной точке, назы-
вают дифференцируемой в этой точке.
Если функция дифференцируема в точке хо, то она непре-
рывна в ней.
Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция, непре-
рывная в точке, может не иметь в ней производной.
Например, функция і (х) = |х| непрерывна в точке хо ш 0 и не
имеет в ней производной.
Функции) называют дифференцируемой в промежутке, если
она имеет производную в каждой точке этого промежутка.
Дифферениировинием называют операцию нахождения
производной. Основные правила дифференцирования указы-
вают, как найти производную суммы, разности, произведения
и частного двух дифференцируемых функций, производную
обратной функции, производную сложной функции.
Еслии=и(.х),у=и(х)
-
дифференцируемые функции, то
существуют производные их суммы, разности, произведения
и частного, причем
(и+1›) пи'+и', (и-и)-=и'-и',
(9.5)
(итд) = и'и+и1›',
(9.6)
и
и'и - иу'
(_) ІШ-ё-тп -Н,
(9.7)
1)
12
Если и = ЩХ) -- дифференцируемая функция и с
-
постош
янная, то
(си) = си'.
(9.8)
Отметим, что производная постоянной равна нулю:
с” = О, с=сопзт.
(9.9)
Производиые взаимно обратных дифференцируемык фун-
кций у = ЛК) и х = (р( у) связаны формулами:
1
1
х'=*-*, И: › у;±0, х;;±0.
(9.10)
у
г
НГ
Ух
у
Основные формулы Дифференцирования
361
Если у: Ли), И = ФРС)
-
дифференцируемые функции
своих аргументов, то сложная функция у І 1”(<р(х)) имеет
производную по х, причем
у32=хїщ2і
(9-11)
Аргумент и в данном случае называют промежуточным ар-
гументом.
Формула (9.11) означает следующее: производная сложной
функции равна произведению производной данной функции
по промежуточному аргументу и производной промежуточно-
го аргумента по независимой переменной.
За м е ч а н и е. Если для некоторого значения хо выполняется од-
но из условий
пт дв,+их)-/(х,,) =+00, птЛхо+Ах)или):__
Ах-Н)
Ах
Ах-ъО
Ах
то говорят, что в этой точке существует бесконечная производная,
равная соответственно +°~==,
-<><›.
Геометрическое истолкование производной как углового коэф-
фициента касательной к графику функции распространяется и на
данные случаи. Касательная в этих случаях параллельна оси Оу.
9.2. ОСНОВНЫЕ
ФОРМУЛЬІ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Производит
логарифмической функции.
Функции
у=103а х, а> 0,1:1: І, у =1пх, х> 0, у=1п|х|, хэЬ 0, являются
дифференцируемыми в области их определения. Производ-
ные данных функций находятся по формулам:
11
(10%. х) = ~103а е,
(9.12)
Х
х
а
где е -~ число, определяемое формулой е = 1іт(1+-] д
х-ш-г
х
(1пх) =-1 -, х>0,
(9.13)
х
(міхіў=і, х в0.
(9.14)
х
Если Ы = МОС)
-
дифференцируемая функция, то для слож-
ных функций производные определяются формулами:
862
І
пРоизводНАя
(ІоядІ и) =Ех-іояа е, и>0,
(9.15)
›'
и"
А,
(1пи) :-, и>0,
(916)
и
1П|Ц1=ии› “#0
(9.17)
Производит стєпєнной функции. Функция у = ха, где од -
,действительное число, является дифференцируемой в области
ее определения и
(ха) звена-1.
(9.18)
Отметим частные случаи формулы (9.18) при (1:1,
: 1/2 от: ь1 соответственно:
1
1
г _ їёд3 _-..
_1
Если и: ы(х) -2диффк-греиш/труемая функция, то
ОЬ-І 1
(мы)І=ош и.
(9.20)и
В Частности,
(Л)у
І
=і
-ї-
- -її
(9 21)
2`/Б›
Ц
“2_
.
Производная показательнои" функции. Функция у = ах,
а :› 0, а ± 1, является дифференцируемой при всех х; ее произ-
водная
(ах), = ах 111 а.
(9.22)
В случае, когда а = е,
(и)І = ее.
(9.23)
Если и = и(х) - дифференцируемая функция, то
(аду = а” так,
(9.24)
(Щ = еиы'.
(9.25)
Примеры
1. Найти производную функции у = 2х4 + 4):3 + Эх2 + х+ 5.
› Применяя правила Дифференцирования (см. формулы
(9.5), (9.8)-и (99)) и формулы дифференцирования (9.18),
(9.19), находим:
Основные формулы дифференцирования
'
363
у'=(2х4)'+ (4х3)'+ (зх2)'+ х'+ 5*: 2(х4)'+ 4(х3),+ 3(х2)!+
+х'+ 51:24);З +43):2 +з-2х+1+о=(2х)3 + зон2 + зон +
+1=(2х+1›3.<
9
3
2. Найти п оизводную
нкции у =
-
.
р
Фу
3 х2 хё/Е
›Дифференцируя Дробные отрицательные степени по
формуле (9.18), получаем:
1..:._9_
._
3 _ _2/3'_
-4/з*"_
у-[ё/Э-Сї] [%]-9(Х ) 305 )-
_
2 -з/з
4-т/з__ 6 4щ
к так-ах Т--ш
4
6
3. дана функция лх)=х3~зх2+5х-2. найти ГН),
ГЮ), ГД)-
›Находим сначала производную Данной функции:
ГОО = 3Х2 -616 +5. ПОДСТавляя в эту формулу значения
х1=ш1, х? = 0, хз =1, получаем:
І'<-1›= 3 (но2 -6<-1›+5 =14, НО) ~=5, і'(1›= 2. <
4. Найти производную функции у = (х *ЮЗ/ЗС? _
› Данная функция является произведением двух функций:
3/
и = х-- 3, и = х2 . На основании правила Дифференцирова-
НИЯ произведения двух функций (СМ- формулу (96)) находим:
у! : (х *Світ +(х -3)(%/:Х_'ї), :.(х -3),%/__;ї +
+<х-з><х2/З›' =1~%/3?+<х наёх-Ш = и? +Щ =
3
зЛ
_Ѕх-б 4
зё/Ё `
5. Найти производную функции у = х _ 4
х+4і
364
пРоизводнАя
› Пользуясь правилом дифференцирования частного двух
функций (см. формулу (9.7)) и первой из формул (9.19), полу-
Чаем:
І
у,__ (Эс-4) (На)-(х-4)(х+4)І _1-(х+4)-(х-4)-1
_
(х+4)2
(х+4)2
в
(х+4)2' 41
'ь -д
_
6. Найти производную функции у = х/2х2 - Ѕх + 5 .
› Это сложная функции, которую Можно представить так:
у= «Е и = 2):2 е8х+5.
В соответствии с первой из формул (9.21) Находим:
Р'
2-
І.
щ
(6362 ___8х+5) : (2х 8х+51+=
4х8
=
2к/2х2 - ах+ 5 2\/2х2 -вх +5
4
д
2х-4
42152 -зх+4
Іщх
7. Найти производную функции у = 1п1/Ґ.
х
› Представив данную функцию в следующем виде:
1-х
1--х 1/2 1 1-х
у=1п __:111 ш =ч1п-_-=
1+х
1+х
2 І+х
= -Ё-(ІЩІ -« - х) Ь-Іп(1 + х)),
найдем ее производную:
,___1 _(-1_1]__1 _ ц2____
у 21-1- 1+х 2 14.18 х2ц1`4
2
8. Найти производную функции у = ех +2” .
› Данную сложную функцию можно записать так: у == ви,
где и = х2 + 2х +1. В соответствии с формулой (9.25) находим:
2
Г
2
І
2
(ех +2х+|) п_Медс +2х+ї (х2 +2х+1) =2(х+1)ех +2х+і1г 4
_
Ц
2
9. Записать уравнение касательнои к линии у = х
- 4х+5
в точке Мо (3, 2).
Основные формулы дифференцирования
365
›Точка МО (3, 2) лежит на линии, так как ее координаты
удовлетворяют данному уравнению: 32 -4-3 +5 = 2. Находим
производную функции 1”(х) = я2 -4х+5 и ее значение при
хп =-' 3:
'
Гог) = 2х-4, ітхо) = из) =2-3-4 =2.
В соответствии с формулой (9.3) получаем уравнение каса-
тельнои:
у-2=2(х-3), 2х-у-4=0. 4
10. В какой точке касательная к линии у = х3 параллельна
Прямой у=3х-5?
*
›Данная прямая имеет угловой коэффициент Іс == 3. Так
как К = твое, а гёос=і'(х0) (см. формулу (92)), то для фун-
кции І(х)=хЗ имеем ]'(х)=Зх2 и 3х2ш3, 262=1, откуда
х І:-], х2 =1. Изуравнения у:хз находим: у]=(-1)3= -1,
у2 = 13 =1. Значит, условию задачи удовлетворяют две точки:
М1 (-1, -1), М2(1,1).
Задачи
Найдите производные указанных функций.
1
З
4з
,
=-.х- +-
Іу4
х
2х
2. у=х5т4х4+2х3-3х2+7х-9.
2-х+5.
з =--Ш----
4.
=
-
х 2х2 зхз
у 2х2 4х4 бхб
5у__5Щ2
6у__3
3
'
45х4 Зх/-зсї
435%; 2%/-2 -
3х-г2
х2-1
7.
=
.
8.
=
у 4х+5
у х2+4
9 У=х2гх
10. у==ахх3.
1
пау=хї+ўі
-
12.у=2шх+х--=
х
1
13. у=(3х2-5)3.
14. У:
0х+7ў`
366
ъ.
пРоизводНАя
1а,у=4х4+2х+3: 1а у=×942е+4.
17. у=1п(х2+а2).
18. у=1л(х+а)2.
а+±5ех
19. у=111\/х2+с12.
20. У=а дех-
21. Запишите уравнение касательной к линии у: х2 1-6х+7 в
точке Мо (1, 2).
22. В какой точке касательная к линии у = хз параллелвна пря-
мой 12хгу+5=0?
Ответы
з
4
з
2
41
1
1. (ЗС-*1) . 2. 535
"1634' +6х “6354-7 .
3.
“Шї+_ї+т"ї.
х
х
х
1,І1
1
1
1
1
4 ---+-----,
5.
-
+
.
6.
_
+
.
хзхЅх?
хё/Ё 2:24; ~
хЗї/Ёё хё/Ё
.
232..
-д-ї 9. 2хех+х2ех. 10. ахіпа-х3+ах-Зх2.
(4х+5)
(х +4)
2
х+І
4
11. 5 4+5х1115. 12, (тттт) - 13. 18 3 2д5 2. 14.
-
а
х
х
х(х)_
0х+7ў
2х3+1
5х3+8х
2х
2
х
15.
_
16.
.
17.
-
18.
.
19.
_
\/х4+2х+3
42х+4
х2+г12
х+а
мда2
24:11)):
~
20.
___-Ы. 21. 4х+ -6=0. 22. М Щ2, НЗ), М (2, 8)..
(ащьех)2
у
1(
2
9.3. пгизнАки постоянства,
возРАстАния и УвывАния функции.
экстввмум Функции. нАивольшвв
и нАиМвньшвв знАчвния Функции
на пРомвжУткв
Необходимое и ,достаточное условие постоянства функции
у = с, с = совет, выражается равенством
у*І ~= 0.
(9.26)
Достаточное условие возрастания (убывания) функции
выражает
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
367
Теорема 9.1. Если функция У ї Дх) имеет положитель-
ную нроизводную (Ґ(х) > 0) в некотором промежутке, то оно
возрастает в этом промежутке; если І'(х)< О, то функция
убивает в соответствующем промежутке.
Замечание. Теорема имеет следующий геометрический смысл:
если касательнан к графику функции у: Лх), определенной на
промежутке (о, Ь), проведенная в любой точке графика, образует с
осью Ох острый угол оЁ, трос > 0, то функция возрастает в этом про-
межутке. Если касательная _к графику функции образует с осью Ох
тупой угол, трос < 0, то функция убывает в соответствующем проме-
жутке (рис. 9..2).
'
уд
М
І
¦
ъ
1
',`
І.
а
ІІ
ъ...
'і
а1
ы
0и
оя?
2?в
в 'її
Рис.9 .2
Максимумом функции ЛХ) называют такое ее значение
Лас1 ), которое больше всех Других ее значений, принимаемых
в точках, достаточно близких к точке хі:
Лх) < Ли),
а
(9.27)
ГДЄ Х=Х1 +АХ; [Ах' < б; 5 Щ достаточно малое число, б > 0
(рис. 9.3).
У
ї
і
Рис. 9.3
Минимумом функции ЛК) называют такое ее значение
[(хг), которое меньше всех Других ее значений, Принимае-
мых в точках, достаточно близких к точке х2:
"ъ
368
производная
Ли) < ЛК),
Ґ
(9.28)
Где Х=Х;+АХ; [Ах\<б; 5 --ДостаточномалоеЧисло, б>0
(рис. 9.4).
И
Максимум и минимум функции называют экстремумом.
Тдикой экстремума функции І (х) называют такое значение хп
аргумента, при котором функция имеет экстремум, т. еҐ мак-
симум или минимум. На рис. 9.3 и 9.4 хІ, х2 -ш точки экстре-
мума, причем х,
-
точка максимума,-х2 -ш точка минимума.
Теорема 9.2. В точке экстремума хп дифференцируемой
функции ее производная равна нулю:
1"(х0)=0.
(9.29)
Данная теорема выражает необходимое условие экстрему-
ма дифференцируемой функции. Теорема имеет следующий
геометрический смысл: если при х == хО функция І (х) имеет
экстремум, то касательная к графику Данной функции в точке
М0(х0, уд) параллельна оси Ох (рис. 9.5). В этом случае угло-
вой
коэффициент
касательной
равен
нулю:
Іс 2 твое: І'(х0) = О.
УД
На
І
І
І
Ъ
..._
ПІ
Ху
Х
Рис.9.5
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
369
Замечание 1. Равенство (9.29) не является достаточным усло-
вием того, что хО - точка экстремума функции ЛЮ-
Например, для функции Лх) = из в точке хО т О имеем
]'(х) = Зхг, ГЮ) = 0, но хО = 0 не является точкой экстремума, так
как]`(х)<:0при х<0 иЛх)>0 при х>0(см.рис.4.15).Следова-
тельно, нет такой окрестности точки хо, для всех точек которой вы-
полнялось хотя бы одно из неравенств ]`(х) < Дип) или
/(х0) < Ґ(х)
к
За м е ч а н и е 2. Функция может иметь экстремум в точке, в кото-
рой производная не существует или обращается в бесконечность.
Например, функция І(х) = [хІ не имеет производной в точке хо: 0,
но достигает в ней минимума: [(0) = 0 и Лх) > 0 для всек точек лю-
бой окрестности точки х0= 0 (рис. 9.6). Функция [(х) = 1:2/3 не име-
ет конечной производной в точке х = 0, поскольку Ґ(х)= ~хтш при
х = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функёіия имеет
минимум: /(О)=0, /(х)>І(0) при х±0.
Уд
Ё*
(и
0
к!
Рис. 9.6
Точка, в которой производная равна нулю, называется
стационарной. Точка, в которой функция не имеет производ-
ной или в которой производная обращается в бесконечность,
называется критической. Следовательно, точки экстремума
следует искать среди критических и стационарных точек.
Ё Вопрос о достаточном условии экстремума функции мож-
но решить с помощью первой или второй производной.
Второй производной функции у = І (х) называют производ-
ную от ее первой производной уІ = І'(х). Вторую производ-
ную обозначают так: у” = І”(х).
Для того чтобы сформулировать теорему о достаточном ус-
ловии экстремума с помощью первой производной, разъяс-
ним, что понимают под выражением «функция меняет знак
370
пноизводндя
при переходе через данную точку». Говорят, что функция
ДХ) меняет знак при переходе Через точку хд, если
Ґ(-Х1)Ґ(Х2) < 0 при значениях х' и х2, Достаточно близких к хо
и таких, что х, < хп < х2, причем знак меняется с «плюса» на
«:<1~.тинус».І когда І(х1)> 0, /(Х2) < 0.і и с «минуса» на «плюс»,
если /(х,) < 0, Ґ(Х2) > 0 (рис. 9.7).
щ
УА
(
2
3
Є
*
/
Ч
1
:
3
,
І
Ъ
<
'
С
Э
*
Ч
Ґ
Рис.9 .7
Теорема 9.3. Если производная функции ПЗС) равна нулю
при хе: но и меняет знак при переходе через хе, то хе _ точка
зкстремума, причем:
1) хо
-
точка максимума, если знак меняется с «плюса» на
«Минус»,
2) хе _ точка минимума, если знак меняется с «минуса» на
«ПЛЮС».
Теорема 9.4. Если при х = хО первая производная функции
ЛК) равна нулю, а вторая отлично от нуля, то хО - точка экс-
тремума данной функции, причем:
1) хе
-
точка максимума, если ҐТХО) < 0;
2) хп --- точка минимума, если Ґ І"(140) > 0-
Дяя того чтобы найти наибольшее значение функции
у: і (х) на отрезке [а, Ь], необходимо вычислить значения
максимумов на этом отрезке и значения функции на концах
отрезка, затем из полученных чисел выбрать самое большое.
Аналогично находится наименьшее значение функции.
Примеры
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
-]'(х) = хз -1,5.к2 -6х+4.
› Данная функция, определенная в интервале (дню, +ш),
имеет ироизводную
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
371
Ґ(х) = 3):2 -Зх-б = 3(х2 -х-2).
Производная обращается в нуль, когда х2 -х -2 = 0, от-
куда х1 = -1, х2 = 2. Данные точки Делят бесконечный ин-
тервал на три интервала: (-Фо, -1), (_1, 2), (2, +ш). Исследу-
ем знак производной в каждом из этих интервалов.
Если х<-1, то щх)=308 -х-2)=шагом-“2)>0, так
как х + 1< 0 и х - 2 < 0. Следовательно, функция возрастает в
интервале (-ФФ, і'-1).
Если -1< х < 2, то і'(х) = 3(х +1)(х -~2) < 0, поскольку
х+І > О, х- 2 < 0, поэтому функция убывает в интервале
(-1, 2).
Так как Ґ(х) = 3(х+1)(х-2) > 0 при х > 2, то функция
возрастает в интервале (2, +00).
С учетом того, что [іт Дх) = -о<=~,
3520 І(х) = +00, строим
хн-ї'т
эскиз графика (рис. 9.8). 4
'5
Рис. 9.8
2. Найти промежутки возрастания и убывания функции
Дх): х5 +5х4 +5х3 -8.
› Данная функция определена при всех х, областью ее оп-ь
ределения является бесконечный интервал (-ш, +ш). Произ-
водная этой функции
Ґ(х) = 5х'4 + 20а:3 +15):2 = 5.›с2(х2 + 4х + 3)
372
производная
обращается в нуль в трек точках: х] == #3, х2 = -1, хз = О, кото-
рые разбивают область определения на Четыре интервала:
(-ш, -3), (#3,
- 1), (~1, 0), (0, +00).
Поскольку /'(х) = 5х2(х +1)(х + 3) > 0 при х < «3, то фун-
кция возрастает в промежутке (-Фо, -3).
Так как /'(х)<0 при щ3<х<-1, тофункция убывает в
интервале (-35
- 1).
В интервале (-1, О) функция возрастает, поскольку
ҐТХ) > 0 при -1< х < 0; В интервале (0, Чт) она таюке воз-
растает,Г поскольку /'(х) > 0 при х > О. 4
3. Найти экстремумы функции /(х) 2 (2 - х)\/3 1:2.
› Производная данной функции
/'(х) = -Ё/хї+(2-х) 2154/3 = 4ч5х
3'зё/Ё
равна нулю при хІ = 4/5 и обращается в бесконечность при
х2 = 0. Исследуем эти точки с помошью теоремы 9. 3.
Так как /'(х)>0 при 0<х<4/5 и /'(х)<0 при х>4/5,
т. е. при переходе через точку хІ == 4/5 производная меняет
знак с «плюса» на «минус», то хІ = 4/5 Ш- точка максимума.
Вычисляем значение максимума:
46
6
(пт/ТГ
ПосколькуГСС)<0 при Х<0 иГСС)>0, т. е.припереп
ходе через хц = 0 знак производной меняется с «минуса» на
«плюс», то хд = 0 - точка минимума, причем
шіп/(х) 2/(0) :(2-0) ~0 =О. 4
График функции изображен на рис. 9.9.
ЦК
а
54/32
2\ї
Рис. 9 .9
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
373
4. Найти экстремумы функции і (х) = х3 -3х+ 1.
› Производная данной функции
их)=за2-з =308 _1)=зон-1)(х+1)
определена при всех х и обращается в нуль при хІ = ~1, хд = 1.
Исследуем эти точки с помошью теоремы 9. 4, используя вто-
рую производную і”(х) = бх Данной функции.
Поскольку ]”(-1)= 6 (-1) = -6 <: О, то х] = -1 Ч точка
максимума; так как І”(1) == 6~1>0= то хд = 1 - точка мини-
мума.
Вычисляем значения экстремумов:
так их) = д-І) = (-1)3 -Зє-І) +1 = з,
панда-ддт? -з~1+1=-1. <
График функции изображен на рис. 9.10. ~
М
3.
ЦС
~2]-і а\і/2Т
-г
Рис.910
5.. Исследовать на экстремум функцию
і(х)=д1~х4-2х3+1-2Іх2- х+З-.
› Находим первую и вторую производные:
ітх) = хз -вх2 +11х-6, тх) = зхг -12х+ 11.
ВЫЧИСЛИМ ЗНЕІЧЄНИЯ Х, ПРИ КОТОрЪІХ ПЄрВЕІЯ ПРОИЗВОДННЯ
равна нулю: х3 щбх2 +11х-- 6 = 0. Разлагая левую часть урав-
нения на множители, получаем:
х3-6х2+ІІх-б=х3щ5х2-х2+5х+6х-6=(х3-х2)-
- ~ -~(5х2 -~5х)+(6х 6): хЁ-(х 1)---5х(х 1)+6(х-1)=
={х~~1)(1с2 -5х+6)=(х-1)(х-2)(х-3).
хІУравнение принимает вид (х-І)(х~2)(х-3)=0, откуда
_
+в,]_ хз: 2, хз: З
374
производная
ИССЛЄДУЄМ ЗНЕІК ВТОРОЙ ПрОИЗВОДНОЙ ПрИ ЭТИХ ЗНЕІЧЄНИЯХ х:
,іе"1'(1)=:ъ~12 -12-1+11=2>0,
і”(2)=3-22 *12-2+11= -1< 0,
і~(3)=3.32 -н1223+11=2 >0.
Следовательно, х1 = 2 - точка максимума, х] = 1 и хз = 3 -
точки минимума. Найдем значения ёкстремумов:
тіпі(х)=[(1)=- 14-213+12-1~21 61 2-
_0
-2
23 +222 -6
-2 +-9- =-І-,
2
44
442322232 -6›3+2=0.
.
2
4
так і<х>= /(2› =і2
13
ШіП і(х) ї(3) -
График функции изображен на рис. 9.1 1. 1
Ул
ъ
0
і23
к?
Рие.911
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Лас): х3 -Зх на отрезке [-3, 31.
› Исследуем функцию на экстремум с помощью первой и
второй производных:
1Г(:›с)=3х2 -3 ҐНОС): бх; _
ҐОС): 0 3х2-3=0, 3(Х2-1)=0,х1='*1-;С2=1;
і"(-1)= -6 <0, такдх) =/(-1)=(-1) -3(~1)=2;
і”(1)=6 > о, тіпдх) = до = 13 -3-1± -2.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
і(-3›= (-зў-з(_3)= -27+9= -18,
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
375
і(3)=33-3-3=27-9=1з.
Среди четырех чисел 2, -2, ч18`и 18 выбираем наибольшее
и наименьшее: наибольшим Является Число 18, наименьшим -
число -18; это значения функции на концах отрезка. 4
'7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Лх) = х3 -12хР8 на отрезке [~3, 31.
І» Исследуем функцию на экстремум с помощью первой и
второй производных:
их) = зхї -12, І”(х) а бх,
х1= -2,х2= 2;
3162 -12 =0, за? -4) =0,
і”(-2>=6 (-2)<0,таких)=л-2)=(-2)3-12(-12› -8 =8;
і"(2)=6*2>0, тіпдх)=Ю)=23~12 -2-8 = -24.
Вычисляем значения функции на концах отрезка:
д-з) = (-3)3 -12(-з)-8 =1, дэ) = 3З -12~3-в = _17.
Среди четырех чисел 8, -24, 1, -17 выбираем наибольшее
и наименьшее: наибольшим является число 8, наименьшим
-
число -24; это значения экстремумов данной функции. 4
Задачи
Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
І. [(х)=х2+8х+7.
2.
з. і<х>=х2-зх+5.
4.
5. І(х)=х3+6х2+9х-12. 6.
т. і(х)=4х2~х4нз.
3_
9. І(х)=х5-5х4+5х3+2. 10.
11.1(х)=х+×/х_-Т.
12.
Найдите акстремумы функций.
13. і(х)=х3_3х+5.
14.
15.;(х)=х4-10х2+15..
16.
"17. ї(х)=х5~5х4+5х3+4. 18.
і(х)=3+2х-х2.
;(х)=6±3х2_х3.
ди) ==х4 т2х2.
/(х)=х4-4х2+5.
Ди) = хб 4,516* + 121?
-
10.
их)=(х
-
Ані/Ё.
их) = хз на:2 -4.
[(х)=13х2 -х4 + 30.
дх)=кб
-
ви* +9иї`<щг
376
пРоизводНАя
Х
Х
-х
19.. І(х)= Єх +22-
.
20. І(х)= Є _;
Найдите наибольшее и иаименьшее значения функции на отрез-
Ке [-2, 2].
21. і<х>±х3+зх_5.
22. ;(х)=х3+зх2-6.
23. і(х):'2х3а5х2+7х_з. 24. і(х)=9х3+6х_2 _1.
25.1(х):х3~2х2+х_2.
26.1(х)=х3-12х+5.
Ответы
1. Убывает в интервале (-=>==, 4); возрастает в интервале (4, +00).
2. Возрастает при -ш < х < 1, убывает при 1 < х < +00. З. В интервалах
(-=›=›, -1), (1, +=><›) возрастает, в интервале (-1, 1) убывает. 4. Убыва-
ет в интервала): (-ш, -2) и (О, +00), возрастает в интервале (-2, 0).
5. Возрастает в интервалах (-°<›, -3) и (-1, +00), убывает в интерва-
ле (-3, -1). 6. Убывает в интервалах (-<><=, -1) и (0, 1), возрастает в
интервалах (-1, 0) и (1, +00). 7. Возрастает в интервалах (-с›-==›, -\/2),
(0, Л), убывает в интервалах (-\[2, О), (Л, +00). 8. Убывает в ин-
тервалах (-о<›, -\/2), (О, Л), возрастает в интервапах (-\/2_, 0),
0/2, +<=ю). 9. Возрастаетвинтервалах (-<><›, О), (О, 1), (3, +ш),убывает
в интервале (1, 3). 10. Убывает в интервалах (ЧП, -2), (-1, О),
(1, 2), возрастает винтервалах (-2, -1), (О, І), (2, +00). 1'1. Возрастает во
всей области определения. 12. Возрастает в интервалах (-==<›, О),
(8/5з +аа), _убывает в интервале (О, 8/5). 13. так/(х)==І(-1)=7,
тіп і<х>=і(1)=з. 14. шило-4, так [(х)=/(-2)=0. 15. так Да) =
= до)=15, панда)=дь/ї)= -10. 16. т'шлх)=до)=30,
так і(х)=і(±,ДзЁ)=72,25. 17. ти /(х)=/(з)=-2з, так і<х>=д1>=і
18. ти их) =і<-~/гї> что) -т/ї) =0, так то) -іою = т<1>=4.
19, Шіп _/(х) == _/(0)=1. 20. Экстремумов нет.,21. 9, -19. 22. 14, -6. 23.
7, -53. 24. 95, -49. 25. 0, -20. 26. 21: -11.
Направления выпуклоети кривой. То чкн перегибв
377
9.4. НАПРАВЛЕНИЯ выпуклости кривой.
точки пвРвГивА. Асимптоты кРивой
График функции у = 1” (х) называют выпуклым вниз (водну-
тым вверх) в интервале (и, Ь), если он Целиком расположен
выше касательной в его произвольной точке М (рис. 9.12).
Ул
_
р
.
_
_
.
.
.
ъ
Є
ь
ж
-
'
І
-
І
Н
-
г
г
-
п
-
_
_
Ц
Б
л
и
н
-
“
_
_
_
ё
-
е
ї
г
Рис.912
График функции у = і (х) называют вынуклым вверх (вог-
нутым вниз) в интервале (а, о), если он Целиком расположен
ниже касательной в его произвольной точке М (рис. 9.13).
Д/\
У
д
у
с
.
.
.
.
_
-
_
_
і
¦
0*
в
Рис.913
Теорема 9.5 (достаточное условие выпуклости (вогнутос-
ти) кривой). Если вторая производная функции у = і (х) поло-
жительно в интервале (в, Ь), то график этой функции являет-
ся выпуклым вниз в данном интервале Если і (х) <: 0 в интер-
вале (в, Ь), то график: функции у= і(х) являетея вынуклым
вверх в этом интервале.
4ГТот'сой нерегибв непрерывной кривой называют такую ее точ-
ку МО (рис. 9.14), при переходе Через которую кривая меняет
свою выпуклость на вогнутость относительно одного и того
же направления (например, вверх).
Теорема 9.6 (достаточное условие точки перегиба). Если
для функции у = Лх) вторая производная при х = хо ровно нулю
378
`
производная
М
“а
І
о
І
п
,
1
_
Ё:
0 ,Ха-Е
ХВ
Хдіє А*
Рис.9і4
и меняет знак при переходе через это значение, то М0 (х0; і(к0)) --
тонко нерегибо графика данной функции.
Асимптотой кривой называют Прямую, к которой неогра-
ниченно приближается точка кривой при неограниченном
удалении ее от начала Координат (рис. 9.15).
уіх
/
Рис.915
По виду уравнений относительно выбранной прямоуголь-
ной системы координат различают асимптоты вертикальные
(параллельные оси Оу) и наклонные (пересекающие ось Оу).
Прямая
х=а
оаш
называется вертикальной осимнтотой графика функции
у = [(х), если хотя бы одно из предельных значений
Лех-0): іігп Дх), [(о+0)= Ііт і(х)
(9.31)
х-аа -О
х-+а+0
является бесконечным.
Прямая
н
у=Юг+д
(9.32)
называется наклонной осимнтотой графика функции у = Лх),
если эта функция представима в виде
Ле) = ЁХ+Ь+01(х),
`
(9.33)
Направления выпуююсти кривой. Точки перегиба
379
где пт(их)=0.
ц (9.34)
х-)°Ф
_
График функции у: Лх) имеет наклонную асимптоту
(9.32) тогда и только тогда, когда существуют два конечных
предела:
Ііш ш
х-аш х
= к, ііїцщ) -Іоо = Ь.
(9-35)
З ам е ч а н и е. Запись 1іп1 і(х) означает предел функции ЛК) в
,гнал-0
случае, когда х-> а, оставаясь меньше а: х < а (предел слева); за-
пись 1іт ОЛХ) означает предел функции Ґ(х) в случае, когда
І-)Д+
х -> а, оставаясь больше а: Х > а (предел справа).
Примеры
1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графи-
ка функции Лх) = х3 -3х+ 1.
› Находим первую и вторую производные данной функции:
і'(х):3х2-3, Ґ”(І)=6ЭС.
Р
Поскольку і”(х) < 0 при х < 0, то график функции явля~
ется выпуклым вверх в интервале (-ш, 0). Так как 1'”(х) > О
при х > 0, то график функции будет выпуклым вниз в интер~
вале (О, +<><›).
Вторая производная равна нулю при хд = 0 и меняет знак
при переходе через это значение: /”(0) = 0, /”(х) < 0 для
х<0и]”(х)>0длях>0.Значит,хо=0
-
абсциеса точки
перегиба, ее ордината уд = Лхо) =і(0) =1. Итак, М (0, 1) -~
точка перегиба графика Данной функции (см. рис. 9.10). 4
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графи-
кафункциида)=хз«-3х2+за-5.
› Находим производные данной функции:
ітх) = зх2 -6х+з, гтх) = вх-в ± бра-1).
Вторая производная равна нулю при х = 1. Если х < 1, то
і”(х) < 0, поэтому график функции является выпуклым вверх
в промежутке (ная, 1). Поскольку і”(х) > О при х > І, то гра-
фик функции является выпуклым вниз в промежутке (1, +90).
Так как вторая производная меняет знак при переходе через
380
_ пРоизводнАя
значение хо =1(/”(х)<0 при х< 1; І”(х)>0 при х>І), то
,то = 1 ~ абсцисса точки перегиба, а ее ордината уп = ЛХО) =
= [(1) =1-3 +3 -5 =-4. Следовательно, М(1, -4) - точка пе-
региба графика данной функции (рис. 9. їб). 4
л,
ъ*-
74,7
`/' в
Рио.916
ч
а
т
-
“
С
Э
М
Ч
:
х2+х
3. Найти асимптоты кривой у =
1.
2
хщ
_
х+х
› Так как Ітт
= ш, то прямая х "д І является верти-
х-->І х-1
кальной асимптотой.
Далее,
х2+х
2
у=
=х+2+щ~=в~=х+2+от(х),
х-1
х-1
где Щх) = 2/(х- І) -›0 при х -я ФФ. В соответствии с форму-
Лами (9.32)~(9.34) заключаем, что прямая у = х + 2 является
наклонной асимптотой данной кривой (рис. 9.17). 4
\/
/:0/±Ґ
ї
Рие.9Л7
Направления выпуклости кривой. Точки перегиба
381
х2+1
2-
› Данная кривая имеет две вертикальные асимптоты: х = і-І
их=1,такКак:
4. Найти асимптоты Кривой у =
х2+1
х2+1
пт2 =1іт2
х-›«-Іх _- 1
хнвіх __]
ІОО.
Выделяя Целую часть функции путем непосредственного
деления или с помошью простых преобравований, Получаем:
у_х2+1_л2 -1+2 _1+ 2
х2 -1
х2 ц-1
х2 «1
где о:(х) = 1/(1:2 -І) -' _> 0 при х в и. На основании формул
(9.32)-(9.3_4) заключаем, что прямая у Щ 1 является асимпт0~
той данной кривой (рис. 9.18). 4
31+оъ(х),
Ид
і
0
[І
Рис.918
И
Задачи
Найдите промежутки вьтпуклосїи и* точки перегиба графика
функции.
`
1. і(х)=х3н6х+7.
2. конце*-звсЦ-«н-Ѕі
3. Ґ(х)=Х3Н5х2+9.
4. [(х)=х3+6х2-7х+8.
5. у<х>=х4~6х2+5х-я 6. і<х>=х4~12х2+1о
#2
1
т. тот-х
.
з. і(х›=-_+з.
х+3
х-2
34
з
зх4
9. Ґ(х)=~8-х Рза: +2.
10. /(х)==х +1?
382
~
производим
Найдите асимптоты графика функции.
6
8
х ЗМ.
х==
_
11. Л) х+7
12. А) х2_25
х
3
13.Ґ(х)= 2
-
14.](х): З
_
х"1
хих
4+2х-х2
х~`>+2х2ц5
15. Лх>=ж~
16.10):
2
х
х
2х --4х+9
х
17. І(х)=-------.
13, І(х)=--2---_Ш.
х -4х+3
19І)~х4
20 тайн-515
і (х _х3+1'
'
х+5.
Ответы
1. МЮ, 7) - точка перегиба. 2. М(1,~"3›).3.і М(2, _7). 4. М(-2, 38).
5. Мы, _19), ш1,-9›.6. Мск/5, чо), МЛ, -10). таньтто-
чек перегиба. 9. МЮ, 2), Мд/З, 22/27). 10. О(0, О), М(~2, _4).
11.х=+~7.12.х= -5,х=5.13.х=-~1,х=1.14.х=0,х=тї,х=1.
15.х=0,уї _х+ 2_16.х=0,у=х+ 2.17.х=0,у=х-4.18.х=1,
х==3.19.х: -1,у==х. 20.х==-5,х= 5,у=0.
9.5. исслвдовАнив функций и ностРовниЕ
их гРАФиков
Под «исследованием функции» понимают изучение ее из-
менения в зависимости от изменения аргумента. На основа-
нии исследования функции строят ее график.
Исследование функций и построение их графиков можно
проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции, ее точки разрыва;
2) изучить изменение функции при стремлении аргумента
к коицам промежутков области определения;
3) найти точки экстремумов, промежутки возрастания и
убывания функции;
4) вычислить значения экстремумов, построить соответс~
твующие точки;
5) определить промежутки выпуклости графика, найти
точки перегиба;
Исследование функций и построение их графиков
383
,г
6) найти асимптоты графика функции;
7) найти точки пересечения графика функции с коорди-
натными осями.
Порядок исследования иногда Целесообразно выбирать
исходя из конкретных особенностей данной функции.
Если рассматриваемая функция четная или нечетная, то ее
достаточно исследовать при положительных значениях аргу-
мента из области ее определения и принять во внимание, что
трафик четной функции симметричен относительно оси ор-
динат, график нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
Отметим, что графики взаимно обратных функций сим*-
метричны относительно прямой, на которой лежит биссек-
триса первого координатного угла.
Примеры
1. Исследовать функцию І (х) : к3 + 3):2 Щ 2 и построить ее
трафик.
› 1. Областыо определения данной функции является бес-
конечный промежуток (-00, +00); функция определена при
всех х.
2. Функция неограниченно возрастает при х-›+00, т. е.
Іігп Дх) =+00; функция неограниченно убывает при
1Х-т*-З'-І -'=>-=дт'
х~0~00, т.. е. Ііт і(х)=~00.
х-› - -00
3. Производная данной функции І(х) = 3х2 + бх 2 3х(х + 2)
обращаетсявнульприхІ= -2и хд=0.Таккакі'(х)>0 при
х < -2 и х > 0, то функция возрастает в интервалах (700,
-2)
и (О, +00). Поскольку Ґ(х)<0 при -2<х<:0, то функция
убывает в интервале (-2, 0). Отсюда можно заключить, нто
1:23 -2
--
точка максимума, х2 ~= 0 Ш- точка минимума. (Этот
результат получается и с помошью второй производной
і”(х) == 6х+6: і”(-2) =-12 +6 == 06 <0, ГЮ) =6 >0.)
4. Подставляя значения хІ = -2 и хд = 0 в выражение для
функции,
вычисляем
ее
экстремальные
значения:
щахих)=і(-2› = (-2)3+з(-2›2 «202, их)=до)= -2.
384
Производняя
Получены две точки графика функции Мд (4,2), М2 (0,-2 )
5. Вторая производная І”(Х) == 6х+ 6 обращается в нуль
при хІ == -Іт Так как і”(х) < О при х «1:1-1, то график функции
является выпуклым вверх. в промежутке (-сю, -1); поскольку
І”(х) > 0 при х Ъ -1, то график функции является выпуклым
вниз в промежутке (-1, +00); Ы (-1, 0) *- точка перегиба.
6. Так как
Іігп Щ; Ііт хз +3х2 _2
-
Н-- 00
Э
»вы
_х
х-мо
х
т. е. не существует конечных пределов вида (9.35), то график
данной функции асимптоты _не имеет.
7. Для того чтобы найти точки пересечения графика фун-
кции с координатными осями, необходимо решить две систе-
мы уравнений:
{у=ЛК), {у=Юг),
у--О,
х=0,
і
Первая система приводит к уравнению ХЗ +3х2 -2 = 0-
Разложим левую часть уравнения на множители:
ь
из +зх2 _2=›<:3 +х2 +2):2 -2=х2(х+1)+2(х2 Н1):
=(х+1)(х2 +2х-2).
Корни уравнения (х +1)(х2 + 2х7 2) = 0 являются абсцисса-
ми точек пересечения КАД-«5, О), Н(-1,0), К2(-1+×/?:, О)
графика функции с осью Ох. Из второй системы определяем
ординату у ш ЛО) = -2 точки пересечения графика с осью Оу;
эта точка совпадает с точкой М2 (0, -2).
Отметив полученные точки и приняв во внимание результаты
исследования функции, строим ее график (рис. 919). 4
Рис.9.19
Исследование функций и построение их графиков
385
2. Исследовать функцию І (х) = 4х2 - х'4 - 3 и построить ее
график.
› 1. Функция определена при всех х, т. е. в промежутке
(-Ш, +в).
2. На концах промежутка имеем:
1іт(4х2 -х4 щз) = _т, пт (418 тя* -3) = М.
х-ён-оо
Х-)'+С>Ф
3. Исследуем функцию на экстремум с помощью произ-
водных:
гос)=ах*49, гос)=в -~ 1218.
Первая производная обращается в нуль, когда 8х -4х3 = 0
или 4х(2-х2) =0, откуда х1=-
2, х2=О, хз=\/5.
так Как тов/5): і"(Л) = 8-122 = -16 < 0, то х1= ть-к/ї,
хз=Л
-
точки максимума; поскольку І”(0) = 8 > 0, то
х2 = 0 -- точка минимума.
4. Вычисляем значения экстремумов:
Шахі(х)= л-Л) = мб) =4(~/ї›2 “(4234 щ3 =1,
тіп](х)=/(0) =7-3.
5. Вторая производная равна нулю, когда 8--12х2 =0, от-
куда х1=~1/\/5, х2 = 1/05 Далее, ]"(х)<0 при х<-1/\/5,
поэтому график функции является выпуклым вверх в интерв
вале (-ш, -І/Л); І”(х)>0 ПрИ -1/«5<х<1/\/5, Т- Є- Гра*-
фик функции 'будет выпуклым вниз в интервале
(-ї/Лз ї/Л); Ґ”(х)< 0 при х>1/«/Ё, т. е. график функции
будет выпуклым вверх в интервале (1/ «Ё , +00). Проходя через
значения 11 ==
-
1/6 , х2 = 1/ Л , вторая производная меняет
знак; следовательно, хІ = -1/\/_3_,
х2=1/Л _-
абсциссы то-
чек перегиба. Их ординаты находим из уравнения
У = 4162 -х4 -3, Получаем у1= 3/2 = -8/9.
6. График данной функции асимптот не имеет (нет конеч-
ных пределов вида (935)).
7. При х = О получаем у == _3, т. е. график функции пересе-н
каетось ОувточкеМ(0,ПЗ).Приуї0имеем 4х2-х4-3 =О.
386
производная
Решая это биквадратное уравнение, Находим: х, = -к/Ё,
хд = -1, хз = І, х4 = 3. Таким образом, точки М1(- 3, О),
М2 (тІ, 0), МЗ (1, О), МЦЛ, 0) являются точками пересече-
ния графика данной функции с осью Ох.
По результатам исследования строим график функции
(рис. 9.20). 4
Рис.9.20
х2
3. Построить график функции [(х) = Ш
›Данная функция не определена лишь в одной точке
х = -1, область ее определения состоит из двух интервалов
(-т, н-1) и (-1, +00).
Исследуем изменение функции при х, стремяшсмся к кон-
цам промежутков области определения:
.
2
.
х2
.
х2
11111 т=-оо,
Іпп ш=-оо,
11ш Ш=+ФФ,
х-›-=›=:› х+ 1
х-› -І-О х+1
ясна-[+0 х+1
.
х2
11т ----=+оо.
х->+=юх+1
Находим производные данной функции:
х2+2х
2
І(х)=тна і (х):т.
Первая производная обращается в нуль нри х = -2 и х ї 0.
Поскольку
”-2 =------: -2<0,
“О =-------=2>0,
іц ) (#~-2+1)3
И) (он)З
тох== -2
-+ точка максимума, х = 0 Ы точка минимума.
2
*
2
Исследование функций и построение их графиков
387
Вычисляем значения экстремумов:
-2
0
тахдх): і(-2) -( )
2+1-,-4 тілдх): [(0): 0+1 =0.
Вторая производная не обращается в нуль ни в одной точ-
ке, график функции не имеет точек перегиба Вторая произ-
водная не определена в точке х = -1, в которой не определе-
на и сама функция. Так как /”(х) < 0 при х <--,1 Ґ'Тх) > 0
при х > -1, то график функции является выпуклым вверх при
х<-1
`и выпуклым вниз при х> -1.
График функции Имеет две асимптоты х = --1 и у = х "1,
поскольку
.
162
11гп што,
хв-1х+1
2
Ґ(х)=_т“
2
_1
х _(х )+1___х_]+_і_=х_1+а(х),
х+1
х+1
х+1
Где (1(Х)=1/(Х+1)-> О при х __) осд
Данная функция Принимает отрицательные значения при
х < -1 и положительные
-
при х > -1; она обращается в нуль
при х = О; график ее расположен целиком под осью Ох при
х<-1инадосьюОхпри х>-1,вточкеО(О,0)графикка*
сается оси Ох и пересекает ось Оу (рис. 9.21). 4
УІЪ
с
:
Ъ
>
'
с
'
І
Ґ
/1Рис. 9.21
х+3
х-З
4. Исследовать функцию І (202111
трафик.
И ПОСТрОИТЬ ЄЄ
388
_
производная
› Функция не определена только в двух точках: х = -3 и
х = 3; область ее определения состоит из трех интервалов
(_ш: _3): (-3, 3); (3: +ш)*
Исследуем изменение функции при х, стремящемся к кон-
цам промежутков области определения:
пт=1а“3 =0, пт =1п“3 =-ш,
х-э-сю
х-
х->-»3
х-З
.
х+3
.
х+3
І1п1=1п
==+<>о, Іпп =Іп--- =0.
х-ЭЗ
х-
х->+<×=
х-З
-нг
Так как і'(х) ==
убываетв интервалах (-ФФ, -3), (3, +<><>); поскольку Ґ(х)>0
<0 при х<-3 и х>3, то функция
при -3 <: х < З, то функция возрастает в интервале (НЗ, 3).
Функция зкстремумов не имеет, потому что для нее нет
стационарных и критических точек: первая производная от-
лична от нуля при всех х из области определения, она обраща-
ется в бесконечность при х 2 ±3, но в этих точках функция не
определена.
Вторая производная )””'(х)-~=12х/(х2 ~-9)2 равна нулю при
х = О и меняет знак при переходе через это значение. Следо»
вательно, х = 0 - абсцисса точки перегиба; начало координат
является точкой перегиба: у п О при х = 0:
у:;(0)=м Её =м1=0.
___ *
__
Таккакі”(х)<0прих<-З и -3<х<0,тографикфунк-
Ции является выпуклым-вверх в интервалах (-ш,
-3), (ЩЗ, О);
посколькуІ”(х):>0 при0<х<З и х>3, тографикфун-
кции является выпуклым вниз в интервалах (О, 3), (З, +ш).
Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функ-
ции, так как
.
х+3
11111 111
=0.
хеш
х-З
Поскольку
.
х+3
.
х+
[1111111
= _Фо, Іпп 1п -ЁЁ- == +00,
х-аР-З
х -РЗ
х-›3
х
-
Исследование функций и построение их графиков
Ё ЗЁЁ
то прямые х = -3, х 2 З являются вертикальными асимптота-
ми графика данной функции (рис. 9.22).
Рис. 9.22
Задачи
Исследуйте функции и постройте их графики.
1. их) =х3 тзх+2. 2. их) = хз -ах2 +9х-з.
3. І(х)=х4~4х2+3. 4. І(х)=2х3-х4+х2-2х.
х2+1
2+
з.і(х›= 2
.
в. же! х.
х«1
х~1
7. /(х)=х5-5х+з.
з. і(х)=х5+5х4+5х3.
2
-4
елены-її. 10. потім.
хе2
х+4
Ответы
1. Функция
определена
при
всех
значениях
х;
тех Дх) := І(-1)==4, тіП ЛК) = 111)” 0; МЮ, 2)
-
точка пересечения
с осью Оу, Ь (-2, О) _ точка пересечения с осью Ох, в точке М(1, 0) график
функции касается оси Ох. 2. так І(х) == І(1) = 1, тіп І(х) = ДЗ) = -3.
3. так _/(х) =](0) =3, тіпЛх) =_/(-,\/5) =І(\б) == -1.
390
произвоїдя
4. тыщ) = і(1/2› = -9/16, так ю) = х[їїё[ї]= і[1+2`/5]= 1:
х=0,х = "І,х =І,х =2 *- абециссыточекпересечениясосьюОх.
5. Область определений состоит из трех интервалов: (#00, т“1)1І (-1,
І), (1, +00); тіц/(х)=/(0)=_1; асимптоты: х == -1, х = 1, у = 1.
6. Аеимптоты:
х=1,
у==х+2.
7. так Дх) == І(-1) == 7,
тшдхьт) =Ч~1. з. так дх) =і(_з) ...-=27, п11пі(х)=І(-1) = -1 -
9. Экстремумов нет, асимптоты: х = -2, х = 2, у = 0. 10. Экстремумов
нет;асимптоты:х= --4,х =4,у =0.
і 1 о ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
10.1. опРвдвлвнив
твигономвтгичвоких Функции
Рассмотрим окружность радиусом К = ї с центром в нача-
ле координат (рис. 10.1), уравнение которой
х2+у2±1
(10.1)
(см. формулу (251)). Пусть А - произвольная точка этой окруж-
ности. Обозначим буквой ос величину угла, образованного от-
резком ОА с положительной полуосью Ох. Если отсчет ведется
против хода часовой стрелки, то величина угла считается поло-
лштельной, а если по ходу часовой стрелкиҐ - отрицательной.
Уд
уйти"
і
а¦
-І
дходїї
Рис.10.1
Обозначим прямоугольные координаты точки А Через
(хш уод, тогда по определению тригонометрические функции
синус* и косинус
*Определение синуса и косинуса с помошью формул (10.2) впервые пред~
ложил уроженец Беларуси И. П. Долбня (1 853-19і2).
Происхождение названий тригонометрических функций связано с их ге-
ометрическим представлением как отрезков в единичной окружности
(см. рис. 10.3). Так, латинское слово тандем означает касающийся (ща, изобц
ражается отрезком СБ касательной к окружности); весят - секушая (Бесы
изображается отрезком ОС секущей к окружности).
_
Название «синус» (лат. зіпиз - пазуха) представляет перевод арабского
<<джайб››, являющегося искажением еанскритского слова «джива» (буквально -
тетива лука), которым индийские математики обозначают синус (синус изоб-
ражается отрезком АБ
-
половиной отрезка удвоенн ого угла, который напо-
минает тетиву). Названия «косинус», «котангенс», «косекане» происходят от
сокращения слова сотріететг' (дополнениеу Например, «косинус» - от
сотріетєпгі зіпиз (синус дополнения).
393
ч
ункции
Определение тригонометрических ф
ы
Б
Ё
Ё
Ю
Е
Ё
о
Щ
о
Е
Ё
Б
Ю
Е
Ё
о
:
о
д
м
ы
:
о
о
т
д
е
«
_
_
.
:
Н
ы
ь
ъ
.
.
И
:
ї
М
Е
;
ы
Ё
Ф
и
М
Е
,
Ё
Т
.
Щ
,
_
.
Ё
Ф
.
.
ы
Ё
,
Ё
0
%
Е
Е
н
ш
,
Ё
Ь
Н
Щ
,
_
_
5
2
д
д
т
»
8
3
1
%
»
Ё
0
2
ы
ш
т
;
и
т
\
т
\
×
~
т
т
ь
д
п
щ
,
ь
ь
щ
е
о
и
і
т
ъ
ю
ю
ю
ъ
о
м
ы
т
ь
е
ы
.
:
Ё
Е
Ы
п
о
т
Б
Ё
Ё
Ч
Е
Ё
е
:
р
Б
Ё
Б
Н
Ё
Ё
ы
щ
с
а
о
о
о
о
З
а
п
и
с
и
б
и
о
щ
Е
Щ
Ё
Б
М
В
н
.
ш
о
п
б
Е
ш
г
_
Ё
ш
т
н
ё
ц
Е
ц
ъ
щ
ш
ц
г
д
щ
ё
и
щ
ъ
д
ч
Ё
с
о
г
д
д
г
ю
ї
о
щ
о
ь
з
ц
ь
Ь
Щ
о
Е
Ё
ц
<
м
.
а
д
ш
к
з
ё
ш
н
392
тРигоНоМЕтРичЕскиЕ Функции
вінос=уОН созос=хц.
(10.2)
Тригонометрические функции тангєнс, котангенс, секанс,
косеканс определяются формулами:
Ѕіп о:
сов ос
іёов:
,
стяов: _
, весов:
сов ов
5111 ос
ў
СОЅ СС
совесоіІ ==
(10.3)
Ѕіпос'
Угол может измеряться как в градусах, так и в радианак и
изменяться от -т до +00. Чаще используется радианное из-
мерение, причем обозначение радиан опускается; тогда три~
гонометрические функции считаются функциями числового
аргумента.
Поскольку (ха, уп) - прямоугольные координаты точки
единичной окружности, то из определения синуса и косинуса
(см. формулы (102)) и уравнения (10.1) этой окружности сле-
дует равенство
сов2ос+$іп20с=1,
1
(10.4)
которое называют основным тригонометрическим тожден
ством.
Для острых углов значения тригонометрических функций
можно определить как отношения сторон прямоугольного
треугольника (рис. 10.2):
Ь
Рис. 10.2
яиц:
7
Ь
а
Ь
,
совос=Ы, Іёос=-,
стёоа = -
с
Ь
а
(10.5)
с
,
совесос = -
а
ЅЄСЦ =
'
с
т
-
[
п
г
ъ
П
о
394
тРигоНомЕтРи ческие Функции
или как длины отрезков, связанных с окружностью единич-
ного радиуса (рис. 10.3):
е
Ва
Ш
и*
Рис. 10.3
ЅЁПЦЗАВ, соЅос=ОВ, щось-СВ, стёос=ЕР,
(106)
Ѕесоъ=0С, созесоь=ОР.
.
Приведем значения тригонометрических функций для не-
которых, значений аргумента 0 5 от і: *гс/2 (табл. І0.1).
Замечание.
Отметим,
что
справедл ивы формулы:
созоє = Ѕіп(тг./2 - ос), сїёоъ = тети/2 Н ос), созесоъ =Ѕес(к/2 -оь),
Ѕіпос=соЅ[Е~оп} тёос=ст3(-Е -ос}
(103)
2
2
10.2. основные свойствА
тРигономвтРичвских Функции
Знаки тригонометрических функций. Поскольку синус и
косинус - координаты точки единичной окружности, то зна-
чения синуса и косинуса имеют те же знаки, Что и координа-
ты точек в соответствующих четвертях, а знаки значений тан-
генса определяются знаком отношения 5111 оь/еоЅ а.,
Знаки
значений синуса, косинуса и тангенса в координатных чет-
вертях показаны на рис. 10.4, а, б, в соответственно.
Четные и нечетные тригонометрические функции. Рас-
смотрим точки А и А1 единичной окружности (рис. 10.5), та-
кие, Что отрезок ОА образует с осью Охутол ов, а отрезок ОАІ -
угол (-оъ). Обозначим координаты точки А буквами х, у, а ко-
ординаты А, - буквами хІ, уІ.
Основные свойства тригонометрических функци_й
К
дЗМ
д
щ
и
*
а
Н
Ѕтві
(195.1
Д+
0
Рис. 10.5
Из определения синуса и косинуса следует, что
х=созоъ, у -_-
Ѕіцц, х] = соз(-ос), уІ = зіп(-ов).
Ы/
Ктчт. его
м
у
Поскольку точки А и А] симметричны относительно оси
Ох, то х! = х, у1== -у. Следовательно,
соЅ(-а.) = сов ос, зіп(-ц) = -зіп оъ.
(10.8)
Это значит, что косинус -- четная функция, а синус - не-
четная функция.
Пользуясь определениями тангенса и котангенса,
формулами (10.8), получаем:
віп(-ос) -Ѕіп ос
щ-01)=Ш = _-
=
соЅ(-оє)
сов ос
соЅ(-оъ) _ созос
_
зіп(-ов) _
- Ѕіпоп
СШ-Ц)=
т. е.
13( - ос) = 4301:, с13( -« ос) = -стдом
Значит, тангенс и котангенс -~ нечетные функции.
а ТЕПОКЄ
(10.9)
396
тРигономЕтРиЧескиє Функции
Периодичность тригонометрических функций. Определе-
ния периодической функции уже было дано выше (см. ё 4.1).
Рассмотрим единичную окружность и точку А этой окружнос-
ти (см. рис. 10.1) такую, что отрезок ОА образует угол ов с осью
Ох. Тогда ее Координаты Ха, уж по определению ха = созос,
уп, = Ѕіпо.. Если взять угол [3: ос+2тс, где п = 1,2, 3, ..., то
получим ту же точку А, поэтому
,Щ
соз(оЬ-'|-2п'л:) =со$ ос, $1П(0С+2Пп)=зіп ос, п == І, 2, 3, __.,
т. е. косинус и синус - периодические функции с периодом
21'сп. Наименьшим положительным периодом этих функций
будет 2л. Действительно, пусть Т #0 -~ наименьший поло-
яштельный период для функции Ѕіп ос, тогда Ѕіп(ос+ Т) = зіпо:
при всех сп. В частности, при о: == 0 получим Ѕіп(0 + Т) = ЅіпО,
т. е. Ѕіп Т = 0. На единичной окружности существуют только
две точки, имеющие ординату, равную нулю, -~ АО и Ал. На-
именьшие положительные числа Т, изображаемые этими точ-
ками, соответственно равны 21: и тв. Если Т=л -д период
функции зіпос, то тождество віп(оъ+*л:) =Ѕіпос должно выпол-
няться для всех ос, в том числе и для ос: 1:/2. Так как
зіп(~1-; -+тв = -1, а зіпї: 1, то оно не выполняется для
ос: п/2, т. е. Т: л не является периодом функции. Итак,
Число Т =2л2 - наименьший положительный период фун-
кции Лх) = зіп х, поскольку
Ѕіп(х+2л)=зіп(х-2п)=зіпх прилюбыхх.
Аналогично можно доказать, что наименьший положи-
тельный период функции І (х) = созх также равен 2и.
Наименьшим положительным периодом для функций
І (х) 2 Іих и /`(х) = стих является число тп. В самом деле, при
любом действительном о: числам ов и ос+тс соответствуют
точки Р и (2 единичной окружности, симметричные отно-
сительно начала координат (рис. 10.6). Такие точки имеют
Основные свойства тригонометрических функций
397
соответственно противоположные координаты: Р(х, у),
(ЗС-х, -у). Поскольку х = сов ос, у = $111 ос,
-х = соЅ(оє + тп),
-у = Ѕіп(сх+-л:), то
її._у
[доп-“ї и 13(оъ+я)=
,
х
-х
х
т. е. 13(оє+зт) = трек.. Следовательно, я
-
наименьший поло-Ь
жительный период для функций Лх) = Ідх и Лх) = сідх.
Ул
Р
Аї'
о
Рис. 10.6
Замечание 1. Как правило, слова «наименьший положитель-
ный период» опускают. Принято, например, говорить, что период
синуса равен 2тг, а период тангенса равен тс.
Замечание 2. Если угол задан в градусной мере, то период си-
нуса и косинуса равен 360°, а период тангенса и котангенса ра-
вен 180 °.
Если функция Дх) является периодической с периодом Т,
то функция АІ(1сх+ Ь), где А, к, Ь - постоянные, причем
іс и: 0, также периодическая с периодом ТН который опреде~
ляется формулой
Т. = ї-ІКІ
Соотношения между тригомагтггтри'такимиг функциями од-
ного оргументо. Каждую тригонометрическую функцию не-
которого аргумента можно выразить через любую другую
функцию того же аргумента.
і
Из основного тригономтричеекого тоищества від2 о: + сов2 о: =1
СЛЄДУЄТ, ЧТО 51112 (1 = 1 “- СОЅ2 ОС, 0052 05 = 1 -51112 (1, ОТКУДН
15іпсх|=х11-сое'2сх, |созсх|=\/1-Ѕіп2сх.
(10.11)
(10.10)
398
тРигоНомЕтРи чЕскиЕ Функции
Из формул (10.11) следуют формулы:
/_2
/__2
1 сов оаэ Ісша': 1 .Ѕ111 ос.
(1012)
[сов ов|
[вт ов|
Полученные формулы позволяют вычислить значения
тригонометрических функций, если известно значение одной
из них. При использовании данных формул следует обратить
Внимание на выбор знака. «Плюс» или «минус» в Этих форму-
лах выбирается в зависимости от того, к Какой четверти при-
надлежит угол оп.
Ігвч! =
Примеры
1. Найти значение Ѕіпїл.
› Учитывая периодичность функции у = Ѕіпх и значение
.
пЛ
вш-З-І-ї, получаем:
~:›іпі4--3іл~=$іи(14+і л=5іп 14зч:+ї15 =Ѕіп 7.2»Л;+_7Ё _:
3
3
3
3
Л
,
я:
=Ѕш-= -- -.
32
2. Найти значение соЅ(-1125 ).
› Принимая во внимание четность и периодичность фун-
0
2
Кции у=созх ито,что соз45 =-2 -,
находим:
соя-11250) =сь$<1125°) =со$<з зво° +45 °) =со$45° ь? 4
.
12
л:
З. Известно, что 5111 о: = 1-5 и *2- < 01 <І ТБ- Вычислить
соЅ ос, шов, стёоъ.
› Так Как утол от принадлежит второй четверти, то синус уг-
ла оь иоложителен, а Косинус, тангенс и хотангенс отрицатель-
ны. По второй из формул (10.11), которая принимает вид
соЅ о: = -\/1 - 51112 оє, находим:
Основные свойства тригонометрических функций
399
(12)2 1132 _122 [25 5
созоє=-
__ "-
=_
Щ=ыщ=щ__
13
132
132 13
Применяя формулы (10.12), получаем:
125
12
2
(5)12 5
тает-_:
-м-
=--_= -2-,
ства: ---- :--~=----.4
13
13
5
5
131312
35111 ос+ соЅ о:
4. Вычіислить значение выражения
если
л:
сова-3511101
Щит-7 и ї<01<112.
2 Преобразуя данное выражение, с учетом условия на-
ходим:
3511101+со$ о: _Ь соз 043130144) и -21 +1 __
-20
10
_..
_
-щ-4
созоз-Звіпо: ссзщІмЗтБоє) 1+21 22
11
о
~
4
.
5. Наити $111 о:+ соз4 оз, если 5111 ос+ соЅ о: = а.
2
›Из равенства Ѕіп ов+сов2оз=1, возводя его в квадрат,
получаем
51114 и + сов4 о: = 1-251112 оєсоа2 ов.
-
22
Кроме того, (сов о: + 5111 ос) = а , откуда
2
-
2
-
2_2
.
_а
-1
$111 ос+2з1поєсозос+сов оаз-а , зшовсозом 2
Следовательно,
2
2
4
2
.
а-1
а-2а+1
ещ4єх+создоз=1~2
=1_ -2
=
2
4
“__1 а4-2.:12+1__2-а4+2а2 -1
2
2
э
.
'
1
$1114 ос+ соЅ4 о: =-2 -(2а2 -ад +1)1 4
'Ча -
6. Вычислить
~251113 ос~«-2соаЗ оснабвіп оъсоз оа+7соз ос+7зіп 131-2,
1
если Ѕіп о:+ соз о: =1/3.
400
тРигономЕтРичЕскиЕ ФУНКЦИИ
Ь Обозначим данное выражение буквой А и запишем его так:
А = -2(Ѕі1^13 ов+ созз ос) -65111 овсоЅ оъ+ 7(соз ов+віп 01)-2.
Найдем значения выражения в первых скобках:
2
.
.
.
1
(стопа-(305002 =Ѕ111 ос+2$1поссов оє+соз2 ос: _,
,
4
зшоъсозос = ---,
51113 ог.+ соЅЗ от, = (Ѕіп оз+ соз (1:1)(51112 оп -Ѕіп оссоз ос+ соЅ 2 ос) =
1(4]13
=-
1+-- :- -.
3
927
Следовательно,
А = #2-2--6(-ї]+7 -1--2 = -2--1ї+5 -2 =2-1-.
4
27
9
3
27
27
7. Упростить выражение
А_ 1+Ѕіпоє
І-Ѕіпоє
ЧІш-Ѕіпц Ч1+Ѕіпое
›Так Как 1+Ѕіпоє20, І-ЅіпоєгО, то
А “_ `/(1+Ѕі1'1 ос)(1+зіп ов) _ (1 -Ѕіп оє)(1-Ѕіп ов) _
_
(1 -Ѕіп оє)(1+зіп ов)
(1+Ѕіп ос)(1~$іп ов) _
Н`/7(1+5ї11'ї)2 _`/(1-віпоє)2 _1+Ѕіпоє 1-51'1110:г 2зіпоєг
1-511120: І-Ѕіпгоъ _ |созос| _ |созов| 2 [созоаІ'
Следовательно,
сл:
п:
А=2Іёоє, если --2-+2'л:п<сх<-ї+2^л:п, _п є 22,
А=-2іёоз, если Ё+2лп<сх<ї2ї+2лщ не 2. 4
8. Найти период функции у = Ѕіпах, где а > 0.
Основные свойства тригонометрических функций
401
›Пусть Т>0 -такоеЧисло,что Ѕіпа(х+Т)=Ѕіпахдлявсехх.
Это равенство будет выполняться, если а(х + Т) - ах = 2тє,
откуда ох+ оТ -аёс = 211: или аТ = 2113, Т = 2112/а. Например,
период функции у = Ѕіпізс- равен 2112 І ё;- = 6112. 4
Замечание. Искомый период можно найти по формуле (10.10).
_
л:
В данном случае Аг = о, причем а > 0, следовательно, ТІ = --.
а
.
а:
х
9. Найти периоды функций у = Ѕш(3х --2-], у = сов(--2-+д].
›Применяем формулу (10.10). В первом случае іс = 3,
|Іс| = 3, поэтому ТІ = 2%: - период первой фУНКЦИи. Для вто~
рой функции [с : "ё, |/< І =-12-1- Следовательно, Т, = 2д : Ё = 411 -
период второй функции. 4
Задачи
1. Докажите, что при допустимых значениях аргумента верны
формулы:
1+1ї32сх=
2 , 1+сщ2о=
сов ое
Ѕіп2
а.
_
61
37л
2. Вычислите: а) Ѕш-б -Е; б) соз-З-.
3.. Найдите значение вод-14700).
4. Известно, что совос : Р- и 0 < ос < Е. Вычислите Ѕіпос,
твое, сїёос.
13
2
і
5. Найдите '31114 ос + соз4 06, если известно, Что віп ос
-
сов ос = 1/2.
6. Найдите: а) газон + стўоє; б) таЗос + стдзов, если известно, что
Іёоа + с'пёц == с.
7. Упростите выражение
соз(2тс - ов) __ сов ос + 2СЁ82 (_а).
1+соз(о-4л) 1~совоє
402
ТРИГОНОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Докажите тожцеетва.
зіп4о+создос~1 2
±с1д2а+созїоє+1
2
8.
_
6
6
=~.
9.
2
_
2
=ст3 (1.
$111 оь+соз ос-І 3
тд оъ+з1п -І
теги-1
10.
соЅоЬ-віпос_ 4Ідо:
1-2зіпоъсовоь совес+віпос 1--тд2оьі
о:
ов
Ід-ыстдш-
11.
2
2 2-еоеос.
тЁЁытЁ-Ё
2
2
Ответы
2. а) 1/2; 6) 1/2. з. Л/а 4. едим/13, темы/12. 5. 23/32.
6. а) е2 #2; б) 03 -ЗС, 7. 0. 8. Указание. Воспользуйтесь формулой
хб +1»6 = ее? +о/2)3 = (х2 +у2>(х4 -хїуї +у4).
10.3. тРигономЕтРиЧвскив Функции суммы
и РАзности двух углов
14
Тригонометрические функции суммы и разности двух уг-
лов определяются с помошью приводимых ниже теорем.
Те о рем а 10.1. Для любых двух узлов ос и [3 справедлива фор-
мула
соз(ог. - В) 2 сов оєсоз В+зіп оазіп В.
(10.13)
› Рассмотрим две любые точки А и В единичноўт окшкнос-
ти (рис. 10.7) и их единичные радиусы-векторы ОА и ОВ , об-
разующие с осыо Охуглы ов и В соответственно, а между собой ~
угол ос - [3. По определению скалярного произведения имеем
Ш~5Ё= ІШІ ІбЁІсоЅЩ-“Ш =1~І~со$(о:-В).
ПОСКОЛЬКУ ОА = (сов ос, Ѕіп ос), ОВ = (соз В, Ѕіп В) и скаляр~
ное произведение двух векторов равно произведению одно»
именных координат, то
ЫБЁ = еовсхсоЅВ+Ѕіп 115213.
Из двух выражений дляІ ОА -ОВ следует формула (10.13):
косинус разности двух углов равен произведению их косинусое
плюс произведение их синусое. 4
Тригономвтри ческие функции суммы двух углов
403
Ух
д
Ґо
в
Рис. 10.7
Теор е м а 10.2. Для любых двух углов о. и В справедливо фор-
муло
сов(оєг + В) = сов озсов В -Ѕіп гхзіп В.
(10_14)
Ъ Сумму (о:+ В) представим в виде ок, + В = о: ~ (-В).
Применяя формулу (10.13), получаем:
сов(оэ+ В) = соз(о:*~(-В)) = соЅ оссоз( -|З) +Ѕіп оєзіп( -В =
= совоссовВ*віносзіпВ,
т. е. косинус суммы двух углов равен произведению косинусов
этих углов минус произведение их синусов. 4
Те 0 р е м а 10.3. Для любых двух углов ос и [3 справедливо фор-
мупа
Ѕіп(оє+ [3) = Ѕіп оєсоз В+соз осзіп В.
(10.15)
› Так как зіп о: = соз(п/2 - ос) (см. формулы (101)), то
Ѕіп(ос+ В) = сов (125- (он [3)] = сов [(Ё-и)-В].
Применяя формулу (10.13), получаем формулу (10.15):
Ѕіп(о: + В) = сов ЦЁН сх]-4 В) = сов (125- цїсоз |3+
.
'Лї
.
.
.
+ в1п[ёР Ы 005111 В = 5111 оєсоз В+сов освш В.
Итак,- синус суммы двух углов равен произведению синусо пер-
*вого уаво и посинуса второго угла плюс произведение посинусо
первого уеео и синуса второго. 4
`
404
тРигономЕтРичЕскиЕ Функции
Теорема 10.4. Для любых двух углов ос и В справедливо фор-
мула
Ѕіп(оє - В) = Ѕіп оссоз В -соз схзіп В.
(10.16)
› Так как
Ѕіп(сх- В) = сов (Ё-(оь-В)] = сов ((-3-211- ее]+ В),
то по формуле (10.14) получаем:
Ѕіп(ос - В) = сов [(-Ён 0:]+ В) = сов (Ём- оє]со$ В -
.
ТБ
.
.
.
-› $111(Е-- одет [3=Ѕш цсозВ-соЅ оъзш В.
Следовательно, синус разности двух углов равен произведе-
нию синуса первого угла и посинуса второго минус произведение
косинуса первого угла и синуса второго угла. 4
Теорема 10.5. Для любых двух углов о: и В таких, что
онг(2!с+1)~т2ї, Ісє 2, В#(2т+1)%, те 2,
(а+р›±(2п+1)ї2'і, п Е 2,
справедливо формула
трос + 1:3[3
І-ІЅШЅВ ь
Учитывая определение тангенса, а также формулы (10.14)
И (10.15), получаем:
теш +6) =
(10.17)
Ѕіп(ов+ В) щ Ѕіп оссоз В+соз оззіп В
соз(ос + В) сов овсоз В-Ѕіп (хзіп В.
ММБ) =
Разделив Числитсль и знаменатель правой части на
соеоссозВ и приняв во внимание определение тангенса, по-
лучим формулу (10.17).
Тшгонометричеокме функции суммы двух углов
405
Теорема 10.6. Для любых углов о: и В, таких что
томе-Ё, не а, вести-Ё, те 21,11
л
(01-5)#(2П+1)-2'1 п е 2,
справедливо формула
*ее ~ теВ
га_
=
.__
(10.18)
Щ В) І+ 1301135
Доказательство данной теоремы аналогично доказательс-
тву теоремы (10.5), поэтому предлагаем читателю провести
его самостоятельно.
Примеры
11:
1 Вычислить соЅ--
12
эт 11: тс
›Так как ~ї~2-=ї-Е, то на основании формулы (10.13)
получим:
т:
(к тп):
т:
11:
л: _1_\/_+
сов- = сов --
-
сов _соз
-- +5іп --Ѕіп -- =
12
34
34
3422+
+іі=Ё(1+`/_)
2
511:
2 Вычислить созв-
› Поскольку Ё=Е+Е то с помощью формулы (10.14)
найдем:
1264
511:
(а: 1:
п:
1:
11: п: «ЕЛ
созщ=соз
+-~
=сознсоз-~зіп -Ѕіп-= -- --›-
12
64
64
6422
1~Г Л
-----==---
1і
22
2(`/_ )
71:
3. Вычислить 5111-6-
711: тп 11:
› Так как -1-2- : ї+ ї, то В соответствии с формулой (10.15)
находим:
406
тРигономЕтРи ческие Функции
711:
л+1т
птс
п л: \/_ \/_+
Ѕіп--т
-віп
_
Нзіп *сов -+ сов “Ѕіп
-
= -т-н
12
3+4
3
4
3
22+
-
+1
71:
4. Вычислить 'Её-13-
)*Пользуясь формулой (10.17), получаем:
(5+3]_ даш/Змощмд Ло _л+1__
711:
г-=т
812 З
3 4 1Ёъщл/злдш/4) 1-6-1-1-«5-
=(к/Ё+1)(1+×/Ё)=«/37+~/_\/ _+1+×/___:«4+2×/_=_(2+`/-)4
(1-45)(1+×/5)
1- (І)
-2
5. Доказать формулу
соз2оє=соз2остзіп20ь
(10.19)
› Обратимся к формуле (10.14). Полагая в этой формуле
В = ов, получаем:
соз2ос = соз(оа+ ос) = сов оъсоз ов-зіп овзіп о: = соЅ2 ос-віпїоє. 4
6. Доказать формулу
Ѕіп 2ог. = 2Ѕі11 оєсоз ос.
(10.20)
› В формуле (10.15) положим В = ок. Тогда
зіп 2оъ = віп(о. + ос) = Ѕіп оєсоз ос +со$ оазіп ос =2Ѕіп оссое о.. 4
7. Вычислить зіп2 201, если
1
1
1
1
+
+
Іёдос (13201 511120: соззос
=7.
›Приводя левую часть равенства к знаменателю
$іп2озсое2 ос, получаем:
есээдслнзіп4 ов+1 = 'и'зіп2 ошоз2 ов.
Так как
0054 а+зіп4 сс = (сов.2 оь+зіп2 002 -251'112 схо052 ов,
Тригонометрические функции суммы двух уікпгшвчч`
407
ТО
2
~
2
_
-
2
2
(соз2ос+зш о::)2+1~~2$ш2 оссоз опт-75111 овсоз од,
откуда
2
2 = 9Ѕ'Ш2 ШЮЅЁ 03, 2 : 3451112 оссоз ос :=-Ё~(Ѕіп2сх)2,
2=2$і112 201, Ѕіп2 2оъ=Ё. 4
4
9
8. Доказать, Что верна формула
21 о:
'[3211 = Ё
,
10.21
14520:
()
если метод? ке Ъ, матыё, те 2.
› Полагая В = ос в формуле (10.17), получаем:
гдинёо: _ 2130:
'[2 =І
+00:
-~------.
Во: 301 ) Ріёшвц 143206
9Д
Т
сов 20: ІЁ( т: а]
.
оказа Ь то сство ~,_- =
-- --
.
ЖД.
1+ 5111 201
4
› Используя формулы (10.19) и (10.20), находим:
соз2оєг
сов2 сл-Ѕіп2 о: _
соз2 осшзіп2 о:
_
1+Ѕіт12оєг 1+2Ѕіп ОЬСОЅОЬ Ѕіп2ц+соз2сх+25іпсхсозод
_
(сов о: + Ѕіп оє)(соз о: -Ѕіп ос) _ сов ов -ЅіпЕ _
(Ѕіпонсов 092
сов ос+зіп од
_
сов ос/созос-Ѕіп ос/соз ос _1
-тдф _ ты п/4) часа __
соЅ оь/соз о: + Ѕіп оз/соз о: 1 +іёоа 1 +1Ё( л/4)±3 ос
“гс-Ц)“ё 4
~4
10. Доказать, что справедлива формула
5іп3ц=35іпщ~45іп3щ
(10.22)
408
а
тРигоНомЕтРи чгскиє Функции
› Применяя формулы (10.15), (10.19) и (10.20), получаем:
ЅіпЗсх = аіп(2оь+ ос) = зіл 2оъсоэ ос+соз2сх$іп о; =
= 2Ѕіп схсоз оъсоз оп +(со:=.2 а-Ѕіп 2 оъ)зіп сх =
3
2
3
= 2эіп овеоа2 сх+с052 оъзіп ос -Ѕіп ос=35іп ошоз ос-єіп ов:
_
_
.
2
.
3_-
-
3
-ЗЅшовО-Ѕш «оф-$111 оє-ЗЅшос-4зш сх. 4
11. Доказать, что верна формула
совмысозза-зсош.
1 (10.23)
›Принимая во внимание формулы (10.14), (10.19) и
(10.20), находим:
соЅЗос = соз(2(х+ ос) = соз2схсов сх -Ѕіп 2схзіп о: =
= (СОЅ2 о: - Ѕіп2 оз) соз сх ~ 25111 оссоз осЅіп о: = соЅ.3 ос-
2
2
2
-Ѕіп схеозсх-2зіп озсозєх=соззосч35іп оссозоє:
3
= еоз3 (1-30
- ео е2 офсоз о.=<:оаЗ оъ+ЗсоЅ а-*Зсоэ о. =
=4со$3о1-ЗСоЅов. 4
12. Дохазать, что при всех допустимых значениях аргумен~
та верна формула
_
3130:
-
'(3311
_
1г- ЗІЁЁоє .
13311
(10.24)
› Применял формулы (10.17) и (10.21), получаем:
'Лаос
І32ос+тёоє _ Ініёзоз
1-1311 І32гх 1
+ где
±330с = ±3(2оъ+ сх) =
2130:
-іёос
1-ї32сх
_
2130г+±3сх(1-їё20с) _ 3130:-1530:
1-н '[32:21.
-
21320: _ 1- 31320:
Тригонометри ческие функции суммы двух углов
4%
Задачи
11:
511:
'їл
71:
1. Вычислите: а Ѕіп-; б він- _; в
+--; Г ст --;
)12)
12)сов12)Ёп
д) 005752 е) (1315?
2. Вычислите сов2ш, если ов удовлетворяет соотношениям:
ї32а~щ3ш+1=0, (Комп/4, где а>0.
.
1
3. Вычислите зіп2оъ+ІёВ, если этот? 135: -Ё
4. Вычислите значение выражения
азіп2(ос + В) + Ьзіп(оє + В)со$(ос + [3) + ссоз 2011 + В),
где 130: и ІЁВ являются корнями квадратного уравнения
их:+ьх+с=о.
Докажите тождества.
_
2
2
вт ос-т ос
соЅ2сх
1_
5. 2;
Ёг =1360в. 6. 2
і =-51п220с.
созоєщсгёоъ
ста осцгзос
,7 Ѕіпоп+созоъ
І+2соз2оь
__
2
'зіпосшсозос 0052ц(1332ц-1) 1+130с°
соззоътзіпзос
.
8.
:соес±-з1пос.
1+Ѕіповсозос
9. зіп ог.(1 + ща) + сое оь(1 +`с13сс) = 1/созое + 1 /зіп ос.
10. 51112 сияет + соз2 оєствос +2Ѕіп оєсоз ос = іяос +с13 ос.
11. созос+соз(120° + 1:›Ь)-і _ -соз(120Ф *- ос) =0.
Ответы
1. а) ЁЁ-(Л-І); г) -2+\/Ё; д) ї/ЁЁЩЁ; е) 2+×/Ё.
02-4
0
2. сов2а =
.
3. 0,029. 4. с. 8. Указание. Воспользуйтесь форму-
лой я3 -у3 = (.`пк:~еу)(х2 +я3›+у2).
41О
тРигономЕтяи чЕскиЕ Функции
10. 4. ФОРМУЛЬІ ПРИВЕДЕНИЯ
При решении задач и примеров часто необходимо вычис-
лять значения тригонометрических функций при значениях
аргумента, больших ггг/2. Формулы, позволяющие свести та-
кие вычисления к случаю, Когда аргумент
-
острый угол, на-
зывают формулами приведения.
Вычисление значений тригонометрических функций лю-
бого угла сводится К вычислению значений тригонометричес-
ких функций острого угла по приведенным ниже правилам.
І. Если угол положительный и больший 2тс, то функции си*-
нус и косинус данного угла приводятся к функциям угла, больше-
го 0 и меньшего 211, по форму/зам:
аіп(сх + 2ип) = зіп а, соз(оъ + 2тгп) = соЅ оп,
(10.25)
осє(0, 2113), пе 2,
а функции тангенс и котангенс данного угла - к функциям угла,
большего 0 и меньшего н, по формулам:
1:3(оє + пп) = 1301, с13(о: + пп) == сіёос,
(10.26)
01,5(0, тв), не 2..
2. Если угол отрицательный, то тригонометрические фун-
кции данного угла приводятся к тригонометрическии функциям
положительного угла по формулам:
віп(-ог,) :: -зіп сх, соЅ(-(х) == сов ос,
нд - ос) = 4130:, сг3( - ос) == -сгёоа
3. Тригонометрические функции угла, большего л/2 и мень-
(10.27)
шего 2112, приводятся к тригонометрическим функциям острого
уала по формулам приведения (см. табл. 10.2).
Функцию косинус называют кофункииеи' функции синус и
обратно. В таком Же отношении находятся функции тангенс и
котангенс.
Формулы приведения
411
Таблица 10.2
Аргуыепт
я:
31:
В=~±ц
В=К±Оі
В_Ш+д
[3:211-0 .
Функция
2
2
зіпІЗ
Соїїшг
ц: зіп ос
-
созоа
-зіп о.
соЅВ
тзіп а;
цсозоє
±зіп сс
сова
'(513
'+"Щ801
±тёо
їсівсс
-гвоь
сІЁВ
Нео:
±ст3ц
двое
-еївос
Формулы приведения, перечисленные в табл. 10.2, можно
сформулировать В виде следующего правила: если е формуле
приведения угол ос еычитоется из угла п/ 2 или прибавляется к
этому углу, езятому нечетное число раз, то проводимая функция
меняется на кофункцию; если же 15/ 2 взято четное число раз,
то название проводимой функции сохраняется. При этом перед
приведенной функцией ставится тот знак, который имеет при*
еодимая функция в соответствующей четверти, если считать
угол ос острым.
Примеры
1. Упростить выражение
(депо)
2
А=
_
+ [дов - тп) соз(11: + ос)соз (ї + ос).
31110:
-
ос)
2
› Применяя формулы приведения, получаем:
п:
соз -Шоъ
(2]
31:
А=
_
-
І5(тс-оп)соз(п+ос)соз (тегов):
опт-ов)
2
Ѕіпоъ
.
.
=
_
-(- щ ов)(-сов 005111 о =1-і3 оссоз озш ос =
это.
= І--Ѕіп2 о = соз2ос.
2
Итак, А=соз ос. 4
412
тРигономЕтРичЕскиЕ Функции
2. Упроетить выражение
\
А = соз(-Т25~+ о: Ѕіп(п+ о.) +сов('л:-оє)зіп( -ос) +
)
Ґл:
д
31:
+еоз(тс+ов)еоз сх--- -т3 ~+оъ ста ---+ос.
в
2
2
2
› Используя формулы приведения, получаем:
А = (- він ос)(- Ѕіп ос) - еоз ос(-Ѕіп ов) +Т-соз ос) Ѕіп ос -
-(- 013 ос)(- 1:3 оь) = Ѕіп осв'т оъ+ сов оьвіп о: -еоз освіп ос-
2
2
-сідосіёошзіп оа-1 = -соз и.
Следовательно, А = _соз2 ос. 4
З. Упростить выражение
›
.
в:
311:
зш(2п-оъ)їё(-+оъ сїЁ(---оъ]
,
`
А__А
2
2
+ Ѕ1п(п:+ ос)со$21т.
_
31:
_
31:
сов(2п + ое) сов пзш -ї
Ѕт[-5-+а)
› С помощью формул приведения и значений тригоно-
метрических функций для некоторых значений аргумента
находим:
А __ (-Ѕіп о:)(-сіё офтё (х + Ш
005 ЩЧЖ-ї)
-соз ос
=т3сх+±30с±213 ос. 4
4. Доказать, что
(132 (он ЕЕ)оо<32 (ос - Е]
2
2
_-
--=1.
п
11:
І2 ---- 2
+--
1:3(0, 2) ооз [ос 2)
› Применяя формулы приведения, получаем:
413
Формулы приведения
ста? (сх + ЁЪЮЅЕ (о: 1*- ЁЁ) =
02201 _ 13- (ц +15.)
[цій +15132 (Соііа ёїї
(- “4%-ЦП-іщ(ё+“ЮЗ
зіп2(х . 2
51114 ос
2
.
2
2
ЅІҐІ (І
2
= ЁВЦЅШ01=соз(х
=
сов о:
=
Ъ32 ос-Ѕіп2 о: зіп2 ос
.п2 а Ѕіп2 0с(1 -соЅ2 а)
воз2 а
сов2 ос
Ѕіп4 и
_
Ѕіп4 (1 _
2
2-4 -1'4
азіпос
Ѕіп осзіп
5. Доказать тождество
с052(20с -90°) +с'[2<;2(90с> +2 ос) +1_ __
_
2
о
2о
-13220с.
$111 (2а-270 )+13 (270 +2оъ) +1
Ъ Обозначим
А___ соз2(2ос`-90°)+сьтё2(90°+20с)+1 _
зіп2<2<×-270°) “32070” +22) +1
=
('Ё-`:ОЅ(9Оа -2(Х))2+(С{Ё(90°+2ц))2+1
(-Ѕіп(2700 -20с))2 “220700 +2Ц))2 +1 '
Используя формулы приведения, получаем:
.
2
ЅІ'ГІ2 201
.
2
2
Ѕш 20Ь+ 2
+1
А: Ѕш 2с1+13 2оъ+1 =
005 2.1 І
соз22сх+сї322о±+1
2 Н 005220с
сов 201+
+1
Ып22щ
414
тРигономЕтРи чЕскиЕ Функции
5і1122сх00522сх+5іп22с1+00522сх
_
0052 205 ь
_
51112 20* _
2
_
_
_[3 200 4
5іп22с100522сх+51п220с+005220с 0052204
$022а
6. Доказать тонщество
зіп2 4оє-Е -
(2] 1.
_
=--51118<;х.
01 (Ёп-2ц]+щ(21с+20с]
Ё2
2
›Обозначим
5і122[40с--Т251
А:
_
_:
01%(Ёп-20с +1; (ёп+20ш
2
32
_
ж
2
(тзіп (- -40сл
_
2
_
3
3
.
ст »чт-20: +т -п+20с
42 1*(42)
Используя формулы приведения, получаем:
_
005240: __
0052400 ___
005240с
_
їЅЁОС-СЁЅЁОЄ 91120* __ 005222 зіп2 20а-005220єг
00520с 5іп20с
5111203605201
0052 4ц5і1120ссоз20с _ 00524 0с5і1120є0052 ос _
_
___"
_і-
?
`
_
005н 20с-51п2 20:
00540:
_
_
_ць
00540с-25іп20с00520с _ _005406511141'1 _
2
Ш-2
_
"_"
_
20054051'1'140: __5і1'1805
4
_
4
Формулы приведения
415
7. Доказать тождество
0052 ос + 25іг12(0с-'л:) + 0052 0с+451п 0с+5і112(0ъ+ тв) _ 2
(3053((1-411:)
СОЅ (Х(4Ѕі11 0Ь+1)
(305;3 0:,-
› Обозначим
А _ 0052 0с+25і1*12(0с-11:)+ 0052 ос+45іп 0с+5іп2(0с+ п) _
0053(0с -4п)
005 0:(451п сх+ 1)
_
0052 00+ 2(-5іп(тс -. 0с))2 + 005 2Ёіг45іп ос +(Ѕі11(п + а))2_
(005(4л
-
00)?3
0050с(45іпос+І)
Применяя формулы приведения, получаем:
2
2
_ 0 0 520г,+25іп2ос 005 а+45іпц+5111 0Ь_
А_
0053 ов
005001510 ос +1)
2
-
2
-
2
-
2
_005
01+25ш оъ+
1+451поє
_005 а+251п 0%
0053 ц
005 0с(45іп оъ+ 1)
0053 а
+1
_
0052 0є,+25і1:12 тдзв+0052 ос _20052 ос+2віп2 ос _
0050с
0053 ос
0053 ос
_
2(0052 0с+5і1г12 ос) _ 2
4
0053 ос
0053 о:
8. Вычислить значение суммы 13,435ф + 033750.
так Как 13 435° = ±3(450° -15°), 13375” = 0060” +15°), то
0 помощью формул приведения находим:
0435” “3375” = щ<450° -15°) +±3<360“ +15) =
о
_
о
2
0
_
2
о
_
ЄІЁІЅФ _НЁІЅО _ 00515о + ЅШІЅТ _005 15 ш+51п 1:15 _
5іп 15 00515
5і1115 00515
_
1
2
2
2_4.4
'Ь 511115" 00515” _ 2Ѕіп15°соз15° _Ѕіп30° _1/2
416
тригонометри чЕсд'иЕ Функции
Задачи
1. Упроетите выражение (1 - соз(бтг - 4сх))(1 + 0050011: + 400).
сета*2703 +еще+270°) _1
зіпь2(0в+90°) -1 005401 -903 і
2. Докажите, что
3. Найдите значение разности І3255° - 1131950.
Докажите тождества.
4- 1-
1
= і'зіп"2 а
1
.
_ ](ТҐ
]2
ї
- ЅНІ ЕИРЦ
(1445101 -90*°))(Ѕіп *201 -270°) -1)
(1 + сгёїш + 270°))с05*2(а +90°>
.
2Л:
2
ТС
зт -+ос -соз (пп-_
,
2
6
(2)
( 2]д51п 20:
І
2ТЕ
2
ТС_
4
_
І-+
“г
ос-+
ЁЬа]°Ё(2] ц
1
1-соз(4ос-тс)
з
+
'3
2І3(5п-сх]соз2[сх~-ЁЦ]
ЅШ 206
1
И2
"_
_
_
3.
2ет3(ес+%тс)зіп2(ос-%п] ЅШ их
=Ѕіп2~ос.
він2 (31: - 4а)+4с0$2(%п - 201)-4
2ТС
2
5
сов ---4
- 4 ов 20с-*п
(2и]°(21
ё
Ответы
= сгё4 20..
1. 51112401, 3. 2\/5_ 4
-
8. Указание. Примените формулы приве-
ДЄНИЯ.
Функции двойного и половинного угла
417
10.5. тРигономвтРиЧвскив функции
двойного и половинного УглА
Тригонометричєскиє функции двойного угла выражаются
формулами (10.19) -~ (10.21).
Выведем формулы для тригонометрических функций поло-
винного угла. Рассмотрим тождества:
2 0:..
_
2а.
2(І _2а,
-+Ѕ111 ---,
СОЅСХ = СОЅ
*н-ЅІП '_ -
2
2
2
2
1=соЅ
(первое из них - основное тождество, второе т формула
(10.19), записанная для угла (1/2 ). Вычитая почленно второе
тождество из первого, получаем
1-сош = 2511125;
(10.28)
откуда
Ѕ2ш2”2Ч2`
(')
Сложив почленно указанные тождества, получим:
201.
1+соЅоє=2соЅ ~2-,
(10.30)
откуда
дов 1+созоъ
о: _ 1+созоа
сов -2-=--ї-,
*2* -
Штїт-т-
(10.31)
Разделив почленно равенство (10.29) на (10.31), найдем:
_
1-соЅоа
10 32
Ч 1+созос І
(')
Формулы (10.29), (10.31) и (10.32) выражают тригономет~
рические функции половинного угла оь/ 2 через косинус дан-
ного угла о.. В этих формулах «плюс» или «минус» берется в
зависимости от того, какого знака він (1/2, сов (1/2, гр ос/2.
О!
2__о_с __1 -созос
8
2
2 1+совос°
418
тРигономЕтРи чвскив Функции
Примеры
1. Доказать, что при ов а: ип, п е 21, верна формула
о:
І-созос
іЕ-=
.
2
51111111
(10.33)
› Пользуясь определением тангенса, тождественными пре~
образованиями, формулами (10.20) и (10.28) получаем:
В _ Ѕіп(сх/2)_ Ѕіп(1:х/2)2зі11(сх/2) _25111 2(о:/2)_
Ё 2 соз(оє/2) соз(ос/2)2 в111( 01/2)
Ѕіп о:
ІЬ-созос
Ѕіп ос
2. Доказатъ, Что при ос ф пп, п е 2, верна формула
Іо:
Ѕіпо:
.
ЁР=
~
2 1+совоє
(10.34)
› Принимая во внимание определение тангенса, формулы
(10.20) и (10.30), получаем:
І _оє.__
Ѕіп(ов/2) _Ѕіп(о:/2)2со$( (1/2) _ Ѕіп о:
_
2 соЅ(01/2) соз(оЬ/2)2соз( (1/2) 2соз2(ос/2)
він ос
1+соеоє`
тв
3. Вычислить Іё-ё.
ЁПрименяя формулу (10.34), находим:
115: это/4) 1 Л/2 235 _ «Ее-Л) =
38 1+ШЅ(Л/4) 1+Л/2 2+Л (2+Л)(2-Л)
_2Л-22
_д1
4_
4. Вычислить 0051591.
Функции двойного и половинного ута
419
› В первой из формул (10.31) положим 11 = 300 и вычислим:
1+00530 _1+ЛЁ:2 +Л
соЅ 2_15-
-
2
2
4
Далее
І°~/2+\/__ ЛИ
соЅ 15--
_2Л 4
З ам е ч а н и е _ Последний результат можно получ ить следующим
образом:
Л+Л _«/2+Л Л _×/4+2Л \/з+1+2Л_
2
2Л_2Л_2Л
_›\}(1+\/5)2_1+\/Ё
_
2Л _2Л'
о:
5.Зная,чтосова=9/10и0<о:<325,найтисоЅ-2- и ІЁЁ.
› Применяя вторую из формул (10.31), Которая в данном
1+соЅос
о:
случае принимает вид соЅ-=
2,
00%:0т:_12%
С помощью формулы Ѕіп о: = 41- соЅ2 о: находим:
81 о.
Ѕіпосг- 1- - -=
.
100 10
На основании формулы (10.34) получаем:
003_~/ї_5/10_~/Ё
2 1+9/10"19' *
получаем:
'
от
6. Выразить 5111 ос., сова, що: Через '[35-
› С помощью формулы (10.20) получаем:
420
тнигономєтри ческие Функции
.
.
о:
_
о,
ое
5111 ог, = Ѕ1п(2 --] = 25111 -соз -.
2
22
Правую часть данного равенства разделим на
2а'
'2а'_1 .
СОЅ _+ЅШ
2
2
Ѕіп а = 2 Ѕ1п(о,/2) соз(20с/2) .
і жди/2) + Ѕіп (От/2)
Предположим, что соз2(оъ/2) #0, т. е. аф(2п+1)тс, пе 2.
Разделив числитель и знаменатель дроби на соз2(оъ/2) #0,
получим формулу
2І3(оъ/ 2)
1+ 132011/2) і
Ѕіпоє =
(10.35)
Для того чтобы выразить созоє через (Що/2), предвари-
тельно разложим совос = сов (2 Ё) по формуле (10.19) коси-
нуса двойного угла: сов ос = соз2(ос/2) -Ѕіп 2(оє/2). Тогда
соз2(оа/2) -Ѕіп2(сх/2)
созз(оъ/2) + Ѕіп2(оє/2).
Разделив числитель и знаменатель данной дроби на
со52(оє/2) ф 0, получим. формулу
_ . 1-*32Ю/2)
(10.36)
СОЅҐІ. '-'“
которая справедлива для всех ос ф (2п+1)тс, п е 2.
л
При любых ос±(2п+1)л:, п е 2,14 Ц±(2п+1)-2 -,
пе2,
верна формула
_
2 шва/2)
_
1-ге201/2)э
которая получается путем деления формулы (10.35) на форму-
лу (10.36). 4
Функции двойного и половинного угла
421
7 . Доказатъ тошоство
1+зіпоє
2ло:
_
=І3 --+-
І-Ѕшов
42
› Примоняя формулы (10.28) и (10.30), получаем:
1+соз(-1-І- -оє] 2соз2 Е-Ё
І+Ѕіпов_
2__
42
1-Ѕшц І-соЅ(ЗЁ-ос) 25і112(Е-Е]
2
42
О!
8 Доказать Что 1+ 5111 О! + СОЅ (12”2х/-СОЅЁЅІІІ [4+ 2
н)
› Используя формулы (10.20) И (10.30), получаем:
.
_
ос
_
о:
о:
І+Ѕшоє+совсх=(1+сова)+зша:2соз2-+2ЅшїсоЅ-Ш:
1
ЁЛ(-їсоз Ё+ _зіп ї):
- 2соЅЕ(соз-а -+ЅіпЕ]-2соз
2
2
2
2#22452
= 2\/2 соз ЁїзіппШсов Е- +соз їЅіп-
а
4
2
4
оъ
т: о:
=2
2соз-Ѕ`
--+--.
`Г 2Ш(42)'
9. Доказать тоишество
112 (411-315)
,
2
_ _ _нзшЗоє
с13[%п-2ос)+щ@тс+2ц)
4
422
тРигономЕтРичЕскиЕ Функции
› Обозначим
зіп2(4а-їс-]
А:
2
=
с: (Ёп-2ц]+± [Ёп+2о:]
32
ё2
л
2
_'
__4
_
(51142 02)] _
сгё(%п-2а]+[3(%п+2оъ]
Используя формулы приведения и формулы (10.20),
(10.19), получаем:
_
0052 40ъ
__
(305240:
_
(105240:
_
1320:-сІ320а ЅіП201 ___СОЅ20Р Ѕіп2 20-с0522о:
с0520с Ѕіп2оъ
Ѕіп20д<30520д
сов2 4овзі112схсоз2сх _ 00524 овзіп 2 013052 ов _
сов2 2ос -Ѕіп2 20
сов-40:
-ІН
_
сов4а-2Ѕіп2схсоз2ос
с0$4оєвіп4 ос _ 2с054 овіп4 о:
__н-
_
'
_
2
2
4
зіп 80:
4
Итак, А=-
.4
Задачи
1. Вычислите: а) 510150; б) с0520с, если Ѕіпосш4/5; в) $201, ес-
.
05
ОС
.
ли 2311:-5/4; г) зіпог.,
если Ѕ1п-2 -+соз-2-=1,4; д) 511120.,
если
щи=ї
2. Докажите, что при любом значении ос верно неравенство
1
1
е+
сов4 о: зідп4 а
2.8.
(віп ос + сов о.)2
З. Упростите выражение
д
1+$1112оъ
Преобразование в произведение сумм и разностей функций 423
Докажите тождества.
6
6
2
4. зіп ов+соз оь+35іп2схсое (1:1.
1- созЗос + він За
1+ Ѕіп2ос
т:
5.
_
=Іёоь 6,
_
=Лсоз «ее-ос.
1+ соз20: +Ѕш 2а
совы +Ѕ1п о:
4
з'шо:
7.
_
-сі32оъ={520:.
8.
=І+СОЅОЕ.
5111401,
(1
Ѕіп о: - созоъщ -2~
9. так + [32.1: -~ 1333: = “13 х±32хї33х при всех допустимых значе-
ниях х.
10. 13(щ+5)=2ї3а, если ЗЅіпВ=зіп(2оє+В).
Ответы
253.51; б) щёё; в) -ЁЁ1 г) 0,96; д) 0,6. Указание. Восполь-
зуйтесь формулой (10.35). 3. 1. 9. Указание. Воспользуйтесь форму-м
1. а)
лой Для тангенса суммы двух углов. 10. Указание. Воспользуйтесь ра~
венствами В=(о:+В)-ов, 2оє+В=(а+13)+а иформуламидлясум-
мы и разности двух углов.
10.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
СУММ И РАЗНОСТЕЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Формулы (10.15) и (10.16) запишем в виде
Ѕін(и+у)=Ѕіписову+со$иЅіпу,
(10.37)
зіп(и-у) = Ѕіписозу~соз изіп у.
(10.38)
Понленно сложны и вычтем данные равенства:
зіп(и+ у)+зіп(и -у) =2Ѕінисозу,
'
(10.39)
зіп(и+12)-Ѕіп(и-у) =2совизіпу.
(10,40)
Введем обозначения: ов = и+ 12, [3 = ищу. Складывая и
вычитая полученные равенства, находим:
424
тРигоноМЕ три чЕскиЕ Функции
,
(10.41)
2
2
Подставляя выражения для ос, В, и, у в равенства (10.39) и
(10.40), соответственно получаем:
+5 Ы-В
сЅ_--
.
2о2
(1042)
а+В. ы-В
2
.
Ѕш
2
Ѕіпоъ+зіпВ=2Ѕіп
Ѕіпа-Ѕіпеысм
(10.43)
3 ам е Ч а н и е. В формуле (10.43) разность аргументов берется так,
что из угла под знаком умсньшасмого синуса вычитается угол под
знаком вычитаемого синуса.
Формулы (10.13) и (10.14) запишем так:
соз(и+у)=совисозишаіпизіпу,
соз(и -- у) = соЅ исоЅ у +Ѕіп изіп у.
Складывая и вычитая последние равенства, применяя
формулы (10 4ї) получаем:
соза+со$В=2соЅЦЁВсоза;В,
(1044)
созос-созВ:-2Ѕіпа;Взіп(155.
(10.45)
Формулу (10.45) можно записать так:
МВ В-06
соЅос -соЅБ = 25іп
Ѕіп
(10.46)
2
Если ос ф (2п+1)12с-,
п е 2, Вф (2т+1)12І-,
тєЪ,товерны
следующие формулы:
ос+
-
гдос+135=ш,
(10.47)
созоссоЅВ
Ѕіп(ос Ш В)
'[30:4135:
_
созоъсовВ
(10.48)
Преобравование в произведение сумм и разностей функций 425
Действительно,
віп 01 він
віп оъсов +сов освіп
13ос+13В=
+
В=
В
В=
совос совВ
сов оссов В
_
віп(ос + В)
совоссовВа
віп 01 віп
віп весов -сов освіп
13ос-13В=
-
В=
В
В:
совоп совВ
сов оссов В
_
ЅШЮ~В)
_
совоссовВ'
Если осфпп, пє2,ВЧЬпт, теЪ,тосправедливыфор-
мулы:
вїп(ос+[3)
с1ос+с1 =------,
в
вВ ЅіШЅіпВ
(10.49)
с13а-с13В=Ш.
(10.50)
вшосвшВ
В самом доле,
сов01+совВ_совосвіпВ+ві11оссов[3щ
с1301+с13В=
_
_
-
_
_
вт 01 вшВ
в1п оєвш В
_
віп(01 + В)
віп 01 він Ва
совос сов
віп сов 01 -сов віп ос
СтвЫ-СївВ=.
-.
[5-1В..В
=
вш01 втВ
в1п освш В
_
віп(В - ос)
віпосвінВі
Примеры
І. Доказать тохщсство
совдоЬ-совоєг _ І 501
віпос-віп4ос _ 3 2
› Применяя формулы (10.43) и (10.45), получаем:
сов401~совов _
- 2віп(511/2)віп(3 01/2) __
'ЁЕ
віпос-віп4ос _-2сов(5а/2)віп(3 (1/2) ч 8 2 `
426
тРигоноМЕтРичЕскиЕ Функции
2. Упростить выражение
1+со$ос+со$2ос+соЅЗос
2соз2ос+созос-1
› Примоняя формулы (10.30), (10.44), получаем:
1+соЅос+соЅ2ос+соЅЗос _ (1 +соЅ2ок) +(соЅЗ ос+со$ о) Ё
2со$20с+созоъ-1
(1+соЅ2о:)+соЅос-1
_
2со$2 ос+2соз2оссоз ос _2соЅ о(соЅ ос+со52 од _2СОЅ а
_
соа2ос+созос
созос+соз2ос
'4
З. Доказать тождсство
'
1
1+мови=Ш
51113,50с
› Преобразуя левую Часть тожцсства, получаем:
2соз7оъзіп7оа Ѕіп7а+віп14а
1-1 - 2соз7ос =1+
у
=
_
=
Ып7а
Ып7а
*_ 2 Ѕіп10,50сс053,50с _ Ѕіп 10,5 ос
2Ѕіпз,5щозз,5<× Ѕшз,5<×'
2
1
4. Доказать, что сов Е- - сов -Е- =
--.
.
5
52
› Согласно формуле (10.46),
соЅл-соз 2п-2Ѕіп пзіп ЗП
1051)
5
5_ 10 10”
=
('
Умножив и разделив правую Часть равенства (10.51) на
11:
За:
.
2сов-1-бсоз-ї-бІ и использовав формулу для 5111204, получим:
.
л: . 311:
п
311:__тп
.
Зтт
п
25111_Ѕш_ ~ 2соЅ_соз
_
$111 -Ѕ1п _
2Ѕіпї65іп ______ =
с 10 '1011:
31120,
10 __:
511: _ 5311:
2сов_соЅ_
2 сов _соз
_
10 10
10 10
Преобразование в произведение сумм и разностей функций 427
Таккак
л-'
п+п -'
311: соЅЗіЕ-Ѕіп(ї-ЁЕ)-еіп-Е
соЅЮ-Ѕш 2 10 і-31115,
Ю
210
5,
то
.
л:
Зт'с 1
2е1п--51п_= -
°
1
102
Отсюда с учетом равенства (10.51) следует доказываемое ра-
венство. 4
5. Доказать толщество
0
і
О
п
а
І
к
За
созос+з1п2оъ-соЅЗов=4$1посзш --+- Ѕш ш-+-~~- -
42
42
› Применяя дважды формулу (10.46), получаем:
соЅос+ зіп2ос-созЗос = Ѕіп 2ос+(соЅ ос -соЅЗоф =2Ѕіп оссоЅ ос+
+2Ѕіп2освіпос ш 2Ѕіл ос (сов ос+Ѕіп2ос)= т
= 2Ѕіпоъ[совос -сов (Ёп-+2ОЬЛ =
.
.
л:ов.
л: Зов
24Ѕ1посз1п ---+ - - 5111 ---+- -.
4
(42)(42]
6. Доказать, что
(соЅ70° +совЅОо)(соЅЗЮо +соЅ 290 а) +
+(соЅ40° +00$160°лсо$320° «0053803 = 1.
› Обозначим буквой А левую часть равенства и преобразу-
ем ее:
А = (серії +00550°)(Ь0$з1о° +соз 290 °) +
+(соз4о° +с05160°×005320° ~со$ззо °) =
= (сов 700 +соЅ 50ш)(ео$(360'э -50°) +с05(360 а -70 Ф)) +
+(сов(9о° -50°) Новое” +70°›)(ж(27о ° +50 °) -
- - с оз(450° -70°)).
428
тРигоНомЕтРичЕскиЕ ФУНКЦИИ
Используя формулы приведения, получаем:
А = (соЅ'Юа +со550а)(соз 70о +со$50 п) +
+(Ѕі1150° -Ѕіп 70°)(Ѕіп 50о -Ѕіп 70°) =(с<›570° +09550 °) 2 +
+(Ѕіп50° -Ѕіп 7032.
Применяя формулы (10.43) и (10.44), находим:
2
А = (2с0560°со$10°)2 +(200560°51п(н10°))2 = [2 -Ёсозю ] +
2
1
о
о
а
о
+(-2 -їзіп10] 2005210 +Ѕ1п210 21. 4
Задачи
Докажите тождества.
он
Зои
1. сова + соз2ос + созбоъ + сов'їа =4соз -2-005 їсоз4 ос.
2. зіп 901 + віп 1011 + зіпІ 10: +зіп 120: = 4со$ Ёсоз оьзіп Ёё-аі.
3 щ2овеоз-12В-т325соз"'2а
соЅ'] 201. + соЅ 'І 2|3
2(3 ос]
2(11 а.) Л о:
4. сов дтп-2-
- ооЅ щ-тс+--~-
=---Ѕ1п--.
= тиц-В)-
5. 200522оєс05ов-созЅоєсоЅ4оъ-сов4 010053 о: =2соЅ (151112 051116 оп.
00570: ЩсозЅоє ЧР-соз9оъ +со$10а Ш с 170:
Ѕіп7ц-Ѕіп80ъ-Ѕіп9оъ+$іп10а
2
7. ЅіпЅЦ-Ѕіпбоъ-Ѕіп'їа+Ѕіп8ов=-4Ѕіп 3Ё-Ѕіп оъзіп Ё-Ёї
.
ое.
9ос
8. созЗоъ - сов-4:1 -созбоъ +с0560Ь = -45111 -2-5111 оьсоз ї
.
2
2
11.5
9, 25111 (3пн2оъ)соз (515 +2ц)=2-~Ез1п Еле-'811
10. созє-п + 401] + зіп (311: - Ѕос)- Ѕіп(4тс - 1211) ± 4соз2оссоз4осзіп6 ов.
Преобразование произведений функций в полуоумму
429
10.7. пРЕОБРАзовАНив пвоизввдвний
тРигоНомвтРичЕских Функции
в полУсУММУ и полУРАзНостЬ
Для того чтобы получитьйсоответствующие формулы, обра-
тимся к тригонометрическим функциям суммы и разности
двух углов (см. формулы (10.13) - (1016)). Почленно сложив
равенства:
соз(оєг «- В) = соЅ овсоз В +Ѕіп оъзіп В,
со5(ов+ В) = соЅ оссоз [3- Ѕіп азіп [3,
получим соз(ос - В) + соз(ос + В) = 2 сов оъсоз В, откуда
сов(оъ
-
В) + сов(ог. +13)
созоссоЅВ =
2
(10.52)
Вычитая второе равенство из первого, находим
со$(о:-В)-соз(о:+В) =2Ѕіп освіпВ,
откуда
Ѕіпцзіпв: соз(ос-В);соз(оъ+[3)_
(10.53)
Почленно сложив равенства:
Ѕіп(сс - В) = Ѕіп освіп В -сов оъсоз В,
Ѕіп(ог.+ В) = Ѕіп овзіп В+соз оссоЅ В,
получим
зіщоєг-В)+Ѕіп(ос-В)=2Ѕіп оєсоз В,
откуда
ЅіпіїсозВ: 51пЮ-В);ЅШ(Ц+В).
(10.54)
Примеры
1. Вычислить 5111200 соЅШо 3111400.
› ПРИМВНЯЯ формулы (10.52) и (10.54), получаем:
(5111200 созІОа)Ѕіп 40с 2%(511110 ° +5іп 30 331140 о =
430
тРигоНоМЕ тРичЕскиЕ Функции
2ёзіп100зіп40а +%Ѕіп30оЅін40о =Ёзіп10 сэзіп40 а +
*МЫ-5111 400 = і(соЅЗ0а мс0550о) +-1-Ѕіп 40 а --
22
4
4
6101.01512
[314
8.
"----соЅЅ0 +~51п40 =----Ѕіп40 +ізіп40°=
84
4
84
2- ДОКазатЬ тождество соз20°соз 40 соЅЅО щ _
› Воспользовавшись дважды формулой (10 52), найдем:
сов 20 соз40 сов 80 =соз 20 °Ё5120 +С0540
2
= (3531520о *142 +соЅ40 = -100520О +1-СОЅ20 ЧСОЅ 40 о =
2
4
2
=---оо$оз20-+1100360 +с0520 =-±соз20°+!~с0560°+
4
2
2
4
4
+іеоз20° =}-е0560о 241-і =і. 4
4
4
428
З. Упростить выражение
А_
ЅіШтс/34 од)
_
4Ѕі11 ЗЕ~Е Ѕіп «Ёп-+32 і
124
124
› Будем пользоваться формулой (10.53)_, а также формулами
.
.
.
_
л:
5111204 = 2 $111 оссоз от, совы/2 - ос) = вш от.,
Ѕш(--от.) = созов.
Заметив, что
Ѕл ос] (в о.) л: [5113 ос]_ л: о:
л: ог.
------
+ --+--
=«-,
----~
- -~+--
=---~Р-,
(1241242124124з2
получим:
Преобразование произведений функциин в попуоумму
431
алые/3 + о.)
Ѕіп(тс/3 + 01) _ =
1ее
1.л:
4. Доказать тождество 13 200 13 40о '15560о 13 800 = 3.
› Принимая во внимание определение тангенса, формулу
для 5111201, формулы (10.52) и (10.53), получаем:
13200 13400 ІЁ6017'1380о = 618 20°1340°1880° =
3 010 20” 010 4о°01080° _
000 2о° 00040о 00080 °
_
х/Ё 2Ѕш100 С0510025111200005120 с251114ШЁ'3'Ѕ40 а =
130520о 005400 5111110о
0 120520о -созбОп __
2
-0
86 000111о 010 20” 0104о° =8 `000010
= 4\/ї(130510а 005200 -ёооЅІО ] =
=4`/ї(00530 3130510 чІЕсоЅЮО]=4`/З-соз230 +
+2\/500010° 44500010” еще і? =з. 4
,1
'1
_
о`
5. Вычислить без таблиц
о -2511170 .
_ гІ.
2511110
Ь» Преобразуя данное выражение, Находим:
432
тРигономЕтРи чЕскиЕ Функции
о Н2Ѕіп70=> =1- 4511110 5011170 =
2Ѕіп 10
2511110
1
а
%1-2(00560п -003803
_
1-2'5+200580 _200580 а _
2511110”
мазо”
_2с0580 ° _
6. Упростить выражение
А = зі1187п _Ѕіп59о -зіп930 +Ѕіп61п.
1.4
› Преобразуя данное выражение, получаем:
А = (Ѕіпᥠ45111590) -($1'1п93а -Ѕіп87°) =2Ѕі1110005600 -
- 2511'1301205900 =2ёзі1110 =Ѕіп1°. 4
7. Доказать тождество
11:ос_11:ос).ос1_3
сов -~ --
$111 ---- а1п-= -Ѕ1п-ос.
[в2](з2242
› Используя дважды формулу (10.54), получаем:
(и:а).(11:ос_о:1_л
_
п
_
ос
сов -~--
зш -~--
з1п_= - з1п~+з1г1 ---ос з111-=
62
32
22
6
2
2
.
011.о:1_01
1. 01
=- -+со$ос з1п-=мз1п~+~з1п~созос=-Ѕ1п-+
22
24222
Ґ_
01
_
3
1_011_011_3
+-- 5111 ---› +Ѕ1п-01 =-Ѕ1п----Ѕ1п-+-Ѕ1п-01=
4
2
2
424242
1_з
=-ЅІҐІ-ОС . 4
42
8. Доказать тбждество
5111* 2а$іп"'(60° ш201)_«=,і1-1'°1(60° 4201) =4Ѕіп“1601.
› Обозначим
А = зіІҐ1 2015і11ы1(60° -Р2ос)5111_1(60ш -201) =
_
1
_
.:зі?11211'_115і11(60о -2ос)зіп(60 о +2 оф _
Преобразование произведений функций в полусумму
433
Используя формулу (10.53), получаем:
2
2
Ѕіп2сх(соз4ос-соЅІ2О°) ы ЅіП2Щ0054Ц+1/2) _
2
4
ЅШ2ЦСОЅ4Ц+ЁЅШ2ОЕ 231112осс0540єг +$;іп2оєг
Применив формулу (10.54), найдем:
4
_
,
,
=_
245111-16ш. 4
-5311'12о1+$1116гл+51п2огІ 511160:
А:
9. Доказать, что Ѕі1120э$і11<1г0°ві11600511180о 2 3/16.
› Обозначим А = (Ѕіп 20о зіп40°)($іп 60°Ѕіп 800).
~
Используя
формулу (10.53), находим:
А = %(соз 20а щ003600) $005 20 а "СОЅ 140 Ъ =
= ЖСОЅД)а щцд50205200 щ(208080 а "40 о)) =
= Ёосозго'* -1›(с<›з200 +соз40 Ъ =
= %(2со$2 20о +2ооз20°ооз40 О ~соЅ20 о -соз40 З
Применяя формулу (10.53), получаем:
А = Ё~(2с:052 200 +ооз20о +00560° -~соЅ 20 о щ«1305340 о) =
= -1{2оо$2 200 +-1~ Рсоз2(20 0))
8
2
Поскольку соз2х = 20052 х-І, то
А=і 2005220” +і-2005220°+1]=і.
в
2
16
434
тРигономЕтРи ческие Функции
Задачи
Докажите равенства.
2тс
41:
611:
1
І. соЅ_- +соЅ--+соЅ-- ==
--.
7
7
7
2
Ы
.
щ20°т340°щ80° == Л.
з. Ѕіпїюъіпїзоъіпйо” =1/64.
4* с'вё 10О сг350° сІЁ 70о = «13- .
Ѕш 20°Ѕіп 4о°Ѕіп 60311180” Н 3
Ѕіп10°зіпзо°зіп50°зіп7о°
'
.
т:
Зэт
.
51:
71: 3
7. ЅІП4Е+СОЅ4Ё+ЅІП4-8_+СОЅ2Ш=_.
8І5п+оъ~т
ЅПЁОЬ “нЁ-Ё если '(3 її+2и]=-9 -
`
В4
Ё4 "9”
2
11'
,Покажите тождества.
[Ё Е._Ё'_
1- _СОЅ Ёч-(І ОЅПІОЬ-ЁСОЅОС
942
2Т
ї
І3(ї~--Ё -](1+Ѕіп(4п + (1)) сов"1 о: +2соз 01
П
ТБ
.
=т
_
г.
__.
Ё(6ш)в(а 6]
ЗКь
.
23151
2301
За. 30: т:
_1--с з
_ ННЗО: т 111 --+соз ---==2
2Ш-п
-~+-.
10
о(2)Ѕ2
2
х/-с05251(2 4]
Производные тригонометрических функций
435
Указания
1. Умножьте и разделите левую Часть равенства на Він-ї; и при-
мените формулу (10.54). 2. Найдите произведение синусов данных
углов с использованием формулы (10.53), а затем произведение их
косинусов (см. пример 2). З, 4. Примените формулы (10.52) и (10.54).
5. примоното формулы (10.52) и (10.53), формулу ооо 21: = 2ооо2 х - 1.
6. Примените формулы приведения, формулы для синуса двойного
угла и синуса суммы двух углов. 7. Примените формулы для синуеа и
Косинуса половинного угла, формулы приведения.
10.8. производныв
тРигономвтРиЧвокиХ Функции
Производные тригонометрических функций определяются
формулами:
(оіо х)І = ооох,
(10.55)
(ооо х), = -оіо х,
(10.56)
›
1
(гвх)=2 ,
(10.57)
СОЅ х
»
1
(Шах)=-, 2
.
(10.58)
ЅІП Х
Если и = и(х) -- дифференцируемая функция, то с учетом
формулы (9.1 1) получаем:
(оіооў =оооо-о',
(10.59)
(ооооўг = -оіо о-о',
(10.60)
›
1
(гаи)=2и:
(10.61)
СОЅ Ц
,г
1
І
(стии) = -
2и.
(10.62)
5111 и
436
тРигономЕтРичЕскиЕ Функции
Примеры
1. Найти производную функции у ± Ѕіп'іх.
› Аргументом данной функции является не х, а 7х. Это
сложная тригонометрическая функция, которую можно пред-
ставитьтак: у=віни, ц =7х,
Поскольку у; = сови = сов7х, и; = 7, то по формуле (10.59)
получаем:
(53117101І =соз7х«7 =7соз7х. 4
2. Найти производную функции у = соз(3 -5х).
› Промежуточным аргументом данной сложной тригоно-
метрической функции является и = 3-5х. С помощью фор-
мулы (10.60) находим:
(то -5х))І = -Ѕіщз -5х) ~(3 -Ѕху' = -Ѕіщз -5 х) (-5),
(еоз(з-5х))' =551п<з -5х). 4
З. Найти производную функции у = г3(2х+1).
› В соответствии с формулой (10.61) находим:
'
1
І
2
(і (2х+1)) =
(2х +1) =
±.
Ё
созг (2х +1)
соз2<2х +1)
х
4. Найти производную функции у = ста-5.
> Применяя формулу (10.62), получаем:
Щ-1н--1
5
.2_Эї 5
хф<
$111
5ц'п2-
5
515
..,
.
зх
5. Наити производную функции у 2 ЅШ -ё -
› Это сложная степенная функция, аргумент которой явля-
ется сложной тригонометрической функцией. Первый проме-
жуточный аргумент и = він 1, второй 2, =х / 3. Применяя
дважды формулу У; = У; ї; 1. получаем:
Производныо_тригонометричестхіфункций *___ЬҐ
437
І
'к
'зх
'Зх
І
І
*Зх
І
"
'х
І
,г
Ѕш
-
=
$111 -- их: вш --
вшн- ах =
з
зы
зи
зІ
.
2х
'х1
_
2хх
=3$1п -соЅ~-=Ѕ1п -ооЅ--.
1
333
33
Задачи
Найдите производные тригонометрических функций.
1. у=віп5х.
2. у=еоз(2-7х).
д
Іх
1
З. у:85ш--.
4, у=-соз(6х-1).
4
3
5. у=Ѕіп22х.
б. у=Ѕіпх3.
7. у=хсоЅх-х2$іпх.
8. у=х5іпх+х2созх.
__с овх-Нхзіпх
10 Шзіпх+хсовх
Ѕіпх+хсоэх'
'
_со зх+хзіпх'
11. у=13х-х.
12. у=І3х-сщх.
13. дтп-3). Ь 14. у=с±в(7-4х)-
Ответы
1. 5с055х. 2. Твіп(2-7х). З. 2со$-: -.
4. ы-2зіп(6:тс-1). 5. 2551141.
6. ЗЫ:2 созхз.
7. (Імх2)совх-3хзіпх.
8. (1-х2)зіпх+3хеозх.
2х +2
4
2
9.
-
.
11. т, 2х.
12.
.
_
е
'
(він х + хеоз ж)2
Ё
Ѕіп2 2.1:
соз2(2х -3)
4
_
Ѕіп2(7 - 4х).
488
тРигоноМЕ тРичЕскиЕ Функции
10.9. свойства Функции у = Ѕіпх и вв гРАФик
Функция у = Ѕіпх имеет наименьший положительный пе-
риод, равный 2к, поэтому для изучения ее свойств достаточ-
но исследовать функцию на любом промежутке длиной 2тс,
например на отрезке [-ТІ, 113]-
С помощью производной (Ѕїп х)'=созх находим стацио-
нарные точки: на отрезке [-тс, к] созх = 0 только при
х = “ТБ/ 2 и х = 'гг/2. Учитывая знаки значений косинуса
(см. рис. 10.4), заключаем, Что (Ѕіп х)' <0 при х е (-тс, -к/2),
х е (тв/2, к) и (він х)' >0 при хе (-тв/2, к/2). Значит,
х = Інчтс/2 _ точка минимума, х = к/ 2 -- точка максимума'г
В промежутках (-к, -п/2), (тп/2, к) функция у = зіпх
убывает, а в промежутке (- 1:/2, п/2) щ возрастает.
Перечислим свойства функции ущзіпх.
1°. Функция у = Ѕіпх определена при всех х, те. областью ее
определения служит вся числовая прямая: В(Ѕіп х) = (-ФФ, +==<=).
2°. Область значений функции у = Ѕіпх совпадает с отрез-
ком [-1, 11: ваш х) = [-1, 11; так как |Ѕіпх| 51, то синус --
ограниченная функция.
3°.
Функция у = Ѕіпх является нечетной, так как
Ѕіп(-х) = “Ѕіпх при всех х из области ее определения
(см. ё 10. 2).
*
4°. Функция «у = Ѕіп х *я нериодическая функция с периодом
2тс (см. 510. 2).
5°. Ѕіпх=О привсехзначенияхх=пп, не 2.
6°. Ѕіпх > 0 при всех х є (2тсн, к+2тсн), н є- 2..
7°. Ѕіп<0 привсеххе(тс+2кп, 21:+2яп), пе 2.
8°. Функция у = Ѕіп х ненрерывна и дифференцируема в каж-
дой точке бесконечного интервала (-оо, +00).
9°. Функция упвіпх , имеет экстремумы: максимумы
.
~
Итс
_
_*
Ѕ1нх=1 при х=--+2кн, п Є 2, минимумы Ѕ1пх=-1 при
2
х=5тс+2тт, не Ъ.
СВОЙСТВа функции у = Ѕіпх и ее График
439
10°. Функция у = Ѕіпх не является монотонной на всей число-
вой прямой; она монотонна в соответствующих промежутках:
возрастает от -1 до 1 на отрезках [- тс/2 +2тсп, *хп/2 +2тсп1, где
п е 2., убывает от 1 до #1 на отрезках [п/2+2ип, 3тс/2 +2тт],
гдепа2.
Используя свойства функции у = Ѕіпх , строим сначала ее
график на отрезке [-112, тв] длиной 2п:, отметив, что
Ѕіп(-тс/2):-1, Ѕіптс/2=1, Ѕіпх<0 при хе(атс, О) и
Ѕіпх>0 при хе(0, тп) (рис. 10.8).
У
_Л РГТ/-\
л'
у. Ѕтх
/
ща Ё; ДМК ёёїл"їі
Рис.10.8
Ввиду того что у = Ѕіпх ё периодическая функция с пе-
риодом 2тс, график ее на промежутках [~п+2тса, тс+2тт],
где п е 2,, получается из графика, построенного на отрезке
[-тБ, ЛІ, параллельным переносом вдоль оси Ох на расстоя-
ние 2пп, где п а 2. На рис. 10.8 изображена часть графика
у : віпх (весь график неограниченно продолжается влево и
вправо). График функции у = Ѕіпх называют санусоидой.
За меч ание . При построении графиков функций у == авіпх,
у=Ѕіпох
пользуются правилами преобразования графиков
г
д
1
(см. ё 4.9). На рис. 10.9 изображен график функции у = Ѕшёх.
Рис. 10.9
440
тригономє тРи ческие Функции
10.10.. свойства Функции у= ет и вв график
Функция у = созх имеет наименьший положительный пе-
риод, равный 2тс, поэтому для изучения ее свойств достаточно
исследовать функцию на любом промежутке длиной 2я, на-
пример на отрезке [0, 2тс].
С помощью производной (сов х)' = -Ѕіп х находим стацио-
нарные точки: на отрезке [0, 2л] Ѕіпх = О только При х = О,
х=я,х =2тп,причемточких=О,х221:являютсяконцамиот-
резка, а х = я Ш- внутренняя точка. Учитывая знаки значений
синуса (см. рис. 10.4), заключаем, что (сов х)' < 0 при
хе(О, я)и(совх)'>0 при хв(к, 2тс). Значит,функцияу=
=созх убывает в промежутке (О, я) и возрастает в промежутке
(я, 2тс). Так как в точке х = я производная ФУНКЦИИ равна ну-
лю и при переходе Через эту точку меняет знак с «минуса» на
«плюс», то х = я: -- точка минимума, причем созп: = -1. На кон-
Цах промежутка [0, 2к] функция также принимает экстремаль-
ные значения: соЅО = 1, соз2тс = І. Заметим еще, что созх > 0
при х Є(0, тс/2)к.›(3л:/2, 2тс), созх <0 при хе (тп/2, Эти/2).
Перечислим свойства функции у = созх.
1°. Функция у = соЅх определена при всех х, т.е. ее областью
определения является вся числовая прямая: В(соз х) ~= (т, +00).
2°. Областью значений функции у = созх служит отрезок
[-1, 1]; Е(со$х) =[-1, ]]. Поскольку 'сов хІЅІ, то косинус _
ограниченная функция.
3°. Функция у = созх
-
четкая, так как соЅ(Н-х) = соЅ х при
всех х из области ее определения (см. ё 10. 2).
4°. Функция у = созх - периодическая с периодом 21:
(см. ё 10. 2).
,
я
5.созх=0привсехзначениях х= -2-+яп, пе2..
6°. сов х > 0 при всех значениях х Є (- я/2-1- 2лп, я/2_ +2тсп),
пє2..
7°. СОЅх <І 0 при всех значениях х е (л/2+ 2тсп, Эти/2 +2тсп),
пЄ2..
Свойства функции у = сосх и ее график
441
8°. Функция у = соЅх непрерывно и дифференцируемо в каж-
дой точке бесконечного интервала (мы, +00).
' 9°. Функция у ш соЅх имеет эхстремумы: мохсшиумы соЅх = 1
при всех х = 2тсп, п е Ъ, минимумы совх =
-1 при всех
х=п+2тсп, п є 2..
10°. Функция у = совх не является мопотопной но всей облас-
ти ее определения; оно монотонно в соответствующих конечных
промежутках: возрастает от -1 до 1 в промежутках
[-тс+2тсп, 2лп], п є Ъ, убывоет от 1 до Ь~1 в промежутках
[2тсп, л+2лп], пе 2.
Используя свойства функции у = созх, построим ее график
сначала на отрезке [0, 2л] (рис. 10.10). Поскольку у = совх ее
периодическая функция с периодом 2тс, график этой функции
На промежутках [2лп, 2л+2лп], где п є 23, получается из ее
графика, построенного на отрезке [0, 2тс], параллельным
сдвигом вдоль оси Ох на расстояние 2тсп, где п е 2.. График
функции у = совх называют посилусоидой.
Ж
у=созх
еще! М Мї
Рис. 10.10
З ам еча н и е 1. График функции у д созх можно получить также
параллельным переносом вдоль оси Ох влево на расстояние 1:12 гра-
фика функции у = Ѕіпх. Действительно, сдвинув синусоиду у и зіих
влево на л/2, получим график функции у = Ѕіп(х + л/2) = сов х.
і!
у= созх
,А те Йд ящщх
_ 2Л_М 01 _ЭІ.
321* 2.?1'
Х
Рис. 10.11
Замечание 2. При построении графиков функций У = 000816,
у= совох пользуются правилами преобразования графиков
442
тРигономЕ тРи чЕскиЕ Функции
Ж у=ш$2х
ї*
А
*я
*1* -е0шт
_,
у=шзх
[31401012
(смі ё 4.9). На рис. 10.11 изображен график функции у =ё~совх, на
рис. 10.12
-
функции у = соз2х, на рис. 10.13 - функции
у = сов(х- *тп/4).
у: сшїх Чё)
Рис. 10.13
10.11. свойствА функции у: их и ви гРАФик
Функция у = Іёх определена при всех х, кроме
х = тс/2+ тсп, где п є 2. Иными словами, областью определе-
ния функции у = 13.): является бесконечное множество питер-
валов (дтп/2+1тп, тс/2+пп), п є Ъ.
Исследуем функцию у Щ тёх в интервале (- тс/ 2, тс/2), дли-
НЕІ КОТОРОГО рЕІВНЗ 'ПЗ -- НЕІИМЄНЬШЄМУ ПОЛОЖИТЄЛЬНОМУ ПЕРИ-
оду этой функции. Поскольку (щ х)' =
>0 при всех
(3082 х
х е (-- л/ 2, тс/2), то функция у ш тях возраствет в рггтеемь'ггриван
емом промежутке. Прямые х = -л/2, х = и/ 2 являются вер-
тикальными асимптотами графика функции у = тдх, так как
ііт щас-дм,
Ііш Івх:-т.
хЧл/ЗЧО
хак/24%
Отметим, что 130 == 0, і3х<0 при всех хе(-л:/2, 0) и
13х>0 при всех хє(0, Ілз/2).
Перечислим свойства функции у=13х.
Свойства функции у = 'сих и ее график
443
1°. Функция у = тих определена при всех действительных х,
КРОМЕ х: ТБ/2+Тт, где п Є 2,,
2°. Область значений функции у Ё тих - бесконечный проме-
жуток (--=›<==, +00) совпадает со всей числовой прямой:
1503 х) 2 В. Следовательно, у = тех _ неограниченная функция.
3°. Тангенс
-
нечетная функция, так как 13(-х) ~_ - -
-13 х для
всехх из области определения (см. ё 10.2).
4°. Танеенс
-
периодическая функция с периодом к
(см. ё 10.2).
5". Іёх=0привсехх=тип:пЄЪ.
6°. тих>0 привсеххе(тип, к/2+тсп), пе2.
7°. 13х< 0 при всех х е (-х/2+тсп, пп), п е 2,.
8°. Функция у = 'сих непрерывно и дифференцируема в каждой
точке области ее определения.
9°. Функция у = Іёх экстремумов не имеет.
10°. Функция у = тих возрастает в каждом интервале
(-к/2+лп,к/2+кп), п є 2.
Поскольку тангенс -Н - нечетная функция, то ее график
симметричен относительно начала Координат. Строим гра-
фик функции у = Іёх сначала Для промежутка (О, 1:/2), потом
Для промежутка (-тс/2, 0) (рис. 10.14).
Уд
у-Чн
3
-
1
1
!
“Щ
*Ёп-Щ
__л
__Ё Ё
0
М
н
3.11 .
Я:
я”Т
Як -Ё-
Рис. 10.14
График функции у --- тих на интервалах (-тс/2+кп,
л/2+тсп), п є 2, получается из графика, построенного на ин-
тервале (- тЕ/2, П/ 2) параллельным переносом вдоль оси Ох
на расстояние ип, п е Ъ. График функции у н*Чех называют
тангенсоидой.
~
444
тРигономЕтРи ческие Функции
10.12. свойства Функции у = еще: и вв гРАФик
Функция у = стих определена при всех действительных х,
кроме х *-" ли, п е Ъ. Областью ее определения является беско-
Нечное множество интервалов (пн, (п +1)л:}, п е 2, Длина
каждого из которых равна к - периоду данной функции. Ис*
СЛЄДУЄМ фУНКЦИЮ На ОДНОМ ИЗ уКВЗаНІ-ІЬІХ ИНТЕРВЗЛОВ, НЕІПрИП
мер на интервале (О, л). Поскольку (СІЅХ), =
.
2<0при
5111 х
всех х е (О, и), то функция у = сіях убывает в интервале (О, л).
Отметим, Что сїя л/2 = О, сїях > О при всех х е (О, *дв/2),
ств х < 0 при всех х е (л/2, тв). Прямые, определяемые урав-
нениями х = О, х = к, служат вертикальными асимптотами
графика функции у = стёх, так как соответствующие односто-
ронние пределы бесконечны:
Іішсівхше-сю,
ііш сівх: т.
х-Н -О
хНт-Р-О
Перечислим свойства функции у = стих.
1°. Областью определения функции у = сїях является мно-
жество всех действительных чисел, кроме х = ип, н е Ъ.
2°. Область значений функции у == сщх -- бесконечный проме-
жуток (-ш, +ш): Е(с13 х) = В. Котангенс -- неаграниченная
функция.
3°. Функция у Ш сівх -- нечетная: ст5(-х) = “сти х при всех
хеЩсщх).
4°. Котанеенс ш- нериадическая функция с периодам л.
5°.с13хш0привсех х=л/2+тсн, пе Ъ.
6°. сщх > 0 при всех хе (ли, к/2+тсн), п е 2.
7°. сщх<0 привсех хЄ(-к/2+лн, кл), пе 2.
8°. Функция у = сіях непрерывна и дифференцируема в каж-
дой тачке области ее определения.
9°. Функция у = стих не имеет экстренумов.
10°.
Функция у ж сгях убивает е каждом интервале
(ки, (п+1):п:), н Є Ъ.
Збра тные тригонометри ческие функции
445_
К
у=Пух |
__11
5::
2 її: -Ё-їлг
І
_
График функции у = стих, О < х < тс, приведен на
рис. 10.15. С помощью параллельного переноса графика фунш
кции у = стих, построенного на интервале (О, тс), вдоль оси Ох
на расстояние тт, п є 2, получим график функции у = стих на
интервалах (тип, (п +1)л), п є 2.. График функции у = стих на*
зывают котангенсоидой.
Удъ.
д
"
ъ
'
5
3
Ё
М
І
Ц
'
д
и
І
'
Ч
ё
,
4
.
М
'
д
д
Г
Рис. 10.15
10.13. овРАтнЫв тРигономвтРичвскив
Функции
Функция, обратная синусу. Функция у ш Ѕіпх на отрезке
[ч- 'лг/ 2, л/ 2] возрастает, непрерывна и принимает значения из
отрезка [4, 11. Значит, на отрезке [~1, 1] определена фун-
кция, обратная ФУНКЦИИ у = зіпх. Эту обратную функцию на-
зывают арксинусом и обозначают у == агсзіпх. Введем определе-
ние арксинуса Числа а.
Арксинусом числа а, а е [-І, 1], называют угол (или дугу),
принадлежащий отрезку [-'лз/2, 1:/21, синус которого равен
Числу а, его обозначают агсзіпа. Таким образом, агсзіпа есть
угол, удовлетворяюший следующим условиям:
Ѕіщагсзша)=а, И51, -їіс-5типа5ї;-
(10.63)
Например шсзіп-і: ЗЕ- так Как Ѕіпїс- = і и г- є [-Е, її..
а
233
32
3
22
Функция у = агсзіпх определена На отрезке [~1, 11, облас-
тью ее значений является отрезок [-п/2, 113/21. На отрезке
[-І, 1] функция у == агсзіпх непрерывна и монотонно возрас-
тает от -тс/2 до атс/2 (это следует из того, что функция у = Ѕіпх
446
тРигономЕтРи ческие Функции
на отрезке [- п/ 2 , и / 2] непрерывна и монотонно возрастает).
Наибольшее значение функция принимает при х = 1:
агсзіпІ = п/2, а наименьшее
-
при х == -1: агсзіп(-1) = -п/2.
При х = О функция равна нулю. График функции у т агсзіпх
изображен на рис. 10.16.
_ у=аттзнлх
_“-.
ц-
~/-
дҐх
“__ - ду?
Рис. 10.16
Функция, обратная касинусу. Областью значений функции
у = созх является отрезок [~1, 1]. На отрезке [0, я] функция
у = созх непрерьтвна и монотонно убывает. Значит, на отрез-
ке [-1, 1] определена функция, обратная функции у = созх.
Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают
у = агссозх.
Арккосинусом числа а, |а| 5 1, называют угол, принадлеиш~-І
щий отрезку [0, тв], косинус которого равен Числу а; его обоз~~н
начают агссова. Таким образом, атссоз а есть угол, удовлетвот
ряющий следующим двум условиям:
соз(агссоза)=а, |а|51, 05атссоза5тв.
(10.64)
1
1и
т:
и
_
Например, агссоз-=-
так как созї=-
и ЁЄЮ, Щ,
Э
2
Функция у = агссозх определена на отрезке [-1, 11; обла-
стью ее значений является отрезок [0, 1:1. На отрезке [-1, 1]
функция у = агссозх непрерывна и монотонно убывает от я
До 0 (поскольку у = созх
-
непрерывная и монотонно убыва-
ющая функция на отрезке [0, ІЩ); на концах этого отрезка
она достигает экстремальных значений: агссоЅ(-1) = п,
агссозІ =0. Отметим, Что агссоЅО =тс/2. График функции
у = агссозх (рис. 10.17) снмметричен графику функции
у = созх относительно прямой у ~= х.
а1~ссоз(-±)е---ЕЕ поскольку соз-Ё-'Т-Іїеп і и 21: [О и]
2з”
з_
зЄ”
`
Обратные тригонометрические функции
447
“к
--7Г
К ушгг'ЮЅх
Л/2 \
эн-
шйога
Рис. 1017
Функция, обратная тангенсу. Функция у = тёх на промо-
Жутке (- п/ 2, п/2) принимает все числовые значения:
Е (х) = (-Фо, +00). На этом промежутке она непрерывна и мо-
нотонно возрастает. Значит, на промежутке (-сю, +90) опреде-
лена функция, обратная функции у = тих. Эту обратную фун-
кцию называют арктангенсом и обозначают у = агсщх.
Арктангенсом числа а называют угол из промежутка
(- *дэ/2, 1:/2), тангенс которого равен а. Таким образом, агсща
есть угол, удовлетворяющий следующим условиям:
І3(агс13 а) = а,
“Ё-<агсїёа<32?-
(10.65)
Итак, любому числу х всегда соответствует единственное зна-
чение функции у = агсіёх. Очевидно, что Шагсщ х) = (-ш, +90),
Е(агсі3 х) = (-л/2, 'ні/2). Функция у = агстёх является возрас-
тающей, поскольку функция у = 'ких возрастает в интервале
(- л/2, л/2). График функции у = агсїёх симметричен графи-
КУ функции у = тих, гчілз/2 < х < л/ 2, относительно прямой у = х
(как график обратной функции). График функции у = агсщх
проходит Через начало координат (так как у = агсІЁО =0) и
симметричен относительно начала координат, поскольку арк-
тангенс
-
нечетная функция (рис. 10.18).
Уд
лм
у=агсіух
Щ
- зг/ЕІ
Рис. 10.18
448
тРигономЕтРи ческие Функции
Функция, обратная котангенсу. Функция у = сїях на интер-
вале (0, п) принимает все числовые значения из промежутка
+00), Область ее значений совпадает с множеством всех
действительных чисел. В промежутке (0, п) функция у 2 сїях
непрерывна и монотонно убывает. Значит, на промежутке
(-сю, +00) определена функция, обратная функции у = стих.
Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и
обозначают у = агссщх.
Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий
интервалу (О, тс), котангенс которого равен а. Таким образом,
агссїях есть угол, удовлетворяющий условиям:
(-ее,
сІЩагссІёа)=а, 0<агссїёа<и.
(10-65)
Из определения обратной функции и определения арккотан-
генса следует, Что Щагссїё х) = (-ФФ, +сю), Е (агсс'сё х) = (0, тп).
Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку
фУНКЦИЯ у = сіях убывает в промежутке (0, тп). График ФУНКЦИИ
у=агссщхнепересекаетосьОх,таккак у>О привсеххє В;
у = агссіё 0 = п/2. График функции у = агссїях изображен на
рис. 10.19.
ЛК
_ТҐ
0
7
Рис. 10.19
Примеры
1. Найти соз(агс$іп х).
› Положив в формуле соз ос == ±\/1«~--Ѕ'ш2 о: угол ос = агсзіп х
и воспользовавшись равенством (10.63), получим:
Обратные тригономе трические функции
449
соз(агс$іп х) = ±\/1-(Ѕіп(агс$іп х)) 2 = ±
-
х2.
Перед корнем следует взять знак «плюс», поскольку угол
о, = агсзіпх принадлежит отрезку [- и/ 2, п/2], в котором ко~
синус не отрицателен. Итак,
соЅ(агсЅіп х) = «Л - х2. 4
(10.67)
2., ДОКЗЗЗТЬ, ЧТО фуНКЦИЯ у = аІ'СЅіПх является Нечетной,
Т. е. агсзіп(-~х) = *агсзіп х при любом х е [-1, 1].
›Действительно, по определению, если ]х| 5 1, имеем:
тс
_
'
л
л
.
11: ,
_- Ѕагсз1п(-х)5- И
-- _ <Ѕагсзп1х Ѕ-т
2
2
2
2
Умножая на ц1 все члены последнего двойного неравен-
ства, получаем “Ё- Ѕ
-агсзіпх ЗП; Таким образом, углы
агсзіп(-х) и -агсзіп х принадлежат одному и тому же отрезку
[- п/ 2, л/2]. Найдем синусы этих углов: Ѕіп(агсзіп(-х)) = -х
(по определению; см. формулу (10.63)). Поскольку функция
у 2 Ѕіпх нечетная, то Ѕіп(-агсзіп х) = -Ѕіп(агс$іп х) = -х. Итак,
синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку
[-п/2, 1:/21, равны; значит, равны и сами углы, т. е.
агсзіщ -х) = _агсзіп х. Следовательно, функция у = агсзіпх
является нечетной. График функции у = агсзіпх симметрІ/І'-І
чен относительно начала координат (см. рис. 10.16). 4
3. Доказать, Что для любого х е [- 1:/ 2, тс/ 2]
агсзіп($іп х) = х.
(10.68)
› В самом деле, по определению -Ё-Ѕ агсзіп(зіп х) 5%, а
по условию -нтс/2 ЅхЅ тс/2. Значит, углы х и агсзіп(зіп х)
принадлежат одному и тому же промежутку монотонности
функции у 2 Ѕіпх. Если синусы таких углов равны, то равны и
сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем Ѕіпх,
450
тРигономЕ тРичЕскиЕ Функции
для агсзіщзіп х) получаем Ѕіп(атсзіп(зіп х)) =віпх (по опредеш
лению; см. формулу (1063)). Получили, что синусы указан-
ных углов равны; следовательно, и углы равны, т. е.
агсзіп(зіп х) = х. 4
4.. Вычислить агсзіщзіп 38 ).
› Поскольку 38*в є {~90°, 9001, то в соответствии с равенс-ш
твом (10.68) получаем агсзіп(зіп38°) =38°. 4
5.. Вычислить агсзіп($іп( ц~-572 0)).
› Так как _572° е [-9Оо, 90°], то запись агсзіп($іп(-572°)) =
=-572 Не корректна. Но Ѕіп(-572°)25і11(-212о)=$іп32°,
ПОЭТОМУ агсзіп(віп(-572°)) = агсзіп(зіп 32 о) =З2 о. 4
6. Вычислить агсзіщзіп 2).
› Очевидно, что 2>1с/2 и 2 є[-л/2, 11/21. Но поскольку
Ѕіп2 = Ѕіп(1с-2), где (тп-2) є[-1т,/2, л/2], то
атсзіп(зі11 2) =агсзіп(зі11( л: ~2)) = п-~2. 4
7. Найти Ѕіп(агссоз х).
› Так как 0 5 дгееоЅ х 5 тд, то Ѕіп(агссоз х) 2 0. Пользуемся
формулой ЅіпВ == ±`/1- сов2 В, причем перед корнем берем
знак «плюс». Итак, Имеем:
Ѕіп(агссоз х) = Л~(соз(а1^ссо$ зф) 2 =
-
х2,
Ѕіп(агссоз х) = І - х2. 4
(10.69)
8. Найти Ѕіп(атсзіп х+а1^с$іп у).
› Применяя формулу Для синуса суммы двух углов, форму-
лу (10.67), получаем:
Ѕіп(атсзіп х+агсзіп у) =Ѕіп(атс$іп х) соз(атсзіп у) +
+ со$(агсэіп х) Ѕіп(агсвіп у) = хП+
_
1:2 у:
=х\/1-у2+у\і'1-х2.4
Обратные тригонометри ческие функции
451
9. Найти стщагсїё х).
› Принимая во внимание формулу СІЅ 01 = 1/ їЅ 01 И фОРМУ-
лу (10.65), находим:
1
сгщагст х)
-
1
*-
4
Ё 13(агс'[3 х) х.
Задачи
1. Докажите равенство
агссоЅ(-х) = л - агссоз х.
2. Докажите тождество
агсзіп х + агссоз х == игл/2, если |х| Ѕ 1.
3. Докажите, что агссоз(соз х) = х для любого х е (О, тп).
4. Вычислите агссоз(210°).
л: л:
5. Докажите, что агсіщтё х) : х, если х Є (-5, ї]-
6. Докажите тожцество агсІЩ-х) = тп
-
агсгё х.
7. Найдите Ѕіп(агсі3 х).
л
8. Докажите толщество агсід х + агссщ х = ї.
_
2
9. Вычислите: а) соз(2агс5ш ї); б) сп; [агссоЅ[-ё-Л; в) агс1:3(132)
10. Докажите, Что 1%(31'0511'1 х) =
2.
1-х
Ответы
4. 150°.
Указание. Воспользуйтесь тем, что
сов210с=
=605(180°+30°)=_<;0530°,
и равенством задачи 1. 9. а) 1/9;
б) -6/4; в) 2-“11-
1 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
11.1. пгоствйшив тРигономвтРиЧвскив
УРАвнвния
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят
уравнения:
Ѕіпхг- а, совх= а, Іях = а,с1;3х = а.
Уравнение
'
Ѕіпх=а
(11.1)
разрешимо в том и только том случае, когда
|а|а1.
(11.2)
Если условие (11.2) выполнено, то все решения уравнения
(11.1) содержатся в формуле
х=(-1)” агсэіпаып, п Є и.
(113)”
Если [аІ > 1, то уравнение (11.1) не имеет решений.
Уравнение
соЅх=а
(11.4)
разрешимо тогда и только тогда, когда выполнено условие
(11.2). В этом случае все его решения определяются формулой
х=±агссоза+2лп, пе 2.
(11.5)
Если Іа! :› 1, то уравнение (11.4) не имеет решений.
Уравнение
Іях= а
я
(11.6)
разрешимо при любом а. Все решения уравнения (11.6) содер-
жатся в формуле
х=агсгяа+лщ не 2.
(11.7)
Уравнение
сіёх=а
(11-8)
разрешимо при любом а. Все решения этого уравнения содер-
жатся в формуле
х=агсс13а+пщ пе 2.
(11.9)
Проетейшие тригонометрические уравнения
453
Выпишем решения для некоторых часто встречающихся
частных случаев простейших тригонометрических уравнений
(п Є 2.):
т:
1) Ѕіпх=0, х=тпп;
2) Ѕіпх=1, х=-2 -+2л:п;
..
л:
л:
3) вшх:-1, х=--2 -+2л:п; 4) созх=0, х==-2 -+л:н;
5) еоЅх==1, Х=2^ЛЗЩ
6) еоЅх=-1, х=п+2пн;
п:
7) 13х=0, х=^л:п;
8)13х=1, х=Е+пщ
л
`
т:
9) їБХ=“1, Х==-Е+пп; 10) с13х=0, х=~ї+тсп;
11:
Зп
11) 013х=1, х:2-+тсп;
12) сї3х=-І, х=ї+пгь
При решении тригонометрических уравнений во многих
случаях используются тождества:
агезіп(-а) = -атсвіп а, атсеое( -а) = 11: -агесоз а,
(11.10)
акты-о) = -агсіг о, агес13(-а) == 11: -агссте а.
(11.1 ї)
Напомним, что функции агсвіп а и агсеов а определены
на отрезке [-1, 1] и агсаіп а е[- п/2, 11/21, агссоза є[0, Щ.
Функции агств о и агееів а определены на В = (мы, +00) ;
агещ о е(-11:/2, п/2) , агсеіё а е (О, п).
Примеры
.
3
1. Решить уравнение Ѕш х = -ї -
› В соответствии с формулой (11.3) получаем
Лп:
Пн-
2
233 ТО
І
3
ч
х=(-1)”агсв1п-2 -+пп, п е 2,. Так Как агез1
Ига:
х==(--1) -5-+'Л:п, пе 2.. 4
_
1
2. Решить уравнение вш Эх: -Е-
454
тРигономЕтРи чєскиє уРАзнания
› Уравнение (11.1) можно записать в виде зіпи === а, тогда
и =(~1)" агсзіп а+ тип, п е 2. Пользуясь этой формулой и По~
_
1
лагая и = Зх, находим, Что 3х=(-1)" агсзш (вы +1ш, п е 2.
.
.
1
'ЛІ
1п
Поскольку атсзш ~~ ш-агсзш --= --
--, то 3.1” = (-1)"+ _+Тт,
2
26
6
откуда
+1 ТС
х:(-1)И Г+Ёп, пе2..4
-
_
1
З. Решить уравнение Ѕш(2х -1) = -5-.
› На основании формулы (11.3) получаем
1
2х -1=(--1)п ШСЅіН -5- + ТИ, п Є Ъ,
откуда
1
х=~+-1 -(- -"1)атсзіиё+;вп, не! 4
22
«5-1
2.
4. Решить уравнение зіп х ==
› Это уравнение не имеет решений, так как 410 >3 и
#10-1
>1.4
1
5. Решить уравнение соЅ х = +~
1
› Поскольку а = -
И [аі < 1, толо формуле (11.5) получаем:
1
+11".
х:=±атссоЅ-2«+2пп, х: ±3+2тсп, пеЪ. 4
х
3
6. Решить уравнение созх = --2 --.
Ь В соответствии с формулой (11.5) находим
3
а
х = ± агссоз [-ї] + 2тсп.
Простейшие тригонометрические уравнения_
455
Л
3
л:
ТЭК КБК ЗҐССОЅ ----
=7Ъ-агссо$__=тд_Ы-_=
2
2
6
5
х=±-6 -тс+2лп, не 2. 4
7 . Решить уравнение соех =1М Л _
› Это уравнение Не имеет решений, поскольку І-Л < --1
и'І-ЛЬЪ 4
8. Решить уравнение '(3 х = Л .
› По формуле (І 1.7) получаем
х: агс13~/5+лп=-Ён+пп, п е 2. 4
9. Решить уравнение тд х -_= Л ,
› В соответствии с формулой (11.9) Находим:
*лс
х=агссгёл+лп=ц6+лщ п е Ъ. 4
1
10. Решить уравнение стр х === --~.
Л
› По формуле (І 1.9) получаем
х = агссїё[~-`/1~.ї)+лп, п е 2.
1
п
Так как агссщ «Ш =л~агссї3т=л-3~==~ї, то
у;
211:
=-ё --+пп, пе Ъ. <
Задачи
Решите тригонометрические уравнения.
1. Ѕівх=Л/2.
2. зіп2х=-\/5/2.
з, Біщзх шз) = 1/2.
4. 00521: = (5/2.
5. мы: -1/2.
в. тыщ/Л.
456
тригономєтвичвскив УРА знания
7. ї3х=2+~/Ё.
8. с13х=2-\/3-›.
9. щит/5.
10. ямы-Ш.
11. Ѕіп|х|=1.
12. |5іпх|=1.
Ответы
-1 дн:
1”+1“+ЁЁЁ. х=-+ 1 _- +Ё.
1.=”х()
п2.х=()6+23.х
(-)”І2+2
г: пп
2
а:
51:
4_
=±--+ _- _
,
=±-п+2тс.
_
=_-+
.
_
=--+
.
х
1225х
3
п
6х6пп7
х
1
пп
511:
5
1
8. х=Т2-+Тт- 9. Х=Еїї+1т~ 10. Нет решений. 11. |х|=(4п; И.
12. х=-+твп.
2
11.2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
СВОДЯЩИЕСЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
К квадратному уравнению сводятся тригонометрические
уравнения:
азіп2х+ЬЅіпэё+с=0, 0120,
(11.12)
асов2х+дсовх+с=0, афО.
01.13)
Уравнение
А51п2х+всозх+с=о, мо,
`
(11.14)
сводится К уравнеиию (11.13) заменой $1112х===1~~соз2 х, а
уравнение
с
Ас052х+в5іпх+с=щ мо,
(11.15)
сводится К уравнению (11.12) заменой сов2 х щ 1---ві112 х.
Уравнение
аозіпшы,Ѕіп"'1х+...+ап_[віпх+ап=0
(11.16)
подстановкой Ѕіп х = ї сводится к алгебраическому уравнению
аої"+а1ї”_1+...+ап_1ї+ап=0.
(11_17)
УраВНЄНИЯ, СВОДЯЩИЄСЯ К НЛГЄбраИЧЄСКИМ урЗВНЄНИЯМ
457
Уравнение (11.16) равносильно совокупности уравнений
віпх=ї], віпх =І2,..., Ѕіпх =Іп,
где 11, 12, и., їп
-
корни уравнения 01.17). Уравнение (І 1.16)
разрешимо в том и только том случае, Когда по Крайней мере
один из корней уравнения (11.17) является действительным и
но модулю меньше единицы.
К уравнению (11.17) сводятся соответствующие уравнения
относительно соах, Іёх, сіёх, т. е. уравнения вида (11.16), где
вместо Ѕіпх записано соответственно соЅх, іях, сіёх.
Примеры
1. Решить уравнение 251112 х + Ѕіпх -1 = 0.
› Полагая Ѕіп х = г, получаем Квадратное уравнение
21'2 +І-1== 0, Которое имеет Корни ї] = _1, Ґ2 = 1/2.
РеЩая уравнения Ѕіп х = -1, Ѕіп х :1/2Э находим два мно-
жества решений данного уравнения:
х=-1;-+2тсп, пе 2.,и х=(-1)"Ібс-+тсп, пе 2.. <
2х+соЅх-2 ==0.
2. Решить уравнение соЅ
› Это квадратное уравнение относительно соях, корни ко-
торого созх == -2, созх = 1. Первое уравнение не имеет реше-
ний. Уравнение созх = 1 имеет корни х = 2тсп, п е 2, которые
и составляют множество решений заданного уравнения. <
З. Решить уравнение 2 він2 х-5 соЅ х +1 == 0.
Ь Заменив Ѕін2 х на 1-- сов2 х, поітучим:
2(1Ысоз2 х) щ5соз х+1= О, 2соЅ2 х+5созх -З = О,
откуда созх: -3, созх 1* 1/2.
Уравнение созх ї -3 не имеет решений. Из второго урав-І
нения находим:
'
1
х=±агссо$5+2тсп=±п/З+2яп, п е 2..
Данной формулой определяется множество решений ис-
ходного уравнения. «і
458
тРигоноМЕтРичЕокиЕ УРАзнания
4. Решить уравнение еоз2 х -Ѕіп х~1 = О.
2
2
› Так как сов х =1-Ѕіп х, то уравнение принимает вид
Ѕіп2 х+$іпх 20 или він х(Ѕіпх+1) =0, откуда аіп х 2" 0,
Ѕіпх+1 ==0 или Ѕіпх: -1.
Первое уравнение имеет решение х = пп, п є Ъ, а второе -
решение х == -п/ 2 + 2тт, п є Ъ. Этими формулами определи-
ются множества решений заданного уравнения. 4
5. Решить уравнение сі32 х+ ЗСІЁ х+ 5 = 0.
І» Полагая стр, х : ї, получаем квадратное уравнение
г2 + 31* + 5 == 0, Которое не имеет действительных корней. Сле-
довательно, данное уравнение решений не имеет. 4
6.Решитьуравнение 133х+2г32х+3Іёх=0.
› Положив Ідх = І, получим кубичеекое уравнение
1'3 +2:2 +32* ==0 или 102 + 21* +3ї) = О, которое имеет только
один действительный корень ї== 0. Значит, исходное уравне-
ние равносильно уравнению іёх = О, для которого х == пп,
пє2.4
Задачи
Решите тригонометрические уравнения.
1. Ззіпх=2еоззх.
2. вів2х+созх+1=0.
.
1
З. зшх+соЅЁх=ї
4. 2соз2х+7созх+3=0.
*'
.
23
5. 3+2з1112х=г3х+с113х
6. созх=соз їх.
7. 4Ѕіпх+2созх=2+3інї
1
1
1
1
8.
2+_ 2+
2_2=1.
еозх
зшх
созх зш х
.
-5 5іп4хсозх
9. 651пх-2еоззх:
_
~
2еоз2х
Інсоззх
10. ±Е2 х:
.
1-*51'13 х
(_Эднородные тригонометрические уравнения
459
Ответы
1. х=(-1)”%+пп.
2.премии.
з. х=пл«-(-1)”їбї.
4 х-- і; + 2лп 5 х== (+-1)”Л+1-~іг + и; Указание. Воспользуйтесь оп-
ределениями тих и стих, преобразуйте правую часть уравнения, а все
уравнение - к квадратному относительно Ѕіп 2х = г. 6. х = 4лп,
л
и
51:
х=±--+2тт,
7, 15:21:11,
х=%6-+21Іп,
Х:чё-+2ТСН,
1
х=~2агс13-+2лп. 8. Нет решений. 9. Нет решений. 10. х±2тсп,
л
тс
1
х:--+тт, х=ї±атссоз(1 ----]+2л:п.
4
Л
11.3. одногодныв тРигономвтРичвскив
УРАвнвния
Однородным тригонометрическим уравнением называют
уравнение вида
ао він/С х+а1$іпк"1хсозх+...+
+адщ15іпхсоЅ/Н дна)с созЁхШтО,
(11.18)
все слагаемые Которого имеют одинаковую степень Іс относи-
тельно Ѕіп х и сов х.
При ао а* 0 среди решений уравнения (11.18) не содер-
жится значений х, при Которых сов х == 0. В самом деле, нола-
гая, Что соЅ х щ 0, получаем аО він,с х = О, откуда ЅіиІІС х =~ О. Но
это невозможно, поскольку нет таких значений х, при Кото-
рых Ѕіп х и сов х одновременно обращаются в нуль (поскольку
Ѕіп2 и+сов2 х= 1 для всех х)
Аналогично при ак гг 0 среди решений уравнения (11 18)
не содержится значений х, при Которьтх Ѕіп х= О.
При решении уравнения (11.18) различают Два случая:
1)аОф0ИакиО;
2) а0=0, или ак=0, или а0=ак=0.
460
тРигономЕтРичЕокиЕ УРАзнания
к
В первом случае, разделив уравнение (11.18) на сов х, по-
лучим (поскольку созх ф 0) равносильное ему алгебраиче-
ское уравнение
аду,С +а1укч] +...+с.г,<_1у+а,с = 0
(11.19)
относительно у = 1:3 х.
Уравнение можно также разделить на Ѕіпй х. Поскольку
Ѕіп х ф О, то получаем равносильное уравнению (11.18) алгеб~
раическое уравнение
ао+аіг+...+а/с_12к_]+а/с2кдо
(1120)
относительно 2: = сїя х.
Рассмотрим второй случай. Пусть, например, ао = ак = О,
но а] и О и ар] ф 0. Тогда уравнение (11.18) принимает вид
(после вынесения за скобки произведения Ѕіп хсоз х ):
Ё-І
Іс-2
Ѕіп хсоз х(а1$іп х + а2 Ѕіп хсоз х +... +
Іс-2
+а,с__2 Ѕіп хсоЅ х + ам] соЅІН х) = 0.
Это уравнение распадается на совокупность уравнений
РЅіпх=О,
соёх = 0,
а]він/с"1х+(12він/“2хсоЅх+...+ак_2Ѕіпэссоа,с _2х+
_ +а,(_1 сов/(_1 х = О.
Первые два уравнения являются простейшими (см. ё 11.1),
а третье решается так, как и в первом случае, поскольку
019150, 0104 #1 О.
К простейшим однородным тригонометрическим уравне-
ниям относятся следующие уравнения:
азіпх+Ьоо$х=0, афО, 12:20,
(11.21)
азіп2х+ЬвіпхсоЅх+ссоЅ2х =0.
(11.22)
К уравнению (11.22) приводится уравнение
АЅіпгх+ВзіпхсоЅх+СсоЅ2х=В.
(1І.23)
Для Этого достаточно воспользоваться основным тригоно-
метрическши тождеством
Ѕіп2х+соз2х=1
(11.24)
Однородные тригонометрические уравнения
461
и
правую часть уравнения (11.23) заменить Ґ на
1)(51112х+со52 х). После соответствующих преобразований
получим однородное уравнение второй степени
(14*-1351112 х+ 1515111хсоЅх+(С-1))со52 х =0.
Уравнение
ао 51112" х + ад 51112”1 хсоЅ х + ..+ а2,,_1 5111 хеоЅЪ'”ьг1 х +
+с12И со52” х = с;
(11.25)
сводится к уравнению вида (11.18) с помощью тождества
с,1=су(51112х+с052 х)".
(11.26)
Частным случаем уравнения (11.25) является уравнение
(11.23), которое сводится к однородному с помощью частного
случая тождества (11.26), когда п Ц 1.
Основное тригонометрическое тождество позволяет не
только сводить некоторые уравнения к уравнениям вида
(11.18), но и в ряде случаев дает возможность найти более
простые решения таких уравнений. Для этой цели использу~
ются некоторые тождества, получаемые с помощью соотно-
шения (11.24).
Так как
1= (51112 х+ с052 х)2 = 51114 эс+251112 эссоЅ2 х+с054 х,
то
.
1.
51114 х+с054х=1 ш-2-511122эс.
(11,27)
Далее,
51116 л+со56 х = (51112 х +с052 х)(51114 х +с;о54 х -511'12 зссо52 х) =
1_
1_
=1~--51112 2х---51п22х
2
4
или
51п6х+со56х=1-%5н1?2х.
(11.28)
Преобразуем сумму 51118х+со58
(11.27):
51118 х+ со5В х = (51114 эс+соь14 л)2 --251114 хсов4 х =
х, используя формулу
462
Ы
тРигоНомЕ'гРи чЕскиЕ УРАвнЕния
щ1
21
_ :[1--ві1122х] --~віп4 2х =
2
8
_
1.
1_
= І---в1112 2х -і - - -в1т14 2х --в1п4 Вх.
4
8
Отсюда получаем
8
віп8х+сов х=сов22х+~ёвіп42х
(11.29)
Примеры
1. Решить уравнение віп х + сов х = 0.
› Это однородное уравнение первой степени вида (11.21),
для которого а Ё Ь == 1. При любом значении аргумента віп х и
сов х одновременно не могут быть равны нулю. Допустим, что
сов х ± 0. Тогда, разделив почленно Данное равенство на сов х,
получим Іёх = -1, откуда х = -Ё--Ьпт п є 2. 4
2
2
2..Решить уравнение віц хт4ві11хсовх-5сов х=О.
› Данное уравнение является однородным уравненисм ви-
да (1 1.22). Предположив, что сов х 42 О, и разделив уравнение
на сов2 х, получим Квадратное уравнение І32 х- 4131:- 5 = 0
относительно тя х, для Которого І3 х = -1, їёх = 5. Решая эти
уравнения, находим:
тс
х=-д -+*л:п и х=агс135+лщ пе 2. 4
'И
3.Решитьуравнение 2він2 х-5віпхсовх-8сов2х= -2.
› Это уравнение вида (11.23), которое приводится К одно-
родному заменой Щ2 = -~ -2(ві112 х+ сов2 х):
2віп2 х-5віп хсов х-Ѕсов2 х+2(віп 2 х+сов2 х) =0.
ПОСЛЄ ПРИВЄДЄНИЯ ПОДОбІ-ІЫХ СЛЕГЕІЄМЬІХ урЗВНЄНІ/ІЄ ПрІ/ҐНИ*и
МЕЮТ ВИД
Однородные тригонометрические уравнения
463
451112 х-Ѕаіп хсоа эс-бсоз2 х=0.
Разделив все члены последнего уравнения на сов2 х,
сов х ± О, получим уравнение 4192 х - 51.31: - 6 = 0, равносиль-
ное исходному уравнению. Решая последнее уравнение, нахо-
дим:щх==2,[3х= -3/4,откуда
З
х=агс1132+лп и х:-агсі32+пп, не 2.
Данными формулами определяется множество решений
заданного уравнения. 4
4. Решить уравнение
З
.
.
2
.
2
$111 ЭС-*2ЅІҐ1 хСОЅх-ЅІПХСОЅ х+2€053х=0.
› Это однородное уравнение третьей степени. Разделив его
на сов3 х, получим алгебраическое уравнение
уз #23/2 ~у+2= 0,
где у = тих. Разложив левую часть уравнения на множители,
имеем (у-2)(у2 -1) = О, откуда у1= -1, у2 = І, уЗ = 2.
Теперь осталось решить совокупность уравнений
І3х=-1, іёх: 1, 13х=2,
ОТКУДЭ. СООТВЄТСТВЄННО НЗХОДИМІ
п:
тс
х=--;і-+лп, х=ї+пщ х=агс132+тсп, пе Ъ.
Обьединяя первые две формулы в одну, получаем:
Л
.
х=±-+тсп, х = агсі32 +пп, И Є Ъ. 4
4
5. Решить уравнение
-
4
.
з
2-2
3
.
4_
$111 хсоЅх-2Ѕп1 хсоа х-зш хсоз х+2з1п хсоз х -0.
› Левую часть данного однородного уравнения пятой сте-
пени раскладываем на множители:
Ѕіпхсозх(5іп3х-~2Ѕіп2хсозх-Ѕіпхсоз2х+2сов3я) =0.
Получаем совокупность уравнений
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАБНЕНИЯ
464
Ыпх=Ц
совх=0,
-
3
~
2
-
2
з_
_ Ѕш х-Н2Ѕ1п хсовхтзшхсоз х+2сов х-О.
Первые два уравнения являются простейшими (см. ё 11.1),
третье уравнение было решено в примере 4. Следовательно,
множество решении исходного уравнения определяется фор-
мулами:
тс
т:
х=тсп, х=-+2пп, х=±ї+лп, х=агсї32+тсщ пе 2.4
-
2
6. Решить уравнение $111 х соЅ х -~ соЅ х = 1.
ў ПЄрЄПИЩЄМ УрЗВНЄНИЄ В ВИДЄ
2
віпхсозх -соз2 х = Ѕіп2 х+со$ х
и приведем подобные члены:
51112 хчазіпхсозх+2соз2 х=0.
Разделив последнее уравнение на сов
ратное уравнение і32 х - із х +2 = О, откуда
х_1±×/1-8
ц.._. __...._..2 у
2 х, получим квад-
Следовательно, данное уравнение решений не имеет. 4
7. Решить уравнение 8 51112 х + 6 сов2 х = 135111 2х.
› Воспользовавшись формулой Ѕіп 2х = 2Ѕіп хсов х, запи-
шем уравнение в виде
85і112 д+6соз2 х-265іп хсоз х =0,
4зі112 л+3сов2 хЫІЗЅіп хсозх=0.
Разделив на сов2 х, Получим квадратное уравнение
4І32х-13т3х+3=0,
1
откуда І3х=3, х=агсІ33+лп и і3х=г х=агсі32+тсщ
пеЪ.4
Однородные тригонометри ческие уравнения
465
8. Решить уравнение аіпВ х + еоа8 х = (3052 2х.
Уравнение можно решить е помощью формулы (11.29).
Действительно, принимая во внимание указанную формулу,
получаем:
1.
1.
еоа2 2х+ё$ш4 2х = 0052 2х, ЕЩЁ 2х : О,
_
а
пп
Ѕ1п2х=0, х=-5 -,
пе Ъ.
Задачи
Решите тригонометрические уравнения.
2х=0.
1. Езіпх-Зсозх=0.
2. Звіп2х+25іпхсо$хчсоз
2Ѕіп2х+ЗЅіпхсоЅх+с052х=0.
зіп2х-3созїх+2$іп2х=1. 5. 25111 хсозх+5еоззх=4.
віп2х+ 551пхсозх+8с052х =0.
н
а
е
з
д
.
1.
_
Ѕ1п2х+551п2х= І.
І
І
1
4
а
4
8. з1п3хсозх-Ѕ1пхсоззх=ї 9. сов х-Ѕ1п х=0.
І
ь
-
н
.
.
х
х5
10.51п4х-е054х=
.
11.51п4ї+с054~5=ё~.
12. зіп6х+сов6х=
д
Ъ
Ь
-
І
Ю
_
Ответы
3
`
П
1
тг.
1. х:агс1:3~2-+лп. 2. х=-Е+дд, х:31`0185+лп.3. х=-± -+7Бп,
х:~аге15-; -+тт. 4. х=(2п+!)~;ї, х=ї+шъ 5. х=-аге'с5
+тгп. 6. Нет решений. 7. Ёс=(2п+1)ї, л=ї+тъ 8. х=-Е+Е.
2
4
82
л: пп
9. х=±ї+тъ 10. х=±Ё+тъ 11. х:(3п±1)ї. 12. х.=--+~±--~.
4
3
2
42
Указание. Воспользуйтесь формулой (11.28).
466
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
11.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
РЕШАЕМЬІЕ ВВЕДЕНИЕМ
ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА
Рассмотрим тригонометрическое уравнение
асозх+Ьаілх=с.
(11.30)
Наиболее простой способ решения данного уравнения ос-
нован на введении вспомогательного угла.
Заметим, что если с = 0, то уравнение (11.30) является од-
нородным (см. ё 11.3).
Пусть сфОи,крометого, а2+Ь2є:0, т.е.покрайнейме-
ре одно из Чисел а, Ь не равно нулю (если одно из чисел а, Ь рав-
но нулю, например а == 0, но Ь;± О, то получаем Простейшее
тригонометрическое уравнение ЬЅіп х = с или Ѕіпх = с/ Ь ).
Разделив обе Части уравнения (11.30) на Маг + Ь2 , получим
уравнение
а
Ь
с
\/а2+Ь2
\/с.12+Ь2
х/аз+Ь2,
равносильное уравнению (11.30). Так как
созх+
Ѕіпх =
а
х/а2+Ь2
<1
""
3
2
2
а
Ь
*аж-+Ш=1,
[ўа2+Ь2] [Ча2 +Ь2]
___ЁЫ
к/а2+Ь2
то существует такой угол (р, что
а
Ь
___...
Ш=созср.
(11.31)
«Ж+Ж
4а2+ь2
Отсюда следует, что уравнение (11.30) можно записать в
виде
<1
_
Э
=мпф,
С
ўа2+Ь2
созхзіп ср + Ѕіп хсоз ср =
ИЛИ
урдВНЄНИЯ, решаемые ВВЄДЄНИЄМ ВСПОМОГЭТЄЛЬНОГО уПТЗ
467
с
0:12 + 152
Уравнение (11.32), а вместе с ним и уравнение (11.30) раз-
решимо в том и только том случае, если
Ѕіщхмр) =
(11.32)
С
2
------
51илис
уа2+122
Когда условие (11.33) выполнено, то уравнение (11.30)
имеет решения
сада?
(11.33)
с
х:-(р+(-1)”агс$іп-----+лп, п е Ъ,
(11.34)
х/а2 + 152
где (р определяется из формул (І 1.31).
Если условие (І 1.33) не выполнено, т. е.
С
2
>1илис
'Щ
>а2+д2,
(11.35)
уа2+д2
_
то уравнение (11.30) не имеет решений.
З а м е ч а н и е 1. Уравнение (11.30) можно решить, применив
следующие формулы:
.
,
х
х
Ех
_
2х
.
Ех
Ех
зтх:2вшшсоЅ-,
соехщзоз _- Ѕ1в --,
сн-“с ЅШ _НЮЅ ,__ ;
22
2
2
2
2
при этом оно сводится к однородному уравнению.
Замечание 2. Уравнение (11.30) сводится к квадратному урав-
нению относительно универсальной тригонометрической подста~
новки 1:3(х/ 2) = 1*; при этом используются формулы:
І щих/2) с()Ѕх=1-±ё2(х/2)
(113,6)
1+ тире/2)”
1+ щ2(х/2)'
_,-
х
Замечание 3. Применение подстановки тян-щ* сужает ОДЗ
2
исходного уравнения. Эта подстановка и формулы (11.36) теряют
х
_
смысл при совї == О, т. е. когда х: (211 +1)л. При решении уравне-
ний с помощью данной подстановки нужно проверять, не являются
ли значения х = (2:1 + 1)л Корнями исходного уравнения.
468
тРигономЕтРичЕскиЕ УРА внєния
Примеры
1. Решить уравнение Л він Зх - соЅЗх 21.
тп
› Заметив, Что Ё = и; -3 - преобразуем уравнение:
тс.
.
тп_
п
тв
ІЅ-З-ЅшЗх -соЅЗх =1, зш-З -ЅшЗх-соЅЗхсоЅ - =соз -;
(п)ї
тп] 1
“сов 3х+--
=-,
сов 3х+-
=--.
32
3
2
Из последнего уравнения следует, что:
'_-
3х+%с-=±агссоЅ[Ш-;~]+2пп, 3х= ±2тспї+2тт
2
тс
х=±-п --+-лщ
9
93
откуда
тс+2тсп
тс+21сп
24
хт-т-
----,
=---
-----,
93
з3“Є
2. Решить уравнение 2Ѕіп х+ 2соЅ х =1- Л.
› Введем вспомогательный угол (р по формулам:
х2 _2
__
Л
Шш2~/ї_2
2
2_Л
Ш 2\Г=
и преобразуем исходное уравнение:
2Л(~Ёеіпх+*€%созх] = і -\/57,
Ыпф:
совф:
2×/2(соЅ-ї -Ѕіп х+Ѕіп ї-соз х] =І пл,
11:
т:
ІШЛ
2Л5ін -+х =І-\/З:, Ѕіп(х+-]=--а -~.
(4]
-
4
2у/2
УраВНЄНИЯ, решаемые ВВЕДЕНИЄМ ВСПОМОГЗТЭЛЬНОҐО утд
469
-×/ї›
1--\б
1
Так как ~1<т-<0 или т-
245
2Л
НЄНИЄ ИМЄЄТ рЄШЄНИЄ
< 1, то исходное урав-
+ї(1:і-4п), не 2. 4
245%
3. Решить уравнение 2Ѕіпх+3соЅх =4.
х = (4)”+1 агсзіп
› Это уравнение вида (11.30), для которого а = 3, Ь ї 2,
с = 4. Поскольку 22 +32 <42, т. е. не выполнено условие
(11.33), то уравнение не имеет решений. 4
4. Решить уравнение
аЅінх+ЬсоЅх=с, (1:20, ЬэЬО.
(11.37)
› Применяем универсальную тригонометрическую подста-
х
х
новку їё-і: ї, полагая, что соз-2-± 0, т. е. х ± (2п+1)п. Фор-
мульт (11.36) в этом случае принимают вид
2
2, них:
1+І
1+ї
а Данное уравнение преобразуется следующим образом:
261: имя)
'2
2
2+
2 =сэ 2аҐ+ЬЩЬҐ =С+СҐ ,
1+ї
1+І
СОЅХ =
23
(Ь+с)г2-2аг+(с-Ь›=о.
(11.38)
Решая полученное квадратное уравнение, находим:
Ґщ П±\/а2 +Ь2 -с2
Ь+с
.
Если а2 “22 2 с2 и Ь+сф 0, то квадратное уравнение
(11.38) имеет действительные корни, а общее решение заданц
ного тригонометрического уравнения имеет вид
П±\/(12+1.52-с2
х=2тпп+2агсІ3
Ь+
.
(11.39)
с
Если а2 +Ь2 <с2, то корни уравнения (11.38) являются
КОМШЄКСНЬІМИ, а ЗаДЕІНї-ІОЄ УраВНЄНИЄ рЄЩЄНИЙ НЄ ИМЄЄТ.
470
тРигоНомЕтРи чєскив УРАзнания
Ь
Если Ь+ с = О, то уравнение (1 1 38)ч принимает вид г: ___
а
х
Ь
Ь
'”
а
или та-ё- = те, откуда х=2тш-2агетё-.
Непосредственнои
а
а
проверкой убеждаемся, что при с == -Ь уравнение Имеет и ре-
Шение вида х = (2:1 +1)тс:
1ааіп(2л+ї)тс+4!›еоа(2п+1)т1с=с, а'0+Ь(-1)--*с, и-.1.':›=е. 4
Задачи
Решите тригонометрические уравнения.
1- Леіпх+созх=1.
2. Ѕіпх-еозх=1.
З. соах-зіпх=1.
4. зіпх+еозх:7/5.
5. Звіпх+4созх=2.
6. Звіпхг4созх=5.
7. зіпх+2созх:1.
8. 8Ѕіпх-3созх=4.
Ответы
2п
.
т:
І1. х=2лзп,
х=~ї+2тпп.
2. х=(2п+1)п,
х:--+2ап.
-
3
3. 35223131, х=4п2 ІТЕ. 4. Х=2ЛП+2ЭІСЁЁЁ, х:2пп+2аҐСїЁ'5*›
1
4
5. х=(-1)”агезіп-Ё~+пп-агеї3ї. 6. х=2агсщ3+2тт 7. х=2ап+-Ё~,
1
п
.
=2
~2а ег _.
8. х=(-1) агеЅіпМ+1гп+агесоз Ш.
х
ап
г33
т
Й
11.5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
РЕШАЕМЬІЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЬІ ПЕІЗЕМЕННОЙ
Есаи левая Часть три гонометричесното уравнения РОС) Ґ- 0
может быть выражена через зіпх+соз х и Ѕіп 2х, то Целесооб-
разно применить замену переменной по формулам:
5іпх+ео$х=ї, Ѕіп2х=І2-1.
(11.40)
С помошью этой замены Переменной уравнение
а(аіпх+еов'х)+даіп2х+с=0
(11.41)
Уравнения, решаемые методом замены переменной
471
сводится к квадратному уравнению относительно г.
аІ+Ь(І2 -1)+с:= 0, или ЬІ2 +аї+(с-Ь) = О.
Если г] и ї2 - корни полученного квадратного уравнения,
то уравнение (11.41) равносильно совокупности уравнений
Ѕіпх+созх =ї1, Ѕіпх+созх = ї2.
Если левая часть тригонометрического уравнения Р (х) = 0
выражается через сое2х, 51112 х и соЅ2 х, то целесообразно
применить замену переменной по формуле І: сов 2х. Тогда
2 1+соЅ2х 1+1”
соЅ х=
~=
.
2
2
2
2
С помощью замены переменной по формулам:
"
.
1-1
1г
соз2х:1, зтп2х=~2-,
соз2х=--; -
(11.42)
,2
1-соз2х 1-1
$111 х:
_:
,
можно решить тригонометрические уравнения:
агсоз2х+2ЬсоЅ2 х = с и асоз2х+2д$іп2 х = с.
Замена (11.42) основана на формулак:
.
2 1-соз2х
2 1+соз2х
эти х=----2- - -,
соз х=----ї- --.
(11.43)
Иногда бывает удобнее применять непосредственно фор-
мульт (11.43), а не замену переменной по формулам (11.42).
Так, с помощью формул (11.43) уравнения:
азін 2эс+2Ьвіп2 х = с, азіп 2л+2всо$2 х ± с
приводятся к уравнениям вида
Азіп 2х+Вс,ое2х = С,
которые рассматривались в ё 11.4.
Формулы (11.43) можно использовать при решении урав*
нений следующего вида:
ц`
сов2 ах +соз2 Ьх = сов
2
2 сх +со$2 сіх,
_
2
2
2
(11.44)
$111 их +Ѕіп Ьх = еіп сх +Ѕіп аїх,
если числа а, Ь, с, с! удовлетворяют одному из условий:
а+Ь=с+сі, а-Ь=с-сі.
(11.45)
472
тРигономвтРи ческие УРАзнания
При решении тригонометрических уравнений с*помощыо
замены переменной применяется и универсальная тригоно-
метрическая подстановка
х
ы
`
ї= їё_-
(11.46)
2
При такой замене через гвыражаются Ѕіп х и сов х:
.
х
х
х
2Ѕ1п-соа -
2ї3-
.
2
2
21*
ешх:
х
х=
х21Гц,
-
2
2
2
+
$111 ~+соз
-
І+І
-
22Ё2
х.х
х
сов2 - -51112 - 1
-132 -
2
2
2 1-1”
'
созх:
х
х=
х=
2"
Ѕін2-+соз2- 1+і32- [Н
2
2
2
Таким образом, получена следующая замена переменной:
2
2-
(11.42)
,сшх=
1+12
1+г
Інх-г'нпх-
2
5
Примеры
1. Решить уравнение 2(віп х + соЅ х) + Ѕіп 2х +1 : 0.
› Вводим новую переменную Іпо формуле ї: Ѕіп х + соз х,
тогда
Ѕіп2х=12 -1.
Уравнение
принимает
вид
21*+(г2~1)+1=0 или ї2+2г° = 0. Отсюда находим 13=0,
12 = -2, т. е. исходное уравнение равносильно совокупности
уравнений
Ѕіпх+со$х = О,
[Ѕіпзн совх = -~2.
Первое из данных уравнений сводится к уравнению [3 х = -1
и имеет решения х : - Е + пп, п е Ъ. Второе уравнение решений
не имеет (см. уравнение (11.30) и условие (1135)). Итак, множе-
ство решений исходного уравнения определяется формулой
т:
ха-Ъг-+лп, на Ъ. 4
Уравнения, решаемые методом замены переменной
473
2. Решить уравнениеІ соз2х + 4Ѕін4 х = 8соЅ'5 х.
› Воспользовавшись заменой переменной по формулам
(11.42), получим уравнение І + (1 - г)2 = (1+ 03. Преобразуем его:
г+1-2г+:2 =1+3г+зг2 +г3, гз + 2:2 +41: о,
год +2г+4) = о.
Полученное уравнение имеет единственный действитель-
ный корень І = О, поэтому исходное уравнение равносильно
уравнению соз2х = 0, откуда
л: пп
І=_+-_, пе Ъ. 4
42
в
в
.
1
3. Решить уравнение Ѕш х+соз х = Е
› Применяя замену (11.42), получаем уравнение
1-43 1+ї3 1
--
+--
=-.
2
2
4
Преобразуем последнее уравнение:
1-3:+Зггш:3 1+Зх+3г2 +13 1 3 2
-|-
=--,
*1:03 Ґ2=0.
8
8
44
Следовательно, созг2х=0, соз2х=0, откуда
_и
пп
х-Е -'п'їэ НЕ Ъ 4
4. Решить уравнение 2 соз2 4х + Ѕіп ІОх = 1.
› Поскольку 2соз2 4х = 1 + соЅЅх, уравнение принимает вид
1+ соЅЅх +Ѕіп ІОх =1 `или соЅЅх + Ѕіп 10х = О.
Преобразуем полученное уравнение:
Ѕіп ЕЕ- Ѕх +Ѕіп10х=0, 2Ѕін(ї+х]соз 9х-Е]=0.
2
4
4
Решан уравнения:
Ѕіп[х+-п-)= 0, соз[9х--Т -Б) = О,
4
4
СООТВЄТСТВЄННО ПОЛУЧЕІЄМ:
474
тРигономЕтРичЕскиє УРА знания
ТБ ТБН
л:
х:--~+лп, не 2,14 х:-Б+-Б-, не; 2, 4
5. Решить уравнение віп2 х + зіп2 2х =; він2 Зх + він2 4х.
› Это уравнение имеет вид второго из уравнений (11.44),
гдеащ1,Ь =2,сЁ3,сі=4.Таккака-Ь:с-сі,товыполне-
но второе из условий (11.45).
Применяя первую из формул (11343), преобразуем данное
уравнение:
1-соЅ2х+1-сов4х _1~совбх +1-~с058х
2
2_2
2”
сов2х+ сов4х = совб х +совЗ х.
Применяя формулу Для суммы косинусов
+
ос-
совоъ+соЅВ=2соз 2Всов 26,
получаем
2соЅЗхсоЅх =2сов7хсоз х.
Преобразуем последнее уравнение:
соЅх(соЅЗх -со$7х) =0, соЅх-2Ѕіп5хвіп 2х =0.
Оно равносильно совокупности уравнений
совх=О, зіпЅх=0, Ѕіп2х=0,
ИМЄЮЩИХ СООТВЄТСТВЄННО рЄШЄНІ/ІЯ:
х=325(2к+1),/<е 2, х=355т, те 2, рас-п, не 2.
_,
л
Поскольку Множество решении -2 -п содержит множество
тг.
-2-(21с+1), то решения исходного уравнения определяются
формулами:
л
п
х=3~т, те Ди хш-іп, не Ъ. 4
6. Решить уравнение 1
-
(созх “він х) -сов хвіп х =0.
› Введем новую переменную г по формуле ї: совх -зіп х,
ТОГДЗ
Уравнения, решаемые методом замены переменной
475
2
2
2
.
г
ї = сов х-2созхзш х+з1п
1-г2
х =1-2соз хзіп х,
совхзіпх=
Данное уравнение принимает вид
1_2
1-1- ї =0 или г2ы2:+1=0,
откуда І= 1 или соЅх-зіпх=1.
`
Введением вспомогательного угла последнее уравнение
преобразуем к виду сов х+ї~
=-\7_-2-.
Следовательно,
х+Е=±Е+2тст пе 2.,
4
4
Т. Є.
л
х=2лп, пе 2,14 х=---+2тт, не Ъ. <
Ё
х
7. Решить уравнение $111 х + ста ё- : 2.
› Заметим, что значения х : (2п+1)л не являются корня-
ми данного уравнения, поэтому можно применить замену пе-
ременной по формулам (11.47).
х1
Поскольку ста-т = 7 то исходное уравнение преобразует-
2
СЯТЗК:
2:1
°
2+-=2, 2г2+1+12=2т(1+г2),
1+г
ї
2:2 +1+12 =2г+2г3, 2г3 -3г2 +2г-1=0,
203 еду-4:2 -г)+(г-1)=0,
2:2(гщ1)-г(гщ1)+(г-1)=0, (г-1)(2г2 -г+1)= о.
2
.
с
Так как уравнение 21* ~г°+І = О не имеет деиствительнык
корней, то исходное уравнение сводится к уравнению г== 1
х
или Івї=1, откуда
тп.
ю
|
`
г
<
а:
т:
=ї+лщ х=ї+2лп, не 2. 4
476
твигономвтвичвскив УРА внь'ния
8. Решить уравнение
.
7
_2
=ыпх- _
+-.
$111 х
Ѕ1пх 4
.*›
ЅІІ'ҐЭС+
›Введем Новую переменную 1 по формуле ї: Ѕіпх-
_
1
5111 х
Тогда 22=$1112х-2+ _ 2
и данное уравнение можно запи-
Ѕшх
сать так:
2
2
7
1
ї+2=Ґ+- или
І--
=0
4
2
”
1
ОТКУДЁІ Ґ: '2- .
Следовательно, получено уравнение
.
11
.
2.
511113" .
= Ш, 2Ѕ1п х-з1пх-2 = 0,
Ѕшх 2
откуда
Ѕіпх=
х =(-1)"+1агсзіп
+пп,пеЪ.4
1±Ш
4
3
9. Решить уравнение
Ѕіп(Ё-Е+х] - 2Ѕіп [ЕЕ-ї)
5
_
52'
лх
› Введем новую переменную гпо формуле -5- - - - = ї, тогда
хп;
211:
3'п:
За: 21:
_ __ :щ-г, х=---2:,
- -+х=--+ - --2г=тс-2г°.
25
5
5
5
Исходное уравнение преобразуем следующим образом:
Ѕіп(л - 21) = 2Ѕін ї, Ѕіп 21* = 2Ѕіп ї, 2Ѕіп їсозг = 2Ѕіп 1*,
25і1і1 ї(созї-1) =О.
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ѕіпїг- О, соЅІ=1.
Но так как при соЅг' = 1 имеем Ѕіпг = О, то достаточно рас-
смотреть только одно уравнение Ѕіпї = 0, откуда 2* = ПН ›
пе Ъ., или З`-І - - --~)-Є - -=:гт, х=---Т -ъ -(1-ц5п), пе Ъ. 4
52
5
Уравнения, решаемые методом замены переменной
477
Задачи
Решите тригонометрические уравнения.
Ѕіпх+созх+зіп хсоех ІІ.
2Ѕіп2х = 3($іп х +соз х).
_
1.
з111х+ созх =1-їз1п2х.
5(Ѕіпх+ео$х)2 -12(Ѕ±пх+со$х) +7 =0.
Ѕігъ2 х + сов2 2х = Ѕіп2 3х+ соз24х.
зіпїх+зіп22х=$іп2зх
.
Ане-0820 -6х) +16е0$2<1 -зх) =1з.
1 )+2=0.
озх
з
з
9. Ѕіп х+со$ х=1г~їзіп2х.
*
н
а
м
е
р
е
н
8. (созх -Ѕіп х)(213х +
с
З
10. 1+Ѕіп3х+соз х=%зіп2х.
11. соз4х+соз4(х-Е]=і.
4ї4
12. Ѕіп'О х + созш х = ё'Ё-еоз4 2х.
Ответы
(дп + 1)п
=
х:
1. х 211т,
2 . Указание. Представьте уравнение в виде
зіпх+со$х+%(2віл хсовх+1 щ#1) :1, зіпх + соех + -ёЦзіпх +еозх)'2 -І) =1;
'
.
Іт:
внешне новую перемещо г: зіп х + соз х. 2. Х=1т- ( -1)Л аГСЅШ ЕШЛ- Е
Указание. Воспользуйтесь равенствами 2(Ѕіп 2х +1 -1) =3(Ѕіп х +соз х) ,
2((Ѕі171Х+СОЅЩХ)2 -1) =3(Ѕіп х+соз х). 3. х = 21:11,
х = п/2+ 2тсп.
1
4- х=2пп,
х=ї25+ 21т, е х=2пп+2агсі3і,
х=2пп+2агсг3-2 -.
пп
т: тип
2н+1
5. х=---,
х=--+- --,
п±51+2_ б. х:
тп
х=тш.
2ІпппШ5
_
6э
7. х=-+- -+т- Указание. Введите переменную г=1-3х.
3-18 З
478
тРигономЕтРичЕскиЕ УРАзнания
8. х = ±л:/3 + 2113.11. Указание. Вводите переменную г* = 1306/ 2).
л:
Ил:
9. 15:21:11,
х=п/2+2л:п.
10. х=-Е+(-1) +12+ШЪ Указа-
ние. Воспользуйтесь формулами
аз+ЬЗ=(а+1:0(1112-аЬ+Ь2),
л:
л:
2Ѕіпхсовх=(5іпх+"созх)2-1.
11. х=ї(2п+1),
х=лп--.
4
12! х=2п+1
11.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
РЕШАЕМЬІЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ-
НА МНОЖИТЕЛИ
Метод разложения на множитєии является одним из наи-
более широко используемых методов решения тригонометри-
ческих уравнений.
`
Иногда, прежде чем применять метод разложения на мно-
жители, приходится предварительно использовать преобразо-
вания произведения тригонометрических функций в полу-
сумму, нолуразность, в произведение суммы и разности три~
гонометрических функций (см. ё 10.6, 10.7).
Методом разложения на множители можно решать урав-
нения следующих видов:
“
'Ѕіп(ах+ос) =Ѕі_п(дх +13),
(11.48)
соз(ах + ос) = соЅ(Ьх +13),
а
(11.49)
Ѕіп(с1х+ос) = соЅ(Ьх+В)
.
01.50)
при любых значениях а, Ь, от., В. Этим же методом можно
решать уравнения:
1
зіпахсовЬх =Ѕіпсхсоз аїх,
(1ї.51)
Ѕіпахзіп Ьх = созсэссозеіх,
_
(1ї.52)
Ѕіпахвіп Ьх =~Ѕіпстлвіпаїх,п
__(ї 2.53)
сов ахсов Ьх = соЅ схсов аїх,
(11.54)
ЕСЛИ, НЗПРИМЄІ), ВЫПОЛНЄНО УСЛОВИЄ
Н-Ь=С-д-
_
0159
УраВНеНИЯ, рЄЩаЕЭМЫЄ МЄТОДОМ рЗЗЛОЖеНИЯ На МНОЖИТЄЛИ
479
Примеры
_
1
«
1. Решить уравнение 51114 х - со54 х = ї
г
~
4
› Разлоишв разность 5111 х - со5'4 х на множители, получим:
_
_
1
(51112 х +со52 х)(51112 х -12052 х) = -,
2
2
со5 х-5і1є12
1
1
х=--,
с052х=--,
2
к2
откуда 2х=±~5п+2лщ х=±ї+ п, не 2.. 4
2. Решитьуравнение 451113х+451112х-35і11х=3.
›Если свободный Член перенести влево, то полученное
выражение весьма просто раскладывается на множители:
.
_
_
.
_
3
451112 х(51п х+1) -3(51п х+1)=`0, (51пх+1)(51112 х та-
=0.
Полученное уравнение равносильно совокупности урав-
нений
'
5і11 х+1 = 0,
_
3
51112 х-щ: 01
4
Решаем данные уравнения:
_
п:
5111х=-1, х=-ї+2лп, не Ъ;
.
3
л:
5111х=±--2- -,
х=±-5+тсщ пе 2.
Полученными формулами определяется множество реше-
ний исходного уравнения. 4
З. Решить уравнение 2 5111 хсо52х -ї +2 сов2х -5і11 х =0.
› Вынося общий Множитель первого и третьего слагаемых,
запишем уравнение в виде
2со52х(5іпх+1)-(5іп х+1)=0,
или
(2 со52х-1)(5іп х+1)=0.
480
тРигономЕтРИ чЕскиЕ увд знания
Так как левая часть последнего уравнения определена при
всех х, то исходное уравнение распадается на два уравнення1`
2соз2х-1 =0 він х+1= О,
нмеющие соответственно решения:
р
тс
а
х=±-Є-+тсп, пе 2.и х=~ї+2лп, не 2.
В данных формулах содержатся все решения исходного
уравнения. 4
4. Решить уравнение він 8х = Ѕіп 2х.
› Применяя формулу для разности синусов, преобразуем
данное уравнение:
Ѕіп8х-Ѕіп 2х = О, 25іп3хсо$5х ±0.
Решаем совокупность полученных уравнений:
_
3х=1ш,
х=ш, пеЕ,
$1п3х=0,
3
4:3*
11;
43
соЅЅх=0
5х=-+тт
ТБ
2
Ъэ«:=-1-6(1-і-2л), пеЪ. 4
5. Решить уравнение Ѕів(ах + ок) = Ѕіп(Ьх + В).
› Это уравнение (11.48), Частный случай которого рассмот-
рен в примере 4. Используя формулу для разности синусов,
запишем уравнение в виде
.
а-Ьх+а~
а+Ьх+и+
5Ш< )
ВсоЅ( )
ВІ
2
Оно равносильно совокупности уравнений
2
0.
Ѕіп(а-Ь)х+оЬ-В =03
2
сов (а+Ь)эс2+ї+_В= О.
Предположим, что а і Ь и а а: -Ь, тогда из первого урав-
нения получаем:
їЁх+а-В=Ппэ
хІ-ЦРшВ-І-2ппэ
пЄЕ.
2
2
а-д а-Ь
Уравнения, решаемые методом разложения на множители
4%1
Второе уравнение имеет следующее решение:
а+ х+ ос+
т:
л2їа+1 - ос+
2
2
а+Ь
З а м е ч а н и еі Аналогично можно найти решение уравнения
(11.49); при этом используется формула для разности косинусов.
Уравнение 01.50) сводится к уравнению (11.48), так Как
соЅ(Ьх + В) І $111 (-Ё- Ьх 43).
6. Решить уравнение Ѕіп 2х - сов х : О.
› Так как: сов. х = він (-5 - х), то уравнение можно записать
в следующем виде:
віп2хв-Ѕіп(-Ё~-х]=0.
Применяя формулу для разности синусов, получаем
25111 1('3›)с_ - Т-[ - соЅ-І - х+-Ё] = 0.
2
2
2
2
Полученное уравнение равносильно совокупности урав-
нений
чЅіп бхшп =0,
4
С'[352.:›с+л =0,
а
4
ИмеЮЩих соответственно решения:
л
тс
х--ё-(1+4л), п е 2, и х=-2 -(1+4п), п е 2. 4
-
соЅЗх соЅЅх
7. Решить уравнение .
=
.
1
ып2х ып2х
_
і Уравнение можно записать так:
соЅЗх '- соЅЅх щ
_
О.
ып2х
Используя формулу для разности носинусов, преобразуем
уравнение к виду
482
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2він4хвінх _
віп 2х
_
Задача свелась к нахождению корней уравнений:
він4х=О, вінх=0.
О.
Исходному уравнению будут удовлетворять те корни
данных уравнений, для которых він 2х ф О. Но если Ѕіп х = О,
то віп 2х = 0, поэтому корни второго уравнения не являются
корнями исходного уравнения. Если він 4х -- 0, то либо
сов2х = 0, либо віп 2х = О. Таким образом, исходное уравне-
ние равносильно уравнению сов 2х = 0, откуда
л
я: тсп
2х=ї+тт, пе2,и 1:2-4-15”ї пеЪ 4
9
8. Решить уравнение віп хеовЅх = віп 9хсов Зх .
› Применив формулу віп оссовВ = (він(ос - [3) +віп( ов + 13)) /2,
запишем уравнение в виде
1
.
1.
.
.
.
5(віп 6х-в1п4х) = -2 -(Ѕ1п12х +51п6х), в1п12х+в1п4х = О.
ог+В
ос-В
2
сов
,
2
следнее уравнение приводим к виду 2ЅіП8ХСОЅ4х=0. Это
Используя формулу він ос + він В = 2віп
По-
уравнение равносильно совокупности уравнений
віп8):= О, сов4х=0,
имеющих решения:
ТЕЛ
ТЕ
хтвч, не 2,14 х=ї(2к+1),ке 2,.
ил
Так как множество решении -8-(21с+ 1) содержится в мно-
Цпп
жестве решении щ, то решение исходного уравнения опре-
деляется формулой х= Ітел/8, п є Ъ 4
9. Решить уравнение 4віп х+ 2 сов х = 2 +313 х.
›Уравнение определено при совх±0. Умножая все его
Члены на совх и перенося соответствующие члены в левую
Часть, получаем
УРЗВНЄНИЯ решаемые Методом разложения на Множители
483
.
'7
.
45111 хсоех+2соз“ х-2сое х-Ззш х 1-0.
Сгруппируем первый член с третьим, а второй Ы с чет-
вертым:
желаем-1)+(2с032х-35іп х) =0.
(11.56)
Второе слагаемое можно записать в виде Квадратного трех~
члена относительно він х = у:
2со$2 х-Ззіп х = 2 чт35111 х~-2Ѕіп2 х.
Трехчлен 2 у? + 3 у - 2 раскладывается на Множители:
2у2 +зу-2=(2у-1)(у+2›,
поэтому второе слагаемое
2соЅ2 х -3 Ѕіп х = Ш2(2Ѕіп х -1)(Ѕіп х +2).
Само уравнение (11.56) Можно записать так:
(25111 хт1)(2 сов х -Ѕіп х -2) =0.
Оно равносильно совокупности уравнений
вінх=1/2,
¦
[2 соЅх -Ѕіп х-2 = 0.
Первое уравнение имеет решение
х: (-1)” -Ё -+тсп, п є 2,.
Решения второго уравнения определяются формулами:
х: 21:11, п є Ъ, и энс=\-2атстЕ-;-+2тсп, п Є 2
(см. формулу (11.39)). 4
Задачи
Решите тригонометрические уравнения.
1. зіпбх: віп4х.
2. Ѕіп3х=сов2х.
3. Ѕіп х+зіп2х+зіп3х =1+созх+соз2х.
4- Ѕіп х + віп2х+зіп3х +$іп4х 20.
5. 1+Ѕіпх+ созЗх = созх+зіп2х+соз2х.
2
3
.
.
.
.
3
-
6. Ѕш х+5и122х=51п23х.
7. соЅ х+Ѕш х=соз2х.
484
тРигономЕтРичЕскиЕ Уравнения
З
3
8. Ѕіп хсозх-зіпхсоз х=
_1.4.
9.1-созгх=зіпЗх-соз(%+х]. 10. соз4х-віп4х=0.
“Щ
11. Ѕіп2х+ї3х~2=0.
12. їдх+т$2хпг33ж
Ответы
л
и
и
1.
=
= 2п+1--.
2.
=4
1-,
=4+1-.
х пп,
х(
)1О
Х(ГН)2х(П)Ю
и
211
л:
11:
2пп
З. х:-+л:п, х=2ип±т, х=(-1)”-›+1ш. 4. х=т+пп, х=_. _~,
2
3
6
2
5
х : (2п +11)т:.
Указание.
Запишите
уравнение * в
виде
Ѕіпх + вінЗх) +(Ѕіп2х +Ѕіп4х) =О и примените формулу для суммы
л
_
`
и
синусов. 5. х = нп, х = (-1)” -6- + тт, Х = ±-3- + 2т1.` Указание. Запи-
шите уравнение в виде зіпх+(І-~ соз2х) =(совх--соЅЗх) +зіп2х и
преобразуйте его.
6.х=-7-І -2Ё,
х=(2п+1)-Ё -.
7.х=-~:н+пп,
л
Ц
І.)
х=2ип,
х = -ї+ 21:11. Указание. Воспользуйтесь формулой
03 + 53 = (а + джаз _ ад + ,52) и введите новую переменную
_
лпп
п:
а:
І:созх-в1пх.
8. х=-ё -+ -ї.
9. х=--п -.
10. х=±ї+пп.
л:
.
2131:
11. х=~+пп. Указание. Примените- формулу Ѕ1п2х=
2.
4
1+13 х
пп
в
12. х=-З -.
Указание. Преобразуителевую часть уравнения к виду
він Зх/соз хсоз 2х.
11.7. РАЗНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
При решении тригонометрических уравнений бывает по-
лезной предварительная оценка левой или правой части урав-
нения. Такая оценка иногда помогает решить уравнение либо
убедиться в том, что оно не имеет решений.
Разные тригонометрические уравнения
485
При оценке левой или Правой Части тригонометрического
уравнения в соответствующих случаях используют неравенства:
Івіпх+со$х}<_<\/ї,
(11.57)
ЁЅЅіп4х+соЅ4хЅЬ
(11.58)
іізіпбх+совбх5Ъ
(11.59)
Если тригонометрическое уравнение имеет вид
2
2
2
І, (х)+І2(х)+...+/,,(х)=0
(11.60)
или приводится к такому виду, то его решения, если они су-
Ществуют, могут быть найдены как решения системы урав-
нений:
Л(х)=0,ї2(х)=0,-~,/п(х) =0
(11.61)
с одной переменной.
Примеры
І. Решить уравнение 2Ѕіп5 х +3 соЅ8 х = 5.
› В данном случае Достаточно грубой оценки левой части
уравнения. Поскольку ІзіпхІЅІ, Ісоз х|_< _1, то
'251115 х+3со$8 х152івіп5 х! +3 соЅ8 х _< _5.
-_
Это неравенство могло бы стать равенством лишь в случае,
когда Із'ш х| = 1 и [сов х! = 1, Что Невозможно (так как
віп2 яга-сов2 х = І ). Следовательно, данное уравнение не имеет
решений. 4
2. Доказать, что уравнение 51114 2с+со$6 х = а не имеет ре-
шений при а >1-
›Здесь оценки ІЅіпхІЅІ, ІсоЅхІЅІ не приводят к
доказательству. Воспользуемся неравенствами:
-
2
42035111 х, созбхіїсоз2х.
Ѕіп
Сложив данные неравенства, получим
-
в
-
2
2
Ѕ1п4х+соз хЅЅш х+соз х=1.
в
Таким образом, Ѕіїв4 х+ соз х 51. 1. Отсюда следует, что ис-
ходное уравнение при а >1 не имеет решений. 4 ~
486
ТРИГОНОМЕТРИчЕскиЕ УРя внЕНия
3 Решить уравнение віп2х+ЅіпЗх+Ѕіп4х =3.
ъ Левая Часть уравнения Может равняться 3 лишь в том слу-
чае, когда одновременно выполняются три равенства:
Ѕіп2х= 1, зіпЗх: 1, Ѕіп4х ==1.
Но если він 2х =1,_то
і
х=ї+пп и зіпЗх':5іл[3-413+3яп]±1, и е 2.
Следовательно, уравнение не имеет решений. 4
4. Решить уравнение (сов 2х - соЅ4х)2 = 4 'ьеоз2 3 х.
› Очевидно, Что
Ісоз2х~соз4х| 52,
&
(11.62)
причем знак равенства будет лишь в следующих двух случаях:
1) сое2х=1 14 сов4х= -11;
`
(11.63)
2) соэ2х= -1 И сов4х: І.
(11-64)
Из неравенства (11.62) следует, что левая часть данного
уравнения не превосходит 4 и равна 4 лишь в случае, когда одц
новременно выполняются либо равенства (11.63), либо раш
венства (11.64). Для правой части уравнения получаем
4+сов2 32:24, причем равенство возможно лишь в случае,
когда созЗх=0.
Таким образом, исходное уравнение может иметь решения
в двух случаях (при одновременном выполнении 'грех ра-
венств):
1) соз2х=1, соз4х==-1, соЅЗх=0;
2) соз2х:-І, соз4х=1,_, соЅЗх=0.
Рассмотрим первый случай. Пусть соз2х =1, тогда Х = ПП,
но_ при этом соз4х= соз4лп = І. Следовательно, уравнение в
данном случае решений не имеет.
Во втором случае сов2х=-1, откуда х=л2 п+-;- ,
пе2.
Эти значения х удовлетворяют каждому з уравнений
соз4х=1 и совЗх=0. Следовательно, множество решений
исходного уравнения определяется формулой х= л:(п.+1/2),
пеЪ.4
Ёазные тригонометрические уравнения
487
5. При каких значениях а уравнение
віп2 х-віпхсоз ж-2соа2 х = а
имеет решения. Найти эти решения.
› Умножнм правую часть уравнения на він2 х+ сов2 х = І и
приведем его к виду
(1-а)5іп2х-ЅіпхсоЅх-(а+2)соз2х=0.
(11.65)
Предположим сначала, что а за І. В этом случае из уравне-
ния (11.65) следует, что совх а: 0. Действительно, если
соех = О, то и Ѕіп х = 0, что невозможно. Разделив обе части
уравнения (11.65) на сов2 х и положив 1:3): = 2*, получим урав-
нение
(1та):2-г-(а+2)=0.
(11.66)
Уравнение (11.65) Имеет решения в том и только том слу-
чае, когда корни квадратного уравнения (1_1.66) вещественны,
т. е. когда его дискриминант
о:-4а2-4а+9го.
(11.67)
Решая неравенство (11 67), находим
дмїіеа кг і
(11.68)
2*
2
Пусть ІІ и ї2 --` корни уравнения (11.66). Тогда соответствую-
щие решения уравнения (11.65) имеют вид
х1 =агсідг] +твп, х2 2агсід12+пп, пє Ъ.
Рассмотрим теперь случай а = 1, когда уравнение (11.65)
принимает вид
сов х(зіп х +3005 х) = 0.
Это уравнение имеет следующие решения:
п:
х =-+п:п, х
=~агс133+тсщ не Ъ. 4
12
2
Задачи
РЄШИТЄ ТрИГОНОМЄТрИЧЄСКІ/ІЄ УраВНЄІ-ІИЯ'.
1. віп26х+83іп26х=0.
2. созЗх=созх~зіп х.
2
3. змігхзіпвхы.
4. ап х+$іп22х=$іп23м
488
'
тригономє тРичЕскиЕ УРАВНЕНИЯ
5(1- Ѕіп2х) -16(зіп х 4сов х) +3 = 0.
Лвіп2х+3$іпх+соз х) =4\/2_.
сов3 хзіп Зх +Ѕіп 3 хсоЅЗх =
-
Біп 2хзіп х + сов2 х = 5іп5хзіп 4х + сов 241.1
зіп4х+создх~3$іп2ас+-5-5іп22х:0.
10, соз7х-зіп5х: ЛкозЅх-Ѕіпї'х).
11. 25іп17х+ЛсозЅх+Ѕіп5х=0
12. Определите все значения а, при Которых уравнение
9
5
3
5
3
4
9
5
”
5іп4 х ~ 20,052 х + (12 = 0 имеет решения. Найдите эти `даешешиа.
Ответы
1. х=їёї '2. х=-27 -І-+пп, х: (-1)”-~12+%Ё. 3. Нет решений.
4. х=-7%1-,
х=(2п+1)%. 5. х=-Ё+(-11)"агсзіп-І-Оё+пп. Указание.
Воспользуйтесь равенством Ѕіп 2х = І - (зіп х *- сов х)2 и подстанов»
Кой 1* = зіпх - сов х. 6. х = 1:/4 + 2лп. Указание. Воспользуйтесь равенст-
вом зіп 2х =`(зіпх + сов х)2 -1
и подстановкой г: зіп х + созх.
7. х = (4:: + 1)п/8. Указание. Запишите уравнение в виде
0,052 х(со$ хзіп Зх) + Ѕіп 2`х(Ѕіт1 хеозЗ х) ==3 /4 и преобразуйте его.
2п+1
п
.9.
=-+гє ,
1 -+---.
Указание.
11пх4пх:()122
.
.
1.
Воспользуйтесь
равенством
Ѕ1п4х+«2054х21 --2-Ѕш22х.
8. х=пп/З, х:
10. х = (4п+ 0%, х = (1211 + 1)-1Е2-.
Указание. Умножьте уравнение на
“1” ие уппи уйте члены. 11. х- -ї-+1ЁЁ х_ї+(2”+1)п
2Грр
66
4_36 12
заные. Разделите уравнение на 2 и приведите к виду
.
Ука»
зіп17х+зіп(5х+-Ё -]=О. 12. |а|$ 2, х=±-; -агссоз(3-2\/3-а2)+пп.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................... 3
1. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНІ/ІИ МАТЕМАТИКИ .......... 9
І.І. Множества ....................................... 9
1.2. Определение математического понятия. Аксиома. До-
казательство .................................... 10
1.3. Теорема. Необходимые и достаточные условия ........ 12
1.4. Индукция. Метод математической индукции . `.
........
14
2. ЧИСЛА И КООРДИНАТЫ ............................ 25
2.1. Натуральные Числа и их делимость. Признаки дели-
мости .......................................... 25
2.2. Простые и составные числа. Наибольший общий дели-
тель. Наименьшее общее кратное ................... 31
2.3. Целые числа и действия над ними ................... 34
2.4. Рациональные числа .............................. 38
2.5. Пропорции ...................................... 45
2.6. Десятичные дроби ............................ І.
.
.
.
48
2.7. Проценты ....................................... 51
2.8. Бесконечные десятичные дроби. Действительные
числа .......................................... 55
2.9. Прямоугольные координаты на плоскости. Преобра-
зования прямоугольных координат .................. 61
2.10. Расстояние между двумя точками на плоскости ........ 66
2.11.Уравнениеокружности......................_.....69
490
оглА влЕНиЕ
З, СТЕПЕНИ. МНОГОЧЛЕНЬІ. КОРНИ ................... 72
3.1. Степень действительного Числа ..................... 72
3.2. Рациональные выражения. Тоишественные преобра-
зования. Тождества. .............................. 77
3.3. Одночлены. Многочлены. Действия над одночленами
и многочленами .................................. 78
3.4. Деление многочленов ............................. 85
3.5. Формулы сокращенного умножения ................. 91
3.6. Разложение многочлена на множители .
_
.
Ґ ........... 95
3.7. Корень п-й степени из действительного числа. Арифме~
тический корень л-й степени. Правила действий над
корнями ....................................... 100
4. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ ............................ 107
4.1. Основные понятия .............................. 107
4.2. Прямая пропорциональная зависимость ............. 115
4.З.Линейнаяфункция
119
4.4. Обратная пропорциональность .................... 124
4.5 _ Квадратичная функция ........................... 129
4.6. Степенная функция .............................. 134
4.7. Показательная функция .......................... 137
4.8. Логарифмическая функция ........................ 139
4.9. Преобразования графиков функций ................ 151
4.10. Предел функции .................. ї
.............
161
4.11. Непрерывность функции ......................... 164
4.12. Некоторые важные пределы ................ '....... 165
5. УРАВНЕНИЯ ....................................... 169
5.1. Уравнение и его корни ........................... 169
5.2. Равносилвные уравнения ......................... 171
5.3. Линейное уравнение с одной переменной ............ 176
5.4. Уравнения, содержащие переменную в знаменателе
дроби ......................................... 180
оглАвЛь-нив
491
5.5. Квадратные уравнения ............... * ............ 183
5.6. Алгебраические уравнения высших степеней ......... 193
5.7. Иррационалвные уравнения ....................... 201
5.8. Показательные уравнения ......................... 206
5.9. Логарифмические уравнения ...................... 212
5.10. Уравнения, содержащие переменную под знаком мо-
дуля .......................................... 221
5.11. Уравнения с параметром ......................... 227
5.123. Графический метод решения уравнений ............. 230
6. систвмы УРАвнЕний ............................ 234
6.1. Системы двух линейных уравнений с двумя перемен-
ными .......................................... 234
6.2. Системы т линейных уравнений с п переменными . т
.
.
239 ,
6.3. Метод последовательного исключения переменных. . . . 240
6.4, Системы нелинейных алгебраических уравнений ...... 245
6.5. Задачи на составление и решение систем уравнений . . . 254
6.6. Системы показательных уравнений ................. 261
6.7. Системы логарифмичсских уравнений .............. 267
6.8. Системы показательно+логарифмических уравнений. . . 273
7. НЕРАВЕНСТВА ..................................... 276
7.1. Числовые неравенства и их свойства. Доказательства
неравенств ..................................... 276
7.2. Неравенства с одной переменной .................. 286
7 ,3. Линейные неравенства с одной переменной .......... 288
7.4. Системы линейных неравенств. Неравенства, сводяц
Щиеся к систем ам неравенств ...................... 291
7.5. Неравенства второй степени с одной переменной ..... 294
7.6. Н ераівенства, содержащие переменную под знаком мо-
дуля298
7.7. Дробно-рационалвные неравенства ................. 302
7.8. Иррациональные неравенства ..................... 308
7.9. Показательные неравенства ........*
...............
318
7.ї0. Логарифмические неравенства .................... 324
7.! 1. Неравенства с двумя переменными ................. 331
492
Ґї
оглА влвнив
8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОгРЕССИИ ........... 337
8.1. Числовая последовательность ...................... 337
8.2. Предел Числовой последовательности ............... 340
8.3. Арифметическая нрогрессия.
.
.
_
_
.................
345
8.4. Геометрическая прогрессия ....................... 351
9. ПРОИЗВОДНАЯ .................................... 359
9.1. П роизводная, ее геометрический и физический смысл.
Основные правила дифференцирования ............. 359
9.2. Основные формулы дифференцирования ............ 361
9.3. Признаки постоянства, возрастания и убывания функ-
ции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее
значения функции на промежутке .................. 366
9.4. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба.
Асимптоты кривой .............................. 377_
9.5. Исследование функций и построение их графиков . а
.
.
382
10. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ............... 391
10.1. Определение тригонометрических функций ......... 391
10.2. Основные свойства тригонометрических функций.
.
.
_
394
10.3. Тригонометрические функции суммы и разности двух
углов ......................................... 402
10.4. Формулы приведения ........................... 410
10.5. Тригонометрические функции двойного и половин-
ного угла ...................................... 417
10.6. Преобразование в произведение сумм и разностей три~~ч
гонометрических функций ,т ...................... 423
10.7. Преобразования произведений тригонометрических
функций в полусумму и полуразностьІ .............. 429
10.8. Производные тригонометрических функций ........ 435
10.9. Свойства функцииеу = зіпх и ее график ............ 438
10.10. Свойства функции у = соех и ее график ............ 440
10.11. Свойства функции у = Іёх и ее график ............ 442
оглд влЕниЕ
493
10.12. Свойства функции у = ещх и ее график ............ 444
10.13. Обратные тригонометричеекне функции ........... 445
11. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ............. 452
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения ........ 452
11.2. Тригонометрнчеекие уравнения, сводящиеся к алгеб-
раическим уравнениям .......................... 456
[1.3. Однородные тригонометрические уравнения ........ 459
11.4. Тригонометрические уравнения, решаемые введением
вспомогательного угла ........................... 466
1 1.5. Тригонометричеекие уравнения, решаемые методом
замены переменной ............................. 470
1 1.6. Тригонометрические уравнения, решаемые методом
разложения на множители ........................ 478
11.7. Разные тригонометрические уравнения ............. 484
Учебное издание
Гусак Алексей Адамович
Гусак Галина Максимовна
Бричикова Елена Алексеевна
'Чт
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ПОСТУПАІОЩИХ
Обучающий курс
Редактор М. С. Молчанова
Художественный редактор В. А. Ярашевш
Технический редактор Н. А. Лебедевыч
Корректоры Т. К. Хваль, В. И. Аверкина'
Компьютерная верстка Ю. Л. Верлыго
Подписано в печать с лпапозитивов издательства «Вьлшэйшая школа» 19.09.2003. Формат
84к108/32. Бумага та'з›етнааь Гарнитура «Ньютон», Офсетная печать. Усл. печ. л . 26.04.
Уч.~изд. л. 24,21. Тираж 3000 экз. Заказ 2154
Республиканское унитарное Предприятие «Издательство “Вышэйшая школа“››. Лицен-
зии ЛВ Не. 5 от 22.12.2002 г. 220048, Минск, проспект Маше-роза. 11 .
Республиканское унитарное предприятие «Издательство “Белорусский Дом пег-. г.ати“››1
220013, Минск1 проспект Ф. Скорины, 29.
Ґ96
Гусак А. А.
Математика для поступающих: Обучающий курс /
А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. а Мн.: Выші шК.,
2003.
--
493 с.: ил.
ІЅВН 985-06-0742-4.
-
Написано в соответствии с программой по математике для посту-
пающих в вузы. Содержатся необходимые теоретические сведения,
примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного
решения с ответами и указаниями.
'
Для абитуриентов. Будет полезно преподавателям и учащимся
старших классов общеобразовательных школ, гимназии, лицеев, кол-
леджеи.
Удк 51(075.4)
ББК 22.1я729