Text
                    Ю. А. ДАНИЛОВ
МНОГОЧЛЕНЫ
ЧЕБЫШЕВА
МИНСК
«ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
1984


УДК 517.518.82С Рецензент: А. Ф. Никифоров, доктор физико-математи- физико-математических наук, профессор Московского государственного универ- университета Л 1702030000—063 jO6_g4 М304@5)-84 Издательство «Вышэйшая школа», 1984.
Мишка такой человек, ему обяза- обязательно надо, чтоб от всего была польза. Когда у него бывают лишние деньги, он идет в магазин и покупает какую-нибудь полезную книжку. Одни раз ои купил книгу, которая называется «Обратные тригонометрические функции и полиномы Чебышева». Конечно, он пи слова в этой книжке не понял и решил прочитать ее потом, когда немножко поумнеет. С тех пор эта книга лежит у него на полке — ждет, когда ои поумнеет. Н. Носов. Веселая семейка ВВЕДЕНИЕ ЧТО ТАКОЕ МНОГОЧЛЕН? Знаете ли вы, что такое многочлен? Нет, вы не знаете, что такое многочлен. Простота знакомого всем определе- определения многочлена обманчива. Иногда, как это сделал, например, автор купленной Мишкой «на вырост» книги, многочлены называют по-гречески «полиномами». Для тех, кому это название нравится больше, наш вопрос звучит так: что такое полином? Тем, кому определение многочлена не очень хорошо знакомо или кто успел основательно забыть его, напомним, что многочленом (я-й степени от одного переменного х) называется выражение Рп (х) =s аох где и — целое положительное число, т. е. сумма целых неотрицатель- неотрицательных степеней переменного х, взятых с некоторыми числовыми коэф- коэффициентами. Занимаясь изучением многочленов, математики от- открыли немало нового и удивительного, ставшего впослед- впоследствии привычным и обыкновенным. Многое из того, что в наши дни навевает скуку на школьника старших клас-
сов и тем более на студента, превзошедшего всю школь- школьную премудрость, несколько веков назад было предметом тайных вожделений не одного математика. Долгое время излюбленным занятием математиков было нахождение нулей, или корней, многочленов. Устраивались даже турниры но решению алгебраических уравнений. Было замечено, что одни уравнения, например *2-1=0, A) имеют вещественные корни, а другие, казалось бы, внеш- внешне похожие, например *2 + 1 = 0, B) вещественных корней не имеют (если х — вещественное число, то х2 ^ 0, и левая часть заведомо не меньше еди- единицы, что не позволяет ей обратиться в нуль ни при ка- каком значении х). «А что если пополнить запас вещественных чисел не- неким воображаемым «числом», которое бы удовлетворяло уравнению B),— стали размышлять математики.— Уравнение B) стало бы разрешимым, как и уравне- уравнение A), и у нас одной заботой стало бы меньше». И они так и сделали: обозначили воображаемое число буквой i, с которой начинается французское слово imaginaire (воображаемый, или мнимый), и назвали его мнимой единицей. Может быть, вы думаете, что математикам пришлось пополнять запас чисел, могущих быть корнями алгебраических уравнений хп + 1 = О при каждом п в отдельности? Ничуть не бывало! Оказа- Оказалось, что, пополнив запас вещественных чисел одним- единственным «воображаемым числом» — мнимой еди- единицей i— и научившись производить над ней алгебраи- алгебраические операции, математики обрели возможность находить нули многочленов любых степеней. Более того,
значение открытия вышло далеко за рамки узкой (хотя и очень нужной) задачи решения алгебраических уравне- уравнений. Математика обрела целый мир — комплексную пло- плоскость — вместо прежней вещественной прямой, на ко- которой и повернуться-то было невозможно и не оставалось ничего другого, как двигаться вперед и назад. Подобно другим наукам математика черпает слова для попол- пополнения своей терминологии из повседневного языка, лишая нх при- привычного смысла. Новый смысл термина задается его определением и только определением. В математике встречаются поля, которые никто не пашет, корни, которые не питают растение соками, ветви, которые никогда не были зелеными. Если нематематнк приносит вам в подарок множество конфет н вы любите сладкое, можете заранее занимать очередь к зубному врачу. Но если множество конфет, пусть даже самых лучших, вам дарнт математик, то необходима осторож- осторожность: множество, о котором говорит математик, может вполне ока- оказаться пустым. Позднее математики научились обращаться не толь- только с комплексными числами, но и с более сложными объектами, производить над ними различные действия и за второстепенными внешними различиями замечать гораздо более существенное внутреннее сходство, тожде- тождественность в главном, или изоморфизм. Выяснилось, что комплексные числа, какие бы операции — сложение, вы- вычитание, умножение, возведение в степень или извлече- извлечение корня — над ними ни производили, всегда ведут себя так же, как упорядоченные пары вещественных чи- чисел, т. е. такие пары чисел, в которых установлен поря- порядок — указано, какое из входящих в них чисел считать первым и какое — вторым. Переход от одного веществен- вещественного числа к упорядоченной паре вещественных чисел значительно расширил и обогатил само понятие числа. А что если рассматривать многочлены не только от вещественного переменного с вещественными коэффи- коэффициентами, но и от комплексного переменного с комплекс- комплексными коэффициентами? Может быть, история повторится,
и комплексную плоскость придется расширить так же, как пришлось расширять вещественную прямую? 3 самом конце XVIII века — в 1799 г.— немецкий ма- математик Карл Фридрих Гаусс A777—1855) дал ответ на этот вопрос в своей докторской диссертации, доказав теорему, получившую название основной теоремы алгеб- алгебры (комплексных чисел): всякий многочлен с любыми (вещественными или комплексными) коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. Значит, необходимости в расширении комплексной плоскости нет: запаса комплексных чисел вполне доста- достаточно для решения любого алгебраического уравнения вида Рп(г) =0. Гаусс доказал, что каждый многочлен имеет хотя бы один комплексный или вещественный корень. А сколько всего корней может иметь многочлен и-й степени (п ^ 1)? Может ли он иметь, например, п + 5 или п — 3 корней? Оказывается, не может: из основной теоремы алгебры следует, что всякий многочлен степени п ^ 1 с любыми коэффициентами имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Действительно, по основной теореме алгебры любой многочлен Рп (х) = аохп + ai*" + ... + an-ix + ап степени и ^ I имеет по крайней мере одни корень ui. Следовательно, его можно представить в виде Рп(х) = (x-ai)Pn-i(x), где Pn-i(x) —многочлен степени п—\. По основной теореме алгеб- алгебры многочлен Pn-i{x) в свою очередь также имеет по крайней мере один корень «2, и поэтому Рп(х) = (x-ai)Pn-i(x) = (x-ni)[(x-a2)Pn-i(x)] =
При каждом обращении к основной теореме алгебры мы отделяем от исходного многочлена линейный множитель. Так как степень п исходного многочлена конечна, мы после определенного числа шагов придем к разложению Рп(х) в произведение п линейных множителей: Рп(х) = ао(х — а,)(х — а2) ... (х—ап). Можно доказать, что это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей. Если корень а встречается k раз, то говорят, что а имеет крат- кратность k. В разложении многочлена Р„(х) такому корню соответ- соответствует множитель (х-~ а)к. Это утверждение верно и при п = 0: многочлен нуле- нулевой степени имеет 0 корней. Исключение составляет толь- только многочлен, тождественно равный нулю: он обращается в нуль при всех значениях независимого переменного. Основная теорема алгебры позволяет ответить и па вопрос о том, в скольких точках могут совпадать значе- значения двух многочленов Р(х) и Q(x): если многочлены Р(х) и Q(x), степени которых не выше п, принимают равные значения более чем в п точках, то они тождест- тождественно равны, т. е. Р(х) s=a Q(x). Действительно, степень многочлена Р(х) — Q(x) не выше п, так как степень каждого из многочленов Р(х) и Q(x) не превосходит п. По следствию из основной теоремы алгебры многочлен Р(х) —Q(x) может иметь не более п корней. Так как он принимает нулевые зна- значения более чем в п точках, многочлен Р(х)—Q(x) тождественно равен нулю. Следовательно, Р(х) = Q(x). Это означает, что если Р(х) ф Q(x), то в любом бес- бесконечном множестве чисел, комплексных или веществен- вещественных, непременно найдется бесконечно много таких, в ко- которых Р(х) и Q(x') принимают различные значения (так как различные многочлены Р(х) и Q(x) степени не выше п не могут совпадать более чем в п точках). Существуют и другие, не менее важные следствия из основной теоремы алгебры. Некоторыми из них нам пред- предстоит пользоваться в дальнейшем, и вы сможете оцепить их но достоинству.
Изучение многочленов обогатило математику, позво- позволило расширить понятие числа и доказать основную тео- теорему алгебры. Теорема Гаусса гарантирует существование по край- крайней мере одного корня у любого многочлена степени п ^ 1, но ничего не говорит о том, как найти корень. Это — яркий пример теоремы существования. Правда, к концу XVII века, когда Гаусс доказал свою знамени- знаменитую теорему, в арсенале математики имелось немало ме- методов приближенного, численного решения алгебраиче- алгебраических уравнений, позволявших находить корни многочле- многочленов с любой заранее заданной точностью. Но одна важная задача по-прежнему оставалась нерешенной. Дело в том, что математики долго и безуспешно пыта- пытались решить в радикалах алгебраические уравнения вы- высоких степеней, т. е. вывести формулу, которая позволи- позволила бы выразить корни многочлена через его коэффициен- коэффициенты с помощью конечного числа четырех арифметических действий и операций извлечения радикалов так же, как хорошо известная формула — Ь ± У Ь2 — 4ас 2а позволяет выразить корни квадратного трехчлена ах2 -f- + Ьх + с = 0 через его коэффициенты. Надеждам математиков найти общую формулу тако- такого же рода не суждено было сбыться: в 1824 г. норвеж- норвежский математик Нильс Хенрик Абель A802—1829) дока- доказал, что общее алгебраическое уравнение степени выше 4 не разрешимо в радикалах, и заодно выяснил, почему алгебраические уравнения степени не выше 4 разрешимы в радикалах. Если отказаться от обременительного требования ко- конечности числа операций, то любое алгебраическое урав- уравнение становится разрешимым: любой его корень можно 8
представить в виде явной функции коэффициентов урав- уравнения (но для вычисления корня над коэффициентами уравнения потребуется произвести, вообще говоря, беско- бесконечно много рациональных действий, т. е. операций сло- сложения, вычитания, умножения и деления). Явные фор- формулы для вычисления корней при отказе от конечности числа операций приведены в [10]. Теорема Абеля отрицала возможность решить в ради- радикалах общее алгебраическое уравнение степени выше 4, но не позволяла сделать вывод о разрешимости конкрет- конкретного уравнения с заданными числовыми коэффициентами. Необходимые и достаточные условия разрешимости (но не формулу, выражающую корни через коэффициенты) алгебраического уравнения произвольной степени с за- заданными коэффициентами вывел в 1830 г. французский математик Эварист Галуа A811—1832). Так, изучение многочленов привело к рождению одного из важнейших понятий современной математики — понятия группы, к построению теории групп, ставшей одним из наиболее универсальных инструментов познания природы. Приведем лишь один пример. Частица, известная под скромным названием «аитисигма — минус — гиперон» B~-гиперон) была откры- открыта, после того как ее предсказали, из теоретико-групповых сообра- соображений. Узнав все, что стоило знать об индивидуальном мно- многочлене, математики перешли к изучению свойств опе- операций, производимых на множестве многочленов, и тут произошло, пожалуй, самое удивительное: оказалось, что многие операции можно изучать независимо от того мно- множества, которое первоначально было их носителем. Подобно улыбке Чеширского кота из знаменитой сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес», операции продолжали жить своей жизнью (да еще какой яркой!), после того как породившее их множество исчезало. Замечательный немецкий математик Эмми Нётер
A882—1935) научила своих коллег повой науке— абстрактной алгебре, в которой основное внимание уде- уделялось свойствам операций, задаваемых аксиоматически. Такой подход позволял изучать операции «в чистом ви- виде», без примеси индивидуальных свойств множества-но- множества-носителя, и, следовательно, доказывать универсальные теоремы, применимые к любому множеству, удовлетво- удовлетворяющему нужным аксиомам. Иными словами, с точки зрения абстрактной алгебры (воспринятой впоследствии и другими разделами математики) важно не само мно- множество, а его структура — отношения между элементами, задаваемые перечнем аксиом. Особенно много сделал для развития структурного подхода Никола Бурбаки, охарактеризовавший значение этого направления так: «Структуры являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно тру- трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными пред- предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы» [6, с. 106—107]. Один из выдающихся математиков современности, создатель многотомного курса «Элементы математики», Никола Бурбаки извес- известен в основном тем, что .., никогда не существовал! Никола Бур- Бурбаки— собирательный псевдоним группы французских ученых, объе- объединявшей в различные годы (с 1939 г.) различных математиков. Группа — один из примеров математической струк- структуры. Множество многочленов может быть наделено раз- 10
личными структурами. Например, задав в множестве многочленов (с вещественными или комплексными коэф- коэффициентами— безразлично) две операции (сложение и умножение) так, чтобы те обладали всеми привычными свойствами сложения и умножения чисел, мы получим кольцо многочленов. Если Р, Q, Л —любые многочлены, принадлежащие рассматри- рассматриваемому множеству, то операции сложения н умножения должны обладать следующими свойствами: 1) Р + Q = Q + Р (от перемены мест слагаемых сумма не изме- изменяется — коммутативность сложения); 2) Р+ (Q + R) = (P + Q)+R (сумма не зависит от того, в какой последовательности производится сложение,— ассоциатив- ассоциативность сложения); 3) PQ = QP (от перемены мест сомножителей произведение не изменяется — коммутативность умножения); 4) P(QR) = (PQ)R (произведение не зависит от последователь- последовательности, в которой производится умножение,— ассоциативность умно- умножения) ; 5) обе операции связаны правилом, позволяющим раскрывать скобки: (Р + Q)R = PR + QR (закон дистрибутивности). В общем случае абстрактного кольца операции, называемые умножением и сложением, могут внешне не походить на привычные сложение и умножение чисел, но обязаны обладать свойствами 1—5. Для нас в дальнейшем более важной будет другая структура, также образуемая многочленами,— структура линейного векторного пространства. Как и любая другая математическая структура, линейное век- векторное пространство определяется аксиоматически. Множество М элементов х, у, 2, ... (не обязательно многочленов) называется линейным векторным пространством в следующих^лучаях: а) если каждым двум элементам х и у поставлен в соответствие элемент г, называемый суммой элементов х и у (и обозначаемый х + и); 6) если каждому элементу х и каждому числу а из некоторого допустимого множества чисел поставлен в соответствие элемент ах, называемый произведением числа а на элемент х. Операции сложения элементов множества М и умножения на числа из допустимого числового множества удовлетворяют следую- следующим аксиомам. 11
Аксиомы сложении: ') х + у = у -\- х (коммутативность); 2) (х + у) + z = х + (у + г) (ассоциативность); 3) дли каждого элемента л: существует элемент, обозначае- обозначаемый — х и называемый противоположным, такой, что х + (— х) = 0. Аксиомы умножении на число: х (существование единицы); а(Ьх) •= ab(x) (ассоциативность); (а + Ь)х = ах4- Ьх (дистрибутивность по сложению чисел); а (х + у) = ах + Щ (дистрибутивность по сложению эле- элементов) . В интересующем нас случае множество М — это все многочлены степени ие выше п с вещественными или комплексными коэффициен- коэффициентами, допустимое множество чисел — вещественная примаи или комплекснаи плоскость, операции сложении многочленов и умноже- умножении многочленов на числа определены, как обычно. Нетрудно прове- проверить, что все аксиомы линейного векторного пространства дли много- многочленов выполнены. Элементы множества, наделенного структурой линей- линейного векторного пространства, называются векторами. «Уж не хотите ли вы сказать,— возмущенно восклик- воскликнет, дойдя до этого места читатель, твердо знающий, что вектор — это «величина со стрелкой»,— будто многочле- многочлены самые настоящие векторы, такие, как скорость, сила, ускорение? Куда, позвольте вас спросить, в таком случае направлен многочлен ах2 •{- Ьх -\- с и какова его вели- величина?» Терпение, дорогой читатель, и вы увидите, что назва- название «вектор» применительно к элементам векторного про- пространства вполне оправдано, а чуть дальше узнаете, как измерять углы между многочленами. Начнем с привыч- привычных всем векторов — тех самых, которые имеют и вели- величину, и направление. Замечательный педагог А. П. Минаков, многие годы с блеском читавши» курс теоретической механики в МГУ, рекомендовал вводить понятие лектора следующим образом: «Понятие вектора очень важное в механике, по мно- многие студенты пс знают точно, какую математическую ве- 12
личину называют вектором. Если вы спросите, что такое вектор, то, как правило, вам скажут, что это такая мате- математическая величина, которая имеет размеры и направ- направление. После этого вы можете нарисовать на доске и расска- рассказать следующее (рис. 1). Потоки автомобилей характе- характеризуются величиной и направлением. Ведь мало сказать, Рис. 1. Катастрофические последствия сложения «векторов» транспортных потоков. S/////A % \\\\\v У/ / //// \ / что по данной улице проезжает 300 автомашин в час, нужно еще сказать, в каком направлении они едут (речь идет об улице с односторонним движением). Следова- Следовательно, по вашему определению потоки автомобилей — векторы. Теперь представьте перекресток двух «односторонних» улиц. По одной улице проезжает 300 автомашин в час, по другой — 400. Векторы, как известно, складываются по правилу параллелограмма. Следовательно, каж- каждый час /3002 + 4002 = 500 автомобилей врезаются в здание, стоящее на углу пере- перекрестка, т. е. из 700 автомобилей C00+400), выезжаю- выезжающих на перекресток, только 200 минуют его без аварий, 13
а остальные 500 образуют груду лома на тротуаре. Так? Конечно, нет. Почему? Да потому, что сложение векторов по правилу параллелограмма — это не свойство их, а элемент определения. Вектор — это такая математиче- математическая величина, которая: 1) имеет размеры; 2) характе- характеризуется направлением; 3) складывается с себе подобной величиной по правилу параллелограмма. Последнее в определении вектора — самое важное. Потоки автомо- автомобилей характеризуются величиной и направлением, но не складываются между собой по правилу параллело- параллелограмма, и поэтому не являются векторами. Другое дело, если два автомобиля столкнутся. Тогда они будут двигаться по Диагонали параллелограмма, по- потому что в этом случае складываются количества дви- движения автомобилей, а количество движения — векторная величина. И еще один пример, подчеркивающий, что является главным в определении вектора. Представьте, что все векторы образовали сообщество векторных величин. Каждый член этого общества носит определенную фор- форму и имеет удостоверение. Вы находитесь дома, и к вам приходят две математические величины в форме векторов и говорят: «Мы векторы». Им надо сказать: «Сложи- «Сложитесь». Если они сложатся по правилу параллелограмма, значит, они векторы, в противном случае — они не век- векторы. Таким образом, величина и направление — форма- вектора, а ее может надеть и не вектор. А вот сложение но правилу параллелограмма — это удостоверение, кото- которое говорит о том, что данная математическая величина действительно есть вектор» [15, с. 59—61]. Если взять множество всех многочленов степени не выше п и задать на нем обычную операцию сложения многочленов (и умножения их на числа), то наши много- многочлены успешно выдержат «проверку на векторность»: по команде «Сложитесь» они образуют многочлен-сумму, принадлежащий рассматриваемому множеству. 14
В случае сложения «обычных» векторов механики (сил, скоро- скоростей, нмпульсои) диагональ ппраллелограмма всегда принадлежит тому же множеству векторов, что и векторы-слагаемые. В случае многочленов (и тем более в случае абстрактного линейного вектор- векторного пространства) о замкнутости множества относительно операции сложения необходимо позаботиться заранее. Именно это мы и сде- сделали, выбрав множество многочленов степени не выше п (в случае абстрактного линейного векторного пространства замкнутость его относительно операции сложения задается аксиоматически). Стоило нам ошибиться и «не так» выбрать множество многочленов, как замкнутость могла бы нарушиться. Например, если бы мы выбрали множество многочленов строго n-й степени, то в некоторых случаях степень многочлена-суммы могла бы оказаться меньше п: (aw* + ai**-» + ... + ап) + (— пах" + bix"-1 + ... + Ь„) = = (а,+ &,)*»-•+ ...+ («»+ *>»)• Аксиомы абстрактного векторного пространства бе- бережно сохраняют самый существенный признак «вектор- иости», при этом исключают все второстепенное и несу- несущественное, даже если оно и кажется важным и нуж- нужным. Ни словом не обмолвившись относительно того, что представляют собой (или как определены) операции сло- сложения элементов множества и умножения их на числа из некоторого запаса (например, из множества веществен- вещественных или комплексных чисел), определение линейного векторного пространства требует лишь, чтобы для каж- каждых двух элементов множества существовал третий эле- элемент множества, называемый их суммой (аксиома замкнутости относительно сложения), и для каждого эле- элемента v множества и любого числа К из разрешенного запаса в множестве существовал элемент, называемый произведением kv (числа на элемент). Обе операции, за- задаваемые аксиоматически, воспроизводят хорошо извест- известные свойства сложения применяемых в физике векторов и умножения вектора на число. В зависимости от выбора чисел, на которые умно- умножаются векторы, различают вещественные и комплекс- комплексные линейные векторные пространства. 15
Задав на прямой любой отличный от нуля вектор а (рис. 2), мы сможем достичь любой точки А прямой, рас- растянув или сжав вектор а в нужное число раз (положи- (положительное, если точка А расположена «по ходу» вектора а, и отрицательное, если точка А лежит по другую сторону от начала вектора а по сравнению с самим вектором). Но чтобы достичь точки Р, не лежащей на прямой /, -7,5 а A L Рис. 2. Как дотянуться до любой точки пло- плоскости Р. одного вектора а уже мало: к нему непременно надо до- добавить какой-нибудь ненулевой вектор Ь, не пропорцио- пропорциональный вектору а (см. рис. 2). Тогда в любую точку Р плоскости мы сможем попасть, строя параллелограммы на отрезках прямых, задаваемых векторами а и Ь. А сколько «векторов» следует взять, чтобы мы могли дотянуться до любого многочлена степени не выше п? Взяв вектор 1 и увеличив его в произвольное число раз, мы получим любые постоянные. Чтобы «дотянуться» до линейного многочлена (W + ai, нам необходимо к век- вектору 1 добавить непропорциональный вектор х, и, растя- растянув единицу в oi раз, а вектор х в а0 раз, сложить их «по правилу параллелограмма»: а0* + аь Чтобы получить квадратный трехчлен bo*2 + bix -f- bz, запас векторов {1; х) придется пополнить вектором *2. Чтобы получить многочлен степени п, нам понадобится взять п + 1 век- векторов {1; х; хг\ ...; хп), поэтому линейное векторное про- 16
странство многочленов степени не выше п называется (п -f- 1)-мерным. А как же все-таки быть с «длиной» многочлена и его направлением? Одно из произведений векторов, известных в механи- механике, называется скалярным. По определению, скалярное произведение а-b двух векторов а и b равно произведе- Рис. 3. Работа как скалярное произведение век- векторов силы и перемещения: Л = |f||S| cos a. нию их длин на косинус угла между ними: | а 11 b | cos a. Например, работа постоянной силы на прямолинейном пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: составляющая силы, перпендику- перпендикулярная перемещению, работы не производит (рис. 3). Так как косинус — четная функция (не изменяется при изменении знака угла), то безразлично, в каком на- направлении отсчитывать угол: от вектора а к вектору b или наоборот. Поэтому величина скалярного произведе- произведения не изменится, если поменять местами сомножители а и Ь: а • b = |a| |b| cos a = |b| |a| cos a = b • а. Если один из векторов растянуть или сжать в Я, > 0 раз, то и скалярное произведение изменится в К раз: (Я.а) b = |Я,а| |b|cos а = Я-|а| |b|cos a = X(a-b). Если один из векторов заменить суммой, то скалярное произведение перейдет в сумму скалярных произведений: b= (a4.b) + (a2-b). 17
Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат) неотрицательно: а • а = |а| |а|cos 0 = |а|2^ О, и обращается в нуль только при а = 0. Стоп! Скалярный квадрат есть квадрат длины. А не воспользоваться ли этим для того, чтобы определять длины элементов в слу- случае абстрактного векторного пространства как квадрат- квадратный корень из скалярного квадрата элемента? Вместо «обычного» скалярного произведения векторов в трехмерном пространстве по его образу и подобию ма- математики сконструировали абстрактное скалярное произ- произведение (Р, Q) любых двух элементов скалярного век- векторного пространства, определив его так, чтобы оно обла- обладало следующими свойствами: 1) (P,Q) = (Q,P); 2) (кР, Q) = А,(Р, Q), где X — вещественное число; 3) {Pt + PbQ) = (PuQ) + (P2,Q); 4) (Р, Р) ^ 0 и обращается в нуль только при Р = 0. Если мы рассматриваем множество многочленов на отрезке [a, ft], то одним из скалярных произведений могло бы быть, например, такое ь (Р, Q) == J PQdx C) или ь (Р, Q) == J PQp(x)dx, а где р (х) ^0 на [a, ft]. Для тех, кто впервые видит знак интеграла /, сооб- ь щим, что }F(x)dx означает площадь под кривой F(x), а 18
ограниченной слева ординатой F{a), а справа — ордина- ординатой F(b). Угол между Р(х) и Q(y) определяется с помощью (Р, Q): (Р, Q) где \Р\ =У (Р.Р); || i() Следовательно, выбрав подходящим образом скаляр- скалярное произведение, мы получим возможность превратить линейное векторное пространство (в частности, простран- пространство многочленов) в метрическое, т. е. в пространство, на котором можно измерять расстояние между любыми двумя точками. Например, расстояние между многочле- многочленами Р и Q в пространстве многочленов, заданных на отрезке [а, Ь], с метрикой или со скалярным произведе- произведением C), равно / 1/ J (P - QLx. Но коль скоро известны расстояния между любыми дву- двумя многочленами, то имеет смысл говорить о многочле- многочленах далеких и близких. Если нам надо заменить много- многочлен Р с наименьшей погрешностью другим многочле- многочленом Q, то Q целесообразно выбирать среди «близких» к Р многочленов. Существование нескольких метрик (или нескольких скалярных произведений) на одном множестве ставит нас перед проблемой выбора: какой метрике следует отдать предпочтение перед другими. Готового ответа на этот вопрос не существует: все зависит от того, какую задачу вы собираетесь решать. То, что хорошо для одной задачи, может оказаться непригодным для другой. 19
В этом смысле ситуация с выбором метрики несколько иапоми- иает ту, с которой мы сталкиваемся, например, в следующем случае: «На руках у человека 10 пальцев. Как удобнее считать — что у него 3 + 7 пальцев или 2 + 8?» Ясно, что ни одному из предложенных ответов заранее нельзя отдать предпочтение. Но если вы захотите сшить перчатки, то удобнее всего считать, что на руках 5 + 5 пальцев. Рассматривая многие замечательные свойства много- многочленов, нельзя не упомянуть, что среди всех прочих функ- функций, известных в математике, многочлены выделяются своей алгоритмической определенностью. Если многочлен задан, то вам не придется ломать голову над тем, как вычислить его значение при х = Хо\ рецепт (быть может, не самый экономный) содержится в записи самого много- многочлена. Например, если Р(х) = а0*2 + atx + Яг, то Р{х0) = = flo X Хо X х0 + fli X х0 + «о- Все остальные функции не сообщают нам ничего о том, как бы следовало их вычис- вычислять. Как же все-таки вычислить, например, sin х0, arccos Xo, In xo> Присмотримся повнимательнее к таблицам функций. Они содержат значения затабулированных функций лишь с некоторой погрешностью е. Это означает, что, напри- например, таблицы логарифмов включают значения не только логарифмической (приведенные с указанной в таблицах точностью), но и любых других функций, отличающихся от логарифма не более чем на е как в одну, так и в дру- другую сторону, т. е. всех функций, проходящих внутри «ко- «коридора» ошибок (рис. 4). Возникает мысль: а нельзя ли Рнс. 4. «Коридор» ошибок (все функции, графики кото- которых проходят внутри него, неразличимы). 20
приблизить трудно вычислимую функцию более удоб- удобными для счета многочленами, целиком укладывающи- укладывающимися в «коридоре» ошибок? Положительный ответ на этот вопрос был получен в 1885 г. немецким математиком Карлом Теодором Вильгельмом Вейерштрассом A815— 1897). Он доказал, что любую непрерывную на отрезке функцию можно с любой степенью точности приблизить многочленами. Мы надеемся, что даже нашего краткого панегирика во славу многочленов (затронутая нами тема поистине неисчерпаема, и, где бы мы ни остановились, нас все равно будет терзать сожаление о нерассказанном) доста- достаточно, чтобы понять главное: интереснее многочленов могут быть только многочлены. Об одних из наиболее интересных многочленов, носящих имя Пафнутия Льво- Львовича Чебышева, мы хотим вам рассказать.
1. ИЗВЕСТНЫЕ ПОД НАЗВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ ЧУДАКИ — МАТЕМАТИКИ? Человек, далекий от науки, имеет весьма смутное и, как правило, превратное представление о том, чем зани- занимаются математики. Человек, сведущий в науке, если бы его спросили, чем занимаются математики, скорее всего ответил кратко: «Всем». Действительно, чем только не занимаются современные математики: биологией и лин- лингвистикой, экономикой и химией, не говоря уже о тради- традиционно проникнутой математическим духом физике! Более того, по свидетельству одного из основателей точ- точного естествознания итальянца Галилео Галилея A564— 1642) сама природа говорит на языке математики. «Фи- «Философия написана в той величественной книге, которая постоянно открыта у нас перед глазами (я имею в виду Вселенную), но которую невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не узнать те пись- письмена, которыми она начертана,— пишет Галилей.— Ее язык — язык математики, и письмена эти суть треуголь- треугольники и другие геометрические фигуры, без которых не- невозможно понять в ней ни единого слова: без них мы можем лишь вслепую блуждать по беспросветному лаби- лабиринту» [24, с. 119]. По глубокому убеждепию «человека с улицы», мате- математика в отличие, скажем, от физики, биологии или хи- химии, широко простирающей ло свидетельству М. В. Ло- Ломоносова «руки свои в дела человеческие»,— наука за- застывшая, давно и окончательно сложившаяся, упорно 22
держащаяся в стороне от повседневных запросов прак- практики, а математики занимаются в основном придумыва- придумыванием разного рода каверзных задач и забивают головы несчастных школяров обветшалой премудростью, годной разве что для сдачи экзаменов по той же математике. Они живут в каком-то вымышленном мире и настолько погружены в свои размышления, что норой забывают обо всем на свете. Великолепный образ традиционного профессора мате- математики из широко распространенных анекдотов о мате- математиках нарисовал Дьердь Пойа в своей книге «Как ре- решать задачу»: «Он всегда рассеян. Считает, что потерял зонтик, а у него но зонтику в каждой руке. Он предпочи- предпочитает стоять лицом к доске, а спиной к аудитории. Он пи- пишет а, говорит Ь, имеет в виду с, а должно быть d» [22, с. 198]. По мнению людей, знакомство которых с математикой ограничивается сведениями о том, что «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется», «минус на минус дает плюс», не менее полезной информацией о «пифагоровых штанах», которые «во все стороны равны», и несклад- нескладными виршами, позволяющими восстановить несколько знаков в десятичном разложении числа л, математики проводят время за доказательством утверждений, не вы- вызывающих ни малейшего сомнения ни у одного здраво- здравомыслящего человека. Примером такого рода «очевид- «очевидных», но трудно доказуемых утверждений может служить теорема Жордана. Чтобы сформулировать ее, нам пона- понадобится одно не слишком известное понятие. Математики называют простой замкнутой кривой лю- любую кривую, получаемую из окружности непрерывной деформацией. Это означает, что, взяв окружность, мы в праве как угодно сжимать, изгибать и растягивать ее, не разрывая и не склеивая точки. Так, кривую, изобра- изображенную на рис. 5, а, математики, казалось бы, вопреки здравому смыслу называют простой, а обыкновенную 23
восьмерку (кривую, изображенную на рис. 5,6) к прб- стым кривым не причисляют. Выбор столь несуразного на первый взгляд определе- определения простой кривой перестанет казаться странным, если мы обратим внимание на то, что непрерывная деформа- деформация не изменяет устройство кривой в окрестности каждой Рис. 5. Простая (а) и непростая F) кривые. точки: взглянув в микроскоп на окрестность любой точки кривой, изображенной на рис. 5, с, мы не сможем отли- отличить ее от окрестности любой точки окружности. Иначе говоря, эта кривая, несмотря на «устрашающую» внеш- внешность, устроена так же просто, как окружность, чего нельзя сказать о восьмерке: в точке А сходятся не два, а четыре «конца». Следовательно, восьмерка действи- действительно устроена сложнее окружности! Если для определения простой замкнутой кривой характерно противоречие между названием, отражаю- отражающим простоту внутреннего устройства кривой, и бросаю- бросающейся в глаза сложностью расположения кривой на пло- плоскости, то теорема Жордана поражает кажущейся про- 24
стотой и «очевидностью». Эта знаменитая теорема утверждает, что каждая простая замкнутая кривая делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Тем, кто считает теорему Жордана очевидной, настоя- настоятельно рекомендуем произвести несложный эксперимент. Поставьте наугад точку на рис. 5, а — там, где изобра- изображена простая кривая. Сможете лн вы, не задумываясь, сказать, куда попала поставленная вами точка — во внутреннюю или во внешнюю область кривой с? Здравый смысл, подкрепляемый наглядными, зри- зримыми образами и нестрогими, интуитивными, или, как принято теперь говорить, эвристическими соображения- соображениями, аналогиями и той неполной индукцией, которой при- привычно пользуется любой естествоиспытатель, помогает математику открывать новое или проверять полученный результат на простых и понятных примерах. Строгое доказательство необходимо математику, как крылья, позволяющие воспарить над повседневным опытом, вый- выйти за пределы, где здравый смысл перестает быть надеж- надежным советчиком и не только не предостерегает от возможных ошибок, но и сам становится их источником. Речь идет не о «торжестве науки над здравым смыслом», по крайней мере не о торжестве, длящемся вечно: по мере накопления строго доказанных теорем у математи- математика исподволь накапливается опыт, формируется интуи- интуиция, подсказывающая, в каком направлении надлежит продолжать поиск истины. Почему же работа математика окружена ореолом таинственности, искажающим для постороннего наблю- наблюдателя реальные масштабы и истинное содержание этой науки? Причин здесь несколько. Во-первых, математика, как правило, имеет дело с абстракциями более высокой ступени, чем физика, хи- химия, биология или экономика, и поэтому математику до- довольно сложно объяснить непосвященному суть иссле- исследуемой проблемы. 25
Справедливости ради следует заметить, что проникно- проникновение в любую область современной науки требует нема- немалых усилий и основательной подготовки. Понять, чем занимается, например, современный физик-эксперимен- физик-экспериментатор, не говоря уже о его коллеге — теоретике, неспе- неспециалисту весьма трудно. При взгляде на гигантский уско- ускоритель посетитель научного центра видит перед собой вполне осязаемое циклопическое сооружение и, оставаясь в неведении относительно истинного его назначения, ухо- уходит в убеждении, что уж теперь-то ему доподлинно известно (еще бы! видел своими глазами!), чем зани- занимаются люди, называющие себя физиками. Листок бума- бумаги, испещренный формулами, ради проверки которых построен ускоритель, не внушает такого трепета. Работа математика менее зрелищна и не столь впечатляет посто- постороннего наблюдателя. Во-вторых, между тем, что успевает узнать о матема- математике человек, окончивший среднюю школу, и тем, что представляет собой в действительности современная ма- математика, существует огромный разрыв, куда больший, чем разрыв между школьной программой и истинным уровнем в других науках. Отсюда и впечатление о мате- математике как о лавке древностей или в лучшем случае историческом музее и о математиках как о хранителях, гидах и реставраторах (но никак не творцах), забывших о «прекрасном и яростном мире» за стенами их тихого убежища. Разрыв между средним уровнем математических зна- знаний и живой, бурно развивающейся математической нау- наукой, тысячью неразрывных нитей связанной с современ- современным естествознанием, черпающей из него постановки новых задач и обогащающей его новыми идеями, концеп- концепциями и методами, красочно описал замечательный поль- польский математик Гуго Штейпгауз: «... В математике не- несравненно явственней, чем в других дисциплинах, ощу- ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. 26
Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем еги- египетские пирамиды, и они составляют значительное боль- большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи средних веков, а уровня матема- математики XVIII века не достигает и один человек на тысячу... Но расстояние между теми, кто идет в авангарде, и не- необозримой массой путников все возрастает, процессия растягивается и идущие впереди отдаляются все более и более. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Нахо- Находятся и такие, кто просто не верит в их существование» [27, с. 25]. Познавая окружающий мир, математик создает мо- модель (обычно это уравнение или система уравнений) изу- изучаемых явлений, отражающую не только их количествен- количественные, по и качественные характеристики. В докладе «О соотношении между физикой и математикой» Джеймс Клерк Максвелл A831—1879) сформулировал эту осо- особенность математики так: «Большой шаг вперед был сделан в науке тогда, когда люди убедились, что для понимания природы вещей они должны начать не с во- вопроса о том, хороша ли вещь или плоха, вредна или по- полезна, но с вопроса о том, какого она рода и сколь много ее имеется. Тогда впервые было признано, что основными чертами, которые нужно познать при научном исследо- исследовании, являются количество и качество. ...Если искусство математика позволило экспери- экспериментатору заметить, что измеряемые им количества связаны необходимыми соотношениями, то физические открытия показали математику новые формы количеств, которые он никогда не мог бы себе представить» [17, с. 6]. Создание математической модели — высокое искусст- искусство, требующее обширных познаний в конкретных пауках, глубокого понимания сути изучаемого явления, тонкой 27
интуиции и великолепного владения аппаратом, позво- позволяющим решать возникающие проблемы. История открытия многочленов Чебышева — велико- великолепный пример того, как в действительности рабо- работает математик, насколько плодотворны вводимые им абстрактные понятия, в которых то или иное свойство реального объекта запечатлено в виде, очищенном от всего наносного или случайного, и насколько живые ма- математики во плоти не похожи на худосочные персонажи рассказываемых о них анекдотов. Кроме того, знаком- знакомство с историей этого открытия предоставляет читателю редкую (или по крайней мере встречающуюся не слиш- слишком часто) возможность познакомиться с азами одной из прекраснейших глав современной математики — тео- теории наилучшего приближения функций. История эта интересна еще и тем, что позволяет про- проследить сложную взаимосвязь между математической теорией и приложениями на удивительном по красоте и прозрачности идей примере, достойном творении вели- великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева A821—1894 гг.). КАК РАСПОЛАГАТЬ СРЕДСТВАМИ СВОИМИ ДЛЯ ДОСТИЖЕНИЯ ПО ВОЗМОЖНОСТИ БОЛЬШЕЙ ВЫГОДЫ Перечень почетных титулов и званий П. Л. Чебышева обширен и внушителен: доктор математики и астрономии A849 г.), ординарный академик Санкт-Петербургской академии наук A859 г.), ординарный (с 1872 г. за- заслуженный) профессор Петербургского университета A860 г.), член-корреспондент Ученого комитета мини- министерства государственных имуществ A854 г.), Льеж- ского королевского общества A856 г.), филоматического общества в Париже A856 г.), Парижской академии наук A860 г.), Шербурского общества естественных наук 28
A866 г.). член-учредитель Московского математического общества A867 г.), член Берлинской A871 г.), Болон- ской A873 г.), Итальянской королевской A880 г.) ака- академий наук, Лондонского королевского общества A877 г.), Французского математического общества A882 г.), иностранный сочлен Парижской акаде- академии наук A874 г.), ино- иностранный член Шведской академии. наук A893 г.), почетный член Москов- Московского A858 г.), Киевско- Киевского A869 г.), Новороссий- Новороссийского A878 г.), Петер- Петербургского A882 г.) и Казанского A893 г.) уни- университетов, Артиллерий- Артиллерийской академии A870 г.), Ученого комитета мини- министерства народного про- просвещения A873 г.), Мо- Московского общества есте- естествоиспытателей A889 г.), Петербургского минера- минералогического общества A890 г.), Петербургского математического общест- общества A893 г.). Основатель петербургской математической школы, снискавший мировую известность своими работами по теории вероятностей, интегрированию алгебраических функций, теории чисел и других разделов чистой матема- математики (называемой так в противоположность прикладной математике), воспитатель блестящей плеяды математи- математиков, чьи имена составляют гордость нашей науки,— Г. Ф. Вороного, Д. А. Граве, Е. И. Золотарева, А. Н. Кор- 29 Пафнутий Львович Чебышев A821—1894).
кина, А. М. Ляпунова и др.— П. Л. Чебышев живо инте- интересовался и чисто практическими вопросами: рациональ- рациональным конструированием механизмов, черчением географи- географических карт, оптимальным раскроем одежды и тому подобными проблемами. Выступая с докладом «Теория и практика в исследо- исследованиях Чебышева» в 1921 г. на торжествах по случаю столетия со дня рождения П. Л. Чебышева, академик В. А. Стеклов, чье имя ныне носит Математический инсти- институт Академии наук СССР, отметил особую практическую направленность научного творчества великого матема- математика: «Гений Чебышева ... представлял собой исключи- исключительный образец соединения практики в высшем смысле этого слова с творческой, обобщающей силой отвлечен- отвлеченного мыслителя-математика. Практические вопросы превращались им в соответ- соответствующую математическую теорию, представлявшую новое открытие в области чистой науки; эта же послед- последняя, не оставалась в области чистой мысли, а воплоща- воплощалась в реальную действительность: в различного рода машины и механизмы, которые служили как бы вещест- вещественным осуществлением его теоретических достижений. Наряду с исследованиями чисто теоретического харак- характера, ... имеется ряд мемуаров, самые названия которых для несведущего человека покажутся чуж- чуждыми... Например, «Об одном механизме», «О центробежном уравнителе», «О зубчатых колесах», «О простейших со- сочленениях» и т. д. Затем: «О построении географических карт» и, наконец, его сообщение в Французской Ассоциа- Ассоциации поощрения наук «О кройке одежды». Может ли подумать мало осведомленный человек, встретив такое заглавие, что исследование принадлежит не специалисту портняжного дела, а автору «Теории сравнений», творцу «Теории функций, наименее уклоняю- уклоняющихся от нуля»! [25, с. 5—6]. 30
Работы практического рода с их несколько необыч- необычными названиями не были прихотью гения или плодами отдохновения от напряженных трудов на поприще чистой математики. В творчестве Чебышева практические рабо- работы были неразрывно связаны с высокой теорией и про- проистекали из философской установки, которой он придер- придерживался на протяжении всей своей необычайно плодо- плодотворной деятельности и выразил с наибольшей полнотой в докладе «Черчение географических карт», с которым выступил на торжественном акте 8 февраля 1856 г. в Пе- Петербургском университете: «Науки математические с са- самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще больше интереса по влиянию своему на искусства и промышлен- промышленность. Сближение теории с практикою дает самые благо- благотворные результаты, и не только одна практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследований или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены пауки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно непол- неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы существенно новые для науки и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых методов. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике. Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и раз- различных методов. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видо- видоизменений одной и той же задачи, общей для всей прак- практической жизни человека: как располагать средствами 31
своими для достижения по возможности большей выго» ды?» [29, с. 146—149]. Во избежание недоразумений заметим, что слово «геометр» в прошлом (во времена П. Л. Чебышева н позже) означало «мате-- матик». Такое словоупотребление объяснялось тем, что геометрия, по словам академика А. Н. Крылова, доведенная до высокой степени совершенства еще древними, составляла главнейший и, можно ска- сказать, почти единственный предмет математнческого образовання. Всемерно способствовать решению этой задачи Чебы- шев считал долгом ученого. Один из наиболее выдаю- выдающихся учеников П. Л. Чебышева академик А. М. Ляпу- Ляпунов писал о своем учителе: «П. Л. Чебышев и его после- последователи остаются постоянно на реальной почве, руководствуясь взглядом, что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложениями (научным» или практическими), и только те теории действительна полезны, которые вытекают из рассмотрения частных* случаев. Детальная разработка вопросов, особенно важ- важных с точки зрения приложений и в то же время пред~ ставляющих особенные теоретические трудности, тре- требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных, выводов и создание этим путем более или менее1 общей теории — таково направление большинства работ П. Л. Чебышева и ученых, усвоивших его взгляды» [16, с. 20]. Ту же мысль, выраженную несколько иначе, мы нахо- находим и в докладе академика В. А. Стеклова на торжест- торжествах по случаю 100-летия со дня рождения П. Л. Чебы- Чебышева: «Почти необъятное поле новых вопросов, новых методов их решения вытекает из гениальных идей Чебы- Чебышева, возникших и развившихся на почве одной и той же философской мысли: взять природу такой, какой она является как неизбежный реальный факт наблюдения, и извлечь из доставляемых данных наблюдения возмож' но большую пользу при наименьшей затрате сил, соглас- 32
но с требованиями практики, которая, как говорил сам Чебышев в своей речи «О черчении географических карт», везде ищет самого лучшего, самого выгодного» [25, с. 10]. Идеи П. Л. Чебышева о плодотворности тесного сою- союза между математикой, с одной стороны, и естественными науками и техникой, с другой, высказанные более ста лет назад, не утратили своего значения и поныне, став достоянием широкого круга математиков. Более того, не будет преувеличением сказать, что именно в наше время идеи Чебышева звучат особенно актуально, ибо па на- наших глазах возникает новая ветвь математики — так называемая прикладная математика, сущность которой в истинно чебышевском духе сформулировал Гуго Штейнгауз: «...прикладная математика находится пока в зачаточном состоянии. Сегодня еще в наших силах направить ее развитие в любую сторону, и мы распола- располагаем в этом отношении неограниченной свободой. Необ- Необходимо лишь понять, что математика — не свод готовых ответов на любой вопрос. Математика — это скорее шко- школа мышления. Естественные и технические науки также нельзя рассматривать лишь как реестр наблюдений и экспериментов. Прикладная математика есть не что иное, как сотрудничество математики и этих наук. При- Прикладной математики в виде готовой науки не существует. Она возникает, когда математическая мысль прикасается к окружающему миру, но лишь при условии, если и мате- математический дух, и природная материя не закоснели. Сле- Следует иметь в виду, что наука не только описывает сущест- существующую действительность, но и создает новую, поэтому математик должен занимать активную позицию: не ожи- ожидать задач, а самому их ставить. Вряд ли можно сомне- сомневаться, что успехи так понимаемой прикладной матема- математики превзойдут самые смелые ожидания» [27, с. 400]. Взаимоотношения между чистой и прикладной мате- математикой, математикой и естественными науками, мате- математикой и техникой многосложны и разнообразны. г Зак. № 33
Им посвящена обширная литература самых различны, жанров: от публицистической статьи до научной моно графии и научно-популярной брошюры [1, 5, 8]. Академик А. Н. Колмогоров охарактеризовал сущ ность отношений и связей между чистой и прикладной математиками следующим образом: «Прежде всего нуж- нужно заметить, что само различие между чистой и приклад- прикладной математиками чрезвычайно условно. Вопросы, кото рые, казалось бы, принадлежат к чистой математике и не имеют применений, очень часто совершенно неожи- неожиданно оказываются важными для разных приложений С другой стороны, занимаясь прикладной математикой, ученый почти неизбежно наталкивается на смежные во- вопросы, решающиеся теми же методами, привлекающие его своей логической красотой, но, собственно говоря, непосредственных приложений уже не получающие. Вероятно, в практической работе математика нужно проявлять должную широту. Несомненно, что матема- математики должны, это их долг, заниматься всеми вопросами, которые настоятельно навязываются вопросами практи- практики. Если смежные вопросы, пусть сразу применений не имеющие, являются привлекательными хотя бы в силу красоты и естественности возникающих задач, ими', ко- конечно, тоже нужно заниматься» [4, с. 13]. Мы расскажем лишь об одной, едва ли не самой бле- блестящей главе научного творчества П. Л. Чебышева — истории создания им основ теории наилучшего прибли- приближения функций — и начнем свой рассказ с самого на- начала — с момента изобретения Джеймсом Уаттом A736— 1819) знаменитого параллелограмма. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ УАТТА В наше время паровая машина встречается редко. Увидеть действующую «настоящую» паровую машину — удача ничуть не меньшая, чем найти подкову на совре- 34
менной скоростной автостраде. Паровая машина давно уступила место более экономичным и быстроходным дви- двигателям, и большинство людей представляют устройство парового двигателя примерно так же, как пенсионер Ложкин из рассказа Кира Булычева «Паровоз для царя»: «—Паровоз движется по принципу сжимания и рас- жимаиия пара,— сказал Ложкин.— Там поршень ходит, и оттого крутятся колеса. — Ах, как интересно,— сказал «царь».— И где же поршень ходит? — Как где? В котле, разумеется,— сказал Ложкин.— Там вода кипит.» Паровая машина доживает свой век. Все реже встре- встречаются паровозы, пароходы, локомотивы. У «ветерана», удалившегося на заслуженный отдых в тихие залы му- музеев, славная история: с конца XVIII века и до конца XIX века паровая машина была единственным универ- универсальным двигателем. Она приводила в движение не только колеса паровозов, вращала тяжелые маховики на заводах и фабриках — паровая машина была приво- приводом технического прогресса. Схема паровой машины сейчас кажется удивительно простой (рис. 6). Пар из котла поступает в цилиндр и приводит в движение поршень, который через шток соединен с шатуном, приводящим во вращение коленча- коленчатый вал с насаженным на него маховиком. Однако по- понадобились усилия многих инженеров, прежде чем эта схема обрела свой окончательный вид. Решающую роль в превращении паровой машины в универсальный двигатель сыграло изобретение Джейм- Джеймсом Уаттом его так называемой второй машины. Фор- Формулу своего изобретения Уатт описал в патенте следую- следующим образом: «Мое второе усовершенствование паровой, или огненной, машины состоит в том, чтобы использовать упругость пара для движений поршня как вверх, так 2* 35
и вниз (цилиндр в машине Уатта был расположен ве тикально.— Ю. Д.) попеременно путем создания вакууг соответственно над или под поршнем и одновременно а ставить пар действовать на поршень в той полости Щ линдра, в которой не происходит выхлопа; машина, ckoi струированная таким образом, может производить вдво Рнс. 6. Паровой двигатель: / — поршень; 2 — шток; 3 — шатуи; 4— коленчатый вал; 5 — маховик. большее количество работы (при цилиндре тех же разме ров), чем машина, где пар действовал бы только в одно\ направлении — или вверх, или вниз» [13, с. 8]. Паровая машина владела умами. Пытливая мысль, ученых и инженеров билась над тем, как сделать ее более простой и надежной в работе, повысить коэффициент полезного действия. Французский военный инженер Никола Карно A796—1832) в изданном на собственные средства в 1832 г. сочинении «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» впервые доказал, что КПД тепловой машины обусловлен только разностью температур между нагревателем и хо- холодильником и не зависит от природы рабочего тела. 36
Знаменитая теорема Карно устанавливала верхний пре- предел эффективности тепловых машин: КПД реальной ма- машины не мог быть выше КПД идеальной, имеющей с реальной одинаковые температуры нагревателя и хо- холодильника. С изобретением своей второй машины Джеймс Уатт не оставил попыток усовершенствовать свое детище... В патенте 1784 г. Уатт предлагает сразу несколько новых решений проблемы (по его словам, второе усовер- усовершенствование паровых машин состоит в способах спрям- спрямления движения поршневого штока, насосного штока н других частей): тут и довольно сложная конструкция из катящихся по неподвижным вертикальным стойкам секторов, центры которых соединены между собой и с концом поршневого штока, и брусья с вертикальными пазами, по которым скользят, не давая соединенному с ними штоку отклониться от вертикали, ползуны. Но и эти решения не удовлетворяют Джеймса Уатта, и тогда он предлагает изящное решение в виде системы рычагов, получившей название «параллелограмма Уат- Уатта». Сам Уатт гордился изобретением параллелограмма более, чем любым другим своим изобретением. В чем же состояла суть изобретения Уатта? В докла- докладе о П. Л. Чебышеве, прочитанном на общем собрании АН СССР 17 октября 1944 г., академик А. Н. Крылов отвечает на этот вопрос следующим образом: «Меха- «Механизм, известный под названием параллелограмма Уатта, изображен схематически на прилагаемом чертеже (см. рис. 7.—Ю. Д.). Существенное требование к этому механизму состоит в том, чтобы конец штока С совершал прямолинейное Движение, будучи соединен отводным радиусом СН с не- неподвижной точкой Н, несмотря на боковые усилия, дей- действующие на точку С. Уатт, прикрепив к точке С карандаш, записал на по- поставленной доске путь точки С при различной длине ра- 37
диуса СН и выбрал эту длину так, чтобы путь точки был по возможности близок к прямой линии. Таким образом, чисто эмпирически он составил пра- правила и таблицы для выбора длин элементов своего па- параллелограмма, принимая полудлину коромысла за еди- единицу» A4, с. 494—495]. Рис. 7. Параллелограмм Уатта. Параллелограмм Уатта — лишь наиболее известный, но далеко не единственный представитель так называе- называемых шарнирных механизмов, состоящих из жестких звеньев, соединенных шарнирами. Назначение их состоя- состояло в том, чтобы превращать движение по дуге окруж- окружности в прямолинейное движение. Отсюда и старинное название таких механизмов — «прямило». Помимо свое- своего прямого назначения — обеспечивать (хотя бы прибли- приближенно) прямолинейность хода головки поршневого што- штока, шарнирные механизмы применялись и для других целей, например, для решения алгебраических уравнений высоких степеней и механического решения древней за- задачи о трисекции угла. Неразрешимая с помощью циркуля и линейки, эта задача вполне разрешима с помощью шарнирных механизмов 38
С параллелограммом Уатта в действии П. Л. Чебышев познакомился во время заграничной командировки в мае — октябре 1852 г. (во Францию, Англию и Герма- Германию). В «Отчете экстраординарного профессора С.-Пе- С.-Петербургского университета Чебышева о путешествии за границу» читаем: «Из многих предметов исследования, которые представились мне при рассматривании и сличе- сличении между собою различных механизмов передачи дви- движения, особенно в паровой машине, где и экономия в топ- топливе, и прочность машины много зависят от способов передачи работы пара, я особенно занялся теориею ме- механизмов, известных под названием параллелограммов. Изыскивая различные средства извлекать из пара наибо- наиболее работы в том случае, когда нужно иметь вращатель- вращательное движение, как это большею частью бывает, Уатт изобрел особенный механизм для превращения прямоли- прямолинейного движения поршня во вращательное (движение) коромысла,— механизм, известный под названием парал- параллелограмма. Из истории практической механики извест- известно только, что на мысль о возможности подобного меха- механизма великий преобразователь паровых машин и был наведен рассматриванием особенного снаряда, где чрез совокупление различных вращательных движений полу- получались разнообразные кривые линии, некоторые близкие к прямой. Но мы не знаем, каким путем он дошел до наивыгоднейшей формы своего механизма и размера его элементов. Правила, которым следовал Уатт при устрой- устройстве параллелограммов, могли служить руководством Для практики только до тех нор, пока не встретилась необходимость изменить форму его; с изменением формы этого механизма потребовались новые правила. Эти пра- правила и практика, и современная теория извлекают из на- начала, которому, по-видимому, следовал Уатт при устрой- устройстве своих параллелограммов. Суждения, которые при- приводят в доказательство этого начала, очевидно, не могут ьыдержать никакой критики; даже на практике очень 39
часто оказывается неудобным употреблять элементы па- параллелограммов, находимые по этому началу, так что* для поправки их понадобились особые таблицы. Из ска- сказанного мною видно, до какой степени необходимо было параллелограмм Уатта и его видоизменения подвергнуть: строгому анализу, заменивши вышеупомянутое начало существенными свойствами этого механизма и условия- условиями, которые встречаются на практике. С этой целью я обращал особенное внимание на обстоятельства, кото- которыми условливаются некоторые из его элементов как в машинах фабричных, так и на пароходах, а с другой стороны — на вредные действия неправильностей его хода, которых следы можно заметить на машинах, быв- бывших долго в употреблении. Предположивши вывести правила для устройства параллелограммов прямо из свойств этого механизма, я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало. Все, что сделано в этом отношении принад- принадлежит члену Парижской академии наук г-ну Понселе, известному ученому в практической механике; форму- формулами, им найденными, пользуются очень много при вы- вычислении вредных сопротивлений машин. Для теории параллелограмма Уатта необходимы формулы более общие и приложение их не ограничивается исследова- исследованием этих механизмов. В практической механике и других прикладных нау- науках есть целый ряд вопросов, для решения которых они необходимы» [29, с. 248—252]. Работа, или по-старинному мемуар, о котором упоми- упоминает П. Л. Чебышев,— знаменитая «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов». Заключи- Заключительные слова этого, но словам Л. Н. Крылова, наиболее длинного мемуара, свидетельствуют о том, что у П. Л. Че- бышева по крайней мере первоначально были более об- обширные планы: «В следующих параграфах мы покажем приложение выделенных нами формул к нахождению 40
элементов параллелограммов, удовлетворяющих усло- условиям, при выполнении которых точность ходов этих ме- механизмов— наибольшая» [28, с. 51]. Планам этим, по- видимому, не суждено было сбыться: продолжение мемуара опубликовано так и не было. Правда, отзвуки его звучат в некоторых других, более поздних работах II. Л. Чебышева. Так, в мемуаре «Об одном механизме» он приводит описание построенного им оригинального механизма, дающего значительно лучшее приближение к прямой, чем параллелограмм Уатта. Сколь ни полезно было для творца «Теории механиз- механизмов, известных иод названием параллелограммов» «рас- «рассматривание и сличение различных механизмов передачи движения» во время посещения металлургических заво- заводов близ Меда, ангулемских писчебумажных фабрик, литейных заводов, бумагоделательных и льнопрядильных производств, Национального музея искусств и ремесел в Париже, все же виденных им механизмов не касалась рука великого Джеймса Уатта: речь шла о машинах, сде- сделанных другими инженерами. Для Чебышева, углублен- углубленно размышлявшего над проблемами математической тео- теории параллелограммов, особый интерес представляли паровые машины, изготовленные под непосредственным руководством создателя «огненной машины двойного действия». Счастливый случай, которого П. Л. Чебышев настой- настойчиво искал, представился вскоре после приезда в Анг- Англию. В том же «Отчете» об этом рассказывается так: «По приезде в Лондон я обратился к двум известным английским геометрам Сильвестру и Кэли. Расположе- Расположению этих ученых я обязан, с одной стороны, интересными беседами по различным отраслям математики, на что употреблял я вечера и воскресные дни, в продолжение которых все фабрики закрыты, а с другой стороны, слу- случаем познакомиться с известным английским инженером- механиком Грегори. Узнавши о цели моего путешествия 41
и в особенности 0 тех вопросах практической механики, решение которых составляло предмет моих занятий, он вызвался содействовать мне в отыскании на лондонских фабриках предметов наиболее для меня необходимых. С этой целью он ездил со мною на различные фабрики, где полагал найти различные машины, устроенные самим Уаттом. Эти машины были особенно интересны для меня как данные о правилах, которым следовал Уатт при устройстве своих параллелограммов,— правила, с кото- которыми я должен был сравнивать результаты моих изыска- изысканий, упомянутых выше. К сожалению, оказалось, что одна из самых старинных машин Уатта, долго сохраняв- сохранявшаяся, в последнее время была продана в лом; но г-н Грегори успел найти две машины, которые, как видно по патентам, были совсем переделаны Уат- Уаттом и сохраняются теперь как достопамятность» [29, с. 245]. Результаты первой заграничной командировки П. Л. Чебышева превзошли самые смелые ожидания почтенных руководителей математического отделения Петербургского университета, не без основания возла- возлагавших на своего молодого коллегу большие надежды. «По когтям узнают льва» — гласит старинная латинская пословица. Первые шаги П. Л. Чебышева на математи- математическом поприще свидетельствовали о его недюжинном математическом таланте. Мы имеем в виду магистерскую диссертацию ученого «Опыт элементарного анализа тео- теории вероятностей», защищенную в 1846 г. в Московском университете, и его докторскую диссертацию «Теория сравнений», защищенную в 1848 г. в Петербургском уни- университете и изданную в 1849 г. отдельной книгой. Обе эти работы стали вехами не только личной биографии их автора, но и истории отечественной математики. Слово «сравнение» в названии чебышевской диссертации (как, впрочем, и во всей математической литературе) имеет несколько иной смысл, чем в обыденной речи. Числа а и b математики называют 42
сравнимыми по модулю с, если разность a— b делится на с. Это при- принято записывать в виде сравнения а е= 6(mod с). Изучению таких соотношений (сравнений) и посвящена диссертация П. Л. Чебышева. Итог своих наблюдений за работой параллелограммов Уатта П. Л. Чебышев подвел в самом начале своей зна- знаменитой работы «Теория механизмов, известных под на- названием параллелограммов»: «Когда нужно упрочить прямолинейное движение части механизма, подвержен- подверженной действию наклонного к ней усилия, нельзя пренебре- пренебрегать мало доступными измерению неправильностями направляющих; уклонения, не заметные простым взгля- взглядом, ясно обнаруживаются пассивными сопротивления- сопротивлениями, происходящими вследствие их существования. Направляя поршневой стержень паровой машины по- посредством кулисы или параллелей, особенное внимание обращают на то, чтобы они были выполнены с возмож- возможным совершенством. Если эти направляющие заменяются параллелограммом, то следует еще более стараться уве- увеличить, насколько возможно, точность его хода, так как даже в самых благоприятных условиях он дает уклоне- уклонения столь значительные, что их никогда не допустят в движении стержня, направляемого посредством кулисы или параллелей. При настоящем состоянии практической механики не существует надежных правил для нахождения наиболее выгодных элементов параллелограмма. За отсутствием прямой методы его элементы определяют на основании условий, выполнение которых считают необходимым для точности хода этого механизма... Если считать особенно выгодным, чтобы поршневой стержень имел вполне точное направление в начале, в се- середине и в конце его хода, то отводной радиус, находи- находимый при помощи методы, о которой мы только что гово- 43
рили, очевидно, единственный, удовлетворяющий этому условию. Но этот случай, как мы увидим, не самый благоприят- благоприятный для точности хода параллелограмма в других точ- точках пробега поршня. Что же касается наиболее выгод- выгодного положения поршневого стержня по отношению к коромыслу, предыдущий принцип его не указывает. Из теории, предлагаемой в этом мемуаре, видно, что поршневой стержень должен быть более или менее при- приближен к центру коромысла, смотря по размерам парал- параллелограмма, и что в наиболее обыкновенных случаях его продолжение вовсе не проходит через середину стрелки дуги, описываемой концом коромысла. Так, в случае, когда параллелограмм Уатта построен на половине плеча коромысла (каким делал его сам Уатт и каким его сле- следует делать, если имеется возможность располагать раз- размерами параллелограмма), предел уклонений стержня от его нормального направления можно значительно умень- уменьшить, приближая его к центру коромысла более, чем это следовало бы сделать, основываясь на принципе, о кото- котором мы только что говорили. А именно: 1) в случае, ког- когда желательно сделать вполне вертикальным положение стержня в начале, в середине и в конце его хода, за его направление следует брать направление прямой, деля- делящей стрелку дуги, описываемой концом коромысла, в от- отношении 2 к 1; 2) в случае, когда не требуется абсолют- абсолютная точность в двух крайних положениях стержня, за его направление следует брать прямую, делящую эту стрел- стрелку в отношении 5 к 3. В последнем случае отводной радиус уже не будет более определяться предельными положениями коромыс- коромысла; для определения его придется брать положения, кото- которые им предшествуют приблизительно на одну сороко- сороковую амплитуды качаний. Хотя изменения в устройстве параллелограмма Уатта, о котором мы только что гово- говорили, не велики и хотя они только приближенные след- 44
ствия наших формул, тем не менее они значительно уве- увеличивают точность его хода. При помощи анализа легко убедиться, что в силу этих изменений предел уклонений стержня от вертикальной линии уменьшается более чем на половину. Это нам ясно показывает, что принцип, лежащий в основе современной теории параллелограмма, далеко не сводит к минимуму предел его уклонений, столь вред- вредных благодаря происходящим от них боковым давлениям па поршневой стержень. Поэтому не только для теории, по и для практики очень важно заменить в исследова- исследованиях о параллелограмме этот принцип, который ста- стараются оправдать при помощи неточных рассуждений, прямой методой. Достигнув этой цели, можно из природы самого механизма и представляемых практикой условий вывести наиболее подходящие элементы для точности его хода. В этом мемуаре мы предлагаем дать такую ме- методу, которая обнимает параллелограмм Уатта и все его разновидности, находящие применение на практике» [28, с. 24—25]. Встретив при осуществлении намеченной им програм- программы «вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало», П. Л. Чебышев разработал для их решения метод, который известный французский математик Жозеф Берт- Бертран A822—1900) назвал чудом анализа, чудом, сохра- сохранившим и продолжающим сохранять свое значение и после того, как паровые машины, а вместе с ними и па- параллелограмм Уатта отошли на задний план. ЗАДАЧИ НА НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ К какой же математическом задаче свел П. Л. Чсбы- шеп усовершенствование параллелограмма Уатта? Вспомним: головка поршневого штока должна двигаться как можно точнее по вертикали, а она из-за боковых усилий смещается в сторону. Если выбрать ось х по вер- вертикали, ось у направить по горизонтали (на рис. 8 мы 45
повернули систему координат на 90° по часовой стрелке, и оси координат заняли более привычное положение: ось х стала горизонтальной, а ось у— вертикальной; можно считать, что оси по-прежнему «привязаны» к па- паровой машине Уатта с вертикальным цилиндром, а мы смотрим на них, склонив голову к плечу, сбоку) и обо- обозначить через f(x) отклонение головки поршня от верти- вертикали в точке х, то речь идет вот о чем. Назовем, следуя Рис. 8. «Кандидаты» в уклонение от ну- нуля: /(Г,), /(Г2), f(T3). П. Л. Чебышеву, уклонением функции от нуля на отрез- отрезке [а, Ь] (соответствовавшем в первоначальной постанов- постановке задачи ходу головки поршня) наибольшее значение, принимаемое на этом отрезке абсолютной величиной функции на этом отрезке. Иначе говоря, нас не интере- интересует, в какую сторону — вправо или влево от вертикали (в нашей повернутой системе координат — вверх или вниз) —отклоняется головка поршневого штока, мы сле- следим только за величиной отклонения. Например, для f (х), изображенной па рис. 8, «кандидатами» в уклонение от нуля могут быть точки Ti, Tz и Тз: в каждой из них 46
уклонение больше, чем в соседних точках (речь идет о достаточно близких «соседях»). Ие трудно видеть, что f(T2) < /(Гз), так как f(T2) < 0, a f(T3) > 0, но если сравнивать не сами значения функции f(x), а их абсо- абсолютные величины, то \f(T2) | > |/(^з) |. Уклонение функции f(x), график которой вы видите на рис. 8, от пуля равно 1(Т3) (так как f(T3) > 0, то абсолютная вели- величина этого значения совпадает с ним самим). Во «Введении» мы уже говорили о теореме Вейер- штрасса, позволяющей любую функцию сколь угодно точно приближать многочленами. Не следует, однако, думать, что заданную функцию можно приблизить только одним многочленом. По традиции гладкую (не имеющую изломов и разрывов) функцию f(x) вблизи точки х = а (рис. 9) приближают отрезком ряда Тейлора. Так назы- называют многочлен 1! 2! D) коэффициенты которого однозначно определяются вы- выбранной функцией }(х), а именно: выражаются через значения ее производных в точке а, т. е. зависят от ско- скорости изменения функций f(x) в точке а (коэффициент Рнс. 9. Гладкая функция (без изломов). a-h a+h 47
при (* — а)), скорости изменения скорости (коэффи- (коэффициент при (л: — аJ) и т. д. Для теории параллелограммов, которую намеревался построить Чебышев, разложение Тейлора D) было недо- недостаточно. «Теория параллелограммов, которую мы соби- собираемся дать,— писал Чебышев,— не может быть основа- основана па приближенных формулах, определенных только тем условием, что они дают максимум точности вблизи неко- некоторого одного значения переменной; та теория требует методов приближенного вычисления, которые могли бы доставить наибольшую точность для всех значений пере- переменной между данными пределами. В этом-то и заклю- заключается трудность этой теории» [28, с. 25]. Иначе говоря, речь шла о построении приближающего многочлена, наиболее «близкого» к функции f(x) не в отдельной точке, а на всем отрезке, т. е. дающего наи- наименьшее по сравнению с любым другим многочленом уклонение от f(x) (разность между f(x) и приближаю- приближающим многочленом дает наименьшее уклонение от нуля на отрезке). Что же было известно о приближающих многочленах, наименее уклоняющихся от заданной функции до Чебы- шева? Очень мало, чтобы не сказать почти ничего. В «Отчете» самого Чебышева об этом сказано так: «Я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор зна- знали очень мало. Все, что сделано в этом отношении, при- принадлежит члену Парижской академии г. Понселе, извест- известному ученому в практической механике; формулами, им найденными, пользуются очень много при вычислении вредных сопротивлений машин» [29, с. 249]. Формулы, о которых говорил Чебышев, были опубли- опубликованы Понселе в 1835 г. и представляли собой линейные приближения трех функций: У*2 + !/2, V*2-y2, y*2 + 02 + 22, найденные с таким расчетом, чтобы максимум относи 48
тельной погрешности при х, превышающих некоторое критическое значение, был как можно меньше. У Понселе приведено, правда, в довольно расплывча- расплывчатой форме, и практическое правило нахождения прибли- приближающей функции, подчиненное принципу—максимум уклонения должен быть минимальным. По Понселе необ- необходимо «в каждом данном случае найти аналитическое выражение для пределов возможной ошибки; приравнять их абсолютные значения, тогда становится возможным — если только число полученных таким образом уравнений окажется равным числу неопределенных величин (пара- (параметров) — подсчитать те значения неопределенных вели- величин, которые удовлетворяют поставленным требованиям» [28, с. 479]. Если мы приближаем функцию многочленом степе- степени п, то таких параметров будет или должно быть п + 1, это коэффициенты многочлена. «В задачах Понселе,— отмечал П. Л. Чебышев,— уравнения, определяющие искомые коэффициенты, ре- решаются легко. Но встречается это только в очень част- частных случаях. Тем более точное решение не будет возмож- возможно, если надо найти общее выражение коэффициентов для представления какой угодно функции, ибо тогда эти уравнения, сами по себе очень сложной формы, содер- содержат произвольную функцию» [28, с. 26]. Метод, предложенный П. Л. Чебышевым,— то самое чудо анализа, которым восхищался Бертран и многие другие математики, сам Чебышев рассматривал как естественное расширение теории наибольших и наимень- наименьших величин. Он писал: «Решение задач этого рода со- составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин. Эти задачи чисто практического характера имеют особенную важность и для теории: все законы, определяющие движение материи весомой и не- невесомой, представляют решение задач такого рода. Нельзя не заметить особенно благотворного влия- 49
иия их на развитие наук математических» [29, с. 150]. Задачи на наибольшие и наименьшие значения известны с глубокой древности, по говорить о том, что уже в античности существовала теория их решения бы- было бы заведомым преувеличением: речь шла лишь об отдельных задачах, которые удавалось решить, используя те или иные их особенности. Так, Симплиций (VI в. и. э.), автор обширных комментариев к Аристотелю, упо- упоминая о задачах на наименьшие и наибольшие величины, отмечал, что среди изопериметрических (имеющих рав- равные периметры) фигур наиболее вместимым является круг, а среди изонифанных (имеющих равные площади поверхностей) — шар. К изонериметрической задаче — поиску фигуры, обла- обладающей наибольшей площадью, среди всех фигур с од- одним и тем же периметром — но существу сводится и ле- легенда об основательнице Карфагена Дидоне. В книге 6 (предложение 27) знаменитых «Начал» Евклида (IV в. до н. э.), бывших на протяжении двух тысячелетий не только образцом математической строгости, но и учебни- учебником, по которому осваивали геометрию, составлявшую, как уже говорилось, основу математического образова- образования, встречается единственная задача на максимум: в данный треугольник вписать параллелограмм наиболь- наибольшей площади. Вершинами «самого вместительного» па- параллелограмма служат любая из вершин и середины сторон треугольника. Таков, например, параллелограмм ADEF, вписанный в треугольник ABC (рис. 10). Перечень решенных задач на наибольшее и наимень- наименьшее значение можно было бы легко продолжить. Ими занимались многие замечательные математики и во вре- времена античности, и позже. Так, Аполлоний Пергский (III — II в. до н. э.), автор трактата «Конические сече- сечения», решил задачу о том, как провести из точки О са- самый короткий и самый длинный отрезки к коническому сечению. 50
Пытливый взгляд знаменитого открывателя трех за- законов движения планет Иоганна Кеплера усмотрел нечто необычное в действиях виноторговца, измерявшего коли- количество вина в бочке мерной линейкой, вставленной в от- отверстие. «В тот год, когда я женился,— пишет Кеплер в своей книге «Новая стереометрия винных бочек»,—-уро- бочек»,—-урожай вина был хороший и вино дешево, а потому мне, как Рнс. 10. Евклидова зада- задача о наибольшем парал- параллелограмме, вписанном в треугольник. хорошему хозяину, следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец — измерить вместимость бочонков, чтоб назна- назначить цену за вино. Для этого он опускал в каждый бочо- бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычисле- вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина. Бочки были разной формы («пузатости»), и манипуляции вино- виноторговца, хотя и освященные традицией, выглядели весь- весьма странно» [23, с. 95]. Далее Кеплер пишет, что он счел для себя подходящим взять новый предмет математиче- математических занятий и исследовать геометрические законы та- такого удобного измерения и выяснить его основания. К этому времени Кеплер успел открыть два первых закона дви- движения планет ( 1) планеты обращаются по эллипсам, п одном из фокусов находится Солнце; 2) луч, проведенный из фокуса, в кото- котором находится Солнце, к планете за равные промежутки времени 51
«заметает» равные по площади секторы эллипса), опубликованных в «Новой астрономии» A609 г.). Третий закон, связывающий период обращения с размером орбиты, был открыт позднее и опубликован в «Гармонии мира» A619 г.). Заложив по существу основы дифференциального и интегрального исчислений, Кеплер сумел найти ответ иа интересовавший его вопрос об удивительном способе измерения емкости бочек, вычислил объемы тел самой причудливой формы («чалма», «яблоко» и т. д.) и дал первые общие правила решения задач на наибольшие и наименьшие величины. Разгадка «шаманских» действий виноторговца оказалась основанной на довольно тонком математическом соображении. «Под влиянием благодат- благодатного гения, бывшего, без сомнения, хорошим геометром, бочары стали придавать бочкам ту форму, которая при данной длине линии, измеренной мерщиком, дает во- возможность судить о наибольшей вместимости бочки, а так как вблизи всякого максимума изменения бывают нечувствительными, то небольшие случайные отклонения не оказывают заметного влияния на емкость» [23, с. 95]. И все же, сколь ни интересны были все эти (и многие другие) результаты, «до изобретения анализа бесконечно малых», по словам П. Л. Чебышева, были только частные примеры решения таких (на наибольшее и наименьшее значение) задач; но в этих решениях уже было начало новой, важнейшей отрасли математических наук, извест- известной под названием дифференциального исчисления. Что- Чтобы показать влияние вопросов о наибольших и наимень- наименьших величинах на открытие математического анализа, П. Л. Чебышев приводит то место из «Математических оснований натуральной философии», где Ньютон говорит «о начале этого открытия, которого приложения и ре- результаты теперь неисчислимы»: «Лет десять тому назад (в 1677 г.), когда я вел переписку с весьма ученым гео- геометром Лейбницем, я написал к нему, что имею способ для определения наибольших и наименьших величин, 52
для проведения касательных и для решения других по- подобных вопросов и что способ мой с таким же удобством может быть употреблен для уравнений, заключающих в себе радикалы, как и для рациональных. Я скрыл тогда свой способ под переставленными буквами, которых зна- значение было следующее: дано уравнение, заключающее в себя сколько угодно количеств текущих, найти поток (по терминологии Ньютона производная, т. с. скорость изменения величины, называлась флюксией, а сама вели- величина — флюентой.— Ю. Д.), и наоборот. На это знамени- знаменитый Лейбниц отвечал, что со своей стороны он нашел подобный способ и сообщил мне его в том же письме. Этот способ отличался от моего только названием и зна- коноложением» [29, с. 151]. Приведенный отрывок из «Математических начал» Ньютона пере- перепел иа русский язык П. Л. Чебышев. Полиостью великое сочинение Пьютоиа было переведено А. Н. Крыловым и издавалось дважды. В переводе А. Н. Крылова это место звучит несколько иначе: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г. В. Лейбницем, я ему сообщил, что я обладаю методою для определения максимумов и минимумов, про- проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково ириложимою как для членов рациональных, так и иррациональных, причем я ее скрыл, переставив буквы следующего предложения: «data equatione quotcumque fluentes quantitatcs involvente fluxiones invenire et vice versa» (когда задано уравнение, содержащее любое число переменных количеств, найти флюксии и наоборот). Знамени- Знаменитейший муж отвечал мне, что он также иапал иа такую методу, и сообщил мне свою методу, которая оказалась едва отличающейся от моей, и то только терминами н начертанием формул» [20, с. 299]. Анаграмма (т. е. формула открытия с переставленными буквами) Ньютона выглядела так: 6а, 2с, d, ae, 13e, 2f, 7i, 31, 9n, 4o, 4q, 2r, 2s, 9t, 12v, x. По сравнению с прежними подходами, позволявшими находить пусть даже изящные решения отдельных задач, дифференциальное исчисление Ньютона — Лейбница обладало весьма существенным преимуществом: предла- предлагаемый им алгоритм решения задач на максимумы и ми- 53
нимумы носил массовый характер (как и подобает алго- алгоритму), не был «привязан» и не использовал индиви- индивидуальные особенности задачи, столь необходимые при прежних искусственных подходах. Сущность своего метода флюксий Ньютон изложил во введении к трактату «О квадратуре кривых» A704 г.): «Я рассматриваю здесь математические количества не как состоящие из очень малых постоянных частей, а как производимые непрерывным движением. Линии описы- описываются и по мере описания образуются не приложением частей, а непрерывным движением точек, поверхности — движением линий, объемы — движением поверхностей, углы — вращением сторон, времена — непрерывным тече- течением и т. д. Такое происхождение имеет место и на самом деле и в самой природе вещей и наблюдается ежедневно при движении тел. Подобным образом древние объясняли происхождение прямоугольников, ведя подвижные пря- прямые линии по неподвижным. Замечая, что нарастающие количества, образующиеся по мере нарастания в равные времена сообразно боль- большей или меньшей скорости их нарастания оказываются большими или меньшими, я изыскивал способы опреде- определения самих количеств по той скорости движения или нарастания, с которой они образуются. Назвав скорости этих движений, или нарастаний, флюксиями, образуемые же количества флюентами, я по- постепенно пришел около 1665 и 1666 годов к методу флюк- флюксий, которые я прилагаю здесь к квадратуре кривых. Флюксии приблизительно пропорциональны прираще- приращениям флюент, образующимся в равные весьма малые промежутки времени или, точнее говоря, находятся в предельном отношении зарождающихся приращений и могут быть представлены какими угодно линиями этим приращениям пропорциональными» [20, с. 65]. Вот как вычислял, например, Ньютон производную 54
от хп: «Количество хп течет равномерно, надо найти флюксию количества хп. В то время как количество х при своем течении обра- обратится в х + К количество хп обратится в (* + /i)n, т. е. по нашему способу ... в хп + пкхп-* + ..., прираще- приращения h и nhx11-1 +... относятся друг к другу, как 1 к пхп~1 + ... . Когда эти приращения исчезнут (т. е. обратятся в нуль.—10. Д.), то их предельное отношение будет равно отношению 1 к /г*", поэтому флюксия х так относится к флюксии хп, как 1 к пхп~Ь> [20, с. 67—68]. Особенность дифференциального исчисления состояла в том, что при поиске наибольших и наименьших величин (объединяемых общим названием экстремальных вели- величин) сравнению подлежат значения одной и той же функ- функции. Например, на отрезке [а, Ь] функция, изображенная па рис. 8, имеет три экстремума (общее название макси- максимума и минимума): максимум в точке Т\, минимум в точ- точке Тг и еще один максимум в точке 7Y Заметим, что во всех трех случаях речь идет о локальных (т. е. местных) экстремумах: значения функции в точках Ti, 72, Т3 макси- максимальны и минимальны лишь по сравнению со значе- значениями, принимаемыми функцией в достаточно малых окрестностях точек Ti, T2 и 7V Вдали от точек экстрему- экстремумов функция может принимать значения, которые соот- соответственно больше или меньше экстремальных. Напри- Например, значение 1(Тз) (локальный максимум) меньше зна- значений, принимаемых при х, достаточно близких к Ti. Однако в ряде задач сравнивать при поиске наиболь- наибольшего или наименьшего значения приходится не значения одной и той же функции, а числа, каждое из которых зависит от выбора функции. Например, величина тепло- потерь через поверхность зависит от формы поверхности, т. е. от функции, описывающей эту поверхность. Чем больше поверхность, тем больше теплопотери. Из всех тел данного объема наименьшей поверхностью (вспом- (вспомним изопифанную задачу древнегреческих геометров) 65
обладает шар. Значит, шар будет остывать медленнее, чем тело того же объема любой другой формы. Pie даром кошка дремлет, свернувшись клубком: этим она миними- минимизирует свою поверхность и, следовательно, остывание. Для величин такого рода математики придумали спе- специальное название — функционал. Можно сказать, что функционал — это функция, в которой независимой пере- переменной служит не число (точка), а функция (кривая или поверхность). Раздел математики, занимающийся реше- решением задач на наибольшие и наименьшие значе- значения функционалов, стали называть вариационным исчислением. Как и в случае других задач на максимум и минимум, зачатки вариационного исчисления встречаются в глубо- глубокой древности, однако как отдельная наука вариацион- вариационное исчисление было создано трудами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Иоганна и Якоба Бернулли, Лео- Леопарда Эйлера. Обычно «датой рождения» вариационного исчисления считают 1696 г., когда в июньском томе издаваемого Лейбницем «Журнала ученых» (Acta eruditorum) появи- появилась заметка И. Бернулли «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики». В ней говорилось следующее: «В вертикальной плоскости даны две точки А и В (рис. 11). Определить путь АМВ, спускаясь по кото- которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдет до другой точки В в крат- кратчайшее время. Для того чтобы вызвать интерес со стороны любите- любителей подобных вопросов и побудить их охотнее предпри- предпринять попытку разрешения указанной задачи, довожу до их сведения, что эта задача не сводится к пустой умствен- умственной спекуляции, лишенной какого бы то ни было практи- практического значения, как это может кому-либо показаться. В действительности она представляет очень большой практический интерес и притом, кроме механики, также 56
и для других дисциплин, что может всем показаться не- неправдоподобным. Между прочим (указываю это с целью предупредить возможное неправильное су.чдение), хотя прямая АВ и является кратчайшей лпниел между крайними точка- точками Л и Б, тем не менее тело проходит ее не в кратчайшее Рис. 11. Задача И. Бер- нулли о брахистохроне. время и существует кривая АМВ, хорошо известная гео- геометрам. Я назову эту линию, если по истечении текущего года никто другой ее не назовет» [2, с. 19—20]. В назначенный И. Бернулли срок задачу сумел ре- решить только Лейбниц. Кривой быстрейшего спуска, или брахистохроной (кривой наименьшего времени), оказа- оказалась лемниската — кривая, действительно, «хорошо известная геометрам». По совету Лейбница срок подачи решения был продлен «до ближайшей пасхи» A697 г.). Задачу Иоганна Бернулли о брахистохроне, «неслы- «неслыханную доселе и прекрасную», решили, помимо самого автора, став, по его словам, «великими Аполлонами» его старший брат Якоб Бернулли, Лейбниц, Ньютон и Лопи- таль. Задачу, в какой-то мере предвосхитившую задачу о брахистохроне И. Бернулли, мы находим в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук» A638 г.) Галилео Галилея: если из нижней точки круга, возвышающегося над горизонтом, провести 57
плоскость, отсекающую дугу, меньшую квадранта, и из конечных точек этой плоскости провести в какой-либо промежуточной точке дуги две какие угодно плоскости, то время падения по этим двум последним плоскостям будет меньше, чем по одной первоначальной плоскости, и меньше, чем по нижней из двух последних плоскостей. Иначе говоря, по Галилею, движение по дуге круга происходит быстрее, чем по хорде, стягивающей концы дуги, или по любой ломаной, вписанной в дугу. Но сколь ни ярок и красочен эпизод с брахистохро- брахистохроной, действительно ставший важной вехой в истории вариационного исчисления, все же, говоря о его возник- возникновении, нельзя не упомянуть и другие, менее заметные задачи. Например, П. Л. Чебышев в связи с открытием «нового исчисления, известного под названием вариа- вариационного», справедливо указывал па задачу Ньютона об определении формы, при которой «тело, двигаясь в жид- жидкости, наименее встречает препятствия». Здесь мы также имеем дело с величиной (силой сопротивления), завися- зависящей от выбора функции (формы поверхности). Но и мощным методам дифференциального и инте- интегрального исчислений, некогда бывшим «тайным ору- оружием» узкого круга знатоков новой математики, а со вре- временем ставшим достоянием необъятной армии инжене- инженеров, посильна далеко не каждая задача на максимум и минимум. Говоря словами П. Л. Чебышева, практика идет далее и требует решения задач о наибольших и наименьших величинах еще нового рода, существенно отличного от тех двух, которые решаются в дифференциальном и ва- вариационном исчислениях. К числу таких новых задач и принадлежала задача, к которой П. Л. Чебышев свел проблему усовершенство- усовершенствования механизмов, известных под названием параллело- параллелограммов. Она была столь же «неслыханной и прекрас- прекрасной», как некогда задача о брахистохроне, и требовала 58
для своего решения нового метода — заведомо «неслы- «неслыханного» и по возможности прекрасного. И такой метод действительно был создан П. Л. Чебышевым и получил заслуженно высокую оценку выдающихся математиков своего времени. Своеобразие постановки чебышевской задачи о мно- многочленах, наименее уклоняющихся от нуля па отрезке, состоит в том, что она сводится к отысканию наимень- наименьшего среди наибольших значений, или минимума макси- максимумов — сокращенно минимакса. Во избежание недоразумений заметим, что и действительности безразлично, на каком именно отрезке [а, Ь] мы будем решать чебы- шевскую задачу: па отрезке [0, 1], [—1, 1] или [у2, я]. От отрезка [о, Ь] к отрезку [с, d] можно перейти, ныполинв замену переменной 2 = [(d - с)х + (be - ad)]. b — а Нетрудно проверить, что когда переменная х «пробегает» отрезок [о, о], переменная г «пробегает» отрезок [с, d], и что соответствие между отрезками [а, Ь] и [с, d], устанавливаемое приведенной фор- формулой, одиозиачио. Задача 1. Найдите обратную замену переменных, переводящую отрезок [с, d] в отрезок [а, Ь], и докажите, что она также задает однозначное отображение. Итак, не ограничивая общности, будем рассматривать всегда стандартный отрезок [— 1, + 1]. Причина, по которой наш выбор пал именно на этот отрезок, станет ясна из дальнейшего. Задача 2. В каждом классе школы выбрали самого высокого уче- ученика (его рост служит аналогом «уклонения от нуля» учеников дан- данного класса), а среди выбранных нашли самого маленького (класс, в котором он учится, «наименее уклоняется от нуля»). Затем в каж- каждом классе той же школы выбрали самого маленького по росту уче- ученика и среди выбранных нашли самого высокого. Кто выше: самый маленький среди самых высоких или самый высокий среди самых маленьких? Задачи о минимаксах, в том числе и чебышевская задача о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на заданном отрезке, укладываются в следующую общую схему. 59
Рассмотрим функцию F(xt, ..., х„; tji, ..., ут), за- зависящую от переменных двух «сортов». Переменные одного сорта Х\, ..., хп (любой набор их мы будем на- называть точкой) принимают значения из множества А, переменные другого сорта yit ..., ут (любой набор их мы также будем называть точкой)—из другого мно- множества В. Сначала при постоянных («замороженных») значениях yi ym мы находим максимум функции F(xi, ..., хп; у\, ..., ут) по всем Х\, ..., хп из множест- множества А. Предположим, что он достигается в некоторой точ- точке х°, ..., х°п (то что эта точка принадлежит множест- множеству А, принято обозначать так: (л:°, ..., х°п) е/1)), т. е. F(x\, ..., х°п; yi Ут) = = max F(xi, ..., хп; уи.--,Ут). E) (ж,,...,эс )еА Если теперь мы «разморозим» переменные yi, ..., Ут, разрешив им принимать любые значения из множест- множества В, то максимум E) «поплывет»: и его величина, и по- положение (точка, в которой он достигается), вообще го- говоря, будут различными в различных точках (уи ..., ут) множества В. Требуется найти min max F (хи ..., хп; yi ут). в ()А Задача 3. Проследите общую схему на примере из задачи 2, когда из каждого класса школы сначала выбирают самого высокого ученика, а затем из числа отобранных находят самого маленького. Укажите, что такое в этом примере переменные х и у, множества Л и В, функция F. В задаче П. Л. Чебышева роль функции F играет абсолютная величина многочленов 60
роль переменных Xi, ..., хп — обычная переменная х, переменных у и ..., ут — коэффициенты многочлена ри ..., рп. Множество А — это стандартный отрезок t— 1, + 1], множество В— совокупность всех возмож- возможных значений коэффициентов ри ..., рп, каждый из ко- которых независимо пробегает вещественную ось (т. е. В — прямое произведение п экземпляров вещественной оси). МНОГОЧЛЕНЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ Настала пора удовлетворить любознательность тех, кто хотел бы познакомиться с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на отрезке [— 1, + 0- Какие они, эти многочлены? Следуя исторически сложившейся традиции, мы будем сравнивать многочлены с коэффициентом при старшем члене, равном 1. Это — лишь один из возможных спосо- способов стандартизации многочленов. Мы могли бы точно также сравнивать многочлены, принимающие в одной и той же точке х0 одно и то же отличное от нуля значе- значение (как станет ясно из дальнейшего, интересующие нас многочлены заведомо отличны от нуля в любой точке х0, не принадлежащей отрезку {— 1, + 1]). Начнем с многочленов первой степени (линейных). Требуется среди всех многочленов Pi(x) = х + а найти такой, уклонение которого на отрезке [— 1, + Ц минимально. График такого многочлена представляет собой прямую, образующую с положительным направле- направлением оси х угол 45° и отсекающую на оси у отрезок, дли- длина которого равна абсолютной величине коэффициента а (рис. 12). Нетрудно видеть, что уклонение такого много- многочлена от нуля достигается либо на левом, либо на пра- 61
вом конце отрезка [—1, + 1], и равно наибольшему из чисел 1/4-1I, |Р(+1)|,т.е. В этой книге, как и во всей математической литературе, оборот «нетрудно видеть» следует понимать в особом смысле — как пригла- приглашение попытаться самостоятельно ответить на вопрос «почему?». M1.2I *1 х Рис. 12. График линейного много- многочлена Р[(х)=х+а. (•1,-1'п) Так как |Р(—1) | +|Р(+1) | = 2 (почему?), то наименьшее уклонение равно 1 (почему?). Следователь- Следовательно, на отрезке [—1, +1] наименьшим уклонением от нуля обладает многочлен Ям =х (почему?). График его представлен на рис. 13. Приведем нестрогий аргумент, подкрепляющий приведенные выше числа. Представьте себе, что вы идете по коридору шириной 2 м. Тогда уклонение от стенки по аналогии с уклонением от пуля есть наибольшее расстояние от стенки. Сумма расстояний от вас до стенки всегда равна 2 м. Чтобы свести до минимума уклонение от стенки, надо идти строго посреди коридора: тогда уклонение рав- равно 1 м. 62
Задача 4. Предположим, что Qn(x) — многочлен степени л, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь]. Можно ли, и если можно, то как, получить из него многочлен степени и, наименее укло- уклоняющийся от нуля на отрезке [с, d]? Рис. 13. График линейного много- многочлена Р\(х)=х, наименее уклоня- уклоняющегося от нуля на отрезке [—1, + 1]. И,-» Столь же просто можно найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля, среди квадратных трехчленов Р*(х) = x* + px + q. F) И в этом случае необходимо лишь «идти строго посре- посредине коридора». График квадратного трехлена F), кото- рый удобно представить в виде Рг(х) = (X + р/2J + q - р2/4, имеет вид параболы с вершимой в точке х = — р/2 (орди- (ордината вершины равна у = q — р2/^) и ветвями, обращен- обращенными вверх. Рассмотрим два случая. 1. Вершина параболы лежит вне отрезка [—1, +1] или совпадает с одним из его концов: | р/2] ^ 1 (рис. 14, а) либо слева (парабола /), либо справа (пара- (парабола 2). На отрезке [— 1, + 1] парабола / монотонно иозрастает (т. е. для любых х4 и х2, удовлетворяющих неравенству х% > Jfi, значения квадратного трехчлена 63
Pz{x) связаны тем же неравенством Pz(xz) > а парабола 2 монотонно убывает (т. е. для любых двух xi и х2, удовлетворяющих неравенству х2 > xi, значения квадратного трехчлена Рг(х) связаны обратным нера- неравенством Рг(хг) < Pz(Xi)). Все рассуждения, приводи- приводимые ниже для параболы 1, целиком переносятся на па- параболу 2, и во избежание повторений мы их опускаем. Рис. 14. Параболы y=x2+px+q с вершинами, лежащими вне отрезка [-1, +1] (а) и вершиной, лежащей на отрезке [-1, +1] (б). Уклонение от нуля многочлена Рг{х) равно наиболь- наибольшему из чисел \Рг(— 1) | и |/3г(+ 1) |, т. с. max (|P2(— 1)|, \Рг(+ 1)|) (почему? сравните с Pi(x)). Рассмотрим еще один квадратный трехчлен Рг(х) = Р2(х) - lPa(-1)l + lPa(+1IL = 64
График Рг{х) отличается от графика Рг{х) сдвигом вдоль оси у на величину (|/32(— 1) | + \Рг(-\- 1) |)/2, в результате которого концы отрезка графика Р2(х) ста- стали равноудаленными от оси х: Рг(- 1) = Ра(- 1) - 2 _ Р2(- 1) — Р2(+ 1) 2 ?(+1) =-?(-1). Сдвиг вдоль оси у не нарушил монотонность (почему?): если Х2 > #i, то Рг(#2) > /M*i). Нетрудно видеть, что уклонение многочлена РгМ от нуля не больше уклоне- уклонения многочлена Рг(х). Следовательно, уклонение от нуля многочлена Рг{х) не меньше уклонения от нуля много- члена Рг(х), а оно равно По предположению |р/2| ^= 1. Следовательно, укло- уклонение |р| ^2. 3 Зак. 568 65
2. Вершина параболы лежит внутри отрезка [— 1, + 1]: \р/2\ < 1 (для определенности будем считать, что вершина х = — р/2 параболы лежит в левой половине отрезка (рис. 14,6), т. е. что — 1 < — р/2 <; О или 0^рУ2<1; рассуждения для случая, когда вершина параболы лежит в правой половине отрезка, т. е. выпол- выполняется неравенство 0 ^ — р/2 < 1, проводятся анало- аналогично, и во избежание повторений мы их опускаем). Нетрудно проверить, что выполняется неравенство (обратите внимание, что вершина параболы х = р/2 раз- разбивает отрезок {— 1, + 1] на участки монотонности: на участке [— 1, —р/2] квадратный трехчлен Рг(х) моно- монотонно убывает, на участке [— р/2, -f- 1] монотонно возрас- возрастает. Сравните длину участков: какой из них длиннее?). Как и в предыдущем случае, сдвинем график квадрат- квадратного трехчлена РгОО в направлении оси у так, чтобы концевые точки графика квадратного трехчлена Р2(х) =xz + px + 'q были симметрично расположены относительно оси х, т. с. чтобы (на какую величину надо для этого сдвинуть график Р2(л:)?). От произведенного сдвига уклонение от нуля только уменьшится (почему?). Следовательно, уклонение от нуля квадратного трехчлена Р>{х) не меньше укло- нения от нуля квадратного трехчлена Рг(х), равного (по- (почему?) 66
D+0' 2 2 По предположению 0 ^ р/2 < 1, поэтому уклонение от нуля достигает наименьшего значения 1/2 при р = 0. Если Я(— р/2) = — Р2(+ 1), то q = — 1/2. Итак, из всех квадратных трехчленов наименее укло- уклоняется от нуля на отрезке {— 1, +1} квадратный трех- трехчлен Рг(х) =х~-\12 (рис. 15). Его уклонение равно 1/2. H.VZ) Щ1/2) Рис. 15. График квадратного трехчлена Рг(х) = х2 — 1/2, наименее уклоняющегося от ну- нуля на отрезке [— 1, + 1]. @,-1/23 Итак, мы начали строить нашу коллекцию многочле- многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Правда, пока множество таких многочленов более чем скромно и насчитывает всего лишь два элемента — линейный и квадратичный многочлены наименьшего уклонения. Прежде чем мы продолжим пополнение кол- коллекции, уместно вспомнить одно важное свойство всех многочленов, которое понадобится нам в дальнейшем: 3* 67
любой многочлен непрерывен на всей вещественной оси и, следовательно, на любом ее отрезке. Функция непрерывна, если ее график можио изобразить единым росчерком, ие отрывая пера от бумаги. Строгое определение функ- функции, непрерывной в точке (известное под названием е — 5-опреде- леиня), основано на том, что при достаточно малом отклонении аргу- аргументов значения непрерывной функции отличаются меньше, чем на любую сколь угодно малую величину. Для функции, терпящей в точке разрыв, это неверно. Значения ее в сколь угодно близких точках, расположенных по разные сто- стороны от точки разрыва, не могут отличаться сколь угодно мало. Если эти точки сближать так, чтобы они все время оставались по обе стороны разрыва, то разность значений функции в них будет стре- стремиться к величине разрыва — конечной или бесконечной. Итак, определим, что такое функция, непрерывная в точке. Назо- Назовем б-окрестностью точки Хц все х, отстоящие от хо меньше, чем на б, т. е. удовлетворяющие неравенству \х — ха\ < б. Аналогичным обра- образом назовем е-окрестиостью точки f(xo) все f(x), отличающиеся от f(xa) меньше, чем на е, т. е. удовлетворяющие неравенству \{(х) — /()| ()| Функция f(x) называется непрерывной в точке Ха, если для любого е > 0 существует такое б > 0, что для всех х из б-окрест- иости точки ха значения f(x) принадлежат е-окрестиости точки /(.to) (рис. 16) (точки х и Ха принадлежат области определения функ- функции /(*))• Функция, непрерывная в каждой точке отрезка, называется не- непрерывной на отрезке (отрезок может быть конечным, полубескоиеч- иым (лучом) или совпадать со всей вещественной осью). ffXohl flX0) + 6 X Рис. 16. Функция, непрерывная в точ- точке Хо (е — б-определение). 68
Для непрерывных функции верна теорема о промежу- промежуточном значении: если функция f непрерывна на отрезке и принимает в его точках а и Ь различные значения, то любое число с, заключенное между f(a) и f(b), совпа- совпадает со значением, которое функция / принимает по край- крайней мере в одной точке х0, заключенной между а и Ь (рис. 17; для определенности будем считать, что Ь > а). Рис, 17, Теорема о промежуточ- промежуточном значении. С теоремой о непрерывной функции, даже не подозре- подозревая этого, имел дело каждый, кому хоть раз в жизни приходилось перебираться с одного берега реки на дру- другой. Утверждение теоремы по существу сводится к жи- житейской мудрости: нельзя перейти вброд реку, не замо- замочив ноги (если не перепрыгивать с берега на берег). Роль «реки» в формулировке теоремы играет прямая у — с, по одну сторону от которой («на одном берегу») лежит зна- значение /(а), по другую — значение f(b). Точка х0 указы- указывает, где кривая f(x) пересекает прямую у — с (сколько непрерывной кривой ни виться, а прямой у = с не мино- миновать!). Из теоремы о промежуточном значении вытекает важ- важное следствие: если функция / непрерывна па отрезке и принимает в его точках а и Ь противоположные по зна- знаку значения, то по крайней мере в одной точке х0, заклю- заключенной между а и Ь, функция f обращается в нуль. 69
Оговорки «по крайней мере» в формулировке теоре мы о промежуточном значении и следствия существенны: поскольку речь идет о произвольной непрерывной функ- функции, заранее неизвестно, сколько раз она «форсирует водную преграду» — пересекает прямую у = с. Теорема утверждает, что число переходов с одного «берега» на другой всегда не меньше одного, но не устанавливает никаких ограничений на их число. Задача 5. Докажите, что если после неоднократного форсирова- форсирования реки вы оказались на том же берегу, на котором находились сначала, то число переходов с берега на берег четно. Задача 6. Докажите, что если после неоднократного форсирова- форсирования реки вы оказались на противоположном берегу, то число пере- переходов с берега на берег нечетно. Задача 7. Пусть непрерывная функция f(x) задана на отрезке [а, Ь], отлична от нуля и имеет постоянный знак, как в некоторой окрестности левого конца х = а, так и в некоторой окрестности пра- правого конца х = b отрезка. Докажите, что на отрезке [а, Ь] функция f(x) меняет знак четное число раз при f(a)f(b) > 0 и нечетное число раз при f(a)f(b) < 0. В действительности любой многочлен не только непре- непрерывен, но и дифференцируем на всей вещественной оси и, следовательно, на любом ее отрезке. Дифференцируемую функцию легко узнать по ее графику: он ие имеет изломов. Например, иа рис. 18 вы видите график функции, Рис. 18. График функции, непрерывной, но недифференцируемой в точках cud. 70
непрерывной на отрезке [а, 6], но иедифферсицирусмой в точ- точках end. Функция }(х) называется дифференцируемой в точке *о, если в этой точке существует производная, обозначаемая f'(xo). Величина j'{xo) имеет простой геометрический смысл: это тангенс угла, обра- образуемого касательной, проведенной к кривой f(x) в точке (хл, f(xo)), с положительным направлением оси х (рис. 19). Функция, диффе- дифференцируемая в каждой точке отрезка, называется дифференцируемой па отрезке (который может быть конечным, полубесконечиым (лу- (лучом) или совпадать со всей вещественной осью). О Рис. 19. Убывание и возрастание функции (в точке Х\ функция f(x) убывает: f (*i.)=tgP<0; в точке х0 функция }(хо) возрастает: /Tvo)=tga>0; в точках экстремумов (минимума х2 и максимума х3) касательная к кривой </=/(*) горизонтальна: f'(xz)=f'(x3)=O). Функция 1(х) возрастает в точке х*, если f(x) < f(x*) при всех .V < х* и f(x) > f(x*) при всех х > х* в некоторой окрестности точки х*. Если функция f(x) дифференцируема и возрастает в точ- точ* f (*) > 0 ( 19) фу f() дффрру р ке х*, то f (х*) > 0 (такова, например, точка х0 иа рис. 19). Функция }(х) убывает в точке х*, если f(x) > f(x*) при всех х < х* и f(x) < f(x*) при всех х > х* в некоторой окрестности точки х*. Если функция f(x) диффереицирусма и убывает в точке х*, то f'(x*) < 0 (такова, например, точка xt иа рис. 19). Если f'(x*) = 0, то точка х* называется экстремумом. В точках экстремумов касательная к графику функции горизонтальна (см. точ- точки хг и х-, иа рис. 19). Если слева от точки экстремума f (х) < О, а справа f (х) > 0, то экстремум называется минимумом. Если слева от точки экстремума f (х) > 0, а справа f'(x) < 0, то экстремум называется точкой максимума. Еслв /(*)—дифференцируемая функция и a — произвольное число, то а{(х) —также двффереицируемая функция, и ее производ- 71
ная равна af'(x). Если Ji(x) и fi(x)—дифференцируемые функции; a, b — произвольные числа, то afi(x) + bfz(x)—также дифференци- дифференцируемая функция, и ее производная равна af (х) + bf'^(x). Дифференцировать одночлен хп нас научил Ньютон (см. с. 55), вычисливший «флюксию», т. е. производную «текущего количества» (т. е. переменной величины) хп: (хп)' = откуда следует правило дифференцирования многочлена: Рп(х) = аохп + aix"-1 + ... + ап. Производная многочленов вычисляется по следующей формуле: Р'п (х) = аопхп-* + ai (п — 1)хп~2 +... + an-i. Задача 8. Пусть / — дифференцируемая функция, не равная тождественно нулю на отрезке, н f(a) = /F) = 0. Докажите, что в какой-то внутренней точке отрезка [а, 6] функция f(x) по крайней мере один раз достигает экстремума (максимума или минимума). Задача 9. Докажите, что если f(x) —дифференцируемая функция и f(a) — f(b) = 0, то на отрезке [а, 6] производная }'(х) нечетное число раз изменяет свой знак. Но вернемся снова к многочленам, наименее уклоняю- уклоняющимся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Рассмотрим много- многочлен (это многочлен с коэффициентом при старшем чле- члене, равном единице) Ps(x) = х*- — х. Так как многочлен Рз(х) = х(х2 — 3/4), то нули его находятся на отрезке в точках Xi = 0, лг2,з = ± У 3 /2. Никаких других нулей (ни вещественных, ни комплекс- 72
пых) у многочлена Рц(х) нет (почему?). Вес нули много- многочлена лежат на отрезке [—1, + 1] и расположены сим- симметрично относительно нуля. Своего уклонения от нуля многочлен Рз(х) может достигать на концах отрезка и в точках максимума и ми- минимума (почему?). На левом конце отрезка (в точке х = — 1) многочлен Рз(х) принимает значение Рз(—1) = = — 1/4, на правом конце (в точке х = + 1) —значение /~з(+ 1) = + 1/4. Точки экстремумов (максимума и минимума) мы /ч/ найдем, приравняв нулю производную многочлена Рз(х), т. е. положив Р'3 (х) = Зх2 -3/4 = 0 или Р'3(х) = 3(*2-1/4) =0, откуда Xi,2 = ± 1/2. В левой точке экстремума (макси- /ч/ мума — почему?) многочлен Рз(х) принимает значение /ч/ Рз(— 1/2) = + 1/4, в правой (минимуме —почему?) — /ч/ значение Рз(+ 1/2) = — 1/4. Таким образом, значения, /ч/ принимаемые многочленом Рз(х) на концах отрезка и в точках максимума и минимума, равны по абсолютной величине и чередуются по знаку: ?з(— 1) = 1/4, Рз(- 1/2) = + 1/4, j Рз(+ 1/2) = - 1/4, &(+ 1) = + 1/4. ] /ч/ Уклонение многочлена Рз(х) от нуля на отрезке 73
[— 1, + 1} составляет + 1/4. График многочлена Рз(*) представлен на рис. 20. Докажем теперь, что отклонение любого другого мно- многочлена от нуля на отрезке больше 1/4. Будем рассуж- рассуждать от противного. Пусть С}з(х) = х3 -f- ах2 -\- Ьх + с — многочлен, уклонение которого от нуля на отрезке У ,, ... Рис. 20. График кубического "'¦т> многочлена Р3(х) = х3 - 3/4х, наименее уклоняющегося от ну- нуля на отрезке [— 1, + 1]. [— 1, + 1] меньше 1/4. Так как уклонение по определе- определению есть наибольшая из абсолютных величин, достигае- достигаемых функцией на отрезке, наше предположение означает, что при всех х е [— 1, -\-1] \Qa(x)\ < 1/4. Данное неравенство означает, что - 1/4 < Q3(x) < + 1/4 (8) или Qa(x) - 1/4 < О, Qa(x) + 1/4 > 0. ' Рассмотрим теперь разность Нетрудно видеть, что Яз(х) — многочлен, причем степени не выше 2 (старшие члены многочленов Q3(x) и Рз(х) входят в R3(x) с противоположными знаками и взаимно уничтожаются). Значения, принимаемые многочленом Рз(х) в точках — 1, — 1/2, + 1/2, + 1, нам известны 74
(см. G)). Пользуясь неравенствами (8) и (9), опреде- определяем знаки разности R3(x) в этих точках: Яз(- 1) = Qs(- 1) - (- 1/4) > 0; /?з(— 1/2) = Qa(— 1/2) — A/4) <0; Дз(+ 1/2) = Qs(+ 1/2) - (- 1/4) > 0; Лз(+ 1) = Qs(+ 1) — A/4) <0. Мы видим, что на концах отрезков [—1, — 1/2], [— 1/2, + 1/2], [+ 1/2, + 1] разность R3(x) принимает значения противоположных знаков. По следствию из тео- теоремы о промежуточном значении на каждом из этих отрезков разность R3(x) должна обращаться в нуль по крайней мере один раз, что невозможно, так как R3(x) — многочлен степени не выше 2. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение (о существова- существовании кубического многочлена, допускающего на отрезке [— 1, +1] уклонение от нуля меньше 1/4) неверно. Сле- Следовательно, многочлен Рз(х) =х3-^-х A0) наименее уклоняется от нуля на отрезке [—1, +1] среди всех кубических многочленов. Итак, наша коллекция по- пополнилась еще одним экспонатом — кубическим много- многочленом A0). Задача 10. Докажите, что многочлен обладает наименьшим уклонением от нуля на отрезке [—1, +1] среди всех многочленон степени 4 с коэффициентом при старшем члене, равным единице. Задача 11. Докажите, что многочлен 5 з 5 i( ~X ~~4~Х 16 75
обладает наименьшим отклонением от нуля на отрезке [— 1, + 1] среди всех многочленов степени 4 с коэффициентом при старшем члене, равным единице. Наша коллекция многочленов, наименее уклоняю- уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. расширилась на- настолько, что мы можем попытаться найти некие общие свойства таких многочленов, которые бы были полезны сами по себе и облегчили бы нам дальнейший поиск мно- многочленов, наименее уклоняющихся от нуля. Тем, кто привык считать, будто математики зани- занимаются в основном тем, что «доказывают теоремы», экспериментальный подход—поиск общей закономер- закономерности в массе частных примеров, рассуждения на эври- эвристическом уровне, использование аналогий, словом все то, чем обычно пользуется естествоиспытатель,— может показаться несовместимым с высокими требованиями, предъявляемыми ныне к математической строгости. Не будем торопиться с выводами! Речь идет не о замене строгих доказательств эвристическими рассуждениями, а о том, как найти именно то, что затем будет доказано с безукоризненной строгостью (эвристическим (от грече- греческого «эврика»—«открыл!») принято называть правдо- правдоподобное рассуждение, не имеющее доказательной силы, но помогающее понять основные пружины строгого дока- доказательства). Намереваясь извлечь из рассмотрения нашей коллек- коллекции путеводную нить к общим результатам, мы идем по стопам многих великих математиков, в частности Лео- Леонарда Эйлера. В специальной работе «Образец исполь- использования наблюдений в чистой математике» он писал: «Покажется немало парадоксальным приписывать боль- большое значение наблюдениям даже в той части математи- математических паук, которая обычно называется чистой матема- математикой, так как существует распространенное мнение, что наблюдения ограничиваются физическими объектами, которые воздействуют ма паши чувства. Поскольку мы 76
должны относить числа к одному лишь чистому разуму, мы едва ли можем понять, как наблюдения и квазиэкспе- квазиэксперименты могут быть полезны в исследовании природы чисел. Однако в действительности, как я здесь покажу, приведя очень веские доводы, свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблю- наблюдений и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы все еще не в состоянии доказать; только наблюдения привели нас к их познанию... ...В теории чисел, которая все еще очень несовершен- несовершенна, наши самые большие надежды мы можем возлагать на наблюдения; они непрерывно будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания, которое подкрепляется только наблю- наблюдениями и все еще не доказано, следует тщательно отли- отличать от истины; оно, как мы обычно говорим, приобре- приобретается индукцией. Однако мы видели случаи, когда про- простая индукция вела к ошибке. Поэтому мы должны проявлять большую осторожность, чтобы не принять за истинные такие свойства чисел, которые мы открыли путем наблюдения и которые подкрепляются одной лишь индукцией. В действительности мы должны пользоваться таким открытием, как возможностью более точно иссле- исследовать эти открытые свойства и доказать их или опро- опровергнуть; в обоих случаях мы можем «научиться кое- чему полезному» [21, с. 21]. Все сказанное Л. Эйлером относительно теории чисел в равной мере относится и к любому другому разделу математики, в частности, к теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1] с коэффи- коэффициентом при старшем члене, равным единице. Итак, рассмотрим еще раз нашу коллекцию, попол- нив ее многочленом нулевой степени Ро(х) =з 1 (по при- 77
чине, о которой пойдет речь чуть дальше, в качестве Ро{х) можно было бы выбрать любую постоянную, отлич- отличную от нуля. Ни одна из таких постоянных не является наименее уклоняющейся от нуля: чему бы ни было равно значение с Ф О, всегда найдется d, такое, что |ci| < \с\. Для удобства мы остановим свой выбор на Ро(х) н= 1). Итак, чем мы располагаем? Перечень известных уже многочленов включает: Ро(х) г 1; Pi(x) =x; K(x) = **- Рз(х) =xs Pk{x) =x5- тх; (И) Их общие свойства можно свести к следующему. 1. На интервале [—1, +1] все многочлены Рп(х) при п от 1 до 5 имеют ровно п различных нулей. 2. Корни всех многочленов Рп(х) при п от 1 до 5 рас- расположены симметрично относительно нуля. 3. Корни многочленов Рп{х) и Pn-i(x) при 2 ^ п ^ sg: 5 перемежаются. 4. Коэффициент при старшем члене всех многочленов Рп (х) при п от 1 до 5 равен единице. 5. При 1 ^ п ^ 5 наибольшее уклонение многочлена Рп(х) от нуля равно 1/2"-1. 78
6. При 1 ^ п ^ 5 многочлен Pv (x) достигает укло- уклонения от нуля в п + 1 точках. 7. В любых двух соседних точках, где многочлен Рп(х) при п от 1 до 5 достигает уклонения от нуля, он принимает противоположные по знаку значения. 8. Многочлены Рп{х) нечетной степени нечетны, мно- многочлены четной степени четны. Четным, как известно, называется число, делящееся на 2 (т. с. дающее при делении на 2 остаток, равный нулю). Нечетным назы- называется число, дающее при делении на 2 остаток, равный единице. Все целые числа делятся на два класса — на четные и нечетные, не имеющие общих элементов. Это означает, что каждое целое число либо четно, либо нечетно и нет целых чисел, которые не были бы четными или нечетными или были бы четными и нечетными одно- одновременно. В ниом смысле понимают четность и нечетность функций. Функ- Функция {(х) называется четной, если }(х) = /(— х) (т. е. если се график симметричен относительно оси у; см. рис. 21,а). Функция {(х) назы- называется нечетной, если f(x) =— /(— х) (т. е. если ее график сим- симметричен относительно начала координат; см. рис. 21,6). Задача 12. Докажите, что производная четного многочлена есть нечетный, многочлен, а производная нечетного многочлена — четный многочлен. (В действительности справедливо более общее утвержде- утверждение: производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.) S Рис. 21. Четная (а) функция f(x) = /(— х) и нечетная (б) функция f(x) = - /(- х). 79
Четные и нечетные функции не исчерпывают собой все функции: подавляющее большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Таковы, например, функции х3 + *2> ех, log х и т. д. Задача 13. Пусть f(x)—произвольная функция. Докажите, что се можно представить в виде суммы двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная. Задача 14. Разложите в сумму четной и нечетной функций сле- следующие функции: а) ех; б) sin2*; в) log(l + |*|); г) произвольный многочлен. В перечне общих свойств, которые нам удалось под- подметить, обозревая нашу коллекцию многочленов A1), недостает одного важного пункта: общего соотношения, которое позволяло бы по уже известным многочленам находить новые многочлены, также наименее уклоняю- уклоняющиеся от нуля на отрезке [— 1, + 1] (мы начали с того, что построили многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на стандартном отрезке, при п от 1 до 3, и предо- предоставили читателю испробовать свои силы в построении таких многочленов степени 4 и 5 (задачи 10 и 11)). Такое соотношение действительно существует, но мы вывод его отложим до следующей главы, а пока прикинем, как бы мы стали доказывать, что построенный с помощью пока неизвестного соотношения многочлен, обладающий теми же свойствами 1—8, что и многочлены A1), действи- действительно является многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Итак, пусть Рп(х)—многочлен степени п, обладаю- обладающий свойствами 1—9. Его уклонение от нуля равно 1/2"—* (свойство 6). Пусть Qn (x) — многочлен с коэффи- коэффициентом 1 при старшем члене, имеющий по предположе- предположению на отрезке [— 1, -f- 1] уклонение меньше 1/2". Это означает, что при всех х из отрезка [— 1, + 1] |Qn(*)| < 1/2»-*, -1/2»-* <(?„(*) < 1/2»-» 80
Qn(*)-l/2*-»<0, A2) Qn(x) + l/2«-i>0. A3) Рассмотрим разность Rn(x) = Qn(x)-Pn(x) в п + 1 точках, в которых многочлен Рп(х) достигает уклонения от нуля (что таких точек п + 1, нам гаранти- гарантирует свойство 7). Из неравенств A2) и A3) следует, что в этих точках знаки Rn(x) чередуются. Следовательно (почему?), между любыми соседними точками, в которых многочлен Рп(х) достигает своего уклонения от нуля, находится по крайней мере один нуль разности Rn(x), т. е. Rn(x) имеет по крайней мере п нулей. Но так как коэффициенты при старших членах Qn(x) и Рп(х) рав- равны, то Rn(x) —многочлен степени не выше п— 1, сле- следовательно, он не может обращаться в нуль п раз. Полу- Полученное противоречие показывает, что исходное предполо- предположение (о существовании многочлена Qn(x) с уклонением от нуля на отрезке [— 1, +1] меньше 1/2"-1) неверно. Следовательно, многочлен Рп{х) со свойствами 1—9 дей- действительно по праву займет место в нашей коллекции многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрез- отрезке [-1,+ 1]. — А как все-таки можно было бы угадать таинствен- таинственное соотношение между многочленами, вывод которого отложен до следующей главы? — спросит нетерпеливый читатель,— Неужели это так трудно? — Совсем не трудно,— ответили бы мы.— Более того, такие соотношения можно было бы конструировать «на заказ», выбирая те известные многочлены, по которым можно было бы построить новый многочлен более высо- высокой степени. 81
Например, если нам нужна формула, которая давала бы многочлен Рп+1(х) но известным многочленам Рп(х) и Рп-х(х), то проще всего было бы испытать «кандидата» в соотношение, начинающегося так: Рп+1(х) = хРп(х) + аРп-Х{х). Действительно, так как нас интересуют только многочле- ны с коэффициентом 1 при старшем члене, то Рп(х) можно только умножать на х; второй же член аРп-\{х) введен нами в надежде компенсировать «лишние» члены произведения хРп(х). Задача 15. Проверьте, что при п от 1 до 5 многочлены Рп(х) удовлетворяют соотношению Pn+i(x) = хР„(х) - 1/4Я„_1. Но это для наиболее нетерпеливых читателей. Обстоя- Обстоятельным выводом соотношений, аналогичных приведен- приведенному в задаче 15, мы займемся в следующей главе. В заключение этой главы необходимо отметить еще одно свойство многочленов Рп{х), наименее уклоняю- уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1]: каждый из них единственен. Рассуждая примерно так же, как при дока- доказательстве того, что не существует многочлен степени п, уклонение которого от нуля на отрезке [— 1, +1] мень- меньше 1/2"-1, можно доказать следующее утверждение, сформулированное в виде задачи. />^ Задана 16. Докажите, что Рп (х) при п от 1 до 5 — единствен- единственные многочлены с коэффициентом 1 при старшем члене, уклоняю- уклоняющиеся от нуля на отрезке I— 1, + 1] на 1/2"-'. 82
Все утверждения в основном тексте, задачах и примечаниях, сформулированные для Рп(х) при п от 1 до 5, в действительности нерны и при любых п > 5. Возможно, у кого-нибудь из читателей появится жела- желание узнать о том, что можно сказать о верхней границе уклонения от нуля на отрезке для многочленов с коэффи- коэффициентом 1 при старшем члене. Удовлетворить свою любо- любознательность такой читатель сможет, решив следующие задачи (с помощью рассуждений, аналогичных приведен- приведенным выше). Задача 17. Докажите, что уклонение от нуля на отрезке [а, Ь], где а и Ь — произвольные числа, а < Ь, многочленов Р„ (х) степени п с коэффициентом 1 при старшем члене не превосходит 2((Ь — а)/4)". Задача 18. Докажите, что из всех многочленов степени п с коэф- коэффициентом 1 при старшем члене уклонения 2((Ь — а)/4)" от нуля на отрезке [а, о], где а и b — произвольные числа, а < Ь, достигает многочлен 2 () где Р„ (х) — многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке I- 1, + 1]. Задача 19. Докажите, что значения многочленов Рп (*) доста- достаточно высокой степени п могут быть меньше любого в > 0 на всем отрезке [а, Ь], а < Ь, в том и только в том случае, если b — а < 4. Задача 20. Каково минимальное значение я*, начиная с которого все многочлены Р„(х) степени п с коэффициентом 1 при старшем члене принимают на отрезке [л, я+1] значения, меньше @,1I984.
2. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ФОРМУЛА МУАВРА Для дальнейшего нам необходимо научиться выра- выражать cos щ при любом целом п через coscp и sincp. Сде- Сделать это проще всего изучая комплексные числа в триго- тригонометрической форме. Необычайные свойства мнимых чисел и парадоксы, возникавшие от неосторожного обращения с ними, сна- сначала смущали даже таких корифеев математики, как Лейбниц, который отзывался о них A702 г.), как о «чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся почти между бытием и небытием» [19, с. 7]. После того как математики пережили «потрясение», связанное с введением мнимых чисел, дающих при возве- возведении в квадрат отрицательные числа, и научились пра- правильно обращаться с комплексными числами, выясни- выяснилось, что нововведение необычайно плодотворно. Оно по- позволило не только упростить решение традиционных геометрических и алгебраических задач, но и привело к созданию нового раздела математики — теории функ- функций комплексного переменного. Комплексные числа по- позволили по-новому взглянуть на многие задачи и устано- установить взаимосвязь между, казалось бы, весьма далекими понятиями. В наше время комплексные числа стали при- привычным орудием математика, физика и инженера, кото- которые оперируют ими весьма уверенно. Комплексные числа принято изображать в виде точек плоскости: комплексному числу z = х -\- iy ставят в соот- 84
ветствие точку плоскости с декартовыми координатами (х,у) (рис.22). С геометрическим представлением комплексных чисел связано их представление в тригонометрической форме, которое понадобится нам в дальнейшем. Пусть г — рас- расстояние от начала координат О до точки (х, у), а ф — угол между положительным направлением оси х и пря- прямой Oz (см. рис. 22). Тогда х = г cos ф, у = г sin ф, откуда z = г(созф + i эшф). У Рнс. 22. Комплексная плоскость. Величина г называется модулем комплексного чис- числа z. Угол ф называется аргументом комплексного чис- числа z и определен с точностью до углов, кратных 360°, т.е.до полных поворотов.Найти модуль г можно по фор- формуле а аргумент ф— по формулам: cos ф = x/r; sin ф = у/г. Например, при z = — 1 + i cos ф = - 1/ уТ; sin ф = 1/ /I; ф = 135° + п - 360°, где п — любое целое число (положительные числа соот- соответствуют поворотам вокруг центра против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке). Мо- Модуль комплексного числа z = — 1 + * равен г — = У(-1J+12 = /2. 85
Равенство двух комплексных чисел Zi = Х\ -\- iyi и z2 = Хг + Щг означает, что равны их вещественные и мнимые части, т. е. Xi = хг\ г/i = г/г. В геометрическом представлении равенство двух комп- комплексных чисел Zi и z2 означает совпадение соответствую- соответствующих им точек комплексной плоскости. Совпадающие точ- точки находятся на одинаковом расстоянии от начала коор- координат и видны из него под одним и тем же углом к поло- положительному направлению оси х. Это означает, что если равные комплексные числа г4 и z2 представлены в триго- тригонометрической форме: zi = n(cos ф1 + i sin Ф1); z2 = r2(cos(p2 + i sin срг), то их модули равны, а аргументы отличаются на целое число полных оборотов (возможно, равное нулю): ri — г2; Ф1 — ф2 = л360°. Вычислим теперь произведение комплексных чисел zi и z2: г^ (cos ф1 + i sin Ф1) r2 (cos фг + i sin фг) = = г^г [ (cos ф1 cos фг — sin Ф1 sin фг) + + i (cos ф1 sin Ф2 + sin Ф1 cos фг) ] = = г^Гг (cos (ф1 + фг) + i sin (ф4 + ф2)) ¦ Таким образом, модуль произведения равен произве- произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения (с точностью до произвольного числа полных оборо- оборотов) — сумме аргументов сомножителей. В частности, если Ti = r2 = 1 (т. е. сомножителям г4 и г2 соответ- соответствуют точки на единичной окружности с центром в на- начале координат), то умножение сводится к сложению аргументов, а точка, соответствующая произведению z3, 86
также лежит на единичной окружности (рис. 23). Следо- Следовательно, если z = cos ф -\- i sin ф, A4) то zn = cos щ + i sin tup. Но г" можно получить, возводя в степень п правую и левую части равенства A4). Это означает, что cos жр + i sin жр = (cos ф + i sin ф)n. Полученная формула известна под названием формулы Муавра. Рис. 23. Умножение комплекс- комплексных чисел с единичным мо- модулем. Задача 21. Раскрывая правую часть формулы Муавра с помощью бинома Ньютона при п, равном 2, 3, 4, 5, н используя условия равен- равенства комплексных чисел, докажите, что cos 2ф = cos2 ф — sin2 ф; cos Зф = cos3 ф — 3 cos ф sin ф; cos 4ф = cos4 ф — 6 sin2 ф cos2 ф + sin4 ф; cos 5ф = cos5 ф — 10 sin2 ф cos3 ф + 5 sin4 ф cos ф 87
sin 2ф = 2 sin ф costp; sin Зф = 3 sin ф cos2 ф — sin3 ф; sin 4ф = 4 sin ф cos3 ф — 4 sin3 ф cos ф; sin 5ф = 5 sin ф cos4 ф — 10 sin3 ф cos2 ф + sin5 ф. Задача 22. Раскрывая правую часть формулы Муавра с помощью бинома Ньютона при произвольном целом п и используя условия равенства комплексных чисел, докажите, что при четных п = 2т cos Пф = cos" ф — С2 sin2 ф cos™-2 ip + + С4 sin4 ф cos"-4 ф — ...+ (— l)mC" sin" ф; A5) sin пф = С1 sin ф cos"-1 ф — С3 sin3 ф cos"-3 q> + ... + + (— IJm-ic"-1 sin" ф cos ф, а при нечетных п = 2т + 1 cos п ф = cos" ф — С2 sin2 ф cos" ф + + С4 зт4фсо8"-4ф + ... + (— 1)тС"-18т"-1фсо8ф; A6) sin «ф = С1 sin ф cos" ф — С3 sin3 ф cos"-3 ф + ... + + (— 1)тС" sin" ф, где С1 , С2 , ... и т. д.— биномиальные коэффициенты I числа -)¦ Формулы A5) и A6) помогут нам построить удивительные мно- многочлены. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА Прежде всего напомним, что у = агссоэл: есть функ- функция с областью определения [— 1, +1], график которой представлен на рис. 24, а. Его мы получим, построив гра- график функций х = cos у (рис. 24, б) и вырезав из него 88
сегмент от у = О до у = л. Функция у = arccos х обратна функции х = cos у. Итак, по определению arccos x — это дуга, заключенная в интервале от 0 до я, косинус кото- которой равен х. В у ¦; х Рис. 24. Графики функций (/ = arccos x (а) и x=cos у (б). Пусть теперь ф = arccos x. Из формул A5) и A6) следует COS Щ = COS" ф — С2 5Ш2ф COS" ф + + С4 sin4 ф cosn~4 ф + .., A7) 89
Все sincp входят в A7) только в четных степенях. Под- Подставляя вместо sin2ftcp= (I — cos2<p)ft, получаем cos щ = cos" ф — С2 A — cos2 ф) cosn~2 ф + 4ф + ... A8) Заметим, что это многочлен от cos ф. Но cos(arccos д:) =х, поэтому A8) — многочлен от х степени п, заданный на отрезке {— 1, + П- Он имеет специальное обозначение Тп(х) (Т — первая буква французского написания фами- фамилии Чебышев — Tschebycheff) и называется многочленом Чебышева первого рода. Все свойства многочлена Тп (х) следуют из его определения: Тп (х) = cos (n arccos x). Таким образом, многочлены Чебышева первого рода — это по существу cos щ, но относительно х это самые «настоящие» многочлены: Тп(х) = хп — С2пд:«-2A - л:2) + С^"-4A - л:2J - ... Приведем несколько первых многочленов Чебышева: Т0(х) = 1; Tt(x) = х; Тг(х) = 2*2 - 1; Т3(х) = 4х3 - Зх; Ti (х) = 8*4 — 8д:2 + 1; Ть{х) = 16л*-20л:3 + 5л:; Те(х) = 32д:в - 48*4 + 18л:2 - 1. Графики многочленов Тп(х) приведены на рис. 25. Представим себе прозрачный прямоугольник высо- высотой 2/ (—/<«/</) и шириной Ъй @ < х < 2л1), на котором начерчен график функции y = rcosnx. Согнув его в цилиндр (прозрачный абажур), мы увидим график многочлена Тп(х), если будем смотреть сбоку с такой 90
Рис. 25. Графики первых шести многочленов Чебышева Тп(х).
^ Рнс. 26. Взгляд на многочлены Чебышева «со стороны»: графики мно- многочленов Т„(х) как проекции косинусоиды. точки, в которой косинусоида на передней половине боко- боковой поверхности цилиндра, обращенной к нам, со- совместится с косинусоидой на задней половине боковой поверхности цилиндра, скрытой от нас (рис. 26). МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА И ФИГУРЫ ЛИССАЖУ Возьмем карандаш и бумагу, которые до сих пор были нашими верными помощниками, и отправимся в физиче— скую лабораторию. Нас будет интересовать вопрос, как выглядит траектория точки, совершающей на плоскости колебания в двух взаимно перпендикулярных направле- направлениях. Осуществить такие колебания можно либо с по- помощью двойного маятника, к которому подвешена ворон- воронка с песком ( песок, высыпаясь из воронки, вычертит ее траекторию), либо с помощью осциллографа, подводя к пластинам отклоняющих конденсаторов гармонически изменяющиеся со временем напряжения от двух звуко- звуковых генераторов. Пусть вдоль оси х точка движется по закону х = A sin(u)i/ + <pi) A9) и вдоль оси у — по закону B0) Величины А и В называются амплитудами, ф! и <рг — фа- фазами, wt и ц»2 — циклическими частотами колебаний (если 92
T — период колебания, то циклическая частота равна 2/Г) Нетрудно видеть, что движение вдоль оси х происхо- происходит в пределах полосы \х\ ^ А, а движение вдоль оси у — в пределах полосы \у\ ^ В. Следовательно, точка на экране осциллографа никогда не покидает перс- сечение этих полос — прямоугольник шириной 2 Л и вы- высотой 2 5с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям. Вид траектории, описываемой уравнениями A9) и B0), зависит от отношения циклических частот, или периодов и разности фаз <pi — фг. Оказывается, среди кри- кривых, мелькающих на экране осциллографа и известных под названием фигур Лиссажу, мы видим и графики мно- многочленов Тп (х) (см. задачу 26). Задача 23. Пусть cpi = срг. Докажите, что если в этом случае (Oi = иг, то точка движется по отрезку диагонали прямоугольника, образованного пересечением полос |*| ^ А; \у\ ^ В. Задача 24. Пусть cpi — срг = зт/2. Докажите, что при аи = и2 точ- точка движется по эллипсу с полуосями А и В, вписанному в прямо- прямоугольник \х\ sg: A; \y\ ^ В. Задача 25. Пусть cpi — срг = я. Докажите, что точка движется по отрезку другой диагонали прямоугольника |х|^:Л; \у\ ^ В. Задача 26. Докажите, что при А = В = 1 и соответствующей разности фаз точка, колеблющаяся с ои/юг = я, где п — целое число, описывает кривую, представляющую собой (с точностью до поворота на 90°) график многочлена Чебышева первого рода степени Тп(х). ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА Мы убедились в том, что cos (я arccos x) представляет собой многочлен Тп(х). Прямое вычисление косинусов кратных углов с помощью одних лишь тригонометриче- тригонометрических преобразований слишком громоздко для того, чтобы приводить его здесь (и даже пользоваться им). Обращение к комплексным числам позволяет упро- упростить доказательство применением еще одной важной формулы для многочлена Тп(х) при произвольном це- 93
лом п и попутно установить связь между тригонометри- тригонометрическими и показательной функциями. Формула, о кото- которой идет речь, имеет вид Докажем, что она верна. Всем нам хорошо знакомо число я — отношение дли- длины окружности к диаметру. Оно вездесуще и появляется при рассмотрении вопросов, казалось бы, никак не свя- связанных с длиной или площадью окружности, например в теории вероятностей. Менее известно другое вездесущее число, обозначае- обозначаемое буквой е. По определению е = lim (приближенное значение е вычислено со многими знака- знаками, например е « 2,718282). В математике широкое при- применение находит функция у = ех (график ее вы видите на рис. 27). Из определения B1) следует, что ех = lim П->00 т)" B2) Эта функция определяет форму многих природных объек- объектов, в частности ценной линии (рис. 28), форму которой приобретает подвешенная за два конца тяжелая нить, например, паутина. Знаменитый французский энтомолог Жан Фабр посвятил цепной линии следующие строки: «Бессмысленное (нелестный эпитет вызван в конечном счете незнанием формулы Эйлера, с которой мы познако- познакомимся чуть позже.— Ю. Д.) число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дома в туманное утро, рассмотрим внимательно спле- 94
тенную за ночь паутину. Усеянные крохотными капель- капельками, ее липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проник- проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться Рис. 27. График экспоненты — функции у = ех. Рис. 28. Цепная линия. всеми цветами радуги, превращаясь в сверкающую гроздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем великолепии» [9, с. 124]. Разумеется, математиков и физиков число е и связан- связанная с ним функция у = ех прельщают не внешним бле- блеском. Число е служит основанием так называемых нату- натуральных логарифмов х = In у (функции, обратной функ- функции у = ех). Функция у = ех описывает процессы, в которых скорость изменения равна самой изменяю- изменяющейся величине (производная совпадает с исходной функцией). Заметим, что при умножении двух величин сх> и ех* их показатели складываются: т. е. ведут себя так же, как аргументы двух комплексных чисел при умножении. Как показал Эйлер, сходство 95
между тригонометрическими функциями и экспонентой (так математики назвали функцию у = ех) не случайно и основано на существующей между ними глубокой внут- внутренней связи. Подставим в определение B2) экспоненты ех вместо вещественного переменного х комплексное число г = = х + iy- ez = lim т)" B3) Ничего «незаконного» в такой подстановке нет, так как все операции, производимые в правой части формулы B3), одинаковы для вещественных и комплексных чисел. Вычислим предел B3), пользуясь тем, что для Z = = X + iY - R (cos Ф + i sin Ф) lim Z = lim X -\- i lim Y; lim Z = lim R (cos (lim Ф) -f i sin (lim Ф)). Запишем число + ) + + n I \ n в тригонометрической форме r(costp -f- i sin<p), где г = cos ф = , sin ф = . B4) Нетрудно видеть, что ф-> 0 при п-*-оо, 96
По формуле Муавра имеем A + z/n)n = [r(costp + i sintp)]™ = = rn (cos щ + i sin mp). Предел B2) мы найдем, вычислив lim rn и lim mp. n-*tx> n->-oo Начнем с lim rn. Запишем гп в виде l+-f- + -^-J . B5) и для удобства сравнения с B1) обозначим &л, л —у- у 1 Тогда 1^Х+ 2л ' и при и->-оо новая величина т также неогр^иченно возрастает (m-voo). Выражение B5) теперь можно представить в виде При и->оо величина, стоящая в квадратных скобках, стремится к е (см. фopмyv^y B1)), а показатель — к х. Отсюда получаем lim rn =-- ех. и.- ы вычислить второй предел, запишем Иф в виде tgro 4 -,-.668 97
Из B4) следует, что tg ф => у/п + х, поэтому пу а при ф-»-0 (напомним, что ф-»-0 при и-»-оо) Следовательно, пи V lim mp = lim —-ц— = lim = у. Итак, окончательно получаем (z \п 1+—) = e*(cosy+ ism у) ,^— ti ' или tx+iy — ех (COs у -{- is'my). B6) При х = 0 формула B6) была открыта Л. Эйлером в 1740 г. и известна под назьанием формулы Эйлера для мнимых показателей: eiy = cos у + i sin у. B7) Леонард Эйлер A707—1783) много и необычайно плодотворно работал почти во всех разделах современной ему математики. Тео- Теоремы Эйлера, углы Эйлера, постоянные Эйлера, уравнения Эйлера, подстановки Эйлера составляют лишь небольшую часть его научного наследия. Формул Эйлера существует великое множество, и мы при- приводим полное название формулы B7), чтобы было ясно, о какой именно формуле Эйлера идет речь. 98
Задача 27. Экспонента е* с вещественным показателем обладает важным свойством: прн умножении показатели складываются. Дока- Докажите, что экспонента с комплексным показателем обладает тем же свойством: при умножении показатели складываются. Задача 28. Докажите, что еяг = — 1. Формула Эйлера позволяет заменить тригонометрическую фор- форму комплексных чисел показательной: для г = r(cosq) + t sin ф) из B6) получаем г = re*<t. Задача 29. Докажите, что формула Муавра для показательной формы комплексных чисел имеет вид Формула Эйлера B7) позволяет установить связь между триго- тригонометрическими функциями и показательной функцией: подставляя в B7) у *= if н у = — ф, получаем ег'Ф = cos ф +1 sin ф; е- !'ф = cos ф — i sin ф, откуда ег'ф + е— »'ф = 2 cos ф; егф — е~;ф = 21 sin ф, и мы приходим к формулам Эйлера для тригонометри>*;СКИХ функций: е'Ф + COS ф = -= » B8) sin Ф = — • <29> Задача 30. Докажите с помощью формул Эйлера B8) и B9), что Задача 31. Выразите с помощью формул Эйлера B8) и B9) sin»x через синусы кратных углов. Задача 32. Выразите с помощью формул Эйлера B8) и B9) cos7 х через косинусы кратных углов. Задача 33. Докажите с помощью формул Эйлера для тригоно- тригонометрических функций, что 99
cos" x = — [cos nx + C1 cos (n — 2)x + + C2 cos (n — 4)x + ...]. Задача 34. Докажите с помощью формул Эйлера для тригоно- тригонометрических функций, что sin" х = — [sin nx — С1 sin (n — 2)x + + C2 sin (n — 4)x -...]. Докажем теперь соотношение (х + У х* - 1 )" + (*-У *2-1)" J п \Х) — — ~z Пусть ф = arccos х. Тогда х = cos tp; У х2 — 1 = i sin ф. '^"ставляя выражения для л: и Ух2— 1 в правую часть, иреоо^уем ее с помощью формул Эйлера для тригоно- метричесь^х функций и формулы Муавра для комплекс- комплексных чисел в п^азателыюй форме: + + OS (- ф -{- г S г/,'. «* + . 2 in (] + ( 2 » + (x — 2 p)?J + (со: 2 ух2- 1 )и 3(рч_.81пф)п — е~г(Р \П1 100
] ginq> g—г'Пф = . Г (е'Ф)n -)- (е~'Ф)nl = ________ = = cos rap — Tn (x). Итак, соотношение доказано. НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА Все свойства многочленов Тп(х) по существу следуют из определения Тп(х) = cos(n arccosx). Докажем, что внутри отрезка [— 1, + 1} многочлен Тп(х) имеет п раз- различных вещественных корней. Из определения Тп(х) заключаем, что Тп(х) = О, если п arccos х = Bk — \) -—, откуда Oh 1 \ х = cos л. C0) 2п Придавая k значения 1, 2, ..., п, получаем п различных значений корней многочлена Тп(х): *ft = cos {2k-]) п. C1) Действительно, если k <; / есть два числа из 1, 2, .. , п значений, то 2k - 1 21 - 1 а так как на интервале [—я, +я] косинус монотонно убывает от + 1 до — 1 (см. рис. 28), то хк > хи а по- поскольку Тп(х) —многочлен степени п, то других корней, кроме C1), у него быть не может (почему?). 101
То, что многочлен Тп(х) не имеет других корней, кроме C1), можно вывести н из общей формулы корней C0). Действительно, cos = COS Bn + 2p- 1) ~2л / Bp-l) \ I я я I \ 2n / ¦ cos / , Bр-1) \ ( п-\ я ) \ 2я / cos- + 2(«-p) 2л Для построения корней многочлена Тп(х) можно по- поступить следующим Образом. Разделим полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат на 2л равных частей, начиная от правого конца диаметра про- против часовой стрелки (рис. 29), и опустим из точек деле- Phc. 29. Нули многочленов Чебышева как ортогональные проекции вершин правильного 4п-угольннка. ния через одну перпендикуляры на ось абсцисс. Осно- Основания перпендикуляров совпадают с корнями C1) многочлена Тп(х). Видно, что распределение корней неравномерно: у концов отрезка [— 1, + 1] они скапли- скапливаются, а в середине встречаются реже. Докажем теперь, что на отрезке [—1, +1} корни многочлена Тп(х) расположены симметрично относи- относительно середины, т. е. что при четном л все корни много- многочлена Тп(х) подразделяются на пары, равноотстоящие 102
от концов отрезка [— 1, + 1], а при нечетном п без пары остается только нулевой корень, совпадающий с середи- серединой отрезка [— 1, + 1]. Это свойство следует из графического построения корней многочлена Тп(х) (см. рис. 25), но легко доказы- доказывается и аналитически. Действительно, пусть k — неко- некоторое число из набора 1, 2, ..., п. Если считать от конца набора к началу, то на k-u месте стоит число я— (А—1) = я —ft + 1, и 2(я —ft+1) —1 / 2k—\ \ cos — -— я = cos I я - • я I = 2/г \ 2п I Bft-1) ~C0S 2» т. е. xn-k+i = — Xk, что и требовалось доказать. Нетрудно видеть, что корни многочленов Тп(х) и Tn-i(x) перемежаются. Действительно, корни многочлена Тп(х) можно рас- рассматривать как проекции на ось х точек деления верхней полуокружности на п равных частей (см. рис. 29). Для любых трех углов а, р, y> связанных неравенством 0^а^р^у^я> справедливо неравенство cos a ^ ^ cos p ^ cos y, так как на интервале [0, я] косинус мо- монотонно убывает (см. рис. 30). Угол, соответствующий /г-му корню многочлена Tn_i(A:) (k = 1, 2, ..., п), больше угла, соответствующего k-щ корню многочлена Тп(х), так как яB? — 1)/(п — 1) > яB? — 1)/я, но не больше угла, соответствующего (&+1)-му корню многочлена Тп(х). Следовательно, k-w. корень л:^-1' многочлена 7п_1(д:) заключен между k-ы и (&+1)-м корнями х™ многочлена Тп(х), поэтому корни связаны нера- нера103 венством v(n) ~— у(п—1) ^" у(п)
Нетрудно видеть, что в интервале [х?\ х™ ] нет други4 корней многочлена Tn-i(x), кроме х^~». Следовательно- в каждом таком интервале заключен один и только оди корень х{пк~1), т. е. нули многочлена Tn-i(x) и Тп{х) дей ствительно перемежаются. Одна из основных теорем алгебры многочленов была доказана французским математиком Этьеном Безу A730—1783) и носит сейчас есо имя. Теорема Безу утверждает, что остаток от деления любого многочлена Р(х) на линейный двучлен х— а равен результату под- подстановки числа а в многочлен Р(х), т. е. числу Р{а), и, в частности, Р(х) делится на (х—а) тогда и только тогда, когда а — корень многочлена Р{х). Доказательство теоремы Безу настолько кратко, а сама теорема настолько важна, что имеет смысл привести не только ее формули- формулировку, но и доказательство. Пусть Q(x)—частное, a R — остаток от деления Р{х) на (х — а). Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток, то Р(х) = (x-a)Q(x) + R. Это соотношение должно выполняться при любых х, т. е. быть тож- тождеством. Величина R не зависит от х, так как при делении одиого многочлена на другой степень остатка должна быть меньше степени делителя, а в (х — а) переменная х входит в первой степени. При х — а выписанное выше равенство переходит в Р(а) = (a-a)Q(a)+R, откуда Л-Р(о), и теорема Безу доказана. Нам понадобится следствие из теоремы Безу; если а — нуль (ко- (корень) многочлена Р(х), то R ~ Р(а) = 0, и Р(х) делится иа (х — а). Итак, многочлен Р(х) делится на (х — а) тогда и только тогда, когда а — нуль многочлена Р(х). Мы доказали, что многочлен Тп(х) имеет п различ- различных вещественных корней 104
() Xh = COS Я, 2n где. k = 1, 2, ,.., л. По следствию из теоремы Безу сле- следует, что Тп{х) делится на {х — xh) при k = 1, 2, ..., п. Так как произведение П = {х — xi) (х — х2) • ¦ ¦ {х — хп) есть многочлен степени п относительно х, имеющий те же корни, что и Тп{х), то оба многочлена могут отли- отличаться самое большее постоянным множителем, т. е. Т„(х) = А{х — Xi){x~ х-г)---{х — хп), C2) где А — постоянная. Задача 35. Докажите, что сумма всех возможных произведений любого нечетного числа различных корней многочлена Чебышева первого рода четной степени равна нулю. Задача 36. Докажите, что сумма всех возможных произведений любого четного числа различных корней многочлена Чебышева пер- первого рода нечетной степени равна нулю. Задача 37. Выясните, при каких шип многочлен Тт(х) делится на Тп{х). КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ СТАРШЕМ ЧЛЕНЕ До сих пор мы говорили о том, что Тп{х) —много- —многочлен степени п, и даже приводили его разложение на п линейных множителей C2), но оставались в неведении относительно того, чему равен коэффициент при его стар- старшем члене. Вычислим теперь этот коэффициент. Из разложения Тп(х) = хп - С*пх"-Ц\ - &) + С* *»-*A - *2J нетрудно видеть, что коэффициент при хп в Т„(х) равен 105
т. е. сумме биномиальных коэффициентов Ск при все? четных k = 0, 2, 4, ..., не превосходящих п. Эта сумма- равна 2й-1. Итак, коэффициент при старшем члене многочлена Чебышева первого рода равен 2п~1. Действительно, биномом Ньютона мы называем величину A+х)п. При целом п бииом Ньютона представляет собой мно- многочлен A + х)п = С° хп + С1 ха-> + С2 х1—2 + ... + п п п + С* х1—* + • ¦ • + Сп~'х + С" , п п п где С* (к = 0, 1,2 «) —й-й биномиальный коэффициент (число п сочетаний из и по к, т. е. выборок из п различных предметов по к, отличающихся по крайней мере одним предметом). Из определения- числа сочетаний следует (почему?), что т. е. что биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны. Полагая х= 1, находим, что сумма всех биномиальных коэффи- коэффициентов бинома Ньютона степени п равна 2", а полагая х = — 1, считаем, что сумма биномиальных коэффициентов с к = 0, 2, 4, ... равна сумме биномиальных коэффициентов с к = 1, 3, 5, ... Сле- Следовательно, сумма биномиальных коэффициентов с к = 0, 2, 4, ... (так же, как и сумма биномиальных коэффициентов с к = 1, 3, 5, ...) равна половине суммы всех коэффициентов бинома Ньютона сте- степени п, т. е. 2я. Задача 38. Коэффициент при старшем члене многочлена Рп(х), заданного на отрезке [а, Ь], равен ао. Чему равен коэффициент при старшем члене многочлена Рп(х), который получится из х, если х подвергнуть преобразованию, переводящему отрезок [а, Ь] в отрезок [с, d]7 Задача 39. Пусть б —уклонение от нуля многочлена Рп(х) на отрезке [а, Ь]. Чему равно уклонение от нуля многочлена Qn(x) из задачи 38 на отрезке [с, d]7 106
ЧЕТНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА Приводимые ниже свойства многочленов Чебышева первого рода заслуживают быть особо отмеченными не только потому, что они общие для многочленов Т„(х) и многочленов Рп (х) наименьшего уклонения от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Доказательство всех этих свойств следует из того, что Тп(х) — косинус некоторой вели- величины. Продумывание деталей доказательства мы предо- предоставляем читателю. Задача 40. Докажите, что при четном « многочлены Чебышева первого рода — четные функции, а при нечетном «— нечетные функции. Задача 41. Докажите, что любой четный многочлен Рп(х) сте- степени « можно представить в виде Рп(х) =а0Тп(х) +a2Tn-2W + ajn-i{x) +..., где Тп(х), Г„_2(х), Тп-к(х), ...— многочлены Чебышева первого рода четных степеней. Задача 42. Докажите, что любой нечетный многочлен Рп(х) сте- степени « можно представить в виде Рп(х) = а0Т„(х) +агТ„-г(х) +ajn-i(x) +..., где Тп(х), Тп-г(х), Tn-i(x), ... — многочлены Чебышева первого рода нечетных степеней. УКЛОНЕНИЕ ОТ НУЛЯ Многочлены Чебышева первого рода «наследуют» от косинуса и такое важное свойство, как равноколебле- мость: как известно, наибольшее и наименьшее значения косинуса равны по абсолютной величине, т. е. косинус отклоняется от нуля одинаково как в положительную, так и в отрицательную сторону (рис 30). Задача 43. Докажите, что уклонение многочлена Чебышева пер- первого рода Тп(х) степени « на отрезке [— 1, + 1] при любом « равно 1. Задача 44. Докажите, что многочлен A/2п~1)Тп(х) при любом « > 1 наименее уклоняется от нуля на отрезке [— 1, + 1]- 107
В конце первой главы мы говорили о том, что при любом п ^ 1 существует единственный многочлен Рп (х) степени п, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [— 1, -f- 1]. Следовательно, Р ( у\ Т ( у\ Гп[Х) — п„_1 *п[Х). У 'ом) 0 ^\ л (К X ¦Г) Рис. 30. График функции у = cos x, обрат- обратной арккосинусу. Итак, при любом л ^в 1 многочлен Рп(х) степени п, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [— 1, + 1], отличается от многочлена Чебышева первого рода Тп(х) только мложитслем 1/2"-1. Задача 45. Зная явный вид многочленов Рп(х), наименее укло- уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1], проверьте, что они при любом п ^ 1 обладают свойствами 1—8, установленными в первой главе, из «наблюдений» за первыми пятью многочленами Р„ (х). Итак, наше знакомство с многочленами Чебышева первого рода привело к важному открытию (сделанному 108
задолго до нас П. Л. Чебышевым): при любом п rss 1 из всех многочленов степени п с коэффициентом 1 при стар- старшем члене наименее уклоняется от нуля многочлен 1 (где Т„(х)—многочлен Чебышева первого рода степе- ни п) и только многочлен Р„{х). Этим свойством много- многочлены Чебышева выделяются среди всех многочленов. Учитывая уникальное их свойство, продолжим изучение многочленов Т„(х). ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ Определим те значения х на отрезке [— 1, + 1], в ко- которых Тп{х) = ± 1. Так как Тп(х) = cos (я arccos x), то + 1 при п arccos х = 2/гя, п (х) = | где k = 0, 1,2,..., откуда при п arccos xm = тл Tn(xm) = (-1)™ и /т \ хт = cos I—я I, \ П I где т = 0, 1, ..., п, т. е. я 2я Х0 = 1, Xi = COS , Х2 = COS , . . . , Х„ = — 1. Задача 46. Проверьте, что на отрезке [— 1, + 1] многочлен Тп(х) достигает своего уклонения от нуля и п + 1 точках отрезка [- 1. + П- Задача 47. Докажите, что уклонения многочлена Тп (х) имеют 9 соседних точках противоположные знаки. 109
Задача 48. Докажите, что в промежутках между точками, в ко- которых многочлен Тп(х) достигает своего уклонения от нуля на отрезке [— 1, + 1]. °н изменяется монотонно, т. е. либо только возрастает, либо только убывает. Обратимся к прозрачному цилиндру, на боковой по- поверхности которого начерчена косинусоида (см. рис. 26). Если смотреть на цилиндр сверху, то он спроектируется в окружность. Точки экстремумов (максимумы и мини- минимумы) косинуса расположены в вершинах правильного Т2'М Рис. 31. Нули и экстремумы многочленов Чебышева Тп(х). ПО
вписанного 2п-угольника, две вершины которого совпа- совпадают с концами горизонтального диаметра. Нули коси- косинуса расположены в вершинах такого же 2п-угольника, повернутого относительно первого на угол п/n (на рис. 31 показаны такие 2п-угольники при п = 2 и п = 3). При проектировании (напомним, что мы рассматриваем ци- цилиндр сбоку с такой точки, откуда косинусоида на ближ- ближней половине поверхности цилиндра совмещается с коси- косинусоидой на его дальней половине) точки экстремумов дают точки, в которых Тп (х) достигает своего уклонения от нуля, а нули косинуса переходят в нули многочлена Тп(х) (на рис. 31 точки, в которых Тп(х) достигает свое- своего уклонения от нуля, и соответствующие им вершины 2п-угольников, помечены светлыми кружками, а нули — крестиками). ПРОИЗВОДНЫЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА Многочлены Чебышева первого рода Тп{х) можно вычислять исходя из их записи при любом заданном п, т. е. можно строить и многочлены Рп{х), наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [— 1, + 1]- Оказывается, однако, что производные многочленов Таблица 1 п 1 2 3 4 5 X 2х2-1 4х3 — Зх 8*4 - 8х2 + 1 16х5 — 20*' + 5х Тп(х) 1 4х 12х* - 3 32х»-16х 80x4 - 60х2 + 5 111
Тп(х) обладают не менее удивительными свойствами. Вычислим их по формуле Р'п (х) = aonx"-i + щ{п- I)*» + • • а„_1. Результаты вычислений приведены в табл. 1. Интересно сравнить графики Тп(х) и Т (х). Если Тп(х) рассматривать как закон, по которому некоторое ¦/ X т,ш Рис. 32. Графики многочлена Чсбышсва Ti(x) и его произ- производной. тело удаляется от начального положения в зависимости от времени х, то V (х) определяет скорость этого тела как функцию времени х. Начнем с п = 1 (рис. 32). Так как Т\(х) = х, т. е. уда- удаление от начала отсчета пропорционально времени х, то движение равномерно, т. е. скорость постоянна. Это и по- показано на нижнем графике. Так как Тг(х) = 2хг—1, зависимость удаления от времени квадратична, как в случае равноускоренного движения (например, свободного падения): постоянно ускорение, а скорость пропорциональна времени, т. е. Т'г{х) —линейная функция (рис. 33, а). 112
На рис. 33, б, в представлены более сложные «законы движения», соответствующие Т3(х) и Ti(x), и законы изменения скорости Т'3(х) и T'k{x). Многочлены Un(x) = (l/(n+ 1))Т' (х) называются многочленами Чебышева второго рода. Их графики с точ- Рис. 33. Графики многочленов Чебышева Т2(х) и Т$(х) и их произ- производных. ностью до множителя 1/(п+ 1) при п = 1, 2, 3 приве- приведены на рис. 33 (внизу). Выпишем в явном виде первые пять многочленов Чебышева второго рода: U0(x) = 1; 113
иг(х) = 4х2-1; U3(x) = 8лг3 — 4дг; Ui(x) = 16л:4 — 12л:2 + 1; U5(x) = 32л:5 - 32л:3 + 6х Многочлены Чебышева второго рода, как и многочле- многочлены Чебышева первого рода, тесно связаны с тригономет- тригонометрическими функциями. Задача 49. Докажите, что при п ^ 1 sin (n arccos х) ?/»-.(*) = sin (arccos х) Задача 50. Докажите, что при п ^ 1 ?/„_,(*) = C»nx"-» - С3п A - *2)х» Многочлены Чебышева второго рода Un(x) известны не только как производные от многочленов Чебышева первого рода Тп(х). Они важны и сами по себе: с точ- точностью до некоторого множителя многочлены Un(x) совпадают с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на отрезке [—1, + П среди всех многочленов с коэффициентом при старшем члене, равном единице, если уклонение измерять как площадь под графиком мо- модуля функции на отрезке [— 1, + 1], т. е. как J \f(x)\dx. C3) Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, имеют вид наименьшее уклонение для Un(x) равно 1/2п-1. 114
Взглянув на рис. 33, можно заметить, что многочлены Чебышева второго рода не обладают свойством равноко- леблемости. Его аналогом служит следующее свойство: площади всех п + 1 частей плоскости, ограниченных осью х, прямыми х = ± 1 и графиком многочлена Un(x), равны. Предоставляем читателю доказать с помощью опреде- определения C3) следующие свойства многочленов Чебышева второго рода Un(x) и сравнить с аналогичными свой- свойствами многочленов Чебышева первого рода. Задача 51. Докажите, что на отрезке [— 1, + 1] многочлен Un(x) имеет ровно п различных корней k Xh = COS Я, rt+ 1 где k = 1, 2, ..., п. Задача 52. Докажите, что корни многочленов Un(x) симметрич- симметричны относительно нуля. Дайте геометрическую интерпретацию корней аналогично представленным на рис. 29. Задача S3. Докажите, что нули многочленов Un(x) и Un-i(x) при я ^ 2 перемежаются. Задача 54. Докажите, что при любом k = 1, 2, ..., я многочлен / * \ t/n (х) делится на I х — cos я I. \ п +1 / Задача 55. Докажите, что коэффициент при старшем члене мно- многочлена Un(x) равен 2". Задача 56. Докажите, что при любом п ^ О [/»(*) = / я\/ 2я\/ яя\ = 2" { х — cos I I х — cos ) • • • I х — cos -—- I. \ n+1 / \ n+ 1 / \ n+1 / Задача 57. При каких man многочлен Um(x) делится на мно- многочлен Un(x)? Задача 58. Докажите, что при четных я многочлены Чебышева второго рода Un(x) четны, а при нечетных п нечетны. Задача 59. Докажите, что сумма произведений любого четного числа различных корней многочлена Un(x) нечетной степени равна нулю, 115
Задача 60. Докажите, что сумма произведений любого нечетного числа различных корней многочлена Un(x) четной степени рав- равна нулю. Задача 61. Докажите, что многочлен Un (x) наиболее уклоняется от нуля на концах отрезка и в п — 1 внутренних точках. Каких именно? Задача 62. Докажите, что \Un(x)\ <л+1, причем равенство достигается только на концах отрезка [— 1, + 1]. Задача 63. Докажите, что при п ^ 1 ия (х) = ——- —-—-—!—IL. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Ранее мы попытались интуитивно найти соотношение, которое позволило бы нам по уже известным многочле- многочленам Тп(х) и Tn-i(x) определить Тп+\(х). В дальнейшем займемся построением таких соотношений (называемых рекуррентными от латинского «рекурро» — бежать на- назад, возвращаться) между многочленами Тп(х) различ- различных степеней, многочленами Un(x) различных степеней, а также между многочленами Тп(х) и Un(x). Все они представляют собой точные алгебраические аналоги соответствующих тригонометрических тождеств, доказать которые читатель сможет без особого труда. Приведем далеко не полный перечень соотношений между мно- многочленами Чебышева первого рода. Задача 64. Докажите, что при п ^ 1 7-п+1(х) =2хТ„(х) -Тп-,(х). Полагая Тч(х) = 1, Т,(х) = х, получите с помощью этого рекуррент- рекуррентного соотношения многочлены Т„(х) до п — 10. Задача 65. Докажите, что при m 5s n Tm+n(x) +Tm-n(x) =2Tm(x)Tn(x). 116
Задача 66. Докажите, что при п ^ О Тгп{х) = 2Р (х)-1. Задача 67. Докажите, что при п Зг 1 хГп(*) = —[Л, .ц(*)+7\,_ Задача 68. Докажите, что хТ„ (х) = Г „+>(*) +с'гп+>-2(л:) +clTn+h-,(x Задача 69. Докажите, что = 2Т2к(х) - 2Г2„-2(л:) + 2Г2Й_4 W - ... ± Г„(л:). Соотношения между многочленами Чебышева второго рода не уступают по разнообразию соотношениям между многочленами Чебы- Чебышева первого рода. Задача 70. Докажите, что при п ^ 1 Un,rl(x) =2хи„(х)-ип^(х). Полагая U0(x) — 1, Ui(x) = 2x, получить с помощью этого рекур- рекуррентного соотношения многочлены Un(x) до степени п = 10 вклю- включительно. Задача 71. Докажите, что при п ^ 1 I/i(x) + U3(x) +...+ I/th-i(x) = Un-i(x)Un{x). Задача 72. Докажите, что Uo(x) + иг(х) + Ui(x) + ...+ Uzn-i(x) = u'n-i(x). Задача 73. Докажите, что Ut(x) +CnU,(x) +... + CnUini.l(x) =2nx"Vn + i(x). Наконец, нельзя не упомянуть и о «гибридных» соотношениях между многочленами Чебышева первого и второго родов. 117
Задача 74. Докажите, что при т ^ п Гт+„(х)-Гт_„(х) = 2(х2 Задача 75. Докажите, что при я ^ 1 2Г„(х) ?/n_i(x) = ?/*„_, (х). Задача 76. Докажите, что при т > « ?/m + n_i(x) + t/m_n_,(x) = 2Гп(х)[/т_,(х). Задача 77. Докажите, что при т> п t/m+n-l(-V) + t/m-n-l(x) = 2Гт (х) ?/„_, (х). Задача 78. Докажите, что при п ^ 1 Задача 79. Докажите, что Г|(дс)+Г,(дс)+... + Г,»_|(дс) = — 1/,»_|(дс). Задача 80. Докажите, что 2A-дс*)[1/о(дс) + 1/|(дс)+...+ 1/1»(дсI = 1-Г2п+2(х). Задача 81. Докажите, что 2A - х2) [l/,(x) + U3(x) +... + ?/2п_, (х)] = х - Г2п+1(х). НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ Из формулы тригонометрического определения мно- многочленов Тп(х) видно, что при любом п ^ 1 график мно- многочлена Чебышева первого рода не выходит из квадра- квадрата S со стороной, равной 2, и центром в начале коорди- координат (рис. 34). Размеры квадрата и его расположение относительно координатных осей обусловлены тем, что |*| = | cos ф| ^ 1 и |cos(n агссоэф) | ^ 1. Оказывается, что производные многочленов, графики которых не выходят из квадрата S, обладают удивитель- удивительными свойствами, установленными при не менее удиви- удивительных обстоятельствах. Чтобы пояснить, о каких имен- 118
но свойствах идет речь, начнем с одной задачи, которая в 1914 г. предлагалась на традиционной математической олимпиаде для выпускников средних школ (гимназий) в Венгрии [7]. Пусть на отрезке [— 1, + 1] график квадратного трех- трехчлена Рг(х) = ах2 + Ьх + с не выходит из квадрата S. Рис. 34. Квадрат S, в котором заключены графики всех мно- многочленов Чебышева. S -7 У 0 -1 UU1 V/ *7 х & Доказать, что его производная Р'2(х) —2ах-\-Ь на от- отрезке [— 1, + 1} удовлетворяет неравенству |Р'2(*)|<4, т. е. — 4 < Р' (х) = Чах + Ь < + 4. C4) Так как Р'г {х) = 2ах + b — линейная функция, то своего наибольшего и наименьшего значений она дости- достигает на концах отрезка [— 1, + П- Следовательно, нера- неравенство C4) будет доказано, если мы установим, что ни одно из значений Р'2 (— 1) = — 2а + b и Р\ (*) = 2а + b не может быть больше 4 и меньше —4. Поскольку гра- график квадратного трехчлена Р2(х) не выходит из квад- квадрата S, значения, принимаемые им на концах и в середи- 119
не отрезка [— 1, +1], по абсолютной величине не пре- превосходят единицы, т. е. - 1 < Рг{±1) = а±Ь + с^ + 1, | - 1 < /МО) = с < + 1. j C5) Последнее неравенство равносильно неравенству т. е. — 1 < - с < + 1. C6) Складывая неравенство C6) с первым из неравенств C5), получаем — 2^а±Ь<+2. C7) Записывая неравенство C7) отдельно для а + Ь и а — Ь и складывая оба неравенства почленно, находим — 4 ^ ^ (а + Ь) + (а — Ь) < + 4, т. е. — 2 s$ а < + 2. C8) Наконец, складывая почленно неравенства C7) и C8), приходим к неравенству — 4 < 2а ± b ^ 4. Оно означает, что -4</(- 1) = 2а-6 < +4 что и требовалось доказать. Как придумываются математические задачи, в кото- которых лаконизм формулировки сочетается с неожидан- неожиданностью и глубиной сообщаемого математического факта, а за кажущейся простотой коварно таится неожиданная трудность, обычно не известно. Но ход мысли того, кто 120
предложил только что рассмотренную нами задачу, ясен: она составлена под явным влиянием работы «Об одном вопросе Д. И. Менделеева», опубликованной замечатель- замечательным математиком А. А. Марковым A856—1922) в 1889 г. Эта задача является частным случаем доказанной в этой работе следующей теоремы А. А. Маркова о многочленах Чебышева (первого рода): если многочлен степени п Рп (х) = аохп + aixn-J + • • • + ап-\х + ап с вещественными коэффициентами удовлетворяет на от- отрезке [— 1, + 1] неравенству то его производная Р'п (х) удовлетворяет неравенству — п2 < Р'п (х) ^ п2. Величина | Р'п (х) | достигает своих предельных зна- значений только на концах отрезка [— 1, + 1] в т°м « только в том случае, если Рп(х) = ± Тп(х), где Тп(х) —много- —многочлен Чебышева первого рода степени п. Решенная нами задача — частный случай теоремы А. А. Маркова при п = 2. Какая же идея создателя знаменитой периодической системы химических элементов привела А. А. Маркова к формулировке и доказательству его теоремы? Путь к открытию еще одного свойства многочленов Чебышева на этот раз пролегал через ... исследование водных растворов спирта. Среди многих работ Д. И. Менделеева A834—1907), обогативших химическую науку, видное место занимает «Исследование водных растворов по удельному весу» A887 г.), стоившее автору по его собственному призна- признанию «наиболее труда» и бывшее «довольно канитель- канительным», впитавшее его мысли о физико-химической природе 121
растворов и привлекшее к изучению растворов многих молодых исследователей. Свою работу Д. И. Менделеев посвятил памяти мате- матери Марии Дмитриевны Менделеевой [18, с. 379]: «Это исследование посвящается памяти матери ее последы- последышем. Она могла взрастить его только своим трудом, ведя заводское дело; воспитывала примером, исправляла лю- любовью и, чтобы отдать науке, вывезла из Сибири, тратя последние средства и силы... завещала... настаивать ё труде, а не в словах; и терпеливо искать... научную правду, ибо понимала, сколь многое еще должно узнать и как при помощи науки без насилия, любовно, но твер- твердо, устраняются предрассудки, неправда и ошибки, а до- достигаются охрана добытой истины, свобода дальнейшего развития, общее благо и внутреннее благополучие. Заветы матери считает священными Д. Менделеев.» Изучая на протяжении более 20 лет свойства раство- растворов, Д. И. Менделеев пришел к убеждению, что «для по- понимания растворов следует преимущественно и точно изучить их удельный вес, как наиболее легко измеряемое механическое свойство, притом именно со стороны диф- дифференциальной, т. е. следует изучить изменение удель- удельного веса с переменою содержания» [18, с. IX]. Исследуя производные от плотности растворов s по процентному содержанию р спирта, Менделеев обратил внимание на изломанность прямых, «эти производные выражающих» (рис. 35). Оказалось, что скорость изме- изменения плотности раствора s от процентного содержания спирта р описывается четырехзвенной ломаной: при изменении р от 0 до 17,556 процента -Ф- = - 17,991 + 0,3916р; dp 122
при Изменении р ot 17,556 До 46 прбцейтоЁ ds -jy = -4,0975-0, при изменении р от 46 до 88,462 процента -3- = - 17,549 - 0,08866р; dp р, % 10 20 Я ЬО 50 60 10 80 90 у «а X * \ "^Ч о а* и? ч - _ — — — — -\ X Рис. 35. Ломаные (/—/V) Д. И. Менделеева, при изменении р от 88,462 до 100 процентов dp = + 8,192-0,3916р. -20 Каждая вершина ломаной, по мнению Д. И. Менде- Менделеева, отвечает одному из «соединений спирта с водой». Это означает, что на каждом из четырех участков зави- зависимость плотности раствора s от процентного содержа- содержания спирта имеет вид квадратного трехчлена, коэффи- коэффициенты которого при р2 и р мы найдем, читая «в обрат- обратную сторону» (справа налево) ньютоновскую формулу (Ахп)' = Апхп~К 123
Неопределенным останется лишь свободный член квад- квадратного трехчлена, т. е. восстановить параболу по произ- производной мы можем лишь с точностью до ее сдвига вверх или вниз вдоль направления оси s. Но у левого квадрат- квадратного трехчлена свободный член — значение s при р = 0 — совпадает с хорошо известной величиной — плотностью воды. Зная его, мы без труда найдем значе- значение s на правом конце первого участка, которое равно значению, принимаемому вторым квадратным трехчле- трехчленом на левом конце второго участка. Так, переходя от одного участка к другому, мы узнаем, чему равны недо- недостающие свободные члены и тем самым получим форму- формулы, выражающие зависимость плотности раствора от процентного содержания спирта: при р от 0 до 17,556 про- процента s = 9991,6 - 17,99/? + 0,1958р2; при изменении р от 17,556 до 46 процентов s = 9868,4 - 4,0975/? - 0,1958/?2; при изменении р от 46 до 88,462 процента s = 10166,6 - 17,549/? - 0.0443/?2; при изменении р от 88,462 до 100 процентов s = 9074,9 + 8,192/? - 0,1958/?2. Итак, главное — производные («весь .интерес дела заключается в производных»), и Д. И. Менделеев ставит вопрос: если на отрезке [pi, /?г] по данным измерений по- построен квадратичный трехчлен s = Б/?2 + Ар + С с точ- точностью до Д, то в каких пределах могут изменяться коэф- коэффициенты А, В, С, чтобы изменения s не превосходи- превосходили ± Д? Ответ на этот вопрос, сформулированный в общем виде, и был дан А. А. Марковым в его теореме о много- многочленах Чебышева. И снова мы видим, как математика, 124
черпая постановку задачи из одной области естествозна- естествознания, отвлекаясь от ненужных деталей и обобщая, создает удобный инструмент исследования широкого класса за- задач, казалось бы, не имеющих ничего общего с первона- первоначальной их постановкой. Результат, полученный Л. Л. Марковым, был обобщен его братом В. А. Марковым A871 — 1897), доказавшим в 1892 г. теорему для k-Pi производной многочлена «го порядка: пусть Рп (х) = аохп + а{хп-1 + ... + а„-4х + ап есть многочлен степени п. Тогда на отрезке [— 1, +1] max \PM(x)\ < я»(Я«-1) (л»-2») ¦¦•[*«-(*-!)»] [k+\).-.2k ] -тах|Яп(х)|. Величина Pih)(x) достигает своих предельных значе- значений в том и только в том случае, если Рп(х) = ЛТп(х), где Тп (х) — многочлен Чебышева первого рода степе- степени п; А — постоянная. Если первая производная есть скорость изменения величины, то вторая производная есть скорость изменения скорости, т. е. «ускоре- «ускорение», а k-я производная есть скорость изменения (k— 1)-й произ- производной. Применяя k раз формулу Ньютона дифференцирования одно- одночлена степени п, получаем (*»)<*) = п(п — 1) (я — 2) ... (п — k + 1)*"-*. Понижение порядка происходит до k = п, после чего все старшие производные тождественно равны пулю: скорость изменения постоян- постоянной величины равна нулю. Теорема А. А. Маркова открыла целое направление интереснейших математических исследований. Среди тех, кто продолжил изучение неравенств для производных, 125
был й замечательный немецкий алгебраист и специалист по теории функций Иссаи Шур A875—1941). В част- частности, ему удалось доказать две следующие теоремы. Теорема 1. Если Рп(х) —многочлен степени п с ве- вещественными коэффициентами и на отрезке [—1, +1] max то Равенство достигается в том и только в том случае, если Рп(х) = АТп(х), где Тп(х) —многочлен Чебышева первого рода степени п; А — постоянная. Если х0 — внутренняя точка максимума абсолютной величины Р'п (х) на отрезке [— 1, + 1], то при п ^ 3 Теорема 2. Пусть Рп(х) —многочлен степени п с ве- вещественными коэффициентами, который обращается в нуль на одном из концов интервала [—1., +1]. Тогда max|P' (х)\ «S n2cos-^-max \Рп{х)\. К результатам А. А. Маркова непосредственно при- примыкает и цикл исследований С. Н. Бернштейна A880— 1968), составивших содержание его книги «Экстремаль- «Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение не- непрерывных функций одной вещественной переменной» [3]. Приведем основное неравенство С. Н. Бернштейна, открытое в 1912 г.: если S(u) —тригонометрический мно- многочлен порядка п, т. е. S (Ф) = ao + ai cos О + fei sin О + аг cos2 О + + Ьг sin 2% + ... + ап cos лО + bn sin лО, 126
то max IS'Cd) | sg; nmax |S(ft) |, причем равенство до- достигается в том и только в том случае, когда S (Ф) = а„ cos n-Q -f bn sin nft. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ Формальный ряд — это многочлен, который «не кон- кончается», т. е. выражение вида f(x) = а0 -f (цх -f a-*2 -f ... -f an x* -f ... Формальные ряды, как и обычные многочлены, можно складывать, вычитать, умножать и (при соблюдении известной осторожности) делить, дифференцировать почленно и интегрировать (по производной восстанавли- восстанавливать исходный одночлен). Задать формальный ряд означает задать последова- последовательность ао, аи ..., ап, ... его коэффициентов, для ко- которых он по определению является производящей функ- функцией. Например, для геометрической прогрессии с пер- первым членом по = а и знаменателем q (ak = qa.k-i) произ- производящая функция имеет вид f (х) = ао + aix -f пгх2 -f ... = + qx + ...) =a + qxf(x), *)-«/(l-,*). C9) Выясним, как выглядит производящая функция для последовательности многочленов Чебышева первого рода @@( Итак, пусть f(X) = 1 + xt Каждый из многочленов Чебышева, стоящих в скобках, заменим разностью 2xTn-i(t) — 7"„-2@ (при п^2 та- такая замена возможна и определяется установленными нами рекуррентными соотношениями): 127
f(x)=\+xt + 2t(Tl(t)x* + -{T0{t)x*+Tl{t)x* + ...) = = l+xt + 2tx(f(x)-T0(t)) - откуда f(x)(x2 — 2tx + 1) = 1 и /(x) =l/(x»-2/x+l). D0) Если формулу D0) рассматривать как сумму геометри- геометрической прогрессии C9), то, развернув ее в формальный ряд, мы получим Tn(t) как коэффициент при хп. Существуют и другие, более сложные производящие функции, но развернуть их в формальный ряд сможет лишь умеющий дифференцировать. Такова, например, производящая функция ¦„ ' - У х2 — 21х + 1 «Глазам нашим открылось столько чудес!» — воскликнул, завершая рассказ о необычайных приключе- приключениях в дебрях Амазонки, герой романа А. Конан Дойля «Затерянный мир» Тэд Мелоун. «Глазам нашим откры- открылось столько чудес!» — можем эхом откликнуться мы, окидывая взглядом уже известные нам свойства много- многочленов Чебышева, по мир этих удивительных функций —¦ не островок, затерянный в бескрайних дебрях математи- математического анализа. Многочлены Чебышева — не экспонаты музея математических редкостей, а гибкий и универсаль- универсальный инструмент познания, активно применяемый совре- современными исследователями.
3. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА И РЯДЫ ФУРЬЕ ЧЕБЫШЕВСКИР1 БАЗИС Во введении мы упоминали о том, что многочлены стойко сопротивляются внешним воздействиям: при умножении многочленов на числа и сложении получаются многочлены. Именно это свойство многочленов имеют в виду математики, когда говорят, что многочлены обра- образуют линейное векторное пространство. Говорилось во введении и о том, что линейное вектор- векторное пространство образуют не только все, но и некото- некоторые многочлены, например многочлены степени не выше п при любом п ^ 0. Умножая многочлены на числа и скла- складывая, мы получаем линейные комбинации многочленов. Если брать линейную комбинацию многочленов степени не выше п, то получится также многочлен степени не выше п (почему?). В частности, любой многочлен сте- степени не выше п можно представить в виде линейной ком- комбинации стандартных многочленов 1, х, ..., хп. Именно так и выглядит привычная запись многочленов ап + щх + агхг + ... + а„хп. D1) Из основной теоремы алгебры следует, что линейная комбинация стандартных многочленов D1) тождественно равна нулю в том и только в том случае, если все коэф- коэффициенты й{ при i = 0, 1, ..., п равны нулю (почему?). Многочлены (функции, векторы и, вообще, элементы произвольного векторного пространства) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация Б Зэк. 563 129
равна нулю в том и только в том случае, когда все коэф- коэффициенты равны нулю. Так, стандартные многочлены 1, х, ..., хп линейно независимы. Многочлены, которые не являются линейно независимыми, называются линейно зависимыми. Если многочлены линейно зависимы, то их линейная комбинация обращается в нуль не только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. Например, многочлены 1, х, ..., хп, рп(х), где рп(х) — любая линейная комбинация стандартных многочленов 1, х,..., хп, линейно зависимы. Если рп {х) = Ьо + bix + ... + bnxn, то линейная комбинация \рп (х) — Ьо — bix — ... — bnxn тождественно равна нулю, хотя коэффициент при рп{х) отличен от нуля (равен единице). На линейной независимости стандартных многочле- многочленов основано, в частности, часто используемое в различ- различного рода расчетах определение равенства двух много- многочленов: два многочлена тождественно равны в том (и только в том) случае, если равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Задача 82. Докажите, что при любом п > 0 и k = 0, 1, ..., п многочлен хк не представим в виде линейной комбинации остальных стандартных многочленов. Задача 83. Докажите, что при любом п ^ 0 многочлены Чебы- шева первого рода Тп (х) линейно независимы. Задача 84. Докажите, что при любом п > 0 многочлены Чсбн- шова второго рода Un(x) линейно независимы. При любом п ^ 0 пространство многочленов степени не выше п содержит п + 1 линейно независимых много- многочленов (так как по доказанному стандартные многочлены 1, х, ..., хп, а их п + 1, линейно независимы). В то же время пространство многочленов степени не выше п не 130
содержит более чем п + 1 линейно независимых много- многочленов (так как любой многочлен степени не выше п представим в виде линейной комбинации стандартных многочленов; присоединив же к стандартным многочле- многочленам 1, х, ..., хп любую их линейную комбинацию, мы по доказанному получим систему линейно зависимых много- многочленов). Следовательно, я+1—наибольшее число ли- линейно независимых многочленов в пространстве много- многочленов степени не выше п. По определению наибольшее число линейно независи- независимых элементов (векторов на плоскости, многочленов и т. д.) линейного векторного пространства называется его размерностью. Следовательно, размерность простран- пространства многочленов степени не выше п равна п + 1. Система из k линейно независимых элементов &-мер- ного линейного векторного пространства называется ба- базисом. Так, из доказанного выше и задач 79 и 80 следует., что {xk}, {Tk(x)} и {1, Un{x)} при k = 0, 1, ..., п есть базисы в пространстве многочленов степени не выше п (базис {хк} называется степенным, базис {Th(x)} — че- бышевским). Так как любой базис содержит максимально возмож- возможное число линейно независимых многочленов, то присое- присоединив к нему любой многочлен из другого базиса, мы получим линейно зависимые многочлены. Нетрудно дока- доказать, что присоединенный многочлен представим в виде линейной комбинации многочленов первого базиса (или, как принято еще говорить, допускает разложение по мно- многочленам первого базиса). Задача 85. Докажите, что справедливы следующие разложения: 1 = То(х); 131
x" = 1/8(ЗГ0(х) + 4Тф) + Г4(х)); *»= 1/16A07", (л-) +57-3(х) + Г»(*)). Задача 86. Докажите, что стандартные многочлены x2h при k = 0, 1, ... допускают разложение по многочленам Чебышева пер- . вого рода четных степеней, a x2ft+1 — по многочленам Чебышева пер- первого рода нечетных степеней. Задача 87. Разложите но многочленам Чебышева первого рода многочлены Чебышева второго рода. Итак, любой многочлен степени не выше п может быть разложен по базису. Единственно ли такое разло- разложение? О единственности разложения по степенному ба- базису мы уже говорили: два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, если равны коэффи- коэффициенты при соответствующих степенях неизвестного. Предположим, что некоторый многочлен р(х) допу- допускает неедипствеииое разложение по чебышевскому ба- базису {Тк{х)}, т. е. р(х) = А0Т0(х) + • •. + ЛпТп(х) - = Яо7о(х) + ... + Я„Г„(х), где Ah ф Ви по крайней мере при одном k = 0, 1, ..., п. Это означало бы, что существует тождественно равная нулю линейная комбинация многочленов Чебышева Th (x) (Л - ВоOо(х) +...+ (Лп - Вп)Тп(х), у которой по крайней мере один коэффициент Ah — Bk отличен от нуля. Но это противоречит линейной незави- независимости многочленов Th(x). Следовательно, любой мно- многочлен допускает единственное разложение по чебышев- чебышевскому базису. ЧЕБЫШЕВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Итак, любой многочлен мы всегда можем представить в виде линейной комбинации многочленов Чебышева (как, впрочем, и любых других многочленов, образую- образующих базис в линейном пространстве многочленов). «Мо- 132
жем-то можем,— заметит скептически настроенный чита- читатель,— но для чего это нужно? Разве степенного базиса нам недостаточно?» «Смотря для чего»,— ответим мы. Тем не менее, вопрос о выборе наиболее удобного ба- базиса не так прост, и ответ на него зависит от того, какую задачу мы собираемся решать. Так, во многих случаях чебышовскпй базис обладает неоспоримыми преимущест- преимуществами перед всеми другими базисами многочленов, в том числе и перед степенным базисом. К числу задач, в кото- которых чебышевский базис оказывается более удобным, принадлежит важная задача о вычислении значений раз- различных функций. Действительно, как бы мы стали вычислять lg 12,083 или sin 173,25, если бы у нас под рукой не оказалось ни таблиц, ни микрокалькуляторов с кнопками lg и sin, ни тем более «настоящей» ЭВМ со стандартными програм- программами для вычисления логарифма и синуса? Во введении мы упоминали о теореме Вейерштрасса, утверждающей, что для каждой «хорошей» функции па отрезке найдется многочлен, отличающийся от нее в любой точке отрезка на величину, не превосходящую допустимого отклонения. Это действительно так. Беда лишь в том, что теорема Вейерштрасса ничего не говорит о способе построения приближающего, или аппроксимирующего, многочлена. Теорема Вейерштрасса принадлежит к числу так называемых чистых теорем существования; утверждая, что приближающий мно- многочлен существует, она умалчивает о том, как его построить. Не следует думать, что теоремы существования бесполезны: они говорят нам, что множество многочленов, отличающихся от интере- интересующей иас функции на заданном отрезке, непусто (заранее это не очевидно). Следовательно, мы можем надеяться, что иам удастся найти приближающий многочлен. Если бы была доказана теорема о том, что приближающий многочлен не существует, то от попыток построить его пришлось бы заранее отказаться. В курсе математического анализа доказывается, что каждая «хорошая», т. е. удовлетворяющая ряду условий, 133
функция порождает «бесконечный многочлен» — ряд Тейлора: f(x) -*-ao + aiX + a2x2 + ..., D2) который сходится (т. е. имеет определенный предел), причем в случае «хорошей» функции стрелку в D2) мож- можно заменить на равенство (сумма ряда, или предел, к ко- которому ряд сходится, совпадает с функцией, породившей ряд Тейлора). Вот как выглядят, например, ряды Тейлора для наиболее известных функций: A ± х)т = 1 ± тх + Ш 2~ х2 ± I (_f_ J \ П , + ... т(т — 1) ... (т — п + 1) (т>0, \х\ < 1); _ m(m+l)(m + 2) ^ ( _ ( п! (т<0, |л;| < 1); 134
(xina)' (xlnc)" sin* = *- —+ _-.. , л:2 , xi *« cos * = 1 (- 2! 4! 6! ~ <43) Выбирая более или менее длинный отрезок ряда, мы получаем многочлен, приближающий функцию с задан- заданной точностью. Вычисление ряда Тейлора по заданной функции не составляет труда для тех, кто умеет диффе- дифференцировать, т. е. находить по функции производную: коэффициент при хп в разложении равен f<n>(O)/n!, где f(n>@) —значение я-й производной от функции $(х) при х = 0, а я! = 1 • 2 •••«. Казалось бы, путь к желанной цели открыт: мы рас- располагаем не только теоремой Вейерштрасса, гарантирую- гарантирующей существование приближающего многочлена, но и способом, позволяющим построить по заданной функ- функции приближающий ее многочлен. Если говорить о прин- принципиальной стороне дела, то знание ряда Тейлора дейст- действительно позволяет нам вычислить значение функции 135
в любой точке из области ее определения с любой точ- точностью. Но практическая сторона таких вычислений оставляет желать лучшего: для достижения требуемой точности иногда приходится брать много членов ряда Тейлора (в таких случаях говорят, что ряд Тейлора схо- сходится медленно). Возникает вопрос, который П. Л. Чебы- шев назвал общим для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для дости- достижения по возможности большей выгоды? Применительно к задаче о вычислении значений функции это означает: как найти многочлен, приближающий заданную функ- функцию с требуемой точностью, но более короткий, чем отре- отрезок ряда Тейлора, обеспечивающий ту же точность при- приближения? Найти более удобное для вычислений приближение функции нам помогают многочлены Чебышева Ти(х). Оказывается, что разложение по Tk(x) сходится быст- быстрее, чем no xh и по любым другим многочленам. Значит, для достижения одной и той же точности разложение по Tit{x) можно оборвать па члене с меньшим номером, чем разложение по х'К После того как линейная комбинация многочленов Чебышева, дающая требуемую точность, найдена, можно собрать все члены одной степени xh, т. е. переразложить полученное приближение по степенному базису, и работать с ним, как с обычным многочленом. Вот как это делается. Предположим, что нам требуется вычислить In 2. За неимением таблиц и прочих вычислительных средств обращаемся к разложению 1пA + х) в ряд Тейлора D3) и подставляем х — 1. Ряд D3) сходится очень медленно. Отрезок из первых пяти его членов имеет вид у2 у!! у4 у5 ln(l + x)«x_JL_ + _iL_.:L_ + _ D4) Подставляя вместо х, х2, ..., хь их выражения через 136
многочлены Чебышева (см. задачу 85), переразлагаем правую часть представления D4) по чебышевскому ба- базису: + -1 -1_ —•- ВД + -~ Ti(x) - | ^ Г() 7() + + ^ Г»(х) g 7*(дс) + 75(дс). D5) При х = 1 отбрасывание последнего члена в разложении D4) изменяет значение In 2 на 1/5. Отбрасывание трех последних членов в разложении D5) изменяет это зна- значение меньше, чем па 7 ... 1 , 1 19 1 48 ~ 32 ^80 15-32 5,2 (мы воспользовались здесь тем, что |7\(*)| «^ 1 на [—1, +1]). Следовательно, при вычислении In 2 чебы- шевское приближение In A + х) « - -Jy- Го (х) + -у- 7, (*) - -|- 72 (дс) D6) дает более точный результат, чем разложение D4). Чебышевское разложение можно снова превратить 137
в обычный многочлен, если воспользоваться разложения- разложениями многочленов Ти(х) по степенному базису. Подставляя в D6) То(х) = 1, Tt(x) = х, Т2(х) = 2*2— 1, получаем _ А B*2-1) = l+* 32 ' 8 4 Итак, переход от степенного разложения D4) к чебы- шевскому разложению D7) и от него — снова к степен- степенному разложению D7) (с попутным «отсеиванием» лиш- лишних членов, изменяющих вычисляемое значение на величину, меньшую, чем ошибка первоначального при- приближения D4)), дает ощутимую выгоду. Так, при О ^ х ^ 1 значения 1пA + *) могут быть вычислены при помощи квадратного трехчлена D7) с той же точ- точностью, что и по пятичленной формуле D4). В общем случае длинный отрезок степенного ряда после переразложения по чебышевскому базису дает приближающий многочлен значительно меньшей степе- степени, так как многие старшие члены чебышевского разло- разложения изменяют значение вычисляемой величины в пре- пределах ошибки первоначального разложения, и их без особого ущерба можно отбросить. Задача 88. Найдите начальные отрезки чебышевских разложений для бинома с положительным и отрицательным показателями, экспо- экспоненты и показательной функции, синуса и косинуса. КАК ОПУСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ИЗ ФУНКЦИИ Во введении мы говорили о том, что линейное вектор- векторное пространство многочленов можно превратить в евклидово пространство, задав скалярное произведение, «сконструированное» по образу и подобию скалярного 138
произведения «настоящих» векторов на плоскости или в пространстве. Для многочленов Чебышева первого рода Тп (х) скалярное произведение имеет вид -1 У 1 - х* Как именно вычисляется интеграл в правой части, для нас сейчас несущественно. Важно лишь, что- (Тт(х), Тп(х)) = О при m Ф п, л при m = п Ф 0, D9) я при m = п = 0. Мы видим, что многочлены Чебышева с различными но- номерами ортогональны: их скалярное произведение равно нулю. Докажем, что из ортогональности многочленов Чебышева Tk(x) следует их линейная независимость. Рассмотрим линейную комбинацию а0Т0 {х) + aJi (х) + ... + апТп (х), тождественно равную нулю. Умножив ее на Ти(х) при k = 0, 1, ..., п и вычислив скалярное произведение по формуле D8), получим ak(Th(x),Tk(x)) =0 (из-за ортогональности многочленов все остальные ска- скалярные произведения равны нулю). Но (Ти(х), Ти(х))Ф ф 0 (см. D9)), поэтому аи = 0. Следовательно, линейная комбинация многочленов Чебышева тождественно равна нулю в том и только в том случае, когда все коэффи- коэффициенты равны нулю, что и доказывает линейную незави- независимость многочленов Ти(х). 139
Подчеркнем, что мы нигде не использовали конкрет- конкретный вид скалярного произведения и то обстоятельство, что Тн(х) — многочлены. Поэтому вывод о линейной не- независимости многочленов Тп(х) распространяется на систему любых ортогональных функций. Например, периодические функции удобно прибли- приближать «тригонометрическими многочленами», представ- представляющими собой линейные комбинации конечного числа функций 1 и sin х, sin 2x, sin Зх, ..., 1 о о < E0) cos х, cos 2x, cos Зх, ..., J ортогональных на отрезке [— я, + л] относительно ска- скалярного произведения +я (iuh) = i h(x)h(x)dx. E1) —я Для любой функцнн / нз E0) (/. /) = л (т. е. на отрезке [— я, + я] любой синус или косинус из E0) имеет длину У я, если скалярное произведение по- понимать в смысле E1), а во всех остальных случаях оно равно нулю). Из ортогональности функций E0) следует, что они линейно независимы. Разложение в бесконечные тригонометрические мно- многочлены f (х) = ао/2 + d cos х + bi sin x + + «и cos 2x + />2 sin 2x + .. . + o,, cos nx + bn sin nx + ... называется рядом Фурье, а его коэффициенты — коэффи- коэффициентами Фурье в честь французского математика Ж. Б. Фурье A768—1830), одним из первых представив- 140
шсго в таком виде произвольную периодическую функцию. Понятие скалярного произведения позволяет по-но- по-новому взглянуть на задачу приближения произвольной функции конечным набором заданных ортогональных функций. Пусть f (х) — некоторая функция, {fi(x) fn(x)} — конечный набор ортогональных функций, (,) — скаляр- скалярное произведение. Требуется найти такую линейную ком- комбинацию /•'(я) функций fi(x), для которой разность f(x)—F(x) была бы наименьшей («длину» разности f(x) — F(x) мы измеряем величиной У (f — F, f — F)). Отвлечемся на время от нашей задачи и обратимся к школьной геометрии. Напомним, что прямая АВ назы- называется перпендикулярной плоскости Р, если она перпен- перпендикулярна ко всем прямым, проходящим через точку ее пересечения с этой плоскостью и лежащим в этой пло- плоскости (рис. 36). Точка В — основание перпендикуляра, Рис. 36. Перпендикуляр и на- наклонная. опущенного из точки А на плоскость Р,— называется ортогональной проекцией точки А на плоскость Р. Со времен Евклида известно также, что перпендикуляр АВ короче любой наклонной АС, проведенной из точки А к плоскости Р. Нетрудно заметить, что определение прямой, перпен- перпендикулярной плоскости, включает слишком много требо- требований: прямая АВ перпендикулярна ко всем прямым, 141
лежащим на плоскости Р и проходящим через точку В, если она перпендикулярна к любым двум несовпадаю- несовпадающим прямым, лежащим в плоскости Р и проходящим через точку ее пересечения с плоскостью Р. Аналогия между геометрической задачей о построении перпендикуляра АВ и нашей задачей об отыскании ли- линейной комбинации функций fi(*), • ••> fn(x), опреде- определяющей наилучшее приближение функции f(x), очевид- очевидна: множество всех линейных комбинаций функций fi(x), ..., fn(x) образует нечто вроде плоскости Р, функ- функцию f(x) можно уподобить точке А, комбинация, даю- дающая наилучшее приближение, соответствует точке В, а ошибка — длине перпендикуляра АВ. Действительно, пусть F(x) =с&(х)+... + СпЫ{х) есть та самая линейная комбинация, которая служит наилучшим приближением функции f (x). Разность f(x) — F(x) («перпендикуляр АВ») должна быть перпендикулярна к «плоскости Р» — множеству всех линейных комбинаций функций fi(x), i = 1, ..., п. Для этого достаточно (почему?), чтобы она была «пер- «перпендикулярна» к каждой из линейно независимых функ- функций /«(*)¦ т- е- чтобы (f(x)-F(x), f.(x)) -О при s = 1, ..., и, откуда (f(x),fs(x))-cs(fs(x),fa(x)) =0 или с. = Ж'кЛМ!- E2) В числителе формулы E2) стоит «проекция» функ- функции f(x) на функцию js(x) (а в знаменателе —квадрат длины функции fs(x)). Это и означает, что наилучшее 142
приближение к функции f (х) из всех линейных комбина- комбинаций функций fi(x) fn(x) дает та, которая соответ- соответствует «основанию перпендикуляра», опущенного из f(x) на подпространство (fi(x), ..., fn(x)}. Использованная нами геометрическая аналогия пред- представляет собой частный случай геометрии бесконечно- бесконечномерных пространств, в которых «точками» служат функ- функции. Бескопечномерность означает, что пространство спо- способно вместить неограниченно много линейно независи- независимых функций. Например, взглянув на бесконечные разло- разложения таких функций, как экспонента, косинус, синус или логарифм, мы заметим, что они не укладываются ни в ка- какое конечномерное пространство. Это и означает, что их способно вместить только бесконечномерное простран- пространство. Геометрию бесконечномерных пространств функций построил замечательный немецкий математик Давид Гильберт A862—1943). Такие пространства получили название гильбертовых. Многочлены Чебышева {Тп(х)}—лишь один из возможных ортогональных базисов в гильбертовом про- пространстве, хотя и весьма примечательный. Ортогональ- Ортогональность— свойство весьма важное. Не будь его, мы были бы вынуждены пересчитывать заново все коэффициенты приближения к заданной функции при любом увеличе- увеличении числа многочленов, по которым происходит разложе- разложение. Ортогональность избавляет нас от скучной и трудо- трудоемкой работы: уточнения касаются лишь «проекций» на новые многочлены, а все «проекции» на старые остаются без изменений. СВЯЗЬ С РАЗЛОЖЕНИЕМ ФУРЬЕ Многие свойства многочленов Чебышева следуют из «тригонометрического определения» Тп (х) = cos (n arccos *). 143
Вычисление коэффициентов разложения функции f(x) по чебышевскому базису на основе «формулы ортого- ортогональной проекции» E2), принимающей вид j_f НхЩх) « Ji У 1-х2 сводится к вычислению коэффициентов Фурье, если воспользоваться все тем же «тригонометрическим опреде- определением». Действительно, пусть х = cos t и F(t) =/(cos/). Тогда F(t)—четная функция переменной t (почему?). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье только но косинусам (почему?) F (t) = ао/2 + fli cos t + • • • + Яп cos «/+••• Подставляя / = arccos x, т. е. по существу используя «тригонометрическое определение» многочленов Чебыше- ва, получаем f(x) = Таким образом, коэффициенты разложения функции f(x) по чебышевскому базису совпадают с коэффициен- коэффициентами Фурье вспомогательной функции F(t) =f(cost). А так как разложение по многочленам Чебышева един- единственно, то коэффициенты а, совпадают с коэффициен- коэффициентами си вычисляемыми по формуле E2). Во многих слу- случаях этот прием облегчает вычисление коэффициентов чебышевских разложений. Вычислим в качестве примера коэффициенты разло- разложения функции еах по чебышевскому базису. Докажем, что разложение вспомогательной функции F(t) = eacost в ряд Фурье имеет вид F(t) = ea«>st = /0(а) + 2 J;/n(a)cosn/, E3) n=l 144
где коэффициентами /„(а) при косинусах служат так называемые функции Бесселя мнимого аргумента /г-го порядка: /о(а) = \+ со / « Г+2 'п(в) ~2j E4) ft=0 (n Для сокращения записи воспользуемся знаком 2 при обозиаче- ннн суммирования: Jj?J означает, что суммирование проводится по всем / от 1 до и, а ^ означает сумму по k от — оо до + оо. Функции Бесселя, возникшие здесь несколько неожиданно для читателя,— не какая-нибудь математическая диковииа или редкость. Оии часто встречаются в различных прикладных задачах и принад- принадлежат к числу замечательных функций, известных под названием специальных. Возникло это название потому, что специальные функ- функции ие сводятся к конечным комбинациям так называемых элемен- элементарных функций: многочленов, тригонометрических функций, степен- степенной и показательной функций и логарифма, а определяются как решения некоторых (дифференциальных) уравнений, требующие осо- особого, или специального, изучения. Функции Бесселя возникают в различных задачах чаще других специальных функций и по своим свойствам очень близки к таким элементарным функциям, как экспонента и тригонометрические функ- функции (те и другие являются решениями линейных дифференциальных уравнений). Свое название эти замечательные функции получили в честь знаменитого немецкого астронома Фридриха Вильгельма Бес- Бесселя A784—1846), о котором Ф. Кэджори писал в «Истории мате- математики»: «Пристрастие к числам и ненависть к латинской грамматике привели его к выбору коммерческой профессии. Желая сделаться капитаном торгового судна, ои заинтересовался теорией навигации... Успех привел его к изучению астрономии... Поощренный Ольберсом, ои бросил свои мечты о богатстве, сделав выбор: бедность и звезды» [11, с. 50]. 145
Условимся считать, что для целых отрицательных я величина 1//г! равна нулю. Тогда разложение функции ех можно продолжить «в обе стороны» и записать в виде- X"* л:" —2V («> п Кроме того, формулу бинома Ньютона можно предста- представить так: т = У! У! tS nl(m-n)\ —,, Ш! V. anbm~n. E6) ^ п\(т-п)\ ' Формулы E4) после продолжения запишутся в виде <57> k v Пусть я + ft = /. Тогда я + 2ft = я + 2(/ — я) = — я + + 2/, ft = - я + /, и 1 / а \-«и« „(„+0| ( С другой стороны, заменяя в E7) я на — я, получаем /-.w-2 i-.tmilT) • <59) Сравнивая E8) и E9) при целых я, заключаем, что /„(о) =/_„(о). F0) Это позволяет записать формулу E3), которую требуется доказать, в виде F(t) = e«cost = 2In(a)cosnt. F1) n 146
Докажем формулу F0). Воспользуемся разложения- разложениями E5), E6) и формулой Эйлера pit _1_ p-it cos t = у ¦ F2) Итак, Vf am cosm t eacos( = > ат \^-т)и. F3) 2/ k\{m — k)\ Переставив et( и e~u в F2), получим - acosJ - V* V* / a \m * -2h-mi ~~ ^™ ^™ \ ~2~/ ^u^j ^\ j e F4) Складывая отдельно левые и правые части равенств F3) и F4) и деля полученные суммы пополам, находим F (t) = eacost = in ft - Пусть n = m — 2k, тогда m — k = n -\- k, tn = n -\- 2k, и F5) преобразуется к виду 147
/n(a)cos nt, что и требовалось доказать. Полагая cos t = х, получаем еах = /о (а) + 2 2 1п (а) Т„ (х). F6) В частности, при а = 1 находим чсбышевское разложе- разложение для ех. Задача 89. Пользуясь чсбышсвским разложением F6) и тем, что функции Бесселя вещественного аргумента 1н(х) связаны с функ- функциями Бесселя мнимого аргумента E4) соотношением h(ix) = ih/i,(x), докажите, что cos ax -/„(и) +2 jr (-1)*Ма)Г2„(*); sina.* =
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ВЕЗДЕСУЩИЕ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЕ Только кончая задуманное сочи- сочинение, мы уясняем себе, с чего нам следовало его начать. Блез Паскаль. «Мысли» Итак, окончен трудный и, надеемся, интересный путь. Мы подошли к концу нашей книги, но, разумеется, тема «Многочлены Чебышева» далеко не исчерпана: о них мы знаем теперь много больше, чем знали, но не все. Чудес- Чудесные многочлены, родившиеся иод мерный шум маховика паровой машины, мелькающие среди причудливых фигур Лиссажу на экранах осциллографов, поистине вездесущи, и как бы мы ни начали свой рассказ о них, у пас всегда останется в запасе множество других не менее привлека- привлекательных вариантов «зачина». Свой рассказ о многочленах Чебышева мы могли бы начать, например, с того, как Ньютон, Грегори, Лагранж и другие пытались решить задачу об интерполяции функ- функций, т. с. о построении приближения к ним на отрезке по значениям, принимаемым функциями в отдельных точ- точках. При использовании равноотстоящих точек прибли- приближение даже «хорошей» функции обычными степеннымм многочленами наталкивается на значительные трудности. При увеличении числа точек п ошибки приближения не обязательно стремятся к нулю, хотя в выбранных точках приближающий многочлен совпадает с приближаемой функцией. Например, при степенной интерполяции по равноот- равноотстоящим точкам на отрезке [—1, + 1] даже такой про- простой, казалось бы, функции, как у = 1/A + 25*2), Опре- 149
деленной вместе со всеми производными на всей вещест- вещественной оси, ошибка при увеличении числа точек п неограниченно возрастает всюду, кроме самих точек де- деления. Лишь при переходе к тригонометрическим много- многочленам удается построить равномерную интерполяцию по равноотстоящим точкам, т. е. найти приближение к заданной функции, дающее ошибку одного и того же порядка на всем отрезке. Многочлены Чебышева позво- позволяют превратить тригонометрические многочлены в сте- степенные, сохранив при этом равномерное приближение. В этом, в частности, проявляется глубокое внутреннее родство многочленов Чебышева с тригонометрическими многочленами и рядами Фурье. Мы могли бы начать свой рассказ о многочленах Чебышева и с того, как во время второй мировой войны английский математик Гарри Бейтмен A882—1946), работавший в США, занимался составлением справоч- справочника по специальным функциям (так в отличие от эле- элементарных функций, с которыми мы знакомимся в шко- школе, принято называть функции, возникающие при реше- решении некоторых уравнений и требующие специального изучения). Бейтмен был блестящим знатоком специаль- специальных функций и знал о них все, что можно было и стоило знать. Все сведения о литературных источниках он зано- заносил на карточки, которые хранил в коробках из-под боти- ботинок. Дело быстро продвигалось, но довести задуманный проект до конца Бейтмен не успел. После его смерти сокращенный вариант проекта потребовал усилий трех выдающихся знатоков и целого штата технических со- сотрудников и вылился в издание трех томов «Высших трансцендентных функций» и двух томов «Интегральных преобразовании». Важное место в проекте Бейтмена отводилось ортого- ортогональным многочленам. Мы могли бы рассказать об их свойствах: о том, что каждый ортогональный многочлен степени п имеет внутри соответствующего отрезка [а, Ь] 150
ровно п корней, что нули ортогональных многочленов с «соседними» номерами перемежаются, что все ортого- ортогональные многочлены четной степени четны, а все ортого- ортогональные многочлены нечетной степени нечетны; что нули их при п -*¦ оо имеют одинаковое предельное распреде- распределение. Мы могли бы рассказать об универсальных, или всеобъемлющих, многочленах Якоби, частными случаями которых являются все ортогональные многочлены, в том числе и многочлены Чебышева. Мы могли бы начать с истории о том, как в 1933 г. Геофизический институт обратился к известному совет- советскому математику академику Н. Н. Лузину A883—1950) с просьбой проанализировать широко применявшийся в то время метод предсказания погоды по данным метео- метеорологических наблюдений, собранных за большой период (так называемый метод периодограмм), и выяснить его обоснованность. Суть метода периодограмм состояла в представлении эмпирических кривых (построенных по данным наблюдений) тригонометрическими многочлена- многочленами — суммами конечного числа синусоид. Амплитуды, начальные фазы и периоды синусоид подбирались так, чтобы тригонометрический многочлен наименее укло- уклонялся от эмпирической кривой на том отрезке, на кото- котором производились наблюдения. Считалось, что и вне этого отрезка многочлен хорошо согласуется с представ- представляемой эмпирической кривой и, следовательно, может быть использован для предсказания значений, принимае- принимаемых кривой «в будущем» — за пределами интервала наблюдений. Произведенный Н. Н. Лузиным анализ показал, что естественные границы применимости метода весьма узки, и вне их прогноз на основе периодограмм давал фанта- фантастические результаты, не имевшие ничего общего с истин- истинными закономерностями. Как и приближения эмпириче- эмпирических кривых на основе других (нетригонометрических) функций, периодограммы оказались непродолжаемыми 151
за пределы того отрезка времени, в течение которого производились наблюдения. Миф о надежности периодо- периодограмм как основы прогноза был развеян окончательно и бесповоротно: обоснованный прогноз надлежало строить на иных принципах. Помимо необычайно важного для практических при- приложений отрицательного вывода о непригодности перио- периодограмм, Н. Н. Лузин получил не менее значимый поло- положительный результат: решив задачу о многочленах, наименее уклоняющихся от заданной функции (эмпири- (эмпирической кривой), он открыл новый класс многочленов, аналогичных по своим свойствам многочленам Чебышева и переходящих в них в том случае когда приближаемая кривая на всем отрезке, в течение которого производятся наблюдения, тождественно равна нулю. Мы могли бы начать с рассказа о косинусе комплекс- комплексного числа, который может быть больше единицы, и рас- рассмотреть многочлены Чебышева не только на отрезке [— 1, + 1], но и на всей вещественной оси, задав их ре- рекуррентным соотношением Tn+l(x) =2xTn{x)-Tn-i{x), То(х) = 1, Ti(x) = х, и>0. Тригонометрическое определение при х > 1 нам бы при- прибилось рассматривать в комплексной области, где оно остается в силе. Мы могли бы начать... Впрочем, закончить наш рас- рассказ о многочленах Чебышева не менее трудно, чем на- начать его. Мы могли бы рассказать о двумерных аналогах мно- многочленов Чебышева, тесно связанных с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на квадрате \х\ ^ 1, \у\ ^ 1. Не менее интересно было бы познакомиться и с многочленами Чебышева, заданными не на всей оси, а лишь в целых точках. Мы могли бы рассказать и о наи- 152
более экономных таблицах функций и о многом другом, но пора ставить точку. Изменив лишь одно слово во вве- введении к «Оптике» Ньютона, мы позволим себе выразить надежду, что изложенного достаточно в качестве введе- введения читателям с быстрым умом и хорошим пониманием, но еще не опытным в математике.
ЛИТЕРАТУРА 1. Арсеньев А. Л., Самарский А. А. Что такое математическая физика.— М.: Знание, 1983.—63 с. 2. Бернулли И. Избранные сочинения по механике.— М.— Л: ГТТИ, 1937.—297 с. 3. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилуч- наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной пере- переменной.—М.—Л.: ОНТИ, 1937.—203 с. 4. Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым.— Квант, 1983, № 4, с. 12—15. 5. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика. Предмет, логика, особенности подходов.— Киев: Науко- ва думка, 1976.—269 с. 6. Бурбаки Н. Архитектура математики.— Математическое про- просвещение, 1960, в. 5, с. 99—112. 7. Венгерские математические олимпиады.— М.: Мир, 1976.— 543 с. 8. Венцель Е. С. Методологические особенности прикладной ма- математики па современном этапе.— В кн.: Математики о математике. М.: Знание, 1982, с. 37—55. 9. Гарднер М. Математические досуги.— М.: Мир, 1972.—496 с. 10. Гельман А. Е. Рекуррентный метод вычисления корней алгеб- алгебраического уравнения.— Математическое просвещение, 1961, в. 6, с. 171—180. 11. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле.— М.: Гостехиздат, 1948.—424 с. 12. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочок.— М.— Л.: ОНТИ ГТТИ, 1935.—350 с. 13. Конфедератов И. Я. Джемс Уатт — изобретатель паровой машины.—М.: Наука, 1969.-223 с. 14. Крылов А. Н. Пафнутий Львович Чебышев. Биографический очерк.— В кн.: Крылов А. Н. Воспоминания и очерки. М.: Изд-во АН СССР, 1956, с. 488—502. 15. Лишевский В. П. Педагогическое мастерство ученого.— М.: Наука, 1975.—119 с. 154
16. Ляпунов А. М. Пафнутий Львович Чебышев.— В кн.: Чебы- шев П. Л. Избранные математические труды. М.— Л.: Гостехиздат, 1946, с. 9—21. 17. Максвелл Дж. К. Речи и статьи,—М.: Наука, 1968.—422 с. 18. Менделеев Д. И. Растворы.—Л.: Изд-во АН СССР, 1959.— 1163 с. 19. Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций.— М.— Л.: Гостехтеориздат, 1951.—128 с. 20. Ньютон И. Математические начала натуральной филосо- философии.— В кн.: Собр. тр. акад. А. Н. Крылова. М.— Л.: Изд-во АН СССР, 1936.—Т. 7.-696 с. 21. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения.— М.: Изд-во иностр. лит., 1957.—535 с. 22. Пойа Д. Как решать задачу.— М.: Учпедгиз, 1959.—207 с. 23. Предтеченский Е. А. Кеплер, его жизнь и научная деятель- деятельность.— Петроград, 1921.—143 с. 24. Реньи А. Трилогия о математике.— М.: Мир, 1980.—376 с. 25. Стеклов В. А. Теория и практика в исследованиях Чебыше- ва.— Успехи математических наук, 1946, т. 1, № 2 A2), с. 4—11. 26. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной ма- математике.— М.: Наука, 1979.—206 с. 27. Штейнгауз Г. Задачи и размышления.—М.: Мир, 1974.—400 с. 28. Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов.— В ки.: Поли. собр. соч. М.— Л.: Изд-во АН СССР, 1947, т. 2, с. 23—51. 29. Чебышев П. Л. Поли. собр. соч. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1951, т. 5.-474 с.
СОДЕРЖАНИЕ Введение. Что такое многочлен? 3 1. Известные под иазваинем параллелограммов 22 Чудаки — математики? 22 Как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды 28 Параллелограмм Уатта 34 Задачи на наибольшие и наименьшие значения .... 45 Многочлены, наименее уклоняющиеся от пуля .... 61 2. Многочлены Чебышева 84 Формула Муавра 84 Многочлены Чебышева первого рода 88 Многочлены Чебышева первого рода и фигуры Лмссажу 92 Формула Эйлера и многочлены Чебышева 93 Пули многочленов Чебышева первого рода 101 Коэффициент при старшем члене 105 Четность многочленов Чебышева первого рода .... 107 Уклонение от нуля 107 Интервалы монотонности 109 Производные многочленов Чебышева первого рода . . . 111 156
Рекуррентные соотношения 116 Неравенства для производных 118 Производящие функции 127 3 Многочлены Чебышева и ряды Фурье 129 Чебышевский базис 129 Чебышевское приближение 132 Как опустить перпендикуляр из функции 138 Связь с разложением Фурье 143 Заключение. Вездесущие и неисчерпаемые 149 Литература 154
Юлий Александрович Данилов МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА Зав. редакцией Л. Д. Д у х в а л о в. Редактор Н. М. Латышева. Мл. редактор В. М. К у ш и л е в и ч. Обложка В. В. Г о р н а к о в а. Худож. редактор В. И. Ш о л к. Техн. редактор И. П. Тихонова. Корректор С. А. Когадеева.
ЦБ № 1787 Сдано в набор 20.10.83. Подписано в печать 12.04.S4. AT 15063. Формат 70Х108'/з2. Бумага тип. №2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 7. Усл. кр.-отт. 7,26. Уч.-нзд. л. 0,66. Тираж 18 000 экз. Зак. 568. Цена 25 к. Издательство «Выгозншая школп» Государственного ко- комитета DCCP по делам издательств, полиграфии и книж- книжной торговли, 220048, Минск, проспект Машерова, 11.-. Ордена Трудового Красного Знамени типография изда- издательства ЦК КП Белоруссии, 220041, Минск, Ленинский проспект, 79.
Данилов Ю. А. Д 18 Многочлены Чебышева.— Мн.: Выш. шк., 1984.— 157 с, ил.— (Мир занимат. науки). 25 к. В популярной форме рассказывается о замечательных свойствах многочленов Чебышева и их многочисленных применениях. Изложение начинается с оригинальных работ П. Л. Чебышева по теорнн меха- механизмов и приближения функций и заканчивается описанием современ- современного состояния теорнн наилучшего приближения функций. Для широ- широкого круга читателей, интересующихся математикой.