Text
M.R ЛЕОНТЬЕВА, С. Б. СУВОРОВА
М.Р ЛЕОНТЬЕВА. С. Б. СУВОРОВА
Упражнения в обучении алгебре
Книга для учителя
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1985
ББК 74.262.6 Л47
Рецензенты:
Е. Л1. Сорокина, методист Люблинского райметодкабинета Москвы» Л, В. Кузнецова, ст. научный сотрудник НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, кандидат педагогических наук
Леонтьева М. Р., Суворова С. Б.
Л47 Упражнения в обучении алгебре: Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1985. — 128 с.
В книге раскрываются методические требования к системе упражнений и рассматриваются их основные функции. Даются примеры самостоятельных работ обучающего и контролирующего характера.
4306010000—758 ББК 74.262.6
JJ 7 а—оо ею
103(03)—85 5,2
© Издательство «Просвещение», 1985
ВВЕДЕНИЕ
Одной из главных задач «Основных направлений реформы общеобразовательной и профессиональной школы» является задача повышения качества учебно-воспитательного процесса. Ключевой момент в эффективной организации процесса обучения и воспитания в средней школе заключается в активизации учебного труда школьников, так как от качества учения непосредственно зависит результат обучения, воспитания и развития. Учение — один из основных видов деятельности человека и ведущий вид деятельности школьников. На апрельском (1984 г.) Пленуме ЦК КПСС было отмечено, что «...главный труд детей — это, конечно же, учеба, прочное овладение основами наук».
Учебная деятельность школьников организуется и направляется учителем, имеющим в своем распоряжении комплекс средств обучения, среди которых ведущая роль отводится учебнику. От мастерства и опыта учителя, от содержания учебного материала и методической системы, в которой он подается, зависит результат учения. Поэтому для повышения эффективности управления учебной деятельностью школьников необходимо постоянно искать пути совершенствования форм и методов обучения.
Важнейшим компонентом среднего образования является обучение математике, так как в эпоху научно-технической революции математика, больше чем когда-либо, становится языком и аппаратом естествознания, техники и производства. Общепризнано, что от качества преподавания школьной математики зависит научно-технический потенциал страны.
Особенно важную роль в обучении математике играют задачи. Традиционно они рассматриваются как важнейшая цель обучения. В силу этого даже нормативные требования к усвоению курса математики часто формулируются и задаются путем указания задач, решение которых является обязательным или желательным результатом обучения. Такая роль задач в обучении связана со специфическим положением математики в системе наук, где она выступает в качестве общенаучного, методологического и технологического инструмента познания. Кроме того, при обуче-
нии математике задачи выполняют функцию средства обучения, т. е« такого аппарата, с помощью которого достигаются планируемые результаты обучения (при рассмотрении задач в этом аспекте их обычно называют упражнениями).
Важной составной частью школьного курса математики является курс алгебры VI—VIII классов. Содержание и методика обучения алгебре в последнее десятилетие претерпели серьезные изменения, которые отвечали изменившимся требованиям к обучению математике в средней школе.
Традиционный курс алгебры, излагаемый в восьмилетней школе вплоть до начала 70-х годов, был основан на небогатом в идейном отношении математическом аппарате, роль теоретических обобщений в нем была весьма относительна. Задачи в этом курсе рассматривались как ведущая цель обучения, в соответствии с чем методика обучения алгебре в восьмилетней школе была ориентирована на то, чтобы разбить все виды задач на определенные типы и вооружить учащихся правилами, по которым надо действовать при решении задач каждого типа. Таким образом, главное внимание уделялось формированию навыков решения стандартных классов задач.
Основными пособиями, по которым велось преподавание алгебры в восьмилетней школе, были учебник А. Н. Барсукова и задачник П. А. Ларичева. Эти пособия обладали многими положительными качествами и сыграли в свое время большую роль в становлении математического образования в советской школе. Так, раннее введение в курс уравнений позволило связать обучение тождественным преобразованиям с решением текстовых задач. Много интересных и разнообразных упражнений содержал задачник П. А. Ларичева. В нем значительно шире, чем в имевшихся прежде задачниках, были представлены упражнения графического характера, упражнения на числовые подстановки.
Однако, отдавая должное положительным качествам упомянутых выше пособий по алгебре, нельзя не отметить и некоторые недостатки, присущие системе преподавания, которая имела место при их использовании. Эти пособия были написаны в разное время и разными авторами, между ними не было достаточной преемственности. По своим методическим особенностям они в основном отражали ту методику обучения, которая строилась по принципу ◄справило — пример» и которая в основном отвечала лишь цели привития учащимся формально-оперативных навыков. В задачнике практически не было упражнений, направленных на усвоение теории: новых терминов, определений, методов рассуждений. В связи с этим упражнения в задачнике были таковы, что они могли использоваться преимущественно на этапе закрепления знаний.
Повышение научного уровня содержания курса алгебры вось-милетней школы вследствие «сдвига» значительного числа тем из старших классов вниз по годам обучения и включения новых разделов существенно увеличило удельный вес теоретических знаний
в обучении алгебре. Их усвоение также стало важнейшей целью обучения. Более того, возросла их роль как идейной основы в овладении практическими умениями и навыками. Известно, что достижение знаний высокой степени осознанности возможно лишь при реализации деятельностного подхода к обучению, который предполагает прежде всего специальную организацию учебной деятельности школьников. Все сказанное потребовало пересмотра целевой направленности упражнений в обучении алгебре в восьмилетней школе, в функции которых стала входить организация учебной деятельности учащихся по усвоению теоретического со* держания курса.
С начала 70-х годов преподавание алгебры в школе стало осуществляться с помощью учебников, которые одновременно содержат и теоретический материал, и упражнения. Это не просто механическое объединение двух книг в одну: теория и упражнения органически связаны между собой, дополняют друг друга. Основная функция упражнений состоит в организации усвоения содержания курса. В своей совокупности упражнения образуют систему, в помощью которой организуется обучение на всех основных этапах учебного процесса: на этапе подготовки к введению нового содержания^ на этапе непосредственного введения нового содержания и на этапе закрепления.
Решение учащимися упражнений на указанных этапах обуче* ния проходит как под руководством учителя, так и самостоятельно.
Учитель руководит всем процессом обучения, в его обязанность входит обеспечение сознательного усвоения знаний, органи-j зации активного участия и проявления самостоятельности уча/; щихся при обучении. От учителя, в частности, зависит воспитание^ у учащихся серьезного отношения к самостоятельной деятель-^ ности, к учебному труду, сущность которого К. Д. Ушинский ВЫ-' разил так: «Ученье есть труд и должно остаться трудом, но трудом полным мысли, так, чтобы самый интерес учения зависел от; серьезной мысли, а не от каких-нибудь не идущих к делу при-1 крас»1.
В сознательном усвоении курса алгебры большая роль принадлежит систематически проводимым и правильно организованным письменным самостоятельным работам. Организация и построение письменных самостоятельных работ ставят много проблем: «Какие формы должна иметь письменная самостоятельная работа?», «Какого типа задания следует включать в самостоятельные работы?», «Какова последовательность этих заданий?» и многие другие. Систематическое издание дидактических материалов по алгебре оказывает учителям большую помощь в решении этих проблем. В них задается число и последовательность работ по каждой теме, показывается уровень трудности задании
1 Ушински й К. Д. Собр. соч„ т. 5, с. 27.
и т. д. Все это составляется в соответствии с программой по математике и действующими учебниками.
Таким образом, система упражнений учебника и дидактических материалов дает возможность в ходе ооучения алгебре использовать упражнения как средство организации учебной деятельности школьников. В какой мере будет реализована эта возможность, целиком и полностью зависит от учителя. Цель данной книги состоит в том, чтобы раскрыть методические принципы» положенные в основу построения системы упражнений в действующем курсе алгебры, и тем самым помочь учителю в методике организации работы с упражнениями в ходе учебного процесса.
Глава I
ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ В VI—VIM КЛАССАХ
$ 1. ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ подход к обучению
1. Деятельность, ее структура и формы
Философская категория деятельности имеет важное мировоззренческое и методологическое значение для всех социальных наук, в частности и для педагогики. Действительно, цель процесса учения — познание действительности, но без деятельности познание невозможно. Тезис о единстве сознания и деятельности является одним из основополагающих принципов советской психологии. С. Л. Рубинштейн сформулировал его так: «Деятельность человека обусловливает формирование его сознания, его психических связей, процессов и свойств, а эти последние, осуществляя регуляцию человеческой деятельности, являются условием ее адекватного выполнения» [18, с. 251].
По форме протекания деятельность можно подразделить на внешнюю, практическую и внутреннюю, мыслительную. Советская психология базируется на марксистских позициях в отношении учения о деятельности, о ее развитии и формах. Понятию деятельности К. Маркс придавал строго материалистический смысл, считая, что деятельность в ее исходной и основной форме — это чувственная практическая деятельность. Развивая положения Маркса, советские психологи утверждают, что внутренней деятельности сознания генетически предшествует внешняя, т. е. одна из форм деятельности есть порождение другой. Внутренняя психическая деятельность возникает в результате перехода внешних по своей форме процессов с вещественными предметами в процессы, протекающие в умственном плане.
Возможен и переход в противоположном направлении от внутренней деятельности к внешней.
Основной характеристикой деятельности является ее предмет, т/ е. то вещественное или идеальное, что побуждает деятельность, придает ей определенную направленность, делает ее мотивированной; беспредметной, немотивированной деятельности не бывает. Любая деятельность осуществляется некоторой совокупностью действий. Действие — это процесс, направленный на достижение некоторой цели, причем побуждается это действие мотивом той деятельности, которую данное действие реализует. Каждое действие осуществляется некоторым набором операций — способов достижения поставленной цели в данных конкретных условиях.
Выделенные единицы человеческой деятельности — действия и операции — образуют ее структуру.
Каждая образующая структуры деятельности может становиться более дробной или, наоборот, укрупняться. Например, в ходе достижения некоторой цели может произойти выделение промежуточных целей, в результате чего действие раздробится на ряд отдельных последовательно выполняемых действий. Так бывает в* тех случаях, когда действие затруднительно выполнить с помощью сформированных операций. Если же промежуточные результаты сливаются между собой и перестают осознаваться, то происходит процесс укрупнения единиц деятельности.
Описанная структура присуща любой деятельности, поэтому А. Н. Леонтьев назвал ее общей структурой деятельности. Принципиально важно то, что такова общая структура внешней и внутренней деятельности. При этом могут быть и такие частные случаи, когда некоторая внутренняя деятельность, например познавательная, реализуется с. помощью внешних действий или с помощью внешних операций. Может быть и так, что некоторые из осуществляющих внешнюю деятельность действий и операций могут иметь форму внутренних, умственных процессов. Итак, структурные элементы деятельности могут выступать как во внешней, материальной форме, так и в форме внутренней, психической.
2. Учебная деятельность
Одним из важнейших видов человеческой деятельности является так называемая учебная деятельность. Учебная деятельность может быть организована разными способами и в разных условиях. Нашей целью является рассмотрение учебной деятельности школьников при обучении алгебре в рамках средней общеобразовательной школы. Характерная черта этой деятельности состоит в том, что она организуется и направляется учителем и осуществляется с помощью специальных средств обучения — учебника, дидактических материалов, таблиц, диафильмов и пр.
Любая учебная деятельность предполагает усвоение некоторого материала. Под усвоением^ понимают особый процесс, включающий в себя восприятие, мышление, память.
Советские психологи рассматривают восприятие и как ступень, и как основную форму познания человеком действительности. Восприятие обусловлено устройством органов чувств человека, однако для того, чтобы в голове человека возник осязательный, зрительный или слуховой образ предмета, необходимо, чтобы между человеком и этим предметом сложилось деятельностное отношение, т. е. образы восприятия формируются в результате деятельности человека. «Хотя деятельность восприятия есть деятельность особая в том смысле, что в своих развитых формах она непосредственно не связана с практическим воздействием человека на предмет и имеет в качестве своего продукта субъективный образ предмета (т. е. продукт идеальный), она всё же является
подлинно предметной деятельностью, подчиняющейся своему предмету...» [12, с. 36].
Советская психология требует рассматривать мышление также как живую человеческую деятельность. «Как и практическая деятельность, мыслительная деятельность отвечает тем или иным потребностям и побуждениям... Как и практическая деятельность, она состоит из действий, подчиненных сознательным целям. Наконец, как и практическая деятельность, мышление осуществляется теми или иными средствами, т. е. при помощи определенных операций, в данном случае — логических или математических» [12, с 45]. Мыслительная деятельность может протекать как в форме внутренней, теоретической, так и в форме внешней деятель?, ности с материальными предметами (так называемое предметнодейственное мышление).
Память, как и другие психические процессы, также является деятельностью. Запоминает ли человек, вспоминает ли, воспроизводит ли известное, узнает ли — любой из этих процессов является определенным видом человеческой деятельности. Она требует волевых усилий и побуждений, осуществляется в результате специфических действий, выполняемых с помощью специальных операций (например, смысловая группировка материала, мнемонические приемы и т. д.).
Итак, восприятие, мышление, память — психические процессы, основанные на активности человека, виды человеческой деятельности. Сказанное позволяет уточнить содержание понятия «усвоение». Усвоение — это особый вид человеческой деятельности. По словам В. А. Крутецкого, «усвоение, в широком смысле слова, есть организованная познавательная деятельность ученика...» [10, с. 152].
Видные советские ученые — психологи В. В. Давыдов, П. Я. Гальперин, Г. С. Костюк, А. Н. Леонтьев, Н. А. Менчинская, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин и др., обогатившие науку фундаментальными исследованиями, внесли значительный вклад и в решение проблемы организации учебной деятельности школьников. Советские психологи утверждают стратегию активного обучения. Решающее звено процесса обучения — собственная деятельность учащихся, так как вне деятельности невозможно познание. Приобретение знаний осуществляется учащимися в результате и при условии выполнения ими некоторой познавательной деятельности. Очевидно, что эта деятельность может быть в большей или в меньшей степени эффективной; ее эффективность непосредственно определяется методами и формами организации учебного процесса.
Практика показывает, что реальный учебный процесс не всегда удается организовать достаточно эффективно. Приведем такой пример. В VIII классе проводился урок алгебры на тему «Понятие десятичного логарифма». Учитель сформулировал определения логарифма и десятичного логарифма, ввел соответствующие символические обозначения, пояснил, что выражение log х
имеет смысл лишь при положительных значениях х, и закончил объяснение нового материала, приводя следующие примеры: log< 16=2, logs 81 =4, lg 100=2. Затем несколько упражнений из соответствующего пункта учебника были выполнены учащимися (один ученик работал у доски, остальные записывали решение в тетрадях). При выполнении упражнений чувствовалась неуверенность в ответах учащихся, часто допускались ошибки, учитель вынужден был все время активно помогать классу.
Когда урок подходил к концу, проверяющий попросил класс ответить на следующие вопросы:
Что означает запись log2 32?
Почему выражение log2(—32) не имеет смысла?
Имеет ли смысл выражение log2 7, а если имеет, то чему приблизительно равно значение этого выражения?
Если на первые два вопроса ответы все же были получены, хотя и не сразу, и только с помощью проверяющего, то последний вопрос вообще поставил класс в тупик. В чем же причина того, что учащихся затруднили простейшие вопросы, которые фактически отвечали основной цели урока? Таких причин частного характера предположительно можно указать достаточно много:
— неумение отдельных учащихся проникнуть в структуру сообщения;
— плохое понимание и запоминание речи, воспринятой на слух;
— отсутствие устойчивого внимания и т. д.
Перечисление возможных причин можно было бы продолжить, однако после беседы с учителем, анализа методики изложения предшествующего материала, просмотра тетрадей учащихся была выявлена причина, оказавшаяся решающей,— неудачная организация учебной деятельности учащихся в процессе преподавания данной темы. Ошибка в организации учебной деятельности состояла прежде всего в том, что плохо была продумана методика развертывания содержания рассматриваемого вопроса. Учитель всегда стремился к формальному изложению, не учитывая в должной степени возрастных особенностей учащихся. В результате этого учащиеся оказались неподготовленными к введению нового абстрактного понятия: в их языковом, чувственном, логическом опыте отсутствовали данные, необходимые для адекватного восприятия высказываний учителя. Кроме того, плохо была организована познавательная деятельность учащихся непосредственно на данном уроке. Они вынуждены были оставаться пассивными во время объяснения учителя. При избранной методике ведения урока учащиеся воспринимали готовые знания и осваивали соответствующие умения путем воспроизведения упражнений с готового образца. Они действовали, но их деятельность не была в достаточной степени активизирована. Во время объяснения учителя они были обречены на пассивное восприятие, тогда как .была возможность организовать обучение так, чтобы учащиеся самостоятельно пришли к определению понятия логарифма,.? учитель лишь ввел бы
новый термин. Психологическими особенностями этой деятельности явилось то, что она не имела достаточно сильного побудительного мотива, что она протекала в форме внутренней, теоретической; практическая же деятельность не была организована. Основным действием, осуществляющим учебную деятельность, здесь было действие восприятия. Это действие носило весьма отвлеченный характер, так как не соотносилось с четко заданной целью. Мышление и память никак не стимулировались.
Надо сказать, что и видимая активность учащихся не всегда приводит к достижению поставленной на уроке цели. Дело в том, что для того чтобы некоторое содержание было усвоено учащимися, необходимо прежде всего, чтобы это содержание было ими осознано, чтобы на него было направлено внимание. Оказывается, сознается данное содержание обучаемым или нет, полностью определяется тем, какова структура его учебной деятельности. Психологи утверждают, что в процессе учения осознается только то содержание, которое является непосредственной целью того или иного действия, входящего в состав учебной деятельности, т. е. содержание, подлежащее усвоению, должно предстать перед обучаемым как предмет, на который направлено то или иное его действие.
Приведем пример из практики обучения алгебре, иллюстрирующий важность учета сформулированного положения при разработке методики обучения некоторому содержанию.
Одной ‘ из тем курса алгебры является тема «Неравенства». В процессе изучения этой темы учащиеся должны усвоить алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной, систем двух таких неравенств. На одном из наблюдаемых нами заключительных уроков по этой теме учитель решил продемонстрировать способы решения более сложных неравенств, сводящихся к линейным неравенствам или к их системам.
В ходе урока учащимся были предложены для решения следующие неравенства:
1) (х—1) (х—2) >0; 2) (х2+'1) (х+4) <0;
3)J±l1<0; 4) —------10<0.
л+3 х+5
Учитель в основном использовал фронтальный метод работы с классом. Каждое задание выполнялось с активным привлечением учащихся, которые должны были отвечать на вопросы, задаваемые учителем; записи на доске вел сам учитель. Так, при решении 4-го неравенства учитель последовательно ставил перед учащимися следующие вопросы: «Что мы можем сделать с выражением в левой части неравенства?», «Что у нас получится в результате?», «При каком условии дробь отрицательна?», «Как это записать в нашем случае?» и т. д.
После того как были выполнены все четыре задания, учащимся было предложено закрыть тетради и на листочках решить неравенства, аналогичные 1-му и 3-му из приведенных выше (по ва
риантам). Задание затруднило учащихся; многие попросту не знали, с чего начать его выполнение.
Неудачу урока, по-видимому, следует объяснить тем, что перед учащимися не была поставлена цель выявления самого способа решения неравенств такого вида. Этот способ не был представлен на уроке как предмет изучения, чему, в частности, помешала и «пестрота» подобранных заданий. В итоге суть приема решения неравенств такого вида ускользнула от внимания учащихся, она не была ими осознана. Все внимание в каждом конкретном случае было направлено на особенности решаемого в этот момент неравенства; никаких обобщений не проводилось; в памяти у учащихся отпечатались какие-то частные непринципиальные детали. Очевидно, что в рассмотренной ситуации учитель должен был организовать учебную деятельность школьников так, чтобы при решении каждого неравенства целью одного из выполняемых действий было бы выявление обобщенного приема решения неравенств такого вида.
Вообще, как утверждают ученые-психологи, задача обучения состоит в том, чтобы в каждом конкретном случае организовать деятельность, адекватную изучаемому содержанию. С этой целью необходимо раскрыть содержание и структуру учебной деятельности на данном этапе обучения, т. е. определить предмет усвоения, а также установить цепь действий, адекватных данному содержанию, которые могут реализовать данную учебную деятельность. Таким образом, с точки зрения современной психологии действия учащихся выступают как средство усвоения содержания, как ведущий компонент в процессе усвоения знаний.
Выделение в каждом конкретном случае системы действий, адекватных изучаемому содержанию,— сложная методическая задача, она не всегда решается успешно. Исследования по изучению состояния знаний свидетельствуют о том, что у учащихся, например, часто не формируется в должной степени действие распознавания понятия. В результате встречаются ошибки такого характера: a2+b2=(a+b) (a—b)t a2+ab-\~b2 — (а+Ь)2\ =Ь. Bo-
il
прос о степени адекватности некоторой конкретной системы действий заданной системе знаний и умений — это вопрос о точности ее выбора и полноте, и, как правило, он решается с той или иной мерой субъективизма.
Рассмотрим еще одно условие, которое важно учитывать для того, чтобы усвоение материала учащимися было организована достаточно эффективно. Психологи утверждают, что новые приемы внутренней, мыслительной деятельности не могут быть усвоены иначе, как пройдя через этап внешней, материальной деятельности, т. е.что усвоение принципиально нового материала происходит в результате организации внешних по форме действий учащихся. Такое «вынесение теоретического действия наружу» позволяет управлять
восприятием и направленностью внимания учащихся, осуществлять объективный контроль за ходом усвоения действия, своевременно исправлять ошибки и добиваться осознанного и- прочного знания.
Сформулированное требование педагогической психологии к организации учебного процесса в практике преподавания математики, в частности преподавания алгебры, реализуется разными путями. Прежде всего, это позволяет сделать подробная поэтапная запись (на доске и в тетрадях) хода рассуждений, доказательств, преобразований. Учителям-практикам хорошо известна важность и методическая целесообразность такой записи, фиксирующей основные этапы рассуждений. Так, на первоначальном этапе обучения умножению одночлена на многочлен важно поэтапное выполнение преобразования, например:
— 0,6а(2а2—.а+4) =2а2( — 0,6а)—а (—0,6а)+4 (—0,6а) = и т. д.
Тем не менее часто приходится видеть, что учителя в целях экономии времени побуждают учащихся уже в самом начале к выполнению преобразований в уме. Такое раннее «свертывание» записей приводит к тому, что процесс усвоения «ускользает» от контроля со стороны учителя, ошибки своевременно не исправляются.
Внешние по своей форме действия учащихся могут быть организованы также путем использования средств наглядности.
Современное понимание наглядности позволяет использовать при обучении алгебре целый набор таких средств. В первую очередь, это координатная прямая и координатная плоскость, графики, различного рода схемы, которые позволяют переводить аналитические рассуждения на геометрический язык.
В качестве примера рассмотрим использование координатной прямой при обучении решению систем неравенств с одной переменной.
Для овладения приемом решения систем неравенств с одной переменной необходимо умение решать простейшие системы вида
Г х>а, f х>а, j x<at J х<а, \х>Ь; \х<Ь; \х<Ь; \х>Ь
(здесь а и b — произвольные числа, причем a<bt х — переменная).
Суть рассматриваемой методики состоит в том, что решаемая система заменяется ее геометрической моделью? Как известно, геометрическим эквивалентом числа является точка координатной прямой, поэтому неравенству х>а или х<а на геометрическом языке соответствует полупрямая (рис. 1). Воспользовавшись
*>о *<а
Рис. 1
Рис. 2
этим, мы можем построить геометрическую модель каждой из четырех систем (рис. 2). Решить систему неравенств — значит указать все числа, которые удовлетворяют каждому из неравенств. Па геометрическом языке это звучит так: надо найти все точки, принадлежащие каждой полупрямой. В каждом конкретнохм случае, воспользовавшись соответствующим рисунком, учащиеся могут получить ответ «ручным способом», выделив ту часть координатной прямой, на которой штриховка положена дважды (или показав, что таких точек нет). Затем остается лишь записать полученный ответ на алгебраическом языке. Очевидно, что вскоре для многих учащихся потребность в выполнении рисунка как вспомогательного средства для получения ответа отпадет. Соответствующие образы будут «срабатывать» в уме. Однако в случае каких-либо ошибок необходимо вновь вернуться к наглядному решению системы с помощью геометрической модели.
Рассмотренная методика обучения приему решения систем неравенств с одной переменной вполне соответствует рекомендации психологов о необходимости управлять усвоением нового материала посредством организации внешних по своей форме действий учащихся.
Для того чтобы подчеркнуть особенности предложенной методики, заметим, что сравнительно недавно в практике преподавания при решении подобных систем учащимся предлагалось в каждом конкретном случае действовать в соответствии со следующим правилом: если неравенства одного знака, то решениями системы служат все числа, большие большего из чисел а и b или меньшие меньшего из этих чисел; если неравенства разных знаков^, то или система не имеет решений, или решениями служат все числа, большие меньшего из чисел а и b и меньшие большего из этих чисел. Учащиеся должны были мысленно выяснить, к какому случаю, предусмотренному правилом, относится заданная система, и воспользоваться этим правилом. Само правило было весьма сложно для восприятия, а никаких внешних опор для его запоминания не давалось. Неудивительно, что решение указанных систем часто
н
вызывало затруднения. Подчеркнем, что предложенная выше методика решения простейших систем неравенств с помощью координатной прямой вообще не требует формулирования и запоминания каких-либо правил.
3. Упражнения как средство организации учебной деятельности
Как говорилось выше, для усвоения некоторого содержания учащиеся должны выполнить специальную деятельность, адекватную заданному содержанию. Как же организовать эту деятельность учащихся в процессе обучения? В психологических исследованиях показано, что для того чтобы какое-то содержание стало предметом деятельности учащихся, необходимо, чтобы оно предстало перед ними в виде задачи, направляющей и стимулирующей их активность. Отсюда следует, что задачи — это и есть то средство, с помощью которого можно организовать учебную деятельность учащихся, направленную на усвоение некоторого содержания.
В методике математики задачи традиционно рассматриваются в двух аспектах — как средство обучения и как его цель. Задачи являются целью обучения в том смысле, что учащиеся должны в процессе обучения овладеть приемами решения основных классов задач.
Называя задачи средством обучения, имеют в виду ту их функцию в учебном процессе, которая обеспечивает достижение планируемых результатов обучения (при рассмотрении задач в этом аспекте их обычно называют упражнениями).
По словам А. Н. Леонтьева, задача — это «цель, данная в определенных условиях» [12, с. 232]. Задавая систему упражнений (задач), т. е. задавая набор упражнений (задач), упорядоченных в соответствии с определенными целесообразными принципами, мы тем самым определяем систему действий обучаемых, намечаем структуру познавательного процесса. Действительно, всякое «...осуществляющееся действие отвечает задаче...» [12, с. 107], а способ осуществления действия определяется условиями, в которых задается данная конкретная задача. Для того чтобы деятельность обучаемых по выполнению упражнений обеспечила заданный уровень усвоения содержания, необходимо, чтобы предлагаемая им система упражнений была построена «правильно», т. е. чтобы деятельность по ее выполнению была адекватна заданному содержанию. Отсюда следует, что для построения системы упражнений, обеспечивающей усвоение заданного содержания, необходимо выявить в этом содержании составляющие его элементы, подлежащие усвоению, а также отношения и связи между ними. Именно эти элементы содержания и отношения между ними и должны определить направление учебной деятельности обучаемых, а значит, они должны определить содержание системы упражнений, организующей эту деятельность.
$ 1 СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ
1. Характеристика содержания и структуры курса алгебры VI—VIII классов
Действующая программа по математике для средней школы предусматривает изучение алгебры (в той или иной степени) на протяжении всех лет обучения: с I по X класс. Некоторая «алгеб-раизация» имеется уже в курсе математики начальной школы (здесь закладываются первоначальные навыки использования букв для обозначения чисел, решения задач с помощью уравнения). В курсе математики IV и V классов проводится более основательная подготовка учащихся к систематическому изучению алгебры (расширяются представления о применении букв для .записи свойств чисел, рассматриваются буквенные выражения и их простейшие преобразования, решаются линейные уравнения). Систематическое изучение алгебры относится к VI—VIII классам, где алгебра выделена в отдельный предмет. Завершение алгебраической тематики происходит в IX—X классах при изучении курса «Алгебра и начала анализа» (разбор приемов решения некоторых новых видов уравнений, неравенств, систем). Основной упор на обучение алгебре делается в VI—VIII классах; характеристика содержания курса алгебры VI—VIII классов дает почти полное представление об обучении алгебре в средней школе.
Каково же содержание обучения алгебре в VI—VIII классах? В. Л. Гончаров, характеризуя школьный курс алгебры, назвал его «конгломератным предметом». Он писал: «Алгебру как предмет школьной математики нельзя считать подчиненной одноименной математической науке, основы которой она призвана излагать» [6, с. 40]. Сказанное В. Л. Гончаровым в 1958 г. осталось в принципе справедливыми и в настоящее время, хотя с тех пор были произведены несколько реформ математического образования.
Программа по математике [17] выделяет в курсе алгебры четыре основных направления, четыре содержательные линии. В ходе изучения курса алгебры учащимся предстоит:
1) обобщить и систематизировать сведения о действительных числах; развить и закрепить вычислительные навыки;
2) овладеть навыками тождественных преобразований основных типов алгебраических выражений (многочлены, алгебраические дроби, степени и корни);
3) освоить способы решения алгебраических уравнений и не-, равенств первой и второй степени и приводимых к ним уравнений и систем;
4) изучить простейшие элементарные функции и их свойства.
Итак, в курсе математики VI—VIII классов, который назван «алгебра», прежде всего получают дальнейшее развитие сведения о числах и о вычислениях (это логическое развитие арифметической линии, начатой в I—V классах). Понятие числа является одним из центральных понятий школьного курса математики.
На протяжении всего периода обучения это понятие обогащается по содержанию, включая в себя новые классы чисел. В курсе алгебры учащиеся уточняют свои представления о рациональных числах и знакомятся с иррациональными числами, составляющими вместе с рациональными множество действительных чисел. Множество действительных чисел предстает перед учащимися как такое множество, которое позволяет каждой точке координатной прямой поставить в соответствие некоторое число и, наоборот, каждому действительному числу поставить в соответствие точку координатной прямой. Развитие вычислительных навыков учащихся проходит и в связи с изучением правил приближенных вычислений, где помимо дальнейшей отработки вычислительных алгоритмов должны быть сформированы навыки прикидки и оценки результатов вычислений.
Второе и третье направления программы (тождественные преобразования выражений и решение уравнений, неравенств, систем) составляют собственно алгебраическую часть курса. Действительно, задачи и методы алгебры возникли в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Эти приемы заключались в составлении и решении уравнений, поэтому алгебра долгое время воспринималась как наука об уравнениях. Сюда же примыкают и тождественные преобразования, которые подчинялись цели решения уравнений. В результате изучения курса учащиеся должны понять, в чем состоит смысл тождественных преобразований выражений, а также освоить такие алгоритмы, как раскрытие скобок и заключение в скобки, приведение подобных членов, сложение, вычитание и умножение многочленов, разложение многочлена на множители, преобразование дробных рациональных выражений, степеней с рациональными показателями и корней. Кроме того, учащиеся должны понять, в чем состоит задача решения уравнения, неравенства, системы, а также освоить алгоритмы решения линейных, квадратных и простейших рациональных уравнений с одной переменной, систем двух линейных уравнений с двумя переменными и простейших систем, содержащих уравнения с двумя переменными второй степени, линейных и квадратичных неравенств с одной переменной и систем двух линейных неравенств. В результате обучения учащиеся должны научиться решать задачи методом составления уравнений и систем уравнений.
Четвертое направление, определяемое программой, можно расценивать как введение в математический анализ: это изучение некоторых элементарных функций и их свойств. Понятие функции, так же как и понятие числа, уравнения и неравенства, тождественного преобразования выражений, является одним из важнейших понятий школьного курса математики, вокруг которого группируется все содержание курса. Программа курса алгебры VI—VIII классов предусматривает не только изучение некоторых элементарных функций, но требует и определенных представлений об общем понятии числовой функции, основных способах ее
2 Заказ № 1171
17
задания, графике, о возрастании и убывании функций, о четных и нечетных функциях. При изучении функционального материала в связи с введением понятия графика функции создаются определенные возможности для обучения учащихся графическому методу, т. е. методу решения некоторых видов задач с использованием графиков (использование графиков для исследования и решения уравнений, неравенств, систем, для выяснения свойств функций и т. д.).
Таким образом, программа предполагает весьма высокий уровень' функциональных представлений.
Характеризуя содержание курса алгебры, нельзя не остановиться еще на двух вопросах. Эти вопросы не формулируются в программе VI—VIII классов явно, однако именно в этот период закладываются их основы. Во-первых, знакомство с координатами на прямой и с декартовыми координатами на плоскости, запас геометрических образов (прямая, парабола, гипербола), овладение графическим методом, который является как бы «приложением геометрии к алгебре», использование в отдельных несложных случаях обратного метода «приложения алгебры к геометрии» (задать уравнением линию, показанную в системе координат, найти точки пересечения графиков и т. д.) —все это создает достаточно серьезную базу для -изучения в дальнейшем элементов аналитической геометрии. Во-вторых, в программе имеется тема, которая стоит как бы особняком от выделенных выше четырех направлений,— тема «Прогрессии». Основная ее роль заключается в том, чтобы сформировать некоторые начальные представления о последовательностях.
Таким образом, ’анализируя школьный курс алгебры VI— VIII классов, можно видеть, что в его содержании представлены вопросы, относящиеся к таким наукам, как алгебра (понимаемая, однако, не в смысле современной алгебры, являющейся наукой о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, более или менее сходные со сложением и умножением чисел), основания арифметики, математический анализ, аналитическая геометрия. В восьмилетней школе закладывается аппарат, необходимый для овладения курсом математики старших классов, где учащимся демонстрируются мощные математические методы, применяемые в самых разных науках.
Для того чтобы какое-то содержание стало предметом изучения (предметом учебной деятельности школьников), оно должно быть каким-то образом методически организовано или, как говорят, структурировано. Структура курса, определяемая последовательностью и логическими связями входящих в него элементов, является весьма существенной его характеристикой. Советские психологи и дидакты считают, что логическая структура учебного материала существенным образом влияет на качество знаний учащихся. «Управление процессом обучения осуществляется многими способами, но важнейший среди них — определенная последовательность введения тех или иных разделов учебно
го материала, определенная связь между этими разделами» [20, с. 11].
Содержание обучения определяется программой, а та или иная структура придается заданному содержанию в основном при написании учебных материалов по этому содержанию. Рассмотрим некоторые особенности структуры курса, которая принята в действующих учебниках алгебры для VI—VIII классов [1; 2; 3].
Первая особенность структуры курса алгебры такова: основные линии, выделенные в содержании, распределены между всеми тремя годами обучения. Поэтому к таким основополагающим центральным понятиям, как функция, уравнение, неравенство, число, тождественное преобразование выражения, учащиеся обращаются неоднократно на протяжении всего курса алгебры VI— VIII классов.
Покажем, например, как распределен между тремя годами обучения материал, относящийся к тождественным преобразованиям выражений. В курсе VI класса вводятся понятия тождественно равных выражений и тождественного преобразования. Здесь изучается степень с натуральным показателем и ее свойства, выполняются тождественные преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Затем вводится понятие многочлена, а также его частного вида — одночлена и рассматриваются все важнейшие тождественные преобразования целых выражений. В курсе VII класса завершается изучение тождественных преобразований рациональных выражений. Здесь же положено начало изучению преобразований иррациональных выражений: вводится понятие квадратного корня и рассматриваются простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В курсе VIII класса вводится понятие корня и-й степени, степени с рациональным показателем и десятичного логарифма и изучаются тождественные преобразования соответствующих выражений. Таким образом, объектами рассмотрения становятся все новые виды выражений и правила их преобразований; такие важные понятия этой линии, как «степень», «корень», от класса к классу обобщаются, рассматриваются в их развитии. Аналогичным образом можно было бы проследить распределение по годам обучения и других содержательных линий курса.
С указанной особенностью структуры тесно связана и другая: «взаимопроникновение» линий, выделенных в содержании курса, т. е. наличие разнообразных связей между ними. Так изучение конкретных функций происходит в связи с введением в качестве объекта рассмотрения новых видов выражений (например, функции у=х2 и z/=x3 изучаются в связи с введением понятия степени с натуральным показателем; функция у = ^х рассматривается в связи с изучением понятия арифметического квадратного корня и т. д.). По мере развития аппарата тождественных преобразований выражений рассматриваются уравнения и неравенства, решение которых требует применения изученного аппарата и т. д.
2. Основные элементы в содержании курса алгебры VI—VIII классов, подлежащие усвоению
Итак, современный курс школьной алгебры складывается из четырех содержательных линий, основой для которых послужили различные разделы математики. Для того чтобы решить вопрос об организации усвоения курса, необходимо проанализировать каждую из этих линий с точки зрения выделения основных элементов, подлежащих усвоению. Для этого обратимся к требованиям, которые предъявляются к знаниям и умениям учащихся по алгебре. Именно требования к результатам обучения указывают на предмет усвоения и на основные элементы в содержании, подлежащие усвоению.
Не ставя своей целью перечисление полного списка требований, с учетом их различных характеристик, мы ограничимся некоторыми типичными примерами. Составим, например, перечень требований к обучению функциональному материалу в курсе алгебры VI—VIII классов.
Круг вопросов, связанных с понятием функции, распределен по всему курсу алгебры VI—VIII классов. К моменту завершения курса учащиеся должны:
владеть
’— понятиями: функция, область определения функции, область значений функции, соответственные значения аргумента и функции, возрастающая на промежутке функция, убывающая на промежутке функция, четная функция, нечетная функция, график функции;
знать
— теоремы о графике функции y=kx-}-b, y~ax2-]-bx-\-c (а=/=0); о свойствах графиков четной и нечетной функции;
k
— свойства функции y=kx, y=kx-\-b, у= — > у=ах2, у=х3, х
у=4х, y=Vx, */=!(? х;
уметь
k
для функций y=kx> y=kx+b, у=—> у=ах2, у=ах2-]-Ьх-\-с, _ X
у^х\ у=}% y=vrXt £/=10r, #=lgx
— указать область определения;
— построить график;
— найти по графику и с помощью формулы пары соответственных значений переменных х и у\
— определить, принадлежит ли точка графику в случае, если функция задана формулой;
— указать с помощью графика и по формуле множество значений х, при которых у>а, у=а, у<а\
— указать область значений функции;
— указать промежутки, в которых функция сохраняет знак;
— указать промежутки монотонности функции;
— определить, является ли функция четной или нечетной. -
Для того чтобы представить структуру требований по линии тождественных преобразований, проанализируем аналогичным образом тему «Квадратные корни» (VII класс).
Учащиеся должны:
владеть
— понятиями: квадратный корень, арифметический квадрат-ный корень, арифметический квадратный корень из произведения, дроби, степени;
знать
— свойства арифметического квадратного корня: а) (Уа)2=а, где а^О; б) ]/а2—|а|; в) ^аЬ—^а-^Ь, где а^О, 6^0;
г) уЛ-г = тг ’ где &>°;
г о у о
уметь -
— найти методом проб десятичные приближения квадратного корня из неотрицательного числа;
— найти арифметический квадратный корень из числа с помощью таблицы;
— выразить из формулы переменную, содержащуюся в этой формуле под знаком квадрата, через другие переменные, входящие в эту формулу;
— решить уравнение вида ^х=а и неравенства вида ]/х>а и У%<а (а — некоторое число);
— найти арифметический квадратный корень из произведения двух чисел, частного двух чисел, а также степени числа с четным показателем;
— найти область определения выражения вида
— преобразовать выражение, содержащее арифметический квадратный корень (например, вынести множитель из-под знака корня, внести множитель под знак корня, освободиться от знака корня в знаменателе дроби, привести подобные корни).
Рассмотрим теперь с точки зрения выделения основных элементов содержания, подлежащих усвоению, раздел «Уравнения с двумя переменными и их системы» (VI—VIII классы), являющийся составной частью линии уравнений и неравенств.
Учащиеся должны:*
владеть
— понятиями: уравнение с двумя переменными, степень уравнения с двумя переменными, линейное уравнение с двумя переменными, решение уравнения с двумя переменными, график уравнения с двумя переменными, система уравнений с двумя переменными, решение системы уравнений с двумя переменными;
знать
— теоремы о графике линейного уравнения с двумя переменными, о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными, о графике уравнения х2-\~у2=г2 (где г — положительное число);
уметь
— решить в отдельных случаях графическим способом систему двух уравнений с двумя переменными, каждое из которых не выше 2-й степени;
— решить способом сложения и способом подстановки ‘систему двух линейных уравнений с двумя переменными;
— решить способом подстановки систему уравнений с двумя переменными, одно из которых линейное, а другое второй степени;
— решить текстовую задачу путем составления системы двух уравнений с двумя переменными.
Анализ выбранных нами разделов из различных содержательных линий курса алгебры VI—VIII классов с точки зрения требований к усвоению содержания показал следующее. При овладении каждой из выделенных линий прежде всего подлежат усвоению алгебраические понятия (рубрика «владеть»). Второй составной частью в содержании курса являются свойства понятий и отношения между ними (рубрика «знать»). Эти свойства понятий и отношения между ними вцражаются в виде утверждений, поэтому мы будем в дальнейшем говорить об усвоении утверждений в курсе алгебры. Далее в каждой линии курса были выделены некоторые умения, сформулированные в виде учебных задач (рубрика «уметь»). Как известно, в основе умения выполнить некоторую деятельность лежит понимание взаимоотношения между целью деятельности, условиями и способами ее выполнения. Внутреннюю структуру формирования любого умения составляет овладение набором некоторых приемов, с помощью которых осуществляется деятельность. Поэтому в данном случае мы будем говорить о приемах решения основных классов задач.
Итак, анализ содержательных -линий курса алгебры VI— VIII классов с точки зрения организации его усвоения позволил выделить три категории элементов: понятия; утверждения; приемы решения основных классов задач. Практика показывает, что упражнения, относящиеся, скажем, к формированию понятий, входящих в различные содержательные линии, обладают определенным дидактическим сходством. Аналогичным образом обстоит дело с упражнениями, направленными на организацию усвоения утверждений в курсе алгебры и приемов решения основных классов задач. В силу этого целесообразно рассматривать методические требования, которым должна удовлетворять система упражнений, направленная на организацию учебной деятельности, по отдельности для каждой из трех категорий элементов содержания курса, подлежащих усвоению. Значит, система упражнений должна создавать совокупность условий для организации такой учебной деятельности, которая бы обеспечила усвоение алгебраических понятий, утверждений, содержащихся в курсе, и приемов решения основных классов задач.
Анализ структуры курса алгебры VI—VIII классов позволил
выявить его характерные особенности, состоящие в том» что основ-.ные содержательные линии курса распределены между всеми годами обучения и что между ними установлены разнообразные связи и отношения, продиктованные как самой логикой предмета, так и соображениями методического характера. Указанные особенности структуры курса алгебры должны проявиться и при составлении системы упражнений, направленной на организацию усвоения содержания курса. Так, учет этих особенностей требует включения в задачный материал каждого раздела упражнений, связанных практически со всеми содержательными линиями курса.
Все сказанное и определяет систему выделения методических требований к упражнениям как к средству организации учебной деятельности при обучении алгебре в VI—VIII классах. Эти требования будут рассмотрены в следующей главе.
Глава II
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ КАК СРЕДСТВО ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ В VI—VIII КЛАССАХ
$ Э. МЕТОДИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ УПРАЖНЕНИЙ, НАПРАВЛЕННОЙ НА ФОРМИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
1. Выявление системы методических требований
Одна из главных задач обучения алгебре состоит в организации усвоения учащимися понятийного аппарата курса. Действительно, овладеть основами науки—это значит прежде всего овладеть системой понятий данной науки. Исследователи, занимающиеся вопросами формирования понятий (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев и др.), пришли к принципиально важному выводу. Они показали, что «понятия отнюдь не формируются в голове ребенка по типу образования чувственных генетических образов, а представляют собой результат присвоения «готовых», исторически выработанных значений и что процесс этот происходит в результате деятельности ребенка, в условиях общения с окружающими людьми. Обучаясь выполнению тех или иных действий, он овладевает соответствующими операциями, которые в их сжатой идеализированной форме и представлены в значении» [12, с. 142].
Как мы уже говорили, эффективным средством организации познавательной деятельности учащихся служат упражнения, причем упражнения должны быть подобраны таким образом, чтобы их выполнение требовало познавательных действий, адекватных изучаемому содержанию. Рассмотрим общие требования, вытекающие из положений психологии и дидактики, которым надо следовать при составлении системы упражнений, направленной на формирование понятий.
В работах советских психологов и дидактов обосновывается следующая последовательность в обучении понятиям:
восприятие — представление — понятие.
Каждое новое понятие должно возникать именно таким путем, хотя в реальном процессе обучения отдельные звенья этой цепи могут быть в значительной мере разделены во времени.
Непременные условия образования понятия — обобщение и абстрагирование.
Понятие должно возникнуть как результат обобщения достаточного числа восприятий и представлений. Его введение означает выделение постоянных, устойчивых или, как говорят, существенных признаков предметов, образующих некоторый класс, и абстрагирование от несуществующих признаков. Понятие —
это обобщенное знание, отражающее существенные стороны предметов и явлений.
Отсюда следует, что введению понятия должна предшествовать специальная пропедевтическая работа. Ее целью является введение учащихся в некоторую предметную область, которая как бы служит материальным источником соответствующего понятия. В результате выполнения специально подобранных упражнений у учащихся должны сформироваться наглядные образы и конкретные представления, которые, во-первых, убедительно продемонстрируют, что возникающие математические понятия — отражение реального мира, и, во-вторых, подготовят учащихся к этапу формализации понятия, к следующей ступени абстракции.
Итак, через систему упражнений должна осуществляться ра-бота, направленная на формирование наглядных образов и конкретных представлений, на основе которых может быть введено новое понятие.
Какой этап обучения можно считать этапом введения понятия? Видимо, тот, когда у учащихся «чувственные образы приобретают новое качество, а именно свою означенность. Значения и являются важнейшими «образующими» человеческого сознания» [12, с. 140]. Каждое понятие связано со словом-термином, соответствующим данному понятию. В процессе обучения учитель организует наблюдения, направляет внимание учащихся на различение существенных и несущественных свойств предметов, и, наконец, вводит слово-термин, которое, ассоциируясь с выделяемыми признаками, общими для целого ряда объектов, фиксирует понятия в языковой, материальной форме. Понятие составляет смысл соответствующего языкового выражения. Смысл присваивается термину посредством определения или разъяснения. Кроме того, в математике понятие часто обозначается символом — знаком. Значением символа, обозначающего некоторое понятие, служит это понятие. Термины и символы — это материальные средства, которые служат для выражения и фиксации математических понятий, хранения, передачи и переработки информации о них.
В процессе обучения понятию необходимо добиваться того, чтобы новый термин и новая символика стали привычными для учащихся и употреблялись в нужных случаях без усилий, с достаточной свободой. Грамотное и сознательное употребление терминов и соответствующих символов — один из важных аспектов усвоения школьниками курса математики. Очевидно, что для усвоения терминов и символов алгебраического языка требуется активная работа обучаемого. Поэтому овладеть ими учащиеся могут лишь в процессе выполнения специальной системы упражнений, направленной на выработку' навыков употребления терминов и символов (произношения, записи, использования в языковых конструкциях).
Всякое понятие имеет две логические характеристики — содержание и объем. Содержание понятия — это множество его суще
ственных признаков. Эти признаки указываются в определении или разъясняются на примерах. Объем понятия — это множество предметов, которые объединены этим понятием, или, иными словами, могут быть «подведены» под понятие. В практике преподавания встречаются случаи, когда учащиеся неправомерно расширяют или сужают понятие, т. е. опускают какие-то его существенные признаки или, наоборот, привлекают несущественные, случайные. Например, под термином «рациональное число» понимают только положительное число, целое или дробное. Это типичный случай сужения понятия путем привлечения несущественного признака. Задача обучения состоит в том, чтобы с данным словом или символом связывали все те и только те объекты, которые принадлежат классу, определяющему данное понятие, т. е. в этот класс не должны попадать объекты, ему не принадлежащие, и в то же время не должен быть упущен ни один входящий в него объект. Иными словами, следует добиваться правильного представления о содержании и об .объеме понятия.
Заметим, что требование создания у учащихся правильных представлений об объеме изучаемых понятий до некоторой степени условно. Дело в том, что при первоначальном знакомстве возможно усвоение математического понятия не в полном объеме. Многие понятия получают дальнейшее развитие в последующем курсе. Поэтому можно ставить вопрос о создании правильных представлений об объеме понятия на данном уровне.
Итак, важно сформировать умение распознавать объекты (с помощью определения или описания понятия), принадлежащие и не принадлежащие данному классу, добиваться создания в сознании учащихся правильного взаимоотношения между внутренним содержанием математического факта и его внешним выражением (словесным или символическим). Для этого необходимо привлекать к рассмотрению объекты того множества, которое определяет данное понятие, и наряду с объектами определяемого класса следует приводить примеры объектов, отличных от них (так называемые контрпримеры). В реальном процессе обучения это как раз и возможно в процессе выполнения специально подобранных упражнений.
Таким образом, система упражнений должна способствовать усвоению термина, символа, определения, созданию правильного соотношения между внутренним содержанием понятия и его внешним выражением, формированию правильных представлений об объеме понятия.
В каком случае можно считать, что понятие усвоено? Психологи убедительно показали, что термин «усвоение знания» обязательно включает в себя и его применение. Усвоение ни в коем случае не исчерпывается знанием определения. Овладеть понятием — значит не только знать признаки предметов и явлений, охватываемых данным понятием, но и уметь применять понятие пл практике, уметь оперировать им. А это значит, что усвоение приятия включает в себя не только путь снизу вверх — от еди
ничных и частных случаев к их обобщению, но и обратный путь — сверху вниз, от общего к частному и единичному. Зная общее, надо уметь видеть его в отдельном конкретном случае, с которым приходится иметь дело в данный момент.
Опыт показывает, что первоначальные обобщения, полученные учащимися по схеме «снизу вверх» от частного к общему, сами по себе не обеспечивают движения «сверху вниз», от общего к частному. Бывает, что, столкнувшись с известным конкретным фактом, преподнесенным в измененном виде, учащиеся не могут распознать в нем частный случай знакомого им общего признака, не могут вычленить этот общий признак из «маскирующих» его новых конкретных условий. Так, например, учащийся легко справляется с решением уравнения 2х2+13х—7 —О и оказывается в затруднении, когда ему встречается уравнение 2и2Ч-13и—7=0 (непривычное обозначение переменной) или уравнение 2х2—7 —— 13х (уравнение задано в виде, отличном от стандартного вида квадратного уравнения). Все знания, необходимые для выполнения задания, у учащегося имеются, но они не служат ему руководством к действию (типичный случай формализма в знаниях учащихся) .
Часто встречается и такая ситуация, когда учащийся усвоил содержание понятия и умеет решать определенный круг задач, связанных с этим понятием, однако у него нет необходимого отношения к понятию как к основе для решения задач. Он умеет делать, но не знает, почему делает именно так, а не иначе. В сознании учащегося не установлена должная связь между абстрактным знанием и его конкретным применением. Например, учащийся знает, что функция у = 2х возрастающая. Кроме того, знает, что для решения показательного неравенства 2x2-1>23 следует заменить его неравенством х2—1>3. Однако аргументировать переход от первого неравенства ко второму он не может, так как не понимает, что переход этот возможен именно в силу монотонности функции t/=2x. Решение неравенства в этом случае выполняется механически, по аналогии, без понимания сути алгоритма, а соответствующее теоретическое знание остается «мертвым капиталом», оказывается усвоенным формально. Только знание, проявленное в действии, можно считать полным и осознанным.
Таким образом, важнейшим признаком овладения понятием является умение применять это понятие, а научиться применять понятие можно только в действии. Поэтому и при формировании этого умения основная роль отводится системе упражнений. Применение понятия происходит в процессе решения задач и выполнения^ упражнений, при раскрытии общих положений на конкретном материале. «Чем абстрактнее первоначальное обобщение, тем большей конкретизации требует его полноценное усвоение» [7, с. 26].
Здесь, однако, необходима специальная оговорка. Под умением конкретизировать понятие на этом этапе его формирования договоримся понимать его применение в простейших, «прозрачных»
случаях, не осложненных посторонними деталями. Эти простейшие упражнения можно рассматривать как модели более сложных, которые будут предложены учащимся в дальнейшем. Они создают базу для формирования осознанного умения применять понятие в более сложных ситуациях.
Итак, через систему упражнений следует формировать осознанное умение применять понятие в простейших, но достаточно характерных ситуациях.
Укажем еще один необходимый фактор для формирования осознанного, глубокого и прочного знания изучаемого понятия. Этим фактором является включение понятия в различные связи и логические отношения с другими понятиями, многократное содержательное возвращение к нему в самых разных ситуациях в связи с изучением различных разделов курса. Включение понятия во все новые и новые связи служит важнейшим признаком хорошо организованного обучения. Невозможно представить усвоение без образования системы связей между понятиями, так как «именно связи (отношения) вещей представляют собой действительное содержание всякого познания, в том числе и того, которое совершается в процессе обучения» [20, с. 24]. Без установления связей между понятиями у учеников не будет складываться представление о структуре изучаемого предмета, не будет понимания идей и методов алгебры.
Большую роль в установлении внутрипредметных связей играет правильно построенная система упражнений. Именно упражнения позволяют без перегрузки теоретической части курса излишними деталями вернуться к понятию в самых разнообразных ситуациях, уточнить и углубить понимание понятия.
Итак, через систему упражнений должно осуществляться включение понятия в различные связи и логические отношения с другими понятиями.
2. Реализация методических требований в системе упражнений
При построении системы упражнений, направленной на формирование некоторого конкретного понятия, не все сформулированные методические требования должны реализоваться в одинаковой степени. Это связано с тем, что методика обучения понятиям в курсе не одинакова. Одни понятия вводятся путем определения, для других указывается термин и даются'некоторые пояснения. Например, через определения в курсе алгебры- вводятся понятия функции, тождества, целого и дробного выражения, а содержание таких понятий, как «уравнение», «система уравнений», разъясняется на примерах. Некоторые понятия таковы, что их отличает весьма высокая степень абстракции, а глубокое содержательное усвоение этих понятий принципиально необходимо, поэтому при обучении таким понятиям требуется продолжительная целенаправленная работа; к таким понятиям относятся понятия числа,
функции и т. д. Усвоение других понятий, таких, например, как «абсолютная погрешность» достигается значительно более простым путем. Наконец, значимость различных понятий в курсе не одинакова,— следовательно, и их формированию должно быть уделено разное внимание. Таким образом, степень реализации указанных выше общих требований к построению системы упражнений, направленной на формирование некоторого понятия, зависит от роли и места этого понятия в курсе, от способа его введения, от конкретных требований к знаниям учащихся по усвоению этого понятия.
Отметим еще один момент, относящийся к вопросу формирования понятия. Каждое понятие в курсе не может рассматриваться изолированно от некоторой совокупности связанных с ним понятий. Поэтому,, говоря о формировании некоторого понятия, мы имеем в виду формирование совокупности связанных между собой понятий, среди которых одно является центральным, как бы порождающим всю совокупность. Например, формирование понятия приближенного значения величины предполагает также рассмотрение таких понятий, как «приближенное значение с недостатком», «приближенное значение с избытком», «погрешность приближения», «точность приближения» и др.
Покажем пути реализации методических требований к системе упражнений, целью которой является формирование понятий, на примере понятия десятичного логарифма.
«Логарифмы» — традиционная тема школьного курса математики. До 50-х годов эта тема изучалась в IX классе, причем внимание сосредоточивалось почти исключительно на формальнооперативной стороне вопроса (логарифмирование и потенцирование, выработка автоматизма в работе с логарифмированием и потенцированием, выработка автоматизма в работе с логарифмическими таблицами).
Позднее тема была перенесена в X класс. Здесь основной упор делался на формирование навыков в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Учащиеся очень быстро переходили к рассмотрению довольно сложных в техническом отношении упражнений без достаточного осмысливания основных и наиболее важных вопросов теории — самого понятия логарифма, основных свойств логарифмической функции. В то же время «как раз усвоение этой стороны дела наиболее существенно для тех дисциплин — физики и химии,— в которых могут найти себе место, уже в рамках средней школы, существенные (как с общеобразовательной, так и с практической точки зрения) примеры приложения математики к вопросам точного естествознания» [4, с. 6].
По действующей в настоящее время программе тема «Логарифмы» распределена между VIII и X классами. В курсе алгебры VIII класса рассматриваются «Десятичные логарифмы», центральное понятие здесь — понятие десятичного логарифма. Изучение понятия десятичного логарифма, так же как и изучение лю
бого другого понятия, предполагает рассмотрение комплекса взаимосвязанных вопросов. Как мы уже говорили, изучение каждого нового выражения в восьмилетней школе связывается с рассмотрением соответствующей функции, в данном случае с функцией t/==lgx. Кроме того, в комплекс входят понятия области определения и множества значений выражения 1g х и его свойства.
Как уже отмечалось, основными способами первоначального усвоения знаний являются восприятие сообщаемого, включение его в систему ближайших ассоциаций и запоминание. Под восприятием в процессе усвоения обычно понимают как наблюдение предмета усвоения в ходе предметной деятельности, так и осознание, осмысление усваиваемого, хотя бы и самое приближенное. Непременный элемент осознанного восприятия — включение полученной информации в какую-либо систему связей. Сказанное особенно важно реализовать в учебном процессе, если речь идет об организации усвоения новых по предметному содержанию знаний, не имеющих под собой реальной содержательной основы. Именно таким является для восьмиклассников понятие десятичного логарифма. «Согласно определению, 1g 3 есть тот показатель степени, в которую нужно возвысить число 10, чтобы получить число 3. Но учащийся никогда сам не возвышал число 10 в степень с показателем, хоть сколько-нибудь похожим на 0,4771, й никогда не наблюдал, чтобы кто-нибудь другой «получал» число таким способом» [4, с. 9]. Поэтому необходимо, чтобы до всякой формализации учащиеся были убеждены в существовании таких показателей степени, а для этого они должны быть вооружены каким-либо алгоритмом, позволяющим представить, к примеру, число 3 как степень с основанием, равным 10.
Итак, исходным моментом в формировании понятия десятичного логарифма должно быть создание в сознании учащихся запаса знаний, который может послужить основой для этапа формализации, который может быть как бы материальным источником возникновения этого понятия. Современное содержание математического образования таково, что для реализации этого требования есть необходимые предпосылки; понятие десятичного логарифма в курсе алгебры VIII класса может быть введено естественно и органично. Начать необходимую работу можно уже при изучении темы «Степень с рациональным показателем», выделяя в качестве специального предмета учебной деятельности учащихся степень с основанием, равным 10. При этом могут быть предложены такие задания
1. Найдите значение выражения 10"4, 10°, 10“’, 10’3. 1 _
2. Зная, что 101 2 =У10~3,16, найдите значение выражения 1 - _ 1
102, 102’5, 10 2 .
1 Здесь и далее в основном используются упражнения из действующих
учебников алгебры [1, 2, 3].
з i+1 t
Указание: воспользуйтесь тем, что 102—10' 3==10- 10z; _i -ц-1 1
102’5=102+°’5 =10М00’5; 10 2 = 10 2=Ю-М0\
' 1
3. Зная, что 102 ~3,16, представьте в виде десятичной дроби выражение:
а) Ю*=(10*)*; б) 10»= (10*)*; в) 10°-625= 10^ = 10*4
Указание: используйте таблицу квадратных корней.
4. Найдите показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить 100; 100 000; 0,1; 0,001; —-— . *
10000
Продолжается эта работа при рассмотрении функции у=10х.
5. Используя график функции у = 10х, построенный на промежутке [0; 1], найдите значения выражений: Ю0*1, 10°>42, 100>63 (рис. 3).
6. Используя график функции г/=10х, найдите показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить: а) 0,7; б) 2,3; в) 3; г) 8,5.
7. Представьте, если это возможно, в виде степени с основанием 10 число: а) 1; б) 10; в) 0,01; г)—100; д) —0,01; е) 0,00001.
8. Используя график функции г/=10х, представьте в виде степени с основанием 10 число: а) 2,5; б) 3,9; в) 7.
9. Решите уравнение:
а) 10х=10;
б) 10х = —10;
в) 10х=0,1;
г) 10Х=У1000;
д) 10х= 10-0’1;
е) 10х=0,0001;
ж) 10х= 1;
з) 10х=4;
и) Юх=7,5.
Указание: в случах з) и и) используйте график функции у=10х.
10. Изобразите^схематически график функции г/ = 10х, определенной на множестве всех чисел. С помощью графика выясните, имеет ли решение уравнение 10x=fe, и если имеет, то сколько.
Естественно, что приведенная здесь система упражнений условна, и число возможных заданий в ней не определено. Однако общий характер упражнений должен быть именно таким, причем важно, чтобы в заданиях учащимся встретились все типы словесных конструкций, с которыми им придется иметь дело. Учащимся должны стать привычными обороты речи типа «показатель степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число а для этого при выполнении упражнений необходимо требовать «проговаривания» вслух. В процессе выполнения этих упражнений учащиеся осознают, что значения функции t/=10x положительны и что любое положительное число является значением этой функции, т. е. область значений функции у=10х — множество положительных чисел (принимается без доказательства). Важно, чтобы эта мысль прозвучала неоднократно, причем в разных формулировках. Например, любое положительное число (и только положительное число) можно представить в виде степе-
эх
У
Рис. 3
I с основанием 10. Или иначе: какое бы положительное число ы пи взяли, всегда можно найти показатель степени х такой, ч = 10*; при это невозможно сделать. Или другой вариав равнение 10А = £> при Ь>0 имеет решение, и притом единстве эе; при — корней нет. Все это разнообразие формулиров эедставлено в упражнениях.
Подчеркнем принципиальную особенность рассмотренной с ’емы упражнений. Так как формируемое знание является новь] южным для восприятия, то в упражнениях с целью материализ я и предмета усвоения используется график показательной фу> ин у = 10\ который позволил придать наглядный, реальн: лысл обороту речи «показатель степени, в которую надо возг ?и основание 10, чтобы...». Так как необходимо добиться от ус
щихся полной осознанности, то следует при выполнении каждого упражнения требовать четкого показа с помощью чертежа хода рассуждений, пояснений того, как получен результат.
Теперь все готово для введения понятия десятичного логарифма. По определению, десятичным логарифмом числа Ь называет* ся показатель степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить Ь. Обозначение: 1g b. Цель упражнений следующего этапа— осознание и запоминание определения, овладение новым термином и новым символом. Учащиеся должны научиться оперировать символом 1g и в случае необходимости уметь без усилий восстанавливать в развернутом виде содержание выражений типа lg Ь. Кроме того, важно понять, что выражение lg b имеет смысл только при Ь>0, т. е. необходимо и включение упражнений типа «контрпримеров».
11. 1g 100 есть показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить 100; так как 100= 102, то 1g 100=2.
Разъясните по образцу смысл выражения и найдите его значение:
a) lg 1 000 000; б) 1g 0,0001; в) 1g 10.
Заметим, что при выполнении этого упражнения важно «проговаривание вслух» и подробная запись, указанная в образце.
12. Докажите, что верно равенство:
a) 1g 100 000= 5; б) lg^=-4; в) 1g ^16=',-
13. Используя знак десятичного логарифма, запишите верное равенство, которое следует из данного верного равенства:
а) 10-6=0,000001; в) 1041=/10;
__ 3 1
б) 104=10 000; г) 10
14. Объясните, почему выражение lg (—1000) не имеет смысла.
.15. Найдите значение выражения, используя график функции t/=10x:
a) 1g 5; б) 1g 6,6; в) 1g 1,9.
Дайте пояснение, основываясь на определении десятичного логарифма.
16. Имеет ли смысл выражение:
a) 1g 124; б) 1g 0,124; в) 1g (—100); г) -1g 100?
Некоторые из рассмотренных выше упражнений, помимо своего основного назначения, отвечали также и требованию формирования умения применять, конкретизировать понятие (таково, например, упражнение 15, в котором требуется найти значение выражения вида 1g х). Приведем еще пример упражнений, цель которых— научить применять понятия логарифма в основных наиболее типичных случаях (в вычислениях, при решении уравнений и неравенств и пр.).
17. а) Найдите значение выражения 1g х при х=1; 2; 3; 5; 1000; 0,001.
3 Заказ № 1171
33
б) При каком значении х значение выражения 1g х равно —2; -1; 0; 0,5; 0,9; 1; 3?
Для получения ответа в случае необходимости используйте график функции j/ = lgx.
18. а) Используя график функции t/=lgx, сравните 1g 5 и 1g 6; 1g 0,2 и 1g 0,8.
б) Что больше: 1g 0,7 или lg— ; 1g— или lg— ?
11 13 lo
19. Найдите значение выражения:
a) 1g 1000; г) lg 109;
б) -1g 1000; д) lg 1—1g 10;
в) 1g 0,001; ’ е) 1—1g 10;
ж) lg 100+lg 0,01;
з) lg V10;
и) lg ]/~ 100.
20. Найдите логарифм числа:
а) 10-7; в) /0,0Т; д) ОЬуТО;
б) /оТ; г) 10-i; е)
* 21. При каком значении переменной х верно равенство:
a) lgx=l; в) lgx=—2; д) lgx= —1;
б) ]gx=0; г) lgx=2; е) lgx=3?
22. Решите уравнение и найдите с помощью графика функции у = 10х приближенное значение корня:
a) lgx=0,7; б) lgx=0,85.
23. Найдите значение выражения:
a) lOte'ooo; в) 10^12 д) Ю'+'е8;
б) IQ’s0.®' г) 10's°’3; е) Ю^3-^2.
24. Представьте в виде степени с основанием 10 число: а) 0,0001; б) уТбООГ в) 7; г) 34.
25. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: a) 1g а-, в) lg(10+y); д) lg I
б) lg (3c); -г) 1g е) lg х2?
О
И наконец, приведем систему упражнений, реализующую последнее требование, а именно требование использования понятия в связи с изучением различных разделов курса.
26. Найдите значение выражения:
а) 6,325;
б) /79200;
в) 0,383-714,2;
. 1,084
/ 0,08862 '
27. Масса металлической детали равна 67,4 г, а ее объем равен 7,55 см3. Найдите плотность металла, "из которого изготовлена деталь.
28. С помощью таблиц логарифмов сравните значения выражений 226 и З16.
29. Решите уравнение и вычислите приближенное значение его корня:
а) *5=765 000; б) *1’2=248,6.
30. Найдите приближенные значения корней показательного уравнения:
а) 3,2*= 18; б) 0,12*=4.
31. В городе 2,4-105 жителей. Сколько жителей будет в этом городе через 10 лет, если средний прирост населения равен 1,8% ?
Таким образом, понятие логарифма используется для нахождения приближенных значений выражений (упр. 26, 27, 31), для сравнительной оценки числовых выражений (упр. 28), для решения степенных и показательных уравнений (упр. 29, 30). Примерно такой может быть система упражнений, направленная на организацию усвоения понятия десятичного логарифма.
Приведем еще один пример построения системы упражнений в соответствии со сформулированными требованиями. С этой целью рассмотрим систему упражнений, направленную на формирование понятия графика функции.
Понятие графика функции в совремепнохм школьном курсе алгебры VI—VIII классов играет исключительно важную роль. Благодаря широкому использованию графических представлений оказалось возможным создание такого курса, в котором понятие функции является одним, из стержней, вокруг которых группируется все содержание. Гра’фики являются в курсе алгебры естественным, органическим средством, которое позволяет ввести в процесс формирования знаний наглядные опорные образы и модели, сделать изложение менее формальным. Именно использование наглядных геометрических образов, доступных для восприятия учащихся среднего школьного возраста, позволяет при изложении многих разделов акцентировать внимание на функциональной стороне вопроса и тем самым установить содержательные внутренние связи между понятием функции и другими важнейшими понятиями курса.
Однако, говоря о последовательном использовании графических представлений учащихся при изложении различных тем школьного курса алгебры, необходимо учитывать, что некоторое знание может стать основой метода работы, т. е. основой сознательной упорядоченной деятельности, только в том случае, если это знание носит достаточно обобщенный характер. Значит, следует стремиться к тому, чтобы у учащихся VI—VIII классов уже на раннем этапе обучения были сформированы графические представления достаточно обобщенного характера.
На рисунке 4 показана структура изложения функционального материала в действующих учебниках алгебры. Изучение функцио-
Рис. 4
пального материала начинается в курсе VI класса с введения понятий функции и графика функции. Несколько позже, в курсе VII класса, рассматривается понятие возрастающей и убывающей на промежутке функции. После введения общих понятий функции и графика функции на протяжении всех трех лет изучения алгебры рассматриваются частные виды функции (y=kxt y—kx-\-b, у——у у=х2, у—х3, у=^х, у~ах2-\-Ьх-\-с и т. д.) и их свойства.
X
Принципиальная особенность изложения функционального материала состоит в том, что исходным моментом в нём являются наиболее общие из рассматриваемых понятий — функция и график функции. Эти общие понятия возникают достаточно рано и служат основой для дальнейшего развития функциональной линии. Надо сказать, что до последней реформы содержания математического образования у нас был принят иной подход к изучению функционального материала. Оно начиналось на год позже, в курсе алгебры VII класса, причем вначале рассматривались конкретные зависимости: y=kx, y=kx-}-b, у=—> у=х\ у=^х — и их х
графики. Общее понятие функции, а также графика функции вводилось лишь в конце 8-го года обучения. Завершался курс VIII класса изучением функций у—ах2 + Ьх + с, у—х3 и у=у^х.
В связи с изучением функции у=ах2 + Ьх + с говорилось о промежутках возрастания и убывания функции.
Разница двух подходов очевидна. Если раньше понятие функции возникало как обобщение конкретных случаев, то теперь важнейшие функциональные понятия вводятся достаточно рано и служат исходным моментом для дальнейшего изложения. Благодаря раннему введению понятия графика функции у учащихся уже в VI классе формируется умение «читать» график произвольной функции, которое включает в себя такие моменты, как нахождение по графику значения функции, соответствующего заданному значению аргумента; значения аргумента, соответствующего заданному значению функции; значений аргумента, при которых значения функции равны нулю, положительны, отрицательны и т. д. Это умение широко используется в дальнейшем.
Из приведенной на рисунке 4 схемы видно, что на основе графических представлений формируются представления о таких общих свойствах функции, как возрастание и убывание функции на промежутке. Наглядность большого запаса графических образов помогает учащимся выяснить сущность этих свойств, выработать о них интуитивные представления, подготавливая их тем самым к восприятию формальных аналитических определений, как бы воплотив эти определения в наглядной материальной форме. В результате в сознании учащихся устанавливается связь между записью указанных свойств в аналитической форме и их геометрическим образом. Графические представления служат также основой и при изучении свойств каждой из конкретных функций. По графику функции, построенному по точкам, учащиеся могут выяснить, монотонна ли данная функция, каковы промежутки возрастания и убывания функции, определить, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, отрицательные значения, обращается в нуль и т. д. Конечно, по мере продвижения по курсу все чаще выводы, сделанные в результате рассмотрения графика, получают подтверждение путем аналитического доказательства. В старших классах аналитический аппарат становится исходным моментохм в решении задач функционального содержания. Однако в курсе VI—VIII классов именно график позволяет «открыть» свойства рассматриваемой функции и запомнить их. Изучение свойств функции с опорой на наглядные образы отвечает возрастным возможностям учащихся, делает излагаемый материал менее абстрактным и предупреждает возникновение формализма в знаниях учащихся.
Одна из важнейших задач изучения алгеЪры состоит в рассмотрении выражений и их тождественных преобразований. Рассмотрение выражений в курсе связывается с соответствующими функциями и их графиками. Так, учащиеся используют параболу для решения вопроса о наибольшем или наименьшем значении квадратного трехчлена, для заключения о его промежутках зна-копостоянства; с графиком логарифмической' функции учащиеся связывают такие вопросы, как возрастание десятичного логарифма, изменение скорости его роста, отсутствие логарифма у нуля и отрицательных чисел и т. д.
Графики широко используются при решении уравнений, неравенств, систем. В качестве примера рассмотрим прием решения неравенств второй степени с одной переменной, т. е. неравенств вида ах2~\-Ьх-\-с^0. Здесь используются соображения о расположении графика квадратичной функции относительно оси х, которое определяется двумя условиями: знаком коэффициента а квадратного трехчлена ах2-\~Ьх-]-с и значением дискриминанта D. От знака коэффициента а зависит направление «ветвей» параболы; от знака дискриминанта D — положение параболы относительно оси х (парабола имеет с осью х только две общие точки; только одну общую точку; не имеет общих точек). Прием решения неравенств второй степени с одной переменной состоит в следующем: определяется знак коэффициента а и дискриминанта D квадратного трехчлена, схематически изображается график функции у^ах^Ьх-^-с (координаты вершины параболы несущественны, важно знать лишь направление «ветвей» и абсциссы точек пересечения параболы с осью х), затем с помощью схематического рисунка получается нужный результат; он как бы «считывается» с чертежа, никакого обращения к памяти не требуется. Естественно, такой прием предполагает прочное осознанное умение «читать» график. Заметим, что до того, как в средней школе была принята современная методика изучения функций, такой подход к решению неравенств не мог использоваться, так как он предполагает прочное и достаточно обобщенное владение функциональными умениями, в частности умением «читать» график функции.
Рассмотрим теперь систему упражнений, которая способствует глубокому и прочному овладению понятием графика функции, формированию обобщенного умения применять графики для решения разнообразных задач.
Хорошей подготовкой для введения понятия графика функции, для приобретения навыков их «чтения» создают упражнения, в которых учащимся приходится иметь дело с «эмпирическими» графиками. Конкретные сюжеты этих упражнений формируют у учащихся содержательные представления, на основе которых будет легко ввести понятие графика произвольной числовой функции. Упражнения могут быть такими:
L На рисунке 5 изображен график изменения температуры в течение суток, вычерченный самопишущим прибором. Каждому моменту времени соответствует t*c вполне определенная температу-
ра. Используя график, ответьте на вопросы:
а) Какая температура воздуха была в 5, в 12, в 18 ч?
б) В котором часу температура воздуха была равна —2°, 0°, 4°?
в) Укажите самую низкую и
Рис. 5 самую высокую температуру воз
духа за сутки. Какому моменту времени соответствует самая высокая температура?
г) В какие промежутки времени температура повышалась; понижалась; была отрицательной?
2. На рисунке 6 изображен график зависимости высоты сосны от ее возраста:
а) Какой высоты была сосна в возрасте 40, 90 лет?
б) В каком возрасте сосна достигла высоты 10 м?
в) На сколько метров выросла сосна за период от 20 лет до 60 лет, за период от 60 лет до 100 лет?
г) В какой период сосна росла быстрее: от 20 лет до 60 или от 60 до 100?
Рис. 7
3. На рисунке 7 изображен
график движения пешехода из пункта А в пункт В и обратно — из пункта В в пункт А.
а у Сколько времени шел пешеход из А в В, из В в А?
б) Сколько времени отдыхал пешеход в пункте В?
в) С какой скоростью шел пешеход из А в В, из В в А?
4, Измеряя через каждые четыре часа температуру воздуха, составили таблицу:
Л ч 0 4 8 12 16 20 24
Г, °C 1 0 1 G 9 7 2
Постройте график температуры. Используя график, ответьте на вопросы:
а) Какая температура воздуха была в 6, в 10, в 18 ч?
б) В какое время суток температура воздуха была равной 5 °C?
в) В какое время суток воздух прогревался и до какой температуры?
г) В котором часу температура воздуха была самой низкой?
Рассмотрим упражнения, способствующие усвоению определения графика функции и выработке умения применять это понятие в основных простейших ситуациях.
По определению, графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссами которых служат значения аргумента, а ординатами — соответствующие значения функции. Усвоению этого определения способствуют упражнения, в которых предлагается найти координаты точек, принадлежащих графику данной функции; выяснить, принадлежит ли указанная точка графику данной функции. Кроме того, необходимо, чтобы учащиеся понимали, что графиком некоторой функции может служить лишь такое множество точек плоскости, которое любая ’ прямая, параллельная оси ординат, пересекает не более чем в одной точке; Одновременно учащиеся должны постепенно овладевать умением строить по точкам график функции, заданной формулой, а также «читать» график. Упражнения могут быть такими:
5. Вычислите координаты любых десяти точек графика функции у=х(х—4) и отметьте эти точки в координатной плоскости.
6. Принадлежат ли точки А (0; 7), В (1, —4), С (—1, —4) и D (3; 2) графику функции, заданной формулой у—Зх—7? Назовите координаты еще каких-либо двух точек, одна из которых принадлежит графику функции, а другая не принадлежит.
7. Заполните таблицу значений функции у=х2—4х:
X -2 -—1 0 1 2 3 4 5 6
У
Отметьте на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, и соедините их плавной линией.
8. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у=2х—3; б) (/=1—х; в) t/=x2—3.
9. На рисунке 8 изображен график некоторой функции. Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента, равному —3; —2; 0; 1. При каком значении аргумента значение функции равно —2; 0; 1; 3?
10. Пользуясь графиком функции, изображенным на рисунке 9, заполните таблицу:
X —4 со 1 см 1 1 -1 0 1 2 3 4
У •
Укажите шесть значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и шесть значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.
Рис. 8
Рис. 9
11. Ломаная ЛВС, где А (—2; —2), В (1, 4) и С (6; — 1),— график некоторой функции. Начертите график и, пользуясь им, заполните таблицу:
X -1 0 3,5 4 5
У 4 2 -1
При каких значениях х выполняется условие:
t/>0; «/<0; г/=0?
Укажите наибольшее и наименьшее значения функции.
12. Какая из полуокружностей, изображенных на рисунках 10а) и 106), может служить графиком функции?
13. На рисунке 11 изображен график некоторой функции. Сравните значения функции при: х=1*и х=2; х=2 и х=3; х=3 и х=4; х=14 и х= 15; л=15 и х=16. На каком промежутке с увеличением значений х значения функции увеличиваются, на каком — уменьшаются? Укажите промежуток, на котором значения функции постоянны.
14. На рисунке 12 изображен график некоторой функции. Укажите промежуток, на котором с увеличением х значения функции уменьшаются, увеличиваются. При каком значении х функция принимает наименьшее значение и чему оно равно?
а}
б)
Рис. 10
Рис. 12
15. Опишите по графику функции» изображенному на рисунке 13, характер изменения значений этой функции с увеличением значений х.
16. На рисунке 14 изображены графики функции y=f(x) и {/—g(x). При каком значении х функции принимают равные значения? Укажите несколько значений х, при которых значения функции y—f(x) больше значений функции y=g(x); значения функции у~{ (х) меньше значений функции y=g(x).
Таков может быть характер упражнений, способствующих усвоению определения графика функции и формирующих умение строить и «читать» график. При изучении конкретных функций приобретенные умения применяются и получают дальнейшее развитие.
В заключение приведем примеры упражнений из различных разделов курса, в которых находят применение графические представления учащихся. __
17. Построив графики функций у—1/х и у=х—2, найдите корень уравнения ^х=х—2.
18. Сколько корней может иметь уравнение Ух= — ? Ответ получите с помощью построения графиков.
19. Решите графически систему уравнений:
Рис. 13
( х2+г/г = 100, а) I У~ ~х2-10;
б) fx2+y2=20, I ху=6.
20. Сколько решений может иметь система уравнений:
а)
х2+у2=4, ху—а;
Получите ответ с помощью построения графиков уравнений системы.
21. Используя графические соображения, решите неравенство:
а) Зх2+7х-20^0; б) х2—4х+Ю>0.
22. Пользуясь графиком квадратичной функции, найдите значение переменной х, при котором:
а) выражение х2—Зх | 2принимает наименьшее значение;
б) выражение —х2+2х+8 - принимает наибольшее значение.
23. Используя график степенной функции, сравните значения выражений:
а) 0,36 и 0,2е; в) 0,87 и 0,97;
Таким образом, графики используются для решения и исследования уравнений, неравенств, систем, для сравнения значений выражений, для отыскания наибольшего (или наименьшего) значения выражения.
§ 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ УПРАЖНЕНИЙ, НАПРАВЛЕННОЙ НА ОРГАНИЗАЦИЮ УСВОЕНИЯ ТЕОРЕМ
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
1, Выявление системы методических требований
В силу сложившейся традиции логический аспект в школьном курсе алгебры VI—VIII классов выражен слабее, нежели в курсе геометрии этих же классов. В курсе алгебры не выделяется система аксиом, рассматриваемые утверждения часто не называются теоремами (речь идет о свойствах, правилах, формулах: «свойство прямой пропорциональности», «формулы сокращенного умножения», «правило умножения степеней с одинаковыми основаниями»), в учебнике алгебры редко используется типичная для геометрии форма изложения математических теорем (формулировка, условие теоремы — «дано», заключение теоремы — «требуется доказать», доказательство или пояснение). Аналогичным образом обстоит дело и с проведением доказательств: часто в учебниках не проводится разграничение между поясняющими рассуждениями и строгим доказательством; некоторые доказательства, проведение которых с логической точки зрения возможно, в целях упрощения изложения материала опускаются. По-
видимому, назрела необходимость в пересмотре сложившейся системы обучения алгебре с точки зрения усиления роли дедуктивного метода, уточнения структуры логической информации. (Определенные шаги в этом отношении уже сделаны в действующих учебниках.) Однако для нашего исследования принципиально важно лишь то, что в этом курсе все же содержится значительное число утверждений, пусть и не всегда указанных явно; во многих случаях эти утверждения представлены в символическом виде. Необходимо, чтобы учащиеся овладели содержанием каждого утверждения, уяснили его роль и место в логической системе курса; без этого невозможно уяснение логики всего предмета в целом, системы внутренних связей между его элементами. Значительную часть утверждений, содержащихся в курсе, представляют собой теоремы, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением организации усвоения теорем.
Известно, что при изучении теорем могут иметь место разные методические подходы. Возможен такой подход, при котором учащимся сообщается формулировка теоремы и дается готовое доказательство. Возможно и такое изложение материала, при котором учащиеся более или менее самостоятельно «открывают» новые положения, выдвигают гипотезы. Очевидно, что в практике обучения могут иметь место и тот, и другой подходы. Однако при этом следует иметь в виду, что второй подход в большей степени позволяет раскрыть логику курса, разъяснить необходимость и полезность рассмотрения теоремы, активизировать деятельность учащихся, заострить их внимание на изучаемом вопросе. Для того чтобы такой подход к изучению теорем можно было бы осуществлять на практике, необходимо, чтобы система упражнений содержала задания, при выполнении которых учащиеся могли бы подметить некоторую закономерность, высказать гипотезу.
Итак, в системе упражнений должны содержаться задания, в результате выполнения которых может быть выдвинута некоторая гипотеза, требующая доказательства или опровержения.
Важным этапом при изучении теорем курса алгебры является усвоение их доказательств. Необходимо оговорить, что при обучении математике в средней школе не ставится в виде специальной цели формирование формального понятия доказательства, т. е. обучение применению правил вывода, получению следствий из данных высказываний — специальное обучение логическим элементам доказательства. Поэтому, говоря об обучении доказательствам, мы имеем в виду прежде всего доказательство теорем курса, а именно умение выделить в теореме условие и заключение, понимание логической структуры доказательства и умение провести его.
Каждый вопрос курса математики предполагает владение некоторым комплексом рассмотренных ранее вопросов. Доказательство любой теоремы курса основано на определении понятий, о которых идет речь в этой теореме, и на предложениях, рассмотренных ранее. Для понимания хода доказательства теоремы необ
ходимо свободное владение изученным ранее материалом, на которое это доказательство опирается. Поэтому к моменту рассмотрения той или иной теоремы необходимо восстановить в памяти учащихся нужные сведения; это позволит срсредоточить внимание на том, что является основным в данный момент — на логической линии доказательства. Лучшим средством для этого служит система упражнений, так как, выполняя упражнения, учащиеся не просто восстанавливают в памяти нужные сведения, а готовятся к их активному применению.
Итак, с помощью системы упражнений должны повторяться положения, на которых основывается доказательство теоремы.
Безусловно, что наиболее эффективной является такая организация обучения, при которой учащиеся в значительной степени готовятся к восприятию доказательства новой теоремы: легко воспринимают идею доказательства, активно участвуют совместно с учителем в его проведении, могут провести самостоятельно отдельные этапы или даже полностью все доказательство. Как показывает опыт, это возможно в том случае, если учащимся уже приходилось при изучении теории или при решении задач встречаться с математическими ситуациями, используемыми при доказательстве данной теоремы. Особенно важны с этой точки зрения упражнения, которые как бы моделируют прием доказательства, используемый в теореме. Правильная методика работы с такими упражнениями, умелое акцентирование внимания на методе их решения в значительной мере облегчает в дальнейшем восприятие доказательства теоремы и даже готовит учащихся к самостоятельному его проведению.
Система упражнений должна содержать задания, моделирующие прием доказательства рассматриваемой теоремы, подготавливающие восприятие логической структуры доказательства.
При изучении теорем в курсе алгебры необходимо добиваться от учащихся осознанного и прочного знания формулировок, тем более что в ряде случаев, как указывалось выше, изучение теоремы заканчивается разбором ее формулировки. Частично эта задача облегчается в том случае, если формулировка рассматриваемой теоремы строилась при активном участии обучаемых. Однако для прочного запоминания формулировок всеми учащимися необходимо неоднократное возвращение к ним при выполнении несложных заданий устного или полуустного характера, необходимы упражнения, требующие логического анализа структуры форч мулировки.
Итак, система упражнений должна обеспечить прочное и осознанное запоминание формулировки теоремы, понимание ее логической структуры.
В предыдущем параграфе мы говорили о том, что усвоение понятия обязательно предполагает умение применять его. То же самое относится к усвоению теорем. Каждая теорема должна найти содержательное применение в курсе как при изложении теории, так и при решении задач, причем учащиеся должны понимать, что
доказанная теорема в качественном отношении изменила суть вещей.
В системе упражнений должны содержаться задания на применение доказанной теоремы, причем среди них должны быть такие, которые позволяют сопоставить решения с использованием доказанной теоремы и без нее.
Таковы общие требования к системе упражнений, направленной на организацию усвоения теорем курса алгебры. Естественно, что при составлении системы упражнений в конкретном случае необходимо прежде всего учитывать особенности изучаемого содержания и реализовывать сформулированные требования, исходя из этих особенностей.
2. Реализация методических требований в системе упражнений
Покажем, как могут быть реализованы в системе упражнений сформулированные требования на примере теорем, выражающих свойства числовых неравенств.
Тема «Неравенства» до реформы математического образования, которая была проведена в 70-х годах, относилась к курсу математики старших классов. Свойства числовых неравенств при изучении этой темы рассматривались все вместе, без какого-либо их членения на группы. Такое концентрированное изучение большого числа теорем, не подготовленное предыдущим материалом, вызывало, как правило, затруднение у учащихся. Формулировки свойств плохо запоминались, доказательства тоже усваивались плохо, несмотря на то что практически во всех случаях они выполнялись одним приемом. Мешало усвоению свойств неравенств и то обстоятельство, что лишь часть из них находила содержательное применение в последующем изложении материала.
Действующая в настоящее время, программа относит изучение темы «Неравенства» к курсу алгебры восьмилетней школы. С целью облегчения усвоения теорем, выражающих свойства числовых неравенств, авторы разбили их на две группы, причем это разбиение было продиктовано желанием связать изучение свойств с их применением. В принципиальном отношении при изучении свойств числовых неравенств применяется одна и та же методика, поэтому мы проиллюстрируем ее на примере свойства, которое выражается теоремой:
если а<Ь и с — положительное число, то ас<Ьс\ если а<Ь и с — отрицательное число, то ас>Ьс, К самостоятельному «открытию» этой теоремы учащиеся могут прийти в результате рассмотрения частных примеров. Для этого могут быть предложены такие задания:
1. Поставьте‘вместо многоточия знак > или < так, чтобы получившееся числовое неравенство было верным:
а) 5-7 ... 3-7; б) 5-0,1 ... 30,1; в) 5-(—4) ... 3-(—4);
2. Запишите неравенство, которое получится, если обе части
неравенства —9<21 умножить на: а) 2; б) —1; в) 10; г)---------
В результате выполнения подобных упражнений учащиеся под
мечают некоторую закономерность и выдвигают следующую гипотезу: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство того же знака; если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то получится верное неравенство противоположного знака. Роль* учителя состоит в том, чтобы придать формулировке логически правильную форму и записать ее в символическом виде.
Доказательство свойств числовых неравенств в учебнике выполняется путем сравнения с нулем разности левой и правой частей доказываемого неравенства. Именно”такой прием и используется, в частности, при доказательстве рассматриваемой теоремы. Для того чтобы учащиеся овладели указанным приемом, можно рассмотрению свойств верных числовых неравенств предпослать упражнения, в которых требуется доказать некоторое неравенство на основе определения понятия «больше» или «меньше». Выполняя упражнения на доказательство неравенств, учащиеся должны давать подробные пояснения. Задания могут быть та
кими:
3. Сравните значения выражений:
За(аЧ-б) и (За+6) (а+4) при а — —5\ 0; 40.
Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше, чем значение второго.
4. Докажите, что при любом значении переменной а выполняется неравенство:
а) 3(а+1) +а<4(2+а); б) (а-2)2>а(а—4).
5. Докажите, что при любых значениях переменных а и Ь:
a) a(a-\-b)^ab\ в) 2ab^a2-\-b2\
б) а2—ab-\-b2^ab\ г) а(а—b)^b(a—Ь).
В момент доказательства рассматриваемой теоремы такая подготовка через упражнения позволяет учителю лишь подчеркнуть, что учащиеся, по сути дела, пришли к задаче, прием решения которой им знаком: нужно доказать, что при условии а<Ь и с>0 выполняется неравенство ас<Ьс, а при условии а<Ь и с<0 — неравенство ас>Ьс (или же опровергнуть выдвинутое предположение). При такой организации учебной деятельности учащиеся, как правило,’ справляются с доказательством рассматриваемой теоремы самостоятельно.
Заметим, что в данном случае упражнения типа 3—6 позволяют, вообще говоря, удовлетворить два требования к системе упражнений, направленной на организацию усвоения теорем: требование о повторении положений, на которых базируется доказательство теоремы, и требование моделирования приема доказательства.
Прочное и сознательное усвоение формулировок теорем, выражающих свойства неравенств, должно также произойти во время выполнения специально подобранных упражнений, требующих их воспроизведения. Так, для усвоения формулировки рассматриваемой теоремы можно предложить следующие задания:
6. Известно, что а<Ь. Запишите верное неравенство, которое получится, если обе части данного неравенства: а) умножить на 8; б) умножить на —4,5.
7. Известно, что а<.Ь, Поставьте вместо многоточия знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:
а) —12,7а ... —12,76; в) 0,07а ... 0,076;
1 1 к \ а ь
б) —а ...— 6; г)------...----.
/ 3 3 ’ ' 2 2
8. Каков знак числа а, если известно, что:
а) 5а<2а; б) 7а>3а; в) —3а<3а; г) 12а<2а?
9. Известно, что а>Ь. На основании какой теоремы можно утверждать, что:
а) — 7а<—7Ь- б)—> —; в) —а<?—6?
Естественно, что для достижения поставленной цели необходимо требовать от учащихся при выполнении упражнений указанного вида полного развернутого обоснования.
Упражнения 6—9, способствующие усвоению формулировки свойства неравенства, являются одновременно простейшими упражнениями на применение рассматриваемой теоремы. Приведем еще примеры упражнений, реализующих последнее требование, которое звучит так: в системе упражнений должны содержаться задания на применение доказанной теоремы, причем среди них должны быть такие, которые позволяют сопоставить решение с использованием доказанной теоремы и без нее. Задания, реализующие в данном случае это требование, могут быть такими:
10. Известно, что а>6. Докажите, что:
а) 15а> 156; -б) —8а<—86.
Заметим, что в этом случае полезно предложить учащимся выполнить доказательство двумя способами. Первый из них состоит в непосредственном применении рассматриваемой теоремы; во втором случае учащиеся могут использовать прием сравнения с нулем разности левой и правой частей неравенства.
11. Докажите, что:
а) если —7х<—28, то х>4; б) если<10, то х<30.
12. Докажите, что неравенства имеют одно и то же множество решений:
а) —17х<—51 и х>3; б) ^^-<0 и Зх—1<0.
13. Решите неравенство и поясните ход решения:
а) 12» 18; г) — 11х>—33;
б) —бх<1,5; г) 10< —15х.
Приведем еще один пример построения системы упражнений, направленной на организацию усвоения теорем в курсе алгебры. Для этого рассмотрим теоремы, выражающие свойства арифметического квадратного корня:
если а^О и Ь^О, то ^аЬ—^а-^Ь;
если и &>0, то 1/ — —,
V ь _
Для того чтобы формулы ^аЬ — ^а-^Ь и 1/ — = —
V ь / & возникли как естественная гипотеза, обобщающая конкретные примеры, учащимся могут быть предложены такие упражнения:
1. Сравните значения двух выражений:
а) /8Ь4"и У8Г-У4? б) /100-16 и уТОО/Гб.
2. Сравните значения выражений:
ч , Г 64 /64 , /100- /Гбб
а) 1/ — и —— ; б) 1/ — и ~.
V 121. /121 V 169 /169
После того как учащиеся установят равенство рассматриваемых -выражений, учитель может заметить, что вычисления часто можно было бы упрощать, если бы мы имели право заменять, например, арифметический квадратный корень из произведения произведением корней из множителей. Но для этого надо убедиться в справедливости формулы Уа&=Уа-У6, где а и b — неотрицательные числа.
Для проведения доказательства свойства арифметического квадратного корня достаточно лишь знания определения корня и свойства степени произведения. Однако логическая структура этого доказательства сложна для восприятия учащихся. Понимание идеи доказательства может быть до некоторой степени под
готовлено упражнениями типа:
3. Докажите, что:
а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25;
б) число — 7 не является арифметическим квадратным корнем из 49;
в) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.
4. Докажите, что верно равенство:
а) У12Г=11; б) у400==20; в) уб^=0,5; г) /^=0,3.
Рассмотрим, например, упражнение 4а). Его решение проводится в два этапа, что соответствует наличию в определении арифметического квадратного корня 'двух признаков, связанных логическим союзом «и»:
1) 11 >0 и 2) 112= 121.
Проведенные выкладки можно рассматривать как модель доказательства теорем, выражающих свойства арифметического
4 Заказ № 1171
49
квадратного корня. Действительно, равенство Уад=Уа-У&, где и fc^O, имеет вид }'х=у (здесь x—ab и у—^a-^b), Для доказательства того, что утверждение теоремы верно, нужно, основываясь на определении арифметического корня, убедиться в выполнении двух условий:
1) у^О и 2) у2==х, т. е.
1) у^уГ^О и 2) (У^уЬ)2=а6.
Формулировки теорем, выражающих свойства квадратного корня, несложны и специальная организация их запоминания не требуется. Формулы ]/ab = Уа-УЬ(а^0, Ь^О) и 1/ — = -
V ь / ь
(а^О, 6>0) усваиваются учащимися входе их применения в различных ситуациях.
Упражнения, требующие применения свойств арифметического квадратного корня, составляют основное ядро всех упражнений по теме «Квадратные корни». Так, теорема об арифметическом квадратном корне из произведения применяется для нахождения значений квадратных корней, для вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня, а также в других преобразованиях. Приведем примеры применения первой теоремы.
5. Представьте подкоренное выражение в виде произведения и найдите значение корня:
а) У3969? б) У19600; в) У50625?
6. Используя таблицу квадратов двузначных чисел, найдите значение корня по следующему образцу:
У96 100=у 961 • 100=У96Ь У Ю0=31-10 = 310.
а) У 448 900; б) уПТбОО; в) У5У84Г“ г) У62Л1.
7. Известно, что У2,35~ 1,53 и У23,5~4,85. Найдите приближенное значение корня:
' а) У235? б) У2350; в) уб^35? г) УО,00235?
8. С помощью таблицы найдите:
а) у 7,153; б) У 28Ж в) у1281Тг) У0,7254.
9. Представьте в виде одночлена выражение:
а) у1662, где 6^0; б) У0,25х2, где х<0.
10. Вычислите значение произведения:
а) У?У8? б) уТ0-У40; в) 5У12-УЗ; г) 2]/27-(-ЗУЗ).
И. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) У12; в) У7а2, где а^0; д) У50б5, где 6>0;
б) У108; г) УЮ//2, где y<Q; е) У27с6, где с^0.
12. Сравните значения выражений:
а) 6У2 и 0,5уТб2? б) -2- /6 и 61/2. .
13. Упростите выражение:
а) У75+5У48-УЗОО~; б) 2у54+У96-3f 150?
14. Упростите выражение:
а) (ЗУУ-2УЗ)-У5+У6О? б) (4/3-2уб^ 1)2УЗ?
3. Обучение доказательствам на алгебраическом материале
Изучая теоремы, содержащиеся в курсе алгебры, учащиеся одновременно учатся выполнять дедуктивные умозаключения. Тем самым в процессе обучения алгебре решается задача развития логического мышления учащихся, повышается уровень их общей культуры. Доказательства в курсе алгебры, как правило, коротки и компактны; их логическая структура проще структуры доказательств, рассматриваемых в курсе геометрии; они более доступны для учащихся, чем геометрические доказательства. Поэтому необходимо целенаправленно и систематически в процессе преподавания алгебры обучать учащихся выполнять дедуктивные умозаключения. Для этого, помимо обучения доказательствам в ходе изучения теорем, необходимо включать в систему упражнений задания, требующие установить истинность того или иного предложения или опровергнуть его.
Итак, система упражнений должна содержать упражнения на доказательство.
Упражнения на доказательство — важный вид заданий в школьном курсе. Они способствуют развитию логического мышления школьников, позволяют познакомить их с методами анализа и синтеза и сделать эти методы орудием в их самостоятельной работе.
Приведем примеры упражнений на доказательство из различных разделов курса алгебры VI—VIII классов.
Тема: «Степень с натуральным показателем»
272«+1
1. Докажите, что значение выражения-------, где п— натураль
ное число, не зависит от п.
2. Докажите,, что 33+43+53=63.
3. Докажите, что сумма 162+213 кратна 3.
4. Докажите, что значения выражений 7520 и 4510-5Э0 равны между собой.
5. Докажите, что равенство (—0,125х4) (—2х)6= (—2х2)3х Х( — х2)2 является тождеством.
Тема: «Многочлены»
6. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (п+7)2—п2 делится на 7.
7. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения п3—п кратно 6.
8. Докажите, что при всех значениях а, b и с
а(Ь—с) —Ь(а—с) = с(Ь—а)
9. Докажите тождество (x+f/)2— (л—у)2—^ху.
10. /Докажите следующую формулу:
(a+b) 3=&+3a2b+3ab2+b\
11. Докажите, что выражение а2— 12а-|-37 при любом значении а принимает положительное значение.
Тема: «Рациональные дроби»
12. Докажите, что при любых а и Ь, при которых знаменатель (а + Ь)2 (а-Ь)2 А
отличен от нуля, значение выражения ----------1---— равно 4.
ab ab
13. Найдите область определения выражения
и докажите, что при всех значениях переменной у, при которых это выражение имеет смысл, его значение не зависит от значения переменной у.
14. Докажите, что если а и b — натуральные числа, то значением выражения — ------1----— является обыкновенная дробь с
a2+ab ab+b2 числителем, равным 1.
2 1
15. Докажите, что при любом х#=±1 выражение --------------
х4— 1 х2— 1
принимает отрицательное значение.
16. Докажите тождество —— + —- =а+3+ .
а2—За а—3 а2—За
Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
17. Докажите, что последовательность, заданная формулой хп—2п— 1, является арифметической прогрессией.
18. Докажите, что последовательность, заданная формулой ^п=5-Зп» является геометрической прогрессией.
19. Докажите, что если последовательность (а^) — арифметическая прогрессия, а-m и ап — ее члены (ап#=п), то ат=ап+ ~i~d(m—n).
20. Докажите, что при любых а и b соответственные значения выражений (а + 6)2, а2 + Ь2 и (а — Ь)2 образуют арифметическую прогрессию.
21. Докажите, что если числа а, Ь, с и d образуют геометрическую прогрессию, то (а—d)2=(b — c)2-\-(c—a)2+[d—b)2.
22. Докажите, что в геометрической прогрессии (сп) — = сп
= qm-n^ Тде q — знаменатель геометрической прогрессии.
23. Докажите, что если сумму п первых членов последовательности (^п) можно найти по формуле Sn=3n— 1, то (ап) —геометрическая прогрессия.
Тема: «Функции»
24. Докажите, что график функции z/~4x2—4 проходит через точку Д (—0,5; — 3) и не проходит через точку В(1; —4).
25. Докажите, что график функции у=5х2 расположен в верхней полуплоскости.
26. Докажите, что график прямой пропорциональности у=70,8х проходит через первую и третью координатную четверти.
27. Докажите, что функция у=4х-ЬЗ является возрастающей.
28. Докажите, что функция у=6х2 на промежутке от -~оо до 0 является убывающей.
Тема: «Системы уравнений с двумя переменными»
29. Докажите» что уравнение x2+f/2= —1 не имеет решений.
30. Докажите, что график уравнения у—х*—Зх2+* проходит через начало координат.
31. Докажите, что пара чисел (—3; 4) является решением системы уравнений f х2+у2=25, [ху=^-12.
32. Докажите, что система J у—6х=0, I 4х—у——2 имеет единственное решение.
33. Докажите, что система f 0,2х-|-0,Зу=0, \х+1,5у=4 не имеет решений.
$ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ УПРАЖНЕНИЯ НАПРАВЛЕННОЙ НА ОРГАНИЗАЦИЮ УСВОЕНИЯ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Выявление системы методических требований
В процессе обучения в школе перед учащимися ставятся определенные цели, которые достигаются тем или иным способом, тем или иным приемом умственной деятельности. Прием решения некоторого класса задач -=- это тоже прием умственной деятельности, понимаемый в узком смысле этого слова. Приемом решения задачи обычно называют инструкцию (рекомендацию, предписание), организующую и планирующую применение ранее полученных знаний для решения данной задачи. Прием можно представить в виде последовательности действий, которую надо выполнить для достижения поставленной цели.
Например, прием решения дробного рационального уравнения на основе использования условия равенства дроби нулю может быть указан таким образом:
1) представить данное уравнение в виде f(x)=O, где f(x) — рациональное выражение;
2) представить выражение f(x) в виде дроби где и(х) и сф)
и(х) —целые выражения;
3) заменить уравнение —0 равносильной ему системой
4) решить уравнение и(х)=О;
5) для каждого корня уравнения и(х)=0 проверить выполнение условия и(х)#=0;
6) записать ответ.
Приведем еще один пример. Пусть требуется решить неравенство вида ах<Ь, где а> 1 и Ь>0. Применяемая в действующих учебниках методика обучения приему решения таких неравенств ориентирует учащихся на использование в ходе решения неравенств схематического графика показательной функции.
Прием решения показательных неравенств вида ах<Ь может быть описан так:
1) изобразить схематически график функции у^ах\
2) с помощью графика указать то значение х, которому соответствует значение у, равное Ь\
3) с помощью графика указать множество значений которым соответствуют значения у, меньшие Ь\
4) записать ответ.
Из приведенных примеров видно, что указанные в примерах цепочки действий не являются алгоритмами в точном смысле этого слова уже хотя, бы потому, что в каждом из рассмотренных случаев допускаются различные способы выполнения действий. Например, разными способами можно перейти от уравнения / (х)=0 к уравнению вида =0. Правильнее было бы сказать, у(х)
что прием решения некоторого класса задач является предписанием алгоритмического характера.
Обучение приемам является важнейшей целью, которая ставится в процессе преподавания алгебры. Действительно, владение приемом вносит в умственную деятельность обучаемого направленность на решение определенного класса задач, известную планомерность в организации умственной деятельности и логическую последовательность в решении частных задач, на которые может быть расчленена более сложная задача.
Остановимся на некоторых особенностях обучения приемам решения задач в курсе алгебры VI—VIII классов.
В педагогической психологии показано, что для успешного овладения приемом существенно важна активность обучаемого в составлении этого приема, * самостоятельная поисковая деятельность. Это положение и послужило основой для методики обучения приемам в курсе алгебры.
Все теоретические положения (определения, теоремы), которые служат основой для того или иного приема, изложены в теоретической части учебника. Там же показаны и образцы решения наиболее типичных задач, снабженные пояснениями. Сами же приемы в явном виде в теоретической части курса, как правило, не сформулированы. Они формируются в основном в процессе выполнения упражнений, вырабатываются в итоге активной деятельности обучаемых. При правильно построенном учебном процессе такая деятельность приучает учащихся организованно думать,
планировать умственную деятельность, осуществлять самоконтроль. Однако при такой системе изложения материала особенно важна роль учителя, направляющего умственную деятельность учащихся. Процесс обучения в общеобразовательной средней школе строится на основе классно-урочной системы, при которой основные знания, умения и навыки должны формироваться преимущественно на уроке, в процессе коллективной и индивидуальной работы, организуемой и направляемой учителем. В соответствии с этим школьные учебники математики, в частности учебники алгебры для VI—VIII классов, не являются лишь книгами для самообразования в прямом смысле; они служат средством обучения в учебном процессе, который организуется и направляется учителем. Результаты обучения в значительной степени зависят от конкретной методики обучения, которую применяет учитель в каждом отдельном случае. В частности, результаты обучения алгебре зависят от методики обучения в процессе решения упражнений. Анализ методики обучения (применяемой учителями на уроках алгебры), выполненный в итоге посещения значительного числа уроков, позволил выявить некоторые возможности для совершенствования работы учителя при обучении приемам решения задач. Дело в том, что обычно в ходе преподавания цель усвоения того или иного приема не выделяется в качестве специальной учебной задачи; ученики осваивают прием неосознанно, механически, в силу лишь многократного возвращения к аналогичным ситуациям. В ходе урока упражнения выполняются без комментариев, а если и даются разъяснения, то они носят недостаточно общий характер. Необходимо, чтобы действия, которые должны быть выполнены в. ходе решения той 'или иной задачи, предстали перед учащимися в явном виде. И именно учитель должен при обучении приему сформулировать учебную задачу, придать деятельности учащихся целеустремленность, целенаправленность; именно учитель должен помочь учащимся выделить систему общих указаний, которые будут служить в качестве ориентиров при выполнении заданий.
Как же должна строиться система упражнений, направленная на обучение приему решения некоторого класса задач в курсе алгебры VI—VIII классов?
Как уже говорилось выше, для успешного овладения приемом, как, впрочем, и для успешного овладения любым другим знанием, существенно важна активность обучаемых при конструировании этого приема, их самостоятельная поисковая деятельность.
Активное участие в поиске приема решения некоторого класса задач обеспечивает осознание логической структуры приема, понимание его теоретической основы, а также естественное непроизвольное запоминание входящих в него действий. Кроме того, обучаемые приучаются организованно думать, планировать свою работу, т. е. у них вырабатываются важные качества умственной деятельности и создается определенная база для выработки умения искать самостоятельно пути решения новых задач.
Итак, система упражнений должна обеспечивать возможность активного участия обучаемых в конструировании приема решения рассматриваемого класса задач.
Применение любого приема предполагает выполнение некоторой последовательности действий, т. е. предполагает умение выполнять эти действия, а значит, владеть приемами выполнения этих действий. Так, например, для овладения приемом решения дробных рациональных уравнений на основе условия равенства дроби нулю необходимо умение представлять дробное рациональ-
ное выражение в виде отношения двух многочленов, применять к н(х)
уравнению вида ~у условие равенства дроби нулю, решать не
которые виды целых рациональных уравнений с одной переменной, проверять справедливость неравенства вида и(х)=#0, где i>(x) —целое выражение, для определенных значений переменной. Заметим, что членение приема на его составные части, вообще говоря, условно. Оно зависит, во-первых, от содержания изучаемого материала, т. е. от особенностей задачи, для решения которой конструируется прием, а во-вторых, от состояния предшествующих знаний и умений школьников. Например, если бы учащиеся VII класса владели приемом решения таких систем, состоящих из двух предложений, как
(х24-х—6=0,
[ (х—2) (х2—!)=/= 0, то в приеме решения дробных рациональных уравнений, приведенном выше, действия 4) и 5) можно было бы заменить одним: решить систему )и(х)=0,
( d(x)=^0.
Очевидно, что для успешного овладения некоторым новым приемом необходимо прочное владение всеми приемами, входящими в новый в качестве составных частей. Бывает так, что обу
чение некоторым из приемов, входящих как составная часть в новый прием, непосредственно предшествует его рассмотрению. Обучение другим может быть отделено от него значительным промежутком времени. Отсюда ясно, что для успешного овладения учащимися новым приемом необходимо своевременно организовать повторение приемов, входящих в новый в качестве составных частей, навык применения которых мог быть в какой-то степени утрачен. Реализовать это условие возможно только через систему упражнений, так как только через упражнения можно научиться применять что-нибудь на практике или восстанавливать утраченный навык.
Итак, система упражнений должна обеспечить усвоение и необходимое повторение каждого из приемов, входящих р качестве составных частей в формируемый прием.
Пусть изучаемый прием уже введен: разобраны упражнения
подготовительного, «поискового» характера, выделена последовательность действий, с помощью которых следует решать рассматриваемую задачу, разобран образец решения задачи с использованием нового приема. Теперь основное внимание должно быть
уделено усвоению приема, формированию умения применять его. Для этого требуется последовательная систематическая работа по выполнению специально подобранной системы упражнений.
Первые упражнения, направленные на обучение применению приема, должны быть достаточно элементарными, «прозрачными», так чтобы дополнительные осложнения не отвлекали внимание от основного вопроса, подлежащего усвоению в данный момент. Пренебрежение этим условием, как правило, приводит к тому, что значительная часть учащихся так и не овладевает полностью ‘формируемым приемом и постоянно затрудняется в его применении в последующем курсе. Принципиально важно поэтапное (без преждевременного свертывания) выполнение всех составляющих действий, входящих в данный прием, название вслух каждого этапа.
Посещение уроков позволило обнаружить, что учителя часто в целях повышения темпа выполнения заданий вынуждают учащихся как можно быстрее переходить при выполнении упражнений к свернутой форме записи с пропуском некоторых промежуточных этапов. Как часто приходилось наблюдать при посещении уроков такую картину: для .выполнения первых упражнений, направленных на обучение некоторому приему, к доске вызываются один за другим лишь хорошо успевающие учащиеся, которые быстро осознают новое и почти сразу могут перейти к выполнению заданий в умственной, свернутой форме, тем более что первые' упражнения в учебниках, как правило, намеренно «прозрачны» и легки; в итоге именно эти ученики задают учащимся темп учебной деятельности, который для многих оказывается непосильным. Например, при выполнении упражнения, в котором требуется упростить выражение (—0,363с2)36с, вместо развернутой записи (— 0,3)3 (63)3 (с2)3bc= —0fi27b9c&bc— — 0,027610с7 на доске может оказаться такая: ( —0,363с2)36с =—0,027610с7, т. е. упражнение практически выполняется устно. Это, безусловно, мешает правильной организации усвоения на начальном этапе обучения приему. Вообще подробные записи при выполнении упражнений не должны расцениваться учителями как нечто недозволенное или неудовлетворительное.
Сложность заданий должна нарастать постепенно и систематически. При этом необходимо иметь в виду следующее: так как при составлении упражнений путем варьирования компонентов, входящих в задание, можно добиться весьма большого разнообразия и значительной-степени трудности выполнения задания, то необходимо с самого начала определить тот уровень, который должен быть достигнут при обучении приему. При определении конечного уровня необходим анализ тех ситуаций, в которых данный прием^может быть использован.
Исследования психологов показали, что хотя путем выполнения однотипных упражнений можно довольно быстро добиться успешного их выполнения учащимися, однако успех этот может оказаться обманчивым. Часть учащихся также быстро теряет навык в выполнении подобных упражнений, кроме того, они не мо
гут применять знания в измененной ситуации. Однотипные упражнения вскоре начинают выполняться механически, по аналогии, они не требуют повторного обращения к теории, рассмотрения вопроса с разных сторон. Поэтому при составлении системы упражнений, направленной на обучение применению приема, следует предусмотреть разрушение стереотипа, переключение с одной умственной операции на другие (но, конечно, в разумных пределах). Достигнуть этого можно разными путями: давать упражнения, формирующие умение применять прием, в разных формулировках; включать в систему упражнений такие задания, при выполнении которых применение данного приема хотя и возможно, но нецелесообразно (есть более простые пути решения); использовать так называемые «обратные» задачи; включать упражнения, допускающие разные подходы к их выполнению, и т. д. Естественно, для всего этого требуется чувство меры, постоянно следует помнить о том, какая задача обучения является в данный момент главной. Заметим., что, как показывает опыт, при формировании умения применять прием полезно с какого-то этапа чередовать выполнение упражнений по применению приема с изучением нового материала или с решением задач по другой тематике. Это позволяет, с одной стороны, растянуть формирование приема на более продолжительное время, с другой — также препятствует созданию стереотипа.
Итак, система упражнений, направленная на формирование умения применять прием, должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности, противодействия выработке стереотипа, причем она должна содержать число заданий, достаточное для достижения требуемого уровня владения приемом.
Следующим важным требованием для успешного и полноценного формирования приема решения задач является требование содержательного его применения в последующем материале курса. Прием может найти применение как в теории, так и в системе упражнений. При правильно построенной системе упражнений изученные приемы могут находить применение во все новых ситуациях. Тем самым приобретенные ранее знания будут получать подкрепление, углубляться, обобщаться. Изучение нового при такой организации обучения сочетается с «непрерывным» повторением пройденного. Упражнения, с помощью которых осуществляется «непрерывное» повторение, должны содержаться в тех местах курса, где они способствуют логическому развертыванию системы упражнений, где их появление естественно.
Говоря о том, что в обучение приему как обязательное условие входит его применение в различных ситуациях, подчеркнем, что необходимо понимать роль каждого упражнения в системе, направленной на обучение приему, и ориентировать внимание учащихся на основной объект изучения. Поэтому если целью упражнения является обучение приему в процессе его применения, то именно на этом и должен заострить внимание учитель с помощью
специальных вопросов и замечаний. Например, прием разложения многочлена на множители используется для решения целых уравнений с одной переменной (уравнение приводится к виду /(х)=0 и его левая часть представляется в виде произведения). Предлагая учащимся упражнение такого рода, учитель может сказать следующее: «Вы умеете решать уравнения, левая часть которых представляет собой произведение, а правая — нуль. Теперь вы знаете, как можно в некоторых случаях разложить на множители многочлен. Нельзя ли применить рассмотренный прием разложения на множители к решению данного уравнения?» После окончания решения необходимо еще раз обратить внимание учащихся на основную идею упражнения — на применение приема разложения многочлена на множители. Таким образом, в процессе обучения применению приема важно обеспечение направленности внимания учащихся на объект изучения путем специальных комментариев и вопросов.
Итак, каждый прием решения задач, формируемый в курсе, должен найти в нем применение.
Важным требованием к системе формирования приемов решения основных классов задач является также рассмотрение условий применимости данного приема, обучение распознаванию того, имеет ли место данная ситуация или нет. Эффективным средством для этого являются так называемые контрпримеры. Примером упражнения такого рода могут служить задания, в ходе выполнения которых учащиеся «провоцируются» на сокращение слагаемого, на применение формулы квадрата двучлена к выражению вида a2-\-2ab — b2 или к выражению вида a2-\-ab-\-b2, на разложение на множители по формуле а2 — Ь2= {а — Ь) (а + b) выражения вида а2 + Ь2, на замену уравнения вида f (х) • g(х) = 0 совокупностью «f(x)=O или g(x)=0», когда корень одного из уравнений f(x)=O или g(x)=0 — не входит в область определения другого и т. д. Для того чтобы система контрпримеров была по-настоящему эффективной, важно, чтобы в пей фигурировало каждое логическое условие, необходимое для применения данного приема. Такие упражнения предупреждают учащихся от бездумного неосознанного применения приема.
Итак, система упражнений должна формировать умение выяснять, возможно или нет применение того или иного приема в рассматриваемой ситуации.
Последний принцип, который мы также считаем необходимым условием успешного и полноценного формирования приема решения задач, звучит так:
Система упражнений должна содержать задания комплексного характера, выполнение которых требует распознания типа задачи и осознанный выбор приема ее решения.
Дело в том, что задания, требующие применения какого-либо приема, даются учащимся, как правило, в связи с рассмотрением соответствующего теоретического вопроса. Само их место, а иногда и последовательность заданий в системе подсказывают учащим
ся способ, которым должна быть решена данная задача. Например, в пункте «Вынесение общего множителя за скобки» учащимся предлагаются задания, в которых нужно представить в виде произведения такие многочлены, как х7—х5+х3, х3у+х6£/2, а2—ЗаЬ и т. д. В пункте «Разложение многочлена на множители способом группировки» даются упражнения на представление в виде произведения многочленов типа 1 lx— 1 \у—х2—ху, 8ху3 —24у2—7аху4-+21а и т. д. В связи с изучением формулы разности квадратов даются задания, в которых предлагается разложить на множители такие многочлены, как Ь4—0,25; 1—a2Z?4; 9х6 —4a4ft6. Конечно, в систему упражнений могут включаться и комбинированные задания, требующие применения и ранее рассмотренных приемов. Так, в систему упражнений, направленную на обучение приему разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов, может быть включено задание, которое потребует еще и вынесения множителя за скобки (например, для разложения на множители многочлена х5—х3 надо сначала вынести за скобки х3, а затем применить формулу разности квадратов) или предварительного применения метода группировки (таков, например, многочлен х2—Зх+Зу—у2). Однако уже само название пункта, к которому относятся указанные задания, подскажет учащемуся, что он должен «искать» формулу разности квадратов. В то же время очень важно добиваться того, чтобы учащиеся распознавали тип задачи и осознанно подходили к выбору способа ее решения. Для этого в систему упражнений следует включать упражнения, которые содержат задания, хотя и одинаковые по формулировке, но требующие применения различных приемов. Такие упражнения особенно эффективны в период обобщения знаний, заключительного повторения. Например, во время итогового повторения курса алгебры VI класса (или в какой-либо момент изучения алгебры в VII и VIII классах) учащимся может быть дано упражнение с формулировкой: «Разложите на множители», содержащее целый ряд многочленов, требующих как применения отдельных приемов разложения на множители, так и их комбинаций, причем расположение'заданий не должно служить для учащихся «дидактической подсказкой».
2. Реализация методических требований в системе упражнений
Покажем пути реализации сформулированных требований на примере составления системы упражнений, направленной на организацию усвоения приема решения уравнения с переменной в знаменателе дроби (прием был рассмотрен выше в этом параграфе).
Центральным моментом в данном приеме является применение условия равенства дроби нулю. Значит, для того чтобы при решении какого-то уравнения воспользоваться рассматриваемым приемом, необходимо все члены уравнения перенести в одну часть уравнения и представить получившееся выражение в виде дроби.
Именно к этой мысли и должны самостоятельно прийти учащиеся. С этой целью можно предложить такое упражнение:
!♦ Решите уравнение:
а) —0; в) -?--— = 0;
х2—4 2х— 1 х+1
б) 2L.lJL=0; г) ^-3 = ^. x2-j-5 х2+5 2х— 1 хЧ-З
В первом случае учащиеся непосредственно применяют условие равенства дроби нулю; во втором случае наличие одинаковых знаменателей дробей помогает легко представить сумму дробей в в-иде дроби и т. д. В итоге они приходят к нужному выводу.
Выше мы уже говорили о том, что для овладения приемом решения дробного рационального уравнения (с одной переменной) требуется владение целой совокупностью приемов. Так, решение дробного рационального уравнения предполагает умение решать уравнение вида w(x)=0, где и(х)— многочлен с одной переменной. Очевидно, что уровень владения приемом решения уравнения вида и(х)=0 (т. е. какова может быть степень многочлена, какова возможная сложность вычислительной работы и пр.) должен быть посильным для достижения планируемого результата в овладении формируемым приемом. Программа требует, чтобы учащиеся могли решать такие дробно-рациональные уравнения, которые сводятся к уравнениям вида ™~ =0, где и(х)—многочлен не выше второй степени. Следовательно, система упражнений должна обеспечить умение решать уравнения первой степени с одной переменной, а также полные и неполные квадратные уравнения, г. е. для овладения приемом решения дробного рационального уравнения учащиеся должны без затруднений выполнять упражнения типа:
2. Решите уравнение:
а) 3x4-14=0;
б) 0,4х—0,6 = 0;
в) 12х24-7х=0;
г) х2—25 = 0;
д) 5х2—8х+3=0;
е) х24~5х-— 6 = 0.
Заметим, что умение решать целые рациональные уравнения, степень которых не выше 2-й, практически обеспечивает овладение важной составной частью приема решения дробного рационального уравнения, которую образуют действия 3—5 (см. § 5, п. 1). Для полного понимания содержания этой совокупности действий достаточно будет включить в систему упражнений такие задания:
3. Проверьте, выполняется ли при х = 3 условие:
а) б)
х2—9 = 0 и х2—4х#=0;
х2—Зх=0 и х2—5х-г6=Л0.
4. Решите уравнение, используя условие равенства дроби нулю:
а)
о
-Х-2—Ь_=0; х2—Зх+2
б)
= 0;
—=0. х3—2х2—х+2
Система упражнений, формирующая прием решения дробного рационального уравнения, должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности. Первые упражнения должны требовать несложные преобразования и сводиться и(х) к уравнениям вида
Таково, например, задание:
5. Решите уравнение:
а) —4=0; б)
=0, где и(х) —многочлен первой степени
= 0.
2х—1 х+1
Затем могут включаться более сложные преобразования; решение дробного уравнения может уже сводиться к неполному или полному квадратному уравнению. Принципиально важно, чтобы в систему упражнений включались уравнения, имеющие «посторонние» корни, наличие которых покажет учащимся проверки условия о(х)#=0 при решении уравнения кажем, как может возрастать сложность заданий:
3,7 Ю , -— (в ходе решения уравнения
необходимость
=0. По-D(X)
требуется выполнение более сложных преобразований; уравнение сводится к линейному).
ч х I 5
6.
8 ,
,2~ (уравнение в итоге несложных преобразований сводится к полному квадратному х24-7х—18=0; есть посторонний корень).
8. —--5
х2-3х
“гТо = 0 (уравнение сводится квадратному; требуется достаточно высокая техника вания дробных выражений).
g 13______
2х2 + х—21
6
(задание осложняется
к полному преобразо-
тем, что в знаменателе одной из дробей содержится квадратный трехчлен, т. е. требуется умение разложить трехчлен на множители; уравнение сводится к полному квадратному; есть посторонний корень). Так может постепенно нарастать сложность заданий, причем в целом число заданий должно быть достаточным для достижения требуемого уровня.
Для того чтобы препятствовать в процессе формирования приема выработке вредного стереотипа, полезно включать* в систему упражнения, внешне сходные с приведенными выше, но в которых
применение рассматриваемого приема нецелесообразно. Например:
10. Решите уравнение
3-х _ х—2 I (х-2)2 5 4 8
В выражениях, записанных в левой и правой частях уравнения, не содержится деления на переменную, поэтому в этом случае удобнее умножить обе части уравнения на наименьшее обшее кратное знаменателей дробей.
Можно также давать задания, суть которых состоит в решении дробного рационального уравнения, но с другой формулировкой. Например:
11. Найдите значения переменной а, при которых значение 6 , 1 о
выражения + а2 Д’ Равно ~<>•
12. При каких значениях у сумма дробей и и их про-у-5 у+Ь
изведение принимают равные значения?
Важным условием для формирования осознанного владения некоторым приемом является требование содержательного при-* менения этого приёма в курсе. Прием решения дробного рационального уравнения находит естественное и важное применение при решении так называемых текстовых задач. Основная цель подобных упражнений состоит в том, чтобы продемонстрировать учащимся VI—VIII классов возможность применения математических методов к решению практических задач. (Хотя, конечно, следует иметь в виду, что фактически все текстовые задачи в школьном курсе лишь воссоздают некоторую модель того, что может иметь место в реальной жизни.) При решении текстовой задачи, так же как при решении любой практической задачи математическими методами, учащиеся сталкиваются с необходимостью выполнять все три этапа, которые входят в процесс решения: перевод заданной ситуации на язык алгебры (составление уравнения, или неравенства, или системы уравнений, или неравенств по условию), решение задачи с помощью алгебраического языка (решение уравнения, или неравенства, или системы уравнений (неравенств)’), интерпретация решения (содержательный анализ полученного ответа). Таким образом, решение уравнения (или неравенства, или системы) является важной составной частью процесса решения «текстовой задачи». Приведем пример:
13. Велосипедист проехал расстояние 67 км за 4 часа, причем на последних 27 км пути его скорость была на 2 км/ч больше, чем на предыдущем участке пути. Сколько времени затратил велосипедист на последние 27 км пути?
Решение.
1-й этап. Пусть начальная скорость велосипедиста была х км/ч, тогда первые 40 км он проехал за------ч, а остальные
27 км — за ч. х-Ь2 •40 .
По условию задачи х>0. Получаем систему:
х
х>0.
Для того чтобы решить полученную систему, надо найти кор-ни дробного рационального уравнения—| — —4 и Проверить, удовлетворяют ли они условию х>0.
2-й этап. Решая уравнение, находим его корни: 16 и — 1 —
4
Решением системы является число 16.
3-й этап. Задача имеет единственное решение: начальная скорость велосипедиста была 16 км/ч.
Как уже говорилось, дробное рациональное уравнение сводится к уравнению вида ~^~=0, где и(х) и р(х) —некоторые мно-v W
авенства и(х) =0, п(х)У=0.
Необходимо подчеркнуть, что здесь существенным является тот факт, что в случае дробных рациональных уравнений выражение у(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида —=0 равносильно следующей системе:
и(х)
Г п(х)=0,
| о(х) —имеет смысл, и(х)#=0.
гочлены. В силу необходимого и достаточного условия дроби нулю последнее уравнение равносильно системе
Естественно, что этот (достаточно тонкий) момент Не может быть доведен до сознания учащихся, однако полезно изредка в подходящих местах курса давать им задания, которые могут привести к мысли о том, что рассматриваемый прием имеет свои границы применимости. Например, в теме «Квадратные корни» может быть предложено задание:
14. Решите уравнение
-0.
(Числитель дроби обращается в нуль при х=0 и при х=4. Однако число 0 не является корнем уравнения, так как при х=0 выражение Ух—3 не имеет смысла.)
Последнее требование говорит 6 том, что для формирования приема необходимы задания, при выполнении которых требуется распознание типа задачи и осознанный выбор приема ее решения. С этой целью в период обобщающего повторения учащимся могут быть предложены задания типа:
15. Решите уравнение:
a)4x-U I3Z7X=2
15 20
b 10
Итак, мы рассмотрели методические требования к построению системы упражнений, направленной на обучение понятиям, теоремам и приемам решения основных классов задач. В ходе учебного процесса эти требования реализуются последовательно в соответствии с его естественными этапами. Обобщая эти требования, приходим к заключению.
На этапе подготовки к введению нового содержания через систему упражнений необходимо создать условия для активного восприятия нового (вплоть до создания необходимых условий для самостоятельного конструирования определений, формулирования и доказательства теорем, поиска приемов решения задач). Это требование должно реализовываться как через упражнения про* педевтического характера, так и с помощью упражнений, направленных на повторение изученного.
На этапе непосредственного введения нового содержания через систему упражнений необходимо создать условия, которые позволяют учащимся осознать и прочно запомнить новые сведе. ния (такие, как термины и символы, формулировки определений и теорем, последовательность действий, составляющих прием), сконцентрировать внимание на главном в данный момент, сфор* мировать правильные представления о границах применимости данного знания.
На этапе закрепления необходимо создать условия для усвоения знания в ходе его применения в основных, наиболее характерных случаях.
Глава HI
ПИСЬМЕННАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА КАК СРЕДСТВО ОРГАНИЗАЦИИ
УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ В VI—VIII КЛАССАХ
§ 6. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ учебной деятельности ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ алгебре
1. Самостоятельная работа — одна из основных форм учебной деятельности школьников
Одной из эффективных форм учебной деятельности является самостоятельная работа школьников. Переоценить значение самостоятельной работы учащихся попросту невозможно, так как одной из целей обучения в средней школе является формирование умения работать с научной литературой, самостоятельно приобретать новые знания, получать новые результаты. Если учитель ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации, то он искусственно сдерживает развитие познавательной активности обучаемого, наносит ему непоправимый вред в интеллектуальном и в нравственном отношении. «Заставляя детей непомерно много слушать и смотреть и не давая им собственной деятельностью закреплять и усваивать упражнениями полученные впечатления, мы лишаем детей радости действия, жизни, притупляем остроту восприятия впечатлений, отбиваем желание добывать знания и совершенствовать умения, прививаем интеллектуальную лень, самую страшную разновидность лени» '[22].
Известный советский педагог Т. И. Шамова указывает следующие признаки, характеризующие самостоятельную работу как одну из форм учебной деятельности школьников;
— наличие цели самостоятельной работы;
— наличие конкретного задания;
— четкое определение формы выражения результата самостоятельной работы;
— обязательность выполнения работы каждым учеником, получившим задание.
Лишь наличие всех указанных признаков в организации учебной деятельности школьников дает основание утверждать, что они выполняют самостоятельную работу. Отсутствие хотя бы одного из них говорит о том, что в ходе учебного процесса не была создана совокупность условий, каждое из которых необходимо для стимулирования самостоятельной деятельности школьников.
Самостоятельная учебная деятельность школьников может организовываться на различных уровнях самостоятельности, от воспроизведения действий по образцу и узнавания объектов и
явлений путем сравнения их с известным образом до самостоятельного составления программ действий в принципиально новых ^ситуациях. Следует помнить, однако, что степень сложности задания, предложенного для самостоятельной работы, должна отвечать учебным возможностям школьников; переход с одного уровня самостоятельности на другой должен осуществляться постепенно, причем каждый предыдущий уровень следует расценивать как необходимую подготовку к последующему.
Содержание самостоятельной работы, форма и время ее выполнения должны отвечать основной цели обучения на данном этапе. Заметим, что злоупотребление самостоятельной работой в ходе учебного процесса может оказаться столь же вредным, как и ее недооценка.
! При обучении математике на уроках и во внеурочных занятиях применяются различные виды самостоятельных работ, которые организуются как во время индивидуальных, так и во время фронтальных или групповых занятий.
Важную роль в обучении играет организация самостоятельной деятельности школьников в процессе изучения теоретического материала.
В последнее время все чаще на уроках можно видёТь самостоятельную работу школьников с4 текстом учебника. Учащиеся составляют краткий конспект самостоятельно разобранного теоретического материала, ищут в нем ответы на заранее поставленные вопросы, составляют план доказательства и т. д. Учащимся старших классов предлагается обобщить, систематизировать, установить связь теоретических сведений разных разделов. Нередко учителя используют такие формы работы, как подготовка докладов (индивидуальных или коллективных) по заданной тематике, рецензирование и оценивание ответов товарищей. Эффективность всех указанных видов работ в значительной степени зависит от продуманной и умелой организации деятельности учителя. Именно учитель помогает учащимся осознать цель работы и способы ее выполнения, дает им советы и рекомендации, т. е. учит их самостоятельно воспринимать информацию. Именно* учитель ставит перед учащимися контрольные вопросы и задания, проверяющие степень осознанности воспринятой информации, и одновременно приучает школьников к навыкам самоконтроля. Такая работа учителя способствует формированию специфических для математики приемов познавательной деятельности учащихся. По словам советского психолога Н. Ф. Талызиной «...каж-. дый раз, когда учитель знакохмит детей с новой предметной областью, он должен задуматься над теми специфическими приемами мышления, которые характерны для данной области, и постараться сформировать их у обучаемых. Без этого усвоение учебного материала может происходить формально» [23].
к Наиболее естественным и эффективным видом самостоятельной деятельности учащихся при обучении математике, в-^астно-юб.учении_длгебре, является выполнение упражнений.
Особенно ценно, когда упражнения в ходе учебного процесса предлагаются в виде продуманной системы, позволяющей учитывать индивидуальные возможности учащихся. Выше мы говорили о методических требованиях к построению системы упражнений, направленной на организацию учебной деятельности при обучении алгебре. Теперь мы рассмотрим виды упражнений в соответствии с требуемым для их выполнения предполагаемым уровнем самостоятельной деятельности учащихся.
2. Виды заданий, предлагаемые для самостоятельной работы при обучении алгебре
Рассмотрим различные виды заданий, с которыми сталкивав ются ученики при самостоятельной работе. Мы выделим три вида заданий: репродуктивные, реконструктивные и вариативные.
Задания репродуктивного типа выполняются учащимися на основе образца или подробной инструкции, на основе известных формул и теорем.
К репродуктивным заданиям относятся задания на воспроизведение или непосредственное применение теорем, определений, свойств тех или иных математических объектов. К этому же виду относятся задания на решение задач по известным формулам, например на нахождение процента числа, пути по скорости и времени и другие, и задания на непосредственное применение формул, если для их выполнения не требуется привлечения ранее изученного материала. Так, задание: «Представьте в виде многочлена выражение (2—а)Ч — репродуктивного характера, а задание: «Представьте в виде многочлена выражение (а—2) (а+2) — — (2—а)2» — не является репродуктивным.
К репродуктивным относятся также задания на распознавание различных объектов, свойств различных объектов. Примером могут служить такие задания: «Из следующих выражений выпишите дроби», «Какие из следующих графиков являются графиками прямой пропорциональности?», «Какие из следующих уравнений являются квадратными?» и др.
Репродуктивные задания позволяют выработать основные умения и навыки, необходимые для изучения математики. При выполнении репродуктивных заданий деятельность учащихся протекает в форме простого воспроизведения изученного. Задания репродуктивного типа мало способствуют развитию мышления учащихся, однако они необходимы, так как такие задания создают базу для дальнейшего изучения математики и таким образом способствуют выполнению заданий более высокого уровня воспроизводящей деятельности.
Реконструктивные задания указывают только на общий принцип решения, например: «Решите графически неравенство», или на соотнесение к тому или иному материалу, например: «Решите задачу составлением системы уравнений». Выполнение таких заданий возможно только после того, как ученик сам
реконструирует их, соотнесет с несколькими репродуктивными. К такого рода заданиям можно отнести задания на построение графиков, когда ученику, знающему общий метод построения графиков, необходимо проанализировать свойства конкретной функции и для нее выбрать наиболее удобный метод построения.
К такого же рода заданиям относятся задачи на составление уравнений. При решении этих задач ученику необходимо словесную формулировку задачи перевести на язык алгебры.
К реконструктивным необходимо отнести и задания, при выполнении которых учащимся приходится использовать несколько алгоритмов, формул, теорем, если все эти формулы, тождества, алгоритмы даны в явном виде, например такое задание: «Представьте в виде многочлена выражение (а—2) (a-j-2)— (2—а)2».
Все эти задания характерны тем, что, приступая к их выполнению, ученик должен проанализировать возможные общие пути решения задачи, отыскать характерные признаки объекта, использовать несколько репродуктивных задач.
' Необходимо отметить, что познавательная деятельность ученика при выполнении этих заданий в основном не выходит за рамки . преобразующего воспроизведения знаний, но она неизбежно сопровождается уже некоторым обобщением.
Реконструктивные задания — наиболее распространенный вид заданий, используемый на всех этапах учебного процесса.
Более высоким уровнем воспроизводящей деятельности и переходом ее в творческую деятельность характеризуются задания вариативного характера. При выполнении их ученику необходимо из всего арсенала математических знаний отобрать нужные для решения данной задачи, воспользоваться интуицией, найти выход, из нестандартной ситуации.
К такого рода заданиям относятся так называемые задачи «на сообразительность», задачи «с изюминкой», многие задачи на доказательство (когда нет жесткого алгоритма доказательства), а также задачи, для решения которых необходимо создание новых алгоритмов решения, например: «Вставьте пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество а2+6аЬ-Н . .= = (..•+.. .)2». К вариативным относятся и задания на составление различных задач.
Чтобы развивать мышление учащихся, формировать у них различные виды деятельности на всех этапах обучения математике, необходимо использовать различные виды заданий.
3. Роль письменных самостоятельных работ в организации самостоятельной деятельности учащихся при обучении алгебре
Письменные самостоятельные работы играют важную роль в усвоении учащимися курса алгебры. В настоящем пособии, как и во многих других книгах по методике и дидактике, будем рассматривать письменную самостоятельную работу как один из спо
собов организации самостоятельной деятельности учащихся. Такие работы предполагают большую самостоятельность учащихся; при фронтальном проведении их выявляется уровень общей подготовки класса и каждого ученика в отдельности. В сравнении с другими формами организации деятельности учащихся письменная работа отличается индивидуальным характером выполнения заданий, трудностью для многих учащихся письменной формы выражения знаний. По целям проведения письменные самостоятельные работы подразделяются на обучающие и контролирующие. Конечно, такое деление условно, поскольку любая письменная работа является для учителя и средством обучения, и средством контроля. В то же время каждый учитель всегда знает основную цель проводимой работы.
При проведении письменных контрольных работ в классе самостоятельность учащихся обеспечивается вариативностью заданий и контролем учителя.
В целях сокращения времени для выполнения некоторых видов письменных контрольных работ получила распространение работа в тетрадях на печатной основе.
Большую помощь в организации самостоятельной деятельности учащихся оказывают, учителю издаваемые по всем курсам математики дидактические материалы.
Дидактические материалы, как правило, содержат самостоятельные и контрольные работы. При этом самостоятельные работы имеют целью оказать помощь учителю в формировании и развитии умений и навыков учащихся, в приложении теоретических знаний на практике. Контрольные работы предназначены для выявления знаний учащихся по каждой теме или между существенными частями темы.
Такое деление письменных самостоятельных работ, конечно, правомерно, ло, на наш взгляд, недостаточно полно.
Учителю нередко приходится дополнять существующую в дидактических материалах систему письменных самостоятельных работ или составлять собственную. При этом учителю следует руководствоваться следующими требованиями к составлению любой системы письменных работ.
Прежде всего, система письменных работ, с одной стороны, должна обеспечивать усвоение необходимых знаний и умений и, с другой стороны, их проверку.
Система заданий должна быть полной, т. е. отражать все основные понятия, предусмотренные программой, связи между понятиями различных тем и внутри тем.
Задания в письменных самостоятельных работах должны быть различными по характеру воспроизводящей деятельности ученика. В работы необходимо включать задания репродуктивного, реконструктивного и вариативного характера.
Самостоятельные работы должны формировать приемы учебной работы, подводить учащихся к самостоятельному нахождению приемов, учить переносу приемов учебной работы.
Система письменных самостоятельных работ должна обеспечивать повторяемость одних и тех же вопросов в различных ситуациях: при формировании знаний и навыков, при проверке на разных этапах. В задания для самостоятельной работы необходимо включать прямые и обратные задачи на изученный материал.
Формулировки заданий в самостоятельных работах должны быть четкими, определенными, понятными, не допускающими двоякого толкования.
§ 7. ОБУЧАЮЩИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ к
1. Работы по формированию знаний
*
Обучающие самостоятельные работы разделим на две группы: работы по формированию знаний и работы по формированию умений. Естественно, что такая градация условна, поскольку само по себе знание какого-либо* факта или определения, не подкрепленное способностью его применить/ не может привести к успеху. Поэтому в каждой из групп обучающих работ независимо друг от друга будет происходить формирование знаний и умений. Тем не менее цель, которую предопределил учитель для себя при составлении работы, будет определять ее назначение.
Работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания, а также на этапе непосредственного введения нового содержания. При этом, как и при составлении упражнений, в указанные периоды изучения материала необходимо создавать условия для активного восприятия учащимися нового материала, которые позволяют учащимся осознать и прочно запомнить новые сведения: термины и символы, формулировки определений и теорем, последовательность действий, составляющих прием, и т. д.
Цель работ по формированию знаний состоит в том, чтобы в процессе самостоятельной деятельности учащихся довести до сознания ученика содержание нового понятия, раскрыть его необходимые признаки, показать связь с ранее известными понятиями. Эти работы проводятся при первичном закреплении знаний, т. е. сразу после объяснения нового материала.
Чтобы новые знания стали достоянием ученика, чтобы он мог свободно ими оперировать, они должны быть не только поняты, но и прочно закреплены в' сознании и памяти.
Из особенностей первичного закрепления знаний вытекают некоторые особенности обучающих работ, проводимых на этапе отработки знаний и навыков.
Знания учащихся еще непрочны, есть некоторая неясность мысли, нечеткость и неточность в их воспроизведении. Поэтому работы необходимо строить так, чтобы в процессе их выполнения ученик узнавал новое понятие среди множеств уже известных по
нятий, воспроизводил определения, рассмотренные свойства математических объектов, доказывал теоремы, применял новые методы решения задач и т. д.
Естественно, что при составлении таких работ необходимо учитывать те же факторы, что и при определении системы упражнений на этапе формирования нового содержания. Подобранные в работе задания должны способствовать усвоению термина, символа, определения; созданию правильного соотношения между внутренним содержанием .понятия и его внешним выражением, правильных представлений об объеме понятия. В этих же работах можно и нужно давать задания на умение применять понятие в простейших, но характерных ситуациях, т. е. задачи на прямое применение изучаемого материала.
Задания в работах по формированию знаний, как правило, должны быть репродуктивного характера. Однако возможно включение заданий вариативного характера, например, на составление задач. Это обогатит работу и даст возможность ученику проявить свои математические способности. Но необходимо помнить, что такого рода задания являются нелегкими.
При выполнении этих работ деятельность ученика элементарна: происходит простое воспроизведение изученного. Однако эти работы способствуют накоплению опорных фактов, так необходимых в дальнейшем изучении математики, осознанию и прочному запоминанию новых сведений.
На начальном этапе формирования знаний можно разрешать учащимся пользоваться учебником, записями в тетради, таблицами, справочными пособиями, плакатами и т. д.
Поскольку самостоятельные работы по формированию знаний проводятся сразу после объяснения нового материала, то их проверка своевременно дает учителю картину понимания учащимися нового материала на самом раннем этапе его изучения.
’"'Приведем пример работы на формирование понятия арифметического корня. В эту работу следует включить задание, при выполнении которого ученики столкнутся с необходимостью «проговорить» определение арифметического квадратного корня, что очень важно для его понимания. Кроме того, целесообразно дать задание, в котором среди множества выражений ученик должен выбрать арифметический корень.
В соответствии с этим можно предложить, например, такую работу:
1. Вставьте пропущенные слова:
1) Число 5 является арифметическим квадратным, корнем числа 25, так как число 5 ... О и квадрат ... равен ....
2) Число 12 ... арифметическим квадратным корнем числа 144, так как число 12 ... О и квадрат его ....
3) Число —3 ... арифметическим квадратным корнем числа 9, так как число —3 ... 0.
4) Число 0,3 ... арифметическим квадратным корнем числа 0,9, так как квадрат числа 0,3 ... 0,9.
2. Верно ли, что: а) У25=5;
б) — У25==—5;
в) у-1б=-4;
г) У9^=3;
д) У9=-3;
е) — У9^=-3?
3. Запишите с помощью знака У арифметические квадратные корни из трех различных чисел.
Заметим, что такие задания гораздо полезнее, чем, например, задание: «Напишите определение арифметического корня», так как при их выполнении требуется не запоминание определения, а его применение.
Приведем еще пример обучающей работы, которую можно провести при изучении учащимися формулы корней квадратного уравнения.
Для того чтобы правильно пользоваться формулой корней квадратного уравнения, учащиеся должны уметь выделять квадратные уравнения среди других, уметь приводить уравнения к виду ах2+&х+с=0, находить дискриминант квадратного уравнения. Задача предстоящей работы — акцентировать внимание учащихся на всех компонентах формулы корней квадратного уравнения. В соответствии с этими соображениями можно дать такую работу:
1. Зная, что квадратное уравнение имеет вид ах24-Ьх+с=0, определите, какие из следующих уравнений: 1) являются квадратными; 2) могут быть приведены й квадратному; 3) являются неполными квадратными:
а) 5х2—7x4-12=0; в) 2х—3=7х; д) х(х—3) =6; .
б) 3х+6=3х2; г) х—5 = х2; е) х2-6х=0.
2. Приведите уравнение к виду ах24-Ьх4-с=0 и определите коэффициенты а\ Ь\ с:
а) 7х2—3=2х; г) Зх2—6х=2х4-5;
б) 7х—5=2х2; д) х(х—2) =8;
в) 4х2—6х=5; е) 2x(x-f-4) =х2—6.
3. Зная, что дискриминант D квадратного уравнения ах24-6х-р’ -|-с=0 вычисляется по формуле D=№—4ас, найдите дискриминант уравнения и определите, сколько оно имеет корней;
а) х2—7х—44=0;
б) х2—6х=0;
в) х2—5,5х—3=0;
г) 2х2—7х-|-5 = 0;
д) Зх24~2х—6=0;
е) — 2х2—6х-|-8 = 0.
2. Работы по формированию умений
Работы по формированию умений проводятся на этапе закрепления знаний. При этом, как упоминалось, на этапе закрепления необходимо создать условия для усвоения учащимися зна-
ний в ходе применения их в основных, наиболее характерных случаях.
Цель работ по формированию умений состоит в том, чтобы в процессе самостоятельной деятельности совершенствовались приобретенные учащимися навыки выполнения тождественных преобразований, решения уравнений, неравенств, различного рода задач, навыки построения графиков различных функций. Эти работы могут проводиться практически на каждом уроке.
Осуществляя подбор заданий для работ по формированию умений, следует учитывать требования к системе упражнений, направленной на формирование умения применить тот или иной прием.
При составлении заданий для таких работ следует исходить из принципа «от простого к сложному». Содержание и порядок вопросов и заданий в работе должны определять течение мысли учащегося, фиксировать внимание на трудных моментах, вырабатывать логику суждений. Каждое предыдущее задание должно помогать выполнять последующее, а последующее — готовить к восприятию новых заданий и закреплять предыдущие. Упражнения, следующие одно за другим, должны в принципиальном отношении незначительно отличаться друг от друга. Это отличие может заключаться в весьма небольшом изменении условия (новые коэффициенты, иное .расположение членов, иные знаки, более высокие показатели степени и т. п.).
Например, рассмотрим задание: «Используя формулы сокращенного умножения, преобразуйте выражение:
а) (лг+п) (т—п)\ в) 100—х2;
б) (4а—х2) (4аф'Х2); г) 16а2—Ь4».
Для выполнения задания а) ученику достаточно вспомнить тождество (а-}~Ь) (а—&) =а2—Ь2. Выполнение первого задания поможет ученику выполнить следующее, в котором, помимо знания тождества (а+Ь) (а—Ь) =а2 — Ь2, необходимо уметь возводить в квадрат одночлены. Для выполнения следующего задания нужно воспользоваться тем же тождеством, поменяв в нем местами левую и правую части. Задание г) будет успешно выполнено, если последовательно выполнялись все предыдущие. Предъявление заданий в такой последовательности вряд ли вызовет затруднения у учащихся.
Следует помнить, что однотипность в подборе упражнений, особенно на первом этапе отработки знаний и навыков, влечет формирование у учащихся неверных ассоциаций, которые служат источником образования устойчивых ошибок. Например, если ученику будет предложена следующая работа: «Разложите на множители выражение:
а) а3—Ь3;
б) 27—х3;
в) г)
т3+?г3;
125а3—63;
Д) 8+а3;
е) 0,125х3—г/3»,
то вполне возможно, что ученик, запомнив неверные знаки, например в разложении а3—Ь3—(а—b) (a2-{-ab~\-b2), не сможет в такого рода работе «увидеть» свою ошибку. И данная работа закрепит эту ошибку.
Лучше, если при отработке навыка использования формулы q3—b3— (a—b) (a24-ab+fr2) учитель даст, например, такие задания:
1. Используя правило преобразования произведения многочленов, преобразуйте выражение:
а) {т—п)(т2+тпД-п2)\ в) (а—2) (а2+2а+4);
б) (х4~у) (х2-х</4-у2); г) (х4-2) (х2—2x4-4).
2. Какие из равенств являются тождествами:
а) х3-у3= (х~у) (х2—ху+у2);
б) а34-8=-(а4-2)(а2-2а4-4);
в) х34-125 =(х4-5)(х24-5x4-25);
г) а3—27-= (а—3)(аг4-За4-9)?
3. Разложите на множители выражение:
а) 8—а3; б) 125а3—у3; в) т34~0,125/А
Выполняя первое задание, учащиеся фактически несколько раз доказывают изучаемую формулу, а в третьем задании они ее используют. Такое построение работы создает меньше опасности для образования устойчивых ошибок при отработке данного материала.
Учитель, приступая к составлению заданий, должен поставить перед собой следующие вопросы: чему научится ученик после завершения этой работы? На какие вопросы будет уметь отвечать? Какие , навыки приобретет? Работы данного типа должны состоять из небольшого числа заданий репродуктивного и реконструктивного характера, направленных на отработку новых приемов выполнения тождественных преобразований, различных методов рассуждения, на решение задач и т. д.
Таким образом, работы по формированию умений хотя и имеют много общего с работами по формированию знаний, но отличаются от них степенью сложности и тем, что они требуют от ученика более высокого уровня мыслительной деятельности. При выполнении этих работ многим учащимся необходима помощь учителя. Выявив потенциальные ошибки, учитель работает со слабоуспевающими учащимися, помогая им, отвечая на их вопросы, обращая их внимание на трудные моменты в работе.
Несомненно, важным для учителя является вопрос о необходимом числе тех или иных обучающих работ. Основным критерием здесь должны служить разделы программы «Содержание обучения» и «Требования к математической подготовке», поскольку отработке должен подвергаться тот материал, который содержится в первом разделе, а уровень сложности определит
второй раздел. И конечно, непосредственным ориентиром в составлении системы работ служит учебник, где задан порядок изучения материала.
Приведем пример системы обучающих работ по теме «Степень и ее свойства» (VI класс).
К пункту 19
Вариант I
1. Представьте в виде произведения одинаковых множителей: а) т3; б) (аЬ)4; в) (—с)3; г) -L.
16
2. Представьте в виде степени произведение:
a) bbbb\ в) (—7а) (-7а) (-7а);
б) хуххуу', г) (х+у) (х+у) (х+у) (х+у).
3. Назовите показатель и основание степени:
а) т13; б) (4х)5; в) (х+у)12.
Вариант II
1. Представьте в виде произведения одинаковых множителей:
а) у3; б) (тп)3; в) (—х)5; г) .
2. Представьте в виде степени произведение:
а) ххх; б) трттрр-, в) (—2х)(—2х); г) (х—у)(х—у).
3. Назовите показатель и основание степени:
а) х9; б) (2а)6; в) (/л+л)10.
К пункту 20
Вариант I
1. Представьте в виде степени произведение:
а) х4-х2; б) (2а)3- (2а)7; в) 34-36.
2. Представьте в виде степени с основанием х выражение: а) х3-х7; б) (—х5)2; в) (х9)4; г) (х3)”.
3. Сравните значения выражений:
а) 2'3 и 46; б) 56 и 253.
Вариант II
1. Представьте в виде степени произведение:
а) а3-а7; б) (5m)7-(5m)5; в) 73-75.
2. Представьте в виде степени с основанием а выражение: а) а5-а4; б) (а5)2; в) (—а3)9; г) (а3)”»
3. Сравните значения выражений: а) 96 и З13; б) 493 и 7е.
К пункту 21
Вариант I
1. Представьте выражение в виде степени произведения: а) х7у7; б) 34х4; в) 81 -28; г) — 8z/6.
2. Найдите значение выражения:
а) 83-0,1253; б) /-З-)4. ; в) й-У-1,253.
\ О / \ • / \ D /
3.,П редставьте выражение в виде произведения степеней: а) (ху)\ б) (За)9; в) (- 1,2х)6.
Вариант II
1. Представьте выражение в виде степени произведения; а) а363; б) 73а3; в) 49-54; г) — 0,64 г/3.
2. Найдите значение выражения:
в)
1,254-
3. Представьте выражение в виде произведения степеней:
/ 1 \б
a) (ab)5; б) ‘(1,2а)4; в)
§ 8. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
1. Требования к контролю знаний учащихся
Важным и чрезвычайно тонким моментом учебно-воспитательного процесса как для учителя, так и для ученика является контроль за знаниями учащихся.
В общепринятом понимании контроль означает проверку, сит стематический учет успеваемости детей. Контроль является составной частью процесса обучения и обеспечивает получение учителем информации о ходе познавательной деятельности учащихся в процессе обучения, а также получение информации самими учениками о своих успехах. Контроль за знаниями учащихся имеет обучающее и воспитывающее значение, способствует более глубокому изучению учащимися основ наук, совершенствованию их знаний и умений, развитию их общеучебных умений и навыков.
Советская дидактика и методическая наука выдвигает требсн вания к контролю. Известный советский дидакт Н. А. Сорокин [19] формулирует следующие педагогические требования к
контролю, на наш взгляд полные, педагогически оправданные, которыми н следует руководствоваться:
1) Контроль должен носить индивидуальный характер, предусматривающий проверку и оценку знаний, умений и навыков каждого ученика в отдельности, по результатам его личной учебной деятельности, не допускать подмены результатов учения отдельных учащихся итогами работы класса или группы школьников,
2) Систематичност!, означающая регулярность проведения контроля успеваемости учащихся на протяжении всего процесса обучения, сочетание его с другими сторонами учебной работы и положительное влияние на весь ход учения школьников.
3) Разнообразие форм проведения, способствующее выполнению обучающей и воспитывающей функций, контроля успеваемости, повышению интереса учащихся к его проведению и результатам.
4) Всесторонность, охватывающая всё разделы учебных программ, знание теоретических положений, практические умения и навыки учащихся.
5) Объективность, исключающая преднамеренные, субъективные и ошибочные суждения и выводы учителя, основанные на недостаточном изучении учащихся или предвзятом отношении к ним и искажающие действительное состояние успеваемости.
6) Дифференцированный подход, предполагающий учет специфических особенностей предмета и отдельных его разделов, применение различной методики учета успеваемости.
7) Единство требований учителей, осуществляющих контроль успеваемости учащихся в данном классе.
2. Проверочные самостоятельные работы
Остановимся на методике составления контролирующих самостоятельных работ.
После того как материал хорошо усвоен и учащиеся без особых затруднений справляются с самостоятельными работами обучающего характера, необходимо проверить и оценить приобретенные ими знания. Контролирующие работы целесообразно проводить после логически завершенных циклов учебного материала, что дает возможность проверить степень усвоения материала учащимися в каждом из этих циклов.
В соответствии с упомянутым дидактическим требованием к контролю форма контроля и структура заданий определяются целью и характером знаний, которые должны быть достигнуты учащимися.
Письменную проверку знаний и умений учащихся необходимо проводить на различных этапах усвоения изученного, что даст возможность несколько раз получить информацию об усвоении одного и того же материала. С этой целью целесообразно проводить различного рода контролирующие работы. Их можно разде-
лйть на следующие виды: проверочные, контрольные, обзорные и итоговые.
Каждый из видов контролирующих работ имеет свои особенности, свои цели, и, следовательно, требования, предъявляемые к составлению этих работ, должны быть различны.
Проверочные самостоятельные работы предназначены для контроля усвоения отдельного фрагмента курса в период изучения темы. Они рассчитаны на 10—15 мин. Такие работы необходимы как ученику, так и учителю. При их выполнении учитель своевременно получает информацию о том, как усваивается тема, что позволяет ему вовремя выявить ошибки, обнаружить плохо усвоивших тот или иной материал и в зависимости от этого строить работу по изучению данной темы. Учащиеся же получают дополнительную практику в самостоятельном решении задач и тем самым готовятся к контрольной работе по данной теме.
Поскольку проверочные работы проводятся после отработки основных умений и навыков, то нет необходимости включать в эти работы задания только репродуктивного характера. Основа проверочных работ — задания реконструктивного характера. В то же время в проверочные работы не следует включать задания сложнее тех, которые выполнялись учащимися на уроках и дома. Порядок расположения заданий в проверочных работах не играет такой роли, как в обучающих, так как проверяемые знания и навыки отработаны.
Покажем, например, как может быть построена- система проверочных работ по теме «Арифметическая прогрессия» в VIII классе. Разобьем эту тему на три логически законченных фрагмента:
1. Определение арифметической прогрессии.
2. Формула п-го члена арифметической прогрессии.
3. Формула суммы п первых членов арифметической npoi грессии.
По каждому составим проверочную самостоятельную работу.
К моменту проведения первой проверочной работы учащимся знакомо определение арифметической прогрессии, понятие разности арифметической прогрессии. Естественно проверить оба эти понятия, прежде чем приступать к изучению последующего материала.
Первое задание работы должно быть простым, для его выполнения необходимо знание определений изученных понятий.
Второе задание может быть несколько сложнее, но его направленность та же — знание определения арифметической прогрессии.
Первой проверочной работой может быть такая:
1. Арифметическая прогрессия задана двумя первыми членами:— 2,4; 0,5; ... Найдите разность прогрессии и напишите следующие четыре ее члена.
2. В записи конечной арифметической прогрессии (я?г): aj; 8,9; а$\ 7,2; я4; а$ неизвестны некоторые члены. Найдите их.
После изучения следующего фрагмента учащиеся знают формулу п-го члена арифметической прогрессии, знают, что арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.
Здесь возможна следующая проверочная работа:
1. Известны первый член и разность арифметической прогрессии (хп): Х1 = —1.3 и d=0,45. Найдите: а) Хз7; б) х^2-
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если
f а5+ан=62, Я1=12.
3. Постройте график арифметической прогрессии (уп)г у которой: У1 = 3; d=0,5 и 1^п^6. Запишите уравнение прямой, которой принадлежат точки графика прогрессии.
। Третья проверочная работа проводится после рассмотрения формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии. Основная задача предстоящей работы — проверить знание формулы суммы. Учащимся известны две формулы суммы: формула, в которой сумма п первых членов выражается через первый член, n-й член и число членов, и другая формула, где сумма п первых членов арифметической прогрессии выражается через первый член, разность прогрессий и число ее членов. В работу необходимо включить такие задания, в результате выполнения которых учащиеся должны продемонстрировать знание и той, и другой изученных формул.
Может быть предложена следующая работа:
1. Найдите сумму 30 первых членов арифметической прогрессии (сп), если 47i = l 1 и с30=27.
2. Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии (ап), у которой я1 = 100, d = —10.
3. Последовательность (уп) — арифметическая прогрессия. Докажите, что У\+у^=У^+Уъ
4. Известно, что сумма первых шести членов арифметической прогрессии (уп) равна 180, а сумма ее первых восьми членов равна 320. Найдите разность и первый член прогрессии.
3. Контрольные самостоятельные работы
Цель контрольных работ — проверить усвоение темы по окончании ее изучения. Они проводятся реже, чем проверочные, и охватывают больший материал. В отличие от проверочных, контрольные работы предусматривают проверку совокупности навыков.
Контрольные работы рассчитаны, как правило, на 45 мин.
При составлении контрольных работ необходимо помнить, что в результате работы должен быть проверен обязательный для усвоения материал, причем на том уровне сложности, которого требует программа.
Как и в проверочную, в контрольную работу должны войти в основном задания реконструктивного характера. Но содержание заданий в контрольных работах становится богаче, появляются упражнения, предусматривающие проверку нескольких навыков. Тем не менее задания в контрольных работах не должны быть сложнее тех, которые были решены учащимися на уроках и дома.
Все задания уже подготовлены проверочными работами. На контрольной работе учащиеся вновь встречаются с теми же заданиями, но в иной ситуации. Подготовка к контрольной работе с помощью системы проверочных работ нисколько не похожа на «репетицию», которую еще нередко проводят учителя перед контрольной работой, давая идентичную работу и детально разбирая ее. Этим наносится прежде всего вред морально-этическому воспитанию ребенка. Да и математическому образованию пользы от этого мало. За один урок невозможно глубоко осознать весь круг проверяемых вопросов. В этом случае работает только память учащихся, а математическая сущность вопросов ими не осознается. Знания и навыки, проверяемые в работе, не становятся достоянием ученика и очень быстро утрачиваются.
Руководствуясь требованием дифференцированности контроля, полезно включить в контрольную работу задание повышенной трудности, выполнение которого требует от ученика сообразительности. Это приучает учащихся к творческому подходу, воспитывает умение применять знания в нестандартной ситуации, вызывает интерес к предмету, дает возможность проявить ученику математические способности, а учителю получить информацию о возможностях его учеников.
Но следует помнить, что, если эти задания не являются обязательными, не соответствуют разделу программы «Требования к математической подготовке», то оцениваться неудовлетворительной оценкой они не должны.
Что же должно войти в контрольную работу, например, по теме «Система линейных неравенств» курса алгебры VII класса? (Мы предполагаем, что учителем по этой теме проводились необходимые проверочные работы.)
Основной навык, который должен быть прочно сформирован при изучении этой темы,— это навык решения простейших систем двух линейных неравенств. И хотя соответствующие задания, безусловно, включались в проверочные работы, они должны быть предъявлены учащимся и на этапе контроля по теме.
Кроме того, в работу должны быть включены системы неравенств, в ходе решения которых учащимся придется выполнять некоторые тождественные преобразования. Эти преобразования не должны быть чрезмерно сложными и громоздкими, так как в противном случае задания не будут отвечать основной цели контроля — проверке умения решать системы линейных неравенств.
Наконец, в работу могут быть включены задания, для выполнения которых требуется умение решать системы линейных неравенств.
6 Заказ № 1171
81
' В результате может быть предложена следующая работа: I. Решите систему неравенств:
б)
/ 10x^14, ( —3x^6;
2. Найдите множество a) J 10—4x^17—5х,
I 7—5x^11—Зх;
решений системы неравенств:
6)
3. При каких значениях х дробь —принимает положитель-ные значения, меньшие 0,6?
4. При каких значениях х каждая из функций у = —х-)-4 и У~ х+6 принимает положительные значения?
5. Дополнительное задание. Решите систему неравенств:
a) f 12-4х<6-4(х+1), б) X 0,6х>—2;
!/2+2>0, #+2^0.
4. Обзорные самостоятельные работы
Один из дидактических принципов обучения — принцип прочности знаний — требует, чтобы у учащихся сохранились на длительное время систематизированные знания и умения. В соответствии с этим принципом необходимо неоднократно возвращаться к изученному материалу.
В процессе изучения некоторых разделов курса учитель проводит несколько контрольных работ, дающих представление об усвоении отдельных тем, входящих в этот раздел. Однако после завершения изучения раздела целесообразно проверить его усвоение в целом. Для этой цели проводится обзорная работа. Такая работа позволяет учащимся повторить материал, систематизировать знания, установить связи между изученными вопросами.
Но как проверить знания учащихся по большому разделу программы, например по такому, как неравенства, дроби и др.?
Для этого необходимо определить, какие основные понятия должен усвоить ученик при прохождении этого раздела, какие умения и навыки должен приобрести, какие задания уметь выполнять, каков уровень сложности этих заданий. В данную работу следует включать задания на все выделенные умения и навыки, причем на различных уровнях сложности. При этом не должно быть заданий, отягощенных сложными тождественными преобразованиями, трудоемкой вычислительной работой, требующих на свое выполнение много времени. Задания должны быть четкими, конкретными, понятными. Сюда входят вопросы по проверке изученных определений, теорем, правил, задания на решение несложных задач, на доказательство свойств, теорем и т. д.
Основу обзорных работ составляют задания репродуктивного характера.
Составленная таким образом работа дает возможность учителю проверить усвоение узловых вопросов всего раздела.
Покажем, например, как можно составить обзорную работу по разделу «Функции» в VI классе.
При изучении указанной темы учащиеся знакомятся с различными способами задания функции,— следовательно, в работу необходимо включить примеры на все способы задания функции. Учащиеся должны уметь находить значение функции по заданному значению аргумента и решать обратную задачу.
В этой же теме учащиеся знакомятся с прямой пропорциональностью и графиком прямой пропорциональности, а также учатся строить график лин’ейной функции.
Для проверки всех перечисленных умений можно предложить учащимся работу такого типа:
1. Функция задана формулой //=0,3x4-5. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному —8; —2; 27.
2. Используя график функции, изображенный на рисунке 15, заполните таблицу
X -4 -2 -0,5 0 3
У • 10
Укажите три значения аргумента, которым соответствует положительное значение функции и три значения аргумента, которым соответствует отрицательное значение функции.
Рис. 15
3. Постройте график функции:
а) у=3х; б) ^=Зх-2.
4. Известно, что функция у от х является прямой пропорциональностью, задайте эту функцию формулой и заполните таблицу
X 1 3 5 6 19
У 57
5. Число 175 разделите на части пропорционально числам 7; 8; 10.
6. Покажите на координатной плоскости взаимное расположение графиков функций
a) t/=0,5x; б) у=0,5х — 2; в) у=0,5х-|-2.
Несколько иначе будет строиться обзорная работа, например, по разделу «Многочлены». В усвоении этого раздела большую роль играют формально-оперативные навыки. Что же должны знать и уметь учащиеся после рассмотрения этой темы? Каков тот минимум, который обеспечит уверенное овладение последующим курсом?
Задача данного раздела — научить учащихся преобразовывать целые выражения. Здесь шестиклассники познакомились с действиями над многочленами, с разложением многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки, способом группировки. Естественно, в . работу должны войти задания на перечисленные преобразования. В процессе изучения раздела «Многочлены» учащиеся выполняли задания, где для получения ответа требовалось применить полученное знание. Поэтому целесообразно включить, например, задания на решение уравнений, на вычисление значений выражений. Не следует включать задания, требующие громоздких преобразований.
Может быть предложена следующая работа:’
1. Приведите пример одночлена стандартного вида.
2. Приведите выражение к многочлену стандартного вида:
a) (3m2--llm+4)-(6m2-2m-3); в) (х+5) (2х2-2) - 10х2;
б) Зх2(2х+5)-7х; г) 2х2-3х(7-х).
3. При каком значении k выражение 2х(х2+7)~2(х+1) — 4х тождественно равно выражению (2х—3) (х2+4)+Зх2+А?
4. Разложите на множители выражение:
а) 6х3—12х2+18х; б) а2+а—За—3.
5. Найдите значение выражения —
a2ft4 (4а3Ь-а362) +0,5аБ&®
при я = 1; Ь = — 2.
6, Решите уравнение
Составленная таким образом работа дает возможность посмотреть на изученный материал не фрагментарно, а в комплексе. Такого рода работа может быть проведена и в VII классе, когда необходимо повторить тождественные преобразования многочленов перед изучением дробей.
5. Итоговые самостоятельные работы
Важным моментом в методике обучения математике является организация повторения. Повторение ранее изученного материала «в связи с его использованием при изучении нового материала является наиболее распространенным видом повторения. В преподавании математики необходимо применять и другие виды, повторения, в частности обзорное и итоговое повторение темы, раздела, курса. Такого рода повторение дает возможность показать учащимся развитие изученных понятий, связь между изученными понятиями, осветить ранее изученный материал с новой точки зрения или на новом, более высоком научном уровне.
Завершающим моментом повторения в конце года может явиться проведение итоговых самостоятельных работ. Такие работы целесообразно составить по основным содержательным линиям изученного курса.
В итоговые работы следует включать задания репродуктивного и реконструктивного характера, при этом задания должны проверять основные умения и навыки. Необходимым компонентом этих работ служат задания на повторение основных теоретических вопросов: воспроизведение определений, свойств математических объектов, доказательство теорем и др.
Составим итоговую самостоятельную работу по проверке навыков решения уравнений в конце VII класса.
Рассмотрим, какие типы уравнений известны учащимся к этому моменту. В VI классе учащиеся решали линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным. Навыки решения этого типа уравнений отработаны и должны быть проверены в VI классе, поэтому нет необходимости включать в данную работу линейные уравнения. В том случае, если учитель считает, что этот навык недостаточно проверен, задание на решение линейного уравнения в эту работу включить следует.
В VI классе в связи с изучением вопроса о разложении многочленов на множители рассматривалось решение уравнений вида (ax-j-b) (cx+d). Умение решать такого типа уравнения требуется при изучении различных разделов курса на протяжении всех лет обучения, поэтому включение такого типа уравнений в итоговую контрольную работу целесообразно.
Большое место в курсе VII класса уделяется решению квадратных уравнений. И в самостоятельной итоговой работе этому
моменту необходимо уделить серьезное внимание. В работе должно быть квадратное уравнение, имеющее два корня, уравнение, не имеющее корней, и уравнение, при решении которого учащиеся могут продемонстрировать знание формулы корней с четным коэффициентом.
Один из основных навыков, которым должны овладеть семиклассники,— это навык решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби. Включение в работу такого типа уравнений необходимо.
Какие теоретические вопросы следует проверить на данном этапе? По-видимому, целесообразно проверить знание формулы корней квадратного уравнения и, может быть, вывод этой формулы. Вероятно, следует дать несложное задание “на исследование квадратного уравнения и проверить знание приема, с помощью которого решаются уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби.
В то же время в работу такого вида не следует включать задания, требующие громоздких тождественных преобразований. Ведь цель этой работы — проверить умение решать различного рода уравнения, умение пользоваться формулами для решения уравнений. И в работе по теме «Тождественные преобразования выражений» можно проверить необходимые навыки по преобразованию многочленов, дробей.
В результате можно дать такую работу:
1. Приведите пример полного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Напишите формулу корней квадратного уравнения.
2. Найдите корни уравнения:
а) (2а+15) (а-7) =0; е) 6х2+5х-4 = 0;
б) (х+5)х(х2+7)=0; ж) х2-24х2+108=0;
в) 2х2—17=0; з) (Зя—1 )2—2=80 —6а;
г) За24-9=0; и) 2x^-15х
д) 0,Зх2—1,5л=0; 4
3. При каком значении’/? уравнение 2x2-f-4x+ft=0 имеет два корня; один корень; не имеет корней?
4. Решите уравнение:
а) !~2g = 1-ЬЗа . 4 . 2 = 4 . 2
2 5+2а 1 —За ’ > Зл=9 х-5 ~Зх-9 ‘ х-5 ‘
Итоговые работы, составленные по линиям кур.са, дают возможность ученику сосредоточиться на одном вопросе, например решении уравнений, и в то же время повторить все смежные вопросы, связанные с решением уравнений. Если учитель найдет время провести все итоговые работы, то тем самым в результате их выполнения учащиеся повторят весь материал и продемонстрируют основные знания и умения, приобретенные в период изучения математики.
VI КЛАСС ОБЗОРНЫЕ РАБОТЫ
Работа по теме «Выражения и их преобразования»
Вариант I
1. Найдите значение выражения:
а) 6 + 3 | - 4 4 . б) (х—0,2) (х+0,2) при х=0,6.
2. При каких значениях переменной у имеет смысл выражение:
а) -2—-, б) ; в) —?
5+у у*-7у 13j/-65
3. Подберите пару значений переменных а и &, при которых 3 выражение------ не имеет смысла.
г 2а-Ь
4. Что такое корень уравнения? Приведите пример уравнения с одной переменной, имеющего один корень; не имеющего корней.
5. Решите уравнение:
а) 2х+3(х—2) =4; б) 12х4~3(х— 1) = 15х-3.
6. Решите задачу с помощью уравнения.
В первый день пасечник выкачал в 2 раза больше меда, чем во второй, и на 5 кг больше, чем в третий. Сколько меда выкачал пасечник в каждый из трех дней, если за эти дни его доход составил 85 кг меда?
Вариант II
1. Найдите значение
выражения:
б) (2х—0,3) (2x4-0,3) при х—— 2,5.
2. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение:
2а
а2-За
в)
За
17а —85
3. Подберите пару значений переменных х и у, при которых 5 выражение не имеет смысла.
х—2у
4. Что значит решить уравнение? Приведите пример уравнения с одной переменной, имеющего один корень; не имеющего корней.
5. Решите уравнение:
а) 5х—2(х—1)=7; б) 12х+3(х+7) = 15х-3.
6. Решите Задачу с помощью уравнения.
На пододеяльник истратили в 2 раза больше ткани, чем на простыню, и на 2,8 м больше, чем на наволочку. Сколько истратили ткани на каждое изделие, если всего израсходовано 7,7 м?
Работа по теме «Функции»
Вариант I
1. Функция задана формулой t/=0,3x+5. Найдйте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному —8; -2; 27.
2. Используя график функции (см. рис. 15), заполните таблицу
X -4 —2 —0,5 0 3
У 10
Укажите три значения аргумента, которым соответствует положительное значение функции и три значения аргумента, которым соответствует отрицательное значение функции.
3. Постройте график функции:
а) у=3х\ б) у=3х~2.
4. Известно, что функция у от х является прямой пропорциональностью. Задайте эту функцию формулой и заполните таблицу
X 1 3 5 6 19
У 67
5. Число 175 разделите на части, пропорциональные числам 7; 8 и 10.
6. Постройте в. одной и той же системе координат графики функций:
£/=0,5; у=0,5х-2; у=0,5х+3.
Вариант II
1. Функция задана формулой у=Ъ,1х—3. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента —7; —5; 8.
2. Используя график функции, изображенный на рисунке, заполните таблицу
У У ю 1 1 со 1 0 2 ' 1 СО 5
Укажите три значения аргумента, которым соответствует положительное значение функции и три значения аргумента, которым соответствует отрицательное значение функции.
3. Постройте график функции:
a) z/=0,5x; б) г/=0,5х-|-3.
4. Известно, что функция у от х является прямой пропорциональностью, Задайте эту функцию формулой и заполните таб-л и цу _________________________________________-
X 1 5 7 10 21
У 147
5. Число 112 разделите на части пропорционально числам 3, 7 и 6.
6. Постройте в одной и той же системе координат графики функций:
у=5х; у=5х—3; у—5х-^2.
Работа по теме «Степень с натуральным показателем»
Вариант I
1. Дайте определение понятия степени.
2. Представьте в виде степени выражение:
а) (2а)5’(2а)3; б) х12 : х6; в) 76 : 73; г) 75-//5; д) 125а6.
3. Найдите значение выражения:
a)±L: 6)_WL.
' 35-37 25-252
4. Сформулируйте и докажите теорему о степени произведения.
5. Упростите выражение:
а) а3(а2)5; б) 0,6х2#(—0,5х5#7).
6. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
а) —0,6х4(—10х4)3; б) (2а7х2)4- -j- ах.
7. Каким числом выражается четная степень отрицательного числа? Приведите пример..
Вариант II
1. Сформулируйте основное свойство степени.
2. Представьте в виде степени выражение:
a) (3m)3-(3m)5; б) а18: а9; в) 510: 55; г) II6//6; д) 64^.
3. Найдите значение выражения:
а) ; 6) _!1—.
54-55 26*492
4. Сформулируйте и докажите теорему о степени степени.
5. Упростите выражение:
а) х2(х3)4; б) 0,7а2//(—0,8а5//10).
6. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
w а) —0,4a5( — 5a3)4; б) (Зх'у^-^ху.
7. Каким числом выражается нечетная степень отрицательного числа? Приведите пример.
Работа по теме «Многочлены»
Вариант I
1. Приведите пример многочлена стандартного вида.
2. Приведите выражение к многочлену стандартного вида!
a) (3m2—llm-J-4) — (6m2—2m — 3);
6) 3x2(2x-f-5)—7x;
в) (x+5) (2x2—2)- 10x2;
r) 2x2—3x(7—x).
3. При каком значении k выражение
2x (x2+7) —2 (x+1) — 4x
тождественно равно выражению
(2x—3) (x2+4)+3x2+fe?
4. Разложите на множители выражение:
а) 6х3—12х2+18х; в) За(а- 1)+2(а— 1);
б) х4#5—2x4z/6; г) а2-|-а—За—3.
5. Найдите значение выражения
-Ь а2Ь*(4а3Ь—а3Ь2)+0,5а5Ьй
при а = 1; Ь = —2.
6. Решите уравнение
Вариант II
1. Приведите пример многочлена стандартного вида.
2. Приведите выражение к многочлену стандартного внда| а) (Зу2+Зу+4)-(у2-2у+7);
б) За3(2а2—а+4)— 6а5;
в) (х+1) (х2—3) -х3;
г) 3m2—2т (6 — т).
3. При каком значении т выражение (а—3) (2а+7) -\-т тождественно райпо выражению
а2(2а+1)-2(а3—1)+«(«+1)?
4. Разложите на множители выражение:
а) 20а5—5а4+15а2; в) 7х(а—2)+5(а—2);
б) 7а2с5—а3с6; г) 2m24-6m—4m—12.
5. Найдите значение выражения
— т2п (5т3п?—т*п2) -|-0,2m6n3 о
при т = \\ п=—2.
6. Решите уравнение
Работа по теме «Формулы сокращенного умножения»
Вариант I
1. Докажите тождество (а~гЬ) (а~Ь) =а2—Ь2.
2. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (х—3)(х+3); г) (4х+3) (4х—3);
б) 2х(х—3) — (х-3)2; д) (7-х) (х+8);
в) (4х+3)2; е) (х2-2)2.
3. Представьте выражение в виде произведения:
a) 6W-1; в) 2а3—72а; д) 9а2+30а-{-25;
б) 4m4—12ап24-9; г) 25—10&4-62; е) Ь4-8Ь2+16.
4. Найдите значение выражения:
V 5182 — 4 822 872-392
360 ’ б) 192-372 ’
5. Упростите выражение (5+х) (х2—5х+25) — х3.
6. Докажите, что значение выражения 673—413 делится на 26.
7< Разложите на множители 2р2(Зс-|-р) — (27с3+р3). о
Вариант II
1. Докажите тождество (a-j-b)2—a2~l-2ab-f-b2.
2. Представьте выражение в виде многочлена}
а) (а-8)(а+8); г) (2m2—З)2;
б) 2 (За4-5) —(За+5)2; д) (За+5)2;
в) (15-6)(Н-5); е)- (8m-l)(8m+l).
3. Представьте выражение в виде произведения или степени:
а) 16х2—9;
б) 4а4-20а2+25;
в) Зх3—27х;
г) 49—14х+х2;
д) 4а4—25;
е) х4—4х24-4.
4. Найдите значение выражения:
ч 6382—3622 . 942-5t2
а) ---------; б)----------.
' 1300 652—222
б. Упростите выражение 64—(4—k) (16+4&—k2).
6. Докажите» что значение выражения 71э-|-393 делится на ПО.
7. Разложите на множители (х3—125)—2х2(х—5).
Работа по теме «Системы линейных уравнений»
Вариант I
1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения;
а) 2х+5#=10; б) 0х+7{/+5.
2. Найдите такое значение а, при котором пара чисел (—3; а) удовлетворяет уравнению 15х—у=1б.
• 3. Постройте график уравнения 4х—у=3.
4. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений у=2х—6 и у = 3х—6.
5. Решите задачу.
За 4 носовых платка и 6 салфеток уплатили 7 р. Сколько стоит один носовой платок и одна салфетка, если 12 салфеток и один носовой платок стоят 11 р. 20 к.?
6. Решите систему уравнений:
J 7х+2у = 5,
I Зх—2# = 10.
Вариант II
1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения;
а) 2у4-5х=15; б) 2x+0i/=8.
2. Найдите такое значение 6, при котором пара чисел (&; —2) удовлетворяет уравнению Зх—у —VI.
3. Постройте график уравнения 2х—у=4.
4. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений г/+3=4х и у=7х—3.
5. ' Решите задачу.
За 2 пары гольфов и 3 пары носков уплатили 2 р. Сколько стоит пара гольфов и пара носков, если одна пара гольфов и 4 пары носков стоят 1 р. 75 к.?
6. Решите систему уравнений:
J Зх—5z/= — 13, (4x+5z/=6.
ИТОГОВЫЕ РАБОТЫ
Работа по теме «Уравнения. Системы уравнений»
Вариант I
1. Дайте определение корня уравнения с одной переменной,
2. Приведите пример линейного уравнения с одной переменной.
3. При каком значении равный 18?
k уравнение
kx= — 5 имеет корень,
4. Решите уравнение:
а) 15х+3(2х-~1)=10(2х-3);
б) (х—2) (х-{-7) =0;
в) х2—9=0;
5. Решите систему линейных уравнений:
2 (х~у) +2х = Зх-4г/+5, Зх — у=1.
6. Постройте график уравнения Зх+2^=5.
Вариант II
1. Чт;о значит решить уравнение!
2. Приведите пример линейного уравнения е одной переменной.
3. При каком значении k уравнение kx=2 имеет корень, равный —0,8?
4. Решите уравнение:
а) 12х-7(2х+3)=3(х-1) + 1;
б) (2х—1) (х+18)=0;
в) х2—25=0;
ч 0,16 х-2
г) =------;
5 8
ч 1Г 25—х 4х+1 Зх—1
Д) 15--------------------.
4 3 5
Б. Решите систему линейных уравнений:
J 3(х—2у)+3г/=2х—у—2,
I 2х—у~2,
6. Постройте график уравнения 2г/-|-5х=3.
Работа по теме «Тождественные преобразования выражений»
Вариант I
1. Представьте в виде многочлена выражение:
а) 2х—(х—3) (x-J-2);
б) (2х+7)(2х-7);
в) Z/2(a—3f/)-~02(a+2#);
г) bc(llc — 7b) — (b—2с) (62—5Ьс-(-с2) — с3.
2. Представьте в виде произведения выражение;
a) 81x2—1;
б) 4a2—4ax-|-x2;
в) a44-2o2+l;
r) 16-8a-}-a2;
д) 0,25a2—16;
e) 625л4 - 50x2+1.
3. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: а) (7х-2//)2; в) (a+3b)2-2a(a+5);
б) (2m—л)3; г) (2а4-1)3— 12а2.
4. Представьте в виде степени двучлена выражение
8+12a+6a2+a3.
5. Разложите на множители:
а) а3—8; б) 64с3—1; в)' х3—а3 — ах(х—а).
Вариант II
1. Представьте в виде многочлена выражение:
а) 5х— (2х— 1) (х-)-8);
б) (0,5х—5) (0,5х+5);
в) с2(а-|-Зс) — с(3с+ас—а2);
г) (х-5л) (Зх2+2лх-7л2) — 13л(3л2-х2) — 17н2х.
2. Представьте в виде произведения выражение:
а) 0,64х2— 1; г) 100—20х+х2;
б)т4-2та+1; д) 121х2—16;
в) 25х2— lOxj/4-у2; е) 16a4-4a2+0,25.
3. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: а) (3m—2л)2; в) (2a+b)2-3b(a-b)-,
б) (a+2ft)3; г) (х—у)3—3х2у.
4. Представьте в виде степени двучлена выражение
0,001х3+0,03х2(/+0,3ху2+у3.
б) 1—|-64х9;
б. Разложите па множители: а) 27—с3; б) 1 +64х9; в)
в) т3—п3~тп(т—п).
Работа по теме «Функции»
Вариант I
1. Постройте график функции у=2х—3.
а) Чему равно значение переменной у при х, равном —1;
0; 2?
б) При каком значении х значение переменной у равно —1)
0; 5?
2. Какие из точек Л ( — 2; —16), fi(2; 16), С(—0,1; —0,02), D( — 5; —250) принадлежат графику функции £=2х3?
3. При каком значении k график функции y=kx—7 проходит через точку Л(—3; —28)?
4. Постройте в одной и той же системе координат графики функций:
а) у=2х; в) £=2x4-2; д) у—— 2х—3;
б) у==—2х; г) £=2х-|-3; е) у— — 2х—2.
Вариант II
1. Постройте график функции £=2x4-2.
а) Чему равно значение переменной у при х, равном —2; 0; 1?
б) При каком значении х значение переменной у равно —1; 0; 6?
2. Какие из точек А( —1; 2), В(—0,1; 0,001), С(—2; —16), 0(0,5; —0,125)—принадлежат графику функции у— — 2х3?
3. При каком значении k график функции y—kx—2 проходит через точку Л(—5,25; 19)?
4. Постройте в одной и той же системе координат графики функций:
а) £=5х; в) £=5х—2; д) £=-5x4-2;
б) £=—5х; г) £=5х-|-2; е) £=—5х—2.
VII КЛАСС ОБЗОРНЫЕ РАБОТЫ
Работа по теме «Рациональные дроби»
Вариант I
1. Представьте в виде дроби выражение:
. 2х+4 Зх—9 ч х . 2
а) • ------ В) -=------------
х—3 5х+10 х2—9 х+3
б) (*~5)г • 2*~1°. Г) «_______?а_
' х+7 ' Зх+21 ' 7 а—2 ба-12 ’
2. Найдите значение выражения
4х—хг х2+4х х2—16
3. Упростите выражение х / а+5 . а+5 \ аг+5а . аг+5.
а 1 [ —] I » I •
\5д—1 а+1 / 1—5а а+1
61 Зх+14 _ /*~4 \2. I х+21____х+3 \
х+4 \х+6 / \16-8х+х2 16-х2/’
Вариант П
1. Представьте в виде дроби выражение:
2х+4
б)
За—9 х+2 7а-21 ’
(х-3)2 . Зх-9 , т4-5 2^?4-10 ’
В)
J----
а 4-7 а2—49
бх_____
5х—10 х—1
Найдите значение а4-2 । 2—д 2а—4 6 + За
Упростите выражение: / с—3 с—З1 \7с—4 с— 4>
выражения
-j- — при а=0.
24—64а2
7с-4 с2-14
9с—Зс2 4—с
б)
Д2-81
а2— 18а+81
а—9
7 Заказ №
97
Работа по теме «Квадратные корни»
Вариант I
1. Вычислите:
а) 1 уДЗб+ОДуШ-; в) УО,16-0,25-81; .
б) (3}'2)2—21'49; г) У90-640.
2. Представьте в виде одночлена выражение?
а) 1,5хУх10, где х<0; б) —2УЬ6С8, где 6^0.
3. Сформулируйте и докажите теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.
4. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) У216; б) У48а3; в) Убх6, где х<0.
5. Внесите множитель под знак корня:
а) 7у2х; б) — 4у/п; в) ауз, если а^О; г) хУ17, если х^О.
6. Упростите выражение:
а) 5У2-4У8—У64; в) (3-2У7) (2у7+3);
б) У5(ЗУ5+5У8); г) (6~y2j2+y32.
7. Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби:
21 26
а) гуТ ’ б^4—.рз’
8. Приведите подкоренное выражение к целому виду!
Вариант II
1. Вычислите:
а) ЗубДН-0,2У49Г в) уо,81-0,16-25;
б) ЗубР- (2y5j2; г) У360-4.9.
2. Представьте в виде одночлена выражение:
а) — 1,3#У«А где у<0; б) 5Ух<х10, где х^О.
3. Сформулируйте и докажите теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.
4. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) У567; б) У75Р; в) -У7а8.
5ь Внесите множитель под знак корня:
а) 9уЗх; б) —3^«; в) — где х^О; г) t/уйГгде у<&
6. Упростите выражение:
а) 12^3^ ЗУ ИГ—У625; в) (У2-2УТ0) (2У1О+У2) ;
б) У2(5У2-У2О); г) у27-(уз~5)2.
7. Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби:
8. Приведите подкоренное выражение к целому виду:
Работа по теме «Квадратные уравнения»
Вариант I
1. Приведите примеры неполного квадратного уравнения»
2. Напишите формулу корней квадратного уравнения»
3. Найдите корни уравнения:
а) Зх2-7х=0; б) х2—8х-33=0;
в) 2х2+9х-5=0.
4. Напишите какое-нибудь квадратное уравнение, корнями которого являются числа —3 и 5.
5» Решите уравнение:
а) (2а+3)2= 16; б) (2а-5)2~53=а(3а-17).
6. Найдите корни уравнения: к хч-5_______3 35х-Ь25 .
* х2—25 2х+10 2х2—50х '
6) 5=*--0;
х + 2
а—3 , а—34
а+2 2а—5
(х-2) (х+7) = 0 х—2
7. Решите задачу.
Периметр прямоугольного треугольника равен 80 см, а гипотенуза — 34 см. Найдите площадь треугольника.
Вариант II
1. Приведите пример приведенного квадратного уравнения.
2. Напишите формулу корней квадратного уравнения1.
3. Найдите корни уравнения:
а) 5х2—13х=0; в) Зх2+20х-7=О.
б) х2+10х—39=0;
4, Напишите какое-нибудь квадратное уравнение, корнями которого являются числа —2 и 12.
5. Решите уравнение:
а) (Зх-2)2=4; б) (2х—З)2—41 =х(3х—8).
6. Найдите корни уравнения:
a) __Edz±L__ г _= 9 _. ч 36л? —q.
2by2-Wy 20t/2+8y 25i/2-4 ’ ' 6-х
х+38 х+1 =р ч (х + 3) (х—5) _р
7 2х—1 х-3 ’ 5 6 7 х+3
7. Решите задачу.
Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из его катетов на 32 см и больше другого катета на 9 см. Найдите площадь треугольника.
Работа по теме «Неравенства»
Вариант I
1. Сформулируйте два каких-либо свойства числовых неравенств. Проиллюстрируйте их на примере.
2. Решите неравенство:
а) 1,5х>18; б) 2х2>7+3х;
3. При каких значениях а
в) 5(а—1)+6^2—3(За+2).
выражение
1—а а—7
2 3
принимает
отрицательные значения?
4. Решите систему неравенств:
а)
2х-~ 16>0, 5х> 10;
б) (Зх4-6>0, (7х—1,4^0;
в) J 0,2х—4^0, (7х—2,1 <0.
5. Решите двойное неравенство
10.
6. При каких значениях с имеет смысл выражение;
»> /Йг с>
Вариант II
1. Сформулируйте два каких-либо свойства числовых неравенств. Проиллюстрируйте их на примере.
2. Решите неравенство:
а) 0,2х< —4; б) 5х>9х-14; в) 3(х—2)+7^5-4(х-Н).
3. При каких значениях х выражение положительные значения?
2—х 1—х
3 4
принимает
• 4. Решите систему неравенств:
а) ( Зх—18>0, б) J 2x4-75*0,
( 4х>12; {Зх-12^0;
в)
f 0,3л'—6>0, [ 5х-1,2<0.
5. Решите двойное неравенство
—3< ^-<15.
2
6. При каких значениях а имеет смысл
выражение:
2а - • /11-0,5а ’
б) V7-а^УЗа-}
Работа по теме «Степень с целым показателем»
Вариант I
1. Следующие выражения представьте в виде степени с отрицательным показателем:
, 1 «ч 1 ч 1 ч 1 . \ 1 „ч / т \2
а)—; б)—; в)—; г)-—; д)—=-; е) — .
а гпУ 2а 25 а—1 \ k /
2. Представьте в виде дроби выражение:
а) а-3; 6} 12а~2; в) -хи”5; г) 2,5~\
3. Вычислите:
а) 0,2°4-0,3“1; в) 4~3:4-’;
б) 9“2*27; г) (53)-2-54.
4. Представьте выражение в виде степени с основанием 7 (п — целое число):
а) 72+n»7~n-7n~I; б) 49:71-"; в) 73п* (7-2)п.
5. Упростите выражение:
а) 0,5а2&-3- -а~*Ь6-, 5
б) (О.ЗаНУ)-2;
в)
,2
121Х-3 e 10x4z/-3 Их#
6. Найдите значение выражения, используя микрокалькулятор:
V 28,7-516 . бу /19,1 0,758
3 49.8-0,754 ’ 0,465
Вариант II
I. Следующие выражения представьте в виде степени с отрицательным показателем:
2. Представьте в виде дроби выражение:
а) х~4; б) 5а-3;
3. Вычислите:
а-) 0,7-4-
б) 4г3-16;
в) х~1-х~7; г)
1 ♦
в) 9-2:9-4;
г) (2~3)3-24.
1 .б-2.
4. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 (л — целое число):
а) 32п-34^п.32«-,; б) 3-П-(3П)-5; в) 25 : 52+п.
б. Упростите выражение:
а) 2,7т5л-’. — т~еп2; б) (0,1 а~2Ь3)~3;
3
,. в) 4абЬ~7- (---— a2b~2 V4; г) • 2-—
\ 2 . / х~2 25xV
6. Найдите значение выражения, используя микрокалькулятор:
. 348-20,9 3,79
' 72,6-0,512 ’ б' /0,608-134 *
ИТОГОВЫЕ РАБОТЫ
Работа по теме «Уравнения»
Вариант I
1. Приведите пример квадратного уравнения. Напишите формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
2. Найдите корни уравнения:
а) (2а-Н5) (а—7)=0;
б) (х+5)х'(х24-7)=0;
в) 2х2—17=0;
г) За2+9=0;
д) 0,Зх2—1,5х=0;
е) 6х24-5х—4=0;
ж) х2—24x4-108=0;
з) (За—I)2—2=80—ба;
и) 2<2~15* ^2.
4
3. При каком значении h уравнение 2л2+4х+Л=0 имеет один • корень; два корня; не имеет корней?.
4. Решите уравнение:
Вариант II
1. Дайте определение квадратного уравнения.
2. Найдите корни уравнения:
a) (x—4) (3x+6) =0;
6) a(a2+l)(a+7)=0;
в) 4x2—6=0;
r) 2t/2+ll=0;
д) 0,6x24-0,18x=0;
e) 6x24-x—1=0;
ж) x2-8x-128=0;
з) (2c-|-3)2—16=1—2c;
и)
9
3. При каком значении k уравнение 2x2—6x-j-fe=0 имеет один корень; два корня; не имеет корней?
4. Решите уравнение:
а + 2 5а+1 ’ 2х —12 х + 2 2х—12 х+2
Работа по теме «Неравенства. Системы неравенств»
Вариант I
1. Сформулируйте два каких-либо свойства числовых неравенств. Проиллюстрируйте их на примере.
2. Решите неравенство:
а) 2(3х—4) —1<74-8х; в) a>«+L,
~ 2x4-3 - х-1 <0. 5 2
' 7 3
3. Что называется решением системы неравенств с одной переменной?
4. Решите систему неравенств:
a) (4х+3>2х, б) J2(a+8)<—4(а+11), [ х—75; ( (а+2) (а—5) > (а-{-3) (а—6).
5. Решите двойное неравенство
__*+2
3
6. Найдите область определения выражения?
а) 77-3; б) ; в) Г(а-З) (а-7).
Вариант II
L Сформулируйте два каких-либо свойства неравенств. Проиллюстрируйте их на примере.
2. Решите неравенство:
а) 3(2х—7) —1<4(2х—1)+3;
3. Что называется решением системы неравенств с одной пе ременной?
4. Решите систему неравенств:
a) J3x—7>12х, б) f (а—3) (а4-4) < («4-5) (о—7),
( х-8 2; ( 2 (6а-1) > 7 (2а+3).
б. Решите двойное неравенство —3^ ^3.
6. Найдите область определения выражения:
а) У5—а; 6)i/£z±; в) У(х+2) (х—10).
Работа по теме «Тождественные преобразования выражений»
Вариант I
1. Разложите на множители выражение:
а) —7а2+4а3; в) 25—х2; д)
б) ax—bx+ab — b2; г) 4/п2+4/п+1; е) 16— х.
2. Преобразуйте выражение:
а) б) (уа+2)(у^-2)- в) (УЗ+У75)2.
/ 12а
3. Представьте выражение в виде дроби:
а 12х-12 .
- I ч» •
ху+у3. х3~У2 .
• » т+п т+п
2x4-1____2—Зх о
Зх—7 54-Зх
гл—д . д4-5 3—Д а—3
4. Сократите дробь:
—Зд4-б .
да—4д4-4
x2-xy—yz—z2 . у2—х2—2xz—z2 *
/ 2 х—5
Б. Упростите выражение:
а) + —Ч: + — Ь
\у*+ху хг—ху) \Х3—Х(/! X—у)
б) с]/с—У4с3—с2 1/Г—.
Вариант II
1. Разложите на множители выражение:
а) — Зх3—5л2;
б) ах—ау+ху—у2\
в) 625-а2;
г) 9о2—6а+1;
д) }'*+*;
е) 100—а.
2. Преобразуйте выражение:
а) б) (f2i-3)(3+V27); в) (У5+У45)2.
у 20л
3*. Представьте выражение в виде дробиз
с 5+5а х2—5х х2—25.
л+2 х2—4
4. Сократите дробь:
1-2х __ 1—5х .
2x^3 3—2х
3—2m । 4—2m m — In *
a) . -fr+3 . B) .
4c2—4c+l 2^6
-у» x2—18x—j/2+81 x 3—m
x2+2xt/+y2-9x—9y ’ yG? -p уЛз” *
5. Упростите выражение:
a) . /_5____ * Л.
(л+y)2 U—у y2—x2 x+'y /
6) a21 f — — — fa5+ay a. ya a
Работа по теме «Функции»
Вариант I
1. Функция задана формулой у= (*+3Н*+7) . Найдите:
а) множество значений переменной х, при которых f(x)=O;
б) координаты точки пересечения графика функции с осью у;
в) область определения данной функции.
2. В каких точках f(x)=O, если: a) f(x) = -^0,25x4-6;
б) f(x)=x2-100?
3. Известно, что /(х) =—2x4-17. Найдите значения х, при которых:
a) f(x)=O; б) /<х)>0; в) /(х)<0.
4. Постройте график функции, заданной формулой у=-—.
5. Найдите область определения функции, заданной формулой х -
у=
6. Постройте в одной системе координат графики функций у—х2 и 2х-^3. Укажите координаты точек пересечения графиков.
Вариант II
< л (х—5) (x-f-2) 1Т „
1. Функция задана формулой у= ------—----Найдите:
х+8
а) множество значений переменной х, при которых
б) координаты точки пересечения графика функции с осью у;
в) область определения данной функции.
2. В каких точках /(х)=0, если: a) f(х) =0,Зх—27; б) f(x)=64—х2.
3. Известно, что f(x)=0,lx—5. Найдите значения х, при ко-торых:
' a) f(x)=O; б) /(х)>0; в) f (х) <0.
4. Постройте график функции, заданной формулой у— — ' х
5. Найдите область определения функции, заданной фор-мул°й у= .
6. Постройте в одной системе координат графики функций р=х2 и у=4х+3. Укажите координаты точек пересечения графиков.
VIII КЛАСС ОБЗОРНЫЕ РАБОТЫ *
Работа по теме «Квадратичная функция»
Вариант I
1. Дайте определение корня многочлена с одной переменной.
2. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2+4х —5; б) 4х2—6х—4.
3. Разложите на множители трехчлен:
а) х2—2х—15; 6) 2х2+13х-5.
4. Сократите дробь:
а) *2~Ь*~20 . g\ х24-2х—35
’ > х2—25
I
5. Решите неравенство:
а) х2+2х~ 15<0; б) 2х2+5х~3>0.
6. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осью х и с осью у:
a) */ =—4х24-3х; б) у=х2+7х—8.
7. Постройте график функции f, заданной формулой у=х2—х—6. Используя график, найдите:
а) множество значений аргумента, при которых
f(x)=O, f(x)<0, f(x)>0;
б) множество значений аргумента, при которых
f(x)=-2; /*(х)=5;
в) множество значений аргумента, на котором функция возрастает, убывает, значение аргумента, которому соответствует наименьшее значение функции;
г) область значений функции.
Вариант II
1. Дайте определение квадратичной функции.
2. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х2—4х —5; б) 4х2 + 6х—4.
a) x2+2x-15; 6) 2x2—I3jc —7.
3. Разложите на множители трехчлен:
4. Сократите дробь:
. 2х2+ Их-40 . х2+х-56
а)-----------; о)------------.
6х—15 х2—49
5. Решите неравенство:
а) х2 —2х—15<0; б) 2х2—5х —3>0.
6. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осью х и с осью у:
а) х2 = —2х2-}~7х; б) у~х2—7х—8.
7. Постройте график функции f, заданной формулой 6.
Используя график, найдите:
а) множество значений аргумента, при которых
/(х)=0, f(x)<0, j(x)>0;
б) множество значений аргумента, при которых f(x)=-2; f(*)=5;
в) множество значений аргумента, при котором функция возрастает, убывает; значение аргумента, которому соответствует наименьшее значение функции;
г) область значений функции.
Работа по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»
Вариант I
1. Что является решением уравнения с двумя переменными? Приведите пример уравнения с двумя переменными. Назовите одно его решение.
2. Постройте график уравнения Зх—2у=0.
3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1,5 ед.
4. Решите графически систему уравнений:
J *24-02=25,
I *4*0=7-
5. Решите систему уравнений:
J ху+х2—30=9, [ х—2у = 1.
6. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств
Вариант II
I. Что является решением неравенства с двумя переменными? Приведите пример неравенства с двумя переменными. Назовите одно его решение.
2. Постройте график уравнения 2х—0,5у=0.
3. Напишите уравнение окружности с центром в начале коор-динат и радиусом, равным 1,2 ед. f
4. Решите графически систему уравнений:
J x2HV = 100, {х—//=2.
б. Решите систему уравнений:
J у2—х//4-2х=3, ( 2х—// —3.
6. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств
Работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Вариант I
1. Последовательность (Ьп) задана формулой Ьп=п(п—4). Найдите brf t?i0; bh\ bk+2.
2. Известны первый член и разность арифметической прогрессии (^n):ci = I,5; d=—0,25. Найдите б2з, сл+4.
3. Найдите разность арифметической прогрессии (а™), если Д1 = 3 И 025 = 53.
4. Является ли членом арифметической прогрессии (хЛ) число 32,6, если Xi = 9,l и d=l,5?
5. Найдите сумму 30 первых членов арифметической прогрессии (уп), если z/i=lO и t/n=25.
6. Найдите шестой член геометрической прогрессии (оп), если Oj= 5 и q=2.
7. Последовательность (оп) — геометрическая прогрессия. Выразите Ою через 05 и q.
8. Найдите первый член геометрической прогрессии (гп), если с8=0,375 и q—2.
9. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (сп), если 61 = 1 и q=2.
Вариант II
1. Последовательность (бп) - задана формулой сп—п(п— 5). Найдите сь б5, Сщ» Си, ск+\.
2. Известны первый член и разность арифметической прогрессии (бп) : 61 = 1,5; 6?=—0,25. Найдите б2з, ch^
3. Найдите разность арифметической прогрессии (Ьп)» если Ь[ — — 2 и Ь26=73.
4. Является ли членом арифметической прогрессии (#п) число 26,3, если £/1 = 52 и d=2,l?
5. Найдите сумму 20 первых членов арифметической прогрессии (хп), если Xt = 5 и Х[о=45.
6. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (сп), если С|=6 и q—2.
7. Последовательность (ап) — геометрическая прогрессия. Выразите 012 через а6 и q.
8. Найдите первый член геометрической прогрессии (an)t если Об = 121,5 и q — 3.
9. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (ап), если oi=—3 и q=3.
Работа по теме «Степень с рациональным показателем»
Вариант I
1. Найдите значение корня:
a) F64; в)^7~; д) ^(=2)*;
б) //"бТ; г) У(=2У; е) у/^32.
2. Найдите область определения выражения: а) б)
3. Найдите значения выражения: a) KlOO-KW; б)
4. Вынесите множитель за знак корня: а) У16&; б) )f4qc6f с^О.
5. Внесите множитель под знак корня:
а) 2^3 ; б) -5/10;' в)а^З,а>0;
г), ху^2 , x<S).
6. Замените степень с дробным показателем корнем:
а) 5*; б) б-0,5; в) 7“ * ; г) аб"115; д) 2а{а^Ь)'^.
7. Замените корень степенью:
а) У2? б) V2V', в) -77^; г) /Т73; д) Ул* + У2 .
У1 32
8. Найдите значение выражения:
а) 25°-3.5<М; б) (81*)«; в) (10-6)|; г) (81.16)“*;
9. Решите уравнение: -13 1
а) х ’=2; б) х 5 =0; в) 2(х’4-1)=18.
10. Найдите значение выражения: JI . Л —
а) л 12x16 при х=625; б) (а12а~3) при a —УЗ, Ь=36.
11. Представьте выражение в виде суммы:
12. Упростите выражение:
2 а —а
Вариант II
1. Найдите значение корня:
а) V 64; б) в) У&; г) /(=3)*
У 1ZO
е) ¥=27.
ь
2. Найдите область определения выражения:
a) ¥х=7~, б) У2=~х.
3. Найдите значение выражения:
а) У64-У2; б)/б2-7-/^Т2; в) /0,64;
д) /(-3)«;
4. Вынесите множитель за знак корня:
а) У256; б) У24а10’ а^О.
5. Внесите множитель под знак корня:
а) 2 УЗ'; б) —2V3; в) сЦЗ, с>0; г) а/Л а<0.
6. Замените степень с дробным показателем корнем:
а) а* \ б) 6~т; в) 4~°-25; г) х«г05; д) Зх(х-у) * .
7. Замените корень степенью:
8. Найдите значение выражения:
а) 90-7:30-4; б) (0,64®)3; в) (6~в)г)
(625-16)
А)
/1255\J_
\ 8« )15 ’
е)
1 8
9. Решите уравнение:
а) х ’=3; б) х4 =0; в) 3(xs-1)=27.
10. Найдите значение выражения:
11 ___l _
а) а8 «а6 при а = 1600; б) (x30f/_l0) 15 при x=f2; у—8.
11. Представьте выражение в виде суммы:
а) (2—а’)2; б) (*2-у')(У2+*2)-
12. Упростите выражение:
,1 12 1 1
a) (1-Ь*+Ь 3); б) (1+х2)2—(1-х2)2.
Работа по теме «Показательная функция»
Вариант I
1. Решите уравнение и неравенства: а) 2Х=16; б) 2*>16; в) 2*<16.
2. Сравните значения выражений:
a) (J-)''5 и (у)1,8; в) (УЗ)-< и (УЗ)-®;
б) З1 и 3\ г) 0,253 и 0,255.
3. Сравните показатели тип, если известно, что верно неравенство:
в) 0,05m<0,05n;
г) l,8m>l,8n.
4. Решите уравнение:
г) 0,Зх = 1.
У =
Постройте график функции
. Используя
найдите значения выражений:
его,
, чтобы получить 1; 2; 3;
б) найдите показатель степени, в которую надо возвести чис-2 ло —
з
в)
решите уравнения:
г) выясните, сколько корней имеет уравнение
= -х+2.
Вариант II
1. Решите уравнение и неравенства:
а) 2Х=64; б) 2Х>64; в) 2*<64.
2. Сравните значения выражений:
а) (А)2’5 и (-Ц2; в> (Я>)-3 и (V5)-4;
б) 5* и 5’ г) 0,35 и 0,33.
3. Сравните показатели т и п, если известно, что верно неравенство:
в) 0,03та<0,03п;
г) 2,4"»<2,4П.
4. Решите уравнение:
г) 0,2“= 1.
(3 \х
— I . Используя его, 2 J
. „ о /3\-0.5 /3\—1 /3\0 /3\>.5
а) найдите значения выражении —I ; ( — 1 ; I—) ; I — I ;
\ 2 / 2 / \ 2 / \2,
3
б) найдите показатель степени, в которую надо возвести — ,
2
чтобы получить 1; 2; 3;
решите уравнения
выясните, сколько корней имеет уравнение
Работа по теме «Десятичные логарифмы»
Вариант!
1. Дайте определение логарифма.
2. Решите уравнение:
a) lg2; б) Igx=—4; в) lgx=—0,5.
3. Найдите область определения функции:
a) 0=lg(x—7); б)
<5—X
4. Сформулируйте и докажите теорему о логарифме произведения.
5. Прологарифмируйте выражение (буквами обозначены положительные числа):
a) 7xV; б) 0t2x(a2-bf>
6. Решите уравнение
lg(x—10) =3 lg 5-j-lg 2.
7. Имеет ли смысл выражение
yiglg 305?
Вариант II
1. Дайте определение понятия логарифма.
2. Решите уравнение:
a) lgx=5; б) 1g х= — 2; в) 1g х=-~~.
<5
3. Найдите область определения функции:
a) y=lg(2x—1); б) t/=lg—1^-.
Л-|-о
4. Сформулируйте и докажите теорему о логарифме степени с положительным основанием.
5. Прологарифмируйте выражение (буквами обозначены положительные числа):
а) 12х4у; б)—; в) 12а(х4—у2)^>.
х*у
6. Решите уравнение lg(2x—7) —1g 5=2 1g 7.
7. Имеет ли смысл выражение fig 1g 5? .
ИТОГОВЫЕ РАБОТЫ
Работа по теме «Уравнения. Системы уравнений»
<
Вариант 1
1. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1,5 ед.
2. Что значит решить систему уравнений с двумя переменными?
3. Что является решением уравнения с двумя переменными?
4. Решите биквадратное уравнение х4—6х2+8 = 0,
5. Найдите корни уравнения:
а) х-2= —; в) 1
X
б) 11х24-Юх 4-2=0;
6. Решите уравнение: з
а) х5=5; в) х* =625;
б) /7=10; г) 0,Зх=11 -i-;
7. Решите систему уравнений:
2= 10 50
х—2 х+3 (2—х) (х-1-3)
д) lg(5x+2)=4;
е) Ig(3x—1) — 1g 5=2 lg 4.
J xy— 3x2+*/2=-3, [ 2x—y— 3.
8. Является ли число 47 членом арифметической прогрессии 11; 14; ... . Если да, то укажите его номер.
Вариант II
1. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 2,5 ед.
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
3. Что является решением системы уравнений с двумя перемени ыми?
4. Решите биквадратное уравнение
х4- 15х24-14 = 0.
5. Найдите корни уравнения:
ч , 8 х+5 , 2х—5 6(2х~5)
а) х— 1=-----; в) —-—--------------= — --------.
х+1 х—1 х—7 (х—7)(х—1)
б) 2х2+8х4-5=0;
6. Решите уравнение:
а) х,0 = 10; в) х®=27; д) lg(2x-7)=2;
б) /х=5; г) - —З8 ; е) lg(5x+2)-lg 3=3 lg 2. -
\ о /
7. Решите систему уравнений:
J х2—X(/-j-4z/2=6,
I х—2//=3.
8. Является ли число 64 членом арифметической прогрессии 9; 14; .... Если да, то укажите его номер.
Работа по теме «Неравенства. Системы неравенств»
Вариант I
1. Что называется решением неравенства с одной переменной?
2. Решите неравенство:
а) (х+5)(х-2)-(х-3)2<7л+1; в) 9*>27;
б) 5х—2х2>0; г) lg(x+5)'<lg9.
3. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств:
а)
30—4x^0,
б)
2х-^-
3
1—4(х—2)>9.
4. Найдите
a) Fх— 1;
б) х—5;
область определения выражения: в) (х—2) 2; д) Ух2—2х—3. г) lg(2x—13);
Вариант П
1. Что называется решением системы неравенств с одной переменной?
2. Решите неравенство:
а) (х-|-6)2-(х—2) (jc-4-3)'<9jc—2; в) 25х>\25;
б) 2х2+х>0- г) lg (2х—l)'<lg 7.
3. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств:
18—5x^0; I Зх—5(х—4) <20. L Ч
4. Найдите область определения выражения:
а) У2х — 1; в) (х—7) 4 s; д) У х2+2х — 3.
б) У2=7; Г) 1g (Зх-10);
Работа по теме «Функция»
Вариант I
1. Какая функция называется возрастающей на некотором промежутке? Приведите пример функции, которая является возрастающей на всей области ее определения.
2. Укажите.область определения и область значений функции, заданной формулой:
а) У— — ', б) у = 1-х2.
X
3. Функция задана формулой — . Задайте форму-
лой функцию, обратную данной.
4. Решите графически уравнение 3*= — х+2.
5. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) чГТ ’ б) ^=(2х-3)К в) z/=lg(7x-3). ОХ ' 1
6. Построив уравнения:
схематические графики, укажите число корней
а) Г =—х2+5; б) 5Х=——; в) lgx=5—х. \ 3 / х
7. Постройте график функции, заданной формулой £/—х2+2х—3.
Вариант II
1. Какая функция называется убывающей на некотором промежутке? Приведите пример функции, которая является убывающей на всей области ее определения.
2. Укажите область определения и область значений функции, заданной формулой:
а) у=х3; б) у—х2—5х.
3. Функция задана формулой у= — Задайте формулой
функцию, обратную данной.
4. Решите графически уравнение
5. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) у= тЛ_1_; б) у=(х+3)3; в) y=rg(6x—1).
V 2-х
6. Построив схематически графики, укажите число корней уравнения:
а) Зх=7—х2; б) f— = —; в) 1g х= — х— 3.
\ 4 / *
7. Постройте график функции, заданной формулой у—х2—2х—3.
Работа по теме «Тождественные преобразования выражений»
Вариант I
1. Найдите значение выражения:
а) ” в) (тГ^7"3: 7~*’
\ О /
3/--- г_ 3/------- Л / 1 \-1 /1\-2 /2»\—2
б) V 12 +/19 -V 12-/19; г) Цу] -(у]
2. Упростите выражение:
а) (за3 + с 2} (заЛ— с 2);
3. Прологарифмируйте выражение:
1 П ** X
a) t з ; б) 2а(а2—2Ь)2. т® т?
4. Найдите значение переменной х, если lg х=— 1g 6—- 1g 2. 2 2
5. Выразите переменную х через у, если:
a) lgx=lg у—5 1g 2; б) lg(x+l) =2 1g у+ 1g 16.
Вариант II
1. Найдите значение выражения:
б) V13-2 /11 . V13+2 /11; г) (Д (1) -(Д 2.
2. Упростите выражение:
\ тп -t т п тп —т п /
3. Прологарифмируйте выражение:
а) <«** * ; б) 5х(х2-3у)\
' 1 1
а b
4. Найдите значение переменной х, если \gx= ^-Ig 15— 71g 5.
О U
5. Выразите переменную х через у, если:
a) lgх=31g 54-2 1gу; б) lg(x—2)=-^-
lg 25=2 lg у.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Программа по алгебре для VIII класса, начиная с 1985/86 учебного года, предусматривает изучение нового для восьмилетней школы раздела «Тригонометрические выражения и их преобразования». Для учащихся этих классов издан вкладыш к учебнику «Алгебра, VIII» [27] с изложением этого материала.
Учитывая, что материал о тождественных преобразованиях тригонометрических выражений является новым для курса алгебры и ни в одном из методических пособий, сопровождающих этот учебник, нет вспомогательного материала для учителя, авторы настоящей книги сочли возможным предложить систему самостоятельных работ и обзорную работу по этому разделу.
Самостоятельные работы по теме «Тригонометрические выражения и их преобразования» [27]
К пункту 1
В а р и а н т I
1. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а=183°; б) а = 110°; в) а=-120°?
2. Найдите значение выражения:
a) 2sin90°4-2tg30°— 4 cos 60°;
б) tg60°-sin60°—sin45°-cos60°.
3. Найдите значение выражения sin 2 a —cos а, если а=90°; 180°.
4. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
a) l-|-cosa; б) 3—sin a.
Вариант II
1. Углом какой четверти является угол а, если:
а) а=95°; б) а=364°; в) а =—35°?
2. Найдите значение выражения:
а) 3ctg60° + 2cos30°~2tg60°; б) sin 45°-cos 60°—cos O°-tg 45°.
3. Найдите значение выражения cos a —sin а, если а=180°; 270°.
4. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) 2—sin а; б) 2+cosa.
К пункту 2
Вариант I
1. Определите знак выражения:
a) sin95°-cos200°; б) cos310°. ctg 20°,
2. Найдите значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла а, если а=405°.
3. Найдите значение выражения:
a) sin (-45°); б) cos ( — 60°); в) tg (- 180°).
Вариант II
1. Определите знак выражения:
a) sin 185°*tg 190°; б) ctg 150°. cos 380°.
2. Найдите значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла а, если а=420°.
3. Найдите значение выражения:
a) cos (—180°); б) sin (-90°); в) ctg (-270°).
К пункту 3
Вариант I
1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
а) 0,4; б) -f; в)
2. Найдите радианную меру угла, равного:
а) 120°; б) 600°; в) -210°.
3. Найдите значение выражения:
a) sin б) cos/—в) ctg/— -5-*);
г) 2—sin2 +2tg - cos2 -j-.
Вариант II
1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
а) 1,2; б)^-; в)
2. Найдите радианную меру угла, равного: а) 225°; б) 900°; в) —240°.
3, Найдите значение выражения:
a) cos-—-;1 б) sin — ; b) tg( —л); о 2
г) 4-sin’4-+2 ctg V’Sin-T-
4 6 3
К пункту 4
Вариант I
L Зная, что 0<а< — , найдите:
2
a) sin а, если cos а=0,2;
б) sin а, если tg а=2.
2. Зная, что sina=0,12 и — <а<я, вычислите значения
Хм
остальных тригонометрических функций (ответ округлите, оставив в нем две значащие цифры). При вычислениях используйте микрокалькулятор.
Вариант II
L Зная, что 0<а< — , найдите:
। •
a) cos а, если sin а= б) ctg а, если cos а == 0,1.
2. Зная, что cos а=0,24 и ~ <а<л, вычислите значения остальных тригонометрических функций (ответ округлите, оставив в нем две значащие цифры). При вычислениях используйте микрокалькулятор.
К пункту 5
Вариант I
1. Упростите выражение:
a) cos2 a— 1; б) ——; в) tga-cosa;r) I---------,
tg a cos2 а
2. Преобразуйте выражение: cos? a . 1
sin2 a cos2 a sin2a cos2 a
ф ctg a sin2 a sin2 a — 1
Вариант II
1. Упростите выражение:
a) sin2 а—1; 6V в) ctg а-sin а; г) !•----------------
’ ctg а ' f ' cos2 а
2. Преобразуйте выражение:
а) +
cos2 а
sin2 а
tg а-cos а cos2 а— 1
OOS24l sin2 а
К пункту 6
Вариант I
1. Найдите sin a, cos а» tga и ctg а, если:
а) а=420°; б) а=135°;
в)а=
2. Упростите выражение:
a) sin (л + a) -sin (2л —а) + cos (л 4-а) - cos (л —а) ;
б) tg(n+a)-tg(-^-—а) +tg2a.
Вариант II
1. Найдите sin a, cos a, tga и ctgа, если: а) а=150°; б) а=405°; в) а= — л.
4.
2. Упростите выражение:
< sin/—
\ 2
К пункту 7
—а
7
6
,Вариант I
1. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:
2. Упростите выражение:
3. Найдите значение выражения: cos 215° cos 85°— sin 215° sin 85°.
Вариант II
1. С помощью формул сложения преобразуйте выражение: a)sin(«— 4г); б) cos(4r+°); в) 1ё(-Ч"’+а)-
2. Упростите выражение:
cos [— ;+а | —sin | —-а |.
\ 4 / \ 4 /
3. Найдите значение выражения;
sin 35° sin 85°—cos 35° cos 85°.
К пункту 8
Вариант I
1. Упростите выражение:
а) 2 sin 12° cos 12°; б) cos225°-sin225°; в)—t-g-10—.
1—tg2.10
2. Найдите значение выражения:
ч 2tg 105° cos2 120’—sin2 120°
а) —&------; б)-----------------.
1-tg2 105° / 2 sin 120°cos 120°
Вариант II
1. Упростите выражение:
a) cos217°—sin217°; б) 2 sin 24° cos 24°; в) .
7 ' ' 1—tg220°
2. Найдите значение выражения:
\ 2 tg 129° • 2 sin 75° cos 75°
1-tg2120°’ ' cos2 75°—sin2 75°
К пункту 9
Вариант!
L Представьте в виде произведения:
a) sin 15°4-sin 25°; в) sin 20°—cos 40°;
б) cos 20°—cos 70°; г) —sin а.
п п Л sin 4а—sin 2а о
2. Докажите, что-------------= —ctgoa.
cos 4а—cds 2а
Вариант II
1. Представьте в виде произведения:
a) sin 105°—sin 25°; в) cos 40° —sin 50°;
б) cos 10°4-cos 6°; г) 1JL 4-cos a.
2
о тт sin 5a + sin a . o
2. Докажите, что-----------=tg3a.
cos 5a+cos a
Обзорная работа по теме «Тригонометрические выражения и их преобразования»
1. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 60°—2 sin 90°+2 tg 0°;
б) 5—sin — 4-3 cos 0°—2 sin — -|-cos п.
2 2
2. Вычислите значения тригонометрических функций угла
2 Л . л
если известно, что sin а=— и 0<а< —.
5 2
3. Упростите выражение:
а) (1 —sin a) (sin а-|-1)5 в) l-+ctg2a—-—Ц—;
1—cos2 а
б) 1--—— ; г) tg2 а • ctg2 a—sin2 а.
sin2 а '
4. Докажите тождество:
(l~tga)2+(l+tga)2=~r.
б* Упростите выражение с
а)
sin (90°+a) - si п (—а) cos(180°+a)-cos(—а) *
помощью формул
(sin a—cos a)2 e sin 2a—1
2 sin a-cos a
sin2 a—cos2 a
приведения:
cos (л+a)
6. Упростите выражение:
а) 2sin I — +a | —cos a;
\ 6 /
б) s*n(a~P) +cos a sin p . sin(aJ-P)—cos «-sin p
7. Представьте в виде произведения:
а) sin 2х—sin 4х;
8. Докажите, что
б) cos x+cos Зх. sin 6a—sin 2a cos 6a—cos 2a
-ctg 4a.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебра: Учебник для VI класса средней школы/Под ред. С. А. Теляковскогб.— М.: Просвещение, 1985. — 224 с.
2. Алгебра: Учебник для VII класса средней школы/Под ред. С? А. Теляковского.—М.: Просвещение, 1985.—224 с.
3. Алгебра: Учебник для VIII класса средней школы/Под. ред. А. И. Маркушевича.— М.: Просвещение, 1982. — 256 с.
4. Арнольд И. В. Логарифмы в курсе элементарной алгебры. М.—Л.: Изд-во АПН РСФСР, 1949.
5/Б ар. суков А. Н. Алгебра. Учебник для VI—VIII клас-сов/Под ред. С. И. Новоселова. 16-е изд. М.: Просвещение, 1971.
6. Гончаров В. Л. Математика как учебный предмет. М.: Известия АПН РСФСР, вып. 92, 1958.
7. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М.: Педагогика, 1972/
8. Кабанова-Меллер Е. Н. «Приемы учебной работы и овладение ими (в условиях развивающего обучения)». — Вопросы психологии, 1980, № 4.
9. К о р о т о в В. М. Общая методика учебно-воспитательного процесса. М.: Просвещение, 1983.
10. К р у т е ц к и й В. А. Основы педагогической психологии. М.: Просвещение, 1972.
11. Леонтьев А. Н. Проблемы развития психики. 3-е изд. М.: Изд-во Московского университета, 1972.
12. Леонтьев А. Н. Деятельность, сознание, личность. М.: Политиздат, 1977.
13. Леонтьева М. Р. Самостоятельные работы на уроках алгебры. М.: Просвещение, 1978.
14. Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы.— М.: Политиздат, 1984.— 112 с.
15. П е т р о в с к и й А. В. «Основные направления развития и современное состояние педагогической психологии». — Советская педагогика, 1972, № 5.
16. Преподавание алгебры в VI—VIII классах/Сост. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. М.: Просвещение, 1980.
17* Программы восьмилетней и средней школы» Математика. М.: Просвещение, 1985.
18. Рубинштейн С. Л. Принципы и пути развития психологии. И.: Изд-во АН СССР, 1959.
19. Сорокин Н. А. Дидактика. М.: Просвещение, 1974.
20. Coxop А. М. Логическая структура учебного материала. Вопросы дидактического анализа/Под ред. Данилова М. А. М.: Педагогика, 1974.
21. Суворова С. Б. Упражнения в обучении алгебре. М.: Просвещение, 1977.
22. Терский В. Н., Кель О. С. Игра. Творчество. Жизнь. М.: Педагогика, 1966.
23. Тал ы з и н а Н. Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание, 1983.
24. X и н ч и н А. Я. О формализме в школьном преподавании математики. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1р63.
25. Хин чин А. Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.
26. Шамова Т. И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982.
27. Тригонометрические выражения и их преобразования: Вкладыш к учебнику алгебры для 8 класса/Под ред. С. А. Теликов с кого.— М.: Просвещение, 1985.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение......................... » ,................................ 3
Глава I. Организация учебной деятельности при обучении алгебре в VI—VIII классах...................................................... 7
§ 1. Деятельностный подход к обучению ....... —
§ 2. Содержание учебной деятельности при обучении алгебре 16
Глава II. Система упражнений как средство организации учебной деятельности при обучении алгебре в VI—VIII классах . 24
§ 3. Методические требования к системе упражнений, направленной на формирование алгебраических понятий . , —
§ 4. Методические требования к системе упражнений, направленной на организацию усвоения теорем в курсе алгебры 43
§ 5. Методические требования к системе упражнений, направ- s ленной на организацию усвоения приемов решения задач S3
Глава Ш. Письменная самостоятельная работа как средство организации учебной деятельности при обучении алгебре в VI—
VIII классах.......................................... 66
§ 6. Организация самостоятельной учебной деятельности школьников при обучении алгебре...............................- . —
§ 7. Обучающие самостоятельные работы........................71
§ 8. Контролирующие самостоятельные работы .... .77
Приложение I........................ . . .................87
Приложение II....................... . . .................120
Использованная литература . . . .................126
Маргарита Романовна Леонтьева Светлана Борисовна Суворова
УПРАЖНЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ
Книга для учителя
Зав. редакцией Р. А. Хабиб
Редактор Т. Ю. Акимова
Младший редактор Л. Е. Козырева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технические редакторы Г. Л. Татура, Л. Б. Володина
Корректор Г. И. Мосякина
ИВ № 8425
Сдано в набор 13.02.85. Подписано к печати 23.09.85. Формат 60X 90‘/ie. Бум. типограф. № 3. Гарнит. литсрат. Печать высокая. Усл. печ. л. 8.0- Усл. кр.-отт. 8,25. Уч.-изд. л. 7,92. Тираж 100 000 экз. Заказ № 1171. Цена 20 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 129846, Москва. 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Областная ордена «Знак Почета» типография им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, 214000, г. Смоленск, проспект нм. Ю. Гагарина, 2.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA