МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕШАЖВДШ
ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
ГОРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО
КРАСНОГО ЗНАМЕНИ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КОМБИНАТОРНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
В ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
МЕЖВУЗОВСКИЙ СБОРНИК
ИЗДАНИЕ ГГУ
ГОРЬКИЙ 1979

УДК. 51$.
Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике.
Межвузовский сборник. Издание Горьковского государственного университета
им. II. И. Лобачевского.
Горький, 1979, с. 124.
Решение алгоритмических вопросов, возникающих при исследовании кибернетиче-
ских моделей, — одна из актуальнейших тем в современной математике. Сборник со-
ставлен из работ, в различных пропорциях сочетающих комбинаторный и алгебраиче-
ский подходы к изучению дискретных систем, и представляет ряд направлений. Часть
работ посвящена фундаментальным вопросам, другие имеют конкретные прикладные
ориентиры: игровые модели, распознавание образов, анализ и синтез управляющих
систем, целочисленное программирование и теория расписаний, передача и хранение
информации.
Работы выполнены в вузах и научно-исследовательских институтах городов Горь-
кого, Красноярска, Ленинграда, Москвы, Новосибирска.
Доп. план 1979 года, позиция № 226.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Канд. ф. м. наук В. Е. АЛЕКСЕЕВ (зам. отв. редактора), проф. докт. ф. м. наук
Ю. И. ЖУРАВЛЕВ, доц. канд. ф. м. наук В. Б. КУДРЯВЦЕВ, доц. канд. ф. м. наук
А. А. МАРКОВ (отв. редактор), В. В. НОСКОВ, Η. Ε. РОДИНА, доц. канд. ф. м. наук
А. А. САПОЖЕНКО, канд. техн. наук А. В. СЕРГИЕВСКИЙ, Т. Н. СИДОРОВА (отв.
секретарь), проф. докт. ф. м. наук С. Н. СЛУГИН, доц. канд. ф. м. наук В. А. ТАЛА-
НОВ, доц. канд. ф. м. наук В. Н. ШЕВЧЕНКО
© Горьковский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 1979.

Исследования в области дискретной математики занимали важное
место на всех этапах развития математики. Во второй половине XX
века «дискретная математика» возникла как термин, отражающий
потребность в исследованиях, не укладывающихся в традиционные
рамки классической математики и связанных с приложениями, в пер-
вую очередь, к кибернетическим информационным системам. Очевидно,
что для эффективности развития современной дискретной математики
большое значение имеет сохранение и развитие классической техники,
лучшей части наследия дискретной математики прошлого, а именно
таких ее разделов, как алгебра, комбинаторный анализ, математиче-
ская логика. Название настоящего сборника подчеркивает это обстоя-
тельство: преемственность, с одной стороны, и прикладную направлен-
ность, с другой. Это обстоятельство будет служить ориентиром при
формировании тематики сборников.
Не случаен выпуск сборника по дискретной математике Горьков-
ским университетом. Работа по дискретной математике в Горьком
ведется уже более 20 лет. Начальным толчком и стимулирующим фак-
тором в дальнейшем было активное влияние московской школы мате-
матической кибернетики С. В. Яблонского. Традиционной для сложив-
шегося сейчас в Горьком коллектива стала тематика, связанная с анали-
зом информационных систем, теорией кодирования и дискретной
оптимизацией.
Первым, кто стал пропагандировать современную идеологию дис-
кретной математики среди горьковских математиков, был Ю. В. Глеб-
ский, трагически погибший в 1977 году. Авторы настоящего первого
выпуска сборника посвящают свои работы его памяти.

МЕТОДЫ ИНДЕКСАЦИИ
В. Е. Алексеев, А. П. Клевцов, Ал. А. Марков
Задавая конечное множество списком его элементов, мы делаем
это в форме {ai, α2, ...0jv}, считая вполне естественным описывать
общий член, элемент множества буквой с индексом из множества на-
туральных чисел: Х{. Тем самым сразу делаем допущение о том, что
множество некоторым образом линейно упорядочено. Это вполне при-
емлемо, когда речь идет о множествах произвольной природы, но если
мы имеем дело с конкретным множеством, то от того, как именно оно
упорядочено, т. е. как по элементу найти соответствующий индекс,
зависит, насколько ясно мы представляем себе устройство множества,
взаимоотношения между его элементами. При обработке данных на
ЭВМ или передаче их по каналу связи от того, насколько множество
данных обозримо, зависит возможность сжатия или более рациональ-
ного представления информации, оптимизации поиска информации по
ключу, признаку. Например, если имеется произвольно организован-
ный массив, т. е. такой массив, в котором адрес каждой записи функ-
ционально связан с ключом этой записи, то поиск записи по ключу
сводится к поиску по адресу и тем самым реализуется одно из глав-
ных преимуществ памяти прямого доступа — возможность быстрого
извлечения или обновления информации. Современные системы про-
граммирования предусматривают средства для обращения с произволь-
но организованными массивами данных, однако способ индексации
(адресации) остается прерогативой программиста, причем ответствен-
ность программиста за выбор способа индексации считается существен-
ным недостатком произвольной организации.
В литературе описано немало конкретных методов индексации, при-
меняемых на практике, но до сих пор «выбор подходящей функции от-
носится скорее к области искусства, чем науки» [1]. Аналогична ситуа-
ция и с приемами сжатия информации. Таким образом, все говорит
о том, что недостаточна математическая база, теория индексации. ,
В настоящей статье излагается весьма общая точка зрения на про-
блему индексации. Предлагаемая схема позволяет систематизировать
известные методы индексации и рекомендовать новые. В разделах 1, 2
уточняется математическая постановка задачи и разъясняется прин-
цип вложения, приводятся примеры. В разделе 3 охарактеризованы
методы рандомизации. В разделе 4 разъясняется принцип аппроксима-
ции, предлагается одна из реализаций этого принципа, установлены
некоторые характеристики соответствующего метода индексации и при-
водятся результаты экспериментального сравнения одного из статисти-
чески оптимальных методов рандомизации, известного метода индек-
сации, использующего информацию о массиве и предлагаемого метода,
ошотаетея возможность усовершенствования последнего.
5

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Индексацией множества К будем называть любое отображение К
в множество натуральных чисел N. Пусть U— некоторое множество,
Г— семейство подмножеств U. Под методом индексации для семейст-
ва Г будем понимать алгоритм, который по каждой паре <К,х>, где
где /СеГ, л:е/С, определяет натуральное число %к(л;) -индекс элемента х
в множестве К. Таким образом, метод индексации для каждого /СеГ
эффективно задает некоторую индексацию. БуДем рассматривать ме-
тоды индексации для множеств слов над конечным алфавитом.
Формулируя ниже некоторые критерии для оценки методов индек-
сации, имеем в виду вполне определенный ориентир — организацию
массивов данных в ЭВМ на запоминающих устройствах прямого до-
ступа. При такой интерпретации К есть множество идентификаторов
(ключей) элементов массива (записей), U — множество значений, кото-
рые могут принимать ключи, iK(x)—адрес, по которому размещается
запись с ключом х. Критерии вытекают из общего требования экономии
вычислительных ресурсов: время и память, необходимые для вычис-
ления индекса, должны быть невелики. Если индексация не является
взимно однозначной, то она порождает на множестве К нетривиальное
отношение синонимии S = S(i,К):
(хи Хг) eS iK (Xi) = iK(^2).
При организации массива в памяти ЭВМ наличие синонимии вынужда-
ет предусматривать специальные мероприятия по размещению синони-
мов. Этой стороны проблемы касаться не будем, только отметим, что в
любом случае наличие синонимии увеличивает время поиска информа-
ции в массиве, и этот фактор необходимо учитывать при сравнении
методов индексации. Один из наиболее распространенных (а по экспе-
риментальным данным [2] — и наиболее эффективных) способов раз-
мещения синонимов — ассоциативная организация массива, при которой
индекс указывает адрес начала списка синонимичных записей. Подроб-
ности можно найти в [3], для нас здесь существенно то, что в устроен-
ном так массиве для нахождения записи требуется время, пропорцио-
нальное длине списка синонимов, предшествующих этой записи. Следо-
вательно, среднее время поиска элементов массива пропорционально
величине
1 2
где ткл(п) = I {х\х(=К, iK(x)=n}\.
В основе следующих критериев лежит требование рационального
использования памяти. С этой точки зрения представляет интерес, во-
первых, «коэффициент расширения»
μ(#, iK) = -, , -max iK(x),
1Д1 хек
и, во-вторых, «коэффициент компактности», или «неплотность», т. е.
количество «пустых» адресов σ
о(К,1к)= [ μ(Κ,Ικ) /д., ' )
Почти все известные методы адресации распадаются на два класса.
К первому, наиболее популярному, относятся методы, основанные на
идее рандомизации, когда информация о массиве не используется
совсем (т. е. 1к(х) не зависит от /С), а ко второму — методы, предпола-
гающие, что массив полностью известен и хорошо устроен. Естественно,
6

что область применения последних весьма ограничена. Кроме того,
методы второго класса, хотя и обеспечивают идеальные характеристики
τ=μ=1, σ=0, связаны обычно с использованием сложных функций.
Тем не менее методы второго класса могут быть положены в основу
разработки простых методов индексации, учитывающих полезную ин-
формацию о массиве, в дальнейшем мы развиваем этот подход.
2. ПРИНЦИП ВЛОЖЕНИЯ
Пусть L — отношение линейного порядка на и и /fet/. В этом
случае К оказывается также линейно упорядоченным отношением L, и
в качестве индекса 1к{х) в К можно взять номер х в К по возрастанию
относительно L на /С. Если нумерацию считать с нуля, то 1к(х) равен
количеству предшественников х в </С,L>:
1к{х) = \{у\у*=К, (*/,*)€=L}|.
В выборе такой индексации и состоит принцип вложения, возможность
варьировать выбор L на U оставляет при его применении значительный
произвол. Рассмотрим несколько примеров.
Пусть U=An, где Л={0,1,..., т—1}, L — лексикографический по-
рядок на U (старшие разряды слева). Формула для вычисления индек-
са получена в [4] в виде
эс-1
1'к(*Ь-»*п)= Σ Σ VK(*1, ...,Xj_l,/), (1)
где vK(xu ...,*j) — число слов в /С, имеющих префикс хи..., *j· Для
двоичного случая т=\А\—2 формула (1) будет иметь вид
η
1к{хи-,Хп)= Σ *jVx(Xi,...,Xj-i,0). (2)
При этом сложность индексации, очевидно, зависит от сложности вы-
числения системы функций {v*(xi, ...,*j) 11^/^/г}. Так, если К<=Ап —
множество всех перестановок, то
(m-j)\
V* (*L...,Xj) =
если хи ...,*j все различны,
(т—п)\
О в противном случае.
Поэтому если положить rs= | {О, 1,..., Xj—1}П{*ь .,Xj-i} |> то будем
иметь
(т-/)!
1к(хи...,Хп)= Σ (Xj—rj)
(т—η)!
Аналогично, для /(=£,Jl (множество всех двоичных последовательно-
стей длины η и веса до, т. е. содержащих ровно до вхождений единицы)
получаем, как в [5],
'*<* *)вД *(«-£!-*,)·
Принцип вложения может дать и сплошную нумерацию натуральными
числами бесконечного множества [6]. Пусть, например, Л = ЛГ,
φ(α, Ь) — число монотонно убывающих последовательностей длины Ь,
у которых максимум не превосходит а. Из очевидной рекуррентности
а-Ь+1
φ (а, 6)= Σ φ (а—/, 6— 1)

и тождества
ц^)-(;)
по индукции получаем, что φ (a, b)= f , )· Тогда
VK(xu...,Xi)=if(Xi—l,n—i)= ( г_.)
и, следовательно, iK(xu ...,xn) = Σ ( . ) .
г=1 \ П—l t
3. РАНДОМИЗАЦИЯ
Применение принципа вложения дает возможность учесть информа-
цию о структуре массива с такой степенью подробности, какая необхо-
дима для получения взаимно однозначной и сплошной индексации.
Проанализируем теперь другой крайний случай, когда информация о К
совсем не используется. Термин «рандомизация», принятый в литера-
туре для таких методов, отражает их ориентацию на массивы, строение
которых хаотично или неизвестно (такие массивы можно рассматри-
вать как сформировавшиеся в результате случайного выбора). Эф-
фективность методов рандомизации естественно оценивать по усреднен-
ным характеристикам
т=-т^- Σ τ (К) и σ=~-^ Σ ο(Κ).
Дальнейшие рассуждения проводим в предположении, что Г=Га —
семейство всех α-элементных подмножеств U. Положим |(/|=f,
maxi(x) = &, Uj={x\x^U, i(x)=j} и \Uj\=tj. Число таких /СеГа,
для которых \Kf\Uj\=s равно i J J ( j j » следовательно,
/ / \ ,·=1 s=o \s Α α—s J
Применяя тождество
получаем
- t-α α-1 Ρ 2
τ~ t-\ + t(t-l) sit*' ■
Минимум этого выражения по всем наборам <fi,..., /β> таким, что
Σ ii = /, достигается при /1=···==/β= —- и равен
/_α (a_1)f
το-7=Τ+ β(*_1) ' (3)
Рассмотрим теперь среднюю «неплотность»
1 Ρ
<* = Γ/Τ Σ Σ '**'

β i 1, если КПи0=0,
где j,k— \ о, в противном случае.
Учитывая, что число таких /(€=Га, для которых K{]Uj=0f равно
получаем
(t — x\
Так как функция i I выпукла относительно л;, то
ν-μ-Μη'
и равенство достигается при ^=... = /р= —. Отсюда следует-, что ми-
нимальное значение σ есть
(4)
и„ как и το, достигается при равномерном распределении. Равенства (3)
α
Τ
и (4) уточняют хорошо известные приближенные оценки to~l+— и
β --
σο~—е Ρ , которые получаются из вероятностных соображений.
Итак, статистически оптимальным методом рандомизации является
любой, при котором множества Uj, /=1,β, равномощны. Отметим, что
некоторые из популярных методов этого свойства не имеют (см.
[1—3]), например, метод середины квадрата. Из оптимальных упомя-
нем, как достаточно простой, метод деления с остатком, он показал
наилучшие результаты и по итогам эксперимента [2].
4. ПРИНЦИП АППРОКСИМАЦИИ
Как было отмечено, единственный, но очень серьезный недостаток
методов индексации, основанных на применении принципа вложения,
состоит в необходимости вычисления сложных функций. Рандомизация
преодолевает этот недостаток слишком большой ценой, так как задачи
не носят массового характера, и поэтому даже хорошие средние значе-
ния не могут позволить считать вопрос исчерпанным. Необходим ком-
промисс, который мы видим в применении ослабленного принципа вло-
жения — принципа аппроксимации. Применение этого принципа вклю-
чает два этапа: во-первых, принятие за основу некоторого вложения
К в <i/, L> и, во-вторых, если вычислительная формула для индекса
1к(х) оказывается слишком сложной, приближение функций, фигури-
рующих в исходной формуле, функциями какого-либо класса ограни-
ченной сложности вычисления.
Рассмотрим одну из возможных реализаций для двоичного случая:
1)=Ап, А={0, 1}, L—лексикографический порядок на i/, /te<i7,L>.
Согласно (2),
η
Μ*1,...,Α'η)= Σ Xj'VK(Xu ...,*j-bO),
9

определяет взаимно однозначное отображение К—>{0,1, ··, \К\— 1},
но функции {vjc(*i, ...,*,·) |/=1, л}, как правило, слишком сложны (от-
сутствие аналитического задания и громоздкое табличное).
Возьмем следующее приближение. Пусть
Ля(/,о>)=Г— ) Σ vK(*i,...,*j_i,0), (5)
— среднее значение функции vK(xu ...,*j-i, 0) на наборах веса w. По-
ложим
η
1к {хи...,Хп)= Σ *jT|k(/,*H h*j-i)> (6)
и iK{x) = [iK {*)].
Если Ki{]K2.= 0, то, очевидно,
Л к их (/'ш)=Лк (i'w)+4K 0\α>), (7)
Λ1υ Λ2 1 2
и, следовательно, , ч , ,# ч
Λ1 υ Λ2 1 2
Вычисление функций ηκ(/, и;), / = 1,п, выполняется после однократ-
ного просмотра массива (т. е. в линейное по сравнению с объемом
исходной информации время), причем таблица, ввиду (7), может за-
полняться последовательно, с просмотром строк и суммированием
(предполагая, что биномиальные коэффициенты для усреднения вычис-
лены заранее). Приемлем следующий алгоритм.
Пусть массив К представлен в виде двумерной таблицы /C=||fezjll,
i=\9tf j=ltn, kij^{0y 1}, строки которой суть слова из /С
1) Образуем таблицу М=\\тц\\, i=\,t, /=0,η—1, полагая тг,о=0
для всех t=l, i и вычисляя последовательно элементы остальных
столбцов по правилу
mi)j+l=mi,j+kifj+u /=0, п— 1.
Если &i,j+i=0, то вычисленный элемент mi,j+i таблицы М помечаем.
2) Для любых /=1,л и до = 0, п—1 значение ( ) ·ηκ(/, w)
равно числу помеченных элементов w в /-м столбце таблицы М. С по-
мощью таблицы биномиальных коэффициентов находим табличное за-
дание функции ηκ·
Проиллюстрируем действие алгоритма на примере (помеченные
элементы обведены кружком): см. стр. 11.
Как видим, в данном случае получились идеальные характеристики
индексации: μ=τ=1, σ=0.
Заметим, что для любого x=xtX2...xn имеет место
η
Следующая теорема устанавливает верхнюю границу для μ (К, i).
4 2π
Теорема. Пусть μ0=-—-| £sl,74. Тогда μ(Κ,1)<μο для
любого К и lim гпах μ(Κ,1)=μο.
П-*°° К 2 л
10

fc')
[i
Γ1
н
Η
Η
η
UL
и
0
0
0
(
1
Χ
)-1
0
i
Ι
0
0
(
j-3
i
0
i
0
I
i
Η
0
i
I
0
i
i
Pi
{
0!
1
0
0!
i
— Μ
[w"
0
1
r
3
UL
И
i
0
0
0
0
J-2
i
i
0
0
0
J-3
1
2
i
0
0
и
i
3
3
I
0
r5
i
k
6
k
i
"I
i
\l
\l
3
г
5
[L
HJHj=2|/-3
0
0
0
0
0
0
©
@
©
i
i
I
©
i
i
φ
φ
2
i
Φ
2
Φ
2
3
нР
Φ
2
3
Φ
3
4
2
Φ\
4
Φ
®
^
fw"
0
I
2
3
^
-
Μ
3
J-2
1
2
Γ-3
0
i
0
ни
0
2/з
ο
0
°\
Щ
Щ
%
GN
Γ-
Ι
2
3
Γ
5
LL
rfrj
4/*
5/3
'Ik
3
Α
5
t(x)
0
i!
2
з 1
4
-5J
Доказательство. Оценим наибольшее значение, которое мо-
жет принимать индекс, вычисляемый по формулам (5) и (6). Пусть х°
таково, что тах1к(х) = *к(·*:0). Представим это слово в виде
ХЕК
р*
jc°=0 1 *0 1 2 ...0 s i 1 ω0
где ро, ps>0, Pu ...,Pe-i>0, ?i, ...,^β>0, и обозначим Я,-=рН f-/>j»
Qj=?iH Hi, Qo=0. Тогда
Ik (x°)= Σ Σ ηκ(Ρ,·+ρ,·+^+1, QH-a;) =
j=0 го=0
g. -1
= S2 'ς (P,+J+a')"i|^(PJ+Qi+a»+l, Qi+o»)|,
j=0 u>=0 x Vj-t-WJ '
где K(l,v) — множество тех х из /С, у которых Х;=0 и префикс длины
/—1 имеет вес v. Легко убедиться в справедливости неравенства
где c=min(a, b), а так как ( ) возрастает с ростом с, то (8) спра-
ведливо также при c<min(a, b). Учитывая еще, что Pj^j, Qj^j, по-
лучаем
s-i / о; \-i ·,τ
Ικ* (*°Χ Σ ( ·) Σ |/C(Pi+Qi+a»+l, Qj+a»)|.
(9)
Множества K(l,v) и К(1+и, υ+u) при и>0 не пересекаются. Действи-
тельно, если х — общий элемент этих множеств, то х\-\ \-xi-i=v,
Xi+.-.+Xi+u-^v+u, откуда Xi+xi+i-\ \-xi+u-i=uy а это возможно,
только тогда, когда каждое слагаемое равно единице, но по условию
х,=0. Отсюда следует, что каждая из внутренних сумм в (9) не пре-
восходит |/С|—1, т. е.
1·*(*°)^(|Κ|-1) 'ς Ι2')'1 ■
з=о ν / '
Следовательно, верхней границей для μ(Κ,1) является
μ<μο= Σ Ι Ι ·
}=o v / '
11

исленное значение можно получить, рассматривая ряд
F(x)= Σ [2Ι)% (2х)Ч
j=0 V / /
сходящийся при |#|<1. F(x) удовлетворяет уравнению
х(х*— l)F'+(2x2+l)F—1=0
и начальному условию F'(0)=0. Интегрируя, находим
F (х) = ——— -| — arcsin x
1-
и окончательно получаем
μο
О-*2)
2π
'/2
ρ / 1 \ 4 , 2π i7.
9УЗ
Остается построить последовательность множеств, на которой реализу-
ется приближение к предельному значению μ0. Пусть
КР>д=(01)РАя[}{(ЩР0я} (n=2p+q, |*Ρ,ς| = 1+2*).
Для этого массива ηκ (2/+1,/) =2<? ( /) , / = 0,р—1, i*K ((10)*0«) =
р"1 /2/V-1
= 2^ Σ I . I и легко проверить, что \х(КРЛ)—*μ0 при p,q—woo.
j=o м /
Теорема доказана.
Замечание. Рассмотренный в доказательстве класс массивов
Кр,д показывает, что при рассматриваемом методе индексации синони-
мия может быть значительной. Так, в случае p=q=3 имеем
Таблица
X
010101000
010101001
010101010
010101011
010101100
010101101
010101110
010101111
101010000
**(*)
0
1/28
3/35
4/35
1/4
39/140
43/140
91/280
1 40/3
i(x)
0
0
0
0
0
0
! °
1 °
1 13
Массивы Kp,q интересны еще в одном отношении. Для обращенного
(т. е. переписанного справа налево) массива
Кр\д=Ая(Ю)р[}{09(01)р}
индексация оказывается уже взаимно однозначной и сплошной:
i ,(0*(01)*)=0,
к
i j09(io)p) = [ Σ (<7+2/)-1] *=1, если </>0 (так как (^2/) >
>2i. имеем Σ ( i+2/) '<2), и при а^О?
i , (а(10)*) = 1+/»(а),
К
где /°(а) —номер а в лексикографическом упорядочении слов длины q.
12

Таким образом, перестановка столбцов массива может значительно
повысить эффективность метода индексации.
Нами был проведен вычислительный эксперимент, в котором метод,
описанный в этом разделе, сравнивался с двумя другими методами ин-
дексации, описанными в литературе, и своего рода рекордными. Один
из яих — метод деления с остатком, лучший из известных методов
рандомизации. Другой — метод, основанный на выборе разрядов клю-
ча, в которых распределение символов наиболее близко к равномерно-
му (подробное описание см. в [2]), один из немногого числа известных
методов, учитывающих информацию о массиве. Методы тестировались
на 60 массивах псевдослучайных чисел по 1000 элементов в каждом,
определялись величины τ и σ. Лучшие результаты з большинстве слу-
чаев показал метод деления с остатком (типичные значения т=1,95-т-
-т-2,05, σ=0,35-τ-0,37), близок к нему метод, описанный выше (т=
= 2,054-2,15, σ=0,37~0,39), третий метод оказался значительно хуже
(τ=2,85-4-3,0, σ= 0,574-0,60). Таким образом, хотя на случайных мас-
сивах лучшей является рандомизированная стратегия, методы индек-
сации, основанные на принципах вложения и аппроксимации, оказыва-
ются с ней конкурентоспособными, приводя к гораздо лучшим резуль-
татам на массивах, обладающих регулярной структурой. Кроме встре-
чавшихся уже примеров, рассмотренная реализация дает взаимно одно-
значную сплошную индексацию для всех симметричных массивов
(включающих вместе с любым словом любую его перестановку), для
любых подмножеств множества {0г 1 О^-^О^'^я— 1}и{1'0п~г'|0^
^i^n} и многих других.
ЛИТЕРАТУРА
1. Д ж а д д Д. Р. Работа с файлами. М., Мир, 1975.
2. Ζ u m V. Υ., P. S. Т. Yuen, Μ. Dodd. Key-to-adress transform techniques: a funda-
mental performance study on large existing formatted files, Commun. of the ACM, v. 14,
N 4, 1971, p. 228.
3. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 3. М., Мир, 1978.
4. Cover Т. М. Enumerative source encoding, IEEE Trans, v. IT-19, № 1, 1973,
p. 73.
5. Μ уд р о в В. И. Алгоритм нумерации сочетаний. Журн. «Вычислит, математики
и мат. физики», 5, № 4, 776 (1965).
6. В osset P. G. A Combinatorial theorem. Canad. Math Bull. v. 9, N 4, 1966,
p. 515.
Горьковский государственный университет
[)18/VII 1977]
О ДВОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ
С ОГРАНИЧЕННОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИЕЙ
В. Е. Алексеев, Н. А. Маслова
Пусть £={0,1}. Последовательность а= (оы,..., ап)е£п назовем
(к, г) -последовательностью, если выполняются условия:
η
1) Σ <Хг = К\
г=1
n-t
2) Σ a.iai+t^r при f=l,2,...,η— 1.
Иначе говоря, (к, г) -последовательности — это последовательности
веса к (т. е. содержащие ровно к единиц), для которых значения апе-
1S

риодической автокорреляционной функции при ненулевых сдвигах
ограничены величиной г. Последовательности с такими свойствами при-
меняются для построения сигналов, устойчивых к действию помех [1],
а также некоторых классов корректирующих кодов [2]. В приложениях
важно, чтобы при данных к и г длина (к, г) -последовательности
была минимальна. Такие последовательности будем называть опти-
мальными. Очевидно, оптимальная (к, г) -последовательность начина-
ется и оканчивается единицей.
Случай г=\ рассматривался в ряде работ, библиографию и, по-ви-
димому, наиболее обширную таблицу известных (к, ^-последова-
тельностей можно найти в [1]. При г>\ о (к, г)-последовательно-
стях известно очень мало. В настоящей статье выводится нижняя гра-
ница длины (к, г) -последовательностей и поедлагается эвристический
алгоритм построения (к, г) -последовательностей для произвольных
/сиг.
1. Множество целых чисел Л= {ai, ...,ак} назовем Δ (к, г) -множест-
вом, если среди разностей а*—а^ каждое натуральное число встреча-
ется не более чем г раз.
Каждой последовательности ae£n веса к можно поставить в соот-
ветствие множество целых чисел А (а) = {ai, ...,aK} номеров позиций,
в которых расположены единицы последовательности а. Равенство
n-t
Σ ai<Xi+t = s равносильно тому, что среди разностей а*—а; число t
г=1
встречается точно s раз. Поэтому α является (/с, г) -последовательно-
стью тогда и только тогда, когда А (а) есть Δ (к, г) -множество.
Отметим сходство определения Δ (/с, г) -множества с определением
разностного множества [3]. Легко понять, что разностное множество
с параметрами (и,/с, λ) является Δ (/с, λ)-множеством. Это позволяет
переносить известные результаты из теории разностных множеств на
(/с, г) -последовательности — обстоятельство, которому мы обязаны
почти всем, что в настоящее время известно о (к, г) -последовательно-
стях.
Если А — конечное множество чисел, то через 1(A) обозначим
разность между наибольшим и наименьшим элементами А. Через
Ь(к,г) обозначим наименьшее я, при котором существует Δ (/с, г) -мно-
жество А с 1(A)— п. Из сказанного выше ясно, что L(k,r) на единицу
меньше длины оптимальной (/с, г) -последовательности.
Пусть А= {аь ...,ак} является Δ (к, г) -множеством, причем аг<^·
при i</. Тогда среди разностей а\—ajy где i>j, каждое натуральное
число от 1 до 1(A) встречается не более чем г раз. Отсюда следует не-
равенство
к(к—1)
1(к,г)> \г
Более сильную нижнюю оценку можно получить способом, который
был применен для аналогичной задачи в [4]. Выберем какое-нибудь
натуральное число t> 1^/^/с—1, и рассмотрим величину
5= Σ *Σ (ai+j—di). (1)
t(2K—t—\)
Эта сумма состоит из N= - слагаемых, причем каждое
натуральное число входит в качестве слагаемого не более чем г раз.
Поэтому
14

-(«--НтМтИ·
С другой стороны, перегруппировкой слагаемых в (1), получаем
'-1 ν t(t+l) , ч
S= Σ (t—i) (ακ-~ai+l) = \ -(On—ai) —
— Σ (t—i)(aK—aK-i+ai+i—ai).
Отсюда и из (2), так как aK—ai-=l(A), следует
1 / 1Ч Г t(2K-t-l) 1\/Г t(2K-t-l) 1
+ 1)+-777ТТГ2 (t—i)(an—aK-i+ai+i—ai). (3)
/ 1(1+1) i=l
Так как ακ—ακ-1+α,·+1—fli>0, то из (3) следует
t(2K—t— Ι)2
/(Л)>
4г(/+1)
Полагая /=0(]//с), из последнего неравенства получаем следующую
оценку.
1 з/2
Теорема. L(K,r)> — (/с2—О (/с )).
Для получения численных результатов можно оценить величины
С1К—a^-i+ai+i—ai, например, используя тождество
г-1 г-1
aK—aK-i+ai+t—at= Σ (aK_j—aK_j_i)+ Σ (aw_,·—al+j).
j==0 j=0
Среди 2i слагаемых в правой части каждое натуральное число встре-
чается не более г раз, поэтому
ак—aK-i+ai+l—a^r ( 1+2Н Ь [t~j) +
+ Μ^Μ?]+')-(*-τ[τΜ£Μ·
Следовательно,
i(i,f)>_^((2K_i_,,_r[ii?iztlL])([ii-tlL] +
+o+i7^H>-im)(m+')<<-o.
2. Приступим к описанию алгоритма построения Δ (/с, г)-множеств.
Начав с какого-либо известного Δ (/с0, г) -множества с /со</с, будем при-
менять операцию расширения, увеличивая каждый раз мощность мно-
жества на единицу, пока не придем к Δ (к, г) -множеству с требуемым к.
Операция расширения состоит в следующем. Пусть Л = {at, ...,aK} явля-
ется Δ (/с, г) -множеством, причем ai<.aj при /</. Обозначим через
r(A,d) количество таких i, что ai+i—щ = а. Рассмотрим множество
Μ (А) таких чисел d, что d^.l(A) + l и r(A,d)<r. Выберем наимень-
ший элемент т множества Μ (А) и рассмотрим множества
АМ={аи ...,aif a,+ra, a,+i+ra,..., aK+m}, /=1,...,к.
Относительно каждого из Л<*> проверим, является ли оно Δ (к+1,г) -мно-
жеством. Если такое найдется, то оно является искомым результатом.
15

В противном случае выбираем в качестве т следующий по величине
элемент множества Μ (А) и повторяем описанную процедуру. Этот
процесс всегда заканчивается результативно, так как, очевидно,
/(Л) + 1е=ЛГ(Л) и {at,az,...9an,an+l(A) + l} является Δ(к+1,г)-множе-
ством.
Множество {1,2,...,г+1}, очевидно, является Δ (г+1, г)-множеством
при любом г. Отправляясь от него и применяя операцию расширения,
можно построить Δ (к, г) -множество с любым /с.
Рассмотрим пример. Пусть Л = {0, 1,4,6}. Нетрудно проверить, что
А является Δ (4, 1)-множеством. Множество Μ (А) состоит из таких чи-
сел d, что l<d<7 и г(Л,^)=0, т. е. d не должно быть равно ни одной
из разностей вида аН1—щ. В данном случае исключаются значения
1, 2, 3. Следовательно, Μ (А) = {4, 5, 6, 7}. Выбираем наименьший эле-
мент т=4 и образуем множества
Л(!)={0,4,5,8,10},
Л<2)={0, 1,5,8, 10},
Л(3)={0, 1,4,8, 10},
Л(4)={0, 1,4,6, 10}.
Ни одно из них не является Δ (5, 1)-множеством, поэтому выбираем
следующий по величине элемент т = 5. Образуем множества
Л(1)={0,5,6,9, 11},
Л<*)= {0,1,6,9,11},
Л<з>={0, 1,4,9,11},
Л(4)={0, 1,4,6, 11}
и убеждаем-ся, что А@) является Δ (5,1)-множеством.
Следует отметить эвристический характер этого алгоритма, он не
гарантирует получения оптимального решения, более того, мы не мо-
жем даже указать приемлемых оценок длины получаемых последова-
тельностей. Экспериментальные данные, однако, показывают, что во
многих случаях этот метод дает хорошие результаты при сравнительно
невысокой трудоемкости. В таблице приводятся Δ (к, г) -множества,
Таблица
г
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
к
8
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Δ (к, г) -множество
0, 1, 4, 9, 15, 22, 32, 34
0, 1, 3, 5, 6
0, 1, 3, 5, 8, 9
0, 1, 3, 7, 8, 11, 13
0, 1, 3, 7, 9, 14, 17, 18
0, 1,3, 7, 9, 14, 19, 22, 23
0, 1, 3, 7,9, 14, 19, 27, 30, 31
0, 1,3, 7, 9, 16, 21, 26, 34, 37, 38
0, 1, 3, 7, 9, 16, 26, 31, 36, 44, 47, 48
0, 1, 3, 7, 9, 16, 27, 37, 42, 47, 55, 58, 59
Цк, г)
32
6
9
13
17
22
28
35
42
50
16

Продолжение таблицы
г
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
к
14
15
16
17
18
19
20
21
22
7
8
1 9
10
1 и
12
13
14
15
16
3 j 17
3
3
3
3
3 |
3
3
3
18
19
20
21
22 |
23 1
24
25
3 1 26
1
Δ (к, г) -множество 1 Цк; г)
0, 1, 3, 7, 9, 16, 27, 41, 51, 56, 61, 69, 72, 73
0, 1, 3, 7, 9, 16, 28, 39, 53, 63, 68, 73, 81, 84, 85
0, 1,3, 7, 9, 16, 30, 42, 53, 67, 77, 82, 87, 95, 98, 99 1
0, 17, 18, 20, 24, 26, 33, 47, 59, 70, 84, 94, 99, 104, 112,
115, 116
0, 17, 18, 20, 24, 26, 33, 47, 59, 70, 84, 108, 118, 123, 128,
136, 139, 140
0, 17, 18, 20, 24, 26, 33, 47, 59, 70, 84, 106, 130, 140, 145,
150, 158, 161, 162
0, 17, 18, 20, 24, 26, 33, 47, 59, 70, 84, 106, 125, 149, 159,
164, 169, 177, 180, 181
0, 17, 18, 20, 24, 26, 33, 47, 59, 70, 84, 106, 125, 144, 168,
178, 183, 188, 196, 199, 200
0, 17, 18, 20, 24, 26, 33, 47, 59. 70, 84, 106, 135, 154, 173,
197, 207, 212, 217, 225, 228, 229
0, 1, 2, 4, 6,9, 10
0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 13
0, 1, 3, 5, 9, 10, 13, 15, 16
0, 1, 2, 6, И, 13, 15, 18, 21, 22
1 0, 1, 2, 6, 11, 13, 15, 18,21,24,25
0, 1, 2, 6, 11, 18, 20, 22, 25, 28, 31, 32
0, 1, 3, 8, 10, 16, 20, 24, 25, 31, 34, 36, 37
0, 1, 3, 8, 10, 16, 26, 30, 34, 35, 41, 44, 46, 47
0, 1, 3, 8, 10, 16, 26, 30, 34, 35, 45, 51, 54, 56, 57
0, 1, 3, 8, 10, 16, 23, 33, 37, 41, 42, 52, 58, 61, 63, 64
59
69
79
90
103
116
129
144
159
10
13
16
20
24
29
35
41
47
j 54
0, 1, 3, 8, 10, 16, 23, 34, 44, 48, 52, 53, 63, 69, 72, 74, 75 1 62
0, 1,3, 8, 10, 16, 23, 34, 44, 48, 52, 53, 63, 69, 80, 83, 85,
86
0, 1,3, 8, 10, 16, 23, 36, 47, 57, 61, 65, 66, 76, 82, 93, 96,
98, 99
0, 1, 2, 6, 17, 30, 43, 52, 57, 65, 73, 80, 89, 91, 101, 103,
! 106, 109, 112, 113
0, 1, 2, 6, 17, 30, 37, 50, 59, 64, 72, 80, 87, 96, 98, 108,
110, ИЗ, 116, 119, 120
0, 1, 2, 6, 17, 31, 44, 51, 64, 73, 78, 86, 94, 101, 110, 112, 1
122, 124, 127, 130, 133, 134 |
0, 1, 2, 6, 30, 41, 55, 68, 75, 88, 97, 102, ПО, 118, 125,1
134, 136, 146, 148, 151, 154, 157, 158 |
70
78
88
98
108
119
0, 18, 19, 21, 26, 28, 34, 41, 54, 66, 78, 90, 108, 119, 129,1 iqn
133, 137, 138, 148, 154, 165, 168, 170, 171 | i6V
18, 19, 21, 26, 28, 34, 41, 54, 68, 80, 92, 104, 122, 133,
143, 147, 151, 152, 162, 168, 179, 182, 184, 185
0, 18, 19, 21, 26, 28, 34, 41, 54, 78, 92, 104, 116, 128, 146,
157, 167, 171, 175, 176, 186, 192, 203, 206, 208, 209
142
155
2 Заказ 9256
17

Продолжение таблицы
г
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
к
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Δ (к, г)-множество
0, 1,2, 3, 5, 7, 8, 10 1
0, 1, 2, 4, 6, 7, 9, 12, 13
0, 1, 3, 5, 7, 8, 12, 13, 15, 16
0, 1, 6, 8, 10, 12, 13, 17, 18, 20, 21
0, 1, 6, 8, 10, 12, 17, 18, 22,23, 25, 26
0, 1, 6, 8, 10, 12, 17, 18, 23, 27, 28, 30, 31
0, 1,6, 8, 10, 12, 17, 23, 24, 29, 33, 34, 36, 37
0, 1,6, 8, 14, 16, 18, 23, 29, 30, 35, 39, 40, 42, 43
0, 1,6, 8, 14, 22, 24, 26, 31, 37, 38, 43, 47, 48, 50, 51
0, 1,6, 8, 14, 22, 24, 26, 35, 40, 46, 47, 52, 56, 57, 59, 60
0, 3, 4, 9, 11, 17, 25, 27, 29, 38, 43, 49, 50, 55, 59, 60, 62,
63
0, 3, 4, 9, 11, 17, 25, 27, 29, 38, 47, 52, 58, 59, 64, 68, 69,
71, 72
0, 3, 4, 9, 11, 19, 25, 33, 35, 37, 46, 55, 60, 66, 67, 72, 76,
77,79, 80
0, 3, 4, 9, 11, 19, 25, 33, 35, 37, 48, 57, 66, 71, 77, 78, 83,
87, 88, 90, 91
0, 3, 4, 9, 20, 22, 30, 36, 44, 46, 48, 59, 68, 77, 82, 88, 89,
94, 98, 99, 101, 102
0, 3, 4, 9, 20, 22, 30, 36, 44, 46, 48, 59, 68, 77, 91, 96, 102,
103, 108, 112, ИЗ, 115, 116
0, 3, 4, 9, 20, 22, 30, 44, 50, 58, 60, 62, 73, 82, 91, 105,
ПО, 116, 117, 122, 126, 127, 129, 130
0, 3, 4. 9, 20, 22, 30, 44, 50, 58, 60, 62, 73, 82, 91, 105,
ПО, 116, 117, 122, 126, 137, 138, 140, 141
0, 3, 4, 9, 20, 22, 30, 44, 50, 60, 62, 73, 82, 91, 108, 122,
127, 133, 134, 139, 143, 154, 155, 157, 158
0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 13, 14
0, 1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 13, 16, 17
0, 1, 2, 3, 7, 10, 12, 14, 15, 17, 20, 21
0, 1,2, 3, 7, 10, 12, 14, 17, 18, 20, 23, 24
0, 1, 2, 3, 7, 11, 14, 16, 18, 21, 22, 24, 27; 28
0, 1, 2, 3, 8, 12, 16, 19, 21, 23, 26, 27, 29, 32, 33
0, 1, 2, 3, 8, 13, 17, 21, 24, 26, 28, 31, 32, 34, 37, 38
0, 1, 2, 3, 8, 13, 17, 21, 24, 29, 31, 33, 36, 37, 39, 42, 43
0, 1, 2, 3, 8, 13, 17, 21, 24, 29, 31, 33, 38, 41, 42, 44, 47,
48
0, 1, 2, 3, 8, 14, 19, 23, 27, 30, 35, 37, 39, 44, 47, 48, 50,
53, 54
Цк, г)
10
13
16
19
23
27
32
37
42
48
54
60
67
75
82
91
99
108
118
14
16
19
23
26
30
35
39
44
49

Продолжение таблицы
г
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6 |
6
6
6 |
7
7 1
7
7
к
20
1 21
1 22
| 23
24
25
26
27
12
1 13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 1
1
26
27 1
13 1
14 1
15 1
16
Δ (к, г)-множество
1 0, 1, 2, 3, 8, 16, 22, 27, 31, 35, 38, 43, 45, 47, 52, 55, 56,
1 58, 61, 62
1 0, 1, 2, 3, 8, 16, 22, 27, 31, 35, 38, 43, 45, 47, 56, 61, 64,
1 65, 67, 70, 71
1 0, 1, 2, 3, 8, 15, 23, 29, 34, 38, 42, 45, 50, 52, 54, 63, 68,
| 71, 72, 74, 77, 78
1 0, 1, 2, 3, 8, 15, 23, 29, 34, 38, 42, 45, 50, 57, 59, 61, 70,
| 75, 78, 79, 81, 84, 85
1 0, 1, 2, 3, 8, 15, 23, 29, 34, 38, 42, 50, 57, 59, 61, 70, 75,
1 86, 89, 90, 92, 95, 96
1 0, 1, 2, 3, 8, 15, 23, 29, 42, 47, 51, 55, 58, 63, 70, 72, 74,
1 83, 88, 99, 102, 103, 105, 108, 109
0, 1,2, 3, 10, 15, 22, 30, 36, 49, 54, 58, 62, 65, 70, 77, 79,
81, 90, 95, 106, 109, ПО, 112, 115, 116
0, 1,2, 3, 10, 15, 22, 30, 36, 49, 62, 67, 71, 75, 78, 83, 90,
92, 94, 103, 108, 119, 122, 123, 125, 128, 129
0, 1, 2, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 17
! 0, 1, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 20
1 0, 1, 3, 5, 6, 9, 13, 14, 15, 17, 20, 21, 22, 24
0, 1, 3, 5, 6, 9 13, 14, 15, 19, 21, 24, 25, 26, 28
0, 1, 3, 5, 6, 9, 13, 14, 15, 19, 21, 24, 27, 28, 29, 31
0, 1, 3, 5, 6, 9, 13, 18, 19, 20, 24, 26, 29, 32, 33, 34, 36
0, 1, 3, 5, 6, 9, 13, 18, 19, 20, 25, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 41
0, 1, 3, 5, 10, 11, 14, 18, 23, 24, 25, 30, 34, 36, 39, 42, 43,
44, 46
0, 1, 3, 5, 10, 11, 14, 18, 24, 29, 30, 31, 36, 40, 42, 45, 48,
49, 50, 52
0, 1, 3, 5, 10, 11, 14, 18, 24, 29, 30, 31, 38, 43, 47, 49, 52,
55, 56, 57, 59
0, 1, 3, 5, 10, 11, 14, 18, 24, 29, 30, 31, 38, 44, 49, 53, 55,
58, 61, 62, 63, 65
0, 1,3, 5, 10, 18, 19, 22, 26, 32, 37, 38, 39, 46, 52, 57, 61,
63, 66, 69, 70, 71, 73
0, 1, 3, 5, 10, 18, 19, 22, 26, 32, 38, 43, 44, 45, 52, 58, 63,
67, 69, 72, 75, 76, 77, 79
0, 1,3, 5, 10, 18, 19, 22, 26, 32, 38, 43, 44, 45, 52, 58, 63,
67, 73, 75, 78, 81, 82, 83, 84
0, 1,3, 5, 10, 18, 19, 22, 25, 29, 38, 43, 44, 45, 52, 61, 67, 1
72, 76, 82, 84, 87, 90, 91, 92, 94 1
0, 1, 3, 12, 14, 19, 27, 28, 31, 35, 41, 47, 52, 53, 54, 61,1
70, 76, 81, 85, 91, 93, 96, 99, 100, 101, 103 )
0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 14, 15, 17, 18 1
\цк,г)
55
1 61
| 67
74
81
88
96
103
17
20
23
26
30
34
38
42
47
52
57
63
&8
74
81
87
18
0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 14, 15, 17, 20, 21 1 20
0, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 24, 25 1
0, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 14, 17, 20, 21, 22, 24, 27, 28 j
23
26

Продолжение таблицы
г
7
7
7
7
7
/с
17
18
19
20
21
Δ (к, г)-множество
0, 2, 3, 4, 9, 13, 14, 16; 18, 19, 22, 25, 26, 27, 29, 32, 33
0, 2, 3, 4, 9, 13, 14, 16, 18, 19, 22, 25, 29, 30, 31, 33, 36,
37
0, 2, 3, 4, 9, 13, 14, 16, 18, 19, 23, 26, 29, 33, 34, 35, 37,
40,41
0, 2, 3, 4, 10, 15, 19, 20, 22, 24, 25, 29, 32, 35, 39, 40, 41,
43, 46, 47
0, 2, 3, 4, 10, 16, 21, 25, 26, 28, 30, 31, 35, 38, 41, 45, 46,
47, 49, 52, 53
Цк, г)
30
33
1 37
41
45
22
23
24
0, 2, 3, 4, 10, 16, 21, 25, 26, 28, 30, 35, 36, 40, 43, 46, 50,
51,52,54,57, 58
0, 2, 3, 4, 10, 16,~21, 25, 26, 28, 30, 35, 36, 40, 43, 49, 52,"
53, 54, 56, 59, 60, 64
0, 2, 3, 4, 11, 17, 23, 28, 32, 33, 35, 37, 42, 43, 47, 50, 56,
59, 63, 64, 65, 67, 70, 71
25
0, 8, 10, 11, 12, 19, 25, 31, 36, 40, 41, 43, 45, 50, 51, 55,
58,64, 67, 71, 72, 73, 75, 78, 79
О, 8, 10, 11, 12, 19, 25, 31, 36, 40, 41, 43, 45, 53, 58, 59,
63, 66, 72, 75, 79, 80, 81, 83, 86, 87
26
27
О, 2, 10, 12, 13, 14, 21, 27, 33, 38, 42, 43, 45, 47, 55, 60,
61, 65, 68, 74, 77, 81, 82, 83, 85, 88,89
14
О, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18
15
О, 1,2, 4, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21
16
О, 1,2, 4, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 19, 20, 22, 23, 24
17
О, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 23, 25, 26, 27
18
О, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 17, 19, 20, 22, 25, 26, 27, 29, 30, 31
19
О,
1, 2, 4, 7, 11, 12, 15, 17, 21, 23, 24, 26, 29, 30, 31,
34, 35
33,
20
1, 2, 4, 7, 11, 12, 15, 17, 21, 23, 24, 26, 29, 30, 31, 34,
36, 37, 38
21
О, 1,2, 4, 7, И, 12, 15, 17, 21, 23, 24, 26, 30, 33, 34, 35,
38, 40, 41, 42
22
23
1, 2, 4, 7, 12, 16, 17, 20, 22, 26, 28, 29, 31, 35, 38,
40, 43, 45, 46, 47
39,
О, 1, 2, 4, 7, 12, 16, 17, 20, 25, 27, 31, 33, 34, 36, 40, 43,
44, 45, 48, 50, 51, 52 _______
8
8
8
8
9
9
9
9
24
25
26
27
16
17
18
19
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
1, 2, 4, 7, 12, 16, 17, 20, 26, 31, 33, 37, 39, 40, 42, 46,
49, 50, 51, 54, 56, 57, 58
1, 2, 4, 7, 12, 16, 17, 20, 26, 32, 37, 39, 43, 45, 46, 48,
52, 55, 56, 57, 60, 62, 63, 64
1, 2, 4, 7, 12, 15, 17, 20, 26, 32, 37, 39, 43, 45, 46, 48,
54, 58, 61, .62, 63,66, 68, 69, 70
1, 2, 4, 7, 12, 16, 17, 20, 27, 33, 39, 44, 46, 50, 52, 53,
55, 61, 65, 68, 69, 70, 73, 75, 76, 77
1, 3, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22
1, 3, 5, 6, 9, И, 12, 13, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25
1, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28
1, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 20, 23, 25, 26, 27, 29, 30,
31, 32
53
58
62
67
22
24
27
30

Продолжение таблицы
г
9
9
9
9
9
9
к
20
21
22
23
24
25
Δ(κ, г)-множество
0, 1, 5, 8, 10, 12, 13, 16, 18, 19, 20, 24, 27, 29, 30, 31, 33,
34, 35, 36
0, 1, 6, 10, 13, 15, 17, 18, 21, 23, 24, 25, 29, 32, 34, 35,
36, 38, 39, 40, 41
0, 1, 6, 10, 13, 18, 20, 22, 23, 26, 28, 29, 30, 34, 37, 39,
40, 41,43, 44, 45, 46
0, 1, 6, 10, 13, 18, 20, 22, 27, 28, 31, 33, 34, 35, 39, 42,
44, 45, 46, 48, 49, 50, 51
0, 1, 6, 10, 13, 18, 20, 22, 27, 28, 31, 33, 34, 35, 39, 42,
47, 49,50, 51, 53, 54, 55, 56
0, 1, 6, 10, 13, 18, 20, 22, 27, 28, 31, 33, 34, 35, 39, 42,
45, 50, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59 1
Цк.г)
33
37
40
44
48
52
часть из которых была найдена полным перебором, но большинство
построено с помощью описанного алгоритма на ЭЪЬ\. Множества с
г=1 неоднократно описаны в литературе, поэтому в таблице приводит-
ся только одно из них — с к ==8, так как оно имеет меньшее /, чем из-
вестные Δ (8, 1)-множества. В последней графе приведено значение
нижней границы для L(/c,г), полученное методом, который был описан
выше.
ЛИТЕРАТУРА
1. Свердлик М. Б. Оптимальные двоичные сигналы. М., Сов. радио, 1975.
2. Mandelbaum D. M. Some classes of multiple-burst error correcting codes
using threshold decoding. IEEE Trans. Inform. Theory, 18, N 2, 285 (1972).
3. Холл М. Комбинаторика. М., Мир, 1970.
4. Алексеев В. Ε. Новый метод построения самоортогональных корректирующих
кодов. «Изв. высш. учеб. зав. — Радиофизика», 13, № И, 1741 (1970).
Горьковский государственный университет
[12/ΧΙ 1977]
К ВОПРОСУ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
ДИАДИЧЕСКИХ ИГР
Η. Η. Воробьев
Как известно, описание множества всех ситуаций равновесия про-
извольной биматричной игры может быть произведено рациональным
путем, т. е. путем применения к элементам матриц выигрышей конеч-
ного числа арифметических действий [1, 2]. За пределами класса би-
матричных игр это свойство конечных бескоалиционных игр, вообще
говоря, утрачивается. Уже в статье Дж. Нэша [3] был приведен при-
мер игры трех лиц, для описания ситуаций равновесия которой прихо-
дилось вводить квадратичные иррациональности относительно значений
функций выигрыша, а автор [4] указал на диадические игры η лиц
(т. е. игры с двумя стратегиями у каждого из игроков), в которых
ситуации равновесия описываются иррациональностями степени п— 1.
Принципиальный результат в этом направлении был получен
В. С. Бубялисом [5], показавшим, что для любого полинома f степени
г с целыми коэффициентами существует бескоалиционная игра η лиц
с т+1-стратегией у каждого игрока, причем тп~^г и с целыми зна-
21

чениями функций выигрыша, для которой число α является выигрышем
игрока во вполне смешанной ситуации равновесия тогда и только
тогда, когда α есть вещественный корень полинома f.
Это утверждение оставляет, однако, открытым вопрос об иррацио-
нальности решений игр с т=\, т. е. для диадических игр. В данной
заметке приводится принципиальное решение этого вопроса.
Теорема. Пусть
/(/)=ir_aiir-l+...+ (_1)rflr
— полином произвольной степени г с рациональными коэффициентами,
все корни которого ai, ...,ar вещественны и лежат в интервале (0, 1).
Тогда существует диадическая игра 2г лиц Г с рациональными зна-
чениями функции выигрыша, в которой во всякой вполне смешанной
ситуации равновесия
первые компоненты ξΧ*,...,ξΓ* составляют некоторую перестановку кор-
ней ai, ...,ar полинома f, а остальные компоненты ξΓ+1, ...,ξ2* являются
произвольными заранее заданными рациональными числами из интер-
вала (0, 1).
Фактически нами будет построена игра, в которой значениями функ-
ций выигрыша (на ситуациях в чистых стратегиях) будут некоторые
натуральные числа, коэффициенты полинома f, а также те числа, кото-
рые мы выбрали в качестве значений £г+ь ..., !#?·.
Действительно, рассмотрим диадическую игру Г с множеством
игроков {1,..., 2г}, множеством {0,1} стратегий каждого из игроков, а
функции выигрыша в которой определяются следующими соотноше-
ниями:
тг , 1|Л, П, если игрок r+i выбирает стратегию 1
#<(*№) = i п ; 1)
г I0 в противном случае
Hi(x\\l)=lrlu где ^€=(0,1); (2)
г
Нг+г(х II 0) для каждого t=l,...,г равно числу сочетаний по i из
r+i игроков среди тех из числа 1,..., г, которые в ситуации
х выбирают свою стратегию 1 (3)
(так, например,
//г-И'Оь ·.·, 1/i, Ofc+i, ..., Or, Xr+U ·.., Xr+i-ly Or+г, Xr+i+U ···, %2r) = Cfc ,
каковы бы ни были обозначенные буквами х (с индексами) стратегии).
Hr+i(x[\ \)=аи где а{>0 (£= 1 г), (4)
есть абсолютная величина соответствующего коэффици-
ента полинома /.
Возьмем теперь некоторую ситуацию в смешанных стратегиях
*= (Еь ···, £г, £г+ь ...,£гг),
вычислим выигрыш каждого из игроков i=l,...,2г в соответствующих
ситуациях #»(Χ||0) и Я»(х||1) и выпишем применительно к рассматри-
г г
ваемой игре равенства вида
Η{(Χ\\0)=Η:(Χ\\\), (5)
г г
соблюдение которых является необходимым и достаточным условием
равновесности ситуации х во вполне смешанных стратегиях.
22:

Для i=l,...,г, ввиду (1), выигрыш #г(лгЦО) равен вероятности вы-
г
бора в ситуации х игроком r+i своей стратегии 1, т. е.
Нг(х\\0)=$г+{. (6)
г
Вместе с тем, переходя в (2) к смешанным стратегиям всех отличных
от i игроков, получаем
ξΗ{(Χ\\0)=ξτΧΙ. (7)
г
Равенства (6) и (7) позволяют записать (5) как
£r+i = gr+i для i=l,...,г. (8)
Возьмем теперь игрока с номером r+i и обратимся к формулиров-
ке (3). Игроки &1, ...,/?,·, составляющие произвольное фиксированное
сочетание из игроков 1,...,г по /, выбирают одновременно в условиях
ситуации х свои 1-стратегии с вероятностью ёл 4 ·*· ёлг · Значит это
произведение есть математическое ожидание «числа раз», с которым
игроки ki,...,ki выбирают вместе свои 1-стратегии. Математическое же
ожидание «числа раз», с которым первую стратегию выбирает какое-
либо сочетание по i из г игроков, есть поэтомуАсумма всех таких произ-
ведений. Иными словами,
Яг-к (* 110) =*(&,...,ξΛ), (9)
г+г
где Oi — основная симметрическая функция степени i от обозначенных
под ее знаком переменных.
Ясно также, что переход в (4) к смешанным стратегиям всех игро-
ков, отличных от г+*\ приводит к
Нг+{(х\\0)=сц. (10)
г-\-г
Равенства (9) и (10) дают (5) в виде
ai(|i,...,Sr)=«i Для /=1,...,г,
т. е. вероятности |i, ...,ξΓ составляют некоторую перестановку корней
полинома /. Вместе с (8) это показывает, что построенная игра Г явля-
ется искомой.
Подчеркнем в заключение, что множество вполне смешанных си-
туаций равновесия в игре Г является конечным, и потому каждая из
этих ситуаций является изолированной точкой в пространстве всех
ситуаций в смешанных стратегиях. Поэтому для ее описания нахожде-
ние корней полинома / оказывается неизбежным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воробьев Η. Η. Ситуации равновесия в биматричных играх. «Теория вероят-
ности и ее применение», 3, № 3, 21 (1958).
2. Воробьев Η. Н. Бескоалиционные игры. «Проблемы кибернетики», 32, 52
(1977).
3. Нэш Дж. Бескоалиционные игры. — В сб.: «Матрич. игры», М., Физматгиз,
1961, с. 205.
4. Воробьев Η. Η. Современное состояние теории игр. УМН, 25, № 2, 8Ι (1970).
5. Бубялис В. С. К вопросу структуры ситуаций равновесия в конечных бескоа-
лиционных играх. «Мат. методы в соц. науках», № 4, 37 (1974).
Институт социально-экономических проблем
АН СССР
[15/ΧΙ 1977]

ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЯХ
НЕКОТОРЫХ ДИСТРИБУТИВНЫХ РЕШЕТОК
С АДДИТИВНОЙ МЕРОЙ
/О. В. Глебский, Е. И. Гордон
1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Известно [1], что элементарная теория дистрибутивных решеток с
относительными дополнениями разрешима. В [2] установлена эффек-
тивная неотделимость множеств истинных и конечно-опровержимых
предложений элементарной теории булевых алгебр с вероятностной
мерой. Отсюда, разумеется, следует неразрешимость элементарной
теории дистрибутивных решеток с относительными дополнениями с
аддитивной мерой. В настоящей работе устанавливается разрешимость
некоторых классов таких решеток. Эти классы включают в себя многие
известные решетки, например решетку ограниченных измеримых под-
множеств Rn с мерой Лебега.
Рассматриваются элементарные теории некоторых классов двух
основных моделей вида
<Я, ^; /?+, +, ·, μ>, (1)
где <D, ^ >-дистрибутивная решетка; R — поле действительных чи-
сел; μ:Ζ)—+R — неотрицательная конечно-аддитивная мера на Д
/?+ — множество неотрицательных действительных чисел.
Пусть дана некоторая модель вида (1). Пусть 1(D) — идеал, содер-
жащий те и только те элементы, которые являются конечными объеди-
нениями атомов D. Определим классы /Со, Ки /Сг, Кз моделей (1). Все
решетки в моделях этих классов предполагаются дистрибутивными ре-
шетками с относительными дополнениями и с минимальным элементом
0D (считаем, что всегда 0D^I(D))y удовлетворяющими следующим
условиям:
V*еЯ+а ΛξΑ[μ(d)=f]; (2)
νΛ=/φ)[μ(£/)=0]. (3)
Различаются классы /Со—Кз Друг от друга условиями
Vd^D[d=sup{dle=I(D) |di^d)l; (4)
YdeD\I(D)Ytut2^RAti+t2=^(d)—^
—> Ζυ>42<Ξ·0\Ι(0)[αΙ№2=Οο&αΙ[}α2=α&μ(α1)=^&μ(α2)'= t2]];
(5)
yd€=D\ /(/))[μ((/)>04ν/1|<2>0[/1+/2=μ(^
—► grfi, d2[di[]d2= 0D & d{[}d2=d& μ(dv) =U& μ(α2) =t2]]; (6)
1(D) = {0D). (7)
Условие (4) выполняется только в классах /Со и /G и означает, что
решетки в моделях этих классов атомны. Классы До и /G отличаются
тем, что в моделях /Со выполнено условие (5), а в моделях /G — усло-
вие (6). Отсюда следует, в частности, что классы /Со и /G не пересека-
ются, так как условие (5) влечет существование элементов меры О,
не принадлежащих 1(D), а условие (6) влечет отсутствие таких эле-
ментов.
В классах К2 и Кз выполнено условие (7), которое означает, что ре-
шетки в моделях этих классов безатомны. При этом отличаются К2 и
Кз опять тем, что в К2 выполнено условие (5), которое в данном случае
24

влечет наличие ненулевых элементов меры ноль, а в Кз — условие
(6), которое влечет отсутствие таких элементов.
Теорема 1. Элементарная теория класса K%—Th(K%) (i=0,1,2, 3)
полна и разрешима.
В качестве примеров моделей класса /Со можно указать решетку
ограниченных множеств из класса F0{]G^ решетку ограниченных боре-
левских и решетку ограниченных измеримых подмножеств Rn с мерой
Лебега. Таким образом, все эти модели оказываются, что вполне есте-
ственно, элементарно эквивалентными.
В качестве примера модели, принадлежащей Ки возьмем модель
θο=<Ζ)ο, <Ξ, R+y +, ·, μ>,
где Do есть семействе таких ограниченных подмножеств R, каждое из
которых представимо в виде конечного объединения открытых интерва-
лов и отдельных точек, μ — мера Лебега.
Примерами моделей из классов Кг и Кг служат фактор-решетки
решеток класса Ко по идеалу 1(D) и по идеалу элементов меры О
соответственно.
Результаты о разрешимости, сформулированные в теореме 1, без
труда переносятся на булевы алгебры с вероятностной мерой. Рассмат-
риваются модели вида
<β, ^; [0,1], +, ·, μ>,
где <β, ^> — булева алгебра, μ: В—^[0, 1] — вероятностная мера
на 5, 1(B) — идеал, определяемый аналогично 1(D). Классы Ко', Ki,
Кг, Кг определяются аналогично классам /Со, Ки Кч, Кг с помощью
условий (2) — (7) с заменой в них /?+ на [0, 1]. Имеет место
Теорема Г.
Элементарная теория классов /С/, т. е. Th(Ki) (t = 0, 1,2, 3) полна
и разрешима.
Замечание. Булевые алгебры из классов Ко и /G' есть беско-
нечные атомные булевы алгебры, тогда легко видеть, что все они име-
ю-1 одинаковую характеристику из работы [1] и, следовательно, элемен-
тарно эквивалентны. То же самое относится и к классам Кг и Кг,
булевы алгебры которых безатомны.
Из результатов работы [2] следует неразрешимость элементарной
теории конечных булевых алгебр с вероятностной мерой. Однако если
предположить, что мера удовлетворяет следующему условию:
Y&i, b2^B(bu Ьг— атомы В—^μ(&0 = μ(&2)), (8)
соответствующему классической схеме определения вероятностей, то
этот факт не сохраняется.
Теорема 2. Элементарная теория класса /С4 моделей вида
<В, ^; Λ+> +, μ>, (9)
где <S, ^> — конечная булева алгебра, μ: В—>[0У 1] — вероятно-
стная мера на β, удовлетворяющих (8), разрешима.
Все предыдущие утверждения относятся к дистрибутивным решет-
кам с относительными дополнениями. Последнее условие существенно
уже потому, что элементарная теория дистрибутивных решеток без
этого условия неразрешима [3]. В [4] установлена разрешимость
элементарных теорий решеток открытых, замкнутых, Fa и об подмно-
жеств R. Однако расширение теорий этих и даже более простых ре-
шеток посредством добавления меры приводит уже к неразрешимым
теориям. Рассмотрим модель
Bi=<Dus\ R+, +, μ>,
25

где Di — семейство таких подмножеств R, каждое из которых есть
конечное объединение замкнутых интервалов и отдельных точек, μ —
мера Лебега.
Теорема 3. Элементарная теория 77i(0i) неразрешима.
Интересно сопоставить модели Θ0 и 0ь Очевидно, D0^Diy θ0 и θ4
есть дистрибутивные решетки подмножеств R с мерой Лебега, удовлет-
воряющие условиям (2) — (4), (6). Элементарные теории решеток
<£>о, ^>, <Du ^> разрешимы. Элементарные теории двухосновных
моделей <Z)0^; #, ^,^> и <Z)i^;/?+, ^,е>, где ^ рассматри-
вается на /?, а ^ — на RXDf (t = 0,1), также разрешимы. Это легко
доказать на основании результатов работы [4], в которой доказана раз-
решимость элементарной теории модели <D2, ^; R, ^, ^>, где D2—
семейство Fa подмножеств R. Легко видеть, что предикаты d^Di (i=
= 0, 1) являются формульными б этой теории. Можно показать также
неразрешимость теорий моделей <D0y ^; /?, ^, +> ^> и <#i, ^; #,
^, +, е> (см. [5]). Таким образом, видим, что многие элементарные
теории, связанные с решетками <D0, ^> и <£>i, ^>,разрешимы или
неразрешимы одновременно. Однако ΓΛ(θο) разрешима, a Th (Si) не-
разрешима. Заметим также, что умножение в сигнатуре θο отсутствует.
Сложение можно было бы также не включать в сигнатуры во и 6i, так
как предикат ti-\-t2 = t3 формульный в этих теориях:
ti+t2=t3 *—> 3 ^1 ^2 d3 (di[\d2= 0D & di\jd2=d3 & μ (di) =
= ^&μ(α2)=^&μ(α3)=13).
Пусть D3 — семейство ограниченных Ge, Z)4 — открытых, D5 — замк-
нутых подмножеств R.
Теорема 4. Элементарные теории Tk(Si) где
вг-=<£>г, £=; /?, +, μ> (i=4, 5)
неразрешимы.
Теорема 4 является следствием теоремы 3. Вопрос о разрешимости
Th(Q2) и 77?(θ3) остается открытым.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Пусть L{ — множество формул сигнатуры ai=<^; +, ·, μ>:
с переменными двух сортов (di,..., dn,... — переменные из D; tu...,tn—
переменные из R) и элементарными формулами rf,^dj, ti-\-tj=tKt
ti.tj = tK, μ(α{) = ^1 причем кванторы допускаются по переменным обо-
их сортов. Тогда Th(Ki) (элементарная теория Кг) есть множество
предложений Ц, истинных во всех моделях класса Кг (/=0,1,2,3).
Прежде всего, сведем вопрос о разрешимости Th(Ki) к вопросу о
разрешимости элементарной теории некоторого класса Кг одноосновных
моделей. Каждой модели вида (1) М^Кг поставим в соответствие мо-
дель
<D, ^, £, П> = Ж, (9а)
где E(dud2) ·<—► μ(^) ==μ(^2); Tl(du d2, d3) +—> μ(^) ·μ№) =μ(αη.
Совокупность всех моделей Μ вида (9а), соответствующих моделям
Afe/G, образует класс К{. Будем обозначать L2 множество всех формул
в сигнатуре о2=< ^, £, П>. Легко видеть, что предикаты Я и Π
формульны относительно сигнатуры аь
Лемма 1. По любой формуле F(du...ydm, tu ..·, tK)^Li (m^O, к^О)
можно построить формулу Ф(^ь ...,dm, dt',...,dK')^L2 такую, что для
любой модели М^Кг и соответствующей ей модели MeeRi (i=0, 1,2,3)
имеет место следующее условие:
29

= T/—^Ai|= F(bU...,bm, Т1,...,Т«)=7(?|=Ф(&1,...,&т, &i', ...,&*').
Доказательство. Построим формулы, удовлетворяющие ус-
ловиям леммы для элементарных формул Li. Тогда для произвольной
формулы Li доказательство легко получается индукцией по числу
логических связок и кванторов в F, причем при рассмотрении формулы
З^/7 используется условие (2). Достаточно рассмотреть, очевидно,
формулы μ(β?)=/, ti-J-t2=t3i t\-t2—U, которым сопоставим формулы
E(d,d')\ di/f]d2/=0D&E(di/(]d2\d3)) fl(di',d2'9 d3') соответственно. Так
как мера μ конечно-аддитивна, то легко видеть, что условие (10) для
этих формул выполнено.
Следствие. Разрешимость Th(Ri) влечет разрешимость Th(Ki).
В самом деле, из условия (10) и условия (2) следует, что формула
F выполнима на некоторой модели М^Кг тогда и только тогда, когда
соответствующая ей формула Φ выполнима на некоторой модели
mtezRi (/=0,1,2,3).
Перейдем к доказательству разрешимости Th(Ko). Введем в рас-
смотрение алгебры
Ν±=<Ναο; +, Р>,
7V2=</?+; +, ·>,
где Л^оо—{0,1,2, ...}υ{θ}, а + есть обычное сложение на М»\ {θ},
удовлетворяющее условию γ λ;(λ;+Θ = Θ), р(х)<—>х=в.
Лемма 2. Th(N\) и Th(N2) разрешимы. Доказательство разрешимо-
сти Th(N\) получается незначительной модификацией алгоритма эли-
минации кванторов для арифметики Пресбургера, описанного, напри-
мер, в [6]. Разрешимость Th(N2) доказана Тарским [7].
Введем некоторые обозначения и определения. Пусть
_ _* = <*1,...,*п>еЛС, y = <yu...,yn>^R+.
Пару <х,у> будем называть согласованной, если Χ{ΦΘ—и/г=0
(f=l,...,/2). Множество всех согласованных пар из ЛС Х#+ будем
обозначать Ωη. ^
Зафиксируем произвольную модель M^R0. Пусть6=<&ь ..., Ьп>^
е/)я, а=<аь...,ап>е{0, 1}П. Положим [&,а]=&4 * [)b22 П—П*"п ,
где bi = \ (Π)
-*-►-*■ ->
Заметим, что vfteDn[ft, 0] =0D, где 0=<0, 0,..., 0>, поэтому в
-► ->
дальнейших рассмотрениях всегда будем предполагать а^О. Пусть
b<=D. Положим 1(b) =п9 если b содержит в точности η атомов (/г^О)
и 1(b) =θ, если число атомов в b бесконечно.
Пусть a=<ai,.... a„>e{0,1}П, положим
Х„ (a) =ai 2п^+а.2 2п~*-\ \-ап.
Когда α принимает все значения, кроме 0, %„(а) принимает все значе-
ния из множества {1,2 2П~ 1}. Определим функции |»: D»—>n£~1 и
2П-1
ηη: £>"-—>/?+ , положив
ln(b)=x = <Xi х >; ηη {b) =y = <«/,,..., у >, (12)
2-1 - - д-1
где xXn(a)=|([6,a])> Λη(α)=μ([&,α]) для любого ае{0, 1}» \ {0}.
27

Таким образом, вектор |п(&) определяет число атомов в каждой
конституенте (11), а цп(Ь) — меру каждой конституенты (11). Из
условия (3) следует, что yb<=Dn пара <|П(Ь), Цп(Ь)> согласованна,
т. е. <ξπ(*5,ηη(Γ)>€ΞΩ ^ Положим Ξ(&) = <ξη(&),ηη(&)> Для
любого b^Dn. 2n -*
Лемма 3. Для любой пары <*,z/>eQ найдется такое fceZK
что Ξ(6) = <£,Ζ/>.
Доказательство. Пусть <^,^>εΩ и Xr{ =r{ для
i=l,..., s, а все остальные компоненты'.τ равны Θ, тогда уК{=0
(i=l,..., s). Выберем 6i,..., δ eZ) так, что 6i\/6j=0D при i=j£/,
μ(δ>) =i/i, причем если \фк\ (i=l,...,s), то δ* является объединением
бесконечного множества атомов, а если при некотором te{l,...,s}
j=.Ki, то 6j является объединением в точности г\ атомов. В силу того,
что в /Со выполнены условия (2), (4), (5), это всегда можно сделать.
Пусть μ™^{0,1}η — множество тех и только тех наборов а, у которых
m-я компонента равна единице. Тогда γ т^п положим
Ьт= V δΧη(α)·
-* т -> -*
Легко проверить, что если 6=<6Ь..., &п>, то [&,a]=fixn(o), откуда
немедленно следует утверждение леммы.
Пусть F(du ...,dn)^L<i\ 5(F) обозначим множество {<6i, ...,6n>
Л? |= F(bu..., 6п)}. Аналогично, если Ф(гь ...,г«), Ψ(^,...,*Χ) — фор-
мулы сигнатур σ2= < + >£*> и аз=<+, ·> соответственно, то
S(0) = {<*t,...,*K>eA£ |JVi|= <D(jci jcK)}t
S(W) = {<yu...,yK>e=RZ \Nt\= Ψ(*/!,...,У*)}.
Лемма 4. По любой формуле F(d\, .>.,dn)^L2 можно построить та-
кое число & и такое семейство из k пар формул
{«W (zb...,z ), ψ; (tu...j )>|ф; <=
2-1 2П-1
<Ξ£σ2>Ψ.Ρ <=La3 1=1,...,*},
что для любой модели М^Кц имеют место следующие соотношения:
S(S(F)) = ( U 5(Ф> )Χ5(ψ; ШО2""1, (13)
8-48(S(F)))=S(F). (14)
Доказательство леммы будем проводить индукцией по числу логи-
ческих связок и кванторов в формуле F.
1. Рассмотрим элементарные формулы L2.
э) F(dud2)<—ydi^d2. Здесь &=1; в качестве Of возьмем формулу
22=0, в качестве Ψ^ — любую тождественно-истинную формулу
L<y3 трех переменных. Пусть <bub2><=D2 таковы, что &i^&2, тогда
bin((bi\}b2)-b2)=0D9 т. е. ξ(&±П((&1U&2) —&2)) = 0, т. е. Ξ (<&ь &2>)е
^(5(ΦΓ)Χ5(Ψ^))ηΩθ. Пусть, наоборот, <*, ^>€Ξ(5(Φ^)Χ(ψΡ))ΠΩ3,
тогда по лемме 3 найдутся такие bub2^Dy что Ξ(<&1, &2>) = <£, г/>,
а так как £e=S^F), то х2 = 0, т. е. &1П((&1U&2) —62=00, т. е. Ь^Ь2[
что и доказывает соотношения (13), (14),
2S

б) F(dud2)*—>E{dud2). Здесь fe=l, в качестве Φ*· берем произ-
вольную тождественно-истинную формулу L0l трех переменных, в ка-
честве Ψρ· формулу ti=t2. Проверка соотношений (13), (14) проводит-
ся аналогично а).
в) F(du d2l d3)*—^n(di,d2, ds). Снова fe=l; в качестве Φ*· опять
берем произвольную тождественно-истинную формулу семи переменных,
в качестве Ψρ· формулу
(*4+М-*в+*т) (M-M-ie+fr) = (U+U+h+t·,).
Для доказательства соотношений (13) и (14) заметим, что если
Ь=<ЬиЬ2уЬз>> то уУз (ос) определяет меру конституенты [Ь,а]. Рас-
смотрим, например, bi. Имеем
61=[ft,<l,0,0>]U[fe,<l,0, 1>]иГь,<1,1,0>]иГб,<1,1,1>],
причем элементы, стоящие справа, попарно не пересекаются. Следова-
тельно,
Дальнейшая проверка проводится аналогично а).
2. Пусть для формулы F построено семейство пар формул
{<Фг, 4*£_>|£=1,...,к:}, удовлетворяющее (13), (14). Рассмотрим
формулу \F. Ограничимся для наглядности случаем fe = 2. Общий
случай рассматривается аналогично.
Имеем, в силу (14), b<=S(F) <—>S(6)e=8(S(F)). Очевидно,
b^S( \F)<—^b^SiF), тогда по предыдущему соотношению
beSnF)^>sr&)eQ2n-1-E(S(F)) =
„η
= Ω2 "4П(5(Ф^ )'XS(Wf )[}S(02f )XS(Wf )) =
= [(S(~\<i>i )ns( \ФР2))хя/~'изг\Фр )xsc]4rF )u
USHOf )Χ5(—ψ| )\}ν£~1 X(S(—Ψ^ )nS(—4U ШПО1"-1.
Теперь видно, что в качестве семейства пар для формулы | F мож-
но взять следующее семейство: {<"""] Φ*1* & |ф£ "» h=U>;
<~Ф| ;~Ψρ >; <~\\Фе ;~Ψ| >; <Zi=z2;
ηψΛηψ/>}.
3. Пусть для формулы F(diyd2, ...,dn>dn+i) требуемое семейство пар
формул {<ФА Ψρ1 > |t=4, ...,/с} уже построено. Рассмотрим формулу
H^rj+i F (du d2j..., rfn, dn+\).
Введем следующие обозначения. Если b^Dn+1, то n(b)^Dn есть
проекция b на первые η компонент. Если осе{1,0}п, то αδ есть вектор,
первые η компонент которого совпадают с а, а последняя есть
9U+l i 9П+1 i 9П А 0П 4
6(6=0,1). Пусть x'eeNZ ~l , y'e=R+ _1, xe^N 2 _1, y<=Rl ~* . Поло-
жим
x==n(xf) <—>· Xi = x'2i+x'2i+i,
y = Af) +-+yi=j'2i+y'2i+u _ (15)
<x> y> — n(x', у') ч—>x = n(x')&y — n(y').
Имеем [π(6),α]==[6,α0]υ[&,α 1], тогда очевидно μ([π(6),α]) =
29

= μ([&,Ιθ])+μ([&,α1]); Ε([π(&),α])=|([6,α0])+ξ([6,α 1]). Та-
ким образом, если E(b)=l<x',y'>, то Ξ(π(6))=π(*', у')·
-*· -*·
Обратно, пусть теперь c&Dn, Ξ(ε) = <я, z/>, <я,i/>=jt(£',ψ)
2П+1~1
и <#',!/';> ^Ω . Тогда, в силу того, что в нашей модели Μ вы-
полнены условия (2) — (5), для любого ае{0, 1}П можно найти такие
с0(a), c'(a)eZ), а также такое c0^Dy что
c°(a)Uc'(a) = i,^]; с^ (α) Псх (a) =c° (a) ^0=^(^)^0=0^
1(с*(а)) = х'х η+1(αβ); μ(^{α)) =y'*n+i до 6= (0, 1),
1(со)=х'и μ(ε0)=^1.
Пусть с=<си ...,сп>. Возьмем cn+i = CoU( U с'(°0) и рас-
осе {0,1}п -{0}
смотрим вектор & = <ci, ...,сп, сп-и). Тогда легко видеть, что п(Ь)=с и
Ξ (&) = <*,*/>.
Итак,
νΓ^Ι)^1Ξ(π(&))=π(Ξ(&)), (16)
п+1
YceDn&v<i,.»/>^Q2"T4 * (π(*',Γ)=Ξ(<;)—►
—> —*· -"*■ "■"*■
—*а&еЯв+1(2(&) = <*',у'>&я(&)=с). (17)
Пусть Φ(Ζ1,...,Ζ п+1 ) — формула сигнатуры σ2> Ле{1,...,2"+1—1}.
Через ФА обозначим формулу
Ф&( & Zi=Q)&( & г}ФЬ).
Если Ψ(^1,...,/ Х1 )е10„. то через ΨΑ обозначим формулу
2* -1
ψ&( & у; = 0).
Имеем j^a
0п-и
<x,y>6=(S(<D)XS^))flQ ~!«—►<*, ρ>«=υ5(ΦΑ)Χ5(ΨΑ).
(18)
Пусть c^Dn, E(c) = <x,y>. Используя (16) —(18), легко получить,
что
^e=S ( gd„+1 F) «—* £=S (F) (Γ=π (b)) «
-e-^*/,y'(<*,y>=«(*/-,y')*<*,.ir/>saj(S(F))-H-^
г=1
Χ5(ψ; ))ΠΩ2η+1_1) ^-><г,у>еКи ([]S(3z'(z=n(z')&
&ΦρΑ(^)))Χ5(3Γ(?=π(Γ)&Ψ^Α(η))).
Легко видеть, что любая пара из множества, стоящего справа в пос-
ледней эквивалентности, согласована, так как из (15) непосредственно
о7^1-! _ 2П 1
видно, что <а;,^>бЙ —>n(x,y)^Q . Кроме того, из (14)
видно, что предикаты х = тс(х') и *7=π(#') формульны в сигнатурах
аг и σ3 соответственно.
30

Используя лемму 3 и последнюю эквивалентность, немедленно полу-
чаем, что если формуле gdn+i/7 сопоставить семейство пар
{<az'[z = n(z')&<t>SA(z)y9
^Γ[1 = η(Ι/)&Ψ1ΕΑ (t)]\i=T^; Ae{1 2Л-и-1}},
то соотношения (13) и (14) будут выполнены.
4. Пусть формуле F(dud2y ...,rfn) уже сопоставлено семейство пар
{<Ф^, ψρ? >|i=l,/c}, удовлетворяющее условиям леммы, и пусть
G (du d2i..., dn, dn+i) = F [du ..., dtX),
гогда рассуждениями, сходными с теми, которые были использованы
в пункте 3, можно показать, что если формуле G сопоставить семейство
{<Ф;А(г2+г3)...)г2П+1_2+г2П+1_1),
*"(*.+ <. i2n+1_2+^n+1_1)>l^l-K})
то соотношения (13) и (14) будут выполнены.
5. Пусть для формул F и G уже построены семейства {<C<Df<
Ψ^ >} и {<<Dg, Ψα >}, удовлетворяющие условиям леммы. В силу
пункта 4, можно считать, что F и G имеют одинаковый список свобод-
ных переменных. Тогда если формуле F\/G сопоставить семейство
{<Qf, Ψρ >}1){<Фс1 Ψ о* >}, то условия леммы будут очевидным
образом выполнены. Лемма полностью доказана.
Из леммы 4 легко следует полнота и разрешимость Th(Ko).J& самом
деле, если F(d\, ...,dn) выполнима на какой-нибудь модели М^Ко> то
по лемме 4 она выполнима и на любой другой модели из /Со, так как
построенная последовательность формул {<Ф^, Ψ^ >} не зависит от
выбора модели М^Ко, т. е. все эти модели оказываются элементарно
эквивалентными.
Для установления этой выполнимости надо проверить, выполнимы
ли одновременно какие-нибудь две формулы, образующие пару семей-
ства
{<Ф;? ψ;Α > |Лс= {1, 2,..., 2*+i—l}i= 1,..., к}.
Это мы всегда можем сделать на основании леммы 2. Разрешимость
Т1г (Ко) следует из леммы 1.
Доказательство разрешимости Th(Ki) совершенно аналогично, толь-
ко в качестве множества согласованных пар надо взять множество
Ω12""1 = {<*, у> \Хг = в = УгфО} .
Это следует из того, что в моделях К\ выполнено условие (6).
Поясним идею доказательства разрешимости Th(/C2)· Все модели в
Th(K2) безатомны (условие (7)), тогда каждому набору Ь =
= <.bu...Jbnl'>^Dn можно сопоставить пару <ξ'(&), η'(6)>, гДе
ГЙе{0,1}2П-\ л'Йе/?/1-1 и
Vae{0, 1}- Г(*)хя(а)=
О [b,a]=0D,
{ 1 \рЛ\фОт
η,(&)Χη^=μ([£α]).
Тогда ν<<2η—1, I'(b)i = О—мг]'(Ь) ,. = (). Дальнейшее доказательство
31

проходит совершенно аналогично доказательству разрешимости Th(Ko),
только вместо алгебры Nt нужно взять совсем простую алгебру:
JV3=<{0, 1}; V > (дизъюнкция).
Замечание. В лемме 4 попутно, как легко видеть, устанавлива-
«■*· -*-
ется, что любые два набора bi^Dn и Ь2^£>п в модели ΜεΚο такие, что
-> -*·
3(&1)=Ξ(&2) элементарно эквивалентны. То же самое имеет место
в случае модели Ai<=/C2 Для Z'(bi) и Е'(Ь2) (Ξ'(6) = <£'(&), η'(6)>)·
Доказательство разрешимости ТН(Кз) несколько проще предыдущих.
Дело в том, что из условий (6) и (7) непосредственно видно, что если
модель вида (1) М^Кз, то
ν&€=β[μ(6)=0=6 = θΖ>].
Лемма 5. По любой формуле F(di,d2, ...,dn)eL2 может быть по-
строена формула Ф*(*ь..., f )^La. такая, что для любой модели
2П
М^Кз имеет место
nn(S(F))=S((DF),
ηn1(5(ΦF))=S(F).
Здесь г\п(Ь) определяется формулами (12). Для пояснения леммы 5
заметим, что в случае класса Кз а^а2*—^ μ(difl((diU^) — ^2))—0.
Таким образом, каждой элементарной формуле L2 сопоставлена форму-
ла L<j3» удовлетворяющая условиям леммы (см. пп. 16, 1в в доказа-
тельстве леммы 4). Дальнейшее доказательство легко получается
индукцией по числу логических связок и кванторов в F с использовани-
ем условий (2), (6). Из леммы 5 непосредственно следует разрешимость
Th(Ks).
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
Обозначим L3 множество всех формул сигнатуры <^; +; μ>.
Пусть дана модель вида (9) Afe/C4. Так как μ — вероятностная мера
на В, то μ — аддитивная мера такая, что μ(1 в) = 1. Рассмотрим мо-
дель М=<В\ ^; R+y -}-> μ>> гДе μ — такая мера на β, что для лю-
бого атома Ь^В ц(6) = 1.
Кь={М\М<=Кь}.
Лемма 6. чМе=Кь[Тк(М) = Тк(М)] и, следовательно, 77г(/С4) =
= Th(R<).
Доказательство. Пусть дана модель вида (9) М^Ки и η —
число атомов в В. Тогда если Ь^В есть атом, то μ(6) = 1/Λ. Пусть
F(di, d2, ...,dr, ii,...,<«) eL3 (здесь, как и раньше, d\ — переменные, при-
нимающие значения из В, U — переменные, принимающие значения из
/?+)· Тогда легко показать индукцией по числу логических связок и
кванторов в формуле F, что
VЬи ..., ЬгЕЕВут;и ...yTK(=R+[M\= F(bu ..., 6r,ti, ...,τκ) ==
=Ж |=F(6i,..., 6r, nti,..., ητη)].
Рассмотрим для примера элементарную формулу μ(^)=/, тогда оче-
видно, что если μ(&)=τ, то μ(6)=ητ, и обратно. Из соотношения (19)
немедленно вытекает утверждение леммы.
Перейдем теперь к доказательству разрешимости 77г(^4). Введем
в рассмотрение систему
Ν4=</?+, +,ω>,
где уте/?+со(т)«—>%— целое число. Разрешимость 77i(iV4) установ-
лена в [8].
32

Обозначим ω«(0 формулу сигнатуры σ4=<+,ω>
ω(/)**<*. (20)
Через Nt обозначим систему </?+,+,ω«> (лс=0,1,2...). Дальней-
шее доказательство сходно с доказательством теоремы 1. Пусть Ь^Впу
ае{0,1}п. Тогда [ft, а] определяется соотношением (11). Определим
2П 1 "* _
аналогично (12) отображение £П:5П—*R+ > положив ξ„(6)=Χ =
= <хи...,хп>, где Α:Χ|!(Ξ)=μ([&,α]).
Отметим, что в данном случае у Ь^В μ (ft) есть просто число
атомов 6, т. е. имеет место ω«(μ(6)), где /с— число атомов в S. Тогда
легко видеть, что для любых ti,..., тг^/?+, удовлетворяющих условию
г г
( & СОк(Тг)) &С0к( Σ Ti),
г=1 г=1
найдутся такие Ьи ..., ЬГ^В> что имеет место
( & ^(ft.)=T.&(fti = 0=Ti = 0)&( & 6<П^=Ов)).
г-=1 ?=?*=j
Аналогично лемме 4 может быть доказана
Лемма 7. По любой формуле F(du ..., dn, th ...,tr)^L3 (я^О, r^O)
может быть построена формула сигнатуры σ4κ = <+,ωκ> Ф*(гь...,
22n-i >tb—>tr)> вид которой не зависит от конкретного значения /с, и
такая, что для любой модели М^К± выполнены следующие условия:
1) Q)F(Zi,..„z п ti,...,tr)—* & ωκ(2θ;
3) VfTeE Rf~\i*= #/ V 6 €= B"[£w(&) =θ"—^ iff |=^(ЬлТв
—]νΓ1==Φ^(θ,τ)].
(Здесь /с— число.атомов В).
Из леммы 7 легко следует разрешимость Th(Rt). В самом деле
пусть F— предложение L3, построим по нему предложение Of сигна-
туры σ4κ, удовлетворяющее условиям леммы. Заменив в Фщ предикат-
ный символ ωκ формулой (20), получим формулу Ф^ (к) сигнатуры σ4
с одной свободной переменной к. Теперь очевидно
FeTh(Rk) +—>у>с(со(/с)—^ф; (K))e=Th(Ni)9
что и доказывает теорему 2.
Замечание. Все предыдущие рассуждения без труда переносятся
на случай, когда μ— любая аддитивная, а не обязательно вероятност-
ная мера, т. е. на случай, когда μ(1β)¥=1.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 3, 4
В основе доказательства теоремы 3 лежит следующий результат
И. А. Лаврова [9]: множества истинных и конечно-опровержимых
предложений элементарной теории двух линейных порядков эффектив-
но неотделимы (на возможность использования здесь этого результата
указал авторам Э. С. Васильев). Таким образом, элементарная теория
класса конечных множеств с двумя линейными порядками неразрещи-
3 Заказ 9256 33

ма. Покажем, что эта теория рекурсивно сводима к Th(Oi). Введем
некоторые предикаты на т}ь формульные относительно сигнатуры
σ5=<^, +,μ>.
1) T(d) +-*d— точка,
T(rf) «_► di(di^da—\di=0Dl—>di=d).
2) Int(rf)^—>d— замкнутый интервал:
lnt(d)*^\zdid2[di^ODl&d2¥=0D.&dl()d2=Oul&dl()d2=d]&—\T(d).
Последняя эквивалентность следует из того, что все элементы Di есть
замкнутые подмножества R и того, что замкнутое множество d— замк-
нутый интервал.
3) M(d\,d2) *—*di есть максимальный интервал в d2
Af (rflf d2) ^—^ Int (di) &di<=d2&v d(lnt(d) &di<=d = d2—>di=d).
4) P(d) <—► d не содержит изолированных точек
P(d)+-+4di{T(d) &dieEd—+'ad2(lnt(d2) & ^ <= d2 <= d).
5) Yl{di,d2)<—>dud2 не содержат изолированных точек, и dx поин-
тервально включено в d2.
n(dud2)<-»P(di) &P(d2) &γ d3\(M(d3, di)—^d,(M(dbd2)
&d3^di))&(M(d3id2)—^^\d,(M(diydl) &dkc=d3))].
6) L(d) — максимальные интервалы d линейно упорядочены по
мере
L(d)<—+vdhd2(M(di,d) &M(d2,d) Μ^^μ^^μ^)).
7) Si(du d2,dbdb)*—+n(ds, dk) &M{dh d4) &
&М(а2уа,) &L(d3) &L(rf4) &μ№)^μ№),
8) S2 (du d2j ds, d4) *—► Я (ds, d4) & L (d3) & L (d4) &
&Af(dt,d4) &M(d2,d4) &vd5de[Af(d5,d3)&
&M(d6, d3) &d5<=di&de<=d2—> μ(<*5Χμ(<*β)].
Если имеется пара множеств db d2^D такая, что Yl(dud2)&L(di)&
&L(^), то на семействе максимальных интервалов d2 определены два
линейных порядка. Если d3y dk — максимальные интервалы d2y
d3^id^—*u(d3) ^μ(^?4), что определяется формулой Si(d3, d4, d\,d2) и
d3^2^-i—^μ(α3)^:μ(α!,/), где d3y d4' — максимальные интервалы du
включенные в d3 и d4 соответственно, — это условие определяется фор-
мулой S2(d3y d4, di, d2).
Дальнейшее доказательство теоремы 3 очевидно. Для доказатель-
ства неразрешимости Th(®$) заметим, что D\^D5 и предикат deDi
является формульным относительно сигнатуры Th(®^). Это легко дока-
зывается с использованием того факта, что подмножество R связно
тогда и только тогда, когда оно является интервалом. Теория Г/г(04)
легко сводится к 77i(05).
Авторы выражают благодарность Э. С. Васильеву за полезное об-
суждение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ершов Ю. Л. Разрешимость элементарной теории дистрибутивных структур
с относительными дополнениями и теории фильтров. «Алгебра и логика», 3, № 3, 17
(1964).
2. В а с и л ь е в Э. С. Об элементарных теориях двухосновных моделей. Третья
всесоюзная конференция по математической логике. (Тезисы докл.), Новосибирск,
1974, с. 27.
3. GrzegorczyK. A. Undecidability of some topological theories, Fund., Math.,
N 38, 137 (1951).
4. R a b i π Μ. Ο. Decidability of secohd-order theories and automata on infinitite
trees, Transactions of the American Mathematical Society, 141, N 7, p. 1 (1969).
(Рус. пер.: «Кибернет. сб.». Новая серия, вып. 8, 1971, с. 72).
5. Глебский Ю. В., Гордон Е. И. Асинхронные автоматы с задержками н
логические языки. «Автоматика и телемеханика», № 12, 143 (1974).
6. К л и н и С. К. Введение в математику. М., ИЛ, 1957.
34

7. Τ a r s к i A. A decision method for elementary algebra and geometry, Second
adition revised, Betreby and Los Angelos, 1951.
8. Γ ο ρ д о н Ε. И. Об элементарной теории действительных чисел со сложением
порядком и предиктом, выделяющим целые числа. Третья всесоюзная конференция по
математической логике (тезисы докладов), Новосибирск, 1974, с. 50.
9. Лавров И. А. Эффективная неотделимость множества тождественно истинных
и множества конечно-опровержимых формул некоторых элементарных теорий. «Алгеб-
ра и логика», 2, № 2, 5 (1963).
Горьковский государственный университет
[23/Х 1978]
ЛОКАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ВЫДЕЛЕНИЯ БЛОКОВ В ГРАФЕ
В. Л. Евстигнеев
В работе [1] был предложен алгоритм выделения блоков и разде-
ляющих вершин в связном графе. Ниже будет показано, что этот алго-
ритм по своей природе есть локальный в смысле Ю. И. Журавлева
[2, 3]. Будет предложена его модификация, представляющая собой
локальный алгоритм с памятью 3.
Все определения, касающиеся локальных алгоритмов, могут быть
найдены в [2, 3]. Кроме этого, будем использовать понятие последова-
тельного локального алгоритма, введенного в [4].
Определение L Последовательным итеративным локальным алгорит-
мом называется такой алгоритм, в котором каждый шаг состоит в вы-
числении значений предиката (приписывании метки) одному какому-
нибудь элементу графа: ребру, дуге, вершине — с учетом значений
этого же предиката, вычисленных на предыдущих шагах. При этом
ранее выставленные метки «Δ» не изменяются до тех пор, пока не бу-
дут вычислены значения предиката для всех элементов графа. После
этого начинается вторая итерация.
В последовательных алгоритмах отсутствие метки рассматривается
как наличие дополнительного значения предиката — пустого. Тем
самым последовательный алгоритм практически использует четырех-
значную логику вместо трехзначной у локального алгоритма Журав-
лева, который будем называть параллельным.
Нетрудно видеть, что в основе понятия последовательного итератив-
ного локального алгоритма лежит идея вычисления значений предиката
во время обхода графа или егс части. В локальных алгоритмах с па-
мятью £>1, т. е. с k предикатами Pi, Р2,..., Рх, значения некоторых
предикатов может вычисляться последовательным процессом, других—
параллельным. В результате локальный алгоритм с памятью, большей
единицы, может представлять собой комбинацию нескольких алгорит-
мов разного типа действия.
Определение 2. Окрестностью Ei(Xi) порядка один вершины х\ не-
ориентированного графа G называется подграф, порожденный верши-
ной Х{ и всеми смежными с ней вершинами.
Определение 2а. Окрестностью Ei(xi) порядка / вершины Хг неориен-
тированного графа называется подграф, порожденный всеми вершина-
ми из Ei-i(Xi) и всеми смежными с ними вершинами.
Определения 2 и 2а соответствуют определению главных окрестно-
стей в [2].
Пусть задан предикат Р\(х) — «вершина х есть разделяющая вер-
шина в графе». Напомним (см. [5]), что вершина х графа называется
разделяющей, если при ее удалении вместе со всеми инцидентными
ребрами нарушается связность графа. Нахождение всех разделяющих
вершин решает полностью задачу выделения блоков [1, 5], этим и
объясняется выбор предиката Р\{х).
3*
35

Пусть предикат Р\(х) принимает значения из множества {Δ,0,1},
причем Pi(x) = \t если вершина х — разделяющая, 0 — в противном
случае и Δ, если ничего определенного о вершине сказать нельзя. Вы-
числение значений предиката Pi(x) будет производиться следующим
параллельным алгоритмом. Предварительно напомним определение
блока [5].
Определение 3. Два ребра Ui и и2 называются сильно циклически
связанными, если существует такая последовательность G, .·> Сг прос-
тых циклов, что щ принадлежит Си "2 принадлежит Сг и любая пара
соседних циклов Сг и Сг+1 имеет, по крайней мере, одно общее ребро.
Определение 4. Множество всех ребер, сильно циклически связан-
ных с ребром ы, образует подграф, называемый блоком, определяемым
ребром и.
Другими словами, блок есть максимальный по включению подграф,
не содержащий разделяющих вершин.
Алгоритм jBi
Шаг 1. Рассматриваем окрестности Ек(х) вершин графа (независи-
мо друг от друга) и полагаем:
Pi(x) = l9 если
а) вершина х есть концевая вершина висячего ребра (данное ребро
образует простейший блок);
б) в окрестности Ξκ(*) целиком помещается висячий подграф, для
которого х есть единственная общая с остальной частью графа вер-
шина.
Pi(x)=Oy если в удаление вершины х из ее окрестности Ек(х) не
нарушает связности этого подграфа.
Pi(x)=A в остальных случаях.
Общий шаг. Полагаем
Pl(x) = lt если в Ек(х) целиком помещается блок, для которого х
является разделяющей вершиной.
Нетрудно видеть, что алгоритм Si полностью задачу об отыскании
разделяющих вершин не решает. Необходимо организовать сбор допол-
нительной информации о строении графа. Введем с этой целью два
вспомогательный предиката:
^2(и) — «ребро и принадлежит каркасу графа».
Рз(и) — «ребро и отделимое».
Необходимость введения таких предикатов вытекает из описанного
в [1] алгоритма. Напомним кратко его содержание, опустив не интере-
сующие нас детали.
Предложенный в [1] алгоритм основан на определенном способе
обхода графа. Под обходом Q понимается движение от вершины к вер-
шине по ребрам графа, причем каждое ребро проходится не более одно-
го раза в каждом направлении. Траектория движения при обходе Q
обозначается той же буквой Q, начальная вершина (она может быть
любой) — буквой xq. Считается, что последовательным вершинам
*о, Хи .·., Xty.., Xm маршрута Q соответствуют последовательные момен-
ты 0, 1,..., f,..., m обхода, а ребрам его — ходы обхода. Первый ход по
ребру называется прямым, второй (в противоположном направлении) —
обратным.
Правила обхода, а) Если вершина х впервые встретилась при
обходе, то следующий ход должен быть прямым по любому ребру,
инцидентному х и не фигурировавшему ранее в обходе, если такое
существует; в противном случае следующими должны быть обратный
ход по ребру ик (по которому мы попали в х), если хфх^ и окончание
обхода при Jt=#o.
36

б) Если прямым ходом попадаем в вершину» уже фигурировавшую
в обходе, то следующий ход должен быть обратным по тому же ребру
(такое ребро графа и такой момент обхода будем называть ребром
(моментом) прикосновения*.
в) Если обратным ходом снова попадаем в вершину х, то далее по-
ступаем так же, как в случае а).
Рассмотрим часть Q обхода Q, получаемую_при выбрасывании из Q
всех ребер прикосновения. Легко видеть, что Q может рассматриваться
как обход дерева G, содержащего вершины графа G, т. е. его каркаса.
Подробности в [1]. _
По структуре, задаваемой на графе G каркасом G, однозначно опре-
деляется любая ветвь блоков G', а именно: множество вершин ветви
блоков образует в каркасе G отделимую ветвь в следующем смысле.
Рассмотрим часть каркаса G, отделяемую ребром и от корня дерева
G — вершины Хо. Присоединим к ней само ребро и= (z, у). Полученную
часть Uu каркаса будем называть его _ветвью, висящей на ребре мина
вершине z. Множество вершин ветви GUy кроме z, т. е. внутренних вер-
шин, обозначим через Vu- Ветвь Gu будем называть отделимой, если из
вершин множества Vu не исходит ребро (необходимо ребер прикоснове-
ния) в вершины из V\ (Vu[) {г}). В [1] показано, что отделимая ветвь
Gu, u=(z,y) задает одну и только одну ветвь_блоков (висящую на вер-
шине z) с множеством внутренних вершин Vu s*o.
Рассмотрим теперь задачу нахождения отделимых ветвей в процессе
обхода. Очевидно, обход ветви Gu есть часть обхода Q, начинающаяся
прямым ходом по ребру и и кончающаяся обратным ходом по нему.
Часть обхода Q, заключенную в этом промежутке, назовем ветвью об-
хода и обозначим Qu. Определение отделимости распространим на
ветви обхода: _
Qu отделима ч—>■ Gu отделима.
Легко вывести, что ветвь обхода Qu при и= (z, у) представляет
собой обход подграфа GU=G(V[) {z}) плюс прикосновение к вершинам
пути Lz из Хо в z (кроме z). Тем самым можно считать обоснованным
следующий
Критерий отделимости: ветвь Qu, где и—(г,у), отделима
в том и только в том случае, когда на протяжении Qu не было прикос-
новений к вершинам текущего пути, расположенным на нем ближе
к началу (вершине Ло), чем вершина z.
Покажем, как этот критерий отделимости используется в процессе
обхода. Каждое ребро, отличное от ребра прикосновения, с момента его
появления на текущем пути L (т. е. после прямого хода по нему) счи-
тается «подозрительным». Метка подозрительности снимается следую-
щим образом. Пусть в момент / был совершен прямой ход по ребру
прикосновения (ytz):xt = y) xt+i = z. Тогда, очевидно, все ребра, распо-
ложенные на текущем пути L(t) дальше от начала, чем ребро, исходя-
щее из z, не могут порождать отделимую ветвь обхода. Поэтому все
такие ребра, имеющие в рассматриваемый момент метку подозритель-
ности, освобождаются от нее. Очевидно, что отделимость ветви обхода
Qu эквивалентна тому, что к моменту обратного хода по ребру и оно
еще считается подозрительным.
Покажем теперь, как нахождение отделимых ветвей обхода влечет
за собой выделение блоков графа О. Пусть в момент обратного хода
по ребру u=(zyy) обнаружилось, что ветвь Qu отделимая. Тогда мно-
жество внутренних вершин соответствующей ветви блоков есть Vu и
может быть найдено в этот момент как множество вершин, встретив-
шихся в обходе не ранее, чем вершина у. Для того чтобы в момент на-
* В [1] —- бетрефальное ребро.
37

хождения ветви блоков выделить множество вершин ее корневого блока
(это достаточно для выделения всех блоков графа), достаточно при
нахождении каждой ветви блоков множество ее внутренних вершин
исключать из дальнейшего рассмотрения. Тогда к моменту завершения
обхода любой ветви блоков G' все ее подветви, висящие па корневом
блоке Б, будут обойдены, а их внутренние вершины исключены. Оста-
нутся вершины из Я, что и требовалось показать.
Перейдем теперь к описанию локального алгоритма и его обоснова-
нию.
Пусть предикат Р2(^) принимает значения из множества {0, Δ, 0, 1}
и эти значения вычисляются следующим последовательным итератив-
ным процессом. Отдельное изложение процесса вычисления значений
предиката Р2(«) преследует цель сделать более понятным изложение
полного алгоритма, а также потому, что этот алгоритм имеет и само-
стоятельное значение — он локальным образом строит каркас графа.
Будем считать, что Р2(и) = 1, если и принадлежит каркасу, Р2(и) =
= 0, если ребро и есть ребро прикосновения, и Р2(и)=к в остальных
случаях.
Алгоритм В2
Шаг 1. Для некоторого произвольного ребра и полагаем Ρ2(α)=Δ.
Шаг 2. Пусть ребро v={x,y) инцидентно ребру а с Ρ2(^)=Δ.
Если вершина у не инцидентна ни одному ребру с вычисленным значе-
нием предиката Р2, полагаем Ρ2(α)=Δ и переходим к шагу 4. В про-
тивном случае полагаем Ρ2(υ)=0 и переходим к шагу 3.
Шаг 3. Пусть ребро и — последнее помеченное меткой ребро, после
которого ребру υ была приписана метка 0. Если из конца ребра и вы-
ходит ребро, для которого значение предиката Р2 не вычислено, то
переходим к шагу 4. В противном случае полагаем P2{w) = \ и перехо-
дим к шагу 5.
Шаг 4. Повторяем шаг 2, беря в качестве ребра и последнее поме-
ченное меткой Δ ребро.
Шаг 5. Повторяем шаг 3, беря в качестве ребра и ребро, помеченное
меткой Δ и инцидентное ребру с меткой 1. Если такого ребра нет, пере-
ходим к шагу 1, беря в качестве ребра и любое ребро без метки, в про-
тивном случае — стоп.
Нетрудно видеть, что после окончания работы алгоритма В2 в графе
не остается ребер с меткой Δ.
Перейдем теперь к описанию искомого алгоритма отыскания разде-
ляющих вершин.
Общий алгоритм
Шаг 1. Вычисляем значения предиката Р\{х) алгоритмом Si, значе-
ния всех остальных предикатов не вычислены.
Комментарий: после завершения шага 1 вершины имеют метки 1, 0,
Δ, ребра имеют пустые метки (0, 0).
Шаг 2. Выбираем произвольно некоторое ребро и, придаем ему
ориентацию (если и висячее, то ориентируем его от висячей вершины)
и полагаем Р2(и) =Р3(и)'=А.
Комментарий: Полагаем возможным нарисовать стрелку на ребре.
Другой способ состоит в использовании трех меток для обозначения
ориентации, например, используя метки 0, 1, 2 и расставляя их так, как
это показано на рис. 1 [6, 7].
- - - —■*- · φ » ■
о t г о
Рис. 1
38

Шаг 3. Пусть ребро и={х,у) — последнее помеченное меткой
(Δ, Δ) ребро, тогда либо из конца ребра и (ребро и ориентировано)
выходит не помеченное меткой (Δ, Δ) ребро v=(y,z)y либо такого реб-
ра нет. В первом случае ориентируем ребро υ от у к z и полагаем для
него Р2(^)=^з(^) =Δ. Повторяем этот процесс пока возможно, т. е.
пока из помеченного ребра не будет исходить ни одного непомеченного
ребра. Затем переходим к шагу 4.
Комментарий: Отыскиваем ребро, инцидентное вершине, в которую
заходит ориентированное ребро с меткой (Δ, Δ). Такое ребро может
быть не одно, но все они инцидентны одной и той же вершине. Из них
выбирается одно произвольным образом.
Шаг 4. Пусть из конца ориентированного ребра и с меткой (Δ, Δ)
не выходит ни одно непомеченное ребро. Возможны следующие слу-
чаи:
а) ребро и=(х,у) висячее; полагаем Р2(и) =Р3(и) = 1, ориентируем
*то к висячей вершине; вершина х уже имеет метку «1», т. е. Pi(x) = l
(метка поставлена на шаге 1), переходим к шагу 8;
б) в вершину у заходит ориентированное ребро αΔ'Δ с меткой (Δ, Δ),
а из у исходит ориентированное ребро tcAA с меткой (Δ,Δ) (рис. 2), пе-
оеход к шагу 5;
ль
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
в) в вершину у заходит ориентированное ребро αΔ'° с меткой (Δ, 0),
а из // исходит ориентированное ребро wA>° с меткой (Δ, 0) (рис. 3),
переход к шагу 6;
г) в вершину у заходит ориентированное ребро υΑ>Α с меткой (Δ, Δ),
а из у исходит ориентированное ребро wA>° с меткой (Δ, 0) (рис. 4),
переход к шагу 7.
Комментарий: случай б) реализуется при замыкании контура (см.
рис. 5,а), случаи в) и г) реализуются при повторном замыкании кон-
тура, т. е. при обходе контура, непосредственно связанного с только
что замкнутым (см. рис. 5, б и 5, в).
Рис. 5
Шаг 5. Ребро иА>А есть ребро прикосновения. Выделим в графе по-
меченное ребро 5Δ,α, имеющее окрестность, включающую часть, пока-
39

занную. на рис. 6. Если это ребро имеет
Ith метку (Δ, Δ), то полагаем для него
\S Рз(и) = 0у в противном случае оставляем
,~—#с все без изменения. Полагаем далее для
/ i/γ ребра иА>А (его окрестность ясна нз
«^—-*"* рис.6) Р2(и) = Р3(и)=0 и затем для
\^ уЛА $ ребра /Δ>Δ — Ps(u) = 0. Для каждого
хч ребра с меткой (Δ, Δ), заходящего в реб-
ро с меткой (Δ,0) (кроме αΑΔ), и для
каждого ребра с меткой (Δ, Δ), исходя-
Рис. 6 щего из ребра с меткой (Δ, 0), полагаем
Рз(и) = 0; после завершения переход к
шагу 8.
Шаг 6. Ребро иА>А есть ребро прикосновения. Полагаем для него
Р2(и)=Р3(и)=0, а для ребра £Δ>Δ, заходящего в ребро иА'°, — Р3(и) =
= 0. Для каждого ребра с меткой (Δ, Δ), заходящего в начало^ ребра
с меткой (Δ,0), полагаем Р3(и)=0. Продолжаем, пока возможно. Пе-
реход к шагу 8.
Шаг 7. Поступаем так же, как и в шаге 6.
Комментарий: из рисунка 6 вытекает, что порядок окрестности дол-
жен быть, по крайней мере, равен двум. Когда говорит о рассмотрении
того или иного ребра, то нужно понимать это так: находим ребро, име-
ющее окрестность такого-то вида и т. д. Для удобства изложения от-
казываемся от такого описания.
Шаг 8. Пусть ыА'°= (х, у) — последнее ребро с Ρ2(α)=Δ, τ. е. это
то ребро, из конца которого — вершины у не исходит ни одно ребро с
Р2(ы)=Л. Возможны два случая:
а) из вершины у исходит непомеченное ребро — в этом случае пе-
реходим к шагу 3;
б) из вершины у непомеченных ребер не исходит. В этом случае по-
лагаем Р2(и) = \ и переходим к рассмотрению ребра υ с Ρ2(υ)=\ за-
ходящего в вершину х, если Р3(и)=0, либо полагаем Р2(и) = 1у Р3(и) =
= 1 и Pi(x) = l и переходим к рассмотрению ребра ν с Рг(у)=Л, захо-
дящего в вершину х, если для ребра и было Ρ3(α)=Δ.
Алгоритм заканчивается, если такого ребра υ нет. В этом случае
полагаем Р2(ы) = 1, Р3(ы)=0 и Pi(x)=0 для всех вершин с Pi(#)==A.
Пример. Пусть граф имеет вид, показанный на рис. 7*
Рис. 7
Результаты работы алгоритма над окрестностями порядка два по-
казаны в таблице, результаты вычисления предиката Р\{х) на шаге 1
показаны на рис. 7. Отсюда вытекает, что разделяющими вершинами
являются #7, Хк (они были найдены на шаге 1) и *в.
40

Ребро
Ориентация
Метка
Xl KC2
ребро
прикосновения
Xz—+Хз
Хз—*-Xi
Xi, *-Хъ
Xi *-Xq
х$—*■x^
Хт—ухй
Xi—*Х9
X»—*-JCio
•iio—>Хц
ХП *-Xl2
Χα—*-^1з
Х\з—*Xuj
Хщ > Хц
ребро
прикосновения
Xie—>'Xib
ребро
прикосновения
Х\е—^о
■«20 >-^19
*19 >"JCi8
*18 *XU
ребро
прикосновения
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
(Δ,Δ)-
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
\ ■
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
(Δ, Δ)
\
(Δ, Δ)
Ι
-0,1),ρ(*7) = 1
(Δ,0)
(Δ, Δ)- (0,0)
I t
(Δ,0)
t
(Δ,0)
t
(Δ,0)
(Δ·0) (1,0)
Τ
(Δ, Δ)
(Δ. Δ)
(Δ,0)
(Δ,0)-
t
(0,0)
Ι
(Δ,0)
(1.0)
(0,0) 1(1,0)
♦ I t
(1.0)
t
,(1.0)
(Δ, Δ) \-\
t
(1,1),Р(Ь) = 1
(i,i),P(*e)=i
t
(1,0)
t
(1,0)
t
(1,0)
. t
(1,0)
t
(1,0)
t
(1,0)
■(1,0)
(Δ,Δ) (Δ.0)
(Δ,Δ) (Δ.0)
(Δ,Δ) (Δ.0)
\ t
(Δ,Δ) (Δ,0)
i t
(0,0) |
(1,0)
t
(1,0)
t
(1,0)
t
(1,0)
t
Легко видеть, что алгоритм заканчивается за конечное число шагов
(это следует из монотонности функций, изменяющих значения преди-
катов) и после завершения его работы ни один предикат не имеет зна-
чения, равного Δ. Обоснование самого алгоритма см. в [1].
41

ЛИТЕРАТУРА
1. Д и н и ц Ε. Α., Зайцев Μ. Α., К а р з а н о в А. В. Экономный алгоритм выде-
ления блоков в графе. ЖВМиМФ, 14, № 5, 1309 (1974).
2. Журавлев Ю. И. Локальные алгоритмы вычисления информации. «Киберне-
тика», № 1, 12 (1965).
3. Журавлев Ю. И. Алгоритм локальный. — В кн.: Математическая энцикло-
педия, т. 1. М., «Сов. энцикл.», 1977, с. 207.
4. Евстигнеев В. А. О решении двух задач теории графов с помощью локаль-
ных алгоритмов. IV Всесоюз. конф. по проблемам теорет. кибернетики. (Тезисы докл.).
Новосибирск, 1977, с. 135.
5. О р е О. Теория графов. М., Наука, 1968.
6. Τ ю ρ е н к о в В. А. Алгоритм нахождения кратчайшего пути. В сб.: «Вычислит,
системы». Новосибирск, 1963, вып. 6, с. 41.
7. Зыков А. А. Теория конечных графов, т. 1. Новосибирск, Наука, СО АН СССР,
1969.
Новосибирский государственный университет
[13/ХП 1977]
О СЛОЖНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КАЧЕСТВА ПОЗИЦИИ
В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ИГР НАД СЛОВАМИ
Л. Я. Жильцова, Д. И. Коган
Предметом изучения настоящей работы являются специальные клас-
сы словарных игр. Каждая отдельная игра из этих классов, будучи
конечной позиционной игрой с полной информацией, имеет решения в
чистых стратегиях. Но проблема определения качества (т. е. выигрыш-
ности при оптимальном поведении) позиции для того или иного игро-
ка, хотя и является алгоритмически разрешимой, может свестись к
практически непреодолимым трудностям перебора чрезвычайно боль-
шого числа вариантов. В силу этого, важной является задача изучения
вычислительной сложности алгоритмов определения качества позиций
для отдельных классов игр и выделения классов, для которых решаю-
щие алгоритмы относительно просты.
Работа состоит из двух разделов. В первом разделе даются фор-
мальные определения и примеры классов игр над словами. Вводится
понятие конечно-автоматно определимого класса игр; класс игр конеч-
но-автоматно определим, если вопрос о выигрышности произвольной
позиции для первого (второго) игрока решается посредством «прогона»
этой позиции через некоторый определяемый классом игр конечный
автомат. Устанавливается, что проблема определения по классу игр,
является ли он конечно-автоматно определимым, алгоритмически не-
разрешима.
Во втором разделе вводится понятие класса монотонных игр; дока-
зывается, что каждый класс монотонных игр одного лица конечно-авто-
матно определим. Показывается, что в монотонных классах игр двух
лиц вопрос о выигрышности произвольной позиции для одного или
другого игрока имеет тьюрингову сложность /2 (/ — длина позиций).
1. Пусть А= {аиа2, ...,ап} — алфавит, а Л* — множество всех слов
(конечных последовательностей букв) в Л; для а^Л* через 1(a) обо-
значим длину слова а, т. е. количество букв в нем. Продукциями (пра-
вилами преобразования слов) в алфавите Л назовем пары Ρ=(γ,б),
уеЛ*, беЛ*. Если слово α имеет вид α γ α, то к нему можно приме-
нить продукцию Р, и результатом такого применения будет слово
42

αρ=αδα. Продукцию P= (γ, δ) назовем продукцией, сохраняющей
длину, если /(γ)=/(δ).
Каждый класс словарных игр двух лиц задается совокупностью
Ки =<A,PuP2,RuR2>,
где А={аи α2, ...,Μ — алфавит, Ρ*={(γ1, 6i ), (γ2* б2г ),..., (γ*, δ* )} —
множества сохраняющих длину продукций алфавита Л, i=l, 2; /?i и
Λ2 — непересекающиеся регулярные (т. е. конечно-автоматно определи-
мые) [1] множества слов из Л*. Конкретная игра класса /Си задается
своей начальной позицией π°, л°^Л*. В нечетные моменты дискретного
времени ходит игрок /i, в четные — игрок /2. Ход игрока /i(i= 1,2)
состоит в замене в текущем слове-позиции одного из подслов
\J (\е{1,2, ...,/с}) на подслово δ/ и в получении таким образом новой
позиции рассматриваемой игры. Игрок, не имеющий возможности сде-
лать очередной ход, считается проигравшим. Кроме того, финальными
являются позиции из /?iU^2; игрок /г выигрывает, если игра заканчива-
ется в позиции из Ri. Игре, продолжающейся бесконечно долго, припи-
сывается ничейный исход.
, Для примера рассмотрим некоторый вариант игры полиомино [2]
на шахматной доске размера 8Хя и поясним возможность его задания
классом словарных игр. В рассматриваемом варианте полиомино в рас-
поряжении каждого игрока имеются составленные из шахматных кле-
ток плоские связные фигуры, каждая фигура состоит не более чем из
пяти клеток. Считаем, что игроки имеют неограниченное число фигур
каждого типа. Ход игрока состоит в покрытии незанятого фрагмента
доски некоторой фигурой. Выигравшим считается игрок, сделавший
последний возможный ход.
Очевидно, что каждое из вертикальных (т. е. высоты восемь) полей
доски может быть не более чем в 28 различных состояниях, где состоя-
ние отождествляется с перечнем клеток, на которые уложены фигуры.
Введем алфавит Лп= {а0, аь..., а255}, отождествляя каждое щ с возмож-
ным состоянием вертикального поля. Тогда позиции на доске кодиру-
ются /z-буквенными словами из Лп*.
Множества продукций Pt и Р2 в конструируемом классе словарных
игр /С11 и совпадают. Каждое такое множество состоит из всех продукций
вида (ai[ ai2 ...сцъ ,aj{ aJ2 ...aJ5 ), где слово aiiai2...ai 5 описывает не-
которую конфигурацию α на некотором фрагменте доски, размер фраг-
мента 8X5, а слово aj{ aJ2 ...aJ5 соответствует конфигурации β на том
же фрагменте, причем конфигурация β отличается от а тем, что в ней
задана еще одна уложенная фигура. Множества R{ и R2 считаем пус-
тыми, каждая игра класса Кпи заканчивается лишь при невозможности
совершения очередного хода.
Так определяется класс Кви. Легко видеть, что каждая игра класса
/Спи имитирует некоторую игру полиомино, начинающуюся с некоторой,
вообще говоря, непустой позиции на доске. И, наоборот, каждая игра
полиомино имитируется некоторой игрой класса Кпи.
Отметим, что в рамках словарных игр двух лиц можно записать
классы, конкретизациями которых будут дискретные задачи преследо-
вания в прямоугольной области, шашки, шахматы и т. д. При задании
классов словарных игр, в указанном смысле соответствующих шашкам
и шахматам множества R{ и R2, очевидно, не будут пустыми. Входящие
в них слова описывают матовые позиции черных и белых соответствен-
но. В классе словарных игр, адекватном дискретным задачам преследо-
вания, непусто множество Ru его слова описывают позиции, в которых
убегающий игрок пойман преследователем.
43

Если класс Кн таков, что
P2={{auai), (α2> α2),..., (αη,α„)},
а /?2 = 0, то игры из /Си оказываются фактически играми одного лица,
такие классы будем обозначать /С1 и
/С1И = <Л,Р1,7?1>.
В качестве примера приведем задачу о шахматном коне [3]. Имеет-
ся доска размера 8><я, отмечены клетки, в которых конь по одному
разу уже побывал, известна клетка, где он сейчас находится. Ситуация
выигрышна, если можно так организовать процесс дальнейшего движе-
ния коня, что он будет посещать только клетки, в которых еще ни разу
не был и посетит таким образом все ранее не отмеченные клетки.
Опишем задачу в рамках следующего класса Кк\\. Введем алфавит
А={аи Д2, ..·, αΖ}, каждая буква а\ соответствует некоторому состоя-
нию вертикального поля. Состояние задается перечнем клеток, в кото-
рых конь не бывал (в остальных клетках он был по разу), и возмож-
ным указанием клетки поля, где он сейчас находится. Очевидно, что
достаточно считать алфавит 9-28-буквенным. Позиции на доске коди-
руются «-буквенными словами из Л*. Множество продукций Pi в кон-
струируемом классе словарных игр состоит из всех продукций вида
(aitai2ais, α?1α;·2α;·3), где слово €ц^цга\г описывает некоторую конфи-
гурацию а на некотором фрагменте доски, размер фрагмента 8X3.
Слово ujiaj2aj3 соответствует конфигурации β на том же фрагменте,
причем конфигурация β отличается от α тем, что в ней отмечен еще
один совершенный в пределах рассматриваемого фрагмента ход коня
(совершенный ход должен быть допустимым, т. е. должен ставить
коня в клетку, в которой он еще не был). Множество Ri класса Кки есть
(aiUa2U — [}<h)* где a,- (i'=l, 2,..., 8) соответствует вертикальному
полю, в i-ой клетке которого находится конь при условии, что в осталь-
ных клетках этого поля он уже был по разу, а а9 кодирует вертикаль-
ное поле, в котором нет коня при условии, что во всех клетках поля он
уже был по разу. Описание класса Кки закончено.
О широте класса задач управляемого преобразования слов, запи-
сываемых посредством словарных игр одного лица, говорит следующее.
В [4] исследуются алгоритмы, определяемые посредством конечных
автоматов с выходом и выделенным финальным состоянием. Пусть
задан такой автомат А. Пропускаем через него ленту с записанным на
ней словом, полученную ленту вновь пропускаем через автомат и т. д.
до тех пор, пока автомат не перейдет в выделенное финальное состоя-
ние. Если при этом брать только конечные автоматы, не изменяющие
длины ленты, и считать, что автомат представляет множество тех слов,
для которых он останавливается, то класс таким способом представи-
мых множеств шире класса регулярных, но уже класса примитивно-
рекурсивных множеств. Для недетерминированного автомата с выхо-
дом и выделенным финальным состоянием А множество представляе-
мых им слов обозначим С (А). Класс всех таким образом представи-
мых множеств будем называть классом С-множеств. Примерами С-мно-
жеств являются контекстно-свободные и контекстные языки [5].
Лемма 1. По любому автомату А эффективно строится класс игр
одного лица /Ои такой, что множество позиций, начиная с которых это
лицо выигрывает, совпадает с множеством С (А). По любому классу
игр С (А) эффективно строится автомат А такой, что множество С (А)
44

совпадает с совокупностью позиций, начиная из которых активный
(т. е. первый) игрок может обеспечить себе выигрыш.
Простое доказательство этой леммы, основанное на построении
игры, имитирующей функционирование автомата Жу и, наоборот, автома-
та, варианты работы которого имитируют возможные течения игры,
опускается.
Пусть /Си — некоторый класс словарных игр. Обозначим через
Щ(Л'и) множество позиций, начиная из которых i-и игрок может обес-
печить себе победу (/=1,2). Так как каждая из входящих в /Си игр,
будучи конечной позиционной игрой с полной информацией, имеет ре-
шения в эффективным образом конструируемых чистых стратегиях,
множества слов ПЦКи) и П2(Ки) рекурсивны [6]. Таким образом, для
каждого класса /Си в алфавите А может быть построена одноленточная
машина Тьюринга [6] Τ (/(и), определяющая по произвольному слову-
позиции а, принадлежит ли α множеству П^/Си). Если для К и суще-
ствует машина Тьюринга Τ (/Си), распознающая принадлежность
слова α множеству ПЦ/Си) за количество тактов работы, не превы-
шающее /(/(а)), то функцией f(l) будем оценивать сложность множе-
ства П^/Си) и самого класса /Си- Будем говорить, что Ки имеет
тьюрингову сложность f(l). Наиболее простыми представляются клас-
сы игр, для которых сложность множества П1 оценивается функцией
/(/), равной /, т. е. классы игр, для которых П^/Си ) суть регулярные
множества. Такие классы игр назовем конечно-автоматно определимы-
ми [1].
Теорема 1. Проблема определения по классу игр
К и =<A)Pi,P2,Ri,R2>i
является ли множество П4(/Си) регулярным, алгоритмически неразре-
шима.
Эта теорема — следствие леммы 1, факта принадлежности контекст-
но-свободных языков классу С-множеств и неразрешимости проблемы
определения по контекстно-свободному языку, является ли он регуляр-
ным (см. [5]).
2. Будем говорить, что игры класса /Си монотонны, если продукции
из Pi\jP2 имеют вид
aiiai2 ·*· Q<it >~ ui i+ε {СЦ2+ε2 '" ai t+e t »
вектор (ei, 82,..., ε/) ненулевой, его компоненты суть неотрицательные
целые числа, значение и размерность вектора в различных продукциях
различны.
Примером монотонной игры двух лиц может служить описанная
выше игра в полиомино. Достаточно заметить, что при отождествлении
букв алфавита с возможными ситуациями в вертикальном столбце
шахматной доски индекс i буквы аг· можно рассматривать как двоич-
ное число, i—ki2... is, где iK=0, если /с-я клетка столбца доски сво-
бодна, и ^=1, если она занята некоторой фигурой полиомино. Легко
проверить, что после применения любой лродукции к любому фрагмен-
ту размером 8X5 индекс i буквы аи соответствующей вертикальному
столбцу, может только увеличиться.
Заметим, что в ходе монотонной игры любая позиция может встре-
титься только один раз. Отсюда ясно, что игры классов /Си, отдельные
конкретизации которых соответствуют шахматам и шашкам, не явля-
ются монотонными.
Теорема 2. Если класс игр К1и монотонен, то множество Я^/Ои)
регулярно.
Пусть класс /Ои задается тройкой <Л,Р,/?>, где А= {аи а2,...,
45

αη) — алфавит, р={ри ръ ..., Рт) — совокупность сохраняющих дли-
ну продукций, R— регулярное множество слов в Л. И пусть s0— на-
чальное состояние конечного автомата Kr, выделяющего R, пусть 5* —
выделенное подмножество состояний Kr. Будем считать, что левые
(а следовательно, и правые) части всех продукций из Ρ имеют одина-
ковую длину /*. Обозначим через £° подмножество S такое, что для
любого Si^S0 существует слово в Л, переводящее автомат Kr из S*
в одно из состояний множества S*.
Пусть n — aildi2 ··· ciiN— произвольное слово в алфавите А. Введем
в рассмотрение следующую последовательность Oi, Ф2,..., Фм фрагмен-
тов слова π:
Oi=aiiai2 —aiL> L = 3/*,
фрагменты Ф2, Фз,..., Фм— также подслова слова π, начальная (дли-
ны /*) часть каждого последующего фрагмента совпадает с оконча-
нием предыдущего фрагмента. Длина каждого фрагмента, кроме по-
следнего, равна L, длина последнего фрагмента меньше или равна L.
Последовательность продукций рз = Р^ , Р*2,..., Р^ назовем допусти-
мой для фрагмента Фэ = !з1>!з2>—>!зк> / = 2,3, ...,А1—1, если существует
последовательность слов σο=Φ^·, ои о2, ···, о2г такая, что:
1) соответствующие буквы слов о2ш и а2т+ь за исключением крайне
левых и крайне правых отрезков длины /* этих слов, совпадают;
2) если соответствующие буквы f^ и fj^m+1 слов о2т и o2m+i не
совпадают (и, таким образом, принадлежат крайним отрезкам), то
буква Ь™+ в алфавите А имеет больший номер, чем буква fj™)\
3) о2т есть результат применения продукции Р>т к слову G2m-i·
4) существует пара состояний Si и s2 (si^S0, s2^S°) автомата Kr
такая, что слово о2г переводит автомат Kr из состояния S\ в состоя-
ние s2.
Определение допустимости последовательности продукций для фраг-
ментов Ф{ и Фм аналогично, но в условии 1 для Ф\(Фм) не должны
фигурировать крайние левые (правые) отрезки слов о2тио2т+иа в усло-
вии 4 для Ф1(Фм) в качестве Si должно быть взято начальное состоя-
ние автомата Км (в качестве s2 должно быть взято состояние из мно-
жества S*).
Через Dj обозначим множество всех допустимых последовательно-
стей продукций для фрагмента Ф; (/=1, 2, ...,М). Отметим, что из
монотонности /С1 и следует, что все Dj суть конечные множества.
Под сцепкой <f)j-i,i фрагментов Ф;_1 и Ф; буде*м понимать то мини-
мальное подслово слова π, фрагментами которого являются слова Ф-;-1
и Ф;. Будем считать, что понятие допустимой последовательности есте-
ственным образом (т. е. с сохранением условий 1—4) обобщено на
сцепки фрагментов.
Последовательность продукций Pj из Dj назовем совместимой
с Ф;-ь если существует последовательность Pj-t из Dj такая, что можно
построить последовательность Pj-u, содержащую Pj-i и Pj в качестве
подпоследовательностей и являющуюся допустимой для слова Φj-ι,j.
В таком случае Р, и Р,-_4 также будем называть совместимыми
(/ = 2,3 М).
Очевидно, для того чтобы в игре с начальной позицией существова-
ла выигрывающая стратегия оперирующего игрока, необходимо и
достаточно, чтобы в Dm существовала последовательность Рм, для ко-
торой существуют последовательно Рм-ь Рм-2, ···, Pi такие, что все
последовательности Pj_i и Pj (/ = 2, 3,..., Μ) совместимы.
46

Составим теперь список троек Г= {Дг, Vu W{\, где Аге{0,1,2},
К?-еЛ*, №г&4*, l(VK)^L, l(WK)^L; (О, VU №г)е=Г тогда и только
тогда, когда Vi и Wi соответственно первый и второй совместимые
фрагменты некоторого слова-позиции; (1, Уг-, И7,-)еГ тогда и только
тогда, когда Vi и Wi— два совместимых промежуточных фрагмента
позиции; (2, Vu Wi)^T тогда и только тогда, когда Wi— последний, а
Vi — предпоследний совместимые фрагменты. Список F конечен.
Поэтому нетрудно построить конечный автомат β, проверяющий при-
надлежность любой пары фрагментов списку Г.
Из существования автомата В следует верность теоремы 2.
Следствие. Множество позиций, из которых можно правильно
завершить обход доски размера 8Хп в сформулированной в разделе 1
задаче о шахматном коне, является регулярным.
Приведенное утверждение непосредственно вытекает из факта
монотонности соответствующего класса словарных игр Кки и тео-
ремы 2.
Примером класса монотонных игр двух лиц с нерегулярными мно-
жествами выигрышных для первого и второго игрока позиций является
К°и = <А, Ри P2.Ru /?2>, где Л = {а, Ъ, и, и}, Pi= {(а, и)}, Р2 =
= {(Ь, и)}, #1={а, и, и}*, i?2= {6, и, и}*. Легко видеть, что позиция π
выигрышна для первого игрока, если число вхождений буквы а в сло-
ве π больше, чем число вхождений в это слово буквы Ъ\ в противном
случае позиция π выигрышна для второго игрока. Но конечного
автомата, сравнивающего числа вхождений во входное слово различ-
ных букв, существовать не может [7].
Теорема 3. Если класс К2и является классом монотонных игр двух
лиц, то существует машина Тьюринга, распознающая принадлежность
произвольной позиции α множеству П*(К2и) за 12(а) тактов работы.
Пусть К2и=<А, Ри Р2, Ru #2>· Для множества /?4 определим
последовательность множеств Qi , Q2 , Qi , Q2 ,... . В Qi входят
слова алфавита Л, каждое из которых посредством применения одной
продукции из Pi переводится в слово из /?ь в Q2 входят слова из Л*,
которые посредством однократного применения любой продукции из Р2
1 к
переводятся лишь в слова множества ^iUQi ; в множество Qi входят
слова из Л*, каждое из которых посредством применения некоторой
продукции из Pi переводится в слово из Q2~ ; в множество Q2K входят
слова, которые посредством однократного применения любой из про-
к
дукций множества Р2 переводятся в слова из /?i(J( U Qi )· Если в игре
ход принадлежит первому игроку, то, как легко видеть, П1(/Си) =
00
= U Qi . Так как нами рассматривается класс монотонных игр, то
г=1
каждая конкретная игра длится не более чем nl шагов, где η— число
букв в А, а /— длина позиции игры. Поэтому, если мы ограничиваемся
рассмотрением игр над словами длины /, то можно считать, что
ni(/Cs)= U Qi . Как легко видеть, каждое из множеств Ql , Q2 pery-
г==1
лярно; каждый из выделяющих эти множества автоматов эффективно
строится за конечное не зависящее от / время.
Принадлежность тестируемого слова множеству П1(/С2и) опреде-
ляется посредством «прогона» слова через автоматы, выделяющие
множества Q/, Ол > ..., Qll\ т. е. посредством cl2 тьюринговых опера-
47

ций. Здесь с— константа, определяемая спецификой машины Тьюрин-
га; согласно известным теоремам об ускорении, можно считать с рав-
ным единице.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. М., Физматгиз, 1962.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., «Мир», 1971.
3. Гарднер М. Математические новеллы, М., «Мир», 1974.
4. Г л е б с к и й Ю. В. и др. Алгоритмы, осуществляемые повторяющимися приме-
нениями конечных автоматов. — В сб.: «Проблемы кибернетики», М., Физматгиз, 1965,
вып. 13, с. 241.
5. Г и нз б у ρ г С. Математическая теория контекстно-свободных языков. М.,
«Мир», 1970.
6. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., Физматгиз, 1965.
7. Ρ а б и н М., С к о τ τ Д. Конечные автоматы и задачи их разрешения. «Кибер-
нет. сб.», М., ИЛ, 1962, вып. 4, с. 58.
Горьковский государственный унивесритет
[22/Ш 1978]
ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ Д. Η. Φ. НЕ ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
(ЧАСТИЧНЫХ) ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Л. М. Караханян, А. А. Сапоженко
Исследованию соотношений между различными дизъюнктивными
нормальными формами (д. н. ф.) всюду определенных булевых функ-
ций посвящен целый ряд работ [1—6], в которых для получения оценок
разработаны довольно тонкие конструкции. Тем не менее для многих
параметров не удалось получить окончательных оценок.
Данная работа посвящена исследованию метрических соотношений
между различными типами д. н. ф. не всюду определенных (частичных)
булевых функций. Для некоторых параметров удается, получить окон-
чательные или близкие к окончательным оценки. При этом неполная
определенность позволяет существенно упростить конструирование
примеров функций, обладающих экстремальными свойствами. В статье
рассмотрены также соотношения между максимальными значениями
параметров всюду определенных и частичных функций.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Здесь даны обозначения и определены некоторые понятия, связан-
ные с частичными функциями и их д. н. ф. Используемые, но не опре-
деляемые в этой статье понятия можно найти в [7—9]. Множество всех
частичных булевых функций, зависящих от η переменных, будет обо-
значаться через Рп, а множество всюду определенных — через Рп.
Множество всех двоичных наборов длины η называется единичным
дг-мерным кубом и обозначается через Вп. Весом набора (ai,..., ап)
называется сумма его координат. Через В« обозначается множество
наборов веса к из Вп. Через Nf(NyfN~) обозначается множество тех
Λ4/ Λ4/ Λ4/ /\J
вершин α из Вп, для которых f(a) = l (соответственно f(a)=0, /(a)
не определено). Импликантом частичной функции называется элемен-
тарная конъюнкция /С, такая что существует набор α из Λ/;·, обращаю-
/St
щий конъюнкцию К в единицу* и такая, что для всякого β^Ν— справед-
48

ливо К (β)=0. Простым импликантом функции / называется импли-
кант К такой, что любая конъюнкция, полученная из К отбрасыванием
некоторой буквы, не является импликантом функции f. Дизъюнкция
всех простых импликантов функции f называется сокращенной д. н. ф.
и обозначается через Dc(f). Грань единичного куба, соответствующая
импликанту (простому импликанту) функции /, называется ее интерва-
лом (максимальным интервалом) и обозначается через Νκ. Число пе-
ременных, входящих в импликант /С, называется рангом К и обозна*
чается через г (К). Через 1(D) обозначается длина д. н. ф. D, т. е. число
ее элементарных конъюнкций (слагаемых), а через L(D) — сложность
д. н. ф. D (число букв в ней). Д. н. ф. D, составленная из импликантов
Dc(f) и реализующая /, но не реализующая f при отбрасывании любого
из слагаемых называется тупиковой д. н. ф. (т. д. н. ф.) функции /.
Тупиковая д. н. ф. функции /, имеющая наименьшую сложность (дли-
ну) среди всех т. д. н. ф. функции f, называется минимальной (крат-
чайшей). Через Г(/), M(f) и /CKp.(f) обозначается множество тупиковых,
минимальных и кратчайших д. н. ф. функции f соответственно. Пусть
lc(f)=l(Dc(f)) — длина сокращенной д. н. ф., lK(f) — длина кратчай-
шей д. н. ф., lT(f) — наибольшая из длин тупиковых д. н. ф., LM(f) —
сложность минимальной д. н. ф. функции /, тогда через
/c?(n)=max/c(f), Fg(/i)=max/7(/),
/*q (η) = mix I" (f), lMQ (n) = max LM (f)
обозначаются соответственно максимальное значение длин сокращен-
ных, тупиковых, кратчайших и максимальное значение сложности
минимальных д. н. ф. на множестве Q^Pn.
2. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ Д. Η .Φ. ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
И ЧАСТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть %(f) — некоторый числовой параметр, определенный на мно-
жестве Рп. Будем обозначать max %(f) через х~(я), a max %(f) через
/е?я f^pn
Замечание 1. Поскольку РпаРп, то, очевидно,
Хр(п)<%р(п)· (1)
Ниже будет показано, что для многих основных параметров, харак-
теризующий сложность д. н. ф., неравенство (1) обращается в равенство.
С другой стороны, результаты разделов 3, 4 дают примеры параметров,
для которых в (1) имеет место строгое неравенство.
Пусть /ePn, a D — некоторая д.н.ф., реализующая функцию f. Че-
рез FD будет обозначаться всюду определенная функция, реализуемая
д.н.ф. D.
Лемма 1. Пусть f<^Pn, a D — ее сокращенная д.н.ф. Тогда всякий
простой импликант функции f является простым импликантом для
всюду определенной функции q> = FD.
Доказательство. Отметим, что Ν/^/νφ, Ν-γ^Ν—· Пусть К —
простой импликант функции /. Из определения функции φ вытекает, что
Νφ(}ΝκΦ'0, W—fWx = 0, т. е. К — импликант функции φ. Покажем,
что из К нельзя удалить ни одной буквы. Пусть К' — конъюнкция, по-
лученная из К удалением некоторой буквы. Имеем Ν κ,{\Ν-γ-φ0, по-
скольку К — простой импликант функции /. Но Nj^N-. Следователь-
4 Заказ 9258
49

Ho, R' не является имплйкантом функции φ. Лемма доказана.
Из леммы следует, что lc(fXlc(FDc(f))· Приведенный ниже пример
показывает, что это неравенство может быть строгим для некоторых
функций /.
Пример 1. Функция f(хих2,Хз)*=Р3 такова, что N/={(010), (101)},
^- = {(011), (111)} (рис. 1,а).
Рис. 1
Тогда D=Dc(f) =xiX2VxiXs· В то же время сокращенная д.н.ф. функ-
ции FD имеет вид XiXzV XiXz V *2Хз (рис. 1,6).
Лемма 2. Пусть D — тупиковая д. н. ф. функции /. Тогда D является
тупиковой д.н.ф. функции FD.
Доказательство. Из предыдущей леммы вытекает, что каждое
слагаемое д.н.ф. D является простым имплйкантом функции FD. Следо-
вательно, ни из одного слагаемого нельзя отбросить букву. Покажем,
что нельзя отбросить слагаемые.
После отбрасывания произвольного слагаемого из D получается
д.н.ф. D', не реализующая f. Эта новая д.н.ф. D' не может реализовать
и функцию FD, поскольку ND,<^Nf^NFD . Следовательно, из D нельзя
отбросить ни одного слагаемого. Лемма доказана.
Лемма 3. Если D — минимальная (кратчайшая) д.н.ф. функции / из
Рп, то D ЯЕляется также минимальной (кратчайшей) д.н.ф. функции FD.
Доказательство. Предположим противное. Пусть, например,
Dx — минимальная д.н.ф. функции FD, причем L(Di)<L(D). Рассмот-
рим д.н.ф. D2 составленную из всех конъюнкций /С, входящих в Di, и
таких, что NK()Nf=£0. Ясно, что Nf^ND2- Но это означает, что D2
реализует / и имеет меньшую сложность, чем D. Полученное противо-
речие доказывает лемму.
Возникает вопрос, верно ли обратное к лемме 3 утверждение, а
именно: верно ли следующее
Утверждение. Пусть D — минимальная (кратчайшая) д.н.ф. всюду
определенной функции φ. Пусть f — произвольная частичная функция,
для которой D является т.д.н.ф. Тогда D — минимальная (кратчайшая)
д.н.ф. функции /.
Утверждение, вообще говоря, неверно, как показывает следующий
Пример 2. Пусть φ — всюду определенная функция, реализуемая
д.н.ф. D=XiX2\/Х\Хз (рис. 1,6). Д.н.ф. D является минимальной и
кратчайшей для функции φ. Пусть / — частичная функция такая, что
#/={(011), (111)}, #7 = {(010), (101)} (рис. 1, в). Д.н.ф.D есть т.д.н.ф.
функции /, а кратчайшей и минимальной является д.н.ф. Di = x2*3.
Теорема 1. Пусть %(f) — произвольный из параметров Mi), lT(f).
I*if), LM(f)· Тогда
%p(n) = Xp(n)·
50

Доказательство. Из лемм 1—3 вытекает, что для произволь-
ного параметра % из перечисленных в условии теоремы и произвольной
функций f^Pn существует функция φ^Ρη такая, что х(/Хх(<р).
Отсюда и из замечания 1 вытекает утверждение теоремы.
3. РАЗБРОС ДЛИН И СЛОЖНОСТЕЙ Т. Д. Η. Φ.
В работах [1] рассматривались соотношения между длинами и
сложностями т.д.н.ф., реализующих одну и ту же всюду определенную
функцию алгебры логики.
Пусть ft=Pn. Величина У(/) = max , */ называется разбро-
V2^(/) 1{°2)
L(Di)
сом длин, а величина R(f) = max ; ' разбросом сложностей
Vysro) L(D*)
т.д.н.ф. функции f. Пусть Q^Pn. Положим Уд (/г) = тахУ(/), RQ(n) =
= гпах/?(/). В [1] Ю. Л. Васильев показал, что
n—3-JrT
2 <У~ (яХ2п-1ое?г,
п—31/η
2 ^#~(ХХ2".
Оказывается, что для множества не всюду определенных функций
можно получить асимптотические оценки.
Теорема 2.
УР(п)~ 2*-1, RP{n)~n- 2я-1.
Доказательство. Оценка сверху для УР(п). Пусть функция
/ из Рп такова, что У(/) = УР(п), и пусть Db Z)2 — т.д.н.ф. функции / та-
кие, что УР(п) =У(/) =l(Di)/l(D2).
Возможны два случая:
1) l(D2) = l. Тогда существует грань g куба Вп> содержащая все
вершины из Nf. Ранг этой грани больше нуля, так как в противном слу-
чае функция имеет единственную т.д.н.ф. и, следовательно, У(/) = 1.
Пусть грань g имеет ранг г^ 1, тогда
yp(n)=y(f) =l(Di) ^ \Nf\ <2»-'<2*-*.
2)l(D2)>2. Тогда Ур(/1)=У(/Х|^/|//ф2)<2л-*. Отсюда и выте-
кает, что Ур(п) ^2П~1.
Оценка сверху для RP(n). Пусть функция f из Рп такова, что
R(f)—Rp(n), и пусть Du D2 — т.д.н.ф. функции / такие, что R(f) =
= L(Di)/L(D2). Заметим, что Ν-Φ0 и, следовательно, любой импли-
кант функции / имеет ранг больше нуля. Тогда
/(Di)· max г (Id)
L(Di) ^^j
L(D2) ^ /(D2)· min r{K2)
Rp(n)=R(f) = -7%fr< un, V ,„, <Ур(п)./К;|.2"-1,
*2e»2
где г (/С) — ранг конъюнкции /С. Итак,
Нижние оценки. Рассмотрим произвольную всюду определенную
функцию f(*i, ...,*n_i). Определим частичную функцию <p/(*i, ...,*n-i,*n)
следующим образом:
4* 51

φ/(α1, ...,an-i, 0)=0, если /(ось ...,an-i) =0,
q>/(ai, ...,an-i, 1) = 1, если f(au ..., an-i) = 1.
На остальных наборах (оы, ...,an) функция φ/ не определена.
Отметим следующие свойства функции:
1) Д.н.ф. хп реализует φ/ и является минимальной и кратчайшей.
2) Всякая т.д.н.ф. функции / является т.д.н.ф. функции ср/. В работе
В. В. Глаголева [2] построена для любого (достаточно большого) η
функция f(xu ...yxn-i)y у которой существует т.д.н.ф. D такая, что
1(D) ~2n~l, L(D) ~η·2η~Χ. Отсюда вытекает, что для соответствующей
функции φ/ справедливо
У(ф/)^2-1(1-б;), Л(Ф/)>/1-2я-1(1—С ),
где δη, δη —^0 при η—^оо. Теорема доказана.
4. СРАВНЕНИЕ СЛОЖНОСТИ КРАТЧАЙШИХ И МИНИМАЛЬНЫХ Д. Η. Φ.
В работе Лин Син-ляна [3] рассматривалось соотношение между
сложностями различных кратчайших д. н. ф. одной и той же всюду
определенной булевой функции. Рассматривался также вопрос об от-
ношении сложностей кратчайших и минимальных д. н. ф. Пусть
U(f)= max ±Ш,
где максимум берется по всем парам к. д. н. ф. функции f. Пусть
V(f)= min-^ , где fm^M(f).
В работе [3] показано, что
max V(f) ~ max U(f) ~ —.
Пусть UP(n)= max i/(f)?P VP(n) = max V(f).
f&Pn f<=Pn
Теорема 3.
Up(n)=n—1, VP(n)~n.
Доказательство. Оценка сверху. Оценим сверху отношение
L(K)/L(T), где К— кратчайшая, а Г— тупиковая д. н. ф. функции f
из Рп. Заметим, что если в с. д. н. ф. Dc(f) функции f входит конъюнк-
ция ранга п, то она входит в ядро. Пусть s— число конъюнкций
ранга п, а /С' и Τ есть д. н. ф., получающаяся соответственно из К и Τ
отбрасыванием этих конъюнкций. Тогда
L(K) = n-s+L(K') ^ n-s+(n— 1)[/(К)—s]
L(T) ~ n-s+ЦТ') ^ n-s+[l(T)—s] ^
n.s+(n-l)[l(T)-s]
- n.s+[l{T)-s] ^П [·
Отсюда вытекает, что для всякой функции /^Рд справедливы неравен-
ства U(f) ^п— 1, V(f) </i—1.
Оценка снизу для UP(n). Рассмотрим функцию f^Pny определен-
ную следующим образом (рис. 2):
1, если α1=··· = αη=1,
71-1
/(ось ...,осг,)= | 0, если αη = 0, Σ аг=я—2,
г=г1
не определена в остальных случаях.
52

Очевидно, что для функции f д. н. ф. К\ =
z=xtx2 ··· Xn-i и К2=Хп являются кратчай-
шими. При этом L(Ki)/L (/С2)=я— 1.
Отсюда UP(n)^n—1.
Оценка снизу для VP(n). Построим функ-
цию f^Pn, которая дает нижнюю оценку.
Пусть Si — множество всех двоичных наборов
η η
(сы, ·*·,αη) таких, что Σ α* = 0, Σ =2.
г=1 г=к+1
/кг
Обозначим через 0 набор длины я, состоя-
щий из одних нулей. Положим S = SiU{0}·
Обозначим через β,·,;· набор
(β4, ...,βη) такой, что β* =
=^.= 1, а все остальные ко-
ординаты равны нулю. Поло-
жим Ei= U {fLitj},E=[)Ei·
Определим теперь функцию
/ из Рп следующим образом
(рис. 3):
/>~/
Рис. 2
Рис. 3
1, если αε£;
IS[)E.
f(a)= j 0, если aeS;
не определено, если al
Отметим следующие свойства функции /.
1) Сокращенная д.н.ф. функции f имеет вид Dc(f) =xi\/...\/xK\/
V^iV...V«k-i, где aj=xK+i...xK+j-i *k+j*k+j+i ...£n, /=1,..., п. Нетруд-
но убедиться, что конъюнкции из Dc(f) являются простыми импликан-
тами. Убедимся, что других простых импликантов у функции / нет.
Пусть Λ' — произвольный простой импликант, а I=NK — соответст-
вующий максимальный интервал. Рассмотрим тот набор α из интерва-
ла /, который имеет наименьший вес. Вес набора α не превосходит
двух, так как / содержит хотя бы один набор из £, а вес такого на-
бора равен двум. Покажем, что вес набора а не может быть равен
двум. Отметим, что поскольку а набор наименьшего веса в /, то вся-
кий набор из интервала /, может быть получен из а заменой некоторых
нулей на единицу. Отсюда следует, что если вес а равен двум, то a
совпадает с некоторым набором β2·^ из Е. Но всякий интервал, в кото-
ром β1)7 является набором наименьшего веса, содержится в интервале
Nx. · Это противоречит максимальности интервала /. Таким образом,
вес а равен одному. Ясно, что единичная координата набора а имеет
номер, меньший 2k, поскольку в противном случае ни один набор из Ε
не мог бы содержаться в /. Если единичная координата набора а име*
ет номер t{t^k) то, очевидно, I=NXt . Если же k<t<2k, то
93

2) Существует ровно две тупиковые д.н.ф. функции f: Di=XiV··· V**
и D2=aiV ... Vflfc-i. Нетрудно проверить, что Di и D2 являются т.д.н.ф.
Тот факт, что не существует других т.д.н.ф. функции /, вытекает из
следующего замечания. Пусть некоторая д.н.ф. D реализует / и состо-
ит из конъюнкций д.н.ф. Dc(f). Пусть в D отсутствует одна из конъюнк-
ций Хг (или α;·), тогда в D входят все конъюнкции dj (соответственно
*г·). Пусть отсутствует конъюнкция Хг. Рассмотрим наборы из Ег.
Ни один из них не покрывается интервалом вида NXt, l^t^k, Ιφ[.
Вместе с тем набор β*;7· покрывается интервалом Να. и только им.
3) Д. н. ф. D2 является кратчайшей, а Di — минимальной (при
я>2&), притом L(D\)=kf L(D2) = (k—\)(n—k). Таким образом,
V(f)=n\ 1 г- И 1 )· Полагая k=y п, получаем отсюда, что
Vp(n) > п. Теорема доказана.
5. ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ СОКРАЩЕННОЙ Д. Η. Φ.
Пусть D\jT(f)(DuM(f), D{jK(f)) — д.н.ф., состоящая из всех
конъюнкций, входящих хотя бы в одну из тупиковых (соответственно
минимальных, кратчайших) д.н.ф. функции f^Pn.
В работе [4] показано, что с.д.н.ф. функции f из Рп может иметь
существенно больше слагаемых (в З^1-0*1» раз), чем д.н.ф. Dur(/)
или D\jM(f)· В другой работе [5] исследовалось отношение длины
Dc(f) к длине £)с(/),_где /— отрицание функции /. В [5] показано,
что для функций из Рп это отношение также может достигать величи-
п(1-бп)
ны 3 , где 6„—>0 при ги—^оо.
В этом разделе исследуются эти же соотношения для частичных
функций Рп. При этом под отрицанием частичной функции / понима-
ется функция φ такая, что Νφ=Νγ, A'—=jV/, N~=N~. Здесь иссле-
дуется также отношение длины с.д.н.ф. функции f из Рп к длине д.н.ф.
D их(/)· Полученные здесь оценки имеют тот же порядок роста, что и
оценки соответствующих параметров для всюду определенных функ-
ций. Примечательно то, что нижние оценки получаются для всех пара-
метров сразу с помощью весьма простой конструкции. Пусть
/ерп/(^ир(/·)) /еРп/фиАг(п)
,„. HDvxU» ' "' ,„« '(ОсШ)
Теорема 4. Если %(п) — произвольный из параметров АР(п),
Вр(п), Ср(п)у Dp(n), то
l+l°p(n-l)^x(n)^l°p(n).
Доказательство. Оценка сверху. Очевидно, что %(п)^1р (п).
В силу теоремы 1, 1ср (п)=1с~(п). Отсюда и вытекает верхняя оценка.
Нижняя оценка. Пусть f (х\, ...,*n_.i) — всюду определенная функ-
ция такая, что l(Dc(f))—lp (η—1). Заметим, что f не является кон-
стантой. Рассмотрим частичную функцию ψ из Рп следующего вида:
#*= {(оы,..., оьп-1, l)/(ai,..., a„-i) ей»"1},
Ν- = {(ai,..., an-i, 0)/(сы,..., an-i) еВйЧ}.
54

Очевидны следующие свойства функции:
1) DcW=Dc(f).
2) Единственной тупиковой, а следовательно, единственной мини-
мальной и кратчайшей является д.н.ф. хп.
3) Сокращенной д.н.ф. отрицания функции ψ является д.н.ф. хп>
Из свойств 1—3 вытекает, что для любого из параметров %(п) из
условия теоремы справедливо неравенство %(п) ^1+/° (п— 1). Теоре-
ма доказана.
Следствие. Пусть %(п) — произвольный параметр из перечис-
ленных в условии теоремы 4. Тогда
х(«)=з
Доказательство. Утверждение вытекает из оценок парамет-
ров, полученных в работе А. П. Викулина [6]. Там показано, что
On Qn
Cl.^/c (я)^Са~,
где Си Сг— константы.
6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТУПИКОВЫМИ, МИНИМАЛЬНЫМИ
И КРАТЧАЙШИМИ Д. Η. Φ.
Оценки для максимального числа тупиковых д.н.ф. у функций из
Рп изучались в [8], [9]. Здесь приводятся примеры частичных функ-
ций, дающих высокие нижние оценки для числа тупиковых д.н.ф. и от-
ношения числа тупиковых д.н.ф. к числу минимальных (кратчайших)
д.н.ф.
Пример 3. Функция f определена следующим образом:
Nf = Bti U fi?+i, Nj = Bhn U BU-г U Яйч*.
»*-[f]· Чт1-
Всякое тупиковое покрытие множества Nf состоит из проходящих
через вершины множества Nf и не пересекающихся с множеством
N-j граней размерности I. При этом для каждой вершины из Nf в ту-
пиковое покрытие входит ровно одна грань. Легко проверить, что чис-
/•ч/
ло максимальных интервалов, содержащих вершину ae/J^-i,
(a^Bk+i), равно Ch-i (соответственно Cn-k-i)- Таким образом, число
тупиковых покрытий равно
ch-l ch+l
(Ch-i) · (Cn_fc_i)
При k= I ~o~ I и /= I --r-- Ι и достаточно бол
ьших η эта величина
(1+0(1)). .
2л
)).]/ _!L.2n
г 2л
равна 2 . Очевидно, что всякая т.д.н.ф. является кратчай-
шей и минимальной.
Приведем теперь пример частичной функции, имеющей большое
число т.д.н.ф. и единственную минимальную (кратчайшую) д.н.ф.
55

Пример 4. Функция φ из Рп определена следующим образом
(рис. 4):
Mp={(ai,...,ocn)/cxn=l, Σ aie{k—l,k+l}},
2 = 1
Ν- = {(ai,..., an)/an = 0,
Σ aie{fe, й—/—2, k+l+2}},
2 = 1
k?+£+2
и-f 2
Нетрудно видеть, что единственной мини-
мальной и кратчайшей д.н.ф. является д.н.ф.
хп. Кроме нее, тупиковыми д.н.ф. являются
все тупиковые д.н.ф. функции f(xu ...,jcn_i),
построенной в предыдущем примере. Таким
образом, если τ (ψ), μ (φ), κ (φ) соответствен-
но есть число тупиковых, минимальных, крат-
чайших д.н.ф. функции φ, то
Рис. 4.
τ(φ) =
τ(φ) τ(φ)
(1+0(1))
μ (φ) κ (φ)
>*(f)>2
f 2π
Отметим, что функция φ из Рп относится к классу так называемых
«плотных» функций (см. [8]):
а) ее протяженность равна 2;
2п
б) разброс длин тупиковых д.н.ф. равен с' . а разброс слож-
ностей
УТГ- 271;
Гп
>г/гг.2п
в) число тупиковых д.н.ф. τ(φ)>2
г) среди тупиковых д.н.ф. имеется всего лишь одна минимальная
(кратчайшая) д. н. ф.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев Ю. Л. О сравнении сложности тупиковых и минимальных дизъ-
юнктивных нормальных форм. Сб. «Проблемы кибернетики». М., Физматгиз, 1963,
вып. 10, с. 5.
2. Глаголев В. В. О длине тупиковой дизъюнктивной нормальной формы. «Мат.
заметки», 2, № 6, 665 (1967).
3. Лин Си н-л я н. О сравнении сложностей минимальных и кратчайших дизъ-
юнктивных нормальных форм для функций алгебры логики. Сб. «Проблемы киберне-
тики». М., Наука, 1967, вып. 18, с. И.
4. Левин А. А. Об относительной сложности сокращенной д. н. ф. Сб. «Дискрет,
анализ». Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1969, вып. 15, с. 25.
5. Левин А. А. Об отношении сложности д. н. ф. функции к сложности д. н. ф.
ее отрицания. Сб. «Дискрет, анализ». Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1970, вып. 16,
с. 77.
6. В и кул ин А. П. Оценка числа конъюнкций в сокращенной д. н. ф. Сб. «Проб-
лемы кибернетики». М., «Наука», 1974, вып. 29, с. 151.
7. Журавлев Ю. Л. Алгоритмы построения минимальных дизъюнктивных нор-
мальных форм для функций алгебры логики. Сб. «Дискрет, математика и мат. вопр.
кибернетики», т. 1. М., Наука, 1974, с. 67.
8. Васильев Ю. Л., Глаголев В. В. Метрические свойства дизъюнктивных
нормальных форм. Сб. «Дискрет, математика и мат. вопр. кибернетики», т. 1. М., Нау-
ка, 1974, с. 99.
9. Сапоженко. Дизъюнктивные нормальные формы (метрическая теория). М.,
Изд-во МГУ, 1975.
Московский государственный университет
[4/Х 1977]
56

О НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИ
ОПТИМАЛЬНЫХ УПАКОВКАХ
Я. Я. Кузюрин
h ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Предлагается один общий метод построения максимальных упако-
bqk и оценки их мощности, связанный с подсчетом числа решений си-
стем сравнений определенного вида. Задача об упаковке рассматрива-
ется в следующей постановке. Пусть q^2— целое, А= {ао,..., <V-i} —
частично-упорядоченное множество с выделенным элементом а0, назы-
ваемым нулевым, и частичным порядком а^а0у a^ah /=0, 1, ...,</—1.
Пусть заданы натуральные числа /, k, η такие, что l^l^k^n. Обо-
значим через Ап множество всех векторов v= (uu ..., vn) таких, что
Vi^Ay i= 1, 2,..., п. Весом вектора ν (обозначение ||и||) назовем число
->· -►
его ненулевых координат. Пусть А" = {ν^Αη : ||и||=&}. Будем гово-
-+■ ->■
рить, что вектор и=Ыи ...,ип) покрывается вектором v=(vu ...,υη)
(обозначение u^v)y если Ui^viy * = 1, 2,..., п.
Упаковкой векторов веса / векторами веса k называется подмноже-
ство векторов Pq{nykyl)<=:A£y для которого выполняется условие:
любой вектор веса / покрывается не более чем одним вектором из
Pq(nykyl). Число векторов в максимальной по мощности упаковке
обозначается через mq(n,kyl). Покрытием множества Л/ векторами
из Аи называется подмножество Qq(n, k, /)^Л£ такое, что для любого
v^A? найдется u^Qq(ny ky /), покрывающий υ (u^v). Задача об
упаковке заключается в нахождении или оценке функции mq(n\k,l).
Эта задача рассматривалась многими авторами ([1—5]). Известно
точное значение т2(я, 3, 2) [1] и для некоторых классов η значение
т2(М,2) (И, [4]).
В работе [3] доказано, что
■ im «*(П,М).С1 =1 и limm2(n.P+1.3)-C-+1=i)
где ρ— степень простого числа. При <7 = 3 задача допускает следую-
щую геометрическую интерпретацию. В качестве Л={а0, ai, а2} выби-
рается А = {—,0,1}, причем а0 соответствует символу {—}. Тогда
множеству Ап соответствует множество всех граней единичного я-мер-
ного куба, причем вектору веса k соответствует грань размерности
η—/?. Задача нахождения функции т3(пу η—ky η—/) эквивалентна на-
хождению максимального числа граней размерности k единичного
«-мерного куба, никакие две из которых не содержатся в грани раз-
мерности /.
Из мощностных соображений нетрудно получить следующую оцен-
ку, хорошо известную при q = 2 ([1], [3]):
С1
mg(M,/)<—2-(<7-;)<. (1)
57

Более точной является оценка, доказанная для q=2 в [1]:
.*<.,*.<>< [; («-υ [Й-<«-'>[ ··■ [^щг·'-') ] ··· Ш <2»
При <7 = 2, й=3, 1=2 в (2) достигается равенство тогда и только
тогда, когда пФЬ (mod6) ([1]). Нижнюю оценку для максимальных
упаковок можно получить известным методом исчерпывания, подсчи-
тывая все векторы веса &, которые покрывают хотя бы один вектор
веса /, покрываемый фиксированным вектором из Аи :
mg{n>k>l)>~I=r~ Сп-(Ч-\)к ,t (3)
Σ Σ Ci ■ Cl ■ C\\ ■ (<7-2)i■ (q-l)*-i
i=0 j=0
где 0C=1. Однако при растущих п и k оценка (3) отличается от (1)
порядком. В [6] доказана асимптотическая оптимальность оценки (1)
k
при <7 = 2, l=k—1, >Q и η—νοο. Аналогичный результат имеет
место и для q>2 ([7]). Далее получим две нижние оценки mq(ntkj),
которые близки к (1).
Примем следующие обозначения. Пусть N = {1,2,..., η} и А'=
=А\{аь} — множество ненулевых элементов А. Через fiiX/?2 будем
обозначать декартово произведение множеств В{ и В2. Пусть заданы
система подмножеств {Ni}i==:U где Ni^N, i= 1, ...,/е, и вектор
(Zi,...,2fe), где Zi=(yuti)y tfi^Nu ti<=A', причем УгФу^ (i¥=j). Этому
вектору поставим в соответствие вектор υ^Α* такой, что yu...,tfk —
номера его ненулевых компонент, a t\,...,th— значения этих компо-
нент. Вектор (zu ...,zk), соответствующих вектору v^Ak , будем обо-
—►
значать через Tq(v). Пусть г — г(т) обозначает наибольшее-простое
число, не большее га. Из теории чисел [8] известна оценка: для любого
ε>0 найдется га0 такое, что при ra^rao \r(m)—га|^та, где
α=3/δ+ε. Наконец, для простых ρ через Ζν будем обозначать поле
вычетов по модулю р.
2. НЕКОТОРЫЕ КОНСТРУКЦИИ И ОЦЕНКИ ДЛЯ УПАКОВОК
Предлагаемый способ построения упаковок с фиксированным весом
векторов заключается в задании специального соответствия между
некоторым множеством ^-мерных векторов {(хи ...,*ь)} и векторами
из Л£ и выборе в качестве множества ^-мерных векторов всех реше-
ний некоторой системы сравнений:
( Fl(Xl,...,Xh)*SzCl
(mod ρ), (4)
I Fk-i{xy...yxk)=ch-i
где функции Fi,..., Fk-i подбираются так, чтобы множество векторов
из Ak> соответствующие решениям системы (4), было упаковкой мно-
жества Л/п Правило соответствия определяется некоторой фиксиро-
ванной системой подмножеств {Агг}г=1, Ni^N, /=1,2, ...,&. А именно,
пусть #/={1,2,...,/-*}, где /*^ |^г| · (q— 1), и заданы взаимно одно-
58

значные отображения Ν/ в А^ХЛ' φ2·: Ν/—н¥гХЛ', /=1,...,&, удов-
летворяющие условию согласования:
еСЛИ (fi(Xo)^(Ni(]Nj)XA/, ТО <р,'(*о) =фг (*θ) , I,/= 1, 2, ..., *.
Положим Xk—{(xu ...,Xk), Xi^Ni', /=1,2,...,&}. Тогда любому под-
множеству УеХЛ соответствует множество P(Y) векторов из А£, за-
даваемое равенством Р(У) = {и^Л^1: существует (уи..., ^)еУ такой,
—>
что (φ1 (i/i),..., φ* (у*)) = Τq (v)}. Функции Fi (хи..., Хн), 1=1, ..·, ^—/
выбираются такими, чтобы они удовлетворяли двум условиям:
1) правило перестановки: если <pi(Xi)'=(yuti)> у>з(хз)= {Уи U) и
Уз, yi^Ni()Njt то при любых zu ...,z*-i, Zi+i, ...,Zj-i, zj+1,...,zfcf Ζμ&νμ',
μ=1,...,& выполняется равенство
Ft(zi, ...,Zi_i, #г·, z2-+i, ...,Zj_i, α:;·, Zj+i, ...,£&) =
= Ft(Zi9...,Zi-U xj> Zi+U --·> Zj--1, *i, Zj+b ···, Zfe) , /=1,...,&—'·
2) / — однозначная р-разрешимость: при фиксировании любых
I переменных в системе (4), оставшиеся определяются однозначно с
точностью до перестановок (условие 1) при любых сь..., си-и причем
Xi^Ni. Множество функций {Fi,..., Fk-i}t удовлетворяющее условию 2,
будем называть I — однозначным над {#/}?=!.
Если У= {(хи ...,*&)} — множество решений системы (4), причем
для тех хи Xj, Для которых yi(xi) = (yuti), q>j (*,·) = (i/j.fj) и
i/г, y^Ni{\Nj выполнено условие у%Фуи ('¥=/), то соответствующее
множеству У множество Р(У)^Л/Г является упаковкой Аи в силу
свойств 1 и 2.
Рассмотрим вариант этого метода, когда система подмножеств
{Ni}£=i удовлетворяет условию Ni{\N2-=0 {ьф']). Нетрудно видеть,
что в этом случае отсутствует первое ограничение на функции
Fu...yFk-i — правило перестановки. Выберем эти функции линейными.
Теорема 1: Пусть q — целое, q^2 и последовательности натураль-
ных чисел k = k(ri) и 1 = 1(п) удовлетворяют условиям:
1) k(n)—мх) и k2+(q— l)«.(/i—ε)α·^-α— (q— I) (n—k)<0 при
η—*οο и некотором α>3/5;
2) // r-r >0 при η—*'οο;
Доказательство. Разобьем множество .V на k непересекаю-
щихся подмножеств Ni таких, что \\N\\—1^11^1, г, /= 1, 2,..., k.
Положим т= ] — · (q—1) и выберем подмножества УУг^А^ХЛ' так,
чтобы \Ni\=r(m)y где г(т) — наибольшее простое число не боль-
шее га.
Пусть φ* — взаимно однозначное отображение N/= {1,2, ...,r}
на Ni _
φ{: NS—+Nu 1=1,2,...,*.
Из условий теоремы следует, что найдется число я0, такое, что при
пТ^по выполнено неравенство r>k.
59

Пусть п^п0; рассмотрим систему сравнении:
г=1
к
Σ i-*i = <:2 (modг), (5)
1 = 1
I
Σ ih-l-^Xi^ck-i
i=l
где ci, ...,ck-i фиксированы из {0, 1,..., г— 1} х^{1, 2, ...,г}
i=l,2 Л.
Сопоставим каждому решению (xi, ...,Xk ) системы (5) ^-ный вектор
v^Ahn по правилу Tq(v) = (q>i(xi ), ...,φ&(.*ν )). Получим некоторое
подмножество /С^^Ль которое является упаковкой векторов веса /,
поскольку в двух различных решениях системы (5) не могут совпадать
значения / соответствующих переменных (главный определитель си-
стемы — определитель Вандермонда). При достаточно больших η
справедливы оценки
\Кч\^\т\'=^((^—1)(д-1)-(±-1)а.(я-1)^>
>
(тГ<^'-(^(Д,)Г-№<«-■>?·
mq(n,k,l)-Ci -> (*)/ , С?
Получим ^Д? >-^->1-—>1-е„
где εη—^0 при η—^оо. Сравнивая с (1), убеждаемся в справедливо-
сти теоремы.
Из вышесказанного вытекает справедливость следующего ослаб-
ленного варианта гипотезы Эрдеша—Ханани [4].
Следствие. При <7Ξ^2, /^2 имеет место равенство
,. ,. mq(n,k,l)'Ck -
im hm ; =1.
Рассмотрим теперь другой вариант описанного метода, при котором
система подмножеств {Ni}i==l выбирается из условия Mt = Ny i=l,...,&,
Ni={\,2,...,n(q—1)}. Пусть φ — взаимно однозначное отображение
φ : {1,2, ...yn(q—1)}—hVX/I'. В этом случае правилу перестановки
удовлетворяют только симметрические функции от переменных
Xu...,Xk, а второе соответствует однозначной разрешимости системы
симметрических функиий
F{(xu ...,xk)=a
(mod/?), (6)
Fh-i(xu...,xk)=ch-i
где p^m = n(q—1), ρ — простое число, *ге{1,2,..., т},
/=1,2,...,*.
Упаковку, соответствующую множеству решений системы (6), обо-
значим через Т*' (ci,...,Ck-i), где S= {Fi,...,Fk-i). Оказывается, что в
60

таком виде можно представить любую упаковку, в том числе и макси-
мальную.
Теорема 2. Пусть 1</<£<Аг, р{ и р2 — простые числа, удовлетво-
ряющие условию p<i>p{^m. Для любой упаковки Pq(n,kJ) существу-
ют /-однозначное над Ni= {1, 2,..., т) множество S*={F*, ...,Fk-i}
симметрических функций аргументов xi,...,Xk и си —,Ck-i из Zv такие,
что Pq(n,k,l)=T^ (cl ...,cft°_()·
Доказательство. Достаточно, чтобы функции F*, ...,/v-z удов-
летворяли условию:
Fi*(xu...,xk) =
Pi, если существует v^pq(n,kfl) такой, что Tq(v)-
= (<p(*i),...,q>(*fc)b
Gi(xu —>Xk) (mod pi) в противном случае,
где ou...,Ok-i — первые k—/ элементарных симметрических функций
ОТ *i,..., .Vft.
Нетрудно проверить, что F*, ...,^/Г-/ — симметрические функции и си-
стема S*= {Fu ..., Fh-i) /-однозначна над множеством {1,2, ...,т}.
Ясно также, что Pq(n9 k, I) = Т s* (pu ..., Pi), т. е. Pq(n9kJ) задается
решениями системы
F* (*i,...,*a)se/>i
(modp2),
Fk-i(xu ...,xk)=pi
где хге{1,2,..., m}, i=l,...,fc.
Так как при заданном / — однозначном множестве функций S =
= {Fu.., Fh-j} число систем вида (6) равно рк~1, а число всевозможных
векторов (xu...,xk), xfe{l,2f ...,m}, с условием у%фуи (*¥=/), где
φ(Хг) = (//,·,/?), /=1,2, ...,&, равно (я)Л· (g— 1)*, то справедлива
Теорема 3. Пусть S= {/ч,..., Fk-i} — /-однозначное над {1,2, ...,га}
множество симметрических функций аргументов xi, ...,*& над полем Zp.
Тогда
mq(n,kj)^ max |TS (сь ...,γλ_Ζ) | > f fef · (7)
V"'cft-zeZp ' '
Например, при &<р множество S0= {ai,..., σ*-/} первых k—l элемен-
тарных симметрических функций от переменных Хи—,Хи является
/-однозначным над Zv. При фиксировании Хи ...,*/ получаем из (6)
систему вида
Gi(Xi+u.~,Xk)=Ct
(mod p),
Ok-l(Xl+l, -.>Xh) =c'k-l
которая, как известно, имеет в поле Zv не более (k—/)! решений, так
как если (yu...,yk-i) — решение системы, то yi,...,yh-i — корни урав-
нения хкЧ—ci хк-1-*-\-···+(— \)k-l-c'k-i=0 (modp).
Если k—/ не зависит от /г, то из оценки (7) получается порядок
роста величины mq(n,kj) при η—►«>, k^.c-n, где с<1 — константа.
Μ

Действительно, имеем
-^-(«-■)'>».(«-*-')>-й^1(Й.'о|^'|)))».М->
> i!!lL(q-iy.(\-c)h-i.—1
В частности, если /=&—1 и k = o(n) при η—►<», то при д^2,
k-l
mq(n, /?, k— 1) ~ —^— (9— l)*-1· Оценки типа (7) могут быть получе-
ны из рассмотрения других систем функций, например Si= {ai,..., 0г,
Oi+z+i, ...,ол}, где Л—/>i>l.
Нетрудно проверить, что при фиксировании / переменных в системе
( Oi(Xif ...,Xk)=Cl
Ог(Хи ...,Xk)=Ci
(mod p).
Oi+i+i(Xi, ...,Xk) = й+1
Ok(xu...,Xh)=Ck-l·
получим однозначно разрешимую систему (с точностью до перестанов-
ки переменных), если Ck-ΙΦΟ (mod/?).
Известно, что любую функцию от k переменных над полем Zv
можно представить в виде полинома [9], а симметрический полином,
в свою очередь, в виде
Ft(xt, ...,Xh)=ft(su ...,Sft),
I ft i
где k<p, t=l,...9k—l и 5г= Σ Xj (/=1, 2,..., k)— степенные сим-
метрические функции и ft — некоторый полином от k переменных.
Простейшим является случай, когда ft — полином первой степени,
ft
т. е. ff= Σ Ctj-S;(xu ...,Xk). Система (6) в этом случае задается
матрицей коэффициентов (сц), t=l, ..., k—/; j=l,...,k. Будем назы-
вать такие системы линейными, понимая под этим линейность относи-
тельно {si, ...,Sfc}. Рассмотренная выше система
Oi(xU ...,Xk)=Ci
О k-l (X U ~',Xk)^Ck-l
эквивалентна системе
Si(Xi9 ...,Xk)=c'i
(mod p)
(mod p), (8)
Sk-l(Xi, ...,Xk)=Ck-i
которая, очевидно, является линейной. Таким образом, оценка (7)
может быть получена уже в классе линейных систем из рассмотрения
системы (8). В частности, при l=k—l асимптотически оптимальные
упаковки существуют в классе линейных систем. Естественно исследо-
вать поэтому насколько хороши упаковки, существующие в классе
пинейных систем.
Система сравнений (8) изучалась в теории чисел ([10—14]).
В работе [11] доказаж), что число решений (8) можно представить
в виде ρ1+θ· {{k—l) У p)h, где |θ|^1. Отсюда вытекает, при некото-
62

рых ограничениях (см. [11]), асимптотика для числа решений (8)г
Опираясь на эти результаты, покажем, что при некоторых ограниче-
ниях оценка (7) не может быть асимптотически улучшена в классе
линейных систем.
Рассмотрим более общий случай, когда
Fj(*!,...,**)= Σ fi(Xi), /=1,...,£-/. (9)
Очевидно, что всякая функция f (si, ..., S/0> rz*e f— полином первой
степени, представима в виде (9), причем degfj(x)^k, где degfj —
степень полинома fj, j=l9...,k—/. Положим R= max degfj(x).
j=l,..., k-l
Оценим число решений (6) с левыми частями вида (9). Пусть fi(x) =
Р-1
= Σ сцхз— представление в виде полинома для fi(x), i=l,...9k—/
(все операции в Zv). Рассмотрим р-мерное векторное пространство Нр
—ν —► -*·
над полем Zp. Через L{6i,..., bt}, где ftt-effp, /=1,..., f, будем обозна-
чать линейную оболочку векторов &i,..., bt. Положим Сг= (^,о,..., c*,p-i),
-►
bi= (cifly..., CflP_i, d), где с/— правая часть i-ro сравнения в (6).
Пусть размерность подпространства L= {си..., с*-/} равна г, 1^л^
^Л—/, и ci,..., сг— его базис (для простоты записи мы выбрали
первые г векторов). Систему (6) можно переписать з виде
р-1 k
Σ d.y ( Σ Xi')*mCi
j=0 г=1
, > (mod ρ),
p-l k
Σ cfe-4,j· ( Σ Xi )scw
^ j=0 г=1
где ^^{1,2,..., m}, i= 1,...,Лг.
Пусть Т— число решений этой системы. Если найдется
-*■ -> -»>
/ое{1,2, ...,£—/} такой, что 6j0eL{6b ...,&г}, то эта система несовме-
стна, и поэтому jT=0. Б противном случае множество решений этой
системы совпадает с множеством решений системы
к
Σ fi(Xi)=Ci
.'~! . . . . (mod p), (10)
Σ fr(Xi)=Cr
г=1
где х*е{1,2,..., /л}, i=l, ...,&.
-> -+·
Теорема 4. Пусть векторы й,..., сг линейно независимы над Zp,
->
где й— вектор коэффициентов в представлении функции fi(x) в виде
полинома в Zp, t=l,..., г. Тогда для числа решений системы (10)
имеет место равенство
Т=— +Q(RfF+p-m)k, где |θ|«£1.
Доказательство. Используя равенство
Ру exni ^±ах ) - { Р ПРИ fl3s°(mod Ρ) ае=7
63

число решений (10) можно представить в виде
Р' i..~.i.,«,~.m^ll —' «-" l P
J) милчни nycA^idDiaiD а спас
Σ Π ΡΣ expf —х( Σ fs(xt)-c, )]
^, ,^
= p~r Σ exp ( —— ς tscs) Σ exp I ——X
i.-.ieiO, ···, p-i} ^ s==1 x1,-Ixfts{0,-Im-l} ^
Χ Σ U Σ M*0 =P-r Σ exp ( — Σ tscs) X
v==1 i==1 J ir-,^o,..,P-i X Ρ s==1 7
/ m~1 I 2ni R r \\h
Χ Σ exp I Σ Σ UcVtgx* )) .
\ x==o λ p g=0 v=l ' '
Выделяя из этой суммы член, соответствующий /i=··· = /r=0, и
применяя к остальным оценку А. Вейля (см. [11], [12])
если существует a^O(modp),
Ι ρ-1 Г 2я i II у—
Σ exp (fllJf+...+fle+1*.+i) <s//T (И)
Ι *=о L p J I
ajeZp, /=1,..., s,
то получим T=—— + ®(R\P + P—m)k-
Применение оценки (11) корректно, поскольку, в силу линейной
независимости с\, ..., сг, найдется номер g такой, что
г
Σ tvcV)g^0 (mod p).
Замечание. Доказательство проведено методом работы [11]
-*- —►
с дополнительным использованием линейной независимости ci,..., сг и
оценки
I т""1 Г 2π i II
Σ exp {aiX-\ f-^+i*s+1) <
I x=0 L Ρ J I
Ι ^_1 Γ 2π i II
^ Σ exp (at;H f-^s+i^s+1) +
I x=o L Ρ J «
p-i [ 2ni II,
Σ exp (atx^i j-a*+i*s+1) ^sfj+p-
x=m *■ Ρ J ·
+
-m.
Ρ
Нетрудно убедиться, что если η—*оо, q фиксировано и выполнены
условия
R<F, (12)
где 0<ε<]/2 и существует 0<δ<1 такое, что *0,
г
6>(2г+1)/( 2\ogm 1 21°g\/?+ yj- ) \ > 2cr,
\ logp \ogp J
где
с^тах{(1—2ε)-1, (2—2S)-1},
το из теоремы 4 получаем
T~nk~r{q—\y при η—^оо. (14)
Если выполнены условия (12), (13), то предыдущее равенство по-
казывает, что в классе линейных систем нельзя улучшить оценку (7),
64

так как п^_1)г ^'^
Из теоремы 4 можно сделать некоторые выводы и о покрытиях*
Из мощностных соображений следует, что не существует покрытий
С1
Qq{nyk,l) мощности меньшей, чем —2-(q—\)1. Сравнивая эту оценку
с1к
с (14), убеждаемся, что в классе могут существовать упаковки множе-
ства А *, являющиеся одновременно покрытиями Ai~\.
Теорема 5: Если 2(п—k+2) (q— 1)— ρ—2(q—1)2>0, то в классе
линейных систем существует упаковка множества Ak-u являющаяся
одновременно покрытием Ah-2-
Доказательство. Рассмотрим сравнение
h
Σ Xi = c(mod p),
г=1
где Xi = yi+(U—l)n, 0^Уг^п—\у l^ti^q—l, i=l,...9k.
При любых фиксированных Xi,..., хк-2 таких, что ухФу^ (*¥=/)>
получаем из (15) сравнение вида xk-i+xh=c'(mod р), которое имеет
не менее 2(п—k+2) (q— 1)— ρ—2(q— l)2 решений, удовлетворяющих
условию ук-ьФук} yk-u Укё={Уь...,Ун-2}, поскольку сравнение
2x+(tk-i+tk) -п^с'(тоар) имеет не более 2(q— 1)2 решений. Наличие
этих свойств и означает, что упаковка множества А^-и соответствую-
щая множеству решений (15), является одновременно покрытием Ak-2.
В заключение автор благодарит А. А. Сапоженко за внимание
к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Schon heim J. On maximal systems of κ-tuples. Studia Sci. Math. Hungar.
1, N 3—4, 363 (1966).
2. Brower A. E. Optimal packings of KU s into /<Vthe case η = 5 (mod 6), Math
Centre report, ZW 82/76, Amsterdam, sept. 1976.
3. Ε r d о s P., Η a n a n i H. On a limit theorem in combinatorial analysis. Publ.
Math. Debrecen, N 10, 10, (1963).
4. Эрдеш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в комбинаторике. М.,
Мир, 1976.
5. Ph. Delsarte. Fowe fundamental parameters of a code and their combinatorial
significance, Inform, and Control, 23, N 5, 407 (1973).
6. К у з ю ρ и н Η. Η. О минимальных покрытиях и максимальных упаковках
(κ—\)-подмножеств /с-подмножествами. «Мат. заметки», 21, № 4, 565 (1977).
7. К у з ю ρ и н Η. Η. Об асимптотической сложности покрытий и упаковок в еди-
ничном, n-мерном кубе. IV Всесоюз. конф. по проблемам теорет. кибернетики. (Тези-
сы докл.). Новосибирск, 1977, с. 173.
8. Монтгомери. Мультипликативная теория чисел. М., Мир, 1974.
9. Яблонский С. В. Введение в теорию функций /с-значной логики. — В кн.:
«Дискрет, математика и мат. вопр. кибернетики», т. 1. М., Наука, 1974, с. 9.
. 10. Марджанишвили К. К. О некоторых нелинейных системах уравнений в
целых числах. Мат. сб., № 33 (75), 639 (1953)
11. Линник Ю. В. Некоторые замечания об оценках тригонометрических сумм.
«Успехи мат. наук», 14, № 3, 153 (1959).
12. Кара цу б а А. А. Об одной системе сравнений. «Мат. заметки», 19, № 3,
389 (1976).
13. Марджанишвили К. К. Об одном особом ряде. Труды МИ АН СССР,
М., 1976, 142, с 174.
14. Varshamov R. R. A class of codes for asymmetric channels and problem
from the additive theory of numbers, IEEE Trans. Inform. Theory, 19, N 1, 92, (1973).
Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР
[20/ХИ 1979]
Заказ 9258 β5

<рДО)=о,
0 = 0, ψ,·(0)^=0, i,j=l,...,n, (2)
ОДНО МНОГОЗНАЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЛАГРАНЖА,
ВЫРАЖЕННОЕ ЧЕРЕЗ КОЭФФИЦИЕНТЫ ИСХОДНЫХ РЯДОВ
А. В. Куприков
Настоящая работа является продолжением [1]. Пусть даны голо-
морфная функция в окрестности начала координат
f(z)=f(zl,...,zn)
и отображение
к.
o>j=(Zj+<Pj(z)) кЫг)> /=1,...,л, (1)
где q)j и tyj — функции, голоморфные в окрестности нуля, удовлетво-
ряющие условиям
dzi
Kj^l — целые.
В [1] показано, что отображение (1) в некоторой окрестности
нуля V имеет многозначное обратное отображение с порядком ветв-
ления /ci· ... -/сп, причем плоскостями ветвления являются координат-
ные плоскости. Эта задача является обобщением задачи об обращении
системы степенных рядов, рассмотренной в [2, 3]. Обобщения на слу-
чай системы неявных функций рассмотрены в работах [4, 5].
В настоящей работе решается следующая задача. Пусть функции /,
Ф; и Ψ:/> /=1,..., я, заданы в окрестности нуля своими рядами Тейлора
/(г)= Σ αμΖ^
ψ,(Ζ)= Σ 6,μΖ»\
<рЛ*)= Σ cS]lz»9 (3)
и выполнены условия (2). Найти разложение функции f(z(w)) в ряд,
коэффициенты которой выражены через коэффициенты рядов (3).
Здесь z(w) — отображение, обратное к (1). Из [I]
α
Zj = Zj(o;)= Σ gi w*,
где
j _ v (-l)IP^I дМ Г ξ,·φβ-α d(h)
δα
11 ~·
2|α|<|β|<|α| <*! (β-α)! dtpl (o+i) d{l)
1 1
A(E) = ((Zi+cpi) -ψΓ1 ,..., (Ζη+φΛ) ·ψ% ),
здесь и далее предполагается, что неопределенность 0°=1.
В одномерном случае при φ(Ζ)==Ξθ поставленная задача решается
в [6] с помощью обобщенных полиномов Белла.
При заданных ограничениях справедлива
Теорема. В некоторой окрестности 0^сп функция f(z(w)) предста-
вима в виде
f(z(w))= Σ gym*,
66

где
sv к γ! _I±!L-hx *·λ ΥΧ'αλ!
&ο *
Δ— определитель с общим членом
Λ^=κ»(μ/ +1)сг>(г)+/ &.ν(,·)+(ν,·' +
+ 1Κ·μ(*Λ·ν (O+i +^μ«) fa +P<i)6iv«)+iri.· (5)
i
здесь Pij=l для f^=/, рц=ки /j= (0,..., 1, ...,0), </μ(1)=0 для μ<1>:^0,
do=0.
Суммирование Σ' ведется по наборам
β^Ο, ξ>0, Σ UyxI + Σ |λαλ| + |μ+ν|+δ=β,
Σ ΥΥ (0=Υ*> Σ αλ(<)=α*,
где
Σ =
„<ο
*(i)
Σ
β5»Χ({| >0
λ«>
Σ = Σ
λ<*> Ρ>λ(*)>0
Доказательство. В [1] формула (4) в интегральной форме
имеет вид
(J-_,y
а</1)
»'(-»-i,w/ '-^ it"6
ψ к ξβ+Ι
r={EeC»:|Ei| = ..-=|S„|=e}f η, = ΜΕ)> /=1,...,л.
Производя дифференцирование в якобиане и вынося множитель
к-1 d(h) 1
1/(κ·ψ κ ), получаем d(£) x_i__
/с ψ к
Общий член Δλ есть
-ΔΛ.
Bij= Σ (^(μ^·+1)^·μ+/. .biv+(vi+l)c^biv+ij +
μ>0
v>0
Вынося знаки суммирования и переменные по столбцам из определи-
теля, имеем
Σ (μ <*>+*<*>)
ΔΛ= Σ ξ i Δ,
μ^>>0
ν <г'Ы
/ « 1, ..., η
5* 67

с общим членом определителя Δ из (5). Отсюда следует, что
/(2(η))= Σ ( Σ (~1)<Ρ~Υ) ( j) )~7ohw I f ■<?*-"■* ~"X
V>0 Χμ«,ν<«>0 K M' У U"0 j.
(6)
Из интегрального представления в (6) видно, что те члены рядов
K.+V.
β .—V . к.
φ3· 3 д и ψ 3 , у которых хотя бы одна степень переменного £*
больше соответствующей степени β*, после почленного интегрирования,
будут равны нулю. Применяя полиномиальную формулу для возведе-
ния в соответствующую степень отрезков рядов cpj и i|)j, имеем
μ<''),ν<{)>0
Χ Π ( Σ (β^-ν,·)! Π ——— ξ* J X
x π ( ς —-—^—j π —— e ) x
x?WWP-x^
Перемножая ряды, стоящие под знаком интеграла, изменяя поря-
док суммирования и интегрирования, интегрируя почленно и исполь-
зуя стандартные обозначения для мультииндексов, получаем
λ
/ у+к \
σ _у, (—1) Ιβ-V+ocl β! \ к )а d* .bl'
gy—ь ■ α? π -—-—δ.
κ
Суммирование ведется по наборам, удовлетворяющим следующим ус-
ловиям
β^Ο, ξ^Ο, д( Σ Χ<ΛγΧα>+ Σ λθ·)αλ0·)+μθ·)+ν^)+ξ=β,
x(i) ,(i)
2 ΥΧω=Υ;> Σ αλ0·)=α:Ι·.
x(i) λω
Учитывая, что η = ^κ, получаем утверждение теоремы.
68

Следствие 1. Если в системе (1) φ,·(ξ)=0, /= 1,...,η, то β=γ и
(У+ИЛ
(—1)И * к ' " ~ π b*
iT- Σ ^ -= ^Π-^ρΔ, (7)
. λ
λ*
bo
ΣΙλο.|+1ν|+ξ-ν 1Л-.-НХ
λ λ κ
где общий член определителя i4ij=;(vj+Pij)b .v(i)+J _7 ·
Формула (7) получается непосредственно из (4).
Следствие 2. Если в системе (1) ф^(£)зз1, /=1,...,л, то
J-Щ^ I! cL.
/С V Vy
ΣΙκν¥|+Ιμ1+Ι=β
i
Замечание. В частности, при я=1 формула (7) принимает вид
у
<-»"(**·)
τ
2 о. α
1 λ X &Я
gv= ν Σ . eg п — (v+/c)6v, (8)
Σλα.+ν+ξ«ν γ+κ +Σα. λ~ * αλ
κ-bo
и вычисление коэффициентов gY в этом случае нам представляется
достаточно простым. Тем более, что суммирование з (8) ведется по на-
борам, удовлетворяющим фиксированному уравнению, решения кото-
рого могут быть заранее сведены в таблицу хотя бы для начальных
значений γ.
Выражаю признательность Г. П. Егорычеву и А. П. Южакову за
полученные замечания и внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. К у при ко в А. В. Ряд Лагранжа для одного многозначного обратного ото-
бражения. Сб. «Комбинаторн. и асимптот, анализ», 1975, Красноярск, Изд-во ГУ,
вып. 1, с 163.
2. С а у 1 е у A. Note sur une formule pour la reversion des series J. reine and
angew. Math, 52 (1856), p. 276.
3. S а с k R. A. Interpretation of lagrange's expansion and its generalization to
several variables as integration formulas J. Soc. Indust. Appl. Math., 13, 1 (1965),
p. 47
4. Болотов В. Α., Ю ж а к о в А. П. Обобщение формул обращения степенных
рядов на системы неявных функций. «Математ. заметки», 23, 1, 47 (1978).
5. Ю ж а к о в А. П. Элементы теории многомерных вычетов. Красноярск, Изд-во
ГУ, 1975, с. 182.
6. Селиванов Б. И. Комбинаторный подход к формуле обращения Бурмана—
Лагранжа. Сб. «Камбинаторн. и асимптот, анализ», 1977, Красноярск, Изд-во ГУ,
вып. 2, с. 153.
Красноярский государственный университет
[15/XI 1977]

ПРОБЛЕМА СЛЕДСТВИЯ В НЕКОТОРЫХ ПОДАЛГЕБРАХ
АЛГЕБР ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
М. Ю. Мотков
Проблема следствия и тесно связанная с ней проблема совместности
возникают при изучении процессов получения и переработки информа-
ции, в частности, при выявлении избыточности информации и при рас-
познавании противоречивости ее. Проблема совместности в форме
вопроса о совместности системы уравнений и проблема следствия в
форме вопроса о том, является ли неравенство следствием системы
неравенств, возникли давно и неоднократно занимали значительное
место в развитии алгебры и ее приложений. Отметим лишь несколько
известных результатов: «основная теорема алгебры», теорема Кроне-
кера—Капелли о совместности систем линейных уравнений, отрица-
тельное решение десятой проблемы Гильберта, теорема Минковского—
Фаркаша о линейных неравенствах-следствиях совместной системы
линейных неравенств.
В настоящей работе для ряда алгебраических систем изучается
разрешимость формализованной проблемы следствия. Имеются неко-
торые особенности подхода, связанные с тем, что проблема следствия
изучается применительно к исследованию алгоритмов обработки ин-
формации: изучаются в основном элементарные функции и предикаты,
наиболее часто используемые в качестве базисных операций алгорит-
мов; исследуются подмножества множества действительных чисел, со-
стоящие из чисел, имеющих конечное описание, например, множество
рациональных, множество натуральных чисел.
Статья состоит из трех разделов.
В первом приведены основные понятия и доказано несколько лемм
о разрешимости проблемы следствия.
Второй разбит на две части.
Первая посвящена алгебраическим системам с разрешимой пробле-
мой следствия.
Вторая посвящена алгебраическим системам с неразрешимой проб-
лемой следствия.
В разделе 3 рассматривается вопрос о перечислимости неравенств-
следствий с помощью так называемых естественных правил вывода.
Этот вопрос полностью решен для алгебр линейных функций.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Сигнатурой называется последовательность
(т ) (т ) (п ) (и)
a=<h \ .... fss ; Ρ,1, .... Ptl >,
(τη ) (η^
где fi — символ ^-местной функции, Pi — символ яг-местного
предиката. Алгебраической системой (а. системой) сигнатуры σ назы-
(™{) (m ) (η )
вается последовательность вида W=<M; fi , ..., /s ; Р{ , ...,
(яр
Pi >, где Μ непустое множество, называемое основным множеством
(т.)
системы W, \г — тгместная функция, определенная на множестве
Af, Pi — /7г-местный предикат, определенный па множестве М. Алге-
браическая система W называется алгеброй, если /=0, т. е. отсутству-
ют предикаты. Всюду в этой статье формулой сигнатуры σ будем
называть формулу узкого исчисления предикатов с равенством, все
70

внелогические константы которой содержатся в σ. Предикат
Р(хи ...,*п), определенный на М, назовем формульным на алгебре W
сигнатуры σ, если существует формула Q(xu ...,*п) сигнатуры σ со сво-
бодными переменными х\9...,хп такая, что для W выражение
Q(xu...,xn) истинно для тех и только тех значений хи...9хп из М, для
которых Р{хи ...,хя) = И*.
Простейшими формулами сигнатуры σ или простейшими формула-
ми а. системы Ψ сигнатуры σ будем называть формулы вида
Р(сы, ...,От), где оы, ...,ат-термы сигнатуры σ, Ρ — предикатный сим-
вол сигнатуры σ.
Дадим формальные определения массовых проблем, рассматривае-
мых в настоящей работе. Пусть W — а. система сигнатуры σ.
Проблема следствия для а. системы W: по произвольному выраже-
нию вида
( VXi '" %п
)(At&-&AK—►Лк+О, (1)
где Аи ...,Л„, Лк+1 — простейшие формулы а. системы W от Хи...,хп
или их отрицания, определить, истинно ли оно для W.
Проблема совместности для а. системы W: по произвольному выра-
жению вида
( у* - Хп) (At & - & Ак—^П М) (2)
определить, истинно ли оно для W.
Докажем лемму, позволяющую при изучении разрешимости рас-
сматриваемых проблем ограничиться исследованием проблемы след-
ствия.
Лемма 1. Для любой а. системы W проблема следствия разрешима
тогда и только тогда, когда для нее разрешима проблема совместности.
Доказательство. Необходимость. Множество выражений ви-
да (2) а. системы W является подмножеством выражений вида (1)
а. системы W. Поэтому если для а. системы W проблема следствия
разрешима, то для нее разрешима и проблема совместности. Достаточ-
ность. Выражение (1) истинно тогда и только тогда, когда истинно
выражение вида (2):
(V*i — Хп) (Ai & ··· & Ак & | Лк+1—* ~] At).
Поэтому если для а. системы W разрешима проблема совместности, то
для нее разрешима и проблема следствия. Лемма доказана.
Нам потребуется уточнение понятия разрешимости проблемы след-
ствия. Обозначим K(W) множество выражений вида (1) а. системы W.
Истинные для W выражения вида (1) называются квазитождествами
а. системы W. Обозначим /С+(И7) множество квазитождеств а. системы
W. Рассмотрим некоторую геделевскую нумерацию Norn формул сиг-
натуры σ, например нумерацию, используемую в [1]. При такой нуме-
рации каждой формуле h сигнатуры σ приписан номер Nom(h), вычис-
лимый по данной формуле. По заданному натуральному числу можно
определить, является ли оно номером некоторой формулы сигнатуры σ,
и если является, то однозначно восстановить эту формулу.
Будем говорить, что проблема следствия соответственно разрешима
или рекурсивно-перечислима для а. системы W, если множество
Мот(К+(УР)) номеров формул из K+(W) рекурсивно или рекурсивно—
перечислимо. Заметим, что множество Nom(K{W)) рекурсивно.
Введем некоторые обозначения: R — множество действительных
чисел, Q — множество рациональных чисел, N — множество натураль-
ных чисел.
* В дальнейшем будем рассматривать только либо формульные на алгебре преди-
каты, либо элементарные предикаты из множества {х=у, х>у, х>у]. Таким обра-
зом, основным объектом нашего исследования являются алгебры. Этими соображения-
ми и объясняется название статьи.
71

Докажем еще несколько лемм. Элементарной теорией алгебры Ψ
сигнатуры σ называется множество истинных для W формул сигнату-
ры σ. Обозначим это множество H+(W). Будем говорить, что элемен-
тарная теория алгебры W разрешима, если множество Nom(H+(W))
номеров формул из H+(W) рекурсивно.
Лемма 2. Если элементарная теория алгебры W=<M\ ft , ...,
···> fs > разрешима и {Pi , ..., Pi } — некоторое конечное мно-
жество формульных на W предикатов, то для а. системы <Af;
(т.) (т) (л ) (пр
/i , ..., /s ; Pi , ..., Pi > разрешима проблема следствия.
Доказательство. Справедливость утверждения леммы непо-
средственно вытекает из определения предикатов, формульных на W,
и разрешимости элементарной теории алгебры W. Лемма доказана.
Вычислимыми а. системами или ^-системами будем называть ал-
(mp (ms) (пА) (пр
гебраические системы вида <N; f\ , ..., fs ; Pi , ..., Pi >,
(m) (n.)
где fi — tn>i—местная общерекурсивная функция, Pt — tit—мест-
ный рекурсивный предикат.
Лемма 3. Если W — α-система, L^K(W) и множество Nom(L)
рекурсивно, то множество Nom(L(]K+(W))) рекурсивно тогда и только
тогда, когда оно рекурсивно — перечислимо.
Доказательство. Необходимость. Обозначим L+ =
= Lr\K+(W). Если множество Nom(L+) рекурсивно, то оно, очевидно,
рекурсивно-перечислимо. Достаточность. Пусть множество Nom(L+)
рекурсивно-перечислимо. Докажем рекурсивную перечислимость мно-
жества N \Nom(L*·). Опишем частичную функцию β (я), множество
значений которой совпадает с N \ Nom (L+). Пусть (щ, п2) — пара на-
туральных чисел, канторовским номером которой является п. β (/г) =/2t
тогда и только тогда, когда tn = Nom(h) для некоторого h^L и
ty(ti,..., tm) =Л, где ty(xu...,Xm) — обозначение послекванторной части
выражения A, a (U,..., tm) — /η-ка натуральных чисел, канторовским
номером которой является п2. В остальных случаях значение β (я) не
определено.
Считая тезис Черча справедливым, учитывая рекурсивность множе-
ства Nom(L), свойства нумерации Nom и канторовской нумерации
п-ок натуральных чисел, нетрудно доказать, что функция β (я)—частич-
но-рекурсивная функция. Таким образом, множество Nom(L+) и его
дополнение оба рекурсивно-перечислимы. Поэтому множество Nom(L+)
рекурсивно. Лемма доказана.
Следствие. Для ^-системы W проблема следствия разрешима
тогда и только тогда, когда она рекурсивно-перечислима.
Замечание. Результат леммы 3 нетрудно перенести на а. систе-
му W, для которой существует нумерация α основного множества а.
системы W, такая, что для любой функции f(xu ...,хп) а. системы W
найдется общерекурсивная функция f (хи ...,*n), для любого предиката
P(*i, ...,хп) а. системы W найдется рекурсивный предикат P(xi,...,xn)
так, что для любого набора натуральных чисел (mi, ...,mn)
f(ami,...,amn)=af(mi,...,mn) и P(a ти ..., атп) =Р(ти ..., та). По-
добные а. системы будем называть вычислимыми нумерованными а.
системами.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В этом разделе изучается разрешимость проблемы следствия для
ряда алгебраических систем.
72

Алгебраические системы с разрешимой проблемой следствия. Все
исследуемые а. системы разобьем на три группы, в зависимости от
того, является ли основным множеством а. системы множество /?, Q
или N.
Теорема L Для а. системы
</?; х+У> х-у, 0, 1; £/>, (3)
где U — некоторое конечное множество формульных на алгебре
</?; лг+г/, х-у, О, 1> предикатов, проблема следствия разрешима.
Доказательство. Элементарная теория алгебры </?; х+у,
х-у, О, 1> разрешима [2]. Используя лемму 2, получаем, что проблема
следствия для системы (3) разрешима. Теорема доказана.
Пусть <Q; Fs; x^O, x>0> — вычислимая нумерованная а. си-
стема, обладающая следующим свойством: для любой функции cpeFs
sign(<p(*i,..., A:n))=sign (φ (signal),..., sign (л:п)) и для любого r&Q
можно вычислить номер г.
Теорема 2. Для а. систем
<Q; х+У, 0, 1; х>у, х^у> (4)
и
<Q; Fs; х^09 *>0> (5)
проблема следствия разрешима.
Доказательство. Докажем первую часть утверждения тео-
ремы. Пусть Li,i, Li,2, ..., LK,i, Lk,2, Lu L2 — термы сигнатуры <х+(/,
О, 1> от Xi, ...,xn. Эти же обозначения сохраним и для функций, соот-
ветствующих перечисленным термам. Проблема установления истинно-
сти выражений вида
разрешима ([3] теорема 1.5). Пусть (6) ложно, т. е. рассматриваемая
система неравенств совместна. Тогда, как следует из теоремы Минков-
ского—-Фаркаша ([3], лемма 2.4), выражение
(V Xi--Xn) ((LlA^Li,2)&-&(LKti^LK}2)—+(LX^L2)), (7)
истинно тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные ра-
циональные числа ри ...,Рк, для которых имеет место тождественное
относительно (хи ...,xn)^Qn соотношение
к
Σ pi(Lifi—Li2)=Li—L2. (8)
Нетрудно показать, что проблема установления тождественной истин-
ности выражений вида (8) разрешима. Поэтому формула (8) дает спо-
соб перечисления всех квазитождеств вида (7) а. системы (4), для
которых соответствующее выражение вида (6) ложно. Множество но-
меров выражений вида (7), для которых соответствующее выражение
вида (6) ложно, при нумерации Nom формул а. системы (4), очевидно,
является рекурсивным; а. система (4) — вычислимая нумерованная
система. Учитывая замечание к лемме 3, получаем, что проблема уста-
новления истинности выражений вида (7), для которых соответствую-
щее выражение вида (6) ложно, разрешима. Если (6) истинно, то и
(7) истинно. Объединяя эти факты, получаем, что проблема установ-
ления истинности выражений вида (7) разрешима. Покажем теперь,
что для а. системы (4) разрешима проблема совместности. Рассмот-
рим произвольное выражение вида
( V^l •"*n)((Li>i>Lii2)&··· &(1т,1>Ат,2)&(^т+1,1>^т+1,2)А'··
... &(LKfi^LK)2)—>H(£*i,i>^i,2), (9)
где т^к.
73

Рассмотрим квазитождество (6), полученное из (9) заменой всюду
знака > на ^. Если (6) истинно, то и (9) истинно. Пусть (6) ложно.
Устанавливаем, истинны или ложны квазитождества вида (7):
(V Xi·· Xn)((LiA^Li)2)&·-- aiU^Uu-^iLj^L^)) (10)
для /=1,...,п. Пусть все эти квазитождества ложны. Это означает,
что для каждого /е{1,..., п) существует набор из η рациональных
чисел ¥j= (rifi,..., rhn) такой, что Αβ (?,·)'= Л и £j,i(fj)>Lj,2(r,·), где
h6(xu .·., Хп)— обозначение послекванторной части выражения (6).
\ т
Рассмотрим набор г=— Σ г,·. Очевидно, на этом наборе /*9(г)=Л,
т j==\
где h9(xif..., хп)— обозначение послекванторной части выражения (9),
т. е. (9) ложно. Пусть для некоторого /ое{1,..., л} выражение (10)
истинно. В этом случае истинно и выражение (9), так как для всех
решений равенства (L1,1^Li)2)&---&(LK,i^LK,2) =И справедливо ра-
венство Lj0,i = Lj0,2. Тем самым разрешимость проблемы совместности
и, следовательно (используем результат леммы 1), разрешимость про-
блемы следствия для а. системы (4) доказана.
Докажем, что для а. системы (5) разрешима проблема следствия.
Рассмотрим произвольное выражение вида
(4Xi...Xn)(Ai&-&AK—*Ao), (11)
где Ао,А\, ...,АК — простейшие формулы а. системы (5) или их отрица-
ния. Пусть A (#i, ...,хп) — некоторая простейшая формула а. системы
(5). Нетрудно показать, что А(х\,..., хп)=И тогда и только тогда,
когда A (sign(*i),..., sign (.*:„))= И. Используя этот факт, нетрудно
показать, что (11) истинно тогда и только тогда, когда высказывание
Л1&---&ЛК—►Ло тождественно истинно на множестве {—1, 0, +1}п,
что можно проверить, так как (5) — вычислимая нумерованная систе-
ма, и по числам —1, 0, +1 можно определить их номера в нумерации
а. системы (5). Теорема доказана.
Теорема 3. Для а. систем
•<N; х+у, 0, 1; £/>, (12)
где U— некоторое конечное множество формульных на алгебре
<jV; х+у, 0, 1> предикатов, и
<Af; х+у, х-у, 1-х, х-М, xv, max(*,i/), т'т(х,у); *=0> (13)
проблема следствия разрешима.
Доказательство. Элементарная теория алгебры <Ν; х+
+у, 0,1> разрешима [4]. Используя результат леммы 2, получаем,
что проблема следствия для а. системы (12) разрешима. Первая часть
теоремы доказана, докажем вторую часть.
Известно [5], что для а. системы (13) разрешима проблема установ-
ления истинности выражений вида
(V*i — Хп) (f(xi, .·., Xn)=Q),
где i(xi,...,xn) — терм сигнатуры о=<х+у, х-у, 1-х, *—1, тах(х,у),
т\п(х,у), ху> от Xi,...,Xn> Покажем, что решение проблемы следствия
для а. системы (13) сводится к установлению истинности подобных
выражений. Любая формула сигнатуры σ вида ~| (/=0), где f— терм
сигнатуры σ, эквивалентна простейшей формуле сигнатуры σ 1—f=0.
Поэтому произвольное выражение вида (1) сигнатуры σ можно пред-
ставить в виде (γ*1 ··· хп) ((φ1 = 0)&···&(φ|ς=0)—^(φ0=0)), где
74

φο,..., φκ— термы сигнатуры σ от xif..., xn. Нетрудно проверить, что
это выражение истинно тогда и только тогда, когда истинно выраже-
к
ние (V*i ··· *η) (φο· Π (1-^-φ*)=0). Теорема доказана.
Мы исследуем лишь вопрос о существовании алгоритмов решения
проблемы следствия, не интересуясь их сложностью. Приведем все же
один пример, характеризующий эту сложность. Проблема: «по данным
натуральным α, β, у выяснить, имеет ли натуральное решение урав-
нение α*12+β*2—γ=0» есть АФ-полная проблема [6].
Алгебраические системы с неразрешимой проблемой следствия.
Используя тот факт, что существует общерекурсивная функция fo(x),
множество значений которой нерекурсивно [7], нетрудно привести при-
мер а. системы с неразрешимой проблемой следствия. Покажем, что
для системы
<N-fo(x),x+l,l;x=y> (14)
проблема следствия неразрешима. Обозначим η терм 1 + 0+(—h
+ (1)···), в котором символ «1» встречается η раз. Допустим, что
проблема следствия для системы (14) разрешима. Тогда для любого
η^Ν можно установить, истинно ли выражение (ух) ((fo(x) =ri)—>>
—* — ~1 (fo(x) = n))> что противоречит нерекурсивности множества зна-
чений /о(*). Утверждение доказано.
Теорема 4. Для а. системы
<Л/Г; х+у, х-у, О, 1; х=у> (15)
проблема следствия неразрешима.
Доказательство. Из предположения о разрешимости пробле-
мы следствия для а. системы (15) следует существование алгоритма,
устанавливающего по произвольному диофантову уравнению, имеет
ли оно решение в целых числах, что неверно [8]. Полученное противо-
речие доказывает теорему.
Замечание. Некоторый интерес представляет следующее утверж-
дение для алгебры
<N;x+y,x-y,x—y, 1> (16)
проблема установления истинности выражений вида
(V*i ··· Xn) (f{xu ·.., яп)=0), (17)
где f(xi, ...,Хп) — термы сигнатуры а=<х+*/, х-у, х~у, 1> от
хи ...,хп, неразрешима. Действительно, используя тот факт, что выра-
жение х=у эквивалентно конъюнкции (х—у=0)&(у-1-х=0), выраже-
ние (х=у) эквивалентно выражению (x-^-i/) + (^/-^-а:) =0, и выраже-
ние хфО эквивалентно выражению 1—х=0, можно любое выражение
вида (1) а. системы
<N; х+у, х-у, х—у, 1; х=у> (18)
привести к виду
(V*i-*n)((fi = 0)&...&(fK=0)—Ч/к+1=0)), (19)
где fu ...,/к, /к+1—термы сигнатуры σ от xiy ...,*n. Допустим, что про-
блема установления истинности выражений вида (17) разрешима.
Тогда, почти пословно повторяя доказательство второй части теоре-
мы 3, получаем, что проблема установления истинности выражений
вида (19) разрешима, и, следовательно, разрешима проблема следст-
вия для а. системы (18) и тем более для а. системы (15). Полученное
противоречие доказывает утверждение.
75

3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРАВИЛА ВЫВОДА НЕРАВЕНСТВ-СЛЕДСТВИЙ
В этом разделе изучается вопрос о перечислимости линейных нера-
венств — следствий системы линейных неравенств с помощью естест-
венных правил вывода. Наш подход здесь будет скорее алгебраиче-
ским, чем алгоритмическим: будем рассматривать произвольные
а. системы вида
W= <i?; Fw; x>0, *<0}, (20)
где FW^S={ Σ djXi. \n^N, α,·ε/?, /=l,/i}, в том числе и W с не-
счетными Fw Чтобы не вводить новых терминов, подобные объекты
также называем а. системами. Пусть W— некоторая а. система вида
(20). Обозначим F(W) замыкание относительно суперпозиции множест-
ва функций Fw на множестве переменных {хи *2, ··, *п,...} и G(W) =
= {f>Q> f<0\f^F(W)}. Пусть σθ{-1, +1}. Запись ол^О означает
л:^0, если σ=1, и х^.0, если а=—1. Обозначим Pw множество все-
возможных выражений вида
& (огХг^О)—>во Σ aiXi^zO, (21)
где S щ XiEEF(W), Ог^{— 1, +1} для £=0, к и Oi = Oosign(ai)
г=1
для i=l,K.
Назовем Pw множеством естественных правил вывода а. системы W.
Конъюнкцию & (ог^г^О) назовем левой частью, а неравенство
σο Σ аг^г^О— правой частью выражения (21). Определим действие
г=1
Pw на некоторое B^G(W) и опишем полученное множество выраже-
ний PW(B). Подставив в выражение (21), вместо переменных Xt,...9xn9
произвольные функции /i,..., fK из F(W), получим
& (oifi^O)—>σ0 Σ difi^O. (22)
г=1 г=1
Обозначим Ω множество всех выражений вида (22), которые указан-
ным способом можно получить из выражений множества Pw- Ищем
в Ω такие выражения, у которых все неравенства левой части Oifi^O
содержатся во множестве В. Правые части всех этих выражений и со-
ставляют множество PW(B). Нетрудно показать, что для любого
множества B^G(W)
PW(PW(B))=PW(B). (23)
Множество Pw назовем g-полным, если для любого истинного для
к
W выражения вида (v*i —*n)( & (Oifi^O)—►(σκ+i/Wi^O) (где
fi^F(W), fi зависит от хи...9хп, а*е{—1, +1}> i=1,k+1, найДется
неравенство (^^0)^Pw(Oifi^0, ...,σκ/κ^0) такое, что равенство
oK+tfK+i=e φ тождественно истинно на /?.
Получим критерий g— полноты Pw для а.системы W вида (20).
Определим Г-частичную функцию, заданную на конечных упорядочен-
ных подмножествах множества S, со значениями во множестве S.
к
Пусть K(=N, {fi, ...,fK+i}czF. T(fu ..., /Wi)= Σ а{хи если fi,..., fK —
тс
линейно независимая система функций и /Wi= Σ ctifu и Г(/ь ...,fK+i)
не определена в противном случае. г~~
76

Лемма 4. Множество /V3 -полно для а. системы W вида (20)
тогда и только тогда, когда множество F(W) замкнуто относительно
применения операции Т.
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим а. систему W
вида (20), для которой Р^З-полно. Докажем, что множество F(W)
замкнуто относительно применения операции Т. Пусть {fu ..., /Wi}c=
czF(W)f система ft, ...,f* линейно независима, /Wi= Σ atf; и fi за-
i—l
висит от Xi,...,xn, /=1,к+1. Покажем, что Σ aiXi^F(W). Очевидно,
i=l
выражение
к
(V*i,...,*„)( & (sign(ai)fi(xi, ...,*n)>0)—►/*+!(*!, ...,*n)>0)
истинно для а. системы W. Множество /V должно содержать правило
к к
& (sign(cii)Xi'^O)—>( Σ biXt^O) такое, что для W истинно выра-
г=1 1=1
жение
(V*i»->*n)( Σ bifi(xi9 ...yxn)=fK+l(xu ...9xn)).
г=1
Из линейной независимости множества {/i, ...,f*} следует единствен-
ность разложения fK+1 по fi, ...,fK. Поэтому bi = cii для t = 1, /с и
Σ aiXi^f(W). Достаточность. Пусть множество F(U7) замкнуто от-
i=l
носительно применения операции Т. Покажем, что множество правил
вывода PwH -полно для W. Рассмотрим произвольное истинное для
W выражение вида
(У*ь-...*п)( & (Oifi>0)—^(βη+ifn+i^O)), (24)
i=l
где fieF(W), fi зависит от *i,..., xn, i=l,K+l. Известно ([З], лем-
ма 2.3), что если (24) истинно, то найдется линейно независимое мно-
жество функций {fi ...,fit }^{fi, -.,/к} такое, что истинно выражение
i
(V*i —*η)( & (σ*. ft. (*i,...,xn)>0)—►(aK-nfK+i(^i,...,^n)>0)).
Из теоремы Минковского—Фаркаша ([3], лемма 2.4) следует, что
OK+ifit+i= Σ Pi.Oi.fi., где Pi.— неотрицательное действительное
j=i 3 J 3 3
число, /== 1, /. Из замкнутости F(W) относительно применения опера-
i
ции Τ следует, что Σ pi. σ*. XjeF(W). Поэтому Pw содержит пра-
вило
I I
Очевидно, применение этого правила к множеству {aifi^O,...,
...,aKfK^0} дает aK+ifK+i^0, что и требовалось доказать. Лемма дока-
зана.
Таким образом, нам нужно описать систему множеств линейных
функций, замкнутых относительно применения операции Τ и относи-
тельно суперпозиции.
77

Введем некоторые обозначения. Пусть W — а. система вида (20).
Пусть f = Σ а{хи eeF(W). Обозначим π(/) = Σ 1, m{W) =
г η
= max n(f). Очевидно, я(№)е{0, 1, oo}. Обозначим v(f)= Σ сц9
v(W) = {v(f)\feF(W)} и A(f) = {au...,an}9 A(W)= U A(f). Оче-
видно, v(W)^A(W). Переменные из множества {*1,л*2, ...,*n,...} обозна-
чим через х, у, z, t.
Теорема 5. Множество естественных правил вывода Pw 3-П0ЛН0
для а. системы W вида (20) тогда и только тогда, когда W удовлетво-
ряет одному из следующих четырех условий:
1) F(W) = {0.Xi\i<=N};
2) F(W) = {aXi\i(=N, a<=G)y где G = d или G=Gl[]{0}, aG,-
произвольная мультипликативная группа действительных чисел;
3) F(W) = { Σ
i=l
подполе поля R;
4) F(W) =
\Χ% Xj
iN,ji<=N,ai^Ri}, где Ri — произвольное
2a CL\ Xj .
η
V
й{
г=1
где
Ri — произвольное подполе поля R.
Доказательство теоремы состоит из четырех частей: для W
с „(цр)=0, для W с n(W) = l9 для Ψ с n{W) = oo и υ(Ψ)Φ{1}, для
W с n(W) = oo и v(W) = {l}. Очевидно, рассматриваемые случаи охва-
тывают все множество а. систем вида (20).
Случай 1. Пусть л(№)=0. Тогда F(W) = {0 Xi\ie=N}. Очевидно,
F(W) замкнуто относительно суперпозиции и применения операции Т.
Итак, для W с n(W)=Q теорема верна. В дальнейшем для каждого
рассматриваемого случая будем фиксировать некоторую а. систему W
вида (20) и вместо обозначений F(W), n(W), v(W), A(W) будем ис-
пользовать обозначения F, π, ν, А соответственно.
Случай 2. Необходимость. Пусть Pw 3_П0ЛН0 Для W с n(W) = l.
Покажем, что W удовлетворяет условию 2) теоремы 5. Если ax^F, то
и a2x^F, так как F замкнуто относительно суперпозиции. Пусть афО.
Тогда Т(а2х,ах) = —x^F. Из условия n(W) = l получаем, что в F
U 1
найдется функция ах с афО, поэтому а x=x^F. Если ах, by^F,
то abx^F. Для рассматриваемой а. системы W Α = υ. Доказано, что
1еЛ; если аеЛ и афО, то —еЛ; если а,Ь^А, то а-Ь^Л. Таким об-
(Л
разом, v=A = Gi или v=A — Gi[}{0}, где С4 — некоторая мультипли-
кативная группа действительных чисел. Достаточность. Пусть W удов-
летворяет условию 2) теоремы 5. Нетрудно проверить, что F замкнуто
относительно суперпозиции и относительно применения операции Т.
Таким образом, для а. систем W с π(№) = 1 теорема верна.
Случай 3. Пусть n(W)=oo и ν(Ψ)φ{\). Необходимость. Пусть Pw
g -полно для W. Докажем, что в этом случае W удовлетворяет усло-
вию 3) теоремы 5. Покажем, что ν — поле. Нетрудно доказать, что
νφ{0} и νφ{0,1}. Повторяя рассуждения, проделанные для случая
78

2), получаем, что leu; если a,b^v, то ab^v\ если α^υ и аФО, то
— eti. Покажем, что Ο^υ. Из условия π=οο следует, что найдется
функция ax+by^F с а=^=0 и Ь=£0. Тогда Т(ах+Ьу,у,х) =—х —
y^F. Возьмем /сеу такое, что кфО и кф\. Тогда из замкнутости
к tch I к
F относительно суперпозиции следует, что — х y^F и а (—х—
кЬ \
у J-\-by=Kx+b(l —K)y^F. Далее, Т(кх + Ь(\ — к)уухуу) =
1 к
= ТГп \ Тп r-y^F. Подставляя в эту функцию кх вместо х9
получаем, что
TTi т~х тГл гУ^Р- (25)
6(1— к) 6(1—/с) υ ν '
Отождествляя х и у, получаем, что Ox^F и, следовательно, Ο^υ. Да-
лее, используя доказанные выше свойства υ и включение (25), нетруд-
но показать, что —\^υ и x+y^F. Таким образом, если а,йеу, то и
a-{-b(=v. Из сказанного выше следует, что ν — поле. Покажем, что
Α^υ и, следовательно, Α = υ. Пусть а^А, тогда найдется функция
η
Σ й\Xi+axn+i^F. Подставляя в эту функцию Ох вместо х{ для
г=1
i=l,fl, получаем, что axn+ieF и аеу. Итак, А — подполе поля дей-
ствительных чисел. Используя равенство υ=Α и то, что x+j/eF, не-
трудно показать, что W удовлетворяет условию 3) теоремы 5 с Ri=A.
Достаточность. Пусть W удовлетворяет условию 3) теоремы 5. Пока-
жем, что Pw 3_П0ЛН0 Для W. Очевидно, F замкнуто относительно су-
перпозиции. Покажем, что F замкнуто относительно применения опе-
рации Т. Пусть {/i, ...,/K+i}c:F, система {fi, ...,/*} линейно независима и
к
/k+i= Σ a,ifi. Хорошо известно, что для i=l,/c аг· представимо в виде
г=1
частного от деления некоторого определителя, составленного из эле-
к
ментов множества U A(fi)> на определитель такого же вида (прави-
1=1
ло Крамера). Из свойств определителя следует, что если все его коэф-
фициенты принадлежат полю Ru то и его значение принадлежит полю
к
Ru поэтому Σ ciiXi^F. Таким образом, для W с π(№)=οο и ν(Ψ)φ
i=l
Ф{1} теорема верна.
Случай 4. Пусть n(W) = oo и v(W) = {l}. Необходимость. Пусть
Pw 3-полно для W. Докажем, что W удовлетворяет условию 4) тео-
ремы 5. Покажем, что А — поле. Очевидно, ОеЛ и 1еЛ. Пусть аеЛ,
нетрудно заметить, что ax+(l— a)y<=F, т. е. (1—а)еЛ. Пусть аеЛ и
афО. Покажем, что —еЛ. Действительно, Т(ах+(1— а)у, у,х) =
= —-х-\ y^F, следовательно, —еЛ. Пусть а, ЬеЛ, покажем,
79

что ab^A. Подставим bx+(\—b)y вместо х в выражение ах+{\— а)у.
Получаем, что abx+(l—ab)y^Fy т. е. ab^A.Покажем,что x+y—z^.F,
Возьмем некоторое /сеЛ такое, что кфО и кф\. Существование тако-
го к следует из свойств π=οο и υ={\). Очевидно, что .«аг+О—k)z^F
и —л:+ ( 1 ) y^F. Подставляя второе выражение в первое вмес-
то х, получаем
x+(K—l)y+(l—K)zeEF. (26)
Таким образом, (к—1)еЛ, следовательно, -еЛ и
к—1
-hM l~ih) "**■ (27)
Подставляя (27) в (26) вместо у, получаем, что
x+y—z^F (28)
и, следовательно, —1^4. Далее, пусть а,ЬеЛ. Подставляя в (28)
ах+(1—а)у вместо х и Ьх+(1—Ь)у вместо у, получаем, что (я+&)#+
+ (2—а—Ь)у—zef, т. е. α+b^A. Из сказанного выше следует, что
Л — поле. Покажем, что W удовлетворяет условию 4) теоремы 5. По-
п
Σ й{ Х\ п
кажем, что любая функция вида — , где а^А и Σ ъФО, co-
il α< i==1
г=1
держится в F. Очевидно, fi(xiyz)= %п г + ( 1 ^— J zeF для
Σ аг· Σ cii
/=1,я. Определим i|)i=/i и г|)г+1 = фг+/г+1—г для £== 1, /г—1. Используя
принадлежность х-\-у—z множеству F и замкнутость f относительно
суперпозиции, нетрудно показать, что г^е/7 для i=l,n и ψη =
= f(xi, ...,хп)· Кроме того, любая функция из F представима для неко-
торого n^N в виде 1-^ ·> где а^А и Σ щфО. Необходимость
Σ а,-
доказана.
Достаточность. Пусть W удовлетворяет условию 4) теоремы 5. Оче-
видно, F замкнуто относительно суперпозиции. Покажем, что F замк-
нуто относительно применения операции Т. Пусть {/i, ...,fK,/k+i}c^\
к
система {/i, ...,/*} линейно независима и fK+i= Σ α*/г. Повторяя рас-
г'=1
суждения случая 3), получаем, что a^Ri. Далее, приравнивая к еди-
нице все переменные, от которых существенно зависят fu ...,/к+ь полу-
к
чаем равенство Σ α*=1, что и требовалось доказать. Таким образом,
г=1
для W с v(W) = {l} и n(W) = oo теорема верна. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ершов Ю. Л., Лавров И. Α., Тайм а нов А. Д., Тайцлин М. А. Эле-
ментарные теории. УМН, 20, № 4, 37 (1965).
2. Τ а г s k i A. Arithmetical classes and types of mathematical systems, Mathe-
80

matical aspecty of arithmetical classes and types, arithmetical classes and types of
Boolean algebras, Arithmetical classes and types of algebraically closed and real
closed fields, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 63 ((1949).
3. Черников С. Η. Линейные неравенства. Μ., Наука, 1968.
4. Presburger M., Ober die Vollst&ndigkeit eines gevissen Systems der Arittime-
tik ganzer Zahlen, in welchem die Addition als, einrige Operation hervrtritt, Comptes
rendus du I Congres des Mathematioiens des Pays Slaves, Warszawa, 1929, 395, p. 92.
5. R о u s s e a u G., A decidable class of number theoretic equations. J. of the
London Math Soc, v. 41, N 164, 737 (1966).
6. Manders Kenneth, Adleman Leonard, NP — complete decision problems for
quadratic polinomials, «Conf. Rec. 8th Annu. ACM Sump. Theory Comput., Hershey,
Pa. Calif., 1976». New York. N. Y., 1976, p. 23.
7. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., Наука, 1964.
8. Матиясевич Ю. В. Диофантовость перечислимых множеств. ДАН СССР,
191, № 2, 279 (1970).
Горьковский государственный университет
[19/ХП 1977]
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГРУППОВЫХ КОДОВ
П-СХЕМАМИ
Α. Κ. Π у лагов
Настоящая работа посвящена установлению оценок сложности
реализации характеристических функций групповых кодов (групповые
функции) параллельно-последовательными контактными схемами (П-
схемами). Работа в основном имеет дело с нижними оценками, и
основные результаты состоят в нелинейности этих оценок. Изучение
класса групповых функций с позиций оценок сложности позволило
также получить результаты как в понимании природы самих этих
функций, так и в выяснении роли нулевых цепей в построении мини-
мальных П-схем, реализующих булевые функции.
Следует отметить, что настоящая статья содержит развернутое из-
ложение результатов автора, которые ранее были опубликованы либо
разрозненно, либо в виде тезисов.
Перед тем как перейти к изложению результатов, отметим, что все
необходимые понятия, связанные с л-мерным единичным кубом и кон-
тактными схемами, можно найти, например, в работах [1, 2].
Число контактов в П-схеме 5 обозначим через Ln (S). Сложностью
реализации булевой функции / П-схемами, как обычно, назовем число
Ln ([)=:minLn (S), где минимум берется по всем П-схемам θ, реали-
зующим /.
Работа состоит из трех разделов.
Раздел 1 носит, в основном, подготовительный характер и посвя-
щен собственно групповым кодам. Здесь изучается строение группового
кода как подмножества вершин л-мерного единичного куба Еп. Исход-
ным результатом является лемма 1, характеризующая проекцию груп-
пового кода на грань куба. Далее доказано, что вершины произволь-
ного группового кода Gn равномерно (по количеству вершин) распре-
делены по граням размерности η—d'+l куба Еп, где d' — минималь-
ное расстояние кода, двойственного коду Gn (теорема 1). Вместе с тем
некоторые грани размерности η—d' уже не содержат кодовых вершин.
Кроме того, лемма 1 приводит к интеративному построению кодов,
являющемуся обобщением построения Ю. Л. Васильева [3] на случай
^больших расстояний. Этим способом найден класс РМ-кодов — класс
:6 Заказ 9298
81

групповых и негрупповых Кодов, содержащий хорошо известные коды
Рида—Маллера. Перечисленные результаты существенно используют-
ся во втором разделе получения нижних оценок сложности реализации
групповых функций, а также могут представлять интерес в теории кор-
ректирующих кодов.
Раздел 2 посвящен нахождению нижних оценок сложности реали-
зации групповых функций П-схемами.
Пусть Gn}K — произвольный [я, к]-код (групповой (линейный) код
длины п> размерности /с), d'=d(Gn.«), т. е. d! — минимальное расстоя-
ние кода GLnK двойственного коду Gn,K. Пусть Цаап (*i, ...,*п) — харак-
теристическая функция кода Gn,K. Доказано, что*
Ln(ga„,x(,1,...),n))>l^r. (1)
Отсюда, например, при d'X (известно, что такое условие вы-
полняется для весьма широкого класса групповых кодов, см., например,
теорему 4, 9 из [4]) следуют нелинейные нижние оценки сложности
реализации соответствующих функций. Оценка (1) получена с примене-
нием результата работы [5] для групповых функций. При этом суще-
ственно используется приведенное в теореме 1 свойство групповых
кодов.
Другая нижняя оценка сложности для групповых функций получена
В. М. Храпченко. Используя метод работы [6],он показал,что при d=
= d(Gn>K)^2
п1г
Ln (gcn,K (*1.··-.*η)),> — · (2)
У η—/с
Этот результат дает нелинейные нижние оценки сложности реализации
групповых функций в случае, когда к=п—0(п). Оценки (1) и (2) не
исключают, а дополняют друг друга. Отметим, что, например, при
сГХ(я—/с)Хя оценка (1) сильнее (2).
Для характеристических функций кодов Рида—Маллера в работе
получены более сильные нижние оценки (чем оценки (1) и (2)) сле-
дующего вида. Пусть Ргп,т — код Рида—Маллера длины п=2т и по-
рядка г. Доказано, что
Ln (8pmtr (*,...,*»))>2*+'> (d')2> (3)
где d'—d(Pm,r)· При r—m—corst из (3) следуют квадратичные ниж-
ние оценки сложности соответствующих функций. Оценка (3) получена
путем сведения характеристических функций кодов Рида—Маллера к
линейной функции. Это сведение опирается на итеративное построение
РМ-кодов.
Для сравнения с полученными нижними оценками можно привести
следующую верхнюю оценку сложности реализации групповых функ-
ций П-схемами. Пусть Gn,n — произвольный [я,/с]-код. Тогда
1 π (Sg пк (хи ·.., Хп) )< -g- "2 (η-κ). (4)
Оценка (4) достаточно просто следует из задания группового кода
через его проверочную матрицу, и поэтому ее приведем без доказатель-
ства. В качестве примера применения полученных оценок можно при-
* В работе знак log означает логарифм по основанию 2.
82

вести оценки сложности для характеристической функции кода Хэм-
минга Хп\
п2 < 1п (gy. п (*ь ···, Хп)) ^n2\ogn.
Целью раздела 3 является изучение вопроса о влиянии нулевых це-
пей на сложность реализации булевых функций П-схемами. Пусть
L*n (f) — сложность реализации функции / П-схемами, содержащими
лишь ненулевые цепи, и μπ(η) =maxL*n (/)/^п (/), где максимум
берется по всем функциям f от η аргументов.
Пусть g(xu —уХп) — характеристическая функция произвольного
(я, d) -кода (п — длина, d — минимальное расстояние кода) мощности
Μ и с/^2. Установлено, что
L*n(g(xu...,Xn))>d.Md/n .
Отсюда, в частности, следует, что в случае П-схем без нулевых цепей
сложность реализации характеристической функции группового кода
с /сХя и dX n (существование такого кода обеспечивается границей
Варшамова—Гильберта) имеет экспоненциальный относительно числа
аргументов рост. С другой стороны, из верхней оценки (4) следует, что
произвольная групповая функция в классе П-схем реализуется со
сложностью не больше, чем п3. Таким образом, показано, что
μ π (л)>2сп,
где с<1 — некоторая константа. Это показывает, что в реализации
булевых функций П-схемами нулевые цепи играют весьма существен-
ную роль.
1. О ПОСТРОЕНИИ ГРУППОВЫХ КОДОВ BE*
1.1. Геометрические свойства групповых кодов. Рассмотрим произ-
вольную содержащую нулевую вершину грань я-мерного единичного
куба Еп. Каждая такая грань однозначно определяется своей вершиной
τ= (ti, ...,τη) максимального веса и поэтому обозначается через Γ(τ).
η
Размерность грани Γ(τ) равна ||τ||, где ||τ||= Σ τ* — вес вектора τ.
Пусть /i, i2,..., i.|T..— номера компонент вектора τ= (ti,T2, ...,τη) со зна-
чением, равным единице (тем самым грань Г (τ) включает /i, г'г,...,
...,/.,..— направления куба).
Для произвольного вектора σ= (ai, σ2,..., ση) ^Εη вектор
(oit y Gi2,..., Oi,.,. ) будем называть проекцией σ на грань Г(т). Про-
екции всех вершин куба Еп на грань Г (τ) образуют ||т||-мерный куб
Е№М. Проекции всех вершин подмножества А^Еп на грань Г (τ)
образуют подмножество в упомянутом ||τ||-мерном кубе, которое обо-
значим через τΑ. Заметим, что понятие проекции подмножества вер-
шин я-мерного куба на грань куба определяет понятие проекции буле-
вой функции на грань куба. А именно, если f(xif ...,хп) — характери-
стическая функция подмножества А^Еп, то характеристическая функ-
ция ср(Хг1 уХг2, ...,х<..,,) подмножества τΑ^ΕΜτΜ называется проекци-
ей функции f (хи ...,*п).
Определение. Пусть А — произвольное подмножество в Еп. Вектор
а^А называется нижним вектором для Л, если среди ненулевых век-
торов из А нет вектора, предшествующего вектору а (вектор σ'=
= (σ/, σ2',..., σ/) предшествует вектору σ"= (σΛ σ2",..., ση"), если
σ/<σΛ i=l,2 /i).
6*
8?

Пусть Gn — произвольный групповой код в £п и б!п - двойствен-
ный код. Пусть Ln — множество всех векторов четного веса в Еп.
Очевидно, что проекция группового кода является групповым ко-
дом.
Лемма 1. TGn = L.,|| тогда и только тогда, когда τ является ниж-
ним вектором для G-^·
Утверждение леммы эквивалентно следующему. Проекция характе-
ристической функции группового кода на грань Г (τ) куба Еп является
линейной функцией от ||τ|| переменных тогда и только тогда, когда τ
есть нижний вектор двойственного кода.
Доказательство. 1) Пусть τ — произвольный нижний вектор
из GL (таковым является, например, любой ненулевой кодовый вектор
минимального веса). Покажем, что xGn=L,,,, . Для простоты будем
считать, что τ=(1... 10...0), где /=||τ||. Пусть а — произвольный век-
t
тор из Еп. Его проекция представляет собой вектор, составленный из
первых t компонент вектора α (здесь и далее, где не указано направ-
ление проектирования, будем подразумевать, что проекция берется на
грань Г (τ)). Вектор α не будет принадлежать групповому коду Gny
t t
если* Σ @aj=l (так как скалярное произведение (α, τ)= Σ ®^Ф0)>
Это равносильно тому, что TGn входят только векторы четного веса из
£п, т. е.
TGnc=L*. (5)
Теперь допустим, что xGn¥zLt. Так как TGn является групповым кодом
в £', то, в силу (5), размерность TGn не больше, чем t—2 (t—1 есть раз-
мерность Lt). Тогда двойственный код (TGrt)-L имеет размерность не
меньшую, чем 2, и, следовательно, содержит ненулевой вектор веса
l(l<.t). He ограничивая общности, можно считать, что такозым явля-
ется вектор v= (1 ... 10... 0)^ЕК Как и выше, все векторы μ=
= (μ1, Μ2,..., μη^Ε*, для которых Σ0μ*=1, дают (μ, ν) Ф0, т. е. эти
г=1
векторы не входят в TGn. Таким образом, из (аи аг,..., aa)^Gn следует
2фог=0. Переходя от вектора ν к вектору а= (1... 10 ... 0), ае£п,
г*=1 I
получим вектор, который, с одной стороны, ортогонален коду Gn, т. е.
входит в G^ ( Σ φσ*=0 можно записать как (σ,α)=0), а с другой
г=1
стороны, предшествует вектору τ, являющемуся для G^ нижним векто-
ром, т. е. получим противоречие. Следовательно, xGn = Lt.
2) Пусть TGn = L..... Покажем, что τ является нижним вектором
для G^· Пусть /=||τ||. Очевидно, что tgG-^· Допустим, что τ не явля-
ется нижним вектором. Тогда в G1 найдется вектор τ', предшествую-
щий τ и являющийся нижним. Пусть ||τ'|| = /', так что t'<t. He ограни-,
чивая общности, можно считать, что
тг= (11 ... 10 ...0)·, т'=(11 ... 10... 0).
* /
Введем еще вектор τ"= (11 ... 10 ... 0), %"^ЕК Из определений этих
t
к
* По обозначению Σ0σ/ = σ1 0 ..,0 <зх t где 0— сложение по mod 2.
i=l
84

векторов следует, что
xGn=Ltr и х (xGn) = τ Gn. „
С учетом исходного предположения получим, что τ Lt = L ,. С другой
стороны, для любого Еектора β из £', β=?^(11... 1) имеет место VLt =
= £Ι|β||. Полученное противоречие доказывает, 4то τ является нижним
вектором в G^ · Лемма доказана.
Теперь вернемся к изучению свойств групповых кодов. Напомним,
а' а'
что в Еп существуют (п—d') -мерные грани Г п~ , такие, что Gn\]r n~~ =
= 0. Доказывается, что число η—d является максимальной размер-
ностью грани куба, которая лежит в дополнении кода. Это вытекает
из следующей теоремы.
Теорема 1. Для каждого фиксированного т, η—d'+l^.m^.n и
для каждой m-мерной грани Тт в Еп число |ГтП<5п| постоянно и
I Г* I
равно * _^| · (Для множества А через |Л| обозначена его мощ-
ность) .
Доказательство. Допустим, что существует грань Vs, s^n—
—d'+l и rsf|Gn = 0. Пусть /i, /2, ...,/n-s— разряды, на которых по-
стоянны компоненты векторов из Vs. Рассмотрим вектор σ= (ai, 02,...,
on):oi=l тогда и только тогда, когда te{/i,/2,..., /и-*}, так что
llall^d'—1. Далее рассмотрим проекцию кода Gn на грань Γ(σ)
(грань Γ(σ) ортогональна к исходной грани Г3). Рассуждения, анало-
гичные рассуждениям из первой части доказательства леммы 1, приво-
дят к тому, что в G^ существует вектор веса не больше, чем d'—1
(этим вектором является σ или некоторый вектор, предшествующий
вектору σ). Это противоречит определению числа d'. Следовательно,
при т^п—d'+l для произвольной грани Гт следует, что TmC\Gn^0.
С другой стороны, очевидно, что для любого к, Х^к^п все парал-
лельные к-мерные грани куба, имеющие непустое пересечение с Gn,
содержат по одинаковому числу векторов из Gn. Число параллельных
к-мерных граней произвольного направления разно 2П~*. Следователь-
но, при т^п—d'+1 для произвольной грани Гт имеем
|Г-пСп|=4^-·
• · ■ 'ч 2п—т
1.2. Описание РМ-кодов. Одним из важных классов [п, к] -кодов
являются коды Рида — Маллера. Для любых натуральных т и r<m
существует код из этого класса (код Рида—Маллера порядка г),
для которого
л=2т,
г i
к= Σ Ст, (6)
г=0
d=2m~r.
Разные способы задания кодов Рида — Маллера описаны, например,
в работе [4]. Целью настоящего раздела является итеративное по-
строение класса групповых и негрупповых кодов, содержащих коды
и имеющих те же параметры (длина кода, мощность, кодовое расстоя-
ние), что и коды Рида — Маллера. Далее эти коды будем называть
РМ-кодами. Построению их предшествует построение класса кодов,
для которых
п=2т— 1,
мощность кода = 2*==0
d=2m-r—1.
(7)
85

Затем осуществляется переход к РМ-кодам. Коды с параметрами (7)
назовем укороченными РМ-кодами. Отметим, что укороченный РМ-код
порядка г=т—2 совпадает с плотно упакованным (п. у.) (п, 3)-кодом,
а групповой такой код совпадает с кодом Хэмминга. Отметим также,
что построение укороченных РМ-кодов является обобщением построе-
ния п. у. (п, 3) -кодов (см. [3]).
Исходные построения. Пусть η и d обозначают длину и минималь-
d—\
ное расстояние кода, причем, число —- нечетное. Рассмотрим
произвольные (я, d) -код и ( п, —— ) -код, содержащие нулевой набор
и имеющие мощности Мп^ и Mnd_i, обозначаемые через Cn,d и
2
Сп а-\ соответственно. Из этих двух кодов построим следующий
2
(2я+1,^)-код.
Пусть λ (τ) — произвольная функция, принимающая значения нуль
и единица на вершинах t=(ti, ...,τη) из Cn,d, причем λ(0,..., 0)=0.
Для набора а= (оы, ..., ап) положим |оь| =ai0...0 αη. Паре наборов
т= (ti, ..., %п) и μ= (μ1,..., μη), teCn,d> μΕ^ d_i сопоставим набор
2
μ1, ..., μη, |μ|0λ(τ), μ10Τ1, ...,μηφ τη,
который обозначим через μ>|<τ. Обозначим через Сп d-i^Cnj множе-
2
ство всех наборов вида μ >|<τ, где μ^<?η α-±^ х^СпЛ.
' 2
Теорема 2. Для любой функции λ (τ) множество С п g~i ^Cn>d
является (2/2+1, d) -кодом мощности Мп d-\ XMn>d, содержащим нуле-
вой набор.
Доказательство. Множество С d-i ^ Сп4 состоит из набо-
2
ров длины 2я+1. Очевидно, что нулевой набор (0, 0,..., 0) длины 2п-\-\
входит в С d-i^Cn)d и мощность этого множества есть Мп d-iX^d·
Покажем, что расстояние ρ между любыми наборами из нашего мно-
жества не меньше d. Пусть
μ >(<τ=(μ1, ..., μη, |μ|©λ(τ), μ10Τ1..., μη0 τη) и
u^v—(uu ..., wn, |Μ|0λ(ν),Μ10ν1...,*/Λ0νη)
есть произвольные несовпадающие наборы из Сп а-1_^Спд,
^"e^n,il' τ, v<=Cn,d.
2
1) Если τφν, то ρ(τ, v)^d. Тогда при ρ(μ, и)=0, ——> — |-
+ 1, ..., d имеем (в силу неравенства треугольника и соотношения
d—l d+\
а— ■—-—· = —-— ) соответственно
Ρ[(μ1 Θ ^i» ··■> μη
Следовательно, ρ(μ>^τ, u^:v)^d.
86

2) Если τ=ν, то λ(τ)=λ(ν), а рфи. Возможны два случая:
а) |μ|^|α|. Тогда ρ(μ,")>*-γ—· Следовательно, ρ[(μ10Τ1, ...,
μ«®τ«), (ai®vi>...fttn0vn)]>^y-. |μ|θλ(τ)^μ|0λ(α).Πο.
ч rf—1 ,d—1 . t A
этому ρ(μ >|<τ, w^v)^^ г^ И=а»
б) |μ| = |α|. Поскольку μ^κ и ρ(μ, и) — четные (напомним, что
по условию — нечетное число), то ρ(μ^)^——· Также
ρ[(μ!θτ1,..., μηθτη), (Mi0vi, ...,"» ©VnH^-j— > откуда р( u*z,
и *v)>d+l.
Теорема доказана.
Пусть Cn,d и С d_! — групповые коды. Тогда в зависимости от
2
функции λ (τ), участвовавшей в построении кода Сп d-i^>K Cn,d, послед-
2
ний будет групповым или негрупповым:
если положить λ(τ)=0 для всех теСп,й, то получим групповой код;
если зафиксировать два каких-либо ненулевых набора τ', τ" из СП)а
и положить λ(τ'0 τ")¥=λ(τ')0 λ(τ"), то код будет негрупповым.
Построение укороченных РМ-кодов. Пользуясь теоремой 2, индук-
тивно построим класс укороченных РМ-кодов. Укороченный РМ-код
длины п=2ш—1 и порядка г обозначим через Km,r (напомним, что
минимальное расстояние этого кода d—2m~r—1). Исходными являют-
ся коды Km,m-i и Кт,о, которые просто задаются:
Km,m-i = E« И /Сщ,0={(0,0,...,0), (1,1,..., Ι)}·
Пусть уже построены коды Km,r-i и Кт,г· Тогда код Кт+\,г задается
соотношением
Действительно, по теореме 2, код Km,r >K Km,r-i имеет длину 2m+1—1,
кодовое расстояние 2гп~(г-1>=2ш+1-г, мощность
21+Ст +'~+Ст *+Ст+'~+Ст{ = 2 1+Ст+1+-+Ст+1
(так как Ст+Ст~ =Cm+i) и, следовательно, является укороченным
РМ-кодом длины 2m+1—1 и порядка г. По построению коды Кт,г могут
оказаться как групповыми, так и негрупповыми (при 2s^r^:ra—2).
Построение РМ-кодов. Обозначим через Km,r код, получаемый из
кода Km,r добавлением одной компоненты — проверки на четность
кодовых векторов, т. е.
Km,r = {(α, Ι α Ι) : a^Km,r}.
Код Km,r имеет длину 2™, и нетрудно проверить, что его кодовое рас-
стояние на единицу больше кодового расстояния кода Km,r (напомним,
что кодовое расстояние кода Km,r выражается нечетным числом). Сле-
довательно, Km,r является РМ-кодом длины 2Ш и порядка г. Тем самым
получили класс РМ-кодов, содержащий как групповые, так и негруппо-
вые коды.
Рассмотрим групповые РМ-коды. В нашем способе задания РМ-ко-
87

дов такие коды, как было отмечено, получаются при λ(τ)=0. Пусть
/2 = 2™ И
τ= (11 ... Ю... 0)е=£я, т'= (li^^Hb· 0)е=£".
π/Ε ' 2r+1
Из построения РМ-кодов для проекций группового кода Кт,г на грани
Г (τ) и Г (τ") куба соответственно следуют
XKm,r =/(m-i,r И τ /Cm,r =Кг+1,г=^2г+1. (8)
Таким образом, коды Кт,г описаны через свои проекции. При этом ис-
ходными в построении являются «простые» коды L2r+i. Из (8) и
леммы 1 следует, что вектор τ' является нижним для кода, двойствен-
ного к Кт,г- Отсюда получаем следующее
Предложение 1. Минимальное расстояние dm,r кода (Кт.г)-1
удовлетворяет неравенству dm'r^2r+1.
2. НИЖНИЕ ОЦЕНКИ СЛОЖНОСТИ ГРУППОВЫХ ФУНКЦИЙ П-СХЕМАМИ
2.1. Случай произвольных групповых кодов. Отметим следующие
простые свойства групповых функций.
Предложение 2. Групповая функция gG пк (*ъ .·., Хч) сущест-
венно зависит от всех своих переменных тогда и только тогда, когда
d=d{Gn,K)^2.
Доказательство. Достаточность предложения очевидна.
Необходимость. Допустим, что d=\, тогда в Gn,K входят наборы
σ'= (си ···> σ,·-1, σ2·, Ог+i,..., ση) и σ"= (oi,..., Oi-i, σ2·, at+i,..., ση). Так как
Gn,K — группа, то набор σ==σ'©σ"= (0,..., 0, 1, 0,..., 0)е(?гк. Поэтому
для любого β= (β1,..., β,·_1, β,, βγ+1,..., βη) eGn.K следует, что (β1,..., β*~1,
β*, β*+1> ..., βη)=βθσ^°η,κ. Следовательно, для функции gGntK(xu...>
...,Λ*η) переменная Хг является фиктивной.
Предложение 3. Пусть* f(xu..., хп) — произвольная группо-
вая функция и g — функция, получаемая из / после удаления фиктив-
ных переменных. Пусть d/=d(Nj) и d2'=d(N1-). Тогда d/=d2'.
Доказательство. Если функция f фиктивно зависит от 1-го пе-
ременного, то из предложения 2 следует, что вектор σ= (0 ... 010 ...0),
у которой f-я компонента равна единице, принадлежит к Nf. Поэтому
для произвольного β= (β1, β2,..., pn)^Nj получим β; = 0 (иначе скаляр-
ное произведение (α, β)φ0). Тем самым выбрасывание i-й компоненты
вектора β не уменьшает его вес.
Определение [5]. Функция f (хи ...,хп) от η аргументов называется
дифференцируемой порядка т(т<.п), если любая подфункция, полу-
чаемая из f подстановкой каких-либо констант на место каких-либо т
аргументов, существенно зависит от η—т аргументов.
Лемма 2. Пусть gG (хи ...,хп) — характеристическая функция
произвольного группового кода Gnu и d/=d(G^ .). Тогда, если
£° п,АХи ->хп) существенно зависит от всех аргументов, то она диф-
ференцируема порядка d'—1.
♦Для функции /-/ (xi,...,xn) через N/обозначается множество всех наборов
(σ!,...,σΛ) ^Εη, таких, что / (σ, >><Μσ/7) = 1. Γ
88

Доказательство. Пусть Γη + — произвольная грань раз-
мерности п—d'+\ куба Еп. Из теоремы 1 имеем
Г n-d'+inGn,K=0.
Поэтому подфункция функции go пк (*i, ...,*п), определенная на грани
Г п~а +1> не является тождественно нулевой. Тогда из предложения 2
и из предположения о существенности всех переменных для
go .(xu->Xn) следует, что эта подфункция существенно зависит от
всех своих я—d'+l аргументов.
Лемма доказана.
Нижнюю оценку сложности реализации П-схемами групповой функ-
ции gG пк (хи ···>Хп) Дает следующая
Теорема 3. rfq ,,
in(gonJxu..,Xn))> lQglQg^ -
Доказательство. В силу предложения 3, можем считать, что
функция ganK (хи -·>Χη) существенно зависит от всех своих аргумен-
тов. В работе [5] доказано, что если функция f (*i,..., хп) дифференци-
руема порядка т, то при т^8
π //-— 2 log log m
Тогда утверждение теоремы следует из леммы 2 и упомянутого резуль-
тата.
Теорема доказана.
2.2. Случай РМ-кодов. Пусть л=2т, т=2,3,... и g к* (хи ...,хп) —
т,г
характеристическая функция РМ-кода Кт,г, построенного в разделе 1.
Напомним, что коды Кт,г могут быть как групповыми, так и негруппо-
выми.
Теорема 4. L п (gK * (хи ..., хп)) ^22^).
Следствие. Если Кт,г — групповой код, то
Ln (8к* {xu...,Xn))>(dZ)2>
где dm*r=d((/C>r)J-). Следствие получается из неравенства dm*r'<
^2r+1 (предложение 1).
Доказательство теоремы. По построению
г+1
Kr%i,r={(a, |α|):α<=£2 -1}.
Следовательно, gRi, (xt *2ж)=*10...0*2г+1· В силу [7], полу-
ЧИМ
r+i,r
Остается доказать, что
Ln(eK* (x^^xn))>Ln(gK, (xu..,x2r+i)).
89

Проверим, что
Ln(^^)^n(^_ir)>-^Ln(4kr).
Учитывая рекуррентное построение кода /Cm,r, достаточно доказать
только первое неравенство. Доказательство его основано на выделении
в рассматриваемых кодах частей, играющих роль как бы диагоналей.
Рассмотрим произвольную П-схему S, реализующую функцию
gK« (xu...,Xn). Над схемой S производим следующее преобразование.
т,г
Пусть 1=1,2, ...,я/2; σ=0,1. Переберем все ребра схемы. Ребра, кото-
рым приписана буква Хи оставим без изменения. Если ребру приписа-
на буква Xn/2+ii то эту букву заменяем на букву х\. Полученную схему
обозначим через S'. Проверим, что схема S' реализует функцию
gK* (xu—yXn/z). Каждая ненулевая цепь (нулевая цепь—цепь, име-
т—i,r
ющая тождественно нулевую проводимость) схемы 5 содержит кон-
такты от всех η аргументов, ибо, в противном случае, код Кт,г содер-
жал бы некоторую пару соседних наборов куба Еп. Каждой ненулевой
цепи из S отвечает такой набор из /Cm,r, что на этом наборе замкнуты
все контакты этой цепи и, наоборот, каждому набору из Кт,г соответст-
вует, в указанном смысле, одна или несколько цепей схемы S. По опре-
делению
Кт>г={(а,\а\) :аеЕКт,г}.
В свою очередь,
#7ητ={(μ,|μ|@λ(τ), μ ©τ) : μΕ^-Ι^, x<=Km -i,r-i}.
Следовательно,
/C,r = {0i, |μ|φ λ(τ),μ©τ, |μφτ|0λ(τ)) ^Е/(т_1|Г,тЕ/(тЧм}.
Множество наборов кода Кт,г (следовательно, и множество всех нену-
левых цепей схемы S) разделим на два непересекающиеся подмножест-
ва. Пусть Л1 — подмножество всех наборов, которые порождаются при
τ= (0,0,..., 0)e/Cm-i.r-i, и пусть А2=Кт,г\А[. Учитывая, что
λ(0,0, ...,0)=0, имеем
^1={(μ> |μ|> μ> |μ|) · μ^/Cm-i.r}
(множество Ai как раз и играет роль упомянутой диагонали).
Теперь переберем все цепи схемы S и рассмотрим, з какие цепи
преобразуются они в схеме S'.
1) Очевидно, что нулевая цепь схемы 5 преобразуется в схеме S'
также в нулевую цепь.
2) Рассмотрим произвольный набор из А\. Он имеет вид (μ, |μ|,μ,
|μ|), где μ^Κτη-1,ν· Любая цепь схемы S, отвечающая этому набору,
содержит контакты вида
μ1 *V2-i ΙμΙ μ1 μη/2-1 ΙμΙ
XU ..·, Χη/2-1> Χη/2> Xn/2+l, ···, Xn-U %η
и никаких других конатктов не содержит. Тогда соответствующая цепь
в S' состоит из контактов вида
μ1 μη/2-1 ΙμΙ
X\r ..., Xn/2-U Xnh,
90

и она отвечает набору (μ1,..., μη/2-1, |μ|)· По определению этот набор
является элементом кода /Cm_i,r. Следовательно, функция, реализуемая
схемой S', принимает значение единицы на всех наборах из Km-i,r.
3) Далее рассмотрим произвольный набор σ из Л2. Любая цепь схе-
мы S, отвечающая этому набору, переходит в схеме S' в нулевую цепь.
Действительно, пусть 1-я компонента набора x^Km-i,r-u участвующего
в определении набора σ, равна единице (l^i^n/2—1). Это означает,
что в наборе σ i-й компонентой является μ2·, а (я/2-И)-й компонентой
является μ*01. В любой цепи схемы «S, отвечающей такому набору,
контакты от аргументов Х{ и хп/2+г имеют соответственно вид х% и
Хп/ш- Поэтому соответствующая цепь схемы S' содержит контакты
вида Χ{ и Хг I т. е. она является нулевой цепью.
Пункты 1—3 вместе означают, что схема S' реализует функцию
g * (XU...,Xn/7).
т—1,г
Теорема доказана.
Случай укороченных РМ-кодов аналогичен рассмотренному.
Пусть п*=2т— 1, т=2,3,... и 8к (хи -,Хп) — характеристиче-
ская функция укороченного РМ-кода /Cm,r. Значение г=т—1 не пред-
ставляет интереса: по построению Kmtm~i=En, и потому
Для остальных г имеет место
Теорема 4а. Если г^т—2, то
Lff(gKm9r(xi,...,Xn))>2*'+».
Доказательство повторяет доказательство теоремы 4. Из
этой теоремы и предложения 1а вытекает, что если Кт,г — групповой
код, то
Lll(gK mr(XU...,Xn))^(dm,r)2>
где dn,r^a(KLmr).
Отметим, что для характеристической функции gXn (хи ...,*п) кода
Хэмминга %п (укороченного РМ-кода длины п=2т—1 и порядка
г=щ—2) из теоремы 4а следует, что
/ nJL\ \2
Ln(8xn(*u->Xn))> [~2~j ·
3. О ВЛИЯНИИ НУЛЕВЫХ ЦЕПЕЙ НА СЛОЖНОСТЬ П-СХЕМ
Исходным в получении нижних оценок сложности реализации буле-
вых функций П-схемами без нулевых цепей является следующая*
Лемма 3. Пусть f(xu...,xn) — произвольная булевская функция та-
кая, что из a, peTV/, α=^=β, следует, что р(а, β)^2. Пусть S — мини-
мальная П-схема, содержащая лишь ненулевые цепи и реализующая
функцию f(xu ...,хп)· Тогда каждая цепь схемы S содержит ровно по
одному контакту от каждой переменной.
* Напомним, что под цепью понимается простая (без самопересечений) цепь, сое-
диняющая полюсы контактной схемы.
91

Доказательство. Из условий леммы сразу следует, что каж-
дая цепь схемы S содержит контакты от каждой переменной функции
f(xu ..м*я) (в противном случае S содержит либо нулевую цепь, либо
цепь, которая реализует наборы, находящиеся на расстоянии единицы).
Покажем, что никакая цепь схемы S не содержит несколько контактов
одного и того же вида. Будем пользоваться индуктивным определени-
ем П-схемы. Фиксируем произвольную цепь А схемы 5. Пусть эта
цепь содержит контакт вида г, где z— одно из букв хи Хь ..., хП9
хиХ2,..-,хп- Схема S в общем случае разлагается на параллельные под-
схемы.
Подсхему, содержащую рассматриваемую цепь, обозначим через Si
(возможно, что Si=S). В свою очередь, схема Si разлагается на по-
следовательно соединеннные подсхемы Sn, S12,..., S\Kl . Покажем, что
только одна из этих подсхем содержит контакт вида z (одна из этих
подсхем содержит контакт вида z> так как рассматриваемая цепь А со-
держит такой контакт). Допустим, что подсхемы Su{ , Su2 y...,Sal ,
/i^2, содержат контакты вида z ({ii, 1*2, ...,*"/4}s{1,2, ...,/ci}). Тогда,
очевидно, никакая из подсхем Sn, S12, ...,SiKl не содержит контакт ви-
да г(в противном случае непременно появится нулевая цепь). Вместе
с тем, как было показано выше, каждая цепь схемы S содержит контак-
ты от каждой переменной функции f(xu...,xn). Следовательно, произ-
вольная цепь схемы Si содержит контакт вида г. Это возможно только
тогда, когда хотя бы в одной из подсхем Snt ,Sh2 ,..., Siiz существует
сечение, состоящее сплошь из контактов вида z.
Рассмотрим одну из подсхем, в которой существует указанное сече-
ние. Тогда контакты вида z в подсхемах Sui,Su2 , ...,Si^ , кроме вы-
деленной подсхемы, можем замкнуть, и от этого не изменится функция
проводимости схемы S. Тем самым получим П-схему, содержащую
меньшее число контактов, чем П-схема S, что противоречит минималь-
ности S. Таким образом, только одна из подсхем Sn,Si2, ...,SiKl содер-
жит контакт вида z. He ограничивая общности, можем считать, что
подсхема Sn обладает этим свойством. При этом доказано, что произ-
вольная цепь схемы S, проходящая через подсхему Sn, не содержит
контакт вида z вне подсхемы Sn. В частности, цепь А содержит кон-
такты вида z только в подсхеме Sn. Далее, схему Sn разложим на
параллельные подсхемы и рассмотрим подсхему, по которой проходит
цепь А. Эту подсхему обозначим через S2. Отметим, что произвольная
цепь схемы S, проходящая через подсхему S2, не содержит контактов
вида z вне подсхемы S2. В свою очередь, схема S2 разлагается на после-
довательно соединенные подсхемы S21, S22, ...,S2k2- Покажем, что толь-
ко одна из этих подсхем содержит контакт вида z (одна из этих под-
схем содержит контакт вида г, так как цепь А содержит такой кон-
такт).
Допустим, что подсхемы S2i{ , S2;2, ...,522; 1 /2^2, содержат кон-
такт вида z ({ii,i*2, ...,t'i2}s{l,2, ...,/c2}). Тогда никакая из подсхем
S21, S22, ...,S2k2 не содержит контакт вида z. Так как произвольная цепь
схемы S, проходящая через подсхему S2, не содержит контакт вида z
вне подсхемы S2, то каждая цепь подсхемы S2 содержит контакт вида
z. Это возможно только тогда, когда хотя бы в одной из подсхем
S2ii ,S2i2 , ...,S2iz существует сечение, состоящее сплошь из контактов
вида г. Отсюда снова придем к противоречию с минимальностью схемы
92

S. Таким образом, только одйа йз подсхем S2i,S22, ...,$2*2 содержит
контакт вида г. Допустим, таковой является подсхема S2i. При этом
произвольная цепь схемы S, проходящая через подсхему S2u не содер-
жит контакт вида z вне подсхемы S2i. В частности, цепь А содержит
контакты вида z только в подсхеме S2i. Продолжая процесс расчлене-
ния схемы S, убедимся, что цепь А содержит только один контакт ви-
да z. Лемма доказана.
В доказательстве нижеследующей теоремы наряду с П-схемой S бу-
дем рассматривать соответствующую ей П-сеть и граф, сохранив за ни-
ми то же обозначение S. Множество контактов схемы S, которое соот-
ветствует циклу графа S, назовем циклом схемы. При этом под
длиной цикла будем подразумевать в графе число ребер, в схеме —
число контактов.
Теорема 5. Пусть g(xu...yxn) — характеристическая функция про-
извольного (я, й)-кода мощности Ai, d^2. Тогда
Доказательство. Пусть «S — минимальная П-схема, содер-
жащая лишь ненулевые цепи и реализующая функцию g(*i, ...,.vn).
Покажем, что схема «S не содержит циклов длины, меньшей чем 2d.
Допустим, в схеме 5 существует цикл В длины, меньшей чем 2d. П-
схему S разложим на две ее подсхемы (которые соединены либо па-
раллельно, либо последовательно) так, чтобы цикл В целиком содержал-
ся в одной из них. Подсхему, содержащую цикл В, также разложим на
две подсхемы и рассмотрим ту, которая целиком содержит цикл В. Про-
должая этот процесс, определим подсхему SB схемы S, которая целиком
содержит рассматриваемый цикл, и никакая ее подсхема уже целиком
не содержит этот цикл. Очевидно, что полюсы подсхемы SB принадле-
жат циклу В. Из леммы 3 следует, что длина (число контактов) произ-
вольной цепи схемы S равна η и каждая цепь содержит контакт от каж-
дой переменной. Отсюда, в свою очередь, следует, что длины всех цепей
подсхемы SB равны. Пусть эта длина равна к так, что каждая цепь под-
схемы SB содержит по одному контакту от одних и тех же к перемен-
ных функции g(xu ···> Хп)· Таким образом, длина цикла В равна 2/с. По
предположению 2/c<2rf, т. е. K<d. Отметим, что две цепи схемы 5,
реализующие различные наборы (я, й)-кода, различаются видом кон-
тактов, по крайней мере, от d переменных. В силу того, что схема 5 не
содержит нулевых цепей и к<.а, то цепи схемы S, проходящие через
подсхему SB и совпадающие вне SB, реализуют один и тот же кодовый
набор. Поэтому все цепи подсхемы SB содержат контакты одного и
того же вида. Тогда в схеме S подсхему SB можно заменить одной из
ее цепей так, что получаемая схема также реализует функцию
g(xu.-.yXn) и содержит меньшее число контактов, чем схема S. Это
противоречит с условием минимальности схемы S. Таким образом, схе-
ма «S не содержит циклов длины меньше чем 2d.
Будем говорить, что множество циклов П-схемы (или соответствую-
щей П-сети) образует цепочку циклов, если в схеме найдутся две цепи,
которые вместе содержат все контакты всех циклов этого множества.
Число циклов в цепочке циклов назовем длиной цепочки. Нетрудно
убедиться в том, что если два цикла П-схемы принадлежат некоторой
цепочке циклов, то они не имеют общих контактов.
Теперь оценим снизу число контактов схемы 5. Цепи схемы S имеют
длину п, а длина произвольного цикла этой схемы не меньше чем 2d.
Отсюда следует, что максимальная длина цепочки циклов в схеме 5
не больше чем n/d. Далее рассмотрим П-сеть, соответствующей П-схе-
ме 5. Для того чтобы оценить снизу число ребер П-сети S, предвари-
93

тельно от П-сети 5 перейдем к другой, связанной с ней, П-сети S' сле-
дующим образом. Рассмотрим ребра сети 5. Очевидно, что через каж-
дое ребро сети S проходит хотя бы одна цепь. Если все цепи сети S,
проходящие через обе вершины рассматриваемого ребра, непременно
проходят и через это ребро, то такое ребро исключается из сети путем
склеивания его вершин в одну вершину. При этом, если одна из вер-
шин ребра являлась полюсом сети 5, то новая вершина становится по-
люсом. Продолжая указанный процесс удаления ребер сети S, полу-
чим сеть, в которой для каждого ребра существуют цепи, проходящие
через обе вершины ребра, как содержащие это ребро, так и не содер-
жащие его. Полученная сеть, которая, очевидно, является П-сетью, как
раз является упомянутой сетью S'.
Очевидно, что между цепями (циклами) П-сети S и П-сети S' су-
ществует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее цепочки цик-
лов. Таким образом, число цепей и максимальная длина цепочки цик-
лов сети S' совпадают соответственно с числом цепей и максимальной
длиной цепочки циклов сети S. Вместе с тем нетрудно убедиться в том,
что в П-сети S' длина максимальной цепи совпадает с длиной ее мак-
симальной цепочки циклов. Как было показано, сеть S не содержит
цепочек циклов длины больше чем n/d. Тем самым максимальная дли-
на цепи сети S' сверху оценивается величиной n/d. Сеть S (или то же
самое сеть S') содержит не менее Μ различных цепей (функция
g{x\> .·., Хп) принимает значение единицы на Μ наборах значений пе-
ременных).
Теперь можно оценить число ребер П-сети S'. Пусть S' содержит
R ребер. Каждая цепь сети S' задается последовательностью не более
n/d ребер. Очевидно, что число таких последовательностей не превос-
ходит Rnld. А поскольку сеть S' содержит, по крайней мере, Μ различ-
ных цепей, то число ребер R сети S' удовлетворяет неравенству Rn,'d^>.
^М. Отсюда R^Md^n. В свою очередь, из определения П-сети S'
(учитывая, что минимальный цикл П-сети S имеет длину не меньше
чем 2d) следует, что сеть S содержит, по крайней мере, в d раз боль-
ше ребер, чем сеть S'. Таким образом, в силу минимальности схемы S,
получим
L*n(g(xu...,xn))>d-Mdf".
Теорема доказана.
Приведем два конкретных примера применения доказанной тео-
ремы.
1) Пусть gn(xu -;Хп) — характеристическая функция [я,к]-кода
с K^cin и d^C2n (где а, с2 — некоторые константы). Существование
такого кода обеспечивается границей Варшамова—Гильберта (см., на-
пример, [4]). Тогда
^*n(gn)>2cn, где c=d-c2.
Отметим, что эта оценка не является эффективной в том смысле,
что групповая функция gn не указывается в явном виде.
2) Пусть gn(xu-'.,Xn) — характеристическая функция кода Рида—
Маллера длины п=2т и порядка г=т/2. В этом случае rf= У η и
Af=2w/2. Поэтому
, 1/2 тПГ
L*n(gn)>ffT-2 г .
Теперь перейдем к оценке величины μ π (η). Нетрудно убедиться, что
μπ(")<2".
Имеет место следующая
Теорема 6. μη(η)'^2οη> где с<1 — некоторая константа.
94

Доказательство. Пусть gn(*i.-.*n) — групповая функция,
которая была рассмотрена в примере 1. Для этой функции справедли-
во неравенство
L*n(gn)>2c'n,
где с'< 1 — некоторая константа.
Вместе с этим из верхней оценки (4) следует, что произвольная
групповая функция реализуется в классе П-схем со сложностью не
больше чем п3. Поэтому Ln (gn) <n3.
Таким образом,
μ*{η)> Ln(gn) >2
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Яблонский С. В. Функциональные постронаия в к-значной логике. — Тру-
ды МИ АН СССР, 1958, вып. 51, с. 5.
2. Л у панов О. Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем. — В сб.:
«Проблемы кибернетики». М., Физматгиз, 1963, вып. 10, с. 63.
3. Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах. — В сб.:
«Проблемы кибернетики». М., Физматгиз, 1962, вып. 8, с. 337.
4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М., Мир, 1976.
5. Малышев В. А. Класс «почти всех» функций с нелинейной сложностью при
реализации П-схемами. — В сб.: «Проблемы кибернетики». М., Наука, 1967, вып. 19,
с. 299.
6. Субботовская Б. А. О реализации линейных функций формулами в ба-
зисе &, V. — ДАН СССР, 136, № з, 553 (1961) .
7. Χ ρ а п ч е н к о В. М. Об одном методе получения нижних оценок сложности
П-схем. Мат. заметки, 10, № 1, 83 (1971).
8. Π у л а т о в А. К. О геометрических свойствах и схемной реализации подгрупп
в Еп. — В сб.: «Дискрет, анализ». Новосибирск, 1973, вып. 23, с. 32.
9. Π у л а т о в А. К. Нижняя оценка сложности схемной реализации для одного
класса кодов. — В сб.: «Дискрет, анализ». Новосибирск, 1974, вып. 25, с. 56.
10. Пулатов А. К. Влияние нулевых цепей на сложность П-схем.Тезисы докл.
IV Всесоюз. конф. по преблемам теорет. кибернетики. Новосибирск, 1977, с. 175.
Институт математики СО АН СССР
[16/ΧΙ 1977]
О КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
ЛОГИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
В. А. Таланов
В настоящее время в математике накопилось большое число работ,
в которых при рассмотрении какого-либо свойства объектов из неко-
торой бесконечной совокупности оказывается, что почти все объекты
обладают этим свойством. Например, почти все графы связны или
почти все ориентированные графы имеют гамильтонов контур. Подоб-
ные эффекты наблюдаются и при изучении алгоритмов. Так, в задачах
дискретной оптимизации случается, что какой-либо простой алгоритм
получения допустимого решения почти всегда приводит к оптимально-
му решению или алгоритм поиска объекта с данным свойством почти
всегда его находит. Естественно возникает вопрос осмысления такой
ситуации.
При математической постановке задачи приходится формулировать
средства для описания изучаемых свойств. Универсальным средством
95

описания является язык математической логики. При таком выборе
средств описания центральным становится вопрос об отношении числа
моделей данной логической формулы на множестве из η предметов к
числу всех интерпретаций ее нелогических символов в этом множестве.
Заметим сразу, что существенный прогресс в этой области касается
пока только языков первого порядка. Интересные результаты исследо-
вания асимптотического поведения доли выполнимости формул узкого
исчисления предикатов были получены Ю. В. Глебским и докладыва-
лись им на IV Международном математическом конгрессе в августе
1966 года. Эти результаты дали толчок новым исследованиям [1] — [4],
проведенным Ю. В. Глебским и его учениками. Интерес к данной тема-
тике проявляется и за рубежом. Укажем, например, работу [5], основ-
ные результаты которой непосредственно следуют из более ранних
работ Ю. В. Глебского и М. И. Лиогонького. Цель настоящей статьи—
дать краткий обзор имеющихся результатов.
1. Рассмотрим язык L предикатов первого порядка с равенством,
множество σ нелогических символов которого состоит из конечного
множества ор предикатных символов и счетного множества индивид-
ных констант аи #2,.... Константу а\ интерпретируем как натуральное
число i (/=1,2,...).
Множество всех нелогических символов формулы Л в языке L бу-
дем обозначать через а(Л), а множество ее предикатных символов
через Ор(А).
Объемом выполнимости предложения А с индивидными константа-
ми а^, cij2,...,ajs в области из η предметов (n^s) называется вели-
чина vn(A), равная числу всех интерпретаций сигнатуры ор(Л),
обращающих А в истину и заданных на произвольном множестве
i/n^{l, 2,...}, состоящем из η элементов и содержащем /ь ]ъ ···> /«.
Долей выполнимости предложения А называется величина δη(Α) —
= vn(A)/vn(AV>A).
Если Ор(А) = {Ри Р2,...,Р8}, где Pi—/^-местный предикат, то, оче-
видно, υп {А V > А) = 2п%1 +^2 +*··+"**.
Для произвольной формулы А с индивидными переменными Хи Хг>
..., хг нормальной долей выполнимости называется величина уп(Л) =
/ bitb2,...,br \
= δη \ЛХ1 ,ос2 ,...|3сг/ ' где &i, &2, ..·>&*· — различные константы, отлич-
ные от всех констант формулы Л, a AXl |Х ...,* — результат подста-
новки констант fci, &2,..., Ьг в формулу Л вместо хи *2, ...,хг соответст-
венно.
Очевидно, что для любой замкнутой формулы Л бп(Л)=уп(Л).
Отметим некоторые очевидные свойства величины Ьп{А).
Пусть Л — формула с индивидными переменными хи ...,хг и β —
формула с индивидными переменными f/i,...,{/«; 61, &2>—>&/, d> сг> ...,с*—
произвольные константы
/ blV"br \ / bib2'"bt \
1.1. Если| = Л—кВ, то δη\ΑΧΙ *2·..*Γ) <δη \ ВУ{ y 2...Vt J .
/ biV'*br \ / bib2'"bt \
1.2. Если|=Л = 5, то 6W \ AXi x2...xr J =&n\ BVi y2...Vt ) .
/ *1*2™*τ \ ( blb2'"br \
1.3. δη \> A%i κ2...Жг ) = 1 — bn\ AXl x2 ..xr J.
1.4. Если|=П (Л&В), то 8n\AXl X2 ...Яр \yBVl V2...yf ]=
96

/ ЛЬ2"Л \ / ClVCf \
— 6n\AXlxz...xr J-\- δη ^ Βν lV 2...y t) ·
I "iV-A \ / . 6lV"br clVC/ \
1.5. б„ ^Ц сс2..-Ж). /<бп\ЛЖ1 s,,...^ V·»!^ V2"Vt) <
%sOn I Six i x 2··. x f J ~T On I By j у 2"'J'i / '
1.6. Если Л и β не содержит общих предикатных символов, т. е.
/ „ Ь1Ь2-Ьг 0 „elVc/ \
а(А)(]о(В)=0, то δ„ \AXiXz..Xr&.ByiUr..yt ) =
-* //1νΛ ) * (rCiV"C' )
— On \f±x i ж 2... ac r / 'On \ £>y lV r-.y % J ·
1.7. Если Л имеет вид /?(*i,*2, ...,*к), где ρ — /с-местный предикат-
ныи символ, то δη I /Ц *2...*х / =="у
2. Ниже сделаем набросок доказательства того, что для любого
предложения Л в языке L существует lim бц(Л), и если А не содер-
П->оо
жит индивидных констант и нульместных"предикатов, то этот предел
равен нулю или единице.
Введем два определяемых символа у и д· — исключающие кван-
торы общности и существования соответственно. Выражения у хА и
к
3'хА будем считать сокращениями формул у*( & (х¥=Уг)—>А) и
к
дл:( & (д:^=уг)&Л) соответственно, где А — формула и х,уиУь-,Ук—
2 = 1
список всех ее свободных переменных.
Выражения, являющиеся сокращениями формул языка L и не со-
держащие обычных кванторов, будем называть Г-формулами.
Поскольку
|=у*Л=ул:Л& & AVJ и \=-^хА^ ^xA\J V Ах1 , (1)
i—i г=1
то для любой формулы языка L существует эквивалентная ей Г-фор-
мула.
Пусть {ап} — последовательность действительных чисел. Будем
говорить, что ап стремится к α с геометрической скоростью и писать
α—»-*α, если существует θ (0^θ<1) и натуральное .V, 4τογη>Ν
\ап—α|<θη.
В дальнейшем будет использовано следующее свойство таких по-
следовательностей.
2.1. Если ап—*-*<), то п-ап—►-*().
Отметим также, что для любых формул Л и β с исключающими
кванторами справедливы утверждения:
2.2. Если уп(А)—*-*0 и уп(В)—►-*(), то уп(А\у В) —* -0.
2.3. Если уп(А)—>->1 и уп(В)—*-*1, то уп(А&В)—~>^ 1.
2.4. Если уп(Л)—► -►Ι или уп(В)—^-> 1, то уп(А\/В)—► -> 1.
2.5. Если уп(А)—^-0 или уп(В)—>-+0, то у„(Л &S)—^-»0.
2.6. Если уп(А)—>->0, то уп(~~]А)—>1.
2.7. γη(3'^ΧΛ·ΥηΗ).
2.8. Если ¥п(У*Л)—^0 и γη(β)—► -*(), то уп(ух(А\/В))—>>0.
2.9. Если γη(Η'*Λ)—*-Ч и γη(β)—>-Л, то γΛ( 3'*(S & С))—■*--* 1.
7 Заказ 9258 97

Теорема 1. Для всякой Г-формулы А без свободных атомарных час-
тей и 0-местных предикатов уп{А) —*"*0 или уп(А)—►-Ч.
Доказательство можно провести индукцией по числу исключающих
кванторов в формуле А.
При т=\ А имеет вид γ-xB или g*xfi, где В — бескванторная
формула и в каждую атомарную часть ее входит х. Непосредственным
подсчетом можно показать, что
11, если|= В ( О, если |="""| В,
и γη( а'*Я) =
О в противном случае | 1 в противном
I случае.
Пусть для Г-формул с числом кванторов ^т утверждение теоремы
справедливо и рассмотрим Г-формулу А с числом кванторов m-f-1.
Если А имеет вид В\1 С, В&С или~И5, то утверждение теоремы сле-
дует из 2.2—2.6. Поэтому достаточно рассмотреть формулы вида ухВ и
g-xfi. Остановимся на "формуле g'*fi. Используя технику пронесения
кванторов, формулу В можно привести к виду V CiDly где С* — бес-
кванторные формулы, все атомарные части которых зависят от ху а
формулы Di не содержат свободных атомарных частей и в каждую из
них входит не более т исключающих квантороз. По предположению
индукции утверждение теоремы справедливо для всех Dit Рассмотрим
два случая.
а) Для всех /€{1,2, ...,s} | = Сг· или yn(Di) —►-().
б) Существует /0е{1,2, ...,s}, что| = Сг<) и γα(β*0) —*-Л.
В первом случае, используя последовательно 2.7, 1.5 и 2.1, имеем
γη(Λ)=γη(3.Χβ)<Λ.γη( VCiDi)<n Σ yn(CiDi)-+-+0.
г=1 г=1
Во втором случае, используя 1.5 и 2.9, получаем
Vn(A)=yn(a-xB)^yn(wxCiQDiQ)—+-+l.
Доказательство для формул вида у хВ получается переходом к от-
рицанию. Теорема доказана.
Теорема 2. (О «О или 1»). Для всякого предложения А в языке L,
не содержащего констант и нульместных предикатных символов,
уп(Ау—>-*0 или уп(А).—>-*1.
Доказательство. Построим сначала предваренную нормаль-
ную форму для Л, а затем, используя (1), заменяем все кванторы, на-
чиная с внутреннего, исключающими. После таких преобразований
придем к Г-формуле, эквивалентной А и удовлетворяющей теореме 1.
Теорема 3. Для всякого предложения А в языке L существуют не-
отрицательные целые числа / и s такие, что уп(А)—>->;j7·
Доказательство. Как к в доказательстве теоремы 2, строим
эквивалентную формуле А Г-формулу Ву однако теперь в В могут
входить свободные атомарные части. Вынося их за знаки кванторов,
можно получить формулу D, эквивалентную формуле Л, имеющую вид
d σ\ σ* oj
V <7i <72 —qt Β{,
где qu *?2, ..·> 4t — атомарные формулы, σ* =0 или 1, а 5* — формулы,
удовлетворяющие условиям теоремы 1. Непосредственный подсчет по-
98

называет, что γη(Α)=\η(\/ <7i Яг ··· Qt Bi) = Σ —γη(θ) =
= — Σ γη(θ,) = 4-. где /= Σ γ»(β<), *=*·
^ г=1 ^ г=1
Если через Г обозначить множество всех предложений Л в языке
L, для которых уп(А)—*1, то из теоремы 2 следует
Теорема 4. Τ — полная, разрешимая теория в сигнатуре σΡ.
3. В работе [2] и позднее в [5] рассмотрен зопрос об аксиоматиче-
ском задании теории Т. Чтобы описать систему аксиом, отличную от
всей теории, введем некоторые определения [6].
Пусть Х={хих2, ...,Хт) — конечное множество, состоящее из т
различных индивидных переменных. Полным открытым описанием
М(хих2, ...уХт) назовем формулу & Ф, где А — множество формул
ФеА
вида p(zhz2y ...,2т) илиНр(21,22,...,2т) (р^вр, 2{е!), причем для
каждого р^Ор и каждого набора <zi, z2, ...,2m>eim в А входит либо
p{zuz2,...yzm)y либо"-] p{zu z2f..., zm). Полное открытое описание
N(xu x% ..., Хт, у) у где у— новая переменная, называется расширением
полного открытого описания М(хих2)...ухт), если каждый сомножи-
тель из Μ содержится в N.
Как следует из работ [2] и [5], множество формул вида
V# *1 V'*2— Y'Xm(M(Xi,X2,...,Xm) * 3 ' HN (*Ь *2, ···, Хт, У))
является системой аксиом для теории Г.
Изучая вероятностные меры на исчислении предикатов, Гайфман
[6] строит меру μ (Л) следующим образом:
1) Если А — атомарное предложение, то μ(Α)=η (0<<7<1)·
s t
2) Если А= & А{& & \Ai} где Л* — атомарные предложения,
г=1 i=s+l
то μ(Α)=η*(1—q)*-*.
3) μ(α2=α;·)=0, если α* и a,j — различные константы.
η α.
4) Если А имеет вид Η*#> то μ(Λ)=51φ{μ( V Вхг )|fet/n}, где
г=1
supremurn берется по всевозможным η-подмножествам t/n^{l,2,...}.
В [6] показано, что строящаяся таким образом функция μ индуци-
рует единственную меру на исчислении предикатов, и что для любого
предложения Α μ(Α)=0 или 1. Из результатов работ [6] и следует,
что множество предложений Л, для которых ц(Л) = 1, совпадает с Г.
4. Рассмотрим вопросы, связанные с асимптотическим поведением
доли выполнимости предложения по неизоморфным моделям.
Пусть А — предложение языка L, не содержащее констант и 0-
местных предикатов. Через νη(Α) обозначим отношение числа попарно
неизоморфных интерпретаций сигнатуры а (А), обращающих А в исти-
ну, в универсе из η предметов к числу всех попарно неизоморфных ин-
терпретаций сигнатуры σ(Α).
Карнап [7] доказал, что если σ(Α) состоит только из одноместных
предикатов, то lim vn(A) существует и равен нулю или единице.
В [2] и [5] доказана
Теорема 5. Для любого предложения А в языке L, не содержащего
констант и нульместных предикатов lim vn(A), существует и равен
n-*oo
lim γη (Л).
П->оо
В случае, когда о(Л) состоит только из одноместных предикатов,
теорема 5 является следствием результата о том, что число s-наборов
7*
99

<*i,*2, ...,*з> целых xh таких, что Xi+^H \-х8=а и О^лг^а есть
s—1
биномиальный коэффициент Ca+s-i·
В случае, когда а(Л) содержит, по крайней мере, один более чем
одноместный предикат, доказательство теоремы 5 основывается на
следующем.
Пусть S — конечное множество предикатных символов, среди кото-
рых есть, по крайней мере, один неодноместный, an(S)—число всех
η-интерпретаций сигнатуры S, bn(S) — число попарно неизоморфных
η интерпретаций, тогда n\bn(S)/an(S)·—^1 при η—м». Этот результат
доказан в [8] в случае, ко,гда S состоит из одного двухместного преди-
ката в [9], в случае, когда 5 состоит из r-местных предикатов при фик-
сированном г^2, и, наконец, в [2] утверждение доказано в общем
случае.
5. Рассмотрим теперь некоторые результаты [4] об условной доле
выполнимости логических формул.
Пусть А — предложение в сигнатуре σ и В — предложение в сигна-
туре Ор.
Долей выполнимости предложения В при условии выполнимости
предложения А в области из η предметов называется величина
δη(Β/Α) =υη(Β &Α)/υη(Α), где объемы выполнимости вычисляются
относительно сигнатуры а(А&В). Если для некоторого η υη(Α)=0, по
определению считаем δη(Β/Α) = — ·
Пусть С а — спектр предложения Л, т. е. множество тех я, для ко-
торых υη(Α)Φ0, и Ζ/ — множество предложений сигнатуры σ, для
которых спектр бесконечен.
Если 1\туп(А) = 1, то, очевидно, \\π\δη(Β/Α) существует и равен
П-*>оо П-+00
lim δη(β), поэтому рассматриваем предложения из L, для которых
п-*ос
lim δη (Α) = 0.
η-»·οο
Теорема 6. Если в σρ входит хотя бы один более чем одноместный
предикат, то не существует алгоритма, определяющего для произволь-
ных предложений Ле// и B^L, существует ли Нтб с (В/А). Сле-
71->ЭО ~~ А
дующий пример [5] покажет, что предел последовательности δη{Β/Α)
может не существовать. Пусть А= γΧΤ}\ у(хфу &р(хуу) &р(уух)),
Β=^Ζ(γΧφΖ) ( з1уфг) (хфу&р(х,у) &р(у,х)). Тогда
вя(Л/ЛуЯ)={°'
если η нечетно,
в противном случае.
Пусть ΤА — множество предложений В в сигнатуре σ, для которых
lim δη (В/А) = 1. В [4] доказано, что ТА является теорией. Чтобы Тл
П-»>сх,
была полной, достаточно, чтобы для любого предложения В вида
V**C, где С без кванторов и атомарных предложений, δη(Β/Α)—► -> 1
или δη ( \В/А)—*-±1. Если при этом совокупность предложений В ука-
занного вида,для которых δη(Β/Α)—*^1 рекурсивна, то ТА— полная,
разрешимая теория. В работах [4] и [5] имеется ряд примеров формул
Л, для которых ТА является полной разрешимой теорией. В частности,
если предложение А не тождественно ложно, не содержит более чем
одноместных предикатов и предиката равенства и имеет вид
ухСо&з xCi & ··· &gxCs, то ТА — полная, разрешимая теория.
В заключение приведем теорему, которая полностью решает вопрос
о поведении δη(Β/Α) ъ случае, когда А сингулярно.
100

Теорема 7. [4]. Пусть А — сингулярное предложение без равенства.
Тогда 1) для любого предложения В в языке L существует МтЬп(В/А),
П-кхэ
2) совокупность возможных значений предела величины Ьп{В/А) для
различных предложений Ву не содержащих индивидных констант, ко*
нечна, 3) \\тбп(В/А) эффективно вычислим.
П-*оо
Пример. Пусть Α=γ х\у(р(х)<—+р(у))9 где ρ — одноместный
предикатный символ, тогда
i О, если В&^хр(х) и В &ух~\р(х) ые имеет модели
мощности п.
δη(Β/Α)=] _
1, если Β&γΧρ(Χ) и В &\jx \p(x) имеют модель мощ-
ности п.
1
— в противном случае.
I 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Глебский Ю. В., Коган Д. И., Лиогонький М. И., Таланов В. А.
Объем и доля выполнимости формул узкого исчисления предикатов. «Кибернетика»,
№ 2, 17 (1969).
2. Лиогонький М. И. К вопросу о количественных характеристиках логических
формул. «Кибернетика», № 3, 16 (1969).
3. Л и о г о н ь к и й М. И. Об одном свойстве аксиомы эквивалентности в исчис-
лении предикатов первого порядка. Учен. зап. ГГУ. Сер. мат., мех., 1969, вып. 105,
с. 17.
4. Л и о г о н ь к и й М. И. Об условной доле выполнимости логических формул.
Мат. зам. АН СССР, 6, N° 6, 651 (дек. 1969).
5. Faqin R. Probabieities on finite models. The Journal of Symbolic Logic, v. 41,
N 1, March 1976, p. 50.
6. G a i f m a n Η., Concerning Measures in Ferst Order Calculi, Israel Jornal of
Mathematics, v. 2, 1964, p. 1.
7. С a r η a p R. Logical foundations of probability University of Chicago Press,
Chicago, 1950.
8. Harary R Hote on Carnaps relational asymptotic relative frequencies. The
Journal, ot Symbolic Loguc, v. 23, 1958, p. 257.
9.- О berschel ρ W., Struktur zahlen in endlichen Relationssystemen, Contri-
butions to Mathematical Logic (Proceedings of Logic Colloquium), Hannover, 1966,
p. 199.
Горьковский государственный университет
[12/VII 1977]
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ
В. А. Таланов, В. Н. Шевченко
1. Пусть N={\, ...,п} — множество работ, каждая из которых
должна быть выполнена в точности одним исполнителем из множества
М = {1, ...,m}; Ij^M — множество исполнителей, которые могут де-
лать /-ю работу (j^N)\ числом dj измеряется польза от назначения
t-ro исполнителя на /-ю работу (feAi, j^N). Под задачей о назначени-
ях понимают задачу нахождения таких ij-e/j, различных для различ-
ных / при которых максимизируется /= Σ с%.у
Рассмотрим теперь ситуацию, в которой условие \ф1—^ij¥=ii пере-
стает быть обязательным, и можно, если это сулит существенное уве-
личение значения /, пойти к раз на его нарушение, т. е. допустить к
101

совместительств. Уточним, что если Γν={//0==ν} — множество работ,
на которые назначен ν-й исполнитель (в частности может быть, что
/\,=0), a i/v — мощность Л,, то число совместительств считаем рав-
ным Σ max{0, (yv— 1)}. Задачу нахождения таких ij^Ij(j^N), при
которых максимизируется f= Σ d .$ и выполняется условие
Σ max{0, (yv— 1)}^к,
νεΜ
назовем обобщенной задачей о назначениях (ОЗН). Очевидно, что при
к=0 получится задача из предыдущего абзаца.
2. Для каждого /еЛт положим dij=l при ie/j и dij=0 при i~€=:Ij.
Введем целочисленные переменные Xij(Xij—l, если /*-го исполнителя
назначают на /-ю работу, и Хг;=0 в противном случае) и г* =
= max{0, (уг—1)}. Тогда ОЗН нетрудно записать в виде следующей
задачи целочисленного линейного программирования:
Σ Cij Xij—Ипах,
г'е=ЛГ, je=iV
Σ Xij=\ (/еЛТ),
2'εΜ
Σ хи—у{ = 0 (isAl),
je=JV
O^Xij^dij (ieAi, /eJV), (1)
г*е=М
гг>0;
Xih Уи zi (teAi, /^^) — Целые.
Очевидно, что переменные у г могут быть исключены и ограничения (1)
эквивалентны следующим:
Σ хц=\ (/(=#),
ге=М
—*,·+ Σ Xij^l (ieeM),
Σ Zi^K, (2)
геМ
O^Xii^du (te;Ai, /etf),
z2->0 (teAf),
Xij, z* (ieM, j^N) — целые.
Теорема. Пусть Мк — множество векторов, удовлетворяющих систе-
ме ограничений (2). Если МкФ0 и числа к и d^ (i^M, j^N) целые,
то любая крайняя точка множества Мк целочислена.
Для доказательства перепишем ограничения (3) а следующем виде:
Σ х^=1 (/€=#),
геМ
Σ Xij+Ui=Zi+Wi (i'eM),
jeiV
Σ Zi^K, (3)
O^Xij^dij (ie=My /€=#),
^г^О, iii^O, Wi=l (i^M).
102

Переменные системы (3) проинтерпретируем как величины потока на
дугах сети с узлами Л, В, Си С2,..., Cm, Ei, E2,..., E7rt, F. Эта сеть описы-
вается следующей таблицей:
Дуга
АВ
ACt
BCt
CiF
CiEj
EjF i
Нижняя
1 пропускная
способность
0
1
0
0
0
1
Верхняя
пропускная
способность
к
1
оо
оо
dij
1
Интерпретация
величины
потока
Σ zt
Wi (i^M)
zt (l£M)
Wi (t£M)
*u ('6Μ./6Λ0
%№щ
Теперь доказываемое утверждение можно вывести из теоремы о це-
лочисленное™ потока [1].
В заключение заметим, что потоковая интерпретация решает и воп-
рос о необходимых и достаточных условиях совместности системы (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Форд Л. П., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. М., Мир, 1966.
Горьковский государственный университет
[11/XI 1977]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ
ТРИАНГУЛИРОВАННЫХ ГРАФОВ
В. В. У санов
В настоящей работе рассматриваются только конечные неориенти-
рованные графы без петель и кратных ребер; все не определяемые на-
ми понятия могут быть найдены в [1].
Сложность алгоритмической обработки информации, представлен-
ной в виде графов, во многом зависит от способа задания графов. Так,
для задания я-вершинного графа матрицей смежности требуется ~п*
двоичных символов. Другой универсальный способ задания графов—
представление их системой множеств произвольной природы (граф
пересечений системы множеств есть граф, вершинами которого служат
сами множества, и вершины смежны тогда и только тогда, когда соот-
ветствующие множества имеют непустое пересечение). Известно, что
любой граф L является графом пересечений L(Q) некоторой системы
η
множеств Q={MUM2, ...,Мп}( (J М{=М). В этом случае, если \М\ =
= /с, то для задания графа пересечений требуется ~/с-л двоичных
символов (так как множество Mi задается к-мерным вектором
(ai, 062, ...,α«)Γ, где аг=1, если i-й элемент принадлежит Mi и нулю в
103

противном случае). Ясно, что при к<п представление графа системой
множеств может быть экономнее, нежели матрицей смежности.
Возникает вопрос о построении такой системы множеств Ω, для
которой число к наименьшее. В худшем случае, как показано в [2],
Г n2(L) 1
для графа L лишь в множествах Μ с /с^ —-—- существуют систе-
мы подмножеств, графы пересечений которых изоморфны L. Однако
для некоторых классов графов и специфических систем множеств уда-
ется эту оценку улучшить. В данной работе рассматривается один из
таких классов — триангулированные графы (в дальнейшем Г-гра-
фы)*.
Г-графы — весьма обширный класс (например, графы интервалов
[1] образуют его собственный подкласс), тем не менее для него в [3]
получены эффективные алгоритмы решения задач о максимальном не-
зависимом множестве и о раскраске. Г-графы изучались в [4] в связи
с решением систем линейных уравнений с симметричной положительно
определенной матрицей, большинство элементов которой — нули, и в
[5] в связи с исследованиями в области генетики.
Основной результат настоящей работы показывает, что любой
Г-граф может быть представлен такой системой множеств, для кото-
рой к^п.
Работа состоит из четырех разделов. В первых трех доказывается
основной результат, в четвертом описывается алгоритм распознавания
Г-графов и оценивается его сложность.
Автор выражает глубокую благодарность В. Е. Алексееву, под
руководством которого была выполнена эта работа, и А. А, Маркову
за большую помощь при написании статьи.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Определение 1. Подмножество вершин дерева, порождающее связ-
ный подграф, назовем фрагментом. Дерево с выделенной на нем си-
стемой фрагментов назовем деревом фрагментов.
Определение 2. Граф L=(X,U) называется графом фрагментов,
если существует дерево D и такая система Ω фрагментов на нем, что
граф пересечений Δ(Ω) изоморфен L.
Определение 3 ([4]). Разделяющее множество графа L=(X,U)
есть подмножество SczX такое, что подграф L(X\S) состоит из двух
компонент связности. Минимальное разделяющее множество есть раз-
деляющее множество, никакое подмножество которого не является
разделяющим множеством.
Определение 4 ([5]). Вершина графа, окружение которой есть пол-
ный подграф, называется симплициальной.
Лемма 1 ([4]). Минимальное разделяющее множество в Г-графе
порождает полный подграф.
Доказательство. Пусть S — минимальное разделяющее
и С\, С2 — компоненты L(X\S). Так как 5 минимально, то каждая
sg5 смежна с некоторой вершиной в Ct и с некоторой вершиной в С2.
Пусть xfy^S и пусть μΖ· — кратчайшие цепи вида
[хсца2...С1р. у], i=l,2,
C2j^C2.
* Граф L триангулирован, если для любого цикла μ = [xxx...xi х{\ длины />3 су-
ществует ребро L, соединяющее две несмежные вершины μ. Такие ребра называют
хордами цикла.
104

Цикл, содержащий х и у, образованный μ! и μ2, имеет длину /^4, и
единственно возможная хорда в нем — ребро {х,у}. Ввиду произволь-
ности выбора x,y^Sy утверждение леммы доказано.
Лемма 2. Пусть Ln — полный я-вершинный граф и на дереве D ему
соответствует система фрагментов Ω= {Ми М2, ...,МЛ}. Тогда
г=1
^1 уг \3_ . _ . _"_ .Я*.2'2*]/ ,bU
Рис. 1
Доказательство проведем индукцией по я. При п=2 утверждение сов-
падает с определением графа фрагментов. Пусть оно верно для η—1,
т. е. при некотором изоморфизме на дереве D вершинам Ln_i соответ-
ствует система фрагментов Ω= {Mi, М2, ...,Mn_i}, имеющих множество
общих вершин Σ = {£ь |г, ···, ξκ}· Добавим п-ю вершину з граф фрагмен-
тов и рассмотрим соответствующий ей на дереве D фрагмент Мп. Обо-
значим Ni = Mn(]Mi (t = 1,лг—1). Так как по условию леммы Ln—пол-
ный, то Ν\φ0 (/=1,л—1). Если все Л^(1=1,/г—1) совпадают, то
лемма доказана. Пусть существуют ΝΚΦΚΤ1 и x^Nn, y^Ni (хфу).
Очевидно, общая вершина η фрагментов должна принадлежать Σ.
Предположим противное, т. е. пусть \^Мп (у/=1,/с). Тогда, поль-
зуясь связностью Мк и Mi, соединим некоторую вершину ξ^Σ с х
цепью SK через Мк и с у цепью 5/ через М/. С другой стороны, х, у^МПу
и, значит, существует цепь Sn в Мп, соединяющая их. Но в дереве
любые две вершины можно соединить лишь одной цепью, мы же по-
строим две (xSKljSiy и xSny) несовпадающие цепи (ξ^Μη по пред-
положению), следовательно D не может быть деревом. Полученное
противоречие говорит о том, что наше предположение неверно и суще-
п
ствует ξν^Μη, а значит, и ξν^ Π Мг·, что и требовалось доказать.
г=1
Лемма 3. Либо Г-граф полный, либо в нем существует по крайней
мере две несмежные симплициальные вершины. Доказательство прове-
дем индукцией по числу вершин Г-графа. Для п=2 утверждение
очевидно. Пусть оно верно для Есех Г-графов с числом вершин ^п.
Покажем, что оно верно и для (п-\-1) -вершинного Г-графа L (рис. 2).
L
Рис. 2
Если L — полный граф, то лемма доказана. Пусть L не является пол-
ным графом. По лемме 1 минимальное разделяющее множество S в L
порождает полный подграф L(S).
* Заметим, что для полного графа всегда существует хотя бы одно дерево фраг-
ментов, соответствующее ему, в частности, такое, как на рис. 1.
105
т

Рассмотрим подграф Li=L(X/|jS). У него вершин <./г, поэтому,
по предположению, либо он является полным, либо в нем существуют
две несмежные симплиииальные вершины. В первом случае всякая
вершина из X' симплициальная, во втором — хотя бы одна симплициаль-
ная вершина принадлежит Х'у так как в S все вершины попарно
смежны.
Проводя аналогичные рассуждения для L2=L(X"[)S)t получим,
что хотя бы одна вершина из X" симплициальная.
Если заметить теперь, что никакие вершины fel; и /еХ" несмеж-
ны и окружение всякой вершины в L(X') (b L(X")) является ее окру-
жением и в L, то ясно, что в L существует по крайней мере две сим-
плициальные вершины: одна в Х\ другая в X". Лемма доказана.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Теорема 1. Класс графов фрагментов совпадает с классом Г-графов.
Необходимость. Покажем, что любой граф фрагментов явля-
ется Г-графом.
Пусть L=(X, U) —граф фрагментов на дереве Ζ), μ= [X1JC2..- ^/^i] —
какой-либо его цикл длины /^4.
По условию теоремы существует такая система Ω из n=n(L)
фрагментов на дереве D, что L(Q) изоморфен L. Пусть при некотором
изоморфизме вершине Хг цикла μ отвечает фрагмент Ai* (будем счи-
тать, что А1щ=А1< (t=l,/)).
Обозначим Nij=Mi(]Mj (yi,j>0). Тогда по определению графа
L(Q) имеем
Nii+l¥=0 (V*>0).
Рис. 3
Допустим теперь вопреки утверждению теоремы, что цикл μ не имеет
хорд, т. е., что
Nu+K=0 (vf>0, 1<к<1).
Тогда, так как Ν\%φ0, МцФ0у a Mi— связный подграф, то сущест-
вует цепь niSin2, где 5i— некоторая цепь в Ми вершина tii^Nn, а
вершина n2^Ni2y причем п2^Ыцу так как по предположению, jV2/=0.
Ввиду того, что М2— связный подграф и Ы2Ъф0, то мы сможем про-
должить цепь из п2 через М2 в tiz^N2z (n^Nu, так как JVi3=0).
Продолжая таким образом построение цепи через все Mi (i=l,/), на
последнем шаге через Mi придем в некоторую вершину щ+^Ыц
(в общем случае т^\фп\), а так как Aft— связный подграф, то
всегда существует цепь, соединяющая щ+1 и п\. Таким образом, цепь
замкнулась либо в п\, либо в одной из вершин цепи S\.
106

Полученное противоречие с тем, что D— дерево, и доказывает не-
обходимость теоремы.
Достаточность. Докажем, что любому Г-графу соответствует
дерево фрагментов. Доказательство проведем индукцией по числу
вершин Г-графа.
Г-графы с числом вершин /i=l, 2, 3 с точностью до изоморфизма
являются графами фрагментов для таких деревьев фрагментов
(рис. 4):
L:
/S. Z-.
2>:
ч;
G^
^ СШЮ ^
*>
=5)
чУ
Рис. 4
Пусть теорема верна для всех Г-графов с числом вершин, не пре-
восходящем п. Покажем, что она верна для (п+1)'веРшинн0Г0
Г-графа L.
Если L— полный граф, то утверждение доказано (см. замечание
к лемме 2), в противном случае выделим в L минимальное разделяю-
щее множество 5, которое разделит его на две компоненты связанно-
сти: L(X') и L(X"). По лемме 1 5 порождает полный подграф L(S).
Рассмотрим подграфы Li = L(X'[)S) и L2=L(X"[)S) (рис 5).
Это Г-графы с числом вершин, меньшим я, а для них по предположе-
нию индукции, существуют деревья £>t и D2 с системами фрагментов
Ω1 и Ω2 соответственно.
Рис. 5
Пусть Ω1=φ4υΩ/, Ω2=ψ2υΩ2/, где ψ= {Aft, Ai2>..., AfK} — под-
система фрагментов, соответствующая L(S) з подграфе Li (i-ii верши-
не S соответствует Mi), а подсистема фрагментов ψ2= {Mi,..., Мк'}
соответствует L(S) в подграфе L2 (i-й вершине 5 соответствует Af/).
к
По лемме 2 существует вершина |4е Π Ми и аналогично сущест-
г=1
вует вершина ξ2^ f| M/. Соединим ξ4 и ξ2 ребром и и рассмотрим
дерево Д состоящее из D{ и D2, «склеенных» этим ребром. Это дерево
фрагментов будет соответствовать L. Действительно, L состоит из
L(X'), L(S) и L(X")\ по построению каждой вершине из X' соответ-
ствует некоторый фрагмент из Ω/, каждой вершине из X"— фрагмент
из Ω/, а i-й вершине из S соответствует фрагмент М\\]М\. Теорема
доказана.
107

3. ОЦЕНКА ЧИСЛА ВЕРШИН ДЕРЕВА ФРАГМЕНТОВ
Доказательство теоремы 1 дает не только конструктивный способ
построения дерева фрагментов, но и позволяет оценить число его
вершин.
Для каждого графа L и некоторого множества Μ введем функцию
f(L) =min|M|, где минимум берется по всем представлениям L систе-
мами подмножеств Μ (предполагается, что существует хотя бы одно
такое представление). Если L— граф фрагментов, то f(L) есть наи-
меньшее число вершин дерева фрагментов, необходимое для представ-
ления L. Тогда оказывается справедливой.
Теорема 2. Для каждого я-вершинного Г-графа L f(L)^.n.
Доказательство. Пусть L представляется системой фрагмен-
те
тов Ω= {Aii, Λ12,..., Мп} на дереве D. Обозначим М*)= U Λ4; и заме-
г=1
тим, что полный граф Lm можно наиболее экономно представить сис-
темой ty={NuN2, ..., Nm}y где Ni=N2= — = Nm= {i}, /—некоторая
вершина дерева. Из вышеописанного способа построения D имеем не-
равенство
\MW\^l + \M(n~v\9
откуда f(L) ^/г, что и требовалось доказать.
Оценка достигается на графах, показанных на рис. 6, которые пред-
ставляются деревьями, изоморфными им же.
_—,— ... —·
Рис. 6
Таким образом, полученая оценка на порядок ниже, чем в общем
случае представления графа системой множеств. Более того, такая
оценка дает возможность утверждать, что задание Г-графов системой
фрагментов не хуже (а для многих Г-графов даже лучше), чем матри-
цей смежности.
4. АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ Т-ГРАФОВ
Как видно из предыдущих параграфов, для Г-графов получен
достаточно удобный способ представления. Тем важнее иметь какой-
либо алгоритм, распознающий, является ли данный граф Г-графом.
Один из таких алгоритмов приводится ниже.
Для построения алгоритма используем лемму 3, выражающую
одно из характеристических свойств Г-графов (назовем его τ-свойст-
еом). Заметим, что любой подграф Г-графа L, порожденный множест-
вом вершин X, есть Г-граф, так как любой цикл в L(X) есть гот же
цикл в L и хорда этого цикла в L должна быть ребром и в L(X).
Следовательно, все свойства Г-графа остаются у любого его подграфа.
Смысл алгоритма заключается в проверке наличия τ-свойства у дан-
ного графа и существенной части его подграфов.
Алгоритм находит все симплициальные вершины в исходном
графе. Если количество таких вершин не менее двух (т. е. граф обла-
дает τ-свойством), то они исключаются из множества вершин. Далее
таким же образом осуществляется проверка на τ-свойство подграфа,
порожденного оставшимися вершинами. Процесс заканчивается, когда
множество вершин исчерпает себя; в этом случае делается вывод о том,
что исходный граф триангулирован. Если же на какой-то итерации
проверяемый подграф не обладает τ-свойством, то исходный граф не
траиангулирован.
108

Опишем алгоритм более формально.
1) Для графа L(X) найти все симплициальные вершины: Xi, x2,..., Хь
2) Если /<2, то исходный граф не триангулирован.
В противном случае перейти к п. 3.
3) Если ХФ0, то обозначить L(X\{xux2, ...,xi}) через L(X) и
перейти к п. 1.
В противном случае исходный граф триангулирован.
Оценим сложность алгоритма g(n). Будем предполагать, что граф
задан матрицей смежности. За единицу сложности алгоритма возьмем
простейшую операцию (сложение, умножение, сравнение) над двоич-
ными символами. Тогда для проверки каждой вершины я-вершинного
графа на симплициальность потребуется ^п2 операций. Поиск и ис-
ключение всех симплициальных вершин в одной итерации потребует,
следовательно, выполнения ~п3 операций. Если учесть теперь, что
алгоритм прекращает работу не далее чем через η итераций, то стано-
вится ясно, что
g(n)~ я4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зыков А. А. Теория конечных графов. Новосибирск, Наука, 1969.
2. Ε г d δ s P., Goodman A. W., Posa L., The representation of a graph by
set intersection, Canad. T. Math. 18, № 1, 106—112, (1966).
3. Алексеев В. Е. О сжимаемых графах. Сб. Проблемы кибернетики, М„
Наука, 1979, вып. 36 (в печати).
4. R о s e D. Т., A graph-theoretic study of the numerical solution of sparse
positive definite systems of linear equations. Сб. «Graph theory and computing», edited
by Ronald С Read, Academic Press, New Gork. and London, 1972, p. 183—217.
5. Мирки η Б. Г., Родин С. Н. Графы и гены. М., Наука, 1977.
Горьковский государственный университет
[28/ХН 1977]
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ КОНУСЫ,
СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ И ПРАВИЛЬНЫЕ ОТСЕЧЕНИЯ
В ЦЕЛОЧИСЛЕННОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
В. Н. Шевченко
1. Обозначим через /?, Ζ, /?+, Ζ+ множества рациональных, целых,
неотрицательных рациональных и неотрицательных целых чисел соот-
ветственно; а через Rm, Zm, R™, Ζ™— m-ю декартову степень соот-
ветствующего множества. Пусть Л=(аг^·)— целочисленная матрица
размеров mX/r, alf ..., ап— ее столбцы; b^Zmy c^Z (/=1,..., η),
и= (uiy..., ит) — вектор переменных. Рассмотрим задачу целочислен-
ного линейного программирования относительно и
maxub, (1)
ua^Cj (/=1, ..., я), (2)
ue=Zm. (3)
Ограничения (2) можно переписать в матричном виде, обозначив
через с строку, /-я компонента которой равна с,·:
иА^с. (4)
109

Множество и из Rmf удовлетворяющих (4), обозначим через Μ(Ау с).
Обозначим через А^ (или в более подробной записи через {аА,... ап}^)
выпуклый многогранный конус, порожденный столбцами А, т. е.
Л^={а|а= Σ λ, а,, Я,-е/?+ (/=1,..., л)}.
Относительно задачи (1) — (3) сделаем следующие предположения:
а) ранг матрицы А равен т,
б) Л4(Л,с)^0,
в) ЬееА^-,
что, как известно из теории линейного программирования (см., напри-
мер» Π])' гарантирует существование крайней точки в М(А,с) и опти-
мального плана в задаче (1), (2).
2. Обозначим через L(A,c) выпуклую оболочку множества
M(A,c)[\Zm и через N(A,c)— множество крайних точек множества
L(Ay с). Из [2] легко получается следующая
Лемма 1. Для того чтобы o&N(A,c), необходимо и достаточно
существование такой линейно независимой системы векторов Ь1, ..., Ьт
из Zm, чтобы для всякой u^L(A, с) \ {υ} выполнялись неравенства
иЬг<юЬг (/=1,...,т). В [3] доказана (см. также [4]) следующая
Теорема 1. Если ai^R, то N(A,c) конечно и L(A, с)— выпуклое
многогранное множество, т. е. найдется такое натуральное число /г',
такая целочисленная матрица А' размерами mXn' и такой вектор
с'е=2*', что L(A,c)=M(A',c').
Если Μ (А, с) ограничено, то этот факт тривиален при любых дейст-
вительных а*; в силу конечности Μ (А, с) [\Zm (см., например, [5]).
Если же Μ (А, с) не ограничено, то предположение о рациональности
коэффициентов матрицы А существенно, в чем нетрудно убедиться,
взяв, например, А=[ ) и с= (0, 1). Здесь N(A,c) бесконечно
и L(Ayc) нельзя описать конечной системой неравенств [4].
Заметим, что, несмотря на конструктивность доказательства теоре-
мы 1, удобных алгоритмов для нахождения L(Atс) (или матрицы А'
и вектора с\ о которых говорится в теореме 1) пока не известно.
3. Определение. Неравенство иа^а называется правильным отсече-
нием точки w от М, если wa>a и для всякой v^M[)Zm va^a.
Пусть d — натуральное число. Рассмотрим систему линейных срав-
нений
η
Σ aijXj^0 (d) (t=l,...,m). (5)
Для записи системы (5) будем использовать также векторную форму
η
Σ ajATj=0 (d) и матричную форму Ах=0 (d), положив х=
;=*
= (xi, ...,.νη)τ. Через [α] будем обозначать наибольшее целое число, не
превосходящее а.
Ах
Лемма 2. Если вектор х удовлетворяет системе (5), а—-~т~ и а=
= 1—7-1, то для всякой точки υ из M(Ayc)f]Zm выполняется
тт « Л ^ vA* ^ сх
Действительно, так как лг^О и vA^.c, то υα^.—"Т^^-г» откуда,
в силу целочисленности υ и а, следует требуемое неравенство.
ПО

Итак, неотрицательные решения системы (5) могут использоваться
для построения таких неравенств, добавление которых к системе (2)
не меняет множества целочисленных решений этой системы. Поскольку
вектору а, полученному таким способом, могут соответствовать и дру-
гие решения системы (5) (может быть, и для других d), естественно
пытаться найти наименьшее а.
Лемма 3. Если М(Аус)ф0 и множество Т(а) решений системы
Лх=а, х^О не пусто, то функция [сх] достигает своего минимума на
крайней точке множества Τ (а), в которой достигает своего минимума
и функция сх.
Для доказательства рассмотрим пару двойственных задач линейно-
го программирования
max ua, \ mincx, 1
иА^с J И х^0,Ах=а)
По теореме двойственности [1] обе задачи имеют оптимальные планы,
причем существует такая крайняя точка ρ множества Τ (а), что для
любой ΧΕΓ(α) выполняется cp^icx, a значит, и [c/?]^[£*J.
Замечание. Точка ρ может быть получена какой-нибудь конеч-
ной модификацией симплекс-метода, например, лексикографическим
его вариантом. В этом случае (напомним, что ранг А равен т) полу-
чим не только /?, но к множество Т= {su ...,sm} такое, что матрица
B=(as ,..., aSm) не вырождена, а^В^ и решение w системы
та8.=с8. (i=l,...,m), (6)
является крайней точкой Μ (Л, с).
Положим A=detS и с= (c8i, ...,e«m ).
Лемма 4. Если существует натуральное число d и вектор х из Zm
такие, что Bx=0(d) и Н.О.Д. (rf,A)=6, то — eZm.
Действительно, так как Н.О.Д (d,Δ)=δ, то найдутся такие целые
числа α и β, что δ = αΔ+β^. Пусть da=Bx. Тогда 8x=akx-\-$dx=
= а ΔαΒ~*α-\-β dx=d(a Δ В~*а-\-$х). Та/с как в скобках стоит, очевид-
но, целочисленный вектор, то лемма доказана.
4. Итак, вместо системы (5) достаточно рассматривать лишь систе-
мы вида
Вх=0(А)у ΧεξΖ™, (7)
где В — некоторая невырожденная подматрица матрицы А.
Вместе с системой (7) будем рассматривать систему
иВ^с. (8)
Множество ее решений М(В,с) = {и/и = сВ~1—λ Я"1, X<=R™}> оче-
видно, имеет единственную крайнюю точку w = cB~i, в которой для
любого^ Ь^В^ достигается максимум функции иЪ. Понятен интерес,
который вызывает асимптотическая [6, 7] задача целочисленного ли-
нейного программирования (в [8] она называется элементарной)
тахий, 1
ue=M(Byc)()Z™ /" (9)
Обозначим множество решений системы (7) через S. Приведем ряд
утверждений из [3], связывающих множество S с правильными отсече-
ниями w от Μ(5,с).
Лемма 5. S={x/x=AB~iaf a^Zm}.
Лемма 6. w&Zm тогда и только тогда, когда для всякого xeScxss
-0(Δ).
Ill

Лемма 7. Если x^S, x^O и схфЬ(А), то неравенство
[ml <10>
иВх
|Δ| — L |Δ|
является правильным отсечением w от Μ (В, с).
Положим v = c—иВ и xo=resACX (т. е. х0 равно остатку от деления
числа сх на число Δ). Тогда неравенство (10) можно переписать как
VX Хс\
. ■:>■■ ·. iin
|Δ| ^ |Δ| l '
Пусть i/^0, */^S, yo=resAcy. Естественно поставить вопрос о срав-
vy yo
нении отсечений (ср. [91) ■ , А , ^ ■, д , · и (11).
L J/ |Δ| |Δ|
Лемма 8. Для того чтобы неравенство · , А ,· ^ , А , · являлось след-
|Δ| |Δ|
ствием системы неравенств (8) и (10), необходимо и достаточно суще-
ствование такого λ^Ο, что у^Хх и уо^Кхо.
Последнее утверждение позволяет ограничиться лишь теми
х=(хи...,Хт)т из 5, для которых 0^^<|Δ|.
Обеспечить выполнение последнего условия можно, заменив соот-
ветствующую компоненту остатком от деления ее на |Δ|.
Из лемм 5—8 следует
Теорема 2. Если cB-^Z™, то система
£λ:=0(Δ), схфО(А), 0<^<|Δ| (i=l,...,m) (12)
совместна. Для каждого решения системы (12) неравенство, получае-
мое по формуле (10), является правильным отсечением точки w от
М(В,с).
Б [10] рассмотрена связь неравенств (10) с отсечениями Р. Гомори.
5. Отождествим в множестве 5 те решения х и х\ для которых
х=х'(Ь)у и положим G= {x^S\0^Xi<C |Δ|}. Если под сложением
векторов понимать их покомпонентное сложение по модулю Δ (будем
обозначать такую операцию знаком +, а результат ее s-кратного при-
менения— через s0x), го очевидно, что G— группа. Вопрос о ее
строении был изучен Р. Гомори в [11] (см. также [6] и [3]. Пусть
D — нормальная диагональная форма (употребителен также термин
«нормальная форма Смита») матрицы В, di(i=l9 ...,m) — ее диаго-
нальные элементы, Ρ и Q=(qij) — такие унимодулярные матрицы, что
D = PBQ, qu = resbqij9 Q=(qij), quq2, ...,gm — столбцы матрицы Q,
ri=\A\/diOqi (i=l,...,m).
Теорема 3 [3]. Формула
Α:=β1οΓ1 ®..Щтогт (13)
взаимно однозначно отображает множество векторов β= (β4,..., рт)
таких, что fii^Z, O^^i^di—1 (t=l,...,m) на множество G.
Следствие 1. Порядок группы G равен |Δ\.
Следствие 2. Пусть /с такое, что di=---=dK=l и ак+{^2.
Тогда G — прямая сумма циклических групп G2-(/=/с+1, ...,т), где
Gi имеет порядок d\ и порождается вектором г* (i=/c+l,..., га).
Следствие 3. G — циклическая тогда и только тогда, когда
Н.О.Д. м.иноров (га—1)-го порядка матрицы В равен единице.
Следствие 4. Н.О.Д. миноров (т—1)-го порядка матрицы
(сц ,..., as._{ , as ,..., α8γη ) равен наименьшему из положительных
значений, принимаемых Хх при x^S.
Рассмотрим множество V(Gyc) решений системы
vqi = cqi(di) (i=l,...,m), v^Z™ (14)
112

и множество N(Gyc) крайних точек CoK(G, с) (здесь и дальше через
Со Μ обозначается выпуклая оболочка множества М).
Теорема 4, Формула v = c—иВ взаимно однозначно отображает мно-
жество Μ (Ву c)f\Zm на множество V(G,c), при этом множество Ν(Β,ο)
взаимно однозначно отображается на множество N(G,c).
Действительно очевидно, что условия и^М(Вус) и υ^Ο равносиль-
ны. Далее, если u^Zmy то t>eZm, и, кроме того, умножив равенства
v = c~uB на qu получим, что vqi = cqi—uB qu откуда следует, что
vqi=c<ji(di) (i=l,...,m). С другой стороны, если vqi = ccji(di) (i=
= l,...,m), то для каждого x^S vxz==cx{t±)y откуда по лемме 6 следу-
ет, что u^Zm. Теперь очевидно и второе утверждение теоремы.
Рассмотрим вопрос о соотношении между задачей (9) и задачей
групповой минимизации (ЗГМ), введенной Р. Гомори [11] и служа-
жей предметом изучения большого числа статей (см. библиографию в
[6, 12]). Она может быть поставлена следующим образом: найти век-
тор у=(^1,...,Ут)е2^ минимизирующий υ β при заданном β^/?+ и
удовлетворяющий групповому соотнощению
т
2 vjgj=g0, υ><=Ζ+ (/=l,...,m), (15)
где go,gu...ygm — элементы некоторой абелевой группы g (записывае-
мой аддитивно) порядка δ. Теорема 4позволяет свести задачу (9) к
ЗГМ, если положить В-1 Ь = β. В этом случае группа g является пря-
мой суммой (т—/с) циклических групп порядков dK+i, ...,dw (элементы
g" можно отождествить с (т—/с)-мерными векторами, i-e компоненты
которых складываются по модулю d\y причем (15) совместно при лю-
бом go, поскольку для (14) это выполняется з силу унимодулярности
матрицы Q).
Оказывается, что последнее условие является не только необходи-
мым, но и достаточным для того, чтобы от ЗГМ можно было прийти к
такой задаче (9), для которой |detfi|==6 и система (14) равносильна
соотношению (15). Действительно, так как абелева группа изоморфна
прямой сумме циклических групп, а циклическая группа из d элемен-
тов изоморфна группе вычетов по модулю d [14], то (15) равносильно
некоторой системе
т
Σ t>jaj<ssao<(6i) (i=l,...,s), Vj<=Z+ (/=l,...,m), (16)
m
причем можно считать, что сравнения независимы и Π 6* = δ.
2=1
Рассмотрим блочную матрицу Г'= ( ), где Г= I
an ··· aieN
I и
/6i 0 - О \
А= .... . Так как система (16) совместна при любых
\о о... б5 ;
аог^2, то найдутся такие унимодулярные матрицы R и Ту что /?ГТ=
(ЕА
= 11, где Es — единичная матрица 5-го порядка, а 0 — нулевая
mXs-матрица. Разбив матрицу R на блоки R = ( и п12) соответствую-
* А21 А22 '
щих размеров (в частности R2i — квадратная m-го порядка), получим,,
как нетрудно проверить, что |det7?2i|=6 и /?2i Γ+/?22Λ=0.. Очевидна
теперь, что за искомую матрицу В можно взять R2u а в качестве с —
любое решение системы (16).
Заказ 9258
1-1*

Доказанная равносильность ЗГМ и задачи (9) позволяет перенести
методы решения одной из них на другую, например, ЗГМ можно ре-
шать методами отсечений. Привлечение идей динамического програм-
мирования позволило Р. Гомори и его последователям [6, 13] получить
для решения ЗГМ алгоритмы с числом операций, пропорциональным
υ2 или тб. Однако подход к решению задачи (1) — (3), связанный с
решением задачи (9) (так называемый ассимптотический подход
{11]), где матрица В выбирается так, чтобы Ь^ВУ имеет существен-
ный минус, связанный с тем, что решение w задачи (9) может не при-
надлежать множеству М(А,с). Вычислительный эксперимент [15]
показал, что w^M{Ayc) приблизительно в 70% случаев.
Если вместе с точкой w получим такую унимодулярную матрицу
F=(fi,...,fm) и такой вектор f0= (fio, ...,fmo)^Zm, что 1) wF=f0,
2) b^F^, 3) ufi^fio (i=l,...,m) — правильные отсечения w от
M(B,c)< то, как показано в [3], можно продолжать счет полностью
целочисленным алгоритмом Гомори [5, 6] и в случае, когда w^
^.М(А,с). В дипломной работе А. И. Шевчук реализовал этот подход
и провел небольшой вычислительный эксперимент, показавший непло-
хие результаты, однако оценить число шагов полностью целочисленно-
го алгоритма не удалось. Последняя трудность преодолена в [8, 16]
за счет более сложного построения исходной матрицы F, однако хоро-
ших оценок самого этого построения не получилось.
6. Приведем еще способы использования х из S для получения
правильных отсечений w от М(ВУс).
Лемма 9. Если a) w = cB-le=iZm, б) x<=S, jk^O, cjc=0(A), Xi>0
(i^I) и в) система uaSi=cs. (i^I) не совместна в целых числах, то
1 J^^_£i 1 (17)
|Δ| ^ |Δ| ( >
является правильным отсечением w от Μ (В, с).
г, wBx. сх ^ сх л u
Доказательство. Во-первых, ... = - ■■ >тп 1· йо"
|Δ| |Δ| |Δ|
вторых, если u^M(B,c), то ■ . . ^· , . ·· Так как сх=0(Д), то для
u^M(B,c)[\Zm, либо ■ . . ^—гт-т 1> либ° иВх=сх. Если иВх=сх,
т
то Σ Xi(uas.—с8{)=0, и следовательно, Xi(uas.—cs.)=0 {i—
= l,...,m), откуда следует, что uaS{ =cs. (fef)> что противоречит
предположению з).
Следствие [10]. Если с В-1 ^ Zm и существует такое x^Sy что
jc>0 и сх=0(Д), то неравенство (17) является правильным отсече-
нием.
В частности, если в (17) положить *г=|Д| (i=l,...,m), то получит-
?п
ся отсечение Данцига, которое можно переписать в виде Σ ν{^\.
Определение. Назовем циклическим следующий процесс:
шаг 0: положить Ai=A, с{—с, /=1 и перейти к шагу 2*—1; шаг 2i—1:
найти точку и*^М(А*,с1)9 максимизирующую линейную форму иЬ\
«если i/z'eZw, то остановиться, в противном случае перейти к шагу 2i,
шаг 21. построить ua^Za правильное отсечение и1 от М(А\с1), поло-
114

жить Ai+i=(A\a)f б*+1=(с\а), увеличить i на единицу и перейти к
шагу 2i—1.
Существуют примеры, показывающие, что если на шаге 2i исполь-
зовать лишь отсечения Данцига, то циклический процесс бесконечен
[5]. В [10] было высказано предположение о конечности циклического
процесса, если на шаге 2i использовать лишь отсечения, получаемые
по теореме 2. В своей курсовой работе Η. Μ. Моржаков это предполо-
жение опроверг, приведя соответствующий пример. Известно (см.,
например, [5, 6]), что Гомори удалось, детерминировав циклический
процесс при помощи лексикографии, получить такой способ решения
задачи (1)—(3), для которого доказана конечность. Однако указать
верхние оценки, близкие к достижимым, даже для простейшей задачи
(9) пока не удается (ср. [17]).
Другой способ использования x^S для построения правильных от-
сечений связан с отказом от неотрицательности х. Пусть
x=(xu...fxm)^S, /={/|*,·>0}, xo=vesAcx>0y
α(^= |Δ|*° Σ XiUsi Щ~ Σ Xiusr (18)
α^-|Δ|~*° Σ Х'Г ^- Σ х Г *«(1А1-*°) /19ч
α{λ)~ Щ z x'lCsi |д| _ * Щ ' ( '
Лемма 10 [18]. Неравенство
иа(х)^а(х) _ (20)
является правильным отсечением w от Μ (В, с); при этом a(x)^Zmy
a(x)eZ.
В [18] обсуждается связь неравенств вида (20) с отсечениями, ис-
пользуемыми во втором алгоритме Р. Гомори [5], который может при-
меняться и для задач частично целочисленного программирования.
Покажем, как неравенство (20) можно использовать для частично
целочисленных задач. Пусть /s{l,..,m}, /={l,...,m} \/, w=
= (wu ..., wm) =cB~\ L{I) = {u= (uu ..., iim) <=M(B, с)/щ^г (i<=I)}.
Рассмотрим систему линейных соотношений
\
Σ ais *ν=0(Δ) (fe/),
v=l
Σ ais Xv=0 (fe/),
v=l
X= (XU ...,%)E.Zm.
(21)
Лемма 11. Если существует такое fe/, что w^Z, то найдется та-
кое решение х системы (21), для которого схФО (Δ).
Для доказательства достаточно взять i-и столбец матрицы Δ5-1 в
качестве требуемого х.
Лемма 12. Если х удовлетворяет системе (21), схФ0(&)> а(х) по-
лучено по формуле (18), а(х) — по формуле (19), то неравенство (20)
является правильным отсечением w от £(/); a(x)^Zmy a(^GZ.
Для доказательства положим qo=-. . · (сх—х°) и 9=-;—т-Вх.
Очевидно, что q=(qi, ...,qm)(=Zm и ^ = 0 (fe/). Таким образом, для
всякой u^L(I) либо
uq^qo, (22)
либо
uq^qo+l. (23)
Из (18) и (19) имеем а(х) = (|Δ|— x0)q— Σ а8 .Xj= Σ as .Xj—
115

—x0qt a(x) = (\ii\—Xo)qo— Σ' c*.Xj= Σ cs. Xj—Xo(q+l)y откуда СЛе-
дует целочисленность а(х) и α (д:). Кроме того, из этих же формул
видно, что если выполнено (22), то неравенство (20) является следст-
вием неравенств системы (8), соответствующих тем Sj, для которых
λ·;·<0, и неравенства (22). Если же выполнено (23), то (20) следует
из (23) и неравенств системы (8), соответствующих тем 5j, для кото-
рых Xj>0. Поскольку проверка условия wa(x)>a(x) тривиальна, то
лемма доказана.
7. Получим верхние оценки для числа крайних точек выпуклой
оболочки множества целочисленных решений в общей задаче целочис-
ленного программирования и в ее частных случаях: задаче о рюкзаке
и ЗГМ (см. также [19]). Такого рода результаты могут оказаться весь-
ма полезными для оценки эффективности алгоритмов решения соот-
ветствующих задач. Получим сначала следующий результат комбина-
торного характера. Мощность множества Μ будем обозначать через
|Ai|.
Теорема 5. Пусть £>*= {0, 1, ...,Δ — 1}, P=DiX-"XDm_iXZ и не-
натуральное число, /с^2. Если в Ρ не существует таких точек ρ и q
771—1
(ρφη), что p^Kq, то |Р|< Π б*, где e<=l + [logK((A<—1) (/с—1) +
+ 1)] и Π 6i=l.
г=1
Доказательство проведем индукцией по т, положив Р= (pij)
(i=l,...,m; /=l,...,n). При т=1, п=|Р|^1, так как в противном
случае должно было бы выполняться pu>Kpi2 и риЖри. Допустим,
что теорема доказана для т—1, и рассмотрим множества /v=
{/ ^v l д-v+l J "I
/ / /c_1 ^Pij^ /c_1 lj Так как pij^At — 1, то
κν— 1
г- ^Ai—1, откуда vs^logK((>c— 1) (Ai—1) + 1) и, следовательно,
К— 1
v^6i—1.
Рассмотрим множество pij (/=2, ...,m; /e/v). Для любых / и / та-
ких, что /e/v, /e/v, \Ф1, найдется такое /е{2,..., т}, что рц^крц+\У
кУ+*—\ л ХУ—\
так как max pij^ - \ = к r-^/cmin pij. Следовательно,
K~l K~l i«v
δ-1
m— 1 * m—i
по предположению индукции |/v|^ Π бг и п= Σ |/ν|< Π бг, что и
г=2 ν=0 г=1
требовалось.
Пусть Μ — множество решений системы Ax=b, x^Zn а N — мно-
жество крайних точек CojW.
Лемма 13. Если pi,,..,p8^ — различные точки из Μ (s^l) и суще-
s s
ствуют такие положительные числа λ1,...,λ5, что Σ λν=5, Σ Xvpve
v=l v=l
ELln И (5+1)р5+!^ Σ λνρν, TO ρ8+*ΕΝ.
v=l
8
Для доказательства положим р°= (s+l)ps+1— Σ λνρν· Очевидно,
v=i
J S 1
что /?°e=Af и p*+i=——po+ Σ —— p\ т. e. ,0·+* является выпуклой
5+1 v==i S+l J
116

комбинацией точек из Af, среди которых есть различные, и, следова-
тельно, ρ8+*&Ν.
Следствие. Если р*=(ри ...,Pn )<^N (t== 1,2) и р^фрг, то
i 2
найдется такое /, что 2pj <Pj.
Отсюда и из теоремы 5 следует
Теорема 6. Если для всякой (pi, ...,рп) из N справедливо Pj^kj—1
(/= 1,...,лг—1), то IWI^Tui + tlogsA,·]).
j=i
Пусть теперь G — аддитивная абелева группа порядка Δ,
ajEG (/=0,.1,..,./z), M(G,n, ao) — множество таких х= (хи ··., *п),
что
η
Σ aj^j = ao, *j^Z+ (/=l,...,/i),
N(Gyn> ao) — множество крайних точек CoAi(G, я, a0). Известно [20],
что \N(Gyn,ao) | ^Δ7'-1. Кроме того (см. [6]), если xeW(G,/z,ao), то
Σ *,·<Δ—1 (24)
и
Π (jCi+ΙΧΔ. (25)
Обозначим через φΛ(Δ) число точек xeZ+, удовлетворяющих (25),
и положим ψ„(Δ)= Σ \N(G, пу ao) |. Тогда [4] |N(G, я, ao) *ξ
aoeG
^ψη(Δ) ^φη(Δ) ^Aft(logA), где Λ(/) — многочлен от t степени η—1.
Последнее неравенство в этой цепочке по-видимому было известно еще
Дирихле [21]. Аналогично лемме 13 доказывается
Лемма 14. Если pj,...,ps+1 — различные точки из N(Gynyao) и
(s+l)ps+1^ Σ р\ то ps+! eW(G,n,ao).
v=i
Следствие. Если ρ*=(ρ?9 ..., рпг )<=N(Gy η, a0) (i=l, 2) и pi¥zp2·,
то найдется такое /, что 2pj + ls^pj.
Отсюда и из теоремы 5 следует (ср. предположение в [4]) оценка
|iV(G,n,ae)K(l + [lo&A])»-1. (26)
Этот результат нетрудно уточнить, учитывая (25) и полагая 6=1 +
+ [log2A] и ( )=———'-—— следующим образом.
Теорема 7. \N(Gtn,a0) | < (^^2) ·
Заметим, что, в силу теоремы 4, эти оценки справедливы и для
|JV(B,c)|.
Рассмотрим теперь ограничения задачи о рюкзаке
η
Σ ajXj^ao, x}<=Z+ (/=1,...,л), (27)
где a3^Z и a/>0 (/=0, l,...,/z). Обозначим через М(а) множество ре-
шений (27) и через N(a) — множество крайних точек CoAi(a). Вводя
η
Xn+i=ao— Σ ajXj, из теоремы 6 получим оценку
|JV(a)|< njl+flog^ + l)]) · (28)
117

Получим теперь оценку для \Ν(α) |, не зависящую от а0у что важно,
если а0 много больше, чем a=max{ai, ...,αΛ}. Для te{l,...,я} обозна-
чим через Mi множество решений системы
η
Σ UjXj^ao, Xj<=Z+ (/=l,...,i—l,i+l,...,n), (29)
через Ni — множество крайних точек Co Mi и положим No={0). За-
метим, что (29) можно заменить на
ai*H hfli-i^i-i+ai+i^<+H \-ап Χη+Χη+1=α>ο(αη
Xj^Z+ (/=1,...,/—1, i+l,...,/z+l).
η
Лемма 15. Если α0^α(α—1), то N(a)= (J ЛГ<.
η
Действительно, пусть /7= (pi, ...ypn)^Ni(i=£Q) и ρ„+1 = αο— Σ a.,· p.,·.
Из (24) следует, что рН ЬРг-1+Рн-Н |-p„+pn+i<aj— 1. Тогда
aipi = ao— Σ cijpj—Pr.+i^zao—α Σ p^ao—а(щ— 1) ^a0 — a (a — 1),
следовательно, pi^O и ρ^Λ1(α). По лемме 1 найдется такой Ь, что
bx<bp для всякого Jt^Al(a) \ {ρ}, а следовательно, ρ^Ν(α).
Пусть теперь ρ^Ν(α), рфО, тогда существует Ь такой, что bx<.bp
для всякого х^М(а) \{р}. Обозначим через /„ вектор, у которого /с-я
компонента равна единице, а остальные — нулю. Найдем такое
е{1,...,л}, что 6е{—/i, ...,/i-i,fl,—/i+ь···»—М^» и такой y^Niy что
lby^bx для всякого xeAii. Тогда by^bp, так как р^Л4(а)^Мг·. С дру-
гой стороны, по только что доказанному y^N(a) и значит либо у=р,
либо Ъу<Ър, следовательно, p=y=Nu что и требовалось.
Следствие. Если а0^а(а—1), то |iV(a)|^l+ Σ ( ),
i=l * fl—I '
где 6z=l + [log2ai] (i= 1,..., л).
8. Из полученных оценок (26) и (28) легко следует, что число край-
них точек в задаче групповой минимизации и в задаче о рюкзаке за-
данной размерности η оценивается сверху многочленом /г-й степени от
длины входной информации N. Это позволяет надеяться на получение
алгоритмов полиномиальной сложности для таких задач (например,
для задачи о рюкзаке при п=2 такой алгоритм известен [22]). Одна-
ко при неограниченном η существуют примеры, в которых число край-
них точек растет экспоненциально от N.
Пример 1. Рассмотрим две задачи групповой минимизации с
ограничениями
Xi+2x2+4*3+-+2*-1*llss2*— 1 (2*) (30)
и
*i'+*2+2*3H Ь2*-2*к=2*-4— 1 (2*-1), (3!)
соответственно и обозначим число \N(G, /с, ao) | в первой из них через
ак, а во второй — через βκ. Тогда ακ=βκ, так как из (30) следует, что
λ*1Ξ=1 (2), и подстановка Xi=l+2jti' переводит (30) в (31). Кроме το-
ν"
го, очевидно, что βκ=2ακ_1 и ai=l. Следовательно, aw=2K-1^2
Пример 2. Рассмотрим множество N(a) задачи о рюкзаке с ог-
раничением
Xi+2x2+4x3-\ \-2«-*Хп^2«—1.
118

Нетрудно проверить, что N(a) = {0}[)N(Gf κ, ао), где множество
N(Gy /с, осо) соответствует ограничению (30). Аналогичный результат
получается и для задачи о (0, 1)-рюкзаке.
Пример 3. Рассмотрим множество Ν(κ) крайних точек множе-
ства Μ (к) таких х=(хи...,Х2к), что *je{0, 1} (/=1, 2,..., 2/с) и
*i+*2+2*s+2*44 l·2w-1д:2κ-l+2«-1д:2л^2w—1.
Положим Ι = {λ:^Ζ+κ \x2i-i+X2i=l (i'=1,2,...,k)}. Нетрудно прове-
рить, что L^N(/с) и что |L|=2K.
ЛИТЕРАТУРА
1. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование (теория и ко-
нечные методы). Μ., ΦΜ, 1963.
2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.
3. Шевченко В. Н. Линейное программирование и теория линейных неравенств
(учебное пособие) Горький, ГГУ, 1977.
4. Шевченко В. Н. О строении выпуклой оболочки множества целочисленных
решений системы линейных неравенств. IV Всесоюз. конф. по преблемам теорет. ки-
бернетики. (Тезисы докл.). Новосибирск, 1977, с. 81.
5. Корбут Α. Α., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование.
М., Наука, 1969.
6 Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М., Мир, 1974.
7. G о m о г у R. E. Some Polyhedra Related to Combinatorial Problems. J. Li-
near Algehra and Its Applications. 2, N 451 (1969).
8. Шевченко В. Н. О решении элементарной задачи целочисленного линейного
программирования. Сб. «Управляемые системы». Новосибирск, 1975, вып. 14, с. 69.
9. Ρ i е h 1 е г J. Gomory—Schnitte und diophantische Gleichungen, «Math. Opc-
rationsforsch. u. Statist». 5, Heft, N 4/5, 259 (1974).
10. Шевченко В. Н., Ремизова О. Л. О построении правильных отсечений
в целочисленном лийнейном программировании. Учен. зап. ГГУ, Горький, 1973,
вып. 166, с. 199.
11. G ото г у R. Е. On the Relation Between Integer and Non—Integer Solutions
to Linear Programs, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 53, N 2, 260 (1965).
12. Ковалев Μ. Μ. Дискретная оптимизация. Минск, Изд-во БГУ, 1977.
13. Glover F. Integer Programming over a Finite additive Group, SIAM J. Contr.,
N 7, 213 (1969).
14. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1971.
15. Gorry G., Northup W., Shapiro T. Computational Experience with
a Group Theoretic Integer Programming Algorithm, Math. Program, 4, N 1, 171 (1973).
16. Вотяков А. А. О задачах инвариантных относительно z-округления. «Экон.
и мат. методы», 7, № 2, 259 (1971).
17. Колоколов А. А. О длине лексикографически-монотонных последователь-
ностей. — В кн.: Оптимизация территор. и отраслев. систем, методы решения эконом,
задач. Новосибирск, 1973, с. 93.
18. Шевченко В. Н. О построении правильных отсечений. Труды 5-й зимней
школы-симпозиума по мат. программированию и смежным вопросам, М., ЦЭМИ
АН СССР, 1973, вып. 2, с. 266.
19. Шевченко В. Н. Оценки числа крайних точек в некоторых задачах цело-
численного программирования. Тезисы докл. III Всесоюз. конф. по исслед. операций.
Горький, 1978, с. 248.
20. J. Ch. Fiorot. Math. Program. N 3, 276 (1972).
21. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М., ИЛ, 1953.
22. Η i г s с h b е г g D. S., Wong С. К., Α. Ρ о 1 i η о m i a 1—Τ i m e. Algorithm
for the Knapsack Problem wich Two. Variables, J. of ACM, 23, N 1, 147 (1976).
Горьковский государственный университет
119

АННОТАЦИИ
УДК 519.72
Методы индексации. В. Е. Алексеев, А. П. К л е в ц о в, А. А. Марков.
Дается обзор подходов к индексации массивов. Предложен новый метод адреса-
ции, использующий легко доступную информацию о массиве. Приводятся эксперимен-
тальные результаты сравнений различных методов. Библ. 6 назв., табл. 1.
УДК 519.72
О двоичных последовательностях с ограниченной автокорреляцией. В. Е. Алек-
сеев, Н. А. Маслова.
Описан эвристический метод построения двоичных последовательностей с огра-
ниченной автокорреляцией. Приводятся численные результаты, полученные этим
методом на ЭВМ. Библ. 4 назв., табл. 1.
УДК 519.83
К вопросу об алгебраической разрешимости диадических игр. Η. Η. Воробьев.
По полиному весьма общего вида строится диадическая игра, для определения
ситуации равновесия которой необходимо найти корни заданного полинома. Библ. 5
назв.
УДК 519.712
510.63
Об элементарных теориях некоторых дистрибутивных решеток с аддитивной ме-
рой. Ю. В. Глебский, Е. И. Гордон.
В работе изучаются элементарные теории некоторых классов двуосновных моде-
лей дистрибутивных решеток с аддитивной мерой. Установлена разрешимость неко-
торых классов таких решеток с относительным дополнением. Эти классы включают
в себя многие известные решетки, например решетки ограниченных измеримых мно-
жеств с мерой Лебега. Библ. 9 назв.
УДК 519.17
Локальный алгоритм выделения блоков в графе. В. А. Евстигнеев.
В работе доказывается разрешимость задачи о выделении блоков и разделяю-
щих вершин в неориентированном графе в класе локальных алгоритмов. Библ. 7 назв.,
рис. 7, табл. 1.
УДК 519.83
О сложности определения качества позиции в некоторых классах игр над словами.
Л. П. Жильцова, Д. И. Коган.
Выделен класс игр, для которых множество выигрышных позиций для каждого
игрока распознается на машине Тьюринга за время /г2. Библ. 7 назв.
УДК 519.11
Оценки параметров д. н. ф. не всюду определенных (частичных) функций ал-
гебры логики. Л. М. Караханян, А. А. Сапоженко.
Исследуются метрические соотношения между различными типами д. н. ф. час-
тичных булевых функций. Для некоторых параметров д. н. ф. получены окончатель-
ные или близкие к окончательным оценки. Рассмотрены соотношения между макси-
мальными значениями параметров всюду определенных и частичных функций. Библ.
9, рис. 4.
УДК 519.11
О некоторых асимптотически оптимальных упаковках. Н. Н. К у з ю ρ и н.
Получены оценки для упаковок и покрытий в решетках #-ич1Ных векторов на ос-
нове подсчета числа решений систем сравнений. Библ. 6.
121

УДК 519.1
517.52
Одно многозначное разложение Лагранжа, выраженное через коэффициенты
исходных рядов. А. В. К у π ρ и к о в.
Находится многозначное обращение (формула) голоморфного отображения вида
«7=<*у+*у <*))*'"ly (г), /=!,..., η (*)
Найдена формула разложения в ряд голоморфной функции от многозначного об-
ратного отображения вида (*) через коэффициенты исходных функций. Библ. 6 назв.
УДК 519.712
510.66
Проблема следствия в некоторых подалгебрах алгебр действительных функций.
М. Ю. Мошков.
Проблема следствия в различных подалгебрах алгебры функций действительного
переменного возникает в связи с локализацией областей в параметрических задачах
распознавания образов. Эта проблема исследуется в работе для некоторых важных
подалгебр. В ряде случаев дана разрешающая процедура, в других доказана алго-
ритмическая неразрешимость проблемы. Библ. 9 назв.
УДК 519.714
519.72
Нижние оценки сложности реализации характеристической функции групповых
кодов. Α. Κ. Π у л а т о в.
Изучается вопрос о сложности характеристических функций групповых кодов
при реализации их параллельно-последовательными контактными схемами (П-схема-
ми). Выявлен ряд случаев, когда характеристические функции групповых кодов при
рассматриваемом способе реализации имеют нелинейную сложность и найдены со-
ответствующие оценки. Получены результаты о структуре групповых кодов, а также
даны ответы на некоторые вопросы, связанные с построением минимальных П-схем,
реализующих булевые функции. Библ. 40 назв.
УДК 519.714.24
519.11
О количественных характеристиках логических формул. В. А. Таланов.
Дается обзор математических результатов об асимптотических характеристиках
логических формул. Библ. 9 назв.
УДК 519.852.33
Об одном обобщении задачи о назначениях. В. А. Таланов, В. Н. Шевчен-
ко.
Отличие от известной задачи здесь состоит в том, что каждый исполнитель мо-
жет быть назначен на несколько работ. Требуется определить максимальную сум-
марную эффективность при ограниченном суммарном числе совместительств. Задача
сводится к определению максимального потока в специально построенной сети. Библ.
1 назв., табл. 1.
УДК 519.17
Представление и распознавание триангулированных графов. В. В. У с а н о в
Рассматривается один из способов представления триангулированных графов и
описывается алгоритм распознавания графов этого класса. Библ. 5 назв., рис. 6.
УДК 519.854.3
Выпуклые многогранные конусы, системы сравнений и правильные отсечения в
целочисленном программировании. В. Н. Шевченко.
Алгебраический подход к задаче целочисленного линейного программирования
(ЗЦЛП) позволяет с единой точки зрения рассмотреть несколько методов решения
ЗЦПЛ, получить качественное описание множества целочисленных решений системы
линейных неравенств и множества правильных отсечений, а также оценить число
крайних точек как в общей ЗЦЛП, так и в ее частных случаях. Библ. 17 назв.
122

СОДЕРЖАНИЕ
В. Ε. Алексеев, А. П. Клевцов, Ал. А. Марков. Методы индексации . 5
В. Е. Алексеев, Н. А. Маслова. О двоичных последовательностях с ограни-
ченной автокорреляцией . . 13
Η. Η. Воробьев. К вопросу об алгебраической разрешимости диадических
игр 21
Ю. В. Глебский, Е. И. Гордон. Об элементарных теориях некоторых дистри-
бутивных решеток с аддитивной мерой . 24
В. А. Евстигнеев. Локальный алгоритм выделения блоков в графе . . 35
Л. П. Жильцова, Д. И. Коган. О сложности определения качества позиции
в некоторых классах игр над словами 42
Л. М. Караханян, А. А. Сапоженко. Оценки параметров д. н. ф. не всюду
определенных (частичных) функций алгебры логики 48
Η. Η. Кузюрин. О некоторых асимптотически оптимальных упаковках . 57
А. В. Куприков. Одно многозначное разложение Лагранжа, выраженное
через коэффициенты исходных рядов 66
М. Ю. Мошков. Проблема следствия в некоторых подалгебрах алгебр дей-
ствительных функций 70
A. К. Пулатов. Нижние оценки сложности реализации характеристических
функций групповых кодов П-схемами 81
B. А. Таланов. О количественных характеристиках логических формул . 95
В. А. Таланов, В. Н. Шевченко. Об одном обобщении задачи о назначениях 101
В. В. Усанов. Представление и распознавание триангулированных графов 103
В. Н. Шевченко. Выпуклые многогранные конусы, системы сравнений и
правильные отсечения в целочисленном программировании .... 109

Заявки на сборник просим присылать по адресу: 603005, г. Горький, ул. Ульянова,
10, НИИ ПМК.
КОМБИНАТОРНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Межвузовский сборник
Редактор М. И. Карпович
Сдано в набор 12.11.79 г. Подписано к печати 29.12.79 г. МЦ 11932.
Формат 70Xl087i6· Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 10,85. Уч.-изд. л. 10. Заказ 9258. Тираж 700 экз. Цена 1 р. 50 к.
Горьковский государственный университет им. Н. И. Лобачевского,
г. Горький, пр. Гагарина, д. 23
Дзержинская типография Горьковского областного управления издательств,
полиграфии и книжной торговли