(31АМ-САКЕО КОТА, Ес1Иог

ЕГЧСУСЬОРЕЫА ОЕ МАТНЕМАТ1С8 АМ) 1Т8 АРР1ДСАТЮ№>

Уо1ите 2

ЗесНоп: ТЧитЬег ТЬеогу
Раи1 Тигап, 8есНоп ЕЛПог

ТЬе ТЬеогу
РагИИопв

беог^е Е. АпДге^з

Реппзукагпа йа*с ОгнуегзКу
ОгмуегзЬу Рагк, Реппзукаш’а

▲

▼▼

1976

А(Ю18оп-\Уе81еу РиЫ18Ь1п§ Сотрапу

Аскапсед Воок Рго^гат

ВеасПп^, МаззасНизеНз

Топдоп • Атз^егдат • Воп МШз, ОгНапо • Зудпеу ’ Токуо
Г. Эндрюс

ТЕОРИЯ
РАЗБИЕНИЙ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО

Б. С. СТЕЧКИНА

МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 2
22.18

Э64

УДК 519.6

Теория разбиений. Э н д р ю с Г. Перев. с англ. —
М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1982. — 256 с.

Книга посвящена важному комбинаторному и
теоретико-числовому объекту — разбиению натураль-
ных чисел. В ней с исчерпывающей полнотой представ-
лены многие направления исследований, связанные
с этим объектом.

Библ. 412 назв.

1502000000—107 Я9

053(02)-82

@ 1976 Ьу АйсПзоп \Уе81еу РиЬНзЫпд
Сотрапу, 1пз.

(§) Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ

О теории разбиений ................................................. 8

От редактора энциклопедии........................................... 10

Предисловие......................................................... 12

Глава	1. Элементарная теория разбиений.......................... 15

1.1.	Введение................................................. 15

1.2.	Бесконечные произведения производящих функций одного пе-
ременного .................................................... 17

1.3.	Графическое представление разбиений ..................... 20

Задачи........................................................ 27

Замечания ..................................................... 28

Литература..................................................... 29

Глава	2. Ряды производящих функций.............................. 30

2.1.	Введение.................................................. 30

2.2.	Элементарные тождества с рядами и произведениями......... 31

2.3.	Приложения к разбиениям ................................. 37

Задачи......................................................... 42

Замечания ..................................................... 44

Литература..................................................... 45

Глава 3. Разбиения на ограниченные части и перестановки............ 47

3.1.	Введение................................................. 47

3.2.	Производящая функция для ограниченных	разбиений ....	47

3.3.	Свойства многочленов Гаусса ............................. 49

3.4.	Перестановки и полиномиальные коэффициенты	Гаусса ....	53

3.5.	Унимодальное свойство.................................... 59

Задачи......................................................... 63

Замечания ..................................................... 65

Литература..................................................... 65

Глава	4. Композиции и проблема Симона Ньюкомба................. 67

4.1.	Введение.................................................. 67

4.2.	Композиции чисел ......................................... 67

4.3.	Векторные композиции ..................................... 70

4.4.	Проблема Симона Ньюкомба.................................. 72

Задачи......................................................... 75

Замечания ..................................................... 77

Литература..................................................... 77

Глава 5. Выражения Харди—Рамануджана—Радемахера	для р (п) . .	80

5.1.	Введение................................................. 80

5.2.	Формула для р (п)	  83

Задачи..............,.......................................... 93

Замечания .........................................  .	. , ,	97

Литература..................................................... 97
Глава 6. Асимптотика бесконечного произведения производящих
функций......................................................... 100

6.1.	Введение.............................................. 100

6.2.	Доказательство теоремы 6.2............................ 101

6.3.	Приложения теоремы 6.2................................ 107

Задачи..................................................... 108

Замечания ................................................. 111

Литература................................................. 111

Глава 7. Тождества типа Роджерса—Рамануджана.................... 113

7.1.	Введение.............................................. 113

7.2.	Производящие функции.................................. 116

7.3.	Тождества Роджерса—Рамануджана и их	обобщение Гордона 119

7.4.	Тождества Гёллница—Гордона и их обобщение............. 124

Задачи..................................................... 126

Замечания ................................................. 128

Литература..............’.................................. 128

Глава 8. Общая теория тождеств с разбиениями.................... 131

8.1.	Введение.............................................. 131

8.2.	Основания ........................................  .	131

8.3.	Идеалы разбиений порядка 1............................ 134

8.4.	Сцепленные идеалы разбиений........................... 138

Задачи..................................................... 147

Замечания ................................................. 148

Литература................................................. 148

Глава 9. Методы решета, связанные с разбиениями. .......	149

9.1.	Введение.............................................. 149

9.2.	Включение-исключение ................................. 149

9.3.	Решето для последовательных рангов ................... 153

Задачи..................................................... 166

Замечания ................................................. 167

Литература................................................. 167

Глава 10. Свойства делимости функций разбиений.................. 168

10.1.	Введение ............................................ 168

10.2.	Теорема Рёдсета о двоичных разбиениях ............... 170

10.3.	Гипотеза Рамануджана для Ьп ..............	175

Задачи..................................................... 183

Замечания ................................................. 184

Литература................................................. 184

Глава 11. Многомерные разбиения................................. 186

11.1.	Введение ............................................ 186

11.2.	Плоские разбиения.................................... 186

11.3.	Соответствие Кнута—Шенсгеда.......................... 191

11.4.	Многомерные разбиения ............................... 196

Задачи..................................................... 205

Замечания ................................................. 206

Литература................................................. 206

Глава 12. Векторные или многокомпонентные разбиения............. 208

12.1.	Введение ............................................ 208

12.2.	Многокомпонентные производящие функции............... 209

12.3.	Многочлены Белла и формулы для функций многокомпонент-
ных разбиений	9 , , , , , . ,	210
12.4.	Ограниченные двукомпонентные разбиения.................. 213

Задачи........................................................ 215

Замечания .................................................... 216

Литература.................................................... 216

Глава 13. Разбиения в комбинаторике ............................... 218

13.1.	Введение ............................................... 218

13.2.	Разбиения и конечные векторные пространства............. 218

13.3.	Разбиения множеств...................................... 220

13.4.	Комбинаторика симметрических функций.................... 226

Задачи ....................................................... 230

Замечания .................................................... 233

Литература.................................................... 233

Глава 14. Вычисление функций разбиений ............................ 236

14.1.	Введение ............................................... 236

14.2.	Элементарные алгоритмы.................................. 236

14.3.	Алгоритмы из производящих функций ...................... 238

14.4.	Вычисления для многомерных разбиений.................... 240

14.5.	Краткие таблицы функций разбиений....................... 243

14.6.	Таблица функции плоских разбиений....................... 243

14.7.	Таблица многочленов Гаусса.............................. 244

14.8.	Иные таблицы............................................ 244

Замечания .................................................... 244

Литература.................................................... 248

Добавление. Экстремальные свойства разбиений (Б. С. Стечкин)	249

Указатель обозначений.............................................. 254
О ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ

Всякое представление натурального числа суммой натураль-
ных чисел называется разбиением числа. Это понятие, прежде
всего, комбинаторного и теоретико-числового характера. Задачи
же о разбиениях сыграли важную роль для всей математики.

Разбиения изучаются в комбинаторике и теории чисел: к клас-
сически комбинаторным относятся задачи подсчета и перечисле-
ния разбиений данного типа, в теории чисел решают проблемы
об аддитивных представлениях чисел с арифметическими ограни-
чениями на слагаемые (таковы, например, проблемы Гольдбаха
и Варинга). При решении задач о разбиениях возникают серьез-
ные трудности, их преодоление потребовало большой изобрета-
тельности и повлекло создание специальных методов теории раз-
биений [17 (3), 40 (5)]*).

Исторически первым и общим для всей теории разбиений
явился метод производящих функций. Разработанный Л. Эйле-
ром, в том числе и для нужд теории разбиений, этот аналитиче-
ский метод оказался эффективным инструментом и для комби-
наторики, и для теории чисел; он был развит до таких тонких
форм, как метод производящих функций Дирихле, метод тригоно-
метрических сумм, метод характеристических функций, — ме-
тодов, применяемых не только в комбинаторике и теории чисел
[40, 41, 43 (5)].

Развитие метода производящих функций во многом шло за
счет задач о разбиениях. Один из самых ярких моментов этого
развития — создание «кругового» метода, первоначально — для
подсчета всех разбиений фиксированного числа. С качественными
этапами решения этой задачи связаны имена Успенского [42 (5)],
Харди, Рамануджана и Радемахера [(5)].

Другие методы теории разбиений уже не столь эффективны:
алгебраические только зарождаются, а комбинаторные, хотя и
несут в себе остроумные соображения, не обладают еще доста-
точной степенью общности. Одно из интересных направлений
развития этих методов — создание синтезированного (на идейной
основе метода производящих функций) комбинаторно-алгебраиче-
ского подхода к широкому классу задач [24, 37 (13)].

*) Число в круглых скобках обозначает номер главы, по списку литературы
которой цитируется источник.
Наблюдается применимость элементов теории разбиений в дру-
гих областях математики. Имеются и реальные явления, допу-
скающие адекватное описание в терминах разбиений числа [34,
35, 38 (13)].

Книга представляет собой изложение комбинаторных аспектов
теории разбиений. В ней хорошо представлены аналитические
методы.

При переводе на русский язык в текст вносились лишь библио-
графические добавления, все они отмечены звездочкой. В главу 13
включены три новые задачи.

Все общие комментарии по существу сделаны в нашем пре-
дисловии. По части конкретных замечаний должно лишь указать
на недостаточную аргументированность рассуждений при исполь-
зовании формальных степенных рядов в гл. 13. Рассуждения
§ 13.4 становятся корректными, если кольцо многочленов от
счетного числа переменных рассматривать как топологическое
кольцо.

27 июля 1981 года	С. 7И. Воронин

Б, С. Стечкин
ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ

Во многом математика состоит из фактов, которые
могут быть представлены и описаны весьма сходно
с тем, как это делается со всяким иным природным
явлением. Именно такие факты (то проявляющиеся
из теорем, то скрывающиеся за их доказательствами)
составляют по существу основу большинства приложе-
ний математики, их отличает высокая жизнестойкость
к изменениям стилей и интересов.

Эта энциклопедия постарается представить фак-
туальное тело всей математики. Ясность изложения,
доступность неспециалистам и всеобъемлемость библио-
графий — таковы непременные требования к каж-
дому автору. Тома энциклопедии будут выходить,
не связуясь какой-либо смысловой очередностью, но
группируясь по секциям, посвященным уже сложив-
шимся ветвям сегодняшней математики. При необхо-
димости число томов и секций может пересматриваться
и меняться.

Ожидается, что это начинание сделает математику
более широко используемой там, где это необходимо,
и более доступной в тех областях, где она ждет своего
применения, но куда еще не проникла ввиду недоста-
точной ознакомленности.

* * *

Теория разбиений — это одна из весьма немногих
ветвей математики, которая может быть воспринята
всяким, кто проявит немногим более чем простую лю-
бознательность к этому предмету. Приложения ее об-
наруживаются всюду, где подсчитываются либо клас-
сифицируются дискретные объекты, будь то молеку-
лярное или атомное строение вещества, теория чисел
или комбинаторные задачи самого разного происхож-
дения.

Профессором Эндрюсом впервые написано столь
подробное руководство по этому многоплановому на-
правлению. Специалист будет обращаться к нему за
более глубокими результатами, студента заинтересуют
многие обманчиво простые факты, а прикладник смо-
жет обнаружить в нем нужное тождество.

Безвременная кончина профессора Турана оставила
книгу без предисловия редактора секции. Достойным
знаком памяти этому мастеру теории чисел будет слу-
жить настоящая книга.

Джиан-Карло Рота
ПРЕДИСЛОВИЕ

Джой, Ами и Кати

Сразу оговорим, что термин «разбиение» имеет в математике
целый ряд значений. Вообще, под разбиением принято понимать
всякое расчленение целого на части. Для нас разбиение — это,
прежде всего, «разбиение числа п», т. е. невозрастающая после-
довательность положительных целых, сумма которых равна п.
Понятие разбиения числа будет расширено при рассмотрении много-
мерных разбиений, разбиений векторов и разбиений множеств
(см. гл. 11, 12, 13). Композиции, или упорядоченные разбиения
(т. е. просто последовательности положительных целых), рассма-
триваются в гл. 4.

Теория разбиений числа имеет интересную историю. Отдель-
ные ее задачи появлялись еще в средние века, однако первые
глубокие разработки относятся к восемнадцатому столетию,
к тому времени, когда Эйлером были доказаны его многочислен-
ные, красивые и важные теоремы о разбиениях. Именно Эйлер за-
ложил основы теории разбиений числа. В дальнейшей разработке
этой теории принимали активное участие такие крупные мате-
матики, как Гаусс, Кэли, Лагранж, Лежандр, Литлвуд, Раде-
махер, Рамануджан, Сильвестр, Харди, Шур, Якоби.

Почти не было книг, целиком посвященных разбиениям;
общие комбинаторные аспекты и формальные степенные ряды,
относящиеся к разбиениям, находили свое отражение в старых
книгах, посвященных элементарному анализу [1, 2] *), в энцикло-
педических обзорах по теории чисел [3, 4] и в книгах по комби-
наторному анализу [5, 6, 7, 8]. С другой стороны, асимптотиче-

*) 1. Еи1ег Ь. 1п1гос1ис11о ш Апа1уз1з 1пПпНогиш. 2. Сг1з1а1 Л. ТехЬоок
о! А1^еЬга. 3. Васкшап 8. №ес!еге 2Дк1егйкеопе. 4. НагЛу О.,	Е. 1п1го-

ЛисНоп 1о 1ке Ткеогу о! КитЬегз. 5. МасМакоп Р. СотЬта1огу Апа1уз1з.
6. КюгЛап Л. 1п1годисНоп 1о СотЬтаЬпа! Апа1уз1з. 7. Регепз Л. СотЬта1о-
па1 Ме^коЛз. 8. СотЫ Ь. АЛуапсеЛ СотЬта1опсз. 9. АуоиЬ Н. 1п1гоЛисНоп
1о 4ке Апа1уНс Ткеогу о! ЫитЬегз. 10. Кпорр М. МоЛи1аг ГипсНопз т Апа1уНс
ЫитЬег Ткеогу. 11. СгоззиаШ Е. ТорЮз Йот 4ке Ткеогу о! РйипЬегз. 12. Оз1-
тапп Н. АЛЛШуе /аЫегйкеогу. 13. ЦаЛетаскег Н. Торюз т Апа1уНс Ииткег
Ткеогу.
ские проблемы, связанные с разбиениями, исследовались в рабо-
тах по аналитической или аддитивной теории чисел [6, 10, 11,
12, 131.

При рассмотрении приложений теории разбиений к различным
областям математики выявляется взаимосвязь комбинаторных и
асимптотических методов, поэтому в этой книге мы стремились
к гармоничному отражению не только самих методов, но и их
взаимосвязей.

В главах 1—4 излагаются элементарные разделы теории раз-
биений; основное внимание здесь уделяется использованию про-
изводящих функций.

В главах 5 и 6 представлены асимптотические задачи. Главы
7—9 посвящены тождествам с разбиениями. Глава 10 — о дели-
мости функций разбиений — возвращает нас к аналитическим
аспектам разбиений. В главах 11 —13 рассматривается ряд обоб-
щений понятия разбиения, а в главе 14 кратко обсуждаются
некоторые вычислительные аспекты, связанные с разбие-
ниями.

Каждая глава завершается тремя разделами: в разделе «За-
мечания» излагаются исторические комментарии по изложенному
в данной главе материалу, раздел «Литература» представляет собой
достаточно полный, но не всегда совершенно исчерпывающий
список относящихся к материалу главы книг и отдельных работ
и, наконец, в разделе «Задачи» *) приводятся формулировки ре-
зультатов, не освещаемых полностью в основном тексте. Примеры,
отмеченные звездочкой, существенны для продвижения по ма-
териалу основного текста, остальные же представляют собой
упражнения, посредством которых читатель может контролиро-
вать свое восприятие материала. Литература по источникам
всех этих примеров приводится в тех же главах.

В последнее время стали просматриваться приложения тео-
рии разбиений ко многим математическим наукам. Непараметри-
ческим статистикам требуются разбиения с ограничениями, по-
добные тем, что рассматриваются в главе 3. Ряд перестановочных
задач в теории вероятностей и статистике тесно связан с пробле-
мой Симона Ньюкомба из главы 4. Физика частиц использует
асимптотики разбиений и тождества, как в главах 5—9. Теория
групп (через диаграммы Юнга) тесно связана с материалом
главы 12, а связи между разбиениями и общей комбинаторной
теорией излагаются в главе 13.

А1атериал этой книги взращивался в течение многих лет.
Первое знакомство с разбиениями состоялось у меня при слуша-
нии захватывающих лекций диссертационного руководителя —
профессора Ганса Радемахера. Многое из представленного здесь

*) В оригинале этот раздел носит название «Примеры». (Прим, перев.')
излагалось в курсах Университета Пенсильвании между 1964
и 1975 годами, на семинарах Массачусетского технологического
института в течение 1970/71 учебного года, в Университете Эрлан-
гена летом 1975 года и в Университете Висконсина в течение
1975/76 учебного года. Считаю себя обязанным отдать великий
долг благодарности многим сотрудникам этих четырех универси-
тетов. Особенно хотел бы поблагодарить тех, кто своими ценными
советами и замечаниями помогал мне в самом процессе подготовки
этой книги, именно, Аски, Баклавский, Берндт, Карлитц.

Наконец, я благодарю свою жену Джой, которая и помогала
мне, и вдохновляла меня в осуществлении этой работы.

Джордж Эндрюс
Глаза!

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ РАЗБИЕНИЙ

1.1. Введение

В этой книге детально изучается фундаментальная операция
аддитивного разложения — представление натуральных чисел
суммами других натуральных чисел.

Определение 1.1. Разбиением натурального числа п
называется всякая конечная невозрастающая последовательность
натуральных чисел %2, • ••, для которой

2 = п.

1=1

Числа \ называются частями разбиения.

Часто разбиение (%!, %2, •••, +) будем обозначать просто через К
и писать к (— и, как аналог того, что к есть разбиение п. Иногда
полезно явно указывать число вхождений каждого слагаемого
в разбиение: так, если К =	%2, ..., кг) га, то запись % =

= (1,‘2,23,а ...) означает, что в разбиении А, имеется ровно Д
единиц, /2 двоек и т. д. Заметим, что

2 м=«-
1>1

В этой книге представлен широкий круг задач о разбиениях,
однако наиболее важным и фундаментальным остается вопрос
о перечислении разбиений различных типов.

Определение 1.2. Функция разбиений р(п) опреде-
ляется как число всех разбиений числа п.

Замечание. Ясно, что р (п) = 0, если п отрицательно.
Считая, что пустая последовательность образует разбиение нуля,
полагаем р (0) = 1. В следующем списке представлены шесть
первых значений функции р(п) и сами разбиения:

р(1) = 1	:	1 =(1);

р(2) = 2	:	2 = (2),	1+1	= (12);

р(3) = 3	:	3 = (3),	2 + 1	=(12), 1 +1	+1	=(13);

р(4) = 5	:	4 = (4);	3 + 1	= (1 3),	2	+ 2	= (22),

2 + 1+1 =(122),	1 +1 +1 +1 =(Р);
р(5)=7 : 5 = (5), 4 + 1 = (1 4),
3 + 1 + 1 = (I3 3),
2 + 1 +1 +1 = (132),
р (6) = 11 : 6 = (6), 5 + 1 = (1 5),

3 + 2 = (2 3),

2 + 2 + 1 = (123),
1 +1 +1 +1 +1 = (15);

4 + 2= (2 4),

4 + 1 + 1	= (124), 3 + 3 = (32),	3 + 2 +	1 = (1	2	3),

3 + 1 + 1	+ 1 = (133), 2 + 2 + 2 = (23),

2 + 2 + 1	+ 1 = (1222), 2 + 1 +	1 + 1 + 1	= (I4	2),

1 +1 +1	+1 +1 +1 =(16).

Значения р(п) растут очень быстро с ростом п; например,
р(10) = 42, р(20) = 627, р(50) = 204 226, р(100) = 190 569 292,
р(200) = 3 972 999 029 388.

Во многих случаях наш интерес будет распространяться не
на все разбиения, а только на какие-то определенные подмно-
жества множества всех разбиений.

Определение 1.3. Через § обозначаем множество всех
разбиений.

Определение 1.4. Через р (8, п) обозначаем число
разбиений числа п, принадлежащих подмножеству 5 множе-
ства <$.

В качестве 5 можно, например, рассматривать (^-множество
всех разбиений с нечетными частями или ^-множество всех раз-
биений с различными частями и т. п. В следующем списке пред-
ставлены начальные таблицы (У- и ^-разбиений:

р(0, 1) =1 :	1 = (1),

р(С, 2) = 1 :	1 +1 =	(12),

р(<У, 3)=2:	3 = (3),	1 +	1	+ 1 = (I3),

р(0, 4) =2:	3 + 1 =(13),	1 + 1 + 1 + 1 = (I4),

р(<У, 5) = 3:	5 = (5),	3 +	1	+ 1=(123).

1 + 1	+	1 +	1	+ 1	=	(I5),

р(0,	6) = 4:	5 + 1	=(15),	3 +	3 = (32),	3 + 1 + 1	+ 1 = (I3	3),

1 +1 + 1 + 1 +	1 + 1 = (1«),

р(0,	7) = 5:	7 = (7),	5 +	1	+ 1	=	(I2 5),	3 + 3 +	1 = (13а),

3+1 + 1 + 1 + 1 = (ГЗ),
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =(Г);

р(&, 1) = 1 : 1 = (1),

р(Ф, 2) = 1 : 2 = (2),

р(0, 3)=2: 3 = (3), 2 + 1 =(1 2),
/;(0, 4) = 2:	4	= (4),	3 +	1	= (13),

/?(0, 5) = 3:	5	= (5),	4 +	1	= (1 4),	3 +	2 = (23),

6) = 4:	6	= (6),	5 +	1	=(15),	4 +	2 = (2 4),

3 4-2 + 1 =(1 2 3);

/?(^>, 7)=5:	7	= (7),	6 +	1	= (1 6),	5 +	2 = (25),

4 + 3 = (3 4), 4 + 2 + 1 = (1 2 4).

Здесь обращает на себя внимание тот факт, что р ((У, п) =
= р (3), п) для и 7, в то время как связь между самими раз-
биениями этих двух типов довольно слаба (см. следствие 1.2).

В этой главе представлены два наиболее элементарных инстру-
мента для изучения разбиений: 1) бесконечное произведение про-
изводящих функций; 2) графическое представление разбиений.

1.2. Бесконечные произведения производящих функций
одного переменного

Определение 1.5. Производящей функцией [ (</) для
последовательности чисел а0, аъ а2,	... называется степенной

ряд / (?) = 2 апЯп-

Замечание. Во многих задачах, с которыми нам пред-
стоит сталкиваться, достаточно рассматривать функцию / (д)
лишь как «формальный степенной ряд». В рамках такого под-
хода многие манипуляции с рядами и произведениями можно
обосновывать почти тривиально. С другой стороны, для многих
асимптотических вычислений (см. гл. 6) требуется, чтобы произ-
водящие функции являлись аналитическими функциями комплекс-
ного переменного ц. В действительности оба эти подхода имеют
свои преимущества (Бендером (1974) обсуждались возможности
перехода от одной модели к другой). Мы будем по преимуществу
формулировать наши теоремы о производящих функциях, с явными
условиями сходимости. По большей части мы будем иметь дело
с абсолютно сходящимися бесконечными рядами и бесконечными
произведениями; это обеспечивает аналитичность при всевозмож-
ных перестановках рядов и переменах суммирования.

Определение 1.6. Пусть Н — некоторое множество
натуральных чисел. Запись «Я» будет обозначать множество раз-
биений, все части которых лежат в Н. Стало быть, р («Я», п)
есть число разбиений п, все части которых лежат в Я.

Таким образом, если Яо есть множество всех нечетных нату-
ральных чисел, то «Яо» = О и /?(«Я0», п) = р (67, п).

Определение 1.7. Пусть Я — некоторое множество
натуральных чисел. Запись «Я» (<б/) будет обозначать множество
тех разбиений, все части которых лежат в Я и в которых каждая
часть присутствует не более чем Я раз.

Таким образом, если П — множество всех натуральных чисел,
то р («№» ( с 1), п) = р (Ф, п).

Теорема 1.1. Пусть Н — произвольное множество нату-
ральных чисел, и пусть

/(<?) = 2 р(«н», п)дп,
п>0

(1.2.1)

Ь (?) = 2 Р («Н» (==; Л), п) дп.
п>0

Тогда при )<?| < 1 справедливы равенства

и а-т

п^Н

(1.2.2)

(1.2.3)

Ш = П (1 + Г + • • • + яап) = П (1 - <7<‘/+1>") (1 - <Г)-1 •
п^Н	п^Н

(1.2.4)

Замечание. Эквивалентность этих двух форм для /д (у)
следует из формулы суммы членов конечной геометрической про-
грессии:

1 _ уг

1 -ф- х + х2 4- • • • хг = —.

Доказательство. Проведем доказательство (1.2.3) и
(1.2.4) сначала формально, а потом обоснуем его аналитически.
Перенумеруем все элементы множества Н\ Н =	...}.

Тогда

П (1-^Н = П (14-7п + ^ + ^ + “-)-

п^Н	п^Н

= (14-^ +^4-^3^ _|-------) х

х (1 4" я112 4- #2/72 4- <7ЗЙ2 4- • • •) (1 + яНз + 72^3 + ЯЗНз 4- ...)•• •

•••=2 2 2 . . .	''' *

Д1Х) а2>0 а3>0
заметим, что показатель степени при у адекватен разбиению
..). Поэтому в последней сумме уп присутствует одно-
кратно для каждого разбиения п на части, взятые из Н. Следо-
вательно,

П (1 — 9'1)-1 = 2 /?(«^»> «)

п^Н
Доказательство (1.2.4) совпадает с доказательством (1.2.3),
с той лишь разницей, что бесконечные геометрические прогрессии
заменяются на конечные:

п (I + яп + Я2п +... +яЛп) =
п (^Н

=	• • • /у*(31^1 + й2Л!2+а3^з + - ' * =

с1^а2^0 (1^а3^0

= 2 р («#» («г 0>») яп-

Если теперь взглянуть на приведенные выше процедуры как
на операции со сходящимися бесконечными произведениями, то
перемножение бесконечного числа рядов требует все-таки некото-
рого обоснования. Простейшая процедура состоит в усечении
п

бесконечного произведения до конечного: П (1	Такое

I- 1

усеченное произведение порождает те разбиения, части которых
находятся среди чисел Л2, ..., Нп. Это перемножение корректно,
поскольку в нем участвует лишь конечное число абсолютно схо-
дящихся рядов. Предположим теперь, что д — действительное
число, 0 < д <1; тогда, если М = то

М	п	оо

2 р(«Н», ])я' п (1 — /О-1 «5 П (1 —

/=0	/=1

м

Таким образом, последовательность частичных сумм 2 р(«Я»,/) д1'
/=о

является ограниченной возрастающей последовательностью и,
значит, должна сходиться. С другой стороны,
оо	и	оо

2	П (1 - /О-1 —* П (1 —	П—>оо.

/=0	1=1	1=1

Следовательно,

00	ОО

2 /?(<<//»,/Щ = п О -<7Л'Г= П 0

/=о	1=0	п^Н

Аналогичное обоснование может быть дано и для доказатель-
ства формулы (1.2.4).

Следствие 1.2 (Эйлер). При всех п выполняется равен-
ство р((У, п) = р(^>, п).
Доказательство. По теореме 1.1

ОО

2 р(Р, «)г = П(* 1 -72п-1)-1,
п==1

ОО

п»о	„=1

Теперь

Поэтому

2 р п) яп = 2 р (^, «) (?п;
гг>0

а поскольку представление функции степенным рядом единственно,
видим, что п) = р(&>, п) для всех п.

Следствие 1.3 (Глайшер). Пусть есть множество
натуральных чисел, не делящихся на й. Тогда

р («Л^/+1», п) = р («И» ф, п)
для всех п

Доказательство. По теореме 1.1

2 Р (<М»	(I), п) д" = П	=

*=*1 (1-/)

= П и 1......,п = 2 Р(«Мг+1>-»)<?п.

п^1	(1 — 9)

и+о $ п

и требуемое следует, как и ранее.

Имеется целый ряд результатов, подобных следствиям 1.2
и 1.3; мы обратимся к ним в главах 7 и 8, где приведены более
глубокие теоремы такой природы.

1.3. Графическое представление разбиений

Другим эффективным элементарным инструментом изучения
разбиений служит их графическое представление. Каждому раз-
биению к ставится в соответствие его графическое представление
или, иначе, граф Феррера. Точечный граф Феррера разбиения
К = (%!, %2, ..., %„) представляет собой множество целочисленных
точек (/, /) на плоскости, для которого

((, /К ^^О^^-п+1, О^/^Чх-1*)-

Здесь и далее автор использует нестандартное обозначение координат:

I — вертикальная ось, / — горизонтальная. (Прим, персе.)
Поясним это определение некоторыми примерами.

Графическое представление разбиения 8+6+6+5+1
имеет вид

Графическое представление разбиения 7 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1
имеет вид

Заметим, что /-я строка графического представления разбие-
ния (+, Х2,	содержит ровно точек.

Отметим также, что имеется несколько эквивалентных спо-
собов задания графического представления. Так, некоторые авторы
используют единичные квадраты вместо точек, так что графическое
представление разбиения 8 + 6 + 6 + 5 + 1 принимает вид

Такое представление весьма полезно при рассмотрении при-
ложений разбиений к плоским разбиениям или диаграммам Юнга
(см. гл. 11).

Некоторые авторы предпочитают перевернутые представления
(они бы сказали — правильно повернутые), которые, например,
в случае 8 + 6 + 6 + 5+1 выглядят так:

• • • • •

или 9 © е е • •

9 е> © е © •
Будем придерживаться первого варианта, поскольку в боль-
шинстве классических текстов используется именно первое из
указанных в этом параграфе представлений.

Определение 1.8. Разбиение X' = (Л{, ..., назы-
вается сопряженным разбиением разбиения X = (Хь ..., или
просто сопряжением разбиения X, если А'- равно числу частей
разбиения X, не меньших чем Г

И это формальное определение легче понять, используя гра-
фическое представление. Из определения видим, что сопряжение
разбиения 8 + 6 + 6 + 5+1 представляет собой разбиение
5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 3+ 1 + 1. Графическое представление
разбиения 8 + 6 + 6 + 5 + 1 имеет вид

Сопряжение этого разбиения получается подсчетом точек
в столбцах этого представления; графическое представление со-
пряжения получается отражением этого графа относительно
главной диагонали. Таким образом, граф сопряженного раз-
биения имеет вид

Заметим, что использование графического представления в дан-
ном случае дает не только простой способ получения самого со-
пряжения разбиения X, но также прямо показывает, что сопря-
женное разбиение X' есть всегда разбиение того же числа, разбие-
нием которого является и разбиение X, т. е. что 2^ = 2 к.
Помимо того, явно, что сопряжение есть инволюция разбиений
всякого целого в том смысле, что сопряжение сопряжения раз-
биения X есть снова разбиение X.

Докажем теперь несколько теорем о разбиениях, используя
графическое представление.
Теорема 1.4. Число разбиений числа п не более чем с т
частями равно числу разбиений числа п, в которых нет частей,
превосходящих т.

Доказательство. Мы можем установить взаимно
однозначное соответствие между двумя классами разбиений при
сопряжении, просто отображая каждое разбиение на его сопря-
женное. Такое отображение, очевидно, является взаимно одно-
значным; рассматривая графическое представление, видим, что
при сопряжении условие «не более т частей» переходит в условие
«нет частей, превосходящих т», и наоборот.

В качестве примера выпишем разбиения числа 6 на не более
чем 3 части и разбиения числа 6 на части, не превосходящие 3,
помещая в одной строке взаимно сопряженные разбиения:

6	1 + 1 + 1 4 1 + 1 + 1

541	241414141

442	2424141

44141 3414141

343	24242

34241 34241

24242 34З

Полезная сама по себе теорема 1.4 показывает, как графиче-
ское представление используется для получения важной информа-
ции. Несколько более изощренное использование этой техники
можно наблюдать в следующих двух теоремах.

Теорема 1.5. Число разбиений числа а—с ровно с Ь—1
частями, не превосходящими с, равно числу разбиений числа а—Ь
с с—1— частями, не превосходящими Ь,

Доказательство. Рассмотрим графическое представ-
ление типичного разбиения первого типа и преобразуем это раз-
биение следующим образом: добавим новую строку из с точек,
затем удалим первый столбец (который теперь имеет Ь точек)
и произведем сопряжение полученного разбиения:

Сразу видно, что такое последовательное преобразование пред-
ставляет собой взаимно однозначное соответствие между этими
двумя типами разбиений и, следовательно, доказывает утвержде-
ние теоремы.

В качестве примере рассмотрим случай а = 14, Ь = 5, с = 4:

4 + 4 + 1 + 1 ->3 + 3 + 3

4 + 3 + 2 + 1 ->4 + 3 + 2

4 + 2 + 2 + 2 —> 5 + 2 + 2

3 + 3 + 3 + 1 — 4 + 4 + 1

3 + 3 + 2 + 2 —> 5 + 3 + 1

Мы завершаем эту главу одним из действительно замечатель-
ных достижений американской математики девятнадцатого века:
доказательством Франклина пентагональной теоремы Эйлера.
Заслуга Франклина состояла в доказательстве лежандровской
комбинаторной интерпретации числовой теоремы Эйлера. Саму
пентагональную теорему приводим как следствие 1.7, а следствием
1.8 показываем пользу теоремы 1.6 для вычислений.

Теорема 1.6. Пусть рг (^5, /г) (соответственно (3), /г)) —
число разбиений п на четное (соответственно нечетное') число раз-
личных частей. Тогда

Ре (Ф, п) — р0 (0, и) =

(— 1 )ш, если п = ~2 т (Зт ± 1),

О в противном случае

Доказательство. Мы попытаемся установить взаимно
однозначное соответствие между разбиениями, перечисляемыми
функцией ре (3), /г), и разбиениями, перечисляемыми функцией
р0 (3), п). Для большинства целых п наша попытка увенчается
успехом; однако, если п является одним из пятиугольных чисел
-1-т (Зт ± 1), то это и составит единственный исключительный

случаи.

Введем два параметра разбиения 1 = (+ ... Хг): 5 (X) =
(наименьшая часть разбиения X) и о (X) — наибольшее /, для
которого + =	— / + 1 (при X (= 3 — число членов в моно-

тонно убывающей последовательности с разницей между сосед-
ними членами, равной 1, начинающейся с + и состоящей из пер-
вых частей разбиения X). Графически эти параметры описываются
очень просто:

К=(7 6 4 3 2)

^=(8 7 6 5)

© о © о • ® ©/•/

® е е • « /•/

О • ®

о •[&




Преобразуем разбиение следующим образом.

Случай 1. 5 (%) < а (X). В этом случае увеличиваем на
единицу каждую из 5 (X) наибольших частей X и отбрасываем наи-
меньшую часть. Таким образом,

(7 6 4 3 2) -> А/ = (8 7 4 3),
т. е.

• • • 9

• • ©

Случай 2. 5 (X) > а (X). В этом случае, наоборот, умень-
шаем на единицу каждую из о (X) наибольших частей X и обра-
зуем новую наименьшую часть величины о (X). Таким образом,
К = (8 7 4 3) -> (7 6 4 3 2),
т. е.

9 • • © • •

• © © ©

Описанная процедура в обоих случаях меняет четность числа
частей разбиения; замечая, что к разбиению можно применять
лишь один из этих двух случаев, видим, что такое отображение
устанавливает взаимно однозначное соответствие. Однако имеются
определенные разбиения, для которых это отображение не рабо-
тает, например, X = (8 7 6 5). К нему нужно было бы применять
случай 2, но получаемое посредством него новое разбиение уже
содержит одинаковые части, т. е. не принадлежит нашему мно-
жеству 3). Итак, случай 2 не работает, когда разбиение имеет г
частей, а (X) = г, 5 (X) = г + 1, и в этом случае само разбивае-
мое число, очевидно, равно

(г+1) + (г + 2)+	+2/- = Тг(3г+1).

С другой стороны, случай 1 не работает, когда разбиение имеет
г частей, о (X) = г, 5 (X) г, а само разбиваемое число, очевидно,
равно

Г+ (Г+!)+••• +(2г-1)=±г(Зг-1).
Стало быть, если п не является пятиугольным числом, то
ре(3), п) = р0 (3), п), а если п = ^г(3г ± 1), то ре (3>, п) =
= р0 (3), п) + (-1)г.

Следствие 1.7 (пентагональная теорема Эйлера).

О°	ОО	1

П(1-<г) = 1 + 2 (-1П2"1 т (1+<7т) =

Л=1	т=1

ОО	1

= 2 (-	(1.з.1)

т— -—со

Доказательство.

Ясно, что согласно теореме 1.6

ОО

2

т— —со

/	14	~^т (Зш— 1)

(—1)/п?2	=

= 1+2 (-1)тЛт1М+ 2 (-1Г^т<3т-1) =

т= 1	т— —1

= 1 + 2 (-1гДт(3т-1)+ 2 (-1)-Д'п(3т+1) =

т~ 1	т~\

00	1	о

1	. хл ,	. ч —- т(3т—I) ,.

= I + 2 (— 1)т <7 2	(1 + ч") =

т=\

= 1 + 2 (Ре (^> «) — Ро (&>, «))
п=1

Для полноты доказательства нужно еще показать, что

1 + 2 (Ре (^, П) - Ро (3), «)) = П О - <?")•
п=1	п==1

Теперь

ОО	111

Р”! (1  	- 2 2	• • • ( 1	--* 14-02-2+^3-3+-

1	О!=0 02=0 о8=0

как и в доказательстве формулы (1.2.4). Заметим, что каждое
разбиение с различными частями подсчитывается с весом
(—1)«1+о2+о3+---, который равен +1, если это разбиение имеет
четное число частей, и —1 в случае нечетного числа частей. Сле-
довательно,

п=1

1 1 1

= 22 2..	(— 1)01+а2+яз4----^а1-1+а2-2+а3-3+.

01=0 02=О 03=О

= 1 + 2 (А «) - Ро «))
п=1

и тем самым имеем требуемое.

Следствие 1.8 (Эйлер). Если п > 0, то

/?(п)—р(п — 1)—р(п — 2) + р(п — 5) +

+ р(п — 7)-|---[- (—1)тр(п — 2-/га(Зт - 1)) +

+ (-1)тр (л-±т(3/п +1)) + -.. = О, (1.3.2)

где р(М) = 0 для всех отрицательных М.

Доказательство. Пусть ап обозначает левую часть
равенства (1.3.2). Тогда

ОО	ОО

2 апдп =2 Р(п) дп

п=0	п—0

1 + 2(-1)^т(3тЛ1+Г)

= П (1 - <7П)~1 • П (1 -<?") = Г

п=1	п=1

где предпоследнее равенство сразу следует из (1.2.3) и след-
ствия 1.7. Поэтому ап = 0 для п > 0.

Следствие 1.8 представляет собой весьма эффективный алго-
ритм для вычисления р(п) (см. гл. 14).

Задачи

1.	(Саббарао). Число разбиений п, в которых части встречаются дважды,
трижды или по пять раз, равно числу разбиений п на части, сравнимые с 2, 3,
6, 9, 10 по модулю 12.

2.	Число разбиений п, в которых могут повторяться только нечетные части,
равно числу разбиений и, в которых нет части, встречающейся более чем три
раза.

3.	Число разбиений п, в которых могут повторяться только части,
0 (той 2т), равно числу разбиений п, в которых нет частей, встречающихся
более чем 2т+1 — 1 раз.

4.	(Рамануджан). Число разбиений п с единственной наименьшей частью
и наибольшей частью, не превосходящей удвоенной наименьшей части, равно
числу разбиений п, в которых наибольшая часть нечетна, а наименьшая —
больше половины наибольшей части,
5.	Пусть (г; п) — число разбиений п на части, либо четные и не сравни-
мые с 4г — 2 (тоб 4г), либо нечетные и сравнимые с 2г — 1 или 4г — 1 (тоб 4г).
Пусть Р2 (г; п) — число разбиений п, в которых могут повторяться лишь чет-
ные части, а все нечетные части сравнимы с 2г — 1 по модулю 2г. Тогда
Р1 (г; п.) = Р2 (г; п).

Пояснение к задачам 6, 7. Мак-Магон ввел «модулярные» раз-
биения. Для данных положительных целых к и п существуют (согласно алгоритму
Евклида) такие целые /1 ,> 0 и 0 < / < к, что п = кк + /. Модулярные раз-
биения представляют собой модификацию графа Феррера, в которой п представ-
ляется строкой из к чисел к и одного числа /. Так, представление по модулю 2
разбиения 8+8+7+7+6+5+2 имеет вид

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 1

2 2 2 1

2 2 2

2 2 1

2

Заметим, что обычный граф Феррера есть модулярное представление по мо-
дулю 1.

6.	Пусть 1ГХ (г, т, п) — число разбиений п на т частей, каждая больше 1,
среди которых ровно г нечетных частей, и эти части различны. Пусть 1Г2 (г,
т, п) — число разбиений п с 2т как наибольшей частью, ровно г нечетными
частями и эти части различны. Тогда 1ГХ (г, т, п) = 1Г2 (г, т, п) (исполь-
зуйте модулярное представление таких разбиений по модулю 2).

7.	Пусть Р3 (г, п) — число таких разбиений (Хх Х2 ... %8) числа п, что
если X/ нечетно, то X/ — Х/ч1 ,> 2г — 1 (1 < / < $, л8+х = 0). Тогда Р2 (г, п) —
= Р3 (г, п) (определение Р2 (г; п) см. в задаче 5). (Использовать модулярное
представление этих разбиений по модулю 2.)

8.	(Сильвестр). Число разбиений п с различными нечетными частями равно
числу разбиений п, которые являются самосопряженными (т. е. совпадают со
своим сопряжением).

9.	(Мак-Магон). Пусть 7ИХ (п) — число разбиений п на части, >1, в кото-
рых два последовательных целых не могут оба входить в качестве частей. Пусть
Л42 (п) — число разбиений п, в которых нет однократно входящей части. Тогда
Мх (и) = ТИ2 (и).

10.	(Мак-Магон). Пусть 7И3 (п) — число разбиений п на части, не сравни-
мые с 1 или 5 по модулю 6. Тогда ТИ2 (п) = 7И3 (п) (определение М2 (п) см. в за-
даче 9).

11.	(Эйлер). Абсолютное значение излишка числа разбиений п с нечетным
числом частей над числом разбиений п с четным числом частей равно числу
разбиений п на различные нечетные части.

Замечания

По материалу этой главы рекомендуются книги: [4, 8, 12, 17, 22, 24].
Результаты Эйлера по большей части находятся в [9]. Теорема Глейшера (след-
ствие 1.3) приведена в [11]. Теорему 1.5 можно найти в фундаментальной работе
Сильвестра [28] (см. также [25]). Доказательство Франклина пентагональной
теоремы приведено в [10] (см. также [26, 5]). Рекуррентные соотношения (типа
следствия 1.8) и последние обзоры приведены соответственно в разделах Р 56
и Р 02 в [16]. Задача 1 - см. [27]; 4 - [2]; 5, 7 - [3]; 6 - [6, 17]; 9,
10- [1]; 11- [28].
ЛИТЕРАТУРА

1.	Ап (1 г е \у 8 6. Е. (1967а). А ^епегаИгаПоп оГ а рагГШоп Гкеогет о?
МасМакоп.— Л. Сотк!паГог!а1 Ткеогу 3, р. 100—101.

2.	А п (1 г е XV 8 О. Е. (1967к). ЕпитегаГ^е ргооГз о? сегГат я-НепГШез.—
СНазбохлг Май). Л. 8, р. 33—40.

3.	А п й г е XV 8 О. Е. (1970). МоГе оп а рагГШоп Гкеогет. — СНаз^оху МаГк.
Л. 11, р. 108—109.

4.	Ап <1 г е XV 8 С. Е. (1971). Ыиткег Ткеогу. — Ваипкегз, Рк11ас1е1рк1а.

5.	А п к г е XV 8 (з. Е. (1972). Т\хго Гкеогетз о! Оаизз апс! аШес! МепГШез ргоV-
ес! апГтеНсаПу. — РасШс. Л. МаГк. 41, 563—578.

6.	А п (1 г е XV 8 б. Е. (1974). АррПсаНопз о! каз!с курег^еотеГпс ГипсНопз. —
8. I. А. М. 1^. 16, р. 441—484.

7.	В еп с! ег Е. А. (1974). А НШп^ Гкеогет Гог Гогта1 рохуег зепез. — Ргос.
Атег. МаГк. 8ос. 42, р. 16—22.

8.	С о т I е I Ь. (1974). Аскапсес! Сотк!паГог!сз.— В. Ке1с1е1, ОогкгескГ.

9.	Еи1ег Ь. (1748). 1пГгос!исГ!о т апа1уз!п тПпГогит, СкарГег 16.—Маг-
сит— М1скае1ет ВоизциеГ, Ьаизаппае.

10.	Р г а п к 1 1 п Р. (1881). 8иг 1е с^еVе1орретепГ с!и ргокиИ 1пПп1
(1—х) (1—х2) (1—х3) ... СотрГез КепсГиз 82, р. 448—450.

11.	О 1 а 1 з к е г Л. АУ. Ь. (1883). А Гкеогет 1п рагННопз. — Меззеп^ег о? МаГк. 12.

12.	Н а г (1 у О. Н., \У г 1 к Г Е. М. (1960). Ап ТпГгокисНоп Го Гке Ткеогу
о? Ыиткегз, 4Гк ес1. — ОхГогк 1Лп1у. Ргезз, Ьопкоп апс! Ыеху Уогк.

13.	Н1скегзоп Э. К. (1973). МепННезгеГаГт^Гке питкег оГ рагННопз тГо
ап еVеп апс! ос!с1 питкег о! рагГз,—Л. СотктаГопа1 Ткеогу А15, р. 351—353.

14.	Н 1 с к е г з о п В. К. (1974). А рагГШоп ИепШу оГ Гке Еи1ег Гуре. — Атег.
МаГк. МопГЫу 81, р. 627—629.

15.	К п и Г з о п В. (1972). А 1етта оп рагГШопз. — Атег. МаГк. МопГк1у 79.

16.	ЕеУецие АУ. Л. (1974). 1^1ехуз т Ыиткег Ткеогу, Уо1. 4. — Атег. МаГк.
8ос. РгоуНепсе., К. I.

17.	МасМакоп Р. А. (1916). СотЫпаГогу Апа1уз!з, Уо1. 2.—СаткпсЦ*е
Ип1У. Ргезз, ЬопсГоп апс! ^еxV Уогк (гергткес! Ьу Ске1зеа, №ху Уогк, 1960).

18.	МасМакоп Р. А. (1923). Тке Гкеогу о? тос!и1аг рагГШопз. — Ргос. Сат-
ЬгЫ^е Рк!1. 8ос. 21, р. 197—204.

19.	М о о г е Е. (1974а). СепегаНгес! Еи1ег-Гуре рагГШоп МепГШез.— Л. Сот-
ЫпаГопа1 Ткеогу А17, р. 78—83.

20.	М о о г е Е. (19746). РагГШопз хУ1Гк рагГз арреапщ* а зресШес! питкег оГ
Нтез. — Ргос. Атег. МаГк. 8оС. 46, р. 205—210.

21.	14 еГ Г о Е. (1927). Ьекгкиск бег КотЫпаГопк, 2пс1 ес!.—Теикпег, Ье!р-
21^ (гергткес! ку Ске1зеа, Ыеху Уогк, 1958).

22.	ОзГтапп Н. И. (1956). Ас^с^^^^Vе 2ак1епГкеог1е, 2 Vо18. — 8рг!п^ег, ВегНп.

23.	Какетаскег Н. (1973). Тор!сз т Апа1уНс Ыиткег Ткеогу. — 8ргт-
^ег, ВегИп.

24.	К 1 о г с! а п Л. (1958). Ап 1пГго(1исГ!оп Го СотЫпаГопа! Апа1уз!з. — АУПеу,
Иеху Уогк. (Русский перевод: Риордан Дж. Введение в комбинаторный
анализ.—М.: Иностранная литература, 1963).

25.	8 Г аг с к ег 6. АУ. (1930). Оп НепГШез апзтб Ггош зоЫНопз о! д-сНИе-
гепсе едиаНопз апс! зоте тГегргеГаНопз т питкег Г к еог у. — Апп. Л. МаГк. 53.

26.	8 и к к а г а о М. V. (1971а). СотЫпаГопа! ргооГз о? зоте ШепГШез. —
Ргос. АУазЫп^Гоп 8ГаГе 11п^. СоЫ. Ыиткег Ткеогу, рр. 80—91.

27.	8 и к к а г а о М. V. (1971к). Оп а рагГШоп Гкеогет о! МасМакоп — Апс!-
^еxV8. — Ргос. Атег. МаГк. 8ос. 27, р. 449—450.

28.	8у^езГег Л.Л. (1882—1884). А сопзГгисГ^е Гкеогу о! рагГШопз, аггап-
&ес! т Гкгее асГз, ап тГегасГ апк ап ехосНоп. — Атег. Л. МаГк. 5, р. 251—330;
334—336 (ог рр. 1—83 о! Тке СоПесГес! МаГкетаНса! Рарегз о! Л. Л. 8укез-
Гег, Уо1. 4., Сашкине 11п^. Ргезз, Ьопс!оп апк ^еxV Уогк, 1912; гергткес!
ку Ске1зеа, ^еxV Уогк, 1974),
Глава 2

РЯДЫ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ

2.1.	Введение

Эта глава посвящена выявлению плодотворных взаимосвязей
между теоремами о разбиениях и некоторыми элементарными
методами оперирования с рядами и произведениями. Вопросы,
связанные со сходимостью, возникающие так же, как и в гГервой
главе, здесь оказываются не более трудными, чем любые другие.

Будем сейчас рассматривать р (5, т, п) — число разбиений п,
принадлежащих множеству 5 и имеющих т частей. Рассмотрение
этой величины приводит к производящей функции двух пере-
менных вида

/5(г; <?) = 2 2 р(5, т,	2

т=0п=0

где X = (%ь ..., Хг) — разбиение, 4Ф (X) = г — число частей раз-
биения X и а (X) = >4 + • • • + Этот двойной ряд является
абсолютно сходящимся, если |г| <|7|~1 > 1; в этом легко убе-
диться, доказывая (так же, как и теорему 1.1), что

2 2 п)2тдп = П (1 -~2дп\~\
т=0п=0	п=1

где 3? — множество всех разбиений.

В действительности, слегка модифицируя доказательство тео-
ремы 1.1, можно показать, что

2 2 т, п)хтдп = ]”] (1 — хдп)-1,	(2.1.1)

т=°п=°

2 2 р(«Я»(<Д), т, п)2тдп= П (1 —	п) (1 — гд”)-1.

т=0п=0	ш

п^Н

(2.1.2)

Помимо 4^ (^) — числа разбиений X — мы время от времени
будем интересоваться и другими параметрами разбиений, а зна-
чит, и другими типами производящих функций разбиений от мно-
гих переменных. Все это обосновывает и наш общий интерес
к рассмотрению рядов и произведений от двух (или более) пере-
менных. В следующем параграфе излагается элементарная тех-
ника получения многих тождеств с рядами и произведениями,
выводится ряд важных классических теорем, таких, например,
как тождество Якоби. Как станет ясно из § 2.3, результаты § 2.2
оказываются весьма полезными при выработке тождеств с раз-
биениями. Однако при чтении можно пропустить § 2.2 и сразу
читать § 2.3, обращаясь лишь по мере надобности к формули-
ровкам теорем § 2.2. Для читателя, интересующегося решением
задач о разбиениях посредством преобразований рядов, первые
шесть примеров в конце этой главы представляют хороший тест
на овладение техникой, используемой в § 2.2.

2.2.	Элементарные тождества с рядами и произведениями

Начнем с теоремы, принадлежащей Коши, которая, как мы
увидим, окажется основным инструментом получения всех осталь-
ных результатов этого параграфа.

Теорема 2.1. Пусть | д | < 1, | /1 < 1; тогда

1 । V1 (1 —а)(1~ о<?)  • •(! —а^-1) = ГЛ (1 —а/д”)	9 9 .

Замечание. Мы будем стараться по возможности избав-
лять формулировки наших теорем от специальных обозначений.
Однако для доказательств представляется вполне целесообраз-
ным использование следующих стандартных сокращений:

(а)„ = (а; д)п = (1 — а) (1 — ад)... (1 — адп~1),

(а)^ = (а; д)ж = Пт (а; д)п,

П->оо

(а)о = 1 •

Можно определить (а)п для всех действительных чисел п по пра-
вилу

_ (а)о°
(адп)оо ’

Ряд в (2.2.1) представляет собой пример базисного гипер-
геометрического ряда. Изучение базисных рядов (или, иначе,
7-рядов, или рядов Эйлера) составляет обширную ветвь анализа,
к которой мы будем лишь прикасаться в этой книге. На боль-
шинство теорем этого параграфа можно смотреть как на элемен-
тарные результаты теории базисных гипергеометрических рядов.
Теорема 2.1 известна как «7-аналог биномиального ряда»; если
в ней положить а = да, где а — натуральное число, то (2.2.1)
формально стремится к

ОО

п=\

Доказательство. Рассмотрим функцию

°° . \ 00

<2-22>

/2=0 У 4	п=0

где Ап = Ап (а, 7). Заметим, что Ап существует, поскольку
бесконечное произведение равномерно сходится при фиксирован-
ных а и 7 в области 11\	1 — в; следовательно, это выражение

определяет функцию от /, аналитическую в области |/|<1.

Теперь

0 -«(1 - П - С -	=

/2=1	'	77	/2=0 У /	7

=	(2.2.3)

Ясно, что Л0 = ^(0) = 1, и, приравнивая коэффициенты при 1п
в крайних частях равенства (2.2.3), видим, что

Ап — Ап-1= дпАп — адп~1Ап_1,
или

Ап = (1(7_^)1> л'гр (2,2-4)

Раскрывая рекуррентность (2.2.4), находим, что

А = (1 — бщ71"1) (1 — адп~'2) ♦.. (1 — а)А0 =
(1_^)(1_^-1). ..(1_^) (д)п ‘

Подставляя это значение в (2.2.2), получаем теорему.

Эйлером были обнаружены два следующих случая теоремы 2.1.
Каждое из этих тождеств имеет прямую связь с разбиениями,
указанную в задаче 17 в конце этой главы.

Следствие 2.2 (Эйлер). ПриЩ<\, |д|<1 выпол-
няются следующие тождества'.

! , У

а-^О-?2)- • • О-?")

=	(2.2.5)

/2=0

оо

= П 0 + М- (2.2.6)
Доказательство. Равенство (2.2.5) сразу следует
из (2.2.1), если в последнем положить а = 0. Для вывода
(2.2.6) заменим в (2.2.1) а на а/Ь и / на следовательно, для
| Ьг | <1 имеем

(Ь — а) (Ь — ад) . . . (& — адп~1) гп _ ГД (1 — агдп) (9 9
(1-^)(1-^)... (1~^)	\\(1__Ь2д'Г (

/7=1

Полагая Ь = 0, а = —1 в (2.2.7), получаем (2.2.6).

Следующий результат представляет собой фундаментальное
преобразование Гейне, которое служит инструментом доказа-
тельства четырех следующих за ним следствий.

Следствие 2.3 (Гейне). При | д | <1, 11\ <1, | Ь | <1
выполняется равенство

. . <1 (1-а)(1-а1?). , .(1-а^-1) (!-&)(!-&?) , , (1-&<?п~1)Р

(1 — <?) (1—е) • • • (1—яп) (1—с) (1—с?) • • • (1 — сб/1"1)
/7=1

= рт (1-&<Д)(1-а^)

ы (1_сЛ(1_^)

у /] , V (1-^)(1-с?/&).., (1 с^-1/б)

х (1-0(1-^),   (1-^-1)^ .

(1 — а1) (1 — а1д) ... (1 —	*

Доказательство.

(а)п (Ь)п 1п	(Ь)х уч (а)п1п (сдп)х

(?)П(С)«	(С)»	(?)«	(&/П)оо

/7=0	/7=0

= (6)°° V V (а^п (с!ь^ьтдпт =
(с)оо	(д)п (д)т

п=0 т=0

= Дк V (с!Ь)тЬт (а1дт)х =	(а1)х уч (с/г>)т ^тЬ<»

(с)оо(<?)т	(/<7т)оо (с)оо (Ооо	0)т(а/)т

т=0	т=0

Следствие 2.4 (Гейне). Если | с | < | аД, | д| <1, то

1 । V (1 —а) (I — а?) . . . (1-а^-1)
(1 — 4)(1— ?2) • • • (1 — Яп)

(1 _ 6) (1 _ 6?) , , , (1 _ ЬдП-1) {с/аЬ}П “ (! _ с?т/а) 0 _ с<?т/б)

(1_с)(1_с<?) . . .	1Д (1-аД)(1 -сдт!аЬ) '
Доказательство. Согласно следствию 2.3 имеем

уч (а) п (Ь)п (с/аЬ)п	(&)«> (?/&)<» уч (с/а6)п6п

(ч)п (С)п (сЦ (с!аЬ)х (Я)п

_ (^)оо (с/^оо . (с/«)оо _ (с/^оо (с/^оо

— (с)оо(СМ)оо ’ (Чх, — (С)оо (с/«*)оо

Следствие 2.5 (Бейли). Если |Д< тш (1, |6|), то

1 । V (1-а)(1-Д<?) • • 	у

(1 -Ь) (1 -Ьд) (!- бд”-* 1) (-д/Ь)п =

(1 — ад/Ь) (1 — аср!Ь)... (1 — адп1Ь)

_ Г"Т (1 — ш/2т+1) (1 + дт+1) (1 4- ад2т+21ь?)
1=0	~	(1 +дт+Чь)

Доказательство. Согласно следствию 2.3 (при пере-
мене а на Ь) имеем

уч (Ь)п (а)п (- д!Ь)п (а)оо(-9)оо уч (д/Ь)п (- д/Ь)т ат
(?)п (а?/6)л (ад1Ъ)х (— <?/&)ю	(<7)т(—9)т

п=0	т=0

_	(о)» (-?)оо V (?2М <72)« ат _

(ад1Ь)ао(-д/Ь)00	(д2;д2)т

= (а)оо (—^)оо (^2/^2; ?2)оо = (^; <72)оо (—^)оо (ад2/ь\ д2)^
^Я1Ь)оо( — д1Ь)оо(а\д2)оо	(^1Ь')оо(—д1Ь)оо

Отметим, что следствие 2.4 обычно именуют как «^-аналог
теоремы Гаусса», а следствие 2.5 — как «^-аналог теоремы Кум-
мера».

Следствие 2.6. Если |^| <1, то

С — Я) С —<72) - • • 0 -V) (1 — 2) (1 — гд). . .(1 —2дп !)

= Р1 (1 - гдт)-\ (2.2.8)

т=0

ОО	2	ОО

1	-п о <2-2-9)
Замечание. Равенство (2.2.8) принадлежит Коши, а ра-
венство (2.2.9) — Эйлеру.

Доказательство. Прежде всего отметим, что (2.2.9)
получается из (2.2.8), если в последнем положить г = 7. В след-
ствии 2.4 положим а = а-1, Ь = р-1, с = г. Стало быть,

1 , V («- 1) («-?) .(а-?'1-1) (Р — 1) (Р-<?).  .(р-?"-1)*”
(<7)я(г)„	-

П=1

(га)» (гР)^

(*)«, (гаР)^ ’

и если теперь в этом тождестве положить а = |3 = 0, то полу-
чится (2.2.8).

Следствие 2.7. Если | Д <1, то

. .	(1 —а)(1 —ад)...(1 —а?п-1)?',('г+1)/2 _

+	(1-?)(1-?2)...(1-?Д

= П (! -аД"1“1)(1 Ч-7т)-

т=\

Доказательство. В следствии 2.5 положим Ь = р-1.
Отсюда

(а)п (₽-1) (Р-.. .(₽ - ^-!) (-?)"	(<ч; ^)оо(-^)ооН2₽2; <?2)оо

(Я)п(ад^п	(^₽)оо(-^)оо

п=0

Положив теперь в этом тождестве Р = 0, получаем требуемое.

Следующий результат — тождество Якоби — можно рассма-
тривать как следствие следствия 2.2, однако он настолько важен
сам по себе, что мы выделяем его в отдельную теорему.

Теорема 2.8. При г 0, ] д\ < 1 выполняется тожде-
ство

2 2"7',г = Па -^'’+2)(1 +г<72"+1)(1 +г-1Д«+1).	(2.2.10)

/7——ОО	П=0

Доказательство. Для | г | > | д |, | Д <1 имеем

00	ОО	2	ОО

П (1 + *»»)« 2^^- =	2"’"'	-

иг=0	°° иг=0

ОО

=	2 г^'п2('72'п+2;^2)со =

т=—оо
= (поскольку (д2т+2; д2)™ = 0 при отрицательных т) =

1

(<7М2)оо

ОО	ОО

2 -г-2
7.=-ОО	»--А

(—1)г ^2+2/пг+г

(72; ч2)г

ОО (?2;<72)то 2 г=0	(	0 г <7	/у(т+г)2-тД-г	  (?2;<?2)г	2^ 7  т——оо
ОО (?2;<72)то 2 г=0	ОО  (	ппг22т 	  ^я2)г 21 я т=—оо

(<72; ?2)оо(— 9/г; <7%

Это и есть требуемый результат. Заметим, что абсолютная сходи-
мость имеет место везде, где |г| > |д|, |д| <1. Однако полный
результат теоремы получается либо посредством аналитического
продолжения, либо повторным проведением этого рассуждения
с г-1 вместо г.

Следствие 2.9. Если | д | < 1, то

2	(—	п(/г+1)/2-Гп =

П= —ОО

= 2 (— 1)"^<2й+1> л (п+1)/2- 1п (] _ ^(2п+1)>) =
/1=0

ОО

= П (1 — 9<2*+1> ("+1)) (1 — д(2к+1)п+1) (1 _ 9(2*+1)(п+1)-7)	(2.2.1 1)

п=0

Доказательство. В (2.2.10), заменяя д на дк+х/2 и
полагая г = —^(/г+1)/2-л, сразу получаем равенство крайних
выражений в (2.2.11). Теперь

(—1)п^(2Н-1) п(М-1)/2-йг (1 _ ^(2п+1)	=

/2=0
оо	оо

= 2 (— 1)п^(24+1)п(п+1)/2-М_}_	(— 1)™^(2й+1) п(п-\)11+1п =

/2=0	П = \

= 2 (—1)'г9<2й+1)п(п+1)/2-(П_|_	2 (-—1УЩ2Й+1) МЛ-1)/2-^г =

/2=0	П= —1

=	2	(—1)'!<7<2*;+1)п(п+1)/2-<П1

/2 = -ОО
Заметим, что следствие 2.9 приводит к следствию 1.2, когда
к = I = 1, и тем самым получаем

Р1(1 - 73"+3)(1 - 93'1+1)(1 - ^+2)= Р) (1 - 7«).
и—0	п=\

Следствие 2.10 (Гаусс).

ОО	ОО

2 (ПтттАр	(2^12)

/?= — оо	т=1 И -ГЧ /

ОО	ОО

2-	П уг±йу	(2213>

п=0	т==1 '	4	7

Доказательство. Согласно (2.2.10) при г = —1 имеем

°°	(а)

2 (-1)”^ =(72;	72М(?; 72)оо = (7)оо(7; 72)оо=_^_,

П=—ОО	V Ч/оо

где последнее равенство следует из (1.2.5). Далее,

ОО	ОО

2 7Мп+1)/2 = | 2 Г(,!+1)/2 = 4(7)оо(-7)о0(-1)оо =
П=0	П= —оо

= (ч)°° (— <7)°° (— <?)оо = (<Л <?2)« (— <?)оо = (</2; я2)оо/(д; 72)«»

где вновь последнее равенство следует из (1.2.5).

Этот параграф богат выкладками и беден комментариями.
Важность теоремы 2.1 проявится во всей полноте, когда из нее
последуют существенные результаты о разбиениях. Читателю
предоставляется возможность попрактиковаться в используемой
здесь технике во многих задачах в конце этой главы.

2.3.	Приложения к разбиениям

Докажем здесь четыре теоремы о разбиениях, ипользуя либо
сами результаты, либо методы § 2.2. Завершаем мы этот параграф
«квадратами Дюрфи», которые позволяют получить (2.2.9) из
чисто комбинаторных соображений. Начнем с одной интерпрета-
ции следствия 2.9.

Теорема 2.11. Пусть 2$ (к, 0 обозначает все те разбиения
с различными частями, в которых каждая часть сравнима с
0, ±1 (той 2к + 1). Пусть ре(2$(к, /), п) (соответственно
ръ(2$(к, /), п) обозначает число разбиений числа п из 2?) (к, /)
с четным (соответственно нечетным) числом частей. Тогда
р„(0(Ь, I), п) — р0(3>(к, 0, ») =

|(—1)т, если п = (к \/2)т (т + 1) ± 1т,
1	0 в противном случае.

Доказательство. Доказательство в точности анало-
гично доказательству следствия 1.7. Здесь требуемый результат
получается приравниванием коэффициентов в обеих частях ра-
венства (2.2.11).

Теорема 2.12 (Сильвестр). Пусть Ак (п) обозначает число
таких разбиений п на нечетные части, в которых имеется ровно
к различных частей (одинаковые части допускаются). Пусть
Вк (п) обозначает число тех разбиений X = (%х ... Хг), в которых
последовательность (%х, ..., \) составима ровно из к несмыкаю-
щихся последовательностей, каждая из которых состоит либо
из одного элемента, либо из нескольких последовательно возра-
стающих на единицу целых чисел. Тогда Ак (п) = Вк (п) для
всех кип.

Замечание. Прежде всего отметим, что эта теорема Силь-
вестра есть уточнение теоремы Эйлера (следствие 1.2), поскольку

ОО	ОО

р(бГ,п) = 2 Ак(п), р(^>,п) = ^вк(п).

к=0	к=0

Сильвестром было получено чисто графическое доказательство
этого результата. Наше рассуждение (принадлежащее Рамамани
и Венкатачалингару) иллюстрирует, как взаимодействие комби-
наторики и формальных рядов облегчает доказательство.

Точный смысл Ак (п) и Вк (п) ясно просматривается из сле-
дующего примера: А3 (14) = 7, поскольку эти разбиения суть
(123 9), (125 7), (1 327), (143 7), (1 3 52), (13325), (I6 3 5); В3 (14) =7,
поскольку эти разбиения суть (1 3 10), (1 4 9), (2 4 8), (1 5 8),
(2 5 7), (1 2 4 7), (1 3 4 6).

Доказательство. Заметим, что метод теоремы 1.1,
применяемый для доказательства (1.2.3), можно распространить
на доказательство того факта, что

~ ~	ОО

2 2 Л(п) акЧп = П (1 + «92/-1 + <+ аЧ3 + •••) =
к=0 п=0	/=1

= П 0 ,	ад2'-1 \ _ ГЛ (1 - (1 - а) _ ((1 - а) д; д2)х 

= ((1-а)</; <7% (-<7Щ (2.3.1)

где последнее равенство следует из теоремы Эйлера (1.2.5).
Нелегко сразу выписать производящую функцию от двух
переменных для Вк (и). Однако ситуация упрощается, если перейти
к сопряженным разбиениям. Действительно, все сопряженные
разбиения X' распадаются на два непересекающихся класса:
1) если 1 является частью X, то X' есть разбиение и, в котором
наибольшая часть единственна, каждое натуральное число, мень-
шее чем наибольшая часть, присутствует и ровно к — 1 из этих
частей присутствуют более чем однократно; 2) если 1 не является
частью X, то X' есть разбиение и, в котором наибольшая часть по-
вторяется, каждое натуральное число, меньшее чем наибольшая
часть, присутствует и ровно к частей присутствуют более чем
однократно.

Следовательно,

2 2 Вк(п) акдп = 1 + 2 П	+ • • •) +

к=о п=0	Ы=1	/=1

ОО	АГ-1

+ 2	 • •) П +ад21++ • • •) =

/=1

оо	д. Ы—1

-' + 2 Т^П

^=1	4 /=1	х 4 1

= 1 I V 0 - - а» ^(ЛГ+1)/2 ((1 - О) ?)лг-1 _

VI ((1-а))л,ал,(Л,+1)/2 <2.7)	ч 2Х / ч

= “ а) 7 )о°	7)о° =

м=о
оо оо

^22^?.

Л=0 /7=0

Приравнивая коэффициенты при акс]п в крайних членах этой
цепочки равенств, заключаем, что АДп) = В^(п) при всех к, п.

Рассмотрим теперь один аналитический подход к теореме 1.5;
вообще, аналитические доказательства требуют меньшей изобре-
тательности и обеспечивают меньшее понимание, чем доказатель-
ства комбинаторные.

Аналитическое доказательство тео-
ремы 1.5. Если через рь,с(а — с) обозначить число разбиений
первого типа из теоремы 1.5, то эта теорема утверждает, что
Рь. с (а — с) = рСгЬ (а — Ь). Пусть теперь

ОО ОО ОО

222 Рь,с(а) хьусда =

а=0 Ь=0 с=0

ОО	П	ОО

= 1 + V *уп П 0 + хд‘ + х^ + х??’ Н—) =1+2

\хЧ)п

П=1	/=1	/7=1

Следовательно, если

ОО ОО ОО	ОО

нх, ^=222

а=0 Ь=0 с=0	п=1

то нам для получения требуемого результата надо лишь показать,
что

ОО	ОО

1(х.-1 + Л _ V у т. №«	_

(хд)п	(д)п (хд)п

п=0	п=0

. .	оо	ОО

(2.3)	(?)«> VI (х)п (уд)пдп =	(<?)«, VI (уд)п (х)п дп =

(^)оо(ОТ)оо^ (<?)«	(*<?)„ (М)„	(</)«(0)п

/7=0	п=0

=	(<?)«>	(^)оо (М2)оо VI (д)пх« (2,3) п _ ч VI х«+1

Х (хд)х(уд)х (?)то	^ (</)«(№)«	'	>^(уд)п+1'

п=0	п=0

Стало быть,

ОО	ОО	ОО

Г(Х, г/) = (1 “х)2тотД =27мД"”2тм)7 =
п=0	п=0	п=0

_1 .V хП V х’ЧХ-удп)	<1 ухпдп

-1 +	2^ (^)л	-1 + 2л1^~Ку>х)-

П=1	П=1	П=1

В качестве третьего примера рассмотрим другое уточнение
теоремы Эйлера (следствие 1.2), принадлежащее Файну.

Теорема 2.13. Число разбиений п на различные части
с наибольшей частью к равно числу тех разбиений п на нечетные
части, в которых 2к + 1 равно наибольшей части плюс удвоен-
ному числу частей.

Доказательство. Комбинаторные рассуждения типа
тех, которые использовались в трех предыдущих доказательствах,
показывают, что теорема Файна эквивалентна равенству

/=0	/=0
Имеем

/—О	/=0

оо . .

= *Ч ^°°2 “йУ7 (^/+2. ?2)оо =

(2-2.5) , , о 24 "V "V 92/т+2'" _

М<7 ; 7 )оо^ (9)/ 21 Я2)т ~
/=0	т=0

= 1а(а*-а*}	У	V	//?/(2т+1) =

Ш ’7 )х21 (Я^Я^т 21	(Я)/

т=0	/=0

<2-2-5>-/д М2. д24 V	Я2т	_

Щ (Ч , Ч )°о	(<?2.	—

т=0

^(?2;<?2)ооу1 (1д; д*)т(1д*; Я2)тд2т _
((я)^ 21	№ я2)т

т=0

= 1Я(Я^Х ((Я^Я^^Я2)^ VI (д^Я2)т *тЯ2т =

(^)оо	(<72; <72)оо	(Я2; Я2)т Я^т

(2.3)	у

21 (1Я> Я2)т+1 ‘

т=0

Мы завершаем эту главу введением квадратов Дюрфи и их
использованием для получения нового доказательства (2.2.9).

Комбинаторное доказательство равен-
ства (2.2.9). Каждому разбиению X = (Хп Х2, ..., \) можно
сопоставить параметр й (X) как число тех Ху, для которых Ху > /.
Посмотрим, что измеряет й (X) в графическом представлении X.
Предположим, что X = (1 2 425 72); тогда д, (X) = 4, графическое
представление имеет вид
и, как легко заметить, д (к) равно стороне наибольшего квадрата
из точек, содержащегося в графическом представлении к. Этот
квадрат называется квадратом Дюрфи (в часть В. Дюрфи), а й (к)
называется стороной квадрата Дюрфи.

Из графического представления явствует, что если к + п и
(1 (к) = 5, то разбиение к может быть единственным образом
представлено в форме (з5) + А/ + к", где (з5) представляет точки
из квадрата Дюрфи, к' представляет точки, расположенные ниже
квадрата Дюрфи (а значит, некоторое разбиение с частями, не
превосходящими з), и, наконец, к" представляет сопряжение то-
чек, расположенных правее квадрата Дюрфи, и, значит, к" также
является некоторым разбиением с частями, не превосходящими з.

В нашем примере разбиение к = (1 2 425 72) единственным
образом записывается в форме (44) +(1 2 4)+ (223). Поскольку
разбиения с частями, не превосходящими з, порождаются посред-
ством

1 1

(1 — 7)(1 — 72)... (1 — д5)

(см. теорему 1.1), видим, что множество всех разбиений со стороной
квадрата Дюрфи, равной з, перечисляется посредством

52 □____1_ = _с^_

д (<7)« ’ (<7)«	’

Стало быть,
00	°°

ж =2дп =2

/2=0	5=0

Задачи

1	. Следующее обобщение следствия 2.3 выполняется при каждом целом
к^ 1:

V <а;	=	№ Чк)<» (с/Ь)п (/; зУ

№ Чк)п (с)кп (сЦ (/; дк)ж (<?)„ (а(; дк)п
/2=0	/2=0

2	V	V

	(</2; <?2)п (-Ооо (</)т (~Щт ’

п=0	т=0

, V	д2)пЬ'1 = V	&<Р)тьт

(</)„	(&?; д2)х (</2; </2)т («</; Лт '

п=0	т=0

, V (а)п(Ь;д^п1п _

(я)п д^)п

П=0	= (а(’ 92)оо (»/; <?2)оо	(а;д2)т(/>; д^)т (/<?)'”

(/; д^ (аЫ; д^)оо 2л Ч2)т(Ы-, д*)т ‘

т=0
/1=0	/1=0

6.	V д^хт =уу_хд Д

-«Л Об’ Я2)т+1	\	У ’ /т

п=0	т=0

7.	Тождество, используемое в доказательстве теоремы 2.13, есть специаль-
ный случай тождества из задачи 4.

ОО	ОО	ОО

8.	V (—а-1)т (ад)’п - V (а~1)т(—ад')т = 2 У	•

{ч, Ч )т+1

т=0	т=0	т=0

9.	Тождество из задачи 8 может быть использовано для доказательства еще
одной теоремы Файна:

^2Г+1(П) — ^2Г+1(п) + ^2г(п)>

где (72г+1 (п) есть число разбиений п с нечетными частями и наибольшей
частью 2г + 1 и где У5 (п) есть число тех разбиений п на различные части,
в которых наибольшая часть минус число частей равна 5.

10.	Можно доказать, что
ОО	ОО

1 -	(Ч).-! (хя)п =2^ --------------------=

/1=1	/1=0

= 1	(—1)П (^(3п”'1)/2х3п~1 | ^(Зч+1)/2хЗп^

/1=1
показывая, что каждый из этих рядов $(х, д) удовлетворяет условиям

5 (х, д) = 1 — х2д — д2х3з(хд, д),	5 (0, д) = 1.

11.	Пентагональная теорема Эйлера есть следствие задачи 10.

12.	Задачу 10 можно решить и чисто комбинаторно. При этом подходе нужно
учитывать не только, что число п является разбиваемым, но также и т — сумму
наибольшей части и числа частей. Инвариантность т относительно преобразо-
ваний доказательства теоремы 1.2 обеспечивает обоснование второго равенства
в задаче 10.

В своем последнем письме к Харди Рамануджан рассматривал несколько
семейств функций, которые он называл «тэта-подобными». Четыре из них таковы:

ОО	ОО

/о(<7) =У ,		Фо(9) =У Ч2)п,

п=0	п=0

оо	оо	я

Фо(9)= У ?(п+1)(,г+2,/2(-?)«, /Щ =У •

{У’ Я )п

/1=1	/1=0
В задачах 13 и 14 предлагается доказать приведенные соотношения между
этими функциями.

(VI	\ VI гт4лг2-|-4А2

^9П(п+1)	(?4; ?)п +Г-(‘?2) - 1-

/1=0	/ /1=0

(ОО	\ ОО	2

и——ОО	/ /1=0

ОО	ОО

15-	2н5~=2(‘/:‘/2)'г22'!’

п=0	п=0

16.	Если в теореме 2.1 заменить д на д2, и тогда заменить I на 1д2 и а на
—ад, то результирующее тождество можно вывести из задачи 6 в гл. 1.

17.	Если в следствии 2.2 / заменить на 1д, то полученные равенства до-
пускают простое комбинированное доказательство. Равенство (2.2.5) может
быть доказано рассмотрением разбиений пет частями; равенство (2.2.6) мо-
жет быть доказано рассмотрением разбиений пет различными частями.

18.	Разбиение К будем называть сильвестровым, если наименьшая часть,
присутствующая четное число раз (0 — четное число), четна. Для любого мно-
жества натуральных чисел Т определяем 5 (Т; т, п) как число сильвестровых
разбиений п на т частей так, что нет повторяющихся элементов из Т. Тогда

8(Т; т, п) хтдп

т,п^0

П (1 — Х2<?2А) 00

“ .	..	(—хд)2п

П(1 — хд’) п=1

19.	Число несильвестровых разбиений п е нечетным числом частей равно
числу несильвестровых разбиений п е четным числом частей.

20.	(-1)т5(Т;/п,п)<?'г = ]“[(1-Л(-(=^-1

т,п^0	к^-Т	°°

Замечания

Первоисточник теоремы 1.2 неизвестен; ее приписывают Эйлеру (Харди
(1940), стр. 223). Гейне первым систематически изучал этот тип рядов, в связи
с чем именно ему часто приписывается эта теорема; однако Коши доказал этот
результат в 1843 году (см. Коши (1893), стр. 45). Следствие 2.2 действительно
принадлежит Эйлеру (1748). Следствия 2.3 и 2.4 принадлежат Гейне (1847).
Бейли (1941) и Даум (1942) независимо доказали следствие 2.5. Следствие 2.6
принадлежит Коши (1893). Следствие 2.7, по-видимому, принадлежит Лебегу
(1840). Следствие 2.8 есть знаменитое тождество Якоби (1829); доказательство,
приведенное в этой главе, было независимо получено Эндрюсом (1965) и Мено-
ном (1965). Равенства (2.2.12) и (2.2.13) обычно приписываются либо Якоби
(1829), либо Гауссу (1866). Теорема 2.12 представляет собой расширение теоремы
Эйлера (следствие 1.2), принадлежащее Сильвестру (1884—1886); приведенное
здесь доказательство по существу принадлежит Рамамани и Венкатачалингару
(1972) (см. также Эндрюс (1974)). Теорема 2.13 есть неопубликованный результат
Файна (1954) (см. также Эндрюс (1966Ь)). Использование квадратов Дюрфи интен-
сивно изучалось в [8, 9].
Соотношения между рядами и произведениями с достаточной полнотой не
представлены ни в одной книге. Ряд элементарных задач обсуждается в [7]
(см. также [10]). Элементы теории этих рядов можно найти в [11, 12, 21, 22,
32]. Большинство последней литературы по этому вопросу указано в разделе Р60
в [28].

Задачи 1—3—[4]; задача 4— [3]; задача 5— [2, 4]; задача 6— [3]; за-
дача 8 — это тождество принадлежит Файну (1954) и приведено в [3]; задача 9—
[3, 18]; задача 10— [31, 3, 19]; задача 12— [33, 9]; задачи 13, 14— [35, 2];
задача 15— [14]; задача 16— [11 ]; задача 18— [6]. В этой работе сильвест-
ровы разбиения именуются «флешами» в соответстви с терминологией самого
Сильвестра. Поскольку Сильвестр был одним из «рекордсменов» по введению
новых математических терминов, представляется вполне уместным этот тип раз-
биений назвать «сильвестровым». Задачи 19, 20 — [6].

ЛИТЕРАТУРА

1.	Ап (1 г е XV з 6. Е. (1965). А з1шр1е ргоо! о! ЛасоЫ’з 1пр1е ргобис! МепШу. —
Ргос. Ашег. Ма1к. 8ос. 16, р. 333—334.

2.	А п с! г е XV 8 6. Е. (1966а). Оп Ьаз1с курег^еоше1г1с зепез, шоск 4Ье4а Гипс-
Попз, апк рагННопз, I.-----(ЭиагБ Л. Ма1к. ОхГогк 8ег. 17, р. 132—143.

3.	А п с! г е XV з 6. Е. (1966Ь). Оп Ьаз1с курег^еошеШс зег!ез, шоск 1ке1а Гипс-
14оп8, апс! рагЛШопз, II. — (ЭиагБ Л. Ма1к. ОхГогк 8ег. 17, р. 132—143.

4.	А п с! г е XV 8 6. Е. (1966с). ^-МепПНез о! Аи1иск, СагШг апс! Ко^егз.—
Пике Ма1к. Л. 33, р. 575—582.

5.	А п с! г е XV з 6. Е. (19666). Оп ^епегаИгаНопз о! Еи1ег’з рагШюп 1кеогеш. —
МкЫ^ап Ма1к. Л. 13, р. 491—498.

6.	А п 6 г е XV 8 6. Е. (1970). Оп а рагННоп ргоЫеш о! Л. Л. 8у1уез!ег.— Л.
Бопбоп Ма1к. 8ос. (2), 2, р. 571—576.

7.	Ап 6 г е XV 8 6. Е. (1971а). ИишЬег ТЬеогу. — 8аип6егз, РкПабЫрЫа.

8.	А п 6 г е XV з 6. Е. (1971Ь). СепегаИгаПоп о! 4Ье ПигЕее здиаге. — Л. Бопбоп
Ма1к. 8ос. (2) 3, р. 563—570.

9.	А п 6 г е XV з 6. Е. (1972а). ТxVо {кеогешз о! Оаизз апб аШеб ИепННез рго-
Vе6 агИктеНсаПу. — РасШс Л. Ма1к. 41, р. 563—578.

10.	Ап 6 г е XV з 6. Е. (1972Ь). РагННоп 16епш1ез.— Абуапсез т Ма1к. 9?
р. 10—51.

11.	А п 6 г е XV з О. Е. (1974). АррИсаНопз о! Ьаз1с курег^еотеШс ГипсИопз. —
81АМ КеУ. 16, р. 441—484.

12.	В а 1 1 е у XV. ЬЛ. (1935). ОепегаНгеб Нурег^еотеШс 8епез.—СатЬпб&е
Б1ту. Ргезз, Бопбоп апб Иеху Уогк (герпЫеб Ьу НаГпег, Иеху Уогк, 1964).

13.	В а 1 1 е у XV. И. (1941). А по!е оп сеНат д-МепННез. (ЭиагБ — Л. Ма1к.
ОхТогб 8ег. 12, р. 173—175.

14.	С а г 1 1 I 2 Б. (1967). РгоЫеш 66—9. А рак о! МеЫШез. — 81АМ КеУ. 9,
р. 254—256.

15.	С а и с к у А. (1893). Оеиугез, 8ег. 1, Уо1. 8. — СаЫЫег—УШагз, Рапз.

16.	Байт Л. А. (1942). Тке Ьаз1с апа1о^ о! Киттег’з {кеогет. — Ви11. Ашег.
Ма1к. 8ос. 48, р. 711—713.

17.	Еи1ег Б. (1748). 1п1гобисНо 1п апа1узт тПпИогит, Скар1ег 16.—
Магсит-М1скае1ет Воиздие!, Баизаппае.

18.	Р 1 п е И. Л. (1948). 8оте пеxV гезиЦз оп раНШопз. — Ргос. ПаБ Асаб. 8сБ
Б18А 34, р. 616—618.

19.	Р 1 п е И. Л. (1954). 8оте Ваз1с Нурег^еотеШс 8епез апб АррПсаНопз. —
БЕприЬБзкеб топо^гарк.

20.	6 а и з з С. Р. (1866). XVе^ке, Уо1. 3. Кот^Иске ОезеПзскаЛ бег XV^38еп-
зскаЛеп. — боШп^еп.

21.	Н а к п XV. (1949). ВеЛга^е гиг Ткеопе бег Нетезскеп Ке1кеп, П1е 24 1п1е^-
га1е бег курег^еотеЛчзскеп д-сННегепгеп^Ыскип^. Паз д-апа1о^еп бег Барксе
ТгапзГогтаНоп. — Ма1к. Иаскг. 2, р. 340—379.
22.	Н а 11 п ДУ. (1950). 1ЛЬег д!е кбкегеп Нетезскеп КеШеп ипд ете еткеК-
Пске Ткеопе бег зо^еппап!еп зретиеПеп РипкНопеп. — Ма1к. Иаскг. 3,
р. 257—294.

23.	Н а г б у С. Н. (1940). Кататцап. — СатЬпд^е Ышу. Ргезз, Ьопдоп апд
Мечу Уогк (герг1п1ед Ьу Ске1зеа, Мечу Уогк).

24.	Н а г д у С. Н., АУ г 1 § к I Е. М. (1960). Ап 1п1годисИоп 1о 1Ие Ткеогу о!
МитЬегз, 41к ед. — ОхТогд Ыту. Ргезз, Ьопдоп апд Мечу Уогк.

25.	Н е 1 п е Е. (1847). Пп1егзискип§еп икег (Не Ке1ке ... — 5. Кете Ап^ечу.
Ма1к. 34, р. 285—328.

26.	Л а с о Ь 1 С. 6. Л. (1829). Еипдатеп1а поуа 1кеопае 1ипс11опит еШрН-
сагит. — Ке^отопН, Ега!гит ВоггНга^ег (гергЫед т Сезаттеке
АУегке, Уо1. 1, рр. 49—239; Ке1тег, ВегИп, 1881).

27.	ЬеЬез^ие V. А. (1840). ЗоттаНоп де риеЦиез зёпез. — Л. Ма1к. Ригез
Арр1. 5, р. 42—71.

28.	ЕеУецие, АУ. Л. (1974). КеУ1ехУз т ИитЬег Ткеогу, Уо1. 4. — Атег.
МаШ. 8ос. РгоУ1депсе, К. I.

29.	М е п о п Р. К. (1965). Оп Кататцап’з сопНпиед НасНоп апд ге1а1ед 1депН-
Нез. —Л. Ьопдоп Ма1к. 8ос. 40, р. 49—54.

30.	К а т а т а п 1 V., V епка1аскаП еп^аг К. (1972). Оп а рагН-
Ноп (кеогет о! 8у1уез1ег.—МкЫ^ап Ма1к. Л. 19, р. 137—140.

31.	К о § ег з Ь. Л. (1916). Оп 1хуо Екеогетз о! сотЫпа^огу апа1уз1з апд зоте
аШед 1деп1Шез. — Ргос. Ьопдоп Ма1к. 8ос. (2) 16, р. 315—336.

32.	8 1 а I ег Ь. Л. (1966). ОепегаИгед Нирег^еотеЕпс ЕипсНопз. —СатЬпд^е
Ышу. Ргезз, Ьопдоп апд КТе\у Уогк.

33.	8 и Ь Ь а г а о М. V. (1971). СотЫпа1ог1а1 ргооТз о! зоте 1депШНез, — Ргос.
АУазЫп^оп 8Ше Ыту. СопЬ МитЬег Ткеогу, р. 80—91.

34.	8у1уез1ег Л. Л. (1884—1886). А сопзкисНуе Екеогу о! рагШюпз аггап-
§ед т Екгее азЕз, ап нйегас!, апд ап еходхоп. — Атег. Л. Ма1к. 5, р. 251—
330; 6, р. 334—336 (ог р. 1—83 о! 1ке Со11ес1ед Рарегз о! Л. Л. 8у1уез1ег,
Уо1. 4. СатЬпд^е Ыту. Ргезз, Ьопдоп апд Мечу Уогк, 1912; гергтЕед Ьу
Скекеа, Мечу Уогк, 1974).

35.	АУ а I з о п О. М. (1936). Тке тоск 1ке1а ТипсНопз (2). — Ргос. Ьопдоп
^Ца1к. 8ос. (2), 42, р. 274—304.

36.	* Р61уа О.,8ге§6 О. (1964). Аи^аЬеп ипд ЬекггаЕге аиз дег Апа1уз1з. —
8рг1п§ег-Уег1а§, ВегИп. (Русский перевод: Полна Г., Сеге Г. Задачи
и теоремы из анализа. — М.: Наука, 1978).
Глава 3

РАЗБИЕНИЯ НА ОГРАНИЧЕННЫЕ ЧАСТИ
И ПЕРЕСТАНОВКИ

3.1.	Введение

В первых двух главах мы изучали различные задачи о раз-
биениях, привлекая для этого ряды и бесконечные произведения.
Для приложений (например, в статистике) часто представляют
интерес разбиения на ограниченные части, т. е. разбиения, в ко-
торых наибольшая часть не превосходит №, а общее число частей
не превосходит М (ограниченные разбиения). Эта глава посвя-
щена изучению таких разбиений. Изучение ограниченных раз-
биений приведет нас к многочленам Гаусса, которые в свою оче-
редь приведут нас к некоторым вопросам о перестановках.

3.2.	Производящая функция для ограниченных разбиений

Пусть р ( №, М, п) обозначает число разбиений п не более
чем на М частей, каждая из которых не превосходит П. Ясно,
что

р(Л, М, п) = 0, если п>МП,

р(ЛГ, М, МИ) = 1;

стало быть, производящая функция

о (М, М; <7) = 2 Р М, п)

п^О

представляет собой многочлен от д степени ЛМ4.

Теорема 3.1. Пусть М, П > 0; тогда

С1(ч у. (1-г+м)(1-^+^)...(1-г+‘) _

(	’/} _	(1 - <?*) (1 - г-1) ..л--?) мм •

(3.2.1)

Доказательство. Обозначим через § (№, М; д) пра-
вую часть равенства (3.2.1); тогда

ё^, 0; 7)=^(0, М;д)=1	(3.2.2)
и, кроме того,

ё (М, М\ 7) — ё (#. М — 1; 7) =

(3-2-3)

Заметим, что (3.2.2) и (3.2.3) однозначно определяют § (М, Л4; д)
при всех неотрицательных целых М и М (это легко доказывается
двойной индукцией по М и Л4).

С другой стороны,

( 1, если М=Л4 = /г = 0,

/7(Л\ 0, п) = /7(0, М, п) = п	(3.2.4)

( 0 в противном случае,

поскольку лишь пустое разбиение нуля является единственным
разбиением без положительных частей, а также является един-
ственным разбиением, в котором число частей неположительно.

Равенство (3.2.4) означает, что

6 (М, 0; 7) = О (0, М; д) = 1.	(3.2.5)

Кроме того, величина р (Л/\ Л4, п) — р (Л/-, М — 1, п) даст
число разбиений п ровно на М частей, каждая из которых не
превосходит №. Преобразуем каждое из этих разбиений, отбрасы-
вая их единичные части и уменьшая на единицу все остальные
части. Все таким образом полученные разбиения числа п — М
имеют не более М частей, каждая из которых не превосходит
У—1. Поскольку описанное преобразование, очевидно, обра-
тимо, то это устанавливает взаимно однозначное соответствие
между разбиениями, перечисляемыми функцией р (№, Л4, п) —
— р (У, М — 1, /г), и разбиениями, перечисляемыми функцией
/7 (АГ — 1, Л4, п — Л4).

Следовательно,

/7(Л7, Л4, /г)-/7(^ М- 1, п) = р(№- 1, М, п — М); (3.2.6)
переводя (3.2.6) на язык производящих функций, получаем

О(УУ, М; д) — 6(№, М-1; д)=д^О(№ -1, М; д).	(3.2.7)

Таким образом, поскольку функции § (У, М; д) и О (№, М; д)
удовлетворяют одним и тем же начальным условиям ((3.2.2) и
(3.2.5) соответственно) и одним и тем же рекуррентным соотно-
шениям ((3.2.3) и (3.2.7) соответственно), то они должны совпа-
дать. Стало быть,
3.3.	Свойства многочленов Гаусса

Многочлены О (Ы, М; д), появляющиеся в теореме 3.1, впервые
изучались Гауссом и известны как многочлены Гаусса. В этом
параграфе приводится ряд полезных формул для этих много-
членов.

Определение 3.1. Многочлен Гаусса определяется по
правилу:

Г п 1 _ ((<?)« (7)т (</)«-«> если О === /п === п,

Iт 3	(	0 в противном случае.

Заметим, что согласно теореме 3.1 м = О (Ы— М, М\ д),
однако это равенство в данном параграфе не используется.

Теорема 3.2. Пусть заданы целые 0 < т < п. Много-
член Гаусса есть многочлен степени т (п — т) от д, удов-
летворяющий следующим соотношениям:

О 11	(3.3.1)
СН'Л	(3.3.2)
	(3.3.3)
	(3.3.4)
!"Ч Г1~  1«Л тЦп — т)1	\т/	(3.3.5)

Доказательство. Равенства (3.3.1) и (3.3.2) следуют
непосредственно из определения 3.1. Для (3.3.3) видим, что

п "1 г п — 1
т [_ т

(У)п-1

(Ч)т (я)п-т

[(1 -^)-(1 — дп"ту\ =

(д)п-! дп-т(1~дт) = д'г~т (д)п^_ = г п — 11
(У)т (ч)п-пг	(я)п-пг	\.т — О

Равенство (3.3.4) следует из (3.3.3) при замене т на п — т и
использовании (3.3.2).

Гм"

Тот факт, что т

есть многочлен от д степени т (п — т),

доказывается индукцией по п с использованием (3.3.1) и (3.3.4).
Наконец,

Иш

(1-/9 (1-/1-1)
(1-/”) (1 — </"-*)

(1 /'-«+!)



___ п (п — 1) ... (п —- Ш 1)
т (иг — 1) ... 1

п!

т I (п — т)!

Часто многочлены Гаусса возникают в связи с определенными
конечными произведениями.

Теорема 3.3.

=2 [ " ] Н1)'2'?' о-1»'2,	(з.з.б)

/=0

^1=2Г+ГЪЛ

/=0

(3.3.7)

Доказательство. Согласно теореме 2.1 имеем

__ (г)оо
( )лГ (гд”).

<1 (?-")/Л"' _

^1	(//

1=0

(1  ^)(1  ?-*+1) ...(! ?-^+/-1) г//У/
(<?)/

(!)/ ^/+/(/-1)/2 (1  /У)(1  ^-1)	^-/+1) г1^1

(//

ОО

/=0

что и дает (3.3.6).

Вновь	согласно	теореме 2.1

7,4-1 _ (г^)со V	(<Л)/

(_	(г)», 2л	(я).-	2л

/=0	7	/=0

имеем

что и дает (3.3.7).

Имеется много других формул с многочленами Гаусса. Мы
завершаем этот параграф, приводя здесь несколько наиболее
полезных,


Теорема 3.4.

(9; <72)„, если т = 2п,	3

О, если т нечетно;

И	для,	(3.3.9)

к т 4- 1	[ т ]	’ к 7

/=о

а

(з-з-1о>

/с=0

ГМ — т! ГМ 4- т! Гт + п + г! (Лг_г) (М_г_т) =

к г Лт4-г Л М4-М 4

Доказательство. Начнем с (3.3.8) — тождества, важ-
ного при вычислении гауссовских сумм. Пусть /(т) обозначает
левую часть равенства (3.3.8); тогда

оо	ОО ОО

У }(т)гт = у V , | у гт =

(<7)т	’ (?)/ (<?)«-/

пг=0	пг=0 /=0

у у (— 1)'гт	у у (—1)'гт+'

=	(о)} (ч)т-/	(<?)/ (?)пг

/=0 т=]	/=0 т=0

= У (-1/ г/ у гт	=

(?)/ (?)т 1 }°°(}о°

/=0	т=0

= (г2;<?х1^У г2п .

п=0

Равенство (3.3.8) теперь сразу следует после приравнивания
коэффициентов при гт в крайних членах этой цепочки равенств.

Равенство (3.3.9) докажем индукцией по п. Если п = 0, то
равенство это принимает вид 1=1. Предположим, что результат
верен вплоть до п\ тогда согласно (3.3.4)

п:гн“^п+’”+,["+:+ъ

П	п + 1

/=0	/=0
Для получения (3.3.10) (^-аналога тождества Чу — Вандер-
монда) приравняем коэффициенты при х1г в обеих частях тожде-
ства
/п-М

2 МгН (_ 1 )Л 7МЛ-1)/2=(2)т+п=(2)п (2Г)т=
й=0

п

т

6=0

дк (^-1)/2^	(_	г1дП[^1а~1)/2 =

1=0

-2г“<-,>',''мм"г2и] с."*]

к^О

д(п-к) (к—к).

Вместо доказательства (3.3.11) докажем более общее равенство

У (а)п(Ь)п(д~К)пдп _ (с1а^(с/Ь)ы
(?)л(с)л(а&д1-Л,с-1)л (с)лЗс/а6),у

(3.3.12)

Равенство (3.3.12) было впервые доказано Джексоном и на-
зывается ^-аналогом теоремы Саалыпутца, равенство (3.3.12)
сводится к (3.3.11) заменой а = д~м+т, Ь = дт+п+\ с =
= дт~^.

Для получения (3.3.12) воспользуемся тождеством, легко
выводимым из следствия 2.3:

\Ца)п(Ь)п1п (2.3) (^(«Ооо у (с/Ь)п(1)пЬп

21 (я)п (с)п (с)те (1)х 21'(д)п (а1)п
п=0	п=0

_ (^)оо(^)оо У (()п(с!Ь)пЬП (2.3)
(<0оо (Осо 21 (д)п (а1)п

п=0

(2.3)	(Ь)^ (а!)^ (с/Ь)^ (Ы)х у (аЫ/с)п (Ь)п (с/Ь)п _

(1)ж ' (а0м (Ь)х 21 (д)п (Ы)п

п=0

(^)оо (^)оо у (Ь)п(аЫ1с)п (с/Ь)п 

(с)оо (Ооо	(я)п (Ъ1)п

п=0

_ (с/^оо^Ооо (аЫ/с)х (с)оо у (с/а)п(с/Ь)п(аЫ/с)п _
Е)оо (Ооо ’ (Ь1)х (С/Ь)"2л~ (Ч)п (с)п

п=0

 (а^/е)„ у (с1а)п(с1Ь)п(аЫ1с)п
(^)оо	(я)п (с)п

п=0
Домножим теперь крайние члены этой цепочки равенств на
(/)оо/(^//с)оо и приравняем коэффициенты при с каждой сто-
роны. Тогда

V (аК (с'аЬК-п = (с/а^с/Ь^аНН
(я)п(с)п(Ч)ы_п	(?М^	•

п=0

Домножая здесь справа и слева на (д)1Устысы7(с/аЬ)ы и упро-
щая полученное выражение, получаем (3.3.12).

3.4.	Перестановки и полиномиальные коэффициенты

Гаусса

Многочлен Гаусса часто называют д-биномиальным коэффи-
циентом, что обусловливается предельным переходом (3.3.5).
В этом параграфе многочлены Гаусса применяются для изучения
определенных типов задач о перестановках и естественно перейти
к терминологии ^-полиномиальных коэффициентов.

Определение 3.2. Для т1У ..., тг 0 гауссовский
полиномиальный коэффициент (^-полиномиальный коэффициент)
определяется по правилу

Г^1 + «2+ ••• +/»г1	^)т1+ш2+---+тг	(341)

I т1> т2...тг ]	•••(<?),„/	1	’

Заметим, что
г п 1 г п 1
|_ т ]	[_т, п — т]

При г = 2 теорема 3.1 говорит нам, что	] есть

производящая функция для р (ггц, т2, п) — числа разбиений п
не более чем на т2 частей, каждая из которых не превосходит ггц.

Рассмотрим теперь иной тип математических объектов с той
же самой перечислительной функцией р (т1У т2у п).

Определение 3.3. Мультимножеством называется вся-
кая совокупность с не обязательно различными элементами.

Для полной корректности нужно определить мультимноже-
ство как упорядоченную пару (М, /), где М — множество, а / —
функция из М в множестве натуральных чисел; для каждого
т М число / (т) называется кратностью элемента т в мульти-
множестве М. Когда М — конечное множество, скажем \тъ
т2, ..., тг\, мы пишем

(Л4, /) = {тНт1)тНт2) ... тНтг)},

Начнем с рассмотрения перестановок мультимножеств (пере-
становка мультимножества (Л4, /) есть слово, в котором каждая
буква принадлежит Л4, и для каждого т М полное число вхож-
дений т в слово равно / (т)). Таким образом, 3 2 1 2 2 3 2 1 1 2
есть перестановка мультимножества Ц3 25 32}.

Определение 3.4. Пусть ту (т1У т2, ..., тг; п) обозна-
чает число тех перестановок ^2 ... -н.-нп муль-
тимножества ... гтг}, в которых имеется ровно п пар (5/, 5/)
таких, что К ] и > 5/.

Теорема 3.5. ту (ть т2; п) = р т2, п).

Доказательство. Установим взаимно однозначное
соответствие между перестановками, перечисляемыми функцией
ту (т19 т2, п), и разбиениями, перечисляемыми функцией р (ргъ
т2, п).

Используем для этого «клеточное» графическое представление
для графа Феррера разбиения с частями, не превосходящими 11,
и не более чем семью частями (здесь 8+6 + 6+ 1 + 1):

Проведем путь, обозначаемый точками, начинающийся с пра-
вой верхней точки и движущийся налево и вниз: если путь идет
вертикально, то пишем 2, а если горизонтально, то пишем 1.
Поэтому последовательность, .соответствующая такому пути, в на-
рисованном здесь графе имеет вид 11121122111112212 2.

Отметим, что число единиц, стоящих правее первой двойки,
дает величину наибольшей части разбиения, число единиц
направо от второй двойки дает вторую часть нашего разбиения
и, вообще, число единиц направо от /-й двойки дает 1-ю часть
разбиения. Ясно, что такая связь между разбиениями и пере-
становками устанавливает взаимйо однозначное соответствие
между всеми перестановками мультимножества {1т12т2}, обла-
дающими ровно п инверсиями, и всеми разбиениями числа п
не более чем с т2 частями, каждая из которых не превосходит т1.
Поэтому 1пу (ть т\ п) = р т2, п).

Теорема 3.5 вместе с теоремой 3.1 влекут специальный случай
г = 2 следующего общего результата.
Теорема 3.6. Пусть г Г, тогда

2 ™ (тр т2,.... т- п) = р +	; +р] . (3.4.2)

Замечание. Эта теорема принадлежит Мак-Магону.

Доказательство. Проведем индукцию по г. При
г = 1 равенство (3.4.2) принимает вид 1 = 1. При г = 2 согласно
теоремам 3.5 и 3.1 имеем

2 1ПУ («!, т2; п)	Р(т1- тг, п) </" =	•

Отметим теперь следующий общий факт:

ту (т1, .. ,,тг\ п) =
п

=^ ту (тг + ... + тг, тг\ /) ту (тр ..., тг_±\ п — /). (3.4.3)
/—о

Чтобы доказать (3.4.3), рассмотрим те перестановки, в кото-
рых ровно / из п обращенных пар имеют г в качестве первого
элемента. Простейший способ построения всех таких переста-
новок состоит в следующем: сначала возьмем перестановку муль-
тимножества {1т1+т2+’"+тг-12тг} с / инверсиями, далее за-
меним каждую двойку на г, азатем заменим тг + т2 +...+ тг_г
вхождений единицы на какую-нибудь перестановку мультимно-
жества {1т12т2 ... (г — 1)т''-1} с п — ] инверсиями. Поскольку
эти два выбора перестановок полностью независимы, то видим,
что общее число перестановок мультимножества {1т12т2...г^}
с элементом г, входящим ровно в / инвертированных пар, есть
в точности

+ ... + тг, тг\ ту(тр..тг_^ п — /).

Суммируя по всем / > 0, получаем (3.4.3).

Теперь довольно просто можно получить (3.4.2); формула,
очевидно, верна при г = 1, 2; предположим, что она верна вплоть
до г; тогда согласно (3.4.3) имеем

2 ту(т1(.. .,тг+1; «)</" =
п>0

п

= 2 2 1пу(тх+ • • • + тг+1> тг+Г> /) шу(т1(..., тг; п — /) <?” =
п>0 I Г=о

=2 1пу(т1 +... + тг+1,
/=о

/) <7'2 1пу(т1,..., тг\ к) дк =

^=0
^тг+1	---\~тг Адт (Я)т - ' ‘

=	^Ц+..-+тг+1	= Гтх + т2 + ... + тг+1-]

(<7Ц(<7)т2- • • (^)тг+1 I т1’ т2’ • ’ - тг+1 ’

Введем теперь иной параметр, связанный с перестановками
мультимножеств.

Определение 3.5. Через 1п<1 (тх, т2, ..., тг\ п) обозна-
чаем число тех перестановок ^2...Ц+...+«г мультимноже-
ства {1т12т2 ...+>}, Для которых

т1+...+тг-1

5 х &•)=«.

1	= 1

где %(^) = I, если > ^+1, и %(^) = 0 в противном случае.
Такая сумма называется индексом интенсивности *) перестановки.

Таким образом, значение этого индекса перестановки
11121122111112212 равно 0+0+0+4+0+0+
+ 0 + 8 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0+15 + 0 = 27.

Обратимся теперь к другому удивительному результату Мак-
Магона.

Теорема 3.7. Пусть г 1; тогда

V тд (тг т2, ..., т \ п) дп = Р1 +	' + "Я . (3.4.4)

Доказательство. В действительности мы покажем,
что

2	шд (т±, т2,..., тг; п) дп
	=	!____________,	(3.4.5)
(Ч)т1+т2+...+тг____________________________(^)^1 (<?)т2 ’ ’ ’ (^тг

Начнем с рассмотрения правой части (3.4.5). Согласно теореме
1.1 функция (7)^ есть производящая функция для разбиений
с частями, не превосходящими т-И и согласно теореме 1.4 она
же является производящей функцией и для разбиений не более
чем с т4- частями. Каждому разбиению не более чем с т, (поло-
жительными) частями соответствует разбиение ровно с т1 неотри-
цательными частями (с необходимым числом добавленных нулей).
Следовательно, коэффициент при ды в

_______1______

(д)т2 • • • (я)тг

*) В оригинале циа1ег тдех. (Прим, перев.)
есть число таблиц вида

аг > а2 > • • • > ат1 > О,

Ь2 Ьт2 >> О,



о,

(3.4.6)

где 2 а1 + 2&/ + • • • +2Х; = М-

Определим теперь взаимно однозначное соответствие между
такими таблицами и упорядоченными парами (л, о), где о — пере-
становка мультимножества {1т12т2 . .. гШ/г}, ал — разбиение
ровно с т1 + т2 + • • • + тг неотрицательными частями. Поло-
жим для краткости М. = т1 + т2 + • • • + тг.

Соответствие это строится следующим образом: возьмем раз-
биение л: Аг + Л2 +• • • + Ам и выпишем прямо под ним пере-
становку о =	^2,. ..Лм'

Дг А2 Л3 ... Ам

-2

Образуем теперь таблицу, подобную (3.4.6), помещая каждое Л/
(начиная с Лх) в |гю строку. Такое построение не адекватно, как
это можно видеть из примера, где л = (233 4), а о — перестановка
мультимножества { 1322}:

4 3 2 2 2	4 2 2

/л \ =1 2 1 1 2	3 2

и/ 4 3 2 2 2_4 2 2
12121	32

4 3 2 2 2_4 2 2

12211	32

Устраняется такая неоднозначность договоренностью, что если
Ь > ^+1, то и > А+1- Лишь первая из наших трех пар
отвечает этому условию. Ясно, что такое отображение является
взаимно однозначным, поскольку, имея таблицу типа (3.4.6),
можно вторую строку расположить в первую, третью — в первую
и так далее, при каждом расположении следя за тем, чтобы по-
лученная строка образовывала невозрастающую последователь-
ность и чтобы новые ее элементы располагались на самые правые
возможные места; такой способ гарантирует «более левое» распо-
ложение элементов верхних строк перед такими же элементами
нижних.
Таблица 3.4.6

	©		а
ООО 3 0	3 0 0 0 0  2 1112	2 0 0 0 0	2 1112
3 0 0  0 0	3 0 0 0 0  1112 2	3 0 0 0 0	1112 2
2 1 0  0 0	2 10 0 0  1112 2	2 10 0 0	1112 2
2 0 0  1 0	2 10 0 0  12 112	1 0 0 0 0	12 112
1 0 0  2 0	2 10 0 0  2 1112	110 0 0	2 1112
0 0 0  2 1	2 10 0 0  2 2 111	1 0 0 0 0	2 2 111
1 1 1  0 0	1110 0  1112 2	1110 0	1112 2
1 1 0  1 0	1110 0  112 12	0 0 0 0 0	112 12
1 0 0  1 1	1110 0  12 2 11	0 0 0 0 0	12 2 11

Рассмотрим этот процесс на примере:

532 20

3'3'2'Г

«Р* 2 2 2 1 0 ->5 3 3'3'2 2 2'2"Г1"1"0.

Здесь соответствующая перестановка, очевидно, имеет вид
1 1221 1232331, применение которой влечет искомую таб-
лицу:

533322221110 53220

112211232331	3321

2 1 1

Чтобы убедиться, что мы имеем разбиение п = (ЛХЛ2 ... Ам)
со строгими неравенствами между подходящими членами (опре-
деляемыми спусками в перестановке о = (^2 • • • ?м)), начнем
с произвольного разбиения л0 = (аха2 • • • ам) и определим

= («1 + фр а2 + <р2, а3 + ф3,..., ам + фм),

где ф/ — число спусков в ... ^м}. Заметим, что фх + ф2 +
+ • • • + Фм = % (51) + % (&2) + • • • + % (?м) есть индекс интен-
сивности о, поскольку в левой части этого равенства спуск >
> ^+1 подсчитывается ровно I раз.
Таким образом, наше отображение действительно устанавли-
вает взаимно однозначное соответствие между таблицами (3.4.6),
полная сумма элементов которых равна IV, и упорядоченными
парами ( я° ), где о — перестановка мультимножества
^1т12т2 ... гтг} с индексом интенсивности § (о), а л0 — разбие-
ние № — § не более чем с М частями.

Стало быть,

---{-тг	' ^тг

Но

2	= 5 1П(1 (т1» т2’ • • •, тп п) с!п>

а п>0

и, значит, (3.4.5) доказано.

Дабы наше соответствие стало совершенно прозрачным для
понимания, приводим здесь полностью случай IV = 3, т1 = 3,
т2 = 2 (см. стр. 58).

Следствие 3.8.

тд (тр т2,..., тг; п) = шу (т1? т2,..., тг; п).

Доказательство. Достаточно приравнять коэффи-
циенты при 7" в тожестве

2 1ПУ (т1? т2,..., тг; п) дп =
п=0

' +ттГ] = 2 *П(1 (т1> т2> • • •, тп п) ЯП’

которое есть прямое следствие теорем 3.6 и 3.7.

Материал этого параграфа был во многом расширен Фоата
и Стенли. Заметим, кстати, что Фоата получил и чисто комбина-
торное доказательство следствия 3.8.

3.5. Унимодальное свойство

Для многих приложений интересно распределение значений
функций, подобных р (т±, т2, п). Докажем один простой резуль-
тат, который позволит нам в ряде случаев устанавливать полез-
ную информацию о таких вопросах.

Определение 3.6. Многочлен р (д) = а0 + агд + • • •
+ апдп называется возвратным, если для каждого I выполняется
равенство а,- = ап_1 или, эквивалентно, дпр (д"1) = р(д).
Определение 3.7. Многочлен р (б/) = а0 +	+ • • • +

+ апцп унимодален, если существует такое т, что

^т+1	^т+2	^гт

Теорема 3.9. Пусть р (7) и г (7) — возвратные и унимо-
дальные многочлены с неотрицательными коэффициентами; тогда
многочлен р (7) г (7) также возвратен и унимодален, с неотри-
цательными коэффициентами.

Доказательство. Пусть рф) = а{} + сцд + • • •
+ а„дп, г (<?) = Ьо + Ъхд + • • • + Ьпдп, и пусть

5 О) = Р (?) г (?) = с0 + (\д Я--Н сп+тдп+т,

где

ОО

с, = 2 «Д_/>	(3.5.1)

оо

причем а; = 0, если / < 0 или / > п, и &7- = 0, если / < 0
или / > т.

Согласно (3.5.1) все неотрицательны. Поскольку

дп+т& (д-1) = дпр (д~г) дтг (7-1) = р(д) г (д) = 8 (д),
видим, что многочлен 5 (7) является возвратным.

Наконец, для демонстрации того, что многочлен 5 (7) унимо-
дален, заметим прежде всего, что а] — а^ 0 для всех /	п/2

и Ь} —	0 для всех /	т/2\ это проистекает из того, что

каждый из многочленов р (7) и г (7) возвратен и унимодален.
Поэтому имеем

ОО	ОО

2 (С‘	^/-1) = 2 ^Ф'1-1 “Ь 2 ап-1+Ф]-п+1-1

1=—оо	I——оо

ОО	оо

2 Щ-Ф }-1	2 ап-Ф/-п+1-1 =

1=—оо	(=—оо

оо	оо

= 2 (а1 — а<-1) Ь/л + 2 &/-л+(--1(ал_г+1—а„-0 =
1=—оо	1=—оо

оо	«+1

= 2 («/ — а/_1) (ьч —	= 2 («»• - «(_1) (^/_д — &/-п+г-1) =

1=—оо	1=0

(«+1)/2

= 2 («г — а«-1) (Ь/_/—	+

1=0

(«+1)/2

4"	2 Фп+А-1 ф]-п-1+1	&1-1) =

(заметим, что если (п-\- 1)/2 — целое, то б/(п+1)/2 — ^(П_1)/2 = 0)

и/2

= 22 («< + а«-1)

1=0
Следовательно,

л/2

С С-1	2 (с*	С-1) (^/-г	^/-п+/-1)-	(3.5.2)

1=0

Поскольку 0 I п/2, видим, что а( — а>_г 0. Если
/ — I'®? т/2, то, поскольку п + 1 > 21, видим, что т!2	/ — I >

> / — п + I — 1; следовательно, в этом случае

0. Если / — I > т/2, то для 0 «5 / «? (т + п)/2 видим, что
т + п + 1 > 2/ и, значит, т/2 > т — ] + I > / — п + I — 1;
стало быть, в этом втором случае &/_,• —	= Ьт_/+1 —

— Ь;..п+1^х	0- Следовательно, в любом случае оба множителя

каждого слагаемого из правой части (3.5.2) неотрицательны при
условии, что 0 У / «5 (т + п)/2, откуда возвратность многочлена
8 (</) влечет его унимодальность.

Теорема 3.10. Пусть И, М, п 0. Тогда

р(Л, М, п) = р(М, И, п),	(3.5.3)

р(М, М, п) = р(П, М, Ш — п),	(3.5.4)

р(У, М, п)—р(П, М, п—1) > 0,

0 </г «5/УЛ4/2.	(3.5.5)

Доказательство. По теореме 3.1

оо

У\р(И, м, п)дп = 6(П, М- д) = Г*+	= 7-^7^ 

п=0

Равенство (3.5.3) следует из того факта, что функция

I м ]
симметрична по М и М.

Степень О (Ы, М\ д) равна

и, значит,

) =ДШ,

^О(А, М; 7-1) =

 я(д)м+м __



-Т&-01"' М: ’>

Следовательно, О (Л, М1, д) — возвратный многочлен степени ^М,
откуда сразу следует (3.5.4).
Неравенство (3.5.5) представляет собой унимодальное свой-
ство, доказательство которого, к сожалению, лежит вне совре-
менной теории разбиений. Оно получено через теорию инвариан-
тов; было показано, что р(У, /И; п) — р (Л/, М; п — 1) есть число
линейно независимых полуинвариантов степени М, веса п и раз-
мера, не превосходящего И. (I. Л. 8 с Ь и г, Уог1езип§еп йЬег
1пиуаг1ап1еп1Ьеог1е, 8а1г 2.22, р. 76, СгшкПеЬгеп бег Ма!Ьета-
НзсЬе АМЕзепзсЬаЙеп, у. 143).

Насколько известно, нет простого комбинаторного доказа-
тельства (3.5.5).

Теорема 3.11. Пусть тъ т2, ..., тг, п 0; тогда
1П(1 (/И1,..., тг; п) = 1 пс! (т^,..., м) =

= 1пу (/П1,..., тг; п) = 1пу (т^,..., т{г; п),	(3.5.6)

где {1Г, ..., 1Д —перестановка множества {1, 2, ..., г};

тс! (пц,..., тГ\ п) = тс! (тъ..., тг\ 8 — п) =

= ту (тх,..., тг; п) = ту (тх,..., тг; 8 — п), (3.5.7)

где 8 =	т1т1 — вторичная элементарная симме-

трическая функция от тр,

тб (тъ..., тГ\ п) — тс! (тх.тг; п — 1) =

= Шу^,..., тг\ п) — ту (ть..., тг; п — 1) > 0 (3.5.8)
для 0 < я 8/2.

Доказательство. Поскольку

0”1, • • •, тп п) дп = 1пу (тх> • •  > тп п)дп =

п>0	п>0

__ Гт1 + . . . +/ИГ1 _	--\-тг _

I т19. . .,ШГ ]	(^/)т1 (^)т2 • • • (я)тг

__Г ^14- т21 Г 4- т2 4- "1 Г тп^ ... 4- т? 1
_ I т1 .11 т-1 4- т2 .] • • • [«! 4- ... 4- тг_1] ’

видим, что величина	т \ есть функция, симметриче-

ская по переменным тг- (отсюда сразу следует (3.5.6)), и в то же
время есть произведение унимодальных возвратных многочленов
(по теореме 3.10) и, стало быть, согласно теореме 3.9 являет собой
унимодальный и возвратный многочлены. Равенства (3.5.7) и
(3.5.8) сразу следуют, если заметить, что степень этого много-
члена

Г ^1 + ^2 4" • • • 4“	"1

[	т19 т2...тг
есть в точности

+ • • • + тг +	+ 1	+ 1	_ ______ ^тГ + 1

= 2 т<"г/=5-

Задачи

1.	Следующую конечную форму тождества Якоби вывести из (3,3.6):
п

2дРх! [п+/]^=(—х~1д’ д2^~хд>

/=-п

Г т 1	.	„	о

где I — обычный гауссовский многочлен, в котором д заметно на д*.

2.	Тождество Якоби (теорема 2.8) вывести из задачи 1. В задачах 3—9
через Нп (/) обозначены многочлены Роджерса—Сеге

п

Нп(1) = ^ [??'•

/=0

3	V Нп хП =	1

(Х)оо (Х0оо

П=0

4.	Тождество (3.3.8) вывести из задачи 3 при 1 = — 1.

5.	Я„(71/2)=(-?1/2; ^1/2)„.

6.	Нп+1 (0 = (1 + О Нп (0 - (1 - дп) 1Нп^ (/).

7.	Используя задачу 6 и (3.3.3), доказать индукцией по /и, что
т

нт(0 нп (0 = 2 [7] [ г ] Мг V-

г=0

8.	Из задач 3 и 7 вывести, что

Нт+п(1)у™г"
(Я)т(Я)п	(?/)оо (2)оо (^)оо (/г)оо ’

т,/г>0

9.	Из задачи 8 вывести, что

у, Нп(1) Нп(з)х„	(5^а)оо

(*)«, (^)оо (^)оо (^х)оо ’

п=0

10.	Доказать, что

2 <//•+«/ р+1-«-^=

/>0
оо

= 'V' (____1 пН (5Л4-1)/2-2Ла Г "+1 "I

I ч <7	[[(„+1_5Л)/2 + а6

Н=—оо
(где а = 0 или 1); показать, что это так при п = 0, 1 и что каждая половина
равенства удовлетворяет рекуррентности

11.	Тождества Роджерса—Рамануджана могут быть выведены из задачи 10;
именно, для а = 0 или а = 1

V ^+а,~ = П____________________!____________

(<?)/	11 (1 _ (?5/+о+1)( 1 _ 95/+4+а) •

12.	Пусть Оп обозначает многочлен, определенный в задаче 10, когда а =
= 0. Эти многочлены удовлетворяют тождествам

п	п

=2 я!п ["+ч ^-1-/ и =1 + 2
/=0	/=1

13.	Пусть слова «&-й эксцесс» разбиения Л — (ЛхХ2 ... означают разность
— Л^+1. Производящая функция для разбиений с / частями, первый эксцесс
которых не превосходит /, имеет вид

_______(1 — <?ж)<?7’______.

(1—?)(1—<72)-.-(1 —?')

14.	Показать, что для всякого к < / производящая функция для разбие-
ния с / частями и /г-м эксцессом, не превосходящим /, имеет вид

(1 — <?) (1 — <72) • • • 0 — </')

15.	Теорема 3.1 есть следствие задачи 14.

тт	тЛ

16.	Число перестановок мультимножества <1 х2 2 ... г '/счетным индек-
сом интенсивности равно числу перестановок с нечетным индексом интенсив-
ности тогда и только тогда, когда по крайней мере два гщ нечетны.

17.	Можно определить многомерный аналог многочленов Роджерса—Сеге:

Н (х1,...,х) =	"V! Г. .	. П .	. 1 д/1.. .х8 .

1/1,	п — п-------/8] 1	5

Соответствующая производящая функция имеет вид

(Я)п	(Ооо (^1)оо • • • (^)оо ’

п=0

18.	Выступающее разбиение числа п есть невозрастающая последователь-
ность положительных целых > Х2 > ... > Хг > 0 вместе с последователь-
ностью неотрицательных целых 0 <	1 < / < г, такая, что (^/4И/) —

= п. (Эти |Л/ называются выступами обычного разбиения ... М-) Произ-
ведение

т

к.-П	-«''Г1

/=1

представляет собой производящую функцию для выступающих разбиений
с X/ < т.
19.	Из (3.3.13) (при а = х 1/2, Ь = х 1/2, с = д2/(1—д); / заменить на
хгд2/(1—д)) вывести, что при х-+0

ОО

2 =

т=0

дП(п + \)2П
(1„^) (1-^).. (1-^-^).

Замечания

Гаусс (1863, с. 16) ввел гауссовские многочлены и отметил некоторые тож-
дества из теоремы 3.2. Теорема 3.1 была впервые сформулирована, по-видимому,
Сильвестром (1884—1886), однако ее можно тривиально вывести из (3.3.6)
и (3.3.7) — тождеств Коши (см. АУогкз, 1893, р. 46). Равенство (3.3.8) принад-
лежит Гауссу (1863) и было использовано им в исследовании гауссовских сумм;
(3.3.9) также принадлежит Гауссу (1863). Равенство (3.3.10) есть фактически
специальный случай следствия 2.4, принадлежащего Гейне (1847); фактически
это ^-аналог знаменитого суммирования Чу—Вандермонда [4, 5, с. 60], и наше
доказательство параллельно стандартному элементарному доказательству этого
суммирования. Как отмечалось в тексте, (3.3.11) принадлежит Джексону (1910);
одно из наиболее важных приложений было дано Ватсоном (1929) и применя-
лось также в [21].

Параграф 3.4 может быть полностью основан на работах Мак-Магона (1913,
1914, 1915—1916, 1916), которые предвосхитили многие из недавних работ
по комбинаторной теории перестановок; из них отметим [8, 9, 10, 21]. Доста-
точно интересно, что мак-магоновское доказательство теоремы 3.7 принципиально
важно для теории (Р, (о)-разбиений [21, лемма 6.1 и теорема 6.2]. Эти раз-
биения вводятся в § 4 гл. 14, а их приложения к перестановкам см. в [21, § 25].

Материал § 3.5 см. в [3].

Задачи 1, 2— [13, с. 155, 156]; задачи 3—9— [6, 23, 19, 20]; задачи 10
11 — [1]; задача 12— [2]; задачи 13—15 приналежат Франклину и помещены
в [22]; задача 16— [15, 17]; задачи 18, 19— [21, § 24]. В § 23 в [21] рас-
сматриваются пучки и Г-разбиения и эти объекты также приводят к тождествам,
связанным со следствием 2.3.

ЛИТЕРАТУРА

1.	А п (1 г е з О. Е. (1970). А ро1упош1а1 МепШу хуЫсИ 1трНез Изе Ко&егз—
Кататцап МепННез. — Зспр1а Ма11з. 28, р. 297—305.

2.	А п (1 г е XV 8 Сх.Е. (1974). СотЬта1опа1 апа1у818 апб РПэопасс! пшпЬегз. —
НЬопасс! (ЭиаН. 12, р. 141—146.

3.	А п (1 г е XV 8 О. Е. (1975). А Изеогет оп гес1ргоса1 ро1упот1а1з хуШз аррИ-
саЧопз 1о регпзиШюпз апс! сотрозШопз. — Атег. МаИз. Моп11з1у 82, р. 830—
833.

4.	А 8 к е у К. А. (1975а). А по1е оп Изе Ыз^огу о! зепез. — Ма11з. Кез. Сеп1ег
Теск. Зиттагу Кер1. № 1532, МасНзоп, У^зсопзт.

5.	А з к е у К. А. (1975Ь). ОгИзо&опа1 Ро1упот1а1з апс! 5рес1а1 ЕипсНопз,
№ 21 — Ке&юпа! СопГ Зег. Арр1. МаИз., 81АМ, РЫ1ас1е1р1з1а.

6.	С а г И I г Ь. (1956). Зоте ро1упот1а1з ге1а1ед 1о Изе1а ГипсНопз. — Апп.
МаИз. Рига Арр1. (4), 41, р. 359—373.

7.	С а и с 1з у А. (1893). Оеиугез, Зег. 1. Уо1. 8. — СхаиЧпег-УШагз, Рапз.
8.	Р о а I а В. (1965). Е1иде а^ёЬпцие <1е сейатз ргоЫётез д’Апа!узе СотЫ-
паЫге е1 <1и Са1си1 дез РгоЬаЫШёз. — РиЫ. 1пз1. 81аИз1. Оглу. Рапз 14,
р. 81—241.

9.	Р о а I а. В. (1968). Оп 1ке ИеЙо 1пуегз1оп питЬег о! а зециепсе. — Ргос.
Атег. Ма1к. 8ос. 19, р. 236—240.

10.	Р о а I а Б., 8скй1хепЬег^ег М. Р. (1970). Ткёопе ^ёотёШдие дез
ро1упдте8 Еи1ёг1епз (Ьес1иге Йо1ез 1п Ма1к. № 138). — 8рпп&ег, Иеху Уогк.

11.	О а и з з С. Р. (1863). АУегке, Уо1. 2. — Кбт&Иске ОезеПзскаИ дег \У1ззеп-
зскаПеп, ОбШп^еп.

12.	Не1пе Е. (1847). Оп^егзискип^еп йЬег д1е КеШе. — Л. Кете Ап^еху.
Ма1к. 34, р. 285—328.

13.	Н ег т И е С. (1891). Оеиугез, Уо1. 2. — (ЭаиПнег-УШагз, Рапз.

14.	Л а с к 8 о п Р. Н. (1910). ТгапзГогтаНопз о( (/-зепез. — Меззеп&ег о(Ма1к. 39,
р. 145—151.

15.	МасМакоп Р. А. (1913). Тке тд1сез о! регтиШюпз апд 1ке депуаНоп
1кеге1гот о( ТипсНопз о! а з1п^1е уапаЫе аззосха^ед хуИк 1ке регти1а11опз
о( апу аззетЫа&е о Г оЬ]ес1з. — Атег. Л. Ма1к. 35, р. 281—322.

16.	М а сМ а к о п Р. А. (1914). Тке зирегюг апд тГепог тд1сез о! регти1а-
Нопз. — Тгапз. СатЬпд&е РкП. 8ос. 29, р. 55—60.

17.	М а с М а к о п Р. А. (1915—1916). СотЫпа1огу Апа1уз1з, 2. уо1з. — СатЬ-
пд&е 1Лту. Ргезз, Ьопдоп апд Иеху Уогк (гергШед Ьу Ске1зеа, Иеху Уогк,
1960).

18.	МасМакоп Р. А. (1916). Тхуо аррИсаНопз о! &епега1 1кеогетз т сотЫ-
па!огу апа1уз1з: (1) 1о 1ке (кеогу о! туегзюпз о! регтиШюпз; (2) 1о 1ке азсег-
Шптеп! о! 1ке питкегз о( 1егтз т 1ке деуе1ортеп1 о! а де1егттап1 хукюк
каз атоп&з! Из е!етеп1з ап агккгагу питЬег о( хегоз. — Ргос. Ьопдоп Ма1к.
8ос. (2) 15, р. 314—321.

19.	К о & е г з Ь. Л. (1893а). Оп а 1кгее-!о1д зутте1гу т 1ке е1етеп1з о( Нете’з
зепез. — Ргос. Ьопдоп Ма1к. 8ос. 24, р. 171—179.

20.	К о & е г з Ь. Л. (1893Ь). Оп 1ке ехрапзюп о( сегШп тНпйе ргодисШ —
Ргос. Ьопдоп Ма1к. 8ос. 24, р. 337—352.

21.	8 I а п 1 е у К. Р. (1972). Огдегед зкгийигез апд рагННопз. —Мет. Атег.
Ма1к. 8ос. 119.

22.	8 у 1 у е 8 1 е г Л. Л. (1882—1884). А сопзкгисНуе 1кеогу о( рагШюпз т
1кгее ас1з, ап Шегас!, апд ап еходюп. — Атег. Л. Ма1к. 5, р. 251—330;
6, р. 334—336 (ог р. 1—83 о! 1ке Со11ес1ед Рарегз о( Л. Л. 8у1уез1ег, Уо1. 4,
СатЬпд&е Ып1у. Ргезз, Ьопдоп апд Уогк, 1912; гергткд Ьу Ске1зеа,
Неху Уогк, 1974).

23.	8 х е & б О. (1926). Ет ВеИга& хиг Ткеопе дег ТкеШипкНопеп. — 8. В. Рге-
изз. Акад. У7158. Ркуз—Ма1к. К1. р. 242—252.

24.	\у а I з о п О. И. (1929). А пеху ргоо! о! 1ке Ко&егз—Кашашцап 1депН-
Нез. — Л. Ьопдоп Ма1к. 8ос. 4, р. 4—9.
Глава 4

КОМПОЗИЦИИ И ПРОБЛЕМА СИМОНА
НЬЮКОМБА

4.1.	Введение

В первых трех главах выявлялись элементарные свойства раз-
биений. Композиции — это разбиения, в которых учитывается
порядок слагаемых. Так, например, имеются пять разбиений
числа 4: (4), (1 3), (22), (122), (I4) и восемь композиций числа 4:
(4), (1 3) (3 1), (2 2), (1 1 2), (1 2 1), (2 1 1), (1 1 1 1). Здесь мы
увидим, что композиции векторов представляют как самостоя-
тельный интерес, так и имеют важные приложения, особенно
к задачам о перестановках, типа проблемы Симона Ньюкомба.

4.2.	Композиции чисел

Определение 4. 1. Пусть с (т, п) обозначает число ком-
позиций числа п точно с т частями.

Теорема 4.1.

, ч / п — 1 \	(п — 1)!

с (т, п) _ 1 у	_ 1)1 (,2 __ ту •

Первое доказательство теоремы. 4.1. Рас-
суждение, используемое в доказательстве теоремы 1.1, можно
легко применить для доказательства того, что
оо

с(т> «)= (<7 + 92 + <73 + 4* + • • -)т =
п=0

дт т VI /г 4-/п — 1\ г

= 7Т^г=^2( г )Я =
г=0
ОО	оо

п=т	п=0

Приравнивая коэффициенты при дп в крайних членах этой це-
почки равенств, получаем требуемое.

Второе доказательство теоремы 4.1. Вве-
дем графическое представление для композиций числа п. С компо-
зицией (аха^ ат) числа п связываем т сегментов интервала
[О, л]; первый сегмент имеет длину аъ второй — длину а2 и так
далее. Таким образом, композиция (3 2 3 1 2) числа 11 пред-
ставима в виде

<-.--. X	*	X - е-»—X—"И	*-)

0	1	13	0	5 6	7	89	10	11

Заметим теперь, что можно построить каждую из с (иг, п)
композиций п с т частями, выбирая т— I чисел из п— I первых
целых как конечные точки для таких т сегментов, разделяющих
интервал [0, п]. Поскольку таких выборов может быть
видим, что с(т, =

Определение 4.2. Пусть с (УУ, М, п) обозначает число
композиций числа п точно с М частями, каждая из которых не
превосходит ТУ.

Очевидно, если УУ и, то с (УУ, УИ, п) = с (М, п).

Достаточно интересно, что с (Л, М, п) обладает свойствами,
весьма похожими на те, что описаны в теореме 3.10 для р (Л,
УИ, и).

Теорема 4.2. Пусть Л, М,п	1; тогда

с (Л, М, /г) = с (Л, М, МЛ ^М-п),	(4.2.2)

с(УУ, М, п) — с(Л, М, п- 1)>0,

0</г<Л1(УУ+ 1)/2.	(4.2.3)

Доказательство. Придерживаясь рассуждения из
первого доказательства теоремы 4.1, видим, что

2 с(А, М, п) дп = Ц 4- д2 + ... + д^м =

">0	=(0 4-<7 + д2+... -\-д*+ 0-д*+1)м-

Таким образом, У с(2У, М, п) д'г есть произведение М унимо-
дальных возвратных многочленов с неотрицательными коэффи-
циентами; поэтому согласно теореме 3.9 2 с(Л,М, п) дп — это
унимодальный возвратный многочлен с неотрицательными коэф-
фициентами. Равенства (4.2.2) и (4.2.3) сразу следуют из этого
факта.

Простота теоремы 4.1 позволяет получать чисто асимптоти-
ческие выражения для некоторых функций разбиений, связывая
их с функциями композиций. Такой подход принадлежит Гупта
(1942).

Определение 4.3. Пусть рм (и) обозначает число раз-
биений числа п ровно с М частями.
п

Очевидно, что У рм(п)=р(п),
,	м=о

= ?«(«)•

р{п, М, п)—р(п, М— 1, п) =

Теорема 4.3 (Эрдёш—Ленер). Пусть п-+ос; тогда

Рм(п)~	при М=о(п'/3).

Доказательство. Каждому разбиению п ровно с М
частями можно поставить в соответствие множество всех компо-
зиций п с теми же частями. Имеется 714! таких композиций, если
все части различны; в противном случае их, конечно, меньше.
Поэтому

М!рм(п)^с(М, п),

ИЛИ

Рм (я) "дур с (М, п) = лТт(ти — 1) ’	(4.2.4)

С другой стороны, если дм (п) обозначает число разбиений п
с 714 различными частями, то

дм(п^М(М- 1)/2) =рм(п\	(4.2.5)

В истинности (4.2.5) можно убедиться посредством соответствия
(А + Л4-1, 4 + 714-2, Л3+ 714-3,...,4+^^, Л2,...,ЛМ),
где > Л2 > ... > ЛЛ1 и ^А1=п,

Теперь каждое разбиение, перечисляемое функцией дм (п),
соответствует точно 714! композициям, как в первом абзаце этого
доказательства. Стало быть,

М\дм(п)^с(М, п).

Поэтому

Рм (я) = Чм (п ~\~М(М — 1 )/2)

+ с (М, п + М (М - 1)/2) = + (п + М ^~^/2 - 1) .	(4.2.6)

Комбинируя (4.2.4) и (4.2.6), видим, что

। Рм (">	(п + М (М - 1)/2 - 1) 1 (п - М)!

1\ ‘	(л-!)!(« +М(Л4-3)/2)!	—

1/

_ Г(п — М+ I) Г(п + М(Л1— 1)/2)
— Г (л) Г (л + Л4 (М - 3)/2 + I)

~ (т. к. М = о (м1/2)) ~

/г-м+1 (п + М (М - 1 )/2)м-> = (1 + М(М~‘+М 1 =
еХр{(М_,)|ое[1+^^1>]Ц

= ехр

М(М— I)2
2п

М2 (М — I)3
п2

+ 0

4

а это последнее выражение стремится к 1 при п —> оо, и, значит,
М = о (п1/3).

Вполне ясно, что асимптотические вопросы относительно
функций разбиений могут допускать подходы, подобные приве-
денному выше.

4.3.	Векторные композиции *)

Векторы рассматриваются с неотрицательными компонентами,
из которых не все равны нулю.

Определение 4.4. Разбиение вектора (ах, а2, ..., аг)
есть множество векторов (Рх°, ..., р^г)), 1 < г < 5 (упорядочен-

§

ное произвольно), такое, что 2 (Р1°. •••. Рг°) = («1, «2, .... «г)
(здесь, как отмечалось ранее, все векторы имеют неотрицательные
координаты, не все равные нулю). Если порядок частей учитыва-
ется, то называем (Р1П, ..., р^1}), ..., (Р15), ...,Рг5)) композицией век-
тора (ах, <х2, аг).

Определение 4.5. Пусть Р= (аь ..., аг; т) обозначает
число разбиений вектора (ах, ..., аг) с т частями, а с (ах, ..., ссг;
т) — число композиций вектора (аг, а2, ..., аг) с т частями.

Так, Р= (2, 1, 1; 2) = 5, поскольку имеются пять разбиений
вектора (2, 1, 1) на две части: (2, 1, 0) (0, 0, 1), (2, 0, 1) (0, 1, 0),
(2, 0, 0) (0, 1, 1), (1, 1, 0) (1, 0, 1), (1, 1, 1) (1, 0, 0); с (2, 1, 1;
2) = 10, поскольку каждое из этих пяти разбиений порождает
две композиции.

Определение 4.6. Через Р (аь ..., аг) (соответственно
с (с^, ..., аг)) обозначаем полное число разбиений (соответственно
композиций) вектора (аг, а2, ..., аг).

Примем, что с (0, 0, ..., 0) = 1/2.

Заметим, что 2 (аь •••,«>; т) = Р (аь . . ., аг) и

2 с (ар . . •, т) = с (04.. . ., аг).

ш>1

*) Строгому стилю Мак-Магона более подошло бы название «композиции
многокомпонентных чисел», однако название «векторные композиции» точное
соответствует современному математическому языку,
Теорема 4.4.

аг...,аг>0

(4.3.1)

Доказательство. Начнем с замечания, что при т > 1
(и при условии, что не все а(- = 0)

а1	аг

2а с(аь- •	т)^1 • • •	=

аг...,аг>0

=( 2	—1) • (4-з-2)

\аг...,аг>0	/

Поэтому

2 с(«1,. . ., аг)/Г1 • • • ^гг =

аг.. .,аг>0

ОО

= т + 2 2 с(аь •••>“'•;т)=

т=1 аг...,аг>0

1

(1 -0(1-0-

1 , ((1-0 (1-0 ...(1-ОП- 1

2	2 —((1 — 0(1 —О ••• (1-М)’1

_ 1 ,	1 —(1 — 0(1 —О ... (1-0 _

2 Т 2(1 -0(1 -О- •• (1-0-1

= 1/2

2(1 -о (1-0 ...(1-0-1'

Равенство (4.3.2) обеспечивает вывод достаточно простой
формулы для с (аь ..., аг; т).

Теорема 4.5. При т > О

с(аг,..., аг; т) =

т

1=0

(4.3.3)
Доказательство. Согласно (4.3.2) (предполагая, что
с (0, ..., 0; т) =0) имеем

с («!,..., аг; т) . 1*г =

..аг>0

= (________!__________1Г =

Ц1-О(1 -О...(1-/г)	)

=2 (7) (-1 )г(1 -	(1 - ^-т+‘ •••(!- (г)-т+! =

1=0

Приравнивая коэффициенты при 1<**1%* ... 1агг в крайних членах
(4.3.4), получаем требуемое.

В качестве примера использования теоремы 4.5 заметим, что

+ (2) (°1) ( 1 ) = 3-2*2 — 2-1 • 1 • 1 +0-0.0 = 10.

4.4. Проблема Симона Ньюкомба

Проблеме, к которой мы собираемся сейчас обратиться, исчер-
пывающее решение дал Мак-Магон в 1907 году. И сама проблема
и ее история были кратко описаны Мак-Магоном в СошЫпа1огу
Апа1у81з, 1915, V. 1, р. 187:

«Задача, предложенная профессором Ньюкомбом, это игра,
состоящая в раскладывании пасьянса обычными картами, за ко-
торой проводил он короткие часы отдыха от своих астрономиче-
ских исследований. Она может быть описана следующим образом:

Берется колода карт произвольной спецификации — скажем,
т1 карт, помеченных единицей 1, т2 карт — двойкой 2, т3 карт —
3 и так далее, и, будучи перемешанной, раскладывается на столе;
пока карты идут в возрастающем порядке своих значений, равен-
ство значений принимается за возрастающий порядок, они кла-
дутся в одну стопку, но по нарушении возрастающего порядка
раскладывание продолжается с новой стопки. Какова вероят-
ность того, что в результате получится т или не более чем т
стопок?».
Можно легко переформулировать эту задачу в терминах пере-
становок мультимножества.

Определение 4.7. Пусть М (тъ т2, ..., тг\ и) обозна-
чает число перестановок мультимножества {1т12т2 ... гп1г} ровно
с и сериями (под серией в перестановке ...	+	. + тг

понимаем насыщенную, т. е. непродолжаемую в оба конца, мо-
нотонную, непрерывно возрастающую подпоследовательность

В/ << В/+1 •< В/+2 '<•••'< В/_1 ?/)•

Мы будем иметь ответ на вопрос Симона Ньюкомба, если су-
меем найти замкнутое выражение для К (т13 т2, ..., тг\ и).

Лемма 4.6. Каждое из следующих соотношений влечет
другое'.

п>1’ (4-4Л)

/=0
п— 1

(4-4-2)

/=0

Доказательство. Начнем с замечания, что достаточно
лишь показать, что (4.4.2) всегда влечет (4.4.1), поскольку об-
ратная импликация следует из замены Ь'п = (—\)пЬп, а'п =
= (—Г)пап.

Отталкиваясь теперь от (4.4.2), получаем

/=о
и—1	п—/—1

/=0	/г=0

1

п—\	___

2 ГС'ХЛЛ (-о*-
/г—О

/г=0	/=0

п—1

что и требовалось доказать.
Лемма 4.7.

с (а!, а2,. . ., аг; п) =

=2 (“1 + “2+ 'у+аг-" + /) А(аг. . аг; я-/). (4.4.3)
/=0

Доказательство. Тождество (4.4.3) легко устанав-
ливается обеспечением подходящих комбинаторных интерпрета-
ций для с(а1, а2, ..., аг; п) и (ах, а2, ..., аг; п).

Ясно, что с(аъ ..., аг; п) перечисляет число способов, кото-
рыми шаров типа 1, а2 шаров типа 2, ..., аг шаров типа г могут
быть размещены в г помеченных (различимых) ящиков при усло-
вии отсутствия пустых ящиков. Для того чтобы убедиться в этом,
замечаем, что композиция

и0.....|Л(йг).....п... И"’.......г)

вектора (ах, ..., аг) соответствует распределению, при котором
ровно рР шаров типа I находятся в /-м ящике.

Весьма подобная интерпретация может быть дана и для
А/' (ах, ..., а/, п). В самом деле, /-я серия в перестановке может
быть рассмотрена как размещение этих элементов в /-м блоке.
Важно отметить, что функция Ы (ах, ..., а,.; п) не перечисляет
все возможные размещения (как это делает с (ах, ..., а/, и)), а пере-
числяет только те, в которых наименьший элемент в каждом
ящике строго меньше наибольшего элемента в предшествующем
ящике. Стало быть, каждой перестановке, перечисляемой функ-
цией Ы (ах, ..., аг; п — ]), можно поставить в соответствие един-
ственное множество размещений, перечисляемых функцией с(а1?...
. аг; и), по правилу:

Поместим вертикальную линию между каждой из п — ] серий
в данной перестановке. Теперь имеется ах + • • • + аг — (п —
— ] — 1) — 1 пар &>[+1 без вертикальной преграды между ними;
поместим вертикальную черточку между / такими парами и по-
лучим распределение ах единиц, а2 двоек и так далее в п поме-
ченных непустых ящиках. Поскольку последнее множество из /
вертикальных черточек может быть размещено

+ а2 • • • + аг — п +

способами, то видим, что в точности столько же распределений,
перечисляемых функцией с(ах, ..., аг; п), соответствует единствен-
ной перестановке, перечисляемой Ы (ах, ..., а/, п — ]). Поэтому

с(ах,. . ., аг; п) = 2 (“* + ’ ’ ’	~ " +(а1> •••>«/«- /).

/=о

что и требовалось доказать.
Теорема 4.8. Для п > О

А (а,,..., аг; п) =

X

п—1

а1-|------н«г+ 1\ /п + а!- 1 - з\

« / \ «1 / Х

5=0

1 — 5

(4.4.4)

Доказательство.

Применяя лемму 4.6 к (4.4.3),

видим, что

Ы (<&!,. . аг; п) =

Применяя (4.4.6) к (4.4.5), получаем (4.4.4).

Задачи

1.	Пусть рп — п-е число Фибоначчи: Ро = 0, Р± = 1, Рп~ Рп-1 + Рп-п
п> 1. Показать, что число композиций п, в которых нет единиц, равно Рп_\.

2.	В более общем виде — пусть ^Рп определяется по правилу:

&Ро = • • • = кР к-2 ~ 0,	кРк-1~\, кРп — кРп-1	кРп-к-

Показать, что число композиций /г, в которых все части >/?, равно кРп-1-
3.	Из задачи 2 следует, что имеется 2'1-1 композиций числа п.

4.	Пусть с/г (т, п) обозначает число композиций п точно с т частями, каж-
дая из которых не меньше к. Тогда

(п — (к— 1) т — 1\

= ( т_1 )

5. Из задач 2

и 4 следует, что

2Г(‘л|)Г')=^

6.	Будем говорить, что вектор (ть тг) имеет реальную размерность к,
если т/г 0, т/г+1 = 0, тг = 0. Тогда полное число всех композиций
всех векторов (Рь рг) с 0 < (3/ < а/, в которых ровно частей имеют
реальную размерность /, равно

а1\/аг\	/аг\/а1 4" ^2 4” • • • 4*

^)\к2) " \кг)\

/ а2 +	+ • • • + кг\	/аг-1 + кг\

\	а2	/	\ «г-1 / *

7.	Из задачи 6 следует, что

с(а1,...,аг)=1-	(л,1)©'"

/аг\ /ах + /12 + ... 4~^г\ /а2 + ^з 4" • • • 4- ^г\	/аг~1 4~ ^г\

"\кг/\ ах /\ а2 /	\ аГ-1 /’

3. Оператор Лонга 1,1 есть линейный оператор

Л^-(а/+1+ ..а‘+аг-4’

Доказать индукцией по /, что

9.	Если в многочлене

2 1 1 Г1 {Х]Х2 • • • х1-1 4" (1 4- *1) (1 4~ хг) • • • (1 4-	1

1=2

ь

каждое х- заменить на

( а‘ У

\а/+1 4- ... + аг — к}

то в результате получится с (оц, аг).

Предшествующее утверждение просто означает, что

с (аь ..., аг) =

Г

~ ^1^2 • • • ^г-12 1 Р[ {Х1%2... х/_14“ (1 4“ ^1) (1 4- хъ) • • • (1 4- г •
1=2

Для доказательства последнего достаточно представить каждый множитель
через биномиальную теорему и при помощи задачи 8 свести это тождество к за-
даче 7.
10.	Раскладывая (1 + х^1 по биномиальной теореме, вывести (3.3.10)
с д = 1 из задачи 8:

V р V	\

\ з / \&/+1 + • • • + аг — к — 5/	\аг+1 + • • • + аг — к / '

5=0

11.	Случай 7 = 1 равенства (3.3.11) можно легко вывести, привлекая опе-
раторы Лонга. Запишем искомый результат в виде

V* /т\/т + |т\ / ц + т-1-г \	/ р + V \ / V \

\ г / \ п — г / \т + п + V/	\^ + т) \ п ) '

г>0

Если рассмотреть линейные операторы и Ь2, определяемые по правилу

Ь1 (хГ) = (п П г) ’ МХ = (	3’

\ 71 - / /	\ ГП 71 Д- р, - 5 /

то задача 8 влечет, что

откуда

2 (У» Л X Л X) - д‘11«1+(1+х 11+’

= ЦЬ2 ((1 + х)“+т (1 + ху (1 + х)-1)«) =

= Ц^/т\/ ц+т \//г + р + т — /\
ч/'/х^ + ^ + Р- — / / \ И — /	/

/>0

_ / и + V \ ЦП / т\ /V — т\ _ /р + V \ / V \
\р + т/ \/ )\п — ] ) ~ У 4- т)\ п /
/>о

Замечания

Материал этой главы в основном представляет собой некоторое расширение
и модернизацию работ о композициях [46, 47] и раздел IV в [48]. Тео-
рема 4.2 принадлежит Стару (1976) (см. также [1]), который получил также и
асимптотические формулы для с (А/, М, п). Теорема 4.3 принадлежит Эрдешу
и Ленеру (1941), а ее приведенное здесь доказательство — Гупта (1942).

В последние годы усилились исследования по векторным композициям и
проблеме Симона Ньюкомба. Литературу по этим направлениям см. в работах
Карлитца, Диллона, Фоата, Кревера, Розеля и Шютценберга. Должно также
отметить и применимость (Р, (о)-разбиений Стенли к композициям и задачам типа
проблемы Симона Ньюкомба (см. [50], § 25). Некоторые работы из [44, раз-
дел Р80] относятся к композициям.

Задача 1 — [24]; задачи 6—10— [45, 2, 3, 4].

ЛИТЕРАТУРА

1.	А п с! г е 8 С. Е. (1975а). А Н1еогеш оп гес1ргоса1 ро1упот1а1з XV ЕЬ аррИ-
саНопз 1о регтиЫлопз апд сотрозШопз. — Атег. Ма1Ъ. Моп1Ыу 82, р. 830—
833.

2.	А п б г е XV 8 6. Е. (1975Ь). ТЪе 111еогу о! сотрозШопз, II: 81топ ^еxVсотЬ’8
ргоЫет. — ШНИаз Ма1Ь. 7, р. 33—54.
3.	Апдгехуз 6. Е. (1976а). Тке 1кеогу о! сошрозШопз, I: Тке огдегед Гас-
ЬпгаНопз о! п апс! а соп]ес1иге о! С. Ьоп^. — СапасИап Ма1к. Ви11. 18,
р. 479—484.

4.	Апдгехуз (л. Е. (1976Ь). Тке 1кеогу о! сошрозШопз, III: Тке МасМакоп
Гогти1а апд 1ке 81ап1оп—Сохуап питкегз. — ТЛШИаз Ма1к. 9, р. 283—290.

5.	С а г 1 И г Ь. (1959). Еи1епап питкегз апд ро1упот1а1з. — Ма1к. Ма&. 33,
р. 247—260.

6.	С а г 11 I г Ь. (1960). Еи1епап питкегз апд ро1упот1а1з о! Ы^кег огдег.—
Эике Ма1к. Л. 27, р. 401—424.

7.	С а г 1 И 2 Ь. (1964). Ех1епдед ВегпоиШ апд Еи1епап питкегз. — Эике
Ма1к. Л. 31, р. 667—690.

8.	С а г 1 И 2 Ь. (1972а). ЕпитегаНоп о! зедиепсез Ьу пзез апд Ш1з: А геН-
петеп! о! 1ке 81топ Ыехусотк ргоЫет. — Эике Ма1к. Л. 39, р. 267—280.

9.	С а г I И 2 Ь. (1972Ь). 8едиепсез, ра1кз, апд ка!1о1 питкегз. — Р1копасс1
риаг!. 10, р. 531—549.

10.	С а г I И 2 Ь. (1972с). Еи1епап питкегз апд ореШогз. Тке Ткеогу о!
АгИктеНс РипсНопз (А. А. (лШа апд Э. Ь. (ло1дзпШк, едз.) (Ьес1иге Ыо1ез
т Ма1к. № 251). — Врпп^ег, Иеху Уогк.

11.	Саг 1 Иг Ь. (1973а). ЕпитегаНоп о! а зрес!а1 с1азз о! регтиШюпз ку
пзез.— Рикк Е1ек. Рак. ТЛшу. Вео^гади 451, р. 189—196.

12.	Саг И 1г Ь. (1973к). ЕпитеШюп о! ир-дохуп регтиШюпз ку питкег
о! пзез. — РасШс Л. Ма1к. 45, р. 49—58.

13.	С а г 1 1 I 2 Ь. (1973с). ЕпитеШюп о! ир-дохуп зедиепсез. — Э1зсге1еМа1к. 4,
р. 273—286.

14.	С а г 1 И 2 Ь. (1973д). РегтиШюпз хуИк ргезспкед раИегп. — Ма1к. Иаскг.
58, р. 31—53.

15.	С а г 1 И 2 Ь. (1974а). РегтиШюпз апд зедиепсез. — Адуапсез т Ма1к. 14,
р. 92—120.

16.	С а г I И 2 Ь. (1974к). Пр-дохуп апд дохуп-ир рагШюпз.— Ргос. Еи1епап
8епез апд АррИсаНопз Сопк РеппзуНаша 8Ше 1)шу.

17.	С а г 1 И 2 Ь., К 1 о г д а п Л. (1955). Тке питкег о! 1аке1ед 1хуо-1егтта1
зепез-рагаПе! пе1хуогкз.— Эике Ма1к. Л. 23, р. 435—446.

18.	С а г 1 И 2 Ь.,К1огдап Л. (1971). ЕпитеШюп о! зоте 1хуо-1те аггауз
ку ех1еп1.—Л. Сотк1па1она1 Ткеогу 10, р. 271—283.

19.	С а г 111 г Ь., 8 с о у 1 11 е К. (1972). 1}р-дохуп зедиепсез. — Эике Ма1к.
Л. 39, р. 583—598.

20.	С а г И I 2 Ь., 8 с о у 1 11 е К. (1973). ЕпитеШюп о! пзез апд Га11з ку
розШоп. — Э1зсШе Ма1к. 5, р. 45—59.

21.	С а г 1 1 I 2 Ь., 8 с о у 1 1 1 е К. (1974). (лепегаИгед Еи1епап питкегз: Сот-
кта!опа1 аррНсаНопз. — Л. Кете Ап^еху. Ма1к. 265, р. НО—137.

22.	С а г 1 И 2 Ь., 8 с о у 1 1 1 е К. (1975). ЕпитеШюп о! ир-дохуп регтиШ
Нопз ку иррег гесогдз. — Агск. Ма1к. (Вазе1).

23.	С а г 1 И 2 Ь., К о з е 11 е Э., 8 с о у 1 1 1 е К. (1966). РагтиШюпз апд
зедиепсезхуИк гереШюпз ку питкег о! тсгеазез. — Л. Соткта1опа1 Ткеогу 1,
р. 350—374.

24.	Сау1еу А. (1876). Ткеогетз т 1п^опоте1гу апд оп рагШюпз. — Со11.
Ма1к. Рарегз о! А. Сау1еу 10, р. 16.

25.	Э 1 1 1 о п Л. Р., К о з е 11 е Э. (1968). Еи1епап питкегз о! Ы^кег огдег. —
Эике Ма1к. Л. 35, р. 247—256.

26.	Э 1 1 1 о п Л. Р., КозеНе Э. (1969). 81топ Ыехусотк’з ргоЫет. —
81 АМ Л. Арр . Ма1к. 17, р. 1086—1093.

27.	Егддз Р., Ьекпег Л. (1941). Тке д1з1пкиНоп о! 1ке питкег о! зит-
тапдз 1п Ше рагШюпз о! а розШуе Ше^ег. — Эике Ма1к. Л. 8, р. 335—345.

28.	Р о а I а Э. (1965). Е1иде а^ёкпдие де сегШпз ргоЫётез д’апа1узе сот-
ЫпаШге е! ди са1си1 дез ргокакИНёз. — Рик1. 1пз1. 81а11з1. 1}ту. Рапз, 14.

29.	Р о а I а Э., К 1огдап Л. (1974). Маррт^з о! асусИс апд рагк1щ* Гипс-
Нопз. — АедиаНопез Ма1к. 10, р. 10—22.
30.	Роа 1а В., 8скй1гепкег^ег М.-Р. (1970). Ткёопе ^ёошёШдие
дез ро1упбтез еЫёпепз (Ьес1иге ЫоТез т Ма1к. № 138).—8рг1п^ег, Ые\у Уогк.

31.	Роа1а В., ЗсЬйкепЬег^ег М.-Р. (1973). МотЬгез сГЕи1ег е1
регтиШюпз аКегегпаЫез. — 1п: А 8игуеу о! СотЫпа1опа1 Ткеогу. —
1Чог1к-Но11апд, АтзГегдат, р. 173—187.

32.	Р о а I а В., 8 I г е к 1 V. (1974). Кеаггап^етеЫз о! Гке зуттеГпс &гоир
апд епитегаНуе ргорегНез о! Гке Гап^еЫ апд зесапГ питЬегз. — МаГк. 2. 137,
р. 257—264.

33.	Р о и 1 к ез Н. О. (1975). ЕпитегаНоп о! регтиГаНопз хуИк ргезспЬед ир-
дохуп апд 1пуегз1оп зедиепсе. — О1зсгеГе МаГк. 9, р. 365—374.

34.	Р г а у К- Э., К о з е 1 1 е В. (1971). \Уе1^кГед 1аШсе раГкз. — РасШс Л.
МаГк. 37, р. 85—96.

35.	6 и р I а Н. (1942). Оп ап азутрГоПс Гогти1а т рагГШопз. — Ргос. 1пд1ап
Асад. 8с1. А16, р. 101—102.

36.	О и р I а Н. (1955). РагГШопз т ^епегаЕ — Кез. Ви11. Рап]аЬ Екну. 67,
р. 31—38.

37.	С и р Г а Н. (1970). РагГШопз—а зигуеу. — Л. Кез. НаГ. Виг. 8Гапдагдз 74В,
р. 1—29.

38.	Кгехуегаз О. (1965). 8иг ипе с1аззе де ргоЫётез де дёпотЬгетепГ Вёз
аи ГгеИПз дез рагГШопз дез епНегз. — СаЫегз ди В. ЕГ. К. О. № 6.

39.	Кгехуегаз 6. (1966). ЭёпотЬгетепГз де скеттз пнштаих а заиГз
1трозёз. — С. К. Асад. 8сЕ Рапз 263, р. 1—3.

40.	Кгехуегаз О. (1967). ТгакетепГ з!ти1Гапё ди «РгоЫёте де Уоип^»
еГ ди РгоЫёте де 81топ Нехусотк. — СаЫегз ди В. ЕГ. К. О. № 10.

41.	Кгехуегаз 6. (1969а). Тпуегзюп дез ро1упбтез де Ве11 Ыд1тепз1оппе1з
еГ аррИсаНоп аи дёпотЬгетеЫ дез ге1аГ1опз Ыпакез соппехез. — С. К. Асад.
8с1. Рапз 268, р. 577—579.

42.	Кгехуегаз С. (1969Ь). ОёпотЬгетепГ зузГётаНдие де ге1аГ1опз Ыпакез
ехГегпез. —МаГк. 8сЕ Нитатез 7, р. 5—15.

43.	КгехУегазС. (1970). 8иг 1ез ёуеЫаИз дезе^тепГз. — СаЫегз ди В. ЕГ. К. О.
№ 15.

44.	ЕеУедие АУ. Л. (1974). Кеутехуз т НитЬег Ткеогу, Уо1. 4. — Атег.
МаГк. 8ос., Ргоутдепсе, К. I.

45.	Е о п & С. (1970). Оп а ргоЫет т рагПа1 дШегепсе едиаПопз. — Сапад1ап
МаГк. ВиП. 13, р. 333—335.

46.	М а сМ а к о п Р. А. (1894). Меток оп Гке Гкеогу о! Гке сотрозШопз о!
питЬегз. — РкИоз. Тгапз. Коу. 8ос. Еопдоп А184, р. 835—901.

47.	М а с М а к о п Р. А. (1908). 8есопд теток оп Гке сотрозШоп о! питЬегз.
РЫ1оз. — Тгапз. Коу. 8ос. Еопдоп А207, р. 65—134.

48.	М а с М а к о п Р. А. (1915). СотЬтаГогу Апа1уз1з, Уо1. 1. — СатЬпд^е
ЕГту. Ргезз, Еопдоп апд Неху Уогк (гергшГед Ьу Ске1зеа, Неху Уогк, 1960).

49.	К о з е 1 1 е О. (1969). РегтиГаПопз Ьу питкег о! пзез апд зиссеззюпз. —
Ргос. Атег. Ма1к. 8ос. 19, р. 8—16.

50.	8 I а п 1 е у К. Р. (1972). Огдегед з1гис1игез апд раНШопз. — Мет. Атег.
Ма1к. 8ос. 119.

51.	81 аг 2. (1976). Ап азутрЫЛс 1огти1а т 1ке 1кеогу о! сотрозШопз.—
АедиаНопез Ма1к.
Глава 5

ВЫРАЖЕНИЯ ХАРДИ — РАМАНУДЖАНА -
РАДЕМАХЕРА ДЛЯ р(п)

5.1. Введение

Ознакомившись со многими элементарными свойствами разбие-
ний и композиций, в том числе с элементарной асимптотической
формулой для рм(п) (теорема 4.3), мы переходим теперь к одному
из высших достижений теории разбиений — к точной формуле
для р (п) — результату Харди и Рамануджана, усовершенство-
ванному Радемахером.

История сотрудничества Харди и Рамануджана по этой фор-
муле весьма примечательна и, по-видимому, наилучшим образом
изложена Литтлвудом в его очаровательной рецензии на книгу
«Со11ес1ес1 Рарегз оГ Зпшуаза Кашашцап, опубликованной в Ма1-
ЬетаНса! ОазеНе, 1929, 14 (полный текст рецензии на русском
языке опубликован в книге: Дж. Литтлвуд, Математическая
смесь, М., Наука, 1973; глава «Рецензия на собрание сочинений
Рамануджана»). (Прим, перев.)

«Наконец, я должен кое-что сказать по работе о разбиениях,
написанной [Рамануджаном] совместно с Харди. Число р (п)
всех разбиений п быстро возрастает с ростом п\

р (200) = 3 972 999 029 388.

Авторы показывают, что р(п) есть ближайшее целое к

V

-^=- (*)

V

<7=1

где Ая(п) = 2	а суммирование ведется по всем р,

взаимно простым с г/ и меньшим, чем д, — некоторый корень
24^-й степени из единицы, о — величина порядка [/Яг и

। / \ й (с }/ п — 1/24 |	т /У

^(/г)=^7ехР1--------я----)’ с = 4з'

Можно взять V = 4, когда п = 100. Для п = 200 можно вы-
брать V = 5; пять членов ряда (*) дают верное значение для
р (200). Можно всегда полагать о = а [/Яг (или, вернее, целой
части), где а — любая положительная константа, при условии,
что п превосходит значение некоторого (о), зависящего лишь от а.
Вряд ли стоит убеждать читателя во всей необычности этой
теоремы; с готовностью поверит он в то, что методы, которыми
она была установлена, заключают в себе новый и важный прин-
цип, плодотворно применяемый в других областях. Романтична
история этой теоремы. Справедливости ради замечу, что мне
придется несколько погрешить против общепринятых правил
отношения к совместным работам, в связи с чем добавлю, что про-
фессор Харди подтверждает приводимые здесь факты и считает
допустимым таковое их изложение. Одна из, еще индийских,
гипотез Рамануджана состояла в том, что первый член (*) дает
весьма хорошее приближение для р (и); это было подтверждено
без особых трудностей. На этой стадии п — 1/24 было представ-
лено просто п — различие несущественно. С этой точки и нача-
лась действительная атака на задачу. Следующее, еще не очень
серьезное продвижение заключалось в рассмотрении (*) как
«асимптотического» ряда, фиксированное число членов которого
(например, V = 4) давало бы ошибку порядка следующего члена.
С этого момента и до самого конца Рамануджан настаивал, что
на самом деле имеет место гораздо более сильное утверждение,
чем то, что было установлено: «должна существовать формула
с ошибкой О (1)». Это было его важнейшим вкладом — и абсо-
лютно по существу, и в высшей степени необычно. Проведенная
скрупулезная проверка выявила необычайные факты о р (100)
и р (200). Тогда было решено сделать V функцией от п\ это дей-
ствительно было огромным шагом и потребовало привлечения
новых глубоких функциональных методов, которые вряд ли были
бы открыты Рамануджаном самостоятельно. Теперь уже явст-
венно проступил облик теоремы.

Но преодоление финальной трудности, вероятно, было бы не-
возможно без еще одного вклада Рамануджана, на этот раз для
него крайне характерного. Серьезнейшие аналитические труд-
ности — это еще не все — даже подходы к теореме казались на-
громождением непреодолимых препятствий чисто формального
толка. Самый вид функции (и) представлялся как нечто таин-
ственное, единое и неделимое — среди многих асимптотических
эквивалентных форм ее важно было выбрать одну, верную. Если
бы правильный вид ее не был выбран с самого начала, то этот
результат мог бы и не проявиться во всей полноте, поэтому-то
— 1/24, не говоря уже о (Ийп, и кажутся удивительным взлетом
аналитического гения. И здесь действительно соприкасаемся мы
с реальной тайной. Если бы о существовании формулы с ошибкой
О (1) было известно заранее, то можно было бы с уверенностью
утверждать, что шаг за шагом в конечном итоге искомая форма
функции (п) была бы установлена. Но почему Рамануджан
был так уверен в ее существовании? Теоретическим предвидением
вряд ли можно объяснить этот факт. Трудно представимы и чис-
ленные примеры, способные поддержать столь сильное предполо-
жение; хотя если не знать вида заранее, то воссоздать его не
помогут никакие численные примеры; так что мы, кажется, не-
избежно приходим к тому, что открытию правильной формы обя-
заны исключительному всплеску интуиции. Этой теоремой мы
обязаны особо счастливому сотрудничеству людей совершенно
различных дарований, в которое каждый из них вложил наилуч-
шую, наиболее характерную часть себя. Гений Рамануджана
раскрылся в сотрудничестве не менее гениальном, чем он сам.»

Формула, которую мы будем здесь доказывать, в этой оконча-
тельной форме получена Радемахером.

Теорема 5.1.

ОО	_	п

р(п)= V Ак(п)Ук /	*/24))1/2)	(5.1.1)

л]/7	(х-1/24)1/2 ]х=п к 7

к=1

где

Л(п) = 5 0)й>/се-2я‘"'^

Н тод к

(к,к) = 1

и Юн,к — корень 24&-Й степени из единицы, определяемый в § 5.2.

Это необычайное тождество, в котором левой частью служит
простая арифметическая функция р (п), а правой — бесконечный
ряд, включающий в себя л, квадратные корни, комплексные корни
из единицы и производные гиперболических функций, являет
собой не только чисто теоретическую формулу для р (м), но фор-
мулу, обеспечивающую действительно быстрое вычисление.

Например, р (200) = 3972999029388, тогда как, если вычислить
первые восемь членов ряда (5.1.1), получим

+ 3972998993185,896

+36282,978

—87,555

+5,147

+ 1,424
+0,071
+0,000
_____________+0,043
3972999029388,004,

что и дает истинное значение р(п) с точностью 0,004. Весьма
просто выявить ошибку, когда бесконечный ряд усечен; значит,
Можно с уверенностью определять значения р(п) прямо из (5.1.1).
Для малых значений п можно, конечно, пользоваться рекуррент-
ностью из следствия 1.8.

Кроме того, довольно просто показать, что каждый член бес-
конечного ряда в (5.1.1) есть О (ехр {л (2п)1/2/йр/3}). Следова-
тельно, первый член к = 1 дает нам асимптотическую формулу
для р (и); замечая, что А^п) = 1, без особых трудностей полу-
чаем, что при п -> оо

р(п)~7^Гехр{л(у)1/2}-	(5-Е2>

Справедливость (5.1.1) тесно связана с тем фактом, что выра-
жение

оо

1-)(т) = ехр П I1 - ехр{2штт}] = х ехР{тот/12)----------

т==1	2 Р(п) ехР {2ш’пт}

есть в действительности модулярная форма. При доказательстве
(5.1.1) мы должны использовать весьма фундаментальные свой-
ства функции т] (т), в частности, ее поведение под действием моду-
лярной группы: т -> (ат + Ь)/(сх + б/), ай — Ъс = 1.

Для исчерпывающе полного доказательства (5.1.1) понадоби-
лись бы по крайней мере две дополнительные главы: одна — по-
священная модулярной группе и ее основным свойствам (см.
[24, гл. 1] или [27, гл. 1]), а другая — содержащая формулы
фундаментальных преобразований для т] (т) (см. [24, гл. 31).
Такое изложение увело бы нас далеко от разбиений, и поэтому
в начале § 5.2 мы просто приводим необходимую нам в дальней-
шем формулу преобразований.

5.2.	Формула для р(п)

Вместо преобразования для т] (т) мы привлекаем некоторый
эквивалентный результат, более подходящий нашим целям.
Именно, пусть
оо

Р(<?)=2 Р(п)дп= П (1 -ПЛ (5.2.1)
/г>0	п=\

тогда

р ПЛ 2л/ (Л 4-й) )\

г I	н —

= соЛ, ,21/2ехр	^(ехр { 2та'(/г' + '2~Х)	, (5.2.2)

где Не г > 0, выбирается главная ветвь г1/2, К' есть решение
сравнения

И1г' = —1 (шоб 1г),

(5.2.3)
а — корень 24&-Й степени из единицы:

ехР (4" ~ ~~ +

4-	— &-1)(2Л — /г' +	если нечетно,

(°/г’к / —Н \	(	. / 1 ,	. ,

(~) ехр (т ~ 1)

4- (й — к1) (2й — И' 4~	, если нечетно,

(5.2.4)
и (а/Ь) — символ Лежандра—Якоби. Доказательство (5.2.2) см.
в [24, гл. 3] или [33, гл. 9] *); имеется доказательство (5.2.2),
принадлежащее Берндту, кратко обрисованное в задачах 6—17
в конце этой главы.

Отметим, кстати, изящное представление Радемахера для со/ь^:

(о/й^ = ехр {ш$ (/г, к)\,	(5.2.5)

где 5 (Л, к) — сумма Дедекинда:

/г-1

-Е(РШ4)(4-[т]4)' <5'“)
ц-1

Теперь мы переходим к поистине замечательному способу под-
счета р (и), осуществленному Харди и Рамануджаном. Инте-
гральная теорема Коши влечет, что

(5'2'7)

С

где С — круг с центром в начале координат, включающий в себя
единичную окружность |х| = 1. Как вычислить этот интеграл?

оо

Обращаясь к производящей функции Р(х) = П (1 — я'7)-1,
/г=1

видим, что каждое частичное произведение П (1 — х")-1 имеет
п=1

полюс порядка Ы при х = 1, полюс порядка [А7/2 ] при х = —1,
полюсы порядка [А73] при х = ехр {2ти73| и х = ехр {4л//3|
и так далее. Кроме того, отметим, что (5.2.2) дает достаточно
хорошую информацию о поведении Р (х) вблизи ехр {2яМк\;
именно, если г -> 0 (Ре г > 0), то

п Г Г	2лг П	1/9 Г л (г —г"1)]	/г о о\

Р ехр(~1-------- ~<4|,>Ч/2ехр) \2/г Ч. (5.2.8)

*) См. также [38, гл. 7; 39, гл. 7]. {Прим, ред.)
Ясно, что круг интегрирования нужно разбить на сегменты
так, чтобы с наибольшей эффективностью можно было применять
(5.2.8), конечно, учитывая, к какой рациональной точке мы
близки (если а рационально, то ехр (2ша) будем называть
рациональной точкой единичной окружности). К сожалению,
эти рациональные точки расположены на единичной окружности
весьма плотно, и, значит, такой способ не совсем удобен.
Дабы все-таки добиться эффективности этого подхода, отме-
тим, что точки ехр (2л/7г/А) оказываются наиболее важными осо-
бенностями именно при малых А, поэтому вместо рассмотрения
плотного множества всех рациональных точек ограничим наше
внимание дискретным множеством тех рациональных точек
ехр (2ш7г/А), для которых 0 < к < А/, где Ы — фиксированное
положительное целое.

Таким образом, мы концентрируем наше внимание на Р^ —
множестве правильных дробей Фарея порядка Например,
при /V = 5

^5==|0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, Ц.
Наблюдая, сколь естественным образом возникают дроби Фарея,
резонно предположить, что нужно разбивать наш круг С радиуса р
на сегменты, в каком-то смысле «центрированные» вокруг рацио-
нальных точек р ехр (2л1к/к), где к/к Гц. В поисках оптималь-
ного «сегментирования» нам придется исходить из элементарных
свойств Рх. Хорошо известно (и легко проверяется), что если
к/к, к^/к^ — соседние члены в Рц, то рациональное число с наи-
меньшим знаменателем, лежащее строго между к/к и кх1къ есть
дробь (к + кг)/(к + &1), называемая медиантой дробей к/к и к^к^
Представляется вполне естественным использование медиант в ка-
честве концов интервалов, определяющих сегментирование С.
Для кц/кв, к/к, к±/к± — трех последовательных членов Р^ —
положим

00,1 =	! >

4-441 > /г>0’	(5-2'9)

г\гг	к^ -|- к к

\ + к ~Т'

Тогда ясно, что

с х
1

= р~л Р (р ехр {2лйр}1 ехр |—2шп<р} Лр =
о
=р~п 2

6=1

(Л, 6)=1
0^6<6

е6, к

-~ек, к

2ш7/ . п . | _
—------И 2шф | х

Г 2л/лА п .	1 1

X ехр |---------2шшр} аф.

(5.2.10)

Все, что осталось сделать перед применением (5.2.2), — это
подходящим образом выбрать радиус р, который, конечно, можно
наилучшим образом подобрать и по окончании вычислений,
однако для простоты произведем этот «правильный выбор»
сразу:

р = ехр {—2л/А/’2}

(5.2.11)

(последовательно подчеркивая, далее, необходимость именно та-
кого выбора). Таким образом,

и

. ч Г 2пп ] VI	Г

р(л)=ехр Л ехР —

, 6=1	**

6) = 1

0^6<6

6/1,6

Р п Г Г 2л//г 2п / к

х ) хехро—

~вк,к

— /Др)} ехр{—2лш(р}йср; (5.2.12)

для применения (5.2.2) мы должны ввести

г =	2 — йр).

(5.2.13)

Следовательно, применяя (5.2.2) к подынтегральному выражению
в (5.2.12), находим, что

р(и) = ехр

Г 2пп] XI	(

“Ж 21 ехР

1	} 6=1	1

2п1кп'\

~~Г~ гй>*

е6,6

X у г1/2ехр^л
~ел,б

г-1 — г
\2к

ехр

2п1

ехр {—2шиф} б/ф.

(5.2.14)

21111111
к



х

Н' + гг-1
к

Теперь видно, что ехр {2л/ (/г' + 1г ^/к} весьма быстро стре-
мится к нулю при г -> 0, Ке г > 0. Стало быть, простейший путь
оценивания (5.2.14) состоит в представлении под интегралом Р (х)
в виде 1 + (Р (х) — 1). Поэтому

р(п) = ехр

(/г, к) = 1
О^к<к

г-1 — 2

\2к

— 2лшф> б/ф +

,	(2л п	VI

+ ехР-дН ехр

1	'	к=1

(И, к) = 1
0^Н<к

®к,к

2лИгп 1	С 1 /о (

——	г1/2 ехр л

-®П,к

Го • /1 Ь2 1 )
ехр 1 2л4 —1

— 1 ) ехр |—2лшф| 6^ = 2^ + Е2. (5.2.15)

Естественно ожидать, что в таком представлении р(п) слагае-
мое дает основной вклад, а слагаемым Е2 можно пренебречь.
С доказательства несущественности Е2 и начнем наш изнури-
тельный анализ (5.2.15). Во-первых (помня, что г = кЫ~2 — г&ф),
имеем

21/2ехр/л^ХИ(>

Го •	4— П 1 4

ехр/2л^---------1 —- 1)

ОО

У И1/2 ехр/—р(т) ехр Г—2л Ке (г-1) -^24 1. (5.2.16)
т—1

Теперь

1______1______Л^~2 4- нр

2 кМ~* — 1ку &(Л/-4_фф2)

Из (5.2.9) непосредственно следует, что каждое из 0^г и 0/гг к
заключено между -^-г и -т1т-, а поскольку—0^ ф ®и,к>
то

X ре ^-1 =_____>______________^1?_____=______1_____А (5 2 17)

/г	й2(7У-4 +ф2)	А?2А'-4+/V'2	14-РАГ2	2 ’

Кроме того,

| 2 |1/2 = (^-4 _|_ ^2ф2)1/4 <- (^2Д(-4	Д(-2)1/4	2^^.	(5.2.1 8)
Поэтому согласно (5.2.16), (5.2.17) и (5.2.18) получаем следующую
оценку для 22:

л/

1Д1 ехр	21М^1/2 ехР {~ ТЙЙ Х

'	к=1	'

(к, к) = 1

0^к<к

оо	к

оо

ехр ---------^г-12!/4Х-1/2 Р (т) ехр {—л (т - X

т—1	1

дг	к

X 2 у йф=ехр(^---1^}21/4А-1/2х

(И^к)^=1 к

0^к<к

оо

х 2р(т) ехР (—я {т ~	ехр/-^-1. (5.2.19)

Такая оценка устраивает нас, поскольку Ы"1/2 ехр (2лпЛЛ“2)->
-> 0, когда М -> оо при фиксированном п.

Займемся теперь оценкой главного члена 21 в (5.2.15). Здесь
мы покажем, что этот интеграл есть наиболее значительная часть
контурного интеграла типа Ханкеля. По установлении этого
факта (равенства (5.2.26)) будет уже довольно просто завершить
наше оценивание р(п).

В интеграле 2Х (см. (5.2.15)) положим со = АГ2 — мр; тем
самым этот интеграл принимает вид

/л>л=ехр{-^} У (М1/2ехр{1^(^-^>) + 2лп«)|/Ло =
лг2+<еЬ

= ехр|—-^-|/г1/2г-1 X

х Г	Ы^ехр^л^—_)(1) + _1_}6&0 =

"’2-<ейл

^+^'к,к

= ехр{--^и1/2/-1 С	(5.2.20)
где

(О) = 0)1/2 ехр [2л (п — -4г) ® +

Л
12^7

Подынтегральное выражение в последнем интеграле однозначно
и аналитично в комплексной со-плоскости, разрезанной вдоль
отрицательной части действительной оси. Поэтому по теореме
Коши можно записать

ехр {2ллМ 2|	=

^И,к М ~ ~ (®Л,А — е+(®Л,й	— е

-е~-*0Л,А!	“е~*0Л,А!

X ё (со) йсо,
(0+)

где I — контурный интеграл по контуру 2!\

(5.2.21)

Предположим, что 0 < 8 < Ы 2, и посмотрим, что происходит
при 8 —> 0. Для краткости перепишем (5.2.21) в виде

ехр{2шгАН2} 4,. =^-1 [ц __ д __	(5.2.22)-

Наша следующая задача — показать, что каждым из четырех
интегралов /2, 4, Л, Ц можно пренебречь. Имеем

-0Ь

|/2|^ У (е2 + у2)1/4 ехрКе (	-)} х

о

х ехр	2л [п “24) е| I I-

Но Ке [(—е IV)"1] = — 8/(е2 -|- V2) < 0, и, значит,

| /21 < (е2 + &п. 91/4	< (г2 + да)1'*

е-^0.	(5.2.23)
Интеграл /5 оценивается тем же способом, и для него спра-
ведлива та же оценка (5.2.23) (с заменой /2 на /5).

Для /3 получаем

Поэтому

। г ।	/ 1 I л-2 \1/4	(	1 Г 2лп ) /	.	1 \	.

|/з|< (ж + 0л, к) ехр {—|ехр {—+	<

2!/4

Й1/2Д/1/2

! 2л«

г"#5"



Г я
ехр ~з

21/4	( л . 2лл)	п ,с г>

й1/2уу5/2 еХР |“з“ Н- -]уг| ’	8->0.	(5.2.24)

Здесь опять-таки (5.2.24) выполняется и для 7Й при замене 73
на 75-

Интегралы 7Х и 76 несущественными не являются, однако

—8

А + /б = У |и|1/2ехр^— -у-}ехр + 2л(п —	+

--ОО

4-00

+ у I и |1/2 ехр	ехр + 2л (^п — и| Ли =

—8

= -21 у /1/2ехр (п -I------------------Л1 = -2Шк.	(5.2.25)

8

Поэтому, устремляя е к нулю в (5.2.22), упрощаем это равенство:

ехР	к = —— 7-й + 2к1/2Нк + О (^3/2^ +

+ О (ехр&]	(5.2.26)
где все константы в О абсолютны. Следовательно, полагая



(5.2.27)

из (5.2.15), (5.2.19) и (5.2.26) видим, что

^-}^(П)) + о(ехр	+

р(п)= 2 (®л>*ехр
6=1	4

(й, /г)=1

0<й</г

п

= 2 («)^(п) + О (^72-ехр &}) + О (-Ь). (5.2.28)
к=1	'	I )/	\	/

Теперь Ак (п) имеет в точности тот же вид, что и в (5.1.1),
а последние слагаемые оба стремятся к нулю при А/’ -> оо. По-
этому последняя для нас задача состоит в том, чтобы показать,

что

(я)

&1/2 / с1 ((п/к) ((2/3) (х- 1/24))1/2)4

21/2л \йх	(х—1/24)1/2

(5.2.29)

А это уже можно сделать довольно легко, привлекая некоторые
классические результаты об интегралах Ханкеля. Во-первых,

т^ = т У 0)1/2ехР {жг+2п(п-2?)®}^ =

—оо

(0+)	°°

Г юУ2 ехр/2л(п —2

_4о	»=0

(л/(12#2а>))5
«I

(0+)
(л/(12/г2))5 С
51	3

— оо

(01/2-8 ехр I 2л ( п —

^8—1/2

-2» 2

8=0

(л/(12&2))'
з!

1 \ 1 8—3/2
2ГЛ

(0+)

йх =

1	(	1 X—3/2	[л2 (га— 1/24)/(б/г2)]5

“ (2л)1/2 \	24)	2^	5! Г (5-1/2)

'	’	5=0
где последнее равенство следует из формулы Ханкеля для пред-
ставления гамма-функции в виде контурного интеграла:

(0+)

Г(5— 1/2)	2лI Л 28-1/2

--00

Но

Г (5 - 1 /2) = (5 - 3/2) (х - 5/2) ... Г (1 /2)/2 =

= 2~5+1 л1/2 (28 - 3) (28 - 5) ... 3 -1.
Поэтому

V (Г2/4)5	_	1	/	. ।	/ 1 , ЗУ2	।	5/4	, А

ХЛ «!Г(з— 1/2)	2л1/2 V 'Г	\ 2! "г 4!	'	6!	//

5—0

= — 1 _1_ у2_^_ 'V' ^2п+1	= !_ (—1 □_ уз /сЬУ —1\\

2я1/2|	ауХ^(2п + 2)! / гл’/Д	ау\ у //’

и, значит, при 1 = — (-у ।

1г	1	1 \“3/2

« к ~ (2л)1/2 V 24/

=	24.

1 V1/2

24-/) видим, что

х=п

_	1	/_____1_\-з/2 / з&гуз а /сЫ\\	_

2з/2я V 24/ V л2 Лх к У ))х=п

1
З1^

Лх (л/й) ((2/3) (х- 1/24))1/2

' а ей ((л/й) ((2/3) (х — 1/24))1/2) ’

х=п

_	1 Га сй((л//г) ((2/3) (х—1/24))1/2)

21/2„ ах	(Х _ 1/24)1/2

Наконец, аналогично проанализируем из (5.2.27). Начнем
с классического вычисления определенного интеграла

.	(5.2.30)

х—п

у ехр{ ач 1} а/ = 2 У ехр с2и2 — Ли =	ехр {— 2ас}.

О	о

Поэтому

оо

С ехр{—с2/— а2/-1}	л1/2 (1 ехр{— 2ас} /к о ог

3	—	2с~~^ с 9	,

о
и, применяя (5.2.31) к Нк, видим, что

уу ______________1______/ (1 ехр {—л (2/3)1/2 с/к\ \	_

к 4л1/2 (/г — 1/24)	(Ъп^с }с=(п-1/24)1/2

= _	1 Г <1 ехр {—л (2/3)1/2 (х — 1/24)1/2АП	,- „

23/2л р*	(х-1/24)1'2	]х=/

Таким образом, из (5.2.27), (5.2.30) и (5.2.32) получаем

,1, <	Г А сЬ((л/^) ((2/3) (х-1/24))1/2)'

^п[<1х	(х-1/24)1'2 I “

к112 Л ехр {(—л/к) ((2/3) (х— 1/24)Д2}

— г’^л [ Лх	(х—1/24)1/2	Д=« =

_ № Г а 8Ь ((л/*) ((2/3) (X- 1/24))Ч2)-1

2^ [ ах (х-1/24)1'2	]х=/	(	’

а поскольку (5.2.33) и есть в точности (5.2.29), то теорема 5.1
полностью доказана.

Задачи

1.	Показать, что число разбиений п не более чем с двумя частями
(=р(«{1, 2}», п)) по теореме 1.4 равно [п/2] + 1; использовать следующее
разложение производящей функции:

1	= М2 , М2

(1-9)(1-92)	(1—— 9)2	(1-<?2)’

2.	Показать, что число разбиений п не более чем с тремя частями
(— р (« {1,2,3}», п)) по теореме 1.4 есть ближайшее целое к (1/12) (п + З)2;
использовать следующее разложение производящей функции:

1	1/6	,	1/4	,	1/4	,	1/3

(1 — 9)(1 — 92)(1 •—93)	(1—9)3 ^(1-9)2 + (1-92)	(1-93)*

Заметим, что задачи 1, 2 являются специальными случаями общего пред-
ставления Кэли:

1

(1-<?)(1-</2)...(1-<?‘) ~

2 1р12р2з₽3... 1₽‘Р1! р2!... Р1\ (1 - </Д(1 -	... (1 - /У1' ’

в котором суммирование ведется по всем разбиениям (1Р12 23Рз ... I 0 числа /.
Эта формула представлена в задаче 1 гл. 12 как специальный случай некоторых
результатов о многочленах Белла.

3*. Помимо т| (т) имеется много модулярных функций, обладающих форму-
лами преобразований, подобными формуле (5.2.2). В [10—17, 34] показано, что
если Н — множество целых, сравнимых с ±ах, ±а2, ..., ± аг по модулю к, то
существует представление для р («//», п) в виде ряда такой же формы, как в тео-
реме 5.1. В действительности то же верно и для р («А/» (<7), п)- 6 качестве при-
мера можно рассмотреть такой ряд для р (3), п) = р (<7, п) (следствие 1.2),
который разными способами был получен Хуа Ло Кеном, Йсеки и Хагисом:

где

р(3), п) = п

к нечетно

/1 IX	(—2п1пН

21 Х(М)ехр------------

к шод к

*~(к,к)=1

/г(24п + 1)1/2



Л (г) = 2

п=0

(г/2)2п+'
п\(п +1)! ’

а X 0»	— корень из единицы, возникающий из модулярных преобразований

для 2 Р (^>, п) <7П точно так же, как со/г к из (5.2.2).

п>о

4.	Помимо модулярных функций имеется класс функций, называемых тэта-
подобными функциями (введенных и изучавшихся Рамануджаном и Ватсоном;
см. задачу 12, гл. 2), для которых можно получать приемлемые представления
для коэффициентов. Например, пусть

ОО	2

1+(1 + <7)2(1 + <72)2 •  • (1 + <7п)2

Тогда можно показать, что

/и

к=\

хехр{д^(«-4)1/2) + 0('г6)’

где А& (п) — то же, что и в теореме 5.1.

Драгонетт указал на возможность того, что ошибка в этом выражении для
ап вообще может быть меньше, чем 1/2, по абсолютной величине. В частности,
сумма при п = 100 дает—18520.206, тогда как а100 = —18520; при п = 200
сумма дает — 2660007.847, тогда как а200 = —2660008.

5.	Доказательство результата из задачи 4 основывается на том факте, что

(<?)„ НЯ) = 1 + 4

П=1

(—1)" дЛ(ЗМ-1)/2
1 +7

Эта формула, принадлежащая Ватсону, выводима техникой, подобной той, что
используется в § 7.2.

Задачи 6—17 бегло очерчивают доказательство формулы (5.2.2) для т| (г) =
= еШ2/12/Р (е2ш2). Все следующие функции играют большую роль в этом до-
казательстве:

оо

О (г, §) =	2 (тг + п)~4 — л<^аг§з<л,	1гпг>0, Ке г > 2;

т,п = —оо

(т,п)	(0,0)

Уг =(аг + Ь)/(сг-у (I),
где а, Ь, с, й — целые, причем О и ай — Ьс = 1;

§ (?, 5) —	2 (тг + п) 5

т^О
с1т—сп>0

(условия на О(г,з) распространяются также и на §(г, $));

И(г, 5) = 2 (тг + пГ~5

т>0
п>(1гп1с

(с теми же условиями);

оо

Г(5) = У и8'~1е~~и йи, Ке8 > О

о

(это интегральное представление Эйлера для гамма-функции);

?(5) = 2 11 5’ $е5> 1

п=1
дзета-функция Римана);

А (г, 5) =	2 /г5~1е2шшл2,	1гпг>0;

т, /г>1

Н (г, з) = (1 4 еШ5) Л (г, 8);

ч VI С «5-1е-(сг + й^и/ч(/Й/С>“ .

Дг.з)-^] (!_ е-(«+</)«)	аи’

/=1 у 6 7 7

где {%} =х — [х]; [х] — наибольшее целое, не превосходящее х, а —сле-
дующий контур в н-плоскости, ориентированный против часовой стрелки:

6. Легко показать, что А (г, 0) = (л7г/12) — 1о^т](г); нужно лишь исполь-

зовать

тот факт, что 1о^ (1 — до) х

7.	= е 2ш‘5	(тг + п) 5 4-	(тг + п) 5 =

(сг 4- й)	т>0 или

(1т—сп>0	(1т—сп^О

= 0(2, 5) + (е'"2Я‘5— 1)^(2,5).

8. §(г, з) = еШ5г; (х) +еШ5/г(2> «)•
9. Для Ке г> — Л/с, 1т О

Г (5) И (2, 5) - 2^ ]

т>0 о
п>йт/с

и5 Чхр}—тги — пи}Ли =

и Хехр

т'Л + б/

Ли,

с

т',п'=С) 0

где т' = т — 1, п = п — [тЛ/с] — 1; здесь [х] — целая
10. Если во второй сумме из задачи 9 заменить п' на п
= рс + / — 1, 0 < р < сю, 1 < / с с, то это повлечет, что

часть х.

и положить т' =

Г ($) И (г, «) =

и ехр

ехр {—р (С2-{-Л) и—пи} Ли =

и5 1 ехр {— (С2 Д- Л) ]и/с 4- {]‘Л/с} и} ____

(1 — ехр {—(С2 Д- Л) и}) (ехр и — 1)

/=1

и5 1 ехр (сг + а) /и/с + {/а/с} и}
(1 •— ехр {—(С2 Д- Л) и}) (ехр и — I)

11. Применяя задачу 10 к задаче 8 (а значит, и к задаче 7), находим, что для
Ке 5 > 2, Ке г > — Л/с, 1т г > 0

(С2 + Л}~* Г (5) 6 (\'2, 5) = Г (5) 6(2, 5) •— 21 8Ш Л5 Г(5) ^(з) Д- е~П15Ь(2, 5).

12* (формула суммирования Липшица). Для 1тг>0 и Ке 5 > 1

2 (л+гг5=1-^ 2 п^п1пг
= —ОО	пД_(Х>0

13. Можно

разбить сумму О (г, 5) следующим образом:

6 (г, 5) = 2

11 ~ —с
П=#=0

2 2 (тг+«) 2 3 =

т>0 п = — оо

= (1+е"Д^) + 52+$3,

где согласно задаче

С ЛШ'5
о2 = е

12

(—2ш’)8Д(г,5)/Г(з),	53 = (—2л05 Л (г, 3)/Г(з) 

14. Результат задачи 13 можно переписать как

6(гМ=(1 + е"‘5) (8) + (1 + е"‘5) (-2л I)5 А (г, «)/Г (з),
что дает аналитическое продолжение 6 (г, 5) на всю комплексную 5-плоскость.
15.	Исходя из задачи 14 и определения Н (г, $), можно переписать задачу 11

в терминах Н(2,8)\

(сг + ^Г8 Н{Уг} 8) = Н(г, 8)

еШ5Г(з)(1 +^8)Е(5)
(2ш)8 (сг + ^)5

Г(5)(1 +^)^)	1(2, 5),

(2ш)8	(2ш)8

16.	Вычисление вычетов можно использовать, чтобы показать, что

1(г, 0) = 2ш (12с(сг + ф 1^- + «И- с) - 4)»
где 5 (й, с) из (5.2.6).

17.	Полагая 5 = 0 в задаче 15 и применяя задачу 16, можно показать, что
имеет место равенство

1ое г) (Уг) = 1о§ п(г) —	_|_ -к 1о§ (сг + А) — п1 &(А, с) +

этот результат эквивалентен равенству (5.2.2).

3 амечания

Первоисточником этой главе служит эпохальная работа Харди и Рамануд-
жана (1918). В своем изложении мы следовали работе [30], хотя Радемахер впо-
следствии (см. [31, 33]) и совершенствовал этот круговой метод. Несмотря на то,
что его позднейшие подходы элегантны и полезны в теории модулярных функций,
мы избрали именно его изначальный подход как легко применимый к задачам
о немодулярных производящих функциях (см. гл. 6). В книгах [3, 18, 24, 26,
33] превосходно излагается роль модулярных функций в теории разбиений.
Ряд важных асимптотических результатов о разбиениях, относящихся к гл. 5
и 6, см. в [8, 9]. Недавние работы по разработкам метода Харди—Рамануджана—
Радемахера указаны в [28, разделы Р68, Р72].

Задачи 1, 2 — [6, 29, 2]; задача 3 — [10—17] — многие случаи простого
[34] — случай произвольного & (см. также [21—23]); задача 4— [35, 7, 1];
задача 5— [35].

Доказательство (5.2.2), представленное в задачах 6—17, принадлежит
Берндту (частное сообщение) и представлено во много большей общности в [4, 5].
Метод Берндта, применимый к ряду модулярных функций, и концептуально,
и вычислительно проще иных методов; по-видимому, он должен найти широкое
распространение в теории разбиений.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Апдгехуз С. Е. (1966). Оп 1ке Гкеогегпз о! МЫзоп апд Пга^опеИе Гог
Катапи]ап’з тоск ГкеГа ГипсНопз. — Атег. Л. МаГк. 88, р. 454—490.

2.	А I к 1 п Л. (1970). Кезеагскез оп рагННопз. — ЭикеМаГк. Л. 38, р. 403—409.

3.	А у о и Ь К. (1963). Ап ТпГгодисНоп Го Гке Апа1уПс Ткеогу оГ Ииткегз. —
Атепсап МаГкетаНса! Бос., РгоУ1депсе.

4.	В е г п д Г В. (1973). ОепегаИгед Эедектд еГа-ГипсПопз апд ^епегаИгед
Бедектд зитз. — Тгапз. Атег. МаГк. Бос. 178, р. 495—508.

5.	В ег п д I В. (1975). ОепегаНгед Е^зепзИет зепез апд тодШед Эедектд
зитз.— Л. Кете Ап^еху. МаГк. 272, р. 182—193.

6.	С а у 1 е у А. (1898). Кезеагскез т Гке рагННоп оГ питкегз. — СоПесГед
МаГк. Рарегз 2, р. 235—249, р. 506—512.

7.	Рга^опеИе Ь. А. (1952). Боте азутрГоНс Гогти1ае Гог Гке тоск ГкеГа
зепез оГ Катапи]ап. — Тгапз. Атег. МаГк. Бос. 72, р. 474—500.
8.	Сгоззхуа1с1 Е. (1958). 8оте ГЬеогетз сопсегтпд рагННопз. — Тгапз.
Атег. МаГЬ. 8ос. 89, р. 113—128.

9.	Сгоззхуа1с1 Е. (1960). РагННопз тГо рпте рохуегз. — МкЫ^ап МаГЬ.
Л., 7, р. 97—122.

10.	Н а б 1 § Р* (1962). А ргоЫеш оп рагННопз хуИЬ а рпте тосЫиз р > 3. —
Тгапз. Атег. МаГЬ. 8ос. 102, р. 30—62.

11.	На§ 18 Р- (1963). РагННопз тГо ос!с1 зиттапёз.— Атег. Л. МаЫ. 85,
р. 213—222.

12.	Н а б 1 5 Р. (1964а). Оп а с!азз оГ рагННопз хуНЬ сИзНпсГ зиттапйз. — Тгапз.
Атег. МаГЬ. 8ос. 112, р. 401—415.

13.	Наб 15 Р- (1964Ь). РагННопз тГо ос!с1 апб ипециа! рагГз. — Атег, Л.
МаШ, 86, р. 317—324.

14.	Н а б 1 8 Р. (1965а). А соггесНоп о! зоте ГЬеогетз оп рагННопз. — Тгапз.
Атег. МаГЬ. 8ос. 118, р. 550.

15.	Н а б 1 8 Р* (1965Ь). РагННопз хуНЬ ос!с1 зиттапдз—зоте соттепГз ап<3
соггесНопз.— Атег. Л. МаГЬ. 87, р. 218—220.

16.	Н а б 1 § Р* (1965с). Оп Ше рагННопз оГ ап тГебег тГо сНзНпГ ос!с1 зит-
тапдз. — Атег. Л. МаГЬ. 87, р. 867—873.

17.	Н а б 1 8 Р. (1966). 8оте ГЬеогетз сопсегтпб рагННопз тГо ос!с1 зиттапдз.—
Атег. Л. МаГЬ. 88, р. 664—681.

18.	Н а г с1 у С. Н. (1940). Катапи]ап.—СатЬгИбе Чту. Ргезз, Ьопдоп апс!
Иеху Уогк (гергтГес! Ьу СИекеа, Иеху Уогк).

19.	Н а г с1 у (Э. Н., К а т а п и ] а п 8. (1918). АзутрГоНс Гогти1ае т сотЫ-
паГогу апа1уз1з. — Ргос. Ьопдоп МаГЬ. 8ос, (2), 17, р. 75—115. (А1зо, Со1-
1ес1ес1 Рарегз оГ 8. Катапи]ап, рр. 276—309. СатЬгМбе Чту. Ргезз, Ьопдоп
апб Иеху Уогк, 1927, герг1п1е(1 Ьу СЬезГзеа, Иеху Уогк, 1962).

20.	Ниа Ь. К. (1942). Оп Ше питЬег оГ рагННопз оГ а питЬег тГо ипециа!
рагГз.— Тгапз. Атег. МаГЬ. 8ос. 51, р. 194—201.

21.	I з е к 1 8. (1959). А рагНИоп ГипсНоп хуИЬ зоте сопбгиепсе сопсИНоп. —
Атег. Л. МаГЬ. 81, р. 939—961.

22.	I з е к 1 8. (1960). Оп зоте рагНИоп ГипсНопз. — Л. МаГЬ. 8ос. Л арап 12,
р. 81—88.

23.	I 8 е к 1 8. (1961). РагННопз т сеНат агНЬтеНс ргобгеззюпз. Атег. — Л.
МаШ. 83, р. 243—264.

24.	К п о р р М. I. (1970). Мос1и1аг РипсНопз т Апа1уНс ЫитЬег ТЬеогу.—
МагкЬат, СЫсабо.

25.	Ь е 11 т е г О. Н. (1939). Оп ГЬе гетатдегз апб сопуегбепсе оГ Изе зепез
Гог Изе рагННоп ГипсНоп. — Тгапз. Атег. МаПз. 8ос. 46, р. 362—373.

26.	Ь е 1з п е г Л. (1964). О1зсопНпиоиз Огоирз апб АиГотогртс РипсНопз.—
МаГЬетаНса! 8игуеуз, 14о VIII, Атег. МаГЬ. 8ос., РгоуМепсе.

27.	Ь е V е ц и е V/. Л. (1956). Тор1сз т 14итЬег ТЬеогу, Уо1. 2. — АЬсИзоп-
АУез1еу, КеасНпб, Мазз.

28.	Ь е V е ц и е V/. Л. (1974). Кеу1ехуз т 14итЬег ТЬеогу, Уо1. 4. — Атег.
МаП1. 8ос., РгоуИепсе/ К. I.

29.	МасМаЬоп Р. А. (1916). СотЬтаГогу Апа1уз1з, уо1. 2. — СатЬгИбе
11шу. Ргезз, ЬошГоп апб 1Чеху Уогк (гергтГес! Ьу СЬеТзеа, Иеху Уогк,
1960).

30.	Ка а етасЬег Н. (1937). Оп ГЬе рагННоп ГипсНоп р (п). — Ргос. Ьоп-
Ьоп Ма1Ь. 8ос. (2) 43, р. 241—254.

31.	КабетасЬег Н. (1943). Оп 1Ье ехрапзюп о! 1Ье рагНИоп ГипсНоп т а
зепез. — Апп. о! МаШ. 44, р. 416—422.

32.	К а (ТетасЬ ег Н. (1958). Оп 1Ье 8е1Ьегб Гогти1а Гог (п). — Л. ТпсИап
МаШ. 8ос. (И. 8.) 21, р. 41—55.

33.	КаёетасЬег Н. (1973). Тор1сз т Апа1уНс ИитЬег ТЬеогу—8ргтбег,
ВегНп.

34.	8иЬгатапуазза1г1 V. V. (1972). РагННопз хуИЬ сопбгиепсе сопсИ-
Нопз. — Л. ТпсИап МаГЬ. 8ос. 36, 177—194.
35.	а I з о п (л. Ы. (1936). Тке Нпа1 ргоЫет: ап ассошй о! Гке тоск-ГкеГа
ГипсНопз.— Л. Ьопбоп МаГк. 8ос. 11, р. 55—80.

36.	\О И ет а п А. Ь. (1947). А зит соппесГеб убГк Гке рагННоп ГипсНоп. —
Ви11. Атег. МаГк. 8ос. 53, р. 598—603.

37.	\О И ет а п А. к (1956). А зит соппесГеб УЙГк Гке зепез Гог Гке рагН-
Ноп ГипсНоп. — РасШс Л. МаГк. 6, р. 159—176.

З8.	*8егге б.-Р. (1970). Соигз (ГагНктёНцие. — Ргеззез Чту. бе Ргапсе,
Рапз. (Русский перевод: С е р р Ж--П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.)
39.* Чандрасекхаран К. Арифметические функции. — М.: Наука,
1975.

40	.* Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. —
М.: Наука, 1971.

41	.* П о с т н и к о в А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.:
Наука, 1977.

42	.* Успенский Я. В. Асимптотические выражения числовых функций,
встречающиеся в задаче о разбиении чисел на слагаемые. — Изв. Россий-
ской АН, 1920, 14, с. 199—218.

43	.* Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.:
Наука, 1977.
Глава 6

АСИМПТОТИКА БЕСКОНЕЧНОГО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ
ФУНКЦИЙ

6.1.	Введение

Как видно из гл. 1, многие функции разбиений своими
производящими функциями имеют бесконечные произведения.
Многие исследователи рассматривали асимптотику таких функций
разбиений. Здесь излагается весьма общая теорема Мейнардуса,
дающая асимптотическую формулу для целого ряда функций раз-
биений. Метод этой теоремы поддается обобщению и в конце главы
обсуждаются некоторые из возможных обобщений.

Будем рассматривать бесконечные произведения
оо	оо

Цт)= П (1 —?“)-«" = 1 -Ь 2 г(п)дп, (6.1.1)
п=1	П=1

где д = е~х и Ке т > 0 (или, эквивалентно, |^| < 1). Ограни-
чимся случаем неотрицательных действительных ап.

Будем также рассматривать ряд Дирихле

оо

1)(5)=2^’ 5=а+й’	(б-1-2)

п=1

который предполагается сходящимся при о > а, где а — поло-
жительное действительное число. Кроме того, предполагается, что
О (5) допускает аналитическое продолжение в области а

—Со (О <С0 <1) и в этой области О (5) аналитична, за иск-
лючением полюса порядка 1 при $ = а с вычетом А. Наконец,
предполагается, что

Щ5) = О(|^.)	(6.1.3)

равномерно в области о —Со при |/| -> оо, где — фикси-
рованное положительное действительное число.

Нам также придется использовать функцию

оо

§ (г) = 2 д = е~х.	(6.1.4)

«=1

Если т = у + 2л/х (где хи// — действительные), то предпо-
лагаем, что для | аг§ т| > л/4, |х|	1/2, выполняется неравенство

Ке (§• (т)) - § (у) ^—С2у~*

(6.1.5)
для достаточно малых у, где е — произвольное фиксированное по-
ложительное число, а С2 — подходящим образом выбираемое поло-
жительное число, зависящее от е,

С учетом этих определений сформулируем основную теорему.
Теорема 6.2. При п <х>

г(п) = Спйехр Д“/<а+1) (1 4-1/а)[ЛГ(а+ 1)Да + 1)]1/(«+1)| х

X (1 + О («“*«)), (6-1.6)

ОО

где Дз) = 2 т~3 — дзета-функция Римана,

С = ед'<°)[2л(1 4-а)]-1/2(АГ(а+ 1)Да+ 1)](1-2О(°))/(2+2а)) (6.1.7)

к1 = ——— 4-, 4--(6.1.9)
1 а + 1	\ а 4	2	/	'	7

6 — произвольное положительное число.

Доказательство этой теоремы основано на применении метода
перевала. В задачах, в конце этой главы, представлен ряд при-
ложений теоремы 6.2.

6.2.	Доказательство теоремы 6.2

При применении метода перевала нам понадобится информация
о поведении / (т) в полуплоскости Ке (т) > 0 и особенно около
т = 0; требуемой информацией снабжает нас следующая

Лемма 6.1. Если функции [ (т), О (з), § (т), т = у + 2п1х
удовлетворяют требованиям § 6.1, то

!(т) = ехр {ЯГ (а) Да + 1) т-“ - О (0) 1о§ т + О' (0) Д О (ус°)\

(6.2.1)

равномерно по х при у -> 0, | аг§ т|	л/4, | х| 1/2; существует

такое положительное ех, что

!(у + 2л/х)= О (ехр{Д Г(аК(а + 1)^-а — С3у"^\) (6.2.2)

равномерно по х при у$ |х|	1/2, у -> 0, где

0=1 +-Д(1-4), 0<6<4.	(6.2.3)

а С3 — фиксированное действительное число.

Доказательство. Заметим, что

ОО	ОО	ОО

10§/(т)=— 2 ^1°ё(1 — е~™) =2 а^кх- (6-2.4)
^=1	&=1	'\?=1
Напомним теперь, что является результатом преобразования
Меллина функции Г(з), т. е.

е~т = у т~®Г(8)Й8, Кет>0, о0>0.	(6.2.5)

а0— [оо

Применяя (6.2.5) к показательной функции в (6.2.4), видим, что

1о§/(Й=^г У т-Т (8)^(8 +1)0 (8)^8;	(6.2.6)

1 —[-0&— [ оо
перемена суммирования и интегрирования, необходимая для
получения (6.2.6), обеспечивается абсолютной сходимостью.

Наша цель теперь состоит в переносе прямой интегрирования
с прямой Ке т — 1 + а на прямую Кет — —Со. Прежде всего
отметим, что подынтегральное выражение в (6.2.6) имеет полюс
первого порядка при 5 = а и полюс второго порядка при $ = 0;
вычет при 5 = а есть, очевидно, т~аГ (а) (а + 1) Л. В окрест-
ности 5—0

Т-’Г(8)Д8 + 1)0(8)= (1 -510§Т Н-----)(-1_?-(-----) Х

X (4- + ?+•••)(0(0)4-0'(0)8 +•••) =

= 4- + (О' (0) — Л (0) 1о§т)-Г + • • • ;

поэтому вычет подынтегрального выражения в (6.2.6) при 5 — 0
равен Р' (0) — О (0) 1о§ т. Следовательно,

1о§ / (т) = ДГ (а) (а + 1) т~“ — О (0) 1о§ т +

— С0-Н’о°

+ О'(0) + ^Г- у т-Т(8)Д8 + 1)О(8)а8; (6.2.7)

— Со—[оо
перенос прямой интегрирования, осуществленный в переходе от
(6.2.6) к (6.2.7), допустим, поскольку для | аг§ т | < л/4 видим,
что

| т~а| = |т |"аехр ^аг§т} |^|~аехр {л |/|/4},
а для о Тд Со

П(5) = 0(|^)

(по предположению), тогда как классические результаты о С
и Г утверждают, что

? (8 + 1) = 0(|/|Ч

Г(8) = о(еХр{—

при I -> оо.
Наконец, заметим, что

—с0-н<х>

У Т-Т(5)Д5+ 1)0(5)^ =

— Со—1ОО

(оо	\

| т |со у ехр|—/ р1+С4+С5 с//I = О (| т ро) = О
— оо	/

(6.2.8)
(поскольку | аг§ т| л/4 влечет, что | 2яа| у и, таким образом,
|т|^У<2у). Равенство (6.2.1) теперь следует из (6.2.7) с учетом
(6.2.8).

Перейдем теперь к равенству (6.2.2); здесь рассмотрим два
случая: 1) у$ | а;| у!(2л) и 2) у/(2л)	|х|	1/2. Один или

оба из этих случаев могут быть пусты в зависимости от у, но,
поскольку мы интересуемся лишь окрестностью нуля, мы можем
всегда положить у достаточно малым, чтобы оба случая были
непусты.

В случае 1 видим, что

1 ।	। 2зт I х I	1	।	।	зт

I	т |	= —1, или | аг§ т |	~ ,

как и предполагалось ранее. Поэтому можно оценить (6.2.7) тем
же способом и показать, что

11о§ / {у + 2шх) I	АГ(а) Да + 1) | т + Сй 11оё у |. (6.2.9)

Все дополнительные члены, которые можно ожидать в правой
части (6.2.9), оцениваются сверху величиной Св 11о§ у |, поскольку
члены эти имеют меньший порядок (вспомним, что у близко к О
и поэтому 11о§ у | мажорирует любую неотрицательную степень у).

Вспоминая, что | т |2 = у2 + 4л2№, из (6.2.9) видим, что
1об |} (у + 2ш'х) I «= ЛГ (а) ь(а+1)У"а +

+ ЛГ (а) Да + 1) г/-“ [(1 + 4я^у-^)-^ - 1 ] + С№ 11о§ у | <

ЛГ (а) Да + 1) у~* -	| х |2 г/"2

ЛГ (а) Да + 1) у-л - С,г/-“+2 О-1 >. (6.2.10)

Переход к последнему неравенству следует из того замечания, что
при У -> 0+ (1 + АУ)-<*12 — 1 ~ —аАУ/%, а 11о§ у | мажориру-
ется любой отрицательной степенью у при у, близком к 0.

Теперь согласно (6.2.3) видим, что —а + 2 (|3 — 1) =
= —аб/2	—ех. Поэтому в случае 1

| / (у + 2ш'х) I ЛГ (а) Да + 1) у-а —	(6.2.11)

что эквивалентно (6.2.2).
В случае 2 (т. е. у/(2л)	|х|	1/2) из (6.1.4) и (6.2.4) видим,

что
ОО	ОО

1ое I Ку + 2ш'х) I — Ке (т)) = 2 а^ку со5 (2лЬх) с
к=2	т=1

^5т5а^ = Ьё/(У)-^(у), (6-2.12)
к=2	т=1

поскольку все неотрицательны. Теперь мы имеем исполнение
условий, необходимых для применения (6.1.5). Поэтому в случае 2

106 |/ (у + 2ш'х) | =С 1о§ / (у) + Ее (§ (т)) — § (у) =с

У ЛГ (а) Да + 1) У~а ~ С8у~Ё =С ЛГ (а) Да + 1) у~<* - С^.

(6.2.13)

Тем самым наша лемма полностью доказана.

Теперь мы подготовлены к выводу асимптотической формулы
для г(п).

Доказательство теоремы 6.2. Напомним, что
из интегральной теоремы Коши следует формула

То4-2Л/
г^=^г I =
То

1/2

-1/2

/ (у + 2шх) епУ+2п1п* с1х.

(6.2.14)

Мы хотим применить метод перевала для оценки этого инте-
грала. Поскольку максимум абсолютной величины подынтеграль-
ного выражения достигается при х = 0 и поскольку при х = 0
из леммы 6.1 следует, что это подынтегральное выражение хорошо
аппроксимируется функцией

ехр {ЛГ (а) Да + 1) у~а + пу\,

то метод перевала требует минимизировать это выражение, т. е.
мы должны потребовать, чтобы у было выбрано так, чтобы

4~ехр{ЛГ (аЩаД 1)г/-“ + п#{ = 0.

Поэтому полагаем

у = п-1/(а+1) (аЛГ (а + 1) Да + 1))1/(«+1).	(6.2.15)

Для упрощения обозначений положим

т = пу = «“/<“+!> (аЛГ (а + 1) Да + 1 ))Г(“+1).	(6.2.16)

Из (6.2.14) видим, что

г(п) = ет У / (у + 2гах) еЖпх с1х + етк1, (6.2.17)
где

-У$	1/2

/?!= У +	/ (у 4- 2л/х) еМп* Лх (6.2.18)

-1/2	уР

и Р из (6.2.3). Интервал интегрирования разбивается на две
части так же, как рассечение Харди — Рамануджана — Фарея
применялось к производящим функций разбиений в гл. 5. Для
понимания появления условия (6.2.3) заметим, что мы уже им
явно пользовались в доказательстве леммы 6.1 для того, чтобы
—а + 2 (р — 1) было малым отрицательным числом.

По лемме 6.1

Ях = О (ехр {( V)"* ЛГ (а) Да + 1) - С3 (^Р}) (6.2.19)
при п -> оо (т. е. у = т/п 0). Поэтому

ехр {т}	= О (ехр [0 + т ~ С9/пв«^	(6.2.20)

\ I X & '	) /

при П -> оо.

Соотношение (6.2.20) обеспечивает нужную оценку второго
члена в (6.2.17), Мы должны теперь подсчитать основной интеграл.
Выберем п п2 пъ где п2 достаточно велико, так что
2л (т/п)®—1	1 (это вполне допустимо, поскольку Р > 1 и

т/п -> 0 при п -> оо). Теперь по лемме 6.1

(/п/и)3

г(п) = ехр/(1+—) т-|-Р'(0)1 С ехр {срх(х)}с/х + ехр{т}7?х,

(6.2.21)
где

Ф1М_^[(1+2^-)^-1] +

+ 2птх - О (0) 1о§ (-5- + 2я«) + О (т-с.Л). (6.2.22)

Отметим, что выбор пг гарантирует, что на всем интервале интег*
рирования 1/2, а выбор п2— что аг§ т л/4.

Сделав замену 2лх — {т/п) со, получаем

г(п) = ехр((1 +4") т~ (О(°) — 1о8“Г	(°) — 1о§24‘; +

+ ехр {т}	(6.2.23)

где

с1от(1-Р)/“

1= У ехр {<р2 (со)} й®	(6.2.24)
и

ф2 (®) = т (а(1^.ю)а ~ 4~ +	~ (°) 1о§ 0 +	+ 0 (т~с°/а)

(6.2.25)
при т -> оо.

Наша задача теперь свелась к получению асимптотического
выражения для /. Во-первых,

с1от(1-₽)/“

/= у ехр{----------------*) ®2}	Р2,	(6.2.26)

-с1ота-₽)/“

где

с1от(1-₽)/“

Р2 = У ехр т 1 и2|(ехр {ф3(®)| — 1) Ло, (6.2.27)

-с1от<1~0)/«

. \	/	1	I ... ос —I- 1	2\

ср, (о) = т -----------------к I® 4---Д— со2 —

тз к '	\а(1 +г)а а 1	2	)

- П (0) 1о§ (1 + ко) + О (т~с^ (6.2.28)

при т -> оо. Для п > п3 п2 выберем п3 достаточно большим»
чтобы неравенство | со | < 1 выполнялось на всем интервале инте-
грирования. Следовательно,

/	1	1 . •	.	-4" 1	9

т ---------=-------Н® 4—-н-— ®

\а(1-Н<о)“ а	2

=т[42(а+/ 1)(-1)/^-4+г’(о+^г1й)2] =
/>о

=	“ )(—I)717®7 = о (т I ® I3) = О (т<“+3 <1-Р))/“),

/>3

(6.2.29)
в то время как

106(14-1®) = — 2 (~1).,/а>/ = 0(|®|) = 0(т^/а). (6.2.30)
/>1

Стало быть, при т -> оо

ехр {ф3 (®)} - 1 = О (| фз(ш) |) =

= О (тС“+3 (1-₽)1/а 4-	т-С„/а) = д (т-14), (6.2.31)

где в силу (6.2.3)

^=™п&4-т)-	(6-2-32)
Поскольку длина интервала интегрирования в (6.2.27) есть
О	видим, что при т —> оо

/?2 = О (т-^),	(6.2.33)

где

р2 = ш1п(А+_’___6_, 1-б).	(6.2.34)

Итак, для интеграла (6.2.26) имеем

У ехр |-----1) ю2} =

С„тв/4

= (-1-т (а + 1)} 1/2 У	ехр {—г2}	=

-Сптв/4

= (тй^пг)172 + 0 ехР Ь^Ч). (6.2.35)

Поэтому, из (6.2.26), (6.2.33) и (6.2.36) следует, что при т -> оо

Мтг+пг),'!<1+о («->.)).	<62-36)

где

Из = тш(4-4, |-б)-	(6-2.37)

Наконец, согласно (6.2.17), (6.2.20), (6.2.33) и (6.2.36) видим,
что при т -> оо

г(п) = ехр{(1 +4}/п-(П(0) -1)1о§4 + П'(0)} х

X (2лт (а 4- 1 )-1/2(1+0 (т~^)). (6.2.38)

Используя (6.2.16) для замены т функцией от п, получаем в точ-
ности (6.1.16). Тем самым теорема 6.2 доказана.

6.3. Приложения теоремы 6.2

Теорема 6.2 применима к целому ряду функций разбиений,
рассматриваемых в гл. 1 и 2; она также доставляет асимптоти-
ческие формулы и для функций плоских разбиений (см. задачу
6 гл. 11).

Теорема 6.3 (см. (5.1.2)).

₽('!)~7ЛТехр
Доказательство. В теореме 6.2 положим ап = 1
для всех п; тогда

Г («) = /?(«), Л(8) = Д8)

(Г(0) = -4-Ьё2л, Д0)=-4-> Я(Д = (1

Довольно легко проверить выполнимость условий (6.1.3)—
(6.1.5) и, подставив соответствующие значения в теорему 6.2,
получим требуемое.

Теорема 6.4. Пусть Нк, а — множество всех положитель-
ных целых, сравнимых с а по модулю к. Тогда для 1 < а <к
р(«нк>а», п) ~ Спк'ехр {л(<)1/2},
где

С = Г(—) Л(а/*)-1 2~(3/2)" <а/<2*)> 3-(°/(ЭД) /г-1/2+(а/(2к)^

Этот результат получается в точности тем же способом, что
и теорема 6.3. Здесь О(з) = й-5^(8, а/к), где

Д8, 1г)= 2(п + /г)-5

— дзета-функция Гурвица и §($) — е~~ах (1 —

Задачи

1.	Пусть Нк обозначает множество положительных целых, сравнимых
с а или —а по модулю к. Тогда для простого к и 1 < а < к! 2

Р («Нк, ±а»>

ч	созес (ла/к)

п) ^к^

п 3/4ехр{2яй)1/2}-

2.	При вычислении г(п) из теоремы 6.2 использовалась логарифмическая
производная:

оо	/ оо	\—1	оо	оо _____

2пг(я)</П(2Г^9"/	108 П ~ ‘М~ап = 2

п=1	\ п=0	/	п=1	И=1	|М /

Показать, что отсюда следует равенство

п

пг(п) = 2 г(п — /) О/,

/=1

где Д- = 2 <1аЛ.
а 11

3.	Показать, что условие ] ап =---Н 0(/а”8) влечет непрерывность

И (5) для Не 5> а — 8 с полюсом первого порядка вычета А при 8 = а.
4.	Если

АУ
а

X] тате Кт '= -И- Г У+1е и (11 = — %-а-1Г (а+ 1).
6С Л	ОС

т—\

0

5.	Если ап неотрицательно и 2
доказать, что

для всех / О, то можно

г(п) <ехр |па/<а+1) (1+^-) (ДГ(ос+1) (ос-|- 1))1^а+1^ = ехр {спа^а+1)}.

Для этого использовать тот факт (см. задачу 2), что
п п,
пг(п)= 2 2 а»у

Й=1 0=1
ки<п

требуемое нам неравенство тривиально при п~ 1, и можно использовать реку-
рентность для его доказательства по индукции. Опишем вкратце эту процедуру:
п п

пг

к=1 о=1
ки<п

с^и ехр/т0^0^"1)

&=1 0=1

саки

=Сехр {спа/(а+1)

/?=1 о

= (задача 4 при К — сакп~~ 1 (а -|- О*”1) =

= ехр {та/(а+1)} А а 1Г(а4-1) =
к=л

= ехр {та/(а+1)} ДГ (а + 1) с~а~хп (а+ 1)а+1 ?(а + 1) =

= пехр {т0^0^1)} с~~а~1 [Дос”00"*1 (ос+ 1)а+1 Г(ос -|~ 0^(а+ 01 =

= пехр |сп(ау/(а+1)} ^так как с

Следующие задачи знакомят с некоторыми из весьма непростых исследова-
ний Мейнардуса о разбиениях с разностью (1 между частями.

6.	Если Д а (п) обозначает число разбиений п с разностью между частями
по крайней мере б/, то

Ра(Я> =2а^)'?'! = 2

/2>0

п=0

д4п(п-1)/2 + п
7*. Используя (2.2.5) и (2.2.10), доказать, что

Ра (?) = Кее Ц- (ом/)-1 (/; /)тс (—оз-1; <?й)оо (—«>/; /)„! •
о—01

8*. Формула из задачи 7 для Ра (д') дает информацию о поведении Ра (д)
при | д\, близком к 1. Используя круговой метод, доказать, что

&а (п) — ехр {2 (Л^)1/2{,
где

с"" Т7Г ',;Л К”-’'"' <“	+ ’>Г

г=1

где <&а — положительный действительный корень уравнения ха + х — 1 = 0.

9.	Доказать, что А2 = л2/15 (ср. с задачей 1 при а = 1,6=5; следствие 8.6
также можно использовать для получения того, что Д2 (п) = г (п))-

10*. Если Н есть объединение конечного числа арифметических прогрессий
вида {а; + пЛ4)п=0 (1	/ -С г, 1 щ М), то р («Я» (<1), п) — число

разбиений п на различные части из Н — является монотонно возрастающей
функцией для достаточно большого п тогда и только тогда, когда НОД (ах,
а2, ..., аг, М) = 1.

И*. Функция разбиений р («Я» (<1), п), введенная в задаче 10, удовлетво-
ряет следующему асимптотическому соотношению:

„) = 2<г-3>/2-р1+«2+--лОг)/м3-1^3^/^Ж) X

х(1+О(п-1/2+6))

при условии, что НОД (а1? а2, •••, ап /И) = 1.

12*. Число рп'к (= р (п, 6, п) — р (п, 6—1, п)) разбиений п равно
на 6 частей унимодально по 6, если п достаточно велико (т. е. существует 6х=
= к-! (п) такое, что рп<к > рп> А+1 для к > и рп,к < Рп, к+1 Для к < к]).

13*. Почти все разбиения л0 числа п (т. е. за исключением о (р (п))) имеют
# (л0) слагаемых, где

#(«0) —<Упю(п),

где (п) — неубывающая функция, стремящаяся к бесконечности по п.

14*. Если 0 <а < 1/2, то почти все разбиения п (т. е. за исключением
о (р (п))) содержат

(1 +о(1)) а!^-1о§п

слагаемых, которые не превосходят па(]/б/л).

15*. Пусть 6 > 2, 6> О фиксированы. Для каждого разбиения Л/ числа п
обозначаем через 5/ число различных слагаемых этого Л/. Тогда множество це-
лых, являющихся общими слагаемыми для каждого из разбиений л1э л2, ..., л&
числа п, по крайней мере так же велико, как ((1/6) — 6) шах 5/ для почти всех
1^/Хб
^-выборок (ль л2,	Л&) из разбиений п (т. е. за исключением о(р(п)*) &-выбо-

рок из разбиений п).

16.* Если в ^-выборках из задачи 15 ограничиваться разбиениями с различ-
ными частями, то имеет место аналогичный результат; при этом ((1М — 6) за-
меняется на [1/(&2й1о^2) — 6], а р(п) заменяется на р(^>, п).

Замечания

Отдавая предпочтение работам Мейнардуса при цитировании источников,
нельзя не отметить целый ряд замечательных работ по теме этой главы, как то:
[15, 3, 1, 14, 16, 29, 33, 34, 40, 41, 42]. Недавно в [25, 26, 27] были рас-
ширены результаты весьма важной работы [29], а в [30, 31, 32] получены
существенные продвижения в этой области. Обзор этого направления представ-
лен в разделе Р72 в [20].

Задача 1 — [21]; задача 2, случай а& = 1,— [38], хотя весьма близкие
результаты были получены еще Эйлером; случай аа — с!— [22]; задачи 3—5
представляют собой модификацию результатов [4] о функции р (п); задачи 6—8
приведены в [24]; задача 9— [39]; задача 10— [2]; задача И — [25]; за-
дача 12— [34]; задача 13— [5]; задача 14— [37]; задача 15— [35, 37]; за-
дача 16— [36, 37].

В задачах 13—16 представлены статистические аспекты разбиений. За более
подробной информацией об этих статистических аспектах и связанных с ними
статистических вопросах теории групп отсылаем к [5—12, 17—19, 28, 35—37].

ЛИТЕРАТУРА

1.	Аи1иск Р. С., Н а 8 е 1 § г о V е С. В. (1952). Оп 1п&ЬапГз ТапЬепап
{Иеогет Гог рагННопз. — Ргос. СатЬпд&е РЫ1. Зое. 48, р. 566—570.

2.	Ва1 еш ап Р.,Ег(1б8 Р. (1956). Мопо1ошсЛу о! рагННоп ГипсНопз. —
МаШешаНка 3, р. 1—14.

3.	В г 1 & 11 а ш И. А. (1950). А ^епега! азутр{о{1с Гогши1а Гог рагШюп Гипс-
Нопз. — Ргос. Атег. Ма{Н. 8ос. 1, р. 182—191.

4.	Е г до 8 Р. (1942). Оп ап е1етеп!агу ргоо! о! зоте азутр{о{1с ТогтЫаз
т {Не {Неогу о! рагШюпз. — Апп. о! Ма{Н. 43, р. 437—450.

5.	Е г (1 6 з Р., Ь е И п е г Л. (1941). Тке (Нз1пЬиНоп о! {Не питЬег о! зит-
тапбз т {Не рагННопз о! а розШуе Ые&ег. — Пике МаШ. Л. 8, р. 335—345.

6.	Е г (1 6 з Р., Т иг ап Р. (1965). Оп зоте ргоЫетз о! а з!аНзНса1 &гоир
{Неогу, I. — 2. АУаНгзсНе1пНсНке1{з{Неог1е ипд Уегху. ОеЫе1е 4, р. 175—186.

7.	Е г д 6 з Р., Т иг ап Р. (1967а). Оп зоте ргоЫетз о! а з!аНзНса1 &гоир
{Неогу, II. — Ас!а Ма{Н. Асад. 8сЬ Нип^аг. 18, р. 151—163.

8.	Е г д б з Р., Т и г ап Р. (1967Ь). Оп зоте ргоЫетз о! а з1аНзНса1 &гоир
{Неогу, III. — Ас1а Ма{Н. Асад. 8сЬ Нип&аг. 18, р. 171—173.

9.	Егддз Р., Т и г ап Р. (1967с). СеНат ргоЫетз о! з1аНзНса1 &гоир
{Неогу.— Ма&уаг Тид. Акад. Ма1. Р12. Озг{. Ког1. 17, р. 51—57.

10.	Е г д 6 з Р., Тигап Р. (1968). Оп зоте ргоЫетз о! а 81аНзНса1 &гоир
{Неогу, IV. — Ас1а МаШ. Асад. 8с1. Нип&аг. 19, р. 413—435.

11.	Е г д 6 з Р., Т и г а п Р. (1971а). Оп зоте &епега1 ргоЫетз 1п {Не {Неогу
о! рагННопз, I. — Ас1а АШИ. 18, р. 53—62.

12.	Е г д 6 з Р., Т и г а п Р. (1971Ь). Оп зоте ргоЫетз о! а з1аНзНса1 &гоир
{Неогу, V. — Регюд. Ма{Н. Нип&аг. 1, № 1, р. 5—13.

13.	Нагду О. Н., к ат а пи] а п 8. (1918). АзутрЫНс ТогтЫае 1п сотЫ-
па{огу апа1уз1з.—Ргос. Ьопдоп Ма{Н. 8ос. (2) 17, р. 75—115. (А1зо т Со1-
1ес{ед Рарегз о! 8. Катапи]ап, рр. 276—309. СатЬг1д^е 1Лшу. Ргезз, Сат-
Ьпд&е, 1927; герпЫед Ьу СНе1зеа, Нехлг Уогк, 1962).

14.	Н а з е! §г о V е С. В. Тетрег1еу Н. И. V. (1954). АзутрЫНс !огти-
1ае 1п {Не {Неогу о! рагШюпз. — Ргос. СатЬпд&е РИП. 8ос. 50, р. 225—241.

15.	1п^Нат А. Е. (1941). А ТаиЬепап {Неогет Тог рагШюпз. — Апп. о! МаШ.
(2) 42, р. 1075—1090.
16.	КоЬ1Ьескег Е. Е. (1958). АУеак азутрГоНс ргорегНез о! рагННопз. —
Тгапз. Ашег. МаШ. 8ос. 88, р. 346—365.

17.	Ь е 11 т е г В. Н. (1972а). Оп гес1ргоса11у чу'ех&Ыес! рагННопз. — Ас1а АгНЬ.

21, р. 379—388.

18.	Ь е 11 т е г В. Н. (1972Ь). Са1си1аНп& тотепГз о! рагННопз. — Ргосеебт^з
о! 1Ье Зесопб МапкоЬа СопГегепсе оп Митепса1 МаГЬетаНсз, Ос1. 5—7,
1972.

19.	Ь е 11 т е г В. Н. (1972с). Зоте з!гис1ига1 азресГз о! Н1е рагННопз о! ап
1п1е^ег, — Ргосеебт^з о! Н1е 1972 МитЬег ТЬеогу СопГегепсе, ХЛтуегзИу
о! Со1огабо, Вои1бег, р. 122—127.

20.	ЬеУедие ДАЛ Л. (1974). КеУ1ехуз т МитЬег ТЬеогу, Уо1. 4. — Атег.
Ма1Ь. 8ос. РпМбепсе, К. 1.

21.	Ь 1 у 1 п о о (1 Л. (1945) А рагННоп ГипсНоп хуНЬ 1Ье рпте тоби1из
р>3. — Атег. Л. МаН1. 67, р. 194—208.

22.	МасМаЬоп Р. А. (1923) ТЬе соппехюп ЬеГхуееп 1Ье зит оГ 1Ье здиагез
оГ 1Ье (Ну18огз апб 1Ье питЬег оГ рагННопз оГ а &1уеп питЬег. — Меззеп^ег
оГ МаН1. 52, р. 113—116.

23.	М е 1 п а г (1 и з О. (1954а). АзутрГоНзсЬе Аизза&еп йЬег РагННопеп. —
Ма1Ь. 2. 59, р. 388—398.

24.	М е 1 п а г (1 и з О. (1954Ь). ОЬег РагШопеп тН ВШегепгепЬебт^ип^еп. —
МаГЬ. 2. 61, р. 289—302.

25.	К 1 с Ь т о п б В. (1972). Оп а соп]ес!иге оГ Апбгехуз. — ХЛНШаз МаН1. 2.

26.	К 1 с Ь т о п б В. (1975а). АзутрЬНс ге1аНопз Гог рагННопз. — Л. МитЬег
ТЬеогу 7, р. 389—405.

27.	К 1 с Ь т о п б В. (1975Ь). А &епега1 азутрГоНс гезиИ Гог рагННопз. — Сапа-
(Пап Л. МаН1. 27, р. 1083—1091.

28.	К 1 с Ь т о п б В. (1975с). ТЬе тотепГз оГ рагННопз, I. — АсГа Ан1Ь. 26.

29.	К о I Ь К. Р., Зхекегез Сх. (1954). Зоте азутрЬНс Гогти1ае 1п 1Ье
ГЬеогу о! рагННопз. — (ЭиагН Л. МаН1. ОхГогб 8ег. (2) 5, р. 241—259.

30.	8 с Ь \у а г 2 АУ. (1967). С. МаЫег’з РагННопзргоЫет. — Л. Кете Ап^еху.

' МаГЬ. 229, р. 182—188.

31.	8 с Ь ху а г 2 АУ. (1968). ЗсЬхуасЬе азутрГоНзсЬе Е1^епзсЬаПеп уоп РагН-
Нопеп.— Л. Кете Ап^еху. МаН1. 232, р. 1—16.

32.	8 с Ь ху а г 2 УА (1969). АзутрГоНзсЬе Рогте1п Гиг РагННопеп. — Л. Кете
Ап^еху. МаГЬ. 234, р. 174—178.

33.	8 2 е к е г е з О. (1951). Ап азутрГоНс Гогти1а т 1Ье ГЬеогу оГ рагННопз.
I. — (ЭиагН Л. Ма1Ь. ОхГогб 8ег. (2), 2, р. 85—108.

34.	8 2 е к е г е з О. (1953). А азутрГоНс Гогти1а т 1Ье ГЬеогу оГ рагННопз,
II. — (ЭиагН Л. МаН1. ОхГогб Зег. (2), 4,'р. 96—111.

35.	Т и г а п Р. (1973). СотЫпаГопсз, рагННопз, &гоир ГЬеогу. — Ргосеебт^з
оГ 1Ье 1п1егпаНопа1 СоПодишт оп СотЫпа1опа1 ТЬеопез, Коте, ЗерГет-
Ьег 3—15, 1973.

36.	Т и г а п Р. (1974). Оп а ргорегГу оГ рагННопз. — Л. МитЬег ТЬеогу 6,
р. 405—411.

37.	Т и г а п Р. (1975). Оп зоте рЬепотепа т 1Ье ГЬеогу о! рагННопз. — Лоиг-
пеез АгИЬтеНдиез бе Вогбеаих, 8ос1е1е МаГЬ. бе Ргапсе, АзГепздие 24—25,
р. 311—319.

38.	V а Ь 1 е п К-Т. (1893). ВеИга^е ги етег аббШуеп ХаЫепГЬеопе. — Сге11е
Л. 112, р. 1—36.

39.	АУ а I з о п О. М. (1937). А поГе оп Зрепсе’з 1о&ап1Ьт1с НапзсепбапН —
(ЭиагН Л. МаГЬ. ОхГогб Зег. (2) 8, р. 39—42.

40.	АУ г 1 Ь 1 Е. М. (1931). АзутрГоНс рагННоп Гогти1ае. I. — (ЭиагН Л. МаШ.
ОхГогб Зег. (2) 2, р. 177—189.

41.	АУ г 1 Ь 4 Е. М. (1933). АзутрГоНс рагННоп Гогти1ае, II. — Ргос. Ьоп-
боп Ма1Ь. Зое. (2) 36, р. 117—141.

42.	АУ г 11 Ь 1 Е. М. (1934). АзутрЬНс рагННоп Гогти1ае, П1. — Ас1а МаШ. 63-
Глава 7

ТОЖДЕСТВА ТИПА РОДЖЕРСА —
РАМАНУДЖАНА

7.1.	Введение

Тождества Роджерса — Рамануджана составляют одну из
наиболее интересных глав истории разбиений. Рассказ о них
принято начинать с переписки гениального индийского матема-
тика Рамануджана и профессора Харди. В своем первом письме
к Харди, датированном 16 января 1913 года, Рамануджан сфор-
мулировал несколько изящных теорем о непрерывных дробях:
две из них представляют для нас особенный интерес:

В статье «ТЬе ТпсНап Ма1ЬетаНс1ап Каташцап» (Атег.
Ма1Ь. Моп1Ыу, 1937, 44, р. 144) Харди так отзывался о них
«[Эти формулы] совершенно поразили меня. Никогда я не
видел ничего подобного. Одного взгляда на них достаточно, чтобы
уяснить, что написаны они математиком высочайшего класса.
Они должны быть верны уже хотя бы потому, что в противном слу-
чае никакая фантазия не привела бы к ним».

Перед тем как закончить изложение этой истории, полезно
посмотреть, как эти две непрерывные дроби связаны с теми мате-
матическими конструкциями, которые мы уже рассматривали
ранее. Рассмотрим функцию Р (х), аналитичную по х в О, Р (0) =
= 1, и такую, что она удовлетворяет следующему ^-разностному
линейному уравнению второго порядка:

Р (х) = Р (%7) + хдР (хд2).	(7.1.1)
Тогда, если с(х, д) = Р(х)/Р (хд), то

с (х, д) = 1 + ,хд , = 1 + ———. (7.1.2)
к	1 с(хд, ц) 1 1 + (х(?2/с (хд2, <?))	'	7

и, значит, смысл теоремы Рамануджана о непрерывных дробях
заключается в вычислении с(1, г2я) и с(1, —е-я).

Если мы теперь представим Р (х) в виде ряда

Г(Д= 5 Ап(д)хп
п^О

и подставим его в (7.1.1), то, приравнивая коэффициенты при
хп, получим

Ап (<?) = дпАп (?) + д^А^ (?).	(7.1.3)

Поэтому

_2п-1	д(2п-1)+(2л-3)

(<?) = х_дП А„_] (?) = (! _^(1_дп-1) Ап_2 (д) = • • • =

Значит,

Оказывается, что Р (1) и Р (д) можно выразить в терминах беско-
нечных произведений (что мы докажем в этой же главе), именно,

р (1 \ _ 1 I Ч I_________5_______|____________________I .	—

т	(1^^) -Г (1_^)(1_92)(1_93) -Г

= П (1 - ?5"+1)~1 (1 - ?5"+4)-1, (7.1.6)
гг=О

Р (а\ = 1 _|_ -I_________д-______।_________д—___________и .	=

КЧ) Т	(1 _ ?) (1 _ ^2) Т (1 _ ?) (1 _ ?2) (1 _ цЗ) "г

= п (1 - ?5п+2)~1 (1 - ?5"+3)-1« (7.1.71
п=0

Представляя теперь с(1, д) = Р(1)1Р(д) через бесконечные
произведения (7.1.6) и (7.1.7) и используя методы теории эллипти-
ческих тэта-функций, можно получить теоремы Рамануджана
о непрерывных дробях.

Харди утверждал, что «трудно было бы отыскать формулы более
красивые, нежели тождества Роджерса—Рамануджана»; в сле-
дующем отрывке, взятом из [31, с. 91], он так кратко излагает
начальный период истории этих тождеств:

«Они [тождества] были впервые открыты в 1894 году Род-
жерсом — математиком большого таланта, но сравнительно малой
известности, памяти о котором мы во многом обязаны переоткры-
тию его результатов Рамануджаном. Роджерс был прекрасный
аналитик, чьи способности, хотя и в меньшем масштабе, были
сродни таланту Рамануджана; но никто не проявлял особого
интереса к тому, что он делал, и работа, в которой он доказал
эти формулы, прошла незамеченной.

Рамануджан переоткрыл эти тождества незадолго до 1913 года.
Тогда он не имел их доказательства (и знал это), и ни один из
математиков, к которым обращался я с этими формулами, не мог
их доказать. Они, стало быть, были приведены без доказатель-
ства во втором томе «Комбинаторного анализа» Мак-Ма-
гона.

Ситуация разрешилась в 1917 году. В тот год Рамануджан,
просматривая старые номера трудов лондонского математического
общества, случайно натолкнулся на работу Роджерса. Я хорошо
помню то удивление и восхищение, которые она у него вызвала.
Последовала переписка, в процессе которой Роджерс пришел
к значительному упрощению своего исходного доказательства.
В то же самое время эти тождества опять были переоткрыты,
на этот раз Шуром, отрезанным от Англии войной; он опубли-
ковал два доказательства, одно из которых — «комбинаторное»
и совершенно не похоже ни на какое другое известное доказатель-
ство. Сейчас имеются семь опубликованных доказательств: че-
тыре уже указанных, два сильно упрощенных доказательства,
полученные позже Рамануджаном и Роджерсом и опубликованные
в Рарегз, и, наконец, полученное много позже доказательство
Ватсона, основанное на совершенно иных идеях. Ни одно из этих
доказательств не может быть названо и «простым», и «лобовым»,
поскольку простейшие из них являются по существу формаль-
ными проверками, и, без сомнения, было бы неосновательно рас-
считывать на действительно легкое доказательство».

Замечания Харди о несуществовании действительно легкого
доказательства тождеств Роджерса — Рамануджана сохраняют
свою силу и по сей день. Подход, используемый здесь, относится
к одному из «проверочных» (по Харди) доказательств, хотя он,
вероятно, покажется и неуместным для такой книги. Можно
отстаивать сделанный выбор — подход весьма плодотворен в рас-
ширении класса тождеств типа Роджерса — Рамануджана; мы
покажем, что тем же способом можно изучать и другие тождества
с разбиениями; в качестве примера мы докажем не только тож-
дества Роджерса — Рамануджана, но также и их замечательное
обобщение Гордона, одинаково как и некоторые другие тождества,
независимо принадлежащие Гёллницу и Гордону.

В каждом отдельном случае оказывается, что теоремы о
разбиениях соответствуют тождествам производящих функций.
Интерпретации (7.1.6) и (7.1.7) в терминах разбиений представ-
лены в § 7.3. По желанию читатель может ознакомиться лишь
с формулировками лемм 7.2—7.4 и прямо переходить к теоремам
о разбиениях в § 7.3.

7.2.	Производящие функции

Будем рассматривать следующие ряды при |х|<|^|“1,

н (п. V. п\— "V	мап(1 -х‘д2п1)(ахдп+1)оо(а *)„

/1=0

К I (а; х- Ч) = Нк, I (а; хд; д) — хдаНк, ,_х (а; хд; д).	(7.2.2)

Отметим, что для а допустимо любое значение, даже а = 0,
поскольку ап (а^)п = (а — 1) (а — д) ... (а — дп~г) — это просто
многочлен от а, чье значение в нуле равно (—1)" дп(п-№.

Мало чем можно мотивировать формулы этого параграфа.
Фактически обширная практика теории базисных гипергеометри-
ческих рядов и тождеств разбиений показывает, что «хорошо
уравновешенные» базисные гипергеометрические ряды доставляют
производящие функции для целого ряда семейств тождеств с раз-
биениями. Так, ряд (7.2.1) (бесконечные произведения можно
вынести: ^ап(АдпУ^ = 04)^2алС4л)±!) представляет собой
пример хорошо уравновешенного ряда.

Лемма 7.1.

Нк,1{а\ х; д) —Нкг1_1(а; х; д) = х1~^к,к_1+1(а; х; д). (7.2.3)
Доказательство. Замечая, что

д~1п (1 _ х*д™) _ д~ «-!) « (1 _ х1-'д* «-») =

= <ГМ(1	+	-хдп),

ВИДИМ, ЧТО

Нк,г(а; х; д) - Нк,:_1(а; х; д) =

, (7.2.1)

/1=0

(ахдп+1)ов(д-1)п

(Я)п (хдп)оо



хкпдкп2~^пап	(а	(1 — хдп) х1 1

(Я)п. (хдп)оо

^дкП2+ПдП (дх^+% (а-1)д	+

(я) п-1(хдп) оо
^п»+пап (ах?п+1)ю (д-1)п х1-1дп (1-1}
(Я)п Щ'г+1)оо

ж*п+уп»+п+2Ап+А+1ап+1 (ахдп+2^ (д-1)п-п д-т-1

(<?)л (^'1+')оо

Х^Пдкп^+п^ (ахдП+1^ ^а-1)п х(-1^г 0-1)

п—0

X

(<?)л (*<?'г+1)'

хкПдкп^+т^ (<ш?'’+2)оо (а 1)д
(<?)л Щ"+1)оо

1 _ аХдп+1) +	(*-о+*-ж

X

= х1~1 V1	(ахдп+2) (а г)п

2^	(<,)„№+%

х [1 — (хд)к~1+1 дп 12	—

— х1’-1 V1 хА'г<7йп8+‘«а» (ах<?п+2) (аГ1^

2]	(д)п(хд"+%

X {ахдп+1 [1 — (хд)к~{ дп[2	=

= х‘-1[ЯА1 л_/+1 (а; хд; д) — ахдН^^а; хд; д)] =

= х1~Чк>к_и1(а; х; д).

Лемма 7.2.

л,(-(а; х> я) —1к,1-Ла', X', я) =

= (хд)1~х ^к, А_1+1 (а; хд- д) — аЦ, к_1+2 (а-, хд-, д)). (7.2.4)
Доказательство.

Л,(-(а; х> я) —^к,1-Ла'> х', я) =

= (Нк> I (а-, хд-, д) — Нк, (_г (а; хд-, д)) —
— ахд (Нк> ,•_! (а; хд-, д) — Нк, ,_2 (а; хд-, д)) =

=	ХЯ\ д)-а(хдУ~1'Гк-1+г(а- хд-, д).

В исследуемых задачах имеется несколько моментов, в которых
необходимо обращаться к представлению производящих функций
в виде бесконечных произведений. Такие представления даны
в следующих леммах.

Лемма 7.3. Если 1	/г, | д | < 1, то

оо

4 ДО; 1;7)=П(1-<?П)-1’	(7 2.5)

п—1

и^О, ±7(той 26 + 1).

Доказательство. Согласно (7.2.2) имеем

Л, ДО; 1; 7) = ^, ДО; <7; 7) =

п (_1уг ^п(л-1)/2 0 _^(2п+1)() _

п=0

= (7)~ 2 (_1)"Д2*+1>"<"нл/2-*'>(1	*=’

п—0

= П (1 — <?")”1 п^О, ±7 (той 26 + 1).
п=1

Лемма 7.4. Если 1 ± 7 ± к, | д | < 1, то

К I (-Г1; 1; <?2) = П (1 - яп)~\	(7.2.6)

П = 1

п ф2 (той 4), пфЪ, + (2г — 1) (той 4й).

Доказательство.

4,1 (—(Г1; 1; <72) = Нк> {(—д~1- д\ д^ + дН^и^—д-1-, д\ д2) =

__ (—<7> <?2)оо |	/ 1 _2й/г4-2Ап2 —(2<—1)п 1 — ^2(+4п» ।

— (<?а; <?2)Д	1 4 4	1 + я2п+1

\ п=0	1 4

। VI /	л2^+2^г2-(2г-3)/г 1 —	2+4ш 4п

+	-----1+<?2Ж

п=0

__ (—VI / ] хп

(^; Лоо	4

П=0

д~Ч1п_____д21-\-Чп1 । д!-~21П-\-2п____д-Л-\-21-\-2п1—2п

1 + <?2,1+1

оо

_ (—4! <72)°° X1 /	1\'±21гп2+(2А±1-2<)'1/1 _ Л2/1+1) (2(-

(<А <?а)оо ^1	' 4	Ч
2 (-9^

(<?2; <?2)оо

2^2+(2^—2/+1) п

п——оо

= С “ <?Ш+4А) (1 - <7ш+2‘-1) (1 -	=

п—0

_________!________ П (1 _п4А <'’+!))(!	4Ы+2.-П
(?; ^оо^; ^)« XV д М д ;Х

х (1 _ДН«+1)-2Ж)= Д (1

п—1

лг ==05 2 (шос! 4), п=0О, ± (2г — 1) (той 4й).

7.3.	Тождества Роджерса — Рамануджана

и их обобщение Гордона

В этом параграфе аналитические результаты § 7.2 применя-
ются для доказательства следующей теоремы, принадлежащей
Гордону.

Теорема 7.5. Пусть Вкч / (п) обозначает число разбиений п
вида (6^2 ... &3), где Ь; — Ь/+к_г >2, и не более чем I — 1 частей Ь}
равны 1. Пусть Аку1 (п) обозначает число разбиений п на части
=00, ±1 (той 2к + 1). Тогда Ака (п) = Вк^ (п) для всех п

Прежде чем переходить к доказательству теоремы 7.5, стоит
привести два ее наиболее существенных следствия, именно, тож-
дества Роджерса — Рамануджана, формулированные в терминах
разбиений.

Следствие 7.6 (первое тождество Роджерса — Раману-
джана). Разбиения целого п, в которых разница между любыми
двумя частями превосходит единицу, равночисленны разбиениям п
на части =1 или 4 (той 5).

Доказательство. Положить к = I = 2 в теоре-
ме 7.5.

Следствие 7.7 (второе тождество Роджерса — Раману-
джана). Разбиения целого п, в которых и разница между любыми
двумя частями и каждая часть превосходят единицу, равночислен-
ны разбиениям п на части = 2 или 3 (той 5).

Доказательство. В теореме 7.5 положить к = I ± 1 =
= 2.

Доказательство теоремы 7.5. Пусть Ьк, 1 (т, п)
обозначает число разбиений (Ь^ ... Ь^) числа п ровно с т частями
таких, что > &/+1,	>2, и не более чем I — 1

частей &/ равны 1. Тогда для 1 I к

Ьк, 1 (т, п) =

1,

0,

если т = п = 0,

если т < 0 или п < 0, но (т, п) (0, 0);

(7.3.1)

^,0 (т> я) = 0;	(7.3.2)

Ък, I (т, п) — Ьк, (т, п) =	к_1+1 (т — I + 1, п — т). (7.3.3)

Равенства (7.3.1) и (7.3.2) очевидны, в связи с чем напоминаем,
что разбиение неположительного числа или с неположительным
числом частей есть пустое разбиение нуля.

Равенство (7.3.3) требует внимательного рассмотрения: функ-
ция Ьк^(гп, п} — Ьк,1_г(т, п) перечисляет те разбиения, пере-
числяемые функцией ЬкА(т, п), среди которых имеется ровно
I — 1 единиц. Преобразуем это множество разбиений, удаляя
I — 1 единиц и вычитая по 1 из каждой оставшейся части. Полу-
ченные разбиения (Ъ\ ...	имеют т — I + 1 частей; они

суть разбиения числа п — т, а части их удовлетворяют неравен-
ству Ь; — Ь-^к^1	2. Поскольку исходная единица присутствует

I — 1 раз, а полное число вхождений единиц и двоек не превосхо-
дит к — 1 (согласно разностному условию), видим, что исходная
двойка наличествует не более чем (к — I + 1) — 1 раз и, таким
образом, после нашего преобразования 1 присутствует не более
к — I + 1 раз. Описанное выше преобразование устанавливает
взаимно однозначное соответствие между разбиениями, перечисля-
емыми функцией Ьк>1 (т, п) — Ьк^_Т (т, п), и разбиениями,
перечисляемыми функцией Ък,к_1+1 (т — I + 1, п — т), так что
(7.3.3) установлено.

Сделаем теперь простое, но весьма существенное замечание:
функция Ьк>1 (т, п) (0 < I < к) однозначно определяется равен-
ствами (7.3.1), (7.3.2) и (7.3.3). Чтобы убедиться в этом, достаточно
провести двойную индукцию сначала по и, потом по I. Равенство
(7.3.1) обеспечивает область и < 0, т < 0, / > 0, а равенство
(7.3.2) — все п при /^=0. Равенство (7.3.3) представляет Ьку1 (т, п)
как двучленную сумму, в которой первый член имеет нижний
индекс г, а второй — нижний индекс п (поскольку можно пред-
полагать, что т > 0).

Теперь рассмотрим

4, ДО; х; д) = 2 2^,Дт’ п)хтдп.
т=0 п=0

Из того факта, что для 1 < / с к

0; <7) = 4ДО; х- 0)=1,
видим, что для 1 Т I к

( 1, т = п = 0,
ск,1(т> п) | д,	или п^О, (т, п)=/=(0, 0).

Из того факта, что

А,о(О; *; 9) = ^,»(0;	<?) = о>

видим, что

сА,о(т> п) = 0.	(7.3.5)

Наконец, приравнивая коэффициенты при хтдп в обеих частях
равенства (7.2.4) при а = 0, видим, что

ск,1(т, г^-Ска-Лт, п) = ск<к^+1{т-1^\, п—т). (7.3.6)

Итак, видим, что это ск, I (т, п) также удовлетворяет системе
уравнений (7.3.1)—(7.3.3), которая однозначно определяет
&й,Дт, п)- Стало быть, Ьк,1(т, п) = ск^(т, п) для всех тип
при 0 Т I к.

Поэтому согласно 2 ^к, I (т, п) = Вк, I (п) видим, что
т>0

2 ВА>((п)<7п = 2	«)7" = 4,Л0; 1; д) =

п>0	т>0 п>0

(7.2.6)	А	,	„ч , <1-2.3)

—	п	а

/1—1	/1>0

и^0,±/ (тод 2АН-1)

Приравнивая коэффициенты при дп в крайних членах этой це-
почки, видим, что Акз1 (и) = Вку1 (п).

Теорема 7.5 имеет аналитический аналог, который мы теперь
и докажем.

Теорема 7.8. Пусть 1 I к, к 2, | д | < 1; тогда

(Я)п2---(Ч)пк_1	~

п1...

П 0-9")Л (7.3.7)

и==1

и^О, ±/ (тод 2&-Н)

где М;- — П/ + /г;+1 + • • • + пк-1-
Доказательство. Докажем, что

•?к, I (0; х; д) =

/1+- • -+^-1/?+-• -+4-1+^4Л+1+- • -4Л-1

(<?)«!

«1.пк-1>°

(7.3.8)

Мы получим (7.3.7) из (7.3.8), полагая х = 1 и подключая (7.2.5).
Само равенство (7.3.8) следует из равенства

М—1)п (к—1)п2+(А— 1)п

Л к, I (0; х; <?) = 2 ----д-^-п---------I (0; хд2п- <?), (7.3.9)

л>0

для доказательства которого индукцией по к заметим, что
^к,к+1 (0; х; ?)=/*,* (0; х; д) (положить I = к + 1 в (7.2.4)
и вспомнить, что Д,о (0; хд-, д) = Нк<а (0; хд2-, </) = 0) и что
71,1 (0; х; д) = 1 (так как согласно (7.2.4)

71,1(0; х; ?) = 71>1(0; хд-, <7)=7Ь1(О; хд2-, д) = --- =

= ^,Л0; хдп-, <?) ^А.ДО; 0; 7) = 1).

Для доказательства (7.3.9) определим

Кк.ЛЪ Я) = У -----------Чм-----------7^, ДО; Х72"; я)-

\Ч)п

я>0

Тогда для 1 А г А к

7?й,Д0; 7)=^,г (х; 0) = 1,	(7.3.10)

Мм) = 0.	(7.3.11)

Наконец,

%к,1(х-, д) — Ек, 1-1(х; д) =

_ V х<й-1>'’9<а-1)п2+(й-о» ,	,	2„	.

— Л ----------—(^п----------(7*_1,Д0; хд ; д) -

-7Ч_1)г-_1(0; х72"; <?)) =

_ V* х<й-1>'’9<А-1>п2+(*-0п	,	2«	\ .

~	--------(7й_1,1_Д0; хд ; д) +

п^0

+ (хг!Ч‘-Ч_1,и0; хд2п+\ 7)-7Ч_1,г_Д0; хд2п-, <?)) =

--------(1 ~Я )7*_1,1-Д0; хд ; д) Д-

И>1
п>0

~х Я 2л---------------------(м;-----------^_ьг_1(0; х<7 + ; <?) +

м>0

• ч ж-^	—1) пл№—1) я2-Ь(&-Ь7—2) п

+ (чГ‘ 2 ---------------------------(4-..(0; ч!"+'; ?) -

м>0

- (х7^+2Г-‘-А_1Э(0; х^+2; </)) =

= хГ Ч Л--------------------------------4_1,,_1(0;х<7 ;<?) +

м>0

Ч-^Г1 2 (^)(й’1)^1)п2+<^(^+п))Ч_1,^+1(0; х<72"+1; ?)-
м>0

г, 1 оь ; 1 ж~'Ч|	1) пс№ 1) 7г2—{—(37г I 2) п

у ‘-------?—------------0; ч”’+!; ч -

^шЛ	\Ч)п

п^О

= (Х<7)*-1 Т?А( А_1+1 (х^; д).	(7.3.12)

Вспоминая, что коэффициенты в выражении для .1к^ (0;
х; д') одназначно определяются посредством (7.3.4), (7.3.5) и
(7.3.6), замечаем, что поскольку 7?д,1(- (х; д) удовлетворяет
(7.3.10), (7.3.11) и (7.3.12), то его коэффициенты должны удовлет-
ворять (7.3.4), (7.3.5) и (7.3.6), а значит, 7?*,/ (х; д) = .1^1 (0;
х; д) для 0 < I < к. Таким образом, равенство (7.3.9), а значит,
и теорема 7.8 доказаны.

Следствие 7.9 (равенство (7.1.6)).

1 _|__Я ,	।______________|_____

-Г 1_? -Г (1 _ д) (1 _ 92) Т (1 _	(1 _ д2} (1 _ ^3) Т

= п (1 - /п+1)-1 (1 - 75п+4)-1-
п==0

Доказательство. Положить к = I = 2 в теореме 7.8.
Следствие 7.10 (равенство (7.1.7)).

1 _|--2---1-----1--------------1----1---------1 . . . =

= п (I - <Л+2)-1 (1 - /л+3)-1-
п=0

Доказательство. Положить к = 2, I = 1 в теореме
7.8.
7.4. Тождества Гёллница — Гордона и их обобщение

Для ознакомления с общими тождествами типа Роджерса —
Рамануджана обратимся к результатам, независимо полученным
в 1960 году Гёллницем и Гордоном. В действительности мы дока-
жем общую теорему, которая сводится к тождествам Гёллница —
Гордона в тех специальных случаях, когда к = I = 2, к = I +
+ 1= 2.

Теорема 7.11. Пусть I и к — целые, причем 0 < I к.
Пусть Скг ( (и) обозначает число разбиений п на части +*2 (той 4)
и 5^0, ±	(2/—1) (той 46). Пусть	Ик>1	(и)	обозначает число

разбиений	1ЬГЬ2 ... числа п, в которых нет повторяющихся

нечетных	частей, Ь; > Ь]+1, Ь, —	2,	если Ь, нечетно,

Ь) —	> 2, если Ь* четно, и не	более	I —	1 частей не пре-

вышают двух. Тогда Ск^(п) = Пк>1(п).

Замечание. Доказательство этой теоремы подобно дока-
зательству теоремы 7.5. Роль ,1к,1 (0; х; у) из теоремы 7.5 теперь
играет Д,, (у-1; х; у2), так что будем быстро проходить через те
куски доказательства, которые имеют близкую основу.

Доказательство. Пусть йк>1 (т, п) обозначает
число разбиений, перечисляемых функцией Окг! (п) и имеющих
ровно т частей. Как и в теореме 7.5, видим, что для 1 I к

( 1, т = п = 0,
йк, ,(т, п)	= \ п п	п	.	. , ,п п. (7.4	1)

’ '	’	(0,	т < 0	или п -с 0,	(т, п) =/= (0, 0). к 7

Далее утверждаем, что

дк,г(т, п) = йк,к(т, п — 2т),	(7.4.2)

а при 1 < I к

Лк, I (т, «) — Лк, (т, п) = 4, к_1+1 (т — I + 1, п — 2т) +

+ ^,^+2(т —/+1, га —2т+1). (7.4.3)

Доказательство (7.4.2) и (7.4.3) совершенно аналогично доказа-
тельству (7.3.3). Например, функция йкг1(т, п)—Лк,1_1(.т> п)
перечисляет число разбиений типа перечисляемого функцией
йкг1 (т, п), с тем дополнительным условием, что полное число
частей, не превосходящих 2, равно г — 1. Такие разбиения можно
разбить на два непересекающиеся класса: 1) те, которые имеют
1 в качестве части; 2) те, которые ею не обладают. Преобразуем
разбиения Его класса, изымая 1 и I — 2 двоек и вычитая 2 из
каждой из оставшихся частей. Это преобразование устанавливает
взаимно однозначное соответствие между разбиениями Его класса
и разбиениями, перечисляемыми функцией с?л,*_(+2 (тп — I + 1,
п — 2т + 1).
Преобразуем теперь разбиение во 2-м классе, удаляя / — 1
двоек и вычитая 2 из каждой оставшейся части. Таким способом
устанавливается взаимно однозначное соответствие между раз-
биениями 2-го класса и разбиениями, перечисляемыми функцией
йк,к-м (т— I + 1. «— 2т). Это доказывает (7.4.3), а (7.4.2)
получается аналогично. Кроме того (так же, как Ьк<1 (т, п)
однозначно определяется посредством (7.3.1)—(7.3.3)), можно
легко показать, что (1к>{ (т, п) однозначно определяется равен-
ствами (7.4.1), (7.4.2) и (7.4.3).

Теперь рассмотрим

Л, I (—7-1;	<72) = 2 2 ек, I (т, п) хтдп.

П1~0 п^О

То, что (7.4.1) также верно и для ек^ (т, п), следует из того, что
Л, I (—<7-1; 0; <?2) = 4,1 (—д'1; х; <7а)|,=0 = 1,

в то время как исполнимость (7.4.2) для ек>( (т, п) следует из
того, что

Л,1(—<7-1; X; д2){2^1Нк,1(~-д^; хд; д2)Ч^}к,к(—д~1; хд; д2).

Наконец, выводим исполнимость (7.4.3) для ек>1 (т, п) из того
факта, что

Л,4—х; д2)-^,1_Л—д~1; х; д2) =

= (^2)‘_1(4,а-1+1(—<7-1; хд2; <72) + <7-1Л.а_(+2(-7-1; хд2; д2)) =

= х‘-1д21-^к,к_1+1(-Я-1;хд2;д2) +

+ х‘--192г-34,^+2(-Г1; хд2; д2).

Поэтому с1к)1(т,п) = ек11(т,п) для 1 I к и всех тип.
Следовательно, для 1 I п.

2 Ок, I (») дп = 2 2 4, / (т, п) дп =	1 (-д~х; 1; Ч2)Шк

п=0	т~0 п=0

П (1	Ск>1(п)дп.

п—1	П—О

пФ2 (той 4)
«ФО, ±(21—1) (той 4к)

Приравнивая коэффициенты при дп в крайних членах этой це-
почки равенств, видим, что Скг с (п) = йк> {(п) для 1 I к
и всех п.
В завершение этого параграфа заметим, что имеется результат,
аналогичный теореме 7.8 для	1; ^). Например, при

= п) + ••• + п*-1 справедливо равенство

ул (-</; д2)^-^

21	(?»; д2)П1(д2; д2Ц---(?2; д2)Пк х

п1..пк-1>°

= Л,Д-</-1; 1; <?2) =

оо

П (1-Л"1- (7.4.4)

п=1

пФ2 (тод 4)
пФО, ±(2^—1) (тос!4й)

Задачи

1.	Пусть 8/ (т, и) обозначает число разбиений (ХхХ2 ... Кт) числа п таких,
что для 1 С I < т выполнено неравенство X/—> 3, причем оно должно быть
строгим, если 3|^ и Кт > /. Доказать таким же образом, как и теорему 7.5,
что если (х) — 2 5/ х1ПЯп» то

т, и>0

—/г (*) = «7/1 (*?’),

/г (*) — /з (*) = «7% (хд3),

I»(*) — /«(х) = хд3Ц (хд3),

^(х)=К (хд3).

2.	Из задачи 1 вывести, что

/1 (х) = (1 + хд + хер) (хд3) + хд3 (1 — хд3) (хд3).

3.	Из задачи 2 вывести, что

; <х} _ <х. аз} V (-9= 93)» (-92; 93)«

Л (х) - (х, д )«> 2^-------^Гп-----------•

п>0

4.	Из задачи 3 вывести теорему Шура: число разбиений и на части, сравни-
мые с 1 или 5 по модулю 6, равно числу разбиений и, в которых разница между
всеми частями по крайней мере 3, а между кратными 3 — по крайней мере 6.

5.	Методы задач 1—4 можно распространить и на доказательство целого
семейства тождеств, подобных теореме Шура: пусть у обозначает наименьший
положительный вычет / по модулю 2П; пусть со (/) обозначает число степеней 2,
используемых в двоичном представлении /, а V (/) — наименьшую степень 2,
входящую в двоичное представление / (например, если и = 4, / = 28, то } = 12,
(о (/) = 3, V (/) — 4, со (У) = 2, V (У) = 4). Пусть А (УУ) обозначает число раз-
биений М на части, =1, 2п + 1, 2п + 3, ..., 2п + 2П"“1 — 1 (гпоб 2П^"1 —2).
Пусть В (2У) — число разбиений ... числа М (з произвольно) таких,
что для 1 < I < 8 выполнено неравенство X/ —	> со (^+1) (2П — 1) +

+ (^/+1) — ^/+1? тогда для всех М выполнено тождество Л (М) = В (^.

6.	Вывести теорему Шура из задачи 5 в случае и = 2.
7.	Тот случай задачи 5, при котором п = 3, влечет, что число разбиений №
на части, = 1, 9, 11 (гпос! 14), равно числу разбиений (ХхХ2 ... Ю ($ произвольно)
числа п таких, что для 1 I < 5 выполнены неравенства

7,
12,
Ю,
15,

М* —

%/+1 = 1, 2, 7 (той 7),
%/+1 = 3 (той 7),
Х/+1 = 5, 6 (той 7),
М*+х = 0 (той 7).

Л* + Л+1 I

8.	Пусть а (№) обозначает число разбиений А на части, ф 0,
±2(2 (той 4& + 2). Пусть а (УУ) обозначает число разбиений (1^2^2^3 ...)
числа № таких, что < 2а — 1, и

2к — 1, /х четно,

2к,	нечетно.

Тогда «5^. а (М) = а (ЛО при всех №.

Можно доказать этот результат, подобно теореме 7.5, но используя

^,/(0; х2; д2) (—хд)оо
вместо ДО; х2; д).

9.	Число разбиений п, на части, сравнимые с 2, 3, 4 по модулю 6, равно
числу разбиений п без последовательных целых, без единиц и без частей, повто-
ряемых более чем дважды.

Для доказательства рассмотреть /2 1-_|_1/2(0; х2; д2) (—хд)^.

10.	Довольно просто доказать, что при а = 1, 2 или 3

оо

П 0 — ?")-1 = (—<?)«> 5
п-0

пФО, ±а (тод 7)	п~0

Это устанавливается так: если

Яа (X) = Яа (X, 0) = (—Х7)оо

п>0

Д"2+2 Е(4—а)/2] п

0?2>’ Я*)п (~^2м+1~[а/2]

^24-2 [ (4—а)/21 п

Я2)п (—^)2«4-1-[а/2] ’

то Яд (х) — У?2 (*) = х2^27?1 (хд); У?2 (х) —	(х) = хдТ?2 (хд); #1 (х) = 7?3 (хд).

Из этого немедленно следует, что Ва (х) = а (0; х; д).

11*. Число разбиений п на части, сравнимые с 2, 5, 11 по модулю 12, равно
числу разбиений (%х%2 ... ^5) (5 произвольно) числа п таких, что %8 #= 1 или 3
и для 1 с I < 8 выполнено неравенство — %/+х > 6, причем здесь должно
иметь место строгое неравенство, если %/+х = 0, 1 или 3 (той 6).

Эта теорема выводится из следующих аналитических тождеств. Определим
ДЛ посредством соотношения

(—хд2; д6)оо (—хд4; д6)оо(—хд5; д6)оо _______ Апхп

(х'> <76)°о	—	(<76; Ф)п ’

л=0

Пусть Сщ (п) обозначает число разбиений (%х%2 ... К&) (з произвольно) числа п
таких, что т > Хх, Х5 #= 1 или 3 и для 1 < / < 8 —%/+х > 6, причем нера-
венство строгое, если %/+х = 0, 1 или 3 (шос! 6); пусть

^т(<7) = 2 ст(п)дп.

п>0
Тогда

где	есть с заменой д на 76.

[_ р _|	I о Л

Замечания

Материал введения в основном почерпнут из гл. 1 и 6 [31 ]. Первые две не-
прерывные дроби во введении были доказаны в [40]. Аналитические тождества
из § 7.2 при а — 0 встречались в [35] и [38], а при а~— д~1-~в [6]. Весьма
общие тождества такой природы представлены в [9, 20].

Теорема 7.5 принадлежит Гордону (1961), а приведенное здесь ее доказатель-
ство — Эндрюсу (1966) (см. также [13, 22, 23]); теорема 7.8— [21]; связанная
с ней теорема о полиномах Алдера получена в [39]; теорема 7.11 в случае к —
— 2 — [27, 29]; для произвольного к этот результат был получен в [6]. Тожде-
ство 7.4.4 — [25].

Для более детального ознакомления с работами этого направления укажем
ряд обзоров с обширной библиографией: [1, 14, 18, 19, 30]. Указания на послед-
ние разработки в этой области можно найти в разделе Р68 [33].

Задачи 1—3— [7]; задача 4— [7, 15, 16, 37]; задачи 5—7 — [8, 10, 18];
задача 8— [4]; задача 9— [5, 12]; задача 10— [38, 9, 22]; задача 11 —
[27, 11].

ЛИТЕРАТУРА

1.	А 1 д ег Н. Ь. (1969). РагШюп МепННез—Тгот Еи1ег 1о Ше ргеЗепГ —
Атег. МаШ. МопШу 76, р. 733—746.

2.	Апдгехуз О. Е. (1966). Ап апа1уНс ргоо! о! Ше Ко^егз—Катапи]ап—
(логдоп 1депШ1ез.— Атег. Л. Ма1п. 88, р. 844—846.

3.	Апдгехуз О. Е. (1967а). Оп Зскиг’з зесопд рагННоп 1кеогет. — СНаз&оху
МаН1. Л. 9, р. 127—132.

4.	Апдгехуз О. Е. (1967Ь). РагННоп Шеогетз ге1а1ед 1о 1ке Ко^егз—Ката-
пи]ап 1депШ1ез. — Л. СотЫпа1опа1 Ткеогу 2, р. 422—430.

5.	Апдгехуз (л. Е. (1967с). Зоте пеху рагШЛоп Шеогетз.— Л. СотЫпа-
1ог1а1 Ткеогу 2, р. 431—436.

6.	А п д г ехуз О. Е. (1967д). А ^епегаИгаИоп о! 1ке ОбПпНг—(логдоп рагП-
Ноп 1кеогетз. — Ргос. Атег. Ма1к. Зое. 18, р. 945—952.

7.	Апдгехуз О. Е. (1968а). Оп рагШюп ТипсНопэ ге1а1ед 1о Зскиг’з зесопд
рагШюп 1кеогет. — Ргос. Атег. Ма1к. Зое. 18, р. 441—444.

8.	Апдгехуз О. Е. (1968Ь). А пеху ^епегаШаНоп о! Зскиг’з зесопд рагН-
Ноп Шеогет. — Ас1а АШк. 14, р. 429—434.

9.	А п д г еху з О. Е. (1968с). Оп д-дШегепсе ециаНопз !ог сег!ат хуе11-ро1зед
Ьаз1с курег-беотеЬлс зепез. — (^иаН. Л. Ма1к. ОхТогд Зег. (2) 19, р. 433—
447.

10.	А п д г ехуз О. Е. (1969а). А ^епега! 1кеогет оп рагШюпз хуИк дШегепсе
сопдШопз. — Атег. Л. Ма1к. 91, р. 18—24.

11.	Ап дг ехуз (л. Е. (1969Ь). А рагШюп 1кеогет о! (лбПпИг апд ге1а!ед Гог-
ти1ае. — Л. Кете Ап&еху. МаШ. 236, р. 37—42.

12.	А п д г еху з О. Е. (1969с). Зоте пеху рагШтоп Шеогетз (II). — Л. СотЫ-
па1ог1а1 Ткеогу 7, р. 262—263.

13.	Апдгехуз О. Е. (1969д). А ^епегаНхаНоп о! 1ке с1азз1са1 рагШюп 1кео-
гетз. — Тгапз. Атег. Ма1к. Зое. 145, р. 205—221.
14.	А п б г е ху з С. Е. (1970). А ро1упогша1 ИепШу хуЫсЬ 1шрНе5 Ше Ко^егз—
Кашатцап 1бепННез. — 8спр1а МаШ. 28, р. 297—305.

15.	А п (1 г е XV 5 О. Е. (1971а). ТЬе иве о! сотриГегз 1п зеагсЬ о! 1бепННез о!
(Ье Ко^егз—Катапи]ап Гуре. — 1п: СотриГегз 1п МитЬег ТЬеогу
(А. О. Ь. АГкт апб В. Л. Впек, ебз.), Асабеппс Ргезз, Ьопбоп.

16.	А п б г е ху з О. Е. (1971Ь). Оп а ГЬеогет о! 8сЬиг апб ОШззЬиг^. — Агск.
МаГЬ. (Вазе1) 22, р. 165—167.

17.	А п (1 г е XV з С. Е. (1971с). МитЬег ТЬеогу. — 8аипбегз, РЫ1абе1рЫа.

18.	Апбгехуз О. Е. (1972). РагННоп хбепННез. — Абуапсез 1п МаГЬ. 9,
р. 10-51.

19.	Апб г е XV з О. Е. (1974а). А ^епега! Н1еогу оГ хбепННез о! ГЬе Ко^егз—
Кататцап Гуре. — Ви11. Атег. МаГЬ. 8ос. 80, р. 1033—1052.

20.	А п б г е XV з О. Е. (1974Ь). Оп ГЬе ^епега! Ко^егз—Катапи]ап ГЬеогет. —
Мет. Атег. МаГЬ. 8ос. 152.

21.	А п (1 г е XV з О. Е. (1974с). Ап апа1уНс ^епегаИгаНоп о! ГЬе Ко&егз—Ката-
пи]*ап ИепННез Гог одН тобиИ. — Ргос. МаГ. Асаб. 8с1. Ч8А 71. р. 4082—
4085.

22.	Ап бг еXVз С. Е. (1975а). Оп ГЬе А1бег ро1упопиа1з апб а пеxV ^епегаИ,
хаНоп о! ГЬе Ко^егз-Кататцап хбепННез. — Тгапз. Атег. МаГЬ. 8ос. 204-
р. 40—64.

23.	Ап дг е XV з О. Е. (1975Ь). РагНаПу огбегеб зеГз апб ГЬе Ко^ег—Ката-
пи]ап ГбепННез. — АециаНопез МаГЬ. 12, р. 94—107.

24.	Апб г е XV з О. Е. (1975с). Оп Ко^егз—Катапи]ап Гуре тбепННез ге1аГеб
Го ГЬе то(1и1из 11. — Ргос. Ьопбоп МаГЬ. 8ос. (3) 30, р. 330—346.

25.	А п (1 г е XV з О. Е. (1975Ь). РгоЫетз апб ргозресГз Гог Ьазтс Ьурег^еотеШс
ГипсНопз. — 1п: ТЬе ТЬеогу апб АррНсаНопз оГ 8рес1а1 ЕипсНопз (К. Азкеу,
еб.), Асабеттс Ргезз, Меху Уогк.

26.	С Ь е е т а М. 8. (1969). ЧиаНГу 1п ГЬе ГЬеогу оГ рагННопз. — Кез. Ви11.
Рап]аЬ Чту. 20, р. 201—206.

27.	О о 1 1 п 11 ъ Н. (1967). РагННопеп тН ЧИГегепгепЬебт^ип^еп. — Л. гетпе
ап^еху. МаГЬ. 225, р. 154—190.

28.	Оогбоп В. (1961). А сотЫпаГопа! ^епегаНгаНоп оГ ГЬе Ко^егз—Ката-
пи]ап 1бепННез. — Атег. Л. МаГЬ. 83, р. 393—399.

29.	С о г б о п В. (1965). 8оте сопНпиеб ГгасНопз оГ ГЬе Коеегз—Кататцап
1уре. — Эике МаГЬ. Л. 31, р. 741—748.

30.	Сир 1а Н. (1970). РагННопз — а зигуеу. — Л. Кез. МаГ. Виг. 8Гапбагбз
74В, р. 1—29.

31.	Н аг б у О. Н. (1940). Катапи]ап. — СатЬпб^е Чту. Ргезз, Ьопбоп апб
Меху Уогк; герппГеб Ьу СЬеЕеа, Меху Уогк.

32.	Ь е Ь п е г Л. (1941). А рагННоп ГипсНоп аззостаГеб хуНЬ ГЬе тоби1из Нуе. —
Чике МаГЬ. Л. 8, р. 631—655.

33.	ЬеУедие АУ. Л. (1974). КеУ1ехуз 1п МитЬег ТЬеогу, Уо1. 4. — Атег.
МаГЬ. 8ос., РгоУ1бепсе, К. I.

34.	К о ё ег з Ь. Л. (1894). 8есопб теток оп ГЬе ехрапзюп о! сегГат 1пНпИе
ргобисГз. — Ргос. Ьопбоп МаГЬ. 8ос. 25, р. 318—343.

35.	К о ег з Ь. Л. (1919). РгооГ оГ сегГат ГбепННез 1п сотЫпаГогу апа1у818. —
Ргос. СатЬпб^е РЫ1. 8ос. 19, р. 211—214.

36.	8 с Ь и г I. Л. (1917). Е1п ВеНга^ гиг аббШуеп ХаЫепГЬеопе ипб гиг ТЬеопе
бег КеНепЬгйсЬе. — 8.-В. Ргеизз. Акаб. АУ188. РЬуз. — Ма1Ь. К1., р. 302—
321. (КерппГеб 1п I. 8сЬиг, ОезаттеИе АЬЬапбкт^еп, Уо1. 2, р. 117—136.
8рпп^ег, ВегНп, 1973).

37.	БсЬиг I. Л. (1926). 2иг аббШуеп 2аЫеп1Ьеопе. — 8.-В. Ргеизз. Акаб.
АУ1зз. РЬуз. — МаН1. К1.» р. 488—495. (КерппГеб 1п I. 8сЬиг, ОезаттеИе
АЬЬапб1ип^еп, Уо1. 3, р. 43—50. 8рпп^ег, ВегИп, 1973.)

38.	8 е 1 Ь е г б А. (1936). ЧЬег еГт^е агИЬтеНзсЬе ЫепНШеп. — АуЫ. Могзке
У1б. 8, р. 23.
39.	$ 1 п б Ь V. М. (1957). Сег1аш ^епегаПхед курег^еошеШс 1депНШез о! 1ке
Ко^егз—Катапи]ап 1уре. — РасШс Л. МаШ. 7, р. 1011—1014.

40.	№аЬоп О. Л. (1929). Ткеогетз зШед Ьу Катапи]’ап (VII): Ткеогетз
оп сопНпиед ТгасНопз. — Л. Ьопдоп Ма1к. Вос. 4, р. 39—48.

41*. ВгеззопдП. М. (1980). Апа1уНс апд сотЫпа1опа1 ^епегаИгаНопз о!
(Не Ко^егз—Кататцап 1депШИез. — Метоиз о! 1ке Атег. МаШ. Вос.
24, № 227.

42*. А п 3 г е XV з О. Е., А з к е у К. (1977). ЕпшпегаНоп о! рагННопз: 1ке го1е
о! Еи1епап зепез апд ^-ог1ко§опа1 ро1упопиа1з. — 1п ЕИ^кег СотЫпа1о-
Г1сз, В. Ке1де1 Р. С., 1)огдгеск1-Но11апд, р. 3—26. (Русский перевод:
Эндрюс Дж. Е., Эски Р. Перечисление разбиений. — Проблемы
комбинаторного анализа в сер. «Математика», 1980, № 19, с. 101—119.)
Глава 8

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОЖДЕСТВ
С РАЗБИЕНИЯМИ

8.1.	Введение

Результаты гл. 7 наводят на мысль о том, что наличие общей
теории тождеств, связанных с разбиениями (типа Роджерса —
Рамануджана и Гёллница — Гордона), способствовало бы более
полному освещению этих привлекательных, хотя, видимо, и не-
достаточно мотивированных еще теорем. В этой главе мы рассмо-
трим основы общего подхода. Из дальнейшего проясняется, что
имеется очень мало действительно удовлетворительных ответов
на интересующие нас вопросы, в связи с чем нам подчас придется
ограничиваться частичными ответами. По выявлении основной
структуры таких задач в следующем параграфе, § 8.3, посвященном
«идеалам разбиений порядка 1» — объекту, который достаточно
прост в обращении и подсказывает типы ответов на интересующие
нас вопросы из § 8.2. В заключительном параграфе оценивается
широкий класс задач о разбиениях, в которых соответствующая
производящая функция удовлетворяет некоторому линейному
однородному ^-разностному уравнению с полиномиальными коэф-
фициентами. В некотором смысле этот заключительный параграф
неудовлетворителен именно тем, что развитие общей теории д-
разностных уравнений еще не обеспечило получения общих отве-
тов на вопросы, относящиеся к тождествам и асимптотикам раз-
биений, однако имеющиеся теоремы § 8.5 наводят на мысль, что
теория ^-разностных уравнений действительно достойна своего
дальнейшего развития.

8.2.	Основания

Начнем с простого интуитивного замечания, которое и послу-
жит базисом нашей дальнейшей работы. Во всех тождествах с раз-
биениями из гл. 7 (теорема 7.5, следствия 7.6 и 7.7 теорема 7.11)
рассматриваемые в них функции разбиений перечисляют разбие-
ния, лежащие в некотором подмножестве С множества всех раз-
биений. Например, С может быть множеством всех разбиений
с разностями между частями, не меньшими чем 2 (см. следствие
7.6), или С может быть множеством всех разбиений с частями,
сравнимыми с 1, 4, 7 (той 8) (см. теорему 7.11 при к = I = 2).
Интересно отметить, что все эти рассматриваемые подмножества
разбиений С обладают тем свойством, что если л С С и из л уда-
ляется одна или несколько частей, то результирующее разбиение л'
также принадлежит С.

Это замечание предопределяет введение частичного порядка на
разбиениях по правилу: л' л всякий раз, как каждое целое I
присутствует в л не меньшее число раз, чем в л'.

Определение 8.1. Пусть обозначает множество всех
последовательностей {/4/=1 из неотрицательных целых, в кото-
рых лишь конечное число отлично от нуля.

Заметим, что каждая последовательность {АД=1 = Щ из 9^
соответствует (однозначно) разбиению (Р»2^3М^...).

Определение 8.2. Частичный порядок на & опре-
деляем по правилу {/4	{&•}, где Д- & для всех I.

Такое определение есть, очевидно, просто более четкая запись
нашего словесного определения этого порядка, которое мы дали
перед определением 8.1. Кроме того, множество Р вместе с этим
порядком в действительности образует решетку, в которой опе-
рации «пересечения» П и «объединения» 0 задаются по правилам
1/4 П {&} = {т!п(Д, &•)}, и {§4 ={тах(А, &)}•

Определение 8.3. Подмножество С с обладающее
тем свойством, что если {Д-} С и {&•}	{Д-}, то с необходимо-

стью С, называется идеалом разбиений.

В терминах теории решеток такие С было бы естественно назы-
вать «полуидеалами» или «порядковыми идеалами».

Определение 8.4. Функцию о определяем на каждом
элементе множества & как представляемое этим элементом число,
т. е.

(=1

С точки зрения теории решеток о представляет собой поло-
жительную норму на в том смысле, что

оШ Л {§[}) +о Ш Л {&)) = а ({//}) + а ({&}).

и если {/Д > {&•}, то а ({А}) > о

Определение 8.5. Будем говорить, что два идеала раз-
биений С\ и С2 эквивалентны, и писать С± ~ С2, если р (Сх, и) =
= р (С2, п) для всех п.

После этой последовательности определений просмотрим их
связь с результатами гл. 7. Во-первых, пусть

<? = Ш4€^|А>0=>» нечетно},	(8.2.1)

0 =	(8.2.2)
Тогда теорема Эйлера (следствие 1.2) утверждает, что

О - 3),	(8.2.3)

поскольку р ((У, п) — число разбиений п на нечетные части, а
р (3), п) — число разбиений п на различные части.

Далее, пусть

^,а=НДКШ + А+1^-1> /х^а-1},	(8.2.4)

^,а = {{Д}€^|А>0=>г>0, ±а(то<12& + 1)1- (8-2.5)
Тогда обобщение Гордона тождеств Роджерса — Рамануджана
эквивалентно тому, что

&’к,а~Як,а<	\^а^к.	(8.2.6)

Наконец, если

®к, а = {{Д} € & IА + А+1	— 1, /я + /гг+1 + /й+2

к — 1, Д > 1 =>-1 четно, Д ф- Д а — 1}, (8.2.7)
Ък,а = {{А} € &| Д > 0 =>Iф 2 (той4) и

/^0, ±(2а—1)(той4й)}, (8.2.8)
то обобщение тождеств Гёллница — Гордона в теореме 7.11 ут-
верждает, что

(&к,а~ &>к,а, х^а^к.	(8.2.9)

То, что Жк,а, &к,а> ^к,а &к, а—идеалы разбиений, вытекает
из их определений, однако установление равенств р(^*,о>«) =
= ВА>а(п) и р(35к,а, п) =Ок,а(п) требует уже некоторых вы-
числений. По этому поводу заметим лишь, что если ... Ь5) —
разбиение п с частями Ь/ Ь,+1, Ь; —	2, то такие разбие-

ния характеризуются тем фактом, что для всякого I полное число
вхождений I и I + 1 (т. е. число Д + Д+1) в разбиения не пре-
восходит к — 1; в противном случае, если Ь/ выбрать как первое I,
для которого это не выполняется, получили бы, что й/ —

Поскольку отношение эквивалентности из определения 8.5
может быть использовано для адекватного описания результатов
гл. 7, мы приходим к следующему общему вопросу.

Основная задача. Полностью охарактеризовать клас-
сы эквивалентности идеалов разбиений.

Мы умышленно сформулировали эту задачу в столь общей
форме. Минимальный удовлетворительный ответ представлял бы
собой достаточно быстро работающий алгоритм, устанавливающий
эквивалентность двух идеалов разбиений. К сожалению, мы не
в состоянии пробить броню этой задачи, однако в следующем
параграфе будет рассматриваться более частная постановка,
для которой уже будет получено соответствующее решение (тео-
рема 8.4).
8.3.	Идеалы разбиений порядка 1

Основу предыдущего параграфа составляло замечание о том,
что разбиениям из задач гл. 7 присущ некий порядок. Обратимся
теперь к «локальным» свойствам, проявляющимся в этих задачах.
Для установления принадлежности {/Д	требуется произ-

вести последовательность лишь «одиночных» проверок условия
А > 0 => I = 0, ±а (той 2к + 1), в то время как установление
принадлежности {А} д требует уже последовательности про-
верок соседних пар Д-, А+1 на исполнимость условия А +
+ А+1 < —1, конечно, по исполнении начального условия

< а— 1. Определение 8.6 дает представление о том, сколь
тщательно надо проверять ЗР для выяснения {А} С.

Определение 8.6. Будем говорить, что идеал разбие-
ний С имеет порядок к, если к — наименьшее положительное на-
туральное число, при котором всякий раз, как {А} 0 С, найдется т
такое, что {['Д ф С, где

,	( если 1=т,	..., т-\-к— 1,

| 0 в противном случае.

Относительно идеалов из § 8.2 сразу замечаем, что С?,
и — идеалы порядка 1, тогда как — порядка 2,
а^?, а — порядка 3. Ввиду того, что теорема Эйлера (следствие
1.2) устанавливает эквивалентность двух идеалов разбиений по-
рядка 1, резонно задаться следующим общим вопросом.

Задача. Полностью охарактеризовать классы эквивалент-
ности идеалов разбиений порядка 1.

Мы завершим этот параграф вполне удовлетворительным раз-
решением этой задачи.

Теорема 8.1. Пусть С — идеал разбиений. Тогда С имеет
порядок 1 тогда и только тогда, когда существуют б/ь б/2, й3, . . .
такие, что

С = {{А}СШ<^ / = 1,2,3,...},	(8.3.1)

где каждое — неотрицательное целое либо +оо.

Замечание. По завершении доказательства теоремы 8.1
мы увидим, что каждое б/7 определяется по правилу б/7 =
= 5иР{ЖсД

Доказательство. Пусть С обозначает множество раз-
биений правой части равенства (8.3.1). Ясно, что такое множество
является идеалом разбиений порядка 1, поскольку это, очевидно,
идеал разбиений, и если С, то существует такое /, что >
> с/у для некоторого /, и поэтому ф С, где = 0, если
I у= / и /;• =

С другой стороны, предположим, что С имеет порядок 1;
положим тогда = 8ир^}^сПри таком определении С
ясно, что С с С обратно, если {/,} С тогда существует / такое,
что {//} ф С, где // = 0, если I М /и /у = /у. Утверждается, что
I/ > е/у; действительно, при неисполнении этого видим, что сог-
ласно определению й,- должны найтись такие	С, что /у «=

Н; (I/, и, значит, {/;} «5 \Н[\ С, а это влекло бы {/,} С,
что, конечно, невозможно. Таким образом, поскольку /у > йу,
видим, что Д } С и, стало быть, С = С.

Следующий результат показывает, что идеалы разбиений по-
рядка 1 имеют большой алгебраический смысл.

Теорема 8.2. Идеалы 9 — это идеалы разбиений порядка 1.
Доказательство. Напомним операции пересечения и
объединения в 9:

{МП {&1 = {шш(А, &)},

{М 0 {&} ={тах(А, &)В

напомним также, что идеал 5 в — это просто идеал разбиений,
замкнутый относительно операции объединения.

Предположим, что 5 — идеал в ЗР, т. е. 5 — это некоторый
идеал разбиений. Определим е/у = зир^^з/у и положим

з =	» = 1, 2, ...}.

Ясно, что 5 с 5. Если теперь 5, то мы можем определить
{/Р}, полагая = 0, если I ф и /у;) = /у, и мы замечаем, что
(М = Ш0} II М2)1 II ••• II {/РМ, где У — выбирается так,
что Д = 0 для всех г > И. Заметим далее, что согласно опреде-
лению Д для каждого / найдется {Н{\ 5, /у «= Н/ др Следо-
вательно, {/Р} {Ы} € и, значит, {/Р} 5 для каждого /.
Стало быть, и (М = {/Р*} 0 {/{2)} и ..._и {^л,)} принадлежит 5,
поскольку 5 — идеал в 9. Поэтому 5 = 5 и, значит, согласно
теореме 8.1 множество 5 образует идеал разбиений порядка 1.

Обратная импликация тривиальна. Если С — идеал разбиений
порядка 1, то по теореме 8.1

; = 1> 2, ...}

Поэтому, если {/>•{ С и {&} С С то {/Д 0 {&•{ = шах { (Д,
§,)} и, значит, С — идеал в 9.

Наш следующий результат обеспечивает весьма удобное пред-
ставление производящей функции для Р (С, п), где С — идеал
разбиений порядка 1.

Теорема 8.3. Пусть С — идеал разбиений порядка 1 с
й/= зир{у^€С/у. Тогда

2 Р(С, п)дп = П (1 -	( П (1 -

п>о	7=1	' 7=1	/

б?у<ОО
Доказательство. Согласно теореме 8.1 величина
р (С, п) есть в точности число разбиений п, в которых каждое це-
лое I входит не более чем раз. Поэтому (как и при доказатель-
стве теоремы 1.1) имеем

2 Р (С, п) дп =

- П (1+<7' + ?1'+--+/<') П

/=1	/=1

Йу<ОО	Йу=ОО

(1-Л

Г/у=ОО

1

(1 —

Этот последний результат обеспечивает получение относитель-
но простого теста для определения эквивалентности двух
идеалов разбиений порядка 1, который можно понимать как
«минимальное» решение поставленной в начале этого параграфа
задачи.

Теорема 8.4. Пусть С и С — идеалы разбиений порядка 1
с <//= зир^^с/л д'/ = 8Пр^(.) ^с'// Тогда С ~ С в том
и только том случае, когда две последовательности положитель-
ных целых {/ (й/ + 1)}/=ь й/ < оо, {/ (д'/ + 1)}/=1, й] < оо,
отличаются порядком одна от другой.

Замечание. Эту теорему можно перефразировать в тер-
минах мультимножеств (объекта, введенного в § 3.4): мульти-
множество М — это пара (5, /), где 5 — множество, а / — функ-
ция на 5 с целыми положительными значениями. Для каждого
а 5 величина / (а) выражает «кратность а в М». Теперь
каждая из последовательностей {Ш+1)МЖ+1)} одно-
значно определяет соответствующее мультимножество (со-
ответственно О'), где, скажем, О = (Л, 6), Д — множество поло-
жительных целых вида / (й/ + 1) для некоторого /, а 6 (г) — функ-
ция кратностей, которая подсчитывает число вхождений г в после-
довательность {/ (й/ + 1)}. Теорема 8.4 просто утверждает, что
С ~ С тогда и только тогда, когда 0=0'.

Доказательство. Если пара последовательностей из
условия теоремы такова, что одна переупорядочивается в другую,
то по теореме 8.3

оо	/ оо	\ --1

5 р (с, п) яп = П (1 - я’ ^+1)) П (1 - /) =

^>0	/=1	\/=1	/

6?у<оо

оо ,	, , . . / 00	\ —1

= П I -^+0 П (1 -/) = 2 р(С, п)яп-
1=1 к	7 \/«1	/	п>0

г/у< оо

Поэтому р (С, п) = р (С, п) для всех п и, значит, С ~ С'.

Предположим теперь, что эти последовательности непереупоря-
дочиваемы другу в друга. Пусть 6 (г) (соответственно 6' (г)) обоз-
начает то число раз, которые г входит в {/ (й, + 1)} (соответственно
в {/ (4/ + 1)1). и пусть к — то наименьшее целое, при котором
б (п) у= б (Л'). Если теперь предположим, что С ~ С, то

оо	/ оо	\ —1

П (I -/)в(/) п (I - я1)] =^р(С, п)яп =

/=1	\/=1	/	п>0

ОО	/ ОО	\ —1

= 2 р(с‘п)яп= П (1 — я{)й'и>\ П (1 — я1)]
п>0	/=1	\/=1	/

и, значит,
оо	оо

п(1_^)в^= па-?')6'^

/=Л	/=к

а это неосуществимо, поскольку коэффициент при дн в левой части
есть — б (Л), который не равен — б' (/г) — коэффициенту при
Ян в правой части. Это противоречие показывает, что С и С'
не эквивалентны.

Громадное число теорем о разбиениях легко следуют из теоре-
мы 8.4. Выпишем здесь лишь некоторые из них.

Следствие 8.5. Пусть Рг (п) обозначает число разбие-
ний п, в которых каждое целое I наличествует не более чем I — 1
раз. Пусть Р2 (п) обозначает число разбиений п на не квадраты.
Тогда Рг (п) = Р2 (») пРи всех п.

Доказательство. Пусть Сх = |Д} €	1—М

и = |{Д| С >0=г — не квадрат}. Тогда равенство

(п) = Рг («) равносильно эквивалентности Сг ~ С2. Для мно-
жества Сх соответствующая последовательность { / Ц- + 1)}/=1,
й1 < оо, имеет вид {/(/—1 + 1)}Д1 = {/2}/=1; для С2 такая
последовательность имеет вид |/2 (0 + 1)}/=1 = {/2}/=1- Поэ-
тому согласно теореме 8.4 имеем Сх ~ С2.

Следствие 8.6. Пусть Л4Х и Л42 — два множества поло-
жительных целых, и пусть 2Л4Х обозначает удвоение элементов М±
(т. е. 2Мг = |/|/72	Л4Х}). Тогда число разбиений п на различ-
ные части, взятые из Мъ равно числу разбиений п на части, взя-
тые из М2, тогда и только тогда, когда 2Мг^ Мг и М2 =	—

— 2Мг.

Доказательство. Пусть

I = 1, 2,	/, = 1 => I С Ли и пусть С2 = {{А} С I А >

> 0 => А С Л42}. Тогда нам достаточно показать, что Сг ~ С2 <=>
<=> 2МГ Мг и М2 = Мг — 2МГ. Последовательность |/	+

+ 1)}/=1, д] < оо, связанная с Съ состоит из {/-2}/=1, /
С Мъ и ] ф. М19 тогда как последовательность, связанная
с С2, состоит из	М2; эти два мультимножества совпадают

тогда и только тогда, когда 2Л41 П Мл = 0 (в противном случае
в ^-мультимножестве присутствовали бы и двукратные вхожде-
ния, а в С2-мультимножестве — лишь однократные) и 2Л41 0 УН? =
= Л4*. Поэтому, по теореме 8.4, эквивалентность С± ~ С2 имеет
место тогда и только тогда, когда 2МГ сс М± и М2 = Мг — 2МГ.

Следствие 8.7. Каждое целое однозначно представимо
суммой различных степеней двойки.

Доказательство. Пусть Л4! = {1, 2, 4, 8, 16,
32, ...} и М2 = {1|. Тогда 2МГ = {2, 4, 8, 16, ...} с= Л4г и
М2 = Л4г — 2МГ. Поэтому согласно следствию 8.6 число разбие-
ний п на различные части из Мг равно числу разбиений п на части
из Л42, которое есть в точности 1, поскольку имеется лишь един-
ственное разбиение п на единичные части.

8.4* Сцепленные идеалы разбиений

Материал предшествующего параграфа обеспечивает хороший
подход к исследованию вопросов о классах эквивалентности идеа-
лов разбиений. К сожалению, мощность результатов, подобных
теореме 8.3, падает, когда речь заходит об идеалах разбиений не-
единичного порядка. Тем не менее в этом параграфе мы укажем
широкий класс идеалов разбиений (сцепленные идеалы разбиений)
с производящими функциями от двух переменных, и функции эти
оказываются решениями конечных линейных однородных ^-раз-
ностных уравнений с полиномиальными коэффициентами. В этот
класс сцепленных идеалов разбиений входят и к и 3)к, к из
гл. 7, впрочем, как и большинство идеалов разбиений, проявляю-
щихся в известных тождествах с разбиениями, он включает в себя
идеалы разбиений порядка 1 тогда и только тогда, когда последо-
вательность из локальных супремумов	периодична по

некоторому модулю к и < оо при всяком Л Адекватная трак-
товка идеалов разбиений порядка 1 представлена в § 8.3, так
что наиболее интересные приложения сцепленных идеалов раз-
биений проявляются, когда идеал имеет порядок 2 или более.
В этом параграфе с каждым идеалом разбиений С будет связы-
ваться производящая функция двух переменных

;<?) = 2 х2^2'? = 2 Х*({М)^({М),	(8.4.1)

где показатель при х есть число частей разбиения (Р»2^...),
а показатель при д — само разбиваемое число. Заметим, что

/с(1; <7)= 2 да({^}) = 2 Р(С,п)дп. (8.4.2)
{Жс п=°

Помимо того, нетрудно показать (соображениями, используемыми
в теореме 1.1), что

Ых; <?)= п (1-хЛ-1	(8.4.3)

п=1

и произведение абсолютно сходится при |д| <1, |х| <|д|_1.
Поэтому, так как число разбиений пет частями в произвольном
идеале разбиений С, очевидно, не превосходит полного их числа
в посредством сравнительного признака сходимости видим
(применяя (8.4.3) к (8.4.1)), что ряд в (8.4.1) абсолютно сходится
при |д| < 1, |х| < 17 Г1.

ф-разностные уравнения, такие как (7.1.1) и (7.2.4), играли
важную роль в гл. 7. Теперь нужно уяснить специфику задач,
в которых появляются ^-разностные уравнения, а также специ-
фику соответствующих идеалов разбиений. Первым важным свой-
ством оказывается существование модуля.

Определение 8.7. Пусть С — идеал разбиений; положим

с(т) = {{жс|/1 = /2 = ... = А„ = о}.

Таким образом, С<т> — это множество разбиений из С, все
части которых больше, чем т.

Определение 8.8. Через ф обозначаем взаимно одно-
значное соответствие ф:	определяемое по правилу

<Р ({А}) = ш. где

О, / = 1,

А-1, />1.

Ясно, что функция ср просто добавляет 1 к каждой части раз-
биения; поэтому

а (ф 0 = 2^ =2(^ + 1) А-

1=2	1=1

так что если I присутствовало Д- раз, то теперь I + 1 присутствует
А раз.
Определение 8.9 Число т называется модулем идеала
разбиений С, если т — наименьшее положительное целое, для
которого <ртС = С(т>.

Многие идеалы разбиений не имеют модулей (например, Сх
и С2 из доказательства следствия 8.5). Идеал разбиений О из
(8.2.1) имеет модуль 2; Ф из (8.2.2) имеет модуль 1; из
(8.2.4) имеет модуль 1; из (8.2.5) имеет модуль 2^+1;

из (8.2.7) имеет модуль 2, а из (8.2.8) имеет модуль 46.

Соотношение между модулями и ^-разностными уравнениями
устанавливает следующая

Лемма 8.8. Если идеал разбиений С имеет модуль т, то
!с (хут; у) = /с(т) (х; у).

Доказательство.

=	х*(<₽т((/‘1))/(<₽т((^>)) = 2	х*({М)?а({/'}) =

{А)€с	{Л}€ч>тс

-2

1Мес(”|

Определение 8.10. Для каждого идеала разбиений С
модуля т положим

Ас=НА1€С|А = 0, 1>т\.

Таким образом, Ьс — это подидеал С, состоящий из всех раз-
биений С, части которых не превосходят т.

Определение 8.11. Для {/4 и из & положим
{/а ® {&} = {[,+&}

Лемма 8.9. Если С — идеал разбиений с модулем т, то
для каждого л С существует единственная последовательность
ль л2, л3, л4,... из элементов Ьс такая, что

л = © (<р%) + (ф2тл3) © (ф3тл4) © • • 	(8.4.4)

Доказательство. Так как С имеет модуль т, то
фМС = С^‘т^ для каждого / = 1, 2, 3, ... Это следует из того,
что фт: С ->	— биекция и, значит, фО™) должно содержать

те элементы	из С, у которых /\ = /2 = ... = /2т = 0, т. е.

^тС(т) — с*(2/п) и> следовательно, ф2тС= фшфшС = ц)тС^ =
= С(2я1). Доказательство для произвольного / аналогично.

Теперь для произвольного л = {Д| однозначно имеем

« = {А, /2....А», о. о, о. ...}©

4~ {о, 0, ..., 0, /т+1, /т+2, ..., /2т, 0, 0, . . . | 4“
4-{о,о, ..., о, /2^+1’ /2^+2» • • •, о, о, ... 14“ * * * —

= лхф (<Р%)©(<р2тл3) ф ....
где

Л/ =

| /]т+Ь I 1 > 2, ...» Ш,

( О, I > т.

Для завершения доказательства остается показать, что если С
имеет модуль т и л С, то каждое Лу Ьс. Ясно, что <р^-1)тл; ^
-г; л С; поэтому ф</~ 1>тп} С. Но С = СШ~г>т'>. Стало
быть, поскольку ф</-1>'пл;. С«/-0т) = ф(/_1)тС, видим, что
л;- С и, значит, Лу Ьс.

Определение 8.12. С называется сцепленным (связан-
ным) идеалом разбиений, если

1)	С имеет модуль, скажем, т;

2)	Ьс — конечное множество;

3)	каждому ла Ьс соответствуют некоторое подмножество
3?с (па) из Ъс (связующее множество для ла) и положительное
целое I (ла) (размах (разброс) этого ла) такие, что для всякого
л 6Р включение л С выполняется тогда и только тогда, когда
представление (8.4.4) обладает тем свойством, что для каждого /
^Г/4-1, ^/+2> • • • >	(Лу)—1 == {0, 0, 0, • • •} >	^/+1 (Лу) С с (Лу).

Поскольку это определение довольно громоздко, рассмотрим
несколько примеров. Из (8.2.4) имеем

Я = , к = ({АI € | А + А+1 к - 1).

Здесь $ имеет модуль 1, и если взять лх = \1, 0, 0, ... }, то

7.^^ — | л3, Л1, Л2, •••, лА_х|, / (л,)	1, 0 к 1,

0х.) = {яо, я1> •••» о I ==5 к — 1.

Из (8.2.2) видим, что 3> имеет модуль 1, и если лх = {/, 0,
0, 0, ... }, то Ь = {л0, лх}, I (л0) = I (лх) = 1, 2? др (л0) =
(^1) = Iя», Я11

Из (8.2.7) ясно, что 3)к,к = 3)* имеет модуль 2, и если лх =
= {0, I, 0, 0, ... }, 1|>,- ={1, I, 0, 0, ... }, то

= (^01 Лх, . . ., ЛА_Х, 1|)0, 1|?х, . . ., 4'/г-2}>

I(л,) = I(1|)Х) = /(лА_х) = 1, 1 = 0, 1, ..., к — 2,

2’й>»(^) = '2’а>*(я») = (яо> •••>	'И. •••> ’к-г-г}-

Если связующее множество (л) = {л0} и I (л) = г, то
в действительности имеется и иная возможность выбора разброса
и связующего множества, именно, 3?с (л) = Гс и I (л) = г + 1;
вообще, первый вариант предпочтительнее в том смысле, что он
реализует наименьшее возможное значение разброса.

Отметим, что при 1 с а < к ни а, ни 3)к> а не является сцеп-
ленными идеалами разбиений, однако, как это станет ясно из
дальнейшего, они существенно связаны с 3$к,к и @>к,к-

Определение 8.13. Пусть С — сцепленный идеал раз-
биений и л Ас; определим С- как подмножество из С, состоя-
щее из всех тех л С, для которых в представлении (8.4.4)
«ГС — «ГС,

Таким образом, для 1 < I < к
=	ф^/г,

== Ф ф	к—

= Ф.’ Ф ф20А, к-1-

Мы увидим, сколь важную роль играет С- в основной теореме
о сцепленных идеалах разбиений (теорема 8.11). Решающим в до-
казательстве теоремы 8.11 будет следующий результат, который
представляет собой модификацию к ^-разностным уравнениям
одного алгоритма Муррея и Миллера (1954) для соответствующей
задачи о дифференциальных уравнениях.

Лемма 8.10. Предположим, что имеется система д-раз-
ностных уравнений

У1 (хдт) = 2 Р]к(х) ук(х), 1 ==: / ==: п. (8.4.5);

к=\

выполняющаяся для |^| < 1, |х|	где У}(х)— функции,

аналитичные по х и д внутри этой области, а (%) — рацио-
нальные функции по х и д. Тогда существует такое г п, что

Ърк(х)у1(Х(/1т) = Ь,	(8.4.6)

й=0

где рк (х) — рациональные функции от х и д и рг (х) = 1.

Доказательство. В ходе этого доказательства будем
заменять рациональные функции, скажем, р,к (х) на новые рацио-
нальные функции, скажем, р*к (х), в связи с чем постоянному из-
менению обозначений (и тем самым необходимостью работы с обоз-
начениями типа Р/й*+#1 (х)) мы предпочитаем запись новых функ-
ций, так же как старых р^к (х); поэтому читатель должен внима-
тельно следить за тем, что р!к (х) в одной строке может означать
нечто иное, чем р/к (х) в следующей.

Начнем с рассмотрения (8.4.5);:

У1 (хдт) = рп (х) уг (х) + (р12 (х) у2 (х) + ... + р1п (х) уп (х)).
Либо все р12 (х), ..., р1гг (х) тождественно равны нулю, либо нет,
и тогда имеем (8.4.6) при г = 1. Если же они не тождественны нулю,
мы можем (посредством подходящей перенумерации у2 (%),..., уп (х)
предположить, что р12 (х) не тождественна нулю. Положим

(х) = р12 (х) у2 (х) Н-1- р1п (х) уп (х)	(8.4.7)

и теперь можем выделить у2 (%) из нашей системы уравнений:

У2 (х) = (а»2 (х) - р13 (х) у3 (х) - ... - р1п (х) уп (х))/р12 (х). (8.4.8)

Новая система имеет вид

У1 (хут) = ри (X) У! (х) + ш2 (х),

п

(хдт) = 2 Р1к (хдт) ук (хдт) =
к=2

= 2 Р1к (хдт) 2 Рк1 (х) У1 (х) =
к=2	/=1

= 2 У[	Д Р1к (хдт) Рк1 (х) +

14=2

।	/ п	\

+ -Х-7Х 2 Р1к (хдт) Рк2 (х) (ш2 (х) — р13 (х) у3 (х) -
Р12 \х) \к=2	]

— ...—Р1П{х)уп{х)), (8.4.9К

и, следуя нашему, ранее сформулированному соглашению, запи-
шем

®2 (хдт) = р21 (х) уг (х) + р22 (х) ш2 (х) +

+ Р23 (х)у3(х)+ ... +Р2П (X) Уп (х). (8.4.9)2

После подстановки (8.4.8) в (8.4.5),- при 3	/' п видим, что

получающиеся уравнения вновь принимают ту же самую форму,
именно,

У1 (хдт) = Рц (х) уг (х) + р12 (х) а»2 (х) +

+ 2 Р,к (х) ук (х), 3 п. (8.4.9),
к=3

Эта процедура может быть повторена:

(х) = Р23 (х) Уз (х) + • • . + Р2п (х) Уп (х).	(8.4.10)

Если все р2з (х)» •••» Р2л (х) — тождественные нули, то
(8.4.9)! и (8.4.9)2 влекут

лт - р„(ч”) л(ч“) -

= Ра (р) »1 И + Ра М (й и?"‘) ~ Ри М (Ч)-
что и есть (8.4.6) при г = 2. Если не все из р23 (х), ..., р2п (х) —
тождественные нули, то выделение г/3 (х) (так же, как и р2(х))
влечет

У1 (хдт) = Ри (х) уг (х) + а<2 (х),

Щ (ХУт) = Р21 (х) У1 (х) + Р22 (х) (х) +	(X),

^3 (хут) = р31 (х) У! (х) + р32 (х) ш2 (х) +

+ Раз (х) (х) + 2 Рзк (х) Ук (X),

к=4

У1 (х<Г) = Рц (х)у1 (х) + р/2 (х) ш2 (х) 4-

+ Р)з (х) (х) + 2 Р]к(х) ук (х).
*=4

Можно продолжать этот процесс, пока либо все у2 (х), у3 (х), ...
..., ул (х) будут выделены, либо пока в одном из получившихся
равенств

«7+1 (х) = Р/, /+1 (х) р/+1 (х) + ... + р/п (х) уп (х)

все Р/,/+1(х), ..., р)П (х) окажутся тождественными нулями. Во
всяком случае существует г п такое, что

У1 (хдт) = рп (х) уг (х) + а)2 (х),

©2 (х<7т) = р21 (х) У1 (х) + р22 (х) И)2 (х) + а», (х),

(хдт) = рг1 (х) уг (х) + рг2 (х) ю2 (х) + ... + ргг (х) ы>г (х).

Первое из этих уравнения может быть использовано для выделения
пу2 (х) из этой системы. Поэтому

Р1(хЛ-Рн(хЛр1(хЛ =

= Р21 (х) уг (х) + р22 (х)	(х<7т) - рп (х) (х)) + (х),

™3(хдт) = р31 (х) уг (х) + р32 (х) (уг (хдт) -

- Ри (х) Уг (х)) + Рзз (х) (х) + а»4(х),

^г(хсГ) = Рп (х) (х) + Рг2 (х) (рх (хдт) -

- Ри (*) У1 (х)) + Рг3 (х) и»3 (х) + ... + Аг(х) ^г(х).
Следующий шаг дает

У1 (*<73т) + а (х) уг (хд2т) + р (х) уг (хдт) + у (х) уг (х) =	(х)

и так далее. Наконец, выделение и>г (х) влечет, как это и предпо-
лагалось, (8.4.6).

Теорема 8.11. Пусть С — сцепленный идеал разбиений.
Тогда

!с(х;д) =	х21^1

удовлетворяет конечному линейному однородному д-разностному
уравнению с коэффициентами — полиномами от х и д.

Доказательство. Начнем с нумерации элементов
Ьс: Ьс = {л0, лъ л2  лД, а поскольку для всех С {О, О,
О, ...}	Ьс, можем принять, что л0 = {0, 0, 0, ...}. Сразу

оговоримся, что л, — отнюдь не то же самое пг, что фигурировало
в примерах, предшествующих этой теореме.

Для О Л I -С к положим

Н1(х) = Н1(х,д)= 2	(8.4.11)

яе%

Теперь, поскольку л0 = {0, 0, 0, ...}, это немедленно влечет,
что Ся0 =	= фтС. Поэтому по лемме 8.8

Н0(х) = 2 х#(я)«/0<Я) = 2 х*(я)ф’(я) = /с(х<7т; д).
я€сл0	я^с^)

(8.4.12)

Стало быть, надобно лишь доказать, что Но (х) удовлетворяет
линейному однородному «/-разностному уравнению с полиноми-
альными коэффициентами, поскольку тогда (8.4.12) автоматиче-
ски повлечет то же самое и для /с (х; д).

Наша ближайшая цель в этом доказательстве состоит в доказа-
тельстве того, что Н1 (х) удовлетворяет системе линейных одно-
родных «/-разностных уравнений, для чего замечаем, что если
л € Ся«, то согласно части 3 определения 8.11

Л = Л, ф Ло ф Ло ф •• • ©Лр Ф <р1	т^'>

где

о ся/а о ся/з и... и ся/г

и 3?0 (л,) = {лу1, л/2, л/3, ..., лД. Очевидно, что Ся/д, СД2, ...
..., СЯ/-Г суть непересекающиеся множества разбиений. Поэтому
Н^х) « 2 х#(я)<70(я) =

2	Х#(П^ (ч,г (Я/) тя'\'

«'^лаи-исл/,

2 2	(Л/) т # (л')+а (л') __

Й=1 я'€сл/й

= х#(пдда (яг) Н1н (х/(я‘)т).	(8.4.13)

Л=1

Для завершения доказательства теоремы надо лишь показать, что
эта система ^-разностных уравнений может быть сведена к одному
уравнению с Но (х), а это потребует применения леммы 8.10.

Положим

Л,.Дх) = ЯДдГ1<Г/'"), 0^1^ к, 0^/</«). (8.4.14)

Система (8.4.13), как это легко видеть, эквивалентна следующей
системе из й = / (л0) + I (лх) + ... + / (лД уравнений:

^/(*</") = Лб/+1(*)> 0=еД=С&, 0^/</(л,) —1,

И{, ! (Я.)-! «) = Х-* ("V (Я<)-т/ (Я<) * ("/) 2 й/й, о (X).

6=1

(8.4.15)

Таким образом, согласно лемме 8.10 йОо (*) = #о (я”1) удовлетво-
ряет

о

2/Ш#о(х-1<гйт) = о.

6=0

Поэтому

0 = 2 рк {х~'(Гат} н„ (хд(а~ку т).	(8.4.16)

А=0

Кроме того, можно предполагать, что рк (х~1д~ат) суть поли-
номы от х и </; поэтому мы можем избавиться от знаменателей
домножением (8.4.16) на подходящим образом подобранные мно-
члены. Согласно замечанию, следующему за равенством (8.4.12),
видим, что установление (8.4.16) достаточно для доказательства
теоремы 8.11.
Задачи

1.	Для каждого к > 2 всякое целое имеет единственное представление по
основанию к, т. е. каждое целое однозначно представимо как сумма степеней к,
в которой нет части, повторяемой более чем к — 1 раз.

2.	Совершенное разбиение числа п — это такое разбиение л = (Хх ... Х5),
что для каждого т < п существует в точности одно л' с л такое, что л' —
это разбиение т. Число совершенных разбиений — то же самое, что и число упо-
рядоченных факторизаций числа п1. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
все совершенные разбиения п представимы в форме

поэтому

П = (§1 — 1) • 1 + (§2 — 1)	+ (§3 — 1) -^1^2 + • • • +

+	- О ‘(^2- • -^-1) = ^2- • Ь

3.	Мак-Магон, который ввел совершенные разбиения, обобщил это понятие
до разбиения бесконечности, под которым он понимал формальное выражение

"оо =	(ад)ё3-1- • -(ад- •	• •)’

определенное для каждой последовательности {^7}^ целых, превосходящих Ь
Из задачи 2 ясно, что для каждого целого п существует единственное л <
такое, что л — это разбиение п. Простое рассуждение показывает, что если
Л— класс эквивалентности идеалов порядка 1, содержащий {{^} 1/7=0,
/> 1}, то

р (Л\ п) = 1 для всех п

каждое «разбиение бесконечности» есть по существу идеал разбиений в

4.	Постоянная последовательность	с = к > 2 дает разбиение

бесконечности (или элементов «<), как в задаче 1.

5.	Достаточно просто показать, что каждое целое однозначно представимо
в виде суммы из непоследовательных чисел Фибоначчи (числа Фибоначчи: 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, ... (ип = ип_1 + ип_2) ... ). Это показывает, что не каждый
элемент Л' соответствует разбиению бесконечности.

6.	Пусть 3) (г; Ьъ Ь2, ..., Ьт; /п)— множество всех разбиений (ХхХ2... Х8)
(5 произвольно) таких, что Хг-_г —	(г < / < 5), X/ = / (гпоб ш). Тогда

3) (г; Ъъ ..., Ьт; т) — сцепленный идеал разбиений.

7.	Пусть — множество всех разбиений (ХхХ2... Х8) (5 произвольно) таких,
что Х,_х — > 9 (1 < / с «), если X; нечетно; Х/_2 — > 5 (2 < / < .$),
если Л/ = 2 (шо4 4) и Х/_2 — X/ > 0 (2 < I < з) всегда. Тогда & — это сцеп-
ленный идеал разбиений. Модуль & равен 4. Множество имеет 9 элементов:

л0 = {0, 0,	0,	0,	0,	...},	лх=	{1, 0, 0,	0,	0,	...},	л2= {0,	0,	1, 0, 0,	...},

л3= {0, 1,	1,	0,	0,	...},	л4=	{0, 1, 0,	1,	0,	...},	л5= {0,	2,	0, 0, 0,	...},

лб = {0, 1,	0,	0,	0,	...},	л7 =	{0, 0, 0,	1,	0,	...},	л8 = {0,	0,	0, 2, 0,	...}.

Размах лх, л2, л3 равен 2, в то время как остальные Л/ имеют размах 1.
Множествами сцеплений являются

(ло) =

(лх) =	— {лх},

«2*$ (л2) = {я7, л8} = «2’^’ (л3),

(Л4) = {л2, л;7, л8) = «2’^’ (лб),

(Лв) =	=	(л7) — «2’^’ (л8).

Замечания

Материл, представленный здесь, первоначально был опубликован в [4,
5, 6]. Такое представление сцепленных идеалов разбиений есть расширение и
усиление [5] и впервые изложено было в такой форме в лекциях в Универси-
тете Эрлангена в 1975 году. Пара множеств из следствия 8.6 называется эйлеро-
вой; этот результат первоначально получен в [2] и расширен в [14]. Литературу
по материалу этой главы см. в разделе Р68 в [8].

Задача 1 — это теорема античности о представлениях в системах счисления
(по поводу такой ее трактовки см. [1, 2]); задачи 2—4 — [9, 10, 12]; задача 5—
это теорема Зекендорфа. Подробнее см. [7].

ЛИТЕРАТУРА

1.	А п (1г етсз О. Е. (1969а). Оп гасНх гергезепГаНоп апс! Гке ЕпсНбеап а1&о-
пГкт.— Атег. МаГк. МопГЫу 76, р. 66—68.

2.	Апбгетсз О. Е. (1969Ь). Ттсо Ткеогетз о! Еи1ег апс! а ^епега! рагННоп
Гкеогет. — Ргос. Атег. МаН1. 8ос. 20, р. 499—502.

3.	Ап (1г етсз О. Е. (1971). МшпЬег Ткеогу. — Заипбегз, РЫ1ас1ерЫа.

4.	Апдгетсз 6. Е. (1972). РагННоп МепННез. — Адуапсез 1п МаГк. 9,
р. 10—51.

5.	Апбгетсз О. Е. (1974). А &епега1 Ткеогу оГ ИепНШез о! Н1е Ко^егз—
Кататцап Гуре. Ви11. Атег. МаГк. 8ос. 80, р. 1033—1052.

6.	Апдгетсз 6. Е. (1975). РгоЫетз апб ргозресГз Гог Ьаз!с курег&еотеГпс
ГипсНопз. — 1п: Ткеогу апс! АррИсаНоп о! 8рес1а1 РипсНопз (К. Азкеу,
ес1.), Асабепис Ргезз, Ыетс Уогк.

7.	Э а у к 1 п Э. Е. (1960). КергезепГаНопз о! паГига1 питЬегз аз зитз оГ ^е-
пегаИхес! Р1Ьопасс1 питЬегз. — «П Ьопбоп МаГк. 8ос. 35, р. 143—160.

8.	ЬеУедие АУ. «I. (1974). КеУ1етсз 1п ЫитЬег Ткеогу, Уо1. 4. — Атег.
МаГк. 8ос., РгоуИепсе, К. I.

9.	М а с М а к о п Р. А. (1886). СегГат зрес1а1 рагННопз о! питЬегз. — (ЭиагГ.

МаГк. ОхГогб. 8ег. 21, р. 367—373.

10.	М а сМ а к о п Р. А. (1891). Тке Гкеогу о! регГесГ рагННопз апс! Гке сотро-
зШопз оГ тиШрагНГе питЬегз. — Меззеп^ег оГ МаГк. 20, р. 103—119.

11.	МасМакоп Р. А. (1915). СотЫпаГогу Апа1уз1з, Уо1. 1. — СатЬпс^е
Чту. Ргезз, Ьопбоп апб Ыетс Уогк (герг!пГе<1 Ьу Ске1зеа? Ыетс Уогк, 1960).

12.	М а с М а к о п Р. А. (1923). Тке рагННопз о! тНтГу тсИк зоте агЙктеНс
апс1 а1беЬга!с сопзедиепсез.— Ргос. СатЬпс^е РкН. 8ос. 21, р. 642—650.

13.	М 111 е г К. 8., М и г г а у Р. «I. (1954). Ех1зГепсе Ткеогетз Гог ОгсИпагу
ЭИГегепНа! ЕдиаНопз. — Ыетс Уогк Иту. Ргезз, Ыетс Уогк.

14.	8иЬЬагао М. V. (1971). РагННоп Ткеогетз Гог Еи1ег ракз. — Ргос.
Атег. МаГк. 8ос. 28, р. 330—336.
Глава 9

МЕТОДЫ РЕШЕТА, СВЯЗАННЫЕ
С РАЗБИЕНИЯМИ

9.1.	Введение

До сих пор тождества с функциями разбиений получались
либо установлением взаимно однозначного соответствия между
множествами перечисляемых разбиений (например, теоремы 1.4—
1.6), либо посредством установления подходящих тождеств с соот-
ветствующими производящими функциями (например, теоремы
7.5 и 7.11). В этой главе мы продемонстрируем, как при посредстве
различных типов принципа включения-исключения (или решета)
можно доказывать многие интересные результаты теории разбие-
ний. В § 9.2 с использованием принципа включения-исключения
передоказывается теорема Эйлера (следствие 1.2) и выводится
тождество Сильвестра. В § 9.3 изучается необычное решето, свя-
занное с последовательными рангами разбиения Аткина, и дока-
зывается новое тождество (теорема 9.12) с числами Ак^ (п) из
теоремы 7.5. Это решето приводит к ряду открытых вопросов о
разбиениях.

9.2,	Включение-исключение

Начнем с передоказательства следствия 1.2 чисто комбинатор-
ными методами.

Теорема 9.1 (см. следствие 1.2). Для всех п

п) = р((У, п).

Доказательство. Восстановим основное рассужде-
ние в доказательстве следствия 1.2:

^-п <1+’”)-Птт$--

л=0	п=1	п=1

оо	оо

-Пттй-2

П=1	п=0
Ключ к нашему подходу лежит в комбинаторной интерпрета-

А 1 — О2Л
ции произведения I I-----Именно, положим

„=1

г(п)= 5 (-1)',
а>-->аг

где суммирование ведется по всем представлениям п вида

П = а1 + • • • + аг +	+ • • • +	/П Л 1 \

в которых каждое сц четно. Всякое обычное разбиение л =
= (СХС2 ... С() можно перегруппировать для получения представ-
лений вида (9.2.1). Если т—число различных четных Д, то
вклад л в Е (п) в точности равен

(	1,	т=0,

= 1 (1- 1Д = 0, т>0.

Следовательно, л дает 1, если все его части нечетны, и 0 в про-
тивном случае. Стало быть,

Е (п) = р(0, п).

Далее заметим, что поскольку каждое из (9.2.1) четно, то,
полагая ас = 2а(, получаем, что представление (9.2.1) эквивален-
тно представлению

л = а1 + • • • + аг + а1 + • • • +	+ • • • + ^3,

ах> •••>«,,	(9‘2’2'

Теперь всякое обычное разбиение л = (СХС2... С() можно пере-
группировать для получения представлений в форме (9.2.2).
И здесь, если т — число частей, входящих в л, с повторениями,
то вклад л в Е (п) в точности равен

Следовательно, л дает 1, если все его части различны, и 0 в про-
тивном случае. Поэтому

Е(п) =р(&>, п).
Таким образом, р(О, п) = р(3), п) (=Е(п)), что и требовалось
доказать.

Используемое здесь рассуждение можно легко распространить
и на другие результаты, такие, например, как следствие 8.6.
Для получения нашего следующего результата привлекается усе-
ченный принцип включения-исключения.

Теорема 9.2 (Сильвестр).

(-1)ПхУ (3"+П/2(1 ^2«+1)

= 1.

(9.2.3)

(Ч)п (^П"^1)оо

Замечание. Теорема 9.2 сразу следует из результатов
гл. 7. Действительно, левая часть в (9.2.3) есть в точности 7Ц (0;
х; д'), и, значит, согласно лемме 7.2 7П (0; х; д) =	(0; хд; д).

Поэтому

А1 (0; X- д) = 7ц (0; х/; д) -> 7и (0; 0; д) = 1, оо.

Доказательство. Будем рассматривать левую часть
(9.2.3) как производящую функцию для

С(М, Ы)= 2 «л

Л

#(л)=А1
а(л)=Л/

и определим весовой коэффициент ая.

Левую часть (9.2.3) можно представить в виде

д

1 +

(х^+%

ОО

п=0

п+1 (п+1)’ <(п+1>/2
я ~~7я)п

1

(х</г+1)00 ’

(9.2.4)

а подход, применяемый в комбинаторном доказательстве равенства
(2.2.9) в конце гл. 2, показывает, что хпдп‘дп ("+1)/2/(?)п является
производящей функцией для всех разбиений с п различными ча-
стями, превосходящими п. Поэтому

XV2

п (п+1)/2
(9^

1

(х9"+1)оо

порождает представления целых Ы в форме

= Й1 + й2 Н----+ ап + 6Х • • • + Ь3,

(9.2.5)

где ах > а2 >

> ап >п, Ьх 5- ... 5' Ь3 > п, а 8 произвольно.
Теперь каждое обычное разбиение я, наименьшая часть кото-
рого равна т и которое содержит / различных целых, можно раз-
бивать на представления вида (9.2.5) различными способами, про-
сто выделяя подмножество объема п из / возможных выборов
для Поэтому множитель (—1)л в первой сумме из (9.2.4) оз-
начает, что полный вклад л в первую сумму равен

Вторая сумма в (9.2.4) подобна первой, за тем лишь исклю-
чением, что теперь представления М имеют вид

Ы	+ а2 + • • • + + (я + 1) + &1 + • • • + &5, (9.2.6)

где > а2 > ... > ап > п + 1, Ьг > ... > Ь8 > п, а 5 произ-
вольно.

В этом случае всякое обычное разбиение яс/ различными
целыми и наименьшей частью т (некоторые или все из этих /
целых могут присутствовать в я с повторениями) можно разби-
вать на представления (9.2.6); при условии, что иг = п + 1, для
может быть осуществимо

выборов. Поэтому л дает вклад только к члену второй суммы
в (9.2.4) при п = т—1 и этот вклад равен (—

Поэтому полный вклад разбиения л с наименьшей частью т равен

1 - (’1) + (0 - • •' +(-1)'“'Д-'1) +(-1)” (т!1) -»•

Значит, для

С(МЛ)=

Л

# (л)=М
а (л)—Л/

видим, что весовой коэффициент ая равен нулю, если л имеет
наименьшую часть т. Таким образом, единственным разбиением,
имеющим положительный весовой коэффициент, оказывается пу-
стое разбиение нуля; его весовой коэффициент, очевидно, равен 1.
Стало быть,

(—1)" х^(3п+1)/2(1 - х?2п+1)



= 2 С(МЛ)хЛ1<?" = С(0, 0)=1.
9.3. Решето для последовательных рангов

Как известно, любое разбиение может быть представлено гра-
фом Феррера. Например, разбиение (77533 1 1 1) имеет пред-
ставление

В 1944 году Дайсоном было введено понятие ранга разбиения
как его наибольшей части минус число всех частей разбиения.
Таким образом, ранг разбиения из нашего примера равен 7 —
— 8 = —1.

Позже Аткином было введено понятие последовательных ран-
гов разбиения. Можно рассматривать графическое представление
как множество углов, заполненных точками, так что наше разбие-
ние (775 33 1 1 1) имеет три таких угла:

Для разбиения л определим г, (л) как число точек в горизон-
тальной части 4-го угла минус число точек в вертикальной части
4-го угла в таком рассмотрении графического представления раз-
биения л. Таким образом, если л = (7 7 5 3 3 1 1 1), то гх (л) =
= 7 _ 8 = —1, г2 (л) = 6 — 4 = 2, г8 (л) = 3 — 3 = 0.

Для нас представляет интерес «осцилляция» этих рангов между
положительной и отрицательной границами.

Определение 9.1. Пусть к — наибольшее целое, при
котором существует последовательность /х< /2< • • • </й такая,
что

г/х(л)>2^ —4 — 1, Г/Дл) ===: — (4 — 1), г/з(л)>2/г —4 —1,
О’—О

и так далее. Это число Л будем называть (к, [^-положительной
осцилляцией разбиения л.
Определение 9.2. Пусть § — то наибольшее целое,
при котором существует последовательность Л < /2 < •• < /8
такая, что

Г/Дл) — 1), г1г(л) > 2к — I — 1,

Г/,(л)	— (» — 1),	> 2/г — г — 1

и так далее. Это число § будем называть (к, 1)-отрицательной
осцилляцией разбиения л.

Если л = (7 7 5 3 3 1 1 1), то (1, 1)-положительная осцилля-
ция л равна 2, а (2, 1)-отрицательная осцилляция л равна 1.

Наше внимание сосредоточивается на функциях разбиений,
связанных с такими осцилляциями.

Определение 9.3. Пусть (а, Ь; ц; А) (соответствен-
но (а, Ь; р; Ы)) обозначает число разбиений А не более
чем с Ь частями, не превосходящими а, у которых (к, ^-положи-
тельная (соответственно (к, г)-отрицательная) осцилляция не
меньше ц.

Этим функциям разбиений можно поставить в соответствие
производящие функции

Дм (а, Ь-, р; д)= 2 Ра,/(а, Ь; ц;	(9.3.1)

Л4А>/(а, Ь; р; <?)= 2 тк>1(а, Ъ\ р; А)<Д (9.3.2)

Далее мы опишем рекуррентные соотношения для этих функ-
ций, которые приведут нас к тождествам, содержащим много-
члены Гаусса, но сначала отметим тесную связь между отрица-
тельной и положительной осцилляциями.

Лемма 9.3. Для всякого разбиения л его (к, ^-положительная
осцилляция либо на 1 больше, либо на 1 меньше, чем его (к, ^-от-
рицательная осцилляция.

Доказательство. Пусть Д < Д < ... < Д — после-
довательность, связанная с (к, ^-положительной осцилляцией,
как в определении 9.1. Тогда либо существует /0 < Д такое, что
г/0 (я)	—0 — 1), либо нет. В первом случае видим, что (к, I)-

отрицательная осцилляция больше на 1, а во втором случае
меньше на 1.

Лемма 9.4. При каждом р, 1 выполняются следующие
рекуррентные соотношения-.

тк,Аа> Ь-, р,; М) — тк,Да— 1, Ь; р,; М) —

— Ь — 1; р,; У) + тк, 1 (а — 1, Ъ — 1; р,; М) =

| тк>Да — 1, &— 1; р,; М —а —&+1),	а —	— 1),

I р*, / (а — 1, Ь — 1; р,— 1; И — а — Ъ + 1), а — Ъ — (I — 1);

(9.3.3)
рк,Ла’	Рк.Ла — 1, &; р; Щ —

— Рк,{(а, Ь — 1; р.; ^ + Рк,[(а — 1, Ь — 1; ц; А0 =

( «1м(а — 1, Ъ — 1; р — 1; М — а — &ф- 1), а — Ь^>2к — I — 1,
“ I Рк,1 (а — 1, Ь — 1; р; А^ — а — & + 1), а — Ь «С 2к — I— 1.

(9.3.4)

Доказательство. Начнем с анализа левой части
(9.3.3). Разность тк>1 (а, Ь\ р; А0 — ткг1 (а — 1, Ь; р; А0 обозна-
чает число разбиений Ы не более чем с к частями, из которых мак-
симальная равна а, и с (к, 0-отрицательной осцилляцией, не
меньшей р. Стало быть, вся левая часть (9.3.3):

(тк, I (а, Ь; р; А0 — тк1 ^а — 1, Ь; р; №)) —

— (ткг1(а, Ъ— 1; р; Щ — тк>1(а— 1,Ь — 1; р; А0)

обозначает число разбиений № с Ь частями, из которых наиболь-
шая равна а, и с (к, 0-отрицательной осцилляцией, не меньшей р.

Преобразуем теперь разбиения, перечисляемые левой частью
(9.3.3), следующим образом: удалим из каждого такого разбиения
его наибольшую часть (т. е. а) и уменьшен на единицу каждую
из оставшихся частей этого разбиения. В терминах графического
представления это, очевидно, эквивалентно удалению первого
(наружного) угла из графа Феррера. Таким образом, преобразован-
ное разбиение представляет собой разбиение числа Ы — а — Ь + 1
не более чем на к— 1 блоков, не превосходящих а — 1.

Если а — Ь > —(I — 1), то удаление наружного угла из гра-
фического представления не влияет на (к, 0-отрицательную ос-
цилляцию, которая остается равной р. Следовательно, преобра-
зованное разбиение принадлежит типу разбиений, перечисляе-
мых функцией тк>1 (а—1, Ь—1; р; А? — а — к + 1). А по-
скольку описанная процедура, очевидно, обратима, видим, что
если а — Ь > —(г — 1), то

тк> I (а, к; р; А0 — тк>( (а — 1, Ь; р; п) —

— тк, {(Р> к — 1; р; А0 ф- тк) I (а — 1, Ь — 1; р; АГ) =

— Шк, I (Р — 1, Ь — 1; р; # — а — & ф- 1).

Стало быть, первая половина (9.3.3) доказана.

Предположим теперь обратное: а — Ь —(г — 1); в этом
случае удаление внешнего угла из графического представления
уже оказывает воздействие на (к, 0-отрицательную осцилляцию.
Именно, результирующее разбиение характеризуется тем фактом,
что оно имеет (к, 0-положительную осцилляцию, не меньшую
р — 1. Таким образом, преобразованное разбиение принадлежит
типу разбиений, перечисляемых рк<1 (а — 1, к — 1; р — 1;
Ы — а — Ь + 1). И вновь, пользуясь обратимостью нашего пре-
образования, получаем, что если а —	Ь	—(I —	1), то

ткг I (Щ р;	М) — тк, Да — 1, р; М) —

—	Да> — 1 '> И! М) + тк, До —	1,	Ь — 1; р;	А) =

= Рк, {(а — 1> Ъ —	1;	р — 1; А — а —	& Д-1).

Тем самым установлена и вторая половина равенства (9.3.3).

Мы опускаем доказательство (9.3.3), поскольку оно в точности
повторяет доказательство (9.3.3) при перемене ролей (к, /)-поло-
жительной и {к, ^-отрицательной осцилляций.

Теперь довольно легко перевести лемму 9.4 на язык произво-
дящих функций.

Следствие 9.5. Если р > 1, то

Мк,{ (а, Ь; р; д) — (а — 1, Ь; р; <?) —

— А4*. Да, Ь — 1; р; д) + Мк)1(а—1, Ь — 1; р; д) =

_ а+ь_Д Мм(а —1- Ь — 1; р; д), а — Ь > — (I — 1),

Ч I /\Да — 1, Ь — 1; р — 1; д), а — Ъ^—(1 — \)\

(9.3.5)

Рк, I [а, Ь; р; д) — Рк> Да — 1, &; р; д) —

— Рк, ,(а, Ь — 1; р; д) Д- Рк} — 1, Ь — 1; р; д) =
а+ь_1 ( Мк)1(а— 1, Ь — 1; р —1; д'), а — Ь>2к — I — 1,

Ч I Рк, г (а — 1, Ь — 1; р; д), а — Ь^2к — 1—\.

(9.3.6)

Доказательство. Приравнивая коэффициенты при
Д'7 в этих тождествах, получаем требуемое непосредственно из
леммы 9.4.

Лемма 9.6. Выполняются следующие равенства:

Рк, I (а, Ь- 0; д) = Мк, 1 (а, Ь-, 0; д) = [а + 6],	(9.3.7)

Л,Д°> к; р; д) = Рк>1(а, 0; р; <7) = Л4А,ДО, Ь; р; д) =

= Мк)1(а, 0; р; д) = 0, р> 1, (9.3.8)
где [а^6] — многочлен Гаусса (см. § 3.2).

Доказательство. Для доказательства (9.3.7) заметим,
что у всех разбиений (к, ^-положительная и (к, ^-отрицательная
осцилляции не меньше нуля; поэтому Рк,1(а, Ь; 0; д) и
Мк<1 (а, Ь; 0; д) — это производящие функции для разбиений не
более чем с Ь частями, не превосходящими а. Согласно теореме 3.1
такая производящая функция имеет вид	чт0 и Дока-

зывает (9.3.7).

Для (9.3.8) заметим, что только пустое разбиение нуля не имеет
ни частей, ни наибольшей части. А поскольку все (к, 0-осцилляции
пустого разбиения нуля равны нулю, то видим, что производящие
функции из (9.3.8) должны быть тождественно равны нулю.

Лемма 9.7.

ь ГА + В1 _ лГЛ + В-11 _ , гЛ + В-11

’ [в-х] I В —X ] У [В — Х-1]

I Д ГЛ + В ~ 2] = пА+в-1ль ГЛ + В ~ 21
Т7 [в —X—1]	4 [в —X—1]'

Доказательство. Согласно (3.3.3) имеем

ь ГЛ+В1 _ г. гЛ+В-11 _ ь ГЛ + В-11 . ь ГЛ + В~21_
4 [в-х]	4 I В-Х ]	4 [В — X-1] ' 4 [В-Х-1]

_ Ь+Д+Х Г Л + В — 11   г^-А+Х Г Л + В — 21 (3.3.4)

ч [в-Х-1] Ч [в —X —2]

_ ь+д+в-1 Г Л + В — 21

— Ч	[В-Х-1Г

Лемма 9.8. Для каждого целого г^О положим
г (А- Г XV п да-г+^+^ггл + х-.

/И, г, X, V, Ь) — д	[Л+у]-’’

I V „М-А+У+/+2 (1-<?<г-/-1)<л+у+1>) Г2Л + X + /1
(1-Д-Н-Н)	[Л+Г-1Г

/=о

Тогда для каждого целого гэЯ

ДА, г; X, У, 1) - /(А, г- 1; X, У, Ь) -

-ДА-1, г+1; X, V, Г) + ДА-1, г; X, У, Ь) =

__ Ь+2А+2У+г Г 2Л -|- X + Г — 21

I Л + У ]•

Доказательство.

ДА, г; X, У, Г) - ДА, г - 1; X, У, Ь) =

_ ь+г (Д+У+1) Г2Л + XI ,
[Л + У.1 +

г—2

I V1 Д+А+У+/+2+(г-/-2)(Д+У+1) Г2Л + Х + Д
д	[Л + У-1.Г
Повторное применение (3.3.4) дает

„Ь+2А+2У+г г2Л + X г — 2] _

4	I А + У ] —

г—3

V1 я/(А + У)+Г + 2А + 2У+г Г24 + Х + Г — 3 — /1
к Л + Г-1	]

/=0

I пЬ+2А+2У+г+(г-2)(А+У) Г2Л + Х] _
[л + г]-

г-з

=2?<г-1_/) (а+у)+ь+г

2Л + Х + /1	г+г(л+у+1) Г2Л + Х]

а+у_1]т?	[л + г]

Г+А+У+/+2+(г-/-2)(А+У+1) Г2Л + Х + /

7=0

Д+г(А+У+1) Г2Л + Х

Стало быть, комбинируя эти два результата, находим

/(Л, г; X, У, Ь) - 1{А, г - 1; А, У, Ь)-

_ ^+2А+2У+г [2Л +Д-Ы ~ 2+ Д4 _ 1, г. Х> У, 1) =
= /+л+г+' [2ЛЛ+х+_г 7 2] + / (Л - 1, Г- X, У, Ь) =

Ь+Д+У+г

2А + X + г — 3 — / 1 .

А + У-2 "Г

+ /(Л+У-1) [2д + у ~!2] + / (Л - 1, г; X, Е, Ь) —

_ VI ++А+У+г+(г-1-/) (А+У-1) Г2Л4-Х —2 + /"1

“ ЛЛ 4	[ Л + У-2 ] +

/=о

_^+(г+1)(А+У)	+	_ 1, г- X, У, Ь) =

(1 + ++2) (Л+У)) Г2 (Л - 1) + XI ,

4	(1-<Д+г) I Л-1+Р ] -1-

г—2

VI ++А+У+/+1(1 -

/=о

])_ г2(Л-1) + Х + Л

[ л — 1 + г-1 ]

= /(Л- 1, г+1; X, У, Ь).
Теперь мы полностью подготовлены к доказательству основной
для нашего решета теоремы о производящих функциях.

Теорема 9.9. Пусть Ь = а или а — 1 и к > I > 0. Тогда

2и; д) = ^((4* + 2) ц + (2^-21- + 1))

а -|- Ь

Ь — (2к + 1) р

Мк>1 (а, Ь; 2р — 1; <?) =

= л(2ц-1) ((2А + 1) ц-(2й-1 + 1)) Г	а + Ь

4	(2й+1)р + 2й —» +1

Р>, Ло.Ь:2К Ч)- / «“	[6 + (“ Д ц и

Ры(а,Ь-, 2и,—1;	Г “Д

(9.3.9)

(9.3.12)

Доказательство. Прежде всего заметим, что рекур-
рентные соотношения (9.3.5) и (9.3.6) вместе с начальными усло-
виями (9.3.7) и (9.3.8) однозначно определяют М.к,1 (а, Ь; р; д)
и Рк, I (а, Ь; р; д). Введем теперь новые функции Мк,1 (а, Ь; р; д),
Рк, I (а, Ь; р; д), определяемые в терминах многочленов Гаусса,
и наша задача будет состоять в том, чтобы доказать их тождест-
венность изначальным производящим функциям:

м:.,(а,6; 2И;	ДДДД,

-р-1),	(9.3.13)

Мк.с(а, Ь; 2р — 1; д) =
= (2ц-1) ((2*4-1) р,-(2й-«ч-1)) Г	а + Ь	1

Ч	\ь — (2к+ 1)р4-2/г —» + 9’

а-&>-(»-!); (9.3.14)

РЬ(а, Ь; 2р;	=	((46 + 2) ц-(2б-2(- + 1))

а — Ь^2к — I, (9.3.15)

2р- 1;	[а_	+,

а- 21г —I; (9.3.16)

М*к,{(а— 1, а+-1 — 1 + г, 2р; д) =

,((46 + 2) Ц + (26 - 21 + 1)) (1-^ + 2>(а + ‘- 1 ~(2^ + 1> И))

= <?

(1 _(?а + ‘-1-(26 + 1) Ю)

2о -|- I — 3	"| .

а + I — 2 — (2^ 4- 1) р, ]
/=0

(1 —(а4<-1-(2*41) Ю) г 2а+1 — 3 + /	1

Х	+	+	[а + « —3 —(2&+1)[х] ’

г>-1, а^1, ц==Л, (9.3.17)

М*к,1 (а — 1, а +1 — 1 + г, 2ц — 1; д) =

_ (2р. - 1) ((2к + 1) |1 - (2* - I + 1)) (1 — ?<г42)(а- (2^41) й42 **))

~Ч	([_?а-(2*41)И42*) Л

Г 2а-Н —3	1

Л [а — (2к + 1) ц + 2к — 1 ] ’г

Г-1

+ 2 ^(2ц-1) «2* + » И~(2* -141» 4- а — <2й 4-1) ц4 2*4-1 + /
/=0

(1_9('-/>(а-(2* + 1)и + 2*)) г 2а + 1-3 + /

Х (1_(?а + (2* + 1) ц + 2*) [а — (26 + 1)ц + 26 — 2

г>-1, а>1, ц>1; (9.3.18)

Р*.,(& + 2^-/-1+г, Ь-1- 2ц; д) =

= „Ц ((4* 4 2) Ц - (2* - 21 4 1)) (1 —<7<г + 1)(Ь+2*-«-(2* + 1)11))

4	(1_?&+2Й-<-(2* + 1)|1) Л

Г 26 + 26-1-2	1

Л [& + 2й-/-1-(2А + 1)ц]

Г-2

+ 2 ^“(<46+2)м'
/=о 4

— (2* — 21 4 1)) — (2* 4 1) ц + 6 + / + 2* — 1 +1

X

X

(1 _9(г-/-1) (6 426-1 -(2*41)ц))

(1 _	4 2* - <• - (2* 4 1) н)

г 26 — 2к — I — 2 + /	1

[ь + 2к — I — 2 — (2к+ 1) ц ]

г 2» 0, Ь^\, ц> 1, (9.3.19)

РкЛЬ + М-1-\ 4-6 &-1; 2ц- 1; <?) =

= (2р. - 1) ((2* 4 1) Ц - О (1—<?(г + 1)(6 + 2й <2Й Ц^)

4	(1 _9»42*-(2*41) Ц) А

X

Г 26 + 26 — I — 2	1 .

[б + 26— 1 —(26+ 1)ц] +

г—2

4-2 ^(2м'-1) «2*41) 11-0-(2*41) ц46 4/42*41 х
/=оЧ
(1_/г-/-1>(Ь + 2й-(2б + 1)м)) г 2Ь-\-2к — 1 — 2 + 1 1

Х (1_^ + а-(» + 1)И)	+ —2 —(2й+1)ц] ’

г>0, 6> 1, ц> 1. (9.3.20)
Наконец,

Мм (а, Ь- 0; </) = Р*кЛ (а, Ь; 0; <?) = [а+ 6] .	(9.3.21)

Прежде всего отметим, что начальное условие (9.3.7) представ-
лено в (9.3.21). Кроме того, если а или Ь равны нулю в М*к, I и Рк, с
при ц > 1, то непосредственная проверками. (9.3.13)—(9.3.20))
показывает, что и сами эти функции обращаются в нуль.
Поэтому для них выполнены все начальные условия леммы 9.6.

Обратимся теперь к рекуррентным соотношениям (9.3.5)
и (9.3.6). Первая половина (9.3.5) и второя половина (9.3.6) полу-
чаются применением леммы 9.7 к соответствующим равенствам
среди равенств (9.3.13)—(9.3.17). Наконец, в обозначениях леммы
9.8, получаем

М*к,1 (а — 1, а + I — 1 + г; 2ц; <?) =

= ?(а, г +1; 1 — 1, /-2 —(26 + 1) ц, (46 + 2)ц2 +

+ (26-2г + 1)ц),	1, г > - 1, ц>0, (9.3.22)

М*к,1 (а — 1, а +1 — 1 + г, 2ц — 1; <?) =

=Д(а, г+1; г-3, 2к - 1 - (26 + 1) ц, (2ц- 1)((26 + 1) ц —

-2/г + г-1)), а>1,	1, ц>0; (9.3.23)

Р*к,1 (6 + 26 — I — 1 +г, 6 — 1; 2ц; <?) =

== Д6, г; 2к - I - 2, 2к - I - 1 - (26 + 1) ц, (4к + 2) ц2 —

— (2к— 2г‘ + 1)ц),	1, г^О, ц>0, (9.3.24)

Р*к,1(Ь + 2к-1- 1 +г, 6-1, 2ц- 1; <?) =
= /(6, г; 26-1-2, 26—1 -(26 + 1)ц,
(2ц — 1) ((26 + 1) ц — г)), 6>1,г^0, ц>0. (9.3.25)

Теперь простая проверка устанавливает, что лемма 9.8 влечет
для Мк, I и Рк, с при ц > 0 выполнение второй половины (9.3.5)
и первой половины (9.3.6).

Таким образом, Мк, г и Р*к,1 удовлетворяют равенствам (9.3.5),
(9.3.6), (9.3.7) и (9.3.8), а поскольку эти четыре равенства одно-
значно определяют Мк,1 и Рк,1, то видим, что

Рк,1(а, Ь; ц; г?) = К,г(«> 6; ц; 7),	(9.3.26)

Мк,1(а, Ь; ц; д)=Мк,((а, Ь; ц; <?).	(9.3.27)
Равенство (9.3.9) теперь следует из (9.3.13) и (9.3.27); (9.3.10)
следует из (9.3.14) и (9.3.27); (9.3.11) следует из (9.3.15) и (9.3.25);
наконец, (9.3.12) следует из (9.3.16) и (9.3.26).

Определение 9.4. Пусть рк,( (р; А) (соответственно
тк, I (и; Ю) обозначает число разбиений И с (к, (’)-положительной
(соответственно (к, ^-отрицательной) осцилляцией, не меньшей р.

Определение 9.5. Положим

д) = ^Рк,1^', Юч"’	д) — 2т41((|1; А)/.

л>о	лг>о

Теорема 9.10. При | д | < 1 имеют место следующие ра-

венства:

Мк>1(2щ д) =

<(4А + 2) ц + 2к - 21 + 1)

(<?).

р>0, (9.3.28)

(2ц-1)((2А + 1) Ц-2Й-Н-1)

Л4*,Д2р-1; </) = 2----------г-------------, р>0;

(9.3.29)

ц ((4^4-2) Ц-2А + 21-1)

—йй------------

(2Ц-1) ((2* + 1) ц-0

рм(2н-1; <?) = 9---,

р>0, (9.3.30)

р>0. (9.3.31)

Доказательство. Во-первых, заметим, что при | д | < 1

оо

д) — Рк,1(а, а; р; <?)|< 5 Р(«)|дГ->0, а-+оо,
п==а-|-1

оо

|Мм(и; ?)— Мкг1(а, а; р; д) | = 2 Р («) | <7 Г -> 0, а-+<зо,
п—а-\Л

где р (п.) — обычная функция разбиений. Кроме того,

а->оо

дх

(<7)оо ’

Следовательно, (9.3.28) следует из (9.3.9), (9.3.29) — из (9.3.10),
(9.3.10) —из (9.3.11), а (9.3.11) следует из (9.3.12).

Теперь мы введем функцию разбиений, естественным образом
возникающую из нашей «техники решета».

Определение 9.6. Пусть (п) обозначает число
разбиений л числа п таких, что для каждого из последовательных
рангов л выполнены неравенства

— (I — 2) < г/ (л) < 2к — I — 1.

Следующая лемма представляет собой принцип включения-
исключения нашего решета.
Лемма 9.11. Для каждого целого п 0 выполняется ра-
венство

$к,1(п) = Рк,1^ П)+ 2(— 1)**	(р,; п)+ 2 (—")•

и=1	ц=1

(9.3.32)

Доказательство. Во-первых, заметим, что (п) —
это объем множества всех разбиений п с нулевыми (к, 0-осцилля-
циями.

С другой стороны, правая часть (9.3.32) — это весовой пересчет
всех разбиений п. Вначале предположим, что л — разбиение п
с нулевыми (к, 0-осцилляциями. Тогда л подсчитывается одно-
кратно величиной рк, I (0; п) и совсем не учитывается величинами
1Пк,1 (р; п) и рк, I (р; п) при р > 0. Предположим далее, что л —
разбиение п с (к, 0-положительной осцилляцией г > 0. По лемме
9.3 (к, ^-отрицательная осцилляция л равна либо г— 1, либо
г + 1; если она равна г — 1, то весовой подсчет л есть

1 + 2 (-1 Г + 2 (-1 Г = 1 + 2 (-1Г - 2 (-1Г = о-,

ц=1	ц=1	ц=1	ц=0

если же она равна г + 1, то

Г-Н	г	г	г

1 + 2 (-1)ц + 2 (-1Г = 1 - 2 (-О*1 + 2 (-1)ц = о.

ц=1	ц=о	ц=1

Наконец, если (й, ^-положительная осцилляция л равна 0, а (к,
0-отрицательная осцилляция л равна 1,то этот весовой подсчет зт
есть 1 — 1 = 0.

Таким образом, мы видим, что правая часть выражения
в (9.3.32) подсчитывает однократно каждое разбиение п с нулевыми
(й, 0-осцилляциями и дает нуль на все иные разбиения п. Следо-
вательно, правая часть выражения в (9.3.32) в точности совпадает
0.к, I (^0*

Теорема 9.12. Пусть Ак^ (п) обозначает число разбиений
числа п на части, не сравнимые с 0, ±1 (той 2к + 1). Тогда при
0 < I к и при каждом п > 0 выполняется равенство

Ак,1(п) = С[к,Дп).

Доказательство. Согласно лемме 9.11 имеем
°°	°°

2 вк,1 («) <?" = 2 Рк, ДО; п) <?" +
п=0	л=0

ОО	00	00	ОО

+ 2(—1)и2	(н;п)яп + 2(—0ц2 РыСн*,=

Ц=1	П=0	Ц=1	п=0

= ^,/(0; 9) + 2 Н)Ч^; 9) + 5 (-1)* Рк, ,(И; <?) =

Ц=1	Ц=1
= 2 Мк, 1 (2ц; 7) — 2 Мк< I (2ц — 1; <?) +
ц=1	ц=1

+ 2	<?) — 2 Лг,Д2Ц — 1; Я) =

ц=0	ц=1

=	^Ц((4Л+2)ц + 2Л-2г + 1) _	^(2Ц-1)((2А!+1)Ц-2А! + 1-1) д

1ц=1	Ц=1

д 9Н((^ + 2)Ц-2^ + 2г-1)__ 5^ ^(2ц-1) ((2&4-1)Ц-/)1

ц=1	ц=1	)

= (9)~1| 5 ^2ц((2^ + 1)2ц-2^ + 2/-1)/2 _
1ц=—оо

__. 2	“ П ((2* + П (2Ц - 1) - 26 + 21 - 1)/21 =

ц—_оо	;

= (?)~1 5 (_1)П7п((2^ + 1)п-2^2/-.1)/2 =
П=—оо

= (?)« П_^+п«»+')х

т=0

Х(1	П (|-Л",-24>. ,(»)?"

п—1	п=0

пФО, ±/ (гпос! 26+1)

Поэтому, приравнивая коэффициенты при яп в этом тождестве,
получаем

Ак<1(п) = 0,к,1{п)

при каждом п 5= 0.

Легко показать, что (?г,2 («) =	(п) и ф2,1 (п) = Л2|1 (п),

и тогда следствия 7.6 и 7.7 (тождества Роджерса—Рамануджана)
следуют из теоремы 9.12.

Для доказательства того, что ф2>2 (п) = В2>2 (п), рассмотрим
разбиение л типа перечисляемого В2>2 (п); пусть, скажем, л =
= (С^Са ... СД, где С( — С(+1	2. Образуем графическое пред-

ставление л следующим образом. Пусть 1-я часть л изображается
в виде 1-го угла, где если С(- = 25 + 1, то угол имеет вид

5+7
----*.....

5 + 7 < •
если же Сг- = 25, то угол имеет вид

5+7

<---*——ч

5 а

Поскольку — Сг+1 5г 2, то эти углы в действительности
образуют последовательные углы графического представления
некоторого разбиения, последовательные ранги которого равны,
очевидно, 0 или 1. Таким образом, построено разбиение типа пере-
числяемого ^,2 («)• Ясно, что такая процедура устанавливает
взаимно однозначное соответствие между этими двумя типами
разбиений, и, стало быть, 52>2 (п) = <Э2,2 («)•

Для доказательства того, что В2)1 (п) = <22>1 (и), действуем
точно так же, только для Д = 2з + 1 угол представляем в виде

5+2
_.. X	,

• • • • •

Далее рассуждаем так же, с той лишь разницей, что нет углов
о одной единственной точкой; это и обеспечивает разницу между
В212 (п) и В^ (п). Таким образом, В2>1 (п) = ^2>1 (п).

Здесь возникает ряд интересных вопросов, связанных с техни-
кой решета.

Вопрос 1. Можно ли найти прямое графическое доказа-
тельство ТОГО, ЧТО Вк, а (п) = 0,к, а (п)?

Вопрос 2. Существуют ли такие методы решета, которые
могут быть использованы при изучении некоторых (или всех)
функций разбиений из гл. 7 и 8?

Вопрос 3. Из теоремы 9.10 можно вывести равенства

тк) [ (2ц; п) = р (п — ц ((46 -|- 2) ц + 2& — 2«	1)),

тк, I (2ц — 1; п) = р (п. — (2ц — 1) ((2/г + 1) ц — 2к -|-1 —• 1));

ркг1 (2ц; п) = р (п — ц ((4й + 2) ц — 2к + 21 — 1)),

Рк, Д2ц — 1; п) == р (п — (2ц — 1) ((2/г + 1) ц — 0).

Существуют ли прямые комбинаторные доказательства этих
соотношений?
Задачи

1.	Метод включения-исключения, используемый при доказательстве тео-
ремы 9.1, может быть применен для получения комбинаторных интерпретаций
и доказательств многих элементарных тождеств с бесконечными произведениями,
например, таких, как

оо  П(1 —<7га)  	=1,  П(1-9")  П=1	оо  П(1-<7п+т) т  	= П(1-<?")-1-  П(1-<7")	"=1  п=1

2.	Пусть 8е (п) (соответственно е0(п)) обозначает число разбиений п
на различные неотрицательные части с наименьшей четной частью и четным (со-
ответственно нечетным) числом четных частей. Тогда

ГО,
е0 («) — (п) = (

если п — не квадрат,
если п — квадрат.

Например, п = 9; ее (9) = (8+1+0, 7+2+0, 6+3+0, 5+4+0, 4+3+2);
р<.(9) = (9+0, 7+2, 6+2+1+0, 5+4, 5+3+1+0, 4+3+2+0).

Соответствующее тождество с производящими функциями имеет вид
оо	оо

2 д2п(<?2п+2; <?2)оо(-92"+1;	= 2

п=0	т =0

Это чисто аналитическое утверждение вполне легко доказывается (в следствии 2.3
заменить д на <?2, положить с = —д, а = 0, / = д2 и устремить Ь—> 0). В дей-
ствительности можно комбинаторно доказать каждый шаг в следующей «анали-
тической» цепочке (с указанием номеров задач):

оо	оо

2 <8« <")— И) <7” = 2 92п (<?2п+2; <?2)оо (—92п+1; <72)оо =

п=0	п=0

- г	л» -

гг=О	П

17 (Г±2) М2. /?2) V	V ‘>т2+2тч =

-	^,<7100^^2.	(^2)

п=0	т=0

17	2> (92. „2) у ____________!______1 у .

(9 . <7	((?2. ,2)	( 2т+2	2)

3.	Методы задачи 2 обобщить и доказать тождество

п=0

оо	п

= 1 + 2 о"2 п а+<?'+<?2/+• • •+«7е*-1’ о •

п=1	/=1
4.	Вывести тождества (здесь [х] — целая часть числа х):

/>0

оо

= V / пК-МбХ + о/г-гаК Г «4-1	1	а_Оили1

,Ч	[ [(« + 1 — 5Х)/2] + а_|	а ” ИЛИ Ь

К——оо

оо

V (_П1ОМЗН1)/2Г	« + 1	1-1

Е[(п+1-ЗХ)/2]] -*

—оо

из теоремы 9.9. Решето, используемое в теореме 9.12, здесь надо применять не-
посредственно к производящим функциям из теоремы 9.9. Случай а 4- Ь =
= п + 1, к = 2, 1—2 — а по существу влечет первое тождество, а случай
а + Ь = п + 1, к—1—\ — сразу второе.

Замечания

В конце девятнадцатого [14] и начале двадцатого столетий [10, 11] пред-
принималось интенсивное изучение разбиений с точки зрения, изложенной
в § 9.2. Приведенные в этом параграфе теоремы взяты из [1, 6].

Материал § 9.3 также взят из [3, 4]. Такие результаты выводились с целью
получения комбинаторной интерпретации аналитического доказательства [12]
тождеств Роджерса — Рамануджана—Шура. Обзор недавних работ в этой области
можно найти в [9, раздел Р68].

Задача 1 — [14, 1 ]; задача 2 — [5, 13]; задача 4 — [12, 2, 3, 4].

ЛИТЕРАТУРА

1.	А п с! г е ху з О. Е. (1969). Оп а са1си1из оГ рагННоп ГипсНопз. — РасШс .1.
МаН1. 31, р. 555—562.

2.	Апдгехуз О. Е. (1970). А ро!упоппа1 МепШу хуЫсЬ 1тр11ез Н1е Ко^егз—
Каташцап МепНШез. — 8спр1а МаН1. 28, р. 297—305.

3.	А п (1г е XV 8 О. Е. (1971). 81еуез Тог 1Ьеогетз о! Еи1ег, Ко^егз апс! Ката-
пи]ап.—1п: ТЬе ТЬеогу о! АгНЬтеНс ЕипсНопз (А. А. (Но!а ап<1
П. Ь. СоИзтНЬ, едз.) (Ьес1иге Мо1ез 1п Ма1Ь, № 251), 8рпп$ег, ВегНп.

4.	Ап (1г е XV з (3. Е. (1972а). 81еуез 1п Н1е 1Ьеогу о! рагННопз. — Атег. 5.
МаН1. 94, р. 1214—1230.

5.	А п (1 г е XV з О. Е. (1972Ь). РгоЫеш 5865. — Атег. МаН1. Моп1Ыу 79, р. 668.

6.	Ап (1г е XV з О. Е. (1975). РагНаПу огдегес! зе1з апс! Н1е Ко&егз—Ката-
шцап МепННез. — АециаНопез МаН1. 12, р. 94—107.

7.	А I к 1 п А. О. Ь. (1966). А по1е оп гапкз апс! соп]и&асу о! рагННопз. —
<Эиаг1. 5. Ма1Ь. Ох!огд 8ег. (2) 17, р. 335—338.

8.	б у з о п Е. Л. (1944). 8оте циеззез 1п Н1е Н1еогу о! рагННопз. — Еигека
(СатЬпд&е) 8, р. 10—15.

9.	ЬеУедие 5М. Л. (1974). Кеу1ехуз 1п МитЬег ТЬеогу, Уо1. 4. — Атег.
Ма1Ь. 8ос. РгоуИепсе, К. I.

10.	8 с Ь г и I к а Ь. уоп (1916). 2иг 8уз1етаНк (1ег абсННуеп 2аЫеп1Ьопе. —
1. Ке1пе Ап^еху. Ма1Ь. 146, р. 245—254.

11.	8сЬг и1ка Ь. уоп (1917). 2иг айсННуеп 2аЫеп!Ьеопе. — 8. В. Ка1зег1.
Акай. 5У133. УЛеп, АМ. Па 125, р. 1081—1163.

12.	8 с Ь и г I. Л. (1917). Ет ВеНга^ хиг аскННуеп 2аЫеп1Ьеог1е ип(1 гиг ТЬеоНе
с!ег КеНепЬгйсЬе. — 8.-В. Ргеизз. Акад. УИзз, РЬуз.-Ма1Ь. К1., р. 302—
321. (КергхЫед т I. 8сЬиг, безаттеИе АЬЬашПип^еп, Уо1. 2, р. 117—136.
8рпп&ег, ВегНп, 1973.)

13.	8 I еп ег А. (1973). 8о1иНоп1о РгоЫеш 5865.—Атег. Ма1Ь. Моп1Ыу80,1148.

14.	УаЬ1еп К. Т. (1893). ВеНга^е ги е!пег абсННуеп 2аЫеп!Ьеопе. — Л.
Кете Ап^еху. МаП1. 112, р. 1—36.
Глава 10

СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ ФУНКЦИЙ
РАЗБИЕНИЙ

10,1. Введение

В главе 5 мы видели, сколь замечательные плоды породило
сотрудничество Харди и Рамануджана. Та же сила породила и
удивительные открытия Рамануджана о свойствах делимости
функции р (п). Следующие слова Рамануджана описывают его
знаменитую гипотезу на эту тему:

«В моей недавней работе с Харди приведена таблица значений
р (п), вычисленных майором Мак-Магоном, — числа всех разбие-
ний п для п. от 1 до 200. При изучении чисел в этой таблице я под-
метил ряд любопытных свойств, связанных с делимостью р(п).
Так, например,

(1)	р(4), р(9), р(14), р(19), ...	= 0 (той 5),
(2)	р(5), р(12), р(19), р(26), ...	= 0 (той 7),
(3)	р(6), р(17), р(28), р(39), ...	= 0 (той 11),
(4)	р(24), р(49), р(74), р(99), ...	= 0 (той 25),
(5)	р(19), р(54), р(89), р(124), ..	= 0 (той 35),
(6)	р(47), р(96), р(145), р(194), ..	.. = 0 (той 49),
(7)	р(39), р(94), р(149), ...	= 0 (той 55),
(8)	р(61), р(138), ...	= 0 (той 77),
(9)	Р(Н6), ...	= 0(той 121),
(Ю)р(99), ...		= 0 (той 125).

Из этого я предположил, что верна следующая теорема:
Если б = 5“7Ь11С и 24% = 1 (той б), то

р(%), р(% + б), р(% + 2б), ... = 0(тойб).

Эта теорема подтверждается всеми имеющимися наблюдениями,
но пока я не в состоянии найти ее общее доказательство».

В той же работе, из которой приведен этот отрывок, Рама-
нуджан представил доказательства сравнений

р (5п 4- 4) = 0 (той 5),	(10.1.1)

р (7п + 5) = 0 (той 7)	(10.1.2)
и кратко обрисовал доказательства двух других результатов:

р (25п 4- 24) = 0 (той 25), р (49п ф- 47) = 0 (той 49).

В связи с такими сравнениями Рамануджан доказал ряд тож-
деств с функциями разбиений, таких, например, как тождество

оо	оо .	- -

2 Р (5п + 4) = 5 П >	(Ю-1 -3)

п=0	п=1 '	9 '

почитавшееся Харди за один из лучших результатов Рамануджана.

Рассмотрение общей гипотезы Рамануджана о делимости р (п)
привело к ряду частных результатов типа тех, что указаны выше.
В 1930 году Човла (изучая более полную таблицу значений р (п),
принадлежащую Гупта) заметил, что р (243) = 133978259344888 ф
Ф 0 (той 72 3 * 5), в то время как 24-243 = 1 (той 73). Поэтому гипо-
теза Рамануджана в такой постановке неверна. В 1938 году Ватсон
показал, что модифицированная форма этой гипотезы верна для
всех степеней 5 и 7, а в 1967 году (по прошествии 48 лет с момента
опубликования исходной гипотезы Рамануджана) Аткином была
доказана следующая модифицированная гипотеза:

Если б = 5а761 Iе и 24А, = 1 (той 6), то

р(Е) =0 (той 5«7[<б+2)/2]1р).

Содержание этой главы служит для ознакомления с теми
аналитическими методами, которые обеспечивают наиболее эффек-
тивные подходы к таким задачам. В таких аналитических подходах
почти всегда присутствует некая форма оператора Гекке; в § 10.2
видно, как этот оператор используется для доказательства гипо-
тезы Чёрчхауза о двоичных разбиениях.

В гипотезе Рамануджана мы ограничимся степенями 5, изложив
упрощенный вариант исходного доказательства Ватсона, принад-
лежащий Аткину. Это доказательство, превосходно изложенное
в [9], здесь излагается не во всей полноте. В частности, обоснова-
ние свойств р (п), основывающихся на том факте, что

2 р(п)е2я,пт = ея'т/12(п(т)Г1

г7>0

(где т] (т) — модулярная форма), потребовало бы большой предва-
рительной работы, более подходящей для книги по аналитической
теории чисел или эллиптическим функциям (см., например, [9]).
Если в гл. 5 мы без доказательства принимали (5.2.2), то здесь
также принимается (10.3.1)—модулярное уравнение пятого по-
рядка. После подтверждения гипотезы Рамануджана для степеней

5 мы завершаем эту главу обсуждением гипотез Дайсона (доказан-

ных Аткином и Свиннертоном-Дайером в 1950 году), которые
представляют собой комбинаторные интерпретации для (10.1.1)
и (10.1.2).
10.2.	Теорема Рёдсета о двоичных разбиениях

Начнем с некоторых элементарных замечаний об операторах
Гекке. Эти операторы 1/т определены на всех функциях / (</) =
оо

= 2 мероморфных в окрестности нуля д = 0, и задаются
п=— оо

по правилу

= 2

п=—оо

Таким образом, если р = е2’1'/'”, то

УтГ (?) = ^- (/ (<71/т) + / (р<71/т) +	(р'"-1?17"1)), (10.2.1)

поскольку

(т, г = 0(то(1т),
уСо'0 {0, г^0(тос!т).

Ясно, что 1)т — линейный оператор.

В этом параграфе рассматриваются двоичные разбиения, т. е.
разбиения, в которых каждая часть есть степень двойки. Так,
имеются пять двоичных разбиений семерки: (1 2 4), (I3 4), (1 23),
(13 22), (Г).

Обозначим через Ь (п) число двоичных разбиений п и положим

В(?)= 2 &(«)?" = П(1
п=0	п=0

Введем в рассмотрение последовательность функций, т^Л,
0-т (д) = М+1 - В (<?) =

= 2 (Ь(2т+гп) -Ь(2т~'п)}дп.	(10.2.2)

п=0

Сразу имеем

(^) = (^2-^2)В(94) =

= (Ь (4п) - Ь (и)) д4п = В (1’д) - В (?4) =
п=0	/=0

оо

Ц (1-<и

оо

Ц (1-<и

_1_
4

1/=0

3

(1 + Уд) (1 4- г2У)2
оо

= ТпДгП (гДу*1 +«•-1 +2о,-«') =

1

(1-^)3 1 1 (1 _ 92П) •
п==3х '

Поэтому	=	(Ю.2.3)
где	п=1 '	4 7
И вообще,	согласно (10.2.1)
5	Гт+1 О2) =	О2) = 4	0) +	<-?))• 0°'2’4)
Таким обр ^2(Л = -	азом,  *-(Зг1(7) + ^1(-7)) =  = 1 пв (пх Г 3-4 _ _3±4_1 _ 8<?гО(<?) 2	(!-<;)»	(1 +9)3 4 — (1 —<72)3 '
Стало быт1	^2 0) =4^-.	(Ю.2.5)
Выведем	л теперь аналогичные формулы для	и ^"4(7):
^з02) = ^	’^г (?’) = 4	(“«И ~  - (И +,)• - (1 ~ Ч)‘) -
Таким обр	азом,  ^~з(7)=	(10.2.6)
Это влечет ^3(<7) + 4<	= + = (10-2-7)
Далее, при ^4 О2)+ 4	меняя (/2 к (10.2.7), находим, что  ^3 (<72) = ^2 (^3 (<72) + 4^-2 О2)) =  = (^>((1+#-(1-9)5)=  х 1	Ч /
=	«1 -	- 12 (1 - 92) + 16) =

_ 64<72С(<?)	768<72О (г?)	1024<?2С (</)

— (1—<72)8	(I-?2)4 + (1-<?2)6 *

Таким образом,

^4 (9) + 4 <Г3 Ц) = 8<Г2 (?) - 12 (<Г3 Ц) + 4 <Г2 (<?)) +	,

ИЛИ
(?) + 16^-3 (?) + 40<Г2 (7) =	.	(10.2.8)

Теперь можно доказать теорему 10.1, обобщающую (10.2.5),
(10.2.7) и (10.2.8).

Теорема 10.1. Существуют, целые с^т) такие, что для
т^2

/т+1\

т—2	\ ^ /

причем с0(т) = 1, 16 | с1(т), если т^4, 8 | с2(т), 16$с2(т)
и 22< | С/ (/и) для 3 -7 / т — 2.

Доказательство. Из (10.2.5), (10.2.7) и (10.2.8) ясно,
что теорема 10.1 верна при т = 2, 3 и 4 соответственно. Для т 5
будем действовать по индукции.

Применяя У к равенству из теоремы (с заменой г/ на 7'2),
находим

("Т)

2с,-ОТот =2 _	 1 «I +,)"+!-(1 -?)”+5)-

/ о	М Ч )

Введем теперь целые (т + 2) для 0 к [(т + 1)/2] по
правилу

[(т+1)/2]

-1-((1+7Г+2-(1-7Г+2) = 7	2 6Дт + 2)(1-72)6;

к=0

это определение корректно, поскольку здесь левая часть —
нечетный многочлен. Кроме того, видим, что

60 (т + 2) = 2т+1,

6х(т + 2) = Пт (1 - 7Т1 (у((1 + 7)т+2 - (1 - 7)т+2) -

<7->1	4 2

_-(72т+1)=-т2т“1.
Таким образом,

/т+2\

т—2	\ 2 / г	т—2

2 4’ (т)	(7) = .. Хз - «г"1-1 2 Ч (т) дгтч- (<?) +

/=0	(1 — Я)	/=0

+

[(т+1)/2]

й=2

8Дт + 2)2

(тГ)-(т-Г2)

X

х 2 с1г(.т — & + 1) т-к-Н+1 0),
к=0

откуда для с,- (т + 1)

с0(т+ 1) = с0(т) = 1,

сх (т + 0 — С1 (т) + ™2т-1 с0 (т) = сх (т) 4- т2т~'.

Поскольку 16 | сх (т) и т > 4, видим, что 16 | сх (т 4* 1),
с2 (т + 1) = с2 (т) + т2'п“1сх (т) + 62 (т 4* 2) 2тс0 (т — 1).
Поскольку 8 | с2 (т) и т 5, видим, что 8 | с2 (т + 1). Точно
также, поскольку 16 $ с2(т), видим, что 16 $ с2(т+ 1) потому,
что все остальные члены правой части этого равенства делятся
на 16.

Теперь для 2 < / т — 1 имеем

с,- (т + 1) = с,- (т) + (т + 2) 2т 1 с;-_х (т) +

П1)-('”-2й+2)
+ 2 6А (т + 2) 2^	' ск (т — к 4-1).

к>2

Согласно индукционному предположению 22/1 с^ (т) и
22/ 2т-1С1_1 (т). Значит, для доказательства того, что
22/ С/ (т + 1), нам лишь нужно установить, что

^+1)_(«-^ + 2)+2/1>2/)

когда к + К =	[(т + 1)/2 ] к 2, К 0.

В самом деле,

(т~* + 2)4-2й-1 =

(Т)

+ кт — 2 + 2] >	----(к2 4- к) — 2 + 2/ =
поскольку 2 к [(т + 1)/2 ]; таким образом, 22' | С] (т + 1),
и тем самым теорема доказана.

Эта теорема приведет нас к доказательству некоторых сравне-
ний с Ь (4и) — Ъ (и), первоначально выдвинутых Чёрчхаузом
в качестве гипотез и, независимо, доказанных Рёдсетом и Гупта.

Теорема 10.2. Пусть к 1 и / = 1 (той 2); тогда

Ь (22А+24 - (Л) = 0 (той 236+2),	(10.2.9)

Ь (22й+10 - Ъ (г2*-1/) = 0 (той 23*),	(10.2.10)

причем сравнения (10.2.9) и (10.2.10)—наилучшие возможные
в том смысле, что нет более высоких степеней двойки, делящих
Ь (4п) — Ь (п).

Доказательство. Мы покажем, что функции
2~ЗА'2^+1(7), 2'3^2Д?)

имеют целые коэффициенты и что эти коэффициенты при нечетных
степенях д сами нечетны. Это эквивалентно теореме 10.2.

Если к = 1, то (10.2.5) влечет, что

(а\—. 4°^ =	-	7 У п2/+1 ,	,

8	2 (7) ц _^)4 - (1—^)3 - (1	- АЯ (ШОС12),

точно так же согласно (10.2.6) имеем

_Ь аг (а\— <? (С М (! + <?)) =	= у 02/+1 ,	. пч

32^3(71-	(1_д)8	(тоа2).

Таким образом, теорема доказана для к = 1.

Предположим, что теорема верна для всех целых, меньших к.
Тогда по теореме 10.1

2"36^ (7) + 2"3Ч (2к) Ц) + 2-3Ч (2Ц	(<?) +

(ТН

+ 2 2-\ (24) И _ 2 (|_Д°М •

По той же теореме 16 | сх (2к), 8 | с2 (2к), 22/1 С/ (2к) и при
к > 1

(2%+1)-3^>0.

Поэтому из предположения индукции следует, что 2~3к^’^к(д)
имеет целые коэффициенты. Кроме того, поскольку 16 $ с2(2Ц, то

2-3^^ = 2-36+3^_2 (</) = 2 <72/+1 (той 2).

/—о
Теперь по теореме 10.1 имеем

2“ЗЙ'2^2А+1 (?) + 2~3*“2С1 (2* + 1) ЗГ2к (я) +

+ 2-за-2С2(2^ + 1)^2й_1(<7) +

П2)-3-2
+ д2-зб-зс/(2^+1)^+1_/0)=2 п_0)и°(?)-
/=3	V у)

И вновь по теореме 10.1 16 | сх (2к +1), 8 | с2 (2к + 1),
22/1 С/ (2к) и для к > 1

(2Й + 2) - 3^-2>0.

Поэтому из индукционного предположения следует, что
2-зй-2^-й+1 имеет целые коэффициенты. Кроме того, поскольку
16 $ с2(26 + 1), то

2“34"2^+1(?) = 2-36+1ЗГ2л_1(<7) = 2 Ч21+г (той 2).

/=0

Тем самым теорема 10.2 доказана.

10.3.	Гипотеза Рамануджана для 5п

Прежде всего перефразируем гипотезу Рамануджана в терми-
нах, более пригодных для использования производящих функций.
В частности, получим общее семейство тождеств, в котором (10.1.3)
будет одним из простейших. Помимо оператора Гекке (/5, нам
также потребуется модулярное равенство пятого порядка, которое
мы сформулируем в форме

95(<?25; <7Х_№;	яЧя25-, Л , ГЛ3(<?25; -у25)! ,

(<?)5ТО	О?5; <?5)« V < +	<	+

_?2(г;Л , .4^ По .Л

+ 3’5 < +5 +Т

(10.3.1)

За доказательством этого результата мы отсылаем читателя к [9,
с. 119, равенство (2.5)]. Для упрощения обозначений полагаем

ф(?) =

?(?25; ^25)^
(9)оо

ё(Ч)

<? и5; <

(10.3.2)

(10.3.3)

(<
Таким образом, в новых обозначениях можно переписать (10.3.1)
в виде

Ф (# = 8 О5) {52ф (# + 52<р (# + 3 • 5ф (# + 5Ф (?) + 1}. (10.3.4)

В последующих теоремах нам пригодится равенство

8Г= 5Г5ф'(?) = 2 ф'(?1/5р‘)>	(10.3.5)

1=0

где р = е2ш'/5. Понадобится нам также и понятие 5-адической
нормы.

Определение 10.1. Если г у= 0 — рациональное число,
то по фундаментальной теореме арифметики г однозначно пред-
ставимо в виде	... где р. — простые, а а. — целые

(положительные, отрицательные или нули). Ь-адическая норма
V (г) числа г определяется как показатель при 5 в таком пред-
ставлении г.

Лемма 10.3. Для каждого положительного целого г выра-
жение
оо

= 2 аг/^(?)

/=1

есть многочлен по § (?), где 5 делит каждый коэффициент аг],
V (аГ])	1(5/ — г + 1)/2 ] и аГ]- = 0 всюду, кроме [(г + 4)/5]

г; здесь [х ] — целая часть х.

Доказательство. Зафиксируем некоторое ? и рас-
смотрим многочлен пятой степени от и вида

и* - ё (?)	+ 52и3 + 3-5и2 + 5и + 1) = 0.	(10.3.6)

Из (10.3.4) следует, что и = ср (?1/5) — корень, но, более того,
корнями (10.3.6) являются и = ср (71/5ру), где / = 0, 1, 2, 3, 4,
р = е2ш/5, поскольку замена у на р7'? в (10.3.4) только перестав-
ляет ср (7). Помимо того, поскольку 1 есть коэффициент при у
в ф (?) (согласно (10.3.2)), видим, что ф (?1/5р0 — все различные
функции от у и различные как комплексные числа для ?, достаточно
близкого к нулю, поскольку ф (?) ~ у при у -> 0. Значит, мы
определили пять различных корней (10.3.6), когда у — доста-
точно малое комплексное число; поэтому

П (« - ф (?1/5р')) = и5 - ^(?) (52«4 + 52»3 + 3• 5и2 + 5и +1).

1=0

(10.3.7)

Имеется аналитическое продолжение (10.3.7) для всех у, \ у\ < 1.
Обратимся теперь к формуле Ньютона, связывающей суммы
степеней корней многочлена с его коэффициентами. Именно, если
/ (х) = хп — а1хп~х +	—•••+ (—1/% =

= (х - Гх) (X - Г2) ... (X - г„)
и если
г   гт | т |	I т

8т — И । ^2 Т	Т гл >

ТО ДЛЯ 1	П

8] —	4“ ^25/-2 — • • • 4“ (— I)7 1<37—151 4" (—1)” а]1 = О’

а для / > п

8/ - Я18/-1 + «2^-2-------И—О' "/«/-л = 0-

Применяя формулу Ньютона к / (х), находим (в силу того, что
5, — это сумма г-х степеней корней многочлена из (10.3.6))
51 = 52^(?),	(10.3.8)!

$2 = 54^(<7) + 2-522(<7),	(10.3.8)2

53 = 5^3(я) + 3-5^ (?) + 9-5§(д),	(10.3.8)3

54 = 58йД?) + 4.5623(<7) + 22-53^2 (я) + 4-5§ (я),	(10.3.8)4

56 = 510^5 (я) + 5 • 58^4 (?) + 40 • 55^3 (?) +

+ 20-5ЛГ2(?) + 5т (10.3.8)5
а для г > 5

8Г = 52§ (?) 5гЛ + 52§ (?) Д_2 + 3 • 5§ (я) 5Г_3 +

+ б^(?)Д_4 + ^(?)Д_5. (10.3.8),

Теперь все утверждения леммы 10.3 можно легко проверить
непосредственно; единственное, что требует некоторой аккурат-
ности, — это неравенство для V (аг/-), которое легко проверяется
индукцией по г. Для 1 г 5 нужно лишь проверить точную
форму тождеств для 8Г. А для г > 5 предполагаем, что V (а5.)

[(5/ — 5 4- 1)/5] для 5 < г, и проверяем (10.3.8)г:

«г/ = 52аг_ьм + 52а,_2. /_4 + 15а,_3> м + ба,_4,	+ аг_5,

Стало быть,

V (аг1)	пип (V (аг_ь Л1) + 2, н (а,_2;	+ 2,

»(аг-з,;-1) + Г »(«и,+	к(аг_5,/_1)) =

= 1ШП ([^±4 , [^+2], [^=1±1],

[ 5/-г + 2	|-5/-г+1	= [ 5/-г+ 1 ,

Тем самым лемма 10.3 доказана.
Теперь мы полностью подготовлены к доказательству гипотезы
Рамануджана для степеней пятерки. В этом специальном случае
она имеет следующий вид:

Если 24^ = 1 (той 5а), то р (^) = 0 (той 5а).

Заметим, что наименьшее положительное решение сравнения
24^ = 1 (той 5°) имеет вид

^г(19-52г~1+1), а=2г-1,

-^-(23-52г+ 1), а = 2г.

Следовательно, нам достаточно показать, что
р (5ат + са) = 0 (той 5“)
при каждом т 0.

В свете результатов § 10.2 было бы естественно предполагать,
что наши интересы сконцентрированы на

оо	оо

2 Р (5ат 4- Са) дт = и&^р (б0"1™ 4- са) ят,
т—0	т=Ъ

однако, как это ясно при использовании модулярного равенства,
мы должны рассматривать

^2л-1 (?) = (?5; ?% 2 Р^-'т + с2п_г) ят+1,	(10.3.9)

т=0

оо

Дг„(?) = (?)«> 2 Р(52пт + с2„)?'п+1.	(10.3.10)

т=0

Следующая теорема несет большую информацию о коэффициен-
тах в Ьп (7), а гипотеза Рамануджана о степенях пятерки стано-
вится простым ее следствием.

Теорема 10.4. Каждая функция Ьп (7) является многочле-
ном от § (7) (10.3.3) с целыми коэффициентами, причем если

оо

(?) = 2 Ьп5ё3 (</), то
5=0

ьпО=о,	(10.3.11)

1)(Ь„г) = п,	(10.3.12)

о(Ьп^^п для всех 5^1.	(10.3.13)

Доказательство. Доказательство, проводимое индук-
цией по п, во многом схоже с доказательством теоремы 10.1. Пер-
вая сложность проявляется в особенностях двухстрочного опре-
деления Ьп Ц) (равенства (10.3.9) и (10.3.10) принуждают нас
изменять форму решений сравнения 24Х = 1 (той 5")). Кроме
того, нам приходится доказывать утверждение, более сильное, чем
(10.3.13); именно,

ДЬ„8) > п + [1(105 - 9 + (-!)")] •	(10.3.13)'

Когда п = 1,

оо

и (7) = о5; <75)оо 2 р + 4) дт+г =

т=0

оо

= (<?5; Vр (т - 1) дт = (Д д5)^ Пб =

9(925; 925)оо
“ (<?)«,

= (так как	=	=

=аф (х)=4"51

(10.3.14)

Поэтому Ь10 = 0, Ьи = 5, Ь15 = 0 для 5 > 1 и равенства
(10.3.11), (10.3.12) и (10.3.13) тем самым выполнены, когда п = 1.

Предположим теперь, что наша теорема верна для каждого
целого п 2г — 1. Мы должны показать, что это так и для п = 2г,
и п = 2г + 1. Согласно (10.3.9)

оо

Ь* (я) = (<7)оо 2 р(52гт + с2г) дт+' =

т=0

оо

= (<7)«2 Р(52гт + 4 • 52'-1 + с2г_!) д"^ =

т=0

оо

= (<7)«2 Р (52'-1 (5т + 4) + с2г_!) д^ =
т=0

оо

= ^5^2г-1 (^) = ^5	^2г-1, зё8 (7) =

5=0
оо

=2ь2г_1>51/5(^(<7)) =

5=0

оо

=2^,3^

5=0

АН; ?5)2

,, .... (10.3)

Аф68 (7)=
оо	оо

= 2 ^2г“1’5	"5~	=

3=0	ё	/=1

оо	оо	оо

= 2	= 2 8Чд)Ь.г,(, (10.3.15)

/=—оо	8—0	/=—оо

где

оо

^2г, / = “$	^2г-1,8	/+8*	(10.3.1 6)

8=0

Теперь можно вывести (10.3.11), (10.3.12) и (10.3.13)' для Ь2п /
из (10.3.16), используя лемму 10.3 (свойства аб5^+5) и индукцион-
ные предположения (для Ь2г_1%5). В частности, если I 0, то
/ + 5^5 и, значит, по лемме 10.3 аб5, /+5 = 0 для 5 > 0, по-

скольку

Г 65 + 4 ]

I 5

5 ^2 /	5.

По индукционному предположению Ъ2г_г^ = 0. Поэтому видим,
что Ь2Г}/ = 0, если / < 0, что и подтверждает (10.3.11), когда
п = 2г.

Кроме того, поскольку Ь2г-1 (7) есть (п0 предположению)
многочлен от § (7), видим, что Ь2г_1>5 = 0 для 5	50 (г). Также

по лемме 10.3 аб5,/+5 = 0 всюду, кроме /	55. Поэтому, если

/^ 550 (г), то один из сомножителей в каждом члене в (10.3.16)
равен нулю, значит, Ь2п 1 = 0 для достаточно большого /. Стало
быть, Ь2г (д) — многочлен от § (д). Далее,

оо

^2Г, 1 --

1 V1 г	_ 1 ;	(10.3.8)2

5	^2г-Ъ 5^68, 5+1	5	1 ^6,2

8=0

^2г-1» 1$ ’ 63.

Поэтому согласно индукционному предположению

^2г,1) = У(Й2г-1,1) + 1 =2Г

и, значит, (10.3.12) выполняется для п = 2г.

Наконец, для /5* 1 согласно (10.3.16), лемме 10.3 и (10.3.13)'
с п = 2г — 1 имеем

у(^2г, <) > “ 1 + пнп V (Ь2г_из ав5, /+3) =

8>1

8>1

55-5
2
- 1 + 2г - 1

5/ - 5 + 1
2

Пк

= 2г-2 + [-^]>2г + [-5Ц±],
что и дает (10.3.13) для п = 2г.

Для завершения доказательства осталось доказать наши
утверждения для п = 2г + 1, используя индукционные предполо-
жения и случай п = 2г. Поскольку путь рассуждений примерно
тот же, детали мы опускаем; выводя аналог формулы (10.3.16),
предоставляем читателю необходимые выводы из этого результата
сделать самостоятельно. Имеем

оо

7^2г+1 (7) = (75; 75)оо 2 р(52г+1т + с2г+1) 7т+1 =
т=0
оо

= (75; 7%	Р(&'т + 3 • 52г + с2г) дт+х =

т=0

оо

= (75; 75)оо Р(52Гт + с2г) 7т+2 =

т=0

= ^5

ОО

(725; 725)оо Р$2Гт + с2г) 7т+2

т=0

= П5 |<р (7)	(7)} = П5 <Р (?) ё* (?) =

8=0

ОО	ОО	6$

=2(<₽ (?) ё* (?)) =2(<₽бж (?))=

8=0	8=0	Я ХЧ » Ч /оо

8=0

2г, 8

1	1 е (10-3) VI А 1

5	^68+11	(?)

/=1

5 ^2г,з^б8+1,/>
/——ОО	5==о

откуда

^2г+1,/	5	^2г,8^б8+1, 1+8-

8=0

(10.3.17)

(10.3.18)

Оставшаяся часть доказательства проводится в точности, как и при
использовании (10.3.16).
Следствие 10.5 (гипотеза Рамануджана для степеней
числа 5). Если 24% = 1 (той 5"), то р (%) = 0 (той 5П).

Доказательство. Согласно замечаниям, предшество-
вавшим теореме 10.4, достаточно показать, что р (5ат + са) =
= 0 (той 5а) для каждого т 0. Если а = 2п — 1, то

оо	оо

т—0	8—1

(10.3.19)

Выражение (рЖя5', <75)<» всегда есть степенной ряд по <7
спелыми коэффициентами, и по теореме 10.4 б2"-1 Ц2п_1,8 Для
каждого 5. Поэтому коэффициент при <7т+1 в правой части (10.3.19)
делится на 52га-1, стало быть,

б2"-11 р (б2"-^ + с2/!_1) .

Те же рассуждения проходят и в случае а = 2п, с той лишь
разницей, что (<78, <75)оо заменяется на (<7)00.

Следствие 10.6.

и=0	{Ч'°°

Доказательство. Это есть перефразировка равенства
(10.3.14).

Естественно теперь задаться вопросом: существуют ли какие-
нибудь комбинаторные интерпретации для таких сравнений? Два
из них, именно (10.1.1) и (10.1.2), обладают таковыми интерпрета-
циями, но уже ни для какого другого сравнения комбинаторные
интерпретации неизвестны. Следующая теорема, первоначально
сформулированная Дайсоном в качестве гипотезы и доказанная
в [4], дает все известные интерпретации.

Теорема 10.7. Пусть Я (к, а; п) — число разбиений,
первый ранг которых (см. § 9.3) сравним с а по модулю к. Тогда

7? (5,0; 5т+ 4) = 7? (5, 1; 5т + 4) =

= 7? (5, 2; 5т + 4) = 7?(5, 3; 5т + 4) = 7? (5, 4; 5т + 4),
7?(7, 0; 7т + 5) = 7?(7, 1; 7т + 5) = 7?(7, 2; 7т^5) =

= 7?(7, 3; 7т + 5) = 7?(7, 4; 7т + 5) =

= 7? (7, 5; 7т + 5) = 7?(7, 6; 7т + 5).

Единственное имеющееся доказательство этой теоремы потребо-
вало бы довольно много места. Следует отметить, что в основе
своей это аналитическое доказательство, во многом опирающееся
на свойство модулярных функций. Комбинаторное доказательство
теоремы 10.7 неизвестно.
Задачи

В задачах 1—6 представлены задачи для Ъ (п; т)-разбиений п на степени
числа т. В них используются следующие функции:

Ф(«; ?)= 2 ь(т< П)чп = П (1— чт"У~\
п=0	п=0

Г (/и; 7)= (1 — 7)Ф(т; д) = ф(/п; дт)9

Чг(т', д) = 2 тГ+хп)--Ь(т\ тгп))дп;
п=о

заметим, что

Ч7+1 (т; ц) = итЧг (т; Ч), г > 0.

'	11=	

2.	,)-"ДД 

о	,тг /	\ । /т\	/ ч	/п3Г(/п; д) д

3-	’Ы'п; <?) + ( 2 )	9) =	(1_ ?)4 •

4.	Т3 (/п; д) + ( 2 ) (2/п + 1)	(т; 0 +

। /о /т\2	/т\	//дх цч

+ (<2/п(2/ “т’(2)+И 3 Д^1(т;?) =

_ /и6 Г (/и; д) д
(Г^)5	•

5.	Доказать, что существуют целые (ц (г) ( = а/ (т; г)) такие, что

г-1	С^"1)

VI . ч ,тг , ч т 2 С (т\ д) д
ч) =--------------------

где а0 (г) = 1, т | ах (г), если т нечетно, ~^т1 а1 (г)> если т четно, и
/п2/“2 | ау- (г) при 2 < / < г — 1.

6.	Положим р, = т, если т нечетно, и р = /п/2, если т четно. Тогда по-
казать, что

Ъ (т; тг^п) — Ь (пг; тгп) = 0 (той рг)-

В задачах 7—13 вкратце представлено простейшее известное доказательство
того, что 5 | р (5п + 4).

7.	Из тождества Якоби (теорема 2.8) вывести тождество

(?)« = 2 (-1)"1 (2т + о </п(т+1)/2-
т=0

8.	Доказать, что для —оо < г < оо, 5 > 0 выражение 1 + -^-г (Зг + 1) +
+	5 (5 + 1) делится на 5 тогда и только тогда, когда г = 4 (той 5) и 5 =

~ 2 (той 5).
9.	Из задач 7, 8 и тривиального тождества д (д)4^ = д (д)^ (д)^ вывести,
что коэффициент при д5/п+5 в д (д)4^ кратен 5.

10.	Считая, что / (д) = § (?) (тоб 5), если ап ~ Ьп (тоб 5) при всех и,
где / (д) =2 ап<]п и ё (?) — 2 показать> используя биномиальные ряды,
что

ттЛи-3 1 (“а5)'

11.	Из задачи 10 видно, что
о?5; <?5)оо	,.	.

12.	Задачи 9 и И влекут, что коэффициент при ^5ап+5 в (д (?5; ^5)оо)/(?)оо
кратен 5.

13.	Из задачи 12 следует, что 5 | р (5т + 4) при всех т > 0.

Замечания

Как уже отмечалось в § 10.1, наиболее читабельным и полным руководством
по свойствам делимости функции р (и) служит книга [9]. Результаты самого
Рамануджана на эту тему в основном содержатся в [15, Р25]. Работа [2] содер-
жит полностью случай 11п; случаи 5п и 7п впервые были полностью исследо-
ваны в [17].

В [3] и иных местах (см. [12]) широко изучались арифметические свойства
модулярных форм; например, в [3] показано, что

р (206 839п + 2623) = 0 (шоб 17).

Материал по бинарным разбиениям взят из [16, 7]; мы в своем изложении
придерживались [1]. Теорема 10.2 в качестве гипотезы сформулирована в [5].

В [10, 11] предложена элегантная элементарная техника для доказатель-
ства сравнений типа (10.1.1) и (10.1.2); в [14] дается хорошее изложение этой
техники и некоторых результатов из [10, 11].

О следствии 10.6 (принадлежащем Рамануджану) Харди в своей книге
«Рамануджан» пишет: «Было бы трудно отыскать формулу более красивую,
нежели тождества Роджерса—Рамануджана..., но здесь Рамануджан должен
отдать первенство профессору Роджерсу; а если бы я выбирал красивейшую фор-
мулу из всех результатов Рамануджана, то в этом выборе согласился бы с майо-
ром Мак-Магоном, останавливаясь на тождестве

р(4) + р(9)х + р(14)х2+.

5 {(1 — х5) (1 — %ю) (1 _ Х15)
{(1 — х) (1 — X2) (1 — X3) .

где р (и) — число разбиений и».

Недавние работы по делимости функций разбиений см. в [13, Р76]. За-
дачи 1—6— [5, 16, 1, 8]; задачи 7—13— [15, Р25].

ЛИТЕРАТУРА

1.	А п 6 г е V/8 С. Е. (1971). Соп^гиепсе ргорегНев о! 1Не т-агу рагННоп ипс-
Ноп.— 3. ИитЬег Ткеогу 3, р. 104—110.

2.	А I к 1 п А. О. Ь. (1967). Ргоо! о! а соп]ес1иге о! Каташцап. — С1аз^оху
Ма111. Л. 8, р. 14—32.
3.	А I к 1 п А. О. Ь. (1969). Соп^гиепсе Неске орега1огз. — Ргос. Зутр. Риге
Ма1к. 12, р. 33—40.

4.	А I к 1 п А. О. Ь., 8м1ппег1о п-В у ег Н. Р. Е. (1953). Зоте рго-
регНез о! рагННопз. — Ргос. Ьопдоп МаН1. Зое. (3) 4, р. 84—106.

5.	Скигсккоизе К. Р. (1969). Соп^гиепсе ргорегНез о! Н1е Ыпагу рагН-
Ноп ТипсНоп, Ргос. СатЬпд^е РЫ1. Зое. 66, р. 371—376.

6.	В у з о п Р. Л. (1944). Зоте ^иеззез 1п Н1е 1пеогу о! рагННопз. — Еигека
(СатЬпд^е) 8, р. 10—15.

7.	6 и р I а Н. (1971). Ргоо! о! Н1е Скигсккоизе соп]ес!иге сопсетт^ Ыпагу
рагННопз. — Ргос. СатЬпд^е РкН. Зое. 70, р. 53—56.

8.	6 и р I а Н. (1972). Оп /п-агу рагННопз. — Ргос. СатЬпд^е РкН. Зое. 71,
р. 343—345.

9.	К п о р р М. I. (1970). Мос1и1аг РипсНопз 1п Апа1уНс МитЬег Ткеогу. —
Магккат, СЫса^о.

10.	К о 1 Ь ег О. (1957). Зоте МепННез шуокт^ Н1е рагННоп ЫпсНоп. —
МаН1. Зсапд. 5, р. 77—92.

11.	Ко1Ь ег § О. (1960). Соп^гиепсез 1пуо1у1п^ П1е рагННоп ТипсНоп 1ог П1е
тодиИ 17, 19, апд 23. — Оту. Вег^еп АгЬок Ма1ипн1. Кекке 1959, № 15»
р. 10.

12.	Ь е 11 п е г 3. (1969). Ьес1игез оп Моди1аг Рогтз (Арр1. МаН1. Зег. № 61). —
МаН Виг. 81апдагдз, ХУазЫп^оп, Э. С.

13.	ЬеУедие, XV. 3. (1974). КеУ1емз 1п МитЬег Ткеогу, Уо1. 4. — Атег.
МаНъ Зое., РгоуНепсе, К. I.

14.	Кадетаскег Н. (1973). Тор1сз 1п Апа1уНс МитЬег Ткеогу. — Зрпп-
^ег, ВегИп.

15.	К а т а п и ] а п 8. (1927). Со11ес1ед Рарегз о! 8. Катапщап. — СатЬпд^е
Бпк. Ргезз, Ьопдоп апд Мем Уогк (герпЫед Ьу Ске1зеа, Мем Уогк).

16.	Кбдзе!к О. (1970). Зоте агНктеНса! ргорегНез о! т-агу рагННопз. —
Ргос. СатЬпд^е РкН. Зое. 68, р. 447—453.

17.	XV а I 8 о п 6. М. (1938). Катапщапз УегтЫип^ йкег ХеНаПип^запгак-
1еп. — Л. гете ап^ем. МаН1. 179, р. 97—128.
Глава 11

МНОГОМЕРНЫЕ РАЗБИЕНИЯ

11.1.	Введение

В предшествующих главах (за исключением гл. 4) разбиения
рассматривались как однострочная таблица с предписанной сум-
мой своих элементов:

п = П1 + п2 Н----1- пз = 5 «й > «;+!•

Г=1

В этой главе изучаются многомерные разбиения числа, т. е. таб-
лицы, сумма элементов которых равна п\

п =	5	где	(ИЛЛ)

*1 * • • • *	& V

всякий раз, как /ь /2	/2, •••» Л (все ... —

целые неотрицательные числа).

Примечательно, что наибольший интерес представляют собой
случаи, когда размерность равна 1 или 2, и намного меньший
интерес — случаи размерностей, превосходящих 2. В § 11.2 изла-
гается доказательство Карлитца фундаментальной теоремы Мак-
Магона, использующее детерминантное представление соответ-
ствующих производящих функций; рекуррентный подход, исполь-
зуемый здесь, проявляется также и в гл. 12 при рассмотрении
векторных разбиений.

В § 11.3 изучается фундаментальный алгоритм Кнута, обеспе-
чивающий доказательство ряда теорем о плоских разбиениях.

В § 11.4 рассматриваются вопросы, относящиеся к многомер-
ным разбиениям. К сожалению, большинство результатов этого
параграфа носит негативный характер. В частности, показана
несостоятельность предположительной формы производящей
функции многомерных разбиений.

11.2.	Плоские разбиения

Из предыдущего параграфа видно, что плоские разбиения
числа п — это двумерные таблицы из неотрицательных целых
в первом квадранте, удовлетворяющие «невозрастающему» уело-
вию по строкам и столбцам. Например, имеются шесть плоских
разбиений числа 3:

ООО ...ООО ООО

ООО.-.000 100

300--.210 200

000	000 100

000	100 100

111	110100

При записи можно опускать нули:

1

1 1 1

3, 21, 2, 111, 11	1

Отметим, что плоские разбиения иногда представляют не в первом,
а в четвертом квадранте; плоские разбиения 3 в нем принимают вид

3, 21, 2, 111, 11, 1

1 1 1

1

Использование первого квадранта несколько упрощает оперирова-
ние с высокоразмерными разбиениями.

Определение 11.1. Пусть лг (пь п2, •••, пк> Ч) обозна-
чает производящую функцию для плоских разбиений не более
чем с г столбцами, не более чем с к строками и с п(- как первым
элементом в /-Й строке.

Оперирование с функцией пг потребует привлечения многочле-
нов Гаусса, о которых см. в § 3.3.

Начнем с замечания, что функция пг полностью определяется
следующими рекуррентными и начальными условиями:

лг+1(цх, п2, ..., пк; <?) =

пк	пк~1	п,

= <?п1+'!2+-+^ 2	5-5 АМ...............(И.2.1)

т^-О т^_1=т^ тх—т2

д) = яп1+п*+-(11.2.2)

Равенство (11.2.2) очевидно, а равенство (11.2.1) легко устанавли-
вается проверкой таблицы, получаемой удалением первого столбца
(«1, п2, ..., пк) из некоторой таблицы с г + 1 столбцами.
Заметим, что функция лг легко вычисляется посредством
(11.2.1) и (11.2.2). Например,

л2 («> т; д') =
т п	пг	. 1

= <7"+т 2 2	= Яп+т 2 Я"11 ?	=

п^т!	т^О

1 _ ^2т+2

1 —92

1 _ /7т-Н

- Яп+1}~г-—
4	1 — я

= дп+т

(1 _ </Ж) (1 _ ^+1)	(1 _ ^+1) (1 _ ^)’ _

(1-9)2	Я (1-9) (1-92)

(11.2.3)

Можно теперь применить (11.2.3) к правой части (11.2.1) при г = 2;
используя (3.3.9), легко выводим, что

л3 (п, т; д) = дп+т

Отсюда естественно предположить

лг (п, т\ д) = дп+т

г« + г—11

I г-1 4

Г« + г- 11

I г —2 ]

что легко доказывается индукцией по г с использованием (3.3.9).

После некоторых вычислений с к = 3 возникает естественное
общее предположение о представлении функции лг детерминантом.

Теорема 11.1.

лг(п1г п2, пА; д) =

= дп1+--+пк^е[(д(1-па-1-1)/2 Г л/ + г~1 1)	. (Ц.2.4)

Доказательство. Когда г = 1, определитель имеет
вид верхнетреугольной матрицы с единицами ниже главной диаго-
нали. Поэтому в этом случае (11.2.4) принимает тривиальный вид
(11.2.2).
Предполагая, что требуемое верно для г, применим (11.2.1),
используя индукционное предположение:

д "1 ••• Пклг+1(пх, п2, ..пк; д') =

— 2 2 ••• 2 ?

пк пк-1	«1

т1+т2+--+тк

тх=т2

X

X де1	‘ О Е2-5)

Произведем внутреннее суммирование, используя (3.3.9). В ре-
зультате правая часть преобразуется к (к — 1)-кратному суммиро-
ванию детерминанта, у которого г-й элемент в первом столбце
заменен на

в то время как не изменившийся 1-й элемент второго столбца имеет
вид

п(1-2)(1-3)/2 Г/п2 + ''~ И.

4	I Г — I + Н ’

поэтому, если умножить второй столбец на д~г и прибавить к пер-
вому, то 1-й элемент таким образом преобразованного первого
столбца имеет вид

а(1-1)(С-4)/2 Г П1 + Г 1

4	1г-* + и

Теперь, суммируя по т2, умножим третий столбец на д~2 и
прибавим его к нашему новому второму столбцу; 1-й элемент после
этого принимает вид

(1-_2)(1_5)/2 Г п* + г 1

4	[г — I -}-

Вообще, суммируя на /-м шаге по умножаем (/ + 1)-й
столбец на д~1 и прибавляем его к /-му столбцу. Получаемый
/-й столбец своим /-м элементом имеет

П/ + /* 1
г — 1+П'



Поэтому после суммирования имеем

д п1 •" Пклг+х(пх, п2, пк-, ?)	(<-/-з>/2

(11.2.6)
Если умножить /-ю строку определителя из (11.2.6) на д1~А и
разделить /’-й столбец на д7’”1 (значит, значение детерминанта не
изменится), то получим

п2,	?) = Де1 (?<'-*>

(11.2.7)

что и дает (11.2.4) при замене г на г + 1. Тем самым теорема
доказана.

Определение 11.2. Пусть ркуГ (т, п) обозначает число
плоских разбиений т не более чем с г столбцами, не более чем с к
строками и элементами, не превосходящими п; пусть, кроме того,

па,г(«; <?) = 2 рк,г(т,п)дт.

т=0

Сразу заметим, что согласно (11.2.1)

лк,г («; я) =	2	пг(«1> «2, • • •> «г, <?) =

= д~кплг+1 (п, .. .,п; д).	(11.2.8)

Поэтому

"«.Л": ,) = «(,«-/> <-/->« [г2+;)(И-2-9)

Оказывается, можно представить многочлен пк,г (п\ д) как
простое отношение произведений (^)/. Это весьма просто сделать
прямым вычислением при малых к, что опять-таки подводит
к общему предложению.

Теорема 11.2.

п /п. х ____	(<7)1 (<7)г • • • (<7)^-1 (У)п+г (<7)л+г+1. • • (я)п+г+к-1

’ Ч) - {фг{д)г+1 ... ({7)г+й1 • (^)л(^)л+1. . •

(11.2.10)

Доказательство. Будем действовать, используя
остроумный прием Карлитца. Пусть

Поэтому согласно правилу перемножения детерминантов
Пк, г (щ д) Г (к, г) = йе!	,

где согласно (3.3.10)

си =2 ^<5-1)/2 ['] д- + (^)<«-з-1)/2 [„	=

_ п1 (*-1)/2 Г" + г + / 1 .

~Ц I «+» 1
Стало быть,

Лк, г № Я) № (&> г) =

___ (Я)п+г (^)п+г+1 • » » (Я)п+г+к-1
(Я)п (Я)п+1 • • • (Я)п+к-1

(1е1 (

дШ~1>/2
(?)г-/+/

_ (Я)п+г (Я)п+г+1 • • • (Я)п+г+к-1
(Я)п(Я)п+1 • • • (Я)п+к-1

С (к, г),

(11.2.11)

где ни г) (матрица верхнетреугольна, с нулями по главной
диагонали), ни С (к, г) не зависят от п. Можно, стало быть, опре-
делить С(к, г)/ГГ(^, г), полагая п = 0 в (11.2.11). Таким образом,

с (к, г) = (д)г (д)2. . . (д)к 1

№(к,г)	(д)г(я)г+1- • -(Я)г+к-1

(11.2.12)

и, значит,

лк, г (я; <?)

 (Я)1 (^)г • • * (Я)к-1 в (Я)п+г (Я)п+г+1 • • • (Я)п+г+к-1
(Я)г (Я)г+1 • • • (Я)г+к-1	(Я)п. (я)п+1 • • • (Я)п+к-1

(11.2.13)

Теорема 11.2 сразу влечет известные формулы Мак-Магона для
производящих функций ^-строчных плоских разбиений лЛ>00(оо; д').

Следствие 11.3. При |д| < 1 выполняются равенства

2 ^«.(^,00)^= Й(1—<7/)-т1п(6’/)>	(11.2.14)

т=0	’	/=1

2 Ао.Д/п, оо) = п (1 -д!)-’.	(11.2.15)

т=0	/=1

Доказательство. Равенство (11.2.14) следует из
теоремы 12.2 при гоо, п оо, а равенство (11.2.15) следует
из (11.2.14) при к —> оо в (11.2.14).

11.3.	Соответствие Кнута — Шенстеда

В 60-х годах Шенстедом исследовалось расширенное позже
Кнутом соответствие между некоторыми матрицами и плоскими
разбиениями. Это комбинаторное отображение позволило упро-
стить вывод многих известных производящих функций плоских
разбиений с ограничениями. Кроме того, за счет привлечения
этого соответствия было исследовано много новых производящих
функций.
Теорема 11.4. Имеется взаимно однозначное соответствие
между парами следующих множеств:

1)	множество кХк-матриц А с неотрицательными целыми
коэфф иц иен там и;

2)	множество всех лексикографически упорядоченных последова-
тельностей из упорядоченных пар целых, не превосходящих к:

3)	множество упорядоченных пар (л, л') плоских разбиений,
в которых имеется строгое убывание по столбцам, каждый элемент
которых не превосходит к, а соответствующие строки л и п’
имеют одинаковую длину.

Кроме того, оговариваемое соответствие таково, что сумма
элементов в 1-м столбце (соответственно 1-я строчная сумма)
матрицы А из множества 1) равна числу вхождений I в соответ-
ствующее плоское разбиение л (соответственно л') из 3).

Доказательство. Соответствие между 1) и 2) весьма
просто; каждой последовательности из 2) ставим в соответствие
матрицу инцидентности А = (ац), в которой ац — число вхожде-
ний пары (I, /) (записываемой нами, далее, как }) в соответствую-
щую последовательность из 2). Например,

2

1

3

3

1

2

3333332221111111
, 1^3 2 2 2 1 1321332211 1

Возьмем теперь упорядоченную пару плоских разбиений (л, л');
разбиение л составляется из вторых элементов (т. е. нижней
строки) из последовательности упорядоченных пар; разбиение л'
составляется из первых элементов (верхней строки) из той же
последовательности упорядоченных пар. Опишем алгоритм, по
которому шаг за шагом строятся разбиения л и л' из последова-
тельности пар множества 2).

Вторые элементы / из каждого члена / нашей последователь-
ности пар размещаются по подходящим местам верхней строки
разбиения л (подходящим в том смысле, что их расположение по
строкам должно оставаться невозрастающим). Если место, пред-
назначенное для Д уже содержит меньший элемент Д, то / занимает
место ]\, а элемент Д сдвигается на вторую строку. Если же во
второй строке место, предназначенное для Д, уже занято элементом
Д, то на его место встает Д, а Д сдвигается на третью строку, и так
далее. Если последовательность таких «сдвижек», производимая
размещениями элементов Д закончена, то элементы I (верхние
элементы пар /) размещаются по л' так, чтобы соответствующие
строки лил' имели на каждом шаге одинаковую длину.

Для наилучшего представления механики этой процедуры
приводим здесь ее пошаговый вид для построения (л, л') из после-
довательности пар (11.3.1) (число в кружке обозначает очередное
размещение, а подчеркнутые числа — это «сдвижки», порожден-
ные очередным размещением).

® @

з ®	3 ®
3 2 @	3 3®
3 2 2 (2)	3 3 3 ®
3 2 2 2 ®	3 3 3 3 ®
3 2 2 2 1 ф	3 3 3 3 3 ®
3 @ 2 2 1 1	3 3 3 3 3 3
2	
3 3 2 2 @ 1	3 3 3 3 3 3
2 1	2 ®
3 3 2 2 2 1®	3 3 3 3 3 3 ®
2 1	2 2
3 3 ® 2 2 1 1	3 3 3 3 3 3 2
2 2	2 2
1	Ф
3 3 3 ® 2 1 1	3 3 3 3 3 3 2
2 2 2  1	~	2 2® 1
3 3 3 3 2 (2) 1	3 3 3 3 3 3 2
2 2 2 Д 1	2 2 1 ф 1
3 3 3 3 2 2 ®	3 3 3 3 3 3 2
2 2 2 11 1	2 2 11® 1
3333222®	3333332®
2 2 2 11 1	2 2 111 1
3333222 1®	33333321®
2 2 2 11 1	2 .2 1 1 1 1
3333222 1 1®	33333321 1®
2 2 2 11	2 2 111

I	।

Проверка описанной процедуры сразу указывает на совпадение
длин соответствующих строк в л и л' и на соответствие между
числом вхождений /вл (соответственно в л') и суммой элементов
г-го столбца (соответственно строки) матрицы А. Кроме того,
можно видеть (например, посредством индукции по числу шагов
в полной процедуре), что «сдвижки» могут распространяться только
на места, расположенные левее и ниже, а это обеспечивает строгое
убывание по столбцам л на каждом шаге алгоритма. Поскольку
заполнение л' производится из невозрастающей последователь-
ности, видим, что эта невозрастаемость сохраняется по строкам и
столбцам л', однако по столбцам л' должно получаться строгое
убывание, поскольку если д }2 — два соседних члена нашей
последовательности пар, то число «сдвижек», порожденных Д,
больше или равно числу «сдвижек», порожденных /2 (поэтому
размещения I распространяются направо).

Основной вопрос, однако, таков: устанавливает ли описанная
процедура взаимно однозначное соответствие между элементами
множеств 2) и 3)? Покажем, что наша процедура однозначно обра-
тима и тем самым устанавливает требуемое взаимно однозначное
соответствие. Во-первых, воспользуемся замечанием в конце
предыдущего абзаца, которое позволяет нам выбирать последнее
размещение в л' однозначно (самый правый наименьший имею-
щийся элемент). Если это целое, скажем /, присутствует в первой
строке л', то соответствующий элемент в первой же строке л — это
и есть результат последнего размещения в л. Если I присутствует
в какой-нибудь другой строке, то соответствующий элемент той же
строки вл — это конец цепочки «сдвижек» и мы, очевидно, всегда
можем подняться к ее началу, т. е. определить последний элемент,
размещенный в л. Таким образом, эта процедура влечет взаимную
однозначность; тем самым теорема 11.4 доказана.

Теорема 11.5. Если матрица А из 1) в теореме 11.4 соот-
ветствует паре разбиений (л, л') из 3), то транспонированная
матрица АТ соответствует паре разбиений (л', л).

Доказательство. Введем класс члена / в последователь-
ности пар, соответствующей матрице Л, как номер позиции эле-
мента / в первой строке л при (однозначном) размещении этого /
в эту первую строку в ходе описанного в теореме 11.4 алгоритма.
Возвращаясь к нашему примеру (11.3.1), можем теперь сразу
выписать классы каждой пары:

333333222111111 1
322211321332211 1
123456257346789 10
Элементы первой строки разбиения л располагаются в порядке
крайних элементов в каждом классе, именно, 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1.

Важность принадлежности к классу состоит в возможности его
определения вне зависимости от лексикографического упорядоче-
ния последовательности пар. Именно, ) входит в класс / тогда и
только тогда, когда / — наибольшее подмножество пар

4*2 ’	• •	4-1*	/1^/2^’’’^ 4-1 5* />

. .	таких, что	.	.	.	.

/1/2 •	• •	Л-1/	4 5^2^ ’ * ’	Л-1^ *•
Таким образом, из этого последнего замечания видим, что класс
члена / в нашей последовательности таков же, как и члена { в по-
следовательности обратно упорядоченных пар, которая, очевидно,
соответствует матрице Ат. Поэтому первая строка первого пло-
ского разбиения, соответствующего Ат, есть первая строка я',
а первая строка второго плоского разбиения, соответствующего
Ат, есть первая строка я.

Отбрасывая теперь от последовательности упорядоченных пар
элементы, образующие первые строки плоских разбиений, можно
совершенно аналогично продолжить этот процесс до установления
взаимозамены вторых строк и так далее. Таким образом, видим,
что (л', л) соответствует Ат.

Следствие 11.6. Соответствие из теоремы 11.4 обеспе-
чивает взаимно однозначное соответствие между симметричными
матрицами А из неотрицательных целых и плоскими разбиениями
л, строго убывающими по столбцам. Кроме того, число вхождений
Iв л равно 1-й строчной сумме в А.

Доказательство. Мы привлекаем теорему 11.5, отме-
чая, что А симметричная тогда и только тогда, когда А = АТ.
Поэтому А <-> (л, л).

Это следствие имеет много интересных приложений; приведем
здесь одно из наиболее полезных нам в дальнейшем.

Теорема 11.7. Пусть 8 — некоторое множество положи-
тельных целых. Число плоских разбиений числа п со строго убываю-
щими столбцами и слагаемыми из 8 равно коэффициенту при
в выражении

И (1 - У)'1 . п (1 - <7‘+/У1.

( ^5	С / ^5

«</

Доказательство. Согласно следствию 11.6 производя-
щая функция указанных разбиений имеет вид

2 П

А /,/>1

где суммирование проводится по всем симметричным матрицам А
из неотрицательных целых, причем а^ = 0, если I Ф 8 или
/ Ф 8. Поэтому

5 П <А' = 5 ( П П ц1ач"аб\ =

А /,/>1	А \1=Л	)

(оо	\ /	00	\

п 5 /М П 5 <7(Ж)ао- =

)\ 1,1^8 а1~0	/

= П О - У)'1 П (1 - у+т1.

а
В разделе задач обсуждается тот факт, что ряд производящих
функций от двух переменных весьма естественно связан с плоскими
разбиениями через следствие 11.6. Так, коэффициент при атдп
в выражении

П(1 -ацп)-п.

п—1

равен числу плоских разбиений п, для которых сумма диагональ-
ных частей равна т.

11.4. Многомерные разбиения

Мак-Магон однажды предположил, что если Мк (л) — число
^-мерных разбиений числа п (определение см. в § 11.1), то

ОО	оо	_ (к+1—2\

2лшг = П(1 -я1)	'•	(и.4.1)

/1=0	1=1

Гипотеза, конечно, верна при & = 1, к = 2. В конце концов,
Мак-Магон стал сомневаться в общей ее правильности, однако
окончательно опровергнуть ее удалось лишь в 60-х годах. Следую-
щая теорема представляет простой (хотя и трудоемкий) вычисли-
тельный метод для опровержения гипотезы Мак-Магона; этот метод
легко распространяется на любые задачи о ^-мерных разбиениях
малых чисел

Теорема 11.8. Пусть

оо	оо	_(к+1—2\

2 М»)Г= ПО-<7‘)	'•	(П.4.2)

/1=0	1—1

Тогда

М0)=МИ0) = 1,	(11.4.3)

Ий(1) = Л1А(1) = 1,	(11.4.4)

М2)=ЛМ2) = * + 1,	(П.4.5)

МЗ) = ЛМЗ) = 1 +2й + (*),	(11.4.6)

ИД4) = МН4) = 1 + 4й + 4 (*) + (*) ,

(11.4.7)

М5) =ЛГД5) = 1 +6Й + 11 (*) +7 (*) + (*), (11.4.8)
иНб)=лМб)+ (*) + (*) =

= 1 + 10* + 27 (*) + 29 (*) + 12 0) + (*) • (11.4.9)
Доказательство. Начнем с изучения цДп):

2	= (1 -0-1(1 -0Н(1 -0)-СЛ х

п=0

х (1 - </*)* С'*2) (1 - «'Г	(1 - ?•)" (**’)

“(1 +1 + «’ + «“ + ?* + ?" + /Н---) X

х (1 х

х(1+(Т),.+4т(т+1),.+ ...)х
х(>+(‘Г)’-+-)(>+СГ)^+-)х

х(1+П> +••.)••• =

-1 + ? + (* +1)«! + (1+“ + (2))’8 +

+ (1+« + 4(‘) + (‘))^ +

+ (1+64 + 11 (‘) + 7(‘) + (‘)),- +

+ (1 + Ю4+27(() +29(‘) + 12(‘)+ (*))?•+•••
(11.4.10)

Теперь можно определить (п) для 0 п 6 приравниванием
коэффициентов крайних членов равенства (11.4.10).

Для вычисления Мк (п) заметим, что каждое 6-мерное разбие-
ние может быть получено из обычного (одномерного) разбиения
п подходящим распределением его в первом «квадранте» 6-мерного
пространства

Для вычисления Мк (2) заметим, что каждое 6-мерное разбие-
ние может быть рассмотрено как результат соответствующего
распределения обычного (одномерного) распределения 2 по первому
«квадранту» 6-мерного пространства. Так, при вычислении Мк (2)
видим, что обычное разбиение (2) может быть размещено в 6-мерном
пространстве единственным способом; с другой стороны, разбиение
1 + 1 можно поместить в первый «квадрант» 6 способами: одна
единица ставится в начало координат, а другая — на любую из 6
координатных осей. Поэтому Мк (2) = 1 + 6. Остальные шесть
значений Мк (п) вычисляются тем же способом. Поскольку значе-
ние Мк (6) играет решающую роль для следствия 11.9, оно вычис-
ляется в табл. 11.1, которая не требует дополнительных поясне-
ний. Для подсчета всех 6-мерных разбиений числа 6 нужно лишь
просуммировать все числа в правом столбце таблицы:

М(6) =1 + 10^ + 27 (*) + 28 (*) + 11 ($) + (*) ,

что и дает (11.4.9).

Следствие 11.9. Равенство (11.4.1) выполняется при
к = 1, 2 и не выполняется ни при каких к > 2.

Доказательство. Случай к = 1 есть частный случай
теоремы 1.1. Случай к = 2— это равенство (11.2.15). Равенство
(11.4.1) эквивалентно тому, что р^(и) = Мк(п) при всех и,
однако

цД6)-МА(6) = (з) + (^)>0, к^З.

Поэтому (11.4.1) не выполняется при к > 2.

Подмечая, что Л42 (3) = 6 = 3-2, М2 (6) = 48 = 3-16,
М2 (9) = 282 = 3-94, М2 (12) = 1479 = 3-493, Л4Д15) = 6879 =
= 3-2293, можно прельститься гипотезой: 3 | М2(3п) для всех п.
Наши надежды, однако, разрушает следующая

Теорема 11.10. Если к + 1 — простое, то

ЛД((6 + 1)и) = 0 (той 6+ 1), 1 == м<(^+1)\ (11.4.11)

ЛМ(^ + 1)6+1) = 1 (тойА + 1).	(11.4.12)

Доказательство. Можно изображать каждое 6-мерное
разбиение (к + 1)-мерным графическим представлением или гра-
фом Феррера (просто выкладывая столбец из / точек на
прямой, параллельной оси хк+1, проходящей через точку (Д,
Д, 0)). Группа О из к + 1 преобразований Г0, Т1, Т2, ..., Тк
вида

7: (х1т х2,х^+1) —> (х#+1, хи х2,..., Х/;)

всегда либо из данного графа Феррера делает к + 1 различных
графов Феррера, либо оставляет исходный граф Феррера неизмен-
ным (неподвижным). Это происходит потому, что О есть цикличе-
ская группа простого порядка и, значит, любой неединичный
элемент в О порождает всю группу. Если граф Феррера остается
неподвижным под действием группы О, то, поскольку лишь точки
диагонали (х, х, ..., х) остаются неподвижными под действием
всякого Т1 6, — этот исходный граф Феррера разбиения числа,
кратного к + 1 и инвариантного относительно О, есть в точности
(6 + 1)-мерный гиперкуб с к + 1 точками на каждом ребре.
Стало быть, 6-мерное разбиение числа (6 + 1) п можно разделить
на непересекающиеся множества по к + 1 элементов в каждом
(или просто на орбиты С) всякий раз, как 0 < п < (к + 1)А.
Таким образом, (Ц.4.Ц) доказано.
Таблица 11.1

Обычное разбиение 6	Расположение в многомерном пространстве	Полное число расположе- ний
б  5+1  4+2  4+1+1  3 + 3  3 + 2+7  3+1+1+1	& 6 начале координат  П]-ОСЬ  Лг 1  Х:-ООЬ 7	7  4^  -г$,--ОСЬ 7  ^^-ось  -гО^-ОСЬ 3^  1^Х’:-ООЬ  1  О  ~Х:-оси 7  ^^Х^ОСЬ  ~Х;-0СЬ	1  к  к  к  &  к  к  ча  к
Таблица 11.1 (продолжение)

Обычное	Расположение в многомерном	Полное число
разбиение 6	пространстве	расположе- ний

		^7^	^Х'-ОСЬ 3	
				
	3^—7- ^7^		-Ь^-ОСЬ  ^хь~ось	
	3^	^7С	^>7  ^х^ось	©
2+2+2	2"	^2'	,?Х:~ООЬ ^2^ 3	к
	2<	^2^	х--мь  '^х^ось	©

:~ОСЬ

2+2+7+/	2^2^

7^_





Х;-0СЬ

2

2.

%1-ОСЬ
Т а б л и ц а 11.1 (продолжение)

Обычное	Расположение в многомерном	Полное число
разбиение 6	пространстве	расположе- ний
Таблица 11.1 (продолжение)

Обычное	Расположение в многомерном	Полное число
разбиение 6	пространстве	расположе- ний

Я;-ОСЬ

г^^хгось

7 "^а^-ось
х--ось

/+7+7+/+7+/Ч-/
Т а б л и ц а 11.1 (продолжение)

Обычное
разбиение 6

Расположение в многомерном
пространстве

Полное число
расположе-
ний

7

7	<2?/-ось

у ^ХЬ-ОСЬ

Л а^-ось

ЧУ

^СП-ОСЬ

1 \
а^-ось

ось
Таблица 11.1 (продолжение)

Обычное	Расположение в многомерном	Полное число
разбиение 6	пространстве	расположе- ний

~гХ;-ОСЬ

7^ ]

1

1

. х^-ось

х7~1

У —Х^-ОСЬ

^^хп-ось

Я]-ось

Л^ъ-ось

Х^/

^%1~ОСЬ
С другой стороны, имеется единственный (к + 1)-мерный граф
Феррера числа (к + 1)*+1, имеющий к + 1 точек на диагонали,
именно, описанный выше гиперкуб. А поскольку все остальные
6-мерные разбиения числа (к + 1)*+1 можно разделить на мно-
жества по к + 1 элементов в каждом, то

ЛМ(^+!)*+1) = 1 (той 6 + 1).

Задачи

1.	Рассмотрением структуры соответствующих рангов разбиения (см.
§ 9.3) показать, что имеется взаимно однозначное соответствие между каждым
обычным разбиением л = (2д ... числа п и упорядоченными парами разбие-
ний (Лр Л2), ГДе Л! — (^^2 • • 4)’ я2 = (4 ••• 4)’ Ч ~ Ч» & — 1 = Ч,
2(4 + 4) = п> К — \ соответствующий ранг разбиения л.

2.	Соответствие из задачи 1 можно использовать для установления взаимно
однозначного соответствия между плоскими разбиениями л числа п не более
чем с г строками и частями, не превосходящими т, и упорядоченными парами
(л', л") плоских разбиений, строго убывающих по столбцам, таких, что каждая
часть из л' не превосходит т, а каждая часть из л" не превосходит г.

3.	Задачу 2 и теорему 11.4 можно применять для доказательства след-
ствия 11.3, привлекая для этого технику теоремы 11.7.

4.	Графы Феррера плоских разбиений (см. § 11.4) могут быть использованы
для определения шести сопряжений плоских разбиений л (которые возникают
из 3! возможных перестановок координатных осей трехмерного графа Феррера
разбиения л). Рассмотрим одно из таких сопряжений, скажем т, для которого
тл — плоское разбиение, в котором каждая строка разбиения тл составляет со-
пряжение (уже в смысле обычных разбиений) соответствующей строки разбие-
ния л. След плоского разбиения л — это сумма 2П^‘ всех Диагональных эле-
ментов л; сопряженный след разбиения л — это число элементов п/у разбиения л
таких, что п/у > I. Доказать, что след л и сопряженный след тл идентичны.

5.	Из задач 3 и 4 вывести, что коэффициент при хтдп в выражении

ГП1 -цп)-п

равен числу плоских разбиений п со следом т.

6.	Асимптотические результаты гл. 6 (именно, теорема 6.2) применимы ко
многим из производящих функций плоских разбиений. В частности, число пло-
ских разбиений п, т. е. ^(п, оо) удовлетворяет условию

Роо.оо (п, оо) ~ Й(3)	п-25/36 ехр|3. 2-2/3^ (3)1/3П2/3	2с\,

где

Соответствующие функции для теоремы 6.2 имеют вид О(8)=^(8— 1), #(т) =
= е—т/(1 — е—х)2.

Аналогичные результаты могут быть получены для ряда специальных слу-
чаев теоремы 11.7.

7.	Рассмотрим г-мерные разбиения, у которых ненулевые элементы

располагаются именно в тех точках 12, ..., 1Г), которые задают графическое
представление некоторого фиксированного (г — 1)-мерного разбиения л числа /V.
Пусть ат ($х, ..., Зу) обозначает число г-мерных разбиений т со строгим убы-
ванием, выполняющимся в (11.1.1) всякий раз, как выполнено любое из нера-
венств < /51, /52 < /$2, ..., 13у< ]3о, где {$!, §2, ..., 5У} — фиксированное
подмножество множества {1, 2, ..., г}. Пусть {/ь /2, ..., 1Г_Ю}—дополнение
{5Х, 52, ..., 5^,} в {1, 2, ..., г). Если

Л(<7)= 2 ат(51.52, ...,8г)<7т

И

(?) “ 2 ат (^1> ^2> •••’

ТО

Во (?) = (-1)₽ (я> дР^А(1/д),

где р (л) — число (г — 1)-мерных разбиений, графическое представление кото-
рого содержится внутри графического представления разбиения л.

Замечания

Эта глава лишь весьма поверхностно характеризует имеющуюся область
активных исследований многомерных разбиений. Возникновение многомерных
разбиений как таковых связано с Мак-Магоном (1916). Однако таблицы Юнга
(которые по существу эквивалентны плоским разбиениям, строго убывающим по
столбцам) были еще раньше введены Юнгом в его работе по теории инвариантов.
Таблицы Юнга играли важную роль в теории представлений симметрической
группы (см. [18]); они также присутствуют в алгебраической геометрии (см.
[13, 14]) и возникают во многих комбинаторных задачах (см. [11, 12]).

В [21] представлена библиография текущих работ. Материал § 11.2 взят
из [3]; техника Карлитца распространена в [10] на некоторые другие задачи
о плоских разбиениях. В [8] рассмотрен случай, в котором 1 для одной
задачи алгебраической геометрии. Материал § 11.3 первоначально рассматри-
вался в [17, 19] (см. также [20]); мы изложили расширение (см. [9]) конструк-
ции из [19]. Приложение плоских разбиений представлено в [10]. Последние
исследования по плоским разбиениям были, несомненно, вдохновлены каче-
ственно новыми подходами, изложенными в работах [7, 6].

Теорему 11.8 и ее следствие см. в [2]. В [24, 25] представлены все формулы
для М& (/), 1 < / < 5, однако Тейц, по-видимому, не подозревал о существова-
нии гипотезы Мак-Магона. В [27] разработана иная техника для опроверже-
ния многих случаев гипотезы Мак-Магона. Теорему 11.10 см. в [1]; техника ее
доказательства восходит к [27]. Возможность перенесения тождеств типа Род-
жерса—Рамануджана на плоские разбиения была кратко рассмотрена в [4],
однако в [5] указано на наличие ошибки в [4].

Литературу по материалу этой главы см. в [15, раздел Р64].

Задачи 1—3 — [10]; задачи 4—5 — [23]; задача 6 — [26]; задача 7 — [22];
разработка (Р, со)-разбиений позволила Стенли легко вывести этот результат
из общей взаимной теоремы. Мы вводим (Р, со)-разбиения в § 14.4.

ЛИТЕРАТУРА

1.	А п (1 г е XV з С. Е. (1971). Оп а соп]ес1иге о! Ошпапс! 1ог 11те р1апе рагШюп
ШпсНоп. — Ргос. ЕсИпЬиг^Ь МаШ. $ос. (2) 17, р. 275—276.

2.	А I к 1 п А. О. Ь., В г а 11 е у Р.,МасЭопа1д I. <л.,М с К а у Л.К.З.

(1967)	. Боше сошриШюпз 1ог /п-сНтепзюпа! рагШюпз. — Ргос. СатЬпс^е
РЫ1. 8ос. 63, р. 1097—1100.
3.	С а г 1 И г Ь. (1967). Кес1ап&и1аг аггауз апб р!апе рагННопз. — Ас1а АгНЬ.
13, р. 22—47.

4.	СЬаипбу Т. XV. (1931). РагННоп-^епегаНп^ ТипсНопз. — (ЭиаН. Л.
МаН1. ОхГогб Зег. 2, р. 234—240.

5.	О о г (1 о п В. (1962). Тхуо пеху гергезеЫаНопз о! 1Ье рагННоп (ипсНоп. —
Ргос. Атег. Ма1Ь. Зое. 13, р. 869—873.

6.	Оогбоп В. (1971). Мокз оп р1апе рагННопз. V.—Л. СотЫпа1ог1а1
ТЬеогу ВИ, р. 157—168.

7.	бог Йоп В., Н о и 1 е п Ь. (1968). Мо1ез оп р1апе рагННопз. I, II. — Л.
СотЫпа1ог1а1 ТЬеогу 4, р. 72—80, 81—99.

8.	Н о (1 § е XV. V. Э., Р е б о е Э. (1952). Ме1Ьобз о! А1^еЬга1с Оеотеку,
Уо1. 2. — СатЬнб^е Ышу. Ргезз, Ьопбоп апб Меху Уогк.

9.	К п и 1 Ь Э. Е. (1970). РегтЫаНопз так! сев апб ^епегаНгеб Уоип§ 1аЬ-
1еаих. — РасИк Л. МаП1. 34, р. 709—727.

10.	КпгИЬ Э. Е., Вепбег Е. А. (1972). ЕпитегаНоп о! р1апе рагН-
Нопз.—Л. СотЫпаТопа! ТЬеогу 13, р. 40—54.

11.	Кге^егаз С. (1965). Зиг ипе с1аззе бе ргоЫётез бе бёпотЬгетеЫ Нез
аи ке!11!з без рагННопз без епНегз. — СаЫегз би В. Ы. К. О. № 6, Рапз.

12.	Кгехуегаз С. (1967). ТгаНетеп! з1тиИапе би РгоЫёте бе Уоип§ е!
РгоЫёте 31топ МехУсотЬ.— СаЫегз би В. II. К. О. № 10, Рапз.

13.	Ь а з с о и х А. (1974а). Ро1упдтез зутёИЛдиез е! соеН1с1еп1з бЧЫегзесНоп
бе сусПез бе ЗсЬиЬегЬ — С. К. Асаб. Зс1. Рапз 279, р. 201—204.

14.	Ь аз со их А. (1974Ь). ТаЫеаих бе Уоип& е1 ТопсНопз бе ЗсЬиг ЫН1е-
хуооб. — Зёгтпаке Эе1ап&е—Р1зо!—РоНои, № 4, р. 1—7.

15.	ЬеУедие XV. Л. (1974). КеУ1ехуз 1п МитЬег ТЬеогу, Уо1. 4. — Атег.
Ма1Ь. Зое., Ргоу!бепсе, К. I.

16.	МасМаЬоп Р. А. (1916). СотЫпакгу Апа1уз1з; Уо1. 2.—СатЬпбяе
ЬГЫу. Ргезз, Ьопбоп апб Меху Уогк (герпЫеб Ьу СЬе1зеа, Меху Уогк, 1960).

17.	КоЫпзоп С. беВ. (1938). Оп 1Ье гергезеЫаНопз о! 1Ье зуттекк
#гоир. — Атег. Л. МаН1. 60, р. 745—760.

18.	К и 1 Ь е г I о г б Э. Е. (1948). ЗиЬзШиНопа! Апа1уз1‘з. — ЕбтЬиг^Ь Ышу.
Ргезз, ЕбтЬиг^Ь (герпЫеб Ьу На!пег, Меху Уогк, 1968).

19.	3 с Ь е п з I е б С. (1961). Ьоп&ез! тсгеазт^ апб бесгеаз1п§ зиЬзециепсез.—
Сапаб1ап Л. Ма1Ь. 13, р. 179—191.

20.	ЗсЬи!гепЬег^ег М.-Р. (1963). Рие1циез гетагциез зиг ипе сопзки-
сНоп бе ЗсЬепз1еб. — Ма1Ь. Зсапб. 12, р. 117—128.

21.	3 I а п 1 е у К. Р. (1971). ТЬеогу апб аррПсаНоп о! р!апе рагННопз, I, II. —
31иб1ез 1п Арр1. Ма!Ь. 50, р. 167—188, 259—279.

22.	31 а п 1 еу К- Р. (1972). Огбегеб зкис1игез апб рагННопз. — Мет. Атег.
МаН1. Зое. 119.

23.	3 I а п 1 е у К. Р. (1973). ТЬе соп]и^а!е касе апб касе о! а р1апе рагН-
Ноп.— Л. СотЫпа!опа1 ТЬеогу А14, р. 53—65.

24.	Т I е! г е Н. (1940—1941). Зузкте уоп РагННопеп ипб С1Негрипк€Н§игеп,
I—IX. — З.-В. МаН1.— Ма!иг. АЫ. Вауег. Акаб. ХУ1зз., р. 23—54, 69—131,
133—145, 147—166; (1940), р. 1—37, 39—55, 165—170, 171—186, 187—191
(1941).

25.	Т 1 е I 2 е Н. (1941). ОЬег б1е АпгаЫ котрппнеНег СяНегрипМтеп^еп уоп
^е^еЬепег РипИегаЫ.—Ма1Ь. 2. 47, р. 352—356.

26.	XV г 1 § Ь I Е. М. (1931). АзутркНс рагННоп !огти1ае, I: Р1апе рагННопз.
— (Эиагк Л. Ма1Ь. Охкоб Зег. 2, р. 177—189.

27.	XVг^бЫ Е. М. (1968). Ко1а!аЫе рагНопз. — Л. Ьопбоп МаНъ Зое. 43,
р. 501—505.
Глава 12

ВЕКТОРНЫЕ ИЛИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ
РАЗБИЕНИЯ

12.1.	Введение

Как мы видели в гл. 4, довольно часто возникают задачи адди-
тивного представления ненулевых векторов с неотрицательными
целыми координатами (так называемые многокомпонентные числа).
В гл. 4 мы имели дело с приложениями «композиций» многокомпо-
нентных чисел. Теперь будем рассматривать разбиения много-
компонентных чисел. Как обычно, в композициях порядок сла-
гаемых учитывается, а в разбиениях — нет. Элементарная теория
многокомпонентных разбиений подобна элементарной теории
обычных разбиений (см. гл. 1) своей связью с бесконечными про-
изведениями. К сожалению, неизвестен ни один действительно
простой тип бесконечных рядов, который мог бы служить полез-
ным инструментом при изучении многокомпонентных разбиений,
таких, например, какими являются базисные гипергеометрические
ряды (введенные в гл. 2), применяющиеся для изучения обычных
разбиений. Таким образом, мы знаем лишь некоторые сравни-
тельно простые тождества с функциями многокомпонентных раз-
биений и не имеем никакого аналога эйлеровой пентагональной
теоремы (следствие 1.7), который обеспечивал бы быстрое вычисле-
ние функций многокомпонентных разбиений. Наиболее полезные
способы вычисления функций многокомпонентных разбиений
представлены теоремой 12.3.

Л. Карлитцем и другими рассматривались задачи об ограни-
ченных многокомпонентных разбиениях. В частности, они рас-
сматривали ^-компонентные разбиения

(«1.

• «*) = 2 («Ч/./Пг/.

тк}),

удовлетворяющие «невозрастающему» условию

мп (Отх/,..., тк1) > шах (ту {+1, ...,тк, 1+1).

Такие вопросы изучаются в § 12.4.
12.2.	Многокомпонентные производящие функции

Напомним (см. § 4.3), что под Р (п) = Р (п19 п2, ..., пг) мы
понимаем число разбиений г-компонентного (многокомпонентного)
числа (пь п?, ..., пг) (т. е. г-вектора из неотрицательных целых,
из которых не все равны нулю). Таким образом, Р (п) есть число
различных представлений п в виде суммы многокомпонентных
чисел:

„ = 5(1)+5(2)+ ... + ^(8)	(12.2.1)

с лексикографическим упорядочением 5(4-и1) частей:

....	^'+1))=д“'+1)

при	где /— наименьшее целое, такое, что 4=

Если число частей в этом разбиении ограничено числом /, будем
писать (п; /).

Для упрощения исследований соответствующих производящих
функций определим ф (п) как число разбиений п с различными
частями, допускающими часть (0, 0, ..., 0), и ф (и; /) — число
таких разбиений с / частями. Если (0) исключается как часть, то
соответственно пишем (^^(п) или ф+ (п; /). Многие результаты гл. 1
непосредственно расширяются на Р (и) и (п). Действительно,
простая переделка доказательства теоремы 1.1 приводит нас
к тому, что

5 Р(п}х^... хпгг =
п^0...пг>0

= П (1 -Хг^.-.ХгТ1,	(12.2.2)

^>0...пг>о

не все нули

2 Р (п) Х11 . . . х"Г = П (1 +х"1Х22.. . х7),
п >0..пг>о	^>0...пг>о

(12.2.3)
где для абсолютной сходимости нужно лишь предполагать, что
I Х{ | <1 ДЛЯ 1 гС I Г.

Теперь уже вполне ясно, что свойства обычных (или одно-
компонентных) разбиений, выражающиеся в терминах бесконечных
произведений, можно без особых трудностей расширять и на
многокомпонентные разбиения. Так, имеется следующее расшире-
ние теоремы Эйлера.

Теорема 12.1. Для каждого п ф+ (п) равно О(п) — числу
разбиений п (см. (12.2.1)), в которых каждая часть \ ..., ^‘0
имеет по крайней мере одну нечетную компоненту.
Доказательство. Как и в доказательстве следствия
1.2, имеем

1+ 2 ^^...хпгг= п (1+хХ2 --^)=
(Л)ХО)	(М)ХО)

. 2п 2п 2/2.

Т-1	1—X, % \ ..хг'

(п)>(0) 1 - х"’х"г . . . х"г

(п)ХО)



не все четны

= 2 (У(х)хп^хп^...хп/\

(м)Х0)
поэтому ф+(п) = <7(п) для каждого п.

Анализируя наши разработки по обычным разбиениям, заме-
чаем, что свойства идеалов разбиения порядка 1 (см. § 8.3) почти
целиком связаны с тем фактом, что соответствующие производящие
функции оказываются бесконечными произведениями. Стало быть,
можно развивать соответствующую теорию и для многокомпонент-
ных разбиений. Например, можно получить обобщение эйлеровых
пар для многокомпонентных разбиений.

Теорема 12.2. Пусть 5Х и 82 — два множества положи-
тельных чисел. Число разбиений п на части = (^г), ..., ^г))>
в которых С 51 для всех I и 1 х; / х г и в которых нет части,
повторяющейся более чем I — 1 раз, всегда равно числу разбиений п
на части с 5Ь 1 < / X г, и некоторым 52 для
всех I тогда и только тогда, когда /51 5Х и 52 = 5Х — /5Х.

12.3.	Многочлены Белла и формулы для функций
многокомпонентных разбиений

С целью получения полезных формул для вычисления функций
многокомпонентных разбиений мы привлекаем хорошо известные
многочлены Белла. Хотя эта методика не приведет к результату,
даже близкому по своей природе к следствию 1.7, она, однако,
приведет к эффективным вычислительным формулам, особенно по-
лезным в свете существования обширных таблиц многочленов Белла.

Многочлены Белла (впервые широко изучавшиеся Беллом)
возникают как вспомогательное средство при взятии п-й производ-
ной от сложной функции. Именно, рассчитывая найти формулу для
п-й производной функции 1г (/) = /	(/)) и вводя обозначения

йпН 1 д,п1 г

= Нп' = видим’ чт0

^2 == /1Й2 + ^1,

^3 = /1^3 + 3?2§2&1 + /зё’1,
Довольно просто индукцией устанавливается, что

1гп =	, ёп) + /2аяг(&. •••.&,) +

+ •••	(12.3.1)

где ап[ (^1,	—однородный многочлен степени I от пере-

менных ..., §п.

В свете этого последнего замечания видим, что изучение
Ип может быть сведено к изучению многочленов Белла

Уп(&1>ё2,---,ёп) =

= ап1(21> • . ., ёп) + ал2(^,. . ., §п) + . . . + апп (^,. . ., §п).

(12.3.2)

Заметим, что Уп является многочленом от п переменных, а тот
факт, что в исходной ситуации было г-й производной, несуще-
ствен при рассмотрении (12.3.2). Полагая / (/) = е* в (12.3.1),
получаем простую формулу

=	(12.3.3)

Формула эта важна по двум причинам. Во-первых, она дает
рекуррентное соотношение для многочленов Белла (здесь мы
пишем И вместо (11(11):

у(21, 2г,•• •, 2^1) = е-^п (А>*) = е~Фп (ё^) =
п

6=0
п

=	Уп—л (21, 2г> •••> 2л-л) ёк+г- (12.3.4)

6=0

Во-вторых, из (12.3.4) получаем компактное выражение для
производящей функции многочленов Белла:

оо

<12-3-5)

п=0

Требуемое выражение имеет вид

ОО п

1оё^(«)=2Лг-	(12-3.6)

П=1

Для доказательства (12.3.6) надо лишь продифференцировать
его по щ приравнивание коэффициентов при ип в получившемся
равенстве приводит к тождеству, эквивалентному (12.3.4).

Если проэкспонировать (12.3.6) и раскрыть бесконечное про-
изведение показательных функций в правой части полученного
равенства, получим следующую точную формулу для многочленов
Белла:

Многочлены Белла используются во многих проблемах комби-
наторики; мы ограничим наше рассмотрение их приложением
к задачам о многокомпонентных разбиениях.

Пусть

&! (Л> • •	.,хг) = ^ = 1 + 2 Р<(п;/)х"1...^, (п)>0	(12.3.8)
(ХЪ • 	...0 = ^ = 1 + 2 (?(п;/)х"1...^, (п)>0	(12.3.9)
	Р(и) = 1 4- 2  /=1	(12.3.10)
	О(«) = 1 4-2^/иЛ /=1	(12.3.11)
Т е о р	е м а 12.3.	
	Г/(О!рг(1), 1!рг(2), 2!р,(3), • ••,(/—1)!Рг(/)) /!	(12.3.12)

(-1)/	-1!М2),~2Фг(3), ..>—(/ —1)!Рг(/))

(12.3.13)

г<МДт)=П(1-*Г)-1-
1=1

Доказательство. Рассуждения, устанавливающие

(12.2.2) и (12.2.3), применимы и для доказательства того, что

^(«) = П С1 “ “ХГ1Х22 • • •	(12.3.14)

С(«) = П (1 + их"1хп2*.. • Хпгг).	(12.3.15)

Стало быть,

1о§ Г(и) = — ^ 1о§ (1 —	. . . хп/) =

т=\ п>0
оо

=2 о_ ^)-1 о _• • • о -^)-1=

т=1	оо

=2^т(т-1)!^(/п)- (12-ЗЛ6)

т=1

Равенство (12.3.14) следует из того факта, что (12.3.16) есть спе-
циальный случай (12.3.6), который эквивалентен (12.3.5). Далее,

1о§ С(-и) = -1оё Г(«) = - (т -1) I рг(т), (12.3.17)
т=1

что и влечет (12.3.13).

Для иллюстрации полезности теоремы 12.3 вычислим ^2*
согласно (12.3.12) имеем

^2= (Рг(1), М2)) = ±(РГ (2) + рг (I)2) =

1+ П(1+*л П а-*/)+ П о+*<)
[1=1 1	1=1 1=1

2 Па-*»)2	2 П (1 - *»)П - 4)

1=1	1=1

(12.3.18)

Отсюда можно довольно просто выводить выражения в виде рядов.

12.4. Ограниченные двукомпонентные разбиения

Мы заканчиваем эту главу рассмотрением некоторых ограни-
ченных разбиений двукомпонентных чисел, для которых подходы
§ 11.2 оказываются неожиданно эффективными.

Будем рассматривать л (п, т) — число разбиений (п, т) на
«стабильно невозрастающие» части, т. е. разбиения вида

(п, т) = (/г1,	+	т2)-\---+(пг, тг), (12.4.1)

где шт (п/, ггу) тах (п/+1, т/+1), 1 I < г. Основной результат
(принадлежащий Карлитцу) — это следствие 12.5, которое есть
тождество, отличное от простых расширений идеалов разбиений
порядка 1, рассмотренных в § 12.2.

Теорема 12.4. Для | х | < 1, | у | <1 выполняется равенство
2 л (п, т) хпут =

= П (1 - х',г/п—1)—1 (1 -	(1 - х2пу2п)~1. (12.4.2)

И=1
Доказательство. Пусть л (а, Ь | п, пг) обозначает
число разбиений (п, т) типа (12.4.1), удовлетворяющих дополни-
тельному ограничению шт (а, Ь) тах (пъ пц), и пусть

Тогда ясно, что

1аЬ = 5 Л (а, ЬI г, 5) хгу\

Г,8>0

Ш1П(/г, т)

^пт =	2	%ГУ8^г8>

г, 8=0

(12.4.3)

здесь мы просто классифицировали каждое разбиение с наиболь-
шей частью шах (г, $) < гшп (п, т).

Поэтому, если

оо

Л4«) = 2 и^гг,

г=0

то согласно (12.4.3) (заметим, что %пт = %тп, если т >: п; %пт =
= 1тт, если п т) имеем

оо	П	оо	оо

р1 («) = 2	2 Хгу^гз = 2 х'у%г$ 2	ип =

п—0 г, 8=0	г, 8=0	п=тах (г, 8)

= (1 — «Г1 { 2 (хи)гу%3 + 2 хг (уи)° 1ГГ — 2 (хуи)'1гг ] =
к Г>8	Г<8	Г=0	)

= (1 - и)'1 {(1 - хи)'1 2 (хуи)5 ?55 +
к	8=0

+ (1 - уи)-1 2 (хуи)гсгг - 2 (хуи)г ?гг I =
г=0	г=0	)

= Т.-------------------;РЛиху). (12.4.4)

(1 — й) (1 —. хи) (1 — уи)	К 7

Повторение (12.4.4) сразу влечет, что

I—г	1   у2п+1/ 2л+1/72

Л=п (I-ам 1А4"..)(1		(1245)

п=о к1 — х у и/— х у и)\1 — х у и)

Наконец (по лемме Абеля), получаем требуемое:

2 п (п, пг) хпут = Пт 5ГГ = Пт (1 —и)Рг (и) =
п,т==0	г^оо	и^1~
гл	1 — х2п 1у2п 1

Ц (1 - хпуп) (1 - хп^уп) (1 - /У”1)

/7=1 (1 — х2пу2п) (1 — хп 1уп)(1—хпуп х)

Поскольку бесконечное произведение в (12.4.2) является про-
изводящей функцией для (п, т) — числа двукомпонентных
разбиений (и, т), в которых все части имеют форму либо (2а, 2а),
либо (а— 1, а), либо (а, а— 1), то сразу получаем следующий
результат.

Следствие 12.5. Для всех п, т

л (п, т) = зтд, (п, т).

Задачи

1.	Формула Кэли (см. задачу 2 гл. 5)

1	_

(1 -</)(1-^)...(1-+) “

=у_____________________________!___________________________,

{Р12Рг3Рз г-р<Р1, р2,	р.| (1 _	—д1)Р1

в которой суммирование проводится по всем разбиениям (1Р12Р!3Рз...) числа г,
есть немедленное следствие теоремы 12.3.

2.	Сумматорный максимум системы чисел пъ ..., пг (обозначаемый через
зшах (пг, ..., пг)) определяется как зшах ..., пг) = п1 + п2 + ... + пг —
— (г— 1) гп1п (п1у ..., пг). Тождество зтах (пь ..., пг) = тах (пъ пг)
в общем случае справедливо лишь, если г = 1 или 2.

3.	Обобщить доказательство теоремы 12.4 для доказательства того, что
число разбиений многокомпонентного числа (п15 ..., пг), в которых максималь-
ная координата каждой части по крайней мере столь же велика, как и сумма-
торный максимум следующей части, равно числу разбиений многокомпонентного
числа (пь ..., пг), в которых каждая часть имеет одну из 2г— 1 форм:

(а+1 ,а,... ,а), (а, а+1, а,..., а),..., (а,...,а, а+1), (аг+2,..., аг-]-2) ,

(аг+3,..., аг+3),...,	аг-\-г) (а^О).

Доказательство основывается на том замечании, что

1	1	_ (=	1 — хуи2 .

1 — хи ' 1 — у и	(1 — хи) (1 — у и)'

это есть специальный случай равенства
г

~ Д1 ( 1 — *(« ~ 1) + (1 — и«1) ... (1 — ихГ) ~

1 — Х]Х2... хгиг

~ (1 — их^ (1 — их2) • • • (1 — ихг) ’
4.	Из (12.3.18) легко следует, что число всех разбиений многокомпонентного
числа (п±, пг) не более чем на две части равно («1+ 1) (п2 + 1)...
...,(«г + 1) + ^. Такие формулы для Р(п; /) непосредственно выводятся из
теоремы 12.3.

5.	Применяя (12.3.6) к задаче 5 гл. 11, показать, что производящая функ-
ция для плоских разбиений со следом п имеет вид

1	[	0! д	1!<72	2! д*	(п-1)\дп \

П\Уп[ (I-?)2 ’	(1-^)2’	(1-^)2 ’ •••’	(1_^)2

6.	Из задачи 5 видим, что производящая функция для плоских разбиений
со следом 2 имеет вид

?2(1 + ?2)

(1 - (7)2 (1-^)2 *

7.	Число разбиений многокомпонентного числа (п1, ..., пг) совпадает
с числом факторизации числа У = р^1 р22 ••• Рг , где р1 — простые. Так, имеются
четыре факторизации числа 12 : 12, 6-2, 4-3, 3-2-2 и четыре разбиения двуком-
понентного числа (2, 1) : (2, 1), (1, 1) + (1, 0), (2, 0) + (0, 1), (1, 0) + (1, 0) +
+ (0, 1).

8*. Нетрудно показать, что

( П 0 -*,)0 -хТ) • • • (1 -х") 1	(х1, х2> >хг)

есть многочлен от х1г хг; это следует из теоремы 12.3. Несколько более
неожиданна теорема Гордона о том, что коэффициенты этого многочлена неотри-
цательны.

Замечания

Мак-Магон (1915—1916, 1917) был первым, кто детально исследовал много-
компонентные разбиения. Обширный обзор последних работ дан в [7]. Тео-
рему 12.1 см. в [6], а теорему 12.2 — в [20]. Многочлены Белла (интенсивно
изучавшиеся Беллом (1934)) детально изучались в [14, 8]; равенство (12.3.7)
известно как формула Фаа ди Бруно. Файн имеет несколько очень интересных
результатов, связанных с суммами, подобными (12.3.7). Теорему 12.3 см. в [13],
она также была передоказана в [21]; теорему 12.4 см. в [3, 4]; см. также [5,
16, 17, 1].

Литературу по материалу этой главы см. в разделе Р64 в [11].

Задача 1,— [12]; задачи 2, 3 — [1]; задача 8— [10].

В связи с задачей 8 мы должны отметить работу Соломона (1977). Он интер-
претирует (12.3.10) и (12.3.11) как ряды Пуанкаре некоторого градуированного
векторного пространства, связанного с симметрической группой 8п на п бук-
вах, и он сумел показать, что многочлен из задачи 8 также является некоторым
рядом Пуанкаре. Такое интерпретирование этих многочленов сразу влечет тео-
рему Гордона. Ряд других интересных связей между многокомпонентными раз-
биениями и теорией групп представлен в работе Соломона.

ЛИТЕРАТУРА

1. Апйе\У8 О. Е. (1976). Ап ех1:еп81оп о! СагШг’з ЫрагННоп ИепШу.
2. В е 1 1 Е. Т. (1934). ЕхропепНа! ро1упоппа15. — Апп. о! Ма1Ь. 35, р. 258—
277.
3.	С а г 111 2 Ь. (1963а). Зоте ^епегаНщ* ГипсНопз.— Эике Ма1к. Л. 30,
р. 191—201.

4.	С а г 1 И 2 Ь. (1963к). А ргоЫет 1п рагННопз. — ЭикеМа1к. Л. 30, р. 203—
213.

5.	С а г 111 2 Ь., К о з е 11 е В. Р. (1966). Кез1г1с1е(1 ЫрагШе рагШюпз. —
РасШс Л. Ма1к. 19, р. 221—228.

6.	Скеета М. 8. (1964). Уес1ог рагШюпз апд сотЫпа1опа1 1депШ1ез. —
Ма1к. Сотр. 18, р. 414—420.

7.	СИ еет а М. 8., М о I г к 1 п Т. 8. (1971). МиШрагШюпз апд тиШрег-
тЫаНопз. — Ргос. 8утр. Риге Ма1к. 19, р. 39—70.

8.	С о т I е I Ь. (1974). Адуапсед СотЫпа1опсз.— В. Ке1де1, ОогдгесЫ.

9.	Р 1 п е М. Л. (1959). 8итз оуег рагШюпз. — Кер. 1пз1. Ткеогу о! Миткегз
(Вои1дег) р. 86—94.

10.	О о г д о п В. (1963). Туго (кеогетз оп тиШрагШе рагШюпз. — Л. Ьопдоп
Ма1к. 8ос. 38, р. 459—464.

11.	ЬеУецие Л. (1974). КеУ1ечУЗ 1п Миткег Ткеогу, Уо1. 4.—Атег.
Ма1к. 8ос., РгоУ1депсе, К. I.

12.	М а сМ а к о п Р. А. (1915—1916). СотЫпа1огу Апа1уз1з, Уо1з 1, 2. — Сат-
Ьпд^е Ыту. Ргезз, Ьопдоп апд Мечу Уогк (герпЫед Ьу Ске1зеа, Мечу Уогк,
1960).

13.	М а с М а к о п Р. А. (1917). Меток оп 1ке (кеогу о! рагШюпз о! питкегз.
VII. — РкПоз. Тгапз. К оу. 8ос. Ьопдоп А217, р. 81—113.

14.	К 1 о г д а п Л. (1958). Ап 1п1годис11оп 1о СотЫпа1ог1а1 Апа1уз1з. — УШеу,
Мечу Уогк.

15.	К о Ь е г 1 з о п М. М. (1962). РагШюпз о! 1аг^е тиШрагННез. — Атег.
Л. Ма1к. 84, р. 16—34.

16.	К о з е 11 е О. Р. (1966а). СепегаНгед ЕЫепап ГипсНопз апд а ргоЫет
1П рагШюпз. — Оике Ма1к. Л. 33, р. 293—304.

17.	КозеИе В. Р. (1966к). Кез1пс1ед 6-рагШе рагШюпз. — Ма1к. Маскг.
32, 139—148.

18.	К о з е 11 е О. Р. (1974). СоеШс1еп1з аззос1а1ед чуИк 1ке ехрапзюп о! сег-
1ат ргодис1з. — Ргос. Атег. Ма1к. 8ос. 45, р. 144—150.

19.	8 о 1 о т о п Ь. (1977). РагШюп 1депШ1ез геЫед Ьу зуттеШс ро1упо-
пиа18 1п зеуега1 зе1з о! уапаЫез.

20.	8 и Ь Ь а г а о М. V. (1971). РагШЛоп Шеогетз !ог Еи1ег ракз. —Ргос. Атег.
Ма1к. 8ос. 28, р. 330—336.

21.	У7 г 1 к I Е. М. (1956). РагШюпз о! тиШрагШе питкегз. — Ргос. Атег.
Ма1к. 8ос. 7, р. 880—890.
Глава 13

РАЗБИЕНИЯ В КОМБИНАТОРИКЕ

13.1.	Введение

Материал этой главы мог бы составить содержание отдельной
книги. Оправданием столь сокращенному изложению служит тот
факт, что наша основная цель состояла в исследовании «разбие-
ний», прежде всего, как «разбиений чисел». Не удивительно, что
разбиения чисел тесно связаны с общими проблемами разбиений
в комбинаторике. По этой причине рассмотрим некоторые направ-
ления, в которых разбиения играют важную роль: конечные
векторные пространства, разбиения множеств и симметрические
функции. Первое из направлений интенсивно разрабатывалось
в последние годы; мы изложим здесь простой, но фундаментальный
результат Кнута, связующий разбиения с комбинаторикой как
конечных векторных пространств, так и конечных множеств.
Разбиения множеств четко связал с симметрическими функциями
Дубиле, работа которого излагается в § 13.3 и 13.4.

13.2.	Разбиения и конечные векторные пространства

Напомним (см. гл, 3, теорема 3.1), что многочлен Гаусса
гм+__
[	3 — (я)х(я)м

является производящей функцией для р (М, М, п) — числа раз-
биений п не более чем на М частей, не превосходящих Ы. Эти же
многочлены возникают и при изучении конечных векторных
пространств.

Теорема 13.1. Пусть Уп (д') обозначает векторное про-
странство размерности п над конечным полем СГ(д) с у (степень
простого') элементами. Тогда имеется ровно подпространств
(пространства Уп(д)) размерности т.

Замечание. Мы представим два доказательства. Первое
просто и элементарно; второе показывает явную связь между
разбиениями и конечными векторными пространствами.

Первое доказательство теоремы 13.1. Выде-
лим т-мерные подпространства пространства Уп (д); для этого,
во-первых, выделим все возможные множества г>2, из т
линейно независимых векторов. Такие множества можно выбирать
следующим образом: в качестве можно взять любой из дп — 1
ненулевых векторов; щ может быть любым из дп — д векторов,
лежащих вне подпространства, натянутого на V3 может быть
любым из дп — д2 векторов, лежащих вне подпространства, натя-
нутого на {^1, и так далее. Поэтому множество ..., Vт}
может быть выделено

- 1) (яп ~ 9) (<Г - ^) • • • (7” - Г"1)
способами.

Теперь каждое такое т-множество 1^, ..., Vт} порождает
(своей линейной оболочкой) некоторое т-мерное подпространство
пространства Уп (д), однако разные т-множества могут порождать
одно и то же подпространство. Действительно, в точности

(дт — 1)(дт — д) ... (^ — ^-1)

из них порождают одно и то же подпространство, поскольку это
есть число способов выбрать подмножество из т линейно незави-
симых векторов из Уп (д). Поэтому число т-мерных подпространств
пространства Уп (д) равно

(дп — 1) (<?" — <?)... (дп — ?т-1) =
(^_1 )(</”_ 4)...

= ^27(-1)'”(1-17п)(1_<?п-1)    (1 - ^-^+1) = [ П ]
/	(1 _	(1 - ^-1) . . . (1 - д)

Второе доказательство теоремы 13.1. Выбе-
рем фиксированный базис в Уп (</), скажем, нх, ..., ип. Тогда, как
мы знаем из линейной алгебры, каждое подпространство размер-
ности т имеет канонический базис ох, ..., ут, задаваемый по
правилу

= (^1> С'2> • •• >	(13.2.1)

где С(г =1, С,/ = 0, / >Г1, С3г. = Ъ, 8<1, 1 5^1 «г/и, П>Г1>
> г2 >  > Гк^1.

Для большей ясности рассмотрим случай п, = 9, т = 5, гг = 8,
А = 7, г3 = 5, г4 = 3, а = 2:

{/1 = (СЦ, О,	О,	С14, 0, С1в,	0, 1,	0),

1/2 = (С21, 0,	0,	С24, 0, С2в,	1, 0,	0),

(/3 = (С31, 0, 0, С34. 1, О, О, 0, 0),

1/4=(С41, о,	1,0. О, О, 0,	0, 0),

€/5 = (С61, 1,	о,	о, О, 0, О,	О, 0).
Расположение неопределенных в этой таблице соответствует
графическому представлению Феррера

разбиения 3 + 3 + 2 + 1 + 1 числа 10.

Таким образом, поскольку каждое неопределенное Со- может
быть выбрано д способами, то имеется <?10 подпространств про-
странства 79 (д) с этой формой канонического базиса. В самом деле,
видим, что с каждым разбиением г не более чем с т частями, не
превосходящими п — т, можно описанной выше процедурой
связать дг различных подпространств размерности т. Стало быть,
полное число подпространств размерности т равно (согласно
теореме 3.1)

2 р(п~т’ т< г^г = \(п~т+т] = ["]•
г=0

Имеется много иных теорем, связывающих многочлены Гаусса
с конечными векторными пространствами; часть из них вынесена
в задачи.

13.3.	Разбиения множеств

Начнем с простого вопроса: сколькими способами множество
из п элементов можно разбить на множество из непересекающихся
подмножеств, т. е. сколько существует различных «разбиений»
множества п = {1, 2, .... п}? Это число принято называть п-м
числом Белла Вп.

В табл. 13.1 даются первоначальные значения чисел Белла и
перечисляются сами разбиения.

Таблица 13.1

п	Разбиения множества {1, 2	п}	п
0	0	1
1	{И	1
2  3	(1. 2}; (1), {2)  (1, 2, 3}; {1, 2), {3}; {1, 3}, (2); {2, 3}, {1}, {1}, {2}, (3)	2  5
Заметим, что если л = {0Ъ 02, ..., 0™}, где каждое 0(- с
с: {1, 2, ..., п] = п, то л есть разбиение множества И, если
т

II Р/ = Л и р/ П Р/ = 0 (пустое множество) при I =И= /. Эти Р/
1=1

называются блоками разбиения я. Заметим, что имеется единствен-
ное разбиение (в смысле гл. 1) числа и, связанное с каждым л,
именно, разбиение X (л), части которого — числа | Рх |, | Рг |>
I Рэ I, •••> | Рт |, где |р/| — число элементов в блоке р^.

Для упрощения обозначений введем следующие сокращения,
связанные с разбиением X =	... пт) =	...) числа и:

X! = пг! п2! п3!... пт! = 1 И 2 У2 3 !гз ...,

|^| = г1!г3!г3!

51^ПХ= ( 1 )г2+2г3+Зг4+- • • = (—\у-гх-г2-г3-= (—1 уг(Х)—#(Х).

Теорема 13.2. Для каждого разбиения X = (1Х12Х2 ... пгКт)
числа п имеется ровно
_____________________________п!_________________ _ п!

%!!Х2! ... Хт! (1 !)%1 (2!)Х2... (т !)Х"1	1Х1Х1

разбиений л множества п, для которых 1 (л) = X.

Доказательство. Начнем со стандартной интерпрета-
ции полиноминального коэффициента; именно, имеется ровно

----г=( П )	(13.3.1)

п±\ П2\ . . .Пу! \П!, И2,..., Пу 7	4	7

упорядоченных /-систем подмножеств (5Ь ..., 5 у), взаимно не
пересекающихся, объединением своим совпадающих с множеством
{1, 2, ..., и}, и | 5Г-1 = Чтобы убедиться в этом, заметим, что
множество 51 может быть выбрано способами, а оставшиеся
/ — 1 множеств могут быть выбраны

/ п — пг \
\П2, . . ., Пу/
способами. Следовательно,

/ п	п—пг \ =

\пъ П2,. . .,Пу/ — \П1/\П2, Ид,. . .,Пу 7 “

__( П\(П~ ПЛ( И — И4 — И2 \ __

— \П1Д п2 7\Пд, И4, . . ., Пу7 —	'

__(пХ/п — пЛ /п —Пг —п2 ——	= и!

\П17\ П2 )	Пу	7	и4! п2!. . .Пу! ’

(13.3.2)
Поэтому, если имеется одноэлементных подмножеств, Х2
двуэлементных подмножеств и так далее, то число (Хх + Х2 +
+ ... + ^-систем из подмножеств, разбивающих п, равно

___________п\___________

(1 !)Х‘ (2!)%2... (т!)Кт ’

(13.3.3)

Некоторые из таких «упорядоченных» разбиений могут соответ-
ствовать одному и тому же разбиению числа п; действительно,
одноэлементные подмножества могут быть переставлены Хх! спо-
собами, двуэлементные подмножества — Х2! способами и так
далее; следовательно, число разбиений л множества п с Х(л) =Х
есть в точности число из (13.3.3), деленное на Хх!Х2! ... Хш!, что и
дает требуемое.

Т е о р ем а 13.3. Для чисел Белла выполняются следующие
формулы.
п

/г=0

ВП = УП(1,1,..., 1)	(13.3.5)

(где Уп(§ъ ..., §п) —многочлен Белла, определенный в (12.3.2)),

V Впхп
п\

п=0

= ехр \ех — 1}.

(13.3.6)

Доказательство. Докажем (13.3.4), используя простое
комбинаторное рассуждение. Другие тождества следуют непосред-
ственно из свойств многочленов Белла, описанных в гл. 12.

Имеется Вп+1 разбиений множества и + 1 = {1, 2, ..., п + 1}.
Теперь п + 1 лежит в некотором блоке объема к + 1, где О

п и имеется, очевидно, возможностей для выбора такого
блока. Оставшееся множество из п — к чисел может быть разбито
Вп_ъ способами. Поэтому, суммируя по всем допустимым к,
видим, что

^п+1=2 (й	=2 (й

/г=0	/г=0

что и есть (13.3.4).

Равенство (13.3.4) вместе с начальным условием Во = 1 одно-
значно определяет числа Белла. Согласно (12.3.4) видим, что
У,г(1, 1, ..., 1) удовлетворяет той же самой рекуррентности,
а поскольку Ко (1, 1, ..., 1) = 1, то это влечет, что Вп = Уп (1,
1, ..., 1) для всех щ так что и (13,3.5) доказано.
Наконец, согласно (12.3.6)

/1=0	п=0	' /1=1

= ехр {ех —

что и дает (13.3.6).

Для наших дальнейших приложений к симметрическим функ-
циям в § 13.4 мы должны кратко рассмотреть решетку Ьп разбиений
множества {1, 2, ..., п\ = п. Наша цель теперь состоит в полу-
чении теоремы 13.9, дающей удобную формулу для вычисления
мёбиус-функции этой решетки.

Во-первых, введем частичный порядок на Ьп (множестве всех
разбиений п), полагая, что лц < л2 всякий раз, как каждый блок
из л2 содержится в некотором блоке из л;г Легко проверяется, что
наделенное таким частичным порядком, образует решетку.
Объединение лх V л2 есть грубейшее общее подразбиение лх и л2;
именно, I и / расположены в одном блоке в лх \/ л2 тогда и только
тогда, когда они лежат в одном блоке в лх и в одном блоке в л2.
Пересечение лх Д л2, с другой стороны, определяется тем усло-
вием, что I и / лежат в одном блоке в лх Д л2 тогда и только тогда,
когда существует цепь I = /0,	/2, • ••, Д = / такая, что, для

0 т < г, 1т и 1т+1 лежат в одном блоке в лх или в л2. (Нулем 0
решетки Ьп является разбиение {п}, а единицей 1 — разбиение
Щ {21, ..., {«}.)

Алгебра инцидентности над решеткой Ьп есть алгебра действи-
тельнозначных функций от двух переменных: Д ЬпхЬп -> /?,
согласованных с введенным на Ьп отношением частичного порядка:
лг л2 => / (ль л2) = 0, в которой сложение есть обычное пото-
чечное сложение функций, а умножение определяется сверткой

«а)=	2 /(«!,	(л, л2).	(13.3.7)

Я^ ^Я^Яз

Единицей этой алгебры, очевидно, является 6-функция Кронекера:
6 (зТ|, л2) — 1, если — л2, и 6 («иц, л2) — 0, если л2.
Другая фундаментальная функция есть дзета-функция: (л^,
л2) = 1, если лх л2; (л;ь л2) = 0, если лх л2.

Следующие два результата сформулированы для решетки раз-
биений Ьп, однако они справедливы во много более общей ситуа-
ции, когда Ьп заменяется на произвольное локально конечное
частично упорядоченное множество.

Лемма 13.4. Дзета-функция ^(л^, л2) допускает обращение
в алгебре инцидентности.

Эта обратная к ^функция называется м'ёбиус-функцией и обозна-
чается ц (лъ л2).
Доказательство. Построение проведем рекурсивно
индукцией по числу элементов в сегменте

[Яд, Л2^ ~~ Л | л л2| *

Если этот сегмент имеет лишь один элемент, то, очевидно, Яд = л2
и р, (Яд, Яд) = 1. Если р, (яд, я2) определена всякий раз, как сегмент
[яд, я2 ] имеет менее к элементов, то видим, что если [яд, я21 имеет к
элементов, то

р (Яд, я2) —	р (Яд, Я),

что и определяет р(Яд, я2) однозначно.

Теорема 13.5 (обращение Мёбиуса). Пусть / (л) и § (я) —
две действительнозначные функции, определенные на Ьп. Тогда

§(л0)=2 Ия) для всех л0^Ьп (13.3.8)

тогда и только тогда, когда

/(л0)= 5 ё4я)р(я> л0) для всех л0^ Ьп. (13.3.9)
л<л0

Кроме того,

ё (яо) = 5 /(л) для всех л0^Ьп (13.3.10)

Л>Л0
тогда и только тогда, когда

/(л0) = 2 р(яо>я)й'(я) для всех л0^Ьп. (13.3.11)
л>л0

Замечание. Иначе обращение Мёбиуса показывают иногда
как «обобщенный принцип включения-исключения», или «обобщен-
ные методы решета». Когда вместо Ьп рассматривается решетка
подмножеств конечного множества, упорядоченных по включению,
обращение Мёбиуса и представляет собой классический принцип
включения-исключения.

Доказательство. Каждая из четырех импликаций
устанавливается однотипно. Докажем лишь, что (13.3.8) влечет
(13.3.9). Предполагая, что (13.3.8) имеет место, видим, что

2 ЖИ (Л, л0) = 2 5 / (л') р (л, л0) =
л<л0	л<л0	л'<л

= 5 /ю 2 н(л>ло)= 5 /(я')(€н)«яо) =

Л'<Л0	Л'<Л<Л0	Л'<Я0

= 2 /(л')б(л'>л0) = /:(л0).

Я'<Я0

Наш следующий результат обеспечивает необходимую основу
для вычисления р (0, 7), где 0 — минимальный элемент решетки Ьп
(0 = Ц1, 2, ..., пИ), а I — максимальный элемент Ьп (/=
= [{1}, {2|, .... {п}]).
Определение 13.1. Пусть ф — функция из п в мно-
жестве С. Образуем разбиение л, полагая I, ] лежащими в одном
блоке тогда и только тогда, когда ф (0 = <р (/); разбиение а
называют ядром функции ф и пишут Кег ф = л.

Лемма 13.6. Пусть л Ьп, и пусть С — множество с X
элементами. Пусть { (л) обозначает число функций ф из п в С
с Кег ф = л. Тогда

/(л)=Х(Х — 1). . .(Х-у(л) + 1) еХу(я), (13.3.12)

где V (л) есть число блоков в л.

Доказательство. Элементы первого блока можно
отобразить на один из X элементов множества С; элементы второго
блока можно отобразить на X — 1 оставшихся элементов мно-
жества С и так далее. Поэтому полное число таких отображений
есть

Х(х - 1) (X - 2). . . (X - V (л) + 1) = (ХК(Я).

Следствие 13.7. Для каждого л0 С	выполняются

равенства

5 (Х)г(я)=х^»\	(13.3.13)

5 ХУ(Я)Р(Л, л0) = (Х^(я,).	(13.3.14)

Доказательство. Равенство (13.3.14) следует из
(13.3.13) по теореме 13.5. Для доказательства (13.3.13) подсчитаем
двумя способами число функций из п в С, остающихся постоян-
ными на блоках разбиения л0. Ясно, что имеется Х^51») таких
функций. С другой стороны, можно различать эти функции в соот-
ветствии с их ядром л. Допустимыми ядрами л являются лишь те
разбиения, которые «выделяемы» из л0, т. е. такие л, что л < л0.
Поэтому согласно лемме 13.6 число функций из {1, 2, ..., п\ в С,
остающихся постоянными на блоках л, равно (Х^(л); стало быть,

Введем теперь хорошо известные числа Стирлинга первого рода
5 (и, к) и числа Стирлинга второго рода 5 (и, к):

(Х)„= 2 5(п, к) хк,	(13.3.15)

Х"=2 8(п,к)(Х)к.	(13.3.16)

/г=0
Теорема

13.8.

2 1 = 5 (п, й),
п €

V (Л)=й

(13.3.17)

2 Ц(Л, 1) = з(п, к),	(13.3.18)

31 € ^'п

р(0, /) = (—	1)!.	(13.3.19)

Доказательство. Из (13.3.13) при л0 = I и, значит,
V (л0) = п видим, что

хп = 2 РЪ(Я)= 2 (*)*/ 2 IV (13.3.20)

I /

\ V (л)=/г	/

но числа 5 (п, к) однозначно определяются из (13.3.16), а по-
скольку (13.3.20) имеет в точности ту же форму, получаем (13.3.17).

Равенство (13.3.18) следует из (13.3.14) и (13.3.15) в точности
тем же способом.

Наконец, поскольку имеется единственное одноблочное раз-
биение множества п={1, 2, ..., п\ (именно, 0), то согласно
(13.3.18)

ц (0, /) = 5 (п, 1) = коэффициент при X в X(X — 1)... (X —- п + 1) =

= (—1)"~1 (П- 1)!.

Теорема 13.9. Предположим, что	Ьн, лг с л2.

Определим разбиение Х(ль л2) = (1Г12Г2 ... пТт), где ц — число
блоков разбиения ль состоящих в точности из I блоков разбиения л2.
Тогда

1=1	т

(*(«!> Л2) = (— 1)Г‘>0 р] (I _ 1)|г/ г

/=1

гг>0. (13.3.21)

Доказательство. Анализ сегмента [л1? л2] показывает,
что он изоморфен прямому произведению г± копий Ь19 г2 копий
Ь2, ..., гт копий Ьт. Нетрудно видеть, что мёбиус-функция
произведения частично упорядоченных символов равна произведе-
нию мёбиус-функций этих сегментов. А это сразу и дает (13.3.21).

13.4. Комбинаторика симметрических функций

Если в § 13.3 ограничиться рассмотрением функций, область
определения которых есть множество из п элементов, то мы сразу
переходим к элементарной теории симметрических функций. Такой
подход к симметрическим функциям не только обеспечивает про-
стое доказательство фундаментальной теоремы симметрических
функций (теорема 13.12), но, что более важно, влечет вполне
вычислимые формулы для коэффициентов во многих классических
тождествах с симметрическими функциями (см. теоремы 13.11
и 13.12).

Рассмотрим теперь множество Р функций из п = {1, 2, 3, ..., п]
в счетное множество С = {хх, х2, х3, ...}. Элементы этого множества
С рассматриваются как неопределенности для кольца многочленов
со счетным числом переменных над полем действительных чисел.

Определение 13.2. Для каждой функции [ Р ее
производящая функция у ([) определяется по правилу

оо

?(/)= пт=п*Г(Х()|>

а если Т а.Р, то

т(Л= 2т(/).

Наши предварительные интересы относятся к трем специаль-
ным подмножествам множества Р:

Жп = \КР\^г} = п},	(13.4.1)

(13.4.2)

^я={/€^|Кег/ \/п=1},	(13.4.3)

и пусть йя=у(^’л), 5Я = Т(^л)> оя = Т(«^я)-

Заметим, что индекс л в каждом из кл, 8п и ап означает раз-
биение множества п. Следующее определение относится уже
к индексам, являющимся разбиениями целых.

Определение 13.3. Для каждого целого п и всякого
разбиения X = (ХхХ2 ... Хт) этого п определяем

ап = 2 Х^    Х‘п’ а>- = ачач  • •

5* = 5Ь1%- • -5хт.

Следующая теорема устанавливает связь между функциями,
индексом которых является разбиение множества п, и функциями,
индексом которых является разбиение целого.

Теорема 13.10. Для каждого разбиения л множества п
выполняются равенства

^ = Ц(«)Рш).	О3-4-4)

8я = 5х(л),	(13.4.5)

йя = %(л)!ах,(Я).	(13.4.6)
Доказательство. Пусть X (л) = (1г^2Г23Гз ...) = (п19
п2, ят). Прежде всего проверим кп. Если / то Кег / = л
и, значит,

Кроме того, ясно, что Г1!г2!г8! ... =|Х (л)| элементов из кп имеют
в точности ту же производящую функцию. Следовательно,

=21МП)|	1МП)| М(л)-

Теперь исследуем 9?п. Из (13.4.2) видим, что / Е тогда и
только тогда, когда / — постоянная на блоках л. Поэтому, если
блоки л суть 5Ь 52, ..., Вт, то

5я = т(^я)= 2 т(/) =

= 5 Д/|в1)у(/|в2)...?(/|Вт) = П( 2 т(/)\ =

/=001181

т	щ

-ПК'| + 4','| + 4"| + ---)=П^и=^м.

/=1	/=1

Наконец, рассмотрим Для каждой / имеем Кег / V
V п это означает, что два члена из одного блока не могут
быть в одном блоке л. Последняя формулировка эквивалентна
тому, что / взаимно однозначна на блоках разбиения л. Стало быть,
если блоки л —	52, 53, ..., Вт, то

т

«,=т(^я)= 2	т(/к)-П( 2

1='Ч.в^с	!

в последней сумме / — взаимно однозначные функции.

Теперь каждая у (/) в последнем выражении имеет форму
Х/1%/2... х/| в11 и каждый член получается из | В, |! таких функций.
Поэтому
т

Яп = П (21 в‘1!	• -Х/1в1 |)=

1=1

= |#1|! |52|!.. • |Вт|!^|В1|й|в2|- • • а1Вт1 = Цл)! йх(л)-

Из следующего результата будет легко следовать фундаменталь-
ная теорема о симметрических функциях (теорема 13.12).
Теорема 13.11. Для каждого разбиения л множества п
выполняются равенства



т)ах-

О<Л	Т>0

(13.4.7)

(13.4.8)

Доказательство. Начнем с замечания о том, что из
(13.4.1), (13.4.2) и (13.4.3) следует

8«=2^а,	(13.4.9)

сел

ая= 2	(13.4.10)

п: оу л=/

Равенство (13.4.9) легко преобразуется обращением Мёбиуса
(13.3.8) к виду

кя = 2 5аН<Т л),

п<;л
что и есть (13.4.7).

Вторая половина этой теоремы несколько сложнее и требует
двойного применения обращения Мёбиуса. Согласно (13.4.10)
имеем

ап = 2 $ (а V =

= 2 Г 2 Нт> Щ = 2 НТ 7) 2

о Чт^п^л	/ т^л

Поэтому по принципу обращения Мёбиуса
р (л, /) 2	= 2 И (л, г)

(7<Л	Т>Л

ИЛИ

2 УТ-	(13.4.11)

что допустимо, поскольку р (л, /) Ф 0. Применяя обращение
Мёбиуса к (13.4.11), получаем требуемое:

к” = 2	р (а’ /) йх'

сел

Теорема 13.12 (фундаментальная теорема о симметри-
ческих функциях). Каждая полиномиальная симметрическая функ-
ция от переменных Х1, х2,... является также многочленом от
а±, а2,...
Доказательство. Пусть р(хъ х2, ...) — многочлен,
симметричный по хь Тогда

р(хъ х2, ...) =

= 2 с,г1"2 • • • "«2 Х1*Х{*''' Х^=

= 2 сп1«2..-пт^(П1. «г. «т) =

= 2

(где каждое л — это некотор ое разбиение некоторого множества п
(и с + ... + Л^т) с т блоками размеров пъ п2, ..., пт);
поэтому

р(*ь х2, ...) =



1

Чл2... пт | (Я) |

\а<я	/

(2 и (а,/) 2 ^(а>т)^О)!«1(т)
\0<л

а поскольку каждое ^х(т) есть произведение некоторых аь полу-
чаем требуемое.

Задачи

1.	Если рассматривается векторное пространство Уп (д) размерности п
над полем ОР (д) и подсчитывается число линейных преобразований / этого
Уп (д) в пространство с X элементами над ОР (д), удовлетворяющих условию
/ (Уп (д)) Г) = (0), где 3& (с 1 элементами) — это подпространство простран-
ства то легко показать, что число таких преобразований равно

2.	Если в задаче 1 дополнительно предположить, что / (Уп (дУ) П имеет
размерность к, где — подпространство пространства 88 с У элементами, то
число таких / равно

[Д (У - г)(У- г?)... (у- гя*-1)(X - уу(X - уЯ)... (х-уяп~к-^.

3.	Задачи 1 и 2 влекут тождество

я—1	п	/г—1	п—к— 1

Р](х-г?9=2[ДП(г-2?/) П ^х~у^-

г=0	/==0	/г«0
4.	Задачу 3 можно также вывести из следствия 2.4.

5.	Линейный оператор Ь на многочленах от X над полем комплексных чи-
сел, определяемый по правилу

Ь((Х-1)(Х-<?) . . . (X — <?п—*)) = 1,

удовлетворяет равенству

п

к=0

6.	Пусть Ут (д) — это т-мерное подпространство пространства Ут+п (д)-
Подсчитывая 6-мерные подпространства пространства Ут+п (<?), пересекающие
Ут (д) по 6-мерному подпространству, показать, что

н

к=0

7.	Для любой последовательности целых а2, ап такой, что
а/+х — а1 = О или 1 ПРИ 1 < / < п, Доказать, что

п

П (аА+1-аА) [т] [”г Т]-

8.	Из (13.3.16) вывести, что

5(п+1,6) = 5(п, 6-1) + 65(п, 6).

9.	Из (13.3.16) и тривиального тождества

Х"+1 =Х(1 + (X- 1))"
вывести, что
п

5(п+М) = 2(”)«(/> *-*)•

/—О

00

10.	Из задачи 8 следует, что если 5^(/) = 2 5(^ + 6, 6)то

/7=0

Поэтому	I

8к (/) = (1 -/)(! -2/)...(1 -ЙО '

11.	Для любого разбиения X числа п рассмотрим	С\и6ц. Из тео-

цнп

ремы 13.11 вывести, что = С\и.

12.	Для каждой пары положительных целых п и к всякое разбиение п\к
на части, не превосходящие п, есть в действительности сумма из к разбиений
числа п\. Например, имеется 37 разбиений 18 = 31-3 на части, не превосходя-
щие 3:

(З6) = (32) + (32) + (32)
(1 2 З6) = (1 2 3) + (З2) + (З2)

(1336) = ЦЗЗ) (32) + (32)

(2334) = (23) + (З2) + (З2)
(122234) = (1222) + (З2) + (З2)

(142 З4) = (142) + (З2) + (З2)
(1в34) = (Iе) + (З2) + (З2)
(1 2433) = (12 3) + (23)+(32)
(182232) = (Iе) + (1222) + (З2)
(Р02 32) =(!«) +(142) + (32)

(11232) = (Iе) + (1«) + (З2)
(1 2’3) = (1 2 3) + (23) + (23)
(132«3) = (133) + (23) + (23)
(16253) = (133) + (122) + (23)
(1’243) = (1«)+ (1 2 3) + (23)
(1»233) = (Iе) + (133) + (23)

(1П223) = (Iе) + (142) + (1 2 3)
(1132 3) = (!«) +(Iе)+ (12 3)
(Ц5 3) = (!<>) +(Iе)+ (133)

(2’) = (23) + (23) + (23)
(132333) = (133) + (23) + (32)
(162233) = (133) + (1222) + (З2)
(1’2 33)=(1е) + (1 23) + (32)
(1»33)=(1е) + (133) + (32)
(2е32) = (23) + (23) + (З2)
(122532) = (1222) + (23) + (З2)
(142432) = (142) + (23) + (З2)
(1е2332) = (1е) + (23) + (32)
(1223) = (1222) + (23) + (23)
(142’) = (142) + (23) + (23)
(1е2«) =(1е) + (23) + (23)
(1826) =(1е) + (1222) + (23)
(1Ю24) = (1в) + (142) + (23)
(11223) = (1е) + (1е) + (23)
(11422) = (Iе) + (Iе) + (1222)
(11е2) = (Iе) + (Iе) + (142)

(Р8) = (1е) + (1е) + (1е)

13.	Используя мёбиус-функцию решетки Ьп и теорему 13.2, вывести тож-
дество Платонова

п	к

1	=2	2 |ТпТ|Пвп(-.

/е=1	/=1

%==

14.	Доказать тождество

1=2[Я

где 0п — так называемое число Галуа:

Для вывода этого тождества удобно использовать мёбиус-функцию решетки

(^п (?)) (решетка всех подпространств пространства Уп (<?), упорядоченных
по включению): если V, № Ь (Уп О?)), У — и с1 (V) обозначает размерность V^
то

И(У>Г) = (_1)ЛГ)-<НЮ \	2	\

15.	На множестве всех разбиений числа п можно ввести отношение частич-
ного порядка, естественным образом согласованное с частичным порядком ре-
шетки Ьп. Пусть Р (п) обозначает множество всех разбиений числа п; для
р, д С Р (п) полагаем д р тогда и только тогда, когда сложением некоторых
частей разбиения д можно получить разбиение р. Например, при п = 6 имеем
(3 2 1)	(З2), так как (З2) = (3) + (2 + 1), но (23)	(З2). Единица в Р (п) —

одноблочное разбиение, а нуль — разбиение (Р)-

Через Р& (п) обозначим множество всех разбиений п ровно с & частями.
Доказать, что если к = к (I, п) — наименьшее к, при котором

Р><7>

ТО

к(1, п} = п — ]+1,

где ]х[ — наименьшее целое, не меньшее х.

Замечания

Материал § 13.2 взят у Кнута (1971). По связям между (/-рядами и конеч-
ными векторными пространствами имеется обширная литература; для началь-
ного ознакомления можно обратиться к [15, 18, 10]. Из недавних работ в этой
области отметим [7, 8, 9, 13, 14, 12, 26, 27, 1]; иные недавние работы на эту
же тему см. в разделе Т35 в [19].

Литература о разбиениях конечных множеств весьма обширна (см. [23]).
По этому вопросу большая часть изложенного здесь материала взята из [23,
25, 11].

Имеется много иных приложений разбиений в чистой и прикладной мате-
матике. Некоторые из таких приложений к физике даны в [31, 5]. Приложение
разбиений к теории представлений симметрической группы уже отмечалось
в гл. 11 (см. Факже [20, 22, 28]).

Разбиения числа п также допускают решетчатую структуру, связанную
I	I

с частичным упорядочением: (Х^ ... Х5) >	Ч)’	К0ГДа	2	2	^7

/=1	/=1

для каждого /, 1 < 1 с$. Эта решетка подробно изучалась Брулавским (1973)
и была применена Снаппером (1971) (для некоторых задач в теории групп).

Стенли (1972) развил анализ разбиений Мак-Магона (1916) для решения
ряда комбинаторных задач; основной его инструмент из (Р, со)-разбиений вво-
дится в § 14.4.

Задачи 1, 2 — [27]; задача 5 — [26]; задачи 6, 7 — [4]; задача 6 представ-
ляет собой (/-аналог суммирования Чу—Вандермонда и является специальным
случаем следствия 2.4; задача 7 — это неожиданное и необычное обобщение за-
дачи 6; задача 11 — [11 ]; задача 12— [17].

Задачи 13, 14, 15 добавлены переводчиком. По поводу чисел Гаусса и решетки
Ь (Уп (д)) см. [26, 27, 24]; отношение частичного порядка на Рп из задачи 15 —
в [33, 34,38], функция к (I, п) вычисленав [35]. Приложения частично упорядочен-
ного множества Р (и) к вычислительной технике представлены в [34, 36, 38].

ЛИТЕРАТУРА

1.	Ап <1г е XV з О. Е. (1971). Оп (ке ТоипбаНопз (о сотЫпа(ог!а1 (кеогу. V.
Еи1ег1ап сИНегепНа! орега(огз. — 8(и<Не5 т Арр1. Ма(к. 50, р. 345—375.

2.	А и 1 и с к Р. С. (1951). Оп зоте пе^ (урез о! рагШюпз аззос1а(ес1 §е-
пегаИгеб Реггагз ^гаркз.— Ргос. СатЬпс^е РкП. 8ос. 47, р. 679—686.

3.	А и 1 и с к Р. С., К о I к а г 1 В. 8. (1946). 8(аНзНса1 тескатсз апд (ке
рагШюп о! питкегз. — Ргос. Саткг1с1яе РкП. 8ос. 42, р. 272—277.
4.	В е п Л е г Е. А. (1971). А ^епегаНгеЛ д-Ыпопиа! УапЛегтопЛе сопуоШ-
Ноп.— П1зсге1е Ма1к. 1, р. 115—119.

5.	В о И г К., К а 1 с к а г Р. (1937). Оп (ке {гапзтиШюп о! а(от1с пис1е1
Ьу 1трас1 оГ та1еяа1 рагНс!ез. — К&к Папзке У1Лепзк 8е1зкаЬ Мак Руз.
МеЛЛ. 14, № 10.

6.	В г у 1 а V/ 8 к 1 Т. (1973). Тке 1аШсео1 т!е^ег рагННопз. — В1зсге1еМаН1. 6,
р. 201—219.

7.	Саг 11 1г Ь. (1954). Кергезеп1аНоп8 Ьу циаЛгаНс Тогтз 1п а НпНе Не1Л. —
Пике МаН1. Л. 21, р. 123—137.

8.	С а г И I г к, Н ос! $ез Л. Н. (1955а). КергезепкНопз Ьу НегтШап Гогтз
т а Ппке Ие1Л. — Пике МаН1. Л. 22, р. 393—405.

9.	С а г 1 И г к, Нос^ез Л.Н. (1955Ь). П1з1пЬиНоп о! ЬогЛегеЛ зуттеИс,
зке\у апЛ кегтШап таЫсез т а НпНе Пе1Л. — Л. гете ап^еду. МаН1. 195,
р. 192—201.

10.	П 1 с к з о п Ь. Е. (1901). Ыпеаг Огоирз \уШ1 ап ЕхрозШоп о! 1ке ОаЫз
Р1е1Л Ткеогу. — ТеиЬпег, Ее1рг1§ (гергтЬед Ьу Поуег, Кеду Уогк, 1958).

11.	ПоиЬИе! Р. (1972). Оп 1ке ГоипЛаНопз оГ сотЫпа1ог1а1 Нпеогу, VII;
8утте1пс 1ипсНопз (кгои^к 1ке 1кеогу о! сПзЫЬиНоп апЛ оссирапсу. —
ЗНкИез т Аррк Ма1к. 51, р. 377—396.

12.	Р и 1 I о п Л. П. (1969). 8утте1пс туо1и1огу та1псез оуег НпНе Не1Лз апс!
тоЛи!аг гт^з о! т1е^егз. — Пике Ма1к. Л. 36, р. 401—407.

13.	НоЛ^ез Л. Н. (1964). 81ти11апеоиз рака о! Ппеаг апс! циаЛгаНс таких
ециаНопз оуег а НпНе Не1Л.—Ма1к. X. 84, р. 38—44.

14.	НоЛ^ез Л. Н. (1965). А зуттекис таких ециаНоп оуег а НпИе Не1Л.
Ма!к. Маскг. 30, р. 221—228.

15.	Лог Лап С. (1870). Тгакё Лез зиЬзШиНопз е1 Лез ёциаНопз а1§ёкп-
цие. — Оаи1к1ег-УШагз, Рапз.

16.	К п и I к П. Е. (1971). 8иЬзрасе8, 8иЬзе1:з, апЛ рагННопз.—Л. СотЫпа-
1ог1а1 Ткеогу АЮ, р. 178—180.

17.	К п и I з о п П. (1972). А 1етта оп рагННопз. — Атег. Ма1к. МопШу 79,
р. 1111—1112.

18.	ЬапЛзЬег^ О. (1893). Окег еше АпгаЫЬезНттип^ ипЛ ете ЛатИ
гизаттепкап^епЛе Ке1ке.—Л. гете ап^еду. Ма1к. 111, р. 87—88.

19.	ЬеУе^ие АУ. Л. (1974). КеУ1едуз ш МитЬег Ткеогу, Уок 5. — Атег.
Ма1к. 8ос., РгоуИепсе, К. I.

20.	Ь И I 1 е \у о о Л П. Е. (1950). Тке Ткеогу о! Огоир Скагас1егз апЛ Маких
Кергезеп1аНопз о! Огоирз, 2пЛ еЛ. — Ох!огЛ 1Лп1У. Ргез, ЬопЛоп апЛ Ме^у
Уогк.

21.	М а с М а к о п Р. А. (1916). СотЫпа1огу Апа1уз1з. Уок 2. — СатЬпЛ^е
1Лшу. Ргезз, ЬопЛоп апЛ Меду Уогк (гергт1еЛ Ьу Ске1зеа, Меуг Уогк, 1960).

22.	К о Ь 1 п з о п О. Ле В. (1961). КергезепЬНоп Ткеогу о! 1ке 8утте1пс
Огоир. — 1Лшу. о! Тогоп1о Ргезз, Тогоп1о.

23.	К о I а О. С. (1964а). Тке питкег о! рагННопз о! а зек — Атег. Ма!к.
Моп1к1у 71, р. 498—504.

24.	К о I а О. С. (1964Ь). Оп 1ке ЬипЛаНопз о! сотЫпакииа! 1кеогу, I.: Ткеогу
о! МбЫиз ГипсНопз.—X. АУакгзске1п11скке1Ыкеопе ипЛ уепу. СеЫе1е 2,
р. 340—368.

25.	К о I а О. С., Р г и с к I К. (1965). РоИпопиоз Ле Ве11 у рагНсюпез Ле со-
п]ип!оз Нпкоз. — 8с1епНа Кеу. Ск Тёсшса (СкНе) № 126, р. 5—10.

26.	К о I а О. С., О о 1 Л т а п Л. (1969). Тке питкег о! зиЬзрасез о! а Уес1ог
зрасе. — 1п: Кесеп! Рго^гезз т СотЫпа1опсз (АУ. ТиНе, еЛ.), АсаЛегтс
Ргезз, Меду Уогк.

27.	К о I а О. С., О о 1 Л т а п Л. (1970). Оп 1ке ЬипЛаНопз о! сотЫпа1опа1
(кеогу, IV. РтНе уес1ог зрасез апЛ Еи1епап §епегаНп§ ГипсНопз.—8(иЛ1ез
т Арр1. Ма1к. 49, р. 239—258.

28.	К и I к е г I о г Л П. Е. (1947). 8иЬзН1иНопа1 Апа1уз1з. — ЕЛтЬиг^к 1Лшу.
Ргезз, ЕЛтЬиг^к (гергш1еЛ Ьу На1пег, Ме\у Уогк, 1968).
29.	8 парр ег Е. (1971). Огоир сЬагас1егз апс! поппе^аШе т1е^га1 та1п-
сез. — Л. А1§еЬга 19, р. 520—535.

30.	8 1 а п 1 е у К. Р. (1972). Огс1еге(1 з1гис1игез апс! рагШюпз. — Мет. Атег.
МаШ. 8ос. 119.

31.	Т ет р ег 1 еу Н. Ы. V. (19^2) 8(аНзНса1 тесЬашсз апд (Ье рагШюп о!
питЬегз, II: ТЬе Тогт о! сгуз1а1 зиНасез.—Ргос. СатЬпс^е РЫ1. 8ос. 48,
р. 683—697.

32.	Е.М. (1968, 1971, 1972). 81аскз,1, II, III. —риагк Л. МаШ. 19,

р. 313—320; 22, р. 107—116; 23, р. 153—158.

33*. Егдбз Р.,6иу К. К., М ооп Л.-\М. (1975). Оп геПтп^ рагШюпз.—
Л. о! (Ие Ьопдоп МаШ. 8ос., 9, № 4, р. 565—570.

34*. Баранов В. И. (1978). Комбинаторная модель явления фрагментации
памяти. — Программирование, № 3, с. 46—54.

35*. Баранов В. И. (1981). Одна экстремальная задача о разбиениях. —
Мат. заметки 29, № 2, с. 303—307.

36*. Нап1оп Р. (1980). ТИе тсМепсе а1§еЬга о! а бгоиР гебисеб рагНаПу
огбегеб зеЬ — ЬесЬ Но1ез МаШ., № 829, р. 148—156.

37*. Стечкин Б. С. (1977). Бинарные функции на упорядоченных мно-
жествах. — Труды МИАН 143, с. 178—187.

38*. Стечкин Б. С. (1982). Экстремальные свойства разбиений чисел.—
ДАН СССР, 264, № 4, с. 833—836.
Глава 14

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАЗБИЕНИЙ

14.1.	Введение

В большинстве прикладных, да и во многих теоретических
аспектах теории разбиений, мы интересовались конструктивным
перечислением или хотя бы по возможности более полным выписы-
ванием разбиений из интересующего нас класса. Для малых п
такие перечисления осуществимы элементарными алгоритмами;
они обсуждаются в следующем параграфе.

Четность величины р (п) вызывает давний интерес; поэтому
наряду с другими алгоритмами, выводимыми из производящих
функций, в § 14.3 представлен и наиболее эффективный известный
алгоритм на сравнимость по модулю 2.

Вычисления для высокоразмерных разбиений рассматриваются
в § 14.4; сюда же включен результат Кнута. В §§ 14.5—14.7 пред-
ставлены таблицы значений важнейших функций разбиений.
В § 14.8 приводится библиография для полных таблиц.

14.2.	Элементарные алгоритмы

Простейший способ перечисления всех разбиений состоит в их
выписывании в лексикографическом порядке. При таком упорядо-
чении для перехода от разбиения (%х, %2, ..., К5) к следующему
разбиению будем придерживаться двух правил:

если > 1, то следующее разбиение есть

(%1, %2, . . ., %8_1(	1, 1);	(14.2.1)

если = с > 1, А,5_г+1 = А,5_г+2 = ... = К5 = 1, то сле-
дующее разбиение получается заменой частей %5_г, Х5_г+х, ..., К.
на части (с — 1), (с — 1), ..., (с — 1), б/, где 0 <(1 < с — 1, а число
а-вхождений части с—1 выбирается так, что

а(с-1) + б/ = с + г = к_г + ^5_,+х + • • • + X, (14.2.2)

Следующая программа на фортране IV использует этот алго-
ритм для вычисления всех разбиений каждого целого, не пре-
восходящего 20.

ШМЕЫЗЮЫ 1Р (20)

ОО 80 Ы = 1,20

№Ц1ТЕ (6,5) Ы
5 РОКМАТ (ПО)

1Р (I) - Ы
ОО 10 Ь=2,20

10 1Р (Ь) = О

15 С0ЫТ1ЫПЕ

АУН1ТЕ (6, 20) 1Р (1), 1Р (2), ... 1Р (20)

С СОММЕКТ 1Р (4) есть 4-я часть разбиения, вычисляемого

20 РОНМАТ (2013)

4 = 1

25 СОЬШЬШЕ

1Р (1Р (4)—1) 35, 35, 30

30 4=4 + 1

ОО ТО 25

35 С0ЫТ1Ы11Е

1Р (4-1) 75, 75, 40

40 М=4 — 2

К = И

1Р (М) 45, 55, 45

45 ОО 50 Ь=1, М

50 К=К —1Р(Ь)

55 1(2= 1Р (4—1)

4<Э=К/(1Р (4-1) - 1)

60 ОО 65 Ь(Э=1,4(Э

65 1Р (4—2+Ь0)=10—1

1Р (4—1+40)= К-4Р* (1<Э-1)

МО=4+4О

ОО 70 ыо=мо, Ы

70 1Р ^0)=0

ООТО 15

75 СОШТЬШЕ

80 СО14Т1ШЕ

8ТОР

ЕЫО

Выдача этой программы начинается с

1

1	о о ... о

2

2	0	0	...	0

1	1	0	...	0

3

3	0	0	...	0

2	1	0	...	О

1	1	1	...	О

Довольно просто посредством подпрограмм проверять, удовлет-
воряет ли разбиение ..., Х5) = (1Р (1), 1Р (2), ..., 1Р (5))
различным, наперед заданным условиям.

Имеется алгоритм, принадлежащий Гинденбургу, ограничи-
вающийся разбиениями п ровно с т частями. Сменим наш лекси-
кографический порядок на обратный: части разбиения записываем
в возрастающем порядке и считаем, что разбиение (Лх ... Лт)
предшествует разбиению (А{ ... Л^), если для некоторого /
Л1 = Ль Л2 = Л2, ..., Лу_1 = Лу—1, Лу <С Лу.

Алгоритм начинается с минимального элемента такого упоря-
дочения: (1, 1, ..., 1, п — т + 1), а переход от разбиения
(Лх ... Лт) к следующему разбиению осуществляется по правилам:
найти то наибольшее /, при котором

Лт-Лу^2;	(14.2.3)

заменить части Лу, Л/+1, ..., Лт на (Лу + 1, Лу + 1, ..., Лу +
+ 1, Л^), где А'т выбирается так, чтобы результирующее разбие-
ние оставалось разбиением числа п.

Например, когда т = 5, п = 12, имеем

11118

1112 7

1113 6

1114 5

112 2 6

112 3 5

112 4 4

113 3 4

1 2 2 2 5

1	2 2 3 4

1	2 3 3 3

2	2 2 2 4

2	2 2 3 3

(14.2.4)

И вновь это даст легко программируемый алгоритм.

14.3. Алгоритмы из производящих функций

Помимо чисто теоретической пользы, исследования производя-
щих функций и тождеств с разбиениями приносят и пользу практи-
ческую: посредством алгоритмов, выводимых из этих теоретиче-
ских рассмотрений, удается подчас сильно сократить время вычис-
ления некоторых функций разбиений.

Например, следствие 1.8: р (/г) — р (п — 1) — р (п — 2) +
+ р (п — 5) + р (п — 7) — ... =0 обеспечивает счет значений
2

р (и) для п < № за -у (6м3)1/2 операций, что вполне эффективно
сравнительно с алгоритмом из задачи 2 гл. 6, где г (п) в П(1 —
— дпУ~йп = 2 г(п) дп может быть вычислено из рекуррентности

мг(м)= 2 Г(Аг—

за /г2 1о§ п операций.
Точные формулы, такие как в гл. 5, тоже оказываются полез-
ными при вычислении.

В этой связи полезны и тождества из гл. 7—9. Например,
в теореме 8.5	может быть вычислено за сп3/2 (с — кон-

станта, зависящая от к) шагов из

°° п=0

С другой стороны, если вычислять Вк,;(п) из

2 Ьк,{(т, п) = Вк,{(п),

т^О

Ьк,1 (т, п) = Ьк>1^ (т, п) + Ьк, к_1+1 (т — I +1, п — т),

Ьк, о (т, п) = О,

м т =п = О,

п) 10, /п < О или п^О, но т24-/г2^0,

то для этого нужно затратить с1п2 шагов (с1 — константа, завися-
щая от к).

Вообще, всякий раз, как предпринимается вычисление конкрет-
ной функции разбиений, соответствующую производящую функ-
цию нужно внимательно проанализировать с точки зрения воз-
можности ее использования для экономии времени счета.

Заканчиваем этот параграф следующей теоремой, принадлежа-
щей Мак-Магону, которая дает алгоритм для выяснения четности,
лучший чем следствие 1.8.

Теорема 14.1.

р(4п) = р(п) + р(п — 7) + р(п — 9)Н-

• • • + р(п — а() Н-(той2),

р(4п + 1) = р(п) + р (п - 5) + р (п - 11) Н-----

----1- р(п — р() Н-(той 2),

р(4п + 3) = р(п) + р(п — 3) + р(га— 13) Н-------

-------------------(той 2),

р (4п + 6) = р (га) + р (п — 1) + р (п - 15) -]-

-----Ьр(га-6()-|----(той 2),

где ряды в правых частях сравнений продолжаются до тех пор, пока
аргументы не станут отрицательными, и а1 = I (81 =Р 1),	=

= I (8/ ЙР 3),	= I (81 ЙР 5), 6, = I (81 Т 7).
Доказательство.

2р(«)?" = П (1 — япУ1 =

00 00

= п (1 + ^Г1(тоа2)И П (1	=

= П (1 + 74'^1) (1 + 74'^3) (той 2) =

П=1

оо	00

= п (I - ГГ1 П (I - П (1 + 94"-1)(1 - 74"~3) =
п=1	П=1

= (^2 Р(п)д*п\ 2 <7'г("+1)/2-
\п>0	7 п=0

Результат теоремы 14.1 теперь легко получается приравниванием
коэффициентов при дАп, дАп+г, д4п+3, дАп+3 в этих сравнениях.

14.4.	Вычисления для многомерных разбиений

До тех пор пока мы исследовали задачи, в которых соответ-
ствующая производящая функция принимала какую-то хорошо
известную форму, например бесконечное произведение, можно
было действовать, как указано в § 14.3. К сожалению, эта счастли-
вая возможность покидает нас при рассмотрении разбиений раз-
мерности б/, с1 > 2, как в гл. 11. Таким образом, вычисление даже
трехмерных разбиений становится громоздкой задачей. Единствен-
ным полезным известным инструментом здесь оказывается техника
Мак-Магона, тесно связанная с нашим доказательством теоремы
3.7. Эта техника Мак-Магона была приспособлена Кнутом к вполне
общей ситуации, и мы приводим здесь его обобщение.

Рассматривается множество Р, частично упорядоченное посред-
ством и порядок-обращающее отображение со из Р в множе-
ство неотрицательных целых, т. е. если х у С Л то о(х) со(г/).

Определение 14.1. Порядок-обращающее отображение
со, будем называть помечающим (пометкой), если лишь для конеч-
ного числа элементов х выполняется неравенство со(%)>О.

Следующая лемма обособливает элементы множества Р с поло-
жительными метками; это сразу сводит рассмотрение всего (вообще
говоря бесконечного) Р к конечному подмножеству множества Р.

Лемма 14.2. Пусть частичный порядок <1 расширен до
линейного порядка с в Р. Существует взаимно однозначное соответ-
ствие между пометками Р и парами последовательностей;

п2^ ... пт (положительные целые),

(4-4.1)

х2,х^ (элементы Р),
удовлетворяющее условиям'. (1) х С Р и х X/ => х = Х{ для
некоторого I < /; (2)	> х/+1 => щ > щ+1 для 1 с I < т.

Доказательство. Это соответствие становится очевид-
ным по предъявлении следующей подходящей конструкции:
выпишем все х с наибольшей меткой в возрастающем порядке по с,
выпишем затем х со следующей наибольшей меткой опять-таки
в возрастающем по < порядке и так далее. По исчерпывании всех
положительных пометок выпишем пометку каждого х прямо над х.
Проверка показывает, что эта процедура порождает убывающую
последовательность меток и является однозначно обратимой.

Определение 14.2. Будем говорить, что пометка со
множества Р является (Р, (^-разбиением числа п, если У со (х) = п.

х^Р

Согласно лемме 14.2 каждое (Р, (о)-разбиение соответствует
паре последовательностей:

М1 п2 п3 • • •

> ^2 У • • • > ^1Т1

(бесконечная последовательность
неотрицательных целых),	(14.4.2)

(различные элементы Р),

где т 0; (1) х С Р и х с X/ => х = х, для некоторого I < /
(2) XI > х/+1 => щ > п/+1 для 1 < I < т; (3) если т > 0, то
пт > пт+ъ (4) если т > 0, то существует х С Р такой, что
х < хт и х Ф Х[ для 1 < I с т. Конечная последовательность
{хД, удовлетворяющая (1) и (4), называется топологической после-
довательностью. Чтобы увидеть это соответствие, достаточно
просто приписать нули к последовательности щ и отбросить хт,
если таковой оказывается минимальным элементом множества
Р {-^1, •••>

Например, пусть Р — множество точек плоскости с неотрица-
тельными координатами и частичным упорядочением (/, /)

(*', /'), если * < и / < Л Э1ют частичный порядок можно
продолжить до линейного лексикографического порядка: (/, /) <
С (г', /'), если I < I' или I =' I' и / < /'. В этом случае (Р, ^-раз-
биения в точности соответствуют плоским разбиениям (записан-
ным в перевернутом виде). Таким образом, плоское разбиение

1

1 2

4 3 1

5 3 3 2

соответствует (Р, (о)-разбиению

5	4	3	3	3	2	2	1	1	1

(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0)

(1, 2) (3, 0) (2, 1) (0, 2) (0, 3)
Соответствующая последовательность (14.4.2) имеет вид

5	4	3	3	3	2	2	1110 0-••

(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (1, 2) (3, 0) (2, 1)

Ясно, что имеется взаимно однозначное соответствие между после-
довательностями (14.4.1) и последовательностями (14.4.2).

Определение 14.5. Индексом топологической последо-
вательности хь х2, •••, хт называется сумма всех тех /, для которых
х] > х/+1 при-соглашении, что хт > хт+1.

Таким образом, возвращаясь к нашему примеру, видим, что
топологическая последовательность

(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (1, 2) (3, 0) (2, 1)

имеет индекс 5 + 7 + 8 = 20.

Для данной топологической последовательности хь х2, ..., хт
каждой последовательности пг п2 ... из неотрицательных
целых, удовлетворяющей условиям (2) и (3), выписанным после
(14.4.2), соответствует единственная бесконечная последователь-
ность /?1 р2 р3 получаемая вычитанием 1 из каждого
п19 ..., П] для каждого / такого, что X; > Х]+1 или / = т. Воз-
вращаясь к нашему примеру, видим, что последовательность
Рг р2 Рз ••• в этом случае имеет вид 2, 1,0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, ... Замечательный факт состоит в том, что сумма этих р, + 1
индексов равна сумме щ и это есть единственное соотношение
между этими тремя последовательностями. Эти рассуждения
приводят к следующему результату.

Теорема 14.3. Пусть Р — бесконечное частично упорядо-
ченное множество. Тогда имеется взаимно однозначное соответствие
между (Р, со)-разбиениями п и упорядоченными парами (|хД,
\р[}), где {хД — это топологическая последовательность,
а \р[} —разбиение числа п — к, где к — индекс последователь-
ности {хД.

Следствие 14.4. Пусть Р — бесконечное частично упоря-
доченное множество, пусть в (п) — число (Р, (я)-разбиений числа п,
и пусть / (к) — число топологических последовательностей мно-
жества Р, имеющих индекс к. Тогда

2 8 («) = (2 * («) япV 2 р («)	= (я)™12 * («) яп-

Вообще, топологические последовательности находить легче,
чем произвольные разбиения. Например, можно строить топологи-
ческие последовательности точек в первом квадранте следующим
образом: во-первых, выбираем множество, скажем, из т точек,
которое соответствует графическому представлению некоторого
разбиения. Тогда эти точки надо перенумеровать, используя пер-
вые т целых так, что числа эти строго возрастают по строкам и
столбцам, стараясь при этом не помещать т в первый столбец.
Если, скажем, выбраны точки

то соответствующие топологические последовательности

3	2

12 4И 134

означают, что х4 = (0, 0), х2 = (1, 0), х% = (0, 1), х4 = (2, 0)
и ЛГ1 = (0, 0), х2 = (0, 1), х3 = (1, 0), х4 = (2, 0) соответственно.
В этом примере топологическая последовательность есть по
существу стандартная диаграмма Юнга (для получения стандарт-
ной диаграммы Юнга нужно обратить последовательность) с тем
специальным условием, что т не может находиться в первом
столбце.

14.5.	Краткие таблицы функций разбиений

В табл. 14.1 представлены значения р (и) — числа разбиений п;
р (б?, п) (== р п)) — числа разбиений п с нечетными частями;
Л2,2 (^) (= 52,2 (л)) — числа разбиений п на части, сравнимые
с 1 или 4 по модулю 5; Л2>1 (п) (= В2)1 (п)) — числа разбиений п
на части, сравнимые с 2 или 3 по модулю 5.

14.6.	Таблица функции плоских разбиений

Табл. 14.2 для ТИ2 (п)— числа плоских разбиений п—легко
вычисляема из простой рекуррентности (задача 2 гл. 6)

пМг (и) = 2 Л42 (и — /) а2 (/),

/=1

где (12 (/) есть сумма квадратов делителей /.
14.7.	Таблица многочленов Гаусса

Поскольку эти многочлены

гп"|_ (1 —-д'1) . . . (1 — д/1~г4~1)

И “	(1-/)... (1-4)

весьма важны для наших исследований, мы включим табл. 14.3
для п 12. Поскольку

Гп1  г п "I

[г]	|_п — г 4 ’

то О г п/2. Кроме того,

й = 1’ [1] =1 + <?+?2 + •••+ Г-1;

поэтому мы рассматриваем лишь 2 г и/2.

14.8.	Иные таблицы

В [8] предъявлены наиболее полные таблицы разбиений для
р (п) до п < 600 и для числа разбиений п не более чем с т частями.
[8] представляет собой расширенную таблицу [7]. В [2] представ-
лены короткие таблицы разбиений и биразбиений. В [14] приведен
ряд последовательностей разбиений. В работах [1, 4, 5, 3] описы-
вается применение вычислительных машин при решении задач
о разбиениях.

Таблицы значений биномиальных и мультиномиальных коэффи-
циентов, чисел Стирлинга первого и второго рода, значений для
р (п) и для числа разбиений п с неравными частями до п = 500
представлены в [16].

Замечания

Алгоритм Гинденбурга в § 14.2 взят из [6, т. 2, с. 106]; в гл. 3 этой книги
в деталях представлен начальный период теории разбиений. Историю разбие-
ний от 1940 до 1972 г. можно найти в [10, гл. Р, т. 4], тогда как в [10, раз-
дел 30, т. 6] представлены координаты различных таблиц по разбиениям.

Теорема 14.1 взята из [И]; этот результат Мак-Магона был сильно расши-
рен в [13]. Материал § 14.4 взят из [9]; Кнут имеет вычислительную программу
для нахождения топологических последовательностей, связанных с разбиениями.
Понятие (Р, со)-разбиений интенсивно изучалось Стенли (1972), который пока-
зал, что ряд задач о разбиениях и перестановках может быть продвинут исполь-
зованием этого сильного метода.

В [12] представлен ряд алгоритмов для вычисления композиций и раз-
биений; гл. 5 и 6 из [12] относятся к композициям, а гл. 9 и 12 — к разбие-
ниям.
Таблица 14.1

п	р(п)	Р(б7,п)	Л2,2(п)	Л2,1(П)	п	Р («)		Л2,2(п)	Л2э1(п)
1	1	1	1	0	51	239943	4097	1174	739
2	2	1	1	1	52	281589	4582	1299	820
3	3	2	1	1	53	329931	5120	1429	899
4	5	2	2	1	54	386155	5718	1579	997
5	7	3	2	1	55	451276	6378	1735	1091
6	11	4	3	2	56	526823	7108	1913	1207
7	15	5	3	2	57	614154	7917	2100	1321
8	22	6	4	3	58	715220	8808	2311	1457
9	30	8	5	3	59	831820	9792	2533	1593
10	42	10	6	4	60	966467	10880	2785	1756
11	56	12	7	4	61	1121505	12076	3049	1916
12	77	15	9	6	62	1300156	13394	3345	2108
13	101	18	10	6	63	1505499	14848	3659	2301
14	135	22	12	8	64	1741630	16444	4010	2525
15	176	27	14	9	65	2012558	18200	4380	2753
16	231	32	17	11	66	2323520	20132	4794	3019
17	297	38	19	12	67	2679689	22250	5231	3287
18	385	46	23	15	68	3087735	24576	5717	3599
19	490	54	26	16	69	3554345	27130	6233	3917
20	627	64	31	20	70	4087968	29927	6804	4281
21	792	76	35	22	71	4697205	32992	7409	4655
22	1002	89	41	26	72	5392783	36352	8080	5084
23	1255	104	46	29	73	6185689	40026	8790	5521
24	1575	122	54	35	74	7089500	44046	9573	6021
25	1958	142	61	38	75	8118264	48446	10406	6537
26	2436	165	70	45	76	9289091	53250	11322	7118
27	ЗОЮ	192	79	50	77	10619863	58499	12294	7721
28	3718	222	91	58	78	12132164	64234	13363	8401
29	4565	256	102	64	79	13848650	70488	14498	9103
30	5604	296	117	75	80	15796476	77312	15742	9894
31	6842	340	131	82	81	18004327	84756	17066	10715
32	8349	390	149	95	82	20506255	92864	18512	11631
33	10143	448	167	105	83	23338469	101698	20050	12587
34	12310	512	189	120	84	26543660	111322	21732	13653
35	14883	585	211	133	85	30167357	121792	23519	14761
36	17977	668	239	152	86	34262962	133184	25466	15995
37	21637	760	266	167	87	38887673	145578	27540	17285
38	26015	864	299	190	88	44108109	159046	29796	18710
39	31185	982	333	210	89	49995925	173682	32196	20203
40	37338	1113	374	237	90	56634173	189586	34806	21854
41	44583	1260	415	261	91	64112359	206848	37582	23579
42	53174	1426	465	295	92	72533807	225585	40594	25483
43	63261	1610	515	324	93	82010177	245920	43802	27480
44	75175	1816	575	364	94	92669720	267968	47276	29671
45	89134	2048	637	401	95	104651419	291874	50974	31975
46	105558	2304	709	448	96	118114304	317788	54979	34502
47	124754	2590	783	493	97	133230930	345856	59239	37153
48	147273	2910	871	551	98	150198136	376256	63843	40058
49	173525	3264	961	604	99	169229875	409174	68747	43114
50	204226	3658	1065	673	100	190569292	444793	74040	46447
Таблица 14.2

п	(и)	п	М2 (и)	п	М2 (п)
1	1	41	409383981	81	23498 9042219523
2	3	42	593001267	82	31738 2398602028
3	6	43	856667495	83	42817 1324714100
4	13	44	1234363833	84	57697 8362008262
5	24	45	1774079109	85	77663 3557947931
6	48	46	2543535902	86	104422 6582040722
7	86	47	3537993036	87	140249 8445554353
8	160	48	5191304973	88	188168 0993051045
9	282	49	7391026522	89	252192 5777635221
10	500	50	1 0499640707	90	337650 8618954817
И	859	51	1 4883573114	91	451605 3506209319
12	1479	52	2 1053676445	92	603409 5681424573
13	2485	53	2 9727561230	93	805440 1761691018
14	4167	54	4 1871334614	94	1074059 4259633282
15	6879	55	5 8874385349	95	1430879 4779412286
16	11297	56	8 2623976486	96	1904421 9737399823
17	18334	57	11 5737404664	97	2532294 5742868655
18	29601	58	16 1825846160	98	3364043 3065994170
19	47330	59	22 5863047430	99	4464887 4867815365
20	75278	60	31 4689799781	100	5920606 6030052023
21	118794	61	43 7699333376		
22	186475	62	60 7771804065		
23	290783	63	84 2541287719		
24	451194	64	116 6117605448		
25	696033	65	161 1415838202		
26	1068745	66	222 3312543970		
27	1632658	67	306 2906627106		
28	2483234	68	421 3276093961		
29	3759612	69	578 7232662336		
30	5668963	70	793 7771067795		
31	8512309	71	1087 2114256046		
32	12733429	72	1487 0591703377		
33	18974973	73	2031 1959869076		
34	28175955	74	2770 7354427729		
35	41691046	75	3774 5732428153		
36	61484961	76	5135 4666391773		
37	90379784	77	6978 1543686979		
38	132441995	78	9470 1959299374		
39	193487501	79	12836 4196860773		
40	281846923	80	17378 1688194937		
Таблица 14.3



д д2 д3 д* д3 д3 д’1 д3 д9 д10	д11	д12	д13	д14	д13	д13	д11	д13

12 11

1	2	2	2	1	1

1	2	2	3	2	2	1

1	2	3	3	3	3	2

1	2	2	3	3	3	2

1	2	3	4	4	5	4

1	2	2	3	3	4	3

1	2	3	4	5	6	6

1	2	3	5	5	7	7

1	2	2	3	3	4	4

1	2	3	4	5	7	7

1	2	3	5	6	8	9

1	2	2	3	3	4	4

1	2	3	4	5	7	8

1	2	3	5	6	9	10

1	2	3	5	7	9	11

1	2	2	3	3	4	4

1	2	3	4	5	7	8

1	2	3	5	6	9	11

1

1	1

2	1	1

4	3	2	1	1

3	2	2	1	1

6	6	5	4	3	2

8	7	7	5	5	3

4	3	3	2	2	1

8	8	8	7	7	5

11	11	12	11	11	9

5	4	4	3	3	2

9	10	10	10	10	9

13	14	16	16	18	16

14	16	18	19	20	20

5	5	5	4	4	3

10	11	12	12	13	12

14	16	19	20	23	23

1	1

2	1	1

1

4	3	2	1	1

8	6	5	3	2

2	1	1

8	7	5	4	3

16	14	13	10	9

19	18	16	14	11

3	2	2	1	1

12	11	10	8	7

24	23	23	20	19
Таблица 14.3 (продолжение)

["]	1	<7 <72 <73 <74 д* д* д'3 д* д9 д™ д11 д^ д™ д™ д15	$17	$18

[ У ]	1	1	2	3	5	7	10	12	16	19	23	25	29	30	32	32	32	30	29

[12 ]	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	5	5	4	4	3	3	2	2

[д2]	1	1	2	3	4	5	7	8	10	12	13	14	15	15	15	15	14	13	12

[12 ]	1	1	2	3	5	6	9	11	15	17	21	23	27	28	31	31	31	31	31

[12 ]	1	1	2	3	5	7	10	13	17	21	26	30	35	39	43	46	48	49	49

[*62]	1	1	2	3	5	7	11	13	18	22	28	32	39	42	48	51	55	55	58

ЛИТЕРАТУРА

1.	Апдгехуз О. Е. (1971). Тке иве о! сошрикгз ш зеагск о! тдепШлез о!
!ке Ко^егз—Катапщ’ап !уре.— 1п.: СотрЫегз т Миткег Ткеогу
(А. О. Ь. А!кт апд В. 4. Вйск. едз.), Асадепис Ргезз, Меху Уогк.

2.	В аг 1оп В. Е., В а V 1 д Р. М., К е п д а 1 1 М. О. (1966). 8утте!пс
ГипсНопз апд А1Иес1 ТаЫез. — СатЬпдёе 14п1У. Ргезз, Ьопдоп апд Иеху
Уогк.

3.	В и г п е 1 1 В., Н о и I е п Ь. (1971). МиШр1апаг рагШюпз. — 1п.: Сот-
рЫегз т Миткег Ткеогу (А. О. Ь. АШт апд В. 4. Впек, едз.), Асадепис
Ргезз, Иеху Уогк.

4.	С к е е т а М. 8. (1971). Сотри!егз т 1ке1кеогу о! рагШюпз.—1п: Сотри!егз
т Миткег Ткеогу (А. О. Ь. АШт апд В. 4. В1гск, едз.), Асадепис Ргезз,
Меху Уогк.

5.	СкигсккоизеК. Г. (1971). Втагу рагШюпз. — 1п:: Сотрикгз т
Миткег Ткеогу (А. О. Ь. АШт апд В. 4. Вкск, едз.), Асадепис Ргезз,
Меху Уогк.

6.	В 1 с к з о п Ь. Е. (1920). Н1з!огу о! 1ке Ткеогу о! Миткегз, Уо1. 2.—
Сагпе^е 1пзШиНоп о! АУазЫп^оп, АУазкт^оп В. С. (гергт!ед Ьу Ске1зеа,
Меху Уогк, 1952, 1966).

7.	С	и р I	а	Н.	(1939). ТаЫез о! РагШюпз.	— 1пд1ап МаШ. 8ос., Мадгаз.

8.	О	и р I	а	Н.,	О ху у ! к е г А. Е., М 1 1 1 е г	4. С. Р. (1958). ТаЫез о! РагН-

Ьопз (Коу. 8ос. МаШ. ТаЫез, Уо1. 4).

9.	К	п и I	к	В.	Е. (1970). А по!е оп рагШюпз.	— МаШ. Сотр. 24, р. 955—961.

10.	Ь	е V е	4	и е	АУ. 4. (1974). КеУ1ехуз т Миткег Ткеогу, Уо1з 4 апд 6. — Атег.

МаШ. 8ос., РгоУ1депсе, К. I.

11.	М а сМ а к о п Р. А. (1921). Мо!е оп Ше раШу о! Ше питЬег хуЫсЬ епи-
тега!ез Ше рагШюпз о! а питЬег.—Ргос. СатЬпд^е РЫ1. 8ос. 20, р. 281—283.

12.	М 1 ]’е п к и 1 з А., АУ 1 И Н. 8. (1975). СотЫпа!опа1 А1§оШктз.—
Асадепис Ргезз, Меху Уогк.

13.	Р а г к 1 п Т. К., 8 к а п к з В. (1967). Оп Ше дгзкггЬиЫоп о! раШу 1п Ше
рагШюп ШпсНоп.—МаШ. Сотри!. 21, р. 466—480.

14.	8 1 о а п е М. 4. А. (1973). А НапдЬоок о! 1п!е^ег 8едиепсез. — Асадеппс
Ргезз, Меху Уогк.

15.	8 ! а п 1 еу К. Р. (1972). Огдегед зкисШгез апд рагШюпз. —Мет. Атег.
МаШе. 8ос. 119.

16*. Справочник по специальным функциям.—М.: Наука, 1979.
Добавление

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАЗБИЕНИЙ

Б. С. СТЕЧКИН

Введение. Традиционны экстремальные задачи аддитивного
представления чисел, например: сколь малым числом предписан-
ных слагаемых аддитивно представимо каждое натуральное из
заданного множества? Однако эти экстремальные постановки
не содержат в себе разбиений в явном виде. Вместе с тем имеется
широкий круг экстремальных задач, связанных с собственно
разбиениями, разрешение которых несет информацию не только
о самих разбиениях, но и об аддитивных представлениях. Эти
задачи открывают новые области применения теории разбиений.

Вложимость разбиений. На множестве разбиений вводится
отношение частичного порядка. Пусть Р — множество всех раз-
биений всех натуральных чисел, Р (п) — множество всех разбие-
ний и, Рг (п) — множество всех разбиений п на г частей.

Определение 1. Разбиение (&х, ..., к^ \~ к вложимо
в разбиение (их ... пг) Н и((&х ... к^ с= (мх ... иг)), если части кг
разбиения (&х ... к^ можно так сгруппировать в г групп (каждая
часть к} входит ровно в одну группу), что по сложении всех ча-
стей в каждой группе получится г чисел рх, ..., рг таких, что 0

Р1 Щ (/ = 1, ..., Г).

Если к = и, то вложимость эквивалентна тому, что сложением
отдельных частей разбиения (кг...к^ можно получить разбиение
(мх ... мг). Вложимость является отношением частичного порядка
на разбиениях, и всюду далее множества Р и Р(п) понимаются
как частично упорядоченные по вложимости.

Если Ьп — множество всех белловских разбиений м-множества
(см. гл. 13), то Р(п) можно понимать как результат факториза-
ции Ьп по типам разбиений, т. е. по объемам блоков разбиения
множества с естественным наследованием порядка. Однако если

— решетка, то Р(п) таковой уже не является; единицей Р(п)
служит одночастное разбиение (п), а нулем — (1П). Подробнее
о связях Ьп и Рп см. [1,2]. Один из основных открытых струк-
турных вопросов, связанных с Рп, — поиск замкнутого пред-
ставления для мёбиус-функции Р(п).

Известны некоторые численные характеристики Р(п): фор-
мулу для | Р (и) | см. в гл. 5, формулу для |РДп)| см. в гл. 4.
Пример оценки иной характеристики дает
Теорема 1 ([31). Пусть [ (и) — число максимальных цепей
(длины п — 1) от нуля до единицы множества Р (п). Тогда суще-
ствуют такие константы сг и с^ что

фп12<1(п)<сп2пп/\

причем 0,31555 <с1?	<41,31371.

Интересный открытый вопрос в этом направлении представ-
ляет собой задача вычисления идеалов Р (п): для р Р (п) пусть

^+(р) = {<7 € Р(п)-.д^>р\, Л(р) = ^ С Р(п)-.д ар\-,
вычислить | /+ (/?) | и |	(/?) |.

Принцип полного размещения. Отдельное направление состав-
ляет вычисление экстремальных характеристик вложимости. Так,
например, в терминах вложимости легко формулируется широко
известный

Принцип Дирихле. Пусть для натуральных к и г
через п (к, г) обозначено наименьшее п, при котором у р Рг (и):
р зэ (к). Тогда п (к, г) = гк — г + 1.

По аналогии с принципом Дирихле естественно поинтересо-
ваться вложимостью не отдельного числа в каждое разбиение
р Рг (п), а вложимостьюфиксированного разбиения (6, ... ^)|—
\-к в каждое разбиение р Рг (п).

Определение 2. Для разбиения (к± ... к() к и нату-
рального г через п (кг ... кр г) обозначаем то наименьшее п, при
котором у р Рг (п): р зз> (кх ... к{).

Теорема 2 (принцип полного размещения) [4]. Пусть
к1^...^к(, г — натуральные числа. Тогда

... кр г) = шах &/ + (г — 1)(&г — 1)1.	(1)

(/=1 1

Доказательство. Правую часть (1) обозначим через
... кр, г). Ясно, что п (кг..., кр, г) / (кг ... кр, г), поскольку
вложимость (кг ... к() сз (п — (г — 1) (кг — 1),	— 1)г-1) вле-

чет неравенство п — (г — 1) (к[ — 1) кг + • • • + кг. Кроме
того, если / > 1, то

№ ... кр, г)^к1 + 1(к2...кр,г),	(2)

поскольку, если I — индекс, максимизирующий / (к2 ... кр, г), то

Нк1...крг)^^к1 + (г-\)(к1-1) =

/=1

= к1+^к/ + (г— 1)(йг — 1) = к1 + Цк2...кр г).

/=2

Равенство (1) докажем индукцией по /. При / = 1 (1) есть
просто принцип Дирихле. Для индукционного перехода от I — 1
к I достаточно показать, что если п = / (кг ...к^ г ), то требуемая
вложимость выполняется. Рассмотрим произвольное разбиение
(пг ... пг) |— и; в нем всегда >> так как / (кг ... к^ г) ^к± +
+ (г — 1) (кг — 1); поэтому вложимость

(к2... к^ с: (пг — кг м2... пг)	(3)

влечет вложимость {кг ... к^ с: (мг ... пг). В свою очередь (3)
следует из (2) и индукционного предположения:

П1 — + и2 + • • • + пг = п — кг = /(&1... к^ г) — кг^

Если при этом пг = къ то надлежит еще воспользоваться оче-
видной монотонностью / по г.

Следствия и применения. Большинство непосредственных след-
ствий принципа полного размещения вынесено в раздел «За-
дачи»; здесь мы приводим лишь некоторые, призванные продемон-
стрировать широту приложений этого логического принципа раз-
мещения.

Задача плотнейшего заполнения рюкзака
объема п предметами объемов к1 ... к1 состоит в вычислении
величины

8
и?и) = шах	2 кц.

!</-!<• •	/=1

2 к1)<п

Утверждение 1. Если п < 2 то

/	I

т (кг... к^ п) п + 1 — шах ] кг — 2 М-

Для доказательства введем п (к} ... к^ г\ и*) — наименьшее п,
при котором разбиение (к^ ... к^ вложимо в каждое г-частное раз-
биение и, обладающее частью и*. Ясно, что

я* + г — 1 < п(йг... к^ г\ п*) <шах \п* + г — 1,	... к^ г)}.	(4)

Из монотонности п (кх ... к^; г) по (кг ... к^ и принципа полного
размещения сразу находим, что

п(кг... к^ 2; п*) = л* + пип ...	... к^ ... к^ г)

2 ки^*
!=1

(крышечка над элементом последовательности обозначает отсут-
ствие этого элемента в этой последовательности). Стало быть,
I

если п* < 2 = Ч т°, согласно определению I,
1=1

п(кг... к(; 2; и*) =

= п* + к — т(к!... к(\ п*),

что с учетом (1) и (4) дает требуемое:

п*) = п* + к-п(к1...к1- 2; п*)^>

^п* + к-п(к1...к1-, 2) =

Г I	Г	/

= п* + к — шах 2 + - 1 = п* + ' — шах 1 кг — 2 Ч
4=1	)	I 1=1+1 .

В качестве иллюстрации отметим один простой факт об адди-
тивных представлениях: если неубывающая последовательность
I — 1
натуральных чисел	такова, что к( «5 1 + 2	0 = Ч

/=1

2, ...), то каждое натуральное число представимо в виде суммы
различных элементов этой последовательности.

Явление фрагментации памяти ЭВМ требует быстрых алгорит-
мов размещения системы запросов информации объемов кг ...к;
в систему фрагментов свободной памяти объемов ... пг [5, 61.

г

Из принципа полного размещения явствует, что если 2

>> I (кг ... к;-, г), то разместить запросы можно, причем быстрыми
алгоритмами «большее в большее», «большее в наименьшее воз-
можное» или же «большее в любое подходящее».

Задачи

1.	Если п (&, г) — наименьшее п, при котором уя^Р/(к), у Р€Рг(п): р О
Я, то

п(/г, г) = шах {гк — г1 + 1, /?}.

2.	При любом размещении п частиц по г ячейкам найдется г различных групп
частиц (по п/(2г) частиц в каждой группе), целиком лежащих в ячейках.

3.	Если р (кг ... ке, г) — наименьшее р М, при котором ... к^ ф (рг),
то р (кг ... к^; г) = У(кг ... к^ г)/г].
4.	Если т (к, I, г) наибольшее т, при котором у	3 Р^рг (^):

р ф д, то для достаточно большого г

т(*,Лг)=(1лж1

5.	Если Ы (к, /, г) — наименьшее Ы, при котором у р^Рг(М) 3	(*):

рад, то

М (к, /, г) = к +	1)птах {0, г — /}.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Стечкин Б. С. Несколько комбинаторных проблем. — Зборн. рад. Мат.
инет. Нов сер., 1977, 2 (10), с. 129—137.

2.	Н а п 1 о п РЬ. ТЬе шсШепсе а1&еЬга о! а ^гоир гебисеб раНиаПу огбегеб
зеН — ЬИМ, 1980, № 829, р. 148-156.

3.	Е г б б з Р., С и у К. К., Мооп Л. АУ. Оп геПпшя рагННопз.—
Л. 1 опбоп МаНт. 8ос., 1975, 9 (2), № 4, р. 565—570.

4.	С т е ч к и н Б. С. Экстремальные свойства разбиений чисел. — ДАН СССР,
1982, 264, № 4, с. 833—836.

5.	Б а р а н о в В. И. Комбинаторная модель фрагментации памяти. — Про-
граммирование, 1978, № 3, с. 46—54.

6.	Б а р а н о в В. И. Одна экстремальная задача о разбиениях. — Матем,
заметки, 1981, 29, № 2, с. 303—307.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

и)84

Аа ПО
(«)оо 31
а, (г) 133
*^Л, а 133
&к, оМ 127
Ак(п) 38, 82
Ак,{(п) 119
аа ПО
ак 227
Ип 227
(а)п 31
йщ ($1, • • •, 8/) 206
а„ 227
А (0 206
(а; <7)оо 31
(а; д)п 31
А (г, 5) 95
Рг(т) 212
& к, а 133
Я к, а (И) 127
Ьк,1 (т, п) 119
Вк,[(п) 119
Вк (п) 38
Ь (т\ п.) 183
Ь (п) 170
Вп 220
В (<7) 170
$ (и) 211
Во(<7) 206
са 178
<;(«!, аг) 70
с (а1, ..., аг; т) 70
Са ПО
Х(й, к) 94
%&) 56
с<(т) 172
С к, а 133
Сь I (т, п) 121
Ск, < (П) 124
Ск (т, п) 76
С(т) 139
С (М, IV) 151
с(т, п) 67

с(Л7, М, п) 68

3) 15, 132

Лй(<7) ПО

6 (я1( п2) 223

Р/ 108

32к, а 133

3>(к, I) 37

йк, I (т, п) 124

Ок,1(п) 124

8 к (т)	172

Оп 64

('; *1, Ь2, •••> Ьт', т)
147

Р («) 100

<Г 147

еь I (т, п.) 125

Е (п) 150

8е (п) 166

80 («) 166

Р 227

/(А, г, X, У, 1)
/с(х; д) 139
Л/(<7) Ю9
П(х) 126
Рм 85

^т(Я) 170

Рп 75

р! (и) 214
/5 (г; <?) 30

Р (и) 212

/о (9) 43

Л> (?) 43

О 198

157

у (константа Эйлера)
102

У У) 227

Г (т; </) 183

Г (5) 95

у(Т) 227

ОР(д) 218

О (X, М-, д) 47

О(<7) 171

«Г(<7) 175

юо

О (и) 212

О (г, 8) 94
§(г, 8) 95
«77» 17
«77» («О 17
77,- (х, д) 145
77,- (х) 145
Нк 90
Нк, а 108
”к,±а Ю8
Нь [(а; х; д) 116
77„(7) 63

Нп(х-1< ••> х8) 64

Н (г, 8) 95

Ь. (г, 8) 95
7 224
7л, к 88
1п<1 (И1, ..., тг-, п) 56
1пу (От1, ..., тг; п) 54
/1(г) 94
7л, (а; х; д) 116
Кег <р 225
кК 227
кя 227
|Х| 221
Л! 221
X' 22
Л |— и 15
Х(л) 221
% (П1, л2) 226
Я?с(яа} 141
Ес 140
Р,- 76
Ьк 89
Ьп 223
Ьп(д) 178
7(Яа) 141
Ь (г, 8) 95
Л 147
М{ (п) 28
Мк («) 196
тк, I (а, Ь; р.; И)
Мк, I (а, Ь; р; д')
мк, I (а> Ь; р; д')
ть I (н; Н) 162
мк,1 (р; д) 162

154

154

159
рИ1+... + "Л

оо

\_т1г т2, ..., тг

|лх 106

|л2 Ю7

Из 107

Нл (п) 196

|л(лх, л2) 223

п 220

IV	18

/V (тх, ...» тг; п) 73

V	126

V	(л) 225

у (г) 176

0 15, 132

СОЛ, к 84

со (/) 126

со (х) 241

0(п) 209

Р (ах, ...» аг) 70

Р= (а1, аг‘, т) 70

РЬ, с (а — с) 39

ре(3), п) 24

ре(3)(к, I), п) 37

ср 139

Ф (т; д) 183

Ф (я) 175

фо (<?) 43

срх (х) 105

ср2 (со) 106

ср3 (со) 106

л (а, Ь/п, т) 214

лл, г (п; я) 190

лх (п, т) 215

лх V л2 223

лх Д л2 223

[лх, л2] 223

л (п, т) 213

лг (пх, п2, ще, д) 187

Рс(п; /) 209

Р7 (г, п) 28

у = ^у (хх, хг) 212

Рк, I (а, Ь\ ре; Ы) 154

Рк, I (а, Ь\ Д; д) 154

; (а, Ь; ре; д) 159

рм(н; 162

рм(н; д) 162

рк г (т, п) 190

ф’ 140

Р (п) 15

Р(п) 209

Р (АТ, М, п) 47

Ро (3), п) 24

Ро (3) (к, I), п) 38

Рх(п) 137
(Р, со) 65, 241

Рм (п) 68

Р(л) 206

Р(<7) 83

фл (п) 91

^(т; д) 183

(д) 43

Р (5, п) 16

Р2(п) 137

С/ = С/(хх, ...,хг)212

Ък,^ 162

Ям («) 68

(Я)п 31

<Э(п) 209

/) 209

2+(л) 209

(?+ (п; /) 209

На(х) 127

Г1 (л) 154

И. (к, а-, п) 182

Як, I (х; Я) 122
г(п) 100
Ях 105
Кг 106
§ 16, 132
#(Х) 30
®(й, к) 84
а ({/,}) 30, 132
о (X) 24
а8(/) 243
81§п % 221
5л (0 231
8 (Л) 24
5Л 227
зтах 215
8П 227
5 (л, к) 225
5 (п, к) 225
227

8Г 176

5 (Т; т, п) 44
т 205
17т 170
ип 147
^2Г+1 43
Уп (д) 218
У5(п) 43

Уг 94

1Г/ (г, т, п) 28

(к, г) 190

[х] 95
{х} 95
(Х)п 225
1а, Ъ 214
Уп (^1, ^2, ёп) 211
О 224

(лх, л2) 223
? (5) 95

(5, /I) 108
Г. Эндрюс

Теория разбиений

Редактор С. М. Воронин

Техн, редактор И. Ш. Аксельрод

Корректоры: Г. В. Подвольская, Т. С. Вайсберг,
Л. С. Сомова

ИБ № 11702

Сдано в набор 19.01.82. Подписано к печати
23.07.82. Формат бОхЭО1/^. Бумага тип. № 1.
Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 17,86. Тираж
7000 экз. Заказ № 45. Цена 1 р. 70 к.

Издательство «Наука»

Главная редакция
физико-математической литературы.

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ленинградская типография № 6 ордена Трудо-
вого Красного Знамени Ленинградского объеди-
нения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном коми-
тете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли.

193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.