Б.Л. Дружинин
Развивающие задачи для детей 7-12 лет
Выпуск 2
Москва
ИЛЕКСА
2016


УДК 373:51 ББК 22.130 Д76
Дружинин Б.Л.
Д76 Развивающие задачи для детей 7-12 лет. Выпуск 2. — М.: ИЛЕКСА, 2016, 109 с.: ил.
ISBN 978-5-89237-441-5
Что значит - помочь ребёнку решить задачу? Конечно, можно просто показать решение. Но такой способ вряд ли поможет ребёнку решить другую задачу, похожую на первую. Гораздо надёжнее - «заставить» его решать самому, подробно разбирая с ним каждый шаг. Именно так автор много лет вёл развивающие занятия в разных школах. Здесь приводятся некоторые дневниковые записи этих занятий. Знакомство с ними поможет учителям начальной школы и родителям, желающим заниматься со своими детишками самостоятельно, выстроить систему увлекательных занятий с элементами математики и логики. Впрочем, детишкам тоже интересно будет почитать эту книжку.
УДК 373:51 ББК 22.130
ISBN 978-5-89237-441-5
© Дружинин Б.Л., 2016 © ИЛЕКСА, 2016


ПРЕДИСЛОВИЕ
«Что наша жизнь? Игра!», - утверждает герой Пушкина и Чайковского, и он прав. Играют все. Музыканты, актёры, спортсмены, букмекеры и брокеры. Что, как не игру, представляют собой специальные тренажёры, на которых учатся и повышают своё мастерство космонавты, лётчики и капитаны океанских лайнеров? И, вообще, любой процесс обучения - тоже игра.
Играть любят все, независимо от возраста. Поэтому я старался найти или придумать игры, в процессе которых ребята узнают что-то новое или закрепляют пройденный материал. Играть, всё-таки, увлекательнее, чем просто решать примеры и задачи. Интересно, что в одни и те же игры с удовольствием играли и первоклассники, и выпускники.
Например, малышам надо научиться уверенно считать в уме. К сожалению, у старшеклассников устный счёт тоже оставляет желать лучшего. Впрочем, и арифметические выкладки на бумаге представляются многим из них чем-то загадочным. Решать обычные примеры на развивающих занятиях неинтересно ни детям, ни преподавателю. Лучше всего ребёнок привыкает к устному счёту в процессе игры, когда надо подсчитывать промежуточные или окончательные результаты. В этом случае выполнение различных арифметических действий становится не целью, а средством, и ребёнок, сам того не замечая, потихонечку учится считать.
В игре должен присутствовать элемент случайности, чтобы победить мог любой. В качестве генератора случайных чисел, как и в большинстве игр-бродилок, мы использовали большой пластмассовый кубик с наклеенными на его грани числами.
На протяжении многих лет я вёл записи наших занятий. В 2011 году в издательстве «Илекса» вышла книжка «Развивающие задачи для детей 7-12 лет». Для объяснения решения некоторых задач я использовал эти записи. В редакцию стали приходить письма, в которых читатели просили поподробнее объяснить решения многих задачек. Вот фрагмент одного из таких писем:
«Мы с дочкой-второклассницей решали задачки из Вашей книжки. Иногда задачки не получались и мы заглядывали в ответы. Но и готовые ответы не всегда помогали разобраться в ходе решения задачек. Но в некоторых случаях (№№19, 20, 63, 130, 175) Вы рассказываете,
3


как эти задачки решали дети на развивающих занятиях, и всё становится понятно не только моей Танюшке, но и мне. Было бы хорошо так поступить с каждой задачей».
Такие пожелания встречались почти в каждом отзыве и примерно то же самое говорили друзья и знакомые учителя, которым я раздал авторские экземпляры книжки. Пришлось собрать все записи с развивающих занятий и привести их к более или менее одинаковому виду. Здесь приводятся записи тех развивающих занятий, которые я проводил с учениками младших классов. Постепенно ребята росли и задачи становились сложнее. Потом появились задачи по физике. Но об этом как-нибудь в следующий раз.
Лучше всего заниматься с группой в 3-7 человек. При большом числе участников ребёнку приходится в некоторых играх долго ждать своей очереди, что быстро надоедает. Кроме того, в большой группе каждому ребёнку уделяется меньше внимания преподавателя. Единственному ребёнку, конечно, достаётся всё ваше внимание, но зато у него нет возможности подумать, и он обычно привыкает всё делать после подсказки или наводящих вопросов.
Продолжительность каждого занятия предпочтительно делать не более 30 минут. Каждый раз дети успевали выполнить за это время 2-3 задания. Если мы начинали осваивать новое упражнение, то занятие начинали именно с него. На следующих двух занятиях это упражнение для закрепления обязательно повторялось, а потом предлагалось детям один-два раза в месяц, постепенно усложняясь.
К занятиям надо обязательно готовиться, подбирать необходимые упражнения, задачи и игры, причём, с запасом. Если новая тема сразу детьми не понята, лучше её оставить и вернуться к ней через пару недель, на такой случай и нужен запас задач. На импровизацию во время занятий надеяться не стоит.
4


Некоторые имена и даты изменены, но всё - правда.
НАЧАЛО
Мой сын пошёл в школу. На третий день я зашёл за ним в группу продлённого дня на час раньше обычного. Шёл дождь, дети сидели в классе и занимались, кто чем хотел.
- Папа, а давай сыграем в «memory», - предложил сын, - вдвоём в неё играть скучно, а тут, смотри, сколько народу. Мы всех сейчас быстро научим.
- Нет, в «memory» сейчас не получится, просто нечем играть, а в кубик, если есть желание, сыграем, - предложил я в ответ, увидев в коробке с какой-то игрой обыкновенный кубик с точками на гранях.
Скоро все детишки с увлечением бросали кубик, быстро освоив правила предложенной им игры. Уже все расходились по домам, когда самая маленькая девочка спросила:
- Дядя Боря, а Вы завтра придёте ещё поиграть с нами?
- Как тебя зовут?
- Катя.
- Обязательно приду, Катя. Только завтра не получится, а через неделю встретимся. Договорились?
Так начались регулярные занятия. К нам приходили и дети, группу продлённого дня не посещавшие. Но энтузиазм постепенно пропадал, и уже к Новому Году насчитывалось только человек десять-двенадцать постоянных участников наших занятий. Прошло несколько лет. Все дети этого «просеявшегося» состава хорошо учатся, но особой своей заслуги я в этом не вижу. Думаю, что с интересом на эти занятия ходили именно те, кому предназначено было хорошо учиться.
Вот выдержки из дневника тех лет. Системы в этих записях нет, да её не было и в занятиях. Мы решали хорошо известные задачи, играли в не нами придуманные игры и не опережали школьную программу. Просто детям был интересен сам процесс...
Когда часть черновиков была готова, для пробы дал почитать их друзьям и знакомым, имеющим детей соответствующего возраста. Ответы обнадёжили.
- Дай почитать продолжение, мы уже эти задачи разобрали. А с играми житья нет. Мы с женой работаем, так дедушку с бабушкой замучил.
5


ДАВАЙТЕ ПОГОВОРИМ
Очень важно, и не только школьникам, излагать свои мысли понятно для других. Поэтому при каждой встрече мы обязательно о чём-ни- будь беседовали.
11 сентября.
Прошу ребят на первом занятии рассказать о птицах. Типичный первый ответ «это те, что летают». Интересуюсь, все ли птицы могут летать?
- Как так, не могут летать? - удивляется Дима и тут же радостно кричит, - пингвины не могут летать! Я их в зоопарке видел.
- А ещё страусы летать не могут, - вспоминает Оля.
- И курицы с петухами летать не могут, - добавляет Валя.
- Но я сама видела в деревне, как петух на забор взлетел, - возражает Тамара.
- Всем известно, - гордо заявляет Саша, - курица - не птица!
И хотя истина никогда в споре не рождается, процесс спора сам по себе интересен. Но пора переключаться на другие свойства птиц. Интересуюсь, чем различаются курицы и утки?
- Точно, - сразу реагирует Саша. - Есть плавающие птицы, а есть сухопутные.
- Лебеди тоже плавают... И пингвины... Чайки, - подсказывают детишки. Даю ещё одну подсказку:
- А чем питаются птицы?
- Разными зёрнами, - отвечает Тамара.
- А ещё червячками разными, - добавляет Валя. - Жучками, мошками.
- Понял, - говорит Саша. - Птицы бывают хищные и травоядные.
- Орёл может даже барашка утащить, - замечает Дима.
- Так червяков они все едят, - подводит итог Миша. - Значит, все птицы - хищники.
Потом ещё ребята вспомнили, что некоторые птицы живут с человеком, а есть дикие. На сегодня хватит.
18 сентября.
Сегодня говорим о деревьях. Вспоминая разговор о птичках, ребята строят свой рассказ гораздо увереннее.
- Деревья бывают с иголками и с листьями, - начинает Лена.


- Те, что с листьями, осенью свои листья сбрасывают, - добавляет Дима. А иголки на всю зиму остаются.
- Не все, - демонстрирует свои знания Саша. - С лиственницы иголки на зиму осыпаются.
- А ещё в садах на деревьях фрукты разные растут, - говорит Тамара.
- И ягоды тоже, - поддерживает её Валя. - Сливы, вишни ...
Так постепенно вырабатывается общая схема рассказа о чём бы то ни было. А через пять лет я попрошу рассказать их о числах. К собственному удивлению ребята рассказывают о числах намного больше, чем сами подозревают. Объясняется всё привычной схемой: если есть целые числа, то должны быть и не целые, положительные и отрицательные, квадраты, кубы... С каждым годом рассказ о числах пополнялся.
Пример о пользе таких упражнений. Катя Мусоренкова сдавала вступительные экзамены. А в те времена институты сами выбирали себе подходящих абитуриентов и поэтому экзамены были настоящие - устные, «дабы дурь каждого видна была». Достался Кате Закон Кулона, а знала она этот закон, мягко говоря, неважно. Но зато хорошо усвоила Закон Всемирного тяготения. Вспомнила Катя наши занятия, сравнила эти законы: в чём похожи и чем различаются. Пятёрки за ответ не получила, но экзамен сдала уверенно.
По мотивам таких разговоров появились несколько коротеньких рассказов. Вот два.
Про диких и домашних
Самым интересным уроком мы всем классом считаем «Окружающий мир». Вчера мы изучали, как человек от охоты и собирательства перешёл к оседлой жизни.
- Для этого ему пришлось приручать разных диких животных, - рассказывала Елена Васильевна. - Люди попробовали мёд у диких пчёл и смастерили для них тёплые домики. Так пчёлы стали домашними. Кто ещё приведёт подобный пример?
- Люди кормили гусей и охраняли их от лисиц, - первой откликнулась наша отличница Маша, - вот они и стали домашними. А Нильс путешествовал с дикими гусями.
- По склонам гор прыгали дикие козлы и козы, - сказал Костя. - Люди сделали для них удобные помещения, и они стали домашними.
- Молодцы! - похвалила Елена Васильевна. - Кто ещё?
- А ещё лошади, - добавил Петя. - Великий русский путешественник Пржевальский встретил в Монголии дикую лошадь, приручил её, и она стала домашней.
7


- Обратите внимание, - сказала учительница. - Все домашние животные получились из диких. Если есть домашние животные, то где-то есть такие же дикие. Вова, ты что поднимешь руку? Ты что-нибудь не понял?
- Да! - ответил Вова. - Домашние хозяйки живут в квартирах. А где живут дикие хозяйки?
Но тут раздался звонок, и Елена Васильевна ответить не успела.
Открытка
Приближалось 8 марта. На уроке рисования Елена Васильевна объявила:
- Самый лучший подарок тот, который сделан своими руками. Возьмите листочек ватмана, нарисуйте на нём много цветов и напишите крупно: «8 марта». Не забудьте оставить место для поздравления.
Я испортила две открытки, и только на третьей получились неплохие цветочки. А вот у Вовы всё вышло сразу, как будто он всю жизнь только открытки рисовал. Елена Васильевна даже его похвалила.
- А теперь составим само поздравление, - сказала она, - я продиктую, а вы аккуратно и без ошибок пишите.
И мы принялись записывать вслед за учительницей.
«Дорогая мамочка! Поздравляю с праздником! Желаю здоровья, любви и радости!»
Елена Васильевна медленно ходила между рядами и проверяла написанное. Около нашей парты она остановилась.
- Вова, а ты почему пожелания не пишешь? - удивилась она.
- А зачем я буду маме здоровья желать? Она у нас и так здоровая, ничем не болеет, - пожал плечами Вова. - И любят её все: папа, мы с Катькой и особенно наш кот Мурзик. А когда я пятёрку из школы принесу, ей радости на целый месяц хватает. Я лучше напишу «будь всегда молодой, красивой и весёлой».
Мы всем классом подумали и решили, что лучше написать так, как предложил Вова. И правда, у меня мама тоже не болеет.


НЕМНОГО ПОСЧИТАЕМ
10 сентября.
Сегодня первое занятие. Передо мной первоклассники. Знакомимся. Несколько пар глаз смотрят с тревогой, ждут чего-то сложного и непонятного. Сразу предлагаю задачу-шутку. Этой задаче столько лет, сколько самой математике, но улыбку она вызывает всегда.
- Надеюсь, вы умеете считать?
- Да! Я умею. И я умею.
- А я умею считать до тысячи, даже до двух тысяч.
- А я - до миллиона.
- Тогда вы все легко решите задачу. Считайте в уме, чтобы не сбивать других.
- На первой остановке в пустой автобус вошли три пассажира. На второй остановке один человек вышел... Все сосчитали?.. На следующей остановке вошли два человека, на следующей ещё двое
вошли... Успеваете?
Кто-то шевелит губами, кто-то загибает пальцы, лица очень серьёзные.
- На следующей остановке один человек вышел, на следующей трое вошли. Все сосчитали?
-Да!
-Восемь! Восемь!
- И у меня получилось восемь, - Саша думает, что он разгадал мой «коварный» замысел и уточняет. - А вместе с водителем в автобусе будет всего девять человек.
- И у меня так получилось.
- Подождите, подождите, - пытаюсь успокоить детей, - послушайте, что надо узнать в задаче.
Полвека назад нас тоже так разыгрывали, а те, кто разыгрывал, сами попадались на эту удочку. Задаю вопрос.
- Сколько было остановок?
Кто-то растерялся, даже обиделся - зря считал пассажиров, кто-то засмеялся. Лена задумалась и через несколько секунд уверенно сказала:
- Было шесть остановок.
- Ты что, остановки считала? - Спросил её Костя. Другие его поддержали. - Откуда ты знаешь? Почему?


- Я остановки не считала. Просто запомнила решение. Три плюс, нет, минус один, плюс два, плюс два, минус один, плюс три. Получается шесть остановок.
- А сейчас будем играть. Видите этот кубик? На его гранях наклеены числа от одного до шести. Каждый будет бросать этот кубик несколько раз и складывать верхние числа. В сумме надо постараться получить одиннадцать. Кто наберёт больше одиннадцати, сразу занимает последнее место, даже не просто последнее, - быстро пересчитываю детей, их восемь, я - девятый, - не просто последнее, а десятое место. Но не обязательно набирать ровно одиннадцать, можно остановиться и на десяти, и на девяти, и на восьми, хоть на шести. Второе место, третье, даже последнее - девятое, лучше десятого.
- А как определяются места?
- У кого больше сумма, тот лучшее место занимает. Понятно? Тогда начнём.
И сразу: - Я первая! Можно, я буду первым бросать? Я первым бросаю.
Все хотят начинать. Интересно, когда они сообразят, что у первого самая невыгодная позиция?
- Начнёт Лена. Она решила задачу про остановки.
- Мы бы тоже решили, если бы Вы сказали, что остановки считать надо.
- Не сомневаюсь. Но Лена была самая внимательная.
Лена берёт кубик и слегка подкидывает его над партой. Выпадает четвёрка. Бросает ещё, на этот раз - пятёрка. Все молча складывают, многие при помощи пальцев.
- Ещё будешь бросать?
- Буду. Надо же одиннадцать набирать.
Дети ещё не всё поняли в этой игре, но очень скоро разберутся без подсказок. Лена бросает кубик в третий раз, выпадает четвёрка. Все считают.
- У тебя тринадцать, - быстрее всех сообщает Саша, - перебор.
Очередь Тамары. Шестёрка, четвёрка.
- Будешь бросать?
- Буду.
Появляется двойка, перебор. Бросает Валя. Единица, двойка, опять единица, тройка. Все смеются. Ещё один бросок - двойка.
- Всё, мне хватит, - Валя передаёт кубик Диме.
10


Шестёрка и сразу ещё шестёрка. Саша останавливается на девяти, Катя на десяти, у Оли набирается одиннадцать. Она сияет. Мы с Костей перебираем. Пока дети знакомятся с этой игрой - всегда много переборов. Записываю на доске:
Лена
13(10)
Тамара
12(10)
Валя
9(3)
Дима
12(10)
Саша
9(3)
Катя
10(2)
Оля
11(1)
Костя
13(10)
Дядя Боря
14(10)
Числа в скобках - занятые места.
Играем второй круг. Начинает Тамара. Тройка, четвёрка. Тамара передаёт кубик Вале, та выбрасывает пятёрку и четвёрку и тоже останавливается. У Димы получается одиннадцать. Саша и Катя перебирают. У Кости подряд две пятёрки. Все советуют ему остановиться.
- Нет, я поколдую, - отвечает Костя, что-то шепчет кубику и бросает. - Единица! Я победил!
Через десять минут таблица на доске уже заполнена.
Лена
13(10)
15(10)
7(4)
9(1)
12(10)
14(10)
13(10)
7(3)
Тамара
12(10)
7(3)
14(10)
15(10)
10(2)
9(2)
10(1)
10(2)
Валя
9(3)
9(2)
13(10)
14(10)
11(1)
8(3)
8(2)
10(2)
Дима
12(10)
па)
10(1)
8(2)
11(1)
9(2)
10(1)
11(1)
Саша
9(3)
12(10)
15(10)
12(10)
11(1)
11(1)
8(2)
10(2)
Катя
10(2)
14(0)
8(3)
13(10)
10(2)
9(2)
8(2)
11(1)
Оля
11(1)
12(10)
10(1)
7(3)
10(2)
9(2)
10(1)
7(3)
Костя
13(10)
11(1)
9(2)
9(1)
12(10)
13(10)
12(10)
10(2)
Дядя
Боря
14(10)
13(10)
6(3)
7(3)
13(10)
8(3)
7(3)
14(10)
Постепенно переборов стало меньше, в последней игре Лена и Оля остановились, имея сумму семь. На пальцах уже никто не считал.
11


17 сентября.
Сегодня опять играем в кубик. Победителя определяем по олимпийской системе. Восемь человек образуют четыре пары и играют один на один. Проигравшие выбывают, а победители образуют новые пары. Запись на доске получается такая:
Играем снова. Наконец происходит то, для чего и была изменена система определения победителя. Дима, встречаясь с Мишей, неожиданно сказал:
- Пусть Миша начинает, я буду вторым кидать.
- Почему?
- Я буду знать, на каком числе он остановился, и буду кидать, пока у меня не наберётся больше. А переберу или меньше наберу - никакой разницы, всё равно проиграю. А если он переберёт, то мне и тройки хватит, один раз брошу - и всё.
После этого заявления стало ясно, что победителя надо определять по-другому. Договорились, что каждый подумает, как справедливо играть один на один.
» - с<
Правила справедливой игры один на один мы потом разработали общими усилиями.
Игра в кубик помогает детям быстро научиться хорошо считать. Количество играющих определяет поведение игроков: чем их больше, тем
12


меньшее значение имеет очередь хода. Можно использовать кости домино или карточки с нарисованными на них числами. В этом случае тактика игры меняется.
Наша игра в кубик имела неожиданные последствия. При встрече с учительницей моих подопечных я поинтересовался их школьными успехами.
- Они очень быстро научились считать, - сказала Елена Анатольевна. - Складывают прекрасно, а вычитают хорошо почему-то только из одиннадцати...
Теперь, играя в эту игру, мы каждый раз выбираем новую предельную сумму.
Можно бросать сразу два кубика, что вызывает изменение тактики игры. Каждый играющий может за один бросок набрать от двух до двенадцати очков, причём крайние суммы - два или двенадцать - появляются реже средних сумм, таких как шесть, семь или восемь, что и вызывает изменение тактики. К этому мы с детьми вернёмся через несколько месяцев.
13


ХВАТИТ ЛИ ШАРИКОВ?
15 октября.
- Кто ваши любимые герои сказок?
- Чип и Дэйл. Из мультфильма.
- Чебурашка и крокодил Гена.
- Элли и её друзья. И ворона Кагги-Карр.
- Заяц и Волк из “Ну, погоди!”
- Трое из Простоквашино.
- Винни Пух и Пятачок.
- Очень хорошо! Мы про всех будем решать задачи. Слушайте историю про Винни Пуха и Пятачка.
Прекрасным морозным утром Виннн Пух и Пятачок встретили в лесу Деда Мороза. И мешок с подарками.
- Ура! Ура! - Закричали они. - Здравствуй, Дедушка Мороз! Что ты нам принёс к Новому Году?
Кричал, конечно, Винни Пух, а Пятачок только ему помогал.
- Шарики, - отвечает Дед Мороз. - Красные и синие. Какого цвета шарик ты хочешь получить, Винни Пух?
- Большой - большой! С мёдом и сгущёнкой!
- Все шарики по размеру одинаковые, - говорит Дед Мороз, - они стеклянные и отличаются только цветом. Тебе, Винни Пух, какого цвета: синего или красного?
- Ну, если они без мёда, то цвет не имеет значения. Мне шарик любого цвета.
- А тебе, маленький Пятачок?
- Мне такого же цвета, как и Винни Пуху.
Погладил Дед Мороз свою белую бороду, подумал немного и говорит друзьям.
- В мешке я цвет шариков не различаю. Сколько шариков надо достать из мешка, чтобы вашу просьбу выполнить?
- Как, по-вашему, сколько? - Это уже вопрос к детям, но они переключаются не сразу, ждут продолжения рассказа. - Какие были у них желания?
- Пятачок хотел, чтобы у него шарик был такого же цвета, как у Винни Пуха, а Винни...
- Молодец, - прерываю Катю. - Дима, скажи ты, какой шарик хотел получить Винни Пух?
14


- Синий.
- Нет. Кто помнит?
- Тогда красный. Нет, синий. Красный. Любой.
- Прекрасно! Валя вспомнила. И сколько же шариков надо достать Деду Морозу из мешка?
- Два! Два! Два! - Ни у кого и тени сомнения.
- Почему два?
- Один Винни Пуху, а другой Пятачку.
- Очень хорошо, сейчас проверим. - Из небольшого мешочка достаю шарики, синие и красные, показываю детям. - Кто будет Дедом Морозом?
- Я! Я! Я! - хотят все.
- Саша, помоги мне, - протягиваю ему мешочек. - Каждый пусть достанет два шарика и громко скажет, какого они цвета. И не забудет положить обратно, а то шариков на всех не хватит.
Саша подходит к Диме, тот достаёт из мешочка два шарика и объявляет:
- Оба синие.
Делаю на доске запись:
Дима - С С
Шарики достаёт Оля. - Красный и красный. Скоро на доске появляется такая таблица:
Дима
- С
с
Оля
- К
к
Тамара
- С
к
Миша
- С
к
Валя
- С
с
Костя
- К
к
Катя
- К
с
Саша
- К
с
Дядя Боря
- С
к
- Выясним, все ли Деды Морозы смогли угодить Винни Пуху и Пятачку? Дед Мороз Дима подарит Винни Пуху синий шарик и Пятачку тоже синий. Всё сходится?
- Да. Да! Всё правильно. Так они и просили.
- Дед Мороз Оля....
15


- Она Снегурочка, а не Дед Мороз, Снегурочка!
- ...Снегурочка Оля подарит друзьям красные шарики, то есть шарики одного цвета, как они и хотели. А Снегурочка Тамара сможет выполнить их просьбу?
- Да! Сможет. Да.
- Нет. - Это говорит Катя. Сегодня она самая внимательная.
- Большинство говорит, что сможет. Проверим. Тамара, какой шарик ты подаришь Винни Пуху?
- Синий.
- Попробуем разобраться. Тамара достала два шарика, синий и красный. - Показываю эти шарики. - А третий шарик у неё какого цвета будет?
-Синий! Красный! Синий!
- Если ты сейчас достанешь синий шарик, - обращаюсь к Тамаре, - то у тебя будут шарики...
-Два синих и один красный, - подхватывает Тамара. - Пятачку и Винни Пуху я подарю синие, а если красный достану, то подарю красные.
- Теперь понятно, - говорит Костя и улыбается. - Надо доставать сразу три шарика. Тогда обязательно среди них будут два шарика одного цвета... или все три.
- Это всем понятно?
- Да. Всем. И мне понятно.
22 октября.
- В прошлый раз мы дарили шарики Винни Пуху и Пятачку, помните? Но оказалось, что., у Деда Мороза...
- И Снегурочки!
-... и Снегурочки в мешке были шарики трёх цветов. Красные, синие и жёлтые. А просьба у Винни Пуха и Пятачка была прежняя,
Помните, какая?
- Винни Пуха устраивал шарик любого цвета, а Пятачок хотел такой же, как у Винни Пуха.
- Сколько шариков теперь, когда не два, а три цвета надо достать, чтобы наверняка выполнить просьбу друзей?
- Два. Два. Три. Два,
- Десять. Четыре. Три.
- Дядя Боря, давайте опять шарики доставать. Сразу узнаем, сколько надо. - Детям нравится сам процесс.
- А по сколько шариков будем доставать?
16


- По три. Три. По три.
Через несколько минут на доске появляется знакомая таблица:
Валя
- К
С
с
Тамара
- С
к
к
Саша
- С
к
ж
Катя
- Ж
ж
ж
Костя
- Ж
к
к
Дима
- ж
к
с
Оля
- С
ж
ж
Слава
- к
к
к
Дядя Боря
- ж
с
с
Быстро выясняется, что варианты Саши и Димы не подходят. Все шарики разных цветов. Теперь все согласны, что доставать надо не три, а четыре шарика. Интересно, кто как это объяснит?
Оля: - Я думаю, что три шарика мало, а четыре хватает.
Слава: - Лучше четыре доставать, а ещё лучше - пять. Это чтобы не думать.
Дима: - У нас шарики трёх цветов. Если доставать три шарика, то они могут оказаться разных цветов, а цвет четвёртого шарика обязательно совпадёт с цветом одного из этих трёх.
- Дима очень понятно объяснил. Может кто-нибудь хочет это по-своему сказать?
- Я попробую. - Катя по школьной привычке поднимает руку, хотя на наших занятиях это совсем не обязательно. - Шариков надо доставать столько, чтобы их было на один больше, чем количество цветов, тогда обязательно будут два шарика одного цвета.
Очень хочется сообщить детям, что это алгоритм решения задачи, но такие слова лучше не употреблять.
29 октября.
- Сегодня опять поговорим о разноцветных шариках.
- А играть в них будем?
- Обязательно. Слушайте продолжение истории. Пока Винни Пух и Пятачок соображали, сколько шариков должен достать Дед Мороз из своего мешка, на опушке появился грустный ослик Иа-Иа.
- Что за толпа? - проворчал он. - Нельзя спокойно прогуляться. Того и гляди затолкают.
17


- Здравствуй, Иа! - Закричали друзья. - Иди скорее сюда. Дед Мороз всем подарки принёс.
- И мне тоже? - Ослик повеселел. - В следующий понедельник будет ровно три месяца и пять дней, как мне в последний раз дарили подарки. Помнишь, Пух, ты подарил мне... А какие подарки получил Иа в день рождения? Кто помнит?
- Горшок и шарик. Шарик лопнул. Это в мультфильме было.
- Дед Мороз принёс нам шарики, они не лопаются, - запищал Пятачок. - Они стеклянные.
- Не лопнут, так разобьются, - проворчал Иа.
- Иа, ты какого цвета хочешь шарик, синего или красного?
- А других цветов нет?
- Нет. Только синие и красные. Пуху всё равно какого цвета, а я хочу такого же, как у него.
- И мне, пожалуй, такого же. Чтобы потом никто не завидовал другому. У нас всех будут шарики одного цвета.
- Теперь вопрос вам. Сколько шариков должен достать Дед Мороз, чтобы три друга были довольны?
- Два, - Валя говорит не задумываясь.
- Ты что? Их же трое, - поправляет её Тамара.
- Два и для двоих было мало, вспомните, - говорит Саша. - Тогда надо было три, а теперь точно - четыре.
Лена с Катей торопят: - Давайте будем доставать шарики, тогда точно узнаем.
Очередь Оли обходить всех с мешочком, а таблицу на доске составляет Дима. Все достают по четыре шарика, и таблица постепенно заполняется.
Тамара - С К С С +
Дима ставит плюс, это означает, что вариант Тамары подходит для решения задачи.
Валя
- К
К
К
к
+
Саша
- С
С
К
с
+
Катя
- К
К
с
к
+
Очередь Лены, она задумалась, потом встаёт. Она всегда встаёт, когда собирается что-нибудь сообщить.
- Надо доставать пять шариков, а не четыре. - Уверенно говорит она, - первые четыре шарика могут быть двумя синими и
18


двумя красными, тогда пятый шарик будет или третьим синим, или третьим красным.
Фраза может и нескладная, но очень верная. И в подтверждение своих слов ей первой удаётся достать два синих и два красных шарика.
- Ну, что я говорила! А пятый, - она достаёт ещё один шарик, - синий. Получилось три синих.
- Если ещё Кролик подойдёт, - вступает в разговор Дима, - то надо будет доставать уже семь шариков.
Костя не верит Диме и пытается его запутать: - Пусть шарики будут трех цветов, а друзей четверо, сколько тогда шариков надо доставать, знаешь?
Дима поворачивается к доске и пишет что-то своё. Остальные проверяют слова Лены и достают по пять шариков. И вот наконец Дима подаёт голос.
- Надо десять шариков, - говорит он. - Смотрите.
На доске написано:
к
к
к
с
с
с
ж
ж
ж
- Достали девять шариков, по три шарика всех трёх цветов, - продолжает он. - Это самый неудачный случай. А десятый шарик будет четвёртым в каком-нибудь цвете.
>Э €<
К подобным задачам мы ещё вернёмся. Разноцветные шарики станут любимым вспомогательным материалом, хотя для этой цели можно использовать любые другие предметы. Надо только следить, чтобы эти предметы различались только по одному признаку. Шарики - по цвету, геометрические фигуры - количеством углов, палочки - длиной или цветом, карточки - написанной на них буквой или цифрой. Очень важно, чтобы отличительный признак был один: или количество углов, или цвет, или буква. Два таких признака, как, например, цвет и количество углов, отвлекают от главного вопроса. Подобные сочетания мы будем использовать в будущем. При общении с детьми выяснилось, что цвет - наиболее удобный отличительный признак, его видно сразу, а количество углов ещё надо сосчитать, что, естественно, отвлекает.
19


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛОТО
19 ноября.
- Сегодня будем считать.
- Опять в кубики играть?
- Нет. Будем играть в лото. Но не в простое, а «математическое лото». Вот таблицы. На них написаны примеры, на каждой таблице двенадцать примеров. На маленьких карточках написаны числа, по одному на каждой карточке. Кто-нибудь будет зачитывать эти числа, а остальные будут искать примеры с такими ответами в своих таблицах. Первый, кто найдёт у себя в таблице правильный пример, получает эту карточку и закрывает ею этот пример. Выигрывает тот, кто закроет больше примеров. Давайте попробуем. Вот как выглядит одна из таблиц:
12-5
3-2
2 + 7
10-6
11-4
5 + 1
3 + 6
1 +1
9-8
6 + 6
10+1
7-5
А так выглядят карточки с ответами:
з и @ и
- Если я достану карточку с числом шесть, то какой пример на этой таблице вы будете искать?
- Пять плюс один. Вот он, во втором ряду.
- На карточке написано два?
- Самый последний пример, семь минус пять.
- Дядя Боря! А в этой таблице есть ещё один пример с ответом два. Вон, немного выше, один плюс один. С ним что делать?
- Его можно закрыть в следующий раз, когда другую карточку с двойкой достанут. В любой таблице может быть несколько примеров с одинаковыми ответами. И вполне может оказаться, что в вашей таблице нет ни одного примера с нужным ответом. А карточек с одинаковыми числами много, так что ваше дело - не зевать.
Кладём карточки с шестёркой и двойкой на выбранные примеры.
20
6


12-5
3-2
2 + 7
10-6
11-4
и
3 + 6
1 +1
9-8
6 + 6
10+1
ш
Раздаю таблицы, начинаю объявлять числа.
- Два...
- У меня! - Кричит Саша, стараясь опередить всех. Получает карточку с двойкой.
- Восемь...
- У меня! - Первым сообщает Костя, - это три плюс пять.
-Девять... Все молчат, пауза затягивается. Считают в уме до девяти.
-Три...
- Пять... У меня!
- Снова пять... У меня!
Игра пошла живее. Некоторые дети не успевают. Вижу, как Валя пропустила тройку, а у неё в таблице есть девять минус шесть, Костя пропустил двенадцать. А вот и ошибка. Лена на три плюс два кладёт карточку с числом шесть.
Но вот карточки кончились. Из двенадцати примеров у Кати закрыто девять и все правильно, у Миши три, у Тамары пять, но две ошибки. Что делать с ошибками? Сами дети предлагают за ошибки штрафовать. За каждую ошибку отбирать одну правильную карточку. Логично.
26 ноября.
Играем в математическое лото. Раздаю таблицы. У Димы и Оли таблицы те же, что были в прошлый раз. Как они умудряются это помнить? Получают новые. Игру ведут Саша и Катя, а я беру себе таблицу и присоединяюсь к играющим.
- Четыре, - объявляет Саша. Пока он идёт к Лене, первой попросившей эту карточку, Катя объявляет следующее число. - Три.
- Два. Двенадцать. Семь. Два. Пять.
Я не успеваю. Пока сам вёл игру, успевал посмотреть не только в ближние две-три таблицы, но и проверить получающего карточку. И неожиданно чувствую волнение. В конце концов, безнадёжно проигрываю - только два закрытых примера.
А детям игра понравилась.
» — - сс
21


Математическое лото нетрудно сделать самим. Детям эта игра очень понравилась, особенно в компании с ровесниками. Очень важно, что дети находят не ответ примера, а, наоборот, сам пример по его ответу. Примеры простые - на сложение и вычитание. По мере развития детей игра будет усложняться. Но не стоит торопить события и вводить в игру умножение и деление, пока дети не познакомятся с ними в школе.
22


ПАЛОЧКИ
24 сентября.
- Сегодня будем считать.
- Кубики?
- Нет. На этот раз палочки. Смотрите, - раскладываю на парте пятнадцать карандашей, - это наши палочки.
Illllllllllllll
- Играют двое. Они по очереди должны брать себе одну, две или три палочки. Кто заберёт последнюю - тот проиграл. Давайте попробуем сыграть. Начинай, Дима.
Они уже почти не спорят, кто первым начинает ту или иную игру. Знают, что сначала надо разобраться, а поиграть успеют все. Дима берёт сразу три палочки, и я тоже беру три.
in hi ниши
Д дБ
Д - палочки взял Дима, дБ - дядя Боря.
Дима опять берёт три, а я отвечаю одной.
in in in I
Д дБ Д дБ
На парте остаётся пять палочек. Дима берёт две, и я - две, остаётся одна.
in in hi I и м I
Д дБ Д дБ Д дБ
- Нет, нет, - протестует Дима. - Я сейчас лучше одну возьму.
23
IIIII


Он возвращает последние две палочки, я тоже. На парте снова пять палочек.
Ill III III I Mill
Д ДБ Д дБ
Дима берёт одну, я - три, остаётся одна, последняя.
Д дБ Д дБ Д дБ
Сцена повторяется: на парте пять палочек.
Ill III III I nil I
Д ДБ Д дБ
Дима берёт три, я - одну.
Ill III III I III I I
Д дБ Д дБ Д дБ
- Да,., всё равно я проиграл, - признаётся Дима. Где-то я ошибся. Давайте, ещё сыграем.
- Сыграем, но теперь очередь Тамары. Кто начинает? - спрашиваю у неё.
- Начинайте Вы.
Беру две палочки, Тамара берёт три, я - одну, Тамара - две и я тоже две. На парте те же пять палочек, и вся история с Димой повторяется.
Все поняли правила игры, и теперь дети играют друг с другом. Две пары играют на доске, просто чертят палочки мелом и потом по очереди их зачёркивают.
- Дядя Боря, - обращается ко мне Костя, - а давайте соревнования по палочкам устроим.
- Хорошо, устроим. Но в следующий раз.
24


1 октября.
- Поиграем в палочки.
- А в эту игру в «Форте Бойар» играли, - спешит сообщить новость Оля. - Участники у мастеров время стараются выиграть.
- И по телевизору какой-то дяденька её показывал, - добавляет Лена. - В детской передаче. Только на спичках.
- Значит, вы научились прекрасно играть. Сейчас все вместе против меня сыграете.
- Как так? А вдруг мы по-разному играть будем?
- Ничего страшного, каждый сыграет по своему желанию. Нарисуем палочки на доске. Ваши я буду зачеркивать так:« \», а свои - так:«/ ».
Рисую на доске тринадцать длинных палочек и предлагаю начинать детям. Сразу появляются разногласия: у каждого своё предложение.
Внимание! Внимание! - Дети постепенно успокаиваются. - Кто хочет зачеркнуть одну палочку?
- Я! Я! Я хочу! - зачёркиваю одну палочку.
- Кто две палочки зачеркнуть хочет? Кто три? Понятно. А вот мои ответы.
На доске это выглядит так:
Вопросы повторяются: - Кто хочет зачеркнуть одну палочку? ... Две?...Три?
Отвечаю всем сразу. Теперь запись на доске имеет такой вид:
25


- Ваш ход. Думайте.
- А что здесь думать, мы все проиграли, - заявляет Саша. - Если мы зачеркнём одну палочку, то Вы зачеркнёте три, мы зачеркнём две, и Вы - две, мы - три, а Вы - одну. В любом случае мы берём последнюю палочку.
- Какой из этого можно сделать вывод?
Катя поднимает руку.
- Играть на пяти палочках плохо, - потом добавляет, - кто начинает игру на пяти палочках, тот всегда проигрывает.
Пока дети не потеряли эту мысль, задаю следующий вопрос: - А на шести палочках кто выигрывает?
- Мы. Если мы начинаем.
- На шести палочках побеждает тот, кто начинает, - добавляет Костя. - Ему надо взять одну палочку и оставить другого на пяти.
- А на семи?
- Надо взять две, - голосов уже много.
- А на восьми?
- ТРИ! - Это уже почти хор.
- А на девяти? - стараюсь не снижать темп.
- Четыре. Нет, четыре нельзя, значит - одну. Нет, две.
Катя поднимает руку: - На девяти палочках кто начинает, тот проигрывает.
На сегодня этого хватит.
8 октября.
Дети играют в палочки друг с другом, каждый старается оставить своего партнёра на пяти. Это усвоили все. То, что числа девять, тринадцать, семнадцать и далее через четыре обладают таким же свойством, усвоили пока два-три человека. Но не всё сразу, постепенно научатся все.
15 октября.
Предлагаю изменить правила. Теперь выигрывает тот, кто возьмёт последнюю палочку. Поначалу все воспринимают эту игру, как совершенно новую. Но вот Валя выигрывает несколько партий подряд.
Прошу рассказать, как это у неё получается.
- Очень просто, - отвечает Валя. - Я стараюсь оставить другого на четырёх или на восьми палочках. Тогда я выигрываю.
26


- Внимание! - Останавливаю увлечённых игрой детей. - Валя предлагает оставлять партнёра на четырёх палочках. Сыграем? Вот четыре палочки. Если я возьму одну, то сколько возьмёте вы?
- Три! - Дружно звучит ответ.
- Если я беру две, то вы?
-Две! Две!
- И если я беру три, то вы?
- Одну!
- Значит?
- Кто на четырёх палочках игру начинает, тот выигрывает. - Оля точно формулирует это правило.
- Если у нас восемь палочек и я беру одну...
- ...То мы возьмём три, - продолжает Дима, - и Вы остаётесь на четырёх палочках.
- Надеюсь, это все поняли?
12 ноября.
- Как играть в палочки, помните?
-Да! Помним.
- Давайте играть, как в первый раз. Кто возьмёт последнюю палочку - тот проиграл.
- Так это же очень просто, - заявляет Лена, - надо оставлять Вас на пяти или девяти палочках. Тогда мы выиграем.
- А мы немного изменим правила. Можно брать не три, а четыре палочки. Понятно?
- От этого почти ничего не меняется, - сразу реагирует Саша. - Будем оставлять Вас не на пяти, а на шести палочках... и на десяти.
- Сыграем, - раскладываю одиннадцать палочек, - начинай.
Саша берёт одну палочку, оставляя меня, как он и предлагал, на десяти. В ответ я беру четыре. Саша удивлённо смотрит на оставшиеся шесть палочек, понимая, что он проиграл.
- Ты ошибся, - говорит Оля, - надо оставлять не на десяти, а на одиннадцати палочках, потом на шестнадцати.
19 ноября.
- Играем в палочки. Кто берёт последнюю, тот проиграл. Можно брать пять палочек. Кто будет играть?
Все думают. Наконец, говорит Тамара: - Надо играть, как всегда, только оставлять Вас на семи и тринадцати палочках. И всё.
- А если можно брать до шести палочек?
27


- Будем оставлять Вас на восьми и ... пятнадцати, - вступает в разговор Валя и, подумав, добавляет, - если получится. Вы ведь тоже захотите оставить нас на восьми и пятнадцати.
- Следующее число какое?
- Двадцать два, - после некоторого раздумья отвечает Валя.
Играем, но прежнего интереса к игре уже нет. Перед началом все пересчитывают палочки и быстро соображают, кто должен победить при правильной игре. А это уже скучно.
» «
Игра в палочки помогает детям быстрее научиться считать и не только считать, но, что существеннее, просчитывать игру до конца. Полезно, когда ребёнок сам находит выигрывающие закономерности игры в разных её вариантах, пусть даже с небольшой подсказкой.
Однако интерес к игре пропадает, когда оба партнёра знают, как правильно играть. В этом случае исход игры определён уже до первого хода.
Восьмого октября дети рассказали, что в Форте Бойар Магистр, играя против участника команды, остался на пяти палочках при своём ходе и всё равно выиграл.
- Как же так, - последовал вопрос, - ведь Вы говорили, что кто начинает на пяти палочках, тот проигрывает?
- Как же это произошло?
- Магистр взял три палочки, а тётенька взяла две.
- А как бы вы сыграли на её месте?
- Конечно, надо было брать одну и выигрывать.
- Правильно. Делая свой ход на пяти, девяти или тринадцати палочках, я проиграю только в том случае, если вы будете играть правильно. Стоит вам хоть раз допустить ошибку, и вы проиграете.
28


ВНИМАНИЕ, ВНИМАНИЕ!
17 сентября.
- Дядя Боря, это у Вас часы такие?
- Это секундомер, - со знанием дела говорит Максим, - у меня дома тоже есть секундомер, только электронный. А мы что, соревноваться будем?
- Да, соревноваться.
- Бегать?
- Нет. Охотится за числами. Смотрите.
Достаю большой лист бумаги, на нём в произвольном порядке написаны числа от одного до десяти. Числа разных цветов и размеров. Выглядит это примерно так:
- Сейчас вы будете указкой показывать на числа и при этом называть их. Посмотрим, кто за сколько управится. Начинает Максим. Готов? Кто-нибудь нам поможет? Валя, возьми лист. По команде поверни его к Максиму стороной с числами. Внимание... Марш!
Валя поворачивает лист, и Максим сразу начинает называть числа.
- Семь, три, восемь, пять...
- Стоп! Стоп. Я, наверное, не всё объяснил. Числа надо называть по порядку - один, два, три, четыре и так до десяти. Начнём всё сначала. Внимание... Марш! - Пускаю секундомер.
29


- Один... два... три... - Максим задумался.
- Вон четвёрка. Четвёрка слева. - Подсказки со всех сторон. Наконец, четвёрка найдена, потом пятёрка... и вот-десятка. Стоп. 27 секунд. Записываю на доске. Теперь числа ищет Валя.
- Один, два, три... десять. - 19 секунд.
Саша показывает результат: 16 секунд. Кажется, быстрее уже некуда, но Лена доходит до десяти за 14 секунд, Катя тоже за 14, Оля за 11 секунд.
- Можно, я ещё раз попробую, - просит Максим вне очереди, подходит к листу и быстро указывает все числа подряд. Восемь секунд!
- Дядя Боря, а можно я с закрытыми глазами всё найду? - просит Дима.
- Ты что, всё запомнил? - удивляюсь я.
- Да, а чего тут особенного, - в свою очередь удивляется Дима.
- И я всё помню, - вступает в разговор Тамара.
- И я всё помню. И я. И я.
- Понятно. Я этого не ожидал, признаю свою ошибку. К следующему разу подготовлю много таких листов. И все будут разные, каждому - свой.
24 сентября.
Приготовил пятнадцать листов с числами. Теперь каждый видит свой лист только по команде «марш». Результаты самые разные. От тринадцати секунд у Саши до 37 секунд у Тамары и даже 49 секунд у Вали. Пробую сыграть сам. Результат удручающий. Незаметно для ребят на обратной стороне листа записываю имя играющего и его результат. Интересно, что они покажут через неделю на тех же вариантах?
1 октября.
Каждый играет на своём прошлом листе, и все результаты улучшаются. Саша показал 12 секунд, Тамара - 22, а Валя - 19. На новых листах результаты от пятнадцати до сорока секунд. Славик играет в первый раз и уверенно занимает последнее место.
8 октября.
Подготовил листы со всеми буквами алфавита. Чтобы игра не затянулась, делю ребят на две команды. Начинают команды одновременно, первые номера занимаются поисками восьми первых букв от А до Ж, вторые номера - от 3 до О, третьи - от П до Ц и четвёртые - от Ч до Я. Командами играть веселее.
30


22 октября.
Достаю листы с числами.
- Дядя Боря, Вы новые листы сделали?
- Нет. Это всё те же.
- Так мы же их помним.
- Это мы с вами сейчас проверим. Числа надо будет находить в обратном порядке. Согласны? Кто начинает? Кто держит листы? Кто работает с секундомером? Командуйте.
Начинает Катя.
- Десять... девять, восемь... что мне надо найти? Семь... шесть... семь, нет пять...
Результат 42 секунды. Очередь Славика. А в уголке Саша и Дима тренируются называть числа в обратном порядке. Тренировка помогает, у Димы лучший результат - 19 секунд, у Саши второй - 22 секунды.
Б €«
«Охота за числами» развивает у детей внимание и память. В «охоту за числами» мы играли не только до десяти, но и до двадцати, тридцати, пятидесяти. Заметно, что многие дети, пройдя указкой от числа в поисках другого числа, потом в нужный момент уверенно к нему возвращались. Труднее всего проходить в обратном порядке алфавит, попробуйте.
31


ГОНКИ ЧИСЕЛ
10 декабря.
Кубик с числами дети встречают как старого хорошего знакомого.
- Ура! В кубик поиграем. Чур, я последняя! Нет, я!
- Играть будем, но в другую игру. Назовем ее «Гонки чисел». Каждый выберет себе число: единицу, двойку, тройку, четвёрку, пятёрку или шестёрку. Потом будем по очереди бросать кубик много-много раз и считать, какое число сколько раз выпало. Победит тот, чьё число выпадет больше раз, чем другие числа.
- У меня шесть. А я беру себе единицу.
- Дядя Боря, а можно мы с Валей выберем пятёрку вместе? Начинаем игру. По очереди бросаем кубик, и на доске появляются
вереницы палочек. Первую таблицу заполняю сам, следующие будут заполнять дети. Поначалу чаще других выпадает четвёрка, к ней подтягивается единица, потом делает рывок пятёрка. Постепенно таблица приобретает такой вид:
Саша Костя
1
IIIIIIIIIIIIIIII
16
Оля Катя Дима
2
IIIIIIIIIII
11
дядя Боря
3
IIIIIIIIIIIIII
14
Слава Миша
4
IIIIIIIIIIIIII
14
Валя Тамара
5
IIIIIIIIIIIIIIIIIII
19
Лена
6
IIIIIIIIIIIIIII
15
Прошу детей сказать своё мнение о результатах «гонки».
Оля: - Пятёрка - самая везучая.
Дима: - Пятёрка и единица выпадали чаще других чисел.
Слава: - Двойке не повезло: она самая редкая.
Саша: - А почему они все не поровну получились? Помните, Вы говорили, что у всех чисел одинаковые шансы.
- Правильно, одинаковые. Перед каждым броском мы не знаем, какое число выпадет. Брось кубик... Так, двойка. А после следующего броска
32


двойка может появиться? Правильно, может. Вот если бы она не могла появиться, пока все числа не подравняются, тогда бы мы удивлялись, что пятёрка чаще двойки выпадала. Все числа ждали бы друг друга.
- А так бывает?
- Бывает. Вы в домино играли? Там за игру пусто-два, или три-четы- ре, или шесть-шесть и любая другая кость появляется на столе только один раз. Двадцать три раза сыграем - двадцать три раза каждая кость появится. А в нашей игре любое число в любой момент появиться может, поэтому было бы удивительно, если бы все числа поровну выпали.
17 декабря.
- Продолжим наши Гонки чисел, не возражаете? Только немного изменим правила. Например, я выбираю себе четыре и когда четвёрка выпадет - мне сразу четыре очка прибавляется, а если Катя, как в прошлый раз, двойку себе выберет, то ей по два очка прибавлять будем, когда двойка выпадет.
Дети выбирают себе числа, и начинаем игру. Очень скоро выясняется разница с прошлыми «гонками». Первой это заметила Оля, выбравшая себе единицу.
- Конечно, тебе хорошо, - обратилась она к Диме, - ты за один раз четыре очка набираешь, а мне для этого надо, чтобы единица четыре раза выпала.
- Вале с Тамарой лучше, - ответил он, - они ещё быстрее очки набирают, у них шестёрка.
На этот раз таблица имела такой вид:
Оля Слава
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
(8)
Саша Костя
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
18
(9)
Миша Лена
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 3 3 3
36
(12)
Дима дядя Боря
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
36
(9)
Катя Александра
5
5
5
5
5
5
5
5
35
(7)
Валя Тамара
6
6
6
6
6
6
6
6
6
48
(8)
В скобках указано, сколько раз выпадало каждое число.
Предлагаю сыграть ещё раз. Все выбирают пятёрку или шестёрку.
- Почему никто не выбрал тройку или четвёрку? Они же выиграли у пятёрки в прошлый раз.
- Но это было в прошлый раз, а сейчас этого не получится, - говорит Александра. - Пятёрка у них должна сейчас выиграть.
- Катя, Саша, а почему же вы выбрали себе пятёрку, а не шестёрку? Ведь шестёрка выгоднее пятёрки.
33


- Когда все одно число выбирают - это скучно, - говорит Саша, а Катя добавляет, -... а пятёрка может у шестёрки выиграть быстрее, чем тройка у пятёрки.
Так играть уже неинтересно.
12 января.
- Сегодня играем в Гонки чисел.
- А за шестёрку сколько очков будут давать?
- Шесть.
- Тогда я шестёрку выбираю. И я шестёрку. И я.
- А моя будет пятёрка.
Мне только и надо было, чтобы дети вспомнили прошлую игру и её результаты.
- Вы хорошо усвоили эту игру, поэтому немного её изменим. - Достаю второй кубик. - Будем бросать два кубика. Они разных цветов, но числа на них одинаковые: от одного до шести. Их показания будем складывать. Какая самая большая сумма может получиться?
- Двенадцать! Шесть и шесть будет двенадцать!
- А самая маленькая?
- Один! Один!
- Нет, два! Один никак не может получиться. - Саша сегодня самая внимательная. В таблицы мы её записываем как Александру, чтобы не путать с мальчиком Сашей.
Как и следовало ожидать, дети выбрали себе десять, одиннадцать и двенадцать, они хорошо помнили прошлую игру. Тогда я выбираю себе семёрку и восьмёрку.
- Почему? Дядя Боря, Вы хотите проиграть?
- Во-первых, вы сами говорили, что когда все выбирают одни и те же числа, то это неинтересно, а, во-вторых, может быть я и не проиграю. Посмотрим. Начали?
На этот раз таблица получилась большая и, что важнее, неожиданная для детей.
2
2
2(1)
3
3
3
3
3
3
12 ( 5)
4
4
4
4
4
16 ( 4)
5
5
5
5
5
5
5
5 5
40 ( 8)
6
6
6
6
6
6
6
6
42 ( 7)
7
7
7
7
7
7
7
7 7 7 7 7
77 (11)
8
8
8
8
8
8
8
48 ( 6)
34


9
9
9 9
9
9
45
(
5)
10
10
10 10
10
10
50
(
5)
11
11
11 11
33
(
3)
12
12
12
24
(
2)
- Почему выиграла семёрка?
- Она чаще всех выпадала.
- Правильно. И в прошлый раз тройка у пятёрки выиграла, потому что чаще выпадала. Давайте ещё раз сыграем. Выбирайте каждый по два числа.
Выбирают осторожно. Популярностью пользуются семёрка, восьмёрка и даже шестёрка, но не забыты и самые крупные суммы. Играем. Результат примерно тот же, победили семёрка и восьмёрка, а вот двенадцать не выпало ни разу. Предлагаю к следующему занятию обдумать результаты игры и сделать выводы из произошедшего.
19 января.
Всё-таки, не зря мы занимались много лет. У доски с общего согласия выступает Дима.
- Всё просто. Для 2 и 12 существуют единственные комбинации: 2=1 + 1,12 = 6 + 6,- уверенно объясняет он. - А семёрка встречается сразу а шести вариантах: 7 = 1+ 6 = 2 + 5 = 3+ 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6+1.
- Подожди, - специально останавливаю Диму, - а почему у тебя одинаковые пары: 1 + 6 и 6 + 1? Разве это не одно и то же?
- Конечно, разные пары, - Диму просто так не собьёшь, - у нас два кубика: красный и зелёный. Первый раз 1 на красном кубике, а 6 на зелёном, а потом наоборот: 1 на зелёном и 6 на красном. У восьмёрки 5 вариантов: 2 + 6,3 + 5,4 +4,5 + Зи6 + 2. Поэтому при равномерном выпадении всех чисел семёрка наберёт 42 очка (6 х 7), а восьмёрка - 40 очков (5 х 8). У остальных ещё меньше получается.
Предложил поиграть с тремя кубиками, но ребята быстро подсчитали самую выгодную сумму, так что предложение не получило поддержки.
35


НЕ ДУМАЙ О СЕКУНДАХ СВЫСОКА...
14 февраля.
- Дядя Боря, опять будут соревнования? - Дети увидели у меня в руках секундомер.
- Да, и соревноваться вы будете с этим секундомером. Если кто не умеет с ним обращаться, то быстро научится. Это очень просто. Нажимаете на кнопку первый раз - секундомер включен. Большая стрелка на большом круге отсчитывает секунды, а маленькая стрелка на маленьком круге - минуты. Нажимаете на кнопку второй раз - секундомер остановился, можете смотреть сколько минут и секунд прошло от момента пуска. Нажимаете на кнопку третий раз - все показания сбросились, стрелки встали в исходное положение и секундомер готов к новому старту. Кто не понял, разберётся по ходу дела.
- А мы что, сами нажимать будем?
- Обязательно. Сначала я вам покажу, что и как надо делать, а потом вы все по очереди будете командовать. Сейчас включу секундомер, потом остановлю, и каждый скажет, сколько, по его мнению, прошло секунд. Прошу тишины, чтобы все слышали щелчок кнопки. Приготовились... марш! - Отсчитываю в уме секунды. - Стоп!
- Пятнадцать! Десять! Двадцать три!
- Подождите, не все сразу. Чтобы не было путаницы, что надо сделать?
- Таблицу! Надо всё записать!
- Сейчас сделаем. Дима, сколько, по-твоему, прошло времени?
- Восемнадцать секунд.
- Катя? - Тринадцать.
- Саша? - Десять.
- Тамара? - Семнадцать.
- Валя? - Двадцать две.
Только после того, как все сообщили своё мнение, смотрю на секундомер: - Тринадцать!
Запись на доске выглядит так:
13
Дима
18
Катя
13
Саша
10
36


Тамара
17
Валя
22
Оля
31
Костя
18
Миша
- 33
дядя Боря
12
Верхнее число в колонке - время секундомера.
Сбрасываю секундомер на ноль и предлагаю командовать Кате. Все дети уже много раз бывали ведущими, но, выступая перед своими товарищами, всегда немного волнуются.
- Приготовились... Внимание... Марш! - голос у Кати тихий, но в классе тишина и все всё слышат. - Стоп!
- Шестнадцать! Десять! Двадцать три!
- Катя, опроси всех, а я буду записывать. - Катя опрашивает. - А теперь посмотри, сколько прошло секунд на самом деле.
Катя растерянно смотрит на секундомер - стрелка продолжает бежать по кругу. Она забыла по своей же команде «Стоп!» остановить секундомер. Стираю последнюю запись, и всё повторяется. Командуют все по очереди. Таблица на доске заполняется.
13
19
8
13
Дима
18
25
14
11
Катя
13
21
6
15
Саша
10
20
13
18
Тамара
17
26
9
18
Валя
22
30
8
20
Оля
31
22
8
20
Костя
18
17
11
16
Миша
33
40
7
19
дядя Боря
12
22
9
16
Занятие кончается, приходится останавливать игру.
- Дядя Боря, а кто победил?
- Сейчас мы уже не успеем это установить. Давайте придумаем, как правильно определять победителя, в следующий раз.
21 февраля.
На прошлом занятии не все успели побывать ведущими, поэтому начинаем с секундомера. Сегодня игра идёт быстрее. Таблица получилась такая:
37


5
12
32
21
18
40
7
50
Валя
5
14
42
28
24
38
10
65
Тамара
5
15
33
31
20
44
8
57
Миша
2
20
23
25
15
25
5
70
Катя
6
13
35
20
19
41
10
55
Дима
8
10
33
24
20
37
8
57
Саша
5
14
30
22
21
37
6
52
Оля
7
12
33
21
18
42
7
54
Костя
9
14
35
25
20
46
10
60
дядя Боря
6
10
30
18
21
36
8
48
- Кто победил? - ответ на этот вопрос интересует всех.
- Я предлагаю так, - говорит Дима. - Пусть каждый сложит свои числа. У кого сумма будет ближе к сумме результатов секундомера, тот и победил!
Несколько минут в полной тишине все занимаются арифметикой. Сумма секундомера - 185. Дети сообщают свои результаты. Валя получила сумму, равную 226, Тамара - 213, Миша - 185, Катя - 202, Дима - 197, Саша - 187, Оля - 194, Костя - 219, дядя Боря - 171.
- Получается, что победил Миша?
- Я не согласен, - протестует Саша, - посмотрите, у Оли сумма хуже, чем у Миши, но она только один раз больше, чем на четыре секунды ошиблась. А Миша ошибался каждый раз гораздо больше.
- И ещё Оля четыре раза правильно результат угадала, - поддерживает его Валя. - Больше всех.
- Так давайте посмотрим, кто на сколько каждый раз ошибался, - предлагает Тамара, - а потом все ошибки сложим и посмотрим, кто победил.
- Ну, тогда у Оли меньше, чем у меня будет, - соглашается Миша и с грустью добавляет, - и у других, наверное, тоже.
Стираю по очереди каждое число и на его место вписываю соответствующую ошибку. Все вместе складываем эти ошибки и в конце строки записываем их сумму. Теперь таблица выглядит так:
5
12
32
21
18
40
7
50
Валя
0
2
10
7
6
2
3
15
45
Тамара
0
3
1
10
2
4
1
7
28
Миша
3
8
9
4
3
15
2
20
64
Катя
1
1
3
1
1
1
3
5
16
38


Дима
3
2
1
3
2
3
1
7
22
Саша
0
2
2
1
3
3
1
2
14
Оля
2
0
1
0
0
2
0
4
9
Костя
4
2
3
4
2
6
3
10
34
дядя Боря
1
2
2
3
3
4
1
2
18
Опять сомневается Саша: - А разве одинаковые ошибки: две секунды из пяти и две секунды из пятидесяти? Если каждые пять секунд на две ошибаться, то за пятьдесят секунд ошибка в двадцать секунд должна получиться.
- Саша прав, эти ошибки не равноценные. Люди придумали науку, которая учит, как правильно оценивать любые ошибки. Мы с ней ознакомимся, когда вы будете изучать математику в старших классах. А пока, я думаю, победила Оля, она четыре раза правильно время назвала.
28 февраля.
Играем в секундомер. Сегодня побеждает Саша. Он почти не ошибается, но во время отсчёта секунд старается незаметно заглянуть под парту. Скорее всего, он принёс часы, позволяющие следить за секундами. Наблюдаю за остальными.
- Катя, а почему ты на свои часы не смотришь?
- Дядя Боря! - Она удивлённо смотрит на меня. - Это же неинтересно. Я хочу сама, - и прячет часы в рукав ещё глубже.
А я и не думал про часы, - гудит Дима, снимает часы с руки и кладёт в карман. - Конечно, с часами неинтересно.
Саша на часы больше не смотрел и свою общую победу встретил без обычной радости.
» - - ее
Любой желающий может проверить себя, отсчитав не глядя на часы одну минуту, это не так просто. Поиграв в «секундомер» дети вряд ли научатся точно определять любые отрезки времени, хотя некоторое понятие о секундах и минутах у них останется. Важно другое. Дети учатся обращаться с секундомером как с прибором. Они приобретают навык ведущего, раскрепощаются. Они учатся составлять таблицы, систематизировать полученные результаты. И, наконец, приобщаются к такому важному понятию, как точность измерения.
39


РИСУЕМ ЗАДАЧУ
11 марта.
- Что вы обычно делаете с задачами?
- Как что? Конечно, решаем. Нам такие трудные задачи задают. А потом мы ответ пишем. За это отметки ставят.
- Давайте сегодня попробуем решать задачу, но не просто решить, а нарисовать. Про кого будет задача?
- Про Чебурашку!
- Хорошо, слушайте условие задачи. Задача про Чебурашку и его друзей, про героев, которых придумал Эдуард Николаевич Успенский.
«Получила старуха Шапокляк квартиру в новом доме и пригласила на новоселье Чебурашку и Крокодила Гену.
- Моя квартира на четвёртом этаже, - объясняет она, - от лифта налево.
- А подъезд какой по счёту будет? - спрашивает любопытный Чебурашка.
- Если от твоего дома идти, то третий с краю, - говорит Шапокляк. - А если с другой стороны идти, от дома Гены, то он вторым с краю будет.
- Это что, в твоём доме пять подъездов? - спросил Гена.»
- Сколько подъездов в новом доме?
- Пять! Пять! Три прибавить два будет пять!
- Может кто-нибудь этот дом нарисует на доске?
-Я! Я! Я!
Рисует Александра. Она старательно выводит каждое окошко. На это у нас уйдёт слишком много времени, поэтому останавливаю её.
- Какой вопрос в задаче, помнишь?
- Да, надо узнать, сколько было подъездов в доме.
- Тогда нарисуй только сам дом и подъезды, а окошки потом можно будет нарисовать. Договорились?
Александра увлечённо рисует.
Гппппппп!
40


- И в каком подъезде у тебя старуха Шапокляк живёт?
Александра задумалась.
- Чебурашка с какой стороны идёт?
- Вот от сюда, слева, - говорит Александра, пишет слева букву Ч и рисует стрелку.
- А подъезд ему нужен какой по счёту?
- Третий с краю.
- Отметь его крестиком. А крокодил с другой стороны идёт?
- Да. - Александра пишет букву К и ставит стрелку. - Ему второй подъезд с его краю нужен, я на нём тоже крестик поставлю.
- Посмотрите, что у Александры получилось. Она нарисовала дом с подъездами и отметила крестиком подъезд, в котором живёт старуха Шапокляк. Всё правильно на рисунке?
- Окошек нету, - сразу несколько голосов.
- Про окна мы уже говорили. У нас задача про подъезды, про них и будем говорить. Какие ещё замечания?
- Двери у подъездов разные, - говорит Костя. - Одни большие, а другие маленькие.
- Разве размеры дверей имеют значение? Что нас в задаче интересует? Вспомни, Костя.
- Сколько подъездов в доме.
- Вот и будем считать подъезды. В каком же из них Шапокляк живёт?
- Саша его крестиком пометила, а таких крестиков два, - замечает Оля. - Что же получается, Шапокляк сразу в двух подъездах живёт?
- Молодец, Оля! Кто попробует исправить рисунок?
- Лишние подъезды надо просто стереть, - предлагает Дима, подходит к доске и орудует тряпкой.
41


- У тебя она всё равно в двух подъездах живёт, - говорит Саша, - их надо объединить. Вот так.
- Огромный у тебя подъезд получился, - смеётся Костя. - В него все гости сразу пройти могут.
- Пусть проходят, нас только число подъездов интересует, - Саша уверена в себе. - А всего их получилось не пять, а четыре.
- Но ведь три прибавить два получается пять, - говорит Оля.
- Просто подъезд, в котором Шапокляк живёт, мы два раза посчитали. - Катя подходит к доске. - Смотри, вот Чебурашка идёт, проходит первый подъезд, второй, а в третий заходит.
Катя рисует подъезды и ставит крестик на третьем.
- А теперь Гена идёт, - продолжает она, - первый подъезд прошёл, а второй - вот он, уже с крестиком. В него уже Чебурашка вошёл. Так что мы его два раза посчитаем, если три и два складывать будем.
18 марта.
- Дядя Боря, а сегодня будем рисовать задачи?
- Обязательно. На поляне гуляют слоны и жирафы, всего десять животных. Жирафов на два больше, чем слонов. Сколько жирафов и сколько слонов гуляет на этой поляне?
- Можно я нарисую слонов?
- А я нарисую жирафов.
- Я тоже хочу нарисовать. И я хочу рисовать.
Через несколько минут на доске паслось стадо самых невероятных животных.
42


- Рисуете вы все прекрасно, а задачу кто-нибудь решил?
- Про подъезды мы умеем рисовать, - первой отрывается от доски Валя. - А как про жирафов и слонов, мы не знаем.
- Сейчас научимся. Запишем два главных условия задачи. Кто скажет, какие это условия?
- У нас есть слоны и жирафы, - первой откликается Тамара...
- Нет, - перебивает её Александра, - вместо слонов могут быть медведи, а вместо жирафов - кролики.
- Или кошки и мышки, - добавляет Саша.
- Первое условие - животных всего десять штук, - говорит Катя.
- А второе условие - жирафов на два больше, чем слонов, - продолжает Дима и, подумав, добавляет, - или мышек на две больше, чем кошек.
- Прекрасно. Договоримся рисовать попроще, чтобы только отличать слонов от жирафов. Пусть жирафы выглядят так - X, а слоны так - тс. Теперь попробуем нарисовать их на поляне. Если слонов и жирафов поставить в пары, всем жирафам хватит слонов?
- Нет, - откликается Катя, - два жирафа будут лишними. Без пары.
- Сначала нарисуем этих лишних жирафов.
X
X
- Какое условие задачи выполнено? Сколько на рисунке жирафов?
- Два. Два. Жирафа два.
- А слонов?
- Слонов нет. Ни одного. Ноль.
- Значит, жирафов на два больше, чем слонов. Так какое условие задачи выполнено?
- Первое.
- Нет. Нет, второе. Первое - их всего десять на поляне.
- Прекрасно! Остальных животных будем рисовать парами. Помните, Катя говорила, что если жирафов и слонов поставить парами, то два жирафа останутся без пары. Вот они нарисованы.
к
X
X к
- Сколько их теперь гуляет на поляне?
- Четыре. Три жирафа и один слон.
- Оба условия задачи выполнены?
43


- Второе условие выполнено, - первым отвечает Саша. - А первое - не выполнено. Их должно быть десять. Можно я нарисую так, чтобы и первое условие выполнялось?
- Конечно, - добавляет Катя. - Если теперь рисовать парами, то второе условие будет выполняться всегда.
В это время Саша рисует на доске и приговаривает:
- Шесть... восемь... десять... готово.
X
X
X
к
X
л
X
л
X
л
- Всего получилось четыре слона и шесть жирафов.
25 марта.
- Дядя Боря, а решение любой задачи можно нарисовать?
- Попробуем. Задача такая же, как в прошлый раз, только числа несколько другие. На поляне гуляют слоны и жирафы, всего десять животных. Жирафов на три больше, чем слонов. Сколько жирафов и сколько слонов гуляют на этой поляне? Кто попробует решить?
- Я! Я! Можно я нарисую! Можно я!
Все уверенно рисуют на доске трёх лишних жирафов, потом несколько пар, но уже не так уверенно. Первым подаёт голос Дима.
- Чего-то у меня десять штук не получается.
- И у меня десять не получается, - соглашается Валя, - или девять или одиннадцать. Что же делать?
X
X
X
X
X
X
X
л
X
л
X
л
X
л
X
л
X
л
X
л
- Посчитать. Если три жирафа без пары, то сколько всего животных окажутся в парах?
- Десять минус три будет семь, - отвечает Оля, - а из семи животных никаких пар не составишь. Пары можно составить только из чётного числа, а семь - число нечётное.
- Так какой будет ответ у задачи?
44


- А разве у неё есть ответ?
- Вы нашли такие числа, чтобы выполнялись оба условия задачи?
- Нет. Таких чисел нет. Никто не нашёл.
-Значит...?
- Значит, у этой задачи решения нет, - подводит итог Катя.
1 апреля.
- Сегодня попробуем нарисовать решение такой задачи. Во дворе гуляют цыплята и котята. Всего пять голов и четырнадцать ног. Сколько цыплят и сколько котят гуляют во дворе?
- А может, лучше опять будут жирафы и слоны? - спрашивает Оля.
- Нет, - замечает Костя, - вместо котят могут быть хоть бегемоты или крокодилы, а вот вместо цыплят ...
- Вместо цыплят могут быть те, у кого две ноги, а не четыре, - продолжает Лена, - ведь эта задача про ноги.
- Про ноги и головы, - уточняет Саша, - голова у каждого одна, а число ног у всех разное. У змеи ног совсем нет.
- Давайте рисовать. Какое условие задачи мы сразу можем выполнить?
- Пять голов! Можно сразу нарисовать пять голов! Можно я нарисую? Можно я? Я тоже хочу. Вместо головы можно просто кружочек рисовать. А вместо ног - палочки.
Доска у нас большая, места хватает всем. Рисунки получились разными.
- А кому сколько ног рисовать?
- Поступим так: к каждой голове пририсуем по две ноги. Цыплятам этих двух ног как раз хватит, а у котят это будут задние лапки.
- Сколько ног оказалось на рисунке?
- Десять. И у меня десять, то есть не у меня, а на моём рисунке.
- Четыре ноги осталось, - замечает Валя. - Ура! Это же передние лапки у котят. У каждого котёнка две передние лапки, а всего четыре. Значит, котёнка два.
Теперь все рисунки приобретают законченный вид.


- Какой ответ в задаче?
- Два котёнка и три цыплёнка.
- А если было пять голов и десять ног, тогда какой ответ? Небольшая пауза, все считают.
- Все цыплята, - сообщает Катя, - пять цыплят и ноль котят.
- А если двадцать ног?
- Тогда все котята, - спешит сообщить Тамара.
- Пятнадцать ног?
Все молчат. Наконец Дима нарушает тишину.
- Пятнадцать ног быть не может. Число ног должно быть чётным.
- Восемь ног?
- Восемь ног тоже быть не может, - говорит Оля, - ног не может быть меньше десяти в этой задаче.
- И не больше двадцати, - добавляет Саша.
46


ПЯТНАДЦАТЬ
3 декабря.
- Сегодня опять будем считать. Вот правила игры. Играют двое. Перед нами девять карточек с числами от одного до девяти, на каждой карточке написано только одно число. Вот эти карточки.
1 2 3456789
Играющие видят все эти числа. Они по очереди берут себе по одной карточке, причём каждый видит карточки партнёра. Побеждает тот, у кого найдутся три карточки, такие, что сумма чисел на этих карточках равна пятнадцати. У вас может оказаться и четыре, и пять карточек, надо, чтобы на каких-нибудь трёх из этих четырёх или пяти карточек сумма была равна пятнадцати. Для начала мы сыграем с Димой, а остальные будут ему советовать. Во время игры прояснится то, что не поняли из объяснения. Начинай, Дима.
Дима сразу забирает карточку с числом девять. Я беру четыре.
Дима свободные карточки дядя Боря
9 123 5 6 7 8 4
И сразу несколько голосов:
-Дима, бери скорее шестёрку! Бери шесть! Дима выиграл! Всё, дядя Боря, Вы проиграли!
- Нет, это неправильно. Девять плюс шесть действительно будет пятнадцать, но эту сумму надо набрать на трёх, а не на двух карточках.
- Тогда я беру пятёрку, - говорит Дима.
- А я беру единицу.
Дима свободные карточки дядя Боря
95 23 678 41
- И мы тоже возьмём единицу. Дима, бери единицу, тогда у тебя будет пятнадцать.
47


- Неправильно. Карточка с единицей только одна, и она уже у меня. Я её забрал себе.
- Тогда я беру два, - отвечает Дима.
Дима свободные карточки дядя Боря
952 3 678 41
-Два плюс девять будет одиннадцать, до пятнадцати не хватает четырёх, - записываю на доске эти выкладки.
2 + 9=11, 15-11=4.
- Но четвёрки на свободных карточках уже нет, она у меня, - поясняю детям ход своих рассуждений. - Девять плюс пять получается четырнадцать. До пятнадцати не хватает единицы, но единица тоже у меня. Два плюс пять равно семи, до пятнадцати не хватает восьми.
2 + 5 = 7, 15-7 =8.
Если Дима возьмёт восьмёрку, то у него на трёх карточках сумма получится как раз пятнадцать.
2 + 5 + 8 = 15.
Чтобы этого не допустить, я сам возьму карточку с восьмёркой. Иначе я проиграю.
Дима свободные карточки дядя Боря
952 3 67 418
Дети молча рассчитывают варианты, кажется, они поняли смысл этой игры.
- Дима, смотри, у дяди Бори восемь и один. Это девять. - Советует Саша. - До пятнадцати не хватает шести.
- Да, Дима бери шестёрку, - подхватывают несколько голосов. - Бери шесть, а не то проиграешь.
Дима ещё раз всё просчитывает и берёт шестёрку.
- Тогда я беру три. У меня получилось пятнадцать. Четыре плюс три, плюс восемь: 4 + 3+8 = 15.
Дима свободные карточки дядя Боря
9526 7 4183
- Но Вы же их не подряд взяли!
48


- Это необязательно. Достаточно, чтобы любые три числа у одного из играющих давали в сумме пятнадцать.
- Теперь понятно, давайте играть ещё, Вы начинайте.
- Беру восемь.
- А мы берём девять.
- Пять.
- Так... - дети считают. - Восемь плюс пять равняется тринадцать, значит, мы берём два.
- Я выбираю четыре.
- А мы - три.
- Тогда моя шестёрка. Пять, четыре и шесть в сумме дают как раз пятнадцать.
10 декабря.
Сегодня дети играют в Пятнадцать между собой.
- Дядя Боря, мы все карточки разобрали, а пятнадцати ни у кого не получилось. Кто же из нас победил?
- Никто. Получилась ничья. Сыграйте ещё раз.
В этот день дети играли в Пятнадцать почти всё занятие. Играли с переменным успехом, явного лидера не было, любой мог выиграть у кого угодно. И вот Катя заулыбалась.
- Дядя Боря, - сказала она. Я, кажется, знаю, как играть в эту игру. Нам Елена Анатольевна на уроке показывала...
Катя действительно угадала, как правильно играть в эту игру. Стоит заметить, что если оба партнёра играют правильно, то выиграть никому не удаётся независимо от очереди хода. Но секрет Кати выдавать не буду. Уверен, что каждый, кто разгадает этот секрет сам, получит несколько минут хорошего настроения.
Играя в Пятнадцать, дети быстро обучаются устному счёту.
Когда дети выяснили беспроигрышный алгоритм, интерес к игре, естественно, пропал.
49


НЕМНОГО ЛОГИКИ
15 апреля.
«Когда коварный Урфин Джюс захватил Изумрудный Город, первым делом он приказал посадить в подвал Страшилу Мудрого и Железного Дровосека. Урфин очень боялся мудрых мозгов, полученных Страшилой от Гудвина Великого и Ужасного, и поэтому решил Страшилу сжечь на большом костре на главной площади Изумрудного Города.
-- Но я не хочу, чтобы народ думал, что я жестокий, - говорил Урфин своему советнику - филину Гуамоколатокинту. - Перед тем, как зажечь костёр, я дам Страшиле мешочек с двумя шариками. Если он вытащит красный, то я его сожгу, если синий - он свободен. И весь народ поймёт, какой я добрый и справедливый.
- Вытащит Страшила синий, - проворчал Гуамоко, - что ты тогда делать будешь?
- Ха-ха! Я уже всё придумал. Он никогда не вытащит синий.
- Почему? - филин даже не удивился, он хорошо знал коварный характер своего хозяина.
- Я положу в мешочек два красных шарика, - Урфин радостно потёр руки, - а всему народу объявлю, что там один красный шарик и один синий.
- Смотри, не обмани сам себя, - проворчал филин и закрыл глаза.
Весь этот разговор слышала ворона Кагги Карр, верный товарищ Страшилы и Дровосека. Она тут же полетела в темницу и всё им рассказала.
- Что сделали Страшила, Дровосек и ворона, чтобы нарушить коварный замысел Урфина Джюса?»
Первой откликнулась Александра:
- Страшила на площади должен рассказать всем людям о двух красных шариках и показать их.
- Тогда Урфин Джюс скажет, что ошиблись его слуги, - сразу же возразил ей Саша, - он просто заменит один красный шарик на синий, и всё - он не виноват.
- И будет всё хорошо, - не сдаётся Александра.
- Ничего себе, хорошо, - вступает в разговор Костя. - Страшила вытащит красный шарик и сгорит.
- Тогда надо подложить в мешочек синие шарики, - предлагает Валя, - а красные убрать.
50


- Надо-то надо, - замечает Дима, - а как это сделать?
- Пусть Кагги Карр это сделает.
- Но мешочек-то у Урфина Джюса, так он это и позволит.
- Дядя Боря, что же, Страшила сгорит? - спрашивает Тамара. - Может он всё-таки спасётся? Расскажите.
- Всё, что вы предлагали, предлагали и ворона с Дровосеком. А Страшила напряг свои мудрые мозги и стал думать.
«- Ничего не надо менять, - сказал он, - а что делать, я утром вам скажу, утро вечера мудренее.
Страшила хорошо знал характер вороны и был уверен, что она до утра обязательно кому-нибудь проговорится. А утром, за пять минут до прихода стражи, он объяснил вороне, что она должна сделать. На площади глашатай громко объявил собравшимся жителям Изумрудного Города волю Урфина Джюса, и сам Урфин протянул мешочек с шариками Страшиле. Тот спокойно сунул руку в мешочек, немного пошарил в нём и что-то вытащил, зажав в кулаке.
- Покажи всем, какой шарик ты вытащил, - прогремел на всю площадь Урфин Джюс.
И в этот момент чёрной молнией подлетела к Страшиле ворона, сунула клюв в его сжатый кулак, что-то проглотила и так же стремительно улетела.
- Какой шарик ты достал? - гневно закричал Урфин. - Ты сам видел? Может кто-нибудь видел?
- Это легко узнать, - улыбнулся Страшила. - Ведь ты положил в мешочек два шарика, синий и красный, не правда ли? Если я вытащил красный, то там должен остаться синий, не так ли? Достань сам оставшийся шарик.
И злой Урфин вынул из мешочка оставшийся там шарик.
- Красный! Красный! Там остался красный шарик! - Прокатилось по площади.
- Какой же шарик я достал, - весело спросил Страшила Мудрый, - если в мешочке остался красный, а были там красный и синий?
- Синий, - сквозь зубы простонал Урфин Джюс. Теперь-то он понял предупреждение своего филина Гуамоколатокинта.»
- Все поняли, что придумал Страшила?
В ответ - тишина. Похоже, не понял никто. Беру два шарика, красный и синий, показываю их детям, прячу за спиной и зажимаю в кулаки. Поднимаю кулаки с зажатыми в них шариками над головой.
- Как определить, какого цвета шарик в моей правой руке?
-Красный! Синий! Красный!
51


- Я сам не знаю. Но давайте посмотрим, какого цвета шарик в другой руке, в левой? - разжимаю левый кулак, сам не смотрю, а дети видят. - Так какого цвета шарик в правой руке?
-Красный! Красный!
- Почему?
- В левой руке у Вас синий шарик, значит, в правой - красный.
Незаметно меняю синий шарик на красный и показываю зажатые
кулаки.
- Какого цвета шарик в левой руке? - сам раскрываю правый кулак и показываю красный шарик.
- Синего! Шарик синий!
Показываю шарик в левой руке - он красный.
- Почему красный? - дети недовольны. - Вы же говорили, что у Вас шарики синий и красный.
- Вот так и Страшила поступил. - Я не оставляю попыток объяснить. - Все думали, что в мешочке шарики синий и красный, и когда остался один красный, все решили, что ворона унесла синий. Понятно?
- Но ведь ворона красный унесла. Урфин Джюс в мешочек два красных шарика положил. Значит, Страшила красный достал.
Нет, сегодня что-то не заладилось.
22 апреля.
Предлагаю поиграть в шарики. Приглашаю пять человек.
- Смотрите, вот пять шариков: четыре жёлтых и один синий. Поднимите каждый одну руку над головой - я туда вложу один из шариков так, что все будут видеть шарики у других, а свой шарик не увидят. Попробуйте определить цвет вашего шарика. И, пожалуйста, когда будете объяснять своё решение, не называйте имён.
Первая пятёрка стоит с поднятыми руками. Вкладываю туда шарики и предлагаю каждому определить цвет своего шарика.
- У меня - жёлтый, - первой догадывается Катя.
- И у меня - жёлтый, - вторит ей Саша.
- Почему вы так решили?
- Вы дали нам четыре жёлтых шарика и один синий, а синий у... - Саша запнулся, вспомнив мою просьбу не называть имён, - а синий я вижу, значит, у меня жёлтый шарик.
- И у меня. У меня тоже жёлтый шарик.
Синий шарик достался Мише, он молчит. Потом опускает руку и удивлённо разглядывает свой шарик.
52


- Вот это да! Синий шарик, оказывается, у меня, - под общий смех говорит он, - а я думаю, куда синий шарик делся? У всех только жёлтые.
Приглашаю следующую пятёрку, показываю шарики: два жёлтых, два красных и один синий, потом раскладываю их в поднятые руки. Предлагаю каждому определить цвет своего шарика.
- Я вижу только один жёлтый шарик, - говорит Тамара, - значит, другой у меня, их было всего два.
- У меня синий, - продолжает Александра. - Я не вижу ни одного синего, значит, он у меня.
29 апреля.
Продолжаем игры с шариками. Приглашаю пять человек и показываю им шесть шариков: два шарика синие, а четыре - жёлтые. В поднятые руки вкладываю оба синих шарика и три жёлтых, один жёлтый шарик остаётся у меня.
- Мой шарик жёлтый, - сразу объявляет Катя, - я вижу два синих шарика.
- И у меня шарик жёлтый! И у меня! - в один голос говорят Дима и Костя.
Синие шарики у Оли и Саши. Они долго молчат, наконец, Саша улыбается.
- У меня синий шарик, - говорит он. - Катя сказала, что она видит два синих шарика, а я вижу только один. Значит, у меня синий.
Следующей пятёрке вкладываю в руки четыре жёлтых шарика и один синий, другой синий остаётся у меня. Единственный синий шарик достался Вале. После довольно продолжительного молчания первой определилась именно она.
- У меня синий шарик, потому что...
- Подожди, Валя, потом расскажешь, - едва успеваю остановить её. - Пускай другие сами подумают.
Все молчат, пауза затягивается.
- Если Валя так легко узнала, что у неё синий шарик, - нарушает тишину Тамара, - значит, она видит у всех жёлтые шарики, все четыре. И у меня тоже получается жёлтый шарик.
13 мая.
Рассказываю детям про трёх мудрецов, или трёх гномов, или умных школьников - любимых героев прекрасной логической задачи. Они присутствуют в большинстве книг по занимательной математике. Мы
53


главными героями выбираем трёх мушкетёров. Эта история выглядит примерно так.
- Трём мушкетёрам показывают пять перьев: три синих и два жёлтых. Потом им завязывают глаза, крепят каждому к шляпе синее перо, а жёлтые перья прячут, после этого повязки с их глаз снимают и предлагают определить цвет перьев на их шляпах, имея перед глазами только двоих своих друзей. Каждый из мушкетёров видит перья на шляпах двух других мушкетёров и не видит своего пера.
Атос рассуждает так:
- Пусть у меня перо жёлтое. Тогда Портос видит синее перо на шляпе Арамиса и жёлтое перо на моей шляпе и уже сам рассуждает так:
- Пусть на моей шляпе жёлтое перо, тогда Арамис, увидев два жёлтых пера, должен заявить, что на его шляпе перо синее, так как жёлтых перьев только два, но Арамис молчит, значит, он не видит двух жёлтых перьев, а это, в свою очередь, значит, что на моей шляпе (то есть, шляпе Портоса) перо синее.
- Но Портос ничего не говорит об этом, - продолжает рассуждать Атос, - значит, он не видит на мне (то есть, на шляпе Атоса) жёлтого пера, и это означает, что на моей шляпе перо синее.
И Атос радостно сообщает всем, что на его шляпе перо синее. То же самое вскоре делают и Портос с Арамисом.
Дети были в восторге, но на вопрос, всё ли им понятно, последовал неожиданный ответ.
- Дядя Боря! Атос знал, что Портос верный товарищ, что он храбрый, добрый, сильный, толстый. Но как догадался Атос, что Портос такой умный?
м «
Задач, подобных этим, очень много, они есть почти в каждой книге, помогающей развитию ребёнка. Очень важно, чтобы дети решали такие задачи самостоятельно, прокручивая все возможные варианты в уме. И действительно, потом дети приносили много подобных и более сложных задач, и мы их сообща решали, не прибегая к иллюстрации. Но начало этому положили всё-таки такие «живые задачи».
54


MEMORY
1 октября.
- Хотите проверить свою память?
- Я хочу! И я хочу! А у меня память хорошая. А я всё забываю...
- Тогда садитесь вокруг этих парт. Вас девять, значит, за одну парту садится пять человек, за другую - четверо. Вот обыкновенные игральные карты, надеюсь, вы с ними имели дело?
- Да, я играл в «дурака» с бабушкой. Давайте в дурака сыграем.
- Нет, в «дурака», «пьяницу», «три дубины», «очко» играйте с родителями, если они не возражают. У нас игры другие. Играем в «Memory». По-русски это значит ПАМЯТЬ. Правила игры такие. Колода карт раскладывается на столе рубашкой кверху. Рубашки у всех карт в колоде одинаковые. Тот, чья очередь ходить, переворачивает две карты так, чтобы все их видели. Если на этих картах одинаковые числа или картинки, и они одного цвета: обе чёрные или обе красные, то он забирает эту пару себе и может открыть новую пару. А если пары так не получаются, он их переворачивает и кладёт на место. Побеждает тот, кто сумеет набрать больше таких пар. Все непонятные места выясним по ходу игры. Начали.
Сначала игра идёт медленно.
- Дядя Боря, у меня две восьмёрки, я могу их взять?
- Оля, ты просто забыла. Это действительно две восьмёрки, но одна красная. А другая чёрная. Такие пары по правилам брать нельзя.
- Дядя Боря, а у меня два красных короля.
- Нет, Славик, у тебя один король и один валет.
- Смотри, они оба одной масти, бубновые, - добавляет Саша, - а разве могут быть два бубновых короля в одной колоде?
- У меня два чёрных туза, - радостно объявляет Лена. - Подождите, раз я взяла пару, то мне опять можно ходить. Вот, а теперь две красных девятки... или шестёрки.
- Смотри, на этой девять сердечек, значит, это девятка, - поясняет Саша. - А на этой шесть ромбиков - это шестёрка.
Наше время кончилось, а доиграть так и не успели.
7 октября.
Ближе к концу занятия объявляю Memory.
55


- Ура! Ура! Да здравствует Memory!!!
Колоды с прошлого раза никто не перемешивал, поэтому парные карты на столе могут оказаться рядом. Вручаю каждому участнику часть колоды и прошу класть карты по очереди. Так карты перемешаются. Начинает Оля и сразу берёт две чёрные семёрки.
- Ты колдунья, - говорит Костя. Оля сияет.
Игра идёт быстрее, правильные пары открываются всё чаще. Замечаю, что некоторые дети открывают пару не одновременно, а по одной карте. Это тактика правильная. Интересно, как они это объяснят? Спрашиваю.
- Я помню, где лежит один красный туз, - говорит Катя. - Если первым будет другой красный туз - получится пара. А если другая карта, то его нет смысла открывать. Пара всё равно не получится, а другие его лишний раз увидят.
14 октября.
Сегодня принёс детям колоду в 54 листа. Полный восторг. Все охотятся за джокерами.
У9 К
Игра Memory, выполненная в самых разнообразных картинках, часто тематических, продаётся в магазинах. Можно играть в эту игру и по-другому. Ведущий или очередной играющий переворачивают только одну карту или картинку, а тот, кто первым укажет на местоположение парной картинки, получает эту пару. Если никто не может указать, картинка переворачивается и кладётся на место, а в игру вступает следующая картинка. Детям нравится играть в картинки, но большинство предпочитает обычные карты.
56


ЧЁТ И НЕЧЕТ
20 марта.
- Дело было в Простоквашино с нашими любимыми героями, придуманными Эдуардом Николаевичем Успенским. Пёс Шарик вернулся с соревнований по стрельбе. Дядя Фёдор и кот Матроскин стали его расспрашивать, что да как было, как он выступил.
-Там мишени были такие круглые, - показывает лапами Шарик. - За попадание в середину два очка давали, а если в край попадёшь, то только одно очко получишь.
- Ну, а стрелял ты как? - пристаёт Матроскин. - Приз ценный получил?
- Хорошо стрелял, - отвечает Шарик, - ни разу мимо мишени не промазал, всего два раза единицу выбил, а все остальные выстрелы в двойку направил. Всего в сумме у меня девять очков получилось.
- А приз твой где? - не унимается Матроскин.
- Подожди с призом, - останавливает кота дядя Фёдор. - Ты, Шарик, что-то напутал, так быть не может.
- Почему дядя Фёдор решил, что Шарик ошибся?
Тишина. Дети уже поняли, что задача не то, чтобы сложная, а, скорее, непривычная и просто так не решается. Наконец, первый вопрос:
- Дядя Боря, а как это так «почему»? В задачах всегда спрашивают «сколько?». Разве в задачах так бывает?
- Бывает. И не только в задачах. Когда ты опоздаешь на урок, то тебя можно спросить: «На сколько минут ты опоздал?». А можно и так спросить: «Почему ты опоздал на урок?».
- А почему дядя Фёдор решил, что Шарик ошибся? - спрашивает Оля.
- Так это же вопрос задачи, вам это и надо выяснить.
- Конечно, я неправильно спросила, - поправляется Оля. - Шарик ведь не сказал, сколько раз он стрелял по мишени.
- Попробуем решить другую задачу. Сколько будет, если к десяти прибавить десять?
- Двадцать! Конечно, двадцать!
- И ещё прибавить десять?
- Тридцать!
57


- И если дальше будем прибавлять только десятки, то на какую цифру сумма будет оканчиваться?
- На ноль! На ноль! Всегда на ноль.
- Прекрасно! Теперь представим, что я сложил несколько десяток и получил в сумме девяносто три. Что вы на это скажите?
- Вы ошиблись! Девяносто три на цифру три кончается, а у Вас в сумме последней цифрой ноль должен быть.
- Вы знаете, сколько я десяток складывал?
- Нет, не знаем.
- А то, что я ошибся, вы определили! Вернёмся к Шарику и дяде Фёдору. Ты, Оля, попробуй нарисовать мишень, в которую пёс Шарик стрелял.
- А можно я тоже нарисую? Я тоже хочу нарисовать. И я!
Знакомая картина: все дети стоят у доски и увлечённо рисуют. Мишени у всех получаются разные.
1
2
Выбираем рисунок Саши.
- Покажи, как два выстрела в единицу попали, пробоины отметь точками или крестиками.
Саша ставит крестики, и все ставят крестики на своих мишенях.
- Теперь показывайте, как выстрелы в середину попадали и считайте, какая сумма очков получалась у Шарика после каждого выстрела.
1
• 1
58


- Дядя Боря, у меня никак девять очков не получается, - раньше всех сосчитал Костя. - Или восемь, или десять, а девять никак не получается.
- У кого-нибудь получилось?
- У меня не получается.
- И у меня тоже не получается девять очков.
- Значит, и правда, Шарик ошибся, - заявляет Дима, - он никак не мог девять очков набрать.
- Расскажи, как ты к этому пришёл?
- Очень просто. Шарик двумя выстрелами в единицу попал, они в сумме два очка дают. Каждый выстрел в середину тоже два очка даёт. А два прибавить два и ещё два, и ещё - никак девять не получится. В сумме получаются только чётные числа, а девять - число нечётное.
- А как девять очков получить можно?
- Девять очков будет, если Шарик только один раз в единицу попадёт, - сообщает Катя, - а остальные - в двойку. Или три раза в единицу, а остальные - в двойку.
- Как это сказать про все варианты, которые при такой стрельбе случиться могут?
- Сумма будет нечётная, если в единицу нечётное число раз попали, - говорит Александра, - а в двойку - сколько угодно раз. Сумма будет чётная, если в единицу попали чётное число раз.
- Или ни разу не попали, - добавляет Катя.
- Так в чём же ошибся Шарик? - обращаюсь ко всем сразу.
- Он неправильно сумму сосчитал, - сразу отвечает Валя.
- И всё? Он мог ещё где-нибудь ошибиться?
- Шарик мог неправильно пересчитать свои попадания в единицу, - добавляет Тамара.
27 марта.
- Шарик охотился с фоторужьём, помните? Первого же зайца он встретил у крыльца своего дома. Заяц от Шарика стал удирать, а тот, естественно, пустился за зайцем в погоню. Бегали они часа два, а сфотографировать зайца удалось Шарику прямо у того-же крыльца, откуда погоня началась.
- Сильно притомился? - спрашивает Шарика кот Матроскин.
- Загонял он меня, - отвечает Шарик. - Устал и промок, семь раз из-за этого зайца через ручей наш перебирался. Мостов нет, так всё вброд и вброд.
- Ты, Шарик, опять чего-то напутал, - замечает дядя Фёдор, - не мог ты семь раз через ручей перебираться.
59


- Как так не мог? - удивляется Шарик. - Перепрыгнуть, точно, не мог. Ручей широкий, но мелкий, его вброд легко перейти можно.
- Перейти вброд ты его можешь, - соглашается дядя Фёдор, - но только не семь раз.
- Кто же прав: Шарик или дядя Фёдор?
- Раз Вы такую задачку даёте, то прав дядя Фёдор, - сразу отвечает Дима.
- Пожалуй, ты прав, - приходится соглашаться с Димой. - Но ведь дядя Фёдор не видел этой погони, а ошибку Шарика сразу заметил. Почему? Попробуйте нарисовать дом, ручей и путь зайца и Шарика.
Рисовать любят все, и через несколько минут на доске десяток Шариков гонялся за десятком зайцев, путаясь в фоторужьях, домиках и ручьях, так что разобраться в происходящем не было никакой возможности. Оставляю у доски Валю и Тамару. Они быстро наводят порядок и объясняют свою картину.
- Домик, ручей, заяц и Шарик. А куда они побежали?
- Через ручей, потом обратно, потом опять через ручей... рисуйте и считайте, сколько раз они ручей пересекали.
Валя ведёт линию от домика на другую сторону ручья, потом поворачивает и возвращается, а дети хором считают.
- Один, два, три, четыре...
- Я всё понял, - Саша выходит к доске. - После первого, третьего и пятого брода они на той стороне ручья оказываются, а после второго и четвёртого они возвращаются на тот берег, где домик стоит. Значит...
Останавливаю Сашу и прошу кого-нибудь продолжить.
- Чтобы вернуться к домику, - говорит Лена, - Шарик должен был перейти ручей шесть или восемь раз, а после семи раз он на другом берегу оказался.
- Чтобы вернуться к домику, - уточняет Александра, - он должен был чётное число раз ручей пересекать. Значит, Шарик ошибся.
3 апреля.
Оля предлагает решить свою задачу.
- Мальчик купил несколько карандашей по 2 копейки штука и 6 одинаковых тетрадей. Мама спросила, сколько он заплатил, и он ответил: «27 копеек». «Ты ошибся», - сказала мама. Почему она так решила?
- А цена тетрадей какая? - сразу спрашивает Костя.
- Мальчик не помнил.
- Где ты видела, чтобы один карандаш всего две копейки стоил? - усмехается Дима.
60


- Я этого не видела, так в книжке написано. Дядя Боря, а разве такие цены бывают?
- Такие цены были ещё несколько лет назад. Копейка была самой маленькой денежной единицей, поэтому любую сумму можно было выразить целым числом копеек. При нынешних ценах эта задача выглядит так. Мальчик купил несколько карандашей по 2 рубля штука и 6 одинаковых тетрадей. Цена тетрадей выражается целым числом рублей. Мама спросила, сколько он заплатил, и он ответил: «27 рублей». «Ты ошибся». Почему мама так решила? Приходится делать замечание, что тут нет копеек, а только рубли.
- Но мы не знаем, сколько карандашей купил мальчик, - задумчиво говорит Валя.
- И цену тетрадей не знаем, - вторит ей Тамара.
- А сколько мальчик мог заплатить за карандаши? - задаю наводящий вопрос.
- Как это сколько? - удивляется Саша. - Сколько угодно! Всё зависит от того, сколько он этих карандашей купил...
- Один рубль он мог заплатить?
- Нет. Один карандаш уже два рубля стоит.
- Кажется, я понял, - вступает в разговор Дима. - За карандаши мальчик мог заплатить два, четыре, шесть... Подождите, я сейчас напишу.
Дима пишет на доске, а за него продолжает Катя.
- А за тетради он мог заплатить только шесть, двенадцать, восемнадцать или двадцать четыре рубля.
- Правильно, - поддерживает её Дима и выписывает эти числа рядом со своими.
24 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 6 12 18 24
- Вот! - продолжает Дима, - Берём одно число из верхнего ряда, другое - из нижнего и складываем. Никакая пара в сумме 27 не даёт. Значит, мальчик ошибся.
- И вовсе не обязательно было все числа выписывать, - возражает Лена. - За карандаши он заплатил чётное число рублей, потому что каждый карандаш 2 рубля стоит. И за тетради он заплатил чётное число, потому что их 6. А два чётных числа в сумме только чётное число дать могут. Вот мама и решила, что её сын ошибся.
61


10 апреля.
- Кощей Бессмертный, отправляясь на поединок с Иваном Царевичем, вызвал себе на подмогу отряд Змеев Трёхголовых. Легендарный Змей Горыныч, командир этих Змеев, докладывает Кощею: «Так, мол, и так... всё у нас в порядке, да вот только все головы шапки дома оставили, новые нужны». И просит выдать 7 фуражек, 4 тюбетейки, 11 ушанок, 3 шляпы, 5 кепок и 7 лыжных шапочек «Спартак».
- Все твои бойцы здоровы? - спрашивает Кощей. - У всех головы целы?
- Так точно! - рапортует Горыныч. - У каждого все три головы на месте.
- Тогда грамоте подучись, - говорит Кощей, - считаешь плохо.
Почему Кощей Бессмертный сделал вывод, что Змей Горыныч
плохо считает?
- Очень просто, - сразу отвечает Миша. - Только 3 шляпы Трёхголовым Змеям подходят. А все остальные шапки на 3 не делятся.
-- Ну и что, что не делится, - возражает Лена. - Все три головы могут одеваться, как хотят. На первой голове - ушанка, на второй - тюбетейка, на третьей - шляпа.
- Совсем не обязательно, чтобы на всех трёх головах были одинаковые головные уборы, - поддерживаю Лену.
- Так мы сейчас всех змеев в шапках нарисуем, - предлагает кто-то. Естественно, все его поддерживают.
Усаживаю всех на места и предлагаю Насте покрыть головы этим змеям так, чтобы выполнялось условие задачи. Настя рисует, остальные считают и дают советы. Наконец выясняется, что 12 трёхголовых змеев будут обеспечены головными уборами полностью. Останется лишний головной убор, или у тринадцатого змея две головы будут без головного убора. Остальные нарисованные змеи остаются и вовсе с непокрытыми головами.
- Скажите, - обращаюсь к детям, а можно было определить это без рисунков?
- Конечно, можно, - говорит Катя. - Если сложить все эти шапки, то их 37 штук будет. При делении на 3 получается 12 и остаток 1.
- Дядя Боря, - оправдывается Валя, - просто очень хотелось Трёхголовых Змеев на доске порисовать.
17 апреля.
- Ожидая гостей, Мальвина отправила Пьеро в магазин за разными сладостями. Пьеро пошёл в магазин Дуремара и купил 8 оди¬
62


наковых конфет и несколько бутылок кваса по цене 4 рубля за бутылку.
- Сколько ты заплатил Дуремару за покупку? - спросила Мальвина.
- Сорок два рубля.
- Дуремар тебя обсчитал!
Почему Мальвина так решила? (Все цены выражаются в целых рублях, копеек нет.)
- Такую задачу мы уже решали, - уверенно заявляет Саша. - Сейчас проверим. За конфеты он заплатил чётное число рублей и за бутылки с квасом тоже чётное. Значит, и сумма должна быть чётной, а в задаче...
- В задаче сумма как раз чётная, - продолжает Оля. - Надо, как Дима в прошлый раз, все возможные суммы выписывать. Если одна конфета стоит рубль, то за все конфеты Пьеро 8 рублей должен заплатить, если одна конфета стоит два рубля, то 16 рублей...
- А за квас он должен заплатить четыре рубля, если всего одна бутылка, - поддерживает Олю Александра. - А если десять бутылок, то 40 рублей.
Оля выходит к доске, все остальные ей подсказывают.
Конфеты 8 16 24 32 40 48
Квас 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
- Как эти числа не складывай, 42 не получится, - объясняет таблицу Оля. - Значит, Мальвина права, Дуремар обсчитал бедного Пьеро.
- Почему вы отказались от способа, предложенного Леной на прошлом занятии?
- Потому что здесь все числа чётные, и слагаемые, и сумма, - отвечает за всех Дима, - а тогда сумме была нечётная, хотя все слагаемые были чётными.
- А вспомните, как мы рассуждали, когда десятки складывали.
Небольшая пауза. Тишину нарушает Катя.
- В этой задаче все слагаемые на 4 делятся, значит, и сумма должна на 4 делиться. А 42 на 4 не делится без остатка.
24 апреля.
- Отправляя в следующий раз Пьеро в магазин к Дуремару, Мальвина выдала ему несколько купюр (бумажных денег) и велела купить 5 одинаковых тортов, 35 одинаковых жевательных резинок, 15 одинаковых шоколадок и 10 порций мороженного. Пьеро
63


купил всё, что его просили, и вернул сдачу Мальвине. Та насчитала в сдаче 17 копеек и, не пересчитывая рубли, заявила Пьеро, что Дуремар опять его обсчитал. Почему она так решила?
- Дядя Боря, а сколько Мальвина выдала денег Пьеро?
- Сколько сдачи Пьеро принёс?
- Мы не знаем, сколько Пьеро заплатил за свои покупки.
- Или сколько он должен был заплатить.
Каждый раз, встречаясь с подобными задачами, дети стремятся выяснить, не пропущено ли какое-нибудь число в начальных данных. Поверив на слово, что приведённых начальных данных вполне хватит для решения задачи, дети приступают к обсуждению.
- Все слагаемые делятся на 5, - замечает Катя, - значит, и сумма должна делиться на 5. А вот сколько Пьеро заплатил, мы не знаем.
- Если бы Пьеро принёс сдачу без мелочи, одни рубли, могла бы Мальвина так сразу утверждать, что его обсчитали?
Подсказка не помогает.
- Один рубль можно на 5 без остатка разделить?
- Можно, 20 копеек получится, - никто не сомневается.
- Три рубля можно без остатка на 5 разделить?
- Конечно. Любое число рублей на 5 без остатка делится.
- А теперь обратите внимание: Дуремар взял с Пьеро целое число рублей и дал ему 17 копеек сдачи. Другими словами, Пьеро заплатил несколько рублей и 83 копейки... - жду реакцию детей.
- Правильно, - догадывается Саша. - Любое число рублей на 5 без остатка делится, а 83 копейки делятся на 5 с остатком. Мальвина правильно сказала, Дуремар обсчитал Пьеро.
- Дядя Боря, а мы по-другому рассуждали, - предлагает своё решение Тамара. - Надо все рубли в копейки перевести. Один рубль -100 копеек. Тогда вся сумма, заплаченная Пьеро, на 87 оканчиваться будет и на 5 никак делиться не может.
7 мая.
У следующей задачи мы рассматривали несколько вариантов условия. Детям понравился такой вариант.
Когда Мальвина отправляла Буратино в магазин, она прихорашивалась у зеркала и, вынув из кармана деньги, дала их Буратино, даже не взглянув на них. Вернувшись, Буратино доложил:
- Я купил 3 красивых чашки, 12 тетрадей в клеточку, 9 тетрадей в линеечку, 6 ластиков, 3 торта, 18 конфет, 9 красных роз.
- Сдачу положи у зеркала, - приказала Мальвина.
64


Почему она была уверена, что Буратино должен принести сдачу?
Довольно быстро мы выяснили, что сумма потраченных Буратино денег должна обязательно делиться на 3 без остатка. При этом предполагалось, что чашки все три одинаковые, тетради - одинаковые, торты - одинаковые и т.д.
- Мальвина выдала Буратино на покупки 100 рублей, - сразу предлагает своё решение Костя, - а сто рублей на три не делятся, даже если их в копейки перевести.
- Но ведь Мальвина не знала, сколько денег она выдала Буратино, - возражает Настя. - Мальвина на деньги даже не взглянула.
- Ну, тогда она ему 50 рублей выдала, не сдаётся Костя. - Пятьдесят рублей тоже на 3 не делятся без остатка.
- Мальвина могла ему выдать и двадцать рублей, и двести, - замечает Александра. - Они тоже на 3 не делятся.
- Значит, Мальвина знала, что выдала Буратино такое число рублей, что на 3 не делится, - предполагает Катя.
- Но она же не считала деньги, - напоминает Настя.
- А что точно Мальвина могла знать? Оля, определи с закрытыми глазами, сколько я тебе листочков бумаги дам, - протягиваю Оле несколько листочков.
- Три листочка, - быстро отвечает Оля. - Ну и что?
- А вот что, - за меня отвечает Лена. - Она Буратино только одну бумажку выдала на покупки. А одна бумажка может быть 10 рублей, 50 рублей или 100 рублей. Они как раз на 3 и не делятся.
- Ещё 500 рублей бывает одной бумажкой, - замечает Валя.
- И пятирублёвые бумажки бывают, - дополняет подругу Тамара.
- Правильно, - подводит итог Саша. - 5,10, 50, 100 и 500 на 3 без остатка не делятся. Если Мальвина выдала одну бумажку, то точно знала, что должна быть сдача.
- Но только после того, как Буратино рассказал ей, чего и сколько он купил, - продолжает Катя. - Только после этого она узнала, что все слагаемые на 3 делятся.
65


НА ТРОИХ
11 марта.
- Илья Муромец и Соловей Разбойник нашли клад - много-мно- го серебряных монет. Все монеты одинаковые. Оба они неграмотные и считать не умеют. Хотят поделить они эти монеты поровну, а как - не знают. Обратились они за помощью к Василисе Премудрой. Что она им посоветовала?
- А сколько было всего монет? - сразу спрашивает Дима.
- Монет было очень много - целая бочка. Считать - не пересчитать, да они и считать-то не умели.
- Им на весах монеты взвесить надо, - предлагает Лена. - Как на рынке. Положить монеты на две чашки и перекладывать с одной стороны на другую, пока весы не покажут одинаковый вес.
- Весов у них не было. Пусть спички заменят монеты. Рассаживайтесь парами и попробуйте разделить эти спички поровну.
Высыпаю на парты спички. Многие начинают их пересчитывать.
- А ломать спички можно? - спрашивает Катя и сразу предлагает своё решение. - Надо каждую спичку разломать точно пополам, тогда у нас с Олей будет поровну.
- Спички легко ломать, - опережает меня Саша, - ты монету сломай попробуй.
- Монеты раньше не ломали, а рубили, - возражает Александра. - Это чтобы мелкие деньги были. От этого название рубль появилось. Нам на Москвоведении рассказывали.
- Одну монету ещё можно разрубить точно пополам, - поддерживаю Сашу. - Но монет много и разрубить так каждую - дело хлопотное, если, конечно, нет специального приспособления. Может, всё-таки есть способ проще?
- Я знаю. Мы с сестрой так конфеты делим, - вступает в обсуждение Настя, - одну конфету мне, вторую - Ане. И так продолжаем, пока конфеты не кончатся.
- Правильно! - поддерживает её Саша. - Пусть Илья Муромец с Соловьём Разбойником берут по очереди по одной монете, тогда всё справедливо будет. Сейчас мы с Димой быстро эти спички поделим, смотрите.
Но раньше успевают поделить свои спички Валя с Тамарой.
66


- У нас одна спичка ничья осталась. Что с ней делать?
- Одну монету можно и разрубить, - предлагает Костя.
- Или отдать Василисе Премудрой, - говорит Оля.
18 марта.
- Илье Муромцу и Соловью Разбойнику снова повезло. Они нашли другой клад. На этот раз были не только монеты, но и дорогие украшения и другие драгоценности. Как им поделить клад?
- Пусть опять по очереди берут монеты и драгоценности, - предлагают сразу несколько человек.
- Нет, так нельзя, - возражает Саша. - Монеты все одинаковые были, а украшения - они же разные.
- Ношли они к Василисе Премудрой, а та говорит: «Все драгоценности тут разные, и если поровну делить, то и я могу ошибиться. Но как поделить клад, чтобы вы оба довольны были, - я знаю». Что им посоветовала Василиса Премудрая на этот раз?
- А разве так может быть, чтобы не поровну, а довольны оба?
- Попробуем разобраться в такой ситуации. Мама дала своим детям, брату и сестре, 20 рублей на игрушки. В магазине есть машинки за восемь рублей, дудки - за десять и куклы - за двенадцать. Если брат и сестра поделят деньги поровну, то что они смогут каждый себе купить?
- По дудке, - отвечают почти хором.
- Мальчик может машинку купить, - добавляет Александра.
- Девочка вряд ли будет довольна такими покупками, хотя деньги они поровну поделили. Зато если они купят и машинку, и куклу, то довольны будут оба. На брата будет потрачено 8 рублей, а на сестру - 12. Но вернёмся к нашим героям. Как посоветовала Василиса Премудрая им клад делить? Рассаживайтесь парами и попробуйте клад разделить.
- А где мы его возьмём?
- Нарисуйте. Примерно так:
- Это клад. И я считаю, что по этой линии он будет поделён правильно. Может кто-то хочет поделить клад по-другому? Попробуйте.
Через несколько минут своё решение предлагают Валя с Тамарой.
- Смотрите, - говорит Валя и рисует на доске «клад». - Я его делю, а Тома выбирает ту часть, которая ей больше нравится.
67


- Вот здорово! - комментирует Саша. - Раз я делю, то считаю, что обе части одинаковые, а Дима выбирает ту часть, которая ему больше нравится. И мы оба довольны.
- А если Лена разделит так, что одна часть будет намного больше другой, - продолжает Катя, - то я большую и возьму.
- Значит, тот, кто делит, будет стараться сделать так, чтобы обе части одинаковыми получились, - говорит Дима. - По крайней мере, он будет доволен любой частью. А второй выберет ту часть, которой он доволен.
25 марта.
- Попробуем разобраться, есть ли достаточно справедливые способы поделить клад на большее число желающих. Начнём с трёх таких желающих.
- Можно так же, как в прошлый раз, - сразу предлагает Саша. - Соловей Разбойник пусть начинает делить, Илья Муромец продолжает, а ... кто был третьим... Красная Шапочка начинает выбирать. После неё выбирает Илья Муромец, а Соловей Разбойник забирает то, что осталось.
- Проверим. Ты, Саша, будешь Соловьём Разбойником, я - Ильёй Муромцем, а Лена будет Красной Шапочкой.
Рисую на доске «клад» и протягиваю Саше мел.
- Дели. И поставь единичку на той части, которую отделишь.
Саша проводит линию, отделяя, как ему кажется, третью часть.
- А теперь мы с Красной Шапочкой договоримся, что поделим пополам то, что нам достанется. Согласна?
Отделяю маленький кусочек «клада» и ставлю там двойку, а оставшуюся часть отмечаю тройкой и обращаюсь к Лене.
- Которую часть выбирает Красная Шапочка?
68


- Конечно ту, где тройка.
- А Илья Муромец забирает единичку. Потом мы, то есть Красная Шапочка и Илья Муромец, то, что нам досталось, сложим и пополам разделим, а Соловью Разбойнику почти ничего не достанется.
- Что же делать? - спрашивает Дима.
Рисую на доске «клад» довольно причудливой формы и объясняю процесс предстоящего раздела.
- Я буду вести указку по «кладу». Как только кому-то из вас понравится та часть «клада», которая будет справа от указки, тот сразу говорит «мне» и получает эту часть. Потом продолжаем то же самое, но уже без него. Попробуем?
Первая попытка оказалась не вполне удачной, но со второго раза мы успешно разделили «клад» так, что каждый получил понравившуюся ему часть.
1 апреля.
Лиса Алиса и Кот Базилио захотели кушать. У Кота было три картофелины, а у Лисы - две. Нашли они старую мятую кастрюлю, набрали в луже воды, развели костёр и сварили из всех пяти картофелин пюре. А тут как раз появился Буратино. В кармане у него что-то позванивает.
- Друзья, - радостно закричал он, - можно я с вами покушаю?
- А денежки у тебя есть? - спрашивает Лиса, - за еду платить надо.
- Есть! Мне Карабас-Барабас вот сколько дал, - отвечает Буратино и достаёт из кармана пять золотых монет.
- Давай их сюда и садись с нами. Этих монет как раз хватит за твою порцию расплатиться.
Покушали они. Отдал Буратино свои пять монет Коту и Лисе и ушёл сытый и довольный. Лиса и Кот стали монеты делить.
- Надо поровну, - говорит Лиса. А Кот в школе никогда не учился, арифметики не знает, складывает и вычитает всегда с ошибками, а делить и подавно не умеет, но чувствует, что тут какой-то подвох.
- У меня три картофелины было, - заявляет он, - значит, мне три монеты полагается. А твоих, рыжая, было две штуки, значит, тебе - две монеты.
69


Такие умственные рассуждения у них всегда дракой заканчивались, так и в этот раз получилось. Так кто из них был прав и как правильно надо было разделить эти монеты между Лисой и Котом?
- Конечно, поровну. А как же ещё? - почти хором откликаются Валя и Тамара, Но Саша с ними не согласен.
- Кот Базилио прав, - заявляет он, - у него три штуки картошки было, а у Лисы - две. Так и делить надо: три монеты отдать Коту, а две - Лисе.
- Саша прав, и Кот Базилио прав - они оба правы, - соглашается Катя.
- Все так думают? И Валя, и Тамара? Тогда немного упростим условие задачи. Пусть сначала у Кота было две картофелины, а у Лисы - только одна. И Буратино им за свою порцию заплатил три золотых. Как в этом случае надо поделить монеты между Лисой и Котом?
- Две монеты надо отдать Коту, а третью - Лисе. - С этим согласны все.
- Кто попробует объяснить?
- Можно я? - встаёт Лена. - Саша уже говорил: как в первом случае. У Кота были две картошки, а у Лисы - одна. Всего получаются три штуки, и золотых монет тоже три, за каждую картошку по одной монете. Значит, Коту полагаются две монеты, а Лисе - одна.
- А чью картошку съел Буратино?
- Как так - чью? - не понимает Лена.
- На троих были три картошки. Сколько картошек съела Лиса?
- Ясно сколько! Одну!
- Значит, можно считать, что она съела свою картошку. А чью же тогда картошку съел Буратино?
- Получается, что Буратино съел картошку Базилио. И все три монеты надо отдать Коту. Правильно?
- Правильно. А теперь вернёмся к пяти картофелинам.
- Дядя Боря, а пять на три не делится, - замечает Саша. - Что же нам делать?
- Как разделить пять на три вы узнаете со временем, а сейчас попробуем разделить картофелины на рисунке. Мы уже так решали задачи, помните?
-Да. Мы так задачу про подъезд решали, - первой вспоминает Катя. - Определяли, в каком подъезде Шапокляк живёт.
- И ещё про жирафов и слонов, - добавляет Валя.
- Очень хорошо. Нарисуем пять картофелин и каждую разделим на три части. Потом отметим какими-нибудь значками или лучше буквами, кто какой кусочек съел.
70


Все рисуют на доске, получается примерно так:
- Как у нас получилось? Сколько кусочков на каждого пришлось? Поровну?
- По пять кусочков каждому досталось, - первой откликается Катя. - Но посмотрите, дядя Боря, у нас все картошки нарисованы разные и кусочки все разные получились. Значит, они не поровну поели.
- Катя правильно заметила, что картофелины нарисованы разные и отдельные кусочки-разные. Нарисованы. Но в задаче ничего не говорится про размер картофелин, значит, эти картофелины надо считать одинаковыми. И кусочки, на которые мы их разрезали, тоже надо считать одинаковыми. Так принято - если про размер картофелин ничего не говорится, то их надо считать одинаковыми. Конечно, это относится не только к картошке. Например, кондитерская фабрика отгружает свои конфеты в железнодорожные вагоны. Если про размер вагонов ничего не говорится, то они считаются одинаковыми. Но вернёмся к нашим героям. Сколько картофелин было у кота Базилио?
- Три! У Базилио были три картошки.
- Так давайте их нарисуем, разделим каждую на три части и отметим буквой К те пять кусочков, которые съел сам Кот.
На доске появляются три картофелины, принадлежащие Коту Базилио.
- Теперь проделаем тоже самое с двумя картофелинами Лисы Алисы. Отметим буквой Л те пять кусочков, которые Алиса съела сама.
к
л
71


- Сколько пустых кусочков у Кота осталось?
- Четыре, - первой сосчитала Тамара. - У него в трёх картошках девять кусочков было, пять он сам съел, а четыре осталось.
- А эти четыре кусочка кто съел?
- Лиса! Буратино! Откуда мы знаем?
- Так давайте посмотрим на картофелины Лисы. Сколько у неё кусочков было?
- Шесть.
- Из них она сама съела... тут же буквы написаны.
- Пять, а один пустой остался.
- И что же получилось? Кот Базилио пять своих кусочков съел, и Лиса Алиса пять своих съела. А кто же пустые съел?
- Буратино! Конечно, Буратино! И ровно пять штук.
- Сколько он за каждый съеденный кусочек заплатил?
- За пять кусочков он пять золотых заплатил, значит, за каждый кусочек Буратино по одному золотому отдал.
- Вспомним вопрос задачи. Как правильно разделить пять золотых между Лисой и Котом? Кто ответит?
- Всё понятно, - первым сообразил Саша. - Буратино съел четыре кусочка у Кота, значит, Коту полагается четыре золотых. У Лисы он съел один кусочек, значит, Лисе надо один золотой отдать.
На рисунке это выглядит так:
72


ОСТОРОЖНО, ЗАДАЧА!
7 апреля.
-Дядя Боря, нам задачу на дом задали. Посмотрите, пожалуйста, мы правильно её решили?
- Посмотрим вместе. Диктуйте условие.
- Токарь обрабатывает на станке две детали за шесть минут. За сколько минут он обработает пять деталей? У нас в ответе получилось пятнадцать минут. Правильно?
- Конечно, правильно, - вступает в разговор Саша. - Две детали токарь делает за шесть минут, значит, на одну деталь у него уходит три минуты. А пять деталей будут готовы через пятнадцать минут. Такие задачи все очень легко решаются.
- Легко, согласен, вы решали задачи и посложнее. Но к ним надо подходить осторожно. Решения бывают разными.
- Как это - осторожно? - удивляется Катя. - Разве у одной задачи могут быть два разных решения?
- Составим задачу сами. Саша, ты любишь пирожные?
- Люблю! Вы ещё спрашиваете.
- За сколько минут ты съешь одно пирожное?
- Быстро. Минуты за две, а может, и быстрее.
- Будем считать, что ты управляешься с одним пирожным ровно за две минуты, - и спрашиваю уже у всех, - за сколько минут Саша съест десять пирожных?
- Ясно, за сколько - за двадцать минут, - первым отвечает Дима. - На десять очень легко умножать. Надо только нолик приписать к числу, которое на десять умножаешь - и всё.
- И на сто легко умножать, - добавляет Тамара, - два нолика приписать. Нам это на уроке математики объясняли.
- А когда на тысячу умножаешь, - продолжает Валя, - три ноля.
- Тогда вам нетрудно сосчитать, сколько Саше понадобится минут на сто пирожных.
- Двести! Двести минут! Чего здесь сложного? Разве у этой задачи два решения? Осторожничать-то зачем? Где ошибка?
- Ошибки нет. Два умножить на сто действительно будет двести. Двести минут - немногим больше трёх часов, а сто пирожных - примерно, десять килограмм. Интересно, на каком пирожном Саша запросит
73


пощады? За месяц любой из вас сотню пирожных съест, а за три часа... Вот и получается, что ошибки нет, а решение неправильное.
- А правильно как?
- Подумайте сами.
14 апреля.
- Дядя Боря, а какие ещё бывают задачи, где надо быть осторожным?
- Осторожность, точнее внимательность, нужна при решении любой задачи, даже очень простой. Мы об этом ещё поговорим, а сейчас вспомним, как мы решение задачи рисовали. Про Незнайку и его друзей читали? С ними приключилась такая история.
- Однажды великие мастера Винтик и Шпунтик сделали в подарок ко дню рождения музыканта Гусли пианино. К дому Гусли пианино на специальных колёсиках подвезли, но на пятый этаж, а Гус- ля жил как раз на пятом этаже, поднять вдвоём не могут. Позвали на помощь друзей и всей компанией принялись в подъезде по лестнице поднимать. Делают это неспеша, осторожно, чтобы ничего не поломать и не поцарапать. Командует, конечно, Знайка. Так они подняли пианино на третий этаж за три часа, а надо на пятый. И тут Пончик стал что-то вспоминать.
- Ребята, - говорит он, - через два с половиной часа по телевизору мультфильм про нас показывать будут. Боюсь, не успеем.
Знайка стал что-то быстро на бумажке подсчитывать.
- Успеем, - отвечает, - а Пончик ещё перекусит до мультфильма.
Кто прав, Пончик или Знайка? Какие расчёты проделал Знайка, и что в ответе у него получилось?
- Чего тут решать? - первым подаёт голос Костя. - На третий этаж за три часа подняли, значит, на пятый за пять часов поднимут. На мультфильм успеют.
- Ты подожди радоваться, - возражает Катя, - вспомни Сашу с пирожными. Пока коротышки на третий этаж пианино поднимали, они устали, так что дальше дело медленнее пойдёт.
- Замечание Кати правильное. Но в этом случае будем считать, что друзей было много, они по очереди отдыхали и скорость подъёма не уменьшалась.
- Тогда Костя прав, - соглашается Оля, - они к мультфильму успеют пианино поднять на пятый этаж.
- А зачем же дядя Боря предлагал рисовать решение? - Лена, пожалуй, единственная сомневается в словах Кости. - Нет, здесь что-то не то. Может, попробуем?
74


Особого приглашения никому не требуется, и через несколько минут на доске вырастает новый микрорайон. Для решения выбираю рисунок Тамары.
- Вы помните, что коротышки назывались коротышками, потому что все были маленького роста. Пусть каждый этаж у них в доме будет высотой в один метр. Где находилось пианино перед началом работы?
- Перед подъездом. На земле.
- На первом этаже.
- Точно, - спешу зафиксировать эту мысль. - У нас задача про этажи. Нарисуем пианино на первом этаже. Пианино можно просто квадратиком обозначить, а сам квадратик поместить рядом с домом, главное, чтобы на правильной высоте был. А теперь поднимем пианино на второй этаж, вот сюда. На сколько метров мы его подняли?
- На один! На один!
- Правильно, запишем рядом с домом. А теперь поднимем ещё на один этаж, и значит, ещё на один метр. Нарисуем. На каком этаже теперь наше пианино?
- На третьем.
- А на сколько метров мы его подняли?
- На два. Один плюс один будет два. На два метра.
- Сколько времени у коротышек на это ушло?
- Три часа.
_4_
3
2
Т
75


- Теперь поставим пианино на третий этаж и отметим расстояние между этажами. На сколько его ещё предстоит поднимать?
- На два метра. На два этажа, значит, на два метра.
- Ого! Значит, ещё три часа на это уйдёт. Выходит, Пончик не зря волновался.
- А Знайка считал так же, как и Костя. Правильно, дядя Боря?
21 апреля.
- Стоит столбик, на его верхушке любимое лакомство улиток. Две улитки ползут по столбику к этому лакомству. Первая за день поднимается на десять сантиметров, а ночью спит и сползает вниз на девять сантиметров. Вторая улитка экономит силы и за день поднимается на четыре сантиметра и, благодаря сохранившимся силам, во сне сползает вниз только на два сантиметра. Высота столбика - двенадцать сантиметров. Какая улитка раньше доберётся до лакомства?
Миша обычно молчит и слушает, но тут опережает всех.
- Одна улитка ползёт вверх на десять сантиметров, а опускается на девять - значит, всего на один сантиметр она за день поднимается. Столбик высотой двенадцать сантиметров она преодолеет за двенадцать дней.
- А другая улитка за один день на два сантиметра поднимается, - подключается Настя.
- Значит, она за шесть дней на столбик заберётся, - продолжает Валя и делает вывод. - В гонках по вертикали победу одержала вторая улитка.
- Нет, тут что-то не так, - возражает Саша. - Надо подумать. Может попробовать нарисовать?
Девочки старательно выводят улиток, у мальчиков лучше получаются столбики. Попытки обозначить передвижение улиток приводят к немыслимому переплетению всевозможных линий.
76


Наконец, Саша догадывается разнести улиток на разные столбики.
- Какая разница, кто где ползёт? - объясняет он. - Важно определить, кто раньше окажется на нужной высоте. Смотрите, в первый день первая улитка поднимется до отметки десять сантиметров, а вторая - до четырёх.
- Ночью первая сползёт до отметки один сантиметр, вот сюда, зато на следующий день поднимется ещё на десять сантиметров. Вечером второго дня она окажется на высоте одиннадцать сантиметров. Вторая улитка за ту же ночь сползёт до двух сантиметров и на второй день поднимется до шести сантиметров.
Останавливаю Сашу и прошу кого-нибудь продолжить его рассуждения. Продолжает Лена.
- За ночь первая улитка скатится вот сюда, до двух сантиметров, а к концу третьего дня окажется на двенадцати сантиметрах. И всё съест. А вторая улитка опустится до четырёх сантиметров, а потом поднимется до шести. Вот сюда.
- Значит, первая всё-таки быстрее поднимется, - подводит итог Миша.
12
10
)
77


СНОВА ПАЛОЧКИ
23 сентября.
- Помните, в прошлом году мы с вами в палочки учились играть?
- Помним. Конечно, помним.
Новеньких нет, значит, идею игры и её правила напоминать не надо.
- Я в нашем классе всех ребят обыграл, - сообщает Дима.
- А мы с Валей летом в лагере были, на Волге, - вступает в разговор Тамара. - Так мы там в палочки на компот или на булочку играли.
- Ну, ты-то больше меня съела булочек, - добавляет Валя.
- Конечно. С тобой никто играть не хотел, потому что ты всё время выигрывала. А я иногда специально проигрывала, вот со мной и играли.
- Да, хорошо играть тоже уметь надо, - задумчиво произносит Саша.
- Давайте опять сыграем в палочки. - Предлагаю и жду ответной реакции. Так и есть.
- А чего играть? - первым отвечает Саша, - разложим палочки, посчитаем, и сразу будет ясно, кто выиграл.
- Конечно, - поддерживает его Оля, - с тем, кто умеет, играть скучно.
- А с тем, кто не умеет, - подхватывает Лена, - играть неинтересно.
- А мы изменим правила, смотрите. - И раскладываю на столе палочки в два ряда.
- Как и раньше, палочки берём по очереди. Брать можно только из одного ряда сколько угодно палочек. Кто берёт последнюю - тот проиграл.
- Хоть все сразу?
- Пожалуйста, бери, но только из одного ряда.
- А из другого когда можно будет брать?
- Когда твой ход будет. Хочешь - берёшь из одного ряда, хочешь - из другого, но только из какого-нибудь одного. Следующий твой ход будет - опять можешь брать из любого ряда. Попробуем поиграть с Катей. Начинай.
Катя пересчитывает палочки и, немного подумав, берёт одну из первого ряда. Ответным ходом беру две тоже из первого ряда, Катя берёт
78


одну из второго ряда, я - одну из первого. В каждом ряду остаётся по семь палочек.
IIIII! IIIIII
Следующим ходом Катя оставляет во втором ряду одну палочку.
1111
В свою очередь забираю все палочки из первого ряда, и на столе остаётся одна, последняя палочка. Катя проиграла.
Очередь Саши. Первым же ходом он забирает все палочки первого ряда, оставляя на столе только один второй ряд.
циннии
Тут всё просто, из двенадцати палочек второго ряда забираю одиннадцать, Саша берёт последнюю.
- Сейчас я выиграю, буду брать по одной палочке, - объявляет Дима, раскладывает два ряда по двенадцать палочек и предлагает, - начинайте Вы.
Беру три палочки из второго ряда, Дима отвечает одной из первого.
шиш мшим
Беру две палочки из первого ряда, оставляя в каждом ряду по девять. Дима, как и обещал, каждый раз берёт по одной палочке. В ответ беру тоже по одной палочке, подравнивая ряды. Наконец, в каждом ряду остаётся по две палочки.
79


- Всё, проиграл. - После некоторого раздумья заявляет Дима и объясняет: «если я возьму из какого-нибудь ряда обе палочки, то дядя Боря возьмёт одну из другого. А если я возьму только одну, то дядя Боря аберёт обе из другого ряда».
- Правильно, - подхватывает Лена, - Катя и Саша точно так проиграли. Катя одну палочку оставила во втором ряду, дядя Боря сра^у все из первого забрал. Саша забрал все из первого, дядя Боря одну во втором оставил.
- Молодец, Лена. Вспомните, как мы игру в один ряд исследовали.
- Мы начинали с одной палочки, потом две палочки было, потом три.
- Точно. В следующий раз и с этой игрой так поступим.
30 сентября.
- В прошлый раз мы выяснили, что если в одном из рядов остаётся одна палочка или ни одной, то побеждает..., - выдерживаю паузу.
- ...тот, чья очередь хода, - продолжает Оля.
- Потому, что он сразу оставляет другого с одной палочкой, - поддерживает её Саша. - А если в каждом ряду по две палочки, то кто начинает, тот проигрывает.
- Почему? - сомневается Костя.
- Как бы он не ходил, в одном из рядов останется или одна палочка, или ни одной.
Саша рисует на доске:
- Есть желающие? - спрашивает он. Желающих нет. Раскладываю на столе:


- Выигрывает тот, кто начинает, - торопится Валя, - я беру одну палочку, и Вы проигрываете. Остаётся две и две, и вы начинаете.
Добавляю одну палочку во второй ряд.
- Кто начинает, тот проигрывает, - опять опережает всех Валя, - Вы берёте одну, и я - тоже одну, и всё.
Теперь в каждом ряду по четыре палочки.
- Какие будут предложения? Кто играет?
Ребята задумались. Первым решается Саша.
- Ходите.
Беру две палочки, и Саша тоже берёт две.
- Это мы уже проходили!
- Подумайте, как надо играть при любом числе палочек.
14 октября.
- Дядя Боря, мы сами поиграли в палочки в два ряда, и, кажется, догадались, как правильно играть.
Дима пришёл сегодня первым и торопится рассказать.
- Подожди, мы - это кто?
- Мы с Сашей.
- Очень хорошо! Сейчас придут остальные, и вы им объясните.
И вот Саша и Дима стоят у доски. Саша рисует два ряда палочек, тринадцать и одиннадцать.
- Смотрите, - говорит он, - я беру две палочки, и в каждом ряду остаётся по одиннадцать. Теперь ход Димы.
Он стирает две палочки и передаёт тряпку Диме.
- Если я возьму две палочки, - продолжает Дима и орудует тряпкой, - то и он возьмёт две. Если я возьму пять, то и он - пять.
- Ну и что из этого?
- А то, что я каждым ходом выравниваю ряды, - объясняет Саша, - пока в каждом ряду не останется по две палочки, а ход всё время его. Значит, он проиграл. Попробуйте сами.
Через несколько минут все убеждаются, что Саша и Дима правы.
- Дядя Боря, а как правильно играть в три ряда?
Вопрос застаёт меня врасплох.
81


- Никогда об этом не думал. Поиграйте в три ряда, может кто-нибудь придумает, как Дима с Сашей.
- А если играть втроем?
- Думаю, что если двое договорятся, то всегда обыграют третьего. Попробуйте, это интересно.
82


домино
3 сентября.
Первое занятие с новой группой. Дети совсем маленькие. Предлагаю им задачу - шутку про автобус и пассажиров, так легче установить контакт с новичками. И тут выясняется, что никто не умеет считать.
- Тогда попробуем играть в домино. Точнее, костяшками домино. Попробуйте сосчитать, сколько точек на этой костяшке.
Ребята загибают пальцы, шевелят губами.
- Четыре! Нет пять! И у меня получилось пять. И у меня.
- Правильно, на одной половинке две точки, на другой - три. Эта костяшка так и называется: два-три, или три-два. Эта называется четы- ре-четыре, эта - шесть-один. А как, по-вашему, называется эта?
- Один, два, три, четыре, пять и ... и ничего нет.
- Если ничего нет, будем называть пусто или ноль. Значит, эта костяшка пять-ноль или ноль-пять. Играть будем так. Каждый получит по одной костяшке. Держите... Эля, у тебя какая?
- Четыре-один, - Эля отвечает уверенно.
- Максим, а у тебя?
- Сейчас... три-шесть.
- Аня маленькая? Не торопись, посчитай. Аня большая? Рома? Денис? Все сосчитали? Внимание! Беру кость... три-один. У кого есть тройка или единица?
- У меня! И у меня.
- Смотрите, единица есть у Алёнки и Эли, тройка есть у Максима. Но первой об этом сказала Эля, значит, эту кость берёт она и приставляет единицу к единице. Вот так:
- Теперь у неё на концах цепочки четыре и три и она ждёт, когда будет объявлена или тройка, или четвёрка. Следующая кость - шесть-шесть.
- У меня! - теперь первая Аня маленькая.
- Два-ноль, смотрите внимательно.
- У меня! - Вступает в игру Денис. Его цепочка выглядит так:
83


- Пять-один?
- У меня единица, - торопится Эля.
- Эля, ты ошиблась. Единица внутри твоей цепочки, а на концах тройка и четвёрка. Ты должна ждать именно их.
Игра идёт довольно медленно. Постепенно у детей получаются примерно такие цепочки:
• • •
•
ф
©
Только у Полины осталась первая костяшка.
- Сыграем ещё раз. Вместо меня игру будет вести Полина большая. Иди сюда. Раздай всем по одной костяшке и приступай, а я буду определять, кто первым скажет.
Полина берёт первую кость, пытается пересчитать точки и с надеждой смотрит на меня. Тихонько ей подсказываю.
- Пять-четыре! - радостно объявляет она.
- У меня! - торопится Максим.
Полина всё время ждёт подсказки, даже кость один-пусто вызывает у неё сомнение.
10 сентября.
- Дядя Боря, в домино играть будем?
- Обязательно, водит Рома. Начинай.
Рома ведёт игру уверенно, кости читает легко и успевает определять первого. Первым чаще всех оказывается Денис, но почти так же часто он возвращает кость, заявляя, что ошибся. Очень простая тактика: сначала получить кость, разбираться - потом. Игра оканчивается. Побеждает, конечно, Денис. Следующую игру ведёт Аня большая. Побеждает Денис тем же способом.
17 сентября.
- Дядя Боря, можно я буду объявлять домино? Я тоже хочу водить. Я тоже. Чур, я вторая!
- Думаю, ведущим должен быть всё время Денис.
- Почему? Мы тоже хотим.
84


- Очень просто. Денис каждый раз выигрывает так, что вы и рта не успеваете раскрыть. Ему, наверное, скучно, а вам неинтересно.
- Интересно! Интересно! - Дети замечают всё. - Денис просто неправильно играет. Вы разве не видели, что в прошлый раз он сначала кричал, а потом смотрел. Это неинтересно играть так, как он.
- Хорошо. Будете вести игру по очереди. Договорились?
Через месяц дети уверенно просчитывали количество точек на костяшках, даже Полина работала без подсказок. И мы расширили эту игру. Взяли несколько комплектов детского лото с картинками ягод, цветов или разных зверушек, и наклеили свои. Наше домино приобрело примерно такой вид:
27 74 49 90
В классическом домино все числа от ноля до шести встречаются одинаково часто. В нашем случае это правило соблюдать необязательно. Потом вместо чисел или квадратиков мы начали писать примеры, и, наконец, стали играть в математическое лото.
85


МАЛЫШ И КАРЛСОН
3 апреля.
- Дядя Боря, посмотрите, какая книжка у меня есть. Давайте из неё какую-нибудь задачку решим.
Оля протягивает мне книгу. Книга называется «Подумаем вместе», автор - Н.К. Винокурова. Открываю и сразу нахожу подходящую задачу.
- Малыш может съесть банку варенья за шесть минут, а Карлсон - в два раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?
- А чего её решать? - первым выступает Дима. - Карлсон съест эту банку за три минуты, значит, вдвоём они съедят за девять.
- Карлсон банку есть не будет, - замечает Лена. - Он варенье съест, а банку оставит.
- Замечание Лены правильное, но здесь банка - это просто количество варенья. - И обращаюсь к Диме, - почему ты решил, что вдвоём Малыш и Карлсон справятся с вареньем за девять минут?
- Как почему? Шесть и три - девять.
- Твоё решение подходит для похожей задачи, вот такой. Малыш за один час легко съедает варенье из трёх больших банок, а Карлсон - в два раза больше. Сколько банок они опустошат вместе за тот же час?
- Правильно, девять, - соглашается Александра. - За час Карлсон съест шесть банок... перестаньте смеяться, варенье всегда в банках хранят. Ты, Саша, сам рассказывал, что на дне рождения три бутылки пепси выпил, хотя пил жидкость, а не бутылки. Карлсон - шесть, а Малыш - три. Вместе всего - девять.
- Вернёмся к нашей задаче. Представьте такую картину. Ест Малыш варенье и рассчитывает, что варенье закончится через шесть минут. Но тут появился маленький мышонок и съел немного. Варенье через шесть минут закончится? Или позже?
- Раньше! Конечно раньше. Ведь мышонок съел немного, значит, Малышу меньше одной банки досталось.
- Правильно. Если Карлсон поможет Малышу, то дело быстрее пойдет. Попробуем нарисовать.
- А что рисовать? - спрашивает Оля, - Малыша и Карлсона?
- Для начала ту банку, с которой Малыш за шесть минут справляется.
86


Оля рисует:
- Отлично! А сколько банок опустошит Карлсон за эти шесть минут?
- Одну он съедает за три минуты, значит, за шесть минут он съест две.
- Вот и нарисуй их рядышком. Конечно, в банках у Карлсона варенья столько же, как и у Малыша. Мы про это уже много раз говорили.
Оля рисует ещё две банки:
- Что же у нас получается? Сколько варенья за шесть минут Малыш и Карлсон съели?
- Три банки. Вот они нарисованы.
- Посмотрим на эти три банки и по-другому вопрос поставим. Малыш и Карлсон вместе съели три банки варенья за шесть минут. За сколько минут они съедят одну банку варенья?
- Теперь всё ясно, - подводит итог Саша, - три банки - за шесть минут, значит, одну - за две.
14 апреля.
Похожие задачи встречаются в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф. Магницкого. Читаю детям задачу из книги «Старинные занимательные задачи» авторов С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко и М.К. Потапова, немного изменив числа.
- Лошадь съедает мешок овса за неделю, коза - за две недели, овца - за четыре недели. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же мешок овса?
- Эта задача похожа на ту, где Малыш с Карлсоном варенье банками ели, - вспоминает Костя.
- Только здесь не двое, а трое, - уточняет Александра. - И решать её, наверное, так же надо.
87


- Лошадь за неделю мешок овса съедает, - рассуждает Саша, - а коза за эту же неделю съедает половину мешка, а...
- Подожди, - перебивает его Дима, - зачем с половинками дело иметь. Лучше так: коза съедает мешок овса за две недели, а лошадь за эти две недели - два мешка. Овца за...
- С овцой у тебя тоже половинки пойдут, - замечает Катя. - Надо начинать с того, кто меньше ест.
- У нас получилось так, - объясняют Валя и Тамара, - овца за четыре недели съедает мешок овса, коза - два мешка, а лошадь - четыре. Значит, всего за четыре недели они все вместе съедают семь мешков овса. Чтобы узнать, за сколько недель они вместе съедят один мешок, надо четыре разделить на семь...
- Мы так ещё делить не умеем, - говорит Дима.
- Вспомните вопрос задачи.
- За сколько недель лошадь, коза и овца съедят мешок овса вместе? - быстро отвечает Лена.
- Нет, в задаче было так: за какое время? Вспомните, в каких единицах мы измеряем время. Вы на соревнованиях бежите 60 метров, и результат фиксируется в секундах. Зато время учёбы в школе вы определяете в годах - одиннадцать.
- В неделе семь дней, - раньше других соображает Саша, - а в четырёх неделях - двадцать восемь.
- Они семь мешков овса съели за двадцать восемь дней, - продолжает за него Александра. - Значит, один мешок они вместе съедят за четыре дня.
- Обратите внимание, что ответ вы даёте не в тех же единицах измерения, что в условии задачи. Там время измерялось неделями, а в ответе - днями. Ответ лучше давать в тех же единицах измерения, что и в условии задачи. Но никто не запрещает решать задачу в других единицах, если вам так удобнее. Это за ошибку не считается.
21 апреля.
Предлагаю задачу из той же книги.
- Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
- А сколько каждый проходит за день?
- Какое расстояние между городами?


-Я про это ничего не знаю. В книге таких данных нет. Наверное, задачу можно решить без таких подробностей. Вспомните, как Малыш и Карлсон торты ели.
- Причём здесь Карлсон? - возражает Саша. - Они там торты ели, а тут люди... Точно! Я понял! Это и есть Малыш с Карлсоном и с тортами.
- Интересно у тебя получается, - удивляется Дима. - То не так, то так.
Прошу Сашу объяснить всем свою идею.
- Карлсон съедает торт за десять дней... нет, минут, а Малыш съедает такой же торт за пятнадцать минут. За сколько минут они съедят торт вдвоём? Вот и вся задача.
Дети принимаются решать знакомую задачу в Сашином варианте, и скоро Катя объясняет решение.
- Карлсон съедает за тридцать минут три торта, а Малыш - два. Значит, за тридцать минут они вдвоём съедят пять тортов. На один торт у них уходит шесть минут. Путешественники встретятся через шесть дней.
Задача решена, но тут своё решение предлагают Валя и Тамара.
- Дядя Боря, Вы же сами говорили, что про расстояние между городами в книге ничего не сказано, а ответ есть и только один. Вот мы и решили, что это расстояние - 300 километров. Первый путешественник проходит этот путь за 10 дней. В день он проходит 30 километров. Второй проходит в день 20 километров. Получается, что каждый день они приближаются друг к другу на пятьдесят километров и встретятся через 6 дней.
И сразу Дима задаёт «каверзный» вопрос.
- А если другое расстояние между городами?
- Тогда они другие расстояния каждый день проходить будут, - уверенно возражает Тамара. - Возьми и сосчитай. Всё равно шесть дней получится. Попробуй.
- А почему вы выбрали именно 300 километров? - спрашиваю подруг.
- Чтобы проще считать было. Триста легко делится и на десять и на пятнадцать.
28 апреля.
- Помните задачу про Малыша и Карлсона?
- Да! Помним. Мы рисовали банки с вареньем.
- Попробуем решить обратную задачу.
- А что значит - обратную?
89


- Сейчас поймёте. Карлсон съедает торт за пять минут, а вместе с Малышом - за четыре. Сколько минут потребуется Малышу, чтобы справиться с тортом в одиночку? Задача такая же, но то, что там
было дано, здесь надо определить.
- За одну минуту, - сразу отвечает Настя.
- Неправильно, - протестует Катя, - тебя тогда не было, и ты не знаешь. Смотри, если Малыш за одну минуту съедает торт, то с помощью Карлсона он это сделает меньше, чем за минуту. Понятно?
- А как же тогда?
- Надо попробовать нарисовать. Правильно, дядя Боря?
- Попробуем. Валя, нарисуй на доске линейку, прямую линию с чёрточками. У вас всех такие линейки есть. Пронумеруй чёрточки. Что вы измеряете линейкой?
- Сантиметры. Длину какую-нибудь.
- А мы будем время измерять. Один, два, десять будут минутами. Нарисовала?
1
2
3
4
5
6
7
ОО
9
10
- Выше этой линии нарисуем торты, которые Карлсон и Малыш вдвоём ели. Проведи от тройки линию вверх и между нулём и этой линией нарисуй торт. Этот торт они за три минуты съели, верно?
1
7
8
10
- Второй торт они съели тоже за три минуты, как раз между тройкой и шестёркой, третий - между шестёркой и девяткой. Так и нарисуй штук пять или шесть на всякий случай. Сколько не жалко.
Рисунок уже выглядит примерно так:
I
4 5
7 8 9
10 11 12 13 14 15
16 17 18
19
- Ниже линии будем рисовать торты, съеденные Карлсоном. С первым тортом он расправится за четыре минуты. Проведи от четвёрки линию вниз и изобрази этот торт. Потом второй и ещё несколько.
90


- Посмотрите внимательно, подумайте, может здесь есть подсказка?
Дети молчат. Первой замечает Оля.
- У двенадцатой минуты линии сверху и снизу совпадают, - говорит она. - Может, в этом всё дело...
- Точно, - продолжает за неё Саша. - За эти двенадцать минут они вдвоём съели четыре торта, а из них Карлсон - три. Значит, на долю Малыша приходится один.
- Ура! Малыш съедает торт за двенадцать минут, - подводит итог Катя.
12 мая.
Предлагаю детям ещё одну задачу из книги «Старинные занимательные задачи».
- В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.
И сразу вопрос.
- А кто такие косцы?
- В те времена, когда эти задачи составлялись, почти всё сельское население летом траву косило. Готовило на зиму корм своим домашним животным. Кто траву косил, тот и назывался косцом.
Пока шло объяснение, Саша уже решил.
- Шестнадцать человек в ответе получается. Шесть человек выпивают этот бочонок за 8 часов, 3 человека - за 16 часов, а один человек - за 48 часов. А теперь в обратную сторону пойдём. За 48 часов бочонок кваса выпивает один человек, за 24 часа - 2 человека, за 12 часов - 4 человека, за 6 часов - 8 человек, наконец, за 3 часа -16 человек. Вот и всё.
- А я заметила вот что, - предлагает своё решение Оля. - Шесть человек за восемь часов, это всё равно, что 8 человек - за 6 часов, ну а 16 человек - за три часа.
91


И СНОВА ДОМИНО
9 сентября.
- Помните, в прошлом году мы с вами в домино играли?
- Помним! Конечно, помним. Давайте сейчас в него сыграем.
- Теперь эта игра слишком простая для вас. Костяшки домино мы используем для другой игры. Проверим, насколько вы за лето забыли математику. Какие числа называются чётными?
- Они на два делятся! - сегодня первой отвечает Алёнка.
- Согласен, но более полным твой ответ должен выглядеть так: чётными называются те числа, которые делятся на два без остатка. Пять - какое число, чётное или нечётное?
- Чего тут сложного? - торопится Рома. - Пять - число нечётное, а четыре и шесть - чётные.
- Тогда ответьте на такой вопрос. Какие числа делятся на два без остатка?
- Как какие? - удивляется Полина. - Вы же сами только что говорили, что чётными называются числа, которые на два делятся.
- Значит, на два делятся чётные числа, - поддерживает её Максим.
- Сложим оба определения. Внимание! Чётные числа те, что делятся на два, а на два делятся чётные числа. Если отбросить середину, получается так. Чётные числа те, которые чётные. Попробуем по-другому. На какую цифру оканчивается число сто тридцать один?
- На единицу.
- А двести восемнадцать?
- На восьмерку.
- А шесть?
Небольшая пауза, наконец, решается Аня маленькая.
- На шесть, - и увереннее, - конечно, на шесть!
- А на какие вообще цифры могут оканчиваться числа?
- На все! На все, от единицы до девяти.
- Разве цифр всего девять?
- Мы про ноль забыли! Значит, на все десять, от нуля до девяти.
- И какие же из них чётные?
Опять пауза.
- Ура! - кричит Денис, - они кончаются на два, четыре, шесть, восемь и на ноль.
92


- Так они и на два все делятся, - добавляет Аня большая.
- Разобрались, а теперь правила игры. Посмотрите на эту цепочку. Какая сумма на концах?
- Пять! Четыре и один пять будет.
- А какую костяшку надо приставить, чтобы чётная сумма получилась?
И снова пауза.
- Можно я попробую? - решается Эля и ставит один-шесть, - вот так получится десять.
- А я вот так сыграю, - вмешивается Полина и ставит четыре-четы- ре, - получается четырнадцать. Правильно?
- Правильно. За свой ход Эля получает десять очков, Полина за свой ход - четырнадцать. А за нечётную сумму очков не полагается. Это понятно? И чтобы играть веселее было, договоримся делать ходы от дупелей во все стороны. Вот так:
- Приступаем? Разбирайте костяшки, каждому по шесть штук, чтобы на всех хватило, перемешаем две коробки домино. Одну выставляем первой, остальные будут базаром. Если хода не будет, оттуда по одной можно брать.
Постепенно цепочка приобретает причудливый вид, а на доске заполняется таблица результатов.
93


Аня маленькая
10
22
40
54
70
Алёнка
16
28
38
60
78
Аня большая
20
34
46
58
78
Денис
18
32
52
66
82
Полина
14
30
48
62
80
Эля
10
28
42
60
74
Рома
12
18
40
48
70
Максим
8
22
36
54
66
Перед тем, как сделать ход, дети подсчитывают получающуюся сумму. Пока концов немного, подсчёт идёт быстро, и каждый ход приносит очки. Рома, делая очередной ход, берёт кость из базара.
- Что, на своих костяшках нет нужных очков? - спрашиваю его.
- Есть, - отвечает Рома, - но с ними ни одной чётной суммы не получается. А сколько костей из базара брать можно?
После обсуждения дополняем правила нашей игры. Кости из базара брать нельзя, если ход можешь сделать, даже если этот ход не приносит очков. И только если нет возможности сделать ход, можно брать кость из базара, но только одну. Если и в этом случае хода нет, то ход пропускается.
16 сентября.
- Дядя Боря, в телефон играть сегодня будем?
- Какой телефон?
- В прошлый раз в домино играли. Мы так эту игру назвали.
- Хорошо. Будем стараться получать на концах суммы, которые без остатка на три делятся. Не разучились на три делить?
Игра началась. Дети ещё не освоились, и поэтому дело идёт пока медленно. Перед каждым ходом они подсчитывают сумму на концах и делят её на три. Но вот быстрые ходы начинает делать Рома.
- Смотри, - объясняет он Ане маленькой, - сейчас сумма одиннадцать, на три не делится. Надо её увеличить на единицу, будет двенадцать, на три делится. Поставь четыре-пять, и будет двенадцать. Ты от одиннадцати сначала отнимаешь четыре, получается семь, а потом прибавляешь пять, получается двенадцать.
Потом прекрасный ход делает Аня большая.
-Я ставлю шесть-шесть,- говорит она. - Сумма после хода Олега на три делилась, а я к ней сразу шесть прибавила. Новая сумма на три точно делится, даже проверять не надо.
94


23 сентября.
- Дядя Боря, давайте сегодня опять в телефон играть, - предлагает Денис. - Делить на пять будем.
- Давайте, давайте, - подхватывает Рома. - Это просто. На пять делятся числа, которые оканчиваются на пять и на ноль.
Таблица на доске сегодня заполняется быстрее. Действительно, признак деления на пять очень простой, да и дети уже наловчились быстро подсчитывать суммы.
30 сентября.
- Сегодня делить не придётся. Будем стараться получать числа, последняя цифра в которых - семёрка.
- Как семёрка? - удивляется Полина. - Самая большая цифра в домино - это шесть.
- Правильно, шесть. Но если складывать разные числа, то в ответе можно получить и семь, и семнадцать, и двадцать семь. Согласны? А в свободное время подумайте, какую самую большую сумму можно получить из одного набора домино?
95


ОСТРОВА КАПИТАНА ВРУНГЕЛЯ
22 февраля.
« Жестокий ураган две недели носил яхту капитана Врунгеля по всему Тихому океану. Когда, наконец, ураган утих, яхта оказалась около трёх небольших тропических островов. На карте эти острова отсутствовали. По праву первооткрывателя капитан дал им имена Врунгеля, Лома и Фукса и собственноручно нанёс их на карту. Причалили они к острову Врунгеля. Населявшие остров туземцы оказались милыми и добрыми людьми. Они помогли отремонтировать потрёпанную ураганом яхту и принесли много вкусной еды. Особенно они полюбили Фукса за то, что он угостил их сахарным песком. Оказывается, на этих островах никто и никогда не пробовал сахар. В благодарность за тёплый приём капитан Врунгель решил сходить в Южную Америку и привезти туземцам много сахарного песка, тем более что взамен туземцы обещали нагрузить яхту песком золотым. А перед отходом экипаж яхты решил посетить острова Лома и Фукса.
На остров Лома сошёл только сам Лом, а Врунгель и Фукс остались на яхте. Через час Лом вернулся и рассказал, что все жители острова во главе с вождём отправились на соседний остров болеть за свою футбольную команду, остались только два парикмахера.
- Я хочу, чтобы один из них меня постриг, - продолжал Лом, - но не знаю, к кому обратиться.
- Вождь острова Врунгеля предупредил, - ответил капитан Врунгель, - что на острове Лома действует закон, по которому все жители этого острова должны стричься только у парикмахеров на своём острове, а парикмахеров на острове всего два. Вам, Лом, повезло. На острове никого нет, и Вам не придётся стоять в очереди.
- Так к какому парикмахеру мне идти, - спросил Лом. - К толстому или к худому?»
- Дайте Лому хороший совет.
- Пусть идёт к тому, кто меньше денег берёт.
- Оба мастера берут одинаково. Да и постричь Лома, как почётного гостя, они обещали бесплатно.
- Тогда надо идти туда, где меньше очередь.
- Очереди никакой нет. Все жители уехали на другой остров поддерживать свою футбольную команду.
96


- Что же тогда ему делать?
- Подумайте... Зачем вообще люди ходят в парикмахерскую?
- Стричься. Причёску делать. Маникюр.
На несколько минут в классе устанавливается тишина. Делаю ещё одну небольшую подсказку.
- Лена, допустим, тебе надо купить новую куртку. Ты приходишь в магазин. Перед тобой десять разных курток одной цены и одного качества. Какую куртку ты выберешь?
- Ясно, какую, - медленно отвечает Лена, - которая мне больше понравится, ту и куплю. Только при чём здесь ...
- Всё понятно, - прерывает её Александра - Лому надо идти к тому мастеру, который его лучше пострижёт.
- Молодец! Идея хорошая. А как он может определить, какой мастер лучше стрижёт?
- Надо кого-нибудь спросить, - предлагает Катя.
- Ты что, забыла? - отвечает ей Дима, - на острове никого нет.
- Тогда Лом должен посмотреть, как мастера постригут других людей, - поддерживает Катю Оля.
- Так на острове же никого нет, - снова напоминает Дима.
- Лучше стрижёт тонкий, - уверенно заявляет Миша.
- Почему ты так думаешь?
- Он больше работает, потому и худой.
- Так можно сказать, что толстый лучше, - возражает ему Саша. - Он ест больше, потому что лучше зарабатывает.
Делаю ещё одну подсказку.
- Представьте себе, что вы встретили жителя этого острова. Его причёска вам может нравиться или не нравиться, это дело вкуса. Можете вы определить, у кого из мастеров он стригся: у толстого или у тонкого?
- Нет, не можем. Надо спорить его.
- А кто из жителей этого острова наверняка стрижётся у толстого мастера? И у кого стрижётся сам...
- Ура! Я понял! - не даёт мне закончить вопрос Саша. - Лом должен посмотреть, кто из мастеров пострижен лучше...
- И сесть к нему, - Валя в свою очередь прерывает Сашу.
- Нет! Нет, - поправляет подругу Тамара. - Он должен сесть к тому, кто сам пострижен хуже. Правильно?
- Конечно, правильно, - поддерживает её Катя. - Ведь толстый мастер по закону острова может стричься только у тонкого...
- А тонкий - у толстого, - подводит итог Саша.
97


- Интересно, а если бы на острове был только один парикмахер, - задумчиво говорит Оля, - как бы он стригся?
29 февраля.
« На следующее утро яхта отправилась к острову имени Фукса. Там должно было состояться торжественное открытие памятника самому Фуксу в одной из двух столиц. По пути капитан Врунгель рассказал своему экипажу про обычаи этого острова.
Все жители острова живут в двух городах. Жители одного города на все вопросы отвечают правильно, говорят только правду. Этот город называется Правда, как раз в нём будут открывать памятник Фуксу. Жители второго города на все вопросы отвечают неправильно, говорят только неправду. Это город называется Ложь. Жители этих городов ничем не различаются. От пристани начинаются две дороги, одна ведёт в город Правда, другая - в Ложь. Вам, Фукс, придётся определить, какая дорога Вам нужна.
- Спрошу у первого встречного, - быстро ответил Фукс.
- Э, нет, дружище Фукс, - возразил ему Лом. Первый встречный может оказаться как из Правды, так и из Лжи. Как Вы узнаете, правду он Вам сказал или нет?
-Я спрошу его...»
- Может ли Фукс из разговора с первым встречным определить правильную дорогу?
- Фукс должен сначала узнать у этого первого встречного, из какого он города, - сразу предлагает Тамара. - А потом спросить про дорогу.
- А какой ответ получит Фукс на первый вопрос?
Ребята задумались.
- Сделаем так. Пусть каждый решит сам, из какого он города.
- Я буду из Правды, - предлагает Оля.
- Подожди, не надо об этом сообщать... Решили?.. Саша, из какого ты города?
- Из Правды, - сразу отвечает Саша.
- А ты, Лена, из какого города?
- Из Лжи, - тоже сразу отвечает Лена.
- А я из Правды. И я из Правды. И я. И я, - сообщают все, не дожидаясь вопросов.
- Что же получается, из Лжи только Лена?
- Нет, она ошиблась, - говорит Дима и объясняет Лене. - Если ты из Лжи, то правду говорить не должна. Понятно?
98


- Значит, любой житель этого острова на первый вопрос ответит, что он из города Правда. Ответ на второй вопрос вам не поможет.
- Тогда я спрошу его, сколько будет дважды два, - предлагает Валя. Если он ответит - четыре, то он говорит правду, а если пять или ещё что-нибудь, то он из города Ложь, значит, он говорит неправду. А потом можно спрашивать про дорогу в Правду.
- Нет, первый вопрос по-другому задавать надо, - задумчиво произносит Саша и объясняет. - Вдруг этот человек живёт в Правде, но он неграмотный и считать не умеет. Он и вправду думает, что дважды два - пять. Скажет тебе правду, а ты решишь, что он из Лжи.
Дети снова замолкают, подыскивая подходящий вопрос.
- Я знаю, что спросить, - нарушает молчание Оля. - Я его спрошу, слышит ли он меня. Если он скажет «Да», то он из Правды, если «Нет», то он из Лжи. А потом спрошу про дорогу.
- Примерно так Фукс и предполагал выяснить дорогу, но его задача оказалась несколько сложнее. Но об этом в следующий раз.
7 марта.
- Итак, задача Фукса оказалась несколько сложнее.
- Дорогой Фукс, - предупредил капитан Врунгель, - на острове Вашего имени действует закон, согласно которому местный житель каждый день может отвечать только на один вопрос. Так что будьте осторожны.
- Вот здорово там в школе учиться, - радуется Миша, - один раз за весь день спросили - и всё.
- Подожди, не завидуй. Сколько у вас всего в классе учеников?
- Двадцать восемь.
- Будем для простоты считать - тридцать. А уроков в день сколько?
- Бывает, что четыре, а бывает - шесть.
- Тридцать разделить на шесть - пять получается. По пять человек на каждом уроке спросить могут, если по одному вопросу в день каждому задавать. А у вас на каждом уроке сколько учеников спрашивают?
- А мы тогда перед началом занятий друг другу по вопросу зададим, - вместо Миши продолжает фантазировать Саша, - и всё! Нас уже спрашивать по закону нельзя.
- Вы всегда что-нибудь придумаете. Тогда цель задачи сформулируем по-другому. Может ли Фукс узнать нужную ему дорогу, задав только один вопрос одному человеку?
99


- А какая дорога ему нужна? - Катя пропустила предыдущее занятие и хочет поскорее узнать, в чём дело.
Коротко повторяю условие задачи, заодно напоминая и остальным.
- А как же с одного вопроса узнаешь? - задумчиво спрашивает Александра. - Мы же не знаем, с жителем какого города разговариваем.
- Попробуем, может, всё-таки удастся узнать с одного вопроса. Сделаем так. Тамара будет жителем одного города, а Валя - другого. Я не знаю, кто из какого города, но знаю, что вы из разных городов. Договаривайтесь, кто из какого города, - сам пишу на доске «НЕТ» и продолжаю. - Валя, скажи Тамаре тихонько, на ушко, слышишь ли ты меня? А ты, Тамара, ответь, что тебе сказала Валя? - и показываю на написанное слово.
- Она сказала «нет».
- Почему я знал заранее, что скажет Тамара? Ведь мне не было известно, кто из какого города.
- Очень просто, - сразу объясняет Саша. - Если Валя из Правды, то она должна сказать «да». Тогда Тамара живёт в Лжи, правду она не говорит, значит, она скажет «нет». А если...
- Подожди, - останавливаю Сашу, - может кто-нибудь другой продолжит?
- Я попробую, - предлагает Лена. - Если Валя из Лжи, то она скажет «нет», а Тамара должна сказать правду про её ответ, потому что она из Правды и всегда говорит правду.
- Обратите внимание, жители разных городов на один и тот же вопрос отвечают, естественно, по-разному. Но если этот ответ «пропустить» через жителя другого города, то мы слышим одно и тоже. Нельзя ли этим воспользоваться?
- Так что, нам сразу двух человек искать надо, - сомневается Дима, - да ещё точно надо знать, что они из разных городов.
- Необязательно. Если ты живёшь на этом острове, то точно знаешь, в каком городе?
- Конечно.
- И знаешь, как жители другого города отвечают на вопросы?
-Да.
- Я придумал, - вступает в разговор Саша. - Надо спросить, что ответит житель другого города. Примерно так: что ответит житель другого города, если я его спрошу, какая дорога ведёт в Ложь? И кого бы я ни спросил, он мне покажет на Правду.
- Проверим. Допустим, ты разговариваешь с жителем города Правда, а он всегда говорит правду. Про что он скажет правду?
100


- Он скажет правду про ответ жителя города Ложь, - уверенно отвечает Саша, - а тот...
- Подожди. Оля, продолжи это рассуждение.
- А тот... а тот, - Оля задумалась. - А тот должен сказать неправду. Его спросили про Ложь, а он покажет на дорогу в город Правда.
- Теперь Саша разговаривает с жителем города Ложь. Какой ответ он получит? Лена, попробуй ты.
- Житель города Ложь всегда говорит неправду, значит, он скажет неправду про ответ жителя Правды, - медленно рассуждает вслух Лена, - а тот покажет дорогу в Ложь. Значит, житель города Ложь, которого Саша спрашивал, покажет дорогу в город Правда.
- Прекрасно! Если Фукс задаст первому встречному жителю этого острова вопрос, который предложил Саша, то узнает то, что хотел.
- А можно и по-другому спрашивать, - не унимается Саша. - «На какую дорогу покажет житель вашего города?» Тогда любой встречный покажет правильную дорогу.
- Согласен. Этот вариант разберите сами.
Похоже, что решение этой задачи поняли все и можно переходить к новой теме. Но тут раздаётся голос Кати.
- Дядя Боря, - говорит она, - а ведь можно и не такой сложный вопрос задавать.
- Попробуй.
- Надо спросить так: «Какая дорога ведёт в ваш город?» Любой житель острова покажет на дорогу, которая ведёт в Правду. Проверьте.
101


РЫЦАРИ КОРОЛЯ АРТУРА
15 сентября.
Обнаружив на столе приготовленные к занятию бутылки с водой, дети очень обрадовались.
- Дядя Боря, мы опять переливать будем? Чур, я первая! Нет, я! А почему бутылки все одинаковые?
В конце учебного года, в мае, мы решали известные задачи о переливании воды. Решали на практике, поэтому залитыми оказались не только пол и парты, но и сами детишки с ног до головы. Хорошо, что стояла жара, и это купание обошлось без последствий.
- Нет, задача будет другая. В Средние века правил в Англии король Артур. Однажды пригласил он к себе на день рождения восьмерых рыцарей. Приглашённые хорошо знали, что король Артур любит белое вино, и каждый принёс с собой по одной бутылке именно такого вина. Вот эти бутылки.
- И в них настоящее вино? - пытается пошутить Дима.
- Нет, пока в них простая вода, во всех, кроме одной. Но вернёмся к нашему королю. Король Артур очень обрадовался подаркам и приказал поставить все восемь бутылок на стол.
- Подожди, - остановил его придворный маг. - В одной из бутылок вино отравлено.
- Ты это точно знаешь? Почему ты так решил? - Король рассердился. - Я прикажу выгнать тебя вон!
- Я это чувствую. Любой начинающий маг должен это чувствовать. А я всё-таки Великий Магистр.
Можно было приказать выкинуть все восемь бутылок и не подвергать себя риску, но король Артур очень любил белое вино.
- И ты знаешь, в которой бутылке это отравленное вино?
- Нет, пока не знаю, но это можно узнать. Есть волшебное средство, оно окрашивает отравленное белое вино в красный цвет.
- Так давай его сюда скорее! - Король сменил гнев на милость. - Капнем в каждую бутылку этого средства и всё узнаем.
- Увы, мой Король, волшебных средств никогда не хватает на всё сразу. Есть только три капли этой волшебной жидкости.
- Как поступить королю Артуру? Можно ли, используя эти три капли, определить, в какой из восьми бутылок отравленное вино? Смотрите, как это происходит.
102


Показываю два стакана и пипетку. В одном стакане налита обыкновенная вода, в другом - слабый безвредный раствор щёлочи, а в пипетке - фенолфталеин. Капаю из пипетки в первый стакан, и ничего не происходит. Капаю во второй, и щёлочь окрашивается в красный цвет. Полный восторг. Эта реакция хорошо известна из школьного курса химии. Демонстрацию решения этой задачи с помощью слабого раствора щёлочи и фенолфталеина предложила Галина Игоревна Куколевская. Бутылка с «отравленным вином» заполнена именно таким слабым раствором щёлочи. В остальные бутылки налита простая вода. Стаканы легко сделать из тех же пластиковых бутылок в любом потребном количестве.
- Теперь очередь за вами. У кого какие предложения?
- Можно я попробую? - первой просит Лена и за ней все остальные.
- Хорошо! Конечно, попробуют все. Только договоримся капать не в бутылки, а в стаканчики. В такой стаканчик можно отлить немного «вина» из любой бутылки и капать в него. Вдруг Лена с первой капли окрасит интересующую нас бутылку, и тогда уже никто не сможет показать свою идею. И ещё предупреждаю, БУДЬТЕ ОСТОРОЖНЫ! «ОТРАВЛЕННОЕ ВИНО» - РАСТВОР ЩЁЛОЧИ. РАСТВОР ОЧЕНЬ СЛАБЫЙ, ОН НИКОМУ НЕ НАВРЕДИТ, НО БУДЕТ ЛУЧШЕ, ЕСЛИ ОН НЕ ПОПАДЁТ НА РУКИ, ОДЕЖДУ ИЛИ НА ПАРТУ И, ТЕМ БОЛЕЕ, В РОТ ИЛИ В ГЛАЗА. ДОГОВОРИЛИСЬ? Поэтому вы будете демонстрировать свой способ по очереди, чтобы не толкаться. Начинай, Лена. Ты что предлагаешь?
- Я думаю капнуть в три бутылки, которая окрасится - ту выкинуть.
- А если ни одна не окрасится? - сразу спрашивает Саша.
- Тогда выкинуть оставшиеся пять, а из этих трёх король Артур может спокойно пить своё вино, - отвечает Лена. - Это всё-таки лучше, чем все восемь бутылок выкидывать.
- Попробуй. Только много не наливай в стаканы, пусть всем хватит.
Лена осторожно, по очереди, наливает из трёх бутылок в стаканы и
ставит бутылки на место. Набираю фенолфталеин в пипетку, протягиваю Лене и напоминаю.
- Всего три капли.
Лена осторожно капает в первый стакан - ничего не меняется. Капает во второй - и жидкость в стакане становится красной.
- Вот, я нашла, - Лена сияет, - и всего две капли. Из остальных бутылок король Артур может пить своё вино.
- А из какой нельзя?
- Ой, я забыла, - Лена растерянно смотрит на бутылки, - что же теперь делать, дядя Боря?
103


-Подумать ещё. Может, у кого есть другие предложения? Вспомните, мы всегда рассматриваем самые неудачные случаи и ситуации.
К столу подходят Валя и Тамара: - Мы хотим проверять бутылки сразу по две - парами. Смотрите.
Подруги аккуратно расставляют бутылки парами, всего четыре пары. Около трёх пар ставят чистые, ещё не использованные стаканы.
- Теперь я наливаю в первый стакан из первых двух бутылок, - говорит Валя и демонстрирует.
- А я наливаю во второй стакан из следующей пары, - продолжает Тамара. - А в третий стакан - из этих двух. Можно капать.
Валя осторожно капает из пипетки в стаканы, но жидкость в них не меняется.
- Вот, отравленное вино в одной из тех бутылок, в которые мы не капали, - делает вывод Валя. - Ну, не в сами бутылки, а в воду из этих бутылок. А из остальных можно спокойно пить.
- Всё-таки не пять бутылок выбрасывать, - добавляет Тамара. - Можно, мы ещё раз попробуем?
Выдаю им чистые стаканы и несколько раз переставляю бутылки. Подруги снова расставляют бутылки, наливают из двух в стакан и капают. Жидкость окрашивается.
- Теперь мы нальём в другой стакан из первой бутылки, - Валя говорит и наливает. Тамара капает, но безрезультатно. - Отравленное вино во второй бутылке. Нам всего две капли понадобились.
- Вам повезло, - успокаивает их Саша, - а я догадался. Помните задачу про фальшивые монеты? Это то же самое.
104


- Только там мы на тройки делили, - поправляет его Дима, - а здесь пополам делить надо. Вот смотрите.
Дима подходит к столу, расставляет бутылки, сливает в чистые стаканы, капает в них из пипетки и объясняет.
- Беру первые четыре бутылки и наливаю из них в стакан... Капаю... Не окрасилось, значит, яд в других четырёх. Выбираю из этих других четырёх бутылок любые две, наливаю во второй стакан... Окрасилось: яд здесь, в этих двух. Теперь беру любую уже из этих двух... капаю, нет: яд в другой. Три капли использовал.
- А мы с двух капель определили, - не сдаётся Тамара.
- Саша правильно сказал, что вам повезло, - успокаиваю подруг, - а метод Димы работает в любом случае.
- Можно, я проверю? И я хочу попробовать. Я тоже. - Всем хочется самостоятельно окрасить стакан воды одной каплей. Постепенно запас чистых стаканов уменьшается. Очередь доходит до Кати.
- Дядя Боря, а я попробую обойтись одной каплей, - неожиданно говорит она.
?????????
105


Катя берёт чистый стакан и капает туда каплю фенолфталеина.
- А теперь буду наливать сюда из всех бутылок по очереди, - объясняет она, - после которой покраснеет - та с отравленным вином.
Где Вы, Стивен Барр, с вашими головоломками?
22 сентября.
- Дядя Боря, а мы придумали, как определить рыцаря, который отравленное вино принёс.
- Интересно, как?
- Сначала надо, на всякий случай, заменить отравленное вино на хорошее, но так, чтобы рыцари про это не знали. Потом король Артур должен предложить рыцарям в знак дружбы налить в бокалы понемногу из всех бутылок. Кто откажется эту смесь выпить - тот и принёс яд.
- Прекрасно! В свою очередь разрешите предложить вам задачу, такую, как в прошлый раз, только наоборот.
- Как это, наоборот?
- Сейчас узнаете. Задача про сестрицу Алёнушку и братца Иванушку. Братец козлёночком стал, а сестрица очень хотела из него человека сделать. Баба Яга предложила ей живую и мёртвую воду. Восемь бутылок: и только в одной живая вода, в остальных - мёртвая. Если капнуть волшебное средство в живую воду то она не покраснеет, а вот мёртвая покраснеет. Надо с трёх капель живую воду найти.
- А чем же эта задача от прошлой отличается?
- Тем, что здесь действует только тот метод, который Дима предложил. А способ Кати не подходит. Проверьте.
Детям только это и надо. Все помнят о правилах работы с раствором щёлочи. Никто не толкается, ни капли не проливается.
- Вот, живая вода здесь, - сообщают Валя с Тамарой, показывая на крайнюю правую бутылку.
- Нет, живая вода здесь, - Дима берёт в руки другую бутылку.
- А у меня совсем в другой получилось, - удивляется Оля.
Пытаюсь найти причину таких расхождений и с ужасом выясняю,
что предложенная мной задача не решается тремя каплями. Пока мысленно подбираю возможный план объяснения этого недоразумения, меня опережает Саша.
- Дядя Боря, живую и мёртвую воду нельзя смешивать, - говорит он. - Из любых двух бутылок наливаем воду в стакан, и она всё равно окрасится. Есть там живая вода, или нет, мы не узнаем.
106


- Саша совершенно прав. Методы, предложенные Димой и Катей, для этого случая не подходят. Тогда сколько капель понадобится сестрице Алёнушке, чтобы определить бутылку с живой водой?
- Восемь! - сразу отвечает Костя и тут же поправляется. - Нет, семь.
- Может она и с одной капли угадает? - предполагает Лена.
- А может и не угадает, - возражает Дима. - Что тогда?
- Она не угадывать должна, а точно определить, - поддерживает его Катя. - Самый неудачный случай брать надо.
- Капель должно быть на одну меньше, чем бутылок, - делает заключение Саша, - тогда живая вода точно найдётся.
107


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Начало 5
Давайте поговорим 6
Немного посчитаем 9
Хватит ли шариков? 14
Математическое лото 20
Палочки 23
Внимание, внимание! 29
Гонки чисел 32
Не думай о секундах свысока 36
Рисуем задачу 40
Пятнадцать 47
Немного логики 50
Memory 55
Чёт и нечет 57
На троих 66
Осторожно, задача! 73
Снова палочки 78
Домино 83
Малыш и Карлсон 86
И снова домино 92
Острова капитана Врунгеля 96
Рыцари короля Артура 102


Для детей старше шести лет.
В соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2010 г. №436-Ф3.
Учебное издание
Дружинин Борис Львович
Развивающие задачи для детей 7-12 лет
Выпуск 2
Подписано в печать 07.04.2016.
Формат 60x88/16. Уел. печ. л. 6,84. Тираж 2000 экз. Заказ2466.
ООО «Илекса», 107023, г. Москва, ул. Буженинова, д.30, стр. 4, сайт: www.ilexa.ru, E-mail: real@ilexa.ru, телефон 8(495) 964-35-67
Отпечатано в ООО «Типография «Миттель Пресс», г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89. E-mail: mittelpress@mail.ru


Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике в 1-4 классах
В каждой из четырех книг приведено около 170 нестандартных задач по математике. Эти задачи являются хорошим дополнением к задачам обязательно- го минимума на стандартные темы в учебниках.
Систематическое решение таких задач дома и на уроках позволит научить школьников свободно ориентироваться в условиях и требованиях любой задачи, выделять ее фабулу и математическое содержание. Таким образом дети научатся анализировать текст задач на разные темы на первом, самом трудном этапе работы.
Умение анализировать и решать нестандартные задачи — важный элемент общего развития ребенка, развития его мышления. Это активный процесс в развивающем обучении.
Нестандартные задачи рассчитаны на учеников с разной подготовленностью. Для сильных учащихся учитель может усложнять задания требованием достаточно аргументировать и рассуждать. При этом у всех детей прививается вкус к красивым логическим рассуждениям.
Часть текстовых задач можно использовать также на уроках чтения и изобразительного искусства. В них хорошие темы для рисунков, пересказа фабулы и математического содержания. Отдельные темы можно инсценировать.
Книги предназначены для учителей, педагогов старших групп детских садов, родителей, занимающихся домашним обучением детей.


Левитас Г.Г.
Нестандартные задачи по математике в 5-6 классах.
Издание содержит большое количество текстовых нестандартных задач, позволяющих значительно разнообразить содержание занятий по математике в 5-6 классах. Их использование приводит к развитию логического мышления у детей, закреплению навыков самостоятельного поиска решения математической задачи. Задачи в книге расположены в порядке возрастания их трудности, а следовательно, могут быть подобраны для учащихся с разной степенью подготовки. Издание может быть использовано как в классной работе, так и в домашнем обучении.


Дружинин Б.Л. Развивающие задачи для детей 7-12 лет
Дети любят занимательные игры, загадки, увлекательные истории. Их занятия должны быть разнообразными. В этой книге автор предлагает текстовые задачи, решение которых может быть не только интересным, но даже азартным.
В задачах использованы сказочные ситуации и герои, фантазийные события. Тут можно встретить и Змея Горыныча, и Бабу Ягу, и других сказочных персонажей. Многие задачи имеют шутливые и юмористические оттенки.
Тексты задач переключают внимание ребенка, способствуют развитию образного мышления, поиску неожиданных ответов. В них сочетание игры и учения.
В задачах заложены математические действия и логические условия, что развивает логико-понятийное мышление детей, умение действовать в нестандартных ситуациях.
Книга предназначена для занятий с детьми 7-12 лет. Её материалы могут использовать родители, воспитатели детских садов, учителя начальной школы и студенты педагогических вузов.