Проф. Г. И. ДРИЙфЕЛЬД
X
ТРАНСЦШДШТНОСТЬ
чисел Ж и е
ИЗДАТЕЛЬСТВО
!'j>>( ХАРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Харьков
имени А. М. ГОРЬКОГО
1952
/ „»*«~~* Jf'

, ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга доступна широкому кругу читателей:
студентам университетов, учительских и педагогических
институтов, преподавателям и учащимся средних школ,
техникумов, педагогических училищ и просто любите-
любителям математики. Для понимания первых трех глав ее
требуется только- знание школьного курса алгебры и
элементов тригонометрии. Лишь четвертая, очень ко-
короткая, глава требует самых скромных сведений из
интегрального- исчисления. Эти сведения можно по-
почерпнуть из любого учебника математического анализа.
Однако без четвертой главы работа- имела бы незакон-
незаконченный характер.
Отдельные главы книги имеют самостоятельное
значение и могут читаться независимо одна от другой
с учетом следующего указания: для понимания третьей
главы нужно предварительно прочитать .из первой гла-
главы § I, из второй —§§ 2, 3, 6, 7, если читателю неиз-
неизвестны приведенные в этих параграфах факты.
Опытный учитель, мы надеемся, сумее^т использо-
использовать §§ 6, 7, 8 первой главы и почти всю вторую
||лаву в преподавании. Вся же книжка может быть
">спользована в «работе математических кружков.
л Автор выражает благодарность проф. А. К. Сушке-
|чу и доц. Л. Я. Гиршвальду, замечаниями которых
воспользовался при редактировании рукописи.

Глава I
СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Понятие об алгебраических и трансцендентных
числах.
Определение 1. Число а, вещественное или
невещественное, называется алгебраическим, если
существует уравнение вида
ап_х х
ап =0
@
с рациональными коэффициентами, для которого а
является корнем.
Например, любое рациональное число— (р, q—целые
Ч
числа) является алгебраическим, так как оно, очевидно,
является корнем уравнения
Иррациональные числа вида
B)
где а, Ъ —> рациональные числа, как легко показать, тоже
являются алгебраическими. Действительно, число B)
является корнем уравнения
(Л _ а)п— Ь *= 0.
это уравнение, если воспользоваться формулой Нью-
тона, приводится к виду A).
Комплексные числа вида
а-{-Ы, а
,

где а, Ь — рациональны, тоже являются алгебраиче-
алгебраическими числами. Первое из них является корнем урав-
уравнения
fa второе — корнем уравнения
В качестве последнего примера, укажем, что числа
вида
it , . it
cos J-1 sin — ,
n n
где n — целое положительное число, тоже являются
алгебраическими, так как они служат корнем урав-
уравнения
Действительно, по формуле Моавра
it ,-¦ . . it \и .
COS j- I Sin \ = COS It 4- I Sin It = — I.
n n I
В дальнейшем мы можем предполагать, что коэф-
коэффициенты уравнения A) суть целые числа. В самом
деле, если это не так, то нам достаточно будет умно-
умножить уравнение A) на наименьшее кратное знамена-
знаменателей чисел а0, alt... an, чтобы получить уравнение
трго же вида, но с целыми коэффициентами.
Если а. является корнем уравнения вида A) с целы-
д_ коэффициентами а'х, аг,...ап и коэффициентом а0,
\ равным единице, то а называется целым алгебраиче-
! ским числом. Упомянутые в приведенных выше при-
примерах числа а-\-Ы, а-\-Ybi, если a,b — целые числа и
it | . . it
число cos \-1 sin — суть целые алгебраические числа.
п п
Определение 2. Каждое не алгебраическое чи-
число называется трансцендентным. Иными словами —
число а называется трансцендентным, если не суще-
существует ни одного уравнения вида A) с рациональными
(целыми) коэффициентами, которое имело бы а своим
корнем.
V
Основной целью настоящей главы является доказа-
доказательство существования трансцендентных чисел.
§ 2: Эквивалентные множества. Понятие множества,
также как понятие совокупности, от которого оно не
отличается, принадлежит к числу первичных понятий,
то-есть не подлежит определению через какие-нибудь
более простые понятия. Мы предпочитаем пользоваться
термином „множество", когда хотим подчеркнуть, что
речь идет о совокупности объектов, обладающих неко-
некоторым общим признаком. Можно, например, говорить
о множестве стульев в школьном здании, о множестве
кур на колхозной птицеферме, о множестве окружно-
окружностей с общим центром в данной точке, о множестве
натуральных чисел, о множестве простых чисел и т. п.
Первые два из упомянутых множеств являются приме-
примерами конечных множеств, остальные — бесконечных.
Определение 3. Множество называется конеч-
конечным, если оно содержит вполне определенное (конеч-
(конечное) число элементов, и бесконечным, если нет та-
такого числа N, чтобы число элементов множества
было меньше этого числа.
Можно также сказать, что множество называется
конечным, если, нумеруя его элементы числами 1, 2, 3,...
мы заканчиваем нумерацию вполне определенным чис-
числом п, и бесконечным, если процесс нумерации не
может быть закончен.
Строго говоря, имея дело с неконечным множеством,
нельзя говорить о нумерации в обычном смысле, надо
обобщить понятие о нумерации, и мы это сделаем,
введя следующее.
Определение 4. Два множества Называются
эквивалентными, если можно установить взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между элементами этих
множеств, то-есть, если каждому элементу одного
множества можно сопоставить определенный элемент
другого множества, и наоборот.
Так, например, эквивалентными являются следую-
следующие множества: множество прописных букв латинского
' алфавита, множество строчных букв того же алфавита
•и множество чисел 1,2,... 25; множество положи-
'тельных целых чисел и множество отрицательных це-
-яых чисел; множество окружностей с общим центром
\в данной точке и множество положительных чисел;

множество точек отрезка АВ с длиной, равной еди-
единице, и множество точек отрезка CD с длиной, равной
некоторому (любому) положительному числу к.
Последние два примера1 мы поясним.
Множество окружностей с центром в данной точке
действительно эквивалентно множеству положительных
чисел, так как каждой окружности соответствует по-
положительное число — длина радиуса, и наоборот, каж-
каждому положительному числу соответствует окружность
с радиусом, длина которого равна этому числу.
Взаимно-однозначное соответствие между точками
двух отрезков можно установить графически, как
указано на рис. 1, или, если
угодно, аналитически с по-
помощью формул
3
у = fl-f (b - а) •*» X
о — а
Рис. 1.
приводящих каждому чи-
числу х, удовлетворяющему
условию 0 < х < 1, число у,
удовлетворяющее условию
а<.у<й, и наоборот.
Последний из рассмот-
рассмотренных нами примеров об-
обнаруживает, в частности,
что бесконечное множество
может быть эквивалентным своей части. Для конечных
множеств, легко видеть, это невозможно.
Введя понятие об эквивалентных множествах, мы,
очевидно, обобщили привычное понятие о нумера-
нумерации, так как обычная нумерация есть не что иное
как установление взаимно-однозначного соответствия
между элементами некоторой совокупности и чис-
числами 1, 2,... п.
§ 3. Счетные и несчетные множества. Простейшими,
в известном смысле, после конечных множеств, сле-
следует считать так называемые счетные множества.
Определение 5. Множество М называется
счетным, если оно эквивалентно множеству нату-
натуральных чисел 1, 2,... я,... Примерами счетных мно-
множеств являются: само множество натуральных чисел;
ожество чисел 2, 4, 6,... 2«,..,; множество чисел 1,
-^-, —,... —,...; множество чисел 1!,2!, 3!,.. .я!,...
2 3 п
Ниже мы укажем более сложные и очень важные
примеры счетных множеств, а сейчас докажем" суще-
существование несчетных множеств.
Теорема 1. Множество вещественных чисел,
содержащихся между двумя любыми данными чис-
числами а, Ь, несчетно.
Так как в конце предыдущего параграфа мы дока-
доказали, что множество чисел, содержащихся между
данными числами а, Ь, эквивалентно множеству чисел,
содержащихся между 0 и 1, то нам достаточно дока-
доказать теорему для случая а = 0, Ь=\.
Напомним, что каждое вещественное число одно-
однозначно (если не пользоваться периодическими дробями
с девяткой в периоде) представимо в виде бесконечной
десятичной дроби, и что две такие дроби представляют
разные числа, если хотя бы два занимающие одинако-
одинаковое положение знака этих дробей не равны.
Допустим теперь, что наша теорема неверна, то-
есть, что множество вещественных .чисел, - содержа-
содержащихся, между 0 и 1, счетно. Следовательно, элементами
этого множества являются числа ах, а2,... ап,..., где
... <х
n .
A
ап =
и таблица A) должна содержать любой элемент нашего
|;^ииожества. Рассмотрим теперь число
¦ 0 с с с с (О\
1 1 2 3 ¦••«¦•' |ZJ
Cj — любая цифра, отличная от а:; с2 — любая циф-
а, отличная от р2 и т. д.; сп — любая цифра отличная
>w и т. д.
В силу сделанного в начале доказательства замеча-
|fSf> число B) не равно ни одному из чисел A) и не

должно, следовательно, содержаться между 0 и 1.
Между тем, очевидно,
1
0<
сп..
Мы пришли, таким образом, к противоречию и до-
доказали тем самым, что наше предположение о счетно-
сти множества чисел, содержащихся между 0 и 1,
невозможно.
Доказанная теорема позволит нам позже установить
существование трансцендентных чисел.
§ 4. Теоремы о счетных множествах. Введем важное
понятие о сумме множеств.
Определение 6. Суммой множеств А, В,...
называется множество М, каждый элемент кото-
которого принадлежит хотя бы одному из множеств
А, В,..., причем любой элемент любого из множеств
А, В,... содержится в М.
Например, множество вещественных чисел является
суммой множества рациональных чисел и множества
иррациональных чисел, множество натуральных чисел
является суммой множества четных чисел и множества
нечетных чисел.
Теорема 2. Сумма счетного множества конеч-
конечных множеств есть счетное множество.
Действительно, пусть Ми М2,... М^,... суть конеч-
конечные множества и содержат соответственно пи п2,...
nhj... элементов. Обозначим элементы множества Mt
символами av а2,... пп ,...t элементы множества М2
символами ащ+ъ ащ + 2)... ащ + щ (если м* не со"
держит элементов из Мх, то ji2 = n2; если М2 содержит
только элементы из Ми то п2 — 0) и т. д.
Множество элементов аи а2 ат,... очевидно
счетно и является суммой множеств Ми М2)... Мк,...
В качестве полезного примера применения доказан-
доказанной теоремы приведем утверждение:
Теорема 3. Множество рациональных чисел (по-
(положительных и отрицательных) счетно.
Назовем высотой рационального числа -? {а, Ь—це-
Ь—целые) число 1 а\ +1 Ъ j и заметим, что множество рациона-
рациональных чисел с данной высотой п конечно. Так, напри-
10
О о 1
мер, только числа ± j, ± -% > ± "з имеют ВЫСОТУ 4-
Обозначим через Л11 множество рациональных чисел
с высотой 1 (число у
через М2—множество чисел с
высотой 2 (числа ± —I, через Мь— множество чисел с
<высотой 3,..., через Мп—множество чисел с высотой
•п и т. д.
Множество всех рациональных чисел является сум-
| мой множеств Ми М2,... Мп,... и, в силу теоремы 2,
.оно счетно.
i Заметим, что множество положительных рациональ-
*ных чисел можно „перенумеровать" по схеме, приво-
приводимой на рис. 2,
! пропуская, при Л_ ^ JL Л ^ JL.
|обходе таблицы f 2 3 *" Ц
!цо пути, указан- у S
|ному стрелками, g >* 2 2 2
уже перенумеро- ~j~ ~2~ ~g~ !~2
ванные числа. IX
Если мы при- \ у
писывали бы по- _j_ 3 3 3
ложительным pa- ^ *2~ ~J~ ~Ц
циональным чис- /
лам только нуме- ж__
ра 2, 4, 6,..., а * *
нулю и отрица- Рис. 2.
тельным рацио-
рациональным числам "нумера 1, 3, 5,..., то мы перенуме-
перенумеровали бы все множество рациональных чисел.
Теорема 2 допускает важное обобщение.
Теорема 4. Сумма счетного множества счетных
множеств является счетным множеством. В частно-
частности, сумма конечного числа счетных множеств есть
счетное множество.
Обозначим элементы счетного множества М1 через
#ш а?л> ази • • " элементы счетного множества М2 через
и вообще — элементы счетного множе-
Назовем высотой элемента
a
32> ¦
Ётва Мп через ат, а2П,.
Шф число ;
JJ

«
af.
a?»
Сумма множеств хМи М2,... Мп,... состоит из эле-
элементов "с высотой 2, элементов с высотой 3 и т. д.,
то-есть является счетной
<хи—^ аг1 азг—„... суммой конечных мно-
множеств и как таковая, по
— теореме 2, является счет-
счетным множеством.
Справедливость нашей
— теоремы следует также
1>ис. з из возможности нумера-
нумерации по схеме, указанной.
на рис. 3. В качестве полезного примера применения
теоремы 4 (и теорем 1, 3) докажем утверждение:
Теорема 5. Множество иррациональных чисел,
содержащихся между любыми двумя данными числа-
числами а, Ъ, несчетно. '
Действительно, если бы это множество было счет-
счетным, то множество всех вещественных чисел, содер^
жащихся между числами а, Ь, как сумма двух счетных
множеств (множества рациональных чисел, счетность ко-
которого установлена, и множества иррациональных чисел)
было бы счетным, но это противоречило бы теореме 1.
§ б. Существование трансцендентных чисел. В настоя-
настоящем параграфе мы докажем, что существуют трансцен-
трансцендентные числа, и что множество таких чисел несчетно,
в то время как множество алгебраических чисел счетно.
Теорема 6. Множество алгебраических чисел
счетно.
Действительно, мы можрм рассматривать множество
всех алгебраических чисел как сумму множества Мх
алгебраических чисел, являющихся корнями уравне-
уравнений первой степени с целыми коэффициентами,, множе-
множества М2 алгебраических чисел, являющихся корнями
уравнений второй степени и т. д.
Таким образом, множество всех алгебраических чисел
является суммой счетного множества множеств Мх,
М2,... Наша теорема, ввиду теоремы 4, будет дока-
доказана, если мы докажем счетность каждого из множеств
Mv М2,... Mft,...
Рассмотрим множество Мк. Назовем высотой урав-
уравнения
aoxk + aixk~l + ...-\-aK_lx + ak^Q A)
12
?чйсло f
I i«ol + kl4----4-Hfcl- B)
|Гак как числа а0, av ... аи целые, то можно найти лишь
конечное число их, чтобы сумма B) была равна задан-
заданному числу N. Это означает, что множество урав-
уравнений A) с высотой, равной 1, конечно, множество
уравнений A) с высотой, равной 2, конечно и т. д.
Так как уравнение A) имеет не более чем к раз-_
Личных корней, то конечны множества алгебраических
Йисел, удовлетворяющих уравнениям А;-ой степени с
|ысотой 1,2,... Следовательно, множество Мк является
|уммой счетного множества конечных множеств, и по-
"¦' му оно счетно.
Таким образом, теорема доказана полностью.
Теорема 7. Множество трансцендентных чисел
уесчетно. Более того, множество вещественных транс-
трансцендентных чисел несчетно.
Действительно, множество всех вещественных чисел,
1о теореме 1, несчетно и является суммой счетного
§ножества алгебраических чисел и множества трансцен-
ентных чисел. Из теоремы 4 немедленно следует, что
оследнее множество не может быть счетным.
Таким образом, с помощью весьма простых средств
|й соображений, мы установили существование беско-
бесконечного множества трансцендентных чисел. Приведен-
Приведенное нами доказательство было найдено в 1873 году
|Г. Кантором*.
§ в. О построениях с помощью циркуля и линейки. Мы
^намерены показать, что построение с помощью цир-
|'куля и линейки отрезка данной длины / возможно тогда
;|и только тогда, когда / является корнем алгебраичес-
|кого' уравнения определенного вида и, следовательно,
|рведомо невозможно, если / трансцендентное число.
^Доказательству соответствующей теоремы мы предпош-
предпошлем несколько замечаний.
Замечание I. В декартовой системе координат
эафиком уравнения
A)
J-* Родился в Петербурге в 1845 году,.там же получил иачаль-
« Образование.

где А, В, С — коэффициенты, не зависящие от х, у,
является прямая.
Наоборот, уравнение любой прямой в декартовых
координатах можно
привести к виду A),
то-есть координаты
любой точки данной
прямой удовлетво-
удовлетворяют одному и то-
тому же уравнению
вида A). Этот факт
мы считаем извест-
известным из школьного
•ОС
*~ курса.
Замечание II.
Из теоремы Пифа-
Пифагора следует (см.
Рис. 4. рис. 4), что коор-
координаты х, у любой
точки на окружности радиуса г с центром в точке [а, Ь)
удовлетворяют зависимости
то-есть зависимости вида
Так как уравнение C) эквивалентно уравнению
1*+—1-Н.У+-п-1= л " » D)
и выражение
равно квадрату расстояния точки (х, у) от точки
(К L\
—, ~\, то графиком уравнения C), в прямо-
k 2 J)
угольных декартовых координатах, является геометри-
геометрическое место точек равноудаленных от данной точки,
то-есть окружность*.
* Предполагается, что I = ^ > 0. Если 1 = 0, то
окружность вырождается в точку; если I < 0, то х; у не могут
оба быть вещественными.
14
Таким образом, уравнение C) является уравнением
¦окружности, и наоборот, графиком зависимости C)
'^является окружность.
Замечание III. Совместное решение уравнений
A) и C) означает нахождение" точки, координаты кото-
которой удовлетворяют этим уравнениям; то-есть нахожде-
1ие точки, лежащей на прямой и окружности—точки
пересечения этих двух линий.
Наоборот, для того чтобы аналитически найти точку
пересечения прямой и окружности надо решить совме-
Ьтно уравнения A) и C) этих линий.
Определение 7. Вещественное число а назы-
гется: числом типа Аи если оно является корнем
^которого квадратного уравнения (или уравнения
Червой степени) с рациональными коэффициентами;
Ыслом типа А2, если оно является корнем некото-
некоторого квадратного уравнения [или уравнения первой
степени) с вещественными коэффициентами типа.
\1;...; числом типа Ак, если оно является корнем
Шекдторого квадратного уравнения (или уравнения
тервой степени) с вещественными коэффициентами
\muna Ак_\.
Например, числа '1 -(- УН, 1 — V2 суть числа ¦
гак как они являются корнями уравнения
. . л2 — 2х —1=0,
числа — 2 + Уз — V2, —2Г-УЗ — УГ2 суть числа типа
А 2, так как они являются корнями уравнения
Теорема 8. Каждое число а типа Ак, где к —
вполне определенное (конечное) число является алгеб-
алгебраическим числом.
Действительно, число а является корнем квадрат-
квадратного уравнения, коэффициенты которого получаются
из .рациональных чисел с помощью применения некото-
некоторого числа рациональных арифметических действий и
екоторого числа извлечений квадратного корня. Осво-
ождаясь известными из школьного курса способами
иррациональностей, мы прийдем к уравнению быть
(ржет высокой степени, но алгебраическому с рацио-
15

П&льными коэффициентами, для которого а является
корнем. -
Например, числа —2 + /з—V2, — 2 — Уз— V2 яв-
являются корнями уравнения
xi + 8х3 + 18л:» + 8л — 1 = О,
которое получается из уравнения E), если в нем осво-
освободится от иррациональности. N
Теперь мы можем доказать основную теорему.
Теорема 9. Отрезок длины а. можно построить
с помощью циркуля и линейки тогда и только тдгда,
когда а является числом типа Ак, где к —конечное
кисло. '~~
Следствие. Если а-—трансцендентное число, то
построение отрезка длины' а с помощью циркуля и
линейки невозможно.
Как известно из школьного курса, если веществен-
вещественное число а является корнем квадратного уравнения,
то построение с помощью циркуля и линейки отрезка
длины а наверно возможно, если возможно такое по-
построение для отрезков с длинами, разными коэффи-
коэффициентам уравнения. Поэтому всегда можно построить
с помощью циркуля и' линейки отрезок с длиной а,
если а — число типа Аи Но тогда построение возможно
и в том случае, когда а —число типа Л2 и т- Д-
Следовательно, если а. число типа Ак (к—конечно),
то построение с помощью циркуля и линейки отрезка
с длиной а возможно. *
Допустим теперь, что можно построить с помощью
циркуля и линейки отрезок с длиной а и докажем, что
а является числом типа Ак, где к—конечное число.
Действительно, возможность построения нашего от-
отрезка означает, что его концы можно найти путем про-
проведения конечного числа прямых, описывания конечного
числа окружностей, и нахождения точек пересечения
получаемых линий. Иными словами, построение отрезка
с помощью циркуля и линейки является конечной це-
цепью построений, каждым звеном которой является
проведение прямой через две заданные точки и прове-
проведение окружности данного радиуса с центром в данной
точке. При этом точки, через которые проводится пря-
. мая, центр и радиус окружности должны определяться
16
Предыдущими построениями. Следовательно, первым
доеном упомянутой цепи построений является проведе-
проведение прямых через точки с рациональными координа-
координатами, окружностей с радиусами рациональной длины и
Центрами с рациональными координатами и нахожде1
|ие пересечения этих линий. Уравнения таких прямых
|; окружностей будут, как легко сообразить, содержать
hinib рациональные коэффициенты. Следовательно,
рординаты их точек пересечения будут числами типа
IL Второе звено нашей цепи построений приведет к
^"аам типа Аг и т. д. Наконец, последнее звено при-
дт к числу а, и оно должно, таким образом, при-
прилежать некоторому типу Ah.
(Наша теорема, таким образом, доказана пол-
?тью.
1 § 7. Исторические замечания. Одной из самых древ-
*" задач, занимавших умы многих математиков и, еще
ьше, умы людей слабо знакомых с математикой, в
чение веков была задача о квадратуре круга. Задача
Йслючалась в следующем: с помощью циркуля и ли-
вйки построить квадрат равновеликий данному кругу.
™4с как при радиусе, равном единице, площадь круга
вна я, то задача сводится к построению отрезка с
иной тг, потому что, вообще, как известно из школь-
школьно курса, если возможно построение отрезка с дли-
й а, то возможно и построение отрезка с длиной а2
наоборот.
Простота формулировки задачи являлась вызовом
тематике и математикам, она же соблазняла и нема-
натиков. Последних часто прельщали и мнимые
'годы", которые они по неведению ждали от реше-
задачи.
|;Петербургский академик Л. Эйлер A707—1787) пер-
й пришел к убеждению, что задача о квадратуре
а невозможна и притом высказал предположение,
число я не удовлетворяет никакому алгебраиче-
у уравнению с рациональными коэффициентами,
рш образом, Эйлер первый высказал предположение
•уществовании трансцендентных чисел и о трансцен-
гности числа я. Кстати сказать, обозначение отно-
ния длины окружности к диаметру буквой я было
'цено Эйлером. Им же был введен термин „трансцен-
гность".
:'М. Дринфельд.
17

Предположение Эйлера о существовании трансцен-
трансцендентных чисел было строго доказано впервые лишь
в 1844 году французским математиком Лиувиллем,
а трансцендентность числа те (и, следовательно, невоз-
невозможность квадратуры круга) была доказана лишь
в 1882 году.
Лиувилль доказал существование трансцендентных
чисел, установив следующий достаточный, но не необ-
необходимый, признак трансцендентности: если число а
иррационально и существуют три бесконечно-возра-
бесконечно-возрастающие последовательности целых чисел
PuPt, ¦•¦ Pk i
ти т2,
¦> со, когда &-> со)
>- со, когда к -> оо)
(mfe -> со, когда А;-»- оо)
такие, что
то а — трансцендентное число.
Пользуясь этим признаком, можно, например, дока-
доказать трансцендентность числа
Доказательство признака Лиувилля не элементарно.
Кроме того, из него вытекает существование трансцен-
трансцендентных чисел, но он не дает никаких указаний
о характере множества этих чисел.
Приведенное нами доказательство существования!
трансцендентных чисел Г. Кантора вполне элементарно
и к тому же оно устанавливает несчетность множества
трансцендентных чисел. Однако, доказательство Кан-
Кантора является только доказательством существования,!
без указания хотя бы одного конкретного числа, кото-!
рое являлось бы трансцендентным.
Применимость признака Лиувилля весьма ограни-
ограничена. В частности, с помощью этого признака не уда-
удалось доказать трансцендентность числа те и числа
е= Urn [ T
Трансцендентность числа е была доказана лишь
|в 1873 году (Эрмит), а трансцендентность числа те, как
|уже упоминалось, в 1882'году (Линдеман) методами,
рсотарые носят частный характер и неприменимы к дока-
доказательству трансцендентности других чисел. '
Замечательные результаты общего характера были
юлучены советскими математиками А. О. Гельфондом
(родился в 1906 году, лауреат Сталинской премии,
член-корреспондент Академии наук СССР) и Р. О. Кузь-
|миным (родился в 1891 году, умер в 1950 году, член-
|корреспондент Академии наук СССР).
§ 8. Результаты А. О. Гельфонда и Р. О. Кузьмина.
1900 году, в докладе на всемирном конгрессе мате-
математиков, один из крупнейших математиков .последней
|четверти XIX века и первой четверти XX века Д. Гиль-
|берт сформулировал 23 математические проблемы, реше-
|ние которых требовало разработки новых и значитель-
значительного усовершенствования старых методов в математике,
то время A900 год) казалось, что подхода к разре-
разрешению проблем Гильберта нет. Одной из наиболее
|трудных проблем Гильберта была следующая (седьмая):
Пусть а —любое алгебраическое, отличное от еди-
единицы число, а р — любое алгебраическое, нерациональ-
нерациональное число. Будет ли алгебраическим или трансцендент-
:Ным число ар? В частности, являются ли трансцен-
трансцендентными числа * 2 2 н е"? В течение тридцати лет
эта проблема не поддавалась решению, хотя теорией
|трансцендентных чисел занимались многие. Заметим,
|кстати, что значительные результаты в этой теории
|были получены одним из старейших советских мате-
математиков Д. Д. Мордухай-Болтовским (Ростов — Пяти-
ГОрск, скончался в 1952 году).
В 1929—1930 годах московский математик Александр
)сипович Гельфонд показал, что если а — алгебраиче-
алгебраическое (отличное от 0 и 1) число, ар — мнимое ирра-
иррациональное число, подчиненное еще одному добавоч-
добавочному условию (так называемая квадратичная иррацио-
о
зость), то ар— трансцендентно. Это было значитель-
* В следующей главе будет сказано, как определяются степени
| иррациональными и мнимыми показателями и будет показано,
e«-(-lf\
\
19

ньш продвижением в решении проблемы Гильберта,
но еще не полным решением. В частности, полученный
результат еще не давал ответа на вопрос о чис-
числах 2^ и е\
В том же, 1930 году, ленинградский математик
Родион Осиевич Кузьмин показал, что требование мни-
мнимости показателя р излишне. Тем самым была уста-
новлена трансцендентность числа 2 .
Наконец, в 1934 году, пользуясь очень слож-
сложными методами современного математического анализа,
А. О. Гельфонд полностью разрешил седьмую про-
проблему Гильберта. Заметим, что ряд других, тоже
очень трудных, проблем Гильберта также были разре-
разрешены советскими математиками — С. Н. Бернштейном
Н. Г. Чеботаревым, Л. С. Понтрягиным.
Глава II
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 1. Некоторые сведения из теории пределов. Напом-
ам следующие определения:
Определение 1. Число а называется пределом
3» последовательности
аиа„... ап,..., A)
\ли для любого положительного числа г можно
щзать число N такое, что
\>и всяком п, удовлетворяющем условию п > N.
бычна запись
а= lim am.
Определение 2. Число А называется пределом
ункции f(x) при х равном а, если для любого поло-
положительного числа s можно указать положительное
чело 7j такое, что /
|/(*)-Л|<в B)
iu всяком значении х, удовлетворяющем условию
\х — а\<ъ.
|ользуются записями
x
А = lim f(x), Л = Hm f(x
ха
21

Замечание. Записи
А~ \\mf{x),
lim f[x)
означают, что неравенство B) имеет место, соответ-
соответственно, при
х>М, х<—М,
где М — некоторое положительное число, определяемое
заданным числом s.
Из школьного курса математики известны следую-
следующие теоремы о пределах:
1. Если существуют пределы слагаемых и число
слагаемых фиксировано, то существует предел суммы,
и он равен сумме пределов слагаемых. То-есть
lim [ап+ЪпЛ 1-*») =
П -*• оо
= lim an+ llmbn-\ blim
И, -> сю М-+0О м -»¦
х —
= lim /
x-+ a
kn
ft[x)-\ \-limfm(x).
x-+a
x -* a
2. Если существуют' пределы сомножителей и
чис ю сомножителей фиксировано, то существует
предел произведения, « он равен произведению преде-
пределов сомножителей. То-есть
lim {an.bn-'-kn)= Hm an- lim bn-¦ ¦ lim kn, .
П -*¦ оо П -*¦ оо И -*¦ °° 11 -* oo
Um[fl(x)f2(x).-.fm(x(] =
x -*¦ a
= ¦ 11m /,(*) • lim ft[x)- • ¦ Hm fm[x).
x -* a x ->• a x -»¦ a
В частности, если а — постоянная, то
lim ааи=« Hm an, Hm a'f(x) = a Hm f{x) ,
n ->• oo и-»-оо x -v а ж-* л
3. Если существуют пределы членов отношения
предел знаменателя отличен от нуля, то суще-
существует предел частного, и он равен частному пре-
пределов кленов отношения. То-есть
lim а„,
.. an n
hm -—=
lim
И ->- оо
' Hm <
х -*¦ а
4. Предел величины, заключенной между двумя
гличинами, имеющими общий предел А, существует
равен А. То-^сть, если для всех значений п, начиная
некоторого,
Ь
lim й,й= lim feM = A,
И -+ оо И -v oo
Hm cn~A.
П -*¦ оо
Диалогично, если для любого, достаточно близкого
а, значения х
. f(x)K<?(x)<F(x)
lim
a' -»• a
lim FWt=i4,
x -* a
lim (р(д;)==А.
л: -+ a
5. Если хп ограниченная величина и lim уп=рг
П -*¦ 00
Hm
В качестве полезного для нас в дальнейшем при-
гра докажем, что для любого значения х, не зави-
1щего от п,
lim 4r=0.
22
23

Действительно, если г целое число и
то
п — г
п\
г\
X
• <!*!
r! (r+1)n-
Но величина
Поэтому
г! Vr+1
п — г
l?i
r!
i — r
1
не зависит от п, а "^от_г ->0, если п~> оо.
lim
И -v оо
r!
ЭМ— Г
-=0
и тем более
lim ~ =
И -v оо ^'
В дальнейшем нам понадобятся еще некоторые факты
из теории пределов, которые не рходят в школьный
курс математики и поэтому будут нами доказаны.
Теорема 1. Каждая, ограниченная сверху (снизу),
неубывающая (невозрастающая) последовательность,
имеет предел.
Ограниченность последовательности A) сверху озна-
означает существование такого числа М, что при любом п
ап<М. '
Аналогично определяется ограниченность снизу.
Последовательность называется неубывающей-, если
при п > т
ап>ат
и невозрастающей, если
а
а
т.
Доказательство теоремы вполне элементарно, но
требует знания теории иррациональных чисел. Мы про-
проведем это доказательство, исходя сначала из опреде-
определения иррационального числа с помощью сечения
в области рациональных чисел. Для определенности
будем предполагать, последовательность неубывающей
и ограниченной сверху.
24
Отнесем к правому классу В каждое рациональное
число, большее любого элемента последовательности
аи аг,...ап>...,
а к левому классу А—все остальные рациональные
числа, то-есть каждое раци'ональное число не большее
хотя бы одного элемента последовательности.
В силу ограниченности последовательности сверху
оба класса существуют. Ясно, что любое число из
класса А меньше каждого числа из класса В и что
любое рациональное число находится в одном из клас-
классов А, В. Таким образом классы А, В определяют
сечение в области рациональных чисел, то-есть опре-
определяют некоторое число а, которое не меньше любого
числа из класса Л и не больше любого числа из
класса В. Докажем, что
а= lim an.
п -*¦ со
^Действительно, пусть задано любое число е>0. Тогда
| найдется в нашей последовательности элемент ак та-
тайкой, что
|так как, если бы такого элемента не было, то-есть при
! любом к было бы
тем более
то мы имели бы
a - ак
ак
при любом к, но тогда а"не отделяет класс Л от класса В.
Если неравенство C) справедливо для некоторс го к,
то, так как последовательность неубывающая, нера-
неравенство
справедливо при любом п>к. Отсюда следует, что
lim аи = а.
11-* 00
25

Если исходить из представления вещественных чи-
чисел с Помощью бесконечных десятичных дробей, то
доказательство терремы можно провести следующим
образом^
Мы можем считать, что наша последовательность
ограничена сверху целым числом М (иначе мы заме-
заменили бы М ближайшим целым числом, большим М).
Пусть т— ближайшее целое число, меньшее чем ах.
Таким образом -
т<ап<М, «=1,2,3,...
Рассмотрим числа
т, т +1, т 4- 2,... М — 1, М.
Пусть с4-1 является первым из них, которое не меньше
любого элемента нашей последовательности (в крайнем
случае: с-\-\—М). Следовательно, существует /эле-
/элемент ак такой, что
• С.
Но тогда %> с при любом я > к.
Итак
с *сап^с с-\-\, « > к.
Теперь рассмотрим числа
с; с, 1; с, 2;...; с, 9; с"+1; (е,« =
Повторив предыдущее рассуждение, прийдем к выводу,
что существуют числа с, <хх и с, ах 4-0,1 = с, ах4-1 и та-
такое число &х> что
c.gcj < ап -< с, аа + 1 при /г > kv
После этого рассмотрим числа
с> ai! ^> ai 1! ^5 ai 2| • • • > С, (Xj 9; С, (Xj 4~ 1
и прийдем к заключению, что существуют числа с, ах
и с, aj а24-0,01 =си ах а24-1 и такое число &2, что
С, CCj flt2 ^ flijl ^ С, Otj OCg 4~ 1 >
26
Продолжая эти рассуждения, мы определим беско-
аечную десятичную дробь
гдля которой
причем с, аа а2,.
бом п>кт.
Следовательно,
— fl| < С, ах.
а = с, «j a2
с, ах.. . ат
с, <хх а2...
1» при ЛЮ-
—
s, n> кт>
|если взять т достаточно большим. Значит
lim ап = а.
п -* оо
Теорема 2. Если а>0.и рациональные кисла
hvh2,-..hm,... ( D)
f образу ют последовательность, для которой
lim Aw = 0,
lim
Сначала докажем, что
1
n — целое.
F)
Пусть а > 1. Тогда
и поэтому
где ненаписанные слагаемые положительны. Следова-
Следовательно,
а>1-\-та.т; лт
т
27

Таким образом,
При a > 1 и hn > 0, имеем *
и поэтому
lim am = \.
1
Если a < 1, то — >1 и по доказанному
a
lim —j-= hm — = 1.
m-+co — m-+oo \ a j
am
По теореме о пределе частного, имеем
lim am — lim ——- = 1.
При а—\ наше утверждение очевидно.
Теперь докажем, что справедливо равенство E).
Действительно, пусть
р |
и пусть т ближайшее ¦тс _ целое число, не больше чем
Рп
qJL. Тогда
Рп
Следовательно,
/га + 1
и /»->оо, если /i->oo.
28
|При а< 1, наоборот,
т
ahn
3 обоих случаях на основании равенства F) и тео-
земы о пределе переменной, заключенной между двумя
переменными, имеющими общий предел, получим
lim ahn=\.
Доказанная теорема позволяет ввести понятие о
гепени положительного числа с иррациональным по-
показателем.
Определение 3. П\>сть a — иррациональное чи-
о и
гь г2,... гп ,... • G)
госледовательность рациональных чисел, для которой
п -»-оо
Гогда, по -определению
lim rn — a.
аа— lim arn
П -v<30
G.)
(8)
^последовательность G) образуют, например, числа
)
l; a, ax; a, aj a
2;
() ру рр
если a = fl, ax a2. . лп...).
Чтобы можно было принять такое определение, есте-
^енность его очевидна, надо доказать, что предел
(8) существует и не зависит от выбора последователь-
ости G).
Если последовательность G) неубывающая, то по-
едовательность
а1, аГг,.. arnt... (9)
Предоставляем читателю рассмотреть случай />п
29

не убывает при а>1 и не возрастает при й<1. В
первом случае — *¦
а п<аг,
где г — любое рациональное число, большее а, во вто-
втором случае —
Значит, по теореме 1, в обоих случаях существует
предел последовательности (9), то-есть, существует
предел (8).
Теперь докажем независимость предела (8) от вы-
выбора последовательности G). Пусть последовательность
рациональных чисел
отлична от последовательности G), но имеет тот же
предел а
lim 5и = а.
п
Тогда
lim
= Hm rn— lim sn = a — a=0 (9)
n -»oo
lim (arn— aSn) == lim arn [arn — «« — 1) =
= lim arn . lim (flrn-sn_ l)=0,
И, -cOO П -*oo
так как
Hm arn =
n-+co
а на основании (9) и теоремы 2
Hm (агя —«„_]
Из A0) следует, что предел
A0)
существует и
30
lim asn
lim as«== lim arn — aa.
-t-oo n-»-oo
Замечание 1. Так как о последовательности
,... sn>... мы не предполагали, что она неубываю-
|щая (невозрастающая), то из наших последних рассуж-
|дений следует, что в определении 3 обязательно лишь
^условие GХ).
Замечание 2. Из тех же рассуждений следует,
|нто
lim asn = aa>
П -VOO
|каковы бы ни были числа sn, рациональны или нет,
1лишь бы
lim sn— a.
§ 2. Показательная функция. Число е.
Определение 4. Функция
у = ах
^называется показательной.
При а > 0 эта функция определена для любого ве-
|щественного значения х, то-есть, каждому х, рацио-
ральному или иррациональному, соответствует вполне
Определенное число ах.
Особую роль в математике (и приложениях) выпол-
!Няет показательная функция с основанием, которое,
следуя Л. Эйлеру, обозначают буквой е и которое
является пределом последовательности
[то-есть, по определению
( 1 Iй
е= Hm 1+—
¦ — целое положительное число. Прежде всего, нам
¦шдо доказать, что рассматриваемый предел суще-
гвует.
31

Для этого зам етим, что по формуле, Ньютона
К)"
п I
JL
n
1.2
1-2-3
+
1
п
11
1.2-3
я
1 -2-3... (я—1)я
П
П
Ь2
l —
B)
В последнем выражении при возрастании п увеличи-
увеличивается число слагаемых и возрастают сами слагаемые.
Поэтому последовательность A) является возрастаю-
возрастающей. В то же время, из B) следует N
Следовательно, последовательность A) ограничена
сверху.
Из теоремы 1 § 1 следует, что рассматриваемый
нами предел существует.
Позже мы покажем, как можно быстро и с любой
точностью вычислить число е.
Исторически последовательность A) появилась вместе
с логарифмами *. Особая роль числа е и функции е?
* См., например, Л. Я. Гиршвальд. История открытия лога»
рифмов. Издательство ХГУ, Харьков, 1952.
32
математике и приложениях связана с тем, что эта
эункция обладает следующим замечательным свой-
гвом: скорость изменения функции ех относительно х
)авна самой функции ех. Этот факт будет нами дока-
доказан ниже ( в § 4, где будет также указано, что надо
донимать под скоростью изменения функции). Очень
Полезными, при вычислении пределов, являются сле-
следующие утверждения.
Лемма 1. Каким бы ни было п, лишь бы |/г|->оо,
Чмеем
lira
|«|-VOO
Y
1 i
],ействительно, пусть п > 0. Обозначим через m бли-
taftmee к п целое число, не большее чем п. Тогда
пг<
поэтому
1 +
¦оо
4
щ-*оо \ /и /
Следовательно,
5сли «<0 (ho I«I
> 0), получим:
п/ \ ml
1 \™+\
+l
m
lim /l+-L\"-
), то при обозначении n= —
I I \п /1 \—к
lim 1+— ='Hm I— — ) =
|»|-*оо\ И} fc-»oo\ к
,. 1.к—1\-* „ / &
= lim = lim
fc-+oo\ к I k-*oo\k—ll
= lim (i ) l \k~4l I l
. Г. И. Дринфельд.
33

wmmmi
Таким образом, лемма доказана полностью. Оче*
видно что можно заменить формулировку леммы сле-
следующей, часто 6oiee удобной, формулировкой
Hm
x ->0
= e.
Лемма 2. Если а не зависит от х, то
Hm
X -»оо
Так как
m (\-\-axY ~=
»оо \ /
или: Нш
|«| -»оо
П
то при целом а лемма немедленно следует из теоремы
о пределе произведения. Если а не целое, то доказа*
тельство не очень усложняется. Мы его опускаем. ':
Весьма важным свойством многих функций является
свойство непрерывности, которое заключается в еле*
дующем:
Определение 5. Функция f(x) называется
непрерывной при х — х0 (в точке х — х0), если суще-
существует Hm f(x) и притом
Х-+ Хо
Hm /(*) =/(*„)
х ->х0
то-есть, если разность •>
сколь угодно мала одновременно с разностью
nZln nnKa3a1^' ЧТ0 потзательная функция непрк
рывна при любом значении х. Действительно, Щ
аХ _ аХй __
Х0_
'34
ьмем рациональное число h > 0 столь малым, чтобы
ю место неравенство
го возможно ввиду теоремы 2 (§ 1). Затем, пусть
| х — х01 < п.
Рогда
\ax-axo\<ax°\ah-l
|ем и доказана непрерывность функции ах-
I; Замечание. Логарифмы, вычисленные при осно-
основании е, называются натуральными и обозначаются
' шволом lniV.
1к как
Отсюда следует
13го-есть
= 1пЛ^; log№iV= In TV • iogae,
Эти формулы устанавливают связь между логариф-
логарифмами, вычисленными при некотором основании а и
1 натуральными логарифмами.
§ 3. Разложение функции ех в степенной ряд. Ирра-
Иррациональность числа е.
Определение 6. Если числовая последователь-
последовательность
аи flx + a2, Oi + ag + ag,..., a1-\-a2 + ...-\-ant...
I имеет предел а, то пишут
а = ах+а2+-.. + а»-}-•¦.
К"'"
| и говорят, что число а представлено рядом
01 + 02 + --- + йп+--- (О
| или, что ряд (IX сходится и имеет суммой число а.
35

Определений it?
ниях х последовательность11 При
™аяг-
*о,
при. этих зна-
ao + eI*+--.-{-aIIjc»-f ••
является f(x). Это запи-
Теорема *. При любом значении х
Применяя формулу Ньютона,
имеем
А
•+ijyf
где
1-2.7
Заметим, что
г\
„
36
усть ^>0. Тогда из D) следует
E)
1олагая
, из E) находим
vrx
^ F)
r+1— x
|Српоставив равенство (З) с неравенством F), получим
п г+1—
х)п
G)
При фиксированном г, будем неограниченно увеличи-
увеличивать п.
Так как
хг
П-> оо
и по лемме 2 предыдущего параграфа
то из G) следует
х х
4
4- —
2!
37

Последние неравенства имеют место при любом г. Уве-
Увеличивая теперь г неограниченно, получим
то-есть
что и требовалось доказать.
Столь же элементарно доказывается справедливость
B) и при, я<0, но на этом мы уже останавливаться
не будем.
Равенство B) позволяет вычислять значения функ-
функции ех с любой точностью и достаточно быстро. Мы огра-
ограничимся (для вычислительных задач этого достаточно),
тем, что найдем с точностью до 0,00001 само число ^
Положив в B) х=\, получим ;'¦
Следовательно,
1 , 1
где
= (9)
n + 2
В частности
И
10-101
38
п 1 Щ
3628800 < 300000 < °'00001--,'.#
к
|"аким образом, с точностью до 0,00001,
+ + + |^
}з равенства (8) весьма просто следует
Теорема 4. Число е — иррационально.
1,опустим противное. Пусть
г р, q — целые числа.
Из равенства (8) получим тогда
|* После умножения на #!, найдем
Выражение, стоящее в левой части последнего равен-
равенства, является целим числом. Что касается выражения,
стоящего в правой части, то на основании (9)
Sa, следовательно, д! 8„ является правильной дробью.
Таким образом, равенство A0) невозможно, и число е
не может быть рациональным.
В заключение параграфа покажем, что
т
х
lira xme~x— Hm -37 =
-+<х> х-*<х е
(И)
при любом конечном т. ЗЦго замечание дает представ-
представление о быстроте роста функции е* и быстроте убы-
убывания функции е~х при х-»оо.
39

Равенство A1) следует из того, что
хт__ хт
ех ~~ . , х . х2 . . хт
X
+ 1
Но при конечном (пусть даже очень большом) т и
я—*оо, имеем
д:-»оо х
Следовательно, подавно
lim ~-s=0.
X -* 00 ^^
§ 4. Скорость изменения функции ех.
Определение 8. Производной функции f (x) на-
называется предел
fix]= „m
|Л|
(i).
если он существует. *
'¦ Функцию /' (х) можно считать скоростью изменения
функции f(x), так как, если f(x) означает путь, прой-
пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за время х,
то f(x-\-h)—f(x) есть путь, пройденный точкой за
время [х-\-К]—x = h, отношение
f[x+h)-f(x)
h
является средней скоростью за время h (начиная с мо-
момента х), а предел A)~скоростью в момент х. Напри-
Например, если
а
40
| (свободное падение), то
а
а
/'(*)= Нт -
h
= Нт Bа: 4-A) JL=ax
|Л|-0 2
— известному выражению для скорости свободно па-
падающего, с ускорением а, тела.
Теорема 5. Скорость изменения функции ехрав-
ехравна ех.
I То-есть
¦'=«*. B)
Предварительно докажем, что
.. eh-l
hm —-—
h-*0 "¦
Действительно, из равенства
следует
eh-
I
и поэтому
hi
" — "triT-QT"T-Xi~r
C)
1
IAI , |AJP ,
о Т О2 1
2
22 ' 23
1 —
IAI '
Значит, если А -> Ок то
0,
что и требовалось доказать.
41

Теперь имеем
Таким образом, теорема доказала.
Легко сообразить, что нет надобности рассматривать
показательные функции с основанием, меньшим еди-
единицы. Легко также видеть, что все установленное нами
для функции ех переносится на функцию ах (а> j
так как
ax==exlna:==l . (fM ,
2!
Заметим лишь, что
(ах)' — ах • In a. j
* Читатель может это легко проверить.
Установленные нами свойства показательной фуни*
ции [существование, непрерывность, возрастание (при
0
...Рис. 5.
а> 1)] позволяют нам Построить график этой функции.
Он имеет вид, указанный на рис. 5. После этого ста-
становится очевидным, что каждое положительное число
имеет логарифм при любом положительном основании.
* При а < 1 изменится формулировка замечания в конце § 3.
42
§ б. Теорема сложения. Важнейшее свойство пока-
тельной функции, заключающееся В том, что
а
х- а? =
хорошо известно из школьного курса. При целых и
при дробных рациональных показателях оно следует
из определения степени, а так как
lira a n
h—*oo.
lim
lim
~h
то оно верно для иррациональных показателей.
Приводимая ниже теорема показывает, что упомя-
упомянутое свойство является характерным для показатель-
показательной функции.
Теорема 5. Если функцияf(x) непрерывна и при
любых значениях х и у справедливо тождество
f[x)'f(y)^f{x-\-y). B)
то функция f[x), если она не равна тождественно
нулю, является показательной функцией.
Введем обозначение
и положим сначала в B) x=zy. Получим
Теперь положим у = 2х. Получим
По индукции имеем
C)
п — целое, положительное число.
Действительно, если
то из B) следует
f(kx)=:[f(x))IC,
Положив в C) х—1, получим
f(n) = [f(l)]n=an.
D)
43

"
Теперь положим в C) х = ~, "получи
4
м
и, принимая во внимание D),
Таким образом,
Положив в B) ;t=j/ =
m
__ ~n
найдем
/
и, следовательно*, *
но тогда из того же равенства B) следует
а отсюда, принимая во внимание E), получаем
m
n .
(&)
(б)
Равенства E) — F) обнаруживают справедливость того,
что
Дгк) = аГ* . G)
для любого рационального числа rh. Пусть а — ирра-
иррациональное число, его можно положить равным пределу
последовательности рациональных чисел
<x='lim r
к—>оо
при
44.
* f(®)?= 0, так как в противном случае было бы f(x)f(--x) = 0
любом х.
а в равенстве G) перейти к пределу, полагая к—*оо.
Ввиду непрерывности функции f{x), получим
к -» оо
/(гл)=/(а)
и так как
то
lim a
к —*¦ <х>
,гк.
а
-.а ,
Наша теорема полностью доказана.
Замечание. В доказанной теореме речь шла, соб-
собственно говоря, о решении уравнения B). Подобные
уравнения называются функциональными и рассматри-
рассматривались еще Л. Эйлером. Уравнение
f(x)+f(y)=f(x+y) (8)
называется уравнением Эйлера. Предполагая функцию
f(x) непрерывной (или только монотонной), легко пока-
показать, что решением уравнения (8) является
§ 6. Разложение в ряд функций sinx, cos л.
Мы установим некоторые леммы, полезные не только
для нахождения разложения sinx, cos л; в ряд.
Лемма 1. lim cosx=l; lim cosx = cosxQ.
x-+0 x-*xQ
Действительно, -
|cosjr — cosjr0| =
<
-.2
2-
sin ¦
1 •
K-
X
-x0
2
— -*-o
2
. X-
sin —
Следовательно,
cosx- 1—>0, если x—*0,
cos x — cos x0 —* 0, если x —* x0.
45

'' "'" V'''.-.у **''. ¦' ' ' :
Следствие. Функция cosх"непрерывна при
бом зна'чении х. ; ?
Столь же просто доказывается непрерывность sin x.
Лемма 2. Ига ¦— = 1.
х—*0 х
Мы можем считать, что х < -^-. Тогда (см. рис. 6],
сравнивая площади треугольника ОАВ, сектора ОАМВ
и треугольника ONP, которые равны, соответственно,
\
Рис. 6.
cos х sin*, x, tgx, получаем cos * sin *<*
Следовательно,
sin* sin* sin*
cos* sin x x tgx'
то-есть
1 . sin*
> > cos x.
cos * *
Но, на основании леммы 1, имеем
lim — lim cosjc=1*
x-+0 cos* „^л
Следовательно,
,. sinjc ,
lim . = 1.
x-~0 *
Воспользовавшись только что доказанной леммой, легко
показать, что
(sm*)'=cos*; (cos*)' =— sin*,
то-есть найти скорости изменения функций sin*, cos*.
Мы оставляем читателю проведение доказательства.
Следуя Л. Эйлеру, но уточняя его рассуждения,
мы докажем утверждение:
Теорема 6. При любом значении х
X1
—
Bк)\
...A)
B)
Для доказательства воспользуемся формулой Муавра
(cos z-\-i sin z)n—cos nz-\-i sin nz, C)
которая при целом п, при очевидности ее для га=1,
легко проверяется методом полной индукции. Действи-
Действительно, если предположить, что
(cos z -J- / sin з)^ = cos kz -f- / sin kz,
к — целое, положительное, то
(cosz-\-1 sin z)k + l = (cos kz-\-i sin kz)(cos z-\-isinz) =
= (cos z cos fez — sin kz sin z) -f-
+ i (sin ^2 cos 2 -f- sin z cos kz)
=. cos {k-\- Y) z -\- i sin {k -\-\)z.
Применив к левой части равенства C) формулу Ньютона,
получим
cos nz 4- / sin nz =
(cos%- Д(д ~ ^ cosw- 2ssin2 z-\ ^(_l)ftsinMzj +
[ • 1 «(«—1)(« —2) \
¦j-i |«cosM-] ssins — — з"] cos^^sin^-f
_|_..#_|_(_ l^-^cosssin^-^J D)
если, для определенности, положить га четным: га=2&.
47

Из равенства D) следует
sin па = гаcosM"~l z sin z —
_ га(га— 1)(я —
3!
cosM-3ssin33-|
1 я cos z sinM
cos nz = cosw z'—!—2
+ (-!)*'
Положив в равенстве E)
cosw - 2 g sin2
получим
га
„ 1 х . х
s\nx-=ncosTO~"' — sin
га га
га(га—1(га —2)
^т ^
3!
cosM d — sin3 f-
гага11
_L.(_l)«-lraCos—sin^ —.
' l ' n ra
Последнее равенство запишем следующим образом
~1—'Sin
и п
га (га — 1) (га — 2) „ _ з х . , х , ,
¦ —i ^ ¦ cosM л — sin3 +
3 гага'1
о. r_ w п{п — 1)...(п-.
~*~К ' Bг+1)!
га
п
1-
4" ^w, r >
48
со
+...+(-1I-1
га cos ~~~ sin" ~" ¦
Так как
га
X
COS -—
га
<1,
У
X
sin —
га
га '
га(га—1)...(га —2r-4) U|2r+5
Bг+5)!
3 ,
Г^т<
Bг + 3)!
Bг+3)!
+
(ra - 1)!
если | jc | < 2r + 4.
Таким образом,
Br-f4J
sin* — <racosw l — sin
\ ra ra
ra(ra—l)(ra —2) и_-г x . , x ,
i J-i i cos" d:— sin3 hc
3 га га !
га
Br+3)! '
л;2
Г. И. Яринфельд.
G)
49

Подчеркам, что'выражение, Стоящее в правой частн
последнего неравенства, не зависит от га.
Без особого труда можно показать *, оставляем это
читателю, что
Jim cosw-'P-=l,
П --> оо ¦ П
lim
П-* оо
П
(8)
Заметив это, будем считать г фиксированным и перей^
дем в неравенстве G) к пределу, полагая я-э-оо. Вви-
Ввиду (8) получим
sin х
{х3 хъ ^2г+1
*~ЗГ+5Г h(~~1)rBr-fl.)
j
х
1—
(9)
Так как пределом правой части последнего неравенства,
при г-> оо, является нуль, то из него получаем
{х3 хь х
sin л:
Тем "самым доказано равенство A). Аналогично, без
каких-либо изменений, доказывается равенство B).
С помощью разложений A), B) легко, и сколь-уходно
точно, вычисляются значения функций sinjc, cos*. Для
примера (и частичной проверки наших результатов)
вычислим sin 30°. Воспользовавшись только двумя чле-
членами разложения A) для sin*, получим
что лишь на 0,01 отличается от точного значения
* Воспользовавшись тем, что
1 > cos^m = 1 — sin2 и > 1 —
и лемой 2,
50,
§7. Показательная -функция с комплексным аргу-
аргументом. Формула Эйлера. Логарифмы комплексных
величин. , '
Если числа а, Ь,а^, bk вещественны и
а = а1-\-ая-\
A)
то говорят, что комплексное число а-\-Ы представимо
рядом ' i
и является суммой этого ряда. Таким образом, по
определению
(а,
i)-\ h K
если имеют место равенства A).
Рассмотрим ряд ¦
(XI)
3!
(xi)
т\
B)
Вещественные члены этого ряда, выписанные в порядке
их следования^ образуют ряд
а коэффициенты при мнимых членах —ряд
х3 , х5
к
"Т"
Эти ряды, как мы знаем из предыдущего параграфа,
имеют суммами, соответственно cos л; и sin л:. Поэтому,
суммой ряда B) является cos jc -}- / sin jc. Таким образом,
имеем
ixiJ
cos x -j- / sin x — I -f- (Jfi) + Ьтг" ~f"
^1
/n!
, C)
51

W"' •'
Определение^. Под символом
маем выражение
мы пони-
пониВ частности при j/ =
^
m!
E)
Приведенное определение оправдывается следующими
соображениями: ,
1°. Выражение, стоящее в правой части равенства E),
имеет вполне определенный смысл C).' \
2°.'При х = 0, выражение в правой части D) стано-1
вится равным еУ, то-есть ёу + ** обращается в е-У.
3°. Функция f{s) = ez, с комплексным показателем z,
обладает характерным свойством показательной функ-
^ции с вещественным аргументом, так как она удовле-
удовлетворяет теореме сложения
Действительно, пусть
z=y-\-xi, и—чю-\-т.
Из D) и C) следует
I
Точно также
еи = ew (cos v -f- isin г»).
Следовательно,
ч
ez ' еи—еУ\соъ х-\- г sin л:) • ew (cos v -\- i sin v) =
= еУ + w|(cos x cos v — sin м sin v)-\- i (sin jc cos v -J-
< -j- cos jcsinii)} =
ez
Из равенств C) и E) следует
exi == cos jc -f- i sin jc.
52
Эта замечательная формула лринадлежит Эйлеру и
является одной из важнейших формул математики.
Мы получим из этой формулы ряд важных следствий.
1. Заменив в равенстве F) х на — х, получим
е— xl = cos х — i sin x.
G)
Складывая и вычитая равенства F) и G), соответственно,
получим
exi _f- e— xi exi — е~ xi
¦ -, sinx = w. . (8)
COS X =
2
Эти формулы тоже называются* формулами Эйлера.
Полезно заметить, что.^возведя равенства (8) в ква-
квадрат и сложив результаты, получим
sin2 х -j- cos2 x = 1.
2. Модулем выражения cosx + isinxявляется
| cos x -|~ i sin x\ — /cos2 x f sin2jc= 1.
Поэтому
\i\ \
3. Так как любое комплексное число а-{-Ы пред-
ставимо (тригонометрическая форма комплексного чи-
числа) в виде
(9)
где г — модуль, <р — аргумент числа а + Н то
(Ю)
Это очень важная, так называемая, показательная форма
комплексного числа.
4. Так как
и поэтому
a -f Ы = еХп г • еЧ1 = е]п г + ?',
(И)
то, казалось бы, естественно назвать натуральным лога-
логарифмом комплексного числа а-\-Ы число In г-|- «р/,
то-есть положить '
A2)
53

"У '
Однако, вместе с равенством F) справедливы также и
равенства
a-\-bi~r [cos (ср -}- 2Ы) -f-1 sin (<p -\- 2Ы)],
где к — любое целое число. Поэтому, вместе с равен-
равенствами A0) —A1) имеют место равенства
i. A3)
Равенство A3) обнаруживает, что следует ввести такое
Определение 10. Натуральным логарифмом
комплексного числа а-\-Ы называется каждое число,
ос —|— pi такое, что
При таком определении, из равенства A3) следует, что
Л = 0, ± 1, ± 2,— A4)
и что число A2) является лишь одним из логарифмов
комплексного числа, так называемым главным значе-
значением логарифма.
Ясно, что по главному значению логарифма числа
можно найти все его логарифмы по формуле A4).
Замечание. Если Ь = 0, а>0, то-есть, если мы
имеем вещественное положительное число, то у = 0
[а=а (cos 0 -\-j sin 0)]. Следовательно,
Ъпа~\па-\-2Ы1, & = 0, ±1, ±2,...
и главным логарифмом является вещественное число
In а. Таким образом, в школьном курсе математики
рассматривается только один из логарифмов веществен-
вещественного, положительного, числа — главное значение лога-
логарифма.
Если & = 0, а<0, то-есть, если мы имеем отрица-
отрицательное вещественное число, то <р = л [а = | а | (cos те 4-
|?i)]
|)]
Следовательно,
Lna — Ы\а\-\-щ-\-2Ы1, к = 0, ±1, ±2,...
и среди логарифмов отрицательного вещественного
числа нет ни одного 'вещественного.
54 '
1 Собственно говоря, это обстоятельство и имеют
в виду в школьном курсе, когда говорят, что отрица-
отрицательное число не имеет логарифма.
5. Положив в формуле Эйлера F)jc = t:, получим
Это замечательное соотношение, связывающее число е
и те, позволяет"(см. главу III) доказать трансцендент-
трансцендентность числа те.
Замечание. Если возвести равенство A5) в ква-
квадрат, то получится
но отсюда нельзя сделать заключение о наличии про-
противоречия: 2iw=0. Дело, попросту, заключается в том,
что 0 и' 2iu являются двумя (из многих) логарифмами
числа 1.

Глава III,
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЛА я
§ 1. Элементарные симметрические функции. Во мно-
многих вопросах алгебры большую роль играют так назы-
называемые симметрические функции корней алгебраиче-
алгебраического уравнения. Например, с помощью рассмотрения
таких функций доказывается теорема о том, что общее
уравнение выше ^четвертой степени не решается в ради-
радикалах. Некоторые элементарные факты теории симме-
симметрических функций будут нами использованы для дока-
доказательства трансцендентности числа те.
Определение 1. Функция
п-переменных называется симметрической, если она
не меняется при любой перестановке ее аргументов ¦—
независимых переменных.
Например, функции
1 Х1хз
Х3 ,
суть симметрические, функции
х1 -{-х I, xtxa + xt, sin
не являются симметрическими.
56
Определение 2. Элементарными симметри-"
ческими функциями п-переменных называются выра-
выражения
k,r,s
Рп Х1 Х2 • • • ХП
Замечание. В алгебре рассматривают и тот слу-
случай, когда функция меняется при перестановках аргу-
аргументов, но, при некоторых численных . значениях
аргументов, от их перестановки не меняется численное
значение функции. Например, функция х\-\-х2х%-\-х\
не является симметрической в смысле определения 1,
но при xl=xi = x3 — xi = a значение функции не
меняется при любой перестановке аргументов. k
Мы всегда будем иметь в виду симметричность в
смысле определения 1 и нас будут интересовать зна-
значения симметрических функций, принимаемые ими,
"когда xv х2)... хп суть корнн уравнения
-.ix-\-an — Q. B)
Для краткости мы будем пользоваться выражением:
симметрические функции корней уравнения.
Обобщением известной теоремы о корнях квадрат-
квадратного уравнения (формулы Виета) является следующее
утверждение.
Теорема 1. Ели хих2>...хп сугЛь корниуравне-;
ния B), то
а2
ал
C)
57

Действительно» если хи хг,
уравнения B), то
.х,п являются корнями
п).
Отсюда, раскрыв скобки в правой части, получим
Сравнив в последнем равенстве коэффициенты при
одинаковых степенях х, получим формулы C). " '..'
( Следствие Если коэффициенты уравнения {2}
целые числа, то элементарные симметрические функ-
функции величин аох1,аох2,...аахп суть целые числа.
Действительно,
...+аохп=ао(х1-\-...-\-хп) = — а,;
(
п -1
= а0 а2;
(а0 xi) (а0 х2)... (аа хп) =
2.. .х п =
п = а
§ 2. Формулы Ньютона. Ньютон указал формулы,
позволяющие выразить суммы одинаковых степеней
корней уравнения B) через коэффициенты этого урав-
уравнения. • , ,
Теорема 2. Пусть хих2,..;хп корни уравнения
F(x) = xn-
=0 D)
справедливы соотношения
«2+5,^ + 2^ =
F)
из которых следует
G)
Функции E) называются основными симметриче-
симметрическими функциями или степенными суммами, а равен-
равенства F) — G) называются формулами Ньютона. Для
-доказательства этих формул, введем в рассмотрение
функции ¦
и заметим, что
(8)
г=1
(9)
п

Так как xlt х2, ...хп корни уравнения D), то мы имееи
тождество
F (х) ^(х- *,) (х -х2) ...{х- х%),
из которого следует
Fix) , F(x) . ,
A0)
Легко проверить, что после раскрытия скобок в правой
части этого тождества и приведения подобных членов,
на основании формул C), получится выражение*)
С другой стороны, имеем
Xя—
Х-—Х,
f
(h
Поэтому левая часть тождества A0) равна
2^i (xi) -\-х •- 3 ?«, (Ж/) 4- •..
«¦ = 1 i = 1
го
«¦=i
A2)
Это выражение является производной от F(x).
60
~штшш
а каждое слагаемое этой суммы равно нулю, так как
Xt является корнем уравнения D).
Замечание. Из тождеств
следует
п
-0 = 1]
п
.. .-\rbn _
0_y ж
A3)
Равенства A3) позволяют, если воспользоваться фор-
формулами G), выразить .через коэффициенты уравнения
61

Аналогично можно найти и суммы отрицательных
степеней корней уравнения D), если среди них- нет
равного нулю.
Отметим следующие важные *следствия формул
Ньютона.
Следствие 1. Если коэффициенты уравнения
'D) целые кисла, то суммы одинаковых степеней
^корней этого уравнения, то-естъ величины slf s2\
тоже целые кисла.
Следствие 2. Если коэффициенты уравнения
целые кисла и хих2,... хп — корни этого уравнения,
то суммы одинаковых степеней кисел аохи а0 xi)t..,
...а0 Xf/тоже целые кисла.
Действительно, из формул G) и A3) следует
(а0 xj2 + (а0 xtJ-\- ...^- {а0 xnf = a\— 2аг aQ;
(п0 xj3 + (fl0 хчK + ¦ • ¦ + («о xnf ==-— о\+ Зао а1а3-3аа а".
В качестве самого важного для нас следствия из фор-
формул Ньютона докажем теорему: t
* Теорема Зт Если симметрикеская функция
Ф (У и Уг>--- Уп) является многокленом и xv xif,.. xn—
корни уравнения D), то
Ф {хи хг,...хп) = <?{bu bt,... Ьп),.„
где ср — многоклен. В кастности, если коэффициенты
многоклена Ф(УиУ^,.. -Уп) целые кисла, то коэф-
коэффициенты многоклена <? (Ьи Ь2,.. .Ьп) тоже целые
кисла. ¦ . . ,. .
Для доказательства теоремы заметим, что если
многочлен Ф(уиу2,...у^) содержит слагаемое вида
Аук, то (симметричность!) он содержит также слагаемые
Aylf Ау2).. .Аущ и никаких иных слагаемых первой
степени не содержит. Точно также, если Ф [уи у2,. .>уп)
содержит слагаемые-вида Вукуг, Су%, то он содер-
содержит и слагаемые Ву1 у2,. .., Вуп 11 уп\Су],... Су2п и
...—...л Других слагаемых второй степеаи не содер-
содержит. Тоже самое можно сказать относительно слагае-
слагаемых любой степени. >
• Таким образом, если Ф{у1,у2,.1..уп) симметриче-
симметрический многочлен, то он имеет вид
к,I
Поэтому
Ф(хих2,...хп) =А0-f Лх%хк+А2 J]хкхг
к к,1
?1
к,1,т
к d
к, I, m
Но
— xx
k,l
2
к
=S *k И+
к
- 4) -
— -4) =
^fc^fc 1is3 b1(bl-
к к
~~ (- bl + 3b, Ьг - 3&3) = 3b3 - 6, Ь%1
* Вычисление S xk хг приводится только для пояснения метода
дальнейших вычислений.
-г.
62
63-

Продолжая такие вычисления, мы очевидно полу-
получаем нащу теорему. Из доказанной теоремы и след-
следствия 2 теоремы 2 немедленно следует
Теорема 4. Если Ф(уиу2,,...уп) симметриче-
симметрический многочлен с целыми коэффициентами и хихя, ...хп
корни уравнения
с целыми коэффициентами, то
Ф(аох1,аоХг,...,аохп)
— целое кисло.
Именно на эту теорему мы будем опираться в
доказательстве трансцендентности числа тс.
§ 3. Доказательство трансцендентности тс. Мы начнем
с доказательства трех вспомогательных утверждений..
Лемма 1. При любом целом положительном г и
любом х, имеет место равенство
л: = г!+г!л;4-—x2+ I rl xr~l I xr I
Ле ~~Г Г Х 2\Х '" (г-1)!
+xr+lqre\x\, A)
где qr = qr(x), \qr]<l.
Мы воспользуемся приведенным во второй глаЪе
разложением функции ех в ряд I
Из этого разложения следует, что
г! г!
(г + 2)!
\
ТО МОЖНО ПОЛОЖИТЬ
Лемма 2. Пусть
/(х)^с0-{-с1
F(х) =/(х) +/' (х
где
f"[х) =
2сьх-\-.. .+я(л—1
Тогда
где
P-exx=e\x\Q{x)-{-F{x),
СГ.Г\;
B)
(а)
f = 0 '
Полагая в равенстве A) г = 0, 1, 2,...«, получим
ех=\ \\
~
г-г.
* Функции f,f',..,f(n) являются последовательными произ-
производными от f(x).
S. Г. U. дринфедьд
65
i.

Умножив эти равенства, соответственно, на со,с1г;.сп
и сложив, получим.равенство B).
Лемма 3. Сумма и произведение двух алгебрте-
ских чисел являются числами алгебраическими (и
притом целыми алгебраическими, если таковыми яв-
являются слагаемые и множители).
Действительно, пусть^ а = ах алгебраическое число,
являющееся корнем уравнения «-ой степени с рацио-
рациональными коэффициентами и а2,... аи — остальные кор-
корни этого уравнения и пусть p = pt — алгебраическое
число, являющееся корнем уравнения /га-ой степени с
рациональными коэффициентами, а Р2,... Рт — осталь-
остальные корни этого уравнения. Произведение всех разно-
разностей вида л; — at fy} i — 1,2,... п; j = 1, 2,... т, очевидно,
является многочленом, одним из корней которого
является aP = ajPj". Следовательно, нам достаточно убе-
убедиться в том, что коэффициентами этого многочлена.
суть рациональные числа. Но эти коэффициенты суть
симметрические функции от аргументов ах> а2,... ап и
аргументов р„ р„,... рт. Дважды применив теорему 3,
мы убедимся в справедливости нашего утверждения о
произведении алгебраических чисел. Аналогично дока-
доказывается утверждение о сумме.
Теперь мы приступим к доказательству того, что я
транцендентное число.
Пусть те алгебраическое число. На основании леммы 3,
число ад тоже алгебраическое и, следовательно, яв-
является корнем уравнения вида *.
= 0 E)
с целыми коэффициентами. Пусть fr, ,32,..: рш — корни
этого уравнения, одним из них является те/.
Так как ?™=— 1 (см. главу II, § 7), то
F)
* Из всех таких уравнений рассматривается уравнение наи-
наименьшей степени — неприводимое уравнение,
66 .
Г
Раскрыв скобки в левой части этого равенства, получим
т
ft = 1
k,l
Обозначим через аи а2, ...<хп те из показателей $к;
h + Pi> ¦' • Pi + ?2 -f \-?т> которые отличны от нуля,
а через аи+ь---а^ остальные* (равные нулю). При-
Присоединив соответствующие слагаемые в левой части G)
к первому, можем записать равенство G) в виде
=0,
(8)
a2-] \-еап
где К—целое положительное число.
Числа а$1, РоР2"--Ро$т СУТЬ целые-алгебраические
числа. Поэтому (лемма 3) целыми алгебраическими
числами являются и числа роаи роа2,...
Очень важно заметить, что если F{zu гг>...гп)
симметрический многочлен с целыми коэффициента-
коэффициентами, то F(poal,... роап) — целое число.
Действительно, если
п
к = 1
то будет также
ft =
к — п
И
ft = 1
е= 1
=zN
k = 1
«¦так как каждая из сумм, стоящих в правой части
второго равенства, отличается от соответствующей
суммы первого равенства слагаемыми или равными
PjV-f-1, •.. «jv или содержащим эти числа в качестве мно-
множителей, а числа a^y_|_i,... aN равны нулю.
Выражение в правой части последнего равенства
является симметрическим многочленом относительно
* Один такой показатель заведомо есть, так как. если уравне-
уравнение E) имеет корень яг, то оно должно также иметь корень — nl.
67
и-г.
JA

•I
/Vi. PoHt- • • Po*n й следовательно, относительно р$±,
Р<$2>---Р$т- На основании теоремы 4, отсюда следует,
что Fip^j, •••/ty%)— целое число.
Положим в равенстве B), последовательно х = О, »и
а3,... аи и сложим результаты, помножив предвари-
предварительно первый из них на К. Получим, на основании (8)
\
(9)
Если мы докажем, что для некоторого многочлена
f{x) равенство (9) невозможно, если ^,. •. рт алгебра-
алгебраические числа, то тем самым будет доказана трансцен-
трансцендентность те. .
Положим
/(*)= ^ГТу1 A0)
где t — простое число, которое остается пока неопре-
неопределенным. Многочлен A0) можно представить в видах
/(*) = ¦
/(¦«) = ¦
(/-1I
Первое из равенств A1) непоср"едственно следует нз
равенства A0), если в правой его части раскрыть скобки.
При этом получим
А*_! = (- l)Vo~ l iPo «1?(Ро «,)'•. • (Ро «J '• .
Произведение в правой части симметрично и поэтОмУ
At_i — целое число. Такими же, легко сообразить»
являются и числа At ...
68 " . ¦ * ¦
Второе из равенств A1) получается из равенства A0),
если записать его в виде
и освободиться от квадратных скобок: Аналогично по-
получается третье из равенств A1) и т. д. Важно заме-
заметить, что Bt, Bt± i,...; Ct, Ctj_ i,...;... являются мно-
"гочленама с целыми коэффициентами относительно
Роаи /W"
Легко подсчитать, что
A2)
A3)
Сумма
является симметрическим многочленом с целыми
- коэффициентами и потому является целым числом. Это
число, ввидуШ), делится на /.
ч Мы будем считать / большим каждого из целых
чисел К, р0, {р^))(р0^)... [ро*п). Тогда
будет целым числом, не делящимся на t, так как таким
будет первое слагаемое в правой части, в то время как
остальные слагаемые будут целыми числами, делящи-
м?ся на/. Таким образом, сумма, стоящая в первой
части^равенства (9), при нашем выборе числа t, является
целым числом, не делящимся на t, то-есть—отличным
от нуля целым числом.
Обратимся к рассмотрению суммы
69

Из равенства D), первого равенства A1) и того, что
Xs
\Яг\<1, lim ТТ = 0'
легко усмотреть, что L будет по модулю меньшим
единицы, при достаточно большом •?.
Таким образом, правая часть равенства (9) является
суммой целого, отличного от нуля, числа и числа, по
модулю меньшего единицы. Такая сумма не может'
равняться нулю и поэтому равенства (9), при нашем
выборе t и f[x), невозможно. Этим и завершено дока-
доказательство трансцендентности числа тт.
Приведенное доказательство во всем существенном
заимствовано из книги покойного почетного академика
Дмитрия Александровича Граве „Трактат по алгебраи-
алгебраическому анализу", том II.
"'• к ~
% *
Глава IV
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИС^А е
Мы воспользуемся двумя, легко доказываемыми
формулами: ._ ;
A)
к — целое положительное число. ,
e-hJe-xf(x-{~h)dx,
B)
h — любое число.
Первая из этих формул следует из того, что, интег-
интегрируя по частям, имеем
Je-xxkdx=-xke~x
о
Таким образом,
Но
¦ \J0.
оо
и поэтому
А

Формула B) немедленно следует из равенства
о о h
во втором интеграле положить
x—y+h.
Допустим теперь, что число е алгебраическое, то-есть
является корнем уравнения
по + ъх + пгхЧ \-апхп=?О ,
с целыми коэффициентами.
Умножив тождество
на \e"~xf{x)dx и воспользовавшись формулой B), по
{ • •
лучим тождество ,
оо 1
О = а0 je~ xf[x) dx + ахе \ Je~ xf(x) dx +
ОО 2
Jre~lfe-xf(x+\)dx\+a2e* f §
0 w_' 0
+
J
П
Или
п
:=0 D)
М о
72
Мы дбкажем, что если в качестве f(x) взял
ясащую функцию, то первое слагаемое в левой части
последнего тождества окажется отличным от нуля це-
целым числом, а второе—правильной дробью. Но сумма
таких двух чисел не может быть равной нулкь Таким
образом, тождество D), а вместе с ним и тождество C)
окажутся невозможными. Тем самым будет доказана
невозможность предположения, что число е алгебраи-
алгебраическое.
Положим
1 '
где р—простое число, выбор которого мы далее уточ-
уточним. Так4 как, расположив многочлен E) по возрастаю-
возрастающим степеням х, получим*
Ьк — целые числа,
то, на основании формулы A),
* Так как р — простое и нечетное, то (— 1)р = — 1, (— 1)лр =
73

На основании той же формулы A) й ввиду того, что
XP J h
ск — целые числа, при г>0, имеем
(8)
где Ai — целое число.
Из (У) и (8) следует
п
Если взять за р простое число, большее п и всех дели-
делителей числа а0, ;то первое слагаемое во второй части
последнего равенства не будет делиться на р. Поэтому
сумма (9) является целым числом, не делящимся на р,
то-есть отличным от нуля.
Переходя к рассмотрению второго слагаемого в #е-~
вой части тождества D), заметим, что при изменении
х от 0 до i и j от 1 до п, имеем
Кроме того
74
и поэтому
е~ хf(x)dx
к-1
где Мп, кп не зависят от р. Так как
zp-\
то при достаточно большом р (а мы можем взять
сколько угодно большим],
Этим и заканчивается доказательство того, что е транс-
трансцендентное число, так так из последнего неравенства
следует, что второе слагаемое в равенстве D) является
правильной дробью и поэтому (первое слагаемое в том
же равенстве—целое число!) равенство D) невозможно.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие . . • 3
Глава L Существование трансцендентных чисел
§ 1. Понятие об алгебраических и,трансцендентных числах 5
§ 2. Эквивалентные множества •...•• 7
§ 3. Счетные и несчетные множества • . . . . 8
§ 4. Теоремы о счетных множествах ........... 10
ч| 5. Существование трансцендентных чисел 12
§ 6. О построениях с помощью циркуля и линейки .... 13
§ 7. Исторические замечания 17
§ 8. Результаты А. О. Гельфоида и Р. О. Кузьмина . . . 19
Глава //. Показательная функция
§ 1. Некоторые сведения из теории пределов 21
§ 2. Показательная функция. "Число е 31
§ 3. Разложение функции ех в степенной ряд. Иррациональ-
Иррациональность числа е . i 35
§ 4. Скорость изменения функции ех . . . . • , 40
§ 5. Теорема сложения • • . • ... 43
§ 6. Разложение в ряд функций sin*, cos* ........ 45
§ 7. Показательная функция с комплексным аргументом.
Формулы Эйлера. Логарифмы комплексных величин . 51
Глава HI. Трансцендентность -к
§ 1. Простейшие симметрические функции 56 -
§ 2. Формулы Ньютона • . . . . • 58
§ 3. Доказательство трансцендентности я • . 64
Глава IV. Трансцендентность числа е •,..... 71
Редактор проф. А. К. Сушкевич. Корректор Я. Я. Евсеева.
Подписано к печати 25-ХИ 1952 г. Объем 3,9 печ. листа, = 1Д9 бум,
листа =4,1 уч.-изд. листа. Разм. бум. 84X108 см Vaa- В 1 цеч. лисЧе
42.050 зн. БЦ 22988. Зак. 1204. Тир. 10000. '
Цена 1 руб. 25 коп. цо прейскуранту 1952 г.
Отпечатано в типографии издательства Харьковского государ-
государственного университета нм. А. М. Горького — Харьков, Уиивер-
¦ ситетская ул., 14 16.
s