’ Л7
ftonipspHbie лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
А.М. ЛИПШИЦ
ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПЛОЩАДЕЙ
ОРИЕНТИРОВАННЫХ
ФИГУР
I ' •<	М’< I П Г II If ’£ И 1ДАТ» ЛИТ I'.' 
I I •НИК' ПОГ». I ИЧЕ1 КОЙ ’.111 I I'M VI 1.1
М<» КГ>Л • П|

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 20
А. М. ЛОПШИЦ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
ОРИЕНТИРОВАННЫХ
ФИГУР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956
11-3-1
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................  4
Введение................................................ 5
Глава	I. Измерение площади ориентированной фигуры .	7
§ 1.	Ориентированный треугольник.................... 7
§ 2.	Ориентированная площадь ориентированного тре-
угольника .......................................... 8
§ 3.	Теорема сложения.............................  12
§ 4.	Строгое доказательство теоремы сложения....... 13
§ 5.	Ориентированный многоугольник................. 16
§ 6.	Площадь ориентированного многоугольника....... 18
§ 7.	Несколько примеров и задач.................... 19
Глава	П. Планиметр.................................. 27
§ 1.	Полярный планиметр............................ 27
§ 2.	Прямолинейный планиметр....................... 30
§ 3.	Элементарное перемещение рычага планиметра ... 32
§ 4.	Число оборотов счетного колеса при элементарном
перемещении рычага............................. 34
§ 5.	Число оборотов счетного колеса при замкнутом пере-
мещении рычага................................. 36
§ 6.	Вспомогательная геометрическая теорема.......... 37
§ 7.	Использование вспомогательной геометрической	тео-
ремы для теории планиметра 	 40
Глава III. Вычисление площади многоугольника, задан-
ного на местности............................ 44
§ 1.	Постановка задачи ............................ 44
§ 2.	Несколько определений и обозначений....... 45
§ 3.	Вспомогательная теорема................... 47
§ 4.	Формула для вычисления площади ориентированного
многоугольника..................................... 49
§ 5.	Вычисление ориентированных углов.......... 51
§ 6.	Вычисление углов между несмежными	сторонами
ориентированного многоугольника ............... 53
§ 7.	Тригонометрическая формула для вычисления пло-
щади ориентированного	многоугольника ......... 56
§ 8.	Теоретическое использование формулы, выведенной
для практических целей............................. 58
2	Зак. 892. А. М. Лопшиц	3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книжка познакомит читателя с понятием площади
ориентированной фигуры и его применениями к теории
планиметра и к выводу целесообразной формулы для вы-
числения площади участка, заданного на местности и
ограниченного произвольной замкнутой ломаной линией.
Понятие ориентированной площади может быть использовано,
как в этом убедится читатель, и для решения задач школь-
ной геометрии.
В основу книжки положен материал лекций*, читанных
мной школьникам старших классов.
А. Лопшиц
ВВЕДЕНИЕ
При изучении элементарной геометрии много внимания
уделяется вопросу измерения площадей. Многочисленные
теоремы, излагаемые в школьном курсе, представляют не
только теоретический, чисто математический интерес, но
имеют и большое практическое значение. Однако более пол-
ное изучение вопросов, возникающих в этой области гео-
метрии, и более широкое их применение к задачам практи-
ческого характера становятся возможными только после
существенного расширения самого понятия площади. Поня-
тие ориентированной площади (изучаемое в силу установив-
шейся традиции только в курсах высшей математики) при-
носит в разнообразных геометрических вопросах большую
пользу. Ее можно сравнить с той, которая возникает при
изучении алгебры, когда привлекают к рассмотрению, по-
мимо положительных чисел, используемых в арифметике,
также и отрицательные числа.
Понятие ориентированной площади так естественно рас-
ширяет привычное для учащегося понятие площади, так
элементарно по своему содержанию и так богато интерес-
ными следствиями, что возникает соблазн познакомить с ним
учащегося средней школы, не дожидаясь того времени,
когда он будет изучать высшую математику. Прибегая
опять к уже сделанному сравнению, можно сказать, что это
в той же мере доступно для учащихся старших классов
средней школы, как доступно ознакомление с отрицатель-
ными числами для школьников младших классов, уже зна-
комых с арифметикой, но не знающих еще алгебры.
В первой главе этой небольшой книги читатель найдет
изложение вопроса об измерении площади ориентированных
фигур на плоскости. Такое измерение приводит, как это
будет показано, в некоторых случаях к положительному
2*
5
числу, а в некоторых — к отрицательному. Это число мы и
будем называть ориентированной площадью. В этой же
главе будут доказаны разнообразные теоремы, представля-
ющие собой математически интересное расширение теорем,
известных из элементарной геометрии.
Во второй главе эти теоремы будут использованы для
объяснения принципа действия широко принятого в инженер-
ной практике прибора, носящего название планиметр, с по-
мощью которого практически измеряются площади фигур
произвольной формы, заданные на чертеже.
В третьей главе понятие ориентированной площади будет
использовано при выводе практически целесообразной фор-
мулы для вычисления площади фигур, расположенных на
местности.
ГЛАВА I
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ ОРИЕНТИРОВАННОЙ ФИГУРЫ
§ 1. Ориентированный треугольник
В элементарной геометрии треугольник считается пол-
ностью заданным, если указаны три точки, скажем А, В, С,
являющиеся его вершинами. В этом случае принято говорить:
задан треугольник АВС. С таким же успехом можно, ко-
нечно, сказать: задан треугольник ВАС. Целесообразно,
однако, несколько изменить наше представление о треуголь-
нике и рассматривать его как траекторию движения по
замкнутому пути, составленному из прямолинейных отрезков
(сторон треугольника), соединяющих последовательно его
вершины. С этой точки зрения задание треугольника по-
требует, помимо указания его вершин, еще и дополнитель-
ного указания последовательности, в которой они проходятся
при рассматриваемом непрерывном замкнутом движении по
сторонам треугольника. На чертеже это удобнее всего
осуществить указанием направления движения на каждой
стороне с помощью стрелки (достаточно, конечно, указать
это направление на какой-нибудь одной стороне треуголь-
ника) (черт. 1), или, как принято говорить, указанием ори-
ентации движения.
Чтобы отличить эту новую точку зрения на треугольник
от прежней, мы будем говорить, что рассматриваем ориен-
тированный треугольник. Таким образом, задание вершин
А, В, С еще не определяет ориентированный треугольник:
существуют, очевидно, два различных между собой ориен-
тированных треугольника с одними и теми же вершинами А,
В, С; один из них (черт. 1,й) ориентирован по часовой
стрелке (такую ориентацию называют левой ориентацией),
другой (черт. 1, 6) ориентирован против часовой стрелки
3 Зак. 892. А. М. Лопшиц	7
(правая ориентация). Первый из этих ориентированных
треугольников будем обозначать: треугольник АВС (или ВСА,
или САВ), второй будем обозначать: треугольник ВАС
(или АСВ, или СВА).
Коротко говоря, ориентированный треугольник
задается не просто тройкой вершин, а зада-
нием упорядоченной тройки вершин, т. е. указа-
нием не только вершин, но и порядка, в котором они сле-
а
Черт. 1.
дуют; для обозначения ориентированного треугольника
с вершинами в точках А, В, С мы условимся писать буквы,
обозначающие его вершины, в том порядке, в котором эти
вершины проходятся при непрерывном обходе по сторонам
треугольника, соответствующем заданной его ориентации
(правой или левой).
§ 2. Ориентированная площадь ориентированного
треугольника
Определение. Ориентированной площадью ориенти-
рованного треугольника АВС мы будем называть число,
абсолютная величина которого равна площади треуголь-
ника (неориентированного) с вершинами А, В, С; ориен-
тированную площадь мы будем считать пдложительным
числом, если треугольник ориентирован против часовой
стрелки, и отрицательным числом, если треугольник
ориентирован по часовой стрелке.
Если это определение неприятно удивило читателя, если
оно даже показалось ему в какой-то мере противоречащим
8
привычной для него оценке площади (только с помощью
положительного числа!), то прежде всего успокоим его на-
поминанием: речь сейчас идет не о площади обыкновенного
треугольника, а о площади ориентированного треугольника.
Поэтому мы ее и называем несколько по-новому — ориенти-
рованная площадь. Противоречия с привычным способом,
следовательно, нет: положительным числом измеряют в эле-
ментарной геометрии площадь неориентированного треуголь-
ника.
Несколько более затруднительно убедить читателя в це-
лесообразности данного определения. Полное понимание
этой целесообразности возникнет только позже (и в особен-
ности, после изучения материала главы II, в которой будет
указано использование понятия ориентированной площади для
теории планиметра — прибора для измерения площадей фигур,
заданных на чертеже). Но уже и теперь мы имеем возмож-
ность показать, с какой пользой оно применяется в некото-
рых вопросах элементарной геометрии. С этой целью обра-
тим внимание на следующие две теоремы.
Теорема 1. Если вершину А треугольника АВС со-
единить отрезком с произвольной точкой А', лежащей
внутри отрезка ВС, то площадь исходного треуголь-
ника АВС ~ будет равна сумме площадей возникших тре-
угольников А'ВА и А'АС.
Теорема 2. Если вершину А треугольника АВС со-
единить отрезком с произвольной точкой А', лежащей
на прямой ВС и расположенной вне отрезка ВС, то пло-
щадь исходного треугольника АВС будет равна разности
площадей возникших треугольников А'ВА и А'АС.
Доказательство обеих теорем настолько просто, что мы
можем его здесь не приводить (черт. 2). Обещанное нами
полезное применение понятия ориентированной площадиг)
заключается в том, что содержание этих двух «родственных»
теорем исчерпывается следующей единой
Теоремой 3. Если вершину А треугольника АВС
соединить отрезком с произвольной точкой А', лежащей
на прямой ВС и расположенной либо вне, либо внутри
отрезка ВС, то площадь ориентированного треугольника
I) В дальнейшем изложении, когда новое понятие будет чита-
телем освоено, мы будем без боязни говорить коротко площадь
ориентированного треугольника вместо ориентированная пло-
щадь ориентированного треугольника.
&	9
АВС будет равна сумме площадей ориентированных тре-
угольников А'АВ и А'СА.
При доказательстве этой теоремы читатель должен будет,
конечно, рассмотреть по отдельности два возможных случая.
Черт. 2.
Первый (черт. 3,а) — когда точка А' расположена внутри
отрезка ВС и, следовательно, ориентированные треуголь-
ники АВС, А'АВ, А'СА ориентированы все три одинаково
и имеют поэтому ориентированную площадь одного и того
же знака; в этом случае для доказательства теоремы 3
остается только использовать теорему 1.
Второй случай (черт. 3, б) — когда точка А' располо-
жена на прямой ВС вне отрезка ВС и когда ориентирован-
ные треугольники А'АВ и А'СА имеют разную ориентацию,
а их ориентированные площади имеют поэтому разные знаки;
10
в этом случае для доказательства теоремы 3 придется
использовать, конечно, теорему 2.
Замечание 1. Может показаться, что использование
обеих теорем, 1 и 2, при доказательстве единой теоремы 3
делает ее в какой-то мере излишней. Основная ее ценность,
однако, заключается именно в том, что она справедлива при
любом расположении точки А' на прямой ВС и поэтому
может быть использована и тогда, когда мы не имеем точ-
ных сведений о том, находится ли точка А' внутри или вне
отрезка ВС. Использование этого обстоятельства часто
существенно облегчает доказательство теорем, опирающихся
на теорему 3. (См., например, доказательство теоремы 4
на стр. 15.)
Замечание 2. Справедлива ли теорема 3 при любом
расположении точки А' на прямой ВС? Увы, это утвержде-
ние нами еще не доказано! В самом деле, в условии уже
доказанной теоремы 3 говорится только (и именно это
использовано в доказательстве), что точка А' может лежать
либо внутри, либо вне отрезка ВС. Не рассмотренными,
таким образом, случаями оказались те, когда точка А' со-
впадает с каким-либо из концов отрезка ВС. Однако в этих
случаях теорема 3 не имеет места по той причине, что
упоминаемый в условии теоремы треугольник А'АВ (или
треугольник А'СА) не существует; ведь в элементарной
геометрии принято, что только различные три точки, притом
еще и не лежащие на одной прямой, могут считаться вер-
шинами треугольника.
Целесообразно, однако, отказаться от такого определе-
ния. Будем в дальнейшем полагать, что три произвольно
расположенные точки А, В, С могут считаться вершинами
треугольника’, его сторонами будут отрезки АВ, ВС, СА.
Целесообразно также считать, что в том случае, когда вер-
шины треугольника лежат на одной прямой, его площадь
равна нулю; площадь треугольника будет, в частности,
равна нулю и в том случае, когда две вершины треуголь-
ника (или даже все три) совпадают. При таком расширен-
ном по сравнению с элементарной геометрией понимании
того, что такое треугольник, можно утверждать (это без
труда проверит читатель), что теорема 3 имеет место для
любого расположения точки А' на прямой ВС’, таким обра-
зом, справедлива следующая, используемая в дальнейшем
Теорема 3'. Если вершину А треугольника АВС со-
единить с произвольной точкой А', лежащей на прямой ВС,
11
то площадь ориентированного треугольника АВС будет
равна сумме площадей ориентированных треугольников
А' АВ и А’С А.
§ 3. Теорема сложения
• Пусть О — некоторая точка, расположенная внутри тре-
угольника АВС. Соединив точку О с вершинами треуголь-
ника, легко обнаружим (черт. 4, а), что площадь треуголь-
Черт. 4.
ника АВС равна сумме площадей трех треугольников: ОАВ,
ОВС, ОСА. Остается ли справедливым это утверждение,
если точка О расположена не внутри, а вне треуголь-
ника АВС? Стоит только бросить взгляд на чертеж 4, б,
чтобы убедиться в противоположном; площадь треуголь-
12	.
ника АВС не равна сумме площадей треугольников ОАВ,
ОВС, ОСА; она, очевидно, меньше этой суммы.
Читателя, несомненно, огорчило это обстоятельство!
Трудно ли найти выход из создавшегося положения? Нельзя
ли «сохранить» теорему? Внимательно вглядитесь в чертежи
4, а, б, в! Привлеките на помощь понятие ориентированной
площади! Неужели у вас не возникло предположения, а может
быть, даже уверенности, в справедливости следующей
«единой»
Теоремы 4 (теорема сложения). Какова бы на была
точка О, лежащая в плоскости треугольника АВС, пло-
щадь ориентированного треугольника АВС1) равна сумме
площадей ориентированных треугольников ОАВ, ОВС, ОСА.
Для доказательства этой теоремы следует терпеливо рас-
смотреть, помимо случаев, изображенных на черт, 4, а и б,
также и случай, когда
точка О расположена	\Л/
относительно треуголь-	Л Y
ника так, как это пока-	/ \
зано на черт. 4, в. Убе-	/	\
дившись без особого	&/	\
труда, что в каждом из	/ j \
этих случаев теорема 4	/	\
справедлива, читатель	\
придет к выводу,, что	/С	—\
она справедлива при лю-	Ш '"''•AJL
бом расположении точки
О относительно треуголь-
ника АВС; ведь точка О	Черт. 5.
может быть расположена
(черт. 5) только либо в области I (случай 4, а), либо в одной
из областей II, III, IV (случай 4, б), либо, наконец, в одной
из областей V, VI, VII (случай 4, в).
§ 4. Строгое доказательство теоремы сложения
Полностью ли удовлетворен читатель доказательством
теоремы сложения, которое он провел, используя сделанные
только что указания? Не заговорит ли в читателе проте-
стующий голос логически рассуждающего геометра,, пола-
гающего, что доказанным следует считать только то, что
1) См, сноску на стр. 9,
13
выведено по правилам логики из условия теоремы (конечно,
с помощью, если это оказывается полезным, уже ранее до-
казанных теорем).
В самом деле, если вдумчиво отнестись к «доказатель-
ству», которое проводится, скажем, для случая 4, а, то сразу
станет ясно, что наряду с соображениями логического харак-
тера оно в значительной доле содержит утверждения, вну-
шенные нам чертежом (это относится главным образом
к утверждению об ориентации треугольников ОАВ, ОВС,
ОСА, возникающих в случае 4, б и не возникающих в слу-
чае, например, 4, в). А ведь хорошо известно, что такого
рода наглядные «правдоподобные» утверждения могут при-
вести в некоторых случаях к «доказательству» неправиль-
ных положений х).
Указанные соображения побуждают нас дать строгое
логическое доказательство теоремы сложения.
Изложение упростится, если воспользоваться специаль-
ным обозначением: ориентированную плош, адь ори-
ентированного треугольника АВС условимся
обозначать (АВС).
В силу этого условия имеют место, очевидно, следую-
щие равенства:
(АВС) - (ВСА) = (CAB),	(1)
(ВАС) = (АС В) = (СВ А),	(1')
(АВС) = — (ВАС).	(2)
Используя наше обозначение, мы можем записать условие
теоремы 3Z в следующем виде:
Теорема 3'. Для произвольной тройки точек-. А,
В, С и точки А’, произвольно расположенной на пря-
мой ВС, имеет место равенство
(АВС) = (А'АВ) + (А'СА).	(3)
Укажем еще, наконец, и на то, что теорема 4, которую мы
имеем в виду доказать, может быть теперь сформулирована
следующим образом:
1) Этот вопрос — о роли чертежа в доказательстве геометри-
ческих теорем — подробно рассмотрен в книжке: Я.,С. Дубнов,
Ошибки в геометрических доказательствах, серия «Популярные
лекции по математике», вьш. 11, М,, Гостехиздат, 1954,
И
Теорема 4. Для произвольной тройки точек А,
В, С и точки О, произвольно расположенной в пло-
скости АВС, имеет место равенство
(ЛВС) = (ОДВ) + (ОВС) + (ОСД).	’ (4>
Доказательство1).
Пусть Л'— точка пересечения прямой О А с прямой ВС2 * 4).
Рассмотрим теперь тройку точек О, А, В и точку А',
лежащую, как это было указано выше, на прямой ОА.
Используя теорему У (формулу (3)), получим:
(О АВ) = (Л' АВ) + (Л' ВО).	(5а)
Используя эту же теорему для тройки точек О, В, С и
точки А' (она лежит на прямой ВС), получим:
(ОВС) = {А'ОВ)-\-{А’СО).	(56)
Используя, наконец, все ту же теорему для тройки
точек О, С, Л и для точки А' (лежащей на прямой ОА),
получим:
(ОСА) = (А'ОС) 4- (А'СА).	(5в)
Складывая почленно равенства (5а), (56), (5в) и учиты-
вая, что
(Л'ВО) + (Л'ОВ) = 0 и (А'СО)АГ{А'ОС) = 0,
получим:
(ОЛВ) + (ОВС)+(ОСЛ) =(Л'ЛВ) + (Л'СЛ).	(6)
Приняв, наконец, во внимание, что в силу теоремы 3'
(А'АВ) Д-(А'СА) — (АВС),	(7)
так как точка Л' лежит на прямой ВС, и сопоставляя (6)
и (7), получим (4), как и требовалось доказать.
1) Читатель, у которого не возник интерес к строгому доказа-
тельству теоремы сложения, может без ущерба для усвоения мате-
риала, который будет изложен в дальнейшем, пропустить оконча-
ние этого параграфа.
2) Если прямая ОА параллельна прямой ВС, но прямая ОВ не
параллельна АС, то переименуем вершины треугольника: вер-
шину В назовем А, а вершину А назовем В; если же прямая ОА
параллельна ВС и прямая ОВ параллельна АС, то, очевидно, пря-
мая ОС не будет параллельна прямой АВ; переименуем и теперь
вершины треугольника: вершину С назовем А, а вершину А на-
зовем С.
4 Зак. 892. А. М. Лопшиц
15
Замечание. Если читатель пользовался при доказа-
тельстве теоремы чертежом, хотя мы и не предложили этого
сделать, то это, быть может, и помогло ему следить за
ходом доказательства, но не сыграло никакой доказатель-
ной роли: в самом деле, все наши заключения следовали
только из того, что точка А' лежит на прямой ВС и на
прямой ОА, а это имеет место в силу «построения». Суще-
ственную роль в доказательстве сыграло использование
(трижды) теоремы 3', которая справедлива при любом рас-
положении точки А' на прямой ВС или О А (см. замечание
2 на стр. 11). Таким образом, наше доказательство можно
считать «логически строгим» . . . , если только «логически
строгим» является доказательство теоремы 3'. Не следует
ли читателю вернуться к этой теореме и проверить строгость
данного ей доказательства?
§ 5.	Ориентированный многоугольник
Подобно тому как мы ввели (в § 1) понятие ориентиро-
ванного треугольника, введем в рассмотрение и ориенти-
рованный п-угольник, заданный упорядоченной совокуп-
ностью п точек Alt А2, ..., An_t, Ап, расположенных
самым произвольным образом на плоскости. Такой много-
угольник является изображением непрерывного движения по
замкнутому пути, составленному из прямолинейных напра-
вленных отрезков, соединяющих последовательно
вершину At
вершину /1.2
с вершиной Л.2
с вершиной Д:>
вершину Ап_г с вершиной Ап
вершину Ап с вершиной А±
«Сторонами» этого ориентированного многоугольника
AtA2 . . . Ап будут направленные отрезки

Стрелка, проставленная над направленным отрезком,
должна нам напомнить, что движение вдоль него происходит
в сторону от первой написанной точки («начало» направ-
ленного отрезка) ко второй точке («конец» направленного
отрезка).
О выпуклом ориентированном многоугольнике мы будем
говорить, что он право-ориентирован, если движение, им
определяемое, происходит против часовой стрелки (черт. 6, а)
и лево-ориентирован, если по часовой стрелке (черт. 6, б).
Черт. 7.
Черт. 8.
Если же ориентированный многоугольник не выпуклый
(черт. 7), то затруднительно приписать ему название «пра-
вый» или «левый». Особенно ясно это для ориентированного
многоугольника, имеющего самопересечения (черт. 8).
17
§ 6.	Площадь ориентированного многоугольника
Площадь ориентированного выпуклого многоугольника
условимся считать равной положительному числу, если мно-
гоугольник право-ориентированный, и отрицательному,—если
многоугольник лево-ориентированный; абсолютная величина
этого числа равна, естественно, площади неориентирован-
ного многоугольника с теми же вершинами, что и исходный
ориентированный (измеренной по правилам элементарной гео-
метрии)-.
А как измерить площадь ориентированного невыпуклого
многоугольника? Какой знак приписать, например, площади
многоугольника, изображенного на черт. 7, а? (Абсолютную
величину этой площади естественно считать равной сумме
площадей двух неориентированных треугольников АВС'
и ACD.)
Еще более сложным является вопрос об измерении пло-
щади «самопересекающегося» многоугольника: так, на-
пример, для многоугольников, изображенных на черт. 8, а
или б, неясно не только то, какой знак приписать их пло-
щади, но неясно даже, какова абсолютная величина этих
площадей.
Ответ на все эти вопросы подскажет нам следующая
важная
Теорема 5. Пусть Ах, А2, ..., Ап — упорядоченная
совокупность п точек, произвольно расположенных на
плоскости (эта совокупность определяет некоторый
ориентированный п-угольник). Выбрав некоторую точку О,
составим сумму
S = (OAtAJ + (ОА2А3) + ... + (О_ хА„) + (OAnAJ, (8)
т. е. сумму площадей ориентированных треугольников,
имеющих общей вершиной произвольно выбранную точку О,
а основаниями—направленные стороны заданного ориен-
тированного многоугольника. Тогда сумма S не зависит
от положения точки О.
Доказательство. Пусть О'—-некоторая другая
произвольная точка. Нам предстоит доказать, что
(ОА1А2)-4-(ОА.2А3)-)- .. . -|-(ОАпА1) =
= (O'AvA2)+(O'A2A^ . . . ^(О'АпА^. (9)
18
Используя теорему сложения, будем иметь:
(О А А) = (О'ЛгЛ2) + (О'А^О) + (О'ОЛ t),
(ОЛ2Л3) = (О'Л2Л3) + (О'АаО) + (О'ОА.2),
(ОА,АМ) = (0'ЛЛг+1) + (0Ч+10) + (0,0А),
(ОЛЯ_И„) =(О'Л„_1АЯ) + (О/ЛЯО) + (О'ОЛЯ_1),
(ОЛ^) = (ОЧЛ)+(О'АО)+(О'ОЛЯ).
Складывая почленно эти равенства и выполнив очевидные
сокращения, придем к равенству (9), которое и требовалось
доказать.
Итак, в силу только что доказанной теоремы мы полу-
чим возможность каждому ориентированному многоуголь-
нику AjA2 ... Ап_1Ап отнести число S, определяемое по
формуле (8). Легко видеть, что в случае, когда много-
угольник ЛХЛ2 . .. Ап выпуклый, это число равно ориенти-
рованной площади многоугольника. Естественно по-
этому измерять площадь произвольного мно-
гоугольника числом $, определяемым фор-
мулой (8). Целесообразно обозначать эту площадь сим-
волом (АхА.2 . . . Ап^Ап).
Таким образом, согласно принятому нами определению,
(АА •  ’ ^п-1-^п)
= (ОЛ1Л2)-А(ОЛ2Л3) +   • + (ОЛЯ_1ЛЯ) + (ОЛЯЛ1), (10)
где О — произвольная точка на плоскости.
Замечание. Обратим внимание на то, что при п = 3
эта формула была нами доказана (см. § 3); при п > 3 она
представляет собой целесообразное определение; возможность
такого определения обеспечивается тем, что правая часть
равенства (10), хотя и требует для своего вычисления неко-
торого конкретного выбора точки О, но не зависит от этого
выбора — это и составляет содержание доказанной теоремы 5.
§ 7.	Несколько примеров и задач
Пример 1. Пусть Л1( Л2, А3, ..., Л7, Л8 — последо-
вательные точки, делящие окружность радиуса на восемь
равных дуг. Вычислить площадь S ориентированного восьми-
угольника ЛхЛ2Л7ЛдЛ6Л4Л3Лд (черт, 9).
19
Решение. Для вычисления площади (Л1Л2Л7Л6Л5Л4Л3Л8)
по формуле (10) воспользуемся точкой О, являющейся цент-
ром окружности. Обозначив через $ площадь ориентирован-
ного треугольника ОА1А2 и через s' площадь ориентированного
треугольника ОЛ2Л7, Легко убедимся в том, что (ОЛ7Л6)=—s,
(ОЛ6Л5) ——(ОЛ5Л4) = — s, (ОЛ4Л3)= — s, (ОЛ3Л8)==«'(
= 5, и, следовательно,
V 2
Приняв, наконец, во внимание, что 15 | = ) s' | =	, иолу-
чим S =	2, если многоугольник (А^А^А^ .. . Л8) «левый»
(черт. 9, а), если же он «правый», то S ==—/?22
(черт. 9, б).
Задача 1. Обозначив через Р точку пересечения хорд
Л3Л8 и Л2Л7 (черт. 9), доказать, что
(Л1Л2Л7Л6Л6Л4Л3Л8) — (/->Л8Л1Л2)-|-(/->Л3Л4Л5Л6Л7).
Задача 2. Разность площадей неориентированных много-
угольников />Л3Л4Л5Л6Л7 и РЛ8ЛХЛ2 равна Р2]/с2 (черт. 9).
Доказать!
Это предложение непосредственно вытекает из указанных
выше двух результатов. Оно не содержит в себе никаких
новых, с точки зрения школьной геометрии, понятий, но
доказательство его, которое здесь намечено, существенно
20
использует «новое» понятие: ориентированная площадь. Пред-
ложим читателю самостоятельно найти «школьное» доказа-
тельство предложения задачи 2. Трудности, которые при
этом возникнут, помогут чита-
телю лишний раз убедиться в це-
лесообразности введения понятия
ориентированной площади много-
угольника, которое, как мы пред-
полагаем, показалось читателю
несколько искусственным. '
Задача 3. Пусть Лх, А2,
А3< Av А5, Ав — последователь-
ные точки, делящие окружность
радиуса А? на шесть равных
дуг. Вычислить площадь 5
ориентированного шестиуголь-
ника Л1Л.2Л5Л4Л3Л6 (черт. 10).
Ответ: 5 = 0.
Задача 4. Вычислить площадь S ориентированного
пятиугольника Л1Л5Л6Л2Л3 (черт. 11). Ответ: 5 = (ОЛ5Л6) =
Уз"
—	/?2=— , где О — центр описанной окружности.
Черт. 12.
Пример 2. Площадь 5 ориентированного пятиуголь-
ника Л1Л8Л.2Л6Л5 (черт. 12) равна разности удвоенной пло-
щади неориентированного треугольника QA2A3 и площади
неориентированного треугольника ArPQ, где Р и Q — точки
пересечения хорды Л6Л2 с хордами ЛгЛ& и ЛХЛ8 соответ-
ственно.
21
Решение. Воспользовавшись точкой Q для вычисления
площади S по формуле (8), получим:
s = [(СЛ^з)+(QAA)+(<?Л2Л6)} 4- {(Q^A)+(QAM
и, следовательно, S = (Q4.!42)-f- {(Q4646)-|-(Q/I54t)}-
Учитывая, что в силу теоремы 2
(<?Л6Л5) = (QPAJ + (Л^Лв), 1
(QA6At) = (QA6P) + (QPAД J
(И)
получим, выполнив очевидное сокращение:
S = (СА3Л2) + (Л5РЛ6) 4- (QPAJ.
Приняв, наконец, во внимание, что неориентированные тре-
угольники РА&АЪ и РЛ2Л3 имеют одинаковую площадь,
и учитывая ориентацию треугольников, входящих в равен-
ства (И), придем к заключению, которое требуется доказать.
Задача 5. Если в ориентированном многоугольнике
имеется одно и только одно самопересечение (см., например,
черт. 8, а), то его площадь равна разности двух неориен-
тированных многоугольников, на которые исходный много-
угольник распадается. Доказать!
Задача 5'. Сформулировать аналогичный результат
для площади ориентированного многоугольника, имеющего
больше чем одно самопересечение.
Черт. 13.
Черт. 14.
Задача 6. Точки Л1, Л2, А3, Av Л5 — последователь-
ные точки, делящие окружность на пять равных дуг. Вычи-
слить площадь ориентированного многоугольника AlAaA.A2Ai
(черт. 13). О т в е т : S = 5 (ОА^), где О—центр окружности.
22
Задача 7. Вычислить площадь S «пятиконечной звезды»
(черт. 14). Ответ:' 5=5(ОД2А3), где О — центр окруж-
ности, в которую вписана звезда.
Задача 8. Можно ли вы-	В
брать внутри дуги полуокружности
(черт. 15) PABQ две точки А и	х.
В так, чтобы площади неориенти- /	\
рованных треугольников ABN и [/
PQN были равны между собой р	*
(N—точка пересечения хорд РВ
и MQ)?	Черт. 15.
Ответ: Невозможно.
Решение. (ABPQ) — (OAB)-]-(OBP)Ar(OQA)-, введя
обозначения: а = РА, [3 = о АВ, получим:
(ABPQ) =
Sin Р | Sin (а ! sin (180—а)
_	|	“2
Учитывая, что (ABPQ) = (ABN)— (PQN), придем к выводу,
что для равенства площадей треугольников ABN и PQN
необходимо и достаточно, чтобы sin (а -}-£) — sin {3 = — sin а,
- о  а /п I “\	Г, •	3	а
т. е. чтобы 2 sin -Q-cos	= — 2 sincos , или
cos +	“4“ cos = 0 (так как sin-|-=£0!). Последнее
а -I- 8	8 А
равенство эквивалентно равенству cos—cos ^- = 0, кото-
рое не может иметь места, так как а -1- р < 180°.
Замечание. Решение этой задачи может быть, конечно,
получено и с помощью совсем элементарных геометрических
рассуждений. Читателю, который найдет это решение, пред-
ложим решить следующую задачу, являющуюся естественным
продолжением рассмотренной: можно ли выбрать внутри
дуги полуокружности PABQ две точки, А и В, так, чтобы
площадь неориентированного треугольника PQN была равна
площади неориентированного четырехугольника NACB, где
С—середина дуги АВ? Удастся ли в этом случае легко ре-
шить вопрос, используя только методы школьной геометрии?
Задача 9. Правильный двенадцатиугольник XtM2 ... Д12
вписан в окружность. Многоугольник Д1А6Д5Д1СЛ9А2 имеет
три точки самопересечения Сх, С2, С3 (Ct лежит на прямой
Ог—на прямой Л5Л10). Доказать, что площадь тре-
угольника CjCjCgB три раза больше, чем площадь треуголь-
ника А1А.2С1 (черт. 16).
23
Решение. 5=(Л1Л6Л5Л10Л9Л.2)=3[(ОЛ1Л6)-|-(ОЛ2Л1)] =
= 3^ (sin 150°—sin30°] = 0. Учитывая теперь, что S =
= (С1С2С3)-|-3(С1Л2Л1), придем к выводу, что (C/^Co^
= 3 (ЛгЛ2Сг).
Черт. 16.	Черт. 17.
Задача 10. Правильный восьмиугольник ЛХЛ2 ... Л8
вписан в окружность. Многоугольник Л1Л4ЛаЛ6Л5Л8Л1Л2
имеет четыре точки самопересечения Cv С2, С3, Ci (С\ лежит
на прямой А.А^ С2 — на прямой Л3Л6). Доказать, что пло-
Черт. 18.
Читателю может
щадь квадрата С1С2СаС4 в че-
тыре раза больше площади
треугольника Л1Л2С1 (черт. 17).
Задача 11. Правильный
двадцатиугольник Л2Л2 ..; Л20
вписан в окружность. Ct, С2,
С3, С4, С5 — пять точек само-
пересечения многоугольника
А А А Аг А Аб Аз Ао А 7 А
(Ct лежит на прямой Л1Л8,
С3 — на прямой Л5Л12). Дока-
зать, что площадь правильного
пятиугольника СГС2С3С^Ь в
пять раз больше площади тре-
угольника ЛгЛ4Сх (черт. 18).
показаться, что к задачам 9, 10, И,
имеющим родственное содержание, можно присоединить
и дальнейшие родственные задачи, в которых речь будет
идти о многоугольниках с шестью, семью, ... точками
24
самопересечения. Однако это не так: невозможность «про-
должить» эти задачи станет для читателя очевидной, если
он решит следующую задачу.
Задача 12. Окружность разделена на п равных дуг
AtA2, о А2А3, о AsAi..........Дп_гДп, о AnAt.
Внутри каждой из них взяты точки
^1> ^2...........................&п>
такие, что дуги
иД2В2, .... uAnBtl
равны между собой. Проведя хорды
^1^2, ^2^3’ • • >	ЛпВр
а также хорды А1В1, А2В2, ..., АпВп, получим замкнутый
2п-угольник, имеющий п точек самопересечения
Ct, С.2, ..., Сп
(хорда ДХВ2 пересекает хорду В1Д„ в точке Clt хорда А.2ВЯ
пересекает хорду В.2Д3 в точке С2 и т. д.). Определить
значение п, при котором площадь многоугольника С±С2.. .Сп
в п раз больше площади треугольника Д1В1С1.
Ответ: п = 3, 4, 5.
Решение. 5=(Д1В2Д2В3 ... ДПВ1) = (С1 ... Сп) -[-
п (С1В1Д1); поэтому площадь (Сх ... С„) будет в п раз
больше площади (С1Д1В1) в том и только в том случае,
когда S = 0. Учитывая теперь, что S — п {(ОД1^2)—|—(О^2>12)1
(О — центр многоугольника ДХД2 ... Ап), получим:
sin^^--|-aj — sin a = 0 (а=с_?Д1В1),
и, следовательно,
. 180°	/180° , \	А
sin---cos I-----a I = 0.
n	\ n 1 /
Таким образом, мы убеждаемся в существовании только
следующих трех решений:
п	3	4	5
Л] Л	120°	90°	72°
иДВ| = я	30°	45°	54°
25
Задача 13. Если отрезки Л1В1, А2В2, . . АпВп имеют
общую середину, то (Ap42 . .. Ап) = (BtB2 ... Вп). Доказать!
Указание. Вычислить площадь ориентированных много-
угольников AlAi . . . Ап и ВГВ2    Вп по формуле (7),
выбрав в качестве точки О середину отрезков А/В;
(i = 1, 2, . .., n).
Задача 14. Если ориентированный многоугольник
ВГВ2 . . . Вп получен из ориентированного многоугольника
Л1Д2 ... Ап путем параллельного переноса (т. е. если
направленные отрезки АхВг, А2В2, . .., АпВп параллельны
друг другу и имеют равные длины), то (Ax. . . An)=(Bt. . .Вя).
Задача 15. Если ориентированные стороны AfA2,
А2А3, .. ., А„А1 ориентированного многоугольника AtA2.  -Ап
параллельны и равны соответственным сторонам ВГВ2,
В2ВЛ,. .., ВпВг ориентированного многоугольника В±В2.. ,Вп,
то (z4xA2 .. • Ая) = (BtB2 .. . Вп).
В заключение посоветуем читателю самостоятельно при-
думать задачи, в решении которых используется понятие
площади ориентированного многоугольника. Особенный инте-
рес представляют на наш взгляд задачи, в условие которых
входят только понятия школьной геометрии, но решение
которых существенно упрощается в результате использова-
ния новой, изложенной выше, точки зрения на площадь
(как, например, в задачах 2 и 7—12).
ГЛАВА И
ПЛАНИМЕТР
Для вычисления площадей фигур, изображенных на чер-
теже, применяют в инженерной практике различные меха-
нические приборы. В этой главе мы ознакомим читателя
с устройством одного из простейших приборов такого рода;
используя теорию измерения площадей ориентированных
многоугольников, изложенную в первой главе, мы объясним
принципы его действия.
§ 1. Полярный планиметр
Внешний вид этого прибора (одной из его основных
моделей) показан на черт. 19; схема прибора изображена
на черт. 20.
Рычаг ОА может вращаться вокруг точки О, которую
называют полюсом. В этой точке О рычаг О А имеет корот-
кую иглу, которая вкалывается в чертежную доску. (Чтобы
игла не выскакивала из доски, она скреплена с небольшим
круглым грузом.)
Рычаг АВ-Может свободно вращаться вокруг оси, имею-
щейся в точке А. В конце В рычага АВ имеется штифт
с рукояткой; с ее помощью обводят штифтом замкнутую
линию L, ограничивающую площадь, которую нужно опре-
делить. На рычаг АВ насажено колесико, которое может
свободно вращаться вокруг него, как вокруг оси. Тут же
помещен счетчик числа оборотов колесика, дающий пока-
зания с точностью до тысячных долей одного оборота (на
черт. 20 счетчик не показан). Весь прибор опирается на чер-
тежную доску в трех точках: «острие» О, вколотое в доску,
закругленный конец штифта В и точка ободка счетного
колесика, в которой оно касается чертежа.
27
Употребление прибора весьма просто. Для измерения
площади, заключенной внутри линии L, вкалывают иглу О
в чертежную доску, совмещают конец штифта с какой-либо
точкой Вх на линии L и производят на шкале счетчика
Черт. 19. Полярный планиметр.
оборотов отсчет положения колесика — пусть этот отсчет
будет <рх. Далее обводят конец штифта тщательно по кон-
туру L, и когда конец штифта возвращается — после пол-
ного обхода контура — в исход-
ное положение производят вто-
1 Рой отсчет положения колесика;
пусть этот отсчет будет ф2. Тогда
( у площадь Sl, заключенная внутри
х____s контура L, легко вычисляется че-
Черт. 20. Схема полярного рез разность ®2 показываю-
планиметра.	щую число оборотов, на которое
повернулось счетное колесо при
полном обходе штифта по контуру L. В том случае, когда
полюс О расположен вне контура L (черт. 20 — этот случай
особенно часто встречается на практике), площадь Si вычи-
сляется по формуле
= k (% — <?t),	(1)
в которой коэффициент пропорциональности k представляет
собой число, зависящее от размеров прибора. Его значение
чаще всего приложено к прибору. Ниже будет показано,
28
\
\
как его можно вычислить, выполнив обвод штифта по замк-
нутой линии, площадь которой заранее известна.
Более сложная модель полярного планиметра, изображен-
ная на черт. 21, представляет собой прибор, устройство
которого в основном то же, что и модели, описанной в § 1:
и здесь рычаг ОА может вращаться вокруг точки О,
Черт. 21. Прецизионный дисковый планиметр.
а рычаг АВ, несущий счетное колесико и штифт В, может
вращаться вокруг оси, проходящей через точку А. Особен-
ность же этой модели состоит в том, что счетное колесико
катится не по чертежу, а по особому диску, тщательно
обклеенному специальной, слегка шероховатой бумагой —
этим устраняется возможность скольжения колесика, когда
чертежная бумага слишком гладкая. Кроме того, специаль-
ное устройство заставляет диск D вращаться вместе с рыча-
гом ОА и притом на угол, пропорциональный углу поворота
рычага1); благодаря этому поворот счетного колесика во
много раз больше, чем соответствующий оборот счетного
колесика на простой модели (черт. 19) — это увеличивает
точность отсчета угла ф2— фр Прецизионный2) дисковой
полярный планиметр, изображенный на черт. 21, дает
в работе точность, примерно в пять раз большую, чем
обычный полярный планиметр (при обмере площади вели-
чиной около 100 кв. см его точность — до 0,1%).
1) Рычаг ОА несет на себе (снизу) шестеренку Е, ось которой
параллельна вертикальной оси, проходящей через точку О, и кото-
рая катится по ободу цилиндра С. Эта шестеренка твердо соеди-
нена с диском D, который и делает поэтому такой же поворот,
как и шестеренка.
2) Precisus — точный (по-латински).
29
§ 2. Прямолинейный планиметр
Размеры полярного планиметра ограничивают возмож-
ность его использования. Легко видеть, что линия L, огра-
ничивающая площадь, подлежащую измерению планиметром,
должна располагаться внутри окружности, центр которой
в полюсе О, а радиус равен сумме длин рычагов ОА и АВ.
Таким образом, полярный планиметр не может быть с успехом
использован для измерения площадей длинных, хотя бы
и достаточно узких фигур J). Для измерения такого рода
площадей используют прямолинейный планиметр (черт. 22),
Черт. 22. Схема прямолинейного планиметра.
который, так же как и полярный, содержит рычаг АВ, не-
сущий на себе счетное колесико и обводной штифт. Отли-
чие от полярного планиметра состоит в том, что конец А
рычага АВ принужден в силу конструкции прямолинейного
планиметра двигаться только вдоль некоторой прямой линии
(в полярном планиметре конец А рычага АВ вынужден дви-
гаться только вдоль окружности). В различных моделях это
осуществляется различными способами. На черт. 22 изоб-
ражен катковый прямолинейный планиметр, в котором стро-
гое прямолинейное движение точки А осуществляется с по-
мощью катка. Он состоит из двух массивных цилиндрических
колес одинакового радиуса, ободы которых сделаны слегка
шероховатыми — это заставляет их только катиться, но не
скользить по чертежной бумаге, на которую нанесен изме-
ряемый контур L. Оба колеса жестко связаны одно с дру-
гим массивной осью. В силу такой конструкции каждая
точка этой оси принуждена двигаться — при движении
катка — только строго прямолинейно. К какой-либо точке
оси и крепится ось А, вокруг которой может свободно вра-
щаться рычаг АВ.
]) Можно, конечно, разбить площадь на несколько «корот-
ких')— это, однако, усложняет работу и понижает ее точность.
30

Вычисление площади с помощью каткового планиметра
выполняется точно так же, как и с помощью полярного
планиметра. Дополнительное удобство состоит в том, что
каток можно прокатить по чертежу любого размера и можно,
следовательно, измерить площадь «длинной» фигуры.
Повышенная точность возникает при работе с прецизион-
ным прямолинейным дисково-катковым планиметром, изобра-
женным на черт. 23; его диск играет ту же роль, что и
диск прецизионного полярного планиметра.
§ 3. Элементарное перемещение рычага планиметра
Когда штифт В непрерывно обходит заданный замкнутый
контур L, начиная с некоторой точки Bt, и возвращается
в нее же, рычаг АВ непрерывно перемещается по плоскости,
Черт. 24.
раллельным самому себе)
принимая различные поло-
жения, и возвращается в
исходное положение. Счет-
ное колесико вращается при
этом вокруг рычага АВ,
как вокруг оси. Если на
каком-либо участке движе-
ния рычаг АВ перемещается
в направлении, перпендику-
лярном к рычагу (т. е. к
оси вращения счетного ко-
лесика) (черт. 24, а), на
расстояние h, то ободок
колесика катится по пло-
скости чертежа без сколь-
жения и поворачивается на
2^- оборотов (г — радиус
колесика). Если же рычаг
перемещается вдоль самого
себя (черт. 24, б), то ко-
лесико только скользит по
плоскости, совсем не вра-
щаясь; если, наконец, рычаг
перемещается (оставаясь па-
под некотором углом к своему
направлению, то колесико отчасти катится и отчасти сколь-
зит; оно поворачивается при этом на число оборотов, мень-
32
шее, чем , где h — попрежнему расстояние, на которое
переместилась ось (черт. 24, в).
Естественно, возникает вопрос: каково будет количество
оборотов, которое сделает счетное колесико в результате
всего замкнутого движения рычага АВ? Или иначе — какая
существует зависи-
мость между этим
числом и замкнутым
контуром L, задание
которого полностью
определяет движение
рычага АВ на плоско-
сти чертежа?
Для облегчения ре-
шения этой ' трудной
задачи мы позволим
себе заменить непре-
рывное движение ры-
чага АВ некоторым
другим, практически
мало от него отли-
чающимся. С этой
целью отметим на за-
данном контуре Lочень
большое число (очень
близких между собой)
последовательно — по
ходу штифта—проходимых точек Вг, В2,. . . ,Вп, Вх (черт. 25).
Им соответствуют последовательно принимаемые рычагом
АВ положения
А2В9, АпВп, А.В..
Будем теперь предполагать, что элементарный переход от
положения А1В1 к положению А2В2 производится следующим
образом.
I. Сначала выполняется параллельный перенос рычага АВ,
переводящий его из положения A^j в положение А>В’>
(черт. 26, а и бу, четырехугольник А^В, — параллело-
грамм, сторона которого Hv42 очень мала). Это перемеще-
ние будем для краткости называть элементарным перено-
сом', площадь ориентированного параллелограмма А^В^В^ В>,
33
«заметаемую» при этом элементарном переносе (коротко:
площадь элементарного переноса), обозначим буквой st.
Напомним, что — положительное число, если ориентиро-
ванный параллелограмм правый (см. стр. 18), и отрицатель-
ное, если этот параллелограмм левый (черт. 26, а и б).
Черт. 26.
П. Затем выполняется поворот рычага АВ, переводящий
его из положения А2В> в положение Л2В2 (черт. 26, а и б,
угол В2А2В2 очень мал). Это перемещение будем для крат-
кости называть элементарным поворотом. Величину угла
элементарного поворота, т. е. угла В2А2В2, обозначим бук-
вой <0j; число <ut— положительное, если поворот происходит
против часовой стрелки, и отрицательное,— если по часовой
стрелке (черт. 26, а и б).
Перемещение, переводящее рычаг АВ из положения А2В2
в положение А,,В,, также представим себе как результат
выполнения элементарного переноса, а вслед за ним и эле-
ментарного поворота; площадь переноса обозначим через s2,
угол поворота через о>2. Аналогичным образом поступим и
для всех остальных положений рычага АВ.
§ 4. Число оборотов счетного колеса
при элементарном перемещении рычага
Элементарный параллельный перенос рычага АВ из по-
ложения AtBt в положение А2В2 мы выполним следующим
образом.
I'. Сначала переместим рычаг АВ из положения A;Bt
параллельно самому себе в направлении, перпендикулярном
34
к рычагу, до совпадения с прямой, содержащей отрезок
(черт. 26, в).
II'. Из полученного положения /hBj перейдем в положе-
ние А2В>, сдвинув рычаг вдоль самого себя.
При перемещении I'счетное колесико повернется, очевидно,
h.,	,	,
на ~ оборотов, где /г( есть высота ориентированного
параллелограмма А^В^А,,,.
Если условимся считать hr положительным в случае пра-
вой ориентации этого параллелограмма и отрицательным
в случае левой ориентации, то будем иметь: hr =
Ad
(где sy— площадь ориентированного четырехугольника
А1В1В2А2у, следовательно,
___	6'1
2-г • АВ •
(2)
Знак числа г>х показывает, очевидно, в какую сторону вра-
щалось счетное колесико при элементарном переносе.
При перемещении II' счетное колесико только скользит
и совсем не поворачивается. Таким образом, количество
оборотов, которое сделает счетное колесико при элементар-
ном параллельном переносе I, определится формулой (2).
Перейдем теперь к подсчету числа оборотов v* счетного
колесика, которое оно сделает при элементарном повороте П,
переводящем рычаг АВ из положения А2В2 в положение АаВа.
Пусть С — точка рычага АВ, в которой находится центр
счетного колесика; учитывая, что при элементарном пово-
роте на точка С пройдет путь 2~ „кпо АС, придем
к заключению, что счетное колесико радиуса г сделает при
этом
оборотов. Знак числа г>* (совпадающий со знаком <о1) по-
казывает, очевидно, в какую сторону вращалось счетное
колесико при элементарном повороте.
35.
§ 5. Число оборотов счетного колеса
при замкнутом перемещении рычага
Из формул (2) и (2*) следует, что это число М равно
сумме двух слагаемых:
— k' (st Ч~ sa  • • +sn)4~ 3gg (®i + ю2 • • • “Ь01»)’ (3)
где
# — _J_____	/е* —
Чг.г-АВ' ~ Г '
Существенную роль играет в дальнейшем
то обстоятельство, что значение второго сла-
гаемого можно заранее учесть!
В самом деле, если полюс О полярного планиметра на-
ходится внутри контура, площадь которого нужно измерить
(черт. 25), то при полном обходе штифта В по контуру L
рычаг АВ, поворачиваясь последовательно на углы шг,
<о2, ..., опишет полный оборот и, следовательно,
®.t 4~	~	~ 360°.
В этом случае (случай ./) имеет место, таким обра-
зом, формула
77-- &'(st-i-s24- . .. ---/г*.	(4)
Значительно чаще встречается, однако, на практике, что
полюс О полярного планиметра находится вне контура L и,
следовательно(черт. 27, а), рычаг АВ поворачивается в одну
сторону на столько же, насколько и в другую. В этом слу-
чае (случай общая сумма всех поворотов будет
очевидно, равна нулю:
“i ш-2 + • • •
36
а число оборотов W счетного колесика определится по фор-
муле
N —	(5)
Легко понять (черт. 27, б) что именно этот случай будет
иметь место всегда, если измерение площади производится
с помощью прямолинейного планиметра.
Замечание. Мы иллюстрировали оба возможных слу-
чая (j/ и ,^) на черт. 25 и 27, в которых показаны наи-
более простые контуры. Читатель сумеет самостоятельно
убедиться в справедливости формул (4) и (5) и для более
сложных контуров.
§ 6. Вспомогательная геометрическая
теорема
Формулы (4), (5) устанавливают связь, существующую
между числом N оборотов, которое делает счетное колесико
при полном обходе штифта В по контуру L, и суммой
S’ = -ф- s.2 -ф- . . . -ф- sn	(6)
всех (соответствующих этому замкнутому движению) пло-
щадей элементарных переносов рычага АВ.
Особенно важную роль в теории планиметра играет,
однако, чисто геометрическая теорема, дающая возможность
доказать, что в случае 39 площадь S* равна искомой пло-
щади ограниченной заданным контуром L:
S* = Sl.	(7)
Доказав это (см. ниже) и сопоставив формулы (5), (6) и (7),
мы получим:
N^k'Sj.
и, следовательно,
SL = ~N=kN (k = 2nrl),	(Г)
т. е. убедимся в справедливости того правила вычисления
площадей с помощью планиметра, которое мы указали
в § 1 этой главы.
Обратимся теперь к этой вспомогательной геометрической
теореме,
37
Основная теорема. Площадь, заметаемая2) отрез-
ком АВ при его произвольном замкнутом перемещении
на плоскости, равна разности площадей, ограниченных
ориентированными контурами Ьв и L&, описываемыми
концами В и А этого отрезка.
Справедливость эт,ой теоремы представляется полти «оче-
видной», если ограничиться рассмотрением только того слу-
чая который изображен на'' черт. 25: заметаемая площадь
равна площади «кольца», образуемого «внешним» конту-
ром LB и «внутренним» контуром ЬА, и, следовательно,
равна разности площадей, ограниченных этими контурами.
«Геометрическая очевидность», к сожалению, исчезает,
когда мы обращаемся к рассмотрению других возможных
случаев движения отрезка АВ по плоскости.
Как в этих случаях понимать выражение «площадь, заме-
таемая отрезком <4В»? Будет ли она и теперь равна разно-
сти площадей LB и Лд?
Полностью разобраться в этих случаях (и в более слож-
ных, которые может придумать читатель) станет возможно
только тогда, когда мы откажемся от школьного способа —
измерять площадь фигуры всегда положительным числом,
и воспользуемся понятием площади ориентированной фигуры
(она может быть либо положительной, либо отрицательной,
либо даже равной нулю!), которое было рассмотрено в пер-
вой главе этой книжки.
Прежде чем приступить к доказательству «основной тео-
ремы», уточним понятие «площадь, заметаемая отрезком».
Для большей простоты откажемся от рассмотрения непре-
рывного движения отрезка АВ и будем предполагать, что
он перемещается скачками: из положения АгВх в положе-
ние А2В.2, из этого положения в положение А,В3 и т. д.
(черт. 28). Мы будем при этом, конечно, считать, что скачки
очень малые (т. е. перемещения BrB.2, B2BS, . . . конца В,
так же как и соответствующие перемещения AtA2, Д2Д3, • • •
точки А очень малы) и общее число их, которое выполнит
отрезок, чтобы возвратиться в исходное положение,— весьма
1) Выражение площадь, заметаемая отрезком при его дви-
жении, вероятно, знакомо читателю. Оно встречается, например,
в формулировке второго закона Кеплера, касающегося скорости
движения планеты вокруг Солнца: «площади, заметаемые радиусом-
вектором планеты (т. е. заметаемые отрезком АВ, начало которого
А — Солнце, конец В — планета) едва равных промежутка времени,
равны между собой».
38
велико. Замкнутые контуры LB и La заменятся при таком
рассмотрении замкнутыми ориентированными многоугольни-
ками ВХВ2 •   &п и • • • Ап, которые мы будем для
краткости обозначать соответственно и Ра-
При первом скачке отрезок АВ заметет площадь четырех-
угольника, а лучше и точнее сказать, площадь ориентиро-
ванного четырехугольника
Л1В1В2Л2, при втором скач-
ке— площадь ориентиро-
ванного
четырехугольника
Л2В2В3Д3 и т. д. Сумму
площадей всех таких ориен-
тированных , четырехуголь-
ников, возникающих при рас-
сматриваемом перемещении
отрезка АВ, мы и будем на-
зывать площадью, заметен-
ной отрезком АВ. Чита-
тель, несомненно, обратил
внимание на то, что при
такой точке зрения на заме-
таемую площадь она может
содержать в своем составе
как положительные, так и
отрицательные слагаемые.
Так, например, для движе-
ния отрезка АВ, изображен-
ного на черт. 28, б, пло-
щади элементарных четы-
рехугольников, расположенных по верхнему краю многоуголь-
ника AjA2 .. . Ап, положительны, а по нижнему краю этого
многоугольника отрицательны. Теперь уже не составит
труда точно сформулировать и строго доказать геометри-
ческую теорему, лежащую в основе теории планиметра.
Теорема 6. Если направленный отрезок АВ, пере-
мещаясь по плоскости, занимает последовательно поло-
жения
^1^1’ ^2^2> • • • ’ ^п^п’
и, следовательно, возвращается в исходное положение,
то заметенная им площадь S равна разности площадей
39
ориентированных многоугольников BtB.2.. .Вп и AtA2. . ,А„:
S = (B1B2...B7l)-(A1A2...A„).	(8)
Доказательство, Используя формулу (8) из гл. I,
стр. 18 (для вычисления площади любого ориентированного
многоугольника как суммы площадей ориентированных
треугольников, имеющих общую вершину) и применяя ее
к элементарным четырехугольникам, получим:
(АА&А) = (ОАА)+(О5А)+(ОМ2)+(ОА2А1),
(A2B.2B3As) = (ОА.2В2) Д- (ОД2В3) + (ОВ3А3) + (ОА3А3),
— (ОАп_1Вп_1)-[-(ОВп_ ДД) Д
+ (ОВпАп) Д- (ОАпАп_1),
(AnBnBtAJ = (ОАпВп) + (ОВ	Д- (OB.AJ Д- (ОА,А„).
Складывая почленно эти равенства и выполнив в правой части
очевидные сокращения, получим:
s = {(ОВА)+(оад)+... +(ОВ„_А)+(ОВА)} д-
+ i(OA2A1)Д-(ОА3А3)Д- . . . Д-(OAnAB_x) Д-(ОА1АЙ)}.
Учитывая, что (ОА^ь1Аг) =— (ОА^А.;+1) и снова используя
формулу (8) из гл. I, получим:
5 = (В1в2...Вя)-(А1Аг..Л)-
.что и требовалось доказать.
Замечание. Следовало ли снабдить наше доказатель-
ство чертежом? Строго говоря, в этом нет никакой необхо-
димости, так как при проведении доказательства мы вос-
пользовались формулой, справедливой при любом расположе-
нии точек, участвующих в рассмотрении. Полезно все же
уяснить себе геометрически наглядно полное содержание
теоремы, рассмотрев различные возможные случаи.
§ 7. Использование вспомогательной геометрической
теоремы для теории планиметра
Доказанная в § 6 этой главы геометрическая теорема
дает возможность убедиться в Справедливости соотноше-
ния (7). (Из этого соотношения, как мы показали в § 5,
непосредственно следует справедливость формулы (1'), с по-
мощью которой измеряют планиметром площадь Зд.)
40
Действительно, применим эту теорему к движению ры-
чага АВ планиметра. Если мы, как в § 6, заменим непре-
рывное движение рычага совокупностью п элементарных
перемещений, а каждое из них, как в § 4, заменим двумя:
элементарным переносом и элементарным поворотом, то, учи-
тывая, что (черт. 26)
(Л^вХ) + (АВХ42) = (А^ВМ
получим:
((AyB&Aj + tA^BJ} + {(Л2В2ВзЛ3) + (ДчвХ)) Д- ...
... + {(ДАДХ)+(А^)) = SB - 5Л1)
и, следовательно,
(51 + 51) + (д + «2)+ • • • + (SB + ^) = SB — SA, (9)
где Sj—площадь элементарного параллелограмма, возни-
кающего при г-м переносе, a s* — площадь элементарного
равнобедренного «треугольника», возникающего при г-м эле-
ментарном повороте.
Остановимся теперь на рассмотрении случая $ (см. § 5,
черт. 27), т. е. предположим, что рычаг АВ поворачивается
настолько же в одну сторону, насколько и в другую. Оче-
видно, что в этом случае
- д - ... - д -°.
так как площади этих равнобедренных треугольников прак-
тически не отличаются от площадей круговых секторов
(с очень малым центральным углом), возникающих при эле-
ментарных поворотах. Формула (9) примет поэтому вид
S1 + s2+...+Sw = Ss-Sx.	(10)
Примем теперь во внимание, что замкнутая линия, описы-
ваемая точкой А, представляет собой: для полярного плани-
метра — некоторую дугу окружности, проходимую дважды
]) Мы заменили, таким образом, заданный контур L много-
угольником В1В|В2В2 ... Вп_1Вп_1ВгеВя, имеющим 2п вершин;
последовательные положения рычага АВ: АВ^ А^В*^ AnBv А&В^,..,
образуют 2п ориентированных четырехугольников: А^В^В^А^,
A2B2B*sAs, ...; очевидно, что площадь четырехугольника
равна площади треугольника (ДВ2В,).
41
(на черт. 27, а сначала от точки А до точки А', а затем от
точки А' до точки А); для прямолинейного планиметра —
некоторый отрезок прямой, также проходимый дважды (на
чёрт. 27, б от точки А до точки А', а затем от точки А' до
точки Д).
И в том и в другом случае площадь равна, очевидно,
нулю; формула (10) дает:
4 + s2 4~ • • • + sn —
и, следовательно,
S* = SB,
что и требовалось доказать.
Несколько сложнее обстоит дело в случае V. Рассмо-
трим случай, когда полюс полярного планиметра находится
внутри контура L и когда при обводе штифта В по зам-
кнутому контуру L рычаг ОА описал полную окружность,
а рычаг АВ успел повернуться на 360° (черт. 25).
Очевидно, что при этом
• • +**	• ЛВ2,
1 1	2 »	। п
Sa = k. О А*,
и, следовательно, формула (9) примет вид
(S1 + 4 + • • • + s») + ~ • АВ* =	~ • О А*,
откуда в силу (6)
.Sb = S*4-("  ДВМ--• ОД2).	(11)
Примем теперь во внимание, что согласно формуле (4)
число 4оборотов колесика при замкнутом движении ручага АВ
определяется в рассматриваемом случае л/ формулой
N=shss'+^
и, следовательно,
S* = (2кг • АВ) N — 2к • АВ • АС.
Подставляя это выражение для S* в (11), получим:
SB = ^4-fe**,	(12)
где
k = 2~г • АВ,	1
^ = к(ДВ2-4-ОД'2 — 2АВ • AC), J
42
По формуле (12) и производят вычисление площади, огра-
ниченной контуром L, в том случае, когда при полном обводе
штифта В по контуру L рычаг ОА описал полный круг,
а рычаг АВ повернулся на 360°.
Замечание. Коэффициенты k и £**, входящие в фор-
мулы (1') и (12), по которым производятся вычисления пло-
щади Si, в случаях $ и V, соответственно, могут быть
вычислены по формулам (13) через величины г, ОА, АВ, АС,
зависящие только от размеров планиметра. Значения коэф-
фициентов k и k** часто прилагаются к планиметру. Они
могут быть, однако, очень просто вычислены для заданного
планиметра без предварительных измерений величин г, О А,
ОВ, АС.
С этой целью достаточно тщательно обвести штифтом В
окружность Lo некоторого заданного радиуса R. Если счет-
чик числа оборотов колесика планиметра покажет No обо-
ротов, то в случае, когда полюс планиметра О будет рас-
положен вне окружности (случай J?), должно иметь место
равенство
SL = k-N0,	(1')
и, следовательно, получим:
*	(14)
Для нахождения коэффициента	Л*"	обведем	штифтом	В не-
которую	другую окружность	Д	радиуса	Rr	так,	чтобы
полюс О планиметра находился внутри Lt (случай j/). Если
счетчик покажет оборотов, то должно иметь место ра-
венство (12)
SLi = kNt-[-k**,
откуда следует, что
Л** = ~Ri — kNt,
где k уже считается вычисленным (хотя бы по формуле (14)).
ГЛАВА HI
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА,
ЗАДАННОГО НА МЕСТНОСТИ
§ 1. Постановка задачи
При вычислении площади многоугольника, заданного на
местности (например, при нахождении площади земельного
участка, изображенного на черт. 29), возникают трудности,
которые при первом взгляде ускользают от внимания. В са-
мом деле, для нахождения площади участка ABCDEF доста-
смотренис, будет уже
точно, казалось бы, разбить его на
треугольные участки, например так,
как это показано на черт. 29, вычи-
слить площадь каждого треугольного
участка и эти площади сложить.
Все это, однако, справедливо
только для участков небольших
сравнительно размеров. Если же,
например, на участке ABCDEF длина
стороны АВ равна, скажем, 100 м,
которую мы искусственно ввели в рас-
порядка 300 м, и измерение ее длины
представит дополнительные трудности2). Можно, конечно,
попытаться выйти из затруднения путем выбора другого,
более удачного разбиения участка на треугольники, но, как
легко понять, это не всегда приводит к успеху.
J) Вычисление расстояний и углов на местности представляет
собой серьезную практическую задачу, решение которой тем более
затруднительно, чем большие расстояния приходится измерять.
Изложение основных приемов съемки на местности читатель найдет,
в книге; С. Голицын, Хочу быть топографом, Детгиз, М., 1954.
44
Возникает, таким образом, потребность найти такой
способ вычисления площади участка, ограниченного много-
угольником, который может быть использован во всех
случаях и не требует вычисления длин каких-либо вспомога-
тельных расстояний. Точнее говоря, возникает вопрос: суще-
ствует ли возможность вычислить площадь многоугольника,
если измерены длины всех его сторон и измерены все его
углы?
Такая возможность действительно существует. В следую-
щих параграфах этой главы мы выведем формулу для вычи-
сления площади многоугольника по заданным его сторонам
и углам. Существенное облегчение при выводе этой практи-
чески важной формулы и убеждение в ее достоверности для
многоугольника любого сложного строения (выпуклого и не-
выпуклого) мы получим, если используем методы вычисле-
ния площадей ориентированных многоугольников, которые
мы изложили в предыдущих главах этой книги. Так мы и
поступим.
§ 2. Несколько определений и обозначений
Формулировка и доказательство теоремы, о которой пой-
дет ниже речь, весьма упростятся, если мы воспользуемся
следующими определениями и обозначениями.
1. Два направленных ртрезка АВ и А'В' будем назы-
вать равными, если четырехугольник АВА'В' предста-
вляет собой параллелограмм, в котором вершина А про-
тивоположна вершине В' (и, следовательно, вершина В
противоположна вершине А') (черт. 30).
—>
Направленные отрезки АВ и А"В", лежащие на одной
и той же прямой (черт. 30), называются равными, если
каждый из них равен некоторому направленному от-
>
резку А'В', не лежащему на прямой АВ х).
1) Учитывая, что направленный отрезок АВ определяется
упорядоченной парой точек А, В (А — первая, «начало», В —
вторая, «конец» направленного отрезка), целесообразно в целях
общности изложения рассматривать как направленные также
и отрезки АА, РР и т. п„ т. е. такие, у которых первая и
вторая точки совпадают. Все такие особого типа «направ-
ленные отрезки» называют нулевыми и считают, что они равны ме-
жду собой.
45
2. Направленный отрезок называют вектором. В неко-
торых случаях полезно в целях краткости обозначать вектор
одной буквой, например:
AS = a, PQ = b.
Эту букву принято печатать жирным шрифтом для того,
чтобы сразу дать понять, что речь идет о векторе, а не
о числе.
Если вектор АВ обозначен буквой а, то все векторы,
равные вектору АВ и имеющие другое начало и другой конец,
все же обозначают той же
я/	g’ буквой а.
г	3. Условимся говорить,
/	/ что ориентированный тре-
/	/ угольник АВС построен на
Г	* , векторах АВ и ВС (поря-
/„	док векторов важен!).
Можно также говорить, что
/	он построен на векторах
Хм	ВС и СА, а также на век-
торах СА и АВ.
Черт. 30.	4. Площадь ориентиро-
ванного треугольника АВС,
которую мы выше обозначали (АВС), удобно в некоторых
случаях обозначать s(AB, ВС)-.
(ABC) = s(AB, ВС).
Легко понять, что если векторы АВ и ВС равны соответ-
ственно векторам А'В' и В'С', то
(АВС) = (А'В'С')!)
и, следовательно,
s(AB, BC) = s(ArB', В'С').
Если вектор АВ (и все ему равные) обозначим через а, а век-
тор ВС—через Ь, то
(АВС) = (А'В'С') = s (a, Ь).
') См. задачу 15 на стр. 26.
46
5.	Условимся говорить, что ориентированный много-
угольник ЛХЛ2 . . . Ап построен на векторах
-^2'^3> • • •>	АпА1	(О
(порядок важен!). Ориентированную площадь (ЛХЛ2 ... Ап)
этого многоугольника будем обозначать:
И1^2 ‘ • • ^п) — S (^1^2> ^2^3’ • • • ’
Легко убедиться, что если векторы (1) соответственно равны
векторам
Кв.„ Кв,.......Вп ,Вп, В~В<,	(Г)
,	X — ’ а О’	’ 71 — х ’ Il X'	\ z
ТО
(Л1Л2...ЛП) = (В1В2...ВП)1).
Поэтому, если ввести обозначения
^1-^2 = ®1’ ^2^3 = ®2> • •  > ^п-1Ап ~ ап-1>	= ап>
ТО
(ЛХЛ2 . • • л„) = (BtB.2 ...Bn) = s (at, а.2.ап).
§ 3. Вспомогательная теорема
Теорема 7. Как бы ни были расположены на пло-
скости точки
Лх, Л2, . . ., Ап_1, Ап и Вп,
всегда имеет место равенство
(АЛПВ„) = (Л1Л2В2) + (Л2Л3Вз)+ . . . +(nn_^„Bn), (2)
если точки В2, В.,......Вп выбраны так, что векторы
А2В.2, AsB3, ..., An_iBn_l
равны вектору АпВп.
Для доказательства 1 2) используем доказанную в § 6 гл. II
теорему о площади, заметаемой при замкнутом движении
1) См. задачу 15 на стр. 26.
а) Мы намеренно не предлагаем никакого чертежа, чтобы под*
черкнуть общность доказательства. Однако читатель поступит пра-
вильно, если поможет себе самостоятельно сделанным чертежом,
в котором ограничится пяуью, например, точками, взятыми совер-
шенно произвольно,
47
отрезка. Рассмотрим замкнутое перемещение вектора АВ,
’  >
при котором он, начиная от положения вектора Л1В1, рав-
ного вектору АВ, принимает последовательно положения
равных ему векторов
АА> А3В3, ..., АпВп
и возвращается в положение вектора
Согласно упомянутой теореме § 6 имеет место равен-
ство
(AiB1B.2A2)-\~(A.2B.2B3A3')-\- ... + (A-iA-iAA) А
+ (ААА А) = (Bi • • • А) - (А ..Л„). (3)
Разность, стоящая в правой части, равна, очевидно, нулю,
так как в силу равенства всех векторов (/= 1, 2........п)
ориентированный многоугольник ВХВ.2 . . . Вп получается из
многоугольника АХА2 . . . Ап путем параллельного переноса
на вектор АХВХ (см. задачу 14 на стр. 26) и, следовательно,
их площади равны между собой.
Учитывая теперь, что ориентированный четырехугольник
AAA+iA+i есть параллелограмм, противоположные стороны
которого представляют собой равные векторы А{В{ и Ai+1Bi+1,
приходим к выводу:
(А^ВМАМ) = - (А<АШВШВ;) = - 2 (АА+гА+Д
(Z = 1, 2, . . ., п — 1)
(АпВпВхАх) = (АхАпВпВх) = 2 (АхАпВп).
Подставляя эти значения в (3), получим (2), что и требова-
лось доказать.
Замечание. Введем обозначения
^1^2 ~ ®1> АА = ®2> • • • > ^п-1^п = ап-1> АпВп —	'
Тогда согласно условию теоремы
АА ~ АА —  •  — ^п-l^n-l =
и следовательно, формула (2) принимает такой вид:
(А АА) = s («г ап) ап) + s (ая_х, a„). (4)
48
§ 4. Формула для вычисления площади
ориентированного многоугольника
Для простоты изложения начнем с выводах) этой фор-
мулы для ориентированного шестиугольника AlAiAzAlAiA6,
введя для краткости обозначения
= /Мз = «2> й =	ЛбЛ6 = й5-
Используя формулу (8) из гл. I, стр. 18, имеем:
(А И2Л3Л445Л6) = (4Х4243)	(4, А., А 4) ~4~
+ИИЛ)+(ААЛ).	(5)
Используем теперь формулу (2), полагая в ней п — 3 и счи-
тая, что точка В3 есть точка 44; получим:
(414341) = s(«i> а2) + «(«а, «з)-	(6)
Вновь используя формулу (2), но полагая в ней теперь п = 4
и считая, что точка Bi есть точка А5, получим:
(4^445) = s(ap a4) + s(a2, а4) + «(«3> «Л (6')
Аналогичным образом получим:
(4l4646) = s(al, a5) + s(a2, a3) + s(a3, а6) + $(о4, а5). (6")
Подставляя значения (6) в (5), получим, изменив порядок
слагаемых, окончательную формулу
s(at, а2, а3, av аъ) =
= s(at,	a^+s(at, a5)4-
-f-s(a2, a3)-|-s(a2, a4)-f-s(a2, a5) +
+ s(fl3, a4)-|-s(aj, о3)—|—
+ «5).
Аналогичные рассуждения можно, конечно, провести для
ориентированного многоугольника AtA.2 ... Ап с любым числом
вершин. Вводя обозначения 4^+1 = at (i — 1, 2, ..., п — 1),
получим:
(4Х42 ... 4„) = s(at, а2,	=
= S(«t> «2) + S(«l- «з) + «(«1. «4)+- ’ '•+«(«!> «п-1) +
-(-s(a2, а3) + s(а2,	• .-|-s(«.3, On-i)4~
+ 5(°з> c4)~i~• •-+s(fl3>
	+'y(an-2> an-l)- (7)
i) Мы снова ре приводим чертежа (см, предыдущую сноску).
49
Эта формула дает возможность вычислить площадь много-
угольника, если измерены длины всех его сторон (никаких
других расстояний измерять не потребуется) и все его углы *).
В самом деле, площади
s(«v «2)> «(«2> «з)>	S(«n-2> «п-1)
треугольников, построенных каждый на двух смежных сто-
ронах заданного многоугольника, можно измерить (по пра-
вилам, известным из геометрии), так как в каждом из них
известны длины двух сторон и угол между ними — он совпа-
дает с соответствующим углом многоугольника.
Для вычисления же площадей остальных треугольников,
входящих в правую часть формулы (7), нужно только пред-
варительно вычислить углыг-х?бразуемые их сторонами (длины
этих сторон известны — это длины сторон многоугольника).
Это не составит особого труда, хотя и требует некоторого
внимания. Так, например, чтобы измерить площадь s(alt а3)
треугольника PQR (черт. 31), построенного на векторах at
и а3, достаточно предварительно вычислить угол PQR. Не-
сложные геометрические рассуждения покажут, что этот угол
равен, если через а и р обозначить углы многоуголь-
ника AjAq ... Ап при вершинах А2 и А3,
либо 360° — (а Д-р)
либо	а 4- £
либо	р — а
(черт. 31, а),
(черт. 31, б),
(черт. 31, в).
Еще больше возможных случаев возникнет при вычислении
угла между сторонами треугольника, построенного на век-
торах av av но вычисление и этого угла (равно как и
углов во всех остальных треугольниках, входящих в правую
часть формулы (7)) представляет только технические труд-
ности.
Все эти трудности исчезают, однако, если воспользо-
ваться понятием ориентированного угла. Оно рассматри-
вается в школьном курсе тригонометрии. Для читателя,
I) Практическое измерение длины каждой стороны многоуголь-
ника, заданного на местности своими вершинами, производится
с помощью мерной цепи. Вычисление же углов производится с по-
мощью специального прибора — теодолита. Подробности, касающиеся
этих измерений, — в упомянутой выше (стр. 44) книге С, Голицына,
еще не изучавшего тригонометрии, мы изложим это понятие
в следующем § 5; там же мы покажем, как оно исполь-
Черт. 31.
зуется для вычисления
на векторах аг и «ч.
угла в треугольнике, построенном
§ 5. Вычисление ориентированных углов
Углы, образованные сторонами ориентированного много-
угольника, целесообразно, как в этом сейчас убедится чи-
татель, вычислять, учитывая направленность сторон много-
угольника, т. е. принимая во внимание, что стороны ориенти-
рованного многоугольника AtA2 ... Ап представляют собой
векторы
А^А2, •^2-|4з>
51
Поэтому, чтобы оценить угол, образованный, например,
стороной AJA2 = a1 со стороной А2А3 = а2, построим из
какой-либо произвольной точки О векторы, равные этим
сторонам (черт. 32, а и б), и повернем вокруг точки О век-
тор ах до совпадения его направления с направлением век-
тора а2. Если этот поворот производится против часовой
стрелки (черт. 32, а) и угол поворота равен числу ш
(положительное число), то ориентированный угол, соста-
вленный вектором а2 с вектором а2, считают равным
числу ш. Можно, однако, поворачивать вектор at не против,
а по часовой стрелке (черт. 32, а). Этот угол поворота будет,
очевидно, равен о/= 360°—ш (положительное число). Ори-
ентированный угол, составленный вектором а2 с векто-
ром а2, считают тогда равным числу —о/. Таким образом,
один и тот же ориентированный угол — его обозначают
(at, а2)—мы позволяем себе измерять (черт. 32,6) либо
положительным числом <pt, равным числу о>, либо отрица-
тельным числом ф2, равным числу — ш' = <о — 360°. Легко
видеть, что
— о2 = 360°.
Читатель, вероятно, усомнится в целесообразности сделан-
ного условия: измерять один и тот же угол (ах> а2) двумя
разными числами!? Из дальнейшего изложения выяснится,
какую пользу это приносит, но уже теперь обратим вни-
мание на то, что оба эти измерения в некотором смысле
«геометрически равноправны».
В самом деле, если по заданному вектору а2 и по углу
фх мы захотим построить направление вектора а2 (черт. 32, 6),
то мы повернем, очевидно, вектор at против часовой
стрелки на угол = <о; если же мы пожелаем построить
направление вектора а2 по заданному вектору ах и по углу
52
<р2, то мы повернем вектор ах по часовой стрелке на угол
<р2 = ш — 360°. В обоих случаях мы придем, очевидно,
к одному и тому же окончательному направлению (так как
®t = а2-4~ 360°), которое и будет искомым направлением
вектора а2.
-Вряд ли удивится теперь читатель, если узнает, что
ориентированный угол (at, а%) принято измерять также и
числом ®t + 360° • п (оно положительно и соответствует
повороту против часовой стрелки на угол ш —360° п, где
п, — число полных оборотов), а также и числом ш — 360? • т.
(оно отрицательно и соответствует повороту по часовой
стрелке на угол а/360° •/п, где т — число полных обо-
ротов). Легко понять, что если и <h2 — два каких-либо
возможных (полученных указанным выше путем) измерения
ориентированного угла (at, а.2), то
<!<! — % = 360° • k,
где k — целое, положительное или отрицательное число.
§ 6. Вычисление углов между несмежными сторонами
ориентированного многоугольника
Целесообразность введенного нами способа измерения
ориентированного угла, образованного направлениями векто-
ров и а2, станет ясной, когда мы приступим к вычисле-
нию угла между направлениями двух несмежных сторон
многоугольника, например сторон Л1Л2 и A3Ait т. е. между
направлениями векторов at и а3. В самом деле, необходи-
мый для вычисления угла (ах, а3) поворот, совмещающий
направление с направлением а3, можно вычислить не
сразу, а двумя «этапами» (черт. 33): сначала повернуть
вектор до совмещения (по направлению) с вектором а2,
т. е. на угол (ау, а2), а затем повернуть вектор а.2 до со-
вмещения с вектором а3 на угол (а2, а3). Существенно при
этом, что именно в силу принятого нами способа измере-
ния углов (положительным или отрицательным числом)
всегда будет иметь место очень полезное — теоретически и
практически — соотношение
(а^ва) + (а^г3) = (а^"»3).	(8)
53

54
Для полного уяснения справедливости этого правила нахож-
дения угла между двумя несмежными сторонами ориенти-
рованного многоугольника читателю следует самостоятельно
рассмотреть возникающие возможные случаи взаимного рас-
положения векторов alt а2, а3.
Необходимо принять при этом во внимание многознач-
ность символа (ах, а2) и понимать содержание равенства (8)
следующим образом.
Как бы ни были расположены на плоскости три век-
тора alt а2, а.3, (построенные только для наглядности из
одной и той же точки О), число, измеряющее — любым из
возможных способов — ориентированный угол между векто-
рами at и а2, сложенное с числом, измеряющим — также
каким-либо из возможных способов — ориентированный угол
между векторами а2 и а3, дает число (уже вполне опре-
деленное!), которое может служить измерением ориентире*
ванного угла между векторами аг и а3.
Возвращаясь теперь к рассмотрению ориентированного
многоугольника AtA2. . .Ап и обозначая через <р2, ®3, ...
ориентированные углы между его смежными сторонами:
?1 = (ЛА, ЛХ) = (<Ь?«2)> ®2=(<С"«з), •••>
мы получим следующие формулы для вычисления ориенти-
рованных углов между несмежными его сторонами:
(А^42, А^) =	z3) = ?i + ®2>
(А^А2, AtA6) = (йС«4) — (а^а3) + (а^а^) =
(ХХГХХ)=(«СХ)=(ХГХ)+(ХГХ) =
= ?1 + ?з + ?з + ?4«
Аналогичным образом получим:
(а2, «4) = ®2 + ®з,
(°2> а&) — ?2	?3 +
и вообще
(«г> «i+й) — ?i + ?i+l + ?i+2 + • • • + ?i+s -1 •
(9)
55
§ 7. Тригонометрическая формула для вычисления
площади ориентированного многоугольника
Формула (7) может быть преобразована к виду, более
удобному для вычислений, если использовать выражение для
площади ориентированного многоугольника, которое мы
сейчас выведем.
Хорошо известна в тригонометрии формула для пло-
щади S неориентированного треугольника Л^оЛд:
s = ЛХЛ2 • Л2Л3 • sin ф,	(10)
где ф — неориентированный угол при вершине Л2. Обратим
внимание на то, что ориентированный угол между напра-
вленными сторонами ЛХЛ2 и Л2Л3 ориентированного тре-
угольника ЛХЛ2Л3 будет положительным (и меньшим, чем
180°), если его ориентация правая (черт. 34, а), и что этот
Черт. 34.
угол будет отрицательным (и по абсолютной величине мень-
шим, чем 180°), если ориентация треугольника ЛХЛ2Л3 ле-
вая (черт. 34, б). Таким образом,
sin ф = sin (Л1Л2, Л2Л3), если (Л1Л2Л3) > 0;
sin ф = — sin (ЛХЛ2, Л2Л3), если (Л^Лд) < 0.
если (Л^Лз)
Сопоставляя это с формулой (9), мы придем к тригоно-
метрической' формуле для вычисления пло-
щади ориентированного треугольника:
(Л^Л2Л3) = у ЛХЛ2 • Л2Л3 • sin (Л^з, Л2Л3).	(11)
56
Если ввести для краткости обозначения
А1А2 = «1
А2А3 = а2
и если обозначить, как это принято, длины А[Л2 и А2А3
направленных отрезков и а2 через и а2, то мы получим:
s(alt a2) = -|-ata2sin(a1, «а)»
(12)
Возвратимся теперь к формуле (7) и подставим в ее правую
часть вместо слагаемых $(ар ai+s) их выражение по фор-
муле (12).
Учитывая, что угол (ai; oi+s) между i-й и (г й)-й стороной
ориентированного многоугольника AtA2 ,.. Ап определяется
по формуле (9)
(ai> ai+k) = ?i-Ь ?i+l + • • • H-Ti+fc-l
(в которой, напомним, есть ориентированный угол при
вершине Л4), мы придем к окончательной тригонометриче-
ской формуле для вычисления площади ориентированного
многоугольника:
S (О1>	•••’ ®п — 1) —
= <4 [«2 sin + а3 sin (?i + <Р2) + • • • + «п-i sin (Ъ + ... + ?w_2)] -f-
+ °2 [	^3sin^2	+•• b sin (tp2 + ... + <Pn-2)]+
+...........................................................+
+ an-i [	en-i sin Уп-г!-	(13)
Замечание. Напомним, что
основе ранее доказанных теорем,
добивались того, чтобы рас-
суждения, — а следовательно, и
результаты — оставались спра-
ведливыми при любом распо-
ложении заданных точек. По-
этому формула (13) может
быть использована для вычи-
сления площади участка, огра-
ниченного многоугольником
произвольной формы — даже
таким, который изображен на черт.
в
эта формула получена на
которых мы тщательно
Черт. 35.
35. Это обстоятельство
практически важно: при измерении площади приходится,
57
таким образом, позаботиться только о вычислении длин
сторон многоугольника и ориентированных углов
между смежными Сторонами; все остальное в многоуголь-
нике не играет никакой роли!
§ 8. Теоретическое использование формулы,
выведенной для практических целей
Формула (13) возникла в результате поисков решения
практически важной задачи — нахождения целесообразного,
экономного по средствам, не требующего излишних изме-
рений на местности способа вычисления площади участка,
заданного на местности. Успешное решение этой задачи
возникло благодаря тому, что мы применили теоретически
важное (и на первый взгляд чрезмерно абстрактное, как
будто бы совсем «непрактическое» и даже непринятое
в школьной геометрии), понятие ориентированной площади.
В этом частном вопросе проявилось общее положение:
абстрактные понятия теоретической науки (которые иной раз
представляются неопытному человеку «чрезмерно абстракт-
ными») с большим успехом используются для решения прак-
тически важных задач. История науки и в особенности
практика современной нам науки неоднократно подтверж-
дали и подтверждают это положение.
Существенно, однако, и другое обстоятельство, также
способствующее успехам и достижениям в области науки:
решение задач практического характера открывает новые
пути для решения теоретических проблем. Мы не будем,
конечно, здесь заниматься обоснованием этого положения,
но не откажем себе в удовольствии подтвердить его на
примере, возникающем из материала этой книжки; мы
покажем, что практическая формула (13) может быть с
успехом использована для вывода интересного тригонометри-
ческого соотношения, установление которого без помощи
формулы (13) представляется, как нам кажется, затруд-
нительным.
Займемся вычислением площади s правильного «-уголь-
ника, вписанного в окружность единичного радиуса. Эта
задача легко решается средствами элементарной геометрии
и тригонометрии:
s == п
1 . 360°
V sin —-
z П
(14)
58
Применим же теперь к решению этой задачи «практическую
формулу» (13). Обозначив через а длину стороны нашего
многоугольника и учитывая, что все ориентированные углы
между его смежными сторонами равны между собой
/	„	360°\
(каждый из них равен <о = —— I, мы получим:
s = sin —|— sin 2<»	sin 3<о	sin (п — 2) —|—
-(-sinco	sin 2о>	sin (п— 3)<о +
—sin 4- ... f - sin (н — 4) ш -|-
+............................+
-|-sin<o.	(15)
Учитывая, что, как известно,
с • ы
а = 2 sin у,
и подставляя в (15) вместо s его выражение (14), получим
после очевидных преобразований:
Sin (л — 2) о) 2 sin (п — 3) со . -j- (п — 3) sin 2 со -j-
4-(/г — 2)sino> = jctg?, <0 = -—.	(16)
Сумеет ли читатель доказать это тригонометрическое тож-
дество, не используя понятия ориентированной площади?
Лоплииц Абрам Миронович.
Вычисление площадей ориентированных фигур.
Редактор А- П. Разумовская.
Техн, редактор С. Н. Ахламов.
Корректор Г. Г. ^Келтова.
Сдано в набор 28/ХП 1955 г. Подписано к
печати 24/II	1956 г. Бумага 84х108/3а. Физ.
печ.л. 1,87. Условн. печ. л. 3,07. Уч.-изд. л. 2,94.
Тираж 40 000 экз. Т-02419. Цена 90 к.
Заказ № 892.
Государственное издательство
технико-теоретической литературы.
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
Министерство культуры СССР. Главное
управление полиграфической промышленности.
4-я типография им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

31- ’ 1961 W
— керб. коп.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Пы1 I А. И. Маркушевич. Возвратные последователь-
ности.
Выв . И. П. Натансон. Простейшие задачи на максимум
и чиним;, ч
Выл. ... И. С. Соминский. Метод математической индукции.
Вып 4. А. И. Маркушевич. Замечательные кривые.
Вып. 5 П. П. Коровкин. Неравенства.
Вып. 6 Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи.
Вы г 7 А. Г. Курош. Алгебраические уравнения произволь-
ных степеней.
Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений в целых чис-
лах.
Вып. 9. А. И. Маркушевич. Площади и логарифмы.
Вып 10. А. С. Смогоржевскнй. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказа-
тельствах.
Вып 12 И. П. Натансон. Суммирование бескоиечн > малых
величин.
Вып. 13. А. И. Маркушевич. Комплексные числа и конформ-
ные отображение
Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
Вып. 15. И. Р. Шафаревич. О решении уравнений высших
степеней.
Bun. 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.
Вып. 17. В. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование?
Вып. 18. Г. М. Миракьян. Прямой круговой цилиндр.
Вып. 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.
Вып. 20. А. М. Лопшиц. Вычклеине площадей ориентиро-
ванных фигур.