ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 22
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ
РАВНОВЕЛИКИЕ
И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ
ФИГУРЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

11-3-1
Болтянский Владимир Григорьевич.
Равновеликие и равносоставленные фигуры.
Редактор А. Т. Цветков.
Техн. редактор С. Л. Ахламов.	Корректор С. Л. Емельянова.
Сдано в набор 20/IV 1956 г. Подписано к печати 1S/VI 1956 г. Бумага 84 X 108'/aj.
Физ. иеч. л. 2,00. Условн. печ. л. 3,28. Уч.-изд. л. 3,40. Тираж 40 000 экз. Т-04428.
Цена книги 1 р. Заказ № 1675.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, В-71, Б. Калужская, 15
Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграфической промышленности.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова.
Москва, Ж-54, Валов*», 28.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки
посвящен доказательству следующей теоремы, найденной мате-
математиками Бояй и Гервином: если два многоугольника имеют
одинаковую площадь, то один из них можно разбить на
такие части, из которых возможно составить второй
многоугольник. Более краткая формулировка: если два много-
многоугольника равновелики, то они равносоставлены.
Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставлен-
равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разде-
разделена на две главы, в первой из которых изучаются много-
многоугольники, а во второй — многогранники. Сформулированная
выше теорема является одной из основных в первой главе.
Во второй главе наиболее интересна теорема Дена: суще-
существуют многогранники, которые имеют одинаковый объем
(равновелики), но не являются равносоставленными.
Доказательству упомянутых двух теорем, ставших уже
классическими, посвящена книга Вениамина Федоровича Кагана
A869—1953) «О преобразовании многогранников». Эта неболь-
небольшая ярко написанная книжечка пользуется заслуженной
известностью. Вместе с тем, доказательство теоремы Дена в
книге В. Ф. Кагана несколько неэлементарно: оно исполь-
использует понятие о непрерывности, свойства систем линейных
уравнений и т. п.
В последнее время швейцарскими геометрами были по-
получены новые результаты, углубляющие теоремы Бояй — Гер-
вина и Дена. Существование этих новых результатов, а также
тот факт, что книга В. Ф. Кагана стала уже редкостью, побу-
побудили автора написать новую книгу по этому вопросу.
Теоремы Бояй — Гервина и Дена доказаны соответственно
в § 1 и § 5. Приведенные здесь доказательства значительно
отличаются от имеющихся в книге В. Ф. Кагана. В частности,
1*	3

доказательство теоремы Дена Отличается большей элементар-
элементарностью и простотой.
В §§ 2—4, 6 приведены результаты самых последних лет
(они принадлежат Хадвигеру, Глюру, Сидлеру; исключение
составляет теорема, приведенная в § 4, которая, повидимому,
является новой).
Наиболее простыми в книжке являются три-четыре первых
параграфа. Для их понимания требуются знания в объеме
примерно восьми классов средней школы. Вместе с тем, эти
параграфы охватывают единый круг вопросов, связанных с
измерением площадей многоугольников. Изложение материала
в первых трех параграфах построено на основе лекции, прочи-
прочитанной автором для школьников в МГУ, Следующая по труд-
трудности часть книжки — пятый параграф и начало шестого
параграфа. Они требуют знания почти всего школьного
курса геометрии и умения хорошо логически мыслить. Нако-
Наконец, остальная, наиболее трудная часть книжки (мелкий
шрифт) рассчитана в основном на студентов пединститутов и
университетов.
Автор считает своим приятным долгом выразить искрен-
искреннюю признательность И. JVJ. Яглому за дружескую помощь
при окончательной подготовке рукописи.
При работе над книгой были использованы следующие
материалы:
1.	В. Ф. Каган, О преобразовании многогранников, ГТТИ, 1933.
2.	Д. О. Ш к л я р с к и й, Н. Н. Ч е н ц о в и И. М. Я г л о м, Избран-
Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. III, стереомет-
стереометрия, «Библиотека математического кружка», вып. 3, Гостехиздат, 1954.
3.	Н. Н a d w i g е г, P. G 1 u r, Zerlegungsgleichheit ebener. Polygone,
Elemente der Mathematik 6 A951), 97—106.
4.	H. H a d w i g e r, Zum Problem der Zerlegungsgleichheit der Polye-
der, Archiv der Mathematik 2 A949—1950), 441—444.
5.	H. Hadwiger, Zurn Problem der Zerlegungsgleichheit?-dimensio-
naler Polyeder, Mathem. Ann. 127 A954), 170—174.
6.	H. Hadwiger, Erganzungsgleichheit й-dimensionaler Polyeder,
Mathem. Zeits. 55 A952), 292—298.
7.	H. Hadwiger, Zerlegungsgleichheit und additive Polyederfunktio-
nale, Archiv der Mathematik 1 A948—1949), 468—472.
8.	H. Hadwiger, Mittelpunktspolyeder und translative Zerlegungs-
Zerlegungsgleichheit, Mathem. Nachr. 8 A952), 53—58.
В. Болтянский

ГЛАВА1
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
§ 1. Теорема Бояй — Гервина
1. Метод разложения. Рассмотрим две фигуры, изобра-
изображенные на черт. 1 (все отрезки, составляющие фигуру креста,
равны между собой; сторона квадрата равна отрезку АВ).
Пунктирные линии, проведенные на чертеже, разбивают эти
фигуры на одинаковое число равных частей (равные части
I
5/
i
i
Да
,/
>
i
1
1
1
1
/
/
'3
Черт. 1.
обеих фигур отмечены цифрами). Этот факт выражают сле-
следующими словами: фигуры, изображенные на черт. 1, равно-
составлены. Иначе говоря, две фигуры называются равносо-
ставленными, если, определенным образом разрезав одну
из них на конечное число частей, можно (располагая эти
части иначе) составить из них вторую фигуру.
Ясно, что две равносоставленные фигуры равновелики,
т. е. имеют одинаковую площадь. На этом основан простой
способ вычисления площадей, называемый методом разложе-
разложения (или разбиения). Метод этот (известный еще Евклиду,

жившему свыше 2000 лет назад) заключается в следующем:
для вычисления площади пытаются разбить фигуру на конеч-
конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей мож-
можно было составить более простую фигуру (площадь ко-
которой нам уже известна). Напомним известные из школьного-
Черт. 2.
курса геометрии примеры применения этого метода. На черт. 2
дан способ вычисления площади параллелограмма: паралле-
параллелограмм и прямоугольник, имеющие одинаковые основания и
одну и ту же высоту, равносоставлены и потому равновелики ').
М
Чертеж 3 показывает, как можно вычислить площадь тре-
треугольника: треугольник имеет такую же площадь, что и
х) Следует отметить, однако, что такой простой прием (отщепле-
(отщепление одного треугольника) не всегда приводит к цели. В случае, по-
показанном на изображенном здесь чертеже, приходится разбивать парал-
параллелограмм не на две, а на большее число частей, чтобы из этих
частей можно было сложить прямоугольник с теми же осно-
основанием и высотой (см. ниже доказательство леммы 3).

параллелограмм с тем же основанием и вдвое меньшей высо-
высотой (так как эти две фигуры равносоставлены). Наконец,
на черт. 4 изображен прием вычисления площади трапеции.
Черт. 4.
Можно, конечно, рассматривать вопрос о равносоставлен-
равносоставленности и для криволинейных фигур (см., например, черт. 5);
однако здесь такие фигуры рассматриваться не будут г).
В этой главе мы будем иметь дело только с многоугольниками.
Итак, всякие два равносоставленных многоугольника равно-
равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли
Черт. 5.
два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равно-
составлены? Утвердительный ответ на этот вопрос был дан
(почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бояй
A832 г.) и немецким офицером и любителем математики
Гервином A833 г.). К доказательству этой теоремы Бояй —
Гервина мы и переходим.
х) Вопрос об измерении площадей криволинейных фигур сводится
(с помощью предельного перехода) к вопросу об измерении площа-
площадей многоугольников — достаточно вспомнить вычисление площади
круга в школьном курсе геометрии. Поэтому, ограничиваясь изуче-
изучением лишь многоугольников, мы тем не менее рассматриваем основ-
основные наиболее принципиальные вопросы измерения площадей. Подобно
этому в Главе второй изучаются лишь многогранники; вопрос же
о вычислении объемов таких тел, которые имеют криволинейные по-
поверхности, не рассматривается.

2. Теорема Бояй — Гервина. Докажем сначала несколько
Вспомогательных предложений.
Лемма 1. Если фигура А равносоставлена с фигурой В,
а фигура В равносоставлека с фигурой С, то фигуры
А и С также равносоставлены.
Действительно, проведем на фигуре В линии, разбиваю-
разбивающие ее на такие части, из которых можно составить фигуру
А (сплошные линии на черт. 6, а); проведем, кроме того,
Черт. 6.
линии, разбивающие фигуру В на части, из которых можно
составить фигуру С (сплошные линии на черт. 6, б). Те и
другие линии вместе разбивают фигуру В на более мелкие
части, причем ясно, что из этих
более мелких частей можно со-
составить и фигуру А, и фигу-
фигуру С. Таким образом, фигу-
фигуры Л и С равносоставлены.
Лемма 2. Всякий тре-
треугольник равносоставлен с не-
некоторым прямоугольником.
В самом деле, пусть АВ—-
наибольшая сторона треуголь-
треугольника ABC (черт. 7), CD — опущенная на нее высота. Тогда
точка D находится между А п В (иначе один из углов ^/ А или
Д
D ¦
Черт. 7.
В

/_ В был бы тупым, и сторона АВ не была бы наибольшей;
см. черт. 8). Через середину высоты CD проведем прямую,
параллельную АВ, и опустим на эту прямую перпендикуляры
АЕ и BF. Тогда мы получим прямоугольник AEFB, который
равносоставлен с треугольником ABC. Действительно, тре-
треугольники, помеченные на черт. 7 цифрой / (так же как и
треугольники, помеченные цифрой 2),
равны между собой. Каждая же из
фигур ABC, AEFB состоит из заштри-
заштрихованной на черт. 7 трапеции и двух
треугольников /, 2.
Лемма 3. Два параллелограмма,
имеющих общее основание и одинако-
вую площадь, равносоставлены.
Пусть ABCD и ABEF — два па-	ЧеРт- 8.
раллелограмма, имеющих общее осно-
основание АВ и одинаковую площадь. Тогда высоты этих па-
параллелограммов одинаковы, т. е. отрезки DC и FE рас-
расположены на одной прямой. На прямой АВ отложим по-
последовательно ряд отрезков, равных отрезку АВ, н через
А
В
D
Черт. 9.
каждую точку деления проведем прямые, параллельные отрез-
отрезкам AD и AF. Тогда полоса между параллельными прямыми
АВ и DE разобьется на ряд многоугольников (черт. 9).
Каждый из этих многоугольников при сдвиге на отрезок,
равный АВ, совмещается с другим равным ему многоугольни-
многоугольником. (Докажите!) Равные многоугольники на черт. 9 отме-
отмечены одинаковыми цифрами. Остается заметить, что каждый
из параллелограммов ABCD, ABEF содержит одну часть,
ромеченную цифрой /, одну часть, помеченную цифрой 2,

цифрой 3, и т. д. Таким образом, эти параллелограммы
равносоставлены х).
Лемма 4. Два прямоугольника, имеющих равную пло-
площадь, равноеоставлены.
Пусть ABCD и EFQH—два прямоугольника одинаковой
площади. Из четырех отрезков АВ, ВС, EF, FQ выберем
наибольший — пусть это будет, например, отрезок АВ. Про-
Продолжим теперь отрезок HQ за точку Н и на этой прямой
D	С
А	В
Черт. 10.
радиусом, равным АВ, сделаем засечку из точки Е (так как
АВ ^ ЕН, то окружность радиуса АВ с центром в точке Е
будет с прямой HG иметь общую точку). Обозначая получен-
полученную точку через L, будем иметь AB—EL и, отложив отрезок
LK-=EF, мы построим параллелограмм EFKL (черт. 10).
Этот параллелограмм равновелик прямоугольнику EFQH
(и прямоугольнику ABCD). Из леммы 3 следует, что парал-
параллелограммы EFQH и EFKL, имеющие общую сторону EF,
равносоставлены. Но параллелограммы ABCD и EFKL также
имеют одинаковую сторону AB—EL. Поэтому (в силу лем-
леммы 3) они равносоставлены. Наконец, так как параллелограмм
EFKL равносоставлен с каждым из прямоугольников ABCD
и EFGH, то (лемма 1) эти прямоугольники равносоставлены.
Лемма 5. Всякий многоугольник равносоставлен с не-
некоторым прямоугольником.
Всякий многоугольник (безразлично, выпуклый или невы-
невыпуклый) можно разбить на ко-
конечное число треугольников. . ^	?	... —¦д
') Если параллелограммы ABCD, * /2\ ' / 2\ * '^
ABEF, изображенные на черт. 9, / \ / '	„
таковы, что стороны AF и ВС D Г С ?
не пересекаются, то черт. 9 примет
вид, показанный на прилагаемом чертеже, т. е. достаточно отщепить от
параллелограмма ABCD один треугольник, чтобы из получившихся
двух частей можно было составить параллелограмм ABEF (см. сноску
на стр. 6).
10

Обозначим их цифрами /, 2, 3, ... (черт. 11). Возьмем,
далее, произвольный отрезок АВ и в его концах восставим
перпендикуляры АС и BD (черт. 12). Проведем отрезок АгВг,
параллельный АВ, таким образом, чтобы площадь прямо-
прямоугольника АВВ1А1 была равна площади треугольника /. Тогда
треугольник / и прямоугольник ABBYAX (помеченный циф-
цифрой /) равносоставлены. Действительно, треугольник / равно-
составлен с некоторым прямоугольником (лемма 2), который
ШШЕ'ШЖ,
Черт. 11.
Черт. 12.
в свою очередь равносоставлен с прямоугольником /, имею-
имеющим ту же площадь (лемма 4); поэтому (лемма 1) треуголь-
треугольник / и прямоугольник / равносоставлены. Далее, построим
отрезок A2BS, параллельный АВ, таким образом, что прямо-
прямоугольник AJBJi^A^ помеченный цифрой //, равновелик тре-
треугольнику 2. Тогда треугольник 2 и прямоугольник // равно-
составлены. Затем мы построим прямоугольник ///,
равносоставленный с треугольником 3, и т. д. Построенные
прямоугольники /, //, ///, .. . составляют вместе один прямо-
прямоугольник (заштрихованный на черт. 12), который по построе-
построению равносоставлен с исходным многоугольником.
Теперь уже нетрудно доказать упомянутую на стр. 7
теорему.
Теорема Бояй — Гервина. Два многоугольника, име-
имеющих равные площади, равносоставлены.
Доказательство. Согласно лемме 5 каждый из много-
многоугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником.
Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь
и, следовательно, равносоставлены (лемма 4). Таким образом
(лемма 1), два исходных многоугольника равносоставлены.
Замечание. Под «многоугольником» в теореме Бояй—
Гервина не обязательно следует понимать часть плоскости,
11

ограниченную одной замкнутой ломаной линией. Теорема эти
остается справедливой н для более сложных фигур, ограни-
ограниченных несколькими замкнутыми ломаными (такие фигуры
Черт. 13.
изображены на черт. 13). В самом деле, единственным свой-
свойством «многоугольника», которое мы использовали выше (см.
доказательство леммы 5), является возможность разбить его
на треугольники. Но этим свойством обладает и любая фи-
фигура, ограниченная несколькими замкнутыми ломаными (черт. 13).
3. Метод дополнения. Метод разбиения часто заменяют
другим способом вычисления площадей, являющимся в неко-
некотором смысле обратным. Этот способ, называемый методом
дополнения, мы сейчас и рассмотрим. Вместо того чтобы
пытаться разрезать две фигуры на равные части, будем
Черт. 14.
теперь дополнять две фигуры равными частями так, чтобы
получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.
Рассмотрим снова фигуры, изображенные на черт. 1. Они
имеют одинаковую площадь (в силу равносоставленности).
Но равенство площадей этих фигур можно доказать и
по-иному (черт. 14): добавляя и к кресту, и к квадрату по
12

четыре равных треугольника, мы получим одну и ту же
фигуру. Отсюда следует, что исходные фигуры (крест и квад-
квадрат) равновелики.
Метод дополнения можно с успехом применять для дока-
доказательства теорем элементарной геометрии. Например, для
доказательства того, что параллелограмм и прямоугольник,
имеющие одинаковые основа-
основания и высоты, равновелики, до-
достаточно обратиться к черт. 15.
Из этого чертежа видно,
что и параллелограмм, и пря-
прямоугольник могут быть с по-
помощью одного и того же тре-
Черт. 15.
угольника дополнены до одной и той же трапеции. Поэтому
параллелограмм и прямоугольник равновелики 1).
Этим же приемом легко доказать теорему Пифагора.
Пусть ABC—прямоугольный тре-
треугольник. Для того чтобы дока-
доказать, что площадь квадрата /, по-
построенного на гипотенузе, равна
сумме площадей квадратов // и ///,
А
Л
С
/ . 1
\
ж
Ч. 2
ж
ж
1 /
/j
Черт. 16.	Черт. 17.
построенных на катетах (черт. 16), достаточно обратиться к
черт. 17. На этом чертеже показано, что как квадрат /, таки
г) Этот способ вычисления площади параллелограмма предпочти-
предпочтительнее, чем обычно применяемый прием (черт. 2). Действительно,
способ, изображенный иа черт. 15, применим всегда в отличие от при-
приема, изображенного на черт. 2 (см. сноску на стр. 6).
13

вместе взятые квадраты //и /// могут быть'дополнены четырьмя
треугольниками, равными треугольнику ABC, до одной и той
же фигуры, а именно, до квадрата, сторона которого равна сумме
катетов. Этим теорема Пифаго-
Пифагора доказана. Для сравнения при-
приведем чертежг) к доказатель-
доказательству теоремы Пифагора при
помощи метода разложения
(черт. 18).
Условимся называть два
многоугольника равнодополняе-
мымп, если, прикладывая к тому
и другому одни и те же мно-
многоугольники, можно получить
две одинаковые фигуры. Ясно,
что равнодополняемые фигуры
имеют одинаковую площадь.
Естественно поставить обрат-
обратный вопрос: всякие ли два
одинаковую площадь, равнодо-
ответ на этот вопрос легко
Черт. 18.
многоугольника, имеющих
полняемы? Утвердительный
получить из теоремы Бояй — Гервина.
Черт. 19.
Теорема. Два многоугольника, имеющих равные пло-
площади, равнодополняемы.
Доказательство. Пусть А и В— два многоугольника,
имеющих одинаковую площадь. Возьмем два одинаковых квад-
квадрата настолько больших размеров, чтобы внутри них можно
г) Этот чертеж заимствован из цитированной в предисловии книги
Д. О. Шклярского и др. (см. стр. 188).
14

было расположить многоугольники А к В. Вырезав из одного
квадрата многоугольник А, а из другого — многоугольник В,
имеющий такую же площадь, мы получим две равновеликие
фигуры С и D (заштрихованные на черт. 19). Из равенства
площадей фигур С и D вытекает их равносоставленность
(в силу теоремы Бояй — Гервина). Таким образом, фигуры С и
D можно разрезать на попарно равные части, а это и озна-
означает равнодополняемость многоугольников А к В.
Теоремы этой главы показывают, что равносостав-
равносоставленность и равнодополняемость означают для
плоских многоугольников в точности то же самое, что и
равновеликость. Как мы увидим в главе II, в простран-
пространстве (при рассмотрении многогранников) дело обстоит совер-
совершенно иначе.
§ 2. Теорема Хадвигера — Глюра
Теорема Бояй — Гервина показывает, что понятия равнове-
ликости и равносоставленности для многоугольников равно-
равносильны. Эта теорема открывает ряд возможностей для даль-
дальнейшего исследования. В частности, возникает интересный
вопрос: нельзя ли наложить какие-то дополнительные условия
на число или расположение тех частей, из которых составляются
равновеликие многоугольники? Замечательный результат такого
рода был получен в 1951 году швейцарскими математиками
Хадвигером и Глюром. Они
установили, что в теореме
Бояй — Гервина можно еще
дополнительно потребовать,
чтобы части, на которые раз-
разрезан один из двух равно-	Черт. 20.
великих многоугольников, и
равные им части второго многоугольника имели соответ-
соответственно параллельные стороны. На первый взгляд этот
результат кажется неправдоподобным: трудно поверить, что
два равных треугольника, повернутых друг относительно друга
на произвольный угол (черт. 20), всегда можно разбить на
равные части с соответственно параллельными сторонами. Тем не
менее, такое разбиение существует и не только для треуголь-
треугольников, но и для произвольных равновеликих многоугольников.
Доказательству этого факта и посвящен настоящий параграф.
15

1. Движения. Обратимся снова к доказательству теоремы
Бояй — Гервина, изложенному в предыдущем параграфе. При
доказательстве леммы 3 (черт. 9) мы разбили параллело-
параллелограмм ABCD на несколько частей (помеченных цифрами
/, 2, 3, ...), из которых оказалось возможным составить
параллелограмм ABEF. Из черт. 9 видно, что для составле-
составления параллелограмма ABEF достаточно воспользоваться парал-
параллельными переносами частей, т. е. достаточно сдвинуть
каждую часть на некоторый отрезок, не поворачивая ее при
этом 1). В частности, равносоставленность двух параллелограм-
параллелограммов, изображенных на черт. 2, устанавливается с помощью
параллельного переноса.
Для установления равносоставленности фигур, изображен-
изображенных на черт. 3 или 4, уже не достаточно одних параллель-
параллельных переносов, однако легко показать равносоставленность
этих фигур, пользуясь, кроме параллельных переносов, еще
центральными симметриями). Действительно, заменив (с по-
помощью центральной симметрии относительно точки О) тре-
треугольник BOD треугольником СОЕ (черт. 3), мы получим
параллелограмм ADEC, который затем с помощью параллель-
*) Напомним определение параллельного переноса. Пусть PQ —
направленный отрезок (вектор); направление его отмечено на черт. 21
стрелкой. Взяв произвольную точку М,
проведем из нее отрезок ММ, равный и
параллельный отрезку PQ и направлен-
направленный в ту же сторону; мы будем говорить,
что точка М (конец этого отрезка) по-
получается из точки Мс помощью парал-
параллельного переноса на отрезок
PQ. Применив ко всем точкам некоторой
фигуры F параллельный перенос иа от-
q 21	резок PQ, мы получим новую фигуру F',
Р '	о которой также будем говорить, что оиа
получается из F с помощью парал-
параллельного переноса на отрезок PQ. Ясно, что для обратного пере-
перехода от фигуры F' к F нужно применить параллельный перенос
на отрезок QP, совпадающий с отрезком PQ, ио имеющий обратное
направление. Заметим, что переход от фигуры F к той же самой
фигуре F также следует рассматривать как параллельный перенос
(перенос на «нулевой отрезок»).
") Напомним определение центральной симметрии. Пусть О — не-
некоторая точка (центр симметрии). Если АА' — отрезок, середина кото-
которого находится в точке О, то его концы An А' называются симмет-
симметричными относительно центра О. Заменяя все точки некоторой фи-
фигуры F центрально симметричными им точками, мы получаем новую
фигуру F'. Фигуры F и F' называются центрально симметричными
друг другу (относительно центра О). Переход от одной из этих фигур
к другой называется центральной симметрией (черт. 22).
16

ного переноса можно совместить с параллелограммом KLMN-
Аналогично доказывается равносоставленность фигур, изобра-
изображенных на черт. 4. При доказательстве леммы 2 мы также
пользовались центральной симметрией (черт. 7).
Вспомним теперь доказательство леммы 4 (черт. 10).
Доказательство равносоставленности прямоугольников ABCD
и EFGH проводилось в два приема: сначала мы заметили, что
прямоугольник ЯРО/Уравносоставлен с параллелограммом EFJ{L,
а затем установили равносоставленность последнего с прямо-
прямоугольником ABCD. Равносоставленность фигур EFGH и EFKL
может быть установлена с помощью одних только параллель-
параллельных переносов (в силу леммы 3, ибо параллелограммы EFGH
и EFKL имеют общее основание). Параллелограммы же ABCD
и EFKL, хотя и имеют равные стороны AB = EL, но рас-
расположены так, что эти стороны не параллельны, и для при-
применения леммы 3 нужно сначала повернуть параллелограмм
EFKL, сделав сторону EL параллельной АВ. Таким образом,
приведенное выше доказательство леммы 4 использует п о-
ворот фигуры EFKL (а значит, и всех частей, на которые
была разбита эта фигура) на некоторый угол.
Мы видим, что в большинстве рассмотренных в первом
параграфе случаев достаточно для установления равносостав-
равносоставленности фигур воспользоваться только центральными симмет-
рияыи и параллельными переносами. Исключение составляет
лемма 4, для доказательства которой пришлось применить
поворот фигуры на некоторый угол. Естественно возникает
вопрос: нельзя ли и при доказательстве леммы 4 обойтись
без применения поворота? Можно ли, вообще, доказать равно-
равносоставленность двух любых равновеликих многоугольников,
не пользуясь поворотом составных частей, т. е. применяя
только центральные симметрии и параллельные переносы? Для
ответа на эти вопросы нам нуж-
нужно будет изучить некоторые
свойства движений.
Параллельный перенос, цеп-
тральная симметрия, поворот *)
являются примерами д в н ж е-
н и й. Произвольное движение
¦А'
Черт. 22.
*) Центральная симметрия яв-
является частным случаем поворота:
для того чтобы заменить некоторую
фигуру центрально симметричной, достаточно повернуть ее вокруг
центра симметрии на 180° (черт. 22).
2 В. Г. Болтянский

можно представлять себе следующим образом: некоторая фи-
фигура F «вынимается» из своей плоскости и переносится «как
твердое целое» в новое положение F'; тогда переход от фигуры F
к фигуре F' и называется движением1) (черт. 23). Движения
мы будем обозначать малыми бук-
буквами.
Для каждого движения d имеет-
имеется обратное движение, заключа-
заключающееся в том, что каждая фигура
из своего нового положения, в
которое она перешла в результате
движения d, переходит на прежнее
1ерт. 23.	место. Например, для параллель-
параллельного переноса на отрезок PQ об-
обратным движением является параллельный перенос на отре-
отрезок QP (направленный в обратную сторону). Для централь-
центральной симметрии относительно точки О обратным движением
является эга же самая симметрия. ¦ Мы сформулируем эти
утверждения в виде отдельной леммы.
Лемма 6. Если движение d является параллельным
переносом или центральной симметрией, то обратное ему
движение также представляет собой параллельный пере-
перенос или центральную симметрию.
Движения можно выполнять последовательно одно за дру-
другим. Например, мы можем сначала совершить параллельный
перенос на некоторый отрезок (первое движение), а затем —
центральную симметрию относительно некоторой точки (вто-
(второе .движение). Если мы сначала произведем движение dlt
а затем — движение <з?2, то получим в итоге новое (резуль-
(результирующее) движение, которое обозначим2) через d1-d2; оно
называется произведением движений йг и d%.
Лемма 7. произведение двух центральных симметрии
с центрами О1 и О2 есть параллельный перенос на отре-
отрезок 2О,О2.
*) Здесь идет речь о движении одной фигуры (фигуры F). Часто
бывает удобнее, говоря о движении, иметь в виду движение всей
плоскости (со всеми имеющимися в этой плоскости фигурами). На-
Например, «параллельный перенос на отрезок PQ» может быть применен
к любой фигуре в плоскости, т. е. он представляет собой движение
всей плоскости; «центральная симметрия относительно цент-
центра О» также есть движение всей плоскости, и т. д.
2) Иногда бывает удобнее обозначать результат последовательного
применения движений dx и rf2 не через d^d^ а через йг-йг
18

В самом деле, пусть А'— точка, симметричная точке А
относительно точки Ох, а А"—точка, симметричная точке А'
относительно точки О2. Тогда O1Oi есть средняя линия тре-
треугольника1) АА'А", т. е. отрезок АА" параллелен отрезку
OjO2, но имеет вдвое большую длину (черт. 24). Таким
образом, при параллельном переносе на отрезок PQ = 2O1O2
произвольная точка А переходит в ту же самую точку А",
в которую она переходит при последовательном выполнении
центральных симметрии с центрами Ov О2.
Лемма 8. Произведение трех центральных симметрии
с центрами Ov О2, О3 есть центральная симметрия.
Действительно, пусть О — такая точка, что отрезки ОгОг
и OOS равны, параллельны и одинаково направлены (черт. 25).
Тогда произведение симметрии с центрами Olt О2 совпадает
с произведением симметрии, имеющих центры О, О3 (ибо и
то, и другое произведения представляют собой в силу леммы 7
параллельный перенос на отрезок 2ОгО2 = 2ОО3). Таким
образом, вместо трех симметрии с центрами Ot, O2, О3 мы
можем перемножить симметрии с центрами О, О3, О3, что
дает, очевидно, одну симметрию относительно центра О (ибо
в результате последовательного выполнения двух симметрии
относительно одного и того же центра О3 каждая точка
попадает на прежнее место).
Лемма 9. Если каждое из двух движений dlt йг яв-
является параллельным переносом или центральной, симмет-
симметрией, то их произведение d1-di представляет собой парал-
параллельный перенос или центральную симметрию.
Действительно, так как параллельный перенос сводится
к двум центральным симметриям (это легко следует из леммы 7),
то два указанных в лемме движения сводятся к двум, трем
г) Если точка А лежит на прямой ОгОг, то точки А, А', А" лежат
на одной прямой, т. е. не образуют треугольника. Однако рассужде-
рассуждения остаются верными и в этом случае.
2*	19

или четырем снмметриям. Но две симметрии дают параллель-
параллельный перенос (лемма 7), три симметрии сводятся к одлой
(лемма 8), а четыре симметрии сначала можно свести к-двум
(ибо три — к одной), а затем заменить эти две симметрии
параллельным переносом. Во всех случаях произведение ока-
зывается либо центральной симметрией, либо переносом.
2. Теорема Хадвигера — Глюра. Будем говорить, что два
многоугольника S-равносоставлены х), если их равносоставлен-
равносоставленность можно установить с помощью одних только парал-
параллельных переносов и центральных симметрии. Иначе говоря,
многоугольники S-равносоставлены, если один из них можно
разбить на конечное число частей Мг, Л12, Л13, ..., а дру-
другой— на такое же число соответственно равных частей
М[, М'2! М'ъ, ..., причем многоугольники Мг и М'г получа-
получаются друг из друга с помощью параллельного переноса или
центральной симметрии; то же справедливо для Мг и М',
для Мг и М'г и т. д.
Мы переходим к доказательству теоремы о том, что два
равновеликих многоугольника всегда являются S-равносо-
ставленными. Доказательство ее вполне аналогично доказа-
доказательству теоремы Бояй — Гервпна и опирается на похожие
леммы.
Лемма 1а. Если А и С—два многоугольника, каждый
из которых S-равносоставлен с многоугольником В, то А
и С также S-равносоставлены.
Действительно, проведем на фигуре В линии, разбиваю-
разбивающие ее на такие многоугольники, из которых можно (с по-
помощью переносов и симметрии) составить фигуру А; проведем,
кроме того, линии, разбивающие фигуру В на многоуголь-
многоугольники, из которых можно (с помощью переносов и симметрии)
составить фигуру С (черт. 26). Те и другие линии вместе
разбивают фигуру В на более мелкие части, причем ясно,
что из этих более мелких частей можно (с помощью переносов и
симметрии) составить и фигуру А, и фигуру С. Таким образом,
фигуры А и С окажутся некоторым образом разбитыми на
части. Обозначим части, из которых состоит фигура В, через
М[, М'г, М[, . ..; соответствующие части фигуры А обозна-
обозначим через М17 /И2, М3, ..., а соответствующие части фи-
фигуры С—через М[, М", М, ... Каждый из многоугольников
Mi и М[ получается из М[ с помощью параллельного пере-
переноса или центральной симметрии. Отсюда следует (лемма 6),
г) Смысл этого термина глубже раскрывается в § 4»
20

что М[ получается из Mt с помощью параллельного переноса
или центральной симметрии, а потому (лемма 9) многоуголь-
многоугольник М[ получается из М1 с помощью параллельного переноса
или центральной симметрии. Аналогично, многоугольник М'г
получается из Ж2 с помощью переноса или симметрии; то же
верно для М3 и М3, и т. д. Таким образом, фигуры А и С
являются 5-равносоставленпымн.
Черт. 26.
Заметим, что только здесь используются рассмотренные
выше свойства симметрии и переносов (леммы 6 и 9).
Лемма 2а. Всякий треугольник S-равносоставлен с не-
некоторым прямоугольником.
См. доказательство леммы 2 §1 (стр. 8). Треугольники,
помеченные на черт. 7 цифрой /, получаются друг из
друга с помощью симметрии относительно центра О, а тре-
треугольники, помеченные цифрой. 2,— с помощью симметрии
относительно центра О'. Наконец, заштрихованная на
черт. 7 трапеция остается на месте, т. е. к ней применяется
параллельный перенос на «нулевой отрезок». Итак, фигуры
ABC и ABFE, изображенные на черт. 7, являются 5-равно-
составленными.
Лемма За. Два равновеликих параллелограмма, осно-
основания которых равны и параллельны, S-равносоставлены.
Действительно, с помощью параллельного переноса можно
совместить равные основания параллелограммов, после чего
останется повторить доказательство леммы 3 §1 (стр. 9):
части, помеченные на черт. 9 одинаковыми цифрами, полу-
получаются друг из друга с помощью параллельных переносов.
21

Лемма 4а. Два прямоугольника, имеющих равную
площадь, S-равносоставлены.
Доказательство леммы 4 § 1 здесь непригодно, так как
в нем применяется поворот (см. стр. 17). Поэтому мы рас-
рассмотрим новое доказательство.
Пусть ABCD и A'B'C'D'—два равновеликих прямоуголь-
прямоугольника. Построим параллелограмм ABfiJD, равновеликий обоим
прямоугольникам, который имеет с прямоугольником ABCD
общую сторону AD н имеет сторону АВХ, параллельную
одной из сторон прямоугольника ABCD' (черт. 27, а). Тогда
\
а, о
С, D'
Д
С2 Ct D'
Черт. 27.
D'
С. П'
С"
С
параллелограммы ABCD и ABfiJD являются 5-равносостав-
ленными (лемма За). Далее, построим прямоугольник ABfiJD^
равновеликий первоначальным прямоугольникам и имеющий
с параллелограммом AB?XD общую сторону АВ1. Тогда фи-
фигуры ABfiJD и AB1C2D1 являются 5-равносоставленными
(черт. 27, б). При этом стороны прямоугольников AB1C2D1 и
A'B'C'D' соответственно параллельны. Наконец, с помощью
параллельного переноса наложим прямоугольник AB1CiD1 на •
A'B'C'D' так, чтобы точка А совпала с А', а сторона ADt
пошла по A'D'. Мы получим прямоугольник A'B'C'D", имею-
имеющий с прямоугольником A'B'C'D' общий угол А' (черт. 27, g).
Так как в этом построении мы каждый раз переходили от
одного параллелограмма к другому, 5-равносоставленному
с первым, то в силу леммы 1а мы получаем прямоугольник
A'B'C'D"', S-равносоставленный с первоначальным прямоуголь-
22

ником ABCD. Остается доказать S-равносоставленноСть полу-
полученного прямоугольника A'B"C"D" с прямоугольником A'B'CD'.
Будем при этом для определенности считать, что А'В"~^>А'В
(и потому A'D"<A'D'). Проведем отрезки В"П, B'D", СС"
и покажем, что они параллельны между собой (черт. 28).
Действительно, из равенства площадей мы получаем:
А'В' ¦ A'D' = А'В" ¦ A'If,	A)
откуда, вычитая из обеих частей равенства произведение
A'D"-АВ', имеем:
A'B'-D'D" — A'D"-B'B"
или
A'B'-OC = A'D".OC".	B)
Записав равенства A) и B) в виде пропорций, получаем:
А'В': A'D" = А В": A'D' — ОС": ОС.
Таким образом, прямоугольные треугольники A'B'D
A'B'D', OCC" подобны. Отсюда следует, что /A'D"B'=
=/A'D'B"' = /ВСС', и потому отрезки B'D', B'D", C'C
параллельны между собой.
Черт. 29.
Обозначим точки пересечения отрезка B'D' с отрезками
ВС и CD" через М и N. Тогда /\B"C"N — ДMCD {В"С" = МС
и C"N±=CD', так как B"C"Q'M n NC'C'D'— параллелограммы).
Далее, параллелограммы B'B'ND" и B'MD'D" равновелики и
имеют общее основание B'D", так что в силу леммы За они
S-равносоставлены. Наконец, треугольник A'B'D" принадлежит
обоим прямоугольникам A'B'CD' и A'B"C"D". Итак, из полу-
полученного разбиения каждого из этих прямоугольников на три
части (черт. 29) мы заключаем, что они S-равносоставлены
(части, помеченные цифрами / и 3, соответственно равны
и получаются друг из друга с помощью параллельного пере-
переноса, а параллелограммы, помеченные цифрой 2, S-равно-
S-равносоставлены).
23

Лемма 5а. Всякий многоугольник S-равносоставлен с
некоторым прямоугольником.
Теорема Хадвпгера — Г л ю р а. Два многоугольни-
многоугольника, имеющих равные площади, S-равносоставлены.
Доказательства леммы 5а и теоремы Хадвпгера — Глюра по-
получаются дословным повторением доказательств леммы 5 и
теоремы Бояй — Гервнна с той только разницей, что вместо
«равносоставлены» следует говорить «S-равносоставлены», а
вместо ссылок на леммы 1, 2, ... следует иметь в виду
ссылки на леммы 1а, 2а, . . .
Из доказанной теоремы Хадвпгера—Глюра непосредственно
вытекает, что равновеликие многоугольники можно разбить
на части с соответственно параллельными сторонами (см. на-
начало этого параграфа). В самом деле, если А и В—равно-
В—равновеликие многоугольники, то один из них можно разбить на
такие части, из которых, пользуясь только параллельными
переносами и центральными симметриями, можно составить
второй многоугольник. Остается заметить, что если два
многоугольника получаются друг из друга с помощью парал-
параллельного переноса (черт. 21) или центральной симметрии
(черт. 22), то их стороны соответственно параллельны.
§ 3. Равносоставленность и понятие
аддитивного инварианта
После доказательства теоремы Хадвигера—Глюра естест-
естественно возникает вопрос: нельзя ли разбить любые два равно-
равновеликих многоугольника на части, получающиеся друг из
друга с помощью одних параллельных переносов?
Иначе говоря, не является ли излишним применение симметрии
в предыдущем параграфе? Рассмотрению этого вопроса и
посвящен настоящий параграф. Мы увидим, что »н е всякие
два многоугольника одинаковой площади можно разбить на
части, получающиеся друг из друга с помощью параллельных
переносов; в частности, треугольник и равновеликий ему
параллелограмм не допускают такого разбиения на части.
Для установления этих фактов будет применяться опреде-
определяемое ниже понятие аддитивного инварианта. Это
понятие найдет свое применение и в последующих пара-
параграфах.
I. Аддитивный инвариант Jt(M). Пусть М—произволь-
М—произвольный многоугольник. На каждой его стороне отметим стрелкой
такое направление, что, идя по этой стороне в указанном
24

направлении, мы будем вблизи этой стороны слева видеть
точки, принадлежащие рассматриваемому многоугольнику, а
справа—точки, не принадлежащие ему1) (черт. 30).' Выберем,
далее, некоторую направленную прямую I, т. е. прямую, на
которой стрелкой отмечено направление. Обозначим через
Jt (Ж) алгебраическую сумму длин всех сторон многоуголь-
многоугольника М, параллельных прямой /, причем те стороны, которые
одинаково направлены с прямой / (стороны АВ, DE и FQ
на черт. 31), возьмем со знаком -[-, а те стороны, которые
имеют противополож-
противоположное направление (сторона
KL на черт. 31), возьмем
со знаком —. Если же сто-	/ ./?/////////h4//////////hH
Черт. 30.
рон, параллельных прямой/, у многоугольника М не оказалось,
то число Jt (M) считается равным нулю. Число У, (Ж) будем
называть аддитивным инвариантом (причина такого назва-
названия выясняется ниже).
Важность инварианта Jt (M) для вопроса о равносоставлен-
равносоставленности многоугольников становится ясной из теоремы, к фор-
формулировке которой мы переходим.
2. /'-равносоставленность. Будем называть два много-
многоугольника Т-равносоставленными, если их равносоставлен-
равносоставленность может быть установлена с помощью одних только
параллельных переносов (ср. стр. 20).
Теорема. Пусть А и А'—два многоугольника, а I —
направленная прямая. Если Jl(A)=^=Jl(A'), то многоуголь-
многоугольники А и А' не являются Т-равносоставленными.
*) Если мы будем одну за другой проходить стороны многоуголь-
многоугольника, двигаясь в указанных стрелками направлениях, то мы обойдем
весь контур многоугольника и вернемся в исходную точку. В этом
случае говорят, что мы совершили обход контура многоугольника
против часовой стрелки.
25

Доказательство этой теоремы мы рассмотрим ниже, а
сейчас отметим одно простое следствие, вытекающее из нее.
Пусть Д — треугольник, а Р—равновеликий ему параллело-
параллелограмм (основание параллелограмма параллельно основанию
треугольника, черт. 32). Выберем прямую / параллельной
основаниям треугольника и параллелограмма и определим
знаки сторон согласно указанному выше правилу (черт. 32).
Черт. 32.
Черт. 33.
Тогда мы найдем: J[(P)—0, 7г(Д)=^0, так что Jt{l
и потому фигуры Р и Д не являются Г-равносоставленными.
Не являются Г-равносоставленными также равные треуголь-
треугольники, изображенные на черт. 33.
Переходим к доказательству сформулированной здесь
теоремы.
3. Свойства инварианта Jt(M).
Лемма 10. Пусть I—направленная прямая, а М и
М—два многоугольника, получающихся друг из друга с
помощью параллельного переноса. Тогда Jl(M) — Jl(M).
Иначе говоря, число Jx не изменяется при парал-
параллельном переносе; отсюда — название инвариант, что озна-
означает неизменный.
Утверждение этой леммы очевидно (при параллельном
переносе многоугольника длины его сторон и их направле-
направления не меняются).
Лемма 11. Пусть I—направленная прямая, а А — не-
некоторый многоугольник, разбитый на конечное число мно-
многоугольников Мх, Мг, ..,, Mk. Тогда
Jx (А) = У; (Mt) -f- Jt {Мг) -f- ... -f- Jt {Mk).	C)
Иначе говоря, если многоугольник А составляется из не-
нескольких меньших многоугольников, то его инвариант полу-
получается из инвариантов этих составляющих многоугольников
при помощи сложения; отсюда — название аддитивный инва-
инвариант (от слова addition — сложение).

Доказательство. Рассмотрим все отрезки, являющиеся
сторонами многоугольников А, Мг, Ж2, ..., Мк. Отметим на
этих отрезках все точки, являющиеся вершинами многоуголь-
многоугольников А, Мг, Мг, ..., Mk. Тогда мы получим конечное число
более мелких отрезков, которые будем называть звеньями.
Каждая сторона каждого из многоугольников А, М,, Мг, . ..
..., Mk состоит из одного или нескольких звеньев. На черт. 34
е
Черт. 34.
изображено разбиение много-
многоугольника на более мелкие части.
Сторона АВ состоит из трех
звеньев AM, MN, NB; из трех
звеньев состоит также сторона
NP заштрихованного на чертеже
многоугольника.
Заметим, что для вычисления
инварианта 7г (А) многоугольни-
многоугольника А (или любого из многоуголь-
многоугольников Мг, М2, ..., Mk) можно
взять алгебраическую сумму не
сторон, а звеньев, парал-
параллельных прямой /, так как длина
каждой стороны равна сумме
длин составляющих ее звеньев. Поэтому для вычисления
суммы, стоящей в правой части соотношения C), нужно соста-
составить алгебраическую сумму длин всех звеньев, параллельных
прямой /, причем эти звенья нужно учитывать по всем мно-
многоугольникам Мг, М2, ..., Mk.
Рассмотрим некоторое звено, которое целиком (кроме,
может быть, концов) расположено внутри многоугольника Л
(звено EF на черт. 34). Тогда к нему примыкают два мно-
многоугольника из числа многоугольников Mlt M2, ..., Mk, при-
причем они примыкают к рассматриваемому звену с разных
сторон (один — справа, другой — слева). Поэтому при вычис-
вычислении инварианта одного многоугольника рассматриваемое
звено войдет с одним знаком, а при вычислении инварианта
другого многоугольника — с противоположным знаком, и в
общей алгебраической сумме звеньев эти два члена взаимно
уничтожатся. Мы видим, что при вычислении правой части
соотношения C) можно совсем не учитывать звеньев, распо-
расположенных внутри многоугольника А.
Рассмотрим теперь некоторое звено, расположенное на
контуре многоугольника А и параллельное прямой / (звено
AM на черт. 34). К нему примыкает только один из много-
27

угольников /Mj, Мг, ..., ЖА, причем с той же стороны,
с какой примыкает к рассматриваемому звену многоугольник А.
Следовательно, это звено войдет в сумму J; {МЛ -\- Jt (Мг)-\-. . .
. . . -\-Jl(Mk) с тем же знаком, что и в инвариант J%{A).
Итак, правая часть соотношения C) равна Jl{A), т. е.
формула C) справедлива.
Теперь уже нетрудно доказать теорему, сформулирован-
сформулированную на стр. 25. Действительно, пусть Jl(A)=^=Jl(A'), и при
этом (вопреки утверждению теоремы) многоугольники А и А'
являются 7-равносоставленными. Это означает, что А можно
составить из таких многоугольников Mv Л42, . . ., Mk, а В — из
таких многоугольников М[, М'г, ..., Мк, что Мг и М[ полу-
получаются друг из друга с помощью параллельного переноса; то
же справедливо для М2 и М', и т. д. Тогда согласно лемме 10
мы получаем:
Ji(Щ) = h№, Jt(Ж2) = Jz(M't), ..., Jl(Mk) = Jt{M'k), D)
а согласно лемме 11
Из D) и E) следует Jl(A) = Jl(A'), что противоречит усло-
условию. Таким образом, при выполнении неравенства Уг(Л)^=
=?./1(А') многоугольники А и А' не могут быть Г-равно-
составленными.
4. Центрально симметрич !ые многоугольники. Теорему,
доказательство которой было выше изложено, можно сфор-
сформулировать еще следующим образом: два многоугольника А
и А' только в том случае могут быть 7-равносостав-
7-равносоставленными, если для любой прямой / имеет место равенство
Jt (A) = Jt (А1). Иначе говоря, для Г-равносоставлеиности
многоугольников Л и А' необходимо выполнение равенств
Jl{A) = Jl(A'j. Можно доказать, что это условие является
также и достаточным, т. е. что имеет место следующее
предложение г).
Теорема. Если равновеликие многоугольники А и А'
таковы, что для любой направленной прямой I имеет
место равенство Jt (А) = /г (А'), то многоугольники А и А'
являются Т-равносоставленными.
*) Доказательство имеется в совместной работе Хадвигера и
Глюра, указанной в предисловии.
28

Поставим теперь следующую задачу: найти все выпук-
выпуклые многоугольники, 7-равносоставленные с квадратом.
Легко видеть, что для квадрата Q инвариант Jt (Q) равен
нулю, какова бы ни была прямая / (случай, когда прямая I
параллельна одной из сторон квадрата, изображен на черт. 35;
если же прямая / не параллельна ни одной стороне квадрата,
то Jl(Q) = 0 в силу определения числа 7,(Q)). Поэтому наша
задача может быть сформулирована следующим образом: найти
,' Д
Черт. 35.
Черт. 36.
Черт. 37.
все выпуклые многоугольники, у которых инвариант Jt равен
нулю для любой прямой /. Пусть М—многоугольник, обла-
обладающий этим свойством, АВ—одна из его сторон, а /—пря-
/—прямая, параллельная АВ. Тогда многоугольник М должен иметь
еще сторону, параллельную АВ (так как иначе было бы
Jl (AT) = АВ ^> 0, см. черт. 36). Если эту параллельную пря-
прямой АВ сторону') обозначим через PQ, то будем иметь
(черт. 37) Jl(M) = AB—PQ, а так как число Jt(M) должно'
быть равно нулю, то AB=PQ. Итак, для каждой стороны
многоугольника М имеется равная и параллельная ей («про-
(«противоположная») сторона, откуда легко следует, что много-
многоугольник /И центрально симметричен. Ясно также,
что и обратно: если многоугольник М центрально симметри-
симметричен, то дли любой прямой / инвариант Jt (M) равен нулю.
Таким образом, для Т-равносоставленности выпуклого
многоугольника с квадратом необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы этот многоугольник был центрально сим-
симметричен.
Мы получили этот результат, опираясь на сформулирован-
сформулированную (и не доказанную) на предыдущей странице теорему.
г) Так как многоугольник М— выпуклый, то он пе может иметь
больше двух сторон, параллельных прямой I.
29

Однако, руководствуясь черт. 38, читатель легко докажет
(без использования этой теоремы), что центрально симметрич-
симметричный многоугольник можно (разбив на части и применяя па-
Черт. 38.
раллельные переносы) превратить в несколько параллелограм-
параллелограммов, а затем (см. доказательство леммы 3) — в квадрат.
§ 4. Равносоставленность и понятие группы
В § 2 мы говорили о движениях плоскости. Обозначим
через D все множество движений; каждое отдельное движе-
движение будем называть элементом этого множества D. Напри-
Например, каждый параллельный перенос (или каждая центральная
симметрия) является элементом множества О. Для каждых
двух движений определено их произведение, т. е. мно-
множество D обладает следующим свойством.
Свойство 1. Для каждых двух элементов dlt d%
множества D определено их произведение dt-d2, которое
также является элементом этого же множества D.
Среди движений есть одно, играющее особую роль.
Это — движение, оставляющее все фигуры на своем, месте,
движение, заключающееся, если можно так выразиться, в
«отсутствии всякого движения». Мы будем обозначать это
движение буквой е и называть тождественным движением.
Оно обладает тем свойством, что для любого движения d
произведения d-e и e-d совпадают с d:
В самом деле, если мы сначала применим е (оставим все фигуры
на месте), а потом применим d, то это как раз и означает,
что мы выполнили движение d, т. е. e-d^d. Точно так же
ясно, что d-e = d. Это напоминает нам свойства числа 1 при
умножении (а-\ — \-а = а для любого числа а). Поэтому
движение е называют также единицей. Итак,
30

Свойство 2. В множестве D имеется такой элемент е,
называемый единицей, что для любого элемента d из D
выполнены соотношения
d-e = e-d = d.	F)
Далее, для каждого движения d существует обратное
движение, которое обозначается через й~г. Произведение
движения d и обратного ему движения d~x (так же как про-
произведение движения d~* и движения d) есть движение, остав-
оставляющее все фигуры на прежнем месте, т. е.
Таким образом, получаем
Свойство 3. Для каждого элемента d множества D
имеется принадлежащий этому же множеству элемент
fi?, называемый обратным для элемента d, для которого
выполнены соотношения
d-d~1 = d-1-d = e.	G)
Пусть теперь dlt d2 и d3 — три движения. Предположим,
что некоторая фигура А переводится движением dx в фигуру В,
фигура В переводится движением da в фигуру С, а фи-
фигура С переводится движением d3 в фигуру D. Рассмотрим
произведение (d1-di)-d3, заключающееся в том, что движения
d1 и d2 перемножаются между собой и полученное произведе-
произведение умножается на dz. Движение dx-d^ переводит, как легко
видеть, фигуру Л в С, а движение d3 переводит фигуру С
в D. Поэтому движение (d1-di)-d3 фигуру Л переводит сразу
в D. Если мы выполним умножение в другом порядке:
dx-{d^-<?>), то найдем, что фигура А переводится движением dt
в фигуру В, которая движением d2-ds также переводится
в D. Итак, оба движения (dl-dz)-d3 и dl(di-d3) переводят
каждую фигуру А в одну и ту же фигуру, т. е. эти дви-
движения просто совпадают.
Таким образом, имеет место
Свойство 4. Для любых трех элементов dlt йг, ds
множества D выполнено соотношение
(d1-dl).da = d1-(dt-dt),	(8)
называемое условием ассоциативности.
Итак, множество D всех движений обладает перечислен-
перечисленными свойствами 1—4,
31

Всякое множество, состоящее из каких угодно элемен-
элементов и обладающее свойствами 1—4, называется группой^).
Как мы видели, множество D всех движений плоскости
является группой. Рассмотрим теперь множество S, состоя-
состоящее из всех параллельных переносов и центральных сим-
симметрии, и покажем, что оно также является группой. В са-
самом деле, элементы множества 5 являются движениями; для
каждых двух из них (как и для двух произвольных движе-
движений) определено произведение, причем согласно лемме 9
оно также является элементом множества 5. Таким образом,
свойство 1 выполнено. Свойство 2 также, очевидно, выпол-
выполнено, так как движение е является переносом (т. е. принад-
принадлежит множеству 5), а соотношение F) имеет место вообще
для всех движений (и, в частности, для переносов и сим-
симметрии, т. е. для элементов множества 5). Свойство 3 вы-
выполнено потому, что для переносов и симметрии обратными
движениями снова являются переносы и симметрии (лемма 6),
а соотношение G), справедливое для всех движений, выпол-
выполнено, в частности, для элементов множества S. Наконец,
условие ассоциативности (8), имеющее место для всех дви-
движений, также справедливо для переносов и симметрии. Таким
образом, множество 5 есть группа.
Совершенно так же можно показать, что множество Т,
состоящее из всех параллельных переносов,
есть группа.
Некоторое множество О называется группой движений,
если элементами его являются движения (так что ясно, в
каком смысле эти элементы можно перемножать) и выполнены
свойства 1—4 (т. е. О есть группа). Примерами групп дви-
*) Мы будем рассматривать здесь только группы движений
(см. ниже). В качестве примера группы, элементы которой не являются
движениями, можно указать множество G всех положительных
чисел (единицей является число 1; произведение имеет обычный
смысл; о'ратным для числа а является число— =а~1). Можно было
бы привести еще целый ряд примеров групп.
Понятие группы играет огромную роль в современной матема-
математике. Интересующимся можно порекомендовать книгу П. С. Алек-
Александрова «Введение в теорию групп» (Учпедгиз, Москва, 1953), кото-
которая написана вполне элементарно и содержит большое число чрез-
чрезвычайно интересных примеров. О применении понятия группы в
геометрии см. вторую часть книги И. М. Яглома «Геометрические
преобразовшия» (Гостехиздат, 1956). Заметим, что в книгах П. С. Алек-
Александрова и !>. М. Яглома операция в группе названа не умножением,
а сложением.

жений могут служить рассмотренные выше группы D, S, Т.
В качестве нового примера группы движений можно указать
группу О„, состоящую из поворотов вокруг одной и той же
Л 2ti 4тс 6ti	Bл — 2) те
точки на один из углов 0, —, —, —, •••,i	— (поворот
J	' п п п	п v v
на угол 0 есть тождественное движение е). Предоставим
читателю убедиться в том, что Оп есть группа. Заметим
только, что, как показывает этот пример, группа может со-
состоять из конечного числа элементов (в группе Оп
имеется п элементов).
Пусть G—некоторая группа движений, а А и А' — два
многоугольника. Предположим, что многоугольник А нам
удалось разбить на такие части М1, Miy. . .,Mk, а многоуголь-
многоугольник А'—¦ на такие части М'г, М'г,...,М'к, которые получаются
друг из друга с помощью движений, принадлежащих
группе G (т. е. в группе G имеется такое движение glt
которое переводит многоугольник М1 в M'v имеется движе-
движение g2, переводящее Мг в Л4'2, и т. д.). В этом случае мно-
многоугольники А и А' называются G-равносоставленнылш. Если
в качестве группы G рассматриваются группы 5 или Т, то
мы получаем понятия 5-равносоставленности или Г-равносо-
ставленности, рассмотренные выше. Всякие два многоуголь-
многоугольника одинаковой площади D-равносоставлены (теорема Бояй —
Гервина) и даже 5-равносоставлены (теорема Хадвигера—Глюра),
однако существуют многоугольники (например, треугольник
и параллелограмм), имеющие одинаковую площадь, но не
являющиеся Г-равносоставленными.
Отметим в заключение следующую теорему, отвечающую
на вопрос, который, возможно, возник у читателя.
Теорема. Группа S является наименьшей группой
движений, позволяющей установить равносоставленность
любых равновеликих многоугольников. Иначе говоря, если G
есть такая группа движений, что любые два равновели-
равновеликих многоугольника G-равносоставлены, то группа G сосер~
окит всю группу S {т. е. содержит все параллельные пе-
переносы и все центральные симметрии).
Доказательство опирается па несколько лемм; при форму-
формулировке этих лемм мы будем предполагать, что G есть группа, удо-
удовлетворяющая условиям теоремы.
Лемма 12. Если Р и Q — две произвольные точки плоскости,
то в группе G существует движение, переводящее Р в Q (это
свойство группы движений называется транзитивностью).
Допустим противное: существуют такие две точки Р, Q, что ни
одно движение, принадлежащее группе G, не переводит точку Р в Q.
S3

Те точки, в которые точка Р может быть переведена движениями,
принадлежащими группе G, назовем отмеченными. Если М — неко-
некоторый многоугольник, то сумму тех его углов, вершины которых
являются отмеченными точками, обозначим через Ip (M). Если мно-
многоугольники М и М' получаются друг из друга с помощью некото-
некоторого движения, принадлежащего группе G, то /р (М) — Ip (M1). Далее,
если многоугольник А разбит на несколько более мелких многоуголь-
многоугольников Мх, М2,.. . , Mk, то имеет место равенство
/р (А) = 1Р (Щ + 1Р (Af.) +... + IP (Mk) + m,
где п — некоторое целое число (это доказывается непосредственным
подсчетом углов). Из этих свойств числа Ip (M) легко вытекает
(ср. рассуждения на стр. 28), что если М и М' — два G-равносостав-
ленных многоугольника, то 1Р (М) = 1Р (М1) -(- як, где п — некоторое
целое число.
Пусть теперь PQR и PQS — два равных равнобедренных тупо-
тупоугольных треугольника с углом а при основании, из которых один
,, имеет вершину тупого угла в Р, а
л ДРУГ0И — в Q (черт. 39). Так как точ-
точка Р является отмеченной, а точка
Q — нет, то число Ip (PQR) равно
л — 2а или и — а (в зависимости от
R	/ I того, будет ли отмеченной точка R);
число же Ip(PQS) равно а или 2а.
Поэтому равенство
1Р {PQR) = 1Р (PQS) -f tm
P	не может иметь места ни при каком
Черт. 39.	целом п I ибо а <[ — ) , и треуголь-
треугольники PQR и PQS не являются G-равносоставленными. Это однако,
противоречит свойствам группы О (равновеликие, а тем более рав-
равные многоугольники должны быть G-равносоставленными). Получен-
Полученное противоречие доказывает лемму.
Лемма 13. Группа G содержат хотя бы одну центральную
симметрию.
Отметим сначала (без доказательств х)) некоторые свойства движе-
движений. Каждое движение плоскости имеет один из следующих трех ви-
видов: оно является либо параллельным переносом, либо поворотом,
либо так называемой скользящей симметрией, которая представляет
собой симметрию относительно некоторой прямой, сопровождающуюся
параллельным переносом вдоль этой прямой. Прямая эта называется
осью скользящей симметрии. Ось определяется однозначно (т. е. две
скользящие симметрии, оси которых не совпадают, представляют со-
собой разные движения). Наконец, укажем, что произведение двух
скользящих симметрии, оси которых составляют друг с другом угол а,
есть поворот на угол 2а.
*) Доказательства свойств движений можно найти, например, в
первой части книги: И. М. Я г л о м, Геометрические преобразования,
Гостехиздат, 1955.
34

t
Перейдем к доказательству леммы 13. Выберем следующим об-
образом прямую /: если в группе G имеется хотя бы одна скользящая
симметрия, то за I примем ось одной из них; в противном случае
прямую I выберем произвольно. На прямой I выберем какое-либо на-
направление. Пусть V — произвольная направленная прямая, а а — угол
между I и V (черт. 40); прямую V будем считать отмеченной, если в
группе G имеется поворот на угол а.
В частности, всякую прямую, па-
параллельную / (т. е. образующую с
I нулевой угол), следует считать
отмеченной.
Предположим теперь (вопреки
утверждению леммы), что в группе
G нет ни одной центральной симме-
симметрии. Тогда для любой отмеченной
прямой V прямая I", параллельная
/', но имеющая противоположное
направление, не является отмечен-
отмеченной (в противном случае группа G содержала бы два поворота,
углы которых отличаются на л, а потому содержала бы и поворот
на угол л, т. е. центральную симметрию, см. черт. 41).
Рассмотрим произвольный многоугольник М и пусть АВ — его
сторона, а V — прямая, пересекающая эту сторону и перпендикуляр-
перпендикулярная к пей. Выберем на прямой V такое направление, что, идя по
прямой V в этом направлении, мы будем при пересечении стороны
Черт. 40.
Черт. 41.
Черт. 42.
АВ выходить изнутри многоугольника М наружу (черт. 42). Если
направленная таким образом прямая V является отмеченной, то сто-
стороне АВ припишем знак -|-; если же прямая I", параллельная /', но
противоположно направленная, является отмеченной, то припишем этой
стороне знак —; наконец, если ни одна из этих прямых не является
отмеченной, то стороне АВ поставим в соответствие число нуль. Со-
Составим теперь алгебраическую сумму длин сторон многоугольника М,
учитывая указанные знаки (если стороне АВ поставлено в соответ-
соответствие число нуль, то она совсем не войдет в рассматриваемую алге-
алгебраическую сумму). Полученную алгебраическую сумму обозначим
через j\ (Щ.
35

Число J (М) обладает следующими двумя свойствами: 1) оно
аддитивно (ср. формулу C)) и 2) оно инвариантно (если мно-
многоугольники М1 и Мъ получаются друг из друга -с помощью некото-
некоторого движения, принадлежащего группе G, то J\ (УИХ) = j\ (Мг)). Адди-
Аддитивность устанавливается почти дословным повторением доказатель-
доказательства леммы 11.
Докажем инвариантность. Пусть g — принадлежащее группе G
движение, которое переводит многоугольник М1 в М2\ А1В1 — сторона
многоугольника Mv а А2В2 — соответствующая ей сторона многоуголь-
многоугольника М2 (т. е. сторона, в которую переходит А1В1 в результате дви-
движения g). Пусть, далее, 1Х — прямая, перпендикулярная к стороне
AJ$v а 12 — прямая, перпендикулярная к АаВг, причем каждая из этих
Черт. 43.
Черт. 44.
прямых направлена так, что при пересечении указанной стороны мы
выходим изнутри многоугольника наружу (черт. 43). Углы, образован-
образованные прямыми 1г и 12 с прямой I, обозначим соответственно через о.х
и а2. Предположим, что прямая 1Х является отмеченной, и покажем,
что 1г также есть отмеченная прямая. Если движение g есть параллель-
параллельный перенос, то прямая 12 параллельна прямой 1г и одинаково с
ней направлена, а потому является отмеченной. Если g есть поворот,
то угол этого поворота равен а2 — av а так как в G имеется поворот
на угол <*! (ибо прямая /х отмечена), то в G имеется также поворот
на угол (а2 — otj) -f- ах =: аа; это означает, что прямая 1г отмечена. На-
Наконец, если g есть скользящая симметрия, то ось ее составляет с пря-
,мой I (которая также является в этом случае осью скользящей сим-
симметрии) угол — -i-^ (черт. 44), и потому в группе G имеется поворот
яа угол <Zj -f- a2. Кроме того, в G имеется поворот, на угол аг (ибо
прямая 1г отмечена), а потому и поворот на угол (х1 -(- аг) — <*г = аа.
Таким образом, и в этом случае прямая /2 отмечена. Итак, если сто-
стороне А1В1 многоугольника М1 поставлен в соответствие знак -(- (т. е.
прямая 1г отмечена), то стороне А2В2 многоугольника Мг также по
ставлен в соответствие знак -(- (прямая ls также отмечена). Аналогично
36

устанавливается, что если стороне ЛД поставлен в соответствие
знак —, то и стороне АгВ% поставлен в соответствие знак —. Нако-
Наконец, если стороне АгВг поставлено в соответствие число нуль, то это
же имеет место и для стороны А2В2 (многоугольник Мг получается
из Ма с помощью движения g, и если бы стороне АгВг соответ-
соответствовал знак -\- или —, то такой же знак соответствовал бы и стороне
/IjB,). Итак, соответствующие стороны многоугольников Мх и Мг бе-
берутся в алгебраических суммах J'^M^ и J\(M^ с одинаковыми коэф-
коэффициентами, так что j\ (ЛТХ) = j\ (УИ2).
Из аддитивности и инвариантности числа J't (M) вытекает (ср. рас-
рассуждение на стр. 28), что если многоугольники М, и Мг являются
G-равносоставленными, то Jl{M1) = Jl(Mi).
Рассмотрим теперь два равных равнобедренных прямоугольных
треугольника А1В1С1 и /12S2C2, рас-
расположенных так, как указано на
черт. 45. Стороне В2С2 треуголь-
треугольника АгВгСг соответствует число
нуль; действительно, прямая l't
перпендикулярная к этой сторо-
не, составляет с I угол — п, а по-
ворот на угол -г- п в группу G
I
не входит (ибо четырехкратное
применение этого поворота дает
поворот на угол Зтс, т. е. централь-
центральную симметрию). Аналогично, каж-	Черт. 45.
дой из сторон A-fiv Bfi^ АгСг
соответствует число нуль. Наконец,
стороне Л.Д соответствует знак -(- , а стороне АХВХ знак —. Мы видим,
что Jl(A1BsCi) ф Уг(Л2В2С2) (так как одно из этих чисел положительно,
а другое отрицательно), и потому треугольники А1В1С1 и АгВ„С2 не
являются G-равносоставленными. Это, однако, противоречит свойствам
группы G.
Лемма 14. Группа G содероюит все центральные симметрии.
Пусть s — центральная симметрия, принадлежащая группе G
(лемма 13), Ох — центр этой симметрии, аО- произвольная точка на пло-
плоскости. Пусть, далее, g — принадлежащее группе G движение, пере-
переводящее точку О в О, (лемма 12). Тогда движение gsg, принадле-
принадлежащее группе G, как легко видеть, оставляет точку О на месте и по-
потому представляет собой центральную симметрию относительно точки
О. Таким образом, центральная симметрия относительно произвольной
точки О принадлежит группе G.
Для доказательства теоремы теперь остается лишь заметить, что
согласно лемме 7 группа G содержит также все параллельные переносы.

ГЛАВА II
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ
§ 5. Теоремы Дена и Хадвигера
1. Равносоставленные многогранники. В этой главе
мы рассмотрим вопрос о равносоставленности и равнодопол-
няемости для пространственных фигур (для многогранников). Два
многогранника называются равносоставленными, если, опреде-
определенным образом разрезав один из них на конечное число
частей, можно составить из них второй многогранник.
Ясно, что два равносоставлениых многогранника равнове-
равновелики, т. е. имеют одинаковый объем. Естественно возникает
обратный вопрос: всякие ли два многогранника, имеющие
одинаковый объем, равпосоставлены? Иначе говоря, справед-
справедлива ли в пространстве теорема, аналогичная теореме Бояй —
Гервина? Мы увидим ниже, что на этот вопрос приходится
дать отрицательный ответ.
Прежде всего постараемся понять, что значит отрицатель-
отрицательный ответ на поставленный вопрос. Значит ли это, что ни-
никакие два многогранника, имеющие одинаковый объем, не
равносоставлены? Нет, конечно. Ясно, что равносоставленные
многогранники существуют. Например, две прямые призмы с
одинаковой высотой и одинаковой площадью оснований равно-
составлены (черт. 46). Это легко следует из теоремы Бояй —
Гервина. (Ниже, на стр. 56, будет доказано, что любые две
равновеликие призмы, прямые или наклонные, равносостав-
равносоставлены.) Что же в таком случае означает отрицательный ответ
па поставленный вопрос? Он означает, что не всякие мно-
многогранники, имеющие одинаковый объем, равносоставлены.
Иначе говоря, некоторые многогранники одинакового объема
и являются равносоставленными (например, призмы), однако
можно найти также и такие многогранники, которые
38

имеют одинаковый объем, но не равносоставлены. Впервые
этот факт был доказан немецким математиком Деном A901 г.).
Он установил, что куб и правильная треугольная пирамида
(тетраэдр) одинакового объема не равносоставлены. Конечно,
можно найти и другие многогранники, имеющие одинаковый
объем, но не являющиеся равносоставленными.
Черт. 46.
Этот параграф содержит доказательство теоремы Дена
о неравносоставленности куба и правильного тетраэдра. В до-
доказательстве используются остроумные идеи, принадлежащие
швейцарскому геометру Хадвигеру.
2. Теорема Хадвигера. Пусть alt ai,...,ak— какие-либо
действительные числа. Будем говорить, что эти числа зави-
зависимы, если можно найти такие, не все обращающиеся в нуль,
целые числа nlt п2,... ,nk, что имеет место соотношение
«1а1 + /г2«2+ •••+«Л = °-	(9)
Соотношение (9) будем называть зависимостью. Подчеркнем
еще раз, что все числа nlt пг,...,пк предполагаются целыми
(положительными, отрицательными или равными нулю), причем
среди них обязательно должны быть числа, отличные от нуля.
Между одними и теми же числами могут существовать
различные зависимости. Возьмем, например, числа
1,]/Т—1, З/Т-1-l, 2VY.
Легко проверить, что между этими числами имеются следую-
следующие зависимости:
0-1+ (-
2
4 +
-И) +0-21/2^0,
.2/T= 0.
39

Заметим, что два несоизмеримых числа а1 и а2 (т. е-
два отличных от нуля числа, отношение которых иррацио-
иррационально) не могут быть зависимыми. Действительно, из суще-
существования зависимости
вытекало бы, что частное —равно отношению—— двух це-
лых чисел, т. е. рационально.
Предположим теперь, что каждому из чисел ах, аа,...,ай
поставлено в соответствие еще одно число:
числу а1 поставлено в соответствие число /(ах),
» а2	»	»	»	» /(а2),
Будем говорить, что числа /(aj, f(a2),. . .,f(ak) образуют
аддитивную функцию1), соответствующую числам а.г, а2,...
..., ak, если они обладают следующим свойством: для каждой
зависимости
существующей между числами аг, а2,. . .,ak, точно такая же за-
зависимость имеется и между числами /(ах), /(а2),. . . ,/(аА), т. е.
«i/K)+ «,/(«.)+ •• • +«*/(«*) = 0.
В остальном же числа /(aj, /(a2), . . ., /(a^) могут быть
какими угодно.
Возьмем для примера числа ах = 1, ос2 = ]/5. Так как
эти числа несоизмеримы, то между ними никакой зависимости
не существует. Поэтому не требуется никакой зависимости
и между числами /(ах) и /(с-2), т. е. для получения аддитив-
аддитивной функции можно выбирать числа /A) и /A^5 ) совер-
совершенно произвольно. Если же взятые числа окажутся зависи-
зависимыми, то значения аддитивной функции также связаны зави-
зависимостями.
*) С современной точки зрения мы имеем функцию, если каж-
каждому элементу некоторого множества поставлен в соответствие (по
некоторому правилу) определенный элемент другого множества. Так,
ставя в соответствие каждому действительному числу х число sin x,
мы получаем функцию (синус); ставя в соответствие каждому целому
положительному числу наибольший его простой делитель, мы полу-
получаем функцию; ставя в соответствие числам av ... ,ak некоторые другие
числа /(ctj),...,/(«/;), мы также имеем ф у и к ц и ю.
43

Пусть, наконец,
A0)
¦—все внутренние двугранные углы некоторого многогран-
многогранника А, выраженные в радианах, а 1г, 1г, .. ., lk — длины ребер,
соответствующих этим двугранным углам (черт. 47). Если
выбрана некоторая аддитивная функция
/К). /К). ..../К)	(И)
для чисел A0), то сумму
мы обозначим через f{A) и будем называть ее инвариантом
многогранника А. Инвариант /(А) за-
зависит не только от выбора самого
многогранника А, но также и от вы-
выбора аддитивной функции A1).
Теперь мы можем сформулировать
следующую интересную теорему.
Теорема Хадвигера. Даны
два многогранника А и В, имеющих
одинаковый объем. Обозначим через аг,
а2, ..., ар все внутренние двугранные
. углы многогранника А, выраженные в
радианной мере, а через $lt j}8, ...
...,fS?—все внутренние двугранные	Черт. 47.
углы многогранника В. К числам аг,
а3, . . ., а , JJX, |S2, . . ., §q присоеди-
присоединим еще число тс. Если для полученной системы чисел
тс, ох, о2, . . ., ар, рх, Р2, .. ., р^	A3)
можно подобрать такую аддитивную функцию
/И. /К), /К). • • -. /Ы /(Р0, /(?,). • •., /(Р?), (Н)
<<ото выполнено соотношение
/(тс) = О,	A5)
а соответствующие инварианты многогранников А и В не
одинаковы:
f(A)=?f{B),	A6)
ото многогранники А и В не равносоставлены.
Доказательство теоремы Хадвигера мы рассмотрим ниже
(стр. 45), а сейчас покажем, как из псе вытекает теорема
Дена о нсравносоставленностп куба п правильной пирамиды.

3. Теорема Дена. Докажем прежде всего следующую
Лемму, с помощью которой легко установить (на основании
теоремы Хадвигера) справедливость теоремы Дена.
Лемма 15. Пусть п — целое число, большее двух, а
у — такой угол, выраженный в радианной мере, косинус
которого равен — (т. е. <p = arccos —). Тогда число <р не-
несоизмеримо с тг, т. е. не существует никакой зависимости
«х<Р + «2"=0	(I7)
с целыми отличными от нуля коэффициентами пх, п2.
Доказательство проведем методом «от противного». До-
Допустим, что имеет место соотношение A7), в котором пг^0.
Мы можем считать, что пг ^> 0 (иначе можно было бы в
соотношении A7) изменить знаки на обратные). Так как
/гхср = — й2тг есть целочисленное кратное угла тг, то cos ^ ср
равен или -}-1, или —1, т. е. является целым чис-
числом. Это утверждение мы н приведем к противоречию. Именно,
мы покажем, что ни при каком целом k ^> 0 число cos k'f не
является целым.
На основании теоремы сложения, известной из курса три-
тригонометрии, мы можем написать:
cos (k-\- 1) tp = cos (k(p -|- u>) = cos ky cos tp — sin ky sin <p,
cos (k — 1) <p = cos (k(p — tp) = cos ky cos tp -J- sin ky sin f.
Складывая эти два равенства, получаем:
cos (k -\- 1) tp -\- cos (k — 1) tp = 2 cos k<p cos <p
или
2
cos (k -(- 1) tp = ~-cos^<a — cos (k — 1) tp	A8)
( так как cos tp = — j . Дальнейшую часть доказательства
проведем отдельно для четных и нечетных значений п.
Случай 1. Число п нечетно1). Покажем (с помощью
метода полной математической индукции), что в этом случае
cos kx выражается дробью, знаменатель которой равен nk, a
числитель взаимно прост с п; отсюда и будет следовать, что
г) Только этот случай (а именно, п ;= 3) и используется при до-
доказательстве теоремы Деиа.
42

число coskx при k~^>0 не является целым. Для k=\ и
k = 2 это утверждение непосредственно проверяется:
(число 2 взаимно просто с п, так как п нечетно). Предполо-
Предположим, что для всех чисел 1, 2, . .., k наше утверждение до-
доказано, и докажем его для числа k-\-\. Согласно предполо-
предположению индукции имеем:
	а_		 	_Ь
где а и Ь — взаимно простые с п числа. Отсюда на основа-
основании равенства A8) получаем:
, 	_2_ а_	Ь	1а — Ьп2
' п nR nk~l	rfi+l '
и число 2 не имеют с п общих множителей,
Ъпг взаимно прост с п. Индукция прове-
провеТак как число а
то числитель 2а
дена.
Случай 2. Число п четно, т. е. п = 2т. В этом слу-
случае cos Щ выражается дробью, знаменатель которой имеет
вид 2mk, а числитель взаимно прост
с т (это доказывается по индукции
совершенно так же, как в случае 1).
Поэтому числитель при k^>0 не
делится, нацело на знаменатель.
Теорема Дена. Куб и пра-
правильный тетраэдр, имеющие одина-
одинаковый объем, не равносоставлены.
Доказательство. В правиль-
правильной треугольной пирамиде ABCD
опустим из точки D высоту DE
(черт. 48). Точка Е является центром
равностороннего треугольника ABC,
так что отрезок AF, проходящий через точку Е, есть медиана.
Поэтому F—середина ребра ВС, а отрезок DF является
медианой треугольника BCD. Отрезок EF составляет третью
часть медианы AF или медианы DF, т. е.
EF:DF=\:3.
Иначе говоря, обозначив через f угол F прямоугольного
43
Черт. 48.

треугольника DEF (т. е. двугранный угол тетраэдра ABCD), мы
найдем:
cos? = y.	A9)
Теперь применим теорему Хадвигера. Каждый двугранный
угол куоа А равен -— ; двугранный угол правильного тетра-
тетраэдра В мы обозначили через (р. Поэтому числа A3), о кото-
которых идет речь в теореме Хадвнгера, здесь будут следующими:
", | > ?.	B0)
Найдем, какие «ависимости существуют между этими числами.
Пусть имеется зависимость
л^+я, | + л,<р = 0,	B1)
целые числа. Тогда
т. е. мы получаем зависимость между числами тг и ср. Но
такой зависимости с ненулевыми коэффициентами не сущест-
существует, так как в силу леммы 15 угол ср несоизмерим с тг
(см. A9)). Поэтому 2я1-|-я2 = 0, «з = 0, и соотношение B1)
принимает вид
«lTr+(- 2л,)-J = 0.	B2)
Других зависимостей между числами B0) нет. Положим:
/(«)=/(!) =0, /(?) = !•	B3)
Это дает аддитивную функцию, определенную для чисел B0).
Действительно, для любой зависимости между числами B0),
т. е. для соотношения B2), мы имеем аналогичную зависи-
зависимость между числами B3):
Итак, мы получили аддитивную функцню, заданную для
чисел B0) и удовлетворяющую соотношению A5). Остается
установить соотношение A6), и неравносоставленность куба
и пирамиды будет доказана.

Куб А имеет 12 ребер. Обозначим длину его ребра через /.
Тогда инвариант /(А) имеет для куба А значение
(см. B3)). Длину ребра правильной пирамиды В обозначим
через от. Тогда инвариант /(В) пирамиды В примет вид
/ (В) = бот/ (ср) = бот ф О
(см. B3)). Таким образом, /(А)ф/(В), и потому куб А и
пирамида В не являются равносоставлеинымн. Теорема Деиа
доказана.
Остается доказать теорему Хадвпгера. К ее доказательству
мы и переходим.
4. Доказательство теоремы Хадвигера.
Лемма 16. Пусть
«х, «2, • • -, Ч	B4)
и
Yi. Y.. • • •> Ъ	B5)
— действительные числа, а
/К). /К), •-., /К)	.B6)
-— аддитивная функция для чисел B4). Тогда можно подо-
подобрать такие числа
fib)' /(Y.). • • •' /(Yi).	B7)
<гото <шсжг B6) и B7) образуют аддитивную функцию для
чисел B4) к B5) вместе взятых. Иначе говоря, аддитив-
аддитивную функцию для чисел B4) можно дополнить до адди-
аддитивной функции для чисел B4), B5).
Достаточно рассмотреть случай, когда к числам B4) до-
добавляется только одно число у (так как числа B5) можно
добавлять не все сразу, а одно за другим). Итак, задана ад-
аддитивная функция B6) для чисел B4) и, кроме того, дано
число у. Мы должны подобрать такое число /ty), что система
чисел
/К). /(«.). •••• /К). /СО	B8)
будет представлять собой аддитивную функцию для чисел
«1. аг> ¦••> «a. Y-	B'J)
Рассмотрим два случая.
45

Случай 1. Между числами B9) не существует никакой
зависимости
«1a1+«A + ---+«A + «Y = 0>
в которой коэффициент п при числе у был бы отличен от
нуля. Иначе говоря, число у ни в одну зависимость не вхо-
входит. В этом случае число /(у) никакими условиями не свя-
связано, т. е. за /(у) можно принять любое действительное
число.
Случай 2. Между числами B9) имеется зависимость,
в которую входит число у:
«>.1-)-Й2а2 + ---+/гА + /г'Т==0. и'т^О.	C0)
В этом случае мы определим число /(у) из соотношения
+	+	?	= 0, C1)
т. е. положим:
Покажем, что таким путем мы получаем аддитивную функцию
для чисел B9). Пусть
«A-H2«2 + ---+«A + «Y = °	C2)
— какая-либо зависимость между числами B9) (отличная от
зависимости C0) или совпадающая с ней). Мы должны пока-
показать, что такая же зависимость имеется и между числами B8),
т. е. что имеет место соотношение
nJM + «,/(«,) + • • •+V К) + «/(у) = о. C3)
Покажем это. Умножим соотношение C2) на п' и вычтем из
него соотношение C0), умноженное на п:
{Нпг — пп[) Oj -\- (п'пг — пп'г) а, + ¦ • • + (n'niz — ппд 4 = °-
Мы получаем зависимость между числами B4), и так как B6)
есть аддитивная функция для этих чисел, то имеет место
соотношение
(и'лх — илО /К) -\- (п'п2 — /Из)/К) + . ..
Прибавив к этому соотношению равенство C1), умноженное
на п, найдем:
iinj{ax) -\- п'п/(аг) + • • • + n'nkf{ak) -f tin] (у) = 0,
46

Наконец, сокращая это равенство на число п' =Ь О, мы и rto«
лучим C3). Таким образом, числа B8) дают нам аддитивную
функцию.
Лемма 17. Пусть А — многогранник, произвольным
образом разбитый на конечное число меньших многогран-
многогранников М1г Мг, . .., Mk. Обозначим, через
аг, о2, . . ., ар	C4)
все двугранные углы многогранника А, а через
Yi» T2> • • •> 1г	C5)
— все двугранные углы всех многогранников Мг, М2, . .., Mk.
Присоединим к числам C4) и C5) еще число тг и предпо-
предположим, что для полученной системы чисел
тг; ах, <ха) . . ., ар; ух, у2, . . ., уг	C6)
задана аддитивная функция
/И, /К), /К), • • ., /(ар), /(Ух), /(Y,). • • •. /(Уг), C7)
удовлетворяющая условию
/И = 0.	C8)
Гогйа инварианты /(А), /(МЛ, f(M2), .. ., f{Mk) рассмат-
рассматриваемых многогранников связаны соотношением
C9)
Для доказательства рассмотрим все отрезки, являющиеся
ребрами многогранников A, Mv Мг, . . ., Mk. Отметим на
этих отрезках все точки, являющиеся вершинами многогран-
многогранников А, Мх, М2, ..., Mk, а также все точки, в которых
пересекаются ребра между собой. Тогда мы получим конеч-
конечное число более мелких отрезков. Эти более мелкие отрезки
будем (следуя В. Ф. Кагану) называть звеньями. На черт. 49
изображено разбиение куба на многогранники; ребро куба,
обозначенное на этом чертеже через 1г, состоит из трех
звеньев mv m2, тя. Вообще, каждое ребро каждого из
многогранников А, Мх, М2, . . ., Мк состоит из одного или
нескольких звеньев. Каждое звено многогранника А (т. е.
звено, лежащее на одном из ребер многогранника А) является
также звеном одного или нескольких многогранников
Мг, Мг, ..'., Мк. Возьмем какое-либо звено многогранника А,
47

и пусть т — его длина, а а-—соответствующий двугранный
угол многогранника А. Тогда а. есть одно из чисел C4), и
потому определено число /(а). Произведение rn-f(a) назовем
весом рассматриваемого звена в многограннике А. Точно так
же определяются веса звеньев в многогранниках Мх, М2, ..., Mk.
Заметим, что одно и- то же звено может иметь разный вес
в различных примыкающих к этому звену многогранниках:
ведь эти примыкающие многогранники могут иметь различ-
различные двугранные углы при этом звене.
Черт. 49.
Возьмем теперь все звенья многогранника А, найдем их
веса в многограннике А и составим сумму всех этих весов.
Нетрудно видеть, что эта сумма равна инварианту /(А)
многогранника А. Действительно, рассмотрим ребро 1Х много-
многогранника А, и пусть оно состоит, например, из трех звеньев,
имеющих длины mv m2, тг (черт. 49). Тогда каждому звену
тг, тг, т3 соответствует в многограннике А один и тот же
двугранный угол ах, а именно, двугранный угол при ребре /х.
Поэтому сумма весов звеньев тг, т%, тъ равна
/(аг) + mJ(ai) = К + т% +
Точно так же сумма весов всех звеньев, из которых состоит
ребро /2 многогранника А, равна /2/(«2) и т- Д- Поэтому
сумма весов всех звеньев многогранника А совпадает с сум-
суммой A2), т. е. равна инварианту /(А) многогранника А.
Совершенно так же, инвариант каждого из многогранников
Мг, М2, . . ., М1г равен сумме весов всех его звеньев (ко-
(конечно, вес каждого звена вычисляется в рассматриваемом
многограннике).
Теперь уже нетрудно установить справедливость соотно-
соотношения C9). Для вычисления суммы, стоящей в правой части

этого соотношения, нужно взять сумму весов всех звеньев
по всем многогранникам Мг, М2, . . . , Mk. Найдем, с каким
коэффициентом будет входить в эту сумму некоторое звено т.
Обозначим все двугранные углы многогранников/И1,/И2, ..., Mfl,
примыкающие к звену т, через
(эти величины содержатся среди чисел C5)). Тогда вес рас-
рассматриваемого звена в многограннике с двугранным углом у,-
равен от/(уг-); вес его в многограннике с двугранным углом уу
равен от/(у,) и т. д. Таким образом, сумма весов звена т
по всем тем многогранникам Мх, М2, ... , Mk, которые при-
примыкают к этому звену, равна
тДъ) + «/(Yy) + • • • + тПЪ)-	. D0)
Все звенья можно разбить на три группы.
1) Звенья, которые целиком (кроме, может быть, концов)
расположены внутри многогранника А, Если т есть такое
Черт. 50.
звено и если каждый из многогранников Mlt Ma, ..., Mk,
примыкающих к отрезку т, имеет этот отрезок своим
звеном, то двугранные углы примыкающих к звену т много-
многогранников образуют в сумме полный угол (черт. 50, а; на
этом чертеже, так же как и на чертежах 50, б, 51, 52, а,
52, б изображено сечение многогранника А и многогранников,
примыкающих к отрезку т, плоскостью, перпендикулярной
к звену т; само звено т изображено на этих чертежах одной точ-
точкой/?). Таким образом, в этом случае у(.-|-уу-)- ... —[— у^ = 2тт или
49

Это есть зависимость между числами C6), и потому имеем:
/(Y/) +/(!/) + • • • + ПЬ) - 2/(«) = 0.
Согласно C8) мы получаем отсюда /(Yi)"j~/(Ty)"f" • • •
...-]- f(fs) = 0, и выражение D0) обращается в нуль.
Если же т есть звено, расположенное внутри многогран-
многогранника Л, но один *) из многогранников Мг, Мг, . . . , Mk, при-
примыкающих к отрезку т, не имеет его своим звеном (т. е. от-
отрезок т расположен внутри грани одного из многогран-
ников Мг, М2, ... , Мк), то дву-
двугранные углы остальных примыкаю-
примыкающих к отрезку т многогранников
составляют в сумме развернутый
угол (черт. 50, б), т. е.
Отсюда, как и выше, вытекает,
что выражение D0) обращается
в нуль.
Таким образом, звенья, рас-
положенные внутри многогран-
многогранника А, можно при вычислении пра-
правой части равенства C9) не учитывать (для них сумма весов
равна нулю).
2) Звенья, расположенные на гранях многогранника А, но
не на его ребрах. В этом случае
Черт 51.
(черт. 51), и выражение D0), так же как и в предыдущем
случае, обращается в нуль.
3) Остается рассмотреть звенья, лежащие на ребрах мно-
многогранника А. В этом случае сумма у(. -\- у, -|- ... -\-*{s равна
или двугранному углу а соответствующего ребра:
(черт. 52, а), или углу а — тт (т. е. у,- + Y/ + • • • + Y* = а — п>
это может случиться, если угол а — тупой, см. черт. 52, б).
г) Если два многогранника, примыкающих к отрезку т, не имеют
его своим звеном, т. е. если отрезок т лежит внутри граней двух
примыкающих друг к другу Многогранников, то только эти два мно-
многогранника и примыкают к отрезку т, так что этот отрезок не лежит
ни на одном ребре многогранников Mv M2, ..., Mk и потому не
является звеном.
?0

В обоих случаях имеем:
и выражение D0) оказывается равным т/(а), т. е. весу рас-
рассматриваемого звена в многограннике А. Итак, сумма, стоя-
стоящая в правой части соотношения C9), равна сумме весов
всех звеньев многогранника А, т. е. равна инварианту f(A).
Доказательство теоремы Хадвигера. Допустим,
что многогранники А и В равносоставлены, и пусть
R
а)
Черт. 52.
AIj, Мг, ..., Мп — такие многогранники, из которых можно
составить как А, так и В. Все внутренние двугранные углы
всех многогранников Мг, М2, ... , Мп обозначим через
ух, у2, ... , уг. Согласно лемме 16 аддитивную функцию A4),
заданную для чисел A3), можно дополнить числами /(ух),
/(у2), ..., /(уг) так, что мы получим аддитивную функцию
для чисел
тт, <хх, а2, ... , а.р, ^, $г> ... , $q, ух, у2, ... , уг.
(Эта аддитивная функция попрежнему удовлетворяет усло-
условию A5).) Так как многогранник А составляется из многогран-
многогранников Мх, М2, ... , Мю то (лемма 17) инвариант /(А) имеет
значение
Но многогранник В также составляется из М1: М2, ... , Мп,
и потому
f(B) =f(M1) +f(Mt) +... +/(М„).
Таким образом, f{A)=f(В), что противоречит соотноше-
соотношению A6). Итак, мы видим, что предположение о равносостав-
равносоставленности многогранников А п В приводит к противоречию.
51

5. и-мерные многогранники. Для читателя, знакомого с поня-
понятием я-мерного пространства, можно добавить следующее. Пусть М —
некоторый и-мерный многогранник, a Z. — его (я — 2)-мерпая грань.
Тогда существует ровно две (я— 1)-мерных грани многогранника М,
примыкающих к грани /.; обозначим их через А а В. Угол между
гранями А и В называется двугранным углом при грани L. Он изме-
измеряется своим линейным углом, т. е. углом между двумя перпенди-
перпендикулярами к грани L, один из которых проходит в грани А, а дру-
другой — в грани В.
Если Lv ... , Lk — все (я — 2)-мерные грани я-мерного много-
многогранника М, lv ... , Ifc — их (я — 2)-мерные объемы, а ^	 ak —
двугранные углы многогранника М при этих гранях, то, используя
аддитивную функцию (И) для чисел av ... , ak (см. стр. 41), мы можем
определить сумму A2), которую условимся называть инвариантом
многогранника М. При таком определении инварианта теорема Хад-
вигера (стр. 41) остается справедливой (вместе с доказательством) и
для /г-мерных многогранников.
Теорема Дена также легко обобщается. Правильная /z-мерная
пирамида (симплекс) имеет двугранные углы, равные arccos — (в этом
легко убедиться по индукции с помощью рассуждений, вполне анало-
аналогичных тем, которые приведены на стр. 43—44). Из этого и из леммы 15
вытекает, что при я ^ 3 правильная пирамида и куб, имеющие оди-
одинаковый объем, не равносоставлены (см. рассуждения на стр. 44—45).
§ 6. О методах вычисления объемов
1. О методе пределов. Вспомним, как обстояло дело при
вычислении площадей плоских фигур. После установления
формулы для площади прямоугольника вычисление площадей
других многоугольников проводится весьма простыми при-
приемами: методом разложения или методом дополнения. Метод
пределов применяется в планиметрии только для вычисления
площадей криволинейных фигур.
При вычислении объемов пространственных фигур в неко-
некоторых случаях применяется также метод разложения (или до-
дополнения). Например, для доказательства теоремы о том, что
объем наклонной призмы равен произведению площади пер-
перпендикулярного сечения на длину бокового ребра, применяют
метод разложения (черт. 53) или дополнения (черт. 54). Иначе
говоря, всякая наклонная призма равносоставлена (и равнодо-
полняема) с прямой призмой, у которой длина бокового ребра
такая же, как и у наклонной призмы, а основанием является
перпендикулярное сечение наклонной призмы. Так как в свою
очередь всякая прямая призма равносоставлена (и равнодопол-
няема) с прямоугольным параллелепипедом, то мы получаем
такую теорему: всякая наклонная призма равносоставлена
(и равнодополняема) с прямоугольным параллелепипедом
52

того же объема. Таким образом, для вычисления объема
любой призмы (прямой или наклонной) можно с успехом поль-
пользоваться и методом разложения, и методом дополнения.
Черт. 53.
Черт. 54.
Однако при вычислении объема пирамиды не пользуются
ни методом разложения, ни методом дополнения. На помощь
привлекается метод пределов: рассматривают довольно слож-
сложные ступенчатые тела (черт. 55) и затем переходят к пределу
при неограниченно возрастающем числе
стуйенек («чертова лестница»). В чем
здесь дело? Может быть, это объясняется
лишь тем, что до сих пор математикам
«не посчастливилось» найти простой вывод
формулы объема пирамиды методом раз-
разложения или дополнения? Оказывается, что
это не так: методы разложения и дополне-
дополнения вообще бе ссильны для установ-
установления формулы объема пирамиды. Для вы-
вывода этой формулы необходимо при-
применение более сложного метода (метода
пределов).	,	Черт. 55.
Чтобы убедиться в этом, вспомним
вкратце, как обычно вычисляется объем пирамиды. Пусть/ШСЛ —
треугольная пирамида. Построим треугольную призму (наклон-
(наклонную) ABCDEF с основанием ABC и боковым ребром AD
(черт. 56). Эту призму можно разбить на три треугольных пира-
пирамиды ABCD, BCDE, CDEF (черт. 57), которые мы для краткости
обозначим через М1, Мг, Мь. Легко устанавливается, что
каждые две из пирамид Mlt Ж2, М3 имеют равные основания
53

и равные высоты. Таким образом, «остается» доказать, что
две пирамиды, имеющие равные основания и равные высоты,
равновелики. Именно это предложение и доказывается с по-
помощью метода пределов. Покажем, что с помощью метода
разложения этот факт доказать невозможно. Для этого мы
докажем, что существуют две
такие пирамиды с равными
основаниями и равными высо-
тами, которые имеют (при не-
некотором выборе аддитивной
функции) различные инва-
Черт. 56.
Черт. 57.
рианты; тогда из теоремы Хадвигера будет следовать, что
эти пирамиды не равносоставлены.
Обратимся снова к черт. 56 и 57 и предположим, что
пирамида Мг (т. е. пирамида ABCD, с помощью которой
была построена призма ABCDEF) является правильной. Согласно
лемме 16 аддитивную функцию B3) можно распространить
в аддитивную функцию, заданную для всех двугранных углов
пирамид Мг, М2, Ms и призмы ABCDEF. Тогда мы получим
(лемма 17), что сумма /(М1)-\-/(Мг)-{-/(МЛ равна инвари-
инварианту призмы ABCDEF. Так как эта призма равносоставлена
с прямоугольным параллелепипедом I у которого все двугран-
я \
ные углы равны -=- , то инвариант этой призмы равен нулю.
^ 1
Таким образом,
= 0.	D1)
54

Мы уже знаем, что для правильной пирамиды Мх инвари-
инвариант /(jWx) отличен от нуля. Поэтому равенства
не могут выполняться (это противоречило бы соотношению
D1)). Таким образом, среди пирамид Mlt Ж2, Mz найдутся
две такие, у которых инварианты неодинаковы, и которые,
следовательно, не являются равносоставленными (в силу тео-
теоремы Хадвигера). Итак, доказано, что существуют две пира-
пирамиды с равными основаниями и равными высотами, не являю-
являющиеся равносоставленными.
Теперь ясно, что метод разложения не может быть при-
применен для вычисления объема пирамиды. Как же обстоит дело
с методом дополнения? Его неприменимость доказывается так
же просто на основании следующего предложения х).
Теорема. При выполнении условий теоремы Хадви-
Хадвигера многогранники А и В не являются равнодополняе-
равнодополняемыми.
Доказательство. Допустим противное: некоторыми
многогранниками Мг, Ж2, ... , Мп можно дополнить как А,
так и В до одного и того же многогранника С. Согласно
лемме 16 числа A4) можно дополнить до аддитивной функ-
функции, заданной для всех двугранных углов всех многогранни-
многогранников Мг, М2, ... , Мп, С. Согласно лемме 17 получим:
/(С) =/(В)
Но эти равенства противоречат соотношению A6). Таким
образом, многогранники А и В не могут быть равнодопол-
равнодополняемыми.
Из доказанной теоремы следует, что правильная треуголь-
треугольная пирамида и куб не только не являются равносоставлен-
равносоставленными, но также не являются равнодополняемыми. Не являются
равнодополняемыми и две пирамиды с равными основаниями и
равными высотами, у которых не совпадают инварианты. Так
как существование двух таких пирамид выше было показано,
то становится ясно, что метод дополнения также неприменим
для вычисления объема пирамиды.
1) Неприменимость метода дополнения вытекает также из более
общей теоремы Сидлера, доказываемой ниже.
65

2. Эквивалентность методов разбиения и дополнения.
В предыдущей главе мы видели, что равносоставленность озна-
означает для плоских многоугольников то же самое, что и равно-
дополняемость, т. е. методы разбиения и дополнения в этом
случае эквивалентны. Доказательство этого факта, приведен-
приведенное в предыдущей главе, существенно опиралось на теорему
Бояй—Гервина о равносоставленности любых двух равновели-
равновеликих многоугольников. Мы уже знаем, что для многогранников
из равенства объемов не вытекает ни равносоставленность, ни
равнодополняемость рассматриваемых многогранников. Поэтому
рассуждениями, подобными тем, которые приведены в преды-
предыдущей главе, невозможно установить, эквивалентны ли методы
разбиения и дополнения для многогранников. На вопрос об
эквивалентности этих методов утвердительно отвечает ниже-
нижеследующая
Теорема Сидлера. Два многогранника тогда й
только тогда равнодополняемы, когда они равносоставлены.
К доказательству этой теоремы мы и переходим.
Лемма 18. Если многогранники А и В равносоставлены, то
они и равнодополняемы.
Действительно, пусть Мг, Мг, ... , Mk — такие многогранники, из
которых можно составить как А, так и В. Пусть, далее, М — такой
многогранник, который содержит фигуры А и В внутри себя, а ~М0 —
часть многогранника М, не заполненная фигурами А и В. Нетрудно
видеть, что фигурами Мо, Mv Mv ... , М^ можно дополнить как А,
так и В до одного и того же многогранника М. В самом деле, запол-
заполнив фигурами Mv Mz, ... , Mk многогранник А, мы найдем, что фи-
фигуры Мо, Mv yW2, ... , Mk заполняют весь многогранник М, кроме
многогранника В, т. е. эти фигуры дополняют В до многогранника М.
Заполнив же фигурами Mlt М2, ... , Mk многогранник В, мы найдем,
что фигурами Мо, Мг, Мг, ..., Mk можно дополнить А до многогран-
многогранника М. Таким образом, "А и В равнодополняемы.
Заметим, что фигура Мо представляет собой многогранник М,
внутри которого имеются две «пустоты» в форме многогранников А
и В. Если читатель не склонен считать такую фигуру «многогранни-
«многогранником», то для завершения доказательства следует «разрезать» фигу-
фигуру Мо на несколько многогранников, не имеющих внутри себя «пустот».
(Достаточно провести плоскость, пересекающую оба многогранника
А, В; она рассечет фигуру Мо на части, не содержащие «пустот».)
Лемма 19. Всякие две равновеликие призмы равносоставлены.
Заметим прежде всего, что. если основания двух призм имеют
одинаковую площадь и расположены в параллельных плоскостях, а
образующие этих призм равны и параллельны (черт. 58), то такие
призмы равносоставлены (ибо по теореме Бояй—Гервина их основания
равносоставлены).
Из этого замечания вытекает, что всякая призма равносоставлеиа
с некоторым (вообще говоря, наклонным) параллелепипедом.
56

Далее, всякий наклонный параллелепипед равпосоставлен с неко-
некоторым прямым. Действительно, пусть р — плоскость основания наклон-
наклонного параллелепипеда Р, А — точка этой плоскости, АВ—отрезок,
Черт. 58.
равный и параллельный боковому ребру параллелепипеда Р. Пусть,
далее, I — проекция прямой АВ на плоскость р, а т — прямая, про-
проведенная на плоскости р перпендикулярно к I и проходящая через
точку А (черт. 59). Выберем на прямых I и т такие точки С и D, что
прямоугольник со сторонами АС и AD равновелик основанию парал-
параллелепипеда Р, и на этом прямоугольнике как на основании построим
Черт. 59.
параллелепипед Q с боковым ребром АВ. Тогда параллелепипеды
Р и Q равносоставлепы (в силу сделанного выше замечания). Приняв
теперь параллелограмм со сторонами АВ и АС за основание паралле-
параллелепипеда Q, a AD — за его боковое ребро, мы увидим, что параллеле-
параллелепипед Q — прямой (AD J_ АВ, AD _L AC).
Пусть К — куб, равновеликий параллелепипеду Q, и а — длина его
ребра. Заменив основание параллелепипеда Q равновеликим прямо-
прямоугольником со стороной а, мы получим равносоставленный с Q пря-
прямоугольный параллелепипед, одно ребро которого равно а.
57

Приняв это ребро прямоугольного параллелепипеда за высоту и за-
заменяя его основание равновеликим квадратом, мы получим куб К.
Итак, каждая призма равносоставлена с равновеликим ей кубом,
а потому две равновеликие призмы равносоставлены между собой. .
Прежде чем перейти к формулировке следующих лемм, условимся
о некоторых обозначениях. Пусть А и В—два многогранника, не
имеющих общих внутренних точек. Через А -\- В будем обозначать
часть пространства (многогранник), заполненную многогранниками А, В.
Аналогично определяется и «сумма» нескольких многогранников.
В частности, если многогранник А разбит на составляющие его мно-
многогранники Mv Mv.,., Mk, то будем писать: А = Мх -f- M2 -J-,..-{- Mf,.
Далее, если даны п многогранников Mv Мг, ... , Мп, каждый из кото-
которых равен многограннику М, то вместо суммы М1 -f- Мг -j- ... -\- М„
будем также писать пМ. Многогранник, подобный многограннику М
с коэффициентом подобия X, будем обозначать через yW<>l). Наконец,
знаком -х, условимся обозначать равносоставленность многогранников:
запись А -х, В будет означать, что многогранники А и В равносо-
равносоставлены.
Лемма 20. Пусть Pv Ра, ... , Pk — призмы, не имеющие общих,
внутренних точек, а Р — призма, равновеликая их сумме. Тогда
Р + Р++PP
Черт. 60.
Черт. 61.
Для доказательства заменим призмы Pv P., ... , Pk равновели-
равновеликими им прямоугольными параллелепипедами Г1Х, П2, ... , ПА, име-
имеющими равные основания, а затем сложим эти параллелепипеды
«стопкой», прикладывая их друг к другу равными основаниями (черт. 60).
В результате мы получим параллелепипед II, равновеликий, очевидно,
призме Р, так что (см. лемму 19)
Лемма 21. Пусть М — произвольный многогранник, а я —
¦натуральное число. Тогда М1- ~ Р -j- пМ, где Р — некоторая
призма.
Докажем эту лемму сначала в предположении, что М есть тре-
треугольная пирамида. В этом случае ЛГ(Л) также есть треугольная пи-
68

рамида, причем высота ее в п раз больше высоты пирамиды М.
Разделим высоту пирамиды MS'1) на п равных частей и через точки
деления проведем плоскости, параллельные основанию. Тогда пира-
пирамида AfW разделится на п «слоев», верхний из которых представляет
собой пирамиду, равную М (черт. 61). Рассмотрим какой-либо слой,
отличный от верхнего. Он представляет собой усеченную пирамиду;
нижнее и верхнее основания ее обозначим через ABC и AJ5XCV Про-
Проведем через сторону А1В1 верхнего основания плоскость, параллель-
параллельную ребру ССг (черт. 62). Она пересечет нижнее основание по от-
отрезку АгВг, разделив усеченную пирамиду на две части: призму
АгВгСАхВгСх и многогранник AA^AJiBJi^. Проведем теперь через
Черт. 62.
ребро АхАг плоскость, параллельную грани ВВ1Вг этого последнего
многогранника. Тогда он разобьется на две части: призму АхАгАьВхВгВ
и пирамиду ААхАгА„, равную, как легко видеть, пирамиде М (ибо она
подобна пирамиде М и имеет такую же высоту). Итак, каждый слой,
кроме верхнего, можно разбить на пирамиду, равную М, и две призмы.
Вся пирамида *"' составлена из п пирамид, равных М, и ряда призм.
Эти призмы можно в силу леммы 20 заменить одной призмой Р, и
мы получаем:
М
in).
¦ Р+пМ,
т. е. в случае, если М есть треугольная пирамида, лемма справедлива.
Пусть теперь М — произвольный многогранник. Если он певыпук-
лый, то, проведя все плоскости, в которых лежат его грани, мы ра-
разобьем его на конечное число выпуклых многогранников. Далее, каж-
каждый выпуклый многогранник можно разбить па пирамиды (многоуголь-
(многоугольные): для этого достаточно, взяв внутри многогранника точку О, рас-
рассмотреть все пирамиды, имеющие точку О своей общей вершиной,
а грани многогранника — своими основаниями (черт. 63). Наконец,
каждую многоугольную пирамиду можно разбить на несколько тре-
треугольных пирамид (черт. 64). Итак, всякий многогранник может быть
разбит на конечное число треугольных пирамид. Пусть
М=Г1+Г3 + ...+ ГА	D2)
— разбиение многогранника М на треугольные пирамиды. Увеличивая
все эти фигуры подобно в п раз, получим:
М(п) = Т(п) + Т(п) + + jin)
1	2	'	I	«
59

Согласно доказанному выше, имеем:
7f> - Я, + «7\, 7-W - Р2 + лГ„ ... , 7<в) - Рк + пТь
где Рг Ра, ... , Pfc — некоторые призмы. Таким образом,
М(») - (Рх + Р, +... + Pk) + (я Г, + п Т2 +... + п Tk) ^ Р + пМ;
здесь сумма призм Р1-\-Р2-\-...-{-Рк заменена одной призмой (лем-
(лемма 20), а из пирамид 7",, Тг, ... , Tk, каждая из которых берется в п
Черт. 63.
экземплярах, составляется в силу D2) п экземпляров многогранника М.
Лемма доказана.
Лемма 22. Если два многогранника равнодополняемы, то
они равносоставлены.
Черт. 64.
При доказательстве объем некоторого многогранника М будем
обозначать через V(M). Пусть А и В — равнодополняемые многогран-
многогранники. Тогда существуют два равносоставлепных между собой много-
многогранника С и D, которые дополняют А и В до одной и той же фи-
фигуры:
A + C — B + D, C^D.	D3)
60

Пусть С, — куб, внутри которого можно разместить многогран-
многогранник С, а п — целое число, большее чем 1/ 1 -)—уЧг^- ¦ Тогда
па>1+.^^ или tfV{A) > V (А) 4-V(С,). Умножая обе части
V (Л)
этого соотношения на п и, замечая, что «3V(/4) есть объем много-
многогранника /4М, можем написать:
nV(C\).	D4)
Кроме того, согла&но лемме 21 можем написать:
Ж«) ^.Р + пА, В(п) ~ 0 -f лД	D5)
где Р и Q — некоторые призмы; первое из этих соотношений
дает V(A(")) = V (Р)-\-nV (А). Из этого равенства и из D4) следует
V(P) > nV(C1), т. е. объем призмы Р по крайней мере в п раз больше
объема куба Q. При этом согласно лемме 20 мы можем считать, что
Р есть прямоугольный параллелепипед с тем же основанием, что и
куб Сг Тогда высота параллелепипеда Р по крайней мере в п раз
больше высоты куба С„ так что внутри Р можно разместить и ку-
кубов, равных Cv и тем более внутри Р можно разместить п много-
многогранников, равных С. Итак, поместим внутри Р фигуру пС\ остав-
оставшуюся часть параллелепипеда Р (не занятую фигурой пС) обозначим
через Г:
РТ+С	D6)
Далее, призмы Р и Q равновелики (ибо V(A)=V{B), V(A(")) =
z=V(B(")), а потому в силу D5) имеем V(P) = V{Q)) и, следователь-
следовательно, равносоставлены (лемма 19):
P^Q.	D7)
Сравнивая соотношения D3), D5) — D7), находим:
пА— Т+ пС-\-пА = Т+ п(А4-С)^ T-\-n(B4-D) =
— (Т4- пС) + пВ ~ Р -f пВ -V- Q -f «fi -v, B<n).
Итак, многогранники Л(«> и В(и) равносоставлены, т. е. их можно раз-
разбить на соответственно равные части. Уменьшая подобно в п раз
многогранники Л(">, B(n), а также части, на которые они разбиты, мы
найдем, что многогранники А к В также равносоставлены. Лемма
доказана.
Остается заметить, что теорема Сидлера, сформулированная выше,
непосредственно вытекает из лемм 18 и 22.

ДОБАВЛЕНИЯ
1. Необходимое и достаточное условие равносоставленности
многогранников. Приведем (без доказательства) условие равносо-
равносоставленности, данное в одной из работ Хадвигера. Предположим, что
каждому многограннику А поставлено в соответствие некоторое число
Х(Л), причем выполнены следующие условия:
1)	равным многогранникам А и В соответствуют равные числа
X (А) = х {В) (условие инвариантности);
2)	если многогранник А разбит на несколько многогранников Mv
Mv ..., Mk, то имеет место равенство
г(А) = г(Щ + х (М2) + ... + г (Mk)
условие аддитивности);
3) если /4(Х) — многогранник, подобный многограннику А с коэф-
коэффициентом подобия I, то х (А^) = \¦ х {А) (условие линейности).
При этих условиях говорят, что задан линейный аддитивный
инвариант х- Имеет место следующая
Теорема. Для равносоставленности многогранников А и В
необходимо и достаточно, чтобы их, объемы были одинаковы к,
кроме того, чтобы для любого линейного аддитивного инварианта
X было выполнено равенство х(А) = х(В)-
Иначе говоря, если равновеликие многогранники Л и В не равно-
составлены, то существует такой линейный аддитивный инвариант j,
для которого i(A) Ф х (В). Заметим, что в силу доказанной выше
теоремы Сидлера это условие является также необходимым и доста-
достаточным для равнодополняемости многогранников А и В.
Интересно сравнить это условие с формулировкой доказанной
выше теоремы Хадвигера (стр. 41). Там был также построен неко-
некоторый инвариант f(A). Равным многогранникам А ж В соответ-
соответствовали равные значения инварианта: f(A) = f(B). Этот инва-
инвариант был аддитивным (лемма 17). Он был также линейным
(ибо все ребра многогранника /4(Х> в X раз больше ребер многогран-
многогранника А, а их двугранные углы одинаковы, так что из определения
инварианта / на стр. 41 вытекает равенство /(Л(Х)) = \-f(A)). Однако
инвариант / все же отличается от тех инвариантов, о которых гово-
говорится в сформулированной выше теореме: инвариант / не определен
для всех многогранников. Он был определен только для двух мно-
многогранников, о которых шла речь в теореме Хадвигера, а когда нам
встретились новые многогранники (в лемме 17), мы дополнительно оп-
определяли значение инварианта / для этих многогранников.
62

Следует заметить, что существование линейных аддитивных инва-
инвариантов, определенных сразу для всех многогранников, доказывается
существенно неэлементарно. Для построения таких инвариан-
инвариантов *) (так же кач и для доказательства сформулированной в этом раз-
разделе теоремы) применяется так называемая трансфинитная индукция,
представление о которой далеко выходит за рамки этой небольшой
книжки.
2. G-равносоставленность многогранников. Как и в случае
многоугольников, можно говорить о О-равносоставленных
многогранниках, где О — некоторая группа движений (разумеется,
здесь уже имеются в виду движения пространственных фи-
фигур, в частности, многогранников). Обозначим через Т группу, состо-
состоящую из всех параллельных переносов (в пространстве). Тогда можно
говорить о том, будут или не будут два заданных многогранника
Г-равиосоставленными. Отметим следующую интересную теорему,
также принадлежащую Хадвигеру.
Теорема. Для того чтобы выпуклый многогранник был
Т-равносоставлен с кубом, необходимо и достаточно, чтобы каж-
каждая его грань была центрально симметричным многоугольником 2).
Отсюда следует, что два равновеликих многогранника, каждый из
которых имеет центрально симметричные грани, 7"-равносоставлены
между собой. В частности, если имеются два равных многогранника
с центрально симметричными гранями, то как бы они ни были повер-
повернуты друг относительно друга, они всегда будут Г-равносоставлен-
ными.
Наряду с О-равносоставленными можно также рассматривать
О-равнодополняемые многогранники (О — группа движений). Если
группа G содержит все параллельные переносы (она может, кроме
переносов, содержать и другие движения), то два многогранника
тогда и только тогда О-равнодополняемы, когда они О-равносо-
ставлены. Доказательство этой теоремы (справедливой также в п-мер-
ном пространстве) получается лишь незначительным усложнением
приведенного выше доказательства теоремы Сидлера.
х) Существует лишь один инвариант, построение которого эле-
элементарно: это — инвариант, равный нулю для каждого многогран-
многогранника А. Однако рассмотрение этого инварианта бессодержательно.
2) Из результатов советского геометра А. Д. Александрова выте-
вытекает, что многогранник, обладающий этим свойством, является цен-
центрально симметричным.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 		3
Гл а в а I. Равносоставленность многоугольников		5
§ 1. Теорема Бояй — Гервина 		5
§ 2. Теорема Хадвигера — Глгора		15
§ 3. Равносоставленность и понятие аддитивного инвари-
инварианта 		24
§ 4. Равносоставленность и понятие группы 		30
Глава II. Равносоставленность многогранников		38
§ 5. Теоремы Дена и Хадвигера		38
§ 6. О методах вычисления объемов		52
Добавления		62