Анохин_Строит_мех_в_примерах_и_задачах_Т

Tags: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства

ISBN: 5-93093-024-4

Similar

Строительная механика в примерах и задачах. Часть І. Статически определимые системы

Строительная механика

Статика сооружений

Механика материалов

Text

И.И. Двести

zif-kgasu.ru

Н И ШЖШМ

Г'
НЛГ. Анохин

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
ЧАСТЬ II

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Рекомендовано

Министерством образования Российской Федерации в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по строительным специальностям

Издательство Ассоциации
строительных вузов
Москва 2000
§5.1. Основная идея метода сил. Выбор рациональной основной

системы

Перед изучением этого параграфа рекомендуется повторить ма-
териал, изложенный в § 1.2*

Идею метода сил проиллюстрируем на следующем простом
примере. Пусть требуется рассчитать раму, изображенную на рис.
5.1.1, а, и построить эпюры Му Qy N.

Определим степень статической неопределимости рамы по
формуле (1.10): Л^С$+2Ш-ЗД=5+1ЪТак как заданная
рама имеет две лишние связи, с помощью только уравнений равно-
весия эту задачу решить нельзя. Поступим следующим образом.
Отбросим, например, две опорные связи в точках 1 и 2 и заменим
их действие неизвестными пока силами и Х2. Система с от-
брошенными лишними связями является статически определимой.
В дальнейшем такую систему будем называть основной
системой метода сил - О.С. (рис. 5.1.1, б).

Рис. 5.1.1

По мнению автора, статически определимая система, показан-
ная на рис. 5.1.1, б, получилась наиболее простой из всех статиче-
ски определимых систем, каждую из которых можно было бы
предложить в качестве основной. Как выбирать рациональную ос-
новную систему рассмотрим ниже.

Под действием неизвестных сил XIt Х2 и обобщенной силы
Р точки основной системы получат перемещения. Так, точка 1 -
точка приложения силы Xt - переместится в положение Г, точка
2 —точка приложения силы Х2~ в положение 2', а проекциями пе-
ремещений этих точек соответственно на направления сил Xt и Х2

* Здесь и далее - ссылки на книгу: Анохин Н.Н. Строительная механика в
примерах и задачах. Ч. I. Статически определимые системы: Учеб. пос. - М.:
Изд-во АСВ, 1999.
будут Д| и д2 (рис. 5.1.1, в). Поскольку в заданной системе таких
перемещений, на самом деле, нет (по их направлению имеются
опорные связи), а заданная и основная системы должны быть эк-
вивалентны по перемещениям, необходимо добиться того, чтобы
перемещения Aj и Д2 в основной системе одновременно обрати-
лись в нуль:

At =0;

д2 = О,

Применив принцип независимости действия сил, произведем
расчет основной системы на каждую нагрузку отдельно. Так как
значения сил Xt и Х2 неизвестны, примем их пока равными по
единице.

Рис. 5.1.2

На рис. 5.1.2, а, б, г, д показаны единичные перемещения
5П, б21, 612, б22 точек 1, 2 по направлению неизвестных Хь Х2
и эпюры моментов Л/н М2 от действия сил %,=! и %2=1. Ана-
логичные перемещения Д1Р, Д2/> этих же точек и эпюра моментов
от действия нагрузки представлены на рис. 5.1.2, в, е, причем на
всех рисунках точки Г, 2' от различных воздействий, естественно,
имеют различные положения, хотя обозначены одинаково.

А69

УДК 624.04

Рецензенты: кафедра строительной механики и теории упругости
Московского института коммунального хозяйства и строительства
(заведующий кафедрой - канд. техн, наук, проф. Н.В. Колкуное);
чл.-кор. РААСН, д-р техн, наук, проф. Н.Н. Шапошников

Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах.

Ч. II. Статически неопределимые системы: Учеб. пос. - М.:
Изд-во АСВ, 2000. - 464 с.

ISBN 5-93093-024-4

Учебное пособие, которое является второй частью курса строительной меха-
ники, разработано в соответствии с программой для строительных специально-
стей вузов.

Каждый параграф начинается с изложения соответствующего теоретического
материала, затем приводятся с подробными решениями 106 характерных типо-
вых примеров по теме и 659 задач для самостоятельного решения, к которым да-
ны ответы.

Пособие будет полезно студентам для самостоятельной работы при выпол-
нении расчетных заданий и подготовке к экзаменам, а также может быть ис-
пользовано преподавателями при проведения практических занятий по расчету
статически неопределимых плоских стержневых систем.

В основу книги положен многолетний опыт преподавательской работы автора
в Московском государственном строительном университете (бывший МИСИ).

This manual relates to the second part of the course of structural mechanics de-
veloped for the construction specialists in the field of civil engineering.

Each paragraph starts with a theoretical synopsis further complemented with de-
tailed overview of solved by the author 106 typical problems. Additional 659 problems
are offered for self-sufficient home training.

The manual could be of interest and useful for the externally studying students in
their preparation work for examinations. Also it could be employed by teaching staff of
the technical universities as a pool of examples for the seminars and workshops on
statically indeterminate plane bar systems (truss).

This book has been a result of the great experience gamed by the author in the
process of teaching structural mechanics at Moscow State University of Civil Engi-
neering (pr. MISI).

ISBN 5-93093-024-4

W- число степеней свободы, мо-
мент сопротивления сечения

Д - число дисков

Ш - число простых шарниров
Cq - число опорных стержней
Y - число узлов фермы
С - число стержней фермы

К - число замкнутых бесшарнир-
ных контуров, матрица внеш-
ней жесткости

к - матрица внутренней жесткос-
ти, коэффициент запаса проч-
ности

L - матрица внешней податливос-
ти

Л - число лишних связей

q - равномерно распределенная
нагрузка

F - сосредоточенная сила

т - сосредоточенный момент

Р - обобщенная сила

М - изгибающий момент

Q - поперечная сила

W - продольная сила

Mi&i'Ni - изгибающий мо-
мент, поперечная и продоль-
ная силы от единичной на-
грузки

Мр, Qp, Np - изгибающий момент,
поперечная и продольная силы
от заданной нагрузки

Е - модуль упругости

G - модуль сдвига

/ - длина пролета

h - высота поперечного сечения

b - ширина поперечного сечения

А - площадь поперечного сече-
ния, возможная работа внеш-
них сил, статическая матрица

В - матрица деформаций (дефор-
мационная матрица)

Ав - площадь поперечного сече-
ния вертикального стержня

Ар- площадь поперечного сече-
ния горизонтального (нак-
лонного) стержня

Ам - возможная работа внут-
ренних сил

J - момент инерции поперечного
сечения

- момент инерции поперечного
сечения вертикального стержня

Jp - момент инерции поперечного
сечения горизонтального (на-
клонного) стержня

VA, Ув, Усвертикальные сос-
тавляющие реакций, возни-
кающих в опорах А, В, С....
Реакции, направленные вверх,
принимаются положительными

НА, Н& Нсгоризонтальные сос-
тавляющие реакций, возника-
ющих в опорах А, В, С.... Ре-
акции. направленные вправо,
принимаются положительными

Нз - усилие в затяжке. Растягива-
ющее усилие считается поло-
жительным

О. - площадь эпюры

а - коэффициент линейного рас-
ширения

ф, с, съ Q ..- заданные смеше-
ния опор

Г, Л, Л— - коэффициенты жест-
кости упругоподатливых опор

- напряжение предела текуче-
сти материала

R - расчетное сопротивление ма-
териала
Ru - нормативное сопротивление
материала

Мпр, М( - предельный изгибаю-
щий момент, воспринимаемый
поперечным сечением стержня

Рпр - предельная нагрузка

- пластический момент соп-
ротивления сечения

/с- коэффициент условий работы

/' - ]/j - /21 - перепад температур
по высоте поперечного сече-
ния стержня

/0 - - '-температура по ней-

тральной оси стержня

tlf h ~ приращения температуры в
краевых точках сечения

-------- -пунктир показыва-
t2=0 ет с какой стороны
стержня происходит
изменение температу-
ры

г -изменение темпе-

*2 • ратуры по наружному

и внутреннему волок-
ну элемента конст-
рукции

Хк (Х/д - горизонтальное пере-
мещение точки К. Перемеще-
ние, направленное вправо, при-
нимается положительным

Ук №) - вертикальное переме-
щение точки К. Перемеще-
ние, направленное вверх, при-
нимается положительным

Ах - полное перемещение точки
К, определяемое по формуле:

Дх = №+ у1

- Угол поворота сечения в точ-
ке К. За положительное на-
правление принимается пово-
рот сечения по ходу часовой
стрелки

XXN - взаимное горизонталь-
ное сближение (положительно)
или расхождение (отрицатель-
но) точек К и N

укк (Укн) ~ взаимное вертикаль-
ное сближение (положительно)
или расхождение (отрицатель-
но) точек Л' и N

- взаимное сближение (по-
ложительно) или расхож-
дение (отрицательно) по нап-
равлению прямой KN

<px.v - взаимный угол поворота
сечений в точках К и N
ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое читателю учебное пособие проф. Н.Н. Анохина
"Строительная механика в примерах и задачах. Ч. II. Статически
неопределимые сисгемы" является продолжением вышедшей в 1999 г.
книги "Строительная механика в примерах и задачах. Ч. I. Статиче-
ски определимые системы". ...

Оно содержит 765 задач по основным разделам части II курса
строительной механики "Статически неопределимые стержневые
системы" ( расчеты методами сил, перемещений, смешанным, ком-
бинированным, матричным методом перемещений, а также расчет
стержневых систем с учетом пластических свойств материала мето-
дом предельного равновесия) и ответы к ним, в том числе 106 за-
дач с подробными решениями.

В число задач, рассмотренных автором, включены и такие, ко-
торые дают ответы на вес вопросы расчетно-графических заданий
по курсу строительной механики "Статика сооружений”.

Недавно изданный учебник "Основы строительной механики
стержневых систем" (авт. - проф. Н.Н. Леонтьев и др.) и пособия
Н.Н. Анохина образуют единый блок литературы по строительной
механике, специально приспособленный к требованиям МГСУ и
других вузов, имеющих строительные специальности.

Пособие вызовет большой интерес не только у студентов, для
которых оно, собственно, и предназначено, но и у преподавателей
строительной механики, поможет им в разработке зачетных и эк-
заменационных задач.

Особую ценность изданию придает также принятая методика
изложения материала, в соответствии с которой в начале каждого
параграфа автор приводит теоретический материал, облегчающий
освоение предмета. Студент даже может ориентироваться в основ-
ном на это пособие, прибегая к помощи учебника лишь для углуб-
ленного изучения того или иного вопроса.

Полагаю, что тщательно и с любовью выполненная проф.
Н.Н. Анохиным огромная работа принесет большую пользу всем,
кто изучает строительную механику или по роду своей деятельнос-
ти с ней связан..

Акад. РИА,

д-р техн, наук, проф. Д.Н. Соболев
ОТ АВТОРА

Часть I пособия, вышедшая в свет в 1999 г., посвящена пло-
ским статически определимым стержневым системам. В части II
пособия изложены методы расчета статически неопределимых сис-
тем (методы сил, перемещений, смешанный, комбинированный,
матричный метод перемещений), а также вопросы расчета стерж-
невых систем с учетом пластических свойств материала по методу
предельного равновесия.

В этих изданиях, разработанных в соответствии с вузовской
программой для строительных специальностей, использован мно-
голетний опыт преподавания данного курса на кафедре строитель-
ной механики МГСУ (бывший МИСИ).

В данном пособии приведено 765 задач, 106 из них представ-
лено с подробными решениями, к остальным - в конце книги да-
ны ответы.

Каждый параграф начинается с подробного изложения основ-
ных вопросов теории, относящихся к конкретной теме. В конце
глав предлагаются вопросы для самоконтроля.

В части 1 для задач и ответов к ним, а также для рисунков
принята тройная нумерация: первая цифра показывает номер гла-
вы, вторая - номер параграфа этой главы, третья - порядковый
номер задачи (ответа) или рисунка данного параграфа. Для формул
и примеров принята двойная нумерация: первая цифра показывает
номер главы, вторая - порядковый номер формулы или примера
данной главы. В части II такой порядок нумерации продолжен.

Автор выражает благодарность рецензентам - проф. Н.В. Кол-
кунову, чл.-кор. РААСН НН. Шапошникову, научному редактору -
чл.-кор. РААСН Н.Н. Леонтьеву, акад. РИА Д.Н. Соболеву, проф.
МГ. Ванюшенкову за ценные замечания и рекомендации, сделан-
ные при рецензировании и прочтении рукописи, а также всем со-
трудникам кафедры, с которыми автор общался в процессе напи-
сания пособия и советы которых способствовали улучшению со-
держания книги.

Автор выражает глубокую благодарность президенту фирмы
"Инженер", канд. техн, наук, чл.-кор. РИА АП. Левченко, д-ру
техн, наук, проф. А.В. Дукарту, генеральному директору ОАО
"Стальконструкция" С.С. Кривоносову за помощь, оказанную при
выпуске настоящего издания.

Автор будет признателен читателям за отклики и замечания по
содержанию пособия, которые можно направлять по адресу: 129337,
Москва, Ярославское шоссе, 26, кафедра "Строительная механика".
Глава 5. Расчет сооружений методом сил

Напомним, что под статически неопределимой
системой понимается такая геометрически неизменяемая сис-
тема, в которой внутренние усилия или опорные реакции, или те и
другие не могут быть найдены только из уравнений статического
равновесия. Такие системы содержат так называемые лишние
(избыточные) связи, удаление которых не нарушает геомет-
рической неизменяемости и неподвижности. Количество (число)
лишних связей, как и ранее, будем называть степенью ста-
тической неопределимости системы.

Основные свойства статически
неопределимых систем

1. В статически неопределимых системах от теплового воздей-
ствия, смещения опор, неточности изготовления и сборки конст-
рукции, как правило, возникают внутренние усилия и опорные ре-
акции. Эпюры внутренних усилий в этом случае будут прямоли-
нейными.

2. Реакции и усилия в элементах статически неопределимых
систем зависят от формы и размеров поперечных сечений стерж-
ней, а также от упругости материала сооружения. Поэтому перед
расчетом таких систем необходимо задаваться жесткостными харак-
теристиками элементов (Е/, £А, GA) или их соотношениями.

3. В статически неопределимых системах усилия в абсолютно
необходимых связях всегда статически определимы.

4. Статически неопределимая система, находящаяся под внеш-
ним воздействием, допускает бесконечное множество
решений, удовлетворяющих уравнениям равновесия, но только
одно из них будет соответствовать тем условиям, которые наклады-
ваются на перемещения с помощью лишних связей. Статически
определимая система допускает, как известно, только одно реше-
ние, удовлетворяющее условиям равновесия как всей системы, так
и отдельных ее частей.

5. В таких системах, в отличие от соответствующих им статиче-
ски определимых, при действии одинаковых нагрузок возникают
меньшие внутренние усилия, деформации и перемещения, к тому
же они имеют в большинстве случаев более равномерное распреде-
ление.

6. Статически неопределимые системы, в противоположность
статически определимым, обладают большей ‘’живучестью’', надеж-
ностью, так как разрушение части системы не всегда приводит к
разрушению всего сооружения.
§5.1 . Основная идея метода сил. Выбор рациональной основной

системы

Перед изучением этого параграфа рекомендуется повторить ма-
териал, изложенный в § 1.2*

Рис. 5.1.1

At =0;

д2 = О,

Рис. 5.1.2

Из рис. 5.1.2, а...в следует, что суммарное перемещение Aj точ-
ки приложения неизвестного Хх по его направлению от действия
неизвестных Х}> Х2 и нагрузки определяется выражением
Ai = SiiA'i + S|2X2 + Д1?. Аналогично для точки 2: Д2 = б21ЛГ| +
+822Х2+Д2^. Учитывая два условия совместности перемещений
(Д1 =Д2 =0), приведенные выражения можно записать так:

Д| = 5ц-^| + ^12-^2 "* Ац> =

А 2 = $21^1 + $22^2 А2р = Р-

Полученная система уравнений для определения неизвестных
A't и Х2 называется системой канонических уравнений метода
сил. Коэффициенты этих уравнений могут быть вычислены по
формуле Максвелла - Мора, так как они представляют собой пере-
мещения определенных точек основной системы по заданному на-
правлению от сил Х2~\ и внешней нагрузки:

8«=Е1^л; =

После нахождения истинных значений Х} и Х2 из решения
системы канонических уравнений окончательная эпюра изгибаю-
щих моментов может быть построена как алгебраическая сумма
ординат эпюр Л/|, Л/2, умноженных на найденные значения неиз-
вестных сил Xlt Х2, и эпюры от заданной натрузки в основной
системе ММ = М\Хх + М2Х2 + МР. По окончательной эпюре
М обычным образом строят эпюры Q и N и проводят проверки
правильности построения эпюр.

Из сказанного следует, что первым и наиболее важным этапом
расчета статически неопределимых систем методом сил является
определение числа лишних связей и выбор основной системы. Рас-
смотрим более подробно этот вопрос.

Расчет статически неопределимой системы методом сил начи-
нается с определения количества лишних связей, т.е. степени ее
статической неопределимости. За лишние связи могут быть приня-
ты как реакции внутренних связей, так и реакции опорных связей.
Их общее количество для многопролетных балок, рам, арок и ферм
может быть подсчитано по одной из формул (1.10)...(1.12) § 1.2:

J7=C0 +2Ш-ЗД; Л=С^ +2Ш+ЗК-ЗД; Л=С0 +С-2У.

После определения числа лишних связей переходят к выбору
основной системы. Основная система получается из заданной пу-
тем отбрасывания лишних связей, а их влияние, во избежание раз-
ницы между этими системами, заменяется неизвестными обобщен-
ными силами, действующими по направлению отброшенных свя-
зей. Неизвестные силы обозначают буквой X с подстрочным ин-
дексом (ЛГ|,X2i...,Хп). Эти силы обычно называют “основными
неизвестными". Свое название метод сил получил именно потому,
что за основные неизвестные приняты силы.

Для любой статически неопределимой системы можно предло-
жить бесчисленное множество вариантов выбора основной системы.

Трудоемкость расчета зависит от того, насколько удачной (ра-
циональной) выбрана основная система. Неудачный выбор приводит
к излишней затрате труда и времени и увеличивает вероятность по-
явления ошибок при счете..

Основные требования, предъявляемые
к основной системе

1. Она должна быть геометрически и мгновенно неизменяемой.

2. Основная система должна быть простой и удобной для по-
строения эпюр изгибающих моментов от действия неизвестных и
нагрузки.

3. Если заданная статически неопределимая система является сим-
метричной, то и основная система должна быть также симметричной.

4. Желательно, чтобы число стержней, в которых возникают из-
гибающие моменты от различных воздействий, было наименьшим.

Выполнение первого требования является обязательным, а ос-
тальных — желательным, это зависит от опыта расчетчика, приоб-
ретенного при решении большого количества разнообразных задач.
Чтобы основная система была геометрически и мгновенно неизме-
няемой, удалять следует только условно необходимые связи.

Всем перечисленным требованиям в полной мере удовлетворяет
статически определимая система, а это значит, что отбрасывать
лишние связи надо в таком количестве, какова степень статической
неопределимости заданной системы, хотя в качестве основной сис-
темы можно использовать и статически неопределимую. В этом
случае из заданной системы отбрасывается число связей, меньшее
числа ее лишних связей Л.

Статически неопределимые системы определенных типов по
конфигурации имеет смысл применять, если для них имеются гото-
вые формулы, таблицы и эпюры внутренних усилий в общем виде
от различных внешних воздействий (см., например: Бычков Д.В.
Формулы и графики для расчета рам. М.: Госстрой и здат, 1957).

Итак, за основную систему при расчете по методу сил будем
принимать статически определимую систему. Направления основ-
ных неизвестных при образовании основной системы выбираются
произвольно. Удаление лишних связей осуществляется с помощью
приемов, приведенных в § 1.2.
Ниже, в примерах, будет представлено несколько вариантов вы-
бора основной системы для каждой заданной статически неопреде-
лимой системы, среди которых на первом месте помещается, по
мнению автора, наиболее удачная (рациональная) основная система.

Пример 5.1. Для рамы, изображенной на рис. 5.1.3, выбрать основную
систему.

С>~~1 Определим степень статической неопределимости
зс рамы: JI^Cq + 2Ш-ЗД =5 + 21-3-2=1.

яМ Основную систему образуем путем удаления одной
лишней связи и по ее направлению прикладываем неиз-
Рис 5 1 3 всстн>'ю обобщенную силу Л|. Взамен одной отброшен-
ной лишней связи в виде горизонтальной или вертикаль-
ной опорной реакции прикладываем горизонтальную или вертикальную
неизвестную силу Хт. Очевидно, что полученные таким образом две ос-
новные системы (рис. 5.1.4, а, 6} по рациональности выбора будут равно-

Отмстим, что при введении шарнира в жесткую заделку А неизвест-
ный момент Х{ вместо отброшенной моментной связи прикладывается
бесконечно близко сверху от шарнира, а опора с жесткой заделкой пре-
вращается в шарнирно-неподвижную опору (см. рис. 5.1.4, <?).

При введении простого шарнира в какое-либо другое сечение стерж-
ня, кроме опорного, вместо одной удаленной моментной связи приклады-
ваются неизвестные взаимно уравновешенные моменты Х{ бесконечно
близко с двух сторон от введенного шарнира (см. рис. 5.1.4, г), не позво-
ляющие поворачиваться сечениям, в которых приложены моменты, отно-
сительно друг друга.

Пример 5.2. Для симметричной рамы, изображенной на рис. 5.1.5, а,
выбрать рациональную основную систему.

Система называется симметричной, если ее геометрическая схема
имеет ось симметрии и жесткости симметрично расположенных элементов
равны друг другу.

Так как +2Ш -ЗД =6 + 2-3 - 3-3=3, заданная система трижды
статически неопределима.

Поскольку заданная система является симметричной, согласно требо-
ваниям, предъявляемым к основной системе, и основная система должна
быть симметричной. Одну лишнюю связь удалим путем рассечения по оси
симметрии (посредине) ферменного элемента DE, еше две лишние связи
можно,- как известно, удалить одним действием - убрать на оси симмет-
рии простой шарнир С. , .

Важно подчеркнуть следующее обстоятельство. При рассечении фер-
менного элемента DE и удалении шарнира С образуются бесконечно ма-
лые зазоры F{F2 и QQ& (рис. 5.1.5, б), в крайние точки которых (Fj,
С:, С2) и прикладываются попарно взаимно уравновешенные неизвест-
ные силы Xlt Х2 и Х3 (рис. 5.1.5, в), представляющие собой силы взаи-
модействия левой и правой частей рамы. Силы Xh Х2 не дают сближать-
ся (расходиться) концевым точкам Fb /^и Сь С2 в горизонтальном на-
правлении, а силы Х3 - в вертикальном направлении точек C'j и С2. Ес-
тественно, что точки Л|, F2t С| и С2 на основных системах показывать
не надо. Чтобы разрезанные части DF} и EF2 ферменного элемента DE
не могли вращаться вокруг своих концевых шарниров D и Е, надо пред-
ставить себе, что в месте разреза имеется муфта, которая изображается на
рисунках двумя параллельными черточками.

Рис. 5.1.5

Для удобства построения эпюры моментов неизвестные продольные
силы Z| можно перенести в крайние точки D и Е, удалив временно фер-
менный элемент DE (рис. 5.1.5, г). Однако при построении эпюры W
продольные силы Х{ надо снова приложить в крайних точках бесконечно
малого зазора и не забыть построить эпюру Л7 на участках DF\ и EF2
ферменного элемента DE (рис. 5.1.5, д).
• Неизвестные, расположенные на оси симметрии, автоматически ста-
новятся симметричными и обратносимметричными (кососимметричными)
неизвестными. Вообще называть неизвестные симметричными и обратно-
симметричными можно только в симметричных основных системах. В
данном примере неизвестные J] и Х2 являются симметричными неиз-
вестными, а Хг- обратносимметричным.

Эпюры изгибающих моментов от действия симметричных неизвест-
ных будут симметричными, а от действия обратносимметричных неизвест-
ных - обратносимметричными.

В общем случае можно сказать так: от действия на симметричную
систему любого симметричного воздействия эпюры М и N будут сим-
метричными, эпюра Q - обратносиммстричной, а от действия на сим-
метричную систему любого обратносимметричного воздействия эпюры
М и N будут обратносимметричными, эпюра Q — симметричной.

Другие основные системы получаются гораздо менее удачными, и они
здесь не приводятся.

Пример 5.3. Для неразрезной балки, показанной на рис. 5.1.6, вы-
брать основную систему.

Рис. 5.1.6

Неразрезной балкой
называется такая статически неопре-
делимая балка, которая перекрывает
два и более пролетов и не имеет
сквозных шарниров.

Если в формулу для числа лишних связей Л подставить //7=0 и
Д~\, то получим более простую формулу для подсчета степени статической
неопределимости для неразрезных балок: Л=С^ +2Ш-ЗД- Со -3=5-3=2.

а} ОС. 6) о.С.

Рис. 5.1.7

Чтобы эпюры изгибающих моментов от неизвестных обобщенных сил
имели меньшее число общих участков, основную систему для нсразрезной
балки выбирают в виде совокупности однопролстных шарнирно опертых
балок. Для этого вводят сквозные шарниры на всех промежуточных опорах
балки (рис. 5.1.7, а), а если имеются жесткие заделки, то и в них. Про-
стой, но менее удачной будет основная система, если отбросить две опор-
ные связи (рис. 5.1.7, б).

Пример 5.4. Выбрать рациональную основную систему для рамы, изо-
браженной на рис. 5.1.8.

Определим количество лишних связей: Л-С^ + 2Ш -ЗД =5+2-3-3-3=2.
Рассечение ферменного элемента ВС посредине, как
известно, приводит к устранению одной лишней связи.
Неизвестные продольные силы Xt в этом случае прикла-
дываются к концам бесконечно малого зазора. Вторую
лишнюю связь удалим с помощью отбрасывания верги-
калькою опорного стержня в точке В или введением
шарнира в каком-либо сечении стержня рамы.

Различные основные системы представлены на

Рис. 5.1.8

рис. 5.1.9, а...в.

Система, показанная на рис. 5.1.9, г, не может называться основной,
так как она является мгновенно изменяемой.

Рис. 5.1.9

Рис. 5.1.10

Пример 5.5. Выбрать рациональную основную систему для рамы,
представленной на рис. 5.1.10.

Определим число лишних связей:
+2Ш -ЗД =4+2-4 -3 3=3.

Наиболее простую основную систе-
му получим, если разрежем ферменный
элемент АЕ и удалим простой шарнир D
(рис. 5.1.11, а).

Вторую основную систему выбираем,

основываясь на том свойстве, что простой шарнир эквивалентен двум свя-
зям. Одну из них. а именно горизонтальную связь, удалим (рис. 5.1.11, б).

Рис. 5.1.11

При построении эпюр внутренних усилий желательно представить
выбранную основную систему в виде поэтажной схемы.

Пример 5.6. Выбрать рациональную основную систему для симмет-
ричной рамы, показанной на рис. 5.1.12.

Так как заданная система имеет один замкнутый бесшарнирный кон-
тур, количество лишних связей определим по формуле (1.12): Л =Cq +
+2Ш+ЗК-ЗД =4 + 2 0 + 31 - 31=4.
Все четыре лишние связи можно удалить на
вертикальной оси симметрии. Для этого разрежем
посредине один из ригелей, а в другой так же по-
средине введем простой шарнир (рис. 5.1.13, а, 6).

Еще один вариант весьма простой основной
системы получим, если наряду с разрезом одного
из ригелей удалим один из горизонтальных опор-
ных стержней (рис. 5.1.13, в). Рассечение стержня,
как известно, эквивалентно отбрасыванию трех
связей.

Как и ранее, неизвестные силы Х2, Ху и ХА прикладываем к кон-

цам бесконечно малого зазора, получающегося после разрезания риге-
ля (рис. 5.1.13, а...в).

Напомним, что понятия симметричных и обратносимметричных (ко-
сосимметричных) неизвестных относятся только к симметричным основ-
ным системам. На основании этого определения неизвестные Xit Х2 и
Ху, показанные на рис. 5.1.13, а, б, являются симметричными неизвест-

ными, a Xi - обратиосимметричным.

Основная система, изображенная на рис. 5.1.13, в, несимметрична, так
как закрепления нижних концов стоек различны. Поэтому, в силу того же
определения, неизвестные Xlt Х2 и Ху нельзя называть симметричны-
ми неизвестными, а Хд — обратиосимметричным, хотя эпюры моментов
в основной системе от действия неизвестных Х2 и Ху будут симмет-
ричными, а эпюра моментов от действия неизвестного Х4 - обратносим-

мстричной.

Первые две основные системы можно использовать при расчете на
любую внешнюю нагрузку, в то время как основную систему, показанную
на рис. 5.1.13, в, не рекомендуется применять при действии горизонталь-
ной обратносиммстричной нагрузки, так как эпюра моментов от такой
нагрузки не будет обратносимметричной. Из дальнейшего станет ясно, что
в этом случае для такой несимметричной основной системы, в отличие от
основных систем, представленных на рис. 5.1.13, а, б, неизвестные
Xlf Х2 и Ху априорно в нуль не обратятся.

Рис. 5.1.13
Промер 5.7. Выбрать рациональную основную систему для симмет

Определим число лишних связей: Л=С^ +2Ш-ЗД в 8+22-3-3-3.

Так как заданная система является симметричной, основная система
должна быть выбрана симметричной. Из трех лишних связей только одну
можно удалить на оси симметрии путем рассечения ферменного элемента
ЕЕ Неизвестное симметричное усилие Х} прикладываем в крайних точ-
ках бесконечно малого зазора (рис. 5.1.14, б}.

Для удаления оставшихся двух лишних связей поступим следующим
образом. Чтобы не нарушать симметрию основной системы относительно
вертикальной оси, отбросим в точках Ли D две симметрично расположен-
ные горизонтальные опорные связи, а их влияние заменим двумя неиз-
вестными силами, обозначенными пока через У2 и У3 (см. рис. 5.1.14, <5).
Из последнего рисунка видно, что хотя геометрия системы является сим-
метричной, но сами неизвестные У2, У3 и эпюры моментов, построенные
от них, не будут симметричными и обрагносимметричными.

Для решения проблемы получения симметричной основной системы
воспользуемся известной теоремой из курса алгебры. Согласно этой тео-
реме две неизвестные величины У2 и У3 можно заменить суммой и раз-
ностью двух других неизвестных Х2 и Х3, т. е. У2 = Х2 + Х3 и У3 =
== Х2 - Х3, где новые неизвестные Х2 и Х3 определяются по формулам
ЛГ2 = (У2 + У3)/2 и Х3 = (У2 - У3)/2.

Применительно к данной задаче это означает, что неизвестную реак-
цию У2 в опоре А можно представить в виде суммы двух сил Х2 иХ3, а
неизвестную опорную реакцию У3 в точке D - в виде разности этих же
сил Х2 и Х3(рис. 5.1.15, а). Естественно, можно сделать и наоборот: в
опоре А приложить разность сил Х2 и Х3, а в опоре D - их сумму.

В строительной механике приведенное выше преобразование неизвестных
носит название способа группировки неизвестных.

Практически этот способ формально применяется так: в одной из двух
симметрично отброшенных связей две неизвестные обобщенные силы на-
правляют в одну сторону, а в другой - эти же силы - в противоположные
стороны.
Группировать можно как неизвестные силы, так и моменты. Груп-
пировка неизвестных моментов показана на второй основной системе
(рис. 5.1.15, 6).

Рис. 5.1.15

Неизвесгные Х2 и Ху, приложенные в симметричных точках рамы,
называются групповыми неизвестными, так как каждое из них состоит из
группы (двух) сил. Эпюры изгибающих моментов, построенные от каж-
дого группового неизвестного, также называются групповыми эпюрами.
Неизвестное Х2 и эпюра моментов М2, построенная от его воздействия,
являются симметричными, а неизвестное Ху и эпюра моментов Му —
обратносимметричными.

Пример 5.8. Выбрать рациональную основную систему для рамы,
представленной на рис. 5.1.16.

Рис. 5.1.16

Определим число лишних связей: Л-Cq +
+2Д/-ЗД=5 + 20 -31=2.

Из-за наличия различных опорных условий
закрепления в точках А и В заданная рама нс
является симметричной, хотя и близка к ней.
Для такой системы и ей подобных с целью по-
лучения симметричных и кососимметричных
эпюр моментов в основной системе, как прави-
ло, можно воспользоваться, как и в случае сим-
метричных систем, способом группировки нс-

известных.

В данной раме удалим две вертикальные опорные связи в точках С и
D, симметрично расположенных относительно вертикальной оси, прохо-
дящей через середину среднего ригеля. Два неизвестных усилия в этих
связях сгруппируем так, как это было описано в предыдущем примере.
Например, неизвестные силы и Х2 в точке С направим в одну сторо-
ну, а в точке D - в противоположные стороны (рис. 5.1.17, а).

Аналогично можно поступить и с вертикальными опорными связями
в точках А и В (рис. 5.1.17, 6). Эпюра моментов в этих основных систе-
мах от действия парного неизвестного Х\ будет симметричной, а от дей-
ствия парного неизвестного Х2 ~ кососимметричной, однако сами неиз-
вестные Л| и Х2 нельзя называть симметричным и кососимметричным.

Рис. 5.1.18

Рис. 5.1.17

Пример 5.9. Выбрать рациональную основную систему для симмет-
ричной неразрезной балки (рис. 5.1.18, а).

Определим число лишних
связей: Л=С$ - 3 ш 6 - 3 = 3.

Основная система будет
самой удачной, если на всех
промежуточных опорах ввести
шарниры, а вместо отброшен-
ных связей приложить неиз-
вестные моменты. Так как не-
известное Х{> находящееся на
оси симметрий, автоматически

становится симметричным, для получения симметричной основной систе-
мы сгруппируем, по приведенным выше правилам, неизвестные Х2 и Хг,
расположенные в симметричных сечениях балки (рис. 5.1.18, 6).

Пример 5.10. Выбрать основную систему для фермы, изображенной
на рис. 5.1.19, а.

Рис. 5.1.19

Определим число лишних связей по формуле (1.11): Л=С$+ С-2У
4+ 11-2-7= I.
Заданная ферма внешне один раз статически неопределима. Основную
систему здесь удобнее выбирать путем отбрасывания одной лишней услов-
но необходимой опорной связи (рис. 5.1.19, б). Несколько менее удачной
будет основная система, если отбросить внутреннюю связь (рис. 5.1.19, в).

Пример 5.11, Выбрать рациональную основную систему для фермы,
показанной на рис. 5.1.20.

Вычислим степень статической неопределимости по формуле (1.11):

Cq +С- 2У = =3 + 19 - 210 = 2. .

Заданная ферма внутренне дважды статически неопределима. Основ-
ную систему выбираем путем рассечения двух симметрично расположен-
ных ферменных элементов, а неизвестные усилия Х} и Х2, приложенные
в крайних точках бесконечно малого зазора, группируем по изложенным
выше правилам (рис. 5.1.21, а, 6).

Рис. 5.1.21
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 5.1.01..3.1.32. Выбрать рациональные основные системы.

5.1.01

5.1.03

5.1.08

5.1.09

5.1.07

5.1.10

5.1.13

5.1.15
5.1.16

ZZZZZZZz

5.1.17

5.1.18

Z/ZW/z

5.1.23

5.1.24

5.1.22

zzzzZzzz

5.1.21

zZZ ZZ

5.1.26

5.1.31

ось!симмстрии

5.1.32

ось симметрии
§ 5.2. Силовое воздействие

Если заданная система имеет Л=п лишних связей, то после их
отбрасывания и приложения неизвестных обобщенных сил система
канонических уравнений метода сил для нахождения этих неиз-
вестных может быть записана в виде

6[1^1 +5]2^2 +813-^3 +'” + ^\п^п + Д1? “

821-^1 + ^22%2 + $23^3 + ••• + + Д;р “

63lJi +632^2 +633^3 + —+ 53лХ„ tA3/> - 0;

+ 8д2^2 + + “• + ^пп^п + ДпР = 0-.

В матричной форме система уравнений (5.1) записывается сле-
дую пшм образом:

£Х + ДР=0, (5.2)

где X = [XitX2,...tXn]T - вектор неизвестных (символ Т вверху
означает операцию транспонирования);

ДР = |Д]?,Д2р,...,Длр]г- вектор свободных грузовых членов;

L- матрица внешней податливости системы, которая в раз-

вернутой форме выглядит так:
5ч 812 513 — 51л
321 822 623--82я
831 832 $33 ’"83л (5.3)

,$Л1 8„2 8лз”5лл

Поскольку уравнения (5.1), (5.2) являются условиями эквива-
лентности по перемещениям заданной и основной системы (усло-
виями неразрывности перемещений), физический смысл
любого /-го уравнения можно сформулировать так: суммарное пе-
ремещение точки приложения силы Х{ по направлению этой же силы
от действия всех неизвестных и нагрузки на основную систему равно
нулю, потому что в заданной системе по указанному направлению
имеется связь, препятствующая этому перемещению. Короче:
суммарное перемещение по направлению i -и отброшенной связи равно
нулю.
• Вес перемещения, обозначенные буквой 8, называются еди-
ничными перемещениями. Так, 8Л - перемещение в основной сис-
теме точки приложения силы Xj по ее направлению от действия
силы Хк = 1; 8/7 ~ перемещение в основной системе точки прило-
жения силы X, по ее направлению от действия силы Х{ = 1; А/р -
перемещение в основной системе точки приложения силы X, по
ее направлению от действия заданной нагрузки.

Коэффициенты с одинаковыми индексами, расположенные на
главной диагонали матрицы L, называются главными коэф-
фициентами. Они всегда положительны и не равны нулю.

Все остальные коэффициенты этой матрицы называются п о-
боч н ы ми. Они могут быть положительными, отрицательными и
равными нулю. Чем больше побочных коэффициентов обратится в
ноль, тем более удачной является выбранная основная система.
Чтобы достичь этого, применяют специальные приемы, которые
подробно изложены в учебной литературе.

На основании теоремы Максвелла о взаимности перемещений
между побочными коэффициентами с обратными индексами вы-
полняется следующее соотношение:

6Л = 5Й, (5.4)

вследствие чего матрица внешней податливости L будет симмет-
рична, а так как определитель матрицы (5.3) всегда больше нуля,
она является и положительно определенной.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены вычисля-
ют по формуле Максвелла - Мора (3.17), учитывая в ней опреде-
ленное число членов, в зависимости от типа рассчитываемой сис-
темы.

При расчете рам и балок учитываются только изгибающие мо-
менты:

8« = S Д,, = £ (5.5)

при расчете ферм - продольные силы:

= ~ЁА ’ 1 ~ЁГ ’ Д* - 1" ЕГ' (5 б)

где Nf- эпюры изгибающих моментов и продольных сил, по-
строенные в основной системе от действия на нее силы
Xi = 1; Мк, Nk- эпюры изгибающих моментов и продольных
сил, построенные в основной системе от действия на нее силы
Xk-l; MP, Np- эпюры изгибающих моментов и продольных
сил, построенные в основной системе от действия заданной сило-
вой нагрузки.

Эпюры Мк, Nh Nk называются единичными
эпюрами, а эпюры MPi NР- г р у з о в ы м и.

Напомним, что процедуру вычисления интегралов Мора (5.5) с
применением правила Верещагина называют "перемножением"
эпюр.

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных
членов для основной системы, содержащей два и более неизвест-
ных, представляет собой довольно трудоемкий процесс и при руч-
ном счете нередко приводит к ошибкам в окончательных результа-
тах расчета. Во избежание этих ошибок рекомендуется заранее про-
водить две проверки: универсальную и построчную. Для этого надо
построить так называемую суммарную единичную эпюру
изгибающих моментов М5 в основной системе при одновремен-
ном действии на нее всех неизвестных, равных по единице. Эту же
эпюру Ms можно получить и путем алгебраического сложения по-
строенных ранее единичных эпюр по формуле

Ms = Мх + М2 + М3 + + Мп. (5.7)

Алгебраическую сумму' всех коэффициентов, входящих в мат-
рицу внешней податливости L, можно представить так:

л л

(5.8)

МЫ

С другой стороны, эта же сумма может быть вычислена путем
перемножения суммарной единичной эпюры М$ самой на себя:

= (5-9)

Из сравнения этих результатов делают вывод о правильности
вычисленных коэффициентов при неизвестных. Эта проверка на-
зывается универсальной.

В случае, если универсальная проверка дает отрицательный ре-
зультат, для отыскания ошибки прибегают к построчным
проверкам:

Sis = £6^ (5.10)

Ы1
8й=Е/^-Л- (5.11)

Если построчные проверки дают расхождение только в одной
строке матрицы Z, то ошибку следует искать при вычислении
главного коэффициента этой строки. Если же расхождение имеется
одновременно в двух строках матрицы L, то ошибку следует ис-
кать в побочном коэффициенте, содержащемся в тех двух строках,
для которых построчные проверки не сходятся.

Для проверки правильности вычисления всех свободных членов
проводится постолбцевая проверка:

= (5.12)

/-1

При расчете сооружений методом сил расхождение в проверках
допускается не более 2%.

Подчеркнем, что все приведенные выше проверки имеет смысл
проводить, если есть полная уверенность в правильности построе-
ния исходных эпюр изгибающих моментов - единичных и грузо-
вой.

Подставив найденные коэффициенты и свободные члены в
систему канонических уравнений (5.1) и решив ее, можно опреде-
лить истинные значения неизвестных метода сил ХьX2t...tXn.

После этого переходят к построению окончательной эпюры
изгибающих моментов. Ее можно построить двумя способами. По
первому способу найденные значения сил Хъ Х2,...,Хп
и заданную силовую нагрузку прикладывают к основной системе.
Поскольку основная система является статически определимой,
после вычисления опорных реакций по уравнениям статики по-
строение окончательной эпюры М не вызывает особых затрудне-
ний. По второму способу на основании принципа супер-
позиции окончательная эпюра изгибающих моментов строится как
алгебраическая сумма исправленных единичных эпюр с гру-
зовой эпюрой МР:

М = А?! Хх + М2Хг + - + МпХп +МР = £ MfXi + МР. (5.13)
/-1

В расчетной практике обычно применяют второй способ. По
формуле, аналогичной (5.13), можно строить эпюры поперечных Q
и продольных N сил. Однако, как правило, в расчетной практике
эпюру поперечных сил строят по окончательной эпюре изгибаю-
щих моментов, а эпюру продольных сил N- по эпюре Q спосо-
бом вырезания узлов.

Прежде чем переходить к построению эпюр Q и N, надо вы-
полнить статическую и кинетическую (деформационную) проверки
правильности построения окончательной эпюры изгибающих мо-
ментов.

Статическая проверка. Достаточно выяснить, урав-
новешены ли все узлы рамы, т.е. в каждом узле сумма моментов
должна быть равна нулю. Эта проверка не определяет, правильно
ли найдены неизвестные. Она является формальной и выявляет
внимательность при перемножении и сложении эпюр моментов.

Из приведенного выше следует, что статическая проверка явля-
ется необходимым, но недостаточным условием правильности
окончательной эпюры изгибающих моментов.

Кинематическая проверка. Перемещения ос-
новной, а также заданной системы от совместного действия неиз-
вестных и нагрузки по направлению любого неизвестного должны
быть равны нулю, потому что в заданной системе эти перемещения
невозможны из-за наличия связей. Так как результатом совмест-
ного действия неизвестных и нагрузки является окончательная
эпюра изгибающих моментов М (первый способ построения эпю-
ры М), перемножение ее с любой единичной эпюрой Л/,, должно
каждый раз приводить к нулю:

= (5.14)

Если единичных эпюр моментов много, то вместо перемноже-
ния окончательной эпюры М со всеми эпюрами достаточно

произвести одно перемножение с суммарной единичной эпюрой Мs:

Zf^-A = o. <515)

J EJ

Положительный результат кинематической проверки является
достаточным условием правильности построения окончательной
эпюры изгибающих моментов.

Относительная погрешность в общем случае определяется по

известной формуле е = • 100% £ 2%, где А- сумма сла-

тш{Л, В]

гаемых с положительным знаком; В- сумма по абсолютной вели-
чине слагаемых с отрицательным знаком; min {Л, В }- наимень-
шее значение по абсолютной величине из двух сумм А и В.
- Здесь уместно отметить одно обстоятельство. Допустим, что
окончательная эпюра М для заданной системы с двумя лишними
связями построена неправильно. Тогда при проверке по формуле
(5.14), перемножая ее с единичной эпюрой получим погреш-
ность, например, в 20%, с преобладанием положительных слагае-
мых, а, перемножив ее с единичной эпюрой Л/2, получим погреш-
ность тоже в 20%, но с преобладанием отрицательных слагаемых.
Первая и вторая проверки показывают, что окончательная эпюра
Л/ построена неверно. Однако, если перемножить эпюру М с
суммарной единичной эпюрой Ms по формуле (5.15), то получим
погрешность в 0% и по ней, естественно, будем судить о том, что
эпюра М построена правильно. Поэтому более корректной (стро-
гой) будет проверка, если перемножать окончательную эпюру М с
каждой единичной эпюрой Л/,. Практически для систем, имеющих
три и более неизвестных, применяют формулу (5.15), а для систем с
двумя неизвестными - формулу (5.14). Дополнительная затрата
времени в этом случае будет весьма незначительной.

. Проверка эпюр Q и У состоит в проверке условий, согласно
которым любая отсеченная часть системы должна находиться в
равновесии под действием нагрузки и приложенных в местах разре-
за сил, т.е. должны выполняться условия статического равновесия:
£Х = 0; £Г=0.

Читатель, наверное, уже осознал, что при расчете статически
неопределимых систем методом сил с большим числом неизвест-
ных наиболее трудоемкой частью является вычисление коэффици-
ентов, входящих в систему канонических уравнений, их проверка и
решение самой системы. Добиться упрощения при решении задачи
можно за счет удачно выбранной основной системы и, как следст-
вие этого, обращения в нуль побочных коэффициентов.

Возможность существенного упрощения появляется при расче-
те симметричных сооружений. Такие сооружения, как известно,
имеют симметричную геометрическую схему, в которой жесткости
симметрично расположенных элементов равны друг другу. Основ-
ная система должна быть выбрана симметричной. Как следует из
§5.1, неизвестные, расположенные на оси симметрии, и групповые
неизвестные, расположенные в симметричных сечениях основной
системы, разделяются на две группы: симметричные и обратно-
симметричные. Симметричными и обратносимметричными будут и
единичные эпюры изгибающих моментов. Такое разделение неиз-
вестных приводит к обращению в нуль многих побочных коэффи-
л
циентов и, как следствие, к распаду системы канонических уравне-
ний на две подсистемы: одна из них будет содержать только сим-
метричные неизвестные, другая - обратносимметричные.

Свойство ортогональности. В математике две
функции <?,(%) и Ф*(ЛГ), определенные на интервале (а, Ь), на-
зываются ортогональными на этом интервале, если интеграл от их
произведения равен нулю:
ь

]Ч>;СТ) ф*(Х) dX = О при / * к. (5.16)

Применительно к задачам строительной механики свойство ор-
тогональности можно в частном случае сформулировать так: если
одна эпюра моментов Ма симметричная, а другая эпюра моментов
Мь обратносимметричная, то интеграл от их произведения равен
нулю:

jMaMbds=0. (5.17)

Такие эпюры называются взаимно ортогональ н ы-
м и, побочные коэффициенты и свободные члены от их перемно-
жения вычислять не надо, так как они априорно равны нулю.

В заключение отметим следующее: если неизвестные называют-
ся симметричными и обратносимметричными, то они должны
удовлетворять двум правилам, являющимся следствием свойства
взаимной ортогональности эпюр:

1. Если на симметричное сооружение действует симметричное
внешнее воздействие, то все обратносимметричные неизвестные
равны нулю.

2. Если на симметричное сооружение действует обратносим-
метричное внешнее воздействие, то все симметричные неизвестные
равны нулю.

Последовательность расчета статически неопределимых систем
методом сил рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 5.12. Построить эпюры Л/, Q, N для рамы, изображенной
на рис. 5.2.1, а.

1. Определим степень статической неопределимости рамы по формуле
(1.10): Л = С0 + - ЗД=4 + 2 2-3-2 = 2.

Заданная рама два раза статически неопределима.

2. Выбираем основную систему метода сил путем рассечения фермен-
ного элемента и отбрасывания вертикального опорного стержня в опоре С.
Неизвестные силы Х1 приложим не в крайних точках бесконечного ма-
лого зазора, а в точках прикрепления ферменного элемента к вертикаль-
ним стержням (рис. 5.2.1, б). На основной системе помимо неизвестных
сил показывается и заданная нагрузка.

3. Записываем систему канонических уравнений метода сил:
+ 6|2^2 + △]? = 1

821-^1 + 822^2 + Д2? e 0-J

4. Последовательно загружая основную систему силами = 1,
Х2 = 1 и внешней нагрузкой, строим единичные эпюры Л/,, М2, грузовую
эпюру МР, а также суммарную единичную эпюру Мs (рис. 5.2.1, в...е).

5. По формулам (5.5) вычисляем коэффициенты при неизвестных и сво-
бодные члены, поочередно проверяя их по формулам (5.8), (5.9) и (5.12):

v I 2 1 1 156.

«п’и-^-г-б-б-з-б^^б-б-б—= —,

. Я V > Л Л Л 1 1 6 6 6 1 - 90 •

812=«2I=ZJ—^"-уб-б.6. —--.6.66.—,

1 х А 2 , 1 . , о , 1 180.

_.б.6._.6._.2 + 6.9.6.__ —

1 156

= $11 + $22 + $12 +$21 =—(156 +180 - 90 - 2) =
С другой стороны:

s =у f^*_1.6.6 -.6 — 2+1 6-6 - 6 —-2 +

® EJ 2 3 3EJ 2 3 2EJ

, 1 156

+ 3 66 — -—.

Результаты совпали, следовательно, коэффициенты при неизвестных
вычислены верно. .•

8u.=sj^=46-6-27.^-66.1,5.^+

1 , , „ 1 27

+ -6-636-= —:

2 3EJ EJ

^=Е1^>^ = Г^7(4 1.5.3 - 24.6)-36.9.6.317 +

+ Нё7(_36'6-4’9’3)“’^Г:

О • LbJ i'J

= Д]/> + Д2? = —(27 -873) -
C.J L'J

С другой стороны:

- =_1.6.6.27:J-+—L_(,27.6- 41,5 3)-

sr EJ 2 3EJ 6-2EJ^ ’ ’

-1 6-6-36 -L--36-3 (-36-6-4 9-3) = -^..

2 3EJ 3EJ 6 2EJ EJ

Свободные члены вычислены верно.

6. Подставляем вычисленные значения коэффициентов в канониче-
ские уравнения:

EJX' FJX2+~EJ-°’
90 Y 180 v 873 „
-йх'-йх>~ЁГ-й

Все члены уравнений можно сократить на жесткость EJ . Это означа-
ет, что при силовом воздействии главную роль играют не абсолютные зна-
чения жесткостей стержней, а их соотношения. Решив систему канониче-
ских уравнений, находим значения неизвестных сил в отброшенных связях:

Хх = 3,689 кН; Х2 = 6,695 кН.

Значения неизвестных получились со знаком плюс, следовательно,
предварительное направление их выбрано верно.

7. Вначале строим исправленные эпюры моментов путем умноже-
ния единичных эпюр М{ и на найденные значения сил ATj и Х2
(рис. 5.2.2, а, 6), а затем по формуле (5.13) - окончательную эпюру изгибаю-
щих моментов М (рис. 5.2.2, в). Эпюра М строится в заданной системе.
8. Производим проверку окончательной эпюры изгибающих моментов.

Статическая проверка удовлетворяется, так как все узлы рамы нахо-
дятся в равновесии. Равновесие узла G проверяется с учетом заданного
внешнего момента т =12 кН-M, направленного против хода часовой
стрелки.

Рис. 5.2.2

Кинематическая проверка по формуле (5.14):

^^та^876-415’94^6-60’54^*

*rk07-96 6+4 6-9 3) = ir<-73-5+7Л24) -тг

— /Й

Относительная погрешность составляет: е = ——Г7-Ц • 100% =

тшЦ 5}

173,24 - 73,5] _ Л

= С2^ГГ/-~-1°0%’Д35%.

73,24

Х^ = Г^М0,54.3-5^.6)-б.66Л^ +

+ 4Д7.36-^ + -^(-437-6 + 411,08-3) =

JrJ о • 2.EJ

--^(-103,92+104,01) = Ж
СЭ LJ

Относительная погрешность составляет. Е = . , • 100% =

mm (Л, В]

1104,01-10332] _

=---"io3 92---- ~ 0,09% . Следовательно, эпюра М верна.

Так как при перемножении эпюры М с эпюрами М{ и М2 исполь-
зовалась формула Симпсона, на этих эпюрах дополнительно показаны
значения средних ординат на перемножаемых участках.

9. По проверенной окончательной эпюре изгибающих моментов М

строим по известным правилам эпюру поперечных сил Q (рис. 5.2.4, а), а
по ней способом вырезания узлов - эпюру продольных сил № (рис. 5.2.4, б).
Остановимся несколько подробнее на построении эпюры jV. Уравно-
Ишивание по поперечным и продольным силам узлов F и G, в которых
Молятся по два стержня, показано на рис. 5.2.3, а, б.

QF.G

й) t - -

F 69хН

б)

Л^ЛвЗ,69кН ▼ <?

4* Qf-d =3,69кН

С^£-3,69кН

<?£.0=3,69кН-|-*-

-4— —с
Л^-З.бЭкН £

^.(?“1»8кН

ЛГлх>-1,8кН

^g.£*1,8xH

г) 7^г-1,8хН

Ф Л^-1,8кН

Л^.д’ЬВкН

?~9кН^ D

•<- - Qd-f~3,69кН

* ^z>.e=3,69kH

^-Qd-л^кЯ

Л^л-1,8кН

^«7,1кН

2Л-с=5.3кН

Рис. 5.2.3

Перед уравновешиванием трсхстержнсвых узлов Еп Днадо предва-
рительно приложить уже найденные продольные силы: сжимающую силу
^_с=1,8 кН и растягивающую силу кН и, кроме того, не за-

быть приложить внешнюю силу £=9 кН в узел D (рис. 5.2.3, в, г). Опор-
ная реакция VB определяется из условия равновесия вырезанного узла В

Для проверки эпюр Q и N отсечем раму от опор и приложим вместо
них силы, взятые из этих эпюр (рис. 5.2.4, в). Как легко видеть из послед-
него рисунка, суммы проекций всех сил на горизонтальную ось X и вер-
тикальную ось Y удовлетворяют условиям статического равновесия:
Пример 5.13. Рассчитать раму от указанного на рис. 5.2.5, а силового
воздействия.

1. Определяем количество лишних связей: Л— Сд + 2Ш- ЗД=
=5+2 1-3-2=1.

Заданная система один раз статически неопределима.

2. Основная система показана на рис. 5.2.5, 6.

Рис. 5.2.5

3. Каноническое уравнение метода сил запишется в виде
। Х\ + Д|/> = 0, откуда Х\ = — Д1р/8ц .

4. Единичная эпюра и грузовая эпюра МР представлены на
рис. 5.2.5, в, г.

5. Вычислим коэффициенты 5цИ Д|?. Так как жесткости стержней
не указаны, считаем их одинаковыми и равными EJ :

. ~ rM?dx 1 . . 2 . I . 1 , . 2 . 1

511<1-^-=2-4‘»т4--.2+-.3.4.г4.-+

+l.2.4.2.4.-L=208;

2 3 EJ3EJ

Д у в—L.4.4^.2-I-6.2-1.4. — = - — .

J EJ 6EJ 2 3 EJ EJ
6. Подставим найденные коэффициенты в выражение для X,:

= -фл. = “ = 0,375 (кН).

1 8П EJ • 208

7. Строим исправленную эпюру моментов Мх Xj путем умноже-
ния ординат единичной эпюры М, на найденное значения силы Х}
(рис. 5.2.5, J). Суммируя исправленную эпюру с грузовой, получим окон-
чательную эпюру изгибающих моментов (рис. 5.2.5, е).

8. Кинематическая проверка:

с^.(2.1,5.4-6-4) + 7|у(-4.3,75.2 + 1,5.4) +

л i'.J Q£J bzJ

41,5 .|-4^-.2-^(-16 + 16)»0.
I j CJ CJ

Кинематическая проверка удовлетворяется точно, так как не было
округлений при вычислениях.

9. По окончательной эпюре М строим эпюры Q и N (рис. 5.2.6, а, б).
Эти эпюры отвечают всем условиям равновесия.

Пример 5.14. Рассчитать заданную симметричную раму от указанного
на рис. 5.2.7, а обратносимметричного силового воздействия.

1. Заданная рама три раза статически неопределима, поскольку
Л=Со+ 2Ш-ЗД=6 + 20 -31 =3.

Рис. 5.2.7
2. Симметричная основная система образуется путем рассечения верх-
него ригеля посредине (рис. 5.2.7, <5). Как видно из этого рисунка, все не-
известные удалось расположить на оси симметрии, а это значит, что неиз-
вестное X, будет называться обратносимметричным, а неизвестные Х2 и
ЙГ3 “ симметричными. Так как на заданную симметричную систему дейст
вует обратносимметричная нагрузка, согласно второму правилу (см. с. 23)
все симметричные неизвестные равны нулю, т. е. Х7 = ^3=0.

3. Для рассматриваемой задачи система трех уравнений вырождается в
одно алгебраическое уравнение:

$11^1 ip = $

4. Обратносиммстричные эпюры моментов Л/, и Мр изображены на
рис. 5.2.8, а, б.

Рис. 5.2.8

5. Вычисляем коэффициенты 8пи Д|р:

Sn=IJ^ = 9
44'3Т4^'

А 2. 1 л , , 1
4'3-4-4£7 + 4Г4-3£7 +

152 .

’ 3EJ ’

1 2 J 72

) EJ 2 3 4EJ EJ'

6. Подставим найденные коэффициенты в уравнение:

152 у 72
3EJ 1 + EJ

О, откуда

= -1,421 кН.

Неизвестное Х} получилось со знаком минус, следовательно, предва-
рительное направление выбрано неправильно.

7. Эпюру М{ надо перевернуть (тем самым учтем знак минус у неиз-
вестнаго) и все ординаты умножить на коэффициент 1,421 (рис. 5.2.9, а).
После этого строим окончательную эпюру моментов М как алгебраиче-
скую сумму эпюры МР и исправленной эпюры Хх (рис. 5.2.9, б).
8. Проводим проверку окончательной эпюры моментов М.

Статическая проверка удовлетворяется, так как все узлы рамы нахо-
дятся в равновесии.

Кинематическая проверка:

+ i • 30,32 • 3 • 4 • -М- 2 = -2_(-60,58 + 60,64) = .

2 3 4E1J EJ EJ

Л 0,06

Относительная погрешность:

•100% >0,1%.

9. По проверенной эпюре М строим эпюры и W (рис. 5.2.10, а, б).

неразрезной балки (рис. 5.2.11, а)

Пример 5.15. Ддя симметричной
построить эпюры М и Q.

0=6кН/м

EJ^r, 2EJ Л, Е1„,
З.С.

О. С.

Рис. 5.2.11

. /j-бм . /2»8м /3=/г 6м

к-2----->!
1. Определяем количество лишних связей; Л = Cq- 3 = 5 -3 - 2.

2. Симметричная основная система с группировкой неизвестных пред-
ставлена на рис. 5.2-11, б. Неизвестное Х> является симметричным, а не-
известное /2- обратносимметричным. Так как на заданную симметрич-
ную балку действует симметричная нагрузка, то согласно первому правилу
(см. с. 23) обратносимметричное неизвестное Х2 будет равно нулю (Х2 = 0).

3. В силу того, что « 0, система двух уравнений вырождается в
одно алгебраическое уравнение:

+ Д(р э 0 .

4. Симметричные эпюры моментов Мх и МР показаны на рис. 5.2.12, а, б.

5. Вычисляем коэффициенты 8Н и Д1?:

. .ZJM±^.4.27.0,5.2 + iX7.4.48.1 = f.

6. Подставив найденные коэффициенты в уравнение, получим

= откуда X, =-29,5 кН.

EJ EJ

7. Окончательную эпюру моментов М построим по формуле (5.13)
как алгебраическую сумму эпюры МР и исправленной эпюры Мх Хх
(рис. 5.2.13, а, б).

8. Кинематическая проверка:

ZJ^*=_6_(4.12>2S.O1J_29(5.1)2+

+ t4f7<-29>5 • 1 + 4 18.5 1 - 29Д I) = -jU-IO * ГО) = 0.

о • 2д7 гл
9. По проверенной эпюре
М строим эпюру Q (рис. 5.2.13, в).

Пример 5.16. симметрич-
ной рамы (рис. 5.2.14, а) построить
эпюры М. Q, N .

Гак как жесткость EJ не зада-
на, будем считать для всех стержней
EJ -const.

1. Находим степень статической
Л= С0 + 2Д/-ЗД= 7 + 2-2-3-3 = 2.

(Q) (кН)

Рис. 5.2.13

неопределимости заданной системы:

Рис. 5.2.14

2. Наиболее удачная симметричная основная система с |руппировкой
неизвестных представлена на рис. 5.2.14, 6. Неизвестное Х} - симметрич-
ное, а неизвестное X 2 - обратносимметричное.

3. Система канонических уравнений для определения двух неизвест-
ных в общем случае запишется в виде

5nJi +512ЛГ2 + д1? - °;
+ 022^2 Д2Р “
4. Последовательно загружая основную систему силами X, = 1, Х2 = I
и внешней силовой нагрузкой, строим единичные эпюры Mit М2, грузо-
вую эпюру МР, а также суммарную единичную эпюру Мs (рис. 5.2.4, в...е).

5. Вычисляем коэффициенты при неизвестных, свободные члены и
производим их проверки. Вследствие того, что симметричная эпюра и
обратносимметричная эпюра М2 являются взаимно ортогональными, по-
бочные коэффициенты 5,2 и 82) обратятся в нуль (512 = 62i ~0), а это, в
свою очередь, приведет к распаду системы канонических уравнений на два
независимых уравнения, одно из которых будет содержать симметричное
неизвестное Х\, другое - обратносиммстричное неизвестное Х2:

я = V Г

944.9.6.

810.

EJ '

«22 = 5П

41894184

П82.

EJ ’

$55 ~ $11 + $22

2592.

EJ '

х у4 г М $ dx I - р g 2 । о 1 т + ig < 2 i« 1 _ 2592.

2-13’9^.18- — .24.-18.6^.18.— - —,

е МрМ1 £ 2 Л 1 1 я/ х 2 п 1

+ _j_(2.36.9J63) = ^:

A2,.Zf^4.12.6.|.944.54.9.|.184 +

4%-б|94 + ^(2-36 9+36.3)-^:

А А х А 5724 -

= + Л2Р = >

A.f=zj^^4'54-9T18^4-36 6T184+

+ t4f(2'36 18^-36.6) = ^.

Результаты совпали, следовательно, коэффициенты при неизвестных и
свободные члены вычислены верно.
6. Подставив найденные коэффициенты в каждое уравнение, получим:
81ОАГ, +1188 = 0 , откуда = -1,4667 кН;

2592Х2 + 4563 = 0, откуда Х2 = -2,5454кН.

7. Строим исправленные эпюры Мх М2 Х2 (рис. 5.2.15, а, б), а

затем и окончательную эпюру моментов по формуле М = +

+ М2Х2 + Мр (рис. 5.2.15, в).

Рис. 5.2.15

8. Кинематическая проверка:

у rMMjdx Jjl

EJ * EJ 2

9,71 9 | 9-1 2,29 6 -|-9-| о,11-6 | 9-
J Z J z J

-1 • 12,04-3 -1-3 + |(-2 -12,04-3-2-0,11-9-12,04 9-0,11-3)
2 3 6

-1-(262,17 - 262,23) = -^.
2а/ •

Относительная погрешность составляет:

-2^-100% = 0,023%.

262,17

V ГMMtfk .J-L 1.9J1 -9---9 + 1-2,29-6 ---9 +
EJ EJ 2 ’ 3 2 ’ 3

+ |-8,18-9 4-18-1-0,11-6-1-9 +1(-2-12,04-3-2-0,11-9-

2 3 2 3 6

-12,04-9-0,11-3)-1-12,04-3 -1-3

±.(-483 + 482,94) = --^.
EJ EJ

Относительная погрешность составляет:

-^-100% = 0,012%.
482,94

Перемножение эпюр моментов в виде обычных трапеций на крайней
правой стойке производилось по формуле (3.14).

9. По проверенной эпюре М строим эпюру Q (рис. 5.2.16, а), а по
эпюреф- эпюру N (рис. 5.2.16, б). На рис 5.2.16, в показана рама с от-
брошенными связями и с приложенными взамен них силами, взятыми из
эпюр Q и N :
£ X =6-1,08-0,91-4,01 = 6-6s0;

X Y = 0,38 - 0,4 + 0,02 = 0,4 - 0,4 * 0.

Рис. 5.2.16

Пример 5.17. Определить усилия в стержнях фермы, показанной на
рис. 5.2.17, а. Жесткость всех стержней постоянна и равна ЕА.

Рис. 5.2.17

L Ферма один раз статически неопределима, так как Л-Cq + С- 2У=
=3+ 14-2-8 = 1.

2. Наиболее рациональная основная система получается путем рассе-
чения стержня 3-4 и приложения в крайних точках бесконечно малого
зазора двух продольных сил Xt (рис. 5.2.17, б).

3. Каноническое уравнение с одним неизвестным имеет вид

бцА’] + Д|р = 0 , откуда Х{ = - Ди>/$и .

4. Расчетные данные, включая проверку вычислений, представлены в
табл. 5.1. Численные значения единичной эпюры продольных сил Л^от
действия сил X] = 1 приведены в гр. 3, а грузовой эпюры - в гр. 5.

В первом и во втором случаях усилия определялись последовательным
вырезанием узлов, начиная с двухстержневых узлов 3 и 4. Так как силы
Х[ = 1 приложены в крайних точках бесконечно малого зазора, растяги-
вающее усилие в стержне 3-4 равно единице.

5. Коэффициент при неизвестном и свободный член вычисляются по
формуле (5.6):
8 =У^2/'.

Коэффициент 8ц определяется как сумма всех строк гр. 4, а Д1? -
Гр. 6 (см. табл. 5.1).

6. Подставим найденные коэффициенты в выражение для J|:

X, = -Д1р/5ц = -240,01/89,96 = - 2,67 (кН);

7. Окончательные усилия в любом стержне фермы находим по форму-
ле N = N\Xx + NР. Значения усилий помещены в гр. 8.

8. Проверка правильности вычислений окончательных усилий пред-
ставлена в гр. 9 табл. 5.1. Если расчет произведен верно, то должно вы-
полняться условие

Ь ЕА

0 25
Относительная погрешность составляет: - • 100% = 0,14%.

175,94

Таблица 5.1

Номер стержня м *1 ЕА NP ЕА N, кН NNxlj ЕА
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2-3 4 1,333 7,Н 0 0 -3,56 -3,56 -18,98
4-5 4 1,333 7,11 0 0 "3,56 -3,56 -18,98
3-8 -1,667 6,94 0 0 4,45 4,45 -18,54
4-8 2,5 -1,667 6,94 0 0 4,45 4,45 -18,54
2-8 2Г5 -1,667 6,94 0 0 4,45 4,45 -18,54
5-8 2.5 -1,667 6,94 0 0 4,45 4,45 -18,54
1-2 4 -1,333 7.11 0 0 3,56 3,56 -18,98
5-6 4 -1,333 7Г11 -13,333 71,09 3,56 -9,77 52,09
2-7 2Г5 1,667 6,94 0 0 -4,45 -4,45 -18,54
5-7 2,5 1,667 6,94 16,667 69,46 -4,45 12,22 50,93
1-7 2,5 1,667 6,94 16,667 69,46 -4,45 12,22 50,93
6-7 2,5 1,667 6,94 0 0 -4,45 -4,45 -18,54
3—4 3 1 3 0 0 -2.67 -2,67 -8,01
1-6 3 -1 3 -10 30 2,67 -7.33 21,99
«11е _ 89,96 ЕА AJP = 240,01 ЕА 175,94- -176,19= = - 0,25
Пример 5.18. Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы,
изображенной на рис. 5.2.18, а.

Рассмотрим три варианта решения задачи с тремя различными основ-
ными системами.

!-й вариант

1. Определяем число лишних связей: Л=С§+2Ш-?>Д~5+2О~3\.=2.

2. В 1-м варианте основную систему выбираем путем удаления двух
упругоподатливых связей в опорах В и С (рис. 5.2.18, б).

3. Система канонических уравнений метода сил для такой основной
системы запишется в виде

$11^1 + б|2^2 + = ~^\/г\ >

+ баз^2 + &2Р = ~ X-Jr2 .

По физическому смыслу левая часть первого уравнения представляет
собой суммарное перемещение точки приложения первого неизвестного
Xj (точка В) по его направлению, т. е. влево, от действия всех неизвест-
ных и нагрузки, но равняется нс нулю, как это было ранее, а действитель-
ному перемещению точки В в заданной системе, которое равно Х^/гх
(Г| — жесткость пружины). Знак минус в правой части поставлен на осно-
вании закона Гука, так как упругая сила Х[ и перемещение точки В на-
правлены в противоположные стороны. Аналогично трактуется физиче-
ский смысл второго уравнения.
ч При 'практических расчетах систему (а) следует переписать так:
. ($11 + Vri)-^1 + $12-^2 + Дц» г ®>. ... .

$2!-^1 + ($22 + Vr 2^2 + Д2Р = 0-J

4. Единичные эпюры Л/5, М2, грузовая эпюра МрИ суммарная еди-
ничная эпюра Ms представлены на рис. 5.2.18, в...е.

5. Вычисляем коэффициенты при неизвестных, свободные члены и
производим их проверки:

8.. .У 1.6.6 — 6 — - —;

" EJ 2 3 EJ EJ

Я Я V Г^1^2^ I т п z 1 27

8n-«2i'ZJ—ЁГ--ТЗУ61Г—EJ’

8И - 8П + 622 + 28|2 = ±(72 + 252 - 2 27) - 2™;
EJ EJ

$.^^4-6.6.|.6.^.2 + ^(6.6 + 4.4,5.4,5 +

+3,3)2"тг

36.3- 144-6) = --^;

’г-’ fMpMydx 3 /л л £ 'ic £\ 216

^-ZJ-V~=6£7(4 ’-6+3б-б)-£/-;

, д 1296 216 1080

= д1?> + Д2Р = - — + — - - —

4„"ZJ-^^^(49.43 + 36.3) +

+ 777<-3бЗ-4 81 4,5-144 6) = -^.
btJ EJ

6. Подставим найденные коэффициенты в систему (6) и решим ее:

(72 + 18)^-27^-1296 -0;

-27%,+(252 + 9)/2+216 = 0.

- 14,605 кН; 0,683 кН.
7. Строим исправленные эпюры МхХх, М2 Х2 и окончательную
эпюру М (рис. 5.2.19, а...в).

Рис. 5.2.19

8. Кинематическая проверка. Для данного варианта должны выпол-

нятся следующие условия:

у г MMxdx Хх . у । MM2dx Х2

‘ EJ ’" п ’ J EJ г2 ’

21^^=йг(4-8«811-5+3-72-3>+

+ ^“(7,82 3- 4• 15,275• 4,5 - 56,37 • 6) = - 26^45 ;

Хх 14,605 18 262,89. ^ 0,683-9 6,15.

г, EJ EJ ’ г2 EJ EJ ’

У ^А.дд.б.А.б —-24-

EJ 2 ’ 3 EJ

*б17(4’1,6“4'8’81‘6’3,72’6) = “^-

Относительная погрешность в первой проверке составляет 0,017%, а
во второй - 0,49% .

2-й вариант

Первый пункт здесь, естественно, повторяется.

2. Во 2-м варианте основную систему выбираем так, чтобы сохранить
упругоподатливые опоры (рис. 5.2.20, а).

3. Канонические уравнения:

^11^1 + $12^2 + ^1? “

* Ъ22Х2 + Д2р = 0.
4. Эпюры моментов Л/|, Л/2, Л/? и Ms показаны на рис. 5.2.20, б...д.

5.z Коэффициенты при неизвестных и свободные члены при наличии
упрутбподатливых опор вычисляются по формуле (3.26), которая примени^
тельно к методу сил может быть переписана в виде

= I\MiMkdX + £ *т,*тк;
& w-i гт

v ^MpMjdx
&ip 1 J jey

m-I ГП1

где Mj - эпюра моментов в основной системе от J,- = 1; М к - эпюра
моментов в основной системе от Хк = 1; МР- эпюра моментов в основ-
ной системе от заданной нагрузки; гт - коэффициент жесткости опоры
т; Rml - реакция опоры т от Xt - I; Rmk — реакция опоры т от
Хк = I; RmP - реакция опоры т от нагрузки. Для абсолютно жестких
опор гт = со. Произведения реакций Rmi Rmk и Rmp Rmi положитель-

ны, если они направлены в одну сторону:

»п=П

M?dx

EJ И

Rl
r-1

2 3 EJ EJ/1S EJ/9 EJ

1.6.62+6.3-6 -1-+
r2 2 3 EJ EJ
О I2 261.

+ jE//18 + £7/9 EJ ’

‘олз-б -L+

Хл/ Г| Г2 Z Лл/

(1/6)0 01 4,5.

£7/18 ~ £7/9 = ~ EJ '

*SS

- 5П + 6И + 28l2 = -L (2,5 + 261-2 4,5)=

R - V f

^’2-6 6'3 6 £/'2+6£7(2 6 6 +

'г

+ 2 5,5 5,5 + 6 5,5 + 5Л - 6) + —^~(2 0,5 -0,5 + 2 • 1 • 1 +1 - 0,5 + 0,5 -1) +

о £7

| (1/6)2 I2 _ 254,5 .

+ £//18 + £7/9 ~ EJ *

^i? —+ —— == —•4 36 0 5+ ^4 ^ +

1? EJ rx r2 6EJ P £7/18

0-0 _ 144.

+ £7/9 EJ ’

Д2, = £ f^^ + *1£*11 = * (_4.27-6 - 36 6) +

J £7 /( bEJ

24-0 0-1 432.

+ £7/18 + £7/9 £/’’

= Д,, + Д2/> = A-(144 - 432) = -

= У ^}P^\S ^2P^2S tt 3

J EJ ц r2 6EJ

+ _3_(36.0,5 + 4.27 0,75) + ^) + ^

288

EJ ‘

Проверки коэффициентов дали положительный результат.

6. Подставим вычисленные коэффициенты в систему уравнений и
решим ее:

25Xi - 4,5Х2 + 144 = 0; 1
- 4,5i¥} + 261Х2 - 432 = 0.J

Хх =-56,37 кН; Х2 =0,683 кН.
7. Строим исправленные эпюры , М2 Х2 и окончательную
ру М (рис. 5.2.21, а...е).

к' Рис. 5.2.21

В Действительные реакции в упругоподатливых опорах на рис. 5.2.21, в
обозначены через /?, и R2 .

8. Кинематическая проверка. Должны выполняться следующие равен-
тва:

^-i г Л/Л/| dx R\ i R\

EJ + “

^2J^2 = q.

V ^12^1 ^22^2

EJ r} ' r2

А на самом деле:

У Г—= -А- (4 - 8,81 • 0,25 + 3,72- 0,5) +

J EJ и r2 6EJ

* _2_(7,82.0,5 - И. 15,275: 0,75 - 56,37 1) + +

I-(49,16 - 49,14) = ^;

’ r*^2<fr , АзЛ I ^2^2 , 1 41 6 2 6 — 2-h

'J EJ г. r2 2 3 EJ

+ -1-(4,1.6-4-8,81-6-3,72-6) +

6 К/

= -1,(10^5-104,58) = -^.

0 14,61 1-0,683

. _______I_________

£//18 £7/9

Относительная погрешность в первой проверке составляет 0,05%, а во
второй -0,03%.
3-й вариант

Первый пункт остается без изменений.

Рис. 5.2.22

2. Основную систему выберем путем удаления двух лишних связей в
комбинированной форме - удалим одну обычную опору и одну унругопо-
датливую (рис. 5.2.22, а).

3. Система канонических уравнений имеет вид

Sll^l + 4 5 612^2 + л1? ““Ч
'1

+ ^22^2 + ^2Р ~

4. Единичные эпюры моментов М}> М2, грузовая эпюра МР и сум-
марная единичная эпюра Мs изображены на рис. 5.2.22, б...д.

5. Вычисляем коэффициенты при неизвестных, свободные члены и

производим их проверки:
. ~ tM?dx 1 , , 2 , 1 0 72

s.. =Sf-ir + ^= 2 6 6T6'£/ + ЛУ/ГяГ

_,М?Л 252 I2 261.

522 "^^“£Г + 7Г= £Г+£^“ЁГ’

rfM.M2dx RltRa 27 0 1 27.

8|2"»2I-2J—gj—+ ~-----£/+17/9 £Г

6s=81i+822 +2 612 = ±(72 + 261-2-27).^;

. ^tMldx R,\ 270 I2 279.

" J EJ + r2 EJ * EJ/9 ~ EJ ’

^(MPMxdx Я2,Я21 1296 0-0 1296

Л1Л-Ц - ej- +~ ЁГ + Ё779а'“£Г'

^tMPM2dx R1PRn 216 0-1 216

A A A 1296 216 1080

- Д1Р + Л2/» -—eT^-ej-—ЁГ'

. • •
v (MPMsdx R2pRis 1080 0 1 1080

A* = 1 J—~ + -77- = -~ёГ + Iff - -eT-

6. Решим систему канонических уравнений:

(72 + 1ад-27Х2 -1296 = 0;1 . 0,683 кН.

- 27 Х} +261*2 +216 = 0. J 2

Приведенная система уравнений этого варианта полностью совпала с
системой уравнений 1-го варианта. Такое совпадение является лишь част-
ным случаем, а для других расчетных схем это может и не произойти.

Сопоставляя приведенные варианты решения искомой задачи, можно
сделать вполне определенный вывод: расчет рам будет гораздо более про-
стым и типовым, если основную систему выбирать путем удаления лишних
Связей в виде упругоподатливых опор.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЮ РЕШЕНИЯ

Задачи 5.2.01...5.2.61. Построить эпюры М, Q, N от заданной нагрул
ки, Жесткости всех стержней EJ, если их значения не заданы, считать по<
тоянными.
5ЛЛ4 • -•'.•Л- 5.2.15 5.2.16
5.2.26

5.2.27

5.2.28

5.2.31

5.2.32

5.2.33
5.2.37

5.2.39 5.2.40 5.2.41

5.2.42

F-8kH

5.2.47

5.2.48

Fj«2kH F2~9kH

5.2.49

5.2.50
5.2.51

5.2.52

5.2.57
§ 5.3. Тепловое воздействие

Канонические уравнения метода сил при расчете на тепловое
действие отличаются от системы уравнений (5.1) только свобод-
ен членами и записываются в следующем виде:

$11^1 + $12^2 + $13^3 + •• + + Д|Г я Ф

$21^1 + ^22^2 + $23-^3 + ’” + ^2п^п + ^2/ ~ Ф

53]ЛГ| + Ьз2%2 + 533-^3 + ”• + Ъзп%л + ЛЗГ = 0;

(5.18)

W1 + ^П2^2 +$ЯЗ^З + '*’ + $Я/Г^Я + Дл/ = О’.

Физический смысл каждого уравнения системы (5.18) такой
в, как при силовой нагрузке, с той лишь разницей, что под на-
Ьузкой здесь понимается тепловое воздействие. Предполагается
Ьоке, что по длине стержня температура не меняется, а по высоте
^перечного сечения стержня она изменяется по линейному закону.

Свободные члены A/z вычисляются по формуле (3.21):

toe Q77 и Qjj - площади соответственно единичных эпюр Hara-
re Mi п1

жющих моментов ЛГ, и продольных сил У,- в основной системе
К* действия неизвестного X/ - 1; /0 =(^ +/2)/2- температура по
нейтральной оси стержня; f = |^ пеР®паД температур; и
|2- изменения температур крайних волокон стержня, которые
•носятся в формулы для /0 и Г со своими знаками; h~ высота
оперенного сечения нагреваемого стержня; а - коэффициент ли-
лейного расширения материала.

Напомним, что площадь единичной эпюры моментов бе-

рется со знаком плюс, если эпюра М, расположена на более на-
гретых волокнах, в противном случае - со знаком минус. Произве-
дение >^> если и на стержне имеют одинаковые
анаки.

Так как в статически определимой системе ( основной системе
Метода сил) внутренние усилия от теплового воздействия не возни-
кают, окончательная эпюра изгибающих моментов М в заданной
системе строится путем алгебраического суммирования единичных
эпюр М, у умноженных на найденные из решения системы (5.IM
значения неизвестных Х(, т.е. равна сумме исправленных единим
ных эпюр Mj Х[.:

М = +М2Х2 +М3Х2 +- + МпХп. (5 )91

Проверка свободных членов уравнений (5.18) состоит в tons
чтобы выявить, равна ли сумма Дя = = д1/ +д2/ +'" + длг Вг

личине

(5.20)

где и - соответственно площади суммарных единичных
эпюр изгибающих моментов и продольных сил.

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов М со
стоит в проверке равенства нулю перемещения по направлению
любой i -й отброшенной связи от совместного действия всех неиз
вестных и теплового воздействия:

и^Л+д»=°- <5-21)

Как отмечалось ранее, вместо отдельных проверок по формуле
(5.21) может быть сделана одна универсальная проверка:

+ (5.22)

Х-ч/

Последовательность расчета систем при тепловом воздействии
остается такой же, как и от силового воздействия.

Если в задачах (примерах) высота поперечных сечений стерж-
ней не задана, то следует ее принимать для всех стержней равной
h = 0,5 м.

Пример 5.19. Построить эпюры М, Q, N для симметричной рамы
(рис. 5.3.1, а) от теплового воздействия. Изменение температуры на
стержнях показано пунктиром.

1. Определим число лишних связей: Л=Со+22ДО-ЗД=5+2 2-3-2=3.

2. Симметричная основная система показана на рис. 5.3.1, б. Неиз-
вестные X) и Х2 являются симметричными неизвестными, а неизвестное
Х3- обратносимметричным. Так как заданная симметричная система на-
ходится под симметричным тепловым воздействием, обратносимметрич-
ное неизвестное Х3 равняется нулю (Х3 =0).
Рис. 5.3.1

3. Для рассматриваемой задачи система трех уравнений вырождается в
Систему из двух уравнений:

8||Z) +512^2 +д1/ =

$21-^1 + &22%2 + Д2/ =

4. Симметричные эпюры моментов А/2» продольных сил Nb
V2, суммарные единичные эпюры MSt Ns представлены на рис. 5.3.1, в...з.

5. Вычисляем коэффициенты при неизвестных, свободные члены и
Производим их проверки. Так как высота поперечных сечений стержней
Не задана, принимаем ее одинаковой и равной h = 0,5 м.

у г Mydx _1_ .3.4.3^ 1 ). о = -54_-

8|1 ЕГ J 3 3 3 EJ +3 4 3 1EJ) 2 Е/'

я х с Л/| М2dx , . - 1 36 ,

812=51.»Х1—Ё7—3'4'3 шг 2‘ej’

у ^dx 54.

«22 =ZJ-£7-“8ii = £/>
8sy - 5п'+ 822 + 2512 =-ту; -

' ' • • • • ! .। * -С*/ * ।1 * X **

3-1-3. Х.2+6.46.

EJ <2 3 EJ 2EJ) EJ

a Vnf л f ex 20 1 _ _ a • 20 .. .Y

"С“оГ’2'3‘3 + "оГ’3,4/ +

+ a-10-l-8-a-30.1..8«440a;

Aw +Е“'оГЦ =^-3 g + a-30 1.8.1200a;

&st e △>/ + д2/ = 1640a;

, n v* л, < л ( ct -20 1 __ ct 20 , . Y

^=Zy4 +^a/o°^ -(--0J--2’3 +“oT’6,4j2+

4-a -10- 1 -8 = 1640a.

Проверки дали положительный результат, следовательно, коэффицл
енты при неизвестных и свободные члены вычислены верно.

Рис. 5.3.2

6. Подставим найденные значения коэффициентов в систему уравне-

ний и решим ее:

54Jj + 36J2 + 440а£/ = 0; 1

36Jt + 54Х2 + 1200аЕ/ - 0.J

Xi = 12aEJ ; Х2 = -30,222а£/.

7. Строим вначале исправленные единичные эпюры Л/jXjM Л/2-^2^ а
затем и окончательную эпюру изгибающих моментов М по формуле
(5.19). Эв1 эпюры показаны на рис. 5.3.2, а...в.

Вес ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов Mt пока-
занной на рис. 5.3.2, в, надо умножить на множитель a£Z.
Как видно из расчета статически неопределимой рамы на тепловое
Ьэдействие, возникающие в ней внутренние усилия и усилия в опорных
ийязях зависят не только от соотношения жесткостей элементов, но и от
Кх абсолютных значений. Чем больше жесткость системы, тем большие
Ьсилия в ней появляются. Окончательная эпюра моментов на стержнях
liceгда будет прямолинейной.

г 8. Кинематическую проверку окончательной эпюры М производим
|Л0 формуле (5.21):

. У f^Ldr + д =г(1-36а£У з |-3”--54,67аЕ/-4 3 -1-\ +
EJ <2 3 EJ 2EJ)

+ 440а = -440,04а + 440а = -0,04а;

. У + =f-1.90,67cdS7-3.|-3~-

J EJ 21 I 2 3 EJ

- 54,67а£7 • 4 3 ^-^2 + 1200а = -1200,06а + 1200а = -0,06а.

Относительная погрешность в первой проверке составляет 0,01%, во
..второй - 0,005%.

9. По проверенной эпюре М строим эпюру Q (рис. 5.3.2, г). Эпюру
N можно построить способом вырезания узлов по эпюре Q, но здесь
проще эпюру N строить по формуле W = + N2X2 (рис. 5.3.2, д).

Проверкой правильности построенных эпюр Q и N является про-
верка равновесия сил для всей рамы (рис. 5.3.2, е). Для получения оконча-
тельных численных значений поперечных и продольных сил надо ордина-
ты, показанные на эпюрах Q и N, умножить на множитель O.EJ.

Пример 5.20. Построить эпюры М, Q, N для рамы (рис. 5.3.3, а) от
теплового воздействия, показанного пунктиром.

Поскольку жесткость EJ и высота h поперечных сечений стержней
не заданы, согласно договоренности будем считать их одинаковыми и
равными EJ = const, А = 0,5 м.

I. Определим степень статической неопределимости: Л=Сц+2Ш-ЗД=
« 5 + 24-3-2 = 1.

2. Основная система представлена на рис. 5.3.3, б.

3. Для определения неизвестного Х} запишем уравнение:

+ AIZ =0, откуда Х1 = -А^/бц •

4. Единичные эпюры и Nx показаны на рис. 5.3.3, в, г. Для их
построения желательно предварительно составить поэтажную схему рамы.

5. Вычисляем и Ди:

. м г М\ (ix 1 Г 1 Z z ч 1 z е 2 х л

6 j-6-3 + i-6-5.-.6.3^(6.6 +
+ 4-9-9 + 12 • 12) +-^(12 • 12 + 4 • 15-15 +18 18)^ »

6 J EJ

A V* гч .V' ® ’ 20 1 r c ® 40 1 , -

^ = ZV«M1*Z^=-^ry6-5- — .-.6.5-

‘n^4‘6,6+57rF4,6'6+a‘5i’2i2+a:20i,5="i628<z'
Z U,J z

6. Подставив найденные значения коэффициентов в выражение для
Х\, получим X] = 0,745а£Л

Рис. 5.3.3

7. Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная по фор-
муле М « Л/jXj, имеет вид, изображенный на рис. 5.3.3, д.

8. Кинематическая проверка:

Sf^-A + AIf =1.4,47а£/-6-|-6~--3 + 4>47<х£7-5Т-6Т7-3 +

1 EJ и 2 3EJ 3 EJ

SaEJ «а FI

+ ^TF"(2 4»47 6 + 2 8,94-12+ 8^4-6 +4,47 12) +^-(2-8,94 12 +

Ь£ч/ bEJ

+ 2 • 13,41 • 18 + 8,94 • 18 + 13,41 12) - 1628а = 1627,08а - 1628а = -0,92а.

Относительная погрешность составляет: 0,92 • 100%/1627,08 = 0,056%.

9. По эпюре М строим эпюру Q (рис. 5.3.3, е). Эпюру W здесь
проще строить по формуле N * NtXi, т.е. все ординаты единичной эпю-
ры надо умножить на 0,745a£Z (рис. 5.3.3, г).
Пример 5.21. Определить усилия в стержнях фермы от теплового воз-
действия (рис. 5.14, а). Л' < . • • .

1. Определим степень статической неопределимости фермы: Л-С$ +
+ С-2У~ 4 + 11-2-7= 1.

2. Симметричную основную - систему образуем путем рассечения
стержня 6 -7 посредине и приложения в крайних точках бесконечно ма-
лого зазора двух равных продольных сил Х\ (рис. 5.3.4, й).

$/иа=0,8;

Л/яр.0,555;

СОУСХ=0,6;

ео$0=О,832

frro r2=of

Рис. 5.3.4

3. Каноническое уравнение для данной задачи запишется в виде
ОцХ, + Дп = 0, откуда Х{ = - Аи/8ц .

4. Как и при силовом воздействии, все вычисления, включая и про-
верку, удобно производить в табличной форме (табл. 5.2). Таблица состав-
ляется в соответствии с формулами (5.6) и (3.29). В формуле (3.29) учиты-
вается только второй член.

Вследствие симметрии основной системы в таблицу вносим данные,
относящиеся только к одной (левой) половине фермы, при этом для
стержня 7-6 вносится половина его длины.

Численные значения единичной эпюры продольных сил от дейст-
вия силы Х| = 1 приведены в гр. 3 табл. 5.2. Эти усилия весьма просто
определяются путем вырезания узлов 1 и 2. Учитывается, что из частных
случаев равновесия узлов следует: N2_7 = ^7-6 = Ь ^1-7 = ^7-э-

5. Согласно формуле (5.6) 8ц = У

Коэффициент 8ц определяется суммой всех строк гр. 4 табл. 5.2, а
свободный член Д2Г - сразу по формуле

ди = Laron^t = -<х • 30 • 1,202 • 7,21 = -260а.

6. Подставив найденные коэффициенты в выражение для Xt, полу-
чим: = 260а£4/25,14 = 10,342а£Л.

7. Окончательные усилия в любом стержне фермы, вычисленные по
формуле N = N\Xx, помещены в гр. 5.

8. Проверка правильности вычислений окончательных усилий пред-
ставлена в гр. 6 табл. 5.2. При верном расчете должно выполняться усло-
вне J —+ Air О, а на самом деле: 259,89a - 260a = -0,1 la.
tiA

Относительная погрешность составляет. 0,11 • 100%/259,89 * 0,04%.

Таблица 5.2

Номер стержня м Ж ЕЛ N^NiXi ЕЛ
1 2 3 4 5 6
1-2 4 -0,667 1,78 -6,9 аЕА 18,41a
1-7 5 0,833 3,47 8,61 аЕА 35,86 a
2-3 7,21 -1,202 10,42 -12,43 аЕА 107,72 a
2-7 3 1 3 10,34 аЕА 31,02a
7-3 5 0,833 3,47 8,61 аЕА 35,86 a
7-6 3 1 3 10.34 аЕА 31,02 a
8Ц - 25Д4/Е4 259,89 a

Пример 5.22. Построить эпюры М и Q для двухпролетной балки от
теплового воздействия (рис. 5.3.5, а).

Рис. 5.3.5

Расчет нсразрезных балок по методу сил на тепловое воздействие про-
изводится аналогично расчету при силовом воздействии.

1. Заданная балка дважды статически неопределима, так как
Л~С0 -3=5-3-2.

2. Основная система образуется путем введения над опорой и в жест-
кой заделке шарниров. Выбранная таким образом основная система пред-
ставляет собой совокупность статически определимых однопролетных ба-
лок (рис. 5.3.5, б).

3. Канонические уравнения имеют вид

5цАГ1 +512^2 “ 0;

$21^1 + $22^2 + ^21 = $•.

4. Единичные эпюры моментов М2 показаны на рис. 5.3.5, в, г.
Ьродолъных сил в балке с вертикальными опорными стержнями нет.

5. Вычисляем коэффициенты при неизвестных и свободные члены:
я _ V 1 1 < 2 1 1 1 .

11 EJ 2 6 3 1 2EJ = EJ’

812.82|Яу»Д.1.б.1.1.±Л;

!2 2i Z-J £/ 2 3 2EJ EJ

R v I 2 . 111,2.1 7

22=Sj & 2’ 6 3‘{ 2EJ 1' 43 EJ 3EJ‘ ••

Поскольку в неразрезной балке продольные усилия не возникают,
Свободные члены вычисляют с учетом только первого члена формулы
(3.29), т.с. расчет ведется лишь на неравномерный нагрев - разность из-
менения температуры с верхней и нижней сторон балки:
f . а/' а -40 1 , , -пл

^< = L-yn«. '-от ?1 б = 300а;

v-af _ а-40 1 . , а-40 I . . 1700а

"S—«Л7г “-0Л- 2 1 + — •

Проверки здесь не приводятся.

6. Подставив найденные значения коэффициентов в систему уравне-
ний и решив ее, получим: Хх = -200сс£/; Х2 « -200U.EJ.

7. Окончательную эпюру изгибающих моментов строим по формуле
М = М{Х} + М2Х2 (рис. 5.3.6, а).

8. Кинематическая проверка:

+ = -200аЕ7-6 0,5~ + 300a ₽-300а4-300а - 0;

2Г-^-4г + Д2/=-2°0а£7 -6 0,5200а£/-4 | • А-+
* LJ LtJ L J Ы

1 1700а Q

9. По проверенной эпюре М строим эпюру Q (рис. 5.3.6, б).

Рис. 5.3.6

Для неразрезных балок, имеющих три и более лишних связей, расчет
на любое внешнее воздействие значительно проще выполнять с помощью
уравнений трех моментов, которые выводятся из канонических уравнений
метода сил и подробно изложены в любом учебнике по строительной ме-
ханике. С этим подходом (уравнения трех моментов) может успешно кон-
курировать метод перемещений, который будет рассмотрен в следующей
Главе.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Зяддчя 5.3.01...5.3.35. Построить эпюры М, Q, N от заданного
теплового воздействия, приняв высоту поперечного сечения всех стержней
h =0,5м, а коэффициент линейного расширения а считать постоянным.
5.3.19

5.3.21

5.3.22

5.3.23
5.3.26

5.3.24

5.3.25

5.3.27

5.3.28

5.3.29

5.3.30 5.3.31 5.3.32
§ 5.4. Кинематическое воздействие

Канонические уравнения метода сил при расчете на кинемати-
йское воздействие (в частности, на смещение опор) отличаются от
Ьстсм уравнений (5.1) и (5.18) только свободными членами:

6nJi + б12Х2 +5|3J3 + ---^61лХл +Д1С = 0;

32pVi + ^22^2 + $23^3 + ••• + б2яЛ^.+ Д2с = 01

+ 532^2 + 533^3 +,” + &Зл^Я + АЗС = 0;

(5.23)

+ 5Л2^2 + 5лЗ^З + ••• + Ъ„пХп + ДлС - 0. •

Свободные члены представляют собой перемещения, возни-
кающие в основной системе по направлению отброшенных связей,
вызванные от заданного смещения (осадки) опор, и определяются
Во формуле (3.22):

д/с = ~^,^kick>

де ск — заданная осадка к -й опорной связи в заданной системе;

Rki - реакция, возникающая в к -й опорной связи основной
истемы от действия единичного неизвестного .¥; = !.

Если при выборе основной системы была отброшена связь, по
Направлению которой было задано смещение ск, то приложенная
место удаленной связи единичная сила принимается за реакцию
к ее направление считается за направление реакции (1Q).

Произведение RkCk >0 , если реакция Rk и заданное смеще-
Eie ск направлены в одну сторону.

Поскольку в статически определимой системе (основной сис-
ме метода сил) от кинематического воздействия внутренние уси-
1я не возникают, построение окончательной эпюры изгибающих
Моментов производится по формуле (5.19), т.е. путем алгебраи-
ческого суммирования исправленных единичных эпюр:
м = МхХ} + М2Х.2 +-+мнхп.

Проверка свободных членов уравнения (5.23) в общем случае
состоит в том, чтобы определить, равна ли их сумма
Д^с = д/с =д1с + +д2с + *** + Длс величине

д$с = (5.24)
где Rfa - опорная реакция, возникающая в к -й опорной связи от
всех единичных сил, действующих на основную систему. Проверку
по формуле.24), как правило, не выполняют, поскольку вероят-
ность появления ошибки при ее проведении больше, чем при вы-
числении самих свободных членов.

Кинематическая проверка окончательной эпюры изгибающих
моментов состоит в проверке удовлетворения условия

+ (5.25)

LhJ

Вместо нескольких проверок по формуле (5.25) можно сделать
одну универсальную:

+ (5.26)

Последовательность расчета по пунктам остается прежней.

Пример 5.23. Для рамы, изображенной на рис. 5.4.1, а, построить эпю-
ры М, Q, N от заданных смещений опор.

Рис. 5.4.1

1. Заданная рама два раза статически неопределима, так как Л—С^ +
+2Ш-ЗД= 6 + 24-3-2 = 2.

2. Основную систему выберем путем врезания шарнира в точке D и
отбрасывания горизонтального опорного стержня в опоре А. Взамен от-
брошенных связей приложим неизвестный момент Ху и неизвестную си-
лу Х2 (рис. 5.4.1, б).

3. Канонические уравнения для данной задачи имеют вид

8цХ| + 8j2-^2 + А|С “ О»

+ ^22^1 + &2С - О’, • :

4. На рис. 5.4.2, я, показаны единичные эпюры моментов М\, М2
и опорные реакции в смещаемых опорах от действия сия Xt * 1 и Х2 = 1.

> Для определения реактивного момента в заделке (рис. 5.4.2, б)
надб вырезать опорный узел В , приложить к концу стержня; примыкаю-
щего к заделке, внутренний Изгибающий момент и из условия равновесия
узла найти величину и направление реактивного момента М(рис. 5.4.2, в).
В дальнейшем эту операцию будем производить по рис. 5.4.2, 6 в уме,
рис. 5.4.2, в показывать отдельно нс будем.

Рис. 5.4.2

5. Вычисляем коэффициенты при неизвестных и свободные члены:
R v (M}dx 1 . . 2 । 1 , 4 .

611 EJ 2' l'4'3' I' 2EJ" " 3EJ’

8I2-8„.Zf^^-i l 4 |-3.

1 1

2EJ ~ EJ'

R v 1 , , 2 . 1 1 . d 2 _ I

22 - S f £/ ~2'3'3' 3'3 3EJ 2 3 4 3 3 2EJ

+ l.6.6.2.6._Lall

2 3 3EJ EJ

Используя суммарную единичную эпюру Ms (рис. 5.4.3), произведем
проверку найденных коэффициентов.

109

С одной стороны, Sjs = 8П + 322 + 2812 = ——

с другой стороны,

с _ .Mjdx 12, 1 1 . л 2 . I

2 3 3 3 3 3E7+2 '4'з'{ 2EJ

1 , , 2 , 1 4 z, , А , п 109

+ _ .6,6._.6+__(3.3+4.2.2+1.0._.

Результаты совпали, следовательно, коэффициенты при неизвестных
вычислены правильно.

Д1С =4^ -С2) = -(0*ф-0,25-0,04) = 0,01;
д2с - Rk2ck = 1 С1 + МВ2 • 9 - vc2 • с1) =

= 4-1 • 0,02 + 6 0,03 - 0 • 0,04) = -0,16.

Рис. 5.4.3

6. Подставляя найденные значения коэффици-
ентов при неизвестных и свободные члены в кано-
нические уравнения и умножая последние почлен-
но на EJ, получим:

+У2 +0,01£/ = 0;

+ ЗЗХ2 - 0,16Е/ = 0.

При расчете статически неопределимых систем
методом сил на смещение опор, когда жесткость EJ задана в общем виде,
из-за малости значений свободных членов по сравнению с коэффициен-
тами при неизвестных искомые усилия Xh полученные из решения урав-

нений, выражаются малыми числами, поэтому их нужно вычислять с точ-
ностью не менее пяти знаков после запятой. Решив вышеприведенную
систему уравнений, найдем: Х} = -11Д9 • 10'3 EJ ; Х2 = 5,19 • 10-3 EJ .

7. Строим исправленные единичные эпюры M}Xlt M2X2t азатем
и окончательную эпюру моментов по формуле М = М\Х{ + М2Х2 (рис.
5.4.4, а...в) . Чтобы получить действительные значения изгибающих мо-
ментов, а в дальнейшем - поперечных и продольных сил, надо ординаты,
проставленные на эпюрах Л/j Х\, М2 Х2, А/, Q и N, умножить на

множитель 10 3EJ.

Рис. 5.4.4

Как и при тепловом воздействии, окончательная эпюра моментов на
всех стержнях будет прямолинейной, а внутренние усилия М, Q, N будут
зависеть не только от соотношения жесткостей элементов, но и от их аб-
солютных значений. Чем больше жесткость системы, тем большие усилия
в ней возникнут.
8. Кинематическая проверка по формуле (5.25):

Z1 + 4>с - (-1 2 11-39 •1<г’а •1 +15-57',0’3 а » -

jt7 о - LU

-1 -.11,39 • 10"3ЕА • 4 • | • I - + 0,01 = -0,01 + 0,01 » 0;

2/^-л-4гс=||5'5710'3£/-3г3-зЬ-+

+ --^7(2 • 15,57 • 1(Г3 EJ • 3 - 11,39 • 10“3 • EJ • 3) +
о • 2£/

+ i - 31,14 • 10‘3 £/• 6 • 6 - 0,16 = 0,15988 - 0,16 £ 0.

2 3 3EJ

9. По проверенной
эпюре моментов М
строим эпюру попереч-
ных сил 0, а по ней -
эпюру продольных сил
N способом вырезания
узлов (рис. 5.4.5, а, б).

Пример 5.24. Построить эпюру изгибающих моментов для симметрич-
ной рамы от обратносиммстричного смещения опор (рис. 5.4.6, о).

Рис. 5.4.6

1. Определим степень статической неопределимости рамы: Cq +

+ 2Ш-ЗД= 6+ 2-3-3-3 = 3.

2. Симметричная основная система с группировкой неизвестных пока-
зана на рис. 5.4.6, б. Обратим внимание читателя на одно обстоятельство

при выборе основной системы. Казалось бы, естественное и самое простое
действие - удалить шарнир Е и разрезать ферменный элемент FG
(см. рис. 5.4.6; а). Однако такое действие здесь неприемлемо, так как в
этом случае образовавшаяся система будет мгновенно изменяемой. Неиз-
вестное Zj•; является обратносимметричным неизвестным, а неизвестные
Х2 и JV3 - симметричными, и согласно правилу о действии на симметрич-
ную систему обратносимметричного воздействия они должны быть равны
нулю, т.с. Х2 - Хг » 0.

3. Для определения обратносимметричного, неизвестного имеем урав-
нение

8j|X| + △ jf = б.

4. Единичная эпюра моментов представлена на рис. 5.4.7, а.

5. Вычисляем главный коэффициент 8П и свободный член Д|С :

fl , . г . 1 , . 0 , И , то
<з 4-.2 + 4.9 4 -] 2= —.

Групповые неизвестные X], приложенные в точках Си/) вместо
отброшенных опорных связей, принимаются за реакции в этих смещаемых
связях и по величине и по направлению; при этом считается, что « 1.

А1С = "Z \ск w • С, - Л| • С2)2 « -0 • 0,07 - I • 0,035)2 = -0,07.

Подсчет перемещений 8П и Д1С производится сначала для элементов
одной половины рамы, а затем полученный результат удваивается.

6. Из решения уравнения находим: Х} = - Д}с/8|( = 1,875 • Ю^ЕЛ

7. Окончательная эпюра моментов строится по формуле М = M}Xi
(рис. 5.4.7, б).

8. Окончательная эпюра моментов должна удовлетворять условию (5.25):

+ A 2^£/Г1 7>5 4 2 4 2 + 7j5 9 412-0,07-

= 0,07 - 0,07 - 0.
Пример 525. Построить эпюру М для симметричной неразрезной
балки от обратносимметричного смещения опор (рис. 5.4.8, а). \ •

1. Заданная симметричная неразреэная балка трижды статически не-
определима, поскольку Л— Cq - 3 = 6-3-3. . .... ,,

Рис. 5.4.8

2. Симметричная основная система образуется путем введения шарни-
ров в крайние жесткие заделки Л, С и над промежуточной опорой В с
одновременной группировкой неизвестных А^и Х2> расположенных в
симметричных сечениях балки (рис. 5.4.8, б). Неизвестное Х\ является
обратносимметричным неизвестным, а неизвестные Х2 и Х2 — симмет-
ричными. Так как заданное внешнее воздействие обратносиммстричное,
то согласно известному правилу Х2 » Х2 = 0.

3. Обратносимметричное неизвестное найдем из уравнения

в 0.

4. Единичная эпюра моментов показана на рис. 5.4.8, в.

5. Вычисляем главный коэффициент 81( и свободный член д1С:

х V Г 1 1 б 1 1 9 _ 4 .

6 з'‘£7'2’ш’

Д1С °-XRklck = 4^ с + -ф)2 = 41/6 0,03+! 0,04)2 = -0,09.

6. Из решения уравнения находим: Х^ = - Д1С/5П = 22,5 • 10-3 EJ.

7. Окончательная эпюра моментов, построенная по формуле
М - МхХ[у представлена на рис. 5.4.8, г.

8. Проверкой правильности построенной эпюры М является выпол-
нение условия (5.25):

+ =1.22,5• 10-3£У-6-j-l -i--2-0,09 = 0,09-0,09 = 0.
ЗАДАЧИ Д’IЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

i * .

Задачи 5.4.01...5.4.36. Построить эпюры М, Q, N от заданных-
кинематических воздействий.
5.4.13

5.4.14

5.4.15

• Найти усилия в стержнях фермы при условии, что стержень 3-7
изготовлен на д£3_7=0,008м короче требуемой длины.
5.4.28

5.4.29

5.4.30

С~0,03м

С-О,04м

Cj=0,05m С2=0,03м

к—6“ >k3S|

Зм

Зм . Зм

Зм

5.4.31 ' 5.4.32

Зм । 4м . Зм

54.34 5.4.35 5.4.36

С] «0.04м С2=0,03м . ф=0,04рад С=0,02м C,-0,06m Сз^О.ОДм
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 5

1. Какая система называется статически неопределимой?

2. Что называется степенью статической неопределимости системы и как
она связана с числом степеней свободы?

3. ’Чему равна степень статической неопределимости замкнутого бес-
4шарнирного контура?

4. Назовите основные свойства статически неопределимых систем.

5. Что принимается в качестве неизвестных метода сия?

6. Какова основная идея метода сил?

,7. Что представляет собой основная система метода сил?

8. Назовите основные требования, предъявляемые к основной системе.

9. Что представляют собой абсолютно необходимые и условно необхо-
димые связи? Какие из этих связей следует удалять при образовании
основной системы?

, 10. Какие приемы применяются при удалении лишних связей? Приведите
i примеры.

11. Что следует понимать под рациональным выбором основной системы?

12. Какие системы называются симметричными и какую основную систе-
му целесообразно выбирать при их расчете?

13. В каких основных системах неизвестные можно называть симметрич-
ными и кососимметричными?

14. Как называются неизвестные, расположенные на оси симметрии ос-
новной системы?

15. Какими будут эпюры Л/, Q, N в симметричных системах от сим-
метричного воздействия? От кососимметричного воздействия?

16. Когда и как применяется группировка неизвестных? Приведите примеры.

17. Как выбирается рациональная основная система метода сил для не-
разрезных балок? Привести примеры.

18. Как выбирается рациональная основная система метода сил для ферм?
Привести примеры.

19. Запишите систему канонических уравнений метода сил.

20. Что означают величины Xb

21. Каков физический смысл произведений бцА^...?

22. Каков физический смысл каждого из канонических уравнений?

23. Что представляет собой матрица внешней податливости системы? По-
чему она является симметричной?

24. Какие перемещения называют главными, побочными и какими свой-
ствами они обладают?
25. Как вычисляют коэффициенты при неизвестных и свободные члены
при расчете балок и рам?

26. Как вычисляют коэффициенты при неизвестных и свободные члены
при расчете ферм?

27. Как выполняется универсальная проверка вычисленных коэффициен-
тов матрицы внешней податливости системы?

28. Как производятся построчные проверки вычисленных коэффициентов
матрицы внешней податливости системы?

29. Как производится постолбцовая проверка свободных членов?

30. В чем заключается свойство ортогональности? Чему равно перемеще-
ние, определяемое умножением симметричной эпюры на кососиммет-
ричную? Как называются такие эпюры?

31. Как определяются значения неизвестных А,?

32. Что происходит с системой канонических уравнений, если одна часть
неизвестных является симметричной, а другая - кососимметричной?

33. Какими способами (приемами) можно построить окончательные эпю-
ры М, Qy N после определения лишних неизвестных?

34. Как производится статическая проверка окончательных эпюр Л/, Q, N ?

35. На чем основана и как производится кинематическая (деформацион-
ная) проверка окончательной эпюры изгибающих моментов?

36. Почему при кинематической проверке окончательной эпюры М се
следует перемножать с каждой единичной эпюрой М , а не с сум-

/ .маркой единичной эпюрой М 5 ?

37. Какие преимущества дает выбор симметричной основной системы при
расчете на: а) произвольную; б) симметричную; в) кососимметричную
нагрузки?

38. Какова последовательность расчета статически неопределимых систем
методом сил?

39. Как зависят усилия в статически неопределимой системе при силовом
воздействии от абсолютных значений жесткостей элементов?

40. Каковы особенности расчета рам с упругоподатливыми опорами методом
сил? Как записываются канонические уравнения'? Привести примеры.

41. Как записывается система канонических уравнений метода сил при
расчете на тепловое воздействие и смещение опор?

42. Как определяются свободные члены канонических уравнений при рас-
чете на тепловое воздействие и смещение опор?

43. Как зависят усилия в статически неопределимой системе при расчете
на тепловое и кинематическое воздействия от жесткостей элементов?

44. На чем основана и как производится кинематическая проверка оконча-
тельной эпюры М при расчете на тепловое воздействие и смещение опор?
Глава 6. Расчет сооружений методом перемещений

В методе сил за основные неизвестные принимались усилия в
лишних связях, для нахождения которых составлялись кинематиче-
ские уравнения (уравнения неразрывности деформаций), а затем
определялись внутренние усилия в сечениях и перемещения в лю-
бой точке конструкции, т.е. при расчете статически неопределимых
систем методом сил сначала находили силы, а потом перемещения.
Можно поступить и наоборот.

Предположим, что требуется рассчитать раму, показанную на
рис. 6.1.1, а.

Рис. 6.1.1

Под действием нагрузки элементы рамы искривляются, а ее
узлы получают угловые (<рс»Фд) и линейные (Дс, Др) перемеще-
ния (рис. 6.1.1, б). Если бы удалось каким-либо образом найти эти
угловые и линейные перемещения, то по известным формулам со-
противления материалов можно было легко определить и внутрен-
ние усилия М, Q, N в любом сечении рамы. Вся проблема со-

стоит в том, как найти эти перемещения.

Метод, в котором за основные неизвестные
принимаются угловые и линейные перемещения узлов системы и
который позволяет их найти, носит название метода пере-
мещений. Этот метод, как и метод сил, является основным для
расчета статически неопределимых стержневых систем.

Основные гипотезы метода перемещений

1. Как и в методе сил, пренебрегаем влиянием продольных и
поперечных сил на деформации стержней, т.е. учитываем только
деформации изгиба.

2. Поскольку все перемещения принимаются малыми, то мож-
но пренебречь сближением концов стержня при его изгибе, т.е.
предполагается, что первоначальная длина I прямого стержня CD
(см. рис. 6.1.1, а) до деформации равна длине I хорды C'D', стяги-
ваюшей концы стержня после его деформации (рис. 6.1.1, в).

Из этих гипотез следует, что дс = д^, а точки С и D будут
перемещаться перпендикулярно к стойкам АС и BD по отрезкам
касательных, проведенных к окружностям радиусов АС и BD, т.е.
по горизонтали, и не могут иметь вертикальных перемещений. Та-
кие же горизонтальные перемещения (Дс = Д/>) имеют и все ос-
тальные точки стержня CD.

§ 6.1. Силовое воздействие

Общее число неизвестных метода перемещений называют сте-
пенью кинематической неопределимости
системы и обозначают буквой п. Она определяется как сумма
неизвестных углов поворота пу и неизвестных независимых ли-
нейных перемещений узлов пл:

П = ПУ+ПЛ. (6.1)

Число неизвестных углов поворота пу равно числу жестких
узлов. Под жестким узлом будем понимать узел, в кото-
ром жестко соединено не менее двух стержней.

Число независимых линейных смещений узлов пл тоже легко
определяется по схеме сооружения, но можно и подсчитать эту ве-
личину, рассматривая шарнирную схему сооружения, которая по-
лучается из заданной системы путем введения шарниров во все же-
сткие узлы, включая и опорные. Если в заданной системе имеются
статически определимые консоли, то они должны быть предвари-
тельно отброшены. Необходимо помнить, что, врезая шарнир в
жесткую заделку, получаем шарнирно-неподвижную опору, а, вре-
зая шарнир в скользящую заделку, - шарнирно-подвижную опору.
Значение пл для рам с прямыми стержнями равно степени свободы
шарнирной схемы

пл = И^сг = 2У-С-0>, (6.2)

где У~ число шарнирных узлов рамы, включая опорные; С - чис-
ло стержней рамы; С$ - число опорных связей.

По шарнирной схеме можно определить не только количество
линейных смещений, но и их направления.

Определим число неизвестных метода перемещений для неко-
торых систем.

Так как рама имеет два жестких узла (рис. 6.1.2, а), пу = 2. По
шарнирной схеме (рис. 6.1.2, 6) определяем пл: пл = 2У-С-Со=
= 26-5-6 = 1.
Возможно только горизон-
тальное смещение ригеля.

, ;z, Степень кинематической
неопределимости составляет .

п = пу + пл = 2 +1 = 3,

., Для рамы, изображенной
на рис. 6.1.3, а, имеем пу =5.
Число пл определим по шар-
нирной схеме (рис. 6.1.3, б):

лл=2У-С-О)=2-9-10-

-5 = 3.

Возможны горизонтальные
смещения узлов А, В, С.
Общее число неизвестных рав-
но п - пу + лq = 5 + 3 = 8.

Шарнирная схема

Рис. 6.1.2

Рис. 6.1.4

Так как неразрезная балка, показанная на рис. 6.1.4, с, имеет
три жестких узла, Пу =3. По шарнирной схеме (рис. 6.1.4, б) оп-
ределим число линейных независимых смещений узлов:

^«2У-С-СЬ =25-4-6 = 0.

Общее число неизвестных составит п = Пу + пл = 3 + 0 = 3.

В неразрезной балке на жестких опорах линейные смещения
узлов отсутствуют.

Порядок расчета сооружения методом перемещений аналоги-
чен порядку расчета стержневых систем методом сил. Подсчитав
степень кинематической неопределимости системы, вводят в рас-
чет вместо заданной системы основную, но получают ее здесь не
отбрасыванием лишних связей, а наложением дополнительных,
устраняющих возможные перемещения узлов. Если во все жесткие
узлы системы ввести заделки (защемления), препятствующие пово-
ротам узлов, и закрепить узлы от поступательных смещений уста-
новкой дополнительных стержней (опорных стержней), то получим
в качестве основной системы совокупность независимых однопро-
летных статически неопределимых балок двух видов: балка с двумя
заделками по концам и балка, у которой на одном конце заделка, а
на другом - шарнирно-подвижная опора. Эти балки постоянного
сечения заранее рассчитаны на все виды воздействий (см., налри-
мер» задачи для самостоятельного решения в гл. 5 и ответы к ним),
и их рещения для наиболее часто встречающихся случаев помеще-
ны в табл. 6 ,

С помощью табл. 6.1 в дальнейшем весьма просто строятся
единичные и грузовые эпюры моментов путем формального пере-
носа соответствующих эпюр моментов из таблицы на деформиро-
ванные стержни основной системы аг различных воздействий.

Число вводимых связей равно степени кинематической неоп-
ределимости системы: число дополнительных заделок совпадает со
степенью угловой подвижности (количество жестких узлов лу), а
число дополнительных опорных стержней - со степенью линейной
подвижности узлов пл (Пл = №щ.сх).

Дополнительная заделка эквивалентна одной связи и отличает-
ся от обычной опорной жесткой заделки, которая эквивалентна
трем связям, тем, что препятствует только угловым перемещениям
узлов и не препятствует их поступательным перемещениям. В до-
полнительной заделке может возникать в качестве реакции только
момент. Эта так называемая моментная, или угловая связь. В до-
полнительном стержне возникает реакция, направленная по оси
этого стержня, - это силовая или поступательная связь.

Поскольку узлы заданной системы под внешним воздействием
могли иметь угловые и линейные перемещения, а в основной сис-
теме они невозможны, чтобы сделать основную систему эквива-
лентной заданной по перемещениям и усилиям, надо дополнитель-
но к заданному внешнему воздействию приложить во введенные
связи действительные угловые и линейные перемещения, которые
пока неизвестны.

Этими перемещениями компенсируется введение дополнитель-
ных закреплений, и как раз они являются основными неизвестны-
ми метода перемещений, которые обозначаются буквой Z с под-
строчным индексом (ZilZ2,...,Zn). Введением неизвестных пере-
мещений в дополнительные связи и определяется окончательная
основная система, которую можно назвать кинематически
определимой. В дальнейшем изложении она будет изобра-
жаться с заданными нагрузками, дополнительными связями и не-
известными перемещениями Отметим, что основная система
метода перемещений — единственная.

При расчете симметричных систем методом перемещений, так
же, как и при расчете методом сил, можно и нужно применять
способ группировки неизвестных, который значительно облегчает
расчет.
Таблица 6.1

ы 1Л/П Схема балки и воздействия на нее Эпюры изгибаю- щих моментов и реакции Формулы моментов и реакций
. 1 &"1 1 £_____л 1 /i г & i = — - погонная же- сткость и ЗЕ/ V. R R 3EJ R^RB- p -t
Л - — ** k L—>1 A RB
2 ь— к—1-—» 1 ^А м -^L-3i- мл- p -7, Л n 3EJ 3i D I? ^A =
3 1 к у-к 1 ч о : —*; “к _ ' *s М* vuFl $ x* 3:1 .* % " i, i«:; " " S -5 > 3 “ > я ? \ \ G bJ UJ x сл — — П I । •— M 'si 3^4
4 “’Н тт 1 *2 . и : ЕС> JL _У ’WWW, Мл 1л, Мл =/П(1-Зи2)/2; ^ = «4 = 3m(l-v2)/(2/) при и = v - 0,5; MА т/^\ Ra-Rb= Ът/ф)
5 т ь- <£* к й Л < /?и RB МА ^т/2\ Ra =^=3w/(2/)
№ п/п Схема балки и воздействия на нее Эпюры изгибаю- щих моментов и реакции Формулы моментов и реакций
6 <7 Л?/я ! ?> £ 11 « II ОО ОО -• о?
tSWn гЯ
L - / > D 1
м\4
7 «Ь-Хулк, И S *- ' С/ II я — йо» / * Их 5 1 *А 1 Й’ о \ - 2 сч J? "К. тг О 11 II II х _
8 в к—1— ul < мЛ к ля 1 МА =7ql2 /120; Ял =W40; RB =1^/^
9 Неравномерный нагрев ъ *1 /. и k ± 1 В к—- >1 <'=|'г'г| Ма ^Шдадш^ч ^EJat' 3iat*l 2h = 2Л = n n 3Ebt' Злх/' Лл=Ял’ 2hl “ 2A а -коэффициент ли- нейного расширения; А-высота поперечного сечения
10 ЯГ1 в U г к - Н м ’ г Лв1 i ?» 3: to X : " " и f -IS-IS 1 £ 11 11 ЦЧ K> 4x II -12?
11 Фх*1 Фв"1 Фл^'Т'Ф^^' к—— ЭВЕ| MA-MB= Ял = Я^ = 0 (
№*
п/п

Схема балки
и воздействия на
нее

Формулы моментов и
реакций

Ф/г'1

Ф/=*

Фл=1
к-

Эпюры изгибаю-
щих моментов и
реакции

Мв

&В

м л/ 6£/

МА МВ = ~

= RB -

= M,

ra ~ R.

12£/

= 6/;

= 12/
/

6EJ £.

в I2 Г

12£У 12/

* " /3 = /2

Ма

^4.. VuFJ Мв

\cut>\< vl >|

I . 1

в^

_____

<4 А

МА = uv2Fl‘,

Мв = u2vVF1;

Ra = v2(1 + 2w)F;

RB = u2(l + 2v)F
при и = v = 0,5;

Мл = Мв = Мс =
RA=RB = F/2

М А = т\)(3и -1);
Мв - mu(3v -1);

^tnuvll
при и = v = 0,5;
М А = М в = 0,25m;
Ra =^=3m/(2/)

Мл = Mg = ql2 /12;

Ял = Я,=9//2
№ Схема балки Эпюры изгибаю-
п/п и воздействия на .тих моментов и

Формулы моментов и
реакций

__j>e акции
МЛ Мв

I я в I

Л/л=?/2/ЗО;
MB=ql2/20'.
RA = W/2b,
RB = 7?//20

Неравномерный
нагрев

МА ~МВ = EJaf/h =
= iat'l / h\
Ra-Rb~ °;

а - коэффициент ли-
нейного расширения;

h - высота поперечного

сечения

Неизвестные перемещения симметрично расположенных узлов
группируются в новые парные неизвестные, представляющие собой
симметричные и обратносимметричные перемещения. Группиро-
вать можно как угловые, так и линейные неизвестные. В расчетной
практике чаще встречаются задачи, в которых группируются только
угловые неизвестные. Тогда угол поворота одного узла представля-
ем как сумму двух неодинаковых в общем случае углов, а угол по-
ворота симметричного узла - как Их разность. За одно из неиз-
вестных принимается теперь поворот уже не одного, а сразу двух
симметрично расположенных узлов на одну и ту же величину и в
одном направлении. Поворот этих же узлов на одну и ту же вели-
чину в противоположных направлениях принимается за второе
групповое неизвестное.

Следующие три свойства систем с вертикальной осью сим-
метрии следует запомнить:

1. Угловое неизвестное, находящееся на оси симметрии, явля-
ется обратносимметричным.

2. Вертикальное линейное неизвестное, находящееся на оси
симметрии, является симметричным.

3. Горизонтальное линейное неизвестное, направленное вдоль
ригеля, является обратносимметричным.

Рассмотрим несколько примеров на образование основных систем.
а)

Пример 6.1. Для заданной рамы (рис. 6.1.5, а) образовать основ-
систему метода перемещений.

Определим сте-
нь кинематичс-
й неопрсдели-
П - Пу +
Пд = 2 + 1 = 3.

На жесткие
алы С и D на-
ываем защем-

6) £

a) v .

з.с.

В
/ММ,

ОС.

Рис. 6.1.5

В
/ттЯ//>

ния с одновременным приложением угловых неизвестных
оризонтальный опорный стержень с линейным неизвестным

Z[ и Z2 •

Z3 можно

ить в узлах С и D или в любой точке ригеля CD . Главное его на-
чение - воспрепятствовать горизонтальному смещению узлов рамы
ис. 6.1.5, 6). Направление неизвестных выбирается произвольным.

Пример 6.2. Для нсразрезной балки (рис. 6.1.6, а) образовать основную
стему метода перемещений.

_______________
з.с.
|е... L->!< А

б) q

.A z2

ос.

Рис. 6.1.6

Основная система показана на рис. 6.1.6, 6.

Пример 6.3. Образовать основную систему метода перемещений для
Симметричной рамы (рис. 6.1.7, а)

Z'Zwzz

ас.

/////м ММ/,

/27т777> zZ/fsM

Рис. 6.1.7

Так как заданная система симметрична, и основная система должна быть
образована таким образом, чтобы сохранить симметрию задачи (рис. 6.1.7, б).

Согласно приведенным выше трем свойствам неизвестное “сим-
метричное, а неизвестные Z6, Z7- обратносимметричныс. Угловые неиз-
вестные Zb Z4 и Z2, Zs, приложенные в симметрично расположенных
узлах, группируем в новые парные неизвестные. В результате группировки
получим симметричные неизвестные Z{, Z2 и обратносимметричны-
неизвестные Z4, Z5. Индексы у неизвестных расставлены так, чтобы они
образовали две группы неизвестных с порядковыми номерами
(Zlt Z2, Z3 - симметричные неизвестные, a ZA, Z5, Z6, Z7- обратно
симметричные).

Пример 6.4. Для трехшарнирной рамы с затяжкой (рис. 6.1.8, а) обра
зовать основную систему метода перемещений.

Рис. 6.1.8

Данная задача имеет чисто методический характер. Заданная статиче-
ски определимая система несимметрична в силу того, что опорные закреп-
ления нижних концов стоек в точках А и В различны. Количество жест-
ких узлов равно четырем (узлы D, Му N, Е). Составив шарнирную схе-
му рамы, читатель может убедиться, что число независимых линейных
смещений узлов рамы также равно четырем. Следовательно, число неиз-
вестных по методу перемещений: П-Пу+Пл «4 + 4 = 8.

Несимметричная основная система в общем ваде изображена на рис.
6.1.8, б. Так как верхние части заданной рамы и основной системы сим-
метричны, для упрощения расчета необходимо воспользоваться такой осо-
бенностью системы и произвести группировку неизвестных Z2 с Z4, а
Z3 с Z5 (рис. 6.1.8, <?). В результате этого эпюры моментов, построенные
в основной системе (см. рис. 6.1.8, *), от действия неизвестных
ZIt Z2, Z3 будут симметричными, а от действия неизвестных
Z4, Z5, Z6, Z7- обратносимметричными, хотя эти неизвестные и нель-
зя называть симметричными и обратносимметричными. Эпюра моментов
от действия неизвестного Z8 будет иметь общий вид.

Пример 6.5. Образовать основную систему метода перемещений для
рамы, изображенной на рис. 6.1.9, а.

Эта задача и ей подобные имеют нс только методический, как преды-
дущая, но и практический характер. Если не заметить особенностей этой
рамы, а именно: опорных закреплений крайних стоек, то основная систе-
ма метода перемещений с шестью неизвестными будет выглядеть так, как
деано на рис. 6.1.9, б(п = пу + пд = 3 + 3 = 6). • »

Под действием нагрузки в опорах А и В могут возникнуть верти-
Ьцрые опорные реакции VA и VB, направленные вдоль осей стержней

и BG (см. рис. 6.1.9, а).

| Рассмотрим стержень AD. На этот стержень действует только одна
юдольная сила VA. Так как плечо этой силы для всех сечений стержня
I) равно нулю, равны нулю и моменты в этих сечениях, в частности,
Гр 0 (поперечные силы здесь тоже равны нулю). Это обстоятельство
мволяет перенести шарнирно-подвижную опору из точки А в точку D,
Йдварительно удалив стержень AD (рис. 6.1.9, в). На стержень BG дей-
Ьуют две силы: сила VB, которая так же, как н сила VA, не вызывает
р<бающих моментов в стержне BG , и внешняя сила F, которая создает
РМент в узле G , равный Fh2, направленный против хода часовой стрел-
ll (см. рис. 6.1.9, а). Отсюда следует, что, удалив стержень BG , шарнир-
l-подвижную опору тоже можно перенести из точки В в точку G и
риложить внешний момент т = Fh2 . Новая временно заданная система,
Хйлежащая расчету, показана на рис. 6.1.9, в, а основная система для нее
на рис. 6.1.9, г. Задача стала с двумя неизвестными вместо шести.

Рис. 6.1.9

После нахождения неизвестных Z, и Z2 надо снова вернуться к ис-
ходной заданной системе и построить в ней все окончательные эпюры
Внутренних усилий, не забывая строить эпюры М и Q на участке KG, а
также эпюру продольных сил на крайних стойках. Такое существенное
упрощение решения задачи не зависит от вида и количества нагрузок на
стержнях AD и BG.

Читатель, наверное, уже понял, что поступать так можно и нужно
всегда, когда шарнирно-подвижные опоры направлены вдоль закреплен-
ных прямолинейных стержней рам и балок. Естественно, если шарнирно-
-подвижные опоры перпендикулярны (наклонны) к закрепленным стерж-
ням, то такой прием неприемлем.
Если заданная система п раз кинематически неопределима, то
после наложения на нее п дополнительных связей, устраняющих
возможные перемещения ее узлов и приложения к ним неизвест-
ных перемещений ZI,Z2,...,Zfl, система канонических уравнений
метода перемещений для определения этих неизвестных может
быть представлена в виде

г п^т г21^1 + г 12^2 + Г 22Z2 + ••.• +г[nZn +RiP - 0; + ”’+r in^n + =0; (5-3)
+rnn^n + &nP - 0. •»

или в матричной форме:

KZ + RP = 0, (6.4)

где Z = fZI,Z2#...,Z/J]r- вектор неизвестных;

А? = [А1Р, А2?,..., А„/>] т- вектор свободных (хрузовых) членов;

К - матрица внешней жесткости системы, которая в разверну-
той форме имеет вид

r 'll Гц- "Г\п
K = '21 '22-7 •/гл . (6-5)
rnl rnT" г пп\

Все реакции, обозначенные буквой г, называются единичными
реакциями. Так, rik - реакция, возникающая в дополнительной
связи Z, где имеется перемещение Z/, от перемещения связи к на
единицу (от Zk = I ); r^Zk - реакция, возникающая в дополни-
тельной связи / от перемещения связи к на величину Zk; гц-
реакция, возникающая в дополнительной связи г, где имеется пе-
ремещение Z/, от смещения этой же связи на единицу (Z, =1);
zJ/Z/- реакция в связи i от ее смещения на величину Z,; А^-
реакция, возникающая в связи i от действия на основную систему
нагрузки. Первый индекс у rik и RlP показывает номер связи, в ко-
торой возникает реакция, а второй - указывает на причину появле-
ния реакции. Реакция, возникающая в связи ' ('i*. Rip), считается
положительной, если ее направление совпадает с направлением
неизвестного перемещения Z;, показанного на основной системе.
ЖВще раз напомним, что реакции, возникающие в дополнительных
IdKuraxax (защемлениях), называются реактивными моментами, а в
□Дополнительных опорных стержнях, - просто реакциями, или реак-
(^ДИвными усилиями.

FwB Поскольку уравнения (6.3), (6.4) являются условиями эквива-
ICTbchthocth по усилиям заданной и основной систем (условиями
^Давновесия), физический смысл любого / -го уравне-
Д|В[Ия заключается в том, что суммарная реакция в дополнительной
О^рязи i от действия всех неизвестных и нагрузки на основную систе-
glBy равна нулю, потому что в заданной системе эта дополнительная
ДДилзь отсутствует.

[Дг Как и в методе сил, коэффициенты с одинаковыми индексами,
^расположенные на главной диагонали матрицы К (6.5), называют-
ВКд главными коэффициентами, которые всегда положи-
е л ь н ы и не равны нулю. Остальные коэффициенты этой мат-
^№ицы называются побочными. Они могут быть положитель-
ЯКыми. отрицательными и равными нулю. В соответствии с первой
йИгеоремой Рэлея о взаимности реакций между побочными коэффи-
^Вииентами выполняется соотношение

Hi' rik

аВ Вследствие чего матрица внешней жесткости К будет симметрич-
^Ной и, как матрица внешней податливости L в методе сил, поло-
жи Жительно определенной.

К Для вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных
ИЧленов канонических уравнений метода перемещений надо сначала
построить эпюры изгибающих моментов М, в основной системе
вот единичных неизвестных перемещений узлов рамы и МР от
внешней нагрузки. При построении единичных эпюр моментов
® весьма желательно предварительно показать пунктирной лини-
Д ей характер деформирования оси каждого стержня от единичного
Д угла поворота или линейного смещения, что позволит установить
положение растянутых волокон и безошибочно перенести из табл.
В 6.1 эпюры моментов для отдельных балок на основную систему и
В тем самым правильно изобразить единичную эпюру моментов в
В целом.

В После построения единичных эпюр моментов М, и грузовой
S эпюры моментов МР переходят к вычислению коэффициентов rik
* и свободных членов RiPi применяя статический или кинематиче-
ский (перемножение эпюр) способы.
Статический способ из-за своей простоты и на-
глядности является основным способом определения коэффициен-
тов при неизвестных и свободных членов и основан на использо-
вании уравнений равновесия. Особенно просто находятся реакции,
представляющие собой реактивные моменты во введенных защем-
лениях, из условий равновесия вырезанных из основной системы
узлов в виде £ Мухи = 0.

Несколько сложнее вычисляются реакции, представляющие
собой реактивные усилия во введенных опорных стержнях. Для их
определения составляются уравнения равновесия некоторой отсе-
ченной части основной системы, содержащей эти силовые связи, в
виде £ X = 0, £ У = 0.

Кинематический способ дает возможность на-
ходить реактивные моменты и усилия в дополнительных связях
аналогично тому, как это делалось в методе сил, т.е. путем интег-
рирования (перемножения) соответствующих эпюр по формулам,
вытекающим из теоремы о взаимности работ:

а RiP = "S J EJ <6-6)

где Л/,, Мк ~ единичные эпюры моментов, построенные в основ-
ной системе метода перемещений; Л/р- эпюра моментов от на-
грузки, построенная в любой статически определимой системе, по-
лученной из заданной.

В практических расчетах при определении единичных реакций
и свободных членов или их проверке кинематический способ из-за
трудоемкости вычислений и вероятности появления ошибок нс при-
меняется. Как исключение он может быть использован для вычис-
ления некоторых коэффициентов при расчете рам с наклонны-
ми стойками, когда применение статического способа усложняется.

В то же время формулы (6.6) примечательны тем, что при на-
хождении коэффициентов уравнений (6.3) можно воспользоваться,
как и в методе сил, свойством взаимной ортогональности эпюр
моментов, из которого следует, что если одна из эпюр моментов
симметрична, а другая ~ обратносимметрична, то соответствующий
коэффициент г1к или свободный член RiP, являющийся результа-
том перемножения этих эпюр, априорно равен нулю.

В симметричных системах разделение неизвестных перемеще-
ний Z, на две группы (симметричные и обратносимметричные),
как известно, приводит к разделению общей системы канониче-
х уравнений (6.3) на две подсистемы, одна из которых содержит
ько симметричные, а другая - только обратносимметричные
эвестные. В методе перемещений для таких систем остаются

раведливыми и два

правила о действии

на симметричное

ние симметричной или обратносимметричной нагрузки.

соору-

Подставив найденные коэффициенты rik и свободные члены

в систему (6.3) и решив ее, найдем действительные значения
звестных метода перемещений После этого

ончательную эпюру моментов строим, как и в методе сил, по
>рмуле (5.13), т.е. как алгебраическую сумму эпюры от заданной
грузки в основной системе МР и единичных эпюр MXt

№2,...>Мп, умноженных на найденные значения неизвестных:

М = iM2Z2i-^MnZn^Mp = YMtzi + MP>

/-1

це MtZi- исправленная единичная эпюра моментов.

Следует отметить, что как исходные М\уМ2,...,Мп, МР, так и
вправленные эпюры моментов метода перемещений являются не-
равновешенными, в то время как окончательная эпюра изгибаю-
хих моментов должна быть обязательно уравновешенной. Поэтому
Необходимым и достаточным условием правильности эпюры М
является равенство нулю реакций во всех введенных связях при
-Правильных единичных и грузовой эпюрах. Это означает, что все
узлы системы должны быть уравновешены, и должны отсутствовать
реактивные усилия в дополнительных опорных стержнях. Обычно
Второе условие (равенство нулю реактивных усилий) сразу не про-
веряется, а совмещается с проверкой эпюр 0 и

. Наряду со статической может быть применена и кинематиче-
ская проверка, как это делалось в методе сил. Для этого надо
окончательную эпюру моментов умножить на единичные эпюры
Или на их суммарную, построенные в любой основной системе ме-
тода сил, образованной из заданной. При практических расчетах
згу проверку, как правило, не выполняют.

После частичной или полной проверки эпюры М по обычным
Правилам строят эпюры поперечных Q и продольных сил N.

Окончательной проверкой правильности всего расчета является
одновременное выполнение всех трех уравнений статики
(£Af = 0; £ X = 0; £ У = 0) как для заданной системы в целом,
так и для любых отдельных се частей.
Последовательность расчета статически неопределимых систем
методом перемещений остается такой же, как и методом сил.

Пример 6.6. Для рамы, изображенной на рис. 6.1.10, а, построить
эпюру М.

Так как жесткости стержней не заданы, считаем их одинаковыми и
равными EJ.

1. Определим степень кинематической неопределимости. Рама име-
ет один жесткий узел, следовательно, Лу=1. По шарнирной схеме
(рис. 6.1.10, б) найдем число независимых линейных смещений узлов:
пл — = 2У-С-Со = 2- 5- 4- 6 = 0. Общее число неизвестных соста-

вит п пу + Пл «1 + 0*1, т.е. заданная рама один раз кинематически
неопределима.

Рис. 6.1.10

2. Образуем основную систему, введя заделку в узел 2, препятствую-
щую возможному угловому смешению, которое обозначим через Zj (рис.
6.1.10, в).

3. Каноническое уравнение метода перемещений запишется в виде
rnZt + Rip = 0, откуда Z{ ~ -R\P/rn .

4. При повороте узла 2 на единицу изгибаются оси двух стержней ос-
новной системы, сходящиеся в этом узле. Отвечающая этому воздействию
деформация основной системы показана пунктиром на рис. 6.1.10, г. На
деформированные стержни 1-2 и 2-3 переносим эпюры моментов из табл.
6.1, соответственно с п. 10 и 1, откладывая ординаты со стороны растяну1-
тых волокон. Единичная эпюра Мх показана на рис. 6.1.10, г. Грузовая
ЛРюра моментов МР от действия внешнего сосредоточенного момента
т * 14 кН-м на защемленный узел 2 равна нулю (рис. 6.1.10, д).

. 5. Для определения коэффициента гп и свободного члена R]P- реак-

.ТИвных моментов в наложенной заделке - применим статический способ.
Для этого вырежем узел 2 и рассмотрим его равновесие в двух случаях.

EJ 8кН-м

Рис. 6.1.11

На рис. 6.1.11, а, 6 показан узел 2 с действующими на него момента-
ми со стороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами в
Защемлении. Напомним, что реактивный момент считается положитель-
ным, если его направление совпадает с принятым направлением Z\ пере-
мещения связи, в которой он возникает. Записав уравнения равновесия
этого узла, получим:

рис. 6.1.11, <г. гп~0,75£7-£А = 0; гп=1,75£Л

рис. 6.1.11, б'. R[P+m = 0; RiP = -14 кН-м.

Знак минус у R[P означает, что реактивный момент R,P и заданное
перемещение угла поворота Zt противоположно направлены.

6. Найдем неизвестное Zj: Zt = - (-14)/1,75£/ = tyEJ.

7. Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная по фор-
муле М - MXZ\ + МР, представлена на рис. 6.1.10, е.

8. Необходимой и достаточной проверкой правильности построенной
эпюры М в данной задаче является равновесие узла 2, которое показано
на рис. 6.1.11, в.

Пример 6.7. Построить эпюры М, Q , W для рамы, показанной на
рис. 6.1.12, а.

1. По шарнирной схеме (рис. 6.1.12, б) определим число линейных
независимых перемещений узлов: пл -№ш.сх= 1У-C-Cq = 26-5-6 = 1.
Так как заданная система имеет один жесткий узел, общее количество не-
известных по методу перемещений составит п = пу + пл =1 + 1 = 2.

2. Основная система представлена на рис. 6.1.12, в.

3. Канонические уравнения метода перемещений запишутся в виде
zjiZ, + r\2Z2 + R[P = 0;

/21Z] + f22Z2 + R2P ~ 0-
4. Для определения единичных коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений построим в основной системе единичные эпюры
Л/i, М2 и грузовую эпюру МР. При повороте узла 2 на угол Z1 = 1 де-
формируются оси трех стержней, сходящихся в этом узле. На деформиро-
ванные стержни 1-2 и 2-3 переносим эпюры моментов с п. 10 табл. 6.1, а
на стержень 2-4 - с п. 1, откладывая ординаты со стороны растянутых
волокон. Единичная эпюра представлена на рис. 6.1.12, г. При линей-
ном смещении узла 5 вправо на Z2 - 1 весь ригель (включая и узел 4) по-
ступательно перемещается вправо, вызывая перекосы (деформации) стоек.

Для построения эпюры М2 надо на деформированные стержни 2“4
и 5-6 перенести эпюры моментов с п. 2 табл. 6.1, отложив их с левой сто-
роны указанных стержней, т.е. со стороны растянутых волокон (рис.
6.1.10, д').

о)

^=12кН/м

VVVVW

f
«
f

;

Jr~2J

ZW=SkHm

о-

Oj вторая

Л^12кН 4 связь

первая
связь

/=4м

/7777777

/=4м .

/777/7Л

/777/777

/Л-8кН м

1 О.С. 6

Внешний сосредоточенный момент т = 8 кН м, приложенный к свя-
зи I, и внешняя сосредоточенная сила F = 12 кН, приложенная через ри-
гель 4-5 к связи 2 (связь 2, как известно, можно поместить и в узле 4),
изгибающих моментов в основной системе не вызывают, а эпюру момен-
тов на стержне 2-3 от равномерно распределенной нагрузки^ = 12кН/м/
построим с помощью п. 16 табл. 6.1.

Грузовая эпюра М? изображена на рис. 6.1.12, е.
... 5. Переходим к вычислению коэффициентов при неизвестных и сво-
Миых членов. У коэффициентов канонических уравнений ,rik и вто-
эй индекс указывает на номер или название эпюры моментов
ХГкМг.....Мп или на которой находим связь, соответствующую

ервому индексу. Если первый индекс i относится к защемленному узлу,
котором возникает реактивный момент, то для его определения вырезаем
от узел на эпюре Мк или М ? и составляем уравнение равновесия в
[де £ Му^и - 0. Если же первый индекс / относится к дополнительной
Юрной связи, в которой возникает реактивное усилие, то для его нахож-
нмя проводим замкнутое сечение, соответствующее заданной расчетной
еме, так, чтобы в него попал стержень, в котором определяется реактив-
ов усилие, и приравниваем нулю сумму проекций всех сил, действующих
I выделенную часть системы, на направление реакции во введенном
гержне.

Чтобы найти коэффициенты первой строки канонических уравнений
» ri2 > последовательно вырезаем узел 2, в котором находится пер-
вая связь, на эпюрах ЛГЬ М2, (см. рис. 6.1.12, ?...е).

На рис. 6.1.13, а...в показан узел 2 с действующими на него момента-
ми со стороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами в
Мшемлении.

4EJ

Рис. 6.1.13

Условия равновесия этих узлов позволяют получить:

узел 2 (рис. 6.1.13, а):

£Л/2=0; rn-3EJ-2EJ-4EJ *0;

узел 2 (рис. 6.1.13, б):

Л/2 » 0; Г|2 + EJ ~ 0; /|2 s — EJ ,

узел 2 (рис. 6.1.13, в):

< 2^2=®» -16 кН м + 8 кН-м = 0; Я)?г8кН*м.

Знак минус у коэффициента г12 означает, что направление реактив-
ного момента г12 противоположно заданному направлению угла поворота
Z\ первой связи.

Для определения коэффициентов второй строки канонических урав-
нений г21, /22» Л2Р> представляющих реактивные усилия во введенном
стержне (второй связи), проведем замкнутые сечения, рассекающие стойки
(см. эпюрыМ\л М.1-, МР на рис. 6.1.12, г...е), и рассмотрим условия рав-
новесия выделенной части рамы, включающей дополнительный стержень
(рис. 6.1.14, а...в), предварительно приложив к силовой связи искомые
положительные реактивные усилия r2l, r22, R2P, а на разрезанных стой-
ках системы - поперечные силы, которые определяются обычным путем
по эпюрам М,, 2 и МР.

3EJ ц EJ EJ EJ EJ

Л Л ' 3 4-2Л 24

Рис. 6.1.14

Из рис. 6.1.14, а...в следует:

= 0 (рис. 6.1.14, a): r2i+EJ = 0; r21 = -EJ;

XX = 0 (рис. 6.].14, в): га -SL- S- = 0; ги = = 0.375Е7;

3 24 24

- 0 (рис. 6.1.14, в): R2P + 12 кН =0; R2P - -12кН.

Полученный для реакций r2i и R2P знак минус показывает, что реак-
тивные усилия направлены противоположно заданному линейному смеще-
нию Z2 второй связи.. Равенство rI2 = r21 - -EJ следует из теоремы о
взаимности реакций. Поскольку реактивный момент определяется проще,
чем реактивное усилие, в дальнейшем при практических расчетах будем
находить именно реактивный момент, а реактивное усилие от действия
единичного угла поворота - на основании теоремы о взаимности реакций.

6. Подставив найденные коэффициенты и свободные члены в систему
канонических уравнений, получим

9E/Z, ~EJZ2 +8 = 0;

- EJZ{ + 0,375£JZ2 -12 = (k

Решение системы дает: Z} = 3,789/£7;

Z2 - 42,105/Е/.
;’*Г Строим исправленные единичные эпюры M2Z2 путем ум-
ке!1йя единичных эпюр Мх й М2 на найденные значения неизвестных
ЮцещсниЙ Zx и Z2 (рис. 6.1.15, а, 6), а затем по выражению М ='

+ M2Z2 + Мр строим в заданной системе окончательную эпюру
ибающих моментов (рис. 6.1.15, <г).

8. Необходимой и достаточной проверкой правильности построенной
>нчательной эпюры М является равенство нулю реакций во введенных
[зях, т.с. должны выполняться канонические уравнения данной задачи,
ожыо сказать иначе: должны быть уравновешены моменты в узле 2 (рис.
1.16, а) и отсутствовать реактивное усилие в дополнительном опорном
ержне (рис. 6.1.16, б). '

а> /^430.73

23.58

т=8кН-м

6)
Г“12кН

10.24XH 1,76хН

15.16

Рис. 6.1.16

X = 30,73 + 8 - 23,58 - 15,16 = 38,73 - 38,74 = - 0,01 (кН • м);

X - 12 -10,24 -1,76 = 12 -12 = 0.

Относительная погрешность в первой проверке составляет:
О,ОГ‘.'1ОО%/38,73 - 0,026%, во второй - 0%.

9. По проверенной эпюре М строим обычным образом эпюру копе-
ечных сил Q (рис. 6.1.17, a)t а по ней способом вырезания узлов - эпюру
родрльных сил N (рис. 6.1.17, б). Для проверки эпюр Q и N отсечем

от опор и приложим вместо них силы, взятые с этих эпюр (рис.
1.1.17, в). Из последнего рисунка легко видеть, что сумма проекций всех
:ил на оси X и у удовлетворяют условиям статического равновесия:

JX-.0; £У = 0.

а) 10,24 1.76

Рис. 6.1.17

^|ДД|%П111К-ш1Ц
ннкв
Пример 6.8. Построить эпюру М для рамы, изображенной на рис
6.1.18, а.

Рис. 6.1.18

1. Заданная рама дважды кинемати-
чески неопределима (п = 2), так как
она имеет два жестких узла (пу = 2) и
ни один из узлов рамы линейно не
смещается (лл = 0).

2. Так как заданная рама, строго
говоря, не является симметричной из-за
наличия различных опорных закрепле-
ний в точках 1 и 4, хотя и близка к ней,
основная система не может быть обра-
зована симметричной.

Однако для таких систем (см. при-
мер 6.4), как и в методе сил (см. пример

5.8), для упрощения расчета и получения симметричных и кососиммет-
ричных эпюр моментов в основной системе целесообразно применить
группировку неизвестных, аналогично тому, как это делается в симмет-
ричных системах.

Такая основная система с группировкой неизвестных показана на рис.,
6.1.18, б. . (

3. Система канонических уравнений в общем виде может быть запи-
сана так:
гп*1+ rt2^2 + Rip в °;

/2|2\ + <22^2 1 #2Р к 0J

Форма записи канонических уравнений при группировке неизвестных
стается прежней, однако единичные коэффициенты и свободные члены,
Кодящие в эти уравнения, приобретают, в отличие от приведенных вы±е
прсделений, несколько иной смысл. Здесь под rik и Rif> понимают
бщенные реакции, соответствующие обобщенному перемещению от
тпового парного смещения Zk = 1 и от нагрузки. Эпюры моментов,
троенные от групповых неизвестных, называются групповыми.

4. Иногда бывает удобнее вести расчет не через жесткости стержней
, а через их погонные жесткости / = EJ / /.

Определим погонные жесткости всех стрежней рамы:

4-2 = 6-3 “ 6-4 = 6 = & /1 = & /4;

6-6 «= 6-5 = / А = £37/6 - EJ/2.

Обозначим ir - EJ/4 = 1, тогда iB = EJ / 2 = 2EJ / 4 = 2i.

Групповая единичная эпюра строится от группового парного не-
известного Zj = 1, приложенного одновременно в двух симметрично рас-
положенных относительно вертикальной линии, проходящей через сере-
дину среднего ригеля, узлах 2 и 3 (рис. 6.1.18, в). На стержни 1-2 и 3-4
эпюры моментов переносятся с п. 10 табл. 6.1, а на стержни 2- 6 и
3-5 - с п. 1.

У стержня 2-3 левый узел 2 поворачивается по ходу часовой стрелки на
угол Zj = 1, а правый узел 3 - против хода часовой стрелки на тот же угол
Zj = 1. Эпюра моментов для такого стержня переносится с п. 12 табл. 6.1.

Групповая единичная эпюра М2 строится от группового парного не-
известного Z2 - 1, приложенного, как и неизвестное Zj - I, одновремен-
но в узлах 2 и 3 (рис. 6.1.18, г).

На стержнях 1—2, 3-4, 2-6 и 3—5 эпюры моментов строятся анало-
гично построению предыдущей эпюры AfJt а на стержень 2-3, у которого
оба ухта 2 и 3 поворачиваются по ходу часовой стрелки на угол Z2 «1,
эпюра моментов переносится с п. 13 табл. 6.1. Эпюра Afj — симметрична,
эпюра М2 ~ обратносимметрична.

Грузовая эпюра МР (рис. 6.1.18, д) построена с помощью п. Зи 16
табл. 6.1.

. 5. Поскольку первая связь одновременно имеется в узлах 2 и 3 и в
этих же узлах приложено первое групповое неизвестное Z, = I, для опре-
деления реактивного момента Гц нужно сразу вырезать оба узла из эпюры

и суммировать возникающие в обеих дополнительных заделках реак-
тивные моменты (рис. 6.1.19, а). Аналогично поступают и при нахождении
реактивных моментов r22, RIP и R2P (рис. 6.1.19, б...г).

Рис. 6.1.19, а: £Л/2 = rn -41-&-21 = 0; rtf = 12/;

2^3 =“',п + 4/+ 6/+ 2/= 0;

ztf = 12/; Гц = + гЦ = 12/ +12/ - 24/.

Рис. 6.1.19, tf: £М2 “'а - 4/-6/-6/= 0; г^ »16/;

£Л/3 = /£ -4/-6/-6/ = 0;

г22 = 16/; г22 = г22 + г22 = 16/ + 16/ - 32/.

Рис. 6.1.19, в: YM2 = Rip-18 кН-м-0; RjJ = 18 кН м;

£Л/3 =-R# + 12kHm=0; л£-12кНм;

R1f Rjp + Rjp =18 кН-м +12 кН м *30 кН м.

Рис. 6.1.19, г: £М2 = R&-18 кН м= 0; R& = 18 кН-м;

£Л/3 = R& + 12kH-m=0; Л& =-12кН м;

R2? = R2P + R2P = 18кНм ’12 кН-м=б кН м.

Индексы "Л" и "/7" при реакциях обозначают соответственно левую
(узел 2) и правую (узел 3) введенные заделки, в которых определяются
простые реактивные моменты.

На основании формулы (6.6) кинематического способа определения
коэффициентов канонических уравнений метода перемещений путем пе-
ремножения эпюр (в частности на М2) и благодаря свойству взаим-
ной ортогональности симметричных и обратносимметричных эпюр момен-
тов, следует, что г12 = г2, = 0.

По мере приобретения навыка в применении статического способа
при определении коэффициентов, представляющих собой реактивные мо-
менты во введенных заделках, можно предложить более простой прием, не
связанный с вырезанием узлов, с дополнительными рисунком типа рис.
6.1.19 и составлением уравнений равновесия.

Особенно просто вычисляются единичные реактивные моменты с
одинаковыми индексами (главные коэффициенты r{i > 0). Для этого по
второму индексу находят на рисунке эпюру М, и на ней - связь /. Реак-
тивный момент г{1 будет равен сумме моментов в / -й связи (все моменты
берутся со знаком плюс). Если связь / находится одновременно в двух
симметрично расположенных узлах, то найденное значение реактивного
Момента для одного узла надо умножить на коэффициент 2.

К Рис. 6.1.19

IB В рассматриваемой задаче этот прием выглядит так: при вычислении
Щ на эпюре М\ находим дополнительную связь 1, которая расположена
в двух узлах 2 и 3, и для левого у&та 2 (или для правого узла 3) находим
ш сумму моментов в этом узле (4/ + 6/ + 2/), а такую же сумму в симмстрич-
М ном узле 3 (узле 2) учтем с помощью умножения предыдущей суммы на
В коэффициент 2, т.е. ru = (4/ + 6/ + 2/) • 2 = 24/.

иК* Для определения коэффициента г22 на эпюре М2 находим введенную
В связь 2, соответствующую первому индексу, которая также расположена в
В двух узлах 2 и 3. Для одного из них вычисляем сумму моментов (4/ + 6/ + 6/)
В и умножаем ее на коэффициент 2, т.е. г22 = (4/ + 6/ + 6/) • 2 = 32/.

В При определении побочных коэффициентов rik и свободных членов
В Rip, представляющих также реактивные моменты во введенных защемле-
В ниЯх, первый этап вычислений аналогичен предыдущему, т.е. вычисляется
В сумма моментов в i -й связи, но сумма слагаемых здесь понимается в ал-
В гебраичсском смысле (со знаком плюс или минус).

К Второй этап состоит в определении знака слагаемых, входящих в сум-
к му. Для этого надо рассмотреть, как и в метоле сил, две эпюры - Mt и
К Мк или и Мр. Если моменты в / -й связи на этих эпюрах для од-
К поименных стержней отложены в одну сторону от оси стержня, то слагае-
мое берется со знаком плюс, если в разные - минус.

Применим эти правила к определению свободных членов RlP и R2P.

* При вычислении RlP сопоставляем эпюры М\ и МР. На эпюре МР
находим первую связь, принадлежащую узлам 2 и 3. В узле 2 момент от
нагрузки, равный 18 кН м отложен с левой стороны стержня 2-6, на эпю-
ре момент 6i на том же стержне 2—6 также отложен с левой стороны;

t
следовательно, слагаемое 18кН-м берется со знаком плюс. В узле 3 мо-
мент, равный 12кН м отложен на стержне 3-4 сверху, и момент 4/ на
этом же стержне эпюры тоже отложен сверху; следовательно, и сла-
гаемое 12кН-м берется со знаком плюс. Окончательно Я|р = 18кН-м +
+ 12кН м=30 кН-м.

Для нахождения R1P рассматриваем эпюры М2 и МР. На эпюре
Л/Р, соответствующей второму индексу, находим связь 2, соответствую-
щую первому индексу у R2P. Связь 2 расположена в узлах 2 и 3. Так как в
узле 2 момент 18 кН-м на стержне 2-6 отложен слева и момент 6/ на
стержне 2-6 эпюры Л/2 - слева, то слагаемое 18 кН м вносится в сумму
со знаком плюс. В узле 3 на стержне 3-4 момент 12кН-м отложен сверху,
а на эпюре М2 на этом же стержне момент 4/ отложен снизу, т.е. в раз-
ные стороны; следовательно, слагаемое 12 кН-м суммируется со знаком
минус. Окончательно /?2р = 18кН м -12кН м" 6 кН м.

Если к связи /, находящейся в

(кН-м)

Рис. 6.1.20

каком-то узле системы, приложен
внешний сосредоточенный момент
т, то он учитывается как дополнитель-
ное слагаемое со знаком плюс, если его
направление противоположно направ-
лению соответствующего неизвестного в
этой связи, в противном случае - со
знаком минус.

Все приведенные выше рассужде-
ния и действия, естественно, проводят-
ся в уме.

При вычислении коэффициентов и

свободных членов, представляющих реактивные усилия во введенных
стержнях, во избежание ошибок, упрощений предложить не представляет-
ся возможным. Они, как и ранее, определяются с помощью разреза эле-

ментов рамы и составления уравнений равновесия сил, действующих на
отсеченную часть, в которую обязательно должен входить введенный стер-

жень.
к

F'"* 6, Вследствие* равенства нулю двух побочных коэффициентов
“ r2i = 0) система канонических уравнений распадется на два незави-
симых уравнения, одно из которых будет содержать неизвестное Z{, дру-
гое “ неизвестное Z2, т.е. получилось то же самое, как в случае, если бы
«известные Z1 и Z2 являлись симметричным и обратиосимметричным
«известными.

л’’’- 24/^+30 = 0; ^=-1,25//;

Г с - ‘ 32ZZ2 + 6 = 0; Z2 = -ОД 875 / Л

7. Строим исправленные единичные эпюры Л/jZj, M2Z2 (рис. 6.1.20, а, б), а
тем и окончательную эпюру моментов по формуле М - M\ZX + M2Z2 +
*Мр (рис. 6.1.20, в).

8. Необходимой и достаточной проверкой правильности построенной
Жончательной эпюры М в данной задаче является статическая проверка
равновесия моментов в узлах 2 и 3. Из рис. 6.1.20, а легко можно видеть,
(то эти условия выполняются точно, так как не было округлений при счете.

Пример 6.9. Рассчитать методом перемещений неразрезную балку и

•ить эпюры Л/, Q (рис. 6.1.21, а).

Рис. 6.1.21

j Как известно, при расчете рам и балок методом перемещений статиче-
ски определимые консоли, загруженные какой-либо нагрузкой, отбрасы-
вают, а их влияние на оставшуюся часть конструкции заменяют момента-
ми, приложенными в узлах, к которым были прикреплены консоли. В со-
ответствии с изложенным отбросим правую консоль балки, приложив на
рпоре 3 сосредоточенный момент, вызванный действием равномерно рас-
пределенной нагрузки q : = -qa2 /2 = -10-4/2 = -20(кН• м) (рис.

6.1.21, б), направленный по ходу часовой стрелки.

Расчет данной задачи удобнее произвести через погонные жесткости
Пролетов балки. Для первого пролета /|_2 = 2£7 / /j = 2EJ /4 = EJ 12, для
второго - /2-з =3£7//2 x^EJ / 6 = EJ /2; следовательно, погонные жест-
кости пролетов одинаковы и примем их равными /, т.е. /(_2 = Ь-з “

1. Так как новая расчетная схема (рис. 6.1.21, б) имеет один жесткий
узел на опоре 2 и не имеет линейных смещений узлов, ее степень кинема-
тической неопределенности равна единице.
2. Основная система, представленная на рис. 6.1.22, о, образуется п\
тем наложения защемления на узел 2.

3/ Каноническое уравнение с одним неизвестным для определен!
перемещений Zx имеет вид

rnZj + Rip - 0.

4. Единичная эпюра изгибающих моментов, • построенная в основ
ной системе от действия неизвестного Z\ -1, показана на рис. 6.1.22, б.

Грузовая эпюра МР (рис. 6.1.22, д) строится путем суммировании
двух эпюр: эпюры моментов (рис. 6.1.22, в) от действия внешней сосредо
точенной силы F -24 кН (п. 3 табл. 6.1) и эпюры моментов (рис. 6.1.22, • )
от действия, сосредоточенного момента т ^20 кН • м, приложенного в узле
3 (п. 5 табл. 6.1).

а) б) . Zt«l

5. Реактивный момент Гц равен
сумме моментов в узле 2 эпюры М]у в
котором находится первая связь, те.
гп =4/ + 3/ = 7/.

Для определения RiP рассмотрим
эпюры М{ пМр (рис. 6.1.22, б, д). На

эпюре Мр момент в первой связи (узел 2), равный 17 кН м отложен на
стержне 2-6 сверху, а момент 3 / -на этом же стержне эпюры М। снизу,
т.е. в разные стороны от оси стержня. Следовательно, R\p - -17 кН м.

6. Подставив вместо гн и RXP их численные значения в каноническое
уравнение, получим:

UZi -17 = 0; Zi = 2,4286//.

7. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов по формуле
М = MKZi + Мр (рис. 6.1.23, б)у где MXZ\ - исправленная единичная
эпюра моментов (рис. 6.1.23, а). В окончательной эпюре М надо не за-
быть построить эпюру моментов на правой консоли балки.
4,857

<?=4кН/м

б)

гя6хН

•)

О. С

’’F

Пример 6.10.
рис. 6.1.24, а.

Поскольку для узла 2 выполня-
условие равновесия =
»ная эпюра М построена
ьно. ‘

. На рис. 6.1.23, в приведены
а поперечных сил Q , построен-
no проверенной эпюре М, и ве-
ны опорных реакций.

Рис. 6.1.23

Проверим условие равновесия на вертикальную ось у:

£ У = -3,64 - 24 - 10 • 2 + 13,93 + 33,71 = -47.64 + 47,64 « 0.

EJ=consi

/И”15кН

Построить эпюры М , Q , N для рамы, изображенной

15хН м

15кН м

— "12кН м

<7=4кН/м

И З.С.......

Новая расчетная схема

/»(=“!5кН м- т2—ЗОкН м

/Я)в15кН-м

Рис. 6.1.24

/Я=15кНм

=30кН-м
1. Нетрудно подсчитать, что общее количество неизвестных но методу
перемещений составляет п = Пу + ПА = 2 + 3 = 5.

2. Основная система, показанная на рис. 6.124, в, образуется путем
введения защемлений на узлы 2, 3 и постановки дополнительных стержней
в узлах 4, 5, 6.

Хотя заданная рама в целом дважды статически неопределима, от-
дельные ес части, а именно: стержни 2-6, 3-5 и 3-4 являются статически
определимыми (типа правой консоли в примере 6.9) по отношению к
внутренним усилиям М и Q, т.е. на этих стержнях можно сразу постро
ить эпюры М (рис. 6.1.24, б) или Q.

Учитывая рассуждения и рекомендации, приведенные в примерах
6.9 и (особенно) 6.5, можно от заданной системы, изображенной на
рис. 6.1.24, а, перейти путем удаления названных стержней и перенесения
шарнирно-подвижных опор из узлов 4, 5, 6 в узлы 1, 2, 3 к новой рас-
четной схеме, представленной на рис. 6.1.24, г, а от основной системы,
показанной на рис. 6.1.24, ег, - к основной системе, представленной на
рис. 6.1.24, д. Горизонтальный опорный стержень из узла 4 временно пе-
ренесем для удобства изображения рисунков в узел I, превратив тем са-
мым скользящую заделку в жесткую, хотя его можно было бы перенести и
в узел 3. Влияние нагрузки на отброшенных стержнях на оставшуюся часть

конструкции заменяем моментами Wj =15 кН-м и т2 = + +

6-4
2

= ЗО(кН-м), приложенными в умах 2 и 3, к которым были

прикре

плены удаленные стержни (см. рис. 6.1.24, г).

В результате таких преобразований проблема решения задачи с пятью
неизвестными свелась к задаче с одним неизвестным ZP

3. Для определения перемещения Z] запишем каноническое уравне-

ние: rnZx + Rxp = 0.

4. Построим в основной системе (см. рис. 6.1.24, д) эпюры и МР
путем переноса на деформированные стержни 1—2 и 2-3 эпюр моментов
для отдельных балок, взятых соответственно с п. 10, 1 и 5 табл. 6.1 (см.
рис. 6.1.25, а, б}.

5. Определим коэффициент гп и свободный член Л1Р (рис. 6.1.25, а, б):

rn-EJ + EJ = 2EJ; /?|/>=15 кН m-/Hj=15 кН .м-15кН м==0.

Знак минус перед вторым слагаемым при вычислении Rip поставлен
потому, что направление сосредоточенного момента /Я/=15 кН-м совпа-
дает с направлением неизвестного перемещения Zt (см. пример 6.8).

6. Из равенства нулю свободного члена следует, что Z, =0.

7. Так как неизвестное Z^O, окончательная эпюра моментов для
расчетной схемы, показанной на рис. 6.1.24, г, будет совпадать с грузовой

ПО
эпюрой МР рис. 6.1.25, б, а чтобы получить окончательную эпюру М для
заданной системы, изображенной на рис. 6.1.24, а, надо к эпюре МР до-
'бавить эпюры моментов на отброшенных стержнях (рис. 6.1.24, 6).

Окончательная эпюра М представлена на рис. 6.1.25, в.

8. Из рис. 6.1.25, а, легко можно видеть, что узел 2 находится в равно-
<Ксии, а это подтверждает правильность эпюры М.

9. Показанные на рис. 6.1.25, г, д эпюры поперечных и продО/Тьных
Сил отвечают всем условиям равновесия, что подтверждает правильность
[выполненного расчета.

• Пример 6.11. Построить эпюры М, Q, N для симметричной рамы,
Лзображснной на рис. 6.1.26, а.

1. Заданная рама имеет два жестких узла (3,6) и одно горизонтальное
Линейное смешение узлов 1,3,6,8. Следовательно, она трижды кинематиче-
ски неопределима (п = Пу + пл = 2 + 1 = 3).

2. Симметричная основная система с группированными неизвестными
представлена на рис. 6.1.26, б. Групповое неизвестное Z\ являются сим-
метричным неизвестным, а групповое неизвестное Z2 - обратносиммет-
ричными, также обратносиммстричным является и неизвестное Zj. По-
скольку на заданную симметричную раму действует симметричная нагруз-
ка, обратносимметричные неизвестные Z2 и Z3 будут равны нулю.
3. В силу того, что Z2 = Z3 -О, система трех канонических ура di к
ний вырождается в одно алгебраическое уравнение: r)1ZI + RiP = 0.

4. Симметричные эпюры моментов М{ и МР показаны на рис.

6.1.26, е, г.

Рис. 6.1.27
ML j. Реактивный момент 7)] равен сумме моментов в узлах 3 и 6 эпюры

в которых находится первая связь, т.е. = (EJ + 2J + 27)2 = 10£/.

Аналогично по эпюре Мр определим реактивный момент R\p-
^У,5кН м -2=-15кН.м.

|В 6. Подставив найденные коэффициенты в уравнение и решив его, по-
hfM Z,: Zi = \y5/EJ.

?. Окончательную эпюру моментов М (рис. 6.1.27, б) построим как
^Ьвбраическую сумму исправленной эпюры M^Z{ (рис. 6.1.27, а) и эпю-
МР.

Д 8. Из рис. 6.1.27, б видно, что узлы 3 и 6 находятся в равновесии, а это
рИмется необходимой и достаточной проверкой правильности постросн-
окончательной эпюры Л/ в данной задаче.

В 9. По проверенной эпюре М строим обычным образом эпюры Q и
Ир (рис. 6.1.27, в, г). Эти эпюры отвечают всем условиям равновесия.

И Если на сооружение помимо постоянной нагрузки действуют и
Веменные, которые могут занимать в нем различные положения и
Вызывать совместное либо раздельное воздействие в рахличных
листаниях, а также сниматься с того или иного участка сооруже-
ния, то необходимо найти такие неблагоприятные сочетания по-
Уоянных и временных нагрузок для каждого сечения, при которых
Них появлялись бы наибольшие и наименьшие изгибающие мо-
менты, поперечные и продольные силы.

I При определении максимального изгибающего момента Мтах
Ь данном сечении надо к изгибающему моменту от постоянной
агрузки Мпост прибавить все положительные моменты от вре-
менных нагрузок в этом сечении.

} При определении минимального момента A/min в данном сече-
[•Мии надо к изгибающему моменту от постоянной нагрузки МП0СГ
^Прибавить все отрицательные моменты от временных нагрузок
аналогично вычисляют и (?min; и :

^Лпах = Мпост + ^М*ВР\ Мпост + (6.7)

Стах ~ Qnocr + £б*д/>; Cmin = ®пост + £€?-«>; (6.8)

^тах*5 ^лосг+ ^min = ПОСТ + ^^-вр- (6-9)

Вычислив по формуле (6.7) величины моментов в достаточном
количестве сечений для каждого стержня заданной системы и со-
единив найденные точки, получим для изгибающих моментов две
предельные кривые, которые называются объемлющими эпюрами.
Одна из них дает для всех сечений значения , другая * зна-
чения М^.

Таким же образом по формулам (6.8) и (6.9) строятся объем-
лющие эпюры для поперечных и продольных сил. Понятие объем-
лющих эпюр чаще всего связывают с расчетом неразрезных балок
на постоянные и временные нагрузки.

Пример 6.12. Для трехпролстной балки, нагруженной постоянной на-
грузкой кН/м и временными нагрузками д2=4 кН/м, ^=18 кН
(рис. 6.1.28, я), построить объемлющие эпюры моментов и поперечных сил.

Произведем расчет балки на каждое воздействие отдельно.

I. Вначале загрузим заданную балку только постоянной нагрузкой
4ft =3 кН/м (рис. 6.1.28, в).

1. Рассматриваемая нсраэрезная балка дважды кинематически неопре-
делима (п = пу = 2).

2. Основная система для нес представлена на рис. 6.1.28, 6.

Рис. 6.1.28

3. Составим канонические уравнения из условия равенства нулю реак-
ций в узлах 3 и 5:

rnZi + r12Z2 + Rif> = 0;

r2,Zj + ^22^2 ^2Р ~

4. Последовательно загружая основную систему неизвестными Zx = 1,
Z2 - I и внешней нагрузкой, строим с помощью табл. 6.1 единичные
эпюры Л/j, М2 (рис. 6.1.28, г, д) и грузовую МР (рис. 6-1.28, <?).

5. По эпюрам Мл и М2 вычисляем коэффициенты при неизвестных:
/у, « 2£7/3 + EJ = 1,6667EJ; ,rI2 = '21 » №J\ rn ~ EJ + (J5EJ = 1,5£Z

Сопоставляя эпюры Mif МРи M2t МР, определим свободные члены
Е]Р = 9 кН м -4 кН • м = 5 кН • м; Я2р =4 *Н м -13,5 кН м= -9,5 кН • м’

6. Подставив вычисленные значения коэффициентов rik и свободных

• • . : '• **. . . I.

членов в канонические уравнения, получим.

1 1,6667 EJZX + O,5£AZ2 + 5 = 0;Т

Q<>EJZX + 1,5EJZ2 -9,5 = 0. J

Из решения системы находим значения неизвестных: Z, = -5,444/£J;

Z2 = 8,814/£/. Неизвестное Zx получилось со знаком минус. Следова-
тельно, предварительное направление его выбрано неверно. Действитель-
ный угол поворота узла 3 направлен против хода часовой стрелки.

Рис. 6.1.29_

7. Путем умножения единичных эпюр , М2 (см. рис. 6.1.28, г, на
Найденные значения неизвестных перемещений Zx = -5,444/EJ и Z2 =
«8,814/£7 строим исправленные единичные эпюры Мх Zx и Л/2 Z2 (рис.
6.1.29, а, б), а затем по формуле М = ± M2Z2 + МР строим в заданной

системе окончательную эпюру изгибающих моментов М (рис. 6.1.29, в). •

8. Поскольку в узлах 3 и 5 моменты уравновешены, окончательная
эпюра М построена правильно.

9. По проверенной эпюре М строим эпюру Q (рис. 6.1.29, г), кото-
рая отвечает условию равновесия на ось .у: £ У = 0.

II. Загружаем только первый пролет балки временной сосредоточен-
ной силой ?=18 кН (рис. 6.1.30, а).

Основная система (см. рис. 6.1.28, б), две единичные эпюры моментов
(см. рис. 6.1.28, г, д) и единичные коэффициенты при неизвестных ги,
r12 = г21 > ^22 остаются без изменений и берутся из первого расчета. Но-
выми здесь будут только грузовая эпюра моментов (рис. 6.1.30, б) и сво-
бодные члены, связанные с ней. Сопоставляя эпюру Мр (см. рис. 6.1.30, б)
с эпюрами Мх и Л/2, найдем: /?|? =13,5 кН м, Я2/>”0.

Решение новой системы уравнений:

1,6667£/Zj + 0,5E/Z2 + 13,5 = 0;

.. 0,5£/Z, + 1,5£/Z2 = 0

позволяет найти неизвестные ZA - -9fEJ и Z2 « 3/EJ.

‘Поступая аналогично предыдущему, построим исправленные единич-
ные эпюры Afj Zj, Л/2 Z2 (рис. 6.1.30, в, г), а после этого — и оконча-
тельные эпюры М и Q (рис. 6.1.30, д, е), проверка которых дает положи-
тельный результат.

.гм„ . • . Рис. 6.1.30

III. Во втором пролете неразрезной балки временная нагрузка отсутст-
вует (снята).

IV. Загружаем третий пролет балки временной равномерно распреде-
ленной нагрузкой q2 4 кН/м (рис. 6.1.31, а).

По эпюре Мр (рис. 6.1.31, б) с учетом единичных эпюр М\и М2
(см. рис. 6.1.28, г, д) вычислим новые свободные члены: R1P - 0;
R2P = -18 кН • м. Тогда система канонических уравнений запишется в виде
],6667EJZ} + O,5£/Z2 - 0; 1
0,5£7Z|+l,5£/Z2-18 = 0,J .

ее решение дает следующие значения неизвестных: Z\--4/EJnZ}= 13,33/ЛУ.

Исправленные единичные эпюры М\ Zb М2 Z2 и окончательные
эпюры М, Q представлены на рис. 6.1.31, в...е.
| Рис. 6.1.31

L По формулам (6.7) и (6.8) вычисляем изгибающие моменты и попе-
речные силы в характерных сечениях и строим объемлющие эпюры изги-
бающих моментов и поперечных сил рис. 6.1.32, а, б.

Результаты вычислений ординат и приведены в табл.
6.2, а 2тах и С min “ в та^л- $.3. Ординаты определялись над опорами 1,
3, 5, 7 и в серединах пролетов, в сечениях 2, 4, 6.
uy Таблица 6.2

Номер сечения Мпост* кНм М от временной нагруз- ки, кН-м, в пролете ^тах > кН -м ^min ’ кН м
1 3
1 -10,81 -16,5 -1,33 -10,81 -28,64
2 5,41 15 0,67 21,08 5,41
3 -5.37 -7,5 2,67 -2,7 -12,87
4 -1,4 U3 -5.33 -1,4 -9,73
5 -9,43 1,5 -13,33 -7,93. -22,76
6 8,78 0,75 12,33 21,86 8,78
7 0 0 0 0 0

Таблица 6.3

Номер сечения Qnocr, кН Q от временной на- грузки, кН, в пролете Стах » кН • И >* •
1 з •
1 9,91 10,5 0,67 21,08 9,91
2 0,91 10,5/-7,5 0,67 12,08/1,58 0,91/-6,59
3 -8,09/+4,49 -7,5/4-2,25 0,67/-3,5 -7,42/4-6,74 $ о £ ЧП ЧП 1
4 -1,01 2,25 -3,5 1,24 -4,51
5 -7,01/4-10,57 2,25/-0,25 -3.5/4-13,89 -4,76/4-24,46 -10,51/4-10,32
6 1,57 -0,25 1,89 3,46 1,32
7 -7,43 -0,25 -10,11 -7.43 -17,79

Примечание. Числитель — значение ординаты слева от
сечения, знаменатель - справа.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

6.1.01

F=8kH

773777}

6.1.06

5м

6.1.08

6.1.09

Ч=4кН/м

F-4XH J

6.1.12

q,=4xH/M

। 6м , Зм । Зм t

be- Ж—-ж >1

т^8кНм

I—ГР

6.1.04

F-16kH

т°8кНм

/777737,

6.1.07

Ч2=6кН/м

JB=J

/777777г

j
। 2м . 4м

->Ц- >|<-------

5м । Зм .
—Ж--—>1

Задачи 6.1.01...6.1.57. Построить эпюры M, Q, N от заданной нат-
ки. Жесткости всех стержней EJ, если их значения не заданы, считать
остоянными. .

Jb=J

Jr-2J

Зм

/7////г,

qt=2KH/M

6.1.10

F=UkH

6.1.05

Ч=4кН/м

F-бкН

6.1.11

Ч=2кН/м

q2-2icH/M

пг
л
6.1.19

6.1.18

к ЗМ >к2М>|?МЧс2М,|?м>|<. Зм

Ч=8кН/м

6.1.27

•Ж.-. .
' ‘ ' § 6.2. Тепловое воздействие

’..Канонические уравнения метода перемещений для п раз ки-
нематически неопределимых систем при расчете на тепловое воз-
действие отличаются от системы уравнений (6.3) только свободны-
ми членами и записываются в виде

•X'"

zii^i +'12г2 + - + '|Л + Лг =0;
+ + г2л^л + ^21 =

(6.10)

'si^i + 'л2^2 + •" + i-rnZn + Rnt = 0.

Физический смысл любого /-го уравнения системы (6.10) за-
ключается в отсутствии (равенстве нулю) суммарной реакции в до-
полнительной связи / от действия на основную систему неизвест-
ных и тепловой нагрузки, так как в заданной системе этой допол-
нительной связи нет. Основная система метода перемещений здесь,
естественно, остается той же, что и при расчете на силовое воздей-
ствие. Как и ранее, будем предполагать, что температура постоянна
по длине каждого стержня, а по толщине нагреваемого элемента -
изменяется по линейному закону. В этом случае температура по
оси стержня (равномерный нагрев) определяется как
/0 =(/j + /2)/2, а разность (перепад) температур V (неравномерный
нагрев) - как /' = |/t — /2|.

Чтобы вычислить свободные члены Ra, необходимо построить
в статически неопределимой основной системе метода перемеще-
ний грузовую эпюру моментов Mt от теплового воздействия. Эта
эпюра будет состоять из суммы двух эпюр моментов: эпюры М\ от
неравномерного нагрева стержней и эпюры от равномерного
нагрева стержней, т.е.

7 “ + Mi (6.11)

Эпюра M't весьма просто строится в основной системе при
помощи п. 9 и 18 табл. 6.1. Построение эпюры M't несколько
сложнее. Для этого надо знать взаимные перемещения концов ка-
ждого стержня Д,у по перпендикулярному к его оси направлению.
В результате равномерного нагрева стержни основной системы уду
линятся или укоротятся, а ее узлы, не поворачиваясь, получат по-
ступательные перемещения и займут новое положение, вследствие
го стержни системы искривятся и в них возникнут изгибающие
менты. Удлинение или укорочение l-го стержня основной сис-
1Ы определяется по известной из школьного курса физики фор-
ie:

А/=а/0/, (6.12)

а — коэффициент линейного расширения материала;

/ - длина нагреваемого стержня.

Из приведенных выше рассуждений следует, что для построе-
! эпюры М’ нужно сначала на отдельном рисунке показать но-
положение узлов основной системы с величинами их смеще-
$ и изобразить деформации искривленных стержней. После
го в новой схеме основной системы переносим на деформиро-
,ные стержни эпюры моментов с п. 2 и 13 табл. 6.1, ординаты
орых надо умножить на соответствующие значения Д^.

Так, для балки, защемленной на одном конце и шарнирно
ертой на другом, эпюра моментов представляет собой треуголь-
:к с ординатой в защемлении, равной

м; = ^дуЛд¥, (6.13)

для балки, защемленной с двух концов, эпюра моментов будет
«дставлять собой равнобокую перекрученную трапецию с момен-
ми по концам, равными

6EJ . 6/ . /г

Mt <6Л4>

Напомним, что Д^- взаимное перемещение концов каждого
стержня в основной системе по направлению, перпендикулярному
К оси стержня.

Полученная таким образом эпюра моментов и есть эпюра Mj.

Окончательная грузовая эпюра Mt в основной системе строит-
ся по формуле (6.11).

Заметим, что свободные члены Ri{ можно вычислить не только
По единой эпюре Л/г, но и отдельно с помощью эпюр M't и Mf
По следующей формуле:

(6.15)

где R'it — реакция во введенной связи / от неравномерного нагрева,
a R’it - реакция в той же связи от равномерного нагрева.
После вычисления всех коэффициентов, решения системы ка-
нонических уравнений и нахождения неизвестных ZI,Z2»...,Z/J
окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной системы
строится по формуле

м = AfjZj + m2z2 +•••+Mnzn + м; + л/; =

__ ___ __________ п ____________ (6.16)

= Л/^jZj + +••• + MnZn + М( = ^Л/jZ/ + м t.

1-1

Наряду с обычными проверками окончательной эпюры момен-
тов, полученной в результате расчета заданной системы методом
перемещений на тепловое воздействие (равенство нулю реакций во
введенных связях), возможна проверка перемножением оконча-
тельной эпюры М с любой единичной М( или суммарной еди-
ничной эпюрой Ms, построенными в основной системе метода
перемещений:

£вл=0; (6.17)

Равенства (6.17) следуют из теоремы Бетти о взаимности работ.

Последовательность расчета систем при тепловом воздействии
сохраняется такой же, как и при силовом воздействии.

Если в задачах (примерах) толщина нагреваемых элементов не
указана, то ее следует принимать для всех элементов равной
h = 0,5 м.

Пример 6.13. Построить эпюры М, Q, N для рамы от указанного на
рис. 6.2.1, а теплового воздействия.

Так как высота h поперечных сечений стержней не задана, будем
считать ее одинаковой и равной 0,5 м. Изменение температуры на стерж-
нях показано пунктирной линией, а там, где она отсутствует, принять ее
равной 0°С.

1. Определим степень кинематической неопределимости:

л = Пу + ПЛ =1 + 1 = 2.

2. Основная система метода перемещений показана на рис. 6.2.1, б.

3. Для определения неизвестных запишем систему уравнений:

гп^1 +гп^2 + Лг “ °; 1

fjiZi + /22^2 + ^2/ ж 0./

4. Единичные эпюры М{ и М2 представлены на рис. 6.2.1, в, г. Эпю-
ра моментов Mf от неравномерного нагрева стержней 2-3 и 5-6 строит-
I при помощи п. 9 табл. 6.1, а для стержня 6-7 - при помощи п. 18 табл.

1 и имеет виц, показанный на рис. 6.2.1, д. : • >

, Для построения эпюры Mj от равномерного нагрева сначала найдем
синения стержней рамы:

стойки 2~3: А, - а • /0Л2 = а • 20 3 = 60а;

*: стойки 5-6: Д2 « а • tfa = а • 30 • 3 = 90а;

ригеля 2—5: A3 = а • = а 20 • 6 = 120а;

.. ригеля 3-6: Д4 » а • Z0/j - а • 10 6 = 60а.

•' Ригель 6-7 не удлиняется, так как средняя температура по оси стсрж-
t Го = (20°С -20°С)/2 = 0°С.

Рис. 6.2.1

Новое положение узлов основной системы после равномерного нагре-
изображено на рис. 6.2.2, а, с помощью которого определим величины
шмных смещений концов каждого стержня Д^ по направлению, пср-

1ндикулярному к оси стержня:

Д|2 = Д2 я 120а; Д2з = Дз ~ Д4 = 60а;

A% = Д2 - Д| = 30а; Д67 = Д2 = 90а.

После нахождения Д^ строим эпюру моментов М; с помощью п. 2 и
13 табл. 6.1, ординаты которой вычисляются по формулам (6.13) и (6.14).
Эпюра М, представлена на рис. 6.2.2, 6.
Следует отметить, что ферменный элемент 2-3 (прямолинейный
стержень с шарнирами по концам) при смещении узлов (см. рис. 6.2.1, г.
рис. 6.2.2, а) не искривляется и моменты в нем не возникают (см. рис. 6.2.2, б).

Отметим еще одно обстоятельство. При построении эпюры М? здесь
и в дальнейшем, особенно в симметричных системах при симметричном
или обратносимметричном тепловом воздействии, надо предварительно
проанализировать, где более рационально поставить дополнительный
опорный стержень. От этого зависит, насколько простой и удачной будет
эпюра Mf. Так, например, если поставить горизонтальный опорный стер-
жень не в узле 5, как это сделано в данной задаче, а в узле 2, то вместо
эпюры моментов на стержне 1-2 получим эпюры моментов на стержнях
4-5 и 5-6, т.е. количество стержней, имеющих эпюры моментов, увели-
чится и, следовательно, несколько усложнится расчет.

Имея эпюры Mf и Л//, по формуле (6.11) строим окончательную
грузовую эпюру моментов Mt в основной системе (рис. 6.2.2, $), по кото-
рой определяются свободные члены точно так же, как и по эпюре
Мр от силового воздействия.
L 5. Реактивные моменты ги, r!2, Ry найдем по эпюрам М2,
.Mt, а для определения реактивных усилий r^, R-y в° введенном гори-
гюнтальном стержне проведем на эпюрах М2 и замкнутые сечения,
[рассекающие стойки, и рассмотрим условия равновесия средней части рамы,
Содержащей введенный стержень (рис. 622, е, ж), на горизонтальную ось х

< Гц • EJ + 2EJ + 3EJ = r\2=r2x^EJ\

[ Ry = 365а£/ - 227,5а£7 - 180аEJ « -42,5а£/,

[• гп = (£//3)3 - £/; R2t - -60а £/ - 40а£/ = -100а£/.

6. После подстановки единичных коэффициентов и свободных членов
канонические уравнения и почленного их деления на EJ получим:

I 6Zj + Z2 — 42,5а = 0;1

Zj + Z2 - 100а » 0. J

Из решения системы находим значения неизвестных: Z(--11,5а;
Z2 = 111,5а.

7. Строим исправленные единичные эпюры моментов М&, M2Z2
(рис. 6.2.2, г, д), а затем по формуле (6.16) - окончательную эпюру М для
। заданной системы от теплового воздействия (рис. 6.2.3, а).

Рис. 6.2.3

8. Одной из проверок правильности построенной эпюры М является
проверка равновесия узла 6.

9. По частично проверенной эпюре М строим по обычным правилам
эпюры поперечных и продольных сил (рис. 6.2.3, б, в). Эта эпюры удов-
летворяют всем условиям равновесия, что подтверждает правильность
выполненного расчета. Ординаты, показанные на эпюрах Л/, Q, N
(рис. 6.2.3, а...в), надо умножить на множитель а£/.

С методической цепью сделаем также проверку эпюры М по формуле (6.17):

Z 1^77^ I 6 353-5о£/ 4 ы 577 + Г577<’2 • 250'5а£/ +

J bJ L Ь IbJ и- LbJ

+ 2 • 81а£/ • £/ + 250Ла£/ • £/ -81а£/ • 2£7) -
-1103аЕ/ • 3 • | • 3EJ = аЕ/(353,5 - 250,5 - 103) =

= аЕ/(353,5 - 353,5) = 0;

V в-1 8,5аЕ/ - З -Е/ —+ -Ш,5аЕ7 - З -ЕЛ —-
2 ’ 3 ЗЕ/ 2 3 3EJ

- | • ЮЗаЕ/ • 3 4 • 3EJ -= ^-(-8,5 + 111,5 - 103) =
z □ ihrJ л

»—у—(-111,5 + 111,5) « 0.

Как и следовало ожидать, проверка дала положительный результат.

Промер 6.14. Для симметричной рамы построить эпюры М, Q, N от
заданного симметричного теплового воздействия (рис. 6.2.4, а).

Рис. 6.2.4

Из заданного соотношения моментов инерции JB(Jг 2/3 следует,
что J в = 2J и Jr » 3/.

1. Рама содержит два жестких узла и одно линейное смещение. Сле-
довательно, общее количество основных неизвестных составит П ± Пу +
-+П q =2 + 1 = 3.
2. Обычная основная система метода перемещений показана на
. 6.2.4, б. Необходимо более подробно остановиться на этой системе,
изонтальный опорный стержень, как известно, можно поставить в лю-
I из узлов 2, 4, 7, 10 или в любой точке на ригелях 2-4, 4-7, 7-10. Как
вило, дополнительный опорный стержень для большей наглядности
крспляют к одному из крайних узлов (в данном примере - к узлу 10).
группового парного симметричного неизвестного Zj »1 и от неравно-
ного нагрева стержней эпюры моментов и M't будут симметрич-
ен, а от обратносимметричных неизвестных Z2 1 и Z3 «1 эпюры

(битов М2 и Му будут обратносиммстричными.

Для данной симметричной задачи хотелось бы воспользоваться из-
гным правилом: если на симметричное сооружение действует симмет-
ное воздействие, то все обратносиммстричныс неизвестные равны ну-
т.е. Z2 = Zy - 0. Однако это правило для основной системы, пред-
шенной на рис. 6.2.4, б, применить нельзя, поскольку оно априорно
цполагает, что грузовая эпюра моментов в основной системе должна
ъ обязательно симметричной. В данном случае деформация основной
гемы и эпюра моментов М; от равномерного нагрева, а следовательно,
грузовая эпюра М( будут несимметричными. Поэтому задачу с основ-
й системой, изображенной на рис. 6.2.4, б, пришлось бы решать с тремя
сизвестными (Z2 * 0, Zy # 0).

Упрощения решения задачи можно добиться следующим образом. Для
>го, чтобы получить симметричной деформацию основной системы, а
[едовательно, и эпюру изгибающих моментов M't от равномерного на-
ева стержней, следует при построении эпюр M't и Mt дополнительный
риэонталъный опорный стержень перенести из узла 10 в точку, располо-
енную на вертикальной оси симметрии, оставив его в узле 10 при по-
роении других эпюр моментов. Только для такой новой основной систе-
ы можно воспользоваться приведенным выше правилом и положить
’2 = Zy - 0, т.е. задача может быть решена с одним симметричным неиз-
:стным Z|.

3. С учетом вышеприведенных рассуждений система трех канониче-
ских уравнений вырождается в одно:

rnZ| + Ru = 0.

4. Групповая единичная эпюра М} от группового парного неизвест-
ного Zi = 1 показана на рис. 6.2.4, в, а эпюра М'( от неравномерного на-
грева - на рис. 6.2.4, г. Последняя эпюра для стержней 3-4 и 6-7 строит-
ся с помощью п. 9, а для стержня 4-7 - с помощью п. 18 табл. 6.1.
Рис. 6.2.5

Для построения эпюры М] от равномерного нагрева предварительно
необходимо введенный горизонтальный стержень перенести из узла 10 на
вертикальную ось симметрии (узел 11), найти удлинения стержней рамы и
изобразить деформацию основной системы (рис. 6.2.5, а):

удлинение ригелей 11-4 и 11-7: д, = а /0 /2/2 = а • 10 • 3 = 30а;

удлинение стоек 3-4 и 6-7: Д2 = а • = а 10 • 3 = 30а.

По рис. 6.2.5, а определим величины взаимных смешений Д^ концов
каждого стержня по направлению, перпендикулярному к оси стержня:

Л12 “ Д34 = А67 = Д910 = Д45 = Д78 я Д1 ='30а; Д47 => 0.

Найдя Д^, с помощью п. 2 и 13 табл. 6.J строим эпюру Л/f, ордина-
ты которой вычисляются по формулам (6.13) и (6.14). Эпюра показана
на рис. 6.2.5, б.

5. Главный коэффициент равен сумме моментов в узлах 4 и 7 эпю-
ры Л/], в которых находится первая связь, т.е. гп = (2EJ + 2EJ + EJ) х
х2= 10£/. Свободный член определим по формуле (6.15), используя
по отдельности эпюры М'( и М; :

Ru - /?|7 + Л27 = (150 -150) • 2aEJ + (20 - 22,5) - 2aEJ = -5а EJ.

6. Подставив численные Значения коэффициентов в каноническое
уравнение, получим: IQEJZ[ - 5aEJ = 0.

Решив это уравнение, найдем Z1 : ZL = 0,5а.

7. Окончательную эпюру изгибающих моментов от теплового воздей-
ствия (рис. 6.2.6, б) построим по формуле (6.16) как алгебраическую сумму
исправленной эпюры M\Z} (рис. 6.2.6, а) и эпюр М} (см. рис. 6:2.4, г) и
Mt (см. рис. 6.2.5, 6): М = + M't + М'(.
8. Из рис. 6.2.7 видно, что необходимая и достаточная проверка по-
дстроенной окончательной эпюры М выполняется.

10.875

ZzT=0

10.875

£Л/4=0
• 21.5

• 57

9. По проверенной эпюре М обычным способом строим эпюры Q и
N (рис. 6.2.6, в, г). Эти эпюры отвечают всем условиям равновесия.

6.667 57

Рис. 6.2.7

Промер 6.15. Рассчитать раму, показанную на рис. 6.2.8, а, и постро-
ить окончательную эпюру моментов от указанного теплового воздействия.

Так как жесткость стержней и высота поперечных сечений не заданы,
будем считать, что EJ = const, h = 0,5 м.

1. Заданная рама имеет одно угловое смещение и одно линейное. Сле-
довательно, степень ее кинематической неопределимости равна 2
(п - пу + Пд = 1 + 1 « 2).

2. Основную систему образуем путем введения в узел 3 заделки, пре-
пятствующей возможному угловому перемещению, которое обозначим
через Z\, и постановки в узел 5 дополнительного вертикального стержня,
препятствующего вертикальному перемещению системы, которое обозна-
чим через Z2 (рис. 6.2.8, б).

3. Для определения неизвестных Z\ и Z2 запишем систему двух ка-
нонических уравнений:

+г12^2 + ~ °;

r21^l + г22%2 + Rlt = 0.

4. Единичные эпюры Ми М2 и эпюра Л/; от неравномерного на-
грева, представленные на рис. 6.2.9, а...в, построены по обычным прави-
лам с помощью табл. 6.1.

Рис. 6.2.8

От равномерного нагрева стержней узел 3 основной системы, изобра-
женной на рис. 6.2.8, б, переместится вверх на некоторую известную вели-
чину Д и вызовет искривление стержня 2-3, что, в свою очередь, приве-
дет к появлению эпюры M'f. Этого можно избежать, если дополнитель-
ный вертикальный стержень перенести из узла 5 в узел 3. Тогда переме-
щения узлов 1 и 5 не вызовут искривления стержней основной системы
(рис. 6.2.9, г), и, следовательно, эпюра M't будет равна нулю (Л// = 0).
Отметим, что узлы 3 и 5 в горизонтальном направлении перемещаться нс
будут, так как средняя температура по осям стержней 2-3 и 4-5 равна
нулю (Го = 0°С).

5. Из рис. 6.2.9, а...е следует:

гп = £, + £/+ 0,5£/ = 2,5EZ; г12 = л21 - £7/12; ^=£1/72;

Rif - (180 - 90 - 60)а£/ = 30а£7; R2l = 30а£Л

6. После подстановки найденных коэффициентов в канонические
уравнения и почленного деления их на EJ получим:

2,5Zt4 Z2 /12 + 30а = 0;1
Zj/12 + Z2/72+30а = 0,]

откуда найдем значения для неизвестных: Zx - 75а; Z2 = -2610а.
Рис. 6.2.9

7. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов по формуле
М - M.Z. + M2Z2 + M't (рис. 6.2.10, в), где M{ZX и M2Z2 - исправлен-
ные единичные эпюры моментов (рис. 6.2.10, а, б).

Рис. 6.2.10

8. Равновесие узла 3 по моментам и отсутствие реакции во введенном
дополнительном стержне свидетельствуют о правильности построенной
окончательной эпюры моментов.
Пример 6.16. Рассчитать нсразрезную балку (рис. 6.2.11, а) и постро
ить эпюры Л/, Q.

Рис. 6.2.11

Будем считать жесткость пролетов балки одинаковой и равной EJ.

1. Поскольку балка не имеет линейных смещений узлов, степень ее
кинематической неопределимости будет равна количеству жестких узлов,
т.е. двум.

2. Симметричная основная система метода перемещений с группиров-
кой неизвестных представлена на рис. 6.2.11, 6. Групповое неизвестное Z}
является симметричным неизвестным, а групповое неизвестное Z2 - об-
ратносимметричным. Так как на заданную и основную симметричные сис-
темы действует симметричное тепловое воздействие, обратносимметричное
неизвестное Z2 будет равно нулю (Z2 = 0).

3. Вследствие того, что Z2 = 0 , система двух канонических уравнений
вырождается в одно алгебраическое уравнение: ri}Zx + Rlf> = 0.

4. Симметричные эпюры моментов и M*t, построенные по обыч-
ным правилам с применением табл. 6.1, показаны на рис. 6.2.12, а, б.
Эпюра моментов M‘t здесь равна нулю, потому что в неразрезной балке от
равномерного нагрева отсутствуют взаимные смещения концов каждого
стержня по перпендикулярному к его оси направлению.

Рис. 6.2.12
-ЛгЛи = -90а.

Проверим дополнительно выполнение равенства (6.17):

17,5

Рис. 6.2.13

9. На рис. 6.2.13, в изображена эпюра поперечных сил Q, построен-
ная по проверенной эпюре М.

£f^^|105aE7 6 | 0.5EJ • 2 •- 105а£/ 4 • 0.5Е/
= а£/(210 - 210) 0.

5. По эторам М\ и M't вычисляем коэффициенты, входящие в па-
ническое уравнение метода перемещений. Реактивный момент Гц равен
умме моментов в узлах 2 и 3 эпюры Mit в которых находится первая
т.е. гп « (Q.5EJ +0,5£/)2 = 2EJ. Реактивный момент Ru вычисля-

аналогично по эпюре M't, т.е. Ry - (150а£/ -6Оа£/)2 * 180аЕ/.

6. Подставив коэффициенты гп, Ry в каноническое уравнение и

шив его, найдем Z{:

7. Окончательную эпюру М
(рис. 6.2.13, б) построим как алгеб-
раическую сумму исправленной
эпюры A/|Z| (рис. 6.2.13, о) и эпю-
ры M't (см. рис. 6.2.12, б).

8. Как видно из рис. 6.2.13, б.
Моменты в узлах 2 и 3 уравновеше-
ны.

I
)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 6.2.01...6.2.36. Построить эпюры М, Q, N от заданного
теплового воздействия, приняв высоту поперечного сечения всех стержней
Н=0.5м, а коэффициент линейного расширения а считать постоянным.

6.2.25

6.2.26

6.2.27
§ 6.3. Кинематическое воздействие

Основная система метода перемещений при расчете рам и ба-
£ок на кинематическое воздействие (чаще всего на осадку опор)
остается такой же, как и при расчете на силовое и тепловое воз-
действия. Канонические уравнения для п раз кинематически не-
Ьпределимых систем отличаются от систем уравнений (6.3), (6.10)
только свободными членами и записываются в виде

+ Г}2^2 + + r\nZn + &\с - Ф

+ r22Z2 + + r2nZn + &2С = Ф

(6.18)

rn\Z\ + rn2Z2 + "’ + rnnZn + &пС - 0.

Физический смысл любого z-го уравнения системы (6.18) ана-
логичен тому, как он формулировался при других воздействиях.
Свободные члены канонических уравнений Ric- реакции во вве-
денных дополнительных связях от кинематического воздействия.
Для их вычисления нужно построить в основной системе грузовую
эпюру Мс оТ заданного смешения опор.

Прежде чем строить эпюру Мс, надо в основной системе по-
казать новое положение узлов, вызванное смещением опор, изо-
бразить деформации стержней и определить относительные посту-
пательные перемещения их концов по перпендикулярному к ним
направлению. Эта процедура аналогична той, которая применялась
при построении эпюры от равномерного нагрева. После этого
эпюра Мс весьма просто строится путем перенесения на дефор-
мированные стержни основной системы соответствующих эпюр
моментов из табл. 6.1, ординаты которых нужно умножить на най-
денные значения взаимных смещений концов стержней.

Определив все коэффициенты, входящие в систему канониче-
ских уравнений и решив ее, окончательную эпюру изгибающих
моментов в заданной системе от смещения опор можно построить
по формуле

М = M^ZX + Af2Z2 + ••• + MnZn + МС = YMizi + мс- (6.19)

Помимо обычной проверки правильности окончательной эпю-
ры М (равенство нулю реакций во введенных связях) можно ис-
пользовать формулу (6.17).
Если решение задачи ведется с точностью до масштабного
множителя EJ, то числа получаются малыми, поэтому, чтобы из-
бежать больших расхождений в окончательных значениях моментов
в узлах, необходимо учитывать при расчете большое число знаков
после запятой (как минимум 5 знаков).

Последовательность расчета систем на заданное смещение опор
остается прежней.

Пример 6.17. Для рамы, изображенной на рис. 6.3.1, а, построить эпю-
ру изгибающих моментов от заданного смещения опор.

Рис. 6.3.1 ,

1. Заданная система один раз кинематически неопределима.

2. Основная система метода перемещений показана на рис. 6.3.1, б.

3. Каноническое уравнение для данной задачи имеет вид
rnZi + Л1С = 0.

4. Единичная эпюра A/t от действия углового неизвестного Zx =» 1
представлена на рис. 6.3.2, а.

Новое положение узлов основной системы от заданного смещения опор
и деформации стержней показаны на рис. 6.3.2, б. Из рассмотрения этого
рисунка найдем величины относительных поступательных перемещений
концов стержней по перпендикулярному к ним направлению:

Дзз я С] + Cj = 0,09 mj Д45 — С\ = 0,06 м.

Эпюру моментов Мс в основной системе строим при помощи табл.
6.1, используя п. 13 для стержня 2-3 и п. 2 для стержня 4-5. Табличные
ординаты моментов для стержня 2-3 надо умножить на величину Д^, а
для стержня 4-5 - на величину Д45 (рис. 6.3.2, в). Рис. 6.3.2, б, в можно
представить в виде одного.

5. По эпюрам и Мс вычисляем коэффициенты ru, R1C :
гп = 3EJ + 1EJ + 2EJ » 7£7; Я1С = 0,045£/.

6. Из решения канонического уравнения найдем значение для неиз-
вестного Z,: Z, - -/г1с/гп = - 0,045Е//7Е/ = -6,429• ЮЛ
7. Окончательную эпюру мо-
ментов (рис. 6.3.3, б) строим по
формуле М M{ZX + Мс,
Где MXZ\ - исправленная единич-
ная эпюра моментов (рис. 6.3.3, а).

Все ординаты моментов, пока-
занные на рис. 6.3.3, б, нужно умно-
жить на множитель 10"3£/.

8. Относительная погрешность в

Рис. 6.3.2

равновесии узла 3 составляет менее
0,01%. При желании можно сделать
проверку эпюры М по формуле (6.17):

£/^-Л=1°-3£у[-1.19,2874.1-3EJ^^\2^^2EJ^^

-^-(2 • 32,142 • 2EJ + 2 • 38,571 • EJ - 32,142 • EJ - 38,571 2EJ)
6 3EJ

= I О'3 £/(-32,145+ 32,142) = -0,003 10"3 EJ.

Рис. 6.3.3

Пример 6.18. Для симметричной рамы, рассмотренной в примере 6.14,
построить эпюры Л/, Q, N от заданного обратносимметричного смеще-
ния опор.

1. Заданная рама (рис. 6.3.4, а) трижды кинематически неопределима.
2. Основная система с группированными неизвестными (рис. 6.3.4, Л)
остается такой же, как и в примере 6.14. Замечание по поводу расположс
ния дополнительного опорного стержня с неизвестным Z3, которое были
рассмотрено в этом примере при построении эпюры М? от равномерного
нагрева, к задачам на смещение опор отношения не имеет. Симметричное
неизвестное Zj при действии на симметричную заданную систему образ
несимметричного кинематического воздействия будет равно нулю
(Zj =0). Следовательно, задача может быть решена с двумя обратносим-
метричными неизвестными Z2 и Z3.

Рис. 6.3.4

3. Канонические уравнения в этом случае запишутся в виде

r22^2 + г23^3 + ^2С =

+ ГЗЗ^З + ^ЗС я 0-J

4. Обратносимметричная групповая единичная эпюра М2 от действия
группового парного обратносимметричного неизвестного Z2 = 1 показана
на рис. 6.3.5, а, обратносимметричная единичная эпюра от обратно-
симметричного неизвестного Z3 = I ~ на рис. 6.3.5, б. Деформации стерж-
ней и грузовая эпюра Мс в основной системе представлены на рис. 6.3.5, в.
При се построении использован п. 1 табл. 6.1, а табличное значение мо-
мента 3EJ/1 умножено на действительное значение углового поворота
опоры.

5. По эпюрам М2, М2, Мс рис. 6.3.5, а...в и рис. 6.3.5, г, д обычным
путем определим коэффициенты, входящие в систему канонических урав-
нений:

r22 = (2EJ + 2EJ + 3£/) • 2 = 14Е/; r23 = ^ = (-2EJ/3 + 3£7/4)2 = £7/6;

R2C =0; 2 £7/9 + 2 • ЗЕ7/8 « 59£7/36;

RK = 20-10"3£7-2 = 40 10"3£7.
6. Подставим найденные коэффициенты при неизвестных и свобод-
члены в систему уравнений и почленно разделим на жесткость EJ ?

14Z2 + Z3/6 « 0;

Z2/6 +59Z3/36 + 0,04 = 0.

Решение этой системы уравнений дает следующие значения неизвест-

Рис. 6.3.5

7. Умножив единичные эпюры моментов jW2 и на найденные

истинные значения неизвестных Z2

F яичные эпюры

A^2Z2

и AfjZj (рис.

и Z3, получим исправленные сди-

6.3.6, а, б). После этого окончатель-

ную эпюру моментов (рис. 6.3.6, в) строим по формуле (6.19):

М = M2Z2 + M3Z3 + мс.

8. Моменты в узлах рамы 4 и 7 уравновешены.

9. Эпюры поперечных и продольных сил от заданных смещений изо
бражены на рис. 6.3.6, г, д.

Из рис. 6.3.6, е следует:
X X = -14,57 + 5,62 + 5,62 - 14,57 + 8,94 + 8,94 - -29,14 + 29,12 = -0,02;
£Г =-0,29 + 0,29 = 0.

Относительная погрешность составляет 0,07%. Проведенные проверки
свидетельствуют о том, что эпюры Л/, Q, N отвечают условиям равнове-
сия рамы, а это подтверждает правильность выполненного расчета.

Рис. 6.3.6

Пример 6.19. Для рамы, изображенной на рис. 6.3.7, а, построить эпю-
ру изгибающих моментов от горизонтального смещения и угла поворота
опоры 5.

1. Заданная рама имеет одно угловое и два линейных смещения. Сле-
довательно, она трижды кинематически неопределима.

2. Основная система с тремя неизвестными показана на рис. 6.3.7, 6.
Поскольку жесткость ригеля рамы стремится к бесконечности
'J -> со), угол поворота и вертикальное смещение узла 4 будут стремить-
к нулю. Это обстоятельство позволяет для упрощения расчета положить
2 = Z3 « О и решать задачу с 1 неизвестным (рис. 6.3.7, в).

Рис. 6.3.7

3. Ятя определения линейного неизвестного Zj запишем уравнение:
rnZ| + Л!С 0.

IHliniti

4. Единичная эпюра построенная по обычным правилам, прсд-
лена на рис. 6.3.8, а.
Грузовая эпюра моментов Мс в основной системе будет состоять •••
эпюры моментов только на одном стержне 5-6. Поскольку этот стержни
подвергается двойному воздействию,. и эпюра моментов на нем бул< •
складываться из двух эпюр: одна из них — от поворота опорного узла 5 н.»
величину <? = 0,04 рад (п. 1 табл. 6.1), другая - от его линейного смещении
на величину С = 0,06 м (п. 2 табл. 6.1). Табличные ординаты моменки!
первой эпюры умножаются на , второй - на С (рис. 6.3.8, б).

5. Из рис. 6.3.8, а...г следует:

ги » £7/72 + £7/72 + 3£7/32 = 35EJ/288; Rlc = 25 I0"3 £7/6.

6. Из решения канонического уравнения найдем: Zj "-Л^/гц
=-34,286 Ю"3.

7. Сложив исправленную единичную эпюру моментов M1Zl (рис. 6.3.8,
с грузовой эпюрой Мс (см. рис. 6.3.8, б), получим окончательную эпюр\
изгибающих моментов. Полученная таким образом эпюра М не будо
содержать моментов на стержнях 2-4 и 4-6, а узел 4 нс будет уравновс
шен. Это обстоятельство не должно вызывать беспокойство, поскольку
моменты на этих стержнях при расчетах особого значения нс имеют.

Если по каким-то причинам, например, для определения продольных
усилий в стойках 1- 2 и 5-6, эпюру моментов на ригелях необходимо
знать, то в данной задаче этот вопрос решается просто. Неуравновешен-
ный момент 12,36 • Ю"3 EJ кН • м в узле 4 на стержне 4-3 надо распреде-
лить между стержнями 4-2 и 4-6 прямо пропорционально длинам этих
стержней (рис. 6.3.8, е). Как ранее было оговорено, эпюры Л/, 0, N на
стержнях, у которых EJ -> <ю, показываем пунктирной линией.

Если бы опора 3 в заданной системе (см. рис. 6.3.7, а) содержала еще
и вертикальный опорный стержень, т.е. была бы шарнирно-неподвижной,
то неуравновешенный момент 12,86 Ю"3 £7 распределялся бы обратно
пропорционально длинам стержней 4-2 и 4-6. Эти правила следуют из
рассмотрения двух балок: 1) однопролетной шарнирно опертой балки про-
ом /| + /2 под действием сосредоточенного .момента, приложенного в
1ении 4 (рис. 6.3.9, а); 2) двухпролетной нсразрезной балки постоянного
1ения с шарнирно закрепленными концами, нагруженной сосредоточен-
м моментом на средней опоре 4 (рис. 6.3.9, 6).

Пример 6.20. Для нсразрезной симметричной балки построить эпюру

X от указанного на рис. 6.3.10, а симметричного смещения опор.

а)

£ С, “0,03м С2-0,07м

А “6м А-8м А“/2-8м /^б-би . Аж6и /2“8м /j-/2=8m /4=/,~6м

|< к—и*——м*—М

Рис. 6.3.10

Поскольку жесткость стержней не задана, примем EJ = const.

1. Неразрезная балка имеет три жестких узла. Следовательно, степень
ее кинематической неопределимости равна трем.

2. Основная система с группированными неизвестными показана на
рис. 6.3.10, б. Групповое парное неизвестное Zj является симметричным
Неизвестным, а групповое парное неизвестное Z2 - обратносимметрич-
ным. Также обратносимметричным является неизвестное Z3. Так как на

’симметричную заданную систему действует симметричная кинематическая
нагрузка, Z2 ® Z3 = 0.

3. Неизвестное определим и
Л + К\с

4. Симметричная групповая
единичная эпюра Мх от действия
Z| » 1 представлена на рис.
6.3.11, а. Для построения грузовой
эпюры Мс от смещения опор
сначала определим величины вза-
имных смещений концов стерж-
ней по перпендикулярному к ним
направлению и изобразим харак-

1 канонического уравнения:
-0.

Рис. 6.3.11
тер деформирования стержней (рис. 6.3.11, 6):

д12 в д45 = Ci «= 0,03 м; Д23 = Д34 = Сг -С\ =0,07 м - 0,03 м==0,04 м.

Используя п. 13 табл. 6.1, строим эпюру Мс (рис. 6.3.11, в). Таблич
ные ординаты моментов для стержней 1-2 и 4-5 умножим на величину
Д12, а для стержней 2-3 и 3-4 - на величину Д23 (см. рис. 6.3.11, б, в).

5. Из рис. 6.3.11, а, в следует:

Гц = (2 EJ/3 + EJ/2) • 2 =TEJ/3;

Rlc = (-5 • Ю“3£/ -3,75 • IO'5 EJ) 2 = -17,5 10'3 EJ.

6. Из решения канонического уравнения найдем Zj:

Zj ^-Riclru

Рис. 6.3.12

7. Умножив единичную эпюру на найденное значение неизвест-
ного Z| (рис. 6.3.12, а) и сложив ее с эпюрой Мс, получим окончатель-
ную эпюру изгибающих моментов (рис. 6.3.12, б).

8. Как видно из рис. 6.3.12, б, все узлы неразрезной балки по момен-
там находятся в равновесии.

9. На рис. 6.3.12, в приведены эпюра поперечных сил 0, построенная
по полученной выше эпюре М, а также направления и величины опорных
реакций балки. Все ординаты эпюр М, Q и значения опорных реакций
надо умножить на множитель 1О“3Е7.

Проверим условие равновесия реакций на ось у:

Г = 0; 0,417 - 2 - 0,183 2 - 0,468 = 0,834 - 0,834 = 0.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 6.3.01...6.3.35. Построить эпюры М,
магических воздействий.

Q, N от заданных ки-

6.3.02

6.3.03

6.3.01

6.3.04

•0,06м

,=0,02м

Jr~2J
-—ч

. 5м
к—~

ZZ/Z/Zz

/ С-0,06м

?’ $2

С=0,04м

Z/ZZZZZz-

6.3.06

ZZ/ZZA?

6.3.08

6.3.09

JB==3J

Jr=J

[•0,01рад р^О.ОЗрад
1=0,02рад

6.3.05

^4J

Jr=3J

С|

С=0,04м

И
©•

С-0,05м

о=0,02рад

С=0,04.м р-0,02рад

<Л L >J IL

С]-0,06м С,^0,02м

6.3.07

< JB=4J Jr=3J

\ С-О.ОЗм

ф ф=Ч),03рад

6.3.11

6.3.12

6.3.10

FJ->oo

C|=C2=0,04m

Ф=0.04рад

~/ p-0,02 рад

zZwPZ*

/TWA*

z2zz/z//

/штТЛ

Зм

8м

JB=4J Jr=3J

, зм

- -

JB=3J Jr=4J

-—н

JLJL
6.3.13

6.3.14

6.3.15

6.3.21

JB=2J

Jr=3J

ф=С,03рад

z/z/zz/z

С-О.ОЗм

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 6

1. Что принимают за неизвестные метода перемещений?

2. Какие основные гипотезы принимаются при расчете методом перем г
щений?

3. Что понимают под степенью кинематической неопределимости систе
мы и как она определяется?

4. Как определяется число независимых линейных перемещений узлов
системы через ее шарнирную схему? Привести примеры.

5. Как образуется основная система метода перемещений? Привести
примеры.

6. Когда и как применяется группировка неизвестных? Привести приме-
ры.

7. Что можно сказать о виде неизвестных для систем с вертикальной
осью симметрии? Приведите примеры.

8. Сколько основных систем метода перемещений можно образовать для
заданной системы?

9. На какие элементы расчленяется сооружение в основной системе?

10. Как образуется основная система метода перемещений для неразрез
ных балок? Приведите примеры.

11. Запишите систему канонических уравнений метода перемещений.

12. Что означают величины Zh rik, r(i, Rip?

13. Каков физический смысл произведений rn2i, r^Zi • • •?

14. Каков физический смысл каждого из канонических уравнений?

15. Что представляет собой матрица внешней жесткости системы? Почему
она является симметричной?

16. Какие реакции называют главными и побочными, и какими свойства-
ми они обладают?

17. Каким образом строят единичные и грузовые эпюры изгибающих мо-
ментов в основной системе?

18. Как вычисляют коэффициенты при неизвестных и свободные члены
канонических уравнений статическим способом?

19. Как вычисляют коэффициенты матрицы внешней жесткости системы
кинематическим способом?

20. Какие эпюры надо перемножить для вычисления грузовой реакции?

21. Какова особенность определения реакций в групповых связях?

22. Как определяются значения неизвестных Z, ?

23. Что можно сказать о равновесии узлов в единичных и исправленных
эпюрах моментов?
Каким образом строят эпюры внутренних усилий после определения
неизвестных?

Как производится проверка правильности выполненного расчета за-
данной системы методом перемещений?

На чем основана и как производится кинематическая (деформацион-
ная) проверка окончательной эпюры изгибающих моментов?

Какие преимущества даст симметричная основная система при расчете
на: а) произвольную; 6) симметричную; в) обратносимметричную на-
грузки?

Какова последовательность расчета статически неопределимых систем
методом перемещений? • ’ •

Когда и для чего применяют объемлющие эпюры М, Q, N?

Как строятся объемлющие эпюры изгибающих моментов и попереч-
ных сил в неразрезных балках?

, Как записывается система канонических уравнений метода перемеще-
ний при расчете на тепловое воздействие?

1. На какие составляющие раскладывается тепловое воздействие при по-
строении эпюры изгибающих моментов в основной системе?

. Как строят эпюру изгибающих моментов в основной системе и вычис-
ляют се ординаты от равномерного нагрева?

Какова особенность образования симметричной основной системы
при построении в ней эпюры изгибающих моментов от симметрич-
ного равномерного нагрева?

. Каким образом строят окончательную эпюру изгибающих моментов от
теплового воздействия после определения неизвестных?

. Какие равенства должны выполняться при перемножении окончатель-
ной эпюры изгибающих моментов, построенной от теплового воздей-
ствия, с любой единичной эпюрой М -{, построенной в основной сис-
теме метода перемещений?

. Как записывается система канонических уравнений метода псремеще-

• ний при расчете на кинематическое воздействие (смещение опор)?

. Как строят эпюру изгибающих моментов в основной системе от сме-
щения опор и вычисляют се ординаты?

, Каким образом строят окончательную эпюру изгибающих моментов от
смещения опор после определения неизвестных?

40. Что получится, если перемножить окончательную эпюру изгибающих
моментов, построенную от смещения опор, с любой единичной эпю-
рой М i, построенной в основной системе метода перемещений?
Глава 7. Расчет сооружений матричным методом i
перемещений 1

В связи с появлением и интенсивным развитием ЭВМ, ос<»«чВ
но в последние 15-20 лет, большое распространение полупив
матричные методы расчета конструкций, наиболее приспособь i«|
ные для машинного счета. В учебниках и учебных пособиях н!
строительной механике начали появляться параграфы и целые |м»|
делы, в которых классические методы расчета сооружений ci.nl
интерпретироваться с позиций матричной алгебры, например, р.п I
чет рам и балок методом сил в матричной форме или расчет рам
балок методом перемещений в матричной форме. Однако нрм
этом, как и ранее, приходилось строить единичные и грузовые
ры моментов, из ординат которых составлялись матрицы влияния I

Затем появились специальные машинные методы, позволивши*
в некоторой степени автоматизировать процесс расчета. Одним н»
таких методов расчета стержневых систем является матричный м>
тод перемещений (ММП), в котором три стороны задачи расчет
сооружений: статическая, геометрическая и физическая рассмазрп
ваются в матричной форме. Этот метод изложен в работе: Сини
цын С. Б., Ванюшенков М. Г. Матричные методы и МКЭ решении
задач строительной механики: Учеб. пос. М.: МИСИ, 1984.

В ММП, как и в классическом методе перемещений, за о<
новные неизвестные приняты угловые и линейные перемещении
узлов, используются одинаковые основные гипотезы и в несколько
завуалированной форме применяется основная система метода пс
ремещений, однако при расчете ММП не требуется строить еди
ничные эпюры моментов и не надо производить вычисления, свя
данные с ними.

ММП позволяет рассчитывать стержневые системы, состоящие
как из прямолинейных (балки, рамы, фермы), так и из криволи-
нейных (арки, кольца) стержней постоянного сечения, на различ-
ные внешние воздействия (силовое, тепловое, смещение опор и
узлов). В последнем случае криволинейная стержневая система за-
меняется ломаной вписанной фигурой, составленной из прямых
линий, число вершин которой принимается за число узлов расчет-
ной схемы.

Прямолинейные стержни с переменной жесткостью заменяют-
ся стержнями со ступенчато изменяющейся жесткостью, причем в
качестве дополнительных узлов принимаются сечения, где скачко-
образно меняются жесткости.
Как известно, при применении матриц требуется дискретиза-
первоначальной расчетной схемы, поскольку решение задач в
шчной форме является численным методом, по которому ха-
'еристики напряженно-деформированного состояния опреде-
гся для фиксированных сечений сооружения. В связи с этим
но несколько уточнить (дополнить) понятие расчетной схемы
ужения. Под расчетной схемой сооружения в узком смысле этого
а здесь будем понимать совокупность отдельных прямолиней-
элементов постоянного сечения, соединенных конечным чис-
шарнирных и жестких узлов, причем внешнее воздействие
кно быть заменено эквивалентной нагрузкой в виде сосрсдото-
чых сил и моментов, приложенных в этих узлах.

§ 7.1. Приведение внешнего воздействия к эквивалентной
узловой нагрузке

Положительные узловые нагрузки Pj (силы и моменты), соот-
твующис возможным перемещениям узлов Z, (линейным и
овым), прикладываются в направлении этих перемещений. Чис-
возможных перемещений узлов системы (степень се кинемати-
кой неопределимости) можно назвать также степенью
ободы системы, которая может быть подсчитана по
рмуле (6.1): п- пу +ПЛ. Естественно, что степень свободы сис-
мы должна совпадать с числом возможных внешних узловых сил.

Преобразование внеузловой нагрузки в эквивалентную узловую
юизводится с помощью двух состояний. Рассмотрим подробно
реход от заданной системы к 1 - му состоянию и от 1 - го со-
ояния ко 2 - му.

Для получения 1-го состояния образуем из заданной сис-
мы (рис. 7.1.1, а) основную систему метода перемещений и с по-
ощью табл. 6.1 построим, как обычно, грузовую эпюру моментов,
на которой укажем направления и значения реакций (реактивные
силы и реактивные моменты) для каждого загруженного стержня как
для однопролетной статически неопределимой балки (рис. 7.1.1, б).

На рис. 7.1.1, £ приняты следующие обозначения:
Я3_2 = Sqh2l% »12 кН - горизонтальная реакция в опоре 3 балки
2-3; Я2-з = 5?лз/8 = 20 кН - горизонтальная реакция в опоре 2
балки 2-3; Г2.5 = К3_2 = FJ2 5 кН - вертикальные реакции в
опорах 2 и 5 балки 2-5; Я7_6 = 5F2/16 = 3,75 кН - горизонтальная
реакция в опоре 7 балки 6-7; Я6_7 = 11F2/16 = 8,25 кН - горизон-
тальная реакция в опоре 6 балки 6-7; Л/2_3 - реакция (реактивный
момент) в опоре 2 балки 2-3; Л/2_5- реактивный момент в опоре
2 балки 2-5; Л/5_2- реактивный момент в опоре 5 балки 2-5.
Мь_7 - реактивный момент в опоре 6 балки 6-7. Реактивные мо

менты численно равны внутренним моментам в опорных сечениях
соответствующих балок и противоположно им направлены, т.е

Л/2-з = ^/8 = 16кН м; М2.5*М5.2 = fj/,/8 « ЮкН м;

М6_7 = 3F2A1/16 = 13^kH-m.

2-е состояние представляет собой заданную систему
(без введенных дополнительных связей), на узлы которой перено-
сятся из 1-го состояния узловые силы и моменты, равные по вели-
чине и направленные противоположно опорным реакциям (реак-
тивным усилиям и реактивным моментам), возникающим в нало-
женных на узлы системы связях, от заданных воздействий в на-
правлениях их возможных перемещений.

Рис. 7.1.1

Узловыми моментами, действующими на систему во 2-м со-
стоянии, являются суммарные реактивные моменты, взятые из
го состояния, с противоположными направлениями.

Узловыми силами, действующими на систему во 2 - м состоя-
I, являются суммарные реакции (силы), взятые из 1 - го состоя-
в направлении возможного линейного смещения узлов с про-
□иоложными направлениями.

Как видим, рис. 7.1.1, б (1 -е состояние) оказался очень насы-
пным информацией и трудновосприни маемым. Поэтому, преж-
нем переходить ко 2 - му состоянию, внесем следующие сущест-
ные упрощения в I - е состояние.

1. Реакции (силы и моменты) Я3_2 ~ 12 кН, Я6_7 =8,25 кН,
_7 = 13,5 кН-м, приложенные к действительным опорным свя-
на 2 е состояние не переносятся, так как от них не будут воз-
ить никакие усилия в стержнях рамы. Поэтому их не нужно
называть и на 1 - м состоянии.

2. Также не надо переносить на 2 - е состояние, а следовагель-
и указывать на 1 - м состоянии реакции (силы) И2~5 = И5_2 = 5
, действующие соответственно вдоль стержней 1-2, 4-5 и вос-
«ни.маемые земными опорами, поскольку они вызывают только
здольные усилия в этих стержнях, которые автоматически учтут-
fl конце расчета при построении эпюр Q и №.

3. Читатель, наверное, уже догадался о том, что в результате
>йного изменения направления реактивных моментов по отно-
нию к внутренним узловые моменты, которые переносятся из
го состояния на 2-е, по величине и направлению совпадают с
(марным внутренним моментом в данном узле. Отсюда следует,
• на 1-м состоянии не надо показывать и реактивные моменты
2-з> ^2-5» ^5-2- Окончательно 1-е состояние может быть
збражено так, как показано на рис. 7.1.1, в.

Рис. 7.1.2

Вследствие принятых упрощений 2-е состояние можно стро-
ить несколько иначе, чем было описано выше.

Вырезая узел 2 из 1-го состояния (рис. 7.1.2, я), находим, что
суммарный внутренний момент, действующий на этот узел, равен
26 кН-м и направлен по ходу часовой стрелки. Эго значение мо-
мента и его направление (по ходу часовой стрелки) переносим на
узел 2 2-го состояния (рис. 7.1.1, г). Поступая аналогично с уз-
лом 5 (рис. 7.1.2, 0, находим, что суммарный внутренний момент н
этом узле направлен против хода часовой стрелки и равен 10 кН м
Этот момент без изменения его направления прикладываем к узлу
5 2-го состояния (см. рис. 7.1.1, г). Разумеется, эти действия, из
за простоты, надо в дальнейшем выполнять в уме по 1-му состоя-
нию (см. рис. 7.1.1, в), не приводя рис. 7.1.2, а, б.

Наконец, суммарная реакция, действующая в направлении
возможного линейного смещения узлов 2,5,7 и равная 23,7 кН
(Я2,3 + Я7_б =20 кН +3,75 кН = 23,75 кН), переносится на 24-
состояние с обратным направлением и прикладывается к любому
из узлов 2, 5, 7. На рис. 7.1.1, г эта сила приложена к узлу 7.

Можно предложить и другой способ определения данной силы.
Для этого, как и в классическом методе перемещений, проведем
соответствующее замкнутое сечение и приложим в местах разреза
стержней поперечные (иногда и продольные) силы, которые опре-
деляются обычным образом по 1-му состоянию (рис. 7.1.2, в).
Сумма проекций всех сил на направление соответствующего воз-
можного линейного смещения узлов (в данном случае на горизон-
тальное) и есть та сила, которая переносится без изменения на-
правления на 2-е состояние. В нашем примере сумма проекций
всех сил равна 23,75 кН и направлена вправо.

Выбор того или иного приема образования 2-го состояния
по сосредоточенным силам, естественно, остается за расчетчи-
ком. Если применяется второй прием, то реакции Н2-з = 20 кН и
Я7_6 =3,75 кН на 1-м состоянии показывать не надо. Получен-
ное таким образом 2-е состояние является частью новой расчет-
ной схемы сооружения, которая и подлежит расчету.

Аналогично приводятся к эквивалентным узловым силам и мо-
ментам другие воздействия на заданную систему, что будет проде-
монстрировано при рассмотрении примеров.

Внешние сосредоточенные силы и моменты, приложенные не-
посредственно в узлах заданной системы, переносятся на 2 - е со-
стояние без изменения направления и суммируются с узловыми
силами и моментами, взятыми из 1 - го состояния.

В заключение отметим, что 1-е и 2-е состояния являются
результатом преобразования заданной внешней нагрузки в виде
суммы двух нагрузок: 1) самоуравновешенной, включающей опор-
ные реакции статически неопределимой однопролетной балки и
заданной на ней внеузловой нагрузки; 2) эквивалентной узловой -
сил и моментов, передающихся на узлы рамы (системы) от выше-
упомянутой балки. Из 1 - го состояния находятся усилия от
^ действия самоуравновешенной нагрузки, а из 2 - го - усилия S от
действия узловой эквивалентной нагрузки. На основании принци-
па независимости действия сил окончательные величины усилий
определяются путем суммирования усилий So и S, т.е.

$ок ~ Ъ (7.1)

При расчете рам и балок под усилиями S понимают изгибаю-
щие моменты, а при расчете ферм - продольные усилия.

Пример 7.1. Привести заданную нагрузку (рис. 7.1.3, а) к узловой.

Рассматриваемая неразрезная балка имеет две степени свободы, так
как п = пу + пл = 2 + 0 2. Поскольку у балки отсутствуют линейные

смешения узлов, узловая эквивалентная нагрузка на 2-м состоянии будет

состоять только из узловых моментов.

|< Зм4« 4м >|

Грузовая эпюра моментов (1-е
состояние), построенная с помо-
щью табл. 6.1, представлена на рис.
7.1.3, б. Чтобы не забыть учесть
внешний сосредоточенный момент
т » 12кН м. его нужно с заданной
системы перенести на 1-е состояние.

Так как внутренний момент

1-е состояние

0,5кНм 4,5кН-м

2-е состояние
к —>к—^ -4

Рис. 7.1.3

8 кН м, действующий на узел 2 со стороны балки 1—2, направлен против
хода часовой стрелки, а внутренний момент 7,5 кН м, действующий на
узел 2 со стороны балки 2-3, направлен по ходу часовой стрелки (см.
рис.7.1.3, б), суммарный внутренний момент в узле 2 будет равен разности
этих моментов (8 кН м - 7,5 кН м=0,5 кН-м) и направлен по направле-
нию большего момента, т е. против хода часовой стрелки. Это направление
(против хода часовой стрелки) и значение момента 0,5.кНм прикладыва-
ем к узлу 2 на 2 - м состоянии (рис. 7.1.3, s).

Суммарный момент в узле 3 равен разности между внешним момен-
том т = 12 кН -м и внутренним моментом 7,5 кН м со стороны балки 2-3

(12 кН м - 7,5 кН м=4,5 кН м) и направлен по ходу часовой стрелки (см.
рис. 7.1.3, б). Этот момент 4,5 кН м переносим на 2-е состояние и при-
кладываем к узлу 3 по ходу часовой стрелки, т.е. по направлению боль-

шого момента.

Часть новой расчетной схемы (2-е состояние) с приведенной эквива
лентной узловой нагрузкой показана на рис. 7.1.3, в.
Пример 7.2. Привести заданную нагрузку (рис. 7.1.4, а) к узловой.

Рис. 7.1.4

Заданная рама имеет два возможных поворота жестких узлов 2 и 4 и
не имеет линейных смешений (п - пу + Пл = 2 + 0 « 2). 1-е состояние,
включающее эпюры моментов для каждого загруженного стержня от дей-
ствия самоуравновешенной нагрузки, построенные с помощью табл. 6.1,
изображено на рис. 7.1.4, б. Так как в рамс отсутствуют линейные смеще-
ния узлов, значения и направления реакций (сил) на 1-м состоянии не
указывают.

Читатель может проверил» себя и убедиться, что представленная на
рис. 7.1.4, в нагрузка является, в самом деле, искомой эквивалентной узло-
вой нагрузкой.

Пример 7.3. Для рамы, изображенной на рис. 7.1.5, а, привести на-
грузку к эквивалентной узловой.

a) б) в)

Рис. 7.1.5

Степень кинематической неопределимости (число степеней свободы
рамы) найдем по формуле (6.1):

П = Пу + пл = 3 +1 = 4.
40*

60aEJ

г)

a)
JB=3J
Jr~2J
40’

Число линейных смещений узлов Лл, равное единице, получается из
мотрения шарнирной схемы, образованной из заданной рамы.

Отличительная особенность этой задачи от предыдущей состоит в том,
узлы 2 и 5 имеют горизонтальное линейное смещение. Поэтому на

- м состоянии помимо значений внутренних моментов надо указать на-
адления и значения тех реакций (сил), кроме оговоренных в п. 1 и 2 на
.-149, которые дают проекции на горизонтальное направление. В данном
ймерс только одна реакция, возникающая в узле 2 стержня 1-2, должна
показана на 1-м состоянии (рис. 7.1.5, б). Эта реакция, напраален-
влево и равная 15 кН, переносится на 2-е состояние с противопо-
жным направлением и прикладывается в узле 2 или 5. Помимо этою на
5 в заданной системе действует внешняя сосредоточенная сила
2 = 18кН, которая при переносе на 2-е состояние направления нс из-
няет. Следовательно, суммарная сила, действующая в направлении воэ-
ожного горизонтального перемещения узлов, будет равна разности этих
(18кН-15кН = 3 кН) и направлена в сторону большей силы, т.е.
ево, а приложить ее можно в любом из узлов 2, 5. Суммарный внутрен-
момент в узлах 5 и 6 равен нулю. Окончательно 2-е состояние изо-
сно на рис. 7.1.5, в.

Пример 7.4. Для рамы, изображенной на рис. 7.1.6, а, привести тепло-
воздействие к эквивалентной узловой нагрузке.

3EJrCu’

- ——240a EJ

в) 2‘^

3E)Ba?

—~360aEJ

3EJB .
lAi

450aEJ

2-е состояние

J-e состояние

5
3oaEJ I

JEJ.ar

—7— I80OEJ

2 л

80aEJ

Рис. 7.1.6

З.С.

60a EJ

180aEJ

Основная система метода перемещений образуется путем введения
двух угловых защемлений на узлы 2 и 4, а дополнительный вертикальный
опорный стержень необходимо поставить не в узле 3, а в узлах 4 или 5. В
этом случае равномерный нагрев стержня 3-4 не вызовет деформаций в
остальных стержнях. Эпюра .моментов M’t от неравномерного нагрева,
построенная с помощью п. 9 табл. 6.1, представлена на рис. 7.1.6, б.

Для построения эпюры моментов Mj от равномерного нагрева опре-
делим сначала удлинения стержней рамы:

ригеля 2-4: Д| = o/q/j - а • 40 • 4 = 160а;

стойки 1-2: Д2 = - а • 20 • 4 = 80а;

стойки 3-4: Д3 - а/0Л| = а 30 4 = 120а.

Новое положение узлов основной системы рамы вследствие равно-
мерного нагрева изображено на рис. 7.1.6, в, а эпюра на рис. 7.1.6, г
1 - е состояние, являющееся результатом сложения эпюр M't и Л/Д пока-
зано на рис. 7.1.6, д. На этом же рисунке, помимо численных значений
внутренних моментов, изображены реактивные усилия, действующие толь-
ко в направлении возможного вертикального смещения узлов 3, 4, 5. 2 - е
состояние (рис. 7.1.6. е) получено известным уже способом из 1-го состояния.

Пример 7.5. Для рамы, представленной на рис. 7.1.7, а, привести ки-
нематическое воздействие к эквивалентной узловой нагрузке.

. Q015EJ Рассматриваемая рама имеет три степени

' * ' свободы, поскольку п = Пу + пл =2 + 1 = 3.

Грузовую эпюру моментов Мс в основной
системе (1-е состояние) от заданных смещений
опоры строим при помощи табл. 6.1, используя п.
Рис. 7.1.7 Ю для стержня 1-2 и п. 13 для стержня 2-3, при-
чем табличные значения моментов надо умно-
жить на действительные значения смещения опор (рис. 7.1.7, б).

Узловые моменты 0,07£7 и 0,03Е/ показанные на 2-м состоянии (рис.
7.1.7, «), равны по величине и совпадают по направлению с суммарными
внутренними моментами соответственно в узлах 2 и 3 на 1-м состоянии.
Суммарная сила 0.025EJ (0,04EJ - 0,015EJ - 0,025£/), приложенная в узле
2 и направленная влево, определяется вторым способом по рис. 7.1.7, г.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

F=6kH

7.1.06

q=4xH/M

m 8кН-м

7.1.03

.•к

F^6kH

6кН м

q-IkH/m

т=9кН-х<

✓z’zz’ZZ'

7.1.07

20'

h=O,25M

1(Г

3м

4 м

! 3м

k- 5M->I<

• Задачи 7.1.01...7.1.24. Привести заданную нагрузку к эквивалентной
“ »й.

7.1.01

F"8kH

z/z/zZ^

П“О,5м

7.1.10

Jn=3J

ф-0,02рая

zzzzzzz?

/977^

Jr=4J

•JkH/m

7.1.04

C=O, 04m

7.1.05

L
Г

q=2xH/M

4м i 8м

7.1.08
-15*

h -0.25м

J_____

’I
, 4м

7.1.11

5’
Jb=
Jr=J

J»='

Jr=3J

С,-0,02м
Cj^O.OJm

7.1.09
I
§ 7.2. Построение исходных матриц ММП

Напомним, что за положительные направления возможных уз-
овых сил принимаются направления, совпадающие с направ-
ениями, выбранными для возможных перемещений Zf.

С х е м а, на которой показаны и пронумерованы положитель-
но направления возможных узловых перемещений и соответст-
ующих им возможных внешних узловых сил, называется диа-
рам м о Й P-Z.

Положительные направления узловых перемещений, а следова-
ельно, и сил, выбираются произвольно. Однако, чтобы привык-
угь к единообразию, что несколько упростит в дальнейшем рас-
ет, можно порекомендовать: 1) угловые перемещения узлов на-
равлять по ходу часовой стрелки; 2) линейные горизонтальные
еремещения узлов направлять вправо, а линейные вертикальные
еремещения — вверх.

Если строго следовать определению, то диаграмма P-Z для
рамы, рассмотренной ранее и представленной на рис. 7.1.1, о,
должна быть изображена так, как это показано на рис. 7.2.1, а. Для
упрощения рис. 7.2.1, а эту диаграмму в практических расчетах
показывают в виде, изображенном на рис. 7.2.1, б. На последнем
рисунке под направлениями и цифрами 1, 2 понимают возмож-
ные угловые перемещения узлов Z|, Z2 и соответствующие им
возможные узловые моменты Р|, Р2, а под направлением и циф-
рой 3 - возможное линейное перемещение узлов Z3 и соответст-
вующую ему возможную сосредоточенную силу Р3.

В плоской шарнирно-стержневой системе каждый неопорный
шарнирный узел может иметь два смещения и соответствующие им
две узловые силы.
На рис. 7.2.2, б представлена диаграмма Р - Z лля фермы,
изображенной на рис. 7.2.2, а.

Число возможных линейных перемещений всех узлов фермы
составит: 2У - Со = 25-4=6.

Рис. 7.2.2

Имея диаграмму Р- Z и 2-е состояние с узловой нагрузкой
для какой-нибудь системы, можно сформировать матрицу
внешних сил Р. Если расчет ведется на одно загружение,
то матрица внешних сил будет состоять только из одного столбца,
т.е. будет являться вектором, элементы которого представляют со-
бой эквивалентные у&товые силы, взятые из 2-го состояния и за-
писанные в последовательности нумерации сил Р, на диаграмме

Р-Z. Элементы вектора Р принимаются положительными, если
направления внешней узловой нагрузки совпадают с соответст-
вующими направлениями возможных сил, показанных на диаграм-
ме Р-Z, в противном случае - отрицательными. Если же в ка-
ком-либо узле 2-го состояния внешняя узловая нагрузка по на-
правлению возможной силы Р( отсутствует, то соответствующий

элемент вектора Р равен нулю. Так, для рамы, изображенной на
рис. 7.1.1, а, с внешней эквивалентной узловой нагрузкой, пред-
ставленной на рис. 7.1.1, г, вектор внешних сил в соответствии с
диаграммой Р - Z (см. рис. 7.2.1, б) может быть записан в виде

’ 26 ‘

-10

23,75

Для экономии места векторы часто записывают в виде строки с
символом "г” вверху, который означает операцию транспонирова-
ния:
Р = [26 -10 23,75F.

Знак минус у второго элемента указывает на то, что внешний
узловой момент на 2-м состоянии направлен в сторону, противо-
положную возможному узловому моменту Р2 на диаграмме Р- Z.

Для фермы с узловой нагрузкой, показанной на рис. 7.2.2, а,
вектор внешних сил в соответствии с диаграммой Р - Z (см. рис.
7.2.2, б) записывается так:

Р = [10 8 0 - 20,5 0 -13f.

Третий и пятый элементы вектора Р равны нулю, потому что
по возможному направлению сил Р3, Р5 внешняя узловая нагрузка
отсутствует (см. рис. 7.2.2, а).

От действия внешних сил узлы стержневой системы получают
угловые и линейные перемещения. В результате этого ее стержни
деформируются (обозначим их деформации через е,) и в них воз-
никают внутренние усилия Sh соответствующие деформациям е{.

Схема, на которой показаны и пронумерованы положитель-
ные направления всех искомых внутренних усилий и деформаций,
называется диаграммой S -е.

В стержнях фермы от узловой нагрузки возникают только про-
дольные растягивающие и сжимающие силы. Здесь, как и ранее,
растягивающие продольные силы считаются положительными и
направлены от узла, а сжимающие - отрицательными и направле-
ны к узлу. Соответствующие им деформации - удлинения (укоро-
чения) стержней (рис. 7.2.3, а).

Рис. 7.2.3

В системах, работающих на изгиб, за искомые внутренние уси-
лия 5* принимаются изгибающие моменты по концам каждого
стержня, которые при узловой нагрузке изменяются вдоль стержня
по линейному закону. В шарнирном конце стержня момент равен
нулю. За положительный внутренний момент в матричном методе
перемещений принимается момент, который вращает стержень
относительно противоположного конца по ходу часовой стрелки.
Тогда узел под действием положительного момента будет вращать
ся против хода часовой стрелки (рис. 7.2.3, б, в), а поперечная сила
будет отрицательной и постоянной в каждом стержне.

Qij - ~(^i + $j)/hj> Qjk = ~^k I h-

Продольные силы определяются способом вырезания узлов по
окончательной эпюре Q.

Деформациями е, концевых сечений стержня, соответствую-
щими изгибающим моментам Sh являются углы поворота соответ-
ствующих сечений. За положительное направление е, принимается
поворот по ходу часовой стрелки прямой, соединяющей концы
изогнутого стержня, к касательной к изогнутой оси в точке /.

На рис. 7.2.4, а изображена диаграмма S-e для фермы (см.
рис. 7.2.2, а).

Ддя рамы (см. рис. 7.1.1, а) можно предложить два варианта
изображения диаграммы S-e (рис. 7.2.4, б, в), на которых буква
5 у искомых внутренних усилий опущена, а последовательность
нумерации стержней (выбирается произвольно) представлена в
прямоугольниках. На рис. 7.2.4, в изображена эпюра усилий (мо-
ментов), соответствующая положительным направлениям внутрен-
них усилий, показанных на рис. 7.2.4, б.

Из двух предложенных вариантов
более предпочтительным, по мне-
нию автора, является последний, с
помощью которого проще составля-
ется вектор 50 (или матрица So) и
строится окончательная эпюра мо-
ментов.

Рис. 7.2.4
Однако право выбора варианта диаграммы S-e остается за
{етчиком. В любом варианте на диаграмме S-e ъ рамах концы
!ний каждого стержня должны нумероваться последовательны-
числами, что в дальнейшем упростит составление матрицы
гренней жесткости к всей системы. Стрелки, показанные на
. 7.2.4, а, б, относятся не к узлам, а к стержням.

Из сопоставления диаграммы S-e (рис. 7.2.4, в) и 1-го со-
яния (рис. 7.1.1, в) можно сформировать вектор So от само-
1Вновешенной нагрузки. Если моменты на рис. 7.1.1, в и рис.
.4, в в каждом концевом сечении стержня отложены с одной
роны от оси стержня, то соответствующий элемент вектора So
»ется со знаком плюс; в противном случае - минус. Если же в
:ом-либо концевом сечении стержня на 1-м состоянии момент
направлению искомого внутреннего момента отсутствует, то
>тветствуюший элемент вектора So равен нулю.

S9=[0 О -16 -10 10 О О -13,5р.

Для ферм So - 0.

Диаграммы P-Z (рис. 7.2.1, б), S-e (рис. 7.2.4, в или рис.
.2.4, б) и 2-е состояние с приведенной узловой нагрузкой (рис.
,1.1, г) в совокупности представляют собой в широком смысле слова
Овую расчетную схему сооружения при расчете матричным методом
еремещений.

Рассмотрим три стороны задачи расчета сооружений: статиче-
1Кую, геометрическую и физическую.

Связь между внешними и внутренними
силами. Статическая матрица

I. Статическая сторона задачи. Пусть система
имеет т степеней свободы и п искомых внутренних усилий. Ус-
тановим для нее соотношения между т — внешними узловыми си-
лами \л П- внутренними усилиями Sj с помощью составления
уравнений статического равновесия ее узлов и отдельных частей,
Принимая положительные направления внешних и внутренних сил
в соответствии с диаграммами Р - Z и S-e. В результате полу-
чим т уравнений равновесия с п~ неизвестными усилиями. В
матричной форме эти уравнения запишутся в виде
AS, ‘ (73)

где Л-статич.еская матрица, выражающая внешние
силы Pt через искомые внутренние усилия Sj. Каждая строка /
этой матрицы представляет собой коэффициенты, на которые надо
умножить внутренние усилия SltS2,...,Sn, чтобы получить внеш
нюю силу Р,. Матрица А имеет размер /Их л, где т - число
строк матрицы А, которое указывает на число возможных внешних
узловых сил (перемещений); п - число столбцов матрицы А, ко-
торое соответствует количеству искомых внутренних усилий.

В зависимости от соотношения между /и и л могут иметь
место три случая:

1. т>п - система изменяема (число уравнений превышает
число неизвестных.

2. т-П и А * О (А- определитель) - система статически оп-
ределима.

3. т <п и ранг матрицы равен числу строк - система статиче-
ски неопределима (число уравнений меньше числа неизвестных).

Пример 7.6. Для фермы, изображенной на рис. 7.2.5, а, построить
вектор внешних сил Р и статическую матрицу А.

Рис. 7.2.5

Из геометрии фермы (рис. 7.2.5, а) следует: sin а = 0,8, cos а = 0,6.

В соответствии с диаграммой Р - Z (рис. 7.2.5, 6) и внешними сила-
ми, приведенными на рис. 7.2.5, а, вектор внешних сил Р запишется в
виде

Р*[0 -6 -16 Of.

Из сопоставления диаграмм Р - Z и S -е (рис. 7.2.5, б, в) и путем
последовательного вырезания узлов В, С, D (рис. 7,2.6) составим четыре
1Нения статического равновесия, связывающих возможные угловые

... Для узла Я (рис. 7.2.6, а):

' Zr«o; А-Л

•" Для узла С (рис. 7.2.6, 6):

£ЛГ = О; А -^cosa + ^cosa ^У2-О.б^+0,65s;

£ К = 0; А “ sin a + S5 sin a «= 0,853 + 0,855.

•' Для узла D (рис. 7.2.6, в):

ZX s °; A = cosa + $4 ж 0.6S3 + sA.

Приведенные соотношения можно представить в виде (7.3), где
’(А>1) = [А А А А ]Г “ вектор внешних сил;

4S«1) - (^1 S2 Sy 54 •“ вектор внутренних усилий.

44x5)"

\S $ А $
А 1
А 1 -0.6 0,6
А 0,8 0,8
А 0.6 1

В незаполненных ячейках статической
матрицы А находятся нули. В дальней-
шем буквы Р и 5 у РЬА> —А и
51,52,...5/я при написании матрицы А
будем опускать.

' Пример 7.7. Для рамы, представленной на рис. 7.2.7, а, сформировать
векторы So, Р и статическую матрицу А.
.. Рис. 7.2.7

Диаграммы Р - Z и s ~ е показаны на рис. 7.2.7, б, в. Hi рис. 7.2.7, а, <>

следует: So = О, Р = Р .

Рис. 7.2.8

Используя диаграммы Р - Z и
S-е, рассмотрим равновесие жестких
узлов В и D под действием положится ь
ных внешних и внутренних сил (рис.
7.2.8, а, б). В результате получим сле-
дующую систему уравнений:

£Мр-0; Р2 =S44-S5+S6,

которая в матричной фоРмс принимает вид (7.3), где P(2kJ) - Р2)г~

вектор внешних сил; ^(бн) = $2 $1 *$4 вектор

внутренних усилий.

В незаполненных ячейках стат
ской матрицы А находятся нули. '

Пример 7.8. Для рам“» изображенной на рис. 7.2.9, а, построить век-
торы S9, Р и статичсскуР матрицу А.

Рис. 7.2.9

Заданная система имс^ Два угловых и два линейных возможных пе-
ремещений. В связи с этиМ диаграмма Р - Z имеет вид, представленный
на рис. 7.2.9, б. Диаграмма положительных усилий (диаграмма S - е) по-
казана на рис. 7.2.9, в. В с^отвстствии с диаграммой Р - Z и рис. 7.2.9, а
векторы So и Р можно за(1иса7Ъ так: «У® = О, Р » [- 7 О О 9]г.

Для составления четхЛ** уравнений равновесия, соответствующих
ырем возможным перемещениям узлов, вырежем два жестких узла и
ведем два сечения (рис. 7.2.10). 3

Для узла С (рис. 7.2.10, д):

£ Мс - 0; Pi = 5"2 + S3 + S4.

Для узла F(pMC. 7.2.10, б):

>: ? X “ 0; Pl = $f> + 5в.

Для сечения (рис. 7.2.10, в):

£/.0; P3=-±^ + ±^ + J-J5-±57-±S,.

«2 <*3 «з л, Л|

Для сечения (рис. 7.2.10, г):

£Г’О; Д =±$,+1$ ' 5в.

Ч <1 12

Рис. 7.2.10

Приведенные соотношения между внешними и внутренними силами
позволяют записать статическую матрицу А в виде

Проанализировав и усвоив методику получения матрицы Л,
можно предложить для практических расчетов формальный прием
ее построения без использования рис. 7.2.8, рис. 7.2.10. Особенно

просто он реализуется при нахождении соотношения между внеш-
ними и внутренними узловыми моментами.

В самом деле, если возможный узловой момент Р, направлен
по ходу часовой стрелки (как было рекомендовано выше), то н
строке i матрицы Л, в столбцах, соответствующих внутренним
моментам, примыкающим к узлу, где имеется узловой момент Р,
(см. диаграммы Р -Z и S-e), будут стоять элементы матрицы
А, равные по единице. Если же узловой момент Pt направлен про
тив хода часовой стрелки, то - равные по минус единице (см. рис
7.2.7, б, рис. 7.2.9, б и первую, вторую строю! матриц А в приме-
рах 7.7 и 7.8).

Несколько сложнее в уме определяется связь между внешними
узловыми силами и внутренними поперечными силами из соответ-
ствующих замкнутых сечений. В рамах со взаимно перпендикуляр-
ными стержнями при направлении возможной узловой силы Рк
вправо (так было рекомендовано выше) в строке к матрицы А
будут находиться элементы, равные по величине 1/А, где h - дли-
на каждой перерезанной стойки. Номера столбцов строки к, в ко-
торых должны стоять эти элементы матрицы, определяются номе-
рами внутренних усилий, попавших в соответствующее замкнутое
горизонтальное сечение. Для стоек, расположенных ниже горизон-
тального уровня смещения узлов (можно сказать для стоек первого
этажа), соответствующие элементы матрицы А берутся со знаком
минус, а для стоек, расположенных выше (второго этажа), - со
знаком плюс (см. рис. 7.2.10, в и третью строку матрицы А).

Аналогичное правило можно предложить и для случая, когда
возможное перемещение узлов и соответствующая ему возможная
внешняя узловая сила Pj направлены вверх. Значения элементов
строки j матрицы А определяются из соответствующего верти-
кального замкнутого сечения и равны 1//, где / - длина каждого
перерезанного ригеля. Как и ранее, номера столбцов строки у, в
которых должны находиться элементы матрицы, определяются но-
мерами внутренних усилий, попавших в сечение. Для ригелей, пе-
ререзанных слева от вертикального направления смещения узлов,
элементы статической матрицы А берутся со знако.м плюс, а для
ригелей, перерезанных справа, - со знаком минус (см. рис. 7.2.10, г
и четвертую строку матрицы А).

Случай с вертикальным смещением узлов можно свести к слу-
чаю с горизонтальным смещением, если рис. 2.7.10, г мысленно
повернуть по ходу часовой стрелки на угол 90°.

Приведем примеры на применение вышеихложенного приема к
построению статических матриц А.
t t Пример 7.9. Ддя рамы (рис. 7.2.11, а) сформировать вектор внсш-
dK сил Р и статическую матрицу Л.

Заданная рама трижды кинематически неопределима, т.е. степень сво-
5ды ее п - Пу + пл = 2 + 1 = 3. Стержни рамы содержат 8 искомых внут-
рнних усилий. Диаграммы Р- Z и S-e показаны на рис. 7.2.11,6, в.

& В силу гипотезы о неизменности длины изгибаемых стержней фер-

ный элемент CF на диаграмме S-e не нумеруется, а усилия S (мо-
ги) в концевых его сечениях (шарнирах) известны и равны нулю.

Из сопоставления диаграммы P-Z и рис. 7.2.11, а вектор внешних

можно записать в виде Р «= [- 14 -8 20]7*.

В узле С возможный узловой момент
fl направлен по ходу часовой стрелки
[см. рис. 7.2.11, б). К этому же узлу при-
мыкают стержни с внутренними усилия-
ми S2, S3, S4 (см. рис. 7.2.11, в). Сле-
довательно, в первой строке статической
Матрицы А, в столбцах 2, 3, 4 надо по-
ставить элементы, равные по единице. К

Рис. 7.2.11

' F, в котором возможный узловой
[снт Р2 тоже направлен по ходу часо-

вой стрелки, примыкают стержни с внутренними усилиями 56, S7t

(см. рис. 7.2.11, б, в).

значения элементов, также равные по единице. Для определения связи
между поперечными силами и возможной горизонтальной силой Р3 про-
ведем мысленно замкнутое горизонтальное сечение, рассекающее стойки
первого этажа СВ с усилиями 5,, S2 и FE с усилиями Sj, S6, а так*,
стойки второго этажа CD с усилием и FG с усилием S-j. Согласно np.i
вилам, приведенным выше, в третьей строке матрицы А, в столбцах 1, ?.

5, 6 запишем значения элементов l/Aj=-l/4, а в столбцах 3 и 7
l/Aj=I/3.

Пример 7.10. Для рамы, рассмотренной в примере 7.9, сформировал,
вектор внешних сил Р и статическую матрицу А с учетом симметрии
рамы.

Как и в классическом методе перемещений, произведем группировку
неизвестных угловых перемещений и соответствующих им узловых момсн
тов. Диаграмма Р-Z с группировкой перемещений и моментов изобра
жена на рис. 7.2.12. Диаграмма S’-е (см. рис. 7.2.11, в) при этом не изме
нястся. Узловой момент Рх одновременно присутствует в ухтах С и F. В
узле С он направлен по ходу часовой стрелки, а в узле F - против хода
часовой стрелки. В этих же узлах одновременно имеется и узловой момент
Р2, направленный по ходу часовой стрелки.

Из рис. 7.2.11, а, и рис. 7.2.12 следует, что Р = [-6 -22 20]г. Из
сопоставления диаграмм Р-Z (рис. 7.2.12) и S-e (см. рис. 7.2.11, в)
статическая матрица А с учетом симметрии задачи может быть записана
так, как это показано ниже.

Как видим, полученная матрица
является гораздо более заполненной,
чем матрица А в предыдущем приме-
ре, и это в дальнейшем приведет к до-
полнительным вычислительным труд-
ностям при перемножении матриц и
дополнительной затрате времени, хотя
и произойдет в конце расчета распад
системы уравнений на две независи-
мые подсистемы.

Вопрос о том, следует ли при рас-
чете симметричной системы учитывать се симметрию, решается в каждом
конкретном случае в зависимости от схемы заданной системы, количества
j-> Пример 7.11. Построить статическую матрицу для нсразрезной балки

Диаграммы Р-Z и S-e представлены на рис. 7.2.13, б, в. По ним
весьма просто строится статическая матрица А.

Связь между деформациями и перемещениями.

Матрица деформаций

II. Геометрическая сторона задачи. Для
установления соотношения между деформациями элементов и пе-
ремещениями узлов системы надо образовать основную систему
метода перемещений. Последовательно задавая перемещение Zk
какого-либо узла, предполагая, что все остальные перемещения
узлов равны нулю, определим концевые деформации е, в каждом
стержне от поочередного действия каждого из узловых перемеще-
ний.

Если заданная система имеет т возможных узловых переме-
щений и п деформаций, равное числу искомых внутренних уси-
лий, то, просуммировав деформации для каждого концевого сече-
ния стержня от всех узловых перемещений, получим геометриче-
ские уравнения, связывающие деформации и перемещения ухтов,
которые называются уравнениями неразрывности деформаций. В
матричной форме эти уравнения можно представить так:

ё = BZ, (7.4)

где е(Лх1) * [е, e2...enY- вектор деформаций элементов системы;
Z(OTxl) = ^2—ZmY ~ вектор узловых перемещений; В - м а т-

рица деформаций, или деформационная
матрица, выражающая деформации е{ элементов стержневой
системы через перемещения Zk ее уздов, имеющая п строк и т
столбцов. Каждая строка i матрицы В представляет собой
ф'йциснты, на которые умножаются возможные перемещения уи»и
Z/Zj.-Zm для получения деформации е,-.

При практических расчетах деформационную матрицу В <>»
дельно, как правило, не составляют, поскольку между матрице!! II
и статической матрицей А имеется следующая зависимость:

В = Ат или А - Вт, ('/ «I

т.е. они являются транспонированными одна по отношении» ►
другой, а получение матрицы А значительно проще, чем матрицы В
Свойство (7.5) носит общий характер для всех линейно
-деформированных систем и называется принципом двои
ст вен ноет и статических и геометрии с <
ких уравнений.

Для доказательства свойства (7.5) применим принцип возмож
ных перемещений Лагранжа, в соответствии с которым для систг
мы, находящейся в равновесии, суммарная работа всех внешних и
внутренних сил на любом возможном бесконечно малом переме-
щении равна нулю:

8А + 6Авн = 0. (7.6)

Положительная возможная работа внешних сил Р - AS ни
возможных перемещениях bZ и отрицательная возможная работ.।
внутренних сил 5 на возможных деформациях 8е = 5(BZ) = В &Z
записывается в виде

ЬА ~PTbZ = (AS)rbZ = STATbZ\

ЪА^ = -Srbe = -ST В oZ.

После подстановки (7.7) в (7.6) получим:

STArbZ = STBbZ.

Последнее равенство возможно при условии, что В - Аг.

Связь между внутренними усилиями и деформациями.
Матрица внутренней жесткости системы

III. Физическая сторона задачи. Установим
связь между внутренними усилиями и деформациями в элементах
системы.

Для /-го элемента заданной системы эта связь на основании
закона Гука может быть представлена в виде
Sj » k^j,

(7.8)

-матрица жесткости, или матрица внутренней
>сти /-го элемента, показывающая, чему равно усилие 5,- в
<те при деформации er »|. Для стержней ферм имеем:

Ыражение 6, = k~1 =

E(Aj

(7.9)

[1] называется матрицей п о -

Л и во с т и i - го элемента фермы.

я элементов рам и балок матрицы жесткости kt легко могут
получены с помощью табл. 6.1 метода перемещений. Так, для
, жестко защемленного одним концом и шарнирно закреп-

ого другим (рис. 7.2.14, а), искомый изгибающий момент S, в
ном сечении /,, которому соответствует угол поворота е,
. 7.2.14, б), равен

j - _

» Sj = —или в матричной форме Sn = kneni
‘п

F г -

кп = -у-—[З] -матрица

п п -го элемента

Эпюру моментов для
м, при одновременном

Рис. 7.2.14

(7.Ю)

жесткости

(7.11)

стержня, жестко защемленного по кон-
повороте сечения / на е( и сечения j

Sj (рис. 7.2.15, д, е) можно получить путем суммирования эпюр
Моментов (рис. 7.2.15, б, г), полученных при раздельном повороте
сечения i на е,- (рис. 7.2.15, а) и сечения j на в у (рис. 7.2.15, в).

Искомые опорные моменты S{ и Sj в матричной форме по
рис. 7.2.15, е запишутся в виде (7.10): Sn = кпеп,
где

& =

p'l-

вектор внутренних усилий элемента Л;

<?/

- вектор деформаций элемента п;

EJn Г4 21
ж * ”. -матрица внутренней

In 1.2 4J жесткости и-го элемента,

(7.12)

жестко защемленного по концам.

Для всех t элементов заданной системы и содержащих т ис-
комых внутренних усилий и деформаций, связь между усилиями и

деформациями в матричной форме запишется в виде

5 = к£,

(7.13)

где S' = [5j ...- вектор внутренних усилий системы;

ё = [et е2...етГ “ вектор деформаций системы;

Ar-матрица внутренней жесткости сис-
темы, или элементная матрица жесткости
системы.

Рис. 7.2.15
При последовательной нумерации концевых сечений каждого
ржня на диаграмме S-e матрица внутренней жесткости сйсте-
к будет квазидиагональной. На ее главной диагонали будут
^положены матрицы жесткости отдельных стержней, определяе-
:е по формуле (7.9) для ферм, а для балок и рам — по формулам
11), (7.12). Все остальные элементы матрицы равны нулю:

*1 0 0 ... 0 '
0 ^2 0 ... 0
... ... • • • • • • ...
• • • ... ...
0 0 0 ...

(7.14)

Матрица к - квадратная матрица, общий порядок которой
!н т (количеству искомых внутренних усилий).

Пример 7.12. Сформировать матрицу внутренней жесткости к для
ы, рассмотренной в примере 7.9.

Нумерация стержней показана на диаграмме S-e (см. рис. 7.2.11).

। формирования матрицы внутренней жесткости заданной системы вы-

жесткости каждого стержня

едим матрицы

рамы, выразив их через одну

•щую жесткость:

*‘*‘ ^[2 4] = £/[г 5]-п°Ф°Р“Уле(71»;

*2 = к5 - = е44]~ ПО формуле (7.11);

"2 3

*з = к6 = ^-[3]= Е7[3]- по формуле (7.11).

»| э

Теперь матрица внутренней жесткости к запишется в виде
Пример 7.13. Построить матрицу внутренней »

рассмотренной в примере 7.6, при постоянной Жесткости FA фсрм"
нсй *кесгкости LA всех стер>,

Нумерация стержней фермы показана на диа|1мммс с ,

Определим .матрицы жесткости для каждого стержтц по

Как видим, коэффициента перед матрицам„
числами. Наименьшее общее кратное этих чисс/пя ™^ЯсразличныМ|'
за общую приведенную жесткость £4/60, то эле!™ к" "РИН,П ‘
ральными числами, но большими, что затруднит „ Т>ИЦ УДУТ НЭТу
ремножение матриц. Поэтому, =' одноТ^о^ Г

приведенные жесткости у матриц были одинаков^' Тг °^,СЯ’ ЧТобь*
желательно, чтобы как можно больше элементов „ яДрУ™й стороны,
ны натуральными и небольшими числами. ц ыли пРедставл«-

Привсдем несколько вариантов матриц к, ____

р u Я/ с различные приведен-
ными жесткостями: н

*3-*»’fw -^w-Tirt'bf&«)•

*,=т(1]‘ЧЙ ^-T[lb£4ffl;
Последний вариант - самый неудачный, так как элементы всех мат-
являются дробными числами. Для 2-го варианта матрица внутренней
кости к может быть представлена в виде

Все ответы к задачам 6.2.01...6.2.36 для самостоятельного реше-
даны для случаев, когда возможные угловые перемещения же-
fx узлов направлены по ходу часовой стрелки, а линейные
щения - слева направо или снизу вверх (диаграмма Р - Z).

Обход системы определяется нумерацией стержней, показан-
й на заданной системе в прямоугольниках.

Для нумерации положительных искомых внутренних усилий,
зникающих в концевых сечениях стержней рам и балок, принято
едующее правило: каждый горизонтальный (наклонный) стер-
5нь нумеруется последовательными числами слева направо, а ка-
1ый вертикальный стержень - снизу вверх (диаграмма S ~е).
тементы матриц внутренних жесткостей системы к могут не
«падать только из-за наличия разных приведенных жесткостей
!ред матрицами.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 7.2.01...7.2.24. Построить вектор усилий S, от внеузловои
нагрузки, вектор внешних сил Р, а также статическую матрицу А и эле-
ментную матрицу внутренней жесткости к.

7.2.01

7.2.02

7.2.03
7.2.13 • •••

7.2.14

' 7.2.15

7.2.19 7.2.20 7.2.21

К § 7.3. Последовательность расчета

К матричным методом перемещений. Построение

В эпюр внутренних усилий от различных воздействии

К Выпишем уравнения, отражающие три стороны задачи:

В 1. Уравнения равновесия:

В.-- P = AS (7.15)

В 2. Уравнения неразрывности деформаций:

Г ё = BZ = ATZ. (7.16)

К 3. Обобщенный закон Гука:

Е S~ke. (7.17)

Подставив (7.16) в (7.17) получим:

В S = kATZ (7.18)

В После подстановки (7.18) в (7.15) получим систему разрешаю-
щих уравнений относительно перемещений Z :

I P = AkATZ. (7.19)

| Уравнение (7.19) можно представить в другом виде, если про-
изведение первых трех матриц обозначить через К :

P=KZy (7.20)

1деЛ = 4Ыг. (7.21)

I Матрица К называется матрицей внешней жест-
кости, или матрицей жесткости всей конст-
рукции. Она устанавливает связь между внешними узловыми
Вилами и перемещениями узлов. Матрица К- квадратная, сим-
метричная порядка т (т - число возможных перемещений узлов)
в может иметь обратную К'1 у если заданная система геометриче-
ски неизменяема. Умножив левую и правую части уравнения (7.20)
«лева на К'1, получим:

F Z = К'РУ (7.22)

i После нахождения перемещений Z внутренние усилия могут
быть определены по формуле (7.18).

Для проверки результатов расчета на узловую нагрузку надо
полученный вектор внутренних усилий S умножить слева на ста-
тическую матрицу А и результат сравнить с вектором внешних уз-
ловых сил Р, на действие которых производился расчет: AS = Р.

Напомним, что окончательные усилия при действии внеузло-
вой нагрузки определяются по формуле (7.1): = SQ + S.

Если конструкция рассчитывается на л вариантов за гружения,
то все расчетные формулы остаются без изменений, а Р и У ь\ •
уже не векторами, а матрицами, содержащими по п столбцов

Остается открытым вопрос: по какому из двух матричных ур н<
нений - (7.20) или (7.22) определять неизвестные перемещения \»
лов? Это связано с тем, что получение обратной матрицы А '
третьего и выше порядков является довольно утомительной вычи<
лительной процедурой по сравнению с прямым решением системы
уравнений (7.20). Ответ здесь такой. Если заданная система рассчи
тывается только на одно загружение, то, безусловно, надо воспочь
зоваться уравнением (7.20). Обращать матрицу К имеет смы< »
тогда, когда отношение числа вариантов загружения п к поряди
системы уравнений т превышает 0,6:

п/т >0,6. (7.? О

В заключение отметим еще одно обстоятельство, связанное •
матричным уравнением (7.20). Каждый элемент матрицы А
равен коэффициенту системы канонических уравнений классн
ческого метода перемещений (6.3) или матрицы К (6.5).

Пример 7.14. Рассчитать неразрезную балку на заданное тепловое во«
действие (рис. 7.3.1, а).

Нсразрезная балка имеет две степени свободы ( два возможных пони
рота жестких узлов на опорах В и С). Грузовая эпюра M't (1-е состоя
ние) показана на рис. 7.3.1, б. Ординаты моментов для различных стер*
ней определяются по формулам табл. 6.1.

Стержень АВ: Мв = > у^у = 120а£7;

стержень ВС : Мв = Мс - = 80а£7;

п 0,5

стержень CD : Мс = ^уу = у^- - 54aEJ.

Эквивалентная узловая нагрузка (2-е состояние), диаграммы Р-Z и
5-е представлены на рис. 7.3.1, е...д.

Из сопоставления 1-го состояния и диаграммы 5-е (см. рис. 7.3.1, б, б)
вектор SQ от внеузловой нагрузки имеет вид SQ = [120 - 80 80
- 54] Ta.EJ. Напомним, что если ординаты моментов в соответствующих
сечениях на рис. 7.3.1, б, д отложены в одну сторону от оси стержня, то у
элементов вектора 50 берется знак плюс; в противном случае — минус.
Если на 1 - м состоянии моменты в каких-то сечениях от внеузловой на-
грузки отсутствуют, то соответствующие элементы вектора 50 равны нулю.
4-е

№ сопоставления 2-го состоя-
И диаграммы Р-Z (см. рис.

L в, г) следует:

J > = [-40 -26]TaEJ.

। По диаграммам Р-Z и 5-е Диаграмма положительных усилий
рис. 7.3.1, г, 3) весьма просто рис q ।

я статическая матрица А:

£/Г4

/2 [2 4

Найдем матрицы жесткости для всех
стержней, составляющих балку, и предста-
вим несколько их вариантов с различными
приведенными жесткостями:

К = *з - уФЬ Y-W-^[2.25];

21 EJ Г8 41

6 2 4

12 4 8

По мнению автора, наиболее про-
и для дальнейшего применения бу-
матрицы с приведенной жесткостью
/3. Тогда матрица внутренней жестко-
балки запишется так, как она пред-
ена справа.

Вычислим матрицы кАг и К~АкАт-.

£УГ2 1'

3 12'

к=

EJ
3

5\ 1 2 3 4
1 2,25
2 2 1
3 1 2
4 2,25
X 1 2 3 4
1 1 1
2 1 1

X 1 2
1 2,25
2 2 1
3 1 2
4 2,25

X 1 2
1 4,25 1
2 1 4,25

Используя полученную матрицу внешней жесткости К, запишем си-
тему канонических уравнений согласно формуле (7.20):

4,25~Z1+-y-Z2 = -40а£/;

~ Zi + 4,25 ~ = -26а£Л

J J

Решение данной системы дает: Zx = -25,319а; Z2 * -12,396а. После нахождения неизвестных внутренние усилия от узловой натру ки определим по формуле (7.18):
S=kArZ~^- К 1 2 -18,991 Г-25,319 -21,01 ха = <xEJ [-12,396. -16,70 [-9,30
1 2,25
2 2 1
3 1 2
4 2,25

Для проверки найденных усилий умножим вектор S слева на матрицу А

. Сравнив полученный вектор с вектором внешних сил Р, убе-жда
емся, что они полностью совпали.

Окончательные значения внутренних усилий получим по формуле (7.1);

Sox + 5 = а£/[120 -80 80 -54]т+
+ а£/[-18,99 -21,01 -16,7 -9,3]г»
= а£/[101,01 -101,01 63,3 -63,3]г.

101.01

(О/хаЕ)

Рис. 7.3.2

IIIIIIII1IIII.
В соответствии с вектором S0K и диаграммой S-e (см. рис. 7.3.1, д)
зим окончательную эпюру моментов, а затем - и поперечных сил в за-
ной балке от теплового воздействия (рис. 7.3.2).

Пример 7.15. Рассчитать балку, рассмотренную в примере 7.14, с уче-
ее симметрии.

1-е состояние, 2-е состояние, диаграмма S-e, вектор So и матрица
тренней жесткости к балки от симметрии задачи не зависят и имеют
жний вид (см. пример 7.14).

Диаграмма Р-Z с учетом группировки неизвестных возможных уг-
jbix перемещений Zj, Z2 и соответствующих им узловых моментов
, Рг изображена на рис. 7.3.3.

Поскольку диаграмма Р- Z
менилась, соответственно изме-
тся связанные с ней вектор
ешних сил Р и статическая мат-
ца А, новые выражения которых
казаны ниже.

Р = [-14 -6б]гаЕД

/77&П Р-Z #

Рис. 7.3.3

Матрица А оказалась полностью залол-
:нной.

Вычислим новые матрицы кА1 и К - АкЛт:

X 1 2 3 4
1 2,25
2 2 1
3 1 2
4 2,25

X 1 2
1 1 1
2 1 1
3 -1 1
4 -1 1

м 1 2
1 2,25 2,25
2 1 3
3 -1 3
4 -2,25 2,25

К=Ак/=

X 1 2 3 4
1 1 1 -1 -1
2 1 1 1 1

ХТ

X 1 2
1 2,25 2,25
2 1 3
3 -1 3
4 -2,25 2,25

6,5
О

О
6,5

Решение двух независимых уравнений KZ « Р дает:

6,5-у-Z] » -14а£/ , откуда Z\ = -6,462а;
10,5 -у Z2

» -66а£7, откуда Z2 = -18,857a.

Зная Zj и Z2, определим искомые усилия от узловой нагрузки по

= а£/

-18,99

-21,01

-16,70

-9,30

Как и следовало ожидать, усилия S в обоих примерах совпали.

Как видим, матрицы Л и кАт здесь являются более заполненными.

и, как показывает практика расчетов, дополнительное время, затраченное
на их построение и действия с ними, по сравнению с аналогичными дей-
ствиями в предыдущем примере, оказывается большим, чем время, затра-
ченное на решение системы из двух уравнений вместо решения двух неза-
висимых уравнений. Поэтому при решении симметричной задачи с двумя,
а может быть даже и с тремя, неизвестными при действии нагрузки об-
щего вида симметрию задачи можно не учитывать. Если же на симметрич-
ное сооружение действует симметричная или обратносимметричная на-
грузка, то условия симметрии необходимо использовать.

Пример 7.16. Рассчитать раму (рис. 7.3.4, а) на силовое воздействие.

Рис. 7.3.4

Заданная рама имеет одно возможное угловое перемещение Zt жест-
кого узла С и одно линейное смещение Z2. За направление последнего
перемещения здесь следует принять направление перемещения жесткого
узла С по нормали к наклонному стержню АС как наиболее рациональ-
ное. Диаграммы Р - Z и 5 - е представлены на рис. 7.3.4, б, а.

Связь между возможной внешней силой Рх и внутренними усилиями
весьма просто определяется по рис. 7.3.4, б, в : Рх » S3 +

Несколько сложнее находится соотношение между внутренними сила-
И возможной внешней силой Р2.
Для этого по диаграмме S’ - е (см.

. 7.3.4, в) вырежем узел С и рас-
трим его равновесие под действи-
внешней силы Р2 и внутренних
ft, 5з<.(рис. 7.3.5).

Спроектировав все силы, дейст-
щие в узле С, на нормаль П к
окшо АС, получим:

_ .Si $2 + S\ S'4 + S\

р2 + —L + ——i cos а ——-- cos

Рис. 7.3.5

= 0, откуда

Р Ч 1 3? 13.13-13

* -0,2$! - 0,25*2 - 0,283 + 0,1554 + 0,1555.

После этого статическую матрицу А можно представить в виде

Теперь матрица к может быть записана так:

1 2 3 4 5
1 3,6
2 8 4
3 4 8
4 6 Зч
5 3 6

Вычислим произведение матриц кАт, а затем и матрицу внешней
жесткости К по формуле К = АкАт.
1 2 3 4 5
1 3,6
2 8 4
3 4 . 8
4 6 3
5 3 6

Р построим В ОСНОВНОЙ систем-

Для формирования векторов Sq и

метода перемещений грузовую эпюру моментов МР (1-е состояние) «о
заданного силового воздействия (рис. 7.3.6, а).

Рис. 7.3.6

Сосредоточенную узловую силу F найдем по формуле F = Р2 “
Реакцию R2P определим из равновесия узла С. Спроектировав все силы
на Нормаль п к стержню АС (рис. 7.3.6, б), получим:

R2P +9cos<x + 12cosa - 0, откуда R2P « -0,6-21» -12,6 (кН).

Следовательно, F = 12,6 кН. Эквивалентная узловая нагрузка (2-е
состояние) показана на рис. 7.3.6, в. Из сопоставления 1 - го состояния
(рис. 7.3.6, а) с диаграммой S-e (рис. 7.3.4, в) и 2-го состояния (рис.
7.3.6, в) с диаграммой Р- Z (рис. 7.3.6, б) определим векторы и Р:

Sq - [0 - 4,5 4,5 - 8 8]г; Р - [3,5 12,б]т.

По формуле KZ = Р составим систему уравнений:
14i0Z{ - 1,O5ZQZ2 - 3,5; | *

-1,05/qZj + l,5O9/oZ2 = 12,6,J

hme которой имеет вид Zt * 0>924//0; Z2 = 8»993//0.

Теперь могут быть найдены внутренние усилия от узловой нагрузки:

Г-6,47 '
-17,89
-14,19

17,69

14,91

Для проверки решения умножим вектор S слева на матрицу А:

Расчет выполнен правильно.

Сложив векторы 50 и S, получим окончательные результаты расчета,
которым строим эпюры М,- Q, N (рис. 7.3.7, а...в).

S0K*SQ + S = [b -4,5 4,5 -8 8]г+
+ [-6,47 -17,89 -14,19 17,69 14,91]
>[-6,47 -22,39 -9,69 9,69 22,91]т.

Рис. 7.3.7

При построении окончательных эпюр изгибающих моментов от сило-
вых воздействий надо к прямолинейным эпюрам от узловых моментов
“подвесить’’ на загруженных стержнях балочные эпюры моментов от за-
данной внешней нагрузки.

ы
Начинать ли расчет с приведения нагрузки к узловой, а потом строил
диаграммы Р • Z, S "tt исходные матрицы, Л, к и проводить над ними

определенные действия, как это было сделано в примере 7.14, или скачал.»
строить диаграммы Р-Z, 5-е, исходные,матрицы, Л, к и матрицу А.
а затем уже приводить нагрузку к узловой, как было принято в этом при
мере, значения нс имеет. Расчетчик сам выбирает, как ему удобнее.

Пример 7.17, Рассчитать раму (рис. 7.3.8, а) на заданное смещение опор

Заданная рама допускает два
(П - пу + Пл -1+1=2) и содержит шесть

возможных перемещения
неизвестных внутренних уси-

лий, которые показаны на диаграммах Р- Z и S-e (рис. 7.3.8, б, в).

\s р\, 1 2 3 4 5 6
1 1 1 I
2 -1/4 1/4 -1/4 -1/6

Применим формальный прием
построения статической матрицы А
(см. пример 7.8).

Проанализировав предваритель-
но коэффициенты у матриц жестко-

сти всех пяти стержней, составляющих раму, приходим к выводу, что за
приведенную жесткость удобнее принять /0 = EJ{2 :

. £/Г4 23 £/Г2 11 Г2 11 , E2J ы EJ w .

*’--[2 2/'»[l 2J Й-Г{2] = '’М;

Теперь матрицу внутренней жесткости к можно представить в виде
i

-1/6

б)

После транспонирования статической матрицы Л вычислим матрицу
г, а затем и матрицу внешней жесткости рамы по формуле (7.21):

*) m=0,025EJ

F-0.0225EJ

-3/4

zWwz

2-е состояние

0.00375EJ O.O1875EJ

Рис. 7.3.9

Горизонтальная сосредоточенная узловая сила F (рис. 7.3.9, в) равна
равнодействующей всех горизонтальных сил, показанных для замкнутого
сечения на рис. 7.3.9, б (0,00375£/+ 0,01875£У = 0,0225^7). Эта равно-
действующая, как известно, переносится на 2-е состояние без изменения
Направления. Эквивалентная узловая нагрузка (2-е состояние) изображена
на рис. 7.3.9, е.

Сопоставив 1 - е состояние (рис. 7.3.9, а) с диаграммой 5 - е (рис.
7.3.8, в) и 2- е состояние (рис. 7.3.9, в) с диаграммой Р - Z (рис. 7.3.8, б),
запишем вектор внутренних усилий So и вектор внешних сил Р в виде

-10“3£7[15 0 50 25 0 0]г; Р «= 10~3£/[--25 22,5]г.

Л™’015*

f -q— <P“O,O5EJ

1-е состояние

X 1 2
1 -1/4
2 1
3 -1/4
4 1 -1/4
5 1
6 -1/6

VI
3\

3/8

Построим в основной системе метода перемещений грузовую эпюру
ментов Мс (1- е состояние) от заданного смещения опор (рис. 7.3.9, а).

O.O25FJ

Теперь систему канонических уравнений по матрице К и вектору Р
можно записать так:

7/0Zi - O,75ZoZ2 = -25 • IO’3 EJ,

- O,75/oZj + 0,4965/oZ2 - 22,5 10"3 EJ.

Решение этой системы уравнений даст следующие значения неизвест-
ных: Z, =1^32-1О’3£7//о; Z2 = 47,631-10 3£У/Уо, или в матриц
ной форме: Z - Mr'EJ / /о[1,532 47,631]т.

Умножив матрицу кАт справа на вектор Z, получим вектор внутрен

них усилий от узловой нагрузки:

£/ Г1Л32 ‘
/0 .47,631

г-17,86' 4,60
= 10-3£7 -34,19
-32,66 3,06 - 7,94

Проверка: AS = I0'3 £У[- 25 22,5]Т-

Как видим, полученный результат совпадает с вектором Р.

Для получения окончательных значений внутренних усилий сложим
векторы и 5:

SOx -S0+S-Hr'EJ[\5 0 50 25 0 0]г+

+10"- Е/[-17,86 4,60 -34,19 -32,66 3,06 -7,94]г«

• ® 10"3 Е7[-2,86 4,60 15,81 -7,66 3,06 - 7,94]г.

По вектору SOx строим окончательные эпюры внутренних усилий
Л/, Q, Л\ возникающих в раме от смещения опор (рис. 7.3.10), которые
отвечают всем условиям равновесия, что подтверждает правильность вы-
полненного расчета.

Рис. 7.3.10
Пример 7.18. Раму, показанную на рис; 7.3.11у а, рассчитать на три
[а загружения (Р, /, с) раздельно.

Ф=0,Обряд
00,0914

Ли0.3м а

Рис. 7.3.11

Заданная рама имеет два возможных поворота жестких узлов и одно
IX линейное смешение. Следовательно, рама обладает тремя степенями
вободы. Диаграммы Р-Z и 5-е изображены на рис. 7.3.11, б, в.

Расчет начнем с приведения заданных нагрузок к эквивалентным уз-
овым и построения для каждого вида воздействия векторов 50 и А

Силовое воздействие

Последовательность приведения нагрузки к узловой показана на рис.
.3.12, а...в.

Из сопоставления диаграммы 5-е (рис. 7.3.11, в) с 1-м состоянием (рис.

7.3.12 , а) и диаграммы Р - Z (рис. 7.3.11, б) со 2-м (рис. 7.3.12, е) имеем:

So - [О О О О -3 3]г; -3 4]г.

Тепловое воздействие

Для приведения тепловой нагрузки к эквивалентной узловой построим
а основной системе метода перемещений, пользуясь данными табл. 6.1,
Эпюру моментов M't от неравномерного нагрева левой нижней стойки
АВ (рис. 7.3.13, а) и эпюру моментов M't от равномерного нагрева той
** стойки (рис. 7.3.13, 6), имея в.виду, что /' - 20° С и t0 » 15°С. От ран
номерного нагрева стержень АВ удлинится и узел В получит перемени
нИе Д = а-Го’/ = а-15'3«45а. На рис 7.3.13, в показана грузовая эпюр.»

Рис. 7.3.13

Узловая нагрузка, полученная с помощью рис. 7.3.13, в, г, представлю
на *13 рис. 7.3.13, д.

Аналогично силовому воздействию найдем 50 и Р:

*So«aE7[lOO 0 - 22,5 - 22,5 0 0]г;

^-а£4-77,5 22,5 100/3]г.

/ • Смещение опор

На рис 7.3.14, а..л показана последовательность приведения нагрузки
к Умовой.

Рис. 7.3.14

I
В соответствии с рис. 7.3.14, а, рис. 7.3.11, в и рис. 7.3.14; в, рис.
I, б запишем вектор усилий от внеузловой нагрузки So и вектор
1них узловых сил Р: . . >

«10“3Е/[0 -30 0 0 120 60]г; Р-10-3£/[30 -60 100] г.

Имея для каждого вида загружения векторы 50 и Р, теперь можно
ввить матрицу <У0 от внеузловой нагрузки и матрицу внешних сил Р,
рые при раздельном действии сил, температуры и смещения опор
от вид

0100а£7 0

0 0 . -ЗОЮ-3£/

0-22,5а£7 0

0 - 22,5а£/ 0

3 0 12О-1О-3£/

3 0 60 10“э EJ

6 -77,5а£7 30 -КГ3 EJ

-3 22,5аЕ/ -60 10'3£/

4 ~-аЕ/ 100«10“3£7

•X

Статическая матрица А весьма просто формируется по рассмотрсн-
I выше правилам, а для построения матрицы внутренней жесткости
ы к запишем матрицы внутренней жесткости всех стержней, состав-
щих раму, и выразим их через одну жесткость EJ :

к3

EJ-3\4

6 2

После транспонирования матрицы А вычислим матрицу кАт, а затем

матрицу внешней жесткости рамы К • АкАт:
X 1 2 3
1 1 0 -1/3
2 1 0 1/3
3 2 1 0
4 1 2 0
5 0 1 -1,5
6 0 2 -1,5

Л ' 2 3 •
1 4 1 О'
2 1 4 -1,5
3 0 -1,5 1,7222

Для нахождения неизвестных Zb Z2, Z3 надо решить три раза сис
тему трех алгебраических уравнений KZ = Р, с тремя неизвестными на
каждый вид загружения.

1 2 3
1 0,2756 НО,1023 -0,0891
2 -0,1023 0,4092 0,3564
3 -0,0891 0,3564 0,8911

Однако согласно формуле (7.23)
для получения решения задачи от
дельно от трех воздействий целесооб
разно построить обратную матрицу
К'1 (различные способы се получе
ния приведены в специальной лите-

ратуре по линейной алгебре и вычислительной математике).

Умножив по формуле (7.22) обратную матрицу К'1 справа на матрицу
А получим матрицу перемещений Z, первый столбец которой показыва-
ет перемещения Z узлов рамы от действия сил, второй столбец - от тсп-
•Тового воздействия, третий - от смещения опор:

Г 1,604 - 26,63 \aEJ 5,496-10’3 £7 '
z = х1р = 47 -0,416 29,015а£7 8,019 10’3 EJ
EJ
1,960 44,628а £7 65,053 Ю”3 £7

Умножив матрицу кЛт справа на матрицу Z по формуле (7.18), по
лучим матрицу внутренних усилий 5 от узловой эквивалентной нагрузки:

0,951 -41,507а£У -16,188 10“3 EJ
2,257 -11,755а£7 27,180 40“3 EJ
S - kAr Z = 2,792 -24,247а£У
0,772 31,399а£/ 21,534-Ю"3 £7
-3,356 -37,927а£У - 89360 10“3£7
-3,773 -8,912а£У -81,542 10‘3 EJ

Элементами столбцов этой матрицы являются изгибающие моменты в
умножим матрицу : S слева на

матрицей внешних сил Р, за-

в)

б)

46.75

16.19

~77,509а£/

22,487а£/

33,337а£У

- 3,001

$ок -SQ + S =

8.91 ,

30,003 10'3Е/
- 60,008-10’3 .

100,007 10'3 EJ

11.7
0.77

58.49

зоСм

Рис. 7.3.15

сечениях соответственно от силового воздействия, изменения тем-
ни смещения опор.

Для проверки полученного решения
ескую матрицу А:

Сопоставив полученную матрицу ЛУ

ае.м, что наибольшая относительная погрешность не превышает 0,06%.

Сложив матрицы So и 5, получим окончательные значения расчст-
усилий S0K, по которым строим три эпюры изгибающих моментов
раздельном действии силовой нагрузки (рис. 7.3.15, а), тепловой на-
ки (рис. 7.3.15, б) и осадки опор (рис. 7.3.15, в).

0,951 58,493а£У -16,188 10‘3 £7
2,257 -Н,755а£/ - 2,82 10'3 £7
2,792 -46,747а£У 19,011 10'3 £7
0,772 8,899а£Л 21,534 10‘3£7
-6,356 -37,927а£У 30,44-10'3 £7
-0,773 -8,912аЕ/ -21,542-10'3 £7

При построении эпюры моментов от силового воздействия по первому
лбцу матрицы SOi надо добавить балочную эпюру моментов от внеуз-
вой нафуэки на правой стойке DE (см. рис. 7.3.11, а).

fl)

0.9S

21.53

21.54
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 7.3.01...7.3.48. Построить эпюры М, Q, N, используя Mai
ричный метод перемещений, . < у

7.3.01 7.3.02 7.3.03

7.3.10 7.3.11 7.3.12
7.3.13 7.Х14 ... - ,...} 7.3.15

7.3.16

7.3.18

7.3.19 7.3.20 7.3.21
7-3'25 73.W 7.ЗД7

7.3.43

7-3.34 7.3.35 7.3.36
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 7

Г: Какие системы можно рассчитывать матричным методом перемеще-
ний (ММП)?

2. Какие нагрузки используются в ММП? Как они должны быть прило
жены?

3. Что понимается под расчетной схемой сооружения в ММП в узком
смысле?

4. Как образуется I - е состояние при преобразовании внешней внеузло-
вой нагрузки в эквивалентную узловую нагрузку? Принести примеры.

5. Что представляет собой 2-е состояние при преобразовании внешней
внеузловой нагрузки в эквивалентную узловую нагрузку? Привести
примеры.

6. Как по 1-му состоянию определяются узловые моменты и узловые
силы, которые переносятся на 2 - е состояние?

7. Как вычисляются окончательные величины внутренних усилий из рас-
смотрения 1- го и 2 - го состояний?

8. Привести пример преобразования внешней силовой нагрузки в экви-
валентную узловую нагрузку.

9. Привести пример преобразования внешнего теплового воздействия в
эквивалентную узловую нагрузку.

10. Привести пример преобразования внешнего кинематического воздей-
ствия в эквивалентную узловую нагрузку.

11. Что представляет собой диаграмма Р-Z? Приведите примеры ди-
аграмм Р-Z для балок, рам и ферм.

12. Какую матрицу (вектор) можно сформировать, используя диаграмму
Р- Z и 2 - е состояние?

13. Что представляет собой диаграмма S-e? Приведите примеры диа-
грамм S-e для балок, рам и ферм.

14. Какую матрицу (вектор) можно сформировать, сопоставив диаграмму
S- е и 1-е состояние?

15. Что понимается под расчетной схемой сооружения в ММП в широком
смысле?

16. Что представляет собой статическая матрица А?

17. От чего зависит размер статической матрицы?

18. Что можно сказать про заданную систему, если: а) в статической мат-
рице число строк равно числу столбцов; б) число строк меньше числа
столбцов; в) число строк больше числа столбцов?

19. Каким образом определяются элементы статической матрицы? При-
вести примеры.
). Как можно формально построить статическую матрицу для балок и
рам без использования уравнений равновесия? Привести примеры.

L Можно ли в ММП производить группировку неизвестных узловых
перемещений?

Каковы достоинства и недостатки учета симметрии заданной системы
при ее расчете на нагрузку общего вида? , .

Что связывает между собой деформационная матрица В (матрица де-
формаций)? От чего зависит размер деформационной матрицы?

Какая существует связь между статической и деформационной матри-
цами? Докажите.

Что связывает между собой матрица внутренней жесткости элемента?

6. Какой вид имеет матрица внутренней жесткости для ферменного эле-
мента?

27. Какой вид имеет матрица внутренней жесткости для стержня, жестко
защемленного одним концом и шарнирно закрепленного другим?

28. Какой вид имеет матрица внутренней жесткости для стержня, жестко
защемленного по концам?

29. Что такое квазидиагональная матрица?

30. Что представляет собой матрица внутренней жесткости всей системы к
и как она формируется?

31. Какое условие должно быть выполнено, чтобы матрица внутренней
жесткости системы к была квазидиагональной?

32. От чего зависит порядок матрицы внутренней жесткости системы к ?

33. Приведите вывод зависимости матрицы внешней жесткости системы К
от статической матрицы А и матрицы внутренней жесткости системы к.

34. Что связывает между собой матрица внешней жесткости системы К ?

35. От чего зависит порядок матрицы внешней жесткости системы К ?

36. По какой зависимости можно найти внутренние усилия S от действия
узловой нагрузки после определения узловых перемещений?

37. Как производится проверка правильности результатов расчета на узло-
вую нагрузку?

38. Когда целесообразно находить неизвестные узловые перемещения:
решая систему уравнений или-через обращение матрицы внешней
жесткости системы А?
Глава 8. Расчет сооружений смешанным методом
и комбинированным способом

§ 8.1. Смешанный метод

Наряду с широко известными классическими методами сил и
перемещений для расчета статически неопределимых стержневых
систем может применяться и смешанный метод. Смешанный метод
целесообразнее использовать при расчете сооружений, структура
которых по длине и высоте неоднородна, т е. в том случае, когда
одна часть сооружения имеет большое число связей при малом ко-
личестве узлов и, следовательно, малую подвижность узлов, а дру-
гая, наоборот, — малое число связей при большом количестве узлов
и, значит, большую степень упругой подвижности.

Основная система смешанного метода образуется путем устра-
нения лишних связей в той части сооружения, которая обладает
большой подвижностью, с превращением ее в статически опреде-
лимую, что характерно для метода сил, и наложения дополнитель-
ных связей в другой его части, обладающей малой подвижностью
(имеющей сравнительно большое количество связей), с превраще-
нием ее в кинематически определимую, что свойственно методу
перемещений. Таким образом, в качестве неизвестных смешанного
метода принимаются как усилия У, в удаленных связях (как в ме-
тоде сил), так и перемещения Zk тех узлов, в которые введены
дополнительные связи (как в методе перемещений). Эти неизвест-
ные могут быть как простыми, так и групповыми. Из-за наличия
смешанных неизвестных происходит и само название метода. По-
скольку основная система смешанного метода содержит элементы
основной системы метода сил, таких основных систем может быть
бесконечное множество. Среди этого множества надо выбрать та-
кую, в которой просто строятся единичные и грузовые эпюры мо-
ментов.

Рассмотрим пример, поясняющий сущность метода (рис. 8.1.1, а).
Заданная рама имеет 7 неизвестных по методу сил, из которых 6 -
относятся к нижней жестко закрепленной части, содержащей 2 уз-
ла. По методу перемещений — 6 неизвестных, 5 из которых отно-
сятся к верхней части рамы, имеющей большую подвижность уз-
лов. Отсюда следует, что основную систему смешанного метода
целесообразно выбрать путем удаления одной лишней связи в узле
1 (устранения шарнирно-подвижной опоры), сделав верхнюю часть
статически определимой, одновременно закрепив жесткие узлы 4 и
от их поворотов. В результате получим основную систему только
тремя неизвестными: одно усилие X] и два угловых перемеще-

Канонические уравнения смешанного метода, содержащие два
типа неизвестных, будут двух видов: уравнения одного вида, как и
в методе сил, отрицают перемещения по направлению отброшен-
ных связей, а уравнения второго вида, как и в методе перемеще-
ний, отрицают наличие реакций во введенных в узлы дополни-
тельных связях. Так, для рассматриваемой рамы канонические
уравнения имеют вид

5j j/Tj + 6)2^2 *" ^13^3 &1Р =

^21-Zj + ^22^2 + ^23^3 + &2Р ~

rjiA'j + r32Z2 + r33Z3 + RiP = 0.

Здесь первое уравнение, имеющее кинематический характер,
получается из условия равенства нулю перемещения точки прило-
жения неизвестного Х\ по его направлению от всех неизвестных и
нагрузки. Смысл второго и третьего уравнений, носящих статиче-
ский характер, заключается в равенстве нулю реактивных моментов
во введенных защемлениях в узлах 4 и 7.

Можно видеть, что коэффициенты при неизвестных получен-
ной системы канонических уравнений смешанного метода можно
разделить на четыре группы:

1) 5ц - коэффициент метода сил, представляющий собой пе-
ремещение, возникающее от единичного усилия;

2) ^22> г23» г32> гзз “ коэффициенты метода перемещений,
представляющие собой реакции, возникающие от единичных пере-
мещений;

3) Sb» 8j3 “ коэффициенты, представляющие собой переме-
щения. возникающие от единичных перемещений;
4) r2i> гз’1 “ коэффициенты, представляющие собой реакции
возникающие от единичных усилий (сил или моментов).

Определение коэффициентов первой группы bik производит» и
как и в методе сил, с помощью формулы Максвелла - Мора. Межт
этими коэффициентами имеется известная зависимость: Ь1к - дк/

Коэффициенты второй и четвертой г-к групп определяются,
как и в методе перемещений, из условий равновесия узлов и отсг
ченной части системы. Для коэффициентов второй группы спра
ведлива первая теорема Рэлея о взаимности единичных реакций
г!к = Ъ-

Коэффициенты третьей группы могут определяться на основ»-
геометрических соображений с построением плана перемещений
Однако при практических расчетах коэффициенты третьей группы
проще находить через коэффициенты четвертой группы.

На основании второй теоремы Рэлея о взаимности единичных
реакций и перемещений между коэффициентами этих групп имеет-
ся следующее соотношение:

Грузовые члены Д1?, R1P и R3P определяются так же, как в
методе сил и в методе перемещений.

После вычисления всех коэффициентов и нахождения неиз-
вестных Xh Zk из решения системы канонических уравнений
окончательная эпюра изгибающих моментов строится путем сум-
мирования исправленных единичных эпюр моментов с добавлени-
ем грузовой эпюры МР, построенных в основной системе сме-
шанного метода от заданного воздействия:

М = + М2Х2 + - + Mn.xZn_x + MnZn + МР. (8.2)

Для рассматриваемой рамы будем иметь:

М = МхХ{ + M2Z2 + M3Z3 + МР.

Кинематическая и статическая проверки окончательных эпюр
производятся так же, как это выполнялось в методах сил и пере-
мещений.

Пример 8.1. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, изо-
браженной на рис. 8.1.2, а. п

Последовательность расчета остается такой же, как в методах сил и
перемещений:

1. Так как заданная система по методу сил имеет четыре неизвестных,
(f-

ггоду перемещений — пять, а по смешанному - два, то для расчета
выбираем смешанный метод.

2. Основная система показана на Vhc. 8.1.2, б.

Рис. 8.1.2

3. Канонические уравнения для рассматриваемой задачи запишутся в

бцЛ^ + б'п^2 + Д1Р 0;1

Tjj Xj + /22^2 + ^2? = 0. J

4. Последовательно загружая основную систему силой *1, угло'
[ перемещением Z2 = 1 и внешней нагрузкой, построим единичные

1Ы Ml, М2 и грузовую эпюру Л/в (рис. 8.1.3, а...в).

Рис. 8.1.3

5. Коэффициенты метода сил 6П, Д1Р вычисляем по формулам (5.5),
а коэффициенты r22, &2р ~ из условия равновесия узла 5:

5n-Zj-£T- 2 3 3 з'33^+ 2 2 3 3 2 +

+ t4f7(3'3 + 4 4’5 4’5 + 6 ^’77;

О J&J
д =Y = - 1.2.18 - 3— 18-3-4,5 — «-—

,P EJ 2 3 2EJ ' 3EJ EJ

Рис. 8.1.4

r27 = 3EJ + 2EJ = 5EJ.

Из рис. 8.1.4, а, б следует:

<2| = —6; ^2P ~ 26.

На основании второй теоремы Рэлея о
взаимности единичных реакций и переме-
щений имеем: 6|2 = -41 = 6. Определим с

методической целью побочный коэффициент 5'13 из геометрических сооб-
ражений по рис. 8.1.3, б:

6'12 = (1 - Г) » (2-2') + (1 - 2) -Z2 = (4-4') + 3-I»(4-5)-Z2 +3 =

= 31 + 3-6.

Здесь использовано равенство (2 - 2') =(4 - 4').

6. Теперь, умножив первое уравнение на EJ, канонические уравнения
можно переписать в виде

3OJK, +6EJZ2 -99; 1

-6Z, + 5EJZ2 =-26,J

решив которые, найдем: Х{ - 3,5 кН; Z2 = -\}EJ.

/7т£т

Рис. 8.1.6

7. Умножив единичные эпюры Мх и
М2 на найденные значения неизвестных
(рис. 8.1.5, а, б) и сложив их с эпюрой МР
от нагрузки (см. рис. 8.1.3, в) по формуле
М - М[Х{ + M2Z2 + Мр, получим оконча-
тельную эпюру моментов (рис. 8.1.5, в)./

8. Равновесие узла 5 косвенно подтвер-
ждает правильность построенной эпюры мо-
ментов. Для полной проверки правильности
[расчета необходимо сделать кинематическую проверку, т.е. вычислить пе-
ремещение какой-либо точки, значение которого заведомо известно. На-
рример, известно, что перемещение точки приложения силы Х1 по ее
’направлению равно нулю. Чтобы убедиться в этом, необходимо проинтег-
рировать окончательную эпюру моментов М с единичной эпюрой момен-
тов М{у построенной от действия силы Xt = 1 в любой статически опре-
делимой системе, полученной из заданной рамы (см., например, рис.
8.1.6):

* EJ 2 ’ 3 3EJ 2 ’ 3 2EJ

-“•7,5.2.|.3^ + -4f7(-2.7^.1 * 3 * * + 2-3-6-7^.6 + 3.3) +
2 J LLJ О itU

+ бЗЁ7(’2'2 6 +1 ’6)’1703,5’13,5)'°’

Проверка подтверждает правильность построенной эпюры М.

Пример 8.2. Рассчитать раму, изображенную на рис. 8.1.7, а.

1. Количество неизвестных для заданной рамы по методу сил равно

четырем, по методу перемещений - пяти. Если при выборе основной сис-

темы по смешанному методу ту ее часть, которая относится к методу сил,

сделать статически определимой, что характерно для этого метода, то по

смешанному методу будет четыре неизвестных (рис. 8.1.7, б). Однако зада-

чу можно свести к двум неизвестным, если часть основной системы, отно-
сящейся к методу сил, выбрать статически неопределимой.

2. Рациональная основная система смешанного метода с двумя неиз
всстными показана на рис. 8.1.7, в.

3. Запишем для данной задачи систему канонических уравнений:

+ 6'2X2 + Aj/> = 0;1 .

'21^1 ^22^2 + ^2Р = О* J

4. Для определения коэффициентов канонических уравнений постро-
им в основной системе единичные эпюры изгибающих моментов Мь М2
и эпюру моментов Мр от нагрузки (рис. 8.1.7, г...е). Построение эпюры
М} в статически неопределимой балке АВС от силы Х} -1 производи-
лось по п. 14 табл. 6.1 метода перемещений.

5. Коэффициенты метода сил 6ц, A|j> первого уравнения вычисляем
по формулам (5.5):

ЕС Л/j dx 1 . . 2 . 1 л а л

J EJ 2 3 2EJ 3EJ .

X 1 1 3 2 1 1 А 100 .

+ 21-2'312£/-4=3£7:

tMPMldx 2 |П . ~ |О . . I 84

Л'' = 2И—Ё7-----^212“+12-2>+’2'4-4ш’£Г-

Коэффициенты и свободный член второго уравнения, представляю-
щие собой реактивные моменты во введенном защемлении от действия,
соответственно, Х\ = 1, Z2 =* 1 и нагрузки, определяем из рассмотрения
условий-равновесия узла С (см. рис. 8.1.7, е...е), как это делалось в методе
перемещений:

/21 ~ 3; га-5£7; Л2д=ЗкНм.

Найти коэффициент 8'р =-(△(?-Ад) из геометрических соображе-
ний в данной задаче несколько затруднительно, поэтому, как и ранее, оп-
ределим его на основании второй теоремы Рэлея о взаимности единичных
реакций и перемещений: 6'12 - -г21 = “2-

6. Подставив вычисленные коэффициенты в систему канонических
уравнений, получим (все члены 1 - го уравнения умножены на EJ ):

l00Xl-9£/Z2 =-252;1

ЗХ} + 5EJZ2 = -3. J

Из решения системы находим значения неизвестных: Х{ = -2,442 кН;
Z2 = 0,865/EJ.
а) <»М. V68 •

2.442

5,76$

2.442

: я *

$23 - '

0.432

0.216 °-865

;• Рис. 8.1.8

< 7. Строим окончательную эпюру изгибающих

моментов М как алгебраическую сумму эпюры от
заданной нагрузки в основной системе МР (см.

. рис. 8.1.7, е) и единичных эпюр Mlt Л/2, умножен-
ных на найденные значения неизвестных Хь Z2

. (рис. 8.1.8, а, б), т.е. М МхХ^ + M2Z2 + МР (рис.

8.1.8, в).

i 8. Для проведения кинематической проверки

' построим единичную эпюру моментов М{ в лю-
бой статически определимой системе от действия
сил Х\ = 1, например, в системе, показанной на рис. 8.1.9:

ZJ^..l.4,88 2.|.2_l_ + _2_(.2.4,88.2 +

+ 2-2,23-4 +2,23-2-4,88.4) +2,23 4-4-^- +

! ^EJ

+ (-2 • 3,31 4 + 2,23 - 4) = А-(-11,896 + 11,893).

Относительная погрешность составляет 0,025%.

Пример 8.3. Построить эпюру изгибающих моментов для неразрезной
< балки от действия обратносимметричной нагрузки (рис. 8.1.10, а).

12кНму 12хНм7

7 \ /V /

6м о. С. £м

Рис. 8.1.10

1. С учетом симметрии балки и кососимметричной нагрузки количео
во неизвестных по методам сил и перемещений будет одинаково и равно
двум, а по смешанному методу - одно неизвестное.

, 2. Основная система смешанного метода .с группировкой неизвестных
показана на рис. 8.1.10, б. Отметим, что в'данной задаче внешний косо
симметричный момент т «24 кН м надо обязательно заменить двумя
равными кососимметричными моментами, приложенными в сечениях,
расположенных бесконечно близко слева и справа аг шарнира 3. Только
после такой замены можно сказать, что, если на симметричную балку дей
ствует кососимметричная нагрузка, то все симметричные неизвестные рав-
ны нулю, т.е. Z2 = Х3 = 0.

3. Для определения кососимметричного группового перемещения Zt
запишем каноническое уравнение: rxxZ3 + R]P = 0.

4. Построим в основной системе эпюры изгибающих моментов от дей-
ствия единичного группового неизвестного Zj и от нагрузки (рис. 8.1.10, в, г).
Грузовая эпюра М Р построена по п. 5 табл. 6.1.

5. По эпюрам Л/х, МР определим коэффициент гн и свободный
член Л1Р:

/•п = (£7 + £7)2 - 4EJ-, R}P «6 кНм + 6 кН м = 12 кН м.

6. Из решения уравнения 4£7Z, + 12 - 0 найдем, что Z| = -3/EJ.

7. Окончательную эпюру
изгибающих моментов М (рис.
8.1.11) строим по формуле
М = МхХ{ +МР.

8. Так как задача решена
только через неизвестные метода
перемещений, для проверки ис-
тинности полученного решения

достаточно статической проверки. На рис. 8.1.11 показаны направления и
величины опорных реакций балки. Как видно из него, все условия равно-
весия выполняются.

Пример 8.4. Рассчитать раму, изображенную на рис. 8.1.12, а, на теп-
ловое воздействие.

1. Степень статической неопределимости для заданной рамы равна
трем, а степень се кинематической неопределимости равна четырем. Так
как, по смешанному методу заданная система имеет только два неизвест-
ных, для расчета выбираем именно этот метод.

2. Основная система смешанного метода показана на рис. 8.1.12, б.,

3. Для определения неизвестных Х\ и Z2 составим систему канони-
ческих уравнений:

Рис. 8.1.11
j,1 SH^1 + ^12^2 + Л1Г я Ф

r21-^i + r22^2 + ^21 ~ 0-

4. Построим в основной системе единичные эпюры моментов Мь
ff2 и продольных сил Лг, (рис. 8.1.12, в...д). В той части основной систо-
лы, которая относится к методу перемещений, строим грузовую эпюру
М/ по формуле Mt = M't + Mf. Эпюра моментов Mi от неравномерного
Кагрева стержня АВ равна нулю. Для построения эпюры моментов М; от
г.

t
f

аномерного нагрева стержня АВ на 10°С определим сначала удлинение
ержня АВ : Д = АА' = atQlx = а • 10 4 - 40а.

Новое положение узлов основной системы
после равномерного нагрева показано на рис.
8.1.12, е. На основании этого рисунка по п. 2 табл.
6.1 построена эпюра Mt - М'{ (рис. 8.1.12, ж).

5. Из рис. 8.1.12, в, г следует: *

г М\ dx 1 - . 2 . 1 ~

5»-П-£Г=2-3 ’'з ‘2Ё7 2*

। . 1 5 .

+ 4 £/ £/’

ж)|---0---

Рис. 8.1.12

ди + Za/on/7I

a*20 1 . * , a 20 . л

-оГУ1,3'2’^1-4'

_a.)0|-4 + al0|-4 = -350a.

I з 3

Для определения коэффициентов гп и свободного члена Л2/»
представляющих реакции во введенном стержне, рассечем нижние стойки
I . '
и рассмотрим условия равновесия части рамы, содержащей введенный

рис. 8.1.13, а: £*-0;

r2'i = 0. Следовательно, и 3]2 = Ф

рис. 8.1.13, б: £ Д' = 0; r22 -QJ5EJ 3-0, откуда г22 = 2,25Е/;

рис. 8.1.13, е: £ЛГ-О;

R2t + ЗОаЕ/ = 0, откуда R2t - -30а ЕЛ

6. Поскольку коэффициенты г21 - 6'12 =0, система канонических

уравнений распадется на два независимых уравнения, каждое с одним не-
известным: 5Jj - 350аЕ7 = 0, откуда Хг = IftaEJ и 2,25£/Z2 -
-ЗОаЕ/ = 0, откуда Z2 « 40а/3.

7. Окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.1.14, в) строим
по формуле М * МхХ{ + M2Z2 + Мь где М}Хх и M2Z2 - исправлен-
ные единичные эпюры моментов (рис. 8.1.14, а, 6}.

Рис. 8.1.14

8. Для проведения кинематической проверки построим единичные
эпюры моментов М{ и продольных сил /V] от действия неизвестного
Х{ = 1 в любой статически определимой системе, полученной из заданной

рамы (см., например, рис. 8.1.15, а, б). Полученное перемещение (взаим-
ный угол поворота) должно равняться нулю:

11 2 2 11 2 9 1

' +70aEJ-4.1-^-+A40aEf 2-4-4--J-+420aE/ 2-4-4-i-.-

EJ 2 3 3 2EJ 2 3 3 2Е/

•ь4-~^4-1-3-2-<х-,0|-4ж350а-350ас0-

0,4 0,4 2 3
Результат проверки
тверждает правильность
троения эпюры М.

Пример 8.5. Для ра-
, изображенной на рис.
16, а, построить эпюру
юрота опор А и В на у

Рис.
изгибающих моментов
гол ф = 0,09 рад.

8.1.15

от симметричного угла

Поскольку жесткость стержней не задана, будем считать ее одинако-
I для всех стержней и равной EJ.

1. Из сопоставления различных методов расчета симметричной рамы
симметричное кинематическое воздействие (рис. 8.1.16, а) приходим к
юду, что смешанный метод с двумя неизвестными будет наиболее ра-
ональным для данной задачи (количество неизвестных по методу сил
«но 4, по методу перемещений - 3).

Рис. 8.1.16
2. Основная система смешанного метода с группировкой неизвсст
ных показана на рис. 8.1.16, б. Групповое кососимметричное неизвестное
Z3 =0.

3. Запишем систему уравнений:

+ дю =
r21^l + r22?2 + R2C = °-,

4. Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных
членов построим в основной системе единичные эпюры изгибающих
моментов М\, М2 и эпюру моментов Мс от смещения опор (рис.
8.1.16,

5. По известным формулам вычислим коэффициенты первого уравне-
ния, характерные для метода сил:

M?dx
EJ

3.3.|.ЗХ.2

21-
EJ'

Д1С = Л с « -(0 • ф) = 0.

Коэффициенты второго уравнения, представляющие собой реактив-
ные моменты во введенных защемлениях в узлах С и D соответственно
от действия Х{ = 1, Z2 = 1 и нагрузки, определим, как и в методе пере-
мещений, из рассмотрения условий равновесия узлов С и D (см. рис.
8.1.16, в...д):

г2| ==-3 • 2 =-6; r22 = (EJ + EJ)2 = 4EJ; R2P = 0,045КА 2 = 0,09£Л

Из второй теоремы Рэлея следует: 8'12 = -г2х = 6.

6. Теперь система канонических уравнений, с учетом найденных ко-
эффициентов, запишется в виде

18Xj + 6EJZ2 =0;

-6*i+4£/Z2+0,09£/ = 0.

Ее решение дает следующие значения для неизвестных:

Xx=5 W-3EJ\ Z2 =-15 КГ3.

7. Умножив единичные эпюры М\ и М2 на найденные значения не-
известных и сложив их с эпюрой Мс от смещения опор (рис. 8.1.J6, б) по
формуле М = М{Хх + M2Z2 + Мс, получим окончательную эпюру изги-
бающих моментов (рис. 8.1.17, а).
Рис. 8.1.17

8. Равновесие узлов С и D на эпюре М косвенно подтверждает пра-
вильность ее построения.

Для полной проверки правильности расчета необходимо проверить
выполнение условия (5.25):

где М{ - единичная эпюра моментов, построенная от действия сил
/[ = 1 в любой статически определимой системе, образованной из задан-
ной рамы (например, рис. 8.1.17, б):

s 10-3^.3 2 3 1 _

- 3 • 4 - 3,75 • 10’3 - (0 • ф)2 « 2 • 10’3(45 - 45) = 0.

Выполненная проверка подтверждает правильность построения эпюры Л/.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 8.1.01... 8.1.33. Посгрсигь эпюры М, Q, N.

8.1.28

8.1.27

8.1.29 •

Ь“0.5м

-20’

Fer" 'io*

J.“2J Jr=J

8.1.30
§ 8.2. Комбинированный способ

Из анализа основных систем при решении симметричных задач
методами сил и перемещений можно придти к выводу, что метод
сил содержит, как правило, большее количество симметричных не-
известных, а метод перемещений - большее количество кососим-
метричных неизвестных. Поэтому в некоторых задачах при расчете
симметричных рам и балок оказывается выгодным комбинировать
эти два метода. Отсюда следует и название способа - комбиниро-
ванный. В его основе лежит принцип независимости действия сил
и положение, в соответствии с которым при действии симметрич-
ной нагрузки на симметричную систему все кососимметричные
неизвестные обращаются в нуль, и наоборот: при действии косо-
симметричной нагрузки все симметричные неизвестные равны ну-
лю. Комбинированный способ иногда целесообразно применять
при расчете и несимметричных систем.

Последовательность расчета симметричных систем комбиниро-
ванным способом:

I. Разложить заданную несимметричную внешнюю нагрузку
(рис. 8.2.1, а) на симметричную и кососимметричную составляю-
щие (рис. 8.2.1, б, в) и образовать рациональные основные системы
методов сил и перемещений (рис. 8.2.1, г, d). Из рис. 8.2.1, г, д
видно, что неизвестные Х2у Х3 и Z, является симметричными, а
Х1г Z2 и Z3 - кососимметричными.

Разложение заданной несимметричной нагрузки на симметрич-
ную и кососимметричную составляющие необходимо производить
и при расчете на тепловое и кинематическое воздействия.

2. Рассчитать раму на действие только симметричной нагрузки,
применив для этого тот метод, который дает меньшее количество
неизвестных (как правило, метод перемещений).

В рассматриваемом примере на действие симметричной на-
грузки целесообразно применить метод перемещений. При этом
будет только одно неизвестное Zx (Z2 = Z3 - 0), и надо составить
и решить одно уравнение с одним неизвестным: rnZi+Ryp =0. В
результате расчета можно построить окончательную симметричную
эпюру изгибающих моментов Мсим (рис. 8.2.1, е).

3. Рассчитать раму на действие только кососимметричной на-
грузки, применив для расчета тот метод, который дает меньшее
количество неизвестных (как правило, метод сил).
Рис. 8.2.1

В данном примере на действие кососимметричной нагрузки
выгодно применить метод сил с одним неизвестным Х{
(Х2 = Ху =0). Аналогично предыдущему надо составить и решить
одно уравнение с одним неизвестным: 5пУц +Д1? = 0 и построить

окончательную кососимметричную эпюру изгибающих моментов
кососим (Рис- 8.2.1, ж).

4. Сложить полученные в п. 2 и 3 две эпюры моментов и полу-
чить окончательную эпюру моментов от действия заданной нагруз-
ки: Л/ = М сим + Мкососим (рис. 8.2.1, з).

Для проверки правильности построенной окончательной эпю-
ры моментов М необходимо выполнить как статическую, так и
кинематическую проверки, аналогичные тем, которые проводились
в методах перемещений и сил.
Если расчет выполнен верно, то эпюры моментов на стержне
и на участке CD стержня BD (см. рис. 8.2.1, а, з) должны
ь прямолинейными. По проверенной окончательной эпюре М
эятся эпюры поперечных и продольных сил и проводятся их
гические проверки.

В заключение отметим, что вместо метода сил или метода пе-
мещений при расчете на одну из составляющих нагрузки может
пъ применен и смешанный метод, если это уменьшит количество
известных.

Пример 8.6. Для заданной рамы (рис. 8.2.2, а) разложить внешнее си-
вое воздействие на симметричную и кососимметричную составляющие.

Рис. 8.2.2

Поскольку сила находящаяся на оси симметрии, является сим-
метричной, она входит в состав только симметричной составляющей на-
грузки. Решение задачи показано на рис. 8.2.2, б, в.

Пример 8.7. Для рамы, изображенной на рис. 8.2.3, а, разложить теп-
ловое воздействие на симметричную и кососимметричную составляющие.

Решение задачи представлено на рис. 8.2.3, б, в.

Пример 8.8. Кинематическое воздействие, показанное на рис. 8.2.4, а,
разложить на симметричную и кососимметричную составляющие.
Рис. 8.2.4

Решение задачи представлено на рис. 8.2.4, б, в.

Пример 8.9. Для рамы, изображенной на рис. 8.2.5, а, построить эпю
ры внутренних усилий М, Q, N от действия внешней силовой нагрузки.

'мкх

/777тУУ/ /7777/Уг

® ?^2Г3кН/м 0/2*ЗхН/м б) g/2-ЗкН/м

' 1 П П 1 1 ’1111 о/2=ЗкН/м

Нуук.

а) 7-6кН/м JB=4J

.ЛТП J,-3J

о. с.

Хх

ОС.

/777/7»

/77777»*

Рис. 8.2.5

/ТТ/ТУ» /7777.7г

1. Разложение заданной нагрузки на симметричную и кососимметричную
составляющие показано на рис. 8.2.5, б, в, а рациональные основные системы
метода сил, метода перемещений и смешанного метода изображены соответ-
ственно на рис. 8.2.5, г...е.

Число неизвестных, соответствующих различным методам расчета, пред-
ставлено в наглядной форме в табл. 8.1.

Из табл. 8.1 следует, что для расчета заданной рамы выгодно исполь-
зовать комбинированный способ с двумя неизвестными, при этом для рас-
чета на действие симметричной составляющей нагрузки целесообразно
применить метод перемещений с одним неизвестным Z, (Z2 = Z3 « 0)
или смешанный метод с неизвестным Zj(Z2 - Z3 =0), а на действие
кососимметричной составляющей нагрузки - метод сил, также с одним
неизвестным Х{ (Х2 = - 0).
Таблица 8.1

Метод Количество неизвестных при нагрузке Всего неиз- вестных
симметричной кососимметричной
; Сил 2(Г2, Х3) КАТ,) 3
Перемещений 2(Z2, Z3) 3
Смешанный 2(%2, Z3) 3
Комбинированный 1(Z,) или (X,) )(*») 2

2. Для расчета рамы на симметричную составляющую нагрузку выбе-
рем метод перемещений. Единичная эпюра моментов и грузовая эпю-
ра моментов МР СИм этого Метода показаны на рис. 8.2.6, а, б.

Рис. 8.2.6

Для определения перемещения запишем каноническое уравнение:
rHZi + =0. По эпюрам и МР Сцм (см- Рис- 8-2.6, а> ® вычислим,

как это обычно делается в методе перемещений, коэффициент гп и сво-
бодный член /?|р :

ги = (1,5£/ + i,5£/)2 - f>EJ\ Rlf =-13,5 кН. м-2--27 кН-м.

Решение канонического уравнения дает: Z( - 4,5/£/.

После этого окончательная симметричная эпюра моментов строится
по формуле Мсии = M\Z\ + М РСим (Рис- 8-2.6, в).

Рис. 8.2.7

3. Единичная эпюра М} и грузовая эпюра МР,кососим в основной
системе метода сил при расчете рамы на кососимметричную составляю-
тую нагрузки представлены на рис. 8.2.7, а, б.

Для определения силового неизвестного Xt запишем каноническое
уравнение: 5n + Д^ = 0. С помощью формулы Максвелла - Мора с
использованием эпюр Л/, и М Ркосоеим (см- рис. 8.2.7, а, б) вычислим
главный коэффициент 8ц и свободный член Д1Р:

Sll=yf^sl.8.8.l.8_L.4 + 1.8.6.2.8-b.2»^;

11 EJ 2 3 4EJ 2 3 3EJ EJ

д1/» - L J

М р.кососим М 1dx

__$___4-133.4-2 = - —

6•3£7 ’ EJ ’

Подставив найденные коэффициенты в каноническое уравнение и
решив его, найдем, что Х\ » 0,5625.

Окончательную кососимметричную эпюру моментов (рис. 8.2,7, в)
построим по формуле Мкососим = М\Х^ + +Мр дососим-

4. Сложив окончательные эпюры моментов, построенные в п. 2 (рис.
8.2.6, в) и 3 (рис. 8.2.7, в), получим окончательную эпюру изгибающих мо-
ментов от действия заданной внешней нагрузки: М - Мсии * М кососим

Для проверки правильности полученной эпюры М (рис. 8.2.8, а) пе-
ремножим ее с единичной эпюрой моментов, построенной в основной
системе метода сил (рис. 8.2.7, а):

si^^41U5-8 т84Ь-+Нё7(11>и-8-4-211375 4>+

+ 1-45.8.-. 8-1— +1 4,5 • 8 • - -8-1— -1 • 2,25 • 6 - 8 — -

2 3 4EJ 2 ’ 3 4EJ 2 ’ 3 3EJ •

_1.2,25 8 |.8^--1г(108-108)- 0.

По проверенной эпюре М обычным образом строим эпюру Q, а по
ней — и эпюру N (рис. 8.2.8, б, в). Эти эпюры отвечают условиям равно-
весия рамы, что подтверждает правильность выполненного расчета.
о. с.

ОС.

Ллл'/ /гттп

/ЛЛ>л Л77ЛЛ

Пример 8.10. Для рамы, изображенной на рис. 8.2.9, а, построить
изгибающих моментов от действия внешней силовой нагрузки.

т/2»15кН-ч

12хН EJ-const
D З.С.

гЛ’/Л'Л Л7ЛЛ>

/ЛлЛ> Л?л7Л

F/2-бкН

л/Лл/ л/лЛ)

о. с.

Рис. 8.2.9

На рис. 8.2.9, а...в показано разложение заданной нагрузки на симмет-
ричную и кососимметричную составляющие, а рис. 8.2.9, г...е представле-
ны рациональные основные системы, соответствующие методу сил, методу
Перемещений и смешанному методу.

Напомним одно обстоятельство. Поскольку опорные закрепления в
симметричных точках А и С различны (см. рис. 8.2.9, а), заданная и ос-
новная системы будут несимметричны. Поэтому неизвестные для всех ос-
новных систем, представленных на рис. 8.2.9, г...е, нельзя называть сим-
метричными и кососимметричными, хотя единичные эпюры изгибающих
моментов в основных системах от действия неизвестных X/ = 1 и Zk 1,
а также от составляющих нагрузки будут симметричны и кососимметрич-
ны. В силу ортогональности эпюр моментов многие побочные коэффици-
енты, свободные члены и неизвестные обратятся в нуль, как это имеет
место при симметричных и кососимметричных неизвестных.

Сравнение числа неизвестных, соответствующих различным методам
расчета, приведено в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Метод Количество неизвестных при нагрузке Всего нс- известных
симметричной кососимметричной
Сил 4(Х,,Х2,Х3»Х4) 3(Х5, Хб, Х7) 7
Перемещений 1(2,) 2(22, Z3) 3
Смешанный 2(2Ъ Х3) 1(2.) 3
Комбинированный KZj) l(2i) 2
Из табл. 8.2 видно, что для расчета заданной рамы целесообра in»
применить комбинированный способ с двумя неизвестными. При этом •••
симметричную составляющую нагрузки расчет следует производить мем.
дом перемещений с одним неизвестным Zx (Z2 = Z3 - 0), а на косоеим
метричную составляющую нагрузки ~ смешанным методом, также с одни-*
неизвестным Zx (Z2 = Х5 = 0).

2. Расчет на симметричную нагрузку. Единичная эпюра моментов Л/,
и грузовая эпюра моментов МР СИМ метода перемещений показаны н.<
рис. 8.2.10, а, б.

Рис. 8.2.10

Неизвестное групповое перемещение Zx определим из канонического
уравнения: rxxZx + RXP =0, где гп = (EJ + 4£//3 + £//2)2 = {lEJ/l,
RXP » (6 +15)2 = 42. Тогда Z, = -7,412/£/ .

Окончательная симметричная эпюра моментов, построенная по фор*
муле Мсим = MXZX + МР'Сим* изображена на рис. 8.2.10, в.

3. Расчет на кососимметричную нагрузку. Единичная эпюра Мх и
грузовая эпюра МFikocochm в основной системе смешанного метода пред-
ставлены на рис. 8.2.11, а, б.

Рис. 8.2.11

Каноническое уравнение смешанного метода по внешнему виду сов-
падает с уравнением метода перемещений: rxxZx + RXP =0, где
Ац » (£/ + EJ + £//2)2 = 5£/; RXP = (6 - 15)2 = -18. Решение уравнения
дает следующее значение для неизвестного Zf: Z, = 3,6/EJ.

Окончательная кососимметричная эпюра моментов (рис. 8.2.11, в) по
^оена по формуле Л/лососям - ^\Х\ 4 Мр.кососим •

£. 4. Окончательную эпюру изгибающих моментов от действия заданной
Йшней нагрузки строим по формуле М = Мсим + Мхососим (рис.
1X12. а).

(кН-м)

I Рис. 8.2.12

f Вертикальное перемещение точки В (см. рис. 8.2.9, а) известно и
равняется нулю. Для проверки этого факта построим в любой статически
‘определимой системе единичную эпюру моментов М{ от действия верти-
(кальной силы Jj = 1, приложенной в точке В (рис. 8.2.12, б), и перемно-
'Жим ее с эпюрой М (рис. 8.2.12, а):

( 1 381.3 2 15 1 3 (2 62g 15 2 4>94 3 +

t Z э LJ vLJ

6,28 3 - 4,94 1,5) + -|-(-2 • 4,94 3 + 2 • 13,48 1,5 - 4,94 1,5 +13,48 3) -
vEJ

; 1 2 11

_1.ц,01.3.|.1^^. = ^-(22,23 - 22,23)»0.

Результат перемножения эпюр подтверждает правильность построения
эпюры М.

Пример 9.11, Рассчитать раму, изображенную на рис. 8.2.13, а, на теп-
ловое воздействие и построить эпюру изгибающих моментов.

1. Разбиение заданного теплового воздействия на симметричное и ко-
сосимметричное показано на рис. 8.2.13, а...в, а рациональные основные
системы для методов сил, перемещений и смешанного представлены на
рис. 8.2.13, г...е. Число неизвестных для выбранных основных систем
представлено в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Метод Количество неизвестных при натрузке Всего неиз- вести ых
симметричной кососимметричной
Сил 2(J2, К*1) 3
Перемещений KZJ 2(Z2, Z3) 3
Смешанный 2(*», Z3) 3(Z2, Z4, Z5) 5
Комбинированный 1(Z,) l(Zj) 2
Из табл. 8.3 следует, что для расчета заданной рамы рационально ис-
пользовать комбинированный способ с двумя неизвестными. При расчете
на симметричное тепловое воздействие задачу надо решать методом пере-
мещений с одним неизвестным Zx (Z2 = Z3 = 0), а на кососимметричное
- методом сил с одним неизвестным Хх (Х2 = Х2 =0).

Рис. 8.2.13

2. Расчет на симметричное тепловое воздействие методом перемещений.

Единичная эпюра Мх и грузовая эпюра Мг изображены на рис. 8.2.14, а, б.

Рис. 8.2.14

Для определения перемещения Zx имеется каноническое уравнение:
rnZj + /?п =0. Из рис. 8.2.14, а, б следует: rn = (2EJ +1,5£/ + 1,5£/)2 =
= 10£7; =(150a£Z-5a£J)2 = 290а£Л Решение канонического

уравнения дает: Zx = -29а. Симметричную эпюру моментов строим по
формуле МСИм = MXZX + (рис. 8.2.14, в).

3. Расчет на кососимметричное тепловое воздействие методом сил.
Единичные эпюры и Nx представлены на рис. 8.2.15, а, б.
Каноническое уравнение для данной задачи запишется в виде;
$11-^11 + ^1/ = 0»где
„ fA/i dx

! T? ’ EJ

1.6.6.2.6. —L-+1.8 8 • - • 8 —

2.3 4EJ 2 3 4EJ

I ,4 6 J-,43^>

1148

EJ ’

«+Za/oQffl-^{-8.8.2 + a.7,5-8.7/3-2^.

Решив уравнение, получим: X[ -2,125а£/ .

Рис. 8.2.15

@хаЕ1

Рис. 8.2.16

Кососимметричную эпюру моментов строим по формуле
кососим ~ (рчс. 8.2.15, в).

4. Окончательная эпюра изгибающих моментов
для заданной рамы от теплового воздействия, по-
строенная по формуле М = Мсим + М косоеим ♦
Изображена на рис. 8.2.16.

Кинематическая проверка правильности эпю-
ры М должна удовлетворять условию (5.21):

Zj"g*+4y.|.45,25a£76.|.6^-

-1 • 123,5а£/• 8 • 8-Ь -1 • 78,25а£А 6 х

2 3 4£/ 2

414w4-70’75a£z'6 T67b4 89-5о£/8 r84Z7

+ i • 18,75аЕ/ • 6 • | • 14 ~ + 2^ е а(1601,416 - 1601,25) -= 0,166а.

Относительная погрешность составляет 0,01%.

Пример 8.12. Для рамы (см. рис. 8.2.17, а) построить эпюру изгибающих
моментов от горизонтального смещения опоры F на величину С = 0,06 м.

1. Разложив заданное кинематическое воздействие согласно процедуре
комбинированного способа на симметричную и кососимметричную со-
ставляющие, видим, что при кососимметричном смещении опор Е и F
рама как единое целое (диск) свободно переместится вправо на величину
С/2 « 0,03 м (рис. 8.2.17, в). От такого поступательного смещения в раме
никаких внутренних усилий не возникнет, и расчет ее надо будет произвести
только на симметричное смещение опор Е и F (рис. 8.2.17, б). Из анализа
рациональных основных систем, представленных на рис. 8.2.17, г...е и cootbvi
сгвующих методам сил, перемещений и смешанного, следует, что такой р;п
чет выгодно выполнить методом перемещений с одним неизвестным 7,
=Z3 =0).

Рис. 8.2.17

2. Расчет на симметричное смещение опор. Одно каноническое уравне-
ние метода перемещений для данной задачи запишется в виде rn2fj + R}C - 0.
Единичная эпюра моментов М{ и эпюра моментов Мс от смещения
опор, построенные_в основной системе, изображены на рис. 8.2.18, а, б.

По эпюрам Л/1 и Мс определим значения главного коэффициента
гп и свободного члена Rxc; гп=(ЕУ + EJ + EJ/2)2 = 5EJ\ Rxc =
= 510'3£У-2 = 10"2£/. Подставив найденные значения Гц и R\C в урав-
нение и решив его, получим: Z\ » -2 • 10"3.

Окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной рамы от
горизонтального смещения опоры F совпадает с эпюрой моментов от сим-
метричного смещения опор Е и F, которая строится по формуле
М = Мсим ж с (рис. 8.2.18, в).

Рис. 8.2.18

Поскольку задача решена только методом перемещений, необходимой и
достаточной проверкой правильности построения эпюры М в данном приме-,
ре является соблюдение равновесия узлов, что и наблюдаем на рис. 8.2.18, в.
Задачи 8.2.01...8.2.35. Построить эпюры М, Q, N.
8.2.13

8.2.14

8.2.15

8.2.21 8.2.22 8.2.23
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 8

1. Для расчета каких статически неопределимых рам целесообразно при
менять смешанный метод?

2. Что принимают в качестве основных неизвестных в смешанном методе1’

3. Как определить количество неизвестных в смешанном методе?

4. Как выбирается основная система смешанного метода, и сколько та-
ких систем можно выбрать?

5. Запишите систему канонических уравнений смешанного метода.

6. Каков физический смысл каждого из канонических уравнений?

7. Каких два вида неизвестных содержат канонические уравнения?

8. На какие четыре группы можно разделить коэффициенты при неиз-
вестных в канонических уравнениях смешанного метода?

9. Как вычисляются коэффициенты при неизвестных?

10. Какая существует связь между побочными коэффициентами?

11. Как определяются свободные члены канонических уравнений?

12. Удовлетворяет ли условию симметрии матрица коэффициентов кано-
нических уравнений смешанного метода? Почему?

13. Как строят окончательные эпюры М, Q, N после определения
неизвестных смешанного метода?

14. Как производится проверка правильности окончательных эпюр М, Q,
N, построенных по смешанного методу?

15. Каким критерием пользуются при выборе метода расчета статически
неопределимой системы?

16. Для каких систем целесообразно применять комбинированный способ?

17. Какой принцип лежит в основе комбинированного способа?

18., В чем состоит основная идея комбинированного способа?

19. Как преобразуется силовая нагрузка общего вида при применении
комбинированного способа? Привести пример.

20. Как преобразуется тепловое воздействие общего вида при применении
комбинированного способа? Привести пример.

21. Как преобразуется кинематическое воздействие общего вида при
применении комбинированного способа? Привести пример.

22. Как строят окончательные эпюры М, Q, N после определения
неизвестных комбинированного способа?

23. Как производится проверка правильности окончательных эпюр Л/, Q,
N, построенных по комбинированному способу?
Глава 9. Определение перемещений в статически
неопределимых системах

§ 9.1. Силовое воздействие

В методическом плане материал этой главы, а именно: теория,
>рмулы, правила определения перемещений и решения задач -
лжен изучаться параллельно с изучением методов расчета стати-
ски неопределимых систем и, особенно» метода сил.

Как уже отмечалось в гл. 3, общая формула Максвелла - Мора
3.24) для определения перемещений и частные ее случаи
(3.25)...(3.28) применимы для любых упругих стержневых систем,
Как статически определимых, так и статически неопределимых.
Перемещения в задачах этого параграфа будут определяться по
формулам (3.26) и (3.27):

t ММ:ds ..

&{р - X J—FT— " балок и Рам;

ж-

А/, = X-FT “ ФеРм-

При расчете статически неопределимых систем индекс "Р и в
формулах (3.26), (3.27) у окончательных эпюр моментов и продоль-
ных сил будем опускать.

Заметим, что в качестве фиктивного состояния, которое опре-
деляется обобщенной силой Р( = 1, приложенной в i - й точке по
направлению искомого перемещения, и внутренними усилиями
Mh можно использовать как саму заданную статически неоп-
ределимую систему, так и любую геометрически неизменяемую
систему, образованную из заданной путем удаления некоторого
количества лишних связей.

Естественно, что самое простое решение задачи получим, если
за фиктивное состояние принять любую статически определимую
систему, образовавшуюся из заданной путем удаления всех лишних
связей. Тогда под Mh Nh будем понимать эпюры внутренних
усилий, получающиеся в этой выбранной статически определимой
системе.

Поясним сказанное на примерах. Пусть требуется найти верти-
кальное перемещение точки К в статически неопределимой балке,
изображенной на рис. 9.1.1, а, при действии сосредоточенной силы
F, приложенной в точке С.
«.-ft

1/4 J/4 1 I/4 1/4 I

Fl flL Ft .

__B\ I К I

г m -fl
t m* 8

. //< L 1/4 , 1/4 , 1/4
к Ж Ж---Ж—>

Для этого сначала рассчитаем дважды статически неопредели-
мую балку (с учетом симметрии задачи с одним неизвестным) ме-
тодом сил и построим окончательную эпюру изгибающих моментов
М (рис. 9.1.1, б). Затем для определения вертикального перемеще-
ния уКР точки К балки приложим в этой точке вертикальную
единичную силу F = 1 и снова рассчитаем балку как статически
неопределимую методом сил с двумя неизвестными (в обоих случа-
ях расчет здесь не приводится), после чего построим эпюру М к
(рис. 9.1.1, в). Перемножив по способу Верещагина эпюры, изо-
браженные на рис. 9.1.1, б, в, найдем:

Укр = Z Г

MMKdx
EJ

I Fl 91 Fl 91} I I Fl I

46КЦ 8 64 8 128 J 2 2 8 32

I Fl 31 f Fl I \ Fl3

* 4-6Ej[ 8 64 ^8 128; 384£/’

Рассмотренный подход вычисления перемещения уКР пра-
вильный, но нерациональный, поскольку приходится дважды рас-
считывать систему как статически неопределимую.

Для упрощения решения задачи поступим следующим образом:
бросим две лишние связи в опоре В и превратим ее в статиче-
и определимую консольную балку. Приложим в полученной сис-
ме заданную сосредоточенную силу F и реакции отброшенных
язей, истинные значения и направления которых найдены из пре-
щущего расчета, причислив их к внешней нагрузке (рис. 9.1.2, а).
зразованная таким образом консольная балка будет полностью эк-
валентна как по усилиям (по эпюрам Л/, Q), так и по переме-
ениям (деформациям) первоначально заданной системе (рис.
£.1.1» а), а, следовательно, ее тоже можно назвать заданной систе-
мой. Тогда перемещение у КР можно вычислить не в заданной ста-
тически неопределимой системе, а в полученной из нес эквива-
лентной статически определимой системе. Согласно последова-
тельности действий при определении перемещений в статически
определимых системах приложим к ненагруженной консольной
балке в точку К по вертикальному направлению единичную со-
средоточенную силу F = 1 (фиктивное состояние) и построим
эпюру изгибающих моментов М'к (рис. 9.1.2, в). Эпюра моментов
от нагрузки (рис. 9.1.2, б), как и должно быть в эквивалентных
• системах, совпадает с эпюрой моментов, представленной на рис.
9.1.1, б. Искомое перемещение найдем по формуле (3.26) путем
перемножения эпюр М и М'к с применением правила Верещагина:

= у cMM'Kdx = l Fl I 2 I 1 Я3
Укр ' EJ 2 8 4 3 ' 4’ EJ 3MEJ ’

Такого типа новых статически определимых заданных систем,
эквивалентных первоначальной статически неопределимой, можно
образовать бесконечное множество. Например, можно отбросить в
опорах А и В (см. рис. 9.1.1, а) по одной моментной связи и по-
лучить статически определимую шарнирно закрепленную балку,
загруженную заданной сосредоточенной силой F и действитель-
ными моментами, взятыми из расчета балки как статически неоп-
ределимой (см. рис. 9.1.1, б) вместо отброшенных связей (рис.
9.1.3, а). Эпюра изгибающих моментов М от нагрузки в этой сис-
теме (рис. 9.1.3, б), естественно, ничем не будет отличаться от изо-
браженной на рис. 9.1.1, б. Аналогично предыдущему в новом фик-
тивном состоянии построим эпюру моментов М'к (рис. 9.1.3, в).
Перемножив эпюры моментов, представленные на рис. 9.1.3, б, в
получим:

^cMM^dx 1/7/13/1 1 Fl I 21 1_

ы 2 8 4316 /7^2 8 216 //"
_1 И. L 1 L 1 _ 773

" 2 ’ 8 ’4316 EJ 384£f'

При различных вариантах выбора статически определимых сис-
тем результат вычисления перемещений должен получиться один и
тот же, что и видим в приведенных примерах.

В качестве статически определимой системы следует выбирать
такую, в которой просто строится единичная эпюра моментов М
а число стержней (участков), в которых возникают изгибающие
моменты от действия единичной обобщенной силы, наименьшее. С
этой точки зрения из двух рассмотренных статически определимых
систем следует принять систему, показанную на рис. 9.1.2, в.

Теперь становится более понятным и физический смысл кине-
матической проверки правильности построения окончательной
эпюры моментов в статически неопределимой системе. В самом
деле, вычисление интетрала от произведения окончательной эпюры
моментов М с любой единичной эпюрой моментов М/, постро-
енной в статически определимой основной системе метода сил от
единичного неизвестного Х{ = 1, дает значение перемещения точ-
ки приложения неизвестного Х{- по его направлению в заданной
статически неопределимой системе. Полученное перемещение за-
ведомо известно и равно нулю, поскольку в заданной статически
неопределимой системе имеется связь, которая препятствует этому
перемещению.

Приведенные примеры и рассуждения позволяют сформулиро-
вать последовательность вычисления пере-
мещений в статически неопределимых бал-
ках и рамах от силового воздействия
(первый способ):

1. Рассчитать заданную статически неопределимую систему лю-
бым наиболее рациональным методом и построить окончательную
эпюру изгибающих моментов М .

2. В любую статически определимую систему без внешней на-
грузки, полученной из заданной, в ту точку (например, в точку Л-)
и по тому направлению, по которому ищется искомое перемеще-
ние, приложить единичную обобщенную силу Р -1 (фиктивное
состояние) и построить единичную эпюру Мк. Единичная обоб-
щенная сила принимается в зависимости от вида определяемого
перемещения: F = 1, если определяется линейное перемещение;
т = 1, если вычисляется угловое перемещение; при определении
аимно линейного перемещения двух точек в них прикладываются
е сосредоточенные самоуравновешенные единичные силы F -1
। прямой» соединяющей эти точки; при нахождении взаимного
ла поворота двух сечений - два сосредоточенных самоуравнове-
енных единичных момента т = 1 в обоих сечениях.

3. Искомое перемещение вычисляется по формуле Максвел-
i-Мора путем перемножения эпюр моментов, полученных в п. 1
2, с применением правила Верещагина:

(9.1)

Если внутренние усилия (А/, Q, N) в заданной статически
еопределимой системе от заданной внешней нагрузки нас не ин-
гресуют (в практических расчетах это бывает редко), а требуется
найти в этой системе перемещение только одной точки и только по
одному направлению, то удобнее воспользоваться следующей фор-
мулой (второй способ):

(9.2)

Здесь М - окончательная единичная эпюра моментов, постро-
енная в заданной статически неопределимой системе от действия
только единичной обобщенной силы Р = 1, приложенной в той
точке К и по тому направлению, по которому ищется искомое
перемещение; Mf -эпюра моментов от заданной внешней нагруз-
ки, построенная в любой статически определимой системе, полу-
ченной из заданной отбрасыванием лишних связей. К этому слу-
чаю можно отнести и определение взаимного смещения двух точек
по какой-то прямой или взаимного угла поворота двух сечений.

Последовательность определения перемещений ухтов в стати-
чески неопределимых фермах сохраняется такой же, но только
вместо формул (9.1) и (9.2) используются формулы (9.3) и (9.4):

(9-з)

Здесь N- окончательная эпюра продольных сил, построенная
в заданной статически неопределимой ферме от заданного сило-
вого воздействия; #к -единичная эпюра продольных сил, постро-
енная в любой статически определимой ферме, образованной из
заданной, на действие единичной обобщенной силы Р = 1, прило-
женной в узле К по направлению искомого перемещения; N •
окончательная единичная эпюра продольных сил, построенная к
заданной статически неопределимой ферме от действия только
единичной обобщенной силы Р = 1, приложенной в узле АГ и по
тому направлению, по которому ищется искомое перемещение;
Np- эпюра продольных сил от заданной внешней нагрузки, по-
строенная в любой статически определимой ферме, полученной из
заданной путем удаления лишних связей.

Пример 9.1. В рамс, изображенной на рис. 9.1.4, а, определить верти-
кальное перемещение точки К и горизонтальное смещение опоры В.

1. Рассчитаем заданную статически неопределимую раму методом сил
с одним неизвестным. Основная система, единичная эпюра Л/| и грузовая
эпюра М/.показаны на рис. 9.1.4, б...г. Каноническое уравнение имеет вид
ч Д1Р =0. С помощью эпюр A/j и МР вычислим главный коэффи-
циент 5И и свободный член Ац»:

с V Г 1 1 £ с, X 1 1

511 = ? —i« — 6 • 6 • — 6----------------+ 6 • 6 • 6 —— +

11 EJ 2 3 4EJ 3EJ
+Hef<9’+4-7-5-7-s*66)-^F;

Д1р.е/Й^ = 6(72.б + 4,18.3) +72.6• 6

, +гЬ(36-9+418'7’5)=>

Из решения уравнения находим: Xj = -8,542. Исправленная единич-
1Я эпюра Л/. J| изображена на рис. 9.1.4, д. Относительная эпюра иэги-
ющих моментов, построенная по формуле М « + МР, представ-

ив на рис. 9.1.4, е. Кинематическая проверка эпюры М дает положи-
льный результат.

2. Для определения вертикального перемещения точки К приложим в
новую статически определимую систему, полученную из заданной (в дан-
ной задаче за статически определимую систему удобнее взять основную
систему метода сил), в точку К, вертикальную единичную силу F = 1 и
Построим эпюру моментов Мк (рис. 9.1.5, а). Для определения горизон-
тального перемещения опоры В приложим в ту же статически определи-
мую систему, в точку В. горизонтальную единичную силу F = 1 и по-
строим эпюру моментов Мg (рис. 9.1.5, б).

Рис. 9.1.5

3. Искомые перемещения вычислим по формуле (9.1):

+ 2-51,25-6 + 40,88-6 + 51,25-9) = -^^-;

• ; EJ

X = £ « 20,75 • 6 • 3-~ 6 • 3 46,065-^7 = - •

EJ 3EJ 4EJ EJ

Л- „ 473,17 v 82,79

Ответ: у„-------— м; Х„ «—— и.

Пример 9.2. Для рамы, рассмотренной в примере 6.6 (рис. 9.1.6, а),
найти угол поворота сечения А и горизонтальное перемещение точки В.

1. Данная статически неопределимая рама была рассчитана в примере

6.6 методом перемещений с одним неизвестным. Основная система этого
метода и окончательная эпюра изгибающих моментов показаны на ри.
9.1.6, б, в.

Сечение А у стержня 2-3 находится бесконечно близко от жесткий-
узла 2. Следовательно, угол поворота сечения А по величине и направле
нию совпадает с углом поворота этого узла. Так как в методе перемещении
угол поворота жесткого узла в данной задаче принят за неизвестное Zt
поэтому найденное из решения канонического уравнения значение Zj и
есть искомый угол поворота сечения А , т.е. =» Zj - 8/Е/. Вычислять
по формуле Максвелла - Мора в данном случае было бы нерационально

Рис. 9.1.6

2. Для определения горизонтального смешения точки В создадим
фиктивное состояние. Для этого образуем из заданной системы статически
определимую систему путем удаления четырех лишних связей (Л=Сц +
+2Д/-ЗД=9+2-2-3-3=4). Такая система, на наш взгляд, наиболее простая, с
приложенной в точке В горизонтальной единичной силой F 1 изобра-
жена на рис. 9.1.6, г. На этом же рисунке показана и единичная эпюра
моментов Мв.

3. Искомое перемещение вычислим по формуле (9.1):

ХВР

rMMBdx 1 2—= - -

J EJ ~ 2 EJ ~ EJ

Обратим внимание читателя на одну распространенную ошибку, а
именно: за фиктивное состояние часто принимают основную систему ме-
тода перемещений, чего делать нельзя.

Л 8 4

Ответ: (рАР = — м; ХВР = - — м.

Пример 9.3. Определить изменение расстояния между точками К и L
по горизонтальному направлению (рис. 9.1.7, а}.

Так как жесткость стержней нс задана, будем считать ее одинаковой
для всех стержней и равной EJ.
Если -задачу решать традиционным приемом, т.е. первым способом, то
идется рассчитать статически неопределимую раму на заданную внеш-
•ю нагрузку общего вида методом перемещений с тремя неизвестными.

Попробуем применить для определения искомого перемещения вто-
рой способ, т.е. формулу (9.2):

1. Согласно физическому смыслу формулы (9.2) для нахождения вза-
имного линейного смещения ХК1 приложим в точках К и L заданной
статически неопределимой рамы две горизонтальные единичные сосредо-
точенные силы Г «1» направленные навстречу друг другу (рис. 9.1.7, 6).
Для расчета выберем метод перемещений, основная система которого изо-
бражена на рис. 9.1.7, в. Поскольку единичная нагрузка, действующая на
симметричную раму, является симметричной (см. рис. 9.1.7, б), все косо-
симметричные неизвестные равны нулю (Z2 = Z3 = 0).

Единичная эпюра моментов Afj и грузовая эпюра моментов МР
представлены на рис. 9.1.7, г, д.
.Каноническое, уравнение метода перемещений с одним неизвестным
запишется в виде

+ “ 0»где Hi = (-^ + EJ + EJ) 2 ~ bEJ\ RXp — 0,5 + 0,5 = 1.

Теперь из решения уравнения следует, что Zx

0,167

Окончатся ь

FJ ’

ную эпюру изгибающих моментов М (рис. 9.1.7, ж) построим путем сум-
мирования единичной исправленной эпюры M{Z{ (рис. 9.1.7, е) и грузо-
вой эпюры МР (см. рис. 9.1.7, д). Как видим, узлы рамы находятся в рав-

новесии, что подтверждает правильность выполненного расчета.

2. Для построения эпюры моментов Мр надо выбрать из заданной
статически неопределимой системы путем удаления пяти лишних связей
такую статически определимую систему, в которой можно просто постро-
ить эпюру моментов от нагрузки. Такая система вместе с нагрузкой и
эпюра моментов Мр в ней показаны на рис. 9.1.7, з, и.

3. Искомое перемещение вычисляем по формуле (9.2):

,.^-и^4-27.3.10Д67-^ +

' * •27 ’ °’333 - 2 • 63 0,542 + 63 - 0,333 - 27 0,542) +

bEJ

+ 777 (2 • 99 0,583 - 2 63 • 0,542 - 99 • 0,542 + 63 • 0,583) +

+ 16 2-0,1(И5~-16-2-0,0205-^ = -!^(м)
EJ EJEJ

Ответ:

1 49

XKLP ж~еГ)Л Точки К ia L сближаются.

В этом примере, благодаря симметрии рамы и симметричной
единичной нагрузке, особенно ярко проявилось преимущество
применения второго способа. Однако, если бы потребовалось най-
ти перемещения двух, трех и более точек, то пришлось бы снова
рассчитывать заданную систему, как статически неопределимую, на
новые единичные воздействия.

При расчете сооружения нас, как правило, в первую очередь
интересуют внутренние усилия Л/, Q, /V, а потом уже перемеще-
ния различных его точек; поэтому в расчетной практике чаще при-
меняется первый способ.

. Пример 9.4. Определить горизонтальное перемещение узла 8 в ферме,
рассмотренной в примере 5.17 (рис. 9.1.8, а).

1. Расчет заданной статически неопределимой фермы методом сил с
одним неизвестным приведен в примере 5.17. Окончательные продольные
усилия N в стержнях фермы представлены в гр. 8 табл. 5.1.
I

2. Выберем из заданной простую статически определимую систему и при-
юким в узел 8 горизонтальную сосредоточенную силу F - 1 (рис. 9.1.8, б).

Из частных случаев равновесия узлов фермы и симметрии системы,
^едставленной на рис. 9.1.8, б, следует, что У2-3 = ^3-8 ~ ^4-з “
• - 0; N2_s = Ns_„ N2_, - У6_7 > V,_7 - V5_7.

Упрощенная статически определимая система без нулевых стержней
Доказана на рис. 9.1.8, в.

, Последовательно вырезая узлы 8, 2, 5, 1
И составляя уравнения равновесия в виде
Суммы проекций всех сил на оси х, у, най-
дем искомые усилия в статически определи-
мой ферме от действия силы F « 1. Эти уси-
лия приведены в гр. 4 табл. 9.1. В этой же
таблице (гр. 3) приведены значения оконча-
. Тельных усилий N, взятые из гр. 8 табл. 5.1,

Рис. 9.1.8

причем только для тех стерж-
ней, которые показаны на рис.
9.1.8, в.

3. Искомое горизонтальное
перемещение узла 8 находим по
формуле (9.3):

Согласно приведенной
формуле перемещение Х8Р
определяется как сумма всех
строк гр. 5 табл. 9.1.

43 47

Ответ: Х8Р =----— (м).

Узел 8 смещается влево.

Таблица 9.1

Номер стержня м N, кН ", ЮМ ЕЛ ’
1 2 3 4 5
1-2 4 3,56 1 14,24/£4
2-8 2,5 4,45 0,625 6,95/ЕА
5-8 2,5 4,45 0,625 6,95/ ЕЛ
5-6 4 -9,77 1 -39,08/£4
1-6 3 -7,33 0,375 -8,25/£4
1-7 2.5 12,22 -0,625 -19,09/ЕА
5-7 2,5 12,22 -0,625 -\9,О9/ЕА
2-7 2,5 -4,45 -0,625 6,95/ЕА
6-7 2,5 -4,45 -0,625 6,95/ЕА
= 43>47 ЕА
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 9.1.01...9.1.46. Найти указанные перемещения (см. условные
обозначения).

9.1.01

9.1.03

9.1.24
ш«16кН-м

9.1.25

9.1.26

£1.33* 9.1.34 9.1.35

Ч=-2кН/м Fj-ЮкН F2-I0xH

HIIHIHI

* Найти вертикальное перемещение шарнира К с учетом влияния про-
дольной силы в стойке.
9.1.36

Зм

9.1.46

F(=4kH

JB=3J

Jr=4 J

Фв-?

F,=4kH
. § 9.2. Тепловое воздействие

f... В статически определимых системах перемещения от тепловою
воздействия определяются по формуле (3.29). Из основных свойств
статически неопределимых систем известно, что в них, в отличие
от статически определимых, под действием изменения температуры
в лишних связях возникнут усилия. В этом случае, как и при сило
вом воздействии, заданную систему можно заменить эквивалент
ной как по усилиям, так и по деформациям статически определи-
мой системой, которая будет находиться под совместным действи-
ем изменения температуры, с одной стороны, и вызванных ею ре-
акций в лишних связях, с другой стороны. От этих реакций воз-
никнут внутренние усилия, определяемые эпюрами Л?, Q, N. Та-
кая замена одной системы другой позволяет искомое перемещение
в статически неопределимой системе определять как сумму двух
перемещений в статически определимой системе, одно из которых
вызывается силами, а другое - изменением температуры.

Рассмотрим два способа определения перемещений.

Первый способ. С учетом приведенных выше рассуж-
дений формула Максвелла - Мора (3.24) при определении переме-
щений в статически неопределимых балках и рамах может быть
записана в виде

= + (9.5)

Последовательность вычисления перемещений в статически неопре-
. делимых балках и рамах от теплового воздействия:

1. Рассчитать заданную статически неопределимую систему на
изменение температуры любым наиболее рациональным методом и
построить окончательную эпюру изгибающих моментов М.

2. В любую статически определимую систему, полученную из за-
данной, в ту точку (например, в точку К) и по тому направлению, по
которому ищется перемещение, приложить единичную обобщенную
силу Р = 1 и построить единичные эпюры Мк и NK.

3. Искомое перемещение вычисляется по формуле (9.5).

При нахождении перемещений узлов в статически неопредели-
мых фермах последовательность действий сохраняется, а сами пе-
ремещения определяются по формуле

= + (96)
г •'

$ N - окончательная эпюра продольных сил, построенная в да-
нной статически неопределимой ферме от изменения температуры.

Второй способ’. Если внутренние усилия (эпюры
(Г, Q> N) в статически неопределимых системах от теплового
^действия находить (строить) не надо, а требуется определить
еремещение только одной точки и только по одному направле-
нно, то целесообразно воспользоваться следующей формулой:
; = + (9.7)

К, • . •

Jie М и N - окончательные единичные эпюры моментов и про-
дольных сил, построенные в заданной статически неопределимой
$истеме от действия только единичной обобщенной силы Р »!,
Приложенной в той точке Д' и по тому направлению, по которому
Ищется искомое перемещение; - площади эпюр Л/, N.

, При определении перемещений в фермах используется только
второй член формулы (9.7). Достоинства и недостатки применения
формулы (9.7) те же самые, что и при силовом воздействии (см.
гЙример 9.3).

Пример 9.5. Определить вертикальное перемещение опоры А в раме,
’рассмотренной в примере 5.20 (рис. 9.2.1, а).

Рис. 9.2.1

Для решения задачи применим первый способ, приняв EJ const и
h = 0,5 м.
1. Основная система метода сил и окончательная эпюра изгибающих ми
ментов Л/, полученная в результате расчета один раз статически нсопредели
мой рамы, показаны на рис. 9.2.1, б, в. Сам расчет приведен в примере 5.20.

2. В качестве любой статически определимой системы, полученной из
заданной, примем ранее выбранную основную систему метода сил. При
ложим в этой системе, в точку А, вертикальную единичную силу F - I
(рис. 9.2.1, г) и построим в ней единичные эпюры МА и NA (рис. 9.2.1, д, е).

3. Искомое перемещение находим по формуле (9.5):

Е \~ц~ + + * 2 4’47a£Z •5 3 3 +

+(2 • 4,47а£/ 6+4,47а£У • 3) +-!-4,47а£7 • 6 • - • 6—• 2 +

6£7 2 3 EJ

+~ (2 • 4,47aEJ • 6 + 2 8,94а А/ • 9 + 8,94а£7 • 6 + 4,47а£Л 9) +
6EJ

+2^7 (2'13>41а£Л 12 + 2 • ^aEJ • 6 +13,4 \aEJ 6 + W4aEJ • 12) +
D£,J

+1.4,47а£/-5^3-^--^.1.3.5-И-^4,5-5-

2 3 EJ 0,5 2 0,5

"TfT T6 6+Tiv4'6'6"a 101’5+a'5 0’612+a'201'5 =
\Jy-J £ WjJ X

= - 932,26a (m).

Ответ: yAt = -932,26a м. Опора А опустится вниз.

Пример 9.6. Найти взаимное сближение точек А и В по вертикаль-
ному направлению в раме (рис. 9.2.2, а), рассмотренной в примере 6.15.

Для решения задачи применим формулу (9.5), т.е. первый способ,
приняв, как и в примере 6.15, EJ = const и h = 0,5 м.

1. Окончательная эпюра изгибающих моментов М , полученная из
расчета методом перемещений заданной рамы, показана на рис. 9.2.2, в
(см. пример 6.15).

2. Приложим в любой статически определимой системе, полученной
из заданной (рис. 9.2.2, г), в точках А и В, две вертикальные сосредото-
ченные силы F = 1, направленные навстречу друг другу (фиктивное со-
стояние). Напомним еще раз, что за фиктивное состояние нельзя прини-
мать основную систему метода перемещений (рис. 9.2.2, 6). Единичные
эпюры Млв и N АВ, построенные от единичною воздействия, показанного
на рис. 9.2.2, г, изображены на рис. 9.2.2, д, е.

3. Требуемое перемещение вычислим по формуле (9.5). Заметим, что.
поскольку эпюры М (рис. 9.2.2, е) и MAS (рис. 9.2.2, d) не содержат
стержней, на которых одновременно имеются эпюры моментов, первый член
Рис. 9.2.2

формулы (9.5) обратится в нуль.

'С4 Г V-1 Л ’Г-' W Л V Z-N

Улв.1 =Zf £, +S'YQAfXJ + Sa/0^y^ +

+ =~~{ ^l^-2 + a. 15-О^-3 --1057,5a (м)

Ответ: yAB t = -1057,5a м. Точки А и В расходятся.

Пример 9.7. Определить угол поворота сечения на опоре А в раме,
изображенной на рис. 9.2.3, а.

Решим задачу вторым способом, т.е. по формуле (9.7).

1. В заданную статически неопределимую раму, в сечение А по на-
правлению искомого перемещения, приложим единичный сосредоточен-
ный момент т = I (рис. 9.2.3, б). Дня расчета выберем метод сил с одним
неизвестным. Основная система, единичная эпюра Л/, и грузовая эпюра
МР показаны на рис. 9.2.3, в...д. Каноническое уравнение метода сил для
данной задачи имеет вид 8Jt + As/> =0.
Рис. 9.2.3

С помощью эпюр Мх и МР вычислим главный коэффициент 5П и
свободный член Л1г:

е у г M\dx 1 .--2.-1 1 . - - 2 . - I

8u-Sf-S-»i U 2-3 U£/ + 2-'-2

+ l.3.3.2.3J-lld;

2 L - &

Л1л=Е/^40,4.2.|.1,2^ + ^(2.0,4.1,2+1.1,2) = И.

Из решения канонического уравнения находим, что Хх = -0,123.

Окончательную эпюру изгибающих моментов М строим как алгеб-
раическую сумму грузовой эпюры Мр и исправленной единичной эпюры
МхХх (рис. 9.2.3, е), т.е. М « МхХх + Л/р (рис. 9.2.3, ж).

Кинематическая проверка (здесь не приводится) подтверждает пра-
вильность построения эпюры М. По эпюре М обычным способом стро-
ятся эпюры 0 и Последняя из них представлена на рис. 9.2.3, з.

2. Искомое перемещение определим по формуле (9.7):

v* о v » ®' 20 1+ 0*252 л • 20 1 - .

—oj-----—• 3 + -qX 2 о>369 3-

-а-15 0,123.5 = 152,88а (рад).

Ответ: (рА1 » 152,88а рад. Сечение Л повернется по ходу часовой
стрелки.
Пример 9.8. Определить взаимный угол поворота сечений на опорах
И В в раме, рассмотренной в примере 8.11 (рис. 9.2.4, а).

Для определения взаимного угла поворота применим первый способ.

1. Подробный расчет заданной рамы комбинированным способом
веден в примере 8.11. Окончательная эпюра изгибающих моментов М
Сражена на рис. 9.2.4, б.

г) д)

Рис. 9.2.4

( 2. В любую статически определимую раму, полученную из заданной,

^епример, в ту, которая показана на рис. 9.2.4, в, приложим в сечениях А
М В два единичных сосредоточенных момента т = 1, направленные в
Цфотивоположные стороны, и построим единичные эпюры моментов МАВ
(рис. 9.2.4, г) и продольных сил (рис. 9.2.4, J).

3. Искомое перемещение вычислим по формуле (9.5):

.1.78^6.1.1^4.18^.6.1.1^.

+ а-10-у-8-а-5--2-8 = 39а (рад).

6 6

Ответ: [ - 39а рад.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 9.2.01...9.2.37. Найти указанные перемещения (см. условны'
обозначения), приняв а - const и высоту поперечного сечения всех стер
жней Ь=0.5м, если ее значение не задано.

I
К § 9.3. Кинематическое воздействие

К' Аналогично тому, как это было сделано в § 9.1 и § 9.2, задан-
Bto статически неопределимую систему, находящуюся под кинема-
Кческим воздействием, следует рассчитывать, заменяя ее эквива-
лентной ей статически определимой, нагруженной совместным дей-
К*ием заданного смешения опор или других связей и усилий, вы-
Канных этим смещением в лишних связях. В этом случае общую
Крмулу Максвелла - Мора (3.24) для изгибаемых систем (балок и
Км) при кинематическом воздействии можно представить в виде
| (9.8)

Ke М — окончательная эпюра изгибающих моментов в статически
«определимой системе от заданного перемещения связей;

Мк — единичная эпюра моментов, построенная в любой стати-
чески определимой системе, полученной из заданной, от действия
циничной обобщенной силы Р = 1, приложенной в искомой точ-
L К по направлению искомого перемещения; RK- реакция в
мешаемой опоре (связи) в той же статически определимой системе.
| Рассмотрим два способа определения перемещений.

Первый способ.

Моследователъностъ вычисления перемещений в статически неопре-
j1 делимых балках и рамах от кинематического воздействия:

В 1. Рассчитать заданную статически неопределимую систему на
кинематическую нагрузку любым рациональным методом и по-
строить окончательную эпюру изгибающих моментов М.

F- 2. В любую статически определимую систему, полученную из
заданной, в ту точку (например, в точку К) и по тому направле-
1нию, по которому ищется перемещение, приложить единичную
Обобщенную силу Р = 1, построить от нее единичную эпюру Мк

> найти реакции RK в смещаемых опорах.

3. Искомое перемещение вычисляется по формуле (9.8).

Второй способ. Если внутренние усилия М, Q> N в
статически неопределимых системах от кинематического воздейст-
вия нас не интересуют, то искомое перемещение можно найти по
следующей формуле:

<9-9)

где R^ — единичная реакция, возникающая в смещаемой опоре
заданной статически неопределимой системы от действия единим

ной обобщенной силы Р = 1, приложенной в той точке К и И"

тому направлению, по которому ищется искомое перемещена
При нахождении единичных реакций R'K в смещаемых опорах
(связях) заданную статически неопределимую систему придете»!
рассчитать одним из наиболее рациональных методов строительноп
механики для данной задачи.

Пример 9.9. Найти горизонтальное перемещение шарнирно-подвиж

ной опоры С в раме (рис. 9.3.1, а), рассчитанной в примере 5.23.

Для решения задачи применим первый способ.

1. Окончательная эпюра изгибающих моментов М, полученная в
примере 5.2.3 (см. рис. 5.2.29, и) в результате расчета заданной дважды
статически неопределимой рамы методом сил на смещение опор, показана
на рис. 9.3.1, б.

2.. В любую статически определимую систему, полученную из заданной
(в данном случае она совпадает с основной системой метода сил, приме-
ненной в примере 5.23), прикладываем в точку £ по горизонтальному
направлению единичную сосредоточенную силу F * Црис. 9.3.1, в). От
действия этой силы строим единичную эпюру моментов Мс и находим зна-
чения и направления вертикальной реакции Vc и реактивного момента М в
в смещаемых опорах (рис. 9.3.1, г).

В качестве статически определимой системы можно выбирать и такую, в
которой могут быть удалены все или некоторые смещаемые опоры {в данном
примере удалена горизонтально смещаемая опора А (см. рис. 9.3.1, в) ]. Ес-
енно, что о реакциях в отброшенных смещаемых опорах в этом сгучае
рить не имеет смысла (их просто нет).

3. Искомое перемещение находим по формуле (9.8):

Ю"3 EJ 4. |. 6 - (-Мв ф + Ис с2) = -124,56.10"3 - 22,78 10’3 -

(-6 • 0,03 + 1,5 • 0,04) » -147,34 10‘3 + 0,12 = -27,34 • 10‘3 (м).

Ответ: Хсс = -27,34 10"3 м. Точка С смешается влево.

Пример 9.10. Найти угол поворота сечения К в рамс (рис. 9.3.2, а),
мотренной в примере 6.19 (рис. 6.3.7, о).

Рис. 9.3.2

Требуемое перемещение будем вычислять по формуле (9.8).

1. Окончательная эпюра изгибающих моментов М, взятая из примера
19, показана на рис. 9.3.2, б.

2. В статически определимую раму, полученную из заданной, в сече-
<е К приложим единичный сосредоточенный момент m «1 и построим
иничную эпюру моментов Мк (рис. 9.3.2, в).

С 3. Статически определимая система выбрана так удачно, что реакции в
вмещаемой опоре 5 оказались равными нулю. Следовательно, искомый угол
Поворота сечения К будет определяться только первым членом формулы (9.8):
4><с = Е f= - -1,9--*2-6 . 2 1JL о - 4,77 10-’ (м).

Ответ: фгс * -4,77 • 10-3 м. Сечение К повернется против хода часо-
вой стрелки.

Пример 9.11. Определить горизонтальное перемещение точки К в
раме, изображенной на рис. 9.3.3, а.

Проведем решение задачи вторым способом, т.е. по формуле (9.9).

1. Согласно этой формуле приложим в заданную статически неопреде-
лимую раму, в точку К, единичную горизонтальную сосредоточенную силу
F » 1 (рис. 9.3.3, б). Рассчитаем заданную раму методом перемещений с
одним неизвестным. Основная система, единичная эпюра моментов и
грузовая эпюра моментов МР показаны на рис. 9.3.3, в.д. Канонически.

уравнение имеет вид ruZ| + R[P -0. Из рис. 9.3.3, г, д следует: гп
= 0,75£7+ 0,4£J+ 0,667£/ = 1,817£У; R[P =0,75. Подставив найденны>
коэффициенты в уравнение и решив его, найдем: Zj = -0,413 / EJ.

После этого окончатель-
ная эпюра изгибающих
моментов М может
быть построена по фор-
муле М = M{Z{ + МР
(рис. 9.3.3, е). По окон-
чательной эпюре М
можно легко найти гори-
зонтальную реакцию
H'D и реактивный мо-
мент М'А в сметаемых

опорах. Численные значения и направления этих реакций показаны на
рис. 9.3.3, е.

Заметим, что искомые реакции можно было бы найти и без построе-
ния эпюры М. Для этого надо с помощью табл. 6.1 рассмотреть отдельно
стержень ЛС, как жестко защемленный по концам, под действием най-
денного угла поворота узла С (Zt =-0,413/£7), направленного против
хода часовой стрелки, и единичной силы F - 1, а также стержень CD, как
жестко защемленный в узле С и шарнирно опертый в узле D, под дейст-
вием только угла поворота узла С (Z, - -0,413 / EJ ). Такой подход ра-
ционально применять (может быть, даже в уме), когда рама содержит
много стержней и два, три и более неизвестных.

2. Искомое перемещение вычисляем по формуле (9.9):

Ххс = -(Н'йС -(0,0775 • 0,08 - 0,89 0,03) - 20,5 • 10’3(м).

Ответ: Хкс = 20,5 • 10'3 м.
Пример 9.12, Найти вертикальное перемещение шарнира Е в рамс,
сраженной на рис. 9.3.4, а.

Рис. 9.3.4

1. Данная рама была рассчитана смешанным методом с двумя неиз-
ными в примере 8.5. Окончательная эпюра изгибающих моментов М
сражена на рис. 9.3.4, б.

2. В любую статически определимую раму, полученную из заданной
например, рис. 9.3.4, *), в шарнир Е прикладываем по вертикальному
управлению единичную сосредоточенную силу F = 1. От действия этой
илы строим единичную эпюру моментов МЕ и находим реакцию (реак-
тивный момент Мл) в смещаемой опоре А (см. рис. 9.3.4, в).

k Для сравнения решения задачи на рис. 9.3.4, г представлена другая
статически определимая рама, образованная из заданной, с единичной
эпюрой МЕ.

3. Искомое перемещение для двух разных статически определимых сис-
тем найдем по формуле (9.8):

+ 4 • 4 •£2^30 .|0-’£/ J--(Млф) = 0,33 -4 0,09 - -0,03 (м);

3-£С = Z= 15-Ю-’ЕА 3-4±.+

+ -Лг (2'15' IO"’ EJ ' 4 - 7,5 Ю-3 EJ • 4) - (0 ф) = -0,03 (м).

Как и следовало ожидать, результаты совпали.

Ответ: уЕС = - 0,03 м. Шарнир Е опустится вниз.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 9.3.01...9.3.35. Найти указанные перемещения (см. условны-
обозначения).
9.3.17

С-0.04М *

Ф1=0,01рад

Фк-?

/лЛ/л

ф2=0,02род<

С=0,03м ф=0.01рал
I
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 9

По каким формулам определяются перемещения в статически неопре-
делимых балках, рамах и фермах от силового воздействия?

Что принимается за фиктивное состояние при вычислении перемеще-
ний в статически неопределимых системах?

Какова последовательность вычисления перемещений в статически
неопределимых балках и рамах от силового воздействия?

Какова последовательность вычисления перемещений в статически
неопределимых фермах от силового воздействия?

Как проще, в отличие от классического подхода, определить переме-
щения в балках и рамах только одной точки и только по одному на-
правлению от силового воздействия?

Как проще, в отличие от классического подхода, определить в фермах
перемещения только одного узла и только по одному направлению аг
силового воздействия?

. По каким формулам определяются перемещения в статически неопре-
. делимых балках, рамах и фермах от теплового воздействия?

, Какова последовательность вычисления перемещений в статически
неопределимых балках и рамах от теплового воздействия?

Какова последовательность вычисления перемещений в статически
неопределимых фермах от теплового воздействия?

0. Как проще, в отличие от классического подхода, определить переме-
щения в балках и рамах только одной точки и только по одному на-
правлению от теплового воздействия?

1. Как проще, в отличие от классического подхода, определить в фермах
перемещения только одного узла и только по одному направлению от

•' теплового воздействия?

12. По какой формуле определяются перемещения в статически неопреде-
лимых балках, рамах и фермах от кинематического воздействия?

13. Какова последовательность вычисления перемещений в статически
неопределимых балках, рамах и фермах от кинематического воздейст-
вия?

14. Как проще, в отличие от классического подхода, определить переме-
щения в статически неопределимых системах только одной точки и
только по одному направлению от кинематического воздействия?
Глава 10. Расчет конструкций с учетом пластических свойств
материала методом предельного равновесия

§ 10.1. Развитие методов расчета сечений.

Основные допущения, положения к теоремы метода предельного
равновесия. Расчет статически неопределимых балок способом
выравнивания изгибающих моментов

Развитие методов расчета сечений

Изложенные в предыдущих главах методы нахождения внут-
ренних усилий в статически определимых и статически неопреде-
лимых системах позволяют рассчитать отдельные элементы, а сле-
довательно, и сооружение в целом на прочность в упругой стадии
его работы ("упругий расчет").

До 1955 г. в нашей стране применялись два метода расчета
строительных конструкций.

1. Метод расчета по допускаемым на-
пряжениям. В соответствии с ним требуется, чтобы наиболь-
шее напряжение, возникающее в опасной точке сечения стержня,
не превышало так называемого допускаемого напряжения:

(Ю.1)

где Qmax - расчетное напряжение; [а]- допускаемое напряжение;
ог- напряжение предела текучести; к- коэффициент запаса
прочности.

Существенными недостатками этого метода являются: а) ис-
пользование общего нерасшифрованного коэффициента запаса
прочности, значения которого зависят от многих факторов; б)
принятие нагрузок постоянными в процессе всего срока эксплуа-
тации сооружения, что в большинстве случаев не соответствует
действительности; в) неучет изменчивости механических характе-
ристик материала; г) непринятие во внимание специфических ус-
ловий, в которых работает сооружение; д) неучет пластических
свойств материала, что приводит к недоиспользованию его несу-
щей способности и не проясняет вопрос об истинном запасе проч-
ности конструкции, поскольку исчерпание ее прочности происхо-
дит за пределами упругости и сопровождается появлением пласти-
ческих деформаций.

Этот метод в настоящее время применяется при расчете маши-
ностроительных конструкций.
?

2. Метод расчета по разрушающим н а-
у з к а м. Этот метод появился в нормах проектирования желе-
етонных конструкций в 1938 г. и каменных - в 1943 г. вместо
года расчета по допускаемым напряжениям. В расчет принима-
:ь не допускаемое напряжение, а обобщенное усилие, относя-
еся к сечению в целом:

(10.2)

е 5 - расчетное усилие в элементе сооружения; SP- разрушаю-
5 усилие для этого же элемента; к - коэффициент запаса, зави-
1ий от соотношений постоянных и временных нагрузок и уси-
[ от них. В этом методе уже учитывались пластические свойства
ериалов, поскольку в расчете принимались разрушающие уси-
, но коэффициент запаса опять оставался нерасшифрованным.

В 1955 г. в СССР стали применять метод расчета по
редельным состояниям. Он является основным мето-
iM расчета строительных конструкций и существенно отличается
ранее применявшихся.

Предельным состоянием конструкции называется
кос состояние, при котором она или непригодна к эксплуатации,
щ нарушается условие нормальной ее работы.

В строительных нормах и правилах (СНиП) установлены две
Группы предельных состояний:

1. Потеря несущей способности сооружения или непригодность
: дальнейшей эксплуатации (разрушение части или всей конструк-
ции, общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости по-
ожения, чрезмерные деформации в результате ползучести, пла-
тичности, раскрытия трещин).

2. Непригодность сооружения к нормальной эксплуатации (по-
вление недопустимых перемещений, образование чрезмерного и
[родолжительного раскрытия трещин, предельный уровень колеба-
ний конструкции или основания).

Расчет должен обеспечить защиту сооружения от наступления
любого предельного состояния за все время эксплуатации.

В этом методе устранены недостатки предыдущих - расшифро-
ван коэффициент запаса и предусматривается работа материала за
пределами упругих деформаций. Конструкции, запроектированные
и рассчитанные по методу предельных состояний, за счет перерас-
пределения усилий получаются более экономичными и надежными.

Прочность сечений определяют по стадии разрушения, но
\ безопасность работы конструкции под нагрузкой оценивают не од-

1
ним коэффициентом запаса, а указанной системой расчетных ко
эффициентов:

1. Коэффициент надежности по нагрузке у у учитывает возмож
ность изменения нагрузки (чаще превышения) во время эксплуата
ции сооружения по сравнению с принятой нормативной величинон
Рн. На этот коэффициент умножается нормативная нагрузка Р„
для получения расчетного значения нагрузки Рр:

(ЮЗ)

Обычно он изменяется в пределах 1,05...1,4.

2. Коэффициент надежности по материалу ут учитывает воз-
можную изменчивость свойств материала (отражает возможность
снижения сопротивления данного материала по сравнению с нор-
мативным значением RH). Для пластичных материалов за норма-
тивное сопротивление принимается предел текучести - RH ~
для хрупких - временное сопротивление - RH = <зв.

Расчетным сопротивлением материала R называется значение
сопротивления, получаемое делением нормативного значения со-
противления RH на коэффициент надежности по материалу ут:

(10.4)

Для стальных конструкций ут = 1,025... 1,15.

3. Коэффициент условий работы ус учитывает влияние на рабо-
ту конструкции различных неблагоприятных факторов, не под-
дающихся точному определению (влияние агрессивной среды,
концентрации напряжений, неточности сборки конструктивных
элементов, вида конструкции). На этот коэффициент умножается
расчетное сопротивление или делятся значения усилий в элементах
конструкции.

Величина изменяется в пределах 0,75... 1,0.

4. Коэффициент надежности по назначению (коэффициент от-
ветственности) уп учитывает ответственность сооружения и ее
влияние на требуемый уровень надежности. Степень ответственно-
сти зданий и сооружений определяется размером материального и
социального ущерба, возможного при достижении конструкциями
предельных состояний.

Установлены четыре класса ответственности зданий и сооруже-
ний и соответствующие им значения у„.

Величина ул изменяется в пределах 0,85... 1,2. На этот коэф-
Кяциент умножаются расчетные значения нагрузок, усилий или
едятся предельные значения несущей способности, расчетные
качения сопротивлений, предельные значения деформаций, рас-
крытия трещин.

К Общее условие прочности метода предельных состояний по
кервой группе для шарнирно-стержневых систем:

К Ст» и * Г<Л или N <, уСЯА, (10.5)

И*.

Иде расчетное усилие, определяемое по схеме сооружения от
расчетной нагрузки РР (10.3); А - площадь сечения.

К Изгибаемые элементы в одних случаях рассчитываются по уп-
Вругой стадии:

Е Стах = (Ю.6)

I в других - с учетом развития пластических деформаций:

I (107)

| " пл

В где М - расчетный момент в элементе конструкции; И7 - момент
[ сопротивления; - пластический момент сопротивления.

; Формулы (10.5)...(10.7) приведены для пластичного материала,
I одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию.

г Метод расчета по предельным состояниям подробно излагается
[в курсе "Строительные конструкции" (железобетонные, металличе-
г.ские, деревянные).

i В дальнейшем остановимся более подробно на вопросе учета
I пластических свойств материала в этом методе расчета.

I Упругий и пластический расчеты. Общие понятия

! До сих пор рассматривался расчет линейно-деформированных
[систем, т.е. систем, работающих в упругой стадии. При этом пред-
г.полагалось, что между напряжениями и деформациями соблюдает-
? ся линейная зависимость и ни в одном сечении напряжения не
г могут превышать предел текучести сг.

В упругом расчете за предельную нагрузку принимается такая
нагрузка, при которой наибольшее напряжение сттах достигает
величины <5Г хотя бы в одном волокне.

На упрощенной диаграмме а - € для пластичных строительных
сталей точки, соответствующие пределу пропорциональности
(<уПц)> пределу упругости (стЛ7/) и пределу текучести (стг), со-
вмещаются в одну точку А (рис. 10.1.1, д); напряжения, возни -
кающие в элементах конструкции при упругом расчете, находятся в
пределах участка О А, отвечающего I стадии деформирования, где
о = fe, Е = £<р #0 и ст^ s вт.

Горизонтальный участок АВ описывает II пластическую ста-
дию деформирования, где ст = стг = const, Е = 0.

Рис. 10.1.1

Криволинейный участок ВС соответствует III стадии - стадии
упрочнения, которая завершается разрушением образца при на-
пряжении cts, называемом временным сопротивлением. II и 111
стадии деформирования в упругом расчете не учитываются.

Нагрузка, при которой происходит исчерпание несущей спо-
собности конструкции (ее разрушение), называется предельной {раз-
рушающей) нагрузкой.

Реальную диаграмму ст - е при практических расчетах обычно
заменяют условной диаграммой Прандтля ОАВ, отвечающей иде-
альному упругопластическому материалу (рис. 10.1.1, б). В диаграмме
ОАВ исключается реальная зона упрочнения, но взамен нес пла-
стическая зона АВ превращается в бесконечную. В результате ра-
бота материала становится 2-стадийной.

Диаграмма Прандтля в дальнейшем будет использована в посо-
бии при упругопластическом расчете некоторых систем.

Поскольку деформации упругого характера достаточно малы и
их можно не учитывать в изменениях геометрических размеров
конструкции, а деформации пластичности могут во много раз (для
стали в 20 раз и более) превышать величины упругих деформаций
(см. рис. 10.1.1, а), то можно пренебречь последними и считать,
что упругий участок диаграммы (см. рис. 10.1.1, б) совмещается с
осью ординат (рис. 10.1.2).
Материал, отвечающий такой диаграмме (рис. 10.1.2), называ-
ся жесткопластическим (ст£ и aj - пределы текучести при рас-
жении и сжатии). Согласно диаграмме жесткопластического ма-
риала в конструкции не возникает никаких деформаций при на-
ряжениях меньше предела текучести стг, а они появляются и
згранично возрастают при напряжениях, равных пределу текучести.

Диаграмма жесткопластиче- ст

:ого материала (см. рис. 10.1.2)
оложена в основу метода предель- ---------

ого равновесия, предложенного в
938 г. А. А. Гвоздевым. Основная
дея метода и его название связаны "б

тем, что непосредственно перед
амым разрушением конструкции _________________ ас

ля предельных значений внугрен- г

их и внешних сил еще выполни- Рис-

кггся условия равновесия. Этот метод, во-первых, позволяет созда-
вать более экономичные конструкции за счет скрытых резервов
прочности; во-вторых, проще при практическом применении, чем
упругий или упругопластический расчеты.

Основным ограничением для использования метода предель-
ного равновесия является то, что он применим лишь для конст-
рукций, элементы которых изготовлены из пластичных материалов,
обладающих достаточно большой площадкой текучести на диа-
грамме ст - s. К таким материалам, помимо строительных сталей,
можно отнести и железобетон, разрушение которого связано с те-
кучестью арматуры и пластическими деформациями в сжатой зоне
бетона.

Предельное состояние сечения. Эффект учета
пластических свойств материала

Покажем на простейших примерах, что дает учет пластических
свойств материала при различных простых видах нагружения, а
также работу сечения в предельном состоянии в различных конст-
рукциях.

Упру гопл а стичес к ий расчет

1. Системы, работающие на растяжение-сжатие.

А. Статически определимые системы.

Определим предельную нагрузку в статически определимой
двухстержневой шарнирной системе, представленной на рис.

10.1.3, о, под действием вертикальной силы F, полагая, что все
стержни выполнены из одного и того же пластичного материала и
имеют одинаковую площадь сечения А.

Рис. 10.1.3

Поскольку в стержнях возникают лишь продольные усилия N,
предельное состояние сечения стержня определяется при появле-
нии в нем нормальных, равномерно распределенных по всему се-
чению напряжений, равных стг. Вследствие этого предельная про-
дольная сила в таком элементе будет равна

пр ~ (10.8)

и остается одинаковой как для упругого, так и для пластического
расчета. Усилия в стержнях определим из уравнений равновесия
узла 4 (рис. 10.1.3, б):

cos 60° + cos 30° « 0;

X Y =N\ -4 sin 60° + Л^з_4 sin 30° - F = 0.

Из решения системы уравнений находим: Nx_A=4^F/2 =
= 0,866т7; jV3„4 = 0,5Л Разрушающей нагрузкой будет та, при ко-
торой напряжения в стержне 1-4, имеющем большее усилие, рав-
ны аг, т.е.

ашах = * 0,-66//7/ - = <тг; отсюда F$ = 1,155<угА.

А А

Совершенно очевидно, что и пластический расчет даст ту же
предельную нагрузку. В ы в о д: в статически определимых систе-
мах, работающих на растяжение-сжатие, упругий и пластический
расчеты дают один и тот же результат.

Б. Статически неопределимые системы.

Добавим к предыдущей системе стержень 2-4, сделав ее один
раз статически неопределимой (рис. 10.1.4, а).

Вначале произведем упругий расчет методом сил с одним неиз-
вестным. Основная система представлена на рис. 10.1.4, б. Канони-
ческое уравнение имеет вид 6ПХ| + Д1Р =0. Продольные усилия
' единичного неизвестного Х} = 1 в F раз меньше и противопо-
щены по знаку усилиям в предыдущей задаче (рис. 10.1.4,’ &), а
Илия, показанные на грузовой эпюре и усилия в первой

даче от сосредоточенной силы F совпадают (рис. 10.1.4, г).
г) б) в)

Рис. 10.1.4

Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение:

8ц = Z <866 • 0,866 ± + 0,5 • 2Й 0.5 -L +

LA V3 LA LA

, . 1 2,366.

+ Ь Л ЕА _ЕА~’

Д.р = Z ’ - 0,8667 • 0,866 -L _

-0,57-2й.0,5^- = -Ь^.

ЕА ЕА

I Подставив найденные коэффициенты в уравнение и решив его.
[получим: Xi =Q$T1F. Окончательную эпюру продольных сил #
[(рис. 10.1.4, д) строим по известной формуле: # = TVjA'j + №Р. .

f ; Выполненный упругий расчет позволил установить, что сред-
г ний стержень 2-4 является наиболее напряженным из всех стерж-
ней конструкции (#2-4 > М-4 > ^3-4 ПРИ = COnst )• ПОЭТОМУ
при возрастании силы F напряжения, равные аг, сначала воз-
никнут только в наиболее нагруженном среднем стержне. Появле-
ние напряжений предела текучести в среднем стержне соответству-
ет предельной нагрузке в упругом расчете F//. Согласно диаграм-
ме Прандтля напряжения, а следовательно, и усилие в этом стерж-
не остаются постоянными. Из формулы (10.8) следует, чъ»
^2-4 = = °тА> те- 0,577/^ = откуда F,™ « 1,733(7^/»

Возникновение пластических деформаций в среднем стержне н<-
означает, что происходит его разрушение и что система не пригол
на для дальнейшей эксплуатации, а означает только то, что задан
ная система превратилась в статически определимую, поскольку
усилие в стержне 2-4 стало известным. При дальнейшем увеличе
нии силы F выше значения Ffi! средний стержень "потечет”, и
его удлинение будет нарастать при постоянном значении усилия
^2-4 = ®гА • Рост нагрузки, вызывающий возрастание усилий в
крайних стержнях, будет происходить до тех пор, пока в одном из
них напряжения не достигнут предела текучести ат . В этом случае
заданная система обратится в механизм и разрушится. Нагрузка,
при которой наступит такое состояние, и будет разрушающей на-
грузкой для заданной системы.

Для ее нахождения
поступим следующим
образом. Удалим сред-
ний стержень и заме-
ним его действие по-
стоянным предельным
усилием N2_4 *=(5ГЛ.
Приложим к действую-
щей нагрузке F^ до-

полнительную, постоянно увеличивающуюся нагрузку AF, от дей-
ствия которой возрастут напряжения (усилия) в стержнях 1-4, 3-4,
и снова произведем расчет уже статически определимой системы
как упругой (рис. 10.1.5, а).

Новые значения усилий N{_4 и в стержнях 1-4 и 3-4
определим из условия равновесия ухта 4 (рис. 10.1.5, б):

X X = - N[_A cos 60° + cos 30° = 0;

S У “ЛГ1.4 sin 60° + sin 30° + aTA - F$ - \F = 0.

Из решения системы уравнений найдем, что N{_4 =
« л/3(Г^7+Д/*-огЛ)/2; Л^_4 = (F$ + ДГ- пгЛ)/2. Так как в
результате расчета оказалось, что N{_4 >Щ_4> следующим после
стержня 2—4, в котором при возрастании нагрузки появятся на-
пряжения, равные пределу текучести ог, а следовательно, и Посто-
М предельное усилие N ПР = <зтА, будет стержень 1-4. В этом
(же a = <зтА, а нагрузка F™ + достигнет своего пре-

, х ГПЛ -<5ТА)

ьиого (разрушающего) значения Fnp , т.е. —- —'—- -

ТА, откуда FfiP = 2,155огА

По сравнению с пластическим расчетом упругий расчет дает
2,155<Уу/4 — 1,733сГгЛ |лл«у о л о/
огруженность около 24% : -----------—— • 100% = 24%.

ц/ЗЗо f А

Если элементы рассмотренной конструкции изготовлены из
1кого материала, то разрушающей нагрузке соответствуют на-
жения в среднем элементе, равные временному сопротивлению
(пределу прочности).

2. Системы, работающие на изгиб.

А. Статически определимые системы. Чис-
Ы Й изгиб.

Для систем, работающих преимущественно на изгиб, предель-
>е состояние сечения определяется в основном величиной изги-
ющего момента. Рассмотрим статически определимую балку по-
чечного сечения с двумя осями симметрии в условиях чистого
>гиба, т.е. Q = N = 0 (рис. 10.1.6).

Зависимость о -8
«мем в виде диа-
аммы Прандтля для
реального упруго-
дстического мате-
:ала. При работе
териала за предела-
[ упругих деформа-

й для упрощения

гачи примем гипотезу плоских сечений, а также будем считать,

ргго пределы текучести аг при растяжении и сжатии одинаковы.

\ По мере увеличения внешнего изгибающего момента т нор-
мальные напряжения возрастают до такой величины, при которой
•наибольшие их значения в крайних волокнах поперечного сечения
балки (рис. 10.1.7, а) не достигнут предела текучести (рис.

10.1.7, б). На этой стадии напряженного состояния заканчивается
упругой расчет и для него определяется предельная нагрузка МУПР.
Вычислим равнодействующие нормальных напряжений, прило-
женных выше и ниже нейтральной оси z • Равнодействующие р;н»

ны друг другу по абсолютной величине:

1 h

Эти равнодействующие образуют внутреннюю пару сил, действую
щую в поперечном сечении балки. Момент этой пары сил, равных
произведению одной из них на расстояние между ними, предстан
ляет собой предельный упругий изгибающий момент М„Р в попе-

речном сечении балки при упругом расчете:

= = = (Ю.9»

□ 2 2 3 б

где W = />Л2/б- упругий момент сопротивления для прямоуголь

При действии момента М™, соответствующего лишь фибро-
вой текучести, балка не разрушится, так как во всех остальных
точках сечения напряжения меньше предела текучести. При даль-
нейшем возрастании момента т> М„ПР текучесть распространяет-
ся в глубь сечения (рис. 10.1.7, в). Наконец, наступит такой мо-
мент, когда почти все волокна сечения будут иметь предел текуче-
сти оу (рис. 10.1.7, г) и дальнейшее нарастание нагрузки будет
невозможным. В последнем случае около нейтральной оси все же
остается очень маленький упругий участок (упругое ядро), где на-
пряжения будут меньше предела текучести сгг. Его высота состав-
ляет примерно 0,005 h. Этот участок практически не будет влиять
на последующее развитие деформаций и им можно пренебречь.

Состояние, при котором исчерпаны все несущие способности
сечения и напряжения в каждом его волокне равны пределу теку-
чести стг, называется пластическим шарниром {шарниром текуче-
сти). Условно это состояние в виде двух прямоугольников показа-
но на рис. 10.1.7, д.
►Дг Аналогично предыдущему вычислим равнодействующие пре-
ЦИдьных нормальных напряжений выше и ниже нейтральной оси

(см. рис. 10.1.7, д): s<5t 'j'b- Момент этой пары сил пред-
^Ьвляет собой предельный пластический изгибающий момент
в поперечном сечении балки при пластическом расчете:

№ = = (10.10)

£ Ал Ал •

Жце WIVJ - пластический момент сопротивления, величина которого
К случае прямоугольного поперечного сечения составляет

Кй и/ _ э согс „ bh

№ ПЛ ~ “ д ‘

К Здесь З'ты - статический момент половины сечения относи-
тельно нейтральной оси Z , положение которой соответствует пере-
воду от сжатой к растянутой зоне сечения.

g Итак, при достижении изгибающим моментом предельного
значения М™ в опасном сечении возникает пластический шарнир
И происходит исчерпание несущей способности сечения. Балка
становится геометрически изменяемой (механизмом), поскольку
Водна часть ее в этом сечении может повернуться относительно
другой, аналогично тому, как это произойдет, если в это сечение
вставить обычный шарнир.

В Таким образом, в кинематическом плане шарнир пластичности
В эквивалентен обычному шарниру, т.е. допускает взаимный поворот
смежных сечений. Существенное отличие его от обычного шарни-
I ра, который не воспринимает момент, состоит в том, что к сосед-
I ним сечениям шарнира пластичности прикладываются две взаимно
| противоположные пары с постоянным моментом внутренних сил,
I равным по модулю М}$. Кроме того, пластический шарнир явля-
г ется односторонним, т.е. раскрывается только в одну сторону и
В1 исчезает (закрывается) при разгрузке конструкции или перемене
Г знака внешнего воздействия. При этом элемент конструкции начи-
нает работать как упругий.

• Обозначение шарнира пластичности представлено на рис.
10.1.8.

Две расходящиеся от центра пластического шарнира черточки
показывают направление раскрытия шарнира. Так, на рис. 10.1.8, а...г
к последовательно показаны следующие направления: вниз, вверх, в
левую сторону, в правую сторону. Предельные моменты в пласти
ческом шарнире направлены так, что стремятся его закрыть, т.е
вернуть систему в исходное положение.

Рис. 10.1.8

Для различных форм поперечного сечения пластический мо-
мент сопротивления можно выразить через упругий момент сопро-
тивления:

К/ЧЛ М/

(10.11)

где к— коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения
(для прямоугольника X « 1,5; для двутавра Х = 1,15... 1,17 ; для круга
X = 1,7; для тонкостенного кольца X = 1,27), который показывает,
во сколько раз при изгибе предельная нагрузка в пластическом
расчете больше предельной нагрузки, допускаемой в упругом рас-
чете. Чем меньше X, тем полнее используется материал и более
рациональным является поперечное сечение.

В заключение этого раздела сделаем один вывод: для любой
статически определимой системы достаточно образования в опас-
ном сечении одного пластического шарнира, чтобы она преврати-
лась в механизм и разрушилась.

Б. Поперечный изгиб.

Рассмотренные выше некоторые вопросы теории изгиба за
пределом упругости и приведенная основная формула для предель-
ного момента (10.10) относятся к случаю чистого изгиба
(Q = N = 0). Если эту формулу несколько подправить, то ее можно
будет использовать и в общем случае поперечного изгиба при со-
вместном действии изгибающего момента, поперечной силы (? и
продольной силы N:

• (10.12)

где v- коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения
стержня и от соотношения между пределами текучести материалов
при растяжении и сжатии.

Однако в балках и рамах предельная нагрузка, которую они
4

Рис. 10.1.9

гут воспринимать, почти не зависит от поперечных, продольных
h и крутящих моментов, поэтому при практических расчетах ими
1Жно пренебречь, приняв v = 1.

В. Статически неопределимые системы,
а б о т а ю щ и е на изгиб.

Рассмотрим один раз статически неопределимую балку посто-
вой жесткости, изображенную на рис. 10.1.9, а. Пусть v = l и
•едельные моменты при растяжении и сжатии равны. На этом же
[сунке показана эпюра моментов, построенная по п. 3 табл. 6.1.

По максимальному моменту определим предельную упругую

,_и сУП . _ max _ _ — лтгояа rr W

ЛУ гПР . Стщдх = —°т> откуда гпр

величиваем нагрузку до такой величины FjjP, пока в заделке, где
меется наибольший момент, нс поя-
тся шарнир пластичности.

т max

Тогда oniax «-^- =-22- = ат,
"'пл - "'пл

куда F'np - -у^т^пл - “

F™k. Следовательно, F„P в X раз
рсвышает предельную нагрузку, со-
тветствующую упругому расчету. При
F = F'nP балка не разрушится, но ста-
ет статически определимой, загружен-
:ой силой F*nf и моментом М™ на
равой опоре В (рис. 10.1.9, 6). По-
тому нагрузку F можно дальше уве-
нчивать до значения FfiP , при кото-
ом появится второй пластический
]арнир в сечении под силой, где воз-
икает следующий наибольший поло-
жительный момент (рис. 10.1.9, в). В
момент исчерпания несущей способ-

ности балки, т.е. появления второго пластического шарнира, сис-
г тема превращается в механизм (три шарнира на одной прямой), а
сечение С получает большие прогибы.

Составим условие равенства момента в сечении С под силой
предельному моменту, из которого найдем предельную (разру-
шающую) нагрузку (рис. 10.1.9, г):
МПЛ _ упл откуда рпл лп 1 h

мпр “ 2 мпр * ™ “яр j—• (10.1ч

Выразим предельную нагрузку F™ через F'np и F$ f

рпл _ Пр _ 6 ы/ .2$ а 18 F' - 1 17SF' -11?SAFW

*пр - - ^twпл у 16 Хб г™ ~1>*^Гпг - 1,125Лгя/..

Приведенная зависимость, показывает, что предельная (разру
тающая) нагрузка F„p для данной балки на 12,5% превышав
нагрузку F'np, при которой образовался первый шарнир пластин
ности, и на (1,125Х-1)100% превышает предельную нагрузку F}IP
при упругом расчете. Так, если поперечное сечение прямоугольное
(X = 1,5), то превышение в последнем случае составит 68,75%.

В результате можно сделать следующий вывод: для однажды
статически неопределимой системы для ее полного разрушения
достаточно возникновения в опасных сечениях двух пластических
шарниров. Более полный вывод будет приведен несколько позже.

Перейдем теперь к рассмотрению метода предельного равнове-
сия.

Основные допущения, положенные в основу метода предельного
равновесия, при практических расчетах балок рам

1. Предполагается, что конструкция выполнена из жесткопла-
стического материала. Следовательно, деформации в любом сече-
нии будут равны нулю до тех пор, пока изгибающий момент в се-
чении меньше по абсолютному значению М ПР и деформации мо-
гут иметь любые значения при М = МПР.

2. Форма поперечного сечения, а также влияние поперечных,
продольных сил и крутящих моментов считаются несущественны-
ми (v = 1), а определяющей будет несущая способность заданного
сечения, равная МПР - Кроме того, предельный момент

МПР по длине каждого стержня рамы принимается постоянным,
хотя различные стержни могут иметь различные предельные мо-
менты.

3. Рассматривается случаи простого нагружения, при котором
все действующие на конструкцию нагрузки заданы по положению,
направлению, связаны между собой одним параметром (/; = щГ,
/*2 = Я - РзЛ т - и одновременно возрастают до пре-
дельного состояния прямо пропорционально угому параметру.
Пределъное состояние системы

Ранее упоминалось, что при исчерпании несущей способности
:трукиии она превращается в геометрически изменяемую сис-
> (механизм) и разрушается.

Пластическим механизмом разрушения,
механизмом разрушения, называется система, по-
ющаяся из заданной конструкции, если в ней образуется дос-
чнос количество пластических шарниров, допускающих беско-
чо малые возможные перемещения всей системы или какой-
э ее части.

Сколько же должно образоваться шарниров пластичности, что-
заданная конструкция разрушилась?

Из ранее рассмотренных задач известно, что для статиче-
и определимой системы достаточно образования
лого пластического шарнира или выхода из строя одного фер-
iHhoto элемента, чтобы она разрушилась. В л раз стати-
ески неопределимой системе полное раз-
ут е н и е наступает тогда, когда исчерпывается несущая спо-
рность n +1 связей. Пример такого разрушения для рамы, изо-
саженной на рис. 10.1.10, а, показан на рис. 10.1.10, б, в, где чис-
> лишних связей Л = 3, а число пластических шарниров ПШ - 4.
е. ПШ = Л +1. Если ПШ <. Л, то система разрушится не полно-
гью; это так называемое частичное разрушение (рис.

0.1.10, г), а при ПШ>Л + \ будет избыточное

разру-

; Для нахождения предельного состояния заданной системы
^Применяют статический и кинематический критерии, которые оп-
ределяют название теорем о предельном равновесии и методов ре-
шения задач.

Теоремы предельного равновесия и методы решения задач.

В зависимости от цели поставленной задачи рахчичают два ви-
}да расчета на прочность: прямое проектирование (проектный рас-
;чет) и проверочный. Проектный расчет состоит в опре-
делении требуемых значений размеров поперечных сечений дч••
всех элементов системы или величин М ПР по заданной расчет >и
нагрузке. Проверочный расчет (обратная задача) с<»
стоит в определении предельной (разрушающей) нагрузки Fllr
если заданы предельные моменты М пр или их соотношения дли
всех элементов системы.

Расчет конструкций с учетом пластических свойств материал.!
по методу предельного равновесия производится статическим или
кинематическим методами, основанными на трех теоремах пре
дельного равновесия: статической, кинематической и о единствен
ности решения. Введем два понятия: статически допустимое поле и
кинематически допустимое поле.

Статически допустимым полем будет назы-
вать такую эпюру моментов, которая удовлетворяет двум условиям
условиям равновесия, т.е. внутренние изгибающие моменты урав-
новешены внешними нагрузками, и условиям прочности, т.е. ни в
одном сечении конструкции момент не превышает по абсолютной
величине М np (}Af[ s МПР). Заметим, что для статически допусти-
мого поля не требуется удовлетворения условий совместности де-
формаций. Это обстоятельство отличает эпюру моментов в обыч-
ном понимании от статически допустимого поля.

Кинематически допустимым полем для за-
данной в зависимости от одного параметра нагрузки назовем такое
распределение перемещений по всей конструкции, которое отвеча-
ет любому механизм)' разрушения, если работа заданной нагрузки
на перемещениях этого механизма положительна. В местах пласти-
ческих шарниров кинематически допустимого поля внутренние
изгибающие моменты по модулю равны предельному.

Статическая теорема устанавливается из рассмот-
рения условий статического равновесия конструкции и может
быть сформулирована так: если для заданной статически неопреде-
лимой системы при заданной схеме загружения внешней нагрузкой
существует хотя бы одно статически допустимое поле распределе-
ния изгибающих моментов, то соответствующая этому полю на-
грузка будет меньше или равна разрушающей.

Поскольку для заданной статически неопределимой системы
при заданной нагрузке существует множество статически допусти-
мых полей распределения моментов, статическую теорему можно
сформулировать иначе и короче: истинно то распределение
усилий, которому соответствует наибольшая предельная нагрузка.
Таким образом, статическая теорема дает нижнюю оценку
разрушающей нагрузки.

На основании этой теоремы разработан статический
тод пластического расчета, сущность которого заключается в
хуюн/ем: для заданной статически неопределимой системы надо
смотреть все статически допустимые поля и для каждого из них
условия равновесия найти предельную нагрузку Fnf. Из най-
1ых Fnp выбирается наибольшая величина, которая и прини-
гся за разрушающую нагрузку, если есть уверенность в том, что
мотрены все статически допустимые поля. Статический метод
(алея удобным (простым) лишь для ограниченного класса задач
хельного равновесия и поэтому он не получил широкого прак-
еского применения.

Кинематическая теорема формулируется сле-
>щим образом: для заданной статически неопределимой системы
и действии заданного вида нагрузки величина предельной на-
/зки FnPt соответствующая распределению изгибающих момен-
в для какого-либо возможного механизма разрушения, всегда
льше действительной разрушающей нагрузки или равна ей,
ли, и н а ч е: из всех форм разрушения истинна та, кото-
ft соответствует наименьшая предельная нагрузка Fnp.

Кинематическая теорема дает верхнюю оценку пре-
льной на1рузки и лежит в основе кинематического
е т о д а решения задач. Согласно этому методу надо для всех
зможных механизмов разрушения с одной степенью свободы за-
саль уравнения равновесия в форме работ (принцип Лагранжа) на
к перемещениях, которые возможны для данного механизма. При
ом возможная работа внешних сил считается положительной и
вной произведению силы Fjif на соответствующее линейное пе-
мещение Дъ а возможная работа внутренних сил, т.е. предель-
IX изгибающих моментов возникающих в пластических шар-
ipax, - отрицательной и равной произведению Ml-f .на угол поворо-
Оу, характеризующий возможную деформацию в j -м шарнире:

=0. или (10.14)

• ) i J

Суммирование в формуле (10.14) распространяется на все на-
грузки и все предельные моменты в пластических шарнирах. Так
как в процессе расчета конструкции рассматриваются механизмы
разрушения только с одной степенью свободы, все линейные Д/ и
угловые 0. перемещения могут быть выражены (ввиду малое । и
перемещений) через один общий параметр - А, или 0у. Сокр-i
тив уравнение (10.14) на этот общий параметр, получим для
оценку сверху, т.е. Fz FnP. Для стержневых систем удается опре-
делить точное значение предельной нагрузки.

Для нахождения наименьшей предельной нагрузки Fnp нал<>
стремиться уменьшить правую и увеличить левую части уравнении
(10.14). Действия, приводящие к выполнению этих условий, буду!
рассмотрены в § 10.2.

Таким образом, подтверждением того, что найден действителъ
ный механизм разрушения, является выявление возможности су
шествования (построения) статически допустимого поля распреде
ления внутренних изгибающих моментов. Это утверждение назы
вается теоремой о единственности решения.

Применение кинематического метода проиллюстрируем на
примере расчета балки (рис. 10.1.9, а).

Данная один раз статически неоп-
ределимая балка (рис. 10.1.11, а) пре-
вратится в механизм с одной степе-
нью свободы, если в ней образуются
два пластических шарнира в сечени-
ях, где имеются наибольшие изги-
бающие моменты. Будем считать, что
предельные моменты при растяжении
М ПР и при сжатии М'ЛР равны.
Один шарнир возникает в жесткой
заделке на опоре В с раскрытием
вверх, а второй - в сечении С под
силой F с раскрытием вниз (рис.
10.1.11, б). Из последнего рисунка сле-
дует: А = (/ / 2) ig 0 = (/ / 2) 9, или
0 = А/(//2).

На основании принципа возможных перемещений составим вы-
ражение работ внешних и внутренних сил на возможных перемеще-
ниях механизма разрушения: F„Pb = МПР 0 3; Fnp(l/2)0 = ЗЛ/ПР 0,
откуда Fnp ® 6М1]Р /1. Полученный результат совпал с результатом,
приведенным в (10.13).

Предельная эпюра моментов показана на рис. 10.1.11, в. Прове-
рим, что эта эпюра будет статически допустимой, т.е. удовлетво-

Рис. 10.1.11
ошей условиям равновесия:

Г МПР=^--{-МПР, т.е. M„f = 6-^--X-Mnr,

1 откуда Mnf*M Пр

' Полученное равенство показывает, что условия равновесия
|рвлетворены. Следовательно, найденная величина предельной
|лы и принятый механизм разрушения балки на основании тео-

мы о единственности решения являются истинными.

Рассмотрим еще один прием решения этой же задачи.

I Предельное состояние балки АВ
Постоянного сечения (рис. 10.1.12, а)
пределим из условия равенства пре-
Вольных моментов в пластических
шарнирах, в сечениях В и С, т.е.

в = Мс = МПР. Для этого на гори-
зонтальной прямой, параллельной оси
Валки, построим балочную эпюру мо-
ментов (рис. 10.1.12, б). Замыкающую
Прямую ab проведем так, чтобы пре-
дельные моменты в названных сече-
миях были равны между собой (см.
рис. 10.1.12, б). Заштрихованная эпю-
ра предельных моментов, показанная
На рис. 10.1.12, б, в спрямленном виде
'Представлена на рис. 10.1.12, в. Из
f I
рис. 10.1.12, в следует: МПР

1 г> &М пр

--Mnpt ИЛИ Fnp =

Как видим, результат совпал с полученным выше. Рис. 10.1.12, б

г и рис. 10.1.12, в можно объединить в один рисунок путем совме-
I шения балочной эпюры изгибающих моментов с эпюрой несущих
j способностей сечений балки. Для этого проведем две пунктирные
линии, параллельные оси балки, на расстоянии МЦР от нее. В по-

лученную таким образом эпюру несущих способностей сечений
балки впишем балочную эпюру моментов от действующей нагруз-
ки, предполагая ее предельной, с таким расчетом, чтобы она снизу
касалась линии предельных моментов (рис. 10.1.12, г). Из соотно-
шений ординат балочный эпюры и эпюры несущих способностей
_ 6ЛГ пр

сечений находим предельную нагрузку: Fnp = —
Описанный прием решения задачи носит название с п о с о
ба выравнивания изгибающих моментов.

В заключение отмстим, что и кинематический метод, и спосоь
выравнивания изгибающих моментов оказались в практических
расчетах гораздо проще, чем решение той же задачи при упруго
пластическом расчете, приведенное на с. 279, 280. Для систем с
большей статической неопределимостью преимущество этих мето
дов будет более очевидным.

Расчет статически неопределимых балок способом
выравнивания изгибающих моментов

Рассмотрим применение этого способа на конкретных приме-
рах. Предельные несущие способности сечений стержней в даль-
нейшем будем обозначать не через МПР, а через Мо - предельную
величину момента, воспринимаемого каким-то стержнем, через
которую будут выражаться все остальные предельные моменты
стержней.

Пример 10.1. Для балки, изображенной на рис. 10.1.13, о, найти пре-

Рис. 10.1.13

дельную нагрузку и построить эпюру
предельных моментов.

Балочная эпюра моментов показа-
на на рис. 10.1.13, б. Один пластиче-
ский шарнир с раскрытием вверх обра-
зуется в жесткой заделке на опоре В,
а второй шарнир пластичности может
быть в сечении под одной из сил — 2F
или 33F.

1. Пусть пластический шарнир
образуется под силой 2F. Построим
эпюру несущих способностей сечений.
Для этого от оси балки вверх и вниз
отложим ординаты Л/о, проведем че-
рез них две пунктирные горизонталь-
ные линии и, предполагая заданную
нагрузку предельной, впишем в эту
эпюру балочную эпюру моментов так,
чтобы она снизу касалась линии пре-
дельных моментов в сечении под си-
лой 2F (рис. 10.1.13, ег). Из соотно-
шения между ординатами балочной
эпюры моментов и эпюры несущих
способностей сечений следует:
. ,Ar .z 4 .. — 2A/q 2’108 .. . .

Лм - 10/®, « MQ + — Л/о, откуда F„, - —2- « —- = 14,4 (кН).

1Z 13 13 в

2. Пусть пластический шарнир образуется под силой 3,5/. Эпюра не-
<Х способностей сечений и вписанная в нее балочная эпюра, касаю-
?я снизу линии предельных моментов в сечении, под силой 3,5/,

юны на рис. 10.1.13, г. Из последнего рисунка следует:

= 12/nF

11 8 1Z

= Mq + 12 ’ откуда

Г„,-^--15(кН).

Истинная предельная нагрузка соответствует наименьшей из двух пре-
сных нагрузок, т.е. /я? = 14,4 кН. Предельная эпюра моментов, отве-
щая этой предельной нагрузке, показана на рис. 10.1.13. д.

Пример 10.2. Для балки переменного сечения, изображенной на рис.
1.14, а, определить предельную нагрузку и построить предельную эпюру
IBHTOB.

Так как балка имеет две лишние свя-
для ее полного разрушения в ней
сжны образоваться три пластических
рнира. Два из них возникнут на опорах
н D, а третий - либо в сечении В под
Юй, либо в сечении С, где скачкооб-
но изменяется несущая способность
!КИ. Балочная эпюра моментов пред-
влена на рис. 10.1.14, 6. Для определе-
I положения третьего пластического
рнира построим в масштабе с двух сто-
< от оси балки эпюру несущих способ-
лей сечений (горизонтальные пунктир-
е линии на рис. 10.1.14, в) и впишем в
’ эпюру балочную эпюру моментов от
днной нагрузки, предполагая ее пре-
ъной, так, чтобы она проходила через
пластических шарнира в сечениях А и

и касалась снизу линии несущих способностей сечений (рис. 10.1.14, в).
последнего рисунка видно, что третий пластический шарнир образуется
сечении В под силой /. На основании геометрических соотношений
ставим условие предельного состояния и найдем предельную (разру-
аюшую) нагрузку (см. рис. 10.1.14, а):

бал ^пг ’ 60 + 40 + 20, откуда /я? - 56,67 (кН).

Эпюра предельных моментов показана на рис. 10.1.14, в.

Пример 10.3. Для балки, рассмотренной в примере 10.2, но с другим
соотношением несущих способностей сечений (рис. 10.1.15, а), построить
предельную эпюру моментов и определить предельную нагрузку.

Балочная эпюра моментов, естественно, останется без изменения (см.
«) 1^

4А If М0~20кН-м^

* ЗМ0-60кН м с

рис. 10.1.14, б). Также без изменения останутся положения двух пластически*
шарниров на опорах А и D. Положение третьего шарнира найдем из совли
щения балочной эпюры моментов и эпюры несущих способностей сечении

Рисунок, содержащий эпюру несущи*
способностей сечений, можно несколько
изменить (упростить). Для этого снизу о«
оси балки эпюру несущих способности и
сечений сохраним, а сверху - построим
эпюру предельных опорных моментов (на
клонная прямая A’D\ соединяющая
опорные моменты). В полученную таким
образом комбинированную эпюру момсн
тов впишем ("подвесим"), как обычно, ба
лочную эпюру моментов (рис. 10.1.15, б)
Из этого рисунка следует, что третий пла
сгичсский шарнир возникает в сечении,

где балочная эпюра моментов касается снизу эпюры несущих способно-
стей сечений, т.е. в сечении С. Из рассмотрения эпюры предельных мо-
ментов (см. рис. 10.1.15, б) найдем предельную нагрузку:

4F 4

= 20 + 20 + £(60 - 20), откуда Fnp » 43,33 кН.

Читатель может убедиться в том, что в случае, если несущую способ-
ность сечений участка АВС сохранить прежней (Л/о «60 кН м), а участка
CD увеличить и сделать равной MQ = 30 кН м, то разрушение балки будет
избыточным, поскольку помимо двух пластических шарниров на опорах А
и D одновременно появятся пластические шарниры в сечениях В и С.

Пример 10.4. Для балки переменной жесткости построить эпюру пре-
дельных моментов и найти предель-
ную нагрузку (рис. 10.1.16, а).

При вписывании балочной эпю-
ры моментов (рис. 10.1.16, б) в эпю-
ру несущих способностей сечений
(рис. 10.1.16, в) убеждаемся, что один
шарнир пластичности возникает в
сечении С под силой F, а второй
шарнир - нс в жесткой заделке А,
как обычно, а на расстоянии 2 м
правее ее, т.е. в сечении В (рис.
10.1.16, в). По этой причине в дан-
ном примере нельзя использовать
сверху от оси балки эпюру предель-
ных опорных моментов. Из подобия
треугольников АА'О и СС'О най-
дем величину изгибающего момента
на опоре А в предельном состоянии
и: АА' = 5Л/0 / 3. Предельное значение силы F найдем из соотношения
шат эпюр, предварительно соединив прямой линией точки А' и Е:
~СС + СК. Так как С'Л = ^-, ОС MQ и СК=АА'=~ \м^
Мо, то ^- = мо + |м0, откуда Лл, --1 --1 • 60 = 35 (кН).

Эпюра предельных моментов, соответствующая найденной предельной
представлена на рис. 10.1.16, в.

Расчет однопролетных статически неопределимых балок спосо-
м выравнивания изгибающих моментов практически полностью
«носится и на расчет многопролетных неразрезных балок. Пол-
: разрушение п раз статически неопределимой нсразрезной бал-
произойдет тогда, когда в ней образуется (л + 1) пластических
энира. Однако при простом нагружении несущая способность
ки может быть исчерпана и при возникновении трех пластиче-
fx шарниров в пролете, раскрывающихся последовательно в раз-
е стороны, независимо от состояния остальных пролетов. Обыч-
два из них возникают на опорах, а третий - в пролете. В край-
к пролетах с шарнирным опиранием конца балки достаточно
никновения двух пластических шарниров. Если пролеты, при-
каюшие к опоре, имеют различные несущие способности сечв’
й, то опорный пластический шарнир будет образовываться в
1бом сечении.

При проверочном расчете неразрезной балки, если заданы пре-
сные несущие способности всех сечений или их соотношения,
для определения предельной нагрузки надо в каждом пролете
лроить эпюры предельных несущих способностей сечений с
азанием величин предельных моментов на растяжение Мо и
:атие М^. Затем в них нужно вписать ("подвесить") балочные
юры моментов, соответствующие типу заданной пролетной на-
узки, считая ее предельной, с таким расчетом, чтобы они снизу
сались линий предельных несущих способностей сечений. Исхо-
из предположения о разрушении каждого пролета в отдельно-
и, определяем параметр предельной нагрузки для каждого из них
выбираем наименьшее его значение. Задача по определению пре-
льной нагрузки в проверочном расчете при заданных несущих
пособностях сечений балки имеет единственное решение.

При решении задачи прямого проектирования (подбор сечений
о заданной расчетной нагрузке) в каждом пролете может быть по-
троена вполне определенная балочная эпюра моментов, но линии
порных моментов в пролетах (если не заданы соотношения между
несущими способностями сечений разных пролетов) могут бы и.
проведены как угодно. Следовательно, данная задача допускам
бесчисленное множество решений.

Подбор сечений пролетов балки производится в такой последе»
вательности. В каждом пролете строится эпюра изгибающих мо
ментов от расчетной нагрузки, как в однопролетной статически
определимой балке. Ординаты эпюр откладываются от оси балки
вниз. Затем в каждом пролете проводится линия опорных момен
тов с таким расчетом, чтобы опорные моменты и наибольшие из
гибающие моменты в пролетах были равны между собой по абсо
лютной величине (в задачах пособия предполагается, что работ.)
материала балки при растяжении и сжатии одинакова). Такая one
рация называется предварительным выравнива-
нием моментов.

Если подбирается постоянное сечение для всех пролетов балки,
то за расчетный предельной момент принимается наибольший ит
предварительно выравненных моментов. Вообще, в этом случае
надо производить выравнивание только в одном, наиболее загру-
женном, пролете. Этот пролет и разрушится, а остальные - буду!
работать в упругой стадии (частичное разрушение).

Если балка должна иметь различные сечения в пролетах, т.е.
предполагается одновременное образование пластических шарни-
ров во всех пролетах, то производится дальнейшее выравнивание
моментов, поскольку на каждой промежуточной опоре после пред-
варительного выравнивания оказываются два разных момента, со-
ответствующих двум смежным сечениям. Для балки с монотонно
изменяющимися по ее длине предварительно выравненными мо-
ментами эпюра в крайнем пролете с наименьшим расчетным мо-
ментом остается без изменений. Затем производится выравнивание
положительного пролетного и отрицательного опорного моментов
в смежном пролете, и тд. По предельным выравненным моментам
и определяется сечение каждого пролета.

В случае немонотонного изменения предварительно выравнен-
ных моментов поступают следующим образом. Эпюру изгибающих
моментов с наименьшим расчетным моментом в пролете сохраня-
ют без изменений. Далее из оставшихся пролетов рассматривают
пролет с наименьшим выравненным моментом. Если он примыка-
ет к рассмотренному пролету, то в нем производят выравнивание
пролетного момента со следующим опорным. Если же он не при-
мыкает, то ранее выравненную эпюру сохраняют, и т.д. В пролете,
оказавшемся между уже рассмотренными, проводится линия, со-
единяющая опорные моменты соседних пролетов.
Рассмотрим применение приведенных выше правил на кон-
цных примерах.

Пример 10.5. Определить предельную нагрузку для неразрезной балки
С. 10.1.17, а) при условии, что предельные моменты: в первом пролете
A/njB = = 40 кН-м, а во втором - М пР = 1,5М0 = 60 кН м.

Опорный момент над
|днсй опорой принимаем

1ЫИИЙ из двух,

т.е.

0 с 40 кН-м.

На рис. 10.1.17, б пунк-
•ными горизонтальными
1иями показаны эпюры
ущих способностей се-
ий каждого пролета и
[санные в них балочные
эры моментов.

1. Предельная нагрузка
i-м пролете:

Мба-’ “ 8

2«о, откуда F„f - - 53,33 (кН).

2. Предельная нагрузка во 2-м пролете:

“ 1’5Л/»+ М- •откуда Fm “ = 55 (кН)-

Истинная предельная нагрузка соответствует наименьшему значению
амстра F , т.е. FnP - 53,33 кН. Разрушится 1-й пролет балки.

Ответ: Fnp « 53,33 кН.

Пример 10.6. Для неразрезной балки, все поперечные сечения которой
(еют одинаковую несущую способность, найти предельную нагрузку
ис. 10.1.18, а).

Балочные эпюры моментов для 1-го и 3-го пролетов представлены на
с. 10.1.18, б, в. Эпюру несущих способностей сечений строим путем
овсдения двух пунктирных линий, параллельных оси балки, на расстоя-
1и Л/о от нее. В эту эпюру вписываем балочные эпюры моментов всех
•Олегов и консоли так, чтобы они проходили сверху через предельные
порныс моменты и касались снизу линии предельных несущих способно-
гей сечений (рис. 10.1.18, г). Как видно из последнего рисунка, положе*
ис пластического шарнира в 3-м пролете не совпадает с его серединой, а
удет смешено вправо от нее на некоторую величину. Пусть в этом проле-
в длиной / он образуется на расстоянии Z от шарнирно-неподвижной
поры. Для определения этого расстояния найдем по рис. 10.1.18, г зави-
имость между балочным и предельным моментами:
или = + j

., ql Z(J-Z)

откуда MQ = -*- • -Ц——.

2 / + z

Возьмем производную от последнего выражения по Z и приравн-.i* м
ее нулю:

dMp _ ql {I-2z){! + Z) - Zl(l - Z) .. Q

. dz ' 2 (/ + Z)2

Решив уравнение, получим: Z - {42 - 1)/ « 0,414/. Так как длина 3 ->
пролета равна 6 м, Z 3 0,414 6 = 2,48 м. Вычислим балочный момент и

этом сечении (см. рис. 10.1.18, в):

= | £ 2^(6-2,48)-2.1SF.

В принципе, при практических расчег.ь

можно приближенно считать, что пластический шарнир возникает в сере
дине пролета. Погрешность такого допущения составит порядка 3%.

Рис. 10.1.18

Соотношение ординат эпюр моментов и предельных несущих способ-
ностей сечений позволяет найти предельную нагрузку для каждого пролета
и консоли.

1. Предельная нагрузка на консоли:

^•2-M0; F„ =0,5Ж0кН.

2. Предельная нагрузка в 1-м пролете:

мбал х *Fnr с 2Ж0, откуда Fn, = кН.
3. Предельная нагрузка во 2-м пролете:

Мсад = *Fnr откуда Fnp * О,5Л/окН.

4. Предельная нагрузка в 3-м пролете:

Мбы 2,18ГЯЛ = MQ + уД MQ, откуда FnP = 0,648Л/о кН.

Если принять, что шарнир пластичности образуется в середине проде-
то используются следующие соотношения:

*«04 = - *о+1 *«. °™Уда = ^*0; F„ - 0,«7Ма кН.

Погрешность составляетЗ%.

Наименьшее значение из всех найденных Fnf соответствует истинной

рушающей нагрузке, т е. Fap = ~~ кН.

Разрушится 1-й пролет балки вместе с консолью.

Ответ: Firr =

Пример 10.7. Определить предельную нагрузку для неразрезной балки
;. 10.1.19, а) при условии, что предельные моменты в первых двух про-
х: Мпр = Mq = 90 кН-м, а в третьем -Мпг> - 1,5Л/0 » 135 кН-м.

Эпюра несу-
способностей
ений балки и
исанные в нес
точные эпюры
ментов от дейст-
оших в каждом
олете нагрузок,
едполагаемых
сдельными, по-
ты на рис.
0.1.19, б. Из соот-
ношения между ор-
и и атам и балочных
тор моментов и
предельными несу-
щими способнос-
тями сечений най-

дем предельные нагрузки для каждого пролета.

I. Предельная нафузка в 1-м пролете:

7 iz
м6ал~ 3Fnr " 2Л/о> откуда Fnp - --у^- = 60 (кН).

2. Предельная нагрузка во 2-м пролете:
1,25/т7,-75кН

^бал = '.5^ = откуда F„, = 120 (кН).

3. Предельная нагрузка в 3-м пролете:

Mfiu - 6F„f - 1.5М0 + Мо + , откуда F„p - ^S. = 40(к11.

Действительной разрушающей нагрузкой является /'/Л>=40кН, при
которой разрушится только 3-й пролет.

Ответ: Fnp = 40 кН.

Пример 10.8. Для стальной неразрезной балки постоянного сечения си
заданной расчетной нагрузки (рис. 10.1.20, а) построить предельную эпюру
изгибающих моментов и по найденному предельному моменту определи и-
пластический момент сопротивления ее сечения, если расчетное сопротнн
ление стали R = 220 МПа, а коэффициент условий работы ус = 0,9.

На рис. 10.1.20, »
показаны эпюры и«
гибающих моментов
в каждом пролет»
нсразрезной балки,
построенные, как и
однопролетаой шар
нирно опертой бал
ке. Несущую спо
собность балки оп
рсдслим из предва-
рительного вырани-
вания пролетного и
опорных изгибаю-
щих моментов толь-
ко во 2-м, наиболее
нагруженном, проле-
те. Для этого прове-
дем горизонтальную
линию так, чтобы
она разделила мак-

симальную балочную ординату пополам (см. рис. 10.1.20, 5). В 1-ми 3-м
пролетах пластические шарниры образовываться не будут. Разрушение
балки будет частичным. Из геометрических соотношений для 2-го пролета
найдем значение расчетного предельного момента:

- 2Л/0, или 144 = 2Л/0, откуда = 72 кН м.

Эпюра моментов в 1-м и 2-м пролетах строится однозначно, а для
построения в 3-м пролете надо произвести упругий его расчет, хотя такой
расчет является излишним, поскольку требуемая несущая способность
балки уже найдена. Как провести линию опорных моментов в этом проле-
те, значения не имеет.

В принципе, если это необходимо, то такой расчет можно выполнить

?л,= 18кН/м

Рис. 10.1.20
Юмощью таблицы реакций метода перемещений Qra&i. 6.1), см. рис.
1.21, а...в.

Рис. 10.1.21

[- Расчетная эпюра изгибающих моментов изображена на рис. ЮЛ.20, в.
’ Требуемый пластический момент сопротивления сечения балки опрс-
Гм по формуле (10.7):

М„ _ 72 кН и 72 105 Нем .. у 3
, да ' tcR ' 0,9 220 МПа 0,9 • 22 • 10} Н/см2 ’ СМ
! Ответ: = 72 кН м; = 363,64 см’.

Пример 10.9. Построить предельную эпюру изгибающих моментов при
Возникновении пластических шарниров во всех про лентах нсразрезной бал-
ки от заданной нагрузки и найти расчетные предельные моменты в каж-
дом пролете (рис. 10.1.22, а).

Для построения балочных эпюр изгибающих моцСНТОв в каждом про-
лете неразрезной балки (рис. 10.1.22, б) предварительно вычислим наи-
большие их ординаты.

1-й пролет: = q\tnpl\ / 8 = 25 • 64 / 8 - 200 (к^. м);

2-й пролет: » FKnflt / 4 = 140-7 / 4 = 245 (jQj . м);

3-й пролег. » <h.npl) / 8 = 20-36 / 8 » 90 (кН. м);

4-й пролет: МбаА = 6 • F2,np ^^пр « 2 • 100 = 200 (кН • м).

Эпюры предварительно выравненных моментав показаны на рис.
10.1.22, б. Из рисунка видно, что предварительно выравненные моменты
изменяются по длине балки немонотонно. В этом случае для получения
расчетной предельной эпюры изгибающих моментов поступим так, как
было изложено выше.

В 3-м пролете эпюру с наименьшим расчетные моментом 45 кН м
сохраняем. За ним с наименьшим по величине предварительно выравнен-
ным моментом 100 кН м из оставшихся пролетов следует 1-й пролет. По-
скольку 1-й пролет не примыкает к рассмотренному уже 3-му пролгк
эпюру на нем тоже сохраним (рис. 10.1.22, 6, в). Теперь 2-Й пролет ока ы
ся между рассмотренными ранее и, следовательно, выравнивающая линии
на нем должна проходить через опорные моменты на опорах 1 и 2. Aim
логично проводится замыкающая прямая в 4-м пролете, соединяющая и •
всстный опорный момент на опоре 3 с нулем на опоре 4 (рис. 10.1.22, в)

Окончательная эпюра предельных изгибающих моментов показана на
рис. 10.1.22, в, а в спрямленном виде — на рис. 10.1.22, г.

Сечение в каждом пролете подбирается по наибольшему изгибающему
моменту в пролете. Так, в 1-м пролете - по расчетному моменту
Л/01 = 100 кН м, во 2-м - по моменту Л/02 « 172,5 кН м, в 3-м - по мо-
менту' Л/03 = 45 кН-м, в 4-м - по моменту Л/04 » 185кН м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задлчи 10.1.01...10.1.18. Найти предельные нагрузки. Соотношения
Цельных моментов Мс для стержней показаны на схемах.

10.1.01

10.1.02

10.1.03

Мэ-60кНм

• Зм . 6м

М0“6ОкНм

Зм

q П"

a\"kvY VVyV^YVv^

M0=60kH m

k------------>!

4м

10.1.04

10.1.05

qj.-LF -t-

10.1.06

Mo-4OkHm
. 4м . 4м I

4м . 4м .

к - --—Н

М,=20кН-М

Мо=4ОкН-м

। 4м . 2м
к—Я<

6м

10.1.07

М0°5ОкН м F|

10.1.08

Мо*=2ОкН-м I F

М^ЗОкН-м * Мо 2М0

М,

10.1.09

Мо-10кН.м

ЗМ, 2М, Мо-
. 2м , 1м| Зм । Зм

10.1.10

Hf f.

iVVVVVYVY ▼
Mo 2M
М^ЗОкНм

6м

2м j 2ч ,
—*к->'

10.1.11

10.1.12

Мов16кН-м

6м

Зм

М0=18кНм
2м . 2м ।

10.1.13

10.1.14

U 2F|

2Mq /пЬт, Мо /тгг, ЗМ,

М,-20кНм

?! !! ?! ^

<4F

4-}f

/гЬгГ, 2М0 /^Г7>

М0-25кНм
Зм
10.1.15

10.1.16

10.1.17

10.1.18

Задачи 10.1.19... 10.1.23. Для спальных балок постоянного сечения
найти расчетные предельные моменты Мо и подобрать требуемые плас-
тические моменты сопротивления \УПЛ, приняв расчетное сопротивление
R=220 МПа и коэффициент условий работы ус= 0,9.

10.1.19

10.1.20

10.1.21

10.1.22

Ч2=16кН/м

F«100kH

. 2м . 2м . 6м . 5м . । 4м । 2м , 4и । 5м. . 2м

k—>к -*к--------- >1 к-------------*к ->к --->к------>к—-Н

Задачи 10.1.24 я 10.1.25. Построить предельные эпюры изгибающих
моментов при возникновении пластических шарниров во всех пролетах
балки.
§ 10.2. Расчет статически неопределимых балок и рам
методом комбинированных механизмов разрушения

При расчете рам методом предельного равновесия используют
нематический метод, базирующийся на кинематической теореме
теореме о единственности решения. Согласно этому методу и
омянутым теоремам надо составить и исследовать различные
зможные механизмы разрушения и для каждого - найти пре-
льную внешнюю нагрузку. За истинную разрушающую нагрузку
ини.мают наименьшую из них, которой, как известно, соответст-
5т действительный механизм разрушения. А если это так, то под-
;рждением истинности найденного решения является возмож-
сть существования (построения) статически допустимого поля
определения внутренних усилий.

Основная сложность расчета рам, в отличие от расчета нсраз-
зных балок, состоит в том, что количество возможных механиз-
ме разрушения может быть очень большим и заранее неизвестно,
кой из этих механизмов является действительным. Для его нахо-
;ения применяют предложенный Б. Г. Нилом и П. С. Саймон-
сом метод комбинированных механизмов разрушения, согласно
второму для заданной рамы с вертикальными стойками и гори-
зонтальными ригелями при заданном нагружении все возможные
Механизмы разрушения могут быть получены путем составления
различных комбинаций из относительно небольшого количества
простых механизмов. Число таких простых механизмов разрушения
fl равно числу линейно независимых уравнений и определяется по
формуле

n^N-Л, (10.15)

где число сечений рамы, в которых возможно образование
пластических шарниров (число сечений рамы, в которых нужно
определить моменты, чтобы построить эпюру изгибающих момен-
тов). Эти сечения совпадают с точками приложения сосредоточен-
ной сил, с точками перелома оси рамы; Л - степень статической
неопределимости заданной рамы (число лишних связей).

Подсчитаем, например, число простых механизмов разрушения
для рам, изображенных на рис. 10.2.1.

Степень статической неопределимости для рамы (рис. 10.2.1, а)
найдем по известной формуле: = CQ + 2Ш - ЗД = 7 +

+20-31 = 4. Аналогично - для остальных рам: Л2 = = 6 +

+20-31 = 3; Л3 =Лг =3.

Количество и положения сечений, в которых надо знать значе-
ния моментов, чтобы построить эпюры М, показаны на рис
10.2.1, а...в.

Особенность рамы, представленной на рис. 10.2.1, в, состоит в
том, что момент в узле D известен и равен нулю. Поэтому узел D
за сечение не считается и пластический шарнир в нем не возника-
ет. Число простых механизмов для каждой рамы по формуле
(10.15) составит: -77, = 8-4 = 4; л2 = ^-^ =9-3 = 6;

л3 =8-3 = 5.

Ранее отмечалось, что истинный механизм разрушения следует
разыскивать среди тех механизмов, которые имеют одну степень
свободы.

В качестве независимых простых механизмов разрушения могут
рассматриваться следующие три вида:

1-й вид - балочный механизм разрушения (Б). Он возникает
от поперечной нагрузки (рис. 10.2.2, а), когда на стержне рамы об-
разуются три пластических шарнира: два - по концам стержня, а
третий - в пролете, в месте максимального момента (обычно, под
силой), как в защемленной балке (рис. 10.2.2, 5), или меньше трех,
если на месте их образования уже есть обычный шарнир (рис.
10.2.2, в). Число простых балочных механизмов равно числу стерж-
ней рамы, загруженных поперечной нагрузкой. Напомним, что
внутренние предельные моменты Л/о, возникающие в пластиче-
ских шарнирах, направлены так, что стремятся закрыть их.

Комбинировать балочные механизмы разрушения можно толь-
ко при одновременном разрушении ригеля и стойки, сходящихся в
одном узле. В этом случае прямой угол между ними после излома
сохранится, и образуется механизм разрушения с одной степенью
свободы. Все остальные комбинации простых балочных механиз-
мов не рассматриваются, так как они будут иметь степень свободы
более единицы.

Здесь и в дальнейшем на каждом механизме разрушения будем
называть только те силы и моменты, которые совершают работу
возможном для механизма перемещении;

2-й вид - механизм бокового смещения (перекоса) отдельного
руса рамы (С). В этом случае ригель рамы смещается в сторону
ействия нагрузки. Пластические шарниры образуются в жестких
Ьпорах и на стойках, в местах прикрепления к ригелям (рис. 10.2.2, г),
или на ригелях, в местах прикрепления к стойкам. Число механиз-
мов (С) равно числу этажей рамы, и комбинировать их между со-
вой нельзя, поскольку будут образовываться механизмы со степе-
нью свободы более единицы;

I 3-й вид - механизм
|ловорота узла (узловой
[механизм - У). Такой
I механизм возможен

[только в узлах, где же-
1стко соединены три
[Или более стержней.
(Поворот узла по ходу

[часовой стрелки (рис. 10.2.3, а) или против него (рис. 10.2.3, 6)
[возможен только тогда, когда в каждом прикрепленном стержне на
[бесконечно малом расстоянии от узла возникает пластический
[ шарнир, при этом стержни рамы, примыкающие к узлу (показаны
[ пунктирными линиями), при таком механизме не перемещаются.

Из-за искажения рис. 10.2.3 кажется, что стержни поворачива-
ются на некоторый угол, однако это не так, поскольку не надо за-
бывать, что пластические шарниры образуются бесконечно близко
от узла, а не на некотором расстоянии от него, как показано на
рисунке. Самостоятельно узловой механизм разрушения (У) мо-
жет быть реализован только тогда, когда в этот узел приложен
внешний сосредоточенный момент; в противном случае узловой
механизм учитывают только в комбинации с другими механизмами
разрушения. Для удобства решения конкретных задач каждый уз-
ловой механизм — У желательно показывать на рисунке в двух по-
ложениях: при повороте узла на угол 0 по ходу часовой стрелки и
против» как это изображено на рис. 10.2.3.

При образовании простых механизмов разрушения возникав
вопрос: где, в каких сечениях вблизи того или иного узла могу]
появиться пластические шарниры? Естественно, что в двухстерж
нево.м жестком узле образуется один пластический шарнир в боле»
слабом примыкающем стержне с наименьшей величиной предел ь
него момента.

При составлении комбинаций из простых механизмов разру
шения надо рассматривать только те из них, в которых хотя бы
один шарнир пластичности закрывается.

Этого можно достичь, если комбинировать такие механизмы
разрушения, в которых общие для этих механизмов шарниры пла-
стичности раскрыты в разные стороны. Тогда внутренние предель-
ные моменты в них, также направленные в разные стороны, при
сложении приведут к разгрузке в пластическом шарнире, и, благо-
даря свойству его односторонности, шарнир пластичности исчезнет.

В результате закрытия шарнира пластичности уменьшается ра-
бота внутренних моментов [уменьшается правая часть уравнения
работ (10.14)], что, в свою очередь, может привести к уменьшению Fnf>.

Сначала рекомендуется рассматривать комбинации из тех про-
стых механизмов, для которых значения Fnp имеют минимальные
значения, поскольку получившиеся новые механизмы разрушения,
как правило, и являются истинными.

При комбинации какого-либо механизма разрушения с узловым
механизмом левая часть уравнения работ (10.14) не изменяется, и,
следовательно, вопрос о том, следует ли его учитывать в комбина-
ции, чаще всего решается в уме. Для этого надо подсчитать, на ка-
кую величину предельного момента уменьшается правая часть урав-
нения работ за счет исчезновения (закрытия) шарнира (шарниров)
пластичности и на какую величину она увеличивается в результате
появления новых пластических шарниров, и сделать вывод.

Рис. 10.2.4

В табл. 10.1 на примере П -образной рамы
(рис. 10.2.4) показано, как надо изображать про-
стые механизмы разрушения, а также представле-
ны некоторые комбинации в зависимости от со-
отношения внутренних предельных моментов Мо
(несущих способностей сечений) стержней рамы.
Эту таблицу весьма желательно уяснить, запом-
нить и использовать при решении задач.
Таблица 10.1

Если при расчете заданной статически неопределимой системы
окажется, что равные минимальные предельные нагрузки соответ-
ствуют двум или более механизмам разрушения, то истинный ме-
ханизм разрушения получается путем их суммирования, а само
разрушение будет избыточным. Можно сказать и наоборот: избы-
точное разрушение есть результат сложения двух или нескольких
истинных механизмов разрушения. Это свойство следует использе
вать при расчете конструкций и строить предельную эпюру изги-
бающих моментов именно по избыточному механизму (так проще).
Естественно, что все предельные эпюры моментов, соответствую-
щие механизмам разрушения с одинаковыми минимальными Frjp,
будут обязательно одинаковыми.

Пример J0.10. Для рамы, изображенной на рис. 10.2.5, найти величину
разрушающей нагрузки Fnp при заданных значениях предельных момен-
тов для стержней и построить предельную эпюру моментов.

Определим по формуле (10.15) число
простых механизмов: п = N - Л = 5 -
-2 »3. Среди этих механизмов будут два
балочных и один - бокового смещения.

Используя табл. 10.1, строим простые
механизмы разрушения Бг, С (рис.
10.2.6, а...в). Механизм 2>j берется из табл.
10.1 (п. 2, гр. 2), а механизмы Б2 и С - из
гр. 4, п. 1, 3. Различные простые механизмы

разрушения будут иметь разные углы излома в пластических шарнирах.

Работа внешней равномерно распределенной нагрузки равна произве-
дению ее интенсивности q на площадь эпюры перемещений механизма
под нагрузкой. Для каждого из показанных механизмов разрушения соста-
вим уравнение работ внешних и внутренних сил (10.14) и найдем соответ-
ствующую каждому механизму предельную нагрузку:

-механизм (рис. 10.2.6, а):

откуда FnP - 7 MQ;

-механизм Б2 (рис. 10.2.6, 6):
откуда Fnp = 1,75Л/О;

-механизм С (рис. 10.2.6, в):

откуда Fnr - 3,5 MQ.

у^-у4-2ф = Л<оЧ/-4,

FnP •4ф«Моф + 2Л/оф-3,
|f^|-4-49«Mo6-2 + 2Mo6,
Из приведенных механизмов и вычислений видно, что комбинировать
г смысл только балочный механизм Б2 с механизмом бокового сме-
|я С, так как они порознь имеют наименьшие собственные предель-
нагрузки Fnp. Естественно, не следует рассматривать комбинации
+ Б2 и Б{ + С, поскольку в первом случае ни один шарнир пластич-
ги нс закрывается, а во втором — хотя один шарнир с предельным мо-
том и закрывается, но появляются новые шарниры пластичности.
1ме того, у механизма разрушения весьма большая предельная на-

Для построения комбинированного механизма разрушения С + Б2
о на механизм бокового смещения С наложить балочный механизм

Комбинация (С + Б2) может стать истинным механизмом разрушения,
ха углы изломов 0 и (р в пластических шарнирах будут равны. В этом
iae шарнир пластичности в левом верхнем узле закроется, а в правом
хнем - появится дополнительный излом ригеля на угол 0 слева от шар-
>а (рис. 10.2.7, а). Этот механизм можно найти в табл. 10.1 (п. 4, гр. 2).

Рис. 10.2.7

Для механизма С + Б2 (см. рис. 10.2.7, а) получим:

у Fnp • у • 4 • 40 + F 40 = Л/о0 + 2Л/О0 • 4, откуда Fnp = 1,75Л/О .

В результате расчета оказалось, что механизмы Б2 и С + Б2 имеют
инаковые наименьшие предельные нагрузки, т.е., по-видимому, являют-
истинными механизмами разрушения. А если это так, то и сумма этих
:ханизмов Б2 + (С + Б2) С + 2Б2 также будет истинным механизмом
зрушения, имеющим две степени свободы, и, следовательно, разрушение
будет избыточным (рис. 10.2.7, б).

В самом деле, для механизма С + 2Б2: •

у Fnp - у 4* 40 + Fnp • 4(0 + ф)= 3/q0 •+• Л/Оф + 2Л/р(0 + <р)- 3 + 2A/q0,
откуда FnP = 1,75МО.

Для проверки истинности полученного решения [Faf, = 1,75Л/О =

— 1,75 -56 = 98 (кН)] построим (пунктиром) эпюру несущих способностей
сечений рамы ("эпюру материала”) и впишем в нее предельную эпюру из-
гибающих моментов, используя механизм С+ 2Б2. Для этого отложим в
сечениях 1, 3, 4 и 5 (см. рис. 10.2.5), соответствующих пластическим шар-
Я

Рис. 10.2.8

нирам, предельные моменты со стороны раскрытия шарниров
Л/Л/з = Л/о - 56 кН м, М< -М5=2М0 «112 кН м.

Момент в сечении 2 найдем из
условия равновесия загруженной стой-
ки: М2 ° М\ -qnpl2 /* = 56- 14 х
х16/8 = 28 (кНм). Предельная эпюра
изгибающих моментов (рис. 10.2.8) яв
ляется статически допустимой, что, на
основании теоремы о единстве реше-
ния, подтверждает истинность полу-
ченного механизма разрушения и най-
денной величины « 98 кН.

Пример 10.11. Определить предельную нагрузку и построить предель-
ные изгибающие моменты для рамы, показанной на рис. 10.2.9, а.

Число простых механизмов для заданной рамы составит:
^^jV-j7-4-1 = 3.C помощью табл. 10.1 на рис. 10.2.9, б, в изображе-
ны механизмы Б и С,. Еще один, несколько необычный, механизм боко-
вого смещения С2 представлен на рис. 10.2.9, г.

В этом и последующих примерах различные углы изломов в пластиче-
ских шарнирах простых механизмов разрушения для удобства расчета бу-
дут обозначаться одной и той же буквой 0, поскольку механизмы разру-
шения с двумя степенями свободы (избыточное разрушение) в расчетной
практике встречаются весьма редко.

Рис. 10.2.9

Из уравнений возможных работ внешних и
внутренних сил для этих механизмов получим:

-механизм Б: 2Fnf 30 = 2Л/00 • 2 + 3Л/о0 2,
откуда = 1,667Л/о;

-механизм Q: Fn, 40 = 2Л/О0 3,
откуда Far - 1,5Л/0;

-механизм С2: 2ГЛЛ 30 « 2Л/00 • 2 ,

откуда Fn, « 0,667Л/0.
' Из анализа простых механизмов разрушения и найденных для них
Предельных нагрузок можно придти к вывод}', что из всех комбинаций
следует рассмотреть только С| + С2 (рис. 10.2.10, а):

, Рщ, 40 + 2Fnf, 30 = 2Мо0, откуда Fnf> - O,2Af0.

Минимальное значение предельной нагрузки соответствует комбини-
рованной форме разрушения Cj + С2. Следовательно, на основании кине-
матической теоремы истинной будет именно эта форма, а разрушение —
.частичным. Если это так, то подтверждением сказанного согласно теореме
единственности решения является возможность существования (по-
дстроения) статически допустимого поля распределения внутренних изги-
, бающих моментов. Для механизма разрушения Сх + С2 имеется только
одно известное значение предельного момента в сечении 1 (см. рис. 10.2.9, а).
'Величины моментов в остальных сечениях могут быть выбраны как угодно
(произвольно), лишь бы эпюра моментов вписывалась в эпюру несущих
, способностей сечений (пунктирные линии) и удовлетворяла условиям рав-
новесия. Так, например, положив равной нулю горизонтальную реакцию в
' шарнирно-подвижной опоре В, получим одно из статически допустимых
[.полей распределения внутренних изгибающих моментов в виде, представ-
tленном на рис. 10.2.10, б. Естественно, что таких статически допустимых
полей (эпюр моментов) для заданной рамы может быть построено бсско-
' ночное множество.

Рис. 10.2.10

Для точного определения изгибающих моментов надо было бы произ-
вести упругий расчет рамы, но, поскольку минимальная разрушающая
нагрузка уже найдена, такой расчет является излишним. Статическая про-
верка полученной эпюры моментов показана на рис. 10.2.10, в.

Пример 10.12. Найти предельную нагрузку для балки (рис. 10.2.11, а).

В предыдущих примерах заданные внешние сосредоточенные силы
; прикладывались в серединах стержней рам, и получались одинаковые углы
излома элементов. Основная цель этого примера состоит в том, чтобы по-
казать, как надо находить связь между углами излома, когда они разные.
Пусть в механизме разрушения угол излома САС равен 0, a у пи

СВС-Х(рНС. 10.2.11, 5).

Рис. 10.2.11

На основании принципа возможных перс
мешений для данного механизма разрушен им
имеем: FnpCC = Л/о0 • 2 + Л/Ох • 2.

Из прямоугольных треугольников CCA п
С'СВ следует, что СС'^аО и СС' = Лх. Со
поставив между собой два последних равенст
ва, получим: а0»Лх, откуда X-aQ/b. По-
сле этого уравнение работ можно записать и
виде Fnp - а 0 » 2Л/О0 + 2Л/0 • а 0 / Ь, откуда
г. ->1/ о + п г 8Л/0

РЯ1» = 2Л/0 ——. При /д,- —-

ао L I

и X = 0.

Пример 10.13. Найти предельную нагрузку для рамы, изображенной на
рис. 10.2.12, а.

Рис. 10.2.12

Число простых механизмов определим по формуле (10.15):
л » « 6-2 = 4.

Все простые механизмы разрушения (рис. 10.2.12, б...д) построены с
помощью табл. 10.1.

Предельные нагрузки для каждого механизма найдем из уравнений
возможных работ внешних и внутренних сил:
'•механизм 5] (см. рис. 10.2.12, б): 2Fnp -48 Л/о0*4, т.е. 8F/n> - 4MQ,
гуда FnP = 0,5 Л/о;

•механизм Z>2 (см. рис. 10.2.12, в): FnP • 40 + ЗГД? • 20 = Л/оО + 1,5 Мо0 • 2,

. 1ОГЯ/, = 4Л/0, откуда Fnp - О,4Л/0;

-механизм Бу (см. рис. 10.2.12, г): FnP • 40 + 3FnP • 60 = Л/оО + 1,5Л/О0 +

1,5^0 -30, т.е. 22FnP = 7Л/0, откуда Fnp =О,3182Л/о>

-механизм С (см. рис. 10.2.12, д): Fnp • 40 + 3FnP • 20 = 1,2Л/О0 + Л/о0 • 2,
5. 10Гял = 3,2Л/0, откуда Fnp = О,32Л/о.

Составим различные комбинации из простых механизмов и вычислим
1Я каждого из них предельную нагрузку:

-механизм Б\ + Б2 (рис. 10.2.13, a): 2FnP • 40 + Fnp • 40 + 3Fnp • 20 =

Л/о0 3 + 1,5Л/О0 2, т.е. 18ГЯ, = 6Л/0, откуда Fnp = О,ЗЗЗЗЛ/о;

-механизм Бх + Бу (рис. 10.2.13, б): 2Fnp 40 + БЛР 40 + 3Fnp • 60 »

* MqQ • 3 + 1,5Л<О0 + 1,5Л/0 • 30, т.е. 3QFnP * 9Л/0, откуда «= О,ЗМо;

-механизм С + (рис. 10.2.13, в): 2FnP 40 + Fnp 40 + 3FnP • 20 =

» 1,2Л/О0 + Л/00 4, т.е. 18/>? = 5>2М0> откуда Fnp - 0,2889Л/0 i

-механизм С + Б2 (рис. 10.2.13, г): Fnp 80 + 3FnP 40 » l,2Afо0 +

+Л<О0 + 1,5М0 • 28, т.е. 2QFnP - 5,2ЛУ0, откуда FnP = О,26Л/о ;

-механизм С + Бу (рис. 10.2.13, д): Fnp • 80 + 3Fnp 80 = 1,2Л/О0 +

+Л<О0 + 1,5Л/0 • 40, т.е. 32Fnp - 8,2Af0, откуда Fnp = 0,25625Л/0;

-механизм С + Б2 + Б{ (рис. 10.2.13, е): 2Fm 40 + Fnp 80 + 3FnP • 40 -

» 1,2Л/О0 + Л/о0 3 + 1,5Л/0 • 20, т.е. 2ZFnp » 7,2ЛГ0, откуда Fnp = 0,2571 А/о;

-механизм С + Бу + (рис. 10.2.13, ж): 2Fnp • 40 + F^ 80 + 3Fnp 80 =

« 1,2Л/О0 + Л/00 • 3 + 1^Л/0 • 40, т.е. WFnP = Ю,2Л/0, откуда F^ = 0,255Л/о.
При нахождении Fnp для различных механизмов следует знать, чт<-
работа всех внешних сил в каком-либо комбинированном механизме равна
сумме работ каждого механизма, входящих в комбинированный.

Рис. 10.2.13

На рис. 10.2.13, а...ж представлены, казалось бы, все возможные ком-
бинации простых механизмов. Согласно кинематической теореме наи-
меньшее среди всех найденных Fnp значение Fnp = 0,255 Л/о должно быть
истинным. А если это так, то механизму разрушения С + Б3 + должна
соответствовать единственная предельная эпюра моментов, так как разру-
шение будет избыточным. Проверим это. В соответствии со схемой разру-
шения отложим вначале предельные моменты в пластических шарнирах со
™--

раскрытия. Заштрихованная часть эпюры на рис. 10.2.13, з
определяет эпюру моментов в нижней части правой стойки и

ригеля от вертикальной силы 2Fnp

до правого узла.

б)

2£ЯЛ=О.5Шо

в)

-к

я0+.и0

—Т“

2Лдл“О,51Мо

4м

Рис. 10.2.14

ЗА/0

Жклжем, как можно найти различными приемами величину момента
И| узле рамы (сечение 2) из рассмотрения условий равновесия загру-
Вр ригеля:

ЯПустъ изгибающий момент в левом узле рамы равен X. Из геомет-
соотношений между ординатами под силой 2FnP = 0,51Л/0. (рис.

К в), найдем:

К/ .z Мо-Х 0,51-8 .. MQ-X „ ЛЛ, lz
L- Mq 4—2-—, т.е. — = Mo + —~, откуда X = O,96A/o.
V 2 4 2

Вырежем элемент ригеля около точки приложения силы
t 0,51 Mq и рассмотрим его равновесие (рис. 10.2.14, а, б):

В У - М».-1 - о,5Ш0 ♦ -» = 0, откуда X , О,96Мо.

V 4 4

Вели бы не было силы 2FnP = 0,5Ш0, то эпюра моментов на про-
Ви всего ригеля была бы прямолинейной с моментом в левом узле
равным ЗЛ/о и с растяжением нижних волокон (рис. 10.2.14, в).

Ждмчина момента ЗЛ/0 находится, как правило, из подобия треуголь-
К От действия только силы 2Fnp = 0,5 Шо момент в том же левом
Ьвен О,5Шо -4 = 2,04A/q и растягивает верхние волокна. В итоге
ЫЯ момент равен разности найденных моментов (ЗЛ/0 и 2,04Л/о) и
Имет нижние волокна, т.е. X » ЗЛ/0 - 2,О4Л/о = 0,96 Л/о.

В, Момент х = 0,96 Л/0 можно было бы найти из условия £ Z = 0
Мй части рамы, если бы была известна эпюра моментов на верхней
R Правой стойки между правым узлом и силой Fnp - О,255Л/о.

# каждом конкретном случае читатель сам выбирает тот или иной
|М Нахождения неизвестного момента.

Им рис. 10.2.13, з следует, что горизонтальная реакция в шарнирно-
Щжмой опоре В равна Нв = 1,5Л/0 / 2 = 0,75Л/0 и направлена влево.
I реакцию //в и значения сил FnP = 0,255Л/о и 3Fnp = 0,765Л/0,
можно легко вычислить моменты на правой стойке в сечениях 5 и 4 (см
рис. 10.2.12Г а):

Л/у = Нв 4 - ЗР„ 2 = 0,75 Л/0 4 - О,765Мо - 2 = 1,47М0;

Л/4 = Нв Z-3Fn/> •6-Г/7/1-4х0,75Л/0 -8-0,765Л<0 6-

-0,255Af0 4 = 0,39Л/о. - ’

Таким образом, получаем противоречие: с одной стороны, момент Л/ ,
на ригеле в двухстержневом правом узле рамы нам известен - равен пре
дельному моменту MQ в шарнире пластичности, а, с другой, - момент МА
в этом же узле на стойке, вычисленный через найденные предельные на-
грузки, равен О,39Л/о • Следовательно, механизм С + Бу + не является
истинным, и нужно искать новые комбинации форм разрушения, если,
конечно, есть уверенность, что не допущены ошибки при вычислениях.

Признаемся читателю в том, что было заранее известно, что комбини-
рованный механизм С + Бу + Б{ не мог быть истинным механизмом раз-
рушения, поскольку у него две степени свободы, а не одна, хотя, на пер-
вый взгляд, это и не столь очевидно. В самом деле:
W = ЗД - 2Ш - Со = 34-2-3-4 = 2. Заметим, кстати, что при комби-
нировании механизмов С + £>3 и Бх один шарнир пластичности закрыва-
ется, что косвенно приводит к мысли о рассмотрении комбинации
С + Бу + Б\, для которой и предельная нагрузка имеет наименьшее из всех
приведенных значений. То, что механизм разрушения С * Бу + 5. не яв-
ляется истинным, следует и из определения избыточного разрушения: из-
быточное разрушение - это результат сложения двух или нескольких ис-
тинных механизмов разрушения, а их на рис. 10.2.12 и рис. 10.2.13 нет.
Две степени свободы имеет и механизм С + Б2 + Б{.

Без механизмов С + Бу + Б\ и С + Б2 + Бг в качестве истинного ме-
ханизма разрушения могла бы быть признана комбинация С + Бу с наи-
меньшей предельной нагрузкой Fnt, = 0,25625(рис. 10.2.13, J), однако
этот механизм в результате попытки построения предельной эпюры мо-
ментов оказался бы также неистинным.

Конечно, представленные механизмы можно и не приводить на ри-
сунке, а тем более находить для них неверные предельные нагрузки как
для систем с одной степенью свободы, однако рассмотрение механизма
С + Бу + Б{ сыграло в методическом плане двоякую роль: во-первых, на
этом механизме были рассмотрены различные приемы построения пре-
дельной эпюры моментов и, во-вторых, что самое главное, механизмы
С + Бу + и С + Б2 + являясь как бы вспомогательными, позволят
нам в дальнейшем легче построить более сложные механизмы разрушения.

Например, попробуем к механизму С + Бу + прибавить еще раз
рчный механизм Я3) а к механизму С + Б2 + - балочный механизм

1 Для получения таким образом новых механизмов разрушения с одной
Пенью свободы (рис. 10.2.15, а, б) найдем предельные нагрузки:

' -механизм С + 21>з+2>| (см. рис. 10.2.15, a): 2Fnp • 40 + Fnp • 120 +•
Ь/р, • 140 = 1,2Л/О0 + Mfi 2 + 1,5Л/оО + 1,5Л/0 70, т.е.

= 15,2Л/О, откуда Fnp - 0,245Мо.

г -механизм С + 2Б2 + Б} (см. рис. 10.2.15, б): 2Fnp • 40 + FrrP • 120 +

рЛл, • 60 = l,2AfoO + Л/о0 2 + 1,5ЛГО0 + 1.5Л/о • 30, т.е.

Ь/’д/» - 9,2Л/0, откуда Fnp - 0,242Мо.

К Последнее значение предельной нагрузки получилось наименьшим, и
«ханизм разрушения С + 2Б2 + 5j характеризует полное разрушение, по-
кольку рассмотренная рама имеет две лишние связи, а количество пла-
гических шарниров равно 3.

Для проверки истинности полученного механизма разрушения
Fnp • 0,242Л/о) построим по известным правилам эпюру предельных из-
Ибающих моментов. Для этого необходимо рассмотреть дополнительные
условия равновесия.

Рис. 10.2.16
Из рис. 10.2.16, б определим момент в сечении 6 (см. рис. 10.2.12. <«>
М6 = 1,5Л/0 / 2 + 3FnfJ /4 * О,75Мо + 3 • 0,242 • 4 / 4 = 1,476MQ. Тогда п>| .м
зонтальная реакция в опоре В будет равна Нв = 1,476Л/0 /2 = 0,738Л/о

После этого найдем .момент в правом верхнем узле (сечение 4) чер .
найденные предельные нагрузки: Л/4 = Нв 8 - 3Fnp • 6 - Fnp I
» 0,738Л/0 • 8 - 3 • 0,242A/q • 6 - 0,242Л/о • 4 = O,58Af0. Момент в левом верх
нем узле (сечение 2) определим по рис. 10.2.16, в:

IГ = --I-'-*- + "<>^ _ о1484Л/1| . о, „куда х = о,6ФШ0.

Окончательная эпюра предельных изгибающих моментов, предекш
ленная на рис. 10.2.16, а, является статически допустимой, а ее проверь •
показанная на рис. 10.2.16, г, подтверждает истинность полученного меха
низма полного разрушения C + lBt+Fi и найденной величина
f'np « О,242Мо.

Пример 10.14. Найти предельную нагрузку для неразрезной балки
изображенный на рис. 10.2.17, а.

Возможными независимыми формами разрушения для заданной не
разрезной балки являются три балочных механизма (п N - Л = 6 - 3 - 3
которые представлены на рис. 10.2.17, б...г.

Для каждого из них составим уравнение предельного равновесия в
форме уравнения работ и определим предельную нагрузку при заданных
несущих способностях сечений балки:

-механизм 5, (см. рис. 10.2.17, б): 3Fnf • 20 = 1,5А/0О • 2 + А/о0,
да -2М0/3;

-механизм Б2 (см. рис. 10.2.17, в): у Fnp • ~ • 8 • 40 - Л/о0 • 4 ,
да Ffjj. = Л/о /2;

-механизм Бу (см. рис. 10.2.17, г): 4Fn/t • 40 = 2Л/О0 • 2 + 2Л/0 • 20,

да Fnp = М$ / 2.

Минимальный параметр предельной нагрузки Fnp - Л/о / 2 = 80/2 =
40 (кН). Следовательно, разрушатся 2-й и 4-й пролеты, а 1-й и 3-й - бу-
г работать в упругой стадии.. Эпюра предельных изгибающих моментов
казана на рис. 10.2.18.

Рис. 10.2.18

Пример 10.15. Определить предельную нагрузку для рамы, представ-
иной на рис. 10.2.19, а. Предельные изгибающие моменты стержней pa-
ly показаны на этом же рисунке.

Рис. 10.2.19

По характеру нагрузки, без применения формулы (10.15), легко ви-
еть, что в заданной рамс могут появиться три простых механизма разру-
1ения: Б, С и У (рис. 10.2.19, б...г).

На рис. 10.2.19, г изображен узловой механизм У при повороте узла
а угол 6 по ходу часовой стрелки, а на рис. 10.2.19, д - на тот же угол
эоти в ее хода.

Для показанных на рис. 10.2.19, б, в простых механизмов запишем
уравнение работ внешних и внутренних сил и найдем соответствующую
каждому механизму предельную нагрузку:

-механизм Б: 2FaP • 20 = 0,4Л/о0'4 • откуда Fnp * 0,4 Л/о;

-механизм С : ЗБ^ • 40 = Л/о0 • 3 + О,4Л/о0 2, откуда F^ « 0,317Л/„

Рассмотрим различные комбинированные механизмы (рис. 10.2.20, а...в):

Рис. 10.2.20

-механизм С + У: 37%, • 40 - Л/о0 • 2 + О,4Л/С0 • 4,

откуда Fnp » О,ЗМо;

-механизм С + 5: 2/% • 20 + 3Fnr 40- Mfi 3 + О,4Л/о0 4,

откуда Fnf = 0,2875Л/0;

-механизм С+5+У: 2FnP • 20 + 3Fnf • 40 = Л/о0 2 + О,4Л/С0 6 ,

откуда Fm = О,275Мо.

Значение предельной силы Fnp = 0,275Л/0 = 0,275 • 120 = 33 (кН) полу-
чилось наименьшим, а соответствующий ей механизм разрушения
С + Б + У характеризует полное разрушение. Для проверки истинности
этого механизма построим эпюру предельных изгибающих моментов. От-
ложив все предельные моменты в пластических шарнирах со стороны их
раскрытия (растяжения), увидим, что единственным неизвестным момен-
том является момент в левом верхнем узле (рис. 10.2.21, а).

Рис. 10.2.21

Для его нахождения отсечем верхнюю часть рамы (рис. 10.2.21, 6) и
потребуем выполнения условия £ X « 0: 99 - (120 + X)/ 4 - 54 - 12, отку-
X »12 кН м. Проверка рамы по поперечным и продольным силам
дставлена на рис. 10.2.21, в.

Пример 10.16. Найти предельную нагрузку для рамы, изображенной на
. 10.2.22, а. На этом же рисунке указаны несущие способности сечений
ржней рамы.

Рис. 10.2.22

? Число простых механизмов определим по формуле (10.15): Л » N - Л =
>9-4 = 5. Эти механизмы представлены на рис 10.2.22, б...ж. Узловой ме-
ханизм У с поворотом левого трехстержневого узла на угол 0, показан-
ный на рис. 10.2.22, е, ж в двух положениях, предполагается как один ме-
ханизм. В среднем трехстержневом узле рамы не может появиться узловой

механизм, поскольку в нем, хотя и соединяются три стержня, но только
два из них (два ригеля) соединяются жестко.

Необходимо обратить внимание читателя на то, что если при смеще-

нии ригеля в механизме С на величину 40 (см. рис. 10.2.22, д) угол пово-
рота левой нижней стойки принять за 0, то угол поворота верхней стойки

должен быть равен у 0 (это следует из рассмотрения двух треугольников,

примыкающих к двум левым стойкам).
Предельные нагрузки для каждого из приведенных механизмов (кроме
узлового) определим из уравнения работ (10.14):

-механизм : 2FnP • 20 = Л/оО • 4 , откуда Fnp = Л/о;

-механизм Б2: Fnp • 39 = О,8Л/о0 • 4, откуда Fnp = 1,067Л/о;

-механизм Бу: Fnp 20 = Л/о0 • 2 + 0.8Л/о0, откуда Fnf, = 1/Шо •

-механизм С : 2Fnp • 20 » Л/о0 • 2 + MQ • j 6 + О,4Л/0О,

откуда FnP = 0,933Л/о.

Комбинации Б^ + Бу ; Б2 + Бу ; С + Бу : Бу + У j Б^ + Б2 и С + Б2

рассматривать не имеет смысла, так как ни один шарнир пластичности з
них не закрывается. В комбинации Б{ + У работа внешней силы 2F ос-
тается такой же, как и в случае простого механизма 5,, а работа внутрен-
них сил увеличивается, поскольку вместо момента MQ в закрытом пласти-
ческом шарнире в сечении 3 (см. рис. 10.2.22, а, б, ё) работу совершат два
новых появившихся момента - один в сечении 4 и один О,8Л/о в се-
чении 5, которые в сумме больше, чем предельный момент в сечении 3
(Mq +Q,3Mq > Mq). Отсюда следует, что предельная нагрузка увеличится
по сравнению с нагрузкой в механизме Б{.

По этой же причине нс рассматриваются комбинации Б2 +У и
С + У.

Остаются следующие комбинации: С + Бх (рис. 10.2.23, а);
С + Б2 + У (рис. 10.2.23, 6); С + Б{ + 5, + У.

Механизм разрушения С + 5, + 5] = С + 25, (рис. 10.2.23, в) не может
быть истинным, так как при его образовании (С + Б}) + Б{ ни один шар-
нир пластичности нс закрывается. Он изображен для того, чтобы легче
4

построить механизм С + 2Б} + --У (рис. 10.2.23, г).

Поясним, почему в механизме С + 25] +-У перед механизмом У

•3

стоит коэффициент 4/3. При сложении механизма С + 25(, в котором
верхняя левая стойка повернута против хода часовой стрелки на угол
40/3 (см. рис. 10.2.23, в), с механизмом У (см. рис. 10.2.22, ё) пластиче-
ские шарниры в сечениях 3 и 4 (см. рис. 10.2.22, а) могут закрыться (из-
ломы исчезнут) тогда, когда левый трехстержневой узел повернется против
хода часовой стрелки не на угол 0, как сначала предполагалось, а на угол
40/3 (см. рис. 10.2.23, г).

Вычислим предельные нагрузки для комбинированных механизмов:

-механизм С + : 2FnP • 40 = Л/о 20 • 2 + MQ • у 0 + O,4Afo0 ,

•л
да FnP » M\iMq ;

-механизм С + Б2 + У : 2Fnp 20 + FnP • 30 = Л/о0 • 2 + Мо • у 0 +'
+О,8Л/о0 3 + О,4Л/о0, откуда F^ = О,876Л/О;

-механизм С + 25|+^-У: 2Fnp --^0 = Л/о -!^0-2 + MQ -^0 +

+ О,8Л/о • | 0 + О,4Л/о0, откуда Fnp = 0,7Шо ;

Из всех приведенных механизмов разрушения наименьшее значение
4
предельной нагрузки выявлено для механизма С + 2Б{ + — У.

Согласно теореме о единственности решения подтверждением истин-
ности предполагаемого механизма разрушения [/^ = О,71Л/о =
= 0,71 • 100 = 71 (кН)] является возможность построения для него эпюры
предельных изгибающих моментов. Если предположение подтвердится, то
таких эпюр можно привести бесчисленное множество, поскольку разруше-
ние будет частичным.

Сначала отложим предельные моменты в пластических шарнирах
(см. рис. 10.2.23, г, рис. 10.2.24, а). Для нахождения момента в сечении 3
(см. рис. 10.2.22, а) воспользуемся З-.м приемом (см. с. 323). Если бы сила
2Fnp = 142 кН отсутствовала, то эпюра моментов на нижней левой стойке
была бы прямолинейной с моментом в сечении 3, равным 300 кН м и рас-
тяжением правых волокон. От действия только силы 2Fnp -142 кН мо-

мент в этом же сечении равен 142 кН-2м с 284 кН-м, а растянуты будут
левые волокна. В результате искомый момент в сечении 3 будет равен раз-
мости этих моментов (300 кН м - 284 кН-м = 16 кН-м) и растягивав
правые волокна. Из равновесия левого трехстержневого узла следует, чс
момент в сечении 4 равен: 80 кН-м + 16 кН м -96 кН-м с растяжением
правых волокон (см. рис. 10.2.24, а).

Таким образом на левой части рамы эпюра моментов строится одно
значно, а для построения эпюры М на правой части надо задаться м»>
ментом в сечении 7. Значение момента должно быть выбрано из интервал.»
|Л/4| $О,8ЛГо, т.е. |Л/4!^80 кН м, с таким расчетом, чтобы изгибающие
моменты в сечениях 6 и 9 не превышали заданных предельных моментов ь
этих сечениях, т.е. М6 £ 80 кН м и Л/9 £100 кН-м.

Рис. 10.2.24

Допустим, например, что момент в сечении 7 равен 40 кН-м (см. рис.

10.2.24, а). Тогда = Fnfl2/4 - 0,5 • 40 - 71 4/4 - 20 = 51 (кН-м). Ана-

логично: Л/6 = Fw/1/4-(80 + 40)/2 = 7I-6 / 4 - 60 = 46,5(kH m). Оконча-

тельно эпюра предельных изгибающих моментов показана на рис. 10.2.24, а.

Если положить момент в сечении 7 равным нулю, то получим ешг

один вариант распределения внутренних изгибающих моментов (рис
10.2.24, и т.д.

Представленные на рис 10.2.24, а, б эпюры
уравнениям статического равновесия.

Пример 10.17. Доказать, что разрушение
рамы, изображенной на рис. 10.2.25 будет пол-
ным, а истинный механизм разрушения опреде-
ляется комбинацией С + ЗБ + 2У с наименьшей
предельной нагрузкой Fn, = 1,75Л/0-

Задачу предлагается решить читателю само-
стоятельно, опираясь на решение предыдущего
примера.

Л/ удовлетворяют всем

Рис. 10.2.25

Пример 10.18. Найти предельную нагрузку для рамы, изображенной на
рис. 10.2.26, а.

По схеме рамы и характеру ее внешней нагрузки видно, что в ней могут
образоваться четыре простых механизма разрушения : Б2, С и У

(рис. 10.2.26, б...г).

Ухювой механизм У здесь не показан, а при необходимости его ис-
пользования в комбинации можно обратиться к рис. 10.2.19, г, д.
Рис. 10.2.26

Определим для каждого простого механизма предельную нагрузку:

-механизм Б^: 2FnP • 30 = Л<06 + 1,5Л/О0- 3, откуда Fnp = О,917Л/о;

-механизм 52: Fnp • 30 » Л/о0 • 3, откуда FnP » Л/о;

-механизм С : FnP 6Q + Fnp 30 » MqQ 4, откуда Fnp 0,444MQ .

Поскольку при комбинации механизма Б{ с механизмом Б2 ни один
|арнир пластичности не закрывается, рассматривать ее не имеет смысла.

Исследуем комбинированные механизмы С ♦ 5,, С + Б2 и

С + Б1 + Б2 (рис. 10.2.27, а., в).

-механизм С + Б{: FnP • 60 + 2FnP • 30 + Fnp -30 - Мо0 • 3 + 1,5Л/О0 • 3,
откуда FnP = О,5Л/о;

-механизм С + Б2: FnP • 60 + Fnp 69 = • 3 + MQ 20,

откуда F^ =О.4167Л/о;

-механизм С + + Б2: Fnp • 60 + 2Fnp • 30 + F^ 60 « AfoO • 2 +

+1,5Л/09 3 + Мо • 20, откуда FnP « О,472Л/о.
Значение предельной силы Fnp « 0,4167Л/0 = 0,4167 -90 = 37,5 (кН) и»
лучилось наименьшим и соответствует механизму разрушения С + Б2.

Рис. 10.2.27
и найденной наименьший величины

Для проверки истинности прел
полагаемого механизма разрушении
необходимо построить статически
допустимое поле распределения и ।
гибаюших моментов. Так как раз
рушение будет частичным, такт
полей, удовлетворяющих всем уран
нениям статического равновесия,
можно построить бесчисленное мно
жество. Два из них приведены на рис
10.2.23, а, б.

Построенные статически допус
тимые поля подтверждают истин
ность механизма разрушения С + Б2
Fnp = 37,5 кН.

Статически допустимое поде
распределения моментов (кН м)

Статически допустимое поле
распределения моментов (кН м)

Рис. 10.2.28
Пример 10.19. Для рамы, показанной на рис. 10.2.29, требуется по за-

<ой величине параметра предельной нагрузки Fnp найти значение

юльного момента Мо и построить эпюру предельных изгибающих мо-
чит. Соотношения несущих способностей сечений стержней указаны на

ме рамы.

Предложенная задача относится к
ачам прямого проектирования и янля-
я обратной по отношению к задачам
>верочного расчета. Вся процедура ее
зения почти полностью совпадает с
пениями ранее рассмотренных примс-
в, за исключением того, что из уравне-
„и работ внешних и внутренних сил для
различных механизмов разрушения опре-
деляется не предельная нагрузка FnP, а
предельный момент М$. При этом ис-
тинным механизмом разрушения будет

мо 3

£я?»28кН

Л<0

1
zA/zzA ' .

к-—

|3^

).5М0 7

2М0

zzZWA

-ж-

2Л

JV-9 MQ Л

-91

zazaa

^ж3" я

Рис. 10.2.29

тот, которому при заданных величинах предельных нагрузок соответствует
Наибольший предельный момент. Этот механизм, как и в задачах прове-
рочного расчета, необходимо проверить теоремой о единственности реше-
ния, т.е. убедиться в возможности существования для него статически до-
пустимого поля распределения изгибающих моментов.

Рис. 10.2.30

В данной раме могут появиться л» # - Л = 9- 5= 4 простых меха-
низма - Бъ Б2, Си У (рис. 10.2.30, а...д).
Для каждого простого механизма разрушения, построенного с помощи» >
табл. 10.1, определим предельный момент Л/о:

-механизм : 3Fa, 30 = 1,5Л/О0 • 3 + Л/о0,

откуда Mq = 1,636£я? = 45,82 кН м;

-механизм 52: 2Fnf • 2,50 Л/о0 4,

откуда Л/о = 1,25FOT -35 кН м;

-механизм С : Fnr • 50 + 2Fnf • 2,50 = Л/оО 3 + 2Л/О0 • 2,

откуда MQ - 1,428£яг - 40 кН м.

Из различных комбинаций простых механизмов следует рассмотреть
только такие, которые приводят к закрытию отдельных пластических шар-
ниров. К ним можно отнести следующие комбинированные механизмы
разрушения: £|+£2; С+52; С + Бх + У ; С + Б[ + У2Б^ (рис.
10.2.31, а...г).

При образовании комбинированного механизма С + Б{ + У к механизму
С + Б{ был прибавлен узловой механизм У при его повороте по ходу ча-
совой стрелки на угол 0 (см. рис. 10.2.30, г).

Рис. 10.2.31
Для каждого комбинированного механизма разрушения (см. рис.

2,31, а...г) найдем предельный момент Мо :

-механизм Б} + Б2: 3Fnr • 30 4 2ЛЯ, • 2,50 - 1^Л/О0 • 3 + Мо0 • 3.

да Mq - 1,867Fw - 52,267 кН-м;

-механизм С + Б2: Fnf 50 + 2Fn, • 50 = Л/о0 + 2Л/О0 • 2 + MQ • 20 • 2,

«а Мо х 1,667/^ = 46,67 кН м;

-механизм С + Б{ + У : Fn, • 50 + 3Fm 30 + 2Fnf. • 2,50 = MqQ -5 4

• 2 4 2Л/оО, откуда = l^F^ = 53,2 кН м;

-механизм С + + У + 2Бг: Fnt> • 50 + 3/^ 30 4 2Fn, • 7,50

Л/о0-342Л/О04 1,5Л/09-2 4 Л/о -30-2, откуда MQ = 58 кН-м.

Последнее значение предельного момента MQ получилось наиболь-
(м, и при этом, если подтвердится, что механизм разрушения
4 4 У 4 2Б2 истинен, то разрушение будет полным, поскольку рас-

отренная рама имеет пять лишних связей, а количество пластических
фниров равно 6 (см. рис. 10.2.31, г).

Рис. 10.2.32

Подтверждением истинности полученного решения является возмож-
ость построения эпюры предельных изгибающих моментов. Такая стаги-
ески допустимая эпюра и проверка равновесия сил для всей рамы пока-
жи на рис. 10.2.32, а, б, что доказывает истинность полученного меха-
изма полного разрушения С 4 5j 4 У 4 2Б2 и найденной наибольшей

величины предельного момента

Мо =58

кН-м .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи 10.2,01...10.2.36. Найти предельные нагрузки и построил.

предельные эпюры

изгибающих моментов.

0.4F

10.2.01
If

0,4F

10.2.02
If

10.2.03

2Мо

2М<>

Мо

MosI00kH'M

Зм

Мо

10.2.04

к—

10.2.05

Мо

Мо-100кНм

z/zzAZ/

zzz/z/Л*

Мо

80кН М Лт

Mq=90kHm

F ,

2Мо ЗМо

2Мо Мо

Мо °’4-L>

Мо«!00кН-м

Зм

10.2.06

1.5F |

2Мо

0,5Мо Мо

Мов8ОкНм

4м

10.2.07

• 3F

10.2.10

2F|

2М<) !>5Мо
I.5F

ZZAwZ/

г 2м

10.2.08
f|

4=96кНм

ЗМо

6м

zZvzzZ*

///Л'/.

10.2.09
р|

*’2F 0.5F

Мо

1.2М0

Мо

0,8Мо

М0-96кНм

zAw/Z*

। 4м

6м

М0*63кН*м

10=81кН-м

Зм . Зм

2Мо

10.2.11
м> Ч

2м . 2м

Зм । 2м . 2м

1.5М0" Мог=1бОкН м'г|

10.2.12

|0.5F
X'03Mj 0,6M„zA'

s ।
10.2.14

10.2.13

1.25F

10.2.15

10.2.16

4=|f

/77^77

1,5М0

, 2м , 2м . 2м

M0=const

4м । 5м . Зм . Зм

2,5F

Im. 2m

10.2.18

4м

0,5M|

2.5Mo

J.5M0

2Mo

/77^/77

/7777771

10.2.23

l.SMo

2Mq

Mo Mo

O,5Mo

Z/ZwW

zz/zJzz^

z/Z/zzzz

Mo-100kH-m

Mo
2F

O.SMo
2F

0,5M0

F w

---Q.

2Mo

Мо=80хНм

Зм । 2м . 2м

10.2.20

Мо=14ОкНм

М0=“90хНм
2м . 1м. 4м . 2м

M0=cojisi

( , 8м

—Ж-------

z’zww

Мо=90кН-м
4м

6м . 6м

Мо“60кНм
4м . Зм

Мо=14ОкНм

. 2м . 2м 2м

10.2.17

Mo-I2OkH-m

M^coiist

2м. Зм Зм ,2м,2м. 2м, 2м . Зм

10.2.19

Mo«!20kHm

0,4Mq

F ,

O,4Mo

Mfl

/77)7777

10.2.22

l.5Mo

2M0 Mo

! Fl -Г-.-!-.

10.2.21

Mq*160kHm

Мо

z/zAvz

10.2.24
rlt

2Мо

Задач* 10.2.37... 10.2.48. По заданной величине параметра предельной
узки Fnp подобрать требуемое значение предельного момента Мо и
роить эгпоры предельных изгибающих моментов.

10.2.37 10.2.38 10.2.39

10.2.43 ’ 10.2.44

Fnp-100xH
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 10

1. В чем сущность методов расчета по допускаемым напряжениям и по
разрушающим нагрузкам? Назовите основные недостатки этих мето
дов.

2. Что понимается под предельным состоянием конструкции?

3. Какие две группы предельных состояний установлены в строительных
нормах и правилах?

4. Какие коэффициенты применяются в методе предельных состояний и
что они учитывают?

5. Запишите условия прочности по первой группе предельных состояний
для растянутых (сжатых) и изгибаемых элементов как в упругой ста-
дии, так и с учетом развития пластических деформаций.

6. Что принимается за предельную нагрузку в упругом расчете?

7. Приведите упрощенную диаграмму о - е для пластичных строительных
сталей, диаграмму Прандтля для упругопластического материала и
диаграмму о - е для жесткопластического материала.

8. Что представляет собой разрушающая нагрузка?

9. Какова основная идея метода предельного равновесия и какая диа-
грамма о - е положена в его основу?

10. Почему для статически определимых систем, работающих на растяже-
ние-сжатие, упругий и пластический расчеты дают одинаковые ре-
зультаты?

И. Как определяются разрушающие нагрузки в простейших статически
неопределимых системах, работающих на растяжение - сжатие?

12. Какой вид имеет эпюра нормальных напряжений в поперечном сече-
нии изгибаемого бруса, когда изгибающий момент достигает прсдель-
• кого упругого момента и когда он достигает предельного пластиче-
ского момента?

13. Как определяется величина предельного изгибающего момента при
упругом и пластическом расчетах?

14. Что представляет собой пластический шарнир? Чем он отличается от
обычного шарнира?

15. На сколько процентов предельный пластический момент для бруса
прямоугольного поперечного сечения больше предельного упругого
момента?

16. Как определяется предельный пластический момент при поперечном
изгибе?

17. Как определяется предельная (разрушающая) нагрузка для однопро-
летной статически неопределимой балки постоянного поперечного се-
чения, работа материала которой подчиняется условной диаграмме
Прандтля?

18. Какие основные допущения положены в основу метода предельного
равновесия при практических расчетах балок и рам?

19. Что такое пластический механизм разрушения, или, просто, механизм
разрушения?

20. Что понимается под предельным состоянием системы? Привести при-
меры полного, частичного и избыточного разрушения.

21. Что такое проектный и проверочный расчеты?

22. Что понимается под статически допустимым полем распределения
внутренних усилий? В чем различие между статически допустимым
полем распределения изгибающих моментов и эпюрой моментов?

’23. Что понимается под кинематически допустимым полем перемещений?

24. Как формулируются статическая и кинематическая теоремы для со-
стояния предельного равновесия системы?

25. В чем сущность статического метода расчета балок и рам?

-26. В чем сущность кинематического метода расчета балок и рам?

27. Что утверждает теорема о единственности решения?

28. В чем сущность способа выравнивания изгибающих моментов при
расчете однопролетных статически неопределимых балок постоянного
и переменного поперечного сечения? Привести примеры.

29. Как применяется способ выравнивания изгибающих моментов для
расчета неразрезных балок постоянного поперечного сечения? Привес-
ти примеры.

30. Как применяется способ выравнивания изгибающих моментов для
расчета неразрезных балок переменного поперечного сечения? При-
вести примеры.

31. В чем сущность метода комбинированных механизмов разрушения?

32. Как определяется число независимых простых механизмов разрушения?

33. Что представляет собой балочный механизм разрушения? Как опреде-
лить количество балочных механизмов разрушения для заданной систе-
мы?

34. Что представляет собой механизм бокового смещения? Как определить
количество таких механизмов для заданной системы?

35. Что представляет собой узловой механизм разрушения? Как определить
количество узловых механизмов разрушения для заданной системы и
когда каждый из них самостоятельно может проявиться?

36. Какие условия должны выполняться при комбинировании механизмов?

37. Как образуется избыточное разрушение системы?

38. Каким образом проводится проверка истинности полученного механиз-
ма разрушения?

HI’S EI'l’S

sirs

irrs

'x 'x

errs

60'1’S

80’rs

40’1’S
jmi'j

5.1.20

5.1.21
5.1.29 5.1.30

5.1.31

5.1.32

X. X. X, X.
§5.2
5.2.09

5.2.10

5.2.11

5.2.20
5.2.22

5.2.23

5.2.24

5.2.25
5.2.28

5.2.29

5.2.41

5.2.42

5.2.44
5.2.51

5.2.61

5.3.04

i.iiiiiiiiii:;iiiiiiiiii|

5.3.16

5.3.18

niiiiiniiiimiiiiijiiiiiiiiniiiiiiiiE

зо

5.3.34
ЗЕГ

Ж\

5.4.01

111ДММ1

/77М7>

3EJ J*

5.4.02

(м) (кНм)

|U»±

ми11нии11111111М1к;:;

5.4.03

2EJ

5.4.04

6EJ

е-

iiiiiiiiMiiiii!;iiiiiiiiiiiiiiinni

Illlllllillll

6EJ

Z2
5.4.08

(q)x10-jEJ
II Ш
5.4.16

33.33

5.4.28

5.4.29

5.4.30

5.4.31

5.4.32

Глава 6

§6.1

6.1.01

6.1.02

6.1.03

6.1.15
6.1.21

6.1.22
6.1.24

6.1.25

6.1.26
6.1.28

6.1.29

•—A 2.67

IllllllfICJni

lUiiiiiiiMiiiiiniH
6.2.19

6.2.20

6.2.31
6.3.01

6.3.02
®X1O-3EJ

6.3.05

6.3.06

ЦШ llllll!

6.3.14

13.33

!з.ззх&

Q)xlO-3EJ

1ИИП1Ш1

Wll»=niirfl

-13.33

1ГТТ

-13.33
гшга

-13.33

13.33

13.33
Д

13.33

1ЖШ1

13.33

26.67

13.33 26.67

26.67

6.3.15

6.3.16

.4.815
ГО

18.333

22.222

18.333

6.3.19

6.3.20

1ГГ9
ОГГ9

4ZT9

гаг_01х@ f3(-0lx(8)
7.1.10

7.1.11

7.1.12

Глава 7

§7.1

F=6.710'J

ZZ’TW/

7.1.15

F=75<xEJkH

т(«192.5аЕ.1кНм
т2’195<хЕ1кНм

7.1.16

7.1.17

7.1.18

zZW/zx /7/w9<

F=0.03EJkH

m3e0.08EJKHM

7.1.19
m(»3xH-M m2-2xH м

7.1.20

сП)=0.0425ЕЗкН м m2-0.0175EJKH и

7.1.21

m,=20aEJxH-M

т3=20аЕЗкН м
. z-’Z/zzA

\e s\ 1 2 3 4
1 3
2 3
3 3
4 3

Z/Z/VZZz

7.2.03

§o=0, ?-aEJ[5].

|AJ

(k]=EJ

\e S\ 1 2 3 4 •
1 1.5
2 I —1
3 1
4 3

о/ /ел 1 2 3 4 5
1 3
2 2
L— 4 2
4 2 4
5 4

ZZ/ZVz

7.2.05

§o=O, P=EJ[8).

: 1

|AJ=

X 1 2 3
1 J. 3 • 3

swrsjt /ЯттТП

$>=0, P=[-10 5]T.

7.2.09

(8 I Of.

IA]=

[kl
So=O, P=[12 Of.

7.2.13

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1
2 1 1 1 1
3 -A 'A И -A

И 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 2
2 2 4
3 4 2
4 2 4
5 3 1.5
6 1.5 3
7 3
8 3
9 3
1 2 3 4 5 6
1 9
2 8 4
3 4 8
4 9
5 9
6 9

SO=IO’3EJ[-I3.33 -13.33 -7.5 -7.5 13.33JT,
P=40’3EJ (20.83 -5.83]T.
Р=[8 3]т.

14=24

1 2 3 4
1 9
2 16 8
3 8 16
4 12

7.2.19

So=aEJ[O 0 22.5 22.5 90 -90]г,
P«aEJ[-22.5 -22.5 -П.25]т.

7.2.20

сл/ /|в- 1 2 3 4 5 6
1 -I -0.6
2 -1 -0.6
3 1 0.8
4 1 0.6
5 1 0.8

-13.5 0 0 0 0 Of,

I
2
2
4
5
£
7

7.2.23

1 2 3 4 5 6
1 3
2 1
3 4 2
4 2 4
5 4 2
6 2 4

7.2.24

So=(O О -20.25Г, $-[20.25].

P-Z

1 2 3
1 1 1
A

[A]=

7.2.27

1
\
3

/ZAZZZZz

Se=l0-3EJ[-10 0 0 0 -20]T,
P=10’3EJ[3.33 0 -3.33р.

S0=aEJ[-180 180 -120
P=aEJ[-60 -120]T.

[k]-EJ

120 Of,
7.2.30

7.2.31

С учетом симметрии задачи

[А]=

1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 -1 -1 -1
2 I 1 I 1 1 1
и»
-18 10 -4|т.

симметрии задачи

[k]=EJ

/о 1 2 3 4 5 6
1 1
2 1
3 2 1
4 1 2
5 1
6 1

1 2 3 4 5 6 7
| 1 4 2
! 2 2 4
3 4
4 3 15
5 1.5 3
6 4 2
7_ 2 4

1 2 3 4 Г 5|< 7
1 1 1 1
2 1
3 ЛА 'А

| S0=10-3EJ[-10 0 0 0 -40 —80)T, ...

(A]=

X 1 2 3 4 5 6
1 1 1
2 и
3 1 1

[k]=EJ

\e 1 2 3 4 V> 6
1 3
2 3
3 4 2
4 2 4
5 4 2
6 2 4

7.2.36

So=[O 0 4 4 0 0 0]
p=[-4 -8 0 -4]r.

______ (4-

К 1 2 3 4 5 6 7
1 2 1
2 1 2
3 2 1
4 I 2
5 1
6 1
7 1.5

§7.3

73.01
7.3.03

7.3.05

7.3.25

7.3.26

7.3.27
7.3.2S ’ Ж . 7.3,32

В К
7.3.36

w\\w\

Глава 8

§8.1

8.1.01

4 069

8.1.12

439
/Zftwz? /77тЛ

(MjxaEJ

/0.67 /0.67

®xaEJ

@xaEJ
8.1.27
36.03 /лЬт,

iiiiiiiii:;!iiiinii

3.55 3.55

^=?Ш111Н1?]|»ШН=—Й

1.49

0.9

1.49

2.24

(^)xaEJ

IIHIirilllHlJ

3.52

2.355*

8.1.32

(кН)
8.2.01

8.2.02
t-л

8.2.03

8.2.20

0.71
8.2.24

8.2.34

8.2.35

Глава 9

§9.1

9.1.01. ХА=0. 9.1.02. фА=28/Е1рад. 9.1.03. уА-32/ЗЕДм.

у 9.1.04. 1(^1= 30.86/EJ рад. 9.1.05. Хк = - 46.94/EJ м; ук= 61.85/EJ и;
Дк = 77.645/EJ м. 9.1.06. Хв = 61.71/EJ м. 9.1.07. XMN = 141.75/Ы м.
9.1.08. фм= 8.03/ЕАрад. 9.1.09. фв = 10.55/EJ рад. 9.1.10. Хк =

= - 32/3EJ м. 9.1.11. Xк^ -40/EJ м. 9.1.12. ук= 24/EJ м.
9.1.13, yK = -2025/EJ м. 9.1.14. |фАВ| = 216.45/EJ рад. 9.1.15. Хк*
= -37/EJm. 9.1.16. ук = - 166.79/ЕА м. 9.1.17, |фвс1в 10.125/EJ рад.

9.L18. Дмы = 99.95/EJ м. 9.1.19. Хк = 43.875/EJ м. . 9.1.20. Хк«

= 141.75/EJ м. 9.1.21. <рк = 4.67/EJ рад. 9.1.22. ук » 1.25/EJ м.

9.1.23. Х< - 1.33/EJ м. 9.1.24. ук = - 8.89/EJ м. 9.1.25. ук -

= -3/EJ и. 9.1.26. <рк = - 1.5/ЕГ рад. 9.1.27. XMN = - 16/EJ м.

9.1.28. Хк = - 705.33/EJ м. 9.1.29. фк = 0.343/EJ рад. 9.1.30. хк =

= 49.33/EJ м. 9.1.31. Хк = 2.85/Е1 м. 9.1.32. |<рАВ|= 3.94/EJ рад.

9.1.33. ук = - 23/ЕА м. 9.1.34. Хк - - 10.125/EJ м 9.1.35. ук = 2/EJ м.

9.1.36. фА * 0.5/EJ рад. 9.1.37. хк = 171.8/EJ м. 9.1.38. Умк -=

= - 63/EJ м. 9.1.39. Хк = 80/EJ м. 9.1.40. фА = - 2.11/EJ рад.

9.1.41. фк * - 2.78/EJ рад. 9.1.42. Хк = 172.8/EJ м. 9.1.43. ук =
= - 89.5/ЕА м. 9.1.44. фв e 40.37/EJ рад. 9.1.45. 1фАВ| = 4.8/EJ рад.
9.1.46. фв = 1.07/Ирад.

§9.2

9.2.01. фк = 7.5 а рад. 9.2.02. ук - 83.33 а м. 9.2.03. Хк = - 5 а м.
9.2.04. ус = - 80 а м. 9.2.05. ус “ 310 а м. 9.2.06. ХаС = - 3218 а м.
9.2.07. Ум№-341.1 а м. 9.2.08. ук 560.6 а м. 9.2.09. Хк = 87.94ам;
Ук = 155.25 (X м; Дк - 178.43 а м. 9.2.10. фА =-25.33 а рад.
9.2.11. Хк = -171.48 а м. 9.2.12. ХА=-20ам. 9.2.13. фя =

= 20.42 а рад. 9.2.14. хк=72ам. 9.2.15. X*- 53.33 а м.
9.2.16. фв=-54.2а рад. 9.2.17. ук= 371.25 а м. 9.2.18. |фвс Iе
= 24 а рад. 9.2.19. XMN = - 189 а м. 9.2.20. фк = - 55 а рад.
9.2.21. фА = -1.34а рад. 9.2.22. ук=42.5ам. 9.2.23. Хк-

= -120ам; Ук=210ам; Дк= 241.87 а м. 9.2.24. фк = 18.18 а рад.
9.2.25. Хк = - 762 а м. 9.2.26. ХА = - 72 а м. 9.2.27. I <рАВ I =
= 32 а рад. 9.2.28. фк « 34.72 а рад. 9.2.29. y>MN = - 283 а м.
9.2.30. х.мя = 1260 а м. 9.2.31. фк = - 11.25 а рад. 9.2.32. хк =

= - 80 а м. 9.2.33. ус = 93.75 а м. 9.2.34. Хс « 125 а м. 9.2.35. ус =
= -68.01 а м. 9.2.36. Фсе“ - 10.415 а рад. 9.2.37. ус= 133.68 а м.
9.3.01. | фдс I = 33.74 10’3 рад. 9.3.02. хк = 84.44 10 “3 м; ук =
--77.510 'Зм; Ак » 114.6110 *3 м. 9.3.03. |фмх|» 7.78-10'3 рад.
9.3.04. уА =-46.36-10-з м. 9.3.05. Хк = -53.6-10'2 м; ук = -2-10’2 м;
Лк = 53.64 10-2 м. 9.3.06. хк= - 77.34-10’Зм. 9.3.07. yMN =
-3.22-10-Зм. 9.3.08. Ум =-1.8-10’Зм. 9.3.09. ус « 4.5-10 "2 м;

XMn = 9-10-2m. 9.3.10. Хк= 8.33-10'Зм. 9.3.11. фА = 9.17-10 ’3 рад.

9.3.12. Ук= 3.43-10-3 м. 9.3.13. Х|С = - 10.83 10’3 м. 9.3.14. Хк =
= -26.25 10-3 м. 9.3.15. фк = 1.46-10-3 рад. 9.3.1$. фк==3.59рад.
9.3.17. Ук = -14.2910-3 м. 9.3.18. ум = 5-10-3 м; ук=0. 9.3.19. ук =
=*- 7.41-10 -Зм. 9.3.20. Хк =-4.29-10 *3м. 9.3.21. фв = 3.34-10 "3 рад.

9.3.22. Ук = - 17.8110 -3 м. 9.3.23. Хк « - 13.16 10 “3 м. 9.3.24. XMN -
= 15-10’3 м. 9.3.25. Хк = -30-10'Зм; ук = -45-10 “3 м; Дк = 54.08 10*3 м.
9.3.26. фА = - 5.54-10 *3 рад. 9.3.27. ух = 5 10 “3 м. 9.3.28. фк =
« 1.925-10’3 рад. 9.3.29. ук = 5.55-10’3 м. 9.3.30. ук= 19.18-10'3 м.
9.3.31. |фвс1= 2.45-10 -3 рад. 9.3.32. Хк - 28.24-10'3 м. 9.3.33. Хк =
= 34.65-10 “Зм. 9.3.34. Умы = -Ю.67-10 “Зм. 9.3.35. XMN = 52.36 10 -3 м.

Глава 10

§ Ю.1

10.1.01 10.1.02 10.1.03
ЕПР”24кН

10.1.13

FnP-2$KH

10.1.14

Fnp=75KH
Одна из возможных эпюр (м) (кН м)

Одна из возможных эпюр (м) (кН м)

10.1.17

БПр-31.83кН

10.1.18

РПР=20кН

10.1.19. МПР=75кНм; Wnjl= 378.8 см3. 10.1.20. МПР = б0кНм; Wnj]=

= 303 см3. 10.1.21. Мпр=120кНм;

=66.67кНм; WIUI= 336.7 см3. 10.1.23.

\Упл = 606см3. 10.1.22. Мпг=

МПР=64кНм; Wrui= 323.2 см3.

10.1.25

10.1.24

МПР ,=66.67kH-m;
Мpjр 2 = $®'$4kH-mj
МПР j =56.25кН м.

МПрж1=53.33кНм;

Мпрз=83.55кНм;

МПр,2-69.34кН м;

МПР.’ =138.22кН-м.
10.2.07

Fnp«72KH

Одна из возможных эпюр
@ (кН м)

10-2-10 10.2.11

РПР=78кН Fnp=35xH

10.2.12

F:ip=58kH

(м) (кН-м)
10.2.13

10.2.J4

10.2.19

10.2.22

С — AV U

Одна из возможных
эпюр(м) (кН-м)
10.2.25

10.2.26 10.2.27

‘ 10.2.28 10.2.29 10.2.30

® (кН-м)

10.2.31

(Я) (кНм)

10.2.33

(м) (кН м)

10.2.32

10.2.34

10.2.35

10.2.36

этпор (м) (кН-м)

эпюр ® (кН м)

эпюр

® (кН и)
эпюр (м) (кН м)

эшор

® (кН-м)

эпюр (м) (кН-м)

10.2.43 10.2.44 10.2.45

Одна из возможных
эпюр ® (к Нм)

Одна из возможных
эпюр (кН-м)

10.2.46

МЛР=154.3кНм

10.2.47

10.2.48

® (кН-м)

Одна из возможных
эпюр (м) (кН-м)

Одна из возможных
эпюр ® (кН-м)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. 4.1.
Статически определимые системы. Учеб. пос.-М.: Изд-во АСВ,
1999.-335 с.

2. Дарков В.А., Шапошников Н.Н. Строительная механика. - М.: Высш,
шк., 1986. - 607 с.

3. Киселев В.А. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

4. Кроткова Л.В. Учебное пособие к практическим занятиям по
строительной механике. - М.: АСВ, 1994. - 178 с.

5. Кузьмин Н.А., Рекяч В.Г., Розенблат Г.И. Сборник задач по курсу
строительной механики / Под рсд. И.М. Рабиновича. - М.:
Стройиздат, 1962. - 332 с.

6. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов КА. Основы строительной
механики стержневых систем. - М.. АСВ, 1996. - 541 с.

7. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. -
М.: Стройиздат. 1960. - 519 с.

8. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной
механики / Под ред. Г.К. Клейна. - М.: Высш, шк., 1980. - 384 с.

9. Саргсян А.Е., Дворянчиков Н.В., Джинчвелжшвилм Г.А. Строительная
механика. Основы теории с примерами расчетов / Под ред. А.Е.
Саргсяна. - М.: АСВ, 1998. - 320 с.

10. Сннмцъш С.Б., Вашошенков М.Г. Матричные методы и МКЭ решения
задач строительной механики. - М.: МИСИ, 1984. - 125 с.

11. Строительная механика в примерах и задачах / Под ред. В.А.
Киселева. - М.: Стройиздат, 1968. - 387 с.

12. Строительная механика: Руководство к практическим занятиям / Под
ред. Ю.И. Бутенко. - Киев: Виша шк., 1989. - 367 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные условные обозначения.............................................3

Предисловие...............................................................5

От автора.................................................................6

Глава 5. Расчет сооружений методом сил................................7

§ 5.1. Основная идея метода сил. Выбор рациональной
основной системы.................:....................................................... 8

Задачи для самостоятельного решения...................21

§ 5.2 Силовое воздействие...........................................23

Задачи для самостоятельного решения...................52
§ 5.3. Тепловое воздействие...........................57

Задачи для самостоятельного решения..............66

§ 5.4. Кинематическое воздействие.....................69

Задачи для самостоятельного решения..............76

Вопросы для самоконтроля к главе 5...............79

Глава 6. Расчет сооружений методом перемещений............81

§ 6.1. Силовое воздействие............................82

Задачи для самостоятельного решения.............119

§ 6.2. Тепловое воздействие..........................124

Задачи для самостоятельного решения.............138

§ 6.3. Кинематическое воздействие....................141

Задачи для самостоятельного решения.............151

Вопросы для самоконтроля к главе 6..............154

Глава 7. Расчет сооружений матричным методом перемещений... 156

§ 7.1. Приведение внешнего воздействия к эквивалент-
ной узловой нагрузке.................................157

Задачи для самостоятельного решения.............165

§ 7.2. Построение исходных матриц ММП................167

Задачи для самостоятельного решения.............186

§ 7.3. Последовательность расчета матричным методом
перемещений..........................................189

Задачи для самостоятельного решения.............206

Вопросы для самоконтроля к главе 7.............210

Глава 8. Расчет сооружений смешанным методом и комбини-
рованным способом........................................212

§ 8.1. Смешанным метод...............................212

Задачи для самостоятельного решения.............226

§ 8.2. Комбинированный способ........................229

Задачи для самостоятельного решения.............241

Вопросы для самоконтроля к главе 8.............244

Глава 9. Определение перемещений в статически неопредели-
мых системах.............................................245

§ 9.1. Силовое воздействие...........................245

Задачи для самостоятельного решения.............256

§ 9.2. Тепловое воздействие..........................260

Задачи для самостоятельною решения..............266

§ 9.3. Кинематическое воздействие....................269

Задачи для самостоятельного решения.............274

Вопросы для самоконтроля к главе 9..............277

Глава 10. Расчет конструкций с учетом пластических свойств
материала методом предельного равновесия...............278

§ 10.1. Развитие методов расчета сечений. Основные до-
пущения, положения и теоремы метода предель-
ного равновесия. Расчет статически неопредели-
мых балок способом выравнивания изгибающих
моментов............................................278

Задачи для самостоятельного решения.........309

§ 10.2. Расчет статически неопределимых балок и рам ме-
тодом комбинированных механизмов разрушения..........311

Задачи для самостоятельного решения..........338

Вопросы для самоконтроля к главе 10..........342

Ответы............................................... 344

Библиографический список ..............................462

Анохин Николай Николаевич

Строительная механика
в примерах и задачах
Часть II
Статически неопределимые системы

Учебное пособие

Научный редактор Н.Н. Леонтьев

Компьютерный набор В.А. Архипова
Редактор И.Ю. Уланова

______________Лицензия ЛР № 071618 от 01.04.98__________

Подписано в печать 26.10.99 г. Формат 90 х 90/16. Бумага тип. № 2

Гарнитура тайме. Ут. печ. л. 29,0. Тираж 5000 экз. Заказ № 3232

Издательство Ассоциации строительных вузов (АСВ)
129337, Москва. Ярославское шоссе. 26

Отпечатано с оригинал-макета в Государственном ордена Октябрьской
Революции, ордена Трудового Красного Знамени Московском предприятии
“Первая Образцовая типография" Государственного комитета
Российской Федерации по печати. 1)3054, Москва, Валовая, 2$

kBKEhEP

СТРОИТЕЛЬСТВО
НЕДВИЖИМОСТЬ
ИНВЕСТИЦИИ

103051,Россия, Москва, Трубная, 25 стр.З
тел: (095) 925 66 04 фякс:(О95) 92» 58 97
n_
ш

198719881989199019911992199319941995199619971 тис th
НА РУБЕЖЕ ТЫСЯЧЕЛЕТИИ