Ю. В. Зайцев

МОДЕЛИРОВАНИЕ



ДЕФОРМАЦИИ

И ПРОЧНОСТИ БЕТОНА



МЕТОДАМИ

МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЙ

Я

Г'
Ю.В. ЗАЙЦЕВ

ДОКТОР ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК, ПРОФЕССОР

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ДЕФОРМАЦИЙ

И ПРОЧНОСТИ БЕТОНА

МЕТОДАМИ

МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

си

МОСКВА СГРОЙИЗДАТ 1982
УДК 691.32:539.3/.4.001.57

Печатается по решению секции литературы по
строительным материалам редакционного совета
Стройиздата

Рецензент; проф. В.М. Бондаренко

Зайцев Ю.В. Моделирование деформаций и проч-
ности бетона методами механики разрушения.- М.:
Стройиздат, 1982. - 196 с., ил.

Основное внимание в книге обращено на аналитическое
описание процесса развития трещин в микро- и макрострук-
туре бетона в рамках механики разрушения и его связи с
процессами деформирования и разрушения материала. Рас-
смотрен ряд практически важных задач по прогнозированию
прочностных и деформативных характеристик бетонов с уче-
том особенностей его структуры, по оптимизации некоторых
свойств материала.

Книга предназначена для научных и инженерно-техничес-
ких работников научно-исследовательских и проектных ор-
ганизаций.

Табл. 13, ил. 85.Список лит.: 79 назв.

3202000000- 521 ,,, о,
047(01) — 82	© Стройиздат, 1982
Светлой памяти своего дорогого отца
Владимира Мироновича Зайцева эту
книгу посвящает

Автор

ПРЕДИСЛОВИЕ

Грандиозная программа развития строительства в нашей стране,
намеченная в решениях партии и правительства, требует для своего осу-
ществления снижения материалоемкости, трудоемкости и стоимости, а
Также повышения качества конструкций зданий и сооружений, прежде
всего наиболее распространенных конструкций—железобетонных.

Одним из путей решения поставленных задач являются дальнейшее
повышение прочности бетона и оптимизация его деформативных свойств.
Уже в XI пятилетке ставится задача производства бетонов проектных ма-
рок до М 1000; к 2000 г.,согласно американским прогнозам, предполага-
ется создание- специальных бетонов марок до М 4000 и рядовых до
М 1400. Однако чисто эмпирический путь поиска новых составов бетона,
позволяющий повысить его прочность, весьма трудоемок и не всегда
приводит к цели. Еще труднее чисто эмпирическим путем подойти к
решению актуальнейшей задачи современной науки о материалах -
Прогнозированию механических характеристик материала и созданию
Материала с заранее заданными (в некоторых пределах) свойствами.

Вместе с тем большие возможности в области прогнозирования ме-
ханических свойств бетона открывает использование методов совре-
менной, быстро развивающейся отрасли науки—механики разрушения.
Вгиитие этих методов в сочетании с использованием современных веро-
ятностных моделей, в частности метода статистических испытаний (Монте-
Карло), применительно к моделированию процессов трещинообразова-
ния, деформирования и разрушения бетона и составляет основное содер-
жание предлагаемой книги. При этом основное внимание уделено тому,
как микро- и макроструктура влияет на прочностные и деформатив-
ные свойства материала, как направленным варьированием структуры
можно повлиять на изменение указанных свойств в желательном на-
правлении.

Автор приносит глубокую благодарность профессорам О.Я. Бергу,
А.А. Г воздев у, В.В. Панасюку, Ф.Х. Виттману и ряду
Других исследователей, чьи идеи и советы во многом содействовали воз-
никновению предлагаемой книги.

Автор
ВВЕДЕНИЕ

Известно, что бетон и железобетон в настоящее время являются
основными строительными материалами. Из них создаются несущие, а
иногда и ограждающие конструкции промышленных и гражданских зда-
ний, сооружений специального назначения, включая крупные гидротех-i
нические сооружения и корпуса атомных реакторов. Однако, как это
ни парадоксально, для бетона до сих пор не существует законченной тео-
рии деформирования и разрушения. В связи с этим многие важные вопро-
сы расчета бетонных и железобетонных конструкций решаются с ис-
пользованием эмпирических или полуэмпирических зависимостей, без
глубокого проникновения в физическую сущность явления.

Это во многом объясняется тем, что бетон - многокомпонентный
материал, причем его основной компонент - цементный камень имеет
сложную структуру и сам является как бы микробетоном. Поэтому
механика разрушения цементного камня и бетона существенно отлича-
ется от сравнительно хорошо изученной механики разрушения однород-
ных или квазиоднородных материалов, таких,как стекло, металлы и др.

Для бетона не определен четкий критерий разрушения, подобный,
например, пределу текучести. Известно, что уже при сравнительно не-
больших нагрузках в бетоне начинается процесс постепенного разрушения
и разрыхления структуры, обусловленный образованием и развитием
трещин. Известно также, что при длительном нагружении процесс раз-
рушения связан с длительностью действия нагрузки.

Так, длительное воздействие нагрузок, не являющихся критичес-
кими в случае кратковременного нагружения, может привести к разру-
шению бетона. При двух- или трехосном напряженном состоянии кар-
тина деформирования и разрушения бетона под нагрузкой становится,
еще более сложной.	,

Причины разрушения цементного камня и бетона при сжатии
впервые глубоко исследовал Б.Г. Скрамтаев [49]. Он отметил ведущую
роль цементного камня в прочности бетона и показал, что даже при малых
значениях водоцементного отношения, т.е. при сравнительно плотной
структуре материала, прочность цементного камня определяется его
пористостью; причем наиболее ярко выражена зависимость прочности от
пористости при Малых значениях водоцементного отношения. Исследо-
ватель отметил характерную для цементного камня концентрацию напря-
жений около пор, что существенно снижает его прочность. Б.Г. Скрам-
таев заметил, что разрушение бетона при сжатии при устранении трения
по опорным плоскостям сопровождается образованием трещин отрыва,'
ориентированных в основном параллельно направлению внешнего сжатия.,

Большой вклад в создание теории деформаций и прочности бето-’
на внес А.А. Гвоздев [19]. Он установил, что неоднородность материала;
создает поле возмущений напряжений. Оно взаимодействует с полем
напряжений от внешней нагрузки и создает концентрацию напряжений,
приводящую к появлению первых трещин в структуре материала. Наи-
более вероятно, что направление этих трещин совпадет с направлением
4
внешнего сжимающего усилия. Начальные трещины, развиваясь, приво-
дят к дальнейшему нарушению структуры бетона, что сопровождается
кажущимся увеличением объема материала. Объединение мельчайших
трещин приводит к образованию видимых трещин и к последующему
разрушению материала.

Огромный вклад в развитие теории деформаций и прочности бе-
тона сделал О.Я. Берг [б, 7]. Исследовав изменения, происходящие в
структуре бетона в процессе роста нагрузки, он экспериментально
установил роль микроскопических трещин отрыва (’’микрощелей”,
’’микроразрушений”) в деформациях материала при высоких нагруз-
ках и в процессе его постепенного разрушения. О.Я. Берг считал, что
наиболее целесообразный и, возможно, единственный путь создания
теории прочности и деформации бетона и железобетона заключается в
выявлении физических основ прочности и деформирования бетона, в
установлении общих явлений и закономерностей для различных про-
цессов с последующим математическим анализом явлений, происходя-
щих в структуре материала.

Многие исследователи внесли вклад в объяснение процесса разру-
шения бетона, было предложено много соответствующих теорий. Сре-
ди них можно выделить три направлений: феноменологическое,статис-
тическое и структурное.

Феноменологические (механические) теории рассматривают разру-
шение как мгновенный процесс, совпадающий с нарушением сплошности
материала. При этом момент разрушения обычно связывается с достиже-
вием некоторой величиной (выбираемой в качестве критерия прочности)
предельного значения.

Феноменологические теории прочности бетона имеют наибольшее
практическое значение, для оценки прочности материала при сложных
напряженных состояниях.

А.А. Гвоздев [19] на основе анализа многочисленных эксперимен-
тальных данных создал основы феноменологической теории прочности
бетона. Дальнейшее развитие феноменологических теорий прочности
шло в основном по пути отыскания уравнений, возможно более точно
описывающих предельную поверхность в пространстве главных направ-
лений или же огибающую кругов Мора. Характерно, что предельные по-
верхности и огибающие кругов Мора, предлагаемые различными иссле-
дователями, имеют самую разнЬобразную форму, вплоть до кусочных
кривых. Это свидетельствует об отдаленности математических представ-
лений, развитых для изотропного упругого тела, от физических явлений
в столь сложном неоднородном материале, как'бетон [8]. Феноменоло-
гические теории дают лишь абстрактные математические связи, где
основные параметры вычисляются по результатам экспериментов при
сложных напряженных состояниях. Таким путем можно получить
удовлетворительное согласование вычислений с данными опытов, про-
веденных в аналогичных условиях. Однако анализа физических причин,
приводящих к разрушению, феноменологические теории дать не могут.

Статистические теории [15, 46,52] по сравнению с феноменологи-
ческими более детально анализируют сущность разрушения. В статисти-
ческих теориях предполагается существование некоторой изотропной
среды с отдельными дефектами структуры. Эти дефекты распределены
в соответствии со статистическими законами и определяют действитель-
ную прочность тела. Статистические теории обычно исходят из того,
что прочность тела целиком определяется прочностью наиболее слабого
первичного элемента (теория ’’слабого звена'*), т.е. не учитывается взаи-
модействие дефектов. Эти теории чаще всего не рассматривают реаль-
ной структуры материала и связанных с этим особенностей напряженного
состояния - концентрации напряжений около пор и зерен заполнителя,
возможности появления начальных трещин между заполнителем и це-
ментным камнем. Статистические теории обычно не вкладывают реального
физического смысла в понятие первичного элемента. Применимость в
существующем виде большинства статистических теорий к бетону пред-
ставляется довольно ограниченной, хотя отдельные их направления,
например подход к разрушению бетона как к случайному процессу на-
копления повреждений [52], представляются» довольно перспективными.

Структурные (физические) теории гораздо глубже изучают струк-
туру материала, чем феноменологические и статистические. Одной из
первых в этой области была работа Б.Г. Скрамтаева 149].

Концентрация напряжений в структуре бетона анализировалась
в ряде работ ленинградских исследователей [31, 32]. Ими установлено,
что при сферических порах направление растягивающих напряжений,
вычисляемых методами теории упругости, обычно совпадает с ориента-
цией первых микротрещин, наблюдаемых в различных экспериментах.
Основываясь на теоретических соображениях, исследователи устано-
вили, что силовые трещины должны возникать в первую очередь около
пор, включений, седиментационных полостей и других несплошностей
структуры. Более детальный анализ влияния зерен заполнителя на обра-
зование первых микроразрушений методами теории упругости прове-
ден О.Я. Бергом, Е.Н. Щербаковым, Н.Г. Хубовой [12].

Структурные теории достаточно глубоко анализируют физическую
сущность поведения материала под нагрузкой и являются, пожалуй,
наиболее перспективными среди существующих теорий прочности. Од-
нако на современном этапе развития структурные теории имеют и не-
которые Недостатки. Дело в том, что структурные теории обычно рас-
сматривают изолированные поры (включения) и не учитывают эффект
их взаимодействия, способный привести к значительному усилению
концентрации напряжений. Далее, статистический характер распределе-
ния пор и включений по объему материала этими теориями не принима-
ется во внимание. Наконец, структурные теории практически ограничи-
ваются определением напряжений, приводящих к образованию первых
трещин, и не способны описать весь процесс разрушения бетона, состоя-
щий в постепенном накоплении повреждений и развитии трещин.

Этот краткий анализ существующего состояния различных направ-
лений теории деформирования и прочности бетона подтверждает вы-
сказанную выше мысль о том, что наиболее перспективным является
принципиально новый путь развития теории. Он состоит в дальнейшем
выявлении физических основ деформирования и прочности, установле-
нии общих закономерностей для различных процессов с последующим
математическим анализом явлений.

В этой книге описано новое направление в исследовании физико-
механических свойств бетона, заложены основы теории деформации и
прочности бетона, исходящей из физического существа процесса трещи-
нообразования и разрушения, способной дать математическую модель
этого процесса и нацеленной в перспективе на решение основной задачи
современной науки о материалах - на создание материала с определен-
ными свойствами, заранее заданными в некоторых пределах. Теория
основана на широком использовании современных методов механики
разрушения.
1.	СВЯЗЬ МЕЖДУ СТРУКТУРОЙ МАТЕРИАЛА

И ЕГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННЫМ СОСТОЯНИЕМ*
ИСХОДНАЯ МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛА

т.е. двух групп пор, причем один максимум лежит
ласти размеров от 5-10“6 до 5 Ю“5 мм, а другой -

1.1.	СТРУКТУРА БЕТОНА КАК ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Краткие сведения о структуре цементного камня, раствора и
бетона. Цементный камень — основной компонент всех цемент-
ных бетонов. Цементный камень характеризуется капиллярно-
пористым строением, причем поры и капилляры имеют раз-
личное п рои схожие ни е, а их возможные размеры изменяются
в довольно широких пределах [54]. Во многих исследованиях
отмечалось наличие в цементном камне двух максимумов на
дифференциальной кривой распределения пор по размерам,
в об-
в об-

ласти размеров от 10“J до 10“1 мм.

Наиболее яркое выражение мысль о двух группах пор по-
лучила в упрощенной модели структуры цементного камня
Т. Пауэрса, включающей крупные капиллярные поры случай-
ной формы размером порядка 10“3 мм и значительно более
мелкие поры геля размером порядка 2 • Ю мм.

Цементно-песчаный раствор и бетон состоят из зерен за-
полнителя разной формы и крупности, окруженных цементным
камнем. Известно, что важную роль в структуре цементно-
песчаного раствора и бетона играет поверхность контакта меж-
ду заполнителем и матрицей (цементным камнем). Измерения-
ми микротвердости материала на различных участках в ряде
исследований установлено, что структурообразование цементного
камня в основном объеме и на границе с заполнителем проте-
кает по-разному. Примечательно, что прочность контактного
слоя может оказаться различной даже над гранулой крупного
заполнителя и под ней, ибо в последнем случае в результате
седиментационных процессов возникает крупнозернистая струк-
тура с меньшей прочностью.

На поверхности контакта цементного камня с заполните-
лем действуют напряжения, возникающие вокруг зерен крупно-
го заполнителя при усадке цементного камня, так как объем-
ные изменения цементного камня встречают сопротивление
со стороны заполнителей, как правило,не подверженных усад-
ке. Это явление часто приводит к появлению трещин контакт-
ной зоны, отражающихся на поведении бетона при воздейст-
вии на него внешней нагрузки.

Напряжения и деформации в неоднородном материале.
Механические свойства твердого тела зависят от сил взаимо-
действия отдельных атомов или молекул- В механике твердо-
го деформируемого тела вместо этих сил используют интег-
ральную характеристику — напряжение, представляющее собой
среднюю интенсивность указанных сил на участках, содержащих
большое число атомов. Это понятие можно использовать на не-
больших участках и даже в пределах зоны, занимаемой одним
атомом.

Рассмотренный вид напряжений — напряжение в точке —
является ответственным за процесс развития трещин в структу-
ре материала, заключающийся в последовательном выключении
все новых и новых атомов из взаимодействия с соседними
атомами.

Часто используют также понятие о среднем напряжении
на достаточно большой площадке, размер которой существен-
но (в 4—5 раз) превышает размер неоднородностей реального
тела. Такие напряжения являются интегральной характеристи-
кой сил взаимодействия, возникающих уже не между атомами,
а между различными компонентамй структуры материала. По-
нятие о средних напряжениях нельзя применить для описания
процесса развития трещины или других достаточно тонких
процессов. Вместе с тем оно успешно используется для оцен-
ки прочности какого-либо тела или конструктивного элемента
в целом. Так, методы расчета железобетонных конструкций,
основанные на использовании треугольных (прямоугольных)
эпюр напряжения в бетоне железобетонного элемента, являют-
ся хорошим примером использования именно такого понятия
средних напряжений в неоднородном материале.

При этом, однако, возникает вопрос, как и на каком уров-
не можно использовать понятие напряжений в бетоне для
описания процесса его деформирования и разрушения.

Системный подход к структуре бетона. Структуру бетона
допустимо рассматривать как некоторую систему [17]. Де-
фекты в бетоне и неоднородности самых различных размеров
приводят к тому, что структура бетона будет системой со слож-
ным иерархическим строением, элементы (подсистемы) ко-
торой относятся к разным уровням. Благодаря определенной
автономности элементов в каждом из них возможны процессы
деформирования и разрушения без тесной связи с деформиро-
ванием или разрушением других элементов того же порядка.
Из общей теории систем известно, что для любой исследуемой
системы требуется, как минимум, три разных уровня ее опи-
сания с точки зрения :

а)	понимания данной системы как подсистемы более широ-
кой системы;

б)	присущих данной системе целостных свойств;

в)	ее внутреннего строения и вклада ее компонентов в
формирование целостных свойств системы; при необходимости
здесь возможно подвергать дальнейшему членению те элементы
системы, которые при другом описании принимаются за не-
делимые.

Основываясь на приведенных выше кратких сведениях о
структуре цементного камня и бетона и опираясь на требования
к описанию систем, сформулируем иерархическую схему струк-
туры бетона вместе с характерными неоднородностями и де-
фектами структуры.

Макроструктура — структура объемов бетона, включающая
в себя в качестве основной неоднородности зерна крупного
заполнителя. Характерный размер элемента макроструктуры
в зависимости от крупности зерен заполнителя может достигать
102 мм и более. Напряжения и деформации, осредненные в пре-
делах такого элемента, будут называться соответственно макро-
напряжениями и макродеформациями и характеризовать целост-
ные свойства, присущие бетону как системе. В свою очередь
установление зависимости между макронапряжениями и макро-
деформациями необходимо для описания свойств более широ-
кой системы (например, железобетонной конструкции). Зави-
симость между макронапряжениями и макродеформациями су-
щественно нелинейна, что в основном объясняется развитием
различных дефектов структуры в процессе нагружения. Основ-
ной начальный дефект структуры на уровне макроструктуры —
трещины поверхности контакта между цементным камнем и
крупным заполнителем, имеющие седиментационное происхож-
дение или возникающие в процессе усадки. Описание поведения
этих дефектов под нагрузкой проводится с использованием
понятия напряжений и деформаций для более тонкого уровня,
т.е. мезонапряжений и мезо деформаций.

Мезоструктура — структура объемов цементного камня
или цементно-песчаного раствора между зернами крупного
заполнителя; она включает в себя в качестве основных неодно-
родностей зерна мелкого заполнителя с характерным размером
в несколько миллиметров; при этом размер элемента мезо-
структуры примерно 10 мм. Напряжения и деформации, осред-
ненные в пределах такого элемента, являются мезонапряже-
ниями и мезо деформациями. Усадочные (седиментационные)
трещины в зоне контакта цементного камня с заполнителем
характерны лишь для крупного заполнителя [22], и появление
их на рассматриваемом уровне маловероятно. Это дает основа-
ние пользоваться обычным для механики сплошной среды
приемом ’’размазывания” (в данном случае зерен мелкого за-
полнителя по объему элемента мезоструктуры); при этом
влияние неоднородностей на поведение материала заменяется
влиянием теперь уже однородного тела, обладающего некоторы-
ми усредненными (’’эффективными”) характеристиками. Так,
эффективная плотность поверхностной энергии, найденная для
цементно-песчаного раствора в предположении его квазиодно-
родности, в результате тормозящего влияния неоднородностей
на развитие трещин оказывается выше эффективной плотности
поверхностной энергии чистого цементного камня [69]. Зави-
симость между мезонапряжениями и мезодеформациями услов-
но будем считать линейной. В некоторых случаях будем оцени-
вать влияние возможной физической нелинейности на поведе-
ние материала на этом уровне и тем самым'на поведение от-
дельных дефектов более высокого уровня, т.е. уровня макро-
структуры.

Микроструктура - структура объемов цементного камня
между зернами мелкого заполнителя, включающая в себя поры
цементного камня, соответствующие правому максимуму кри-
вой распределения пор по размерам. Максимальный размер
этих пор около 0,1 мм, а характерный размер элемента микро-
структуры - около полумиллиметра. Напряжения и деформа-
ции, осредненные в пределах этого элемента, будут называться
соответственно микронапряжениями и микродеформациями.
Поведение чистого цементного камня под нагрузкой, как прави-
ло, оказывается близким к линейному, и зависимость между
микронапряжениями и микродеформациями считаем линей-
ной. Поры цементного камня имеют случайную форму и часто
близки по форме к дефектам в виде остроконечных отверстий,
приводящим к сильной концентрации напряжений. Известно
(см. гл. 3), что на контуре этих пор еще до приложения внеш-
ней нагрузки могут ‘возникать начальные трещины. Поэтому
в качестве начальных основных дефектов структуры на этом
уровне будем рассматривать поры случайной формы с выходя-
щими на их контур трещинами. Для описания поведения этих
дефектов под нагрузкой нужно использовать характеристики
более тонкого уровня - субмикронапряжения и субмикро-
деформации.

Субмикроструктура - структура объемов цементного
камня между сравнительно крупными порами, включающая
в себя мелкие поры, соответствующие левому максимуму кри-
вой распределения. Эти поры характеризуются размером
10-4 мм, соответственно этому характерный размер элемента
субмикроструктуры 5 • 10—4 мм. Напряжения и деформации,
осредненные в пределах такого элемента, являются соответст-
венно субмикронапряжениями и субмикродеформациями. Зави-
симость между субмикронапряжениями и субмикродеформа-
циями будем считать линейной, за исключением сильно де-
формированной области, непосредственно примыкающей к
устью трещин. Поры, входящие в состав элемента субмикро-
структуры, ’’размазываем” по объему этого элемента, т.е.
считаем эту структуру квазиоднородной.
Итак, подход к бетону как к иерархической системе поз-
воляет трактовать бетон как двухкомпонентную среду, состоя-
щую из матрицы и включений на уровне макроструктуры, со-
держащую на различных уровнях ряд дефектов структуры.
Характерной чертой любого дефекта является степень его остро-
конечности, приводящей к сильной концентрации напряжений.
В связи с этим выделим две основные группы дефектов.

Дефекты первого рода - округлые дефекты типа полостей
(поры микро- и субмикроструктуры) и дефекты второго ро-
да — остроконечные дефекты типа трещин (трещины в микро-
структуре цементного камня или в макроструктуре бетона,
т.е. на контакте крупного заполнителя с матрицей). Возмож-
но также сочетание обоих видов дефектов: например, на уровне
микроструктуры появляются дефекты в виде сочетания дефек-
тов обоих родов , т.е. поры и выходящей на ее контур трещи-
ны. Влияние тех или других дефектов на напряженно-деформи-
рованное состояние материала будет рассмотрено далее.

1.2.	ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ ПЕРВОГО РОДА

Распределение напряжений около отверстий. Напряженно-
деформированное состояние около дефектов первого рода,
т.е. округлых дефектов типа пор в микро- и субмикрострук-
туре, в принципе может быть оценено методами теории упру-
гости. Однако при этом требуется известная схематизация
задачи, т е. рассмотрение реальных пор как отверстий или по-
лостей различной геометрической формы. Поскольку связь
между субмикронапряжениями и субмикродеформациями при-
нята линейной, основное внимание обратим на решение задачи
в рамках линейной теории упругости»,

Для нашего исследования наибольший интерес представля-
ет напряженно-деформированное состояние лишь около наибо-
лее крупных дефектов/т.е. дефектов микроструктуры. Дело
в том, что они оказывают гораздо более сильное возмущающее
влияние на поле напряжений и деформаций, чем мелкие дефек-
ты субмикроструктуры (подробнее см. далее). Еще одно упро-
щение будет состоять в том, что задача о напряженно-дефор-
мированном состоянии около реальных дефектов будет рас-
смотрена в основном в плоской постановке, при замене этих
дефектов отверстиями различной формы.

Рассмотрим распределение микронапряжений около отвер-
стий различной формы в плоской постановке. Остановимся
на случае одноосного растяжения (сжатия) внешними напря-
жениями р по направлению, составляющему угол ос с осью Дг.
Подобные задачи удобнее всего решаются известным мето-
дом Колосова - Мусхелишвили.
Распределение микронапряжений по контуру эллиптичес-
кого отверстия с полуосями а и Ь может быть найдено
так [45]:

х	sin^x - A*cos*<x	.

Р- sin*oc* Л*со»га	’	'

где Ъ/а ;	9 — центральный угол, характеризующий

положение рассматриваемой точки на контуре отверстия (полу-
ось а лежит на оси О«). Максимальные микронапряжения
существенно зависят от соотношения полуосей эллипса а/Ъ ,
а минимальные при заданных внешних усилиях являются кон-
стантой.

Круговое отверстие может рассматриваться как частный
случай эллиптического. Микронапряжения по контуру выра-
жаются в этом случае так:

бв» р(1-2со*29) ,	(2)

а максимальные и минимальные микронапряжения соответ-
ственно равны: б^ах = Зр ; 6*%	~Р-

Для отверстий другой, более сложной формы решение обыч-
но записывается в виде бесконечного ряда.

Основные из имеющихся в литературе [ 36, 45 и другие]
данные по этому вопросу сведены в табл. 1.1—1.4, где мак-
симальные б *ая и минимальные	напряжения по

контуру отверстия выражены в долях от внешнего напряже-
ния р на бесконечности. Как видно из таблиц, форма от-
верстий и их ориентация относительно внешних усилий сущест-
венно влияют на характер концентрации напряжений по кон-

Таблица 1.1. Приведенные напряжения для отверстий, вытянутых в
направлении действия усилий

Напряжение	Эллипс					Овал	Прямо- уголь- ник с дугами окруж- ности	Прямо- угольник
	1:5	1:4	при а:Ъ		1:1,5	1:2	1:5	1:3,2
			1:3	1:2				
<ф*р	1,4	1,5	1,67	2	2,33	1,8	1,68	3,181
бе Р	-1	-1	-1	-1	-1	-0,9	-0,928	-0,807
Таблица 1.2. Приведенные напряжения для отверстий, вытянутых
перпендикулярно направлению действия усилий

Напряжение	Эллипс					Овал	Прямо- уголь- ник с дугами окруж- ности	Прямо- уголь- ник
	3:2	2:1	при а:Ь		5:1	2:1	5:1	3,2:1
			3:1	4:1				
	4	5	7	9	11	3,6	6,185	6,204
								
	-1	-1	-1	-1	-1	0,9	-0,909	-0,98

Таблица 1.3. Приведенные напряжения для отверстий равной
протяженности в обоих направлениях

Напряжение	Круг	Восьмиугольник	Квадрат при Л « 0
Л А	3 -1	»3,О7 -1,2	3,86 -0,858

Таблица 1.4. Приведенные напряжения для отверстий, имеющих
угол в направлении действия усилий

Напряжение	Квадрат при ос wjr/4	Равносторонний треугольник	
		при ос « 0 (сим- метричной относи- тельно. направле- ния внешних усилий)	при qt - *72 (сим- метричной относи- тельно оси, перпен- дикулярной направ- лению внешних усилий)
	л. 0,06Л	л-Я/14	г-Я/14
	7,80	8,16	11
О	-1,80	-1	-1,7

туру пор. Характерно, что особенно сильному влиянию подвер-
жены максимальные напряжения (напряжения одного знака с
внешними), изменяющиеся от 1,4 до 11 р • Минимальные
напряжения (напряжения противоположного знака по отноше-
нию к внешним) в большинстве случаев меняются в сравни-
тельно небольших пределах - от —0,808 до — 1,2 и не сильно
Табдица 1.5. Напряжения для основного и заменяющего
отверстий

Вид на- пряжений	Основное отверстие			Заменяющее отверстие- эллипс с соотношени- см осей	
	прямоуголь- ник	квадрат	треуголь- ник		
				1:3,5	1:5
Wp	6,2	8,41	11	8	11
дГ‘"/р р;/р	-0,98	1,8	-1,79	-1,44	-1,76
	-0,98.	-1.8	-1	-1	-1

отличаются от значения	=-1, соответствующего отвер-

стию в форме круга и эллипса. Исключение составляют лишь отвер-
стия, имеющие прямой или острый угол, где значение до-
стигает примерно - 1,8 р (табл. 1.4). Из анализа табл. 1.1-1.4
следует,что коэффициенты концентрации максимальных и мини-
мальных напряжений около таких отверстий, как треугольное,
прямоугольное и квадратное, не очень сильно отличаются от
соответствующих коэффициентов для эллиптических отверстий
при надлежащем выборе соотношения осей эллипса. Поэтому
для облегчения последующего анализа концентрации напряже-
ний около отверстий случайной формы (см. гл. 2) целесооб-
разно рассмотреть возможность принятия упрощенного распре-
деления пор по форме, т.е. при замене прямоугольных, квад-
ратных и треугольных отверстий эллиптическими. Так, соот-
ношение осей заменяющего эллипса можно принять равным
1:5 (для треугольного отверстия) и 1:3,5 (для квадратного и
прямоугольного отверстий). В табл. 1.5 показана степень со-
ответствия между максимальными и минимальными напряже-
ниями, а также напряжениями	в точках в* О; я, т.е.

на площадках, параллельных направлению внешних усилий
при различном соотношении осей эллипса.

Из рассмотрения табл. 1.5 видно, что различие в распреде-
лении напряжений между основными и заменяющими отвер-
стиями не очень существенно. Если учесть к тому же, что часто-
та появления пор прямоугольной, квадратной и треугольной
форм в структуре бетона обычно сравнительно невелика
(см. гл. 2), то подобная замена не должна привести к сколь-
нибудь существенным погрешностям.

Данные о концентрации напряжений около изолированных
отверстий могут быть использованы для построения расчетной
модели пористого материала лишь при условии, что расстоя-
ние между соседними отверстиями (порами) настолько велико
по сравнению с размерами отдельных отверстий, что эффектом
взаимодействия последних можно пренебречь. Если же расстоя-
ние становится соизмеримым с размерами отверстий, задача
14
осложняется. Так, даже для случая двух взаимодействующих
отверстий необходимо найти решение бесконечной квазирегу-
лярной системы алгебраических уравнений или же вести расчет
методом последовательных приложений. Вместе с тем анализ
исследований в этой области показывает, что при взаимодейст-
вии равных отверстий при их не слишком близком расположе-
нии одно от другого ("перешеек” между отверстиями не мень-
ше их диаметра) эффект взаимодействия выражен не очень
сильно. При взаимодействии неравных отверстий малое от-
верстие почти не изменяет напряженного состояния вблизи
большого отверстия. Наоборот, большее отверстие может су-
щественно повлиять на распределение напряжений около малого.

Некоторые обобщения на случай пространственной поста-
новки задачи. Выше была рассмотрена концентрация напряже-
ний в плоской постановке. Для случая плоской задачи кон-
центрацию напряжений около отверстий случайной формы мож-
но в принципе имитировать, если рассмотреть набор эллипти-
ческих отверстий, имеющих различное соотношение осей, и
случайную ориентацию относительно направления действия
внешни* усилий (подробнее см. ниже). Пространственным ана-
логом эллиптического отверстия является эллипсоидальная
полость, и естественно предположить, что в пространственной за-
даче Концентрация напряжений около яолостей случайной формы
может имитироваться набором эллипсоидальных полостей.

Анализ концентрации напряжений около полостей в форме
эллипсоида вращения с различным соотношением главных
осей е/d показывает, что зависимость коэффициента концентра-
ции напряжений от соотношения главных осей а/6 и в плоской,
и в пространственной задаче носит идентичный характер. Поэ-
тому рассмотрение задач о распределении напряжений вокруг
трехмерных полостей в плоской постановке не должно привести
к существенным погрешностям. Иначе говоря, реальные изоли-
рованные эллипсоидальные полости могут рассматриваться
как эллиптические отверстия.

Чтобы обобщить этот вывод на случай взаимодействующих
полостей, нужно рассмотреть, как изменяется эффект взаимо-
действия при переходе от плоской задачи к пространственной.
Точное решение этой задачи затруднительно. В то же время
известно, что с достаточной для инженерных целей точностью
эффект взаимодействия и в плоской, и в пространственной за-
даче следует одному и тому же закону. Сравнение эффекта
взаимодействия сферических полостей в пространственной
задаче и круглых отверстий в плоской приводит к аналогич-
ному выводу и позволяет вывести следующую простую зави-
симость:

А/А. » а/а. ,	(3)

где к, к0 - коэффициенты концентрации напряжений в про-
странственной задаче соответственно с учетом и без учета
взаимодействия; ct, осо — соответствующие коэффициенты
концентрации напряжений в плоской задаче. Поэтому в даль-
нейшем будем считать, что эффект взаимодействия полостей
в пространственной задаче качественно не отличается от эффек-
та взаимодействия отверстий в плоской задаче. Это подтверж-
дает сделанный выше вывод о том, что допустимо рассматри-
вать задачи о распределении микронапряжений вокруг трехмер-
ных полостей в плоской постановке, когда полости рассматрива-
ются как эллиптические отверстия.

1.3.	ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ ВТОРОГОРОДА

Основные положения механики разрушения однородных и
квазиоднородных материалов. За последние годы широкое
развитие получила механика разрушения, занимающаяся изуче-
нием условий, при которых в теле распространяется трещина
или система трещин. Методы механики разрушения ограничи-
ваются случаем однородных или квазиоднородных материа-
лов, т.е. случаем, когда трещина имеет размеры, на несколько
порядков превышающие размер наибольшего структурного
элемента этого материала.

Вершина (кончик) трещины является местом возникнове-
ния наибольшей концентрации напряжений и исходной точкой
дальнейшего разрушения материала. Поэтому особое внима-
ние в механике разрушения уделяется именно вершине трещи-
ны. Наиболее общий случай полей деформаций и напряжений
у вершины трещины можно получить взаимным наложением
трех частных видов деформаций (рис. 1.1). Вид I соответст-
вует отрыву, когда берега (поверхности) трещины расходят-
ся в противоположных направлениях; вид П связан с попе-
речным сдвигом — перемещением, при котором берега тре-
щины скользят один по другому симметрично плоскости
хОу; вид Ш соответствует антиплоской деформации (раз-
резанию ножницами), когда трещина находится в условиях
продольного сдвига, а берега трещины скользят один по друго-
му параллельно направляющему .фронту трещины.

В механике разрушения большое внимание уделяется
формулированию критерия локального разрушения, т.е. нача-
ла распространения трещины. Этот критерий сам по себе не
вытекает из уравнений равновесия или движения механики
сплошных сред и является дополнительным краевым усло-
вием. Критерий локального разрушения наиболее просто
формулируется в теории называемых квазихрупких трещин,
когда наибольший размер области необратимых деформаций
Рис. 1.1. Основные виды деформаций у вершины трещины

1 - деформация отрыва; 2 - деформация поперечного сдвига; 3 - дефор-
мация продольного сдвига

вблизи кончика трещины мал по сравнению с длиной трещины.
В механике разрушения однородных материалов наиболее
распространен случай трещин отрыва I. Для этого случая крите-
рий локального разрушения заключается в том, что коэффи-
циент . К/ в формулах для напряжений вблизи кончика тре-
щины в момент локального разрушения считается равным
критическому коэффициенту интенсивности напряжений Kfc.
Эта величина рассматривается как некоторая постоянная мате-
риала и может быть выражена через упругие постоянные Е
(модуль упругости), у (коэффициент Пуассона) и / эф-
фективную плотность поверхностной энергии материала сле-
дующим образом:

К* = 1/ZEj -	(4)

в случае плоского напряженного состояния или

** - i2E7/(f-v‘)’ -	(5)

в случае плоской деформации.

При более общем случае разрушения необходимо знать три
постоянные материала - К;с, Кцс, ^Шс > характеризующие
сопротивление материала развитию трещины при трех основных
видах деформаций. Будем исходить из того, что условия, в
которых находятся реальные трещины, могут быть заменены
условиями плоской деформации или плоского напряженного
состояния, что соответствует деформациям I и П вида. В этом
случае сопротивление материала развитию трещин будет харак-
теризоваться Kfc и Кцс. т.е. лишь двумя постоянными.
Величина /• может рассматриваться как состоящая из
двух компонентов

Г* 7о+7* >	(6)

где ^5	- собственно плотность поверхностной энергии ма-
териала; 7*п	- плотность энергии микропластических дефор-

маций в зоне образующейся новой поверхности. Известно, что
для большинства технических материалов 7 ^7» > те- в про-
цессе разрушения значительная часть затрачиваемой для разру-
шения энергии тратится на микропластические деформации.
Отношение 7/7° может характеризовать степень хруп-
кости материала. Величины 7 и вместе с отношением
для некоторых материалов по данным [69] представлены в
табл. 1.6.

Таблица 1.6. Истинная уо и эффективная f плотность
поверхностной энергии

Материал	Дж/м2	J- , Дж/м2	Т/7о
Сталь (при -150° С) Оргстекло (при -46° С) Силикатное стекло Цементный камень	2  0,5  1,2  0,4	4000  200  3  2,3	2000  400  2,5 6

Из табл. 1.6 следует, что для стали и оргстекла (даже при
стОль низких температурах) у во много раз превышает у ,
еще более велика эта разница для меди (т/7о ~ а сили-
катное стекло и цементный камень гораздо ближе к идеально
хрупкому материалу, если судить по приведенной характе-
ристике.

Распространение трещин может протекать устойчиво и не-
устойчиво. Например, для известной задачи Гриффитса - бес-
конечная пластина с трещиной, растягиваемой на бесконечности
равномерно распределенной нагрузкой р, — предельная нагрузка

VsEf/xf ,	(7)

где t - полудлина трещины; Е - модуль упругости
материала. Из формулы (7) видно, что трещина заданной
длины 2/ при нагрузке меньше предельной ( q< ) не
распространяется, а при . q > q* развивается спонтанно,
так как для всех трещин длиной 2 h > 21 предельная наг-
рузка	Такое характерное распространение трещин

называют неустойчивым. Если же загрузить берега трещины
сосредоточенными силами Р, то распространение ее будет устой-
чиво. Здесь увеличение нагрузки приводит к постепенному
росту трещины, что вытекает из формулы, связывающей пре-
дельное значение силы Р с длиной трещины [37]:

= 1/2игЕтг1.	(8)

Механика разрушения однородных и квазиоднородных
материалов может быть положена в основу анализа поведения
трещины в цементном камне и, с некоторым приближением,
в цементно-песчаном растворе, т.е. на уровне микро- и мезо-
структуры бетона. Бетон, рассматриваемый на уровне макро-
структуры, имеет ряд особенностей, связанных с его неоднород-
ностью и не позволяющих непосредственно перенести на него
изложенные выше положения.

Экспериментальное определение значений критического
коэффициента интенсивности напряжений для цементного
камня и цементно-песчаного раствора. В п. 1.1 было показано,
что бетон может рассматриваться как двухкомпонентная среда
(матрица + включения на уровне макроструктуры). Матрица
же (т.е. цементйый камень или цементно-песчаный раствор)
может условно рассматриваться как квазиоднородный мате-
риал. В последние годы для подобных квазиоднородных матери-
алов разработан ряд способов экспериментального определения
значения критического коэффициента интенсивности напряже-
ний Kjc. Соответствующие экспериментальные исследования
проводятся в настоящее время в СССР [5, 39] и в ряде зару-
бежных стран.

Большинство способов экспериментального определения
величины Kjc основано на одном и том же принципе, заключаю-
щемся в следующем. В образце определенной формы и опре-
деленного размера создается искусственная трещина (надрез),
имеющая строго определенные форму и размер. После этого
образец нагружают с небольшой скоростью и фиксируют крити-
ческую нагрузку, при которой трещина становится неустойчи-
вой или по крайней мере резко ускоряет свой рост. Затем по
измеренной нагрузке с учетом схемы нагружения, формы и раз-
меров трещины и образца в целом по формулам механики
разрушения вычисляют значение К[ - коэффициента интенсив-
ности напряжений, который при нагрузке, равной критической,
и дает значение Kjc> т.е. критического коэффициента интен-
сивности напряжений.

На рис. 1.2 показаны наиболее распространенные способы
определения величины К]с для рассматриваемых материалов.

Табл. 1.7, построенная по данным [58, 67-69], дает зна-
чения К[с, полученные в опытах различных авторов, прово-
дившихся по схемам, показанным на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Способы эксперименталь-
ною определения значений крити-
ческого коэффициента интенсив-
ности напряжений Крс в цемент-
ном камне и цементно-песчаном
растворе
а осевое растяжение; б - рас-
калывание; в - изгиб, трехточеч-
ное нагружение; г - изгиб, четы-
рехточечное нагружение; д - рас-
тяжение образца с начальной тре-
щиной; е - изгиб круглого об-
разца с кольцевой проточкой; ж
двойное кручение
Таблица 1.7. Экспериментальные значения критического
коэффициента интенсивности напряжений Ajc для цементно-
песчаного раствора и цементного камня в возрасте 28 сут

в/ц	Значение КХс, МН/м^/З, для	
	цементного камня	цементно-песчаного раствора
0,3	0,4	—
0,35	0,33 - 0,35	0,80
0,5	0,11 - 0,34	0,33 - 0,74
0,67	-	0,4 - 0,41

Особенности развития трещин в неоднородных материалах.
Механика разрушения неоднородных тел исследована гораз-
до меньше, чем в случае однородных (квазиоднородных) ма-
териалов. Особенно это относится к такому существенно не-
однородному материалу, как бетон. Первые работы, рассматри-
вавшие возможность приложения методов механики разруше-
ния к бетону, появились лишь в 60-х годах нашего века. В
настоящее время в СССР [5, 39] и в других странах развернуты
интенсивные исследования в этой области1.

Бетон, рассматриваемый на уровне макроструктуры, имеет
ряд особенностей, не позволяющих непосредственно перенести
на него некоторые положения, изложенные выше. Поэтому
для анализа развития трещин в бетоне необходимо привлечь
некоторые дополнительные гипотезы.

Используя эти гипотезы и основываясь на имеющихся
экспериментальных и теоретических данных, сформулируем
некоторые основные особенности поведения трещин в неодно-
родном материале типа бетона.

1.	Распределение напряжений в неоднородном материале
даже при отсутствии трещин существенно отличается от рас-
пределения напряжений в однородном теле. Это явление свя-
зано с различием упругих свойств компонентов. Оценка такого
явления может быть произведена с использованием имеющих-
ся данных [12], основанных на решениях теории упругости о
концентрации напряжений в однородной матрице около
включений, т.е. зерен заполнителя.

2.	В неоднородном материале, в зависимости от соот-
ношения свойств его компонентов и характеристик контакта
этих компонентов, трещины могут развиваться в различных
зонах материала. Чтобы учесть эту особенность, будем разли-

1 В 1979 г. при Международном союзе лабораторий по исследо-
ванию материалов и конструкций (РИЛЕМ) был создан Комитет по
механике разрушения бетона (гМС-50), секретарем которого назначен
автор книги.
чать трещины следующих трех типов: .М (в матрице), 3 (в за-
полнителе) , К (в контактной зоне).

3.	В неоднородном материале трещины имеют тенденцию
легко проникать из более жесткого в менее жесткий матери-
ал. Обратное явление затруднено, т.е. возможна остановка тре-
щины на границе раздела компонентов. Если подобная тре-
щина одной вершиной находится в материале заполнителя,
а другой — в. материале матрицы, то соотношение между
предельными нагрузками д, по достижении которых трещи-
на начинает развиваться, в зависимости от соотношения между
значениями эффективной плотности поверхностной энергии 7"
соответствующих материалов может быть, согласно [38], най-
дено по формуле

Ч*7ч‘ - къ/т* 	(9)

Здесь К зависит от характера внешней нагрузки и соотношения
упругих постоянных материалов матрицы и включения. Мо-
жет быть использовано то же понятие критических коэффи-
циентов интенсивности напряжений, что и для однородного
материала ( К1с> Кас ). Обозначения	будем от-
носить к материалу матрицы, а	— к материалу за-

полнителя.

4.	Трещины в неоднородном теле могут развиваться не

только в одном или другом материале, но и по зоне их контак-
та. Когда прочность контактной зоны- достаточно велика (на-
пример, выше прочности каждого из материалов), имеющаяся
на поверхности контакта трещина по этой поверхности не пой-
дет, а будет распространяться в глубь одного или обоих мате-
риалов, так же как если бы тело было однородным. Наоборот,
когда прочность контактной зоны недостаточна, трещина на-
правится по поверхности контакта.

5.	Развитие трещин в контактной зоне может быть описано

теми же зависимостями, что и в однородном материале, при
замене критических коэффициентов интенсивности напряже-
ний ( KIc , KSc ), характеризующих сопротивление однород-
ного материала распространению трещин, соответствующими
значениями для контактной зоны ( К™,	)•

Чтобы описать развитие трещины в неоднородном материа-
ле, необходимо знать величины К1с и KSc для образую-
щих бетон компонентов (матрицы, заполнителя и зоны их
контакта). Однако их точные числовые значения установить

пока трудно, так как экспериментальные данные или очень
ограничены, или вовсе отсутствуют. В качестве первого прибли-
жения можно использовать ориентировочные данные табл. 1.8,

шению к

К

где дан порял^ок значения рассматриваемых величин по отно-
шению к	При этом величина	для цементного

камня в возрасте г, = 28 сут в первом приближении может
Таблица 1.8. Значения Ric и RXe для компонентов бетона — матрицы, заполнителя и зоны их контакта - в долях от					
Коэффици- циент	Матрица	Заполн  плотный	итель  пористый	Контактная заполн  плотном	зона, при ителе  пористом
1  КТс	2  1	3  » 1	4  •од	5  0,5	6-  »1
кПс	3	^3	0,3	0,65	х>1

быть принята согласно табл. 1.7, для других значений г, -
изменяющимся пропорционально Rp . Табл. 1.8 составлена
в предположении, что для каждого компонента бетона соот-
ношение К1С и Кх<. соответствует соотношению макро-
скопической прочности ' на растяжение и на сдвиг этого мате-
риала. Было также принято, что соотношение величин	и

KjI соответствует соотношению макроскопической проч-
ности на сжатие для материалов матрицы и заполнителя. Зна-
чения , относящиеся к пористому заполнителю, даны примени-
тельно к конструктивному керамзитобетону. При составле-
нии таблицы использованы существующие теоретические и
экспериментальные данные [11, 27, 48, 53, 57, 59, 60, 62, 69].

6.	Необходимым и достаточным условием разрушения
образца материала является образование одной или нескольких
магистральных, т.е. сквозных, трещин, вызывающих деление
образца пополам или на большее число частей. При таком усло-
вии наличие в образце даже значительного числа несквозных
трещин еще не говорит о его разрушении; с другой стороны,
образование, например, сквозной продольной трещины в сжа-
том образце считается эквивалентным его разрушению, даже
если образовавшиеся части еще могли бы выдержать сжимаю-
щую нагрузку.

Основные типы разрушения неоднородных материалов.
Используя данные табл. 1.8 и исходя из основных особен-
ностей развития трещин в неоднородных материалах, введем
классификацию возможных типов разрушения неоднородно-
го материала типа бетона.

1.	Разрушение типа М - магистральные трещины проходят
только через матрицу. Этот тип разрушения возникает лишь
на образцах без крупного заполнителя, так как при наличии
последнего неизбежно появление трещин на более слабых участ-
ках, т.е. трещин типа 3 или К (ср. графы 4и5 табл. 1.8).
2.	Разрушение типа М3 (матрица и зерна заполнителя)
характерно для бетона на пористых заполнителях, для которо-
го матрица и заполнитель являются более слабыми участками
(графы 2и4 табл. 1.8) по сравнению с контактной зоной
(графа 6).

3.	Разрушение типа МК (матрица и контактная зона)
возникает в обычных тяжелых бетонах (в графе 3-строгое
неравенство), когда матрица и контактная зона являются более
слабыми участками (графы 2 и 5 ) по сравнению с заполните-
лем. В этих условиях развивающиеся трещины матрицы обыч-
но огибают зерна заполнителя по контактной зоне.

4.	Разрушение типа МКЗ (матрица + контактная зона I + за-
полнитель) . Этот тип разрушения может быть получен в вы-
сокопрочном тяжелом бетоне, когда матрица и заполнитель
близки по прочности, т.е. условия в графе 3 табл. 1.8 близ-
ки к равенству. При таком соотношении трещины матрицы
легко проникают в зернз заполнителя и наоборот.

О приближенных методах решения задач механики раз-
рушения. Для аналитического описания развитие трещин в столь
сложном неоднородном материале, каким является бетон,
необходимо привлечь приближенные методы решения задач
механики разрушения. В задачах о развитии прямолинейных
трещин отрыва в плоской постановке удобно [37] приближен-
но представлять упругие напряжения dy (х, о) на продол-
жении линии трещины в виде суммы

ду(Ч0) » 6О (х,0) +6t(х,0) ,	(10)

где бв (х,0)	- упругие напряжения от внешней нагрузки

на месте трещины в сплошном теле; 6<(*»0) —упругие
напряжения, возникающие в теле с трещиной, когда к ее бере-
гам приложены напряжения д0(х, О) . Напряжения 6<(хг0) оп-
ределяются обычными методами теории упругости с учетом
отмеченной выше концентрации напряжений вблизи включе-
ний. Напряжения 61 (х, 0) для трещины с абсциссами концов
-д, Ь , согласно [37], определяются так:

6(х О)-	1 .. . ...	(11)

гда	ря а) - о- а, °) .

Значение коэффициента интенсивности напряжений вблизи
трещины в этом простейшем случае

кт = tim УЛ^х-х.) Гб. (х, О) ♦ 6, (х, 0)J,	(12)

X—»Х;

где х^ - абсцисса одного из концов трещины (-#; bY На-
24
пряжения 6О (х,0)	не зависят от размеров трещины, поэ-

тому последнее уравнение можно записать так:

Kj = Нт	(х-хJ 61 (хг0) ,

Х-*ХО

(13)

откуда для вершины с абсциссами а и b получаем соответствен-

к у/ 2' f V(b-$(<*> $)\

7	7 —Wfi—— ’	(14)

- - -./г/ж ‘ t 6.(i,0)V(6-i)(a-'i) .

J	6_>

-а	л

(15)

причем критерий локального разрушения, как указывалось
выше, для этого случая имеет вид = К1с .

В более общем случае, когда направление развития имею-
щейся трещины заранее неизвестно, критерий локального раз-
рушения ^согласно [37, 53], принимает вид:

(16)

К

Нт

где г, fi - полярные координаты с началом в вершине
трещины и с полярной осью, направленной вдоль продолжения
трещины; fl* — значение угла J3, определяющее началь-
ное направление распространения трещины;	- ком-

поненты тензора напряжений в вершине трещины, определяе-
мые приближенно так:

?)]	09)

Критерий локального разрушения с учетом последних выра-
жений можно записать так:

ZG-f/cosДА К1' : (20)
В частном случае при fl* ж 0, т.е. для трещин, распростра-
няющихся прямолинейно, указанный критерий получает из-
вестную уже форму:

** ~ К1с > |	(22)

Приведенные выражения позволяют анализировать разви-
тие трещин любой конфигурации в условиях шюской задачи,
если известны коэффициенты интенсивности напряжений KIt К^.
Значения этих коэффициентов, зависящие от формы
трещины и от вида внешней нагрузки, для многих практически
важных случаев даны в [38, 53]. Для других, еще не исследо-
ванных случаев можно использовать приближенные методы
определения коэффициентов интенсивности, идея которых
[40] весьма проста. Она состоит в том, что усилие, не передаю-
щееся через линию трещины, должно компенсироваться допол-
нительным усилием от концентрации напряжений вершины
трещины. В [40] дан ряд примеров подобного приближенного
вычисления коэффициентов интенсивности напряжений.

Деформации материала с учетом трещин в его структуре.
Развитие трещин в структуре материала в процессе нагружения
существенно влияет на законы его деформирования. Полная
деформация бетона, согласно [11], состоит из следующих
компонент: упругой деформации, деформации ползучести,
а также двух компонент, связанных с различными этапами
разрушения структуры — пластических деформаций’’второго
рода” и псевдопластических деформаций. В связи с тем, что
последние две компоненты имеют одну и ту же физическую
сущность и представляют собой деформации трещинообразо-
вания, их целесообразно рассматривать совместно. Поэтому
выражение для компонент тензора общей деформации тела
можно представить в форме

» < * < * < •	<23)

Здесь бц ,	, е" — составляющие общей деформации,

связанные соответственно с упругим поведением материала,
с его ползучестью и трещинообразованием. Для однородных
напряженных состояний в условиях плоской задачи последнее
равенство может быть записано так:

f в 6		(24)

здесь х соответствует продольным, у - поперечным деформаг
циям материала. Для определения деформаций	рас-

смотрим элементарный объем материала в виде куба со сторо-
ной 1, с центром в точке М, расположенным на линии трещи-
ны. Поставим задачу определить деформацию этого объема,
вызываемую взаимным перемещением берегов трещины.
Создадим локальную систему прямоугольных координат
(	% направив ось 0$ вдоль линии трещины и при-

няв, что направление трещины составляет угол ос с про-
дольной осью образца. При этом направляющие косинусы,
характеризующие продольное направление,выражаются так:

lt » cos ос ;	=-sinос,	(25)

а направляющие косинусы для поперечного направления —
= since ;	п?£~ cos ос.	(26)

Известно, что относительное удлинение линейного элемента,
направление которого характеризуется косинусами t, т, пу
определяется в общем случае так:

€ = +	(27)

Эта формула для плоской задачи принимает вид

£ = £* t г+	г.	(28)

Деформация	может быть принята для рассматриваемо-

го элементарного объема равной ширине раскрытия трещины
£) вблизи точки М, деформация уу* — взаимному
сдвиг-у берегов трещины 2 и , постоянному по длине трещи-
ны, а деформация	— равной нулю (рис. 1.3). Отсюда

получаем.

О	9 П	\

£^sin а - sina cos а * 2.v(^)sio. а -г’с/бСпаеоза;

>(29)

£y«^cosea+^ sinacosoc’s 2.и-($)соь<х+2и sina cosa. J

Рис. 1.3. К определений) деформаций трещинообразования
Для случая трещин отрыва в первом приближении можно
пренебречь взаимным сдвигом берегов трещины ( у/. — 0),
откуда

2v($)sinz<x;	® 2т/($)cosza ,	(30)

а для случая трещин сдвига, когда - 0, ибо берега трещины
находят один на другой, получаем

€х « ~2и sin a cosa ;	» 2и sina cosa .	(31)

Для оценки общей деформации трещинообразования об-
разца примем, что найденные деформации элементарных объе-
мов ’’размазаны” по всему объему тела, и что вклад одного
элементарного объема в зоне у- й трещины отрыва, имею-
щей длину 24., в продольные и поперечные деформации
образца шириной Ь и высотой h равен соответственно:

~2v($)w>tx/bh, (32)
а вклад всех элементарных объемов, расположенных в зоне
этой же трещины,

4£X(J) - 2 wfajlj/bh ;	= z?cos2ay Ij/bh, (33)

W	st*

Ij = [v(S)d$.	(34)

Аналогично для z’-ой трещины сдвига длиной 2 ij вклад
одного элементарного объема:

^x(il^-2ui sina/cosa,/*/? ; 1

2 ui sLnaz cosa;/bh,

а вклад всех*элементарных объемов:

21ц ~ -tiUitti sinaz cosa. /^/z ; 1

A£v(i) ^ле^(ц}21ц^ 4и{1„&тсь casat/bh, j

Если в образце имеется п трещин отрыва и tn трещин
сдвига, то его деформации трещинообразования:

f®= Z Л£яа) +£ A£X(J) = /^Z^^sina/coscQ*

*2^sin4	;	(37)

£уЖ= Z A£V(i) +Z&Sy(j) ~	iti sinax cosa/*

JK1 + 2Z cos2IjJ/bh .	(38)
Приведенные формулы позволяют вычислить продольные
и поперечные деформации бетона с учетом развития трещин
в его структуре. Для отдельных видов напряженного состоя-
ния эти формулы могут быть упрощены. Например, для слу-
чая одноосного растяжения можно пренебречь ролью сдвиго-
вых трещин, откуда

6^= y&Z sin*cxt- IiJ/bh .	(39)

Поскольку почти для всех при этом /ст,- s jr/2 , то £* = О,
и трещинообразование практически отразится лишь на продоль-
ных деформациях е *

В случае одноосного сжатия для трещин отрыва можно
принять осу = 0. с учетом чего при и. tfi:

sin <Xi cosc^yу/bh ;	(40)

£ к = [1 X bu sincos<xt +22 cos “a; /bh. (41)

Отсюда, в частности, следует, что поперечная деформация тре-
щинообразования при сжатии по модулю всегда превышает со-
ответствующую продольную деформацию, что в свою очередь
неизбежно приводит к заметному росту коэффициента попереч-
ных деформаций образца в процессе нагружения. Подобное
явление хорошо, известно из многочисленных экспериментов,
но пока еще не имело теоретического обоснования.

1.4.	ВЛИЯНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЛЗУЧЕСТИ,

СТАРЕНИЯ И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
МАТЕРИАЛА

Полученные результаты относятся, строго говоря, к упру-
гому материалу, физически нелинейность которого проявляет-
ся лишь в небольшой’области вблизи устья трещины, а времен-
ные эффекты отсутствуют. Характерные для цементного камня
и бетона ползучесть материала, изменение его свойств во време-
ни (старение), а также его возможная физическая нелинейность
могут существенно отразиться на полученных результатах. Это
влияние может оказаться различным в зависимости от того,
какой из дефектов рассматривается. Наиболее существенно
оно для дефектов второго рода.

Вопросы развития трещин в материалах, которым свойст-
венна ползучесть, рассматривались в ряде работ. Однако авторы
большинства работ, как правило, исходят из того, что свойства
материалы инвариантные относительно сдвига по оси времени.
Цементный камень и бетон обладают изменяющимися во вре-
мени прочностью и модулем упругости; реологические свой-
ства этих материалов также претерпевают изменения в процес-
се старения материала. Поэтому вопросы развития трещин в
материалах типа цементного камня и бетона требуют особо-
го исследования.

Изучим трещину в цементном камне или бетоне при
докритических нагрузках (т.е. до того, как трещина приходит
в предельно равновесное состояние). Характер внешней нагруз-
ки в данном случае не играет особой роли, так как распреде-
ление напряжений вблизи трещины слабо зависит от способа
приложения нагрузок и расположенные здесь элементы мате-
риала находятся в напряженном состоянии, близком к одноос-
ному растяжению. Растягивающие напряжения вблизи контура
трещины в условиях ползучести приводят к нарастанию дефор-
маций материала, вследствие чего расстояние между берегами
трещины будет непрерывно нарастать, а область действия меж-
частичных сил, действующих в устье трещины, будет сокра-
щаться. Наступит момент, когда эти силы перестанут уравно-
вешивать внешнюю нагрузку, т.е. трещина перейдет в состоя-
ние предельного (подвижного) равновесия.

Теперь поведение трещины будет зависеть от вида
внешней нагрузки. Если характер приложения внешней нагруз-
ки отвечает неустойчивому росту трещин, то рассматриваемая
трещина будет развиваться спонтанно, приводя к разрушению
элемента. Таково, например, разрушение цементного камня при
длительном растяжении (подробнее см. гл. 2). Если же харак-
тер приложения внешней нагрузки отвечает устойчивому раз-
витию трещин, то рассматриваемая трещина начнет медленно
расти без увеличения внешней нагрузки. Таково, например,
разрушение цементного камня и бетона при длительном сжатии
(подробнее см. гл 3).

Сделаем два допущения, заключающиеся в следующем: де-
формации ползучести растяжения, возникающие вблизи контура
трещины, линейно зависят от напряжений, а реологические свой-
ств а. материала этой зоны совпадают с реологическими свойства-
ми материала в целом. Первое из этих допущений основано на
том известном экспериментальном факте, что связь между напря-
жениями и деформациями ползучести бетона при растяжении
практически линейна вплоть до разрушения материала [18]. Не-
обходимость принятия второго допущения обусловлена тем,
что особенности реологического поведения материалов вблизи
дефектов структуры еще слабо изучены; в настоящее время
такое допущение характерно для работ, посвященных иссле-
дованию поведения трещин в условиях ползучести. Если для
цементного камня такая предпосылка, по-видимому, может
быть принята без особых оговорок, то для бетона дело обстоит
сложнее. Зерна заполнителя, ползучесть которых практически
отсутствует, оказывают сдерживающее влияние на деформации
ползучести областей, окружающих трещин; особенно это отно-
сится к трещинам контактной зоны (матрица — заполнитель).
Точный учет такого влияния весьма сложен. Для практических
целей можно приближенно принять, что это сдерживающее
влияние эквивалентно сдерживающему влиянию заполнителя
на макроскопические деформации ползучести бетона. В этом
случае- принятая предпосылка будет справедлива и для бетона,
и величина С (t , т), входящая в приведенные ниже фор-
мулы, может рассматриваться как удельная относительная
деформация ползучести, определяемая из опытов на бетонных
образцах.

Тогда деформации с учетом ползучести для областей вбли-
зи контура трещин могут быть описаны уравнением [3]

e(t).<Xt)/E(t) <-fк (t, г)	аг.	(42)

Здесь Е ( т ) — модуль упругости материала; — момент
времени, соответствующий началу загружения; К ( t , г ) —
ядро ползучести, K(t, т)-Е(т) £ [1/е(т) +	т)]\	—

удельная относительная деформация ползучести. Влияние
старения материала здесь учтено тем, что Е ( Г ) является
функцией времени.

Рост трещин в условиях ползучести для инвариант-
ного во времени материала в условиях плоской задачи мож5ет
быть описан с использованием соответствующих решений
упругомгновенной задачи при замене упругих постоянных не-
которыми операторами (если на границе тела заданы только
нагрузки). Различные способы доказательства этого положения
даны в [43, 53]. В соответствии с этим в формулах теории
трещин идеально упругого тела заменим величину 1/Е опера-
тором:	t

i	(43)

tf

что непосредственно вытекает из (42).

Предположим теперь, что напряжения в момент времени
достигают постоянного значения и далее уже не меняются. В
этом случае	t

<44>

Ту

Учитывая , что С (t, т ) = 0, получим

I	(45)

или	1	/	(

Е ° Eft) * С J
где

= C(t, т<) +	- E(t)

или ‘F“=7^7 [l^E(r1}C(t,v1)].
c с(Г,/ *•	J j

(46)

Рассмотрим теперь другую упругую постоянную - коэф-
фициент Пуассона. Имеющиеся в литературе данные об изме-
нении этой величины в процессе ползучести весьма противоре-
чивы. В первом приближении будем исходить из простейше-
го предположения, что коэффициент Пуассона — постоянная
величина и в процессе линейной ползучести не изменяется.
Возникающая при этом ошибка, согласно [I], невелика. Рас-
сматриваем только плоское напряженное состояние, ибо за-
висимости для случая плоской деформации будут отличаться
лишь постоянным множителем 1/(1— V2 ).

В качестве примера рассмотрим простейший случай устой-
чивого развития трещины в материале, обладающем ползу-
честью. Предположим, что в бесконечной пластине из материала,
обладающего свойствами упругоползучего тела, имеется тре-
щина. Симметрично относительно концов трещины к берегам
ее приложены равные по величине и противоположные по на-
правлению сосредоточенные силы Р. Выражение для полудлины
трещины в упругом материале вытекает из формулы (8):
/= Р2/2згЕ'1‘.

В соответствии с изложенным выше заменяем \[Е опера-
тором 1/ZT,согласно (46). При этом принимаем, что эффектив-
ная плотность поверхностной энергии	во времени не

изменяется:

t‘ ?	.	(47)

2^E(Tl) L	J

Следовательно, длина трещины с течением времени непре-
рывно возрастает (по тому же закону, что и удельная относи-
тельная деформация ползучести), стремясь к предельному
значению

-	U. w - ЕМ C(^,t,)] ,	(48)

где ZMrH^) = Pz/2st7E(t1) — мгновенная полудлина
трещины, т.е. полудлина трещины в момент приложения нагру-
ки (при f = Т>); для дальнейшего удобнее представить
(47) в виде

' да;Aftfc* ^т-г4 >«>

где £Пр предельное значение модуля упругости, обычно
связываемое с Е ( Т ), согласно [3], зависимостью
Е(т) = E„r.(l-Pe'at),	(50)

где а и ft - некоторые коэффициенты, определяемые
из опыта. В (49) первый множитель представляет собой ZMf.M ( ©о]
т.е. мгновенную полудлину трещины, образующуюся в очень*
старом бетоне ( —► со). При неизменной нагрузке эта вели-
чина для данного материала является константой.

При более детальном анализе процесса распространения
трещин можно воспользоваться одним из следующих выраже-
ний для удельных относительных деформаций ползучести
существующих в рамках так называемой наслед-
ственной теории старения бетона:

C(t,t)~ (с.->А/т)[{-е’п*'т>]-,	(51)

-	с°['-е ** Т’]^А(е',г- еП);	(52)

(53)

Первое выражение предложено Н.Х. Арутюняном [3],
второе — И.Е. Прокоповичем и И.И. Улицким [42], третье —
С.В. Александровским [1].

Выражение для меры ползучести в других теориях ползу-
чести бетона — упругой наследственности или старения — мо-
жет быть получено как частный случай выражения (52), если
принять в нем соответственно А =0 или Со » 0.

С (t, т) = c[l - е 	;	(54)

C(t,r)- A(e~fr-e~tf).	(55)

Если подставить в (47) и (48) выражение для С ( /, г )
в форме (52) и воспользоваться введенным выше обозначением
гн (т1) > получим:

I ’	(56)

t.Jr.^EMC^E^Ae-^].	(57)

При этом скорость продвижения конца трещины
(г,)[С, Ее-^-г<АЕе-^],	(58)

т.е. трещина распространяется со скоростью, убывающей по
экспоненциальному закону.
Соответствующие выражения для теории упругой наслед-
ственности получаем отсюда как частный случай при А — 0:

С =	;	(59)

(т.)[1т ЕСт.) 0,J;	(60)

.	(61)

Наконец, полагая в (56) - (58) Со — 0, получаем выраже-
ния для материала, подчиняющегося теории старения:

t -	Е(т,)А(е-гг^ёП)];	(62)

f-гн (т.) [^Е(Т.) А e~fr'J;	(63)

<64)

К подобным же результатам можно прийти, если принять
другие выражения для С ( t,	).

Все изложенные результаты относятся к случаю, когда
эффективная плотность поверхностной энергии 7", харак-
теризующая прочностные свойства материала, не изменяется
во времени. Учет изменения у во времени может качест-
венно отразиться на характере роста трещин при ползучести.
Напрймер, если 7 во времени увеличивается, то длина
трещины не будет монотонно возрастать, а, начиная с некоторо-
го момента, может убывать. Более подробно этот вопрос рас-
смотрен в следующих главах.

Теперь коснемся возможного влияния физической
нелинейности материала (как при упругомгновенном нагруже-
нии, так и в условиях ползучести) на поведение трещин. Дефор-
мации материала вблизи некоторой точки М (х, у ,z ), принад-
лежащей области, окружающей трещину, могут быть выражены

где Sn[^(x,y} z, t)] и Sn^-(x, у} z} г)]

так называемые функции нелинейности, которые вводятся в
виде множителя для величин соответственно упругомгновен-
ных деформаций и деформаций ползучести [16], R — харак-
теристика прочности материала (в данном случае R может
рассматриваться как его локальная прочность на растяжение).
Распределение напряжений в области, окружающей трещину,
является существенно неравномерным, поэтому функции

(х> У> *)] и	У> z> т)]> а вместе

с тем и степень нелинейности деформаций явно зависят не
только от времени, но и от координат х, у ,z рассматривае-
мой точки. Возникающая при этом задача оказывается весьма
сложной и в настоящее время вряд ли может быть решена
точно. В качестве первого приближения можно было бы принять,
что степень нелинейности деформаций не зависит от координат
рассматриваемой точки. При этом возникает определенная пог-
решность, связанная с неучетом более сильной нелинейности
в более напряженных областях, приводящей к некоторому до-
полнительному выравниванию напряжений и к затруднению
развития трещины. Будем считать, что это явление вместе с
явлением микропластических деформаций в устье трещины
учитывается заменой истинной поверхностной энергии мате-
риала 7^ величиной эффективной поверхностной энергии
7". С учетом сказанного деформация для любой точки об-
ласти, окружающей трещину,

о fK(t,r)	(66)

E(t) J	Е(т)

Предположим, что напряжения в момент времени г, достиг-
ли определенного значения и далее не меняются, то последнее
уравнение запишется так:

- 5„^м]б(т,) С "(t.tj).	(67)

Функции нелинейности [16]:

(68)

ИЛИ	А

-е ’	(69)

где б и R — соответственно напряжения в бетоне и
его предел прочности; , тк , ак } Ьк - различные
параметры нелинейного деформирования. Для случая упруго-
мгновенных деформаций растяжения указанная функция нели-
нейности, согласно (68),

(70)
а для случая деформаций ползучести

(71)

I ™ р/	( Ар/

гДе > ft? >	в свою очередь зависят от проч-

ности материала.

Для дальнейшего примем, что нелинейность поведения ма-
териала вблизи трещины соответствует нелинейности бетона
в целом, а численное значение функций нелинейности макси-
мально и соответствует достижению предела прочности мате-
риала:

что дает возможность получить для возможного влияния
нелинейности достаточно надежную оценку сверху. Тогда
уравнения запишутся так:

 (72)

(73)

Таким образом, полученные выше результаты можно рас-
пространить на случай нелинейной связи между’напряжениями
и деформациями, если оператор, заменяющий величину 1/£",
принимать не в виде (45), а в виде

ж-	(74)

С С (I/

Последнее выражение можно записать так:

где <75>

<7б>

Величина ос учитывает как бы глобальное влияние
нелинейности на суммарные деформации, а велична уЗ —
неравномерность этого влияния на упругомгновенные дефор-
мации и на деформации ползучести. Анализ множества экспе-
риментальных данных, проведенный в [16], приводит к следую-
щим выражениям:

0,3+0,37 R* ;

Z?„₽~ 1,5.
Отсюда

1,3 + 0,37/?₽	(78)

>3= 1/(0,52 + 0,148 /?р ).	(79)

Примечательно, что учет величины сх равносилен просто-
му снижению модуля деформаций материала и не отражается
на характере развития трещин во времени. Наоборот, учет вели-
чины ft может отразиться на характере развития трещин
во времени. На рис. 1.4 представлены полученные расчетным

Рис. 1.4. Влияние физической нелинейности материала на раз-
витие трещин в бетоне

путем кривые, характеризующие нарастание во времени при-
веденной длины трещины, загруженной в середине двумя сос-
редоточенными силами Р. Сплошные линии соответствуют
линейной постановке задачи и построены по формулам (8) и
(45), причем использованы характеристики бетона, принятые в
[1] для обработки результатов известных опытов Росса. По
оси ординат отложена величина 1(t) /	характе-

ризующая отношение длины рассматриваемой трещины 2 t (t)
к мгновенной длине трещины 2 /МГн (ri) для очень старо-
го бетона, когда -г/—* сю , где т, — возраст в момент за-
гружения. Линия А ограничивает мгновенное (т.е. от кратко-
временного действия нагрузки) раскрытие трещин для бето-
нов различного возраста. Пунктирные кривые отвечают не-
линейной постановке для бетонов с различной степенью нели-
нености (при >?р == 2, Зи4 МПа соответственно). Учет
нелинейности не очень сильно отражается на характере роста
трещин. К тому же, в соответствии с принятыми выше предпо-
сылками, настоящий анализ дает для влияния нелинейности
оценку сверху, и действительное влияние нелинейности окажет-
ся, как правило, еще меньше.
1.5.	ИСХОДНАЯ МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛА

Для разработки математического описания процесса раз-
вития трещин в бетоне необходимо создать исходную модель
материала. Анализ, проведенный в предыдущих разделах, дает
возможность сформулировать такую модель. Модель основана
на ряде упрощающих гипотез и сводится к следующему:

1)	рассматривается твердое тело в виде матрицы со вклю-
чениями (зернами заполнителя) различного размера, с дефек-
тами первого (поры) и второго (трещины) рода на различных
уровнях структуры материала;

2)	дефекты первого рода имеют различное очертание, но
один и тот же характерный размер и рассматриваются на од-
ном лишь микроуровне;

3)	дефекты второго рода могут иметь различные очертание
и размеры; они подлежат рассмотрению на микро- и макро-
уровне;

4)	материал матрицы между дефектами и включениями
является однородным;

5)	материал матрицы между дефектами и включениями
является изотропным;

6)	размер дефектов и включений — величина малая по
сравнению с размерами тела;

7)	деформации являются малыми;

8)	трехосное напряженное состояние может быть замене-
но двухосным — плоским напряженным состоянием;

9)	при кратковременном действии нагрузки будем считать
возможным пренебречь явлением ползучести и полагать, что
материал в основной своей массе (кроме зоны, непосредственно
примыкающей к трещинам) работает упруго; одновременно
будем оценивать влияние возможной физической нелинейности
материала;

10)	при длительном действии нагрузки будем считать до-
пустимым переход от решений упругомгновенной задачи путем
использования оператора 1/Е согласно формулам п. 1.4; здесь
также будем оценивать влияние физической нелинейности
материала как для упругомгновенных, так и для длительных
деформаций.

Заметим, что исходная модель может несколько уточняться
и видоизменяться применительно к виду напряженного состоя-
ния. Например, при многоосном на1ружении мы не будем поль-
зоваться гипотезой 8 о возможности сведения исследуемой
задачи к плоской, т.е. будем рассматривать объемное напря-
женно-деформированное состояние материала. Иногда мож-
но отвлечься от действительной формы дефектов первого рода
и рассматривать их как круговые полости и отверстия.
2.ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ БЕТОНА
ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

2.1.	МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ
ВБЛИЗИ ПОР СЛУЧАЙНОЙ ФОРМЫ

Исходные предпосылки. Образование и развитие трещин
на контуре пор, т.е. в микроструктуре бетона, во многом обу-
словлено концентрацией растягивающих напряжений на конту-
ре этих пор. В гл. 1 на примере нескольких отверстий было
показано, что эта концентрация носит различный характер в
зависимости от знака внешних напряжений, т.е. от того, чем
вызывается концентрация растягивающих напряжений око-
ло пор - внешним сжатием или внешним растяжением. При
внешнем растяжении концентрация растягивающих напряжений
на контуре пор существенно зависела от их формы. При внеш-
нем же сжатии концентрация растягивающих напряжений из-
менялась в сравнительно небольших пределах и довольно слабо
зависела от формы пор.

Реальные поры цементного камня и других материалов
имеют совершенно произвольную, случайную форму; к тому
же они случайно ориентированы относительно направления
действйя внешних усилий; наконец, положение критической
зоны контура, где могут появиться трещины, может изменять-
ся в широких пределах. Поэтому вопросы концентрации напря-
дений на контуре пор при внешнем растяжении требуют более
подробного, чем в гл. 1, рассмотрения. Чтобы более точно
описать концентрацию напряжений около реальных пор, целе-
сообразно воспользоваться аппаратом математической статис-
тики, теории вероятностей, теории случайных функций и дру-
гими современными методами.

Для моделирования формы пор приближенно представим
поры реального материала в виде отверстий или полостей той
или иной идеализированной геометрической формы (круг,
эллипс, квадрат и т.п.). Для определенности предположим,
что в нашем распоряжении набор из таких идеализированных
отверстий и любую пору материала можно представить одним
из этих отверстий. Условимся считать, что каждому из случай-
ных событий Ак (к — 1,2,..., /?), заключающемуся в появле-
нии отверстия той или иной формы, соответствует определен-
ная вероятность Р{А^), причем 2L (Ак) — 1. Вероятности
Р(Ах) могут быть вычислены экспериментально, например
непосредственным наблюдением образца материала под микро-
скопом, причем при достаточно большом числе наблюдений
вероятность Р(А.к) может быть принята равной частоте собы-
тий А^.

Моделирование ориентации пор проводим следующим путем.
Угол ст, характеризующий ориентацию отверстия относи-
39
тельно направления действия внешних усилий, будем рассмат-
ривать как случайную величину с некоторым законом распре-
деления. Этот закон, так же как и числовые характеристики
распределения случайной величины сх , можно было бы
также найти экспериментальным путем, т.е. непосредственным
наблюдением. Если не учитывать возможной анизотропии мате-
риала, то естественно сделать простейшее предположение о
том, что эта случайная величина равномерно распределена в ин-
тервале (0; 2л'), т.е. любая ориентация поры равновероятна.

Моделирование напряжений, действующих по контуру от-
верстия случайной формы, целесообразно провести методом
статистических испытаний (методом Монте-Карло). Метод
Монте-Карло представляет собой метод моделирования случай-
ных величин с целью вычислений характеристик их распреде-
лений. Обычно в качестве исходной случайной величины при
конструировании более сложных в методе Монте-Карло исполь-
зуют случайную величину е, равномерно распределенную
на промежутке (0; 1), после чего необходимо бывает по-
строить некоторое отображение со = ц)(х)-у х е (0; 1), с
помощью которого через реализации исходной случайной вели-
чины X выражают реализации интересующей нас случайной
величины 5.

Исследование распределения пор по форме. Чтобы экспери-
ментально определить вероятности Р(А^), можно использо-
вать результаты микроскопического исследования структуры
цементного камня. Обработка результатов подобного иссле-
дования, проведенного на образцах из портландцемента Белго-
родского завода с В/Ц = 0,3, 0,4 и 0,5 в возрасте 3, 7 и 28 сут
(микрофотографии пористой структуры цементного камня с
увеличением * 40), показала, что максимальный диаметр пор
для указанных значений В/Ц составил соответственно: 0,1,
0,05 — 0,3, 0,2 — 1 мм. При размере фото 100x80 мм, что соот-
ветствовало размеру наблюдаемого участка материала 2,5x2 мм,
наблюдаемые на микрофотографиях поры приближенно пред-
ставлялись в виде отверстий определенной геометрической фор-
мы, причем учитывались лишь наиболее крупные поры разме-
ром более 0,025 мм в натуре, т.е. более 1 мм на фото.

Для первого фото учитывалось 50 — 90 пор. В табл. 2.1
даны результаты распределения пор по форме для нескольких
образцов цементного камня при В/Ц 0,3 в возрасте 3 сут.

Для последующего анализа значения вероятности Р{Ак)
принимались равными соответствующим частотам, приведен-
ным в табл. 2.1. Одновременно с приведенным выше распреде-
лением, в соответствии с результатами анализа (см. гл. 1,
табл. 1.5), рассматривалось также упрощенное распределение
пор по форме (табл. 2.2).
Таблица 2.1. Распределение пор цементного камня по форме

Схематизиро- ванная форма поры	Образец					
	№ 1		№2		№3	
	число пор, шт.	часто- та, %	число пор, шт.	часто- та, %	число пор, шт	часто- та, %
Круговая	17	32,7	17	26,6	35	42,2
Эллиптическая (1:2)	9	17,3	24	37,5	16	19,3
Эллиптическая (1:3)	8	15,4	10	15,6	19	22,9
Прямоугольная (1:2 - 1:3)	2	3,8	-	-	1	1,2
Квадратная  Треугольная  Всего	9  7  52_	17,3  13,5  100		7  6  64_		10,9  9,4  100	3  9  _83		3,6  10,3  100	

Таблица 2.2. Упрощенное распределение пор цементного
камня по форме

Схематизиро- ванная форма поры	Образец					
	№ 1		№ 2		№3	
	число пор, шт	часто- та, %	число пор, шт	часто- та, %	число пор, шт	часто- та, %
Круговая	17	32,7	17	26,6	35	42,2
Эллиптическая (1:2)	9	17,3	24	37,5	16	19,3
Эллиптическая (1:3)	8	15,4	10	15,6	19	22,9
Эллиптическая (1:3,5)	11	21,1	7	10,9	4	4,8
Эллиптическая	7	13,5	6	9,4	9	10,8
Всего	52	100	64	100	83	100

Весь дальнейший анализ производился и для исходного,
и для упрощенного распределения пор по форме.

Моделирование напряжений по контуру отверстий случай-
ной формы методом Монте-Карло. Напряжения по контуру
отверстия, взятые по отношению к внешнему напряжению,
могут рассматриваться как некоторая случайная функция
5 (9 ; си1 ; си2 ). Ее аргументом является центральный угол 6
(величина неслучайная), а	и и)2 представляют собой

случайные параметры, характеризующие соответственно случай-
ную геометрию отверстия и его случайную ориентацию относи-
тельно направления действия внешних усилий. Значение функ-
ции 5 (9 ; cU,;u)2) при фиксированных и), , и)г обычно
называют реализацией случайной функции. До моделирования
реализаций случайной функции S (9 • со, ; а)&) предваритель-
но генерировались две независимые последовательности случай-
ных величин X, У, равномерно распределенных на промежут-
ке (0; I), для чего использовалась стандартная программа
ЭВМ М-220. Чтобы осуществить отображение си.,=	, ис-

пользовалось известное свойство бесконечной последователь-
ности чисел Х{ ( L — I, 2, ...), равномерно распределенных
на промежутке (0; I), заключающееся в том, что доля членов
последовательности, попавших на отрезок (а, 6) (0 $
асимптотически равна длине p-а отрезка для любых а ид, или

P(a4*L b) - b-а .	(1)

При моделировании реализаций напряжений весь промежуток
(0; 1) разбивался на п отрезков (ап , Ьп ), длина каждо-
го из которых равнялась вероятности встретить отверстие
определенной формы, т.е. величине Р(Л/с) (к = 1, 2, ... ,п ).
Вероятность попадания случайной величины X на отрезок
(	, Ьь) равнялась Р(А^), т.е. вероятности случайного

события А^, заключающегося в появлении отверстия под номе-
ром к. Практически в процессе моделирования определялось,
на какой из отрезков попадет данная реализация хк случай-
ной величины X; если оказывалось, что ак £ xt- « bk, т.е. дан-
ная реализация попала на к-н отрезок , то принималось, что
моделируемая реализация случайной функции -3(9; си,; сОа )
соответствует геометрии отверстия под номером к и вычис-
ляется по формулам, соответствующим этой геометрии.

Для осуществления отображения и)г = рг(Х) прини-
малось, что угод сх , характеризующий ориентацию отвер-
стия относительно внешних усилий, равномерно распределен
на промежутке (0; 2яг). Поэтому для получения моделируе-
мой реализации случайной функции' S ( 9 ; со,; сиг) доста-
точно было отображения (У = 2 ху , где Ху есть J -я
реализация исходной случайной величины Х\ моделируемая
реализация случайной функции S (9 ; си,; сОа) вычислялась
по формулам, соответствующим найденной выше геометрии, с
учетом полученной величины.<х.
Результаты моделирования. Напряжения по контуру отвер-
стия случайной формы моделировались изложенным способом
для трех образцов цементного камня, представленных в
табл. 2.1 и 2.2. Поскольку для всех трех образцов были полу-
чены идентичные результаты, ограничимся рассмотрением ре-
зультатов для образца № 1.

На рис. 2.1 для упрощенного распределения пор по форме
(табл. 2.2) показаны некоторые из полученных реализаций
функции 5 (9 ; uUi ; cq>) . Общее число реализаций равнялось
числу обследованных пор и составляло 52. Кривая 1 соответ-
ствует 17 совпадающим реализациям для кругового отверстия,
а остальные кривые дают примеры реализаций для эллиптических
отверстий: 2 — с соотношением осей 1:2; 3 - 1:3 и 1:3,5;
4 — 1:3,5 и 5-1:5. Аналогичный вид имеет график реализа-
ций для упрощенного распределения пор по форме.

Оценки для математического ожидания Мs и дисперсии Ds
ординат случайной функции S (9ал, ц)я) даны на рис. 2.2 ;
кривые 1 соответствуют исходному распределению пор по фор-
ме, кривые 2 — упрощенному. Из рис. 2.2 очевидно, что разли-

Рис. 2.1. Моделирование напряжений 5 по контуру поры
случайной формы (исходный вариант)

чия между оценками несущественны, т.е. замена действительно-
го распределения пор по форме упрощенным распределением
вполне оправданна.

Рис. 2.2 показывает, что оценка математического ожидания
микронапряжений по контуру поры достаточно близка к тому
напряженному состоянию, которое возникает на контуре кру-
гового отверстия, описываемому уравнением М5-(9)^=1-2соз26.
Для аппроксимации оценки 3 дисперсии была построена зави-
симость Ds = 1,4(1,01— cos 2^ ). Оказывается, что дис-
персия существенно зависит от положения рассматриваемой
точки на контуре. Так, для точек 0е	(на пло-

щадках, перпендикулярных направлению внешних усилий), где
действуют максимальные микронапряжения, дисперсия весьма
существенна и, более того, достигает своего максимума. Наобо-
рот, для точек 0 = 0; jt; 2 иг, находящихся в зоне ми-
нимальных микронапряжений, на площадках, параллельных
действию внешних усилий, дисперсия близка к нулю. Следова-
тельно, напряженное состояние в этой зоне практически совпа-
дает с соответствующим напряженным состоянием для поры
кругового очертания.

На основании изложенного можно сделать вывод, что для
случая, когда развитие трещин в материале определяется микро-
напряжениями противоположного знака по отношению к внеш-
ним напряжениям (например, случай одноосного сжатия), все
поры могут достаточно обоснованно считаться круглыми. Одна-
ко для рассматриваемрго случая (одноосное растяжение),
когда определяющими являются микронапряжения того же
знака, что и внешние, подобное упрощение нежелательно, т.е.
поры должны быть представлены в виде набора эллипсов с раз-
личными значениями соотношения главных осей. Поэтому ис-
ходную модель материала, сформулированную в гл. 1, целесо-
образно дополнить применительно к случаю одноосного растяже-
ния и рассматривать поры бетона на микроуровне в виде эллип-
тических отверстий с различным соотношением главных осей.

^.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗВИТИЯ

ТРЕЩИН ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ РАСТЯЖЕНИИ

Развитие трещин в микроструктуре бетона. В соответствии
с положениями, изложенными в гл. 1, будем рассматривать
поведение трещин в цементном камне, т.е. при кратковремен-
ном действии нагрузки на уровне микроструктуры бетона.
В соответствии с п. 1.5 будем считать возможным пренебречь
явлением ползучести при кратковременном действии нагрузки
Рис. 2.3. К задаче о развитии трещин около
эллиптического очертания

и в первом приближении принимать, что ма1ериал в основной
своей массе работает упруго (кроме зоны, примыкающей к тре-
щинам). В рамках принятой нами модели будем исследовать
поведение трещин в неограниченной упругой пластине толщи-
ной 1, ослабленной эллиптическими отверстиями. Вначале,
будем считать, что длина трещин мала по сравнению с расстоя-
нием между ними, т.е. допустимо пренебречь взаимодействием
трещин и рассматривать развитие трещин около изолированно-
го отверстия, что приводит к следующей формулировке задачи.

Даны эллиптическое отверстие в неограниченной упругой
пластине единичной толщины и две трещины, выходящие на
контур отверстия (рис. 2.3). На бесконечности пластина растя-
гивается системой внешних напряжений д (д > О) , перпен-
дикулярных линии расположения трещин. В соответствии с
изложенным выше приближенно представим напряженное со-
стояние в окрестности концов трещин в виде суммы

6У (х,0) = йо(х,0) + d1(xiO) ;	(2)

где 6О (х, О) — напряжения в пластине с эллиптическим отвер-
стием, но без трещины, от действия растягивающей нагрузки бу=
= <7; б1 (х, О) — напряжения в плоскости с прямолинейным раз-
резом вдоль оси ох при —а х tsb (без отверстия), когда
к берегам этого разреза на участках -а ^-d и d х б
приложено нормальное давление ри £*) » бо (х, О).

Напряжение 6У (х,О) вполне допустимо рассматривать
в виде указанной суммы, если d « t2 <	[37]; однако,

если характерный размер отверстия соизмерим с длиной трещин,
указанная сумма дает лишь некоторое приближенное значение
для 6V (х, 0), Однако ошибка обычно бывает невелика и
в наиболее неблагоприятном случае (как показано в п.3.2) не
превышает 20%. Напряжения 6V (х, О) в пластине с эллипти-
ческим отверстием (без трещин) можно найти согласно [36]. В
эллиптических координатах и , V, связанных с прямо-
угольными соотношениями х- ch и slnv; у = ch cosz, , для
напряженного состояния на линии предполагаемого распростра-
нения трещины (у-О ; v=x/g ; X = ch и)

6О (*, О) = qF[и(х)],	(4)

где ио - значение и на контуре эллиптического отвер-
стия, определяемое из следующих условий:

cth и0 — d/d.,\ ch ио=

й/'а'	z\u=-.r -	,.(5>

V(d/d,)‘-f	T((d/d,y-1

Напряженное состояние (х;0), согласно [37],

(6)

х^а , х*Ь, а * Ь ;

при -d<$:sct;

) 0 при-tfs/cd;	(7)

I до (£ 0) при d < $ < Ь .

Предельную величину внешних усилий у = q * можно
найти [37] из выражения

---1—[ Р*^	= УттГ/ .	(8)

Уй+а ‘J	b-/

-а

Здесь P* (определяется из выражения (7) при

предельном значении параметров, характеризующих внешнюю
нагрузку ( q - q* ). Произведя соответствующие подстанов-
ки, из (3) - (8) получаем

(9)

<?,= УлЕ? Уа+b//(а,Ь) ,

-a	d

Интегралы в (9) можно вычислить численным методом
на ЭВМ. Результаты расчетов, проведенных по найденным выше
формулам при различных значениях соотношения главных осей
эллипса, и их сравнение с известной задачей Гриффитса для
трещины длиной 2 ( t * d ) показали, что влияние формы от-
верстия заметно сказывается на соотношении между критичес-
кими значениями нагрузки и длины трещины только в том
случае, когда длина трещины, выходящей на контур отверстия,
существенно меньше характерного размера этого отверстия.
Если же длина трещины сравнима с размером отверстия ( Л = 1)
или превышает его, то при определении критической нагрузки
можно исходить из решения задачи Гриффитса для трещины
длиной 2 ( t * cl ), т.е. не учитывать наличия отверстия.

Эти результаты справедливы при условии, что поры с
трещинами расположены достаточно далеко одна от другой,
т.е. когда взаимодействием трещины можно пренебречь. Необ-
ходимо сказать, что точный учет взаимодействия стохастически
расположенных трещин в реальном материале крайне труден.
Поэтому целесообразно воспользоваться приближенным под-
ходом. В механике известно, что взаимодействие трещин может
приводить к уменьшению и к увеличению предельной нагрузки,
вызывающей распространение трещин, в зависимости от взаим-
ного расположения трещин и их ориентации. В реальном мате-
риале всегда много трещин, и вероятность того, что по край-
ней мере одна из них испытывает наиболее неблагоприятное
влияние взаимодействия, довольно высока. Эффект взаимо-
действия трещин можно охарактеризовать отношением предель-
ных нагрузок, определяемых без учета и с учетом взаимодей-
ствия. Согласно [38] и [71], это отношение (назовем его коэф-
фициентом учета взаимодействия и обозначим через Ку g) в
подобных неблагоприятных случаях, когда расстояние между
трещинами имеет порядок размера самой трещины, может
достигать 2,2 — 1,6. Критическая нагрузка, при которой трещи-
на заданной длины t начинает развиваться, может быть
определена по формуле (7) гл. 1 при замене величины £ ве-
личиной Ку в д.

Поведение рассматриваемых трещин является неустойчи-
вым. Как только кратковременная нагрузка достигает величи-
ны, соответствующей критической нагрузке хотя бы для од-
ной из имеющихся трещин, то трещина начинает спойтанно раз-
виваться. В образце из чистого цементного камня такое разви-
тие трещины сопровождается мгновенным разрушением об-
разца. Критическую длину трещин для цементного камня можно
оценить расчетом. Для этого воспользуемся формулой (7)
гл. 1, записав ее так:	.

у _ 2ЕГ _ К*с

* гд* яд* ’	(Ю)

или с учетом взаимодействия трещин

*£

.	01)

где 1М — критическая полудлина трещины; д*. - предель-
ная нагрузка, т.е. предел прочности материала; К1с - крити-
ческий коэффициент интенсивности напряжений.
Величина Kic, определяемая экспериментально (в услови-
ях контролируемого роста изолированной трещины), Лежит
для цементного камня в возрасте 28 сут в пределах 0,11 —
0,4 МН/мЗ/2 (см. табл. 1.7). Предел прочности цементного кам-
ня в том же возрасте для соответствующих значений В/Ц
(0,5 ... 0,3) составляет примерно 3 и 7 МПа. Подставляя эти
значения в формулу (И), получаем f*. «• 0,02 ... 0,04 см, что
хорошо соответствует результатам ряда экспериментальных
исследований, проведенных в США и Японии, согласно которым
наблюдавшиеся в микроскоп трещины в структуре цементного
камня имеют порядок долей миллиметра. Исследования под-
тверждают допустимость применения к растянутому цементно-
му камню, т.е. к микроструктуре бетона, обычной механики
разрушения квазиоднородных материалов и рассмотрения
всех трещин без учета пор как прямолинейных, описываемых
формулой (11).

Развитие трещин в макроструктуре обычного (тяжелого)
бетона. В соответствии с положениями, изложенными в гл. 1,
будем рассматривать поведение бетона на уровне макрострук-
туры, принимая за основную неоднородность зерна крупного
заполнителя; на уровне мезоструктуры материал рассматрива-
ется как квазиоднородный.

При рассмотрении модели бетона на макроуровне будем
считать, что все зерна имеют форму круглых включений, од-
нако диаметр этих включений следует рассматривать как не-
которую случайную величину. В соответствии с результатами
гл. 1 будем считать, что часть зерен заполнителя имеет начальные
трещины в контактной зоне. Роль, которую трещины, развиваю-
щиеся в контактной зоне, играют в процессе разрушения бетона
при растяжении, четко прослеживалась в ряде экспериментов
[32, 75]. Будем учитывать также возможность остановки тре-
щин, развивающихся в матрице, у границе включений. В рам-
ках принятой выше модели принимаем, что для случая обычно-
го тяжелого бетона прочность включения больше прочности
матрицы, а прочность сцепления в контактной зоне меньше
прочности каждого из материалов. Считаем также, что харак-
терный размер наиболее опасной трещины в матрице (4 « 0,02...
0,04 см, см. выше) мал по сравнению с характерным размером
включений. Задача о развитии трещины по границе включения
и матрицы в условиях одноосного растяжения рассматривалась
при таких предположениях в [53]; полученная зависимость
между углом 0, определяющим размер трещины, и величи-
ной внешней нагрузки д в наших обозначениях может
быть записана так:

гдв f№) *	(з-со»е)

14in06M*72cos0*/2cos,0-4cos*<0*sin*0)'
3

Рис. 2.4. Зависимость между приведенной нагрузкой и приведенной дли-
ной трещины

1 - для контактной трещины (нагрузка, отнесенная к константе контакт-
ной зоны Rjc ); 2 - для трещины, вышедшей в матрицу; 3 - для кон-
тактной трещины (нагрузка отнесена к константе матрицы К* )

На рис. 2.4 (кривая 7) показан график приведенной внеш-
ней нагрузки q*- gj/2R/sr/ К?е . При 0 < £о распро-
странение трещин неустойчиво, при 6 > 0О трещина входит
в зону устойчивого роста (0,= •^/4'). Дальнейший рост трещины
может продолжаться лишь до некоторого значения нагрузки, со-
ответствующего достижению вблизи устья трещины предельного
значения коэффициента интенсивности напряжений для матри-
цы и переходу трещины в матрицу. Чем больше отношение
К%/ К™характеризующее прочность матрицы по отноше-
нию к прочности контакта, тем больше оказывается участок
устойчивого роста трещин. Для точного определения угла 03 ,
соответствующего переходу трещины в матрицу, необходимо
знать это отношение. Однако значения прочности контактной
зоны по отношению к прочности цементного камня зависят от
многих факторов и колеблются в широких пределах.
Для определения угла	воспользуемся приближенным

приемом:	будем исходить из простейшего предположения,

что рассматриваемая трещина развивается по контактной зоне,
пока не достигнет формы полуокружности (	= Jt/2, ), после

чего переходит в матрицу (см. правую схему на рис. 2.4).
50
Кривая 2 на рис. 2.4 дает значения приведенной предельной
нагрузки	для этого этапа развития тре-

щины, найденные, условно как для гриффитсовой трещи-
ны длиной 2(/ + R ).Разрывпри 9= 9г(Л = 1/R-О) меж-
ду кривыми 7 и 2, характеризующими приведенную величи-

ну внешней нагрузки, связан со способом определения соответ-

ствующей функции; 0°
контактной зоны Rye,
константе матрицы

(кривая 7) отнесена к константе

тогда как £ ® (кривая 2) - к
Перейдем к единой функции для
всего процесса, относя все значения к константе матрицы ;
для этого значения функции =	К (кривая 7)

умножим на отношение //(^, Выберем величину это-
го отношения так, чтобы получить непрерывность новой функ-
ции д.° в точке 6 = 9o(A=Oj (см. кривую 2). Оказы-
вается, что приближенно К(^ /	- 0,6, т.е. прочность

контактной зоны должна составлять около 60% прочности мат-

рицы, что близко к ориентировочным данным табл. 1.8 и хоро-

шо укладывается в диапазон экспериментальных результатов,
полученных большинством исследователей [57, 59]. Это под-
тверждает приемлемость принятой приближенной модели раз-

вития трещины.

Анализ рис. 2.4 показывает, что начальное развитие трещин
контактной зоны (при 0 < л/4 )	неустойчиво (нисходя-

щая ветвь кривой 3). Затем в интервале от л/4 до л/2 оно
становится устойчивым (восходящая ветвь кривой 5), после
чего трещина переходит в матрицу и развивается по неустойчи-
вому закону (нисходящая кривая 2). В количественном отно-
шении можно отметить, что нагрузка , соответствую-
щая началу устойчивой ветви, составляет около 80% нагрузки
, при которой развитие трещин становится неустойчивым.
В процессе дальнейшего развития трещина, если она не вышла
на край образца, неизбежно встретится с другим включением.
При этом возможна остановка (задержка) трещин на границе
раздела матрица - заполнитель. Вероятность остановки трещи-
ны зависит от того, под каким углом ’’встречи” ориентирована
граница раздела по отношению к распространяющейся трещине.
При малых углах встречи трещина не остановится и будет рас-
пространяться по зоне контакта, сохраняя форму, близкую
к прямолинейной (см. пунктир на правой схеме рис. 2.4). Точ-
ный анализ рассматриваемой проблемы затруднителен, и мы
прибегнем к приближенному приему. Воспользуемся тем,
что,согласно [37], при центральном угле дугообразной трещи-
ны 2 9	2л/3 искривление ее контура практически не

сказывается на условиях развития, но при дальнейшем увеличе-
нии центрального угла нагрузка, требуемая для развития дуго-
образной трещины, а следовательно, и нагрузка, требуемая для
перехода трещины из матрицы в контактную зону, резко воз-
растает. Поэтому приближенно принимаем, что при 29 £ л/3
все трещины, достигшие границы матрица — заполнитель,
будут остановлены.

Длина, которой достигнет та или иная остановленная трещи-
на, зависит от расположения соседних зерен заполнителя в
данном образце материала, т.е. от распределения зерен заполни-
теля по размерам и количества зерен в единице объема бетона.
Далее, ширина ( 2 V )	раскрытия трещины зависит от ее дли-
ны (2 t) и при произвольной нагрузке	прило-

женной к ее берегам, может быть найдена из формулы [38]
i

1/(х;0) *	f Я»№г(Ъ*Я) d? > (М*	0 3)

где	Г(1 функция влияния,-



>*',$) = tn

(14)

При одноосном растяжении нагрузкой р с учетом сил
сцепления d* , действующих между берегами трещины
в ее тупиковой области ( to < I ), имеем

„ />) - 1Р ЛрИ * io ’
при 1О</х/< I,
откуда после вычисления необходимых интегралов следует

v(x} 0) = ~ 1/(г-х* + £?{(x-to) F(t;x; lo) -
Е	зтЕ L

- (x+t0) Г( t;x; t0) - 4 Vtz--xz'arecas ^jif/xl^t) •

Известно, что силы сцепления 6* оказывают влияние
на форму трещины и ширину ее раскрытия лишь в малой об-
ласти вблизи конца трещины; на максимальную ширину они
практически не влияют. Пренебрегая влиянием сил сцепле-
ния на раскрытие трещины, получаем простое выражение

v(x,0)=^- Vt*-xT.	(17)

Максимальная полуширина раскрытия трещины

- 2pt/£ .	(18)

Поведение трещин в макроструктуре бетона и влияние их
раскрытия на продольные деформации образца может быть
исследовано методом Монте-Карло с использованием формул
п. 1.4. На рис. 2.5 представлены результаты проведенных таким
путем расчетов, характеризующие последовательные этапы
процессов развития трещины в макроструктуре бетона (для
одной из реализаций), а рис. 2.6 показывает влияние процесса
развития трещин на диаграмму растяжения материала (для
ряда реализаций).
Рис. 2.5. Моделирование последовательных этапов развития трещин в бетоне при растяжении
Рис. 2.6. Приведенные диаграммы растяжения бетона по результа-
там математического моделирования

/ - линейная без учета трещин; 2 - линейная с учетом неподвиж-
ных трещин; 3 - нелинейная с учетом развивающихся трещин;

4 - обобщенная экспериментальная диаграмма растяжения бетона
согласно [62];	5 - то же, согласно [бб]

Кривая / соответствует упругому деформированию бетона
как сплошного двухкомпонентного материала без учета тре-
щин. Кривая 2 описывает линейный закон деформирования та-
кого же материала, но ослабленного начальными контактными
трещинами в предположении, что эти трещины не развивают-
ся (остаются неподвижными). Кривая 3 соответствует нелиней-
ному деформированию бетона (с учетом растущих трещин),
кривая 4 — обобщенной экспериментальной криволинейной
диаграмме растяжения, бетона, согласно [62], кривая 5 дает
экспериментальную ломаную диаграмму растяжения бетона,
согласно- [66]. В процессе моделирования принималось, что
в цементном камне есть случайно ориентированные начальные
трещины (микроструктура) и что часть зерен заполнителя
(например, 50%) имеет начальные дугообразные трещины
на контакте с матрицей, т.е. на уройне макроструктуры. Воз-
можное влияние седиментационных процессов в бетонной
смеси и возникающей при этом анизотропии бетона на образо-
вание подобных трещин учитывалось тем, что все трещины
принимались расположенными у нижнего края зерен заполни-
теля (см. рис. 2.5, а). Рассматривался наиболее неблагоприят-
ный с точки зрения анизотропии бетона случай, когда внещняя
растягивающая нагрузка приложена параллельно направлению
укладки бетонной смеси.

Координаты центров трещин в цементном камне (микро-
структура) и центров зерен крупного заполнителя (макрострук-
тура) принимались равномерно распределенными по площади
образца. Взаимодействие дугообразных трещин условно не
учитывалось.

Угол ос, характеризующий ориентацию трещины в
цементном камне, считался равномерно распределенным в
интервале (0; 2^г), Длина начальных трещин в цементном
камне и в контактной зоне, а также диаметр зерен заполнителя
принимались распределенными по нормальному закону. На
рис. 2.6 по оси абсцисс и ординат отложены деформация об-
разца и внешняя нагрузка, отнесенные соответственно к упру-
гой деформации е *, соответствующей разрушающей
нагрузке 5* , и к самой разрушающей нагрузке.

Из рис. 2.5 и 2.6 следует, что поведение материала в про-
цессе поэтапного увеличения нагрузки может быть разбито на
несколько стадий. Для стадии 1 (рис. 2.5, а) нагрузка, дейст-
вующая на образец, для любой из начальных контактных тре-
щин меньше критической нагрузки , характеризуемой
минимумом кривой 3 на рис. 2.4. На этом этапе трещины в
длину не растут, а только несколько увеличивается ширина
их раскрытия. Соответствующий участок диаграммы растяже-
ния, представленной на рис. 2.6, прямолинеен (кривая 2),
но в результате увеличения раскрытия трещин имеет несколько
больший наклон по сравнению со случаем растяжения такого
же образца материала без трещин (кривая 7).

В стадии 2 устойчиво растут контактные трещины в длину,
что соответствует достижению до - минимального значения
(см. рис. 2.4) для наиболее опасных трещин. Увеличение дли-
ны трещин сопровождается значительным ростом ширины их
раскрытия, что приводит к изменению угла наклона соответ-
ствующего участка диаграммы растяжения (кривая 3 на
рис. 2.6; каждая кривая отвечает одной из реализации метода
Монте-Карло)

Стадия 3 (рис. 2.5, б, в) отвечает выходу отдельных кон-
тактных трещин в матрицу, что соответствует достижению внеш-
ней нагрузкой значения	для наиболее опасных трещин.

Неустойчивый характер роста трещин приводит к образованию
трещин значительной протяженности и к резкому перелому
диаграммы сжатия (рис. 2.6, верхние участки кривой 5). Раз-
витие протяженных трещин вызывает * значительное перерас-
пределение напряжений в образце. Точный учет этого пере-
распределения весьма сложен, поэтому в расчетах применял-
ся упрощенный прием. По аналогии с расчетом ряда железо-
бетонных конструкций принималось, что напряжения в бетоне
распространяются под углом 45°; таким образом, участки
материала, расположенные непосредственно над или под протя-
женной трещиной (заштрихованные участки на рис. 2.5, б),
более не испытывают действия внешних напряжений и разви-
тие новых трещин на этих участках при последующих этапах
нагружения невозможно. Одновременно принималось, что
напряжения, не передающиеся через протяженную трещину,
компенсируются соответствующим увеличением растягиваю-
щих напряжений в нетреснувшей части образца. Если при этом
трещина выходила на боковую поверхность образца, то воз-
никающий при этой краевой эффект, выражающийся в появле-
нии изгибающего момента в сечении образца, учитывался тем,
что распределение напряжений в данном сечении принималось
как для внецентренно-растянутого элемента.

Стадия 3 завершается образованием магистральной трещины
(рис. 2.5, г), приводящей к разрушению образца. Было установ-
лено, что при принятых параметрах распределения полученная
разрушающая нагрузка ниже критической для начальных тре-
щин в микроструктуре (цементном камне). Поэтому условно
принималось, что разрушение материала целиком определя-
ется макротрещинами контактной зоны, хотя отдельные началь-
ные микротрещины, расположенные на траектории развиваю-
щейся макротрещины, могут тормозить ее рост. Предполага-
лось, что это явление вместе с тормозящим влиянием зерен
мелкого заполнителя (уровень мезоструктуры) на рост макро-
трещины учитывается тем, что значения К1с Для матрицы
принимались увеличенными по сравнению с соответствующими
значениями для чистого цементного камня и в первом прибли-
жении равными КХе Для цементно-песчаного раствора
(см. табл. 1.7). При этом в соответствии с предпосылками,
принятыми в п. 1, материал на уровне мезоструктуры, т.е.
цементно-песчаный раствор, условно считался квазиоднородным.
Результаты подобного моделирования (20 реализаций
метода Монте-Карло) показывают, что нагрузки, соответствую-
щие переходу от стадии 1 к стадии 2 и от стадии 2 к стадии 3,
при принятых параметрах распределения составляют соответ-
ственно примерно 65 и 90% разрушающей нагрузки. Эти данные,
характеризующие последовательные сталии работы бетона при
растяжении, качественно подтверждаются результатами ряда
экспериментальных исследований [63, 75]. Реализации диа-
граммы растяжения достаточно близки к кривым 4, 5, соответ-
ствующим обобщенной диаграмме растяжения бетона, полу-
ченной экспериментально [62, 66].

Еще более интересны результаты экспериментального
исследования трещин в растянутом бетоне [32], подтвердив-
шего основные положения теоретического анализа. В частности,
было установлено, что в процессе разрушения бетона образу-
ется два основных типа трещин: трещины контакта (I рода)
и трещины в растворе (П рода). Оказалось, что трещины I ро-
да, существовавшие до нагружения, начинают расширяться,
а затем и увеличиваться в длину при сравнительно небольших
нагрузках, что приводит к слабому отклонению зависимости
d - £ от прямой. При напряжениях (0,7 — 0,9)	по-

являются трещины П рода (в матрице), которые соединяются
с трещинами I рода и образуют ’’продолженные” трещины,
а кривая 6 - е существенно приближается к горизонтали.

Необходимо отметить, что эта модель, согласно рис.’ 2.5,
не является образцом материала в том смысле, в каком это
принято при проведении экспериментальных исследований.
Она представляет собой лишь часть,’’слой” такого образца.
Продольная деформация образца в целом описывается суммой
деформаций его элементарных слоев, тогда как разрушение
образца будет определяться разрушением одного, наименее
прочного слоя. В момент разрушения последнего слоя другие
элементарные слои материала могут находиться еще в стадии
2, т.е. диаграмма их растяжения еще не достигнет второй точки
перелома согласно рис. 2.6. Это явление также подтверждается
результатами эксперимента [66], где, во-первых, было выяв-
лено наличие двух точек перелома диаграммы растяжения бе-
тона (кривая 5 на рис. 2.6) и, во-вторых, установлено, что вто-
рая точка перелома появляется только в одном сечении образ-
ца, где впоследствии произойдет разрушение, тогда как в дру-
гих сечениях диаграмма растяжения не достигает второй точки
перелома.

На рис. 2.7 дана средняя для 20 реализаций метода Монте-
Карло суммарная длина трещин <5 как функция отноше-
ния £/ (где d*. — относительная деформация в мо-
мент разрушения образца). Кривая 1 относится к трещинам
Рис. 2.7. Суммарная длина трещин
в зависимости от приведенной отно-
сительной деформации бетона е/е*

контактной зоны, кривая 2 — к трещинам матрицы. Для срав-
нения здесь же кривыми 3 и 4- показаны соответствующие
экспериментальные зависимости, полученные в [63].

Перейдем к оценке прочности бетона на основании характе-
ристик, описывающих сопротивление материала развитию
трещины. Из выражения для приведенной нагрузки

?«= <19>
следует
к^/Угн/Х.	(20)

Принимая разрушающую нагрузку для слоя

s *р	(21)

и учитывая, что приведенная нагрузка q,9 в момент раз-
рушения составляла около 0,5 при /?ер= 1 см и при

К™ - 0,33 ...0,6 МН/и * (	(22)

имеем соответственно

/?р = 2... 4,5 МПа ,	(23)

а при Rcp= 2 см соответственно

/?р =	. . . 3,1 МПа,	(24)

что хорошо соответствует реальной прочности бетона на растя-
жение.

Необходимо отметить, что приведенная выше расчетная
модель бетона при растяжении обладает рядом условностей.
Так, в ней не учитывается концентрация упругих напряжений
на контакте матрицы и заполнителя, не затрагиваются возмож-
ные отличия формы зерен заполнителя (например, щебня)
от круглой, не учитывается пространственное расположение
включений; ведь фактически у фронта трещины различные
зерна заполнителя могут встретиться (в сечениях, параллель-
ных чертежу) и там, где на рис. 2.5 обозначена матрица, и наобо-
рот. Дальнейшее развитие модели бетона применительно к од-
ноосному сжатию (см. п. 3) позволит избежать некоторых из
отмеченных выше условностей.
2.3.	РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ
РАСТЯЖЕНИИ

Рассмотренные выше выражения для критической нагруз-
ки в функции от заданной длины трещин могут быть, представ-
лены в общем виде т ж:

$ .= Ku9(s>-	(25)

Здесь . 9 «2	— некоторая функция суммарной длины тре-

щин S . Решая уравнение (25) относительно 5 и учиты-
вая, что

(26)
приходим к зависимости критической длины трещин от задан-
ной внешней нагрузки д;

S* s Я’1 (Ч/^2ЕТ'У	(27)

Здесь д~ • — обратная по отношению к д функция, кото-
рая является возрастающей (ср. рис. 2.7); в этом случае тре-
щина заданной длины S будет расти (и расти устойчиво),

В явном виде функция

9 - д''(9/^£г),	(29)

как правило, не может быть выражена.

Опираясь на подход, изложенный в п. .1, заменим в урав-
нении (24) величину 1/£ оператором 1/£. При этом будем
учитывать зависимость Т' от времени. Строго говоря, ве-
личина уг зависит от всей истории загружения и должна
также заменяться некоторым оператором. Однако имеющихся
в литературе данных о зависимости прочностных свойств мате-
риала от истории загружения пока недостаточно, чтобы постро-
ить такой оператор. Поэтому будем рассматривать дг просто
как функцию времени

Г= 7(t) >	(30)

характеризующую возрастание материала в результате процес-
сов гидратации, протекающих в цементном камне. В итоге для
критических значений нагрузки и длины трещин в процессе
ползучести и старения материала получим следующие зависи-
мости:

l/l'EltJCtt.T? 1

V 2 Е(т,)тМ' J

(32)
Имеющиеся в литературе данные о влиянии возраста на ве-
личину Z немногочисленны и зачастую противоречивы.
Поэтому оценим зависимость z от времени косвенным
путем.

Рассмотрим для моментов времени Г, и t, соот-
ветствующих началу и окончанию действия длительной нагруз-
ки, пределы прочности R (ту) и R(t) образца материала.
Достижение нагрузкой критического значения	приво-

дит к росту трещин, носящему в целом устойчивый характер,
и предел прочности образца будет достигнут только в том слу-
чае, если суммарная длина S трещин, развивающихся в
процессе нагружения, достигла некоторого предельного значе-
ния 5„р, т.е.

Ufa) -	^2E(t,)r(rSg[s«,M];	(33)

g[Sn(t)J- (34)

Введенный нами множитель tn ( t, ту) учитывает
влияние предшествующего нагружения материала на изменение
кратковременной прочности материала и, следовательно, вели-
чины у.

Рассмотрим соотношение между величинами 5пр (ту) и
«5|ф ({)• Известно, что иногда возможно ’’подрастание” трещин
при нагрузках, меньших критической. С другой стороны, в
процессе гидратации цементного камня можно ожидать обрат-
ного явления —’’зарастания” трещин. Оба явления исследованы
очень мало, поэтому исходим из простейшего предположения,
что их влияние взаимно уравновешивается и на уравнениях (31)
и (32) не отражается, а критическое значение суммарной длины
трещин во времени не изменяется, т.е.

Епр(ту) w	*3пр •	(35)

Из (33) и (34) с учетом сказанного получаем:

М<)	.	/ Е(т<) тМ ' .

m(t,i:<)R(t) “ У E(t)?(t)	’	W

Z^

7(Ъ)

(37)

Итак, зависимость z или	от времени может быть

выражена‘через изменение прочности и модуля упругости мате-
риала с учетом влияния предшествующего загружения на крат-
ковременную прочность. Теперь уравнение (32) с учетом (37)
и после некоторых преобразований запишется так:

с/,.,) ,-у	9__________ЧМ п

' ,Т) 3 '	m(t;t,)R(t)

I’ °8’
Величина

?. = q./V2E.(r,).T(r,y	(39)

в правой части (38) не зависит от времени и может рассматри-
ваться как приведенная внешняя нагрузка. Следующий множи-
тель, находящийся перед корнем, отражает старение материалу и
описывает возрастание прочности во времени вследствие про-
цессов гидратации цементного камня с учетом дополнительного
влияния длительного нагружения материала. Наоборот, под-
коренное выражение отражает снижение прочности во времени
вследствие увеличения деформаций и развития трещин, обуслов-
ленного ползучестью. В целом выражение, стоящее в правой
части, отражает состояние структуры материала, находящегося
под влиянием двух противоборствующих процессов — упроч-
нения и разрыхления структуры.

Подобное противоборство двух процессов при действии
длительной нагрузки имеет довольно общий характер и находит
отражение и в других зависимостях, например в результатах
ультразвуковых исследований структуры бетона и др. Для бо-
лее детального анализа этого явления рассмотрим функцию

’ (40)

ход изменения которой при фиксированном	показан

на рис. 2.3. В момент загружения ( t -	) всегда имеем

1, далее Ф (t; г*) заметно возрастает вследствие
преобладания процесса разрыхления структуры, учитываемого
подкоренным выражением, но если процесс гидратации проте-
кает достаточно интенсивно, то при t « t* будет наблю-
даться максимум Ф (t '> т.,) . Это соответствует переходу
к преобладающему уплотнению структуры, которое учитыва-
ется выражением перед, корнем в формуле (40). Введение
функции Ф (t, Ti) позволяет в компактной форме запи-
сать уравнение (26), характеризующее связь между нагрузкой
и критической длиной трещин 5 в процессе ползучести и
старения:

;*<)].	(41)

Возрастание Ф (t; т,) в процессе разуплотнения струк-
туры (при t < t<)	равносильно возрастанию аргумента

функции, описываемой выражением (27). Так как функция
является возрастающей, то и критическая длина трещин увели-
чивается, трещины растут в длину даже при постоянной нагруз-
ке (по устойчивому закону), пока не достигнут предельного
значения 5 пр , что сопровождается разрушением образца.

Наступающий при t  t > максимум Ф(1,т<) и
переход к уплотнению структуры приводят к тому, что аргу-
Рис. 2.8. Функция состояния Ф и мера деструкции М при дли-
тельной нагрузке

а - функция состояния; б - мера деструкции при напряжениях меньше
предела длительной прочности; в - то же, при напряжениях больше пре-
дела длительной прочности; г - то же, при напряжениях, равных преде-
лу длительной прочности

мент рассматриваемой функции уменьшается и процесс разви-
тия трещин делается невозможным, т.е. при данной нагрузке
образец разрушиться не сможет. Итак, ход изменения функции
ФО^Ъ) характеризует состояние материала и отражает су-
щественные изменения в его структуре и в его поведении под
нагрузкой.

В свете изложенного представляется целесообразным наз-
вать функцию Ф (t; т<) функцией состояния материала.
Функция состояния учитывает общий характер изменений,
которые могут произойти в материале, загруженном длитель-
ной нагрузкой в момент времени г, , независимо от разме-
ра этой нагрузки. Чтобы описать характер структурных изме-
нений материала при заданной постоянной длительной нагрузке,
целесообразно ввести другую функцию

М (t= p<P(t;T<),	(42)

где р= 6A/Rt — относительный уровень длительной нагрузки
бА (в долях от кратковременной прочности материала).
Последнее выражение можно записать и так:

г,) .	ъ)]	(43)

Характер изменения этой функции будет рассмотрен ниже.

2.4.	РАСЧЕТ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Исходные предпосылки. Известно, что время, выдерживае-
мое образцом до разрушения, зависит от приложенных напря-
жений, увеличение напряжений приводит к сокращению време-
62
ни до разрушения. Имеющиеся количественные данные по
этому вопросу для бетона немногочисленны и зачастую проти-
воречивы. Трудность подобных исследований, как отмечено в
[56], заключается в их длительности и в том, что кратковре-
менная прочность образцов, находящихся под длительной
нагрузкой, не поддается непосредственному определению -
для этого испытывают образцы-близнецы, разброс прочности

которых может повлиять на результаты.

Рассмотрим вкратце имеющиеся данные в области теории
длительной прочности материалов. Для определения времени
разрушения многих металлических и полимерных материалов
справедлива экспериментально установленная формула С.Н. Жур-

кова

to= то ехр  и~Т^
и кТ

Здесь to - время разрушения; U - энергия активиза-
ции химических связей (в ненапряженном состоянии); Vo и
к - постоянные; Т - абсолютная температура; у — струк-
турно-чувствительная постоянная материала. В теории С.Н. Жур-
кова предполагается, что разрушение образца происходит по
флуктуационному механизму, т.е. путем разрыва химических
связей под действием тепловых флуктуаций, а роль механичес-
кого напряжения сводится к понижению энергии активизации
связи от U до 4/ - d . Величина 7* характеризует степень
передачи среднего напряжения d на одну связь и называет-
ся структурно-чувствительной. При таком подходе время to
соответствует среднему времени жизни одной связи, и строе-
ние указанной формулы предусматривает как бы однород-
ность процесса разрушения по всему объему тела без учета за-
рождения и развития отдельных трещин, без выяснения физи-
ческих причин разрушения. Разработаны другие теории длитель-
ной прочности, основанные на введении некоторой абстрактной
меры поврежденности. Q (0^0*1)', он^ также не затраги-
вают физических причин разрушения. Все теории предполагают
инвариантность свойств рассматриваемого материала относи-
тельно сдвига по оси времени; бетон же, как стареющий мате-
риал, не является инвариантным в указанном смысле, и приме-
нимость всех теорий к бетону затруднена.

Существуют теории длительной прочности, разработанные
специально для бетона, но пока не получившие широкого рас-
пространения. Эти теории основаны на рассмотрении некото-
рой абстрактной реологической модели [50] или же исходят
из энергетической концепции [16]. Эти теории при определен-
ных условиях довольно хорошо описывают снижение длитель-
ной прочности бетона, однако физические причины разрушения
материала остаются вне поля зрения. Попытаемся сформули-
ровать основы теории длительной прочности бетона, анализи-
рующей физическую картину разрушения и основанной на
анализе поведения трещин в условиях длительного нагружения.
Основные зависимости. Предел кратковременной прочности
образца R(t) в момент времени t в рассмотренной
нами модели соответствует достижению суммарной длиной
трещин S некоторого предельного значения 5 пр, сопро-
вождающегося образованием магистральной трещины.

Кратковременная прочность материала в момент времени
и длительная прочность материала при действии нагруз-
ки между моментами времени г, и t в соответствии
с (33)’ и (31) может быть выражена следующим образом:

;	(44)

(45)

откуда, учитывая (37), можно получить



R*(t;ti) mtt-.tJRtt) /Е(Т<)	1 ""L

R(r<) =	R(v<) V E(t) f+Efa)C(tW

(46)

или с учетом (40)

l/Wtib).	(47)

Выражение (46) можно записать и в иной форме:

R(t) /	1

R(r,)	'	(48)

В правой части этих выражений, как указывалось выше,
учитывается возрастание прочности во времени вследствие
процессов гидратации цементного камня и одновременно сни-
жение прочности во времени из-за развития процесса ползучести
в том же цементном камне. Для частного случая, когда кратко-
временная прочность и модуль упругости материала нарастают
во времени, но ползучесть отсутствует, величина	по

определению равная разности полных деформаций от единич-
ной нагрузки в момент наблюдения и упругих деформаций
в момент приложения указанной нагрузки, т.е.

C(t;T,)»S(t;r,)-l/E(t,),	(49)

будет выражена так:

C(t; г,) = 1/E(t) - 1/Е(т,).	(50)

Это соответствует разнице упругих единичных деформаций в
момент наблюдения t ив момент приложения нагрузки
г, [1] Подставив в (46) выражение (50), получаем еле,дую-
щее выражение:



(51)

Выражение (51) свидетельствует о том, что в рассматриваемом
случае прочность вследствие ползучести не снижается и величи-
на % (t > Ъ) описывает просто нарастание во времени
кратковременной прочности.

Проанализируем теперь характер изменения введенной
выше функции M(t't t4) • pV(t; Ъ) при различных уров-
нях длительной нагрузки. Рассмотрим случай, когда нагрузка
лежит ниже предела длительной прочности и не может вызвать
разрушения материала, т.е. R и p<b(t',T1) для лю-
бых t > (см. рис. 2.8, б). В этом случае M(t', t<) < ^(t;
ti) 4>(t; ft), откупа, используя (47), приходим к неравенству

< Л

(52)

Рассмотрим теперь другой случай, когда нагрузка выше
предела длительной прочности и вызывает разрушение мате-
риала к некоторому моменту времени
(рис. 2.8, в), т.е. когда р Tt). Здесь N(t; т<)	«

откуда следует

Mtti,?,)- 1,	(53)

Если же нагрузка в точности равна пределу длительной проч-
ности (рис. 2.8, б), т.е.	, то аналогично

предыдущему получаем ‘	Ъ)-Ь) ; т<)

откуда

(54)

Следовательно, величина М ( t; ) может лежать в
пределах от 0 до 1. При этом М{ t; t )m0 отвечает случаю
незагружавшегося материала, т.е. при р - О . Другой пре-
дельный случай, когда М ( t ; Tf )*»1, соответствует разруше-
нию материала. Поэтому логично назвать М( t;	) мерой

использования, или же мерой деструкции, материала.

Заметим, что понятие меры деструкции позволяет не толь-
ко представить поведение материала при действии постоянной
длительной нагрузки, но и разработать сравнительно простой
метод оценки длительной прочности материала при действии
изменяющейся во времени длительной нагрузки (см. п.5.4)
применительно к проверке прочности бетона предварительно
напряженных железобетонных конструкций в стадии обжатия.
Отметим также, что понятие меры деструкции было использо-
вано недавно в [42] для описания поведения изгибаемых же-
лезобетонных элементов при длительных нагрузках.

5-901
Оценка влияния физической нелинейности материала. Воз*
можная физическая нелинейность материала в условиях длитель-
ного действия нагрузки в соответствии с результатами п. 1
может быть учтена принятием оператора 1/£в следующем виде:

1/Е =	*)]

Здесь а учитывает влияние нелинейности на суммарные
деформации, a fl - неравномерность этого влияния на
упругомгновенные деформации и на деформации ползучести.
Выражения для кратковременной и длительной прочности ма-
териала с учетом его физической нелинейности примут вид:

9($ ;

(55.)

^[l-flE(i)C(t;Tt)

(56)

Тогда аналогично предыдущему для относительного преде-
ла длительной прочности получаем

' rJ«	л / -	.	(57)

}	R(t<) V 1+flE(t)C*(t;b)	1 f

Выражение для относительного предела длительной прочно-
сти в схожей форме получено в [16] на основе энергетического
метода; однако формула (57) отличается наличием множителя
перед корнем, учитывающего рост кратковременной прочности
вследствие процесса гидратации цементного камня с учетом
функции m(t; т<) , введенной выше. Значения величины fl,
учитывающей влияние физической нелинейности, можно найти
из эмпирического выражения fl- 1/(0,52 + 0,148	) (см.п.1).

Отсюда для значений /?р= 2;3 и 4 МПа имеем /1 = 1,22;
1,04; 0,9, т.е. величина fl несильно отличается от единицы.
Необходимо также учесть, что структура формулы (57) такова,
что изменения fl мало отражаются на величине На-
пример, при значениях E(t) C*(t; г,) = 0,5 ... 2, характер-
ных для бетона, получаемые значения £ дают следующие
отклонения от величин £, вычисленных по линейной
теории: — (3 ... 6%) для /?₽ «2 МПа, около — 1 % для Яр" 3 МПа
и + (1,5 ... 3%) для Х?р« 4 МПа. Заметим, что такой подход
дает для возможного влияния нелинейности оценку сверху (п.1)
и действительные отклонения окажутся еще меньше. Поэтому
в дальнейшем будем пренебрегать физической нелинейностью
материала и пользоваться записью в форме (46) - (48) для
оценки относительного предела длительной прочности.
Сравнение с опытными данными. На рис. 2.9 точками
показаны экспериментальные данные по длительной прочности
бетона на растяжение (осевое и при изгибе), согласно [42,
50 и 51 ]. По оси ординат отложен относительный уровень дли-
тельных напряжений £ »	, а по оси абсцисс — дли-

тельность действия нагрузки д t «= t - г, . Одновременно
были построены кривые, соответствующие зависимости (46),

Рис. 2.9. Прогнозирование длительной прочности при растяжении для бе-
тонов различного возраста

1 - прогнозирование на основе характеристик бетона согласно [50];

2 - то же, согласно [42, 51]; точки - результаты непосредственного
определения длительной прочности в экспериментах

с использованием опубликованных в тех же работах данных
по нарастанию во времени кратковременной прочности, моду-
ля упругости и деформаций ползучести. Кривая 2 соответствует
опытам [42, 51], кривая 1 — опытам [50]. Соответствие между
теорией и экспериментом (с учетом разброса опытных данных)
можно считать удовлетворительным. Заметим, что, начиная с
момента времени t « теоретически длительная прочность
начинает как бы возрастать. Разумеется, получить эксперимен-
тальные данные, соответствующие восходящей ветви кривой,
принципиально невозможно, так как разрушение при действии
постоянной нагрузки всегда будет происходить раньше при
t < Л», т.е. на нисходящей ветви. Физически все это означает,
что при t > t* и постоянной нагрузке разрушение невозможно,
т.е. минимум кривой и касательные к этой кривой горизон-
тальные пунктирные линии соответствуют пределу длитель-
ной прочности бетона.
Автором были проведены также специальные исследования
[79] для подтверждения теоретических выводов. Исследования
были проведены в лаборатории физики материалов при Техни-
ческом университете г. Мюнхена (ФРГ). Основным в этих опы-
тах было изучение длительной прочности цементного камня
при растяжении.

Все образцы изготовлялись в трубчатых формах. Методика
изготовления образцов заключалась в следующем. Цементное
тесто подвергалось предварительному уплотнению на вибро-
столе. Длительность вибрирования (2-5 мин) зависела от
В/Ц и выбиралась с тем расчетом, чтобы, с одной стороны,
обеспечить наиболее полное освобождение цементного теста
от пузырьков вовлеченного воздуха и, с другой стороны, пре-
дупредить излишнее расслоение цементного теста. После пред-
варительного уплотнения цементное тесто укладывалось в
формы, состоявшие из латунных труб длиной 500 мм с проде-
тым внутрь резиновым шлангом. Изнутри формы смазывались
силиконовым маслом. Формы, заполненные цементным тестом,
1-3 мин вибрировались в вертикальном положении, после
чего их плотно укупоривали и хранили до распалубки (также
в вертикальном положении) 24-48 ч при 20° С.

Действительное значение В/Ц в таких образцах довольно
постоянно по длине, за исключением верхнего и нижнего кон-
цевых участков образца, где отклонения В/Ц от среднего зна-
чения весьма существенны. Поэтому концевые участки только
что извлеченных из опалубки цилиндров отрезали и отбрасыва-
ли. Оставшуюся часть (около 60% первоначальной длины ци-
линдра) распиливали на три отдельных образца, торцы которых
затем шлифовали на токарном станке. Эти образцы хранили
до момента испытаний в эксикаторах при температуре 20° С и
относительной влажности воздуха 100 %. Перед испытаниями
к торцам образцов на специальном клее ’’Латекс” приклеивали
захватные приспособления, крепившиеся к захватам испыта-
тельной установки через карданный подвес.

Эксперименты проводили в климатизированных помеще-
ниях при 20° С. Чтобы исключить влияние усадки на деформа-
ции материала, все образцы испытывали в герметических кли-
матических камерах.

Испытание образцов кратковременной и длительной (для
определения длительной прочности) нагрузками проводилось
в автоматизированной универсальной испытательной установке
’’Инстрон”. Установка состоит из двух блоков — механическо-
го и электронного. Подвижная траверса механической части
имеет винтовой привод со специальным противолюфтовым
устройством. Скорость движения траверсы выбирается с по-
мощью кнопочного переключателя и может лежать в пределах
0,0005 — 5 см/мин. Постоянство выбранной скорости обеспе-
чивается системой сервопривода, контролируемой синхронным
эталонным блоком.

Нагрузку измеряли мессдозами, снабженными фольговыми
тензодатчиками. Мессдозы обеспечивают измерение нагрузки
в пределах от 0 — 200 до 0 — 10 000 кг при сжатии и от 0 — 10
до 0 — 500 кг — при растяжении. Точность системы регистрации
нагрузки составляла ± 0,5 % во всех диапазонах нагрузки. Пре-
русмотрена возможность автоматического движения траверсы
для поддержания постоянной нагрузки при испытаниях на пол-
зучесть и длительную прочность. Для регистрации нагрузки
и деформаций на диаграммной ленте служит специальное элек-
тронное устройство. Диаграммная лента обслуживается двумя
самописцами; первый обычно используется для записи нагруз-
ки, второй - для записи деформаций. Диаграммная лента имеет
интервал скоростей 0,2 - 50 см/мин и может двигаться синхрон-
но с траверсой; в этом случае (кратковременные испытания)
первый самописец дает диаграмму нагрузка — деформация,
второй служит для контроля деформаций. Диаграммная лента
может двигаться и независимо от траверсы; в этом случае
(длительные испытания) первый самописец служит для контро-
ля нагрузки, второй да^т кривую ползучести. Большой диа-
пазон скоростей диаграммной ленты позволяет легко получать
наиболее удобный масштаб графиков для кратковременных
и длительных испытаний.

Автоматическое измерение поперечных деформаций образ-
цов установкой ’’Инстрон” не предусмотрено. Поэтому образ-
цы испытывались с наклеенными на них тензодатчиками япон-
ского производства, служившими для измерения поперечных и
контроля продольных деформаций. Регистрация показаний
тензодатчиков производилась с помощью автоматизированной
установки фирмы ’’Пикель”. Запись результатов измерений -
продольной и поперечной деформаций как функций напряжений
или времени — производилась автоматически на диаграммную
ленту.

Для испытаний цементного камня на ползучесть при растя-
жении была сконструирована специальная установка. Требо-
вавшееся увеличение точности измерения было достигнуто бла-
родаря увеличению длины цилиндрических образцов по сравне-
нию с описанными выше до 350 мм. Диаметр этих образцов
(тип 3) составлял 18 мм. Захватные приспособления приклеива-
ли к торцам образцов, измерение деформаций производили
мессурами с ценой делений 0,001 мм.

Выше упоминалось, что фактические значения В/Ц на конце-
вых участках образца и в его середине могут отличаться один
от другого. В наших исследованиях концевые участки только
что распалубленных цилиндров отпиливали и отбрасывали,
а остающийся средний участок распиливали на три части, слу-
жившие опытными образцами.
Рис. 2.10. Прогнозирование длительной прочности при растяжении
для цементного камня в различном возрасте

Точки - результаты непосредственного определения длительной проч-
ности в эксперименте автора

Таким образом, в нашем распоряжении оказывались сле-
дующие опытные образцы: 1) вырезанные из середины исход-
ного цилиндра; 2) находившиеся ближе к верхнему концу
исходного цилиндра; 3) находившиеся ближе к нижнему концу
исходного цилиндра. Чтобы быть’уверенным, что эти три груп-
пы образцов идентичны по своим свойствам, необходимо было
провести соответствующий эксперимент.

Согласно изложенной выше методике, было изготовлено
3x18	54 образца типа 1. Испытания образцов были проведены

в возрасте 7—14 сут в установке ’’Инстрон”. Для каждого
образца измеряли начальный модуль упругости Е и кратковре-
менную прочность R.

Статистический анализ результатов испытаний показал,
что предположение об идентичности свойств образцов во всех
трех группах достаточно достоверно. На основании результатов
предварительных испытаний было решено впредь не делать
70
различий между образцами трех групп и рассматривать результа-
ты их испытаний совместно.

Деформации образца при кратковременном нагружении
остаются линейными до самого разрушения, а коэффициент
поперечных деформаций	Vs	и дифференциаль-

ное отношение _ Л(ф)/Л6, характеризующее ско-
рость изменения объема, при всех напряжениях сохраняет по-
стоянное значение. Деформации ползучести при растяжении так-
же оказались почти линейно-зависящими от напряжений. Резуль-
таты исследования длительной прочности на образцах с В/Ц=0,45
в возрасте. 3, 7,14 и 28 сут представлены точками на рис. 2.10,
где одновременно нанесены линии, построенные теоретически
по формуле (46) с использованием всех необходимых харак-
теристик материала, полученных опытным путем на цементном
камне того же состава. Рис. 2.10 свидетельствует об удовлет-
ворительном (с учетом разброса опытных результатов) совпа-
дении теоретических и экспериментальных данных. Это свиде-
тельствует о возможности расчетным путем прогнозировать
длительную прочность цементного камня и бетона при растяже-
нии, если известны функции, описывающие изменение во време-
ни его кратковременной прочности, модуля упругости и дефор-
маций ползучести. Возможности практического использования
такой методики прогнозирования изложены в п 5.1.

3.	ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ БЕТОНА
ПРИ ОДНООСНОМ СЖАТИИ

3.1.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ
И МИКРОДЕФОРМАЦИЙ ВБЛИЗИ ПОР
МАТЕРИАЛА ПРИ СЖАТИИ

Исходные предпосылки. В случае внешнего сжатия форма
дефектов первого рода, как отмечалось в п.1, слабо влияет на
концентрацию растягивающих микронапряжений по контуру
этих дефектов. Поэтому в рамках принятой модели можно
с достаточной точностью рассматривать указанные дефекты
как круговые отверстия, что было подтверждено результатами
более детального анализа микронапряжений, проведенного в
п.2 методом Монте-Карло. Заметим, что этой закономерности
следует не только концентрация микронапряжений непосред-
ственно на контуре отверстий, но и напряженное состояние по
всей линии предполагаемого распространения трещины. На
рис. 3.1 показаны эти напряжения	в долях от внешних

напряжений р для отверстий различной формы. Рассмотрены
случаи круглого отверстия (кривая 1), отверстия в форме
квадрата и прямоугольника с соотношением сторон 1:3,2 (кри-
Рис. 3.1. Напряжение по линии распределения трещины около
пор различного очертания

1 - кругового; 2 - близкого к квадратному; 3 - близкого
к прямоугольному; 4, 5 - эллиптического

вые 2 и 3), а также эллиптического отверстия с соотношением
осей 2:3 при его расположении поперек и вдоль направления
усилий сжатия (кривые 4, 5); по оси абсцисс отложено рас-
стояние х* рассматриваемой точки от края отверстия в долях
от приведенного радиуса отверстия rf * F/d , где F - пло-
щадь отверстия; d — его размер в направлении сжатия.
Рис. 3.1 свидетельствует, что изменение формы отверстия сла-
бо влияет на распределение микронапряжений вдоль линии
предполагаемого распространения трещины; если принять,
что это распределение соответствует круглому отверстию (кри-
вая 7), то это не приведет к существенным погрешностям.
Поэтому в исходную модель материала (п.1) целесообразно
внести упрощение применительно к случаю одноосного сжатия
и рассматривать все поры как отверстия кругового очертания.

3.2.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗВИТИЯ
ТРЕЩИН ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ СЖАТИИ
(ЦЕМЕНТНЫЙ КАМЕНЬ)

Вводные замечания. Известно, что значительную роль в воз-
никновении трещин микроструктуры бетона играет локальная
концентрация напряжений около отверстий (пор) и других
неоднородностей материала. Это отмечалось в упоминавшихся
уже работах [19,49]. Роль пор в образовании трещин при сжа-
тии была выявлена в [6] (рис. 3.2), где показывается поверх-
ность бетонной призмы со сравнительно крупной порой до
и после приложения нагрузки.

Концентраторы напряжений типа искусственных отверстий
и их роль в поведении бетона при сжатии изучались в [70] на
бетонных образцах с круглым сквозным отверстием диаметром

72
Рис. 3.2. Пора в бетона до прило-
жения нагрузки (слева)

25 мм по оси призмы на середине ее
высоты. Результаты эксперимента
показали, что первые трещины, обра-
зующиеся около отверстий при наг-
рузках 25- 35% разрушающей ( вмес-
то 50- 60J в аналогичных образцах
без отверстий), продолжают расти
вдоль напряжения внешних сжимаю-
щих напряжений. Разрушение призм
происходит при достижении продоль-
ной магистральной трещиной торцов
образца.

В опытах на призмах из цемент-
ного камня и цементно-песчаного
раствора, ослабленных одним или
двумя цилиндрическими отверстия-
ми, получены схожие результаты Гб 1J.
Схема развивавшихся трещин для
образцов из цементного камня и
раствора была идентичной ( рис 3.3).
Закономерности, полученные для
случая одного отверстия, остаются
справедливыми и для двух отверстий
независимо от их взаимного распо-
ложения. Это подтверждается
(рис. 3.4) результатами, полученны-
ми при испытании образцов из це-

♦ ♦ ♦ гт ♦ ♦ ♦ п

Рис. 3.3. Развитие трещин в
образце с искусственным
отверстием по мере увеличе-
ния нагрузки
а - цементный камень; б -
цементно-песчаный раствор
Рис. 3.4. Развитие трещин в
образце из цементного кам-
ня с двумя искусственными
отверстиями по мере увели-
чения нагрузки
а - продольное расположе-
ние отверстий; б - попереч-
ное расположение отверстий;
при нагрузке услов-
но показана лишь основная
трещина, вызвавшая раз-
рушение образца

ментного камня, причем слева пока-
заны первые трещины, справа— тре-
щины в стадии, близкой к разруше-
нию образца.

Развитие трещин около изоли-
рованного отверстия. Основываясь
на принятой модели и учитывая
изложенные выше эксперименталь-
ные результаты, рассмотрим процесс
развития трещин в пластине, ослаб-
ленной системой круговых отверс-
тий. На начальном этапе развития
трещин их длина мала по сравнению
с расстоянием между отверстиями.
Поэтому допустимо пренебречь
взаимодействием трещин и рассмат-
ривать изолированное отверстие.
Пусть в неограниченной упругой
пластине единичной толщины имеют-
ся круговое отверстие и две трещи-
ны, входящие на его контур ( рис. 3.5).
Пластина на бесконечности сжимает-
ся системой внешних напряжений
параллельных линии рас-
положения трещин. Устойчивость
пластины рассматривать не будем,
считая ее достаточной. Согласно
предыдущему, приближенно предста-
вим упругое напряженное состояние
в 'окрестности концов трещины в ви-
де суммы

4 (4 О) « 6о(х} О) +61 ( X, О) ( 1)
(xt-а, х*Ь).

Здесь 6о(х, О)- напряженное со-

стояние в пластине с круговым от-
верстием ( без трещины) от действия сжимающих напряжений
(х, О) — напряженное состояние в плоскости с пря-
молинейным разрезом вдоль оси Ох при ~а$х&б, когда
к берегам этого разреза на участках -а^ х ^-t/и и*х*Ь приложе-
но нормальное давление рн (х) **	(х,0)•

Напряженное состояние в пластине с круговым отверстием
(без трещин), согласно известным решениям теории упругости,

6Л(х,0) = <?(/

ге_ 3 г* )
х* г хч

(2)
Напряженное состояние б, (х, О)

Ь(*>о)

1 г*
/х - //

согласно (37]:

(3)

6о(£;0) при -а « / ^-г ;



при -г < / 4 г ;

,6о(£;0) при г < | « b .

(4)

Предельные внешние усилия q ж м можно найти из
выражения [37] ь

___1 г p^aWiK-i^tydi

VttУ	*3J	{  W

Здесь p*(i) определяется из выражения (3) при
предельном значении параметров, характеризующих внешнюю
нагрузку (Q *<?..)*

Из (2) - (5):

(6)

f<».!>)

(7)
Вычислив интегралы, получим:

f(a, b)=A (a, br) V(a+r)(b-r)-A (a, b-r) tfa-rXb+r)'-
_ В(аМ <^У(а-гХЬ^)Л^ .

A,nt^ te[5 1 6к r9f1S^1_b3 b?Yl

A(a>b±r^~IЬл \в $a)-b»(is 4 a 16 a*

Bfab/) - haVfrb)-3r47al-3a*b+5attb*)l
32 a1 b* *•	J

Когда ' трещины имеют одинаковую длину ( ^ * £ "
то,полагая А “ t/r* t

Н8)

„ НГ / (НА)Т к
^Угг1/• W

Если пластина ослаблена круговым отверстием и одной
радиальной трещиной, т.е. tt^0 ;	» t + О ; а ~ г* ), то

- дW	- aw tn	• UD

Характерно, что в интересующей нас области изменения
А (А>0) функция £ «	(А), определяемая выражением

(9) и взятая по модулю, имеет минимум и притом один (при
Л • Ао */7/5-1 а0,18). Таким образом, вначале (при А < Аа )
распространение трещин неустойчиво, а затем (при А > А о)
оно становится устойчивым, т.е. для дальнейшего развития тре-
щин необходимо увеличение нагрузки. Физически это объясня-
ется тем, что в соответствии с (2) растянутая зона вблизи круг-
лого отверстия в пластине имеет ограниченную протяженность
(соответствующую Л — 0,732), а далее расположена зона
небольших сжимающих напряжений. Аналогичный характер
носит изменение функции q «	(А), описываемой выраже-

нием (10). По формулам (9) и (10) на рис. 3.6 построены
кривые изменения приведенной предельной нагрузки

(12)

По оси абсцисс здесь отложена приведенная длина трещины
А «t/r. Кривая 2 соответствует двум трещинам равной длины,
кривая I - одной трещине.
Рис. 3.6. Зависимость между приведенной нагрузкой и приведенной длиной
трещины около поры

Согласно п. 2.2 использованный нами метод оказы-
вается достаточно точным, если r«t. Если же г соизме-
римо с t, то этот метод дает лишь некоторое приближение
для рассматриваемой задачи. Поэтому оценим погрешность
метода для наиболее неблагоприятного случая, когда I огра-
ничено, а г—* ©о (t/r -*О). В этом случае, подставляя Л -t/r
в (9), получаем

412•	<13)

Рассматриваемый случай соответствует задаче о трещине,
входящей на свободную границу упругой полуплоскости и
растягиваемой нагрузкой р » - д, направленной параллель-
но границе полуплоскости. Для такой задачи [37] имеем
следующее значение предельной нагрузки:

г*	т/гГ 1с

(14)

Полученная погрешность в определении нагрузки при
t/r-*0 составляет около 20%. В рассматриваемой задаче эта
погрешность дает оценку сверху. Нас же будет интересовать в
основном область устойчивого распространения трещин (при
достаточно больших значениях t/r), когда действительное
значение погрешности будет существенно меньше.

Развитие взаимодействующих трещин. Рассмотрим даль-
нейший ход развития трещин. Если длину трещины уже нельзя
считать малой по сравнению с расстоянием между отверстия-
ми. то приходится учитывать эффект взаимодействия между
трещинами. В рамках принятой модели рассмотрим задачу,
соответствующую следующему этапу развития трещин.
Рис. 3.7. К задаче о развитии взаимодействующих трещин около
двух пор

Бесконечная упругая пластина толщиной 1 ослаблена
двумя равными круговыми отверстиями и четырьмя трещина-
ми (рис. 3.7). Пластина на бесконечности сжимается системой
внешних напряжений Ц, (С} < О) > параллельных направлению
трещин.

Задача решается приближенным методом, изложенным вы-
ше, напряженное состояние в направлении оси Ох в окрест-
ности концов трещины, как и прежде, может быть приближенно
представлено в виде суммы

6,(х,0)~ 6. (х.О) + 6. (х,0) \	(15)

здесь 6# (х, 0)	- напряженное состояние в пластине с двумя

круговыми отверстиями (без трещины) от действия сжимаю-
щих напряжений 0Л « д ; 6<(х,0) — напряженное состоя-
ние в плоскости с двумя прямолинейными разрезами вдоль оси
Ox , когда к берегам этих разрезов приложено нормальное
давление рн 6*) « d# (xt 0) , действующее на участках
-с+г*х*-а; а*х*с-г; с+г*х* Ь.

При вычислении de (х, О) будем исходить из того,
что эффектом взаимодействия отверстий (без трещин) при с/г*2.
можно пренебречь. Тогда из (2) можно получить

2(х-с)*]

fa *х * с-г)

(16)

(задача является симметричной, поэтому будем рассматривать
только правую полуплоскость).
Напряженное состояние

6<(*,0) [23]:



ь

0<x<a;

(17)

где Q

А

л >Ь,
Ух*-ая\^ dz .

(18)

-	2tp(t)dt .

'***р}{±Г*) aZJ(b£& t^z* ’
a	q 1	'

(19)

(6.(t,0),
p(t) = <0,
Wt,o),

Hit» C-r ;
c-r < t * e*r ;
C-r *t f b;

(20)

F - F(r/2, Vb*^?/b) - F(^^r/b).	(21)

Здесь F представляет собой эллиптический интеграл
первого рода.

Обозначим через	и	предельную нагрузку,

вызывающую распространение трещин соответственно в точках
с абсциссами а и 6 . Переходя в (17) к пределу прих-*а — 0
и х —* 6 + 0 и используя условия предельного (подвижного)
равновесия трещин, можно получить:

2 Ьл-~*)(*РМ)а* 1 *С* .

(22)

2	Г(ь*_а*)[ipt(t)dt______1	,	(23)

]/2b&-a*)V 'J Wa*)(b*-t‘jJ 2

Здесь Patt) и Pb(t) определяются из (20) с
учетом (16) при £"	и ?= Чь соответственно.

Сделав необходимые подстановки, записываем (22) и (23)
в виде:

2 f *,.t -Л\Гг*[ tdt_________________

T/2a(t^-cf)r‘( '	2 J(t-cfVCb'-lFXt'-a1)
r-r	6

3r'f tdt______________	tdt

2	2 J (t-c^t^-t^-a*)'

а	c+r

л

Зг'Г tdt fl xc’ Jx" k

2	>2

(24)

er

2 Jeffh*	______

'l2J(t-c)9^d^^ “

e

Jr*/** tdt	r* f tdt

'TJct-cMt^b^y г^-сУ^аЫ^)

3г/ tdt_________________

2 J (t-c)tT/(t*-a,)(b,-ti)
с*л

(25)

В выражениях (22) — (25) C\ и С%' определяются из
(18) и (19) при p(t) = p*(t) и p(t)<=pf(t) соответст-
венно.

Рассмотрим рост трещин в процессе увеличения нагрузки
. Для этого примем » $*» а абсциссы кон-
цов трещин а и 6 будем рассматривать как неизвестные
функции внешней нагрузки: а —	6 * Ь(д,*). Эти

неизвестные функции определяются из системы уравнений
(24) и (25). Решение может быть получено численным методом
на ЭВМ. В качестве примера на рис. 3.8, а, б показаны результаты
проведенных таким путем расчетов для двух различных рас-
стояний. между центрами отверстий: с/г * 2 и q/r * 10.
Кривые 2 и 3 характеризуют изменение приведенной предель-
ной нагрузки	К1с в зависимости от приведен-

ной длины трещиды Л« ii/r или ti/(p-r)>
Кривая 3 относится к внутренней трещине (с вершиной в точ-
ке с абсциссой а), кривая 2 - к внешней трещине (с вершиной
в точке с абсциссой 3). Видим, что вначале распространение
трещин неустойчиво, затем (при Л > X в) оно становится
устойчивым. Это полностью соответствует характеру роста
трещин около изолированного отверстия (кривые Ja и 16 )
Соседнее отверстие в рассматриваемом случае приводит к тому,
что после достижения трещинами относительной длины у • ц/а,
а внешней нагрузкой — максимального значения вх Р°ст
трещин вновь становится неустойчивым (пунктирные ветви
кривых). Здесь кривая 2 а соответствует случаю необратимых
трещин, кривая 26 — обратимых трещин.
Рис. 3.8. Зависимость между приведенной нагрузкой и приведенной
длиной трещины около двух пор
а - пру с/п =2; б - при с/г = 10

Расчеты для различных расстояний между отверстиями
(2$ с/г ^10) показали, что относительная длина трещин в мо-
мент перехода к неустойчивой ветви колеблется в сравнительно
узких пределах: соответственно для внутренних и внешних тре-
щин = 0,69 ... 0,73,	0,51 ... 0,55. Также практически

постоянной оказалась — относительная длина трещин, соот-
ветствующая достижению фта*на кривой 1 (	— 0,46 ... 0,47).

Рассмотренный выше процесс развития трещин завершается
их слиянием и образованием одной трещины, проходящей
через оба отверстия (показана пунктиром на рис. 3.7). Решение
задачи о дальнейшем развитии этой трещины аналогично преды-

дущему. Напряженные состояния:  - -3-г-	7  х/ л)	2(x+c)*J  <So(*;0)= j	г2	_	7  L2(*-c)z 2(x-c)*J  а(х-о)-	'—Г  i( ,0}	(x-t)	при х *0;  (26) при  ; (x<-b; х>&);
p(t)a *

бМ
о

60(t)
о

при -b < t «-с-г;
при -c-r<t*-c+r;
при -C+r*t£C-r\
при c-r<t<c+r\
при c~r*t^b.

(28)

Предельная внешняя нагрузка	согласно [37],

может быть определена из уравнения

___£_ / p.(t)Vb*T dt Sr'..	(29)

•v2F J -------------- Vz *'

-b

Из (26) - (28) получаем:

Kr№/f(b);	(30)

О

dt •	(31 ’

Из (30), вычислив интегралы в (31), получаем зависимость
между предельной нагрузкой $*• MiMr'k и относи-
тельной длиной внешней части трещины Л * ti/r или
Примеры полученных при различных значениях	c/r (2* с/г* 10)

результатов даны на рис. 3.8, а, б кривыми 4. Взаимное положе-
ние кривых 2 и 4 свидетельствует о том, что в предыдущей
задаче при увеличении нагрузки до значения q * вм (т.е. дости-
жения зоны неустойчивого роста трещин) происходят мгновен-
ное слияние внутренних трещин и перескок с ветви 2 на ветвь 4
(волнистая кривая).

Исследование дальнейших этапов развития, трещин методом
Монте-Карло. Дальнейшее увеличение нагрузки вызывает после-
довательное слияние и укрупнение смежных трещин. Этот
этап развития трещин может быть рассмотрен тем же методом,
что и выше. Возникающие при этом вычислительные трудности
преодолеваются с помощью ЭВМ.

Характер развития трещин на этих этапах существенно за-
висит от статистического распределения расстояний между со-
седними отверстиями (порами). Поэтому рассмотрим (в рам-
ках принятой выше модели) некоторый элемент материала,
Рис. 3.9; К задаче о , развитии продольных взаимодействующих
трещин около п пор

представляющий собой достаточно длинную полосу длиной L,
толщиной 1 см и шириной 2с, ослабленную п случайно
расположенными отверстиями радиуса г и трещинами длины
£/> (1 * I < п). Расстояние между центрами отверстий будем
рассматривать как нормально распределенную случайную вели-
чину х с математическим ожиданием Мх и дисперсией Dx.

Отверстия по длине полосы расположены в один ряд
(рис. 3.9), среднее расстояние между порами и в перпендику-
лярном направлении равно ширине полосы, т.е. 2с. Пренебрегая
анизотропией материала, считаем, что математическое ожида-
ние расстояния между порами в продольном направлении Мх
также равно 2 см, и рассматриваем последовательно различные
этапы развития трещин в полосе при равномерном росте нагруз-
ки. Исходим из того, что с самого начала около каждого от-
верстия развиваются две трещины, описываемые уравнением (9).

Трещины предполагаются коллинеарными, хотя требование
о коллинеарности не является, вообще говоря, обязательным,
достаточно, чтобы трещины были квазиоднородными; соглас-
но [14], такие трещины, дезориентированные в пределах угла
до /3, взаимодействуют между собой так же, как и колли-
неарные. Упрощая решение, будем предполагать, что трещины
следуют уравнению (9) (кривые 1а на рис. 3.8) вплоть до
достижения относительной длины , соответствующей
нагрузке $ £аж . После того как две растущие навстречу од-
на другой трещины достигают этого состояния, происходят их
мгновенное слияние и перескок на описываемую уравнением
(30) ветвь 4. С ростом нагрузки все большее число трещин
будет переходить на эту ветвь, и- когда одна из таких трещин
достигнет длины, соответствующей , произойдет ее
слияние с соседней трещиной, сопровождающееся перескоком
уже на следующую ветвь устойчивого состояния, причем урав-
нение, описывающее рост трещины на этой ветви, строится ана-
логично уравнению (30), но выражение (26) должно быть
изменено с учетом общего числа и взаимного расположения
отверстий, пересекаемых трещиной.

Процесс роста трещины будет продолжаться до тех пор,
пока трещина не превратится в магистральную, что приведет
к разрушению полосы материала. На рис. 3.10 показаны резуль-
>»-► 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 0,31

Рис. 3.10. Результаты математического моделирования развития
продольныхчрещин около пор

1 — зависимость между приведенной внешней нагрузкой и приведен-
ной длиной трещин около изолированной поры; 2 - то же, около
пор; 3 - зависимость между коэффициентом поперечной деформации
и приведенной внешней нагрузкой; 4 - то же, экспериментальные
кривые

таты проведенных таким способом расчетов при7Ихв 8,	== 1,

г а 1, п а 100, L~MX , п = 800. Случайные числа, соответ-
ствующие расстоянию между соседними отверстиями, генериро-
вались на ЭВМ. Кривая 2 дает зависимость между приведенной
нагрузкой

ч° = 1ч.1^гг/я к1с	(32)

и суммарной относительной длиной трещин

5 = ZHi/r,	(33)

i*1

выраженной, как и все линейные размеры, в условных единицах.

Кривая 1 дает значение	определяемое уравнени-

ем (9), т.е. без учета взаимодействия трещин (см. выше). В
расчетах начальная относительная длина трещин принималась
равной Л о (см. рис. 3.8). Кривая 2 имеет горизонтальные
участки, каждый из которых соответствует слиянию двух смеж-
ных трещин и перескоку с одной устойчивой ветви на другую.
По мере роста нагрузки в полосе накапливается значительное
число достаточно длинных трещин. Их взаимодействие при-
водит к тому, что при достижении нагрузки Q*t соответ-
ствующей Rnp , происходит мгновенное объединение этих
трещин, приводящее к разрушению полосы с образованием ма-
гистральной трещины. Кривая 2 показывает, что развитие
первых изолированных трещин, соответствующее границе R^,
начинается при нагрузке, соответствующей немногим более 60%>
разрушающей нагрузки (горизонтальные пунктирные кривые),
что достаточно хорошо совпадает с экспериментальными ре-
зультатами автора для цементного камня (в среднем 65%).
Появление первых протяженных трещин (горизонтальные штрих-
пунктирные кривые) происходит при нагрузках, на несколько
процентов превышающих границу R °. Подобное развитие
трещин в интересующей нас области ( Л > Л о) может быть
описано в общем виде так:

Здесь <j(s)	— некоторая неубывающая функция суммарной

длины трещин S > расположенных на одной линии, парал-
лельной направлению внешних сжимающих напряжений сжатия.

Влияние развития трещин при кратковременном сжатии
на коэффициент поперечных деформаций материала. Известно,
что коэффициент поперечных деформаций v для цемент-
ного камня и бетона при сравнительно небольших нагрузках
является величиной постоянной и лежит в пределах 0,15 ... 0,2.
При увеличении нагрузки выше границы R’ поперечные
деформации резко нарастают, причем значение коэффициента
в стадии, близкой к разрушению, иногда превосходит предель-
ное теоретически возможное значение v = 0,5, соответ-
ствующее несжимаемому материалу. Это явление объясняется
прогрессирующим развитием трещин в структуре материала и
нарушением сплошности, разрыхлением . материала. В этой
связи рассмотрим влияние раскрытия отдельных продольных
трещин на поперечные деформации цементного камня.

Раскрытие трещины 2v(x) при произвольной нагрузке,
приложенной к ее берегам, согласно [37], может быть найде-
но так:

V(X)-^ Jp(t)r(t;x;})d)	(/х/« t,) ;	(35)

, • tn	t‘j

В начальной стадии развития трещин, т.е. до слияния трещин,
образовавшихся около отдельных отверстий, имеем для напря-
жений, действующих в упругом теле на линии трещины, выраже-
ния:

- Зг*/2}*) 	-г;

Р(1)=	-г <i < г; <37>

\ч(гг/2^-ЗгУг}*); -г * i « ii.

Для последующих этапов развития трещин напряжения могут
быть найдены по формулам (16), (28) и т.п. Отсюда, исполь-
зуя формулы п.1,можно вычислить относительные деформации
£* для всех этапов развития трещин. Соответствующие интег-
ралы могут быть вычислены численным методом на ЭВМ. Таким
способом было рассчитано изменение у при развитии тре-
щин, описываемых кривой 2 на рис. 3.10. Результаты показаны
на том же рисунке кривой 2, причем начальное значение Vе 0,22.
Здесь же для сравнения пунктиром показаны кривые 4, полу-
ченные автором для цементного камня экспериментально [79].
Из рис. 3.10 видно, что теоретические и экспериментальные
зависимости для у подчиняются одной и той же законо-
мерности.

Некоторые дополнительные замечания. Рассмотренный про-
цесс развития трещин вида I (т.е. отрывных) в направлении,
параллельном действию усилий сжатия, основан на предполо-
жении, что начальные трещины в структуре цементного камня
ориентированы наиболее опасно - параллельно усилиям сжа-
тия. Начальные трещины другой ориентации, например распо-
ложенные наклонно по отношению к усилиям сжатия, также
могут приводить к разрушению с образованием продольных
трещин. Рассмотрим поэтому дальнейшее развитие модели
материала, чтобы учесть статистический характер распределения
пор с трещинами по площади пластины.

В рамках принятой модели рассмотрим элемент материала
в виде пластины единичной толщины, шириной b и высо-
той h, ослабленной п трещинами, имеющими случайную
длину Z = 2ti, случайный угол ос (характеризующий их
ориентацию относительно направления внешнего сжатия) и слу-
чайные координаты центров X, У. В предположении, что материал
макроскопически изотропен, считаем любое положение центра
трещины и любую ее ориентацию равновероятными, т.е.

Afa) = 0г,	1/b •	(38)

Пусть длина трещин имеет равномерное распределение в
пределах с $ L « d , т.е.

= l/(c-d),	(39)
Одна из реализаций метода Монте-Карло, характеризующая
последовательные этапы развития трещин в подобной модели
цементного камня, показана на рис. 3.11, a-в. Принималось
/? = 200, b = 50, с = 2,	4, /?«• 150. В соответствии с [14]

учитывалось взаимодействие не только для продольных, но и
для близких к продольным трещин ( d ), причем взаимо-
действующие трещины относились к коллинеарным в тех слу-
чаях, когда прямая, соединяющая вершины взаимодействую-
щих трещин, отклонялась от направления трещины на угол,
не превышающий X/6. Из рис. 3.11 видно, что процесс роста
взаимодействующих трещин продолжается вплоть до образова-
ния магистральной трещины, приводящей к разрушению рас-
сматриваемого образца цементного камня.

Представленный на рис. 3.11 характер разрушения цемент-
ного камня подтверждается результатами многочисленных
экспериментальных исследований, в том числе исследований
автора [79]. Образцы из цементного камня в этих исследова-
ниях испытывались в возрасте 1 —90 сут. Все они, как прави-
ло, разрушались вследствие образования одной или нескольких
трещин вида I (отрывных), ориентированных в основном
вдоль направления внешних усилий (см. фото рис. 3.11). Вместе
с тем макроскопические трещины не всегда были строго верти-
кальны. Иногда часть трещины или даже вся трещина проходила
под определенным углом к вертикали. Объяснение этого явле-
ния в свое время было дано в [7], где указывалось, что по ря-
ду причин главные растягивающие напряжения могут действо-
вать по площадкам, отличным от направления внешнего сжи-
мающего усилия; это в свою очередь может вести к появлению
наклонных поверхностей отрыва, однако общая тенденция
заключается в развитии разрывов, направленных вдоль дейст-
вующего усилия. Некоторая тенденция к появлению наклон-
ных поверхностей отрыва, Связанная с характером взаимодей-
ствия растущих трещин проявилась и в расчетах (см. рис. 3.11, в).
Итак, для образцов из цементного камня характер разрушения
в целом можно считать не противоречащим гипотезам принятой
расчетной модели.

Необходимо отметить, что принятая модель исходит из
однородности межпорового пространства на уровне микро-
и мезоструктуры. Неоднородность материала (например, из-за
наличия зерен мелкого заполнителя на уровне мезоструктуры)
в принципе может изменить характер разрушения. Для выяв-
ления подобной возможности в процессе тех же исследований
были проведены дополнительные эксперименты на образцах
из цементно-песчаного раствора {В/Ц = 0,5 при отношении
Ц:П =1:3) в возрасте 3, 7, 14 и 28 сут, в остальном аналогич-
ных образцам из цементного камня. Результаты этих экспери-
ментов не показали каких-либо различий в характере разруше-
ния цементного камня и цементно-песчаного раствора.
I t f t ! t f t f t f f H

Рис. 3.11. Моделирование развития случайно ориентированных трещин на
уровне микроструктуры бетона (а -б) и действительный характер раз-
рушения (г)

88
Как и для случая растяжения, оценим для цементного кам-
ня длину начальных трещин, с развития которых начинается
процесс трещинообразования. Эксперименты [79] показыва-
ют, что граница R у для цементного камня в возрасте
28 сут лежит в пределах 44 — 60 МПа, откуда при г — 0,01 см,
КХс^ 0,11 ... 0,40 МН/мЗ/2(п. 1.3) из (12) получаем £г-1,5 ...2,2,
Л«£/г=0,1 ... 0,5 и искомая длина трещины 2(	2г(А+1)

— 0,022 ... 0,03 см, что близко как к значениям критической
длины трещин, найденной в п. 2 из анализа поведения цементно-
го камня при растяжении (0,02 — 0,04 см), так и к результа-
там микроскопических исследований японских и американ-
ских исследователей.

3.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН
ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ СЖАТИИ (БЕТОН)

Исходные предпосылки. Выше было получено математи-
ческое описание поведения трещин в цементном камне, т.е. на
уровне микроструктуры бетона. Переходя к анализу поведения
трещин на уровне макроструктуры, будем исходить из рассмот-
ренных в п. 1 основных типов разрушения неоднородных мате-
риалов, а именно МК, МКЗ и М3, характерных соответственно
для обычного, высокопрочного и легкого бетонов.

Разрушение типа МК (матрица + контактная зона). Этому
типу разрушения свойственны начальные трещины контакт-
ной зоны (матрица —заполнитель), их развитие по контактной
зоне с последующим выходом в матрицу. Подобная картина
развития трещин, типичная для обычных бетонов, получена в
экспериментах ряда исследователей.

Известно, что нормальные напряжения, действующие не-
посредственно на поверхности контакта между матрицей и за-
полнителем при внешнем сжатии, близки к нулю или являют-
ся сжимающими [12, 78]. Растягивающие напряжения возника-
ют только в прилегающей зоне матрицы на расстоянии 0,3 R ,
где R — радиус включения [12]. Эти напряжения способ-
ствуют появлению здесь трешин, что подтверждается экспери-
ментально [78]. Из этих же экспериментов следует, что вероят-
ность появления трещин указанных двух типов далеко не одина-
кова, чаше всего появляются лишь трещины контактной зоны.
Поэтому при дальнейшем анализе особое внимание уделяется
именно контактным трещинам. Основная роль в возникновении
и распространении контактных трещин принадлежит сдвигаю-
щим напряжениям. Заметим, что роль сдвигающих напряжений
в разрушении контакта между заполнителем и матрицей при
сжатии бетона подчеркивалась в [12].

Важную роль в характере развития контактных трещин
сдвига играет геометрия включения, и для случая сжатия вместо
Рис. 3.12. Макроструктура бетона

Справа — модель макроструктуры со случайной формой
зерен заполнителя, слева — реальная макроструктура
бетона

идеализированной формы включения (круг), принятой для
случая растяжения, будем исходить из включения в форме
неправильных выпуклых п -угольников, где п - слу-
чайное число. Многоугольники имеют случайное расположение
вершин, что позволяет получить модель бетона (рис. 3.12
левый), ближе соответствующую реальному материалу (рис.3.12
правый).

тудем исходить из предположения, что часть включений
имеет начальные трещины на контакте с матрицей, и рассмотрим
поведение трещин в представленной модели материала. Нали-
чие трещин контактной зоны в обычном (тяжелом) бетоне
и характер их расположения показаны на рис. 3.13 левом,
выполненном методом люминесцентной дефектоскопии1, где
начальные дефекты (трещины), заполненные вкраплениями
люминофора, представлены белыми пятнами; характерно рас-
положение дефектов снизу зерен заполнителя (по отношению
к направлению укладки бетона). Для сравнения на рис. 3.13
правом показан выполненный тем же методом снимок струк-
туры легкого бетона на заполнителе из шлаковой пемзы, где
характерно отсутствие подобных дефектов контактной зоны.

Вернемся к модели структуры тяжелого бетона. На первых
этапах нагружения, когда трещины еще не получили достаточ-
ного развития, будем пренебрегать их взаимодействием, в
связи с чем выделим элемент материала, содержащий, одно
включение и одну контактную трещину.

Развитие, наклонной трещины при сжатии однородного
материала. Предварительно решим вспомогательную задачу
о поведении подобной наклонной трещины в однородном мате-
риале. Для этого рассмотрим неограниченную упругую пласти-
ну единичной толщины, ослабленную трещиной длиной 2 ф

1 Исследование проведено инж. В.И. Кондращенко,

90
Рис. 3.13. Реальная макроструктура бетона, полученная мето-
дом люминесцентной дефектоскопии

Слева — тяжелый бетон; справа — легкий бетон

(рис. 3.14, а), и сжатую на бесконечности систему внешних
напряжений q ($<&)> направленных под углом сх к трещи-
не. Принимаем, что трещина является налегающей, т.е. ее проти-
воположные берега налегают один на другой под действием
внешнего сжатия. Анализ напряженного состояния вблизи
устья трещины показывает, что такие трещины теоретически мо-
гут расти по двум механизмам: по сдвиговому, когда трещина
развивается в том же направлении, что и начальная трещина
(рис. 3.14, б), и по отрывному, когда угол в отклонения
трещины от своего первоначального направления составляет,
по разным данным [37, 53], 70 — 75° (рис 3.14, в). Экспери-
менты [60], проведенные на гипсовых образцах с искусствен-
ными наклонными трещинами (15° ос « 45°), подтвердили
наличие двух механизмов разрушения — сдвигового и отрыв-
ного. Одновременно эти исследования показали, что в случае
отрывного механизма (рис. 3.15) угол В оказывается мень-
ше теоретического значения и изменяется в довольно широких
пределах (44° « в 66°), уменьшаясь при уменьшении угла
наклона начальной трещины сх . Было также установлено,
что возникшие трещины нормального разрыва в процессе своего
развития быстро приближаются к вертикали (рис. 3.15, а),
причем аналогичные результаты были получены в [76] на образ-
цах из цементно-песчаного раствора.

Чтобы оценить вероятность развития трещины по сдвиго-
вому или по отрывному механизму, необходимо знать соотно-
Hllll t t t I f t

I	»

Рис. 3.14. К задаче о развитии произвольно
ориентированной трещины при сжатии одно-
родного материала
а - начальная наклонная трещина сдвига; б -
траектория возможного развития начальной
трещины по сдвиговому механизму; в —
траектория возможного развития началь-
ной трещины по отрывному механизму

шение критических коэффициентов интенсивности напряжений
для данного материала , характеризующих его сопротивление
развитию трещин по соответствующему механизму. Согласно
[53], соотношение постоянных материала, характеризующих
его сопротивление развитию трещин по соответствующему ме-
ханизму, может быть определено так:

к* - °* f'H+jP-p _ Jl

7^- - d- (	2	6. J •	(40)

Здесь &+ , б± — соответственно абсолютные значения макро-
скопической прочности тела на сжатие и растяжение; р ,
к — соответственно коэффициент трения и постоянная сцеп-
ления, характеризующие взаимодействие противоположных
прилегающих берегов трещины. Исходя из значения р в
пределах 0,7 — 0,9 [12],	Л/<^ = о и 6+/б- = 10, имеем

Лйе/^fc = 2,2 ... 2,6. Экспериментально установленное [60]
критическое значение коэффициента интенсивности напряжений
при разрушении по сдвиговому механизму	в среднем

составляет 0,485 МН/м^/2, т.е. в 2,9 — 4,4 раза превышает кри-

92
тическое значение коэффициента
интенсивности напряжений при раз-
рушении по отрывному механизму
для материала той же макроскопи-
ческой прочности, равное К1с 0,11...
0,17 МН/мЗ/2. С учетом сказанного
принимаем ориентировочно для це-
ментного камня это соотношение
K$c/Kic~3. Для предельных зна-
чений внешней нагрузки, вызываю-
щей развитие наклонной трещины
соответственно по сдвиговому и
отрывному механизму в условиях
внешнего одноосного сжатия, в
[37, 60] получены выражения:

ГНI	^/ZstO ОС CDSOL-pSin2^ 2.у

0	— _____________

'hU ^T^SinoC COSOC —/jSirPoC)

Рис. 3.15. Развитие началь-
ной наклонной трещины
сдвига по отрывному меха-
низму при сжатии однород-
ного материала

> (41)

Индекс м означает, что указан-

ные значения нагрузки трещин от-
носятся к наклонной трещине. Из
(41)

Ф НЯ _ 2	К <	4

Итак, нагрузка, требуемая для развития сдвиговой трещины,
оказывается в несколько раз выше нагрузки, приводящей к
развитию трещин отрыва. Следовательно, при внешнем одно-
осном сжатии развитие наклонных трещин в однородном мате-
риале должно проходить в основном по отрывному механизму.

Рассмотрим этот механизм подробнее. Допустим, что внеш-
няя нагрузка достигла для данной наклонной трещины, соглас-
но рис. 3.14, а, значения , вследствие чего образовались
две новые трещины нормального разрыва. Исходя из результа-
тов, показанных на рис. 3.15, будем считать возможным принять
упрощенную схему развития трещин нормального разрыва
и считать, что эти трещины являются продольными, т.е. с са-
мого начала развиваются вдоль усилий сжатия (рис. 3.16).
Взаимодействие противоположных берегов налегающей наклон-
ной трещины будем описывать с использованием условия сухо-
го трения, возникающего при взаимном проскальзывании тре-
щин и характеризуемого постоянным вдоль всей трещины
коэффициентом р.

Представим напряженное состояние в рассматриваемом
элементе материала в виде суммы напряженного состояния в
сплошной пластине (без трещин), нагруженной внешними
напряжениями , и напряженного состояния в пластине с
Рис. 3.16. К задаче о развитии началь-
ной наклонной трещины сдвига
по отрывному механизму при сжа-
тии однородного материала

трещиной. Для первого со-
стояния на линии расположе-
ния трещины компоненты тен-
зора напряжений:

6*. $infoc g cos2oc;

« q sina cosa..

Первое напряженное состоя-
ние не зависит от размеров
трещины. Компоненты тензо-
ра напряжении во всех точ-
ках пластины для этого со-
стояния являются ограничен-
ными. При взаимном про-
скальзывании берегов трещи-
ны на ее поверхности дейст-
вуют силы трения. С учетом
этих сил граничные условия
на берегах трещины для
второго напряженного состоя-
ния таковы:

(since cosa - р sLn*aj

Равнодействующая уси-
лий, вызывающих взаимное

проскальзывание берегов трещины, определяемая из второго на-
пряженного состояния, равна:

7"=	== -24 £f sina cosa - р sin*oc) .

В состоянии предельного равновесия ’’зигзаг-трещины”, соглас-
но рис. 3.16, силы Т, действующие в ее средней части, должны
уравновеситься силами межчастичного сцепления, действующи-
ми по концам продольных трещин. Поэтому рассматриваемая
задача сводится к задаче о предельном равновесии ’’зигзаг-
трещины”, нагруженной действующими под углом а к на-
правлению внешнего сжатия силами Г. Решение этой задачи
проведем приближенно, заменяя рассматриваемую трещину
прямолинейной. Эта заменяющая трещина имеет длину 2 4 и
нагружена в середине сосредоточенными силами Т, дейст-
вующими под углом сх к направлению трещины. Зависи- ,
мость между внешней нагрузкой и длиной такой трещины,
используя результаты [47], представим в виде: •
р _ к . о. _ к

(42)


Рис. 3.17. Зависимость между
положением начальной тре-
щины (отклонение от на-
правления сжатия) и приве-
денной внешней нагрузкой,
вызывающей превращение
этой трещины в ’’зигзаг- тре-
щину”

где Р
оси О*

и 0	- проекции силы Т соответственно на

и 0у> при этом

Р я Г$1па =

Q - Тсозс*~-Bqt, Bfo^p), <
а функции А и В имеют значения:

А(а;р)* sln*a cosa - р sin’a ;

В (а;р) «= slna cos*a -р sin fta соЛс.

(43)

(44)

Из (42)
развития
но):

и (43) найдем значения нагрузки, требуемой для
продольной трещины (по виду I или П соответствен-

— в_____ VHttg, Kj[t

*nI 2tiA(c^p)
Kj,

*"Г	2t,8(a,j>)

(45)

(индекс „л” обозначает, что указанные значения нагрузки
относятся к продольной трещине).

На рис. 3.17 даны определяемые из (41) значения при-

веденной внешней нагрузки, вызывающей развитие наклонной
трещины по отрывному механизму (вид I) и превращение ее
в ’’зигзаг-трещину”:

Здесь В(а.3р) = /4(6t;^/sitia « sina cosa . На Рис- 3.18
для некоторых фиксированных значений a (a = 20 ... 45°)
и р (jPe 0,7; 0,9)’ показана зависимость между приведен-
ной внешней нагрузкой



вызывающей продвижение продольной трещины [см. (45)] ,
и приведенной длиной трещины Л =» tz /«
Рис. 3.18. Зависи-
мость между при-
веденной внеш-
ней нагрузкой,
вызывающей про-
движение ’’зигзаг-
трещины” в про-
дольном направ-
лении • '
а - при р « 0,7;
б - при р — 0,9

Как видим из рис. 3.18, нагрузка	(горизонтальные

волнистые линии), вызывающая развитие наклонной трещины
с образованием продольных трещин, оказывается выше нагруз-
ки , необходимой для развития только что образовавшейся
продольной трещины (пунктирные части кривых). Это свидетель-
ствует о том, что продольные трещины растут вначале неустойчи-
во (горизонтальные волнистые линии на графиках), пока не
достигнут длины, соответствующей устойчивому состоянию
(пересечение волнистой линии с кривой). Далее в соответствии
с характером зависимости (45) рост ’’зигзаг-трещины” являет-
ся устойчивым и представлен сплошными кривыми.

Развитие наклонной трещины на контакте матрицы и вклю-
чения. Пусть на одной из сторон АВ включения ABCDE
(рис. 3.19, а, б) имеется начальная контактная трещина. Ей
присущи определенные особенности по сравнению с поведени-
ем рассмотренных выше наклонных трещин. Во-первых, на
контакте матрицы с заполнителем возникает концентрация
нормальных и касательных напряжений. Учтем это явление
приближенно, полагая, что коэффициенты концентрации к^
и кт соответственно нормальных и касательных напряжений
на грани АВ, наклонной под углом , равны соответ-
ствующим коэффициентам для равнонаклонной площадки
сферического включения согласно [12].

Во-вторых, при сдвиговом механизме развития трещина
будет двигаться в контактном слое, а при отрывном механиз-
ме — в матрице, т.е. в зонах, обладающих различными проч-
ностными характеристиками. Нагрузка, требуемая для развития
рассматриваемой наклонной трещины в контактной зоне по
сдвиговому и отрывному механизмам, согласно (41), равна
соответственно:

Л-------------—.	;	(46)

(к? since cosa £a) Д (oc/?)
Рис. 3.19. К задаче о развитии трещи*
ны на произвольно ориентированном
контакте матрицы и зерна заполните-
ля
а — начальная наклонная контактная
трещина; б - то же, при большем
отклонении трещины от направления
сжатия; в - превращение начальной
наклонной трещины в "зигзаг-тре-
щину”; г - то же, но на одном из
продольных участков ’’зигзаг-трещи-
на” движется по контактной зоне

(47)

W/2)*gj	= МЯК®

cosa - A</>slnAx)

k9b\xfa со5сс-А<у?Э1пЪ;

cos^a - A4/3 cosa;

Д	<x » Myd/toi* -^sinoceosct-A^sirAt.

Отсюда можно получить	• В дан-

ном случае величина К^е характеризует сдвиговую прочность
контакта, а К?с — отрывную прочность матрицы. Соот-
ношение /(£//(£ приближенно может быть принято равным
соотношению макроскопической прочности контактной зоны на
сдвиг и на растяжение. Тогда с учетом экспериментальных
данных [59] Kit/К* * 1,35, К&/К% - 0,5, откуда Лл//(п ж
=0,5 • 1,35 =» 0,675 и 9ЙАЙ - 1,15 • 0,675 ^0,775 < 1, т.е.
при таких условиях начальная контактная трещина будет раз-
виваться далее также по контактной зоне, причем по сдвигово-
му механизму. Так как процесс развития сдвиговой трещины
является неустойчивым, то трещина сразу же достигает вершин
А и В. Дальнейшее развитие трещины в этом же направлении
как сдвиговой затруднено, ибо в этом случае она должна была
бы перейти в матрицу, а-развитие трещин в матрице носит преи-
мущественно отрывной характер (см. выше). Поэтому рас-

сматриваемая трещина временно остановится в положении
АВ, пока нагрузка не возрастет до величины п(и) L , «

г	----соответствующей образованию в матрице продоль-

7-901
ных трещин отрыва АА' и ВВ' , показанных на рис. 3.19.
Для дальнейшего развития продольных трещин справедливо
вытекающее из (45) выражение

=	(48)

J 2£,А„(а;р)

В зависимости от конкретной геометрической формы
включения возможны и другие пути развития трещин. Напри-
мер, если включение имеет такую геометрию, при которой
одна из сторон, примыкающих к АВ, близка к направлению
сжатия (сторона ВС на рис. 3.19, в), то трещина отрыва может
пойти и не по матрице, а по контактной зоне (рис. 3.19, г).
Чтобы упростить последующие расчеты, принимаем, что схема,
согласно рис. 3.19, г, реализуется в том случае, если угол от-
клонения соответсвующей стороны включения от направления
сжатия лежит в пределах Л"/12. При таком предположении
действующая на наклонной площадке нормальная компонен-
та тензора напряжений составляет не более 7 % внешних сжи-
мающих напряжений. Будем исходить также из того, что про-
цесс развития трещины типа ВС описывается аналогично процес-
су развития трещины типа АА', . так как подобные отклонения
в геометрии самой трещины практически не сказываются на
условиях ее развития [37], а указанная нормальная компонен-
та тензора напряжений, сдерживающая развитие трещин, в
определенной мере компенсируется меньшей (по сравнению
с прочностью матрицы) прочностью контактной зоны. В ка-
честве экспериментального подтверждения подобного харак-
тера развития трещин можно привести рис. 3.12 (левый нижний
угол фото). Рис. 3.20 показывает зависимость между приведен-
ной внешней нагрузкой 9 и общей длиной рассмотренной
трещины (2	или 2 Lt + 2 ), взятой в долях от

Z1	— длины стороны АВ. Было принято, что <х ~ 30°,

Л = 4/2.,®= 0,8, р - 0,7. Величина , отмеченная на
графике, соответствует длине начальной трещины контактной
зоны. Кривая 1 описывает значение нагрузки

а° =	,	(49)

дк(ар)

соответствующей развитию наклонных контактных трещин
сдвига (типа АВ на рис. 3.19), а кривая 2 - значение нагрузки

_-firL7 и , VLi/ll V3/2
/Ч»т/	-г,	9

лГе	Jjft (<*) р)

необходимой для образования продольных трещин в матрице.
Из последнего выражения при	, т.е. для случая,

когда трещина уже достигла положения АВ,
. = УГ/2

И,(а,р)

(51)

Анализ графика показывает,
что начальная трещина в процес-
се увеличения нагрузки вначале
не растет в длину (вертикальная
линия на графике), а при дости-
жении нагрузки q< происхо-
дит перескок до достижения
трещиной длины Л = / (обра-
зование трещины АВ). При даль-
нейшем увеличении нагрузки тре-
щина опять в длину не растет,
пока нагрузка не достигнет зна-
чения у 2 (образование про-
дольных трещин). В этот момент
происходит новый перескок на
кривую 5, дающую значения
приведенной предельной нагруз-
ки

Рис. 3.20. Зависимость между
приведенной внешней нагруз-
кой и приведенной длиной
’’зигзаг-трещины”

для этого этапа развития продольных трещин по устойчивому
закону.

Процесс развития трещины около изолированного включе-
ния, рассмотренный выше, характеризуется остановкой (тор-
можением) развивающейся трещины в положении АВ и сохра-
нением этого положения в определенном интервале возрастания
нагрузки q ( q4 < q <	.

Подобный же эффект остановки может быть и на последую-
щих этапах развития* трещин, например при встрече развиваю-
щейся продольной части трещины с границей соседнего включе-
ния. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть развивающая-
ся трещина, согласно рис. 3.19, приближается к соседнему
включению (рис. 3.21, а). Условно принимаем, что возмущение
напряженного состояния в матрице, вносимое этим включением,
не отражается на характере продвижения трещины. В какой-то
момент трещина достигнет границы включения (рис. 3.21, б).
После этого в силу принятых выше предпосылок она должна
изменить свое направление и развиваться уже по границе вклю-
чения. Механизм дальнейшего развития трещины может быть
либо сдвиговым (рис. 3.21, в), либо отрывным (рис. 3.21, г).

Найдем соотношение для определения нагрузок q = q отр
и ? в ? сдв , вызывающих развитие трещины A'N соот-
ветственно по отрывному и сдвиговому механизмам. Для
этого используем критерий локального разрушения (п.1.3).
Рис. 3.21. Взаимодействие трещины с соседним зерном заполнителя

При <7“<?отр и ?=?сдд имеем соответственно

Цк;(3т + cos3 %)- 3/с;(зш	* sin3 К* (53)

И

^.Sin’49**z7cos ^*3fi cos3 f-)7=*/c.(54)

Величины	и K^c характеризуют сопротивле-

ние контактной зоны развитию трещин, а X/ и X/- яв-
ляются значениями коэффициентов интенсивности напряже-
ний в момент достижения предельного значения внешней
нагрузки g При этом для (53):

V = кт 1 .П> ; К1 • Ь («,,	(55)

а для (54):

A'j-= Л7(?<д, ;	(56)

где Kz . и Хв определяются согласно [ 38;} Из (42) — (45)
следует, что Kz и Кл при заданной величине р зави-
сят только от геометрии трещины ААВВ:

/<:-$& A^ip)-, К,-(57)

С учетом приведенных выше выражений предельная нагрузка:

”Р A cos * cos 55*
Рис. 3.22. Зависимость между приведенной внешней
нагрузкой, вызывающей продвижение трещины вдоль
границы встретившегося зерна заполнителя, и углом от-
клонения этой границы от направления сжатия

Области: I - остановки трещин; П - трещин отрыва;
Ш - трещин сдвига; ЕР - остановки трещин

_________________(59)

AK(a;j>)	вк(а;р)[cos

Из формул (58) и (59) следует, что предельная нагрузка,
вызывающая переход трещины из матрицы в контактную зону,
при заданных свойствах материала зависит как от геометрии
существующей трещины АД'ВВ^через значения Ак(<х,р),
так и от геометрии встретившегося на пути трещины включе-
ния (через значение J3* - см. рис. 3.21). Вычислим приве-
денные внешние нагрузки для трещины у включения, для отрыв-
ного (вид!) и сдвигового (вид П) механизма ее развития:

Чът ^/^отр/

(60)

, L.<

п0 =./(]	/_____ -	(61)

гДе ^отр и знаменатель правых частей (58) и (59). Кри-
вые на рис. 3.22 ограничивают область значений	для

различных сочетаний ос и /5. В соответствии с из-
ложенным выше принято, что Kit/Kie ~ 0,5 и Л£/Л£в 0,675.
HtttHIHfH tftfffttttttHf

1	1

Рис. 3.23. Различные механизмы развития трещи-
ны у границы встретившегося зерна заполнителя
а - отрывный при	О', 0 - сдвиговый

при £*>О

Из графиков следует, что поведение продольной трещины у гра-
ницы включения обладает ярко выраженной асимметрией,
заключающейся в следующем: вид трещины контакта зависит
от знака угла встречи ; при J3» < 0 следует ожидать
образования отрывной трещины (область А), при > 0 —
сдвиговой трещины (область Б).

Физический смысл подобного явления объясняется на
рис. 3.23, где стрелы у трещины показывают направление взаим-
ного смещения ее берегов. Если угол-встречи составляет менее
-зг /12,- ю развитие образовавшейся в контактной зоне новой
трещины отрыва (рис. 3.23, а) затруднено. Это объясняется
тем, что нормальная компонента тензора напряжений 6n(fi)
создающая сжатие на площадке МЫ, препятствует продвиже-
нию этой трещины. Поэтому при J3* < -зг/12	(область Л'

на рис. 3.22) образованием трещин отрыва практически мож-
но пренебречь.

Если угол встречи лежит в пределах ~зг/12 м ft* < О , то
нормальная компонента тензора напряжений 6п (J3) сравни-
тельно невелика. В этом случае трещина будет развиваться в
силу сделанных выше допущений практически так же, как про-
дольная трещина в матрице.

Если угол встречи имеет другой знак (	> 0 ), то раз-

витие образовавшейся контактной трещины сдвига
(рис. 3.23, б), в противоположность предыдущему случаю,
102
будет поддерживаться действующей вдоль контактной зоны
касательной компонентой тензора напряжений. В связи с этим
трещина будет развиваться далее (притом неустойчиво), пока
она не достигнет вершины /V включения. Дальнейшее продви-
жение трещины может проходить по контактной зоне или по мат-
рице, что опять-таки зависит от геометрии включения. Описание
этого этапа развития трещины аналогично случаю, рассмотренно-
му выше применительно- к трещине АВ. Такой характер разви-
тия имеет место при условии, что угол встречи fl* не прибли-
жается к.прямому. В последнем же случае нагрузка, требуемая
для образования трещины сдвига, неограниченно возрастает
(см. рис. 3.22), и если угол отличается от прямого менее, чем
на Jr /12 (5 зг /1? р* <ff[ 12), то образования контактной
трещины вообще не происходит (зона Б'на рис. 3.22). В этом
случае продольная трещина останавливается у границы вклю-
чения.

На основании изложенного становится ясным, что поведе-
ние продольной трещины у границы включения сильно зависит
от ориентации этой границы и является резко асимметричным.
Таким о,бразом, в реальном материале со стохастическим рас-
положением включений, когда оба направления границы вклю-
чения .представляются равновероятными, следует ожидать
преимущественного развития трещины согласно рис. 3.23, б,
т.е. как бы по линии наименьшего сопротивления. Стремление
трещины развиваться подобным образом усиливается с ее
ростом и с увеличением в ней числа наклонных участков типа
АВ и МЫ. Дальнейшее развитие трещин во многом определя-
ется их взаимодействием. Эти этапы развития трещин могут
быть исследованы методом Монте-Карло. На рис. 3.24 показа-
ны результаты моделирования последовательных этапов раз-
вития трещин в образце для одной из реализаций этого метода,
а на рис. 3.25, а (кривая 7) иллюстрируется изменение суммар-
ной длины трещин в зависимости от приложенной нагрузки.
Взаимодействие продольных трещин, развивающихся в цемент-
ном камне, учитывалось приближенно, аналогично случаю
трещин в микроструктуре. Горизонтальные участки на
рис. 3.25, а соответствуют перескоку продольных трещин с не-
устойчивой на устойчивую ветвь зависимости или же скачкооб-
разному образованию продольных трещин. Разрушение образ-
ца сопровождается образованием магистральной трещины,
слегка отклоняющейся от продольного направления. Послед-
нее явление обусловлено тем, что при стохастическом располо-
жении включений трещина имеет тенденцию к развитию по схе-
ме рис. 3.23, б. Таким образом, моделированием подтверждено,
что при сжатии бетона трещины развиваются в направлении,
несколько отличающемся от продольного. Найденный эффект
можно считать объяснением обнаруживаемой в большинстве
экспериментов макроскопической картины разрушения обычно-
Рис. 3.24. Моделирование последовательных этапов развития
при сжатии (обычный бетон)

трещин

го бетона при сжатии, характеризующейся образованием наклон-
ных трещин и пока, насколько нам известно, не получившей
теоретического истолкования.

Подобная же схема разрушения для обычного бетона была
обнаружена и в наших экспериментах [79]. На рис. 3.25, в
кривыми lff и 2* показаны типичные кривые изменения
продольных г, и поперечных	деформаций в за-

висимости от внешних напряжений.

Влияние развития трещин на продольные и поперечные
макродеформации материала. Из экспериментов известно,
что зависимость между напряжениями и продольными (а также
поперечными) деформациями цементного камня и бетона
выше границы Z?’ является нелинейной даже при крат-
ковременном сжатии. Это явление обычно связывается с появ-
лением пластических деформаций 2-го рода, а затем и псевдо-
пластических деформаций (по О.Я. Бергу), отражающих про-
цесс микро- и макроразрушающей структуры материала [7, 11 ].
104
Рис. 3.25. Изменение суммарной длины трещин ZL(а), продольных
и поперечных	деформаций (в), а также коэффициентов попе-

речных деформаций у, уд , Уэ (5) при увеличении уровня нагру-
жения

1-4 - результаты математического моделирования; ^^'-эксперимен-
тальные данные согласно / 76~}; /*, 2* — экспериментальные данные
автора
Проанализируем влияние развития трещин на продольные
и поперечные макродеформацид бетона. Для этого восполь-
зуемся формулами (40) и (41) п. 1, приняв приближенно

Oij = О,	(62)

“Чад 4 (УЛ	(63)

откуда можно получить:

£ * - /-42? ui t.(i)	cosa J/bh;	(64)

£* = [4Z U( t1(l) sinai cosa • * 22	h(j)]/bh • (65)

Горизонтальная и вертикальная составляющие смещений
1/ ни для случая простейшей зигзагообразной трещины
(согласно рис. 3.16) вычисляются в предположении, что влия-
нием Q (вертикальной составляющей силы Т . ) на
раскрытие продольных трещин можно пренебречь. Таким обра-
зом, вычисляется это раскрытие от действия лишь Р — го-
ризонтальной составляющей силы Т , причем величины
и и "V определяются по формулам п. 2. При этом
вносится еще одно допущение: в качестве Р принимается
эквивалентная распределенная нагрузка Pj2t& . Используя
выражение для Р и Q, согласно (43), получаем:

v(y, О) ~ Zyt. А(а,р) т/t*-у2';	(66)

Чад » 2q.t<A (а>р)Е;	(67)

и *	* 2qt.(a;p)/EsAx\a. (68)

По этим данным можно построить диаграмму d — е исхо-
дя из модели материала согласно рис. 3.24. Кроме того, можно
вычислить коэффициент поперечных деформаций с учетом раз-
вития трещин:

.	(69)

<?/£ *

Здесь V, — коэффициент упругих поперечных деформаций
(коэффициент Пуассона). Помимо указанного коэффициента
V, вычисляемого по всей деформации образца, в литературе
распространен также дифференциальный коэффициент попе-
речных деформаций	(или д V), введенный О.Я. Бер-

гом [7]. Эта величина, широко используемая при оценке ре-
зультатов экспериментальных исследований, вычисляется по
приращениям деформаций и определяется так:

(70)
где	н де. - приращения соответственно попереч-

ной и продольной деформаций на данной ступени приращения
нагрузки 4 б. Известно, что дифференциальный коэффици-
ент поперечной деформации	более чувствителен (по

сравнению с V) к структурным изменениям материала. В
то же время по своей природе он более удобен для оценки
результатов при традиционном (ступенчатом) загружении
испытуемого образца. В связи с появлением новых автомати-
зированных испытательных машин, позволяющих вести бес-
ступенчатое загружение при непрерывной записи деформации,
возникает вопрос о выборе дополнительного критерия для
оценки структурных изменений материала. В качестве такого
критерия целесообразно использовать отношение е”/е" .
По аналогии с коэффициентом упругой поперечной деформа-
ции



(71)

и коэффициентом поперечной деформации ползучести

.. _ _ пол»/ пол»

(72)

это отношение удобно назвать коэффициентом поперечной де-
формации трещинообразования и обозначать :

>4 =	(73)

С использованием полученных выше результатов величина

% А (<ЫР) ha) Ька + 2». Afa, р) t1(i) 1ц

V‘ (74)

Величина Vs, как и следовало ожидать, не зависит явно
от нагрузки или от упругих постоянных материала, она пол-
ностью определяется геометрией трещин, возникающих в об-
разце при рассматриваемом уровне нагружения.

На рис. 3.25 кривыми 2-4 показаны значения соответствен-
но Ч , и , а кривыми 1, 2 - значения продоль-
ной и поперечной деформаций е1 €г в долях от вы-
численные по приведенным выше формулам для одной из
реализаций метода Монте-Карло в процессе моделирования
разрушения бетона (согласно рис. 3.24). Там же для сравне-
ния даны соответствующие экспериментальные кривые соглас-
но [76], а также экспериментальные результаты автора. Необ-
ходимо отметить, что теоретическая диаграмма деформирова-
ния искривлена сравнительно мало по сравнению с опытной.
По-видимому, это связано с тем, что рассматриваемая теорети-
ческая модель предполагает мгновенное загружение, тогда как
при реальном нагружении в эксперименте всегда есть быстрона-
текающие деформации ползучести.
Рис. 3.26. К установлению взаи-
мосвязи между коэффициентами
поперечной деформации V и V,

Исследуем теперь взаимо-
связь между рассмотрен-
ными величинами и V На
рис. 3.26 в Обобщенном
виде представлены экспе-
риментальные продольные
( 6, ) и приведенные по-
перечные ( £> / Ч ) де-
формации как функции при-
ложенных макронапряжений
б; 6t является границей
упругой области материала;
6^ соответствует упругой
части деформаций ; б.
( i = 1, 2,3 ...) — последова-
тельные этапы нагрузки при
ступенчатом методе нагруже-
ния. При этом для различ-
ных видов коэффициента по-
перечной деформации:

V(3) =

ё2(6)
&i(6)

(75)

у (6) - ЫУ-ЫЫ .

’	№)-*r(6) ’

(76)



62(6i)-£z(6i~i)

(77)

В частности, для этапа, на котором только начинают прояв-
ляться неупругие свойства материала ( б ® бг

Vj= V,

gP
вс

V -42-

* лс

(78)



т.е. величина У, оказывается более чувствительной к прояв-
лению неупругих’ деформаций материала по сравнению с вели-
чиной Hi Соотношение рассматриваемых величин на по-
следующих этапах начинает зависеть от ступени нагружения 4“^-/-
Если эта ступень такова, что	(см. рис. 3.26),

где 2 = 3, то

3 Е& EG

(79)

т.е. по-прежнему величина	остается более чувствитель-

ной характеристикой поведения материала. Однако при умень-
шении ступени нагружения может оказаться, что У, □= Уд или
у, < уд . В таблице приведены значения обеих рассматривае-
Сравнение различных критериев оценки поперечных деформаций

6, МПа	б/Rnp		V,	V
25  ~~~зо		0,62  	745"'"	0,25  	(t35"~	0,27  —0>—	__ 0,22	  0,26
35	0,87	0,5	0,47	0,-34
40	0,995	1,1	0,82	0,67

мых величин, вычисленных для нескольких характерных этапов
нагружения бетона на основании экспериментальных данных
[8]; здесь же для сравнения даны значения обычного коэффи-
циента поперечных деформаций V величина V, за исключением
последнего этапа, очень близка к уд , причем в соответствии
с изложенным выше вначале у, > уг . Примечательно, что
обе величины практически одновременно достигают значения
0,5, соответствующего границе /?* . Поэтому целесооб-
разно для анализа поведения материала при сжатии наряду
с величиной у, пользоваться величиной УЛ. Особен-
но это относится к обработке результатов экспериментальных
исследований при непрерывном нагружении.

Разрушение типа МКЗ (матрица + контактная зона + запол-
нитель), как указывалось выше, характерно для случая, когда
прочность матрицы приближается к прочности заполнителя
или даже несколько превосходит ее, т.е. для высокопрочных
бетонов.

Для анализа поведения трещин в таком материале примем
для определенности, что Л^”«(0,6 ... 1,4) . f а соот-
ношение между прочностью контактной зоны и прочностью
матрицы будем считать таким же, как и для случая обычного
бетона. При таких предположениях развитие трещин в рас-
сматриваемом материале начинается с ослабленной контактной
зоны и описывается выражением (46). Выход трещин в матри-
цу также описывается аналогично предыдущему • [ см. зависи-
мость (48) ], и особенности рассматриваемого типа разрушения
бетона начинают проявляться лишь в момент встречи трещины
матрицы с границей соседнего включения (см. рис. 3.21). Здесь
возможны описанный выше характер разрушения по линии
контакта и переход трещины из матрицы внутрь включения
в зависимости от геометрии трещины и включения.

Из рис. 3.22 видно, что развитие трещин контакта при
увеличении угла встречи J3* затрудняется. Это означает,
что при некотором значении fi = для трещины оказы-
вается энергетически более выгодным развитие напрямик,
через включение. На рис. 3.27 дана зависимость критического
Рис. 3.27. Возможные пути
развития трещины при встре-
че ее с соседним зерном за-
полнителя в зависимости от
угла встречи £* и от со-
отношения прочностных ха-
рактеристик заполнителя и
матрицы /Гам (высоко-
прочный бетон)

значения Д, от величины к3п = К^/К£ . Пунктир-
ные кривые соответствуют границам области значений fl*
при различных а и 'р . Кривые расположены очень близ-
ко одна к другой, и для дальнейшего целесообразно принять,
что критический угол встречи fl* не зависит ни от сх ,
ни от р, т.е. определяется только соотношением прочностей
заполнителя и матрицы, характеризуемым величиной А3м.
В соответствии с этим допущением построена аппроксимирую-
щая зависимость (см. сплошную кривую на рис. 3.27).

После того как трещина вошла во включение, ее дальней-
шее развитие полностью зависит от величины кам. Если
прочность включения совпадает с прочностью матрицы ( АЭм= 1),
то трещина будет развиваться точно так же, как она развивалась
бы в однородном материале. При Лэм < 1 (или, наоборот, при
А"зм > 1) трещина несколько ускоряет (или соответственно
замедляет) свой рост. Однако общий характер роста трещины
при этом остается прежним. На рис. 3.28 показаны последова-
тельные этапы развития трещин для одной из реализаций мето-
да Монте-Карло. Результаты моделирования показывают, что,
общие закономерности изменения величин 2. L , V, 14 , V, , е<
и остаются такими же, как и для обычного бетона (см.
рис. 3.25). Вместе с тем уменьшение числа наклонных участков
и преобладающее развитие трещин напрямик, через заполнитель,
приводят к тому, что приращение продольной деформации
вызванное раскрытием трещин (подробнее см.выше),замедля-
ется и диаграмма 6 — е слабее отклоняется от прямой.
Это находится в соответствии с известными экспериментальны-
ми данными, свидетельствующими о значительно меньшем
(по сравнению с обычным бетоном) отклонении от прямой
диаграммы сжатия высокопрочного бетона.

Разрушение типа М3 (матрица + заполнитель). Как отме-
чалось выше, для бетонов на пористых заполнителях [30, 48]
характерно, что прочность контактной зоны довольно велика,
а начальные дефекты контактной зоны отсутствуют (см. правый
IIIIIIH IIIIIHI IIIHIII ПННН

tHHftf tttllftt Hlfttll fHIHH

Рис. 3.28. Моделирование последовательных этапов развития
трещин при сжатии (высокопрочный бетон)

рис. 3.13). Поэтому основную роль в процессе разрушения
играют начальные трещины в структуре заполнителя и матрицы.
Эти начальные трещины будут развиваться по-разному. Дело
в том, что трещины имеют тенденцию легко проникать из более
жесткого материала в менее жесткий, а обратное явление — про-
никновение в более жесткий материал - затруднено. Поэтому
исходим из предположения, что трещины, развивающиеся в
заполнителе (т.е. в менее жестком материале), будут останов-
лены на границе с матрицей и не сыграют решающей роли
в разрушении бетона. Наоборот, трещины, развивающиеся
в более жесткой матрице, будут сравнительно легко проникать
в заполнитель, т.е. могут сыграть основную роль в разрушении
бетона на пористом заполнителе. .

Рассмотрим подробнее развитие начальных трещин в матри-
це. В целом оно будет носить устойчивый характер и описывать-
ся уравнениями типа (9) или (45). Предположим, что одна
из трещин в процессе своего роста (кривая 1 на рис. 3.29) при
Л = достигла включения. Такая трещина легко проникает
во включение. Дальнейший ее рост во включении описывается
некоторой кривой 2, положение которой зависит от величины
нителя при нагрузке
заполнителем и матрицей

Рис. 3.29. Зависимость
между приведенной внеш-
ней нагрузкой и приведен-
ной длиной трещины в бе-
тоне на пористых заполни-
телях

1 - рост трещины в матри-
це; 2 - теоретическая за-
висимость для трещины,
проникшей в зерно запол-
нителя при нагрузке ;

3 - фактическое развитие
трещины в зерне запол-

4 - задержка трещины на границе между

Рис. 3.30. Моделирование последовательных этапов раз-
вития трещин при сжатии (бетон на пористых заполни-
телях)
А3м. После того как трещина при Л Л2 достигает матрицы,
ее дальнейшее развитие снова описывается кривой 1. Физически
процесс развития трещины будет происходить следующим обра-
зом. В процессе роста нагрузки при произойдет мгновен-
ный перескок трещины (кривая J) в положение А = Л2 , затем
трещина остановится в этом положении, пока нагрузка не достиг-
нет значения , после чего вновь будет развиваться устойчиво.

Последовательные этапы развития трещин (одна из реали-
заций методом Монте-Карло) применительно к рассматриваемо-
му типу разрушения показаны на рис. 3.30. Схема разрушения
характеризуется образованием в основном продольных тре-
щин, что отличается от рассмотренного выше случая обычного
бетона (см. рис. 3.24). Как и в случае высокопрочного бетона
(разрушение типа МКЗ), уменьшение числа наклонных участ-
ков трещин приводит к тому, что вклад величины в про-
дольные деформации материала снижается, т.е. диаграмма 6 — 6
приближается к прямой. Последний вывод, как и представлен-
ная на рис. 3.30 схема разрушения, подтверждается результа-
тами наших экспериментальных исследований на образцах
из легкого бетона [79], а также результатами ряда других
исследований.

3.4. РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ СЖАТИИ

Основные зависимости. Развитие трещин при кратковремен-
ном сжатии цементного камня и бетона, рассмотренное в пре-
дыдущем разделе, может быть описано в общем виде уравне-
нием

$($) ,	(80)

где S — суммарная длина трещин в образце. Если решить
это уравнение относительно 5 , можно получить зависи-
мость критической длины трещин 3# от заданной внешней
нагрузки

S* = д~1( ц/ч/лЕ?),	(81)

где д~1 — обратная^ отношению к д(3) функция.
В соответствии с изложенными выше (п. 1) заменим в уравне-
нии (81) величину \[Е оператором 1/£. Кроме того, будем
рассматривать тг как функцию времени = '/(t). Тог-
да получим уравнения, дающие связь между нагрузкой и сум-
марной длиной трещин в процессе ползучести и старения мате-
риала:

аМя)-	g[s(t >*<)]•>
S.(t;r,)-g-'f a	7. f (82)

* 7 У I 4	' J J

С использованием введенного в п. 2 понятия функции
состояния запишем последнее уравнение

S*(t;	9~\fa, <P(t‘> v<)].

Оценим зависимость величины у от времени косвенным
путем, для чего рассмотрим предел кратковременной прочности
образца материала в моменты времени т, nt. Будем
принимать, что между этими моментами времени может дей-
стовать длительная нагрузка, не вызывающая разрушения
образца, но тем не менее влияющая на свойства материала.
Вводя обозначения j(t) и	из (80), можно получить

(83)
где

R'(t) = m(t; rj R(t).	(84)

Величина . в этих выражениях обозначает суммарную
длину трещин, приводящую к разрушению образца. Заметим,
что обозначение R‘(t) относится к прочности материала,
испытывавшего нагружение, a R(t) , R(ti) — к прочности
материала, нагруженного впервые. Функция	учитываю-

щая влияние предшествующего нагружения материала на крат-
ковременную прочность материала и, следовательно, на величи-
ну у, зависит от многих факторов (возраст и прочность
материала, размер и длительность действия нагрузки). Величи-
на	составляет для бетона примерно 1—1,2 [ 8,42].

Исследование взаимодействия трещин (п. 3.3) показало,
что относительная длина трещин в момент перехода на неустой-
чивую ветвь	практически постоянна. Есть основания

полагать, что суммарная длина трещин S# в момент разру-
шения образца в различном возрасте, т.е. при различных зна-
чениях Ti и Г, также окажется практически постоянной.
Однако в целях общности будем считать	функцией воз-

раста материала. Из (83) и (84) можно получить

R(t<)	_ kfa) т(г<) ‘	g[s?(Ti)]

m(t;r.)R(t)~ V E(t)v(t) ' д [&?&)] ’	(85)

или, что то же,

7(t)	R2(t)/R*(rt) g2[s:e(t)]

~	E(t)/E(r,)	дг[5^(Т.)] '
Итак, зависимость у от времени может быть выражена
через изменение прочности и модуля упругости материала с
учетом влияния предшествующего загружения материала на
кратковременную прочность. Используя выражение (86), можно
применить уравнение (82) для описания развития трещин во
времени, причем обратная функция д~1 может быть построе-
на на ЭВМ численным методом.

Сравнение с существующими экспериментальными данными.
На рис. 3.31 показана закономерность развития трещин во
времени для бетона. Выражения для удельных относительных
деформаций ползучести материала C(t;Т) , а также для
R(t) и E(t) взяты из работ [I] и [26];

C(t;r,) = <p(t) -V(t) £*• - лМе-“(е'г>;	(«7)

из[/] :	tp(t) = у(т) - &(t).

(p(T) = pt5* 10ехр<-0,023т) + 33,2ехр(-0,1275т) -

- 36 ехр(-0,35т)]10~6;

б(т)= 11,2 * 33 Ыр(-0,125 т) 10'*;

8 ~ 0,02; Аг~ 0,75; а = 5.

Из [92] :

ip(t)-[2 + 13,3 е*р(-0,281т)+3 ехр(-0,015т)]ю'*;

Ь(т) =[9,95+ 1,38 ехр(-0>307т)+0,633ехр(~0,0081т)]10]

5 ~ 0,01; Аг= 0,85; <х = 5 .

Кроме того, принято, что m(t; Tt) = I и д[5<₽(t)]/g[$T(^)]s
в1, а выражения для R и £ взяты'из fl] и (26].

В формуле (87) время выражено в сутках,напряжения -
в МПа. Рассматривались только изолированные, устойчивые
трещины, т.е. предполагалось, что рост трещин еще не ведет
к разрушению и материал работает в области П (по О.Я. Бер-
гу). По оси ординат отложена величина S(t;Tf) /5МГН (оо),
где 5МГН (со) обозначает мгновенную ( t = т, ) длину
трещин в очень старом бетоне ( г,—- 00 ). Сплошные линии на
графике соответствуют данным [1], пунктирные - [26], линия
а ограничивает мгновенное раскрытие трещин для бетонов
различного возраста. Видим, что длина трещин в первый период
после приложения нагрузки резко возрастает. Это вызывается
интенсивно развивающимися деформациями ползучести матери-
ала. Затем, по мере затухания деформаций ползучести, все
a)

Рис. 3.31. Характер структурных изменений в бетоне
при длительном сжатии
а - приведенная длина трещины, вычисленная как
функция времени при загружении бетона в различном
возрасте; б - экспериментальные данные [&J - время
прохождения ультразвука в бетонном образце как
функция длительности нагружения
льшее значение приобретает процесс гидратации цементного
мня, приводящий к тому, что величина у возрастает,
а трещина теоретически должна (особенно в бетоне молодо-
го возраста) смыкаться, т.е. сокращать свою длину. Косвенное
подтверждение такой направленности процесса можно найти
в исследованиях [8], установивших следующее. При загруже-
нии бетона длительно действующей нагрузкой достаточно высо-
кой интенсивности вначале наблюдается период интенсивного
развития трещин (микроразрушений), сопровождающихся
разуплотнением структуры и нелинейной ползучестью образ-
ца в целом; затем, однако, этот процесс прекращается, структу-
ра бетона вследствие гидратации цементного камня уплотня-
ется, наблюдается переход к зоне линейной ползучести материала.
На рис. 3.31, б показано изменение времени прохождения
ультразвука в образцах, иллюстрирующее подобные изменения
в поведении материала [8]. Цифры у кривых обозначают дли-
тельно действующие напряжения в долях от призменной проч-
ности. Графики свидетельствуют, что при напряжениях, не пре-
вышающих границы /?у (примерно 50% призменной проч-
ности), когда трещин практически нет, происходит непрерыв-
ное уплотнение структуры бетона. При большей нагрузке наб-
людается отмеченное выше интенсивное развитие трещин в на-
чальный' период с последующим переходом к уплотнению струк-
туры. Такой переход наблюдается ч через 2-10 сут после загру-
жения (возраст образцов серии 2, представленных на рис. 3.31 ,б
28—30 сут). Примечательно, что теоретические кривые на
рис. 3.31, а (при = 28 сут) достигают максимума, соответ-
ствующего переходу к уплотнению структуры, в близкие сро-
ки — через 4—12 дн. Сравнение общего характера теоретических
и экспериментальных кривых, а также положения их максиму-
мов свидетельствует о возможности использования предложен-
ного теоретического аппарата для математического описания
процесса развития трещин в бетоне при длительном- действии
постоянной нагрузки. Отметим, что кривые на рис. 3.31 относят-
ся только к изолированному, т.е. невысыхающему, бетону,
тогда как аналогичные кривые для неизолированного (высы-
хающего) бетона, обладающего более сильной ползучестью,
могут иметь несколько другой характер. Так, переход от про-
цесса развития трещин к процессу уплотнения структуры может
происходить позднее, что иллюстрирует рис. 3.31, б, где сня-
тие изоляции с двух образцов через 130 сут после загружения
привело к резкому изменению характера кривых, т.е. процесс
уплотнения структуры вследствие усиления процесса ползу-
чести вновь сменился процессом трещинообразования.

Исследуем теперь развитие трещин в области III (по
О.Я. Бергу), где интенсивно нарастающая деформация ползу-
Рис. 3.32. Результаты математического моделирования развития продоль-
ных грещин около пор при длительном сжатии

1 граница области мгновенных трещин для бетонов различного возрас-
та; 2 - критическая длина трещин, соответствующая разрушению образ-
ца

чести приводит со временем к разрушению материала. При
этом значительную роль начинает играть взаимодействие трещин.
Как и в случае кратковременной нагрузки, развитие трещин
в таких условиях может быть исследовано методом Монте-
Карло с использованием результатов, полученных выше. На
рис. 3.32 приведены результаты проведенных таким путем
на ЭВМ ’’Телефункен” расчетов на простейшей модели мате-
риала (полоса, ослабленная п отверстиями радиуса г )
при п » 100, г « 1, « 8,	1. При описании ползу-

чести материала были использованы приводившиеся выше
данные из работы [1]. На рис. 3.32 по оси ординат отложена
безразмерная величина 5 (t; т<) / Змги foo) — отношение
суммарной длины трещин с учетом ползучести к суммарной
мгновенной ( t « Г1) длине трещин в о*чень старом бетоне
( t1 —), причем кривая 1 ограничивает суммарную мгно-
венную длину трещин для бетонов различного возраста в момент
нагружения.

Проанализируем данные этого графика. Обе кривые соот-
ветствуют загружению материала в возрасте 120 сут, причем
каждая их них относится к одной из реализаций статистичес-
кой модели. Обе линии носят одинаковый характер; в первые
дни после загружения суммарная длина трещин резко нарастает,
затем начинается участок замедленного роста трещин. Этот
участок сменяется затем зоной ускоренного развития трещин,
приводящих к скорому разрушению. Такая картина полностью
соответствует описанному выше характеру нарастания деформа-
ции материала, наблюдаемому экспериментально. Сравнение
двух кривых показывает, что статистический характер распо-
ложения дефектов даже при одних и тех же реологических
свойствах материала может приводить к заметным отличиям
во взаимном положении кривых, а следовательно, и во време-
ни до разрушения. Вместе с тем примечательно, что суммарная
критическая длина трещин (т.е. длина трещин к моменту разру-
шения), как и для случая кратковременного загружения, оста-
ется почти постоянной. Это вытекает из того, что кривая 2 на
графике, соответствующая суммарной критической длине
трещин, оказывается практически горизонтальной и для других
реализаций статистической модели.

Рассмотрим теперь загружение материала теми же постоян-
ными напряжениями, но в несколько более раннем возрасте,
например ‘ 60 сут. Меньшая прочность материала в этом воз-
расте и, следовательно, меньшая величина у-причина того,
что мгновенная суммарная длина трещин оказывается лишь
немногим меньше критической суммарной длины (кривая 2)
и разрушение наступает в первые же сутки после загружения.
Наконец, при загружении теми же напряжениями в еще более
рарнем возрасте (например, 28 сут) мгновенная длира трещин
оказывается выше критической длины и материал разруша-
ется даже при кратковременном нагружении до достижения
заданной длительной нагрузки.

О влиянии развития трещин на продольные и поперечные
деформации при длительном нагружении. Продольные деформа-
ции ползучести при напряжениях, не превышающих /?* , т.е.
примерно 50% предела прочности, линейно зависят от напряже-
ний. Коэффициент поперечных деформаций ползучести в
этой области в первом приближении равен коэффициенту упру-
гих поперечных деформаций V,. Если длительно действую-
щая нагрузка имеет более высокую интенсивность, то резко
нарастают продольные деформации, ползучесть становится су-
щественно нелинейной. Величина Уг в этих условиях воз-
растает, достигая иногда значений 0,5-1 [ 8, 56 ], что в основ-
ном вызывается развитием трещин в процессе ползучести и
происходящей при этом деструкцией материала.

Проанализируем влияние раскрытия отдельных продоль-
ных трещин на поперечную деформацию ползучести образца
в целом. Из уравнений (35) и (64), заменяя 1/Е оператором
1/Е (п. 1.4), можем получить

vM —	(рю	<88>

Из этого выражения видно, что ширина раскрытия трещин
увеличивается и в связи с их ростом в длину, учитываемым интег-
ралом, и в связи с увеличением общей деформативности материа-
ла. Последнее явление, из-за которого трещина может рас-
шириться и при неизменной длине, учитывается выражением
перед интегралом. Выражение (88) как функция времени
может быть вычислено на ЭВМ численными методами, а затем
по приведенным выше формулам могут быть вычислены соот-
ветствующие значения относительной продольной и поперечной
деформаций.

3.5.	РАСЧЕТ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ

ПРИ СЖАТИИ

Основные зависимости. Кратковременная прочность об-
разца R(t) в момент времени t исчерпывается при
достижении в нем трещинами суммарной критической длины

S^S2P(t).	(89)

Если к полностью аналогичному образцу в момент вре-
мени Т; приложить длительно действующую нагрузку не
сколько меньшей интенсивности, то вначале длина каждой из
образовавшихся трещин не достигает критической. Под дей-
ствием ползучести в условиях длительного действия нагрузки
трещины будут постепенно развиваться. Предел прочности при
длительном действии нагрузки к моменту времени t будет
достигнут, если длина растущих трещин окажется равной сум-
марной критической длине:

5 = S?(t).	(90)

Выше отмечалось, что при кратковременной и длительной на-
грузках разрушение происходит при достижении трещинами
одной и той же суммарной длины	(см. рис. 3.32), т.е.

=	(91)

Здесь S*p(t) , S**(t) — критическая суммарная длина
трещин соответственно при кратковременном и длительном
действии нагрузки. Аналогичный вывод о том, что критичес-
кая суммарная длина трещин для данного материала является
постоянной, получен в [17] и в ряде других исследований.

Прочность материала при кратковременной нагрузке, дей-
ствующей в момент времени г,,

* ^'Ё(Т,)Г(г,)'д[з7(т,)].	(92)

Это выражение соответствует (83).

Прочность материала при длительном действии нагрузки
между моментами времени	и t, как и для случая

растяжения,
Тогда из (91) - (93) с учетом (86) можно получить оконча-
тельно для относительного предела длительной прочности

kft.r}.m(tMR(t) /ЕМ 1

RM / E(t) 1+Efa)C(t;K)

(94)

или, что то же,

L/+. т 1 — т (1> Ъ) Rd) ~\/	1	.	(95)

R(t) V^E(t)C*(tM	( '

Выражения (94) и (95) аналогичны соответствующим форму-
лам п.2.4, относящимся к случаю растяжения. Из этого следует,
что длительная прочность при сжатии и растяжении подчинена
одним и тем же закономерностям, вытекающим из механизма
разрушения материала при этих видах напряженного состояния.

Сравнение с экспериментальными данными. Эксперимен-
тальные данные по длительной прочности бетона [72] показа-
ны точками на рис. 3.33. По оси абсцисс здесь отложена дли-
тельность действия нагрузки At= t- Гу, по оси ординат - от-
носительный уровень длительных напряжений £ « дДА /Rap .

Авторы работы [72] исследовали нарастание во времени
кратковременной прочности, модуля упругости и деформа-
ций ползучести образцов-близнецов, изготовленных из бетона
одного состава и твердевших в одинаковых условиях. По этим
данным с помощью зависимости (95) были вычислены теоре-
тические кривые снижения длительной прочности бетона, пока-,
занные сплошными линиями на рис. 3.33. Кривые достигают
минимума при t - и при t > t * длительная прочность
теоретически начинает возрастать. Физически это означает не-
возможность разрушения при постоянной нагрузке в этой об-
ласти, и указанный минимум соответствует пределу длительной
прочности (см. горизонтальную пунктирную линию на графике).

Подобное же сравнение опытных данных с теоретическими
результатами было проведено [56] (длительность испытаний —
два года). Эмпирическая зависимость, полученная в [5 б] для
аппроксимации опытных точек,

(2 = 0,92-0,04 tg (t-Tt) .	(96)

Эта зависимость дает в момент времени, соответствующий
окончанию опытов, значение £ , равное 0,806; кроме то-
го, согласно [8], опытные значения относительного предела дли-
тельной прочности при возрасте бетона в момент нагружения
Гу » 28 дн могут быть описаны зависимостью

£= 0,35 1дЯпр- 0,08,	(97)

откуда, с учетом приведенного в [56] значения 28,4 МПа
имеем £ = 0,777. Данные работы |56] об изменении проч-
20	50	100	200	500	1000	2000	5000 пин

___U___11	...	it ----1-

0,7	7,4	3,5	7	74

_u______i_____I

35	70 IWcym

Ai » th ------

Рис. 3.33. Прогнозирование длительной прочности при сжатии для бетона в возрасте 28 — 31 сут

1 - прогнозирование на основе характеристик бетона согласно [72]; точки - результаты непосредственного опре-
деления длительной прочности бетона [72 ]; а - возраст бетона 28—31 сут; б — возраст бетона 48-57 сут
ности и модуля упругости бетона во времени для опытной
серии № 2 (	> 6 мес) позволили по формуле (95) подсчи-

тать теоретическое значение £ ; к моменту окончания опы-
тов ( t - Г/ * 2 г.) оно получилось равным 0,782, т.е. близким
к обоим приведенным выше опытным значениям. Итак, для
всех изложенных опытов получено удовлетворительное (с уче-
том разброса опытных результатов) соответствие между тео-
рией - расчетом по формуле (95) — и экспериментом.

Автором также были проведены специальные эксперименты
[79] на образцах из цементного камня, обычного и легкого бе-
тона, испытанных в различном возрасте. Методика исследования
цементного камня при сжатии в основном была аналогична
изложенной выше методике исследования при растяжении
(п. 2). Основные исследования были проведены на описанных
выше образцах типа 1 диаметром 26,4 мм и длиной 106 мм.
В некоторых исследованиях были использованы цилиндричес-
кие образцы типа 1, диаметром 17 мм и длиной 60 мм. Для
изготовления образцов применялись разъемные латунные
трубчатые формы со вставками из тефлона. В остальном изго-
товление образцов следовало описанной выше методике.

Эксперименты проводились в универсальной испытательной
машине ’’Инстрон”, в герметических климатических камерах.
Некоторые опыты (длительностью более 24 ч) были проведены
в рычажных установках с соотношениями плеч 1.40 для образ-
цов типа 1 и 1:25 для образцов типа 2. Установки обеспечивали
нагрузку на образец в пределах до 50 й 10 кН соответственно.
Продольные деформации образцов в рычажных установках
измеряли индикаторами часового типа (фирмы ’’Теза”) с це-
ной деления 0,001 мм. Это обеспечивало точность измерений
относительных деформаций порядка 10~5 для образцов типа
1 и 1,7 * 10_5 для образцов типа 2. Рычажные установки так-
же были .снабжены герметическими климатическими камерами.

При исследовании деформаций ползучести большое значе-
ние имеет скорость загружения образцов. Это особенно важно
для измерений, производящихся в начальной стадии ползучести.
Измеренные деформации ползучести сильно зависят не только
от .скорости загружения, но и от момента времени, соответ-
ствующего началу измерений. Так, Руетц, проводивший Иссле-
дования в Техническом университете г. Мюнхена (ФРГ), при-
кладывал нагрузку к образцам цементного камня в течение
0,2 с и получил, что деформации ползучести в интервале 0,5-5 с
составляют уже около 3 % деформаций ползучести, проявляю-
щихся после 6 сут. Поэтому для наиболее полной оценки дефор-
маций ползучести нужно обеспечить возможно более быстрое
загружение и раньше начинать измерения. Наибольшая возмож-
ная по техническим соображениям скорость загружения обес-
печивала достижение заданной нагрузки в течение 4—5 с. От-
счет деформаций ползучести начинался точно с момента дости-
жения этой нагрузкой примерно 30 % кратковременной проч-
ности.

При совместном исследовании явлений ползучести, крат-
ковременной и длительной прочности необходимо, чтобы ско-
рости загружения в обоих видах испытаний соответствовали
друг другу. Известно, что кратковременная прочность бетона
существенно зависит от скорости деформирования. Для изуче-
ния того, как эта скорость влияет на свойства цементного
камня, в программу предварительных исследований были
включены испытания группы образцов Е &. Было испытано
18 образцов (В/Ц = 0,4, возраст — 8 сут), разбитых на шесть
серий. Образцы загружались кратковременной нагрузкой при
различной скорости деформирования. Хотя предельное укоро-
чение в пределах точности измерений оставалось постоянным,
прочность и модуль упругости возрастали с увеличением ско-
рости деформирования. Это возрастание сравнительно невели-
ко при скоростях т/ = 0,47 ... 4,7 % в 1 мин,оно становится
существенным при более высоких скоростях. Для уменьше-
ния влияния скорости деформирования на R и Е ос-
новные исследования решено было проводить при V — 4,7 %
в 1 мин, т.е. при наибольшей из скоростей,при которых эф-
фект влияния скорости еще не очень ощутим. При этом раз-
рушающая нагрузка достигалась в течение 10—12 с, что пример-
но соответствовало скорости деформирования и в испытаниях
на ползучесть.

Основные экспериментальные исследования цементного
камня при одноосном сжатии проводились на образцах в воз-
расте 1-90 сут, разбитых на пять групп, которые в свою оче-
редь делились на серии.

Группа КД (кратковременная и длительная прочность)
насчитывала около 400 образцов типа 1 при ВЩ = 0,4. Из
каждой серии данной группы отбиралось 3-12 образцов для
определения кратковременной прочности и начального модуля
упругости. Сразу же после этого остальные образцы серии
подвергались испытаниям на длительную прочность при раз-
личных относительных напряжениях. В некоторых сериях часть
образцов оставлялась для кратковременных испытаний в более
позднем возрасте, что позволяло установить закон изменения
кратковременной прочности и начального модуля упругости
во времени. Все образцы испытывались на установке ’’Инстрон”
при скорости движения траверсы 0,5 см/мин, что при длине
образцов 106 мм соответствовало скорости деформирования
4,7 % в 1 мин. Исключение составляли серии 14В и 90В, где
скорость составляла 0,02 см/мин (0,188 % в 1 мин).

Группа QK (поперечные деформации при кратковре-
менной нагрузке) состояла ’ из образцов типа 1 при В/Ц —
0,3 ... 0,6. Все образцы испытывались кратковременной нагруз-
124
кой на установке ’’Инстрон”. Скорость движения траверсы со-
ставляла 0,02 см/мин (0,188 % в 1 мин). Продольные и попе-
речные деформации измерялись тензодатчиками с базой 10 мм.
Для регистрации результатов измерений служила описанная
выше автоматизированная установка фирмы ’’Пикель”.

Группа К R (ползучесть) была предназначена для ис-
следования ползучести в традиционно линейной области. Она
состояла из образцов типов 1 и 2 при В/Ц — 0,3 ... 0,5. Испы-
тания проводились в установке ’’Инстрон” и в рычажных уста-
новках.

Группа EV (влияние предшествующего нагружения)
была испытана с целью установить влияние предшествующего
загружения на кратковременную прочность и начальный модуль
упругости цементного камня. Эта группа состояла из образ-
цов типа 1 при В/Ц — 0,4. Испытания проводились в установ-
ке ’’Инстрон” и в рычажных установках. Скорость деформиро-
вания составляла 0,5 см/мин (4,7 % в 1 мин).

Группа WZ (влияние В/Ц) содержала образцы типа 1
с В/Ц = 0,3 и В/Ц — 0,5. Они испытывались в возрасте 28 сут.
Из каждой серии несколько образцов подвергалось испытанию
кратковременной нагрузкой (определение кратковременной
прочности и начального модуля упругости). Остальные образцы
использовались для определения длительной прочности. Ско-
рость деформирования составляла 0,5 см/мин (4,7 % в 1 мин).
Испытания проводились в установке ’’Инстрон” и в рычажных
установках.

Для проведения экспериментов на бетоне были приняты
образцы, аналогичные применявшимся в [72]. Исследования
этих образцов при кратковременной нагрузке, а также при
длительной (менее 2 ч) нагрузке проводились в 60-тонном
прессе фирмы ”Мор и Федерхафф”, исследования большей
длительности — в 200-тонных установках для длительных
испытаний, использовавшихся ранее в тех же опытах [72].
В бетонную смесь для изготовления опытных образцов входи-
ли, кг/смЗ;

мелкий песок...............................:	. . . . 470

крупный ” (до 3 мм) ............................4	470

мелкий гравий (3-7 мм) ........................ 1	384

крупный ” (7-15 мм)..............................389

Всего заполнителей.......................1913

портландцемент PZ - 275 ........................ 300

вода...............1.............................219

Итого................................... 2431

В/Ц............................................0,73

Чтобы предотвратить влагообмен с окружающей средой,
образцы сразу же после распалубки изолировали слоем пара-
фина. Твердение образцов происходило в климатизированном
помещении при 20° С. Все виды испытаний проводились также
в климатизированных помещениях при 20° С.

Измерение и регистрация продольных и поперечных дефор-
маций образцов при кратковременных и длительных (до 2 ч)
испытаниях проводились с помощью специальных измерителей,
снабженных индуктивными датчиками и автоматической
регистрирующей установкой с тремя самописцами; они служи-
ли для записи (как функции времени) значения нагрузки,
а также автоматически усредненных значений отдельно для
продольной и поперечной деформаций. Продольные и попереч-
ные деформации при испытаниях длительностью более 2 ч опре-
деляли съемным измерителем, снабженным мессурой с ценой
деления 0,001 мм. Чтобы определить степень нарушения струк-
туры бетона в процессе нагружения, замерялось время прохож-
дения ультразвука через образец.

Образцы испытывались в возрасте 7—28 сут. Скорость
деформирования была постоянной (0,5 % в 1 мин). Всего было
испытано 42 образца (семь серий по шесть образцов). Образцы
серии 1 служили для отработки методики испытаний и в свод-
ку результатов не включены.

Из каждой серии (кроме серии 6) отбирали 1-2 образца
для испытаний кратковременной нагрузкой; остальные образ-
цы той же серии испытывали длительной нагрузкой различной
интенсивности, что позволяло получить данные по ползучести
в линейной области, длительной прочности и эффекту предшест-
вующего нагружения. Серия 6 служила исключительно для.
определения характера нарастания кратковременной прочности
и начального модуля упругости с возрастом бетона.

Экспериментальные исследования бетона на пористом за-
полнителе ’’лиапор” (типа керамзита) проводились на изоли-
рованных парафином образцах по методике, изложенной выше.

В бетонную смесь для изготовления изолированных образ-
цов входили, кг/мЗ:

пористый заполнитель ’’лиапор” ( d * 5 мм)............368

легкий	”	”	( d < 5 мм)..............383

мелкий песок..........................................109

крупный ” (до 3 мм) ..................................272

портландцемент PZ ~ 375 ............................. 300

вода..................................................153

Итого...............................1585

В/Ц ...............................................................0,51

Пористый заполнитель предварительно выдерживали 24 ч в
воде, после чего оставляли на 2,5 ч на воздухе. Влаги в заполни-
теле после такой подготовки содержалось 23 %.
Рис. 3.34. Влияние предшествующего длительного нагружения на
кратковременную прочность цементного камня (экспериментальные
данные автора)

Образцы испытывались в возрасте 7 сут. Их прочность в
момент испытаний составляла около 30 МПа. Скорость дефор-
мирования составляла 0,5 7 в 1 мин. Всего было испытано 30
образцов (пять серий по шесть образцов). Из каждой серии 2-3
образца испытывали для определения- кратковременной проч-
ности, остальные образцы служили для перечисленных выше
видов испытания длительной нагрузкой. Испытания проводили
в 60-тонном прессе ”Мор и Федерхафф” и в 200-тонных установ-
ках для длительных испытаний.

Основные результаты всех этих экспериментов таковы. Для
цементного камня величина т (t; Г,) являющаяся отношением
кратковременной прочности материала R' (с учетом пред-
шествующего загружения напряжениями бА ) к кратковремен-
ной прочности материала R , загруженного впервые, ока-
залась сравнительно небольшой (рис. 3.34). Как видим, изме-
нение относительной длительной нагрузки р =	/ R в

пределах 0,3-0,8 мало сказывается на значениях функции
tn (	Вероятно, это связано с тем, что график т (t; Гу)

как функции напряжений имеет две ветви: восходящую - при
возрастании напряжений до некоторого уровня и нисходя-
щую — при дальнейшем росте напряжений [9]. Поэтому результа-
ты могут относиться к различным ветвям. Примечательно,
что возраст образца Ту и длительность нагружения t-Гу
оказывают существенное влияние на т ( t ; rf) , но толь-
ко лишь в молодом возрасте; в достаточно зрелом воз-
расте ( Гу = 90 сут) оно выражено слабее.

Результаты экспериментов по определению длительной
прочности цементного камня в различном возрасте представле-
Рис. 3.35. Прогнозирование длительной прочности при сжатии
для цементного камня в различном возрасте. Точки - резуль-
таты непосредственного Определения длительной прочности в
эксперименте автора

ны точками на рис. 3.35. Здесь же нанесены теоретические
кривые, рассчитанные по формуле (95), причем входящие в
формулу значения кратковременной прочности, модуля упру-
гости, характеристики ползучести и функции т (t; Т<) при-
нимались по результатам испытаний, проведенных на образцах-
близнецах из цементного камня того же состава и возраста,
твердевшего в тех же условиях. Из графиков видно, что соот-
ветствие между теоретическими и опытными данными мож-
но считать удовлетворительным.

В экспериментах на бетоне были получены следующие
результаты. Для обычного бетона прирост прочности вследст-
вие предшествующего загружения примерно одинаков по срав-
нению с прочностью цементного камня. С использованием
экспериментальных данных, относящихся к нарастанию кратко-
временной прочности и модуля упругости, к деформациям пол-
зучести и к влиянию предшествующего нагружения, полученных
на бетоне одного и того же состава, по формуле (95) была
построена теоретическая кривая (рис. 3.36) длительной проч-
Рис. 3.36. Прогнозирование длительной прочности при сжатии
для обычного бетона в возрасте 7 сут

Рис. 3.37. Прогнозирование длительной прочности при сжатии
для бетона на пористом заполнителе

ности для бетона рассматриваемого состава. На этом же рисун-
ке точками представлены результаты экспериментального ис-
следования длительной прочности. Как видим, эксперименталь-
ные данные довольно хорошо соответствуют теоретическим.

С использованием формулы (95) этой главы была вычислена
теоретическая кривая (рис. 3.37) длительной прочности для
легкого бетона исследованного состава (на заполнителе типа
керамзита). На этом же рисунке точками представлены экс-
периментальные данные по длительной прочности. Как и в случае
образцов из обычного бетона, для легкого бетона наблюда-
ется довольно хорошее совпадение опытных данных с теорети-
ческими оценками.

Таким образом, проведенные экспериментальные исследо-
вания цементного камня, обычного и легкого бетонов различ-
ного состава, как и анализ существующих экспериментальных
данных, подтвердили правильность исходных гипотез, положен-
ных в основу теоретической модели материала типа бетона,
и, в частности, возможность применения изложенной выше
для описания его длительной прочности.

Сделаем некоторые замечания о возможности микроскопи-
ческой оценки разрушения. Микроскопическое исследование
поверхностей разрушения (фрактография) успешно применя-
ется при исследовании поведения металлов и твердых полиме-
ров. Электронно-микроскопические методы, широко применяе-

9-901
Рис. 3.38. Микрофотография поверхности раз-
рушения цементного камня

мые в настоящее время при исследовании цементного камня,
ограничиваются в основном изучением процессов его гидрата-
•ции; вопросы разрушения материала только начинают иссле-
доваться. В связи с этим представляют интерес результаты
фрактографического исследования образцов, испытанных до
разрушения.

Образцы выпиливались из разрушенных образцов цемент-
ного камня и сразу же герметизировались. Исследование прово-
дилось с помощью растрового электронного микроскопа. На
рис. .3.38 показаны электронные микрофотографии поверх-
ностей разрушения при длительном загружении для цементно-
го камня с В/Ц = 0,4 в суточном возрасте. Четко видны непро-
гидратировавшие зерна клинкера, окруженные слоем продук-
тов гидратации. Отдельные игольчатые кристаллы связывают
эти элементы друг с другом. На некоторых участках можно
видеть изогнувшиеся (видимо, в процессе ползучести материа-
ла) игольчатые кристаллы. Видны также волнистые линии на
поверхности разрушения, которые, по-видимому, являются
линиями остановки фронта трещины в процессе ее устойчивого
роста.

4. ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ БЕТОНА
ПРИ МНОГООСНОМ СЖАТИИ

Вводные замечания. Среди исследователей пока нет едино-
го мнения по поводу прочности бетона и некоторых других
хрупких материалов при многоосном сжатии. Так, в одних

130
исследованиях прочность материалов при двухосном сжатии
не отличалась гот прочности при одноосном сжатии, тогда как
в других работах было получено возрастание прочности при
двухосном сжатии. Есть разногласия относительно этого воз-
растания: максимальное увеличение прочности колеблется в
различных работах от 1,3 до 2,7. Граница трещинообразования
в бетоне при двухосном сжатии исследована гораздо меньше,
чем прочность. Известно, что напряжения, соответствующие
границе Rr 9 при переходе к двухосному сжатию практичес-
ки не меняются: так, согласно [10], в среднем Rr - 0,59
для двухосного сжатия и для одноосного RT в 0,57. То, что
относительный уровень трещинообразования является своего
рода константой материала и не зависит от соотношения глав-
ных напряжений, подтверждается и рядом зарубежных исследо-
вателей [78].

Известно, что приложение трехосной внешней нагрузки
может в некоторых случаях существенно изменить характер
поведения материала по сравнению с характером поведения при
одноосном или двухосном нагружении. Например, при значи-
тельных боковых давлениях разрушение может носить уже
в основном не отрывный, а сдвиговый характер. Однако и в
этом случае часто можно наблюдать[7,9/, что поверхность раз-
рушения проходит по следам образовавшихся ранее продоль-
ных (т.е. ориентированных вдоль направлений наибольшего
нормального напряжения) разрывов и трещин.

Прочность бетона и других хрупких материалов в условиях
трехосного сжатия, как известно, зависит от соотношения
главных напряжений. При этом прочность материала в направ-
лении действия сжимающих напряжений	значительно

возрастает при действии сжимающих напряжений и в
двух других направлениях. Этот прирост при » d9 в
первом приближении равен 4 б . Однако уровень образова-
ния трещин при трехосном сжатии исследован мало, есть лишь
некоторые данные о том, что относительная величина этого
уровня повышается при приложении бокового давления [9].

Ниже намечаются пути развития принятого подхода при-
менительно к случаю многоосного сжатия. Рассматривается
общий случай неравномерного двухосного ( (5^ 6^ О) сжа-
тия, а также трехосное сжатие типа d, О (считается,
что б>0 соответствует сжатию).

4.1.	РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛА
ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХОСНОГО СЖАТИЯ

Принятая нами модель, как следует из изложенного выше,
довольно хорошо описывает особенности поведения материала
при одноосном нагружении. Однако для многоосного нагруже-
ния в эту модель необходимо внести некоторые уточнения.
Смысл принятой выше гипотезы о возможности рассмотрения
задачи в плоской постановке в применении к случаю одноосно-
го внешнего сжатия заключался в следующем. При одноосном
сжатии трехмерного тела напряжениями бх появление
начальных трещин в любой плоскости, проходящей через ось Ох,
в рамках нашей модели представляется равновероятным. Одно-
временно можно считать известным наиболее вероятное направ-
ление дальнейшего развития трещин — оно совпадает с осью Ох.
Поэтому мы может мысленно вырезать из тела в любом направ-
лении тонкую пластину (лишь бы ее срединная плоскость про-
ходила через ось Ох ) и считать, что развитие трещин в этой
пластине в направлении оси Ох адекватно развитию трещин
в трехмерном теле.

При действии двухосных внешних напряжений гипотезу
о возможности рассмотрения задачи в плоской постановке
придется отбросить и рассматривать действительное объемное
напряженное состояние трехмерного тела, что вызывается
следующими соображениями. При двухосном нагружении
нельзя исходить из равновероятности появления начальных
трещин в какой-либо плоскости, с одной стороны, и наиболее
вероятного направления дальнейшего развития трещин, с другой.

Рассмотрим, например, неравномерное двухосное сжатие
внешними напряжениями	и . Вероятность появ-

ления начальных трещин в плоскостях, принадлежащих указан-
ному выше пучку, будет изменяться при переходе от одноосно-
го сжатия к двухосному сжатию в зависимости от величины
б'х и &у', при равномерном двухосном сжатии (&*: бу = 1)
останется лишь одна плоскость наиболее вероятного появления
начальных трещин — плоскость хОу (плоскость действия
внешней нагрузки). Что касается направления дальнейшего
развития трещин, то при переходе от одноосного сжатия к
двухосному сжатию надо считаться с вероятностью развития
трещин и в других направлениях, а не только вдоль оси Ох.
При 6Х : бу = 1, т.е. при равномерном двухосном сжатии,
все направления в плоскости хОу окажутся в этом смысле
равновероятными.

Необходимо также отметить, что при рассмотрении двух-
осного нагружения в рамках принятой модели большую роль
играет вероятностный характер распределения напряжений по
контуру пор и включений, т.е. напряжений, ответственных
за образование и развитие трещин в материале. С учетом из-
ложенного видоизмененная расчетная модель применительно
к случаю двухосного сжатия основана на рассмотрении объем-
ного напряженного состояния трехмерного тела, на анализе
случайной формы пор и зерен заполнителя.
4.2.	ОБРАЗОВАНИЕ ТРЕЩИН

ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ ДВУХОСНОМ СЖАТИИ

Исходные положения. Подвергнем анализу двухосное
неравномерное сжатие бетона напряжениями	и бу, а

также два граничных случая - одноосное сжатие и двухосное
равномерное сжатие.

Рассмотрим процесс образования первых трещин в бетоне
на уровне микроструктуры, т.е. вблизи пор материала.

Поры реального материала, как указывалось выше, могут
иметь самую различную, случайную форму, что приводит к слу-
чайному характеру напряжений по контуру поры. В п.12 было
указано, что независимо от формы пор характер концентрации
напряжений как в плоской, так и в пространственной задачах
подчиняется одним и тем же закономерностям. Поэтому при
описании напряжений по контуру трехмерной поры представля-
ется возможным использовать результаты статистического мо-
делирования, полученные для плоской задачи.

В п. 2.1 было установлено, что математическое ожидание
напряжений по контуру отверстия случайной формы хорошо
аппроксимируется выражением, описывающим распределение
напряжений по контуру кругового отверстия;

Ms(0) = 1-2cos20.	0)

Для нашего случая естественно принять, что математичес-
кое ожидание напряжений по контуру пространственной плос-
кости случайной формы аппроксимируется аналогичным вы-
ражением, описывающим напряжения по контуру сферичес-
кой плоскости. Формулы для напряжений по контуру сфери-
ческой плоскости могут, согласно [77], записаться так:





У (2)

где q — интенсивность внешней нагрузки; р,0>	- сфе-

рические координаты; R - радиус полости; У -коэффи-
циент Пуассона рассматриваемого материала. Аппроксимирую-
щее выражение для дисперсии ])s (0) может быть принято
поданным п. 2.1:

Ds(0)= 1,4 (1,01 - cos 20).

(3)

К определению вероятности превышения напряжениями
определенного уровня. Для случая плоской задачи и осевого
нагружения определим вероятность того, что случайная функция
5(0;^;а^) превзойдет определенный уровень, т.е. что растя-
гивающие напряжения по контуру поры достигнут критического
значения, соответствующего началу развития трещин, имеющих-
ся на контуре поры.

При решении подобной задачи о превышении случайной
функцией определенного уровня, т.е. о выбросах случайной
функции за определенный уровень, необходимо прежде всего
установить, можно ли случайную функцию S (&; (fy; сог) рас-
сматривать как стационарную. Необходимое условие стацио-
нарности случайной функции — независимость ее математичес-
кого ожидания и дисперсии от изменения аргумента. Из при-
веденных в п. 2.1 графиков Ms и D$ очевидно, что случай-
ная функция таковой не является.

Из анализа общего вида реализаций функции S (В;

а также графика оценок ее математического ожидания М$ (6)
и дисперсии следует, что ее можно представить в виде комби-
нации аддитивной и мультипликативной случайных функций:

S(B -, и),; а)г) = Х(в; u)t; cq>) ^(9) + <рг(9),
где	,<%(&) - некоторые детерминированные функции.

Подобная случайная функция может быть приведена к стацио-
нарной, если положить, что ip1(0)-VD^(e)> и Фг(6) « М3(9).
Для этого необходимо преобразование вида

О

причем постоянный уровень /? , выбросы за который отыс-
киваются, теперь становится функцией неслучайного аргумента
случайной функции, иначе говоря, функцией центрального угла:

и (е) =	•	(6)

Для аппроксимации оценок математического ожидания
и дисперсии Ds(9) исходной случайной функции
используем выражения: Ms(9) * l-2 cos 20;	D$(9)=

— 1,4 (1,01 - cos 2 0), графики которых (кривые 3) были
показаны на рис. 2.3 и 2.4.

Полученная случайная функция X ( 0; Щ) является
одновременно центрированной, т.е. Мх (0)=О, и нор-
мированной, т.е. DX(B) =1. В дальнейшем нам потребуется
выражение для производной рассматриваемого уровня №(0) ~
= dU(Q)/dd.

При использовании приведенных выше аппроксимирующих
выражений получим

~si,n*0 3JM + R - 2слъ29	/7\

U(9) ~	-cos 29)**	’	°
Далее, для решения задачи о выбросах случайной
функции X ( 6 ; си,; и)г) необходимо знать корреляционную
функцию Кх ( 0 ; 0., ) = М {Х ( 0 ; а), )	) • X ( 0 ; сЦ;

UJZ } } вместе с ее второй производной Кх (0; 0i).

Вследствие того что случайная функция X ( 0 j uh; uh )
нормирована, корреляционная функция Кх ( 0 ; 0,) = М /Х(0-

; afa)Х(0,; и),;a)z)Jтакже будет нормированной, т.е. Кх(9;

s I. В рамках сделанного выше предположения о стационар-
ности случайной функции X ( 0 i ub ; .uh ) будем рассматри-
вать корреляционную функцию Кх ( 0; 0, ) как функцию
разности ее аргументовКх ( т ) »Кх (60 ) = К* ( 0 - G,).

Для требующегося нам исследования корреляционной
функции, и, в частности, для нахождения ее второй производ-
ной, необходимо аппроксимировать корреляционную функцию
некоторым аналитическим выражением. Выражения, употреб-
ляемые при такой, аппроксимации, должны удовлетворять об-
щим свойствам корреляционных функций и отображать харак-
терные свойства полученной кривой Кх (г). Рассмотрим
несколько вариантов аппроксимации.

I.	Аппроксимируем Кх (т) выражением вида

Хх(т) * А е~а тcosj3t + Ве~7	-/?/)•	(8)

Исходя из условий совпадения первых нулей (считая от
Г =0 и Т = - принимаем =5; & =6. Кроме
того, принимаем А = I, В = 0,4. Значения уб и соот-
ветствуют нулям функции, расположенным в точках t=±#/1Q,
г = ±(я - Я-/12). Значения а2 и т"2 определяем, исходя
из совпадения первых минимумов. При этом оказывается,
что значения <xz и Т"2 практически совпадают, а именно
ос2» т"2» 4,4. Таким образом, аппроксимирующее выражение
может быть записано в виде

Кх(т) э= e~^2'cos5r + од	cos 6т.	(9)

Совпадение первых минимумов для этого варианта аппрок-
симации представлено в табл. 4.1. Вычислим Кх(0) , пренебре-
гая в выражении для корреляционной функции производной
второго члена по его малости:

X, (т) =	f [(Д<хгтг-	cosJStsin fit]; (10)

K”(0) =-А(2<**+£2) —ЗЗД.	(11)

2.	Аппроксимируем Rx (T) выражением вида
A e'etlt,(cosfiT + blnfllrl+В е~т(*^[ш&(яЧт/) +
+ £ sin ?(*-№)].	(12)
Таблица 4.1. Совпадение первых минимумов для различных
вариантов аппроксимации корреляционной функции

Вариант	г = т	*/6	Т 9 т 5sr/6	
	£ , К.	/Л- к*1	Кх , * >	Ш, - к,!
Кх (исходное значение)	-0,256665			-0,124059		
Кх ( 1-й вари- ант)	-0,259	0,0025	-0,12	0,004
Кх (2-й ’	)	-0,25	0,0066	-0,12	0,004
<(3-й ” )	-0,27	0,0134	-0,108	0,016

Величины ft и определяем теперь не из условия сов-
падения первых нулей, а исходя из общего характера графика
Кх (т) , а именно из числа волн. Тогда J3 « & 6. Кроме то-
го, А = 1, В — 0,4. Определяемые из условия совпадения пер-
вых минимумов значения ос = 2,56 >и 7'= 2,31. Тогда ос/^5»
— 2,65/6 = 0,442, Т/8= 2,31/6 = 0,385. Таким образом,аппрок-
симирующее выражение получит вид

Kx(t) » е	sin б/г^+О^е^^^^соьбт-

- 0,385 sin 6/т/).	(13)

3.	Для предыдущего выражения возможна также аппрок-
симация при едином значении ос и 7* , а именно or»Т« 2,5.
В этом случае си/fl » tf/S«= 2,5/6 = 0,417, откуда

Л^г)- е~2‘5,т,(созбт +0,4/7$in 6/t/) +

+ е 2,s<* /T,i(cos6r-0,^17sitx6/vf).	(14)

Совпадение первых минимумов для вариантов аппроксимации
2 и 3 представлено в табл. 4.1.

Определим К* (0) 2-го и 3-го вариантов аппроксима-
ции, пренебрегая производной второго числа в выражении для
Кх(т) по его малости:	jsin^/r/).

Для 2-го варианта аппроксимации К*(0) = - (Ьс**-/9 - —44,5.
Для 3-го варианта аппроксимации К*(0) = -(а.г+р&) = —45,6.

Решение задачи о среднем числе выбросов нормаль-
ной случайной функции за переменный уровень U (О) дано
в [65]. Для нашего случая это решение принимает вид

N -- -
и УШJ

Аг

Учссо?

р гк;(о)1

de,

(15)
?ис. 4.1. Среднее
тело выбросов %
напряжений по
контуру поры слу-
чайной формы за
постоянные уров-
ни R*

1 - вычисленное
на основе оценок
для корреляцион-
ной функции на-
пряжений; 2 - по-
лученное непосред-
ственным подсче-
том в процессе
численного экспе-
римента на ЭВМ

где К,(О)-	,	Х.'(0 = XX,;

‘Р(у)-г2(2эгУЛ[е~*'/г<Н	- функция Лапласа (интег-

рал вероятности).

По приведенной формуле с использованием полученных
выше оценок для корреляционной функции были вычислены
значения среднего числа выбросов NR случайной функции
К( в и)4 \ u)z) за ряд переменных уровней U(9). Каж-
дый такой уровень U (в) соответствовал одному из посто-
янных уровней R* для исходной случайной функции
5(9 ; ufy ; СО£) , что позволяло решать задачу о выбросах
случайной функции ' 8 ( 9;	; u)z) за ряд постоянных

положительных уровней R*. Результаты, полученные таким
расчетом, представлены на рис. 4Л (кривая 7).

Одновременно была сделана проверка влияния на оценку
среднего числа выбросов А* аппроксимации действитель-
ного закона распределения ординат случайной функции нор-
мальным законом, а также аппроксимации случайной функции
в виде комбинации (4). Для этого производился непосредст-
венный подсчет числа выбросов отдельных реализаций случай-
ной функции (на ЭВМ) за те же уровни. Полученное среднее
число выбросов	как функция уровня Я* также

представлено на рис. 4.1 (кривая 2). Из рис. 4.1 следует, что
те и другие результаты находятся в довольно хорошем соот-
ветствии.

Веррятность выброса случайной функции 5 (9 ; и),; u>z)
за постоянный уровень, следуя [15J, может быть определена
так. Рассмотрим вероятность того, что в интервале 0 * 9 « t
произойдет хотя бы один выброс:

9(t) =

(16)
Эта вероятность, с одной стороны, определяется так:

Q(t) = Z Qk(R* ; 0*9*1).	(17)

Здесь Qk(R*l 0"О ~ вероятность случайного события,
заключающегося в том, что в интервале 0 * в * t произой-
дет ровно к положительных пересечений уровня .
С другой стороны, среднее число пересечений этого уровня
может быть выражено через введенные вероятности

0*9*t)-Z к0*9*t) .	(18)

Разность последних двух выражений приводит к равенству

0* 9*t)-Q(t) - Z (k-l)Qk(R* ; О* 9* t). (19)

Правая часть этого выражения неотрицательна, т.е. среднее
число пересечений	дает для вероятности Q(t) стро-

гую оценку сверху. Остановимся на случае выбросов за доста-
точно высокий уровень, когда N* « 1. Обратив внимание
на то, что в правую часть последнего равенства входят вероят-
ности двухкратного, трехкратного и т.д. выбросов за уровень
R# , которые в данном случае пренебрежимо малы в сравне-
нии с вероятностью однократного выброса, получим приближен-
ное равенство

Q(t) S	0* 9*t).	(20)

К этому же выводу можно прийти и другим путем, если
считать выбросы независимыми редкими событиями и при-
нять, что распределение числа выбросов подчиняется закону
Пуассона. Тогда данные, представленные на рис. 4.1, будут при-
ближенно характеризовать также вероятность того, что про-
изойдет хотя бы один выброс за уровень , иначе говоря,
вероятность превышения определенного уровня R* на-
пряжениями по контуру поры.

Перейдем к пространственной задаче и двухосному сжатию.
Напряжения S, действующие по контуру полости слу-
чайной формы, будем рассматривать ее , исходя из предыдущих
результатов, как случайную функцию, неслучайными аргумен-
тами которой будут служить две сферические координаты а
и р,  характеризующие в соответствии с рис. 4.2, а положе-
ние рассматриваемой точки на контуре полости, а также угол /,
характеризующий ориентацию относительно внешних усилий
той площадки, по которой действуют напряжения. Таким обра-
зом, напряжения на контуре поры рассматриваются как трех-
мерное случайное поле 5 (; р; у; а))} где и) — случай-
ный аргумент. Для использования величины у , характеризую-
щей ориентацию рассматриваемой площадки в качестве неслучай-
ного аргумента, необходимо пос-
троить на поверхности сферичес-
кой полости непрерывное вектор-
ное поле. В одном из разделов ти-
пологии — теории препятствий —
показывается, что на поверхнос-
ти сферы непрерывное вектор-
ное поле построено быть не мо-
жет. Это связано с тем, что на
полюсах сферы появляются осо-
бые точки — ’’препятствия”
(рис. 4.2, б), которые мешают
распространить непрерывное по-
ле на всю поверхность. Можно
показать, что некоторые искус-
ственные приемы позволяют из-
бежать этого затруднения. В
данном случае симметрия рас-
сматриваемых нами задач позво-
ляет ограничиться рассмотрени-
ем напряжений около одной
лишь половины полости. А на
поверхности полусферы постро-
ить непрерывное векторное поле
возможно (рис. 4.-2, в), если
ввести У, согласно рис. 4.2, а.

Рис. 4.2. К анализу напряжений
по контуру пространственной
поры случайной формы как слу-
чайной функции трех аргументов
а - возникновение особых то-
чек векторного поля, построен-
ного на поверхности сферы; б -
непрерывное векторное поле
на поверхности полусферы б

Граница трещинообразования

Я0,как функция соотношения

главных напряжений. Проанализируем среднее число N* выбро-
сов ординат трехмерного случайного поля S(<*	и>)

за некоторый постоянный уровень ^соответствующий образо-
ванию трещин на контуре случайной полости, причем значение
N* = 1/п будет соответствовать образованию трещин в
среднем около 1/лг от общего числа пор. К сожалению, имею-
щиеся данные пока не позволяют установить, какому значению
1/п соответствует достижение макроскопически наблюдаемой
границы Я °. Поэтому воспользуемся приближенным приемом
и будем исходить из принципа 95% обеспеченности. Поведение
материала до достижения границы RT будет в этом случае
характеризоваться отсутствием трещин не менее чем в 95%
общего числа пор, а в момент достижения Я ° произойдет
образование трещин около 5% общего числа пор, т.е. при зна-
чении Л/я=0,05.

Рассматривая среднее число выбросов N* , будем учи-
тывать, что случайное поле 5 не является однородным
(стационарным); его математическое ожидание не постоянно,
Рис. 4.3. Математическое ожида-
ние напряжений по контуру по-
ры случайной формы
а - при осевом сжатии;д-при
равномерном двухосном сжатии;
в - при неравномерном двух-
осном сжатии

а является функцией неслучайных аргументов: Ms= (а; ft
Поэтому графиком М$	'f') служит некоторая по-

верхность в четырехмерном пространстве; на рис. 4.3 даны трех-
мерные сечения этой-поверхности при некоторых фиксирован-
ных значениях и при различных	.

В математическом смысле все задачи о выбросах случайных
полей являются весьма сложными. Так, для простейшего
случая - двумерного однородного (стационарного) изотропного
поля - решения получены сравнительно недавно 115], а для бо-
лее сложных случаев - трехмерного поля, тем более неодно-
родного — решений пока не найдено. В связи с этим определе-
ние среднего числа выбросов нашего случайного поля произве-
140
Рис. 4.4. Среднее число выбросов напряжений за постоянный
уровень как функция соотношения главных напряжений

дем приближенно, будем определять среднее число выбросов
случайного поля в его отдельных сечениях при а - const и fi =
= const и суммировать результаты. Указанные сечения случай-
ного поля будут являться случайными функциями S (f, О)) од-
ного неслучайного аргумента у, и среднее число, а также
вероятность выбросов такой функции за некоторый постоян-
ный уровень могут быть найдены по формулам (15) — (20)
этой главы.

Результаты проведенных таким путем на ЭВМ ’’Телефун-
кен” расчетов иллюстрируем рис. 4.4,где по оси абсцисс отло-
жено соотношение главных напряжений	, а по оси

ординат - среднее число выбросов за некоторый посто-
янный уровень . Отдельные линии соответствуют раз-
личным значениям внешних напряжений dy и : чем
больше напряжения,.тем выше Лд и тем выше лежит кри-
вая. Из рис. 4.4 видно, что при увеличении соотношения : oz
величина NR вначале резко снижается, а затем несколько
возрастает. Такое явление может быть объяснено и чисто эв-
ристически: при	—	0, т.е. при одноосном сжатии

(см. рис. 4.3, а), участок случайного поля, где действуют растя-
гивающие напряжения, довольно велик (см. верхнюю часть
поля, отмеченную горизонталями), причем максимальная орди-
ната (?/*“ ~ 0,5) сохраняет свое значение при всех у .
При равномерном двухосном сжатии	: ог » 1 (см.

рис. 4.3, б) соответствующий участок становится меньше, что
приводит к уменьшению среднего числа выбросов, хотя мак-
симальная ордината ( Л//”’ах = 0,5) сохраняет свое значение
Рис. 4.5. Соотношение между
главными напряжениями, соот-
ветствующее постоянной вероят-
ности превышения заданного
уровня /?* напряжениями по
контуру поры

1 - на уровне макроструктуры;

2 - на уровне микроструктуры

при всех а, если у = 0 и
Ji e^72. Наконец, при^,:<4=0,5
(неравномерное двухосное сжа-
тие, см. рис. 4.3, в) максималь-
ная ордината (Л^тах = 0,5)
встречается лишь в одной точ-
ке ( сх. - 'У = 0)‘, т.е. среднее
число выбросов должно быть
еще меньше. Все эти выводы
находятся в полном соответст-
вии с результатами, представ-
ленными на рис. 4.4.

Внешняя нагрузка, соответ-
ствующая = const (а вмес-
те с тем и постоянной вероят-
ности превышения уровня),
должна подчиняться по сравне-
нию с рассмотренными кривы-
ми обратной закономерности —
вначале возрастать, а затем не-
сколько убывать. Рис. 4.5 ил-
люстрирует эту закономерность»
Здесь каждая пунктирная кри-

вая дает взаимосвязь между
главными напряжениями бу и 6Z , отвечающими постоян-
ной вероятности превышения уровня /?*.. Обращает на
себя внимание тот факт, что, несмотря на существенные изме-
нения вероятности превышения уровня (цифры у кривых),
положение самих кривых изменяется очень мало. Это значит,
что если исходить не из 95% (что примерно соответствует верх-
ней кривой), а из другой величины обеспеченности для грани-
цы /?“, то закон изменения /?* при изменении 6V ;dz
не должен существенно изменяться. В качестве примеров даны
средняя и нижняя кривые (рис. 4.5), соответствующие обеспе-
ченности 96,2 и 97,2%.

Результаты, приведенные выше, относятся к случаю, когда

разрушение материала начинается на уровне микроструктуры.
Рассмотрим теперь случай, когда определяющим является разг
витие разрушений, начинающееся с макроструктуры, т.е. с
нарушения контакта между матрицей и заполнителем.

Модель материала в виде двухкомпонентной среды — матри-
цы и находящихся в ней включений в виде неправильных мно-
гогранников была рассмотрена в п. 3. Предполагалось, что
часть включений имеет начальные трещины контактной зоны
(например, усадочного происхождения). Воспользуемся этой
моделью в ее трехмерном варианте, предполагая, что зерна за-
полнителя имеют форму многогранников, не слишком отличаю-
щуюся от сферической. Напряженное состояние на их гранях
Рис. 4.6. К модели структуры бетона при двух-
осном сжатии

а — зерна заполнителя случайной формы в виде
вписанного многогранника со случайным распо-
ложением вершин; б - соответствующее много-
граннику сферическое включение в однород-
ной матрице; в - система	сферических

координат для описания напряжений по конту-
ру сферического включения; г - то же, систе-
ма ( I « 1, 2, 3... )

в этих условиях может быть с достаточной точностью опре-
делено по формулам [12], относящимся к сферическому вклю-
чению. Предполагается, что вблизи ребер многогранника не
возникает дополнительной концентрации напряжений, причем
интенсивность внешней нагрузки, действующей на элемент
материала, содержащий одно включение, определяется без уче-
та влияния соседних включений.

Будем рассматривать стадию работы материала до достиже-
ния границы , т.е. до начала развития первых трещин.
На основании этого считаем, что оба компонента (матрица и
заполнитель) работают упруго во всем объеме материала, кроме
зоны, непосредственно прилегающей к трещинам. Проанализи-
руем развитие первых трещин в элементе макроструктуры
бетона при одноосном нагружении. Элемент содержит одно
включение и подвержен действию внешних напряжений
= £ (q. -О), причем на одной из граней включения, имею-
щей внешнюю нормаль V, расположена дискообразная кон-
тактная трещина радиуса г (рис. 4.6, а). Следуя [37], пред-
ставим напряженное состояние вблизи рассматриваемой трещи-
ны в виде суммы двух напряженных состояний: напряженного
состояния в сплошном теле с включением (без трещины) под
действием внешней нагрузки 6z — <7 и напряженного
состояния в теле с трещиной, когда на ее берегах заданы гранич-
ные условия вида

dy = 0; -Tv “ Тя — р Rff .	(21)

Здесь р - коэффициент трения между материалами матри-
цы и включения, возникающего при взаимном скольжении
берегов трещины; Тя и Дя - соответственно полное
касательное и нормальное напряжения на элементарной площад-
ке с внешней нормалью у, расположенной на поверхности
сферического включения, при действии внешней нагрузки 6Z = q
(рис. 4.6, б). Первое из двух напряженных состояний не свя-
зано с размером трещины и характеризуется ограниченными
компонентами тензора напряжений во всех точках материала.
Для вычисления величин Яя и Тя, определяющих вто-
рое напряженное состояние, выберем следующий путь.

Рассмотрим тензор напряжений, действующих на поверх-
ности' включения, воспользовавшись сферической системой
координат (рис. 4.6, в) ( i = 1, 2, 3 ...), записав его так:

/ дуу	О

(<$ij) ~ I бм. О / •	@2)

\ 0 о 633/

Компоненты этого тензора согласно [12]:

6Н « m[n+6+5v+[1+соз2и3);

бг2	ггг{п+3+10у[21-5(1-2у)]ц)$2игJ * q/2 (/-со$2иг);

63S ---%- m{n+9+10(l-v) +30v cos2uz} ;

6^ = 6^- £ m[’2-5(1+v)sin2uz- q/2 sin 2uz].

Пдр характерном для бетона значении коэффициента

Пуассона У * 0,2:

d„= q/2 [т(п+5-6с()ь2и2)+1+со&2иг];	(23)

6gz = <l/2[-m/2 (п +5'+#ко&2ия)+1-соз2ие/\	(24)

<*„ = <1/2 [-м/2 (n+17+6u*2ut)]\	(25)

бг1» 6,г = q/2 (6 т sin 2uz ~ sin 2иг).	(26)

»19-19v-13^20v3;	7-32V- 19v*<-20v3;

t3= -26+46v+32v‘-40v3;

Ц • -(A-f)(^v)[2(1-2v)^(1^ v)A].
В нашем случае RK « d„., а Тя « дв. В п. 3.2 бы-
ло показано, что наклонные контактные трещины начинают
развиваться при достижении внешней нагрузкой значения

1	(kt sintx cosa - кар sin12»)

Здесь к t и к t - коэффициенты концентрации соответ-
ственно нормальных и касательных напряжений у границы
включения на площадке, наклоненной под углом ос к вер-
тикали. В нашем случае ос = л/2 - иг , а

= 6«/q bin2 а ;	(28)

кт(М) ~ Мг//? sinoc cos ос.	(29)

В формулах (27) — (29) обозначение М после 9нх, и
kt означает, что соответствующие величины зависят от точки
М. Записанные выше формулы позволяют найти характер изме-
нения приведенной предельной нагрузки, вызывающей разви-
тие контактных трещин:

•	/л /	/?/

Vhx’/W Хкс = lT'1-pR* ’	(30)

в зависимости от ориентации рассматриваемой грани включе-
ния. При рассматриваемой одноосной нагрузке (ш £ )
величина q°s не зависит от сферической координаты и3 .
При этом ее зависимость от сферической координаты иг со-
ответствует графикам для	из п. 3.2, а минимальное

значение нагрузки достигается вдоль двух окружностей 1
при иг - я/2 - сх# (рис. 4.7,а).

Чтобы перейти к двухосной нагрузке, необходимо преоб-
разовать тензор (22) напряжений, действующих на поверхности
включения при одноосном сжатии 6Z - q,, из сферической
системы координат (рис. 4.6, в) щ (/=1,2,3 ...) в сфери-
ческую систему координат (рис. 4.6, г) ut, = 1,2,3 ...).
В терминах тензорного исчисления (Акивис М.А., Гольдберг В.В.
Тензорное исчисление. М., 1969) это означает переход от орто-
нормиров?нного базиса {et-J к ортонормированному
базису {, сопровождающийся преобразованием коор-
динат типа	.

uit « uL, (и, ; иг ; и3) . В * *

В нашем случае имеем преобразование вида:

щ, - ut ;	и£> - arccosfsin и2 sin и3);

tg и3, = tg ut cos u3
Рис. 4.7. Сферическое включение, соответствующее зерну
заполнителя случайной формы

а - при осевом сжатии; б - при двухосном сжатии; 1 -
зона, где наиболее вероятно развитие первых контактных
трещин при осевом сжатии; 2 - то же, при равномерном
двухосном сжатии; А, А', А* А"- тоже, при неравномер-
ном двухосном сжатии

и обратное преобразование:

иу -	; иг= arc cos (sin ut, cos Uy) ;

tg ua - ctg иг,/$1пиу.

При новых координатах Ue в каждой точке М возникает
свой подвижной репер	. Его векторы

можно выразить через векторы	подвижного

репера, соответствующего старой системе координат, в следую-
щем виде: (М) = (М) (М). Подразумевается, что в пра-
вой части по индексу i , повторяющемуся дважды, произ-
водится суммирование в соответствии с размерностью про-
странства ( l = 1, 2, 3 ...), иначе говоря,

е,.(н)=й,((м)е,(м)*г^(м)е;(м) *	.

Коэффициенты	образуют ортогональную матри-

цу Г. Элементы этой матрицы зависят от точки М:

(Trf 7rz 7r3\

Г" e I 7*1 7яЧ 7г'з | •	(31)

7*z	7*з/

Они могут быть выражены через частные производные
и коэффициенты Ламе hi и he старой и новой сис-
тем координат следующим образом:

7Г	ЪГ’	(32)

rlv.*	<зи*>
Новый греческий индекс ос означает, что суммирование по
нему производить не следует, иначе говоря:

ди< .
~ h1t дие ’
e Пг du2
hz> диг> '

(33)

Преобразование сферических координат сопровождается пре-
образованием тензора напряжений 6^ в точке М по обыч-
ному тензорному закону, т.е.

- 7 1ч- (»)	(М) 6ti (М),	(34)

где все компоненты тензора и все элементы матрицы преобразо-
вания берутся в одной й той же точке. Подразумевается, как и
выше, в правой части по повторяющимся индексам /, J про-
изводится суммирование, т.е.



••• +	7?з 0w •	(35)

Известно, что коэффициенты Ламе для сферической системы
координат:

Л, = 1; hz-uz^ ;	h3~ щ sin ut« uj/l-s\x?uit cos2 u3> ;

/?, = /;	/7/ - 44'Sln u2,« ufV/-sin2uz sln^a , (36)

причем матрица перехода	Ч О 0 \
Г	7г'з I »	(37)
	।	Т?2 Тз'з/
где	
7г,г = - cos иг cos u3/sin и£ ;	
р2,3 = - sin иг sin. u3/(sin*	иг $inzu3 +со52^) ;

= stnuz sinu, ;

y3,3 =•—sintzz cos ^cos«s/^in2w26si»i2«3*coszu2)J.

Все приведенные выше формулы позволяют в каждой
точке М определить компоненты тензора напряжений в сис-
теме координат и?, требуемые для решения нашей задачи.
С учетом (22) и (37) получаем из (34):

&i'z> ® 7^2 i

08*2 * 71'2 75'2 082 * Ti'j 7гз г

02'3 = 75'2 08/ >

= Тз'2 7з'2 082 * 75'3 75'3 ^33 •
Зная напряжения на поверхности включения, рассмотрим
тот же элемент материала, что изображен на рис. 4.6, а, но при
действии двухосных внешних напряжений 6Z= q и =
=д(й< 4 < О- При этом по-прежнему рассматриваем напряжен-
ное состояние вблизи рассматриваемой трещины как сумму
двух напряженных состояний.

Определим величины Тк и R*, задающие второе
напряженное состояние, путем суперпозиции полей напряже-
ний от = g и бу « £ g. Компоненты тензора напряже-
ний от da = Ц, в системе координат Ни вычисляются^
согласно (39), с учетом (23)	(26) и (38), а компоненты

тензора напряжений от 6Ч =	определяются согласно

(23)	— (26) при 6у> = 6ij и при замене g на fyy.
Теперь вычислив компоненты тензора напряжений б/у' от
совместного действия 6г = g и бу = ^д, получаем в
каждой точке значения нормальною напряжения на поверх-
ности включения

Я,(М) = 6,.,. (М).	(40)

Аналогично имеем для.полного касательного напряжения на по-
верхности включения

Т„ (И) =	.	(41)

Зная R* и Тя , из (30) можно найти для каждой точки М
значения приведенной внешней нагрузки gH/r, вызывающей
развитие наклонных контактных трещин. Характерно, что
минимальное значение дн# не зависит от £ и при зна-
чении £ = 1, соответствующем равномерному двухосному
сжатию, достигается вдоль двух окружностей 2, а при неравно-
мерном двухосном сжатии 0 < # < 1 - лишь в четырех точках
(А, А', А", А"*) поверхности сферы (рис. 4.7, б).

Напряженное состояние на поверхности зерна заполнителя
определялось выше как для сферического включения. В дей-
ствительности форма зерен заполнителя будет отличаться от
сферической. Вследствие этого распределение нормальных и
касательных напряжений по контуру включения будут некото-
рой случайной 'функцией координат 5 (иг; и3; и}) или
Т (иг\ U3; (р), где И) - случайный аргумент. Должны быть
также учтены изменчивость начальной длины контактных тре-
щин 11 и изменчиврсть механических свойств контактной
зоны (величин К%с и р). В итоге приведенная внешняя
нагрузка , соответствующая началу трещинообразова-
ния, будет случайной функцией двух неслучайных ( и2< и и3,)
и нескольких случайных (	) аргументов, иначе говоря,

двумерным случайным полем:
Случайное поле , как и случайное поле напряжений
около пор материала, не будет однородным (стационарным),
так как его математическое ожидание является функцией
обоих неслучайных аргументов М$-М$(иг>‘, и3>) . Бу-
дем считать, что математическое ожидание М& определя-
ется значениями дНж , полученными выше для сферическо-
го включения. Для наших целей нужно также знать закон рас-
пределения и значения корреляционной функции подобного
случайного поля. Однако мы пока не располагаем достаточны-
ми экспериментальными данными. Поэтому учитываем, что
рассматриваемое случайное поле подвержено влиянию многих
случайных факторов, и в первом приближении будем исходить
из нормального закона распределения. Корреляционную функ-
цию условно будем принимать зависящей только от расстояния
между точками поля лв и не зависящей от направления
вектора	и аппроксимировать корреляционную функцию

выражениями типа (8) или (12).

Рассмотрим среднее число	выбросов случайного

поля (и2>, и3-> u)t,, и)п) за некоторый постоянный
уровень /?# , соответствующий образованию контактных
трещин сдвига. Исходя, как и выше, из принципа 95% обеспе-
ченности, будем отождествлять достижение границы	с0

значением Л/д = 0,05. Определим среднее число выбросов.
Для этого будем закреплять одну из переменных иг> , и3<,
определять среднее число выбросов Л/Л за уровень в
отдельных сечениях случайного поля и полученные результаты
суммировать. Тогда среднее число выбросов NK определит-
ся как для случайной функции одного неслучайного аргу-
мента, т.е. по формулам (15) — (20).

Идя подобным путем, по аналогии со случаем трещино-
образования вблизи пор можно получить кривые, дающие
взаимосвязь между главными напряжениями 62 и ,
отвечающими постоянной вероятности р превышения
уровня /?# . Рис. 4.5 дает результаты проведенных таким
путем расчетов при .р = 0,05 (сплошные кривые). Кривые
ограничивают область значений, полученных при изменении
в следующих довольно широких пределах параметров, харак-
теризующих поведение корреляционной функции (8) или (12):
а«2...5; р = 3 ... 6;	4 ... 6; 4/7?* = 0,25 ... 0,1;

В/А =0,3... 0,5.

Принималось также Л = 2, р- 0,7 ... 0,9. Из рис. 4.5
видно, что, несмотря на существенные изменения указанных
параметров, область связи между	и оказывается

довольно ограниченной. Как и для трещин, возникающих вбли-
зи пор материала (сплошные кривые), наблюдается некоторое
увеличение нагрузки, соответствующей R° , в условиях
двухосного сжатия, особенно неравномерного. Отмеченное
явление допускает, как и выше, эвристическое объяснение:
участок случайного поля, где нагрузка	имеет значение,

близкое к минимальному, при £ = 0 довольно велик, при

~ 1 его длина несколько сокращается, а при 0 < £ < 1
участок распадается на четыре отдельные точки (см. рис. 4.7),
т.е. среднее число выбросов в последнем случае должно сущест-
венно уменьшиться по сравнению с одноосным сжатием.

4.3.	РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН

ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ ДВУХОСНОМ СЖАТИИ

Рассмотрим характер развития трещин в условиях про-
странственной задачи. Это необходимо для более детального
изучения работы материала при сравнительно высоких нагруз-
ках. Вначале проанализируем развитие трещин около изолиро-
ванных полостей, когда взаимодействием трещин можно
пренебречь, и рассмотрим неограниченное трехмерное тело,
в котором есть сферическая полость и плоская (круглая в пла-
не) трещина в плоскости х 0у. Трещина выходит на контур
полости (рис. 4.8, а).

На бесконечности тело подвергнуто равномерному двух-
осному сжатию монотонно возрастающей нагрузкой (q < О*).
Напряженное состояние 6 (х , у, 0) в окрестности концов
трещины представим приближенно в виде суммы

6(х, у, 0) = 60(х, у, 0) + 6,(х, у, О).	(42)

Здесь 6О (х, у, 0)	- напряженное состояние в теле со сфери-

ческой полостью, когда такое тело подвергнуто на бесконеч-
ности двухосному равномерному сжатию нагрузкой 6/х,
У> 0)~ напряженное состояние в теле с круговой в плане
трещиной в плоскости z = 0, когда к берегам этой трещины
на участке R* xz + у2 * а приложено нормальное давле-
ние р(х,у) *	(х,у,О). Напряженное состояние (х, yt

О) определяется так [37]:

(*/

где	az*xz+y2.

Формулы можно упростить, введя в плоскости хОу вместо
системы координат ( х, у, £ , £) полярную систему коор-
динат (r,p,p,d) и полагая:

/ = /?созсх; fy=p sina;	=

x«rcosa; у = г sina; xz+ yz * г* , .

(44)

где	0« J3 =£ 2тс ; Rtp^atr.
/////////////////

Л I	—

9х

а

i н н и i и ♦ 111

Рис. 4.8. К задаче о развитии трещин около пор
при двухосном сжатии

а — изолированная трещина; б - взаимодейст-
вующие трещины; в - зависимость между приве-
денной внешней нагрузкой и приведенной длиной
трещины "при двухосном сжатии; 1случай изо-
лированной трещины; 2 - случай взаимодейст-
вующих трещин

Тогда формула (43) запишется так:

dadfi.	....

aPJJ r+p*-2rpco$(d-fl) r <45)

С учетом того, что рассматриваемая задача осесимметрична,
формула (45) приобретает вид

где р(р) = 6*(р).
Напряженное состояние бо(х,у, 0) в окрестности сферичес-
кой полости может быть найдено на основе результатов работы
[77]. Оно выражается в полярной системе координат

6° (Р><*) =	(?)	_ 10v ^~рз ~	) г (47)

где у - коэффициент Пуассона.
Из (46) и (47) получаем

Л м—г	/ Р^‘-РгР(Р) d. . Лу/Л’Д-ЗЛ'Л)

1 3rVr2-az'J	г2-р2	x-fr*-а2'(7~5\>) ’(48)

R	Г

где

Условие предельного (подвижного) равновесия дискооб-
разной трещины, согласно [37], таково:

Vim	= KIt./i2ir (s= г-а),	(49)

где	- малое расстояние между точками тела в плоскости

трещины ( z = 0) и контуром трещины;	(S, 0, (}*) — на-

пряженное состояние в плоскости z = 0 при нагрузке <£-<?.*•

Используя (48) и (49), можем получить зависимость между
радиусом дискообразной трещины и приведенной предельной
нагрузкой

т’ G-ffi V(a/RY-1

Перейдем к следующему этапу работы материала, когда
взаимодействием соседних трещин пренебречь уже нельзя, и
рассмотрим задачу о развитии взаимодействующих круговых
трещин, лежащих в одной плоскости. Задача сводится к системе
двумерных интегральных уравнений типа Фредгольма 11 рода
[2]. Система интегральных уравнений для случая двух тре-
щин с координатами центров х1 - -	; у1 - 0; xz - С ; yz = О

(рис. 4.8, б) записывается так:

did*; )
S1	$<	I

f (51)
Здесь

1 l(*+ciy-+y*-a* (х-&+(у-1г)г

A=,/^EEzfSEE __L__

2 V(*-Cz)+y*-a‘ (*-&+(y-tf *

Обозначения для размеров трещин приняты согласно рис. 4.14,

причем нижний индекс обозначает номер трещины.

Функции fi ($> %) и &($,!?) , задающие внутреннее
давление на берегах трещины, примем в соответствии с выра-
жением (47)

f ft b)~	f-——)

Систему уравнений (51) можно записать так:

#(*>у)«(*,у)fj(*>у.Ь) ;

$

Si

Здесь AG1j2 (*, у) - заданные функции (свободные члены)
^1,г(х,У)=&1,2(х,У);	F1t,~ Fi,zfcy,&z)- также заданные

функции (ядра уравнений); А = 1/лг - параметр.

Систему решаем методом последовательных приближений:
нулевое приближение

Ч\г(*,У) =^г(х,у),	(52)

первое приближение

.(53)

к	^1>г

второе приближение

^?(х,у) ^г(Х/у)-ьА^F12(x,y^)ctfd/г ;	(54)

_	3f,2

п -е приближение

&(*>У) =6<л(*,У)+а// (l>k)F^(x,y^)d^dlz. (55)
3t.3.
На рис. 4.8, в (кривая 2) представлены результаты прове-
денных таким путем на ЭВМ расчетов при V я 0,2; R1 - Rx-
=/?; Cf-c^C; a1-az^a) c/R~2. Кривая 1 дана для срав-
нения, она отвечает уравнению (50) для случая изолированных
отверстий. Характер зависимости как для изолированных,
так и для взаимодействующих трещин остается таким же, как
и при исследованном выше случае одноосного сжатия.

По аналогии со случаем одноосного сжатия дальнейшие
этапы развития трещин как на уровне микроструктуры, так и
на уровне макроструктуры могут быть исследованы методом
Монте-Карло. Такое развитие трещин может быть описано в
общем виде зависимостью

= УяЕт'д,(\>)(5).	(56)

Здесь 9,(v)	- алгебраическая функция, g£(S)	-

функция, которая, вообще говоря, не может быть представ-
лена в виде алгебраической. В данном случае под величиной 5
понимается суммарная поверхность трещин в плоскости
действия нагрузки. При v = const и X?» const последняя
зависимость получит форму (с учетом п. 1.3, формула 4):

?. = 9® > [я(5> -	9,™ 9t <s>]	(57)

Это полностью соответствует результатам п.3.3 для случая одно-
осного сжатия, что свидетельствует об идентичности общего
характера зависимостей, описывающих развитие трещин при
одноосном и двухосном сжатии.

4.4.	КРАТКОВРЕМЕННАЯ ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ДВУХОСНОМ СЖАТИИ КАК ФУНКЦИЯ
СООТНОШЕНИЯ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Вернемся к закону изменения границы /?т как функ-
ции соотношения главных напряжений (см. рис. 4.5). Чтобы
перейти к аналогичной зависимости для прочности материала
/?, нужно было бы рассмотреть задачу о развитии взаимодей-
ствующих трещин в теле со статически распределенными порами.
Детерминированную прежде функцию	задающую

внутреннее давление на берегах трещин, теперь следовало бы
рассматривать как случайное поле (см. п. 4.2). Однако при
этом возникают значительные вычислительные трудности, и
решение задачи было принято вести косвенным путем, исполь-
зуя результаты [10] и других исследований, свидетельствую-
щие о том, что соотношение R°/R в случае двухосного
сжатия практически не меняется при изменении соотношения
главных напряжений. Интересно, что в указанных опытах от-
Рис. 4.9. Кратковременная прочность бетона при
двухосном сжатии в зависимости от соотношения
главных напряжений

1 - опытные точки, полученные в исследователь-
скоц программе в рамках СЭВ; 2, 3 - то же, в
исследовательской программе Великобритании,
Западного Берлина, Италии, США, ФРГ (2 - бе-
тон, 3 - цементно-песчаный раствор); 4 - теоре-
тические кривые; 5 - рекомендации для проекти-
рования

ношение R °/ R не менялось даже при значительном уве-
личении величины R в тех случаях, когда специально
не принималось мер по ликвидации сил трения у нагружаемых
граней образца. Если принять, следовательно, что для случая
двухосного сжатия R°r /R = const, то представленные
на рис. 4.6 кривые будут характеризовать одновременно и ста-
дию разрушения материала. На рис. 4.9 (сплошные кривые)
воспроизведены такие кривые при условии, что разрушение
начинается на уровне макроструктуры.

Интересно сравнить теоретические данные с данными су-
ществующих экспериментальных исследований. Известно, что
результаты, полученные разными авторами до 1967 г. для двух-
осного сжатия при 6, = 6г , колебались от 80 до 350% по
сравнению с одноосным сжатием [64]. Такое расхождение
объясняется сложностью опытов при двухосном напряженном
состоянии, различным выбором методики испытаний, формы
образцов, состава бетона, прочности и значительным рассея-
нием результатов, которое при небольшом числе испытаний при-
водит к большим доверительным интервалам. Поэтому в после-
дующие годы исследователи стали отдавать предпочтение комп-
лексным экспериментальным программам с участием ряда
институтов, работающих на однотипных образцах по единой
апробированной методике, предусматривающей надежное устра-
нение трения между образцом и подушками пресса. Среди
таких комплексных программ наибольшего внимания заслу-
живают исследования, выполненные в соответствии с планом
Постоянной комиссии СЭВ по строительству [44], и исследо-
вания, выполненные институтом Великобритании, Западного
Берлина, Италии, США и ФРГ [73]. В исследованиях в рамках
СЭВ приняли участие НИСИ (НРБ), ТУ Дрезден (ГДР) и
и НИИЖБ (СССР). Результаты, полученные в этих исследова-
ниях, показаны точками 1 в верхней части рис. 4.9. Как видно
из рис. 4.9, теоретические кривые довольно верно отражают
наблюдавшийся в этих экспериментах общий характер изме-
нения прочности бетона при изменении соотношения главных
напряжений. При этом теоретические кривые (особенно ниж-
няя) скорее являются нижней оценкой возможных колебаний
прочности при двухосном сжатии, чем оценкой статистического
среднего.

Результаты, полученные институтами западных стран, пред-
ставлены точками 2 (бетон) и 3 (цементно-песчаный раствор)
в правой части рис. 4.9. Эти исследования примечательны тем,
что опыты во всех институтах проводились на образцах-близ-
нецах, приготовленных в Колорадском университете (США)
и представлявших собой кубы 100x100x100 мм. Как следует
из рис. 4.9, теоретические кривые довольно верно отражают
наблюдавшийся и в этих экспериментах характер изменения
прочности бетона при изменении соотношения главных на-
пряжений как для бетона, так и для цементно-песчаного раство-
ра. При этом сравнении еще более четко проявляется роль
теоретических кривых как нижней оценки прочности бетона
при двухосном сжатии.

Итак, такой теоретический подход позволяет обосновать
наблюдаемый практически во всех современных экспериментах
подъем предельных кривых, характеризующих изменение проч-
ности бетона при изменении соотношения главных напряжений.
Дальнейшее развитие этого подхода позволит, по-видимому,
оценить также влияние вида и содержание заполнителей в бето-
не, его проектной марки и других параметров структуры мате-
риала на расположение и форму предельных кривых при двух-
осном сжатии бетона.
4.5	РАСЧЕТ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
ПРИ ДВУХОСНОМ СЖАТИИ

Высокие растягивающие напряжения, возникающие вблизи
устья трещины при длительном нагружении, приводят к посте-
пенному развитию трещин и, в определенных условиях, к раз-
рушению материала (см. п. 1.4). Распределение напряжений
вблизи концов трещины слабо зависит от способа приложения
нагрузок, и расположенные здесь элементы материала находят-
ся в напряженном состоянии, близком к одноосному растя-
жению.

На основании этого ползучесть вблизи устьев трещин
будем учитывать с помощью тех же операторов, что и в предыду-
щих пунктах. Поэтому развитие трещин при двухосном сжатии
будет описываться приведенными выше формулами при замене
величин 1 /Е оператором 1 /Е (п. 1.4), а для оценки длительной
прочности материала будем, как и раньше, исходить из пред-
положения, что разрушение и при длительном, и при кратко-
временном действии многоосных внешних напряжений проис-
ходит при достижении трещинами одной и той же критической
суммарной площади

^p(t)	(58)

Здесь	, 5ДД (t)	— критическая суммарна» площадь

поверхности трещин соответственно при кратковременном и
длительном действии нагрузки; t — возраст бетона к момен-
ту разрушения;	— возраст бетона к моменту загружения

длительной нагрузкой. Для кратковременной Rfi:,) к
длительной прочности материала при двухосных внешних напря-
жениях из (57) получаем выражения:

ЯМ = /?.ft)/,.,. - V2EM 7(т,) g[SZ(M]i	(59)

•ф

(б0)

Эти выражения соответствуют формулам п.3.5 для случая
одноосных внешних напряжений. Из (57) - (60) с учетом
полученного выше выражения для ^(t) находим относи-
тельный предел длительной прочности

- R(r.) Vt.£(r.)c(tM '	(6°

Следовательно, снижение длительной прочности и при одноос-
ном, и при двухосном воздействии внешних напряжений (т.е.
когда разрушение в основном происходит из-за развития про-
дольных трещин отрыва) описывается одним и тем же законом,
учитывающим противоборство двух процессов уплотнения и
разрыхления структуры.

4.6.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПОВЕДЕНИЯ БЕТОНА ПРИ ДВУХОСНОМ
СЖАТИИ

Методика исследования. Образцы для исследования при
двухосном сжатии были приняты аналогично исследованиям
[64] в виде параллелепипеда размером 200x200x50 мм. Твер-
дение образцов происходило в климатизированном помещении
при температуре 20° С. Установка для создания длительного
двухосного сжатия предусматривала передачу внешней нагруз-
ки с помощью известной конструкции — металлических щеток.
Это предотвращало возникновение трения по опорным граням
образцов.

Измерения и регистрация продольных и поперечных де-
формаций образцов при кратковременных и длительных испы-
таний производились с помощью специальных измерителей,
снабженных датчиками, и автоматической регистрирующей
установки с тремя самописцами. Самописцы служили для записи
как функции внешне^ нагрузки автоматически усредненных
значений продольных деформаций, а также автоматически
усредненных значений поперечных деформаций.

Скорость деформирования была около 0,1% в 1 мин.
Образцы из обычного бетона, предназначенные для испытаний
при двухосном равномерном сжатии, испытывались в воз-
расте 7 сут. -Всего было испытано 12 образцов (две серии
по шесть образцов), причем серия I служила для определения
кратковременной прочности, серия П — для определения дли-
тельной прочности при различных уровнях длительной нагрузки.

Результаты исследования. Кратковременная прочность при
двухосном равномерном ’ сжатии (среднее значение) оказа-
лась равной 229 кг/см2, что примерно на 15% выше средних
значений прочности бетона, полученных при одноосном сжатии.
Это соответствовало результатам, полученным ранее на той же
испытательной установке. Результаты определения длительной
прочности показаны точками на рис. 4.10, где показана также
теоретическая кривая снижения длительной прочности, по-
строенная с использованием характеристик бетона, полученных
в описанных выше испытаниях на одноосное сжатие.

Опытные и расчетные данные близки, что подтвержает воз-
можность применения описанной выше методики для построе-
ния расчетной кривой длительной прочности при двухосном сжа-
тии.
Рис. 4.10. Прогнозирование длительной прочности бетона
при двухосном сжатии

Точки - результаты непосредственного определения дли-
тельной прочности при двухосном сжатии в эксперименте
автора

Развитие продольных и поперечных деформаций, а также
коэффициента поперечных деформаций и при действии длитель-
ной нагрузки высокой интенсивности характеризовалась
S -образной формой кривых. Подобный же ускоренный рост
деформаций незадолго до разрушения образца наблюдался и
в случае одноосного сжатия (п. 3), что лишний раз подтвер-
ждает единство физических причин разрушения материала под
длительной нагрузкой независимо от вида рассмотренных
напряжений состояний.

4.7.	О МЕХАНИЗМЕ РАЗРУШЕНИЯ И ПРОЧНОСТИ
МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ТРЕХОСНОГО
СЖАТИЯ

Воздействие бокового давления на образец, нагруженный
продольной силой, принципиально изменяет, как отмечалось
выше, условия возникновения и развития трещин. При этом
в целом разрушение может носить уже не отрывной, а сдвиго-
вый характер, хотя поверхность разрушения часто проходит
по следам образовавшихся ранее продольных разрывов,
ориентированных вдоль направления наибольшего сжатия.

Имеющиеся экспериментальные данные по прочности бетона
при трехосном сжатии зачастую довольно разноречивы. Проч-
ность при трехосном сжатии типа 63< бг = 6^ (\гз<0) харак-
теризуется обычно коэффициентом эффективности бокового
давления	. .

К = 1^31 ~

М7

где звездочкой обозначены значения соответствующих напряже-
ний в момент разрушения. Противоречия между отдельными
экспериментальными результатами в отношении значения осо-
бенно сказываются при небольших значениях бокового обжа-
тия, когда, по одним данным, величина К существенно не из-
меняется по сравнению с областью больших обжатий и лежит
в пределах 4-5 [19], тогда как, по другим данным, эта вели-
чина при малых обжатиях может достигать 24,7 - 28 [9].
В таких условиях особенно остро встает вопрос теоретической
разработки проблемы.

Модель материала, представленная в п. 1, может быть раз-
вита с учетом указанных выше особенностей и использована
для описания поведения материала при трехосном сжатии.
Рассмотрим цилиндрический образец, к которому приложены
равномерное гидростатическое давление и осевая нагрузка
(б/ >6, - 63). Задачу можно приближенно свести к плос-
кой, если рассмотреть развитие трещин в вырезанной из цилинд-
ра тонкой пластине, проходящей через ось цилиндра и нагру-
женной осевыми напряжениями - q, h боковым дав-
лением 6Х = faq f где const (простое нагружение).
В остальном рассматриваемая модель материала будет соот-
ветствовать модели, использованной в п. 3.

Вначале будем пренебрегать взаимодействием трещин
и поэтому, как и в случае одноосного сжатия, выделим элемент
материала, содержащей одно включение. Представим напряжен-
ное состояние в рассматриваемом элементе материала как
сумму напряженного состояния в сплошной пластине (без
трещины), нагруженной внешними напряжениями бу = q и
6Х - fyq, и напряженного состояния в пластине с трещиной.
Тензор напряжений на линии расположения трещин для первого
напряженного состояния представлен компонентами:

= q ($1пга + £ cosz<x);

<4 = q(cosza * £sin*a); 
~ Ч (1~%) sLria cosa.

(62)

Граничные условия на берегах трещины для второго состояния:
б/*» slnot cosa	-*£cos^x).	(63)

С учетом к* , к* и kt - коэффициентов концентрации
соответственно нормальных от 6V = q f нормальных от
бх = fyq и касательных напряжений равнодействующая
усилий, вызывающих взаимное проскальзывание берегов на-
клонной трещины,

Т~2i<qa cosoc -pfk^stncc cas*a)].

По аналогии co случаем одноосного сжатия при дальнейшем
анализе поведения трещин воспользуемся обозначениями:
/^4<a>^^=Arf7-^sin2acosa-/)^sin3o(4^^sLnacos2cx);''
В ~B(a,p, fy)=k^-fy) sincx cos2a ~p(k'As'\. п2а cosa +^Л<4* cos3a);,
Afappij/sina ~ B^.Pj^/cqsch -

= kt(l-lz) sinar cosa -^^sin^x+^A^cos^x)

(64)

Значения нагрузки, вызывающей развитие начальной на-
клонной трещины контактной зоны соответственно по сдвиго-
вому и отрывному механизмам:

Ч**	/?) ’

к	(65)

В(а,р,/г)

Развитие начальных трещин сдвига происходит в контакт-
ной зоне, а для развития трещины по отрывному механизму
требуется переход ее в матрицу. Отношение этих нагрузок

?:,/?.>	ол75<1,

т.е. рассматриваемая трещина начинает развиваться в контакт-
ной зоне по сдвиговому механизму. Нагрузка , соот-
ветствующая началу развития наклонных трещин контактной
зоны, примерно совпадает с границей R°. Процесс разви-
тия трещины является неустойчивым, и трещина сразу же дости-
гает вершин А и В.

На рис. 4.11, а для р - 0,7 и £ = 0 ... 0,2 даны зависи-
мости приведенной внешней нагрузки (вызывающей развитие
первых сдвиговых трещин) от угла наклона трещины a :

~ ' (66)

Минимум нагрузки достигается при некотором значении
a = сх*, которое можно найти, дифференцируя последнее
равенство

сх# = j-arcctgjoA/^Я); =

к<-/гк'< 7

(67)

При характерных для бетона значениях Л	Р~ W — 1

имеем а*. = 22,5 ... 27,5° , т.е. развитие первых трещин начи-
нается на площадках, наклоненных примерно под углом 25° к
направлению наибольшего сжатия, практически независимо
от величины £ . Это подтверждается результатами экспери-
ментальных исследований [7, 9], согласно которым физичес-
кий характер структурных изменений бетона в процессе его
Рис. 4.11. К задаче о развитии контактных трещин
при трехосном сжатии
а - зависимость между углом отклонения начальной
контактной трещины от направления наибольшего
сжатия и приведенной внешней нагрузкой, вызываю-
щей развитие сдвиговых контактных трещин; б -
коэффициент Kt эффективности бокового давле-
ния для Й° в зависимости от угла отклонения на-
чальной контактной трещины от направления наиболь-
шего сжатия

нагружения не зависит от бокового давления. В то же время,
как видно из рис. 4.11, сама нагрузка существенно зависит
от значения £ . Для оценки этого влияния введем понятие
коэффициента эффективности бокового давления примени-
тельно к достижению границы Л** :

где	А*3/	— значения соответственно

осевого и бокового давлений в момент появления микрораз-
рушений при некотором значении ^>0’,	R-^o) — значение

R^ при £ = О, т.е. при одноосном сжатии. Принимая
в качестве R°^ и R *в соответствующие значения g
(согласно вышеприведенным формулам),

J. //	cosg-p^ 6in2<x cos*oc) 1

T £/	kt sina cosa -pk'^ sin*a J

Рис. 4.11, б для различных p дает зависимость К° от
угла наклона трещины ос. Минимум кривых, как это сле-
дует из дифференцирования последнего равенства, достигается
162
Рис. 4.12. Зависимость коэффициен-
та Д'® и критического угла а *
от коэффициента трения р ма-
териалов матрицы и заполнителя
при трехосном сжатии

при cxw» arcctg рк (% , А), что соответствует найденному
выше выражению (67). Рис. 4.12 дает значения X® и ое»
как функции р, При к'6 = к* - к^ и Л = 2 для
среднего значения а* , равного 25° , имеем Х®«.4,6.

Последующее развитие трещины определяется соотноше-
нием нагрузок, требуемых для продвижения трещин в матрице
по сдвиговому и отрывному механизмам:

•	<)	<?о)

Отсюда следует, что этот этап развития трещины в матрице,
как и в случае одноосного сжатия, носит отрывный характер.
Он начинается при достижении внешней нагрузкой

м _______Xjc

(71)

Трещина развивается при этом вдоль направления б/, об-
разуя зигзагообразную трещину. Заметим, что преимущест-
венное развитие трещин, направленных вдоль действия наиболь-
шего напряжения сжатия (в начальных стадиях работы материа-
ла), подтверждается экспериментально [9]. Развитие зигзаго-
образной трещины описывается тем же приближенным методом,
что и в п. 3. Кроме сосредоточенных усилий Т, связанных
с взаимным проскальзыванием берегов наклонной части тре-
щины, на берега вертикальной части трещины действует равно-
мерно распределенная нагрузка £ £ < 0, препятствующая рас-
крытию этой трещины. Зависимость между нагрузкой и длиной
трещины

-j=T >	= К1е	(72)

У&Г L р

и

Q

(73)
Рис. 4.13. Зависимость между приведенной внешней нагрузкой
и приведенной длиной трещины при трехосном сжатии

1 - предельная нагрузка для начальных контактных трещин;

2 — нагрузка, соответствующая превращению контактной тре-
щины в "зигзаг-трещину”; 3 - кривые, соответствующие устой-
чивому росту продольных ветвей ^зигзаг-трещины ” в матрице

Здесь

Р- Tsina = -2qtfA (<*>рЛУ> ]
7cosa ~ -2q,h В^рЛУ J

Отсюда с учетом (72) и (73)	w

_________________Ki'/faL<'

A (a,p,l2)- ^t2/L<

(74)

(75)

Рис, 4.13 дает зависимость между приведенной внешней

нагрузкой qnl •
трещины ( Ц

и А - общей полудлиной рассмотренной

или Д * 4» ) в долях от

4/ — полу-
of =30°,

длины стороны АВ. При этом было принято:

« 0,675, 4 в 0; 0,1; 0,2. Кривые 1 дают в зависимости
от полудлины начальной трещины	значение нагрузки



™ -

соответ-

ствующей развитию наклонных контактных трещин сдвига.
Для случая = 0,2 показана также кривая 2, дающая нагрузку

4 D(<*.&!?)

требуемую для от-


ветвления от наклонной трещины продольных трещин отрыва
в матрице. Для последнего выражения при Z, * Li , т.е.
когда трещина уже достигла положения АВ,

0 °	^/2



Начальные трещины контактной зоны, как и в случае од-
ноосного сжатия, вначале не растут в длину (вертикальные
линии на графике, соответствующие А^). При достижении
нагрузки Q, происходит их перескок до достижения
трещинами длины А = 1, а при нагрузке происходит
новый перескок на одну из кривых 5, соответствующих устой-
чивому росту продольных трещин и дающих значение приве-
денной нагрузки

(77)

Из рис. 4.13 видно, что наличие бокового давления (осо-
бенно при £ = 0,2) существенно повышает нагрузки у и
q.z , требуемые для начального развития начальных трещин
и для их перехода в матрицу. Еще сильнее сказывается сдер-
живающее влияние бокового давления на рост продольных
трещин в матрице. Так при £ = 0,1 длина этих трещин (кри-
вая 3) во много раз меньше по сравнению со случаем одно-
осного сжатия ( £ = 0), а для случая £ « 0,2 образовав-
шиеся при нагрузке	продольные трещины при дальней-

шем увеличении нагрузки уже практически не растут. Все это
свидетельствует- о том, что единственно возможным видом
разрушения образца с системой подобных трещин является
разрушение, сопровождающееся дальнейшим развитием трещин
по сдвиговому механизму. Условие предельного равновесия
трещины при развитии ее по сдвиговому механизму, соглас-
но [37],

Um frziirr т*(r,t.

Г-*О	г	>

При этом величина	т.е. значение угла fl, за-

дающее начальное распространение трещины, определяется
из условия максимального значения коэффициента интенсив-
ности напряжения [53]:

Um	1 О,

r*o £ dfl

(78)

Заметим, что компоненты тензора напряжений в вершине
трещины определяются формулами (18), (19) п. 1 и (53) -
нпнн нннн пннн пшш

ПНИН ПННН ИНИН HHtttt

Рис. 4.14. Моделирование последовательных этапов
развития трещин в бетоне при трехосном сжатии

(57) п. 3, причем А и В принимаются согласно (64). С уче-
том этого условия для определения угла Д имеем:

A(<x,p,b)[tAn *sln

Расчеты показывают, что при изменении величин ос и р
в широких пределах угол дальнейшего развития трещин Д
изменяется сравнительно мало и лежит в пределах 5 — 25°.
К тому же подобные изменения практически не сказываются
на значении предельной нагрузки, вызывающей развитие сдви-
говой трещины. Поэтому для последующих расчетов можно
принять усредненное значение fl* = tfr/12.

Дальнейший ход развития трещин описывается аналогично
и может быть исследован методом Монте-Карло. На рис. 4.14
для одной из реализаций этого метода (при 4? = 0,1) приведе-
ны последовательные этапы развития трещин в элементе мате-
риала, а на рис. 4.15 - средняя для 12 реализаций зависимость
между осевым и боковым давлениями в момент разрушения.
Там же нанесены линии, отвечающие различным значениям
коэффициента эффективности бокового давления К. Как
видим, при небольших значениях бокового давления К доволь-
но велико и превышает обычно рекомендуемое значение /f=4,
Рис. 4.15. Зависимость между осевым и боковым дав-
лениями в момент разрушения при трехосном сжа-
тии (по результатам математического моделирования)

но по мере увеличения бокового давления величина К умень-
шается. Все это хорошо соответствует существующим экспе-
риментальным данным (подробнее см. п. 5.3).

5.	ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

5.1.	ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОЙ
ПРОЧНОСТИ БЕТОНА

Сравнительно малый объем накопленного эксперименталь-
ного материала и отсутствие достаточной теоретической базы
до последнего времени не позволяли нормировать длительную
прочность бетона. Большинство авторов расходятся в опреде-
лении относительного предела длительной прочности, а для
практических целей обычно рекомендуется ориентированное
значение относительного предела длительной прочности, рав-
ное 0,8. Полученные выше результаты по длительной прочности
цементного камня и бетона при сжатии (п. 3) позволяют более
дифференцированно подойти к назначению относительного
предела длительной прочности.

В п. 3 было показано, что время до разрушения и предел
длительной прочности бетона при сжатии могут быть найдены
из уравнения
и ,4. ~ 1 _ mtt, t<) R(t)-y j E(Ti)/E(i)

~	'	(0

Уравнение (1) может быть упрощено, если вместо удельных
относительных деформаций ползучести С ( t , рас-
смотреть меру подзучести С*(t} ту):

1/EM-1/E.(t} * C(t,T,).	(2)

Отсюда, выразив величину	C(t, Тр и подставив ее в (1),

получим

% ' * Rfa) ]/ 1+E(t)C*(t^)	(3)

Была проверена применимость изложенного подхода к
оценке длительной прочности бетона. Это осуществлялось
сравнением теоретических кривых с имеющимися данными
и сопоставлением с результатами специально поставленных
экспериментов (п. 3). Для построения теоретических кривых
длительной прочности бетона определенного вида использова-
лись кривые его ползучести, полученные экспериментально
на бетоне того же состава.

Характер снижения длительной прочности во времени
зависит в основном от двух причин: Темпа нарастания крат-
ковременной прочности и от того, насколько сильно проявля-
ется ползучесть материала. Если ползучесть выражена слабо,
то и снижение длительной прочности должно оказаться неболь-
шим. Согласно [1], для предельного случая, когда материал
обладает свойствами упругого тела, т.е. ползучесть отсутствует,

C'ft'ti) = 0,
откуда	. ,

fat»*)	R(t)/R(Ti).

Снижения длительной прочности вследствие ползучести
в этом случае, как и следовало ожидать, не наблюдается. Наше
уравнение описывает лишь рост во времени кратковременной
прочности материала.

Как темп нарастания кратковременной прочности, так и
деформации ползучести применяемых в настоящее время на
практике бетонов могут меняться в широких пределах в за-
висимости от марки и состава бетона, возраста в момент за-
гружения, влажности окружающей среды и т.п. В соответствии с
этим должен меняться характер кривой, описывающей снижение
длительной прочности во времени, а также предел длительной
прочности. Между тем это не учитывается ни существующими,
ни вновь разрабатываемыми нормами.
В принципе (в практических целях) длительную прочность
бетона различного вида можно оценить двумя способами:

1)	воспользоваться представленными выше зависимостями
с использованием кривых роста кратковременной прочности
и кривых ползучести, полученных экспериментально на бетойе
того же состава; такой подход более точен, но связан с опре-
деленным неудобством — необходимостью постановки специ-
альных опытов по кратковременной прочности и ползучести (хо-
тя и менее трудоемких по сравнению с непосредственным экспе-
риментальным исследованием длительной прочности);

2)	воспользоваться теми же зависимостями в сочетании
с результатами прогнозирования деформаций ползучести и
кратковременной прочности бетона по его составу [11,55].

Последний подход позволяет отказаться от каких-либо

экспериментов и чистым расчетом прогнозировать длительную
прочность бетона. Для такого прогнозирования удобней всего
воспользоваться формулой (1). Переменные, входящие в пра-
вую часть этой формулы, могут быть описаны следующим об-

разом:	г-	-t

Г t^SOOcgr,	28 сут, R^ Ю МПа , R(28)~ R(t=28cyT)’>

R(t)i

ПРИ

(4)

(5)

(6)

пр»*

При Г,?2вс!/т;

Яйв)*-'	J (f>*3lw).

Здесь R (28) — кратковременная прочность бетона в воз-
расте 28 дн; рТ) Ръ — удельное весовое содержание цемент-
ного теста и воды в бетонной смеси; At — длительность
действия нагрузки,	Ап -безразмерный

коэффициент, 16 • 10—5; а — параметр, имеющий раз-
мерность времени, а = 45 сут.

Формулы (4) — (7), основанные на обобщении большого
числа экспериментальных данных, изложенных в работах
[11, 55], позволяют с достаточной для практики точностью
прогнозировать характер развития во времени кратковремен-
ной прочности, модуля упругости и деформаций ползучести
Рис. 5.1. Прогнозирование длительной прочности для бетона
при различных значениях проектной марки, количества во-
ды в бетонной смеси и возраста бетона в момент нагружения

бетона в зависимости от его марки, возраста в момент загруже-
ния, содержания в бетоне воды или цементного теста.

Влияние влажности и размеров учитывать не будем, при-
няв в соответствии с [11] для этих факторов некоторые стан-
дартные исходные условия, а именно: приведенный радиус
сечения элемента г — 2,5 см, относительная влажность воз-
духа 0 — 70%. Функция /77 (t, зависит от большого
числа факторов и пока мало исследована. С другой стороны,
в п. 3 было показано, что величина т ( t,	) не сильно

отличается от единицы. Поэтому в первом приближении (и в
запас прочности) примем т ( t,	) = 1, что позволит

получать при прогнозировании длительной прочности достаточ-
но надежную нижнюю оценку.

Рис. 5.1 дает построенные описанным способом по формуле
(1) кривые длительной прочности, характеризующие время до
разрушения при заданном уровне напряжений. Кривые по-
строены для бетонов различной марки и различного состава,
загружаемых в различном возрасте. Цифры у кривых обознача-
ют проектную марку бетона	(28), МПа. Кривые а со-

ответствуют рв=О,25, т.е. расходу воды В ж 250 л/м$ при
возрасте в момент загружения => 14 сут, кривые р^—
0,15, т.е. В =» 150 л/м^ при	Гу= 14 сут, кривые в - тому

же, но при Т, = 448 сут. Рис. 5.1 показывает, что начиная
Рис. 5.2. Зависимость относительного предела длительной прочности
от проектной марки бетона

а - бетон, загружаемый в возрасте 28 сут и менее; б - то же, более
28 сут

с определенного момента времени t =	) длительная

прочность теоретически начинает возрастать. Это происходит
в результатте того, что продолжающийся процесс гидратации
цементного камня начинает играть большую роль по сравнению
с затухающими во времени деформациями ползучести. Одна-
ко, как указывалось ранее, получить разрушение на восходя-
щей ветви оказывается принципиально невозможным — оно
всегда будет происходить раньше, на нисходящей ветви (при
t *	) • Физически это означает, что разрушения при t * t#

быть не должно, т.е. минимум кривой соответствует пределу
длительной прочности (горизонтальные пунктирные кривые).

Характер представленных кривых существенно зависит
от возраста бетона в момент загружения : чем моложе
бетон, тем раньше достигается момент времени t соот-
ветствующий достижению предела - длительной прочности.
Этот способ позволяет также оценить влияние других факто-
ров: удельного содержания воды рт (расхода воды В) и про-
ектной марки бетона R (28) на относительный предел дли-
тельной прочности. Характер влияния различных факторов
более ясно прослеживается на рис. 5.2, где относительный предел
длительной прочности £» представлен как функция про-
ектной марки бетона R (28). Цифры у кривых обознача-
ют возраст в сутках в момент загружения. Штриховкой выделе-
на область значений для каждого возраста при изменении
в пределах 0,15—0,25 (расхода воды в пределах 150 — 250 л/мЗ).
Как видим, при загружении в молодом возрасте (	® 7 сут)

относительный предел длительной прочности слабо зависит
Рис. 5.3. Прогнозирование длительной прочности для бетона различных марок и сравнение с экспериментальными
токами

1 - аппроксимирующие линейные (в логарифмической системе) зависимости для опытных данных; 2 - прогнози-
руемые кривые длительной прочности
от марки бетона и в зависимости от рл (расхода воды)
лежит в пределах 0,8 - 0,9 (рис. 5.2, а). С увеличением возраста
относительный предел длительной прочности снижается (осо-
бенно для низких марок). Область значений приближается к
области, ограниченной линиями А и Б (рис. 5.2, б), иллюстри-
рующими полученные в [8, 11 ] эмпирические зависимости для
бетона среднего и старого возрастов:

4.= 0,35 tj [Rv/ft,]f0,6 ;	(8)

Ь, = 0,35 If [R^/Rj* 0,525.	(9)

Как следует из рис. 5.2, б общий характер полученных нами за-
висимостей хорошо отвечает эмпирическим данным. Вместе
с тем наши зависимости для некоторых случаев (в частности,
бетона высоких марок) расположены несколько ниже. Этим
подтверждается положение о том, что наши зависимости дают
для относительного предела длительной прочности оценку
снизу. Это положение подтверждается также данными рис. 5.3-,
где показаны экспериментальные точки и соответствующие
аппроксимирующие кривые 1, построенные на основании анализа
ряда собственных и литературных экспериментальных данных
в работе [33]. Там же показаны прогнозируемые кривые 2,
построенные по предлагаемой нами методике.

Анализ всех приведенных результатов показывает, что
рекомендуемое обычно значение £*= 0,8 (горизонтальная
пунктирная линия на рис. 5.2) является слишком ориентиро-
вочным; в действительности диапазон изменения может
быть довольно широким. То, что более прочный бетон облада-
ет и более высоким относительным пределом длительной проч-
ности по сравнению с менее прочным бетоном другого состава,
но того же возраста, отмечалось ранее и другими исследова-
телями [8, 11, 17, 33].

Результаты, относящиеся к изменению относительного
предела длительной прочности бетона в зависимости от его
проектной марки, целесообразно использовать при переработке
норм проектирования, в частности в главе СНиП 11-21-75
’’Бетонные и железобетонные конструкции”. При этом начало
табл. 15 СНиП 11-21-75 и отмеченное звездочкой примеча-
ние к этой таблице можно сформулировать следующим обра-
зом (таблица).

Факторы, обусловливающие введение коэффициентов условий работы	Коэффициенты условий работы бетона	
	условное обозначение	величина коэффициента
1. Длительность действия нагрузки		см. табл. ”а”
Проектная марка бетона по прочности на сжатие	Коэффициенты условий работы бетона для расчетного случая	
	А	Б
М 300 и ниже	0,85	1,15
М 400 - М500	0,90	1,10
М 600 и выше	0,95	1,05

Примечания: 1. Расчетный случай А - при учете постоянной,
длительной и кратковременной нагрузок, кроме нагрузок, суммарная
длительность действия которых мала (например, крановые нагрузки,
нагрузки от транспортных средств, ветровые нагрузки, нагрузки, воз-
никающие при изготовлении, транспортировании и возведении, и т.п.),
а также при учете особых нагрузок, вызванных деформациями просадоч-
ных, набухающих, вечномерзлых,и тому подобных грунтов.

2.	Расчетный случай Б - при учете в рассматриваемом сочетании
кратковременных нагрузок, суммарная длительность действия кото-
рых мала, или не включенных в расчетный случай А особых нагрузок.

3.	Для тяжелого бетона и бетона на пористых заполнителях (ес-
тественного твердения и подвергнутого тепловой обработке), если кон-
струкция эксплуатируется в условиях, благоприятных для нарастания
прочности бетона (твердение под водой, во влажном грунте или при влаж-
ности воздуха окружающей среды выше 75 %), в расчетном случае А
допускается принимать /nSf= 1 •

4.	При учете особых нагрузок, для которых вводится дополнитель-
ный коэффициент условий работы согласно указаниям соответствующих
нормативных документов (например, сейсмические нагрузки), в рас-
четном случае Б следует принимать Z76/»l.

Значения т817 . приведенные в таблице ”а”, использо-
ваны в ’’Рекомендациях по прогнозированию основных физико-
механических характеристик бетона при проектировании желе-
зобетонных конструкций и регулированию некоторых свойств
бетона технологическими приемами”, подготовленных стра-
нами — членами СЭВ в рамках темы 5.4 ’’Физико-механические
свойства бетона и арматуры” плана координации Постоянной
комиссии СЭВ по строительству [44]. В таблице отражен тот
факт, что относительное снижение длительной прочности бетона
по сравнению с кратковременной составляет около 30% для
бетона сравнительно низких проектных марок (до М 300 вклю-
чительно) , около 20 % для бетона проектных марок М 400 —
М 500 и дополнительно сокращается при дальнейшем увеличе-
нии проектной марки бетона. Принятая при составлении таб-
лицы ”а” разница между значениями коэффициента Л7в/
для расчетных случаев А и Б (соответственно при отсутствии
или наличии нагрузок, суммарная длительность действия кото-
рых мала) соответствует указанному снижению длительной
прочности.
Остановимся на экономической эффективности перехода
на предлагаемую методику учета длительной прочности бетона
при проектировании железобетонных конструкций. Она опре-
деляется в основном повышением расчетных сопротивлений
бетона для расчетного случая А, особенно для бетонов высо-
ких марок. Основная часть объема высокомарочных бетонов
приходится на колонны многоэтажных зданий и другие кон-
струкции, для которых решающим является расчетный слу-
чай А. Увеличение расчетного сопротивления бетона для этого
случая на 12% (в результате перехода для МбООот	0»85 к

/^6, = 0,95) позволит получить значительный экономический
эффект. Примерно такого же экономического эффекта можно
ожидать благодаря повышению расчетных сопротивлений бетона
проектных марок М 400 - М 500.

5.2.	НОРМИРОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА
ПРИ ДВУХОСНОМ СЖАТИИ

Конструкции, у которых бетон в той или иной стадии рабо-
ты оказывается в условиях двухосного сжатия, применяются
довольно часто. Сюда в первую очередь относятся современные
предварительно-напряженные конструкции [34] с напрягае-
мой арматурой в двух направлениях: плиты пролетных строений
мостов, покрытия автомобильных дорог и взлетно-посадочных
полос; элементы конструкций атомных реакторов [34], раз-
личные конструкции, изготовленные методом непрерывного
напряженного армирования, балочные конструкции с напря-
гаемыми хомутами и т.д.

Практика применения современных железобетонных,
и в первую очередь предварительно-напряженных, конструкций
настоятельно требует решения вопроса о нормировании проч-
ности бетона при двухосном сжатии. Однако отсутствие теоре-
тических разработок по прочности бетона в условиях двухос-
ного сжатия и некоторая противоречивость экспериментальных
результатов, полученных различными исследованиями по дан-
ному вопросу, до сих пор не позволяли нормировать прочность
бетона при двухосном сжатии.

Результаты настоящей работы в сочетании с анализом экс-
периментальных данных дают возможность сделать некоторые
предположения по нормированию прочности бетона при двух-
осном сжатии. На рис. 4.9 показаны теоретические кривые 4
прочности бетона при двухосном сжатии, соответствующие
случаю, когда разрушение начинается с макроструктуры мате-
риала (см. 4). Внутри этих кривых пунктиром представлена
также ломаная кривая 5, соответствующая предлагаемому
нормированию прочности бетона при двухосном сжатии для
проектирования: повышение расчетного сопротивления бетона
Рис. 5.4. К нормированию прочности бетона на пористых
заполнителях при двухосном сжатии

Точки - результаты экспериментов, полученных в иссле-
довательской программе в рамках СЭВ; 1 - теоретичес-
кие кривые; 2 - рекомендации для проектирования

сжатию на 20% при относительном соотношении меньшего
главного напряжения	0,3 ... 0,8 и аналогичное повыше-
ние на 10% при	0,8. Как видим, предлагаемые

рекомендации являются практически нижней оценкой прочности
при двухосном сжатии.

Необходимо отметить, что предлагаемые рекомендации
основаны на теоретических данных, исходящих из некоторой
идеализированной структуры материала, и не учитывают воз-
можных различий в поведении бетонов различного вида, напри-
мер бетонов на пористых заполнителях. Вместе с тем известно,
что предельные значения напряжений при двухосном сжатии
для бетона на пористых заполнителях хотя и возрастают по
сравнению с одноосным сжатием, но в меньшей степени, чем
для тяжелого бетона [20]. На рис. 5.4 точками даны результа-
ты экспериментального исследования прочности бетонов на
пористых заполнителях при двухосном сжатии, проведенного
в рамках комплексной программы Постоянной комиссии
СЭВ по строительству [44]. Так как разрушение бетона на
пористых заполнителях начинается с развития трещин на уров-
не микроструктуры, то для сравнения с экспериментальными
данными можно использовать теоретические кривые 1 рис. 4.5
(сплошные кривые), относящиеся к уровню микроструктуры.
Примечательно, что в рассматриваемом случае, как и в случае
тяжелого бетона (см. рис. 4.9), теоретические кривые доволь-
но верно следуют наблюдающемуся в экспериментах общему
характеру изменения прочности бетона при изменении соотно-
шения главных напряжений и вместе с тем правильно отража-
ют тенденцию к меньшему повышению прочности по сравне-
нию с тяжелым бетоном. При этом, как и в случае тяжелого
бетона, теоретические кривые (особенно нижняя) скорее явля-
ются нижней оценкой возможных колебаний прочности при
двухосном сжатии, чем оценкой статистического среднего.
На рис. 5.4 показана также ломаная кривая 2, соответствую-
щая предлагаемому нормированию прочности бетона на по-
ристых заполнителях при двухосном сжатии для целей проек
тирования: повышение расчетных сопротивлений бетона на
10% при <4/Z?np= 0,3 ... 0,8 и на 5 % при относительно меньшем
главном напряжении.

Приведенные рекомендации относятся к случаю простого
(пропорционального) нагружения. Между тем на практике
часто ‘ встречаются элементы конструкций, подвергающиеся
двухосному сложному (непропорциональному) нагружению.
Сделаем некоторые замечания о возможности распространения
принятых рекомендаций на случай сложного (непропорцио-
нального) нагружения, для чего рассмотрим подробнее физи-
ческую сущность выводов, полученных в п. 4 на основе вероят-
ностного анализа условий образования трещин. Остановимся
как на более опасном для случая двухосного сжатия разруше-
нии, начинающемся на уровне микроструктуры. При одноосном
нагружении внешними напряжениями наиболее вероятно появ-
ление первой трещины около полюса поры (рис. 5.5, а}, где
показана сферическая пора с трещинами, вид вдоль оси Oz );
теоретически трещина может иметь любое направление (тре-
щины 1, 2, 3). Практически (вследствие случайных отклоне-
ний формы поры от сферической) будет реализована трещина
в том направлении, где наблюдается наибольшая концентрация
растягивающих напряжений или где в силу неоднородности
материала его локальная прочность минимальна. Одним сло-
вом, всегда будет образовываться трещина, энергетически
наиболее выгодная.

При двухосном равномерном пропорциональном нагруже-
нии ( 6г « =е 1) наиболее вероятно появление первой тре-
щины вдоль меридиана поры (рис. 5.5, б). Теоретически трещи-
на может возникнуть в любой точке меридиана (трещины 1, 4,
5), но практически, как и в предыдущем случае, будет реали-
зована энергетически наиболее выгодная трещина.
a) 6^f

6) 6t*f

8 6t * f

Рис. 5.5. Развитие трещин на контуре поры при простом
(пропорциональном) нагружении

а - осевое сжатие; б - двухосное равномерное сжатие;
в - двухосное неравномерное сжатие

Наконец, при двухосном неравномерном, но пропорцио-
нальном нагружении ( dz — 1; 6V = 0,5) наиболее вероятное
место и направление первой трещины заранее предопределены
системой внешних напряжений — это трещина 1 (рис. 5.5, в).
Образование трещин вида 2, 3 или 4, 5 (которые в других слу-
чаях могли бы оказаться энергетически более выгодными) при
данной нагрузке оказывается маловероятным, так как растяги-
вающие напряжения на соответствующих участках будут су-
щественно ниже, чем на участке в трещиной 1. При этом учас-
ток с трещиной 1, в отличие от двух предыдущих случаев, не
обязательно соответствует наиболее невыгодному месту с точки
зрения концентрации напряжений около данной случайной поры
или наименьшей локальной прочности материала. Таким обра-
зом, трещины будут возникать в среднем при более высокой
внешней нагрузке, чем в двух предыдущих случаях. Этим и
объясняется характерный вид предельных кривых при двух-
осном сжатии (п. 4).

Рассмотрим теперь сложное (непропорциональное) нагру-
жение. Пусть, например, вначале приложены постоянные внеш-
ние напряжения бг, а затем образец доводится до разруше-
ния напряжениями бу. После приложения внешних напряже-
ний б2 на контуре поры может образоваться одна из равно-
вероятных трещин типа 1, 2 или 3 (рис. 5.5, а). В зависимости
от того как ориентированы образовавшиеся трещины относи-
тельно оси Оу, могут представиться два случая.

В первом случае, когда угол между направлением трещи-
ны и осью Оу достаточно велик (трещина б, рис. 5.6, а),
при догружении внешними напряжениями бу эта трещина
под действием внешнего сжатия просто закроется и практи-
чески не будет оказывать влияния на разрушение материала
(рис. 5.6, б).
Рис. 5.6. Развитие трещин при сложном (непропорциональном) двухос-
ном нагружении

а, б - последовательные этапы нагружения; в, г - то же, при другой
ориентации начальной трещины

Во втором случае, когда угол между направлением тре-
щины и осью Оу мал (трещина 7, рис. 5.6, в), эта тре-
щина изменит траекторию новых трещин, развивающихся при
догружении’внешними напряжениями бу (рис. 5.6, г). За-
данное трещиной 7 направление дальнейшего развития может
отличаться от энергетически наиболее выгодного (которое
реализовалось* бы при отсутствии этой трещины), и для разви-
тия трещин потребуется более высокая внешняя нагрузка.

При нагружении реального материала в одних его микро-
объемах может реализоваться первый случай, а в других — вто-
рой случай. Вследствие этого прочность материала при слож-
ном (непропорциональном) нагружении должна быть не ниже,
чем при простом (пропорциональном). Об этом же свидетель-
ствуют результаты ряда экспериментальных исследований
(например, [73]). Поэтому будем считать возможным поль-
зоваться полученными рекомендациями также для двухосно-
го сжатия в условиях сложного (непропорционального)
нагружения.

Полученные результаты (повышение расчетного сопро-
тивления бетона при двухосном сжатии) использованы при
составлении ’’Рекомендаций по прогнозированию основных
физико-механических характеристик бетона при проектирова-
нии железобетонных конструкций и регулированию некоторых
свойств бетона технологическими приемами” [44]. Еще раз
подчеркнем, что разработанные рекомендации по нормированию
прочности бетона (тяжелого и на пористых заполнителях)
при двухосном сжатии являются, по сути дела, нижней оценкой
и дают некоторый запас прочности. Это говорит о том, что
дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования
в области прочности при двухосном сжатии позволят, возмож-
но, идти на более смелый учет повышения прочности.
5.3.	РЕКОМЕНДАЦИИ ПО НОРМИРОВАНИЮ
ПРОЧНОСТИ БЕТОНА ПРИ ТРЕХОСНОМ
СЖАТИИ

Результаты, описанные в п. 4.7, показывают, что разру-
шение бетона в условиях трехосного сжатия (осевое усилие
с боковым гидростатическим давлением) может носить раз-
личный характер, т.е. быть в основном отрывным или сдвиго-
вым в зависимости от бокового давления. Соответствующим
образом различаются полученные расчетным путем значения
коэффициента интенсивности бокового давления, причем об-
наруживается резкое увеличение этого коэффициента при малых
боковых давлениях.

Характерно, что проводившиеся до сих пор исследования
прочности бетона и других материалов при трехосном сжатии,
как правйло, не затрагивали вопроса о прочности материала
при небольших боковых давлениях. Интерес к этому вопросу
наметился лишь в самое последнее время. Анализ ряда экспе-
риментальных данных [28] для бетона с целью установить
зависимость коэффициента бокового давления от размера
этого давления показывает резкое возрастание значений коэф-
фициента (до 6—8) при малых давлениях.

На основании анализа экспериментальных данных и ре-
зультатов, полученных в п. 4.7, представляется возможным
нормировать прочность бетона при трехосном сжатии (осевое
усилие с боковым гидростатическим давлением). На рис. 5.7
(линия Т) дана средняя для 12 реализаций зависимость между
коэффициентом интенсивности бокового давления К и отно-
сительным боковым давлением	Rпр	в момент разру-

шения. Как видим, при небольших значениях бокового давле-
ния значение К довольно велико и превышает часто рекомен-
дуемую величину /£4, а по мере увеличения бокового давле-
ния величина К уменьшается. Все это хорошо соответствует
существующим экспериментальным данным различных со-
ветских и зарубежных исследователей, показанным на том же
рисунке (цифры у кривых соответствуют величине Z?np, МПа).
Вместе с тем из рис. 5.7 видно, что коэффициент интенсивности
бокового давления существенно зависит и от проектной марки
бетона, уменьшаясь с увеличением последней. Такое явление
подтверждается и расчетами по выше изложенной теории:
коэффициент интенсивности бокового давления К уменьша-
ется при снижении значений А «= E3an/E„ , что соответству-
ет более прочным бетонам.

Целесообразно учесть оба отмеченных явления в нормах
проектирования бетонных и железобетонных конструкций.
Поскольку предлагаемые рекомендации являются одними из
первых в практике, а экспериментальные данные дают заметный
разброс, нужна определенная осторожность. Поэтому пред-
Рис. 5.7. К нормированию коэффициента интенсивности бокового
обжатия при трехосном сжатии

Pl, Р2 - предлагаемые рекомендации по нормированию; Т -
теоретические данные, полученные в результате математического
моделирования

лагается назначить величину К близкой к нижним границам
областей, занимаемых соответствующими зависимостями.
Влияние проектной марки бетона (а вместе с ней и величины
Rnp) на данном этапе предлагается учесть упрощенно деле-
нием всех бетонов на две группы (1-я группа - проектная мар-
ка до М 400, 2-я группа - проектная марка М 400 и выше).
Предлагаемые рекомендации для бетонов 1-й группы показа-
ны кривой Р1 на рис. 5.7 (7^6 при /6г.// Rnp « 0 й 7С=3,6
при /б2// /?Пр ~ 0,6, промежуточные значения — по интер-
поляции; для бетонов 2-й группы значения уменьшаются
на 1). Эти предложения уже использованы в рамках СЭВ в ре-
комендациях [44] для нормирования расчетных сопротивлений
бетона при трехосном сжатии.

Одновременно отметим, что анализ существующих экс-
периментальных данных по величине	(нижней границе

трещинообразования при трехосном сжатии) показывает, что
величина Кг существенно меньше величины К (76=3,43 ...
5,22 при	= 0,07 ... 0,44). При этом зависимость

Кт от ЯПр и IdjJ/Rnp выражена гораздо менее опреде-
ленно, чем для К. Это находится в соответствии с полученными
выше теоретическими данными, а сами экспериментальные
значения Кт близки к данным теории. Поэтому для прак-
тических расчетов целесообразно принять Кг • const, по-
ложив, например, Хт.» 3. Заметим, что все рекомендации
относятся к случаю отсутствия давления жидкости в порах
и трещинах материала.

5.4.	К РАСЧЕТУ ПРОЧНОСТИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННЫХ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ВОЗДЕЙСТВИЕ
УСИЛИЙ ОБЖАТИЯ

Исходные предпосылки. Нормы для предотвращения
разрушения бетона под действием усилий обжатия требуют
проверки на прочность бетона при обжатии. При этом, однако,
не учитывается возможность появления продольных трещин
в бетоне и их дальнейшего развития во времени. Последнее
становится особенно опасным, если конструкция работает
так, что напряжения обжатия сохраняются в бетоне и во время
эксплуатации, а потери от ползучести развиваются медленно.
Подобное развитие трещин во времени может привести к не-
обратимым нарушениям структуры или даже к полному раз-
рушению бетона вследствие исчерпания его длительной проч-
ности.

Вопрос об оптимальном и предельном обжатии бетона пред-
варительно-напряженных конструкций подробно рассматривал-
ся в р 3]. Рассмотрим вопрос о предельно допустимом обжатии
бетона, исходя лишь из необходимости обеспечить его дли-
тельную прочность под действием напряжений обжатия. Вос-
пользуемся описанными ранее данными, при этом придется
анализировать поведение материала под действием изменяю-
щейся во времени длительной нагрузки - создаваемого на-
прягаемой арматурой падающего усилия обжатия.

В случае изменяющейся во времени длительной нагрузки
поведение материала может быть описано рассмотренным в пп.2
и 3 методом. При этом нарастание деформаций материала во
времени (вследствие ползучести) в соответствии с результа-
тами п. 1 будем учитывать оператором 1/Ё, который принима-
ется в наиболее обшем виде

Ё ~E(ij +/к^>т) dr>	(10)

Уплотнение структуры материала (вследствие гидратации
цементного камня) в соответствии с полученными выше ре-
зультатами будем описывать выражением

7ft) _	Rz(t)/K’M	(||)

7М E(t)/£(r,)
Уравнение (81) п. 3, описывающее изменение^суммарной
длины трещины, используя понятие оператора 1/Е , можно

записать так:

(12)

или с учетом (11)



?-сж=

* [ifr ЕСЫ 7(Ы

(13)



Используя введенное выше понятие приведенной внеш-
ней нагрузки <7О « <}/!/#Е(Т1)ТСЫ ‘ , запишем последнее
уравнение так:

5.МЛ-	.	(14)

Множители	RCt) и /E(t)/E, катки

в случае действия постоянной нагрузки, учитывают два противо-
борствующих процесса — упрочения и разрыхления структуры.

Множитель q(t)/(}(ti)'= 6(t)/6(Ti) учитывает влияние
изменения нагрузки к моменту времени t по сравнению
с начальной (заметим, что приведенная нагрузка фо отнесе-
на именно к начальному моменту времени, т.е. ), а в це-
лом произведение всех- сомножителей может рассматриваться
как функция состояния для случая переменной нагрузки, т.е.

<РН тл =	»(г,) .ГёмТ o(t) t

if e 6(t,)

ИЛИ

6(t)/R(t) ,[EST .

(15)

(16)

В частном случае постоянной длительной нагрузки
6(t) = 6 (т<) , когда 1/Е =	JhE(r<)c(t, t/tf,

из (15) получаем найденное в п. 2 выражение (40).

Аналогично случаю постоянной длительной нагрузки для
рассматриваемого случая также можно использовать понятие
меры деструкции (меры использования материала):

M(t, т.) = рф(Ь,тЫ .

(17)
Здесь в качестве р
уровень загружения

следует рассматривать начальный

р- 6(Ti)/R(Ti).	(IS)

Из выражения (17) с учетом (16) и (18), в частности,
следует

' <	R(t) V E	(19)

Правая часть последнего выражения содержит множитель
перед корнем, представляющий собой уровень действующего
в момент времени t внешнего напряжения (по отноше-
нию к кратковременной прочности материала в этот же момент
времени). Таким образом, выражение (19) одновременно
учитывает изменение во времени внешней нагрузки и кратко-
временной прочности материала. Множитель "/£(£)/ё. отра-
жает, как и прежде, разрыхление структуры вследствие ползу-
чести цементного камня.

Длительная прочность материала при действии изменяю-
щейся во времени нагрузки. Выше было принято допущение
о равенстве критической суммарной длины трещины 5* при
кратковременной 5* и длительной	нагрузках.

Расширим это положение, считая возможным применять его
не только для постоянной, но и для изменяющейся во времени
длительной нагрузки 5 дл В п. 3 было получено выраже-
ние для суммарной длийы трещин

?(*>*<)] -	(20)

В случае разрушения материала при кратковременной (/=&)
нагрузке с интенсивностью, соответствующей , имеем
р - 1, M(t< Т<) ~р<Р(т< /и из уравнения (20) получаем



(20

В случае постоянной длительной нагрузки меньшей интен-
сивности ( р < I) к моменту разрушения в соответствии с из-
ложенным выше М(t,Tt) = рФ (t, т<)= 1, и тогда из (20)

^'[сц/р].

(22)

В случае изменяющейся длительной нагрузки с начальной
интенсивностью р<}0 } в соответствии с постулированным
184
равенством критической длины трещин, в момент разрушения
также должно удовлетворяться условие



(23)

Тогда в соответствии с (20) момент разрушения харак-
теризуется достижением равенства

рФ(t, 1<) = Л
или

(24)

Причем для случая изменяющейся нагрузки выражения для
и	следует принимать согласно (16)

и(17).

Понятие меры использования материала (меры деструк-
ции), введенное выше, является довольно общим и позволя-
ет наметить к определению времени до разрушения (длительной
прочности) материалов типа бетона при изменяющейся во вре-
мени нагрузке. Из (19) и (24) следует, что в момент разруше-
ния должно выполняться равенство

(25)

Отсюда может быть найдено время до разрушения 4f=
если известны зависимости, описывающие изменение во времени
внешней нагрузки, кратковременной прочности, модуля упру-
гости, а также деформаций ползучести (учитываемых опера-
тором \1Е).

Перейдем к анализу поведения центрально-обжатого пред-
варительно напряженного железобетонного элемента при отно-
сительно высоком уровне обжатия бетона. Развитие возникаю-
щих в момент обжатия бетона продольных трещин может быть
описано с помощью формул п. 3.

Под воздействием длительно действующих напряжений об-
жатия появившиеся вначале трещины могут развиться даль-
ше. Этот этап развития трещин может быть описан рассмотрен-
ным только *что методом. При этом суммарная длина продоль-
ных трещин определяется с помощью выражений (16) и (20),
а время до разрушения - из условия (25).

В рассматриваемом случае напряжения 6(t) будут опре-
деляться характером протекания потерь напряжения в бетоне.
Основной причиной развивающихся во времени потерь напря-
жения при высоких уровнях обжатия является ползучесть бето-
на. Исследования Е.Н. Щербакова показывают [24], что изме-
некие напряжений в бетоне центрально-обжатого элемента с
учетом потерь от ползучести

o(t) _	e~kt

0(r,)	(26)

где dfrj и 6(t)	— начальное (в момент пред-

варительного обжатия) и текущее (в момент времени t )
значения напряжений в бетоне; Vo - начальное значение
параметра нелинейности; п - показатель нелинейности;
р «	- коэффициент, характеризующий смягчение

нелинейности деформаций ползучести, обусловленное струк-
турными изменениями бетона во времени;	-на-
чальный модуль упругости бетона; /	> Пц~ •

/* Ли/Ын	’

ju* — коэффициент армирования напрягаемой арма-
турой; де* — характеристика линейности ползучести бетона;

Чтобы использовать приведенные зависимости, необходи-
мо знать закон нарастания во времени кратковременной проч-
ности, модуля упругости E(t) и деформаций линейной
ползучести С9 (ttTi)	бетона, что может быть описана

с помощью выраженией (4) - (7) п. 5.1. Подобным путем на
ЭВМ были получены значения функций • 0 ( 11	) и

М ( £ > ty ). При этом для (26) принималось: п « 4,
S - 0,004	• Юб ;	3,5, Лн«0,001 ... 0,02;	& «

*180 ... 250 л/мЗ (0,18 ... 0,25).

Рис. 5.8, а дает пример изменения Ф ( Ъ ) для цент-
рально-обжатого предварительно напряженного элемента при
различных уровнях обжатия ( р » 0,88 ... 0,98). Из рис. 5.8, а
следует, что характер изменения функции состояния Ф ( t, )
существенно зависит от ju* - коэффициента армирования
напрягаемой арматуры. При больших значениях коэффициента
армирования (	^0,02) весьма интенсивно развиваются по-

тери напряжения вследствие ползучести, а процессы деструкции
материала в условиях падающей нагрузки выражены слабо.
Преобладающим является процесс уплотнения структуры
вследствие продолжающихся процессов гидратации; в соответ-
ствии с этим функция состояния Ф ( t >	) с самого начала

является убывающей.

При меньших значениях коэффициента армирования juH
потери напряжений протекают медленнее. Это способствует
развитию процессов деструкции материала, которые особенно
резко проявляются в течение первых двух-трех суток после
отпуска напряжения. К этому моменту времени продолжаю-
щиеся процессы потерь напряжения, в одной стороны, и гид-
a)

0,8

0,6

20

Рис. 5.8. Изменение во времени функции состояния и меры
деструкции для бетона предварительно-напряженного
элемента при различных уровнях обжатия и коэффициен-
тах армирования
а - функция состояния; б - мера деструкции

ратации цементного камня, с другой, приводят к тому, что
разрыхление структуры материала сменяется ее уплотнением,
а функция состояния Ф ( t,	) после достижения мак-

симума начинает убывать.

На рис. 5.8, а даны соответствующие кривые меры деструк-
ции И ( t , т ). Они свидетельствуют о том, что в подоб-
ных условиях и при достаточно высоком уровне обжатия р
можно ожидать достижения равенства (24), т.е. разрушения
бетона — см. верхнюю кривую ( р = 0,98). При меньших
уровнях обжатия (/?.== 0,88 ... 0,93), как видно из графиков,
значения меры деструкции не достигают единицы. Это означа-
ет, что процессы деструкции оказываются недостаточными для
разрушения бетона, находящегося в условиях падающего
во времени обжатия.

Косвенным подтверждением опасности, возникающей при
высоком уровне обжатия бетона, служат результаты опытов
[35], в которых два предварительно - напряженных образца с
Рис. 5.9. Зависимость между коэффициентом армирова-
ния предварительно напряженного элемента и макси-
мально допустимым уровнем обжатия

а - при Ro “ 0,7; б - при Ro- R

несимметричным армированием, предназначенные для испы-
таний на изгиб (БНП-7 и БНП-8), были при небольшом процен-
те армирования (около 0,5 %) обжаты до уровня а ,
что при /?о=10,6 МПа примерно соответствовало 6S s /?м.
Заметим, что напряжения de определялись условно как
для упругого тела, в действительности были меньше и находи-
лись в области предела длительной прочности бетона. Непосред-
ственно после отпуска натяжения, несмотря на высокую сте
пень обжатия, образцы не разрушались. Однако в процессе
испытаний было установлено, что эти образцы выпадали из общих
результатов серии, показывая значительно более низкую проч-
ность, что, по-видимому, объяснялось серьезным повреждением
структуры бетона под действием длительно действующих на-
пряжений обжатия.

Нами были проведены расчеты по изложенной методике
для различных марок бетона ( R = 200 ... 500), различных
расходов воды (В~ 180; 250 л/мЗ), которые представлены
на рис. 5.9 (для Ro/R ~ 0,7 и Ro/R « 1). Графики цают
значения максимально допустимого уровня обжатия />тях =
‘бв/^„р(при котором мера деструкции еще не достигает едини-
цы) в зависимости от коэффициента армирования ju*.

Анализ рис. 5.9 показывает, что при значительном армиро-
вании допустимые обжатия достаточно высоки и в случае1%
для наиболее широко применяемых марок бетона (R = 300...500)
лежат в пределах 0,95 - 1. Однако при /и* < 1 значения у?
заметно снижаются, не поднимаясь в неблагоприятных случаях
выше 0,9 или даже 0,85.

Это было учтено при разработке СНиП Ц-21-75. В прин-
ципе целесообразно было бы поставить предельную степень об-
жатия в зависимости от коэффициента армирования (и, возмож-
но, ряда других, факторов). Однако, учитывая, что подобные ре-
комендации являются первыми на практике, решено было
ограничиться следующим упрощенным решением. Из рис. 5.9
видно, что для //и < 1 % (в основном это элементы, армиро-
ванные высокопрочной проволокой) безопасные напряжения
в первом приближении оказываются примерно на 10% ниже
безопасных напряжений обжатия для значений //и > 1 % (что
характерно для элементов со стержневой арматурой). Поэ-
тому повышенная опасность разрушения в случае применения
проволочной арматуры учтена введением пониженного коэф-
фициента условий работы гт? бц - 1,1 при сохранении для
элементов со стержневой арматурой ~ 1,2, учитывающе-
ю, как и в предыдущих нормах (СНиП П-В. 1-62), меньшую
опасность разрушения в стадии обжатия по сравнению со стади-
ей эксплуатации. Приведенные коэффициенты	включе-

ны в главу СНиП П-21-75 ’’Бетонные и железобетонные кон-
струкции”, а также в упомянутые выше Рекомендации ПКС
СЭВ [44].

5.5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОПТИМИЗАЦИИ
НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ БЕТОНА

Известно, что прочность применяемых бетонов непрерыв-
но повышается. Однако чисто эмпирический путь повышения
прочности бетонов и оптимизации из физико-механических
свойств весьма трудоемок и не сразу приводит к цели. Прав-
да, применение современных методов обработки в сочетаний
с использованием методов теории планирования эксперимен-
та [29] позволяет добиться определенных успехов в этом
направлении. Полученные в предыдущих главах результаты
также позволяют дать некоторые рекомендации и наметить
пути дальнейших исследований по оптимизации свойств бетона,
основанные на анализе физической картины деформирования
и разрушения материала.

Расчеты, проведенные в предыдущих главах методом Мон-
те-Карло с использованием принятой модели материала, пока-
зывают, что прочность и деформативность материала, а также
относительный уровень границы*	существенно зависят

от структуры материала. Эти зависимости сводятся в основном
к следующему.

1.	Прочность бетона на растяжение определяется развитием
контактных трещин (между заполнителем и матрицей)* и воз-
растает с увеличением прочности контактной зоны Лхе и с
уменьшением крупности заполнителя. Рост прочности пример-
но пропорционален прочности контактной зоны в величине
1/УЖ, где R - характерный размер зерна заполнителя.
Рост прочности в зависимости от размера зерен заполнителя
ограничен, при снижении крупности заполнителя до 10-20 мм
более опасными становятся трещины матрицы. Вывод о такой
зависимости прочности бетона от крупности заполнителя под-
тверждается результатами ряда экспериментальных исследова-
ний [17, 62]. Детальный анализ в [21 ] на основании опытных
данных Валкера и Блозма, Фрайзера, Говарда, Хаукинса, Джон-
са, Каплана и других также показывает, что наибольший проч-
ностью на растяжение и изгиб обладают бетоны с крупностью
заполнителя около 20 мм.

2.	Относительный уровень границы	при сжатии

также определяется развитием контактных трещин и увели-
чивается с ростом прочности контактной зоны К£е . Этот
вывод также подтверждается результатами ряда экспериментов
[11, 41, 74 - 76]. Поскольку, согласно [21 ], сцепление умень-
шается с увеличением круцности заполнителя, следует ожидать
повышения относительного уровня границы R° с умень-
шением крупности заполнителей. Этот вывод также под-
тверждается результатами эксперимента [76].

3.	Прочность бетона на сжатие определяется не только
развитием контактных трещин, но и устойчивым ростом трещин
в матрице. Поэтому здесь нельзя ожидать такого однозначного
влияния прочности контактной зоны и крупности заполнителя
на прочность бетона, как при растяжении. Действительно, экс-
перименты показывают, что введение в раствор (с тем же В/Ц)
крупного заполнителя может, в отличие от случая растяжения,
либо существенно повысить прочность бетона [21], либо не
изменить ее или даже снизить [41].

4.	Нелинейность деформирования бетона при сжатии су-
щественно зависит от того, распространяются ли трещины
напрямик через зерна заполнителя или огибают их. В первом
случае диаграмма сжатия бетона приближается к линейной,
а его предельная сжимаемость относительно невелика (случай
высокопрочных бетонов). Многочисленные наклонные
трещины, возникающие во втором случае, увеличивают нели-
нейность диаграммы сжатия бетона и его предельную сжимае-
мость. Иногда по условиям работы железобетонной конструк-
ции желательно иметь увеличенную предельную сжимаемость
бетона (например, в статически неопределимых конструкциях,
рассчитываемых с учетом перераспределения усилий). Один
из возможных путей решения этой задачи для высокопрочно-
го бетона заключается в создании направленного развития
трещин (наклонной ориентации) и предотвращения возмож-
ности развития трещин напрямик (через зерна заполнителя),
что без снижения прочности может быть обеспечено примене-
нием заполнителей особо прочных пород.

Исходя из этого, можно сформулировать основные реко-
мендации по оптимизации некоторых прочностных и деформа-
тивных свойств бетона, связанных с его структурой.

1.	Увеличение прочности бетона на растяжение при про-
чих равных условиях может быть достигнуто снижением круп-
ности заполнителя до 10 - 20 мм и увеличением сцепления
заполнителя с цементным камнем (применение промытых или
химически активных заполнителей).

2.	Увеличение относительного уровня границы /?т (на-
пример, для бетонов, рассчитываемых, согласно СНиП П-21-75,
на совместное воздействие силовых факторов и неблагоприят-
ных влияний внешней среды)  при прочих равных условиях
может быть достигнуто также снижением крупности заполни-
теля и увеличением его сцепления с цементным камнем.

3.	Увеличения предельной сжимаемости высокопрочных
бетонов (например, для конструкций, рассчитываемых с учетом
перераспределения усилий) следует искать в применении запол-
нителей из особо прочных пород, что исключает развитие тре-
щин напрямик, через зерна заполнителя.

Развитие описанных выше и других [4] методов модели-,
рования структуры бетона (включая учет разнообразия все-
го комплекса параметров, характеризующих структуру, их
взаимосвязь и степень их влияния на конечные механические
свойства материала) позволило бы, с одной стороны, вплот-
ную подойти к проектированию бетона с заданными физико-
механическими свойствами и, с другой — внести вклад в даль-
нейшее усовершенствование нелинейной теории железобетона
[16], теории деформирования железобетона с трещинами [25]
и других современных направлений развития теории железо-
бетона.

Список литературы

1.	Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетонных конструк-
ций на изменения температуры и влажности с учетом ползучести. М.,
Стройиздат, 1973.

2.	Андрейкив А.Е., Панасюк В.В. Упругое равновесие тела, ослабленно-
го системой круговых трещин, расположенных вдоль одной плоскости.
ДАН СССР. 1971, т. 197, №2.

3.	Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бетона -
В кн.: Механика СССР за 50 лет. Т. 3; М., Наука, 1972.
4.	Ахвердов И.Н., Смольский А.Е., Скочеляс В.Д. Моделирование на-
пряженного состояния бетона и железобетона. Минск, Наука и техни-
ка, 1973.

5.	Баженов Ю.М.и др. Прочность цементных бетонов с позиций механики
разрушения. - Стр-во и арх. Узоекистана, 1976, № 2.

6.	Берг О.Я. Исследование прочности железобетонных конструкций
при воздействии 'на них многократно повторной нагрузки. - Сб. тр.
/ЦНИИС. М., Трансжелдориздат, 1956, вып. 19.

7.	Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона и железобетона.
М., Госстройиздат, 1961.

8.	Берг О.Я., Рожков А.И. Исследование неупругих деформаций и струк-
турных изменений высокопрочного бетона при длительном действии
сжимающих напряжений. - Сб. тр. /ЦНИИС. М., Транспорт, 1969, вып. 70.

9.	Берг О.Я., Соломенцев Г.Г. Исследование напряженного и деформи-
рованного состояния бетона при трехосном сжатии. - Сб. тр. /ЦНИИС.
М., Транспорт, 1969, вып. 70.

10.	Берг О.Я., Смирнов Н.В. Исследование прочности и деформаций
бетона при двухосном сжатии. - Сб. тр./ЦНЦИС. М., Транспорт, 1966,
вып. 60.

11.	Берг О.Я., Щербаков Е.Н., Писанко Т.Н. Высокопрочный бетон. М.,
Стройиздат, 1971.

12.	Берг О.Я., Хубова Н.Г., Щербаков Е.Н. Разрушение контакта между
заполнителем и раствором при сжатии бетона. - Изв. вузов. Сер. Стр-во
и архитектура, 1972, № 8.

13.	Бердичевский Г.И., Маркаров Н.А., Павлов С.Н. Об оптимальном
и предельном обжатии бетона в предварительно-напряженных конструк-
циях. - Бетон и железобетон, 1966, № 4.

14.	Бережницкий Л.Т., Панасюк ВтВ. О взаимодействии двух квазикол-
линеарных трещин. /ФХММ, 7, 1970.

15.	Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории
надежности в расчетах сооружений. М., Стройиздат, 1971.

16.	Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железо-
бетона. Харьков, 1968 /ХГУ.

17.	Бунин М.В., Грушко И.М., Ильин А.Г. Структура и механические
свойства дорожных цементных бетонов. Харьков, 1968 /ХГУ.

18.	Васильев П.И. Некоторые вопросы пластических деформаций бето-
на. - Изв. ВНИИГ. Л., 1953, т. 49.

19.	Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. Госстройиздат, 1949.

20.	Гениев Г.А. и др. Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных
напряженных состояниях. М., Стройиздат, 1978.

21.	Десов Л.Е. Некоторые вопросы структуры, прочности и деформаций
бетона. - В кн.: Структура, прочность и деформации бетонов. М., Строй-
издат, 1963.

22.	Дмитриев А.С. Образование трещин в бетоне при его усадке. - В кн.:
Новое в технологии и конструировании бетонных и железобетонных
конструкций. М., Стройиздат, 1966.

23.	Зайцев Ю.В. Развитие трещин нормального разрыва при сжатии хруп-
ких материалов. Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела, 1974, №4.

24.	Зайцев Ю.В., Щербаков Е.Н. К обоснованию некоторых критериев
расчета преднапряженных железобетонных элементов. - У111 конгресс
ФИП (Лондон, 1978). М., 1978.

25.	Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами.
М., Стройиздат, 1976.

26.	Коган Е.А., Соловьева Л.Д. Исследование ползучести бетона на круп-
ных образцах. — В кн.: Ползучесть и усадка бетона. М., 1969.

27.	Ларионова З.М. Формирование структуры цементного камня и бетона.
М., Стройиздат, 1971.
28.	Лукша Л.К. К расчету прочности бетона в обойме. — Бетон и железо-
бетон, 1973, № 1.

29.	Львовский Е.Н. Пассивный и активный эксперимент при изучении
механических характеристик бетона. Кишинев, Картя Молдовеняскэ, 1970.

30.	Маилян Р.Л. Структура, прочность и деформативность облегченных
бетонов на карбонатных заполнителях. - В кн.: Структура, прочность
и деформация легкого бетона. М., Стройиздат, 1973.

31.	Мальцов К.А., Пак А.П. Учет несплошности бетона при построении
теории прочности. Изв. ВНИИГ, Л., 1966, т. 80.

32.	Мальцов К.А., Ширяева Л.А. О характере разрушения бетона при
сжатии и растяжении.-Труды координац. совещаний по гидротехнике.
Л., Энергия, 1973, вып. 82.

33.	Мельниченко О.В. Экспериментальное исследование длительной
прочности бетона высоких марок. — Изв. вузов, Сер. Стр-во и архитек-
тура, 1976, № 5.

34.	Михайлов К.В. и др. Предварительно-напряженный железобетон
(по материалам ЕП Международного конгресса ФИП). М., Строй-
издат, 1982.

35.	Мулин Н.М., Красовская Г.М. Исследование термически упрочнен-
ной катанки как арматуры предварительно-напряженных железобетон-
ных конструкций. - В кн.: Новые виды арматуры. М., Стройиздат, 1964.

36.	Нейбер Г. Концентрация напряжений. М., ГИТТЛ. 1947.

37.	Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.
Киев, Наукова думка, 1968.

38.	Панасюк В.В., Саврук А.П., Да цы шин А.П. Распределение напряжений
около трещин в пластинах и оболочках. Киев, Наукова думка, 1976.

39.	Панасюк В.В. и др. Оценка трещиностойкости цементного бетона по
вязкости разрушения. Бетон и железобетон, 1981, № 2.

40.	Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разруше-
ния. М., Наука, 1974.

41.	Писанко Г.И., Щербаков Е.Н., Хубова Н.Г. Влияние микроструктуры
бетона на процессы деформирования и разрушения при сжатии. - Бе-
тон и железобетон, 1973, № 8.

42.	Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести.
М., Стройиздат, 1980.

43.	Проценко А.М. К решению задач линейной ползучести сплошной
среды. - МТТ, 1967, №6.

44.	Рекомендации по проектированию основных физико-механических
характеристик бетона при проектировании железобетонных конструк-
ций. — Интеринформация /Сборник материалов и информаций постоян-
ной комиссии СЭВ по строительству. 1976, № 3.

45.	Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстия. Киев, Нау-
кова Думка, 1968.

46.	Седракян Л.Т. Элементы статистической теории деформирования и
разрушения хрупких материалов. Ереван, Айастан, 1968.

47.	Си Г., Лнбовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. —
В кн.: Разрушение, т. 2, М., Мир, 1975.

48.	Симонов М.З. Основы технологии легких бетонов. М., Стройиздат,
1973.

49.	Скрамтаев Б.Г. Исследование прочности бетона и пластичности
бетонной смеси. М., ЦНИИПС, 1936.

50.	Скудра А.М. Длительная прочность бетона на растяжение. - В сб.:
Исследования по бетону и железобетону. Рига, 1956, вып. 1.

51.	Темнов И.И. Предел прочности бетонных призматических образ-
цов при длительном растяжении и изгиба. Изв. вузов. Сер. Стр-во и
арх., 1964, № 12.

52.	Холмянскнй М.М. Контакт арматуры с бетоном. М., Стройиздат,
53.	Черепанов Г.Н. Механика хрупкого разрушения. М., Наука, 1974.

54.	Шейкин А.Е., Чеховский Ю.В., Бруссер М.И. Структура и свойства
цементных бетонов. М., Стройиздат, 1979.

55.	Щербаков Е.Н. Влияние величины напряжений на развитие во времени
деформаций ползучести тяжелого бетона. — Транспортное стр-во,
1971, № 10.

56.	Яшин А.В. Деформации бетона под длительным воздействием высо-
ких напряжений и его длительное сопротивление при сжатии. - В кн.:
Особенности деформаций бетона и железобетона, использование ЭВМ
для оценки их влияния на поведение конструкций. М., Стройиздат, 1969.

57.	Alexander К.М. A study of concrete strength and mode of
fracture in terms of matrix, bond and aggregate strength.
Tewksbury Symp. on Fracture. Melbourn, 1963.

58.	Barr B., Bear T. Fracture Toughness, Concrete, Vol. 11, No. 4,
1977.

59.	Darwin D., Slate F.O. Effect of paste-aggregate bond strength
on behaviour of concrete. Journal of Materials, 5, N 1, 1970.

60.	Dias Santiago S.D., Hilsdorf H.K. Fracture mechanisms
of concrete under compressive loads. Cement and Concrete Re-
search,^ N 4, ,1973.

61.	Cal vet H. Etude sur modele plan des deformations sous charge
autor d’un granulat. Revue des Materiaux de Construction et de
Travaux Publics, N, 661, 1970.

62.	Jonston C.D. Deformation of concrete and its constituent
materials in unaxial tension. Highway Res. Rec., N 324, 1970.

63.	Krishnaswamy K.T. Mechanism of failure and microcracking
of plain concrete under uniaxial tensile loading. Indian Concrete
Journal, 45, N 5, 1971.

64.	Kupfer H., Hilsdorf H.K., Rusch H. Behaviour of concrete
under biaxial stresses. ACI Journal, 66, N 8, 1969.

65.	Leadbetter M.R. On crossings of arbitrary curves by certain
Gaussian processes. Proc. Amer. Math. Soc., 16, N 1, 1965.

66.	MeichBner F. Tragfahigkeit unbewehrter Betonzugzonen.
Bauplanung-Bautechnik, M.2, 1978.

67.	Moavenzadeh F., Kuguel R. Fracture of Concrete. Journal
of Materials, 4, N 3, 1969.

68.	Nadeau J.S., Mindess S., Hay J.M. Slow Crack Growth in
Cement Paste, Journal of The American Ceramic Society, 1974,
57, No. 2.

69.	Radjy F., Hansen T.C. Fracture of hardened cement paste and
concrete. Cement and Concrete Research, 3, No. 4, 1973.

70.	Raju N.K. Strain distribution and microcracking in concrete
prisms with a circular hole under uniaxial compression. J. Mater.,
5rN4, 1971.

71.	Ratwani M. Wechselwirkung von Rissen in Verbundmaterialen.
Institut fur Festkorpermechanik. Institutveroffentlichungen.
Freiburg, 1972.

72.	Rusch H., et al. Festigkeit und Verformung von unbewehrtem
Beton unter konstanter Dauerlast. Deutscher Ausschuss fur
Stahlbeton, Heft 198, 1968.

73.	Schickert G., Winkler H. Versuchsergebnisse zur Featigkeit
und Verformung von Beton bei mehrachsialer Druckbeanspruchung.
BAM-Bericht, N 46, West-Berlin, 1977.

74.	Shah S.P. Some recent research on mechanical properties
of concrete. Schweizer Archiv, 37, N 12, 1971.

75.	Shah S.P., McGarry F.J. Griffith fracture criterion and con-
crete. J. Eng. Meeh. Div. Proc. Amer.Soc. Siv.Eng., 97, N 6, 1971.

76.	Shah S.P., Winter G. Inelastic behaviour and fracture of con-
crete. In: Causes, Mechanism and Control of Cracking in Concrete
ACI Publication SP-20, Detroit, 1968.

77.	Southwell R.V., Gough H.J. On the concentration of stress
in the neighbourhood of a small spherical flow and the propagation
of fatigue fractures in statistically isotropic materials. Phil.
Mag., X, 7-th Series, 1926.

78.	St roeven P. Some aspects of the micromechanics of concrete.
Ph. D. Thesis. Delft, 1973.

79.	Wittmann F.H., Zaitsev Yu.V. Verformung und Bruchvorgang
poroser Baustoffe bei kurzzeitiger Belastung und unter Dauerlast.
Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton, H. 232, West-Berlin, 1974.

80.	Zaitsev Yu.V., Wittmann F.H. Simulation of crack propagation
and failure of concrete. Materiaux et Constructions. Vol. 14,
№ 83, 1981.
СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.............................................. 3

Введение ................................................ 4

1.	Связь между структурой материала и его напряженно-деформи-
рованным состоянием. Исходная модель материала........... 7

1.1.	Структура бетона как иерархическая система..... 7

1.2.	Влияние дефектов первого рода................... 11

1.3.	Влияние дефектов второго рода’.................. 16

1.4.	Влияние процессов ползучести, старения и физической
нелинейности материала............................... 29

1.5.	Исходная модель материала....................... 3g

2.	Деформирование и разрушение бетона при одноосном растяже-
нии ...................................................... 35

2.1.	Моделирование микронапряжений вблизи пор случайной
формы................................................ 39

2.2.	Моделирование процесса развития трещин при кратко-
временном растяжении................................  45

2.3.	Развитие трещин при Длительном растяжении....... 59

2.4.	Расчет длительной прочности при растяжении	62

3.	Деформирование и разрушение бетона при одноосном сжатии .	71

3.1.	Распределение микронапряжений и мнкродеформаций
вблизи пор материала при сжатии...................... 7]

3.2.	Моделирование процесса развития трещин при кратко-
временном сжатии (цементный камень) ................. 72

3.3.	Моделирование процесса развития трещин при кратко-
временном сжатии (бетон) . . • ...................... 89

3.4.	Развитие трещин при длительном сжатии.......... 113

3.5.	Расчет длительной прочности при сжатии......... 120

4.	Деформирование и разрушение бетона при многоосном сжатии . j 30

4.1.	Расчетная модель материала для случая двухосного
сжатия ............................................. 131

4.2.	Образование трещин при кратковременном двухосном
сжатии ............................................. 133

4.3.	Развитие трещин при кратковременном двухосном
сжатии ............................................. 150

4.4.	Кратковременная прочность при двухосном сжатии как
функция соотношения главных напряжений.............. 154

4.5.	Расчет длительной прочности при двухосном сжатии...	157

4.6.	Экспериментальное исследование поведения бетона при
двухосном сжатии.....................................“о

4.7.	О механизме разрушения и прочности материала в усло-
виях трехосного сжатия..............................}~9

5.	Практические приложения полученных результатов.......*Ь7

5.1.	Прогнозирование длительной прочности бетона....1°'

5.2.	Нормирование прочности бетона при двухосном сжатии . 1

5.3.	Рекомендации по нормированию прочности бетона при
трехосном сжатии .................................J

5.4.	К расчету прочности предварительно-напряженных же-

лезобетонных элементов на воздействие усилий обжатия . .	182

5.5.	Рекомендации по оптимизации некоторых свойств
бетона............................................1^9

Список литературы.....................................191
Юрий Владимирович Зайцев

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ

И ПРОЧНОСТИ БЕТОНА

МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЙ

Редакция литературы по строительным
материалам и конструкциям

Зав. редакцией П.И. Филимонов

Редактор А.В. Болотина

Мл. редактор 3JW. Терентьева

Внешнее оформление художника Н.Ф. Зыкова

Технический редактор Н.Е. Поплавская

Корректор В. И. Галюзова

ИБ № 2698

Сдано в набор 10 04.81 Формат 84x108 1/32 Набор маши-
нописный Бумага офсетная 80 г/м^ Печать офсетная
Усл. печ. л. 10,29 Усл.кр.-отт. 10,5 Уч.-изд.п. 11,15
Тираж 3000 экз. Изд. № АУШ-8872 Зак №901.

Цена 85 коп.

Стройиздат, 101442, Каляевская, 23а

Тульская типография Союзполиграфпрома при Государствен-
ном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли

г. Тула, проспект Ленина, 109