Деформационная модель нелинейной ползучести железобетона и ее приложение к расчету плосконапряженных элементов и систем из них - Петров А.Н.

Глава 1. Состояние вопроса и задачи исследований
1.2. Обзор экспериментально-теоретических исследований длительного деформирования бетона под нагрузкой
1.3. Общий подход к решению физически нелинейных задач железобетона методом конечных элементов
1.4. Постановка задачи физически-нелинейного расчёта плоскостных железобетонных конструкций
1.5. Особенности расчёта конструкций с учётом стадии возведения и предварительным напряжением арматуры
Глава 2. Решение задачи длительного деформирования бетона
2.2. Предложения по учёту необратимых деформаций ползучести в форме интеграла Лебега
2.3. Расчёт нелинейных деформаций ползучести способом тт (трансформирования времени нагружения
2.4. Зависимость точности решения задачи ползучести способом тт от вида меры ползучести и возраста бетона
2.5. Трансформирование характеристик ползучести бетона по приближенным формулам
Глава 3. Диаграммы деформирования материалов и критерии прочности бетона
3.2. Диаграммы деформирования арматурной стали
Глава 4. Учёт преднапряжения арматуры и ползучести бетона в физических уравнениях теории деформирования железобетона с трещинами
4.2. Учёт преднапряжения арматуры в определяющих соотношениях конечных элементов
4.3. Определение средних модулей деформаций высокопрочной арматуры с учётом предварительного напряжения
4.4. Экспериментальное определение параметров модели, учитывающих ползучесть бетона
Глава 5. Методика расчёта предварительно напряжённых балок-стенок с учётом образования и развития трещин
5.2. Общий алгоритм расчёта балок-стенок при кратковременном и длительном нагружении
5.3. Расчёт предварительно-напряжённой балки из опытов НИИЖБ при длительном нагружении
5.4. Расчёт предварительно-напряжённой балки из опытов НИИЖБ при кратковременном нагружении
5.5. Расчёт экспериментальных балок-стенок при длительном загружении
5.6. Расчёт экспериментальных балок-стенок при кратковременном загружении
5.7. Расчёт экспериментальной балки-стенки при знакопеременном циклическом загружении
Глава 6. Методика и алгоритм расчёта тонких изгибаемых плит
6.2. Вывод основных соотношений для КЭ тонкой плиты и построение алгоритма нелинейного расчёта плит МКЭ
6.3. Расчёт экспериментальных плит при длительном загружении
6.4. Расчёт экспериментальных плит при кратковременном загружении
Глава 7. Методика и алгоритм расчёта плоских конструкций по слоистой модели
7.2. Расчёт экспериментальных преднапряжённых плит по слоистой модели
Author: Петров А.Н.
Tags: строительство строительные конструкции железобетон диссертация
Year: 2001
Similar
Железобетонные и каменные конструкции. Часть 1. Материалы, конструирование, теория и расчет
Ползучесть элементов конструкций
Расчет бетонных и железобетонных конструкций на изменения температуры и влажности с учетом ползучести
Закладные детали сборных железобетонных элементов
Text
                    ГОССТРОЙ РОССИИ
Государственное унитарное предприятие
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ, ПРОЕКТНО-КОНСТ РУКТОРСКИЙ
И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
ГУП «НИИЖБ»
На правах рукописи
ПЕТРОВ Алексей Николаевич
ДЕФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСЧЕТУ
ПЛОСКОНАПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ ИЗ НИХ
Специальность: 05.23.01 - Строительные конструкции,
здания и сооружения
Диссертация на соискание ученой степени
доктора технических наук
Научный консультант:
доктор технических наук,
профессор
Москва 2001

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 	 б
Глава 1. Состояние вопроса и задачи исследований. .	16
1.1.	Деформационные теории пластичности
бетона и железобетона	16
1.2.	Обзор экспериментально-теоретических
исследований длительного деформирования
бетона под нагрузкой	23
1.3.	Общий подход к решению физически нелинейных
задач железобетона методом конечных
элементов	3g
1.4.	Постановка задачи физически-нелинейного
расчета плоскостных железобетонных
конструкций	43
1.5.	Особенности расчета конструкций с учетом
стадии возведения и предварительным
напряжением арматуры 		61
1.6.	Задачи исследований 		67
Глава 2. Решение задачи длительного деформирования
бетона			71
2.1.	Физические аспекты нелинейности
деформирования бетона при различных режимах
загружения	71
2.2.	Предложения по учету необратимых деформаций
ползучести в форме интеграла Лебега .	.	.	7 6

84
95
105
107
107
112
120
132
141
141
153
160
з
Расчет нелинейных деформаций ползучести
способом гт (трансформирования времени
нагружения
Зависимость точности решения задачи
ползучести способом тт от вида меры
ползучести и возраста бетона
Трансформирование характеристик ползучести
бетона по приближенным формулам ....
Диаграммы деформирования материалов и
критерии прочности бетона
Диаграммы деформирования бетона при
кратковременном нагружении
Диаграммы деформирования арматурной
стали
Диаграммы деформирования бетона с учетом
длительности действия нагрузки
(диаграммы-изохроны)
Критерии прочности бетона
Учет преднапряжения арматуры и ползучести
бетона в физических уравнениях теории
деформирования железобетона с трещинами.
Учет остаточных деформаций конечных
элементов от ползучести и усадки бетона.
Учет преднапряжения арматуры в определяющих
соотношениях конечных элементов....
Определение средних модулей деформаций
высокопрочной арматуры с учетом
предварительного напряжения

4
4.4. Экспериментальное определение параметров
модели, учитывающих ползучесть бетона
Глава 5. Методика расчета предварительно напряженных
балок-стенок с учетом образования и
развития трещин
5.1.	Исходные физические зависимости и
характеристики
5.2.	Общий алгоритм расчета балок-стенок при
кратковременном и длительном нагружении.
5.3.	Расчет предварительно-напряженной
балкии из опытов НИИЖБ при длительном
нагружении
5.4.	Расчет предварительно-напряженной
балки из опытов НИИЖБ при
кратковременном нагружении
5.5.	Расчет экспериментальных балок-стенок
при длительном загружении
5.6.	Расчет экспериментальных балок-стенок
при кратковременном загружении
5.7.	Расчет экспериментальной балки-стенки
при знакопеременном циклическом загружении
Глава 6. Методика и алгоритм расчета
тонких изгибаемых плит
6.1.	Учет фактора времени в физических
соотношениях элемента плиты
6.2.	Вывод основных соотношений для КЭ тонкой
плиты и построение алгоритма нелинейного
расчета плит МКЭ
166
174
174
183
196
209
214
225
236
243
243
255

5
6.3.	Расчет экспериментальных плит при
длительном загружении	260
6.4.	Расчет экспериментальных плит при
кратковременном загружении 	 265
Глава 7. Методика и алгоритм расчета плоских
конструкций по слоистой модели	275
7.1.	Методика и алгоритм формирования физических
соотношений для плоской плиты по
слоистой модели	275
7.2.	Расчет экспериментальных преднапряженных
плит по слоистой модели	285
Основные выводы	291
Список литературы 		294
Приложение	322

6
ВВЕДЕНИЕ
На рубеже столетий железобетон остается основным ма¬
териалом для возведения наиболее сложных и ответственных
конструкций в гражданском, промышленном, гидротехническом
и транспортном строительстве, чем обусловлен неубывающий
интерес исследователей к этому материалу В последние де¬
сятилетия теория железобетона характеризуется чрезвычайно
интенсивным развитием моделей и методов расчета, наиболее
полно отражающих сложный характер деформирования этого
материала, выражающийся в необратимости, неравновесности
и нелинейности процессов, связанных с изменением структу¬
ры, физико-механических свойств бетона и характера его
связи по поверхности контакта с арматурой.
В нашей стране и за рубежом разработан ряд деформа¬
ционных моделей железобетона, учитывающих широкий круг
факторов, приводящих к нелинейности деформирования, в ос¬
новном при простом пропорциональном нагружении кратковре¬
менной нагрузкой и длительной нагрузкой эксплуатационного
уровня. Развитие вычислительной техники и ориентированных
на нее численных методов анализа создали предпосылки для
компьютерной реализации достаточно сложных моделей желе¬
зобетона и внедрения их в практику инженерных расчетов.
Однако этот процесс сдерживается, с одной стороны, суще¬
ственной математической сложностью современных нелинейных
моделей и методов, а с другой стороны, отсутствием непо¬
средственной связи параметров нелинейных моделей с норма¬
тивной базой проектирования.
По этим причинам расчет целых классов железобетон¬

7
ных конструкций, в том числе статически неопределимых,
продолжает базироваться на предпосылках упругого сопро¬
тивления материалов. Сюда относятся конструкции стен,
диафрагмы и ядра жесткости, балки-стенки, плиты и другие
тонкостенные пространственные конструкции. Именно эти
конструкции в период изготовления (возведения) и эксплуа¬
тации подвергаются кратковременным и длительным перемен¬
ным нагрузкам, вызывающим напряжения высокого уровня,
температурным и усадочным воздействиям. Как при кратко¬
временном, так и длительном нагружении здесь проявляется
существенная нелинейность деформирования, связанная с
быстронатекающей и длительной ползучестью, накоплением
повреждений структуры бетона.
Образование и развитие трещин, сопровождающееся те¬
кучестью арматуры, увеличивает нелинейность деформирова¬
ния, снижает жесткость элементов, приводит к существенно¬
му перераспределению усилий в статически неопределимых
системах и их переходу в состояние предельного равнове¬
сия. Неучет указанных факторов при проектировании приво¬
дит к нерациональным конструктивным решениям и существен¬
ному перерасходу цемента и арматуры без улучшения экс¬
плуатационных свойств конструкций.
Дополнительные трудности возникают при расчете и
проектировании ответственных конструкций с большими про¬
летами, развитыми поперечными сечениями, насыщенными ар¬
матурой различных видов.
Наряду с заметным развитием теории и методов анали¬
за, в последние годы получены новые экспериментальные

8
данные о механизмах накопления повреждений и разрушения,
структурных изменениях в бетоне во времени и под нагруз¬
кой, зависимости поверхностей и кривых прочности от исто¬
рии нагружения. Началось накопление и систематизация эм¬
пирических данных по материалам с высокими эксплуатаци¬
онными свойствами - модифицированным бетонам высокой
прочности и новым классам арматуры. Это вызывает необхо¬
димость дальнейшего обобщения и развития деформационных
моделей железобетона, прежде всего, в области действия
высоких напряжений, приводящих к нелинейной ползучести
бетона и работе арматуры на площадке текучести или за
условным пределом текучести.
Такие обобщения в форме деформационной модели, охва¬
тывающей широкий круг физических факторов и режимов за-
гружения, соотношения которой были бы сформулированы в
виде вычислительных операторов и доведены до компьютерной
реализации, и составили содержание настоящих исследова¬
ний .
Целью диссертационной работы является разработка де¬
формационной модели нелинейной ползучести железобетона и
физически нелинейных методов расчета обычных и преднапря-
женных железобетонных конструкций, допускающих их аппрок¬
симацию в рамках плоской задачи - элементов стержневых
конструкций, балок-стенок, мембранных коробок, изгибаемых
плит - при кратковременном, длительном, немногократно¬
повторном и знакопеременном загружениях, построение алго¬
ритмов и программ компьютерного расчета указанных конст¬
рукций, в том числе с целью проверки адекватности дефор¬

9
мационной модели на примерах расчета экспериментально ис¬
следованных конструкций.
Автор защищает:
-	общую методику физически нелинейного расчета желе¬
зобетонных конструкций с учетом преднапряжения арматуры,
длительности действия нагрузки и режимов сложного непро¬
порционального нагружения для различных стадий напряжен¬
но-деформированного состояния/
-	шагово-итерационный метод решения физически нели¬
нейной задачи железобетона способом переменной жесткости
с использованием сочетания секущих и касательных жестко-
стных характеристик материала, что обеспечивает высокую
точность оценки напряженного и деформированного состояния
конструкции на этапах изменения нагрузки и быструю сходи¬
мость итерационных процессов при решении задач ползуче¬
сти;
-	методику расчета способом тт (трансформированного
времени нагружения) деформаций линейной и нелинейной пол¬
зучести бетона в условиях сложного непропорционального
загружения и неодноосного напряженного состояния, что
обеспечивает высокую эффективность численного решения за¬
дачи ползучести при применении метода конечных элементов
и принципиальную возможность реализации многоэлементных
моделей при расчете конструкций на базе персональных
компьютеров;
-	способ учета быстронатекающих деформаций при реше¬
нии задач ползучести бетона и железобетона на базе унифи¬
цированной методики диаграмм-изохрон бетона;

10
-	физически нелинейные соотношения для железобетоных
элементов с трещинами и без трещин с учетом стадии напря¬
женного состояния, преднапряжения арматуры, длительности
действия нагрузки и характера загружения;
-	методику учета влияния длительности действия на¬
грузки и характера нагружения на характеристики критерия
прочности бетона при объемном и плоском напряженном
состоянии;
-	способы формирования матриц жесткости для бетонных
и железобетонных конечных элементов балок-стенок и изги¬
баемых плит для физически нелинейного расчета с учетом
длительности действия нагрузки, характера нагружения и
стадии напряженно-деформированного состояния;
-	методику учета накопления остаточных деформаций
бетона вследствие его ползучести и усадки на этапах раз¬
грузки, при немногократно-повторном и знакопеременном за-
гружениях;
-	алгоритм физически-нелинейного расчета железобе¬
тонных балок-стенок с учетом длительности действия на¬
грузки, преднапряжения арматуры и накопления остаточных
деформаций в условиях кратковременного, длительного, не-
многократно-повторного и знакопеременного сложного нагру¬
жения;
-	алгоритм физически-нелинейного расчета тонких же¬
лезобетонных плит с учетом длительности действия нагрузки
и накопления остаточных деформаций в условиях кратковре¬
менного, длительного, немногократно-повторного и знакопе¬
ременного сложного нагружения;

11
-	алгоритм физически-нелинейного расчета по слоистой
модели железобетонных изгибаемых плит с учетом длительно¬
сти действия нагрузки, преднапряжения арматуры и накопле¬
ния остаточных деформаций в условиях кратковременного,
длительного, немногократно-повторного и знакопеременного
сложного нагружения;
-	результаты проверки выдвинутых	теоретических
положений путем сопоставления расчетных, по предлагаемой
модели, и опытных данных из экспериментов ряда авторов на
отдельных образцах, фрагментах и полноразмерных
конструкциях.
Научную новизну работы составляют:
-	общая методика физически нелинейного расчета пло¬
скостных железобетонных конструкций с учетом преднапряже¬
ния арматуры, длительности действия нагрузки, образования
и развития трещин при кратковременном, длительном, немно-
гократно-повторном и знакопеременном сложных нагружениях;
-	методика расчета способом тт (трансформированного
времени нагружения) деформаций линейной и нелинейной пол¬
зучести бетона в условиях сложного непропорционального
загружения и неодноосного напряженного состояния;
-	физически нелинейные соотношения для железобетона
с трещинами и без трещин с учетом стадии напряженного со¬
стояния, преднапряжения арматуры, длительности действия
нагрузки и характера загружения;
-	способы формирования матриц жесткости для бетонных
и железобетонных конечных элементов балок-стенок и изги¬
баемых плит для физически нелинейного расчета с учетом

12
длительности действия нагрузки, характера нагружения и
стадии напряженно-деформированного состояния;
-	методика учета влияния длительности действия на¬
грузки и характера нагружения на критерии прочности бето¬
на при объемном и плоском напряженном состоянии;
-	способ учета быстронатекающих деформаций при реше¬
нии задач ползучести бетона и железобетона на базе унифи¬
цированной методики диаграмм-изохрон бетона;
-	методика учета накопления остаточных деформаций
бетона вследствие его ползучести и усадки на этапах раз¬
грузки, при немногократно-повторном и знакопеременном за-
гружениях;
-	алгоритм физически-нелинейного расчета железобе¬
тонных балок-стенок с учетом длительности действия на¬
грузки, преднапряжения арматуры и накопления остаточных
деформаций в условиях кратковременного, длительного, не-
многократно-повторного и знакопеременного сложного нагру¬
жения;
-	алгоритм физически-нелинейного расчета тонких же¬
лезобетонных плит с учетом длительности действия нагрузки
и накопления остаточных деформаций в условиях кратковре¬
менного, длительного, немногократно-повторного и знакопе¬
ременного сложного нагружения;
-	алгоритм физически-нелинейного расчета по слоистой
модели железобетонных изгибаемых плит с учетом длительно¬
сти действия нагрузки, преднапряжения арматуры и накопле¬
ния остаточных деформаций в условиях кратковременного,
длительного, немногократно-повторного и знакопеременного

13
сложного нагружения.
Практическая ценность и внедрение результатов
Разработанные методы, алгоритмы и программы компью¬
терного моделирования и расчета позволяют с высокой сте¬
пенью точности, с учетом современной теоретической и эм¬
пирической базы данных о физико-механических, физико¬
химических и реологических свойствах бетона и арматуры,
осуществлять расчеты широкого класса железобетонных кон¬
струкций как при их проектировании, так и анализе напря-
женно-деформированного состояния в стадии эксплуатации,
при усилении и реконструкции. При этом достигается эконо¬
мия материальных ресурсов за счет снижения расхода арма¬
туры, бетона и затрат на проектирование.
Результаты работы внедрены в российские нормативные
документы по строительному проектированию - «Свод правил
по расчету статически неопределимых железобетонных конст¬
рукций» и «Свод правил по автоматизированным методам рас¬
чета массивных железобетонных конструкций».
В «Своде правил по расчету статически неопределимых
железобетонных конструкций» в виде:
-	п.2.2, касающегося аналитического описания диаграмм
деформирования арматурных сталей;
-	п.2.3, касающегося аналитического описания диаграмм
деформирования бетона;
-	пп.2.13-2.15, касающихся диаграмм деформирования
бетона с учетом длительности действия нагрузки и учета
ползучести бетона;
-	пп.2.20-2.22, касающихся определения деформаций бе¬

14
тона при сложных режимах нагружения;
-	п.4.41, касающегося расчета предварительно напря¬
женных конструкций с учетом деформаций ползучести по спо¬
собу тт;
- пп.5.2.1.-5.2.4, касающихся расчета бетонных и
железобетонных изгибаемых плит по деформациям;
-	п.6.2.б, касающегося особенностей расчета предва¬
рительно напряженных изгибаемых плит.
В «Своде правил по автоматизированным методам расчета
массивных железобетонных конструкций» в виде:
/
-	п.4.3.1, касающегося аналитического описания диа¬
грамм деформирования арматурных сталей;
-	п.4.3.2, касающегося аналитического описания диа¬
грамм деформирования бетона;
-	п.4.3.3, касающегося диаграмм деформирования бетона
с учетом длительности действия нагрузки;
-	п.4.3.4, касающегося учета деформаций ползучести
бетона на основе функций удельных деформаций;
-	п.5.5, касающегося связей между напряжениями и де¬
формациями элементов с учетом влияния ползучести;
-	пп.б.2.-6.3, касающихся условий прочности бетонных
и железобетонных элементов;
-	пп.7.2.-7.3, касающихся физических соотношений для
железобетонных элементов с косоугольным и ортотропным ар¬
мированием.
Результаты работы использованы для оценки напряженно-
деформированного состояния фундаментной плиты комплекса
ММДЦ «Москва-Сити» с учетом реальных инженерно-

15
геологических условий. Результаты расчета использованы
при разработке проектного решения.
Отдельные положения диссертации использованы при чте¬
нии курса лекций «Бетонные и железобетонные конструкции»
на факультете Промышленного и гражданского строительства
Петрозаводского государственного университета.
Апробация работы и публикации. Основные положения
диссертации опубликованы в 30-ти научных статьях. Мате¬
риалы диссертации доложены и обсуждены на:
-	10-й Международной конференции «Строительная меха¬
ника в реакторных технологиях» в г.Анахейме, Калифорния,
в 198 9 г.;
-	Симпозиуме ФИП в Будапеште в 1992 г.;
-	Региональной научно-практической конференции «Градо¬
строительство, реконструкция и инженерное обеспечение устой¬
чивого развития городов Поволжья» в г. Тольятти в 1999 г.;
-	Теоретическом семинаре Строительного института Техно¬
логического университета г. Тампере, Финляндия, в 1993 г.;
-	Теоретических семинарах Института строительной меха¬
ники Варшавского политехнического института в 1987-88гг.;
-	Региональной научно-практической конференции «Во¬
просы повышения эффективности общественного производства
в Карелии» в г. Петрозаводске в 1884 г.;
-	Научных конференциях молодых ученых и специалистов
НИИЖБ Госстроя СССР в 1980 - 1985 гг.
Работа выполнена в лаборатории механики железобетона
ГУП «НИИЖБ» при научной консультации действительного чле¬
на РААСН, д.т.н., проф. Карпенко Н.И.

16
I.СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ
1.1.Деформационные теории пластичности
бетона и железобетона
Наиболее простой моделью бетона является изотропное
линейно-упругое тело, физические характеристики которого
описываются минимальным числом экспериментальных парамет¬
ров. Такой подход можно считать удовлетворительным, если
рассматривается поведение конструкции при кратковременных
нагрузках, не превосходящих эксплуатационный уровень. Со¬
временные нормы проектирования в отдельных случаях допус¬
кают такой подход, но это рассматривается как исключение
из правил. Если требуется анализ конструкции в стадии,
близкой к разрушению, должны учитываться нелинейные ха¬
рактеристики материала и должен быть задан критерий проч¬
ности .
Если внешняя нагрузка возрастает монотонно и пропор¬
ционально одному параметру (допускаются только небольшие
отклонения), поведение конструкции может быть рассмотрено
с привлечением аппарата деформационной теории пластично¬
сти. Для изотропного линейно-упругого материала связь на¬
пряжения-деформации задается соотношением
(1.1)
(1.2)
где Sij - символ Кронекера;
£
G 		 - модуль сд!
2(1 + V)
- модуль сдвига;
(1.3)
к=
3(1 -2v)
-	модуль объемного расширения.
(1.4)

17
Для октаэдрических напряжений и деформаций
^oct ~ GyQct >
^oct — ЗКу 0С[.
(1.6)
(1.5)
Для малых приращений напряжений и деформаций зависимость
(1.2) остается справедливой и в нелинейной области, но в
этом случае тензор Dijkl должен быть записан через каса¬
тельные модули Gt и Kt.
Наиболее простые выражения для касательных модулей
были предложены Герстле (Gerstie) [196,197] Исследуя
экспериментальные октаэдрические кривые для различных от¬
ношений g2!/ он установил зависимость
где <7, - начальный модуль сдвига;
Toct,p ~ предельные октаэдрические касательные напряже¬
ния .
Аналогичная линейная зависимость была предложена им для
касательного модуля объемного расширения
где Kj - начальный модуль объемного расширения;
&oct,p ~ предельные октаэдрические нормальные напряже¬
ния .
Константа С представляет собой экспериментально установ¬
ленный параметр, который был принят Герстле равным 0,67
Для более точного соответствия теории опытным данным
порядок выражений (1.7) и (1.3) должен быть повышен, на¬
пример, до второй степени:
(1.7)
Kj(l С С) oct ^ ^oct, р )’
(1.8)

18
Kf	Кi Rfc (C?oct / &oct,p )>
~	oct	/	^oct,p )>
(1.10)
(1.9)
где Rk = l-(Ckl+Ck2) (<JOct/0oct,p) +Ck2 (cr0Ct/o‘0Ct,P)2 ^ 1/	(1.11)
Rg ~	1~ (Cgl~l'Cg2) (^OCt/^OCt,p) ~^Cg2 (^OCt^^OCt ,p)	— ^ *	( 1 « 12 )
Таким образом, степень соответствия теории опытным
данным определяется числом экспериментально устанавливае¬
мых констант Cki,Cgi. В большинстве современных деформаци¬
онных теорий оно составляет от 1 до 5. Сюда относятся
различные варианты теории пластичности бетона Чена и др.
(Chen W.F и др.) [189,200,215]
Строго говоря, бетон может рассматриваться как изо¬
тропное тело только до возникновения в нем напряжений.
После приложения какого-либо воздействия развитие нели¬
нейных деформаций оказывается связанным с направлением
главных усилий. Такое свойство, характерное для бетона,
получило название приобретаемой ортотропии. Наиболее об¬
щий вариант ортотропной модели бетона предложен
Н.И.Карпенко [77]
Близко к рассмотренным стоят деформационные модели
Ортиза (Ortiz м.)	[217], Клисиньского (Klisinski М.) и
Мруза (Mroz Z.)	[206], аппарат которых построен на меха¬
нической интерпретации структурных процессов в бетоне.
Отличительной чертой этих теорий является учет деформиро¬
вания бетона при достижении предельной поверхности и за¬
пись критерия прочности в виде, удовлетворяющем следующим
требованиям:
в девиаторной плоскости:

19
1)	кривая прочности гладкая и выпуклая, по крайней
мере, в области сжатия;
2)	кривая прочности приближается к треугольнику в об¬
ласти растяжение-растяжение и растяжение-сжатие и дости¬
гает наибольшей кривизны в области сжатие-сжатие;
в меридианальной плоскости:
1)кривая	прочности зависит от гидростатических напря¬
жений бт:
2) кривая прочности гладкая и выпуклая;
3) гидростатическое сжатие не может вызвать разруше¬
ние материала.
Исследования в области критериев прочности бетона, их
экспериментального обоснования и математической (в част¬
ности, геометрической) интерпретации имеют важное значе¬
ние для дальнейшего развития деформационных теорий. По
разным источникам, к настоящему времени предложено не¬
сколько десятков различных критериев прочности. Наиболее
полно вид предельных поверхностей и различные варианты их
аналитической записи исследованы Котсовосом (Kotsovos м.)
[207] и Н.И.Карпенко [73,80]
Как следует из изложенного выше, аппарат деформацион¬
ных теорий не предусматривает в явном виде учета фактора
времени и влияния истории нагружения на вид предельной
поверхности, поскольку такой подход привел бы к чрезвы¬
чайному усложнению физических соотношений. Попытку ком¬
промиссного решения этой задачи на приемлемом уровне
сложности представляют эндохронные теории пластичности
Бажанта и др. (Bazant Z.P. и др.) [179] Первоначально по¬

20
ложения эндохронной теории были сформулированы Валанисом
(Valanis К.) применительно к металлам [224] Он показал,
что, не оперируя понятием предельной поверхности, но вво¬
дя некоторую присущую материалу шкалу "внутреннего” вре¬
мени (intrinsic time, или endochronic time), можно запи¬
сать, в интегральной или дифференциальной форме, опреде¬
ляющие соотношения, которые удовлетворительно описывают
характерное поведение металлов, включая упрочнение, раз¬
грузку, повторное нагружение, циклическую усталость. Ис¬
пользуя концепцию Валаниса, Бажант распространил аппарат
эндохронной теории на бетон и подобные материалы, что по¬
зволило описать их характерную нелинейность при кратко¬
временной нагрузке-разгрузке, длительном и циклическом
нагружениях. Впоследствие и Валанис предложил свой вари¬
ант эндохронной теории пластичностим бетона [225]
Вместе с тем, зависимости эндохронной теории отлича¬
ются высокой степенью сложности. Для записи определяющих
соотношений здесь используется самое большое число неза¬
висимых параметров (более десяти) , причем не все из них
могут быть определены путем прямых экспериментов.
В работах Ю.В.Зайцева, Е.А.Гузеева, А.Б.Пирадова,
К.А.Пирадова и др.[132,133,134] активно развивается
структурный подход к решению задач деформирования бетона
и железобетона, основанный на принципах механики разруше¬
ния .
Зависимости деформационных теорий, описывающих пове¬
дение бетона, при анализе армированной среды сохраняются.
Железобетон рассматривается как двухкомпонентная среда,

21
где арматура представляет собой систему ортогональных
стержней (сеток), направленных вдоль осей x,y,z. Следуя
Г.А.Гениеву и др.[51,52,37], отметим наиболее существен¬
ные принципы деформационной теории пластичности железо¬
бетона, часть из которых формулируется в виде гипотез:
1)	арматура равномерно распределяется (размазывается) по
плоскости, в которой располагается арматурная сетка, при
этом сохраняется направление арматурных стержней;
2)	коэффициенты Пуассона арматуры в осях x,y,z принимают¬
ся равными нулю;
3)	полные напряжения складываются из напряжений в бетоне
и арматуре;
4)	условием совместной работы компонентов среды является
равенство их деформаций хотя бы в отдельных точках.
До образования трещин матрица жесткости железобетона
получается суммированием матриц жесткости бетона и арма¬
туры.
После образования трещин свойства железобетона ап¬
проксимируются свойствами сплошного анизотропного тела.
Для этой стадии работы материала наилучшие результаты да¬
ет теория деформирования железобетона с трещинами
Н.И.Карпенко [67,80] Это связано с тем, что коэффициенты
матрицы физических характеристик в этой модели зависят от
схемы трещин и их ориентации относительно направления ар¬
матуры. Также учитываются сдвиг берегов трещин и неодно¬
родность напряженного состояния бетона в полосах между
трещинами. Важно отметить, что все физические параметры
модели получены путем прямых экспериментов на железобе-

22
тонных дисках с трещинами.
На принципиальных основах деформационной теории
Н.И.Карпенко разработан ряд частных моделей железобетона
с трещинами:	с использованием касательных жесткостей -
Т.А.Баланом[21], с учетом влияния температурных воздейст¬
вий - С.Ф.Клованичем[83] , на базе методики диаграмм-
изохрон деформирования бетона - Т.А.Мухамедиевым[110], с
учетом влияния режимов нагружения - В.А.Ерышевым[60]
Заканчивая анализ, можно сделать выводы, принципиаль¬
ные с точки зрения подхода к деформационной модели нели¬
нейной ползучести железобетона:
1)	современные варианты деформационной теории пла¬
стичности бетона и железобетона с высокой степенью точно¬
сти описывают нелинейность деформирования материала в ос¬
новном при простом пропорциональном нагружении кратковре¬
менной нагрузкой;
2)	попытки учета действительного характера загружения
(нагрузка-разгрузка, циклическое, знакопеременное) и на¬
текания деформаций ползучести с записью определяющих со¬
отношений в аналитическом виде приводят к многократному
усложнению физических соотношений и невозможности опреде¬
ления всех параметров модели путем прямых экспериментов;
3)	зависимости теории деформирования железобетона с
трещинами Н.И.Карпенко таковы, что позволяют непосредст¬
венно в выражениях для коэффициентов матриц физических
характеристик материала учесть ползучесть бетона в поло¬
сах между трещинами и ее влияние на сцепление арматуры с

23
бетоном, что предопределяет выбор этих зависимостей в ка¬
честве теоретической основы для деформационной модели не¬
линейной ползучести железобетона;
4)	параметры критерия прочности бетона могут считать¬
ся константами только при простом пропорциональном крат¬
ковременном нагружении и в общем случае зависят от воз¬
раста бетона и истории напряженного состояния.
1.2.Обзор экспериментально-теоретических
исследований длительного деформирования
бетона под нагрузкой
Физико-механические свойства бетона весьма своеобраз¬
ны, что обусловлено его сложной структурой, изменяющейся
во времени и под нагрузкой. В состав тяжелого бетона, на¬
ряду с зернами заполнителей, входит цементный камень, со¬
стоящий из кристаллического сростка и тиксотропного геля.
Гелевая составляющая, кристаллизуясь, вызывает упрочнение
цементного камня и, как следствие, снижение деформативно-
сти и повышение прочности бетона. Процесс кристаллизации
геля тесно связан с изменениями температуры и влажности
окружающей среды. На структурные процессы в бетоне суще¬
ственное влияние оказывает напряженное состояние. Под
действием напряжений структурные составляющие бетона при¬
ходят в движение, что вызывает изменение плотности бето¬
на, образование и накопление в нем повреждений. Многооб¬
разие факторов, влияющих на формирование и изменение
структуры бетона, обуславливает сложный характер процесса
деформирования бетона под нагрузкой.
Важным физико-механическим свойством бетона является

24
упругость.	Под	упругими будем понимать	деформации	бетона,
которые мгновенно	возникают и мгновенно	восстанавливаются
после снятия нагрузки. Упругие свойства бетона характери¬
зуются начальным (мгновенным) модулем упругости, который
определяется как отношение
Е — <7Х j £x ei,	(1.13)
где sxel - упруго-мгновенные деформации;
<7Х	-	напряжения, вызывающие упруго-мгновенные дефор¬
мации £x ei .
При ступенчатой схеме нагружения модуль упругости бетона
может быть определен по формуле
E = 'ZA<Tx/%AeXtei,	(1.14)
где	-	сумма	приращений	напряжений на ступенях за¬
гружения ;
2>*. е1 - сумма приращений упруго-мгновенных деформа¬
ций на ступенях загружения.
В дальнейшем, если не будет оговорено особо, рассматрива¬
ются деформации бетона при осевом нагружении, поэтому ин¬
декс х в записи опускается.
Как показывают экспериментальные исследования [180],
линейная зависимость между напряжениями и упруго-мгно¬
венными деформациями на ступенях загружения сохраняется
вплоть до разрушения бетона. Однако имеются исследования
[34], в которых рассматривается более общий подход, когда
постулируется нелинейность упруго-мгновенных деформаций.
Модуль упругости бетона существенно зависит от его
возраста. Наиболее интенсивен рост модуля в первую поло¬

25
вину месяца после изготовления бетона, в дальнейшем рост
модуля замедляется. В целом зависимость модуля упругости
бетона от его возраста может быть выражена экспонентой
[14]
Е(т)= E0[l - Ре~$т)	(1.15)
где Е0, (3, % - эмпирические характеристики.
Анализ результатов многих опытов показал, что зависимость
(1.15)	справедлива для бетонов разного вида [142]
В работе [142] на основе этих исследований и выражения
(1.15)	получена зависимость Е(т), которая может быть ис¬
пользована для определения модуля упругости бетона проек¬
тируемых конструкций
е(г)= е(оо)(у - 0,372е~°'0259т), сут	(1.16)
Значение £(<») определяется по методике [142] на основании
проектных характеристик бетона.
Существует вполне закономерная зависимость между мо¬
дулем упругости бетона и его прочностью. Для тяжелого бе¬
тона естественного твердения зависимость между усреднен¬
ным значением Е и прочностью бетона на сжатие R может
быть выражена эмпирической формулой [14 4]
E = 55000R/(27 + R).	(1.17)
Также существенное влияние на модуль упругости бетона
оказывает технология изготовления и условия твердения.
Например, модуль упругости бетонов, подверженных тепловой
обработке при нормальном давлении, снижается в среднем на
15 %, а рост модуля во времени замедляется.
Известны данные, они приведены в обзорах

26
[34,36,135,144], что модуль упругости бетона зависит от
вида и истории напряженного состояния. В частности, мо¬
дуль упругости тяжелого бетона при растяжении может быть
меньше, чем при сжатии, а уплотнение бетона умеренной
сжимающей нагрузкой приводит к увеличению модуля. Однако
эти влияния не велики. В связи с отсутствием достаточных
данных о зависимости модуля упругости от вида и истории
напряженного состояния принимается, что влияние этих фак¬
торов адекватно отражаются общей зависимостью модуля уп¬
ругости от прочности бетона.
При загружении бетона в нем даже при малых напряжени¬
ях наряду с упруго-мгновенными возникают неупругие дефор¬
мации. Прирост неупругих деформаций в общем случае зави¬
сит от величины действующих напряжений и скорости загру¬
жения. При действии постоянных во времени напряжений
cr(t) = const процесс нарастания деформаций имеет ярко выра¬
женный характер и определяется как ползучесть бетона.
При действии высоких напряжений, превышающих предел
длительного сопротивления бетона, можно выделить три ста¬
дии развития ползучести:	1) быстрый рост деформаций в
первое время после загружения; 2) замедленное развитие
деформаций в течение некоторого срока; 3) ускоренный рост
деформаций, приводящий бетон к разрушению. Участок (2)
длительного сопротивления может быть весьма значительным
и составлять сотни суток.
Если действующие напряжения не превышают предела дли¬
тельного сопротивления бетона, ползучесть носит выражен¬
ный затухающий характер. В дальнейшем будет рассматри¬

27
ваться только затухающую ползучесть.
В общем случае под ползучестью будем понимать замед¬
ленную деформацию нагруженного тела, нарастающую со вре¬
менем [14 4] Деформации ползучести бетона, загруженного в
момент времени т, будем определять с учетом изменения его
упругих свойств
«с(0=«(0-<’’(0/£(0-	(1.18)
где £■(/) - полные деформации бетона в момент времени t.
Ввиду того, что при проведении эксперимента практически
невозможно разделить нелинейные деформации бетона на де¬
формации ползучести, связанные со временем, и чисто пла¬
стические деформации, не связанные со временем, в рамках
феноменологической теории многие исследователи все нели¬
нейные деформации бетона относят к деформациям ползуче¬
сти. Это положение не приводит к противоречиям в теории
расчета, если рассматривать загружение конструкций как
физический процесс, протекающий во времени. В принципе,
возможен и более строгий подход, когда учитывается нели¬
нейность упруго-мгновенных деформаций [34]
Исследованиями [175] установлено, что величина дефор¬
маций ползучести через сутки после пребывания образца под
нагрузкой практически не зависит от того, по какому режи¬
му происходило нагружение. В пределах же первых суток по¬
сле нагружения режим - непрерывный или ступенчатый -
влияет на величину деформаций и, следовательно, должен
учитываться при решении задач ползучести бетона и железо¬
бетона .

28
янных во времени напряжений <7 = const(t), определяется как
простая ползучесть. Экспериментальное изучение простой
ползучести важно для определения характеристик длительно¬
го деформирования бетона под нагрузкой. Если действующие
напряжения невелики, примерно меньше половины предела
прочности, то можно считать, что деформации ползучести
линейно зависят от действующих напряжений. В этом случае
деформации простой ползучести определяются по формуле
sc(t)=cjC(t, т),	(1.19)
где C(t, т) - мера ползучести бетона.
Мера ползучести бетона определяется как величина деформа¬
ций ползучести в момент времени t, вызванных единичными
напряжениями, приложенными в момент времени т Ползучесть
бетона, для которой справедлива линейная зависимость меж¬
ду деформациями и напряжениями, определяется как условно
линейная ползучесть.
Наиболее точно линейная ползучесть бетона описывается
линейной теорией упруго-ползучего тела (наследственной
теорией старения) Г.Н.Маслова - Н.X.Арутюняна[14] В ос¬
нову этой теории положены следующие гипотезы:
1)	бетон рассматривается как сплошное, однородное и
изотропное тело;
2)	полные деформации бетона складываются из упруго¬
мгновенных деформаций, возникающих в момент приложения
нагрузки и линейно зависящих от напряжений и деформаций
ползучести, развивающихся во времени;
3)	деформации ползучести линейно зависят от напря¬
жений, вследствие чего для деформаций ползучести справед¬

29
лив принцип наложения воздействий (ПНВ);
Основное уравнение рассматриваемой теории ползуче¬
сти имеет вид
^ =	+ (1-20)
0
где L{t, т) = -Е{т)—
от
Ш+С(>,г).
-	ядро ползучести. (1.21)
Наиболее общее выражение для меры ползучести, входящей в
(1.21), записывается в виде [135]
C(t,r)=f,Mi(rMt)	(1.22)
i=0
Для нестареющих сред, в частности, для бетона зрелого
возраста, свойства которого практически не изменяются во
времени, может быть принята зависимость
C(t, t)=C(t-t).	(1.23)
Соблюдение условия (1.23) совместно с ПНВ позволяет по¬
стулировать полную обратимость деформаций ползучести при
разгрузке. Этот постулат, совместно с гипотезами (1)-(3),
лежит в основе теории упругой наследственности.
Теорией, постулирующей полную необратимость деформа¬
ций ползучести при разгрузке, является теория старения.
Соблюдение этого постулата обеспечивается особой конст¬
рукцией меры ползучести, соответствующей положению о па¬
раллельности кривых ползучести, которая в рамках теории
старения имеет вид:
C(t, г) = С(/, г,)-С(г, г,).	(1.24)
Ограничения, которые накладываются на выражение для

30
меры ползучести в теории упругой наследственности и тео¬
рии старения, приводят к дополнительным погрешностям при
решении задач ползучести при сложных режимах нагружения.
Тем не менее, эти ограничения значительно упрощают анали¬
тическое решение уравнений ползучести, в частности, для
армированных оболочек и пластин [108,149,150] В целом,
на основе линейных теорий получено решение многих практи¬
чески важных задач ползучести железобетонных стержней,
пластин и оболочек.
Многими экспериментальными исследованиями установлено
[135,144,180,181], что линейная зависимость между напря¬
жениями и деформациями ползучести нарушается уже при ма¬
лых напряжениях. При действии напряжений, превышающих
примерно половину предела прочности бетона, нелинейность
связи напряжения-деформации ползучести становится сущест¬
венной и должна учитываться в расчете. Учет нелинейности
также позволяет уточнить решение в области условно линей¬
ной ползучести.
Следуя первым трем постулатам теории упруго-ползучего
тела и учитывая нелинейность, можно записать основное
уравнение нелинейной теории упруго-ползучего тела в виде
e{t) =	-	Mr)	dT+	т>	<?{т))с1т.	(1.25)
Если в этом уравнении функцию <p[t, т, сг(г)] можно представить
в виде произведения
(1.26)
то приходим к уравнению

31
ко=
ко
UTyL
Е(,) I Jdr
A*)
dr + Jcr(r)F[cr(r)]^(f, r]dr ,	(1.27)
содержащему условие аффинности кривых ползучести, введен¬
ному П.И.Васильевым[40], в соответствии с которым
K(t,	4
ОТ
(1.28)
Нелинейная функция напряжений в общем виде может быть за¬
писана, по предложению П.И.Васильева[49],в форме
F[ct{t )] = £(*■)+ А(т\а(т)]т	(1.29)
или, по предложению В.М. Бондаренко[34], в форме
*(гГ
F[o-(t)] = cc + ft
(1.30)
В.М.Бондаренко[34] предложил уравнение вида (1.25), обоб¬
щенное также и на случай нелинейности упруго-мгновенных
деформаций:
д
(1.31)
где Fjo-(r)] и Fn Ы?)] - нелинейные функции напряжений вида
(1.30)
Уравнение нелинейной теории упруго-ползучего тела в
виде
=	+ ^[rjL^t,T'ldT+ J F(cy)Ln(t’T)dT {1.32)
Г/	Т,
где L(t,T) и Ln(t,r) - соответственно линейное и нелиней¬
ное ядра ползучести, проверялось в опытах С.В.Александ¬
ровского и О.М.Попковой [11] при переменных напряжениях

32
напряжениях сжатия, достигающих высокого уровня, при не¬
скольких конструкциях ядер ползучести:
1)оба	ядра записывались в форме теории упруго-ползучего
тела;
2)оба	ядра записывались в форме теории старения;
3)линейное	ядро	записывалось	в форме	теории	упруго¬
ползучего тела, а нелинейное - в форме теории старения;
4)линейное	ядро	записывалось	в форме	теории	упруго¬
ползучего тела,	а нелинейное	ядро записывалось	в виде
двух частей: первая - в форме теории старения, а вторая -
в форме теории упруго-ползучего тела.
Результаты этих исследований побудили к разработке
более совершенных вариантов нелинейной теории ползучести,
которые бы учитывали известные противоречия ПНВ - одному
из постулатов теории упруго-ползучего тела.
С.В.Александровским и Н.А.Колесниковым [9,10] предло¬
жен вариант нелинейной теории, в основное уравнение кото¬
рой в качестве	слагаемого входит sn(t)	- необратимая
часть полных деформаций, представляющая собой деформации
нелинейной ползучести. Значение sn(t) определялось для
ступенчатых режимов нагружения по специальным правилам.
Например, принималось, что приращение напряжений приводит
к приращению sn(t), пропорциональному нелинейной функции
напряжений. Недостатком теории явилось отсутствие единой
интегральной формы записи для нелинейных деформаций
sn(t)
С.В.Александровским и В.В.Соломоновым [12,13] предло¬
жен вариант нелинейной теории, где все компоненты полных

33
деформаций бетона определялись через уровень напряжений
tj (t) -<J(t) /Rb (t) Нелинейная составляющая деформаций пол¬
зучести определялась для ступенчатых режимов уровня на¬
пряжений на основе инвариантной функции удельных деформа¬
ций нелинейной ползучести.
В основе рассмотренных выше теорий ползучести лежит
ПНВ. Как уже отмечалось, при сложных режимах нагружения
ПНВ полностью не соблюдается. Это нарушение связано о
тем, что часть полных деформаций ползучести, нелинейно
связанных с напряжениями, не восстанавливается после сня¬
тия нагрузки. Глюклих (Glucklich I.)[198] ввёл классифи¬
кацию необратимых деформаций ползучести, разделив их на
две составляющие: необратимые деформации ползучести, свя¬
занные со старением бетона, и необратимые деформации пол¬
зучести, не связанные со старением бетона. Эти деформации
могут быть выделены из полных деформаций бетона при за¬
гружении образцов-близнецов режимами специального вида по
методике [14 4] Оставшаяся часть деформаций ползучести
линейно связана с напряжениями и подчиняется ПНВ. Необхо¬
димость учета в уравнении ползучести отмеченного проти¬
воречия ПНВ привела к созданию новых, более совершенных
нелинейных теорий ползучести бетона.
П.И.Васильевым предложено основное уравнение, соот¬
ветствующее полной необратимости деформаций ползучести
при разгрузке, в форме [40]
T^rW)*7'	f1-33»
Е0 >0 дет

34
где Ео ~ модуль мгновенных деформаций;
Т - длительность приложения элементарного приращения
напряжений da;
omax - максимальное значение напряжений для 0<t<tn.
Для постоянных напряжений второе слагаемое (1.33) преоб¬
разуется в уравнение простой ползучести вида
где F{T) - аналитическое выражение кривой ползучести
при f(a) = l
В дальнейшем в работе [42] П.И.Васильев предложил рас¬
сматривать полные деформации ползучести бетона как сумму,
первое слагаемое которой даёт обратимую часть деформаций
ползучести, а второе - необратимую. Для обратимых дефор¬
маций ползучести предложена зависимость в форме нелиней¬
ной теории упругой наследственности
Необратимую часть деформаций ползучести П.И.Васильев
предложил описывать по нелинейной теории старения или в
форме (1.33)
А.А.Гвоздев, К.З.Галустов и А.В.Яшин развили эту
идею, используя форму (1.33) и учтя старение бетона. Ими
предложено основное уравнение вида [47]
(1.34)
(1.35)
(1.36)
О

35
где K(t, т) - ядро обратимой ползучести, записанное с уче¬
том старения бетона;
к, ф, Р - опытные параметры.
А.А.Гвоздевым и К.3.Галустовым [4 6] сформулированы
основные рабочие гипотезы нелинейной теории ползучести
бетона, в которой деформации ползучести подразделены на
компоненты - деформации последействия и необратимые де¬
формации ползучести первого рода. Принято, что полные де¬
формации бетона складываются из мгновенно-упругих дефор¬
маций, деформаций последействия и необратимых деформаций
ползучести первого рода. Упруго-мгновенные деформации ли¬
нейно зависят от действующих напряжений вплоть до вели¬
чин, близких к пределу прочности. Деформации последейст¬
вия подчиняются ПНВ и линейно зависят от напряжений. Ос¬
новное уравнение двухкомпонентной теории ползучести запи¬
сывается в виде
где Sj1,ах - максимальное значение уровня напряжений, дос¬
тигнутое к моменту времени t;
Т - суммарная длительность действия уровня напряже¬
ний к моменту времени t.
необратимых деформаций ползучести первого рода, развиваю¬
щихся при постоянном уровне напряжений, приняты зависимо¬
сти
(1.37)
5(0=<т(0/Л„р(0.
Предполагается инвариантность функций K(t, г) и
Для

36
s1 = 0{S)F{t - г,), Ф(5)=j/(S)aS
(1.38)
0
Для старого бетона, призменная прочность и модуль упруго¬
сти которого постоянны, уравнение (1.37) преобразуется к
виду
Приведенные в обзоре нелинейные теории ползучести бе¬
тона, учитывающие противоречие ПНВ, позволяют с высокой
степенью точности описывать процессы длительного деформи¬
рования бетона при сложных режимах нагружения. Однако,
при решении задач ползучести железобетонных конструкций
на основе этих теорий, необходимо преодолевать значитель¬
ные вычислительные трудности, связанные с необходимостью
обрабатывать и хранить в памяти ЭВМ большие массивы дан¬
ных об истории напряженного состояния.
Н.И.Карпенко [70]' предложен способ тт (трансформиро¬
ванного времени нагружения) решения задач ползучести бе¬
тона и железобетона. Способ тт позволяет практически без
снижения точности результатов отказаться от операций с
массивами данных об истории напряженного состояния, заме¬
нив их последовательным трансформированием времени нагру¬
жения на этапах изменения нагрузки. Таким образом, вся
история напряженного состояния описывается фиксированным
числом переменных, что приводит к существенной экономии
ресурсов ЭВМ при расчете конструкций на ползучесть. В ра¬
боте [70] показано применение способа тт для расчета де¬
формаций, подчиняющихся ПНВ.
(1.39)

37
Результаты экспериментальных исследований по ползуче¬
сти бетона при растяжении весьма разноречивы
[15,135,193] Однако в целом, исходя из задач расчета
конструкций, можно принять, что меры ползучести бетона
при растяжении и сжатии практически совпадают.
Экспериментально установлено, что в условиях плоского
напряженного состояния на развитие ползучести бетона
влияют напряжения, действующие в перпендикулярном направ¬
лении. Эксперименты над бетонными дисками при сжатии-
сжатии показали [31,35,95,97,99,102,145,157,161,171,199],
что сжатие уменьшает деформации ползучести. Аналогичные
эксперименты при сжатии-растяжении [98] показали, что
ползучесть при растяжении увеличивается, а при сжатии ос¬
тается практически такой, как при одноосном напряженном
состоянии. Отсутствие взаимного влияния напряжений по
перпендикулярным осям на развитие ползучести наблюдалось
в экспериментах при растяжении - растяжении [85]
Предложен ряд эмпирических зависимостей, устанавли¬
вающих связь мер ползучести бетона при плоском напряжен¬
ном состоянии и одноосном нагружении к2х = С2Х/СХ в зависи¬
мости от отношения cryjcrx при условии постоянства коэффи¬
циента поперечной деформации [95,102,97,145,187]
Важным результатом исследований ползучести бетона
явились рекомендации по нормированию характеристик дли¬
тельного деформирования бетонов [26,2728,29,140,141,142,
166,167,168,180,181] Мультипликативные модели меры пол¬
зучести бетона [142,166,168,181] учитывают влияние на
ползучесть таких факторов, как вид цемента, способ уплот¬

38
нения бетона, вид крупного заполнителя, водоцементное от¬
ношение и других.
Важные данные о влиянии режимов нагружения на ползу¬
честь бетона приведены в работах [6,7,8,22,154] Влияние
ползучести бетона на деформирование состояние оболочек и
условия их перехода в состояние предельного равновесия
рассмотрены в работах [159,162,163]
1.3.Общий подход к решению физически нелинейных
задач железобетона методом конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) является мощным сред¬
ством решения задач строительной механики и теории упру¬
гости, ориентированным на применение ЭВМ. МКЭ является
численным методом, оперирующим с дискретными величинами.
По оценке ряда авторов [1,2,24] и др. среди численных ме¬
тодов МКЭ обладает рядом существенных достоинств, бла¬
годаря которым является наиболее активно разрабатываемым
и применяемым численным методом расчета строительных кон¬
струкций .
С точки зрения обработки информации на ЭВМ, МКЭ опе¬
рирует с рационально организованными структурами данных,
которые автоматически обрабатываются и формируются из ми¬
нимума исходных данных о геометрии системы и её физиче¬
ских свойствах. Подход к решению задач строительной меха¬
ники и теории упругости с использованием структур данных
разрабатывался в трудах А.В.Александрова, Н.И.Шапошникова
[1,2,3,], Аргириса (Argyris I.H.)[176] и других отечест¬
венных и зарубежных ученых. Большим достоинством МКЭ яв¬

39
ляется подход с единых позиций как к объектам строитель¬
ной механики, так и к объектам теории упругости, что де¬
лает процедуру расчета МКЭ наглядной и удобной для инже¬
нера при решении практических задач.
В основе МКЭ лежит разделение сплошной среды на эле¬
менты простой формы. Элементы связаны между собой в уз¬
лах, расположенных на границах элементов. Деформации
внутри элемента однозначно определяются через его узловые
перемещения
М = М {gf	(1.40)
В любой точке элемента связь между деформациями и напря¬
жениями устанавливается в соответствии с законом линейной
упругости в виде:
М = № ( W - У0}) •+ {°0 }>	(1.41)
где [d]c - матрица, содержащая физические характеристики
материала (матрица физических характеристик);
{^q} - вектор начальных деформаций элемента;
{сг0} - вектор начальных напряжений элемента.
Зависимость (1.41) соответствует принципу суперпозиции "в
малом", т.е. каждый элемент вектора напряжений {<т} опре¬
деляется как сумма элементов вектора деформаций {f}, умно¬
женных на соответствующие материальные константы.
Приравнивая работу внешних и внутренних сил и интег¬
рируя по объему элемента, получаем зависимости между уз¬
ловыми силами и узловыми перемещениями элемента
{Р}е AKfkY + {Р)ее0+{Р}%,.	(1.42)

40
где \K.Y = J[i?]T[Z)]e[2?]<iv - матрица жесткости элемента (1.43)
(частная матрица жесткости);
{р}^о = ^B]T[D]e[^]dv	-	вектор узловых сил, обу- (1.44)
словленных начальными деформациями;
{р}%0 = J1XT [<^0 ]dv - вектор узловых сил, обу- (1.45)
словленных начальными напряжениями;
В уравнение (1.42) не включен вектор узловых сил, обус¬
ловленных распределенными нагрузками.
Для равновесия системы в целом необходимо, чтобы сум¬
марные силы уравновешивались внешней нагрузкой, приложен¬
ной к конструкции
Mfe}-W = 0.	(1.46)
где - матрица жесткости системы (глобальная матрица
жесткости);
{g} - вектор узловых перемещений системы;
[Р}	- вектор узловых нагрузок.
Зависимости (1.40) - (1.46) справедливы для среды, сплош¬
ной и однородной в пределах каждого элемента.
Для линейно упругой среды справедливы зависимости
IXI = const({g}e)	(1.47)
[l)] = const({g}e).	(1.48)
Если зависимости (1.46) и (1.48) справедливы для всех
элементов, то для системы в целом из (1.43) следует зави¬
симость
= const({g})	(1.4 9)
В данном случае решение задачи о перемещении конструкции

41
сводится к решению системы линейных уравнений (1.4 6)
(si=№'W	(1-50)
Если конструкция закреплена от смещения как жесткое тело
в результате наложения связей (граничных условий), то
матрица [А^] будет невырожденной и вектору нагрузок {Р} бу¬
дет соответствовать одно единственное решение системы -
вектор искомых узловых перемещений {g}. Напряженно-
деформированное состояние конструкции однозначно опреде¬
ляется по зависимостям (1.40) и (1.41) на основе векторов
узловых перемещений элементов {g}e В данном случае спра¬
ведлив принцип суперпозиции "В большом", т.е. перемещения
конструкции от различных воздействий могут быть получены
как сумма решений систем линейных уравнений (1.46), где
каждому воздействию соответствует свой вектор нагрузок
И
Нарушение зависимости (1.47) приводит к геометриче¬
ской нелинейности. Геометрическая нелинейность характерна
для тонких и гибких конструкций и для конструкций из ма¬
териала с особыми свойствами, таких, как резина. Так как
плоские железобетонные конструкции являются достаточно
жесткими, зависимость (1.47) для них не нарушается.
Нарушение зависимости (1.48) приводит к физической
нелинейности, что связано с изменениями физических
свойств материалов, проявлением пластичности, ползучести,
накоплением повреждений и другими сложными реологическими
явлениями. Ярко выраженная физическая нелинейность явля¬
ется характерным свойством железобетона.

42
Очевидно, что решение физически нелинейной задачи
также должно удовлетворять уравнению равновесия. При ре¬
шении физически нелинейных задач МКЭ [61] используется
уравнение равновесия в виде (1.4 6) При выходе зависимо¬
сти (1.4 6) использован закон линейной упругости в виде
(1.41), поэтому и в случае физической нелинейности пред¬
полагается справедливость принципа суперпозиции "в ма¬
лом"
В случае физической нелинейности соотношение (1.41)
следует записать в виде, учитывающем зависимость матрицы
физических характеристик от напряженно-деформированного
состояния и его истории:
Л(М.ИМ-	(1.51)
Вектор перемещений будет являться решением физически не¬
линейной задачи, если одновременно удовлетворяются соот¬
ношения (1.4 6) и (1.51) Это достигается соответствующим
подбором параметров [of м и {<jg}. В зависимости от того,
какой параметр является переменным, различают несколько
подходов к решению физически нелинейных задач.
Если физические уравнения (1.51) разрешимы относи¬
тельно напряжений
W = /(M)>	(1.52)
то соотношение (1.41) может быть приведено к форме
(1.52), если задать соответствующий вектор {од} Так как
вектор	участвует	в	формировании	вектора	узловых	на¬
грузок (Р), то в результате приходим к решению системы
уравнений

43
Решение	системы	(1.53) достигается	путем итераций. На
первой итерации находится решение, соответствующее значе¬
нию {<yo\i~0
=	(1-54)
где {Р}у	- начальный	вектор узловых	нагрузок, соответст¬
вующий приложенным внешним нагрузкам и воздействиям. Оп¬
ределяется вектор {00)2' необходимый для удовлетворения
условию	(1.42)	На	основании этого	вектора формируется
новый вектор узловых нагрузок
{Р)2 = {Р}, + Л{Р}2.	(1.55)
Вновь определяется решение системы
{г}2=М"'И2-	(1-56)
Процесс продолжается до тех пор, пока решение не переста¬
нет изменяться.
Более удобным является подход, когда на каждой ите¬
рации решается система уравнений относительно приращения
перемещений, вызванного приращением нагрузки A{p}t
4gb=[kTj 4р)г	а-57>
Решением задачи на каждом шаге будет сумма
ЫНЛ+44-	(i-58)
Данный подход имеет ясный физический смысл. На каждой
итерации определяется разность между истинными перемеще¬
ниями конструкции и перемещениями, вычисленными из пред¬
положения упругой работы. Данный метод решения физически
нелинейных задач известен как метод начальных напряжений.
В ряде задач, в частности, в задачах ползучести, бы¬

44
вает известна зависимость деформаций от действующих на¬
пряжений
W = /(W)	(1.59)
В этом случае соотношение (1.41) приводят к форме (1.59),
задавая вектор начальных деформаций fo?}. Уравнение (1.53)
решается путем итераций. Деформации, получаемые на каждом
шаге, сравниваются с деформациями, соответствующими зави¬
симости (1.59)
Если зависимость (1.59) записана таким образом, что
можно выделить неупругие деформации, то на каждой итера¬
ции вектор {^} может быть вычислен из (1.59) непосредст¬
венно и можно решать систему относительно приращения пе¬
ремещений, вызванного приращением неупругих деформаций
{sq} Процесс расчета аналогичен рассмотренному выше. Дан¬
ный метод решения физически нелинейных задач известен как
метод начальных деформаций.
Как в методе начальных напряжений,- так и в методе на¬
чальных деформаций относительно матрицы жесткости	не
делается никаких предположений. В частности, она может на
итерациях оставаться постоянной. Если процесс деформиро¬
вания существенно отличается от линейного, модификация
матрицы (д] на итерациях улучшает сходимость.
Модификация матрицы И на итерациях лежит в основе
метода переменной жесткости. В этом методе матрица физи¬
ческих характеристик ставиться в зависимость от перемеще¬
ний
ц-60»

45
Так как матрица [d] участвует в формировании матрицы жест¬
кости всей конструкции [к], уравнение равновесия примет
вид
ЫШ{я] ~ {Р} = 0.	(1.61)
Решение задачи достигается с помощью итерационного про¬
цесса. На каждой итерации материальные константы в выра¬
жении (1.41) ставятся в зависимость от достигнутых на
предыдущем шаге перемещений. Решение на каждом шаге ите¬
рационного процесса получается на основе линейной зависи¬
мости
Ы,=№-';И-	(1.62)
Процесс продолжается до тех пор, пока решение не переста¬
нет изменяться.
Независимо от того, каким методом отыскивается реше¬
ние физически нелинейной задачи, одновременное удовлетво¬
рение уравнению равновесия и условию (1.41) может быть
только приближенным с некоторой достижимой степенью точ¬
ности. Очевидно, что в таких условиях может быть найдено
достаточно много решений физически нелинейной задачи. Та¬
ким образом, найденное решение не обязательно является
истинным. Для получения правильного решения необходимо, в
общем случае, следовать малыми шагами по нагрузке, моде¬
лируя процесс нагружения достаточно близко к тому, кото¬
рый имеет место в действительности. Наряду с этим зависи¬
мости (1.52),	(1.59) или (1.60) должны адекватно отражать
те изменения физических свойств материала, которые
происходят фактически.

46
Если равновесие системы достижимо при конечных по ве¬
личине перемещениях и одновременном удовлетворении усло¬
вий (1.51), то на каждом шаге итерационный процесс должен
сходиться. Если сходимость достигается при одновременном
удовлетворении условий (1.51) и критерия прочности (выхо¬
де на предельную поверхность), то имеет место исчерпание
несущей способности при конечных по величине перемещениях
(хрупкое разрушение) Сходимость итерационного процесса
не может быть достигнута, если материал конструкции пе¬
реходит в стадию пластического течения или незатухающей
ползучести.
Решение физически нелинейных задач шагово¬
итерационными методами является, по существу, численным
моделированием физического процесса деформирования, при
этом численная модель будет только приближенно отражать
действительный характер работы конструкции. Очевидно, что
резерв повышения точности модели лежит в совер¬
шенствовании и более тщательной разработке физических со¬
отношений типа (1.42),	(1.59) и (1.69)
В настоящее время разработаны отдельные методики рас¬
чета МКЭ многих железобетонных конструкций с учетом физи¬
ческой нелинейности железобетона. Работы [19,21,38,60,
83,151,152,173,174] посвящены расчету МКЭ массивных желе¬
зобетонных конструкций, а также балок-стенок, изгибаемых
плит и плоских стержневых систем в инкрементальной поста¬
новке, в том числе с учетом влияния режимов нагружения и
температуры. В работах [56,89,90,91,112,113,156,158] при¬
ведены методики и примеры расчета железобетонных плит пе-

47
рекрытий и фундаментных плит.	В работах
[100,110,146,147,148] рассмотрен расчет железобетонных
конструкций при различных нагружениях на основе диаграмм¬
ного подхода.
Опыт практических расчетов показывает, что физически
нелинейный расчет железобетонных конструкций имеет свои
особенности. Матрицы физических характеристик железобето¬
на определяются с учетом истории возникновения и развития
трещин, поэтому шагово-итерационный метод решения являет¬
ся, по существу, единственно возможным. В отдельных слу¬
чаях удаётся получить решение сразу для заданного уровня
нагрузки, приняв для итерации в качестве исходного упру¬
гое решение [20] Однако эти результаты носят частный ха¬
рактер и справедливы для невысоких уровней напряжений.
В целом же с ростом напряжений, на стадии развития
трещин и проявления неупругих свойств арматуры, нелиней¬
ность поведения железобетона существенно увеличивается.
Как следствие этого, ухудшается сходимость итерационных
процессов. В стадии, близкой к разрушению, простой итера¬
ционный процесс, где в качестве исходного для следующей
итерации принимается решение, достигнутое на текущей ите¬
рации данного шага, сходится редко. В этом случае в каче¬
стве исходного решения принимают комбинацию двух решений:
решения, полученного на текущей итерации данного шага и
решения, полученного на предыдущем шаге нагружения.
Другим приемом, улучшающим сходимость итерационных
процессов, является учет стеснения пластических деформа¬
ций арматуры, которая работает за пределом упругости.

48
Возможны и другие подходы, позволяющие смягчить скачкооб¬
разное снижение жесткости конечных элементов в результате
образования и развития трещин и появления пластических
деформаций арматуры. Важно отметить, что все эти меро¬
приятия не гарантируют сходимость итерационных процессов
при грубой конечноэлементной аппроксимации, задании боль¬
ших шагов по нагрузке и т.п. Это обстоятельство усложняет
определение того момента, когда конструкция переходит в
стадию предельного равновесия. Наиболее важным фактором,
улучшающим сходимость итерационных процессов, остаётся
назначение малых шагов нагрузки, в таких пределах, чтобы
возможно точнее отразить реальный процесс деформирования.
Поэтому решение физически нелинейных задач железобетона
требует применения достаточно производительных вычисли¬
тельных систем, основанных на быстродействующих процессо¬
рах типа Pentium, имеющих достаточную по объему оператив¬
ную память и свободное дисковое пространство.
1.4.Постановка задачи физически-нелинейного расчета
плоскостных железобетонных конструкций
Особенности работы пластин, а, следовательно, и мето¬
ды их расчета, определяются соотношением толщины и вели¬
чина их деформаций. С этой точки зрения различают три ти¬
па пластин.
Если отношение характерного размера в плане к толщине
находится в диапазоне 8...10 < a/h < 80...100 и одновременно
отношение характерного прогиба к толщине пластины w/h не
превышает 0,2...0,5, то такие пластины считаются тонкими и

49
жесткими. Такие пластины работают в основном на изгиб и
при их расчете принимаются следующие допущения:
1)	нормаль к первоначально плоской срединной поверх¬
ности пластинки при изгибе остается прямой и нормальной к
искривленной срединной поверхности. Тем самым постулиру¬
ется отсутствие сдвигов по плоскостям, параллельным сре¬
динной поверхности. Гипотеза прямых нормалей сводит зада¬
чу расчета пластин к двухмерной;
2)	нормальные напряжения в направлении, перпендику¬
лярном к горизонтальным слоям пластины, ст2 пренебрежимо
малы по сравнению с напряжениями сгх и ау, действующими в
плоскости слоев (оси х, у находятся в срединной плоскости
пластины)
Сформулированные допущения обычно называют гипотезами
Кирхгофа. Эти допущения позволяют все напряжения, возни¬
кающие в пластине, выразить через величину ее прогиба.
Если толщина пластины велика и a/h < 8...10, то такие
пластины относят к толстым плитам и их расчет сводится к
объемной задаче механики твердого тела.
Если толщина пластинки мала, a/h > 80...100, а прогибы
велики, то, помимо изгибных усилий, в сечениях возникают
продольные силы (мембранные усилия), которые необходимо
учитывать в расчете.
Ниже рассматривается работа тонких жестких плит, для
которых справедливы упомянутые выше допущения (учет мем¬
бранных усилий будет рассмотрен в главе, посвященной рас¬
чету пластин по слоистой модели)
Исходя из гипотез Кирхгофа, перемещения точек пла-

50
стины и и v вдоль осей х, у в срединной поверхности можно
определить по формулам:
и = -z-
dw
дх
V-—Z-
dw
ду
(1.63)
где w = w(x,y) - прогибы пластины;
z - координата точки пластины, для которой определя¬
ются перемещения.
Учитывая малость прогибов пластины, кривизны средин¬
ной поверхности можно представить в виде
d2w	d2w	d2w
у —•	• у — 	  	•	у	—
Ах ~	'	Л’У	*	?	'	**ху	о
дх1	ду2	дхду
(1.64)
Согласно принятым допущениям, при расчете тонких же¬
стких плит используются такие же физические соотношения,
как и при плоском напряженном состоянии (закон Гука) Ис¬
ходя из соотношений (1.63) и (1.64), основные напряжения
можно выразить через производные от прогибов пластины:
(Ту =
СГу =
Е	Е
(-	Л	(£х	+	м	£у)	=	{	т\	(Zx	+	V	Ху)	z;
I'V)
Е	Е
Т	(£у	+	Ц	£х)	=	-f	—\	(Ху	+	№	Хх)	z г
[1-м2)	(/V)
(1.65)
Тку G уХу
га
(1	-	JU)	Хху	Z
Интегрируя соответствующие напряжения по толщине
пластины, получаем внутренние усилия:
Mx=D(xx+MXy)=-D
(л2	*2 Л
О w	о W
дх*
+ JU-
ду-
Му =D(xy+ juxx)=-D
\
dx“
(1.66)

51
d2w
дхду '
где D = —т~~—т\ — цилиндрическая жесткость.	(1.67)
мху = ^{1 - fi)xXy = -D(l - ju)
12(l-M2)
Eh3
Используя уравнения равновесия, можно получить каса¬
тельные напряжения т2Х и tZy, которые при интегрировании по
толщине пластины образуют поперечные силы Qx и Qy. Эти на¬
пряжения противоречат первой гипотезе Кирхгофа, но с ними
необходимо считаться, исходя из соображений равновесия.
Рассматривая равновесие бесконечно малого элемента
плиты, можно получить дифференциальное уравнение изгиба
тонкой пластины
V2V2w = -2-,	(1.68)
D
где w - прогибы пластины, через которые выражены все уси¬
лия;
V2 - оператор Лапласа.
В развернутом виде уравнение (1.68) записывается
d4w d4w d4w q
—т + 2—=—- + —- = — .	(1.69)
дх	дх	ду	ду	D
Для получения решения дифференциального уравнения
необходимо задать граничные условия, которые определяются
способом закрепления плит по контуру. Поскольку дифферен¬
циальное уравнение (1.69) является приближенным, строго
сформулировать и выполнить граничные условия при некото¬
рых способах закрепления плиты невозможно. В частности,
для свободного края плиты, на котором все усилия, возни¬
кающие в сечении (изгибающие и крутящие моменты, попереч¬

52
ные силы) равны нулю, Максвеллом предложена приближенная
формулировка граничных условий, при которой крутящий мо¬
мент приводится к условной поперечной силе. Отметим, что
замкнутое решение дифференциального уравнения изгиба пли¬
ты возможно лишь в некоторых частных случаях закрепления
и формы плиты, не представляющих особого практического
интереса.
Среди известных методов численного решения дифферен¬
циального уравнения (1.69) следует отметить ставшие клас¬
сическими методы Навье, М.Леви, Бубнова-Галеркина и метод
Ритца, основанный на вариационном принципе Лагранжа.
Развитие средств вычислений и методов решения систем
линейных алгебраических уравнений позволило исследовате¬
лям перейти к разработке методов расчета тонких плит,
приводящих, в зависимости от заданной точности решения, к
достаточно обширным (порядка 20-30 и более) системам ли¬
нейных уравнений. К этим методам следует отнести метод
коллокаций и метод конечных разностей. Эти методы, явля¬
ясь, по существу, прямыми приближенными численными мето¬
дами решения краевой задачи, позволяли рассчитывать тон¬
кие плиты практически при любых граничных условиях. Опре¬
деленные трудности составляли лишь пластинки сложной кон¬
фигурации, с отверстиями, точечным опиранием и др.
Широкому распространению метода конечных разностей
способствовали его простота и универсальность, а также
наличие многочисленных таблиц расчета. Методом конечных
разностей было получено решение ряда практически важных

задач изгиба тонких плит, в том числе и в нелинейной по¬
становке [68,69]
Однако в процессе развития метода конечных разностей
было установлено, что доказательство сходимости для ряда
краевых задач, сводящихся к уравнениям в частных произ¬
водных порядка выше второго (в частности, к бигармониче-
скому уравнению), весьма затруднительно. Кроме того, ис¬
пользование метода конечных разностей приводит к трудно¬
стям, связанным с учетом нерегулярных граничных условий,
а также к нарушению симметрии разрешающей системы алгеб¬
раических уравнений для некоторых типов задач.
В 1943 г. Курант (R.Courant) [192] описал процедуру
решения краевой задачи, основанную на вариационном прин¬
ципе минимизации потенциальной энергии, используя линей¬
ную аппроксимацию на треугольных элементах. В 50-х годах
Таннер, Зелинский и др. (Tanner Н., S.Zielinski) [222], а
впоследствии Аргирис [17] предприняли попытки применить
методы расчета стержневых систем к непрерывным структурам
путем разбиения их на конечные элементы. Впоследствии
развитие идеи Куранта и Таннера привели к созданию уни¬
версального метода решения краевых задач - метода конеч¬
ных элементов (МКЭ)
Одна из первых попыток учета трещин при расчете де¬
формаций железобетонных плит была сделана на основе
уравнения изгиба ортотропных плит Хубера (М.G.Huber)
[202]

54
где Dxr Dy - изгибные жесткости, учитывающие армиро¬
вание вдоль координатных осей/ Н = ^DxDy - жесткость на
кручение.
Однако экспериментальные прогибы оказывались значи¬
тельно выше, нежели те, что получались при решении урав¬
нения (1.70) Причиной этого несоответствия стало пренеб¬
режение влиянием касательных сил в элементе с трещиной на
напряжения в арматуре, которые оказывались сильно зани¬
женными .
Позже В.. И.Мурашев предложил заменить в уравнении
(1.70) изгибные жесткости Dx и Dy балочными, которые вы¬
числялись по предложенной им теории [107]) и учитывали
пластические свойства бетона.
Различные предложения по учету жесткости плиты на
кручение, в том числе с учетом ползучести бетона, были
сделаны в работах Я.Д.Лифшица и М.М.Онищенко [94],
Л.А.Мельниковой [101], В.Н.Байкова и В.Ф.Владимирова [18]
и др.
Подход, основанный на применении теории пластично¬
сти, представлен в работах Корнелиса (Cornells М.)	[191]
и Массоне (Massonet Ch.) [212] Авторами была получена
система дифференциальных уравнений, описывающая упруго¬
пластическую работу плит с использованием функции теку¬
чести Иогансена (Iohansen К.)	[203]
Анализируя перечисленные результаты, можно сделать
вывод, что основной предпосылкой авторов являлась гипоте¬
за о работе железобетонной плиты как ортотропного тела с
осями, параллельными арматурным стержням, удовлетворявше-

55
го уравнению (1.69), коэффициенты которого тем или иным
образом варьировались. Работы этих авторов внесли сущест¬
венный вклад в развитие теории расчета плит с трещинами,
хотя и были не лишены недостатков. Эксперименты, выпол¬
ненные С.М.Крыловым[8 6,88], Н.И.Карпенко и А.В.Бильченко
[30], а также опыты Баха и Графа (Bach С.и Graf О.)
[177], Леншоу и Созена (Lenshow J. и Sosen А.)	[209] и
др. показали, что ортотропная модель расчета железобетон¬
ных плит убедительно согласуется с опытом лишь в тех об¬
ластях плиты, где трещины проходят перпендикулярно к на¬
правлениям арматуры. В областях с наклонными к арматуре
трещинами она приводит к существенному занижению напряже¬
ний в арматуре из-за неучета целого ряда факторов.
С.Валлиапэн (Valliapan S.)	[226]	и	др.	предложили мо¬
дель на базе МКЭ, где бетон описывался треугольными ко¬
нечными элементами, а арматура - стержневыми. Принималось
идеальное сцепление между арматурой и бетоном. Трещинооб-
разование учитывалось следующим образом: если главные на¬
пряжения в каком-либо направлении превышали предел проч¬
ности бетона на растяжение, то принималось, что в перпен¬
дикулярном направлении образуется трещина и вычислялись
дополнительные растягивающие напряжения сверх предельных.
Эти напряжения преобразовывались в узловые усилия, кото¬
рые вновь прикладывались к конструкции, чтобы распреде¬
лить добавочные растягивающие напряжения по смежным эле¬
ментам. В работе использовались простейшие диаграммы ра¬
боты бетона и стали. Критерий текучести Мизеса принимался
как для стали, так и для бетона.

56
Бэлл и Алмс (Bell К. и Alms S.)	[182,183]	разработа¬
ли программу расчета железобетонных плит МКЭ, дававшую
возможность контролировать поведение конструкции при из¬
менении уровня нагрузки от нуля до разрушения. Использо¬
вались простейшие треугольные КЭ. Расчет начинался с за¬
дания соответствующих первоначальных изотропных упругих
постоянных для конечных элементов и выполнения упругого
расчета. Полученные для каждого элемента результирующие
узловые моменты затем усреднялись, подсчитывался макси¬
мальный главный момент и определялось его направление.
Предполагалось, что этот момент равномерно распределяется
по элементу. Затем уровень нагрузки на плиту выбирался
таким образом, чтобы момент вызывал трещинообразование
лишь в нескольких элементах. На основании численных экс¬
периментов (авторы использовали результаты опытных данных
Ислама (Islam S. [204]) была разработана методика модифи¬
цирования жесткостных параметров элементов в зависимости
от величины изгибающих моментов. Итерации повторялись до
достижения заданной точности по моментам или перемещени¬
ям .
Деформационная модель железобетонной плиты с трещина¬
ми, основанная на подходах, принципиально отличающихся от
рассмотренных выше, была предложена в работах
А.А.Гвоздева, Н.И.Карпенко и С.М.Крылова [48,49,64,66]
Было установлено, что прогибы плит с трещинами в случае,
когда жесткости можно принять независимыми от координат х
и у, подчиняются не уравнению для ортотропных плит, а пя¬
тичленному дифференциальному уравнению анизотропных пла¬
стинок в общем случае анизотропии

57
д4со	д4со	д4со	д4со	д4со
Dn я 4	+ *Ьз я зя	+2(D12+ D33) ~2—2	+ ®23 ТТ-5	+	^	= РГХ' у;а • 7Д)
дх	дх ду	дх ду	дхду	ду
где жесткостные коэффициенты Dij определяются геометрией
сечения, физическими характеристиками бетона и арматуры,
схемой трещин, углом наклона трещины к направлениям арми¬
рования и уровнем напряжения.
Для получения уравнения (1.71) используется известное
из теории изгиба плит уравнение равновесия
д2М	д2Мxv d2Mv
—2Х- + 2^1Г + —/--=<*'	(1*72)
дх	дхду	ду1
которое при наличии трещин изменения не претерпевает.
Согласно анизотропной модели деформирования плит
с трещинами, предложенной Н.И.Карпенко [67], связи между
кривизнами и моментами имеют вид:
-д 2(й/дхг = Вп Мх + В12 Му + В13 Мху ,
-д 2со/ду2 = В21	Мх + В22 Му + В23 Мху	,	(1.73)
-2д	2со/дхду =	В31 Мх + В32 Му + В33	Мху
или в матричном виде
Х = ВхМ,	(1.74)
где М	=	{Мх,	Му, Мху}т	- вектор моментов;
X	=	(Хх/	Ху/ Хху}Т	- вектор кривизн;
В - матрица податливости железобетона.
Из (1.74) можно получить зависимость
М = В~]% = Dx ;	(1.75)
где D - матрица жесткости железобетона, обратная матрице
В.

58
Подставляя (1.75) в (1.72), получаем (1.73)
Физические соотношения, связывающие напряжения с от¬
носительными деформациями, и соотношения (1.72),	(1.75)
устанавливаются на основании структурного анализа и моде¬
лирования напряженно-деформированного состояния некоторых
малых элементов, выделяемых из железобетонного массива.
Рассматриваются две стадии работы железобетона - без тре¬
щин и с трещинами.
Для построения определяющих соотношений для элемента
без трещин используется ортотропная модель бетона, со¬
гласно которой он рассматривается как физически нелиней¬
ный материал с осями ортотропии, совпадающими с осями
главных напряжений.
Принимается, что трещины образуются по главным пло¬
щадкам, когда главные растягивающие напряжения в бетоне
достигают предельной величины, определяемой по условию
прочности. В трещинах практически все усилия передаются
через арматуру, за исключением той части усилий, которые
передаются через остаточные связи по бетону в трещинах —
через связи зацепления. В арматурных стержнях в сечении с
трещиной возникают нормальные crsi и касательные Tsij,rSik на"
пряжения. Основными являются напряжения и перемещения ар¬
матурного стержня в трещине, где они достигают максималь¬
ных значений и затем постепенно уменьшаются в блоках меж¬
ду трещинами по мере удаления от краев трещин. Изменение
напряжений в бетоне на участке между трещинами носит про¬
тивоположный характер. Затухание происходит вследствие
действия сил сцепления по контакту арматуры с бетоном,

59
эпюра изменения касательных напряжений носит кососиммет¬
ричное очертание. В модели вводятся два вида осевых на¬
пряжений:	максимальные в трещинах, которые ответственны
за прочность арматуры, и средние на участках между тре¬
щинами, от которых зависят деформации. Связь между нор¬
мальными и касательными напряжениями осуществляется при
помощи коэффициентов, введенных В.И.Мурашевым [107]
Между берегами трещин при малой ширине их раскрытия
сохраняются некоторые неразрушенные бетонные «мостики» —
связи зацепления берегов трещин. Связи зацепления в опре¬
деленной степени сглаживают скачкообразное изменение де¬
формаций вследствие трещинообразования, что учитывается
при определении жесткостных параметров.
Бетон в блоках между трещинами деформируется как ор-
тотропный материал, который выключается из работы вдоль
отдельных осей ортотропии по мере образования трещин по
той или иной схеме. По тем направлениям, которые еще не
стали нормалями к трещинам, деформации элемента определя¬
ются деформациями бетона.
В дальнейшем анизотропная модель изгибаемой тонкой
плиты Н.И.Карпенко была неоднократно реализована в про¬
граммах расчета на ЭВМ с привлечением, на первом этапе,
метода конечных разностей [55,56,68], а в дальнейшем -
МКЭ [78,90,91,109,112,113,174] В ходе реализации были
уточнены отдельные параметры модели и получено решение
ряда важных теоретических и практических задач расчета
тонких плит, в том числе нерегулярной структуры, на сво¬
бодном опертом контуре, с армированием разного типа.

60
Отдельного анализа заслуживает проблема учета дли¬
тельности действия нагрузки при расчете тонких изгибаемых
плит. Дело в том, что ползучесть бетона существенно влия¬
ет на работу плосконапряженных конструкций, приводя к пе¬
рераспределению и релаксации напряжений, снижению жестко¬
сти и 2-3-х кратному увеличению прогибов по сравнению с
кратковременным нагружением. Экспериментальному изучению
влияния ползучести на напряженно-деформированное состоя¬
ние плит посвящены работы Зырянова B.C.[62], Мельниковой
•J1.A.	[100], Прокоповича И.Е., Яременко А.Ф., Мельника
А.Я. [136,171,172] и др.
Лифшиц Я.Д. и Онищенко М.М. [94], основываясь на ор-
тотропной модели плиты, учитывали ползучесть путем сниже¬
ния высоты сжатой зоны. Последняя определялась путем ре¬
шения алгебраических уравнений шестого порядка, ползу¬
честь учитывалась по теории старения. В работах
JI.А.Мельниковой[100,101] реология бетона учитывалась вве¬
дением временного (зависящего от времени загружения) мо¬
дуля деформаций, решение уравнения (1.69) достигалось пу¬
тем последовательных приближений. Однако замена уравнений
состояния ползучего тела упругими, с введением в них вре¬
менных множителей, не может рассматриваться как решение
задачи ползучести.
Прокопович И.Е. и Яременко А.Ф. [136,170], развивая
анизотропную модель плиты, учли влияние ползучести бетона
на базе наследственной теории старения и предложили ме¬
тодику по определению прогибов плит с трещинами при дли¬
тельном действии нагрузки.

61
Расчет изгибаемых тонких плит с учетом ползучести бе¬
тона на базе методики диаграмм-изохрон рассмотрен в рабо¬
тах Т.А.Мухамедиева и А.В.Мельника [109]
1.5.Особенности расчета конструкций с учетом стадии
возведения и предварительным напряжением арматуры
Проблемы, связанные с расчетом конструкций из старею¬
щего бетона, достаточно давно привлекают внимание иссле¬
дователей [63,119,133], прежде всего, сложностью решения
задач, связанных с быстро меняющейся реологией бетона. В
последние годы, в связи со значительным ростом доли моно¬
литного строительства, актуальность этих проблем возрос¬
ла .
Среди очерченного круга задач ключевое место занимает
расчет деформаций ползучести стареющего бетона. При при¬
ложении нагрузки к бетону в возрасте нескольких суток
кривые ползучести характеризуются исключительно динамич¬
ным стартом и быстрым затуханием, что создает значитель¬
ные трудности при их аналитическом описании. Наряду с
этим высокой скоростью отличается рост прочности и модуля
мгновенно-упругих деформаций. Анализ, выполненный по ре¬
зультатам ряда исследований [4,5,6,7,8,11,12,13,42] пока¬
зал, что при сложных ступенчатых режимах нагружения тео¬
ретические кривые ползучести стареющего бетона, получен¬
ные на основе современных вариантов нелинейной теории (в
частности, нелинейной теории упругой наследственности),
удовлетворительно согласуются с экспериментом только при
возрастающих режимах напряжений. На этапах же разгрузки

62
имеет место устойчивое завышение экспериментальных кри¬
вых. Попытки улучшения сходимости теоретических и опытных
данных путем усложнения расчетного аппарата, в частности,
путем задания различных функций удельных деформаций пол¬
зучести при нагрузке и разгрузке, не всегда приводят к
положительному результату. Таким образом, проблема расче¬
та деформаций ползучести стареющего бетона требует даль¬
нейших исследований.
При загружении бетона в первые недели твердения его
напряженно-деформированное состояние характеризуется на¬
коплением значительных по величине остаточных деформаций,
связанных с усадкой и ползучестью сжатого бетона. При за¬
гружении конструкции временной (полезной) нагрузкой сжа¬
тие, как правило, уступает место растяжению, что особенно
характерно для преднапряженных элементов. В этом случае
накопление остаточных деформаций сжатия приводит к разви¬
тию значительных растягивающих напряжений в бетоне и, как
следствие, к более раннему и более обширному трещинообра-
зованию. Аналогичный механизм влияния остаточных деформа¬
ций на напряженное состояние имеет место при приложении
временных горизонтальных нагрузок к монолитным стенам,
диафрагмам, ядрам жесткости и при знакопеременном нагру¬
жении конструкций. Вместе с тем, принятый в большинстве
методик расчета на знакопеременное нагружение диаграмм¬
ный подход [60,109,110] не в полной мере учитывает влия¬
ние остаточных деформаций на напряженное состояние бетона
и этот вопрос также требует дальнейших исследований.
Важной проблемой остается реализация расчетных мето-

63
дик, основанных на нелинейной теории ползучести, в виде
алгоритмов и компьютерных программ расчета конструкций.
Как известно, большинство реализаций нелинейных методик
расчета железобетонных конструкций не выходит за рамки
простого пропорционального нагружения. Сложность задачи
расчета конструкций с учетом истории возведения состоит
еще и в том, что в рамках общей методики необходимо опи¬
сывать работу конструкции по разным моделям: на прираще¬
ние нагрузки, когда используются касательные характери¬
стики жесткости, и на полную нагрузку, когда жесткостные
параметры модели выражаются через секущие характеристики.
Под предварительно напряженными железобетонными кон¬
струкциями (в дальнейшем принят сокращенный термин -
преднапряженные конструкции) будем понимать такие конст¬
рукции, в которых предварительно, т.е. на стадии изготов¬
ления, специально создаются собственные напряжения сжатия
всего или части бетона и растяжения всей или части арма¬
туры [58] Будем рассматривать конструкции с натяжением
арматуры на упоры (с предварительным натяжением) В этих
конструкциях обжатие бетона осуществляется после сцепле¬
ния арматуры с бетоном. Важно отметить, что собственные
напряжения бетона и арматуры возникают практически во
всех железобетонных конструкциях и в отдельных случаях
это напряжения могут быть существенны. Однако, если их
определение не является целью расчета, такими напряжения¬
ми обычно пренебрегают или учитывают их косвенно.
Теория расчета стержневых преднапряженных конструкций
разработана с достаточной для практики полнотой [58,104]

64
Согласно этой теории, за расчетные принимаются характер¬
ные напряженные состояния, для которых заранее известен
ряд характеристик материалов. Рассматривается не конст¬
рукция в целом, а отдельные её сечения. История напряжен¬
но-деформированного состояния учитывается условно, в виде
потерь предварительных напряжений в арматуре. Перемещения
конструкции определяются по правилам строительной механи¬
ки через обобщенные жесткости сечений, при этом предвари¬
тельный выгиб, образование начальных трещин и ряд других
факторов^ важных с точки зрения оценки эксплуатационных
свойств конструкции, учитываются по приближенным эмпири¬
ческим методикам или упругим моделям.
Такая методика не позволяет моделировать работу кон¬
струкции как непрерывный процесс и определять её напря-
женно-деформированное состояние в процессе развития. По
методике расчета стержневых систем также не могут быть
рассчитаны конструкции, которые являются объектами теории
упругости, в частности, плосконапряженные элементы.
Важно отметить, что главной особенностью преднапря-
женных конструкций является сложный характер их нагруже¬
ния, когда приложение эксплуатационной нагрузки сопровож¬
дается существенным поворотом главных площадок. Как пока¬
зано в п.1.1., современные методики физически нелинейного
расчета предполагают простое пропорциональное нагружение
как при кратковременных, так и длительных воздействиях.
Ввиду того, что к физически нелинейным системам неприме¬
ним принцип суперпозиции "в большом”, воздействия предва¬
рительного обжатия, внешних нагрузок и усадки бетона не

65
могут рассматриваться как независимые.
Другой важной особенностью преднапряженных конструк¬
ций является то, что изменение их напряженного состояния,
а также прочностных и деформативных свойств, носит
длительный характер. Независимо от того, длительный или
кратковременный характер будет носить последующее нагру¬
жение, за нулевое напряженное состояние принимается на¬
пряженное состояние в момент передачи усилия преднапряже¬
ния на бетон (более строго, в момент достижения достаточ¬
ного сцепления арматуры с бетоном, когда может быть начат
отсчет деформаций усадки) Длительный характер изменения
напряженного состояния связан с развитием деформаций пол¬
зучести бетона. В общем случае уже на стадии изготовления
и монтажа (возведения) изменение напряжений бетона может
включать несколько циклов догружений и разгрузок, а на¬
пряжения достигать высокого уровня, близкого к пределу
прочности. Поэтому расчет деформаций бетона необходимо
выполнять на основе современных нелинейных теорий ползу¬
чести с учетом изменения прочностных и деформативных
свойств бетона, с учетом особенностей развития ползучести
в условиях сложного напряженного состояния.
Важным воздействием, оказывающим существенное влияние
на свойства монолитных и преднапряженных конструкций, яв¬
ляется усадка бетона. Усадка свойственна всем бетонам на
цементных вяжущих, не изолированным от внешней среды и
твердеющим на воздухе.
При последовательном возведение монолитных стен, диа¬
фрагм, ядер жесткости и др. подобных конструкций усадка

бб
ниже расположенных захваток (ярусов) конструкции приводит
к развитию в этих элементах значительных растягивающих
напряжений, способных вызвать прогрессирующее трещиообра-
зование. Как показано в работе [63], релаксирующее дейст¬
вие ползучести в этом случае является положительным фак¬
тором и должно учитываться в расчете.
В преднапряженных конструкциях усадка, не смотря на
релаксирующее влияние ползучести, может приводить к суще¬
ственным потерям преднапряжения.
По данным [4], напряженное состояние оказывает опре¬
деленное влияние на развитие деформаций усадки. Вместе с
тем, имеющихся данных недостаточно для установления зако¬
на связи усадки с действующими напряжениями, поэтому при¬
нимается, что усадка бетона является функцией только его
возраста ssh(t). Учет длительного характера изменения на¬
пряженного состояния преднапряженных конструкций позволя¬
ет рассматривать потери преднапряжения, вызванные ползу¬
честью и усадкой бетона, как историю напряженного состоя¬
ния, т.е. необходимость в проведении каких-либо особых
расчетов, связанных с потерями преднапряжения, отпадает.
Расчет на кратковременные нагрузки конструкций, изме¬
нение напряженного состояния которых носит длительный ха¬
рактер, связан с определенными методическими трудностями.
Под кратковременным принято понимать такое нагружение,
при котором длительные деформации еще не успевают раз¬
виться. Такое определение является условным, так как из¬
вестно, что даже за очень короткое время выдержки нагруз¬
ки на ступенях кратковременного нагружения, в пределах 3-

67
5 минут, развиваются быстронатекающие деформации ползуче¬
сти, а в целом кратковременные испытания длятся несколько
часов. Если исходить из того, что физическая нелинейность
бетона при кратковременном нагружении обусловлена разви¬
тием быстронатекающих деформаций ползучести, то кратко¬
временное нагружение следует рассматривать как длительный
процесс с чрезвычайно непродолжительными, в пределах не¬
скольких минут, этапами нагружения. Такой подход предпо¬
лагает разработку единой методики расчета конструкций на
кратковременные и длительные нагрузки.
Рассмотренные выше аспекты, составляющие принципиаль¬
но важные особенности работы монолитного и преднапряжен-
ного железобетона, взаимосвязаны и могут быть успешно
реализованы только в рамках обобщенной методики расчета
конструкций на различные виды нагрузок и воздействий. При
этом, как принято во всех современных теориях расчета и
нормах строительного проектирования, обычные, железобетон¬
ные конструкции рассматриваются как частный случай пред-
напряженных.
1.6. Задачи исследований
Представленный выше обзор состояния вопроса определя¬
ет целесообразность и основные направления исследований,
конечной целью которых является разработка деформационной
модели нелинейной ползучести железобетона и ее приложение
к расчету плосконапряженных элементов и систем из них в
условиях сложного непропорционального загружения предна-
пряжением и внешней нагрузкой. В соответствии с постав¬

68
ленной целью основными задачами исследований являются:
-	разработка общей методики физически нелинейного
расчета плоскостных железобетонных конструкций типа ба¬
лок-стенок и изгибаемых плит с учетом преднапряжения ар¬
матуры, длительности действия нагрузки и режимов сложного
непропорционального нагружения для различных стадий на¬
пряженно-деформированного состояния;
-	разработка шагово-итерационного метода решения фи¬
зически нелинейной задачи железобетона способом перемен¬
ной жесткости с использованием сочетания секущих и каса¬
тельных жесткостных характеристик материала с целью
обеспечения высокой точности оценки напряженного и дефор¬
мированного состояния конструкции на этапах изменения на¬
грузки и быстрой сходимость итерационных процессов при
решении задач ползучести;
-	разработка методики расчета способом тт (трансфор¬
мированного времени нагружения) деформаций линейной и не¬
линейной ползучести бетона в условиях сложного непропор¬
ционального загружения и неодноосного напряженного со¬
стояния в целях обеспечения что обеспечивает высокой эф¬
фективности численного решения задачи ползучести при при¬
менении метода конечных элементов и принципиальной воз¬
можности реализации многоэлементных моделей при расчете
конструкций на базе персональных компьтеров;
-	разработка способа учета быстронатекающих деформа¬
ций при решении задач ползучести бетона и железобетона на
базе унифицированной методики диаграмм-изохроон бетона;

69
-	разработка физически нелинейных соотношений для
железобетона с трещинами и без трещин с учетом стадии на¬
пряженного состояния, преднапряжения арматуры, длительно¬
сти действия нагрузки и характера нагружения;
-	разработка методики учета влияния длительности
действия нагрузки и характера нагружения на характеристи¬
ки критерия прочности бетона при объемном и плоском на¬
пряженном состоянии;
-	разработка способов формирования матриц жесткости
для бетонных и железобетонных конечных элементов балок-
стенок и изгибаемых плит для физически нелинейного расче¬
та с учетом длительности действия нагрузки, характера на¬
гружения и стадии напряженно-деформированного состояния;
-	разработка методики учета накопления остаточных
деформаций бетона вследствие его ползучести и усадки на
этапах разгрузки, при немногократно-повторном и знакопе¬
ременном загружениях;
-	разработка алгоритма физически-нелинейного расчета
железобетонных балок-стенок с учетом длительности дейст¬
вия нагрузки, преднапряжения арматуры и накопления оста¬
точных деформаций в условиях кратковременного, длительно¬
го, немногократно-повторного и закопеременного сложного
нагружения;
-	разработка алгоритма физически-нелинейного расчета
тонких железобетонных с учетом длительности действия на¬
грузки и накопления остаточных деформаций в условиях
кратковременного, длительного, немногократно-повторного и
закопеременного сложного нагружения;

70
-	разработка алгоритма физически-нелинейного расчета
по слоистой модели железобетонных изгибаемых плит с уче¬
том длительности действия нагрузки, преднапряжения арма¬
туры и накопления остаточных деформаций в условиях крат¬
ковременного, длительного, немногократно-повторного и за-
копеременного сложного нагружения;
-	проверка результатов выдвинутых теоретических по¬
ложений путем сопоставления расчетных, по предлагаемой
модели, и опытных данных из экспериментов ряда авторов на
отдельных образцах, фрагментах и полноразмерных конструк¬
циях .

71
2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛИТЕЛЬНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНА
2.1.Физические аспекты нелинейности деформирования
бетона при различных режимах загружения
Будем рассматривать полные деформации нагруженного
образца как сумму мгновенных линейно-упругих и нелинейных
деформаций, относя к последним все виды деформаций, не
подчиняющихся закону линейной упругости. Закон линейной
упругости считается справедливым только в момент загруже¬
ния (изменения нагрузки) Т.о., в нелинейные деформации
будем включать как деформаций ползучести, обусловленные
продолжительностью процесса загружения, так и чисто пла¬
стические деформации, не связанные с фактором времени.
Деформации ползучести представим в виде линейной со¬
ставляющей, которая подчиняется принципу наложения воз¬
действий, и нелинейной составляющей, которая полностью
необратима при разгрузке. Линейные деформации ползучести
обусловлены вязким течением тиксотропного- геля в составе
цементного камня, нелинейные - образованием и развитием
микротрещин, включая поры кристаллического сростка. Нали¬
чие собственных пор в кристаллическом сростке обусловли¬
вает нелинейность ползучести уже при малых напряжениях.
Процесс локализации микротрещин (самозалечивание
структуры) обеспечивает прочное сопротивление бетона
внешней нагрузке при высоких напряжениях сжатия. При этом
длительное действие нагрузки вызывает снижение предела
прочности, которое составляет при длительном действии на¬
грузки постоянного уровня до 15%, а при циклическом изме¬
нении нагрузки - до 50% призменной прочности, фиксируемой

72
при кратковременных испытаниях.
В диапазоне напряжений 6b^Rbi (Ды “ сопротивление
бетона с учетом длительности действия нагрузки и режима
нагружения) ползучесть носит затухающий характер. Дефор¬
мации затухающей ползучести претерпевают два этапа разви¬
тия, отличающиеся характером порождающих ползучесть при¬
чин .
Длительная ползучесть, обусловленная вязким течением
тиксотропного геля, характеризуется медленной скоростью
развития:	в течение первых суток загружения проявляется
менее50% линейных деформаций длительной ползучести. Зату¬
хание длительной ползучести обусловлено восстановлением
слабых межмолекулярных связей в среде геля. Кристаллиза¬
ция геля и наращивание объема кристаллического сростка
является причиной характерного изменения физико¬
механических свойств, известного как "старение бетона"
В момент загружения (изменения нагрузки) проявление
деформаций ползучести носит интенсивный характер. Факто¬
ром, ответственным за это, является развитие микротрещин,
или пор, которые всегда присутствуют в структуре цемент¬
ного камня (до трети его объема в незагруженном состоя¬
нии) Продолжительность действия этого фактора (назовем
его микроструктурным, в отличие от вязкого течения геля -
структурного фактора) резко ограничена во времени, что
связано с процессом локализации микротрещин. Однако, чем
выше уровень напряжений б^/Яы t тем продолжительнее от¬
резок времени, необходимый для самозалечивания структуры.
Соблюдение условия б^Яы в течение всей истории загруже-

73
ния обеспечивает надежную локализацию микротрещин.
Другим фактом, подтверждающим связь микроструктурно-
го фактора с уровнем напряжений, является то, что абсцис¬
са вершины диаграммы сжатия бетона остается постоянной
(около 0,2% для тяжелого бетона) и практически не зависит
от прочности бетона. Таким образом, выдвинутое в [14 4]
положение о зависимости микроструктурного фактора от
уровня напряжений представляется вполне обоснованным.
Экспериментами со сжатыми образцами (обзор экспери¬
ментальных данных по ползучести представлен в п.1.2) ус¬
тановлено, что даже при незначительном превышении дейст¬
вующими напряжениями величины Rbi, после продолжительного
отрезка прочного сопротивления, который может составлять
сотни суток, начинается бурный рост деформаций, приводя¬
щий образец к разрушению. Такое поведение бетона связыва¬
ется с накоплением внутренних структурных повреждений,
когда самозалечивание структуры утрачивается либо стано¬
вится недостаточным для локализации микротрещин по всему
объему бетона. По предложению А.А.Гвоздева и др.[50],
процесс накопления повреждений, приводящий к снижению
прочности бетона, описывается интегральной зависимостью
1
Rbi(t) = R,
t
f , л
m
1 т +
1 г
ст(т)
dt
1
[
р
J
*1
К Rb )
т +1
(2.1)
где t, т - координаты времени;
т, р - эмпирические параметры, которые определяются
по времени, необходимому для разрушения образцов в усло¬
виях простой ползучести.

74
Обобщая представленную выше качественную характери¬
стику деформаций бетона, можно выделить три фактора, обу¬
славливающих нелинейность, необратимость и неравновес-
ность процесса деформирования:
1)	структурный фактор, обуславливающий развитие де¬
формаций линейной ползучести;
2)	микроструктурный Фактор, обуславливающий натека¬
ние деформаций нелинейной, в т.ч. быстронатекающей, пол¬
зучести;
3)	накопление повреждений, обуславливающее снижение
прочности бетона в зависимости от продолжительности и ха¬
рактера нагружения.
Количественной характеристикой, позволяющей оценить
влияние первого фактора, является мера ползучести бетона.
Известные выражения для меры ползучести (в частности,
С. В. Александровского[4]) хорошо согласуются с опытными
данными.
Деформации, связанные с микроструктурным фактором,
нелинейно зависят от уровня напряжений г] (т) =6^ (т) /Rbi (?) и
полностью необратимы при разгрузке. Процесс натекания
этих деформаций в условиях постоянства уровня напряжений
описывается уравнением
sD(t) = Ф(Т1, t,x)	(2.2)
Общий вид функции <2(77, tr т) неизвестен. Можно отме¬
тить, что в общем случае она не отвечает условиям инвари¬
антности и аффинноподобия кривых нелинейной ползучести.
Если функцию (2.2) можно представить в виде произве¬
дения

75
0(rj,t,T) = 77 Sn(T],t,T),	(2.3)
то придем к выражению, содержащему функцию удельных де¬
формаций нелинейной ползучести Sn(ri,t,T), которая, в об¬
щем случае, также не отвечает условиям инвариантности и
аффинноподобия кривых нелинейной ползучести.
Как правило, функцию (2.2) записывают в виде, удов¬
летворяющем отмеченным выше условиям инвариантности и аф¬
финноподобия
sn(t) = F(TJ, x)Cn(t, т) ,	(2.4)
где F(t],t)	- функция нелинейности.
Параметры функций Rbi(t) и F(rj,T) в условиях загру¬
жения с регулируемой скоростью роста деформаций обеспе¬
чивают выход на нисходящую ветвь диаграммы сжатия бетона,
а функция	Cn(tfz) - смещение вершины	диаграммы	сжатия с
увеличением времени нагружения.
В области растяжения мера ползучести принимается та¬
кой же, как и в области сжатия, что соответствует приня¬
той практике расчетов, основанной на экспериментальных
данных (см.п.1.2) Предел прочности бетона на растяжение
Rbt также	зависит от режима нагружения	(например, при
циклическом загружении он снижается до нуля), однако эта
зависимость представляется недостаточно ясной. При запи¬
си функции нелинейности F(rj,r), где rj (т) =6ь (т) /Rbt (т) >
должно учитываться то обстоятельство, что абсцисса верши¬
ны диаграммы растяжения бетона не является константой и
зависит от прочности.
Соответствующие характеристики диаграмм деформирова¬
ния бетона исследованы с участием автора, результаты ис¬

76
следований частично опубликованы в [74,75,76] и приводят¬
ся в главе 3.
2. 2. Предложения по учету необратимых деформаций
ползучести бетона в форме интеграла Лебега
Систематическое изучение многочисленных эксперимен¬
тальных данных по ползучести бетона позволило установить,
что деформации ползучести состоят из отдельных компонен¬
тов, которые существенно различно ведут себя при измене¬
нии напряженного состояния и могут быть выявлены при на¬
гружении бетонных образцов-близнецов режимами специально¬
го вида /64, 83, 31/
Наиболее важной чертой длительного деформирования бе¬
тона при сложных режимах нагружения и высоком уровне на¬
пряжений является противоречие ПНВ. Часть деформаций пол¬
зучести, ответственная за это противоречие, определяется
как необратимые деформации ползучести первого рода £п
Оставшаяся часть деформаций ползучести, подчиняющихся
ПНВ, определяется как деформации последействия. Деформа¬
ции последействия линейно связаны с действующими напряже¬
ниями и, в свою очередь, содержат необратимую часть - не¬
обратимые деформации ползучести второго рода, связанные
со старением бетона. Многими исследователями эксперимен¬
тально установлено [5,9,11,13,42,46,175], что нелинейные
деформации ползучести необратимы на этапах разгрузки.
Уравнение, учитывающее полную необратимость деформа¬
ций ползучести при разгрузке, было предложено П. И. Ва¬
сильевым в работе [40] Интегральный член этого уравнения

77
имеет вид:
еп М =	1 -p^F(T)d<r.	(2.5)
о да
Смысл входящих в (2.5) величин приведен в п.1.2, формула
(1.39) В работе [40] уравнение (2.5) было принято для
полных деформаций ползучести, которые, по существовавшим
тогда воззрениям, считались полностью необратимыми.
А.А.Гвоздев и К.З.Галустов в работе [46] сформулиро¬
вали основные положения двухкомпонентной теории ползуче¬
сти, согласно которой деформации ползучести могут быть
представлены в виде суммы двух компонент - деформаций по¬
следействия и необратимых деформаций ползучести первого
рода. В двухкомпонентной теории, где идея П.И.Васильева
получила дальнейшее развитие и обобщение на случай
твердеющего бетона, для необратимых деформаций ползучести
первого рода принята зависимость
‘П так
£„ = J«PfaMrfa, фг). Г!(t) = a(t)iRb(t) ,	(2.6)
о
где Т - суммарная длительность действия уровня напряже¬
ний к моменту времени t;
F(T) - инвариантная функция.
Необратимые деформации ползучести первого рода, развиваю¬
щиеся при постоянном уровне напряжений, определяются по
закону
Л
£п (t) = <P(*7Mt - *l), Ф) =	(2.7)
0
Для старого бетона, призменная прочность которого посто¬

78
янна, уравнение (2.6) преобразуется к виду
^ max
en(t)= ^(<хМг(<7,фо-.	(2.8)
О
Рассмотрим ступенчатый возрастающий режим нагружения
образца, рис.2.1. В этом случае уравнение (2.6) запишется
как сумма
*n (fc)=ф(^ Мс-^)+[фЫ-фЫИс-^)+-
П	(2.9)
+[ф(^п) -	)k(t - тп)= s [ф(^ ) - ®{гц-1 )k(t - т±),
i=i
где 7]0= 0.
Для ступенчатого убывающего режима нагружения, рис.2.2,
уравнение (2.6) запишется как сумма
*пМ=-?])+[фЫ-фЫМ^з -7у)+
+ (2.10)
п-1
= E[^i)-^foi+y)Mri+7 -Гу)+ф(^п)г^-Ту)
i=l
Отметим, что выражение (2.9) эквивалентно закону нелинейной
теории упруго-ползучего тела, которая, как показывают многие ис¬
следования (часть их отражена в обзоре), обеспечивают хорошее со¬
ответствие кривым нелинейной ползучести при восходящих режимах
нагружения. В свою очередь, выражение (2.10) эквивалентно закону
теории старения, которая постулирует полную необратимость дефор¬
маций ползучести при разгрузке, но зависимости которой неудовле¬
творительно описывают эксперименальные данные при восходящих ре¬
жимах нагружения.
В случае ступенчатого режима нагружения общего вида,

79
включающего догрузки и разгрузки образца, величина sn(t)
определяется как сумма вида
^)=ф{%Нт(щ)]+	(2.U)
i=2
где iji -уровень напряжений на этапе нагружения 1, при
нумерации ступеней нагружения должно соблюдаться условие
Лх-1 < Vi < гц+1;
Т(г}±)- суммарное время действия уровня напряжений tj±.
Например, для режима нагружения рис.2.3, величина sn(t) по
формуле (2.11) определяется как сумма
*n(t) = Фз Mt - ^])+[Ф])-ф(^3 )]х
xF(t-T4+T3-Tj)+ [ф(щ )- Ф(/7У )]х	(2.12)
х F(t -	- г2) + [ф(^2 ) - Ф(т]4)] х f(t3 - т2).
Уравнения (2.6) и (2.8) содержат условие аффинности
кривых нелинейной ползучести, которое накладывает на вы¬
ражения для функций удельных деформаций нелинейной ползу¬
чести ограничения типа (2.7) Наряду с этим в двухкомпо¬
нентной теории предполагается инвариантность функции
F(t, г).
Представляет практический интерес обобщение правил
суммирования (2.9)	-	(2.11), обеспечивающих полную необ¬
ратимость нелинейных деформаций ползучести при разгрузке,
на случай, когда функция удельных деформаций нелинейной
ползучести (необратимых деформаций ползучести первого ро¬
да) записывается в виде (2.3), не содержащем условий ин¬
вариантности и аффинноподобия.

л
л
*1з
т
80
7п
t,
Ъ
т4
Рис .2.1. Возрастающий режим нагружения
Л
Vi
V2
г)з
I 7п
t, г
Г2
.Рис.2.2.Убывающий режим нагружения
m
14
t,T
«1
Рис.2.3.Режим нагружения общего вида

81
В этом случае для ступенчатого возрастающего режима
нагружения, рис.2.1, нелинейные деформации ползучести бу¬
дем определять по закону
= ViSnivu £/ Ti) +
+ V2SniV2r t, T2) - ruSnimr t, т2) +	(2.13)
Tn) — Vn-l^n^JIn-l'	rn).
Для ступенчатого убывающего режима нагружения, рис, 2.2,
нелинейные деформации ползучести будем определять по за¬
кону
*n(t) = mSnirii, Т2, т2) - ri2Sn{ri2, т2, т2) +
+ rl2Srkrl2' T3' Tl) ~ ЧзЗгАПзг X3r Т2) +
*l) ~	?Г\'	^l)	■*"
,	(2.14)
+ Пп^пКЧп' t, tj).
Для ступенчатого режима общего вида, включающего разгруз¬
ки и догрузки образца, нелинейные деформации ползучести
будем определять по закону
л
en(t) = HViSninu г1 + Ati> Ti) -
,	i=J	(2.15)
л -I
-	*1 + 1 + Ati + ls Ti + ll
i	= l
где	7]±	-	уровень	напряжений	на	этапе	нагружения	i, при
нумерации	ступеней нагружения	должно	соблюдаться	условие
li-l ^ Vi ^ Vi+l’r
А± - суммарное время действия напряжений tj± .
Если выражение для функции Sn{r]f t, т) можно записать
как произведение

82
S„(7,t,j-) = ^F(t-J-),	(2.16)
П
то путем подстановки (2.16) в формулы (2.12)- (2.14) после
несложных преобразований получим зависимости (2.9)-
(2.11)
Если функция удельных деформаций нелинейной ползуче¬
сти записана относительно напряжений в виде Cn{cr, t, г),
то правило суммирования, аналогичное (2.15), имеет вид
л
^n(t) = Z °iCn(oi/ Ti + Ati' *i) -
1=1	(2.17)
n-1
- Z	Ti	+	1	+	+	Ti	+	1),
i	= l
где <7-1 - напряжения на этапе нагружения i, при нумерации
ступеней нагружения соблюдается условие	;
Ati - суммарное время действия напряжений
Определение деформаций нелинейной ползучести по за¬
висимостям (2.13) - (2.15), обеспечивает полную необрати¬
мость этих деформаций на этапах разгрузки и позволяет ис¬
пользовать в расчете функции удельных деформаций нелиней¬
ной ползучести, не содержащие условий инвариантности и
аффинности кривых нелинейной ползучести.
Запишем закон суммирования (2.15) с учетом зависимо¬
сти (2.3)
п
*n(t) = X ф^хг + Atif т±) -
i=i
п-1
-	Ti+i + Ati+1' Ti+i\ (2.18)
i-l
Выражение (2.18) представляет собой квадратуру инте¬

83
грала Лебега
дФ(*1г t,r) ,
= J 	—dtf	(2.19)
о дт1
Таким образом, общее уравнение теории ползучести с
записью нелинейного члена в форме интеграла Лебега будет
иметь вид
s(t) = ^	Ut,	r)dr	+	"J	(2.20)
E(t) J Е(т) }Q дт]
д
где L(t, т) = -Е(т) -™
дт
1	+	C(t,	т)
Е(т)
- ядро линеинои ползуче¬
сти;
0(r\ftfT) - функция нелинейных деформаций.
Общий вид функции Ф(г\,Ь,т) неизвестен, можно выска¬
зать предположение, что в аналитическом виде это было бы
чрезвычайно сложное выражение. Ниже, в главе 3, представ¬
лен вариант записи функции Ф(г\,Ь,т) в форме вычислитель¬
ного оператора на базе диаграмм-изохрон деформирования
бетона.
2.3.Расчет нелинейных деформаций ползучести бетона
способом тт (трансформированного времени нагружения)
Расчет конструкций на основе современных теорий пол¬
зучести бетона практически возможен только численными ме¬
тодами на компьютерной основе. При этом необходимо пре¬
одолевать значительные вычислительные трудности, связан¬
ные с обработкой и хранением больших массивов данных об
истории напряженного состояния.

84
Способ тт, выдвинутый Н.И.Карпенко [70] и разра¬
ботанный им для области деформаций ползучести, подчиняю¬
щихся ПНВ, позволяет отказаться при расчете от операций с
массивами данных об истории напряженного состояния, заме¬
нив их последовательным трансформированием времени нагру¬
жения. При этом массивы данных об истории нагружения за¬
меняются фиксированным числом переменных, значения кото¬
рых изменяются в процессе счета. Число этих переменных
остается постоянным и не зависит от сложности режима на¬
гружения .
Идея способа состоит в следующем. Пусть
T±(i = 1, 2,	.)	- время приложения ступеней возрастающих
напряжений А<т± При х2 ^ t < т3 в соответствии с ПНВ де¬
формации линейной ползучести определяются
Sl(t)= AcrjCi(t,Tj)+ Acr2Ci(t,t2).	(2 .21)
Применяя способ тт, заменим строгое равенство (2.21) при¬
ближенным
£l(t)*(A<j1 + A(T2)Ci(t, тт2).	(2.22)
тт2 определяется таким образом, чтобы невязка правой и
левой частей приближенного равенства
A(7jCi{t, тг)+ A(T2Ci(t, т2)~{Асг1 + Aa2)Ci(t, тт2),	(2 . 23)
была минимальной. Для следующих этапов нагружения уравне¬
ние трансформирования (2.23) запишется в виде:
(AcTj + А<72 )С/ (t, тт2)+A<j3Ci (t, т3)я (A<j1 + А<у2 + Асг3 )С/ (t, тт3),	(2.24)
ит. д.
В [70] показано, что требование минимальной невязки

85
может быть обеспечено для t > г* + 2сут. При этом уравне¬
ние (2.23) или (2.24) на каждом этапе нагружения доста¬
точно решать один раз, при t =	+ 2 сут.
Результаты расчетов деформаций линейной ползучести
бетона по способу тт показали, что при t >	+ 2сут. спо¬
соб дает точность не ниже, чем теория упруго-ползучего
тела, с расхождением результатов, как правило, до 10%.
Рассмотрим трансформирование характеристик нелинейных
деформаций ползучести, не подчиняющихся ПНВ. Для этого
введем в рассмотрение режим нагружения, рис.2.4, который
позволяет выявить все особенности трансформирования, свя¬
занные с необратимостью деформаций ползучести еп .
Для т2 ^ t < т3 деформации нелинейной ползучести опреде¬
ляются в соответствии с формулой (2.18)
£п{*)= ф {7ll’t'Tl) + 0{7l2>t’T2)-0(Tll’t>T2)-	(2.25)
Заменим строгое равенство (2.25) приближенным:
£„(t)* Ф(Л2^’ТТ2)	(2.2 6)
Величина тт2 определяется так, чтобы невязка правой и ле¬
вой частей приближенного равенства
&{ni,UTi)+&(42>t’T2)-(&(rll>t>T2)*i<2(rl2>t’TT2)’	(2 . 27 )
была минимальной. В случае возрастающего ступенчатого ре¬
жима нагружения уравнение (2.27) для этапа 1 записывается
Ф(ъ-1 >	) + ф{^1 > f> Ti) ~
(2.28)
—	, t, Tj) — Ф{т]1, t, Тт(),
После трансформирования времени нагружения деформации не¬
линейной ползучести на этапе i определяются по формуле:

86
(2.29)
Как показали результаты расчета экспериментальных ре¬
жимов нагружения (они представлены ниже), требования ми¬
нимальной невязки обеспечиваются, как и в случае линейной
ползучести, для t > т± + 1 сут. В наших исследованиях кон¬
троль сходимости велся по двум составляющим деформаций
ползучести. При этом уравнение трансформирования (2.27)
или (2.28) на каждом этапе нагружения достаточно было ре¬
шать один раз, при t = т± + 1 сут.
Для т3 < t < т4 деформации нелинейной ползучести опреде¬
ляются в соответствии с формулой (2.18)
Для т4 < t < т5 деформация нелинейной ползучести определя¬
ется по формуле:
В случае убывающего ступенчатого режима нагружения форму¬
ла (2.31) для этапа i записывается:
где tj - начало этапа, предшествующего первой ступени
разгрузки.
tj определяется с учетом трансформирования времени нагру¬
жения по уравнению (2.28) или режима нагружения по урав¬
нению (2.33) или (2.34)
Формулы (2.29) и (2.32) будут справедливы в том слу¬
чае, если режим не предусматривает догружения образца по-
£М = Ф2>ГЗ’Тт2) + <^ЪМт2)-Ф{ъ,ТЗ’Тт2) =
= £„(т3)+Ф(ъЛтТ2)-<$(т13,т3,тТ2)
(2.30)
(2.31)
(2.32)

87
еле разгрузки. Если же этап догрузки следует за этапом
разгрузки (5-й этап на рис.2.4), то возникает необходи¬
мость в трансформировании предшествующего режима нагруже¬
ния в целом.
Трансформирование режима нагружения производится из
условия, что нелинейная деформация ползучести на начало
догрузки, вызванная предшествующим режимом нагружения,
равна нелинейной деформации ползучести, вызванной искомым
трансформированный режимом. При этом возможны два способа
трансформирования.
При трансформировании по первому способу параметром
трансформирования является время нагружения г, сохраняет¬
ся наибольший уровень напряжений Лтах, достигнутый на
предыдущих этапах нагружения. Для режима рис.2.4 уравне¬
ние трансформирования имеет вид:
Ф(?1тах’^5’^т)~	(2.33)
На рис.2.5 показан примерный вид режима нагружения после
трансформирования по уравнению (2.33)
При трансформировании по второму способу параметром
трансформирования являются напряжения, сохраняется транс¬
формированное на предыдущих этапах время нагружения. Для
режима рис.2.4 уравнение трансформирования имеет вид:
ф(т]т, т5, тт2 )- €„ (т5) = 0.	(2.34)
£п{т5) в (2.33) и (2.34) определяется по формуле (2.31)
На рис.2.6 показан примерный вид режима нагружения после
трансформирования по уравнению (2.34)

88
А >7
Л2
т
Пз
Л 4
П5
t, г
—>
Т2	Tj	Т4
Рис.2.4.Режим нагружения
*5
Рис.2.6.Режим нагружения после трансформирования по уравнению (2.34)

89
Как показали результаты расчета деформаций ползучести
экспериментальных режимов нагружения, оба способа транс¬
формирования приводят к практически одинаковым результа¬
там .
После трансформирования режима нагружения по уравне¬
нию (2.33) или (2.34), дальнейший расчет ведется в зави¬
симости от величины Aij (Ат}>0 v Atj <0). Если Arj<0, то де¬
формация нелинейной ползучести для t > т5 определяется по
формуле (2.32) Если Afj>0, то деформация нелинейной пол¬
зучести для t > т5 определяется по формуле (2.34) после
трансформирования времени нагружения по уравнению (2.38)
С целью проверки соответствия выдвинутых расчетных
положений опытным данным, были рассчитаны по способу Тт
деформации ползучести старого бетона при 6-ти сложных
режимах нагружения. На рис. 2.7 - 2.10 показаны опытные и
теоретические кривые относительных деформаций ползучести
бетона из экспериментов С.В. Александровского и
Н.А.Колесникова [84,9], rj = 64,85 и 272 сут. и А.В. Яши¬
на, Т.Г.Чернояровой и Е.А.Кузовчиковой [175], Tj =	188
сут. Функции удельных деформаций ползучести бетона приня¬
ты по данным [84] в форме
C,(t,T) = <p(T)-¥(t) е	-А(т)е-а(,-т>
е 7 - А? ,
(р( т) = y/(t) + А( т);
ф{т], t, т) = Ф( a, t, т) — (ст / <j0 )m Сп (t, г);
(2.35)
[e^-A2nJ
<Рп(т) = У/п(0 + Дп(т);
(2.36)

90
где а-2 [1/сут]
А(т) = (4 + 6,15е-°'0284т)• 10~6 [1/МПа];
у = 0,04 [ 1/сут] ; А2= 0,7;
<р(т) = (17 + 12,3e~°'02S4r)■ 10~6 [1/МПа 1;
и0=0,1[МПа]; т = 4;
an=3[ 1/сут];
Лп(г) = (0,8 + 7,5е-°'025т) • 10~13 [1/МПа];
уп =0,05 [ 1/сут] ; А2п = 1;
<рп=(2 + 8,5е-°'0285т)• 10~13 [1/МПа].
По данным [9] функции удельных деформаций ползучести
бетона приняты в форме
Aj = 3,8 • 10 6[1 /МПа]; aj = 3[l/cyT.]
А2 =6,7 10~6[ 1/МПа]; сс2 =0,018 [ 1 /сут];
Ф( Tj,t,T) = Ф( <J,t,t) = (сT/cr0)mC„( t,t),
AIn = 1,42 ■ Ю~10[ 1/МПа]; aln = 5 [1/сут];
А2п = 5,22 • 10~И[1/МПа ]; a2n = 0,06 [ 1/сут].
По данным [175] функции удельных деформаций ползуче¬
(2.37)
i=l
где п = 2;
(2.38)
i=l
<J0=0,1 [МПа];
m = 3;
n = 2;

91
сти бетона приняты в форме
C,(t,T) = B[C + e~ai<t>,/" ][1-е-а‘(г>1/" ];	(2.39)
где В = 3, Ъ-10~5 [1/МПа]
С = О,465
а2=0,09 [1/сут]
п = 2.
Ф(>1,1,т) = П2А[1-е-а'(1-г>'' ];
где А = 47,3 [1/МПа]
а]= 0,2 6 [1/сут]; л = 2.
Расчет деформаций ползучести бетона по способу тт вы¬
полнен при t = ri+7 сут. - время, при котором решаются
уравнения трансформирования. Сравнение опытных и теорети¬
ческих данных позволяет сделать вывод, что способ тт дает
точность не ниже, чем расчет по уравнениям ползучести,
положенным в его основу

60x10'5
Рис.2.7. График относительных деформаций ползучести и режим нагружения работы [84]
(Ti = 64 сут. , Rt — 40,5+44.2 МПа)
Обозначено: 1-экспериментальная кривая деформаций ползучести; 2-теоретическая кривая с
учетом записи нелинейного члена в форме интеграла Лебега; 3-теоретическая кривая по
способу гт/ 4-то же, с использованием приближенных формул (2.52) , (2.53)

93
60x10'5
Рис.2.8. График относительных деформаций ползучести и режима
нагружения работы [84] (ti = 85 сут., В-ъ — 40,5+44,2 МПа)
Обзначения см.рис. 2.7.
Рис .2.9. График относительных деформаций ползучести и режима
нагружения работы [9] (ti = 272 сут., Rb = 36,2 МПа)
Обзначения см.рис. 2.7.

94
25	40	60	80	100	120	140	160	180
65x10'5
25	40	60	80	100	120	140	160	180
Ряс.2.10. Графики относительных деформаций ползучести и
режимов нагружения работы [175]	(Ti=188 сут. ,Иъ=27,8 МПа)
Обозначения см.рис. 2.7.

95
2. 4. Зависимость точности решения задачи ползучести
способом тт от вида меры ползучести и возраста бетона
Рассмотрим ступенчатый возрастающий режим нагружения
{&}ь ~ {&1 /	&2 /	•••/	&п}	г
где каждый элемент связан с координатой оси времени
{г} = {rj , т2 ,	тп}
Для т2 < t < т3 линейная составляющая деформаций ползучести
после изменения нагрузки вычисляется по формуле
sl(t) = (TlC(t,Tl) + ((j2 -cr,)C(t,т2),	(2.40)
где C(t,r) - мера ползучести бетона.
В соответствии с принципом трансформирования строгое ра¬
венство (2.40) заменяется приближенным
e1(t)a<T2C(t,TT),	(2.41)
где rt определяется из уравнения
<72C(t,TT) = <7IC(t,TI) + ((72 -<?I)C(t,T2).	(2 .42)
При	условии, что упругие свойства бетона	не	изменяют¬
ся во	времени (Е(т) = const) уравнение (2.42)	преобра¬
зуется к виду
C(t-TT) = k1C(t-T1) + k2C(t-r2),	(2.43)
где к! =	a\	/	g2, к2	= (<j2	- /с2г
ki +	к2 = 1.
В частном	случае,	для	бетона зрелого возраста, мера
ползучести может быть представлена одной экспонентой
C(t,T) = A[l-e~r(t~T)],	(2.44)
Подставим (2.44) в (2.42) и после сокращения на общий для

96
каждого слагаемого множитель А придем к выражению
= k1[l-e~r^t~r^J+ к2[1-е~г^~т^ ]	(2.45)
Поскольку ki + к2 = 1, то после вычитания констант из ле¬
вой	и	правой частей уравнения (2.45) и умножения	их на
е^,	уравнение преобразуется к виду, инвариантному отно¬
сительно параметра t
еПт =к]егт' +к2еП2	(2.46)
и имеет аналитическое решение
тт = - Intkje7*1 +к7еГТ2 ).	(2.47)
У
Для ступенчатого режима только возрастающих напряже¬
ний уравнение (2.42), с учетом трансформирования времени
нагружения на предшествующих этапах нагружения, принима¬
ет вид
aiC(t>TT) = ai_1C(t,TTi_1) + (ai-ai_1)C(t)Ti)	(2.48)
где i - номер э-тапа нагружения,
и имеет аналитическое решение
тт = — ln(kj eytl + к 2 еГТ2).	(2.49)
У
Таким образом, при записи меры ползучести в форме (2.44)
задача трансформирования времени нагружения решается точ¬
но .
Мера ползучести в форме (2.44) относится к числу про¬
стейших и плохо согласуется с экспериментальными данными.
Поэтому даже для бетона зрелого возраста, как правило,
принимается
C(t,T) = 'Z1Aj[I-e~r,<t~!>]-	(2.50)
J

97
В этом случае уравнение трансформирования не приводится
к виду, инвариантному относительно параметра t, и его ре¬
шение возможно только численным методом (например, Нью¬
тона - Рафсона или подобным) для заданного значения t =
Ti + At. В случае применения меры в виде суммы (2.50) ра¬
венство (2.42) достигается только приближенно, при t > Xi
+ 1	сут.,	за счет сокращения членов с	индексом j	> 2.
Таким	образом, можно считать, что	установленный ранее
путем численных экспериментов вывод о том, что уравнения
трансформирования на каждом этапе нагружения достаточно
решать один раз, при t = Xi + At , At > 1 сут., получил
теоретическое обоснование.
Бетон	в период набора прочности	отличается	высокой
деформативностью, что приводит к необходимости использо¬
вания для	описания функций удельных	деформаций	сложных
многочленных выражений. Как показали результаты численных
экспериментов, расчет деформации ползучести молодого бе¬
тона с учетом нелинейной составляющей по зависимости
(2.15) завышает экспериментальные данные. Это завышение
значительно в период набора прочности и практически утра¬
чивается со временем. С целью улучшения сходимости теоре¬
тических, по способу Тт, и опытных данных, была сделана
попытка заменить величину t-x^+At, At--^ сут., при кото¬
рой решались уравнения трансформирования, величиной
с ~	+f(T)> f(T)< 1 сут. Возможность такой замены была под¬
сказана тенденцией кривых относительных деформаций ползу¬
чести при изменении t в уравнениях трансформирования,
рис.2.11.

75x10's
Рис.2.11.График относительных деформаций ползучести и режима нагружения работы
[175] (t! = 188 сут., Rb = 27,8 МПа)
Обозначения 1-3 см.рис. 2.1.; 4 - теоретическая кривая относительных деформа¬
ций ползучести по способу тт при t =	+ 10 сут., 5 - то же, при t = гi + 100 сут.

99
В результате численных экспериментов была установлена
форма зависимости f(t):
Параметры функции f (т), также установленные путем числен¬
ных экспериментов, оказались равны:
у = 7,5 • 10~2 1/сут
А = 28 сут.
На рис. 2.12 - 2.15 показаны опытные и теоретические,
по способу тт с учетом зависимости (2.51), кривые относи¬
тельных деформаций ползучести бетона из экспериментов
С.В. Александровского и О.М. Попковой [11] и С.В. Алек¬
сандровского и Н.А. Колесникова [10], Гу= 4 и 7 сут.
Функции удельных деформаций ползучести бетона приняты
по данным [11,10] в форме (2.30) и (2.31), где по данным
[11]
а= 5 [1/сут]
А(т) = 3,99 + З,86е~°'083т + 3,58е~°'18т )-10~6 [i/МПа] ;
у= 0,04 [1/сут]
А2 = 0,6
<р(т) = (10 + 26е~°'018т +45,4е~0>44г)-10~6 [l/МПа];
<т0= 0,1 [МПа]
m = 1,5;
aH = 5 [1/сут]
f(r) = —[e~r(A~T) -е~уА]<1, сут.
(2.51)
Ан (т) = (о,26 + 2,05е
Ун =0,04 [l/сут];
= 0,9;
\ю 8 [l/МПа]}

100
(рн (т) = (о,5б + 4,14е~°’071т + 13,45е~°’39т )• 10~8 [l/МПа] ;
по данным [10]
a = 5 [l/сут];
4(r) = (* + 8,63е~°’0298т )• 10~6 [l/МПа] ;
у = 0,02 [l/сут];
А2 = 0,7;
p(r)= [l5 + 22,7e~°'0413r\lO~6 [l/МПа] ;
(Т0 = 0,1 [МПа];
m = 2;
ан= 5 [l/сут];
2lH (г) = (о,05 + 0,62е-°'0663т + 3,87е~°’248т)• 7 О-5 [l/мЯа] ;
= 0,04 [//сут];
Л2н = 0, 9;
<рн(т)=[0,07 + 0,684е~0’061т + 3,4е~°'212т\ 10~8 [l/МПа].
Сравнение опытных и теоретических, по способу гт,
данных показывает, что введение зависимости (2.51), не
нарушая единства методики расчета по способу тт,
значительно улучшает результаты расчета ползучести
молодого бетона.

101
Рис.2.12.Графики относительных деформаций ползучести и режимов
нагружения работы [11] (ti = 4 сут.)
Обозначения см.рис.2. 7.

102
60
10
0
^
• «
ч
'"7".
а
\ # <
Г" Г "1
—^

Ю to 30 но	s'0	60 7о	$o	<io ioo no no m
Рис. 2.13. Графики относительных деформаций ползучести и
режимов нагружения работы [11] (ti = 4 сут.)
Обозначения см.рис.2.1.

103
80x10
60
40
20
0
-5

г • •
ru
• t.1.

. • m ш
9
4
•
•
V
• \
_ 4
- t <
;/Ч-
•
14,4
10
►
•
11,8
5,5 ML
la
1 2’1
4
4,9-
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	1	20	130
80x10
-5
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	ПО	120	130
Рис. 2.14. Графики относительных деформаций ползучести и
режимов нагружения работы [10] (Тх ~ 7 сут.)
Обозначения см.рис.2.7.

<у, МПа
4
О
о	20	40	60	80	100	120	t,	сут.
Рис. 2.14. Графики относительных деформаций ползучести и режимов нагружения работы [10]
(Ъ = 7 сут.)
Обозначения см.рис.2.1.

105
2. 5. Трансформирование характеристик ползучести
бетона по приближенным формулам
В работе [70] показано, что к решению уравнений трансфор¬
мирования можно прибегать не всегда. При назначении ша¬
гов по времени т±—т±_] <25 сут. для молодого бетона и 90-
100 сут. для бетона, загруженного после 28 сут. тверде¬
ния, трансформированное время нагружения для линейной со¬
ставляющей можно определять по формуле
Ci-]TTi_j +Aa<Tj
rTi = 11 T1 1	(2.52)
Расчет нелинейной составляющей деформаций ползучести при
трансформировании времени нагружения по приближенным фор¬
мулам возможен только при условии аффинности кривых нели¬
нейной ползучести. В этом случае формула, аналогичная
(2.52), будет иметь вид:
„	_	,о с о \
Тт1 		7	г	.	(2.53)
Формулы (2.52) и (2.53) непосредственно следуют из урав¬
нений трансформирования (2.19) и (2.23)
На рис. 2.7-2.15 показаны теоретические, по способу
тт, кривые относительных деформаций ползучести, вычислен¬
ные с применением формул (2.52) и (2.53) Сравнение их с
опытными данными ними показывает, что расчет трансформи¬
рованного времени нагружения по приближенным формулам
обеспечивает вполне удовлетворительную сходимость с экс¬
периментальными данными. Опыт расчета ряда конструкций с
трансформированием времени нагружения по приближенным
формулам (2.52) и (2.53) показал, что приближенная мето-

106
дика позволяет существенно снизить время расчета практи¬
чески без снижения точности результатов.
Способ тт в сформулированном виде охватывает все ре¬
жимы нагружения при действии напряжений одного знака. При
знакопеременном нагружении реальный режим нагружения раз¬
бивается на две ветви напряжений одного знака, по каждой
из которых трансформирование ведется независимо.

107
3. ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ
И КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА
3.1.Диаграммы деформирования бетона
при кратковременном нагружении
Для описания диаграмм деформирования бетона и арма¬
туры sm-om (рис. 3.1) принимается обобщенная аналитиче¬
ская зависимость в виде
£т = сгт/(^'т ’ vm)'	= dom/[Em • vm j	(3.1)
где £m, om, Em - соответственно относительные деформации,
напряжения, начальные модули упругости;
т - индекс материала (для бетона т = b,bt; для ар¬
матуры m=s) ;
vm - коэффициент изменения секущего модуля, опре¬
деляемый по формуле, предложенной Н.И.Карпенко [72]
v/n = Ът±{ч0-ЪтЦ1-и1Г1-а2Г12 ,	(3.2)
здесь vm - значение коэффициента vm в вершине диаграммы
(при от=дт) ;
v0 - начальный коэффициент изменения секущего мо¬
дуля;
WU ш2 ~ коэффициенты, характеризующие полноту
диаграммы материала, причем
г] - уровень приращения относительных напряжений;
V = (Ял — ®m,el)/{pm ~(3.3)
здесь и далее принимается (crm-crm/в1)>0; am,ei ~ напряже¬
те	,
ния, отвечающие пределу упругости материала; vm — коэф¬
фициент изменения касательного модуля:

В формулах (3.2) и (3.4) знак плюс принимают для диаграм¬
мы деформирования арматуры и для восходящей ветви диа-
граммы деформирования бетона, а знак минус - для
нисходящей ветви диатраммы деформирования бетона.
Коэффициент vm определяется с использованием уровня
£
относительных деформаций	(при £т>£т,е1, иначе vm-
^т
= 1) из решения квадратного уравнения
При решении уравнения (3.5) перед квадратным корнем
принимается знак плюс.
Знаки напряжений: плюс - растяжение, минус - сжатие,
уровни г), r}d и коэффициенты vm/v0/vin - всегда положитель¬
ные величины.
В расчетах конструкций на кратковременное действие
нагрузки в качестве исходной диаграммы одноосного сжатия
(растяжения) бетона принимается диаграмма-изохрона, полу¬
чаемая согласно п.3.3. по исходным диаграммам одноосно
нагружаемых стандартных образцов - призм (восьмерок) с
постоянными скоростями роста деформаций для отрезка вре¬
мени до вершины диаграммы (t - t0)	= 1/24 сут, где t0 -
возраст бетона к началу нагружения.
2	7	Ci
vm 1 + ~
(3.5)

109
При одноосном и однородном сжатии бетона (рис.3.2)
исходная диаграмма деформирования бетона описывается за¬
висимостями (3.1)-(3.5), в которых принимается:
для обеих ветвей диаграммы
-	-	<5ь	~
®т~ ~Rb,serr	vb	—	7Z	Z	4 = &b/<^b'	(3.6)
(*b-Eb)
£b,ei=°' Па=£ь/£ь; £ь=°ьЛЕь-Ъь);	(3.7)
(причем	rjd = qvb/vb ) ;
для восходящей ветви (q<l; r\d<l)
v0 = 1;	= 2 - 2,5 • vb ;	(3.8)
для нисходящей ветви {ц<1; r\d>l)
v0 = 2,0 5 vb; Ш] = 1,95vb -0,138 ;	(3.9)
Обычно	принимается	&b=0,002. Это значенме	может быть
уточнено по формуле P.JI.Серых и Т.А.Мухамедиева
В 1 + 0,75 АВ/ 60 + 0,2 А/В
гь=—А	 	;	(3.10
ь Ев	0,12 + В/60 + 0,2/В
где В - класс бетона; А - безразмерный коэффициент, зави¬
сящий от вида бетона и принимаемый равным:
для тяжелого и мелкозернистого бетонов Л = 1;
для легкого бетона плотности D, (кг/м3) ,
A = D/2400	(3.11)
для ячеистого бетона
А = 0,25 + 0,35В.	(3.12)
Выражение	(3.5)	для определения коэффициента	vb при
использовании уровня относительных деформаций принимает
вид

110
Рис. 3.1. Полные диаграммы деформирования материалов
Обозначено:	1	- диаграмма деформирования бетона;	2	- то
арматуры с физическим пределом текучести;	3	-	то	же,
арматуры с условным пределом текучести
же,
для
Рис. 3.2. Диаграмма деформирования бетона при
растяжении (а) и сжатии (б)

Ill
При одноосном и однородном растяжении бетона
(рис.3.2) исходная диаграмма деформирования бетона описы¬
вается зависимостями (3.1)-(3.5), в которых принимается:
здесь Ybtq ~ коэффициент, учитывающий влияния градиента
деформаций, при осевом растяжении он принимается равным
единице;
Rotn=2,5 МПа;
Rbtn ~ принимается по нормам проектирования.
Параметры vq, Ш}, вычисляют по формулам (3.8),	(3.9) при
замене vb на vbt; аналогичные замены выполняются также в
формулах (3.5) и (3.13)
При расчете элементов ограниченной высоты становится
ощутимым влияние градиента деформаций на диаграмму дефор¬
мирования бетона. В этом случае диаграммы деформирования
сжатых волокон описываются приведенными выше формулами, а
значение коэффициента перед в формуле (9) при опреде¬
лении ш1 снижается до 1,4.
Для элементов с двузначной эпюрой напряжений в сечении
здесь hs = 30 см - некоторая эталонная высота сечения;
°bt - Rbt,serYbtq' abt,el~ 0' rl~abt//^bt>
(3.14)
(3.15)
sbtfei ~ °' £bt=dbt/{Ebt'Vbt); Vd^Zbt/ebt'	(3.16)
(3.17)
h - фактическая высота сечения.

112
При оценке несущей способности конструкций на стадии
проектирования (проверке несущей способности) прочностные
характеристики в зависимостях (3.1)-(3.17) принимаются
равными их расчетным значениям в соответствии с требова¬
ниями норм проектирования.
3.2.Диаграммы деформирования арматурной стали
Диаграммы арматуры разделяются на два вида:
1)	с условным пределом текучести (стержневая арматура
классов А500С,	А550 (А-Шв) , А600 (A-IV) и выше и прово¬
лочная арматура);
2)	с физической площадкой текучести (стержневая арматура
классов А240	(А-I), А300 (A-II), АсЗОО (Ac-II), А400	(А-
III) и Ат400С (Ат-Ш) )
Наряду с характеристиками Rsn,	RS/Ser, Rs,	определяе¬
мыми по указаниям СНиП 2.03.01-84*, для более полного
описания диаграмм деформирования вводятся следующие до¬
полнительные характеристики:
Rsu,n ~ нормативные сопротивления разрыву и £SU/seг ~ рас¬
четные	сопротивления разрыву для	предельных	состояний
второй	группы, которые определяют	согласно	табл. 3.1 и
3.2, причем Rsu, ser~ Rsu,n'
Rsu - расчетные сопротивления разрыву для предельных со¬
стояний первой группы
Rsu ~Rsu,n/Ys'	(3.18)
где ys ~ коэффициент надежности по арматуре, принимаемый
согласно табл.21 СНиП 2.03.01-84* для предельных состоя-

113
ний первой группы;
<тзи - нормативные относительные удлинения при разры¬
ве, определяемые согласно табл. 3.1 и 3.2 (допускается
использовать их без изменения как при расчете конструкций
по второй, так и по первой группам предельных состоя¬
ний) ;
i7S/ei - уровни пределов упругости, определяемые со¬
гласно табл.3.1 и 3.2 независимо от группы предельных
состояний.
Таблица 3.1.
Дополнительные характеристики
стержневой арматуры
Вид и класс арматуры
Уровни
пределов
упруго¬
сти
Vs,el
Нормативные сопро¬
тивления разрыву
Rsu и расчетные
сопротивления раз¬
рыву Rsu,ser Для
предельных состоя¬
ний второй группы,
МПа
Относи¬
тельные
удлине
ния пос¬
ле раз¬
рыва
Ssu
Стержневая горячека-
танная:
круглая класса А240
(A-I)
-
375
0,25
Периодического профи¬
ля класса:
А300 (A-II)
490
0,19
АсЗОО (Ас-11)
-
440
0,25
А400 (A-III)
—
590
0,14
Ат400С (Ат-Ш)
—
500
0,16
А500С
0,7
600
0,14
А600 (A-IV)
0,4*
800
0,06
А800 (A-V)
0,5
1030
Г-
о
о

114
А1000 (A-VI)
0, б
1230
0,06
Стержневая термически
упрочненная класса:
АтбОО (At-IV)
0, 65
800
0,12
АтбООС (At-IVC)
0,7
850
0,12
Ат800 (At-V)
0, 65
1000
ОО
о
о
Ат800К (At-VK)
0, 65
1000
оо
о
о
АтЮОО (At-VI)
0,6
1250
0,07
АтЮООК (At-VIK)
0, б
1250
0,07
Ат1200 (Ат-VII)
0,6
1450
0,06
*) Для стали марки 80С (А600) *7s,el = 0/74.
Примечание: в месте сварных соединений диаграммы деформи¬
рования арматуры можно использовать только до деформаций
<10~2
Таблица 3.2.
Дополнительные характеристики
проволочной арматуры
Уровни
Нормативные
Относи¬
пределов
сопротивления
тельные
упругос¬
разрыву RSU/n и
удлинения
Вид и класс арматуры
ти
^s,el
расчетные со¬
противления
после раз
рыва £su
разрыву RSu,ser
для предельных
состояний вто¬
рой группы,
МПа
Обыкновенная аоматуоная
лока Вр-I диаметром, 3
0,6
545
С\]
О
О
мм:
4
0,6
540
0,025
5
0,6
525
0, 03
Высокопрочная арматурная
проволока гладкая класса В-П
диаметром, мм 3
ОО
о
I860
0,04
4
00
о
1760
'чГ
О
о

115
5
0,8
1665
0,04
6
0,8
1565
0, 05
7
0, 8
1470
0,06
8
0,8
1370
о
о
Периодического профиля клас-
Bp-II диаметром, мм 3
0,8
1815
0,04
4
0, 8
1715
0,04
5
0,8
1570
0,04
б
0, 8
1470
0, 05
7
0, 8
1370
0, Об
8
0, 8
1275
0,06
В зависимости от группы предельных состояний принимается
^s, el =	,	ser^s ,е1 или ,el ~ ^-s^s ,el '
где °s,el ~ пределы упругости арматуры.
Для арматуры с физической площадкой текучести вво¬
дятся дополнительные характеристики, соответствующие
концу площадки текучести, и характеристики промежуточной
точки на ветви упрочнения, которые приведены ниже.
Представленные диаграммы записаны для оценки пре¬
дельных состояний второй группы, если оцениваются пре¬
дельные состояния первой группы, то во всех формулах со¬
противления RS/Serf Rsu,ser заменяются на сопротивления Rs,
Rsu -
Диаграммы	деформирования арматуры	без	физической
площадки текучести описываются зависимостями (3.1)—(3.5),
в которых,	кроме формальной замены нижнего	индекса т
на индекс s, принимается:
\>о = 1г оs — Rsu, ser' £s ~ ^su'	(3.19)
4s = ^su,ser^{^s ’Ssu)'	(3.20)

116
Avo-vsYiih-ihivo^-tsY	„ „
а1 ~	7	v	\2	*	(3.21)
noAVOJ-llyo-Vs)
Здесь Ш]<2 В случае Ш]>2 учитываются следующие осо¬
бенности :
1)	r)gf2 и v0f2 - уровни напряжений и коэффициенты секу¬
щего модуля, соответствующие условным пределам текучести
(точке а на линиях рис.3.1)
Rs,ser ~Gs,el ш
ПО,2 =	 	;	(3.22)
Rsu,seг ®3/в1
Р
»02=		•	(3.23)
Rs,ser+0,002ES
2)	Уровни напряжений г? и г)0 2 отсчитывают от напря¬
жений предела упругости. Относительные деформации армату¬
ры, соответствующие пределу текучести,
£0,2 ~ *s, ser/{ps ' v0,2 ) •	(3.24)
Для арматуры с физической площадкой текучести пол¬
ная диаграмма растяжения разделяется на два участка,
границей которых является точка р с координатами ds,is,
соответствующая концу площадки текучести
1,01 • Rs ser
5S =1, 01RS/Ser; €S=AS+	(3.25)
Es
Здесь	As -	относительная	длина физической	площадки	теку¬
чести	(для	арматуры класса	А240 (А-I)	As=0,015;	для	арма¬
туры класса А300 (А-П)	As=0,012;	для	арматуры	класса	А240
(А-Ш) As=0, 008)
До точки р диаграмма описывается с использованием формул
(3.19) — (3.21) , в которых	величины RSu,serr	£Su	заменяются

117
соответственно на ds,es, вычисляемые по формулам (3.25),
кроме этого
as,elK°'97Rs.ser	(3.26)
(в данном случае г\3^е1&0,97)
Второй участок диаграммы (линия 2 на рис.3.1) продол¬
жается от точки р с координатами ds,£s до реальной верши¬
ны диаграммы и с координатами os =RSUfSer, £s =£su / соответ¬
ствующей разрыву арматуры (величины RSUrSer, ssu определяются
согласно табл.3.1) На втором отрезке диаграммы вводится
дополнительная точка к с координатами
(к) ~	ser '	(к)	~	+ Os (k)/Es *	(3.27)
Второй участок диаграммы также описывается общими за¬
висимостями, в которых следует заменить
as (к) ~ &S	/ -о оо \
по,2	на Ц(к)=-	(3.28)
su,ser °s
v0,2 на vs (к) =ri°S (k)	и	ПРИНЯТЬ
\ES ' Ss (к)/
O’ о	о о as	£*cj	.	_	^	rv	X
v0 =—ir/	5=—	'	(3.29)
Zs£s	Rsu,ser~	E-su
здесь ds, ?s - величины, вычисляемые по формулам (3.25),
esu - принимается по табл.3.1.
Связи между напряжениями и деформациями арматуры в
элементах с трещинами описываются двумя диаграммами. Пер¬
вая диаграмма связывает напряжения as с деформациями
ss в трещине; она записывается как для свободной армату¬
ры. Вторая (средняя) диаграмма os-esm связывает напряже¬
ния в арматуре в сечениях в трещинами as со средними де¬

118
формациями арматуры ssm на участках между трещинами,
которые из-за влияния сцепления арматуры с бетоном оказы¬
ваются меньше деформаций ss свободной арматуры. Средняя
диаграмма деформирования арматуры в бетоне имеет два уча¬
стка. Первый участок имеет место при as-as,el- На этом
участке
Zsm=Gs$s/Es	(3.30)
где Ips - коэффициент, учитывающий работу растянутого бе¬
тона на участке с трещинами, который конкретизируется в
последующих разделах. Концу первого участка соответствуют
деформации
ssm,el ~ °s ,el$s ,el^Es г	(3.31)
где	^s.el	~	коэффициент ijrs при	°s =°s,ei	(ПРИ	напряже¬
ниях предела упругости)
Формально первый участок средней диаграммы может быть
представлен зависимостями (3.19) - (3.29), если принять
Vfl=Ws	(3.32)
Второй участок имеет место при Gs>(Js,ei или
£sm>£sm,el • На этом Участке
^sm —	’ vsm ) •	(3.33)
гДе vsm ~ коэффициент изменения секущего модуля средней
диаграммы;	этот	коэффициент при	записи	средних	диаграмм
арматуры без физической площадки текучести и первых час¬
тей средних диаграмм арматуры с физической площадкой те¬
кучести вычисляют по формулам (3.19)-(3.29), где заменяют
v0 на VQm; vs на vsm; v0f2 на v0/2m;
42 на ео,2т’' на vsm; qd на	на	esm.

119
(дополнительный нижний индекс т указывает на характери¬
стики средней диаграммы), принимая
1	_	2v0,2	.	~	_ 2vs
vom .	>	v0,2m ~ 7 ,	>	vsm —	~	>
$s,el	l	+ v0f2	1 + У3
(3.34)
-	Rs,ser .	~	_ gsmv5 .	_ £sm
t-0,2m	„	'	t-sm ~	'	■‘/dm	— ~
"sv0/2m	vsm	^sm
Второй участок средней диаграммы арматуры с физиче¬
ской	площадкой	текучести, так	же как	и	второй	участок
свободной арматуры, описывается формулами (3.19)-(3.29),
в которых заменяют
v0 на	v0m;	vs	на	vsm; vsu	на	vsum	;
vs (к)	Ha vs(k)m' Ssu	Ha £sum'	tfd	Ha	tfdm '
принимая
vom — 2,5vs/{l + l,5vs ); vs (k)m =	(k)/{^	(k))>	(3.35)
^sum = 1'^su >	€sum =	>	*1с1т	=	£sum >
здесь vs соответствует первой части диаграммы;
esu назначается согласно табл.3.1.
Средние модули деформации арматуры на участке с
трещиной вычисляются по зависимости
JE?om =	(3.36)
sm s sm	\ v /
Единообразная запись диаграмм деформирования свобод¬
ной арматуры и арматуры в бетоне с трещинами позволяет в
унифицированном	виде составить	алгоритмы	расчета	физиче¬
ских характеристик конечных элементов.

120
3.3.Диаграммы деформирования бетона с учетом
длительности действия нагрузки
(диаграммы-изохроны)
Фактором, оказывающим наиболее существенное влияние
на диаграмму деформирования наряду с возрастом бетона,
является режим нагружения. С увеличением времени приложе¬
ния нагрузки происходит натекание деформаций ползучести,
в результате чего точки диаграммы деформирования переме¬
щаются вправо. Одновременно с этим действие высоких на¬
пряжений приводит к уменьшению прочности бетона, в ре¬
зультате чего вершина диаграммы смещается вправо и вниз.
Если время, за которое достигается положение каждой точки
диаграммы деформирования, одинаково, то она трансформиру¬
ется в диаграмму-изохрону с заданным параметром t-r -
временем загружения.
Будем рассматривать три типа диаграмм-изохрон,
которые различаются схемой загружения. Первому типу диа¬
грамм-изохрон соответствует режим нагружения, показанный
на рис.3.3,а. В этом случае кратковременно приложенные в
момент г, совпадающий с возрастом бетона, напряжения аь(т)
(обозначены цифрой 1) выдерживаются постоянными в течение
заданного времени t-r. Такой режим нагружения будем для
краткости именовать "жестким", а соответствующую диаграм¬
му-изохрону (обозначена цифрой 2) диаграммой-изохроной
"жесткого" режима нагружения. Такая схема была, по-
видимому, впервые применена к расчету конструкций на пол¬
зучесть в работе П.И.Васильева [40]
Второму типу диаграмм-изохрон соответствует ре¬
жим нагружения, показанный на рис.3.3,б. В этом случае

121
Рис. 3.3.Схемы построения диаграмм-изохрон бетона
Обозначено:	а)-	ступенчатое	нагружение;	б) - с
постоянной скоростью роста напряжений; в) -с постоянной
скоростью роста деформаций

122
напряжения линейно возрастают от нуля до некоторого зна¬
чения <Jb(t) (обозначены цифрой 3) в течение заданного
времени t-r. Такой режим нагружения будем для краткости
именовать "мягким", а соответствующую диаграмму-изохрону
(обозначена цифрой 4) диаграммой-изохроной "мягкого" ре¬
жима нагружения.
Третьему	типу диаграмм-изохрон	соответствует	режим
нагружения, показанный на рис.3.3,в. В этом случае дефор¬
мации возрастают с постоянной скоростью от нуля до неко¬
торого значения £ь(Ь) (обозначены цифрой 5) в течение за¬
данного времени t-r. Диаграмма-изохрона такого режима
нагружения (обозначена цифрой 6) содержит нисходящую
ветвь и дает наиболее полные представления о характере
деформирования материала.
Согласно	формуле (3.1), представим	связь	напряже¬
ния-деформации для диаграммы-изохроны в виде
eb(t,T) = —(7-^t,T)-—	(3.37)
Ы	Eb(T)vb(t,T)
или	€b(t — т) — —G.b~ .Т-—- ,	(3.38)
Eb(T)vb(t-T)
если свойства бетона инвариантны по отношению к воз¬
расту (зрелый бетон), тогда t-r - время загружения.
Важной характеристикой диаграммы-изохроны являются
координаты ее вершины &b(t - т) / Rb, sR(t - т). В опытах
различных авторов экспериментально установлено, что при
загружении образцов по схемам рис.3.3(б,в) с увеличением
времени загружения t прочность бетона снижается. По раз¬

123
личным данным при t-r—>oo это снижение составляет от 10 до
25% по отношению к прочности, зафиксированной при стан¬
дартных кратковременных испытаниях (при t-т « 60 мин.) В
целом зависимость призменной прочности от времени загру-
жения может быть аппроксимирована функцией вида
Rb(t,T) = [к + (1 - k)<p(t-T) ]Rb(T) ,	(3.39)
где к - коэффициент, отражающий экспериментально уста¬
новленные пределы снижения прочности бетона при длитель¬
ном загружении и изменяющийся от 0,9 до 0,75 , для прак¬
тических расчетов принимается к = 0,85;
(pit-т) - эмпирическая функция, учитывающая влияние
времени загружения по схемам рис.3.3.(б,в) на призменную
прочность бетона;
Rb(T) - призменная прочность бетона в возрасте г, оп¬
ределенная по стандартной методике (при времени загруже¬
ния t « 60 мин.)
Анализ экспериментальных данных работы [220], а также
теоретических предложений работ [142,144] показал, что
при диапазоне времени загружения от 1 мин. и практически
до бесконечности функция <p(t-T) может быть представлена
простой зависимостью, линейной относительно логарифма t
(p(t-T) = 1,46 - 0,112 In (t-т) ,	(3.40)
где t-т - время загружения в минутах.
На функцию (3.40) накладывается ограничение <p(t-T) > 0.
На рис.3.4,а показано соотношение экспериментального,
по данным работы [220], и теоретического, по предлагаемым
зависимостям	(3.39),(3.40),	снижения	призменной

124
О) Я ьм/иь(т)
s) ?t,X.
tn(t-T)
Рис.3.4. Изменение призменной прочности (а) и
относительных деформаций бетона в вершине диаграммы (б)
с увеличением времени загружения образцов
Обозначено: о - серия С1-2; □ - серия С%-7

125
прочности бетона с увеличением времени загружения для
двух серий образцов, отличающихся прочностью и возрастом
к моменту испытаний. Основные характеристики бетона ис¬
следованных образцов, по данным работы [220], представле¬
ны в табл.3.3.
Таблица. 3.3.
Номер
серии
по
[220]
Возраст бе¬
тона в мо¬
мент испыта¬
ний г, в
сут.
Кубиковая
прочность
бетона*, МПа
Модуль мгновенно-упругих
деформаций, МПа
С1-2
56 - 75
23,2 - 25,6
27500 (в возрасте 59 сут.)
С5-7
365 - 427
35,8 - 41,2
35500 (в возрасте 398 сут.)
*) Размеры куба 200x200 мм
Параметр к в формуле (3.39), устанавливающий связь
длительного сопротивления бетона с его стандартной проч¬
ностью, был принят равным 0,9 и 0,85 (прямые 1 и 2 на
рис.3.4) для бетона образцов серий С1-2 и С5-7 соответст¬
венно .
Будем считать, что полные деформации бетона в вершине
диаграммы-изохроны s^(t,x) в процессе загружения складыва¬
ются из двух составляющих: упруго-мгновенной и неупругой.
За счет ползучести бетона с увеличением времени загруже¬
ния неупругая составляющая возрастает, а упругая - снижа¬
ется в соответствии со снижением Rb(t,r) Приращение не¬
упругих деформаций превосходит соответствующее снижение
упругой составляющей во всех практически важных случаях
(нарушение этого принципа возможно только при очень высо¬
ких скоростях нагружения) Такой характер деформирования
позволяет предложить для описания роста s^(t,x) простую

126
зависимость
eR(t,T) =ёь(т) f(t - т),	(3.41)
где £ь (т)	-	абсцисса вершины диаграммы при стандартном
кратковременном нагружении;
f (t-т)	-	эмпирическая	функция,	учитывающая	влияние
времени загружения по схемам рис.3.3(б,в)
На основе экспериментальных данных работы [220] ока¬
залось возможным, при изменении времени загружения в ог¬
раниченном диапазоне от 1 мин. и более (см.формулу
(3.40)), функцию f(t-т) записать в виде
f(t-T) = 0,76 + 0,059 In	(t-т),	(3.42)
где где t-т - время загружения в минутах.
На рис.3.4,б показано соотношение экспериментальных,
по данным работы [220], и теоретических, по предлагаемым
зависимостям (3.41) и (3.42), деформаций ёь для двух се¬
рий образцов, упомянутых выше. Значение ёь в (3.41) при¬
нято, согласно экспериментальным данным, 2,24х10"3 (график
1	на	рис.3.4,б) и 2,20х10~3 (график	2	на	рис.3.4,б) для
бетона	экспериментальных серий С1-2	и	С5-7	соответствен¬
но. Для расчетных диаграмм-изохрон при ёь= 2,0х10~3 соот¬
ветствующий график на рис.3.4,б обозначен цифрой 3.
Из рис.3.4,б видно, что предложенные теоретические
зависимости с достаточной точностью описывают эксперимен¬
тальные данные. Это позволяет рекомендовать указанные за¬
висимости для практического расчета конструкций в широком
диапазоне изменения времени загружения от 1 мин. до не¬
скольких десятков месяцев.

127
На основе опытных диаграмм работы [220], полученных
при скоростях роста деформаций от 0,1%/1,875 мин. до
0,1%/3600 мин. с учетом предложенных зависимостей (3.41)
и (3.42) были рассчитаны и построены диаграммы-изохроны
полных деформаций бетона для девяти режимов загружения по
схеме рис.3.3,в. Время загружения для построенного ряда
диаграмм-изохрон составляло 7,5 мин., 15 мин., 30 мин. и
т.д. до одних суток. Расчетно-экспериментальные диаграм¬
мы-изохроны удалось удовлетворительно аппроксимировать по
зависимости (3.38), где vb(t,r) вычислялось по формуле
(3.2)	Параметры формулы (3.2) определялись с учетом вре¬
мени загружения по зависимостям:
^b(t,r)
vb(t,t) =
Eb(t,T)€R(t,T)
(3.43)
для восходящей ветви диаграммы-изохроны
eIb
1,25-0,1
Rb(t’T)
К
[0,67 + 0,081 In(t-r)] < 2,
для нисходящей ветви диаграммы-изохроны
,Rb(bT)
е1Ь ~
0,35 + 0,22-
(3.44)
[1,2 + 0,048 In(t-x)] < 2 ,	(3.45)
где Rb(t,r) и SR(t, т) вычисляются по формулам (3.39) и
(3.41);
R0 = 10 МПа.
Параметры формул (3.44) и (3.45) подобраны из условия
наилучшей аппроксимации расчетно-экспериментальных диа¬
грамм-изохрон. На рис.3.5 показаны:	1	-	эксперименталь¬

128
ные, по данным работы [220] ; 2 - теоретические (по пред¬
лагаемым зависимостям) диаграммы-изохроны полных деформа¬
ций бетона для времени загружения t-r = 15 мин., 60 мин.
и 1 сут.
заметим, что зависимости (3.43)	-	(3.45) могут ап¬
проксимировать не только диаграммы-изохроны полных дефор¬
маций, но и непосредственно экспериментальные диаграммы
"<Уь - £ь" г полученные в условиях постоянства скорости рос¬
та деформаций. В этом случае параметры формулы (3.2) вы¬
числяются по зависимостям:
для восходящей ветви диаграммы-изохроны
е1Ь ~
Rb(t)
1,4 - 0,115
R.
(0,67 + 0,081 1п £)	<	2,	(3.46)
о	J
для нисходящей ветви диаграммы-изохроны
Rb(t)
elb ~
0,2 + 0,188
R,
(1,2 + 0,048 1п €)	<	2,	(3.47)
где £ - время, за которое достигается вершина диаграммы
"<Уь - £ь при загружении с постоянной скоростью роста де¬
формаций .
Параметр 9Ь определяется по формуле (3.43), где принима¬
ется £ = t - г
На рис.3.6 показаны: 1 - экспериментальные, по данным
работы [220],	2 - теоретические, по предлагаемым зависи¬
мостям, диаграммы сжатия бетона со скоростью деформирова¬
ния 0,1%/7,5 мин., 0,1%/30 мин. и 0,1%/900 мин. Параметр
£ для каждой диаграммы был вычислен путем деления экспе¬
риментального значения ёь на скорость роста деформаций и

129
составил 15,7 мин., 67 мин. и 1,7 сут. соответственно.
Параметр Vb в формуле (3.41) принят равным 0,2%.
Формулы (3.46) и (3.47) рекомендуются для построения
расчетных диаграмм бетона. Для аппроксимации эксперимен¬
тальных диаграмм параметры ехь могут быть вычислены по
формуле
чь
= 0,2175 -
г у	_
уехр v b
\vo ~ J
1	<2,	(3.48)
0,1275
где veXp вычисляется из условия совпадения опытной и рас¬
четной диаграмм в точке с ординатой Т] = 0,85.
Экспериментально-теоретические, по предложенным зави¬
симостям, диаграммы-изохроны бетона в составе вычисли¬
тельных операторов по определению удельных деформаций
ползучести бетона использованы при расчете железобетонных
балок-стенок и изгибаемых плит на кратковременную и дли¬
тельную нагрузку.
Учитывая то обстоятельство, что экспериментальные
данные о влиянии времени и режима загружения на прочность
бетона при растяжении практически отсутствуют, а также
исходя из принципа унификации методики определения основ¬
ных расчетных параметров бетона, в настоящем исследовании
принимается зависимость
Rbt(t,T) - [к + (1 - k)<f>(t-T)lRbt(T)	(3.49)

130
а, 1,0
075
0J5
0,25
В) 1.0
0,75
OJ
6) ко
0.75
0.5
0,25
/
/
/
\
\
\
1
1
i
/ /
/
*\
\
/
/
/ J
/
"x
\
\
4>
/
r-
L ....
4
1
w
/
/
/
/
.
/
/
!
4_
i
А
>
/
/
/
/
/
h
}!
t'

f 1
t
i
г,Л
Bt.Xf
-г
-6
-в
Рис.3.5. Сопоставление опытных (образцы серии С1-2
[220]) и расчетных диаграмм-изохрон:	а - время
загружения 15 мин.; б - то же, 60 мин.; в — то же,
1440 мин.
Обозначено: 1 - экспериментальные данные; 2 -
расчетные кривые

о -г. ч -в -в
€ 4, /ов
Рис.3.6.Диаграммы сжатия бетона при различной скорости
деформирования образцов: а - скорость роста деформаций
0.1%/7,5 мин.,время загружения 15,7 мин.; б - то же,
0,1%/30 мин. и 67 мин. соответственно; в - то же,
Оfl.%/900 мин. и 2430 мин. соответственно.
Обозначено:	1	- экспериментальные диаграммы сжатия
бетна по данным работы (220}; 2 - теоретические, по
предложенным зависимостям (3.46), (3.47);	3	-
теоретические, с учетом зависимости (3.48)

132
3.4.	Критерии прочности бетона
В координатах главных напряжений в бетоне оы, &ъ2г
сгьз критерий прочности представляется поверхностью общего
вида, которая является разомкнутой в области всесторонне¬
го равномерного сжатия для плотных бетонов (рис.3.7,а) и
замкнутой для пористых (рис.3.7,б) Построение поверхно¬
сти прочности удобно осуществлять в цилиндрических коор¬
динатах нормального л[3сг0 и касательного 43т0 октаэдриче¬
ских напряжений и угла вида напряжённого состояния (или
параметра Лоде-Надаи) ца^
Поверхность прочности состоит из шести одинаковых
частей (лепестков), которые располагаются между сечениями
{Лсг+1 и	.	Каждому /ла соответствует своя меридиональ¬
ная кривая (см. рис.3.7,в) Образующими предельной по¬
верхности являются меридиональные кривые, их вид показан
на рис.3.7,г.
Формы девиаторных кривых зависят от вида бетона и
изменяются в различных областях напряжённого состояния:
неравномерного растяжения, смешанных, неравномерного сжа¬
тия. На рис.3.8 показаны действительные формы девиаторных
кривых для бетонов разной прочности.
Прочность бетонных элементов считается обеспеченной,
если выполняется условие (критерий), которое записывается
в виде неравенства:
a<72bl+bG2b3+Gbl^b-{f-b)+fbt\Rb + Gb3\fb-b-f-fbt)-Rb-
(3.50)
~сгы '<7b3'(a+b + ^~f)~Tb’f'Tbt ,Rb-0
при (Jb]>(Tb2>(Jb3.	(3.51)

133
Ряс.3. 7. Критерии прочности бетона: а - пористого; б - плотной
структура; в - девиаторная кривая ;г - вид образующих
меридиональных кривых
Обозначено:	t2 - точка одноосного растяжения; Ьг - точка
двухосного равномерного растяжения; tj - точка трехосного
равномерного растяжения; bj - точка одноосного сжатия; Ьг -
точка двухосного равномерного сжатия; Ьз - точка трехосного
равномерного сжатия;

а)
тД(при |i=-l)
б)
Рис.3.8. Действительные формы девиаторных кривых при изменении напряженного состояния
от неравномерного растяжения (положение I) до высоких уровней неравномерного сжатия
(положение II) : а — для высокопрочного бетона Яь~ 50 МПа; б — для низкопрочного бетона
Rb= 10 МПа.

135
Коэффициенты уь, ybt, а, Ъ, f, входящие в условие
(3.49), вычисляются по специальным правилам.
Коэффициент уь в условии (3.50) учитывает влияние ви¬
да напряжённого состояния (по параметру Лоде-Надаи ца) на
изменение прочности бетона в области трёхосного или двух¬
осного (плоского) сжатия (при <тЬ1 < 0) Этот коэффициент
определяется по формуле
3 • R
btn
(
R
bn
I _ ^btn
R
bn
1-
(l-y)-(l-M<T-2-P)
_2-p + i/f-(l-fia-2-p)_
где (3 = 0.3 +
R
bn
200
l-p-p-JTp
(i-p)-(i+ji-p)'
(3.52)
(3.53)
R-ьп/ Rbtn ~ нормативные сопротивления бетона, которые
принимаются согласно СНиП 2.03.01-84*, в МПа.
Коэффициент уь характеризует влияние среднего на¬
пряжения ojt>2 на увеличение прочности бетона (на увеличе¬
ние предельного значения <тьз по модулю) Он устанавлива¬
ется на основании обработки экспериментальных данных о
прочности бетона при двухосном сжатии, в этом случае па¬
раметр Лоде-Надаи вычисляется по формуле
аЬ2
aЬЗ
(3.54)
Коэффициент fbt в условии (3.50) учитывает влияние
вида напряжённого состояния на изменение прочности бетона
в области всестороннего трёхосного или двухосного (плос¬
кого) растяжения (при <тьз ^ 0) Этот коэффициент определя¬
ются по формуле

136
(fj
?bt bt(2) Ybt(l) ~rbt(2)
1 —
*
Д
где
bt
R,
(3.55)
(3.56)
Ybt(2) ~ коэффициент изменения прочности бетона при двух¬
осном растяжении
Ybt(2)~Ybt(l)\1~Ybt(l))>
(3.57)
/ла - параметр, отличающийся от параметра Лоде-Надаи кон¬
стантой А
*	2а2 - <J] - (Jj + А
Мгг =
а1 ~а3 +z*
(3.58)
здесь А & 0.25Rbti
*
lip - получается заменой в (3.58) ст? на <73.
Коэффициенты Гил зависят от вида бетона и принима¬
ются по таблице 3.4. При f >. 1 поверхность прочности бу¬
дет разомкнутой в области трёхосного равномерного сжатия,
а в случае f = 1 - замкнутой.
Коэффициенты Ь, а вычисляется по формулам
ht
ь =
а = П'Ь
Гь~п’Гьь
Коэффициент а должен удовлетворять условию
(3.59)
а<
\yb-f-{3 + Ma)+3fbf{f + l)+fbfMa'{f-l)]'(f-l)+6rbt
6'(yb-f-rbt)
, (3.60)
которое выполняется автоматически, если остальные коэффи¬
циенты назначены в рекомендованных пределах.

137
Таблица 3.4.
Вид бетона
Коэффициент f
Коэффициент л
Тяжёлый бетон
1.0
1.0
Мелкозернистый бе¬
1.05
-3.0
тон
Шлакопемзобетон
0.7
Термолитобетон
0.9
Аглопоритобетон
1.4
Бетон на зольном
гравии
1.0
Керамзитобетон
1.2
Основным для оценки прочности является критерий
(3.50), однако, в ряде случаев, более удобно использовать
коэффициенты запаса прочности, которые устанавливают на
основе критерия (3.50) За коэффициент запаса прочности
элемента конструкции принимается величина 0, на которую
следует умножать соответствующие расчётной нагрузке на¬
пряжения в элементе или некоторые из этих напряжений (в
зависимости от режима нагружения), чтобы увеличенные та¬
ким образом напряжения сгь2/ ^2/	°ЬЗ (они обозначаются
&Ы >&Ь2 >^ЬЪ ) Удовлетворяли условию (3.50) в виде неравен¬
ства. Напряжения &Ь\->®Ь2 называются предельными.
При определении деформаций вместо коэффициента запаса
прочности используются уровень напряжений т/, причем
© = -.	(3.61)
Л
Прочность элемента является обеспеченной, если выполняет¬
ся условие
в>1; rj<l,	(3.62)
в других случаях элемент считается разрушенным.

138
В случае простого нагружения, когда все напряжения
увеличиваются пропорционально одному параметру (в нашем
случае в качестве такого параметра принимается уровень
напряжений 77) ,
*	-аЬ1.	^	_	<Jb2 .	^	_ аЬЗ
Ь2 ~	'	^ЬЗ ~	'	(3.63)
и	7]	и	Т]	Т]
Вводя (3.63) в (3.50), приходим к определению 77 из
решения квадратного уравнения
a-(T2bl+b-(j2b3+ri-(jbr\yb \f-b) + ybt\Rb+ri-(jb3-{yb-Ъ-f-ybt)'Rb-
-o-br(7b3‘(a + b + l-f)-7i2 f-Ybt-Rl-yb =0.	(3.64)
В случае одностороннего догружения, когда возрастает
главное напряжение <jbi и когда
*Ы = ц1'	&Ь2 = <7Ь2' &ЬЗ = аЬЗ	(3.65)
так, что
*Ы ~ аЬ2 ~ аЬЗ'	(З.бб)
коэффициент rj определяется из решения квадратного
уравнения
a-(J2bi + b-rf-c72b3+ri-obr[yb\f-b)+ybt\Rb + Ti2-<jb3-{yb-b-f-ybt)'Rb-
-7]-abrab3-{a+b+J-f)-Tj2-yb-f-ybt-R2b=0,	(3.67)
или &Ь1 непосредственно определяется из решения квадрат¬
ного уравнения (3.50) при известных значениях &Ь2=(7Ь2 и
(Ты
<Т£3 = Gjj3, а затем уже вычисляется 77 = 	. Вычислять 77
&ы
по такой методике рекомендуется при a^i > 0.
В случае одностороннего догружения, когда увеличива¬

139
ется главное напряжение <753 и когда
аЬЗ
&Ы - аЫ' &Ь2 - <7Ь2' &ЬЗ -	(3.68)
аЫ ~ СЪ2 ~ вЪЗ’	(3.69)
коэффициент 77 определяется из решения квадратного уравне¬
ния
а-Л2-vli+b-cjls + rj2-abr]yhif-b)+ybt\-Rb+V-<Jb3-(yb-b-f-ybt)-Rb-
-?1-&ьГсгьз-(а+ь+1-£)-г12 •fb-f-rbfRb=°>	(3-70)
или з непосредственно определяется из решения квадрат¬
ного уравнения (3.50) при известных значениях 6’Ь1=СГЫ'
Л	O’ bJ
<7Ь2=СГЬ2' а затем уже вычисляется 77 =	 Вычислять 77 по
&ьз
такой методике рекомендуется при Oki<0.
Различают случай трёхосного неравномерного сжатия
(crbi<0) и случай смешанных напряжений (<7Ьз<0, сть1>0) Если
режим возможного догружения конструкции неизвестен, то в
случае смешанных напряжений 77 вычисляется дважды: из ре¬
шения уравнений (3.64) и (3.67), и из двух значений при¬
нимается большее. В .случае трёхосного сжатия используется
уравнение (3.70), которое приводит к большему значению 77.
Если прочностные характеристики бетона известны в
возрасте 28 сут., {Rb = Rb(28), Rbt = Rbt(28)), а бетон
загружается в более позднем возрасте т > 28 сут., то вме¬
сто величин Rb(28) и Rbt(28) в условие (3.50) и формулы
(3.52), (3.53), (3.56) и (3.58) рекомендуется вводить вели-

140
чины Яь(т) и Rbt(T)f соответствующие действительному
возрасту бетона т.
При учёте длительности действия нагрузки и режима за¬
гружения в условии (3.50) и формулах (3.52), (3.53), (3.56)
и (3.58) величины Rb и Rbt заменяются соответственно на
Rb(t/T) и Rbt(t,t), определяемые по формулам (3.39) и
(3.49)
Учет других факторов, влияющих на прочность бетона,
может быть выполнен путем умножения характеристик прочно-
.сти в условии (3.50) и формулах (3. 52) , (3 . 53) , (3 . 56) и
(3.58) на коэффициенты условий работы уь± (I =
1,3,5,6,7,8,9,10,11,	12) согласно таблицам 15-17 СНиП
2.03.01-84* .

141
4.УЧЕТ ПРЕДНАПРЯЖЕНИЯ АРМАТУРЫ И ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
В ФИЗИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ЖЕЛЕЗОБЕТОНА С ТРЕЩИНАМИ
4.1. Учет накопления остаточных деформаций конечных
элементов от ползучести и усадки бетона
В рамках деформационной теории процесс изменения
напряженно-деформированного	состояния	конструкции
исследуется путем малых приращений времени или нагрузки.
По мере роста нагрузки железобетон последовательно
проходит четыре стадии напряженно-деформированного
состояния:
упругую без трещин;
упругопластическую без трещин, где учитывается
развитие деформаций ползучести бетона;
стадию с трещинами до начала пластического
деформирования арматуры;
стадию с трещинами, где учитывается развитие
пластических деформаций арматуры.
Переход в иную стадию деформирования устанавливается
анализом специальной системы ограничений.
На стадии без трещин бетон рассматривается как
физически нелинейное ортотропное тело, оси ортотропии
которого л и t совпадают с направлениями главных усилий
<тЬп = &ь.тах> ^b.t ~ ^b.min • Рис •	4.1. Связь между напряжениями
и деформациями бетона в координатах х,у определяются за¬
висимостью
МЧ*Л=1С(Иь)Мь	<4Л)
где

142
С
. 2 2
sin a cos а
ll
Е’у
E'h
л
С12 =
Ъп	bt
v(l + т)
E'bnm + E'bt
(
С13 ~ С23
KE'bn E'btJ
sin 2 а
2 . 2
cos a sin а
С22 ~	:	+
Е\
Ьп
Е\
bt
С ~	1	I 1 I 2^1 + т) ;
E'bn E'bt mEbn+Ebt
m — Kb. max !°b. min |>
(4.2)
a - угол направления главных осей л и t по отношению к
осям х и у (рис. 4.1), который определяется по формуле
а = arctg
°ъ.
тах
— (7
Ь.у
' Ь.ху
(4.3)
Основными физическими характеристиками ортотропной
модели являются секущие модули деформаций бетона Е'ьп и E'bt
и коэффициент поперечных деформаций v Секущие модули
деформаций бетона вычисляются по специальной процедуре в
зависимости от вида напряженного состояния (сжатие-
сжатие, сжатие-растяжение или растяжение-растяжение) и
величины главных напряжений, чем обеспечивается
зависимость	Мь =ММь )J.	Коэффициент поперечных
деформаций бетона не остается постоянным и зависит от
вида напряженного состояния и уровня напряжений в бетоне.
Рассмотрим способ определения секущих модулей
деформаций с учетом ползучести бетона. Зависимость

143
"напряжения-деформации" предварительно рассмотрим на
примере железобетонной одноосно нагруженной пластинки.
Уравнение равновесия пластинки имеет вид:
С - VpMs = Eb(£-£o) + esMs£,	(4.4)
где	<7	-	напряжения	от внешней	нагрузки,	действующие
по оси пластинки;
<Тр	-	начальные	напряжения в	арматуре,	возникшие
до сцепления	арматуры с	бетоном;
/и3 - коэффициент .армирования пластинки;
Е'ь - секущий модуль деформации бетона;
€	- относительные деформации пластинки;
е0 - начальные деформации бетона;
Es - модуль упругости арматуры.
Деформации арматуры считаются упругими. Аддитивный член
°pMs суммируем с внешней нагрузкой.
Сформулируем	алгоритм	расчета	напряженно-
деформированного состояния пластинки при ступенчатом
режиме нагружения. Рассмотрим нагружение пластинки
начальной нагрузкой Acrj в момент времени Т].
1.	Назначаем E'b=Eb(Tj). Начальные деформации бетона равны
температурно-усадочным деформациям в момент tj £o=£shirl)f
рис. 4.2.
2.	Из уравнения равновесия (4.4) определяем относительные
деформации пластинки s в момент Г/.
3.	Напряжения в бетоне в момент определяются по формуле
=Еь{£~£о\	(4.5)
Чтобы значение а ь=0 в дальнейшем не привело к

144
формальному противоречию Е'ь=0, формула (4.8), потребуем
выполнения условия
\°ъ\^°ь.	(4.6)
Может быть принято, например, аь- 0,01 МПа.
4.	Полные деформации бетона в момент времени t>Tj опреде¬
ляются по формуле:
£el +£с=аЬ
/Еъ(t) + оъС1 (t, Tj) + 0(rj, t,Tj).	(4.7)
5.	Секущий модуль деформации бетона определяется по
формуле
E'b(t) =		.	(4.8)
^b/Eb{t)+sc
Напряженно-деформированное состояние пластинки в
момент времени t, для которого определяется секущий
модуль деформаций бетона E'b(t), считается "замороженным",
т.е. <rb,Eb(t) и 8С рассматриваются как дискретные
величины.
6.	Назначаем E'b=Erb(t),£Q=€sh(t).
1 Из уравнения равновесия (4.4) определяем деформации
пластинки s в момент t.
8. Вычисляем напряжение в бетоне в момент t по формуле
(4.5) и т.д.
Цикл вычислений повторяется до тех пор, пока не будет
достигнута заданная сходимость. В качестве критерия
сходимости принимается невязка деформаций {е - £0)- (sel + £с).
Диаграмма напряженного состояния пластинки показана на
рис. 4.3.
Рассмотрим нагружение пластинки очередной ступенью

145
Рис.
Рис.4.1.Схема напряженного состояния пластинки
t,T
4.2.К учету температурно-усадочных напряжений бетона
Рис.4.3.Диаграмма напряженного состояния пластинки

146
нагрузки Асг± в момент времени	В момент	перед
изменением нагрузки напряжения в бетоне составляют сгь(г^),
например, o'biTi)>0 Напряженно-деформированное состояние
пластинки характеризуется точкой Bi-i на диаграмме, рис.
4.4-4.5. В момент приложения ступени нагрузки пластинка
деформируется упруго на величину Ае, которая
определяется из уравнения равновесия (4.4), где
принимается <7 = ^0^; Eb=Eb(ri); Sq=0.
Случай 1. Знак Ае совпадает со знаком сгь ) перед
изменением нагрузки - догружение. Диаграмма напряженно-
деформированного состояния показана на рис. 4.4.
В момент изменения нагрузки напряженно-деформи¬
рованное состояние пластинки характеризуется на диаграмме
переходом из точки В±-\ в точку А±.
1. Назначаем <т = сг^; е0= £c{Ti)+ £sh(Ti)»	= ^9ai •
где
tga.=		_ (4.9)
^^i)+o-b(Ti)/Eb(ri)+A£
Из уравнения равновесия (4.4) определяем деформации плас¬
тинки £ в момент т± после догружения.
2.	Вычисляем напряжение в бетоне в момент t>ri после
догружения по формуле (4.5), требуем соблюдения
условия (4.6)
3.	Деформации бетона в момент времени Ь>т± вычисляются с
учетом истории напряженного состояния по способу тт,
где при определении деформаций ползучести бетона общий
режим нагружения разделяется на две ветви <ть+сть=<7ь,

147
Рис.4.4. Диаграмма напряженного состояния
пластинки.Случай 1.
Рис.4.5. Диаграмма напряженного состояния
пластинки.Случай 2.

148
°ь ={аь++°ь~)>0,
<
°ь ={crt~+ &Ь~)< О-
Sei + £с — Cb/Eb{t)~^ °b ^1	)~*~	&b	^1	(^»	)■*■	£п	(р\	(	^	•	Ю	)
на этапе догружения
£*(t)=0{n*,t,r*H);	(4.11)
на	этапе	разгрузки
£п (t)= *П Ы + ф^’ Ь’ Ттп)- ф{71+> 4><п)>	(4.12)
£с М = °Ъ~С1 (t» Тт~)+ <Гь *С1 Тт* )+ £п (t)-	(4.13)
4.	Секущий	модуль деформаций бетона определяется по
формуле
£b(t) =			-•	(4-14)
Сь/ЕЬ^)+£с
Секущий модуль деформации бетона Eb(t) аналогичен секущему
временному фибровому модулю деформаций, который
рассматривается в работе [34] В работе [34] секущий
фибровый модуль деформаций определяется с учетом
нелинейности упруго-мгновенных деформаций, а выражение
для определения модуля содержит интегральный член,
учитывающий историю напряженного состояния. Учет истории
напряженного состояния в формуле (4.14) путём
трансформирования времени нагружения существенно упрощает
процедуру вычисления секущего модуля деформаций бетона.
1.	Назначаем E'b = Eb(t), s0 =	+£sh(t), где £~(t) вычисляется
по формуле (4.13), и т.д.
Случай 2. Знак As противоположен знаку <ть(^) перед из¬
менением нагрузки, \As\<<JblEb{ri) - разгрузка. Диаграмма

149
напряженно-деформированного состояния показана на рис.
4.5.
Сравнение	диаграмм напряженно-деформированного
состояния рис. 4.4 и 4.5 показывает, что с методической
точки зрения случай 2 не отличается от случая 1.
Справедливы формула (4.9) и рассмотренный выше порядок
вычисления.
Случай 3. Знак As противоположен знаку <?b(Ti) перед
изменением нагрузки, \Ае\>	- знакопеременное
нагружение.	Диаграмма	напряженно-деформированного
состояния показана на рис. 4.6.
Изменение	напряженно-деформированного состояния
характеризуется переходом сгь через ноль и установлением
напряжений crb(Ti) другого знака, в нашем примере, рис.
4.6,	после изменения нагрузки меньше 0.
1.	Назначаем	E'b=Eb(t);	£о	=	£n(Ti) +en(Ti)+€sh(Ti)-
2.	Из уравнения равновесия (3.4) определяем деформации
пластинки € в момент rt после догружения.
Дальнейший порядок вычислений не отличается от
рассмотренного выше в случае 1.
Сформулированный алгоритм расчета позволяет
определить напряженно-деформированное состояние пластинки
в любой момент времени после изменения внешней нагрузки,
что важно для качественной оценки напряженно-
деформированного состояния (образование и закрытие
трещин, нарушение сцепления арматуры с бетоном), а также
для обеспечения быстрой сходимости итерационного
процесса.

150
^ cTb(Tj) до изменения нагрузки
ab(tj) после изменения нагрузки
s<r £c"(xi) + sc+(Tj) + Ssh(xi)
Eel
К. «Ж.1
Se‘(t)
So= Sc+(t) + Ssh(t)
Eb(t) = tgai
Рис.4.6.Диаграмма напряженного состояния
пластинки. Случай 3

151
Рассмотрим переход к двухосному напряженному
состоянию.
Напряжения в бетоне в координатах х,у определяются по
зависимости
Н>=Иь({*М«в})	(4-15)
где
Мъ=[с]''	(4.16)
Переход к главным напряжениям осуществляется по формуле
сгЪ.х + ®Ъ.у , 1 /7	\2	.	2	, ,
® ^тах ~	2	~~2* '	^Ь.у)	(4.17)
min
Элементы матрицы жесткости [С] определяются по формулам
(4.2)	Секущие модули деформаций бетона	в	выражениях
(4.2)	вычисляются по формулам (4.8) и	(4.14), где
дополнительно учитываются особенности ползучести бетона
при плоском напряженном состоянии.
Экспериментальными исследованиями установлено (они
приведены в обзоре), что между мерами ползучести бетона
при одноосном и плоском напряженном состоянии существует
связь, которая выражается зависимостью:
к2х=С2х/Сх	(4Л8>
Коэффициент к2х вычисляется по эмпирическим формулам
в зависимости от вида напряженного состояния.
При напряженном состоянии сжатие-сжатие (аЬп < 0, аы < 0),
для	к2Х предлагается формула, обобщающая	предложения
работ [35,95,97,99,145,157,199]
к2х= 1-0,35^-.	(4.19)
<Jbt

152
При напряженном состоянии растяжение-сжатие
(аь„>0, (7Ы < 0), для к2х предлагается формула, обобщающая
предложения работ [98,187,223]
|сг w f.
к2х =1 + 0,05'—^.	(4.20)
аЬп
При напряженном состоянии растяжение-растяжение
(<7Ьп > 0, <7Ы > О) экспериментально установлено [85], что
напряжения по ортогональным осям не оказывают взаимного
влияния на развитие деформаций ползучести, поэтому
принимается к2х = 1 >
Экспериментальные исследования влияния плоского
напряженного состояния на нелинейную ползучесть носят в
основном качественный характер. Известно, что в области
сжатие-сжатие это влияние выражено значительно слабее,
чем для линейных деформаций, а в области сжатие-
растяжение становится ощутимым практически на границе
области прочного сопротивления. По-скольку при объемном
(плоском) напряженном состоянии уровни главных напряжений
выражается через характеристики критерия прочности,
указанные особенности деформирования реализуются через
уровни главных напряжений в соответствующих уравнениях
нелинейной ползучести.
Подробный алгоритм вычисления секущих модулей
деформаций бетона при плоском напряженном состоянии
приведен в п. 5.2.

153
4.	2. Учет предна пряжения арматуры,, ползучести и
усадки бетона в определяющих соотношениях
конечных элементов
Рассмотрим наиболее общую схему армирования плоского
элемента - трехслойное армирование стержнями с регулярным
шагом (рис.4.7) Стержни каждого направления составляют
слой армирования с коэффициентом армирования
Mi=Fsil{slh),	(4.21)
где i = x, у, 3;
Fsi - площадь поперечного сечения одного стержня
направления 1;
Si	-	шаг стержней направления 1;
h	-	толщина элемента.
Напряжения, возникающие в элементе, складываются из
напряжений, возникающих в бетоне и арматуре:
Ci^f+of,	(4.22)
где i = х/У fху.
Рассматривая проекции напряжений, возникающих в
арматурных слоях, на координатные оси, получим выражения
для <т|
=fsx+fs3cos Рз >
(Ту = fsy + fs3 sin2 \	(4.23)
^iy = fs3 + sin Рз cos Рз •
где fsi = ((Jsi -crpi )Mi /	(4.24)
(jpi - начальные напряжения в арматуре направления
i,	возникающие до сцепления арматуры с бетоном.

154
До образования трещин бетон и арматура деформируются
совместно, что позволяет записать:
= £si ={crsi ~ crpi)/Esi	(4 .25)
Отсюда
^si ~ i^si^i	(4.26)
Деформации элемента по направлению арматуры Fs3 связаны с
деформациями £киеу зависимостью:
? 2 1 ^ 1
е3 =ех cos' )в3 + еу sin /З3+ ~УХу+~Уух sinP3cos Р3.	{А.21)
\2	2	J
С учетом (4.27) выражение (4.26) будет иметь вид (i=x,
У,3)
1
®sx (Esx£x ®рх )/fx>
®sy ~ (ESy£y * ®РУ )^у ’
°s3 = {Es3£x cos2 Рз + Es3£y sin2 Рз + Es3 sinP3 cosРзУху + °рз)^3-
(4.28)
Запишем выражение для ст. из (4.22) с учетом (4.23) и
(4.28)
G х — стх — EsxMx£x ~ ^рхМх ~ Es3^3 COS Рз£х ~ Es3M3 Рз COS Р3 £ у —
-	Es3M3 sinp3 cos РзУху - Ярзмз cos2 Рз ;
сг£ = <7у - EsyfJy£y - (Тру Ms у - е5зМз si”2 Рз cos2 Рз£х - Es3M3 sin4 Рз£у ’
-	Es3Ju3 sin3 р3 cos Р3уку - ap3fu3 sin2 р3;
ТХУ = ТХУ - ЕЗЗМЗ sin р3 cos3 р3 - Es3Ju3 sin3 р3 cos Р3£у -
-	Es3Ju3 sin2 P3 cos' P3yxy - crp3ju3 sinP3 cosp3.
(3.29)

155
Приравняв правые части равенств (4.15) и (4.29), получим
выражение для физических уравнений в виде:
W- КЬМгс И-МьЫ
(4.30)
где
^роуУ'у ®рЗМз	Рз
(Трз/Лз sin Рз cos J33
(4.31)
Элементы матрицы физических характеристик железобетона
определяются по формулам
Drc.J] =Db.ll +EsxMx +Es3M3 cos4 Рз;
Drc.l2 = Db.l2 +Es3/23 sin2 Рз cos2 Рз>'
(4.32)
Drc. 13 = Db. 13 + Es3M3 sin Рз cos Рз;
Drc.22 = Db.22 + EsyMy + Es3M3 Рз >
Drc.23 = Db.23 + Es3M3 sin3 Рз cos Рз»'
Drc.33 = Db.33 + Es3^3 S™2 Рз cos2 Рз-
В случае ортогонального армирования только два элемента
матрицы физических характеристик арматуры будут не
нулевыми:
Ds.li ~ Esx/^x>
Ds.22 ~ Esyf^y
(4.33)
Формулы (4.16) и (4.32) определяют элементы всех матриц
физических характеристик материалов на стадии до
образования трещин.

156
После образования трещин в растянутом бетоне зависи¬
мость (4.30) сохраняется, изменяются только выражения для
элементов матриц физических характеристик
(4.34)
характеристик
W- tab^LcM-tsLteo}-
где р5]гс - матрица	физических
железобетона после образования трещин;
[£)]ь -	матрица	физических характеристик	бетона
после образования трещин.
Относительные деформации элемента с непересекающимися
трещинами складываются из средних относительных
деформаций	полос	бетона между трещинами.	Схеме
непересекающихся	трещин	соответствует	условие
трещинообразования
с
O'bfCrc <<7Ь .тах>
(4.35)
^”Ь,сгс — °Ь. min •
Величина растягивающих напряжений, при которых в бетоне
образуется трещина, определяется с учетом	влияния
факторов плоского напряженного состояния по формуле
сгb,crc kpRbt(t>T)>
(4.36)
где
кр — 1
\l~2c)
И,
1 - 2ст,
(4.37)
тар =
b. min
(4.38)

157
С = <
26,25 - Rb(t, т)
, при Rb(tf т) < 35 МПа;
35,5
-	Rb(t, т)/140, при Rb(t,t) > 35 МПа.
(4.39)
Рассмотрим равновесие характерного элемента пластинки
с размерами Ах = 1-cos a, Ay = 1- sina , рис. 4.8. Влияние
касательных напряжений в арматуре и сил зацепления
берегов трещин рассматривается ниже, так как учет этих
компонентов напряженного состояния должен быть сделан с
учетом фактора времени. В результате придем к выражениям
(1.31)	[67], где дополнительно учитываются влияние фак¬
тора времени и предварительное напряжение арматуры:
(о’х - VpxMx - °РзМз cos2 J33)sina +
+ (гху “ ЯрзМз s*nРз cos Рз )cos a ~
1
X
гзхцх sina + X3 tc7s3ju3 sin(a + f33)cosp3;
X,t
[aу - ОруЦу - (тр3Мз sirj2 P3)cosa +
+ (rxy - ЯрЗМЗ Sinp3 cos Рз )sina =
1
(TsyjUy cos a + l3tG s3ju3 sin(a + f33 )sinp3.
3 -'syry
Ay,t
(4.40)
где
1	=	1	i	E'sy^sy C°s2<X	i E's3fis3 Sin2 (a +& ) •
na tE'SKiisx sin2 a	na,tE'sxMsx sin2 a
1	j	!	E'sxMSx sin2 a	, E's3Ms3 sin2 (а + Рз).
^a,tEsyf^sy COS CL na tESyfJ.Sy cos a
я
= 1-
3,t
n
a,t
(4.41)

158
Рис.4. 7.Общая схема армирования
плоского элемента
Рис.4.8.К выводу определяющих зависимостей для
железобетона с трещиной.Схема непересекающихся
трещин

159
E'si - средний модуль деформаций арматуры i на участке между
трещинами;
паЬ-эмпирический коэффициент, зависящий от угла а и
длительности действия нагрузки.
Влияние касательных напряжений в арматурных стержнях
на податливость железобетонных дисков учитывается в
расчетных формулах коэффициентами	(i=x,y,3)
Экспериментальное определение параметров модели,
учитывающих ползучесть бетона, рассматривается в п.4.4.
Элементы матрицы жесткости железобетона после
образования трещин [с]гс вычисляются по формулам (1.57)
[67], где дополнительно учитывается влияние фактора
времени. В частном случае, когда направление напрягаемой
арматуры совпадает с направлением оси x(j3j=0), эти
формулы имеют вид:
Сгс.12 -0>’
Axtctga sin2a
(4.42)
ЛуХЬда sin2а _
Переход к матрицам физических характеристик

160
осуществляется по зависимостям:
Иге = [etc.'
[5]b=[sL-fci
(4.43)
(4.44)
В формулах (4.41) и (4.42) средними модулями
деформаций арматуры Е'3±, учитывается влияние растянутого
бетона на участке между трещинами на деформации арматуры.
При частично нарушенном сцеплении арматуры о бетоном
E'si>Esif при полностью нарушенном оцеплении E'si<Esi. При
определении средних модулей деформаций арматуры
учитывается влияние фактора времени на сцепление арматуры
с бетоном. Если crsi + <Tpi>°'o.o2i' то учитываются
пластические деформации арматуры на участке между тре¬
щинами с учетом неравномерного распределения этих
деформаций по длине арматурных стержней.
Выше, в п.3.2 показано, что диаграмма высокопрочной
арматуры описывается ломаной линией. Для напряжения
<Js> Vs el ао,2 связь между полной относительной деформацией
ss и напряжением устанавливается через секущий модуль
деформаций
Если а3< rjs el а0 2, то vs-l
Согласно [57], натекание пластических деформаций на
участке rjsei &о,2 <<Js -ао,2 может быть оценено по формуле
4.3.Определение средних модулей деформаций
высокопрочной арматуры с учетом
предварительного напряжения
(4.45)

Отсюда
где
Gs/Es
у =	7——— 	т	.	(4	47)
°s/Es +0,0l(as-71s,е1 е0,2)/<Го,2'
На участке <7o,2<(Js-(7i
0,35 + А Асг„
sv=	(4.48)
у 175-В A(7s
Ao-s = (<7S - cj0|2)/<T0i2	(4.49)
(7s/Es +
°s/Ea
0,35 + A Acrc
Отсюда	vs	=	~(4.50)
175 - В Aas
Параметры А и В определяются в зависимости от класса
арматуры по табл.4.1, где приведенные в работе [57]
данные дополнены и уточнены
Таблица. 4.1
Класс арматуры
А, 1/МПа
В, 1/МПа
АбОО (A-IV)
АтбОО (At-IV)
АтбООС (At-IVC)
3
250
А800 (A-V)
А800 (А-V)
АтЭООК (A-VK)
2
550
А1ООО (A-VI)
АтЮОО (Ат-VI)
АтЮООК (Ат-VIK)
2
700
Ат1200 (Ат-VII)
2
900

162
Предварительное напряжение высокопрочной арматуры
приводит к повышению механических характеристик, что
должно быть учтено при определении средних модулей
деформаций арматуры введением величин &о,2><70,2 и vs<vs-
Исследованиями [96] установлено, что в результате
предварительного напряжения арматуры классов А600(А—IV) -
A1200(A-VII) до величин 0,4ао2-&0>2 механические
характеристики стали повышаются. Установлено, что этот
эффект определяется двумя факторами:	выбором при
натяжении части пластической деформации и приростом во
времени упругих деформаций после выдержки арматуры под
нагрузкой, т.е. переходом деформаций ползучести арматуры
в упругие.
На рис.	4.9 показана диаграмма растяжения
преднапряженной высокопрочной стержневой арматуры. После
натяжения арматуры до величины crsp происходит релаксация
напряжений в арматурной стали, что приводит к потере
предварительных напряжений на величину сг1оз1. В процессе
релаксации напряжений происходит выборка части
пластических деформаций арматуры - одна из причин
повышения механических характеристик напрягаемой
арматуры.
После проявления потерь преднапряжения арматуры до
обжатия бетона величина преднапряжения снижается до
величины <Jsplos. Деформирование арматуры на участке 0 - А
-	Ах происходит до обжатия бетона и сюда не включаются
потери от усадки и ползучести бетона, в том числе
быстронатекающей.

163
Рис .4.9. Диаграмма, работа высокопрочной
преднапряженяой арматуры

164
В процессе нагружения конструкции (начинается с
момента обжатия бетона усилием преднапряжения) арматура
последовательно проходит упругую, участок Ai~B. и
упругопластическую, участок В-Д, стадии деформирования, в
том числе участок С-Д - участок нелинейной зависимости
деформации - напряжения. Причем, как отмечается в [96],
модуль упругости арматуры практически не отличается от
начального.
Если <js + ио - Vs.ei^oJ > то принимается	= 1 Если
Vs.ei^oj <<Ts+<Jo-<Jo,2	70 значение	определяется по
формуле
(4.51)
Если <^0,2 <<7s+ ао <<7и > то значение	определяется	по
формуле
(4.52)
0,35 + А А<т3
175 - В AcTs
где
(4.53)
Параметры А и В определяются по таблице 4.1.
Формула по определению <7*2 принимается согласно [96]
^0,2 = ^оА1 + Л(то,:)
(4.54)

165
Д&о,2 = 1>28
( \3
^--0,5
\ ®°>2
(4.55)
Формулы (4.54) и (4.55) получены в работе [96] на основе
экспериментальных исследований высокопрочной стержневой
арматуры, способ натяжения - механический. Там же
отмечается,	что	для	электротермического	и
электротермомеханического способов натяжения A<Jq2 выше.
Предложения по нормированию диаграмм растяжения
высокопрочной проволочной арматуры, аналогичные
рассмотренным выше, отсутствуют. В этом случае
рекомендуетмся использовать зависимости (4.50) и (4.52),
где принимается для высокопрочной проволоки 03-г5мм А=2
1/МПа,	В=700 1/МПа; для высокопрочной проволоки 06-г8мм
А=2 1/МПа, В=900 1/МПа.
На участке между трещинами пластические деформации
арматуры, работающей за пределом упругости, распределены
неравномерно - в сечении с трещиной они достигают
максимума, а на удалении от трещины уменьшаются или могут
равняться	нулю.	Неравномерность	распределения
пластических деформаций арматуры учитывается по методике,
предложенной в работе [106]
Еsi = Еsi fasiHsi >	(4.56)
где
¥si
J--i
V •
\ySl у
(4.57)
Коэффициент xf/^i определяется по специальному
алгоритму путем последовательных приближений по методике,

166
изложенной в п.5.2.
Коэффициент В. И. Мурашова	устанавливает	связь
между напряжениями арматуры в трещине и средними
напряжениями арматуры на участке между трещинами.
Экспериментальное определение параметра y/si с учетом
ползучести бетона рассматривается в п.4.4
4.4.Экспериментальное определение параметров
модели, учитывающих ползучесть бетона
Для оценки влияния фактора времени на жесткостные
характеристики элементов Центральной лабораторией теории
железобетона НИИЖБ совместно с лабораторией надежности и
долговечности сооружений ОИСИ были проведены специальные
опыты с образцами в форме железобетонных дисков.
Результаты этих исследований обобщены в настоящем
параграфе и использованы	в виде расчетных формул при
составлении алгоритмов расчета плоскостных железобетонных
конструкций.
В арматурных стержнях	плоских элементов наряду с
нормальными возникают касательные напряжения, которые
учитываются в модели коэффициентами Л± t (i-x,у,3) Для
оценки влияния фактора времени на сдвиговую жесткость
были проведены испытания	на длительную растягивающую
нагрузку 2-х серий образцов из б-ти	растянутых
железобетонных дисков (600x300x60 мм) с одной
фиксированной трещиной.	Образцы формовались в
металлической опалубке из бетонной смеси на
портландцементе активностью М500 состава 1:1,82:4,53 с

167
В/Ц=0,56 на гранитном щебне с модулем крупности, не
превышающем М15. Бетонная смесь уплотнялась на вибростоле
в течение 4 5 сек. Образцы хранились под слоем влажных
опилок в течение 7-ми суток, после чего распалубливались
и твердели в естественных условиях при температуре 14-
15°С и относительной влажности воздуха 75-80%. Физико¬
механические свойства бетона контролировались путем
испытаний контрольных кубов и призм в возрасте 28 сут.
Результаты контроля (средние значения) представлены в
табл.4.2.
Таблица 4.2.
Физико-механические свойства бетона, МПа
Кубиковая прочность
Призменная
прочность
Модуль
мгновенно¬
упругих
деформаций
Прочность на
растяжение
(раскалыванием)
Rio
Ris
25, б
24,8
18, 4
31300
1,5
Диски армировались ортогональными сетками из стержней
08 мм класса А400(А-Ш)с шагом 90мм, толщина защитного
слоя бетона составила 6 мм. Возраст бетона в момент
загружения образцов составил 4 0ч-4 4 сут., длительность
испытаний -	210 сут. Растягивающее усилие на диск
передавалось через анкерные устройства, состоящие их двух
стержней периодического профиля 018 мм, объединенных с
поперечными стержнями сетки в единый каркас. Угол между
направлением трещины и арматурой варьировался в пределах
от 0 до п/4 рад. с шагом к/12 рад. Для образования
трещины на боковых гранях образцов предусматривались
клиновидные выемки, направление трещины задавалось

168
металлическими линейками шириной 25 мм. Усилие растяжения
создавалось рычажными установками с соотношением плеч
1:6 грузами по 0,4-ь0,42 кН. Деформации фрагментов
испытываемых дисков фиксировались индикаторами часового
типа с ценой деления 0,01 мм. Схема испытаний показана на
рис.4.10,а.
Результаты обработки экспериментальных данных
показали, что влияние времени нагружения и угла наклона
трещины можно учесть по мультипликативной модели
na,t =па [l + <P(t>*crc)] '	(4.58)
где тсгс — момент образования трещины;
<p(t,r) - характеристика ползучести;
па = 4,19 - 2,03 \а\ + 0,305 ctg а.	(4.59)
На рис.4.11 показаны графики опытных и расчетных,
вычисленных по предложенным зависимостям, значений
параметров Л. Как видно из соотношения теоретических и
опытных	кривых,	предложенные	зависимости
удовлетворительно оценивают влияние времени нагружения и
угла наклона трещин на изменение жесткостных параматров
A±/t (i=x,y) железобетонных дисков.
Отношение средних деформаций арматуры на участке
между трещинами к деформациям в трещине определяется
коэффициентом В.И.Мурашева
y/si= 1-0,7-—^—, 0,15<y/si<l,	(4.60)
Fsi\Mint
где параметр nt>l учитывает увеличение во времени
средних деформаций арматуры на участке между трещинами

V
Рис.4.10.Схема испытаний:
а) по определению параметров (t) (±=х,у) ;
б) по определению параметров у/х(Ъ)

4(4 *,(0
г, (сут)
Рис.4.11.Изменение во времени опытных(1) и теоретических(2)
значений коэффициентов ЛХ/Ь и Ay t
170

171
вследствие развития деформаций ползучести растянутого
бетона. Для оценки влияния этого фактора были проведены
экспериментальные исследования, которые включали
испытания на длительную нагрузку 2-х серий из 12-ти
растянутых железобетонных дисков с двумя фиксированными
трещинами.
Диски размерами 600x300x60 мм армировались
ортогональными сетками из стержней 06 мм класса А400(А-
III) с шагом 80 мм, защитный слой бетона составил 6 мм.
Угол направления трещин к стержням сеток в образцах
варьировался в пределах от 0 до п/4 рад. с шагом к/4 рад.
Образцы выполнялись из бетона, идентичного бетону
образцов, описанных выше.
Одна серия из 12-ти дисков подвергалась крат¬
ковременным испытаниям, другая - длительным. Возраст
бетона в момент загружения составлял 28-30 сут.,
длительность испытаний составила 98 сут. Первые шесть
образцов каждой серии подвергались одноосному растяжению,
вторые - обжимались в перпендикулярном направлении
усилием, создававшим поперечное сжатие величиной около
25% призменной прочности. Усилие обжатия создавалось
пружинной установкой и передавалось на грани образца
через металлические щетки. Нагрузка прикладывалась
ступенями по 2,5 кН с выдержкой на каждом этапе в
чтечение 10 мин. Деформации арматуры в трещине
фиксировались рычажными тензометрами с ценой деления
0,001 мм на базе 20 мм, средние деформации арматуры
измерялись с помощью индикаторов часового типа с ценой

172
деления 0,01 мм на базе, равной расстоянию между
трещинами. Схема опыта показана на рис.4.10,б.
Результаты обработки экспериментальных данных
показали, что параметр аппроксимируется отношением
nt=na,t/na г	(4.61)
где na,t>na определяются по эмпирическим формулам
(4.58), (4.59)
На рис.4.12 показаны графики опытных и расчетных,
вычисленных по предложенным зависимостям, приращений Ay/S,
вызванных длительных действием нагрузки. Как видно из
соотношения теоретических и опытных кривых, предложенные
зависимости удовлетворительно оценивают влияние времени
нагружения на коэффициент В.И. Мурашова y/si,
устанавливающий связь между напряжениями арматуры в
трещине и средними напряжениями арматуры на участке между
трещинами.

t-т, (сут)
/-г, (сут)
t-т, (сут)
Рис. 4.12.Опытные(1) и теоретические(2) кривые приращения во времени
коэффициента y/s при a=n/4 (верхний крафик) , а=тг/6, а=7с/12 и а=0
173

174
5.МЕТОДИКА И АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННЫХ БАЛОК-СТЕНОК С УЧЕТОМ
ОБРАЗОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН
5.1.Исходные физические зависимости и характеристики
Алгоритм и программа расчета преднапряженных балок-
стенок разработаны в развитие программных комплексов по
расчету плоскостных конструкций методом конечных элемен¬
тов (МКЭ) в форме метода перемещений на базе анизотропной
модели НИИЖБ.
Программный комплекс включает независимые программные
единицы (блоки), которые осуществляют ввод, обработку и
контроль исходной информации, вычисление матриц физи¬
ческих характеристик КЭ на основе зависимости (1.60),
формирование глобальной матрицы жесткости системы и век¬
тора грузовых членов, решение системы уравнений (1.46),
вычисление векторов напряжений и деформаций КЭ по зависи¬
мостям (1.40) и (1.42) и вывод результатов расчета. Реше¬
ние физически нелинейной задачи достигается методом пере¬
менной жесткости в сочетании с шагово-итерационным мето¬
дом .
Для расчета плоских железобетонных конструкций ис¬
пользуется стандартная библиотека КЭ, которая содержит
треугольный и прямоугольный элементы, имеющие соответст¬
венно б и 8 степеней свободы. Матрица [В] в (1.40) стро¬
ится на основе линейной, для треугольника, и полилиней¬
ной, для прямоугольника, функций формы. Ввод и вывод ин¬
формации осуществляется подпрограммами, использующими
стандартный интерфейс оболочек персональных компьютеров.

175
В соответствии с предлагаемой методикой расчета вы¬
полнялись модификации управляющей программы комплекса,
сервисных блоков, блока вычисления матриц физических ха¬
рактеристик КЭ и блока формирования вектора грузовых чле¬
нов .
Для расчета конструкции её необходимо представить как
систему КЭ с внешними связями, которые исключают переме¬
щения системы как жесткого тела, задать исходные физиче¬
ские зависимости и характеристики, описывающие свойства
бетона и арматуры КЭ, и данные о внешних нагрузках и ре¬
жиме нагружения. Теория деформирования железобетона с
трещинами оперирует с характерными элементами малых, но
конечных размеров, в пределах которых железобетон с тре¬
щинами аппроксимируется эквивалентным сплошным анизотроп¬
ным материалом, свойства которого описываются матрицами
физических характеристик [о]®с и [.D]ь . Поэтому при разбие¬
нии железобетонной конструкции на КЭ размеры последних
должны быть соизмеримы с характерным параметром железобе¬
тона с трещинами - средним расстоянием между трещинами.
Для общего случая расчета предусматривается возмож¬
ность армирования КЭ ненапрягаемой арматурой в направле¬
нии осей х и у и напрягаемой арматурой в направлении оси
х. Количество и механические свойства, расположение арма¬
туры различных КЭ могут отличаться. Данные о свойствах
каждого КЭ описываются вектором из 27 элементов:
h - толщина КЭ;
v - начальный коэффициент поперечных деформаций бе¬
тона;

176
Esx, Esy, Esp - модули упругости арматуры;
rls,el,x>rls,el,y>rls,el,p “ уровни пределов упругости армату¬
ры;
стих, сгиу, аир - пределы сопротивления арматуры;
ао,2х> Go,2y> °о,2р ~ условные или физические пределы те¬
кучести арматуры;
сг sp^s ~ величина преднапряжения арматуры с учетом
потерь, проявляющихся до обжатия бетона;
Мх>Му>Ир ~ коэффициенты армирования, формула (4.21);
dx,dy, dp- диаметры арматурных стержней;
Лх> Vy> Лр ~ коэффициенты формулы (144) СНиП 2.03.01-
84*;
F - параметр нелинейности функции напряжений (задает¬
ся при трансформировании времени загружения по приближен¬
ным формулам (2.52), (2.53));
А и В - параметры формул (4.52), (4.54)
Исходная информация о прочности и деформативных свой¬
ствах бетона задается в виде функций от координаты време¬
ни. Принимается, что свойства бетона всех КЭ системы оди¬
наковы.
Функции деформаций ползучести Ci(t,r) и Ф(г},Ь,т), от¬
носительных деформаций свободной усадки ^(т), модуля уп¬
руго-мгновенных деформаций Еь(т), призменной прочности
Rb(t) и прочности на осевое растяжение Rbt(T) бетона могут
быть заданы в самом общем виде, на их аналитические выра¬
жения не накладываются никакие ограничения. В частности,
допускается различный вид этих функций для различных от¬
резков оси t, т Для напряжений растяжения и сжатия могут

177
быть заданы различные функции удельных деформаций ползу¬
чести. В частности, эти функции могут быть заданы в виде
вычислительных операторов - процедур.
Если известны экспериментальные данные об изменении
деформативных и прочностных свойств бетона во времени, то
соответствующие функции могут быть аппроксимированы по
методике [103]
Реологические свойства бетона проектируемых конструк¬
ций с достаточной для практики точностью описываются
мультипликативными моделями реологических свойств бетона
[142,166] и др. В этих методиках влияние состава бетона,
свойств цемента и заполнителей, технологии изготовления
на реологию бетона учитывается введением ряда эмпириче¬
ских коэффициентов. Характер деформирования бетона связы¬
вается с его возрастом. В области условно-линейной ползу¬
чести для аппроксимации меры ползучести и модуля упруго¬
мгновенных деформаций рекомендуются зависимости [142]
если Г; <25 сут., то
(5.1)
(5.2)
Если 28 <Т] < 360 сут., то
C(t, т) = 0(z)[l - Bje~Yl- В2е~г^\
(5.3)
(5.4)
Если Tj> 360 сут., то
(5.5)

178
e(t) = const.	(5.6)
Функция деформаций нелинейной ползучести в этом случае
задается равной нулю.
При сжимающих напряжениях 0,4Rb(T)<crb <0,8Rb(r) для
полных деформаций простой ползучести рекомендуется зави¬
симость вида [140]
ec=cr{l +рсг)с(р,т).	(5.7)
Выделяя нелинейную составляющую, из (5.7) получим выраже¬
ние для приближенного учета нелинейности деформаций пол¬
зучести
Сп (cr, t, т)= f3<jc{t,z) .	(5.8)
При высоких сжимающих напряжениях <jb>0,8Rb(z) реко¬
мендуется функцию удельных деформаций нелинейной ползуче¬
сти задавать в виде вычислительного оператора на основе
диаграмм-изохрон и выражений для меры ползучести типа
(5.1)-(5.4) Пример такой процедуры приводится ниже в
п. 5 . 5 .
Зависимость прочности бетона от времени может быть
оценена на основе экспериментально установленной связи
модуля упругости бетона о его прочностью на сжатие, фор¬
мула (1.28), где дополнительно учитывается фактор времени
r(t)=—27Дь(г)	мп	(5 9)
V	' 55000-Еь{т)
Переход к призменной прочности и прочности на осевое рас¬
тяжение осуществляется по формулам работы [14 4]
Rhp (т)=r(t) [0,8 - 0,00 1r(t)] , МПа,	(5.10)

179
Rp M = 5r(z)![45 + д(т)] , МПа.	(5.11)
Относительные деформации свободной усадки бетона, по дан¬
ным работы [142], достаточно полно описываются зависимо¬
стью
ssh(T ~ то) = ^shi1 ~ 0,25е~°'001(т~т°) - 0,55е~°'°9^т~ ) J (5.12)
где Tq - начало отсчета деформаций усадки;
£sh - величина деформаций усадки, проявившихся за
бесконечно долгий срок, которая определяется по методике
работы [142]
Таким образом, вся информация об изменении прочност¬
ных и деформативных свойств бетона описываются шестью
функциями от координаты времени и, для деформаций нели¬
нейной ползучести, от величины действующих напряжений.
Эти функции определяются для заданных параметров темпера¬
туры и влажности окружающей среды, которые считаются по¬
стоянными .
Расчет на кратковременные и длительные нагрузки ве¬
дется по общей методике, поэтому история напряженного со¬
стояния сохраняется при переходе от кратковременного на¬
гружения к длительному и наоборот.
В рамках предлагаемой методики деление нагрузок на
длительные и кратковременные носит условный характер.
Кратковременное нагружение рассматривается как длительный
процесс, при котором нагрузка прикладывается ступенями с
выдержкой на каждом этапе в пределах 3-5 минут. Изменение
нагрузки на каждой ступени принимается таким, чтобы упру¬
го-мгновенное изменение напряжений в бетоне, вызванное

180
изменением нагрузки, не превышало 1-2 МПа. Такой характер
изменения нагрузки соответствует принятой методике крат¬
ковременных испытаний конструкций. Если расчетом модели¬
руется реальный процесс нагружения, то шаг изменения на¬
грузки и продолжительность ее выдержки на этапах нагруже¬
ния должны соответствовать фактическим. Физическая
нелинейность бетона при кратковременном нагружении
считается следствием быстронатекающих деформаций
ползучести. Если к моменту кратковременного нагружения
напряженное состояние конструкции имеет историю, то
деформации быстронатекающей ползучести вычисляются с уче¬
том Лтхда длишщлвньм нагруженном понимается такое нагруже¬
ние, при котором выдержка нагрузки на этапах нагружения
составляет одни сутки и более. На этапах длительного на¬
гружения развитие деформаций ползучести, усадки и связан¬
ное с этим перераспределение усилий между бетоном и арма¬
турой и между элементами конструкции может быть весьма
значительным. Поэтому при расчете на длительные нагрузки
целесообразно промежутки выдержки нагрузки делить на ряд
этапов, в пределах которых изменение нагрузки равно нулю.
Продолжительность таких этапов, в общем случае, назнача¬
ется в зависимости от возраста бетона, величины действую¬
щих напряжений, величины нагрузки и стадии работы кон¬
струкции. В этом случае изменение напряженного состояния
и изменение жесткости КЭ на итерациях происходит умерен¬
но, чем обеспечивается быстрая сходимость итерационных
процессов. Таким образом, физическая нелинейность бетона
считается следствием его ползучести как при кратковремен¬

181
ных, так и при длительных нагрузках.
Внешняя нагрузка задается в виде векторов сосредото¬
ченных сил {f}, приложенных к узлам КЭ по направлению
осей х и у
{^Ixi — \АЕ1>	Еnlxi’
{F}yl = {AF„F,,F2,F2,..., Fn}yl, j
где i - номер узла;
AFm - ступень (приращение) нагрузки на этапе т.
т
где т - номер этапа нагружения, 1<т<п.
Все векторы внешней нагрузки привязывают к общему
вектору {г} моментов времени, в которые происходит измене¬
ние внешней нагрузки и для которых находится решение за¬
дачи
{т}={т1>т2>..., rn,t}.	(5.15)
Если в момент времени тт изменение некоторой внешней силы
Fi (или всех внешних сил) не происходит, то соответствую¬
щий элемент вектора {f^ принимается равным нулю (рис.
5.1)
Усилие предварительного обжатия задается в виде век¬
торов сосредоточенных сил {р}^. , приложенных к узлам тех
КЭ, в пределах которых проходит напрягаемая арматура.

182
-> Г
а модуль мгновенно-упругих деформаций
&ЫУ \ 		.
Rb(T)
s' призменная про1
шость бетона
' > t,z
^
Ф Rbt(T) / прочность на с
юевое растяжение
кривая усадки
Рис .5.2. Исходные физические
зависимости и характеристики

183
5.2.	Общий алгоритм расчета балок-стенок при
кратковременном и длительном нагружении
Общий алгоритм расчета в виде блок-схемы представ¬
лен на рис.5.2. Алгоритм предусматривает расчет предна¬
пряженных балок-стенок на кратковременные и длительные
нагрузки по общей методике. Расчет осуществляется МКЭ в
форме метода перемещений.
Основным в алгоритме является цикл по нагружениям.
Приращение нагрузки AF рассматривается как отдельное
нагружение, принимается, что приращение нагрузки AF
вызывает упруго-мгновенное изменение деформаций и на¬
пряжений КЭ, при этом учитывается стадия работы КЭ. На
этапах выдержки нагрузки столбец грузовых членов форми¬
руется на основе значений полной нагрузки F, формула
(5.14), решение физически нелинейной задачи достигается
путем итераций, в качестве метода решения используется
метод переменной жесткости.
Пункт 1 алгоритма предусматривают вычисление матриц
физических характеристик бетона и железобетона для рас¬
чета на первую ступень нагружения AFj, приложенную в
момент времени г, . Элементы матриц физических характери¬
стик бетона и железобетона КЭ вычисляются по формулам
(4.16)	и (4.32), где принимается:
а = 0;
Ebn =E'bt ~Eb(Tl)>
03=0.
Равенство /?3 = 0 означает, что направление напрягаемой
арматуры совпадает с направлением оси х.

184
Рис.5.2. Блок-схема алгоритма расчета

185
Элементы вектора {sq} определяются по формуле
Ы= { £sh{*l\sshiTl)> 0 }•	(5.16)
Если начало отсчета деформаций усадки совпадает с момен¬
том приложения нагрузки (усилия предварительного обжатия)
Т], то принимается £Sh(Ti)=0
Цикл по итерациям предусматривает решение нелинейной
задачи длительного деформирования на этапах выдержки на¬
грузки	. Рассмотрим вычисление матриц физических
характеристик бетона и железобетона КЭ и вектора {,е0} в
п.7 алгоритма.
На первой итерации цикла определяется напряженно-
деформированное состояние конструкции в момент времени
после изменения внешней нагрузки.
Для КЭ без трещин матрицы физических характеристик
бетона и железобетона вычисляются по формулам (4.16) и
(4.32) Направление осей главных напряжений (угол а)
принимается по результатам расчета на последней итерации
предыдущего этапа нагружения. Секущие модули деформаций
бетона E'bnt вычисляются в зависимости от характера изме¬
нения напряженного состояния. Если изменение главных на¬
пряжений в бетоне в результате изменения внешней нагрузки
не приводит к смене знака главных напряжений, то секущие
модули деформаций бетона вычисляются по формуле
ту/ _	abn,t+ A<Jbn,t	,	с	п	п	х
bn t	/	7	\	:	]	/	7	\	>	w • -W /
’ ^bn,tlEb^inscn,t+A<7bn,tlEb\Ti)
где: o'bnt- напряжения в бетоне в момент времени до

186
изменения внешней нагрузки;
£cn,t ~ деформации ползучести бетона в момент времени
Tj_ вызванные действием напряжений <Jbn,t;
A<Jbn,t ~ линейно-упругое изменение главных напряжений
в бетоне, вызванное изменением внешней нагрузки в момент
времени .
Элементы вектора {sq} в этом случае вычисляются по форму¬
лам
/ \ _ .2 — 2 '
£sh\Ti) + snnsm a + £ntcos а
fe>}=
£sh (Ti) + £nr, COS2 a + ent sin2 a
2 (scn - sct)sinacosa
(5.18)
где £cnt ~ деформации ползучести бетона в момент времени
tj_, вызванные действием противоположной ветви напряжений
abn,t •
Если главные напряжения в бетоне в результате измене¬
ния внешней нагрузки меняют знак, в формулах (4.2) прини¬
мается
Ebn,t ~ Eb (Ti )•
(5.19)
Элементы вектора {sq\ в этом случае вычисляются по форму¬
лам :
£sh (?i )	(£сп £сп
)sin2 a + {sct + sct)cos2 а
{£0 }6 = \ £sh (Ti) + (£сп + £сп)cos2 a + i£ct + £ct)s™2 а
A(£cn+£cn)-{£ct+£cnl[sinacosa
(5.20)
Для КЭ с трещинами. Если главные растягивающие напря¬

187
жения в бетоне в результате изменения нагрузки не меняют
знак, то физические характеристики бетона и железобетона
КЭ принимаются равными значениям физических характери¬
стик, вычисленным на последней итерации предыдущего этапа
нагружения. Элементы вектора {г#} вычисляются по формуле
(5.18) Если главные растягивающие напряжения в бетоне
меняют знак, то считается, что трещина закрылась ив этом
случае КЭ рассматривается как элемент без трещин. Сопро¬
тивление образованию трещин такого элемента в дальнейшем
принимается сниженным в два раза.
На второй и последующих итерациях цикла определяется
напряженно-деформированное состояние конструкции в момент
времени ri+j .
Для КЭ без трещин на каждой итерации вычисляется угол
направления главных осей по отношению к осям х,у, формула
(4.3)	На величину а накладывается ограничение
0,085 < | а | < 1,5, рад.	(5.21)
что связано с особенностями определения деформаций сдвига
арматуры, формулы (5.26)
Поворот главных осей при сложном нагружении учитыва¬
ется по приближенной методике. В рассмотрение вводится
некоторое фиксированное направление главных осей, которое
определяется углом асоп]. Если в процессе сложного нагру¬
жения главные оси отклоняются от фиксированного направле¬
ния на угол
\a~aconl\<я/4,	(5.22)
то поворот главных осей не учитывается в истории напря¬

188
женного состояния. Если условие (5.22) не выполняется, то
поворот главных осей учитывается в истории напряженного
состояния путем взаимной перемены местами массивов, несу¬
щих информацию об истории напряженного состояния (харак¬
теристика этих массивов будет дана ниже) При этом вво¬
дится новое фиксированное направление главных осей
Матрицы физических характеристик бетона и железобетона КЭ
вычисляются по формулам (4.16) и (4.32) Секущие модули
деформаций бетона вычисляются по формуле
где cbnt - напряжения в бетоне в момент времени ;
£nnt~ деформации ползучести бетона в момент времени
Ti+l г вызванные действием напряжений.
Деформации ползучести бетона в направлении осей глав¬
ных напряжений вычисляются по способу тт с разделением
полных деформаций ползучести на составляющие в соответст¬
вии с формулами (4.10) и (4.13). История напряженного со¬
стояния бетона для каждого КЭ при трансформировании вре¬
мени нагружения заносится в информационный массив из 28
элементов, по 7 характеристик трансформирования для каж¬
дой ветви <jbn, crbn, abt и abt.
Характеристики трансформирования для каждой ветви
аЬп£ включает следующие величины:
(5.23)
Gbn,t
(5.24)

189
Tj - трансформированное время нагружения для опре¬
деления деформаций линейной ползучести на этапах догру¬
жения;
т 1	<7j- уровень напряжений в бетоне, достигнутый на
этапах догружения;
T2’(J2 “ то же' на этапах разгрузки;
т3- трансформированное время нагружения для определе¬
ния деформаций нелинейной ползучести;
а3- наибольшая величина напряжений на данной ветви,
достигнутая на предыдущих этапах нагружения;
еп- величина нелинейных деформаций ползучести на эта¬
пах разгрузки.
Влияние плоского напряженного состояния на линейную
ползучесть бетона учитывается введением коэффициента к2х,
который вычисляется в зависимости от вида напряженного
состояния по формулам (4.19) или (4.20) Элементы вектора
Ы вычисляются по формуле
Ы-
— 2 — 2
£sh(Ti+j) + £cr>sin a + sctcos а
£sh(Ti+l) + £cn са + £ctsin2 а
2 (scn - sct)sinacosa
(5.25)
где scn>t- деформации ползучести бетона в момент времени
вызванные действием обратной ветви напряжений.
Для КЭ с трещинами считается, что в процессе деформи¬
рования направление трещин и осей главных напряжений су¬
щественно не изменяется. Жесткостные коэффициенты для КЭ
с трещинами вычисляются с помощью итерационного

190
алгоритма:
I.	Вычисляем коэффициенты Axt,Xytr учитывающие работу
арматуры в трещинах на сдвиг, и среднее расстояние между
трещинами
1
= 1 +
Esy [лу cos а
^X,t	na,t(EsxMx	EspMp)sM	ОС
я
1	(Esx Mx+Esp /л р) sin2 а
■*	I	Л	>
'y,t
na,tEsy №у COS (X
(5.26)
где nat- коэффициент, учитывающий влияние фактора време¬
ни. Коэффициент nat по вычисляется в соответствии с фор¬
мулой (4.58), где дополнительно учитывается нелинейность
деформаций ползучести
na,t ~ ^а №	^тр)	^i + 2г ^тр) ]	} * (5.27)
&bn
Среднее расстояние между трещинами определяется по
эмпирической формуле, принятой в СНиП 2.03.01-84*, где
дополнительно учитывается влияние плоского напряженного
состояния
Здесь
1СГС = 20 Tjans^fd( 1 - 0,15| sin2a\).
Л а = \лхИх + *lpMp)sin2 а + 7jyjuy cos2 а\/ ц3;
d = [(dx//x + dpfj.p)sin2 а + dyjuy cos2 a]/jus;
2	2
Ms=(Mx+ MP)sin d + cos d;
ns = 3,5 -100ns > 1,5.
(5.28)
(5.29)

191
На первой итерации принимается Esi=Es±, i = x,y,p .
2.	Определяются напряжения в арматуре в трещинах и
величины, характеризующие неупругие свойства арматуры
^x,t (°Х	^	ху	ctg сс)
(Мх Мр ) (1 Esp 7 Esx )
^v.t (Vy ^ xy	&)
“y,t
°sy= —
sp
My
ЛХ,Ь (^X + Txy ct9 a)
(Mx+Mp)(l + Zsx Wsp)
(5.30)
Если (Jsi + CTpi < rfsfei<Jo,2ir i = *гУ,Р, то переходим к
п.З, где принимается vsi= 1. Если на предыдущих этапах
нагружения арматура работала за пределом упругости, то
учитывается её упрочнение. Если JJS/,eiao,2i^ Gsi +	°'pi -
—<To,2i г то
&0,2i ~ &si
*/si=42i+(1~v0,2i)
t^OJi rls,el®Q,2i
(5.31)
где
v0,2i
a0,2i
400 + cr0)2i
МПа,
i=x,y.
Для высокопрочной и преднапряженной арматуры vsi в правой
части формулы (5.31) вычисляется по формуле (4.47) или
(4.51)

192
где
<J
vui =
Ul
6000 - cr,
, МПа,
Ul
i=x,y,p.
Для высокопрочной и преднапряженной арматуры	в	правой
части формулы (5.32) вычисляется по формуле (4.50) или
(4.52)
Вычисляется параметр
cos8i
= 5,6
+ 0,34(1
a0,2i
Lcrc
Ul
100aaiJ__
Esi
SI
(5.33)
где dj_-7r/2 - \a\ при i = x,p;
£i=|a| при i = у.
3.	По формулам (4.58),	(4.49),	(4.61),	(4.60),	(4.57)
и (4.5 6) вычисляются коэффициенты усреднения деформаций
арматуры на участке между трещинами и секущие модули де¬
формаций арматуры Е'3± .
Если на смежных итерациях относительная разница
значений <Jsi(i = x,y,p) не превышает заданной величины (в
качестве невязки может быть принято 5%) , то переходим к
п.4. В противном случае осуществляется возврат к п.1 и
производится очередная итерация.
4.	Вычисляются элементы матрицы жесткости
мулы (4.42), и ширина раскрытия трещин
[С].
*сгс
sy / мсгс,тах '
гс, фор-
(5.35)
'SI	SI ' SI
1	=131
х crc, max
i = X.
crc f

193
Если ненапрягаемая арматура направления х отсутству¬
ет, то принимается i = р.
Элементы матрицы жесткости железобетона с трещинами
вычисляются по формулам (4.42), где принимается
vn =0,15 +
&b,crc Rb (Tcrc>
40 a
bn
(5.36)
ab,crc в формуле (5.36) вычисляется по зависимости (4.36)
при t=rcrc.
Переход к матрицам физических характеристик железобе¬
тона и бетона КЭ осуществляется по формулам (4.43) и
(4.44)
Образование трещин приводит к значительному снижению
жесткости КЭ. Наличие в конструкции КЭ с трещинами вызы¬
вает существенное перераспределение усилий между элемен¬
тами системы, что обуславливает ухудшение сходимости ите¬
рационного процесса. Поэтому в алгоритме использован при¬
ем усреднения значений элементов матриц физических харак¬
теристик железобетона КЭ с трещинами на смежных итераци¬
ях .
Моделирование работы конструкций при высоких нагруз¬
ках, близких к разрушающим, также имеет свои особенности.
Для КЭ с трещинами, арматура которых находится в стадии
пластического деформирования, соответствующее снижение
жесткости обеспечивается зависимостями (4.56) и (4.42)
Как показали экспериментальные исследования многих
авторов (эти результаты отражены в обзоре), сжатый бетон
плосконапряженных элементов разрушается по одному из трех

194
механизмов.
В полосах бетона между трещинами сопротивление бетона
сжатию оказывается ниже, чем в элементах без трещин. Это
обстоятельство учитывается в расчете путем деления
параметра Rb(t,T) в критерии прочности на эмпирический
коэффициент, который принимается равным:	при упругой
работе арматуры в трещине - 0,9, при упруго-пластической
работе - 0,7 и при работе за условным пределом текучести
- 0,55.
В элементах без трещин выполнение (удовлетворение)
критерия прочности возможно в двух случаях. Если после
приложения очередной ступени нагрузки анализ напряженного
состояния элемента показывает, что произошел выход за
пределы прочного сопротивления, то такой элемент считает¬
ся разрушенным. Жесткость таких элементов на каждой ите¬
рации цикла снижается в два раза, что позволяет избежать
лавинообразного выключения соседних элементов из работы
и смоделировать процесс разрушения конструкции близким к
тому, что имеет место в действительности.
Во втором случае выполнение (удовлетворение) критерия
прочности может произойти в процессе итераций при
постоянной нагрузке. В этом случае уровни главных
напряжений в бетоне, вычисленные в соответствии с моделью
подобия напряженных состояний, принимаются равными
единице. В результате перераспределения усилий на
последующих итерациях эти уровни снижаются и бетон таких
элементов продолжает работать на нисходящей ветви
диаграммы сжатия.

195
П. 8 алгоритма предусматривает трансформирование ха¬
рактеристик ползучести и режимов изменения главных напря¬
жений в бетоне КЭ, заполнение информационных массивов
данных о напряженном состоянии конструкции, достигнутом
на последней итерации предыдущего этапа нагружения и вы¬
числение матриц физических характеристик КЭ для расчета
на очередное приращение внешней нагрузки AF.
Для КЭ без трещин элементы матриц физических характе¬
ристик бетона и железобетона КЭ вычисляются по формулам
(4.16)	и (4.32) Назначается E'bn = E'bn =Eb(tj), угол а при¬
нимается по результатам расчета напряженного состояния КЭ
на последней итерации предыдущего этапа нагружения.
Для КЭ с трещинами физические характеристики бетона и
железобетона принимаются равными значениям физических ха¬
рактеристик, полученным на последней итерации предыдущего
этапа нагружения.
На основе составленного алгоритма была осуществлена
модификация ряда программных комплексов по физически-
нелинейному расчету железобетонных балок-стенок ("Икарус-
ЕС", "Микрон-PC" и др.) и выполнен расчет ряда эксперимен¬
тальных конструкций при кратковременном, длительном и не-
многократно-повторном нагружениях.

196
5.3.	Расчет предварительно напряженной балки
из опытов НИИЖБ при длительном нагружении
В Центральной лаборатории теории железобетона НИИЖБ в
1968-71 гг. проводились экспериментально-теоретические
исследования [160] с целью изучения влияния длительных
процессов в бетоне на напряженно-деформированное состоя¬
ние преднапряженных конструкций при длительном и кратко¬
временном нагружении. В ходе исследований были испытаны
несколько серий преднапряженных балок, бетон которых был
подвержен специальным испытаниям для выяснения его реоло¬
гических свойств.
С целью подтверждения правильности разработанной мо¬
дели и изучения вопросов её компьютерной реализации были
рассчитаны балки серии I НА, испытанные при кратковремен¬
ном и длительном нагружении. Выбор для расчета этих кон¬
струкций обусловлен тем, что в ходе экспериментальных ис¬
следований с необходимой для расчета по предлагаемой ме¬
тодике полнотой были установлены свойства бетона и арма¬
туры, а также зафиксированы параметры режимов нагружения
конструкций. Исходные данные, на основании которых произ¬
веден расчет, приняты по данным работы [160].
Схема загружения и армирование конструкций представ¬
лены на рис. 5.3. Способ натяжения арматуры - механиче¬
ский на упоры. Величина преднапряжения арматуры с учетом
потерь, проявившихся до обжатия бетона, составила 596
МПа. Отпуск арматуры осуществлялся в возрасте 20 сут. при
Rbp ~ 38,5 МПа, передача преднапряжения производилась в
четыре этапа.

0 6 А-I
150X Ч
750
2150
150*4
о
о о
90
06A-I	0	IOAt-V}
'^Х/га-йЛт-й
Рис.5.3. Схема загружения и схема армирования балки
197

198
На основании уравнений простой ползучести, представ¬
ленных в работе [160], приняты функции удельных деформа¬
ций ползучести бетона. Для нелинейных деформаций ползуче¬
сти, вызванных напряжениями сжатия, в виде
Сп(сг,Ь,т) =
а (г)
■А
1/п
Вызванных напряжениями растяжения, в виде
C+((7,t,T) =
сг+(т)
■А
1/п
,-5
1/МПа
/ \_1/п
(сут.)
где А =3f8x10
ccj =0,25;
п = 2.
Для линейных деформаций ползучести в виде
С1(Ь,г) = В
С + е'^’
1/2
1-е-*2 <*-*>
1/2
где В=8,4x10 5;
С=0,1;
а 2 = 0,13;
п - 2.
1/МПа
(сут/)
-1/п
(5.37)
(5.38)
(5.39)
Данные об изменении призменной прочности бетона и модуля
мгновенно-упругих деформаций представлены в табл. 5.1 и
5.2. Для расчета экспериментальные данные аппроксимирова¬
ны зависимостями:
Rb(T) = Rb'Jl-ea‘T ),
(5.40)
где Rb,oo= 44,7 МПа

199
а4 = - 0,103 l/сут.
Eb(T) = EbiJl-ea5T ),
(5.41)
где Еь,оо= 36,1 х 103 МПа ;
а5 - - 0,215 1/сут.
Прочность бетона на осевое растяжение, с учетом фактора
времени, принята по эмпирической зависимости
Кривая относительных деформаций свободной усадки на уров¬
не центра тяжести неармированной балки представлена на
рис.5.4. Для расчета экспериментальные данные аппроксими¬
рованы зависимостью (сплошная линия на рис.5.4)
где D = 25x10 ~5;
а3 = 0,03, 1/сут. ;
т0 = 20 сут.
На рис.4.5 показана расчетная схема балки, при назна¬
чении расчетной схемы учтена симметрия конструкции и схе¬
мы загружения. Симметричный отрезок балки разбит на 55
прямоугольных конечных элементов, которые соединены 72
узлами.
КЭ и узлы системы пронумерованы влево направо и свер¬
ху вниз. В табл.5.3 представлены значения параметров,
описывающих свойства КЭ. Для описания свойств всех эле¬
ментов балки потребовался массив данных из девяти строк.
Нагружение балок длительной нагрузкой, составляющей
Rbt(T) = 0,05[yRb(r)]2/s
(5.42)
esh=D[l-e-a>(r-*°>] '
(5.43)

200
Таблица. 5.1.
Возраст бетона, сут.
Призменная прочность бетона, МПа
Экспериментальные
данные работы [160]
По формуле (5.40)
21
39, 8
39, 6
28
42, 0
42,2
260
44,7
44,7
Таблица 5.2.
Возраст бетона, сут.
Модуль мгновенно-упругих деформаций
бетона, МПа
Экспериментальные
данные работы [160]
По формуле (5.41)
21
35,7 х 103
35,7 х 103
28
36,0 х 103
36,0 х 103
260
36,1 х 103
36,1 х 103
0	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140
Рис. 5.4. График относительных деформации свободной усадки
бетона

и
Р =24,6 кН
%
•3-J
X
•п
61
V
If
F[ = 17,5 кН
Fsfj = 53,3 кН
6%
1Ъ
?1 р з
У}>}77>} .
ч
S 6
7
&
9
Ю
//
1.
, 75 L 100 L 100
/
J 'А Л л
/
107F
/
Л
Р=70,3 кН
Рис.5.5. Расчетная схема балки с нумерацией узлов КЭ

202
~30% от разрушающей, осуществлялось в возрасте 160 сут.
Приложение нагрузки производилось ступенями через 3,3 кН
с выдержкой нагрузки на каждом этапе 10 мин. Время дли¬
тельного нагружения составило 110 суток. Режим
нагружения, включающий предварительное обжатие и ступени
длительного нагружения, представлен в табл.5.4.
Как в эксперименте, так и в расчете образование тре¬
щин при отпуске напрягаемой арматуры и при длительном на¬
гружении не зафиксировано. Вся арматура конструкции рабо¬
тала в упругой стадии. Изменение напряженно-
деформированного состояния конструкции под нагрузкой
(включая предварительное обжатие) характеризовалось раз¬
витием обратного выгиба под влиянием сил обжатия, прояв¬
лением потерь преднапряжения арматуры вследствии пол¬
зучести и усадки бетона, прогибом конструкции под дейст¬
вием длительной внешней нагрузки. На рис. 5.6 - 5.8 пока¬
заны экспериментальные и расчетные кривые, характеризую¬
щие изменение напряженно-деформированного состояния кон¬
струкции. Экспериментальные и расчетные кривые нарастания
во времени обратного выгиба и прогиба балки под длитель¬
ной нагрузкой имеют ярко выраженный характер, свойствен¬
ный процессам, обусловленным ползучестью.
Сравнение экспериментальных и расчетных данных пока¬
зывает, что расчет по предлагаемой модели удовлетвори¬
тельно описывает работу преднапряженной конструкции при
длительном нагружении.

Таблица 5.3.(начало)
Номера
элементов
Параметры КЭ
h
V
Esx
Esy
Esp
crs,el,x
<*s,el,y
,el,р
<*0,2х
0,2у
м
-
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
1
1
0, 09
0, 2
2,1х105
2, ОхЮ5
192
1006,4
240
2
2-7
0, 09
0,2
2,1х105
2, ОхЮ5
192
1006,4
240
3
8-11
0, 09
0,2
2, ОхЮ5
1006,4
4
12,33,34
0, 09
0,2
2,1х105
192
240
5
13-18,24-
29,35-40
0, 09
0,2
2,1х105
192
240
б
19-22,30-
33,41-40
0, 09
0,2
7
45
0, 09
0,2
2,1х105
2,1х105
2, ОхЮ5
192
192
1006,.4
240
240
8
46-51
0, 09
0,2
2,1х105
2,1х105
2, ОхЮ5
192
192
1006,4
240
240
9
52-55
0, 09
0,2
2, ОхЮ5
1006,4
203

Таблица. 5.3. (окончание)
Параметры КЭ
°0,2р
&UX
&иу
&ир
&Ьр
Мх
Му
Мр
dx
dy
dP
Лх
Чу
Чр
F
А
В
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
-
-
-
мм
мм
мм
-
-
-
1
МПа
1
МПа
1
МПа
1
1258
270
1467
596
0,0168
0,0656
6
12
1/3
1
2
2
700
2
1258
270
1467
596
0,0052
0,0656
6
12
1/3
1
2
2
700
3
1258
1467
596
0,0656
12
1
2
2
700
4
270
0,0168
6
1/3
2
5
270
0,0052
6
1/3
2
6
2
7
1258
270
270
1451
596
0,0157
0,0168
0,0229
6
6
10
1/3
1/3
1
2
2
700
8
1258
270
270
1451
596
0,0157
0,0052
0,0229
6
6
10
1/3
1/3
1
2
2
700
9
1258
1451
0,0229
10
1
2
2
700
204

205
Таблица 5.4.
Режим нагружения балки усилием предварительного
обжатия и длительной нагрузкой
Номер этапа
нагружения
т, сут.
AF1
Величины
узловых нагрузок, кН
узлы
1,13
узлы
49,61
узел
68
1
20,0
AFj
17,58
6,15
0,0
Fi
17,58
6,15
0,0
2
20,0028
AF2
17,58
6,15
0,0
F2
35,16
12,30
0,0
3
20,0056
AF3
17,58
6,15
0,0
F3
52,74
18, 45
0,0
4
20,0083
af4
17,58
6,15
0,0
70,32
24, 60
0,0
5
21,0
af5
17,58
6,15
0,0
f5
70,32
24, 60
0,0
6
22,0
AF6
17,58
6,15
0,0
F6
10,32
24, 60
0,0
7
30,0
af7
17,58
6,15
0,0
f7
70,32
24, 60
0,0
8
50, 0
AFe
0,0
0, 0
0,0
f8
70,32
24, 60
0,0
9
100,0
af9
0,0
0,0
0,0
f9
70,32
24, 60
0,0
10
160,0
af10
0,0
0,0
-3, 3
Fio
70,32
24, 60
-3,3
11
160,0069
AFn
0,0
0,0
-3,3
Fu
70,32
24, 60
-6,6
12
160,0139
AFn
0,0
0, 0
-3,3
Fl2
70,32
24, 60
-10,0
•13
160,0208
AF13
0,0
0, 0
-3,3
F13
70,32
24, 60
-13,3
14
160,0208
af14
0,0
0, 0
-3,3
Fu
70,32
24, 60
-16,6
15
160,0347
af15
0,0
0,0
-0,9
Fis
70,32
24, 60
-17,5
16
161,0
AF16
0,0
0,0
0,0
Fie
70,32
24, 60
-17,5
17
170,0
af17
0,0
0,0
0,0
Fl 7
70,32
24, 60
-17,5
18
200,0
A Fia
0,0
0,0
0,0
Fib
70,32
24, 60
-17,5
270,0

f, ММ
Рис.5.6. Графики обратного выгиба балки от усилия предварительного обжатия
Обозначено: .	экспериментальнве	данные	[160]
	- расчетные кривые
t-rh сут.
206

IHA-б
Рис.5.7. Графики потерь предварительного напряжения арматуры от ползучести
и усадки бетона. Верхняя кривая - потери преднапряжения арматуры S, нижняя
кривая — потери преднапряжения в арматуре S'
Обозначено:.	экспериментальнве	данные	[160]
	- расчетные кривые
207

Plong fKH
IHA-б
3,6
3,0
2,4
1,8
1,2
0,6
0
•
•
•
•
• •
» • «
• •
► •
\
/
• 1
1
•
1»
ч/
I На
i-a
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Рис.5.8. Графики кратковременного и длительного прогиба балки при
длительном нагружении
Обозначено:... - экспериментальнве данные [160]
	- расчетные кривые

209
5.4.Расчет предварительно напряженной
балки из опытов НИИЖБ при
кратковременном нагружении
Балки-близнецы по отношению к рассмотренным в п. 5.3
были испытаны на кратковременную нагрузку. Схема загруже¬
ния балок соответствует рис. 5.3. Балки загружались крат¬
ковременной нагрузкой в возрасте 160 суток. Нагружение
производилось ступенями через 3,3 кН с выдержкой на каж¬
дом этапе 15 мин. В процессе испытаний балки доводились
до разрушения. Разрушающая нагрузка для балки 1НА-а со¬
ставила 53,3 кН, для 1НА-6 - 57,8 кН, нагрузка трещинооб-
разования - соответственно 19,0 и 18,8 кН.
Исходные данные о свойствах материалов, геометрии
балки и её расчетная схема приведены в п. 5.3.
Режим нагружения, включающий предварительное обжатие
и ступени кратковременного наагружения, представлен в
табл.5.5.
Как эксперимент, так и расчет показали, что напрягае¬
мая арматура работала в упругой стадии вплоть до разруше¬
ния. Изменение напряженно-деформированного состояния кон¬
струкции характеризовалось возникновением и развитием
трещин в бетоне растянутой зоны и изменением прогиба бал¬
ки под действием внешней нагрузки. Расчетная нагрузка
трещинообразования составила 23,3 кН. Как в опыте, так и
в расчете образование первых трещин не вызвало резкого
нарастания прогибов. На рис. 5.9 показаны эксперименталь¬
ная и расчетная схемы развития трещин, на рис. 5.10	-
экспериментальные и расчетные кривые изменения прогибов
балок под действием кратковременной нагрузки.

210
Таблица. 5.5.
Режим нагружения балки усилием предварительного
обжатия и кратковременной нагрузкой
Номер этапа
нагружения
т, сут.
AF,
Величины
узловых naPj
О
ъ
о
*
N
*
узлы
1,13
узлы
49,61
узел
68
1
20,0
AFi
17,58
6,15
0,0
Fi
17,58
6,15
0,0
2
20,0028
AF2
17,58
6,15
0,0
F2
35,16
12,30
0,0
3
20,0056
AF3
17,58
6,15
0,0
F3
52,74
18,45
0,0
4
20,0083
af4
17,58
6,15
0,0
f4
70,32
24,60
0,0
5
21,0
af5
17,58
6,15
0,0
Fs
70,32
24, 60
0,0
б
22, 0
af6
17,58
6,15
0,0
F6
70,32
24, 60
0,0
7
30,0
af7
17, 58
6,15
0, 0
f7
70,32
24,60
0,0
8
50,0
af8
0,0
0,0
0,0
f8
70,32
24,60
0,0
9
100, 0
af9
0,0
0,0
0,0
f9
70,32
24, 60
0,0
10
160,0
AF10
0,0
0,0
-3,3
Fio
70,32
24,60
-3,3
11
160,0104
AFn
0,0
0,0
-3,3
Fu
70,32
24,60
-6, 6
12
160,0208
af12
0,0
0,0
-3,3
Fl2
70,32
24, 60
-10,0
13
160,0312
AFi3
0,0
0,0
-3,3
F13
70,32
24, 60
-13,3
14
160,0417
af14
0,0
0,0
-3,3
f14
70,32
24,60
-16,6
15
160,0520
af15
0,0
0,0
-3,3
f15
70,32
24, 60
-20,0
16
160,0625
af16
0,0
0,0
-3,3
Fis
70,32
24,60
-23,3
17
160,0729
af17
0,0
0,0
-3,3
Fn
70,32
24,60
-26,6
18
160,0729
af18
0,0
0,0
-3,3
Fi8
70,32
24,60
-30,0

211
19
160,0937
af19
f19
0,0
70, 32
0,0
24, 60
-3,3
-33,3
20
160,1042
AF20
F20
0,0
70, 32
0,0
24, 60
-3,3
-36, 6
21
160,1145
AF21
F21
0, 0
70,32
0,0
24, 60
-3,3
-40,0
22
160,1250
af22
F22
0,0
70,32
0,0
24, 60
-3,3
-43,3
23
160,1354
AF23
F23
0,0
70,32
0,0
24, 60
-3,3
-46, 6
24
160,1458
AF24
F24
0,0
70,32
0,0
24, 60
-3,3
-50,0
25
160,1562
af25
F25
0,0
70,32
0,0
24,60
-3,3
-53,3
160,1667
Экспериментальные и расчетные кривые изменения проги¬
бов показывают, что кратковременное деформирование конст¬
рукции носило ярко выраженный нелинейный характер.
Сравнение экспериментальных и расчетных данных пока¬
зывает, что расчет по предлагаемой модели удовлетвори¬
тельно описывает работу преднапряженной конструкции при
кратковременном нагружении.
Расчет по предлагаемой методике позволяет детально
исследовать изменение напряженного состояния отдельных
зон конструкции и оценить эффективность расположения ар¬
матуры, выявить необходимость в косвенном армировании и
другие конструктивные особенности.

Рис. 5. 9. Схема, образования и развития трещин при краткрвоременном
нагружении. Справа - опыт [160], слева - расчет
212

213
55
44
33
22
11
О	2
Fsh,*<H
fММ
10 12
ц
•
ЧА~б _
••
•<
• /
1 /
•
• у
/
f,MM
10 12
Рис. 5.10. Графики прогибов балки при кратковременном
нагружении
Обозначено:. . . - экспериментальнве данные [160]
		- расчетные кривые

214
5.5.Расчет экспериментальных балок-стенок
при длительном загружении
Экспериментальное изучение сопротивления балок-
стенок длительной нагрузке проводилось в исследованиях
И.Н.Кедича [82] Балки-стенки БСД-1,2,3 пролетом 100 см,
высотой 50 см и толщиной 7 см армировались ортогональной
сеткой из стержней 06A-I с шагом поперечных стержней 100
мм. В качестве продольной рабочей арматуры в растянутой
зоне устанавливались два стержня 01ОА-П. Опирание - в
углах через металлические прокладки 70x100 мм. Схема ар¬
мирования показаны на рис.5.11. Физико-механические
свойства бетона представлены в табл.5.б.
Таблица 5.6.
Возраст
бетона
Кубиковая
прочность
R (20x20 см)
Призменная
прочность
Rb
Прочность при
осевом растяже¬
нии Rbt
Модуль мгно¬
венно-упругих
деформаций Еь
сут.
МПа
МПа
МПа
МПа
30
О
00
29,0
2,55
35400
Экспериментальные кривые Еь(т)и C(trx) аппроксимиро¬
ваны выражениями
Е(Ь,т) = 39200(1 -0,31е~°'057т-0,0бе-°’006т) , МПа, (5.44)
C(t,т) = 45• 10~7(0,5+0,7е~°'12т)[l-0,3r°’23(t-T)-0,67е~°’077(^т)], 1 /МПа (5.45)
При назначении расчетной схемы были учтены симметрия
конструкции и нагрузки. Симметричная часть балки-стенки
разбита на 26 прямоугольных КЭ с 36 узлами. Расчетная
схема и схема загружения показаны на рис.5.12. Характери¬
стики конечных элементов приведены в табл.5.7.
Длительное загружение экспериментальной конструкции
было осуществлено в возрасте 30 сут. равномерно-

215
06А-1ш.95
Рис. 5.11. Схема армирования балки-стенки из опытов [82]
Fi = 14 кН Fl Fl	Fl	Fl	Fl/2
32
26
20
15
9
3
/ \
! \
( \
{ \
1 \
Ч
уЛ
33
37
( J
П
■
\4 5 6 7 8 \
Рис.5.12.Расчетная схема балки-стенки

Таблица 5.7. (начало)
Параметры КЭ
Номера
элементов
h
V
Esx
Esy
Esp
Vs,elcr0,2x
Vs,el°0,2y
11з,е1<У0г2р
<*0,2х
его, 2 у
м
-
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
1
1
О
о
0, 2
2,1х105
2 ,1х105
235
235
235
235
2
2-6
о
о
см
о
2,1х105
2,1х105
295
235
295
235
3
7-11,
17-21
о
о
0, 2
2,1х105
235
235
4
20-24,
22-26
о
о
0,2
2,1х105
2,1х105
295
235
295
235
Таблица 5.7. (окончание)
Параметры
КЭ
<т0,2р
&UX
&иу
&ир
СГЬр
Мх
Му
Мр
dx
dy
dp
Vx
Чу
Чр
F
А
В
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
-
-
-
мм
мм
мм
-
-
-
1
МПа
1
МПа
1
МПа
1
375
375
О
\—1
О
\—1
2
490
375
0,0236
0,0043
10
6
1,3
1,3
3
37.5
0,0043
6
00
\—1
4
375
375
0,0041
0,0043
6
6

217
распределенной нагрузкой с интенсивностью 14 кН/м. Подъем
нагрузки включал 7 этапов с выдержкой на каждом этапе в
течение 15 мин. Продолжительность длительных испытаний
составила 310 сут. Режим нагружения представлен в
табл.5.8.
На рис.5.13 показаны кривые прогиба балки в процес¬
се подъема нагрузки до длительно действующего уровня.
F, кН
Рис.5.13. Кривые прогиба, балки-стенки
Опытное значение нагрузки трещинообразования состави¬
ло 1,0 кН/м, теоретическое - 0,8 кН. Как видно из графи¬
ков, трещинообразование не привело к существенному нарас¬
танию прогибов. Опытная и расчетная схемы образования и
развития трещин приведены на рис.5.14. На рис.5.15. при¬
ведены кривые развития во времени прогиба балки-стенки,
средних деформаций растянутой арматуры и бетона сжатой

Frl,4 кН
V N
! \
( \
( \
/ \
( \
( \
( \
( \
( \
/
/
1
\
\
И 1
1—<
Рис. 5.14. Схема, образования и развития трещин. Слева — опит [82], справа - расчет

219
Таблица 5.8.
Режим нагружения балки-стенки из опытов [82]
Номер
этапа
нагружения
т, сут.
AF±
Величины узловых
нагрузок, кН
узлы
31-35
узел
36
1
Ы
О
О
AFi
0,2
0,1
Fx
0,2
0,1
2
30,0104
AF2
0,2
0,1
F2
0,4
0,2
3
30,0208
af3
0,2
0,1
F3
0, 6
0,3
4
30,0312
af4
0,2
0,1
f4
0,8
0,4
5
30,417
af5
0,2
0,1
f5
1,0
0,5
6
30,0520
af6
0, 2
0,1
F6
1,2
0,6
7
30,0625
AF-j
0,2
0,1
f7
1,4
0,7
8
31, 0
af8
0, 0
0,0
FB
1, 4
0,7
9
32,0
AFg
0,0
0,0
f9
1,4
0,7
10
40,0
af10
0, 0
0,0
F10
If 4
0,7
11
60,0
AFn
0, 0
0,0
Fn
1,4
0,7
12
120, 0
af12
0, 0
0,0
Fiz
If 4
0,7
13
210, 0
af13
0, 0
0,0
F 23
1, 4
0,7
310, 0

t-т, (сут
t-т, (сут
^(0-105
Рис.5.15.Опытные(1) и теоретические(2) кривые приращения во времени значений
прогибов V(t) , деформаций растянутой арматуры ss (t) и сжатого бетона £b(t)
балки-стенки из опытов [82]
220

221
грани. Полученные результаты позволяют сделать вывод о
достаточно точном соответствии расчетных и опытных кривых
как при подъеме нагрузки, так и в процессе длительного
загружения.
Экспериментальное изучение балок-стенок при действии
длительной нагрузки проводилось в лаборатории надежности
и долговечности сооружений ОИСИ [111] Экспериментальные
образцы - балки-стенки БСД-1, БСД-1,5 и БСД-2 - имели
пролеты 100, 150 и 200 см соответственно. Высота всех ба¬
лок-стенок составляла 100 см, толщина -	60 мм. Балки-
стенки армировались по всему полю арматурной сеткой С-1 с
ортогональными стержнями 08А-Ш с шагом 100 мм
{jux=juy=0, 00837) В опорных зонах и в зоне приложения на¬
грузки балки-стенки усиливались двумя сетками косвенного
армирования С-2 из стержней 06A-I с шагом 40 мм для ба¬
лок-стенок БСД-1 и БСД-1,5 {jux=juy=0,0236) и 80 мм для бал¬
ки-стенки БСД-2 {jux=juy=0, 001178) , установленными симмет¬
рично относительно оси конструкции. Физико-механические
характеристики арматурных стержней сеток приведены в
табл.5.9. Схема армирования балок-стенок показана на
рис.5.16.
Таблица 5.9.
Арматура
Es
0's, el
&0,2
Си
Ssu
МПа
-
МПа
МПа
-
08А-Ш
2, ОхЮ5
385
480
715
0,25
06A-I
2,1х105
195
245
275
0,15
Образцы изготавливались в лабораторных условиях из
бетона состава (по весу) 1:1,82:4,53 с В/Ц=0,5. Физико¬

222
механические свойства бетона в возрасте 30 сут., а также
кубиковая прочность к концу испытаний представлены в
табл.5.10.
Таблица 5.10.
Серия
R
(20x20)
Rb
Rbt
Еь
т
Rb(T)
МПа
МПа
МПа
МПа
сут.
МПа
ДБС-1
29,8
27,7
2,29
0,298
460
37,4
ДБС-1,5
37,2
28,3
2,68
0, 351
423
44,8
ДБС-2
37, 9
30,3
2,93
0, 375
407
47,8
Экспериментально полученные кривые модуля мгновенно¬
упругих деформаций и меры ползучести бетона аппроксимиро¬
ваны выражениями:
Еь(т) = Е(ю)(1-е~0,02бт), МПа,	(5.46)
C(t,z) = 6• 10~5(0,5 + 0,7ё~°’02бт)[l-B1e~ri(t'T)-B2e~r2(t~r)], 1/МПа .(5.47)
Значения коэффициентов в формулах (5.46), (5.47) при¬
ведены в табл.5.11.
Таблица 5.11.
Серия
Е(со)
В!
п
в2
72
МПа
-
1/сут.
—
1/сут.
ДБС-1
3, 63
0,76
0,0035
0,24
0,087
ДБС-1,5
4,28
0, 80
0,0034
0,20
0,087
ДБС-2
4,57
0, 82
0,0052
0,19
0,110
Расчетная схема балок-стенок показана на рис.5.17
Загружение балок производилось сосредоточенной на¬
грузкой в центре верхней грани, опирание осуществлялось
через металлические пластины 100x70x10 мм. Возраст бетона
в момент загружения составлял 30 сут. Подъем нагрузки
осуществлялся ступенями по 20 кН с выдержкой на каждом

223
Ряс. 5.16. Схема, армирования и загружения балок-стенок
ДБС-2, ДВС-1,5 и ДБС-1 из опытов [111]
i
F/2
1	j
3
fe	J
\л
* Ч
к	л
1 *1
Ь	J
1 1
к	J
Л
1 1
В	J
(
-J
1 1
к	J
1 1
F Л
		»—«1
L
100
150
100 (ДБ
150 (ЦЕ
С-1ДБС-2)
’С-1,5)
N-
Рис.5.17.Расчетная схема балок-стенок ДБС-2,
ДВС-1,5 и ДБС-1 из опытов [111]

224
этапе в течение 20 мин. Время длительного загружения со¬
ставило 350 сут. На рис.5.18 показаны экспериментальные и
теоретические кривые прогибов балок-стенок на этапах
подъема нагрузки. Как в опыте, так и в расчете появление
первых трещин происходило посередине пролета с быстрым
развитием их до половины высоты сечения балки-стенки.
Рис.5.18. Графики прогиба балок-стенок на этапах подъема нагрузки
Опытная нагрузка трещинообразования превосходила расчет¬
ную на 10-т-15%. В дальнейшем появлялись наклонные трещины,
причем ширина их раскрытия оказывалась больше, чем
нормальных.

225
мальных.
В процессе длительного загружения новые трещины не
образовывались. На рис.5.19-5.21 показаны кривые длитель¬
ного изменения прогибов балок-стенок, а также средних де¬
формаций растянутой арматуры и бетона сжатой грани. Соот¬
ношение теоретических и опытных кривых позволяет сделать
вывод, что предлагаемая модель с достаточной степенью
точности согласуется с данными эксперимента.
5.6.Расчет экспериментальных балок-стенок
при кратковременном загружении
Балки-стенки высотой 100 см, толщиной 8 см и пролетом
100 см (балка-стенка №101) и 200 см (балка-стенка №103)
были испытаны на кратковременную нагруку в опытах
П.М.Нильсена (P.M.Nilsen) [214] Армирование балок-стенок
осуществлялось по всему полю одной сеткой из проволоки
06 мм и шагом 100 мм (jux=juy=0,0035) Физико-механические
свойства арматуры приведены в табл.5.12.
Таблица 5.12.
Арматура
Es
&s,el
^0,2
<Уи
&SU
МПа
-
МПа
МПа
-
06 мм
2,1х105
410
510
680
0,025*
*)принято по аналогии с проволочной арматурой с подобными по¬
казателями прочности.
Схемы армирования балок приведены на рис.5.23 и
рис.5.25.
Физико-механические свойства бетона балок-стенок
приведены в табл.5.13. Поскольку данные о реологических
свойствах бетона отсутствовали (известно, что бетон

£*(?) • 105	t	-	Т,	(сут)
О	50	100	150	200	250	300
Рис.5.19.Опытные(1) и теоретические(2) кривые приращения во времени значений прогибов V(t),
деформаций растянутой арматуры es(t) и сжатого бетона £ь (t) балки-стенки ДБС-1 из опытов [111]

**(')• 10s	/-г,(сут)
0	50	100	150	200	250	300
t-т, (сут)
Рис.5.20.Опытные(1) и теоретические(2) кривые приращения во времени значений прогибов V(t),
деформаций растянутой арматуры Ss(t) и сжатого бетона еь (Ь) балки-стенки ДВС-1,5 из опытов [111]

£.(')■ 10’
о
50
100
150
200
250
300
t-т, (сут)
350
t-т, (сут)
Рис.5.21.Опытные(1) и теоретические(2) кривые приращения во времени значений прогибов
V (t) , деформаций растянутой арматуры ss(t) и сжатого бетона eb (t) балки-стенки ДБС-2
из опытов [111]

229
конструкций был зрелого возраста), в качестве функции
удельных деформаций нелинейной ползучести использовался
вычислительные оператор, построенный на основании диа-
грамм-изохрон жесткого режима нагружения в форме (3.38)
В формуле (3.41) было принято ёь(т) = 2 х 10~3 Режим
нагружения балок-стенок был разделен на 20 ступеней, по
20 кН для балки-стенки №101 и 11,25 кН для балки-стенки
№103. Время выдержки нагрузки на каждой ступени нагруже¬
ния было принято 5 мин., т.о., для расчета обеих балок-
стенок использовались диаграммы-изохроны с параметром
t-т от 5 мин. до t-r = 5x 20 = 100 мин. В качестве меры ли¬
нейной ползучести использовалось выражение (5.5), где по
рекомендациям [142] было принято С0=ЗхЮ~5;	Вх=0,8;
Yi=0, 005; В2=0,2; у2=0,01.
Таблица 5.13.
Серия
Цилиндри¬
ческая
прочность
Кубиковая
прочность
R (20x20
см)
Призменная
прочность
Rb
Прочность
при осевом
растяжении
R-bt
Модуль
мгн.-упр.
деформаций
Еь
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
101
41
49,4*
35,б**
2,54**
36000***
103
37
44, б
32,4**
2,41**
34500***
*)вычислено по формуле
Rb=Rc/0,83,	(5.48)
где Rc - цилиндрическая прочность/
**)вычислены как средние значения при коэффициенте вариации
13%;
***)принято по СНиП П-21-75 по марке бетона.
Симметричная часть балок-стенок была разбита на 51
прямоугольный КЭ, соединенный 68 узлами. Расчетная схема

230
балок-стенок представлена на рис.5.24 и рис.5.26. На
рис.5.27 представлены графики прогибов балок-стенок. Как
в опыте, так и в расчете балки-стенки загружались до раз¬
рушения. В балке-стенке №101 опытная нагрузка трещинооб-
разования составила 14,5 кН, расчетная - 13 кН. В балке-
стенке №103 опытная и теоретическая нагрузки трещинообра-
зования фактически совпали. Как в эксперименте, так и в
расчете образование первых трещин не привело к существен¬
ному нарастанию прогибов. Как следует из графиков и ана¬
лиза напряженного состояния конечных элементов, нелиней-
нойсть деформирования резко возросла с началом текучести
продольной растянутой арматуры, сокращением высоты сжатой
зоны и чрезмерным раскрытием трещин, как нормальных, так
и наклонных. Как в опыте, так и в расчете разрушение ба¬
лок-стенок явилось следствием текучести продольной растя¬
нутой арматуры и исчерпания прочности бетона сжатой зоны.
Схемы образования и развития трещин в балках-стенках
представлены на рис.5.28-5.29.
Сопоставление теоретических и опытных данных позво¬
ляет сделать вывод, что предлагаемая модель с достаточной
степенью точности описывает нелинейное поведение железо¬
бетона как при длительном, так и кратковременном нагруже¬
нии .

231
Ж
*ч
F-400 кН
/
>
06 ш. 100
А
L.
80
<г
1000
Рис. 5.23. Схема, армирования балки-стенки
№101 из опытов [214]
Рис.5.24.Расчетная схема балки-стенки

SO
/\
232
i
F—225 кН
A
V
>
06 ш.100
A
A
<r
2000
Рис.5.25.Схема армирования и загружения
балки-стенки №103 из опытов [214]
Рис.5.26.Расчетная схема балки-стенки

F, кН
F, кН
V, мм
Рис.5.27.Графики прогибов балок-стенок из опытов [214]
Слева — балка-стенка №101, справа - балка-стенка №103.
Обозначено: 1- опыт, 2 - расчет
233

1)
4)
Т
F =120 кН
t
\L
Z
7
Z
7
7
f
n
n
II
ffi
F=J20 кЯ
П
ti
X
X
£13
x
t
2)
S)
T
F=180 кН
3)
T
П
Ш
z
П
V
F =240 кН
I
T
Рис.5.28.Схема развития трещин в балке-стенке №101 из опытов трещин в
балке-стенке №101 из опытов [214]	1 - 5 — расчет; б - опыт
234

1>
т
F=90 кН
т
2)
т
f
z
3
г
F= 157,5 кН
X
X
т
Т
■у
F = 225 кН
Z
Z
1
±
I
I
т
Т
т
X
т
Рис. 5.29. Схема, образования и развития трещин в балке-стенке №103 из опытов
трещин в балке-стенке №101 из опытов [214] . 1 - 3 - расчет; 4 - опыт
235

236
5.7. Расчет экспериментальной балки-стенки
при циклическом знакопеременном загружении
Балка-стенка W-4 специальной конструкции, предназна¬
ченной для испытаний на малоцикловую нагрузку, была ис¬
следована в опытах К.Герстле и В.Червенки [188] В балке-
стенке длиной 1830 мм и толщиной 7 6,2 мм были предусмот¬
рены три поперечных ребра 298x102 мм, обеспечивающих ре¬
версивный характер передачи нагрузки. Армирование балки-
стенки - одна сетка из стержневой арматуры периодическо¬
го профиля 07,6 мм и шагом 76,2 мм (jux=juy=0, 00785) . Физи¬
ко-механические свойства арматуры приведены в табл.5.14.
Таблица 5.14.
Арматура
Es
&s,el
&0,2
<?U
&SU
МПа
-
МПа
МПа
-
07,6 мм
1,9х105
290
353
550
*
см
о
о
*)принято по аналогии со стержневой арматурой с подобными по¬
казателями прочности.
Схема армирования балки-стенки W-4 приведена на
рис.5.30. Физико-механические свойства бетона балки-
стенки приведены в табл.5.15. Поскольку данные о реологи¬
ческих свойствах бетона отсутствовали (известно, что
бетон конструкций был зрелого возраста), в качестве функ¬
ции удельных деформаций нелинейной ползучести использо¬
вался вычислительные оператор, построенный на основании
диаграмм-изохрон жесткого режима нагружения в форме
(3.38) В формуле (3.41) было принято ёь(т) = 0,0025. Ка¬
ждый полуцикл нагружения балки-стенки был разделен на 20
ступеней Fmax =7,3 + 19x5 = 102,3 кН. Время выдержки нагрузки
на каждой ступени нагружения было принято 3 мин., т. о.,

Рис. 5.30. Схема, армирозтния балки-стенки W-4 из опытов [188]

238
для расчета балки-стенки использовались диаграммы-
изохроны с параметром t-r от 3 мин. до t-r = 3x 100 = 300
мин. В качестве меры линейной ползучести использовалось
выражение (5.5), где по рекомендациям [142] было принято
Со=7х10'5; Вг=0,75; уг =0,008; В2=0,2; у2=0,01.
Таблица 5.15.
Цилиндриче¬
ская проч¬
ность
Кубиковая
прочность
R (20x20 см)
Призменная
прочность Rfr
Прочность
при осевом
растяжении
Rbt
Модуль
мгн.-упр.
деформаций
Еь
МПа
МПа
МПа
МПа
МПа
24, 45
29, 45
21,б**
1,97**
20000
*)вычислено по формуле Rb =Rc/0,83 ,	(5.48)
где Rc ~ цилиндрическая прочность;
**)вычислены как средние значения при коэффициенте вариации
13%.
Для расчета часть белки-стенки, включающая крайнее
ребро, была разбита на 110 прямоугольных КЭ двух типов,
толщиной 298 мм для опорного ребра (элементы №№
1,12,100) , и толщиной 76,2 мм для остальных. Число уз¬
лов в системе составило 138. Расчетная схема балки-стенки
представлена на рис.5.31.
На рис.5.32 представлены графики прогиба балки-
стенки на 24 циклах нагружения. На первом полуцикле на¬
гружения расчетная нагрузка трещинообразования составила
58 кН, что практически совпало с опытом. Дальнейший рост
нагрузки привел к развитию характерной системы трещин
(показана пунктиром на рис.5.33), которые практически
полностью закрылись на втором полуцикле нагружения (раз¬
грузке) На 14 цикле нагружения нагрузка трещинообразо-

239
вания составила 32,4 кН. Дальнейший рост нагрузки привел
к развитию характерной системы трещин (показана сплошной
линией на рис.5.33) При этом нелинейность деформирования
существенно возросла, а прогиб балки-стенки в конце 14
цикла нагружения возрос практически в два раза по сравне¬
нию с прогибом на первой 4 цикла. Деформирование балки-
стенки на 2 и 24 циклах нагружения сопровождалось сущест¬
венным раскрытием первичной системы трещин и резким на¬
растанием нелинейности деформирования. Прогиб балки-
стенки в конце 24 цикла нагружения более чем в три раза
превысил прогиб на первой 4 цикла.
Как показал анализ напряженного состояния конечных
элементов, часть продольной и поперечной арматуры сетки в
конце 4,	14	и	24	циклов нагружения работала в пластиче¬
ской стадии.
Сопоставление теоретических и опытных данных позволя¬
ет сделать вывод, что предлагаемая модель с достаточной
степенью точности описывает нелинейное поведение железо¬
бетона как при знакопеременном малоцикловом нагружении.

127
109
97
85
73
61
49
37
25
13
1
i
F/2
JLJO
	а|
VI
	д|

	д|
VI
VI
	ш
VI
VI
	а!
\ У
\ 3 4 5 6 7 8 9 10 11
VI
1
F/2
Рис.5.31. Расчетная схема балки-стенки W-4 из опытов [188]

241
F, кН
Рис.5.32.Кривая прогиба балки-стенки W-4 при
циклическом нагружении из опытов [188]
Обозначено:
- опыт;
- расчет

V
F \
i
j
i
\
\
N
\
\
\
\
\
\
\
\
1
X
\
\
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
j
\
\
N
N
\
\
N
N
\
\
\
V
\
\
\
\
\
У
/
\
\
N
\
N
N
\
\
\
\
\
\
\
\ У
\S
/ N
Л
\
N
\
\
\
N
\
N
\
N У
\ /
/ Ч
/ N
\ у
\/
/ \
\ У
/ \
/
—
N
N
\
N
\
X
\ У
\ х
/ч.
/ S
\ У
Ч /
/\
X
X
/
X
X
х
><
><

/
/
X
X
Л
ч
Ч
Ч
ч
/
/
/
X
X
Ч
Ч
ч
ч
ч
/
/
/
/
Ь
ч
ч
ч
ч
ч
Ч.
S
N
X
/
/
/
/
1
F
Рис.5.33.Схема образования и раскрытия трещин в балке-стенке W-4 из опытов
[188]: пунктир - на h цкла, сплошние линии - на lh цикла

243
6.МЕТОДИКА И АЛГОРИТМ РАСЧЕТА
ТОНКИХ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ
6.1.Учет фактора времени в физических
соотношениях элемента плиты
Наиболее полная методика определения жесткостных па¬
раметров изгибаемых в двух направлениях железобетонных
плит предложена Н.И.Карпенко[67] В настоящей работе дан¬
ная методика уточняется и развивается.
Для получения соответствующих жесткостных характери¬
стик рассматривается малый железобетонный элемент, выре¬
занный из изгибаемой плиты. Делаются два предположения:
-	в пределах элемента моменты постоянны;
-	трещины нормальны к срединной поверхности элемента.
Разнообразие расположения трещин в элементах сводит¬
ся к пяти схемам, которые реализуются при выполнении сле¬
дующих условий.
Схема 1Н (рис.6.1)	—	непересекающиеся трещины на
нижней поверхности, расположенные в общем случае под уг^
лом к стержням арматурной сетки. При этом в элементах
имеется растянутая зона с трещинами и сжатая без трещин.
Условия образования такой схемы трещин
Мщах	МСГс /	Mmin ^	Мсгс	(6.1)
Схема	2Н	(рис. 6.1.)	— в	нижней зоне	плиты	проходят
пересекающиеся трещины двух направлений.
Условия образования для этой схемы трещин
Мщах	MCrc г	Mmin	Мсгс	(6.2)
Схема	1В	(рис.6.1.)	— трещины	пересекают	верхнюю зо¬

244
ну элемента плиты под углом к стержням арматурной сетки.
Условия образования такой схемы трещин
Мтах^ Мсгс Мт±п > Мсгс	(б . 3)
Схема 2В (рис. 6.1)	— пересекающиеся трещины двух на¬
правлений проходят в верхней зоне плиты. Для схемы 2В
~Мтах ^ Мсгс/	^ Мсгс	(6.4)
Схема 1Н1В (рис.6.2) — отдельные области плиты пере¬
секают ортогональные трещины двух направлений, из которых
одни располагаются в нижней зоне, а вторые — в верхней
(случай трещин в разных зонах) Эта схема присуща облас¬
тям плит, которые подвергаются действию больших крутящих
моментов при небольших значениях моментов изгибающих (или
действию чистого кручения) Она часто встречается, в ча¬
стности, в угловых зонах прямоугольных плит.
Для схемы 1Н1В
Мщах ^ Мсгс / ~Мтхп Мсгс	(6.5)
Для элементов с трещинами вначале формируется матри¬
ца податливости В, а затем матрица жесткости D на основа¬
нии (4.16) Коэффициенты Вц матрицы В зависят от схемы
трещин. Матрица податливости железобетона со схемой тре¬
щин 1Н принимается за базовую. Из нее формируются матрицы
податливости железобетона при всех остальных схемах тре¬
щин. Рассмотрим факторы, определяющие расчетную модель
первой схемы трещин. Трещины делят элемент по толщине на
две зоны:	верхнюю над трещинами и нижнюю с трещинами.
Усилия передаются через свободные от трещин слои бетона и
обобщенный слой армирования.

\ ТРЕЩИНЫ НА
^ВЕРХНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
ТО ЖЕ, НА
НИЖНЕЙ
ФРАГМЕНТЫ ПЛИТЫ С РАЗЛИЧНЫМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ ТРЕЩИН
СХЕМЫ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ТРЕЩИН
СХЕМЫ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ТРЕЩИН
ТРЕЩИНЫ НА
НИЖНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
( 1- АЯ СХЕМА )
1 ....
J
1
ТРЕЩИНЫ НА
ВЕРХНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
( 2-АЯ СХЕМА )
ТРЕЩИНЫ НА
НИЖНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
( 3- АЯ СХЕМА )
ji j- «■
1
*
ТРЕЩИНЫ НА
ВЕРХНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
( 4- АЯ СХЕМА )
А’,
УГ-Г'
s''
istj*
а+90'
ТРЕЩИНЫ НА
ОБЕИХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
( о-АЯ СХЕМА )
rv-r
t 1
	i
1
■ M
1
—
a#
ih г
ЧИ;
1
Рис.6.1.Схемы образования трещин в плите

246
В верхней зоне над трещинами работает слой бетона. В ниж¬
ней зоне с трещинами бетон выключается из работы только в
трещинах, где все усилия передаются через арматуру, за
исключением части усилий, которые передаются через оста¬
точные связи по бетону в трещинах (через связи зацепле¬
ния) Бетон в блоках между трещинами деформируется как
ортотропный материал, который выключается из работы в на¬
правлении, перпендикулярном трещине. Вдоль трещины по¬
лосы бетона самостоятельно воспринимают нагрузку и опре¬
деляют деформативность элемента в этом направлении.
Рассмотрим отдельно деформации элемента от действия
усилий в сечениях, совпадающих с трещинами, и на нормалях
к ним.
Начнем с деформаций элемента от действия усилий,
приложенных по сечению, совпадающему с трещиной.
Выделим из элемента треугольную призму, наклонная
грань которой проходит по трещине. Эпюры напряжений в бе¬
тоне над трещинами являются криволинейными, кроме того, в
бетоне над трещиной возможны растягивающие напряжения. В
расчете принимается прямоугольная форма эпюры сжимающих
напряжений над трещиной. Фактическая криволинейность эпюр
учитывается введением некоторых модификаций в расчетные
формулы. Расчетная схема элемента представлена на
рис.6.2.
Составим два уравнения равновесия моментов относи¬
тельно осей I и П (оси проходят через центр тяжести сжа¬
той зоны параллельно осям х, у)

с
а) ЭЛЕМЕНТ С НИЖНЕЙ ТРЕЩИНОЙ
Myxcos(a) Mycos^)
в) РАСЧЕТНАЯ СХЕМА НАПРЯ¬
ЖЕНИЙ В АРМАТУРЕ И
БЕТОНЕ
б) СХЕМА НАПРЯЖЕНИЙ В
БЕТОНЕ И АРМАТУРЕ ПО
СЕЧЕНИЮ, СОВПАДАЮЩЕМУ
С ТРЕЩИНОЙ.
г) РАСЧЕТНАЯ СХЕМА УСИЛИЙ *
НА ПЛОЩАДКЕ КОСОЙ
ТРЕЩИНЫ
3 -
края трещины;
СЖАТАЯ ЗОНА БЕТОНА НАД
ТРЕЩИНОЙ,
РАСТЯНУТАЯ ЗОНА БЕТОНА
НАД ТРЕЩИНОЙ
Рис.6.2.Прямоугольный элемент с одной трещиной в нижней зоне
(схема трещин 1)
247

248
Мк + Mxyctga = (Gsxfsx + isyxfsyCtga + Gq - iqnlctga) /z;
My + Mxytga = {<3Syfsy + Vsxyfsxtga + ag + xqnltga)/z, (6.6)
где Gqr тдп1 — нормальные и касательные напряжения зацепле¬
ния берегов трещин.
Два уравнения содержат 6 неизвестных:	<tsx,	<7sy,	тзух/
tsxyr &qr tqni • Для их определения привлекаются четыре до¬
полнительные уравнения. Это два условия совместности пе¬
ремещений стержней в трещине
^SX	—	VSyr	usy	VSx ,	(6.7)
где usi — осевые, vsi — тангенциальные перемещения стерж¬
ней .
Согласно [67] принимаем
_lcr,n°'sxv/sx,t .	_ ^cr.n^sy^sy.t	.	а	Q	.
usx 0г,	.	'	usy	(о. о)
2Esxsina	2Esycosa
_ lcr,nnrxWsx,t^sxy ш	r _ ^-cr,nnry4fsy,t^ syx	, c n ^
vsx ~ ZZ i	'	vsy ~	ZZ	(b. У J
2Esxsina	2Esycosa
Экспериментально-расчетное определение параметров
В.И.Мурашова Wsi,tf ^=Х'У с учетом фактора времени рас¬
смотрено в п. 4 . 4 .
Перемещения uSXf usy можно выразить через раскрытие
трещин асгс,л и сдвиг берегов трещин Ani
usx = 0,5(acrcnsinct- Anl cosa),
Г	(6.10)
usy = 0,5(acrCfncosot + Anl sina).
Внося значения перемещений (6.8) в условия (6.7),
находим:

249
<Jsx¥sx,t _ TsyxnTyV/sy,t
Esx sina
Esycosa
crsyWsy,t _ ^sxynrx¥sx,t
Esycosa
Esx sin a
Усилия зацепления берегов трещин записываются i
&qn ~ Eqn
£4y
SX
'sy J
Tqnl ~ Gqnl
asyVsy.t	°'sxV/sx,t J.
—tga	—ctga
>
\ Esy
Jsx
Внося значения rsyx , zsxy , aqn , rqnl из (6.11)
нения (б.б), получим:
( ;
Мх sina+Мух cosa -
Му cosa+Мху sina =
\^x,t
aSxfsx sina+^4°sy^sy
1
cysyfs у cosa+^s^sx^sx cosa
1 sy-sy
\Ay,t
tz;
!Z,
где введены следующие обозначения:
1
Я.
■x,t
1
= 1 + Е^^УС0$ * + J^-(Egn + GqIllctg2a);
Л
^SX^syX^SX^ry sift & ^SX^i
SX
^y-t	Esy¥sx,tfsy,tnTxc°S	a	Esyfsy
A>3,t ~
Esy^sy
VsxX
Esx^sx
Eqn ~ Gqnl) '
nTi — коэффициент нагельного эффекта;
Ggni — модуль сдвига;
(6.11)
виде:
(6.12)
в урав-
(6.13)
(6.14)

250
Eqn — модуль деформации бетонных связей зацепления вдоль
нормали к трещинам;
tysi,t — коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона
над трещиной;
Vi,t — коэффициенты, отражающие влияние касательных напря¬
жений арматуры в трещинах на величины нормальных напряже¬
ний .
Если принять Х4 = Х3 = 0, то соотношения (6.14) упро¬
щаются :
Мх + Myxctga
SX	~
fsxZ
My + М tga
rsy“	-Г-,	V-
(6.15)
Полагая Esyif/SXft/Esxi//syrt = 1, получим следующие зависи¬
мости :
V п f
*	_	v SXxlTyJ-SX
Лх£ —	-
^sx^vy^ox Vsy^-oy^^Q ОС + П^уЗfoy\l + сtg a)
(6.16)
^sx^vy-^ox vsyfoyctg a + n^Sbyil + ctg
sy“rx-‘-oy ' "SX^OX'-y “ 1
где vsi (i = x, у) характеризует изменения секущих модулей
деформации арматуры в трещинах, в упругой стадии деформи¬
рования арматуры vsi=l; 5ы — коэффициент зацепления бетон¬
ных связей вдоль нормали к трещине.
Средние деформации арматуры в трещинах определяются
по формулам:

251
_ <jsx _(Mx+MXytgoc)Xx>t
SX~ F ~	F f v
sxm	^sxm^sx^
^sy	(My + Mxyctga)Xyt
6sy=~F =	F FT
sym	symsy^
(6.17)
где Esim — средние модули деформаций арматуры.
Составляя два уравнения равновесия моментов относи¬
тельно нижнего обобщенного слоя армирования, получим зна¬
чения проекций напряжений в бетоне над трещинами на оси х
и у:
abx = - [Мх sin а + Мух cos a] /sz, 1
Г (6.18)
дгЬу= - [Му cos а + Мху sin a] /sz. J
Нормальные и касательные напряжения в бетоне над
трещиной:
crbn = abx sin а + aby cos а,	1
У	(6.19)
ТЪп t = -&bx cos а + ®Ъу s*n а-	'
Средние деформации элемента на верхней поверхности
от действия аЬп и rbnt равны:
£bn =	/ Ebm ’	~]
I (6.20)
Уbnt ~ Tbnt /Ebm-
Здесь Ebm — модуль деформации бетона на сжатой поверхности
бетона перпендикулярно к трещинам.
Используя преобразование компонентов тензора при по¬
вороте осей координат и выражения (6.20), получим средние
деформации бетона вдоль осей х и у:
£bx = °bx sincc/Ebm ; ёЪу = aby cosa/Ebm	(6.21)
Кривизны элемента от действия напряжений, приложен¬

252
ных по сечению трещины, определяются по формулам:
Хх (&sx £Ьх)/^о>
Ху ~ (^ sy ~ £ by ) / h()>
2х'ху = XxCtga + z'ytga.
(6.22)
Напряжения и деформации плиты от действия усилий,
приложенных по сечению, нормальному к направлению трещин,
вычисляются по формулам:
).
л
Mxcos а- Мух sina cos а
Ebh vb22
12{му sin2 а - Мху sina cos а}
>	(6.23)
Ebh vb22
2 Хху =-Xxtgcc- XyCtga ,
J
где vb22 — коэффициент секущего модуля бетона в блоках бе¬
тона между трещинами.
Общие кривизны изгибаемого элемента плиты равны сум¬
ме (6.22) и (6.23)
Хх ~ Хх 'X х> Ху ~~ Ху X У’ Хху ~ Хху ~^~X ху	(6.24)
Выражая значения этих кривизн как функции от момен¬
тов, приходим к выражениям:
Хх = ЕцМх + В12Му + в13мху, >
Хх ~ Е21^х	Е22^у	В2$Мху,	у (6.25)
Хх = Ез]Мх + В32Му + BjjMXy,
где жесткостные коэффициенты Bjj для осей х и у будут рав¬
ны:

253
Вп
B22
B33
B13
B23
В 22
= z 2 (8X XXtt + b sin2 a) + bp cos2a;
-2
z “ (5y XY/t + b cos a) + bp sin a;
z'2 (8X XXft ctg2a + b + 8y Xyrt tg2a) + bp ;
(6.26)
= z' (8X XXft ctga + bsin acosa)- bp sina cosa;
= z'2 (8yXy,t tga + bsina cosa) - bp sina cosa;
- 0;
ГД6	8X	1	/ (Esxm f()x)	1	/	(Esym	^Оу)	"1
b = 1 / (Ebm h0 £) bp = 12 / (Eb h3 vb22)
Здесь:
h0 — средняя рабочая высота элемента
(6.27)
h0 =
2	2
hxfsx sin a + hyfsy cos a
2 2
fsxsin a + fsycos a
(6.28)
foxsfoy — коэффициенты нижнего армирования, откорректиро¬
ванные с учетом принятия единого (на h0) уровня располо¬
жения арматуры,
fOx ~ fsx ЬХ / ho fsy £sy by / ho r (6.29)
4 — относительная высота бетона сжатой зоны над трещиной.
Как показано в работе [67], элементы матрицы подат¬
ливости Bij для схем пересекающихся трещин могут быть по¬
лучены из соотношений (6.26), применяемых для схем от¬
дельных трещины, при некоторых дополнительных ограничени¬
ях и условиях.
Для всех схем непересекающихся трещин не учитывается
влияние работы растянутого бетона вдоль направления тре¬
щин (Ьр = 0), кроме того, специальным образом учитывается
влияние касательных напряжений на нормальные в арматуре

254
(коэффициенты XXrt и XY/t) Так, для схемы трещин 2Н (в
нижней зоне плиты проходят пересекающиеся трещины перпен¬
дикулярно направленные друг к другу) элементы матрицы по¬
датливости вычисляются по зависимости:
где символ 0 означает специальное суммирование элементов
матриц В, полученных для углов а и а+90°
В2з = [z 2 Sy XYrt tga]*f0y=o + [z 2 b sina cosa] +
В12 = 0/
В этих формулах символ (-fo*=0) или (jf0y=0) означает,
что значение XXrt и XYrt в квадратных скобках вычисляется
при коэффициентах армирования f0x-0, f0y=0. Верхние индек¬
сы, следующие за квадратными скобками, указывают на спо¬
соб сложения элементов	и	В^+90 ^ Индекс [. . . ] А указы¬
вает на то, что в специальную сумму элементов входит лишь
большее значение соответствующей квадратной скобки, а ин¬
декс [...]+ означает, что в специальную сумму входят оба
значения, для а и а+90°.
Коэффициенты матрицы податливости В^ для схем пере¬
(6.30)
Элементы в(^ и В^+90 ^ вычисляются по формулам:
Вп = [z'2Sx XXrt]*foy=0 +[z "2 b sin2a] + ;
В22 = [z’2 SyXy,t] лfox-o +[z ~2 b cos2a] +;
В33 = [z~2 Sx Xx,t ctg2a]+ f0x=0 +[z~2 b]+ +
+ [z 2 Sy Xyft tg2a]+f0y=o
} (6.31)
B13 = [z 2 Sx XX/t ctga] *f0x=o +[z 2 b sina cosa] +;

255
секающихся 2В и непересекающихся трещин 1В верхней зоны
плиты вычисляются аналогично случаям 2Н и 1Н.
Анализ работы элемента с трещинами в разных зонах
(схема 1Н1В) сводится к рассмотрению двух призм, одна из
которых образована нижней трещиной, а другая — верхней,
при условии а'=а+90°. Коэффициенты податливости Bij для
этой схемы получаются путем суммирования выражений
(6.26), вычисленных сначала для схемы 1Н, затем для схемы
1В (при Ьр = 0)
Следует отметить, что формулы (6.31) учитывают влия¬
ние крутящего момента на кривизны для схем пересекающихся
трещин. В частности, учитывается связь между смешанной
кривизной Хху и внутренними усилиями, а также влияние кру¬
тящих моментов на кривизны %х, %у (коэффициенты матрицы
податливости в формулах (6.31) не равны нулю)
6.2.Вывод основных соотношений для КЭ тонкой плиты
и построение алгоритма нелинейного расчета плит МКЭ
Если в каждом узле конечного элемента ввести еще од¬
ну степень свободы, представляющую собой вторую смешанную
производную от прогибов в узле, то вектор обобщенных пе¬
ремещений принимает вид
z(x,y) = Mx,y)	-^2 №	,6.32)
оу	ох	охоу
Таким образом, каждый конечный элемент наделяется 16
степенями свободы, что позволяет построить все функции
формы nk в виде произведений полиномов Эрмита первого по¬
рядка, что в итоге дает полиномы третьего порядка. Для
локальной безразмерной системы координат, представленной
на рис.6.3, эти полиномы имеют вид:

256
Ф,© = 1-(2-3-5 + 53); ф,©=-~(-l + $ + 52-!;V
ф2©=7-(2н-зч-^); Ф,(& = ---(-'-\ + %г +%')■
4	4
Иб.ЗЗ)
Графики этих функций представлены на рис.б.З.
Если в функциях (б. 33) заменить £ на 77, получим четы¬
ре аналогичные функции от 77:	Ф1(т])	f ®2(rl) г	г
^4(П) •
(0) (1) £
(-1.-J)
(1.-D
(-D
с-
ф =1
^(-1) *
-1\
|ф(|)
ЩЦЩР"*
<Дф,-п
<*>,(*)
<*>.(*)
“•1 Ф„г1
ФЛО
—-^ГТТГТТТПППННЙШТГГГГ^ dcD	ФЛа
ач («I)	,
<U
= 1
Рис.б.З. Графики базисных функций для согласованного
конечного элемента
Любая из функций пк может быть построена как произве¬
дение <Pi(%) на 0j(fj). На рис. 6.4 показано получение функ¬
ции п2, соответствующей обобщенному перемещению Z2=l
(<pf = 1). Аналогично можно построить и остальные функции,
соответствующие выбранной системе координат:
3(- I.- п
Vi
Г
4(1 -I)
/<
/ >
1
/ /
/ '
K-1.U	/	2(1,1)
п _.= Ф,(? )*Ф4(»7)
рл*=-
• tg^= 1 /
Ф,(0	Ф^ч)
Рис.6.4. К определению функции п2
7

257
И,=Ф,©-Ф2(Ч)
»2=Ф,©-Ф4(ч);
и3=-Ф3©-Ф2(11);
«4=Ф3©-Ф4(11)
п5=Ф2©-Ф2(11)
«6=Ф2©Ф,(ч)
»7 = -Ф4®-Ф2(’1);
иа =®4©'<Z’i(rl);
и,=Ф1©ф1(п);
",о=Ф1©'Фз(п);
И„=-Ф3©.Ф,(П);
«,2=Ф,©Ф3(п);
и^ФгЮ-Ф,^);
«14 =Ф2©-Фз(г1).'
«15=-ф4Ю-Ф1(п);
«16 =ф4^)'фз<’т1) ■
(6.34)
Рис. 6.5. Схема компонентов вектора перемещений для
согласованного конечного элемента
В рассматриваемом случае матрица В будет иметь вид
д2щ
#nk
д2»,6
b д2П]
b д2 пк
Ь д2п}6
дх2
дх2 ’
дх2
<з д£2
a df
a df-
д2П]
д2пк
&Щб
4
а д2щ
а д пк
а д2п1б
ду2
ду2 ■"
ду2
а’Ь
b drj2
Ь dif
Ь dif
2*°' ..
2®V.
/П16
2-**..
2^4.
2^П16
дудх
дудх
дудх
m
_

258
Поле перемещений выражено через вектор обобщенных пе¬
ремещений, поэтому формула для матрицы реакций имеет вид
Алгоритм физически-нелинейного расчета изгибаемых же¬
лезобетонных плит, основанный на деформационной модели
нелинейной ползучести, реализован в виде дополнения к
программному комплексу, ориентированном на широкий круг
физически-нелинейных задач железобетона.
Основные характеристики и расчетные данные:
-	контур плиты произвольный;
-	опирание плиты произвольное, в том числе точечное и не¬
однородное;
-	нагрузки:	сосредоточенные	силы,	сосредоточенные момен¬
ты, участки распределенных нагрузок;
-	армирование ненапрягаемое;
-	плита может быть расположена на упругом Винклеровском
основании;
-	режим изменения нагрузки привязан к общему для всех КЭ
вектору времени;
-	реология бетона всех КЭ одинакова.
На рис.б.б. показана общая блок-схема физически нели¬
нейного расчета плит при кратковременном и длительном на¬
гружении .
Я = -		 j )BTDBd4dr,
3	* <3 .D *	*
(6.36)
Вектор усилий находится по формуле
M = DBZ
(6.37)

259
Рис.6.6. Блок-схема алгоритма расчета

260
Программа предназначена для использования при проек¬
тировании железобетонных плит, для оценки несущей способ¬
ности эксплуатируемых конструкций, как прогностический
аппарат результатов экспериментальных исследований. Рас¬
чет по программе позволяет оценить адекватность предла¬
гаемой модели путем сопоставления расчетных и эксперимен¬
тальных данных, характеризующих работу плит при кратко-
временнорм и длительном нагружении.
6.3.	Расчет экспериментальных плит
при длительном загружении
Для оценки адекватности предложенной модели выполнен
расчет по определению прогибов опытных образцов шарнирно-
опертых прямоугольных плит, представленных в работе
[100] Были испытаны три серии образцов (по два в серии)
плит с пролетами 2,25x1,5 м толщиной 6,5 см. Плиты арми¬
ровались в растянутой зоне сеткой из холоднотянутой арма¬
турной проволоки 06 мм, для образцов серий 1,2 fsx=0,0202
см2/см;	fsy=0,Q202 см2/см, для образцов серии 3
fsx=0,0282 см2/см; fsy=0,0188 см?/см. Рабочая высота се¬
чения всех плит hox = 49 мм, hoy = 43 мм. Характеристики
арматуры опытных образцов представлены в табл.6.1.
Таблица 6.1.
Арматура
Е5
&s,el
&0,2
&U
f>su
МПа
-
МПа
МПа
—
06 мм
1,7х105
234
390
506
0,035
Бетон конструкций - класса ВЗО для образцов серий 1

261
и 2 и класса В20 для образцов серии 3. Характеристики бе¬
тона опытных образцов в возрасте 28 сут. представлены в
табл.6.2.
Таблица 6.2.
Серия
образцов
Призменная
прочность Rb
Прочность при осе¬
вом растяжении R^t
Модуль мгновенно¬
упругих деформаций Еь
МПа
МПа
МПа
СМ
I—1
1 1
I—1
1 1
р: 1
1
23, 2
1,9
34500
П-2-3,4
20, 3
1,7
33300
П-3-5,6
25, б
2.2
36000
Плиты загружались в возрасте 28 сут. путем равномер¬
ного размещения по поверхности сосредоточенных грузов.
Длительно-действующая нагрузка составила:	для	образцов
серий 1,2	Pj=41 кН с шагом 12,5 см вдоль длинного проле¬
та и 8,5 см вдоль короткого пролета, для образцов серии 3
Pi=61,5 кН с шагом 28 см вдоль длинного пролета и 25см
вдоль короткого пролета. Продолжительность испытаний со¬
ставила: для образцов серий 1,2 - 280 сут., серии 3-200
сут.
Для расчета плиты в плане были разбиты на 216 прямо¬
угольных КЭ с размерами 125x75 мм. Опирание по всем сто¬
ронам - шарнирное.
На рис.6.7-6.9 показаны опытные и теоретические кри¬
вые нарастания прогибов плит при длительном загружении.
Как следует из сопоставления данных, предлагаемая модель
с достаточной точностью описывает деформирование тонких
изгибаемых плит при длительном загружении.

V, мм
Ряс.6. 7.Нарастание прогибов опытных образцов плит серии П-1
т, (сут)
262

V, мм
Рис.6.8.Нарастание прогибов опытных образцов плит серии П-2
т, (сут)
263

V, мм
-т, (сут)
Рис.6.9.Нарастание прогибов опытных образцов плит серии П-3
264

265
6.4.Расчет экспериментальных плит
при кратковременном нагружении
Классическим примером экспериментальных исследова¬
ний тонких изгибаемых железобетонных плит является ра¬
бота [177] Плита №845 была подвергнута кратковременно¬
му нагружению сосредоточенной нагрузкой в центре до
разрушения.
Основные расчетные параметры плиты:
размеры в плане - 200x200 см, толщина - h=12,l см, ра¬
бочая высота сечения - hx=10,7 см, hy=10 см, шаг армату¬
ры переменный, от 10 см в центре до 14 см вдоль оси х
{Sx= Ю-т-14 см), и от 9,3 см до 14 см вдоль оси у
(Sy=9,3-5-14 см) Физико-механические свойства арматуры
приведены в табл.6.3, бетона - в табл.6.4. Нагрузка
прикладывалась в центре плиты в виде штампа
12,5x12,5 см.
Таблица. 6.3.
Арматура
Es
&s,el
Оо,2
СГи
&SU
МПа
МПа
МПа
МПа
-
07 мм
2,1 х 105
234
408
529
0,14
Таблица 6.4.
Номер
образца
Призменная
прочность Rb
Прочность при осевом
растяжении Rbt
Модуль мгновенно¬
упругих, деформаций Еь
МПа
МПа
МПа
485
18,7
1,9
27000
Для расчета плита была разбита на 10x10=100 КЭ. Ре¬
жим нагружения включал 40 этапов по 2,5 кН с выдержкой
нагрузки на каждом этапе в течение 5 мин.

266
Сопоставление расчетных и экспериментальных данных
приведено на рис.6.10. Расчетная нагрузка трещинообра-
зования составила Fcrc=25 кН (в опыте - Fcrc=24 кН) Как
в опыте, так и в расчете образование первых трещин не
привело к существенному нарастанию прогибов плиты. Рас¬
четная нагрузка, при которой часть продольной арматуры
в сечениях с трещинами перешла в стадию пластического
деформирования, составила 50 кН. При этой нагрузке в
опыте имело место резкое увеличение прогибов и ширины
раскрытия трещин, а также расширение области трещинооб-
разования. Схемы развития трещин, соответствующие на¬
грузке F=40 кН и F=80 кН. (рис.б.10), хорошо согласуют¬
ся с экспериментальными данными. Разрушение плиты про¬
изошло при нагрузке Fuit=85 кН (в опыте - Fuit=90 кН)
Плита №825 была подвергнута кратковременному нагру¬
жению распределенной по полю нагрузкой до разрушения.
Основные расчетные параметры плиты:
размеры в плане - 200x200 см, толщина - h=12,2 см,
рабочая высота сечения - hx=10,7 см, hy=10 см, шаг арма¬
туры постоянный 10 см оси х (5х=10см), и 10 см вдоль оси
у (Sy= 10 см) Диаметр арматуры сетки 7,2 см. Остальные
физико-механические свойства арматуры и бетона не отли¬
чаются от свойств арматуры и бетона плиты №845.
Нагрузка прикладывалась в виде 16 грузов, равно¬
мерно распределенных по полю плиты. Для расчета плита
была разбита на 10x10=100 КЭ. Режим нагружения включал
30 этапов по 3,0 кПа с выдержкой нагрузки на каждом
этапе в течение 5 мин.

Рис.6.10.Зависимость прогибов в центре плиты №845 [177] от сосредоточенной
нагрузки, расчетная схема плиты, схемы трещин на разных этапах загружения.
Ау
5
(N
X-
Р=40 кН
Р=80 кН
/
1
/
1
/
/
/
1
/
/
/
/
/
X

268
Расчетная нагрузка трещинообразования составила
дСгс=33 кПа (опытная - дСгс=35 кПа) При нагрузке, пре¬
вышающей д=60 кПа, часть арматуры в сечениях с трещина¬
ми перешла в пластическую стадию работы, чему в экспе¬
рименте соответствовало резкое увеличение прогибов и
ширины раскрытия трещин, а также расширение области
трещинообразования. Схемы развития трещин, соответст¬
вующие нагрузке F=39 кПа и F=84 кПа. (рис.б.11), хорошо
согласуются с экспериментальными данными. Разрушение
плиты произошло при нагрузке qult=87 кПа (в опыте -
4ult=90 кПа)
В работе [86] испытывалась квадратная свободно
опертая плита с сосредоточенным грузом в четверти диа¬
гонали .
Основные расчетные параметры плиты:
размеры в плане -	200x200	см, толщина h=4,7 см,
hK=3 см, hy=2f4 см, расстояние между стержнями в направ¬
лении оси х равно Sx=15 см, а в направлении оси у -
Sy=12r5 см.
Физико-механические свойства арматуры приведены в
табл.б.5, бетона - в табл.б.4. Нагрузка прикладывалась
в четверти диагонали плиты в виде штампа.
Таблица 6.5.
Арматура
Es
&s,el
00,2
<?и
&SU
МПа
МПа
МПа
МПа
-
06,4 мм
2,1х105
340
453
550
0,14

ТУ
Рис.6.11.Зависимость прогибов в центре плиты №825 [177] от равномерно
распределенной нагрузкиf расчетная схема плиты, схемы трещин на разных этапах
загружения.
• •
• •
С\1
2 м
А У
Р=39 кПа
/
/
/
/
/
✓
/
/
/
/
/
/
/
/
X
/
/
Р=84 кПа
х
269

270
Таблица. 6. 6.
Номер
образца
Призменная
прочность Rb
Прочность при осевом
растяжении Яы
Модуль мгновенно¬
упругих деформаций Еь
МПа
МПа
МПа
-
23, 0
1,9
32000
Для расчета плита была разбита на 12x12=144 КЭ. Режим
нагружения включал 4 8 этапов по 0,5 кН с выдержкой на¬
грузки на каждом этапе в течение 5 мин.
Сопоставление расчетных и экспериментальных данных
приведено на рис.б.12. Расчетная нагрузка трещинообразо-
вания составила ЕСГС~ 4,5 кН (в опыте - Есгс 4 кН) Первые
трещины как в опыте, так и в расчете образовались в месте
приложения сосредоточенной нагрузки. Расчетная нагрузка,
при которой часть продольной арматуры в сечениях с трещи¬
нами перешла в стадию пластического деформирования, со¬
ставила 12 кН. При этой нагрузке в опыте имело место рез¬
кое увеличение прогибов и ширины раскрытия трещин, а
также расширение области трещинообразования. Схемы разви¬
тия трещин, соответствующие нагрузке F=5,50 кН и F=16 кН,
показаны на рис.б.12. Исчерпание несущей способности пли¬
ты произошло при расчетной нагрузке Fuit=22 кН. В экспе¬
рименте исчерпание несущей способности плиты произошло в
результате разрушения бетона в месте приложения сосредо¬
точенной силы при Fuit=24 кН.
В работе [219] были проведены экспериментальные ис¬
следования серии квадратных шарнирно опертых с целью изу¬
чения механизма их разрушения. Для расчета принята плита
А2 с размерами в плане 240x240 см толщиной h=10 см, рабо¬
чая высота сечения плиты	hx=10,7 см, hy=10 см.

А у
ky
Р=16 кН
\
\
\
/
/
/
/
\
\
\
\
/
/
t
1
/•
\
\
\
\
\
/
/
/
/
-
-
\
\
\
\
\
/
/
/
f
/
✓
/•
\
\
\
\
1
/
/
/
/
/
/
/
\
\
\
1
1
/
/
/
/
/
\
\
\
1
t
/
У
/
/
\
\
1
X
+
+
-
«ч
X
X
X
*
-
-
-
-
-
ч
-
X
/
X
-
\
\
\
\
\
/
/
\
\
\
\
\
ч
—
Рис. 6.12. Зависимость прогибов в центре плиты, нагруженной сосредоточенной силоц в четверти
диагонали, расчетная схема плиты, схемы трещин на разных этапах загружения.

272
Шаг стержней в арматурной сетке Sx=Sy=12 см. Физико¬
механические свойства арматуры приведены в табл.б.7, бе¬
тона - в табл.б.8. Нагрузка прикладывалась в четверти
диагонали плиты в виде штампа.
Таблица 6.7.
Арматура
Es
&s,el
(У0,2
Оч
&SU
МПа
МПа
МПа
МПа
-
010 мм
2,1х105
190
228
423
0,14
Таблица 6.8.
Номер
образца
Призменная
прочность Rb
Прочность при осевом
растяжении Яы
Модуль мгновенно¬
упругих деформаций Еь
МПа
МПа
МПа
А2
17, 9
1, 68
28000
Для расчета плита была разбита на 2 0x20=4 00 КЭ. Режим
нагружения включал 60 этапов по 2 кН с выдержкой нагрузки
на каждом этапе в течение 3 мин.
Сопоставление расчетных и экспериментальных данных
приведено на рис.6.13. Расчетная нагрузка трещинообразо¬
вания составила Fcrc=18 кН (в опыте - Fcrc=17,l кН) Пер¬
вые трещины как в опыте, так и в расчете образовались в
месте приложения сосредоточенной нагрузки. Расчетная на¬
грузка, при которой часть продольной арматуры в сечениях
с трещинами перешла в стадию пластического деформирова¬
ния, составила 50 кН. При этой нагрузке в опыте имело ме¬
сто резкое увеличение прогибов и ширины раскрытия тре¬
щин, а также расширение области трещинообразования. Схемы
развития трещин, соответствующие нагрузке F=20 кН и
F=60 кН, показаны на рис.6.13. При нагрузке, превышающей

273
90 кН, развитие деформаций текучести арматуры стало зна¬
чительным и определило выраженный пластический характер
разрушения плиты. Исчерпание несущей способности плиты
произошло при расчетной нагрузке Fuit=100 кН. В экспери¬
менте исчерпание несущей способности плиты произошло при
нагрузке Fuit=112,5 кН.
Сопоставление теоретических и опытных данных позволя¬
ет сделать вывод, что предлагаемая модель с удовлетвори¬
тельной точностью описывает нелинейный характер тонких
изгибаемых плит как при длительном, так и кратковременном
нагнружении.

Рис.6.13.Зависимость прогибов в центре шарнирно-опертой плиты А2 [219] он
сосредоточенной нагрузки, расчетная схема плиты, схемы трещин на разных
этапах нагружения.
I
I

275
7.	МЕТОДИКА И АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПЛОСКИХ
КОНСТРУКЦИЙ ПО СЛОИСТОЙ МОДЕЛИ
7.1.	Методика и алгоритм формирования
физических соотношений для плоской
плиты по слоистой модели
При построении расчетной модели плиты используется
гипотеза, согласно которой влиянием напряжений сг2/ т2х, г2
на площадках, параллельных срединной поверхности, на де¬
формации плиты можно пренебречь, полагая, что отдельные
слои пластинки не испытывают значимых деформаций сдвига.
Хотя трещинообразование приводит к нарушению гипотезы
плоских нормалей, здесь она применяется к средним на уча¬
стке между трещинами деформациям, где данная гипотеза (по
аналогии с тем, как это принято в теории В.И.Мурашева
[107]) оказывается справедливой.
Разработанные методика и алгоритм расчета преднапря¬
женных плоских железобетонных плит методом многослойных
конечных элементов учитывают трансформацию диаграмм де¬
формирования материалов при изменении напряженного со¬
стояния, косоугольное (в общем случае) армирование, воз¬
можность вынужденных (собственных) деформаций бетона и
предварительного напряжения арматуры, ползучесть и усадку
бетона, характер работы арматурных стержней в трещинах,
поворот главных площадок по высоте сечения плиты и ряд
других особенностей напряженного состояния железобетона
с трещинами.
Конечный элемент плоской плиты представляется в виде
некоторой многослойной конструкции с различными свойства-

276
ми слоев (рис.7.1)
Из-за физической нелинейности, характеристики бетона
по толщине конечного элемента	h	могут	существенно	изме¬
няться, приводя к криволинейным эпюрам сгх, сгу, тху. В рам¬
ках принятой модели криволинейные эпюры напряжений заме¬
няются на многоступенчатые, что существенно упрощает чис¬
ленное интегрирование по толщине плиты, при этом плита,
как правило, разделяется по толщине на 8-10 слоев. Де¬
формирование срединных поверхностей слоев по толщине объ¬
единяется гипотезой плоских нормалей. Такая расчетная мо¬
дель применима к описанию элементов с трещинами и без
них, при наличии ортогонального или косоугольного армиро¬
вания. Разделение плиты по толщине на отдельные слои увя¬
зывается с расположением арматуры. Это разделение выпол¬
няется так, чтобы арматурные слои (там, где они имеются)
оказались по средине толщины	5к	(5к	-	толщина к-го	слоя
плиты) Таким образом, конечный элемент разбивается на
бетонные и железобетонные слои. Толщина железобетонного
слоя 5к принимается	не менее d± в зонах,	где	трещин	нет,
и не менее 3d± в растянутой	зоне с трещинами	(здесь	d± -
диаметр арматурных стержней)	В	зонах	с трещинами	сетки
объединяются в один обобщенный арматурный слой. Расстоя¬
ние от середины толщины слоя 8к до координатной поверхно¬
сти обозначается Z£. Вывод физических соотношений для слоя
производится в зависимости от	величины	Z£ (рис.7.1)	При
разделении КЭ плиты	на слои	принимается,	что	каждый	слой
работает в условиях	плоского	напряженного	состояния.
Таким образом, используя программы формирования

277
к-тый слой
срединная поверхность
Tzk :
^5
vtiwxAwwxm
Mill
h
Рис.7.1. К построению слоистой модели плиты

278
матриц жесткости конечных элементов при плоском напряжен¬
ном состоянии, можно рассчитывать изгибаемые плоские кон¬
струкции .
В общем виде связь между напряжениями для бетонного и
железобетонного слоя к как до, так и после появления
трещин записывается в виде.
Относительные деформации слоя представляются через
векторы-столбцы кривизн и относительных удлинений средин¬
ной поверхности в осях х, у.
Переход к относительным деформациям в осях n,t (оси дей¬
ствия главных напряжений <т1 и сг2) осуществляется через
а - угол наклона осей действия главных напряжений п, t
к осям х,у соответственно.
(7.1)
(7.2)
матрицу преобразования [а].
a = arctg
\
. cfx~cf2 .
К Т*У J
(7.3)
2	2
sin а cos а	2 sina cos а
[or] = cos2 a sin2 а	- 2sina cos а
(7.4)
-	sin a cos a sin a cos a Isin2 a - cos2 a
тогда

279
Ып,к = НхАаТУ	(7.5)
Компоненты вектора-столбца jp’sjnjt' учитывающего влия¬
ние предварительных напряжений в арматуре слоя к, опреде¬
ляются через угол - угол наклона 1-го стержня к оси х:
ks
°sn =	sin{a	+	);
k=l
к s
(7°si = Yj c°siHi (- cos(a+Pi));	(7 •6)
k=l
ks
Tsn!= H&siMii- cos (a + pi )sin(a + pi ))/
k=l
где Mi=Asi/si^k ~ коэффициент армирования; Asi - площадь
одного стержня i-ro направления в сетке; - шаг стерж¬
ней; hk - толщина слоя.
В зависимости от состояния конечного элемента (с тре¬
щинами или без) и наличия армирования, определяются коэф¬
фициенты матрицы |р]п к и компоненты вектора-столбца
учитывающего влияние вынужденных деформаций.
Для получения матрицы жесткости слоя в координатах
х, у необходимо провести следующие преобразования:
(7.7)
Рассмотрим алгоритм формирования матрицы жесткости
слоя [<4Ф4) в осях х,у. Алгоритм учитывает косоугольное
армирование, обобщенные диаграммы бетона и арматуры,
предварительные напряжения в арматуре и собственные де¬
формации в бетоне, вызванные ползучестью и усадкой.

280
Исходные данные для расчета подразделяются на два
блока:
1)	глобальные данные, хранящиеся в оперативной памяти и
доступные любой подпрограмме. К ним относятся:
-	массивы элементов жесткостей слоя в осях х, у
И*;
-	характер трещинообразования или разрушения и
угол наклона трещин к оси х;
2)	местные данные, хранящиеся постоянно на диске и необ¬
ходимые для расчета каждого отдельного слоя;
-	данные о положении слоя относительно срединной
поверхности КЭ;
-	данные о наличии и ориентации арматурных стерж¬
ней;
-	физико-механические данные материалов, состав¬
ляющих слой (бетон, арматура);
-	данные о наличии в слое начальных напряжений и
вынужденных деформаций;
-	деформации слоя в осях х,у.
На входе блока происходит определение напряжений в
слое (используется матрица жесткости, полученная на пре¬
дыдущей итерации, или, при расчете на приращение нагруз¬
ки, из условия упругой работы бетона), вычисление главных
напряжений в бетоне, определение угла наклона площадок
главных напряжений к оси х и формирование матрицы направ¬
ляющих косинусов [а], определение деформаций слоя по осям
главных напряжений в бетоне n,t, определение схемы напря¬
женно-деформированного состояния слоя, проверка условия

281
трещинообразования.
Если условие трещинообразования не выполняется, а вы¬
полняется условие прочности на предыдущем этапе расчета,
то принимается, что слой на данном этапе работает без
трещин, и, после определения коэффициентов условия рабо¬
ты, коэффициентов изменения секущих модулей деформации и
коэффициента поперечной деформации бетона, вычисляется
матрица жесткости [Db] для бетонного слоя.
Если условие трещинообразования выполняется или не
выполняется условие прочности на предыдущем этапе расче¬
та, то для бетонного слоя вычисляются соответствующие ко¬
эффициенты из условия, что жесткость в направлении, пер¬
пендикулярном к трещине, снижается и определяется модулем
деформации бетонных связей зацепления вдоль нормали к
трещинам и модулем сдвига. Затем определяются элементы
матрицы жесткости [Db] для бетонного слоя.
После появления непересекающихся трещин в железобе¬
тонном слое он разделяется на отдельные полосы, соединен¬
ные стержнями арматурной сетки за счет сил сцепления.
Сцепление в слое таково, что происходит нарушение совме¬
стности деформаций арматуры и бетона вследствие перемеще¬
ний (смещений) арматуры относительно бетона (в основном,
происходящих по кососимметричной схеме в пределах одной
полосы между трещинами) Принимается, что полосы бетона
между трещинами могут самостоятельно работать на осевое
сжатие (растяжение) вдоль трещин, или на сжатие со сдви¬
гом. В трещинах все усилия (за исключением некоторых уси¬
лий в связях зацепления берегов трещин) передаются на ар¬

282
матуру, которая воспринимает как осевые, так и касатель¬
ные напряжения (нагельный эффект) В полосах бетона между
трещинами напряжения в арматуре уменьшаются за счет сил
сцепления с бетоном, что увеличивает средние деформации
арматуры и жесткость элемента. Осевые смещения арматуры
относительно бетона приводят к раскрытию трещин, а на¬
клонное к трещинами расположение арматуры и касательные
напряжения в ней - еще и к сдвигу берегов трещин. При пе¬
ресекающихся трещинах бетон перестает самостоятельно ра¬
ботать, но продолжает оказывать влияние на уменьшение
средних деформаций и напряжений в арматуре (за счет сил
сцепления) и на сдвиг элемента, через коэффициенты
В.	И. Мурашева y/siit.
После определения соответствующих коэффициентов для
полос бетона между трещинами, формируется матрица жестко¬
сти для железобетонного слоя с непересекающимися трещина¬
ми в осях n,t ~[d]dj , или матрица жесткости для слоя с пе¬
ресекающимися трещинами в осях n,t -|Ъ]П2 .
Схема напряженно-деформированного состояния зависит
от знаков главных напряжений в бетоне (<тЬ1, <уь2) и деформа¬
ций по линиям действия главных напряжений {sn, £х).
Всего различают три схемы напряженного состояния
слоя:
-	случай двухосного сжатия;
случай сжатия-растяжения;
случай двухосного растяжения.
Так как конечный элемент плиты работает на кручение,
изгиб и другие виды сложного напряженного состояния, при

283
определении предельных деформаций и коэффициентов условий
работы бетона слоя (или полос бетона между трещинами),
учитывается влияние градиента деформаций. Матрица жестко-
Если слой железобетонный, то матрица его жесткости
формируется путем сложения матриц
щинами формируется сначала в локальной декартовой системе
координат п,t (ось п направлена по нормали к трещине), а
затем уже преобразуется в глобальную систему координат х,
у по формуле:
После определения матрицы жесткости слоя, вычисляются на¬
пряжения в бетоне и арматуре, а затем проверяются условие
прочности (критерий) по бетону и арматуре.
Условия прочности железобетонного слоя элемента без
трещин устанавливаются на основе следующих предпосылок:
принимается равенство осевых деформаций арматуры и
бетона (за исключением концевых участков арматуры, не
снабженных специальными анкерами);
сти бетонного слоя
вычисляется путем обращения мат-
формула (3.5)
рицы податливости
Мх=ЫхФ*1
(7.8)
Здесь
матрица упругости арматуры
(7.9-)
Матрица жесткости [d]x для железобетонного слоя с тре-
(7.10)

284
напряжения в слое элемента {о’х,о’у,тху) являются со¬
ставными величинами, состоящими из напряжений в бетоне
{p’jDX,сг^,Tfrxy) и приведенных нормальных напряжений в арма¬
туре ;
касательными напряжениями в арматурных стрежнях пре¬
небрегают;
прочность на сжатие железобетонного слоя без трещин
считается исчерпанной, если для составляющих напряжений в
бетоне при ограничениях, накладываемых на расчетные со¬
противления арматуры сжатию, нарушаются условия прочно¬
сти .
Прочность железобетонного слоя с трещинами считается
обеспеченной, если одновременно удовлетворяются условие
прочности растянутой арматуры в трещинах и условие проч¬
ности сжатых полос бетона между трещинами. При напряжен¬
ном состоянии «растяжение-растяжение» достаточна проверка
прочности арматуры.
Условия прочности растянутой арматуры в трещинах ус¬
танавливаются на основе следующих предпосылок:
прочность слоя элемента исчерпывается вследствие
чрезмерных пластических деформаций или разрыва арматуры
по некоторым линиям (трещинам разрушения), в общем слу¬
чае, косо расположенных к стержням арматуры;
в трещинах разрушения (текучести, если имеет место
арматура с площадкой текучести) напряжения во всех пере¬
секающих её стержнях достигают предельных значений;

285
в стадии исчерпания прочности слоя элемента по арма¬
туре учитываются только нормальные напряжения в арматур¬
ных стержнях.
С учетом раскрытых выше особенностей построения и
численной реализации многослойной модели, выполнена моди¬
фикация программного комплекса по физически-нелинейному
расчету преднапряженных стенок-балок. Для оценки адекват¬
ности предлагаемой слоистой модели выполнен расчет экспе¬
риментальных преднапряженных плит.
7.2.Расчет экспериментальных преднапряженных
плит по слоистой модели
С целью проверки и отладки программного модуля, реа¬
лизующего расчет плоской плиты по слоистой модели, были
рассчитаны экспериментальные образцы в виде прямоугольных
в плане железобетонных элементов плоских плит. Конструк¬
ция опытных образцов показана на рис.7.2, геометрические
и физико-механические характеристики материала представ¬
лены в табл.7.1. Образцы изготовлялись в специальной си¬
ловой форме, способ натяжения арматуры - механический на
упоры. Натяжение арматуры производилось вращением гаек
специально сконструированного устройства натяжения. На
каждом устройстве были наклеены активный и компенсацион¬
ный тензодатчики, таким образом контроль натяжения произ¬
водился двумя независимыми способами, что позволило
учесть потери преднапряжения от деформации устройств, си¬
ловой формы, а также релаксации напряжений в самом арма¬
турном стержне.

286
1270
1110
790
1550
3110
790
Cl
a)
И у 12 A IV
31 0 12 A IV
Cl
6)
и $ Ю a hi
31 P' 10 A III
4 J0 14 A V
C2
4-
г1
В р- 11
"4"
f
1
F
4i
“31 р*:
Puc. 7.2. Конструкция опытных образцов плиты
а)	первая серия (ПР-1) ;
б) вторая и третья серии (ПИН-2,ПКН-2,ПКН-3,ПКИН-0,5-3;
ПКИН-1-3 и ПКИН-2-3) .

287
Таблица 7.1.
Физико-механические и геометрические характеристики
опытных образцов
Серия
1
2
2
3
3
3
3
шифр
ПК
ПКН
ПИН
ПКИН-1
ПКИН-2
ПКН
ПКИН-
0,5
Геометрические
размеры:
(мм)
3000x1000x100
3110x1270x130
3110x1270x110
Призменная прочность бетона (Мпа):
24
23
24
1 7
28
26
27
Модуль
упругости бетона (Мпа)Ю'3:
33,1
32,7
32,7
36,5
36,7
34,2
34,4
Передаточная
прочность бетона (Мпа):
19
19
19
19
19
19
19
Предел
текучести (Мпа
1 Г
Сг х
598
389
398
398
398
398
398
У
598
398
398
398
398
398
398
С 2 хр
784
784
784
784
784
784
784
X

389
398
398
398
398
398
У

389
398
398
398
398
398
Временное сопротивление арматуры разрыву (Мпа):
Ci х
887
641
641
641
641
641
641
У
887
641
641
641
641
641
641
С2 хр

1035
1035
1035
1035
1035
1035
X
641
641
641
641
641
641
У

641
641
641
641
641
641
Погонные коэффициенты
армирования (см):
?х
0,0103
0,0052
0,0052
0,0071
0,0071
0,0071
0,0071
F'y
0,0103
0,0052
0,0052
0,0071
0,0071
0,0071
0,0071
Fxp

0,0036
0,0036
0,0044
0,0044
0,0044
0,0044
Fx

0,0028
0,0028
0,0034
0,0034
0,0034
0,0034
FV

0,0052
0,0052
0,0071
0,0071
0,0071
0,0071
Усилие
преднапряжения
(кН) :
aspl
0
334,4
334,4
327, 9
327, 9
324,5
324, 5
°’sp2
0
318,2
318,2
318,2
318,2
314, 9
314, 9
asp3
0
321,5
321,5
318,2
318,2
311, 6
311, 6
®sp4
0
331,2
331,2
331,2
3312
327, 9
327, 9

288
Одновременно с изготовлением каждой серии образцов
бетонировались по шесть контрольных кубов 100x100x100 мм
и четыре призмы 100x100x400 мм. Кубы использовались для
контроля прочности бетона в момент обжатия и непосредст¬
венно во время испытаний, а призмы - для оценки реологи¬
ческих свойств бетона.
Перед началом испытаний производилось контрольное за-
гружение образцов. Интенсивность предварительного загру¬
жения была равна двум ступеням нагрузки, предусмотренной
основной программой испытаний. Во время испытаний образцы
загружались ступенями по 3 кН, время выдержки нагрузки на
этапе составляло 10 мин. Таким образом, при режиме загру¬
жения в 20 ступеней общая продолжительность опыта соста¬
вила 200 мин. Схема испытаний показана на рис.7.3.
Вид загружения плиты ПК-1(без преднапряжения) - чис¬
тое кручение. Как в опыте, так и в расчете трещины появи¬
лись сначала на верхней, а затем нижней поверхности с уг¬
лом наклона а=45°. Разрушение образца сопровождалось те¬
кучестью рабочей арматуры. Здесь следует отметить, что
асимметричность армирования образца привела к появлению,
наряду с крутящим, изгибающего момента. Его влияние стало
особенно заметно в стадии деформирования в трещинами. До¬
ля изгибающего момента определялась дополнительным расче¬
том по деформированной схеме методом конечных элементов.
При испытании преднапряженных образцов дополнительный
изгибающий момент возникал как разность момента от собст¬
венного веса образца и момента, вызванного усилием пред¬
варительного обжатия.

289
Ряс.7.3.Схемы загружения образцов
Обозначено: а) кручение (образцы ПК-1, ПКН-2 и ПКН-3);
б)	кручение с изгибом (образцы ПКИН-0,5-3, ПКИН-1-3 и ПКИН-2-3);
е) изгиб (ПИН-2)
Так как вся арматура работала в упругой стадии, то,
при равенстве коэффициентов армирования, жесткость сече¬
ний была симметричной.
На рис.7.4. показаны опытные и теоретические графики
зависимости кривизны образцов от изгибающих и крутящих
моментов. Сопоставление данных позволяет сделать вывод,
что предлагаемая модель с достаточной степенью точности
согласуется с данными эксперимента.

-5	-4	-3	-1	0	1	?	3	4
кривизна срединной поверхности (10 s)
кривизна срединной поверхности (10'5)
-IS -4 -Я	-1	0	1	?	3	4
кривизна срединной поверхности (10'5)
-3	-2,5	.2	-1,5	-1	-0,5	0	0.5	1	1,5	2
кривизна срединной поверхности (10'5)
Рис.7.4.Графики кривизн срединной поверхности элементов плит третьей серии
а) ПКН-3; б) ПКИН-2-3; в) ПКИН-1-3; г) ПКИН-0,5-3

291
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
Проведенные исследования и полученные результаты по¬
зволяют сделать следующие основные выводы:
-	разработана общая методика физически нелинейного
расчета плоскостных железобетонных конструкций типа ба¬
лок-стенок и изгибаемых плит с учетом преднапряжения ар¬
матуры, длительности действия нагрузки и режимов сложного
непропорционального нагружения для различных стадий на¬
пряженно- деформированного состояния;
-	разработан шагово-итерационного метод решения фи¬
зически нелинейной задачи железобетона способом перемен¬
ной жесткости с использованием сочетания секущих и каса¬
тельных жесткостных характеристик материала, обеспечиваю¬
щий высокую точность оценки напряженного и деформирован¬
ного состояния конструкции на этапах изменения нагрузки и
быструю сходимость итерационных процессов при решении за¬
дач ползучести;
-	разработана методика расчета способом тт (трансфор¬
мированного времени нагружения) деформаций линейной и не¬
линейной ползучести бетона в условиях сложного непропор¬
ционального загружения и неодноосного напряженного со¬
стояния, что обеспечивает высокую эффективность численно¬
го решения задачи ползучести при применении метода конеч¬
ных элементов и принципиальную возможность реализации
многоэлементных моделей при расчете конструкций на базе
персональных компьютеров;
-	разработан способ учета быстронатекающих деформа¬
ций при решении задач ползучести бетона и железобетона на

292
базе унифицированной методики диаграмм-изохрон бетона;
-	разработаны физически нелинейные соотношения для
железобетона с трещинами и без трещин с учетом стадии на¬
пряженного состояния, преднапряжения арматуры, длительно¬
сти действия нагрузки и характера нагружения;
-	разработана методика учета влияния длительности
действия нагрузки и характера нагружения на характеристи¬
ки критерия прочности бетона при объемном и плоском на¬
пряженном состоянии;
-	разработан способ формирования матриц жесткости
для бетонных и железобетонных конечных элементов балок-
стенок и изгибаемых плит для физически нелинейного расче¬
та с учетом длительности действия нагрузки, характера на¬
гружения и стадии напряженно-деформированного состояния;
-	разработана методика учета накопления остаточных
деформаций бетона вследствие его ползучести и усадки на
этапах разгрузки, при немногократно-повторном и знакопе¬
ременном загружениях;
-	разработан алгоритм физически-нелинейного расчета
железобетонных балок-стенок с учетом длительности дейст¬
вия нагрузки, преднапряжения арматуры и накопления оста¬
точных деформаций в условиях кратковременного, длительно¬
го, немногократно-повторного и закопеременного сложного
нагружения;
-	разработан алгоритм физически-нелинейного расчета
тонких железобетонных с учетом длительности действия на¬
грузки и накопления остаточных деформаций в условиях

293
кратковременного, длительного, немногократно-повторного и
закопеременного сложного нагружения;
-	разработан алгоритм физически-нелинейного расчета
по слоистой модели железобетонных изгибаемых плит с уче¬
том длительности действия нагрузки, преднапряжения арма¬
туры и накопления остаточных деформаций в условиях крат¬
ковременного, длительного, немногократно-повторного и за¬
копеременного сложного нагружения;
-	на основе разработанных алгоритмов выполнена моди¬
фикация компьютерных программ нелинейного расчета плоско¬
стных железобетонных конструкций;
-	выполнена проверка результатов выдвинутых теоре¬
тических положений путем сопоставления расчетных, по
предлагаемой модели, и опытных данных из экспериментов
ряда авторов на отдельных образцах, фрагментах и полно¬
размерных конструкциях.

294
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н.,
Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин
и оболочек с использованием ЭВМ. - 4.1. - М.: Стройиз¬
дат, 1976. - 248 с.
2.Александров	А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н.
Строительная механика. Тонкостенные пространственные
системы. - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.
3.Александров	А.В., Потапов В.В. Основы теории упругости
и пластичности. - М. Высш. школа, 1990. - 400с.
4.Александровский	С В . Расчет бетонных и железобетонных
конструкций на изменение температуры и влажности с уче¬
том ползучести. - М.: Стройиздат, 1973. - 432 с.
5.Александровский	С.В . Об одной интересной форме урав¬
нений теории упруго-ползучего тела//Проблемы ползучести
и усадки бетона. -М.: Стройиздат, 1974. - С.6 - 22.
6.	Александровский	С В.,	Багрий	В. Я.	Ползучесть	бетона
при знакопеременных периодических воздействиях//Изв. АН
Арм.ССР, сер. «Механика». - т.XX. - 1967.
7.Александровский	С В.,	Багрий	В. Я.	Ползучесть	бетона
при ступенчатых знакопеременных периодических нагруз-
ках//Бетон и железобетон. - 1967. - №12. - С.30 - 33.
8.	Александровский	С. В.,	Багрий	В. Я.	Ползучесть	бетона
при периодических воздействиях. -М.: Стройиздат, 1970.
-	167 с.
9.Александровский	С. В., Колесников Н.А. Нелинейная
ползучесть бетона при ступенчато-изменяющихся на-
пряжениях//Бетон и железобетон.- 1971. - №6. - С.24-27.
10.Александровский	С. В., Колесников Н.А. Влияние вели-

295
чины уровня повторно	действующих напряжений на
ползучесть бетона//Расчет и конструирование железобе¬
тонных конструкций,- М. Стройиздат, 1972.- С.121-136.
11.Александровский	С. В.,	Попкова О.М. Нелинейные
деформации ползучести бетона при сложных режимах
нагружения//Бетон и железобетон.- 1970.- №1.-С.27 -32.
12.Александровский	С. В., Соломонов В.В. Исследование
влияния относительного уровня предшествующих
напряжений на нелинейную составляющую деформаций
ползучести бетона//Проблемы ползучести и усадки
бетона. - М.: Стройиздат, 1974. - С.23 - 32.
13.Александровский	С. В.,	Соломонов В. В. Ползучесть
бетона при переменных во времени напряжениях сжатия,
достигающих высокого уровня//Проблемы ползучести и
усадки бетона. - М. Стройиздат, 1974. - С.33 - 43.
14.Арутюнян	Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. -
М. Гостехтеоретиздат, 1952. - 323 с.
15.Арутюнян	Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползу¬
честь бетона//Механика в СССР за 50 лет, т.З. МТТ. -
М.: Наука, 1972. - С.155 - 202.
16.Арутюнян	Н.Х., Колмановский В.В. Теория ползучести не¬
однородных тел. - М.: Наука, 1983. - 336 с.
17.Аргирис	Дж. Современные достижения в методах расчета
конструкций с применением матриц. Под ред. А.Ф. Смир¬
нова: Пер. с англ. - М. Изд-во иностр. лит., 1968. -
241 с.
18.Байков	В.Н., Владимиров В.Ф. Исследование
железобетонных плит на ЭВМ «Урал-2» с учетом действи¬
тельной жесткости на кручение//Материалы VI всесоюзной
конференции по бетону и железобетону:	I	секция. - М. :

296
Стройиздат, 1966. - С.З - 9.
19.Балан Т.А. Расчет железобетонных плосконапряженных
конструкций с учетом образования трещин методом конеч¬
ных элементов//Пространственные конструкции в Красно¬
ярском крае, вып.10. - Красноярск, 1977. - С.131-139.
20.Балан	Т.А. Модель деформирования бетона при кратковре¬
менном нагружении//Строительная механика и расчет со¬
оружений. - 1986. - №4. - С.32-36.
21.Балан	Т.А. Инкрементальная модель деформирования бето¬
на и железобетона в условиях многоосного нагружения и
её реализация в численных методах расчета железобетон¬
ных конструкций на статические и динамические воздей¬
ствия:	Дисс. ...д-ра техн. наук. - М., 1989. - 305 с.
22.Барашиков	А.Я. Расчет железобетонных конструкций на
действие длительных переменных нагрузок. - Киев:
Будивельник, 1977	-	156 с.
23.Бате	К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод
конечных элементов. - М. Стройиздат, 1982. - 448 с.
24.Безухов	Н.И., Лужин О. В. Приложение методов теории
упругости и пластичности к решению инженерных задач. -
М.: Высш. школа, 1974. - 200 с.
25.Берг	О.Я. Физические основы теории прочности бетона и
железобетона. - М.: Стройиздат, 1962. - 112 с.
2 6.Берг О.Я., Щербаков Е.Н., Писанко Г.Н. Высокопрочный
бетон. - М.: Стройиздат, 1971. - 208 с.
27.Берг О.Я., Щербаков Е.Н. К учету нелинейной связи
напряжений и деформаций ползучести бетона в опытных
расчетах//Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архит-ра. - 1973.
-	№12. - С.14 - 21.

297
28.Берг	О.Я., Прокопович И.Е., Щербаков Е.Н., Застава
М.М. Вероятностно-статистическое направление в
изучении ползучести и усадки бетона//Изв. вузов. Сер.:
Стр-во и архит-ра. - 197 6. - №3. - С.9 - 28.
29.Берг	О.Я., Щербаков Е.Н., Прокопович И.Е., Застава
М.М. К обоснованию единой методики нормирования
деформаций ползучести и усадки бетона//Изв. вузов.
Сер.: Стр-во и архит-ра. - 1977. - №3. - С.З - б.
30.Бильченко	А.В., Карпенко Н.И. Экспериментальная про¬
верка параметров теории деформирования железобетонных
плит с трещинами, работающими в двух направлени¬
ях/ /Прочность и жесткость железобетонных конструкций:
Сб. тр. НИИЖБ. - М.: Стройиздат, 1971. - С.98 - 117
31.Бильченко	А.В. Оценка ползучести бетона в плитах, ра¬
ботающих в двух направлениях//Строительные конструк¬
ции, вып. 31. Киев: Будивельник, 1978. - С.96 - 99.
32.Биргер	И.А. Методы упругих решений в теории
пластического течения//Изв. АН СССР / Механика и
машиностроение. - 1964. - №2. - С.116-118.
33.Бирулин	Ю.Ф., Мощевитин Г.Т., Карпенко Н.И., Балан
Т. А., Ярин Л.И. Исследование работы железобетонных
балок-стенок//Совершенствование технологии производ¬
ства и монтажа железобетонных конструкций. - М.:
НИИМосстрой, 1980. - С.5 - 19.
34.Бондаренко	В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории
железобетона. - Харьков, 1968. - 324 с.
35.Бондаренко	В.М., Глоба В. Г. Работа плоских
железобетонных элементов при двухосном напряженном
состоянии//Проблемы ползучести и усадки бетона. МИСИ
им. Куйбышева. М.: 1974. - С.107 - 113.

298
36.Бондаренко	В.М., Бондаренко С. В. Инженерные методы
нелинейной теории железобетона. -	М.:	Стройиздат,
1982. - 287 с.
37.Брусенцов	Г.Н. К вопросу о реализации деформационной
теории пластичности бетона в перемещениях//
Строительная механика и расчет сооружений. - 1979.	-
№2. - С.20 -23.
38.Брусенцов	Г.Н. О расчете железобетонных конструкций с
трещинами при плоском напряженном состоянии//
Строительная механика и расчет сооружений. - 1980.	-
№6. - С.31 -33.
39.Вайнберг	Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Са¬
харов А.С. Метод конечного элемента в механике дефор¬
мируемых тел//Прикладная механика / Отделение матема¬
тики, механики и кибернетики. АН УССР, вып.8. Киев:
1972.
40.Васильев	П.И. Связь между напряжениями и деформациями
в бетоне при сжатии с учетом влияния времени//Изв.
ВНИИГ. - т.45. - 1951. - С.78 - 92.
41.Васильев	П.И. Некоторые вопросы пластических дефор¬
маций бетона//Изв. ВНИИГ. - т.49. - 1953. - С.83-113.
42.Васильев	П.И. Экспериментальные исследования деформа¬
ций бетона при ступенчатом загружении//Изв. ВНИИГ. -
т.72. - 1963. - С.133 - 140.
43.Васильев	П.И. Нелинейные деформации ползучести бетона
// Изв. ВНИИГ. - т.95. - 1971. - С.59 - 61.
44.Галеркин	Б.Г. Упругие тонкие плиты. - М. Госстройиз-
дат, 1933. - 371 с.
45.Галлагер	Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.:
Мир, 1984.- 428 с.

299
4 6.Галустов К.З., Гвоздев А. А. К вопросу о нелинейной
теории ползучести бетона при одноосном сжатии//Изв. АН
СССР. - МТТ. - 1972. - №1. - С.85 - 92.
47.Гвоздев	А.А., Галустов К.З., Яшин А.В. Об уточнении
теории линейной ползучести бетона//Изв. АН СССР.
МТТ. - 1967	- №6.
48.Гвоздев	А.А., Карпенко Н.И. Работа железобетона с тре¬
щинами при плоском напряженном состоянии//Строительная
механика и расчет сооружений. - 1965. - №2. - С.20-23.
49.Гвоздев	А.А., Карпенко Н.И., Крылов С.М. Теоретическое
и экспериментальное исследование работы железобетона с
трещинами при плоском однородном и неоднородном напря¬
женном состоянии//Совершенствование расчета статически
неопределимых железобетонных конструкций:	Сб. тр. НИ-
ИЖБ. - М. Стройиздат, 1968. - С.5 - 43.
50.Гвоздев	А.А., Шубик А.В., Жумагулов Е.Ш. Об учете на¬
копления повреждений структуры бетона при вычислении
деформаций ползучести, включая псевдопластиче-
ские//Новые исследования элементов железобетонных кон¬
струкций при различных предельных состояниях. - М.
НИИЖБ, 1982. - С.32 - 39.
51.Гениев	Г.А., Тюпин Г.А. Некоторые вопросы теории упру¬
гости и пластичности железобетона при наличии трещин//
Новые методы расчета строительных конструкций: Сб. тр.
ЦНИИСК - М.: Стройиздат, 1964.
52.Гениев	Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория
пластичности бетона и железобетона. - М. :	Стройиздат,
1974. - 316 с.
53.Гениев	Г.А., Курбатов А.С., Самедов Ф.А. Вопросы
прочности и пластичности анизотропных материалов. -

300
М.: «Интербук», 1993.
54.Гениев	Г.А., Пятикрестовский К.П. Вопросы длительной и
динамической прочности анизотропных конструкционных
материалов. - М. ГУП «ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко»,
2000. - 38 с.
55.Гуревич	А.А., Карпенко Н.И., Ярин Л.И. О способах рас¬
чета железобетонных плит на ЭВМ с учетом процесса тре-
щинообразования//Строительная механика и расчет
сооружений. - 1972. - №1. - С.24 - 29.
56.Гуревич	А.А. Разработка методов расчета на ЭВМ и ис¬
следование работы железобетонных плит и балок стенок с
трещинами. - Дис. ...канд. техн. наук. - М., 1972.
57.Гуща	Ю.П. Предложения по нормированию диаграмм растя¬
жения высокопрочной стержневой арматуры//Бетон и желе¬
зобетон, 1979, №7. - С.15 - 16.
58.Дмитриев	С.А., Калатуров Б.А. Расчет предварительно
напряженных конструкций. - М. Госстройиздат, 1963. -
412 с.
59.Еньков	Е.У Физические зависимости плоского на¬
пряженного	состояния	железобетона	с трещинами	в
условиях ползучести и экспериментальное обоснование
соответствующих параметров//Строительные конструкции,
вып.32. - Киев: Будивельник,197 9. - С.54 - 57
60.Ерышев	В.А. Метод расчета деформаций железобетонных
стержневых	и плитных	конструкций	при повторных,
знакопеременных и других видах сложного нагружения:
Дисс. ...д-ра	техн. наук.	- М., 1997. -	353 с.
61.Зенкевич 0.	Метод конечных элементов	в технике. -	М:
Мир, 1975. - 541 с.
62.Зырянов B.C. Прогибы опертых по контуру плит при дли¬

301
тельном действии нагрузки//Бетон и железобетон.
1980. - №10. - С.13.
63.Иванов	Г.П., Петров А.Н. Термонапряженное состояние
монолитных стен с учетом длительности процесса в пери¬
од возведения//Конструкции полносборных жилых зданий.
-	М. ЦНИИЭПЖилища, 1983. - С.106 - 111.
64.Карпенко	Н.И. Особенности работы железобетона с трещи¬
нами при плоском напряженном состоянии и расчет желе¬
зобетонных плит: Дисс. ...канд. техн. наук. - М.,	1964.
-	113 с.
65.Карпенко	Н.И. Исследование работы железобетона с тре¬
щинами при плоском напряженном состоянии//Отчет по
хоздоговору №5. - Апрелевка: ГосНИИсельхоз, 1967.
66.Карпенко	Н.И. К расчету железобетонных пластин и обо¬
лочек с учетом трещин//Строительная механика и расчет
сооружений. - 1971. - №1. - С.7 - 12.
67.Карпенко	Н.И. Теория деформирования железобетона с
трещинами. - М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.
68.Карпенко	Н.И., Кукунаев B.C. Трещиностойкость и жест¬
кость железобетонных плит с трещинами при совместном
действии моментов и мембранных сил//Предельные состоя¬
ния железобетонных конструкций. - М. Стройиздат,
1976. - С.169 - 180.
69.Карпенко	Н.И., Ярин Л.И., Кукунаев B.C. Расчет элемен¬
тов стен методом конечных разностей//Новое о прочности
железобетона. - М. Стройиздат, 1977. - С.141 - 165.
70.Карпенко	Н.И. О расчете деформаций ползучести бетона
способом тт (трансформированного времени нагружения)
//Строительная механика и расчет сооружений. - 1979. -
№5. - С.39 - 43,
71.Карпенко	Н.И., Петров А.Н. К определению нелинейных и

302
быстронатекающих деформаций ползучести бетона способом
Гг//Поведение бетонов и элементов железобетонных
конструкций при воздействии различной длительности. -
М.: НИИЖБ, 1980. - С.157-168.
72.Карпенко Н.И. К построению обобщенной зависимости для
диаграммы	деформирования	бетона//Строительные
конструкции. - Минск: 1983. - С.164 - 173.
7 3.Карпенко Н.И. К построению условия прочности бетонов
при неодноосных напряженных состояниях//Бетон и
железобетон. - 1985. - №10. - С.35 - 37
74.Карпенко	Н.И., Мухамедиев Т.А., Петров А.Н. Исходные и
трансформированные диаграммы деформирования бетона и
арматуры//Напряженно-деформированное состояние бетон¬
ных и железобетонных конструкций. - М.: НИИЖБ, 1986. -
С.7 - 25.
75.Карпенко	Н.И., Мухамедиев Т.А., Петров А.Н. Диаграммы
деформирования бетона, их трасформация в зависимости
от различных факторов и использование в расчетах
конструкций//Предельные	состояния	бетонных
ижелезобетонных конструкций энергетических сооружений
/ Материалы конференции и совещания по гидротехнике. -
JI. Энергоатомиздат. - 1987	-	С.	17	0 - 185.
7 6.Карпенко Н.И., Прокопович И.Е., Мухамедиев Т.А.,
Петров А.Н., Яременко А.Ф. Учет деформаций ползучести
и длительного сопротивления бетона в методике
диаграмм-изохрон//Совершенствование методов расчета
статически неопределимых железобетонных конструкций. -
М. НИИЖБ, 1987. - С.66 - 81.
77.Карпенко	Н.И. К построению общей ортотропной модели
деформирования бетона//Строительная механика и расчет
сооружений. - 1987. - №2. - С.31 - 36.
78.Карпенко	Н.И., Розенберг М.Я. Метод расчета деформаций

303
и прочности плосконапряженных железобетонных кон-
струкций//Совершенствование технологии изготовления
изделий, объемнопланировочных и конструктивных решений
элеваторов и зерноперерабатывающих предприятий. - М. :
ЦНИИЭПСельстрой, 1988. - С.34 - 44.
79.Карпенко	Н.И. К построению методики расчета деформаций
железобетонных плит как условно многослойных с учетом
шести компонент напряжения//Новые экспериментальные
исследования и методы расчета железобетонных
конструкций. - М.: НИИЖБ, 1989. - С.73 - 94.
80.Карпенко	Н.И. Общие модели механики железобетона.
М. Стройиздат, 1996. - 416 с.
81.Карпенко	Н.И., Петров А.Н. О применении способа тт к
определению деформаций ползучести монолитных конструк¬
ций с учетом последовательности возведе¬
ния/ /Градостроительство, реконструкция и инженерное
обеспечение устойчивого развития городов Поволжья/
Сб. докл. регион, научн.-практ. конф. 4.1. - Тольятти,
1999.	- С.31 - 36.
82.Кедич	И.Н. Исследование несущей способности, деформа-
тивности и трещиностойкости железобетонных балок-
стенок при действии кратковременных и длительных на¬
грузок: Дисс. ...канд.техн.наук. - Минск, 1965. - 179 с.
83.Клованич	С.Ф. Модель деформирования железобетона и
расчет конструкций при сложном напряженном состоянии и
нагреве: Дисс. ...д-ра техн. наук. - М., 1990. - 404 с.
84.Колесников	Н.А. Деформации ползучести бетона при
ступенчато-меняющейся нагрузке//Проблемы ползучести и
усадки бетона. - М.: Стройиздат, 1974.
85.Котикян	Р.А. Ползучесть бетона при двухосном
растяжении// Изв. АН Арм.ССР, сер. «Механика».
т.XXI. - 1968. - С.74	-	81.

304
86.Королев	А.Н., Крылов С.Н. Способ расчета прогибов же¬
лезобетонных плит, опертых по контуру, и безбалочных
перекрытий при действии кратковременной нагруз-
ки//Труды НИИЖБ, вып.26. - 1962. - С.111 - 119.
87.Крамер	E.JI. К расчету на сосредоточенную нагрузку же¬
лезобетонных плит с трещинами//Строительная механика и
расчет сооружений. - 1969. - №2. С.21 - 24.
88.Крылов	С.М. Перераспределение усилий в статически не¬
определимых железобетонных конструкциях. - М.:	Строй¬
издат, 1964. - 166 с.
89.Кукунаев	B.C. Методы расчета железобетонных плит с
трещинами с учетом совместного действия изгибающих и
крутящих моментов, нормальных и касательных сил: Дисс.
...канд. техн. наук. - М., 1975.
90.Леви	М. И. К расчету железобетонных перекрытий и
фундаментов МКЭ с учетом нелинейных свойст
железобетона//Строительная механика и расчет
сооружений. - 1979. - №5.- с. 62-66.
91.Леви	М.И. Методы расчета железобетонных плитных
конструк-ций сложной конфигурации при неоднородных
граничных условиях:	Дисс. ...канд. техн. наук. -	М.,
1980.
92.Лехницкий	С.Г. Анизотропные пластинки. - М. Гостехиз-
дат, 1957.- 464 с.
93.Лехницкий	С.Г. Теория упругости анизотропного тела. -
М.: Наука, 1977. - 415 с.
94.Лившиц	Я.Д., Онищенко М.М. Расчет железобетонных плит
с учетом трещинообразования и ползучести//Ползучесть
строительных материалов и конструкций. - М. :	Стройиз¬
дат, 1964. - С.46 - 51.
95.Лившиц	Я.Д., Ткачук В.М. Исследования ползучести бето¬
на при плоском напряженном состоянии. //Бетон и желе-

305
зобетон. - 1973. - №11. - С.27 - 29.
96.Мадатян	С. А. Арматура железобетонных конструкций. -
М. Воентехлит, 2000. - 256 с.
97.Малашкин	Ю.Н., Прядко Н.В. Экспериментальные исследо¬
вания ползучести бетона при двухосном сжатии//Изв.
вузов. Сер.: Стр-во и архит-ра.- 197 6.- №7. - С.12-15.
98.Малашкин	Ю.Н., Прядко Н.В. Ползучесть бетона при на¬
пряженном состоянии сжатие - растяжение//Бетон и желе¬
зобетон. - 1979. - №3. - С.26 - 27
99.Мамуня	Н.У., Ткачук В.М. Ползучесть бетона при двухос¬
ном напряженном состоянии//Проблемы ползучести и усад¬
ки бетона/П-е Всесоюзное совещание (Ереван, 1974)
Тез. докл., подг. к печ. ЦП НТО Стройиндустрии. - М.
Стройиздат, 1974. С.41 - 47.
100.Мельникова	J1.A. Определение прогибов железобетонных
плит, опертых по контуру, при кратковременной и дли¬
тельной нагрузках//Научное сообщение ЮжНИИ. - Киев:
1963.
101.Мельникова	J1.A. К расчету нелинейно-дефомируемых
железобетонных плит//Расчет строительных конструкций.
-	М., 1969.
102.Мельникова	J1.A. К вопросу о механизме процесса и мере
ползучести бетона при двухосном сжатии//Строительные
конструкции. - Вып. 22. - Киев: Будивельник, 1973.
103.Методические	рекомендации по исследованию усадки и
ползучести бетона. - М.: НИИЖБ, 1975. - 117 с.
104.Михайлов В.В. Предварительно-напряженные железобе¬
тонные конструкции. - М.: Стройиздат, 1978. - 383 с.
105.Михайлов	К.В. Проволочная арматура для предварительно
напряженного железобетона. - М.: Стройиздат, 1964. -

306
190 с.
Юб.Мулин Н.М., Гуща Ю.П. Деформации железобетонных эле¬
ментов при работе стержневой арматуры в упругопласти¬
ческой стадии//Бетон и железобетон. - 1970.	- №3. -
С.24 - 26.
107.Мурашев	В.И. Трещиностойкость, жесткость и прочность
железобетона. - М. Машстройиздат, 1950. - 268 с.
108.Мусабаев	Т.Т. Нелинейная модель расчета армированных
оболочек и пластин. - СпБ.: СГАСУ, 1999. - 236 с.
109.Мухамедиев	Т.А., Леви М.И., Мельник А. В.
Совершенствование метода расчета изгибаемых в двух
направлениях	плит//Новые	экспериментальные
исследования и методы расчета железобетонных
конструкций,- М.: НИИЖБ, 1989.- С. 153-161.
110.Мухамедиев	Т.А. Методы расчета статически
неопределимых железобетонных стержневых и плоскостных
конструкций с учетом нелинейных диаграмм
деформирования материалов и режимов нагружения: Дисс.
...д-ра техн. наук. М., 1990.
111.Отчет о НИР: Провести исследования работы плоских же¬
лезобетонных конструкций типа стен и плит перекрытий
с учетом трещинообразования и ползучести бетона при
длительном действии нагрузки, разработать методы их
расчета и принципы конструирования. №ГОС.РЕГ.
80047708. - НИС ОИСИ, Одесса, 1981.- 317 с.
112.Палювина С.Н., Карпенко С.Н". Исследование влияния
физической нелинейности и трещин на перераспределение
усилий и перемещения в железобетонных плитах
перекрытия и плитах на основании//Градостроительство,
реконструкция и инженерное обеспечение устойчивого
развития городов Поволжья/Сб. докл. регион, научн.-

307
практ. конф. 4.2. - Тольятти, 1999. - С. 45-50.
ИЗ.Палювина С.Н. Совершенствование расчета прочности и
трещиностойкости железобетонных плит на основе
численных методов: Дисс. ...канд. техн. наук. - Пенза,
2000.	- 153 с.
114.Петров	А.Н. К учету нелинейной ползучести бетона при
расчете элементов способом гт//Новые исследования по
технологии, расчету и конструированию железобетонных
конструкций. - М.: НИИЖБ, 1980. - С.122-126.
115.Петров	А.Н. Учет преднапряжения арматуры в физических
уравнениях теории деформирования железобетона с тре¬
щинами при плоском напряженном состоянии//Поведение
бетонов и элементов железобетонных конструкций при
воздействии различной длительности. - М. НИИЖБ,
1980. - С.183-187
116.Петров	А.Н. Разработка метода расчета железобетонных
балок-стенок при наличии предварительного напряжения:
Дисс. ...канд. техн наук. - М., 1981. - 156 с.
117.Петров	А.Н. Общий подход к учету нелинейных деформа¬
ций бетона при кратковременном и длительном за¬
гружении //Развитие технологии, расчета и конструиро¬
вания железобетонных конструкций. -	М.: НИИЖБ, 1983.
С.89 - 93.
118.Петров	А.Н. Численные исследования методики расчета
на ЭВМ преднапряженных стен//Отчет о НИР по программе
"Строительство" Госстроя СССР. № Г.Р.01820091651.	-
Петрозаводск: ПГУ,1983. - 46 с.
119.Петров	А.Н. Учет нелинейности деформирования материа¬
лов при оценке эксплуатационных свойств желе¬
зобетонных конструкций//Вопросы повышения эффективно¬
сти общественного производства в Карелии. - Петроза-

308
водск: ПГУ, 1984. - С.79 - 81.
120.Петров	А.Н. Провести исследования по уточнению модели
стены при сложных режимах нагружения с учетом трещи-
нообразования, ползучести и усадки//Отчет о НИР по
программе "Строительство" Госстроя	СССР.	№	Г. Р.
01840020406. - Петрозаводск: ПГУ, 1984. - 65	с.
121.Петров	А.Н. Провести исследования и подготовить мето¬
дику расчета плоскостных железобетонных конструкций с
учетом быстронатекающих деформаций ползучести//Отчет
о НИР по программе "Строительство" Госстроя СССР. №
Г.Р.01.85.0006307. - Петрозаводск: ПГУ, 1985. - 63 с.
122.Петров	А.Н. Провести исследования и разработать реко¬
мендации по расчету железобетонных стержневых конст¬
рукций с учетом нелинейных деформаций ползучести бе¬
тона, усадки и режимов нагружения//Отчет о НИР по
программе "Строительство" Госстроя	СССР.	№	Г. Р.
01860013212. - Петрозаводск: ПГУ, 1987	- 60	с.
123.Петров	А.Н. Выбор численного метода решения задачи и
уточнение зависимостей нелинейной теории ползучести//
Отчет о НИР по программе "Строительство" Госкомвуза
РФ. - Петрозаводск: ПетрГУ, 1994. - 23 с.
124.Петров	А.Н. Методика и программа расчета на ЭВМ ли¬
нейных и нелинейных деформаций ползучести бето-
на//Отчет о НИР по программе "Строительство" Госком¬
вуза РФ. - Петрозаводск: ПетрГУ, 1995. - 34 с.
125.Петров	А.Н. Физически нелинейная модель ползучести
1D железобетонного элемента//Отчет о НИР по про¬
грамме "Строительство" Минвуза РФ. - Петрозаводск:
ПетрГУ, 1996. - 25 с.
126.Петров	А.Н. К методике учета остаточных деформаций
при расчете железобетонных элементов//Ползучесть в

309
конструкциях. - Одесса: ОГАСА, 1998. - С.87 - 91.
127.Петров	А.Н. Разработка предложений по построению ра¬
циональных алгоритмов расчета железобетонных конст¬
рукций с учетом деформаций ползучести бетона//Отчет о
НИР по этапу №5 проекта "Разработать методы расчета
сооружений с учетом реальных свойств материалов" ГНЦ
"Строительство" Госстроя РФ. № Г.Р. 01.9.80_005704. -
Москва:	НИИЖБ,	1998.	- 24 с.
128.Петров	А.Н. Исследование точности расчета деформаций
ползучести бетона способом тт в зависимости от вида
меры ползучести//Отчет о НИР по этапу №6 проекта
"Разработать методы расчета сооружений с учетом ре¬
альных свойств материалов" ГНЦ "Строительство" Гос¬
строя РФ. № Г.Р. 01.9.80_005704. Москва: НИИЖБ, 1999.
-	10 с.
129.Петров	А.Н. Общий алгоритм расчета железобетонных
конструкций с учетом деформаций ползуче-
сти//Градостроительство, реконструкция и инженерное
обеспечение устойчивого развития городов Поволжья/Сб.
докл. регион, научн.-практ. конф. 4.2.	- Тольятти,
1999. - С. 58-62.
130.Петров	А.Н., Карпенко С.Н. Разработать концепцию и
структуру построения норм нового поколения для
компьтерного проектирования различных классов
железобетонных конструкций//Отчет о НИР по этапу №1
проекта "Разработать концепцию и структуру построения
норм нового поколения для компьютерного проектирова¬
ния различных классов железобетонных конструкций" ГНЦ
"Строительство" Госстроя РФ. Гл.6,7.	№ Г. Р.
02.20.00_05414.- М.: НИИЖБ, 2000. - С.93 - 133.
131.Петров	А.Н., Палювина С.Н. Разработка численных мето¬

310
дов расчета железобетонных тонких плит с учетом физи¬
ческой нелинейности и трещинообразования с использо¬
ванием согласованных и несогласованных конечных
элементов//Отчет о НИР по этапу №2 проекта
"Разработать теорию и методы расчета сооружений с
учетом реальных физико-механических, физико¬
химических и реологических свойств материалов на
основе объемных моделей и современных компьютерных
методов" ГНЦ "Строительство" Госстроя РФ. № Г. Р.
01.20.00_10б75.- М.: НИИЖБ, 2000. - 131 с.
132.Пирадов	К.А. Теоретические и экспериментальные основы
механики разрушения бетона и железобетона.- Тбилиси:
Энергия, 1998. - 355 с.
133.Пирадов	К.А., Гузеев Е.А. Механика разрушения
железобетона. - М. Новый век, 1998. - 190 с.
134.Пирадов	К.А., Пирадов А.Б., Иосебашвили Г.З., Какиани
JI.A. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на
основе методов механики разрушения. - Тбилиси:
Мецниереба, 1999. - 250 с.
135.Ползучесть	и усадки бетона и железобетонных
конструкций/Под ред. С.В.Александровского.	-	М.
Стройиздат, 1976. - 351 с.
136.Прокопович	И.Е., Яременко А.Ф. Исследование работы
железобетонных плит с учетом трещинообразования и
ползучести//Проблемы ползучести и усадки бетона. -Сб.
научн.тр. ЦНИИС Минтрансстроя СССР. - Вып.77.	- М.:
ЦНИИС, 1974. - С.17-25.
140.Прокопович	И.Е. Основы прикладной линейной теории
ползучести. - Киев: Вища школа, 1978. - 144 с.
141.Прокопович	И.Е., Застава М.М. О выборе выражения для
описания мер ползучести тяжелых бетонов при умеренных

311
сжимающих напряжениях//Строительные конструкции.
Вып.28. - Киев: Будивельник, 1976. - С.З - 11.
142.Прокопович	И.Е.,	Зедгенидзе	В. А.	Прикладная теория
ползучести. - М. Стройиздат, 1980. - 240 с.
143.Прокопович	И.Е.,	Яременко	А.Ф.	Применение метода
конечных элементов к	решению задач линейной
ползучести// Строительная механика и расчет сооруже¬
ний. - 1982. - №6. - С.29 - 33.
144.Прочность,	структурные	изменения и деформации
бетона/Под ред. А.А.Гвоздева. - М. Стройиздат, 1978.
-	297 с.
145.Прядко	Н.В., Малашкин Ю.Н. Ползучесть бетона при
двухосном сжатии//Бетон и железобетон. - 1980. - №5.
-	С.40 - 41.
14 б.Расторгуев Б.С. Упрощенная методика получения
диаграмм деформирования стержневых элементов в стадии
с трещинами//Бетон и железобетон. - 1993. - №5. - С.4
-	8.
147.Расторгуев	Б.С.,	Павлинов	В.В.	Оценка надежности
нормальных сечений железобетонных элементов с
использованием стохастических диаграмм деформаций
бетона и стали//Бетон и железобетон. - 2000. - №2. -
С.16 - 19.
148.Расторгуев	Б. С. Модель режимного деформирования
бетона при немногократных нагружениях//Сейсмостойкое
строительство. Безопасность сооружений. - 2000. №3. -
С.7-12.
149.Санжаровский	Р. С. О некоторых моделях и гипотезах
теории железобетона//Исследования по расчету строи¬
тельных конструкций. - Д.: ЛИСИ, 1979. - С.27 - 34.
150.Санжаровский	Р.С., Мусабаев Т. Т. Упругопластическое

312
деформирование железобетонных оболочек и плит с тре-
щинами//Изв. вузов. Сер. Стр-во и архит-ра. - 1996.
-	№5. - С.З - 11.
151.Сегалов	А.Е. Расчет элементов стен методом конечных
элементов//Новое о прочности железобетона. - М.
Стройиздат, 1977.- С.165 - 176.
152.Сегалов	А.Е. О применении метода конечных элементов к
расчету железобетона с трещинами (случай плоского
напряженного состояния)//Исследование стержневых и
плитных железобетонных статически неопределимых
конструкций. - М. НИИЖБ, 1979. - С.90 - 106.
153.Селютина	Л.Ф., Петров А.Н. Особенности применения ЭВМ
в	проектировании	строительных	конструк¬
ций //Совершенствование учебного процесса на базе ши¬
рокого использования вычислительной техники. - Петро¬
заводск: ПГУ, 1982. - С.32 - 34.
154.Серых	Р.Л. Ползучесть бетона при его увлажнении под
нагрузкой//Новые исследования элементов железобетон¬
ных конструкций при различных предельных состояниях.
-	М.: НИИЖБ, 1982. - С.39 - 48.
155.Серых	Р.Л. Качественные показатели бетона при его ув¬
лажнении/ /Бетон и железобетон. - 2000. - №6. - С.4-5.
156.Соломин	В.И., Шишов И.И. О расчете круглых фундамент¬
ных плит с учетом особенностей деформирования железо-
бетона//Строительная механика и расчет сооружений. -
1972.	- №1. - С.19 - 23.
157.Ткачук	В.М., Мамуня Н.У. Ползучесть бетона при
плоском	напряженном	состоянии//Строительные
конструкции. - Вып.19.	- Киев:	Будивельник, 1972.	-
С. 114 - 119.
158.Устинов	В.П., Круглов В.М., Кудашев В. И. Численное

313
моделирование железобетона в плоском напряженном
состоянии методом конечных элементов//Изв. вузов.
Сер. Стр-во и архит-ра. - 197 6. - №3. - С.24 - 29.
159.Хайдуков Г.К., Шугаев В.В., Миронов Ю.К. Исследование
ползучести мелкозернистого бетона для оценки
результатов	длительных	испытаний	пологих
цилиндрических оболочек на моделях//Проблемы
ползучести и усадки бетона/Мат. совещ., подг. к печ.
НИИЖБ Госстроя СССР. - М.: Стройиздат, 1974. - С.279
-	288.
160.Черноярова Т.Г. Влияние ползучести бетона на
изменение	напряженного	состояния,	потери
предварительного напряжения и деформативность
преднапряженных изгибаемых конструкций:	Дисс. ...канд.
техн. наук. - М. НИИЖБ, 1971. - 176 с.
161.Шаповал	И. П. Ползучесть при сложном напряженном
состоянии и расчет железобетонных плит//Строительные
конструкции. - Вып.5.	- Киев:	Будивельник, 1967
С.50 - 56.
162.Шугаев	В. В. Учет влияния ползучести бетона на
определение несущей способности железобетонных
сферических оболочек//Пространственные конструкции
зданий и сооружений. - Вып.1, - М.:НИИЖБ, 1972.
163.Шугаев	В.В. Влияние граничных условий на несущую
способность железобетонных пологих оболочек при
местном разрушении//Строительная механика и расчет
сооружений. 1974. - №3.
164.Шугаев	В.В. Прочность и устойчивость пологих оболочек
вращения//Строительная механика и расчет сооружений.-
1992. - №2.
165.Щелкунов	В.Г. Напряженно-деформированное состояние

314
сжатого бетона и железобетонаю - Киев; Одесса: Вищая
школа, 1983. - 156 с.
166.Щербаков	Е.Н. Математическая модель ползучести бетона
для расчетов железобетонных конструкций//Эффективные
способы	расчета	железобетонных	конструкций
транспортных сооружений. - М. ЦНИИС Минтрансстроя,
1987	-	С.4 - 22.
167.Щербаков	Е.Н., Хасин B.J1. Способ решения прикладных
задач нелинейной теории ползучести в расчетах
железобетонных конструкций//Эффективные способы
расчета железобетонных конструкций транспортных
сооружений.- М.: ЦНИИС Минтрансстроя, 1987.- С.65-80.
168.Щербаков	Е.Н. Физические и феноменологические основы
прогнозирования механических свойств бетона для
расчетов железобетонных конструкций: Дисс. ...д-ра техн
наук. - М., 1987
169.Ягнюк	Б.Н., Петров А.-Н. Сопоставление расчетных зави¬
симостей СНиП - Еврокод для железобетонных конструк¬
ций/ /Деп. в ВИНИТИ. - Per. №320-В96. - 1996.
17 0.Яременко А.Ф. К расчету железобетонных плит с
трещинами при длительном действии нагрузок//
Строительные конструкции. - Вып.18.	- Киев:
Будивельник, 1971. - С.68 - 79.
171.Яременко	А.Ф.	Экспериментальные	исследования
ползучести бетонных плит при одно- двухосном
сжатии//Строительные конструкции. - Вып.21.	- Киев:
Будивельник, 1973. - С.189 - 192.
172.Яременко	А.Ф., Мельник А.Я. Длительное деформирование
железобетонных дисков с трещинами//Строительные
конструкции. - Вып. 35.- Киев:	Буд1вельник, 1979.	-
с. 40-44.

315
17 3.Ярин Jl.И. О расчете железобетонных оболочек силосов в
стадии эксплуатации с учетом трещин// Строительная
механика и расчет сооружений.- 1974. - №3. - С.15-19.
17 4.Ярин Л.И. Методы расчета железобетонных конструкций
переменной жесткости вследствие трещинообразования:
Автореф. дисс. ...док-pa техн. наук. - М., 1989.- 45 с.
175.Яшин А.В., Черноярова Т.Г., Кузовчикова Е.А. К
уточнению нелинейной теории ползучести бетона//Расчет
и конструирование железобетонных конструкций. - М,
Стройиздат, 1972. - С.137 - 145.
17 6.Argyris J.H., Faust G. et al. "Recent Development in
the Finite Element Analysis of Prestressed Concrete
Reactor Vessels." Nucl. Eng. Des., Vol.28,	1974, pp.
42-75.
177.Bach	C., Graf 0. Versuche mit allseitig aufliegenden,
quadratischen und rechteckigen eisenbetonplatten.
Berlin, 1915, s. 250.
178.Balakrishnan,	S. and Murray, D.W. "Prediction of R/C
Panel and Deep Beam Behavior by NLFEA." SE J.,
Vol.114, No.10, 1988, pp.2323-2342.
17 9.Bazant, Z.P. and Bhat, P.D. "Endochronic Theory of
Inelasticity and Failure of Concrete." J. Eng. Mech.
Div., ASCE, Vol.102, No.EM4, 1976, pp.701-722.
180.Bazant,	Z.P. and Panula, L. "Practical Prediction of
Time-Dependent Deformations of Concrete." Materials
and Structures, 1978, Vol.11, No.65, pp.307-328;
No.66, pp. 415-434.
181.Bazant,	Z.P. and Kim, J.-K. "Improved Prediction
Model for Time-Depended Deformations of Concrete:
Part 2	- Basic Creep." Materials and Structures,
1991, Vol.24, No.144, pp.409-421.

316
182.Bell	К., "A refined triangular plate bending ele¬
ment." Int. J. Num. Meth. Eng., No.l, 1969, pp. 101-
122 .
183.Bell	K., Alms S. "Nonlinear Analysis of Reinforced
Concrete Slabs." Magazine of Concrete Research,
Vol.24, No.79, 1972.
184.Bedard,	C. and Kotsovos, M.D. "Application of NLFEA
to Concrete Structures." SE J., Vol.Ill, No.12, 1985,
pp.2691-2707
185.Bergan,	P.G. and Holand, I. "Nonlinear Analysis of
Concrete Structures." Computer Methods in Applied Me¬
chanics and Engineering, Vo.17/18, 1979, pp.448-467
186.Bogner	F.K., Fox R.L., Schmit L.A. "The Generation of
Interelement-compatible Stiffness and Mass Matrices
by the Use of Interpolation Formulae." Proc. Conf.
Matrix Methods in Struct. Mech., Air Force Inst, of
Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, Oct. 1965.
187.Chuang, J.W., Kennedy, T.W., Perry, S. P. and Thomp¬
son, J.N. "Prediction of Multiaxial Creep from Uniax¬
ial Creep Tests." A Paper Prepared at ACI Interna¬
tional Seminar on Concrete Reactors. Department of
Civil Engineering the University of Texas,1970,32 pp.
188.Cervenka,	V and Gerstle, K.H. "Inelastic Analysis of
Reinforced Concrete Panels:	Theory	(1),	and	Experi¬
mental Verification and Application (2)." Publica¬
tions International Association for Bridge and Struc¬
tural Engineering, Zurich, Vol.31-00,	1971, pp.32-45
and Vol.32-11, 1972, pp.26-39.
189.Chen,	A.T.C. and Chen, W.F. "Constitutive Relations
for concrete." J. Eng. Mech. Div., ASCE, Vol.101,
No.EM4, 1975, pp.465-481.

317
190.Clough	R. W., "The Finite Element method in struc¬
tural Mechanics", Ch. 7 in:	Stress Analysis, Zien-
kievicz О. C., Holiester G. S., eds., Willey, 1965.
191.Cornelis	M.A. "Etude a laide dune calculatrice elec-
troniq du comportement des dalles en beton arme en
phase du fissuration." Bull. Dinf., Com. Eur. Du
beton, No.55, 1966.
192.Courant	R. "Variable Methods for the Solution of
Problem of Equilibrium and Vibration." Bull. Amer.
Math. Soc., Vol.49, No.l, 1943.
193.Domone	P.L. "Uniaxial Tensile Creep and Failure of
Concrete." Magazine of Concrete Research, Vol.26,
No.88, 1974, pp.144-152.
194.Drucker	D.C., Prager W., "Soil Mechanics and Plastic
Analysis or Limit Design." J. Appl. Math., No.10,
1952, pp. 157-165.
195.Gehler	W., Amos H. "Versuche mit kreuzweise bevehrten
platen." Berlin, 1932.
196.Gerstle,	K.H. "Simple Formulation of Biaxial Concrete
Behavior." ACI J., Vol.78, No.l, 1981, pp.62-68.
197.Gerstle,	K.H. "Simple Formulation of Thriaxial Con¬
crete Behavior." ACI J., Vol.78, No.5,	1981, pp.382-
387
198.Glucklich,	I. "Reological Behavior of Hardened Cement
Paste under Low Stress." ACI J., Vol.56, No.4, 1959.
199.Hobbs,	D.W. "Strength and Deformation of Plane Con¬
crete Subject to Combine Stress. Part 2: Strength in
Multiaxial Compression." Technical Report 42.4 63.
London, Cement and Concrete Association, 1972, pp.7.
200.Hsieh,	S.S., Ting, E.C. and Chen, W.F. "A Plastic-

318
Fracture Model for Concrete." Int. J. Solids Struc¬
tures, Vol.18, No.3, 1988, pp.181-197
201.Hu,	H.-T. and Schnobrich, W.C. "Nonlinear Finite Ele¬
ment Analysis of Reinforced Concrete Plates and
Shells under Monotonic Loading." Computers and Struc¬
tures, Vol.38, No.5/6, 1991, pp.637-651.
202.Huber	M.G. "Die Grundlagen einer rationallen
Berechnung der kreizweise dewehrten Eisen betonplat-
ten.", z.st. lng-v, H-30, 1914.
203.1ohansen K.W. Brudlinieteorier Gjerup. Copenhagen,
1943.
204.	Islam S. "A Comparative Study of Virtual Work and
Equilibrium Methods Applied to Yield-Line Analysis of
Reinforced-Concrete Slabs." Thesis submitted to the
Manchester College of Science and Technology, for the
degree of Msr. Tech., 1964.
205.Karpenko	N.I., Mukhamediev T.A., Petrov A.N. "An Ap¬
proach to the Description of the Complete Stress-
Strain Relationship for Reinforcement and Plain Con¬
crete." Transactions of the 1992 FIP Symposium, Buda¬
pest, 1992.
206.Klisinski,	M. and Mroz, Z. "Description of Inelastic
Deformation and Degradation of Concrete." Int. J.
Solids Structures, Vol.24, No.4, 1988, pp.391-416.
207.Kotsovos,	M.D. "A Mathematical Description of the
Strength Properties of Concrete under Generalized
Stress." Mag. Concrete Research, Vol.31, No.108,
1979, pp.151-158.
208.Kupfer,	H.B. and Gerstle, K.H. "Behavior of Concrete
under Biaxial Stresses." EMD J., Vol.99, No.EM4,
1973,	pp.853-866.

319
209.Lenshow	J.K., Sosen A.A. "Note on Yield Criterion for
Reinforced Concrete Slabs." Com. Eur. du Beton, Bull.
Dinf., Paris, No.56, 1965.
210.Levi	F. "Control des conditions de fiscuration ef de
deformation des dalles dimensionnecs a leata limite
ultime." Bull. Dinf., Com. Eur. du Beton, Paris,
No.55, 1965.
211.Lewinski,	P.M. and Wojewodski, W. "Integrated Finite
Element Model for Reinforced Slabs." SE J., Vol.117,
No.4, 1991, pp.1017-1038.
212.Massonet	Ch. "Theoretic general des plaques
elastoplastuque." Bull. Dinf., Com. Eur. du Beton,
Paris, 1966.
213.Ngo,	D. and Scordelis, A.C. "Finite Element Analysis
of Reinforced Concrete Beams." ACI J., Vol.64, No.3,
1967,	pp.152-163.
214.Nilsen	M.P. "Limit Analysis of Reinforced Concrete
Slabs." Acta Politech. Scand., 1964. Gi.26.
215.0htani, Y.C. and Chen, W.F. "Hypoelastic-Perfectly
Plastic Model for Concrete Materials." EM J.,
Vol.113, No.12, 1987, pp.1840-1860.
216.0ttosen, N.S. "2-D Finite Element Analysis of Massive
RC Structures." SD J., Vol.108, No.ST8,1982, pp.1874-
1893.
217.Ortiz, M. "A Constitutive Theory for the Inelastic
Behavior of Concrete." Mechanics of Materials Vol.4,
No.l, 1985, pp.67-93.
218.Park R. "Tensile Membrane Behavior of Uniformly
Loaded Rectangular Reinforced Slabs." Magazine of
Concrete Research, No.46, 1964.

320
219.Petcu	V., Stenculescu G. "Comportarea la incovoiere a
placilor armate pe doua directii la actiunea unei
forte concentrate." Studii si cercetari, №4, INCERC,
Bucuresti, 1972. - s. 84.
220.Rasch	Chr. Spannungs-Dehnungs-Linien des Beton und
Spannungsverteilung in der Biegedruc-kzone bei Kon-
stanter Dehngeschwindigkcit. Dent-scher Ausschuss fur
stahlbeton. Heft 154, Berlin, 1962.
221.Scordelis, A.C. "Computer Models for Nonlinear Analy¬
sis of Reinforced and Prestressed Concrete Struc¬
tures." PCI J., Vol.29, No.6, 1984, pp.116-135.
222.Tanner	H., Fasio R., Zielinski S. "Strength and Be¬
havior of Beams. Panel-Test and Analysis." ACI J.
223.Tsuboi,	Y. and Suenaga, Y. "A Study on the Elastic
Plastic Behavior of Reinforced Concrete Members under
Combined Stresses." Report of the Institute of Indus¬
trial Science, University of Tokyo, 1960, 75 pp.
224.Valanis,	K.C. "A Theory of Viscoplasticity without a
Yield Surfase, I: General Theory; II: Application to
Mechanical Behavior of Metals." Arch. Mech., Vol.23,
No.4, 1971, pp.517-551.
225.Valanis,	K.C. and Read, H.E. "An Endochronic Plastic¬
ity Theory for Concrete" Mechanics of Materials,
Vol.5, No.3, 1986, pp.277-295.
22 6.Valliapan S. "Non-Linear Stress Analysis of Two-
Dimensional Problems with Special Reference to Rock
and Soil Mechanics." Ph. D. Thesis, Univ. Of Wales,
1968.
227.van Mier, J.G.M. "Examples of Non-Linear Analysis of
Reinforced Concrete Structures with DIANA." Heron,

321
Vol.32, No.3,1987, pp.146.
228.Wojewodski,	W. and Pietrow, A.N. "Nonlinear Analysis
of Creep of Prestressed Reinforced Structures." Trans¬
actions of the 10th International Conference on SMiRT,
Anaheim, California, 1989.
229.Wojewodski	W., Pietrow A.N. "Nieliniowa analiza pel-
zania sprenzony wstepnie konstrukcij zelbetowych."
Rozprawy Inzynerski, 1990, No.4.
230.Wood	R.H. Plastic and Elastic Design of Slabs and
Plates. London, Thames, 1961.

322
ПРИЛОЖЕНИЕ

ГОССТРОЙ РОССИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ
на №
от
СПРАВКА
Настоящим подтверждаем, что результаты исследований к.т.н. Петрова А.Н.
по разработке моделей и численных методов расчета железобетонных (
конструкций внедрены в «Свод правил по расчету статически неопределимых
конструкций» в виде:
-	п.2.2, касающегося аналитического описания диаграмм деформирования
арматурных сталей;
-	п.2.3, касающегося аналитического описания диаграмм деформирования
бетона;
-	пп.2.13-2.15, касающихся диаграмм деформирования бетона с учетом
длительности действия нагрузки и учета ползучести бетона;
-	пп.2.20-2.22, касающихся определения деформаций бетона при сложных
режимах нагружения;
-	п.4.41, касающегося расчета предварительно напряженных конструкций с
учетом деформаций ползучести по способу тт;
- пп.5.2.1 .-5.2.4, касающихся расчета бетонных и железобетонных
изгибаемых плит по деформациям;
-	п.6.2.6, касающегося особенностей расчета предварительно напряженных
изгибаемых плит.
Директор
А.И. Звездов
РОССИЯ, 109428, МОСКВА,
2-я Институтская ул., 6. ГУП «НИИЖБ»
Тел. (095) 171-2669
Факс (095) 174-7724

ГОССТРОЙ РОССИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ,
ПРОЕКТНО-КОНСТРУКТОРСКИЙ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
на №	от
СПРАВКА
Настоящим подтверждаем, что результаты исследований к.т.н. Петрова А.Н.
по разработке моделей и численных методов расчета железобетонных ,
конструкций внедрены в «Свод правил по автоматизированным методам расчета
массивных железобетонных конструкций» в виде:
-	п.4.3.1, касающегося аналитического описания диаграмм деформирования
арматурных сталей;
-	п.4.3.2, касающегося аналитического описания диаграмм деформирования
бетона;
-	п.4.3.3, касающегося диаграмм деформирования бетона с учетом
длительности действия нагрузки;
-	п.4.3.4, касающегося учета деформаций ползучести бетона на основе
функций удельных деформаций;
-	п.5.5, касающегося связей между напряжениями и деформациями
элементов с учетом влияния ползучести;
-	пп.6.2-6.3, касающихся условий прочности бетонных и железобетонных
элементов;
-	пп.7.2.-7.3, касающихся физических соотношений для железобетонных
элементов с косоугольным и ортотропным армированием.
Директор | •/. -к
Ш
\ч
V/
А.И. Звездов
РОССИЯ, 109428, МОСКВА,
2-я Институтская ул., 6. ГУП «НИИЖБ»
Тел. (095) 171-2669
Факс (095) 174-7724

ITOE АКЦИОНЕР!-:''
ОБЩЕСТВО
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ
Э-ИССЛЕДОВАТЕЛЬС*'!-
РОЕКТНЫЙ ИНСТИТУТ
Директору ГУП «НИИЖБ:
г-ну Звездову А.И
типового и
ЗПЕРИМЕНТАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
1ПЛЕКС0В И ЗДАНИЙ
109428, Москва
2-я Институтская ул., 6
КУЛЬТУРЫ,
)РТА И УПРАВЛЕНИЯ
ши Б.С. МЕЗЕНЦЕВА
ИИЭП им. B.C. Мезенцева)
осква, проспект Вернадского, 29
СПРАВКА
Настоящим подтверждаем, что результаты диссертационной работы
к.т.н. Петрова А.Н. «Деформационная модель нелинейной ползучести
железобетона и её приложение к расчету плосконапряженных элементов и
систем из них» использованы для оценки напряженно-деформированного
состояния фундаментной плиты комплекса ММДЦ «Москва-Сити» с
учетом реальных инженерно-геологических условий. Результаты расчета
использованы при разработке проектного решения.
Замдиректора по научной раС
д.т.н., проф.
В.И. Травуш

Министерство образования Российской Федерации
Петрозаводский государственный университет
Petrozavodsk State University
185640, Республика Карелия.	Tel.: +7 814 2 711001
г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33	Fax: +7 814 2711000
33, Lenin str., Petrozavodsk, 185640, Karelia» Russia	E^nail: office@maiapgu.kafelia.fu
-tk'PfMi
_OT
Директору ГУЛ «НИИЖБ»
д.т.н. Звездову А.И.
109528, Москва
2-я Институтская ул., д.6
Справка
[астоящим подтверждаем, что отдельные положения диссертационной
гы К.Т.Н, доцента Петрова А.Н. «Деформационная модель нелинейной
угчести железобетона и ее приложение к расчету плосконапряженных
ентов и систем из них» использованы при чтении курса лекций «Бетон-
л железобетонные конструкций», выполнении дипломных и курсовых
ктов на строительном факультете Петрозаводского госуниверситета.