/
Author: Писаренко Г.С. Агарев В.А. Квитка А.Л. Попков В.Г. Уманский Э.С.
Tags: машиностроение материаловедение сопротивление материалов
Year: 1979
Text
г. с. ПИСАРЕНКО, В. А. АГАРЕВ, А. Л. КВИТКА,
В. Г. ПОПКОВ, Э. С. УМАНСКИЙ
мйТIIР^мо^
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Под редакцией акад. АН УССР
Г. С. Писаренко
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
машиностроительных специальностей
высших /чебных зазедений
Сопротивлегаю материалов: Уче&ик для вузсж / Под общ. ред.
акад. АН УССР Г. С. Пнсаренко.— 4-е изд., перерзб. я
доп.— Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1979. —696 с. 30106.
2105000000
В учебнике освещены основные вопросы сопротивления
материалов, отражающие современный уровень науки и техники.
Достаточно подробно изложены общие методы определения перемещений
и метод сил, вопросы упругих колебаний, расчеты при действии
повторно-переменных и ударных нагрузок. Приведены элементы
теории тонкостенных оболочек, дано большое количество
детально разобранных примеров. Обновлен и дополнен материал по
методам расчетов. Дополнены также справочные данные.
Для студентов всех форм обучения машиностронте-ньных
специальностей технических вузов.
Табл. 28. Ил. 605. Список лит.: 20 назв.
Рецензент: кафедра динамики и прочности машин
Московского энергетического института
Редакция литературы по машииостроеиию и приборостроению
Зав. редакцией О. А. Добровольский
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачи научно-технического прогресса нашей страны на 10-ю
пятилетку, намеченные решениями XXV съезда КПСС, вызывают
необходимость и дальше повышать качество подготовки научных и
инженерных кадров, способных решать сложные проблемы. Успех
подготовки этих кадров в значительной степени зависит от наличия
соответствующ,их средств обучения, и в частности учебников и
учебных пособий.
Настоящий учебник написан с учетом многолетнего опыта
преподавания курса сопротивления материалов в Киевском
политехническом институте, а также использования первых трех изданий
книги A963, 1967 и 1973 гг.).
Учебник имеет ряд особенностей, отличающих его от
большинства учебников, ранее изданных другими авторами. Учитывая
затруднения, которые испытывают студенты при изучении курса
и преследуя цель равномерно распределить домашние расчетно-
проектировочные работы, авторы сочли целесообразным изменить
обычно принятую последовательность изложения материала. В
частности, такой раздел, как «Геометрические характеристики плоских
сечений», носящий вспомогательный характер, помещен в начале
курса, что позволяет уже в первые дни выдавать студентам домаш-
1ее расчетно-проектировочное задание. Затем в самостоятельную
главу выделены вопросы построения зпюр внутренних усилий —
раздел, усвоение которого вызывает у студентов определенные
трудности. Особенность книги состоит также в том, что решение
основных задач сопротивления материалов в ней излагается по
единому плану: сначала рассматривается статическая сторона
задачи, затем — геометрическая, физическая и, наконец, их синтез.
В настоящем учебнике нашли отражение такие важные для
студентов машиностроительных и политехнических высших
учебных заведений разделы, как колебания, усталость, а также расчеты
фи действии ударных нагрузок. Авторы стремились создать такой
чебник, который в максимальной степени был бы интересен и по-
езен студентам. Судя по опыту использования трех предыдущих
1аний, поставленная задача в известной степени решена. По-ви-
мому, этому способствовало обилие примеров расчетов и решен-
.X задач по всем без исключения разделам курса, а также
■^емление в рамках студенческого курса в какой-то мере отразить
современные тенденции развития учения о прочности в
инженерном деле.
Книга рассчитана на максимальное число учебных часов по
программе для студентов машиностроительных специальностей
технических вузов. В то же время ею могут пользоваться студенты и
других специальностей, так как материалы, предусмотренные
любой программой, в компактном виде изложены в соответствующих
главах и параграфах.
При подготовке четвертого издания авторы уточнили некоторые
положения, внесли дополнения, продиктованные динамичным
развитием учения о прочности и новыми тенденциями в методике
преподавания в высшей школе. В частности, авторы сочли
необходимым включить параграф о малоцикловой усталости, имея в виду
практическую важность этой характеристики материалов при
решении задач механики деформируемого твердого тела. Авторам
представлялось важным в курсе сопротивления материалов осветить
современные проблемы прочности, которые могут заинтересовать
учащуюся молодежь, приобщающуюся к научной работе со 2—3-го
года обучения в институте.
В заключение авторы считают своим долгом выразить
благодарность сотрудникам кафедры сопротивления материалов КПИ
и Института проблем прочности АН УССР за полезные
рекомендации, которые учтены при подготовке учебника. Авторы искренне
признательны Е. Е. Зеленюк, Л. А. Тютюнник, В. С. Носальскому,
Н. С. Мишиной за оказанную помощь при подготовке книги.
Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу: 252054,
Киев-54, Гоголевская, 7, Головное издательство ивдотельского
объединения <.<Вища школа».
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. НАУКА О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ.
ИЗУЧАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ
Сопротивлением материалов называют науку
об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и
устойчивость элементов машин и сооружений.
В процессе эксплуатации машин и сооружений их элементы
(стержни, балки, пластины, болты, заклепки и др.) в той или иной
степени участвуют в работе конструкции и подвергаются действию
различных сил — нагрузок. Для обеспечения нормальной работы
конструкция должна удовлетворять необходимым условиям
прочности, жесткости и устойчивости.
Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей
и деталей выдерживать определенную нагрузку не разрушаясь.
Под жесткостью подразумевают способность конструкции и ее
элементов противостоять внешним нагрузкам в отношении
деформации (изменения формы и размеров). При заданных нагрузках
деформации не должны превышать определенной величины,
устанавливаемой в соответствии с требованиями, предъявляемыми к
конструкции.
Устойчивостью называют способность конструкции или ее
элементов сохранять определенную начальную форму упругого
равновесия.
Чтобы конструкция в целом отвечала требованиям прочности,
жесткости и устойчивости, а следовательно, была надежной в
эксплуатации, необходимо придать ее элементам наиболее
рациональную форму и, зная свойства материалов, из которых они будут
изготовляться, определить соответствующие размеры в зависимости
от величины и характера действующих сил.
На первый взгляд может показаться, что для надежного
сопротивления элементов конструкции внешним нагрузкам достаточно
увеличить их размеры. Действительно, иногда это приводит к
желаемым результатам. Однако в тех случаях, когда собственный вес
составляет существенную часть действующей на конструкцию
нагрузки, увеличение размеров ее элементов, а значит и веса, не
приведет к увеличению прочности. Увеличение размеров движущихся
деталей механизмов и машин приводит к возрастанию сил инерции,
увеличивает нагрузку, а это нежелательно, поскольку также может
привести к разрушению.
Увеличение размеров, не вызванное требованиями надежности
работы конструкции, приводит к излишнему расходу материалов
и повышению ее стоимости. Машины и сооружения нужно строить
прочными и надежными в эксплуатации, но, в то же время, легкими
и дешевыми.
Сопротивление материалов решает указанные задачи прочности,
основываясь как на теоретических, так и на опытных данных,
имеющих в этой науке одинаково важное значение. В теоретической
части эта наука базируется на теоретической механике и
математике, а в экспериментальной — на физике и материаловедении.
Сопротивление материалов является исключительно важной
общеинженерной наукой, необходимой для формирования инженеров
Рис.1
любой специальности. Без фундаментальных знаний в этой области
невозможно создать такие конструкции, как различного рода
машины и механизмы, гражданские и промышленные сооружения,
мосты, линии электропередач и антенны, ангары, корабли, самолеты
и вертолеты, турбомашины, электрические машины, агрегаты
атомной энергии, ракетной и реактивной техники и др.
Таким образом, сопротивление материалов — это наиболее
общая наука о прочности машин и сооружений. Однако она не
исчерпывает всех вопросов механики деформируемых тел. Этими
вопросами занимается ряд других смежных дисциплин: строительная
механика стержневых систем, теория упругости и теория
пластичности. Между указанными дисциплинами нельзя установить
строгой границы. Основная же роль при решении задач прочности
принадлежит сопротивлению материалов.
При всем разнообразии видов конструктивных элементов,
встречающихся в сооружениях и машинах, их можно свести к
сравнительно небольшому числу основных форм. Тела, имеющие эти
основные формы, и являются объектами расчета на прочность,
жесткость и устойчивость. К ним относятся стержни, оболочки,
пластинки и массивные тела.
Стержцем. или брусом, называется тело, у которого один
размер (длина) значительно превышает два других (поперечных)
размера (рис. 1, а).
в машинах и сооружениях встречаются стержни как
прямолинейные (рис. 1, а), так и криволинейные (рис. 1, б), как
призматические (рис. 1, а), так и переменного сечения (рис. I, в). Примерами
прямых стержней являются валы, оси, балки. Примерами кривых
стержней могут служить грузоподъемные крюки, звенья цепей
и др.
Стержни, у которых толщина стенки значительно меньше
габаритных размеров поперечного сечения, называют тонкостенными
(рис. I, г). В настоящее время они широко применяются в
строительных конструкциях, судо- и особенно в авиастроении.
Оболочка представляет собой тело, ограниченное
криволинейными поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг
от друга.
Поверхность, которая делит толщину оболочки на равные части,
называется срединной. По форме срединной поверхности различают
оболочки цилиндрические (рис. 2, а), конические (рис. 2, б),
сферические (рис. 2, в) и др. К оболочкам относятся неплоские стенки
тонкостенных резервуаров, котлов, купола зданий, обшивка
фюзеляжа, крыла и других частей летательных аппаратов, корпуса
подводных лодок и т. д.
Если срединная поверхность представляет собой плоскость, то
расчетный объект называют пластинкой (рис. 2, г). Встречаются
пластинки круглые (рис. 2, д), прямоугольные (рис. 2, г) и других
очертаний. К пластинкам могут быть отнесены плоские днища и
крышки резервуаров, перекрытия инженерных сооружений, диски
турбомашин и т. п.
Тела, у которых все три размера одного порядка, называют
массивными телами. К ним относятся фундаменты сооружений, под-
порные стенки и тГ п.
В сопротивлении материалов задачи, как правило, решаются
простыми математическими методами с привлечением упрощающих
гипотез и использованием экспериментальных данных; решения при
этом доводят до расчетных формул, пригодных для применения
в инженерной практике.
Возникновение науки о сопротивлении материалов связывают
с именем знаменитого итальянского ученого Галилео Галилея
A564—1642), проводившего опыты по изучению прочности, хотя
истоки этой науки мы видим уже в творениях великого Леонардо
да Винчи.
В 1678 г. английский ученый Роберт Гун A635—1703) установил
закон деформирования упругих тел, согласно которому деформация
упругого тела пропорциональна действующему на него усилию. Этот
закон является основным в теории сопротивления материалов.
Быстрое развитие науки о сопротивлении материалов началось
в конце ХУ1П ст. в связи с бурным прогрессом промышленности
и транспорта. Проблемами прочности занимались академик
Петербургской академии наук Леонард Эйлер, выдающиеся русские
ученые Н. А. Белелюбский, И. Г. Бубнов, А. М. Воропаев, А. В. Га-
долин, X. С. Головин, Д. И. Журавский, В. Л. Кирпичев, С. П.
Тимошенко, Ф. С. Ясинский. Развитию сопротивления материалов
содействовали работы иностранных ученых Д. Бернулли, Т.
Кармана, А. Кастильяно, О. Коши, Ш. Кулона, Г. Ламе, А. Лява,
Д. Максвелла, К. Мора, Л. Навье, Л. Прандтля, С. Пуассона и др.
После Великой Октябрьской социалистической революции
большой вклад в науку о прочности внесли советские ученые Н. М.
Беляев, В. В. Болотин, В. 3. Власов, Б. Г. Галеркин, Н. Н. Дави-
денков, А. Н. Динник, А. А. Пльюшин, А. Н. Крылов, В. Н. Кср-
ноухов, Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилов, П. Ф. Папко-
вич, С. Д. Пономарев, И. М. Рабинович, Ю. Н. Работнов, С. В. Се-
ренсен, В. В. Соколовский, А. А. Уманский, В. И. Феодосьев и др.
§ 2. ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ СТЕРЖНЯ.
ПОНЯТИЕ О ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ МАТЕРИАЛА
Реальные тела могут деформироваться, т. е. изменять свою
форму и размеры. Деформации тел происходят вследствие нагружения
их внешними силами или изменения температуры. При
деформировании тела его точки, а также мысленно проведенные линии
или сечения перемещаются в плоскости или в пространстве
относительно своего исходного положения.
При нагружении твердого тела в нем возникают внутренние силы
взаимодействия между частицами, оказывающие противодействие
внешним силам и стремящиеся вернуть частицы тела в положение,
которое те занимали до деформации.
Деформации бывают упругие, т. е. исчезающие после
прекращения действия вызвавших их сил, и пластические, или остаточные,—
не исчезающие.
С увеличением внешних сил внутренние силы также
увеличиваются, однако до известного предела, зависящего от свойств
материала. Наступает момент, когда тело уже не в состоянии
сопротивляться дальнейшему увеличению внешних сил. Тогда оно
разрушается. В большинстве случаев для величины деформаций
элементов конструкции устанавливают определенные ограничения.
Основным объектом, рассматриваемым в сопротивлении
материалов, является стержень с прямолинейной осью.
8
в сопротивлении материалов изучают следующие основные виды
деформаций стержня: растяжение и сжатие, сдвиг (срез), кручение
и изгиб. Рассматривают и более сложные деформации,
получающиеся в результате сочетания нескольких основных.
Растяжение или сжатие возникает, например, в случае, когда
к стержню по его оси приложены противоположно направленные
силы (рис. 3). При этом
происходит перемещение сечений Р р
вдоль оси стержня, который
при растяжении удлиняется,
а при сжатии укорачивается.
Изменение А/ первоначальной
длины / стержня называют
абсолютным удлинением при
растяжении или абсолютным
укорочением при сжатии.
Отношение абсолютного удлинения (укорочения) А/ к первоначальной
длине / стержня называют средним относительным удлинением на
длине / и обозначают обычно буквой бср".
_ д;
Вер р •
На растяжение или сжатие работают многие элементы
конструкций: стержни ферм, колонны, штоки паровых машин и поршневых
насосов, стяжные винты и другие детали.
Сдвиг или срез возникает, когда внешние силы смещают два
параллельных плоских сечения стержня одно относительно другого
Рис. 4
при неизменном расстоянии между ними (рис. 4). Величина
смещения А5 называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного
сдвига к расстоянию а между смещающимися плоскостями (тангенс
угла у) называют относительным сдвигом. Вследствие малости угла у
при упругих деформациях его тангенс принимают равным углу
перекоса рассматриваемого элемента. Следовательно,
относительный сдвиг
д«_
'' а '
Относительный сдвиг является угловой деформацией,
характеризующей перекос элемента. На сдвиг или срез работают, например,
заклепки и болты, скрепляющие элементы, которые внешние силы
стремятся сдвинуть один относительно другого.
Кручение возникает при действии на стержень внешних сил,
образующих момент относительно оси стержня (рис. 5). Деформация
кручения сопровождается поворотом поперечных сечений стержня
относительно друг друга вокруг его оси. Угол поворота одного
сечения стержня относительно другого, находящегося на расстоянии
/, называют углом закручивания на длине /. Отношение угла
закручивания ф к длине / называют относительным углом
закручивания:
.^Р
е =
Рис. 5
\^'^^^^ ""^И^Г ^^ кручение работают валы, шпин-
\м.<^^ АаУ дели токарных и сверлильных
станков и другие детали.
Деформация изгиба (рис. 6)
заключается в искривлении оси
прямого стержня или в
изменении кривизны кривого стержня.
Происходящее при этом перемещение какой-либо точки оси
стержня выражается вектором, начало которого совмещено с
первоначальным положением точки, а конец — с положением той же точки
в деформированном стержне. В прямых стержнях перемещения
точек, направленные перпендикулярно к начальному положению оси,
называют прогибами и обозначают буквой ау. При изгибе
происходит также поворот сечений стержня вокруг осей, лежащих в
плоскостях сечений. Углы поворота сечений относительно их начальных
положений обозначаются буквой 9. На изгиб работают, например,
оси железнодорожных вагонов, листовые рессоры, зубья шестерен,
спицы колес, балки междуэтажных перекрытий, рычаги и многие
другие детали. д
В результате одновременного дей- "^^
Рис. 6
ствия на тело сил, вызывающих раз
личные виды указанных основных
деформаций, возникает более сложная
деформация. Так, часто элементы
машин и конструкций подвергаются
действию сил, вызывающих
одновременно изгиб и кручение, изгиб и растяжение или сжатие и др.
Описанные деформации стержня дают представление об
изменении его формы и размеров в целом, но ничего не говорят о степени
и характере деформированного состояния материала. Исследования
показывают, что деформированное состояние тела, вообще говоря,
неравномерно и изменяется от точки к точке.
Для определения деформации в какой-либо точке А (рис. 7)
проведем в недеформированном теле отрезок прямой АВ,
исходящий из этой точки в произвольном направлении и имеющий длину 5.
После деформации точки А и В переместятся и займут положения
А^ и Б1 соответственно, а расстояние 8 между ними изменится на
10
величину Л5. Отношение — = Еср называется средней
относительной линейной деформацией отрезка АВ. Приближая точку В к
точке у4, т. е. уменьшая длину отрезка 5, в пределе получим
Д8
Иш
8-»0
'^АВ'
Рис. 7
Величина е^в представляет собой относительную линейную
деформацию в точке А по направлению АВ, Если известно, что
расстояние между точками Л и Б
увеличивается, то еав называют
относительным удлинением, при уменьшении
этого расстояния—относительным
укорочением.
В одной и той же точке А
относительные линейные деформации по
различным направлениям могут быть
различны. Обычно в качестве
основных принимают направления,
параллельные осям выбранной
прямоугольной системы координат. Тогда относительные линейные
деформации в точке обозначают соответственно через Е^^, е^, е^.
Для полной характеристики деформации в точке вводят еще
и угловые деформации. Если до деформации тела из точки А (рис. 8)
провести два отрезка АВ и АС, образующих прялюй угол, то после
перемещения точек вследствие
деформации тела отрезки займут положения
А1В1 и Л1С1, а угол между ними
изменится на величину /^ВАС—/^В^А^С^.
Приближая точки Б и С к точке А, в
пределе получим изменение
первоначально прямого угла на величину
Рис. 8
\т{1_ВАС
8-+0
8'-+0
/.БЛС1) = Твлс-
Это изменение прямого угла,
выраженное в радианах, называется относительной угловой
деформацией в точке А в плоскости, где лежат отрезки АВ и АС. В той же
точке А относительные угловые деформации в различных
плоскостях различны. Обычно относительные угловые деформации
определяют в трех взаимно перпендикулярных координатных
плоскостях. Тогда их обозначают соответственно через улг/) у^г. Ууг-
Деформированное состояние в точке тела полностью
определяется шестью компонентами деформации — тремя относительными
линейными деформациями е^^, е^, е^ и тремя относительными
угловыми деформациями у^у, Ухг, Ууг-
11
§ 3. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ НАУКИ
О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ
Для построения теории сопротивления материалов принима>
ют некоторые гипотезы относительно структуры и свойств
материалов, а также о характере деформаций. Эти гипотезы
следующие:
1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что
материал сплошь заполняет форму тела. Атомистическая
теория дискретного строения вещества во внимание не
принимается.
2. Гипотеза об однородности и изотропности. Материал
предполагается однородным и изотропным, т. е. в любом объеме и в
любом направлении свойства материала считаются одинаковыми. Хотя
кристаллы, из которых состоят металлы, анизотропны, но их
хаотическое расположение дает возможность считать макрообъемы
металлов изотропными.
В некоторых случаях предположение об изотропии неприемлемо.
Например, к анизотропным материалам относятся древесина,
свойства которой вдоль н поперек волокон существенно различны,
армированные материалы и т. п.
3. Гипот.еза о малости деформаций. Предполагается, что
деформации малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет в
большинстве случаев пренебречь изменениями в расположении внешних
сил относительно отдельных частей тела и составлять уравнения
статики для недефорлшроваиного тела. В некоторых случаях от
этого принципа приходится отступать. Такие отступления
оговариваются особо.
Малые относительные деформации рассматривают как
бесконечно малые величины.
4. Гипотеза об идеальной упругости материала. Все тела
предполагаются абсолютно упругими. Отклонения от идеальной
упругости, которые всегда наблюдаются при нагружении реальных тел,
несущественны и ими пренебрегают до определенных пределов
деформирования.
Большинство задач сопротивления материалов решают в
предположении линейно деформируемого тела, т. е. такого, при
котором справедлив закон Гука, выражающий прямую
пропорциональность между деформациями и нагрузками.
Приняв гипотезы о малости деформаций и о линейной
зависимости между деформациями и усилиями, можно при решении
большинства задач сопротивления материалов применять принцип
суперпозиции (принцип независимости и сложения действия сил).
Например, усилия в любом элементе конструкции, вызванные
различными факторами (несколькими силами, температурными
воздействиями), равны сумме усилий, вызванных каждым из этих
факторов,, и не зависят от порядка их приложения. Это же справедливо
и в отношении деформаций.
12
Перечисленные выше гипотезы, а также некоторые другие, о
которых будет сказано дальше, позволяют решать широкий круг задач
по расчету на прочность, жесткость и устойчивость. Результаты
расчетов хорошо согласуются с данными практики.
Глава 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Как уже отмечалось, основным объектом, изучаемым в курсе
сопротивления материалов, является стержень.
Сопротивление стержня различным видам деформации часто
зависит не только от его материала и размеров, но и от очертаний
оси, формы поперечных сечений и их расположения. Поэтому в
настоящей главе, отвлекаясь от физических свойств изучаемого
объекта, рассмотрим основные геометрические характеристики его
поперечных сечений, определяющие сопротивление различным видам
деформаций. К ним относятся площади поперечных сечений,
статические моменты и моменты инерции.
§ 4. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ПЛОЩАДИ.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОЩАДИ
Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса),
связанную с координатными осями Ог и Оу (рис. 9). Выделим
элемент площади йР с координатами г, у. По аналогии с выражением
для момента силы относительно какой-либо
оси можно составить выражение и для
момента площади, которое называется статическим
моментом. Так, произведение элемента
площади йР на расстояние у от оси Ог
е18^ = уар
называется статическим моментом элемента
площади относительно оси Ог. Аналогично
A8^ = гAР — статический момент элемента
площади относительно оси Оу.
Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим
соответственно статические моменты относительно осей гну:
Рис. 9
5, = 5 уйР;
[гйР.
B.1)
Статические моменты измеряются в единицах длины в кубе
(например, см^).
13
Пусть 2с, Ус — координаты центра тяжести (ц. т.) фигуры.
Продолжая аналогию с моментами сил, на основании теоремы о
моменте равнодействующей можно написать следующие выражения:
З.^РУс, З^^РХс, B.2)
где Р — площадь фигуры.
Отсюда координаты центра тяжести
г, =
Ус
5г
Р
B.3)
Из формул B.2) следует, что
статические моменты площади относительно цент-
(. ральных осей (осей, проходящих через
с центр тяжести) равны нулю.
В качестве примера вычислим
статический момент треугольника (рис. 10)
относительно оси, проходящей через
основание. На расстоянии у от неё выделим
элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси 2, Площадь
полоски
Рис.
Учитывая, что
имеем
йР ~ Ь {у) йу.
Ь {у) ^-й-ф, — у).
По
гх
1 )
V
5^= ^дар^-^-^у{Н~-у)ау^
6
Еще проще решить эту задачу, пользуясь формулой B.2).
Очевидно, что
следовательно.
Р==^Ък;
2-
5,=
■^ън.±-н.
ьн^
Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее
разбивают на простые части (рис. 11), для каждой из которых известна
площадь р1 и положение центра тяжести 21 и У1. Статический
момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется
как сумма статических моментов каждой части:
•5г == Р^Ух + Р2У2+ ••• + РпУп ■
^^ Р-и.-
1=1
B.4)
1=1
14
По формулам B.3) и B.4) легко найти координаты центра
тяжести сложной фигуры:
B.5)
Определим, например, положение центра тяжести фигуры,
показанной на рис. 12.
У
0
к
г.
, А
*
'
//
У
—
)
/|\
/ \
/_\
X/ I' \
///
;^
"Ч
;й
'
1
Рмс. 11
Рис. 12
Разбиваем фигуру на два прямоугольника. Результаты
вычислений сводим в табл. 1.
Таблица 1
№ части
фигуры
I
11
Для
всей
фигуры
Площадь
Р1
участка, см^
20
16
36
Координаты центра
тяжести участка
в системе гу, см
^1
1
4
—
У1
7
1
—
^.- Р1'1
^й
см'
20
64
84
140
16
156
^с, Ус <="
—
г. =§=2.33
§ 5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Осевым, или экваториальным, моментом инерции площада!
фигуры называют интеграл произведений элементарных площадей на
квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Так, моменты
15
инерции произвольной фигуры (рис. 13) относительно осей г и у
соответственно
/^ = ]■ уЧР; ^^= I гЧР.
B.6)
Полярным моментом инерции площади фигуры относительно
данной точки (полюса О) называют интеграл произведений элемен-
. _^ ^ тарных площадей на квадраты их расстояний
от полюса:
}р = \9'йР-
B.7)
Если через полюс проведена система
взаимно перпендикулярных осей г и I/, то р^ =
= 2^ + у^. Из выражения B.7) имеем
^р^[(,у' + г^)^^Р = \уЧР^г
Рис. 13
-\■\гЧР^^,-\■^^
B.8)
Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции
всегда положительны.
Центробежным моментом инерции называют интеграл
произведений площадей элементарных площадок на их расстояния от
координатных осей гну:
],, = \ гуйР. B.9)
«г \У
а
AГ
ш
Рис. 14
В зависимости от положения осей центробежный момент
инерции может быть положительным или отрицательным, а также
равным нулю. В самом деле, центробежный момент инерции площади
фигуры, показанной на рис. 14, а, относительно выбранной системы
осей положителен, так как координаты г, у всех элементов
положительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90°
(рис. 14, б) знак центробежного момента инерции фигуры меняется
на обратный, так как в этом положении координаты г всех
элементов положительны, а координаты у — отрицательны.
16
Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их
положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю.
Такие оси называют главными осями инерции. Две взаимно
перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью
симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции, поскольку
в этом случае каждой положительной величине гу йР
соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии
(рис. 14, е) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю.
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют
главными центральными осями.
Измеряются моменты инерции в единицах длины в четвертой
степени (например, см*).
<:|см
*:1см
V
оГ
0
ь
^1
в
"~*'1
2.
<А<^
■«:1<\
ч
1
Р{ 1
-„ ^..
1 ^
,
^]
;
/(/г \
7\ш^
ь
к ■'^
г
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
Вычислим моменты инерции прямоугольника
относительно центральных осей г, у, параллельных его сторонам (рис. 15).
Для определения момента инерции относительно оси г выделим
элементарную площадку в виде узкого прямоугольника,
параллельного оси 2. Ширина элемента Ь, ньгсота — йу. Следовательно,
йР ~ Ьйу;
н н
^,^^уЧР = Ь у уЧу = 2ь\уЧу^
Очевидно, что
ьь?
12
B.10)
B.И)
Заметим, что интеграл ^^ не изменится, если все полоски йР ~
= Ьйу переместить параллельно оси г, относительно которой
определяется момент инерции. Таким образом, момент инерции
параллелограмма (рис. 16) относительно центральной оси г,
параллельной основанию,
*' B.12)
^г =
12
Найдем момент инерции треугольника относительно оси,
проходящей через его основание (рис. 17).
17
Разбиваем площадь фигуры, как и в предыдущем шримере, на
элементарные полоски, параллельные данной оси:
ар --= Ь (у) йу.
Очевидно, ширина полоски, находящейся на расстоялии у от оси г,
ь
Ъ(У)
(Н-у).
Следовательно,
У)йу^ -12- •
B.13)
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
Вычислим полярный момент инерции круга относительно его
центра, а также момент инерции относительно центральной оси.
При вычислении полярного момента инерции выделим
элементарную полоску в виде тонкого кольца толщиной ф (рис. 18).
Площадь такого элемента
йР == 2ярф.
Полярный момент инерции
г
/р = [ рЧР = 2л 5 р^йр ■■
лг*
2"
B.14)
> Моменты инерции круга относительно центральных осей легко
найти на основании выражения B.8):
В силу симметрии
следовательно.
^. = ^у-~
•^р^^. + ^у
•^. = -^..
1 , яг«
- 2 •'р- 4 '
' 64
B.15)
Найдем осевой момент инерции кругового сектора
ОАВ (рис. 19) относительно оси г.
18
Пользуясь полярными координатами р, ф, выделяем
элементарную площадку йР — рйц>йр. Так как
у = р 8Ш ф,
то
Р а о
== _^ [(Р _ „) _ ^'Р-^'«|. B.16)
Для четверти круга а = 0; р =- ^. Тогда ^^ = "]^ •
Полагая Р = л, а = О, находим момент инерции полукруга:
/ _ "'■^
Вычислим момент инерции эллипса с полуосями а, Ь (рис. 20)
относительно центральной оси г.
Задачу можно решить весьма просто, если рассматривать эллипс
как проекцию наклонного круга. При атом
У ^ ь
г/1 а
Представим теперь момент инерции эллипса как сумму моментов
инерции элементарных прямоугольников высотой у и шириной йг:
12
Р Р
Последний интеграл в правой части есть момент инерции круга
радиуса а относительно оси г; он равен —^-. Следовательно, искомый
момент инерции эллипса
Очевидно,
^у
4
§ 6. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ
В расчетной практике часто приходится вычислять моменты
инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих
в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений
стержней — угловых равнобоких (рис. 21, а) и неравнобоких (рис. 21, б),
двутавровых (рис. 21, е), швеллерных (рис. 21, г) и других —
моменты инерции относительно различных осей даны в таблицах
ГОСТ 8509—72, 8510—72, 8239—72*, 8240—72 наряду с размерами,
19
площадями сечений, положениями центров тяжести и другими
характеристиками. В сортаменте центральные оси сечений
обозначаются буквами X, у (рис. 21).
При вычислении моментов инерции сложных сечений последние
можно разбить на отдельные простые части, моменты инерции ко-
I
- /
Л
А
"\<
А/
^тттгтгу. , Р^
Хо
а
А
'^^4^
А.
^
6"
Рис. И
1^
торых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует,
что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции
составных ее частей.
Пусть, например, требуется определить момент инерции сложной
фигуры относительно оси г (рис. 22):
],=^\уЧ?.
B.18)
Разобьем фигуру на простые составляющие /, // и ///, например
так, как показано на рисунке. При вычислении интеграла B.18)
будем последовательно
суммировать произведения у^АТ,
охватывая площади ^1, ?^,
Р^ простых фигур. Тогда
о
<:||\|
Рис. 22
Рис. 23
р,
+ \уЧР ^[у'йР.
Рг Р>
Очевидно, каждый из
интегралов правой части представляет собой момент инерции
соответствующей простой фигуры. Следовательно,
^г = ^^ + ^^' + ^'г". B.19)
Если в сечении есть отверстие, его обычно удобно считать частью
фигуры с отрицательной площадью. Например, сечение, показанное
на рис. 23, можно разбить на две простые части — прямоугольник
Ь X Н и отверстие радиуса г отрицательной площади. Тогда
«в — о г —
пг-
12
20
§ 7. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
Пусть известны моменты инерции фигуры относительно
центральных осей 2, у:
/, = I уЧ?; 1у --= \ гЧР; 1,у = \ гуйР. B.20)
р р р
Требуется определить моменты инерции относительно осей,
параллельных центральным (рис. 24):
^г, - .{ у\йР; ^у, = 5 г\йР; Л.^, = \ г^у^йР. B.21)
р р р
Координаты любой точки в новой системе г^ОхУ], можно
выразить через координаты в старых осях так:
2^ = 2 + Ь; у^ = у + а.
Подставляем эти значения в формулы B.21) и интегрируем почленно:
Л, = \ УРР = I (У + а)^ ^^ = 1 У^^^ + «^ I ^^ + 2а I уар; B.22)
р р р р р
/^, = 5 гЫР = 5" B + Ь)" ^^ = $ 2'^^ + Ь' 5" аР + 2Ь12^//="; B,23)
р р р р р
^г,у, = I г^^йР = I B + 6) (у + а)йР^.\ гуйР + а61 ^Т^" +
р р р р
+ а 1" гйР + Ь 1" у^//^". B.24)
р р
Так как интегралы ^ус^/^ = 5^ и]2^//^ = 5^, равны нулю как
р р
статические моменты относительно центральных осей, то формулы
B.22), B.23), B.24) с учетом формул B.20) принимают вид
B.25)
B.26)
Следовательно: 1) момент инерции фигуры относительно любой оси
равен моменту инерции относительно центральной оси,
параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат
расстояния между этими осями;
2) центробежный момент инерции относительно любой системы
прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно
системы центральньис осей, параллельных данным, плюс
произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых
осях.
21
л,=
^..=
•'г,4'1 '
^г +
•^.н-
= ^гу
а^Р;
Ь^Р;
+ аЬР-
Отметим, что координаты о, Ь, входящие в формулу B.26),
следует подставлять с учетом их знака.
Формулы B.25) показывают, что из всех моментов инерции
относительно ряда параллельных осей центральные моменты инерции
будут наименьшими.
Вычислим момент инерции двутаврового сечения
относительно центральной оси г (рис. 25).
Сечение, состоящее из двух одинаковых полок Ь X б и стенки
Ы X и разбиваем на эти три простые части. Тогда
^г-^^ + ^^' + ^.
III
■с
<?
У
—
0
1
1 ъ
//
--'
1\
Ь
"о
'
-с:
'
::ъ
у
0,
'г
\\1
Ь11к
^\
1/о
Ж
\ ' \
ь 1
-•» — ——• -щт~
го
г
Рис. 24
Рис. 25
Рис. 26
Момент инерции полки относительно оси г на основании формулы
B.25)
Момент инерции стенки
12
ЦН^Г
1Н\
B.27)
Искомый момент инерции двутавра
Определим центробежный момент инерции
прямоугольного треугольника относительно осей 2, у (рис. 26),
совпадающих с катетами, а также относительно центральных осей 2о,
Уо. параллельных им.
Выделим элементарную площадку в виде полоски шириной Ъ (у)
и высотой йу. Площадь ее
йР = Ь(у)Ау == ~^ Ьйу.
Горизонтальная координата центра тяжести полоски
2 ■■
и(у)=^^^=^ь.
2Н
22
Центробежный момент инерции относительно осей 2, у
^гу = \ гуйР = \ ■
Аг^г,уЛгг^
2Л
II,
Н
24
Ьйу =
B.28)
Момент инерции относительно центральных ос^ г^, у^ на
основании формулы B.26)
^г.
причем
'2аУа — •'гу ЩС1оГ,
Тогда
•'го4'о — 24
_ Л . г _ Ь
Ь^Н^ ЬН Ь Н
ЬЩ^
3 3
72
B.29)
§ 8. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 27)
относительно координатных осей г, у:
/^ = ] уЫР\ Лу= \ гЧР; Згу = ] гуйР.
B,30)
Повернем оси г, у на угол а против
часовой стрелки, считая угол поворота осей в
этом направлении положительным. Найдем
теперь моменты инерции сечения
относительно повернутых осей 21, у^:
•^г, = \ у\йР; Зу, = \ г\йР; Л.^,, = \ г^у^ёР.
р р р
B.31)
Координаты произвольной элементарной
площадки в новых осях 21, у1 выражаются
через координаты г, у прежней системы осей следующим образом:
21 = ОС — ОЕ + АО = 2 соз а + у 81П а;
B 32)
У1~ ВС =^ ВО — ЕА = усоза — гзт а. ^ ' '
Подставим эти значения в выражения B.31) и проинтегрируем
почленно:
«^2, = 3 (у соз а — 2 31П а)^ йР = соз^ а ] уМР -\~
Рие. 27
23
-|- 81'п^ а ] гЧР — 31П 2а \ гуйР;
^у^ = 3 B С08 а+у 81П а)^ ёР = 81П^ а ] уЧР +
р р
+ соз^ а ^ гЧР + 81П 2а ^ гуёР;
р р
•^г,г/, = \ B соз а -}- у 81П а) {у со8 а — 2 81П а) AР =
р
«= (С082 а — 81п^ а) I гуар + ~ 8Ш 2а / ]" уЧР — ]" г^^/М.
р \р р )
Учитывая формулы B.30), окончательно находим
B.33)
^г,=
4.=
■'214',
^^ со8^ а +
= ^г 31П^ а +
= ^2у С05 2а
■/.
•^.
81П^
СОЗ
1
2
а —
^а-\-
^•1у-
1гу 81П
1гу 81П
2а;
2а;
- /г) з»п 2а.
B.34)
B.35)
Отметим, что формулы B.34) и B.35), полученные при повороте
любой системы прямоугольных осей, естественно, справедливы и
для центральных осей.
Складывая почленно формулы B.34), находим
1гЛ1у. = 1гЛ--1у = 1,,. B.36)
Таким образом, при повороте прямоугольных осей сумма моментов
инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции
относительно начала координат.
При повороте системы осей на угол а = 90°
*'г, "^ 'у'у ^У,'^ •'2' ^^1У1 =^ ^гу
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ.
ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Наибольшее практическое значение имеют главные центральные
оси, центробежный момент инерции относительно которых равен
нулю. Будем обозначать такие оси буквами и, V. Следовательно,
^иV = 0.
Чтобы определить положение главных центральных осей
несимметричной фигуры, повернем произвольную начальную систему
центральных осей г, у (рис. 28) на некоторый угол «о, при котором
центробежный момент инерции становится равным нулю:
*'г,б', — ^ш>
0.
24
Тогда из формулы B.35)
^г,у, = ^гу С08 Ча^ ^^ — 8Ш ^^ = О,
откуда
••у — ■'г
B.37)
B.38)
Полученные из формулы B.38) два значения угла «<, отличаются
друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как легко
видеть, меньший из этих углов по
абсолютной величине не превышает -^. В
дальнейшем будем пользоваться только меньшим
углом. Проведенную под этим углом
(положительным или отрицательным) главную
ось будем обозначать буквой и. Напомним,
что отрицательные углы ао откладываются
от оси 2 по ходу часовой стрелки. На
рис. 29 приведены некоторые примеры
обозначения главных осей в соответствии с
указанным правилом. Начальные оси обозначены буквами 2 к у.
Значения главных моментов инерции можно получить из общих
формул B.34) перехода к повернутым осям, приняв а = ар.-
/„ = ^^ С05^ ао + Зу 81П^ «о — Лбг 8Ш 2ао;
/„ == ]^ 81П^ ао + ]у С08^ «о + ]гу 81П 2ад.
Рис. 28
B.39)
1
с;
и.
^
а
щ>0
\
/
1 /'
/
1
^ *>
/
2
^г<^у
с<о<0
Зг<3у
3гу>0
Рис. 29
Преобразуем формулы B.39) для главных центральных моментов
инерции, составив выражения для их суммы и разности. Очевидно,
что
ЗиЛ-1.= 1гЛ-1у\ B.40)
,B.41)
^и — К = У г — ^у) соз 2ао — 2^гу 8Ш 2ао = (/^ — ]^)
сок 2ап
25
причем в выражении B.41) сделана замена З-^у из формулы B.38):
Теперь из формул B.40) и B.41) находим более удобные
выражения:
B.42)
Очевидно, что при /^ > ]у момент /„ > /„.
Используя формулу B.38), можно исключить из выражений
B.42) величину
1
С05 2ап
±1/'1+1е^2ао=±|/ 1 +
4/^
Aг
]у^^
В результате имеем
4=
,,,— —
4-[(^г+^,)±К(^г-
\\^1гЛ--Зу) + У(Зг-
-^/ + 4Л,];
-// + 44],
B.43)
B.44)
причем верхние знаки следует брать при ]^ > /^, а нижние — при
1^ < 1у
Таким образом, формулы B.38), B.43) и B.44) позволяют
определять положение главных осей и величины главных центральных
моментов инерции.
Если теперь вместо произвольной
начальной системы центральных осей гОу принять
главные оси (рис. 30), то формулы B.34),
„ B.35) перехода к повернутым осям
упрощаются:
Л, = /„ со8^ а + «'с 8Ш^ а;
^у. = К 31П^ « + К со8^ а; B.45)
Рис. 30
1
'ЧУ1
(-^и — -^V) 81П 2а.
Важно отметить, что главные моменты инерции обладают
свойством экстремальности. В этом легко убедиться,
продифференцировав выражение для момента инерции относительно произвольной
оси [см. формулы B.34)} по переменной а:
- .^' ■ = — /^ 81П 2а + /^ з1п 2а — 2^4^ со8 2а =
— 2 игу сок 2а
- зш 2а
) =
2/
г,4'1'
26
а^,
Отсюда следует, что производная -т-'- обращается в нуль, когда
«'г.г/, = О, а это значит, что экстремальные значения имеют моменты
инерции относительно главных осей.
Учитывая, что сумма моментов инерции относительно двух
взаимно перпендикулярных осей — величина постоянная, можно
заключить, что относительно одной из главных осей момент инерции имеет
максимальное значение, а относительно другой — минимальное.
Отметим, что плоскости, проведенные через ось стержня и
главные оси инерции его поперечного сечения, называют главными
плоскостями.
§ 10. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Вычисление люментов инерции по формулам B.45) или B.43),
B.44) можно заменить простым графическим построением. При этом
различают прямую и обратную задачи. Первая заключается в
определении моментов инерции относительно произвольных
центральных осей 2, у по известным направлениям главных осей и величинам
главных центральных моментов инерции [формулы B.45)]. Во
второй задаче, имеющей наибольшее практическое значение,
определяют положение главных осей и величины главных центральных
У.
Рис. 31
моментов инерции по известным моментам инерции ^^, ]у, Л^/
относительно любой системы прямоугольных центральных осей
[формулы B.43), B.44) и B.38I.
Прямая задача. Пусть требуется определить моменты
инерции 3^, ]у, 1гу относительно осей 2, у (рис. 31, а) по известным
направлениям главных осей и величинам /„, /„. Для определенности
полагаем /„ > /„.
Аналитическое решение дается формулами B.45).
Графическое построение осуществляют следующим образом.
Введем в рассмотрение'геометрическую плоскость и отнесем ее к
27
прямоугольной системе координат. По оси абсцисс будем откладывать
осевые моменты инерции /ос Цш -^^ «'г. ^у и т. д.), а по оси
ординат — центробежные /цб {^гу и т. д.).
В соответствующем масштабе откладываем от начала
координат О вдоль оси абсцисс (рис. 31, б) отрезки О А и ОВ , равные
главным моментам инерции. Отрезок АВ делим пополам, так что ВС =
= СА = "~ " . Из точки С радиусом СА описываем
окружность, называемую кругом инерции. Для определения момента
инерции относительно оси г, проведенной под углом а к главной оси и,
из центра круга под углом 2а проводим луч СО^ (положительные
углы откладываем против часовой стрелки).
Покажем, что ордината точки О^ круга равна центробежному
моменту инерции 1гу, а абсцисса — моменту инерции относительно
данной оси 2. Имеем
ОД^ = СД 8т 2а = ^Ц^^ 5Ш 2а. B.46)
Сравнивая формулы B.46) и B.45), замечаем, что О^Кг = ^гу■
Далее,
ок, = ОВ + ВС + ск, = ^„ + 4- (-^^ - •^") +
+ -2" D—•^'') С05 2а = ^ /„ A + С05 2а) + -^ /„ A — соз 2а) ==
= /„ соз^ а + /„ 8ш2 а. B.47)
На основании формулы B.45) видим, что ОК^ — 1г- Таким образом,
в соответствующем масштабе абсциссы точек круга инерции дают
нам значения осевых моментов инерции, а ординаты —
центробежных.
Чтобы получить значение момента инерции относительно оси у,
перпендикулярной к оси г и, следовательно, проведенной под
положительным углом р = а Н- -у к главной оси и, проводим из
центра круга луч СВ^ под углом 2р = 2 [а -\- -^|. Очевидно, он
является продолжением луча СВ^. Абсцисса точки Ву (отрезок
ОК^ равна моменту инерции 1 у. Ордината этой точки К^Ру дает
нам значение центробежного момента инерции с обратным знаком
(—1гу), что соответствует повороту осей на 90°.
Отметим, что двум взаимно перпендикулярным осям
соответствуют две точки круга {В^, В^, лежащие на одном диаметре.
Проведем из точки В^ прямую (штриховая линия на рис. 31, б),
параллельную оси г, которой она и соответствует. Точка М ее
пересечения с кругом называется полюсом, круга инерции ^. Легко
показать, что линия, соединяющая полюс с любой точкой круга, дает
1 Иногда эту точку называют главной точкой или фокусом круга инерции,
и
направление оси, которой эта точка круга соответствует. Покажем,
например, что прямая МА дает направление главной оси и.
По построению угол АСО^ равен удвоенному углу а между
осями и и г. Угол О^МА, как вписанный и опирающийся на ту же
дугу АО^, равен половине центрального угла АСО^, т. е. а.
Следовательно, линия МА, составляющая с направлением оси г угол а,
параллельна оси и. Аналогично, прямая МБ параллельна главной
оси V.
Обратная задача. Пусть известны моменты инерции
^„ 3у, 1гу площади сечения бруса относительно некоторой системы
Рис. 32
перпендикулярных осей г, у (рис. 32, а). Требуется определить
главные моменты инерции и положение главных осей. Для
определенности построения примем, что 1^ > ]у, 1^у > 0.
В геометрической плоскости (рис. 32, б) строим точки В^ и Ву,
соответствующие моментам инерции относительно осей гну.
Абсциссами этих точек являются осевые люменты инерции: ОК^ —
— /^; ОКу = ^у^, ординатами — центробежный момент инерции
^гу, причем /С^^^г == ^гу, КуВ^ = —^гу. Так как обе точки принадлежат
одному диаметру, то, соединив их, получим цент{^ С круга инерции.
Из центра С описываем окружность радиусом
СД = СЛ^ =
/(^^Г
+ л
гу
B.48)
Она пересекает ось абсцисс в точках Л и В. Очевидно, что абсциссы
этих точек — отрезки О А и ОВ — и есть искомые главные моменты
инерции /„, /„. В самом деле:
ОА
ОКуЛ--КуСЛ-СА = ЗуЛ--
^ — ^
+
/["^1
+ Згу ==
\(Зг + Зу) + У^^г~ЗуТ + ^Зи
29
ов=ок,+к<с—св
^/^ + А^__^(А=:^)%/;
Чтобы оаределить направление главных осей, построим фокус
круга инерции. Для этого вз жтш. В^ (Р^) проведем линию, парал-
V
Вг
аЬ
\'
; ]у
^V
ук
и.
^„л^хС
\^''|\\^Д
\^ \
Л-уу
4.
В \ ]ос
Рис. 33
лельную оси 2 (у), до пересечения с кругом в фокусе М. Соединяя
фокус с точкашга А, В круга, получим направления главных осей и
и V (рис. 32).
Графическое решение обратной задачи соответственно для
четырех случаев, изображенных на рис. 29, показано на рис. 33.
§ 11. ПОНЯТИЕ О РАДИУСЕ И ЭЛЛИПСЕ ИНЕРЦИИ
Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно
представить в виде произведения площади фигуры на квадрат
некоторой величины, называемой радиусом инерции:
/, = I уЧР = П1
B.49)
где 1^ — радиус инерции относительно оси 2.
30
Из выражения B.49) следует, что
B.50)
Аналогично радиус инерции площади сечения относительно оси у
/,= ]/4^. B.51)
Главным центральным осям инерции соответствуют главные
радиусы инерции
'Ы у р ' '■V V Р '
B.52)
Например, для прямоугольника, изображенного на рис.
главные радиусы инерции
7 1/" Ьк" к
15,
'•^=/4--/-
12Ьк
2]/' 3
1п
К4-
2/3
V
);
/А
"^^
/ ^
\^
V У^
^О^
Рис. 34
Построим на главных центральных осях
инерции фигуры эллипс с полуосями,
равными главным радиусам инерции, причем
вдоль оси и отложим отрезки 1'„, а вдоль
оси V — отрезки /„ (рис. 34). Такой
эллипс, называемый эллипсом инерции,
обладает следующим замечательным свойством.
Радиус инерции относительно любой
центральной оси г определяется как
перпендикуляр О А, проведенный из центра эллипса
на касательную, параллельную данной оси.
Для получения же точки касания
достаточно провести параллельно данной оси г
любую хорду. Точка пересечения эллипса с прямой, соединяющей
центр О и середину хорды, и есть точка касания. Измерив затем
отрезок ОА = 1г, находим момент инерции:
§ 12. ПОРЯДОК РАСЧЕТА
Можно рекомендовать следующий порядок определения
положения главных осей и величин главных центральных моментов
инерции сложного профиля, состоящего из простых частей,
характеристики которых легко определить:
1. Проводим произвольную систему прямоугольных координат.
Разбиваем фигуру на простые части и определяем по формулам B.5)
положение ее центра тяжести.
2. Проводим начальную систему центральных осей г, у так,
чтобы вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих
3«
осей было наиболее просто. Для этого определяем моменты инерции
частей фигуры относительно их центральных осей, проведенных
параллельно осям г, у, и используем формулы перехода к
параллельным осям — B.25) и B.26). Таким образом получаем значения
3. Определяем из формулы B.38) угол наклона главных
центральных осей, причем ось, проведенную под меньшим углом (поло-
^ид
А
{/
\
В
105,8
Г"
\\
М
Г 72,0
-
у^ ^^^
\с к^
><
^92
558,3
6
^г
^
^
1
и
^ ос
, Рнс. 35
жительным или отрицательным), обозначаем буквой и, а
перпендикулярную к ней — буквой V.
4. По формулам B.43) и B.44) определяем значения главных
центральных моментов инерции.
Пример и Для фигуры, показанной на рис. 35, определить положение
главных осей инерции, главные моменты инерции и радиусы инерции.
Положение центра тяжести этой фигуры было найдено в табл. 1. Координаты
центра тяжести в системе осей г^^ таковы: г^ = 2,33 см, у^ = 4,33 см.
Проводим начальную систему центральных осей г, у параллельно сторонам
уголка. Для вычисления моментов инерции относительно этих осей разбиваем
фигуру на простые части — прямоугольники 1 к II — и проводим через центры
их тяжести центральные оси г^, у^ и г^, у^ параллельно сторонам.
Моменты инерции каждого прямоугольника относительно центральных осей
легко определить по формулам B.10) и B.11):
Л =
2. 108
12
= 166,7 см";
Г.. ==-
10-23
12
= 6,7 см«;
8 • 2*
З'} = —-— = 5,33 см«;
1" — .
= 85,3 см^.
12 "' '^^ 12
Моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей
г, у вычисляются по формулам перехода к параллельным осям — B.25) и B.26).
Например:
4 = 4, + ^/^ = 166,7 + 20 • 2,672 см* = 308,1 см«;
^' = /' + //«161 = О — 20 • 2,67 • 1,33 см' = — 71 см^
12
Таблица 2
а
о.
>>
и
аз
-е-
«
И"
>>
'Д.
I
II
а*
>>
Л
§"
20
16
Координаты
центра тяжести
участка в
системе гОу, см
«1
2,67
—3,33
—1,33
1,67
^,^
,,ь1
"Л"!
см'
142,6
177,4
35,4
44,6
—71
-89
Моменты инерции участка, см*,
относительно
собственных
центральных
осей
'г,
166,7
5,3
■'у,
6,7
85,3
0
0
центральных осей
фигуры
4
309,3
182,7
4
42,1
129,4
4
—71
—89
Результаты вычислений сводим в таблицу (табл. 2).
Суммируя последние три столбца таблицы, находим моменты инерции фигуры
относительно центральных осей 2, у:
/г = 492,0 см*: ^у = 172,0 см*; /^^ = — 160,0 см*.
Угол наклона главных центральных осей к оси г найдем по формуле B.38):
18 2ао
2^
гу
•2. 160,0
откуда
^у-^
172,0 — 492,0
а, = 22° 30'.
= 1,0,
Главные центральные моменты инерции определяем по формулам B.43)
и B.44):
1
■^« = -^ [(^г + Л у) + V(^г - Л у? + ^Л%\ = — F64,0 + 452.5) см* =
1
= 558,3 см*;
1
[{^г + ^у) — У^г — ^у)^ + 4^1 = -г- F64,0 — 452,5) см* = 105,8 см*.
2 " - ' =" ■ ^— =" ' ^2' 2
Главные центральные радиусы инерции
«,=/4-=/-1=^ "='•«'"■ '•-/+-
= /:
105,8
36
см = 1,71 см.
Графическое решение задачи представлено на рис, 36, б.
2 8—2770
<х^^
д(х)ах
Глава 3
ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ.
МЕТОД СЕЧЕНИЙ.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ
§ 13. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ СИЛ
Внешними силами называют силы взаимодействия
между рассматриваемым элементом конструкции и связанными с
ним телами.
Если внешние силы являются результатом непосредственного,
контактного взаимодействия данного тела с другими телами, то они
приложены только к
точкам поверхности тела в
месте контакта и
называются поверхностными
силами. Поверхностные
силы могут быть
непрерывно распределены по
всей поверхности тела
или ее части; например:
давление пара в котле,
ветровая и снеговая
нагрузки, давление газа в
цилиндре двигателя.
Величина нагрузки,
приходящаяся на единицу площади, называется интенсивностью
нагрузки. Она обозначается обычно р и измеряется^ в кгс/см*,
кгс/м* или тс/м*. Часто нагрузку, распределенную по поверхности
(рис. 36, а), приводят к главной плоскости (рис. 36, б), в результате
чего получается нагрузка, распределенная по линии, или погонная
нагрузка. Интенсивностью такой нагрузки (кгс/см, кгс/м, тс/м)
называют величину нагрузки, приходящуюся на единицу длины
линии ^.
Интенсивность может быть переменной по этой длине. Характер
изменения нагрузки обычно показывают в виде эпюры (графика) ^.
Рис. 37
^ По Проекту ГОСТа на единицы физических величин в соответствии с
Международной системой единиц (СИ) единицей силы является ньютон (Н). Это сила,
которая сообщает покоящейся массе 1 кг ускорение 1 м/с^. Применяемая в
настоящем учебнике единица силы системы МКГСС — килограмм-сила (кгс) —
находится с ньютоном в следующем соотношении:
1 кгс !=; 9,81 Н; 1 Н = 0,102 кгс.
Единица давления — паскаль (Па). Паскаль — давление, вызываемое силой
1 Н, равномерно распределенной по поверхности 1 м^. В приближенных
инженерных расчетах можно принимать, что
1 кгс/см? яг 9,81 • 10< Па = 0,0981 МПа; 1 Па = 1,02 • 10"^ кгс/см^
? В СИ погонную нагрузку измеряю» в ньютонах на метр (Н/м).
а
в случае равномерно распределенной нагрузки (рис. 36, о) эпюра д
прямоугольная (рис. 36, б). При действии гидростатического
давления эпюра нагрузки д треугольная (рис. 37). Встречаются эпюры
д и более сложного вида: трапециевидная, синусоидальная и т. д.
Отметим, что равнодействующая распределенной нагрузки
численно равна площади ее эпюры и приложена в центре ее тяжести.
Если нагрузка распределена по небольшой части поверхности
тела, то ее всегда заменяют равнодействующей, которую называют
сосредоточенной силой Р (кгс или тс). Кроме того, встречаются
нагрузки, которые могут быть представлены в виде сосредоточенного
момента (пары). Моменты М (кгс • см или тс • м) ■' будем
изображать обычно одним из двух способов, показанных на рис. 38, а, б.
Иногда момент удобно пред-
^^
Л
Л
ставлять в виде векгора,
перпендикулярного к плоскости
действия пары. Вектор мо- ^ Л'у ^/^Г//^ /^^/и- /^
мента условимся всегда счи- ~-^ ^т~^ ^ р~^ ^~~^
тать правовинтовым. Чтобы а о
отличать его от вектора си- Рис. 38
лы, линию вектора-момента
делают волнистой (рис. 38, г) или ставят две стрелки (рис. 38, е).
Встречаются такие нагрузки, которь.е не являются результатом
контакта двух тел, например: собственный вес, силы инерции
движущегося тела и пр. Эти силы приложены в каждой точке объема,
занятого телом, а потому называются объемными или массовыми
силами.
Собственный вес деталей или частей машин и сооружений обычно
значительно меньше других нагрузок, действующих на них.
Поэтому, если нет особой оговорки, во всем дальнейшем изложении
собственный вес принимать во внимание не будем.
В зависимости от характера приложения сил во времени
различают нагрузки статические и динамические. Нагрузка считается
статической, если она сравнительно медленно и плавно (хотя бы
в течение нескольких секунд) возрастает от нуля до своего
конечного значения, а затем остается неизменной. При этом можно
пренебречь ускорениями деформируемых масс, а значит, и силами
инерции.
Динамические нагрузки сопровождаются значительными
ускорениями как деформированного тела, так и взаимодействующих с ним
тел. При этом возникают силы инерции, которыми нельзя
пренебречь. Динамические нагрузки делят на мгновенно приложенные,
ударные и повторно-переменные.
^ Согласно СИ, момент измеряется в ньютон-метрах;
1 Н • м= 0,102 кгс • м;
1 кгс • м !=; 9,81 Н > м.
Можно приближенно считать, что
1 кгс • м (=! 10 Н < м.
35
Нагрузка считается мгновенно приложенной, если она возрастает
от нуля до своего конечного значения в течение очень короткого
промежутка времени (долей секунды). Такова нагрузка при
воспламенении горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания
или при трогании с места железнодорожного состава.
Для ударней нагрузки характерно то, что в момент ее
приложения тело, вызывающее нагрузку, обладает определенной
кинетической энергией. Такая нагрузка получается, например, при
забивании свай с помощью копра, в деталях механического
кузнечного молота и т. д.
Многие детали машин (шатуны, валы, оси железнодорожных
вагонов и пр.) подвержены действию нагрузок, непрерывно и
периодически меняющихся во времени. Такие нагрузки называют поетор-
но-переменными. Они, как правило, сопряжены с циклически
повторяющимися движениями детали. Это возвратно-поступательное
движение штока поршня, колебания элементов конструкций и др.
§ 14. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ЭПЮРЫ
Между соседними частицами тела (кристаллами, молекулами,
атомами) всегда имеются определенные силы взаимодействия-,
иначе — внутренние силы. Эти силы во всех случаях стремятся
сохранить его как единое целое, противодействуют всякой попытке
изменить взаимное
расположение частиц, т. е,
деформировать тело. Внешние
силы, наоборот, всегда
стремятся вызвать
деформацию тела, изменить
взаимное расположение
частиц. Следовательно,
величина внутренних сил,
действующих между двумя
какими-либо частицами, в
нагруженном и ненагру-
женном теле будет
различной.
В сопротивлении
материалов не рассматривают и
не принимают во внимание
внутренние силы,
действующие в теле, которое
находится в своем естественном
(ненагруженном) состоянии, а изучают и вычисляют только те
дополнительные величины внутренних сил, которые появляются в
результате нагружения тела. Поэтому в дальнейшем, говоря о
внутренних силах, будем иметь в виду именно эти дополнительные силы
взаимодействия, возникающие в результате нагружения.
Внутренние силы часто называют усилиями.
Рис. 39
36
Для выявления, а затем и вычисления внутренних сил в
сопротивлении материалов широко применяют метод
сечений.
Рассмотрим произвольное тело, нагруженное
самоуравновешенной системой сил. В интересующем нас месте мысленно рассечем
его некоторой плоскостью на две части — А я В (рис. 39, о). При
этом само сечение теперь будет иметь две стороны: одну, принад1:е-
жащую части А тела (левую), и вторую, принадлежащую части В
(правую). В каждой точке обеих сторон сечения будут действовать
силы взаимодействия (рис. 39, б). Исходя из введенной гипотезы
о сплошности материала
следует считать, что внутренние
силы действуют во всех
точках проведенного сечения и,
следовательно, представляют
собой распределенную
нагрузку. В зависимости от формы
тела и характера
приложенных внешних нагрузок
интенсивность внутренних сил в
различных точках может быть
различна.
Следует подчеркнуть, что
внутренние силы,
действующие по сечению,
принадлежащему части А тела, в
соответствии с третьим законом
Ньютона равны по величине и противоположны по направлению
внутренним силам, действующим по сечению, принадлежащему
части В тела (рис. 39, б). Другими словами, внутренние силы,
действующие на различные части, взаимны. Как всякую систему
сил, их можно привести к одной точке (обычно к центру тяжести
сечения), в результате чего на каждой стороне сечения получим
главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении
(рис. 39, в).
Стержень, в частности, рассекают обычно плоскостью,
перпендикулярной к оси, т. е. поперечным сечением (рис. 40, а). Если
главный вектор и главный момент внутренних сил спроектировать
на ось стержня х и главные центральные оси сечения у и г, то на
каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых
факторов (рис. 40, б): три силы (Л^, ^у, С^) и три момента {М^, М^
и М^). Эти величины называют внутренними усилиями в сечении
стержня.
Усилие Л^ вызывает продольную деформацию стержня
(растяжение или сжатие); ^у к й^ — сдвиг сторон сечения соответственно
в направлении осей у и г, М,^ — кручение стержня; Му и М^ —
изгиб стержня в главных плоскостях {гх и ух). Поэтому для усилий
и моментов в сечении приняты следующие названия:
37
Л^ — продольная или осевая (направленная по оси стержня)
сила;
^у^ Сг — поперечные (реже — перерезывающие) силы;
Мд. = Мкр ^ крутящий момент;
М^, М^—изгибающие моменты.
Для усилий и моментов в сечении можно дать следуклцие
определения: продольная сила N — это сумма проекций всех внутренних
сил, действующих в сечении, на нормаль к сечению (или на ось
стержня); поперечные силы ^у\^ ^^ — это суммы проекций всех
внутренних сил в сечении на главные центральные оси сечения у я г
соответственно; крутящий момент М^ (или Мкр) — это сумма
моментов всех внутренних сил в сечении относительно оси стержня;
изгибающие моменты Му и М^ — это суммы моментов всех
внутренних сил в сечении относительно главных центральных осей сечения
у я г соответственно.
Каждое из этих усилий или моментов, как уже указывалось,
является результатом взаимодействия частей рассеченного тела, а
поэтому должно быть представлено в виде двух противоположно
направленных, но равных векторов или моментов (рис. 40, б).
Совокупность величин Л^, ^^, ^^ и т. д., приложенных к правой стороне
сечения, заменяет действие удаленной левой части стержня на
правую часть; совокупность усилий и моментов, приложенных к
левой стороне сечения, выражает действие правой части стержня на
левую.
Для практического вычисления усилий и моментов в сечении
I следует" иметь в виду следующее: 1/7 численно равно алгебраической
'«сумме проекций на ось стержня (на нормаль к сечеивю) всех
внешних сил, действующих на одну из частей (левую или правую)
рассеченного стержня; ^у — то же, но на ось у; ^^ — то же, но на
ось г; Мкр численно равен алгебраической сумме моментов
относительно оси стержня всех внешних сил, действующих на одну из
частей (левую или правую) рассеченного стержня; Му — то же от-
|Носительно оси у; М^ — то же, но относительно оси г. К этому
.выводу легко прийти, если рассмотреть равновесие каждой из частей
рассеченного стержня. При этом сумма проекций (или моментов)
сил, расположенных слева от сечения, должна быть приложена
к правой стороне сечения и наоборот.
Таким образом, метод сечений позволяет найти все усилия и
моменты в любом сечении стержня при действии лю&)й нагрузки.
Для этого нужно:
1) найти главные центральные оси поперечных сечений стержня;
2) мысленно провести поперечное сечение стержня в том месте,
где нужно найти усилия и моменты;
3) вычислить силы Л^, ^у, ^г И моменты УИкр, Му, М^ как
алгебраические с>ммы проекций и моментов внешних сил,
действующих на одну из частей (левую или правую по отношению к сечению)
рассеченного стержня (обычно на ту, где проекции и моменты
вычисляются проще).
38
в качестве иллюстрации к применению метода сечений
рассмотрим следующий пример: найти усилия и моменты в сечении,
расположенном посредине стержня (рис. 41).
Поскольку сечение стержня представляет собой прямоугольник,
то главными центральными осями сечения будут оси симметрии
прямоугольника. Усилия и моменты в сечении находим как
суммы проекций и моментов сил, действующих на левую часть
рассеченного стержня:
Л^ = ЮР;
^, = р■^
М =0;
Мкр = 0;
ЮР
ЯЕЕ
^^3
«т^.
М,
Рис. 41
И
ЮР
Нетрудно проверить, что, вычисляя суммы проекций и моментов
сил, действующих на правую часть стержня, придем к такому же
результату. Например,
М,= -10Р^
2
15
/ + р4- =
■р/.
Усилия и моменты в разных сечениях одного и того же стержня
различны. Графики {диаграммы), показываюище. как изменяются
внутренние усилия при переходе от сечения к сечению, называют
эпюрами. Отметим некоторые правила, применяемые при
построении эпюр:
1. Ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают так,
чтобы она была параллельна или просто совпадала с осью стержня.
2. Ординаты эпюры откладывают от оси эпюры по
перпендикуляру.
3. Штриховать эпюры принято линиями, перпендикулярными
к базе. """^
39
4. Для усилий и моментов выбирают некоторый масштаб.
Ординаты откладывают строго в масштабе. Кроме того, на эпюрах
проставляют числа, показывающие величины характерных ординат,
а в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия.
§ 15. ЭПЮРЫ ПРОДОЛЬНЫХ сил
Продольная (осевая) сила считается положительной, если она
вызывает растяжение, и отрицательной, если вызывает сжатие.
Внешние силы сами по себе ни положительны, ни отрицательны, но
каждая дает в выражении для Л^ слагаемое определенного знака.
В качестве примера построения эпюр осевых сил рассмотрим
стержень (рис. 42), нагруженный в точках А, В п С
сосредоточенными силами Р1, Ра. ■^8. направленными вдоль оси.
дССкгс ЗООкес ^„„
Рг_2Мту
200
\В>г
Р,=500кгс
4г
300
400
-4--^^^
то
то 4
■600
Рис. 42
Рис. 43
Приступая к построению эпюры, стержень разбивают на участки.
Участком называют часть стержня между точками приложения
сосредоточенных сил. Если на стержень действует распределенная
нагрузка, участком называют часть стержня, в пределах которого
распределенная нагрузка изменяется по одному закону. В
рассматриваемом примере два участка — / (АВ) и // (ВС).
Чтобы построить эпюры, нужно составить выражения для
осевых сил в произвольном сечении каждого участка.
Выберем начало координат в крайней левой точке стержня;
ось X направим вдоль его оси. В произвольном сечении любого
участка на расстоянии х от начала координат находим осевую силу
как сумму проекций всех внешних сил, расположенных слева или
справа от рассматриваемого сечения:
/ участок (О < х «< й)
слева: Л^ (х) = Р) = 200 кгс;
справа: Л^ (х) = Р^ — Рд = E00 — 300) кгс = 200 кгс.
// участок (й < X < /)
^'^ <^ слева: Л^ (х) = Р) — Ра = B00 — 500) кгс = —300 кгс;
'' справа: Л^ (х) = —Рд == —300 кгс.
Поскольку эти величины не зависят от абсцисс сечения, то во
всех сечениях первого участка продольная сила Л^ = 200 кгс, а
40
для любого сечения второго участка она равна — 300 кгс.
Откладывая полученные ординаты от оси эпюры, строим эпюру Л^.
Заметим, что штриховка эпюры показывает откладываемые ординаты.
В сечениях А, В и С на эпюре получились скачки, равные
соответственно 200, 500 и 300 кгс, т. е. как раз тем силам, которые
приложены к стержню в этих сечениях.
Если на стержень действуют только сосредоточенные силы, то
линии эпюры параллельны ее оси (эпюра Л' состоит из
прямоугольников и имеет скачки в тех сечениях, где приложены внешние силы).
Так, нетрудно убедиться, что для стержня, изображенного на
рис. 43, эпюра будет иметь такой вид, как показано на рисунье.
Если стержень расположен вертикально и учитывается его
собственный вес, то линия эпюры наклонена к оси (для
цилиндрического стержня) или криволинейна (для стержня с непрерывно
меняющимися размерами сечения).
пример 2. Построим эпюру Л' для ступенчатого стержня (рис. 44) с учетом
собственного веса. Площадь сечения верхней части стержня Р^, нижней — Р^,.
Объемный вес у кгс/сн^.
Начало координат выбираем в точке А (на рисунке показана только ось х).
Продольную си.лу в .любом сечении вычисляем как сумму вышележащих си.л
(чтобы не определять предварительно реакции в опоре). Тогда д.ля участка АВ
М{х) = — Р — ур1х; @<л;<о);
для ВС
К(х) = — Р — уРуа — ур2{х — а); {а<х^1).
Это уравнения наклонных прямых, так что эпюра Л' трапециевидна. Но
поскольку п.лощади поперечных сечений на учацтках раз.личны, нак.лон йпюры на
участках АВ и ВС неодинаков:
18 «1 = уР^, Ш «а = Т^2-
Жг.
®
Р
^
^*'
Рис. 44
Рис. 45
При х= I КЗ второго уравнения находим наибо.льшее по ве.личине продо.чьное
усн.лие: Л' = — \Р -\- уР^а + уРц (I — а)]. Этой же ве.личине равна и реакция
в заделке.
Пример 3. Построим эпюру Л' д.ля конического стержня от собственного веса
(рис. 45).
При .любом значении х осевое уси.лие в сечении равно весу нижележащей части
конуса. Диаметр основания этой части
41
поэтому
^ ' 3
A-х)^
Отсюда видно, что кривая эпюры будет кубической параболе^, причем
ам {х)
их
Пу1р
х=1
А1^
A-хГ
= 0.
х=1
Следоаатедьно, в кижией точке эпюра касается оси. При х =
N =
'"макс
12
§ 16. ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
Деформация кручения наиболее распространена в валах. Если
нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из
моментов УИк, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня, то
из шести усилий и моментов в „
любом сечении остается
только крутящий момент
Внз'тренний момент 1У1кр
выражается через внешние
М^: Мкр в сечении равен
сумме внешних моментов
расположенных по одну
сторону от сечения. Если стержень
(вал) вращается равномерно.
Рис. 46
Рис. 47
ТО алгебраическая сумма всех М^ равна нулю. Поэтому
результат получится один и тот же, будем ли при вычислении Мкр брать
сумму моментов 7И„, расположенных слева или справа от сечения.
Крутящий момент Мкр считается положительным, если при
наблюдении с торца вдоль оси рассматриваемой части он стремится
вращать сечение по часовой стрелке (рис. 46).
Рассмотрим в качестве примера построение эпюр крутящих
моментов для трансмиссионного вала, схема которого представлена
на рис. 47.
Разбиваем стержень на участки /, //, ///, IV. Выбираем
начало координат в крайней левой точке вала. Так как трением в
подшипниках пренебрегаем, то в любом сечении на участке /
42
@< х<а)
ЛГкр = 0.
проведя произвольные сечения с переменной абсциссой х, на
остальных участках вала получим соответственно:
// участок (а<:х <: 2а): Мщ, = Мк1 = 1600 кгс • см (слева);
/// участок Bа<:х<^ За); Мкр = Мк1 + М^2 = A600 +
+ 800) кгс • см = 2400 кгс • см (слева);
IV участок (За < ;с < 5а): Мкр = Л[к1 + М^г — Мкз = A600 +
4- 800 — 3000) кгс • см = — 600 кгс • см (слева);
Мкр = — А1к4 = — 600 кгс • см (справа).
Величины крутящих моментов на всех участках не зависят от
абсциссы сечения, поэтому эпюра крутящих моментов имеет вид
трех прямоугольников (рис. 47, б). В тех сечениях, где приложены
сосредоточенные внешние моменты М^, получаются скачки на
величину этих моментов. Заметим, что в месте скачка крутящие
моменты не определяют. Их вычисляют на бесконечно близких
расстояниях слева и справа от скачка.
Построенная эпюра (рис. 47, б) показывает, что, хотя к валу
и йриложен момент Мкз = 3000 кгс • см, наибольший крутящий
момент в сечении равен лишь 2400 кгс • см. Эту величину и следует
использовать при расчете на прочность и жесткость. Направление
крутящих моментов в сечениях наиболее загруженной части вала —
участке /// — показано на рис. 47, е.
На практике часто бывают заданы не моменты Мк кгс • см,
приложенные к дискам (шкивам или зубчатым колесам), а
передаваемые на них или снимаемые с них мощности Л^ л.с.^ и число
оборотов вала в минуту п. Установим зависимость между этими
величинами.
Как известно из курса теоретической механики, момент
совершает работу на угле поворота. Обозначив угловую скорость вала
через (О, найдем, что за ^ с диск повернется вместе с валом на угол
Ы = -до- ^ рад
и момент Мк кгс • см совершит работу
А = М«со^= -^^^^ кгс • см.
Тогда мощность (работа за 1 с)
N = —= —^^ кгс • см/с.
^ Согласно СИ, единицей мощности является ватт (Вт) — мощность, при
которой работа в один джоуль совершается в одну секунду (I Вт = 1 Дж/с).
Соотношение между единицами мощности:
1 Вт = 0,102 кгс- м/с = 1,36 • 10"^ л. с;
1 л. с. = 75 кгс • м/с = 736 Вт.
43
Выражая мощность в лошадиных силах, получим
Л^:
I
75 • 100
Л^
Отсюда
кгс - см
ппМ^
75 • 100 • 30
л. С.
лг„
75 • 100 • 30 N
п
п
или
ЛГ.
71 620 —,
C.1)
причем здесь N подставляют в л. с, а п — в об/мин. Тогда М^ пол^'-
чается в кгс • см.
Иногда мощность задают в киловаттах — /С кВт. Поскольку
1 л. с. ?=; 0,736 кВт и, значит, К = 0,736 Л^, из выражения C.1)
находим, что
^к = ^:^ = 973бо4-. C.2)
пример 4. Построим эпюру крутящих моментов для бруса, нагруженного
по схеме, представленной на рис. 48, а.
Легко видеть, что нагрузка, действующая на стержень, эквивалентна
распределенным крутящим моментам т^ (рис. 48. б) интенсивностью дЬ кгс • м/м.
Брус имеет всего лишь один участок, в произвольном сечении которого на
расстоянии X от левого конца крутящий момент
М^р {х) = — т^х = — дЬх, (О < х < 0:
М,„{0) = 0; М,ЛО
кр'
■дЫ.
В результате получаем треугольную эпюру, представленную на рис. 48, в,
причем М^р „а^.,. = —дЫ при х= I.
§ 17. БАЛКИ И ИХ ОПОРЫ
Балками будем называть прямолинейные стержни, работающие
на изгиб. В сопротивлении материалов термин «балка» значительно
шире, чем в обычном употреблении этого слова: с точки зрения
44
расчета на прочность, жесткость и устойчивость балкой является
не только строительная балка, но также и вал, болт, ось
железнодорожного вагона, зуб шестерни и т. д.
Вначале ограничимся построением эпюр для простейшего случая
изгиба балок, при котором все заданные нагрузки лежат в одной
плоскости, называемой силовой (на рис. 49, а — плоскость П),
причем эта плоскость совпадает с одной из
главных плоскостей балки. Такой
случай будем называть плоским изгибом ^.
На расчетной схеме балку принято
заменять ее осью (рис. 49, б). При этом
все нагрузки, естественно, должны быть
приведены к оси балки и силовая плос-
■ кость будет совпадать с плоскостью
чертежа.
Как правило, балки имеют те или
иные опорные устройства — опоры.
Конструктивные формы опор весьма
разнообразны. Для расчета же их
схематизируют в виде трех основных типов опор:
а) шарнирно-подеижная опора
(рис. 50, а), в которой может возникать
только одна составляющая реакции
опорного стерженька;
б) шарнирно-неподеижная опора (рис. 50, б), в которой могут
возникать две составляющие — вертикальная реакция Йл и
горизонтальная реакция Нл',
^Ш
Щ.
". ^
6
Рис. 49
птг
На, направленная вдоль
7^
а
Ма^
или
'Ьг
1^
или
6
Рис. !0
6
в) защемление {иначе жесткое защемление шт заделка), где могут
быть три составляющие — вертикальная Яа и горизонтальная На
реакций и опорный момент Ма (рис. 50, в).
Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А —
центре тяжести опорного сечения.
Балка, показанная на-рис. 51, а, называется «ростой, или одно-
пролетной, или двухопорной, а расстояние / между опорами —
пролетом.
Консолью называется балка, защемленная одним концом и не
имеющая других опор (рис. 49, б), или часть балки, свешивающаяся
за опоры (часть ВС на рис. 51, б; части АС и ВО на рис. 51, в).
Балки, имеющие свешивающиеся части, называют консольными
(рис. 51, б, в).
* Детально плоский изгиб рашматривается в § 60,
Н^'?/^
ю
45
Как известно, для плоской системы сил можно составить три
уравнения статики для определения неизвестных реакций. Поэтому
балка будет статически определимой, если число неизвестных
опорных реакций не превышает трех; в противном случае балка
статически неопределима. Очевидно, что балки, изображенные на рис. 49
и 51, статически определимы.
Балка, изображенная на рис. 52, а, называется неразрезной и
является статически неопределимой, поскольку имеет пять неиз-
ШШБ.
с с А
■т^, 7^^
В В
у^
6
Рис. 51
вестных опорных реакций: три в опоре Л и по одной в опорах Вя С.
Поставив в сечениях балки шарниры, например в точках О я Е
(рис. 52, б), получим статически определимую шарнирную балку,
ибо каждый такой промежуточный шарнир к трем основным урав-
В
7:977
с
7:97.
В
Х"
Рис. 52
нениям статики прибавляет одно дополнительное уравнение: сумма
моментов относительно центра шарнира от всех сил,
расположенных по одну сторону от него, равна нулю.
Построение эпюр для статически неопределимых балок требует
умения вычислять деформации, а поэтому ограничимся пока
исключительно статически определимыми балками.
§ 18. ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕАКЦИИ
Способы определения опорных реакций изучают в курсе
теоретической механики. Поэтому здесь остановимся только на некоторых
практических вопросах. Для этого рассмотрим простую балку
(рис. 51, а).
1. Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные
реакции находят из следующих уравнений равновесия:
а) сумма проекций всех сил на ось балки равна нз'лю:
откуда находят На,
б) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира А
равна нулю:
откуда находят Ив',
46
в) сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира В
равна нулю:
Е ^^в = О,
откуда находят Ял-
2. Для контроля можно использовать или условие равенства
нулю суммы проекций на вертикаль:
115^ = 0.
или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-
либо точки С, отличной от А к В, т. е.
Е Мс = 0.
Условием 2К = О пользоваться проще, но оно дает надежную
проверку только в тех случаях, когда к балке не приложены
сосредоточенные моменты.
3. Перед составлением уравнений равновесия нз'жно выбрать
(вообще говоря, произвольно) направления реакций и изобразить
их на рисунке. Если в результате вычислений какая-либо реакция
получается отрицательной, нужно изменить на рисунке ее
направление на обратное и в дальнейшем считать эту реакцию
положительной. /^ Ш^
4. В большинстве сл^'чаев нагрузка Г^-^с 2гс/м 5тсм
перпендикулярна к оси балки. Тогда А' ^
На = Ь \\ уравнением 2Л = О не
пользуются.
5. Если на балку действует распре-вв^"?"
деленная нагрузка, то для определения ^*^"
реакций ее заменяют равнодействующей,
которая равна площади эпюры нагрузки и приложена в центре
тяжести этой эпюры.
Пример 5. Вычислить опорные реакции для балки, показанной на рис. 53.
Прежде всего находим равнодействующие Р^ и Р^ нагрузок, распределенных
на участках АС н СВ:
Р1 = 2 . 2 = 4 тс; Р^ = -— . 2 • 3 = 3 тс.
Сила Рх приложена в центре тяжести прямоугольника, а Рд — в центре тяжести
треугольника. Находим реакции:
^ Л1^ = 6 . 1 + 4 • 1 + 3 • 3 + 5 — Рд • 5 = 0; Р^ = 4,8 тс;
^Мв=Р^-5 —6.4 —4-4 —3-2 + 5 = 0; Р^ = 8,2 тс;
Проверка:
^Мс = 8,2-2 —6- I—4 ■ 1 +3- 1 +5 —4,8.3 = 0.
47
§ 19. ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ В СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ
м, = о
при плоском изгибе вся нагрузка расположена в главной
плоскости стержня ху (рис. 49, а), поэтому она не дает проекций на ось
2 и моментов относительно осей х я у. Следовательно, в любом
сечении балки
C, = М^ = Мкр
и отличными от нуля останутся только три величины: М, ^у и М^.
В дальнейшем будем обозначать их М, ^и М. Эти усилия действуют
в сечении рам и криволинейных стержней. В балках же, при
нагрузке, перпендикулярной
к оси, продольная сила так-
у ^
'Г1Т' С В Мг
М>0
г~ Сжатая\звиа
/?.^^
-т|;
м
в
Рис. 55
^У^
же бз'дет равна нз'лю. Поэтому в дальнейшем будем считать, что
в любом сечении балки могут быть два усилия: поперечная сила ^
и изгибающий момент М.
Установим следующие правила знаков для' ^ и М в балках.
1) поперечная сила ^ в сечении положительна, если ее векторь
стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке
(рис. 54, а);
2) изгибающий момент М в сечении положителен, если он
вызывает сжатие в верхних волокнах балки и направлен так, как
показано на рис. 54, а.
Отрицательные направления ^к М показаны на рис. 54, б.
Для практических вычислении, однако, можно рекомендовать
следующее: <
1. Если внешняя сила стремится повернуть балку относительно
рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то в выражении для ^
в этом сечении она дает положительное слагаемое. Так, реакция На
(рис. 55, а) стремится повернуть балку относительно сечения С по
часовой стрелке, а силы Р и Яв — против нее. Поэтому
поперечная сила в сечении С
^с = ЯА-р
или
48
р=-
1:=-
:М>0
а
6
Рис. 56
Ь—
2. Если внешняя нагрз'зка создает относительно
рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки,
то в выражении для М в этом сечении она дает положительное
слагаемое. Наиболее просто выяснить знак М для консоли. Так, нэ
двух верхних консолях, показан- ^
ных на рис. 56, а, нагрузка от- {•^^_ и ^ _---'\
гибает балку вверх; сжатыми ' ^^^^^^———кМ>0 ■:Я »==:^ V-
оказываются верхние волокна,
поэтом^' изгибающий момент
положителен. На рис. 56, б сжаты
нижние волокна и Л1 -< 0.
В более сложных случаях
(например, рис. 55) можно
мысленно представлять себе, что балка
освобождена от всех опор и защемлена в рассматриваемом сечении.
Тогда она превращается в две конссли. Нз'жно рассматривать
левую консоль, если изгибающий момент вычисляется как сумма
моментов сил, расположенных слева от сечения (рис. 55, б). Тогда
Если же М вычисляется как сумма моментов сил, расположенных
справа от сечения (рис. 55, в), то
Мс=М{х) = Яв{1 — х)-М.
§ 20. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР О И М В БАЛКАХ
Рассмотрим порядок построе! мл эпюр ^ и М для наиболее
характерных случаев нагружения балок.
Сосредоточенная сила на свободном
конце консоли (рис. 57). Балка имеет лишь один участок.
Начало координат выбираем в крайней левой
точке А балки, ось х направляем вдоль оси
балки направо.
Вычисляем ^ и М в произвольном сечении
(о) с абсциссой X. Справа от рассматриваемого
сечения действует только одна сила Р, поэтому
^{x) = Р•, М{х) = —Р ■ КВ = —РA-х).
Как видно из этих уравнений, поперечная
сила одинакова во всех сечениях балки,
поэтому эпюра С имеет вид прямоугольника.
Функция М (х) линейна. Для построения ее графика достаточно
получить две точки — в начале и в конце участка:
при х=0 (сечение Л)Мл = — Р1',
при х—1 (сечение В) Мв = 0.
По этим данным строим эпюру М. Заметим, что положительные
ординаты эпюр ^ и Л1 откладываем вверх от базы.
Р1
1
щт^
т
Рис. 57
49
На рис. 57 штриховой линией АВ1 показана балка в
деформированном состоянии. Как видно из рисунка, сжаты нижние волокна
балки. Если совместить базисную линию эпюры изгибающих
моментов с осью балки, то эпюра М окажется как бы построенной
на сжатых волокнах.
Равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью д кгс/м на консоли (рис. 58).
Поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении К
будем вычислять как результат действия распределенной нагрузки,
расположенной слева от сечения:
д{х) = —д-АК =
М(х) = —д-АК-1К
= —дх;
д- АК^
дх'
ЩШШЕ|^
^ X
'^^^'''^^тщ,)
®
Рис. 58
?11
Рис. 59
Следовательно, поперечная сила ^ (х) изменяется по закону
прямой линии, а изгибающий момент М (х) — по параболическому
закону. Для построения эпюры ^ вычисляем ординаты в двух
точках:
при х= О ^А= 0;
при X = I ^в = — (/1
и проводим прямую. Учитывая, что эпюра М криволинейна, для
ее построения вычисляем ординаты в трех сечениях:
при л: -= О Мл = 0;
2
При X =
Мс
при х = I
Мв =
дР_
2
И Проводим через полученные три точки кривую.
Нагрузка интенсивностью д кгс/м,
равномерно распределенная по всей длине
пролета двухопорной балки (рис. 59). В данном случае
необходимо сначала определить опорные реакции. Равнодействую-
50
щая всей распределенной нагрузки равна д1, и линия действия
ее проходит через середину балки. Поэтому
Л.
2 •
Вычисляя поперечную силу и изгибающий момент в
произвольном сечении К как результат действия сил, расположенных слева
от сечения К, получим
13
= ^?^/-
-д1.
1
0; ^
--Яв =
^{x) = Яа — Ях = -^ дх;
М(х) = Ялх — дх • ■^ = -^-х—Ц-.
Очевидно, что эпюра С будет
прямолинейной, а эпюра М — параболической.
Для построения эпюр вычисляем:
<3@)=-4: <3@ = —4;
М @) = 0;
д1 I д1^ _ дР .
^>|/^/-- /
РЬ
(
^ ( 2 ) 2 2 8 {
М{1) =-^1-^ = 0.
^
^
м
РоЬ
E)
Ра
I
@
Рис. 60
Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента,
приравниваем нулю производную от изгибающего момента М (х) по
абсциссе х сечения:
аМ (х) о1 „
их
отсюда
х =
I
Так как вторая производная ^^^ = —д, т. е. отрицательна,
то в сечении при х = 1/2 имеем максимальное значение момента:
Эпюры ^ и М построены на рис. 59.
Сосредоточенная сила Р, приложенная
к двухопорнои балке (рис. 60). Прежде всего найдем
опорные реакции:
2Л^в=^?л^-ЯЬ = 0; Яа==-г-1
'^МА = Ра~Яв1 = 0; Яв=-^
Ра
51
в данном случае имеем на балке два участка.
Вычисляем ^ н М в произвольном сечении Ки расположенном
на участке АС (О < л; < а):
^{x) = КА^-^.
Следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы
одинаковы и эпюра С имеет вид прямоугольника.
Изгибающий момент М {х) изменяется по линейному закону:
РЬ
М (х) = ЯаХ =
/
■X.
Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участка:
при л; = О Ма = 0;
при л; = а Мс ■■
РаЬ
I '
В произвольном сечении К^ на участке СВ (а < х < /),
рассматривая действие сил, расположенных справа от него, получим
C(л;) = -/?в =
Ра
Ра
М(х) = Кв ■ К^В = ^{1-X)
К тому же результату мы пришли бы, рассматривая действие сил,
расположенных слева:
^{x) = Яа~Р; М{X) = Яа • АК^ — Р ■ СК2.
Как и на участке АС, эпюра С на участке СВ также имеет вид
прямоугольника. Для построения эпюры М находим значения
ординат в точках С и В:
при х = а Мс =
I
A~а)^
РаЬ
I
I Мв-=0.
при х-
В результате получаем эпюры,
представленные на рис. 60. Они показывают,
что при л; = а функция С {х) терпит
разрыв и на эпюре С получается скачок,
равный по абсолютной величине
внешней силе Р в этом сечении:
РЬ , Ра Р(а + Ь) ^ _Р/_
' + ■
= Я;
I ' I I
на эпюре М в этом сечении имеет место
излом (угловая точка).
Сосредоточенный момент в пролете двух-
опорной балки (рис. 61). Находим опорные реакции,
направив их вверх:
32
отсюда
/?л-
М,
/?в =
М,
I I
Меняем направление /?^ на обратное. Отметив на участках АС
и СВ произвольные сечения К1 и Д'г, записываем уравнения для
функций ^ (х) и М (х):
для участка АС (О < л; < а)
^{x) = -I^А^ ^; М{х)==-1^аХ='--^х;
I
для участка С В (й< л; < /)
"^^ ■ М(х)
^{x) =—I^в =
I
.Яв-К^В^-^{1-х).
г*-л/.
/
\\ШШШ
®
'ШШтШттгггЛ®
'^-^к-о
Рис. 62
Рис. 63
На основании этих уравнений строим эпюры С и М. Эпюра М
расположена частично под осью, частично над осью. Поскольку она
построена на сжатых волокнах, видим, что на участке АС сжаты
нижние волокна балки, а на участке СВ — верхние. Этому
соответствует изображенная штриховой деформированная ось балки. В том
сечении, где изгибающий момент меняет знак, на ней будет точка
перегиба.
Нетрудно видеть, что
и, значит, прямые на эпюре М на участках АС и СВ параллельны.
Обратим внимание на то, что там, где приложен внешний момент
(сечение С), на эпюре С изменений нет, а функция М. {х)
претерпевает разрыв и на эпюре М получается скачок, равный по величине
внешнему моменту.
В частном случае, когда момент приложен в опорном сечении,
на основании приведенных выше формул при й = О получим эпюры,
приведенные на рис. 62.
Сосредоточенные моменты на опорах од-
нопролетной балки (рис. 63). Находим опорные реакции:
^Л1в=/?дЛ-Л1-Л1 = 0; /?^ = 0;
^ М^ = — /?в/ + М — М = 0; /?в = 0.
вз
Тогда для произвольного сечения, находящегося на расстоянии х
от левой опоры,
(Э (л;) = /?л = 0; М (х) = Л1 = С0П81.
Итак, в любом сечении ^ = О, & изгибающий момент постоянен
вдоль балки. Такой случай изгиба носит название чистого изгиба.
§ 21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЭПЮР д И М
Установим некоторые характерные особенности эпюр ^ и М,
значение которых облегчит построение эпюр и даст возможность
в известной степени контролировать их правильность.
Рассмотрим какую-нибудь балку с произвольной нагрузкой
(рис. 64, а). Распределенную нагрузку условимся считать положи-
01
Ц
\
>
цбх
'^
' с1х
м+бм
-$.««
Рис. 64
тельной, если она направлена вверх (такая нагрузка дает
положительную составляющую для изгибающего момента в любом
сечении).
Выделим на участке, где нет сосредоточенных сил и моментов,
малый элемент балки О1О2. Он находится в равновесии под
действием внешней нагрузки, поперечных сил и изгибающих моментов в
сечениях 01 и Ог (рис. 64, б). Поскольку в общем случае С и М
меняются вдоль оси балки, то в сечении О1 имеем ^ (х) и М (х), а
в сечении Ог имеем ^ (х) + Щ и М (х) + ^М. Для вывода, как
всегда, изображаем их положительно направленными. Из условия
равновесия вьщеленного элемента получим
2^у^^+д(^x—{^+а^)^о■,
2^Мо, = М + ^йx + дс1х -^ — {М + аМ) = 0.
Первое уравнение дает условие
C.3)
Из второго уравнения, пренебрегая членом дAх -у, найдем
Ах
= ^.
C.4)
54
Из формул C.3) и C.4) следует, что
== д.
C.5)
Когда на рассматриваемом участке действует, кроме того,
распределенный момент интенсивностью т кгс • см/м (рис. 64, в),
формула C.4) принимает следующий вид:
Ах
^ + т■,
C.6)
формулы C,3) и C.5) при этом остаются без изменения.
Соотношения C.3) — C.6) называют дифференциальными
зависимостями при изгибе. Эти зависимости и анализ примеров
предыдущего параграфа позволяют установить некоторые особенности эпюр
изгибающих моментов и поперечных сил:
1. На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры С
ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М в общем
случае — наклонными прямыми (рис. 65).
2. На участках, где к балке приложена равномерно
распределенная нагрузка д, эпюра ^ ограничена наклонными прямыми, а эпюра
М — квадратичными параболами (рис. 66). Поскольку эпюру М
ь
/?.
1
ГП 11 II I I I I I I
ш
Ь<^т™тш>к.,^^д^^^
®
♦1Н111ЛП
ь
в
г® ^--^т11->н|рт
<ь»еау. 1^ ^^*^^ ^.
®
Рис. 65
Рис. 66
строим на сжатых волокнах, то выпуклость параболы обращена
в сторону, противоположную направлению действия нагрузки д
(рис. 67, а, б). ' ~~
3. В сечениях, где С = О, касательная к эпюре М параллельна
базе эпюры (рис. 66 и 67).
4. На участках, где С > О, момент Ш возрастает, т. е. слева
направо положительные ординаты эпюры М увеличиваются, а
отрицательные — уменьшаются (рис. 65, 66, участки АС и ВЕ)\ на
участках, где С < О, момент М. убывает (рис. 65, 66, участки СВ
и ВВ),
55
I
б. в сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:
а) на эпюре ^ будут скачки на величину и в направлении
приложенных сил (на рис. 65 и 66 эти скачки отмечены толстыми
линиями со стрелками);
б) на эпюре М будут
переломы (рис. 68),
причем острие перелома
направлено против
действия силы (см. также
сечения С,0 и Внарис. 65
и сечение В на рис. 66).
6. В сечениях, где к
балке приложены
сосредоточенные моменты, на
эпюре М будут скачки
на величину этих
моментов (на эпюре С
изменений не будет). Направление скачка зависит от направления
внешнего момента (рис. 69). Ветви эпюры до скачка и за ним
параллельны. Так, на рис. 69 линия АВЦСО^ЕР (см. также рис. 61 и
,® ^^ЩЙ^ЗР®
Рис. 67
А
^
ш-
^
И
1т
ч
к
V
@
Рис. 68
ПШ
д
@
Рис. 69
Рис. 71
70, а). Это не относится к случаю, когда в одной точке приложены
и сила и момент (рис. 70, б),— сила вызывает перелом и нарушает
параллельность.
56
7. Если на конце консоли или в концевой опоре к балке
приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент
равен внешнему моменту (рис. 71, сечения В и С). Если же в
концевой шарнирной опоре или на конце консоли балка не загружена
внешним моментом, то в них М = О, что имеет место в большинстве
случаев (рис. 65 и 66, сечения А и Е).
8. Эпюра С представляет собой диаграмму производной от
эпюры М. Значит, ординаты эпюры С пропорциональны тангенсу угла
наклона касательной к эпюре М.
Для обоснования
перечисленных свойств эпюр рассмотрим
следующее. Если нет распределенной
нагрузки, то
а^
0.
Интегрируя, получаем:
С (х) = С1 = С0П81.
Следовательно,
C.7)
^х
откуда
А
в
^3
А
Н
^1
111Тгпъ
1
Т1]1..1....
с\т\\
[1^
.1.1
@
®
М (х) = С^х + Сз.
C.8)
Рис. 72
Уравнения C.7) и C.8) доказывают свойство 1, так как для функции
C.7) график будет представлять собой горизонтальную прямую, а
для функции C.8) — в общем случае наклонную прямую (если С} ^
Ф 0). Аналогично доказываются и остальные свойства.
Заметим, однако, что появление скачков на эпюре С связано
с введением условного понятия о сосредоточенной силе. Как уже
говорилось, сосредоточенной силой мы считаем нагрузку,
распределенную на небольшой длине. Если загрузить балку такой
действительной нагрузкой, то никаких скачков на эпюре С и переломов
на эпюре М. не будет (рис. 72). Это замечание относится и к действию
сосредоточенного внешнего момента.
Рассмотрим более сложные случаи построения эпюр С и М.
Пример 6. Построим эпюры О, к М для простой балки, нагруженной
распределенной нагрузкой, изменяющейся по
линейному закону (рис. 73).
Определяем опорные реакции. Равнодействующая всей распределенной на-
грузки равна -к- и проходит через центр тяжести грузовой эпюры, который уда-
/
лен на -п- от правой опоры. Поэтому
Мв=^Па1-
_д1_
2
4-=0;
^М^=1^д1--\-
-^/ = 0.
57
Отсюда
.^^•.
/?й=
д!
Поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечеиии К вычисляем
как результат действия сил, расположенных слева от сечения К,— реакции Н^
и равнодействующей распределенной нагрузки у д (х) х. Из подобия треуголь-
я(х) = д —
Поэтому
д1
^(-) = 'Т- 21
^^^- М(х)^-^к-
01_
6
дх^
6/
Из этих уравнений видно, что эпюра С очер»1ена квадратичной параболой, а
эпюра М — кубической. Для построения их вычисляем ординаты в характерных
точках!
при л; = О ^у^ = -|-; при х = / ^д = д- :
о/ о4 п I
С = Опри -^ 2Г'^ ' ■"• *■ "Р" """""уТ
зт ^^
Рис. 73
Рис. 74
Следовательно, эпюра 0. имеет такой вид, как показано на рис. 73, причем в
сечении Л (х = 0) касательная к эпюре ^ параллельна оси.
Далее,
при л; = О М^ = 0;
при х = 1 М^ = 0.
С8
При х= Х(,= -у= производная
Лх ~""б 2Г~^^'''
обращается в нуль, а
Значит, в сечении х= х^'= -у= имеем максимум М, причем
м -Л [ 1 ( ' ?- ^^У
макс
Пример 7. Построим эпюры С и Л? для балки, показанной на рис. 74.
Определим опорные реакции:
2М^ = 3 • 2.6. 0,7—5 —/?в. 2,5 + 4-3,5=0; /?в=5,78 тс,
2Л4в = —3-2,6 1,8 + ;?^.2,5.—5 + 4. 1=0, /?^ = 6,02 тс.
Проверка:
2К = 6,02 — 3 . 2,6 + 5,78 — 4 = 11,80 — 11,80 = 0.
Балка имеет пять участков. В произвольных сечениях каждого из ннх
записываем выражения для С и М, проверяя при этом, выполняется ли равенство
—5—, и вычисляем С и Л? в характ
Для участка ^'^4 (О < л; < 0,6 м)
5 = —I—, и вычисляем С и Л? в характерных сечениях.
3;^2
С (л;) = — Зл;; Ж (л;) = ■
2
С/г = С@) = 0, Л1/г = М@)=0;
д^ =6@,6) = —3-0,6 тс = —1,80 тс;
3-06^
М^ = М @,6) = '- тс - м = —0,54 тс - м.
Для участка АЕ @,6 м < х < 1,6 м)
Зх^
^(x) = — 3x + 6,02; М(х) = Н 6,02 (х — 0,6);
^Ап = С @.6) = (— 3 - 0,6 + 6,02) тс = 4,22 тс;
/ 3 - 0,62 ч
М^ == М @,6) = ( -^ Н 0] тс - м = — 0,54 тс - м;
^^=^(^,6) = (—3■ 1,6 + 6,02) тс=1,22тс;
Ме =МA,6) = [- ^'1'^^ +6,02A,6-0,6)
Для участка ЕВ A,6 м < л; < 2,6 м)
Зх^
^(x) = ~Зx + 6,02; М(х) = 1-6,02(л; —0,6)—5;
тс . м = 2,18 тс • м.
59
д^- = дA,6) = (—3. 1,6 + 6,02) тс = 1,22 тс;
М^^ =МA,6) = | — [-6,02A,6 — 0,6) — 5|тс-м = —2,82тс-м:
^^ = ^ B,6) = (— 3 • 2.6 + 6,02) тс = — 1,78 тс;
'—^ 1-6,02B,6 — 0,6) — 5 тс м = —3,10 тс-м.
Для участка ОБ B,6 м < л; < 3,1 м)
д(х) = (—5,78-1-4) тс = — 1,78 тс;
М (X) = 5,78 C,1 — х) — 4 D,1 — х) = — 1,78л: + 1,52;
Мд = М B,6) = (-1,78-2,6+1,52) тс- м = —3,10 тс- м;
М5 = М C,1) = (-1,78- 3,1 + 1,52) тс.м = —4 тс- м.
Для участка ВС C,1 м ^ л; < 4,1 м)
С(х;) = 4тс; М (х) = — 4 D,1 — х);
Л1д = МC,1)= —4D,1—3,1)= —4 тс-м;
Мс = М D,1) = — 4 D,1 — 4,1) = 0.
Построив по этим данным эпюру ^, обнаруживаем, что в некотором
сечении Хд на участке ЕВ усилие ^ обращается в нуль, а значит, здесь касательная
к эпюре М будет горизонтальной. Для построения эпюры М необходимо еще
вычислить ординату М (хв). Воспользовавшись выражение1М для ^ (х) на участке
ЕВ, находим Хо из условия
^ (хд) = — Зл:о + 6,02 = О,
откуда
Хо = —'-— м = 2,01 м.
Тогда
[3 - 2 ОР 1
'- Н 6,02 B,01 — 0,6) — 5 тс - м = — 2,57 тс - м.
По полученным данным строим эпюру М.
Рассматривая эпюры ^, М и нагрузку на балку с точки зрения общих свойств
эпюр, обнаруживаем, что построенные эпюры не содержат принципиальных
ошибок: например, всюду, где С > О, момент М возрастает, а где С < О — убывает;
в сечении Е на эпюре М получился скачок на величину 5 тс • м, в сечениях Р и
С М = О и т. д.
В ряде случаев можно строить эпюры, не составляя выражения С
и М для произвольных сечений участков. Достаточно лишь вьиис-
лить величины ^ и М в характерных сечениях. Для этих случаев
можно рекомендовать следующий порядок построения эпюр:
1. Найти опорные реакции (для консоли их можно не находить).
2. По скачкам и наклонам, идя вдоль балки обязательно слева
направо, построить эпюру ^ (никаких записей для этого делать
не нужно).
3. Найти характерные сечения балки. Характерными сечениями
считаются те, в которых приложены сосредоточенные силы и
моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка, а
также те, в которых ^ обращается в нуль,
60
4. Вычислить в характерных сечениях величины 7И и по
найденным ординатам построить эпюру М. При этом следует
руководствоваться общими свойствами эпюр, а для консольных частей балок
целесообразно пользоваться известными для них эпюрами (рис. 57
и 58).
Пример 8. Построим эпюры ^иМ для шарнирной балки (рис. 75).
Эта ба.пка имеет четыре неизвестных составляющих опорных реакций —
М^, Я^, /?^ и Я^. Вследствие отсутствия горизонтальных составляющих
внешней нагрузки Я^ = 0. Наличие промежуточного шарнира в точке С дает одно
|г#
5Г
5.5
1м\4тс
Ра=5.5тс
2м
Ж.
1,5м
Г
4м
1,5м
1/?г=б,5гс
4,5'
1,5
I
ш
3,75
2 тс
@гс
Рис. 75
дополнительное уравнение статики и превращает балку в статически
определимую шарнирную.
Найдем опорные реакции:
][] Же = 2-5,5 — /?^. 4 + 6-2,5 = 0; /?^ = 6,5 тс;
пр
Х^' = '??л-4-6 + 6,5-2 = 0; Ял = 5,5тс;
^Жс = —М^ + 5,5-2 —4-1=0; Л1^ = 7 тс м.
лев
Проверка:
2Жр = — 7 + 5,5 • 7,6 — 4 . 6,6 — 6 . 3 + 6,5 . 1 ,Б = 0.
Теперь обычным способом по скачкам строим эпюру ^, а затем, определив
Ж^ = — 7 тс • м; Жд = (— 7 + 5,5 • 1) тс • м = — 1,5 тс • м;
:(—2-3 + 6,5- 1,5) тс- м=3,75 тс- м;
= — 2 - 1,5 тс • м :
1^ — — ^ - • ,и 1,. • га ■ 3 тс • м; Мр = О,
строим эпюру Ж.
Следует обратить внимание на то, что иа эпюре Ж обязательно должна быть
нулевая ордината для того сечения, где расположен промежуточный шарнир
(точка С).
«1
§ 22. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ РАМ
Рамами называют системы, состоящие из прямолинейных
стержней, соединенных жесткими узлами. Вертикально расположенные
стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные —
ригелями. Жесткость узлов устраняет возможность взаимного
поворота скрепленных стержней, т. е. в узловой точке углы между
их осями остаются неизменными.
Ось рамы представляет собой ломаную линию, однако каждый
прямолинейный участок ее можно рассматривать как балку.
Поэтому, чтобы построить какую-либо эпюру для рамы, нужно
построить ее для каждой отдельной балки, входящей в состав рамы.
В отличие от обыкновенных балок в сечениях стержней рамы, кроме
изгибающих моментов М и поперечных сил ^, обычно действуют
еще и продольные силы Л^. Следовательно, для рам нужно строить
эпюры Л^, ^ и М.
Для N ш ^ сохраняются ранее принятые правила знаков:
Л^ > О, если продольные силы вызывают растяжение;
^ :> О, если ее векторы стремятся вращать части рассеченной
рамы (относительно точек, близких к сечению) по часовой стрелке.
Для изгибающих моментов специального правила знаков не
устанавливают, а при составлении выражений для М {х) принимают
по собственному усмотрению какой-либо момент положительным.
Выражения для Л^ (х), ^ (х) ш М (х) записывают очень редко —
главным образом для тех участков, где действует распределенная
нагрузка. Чаще всего просто вычисляют значения к, ^ и М в
характерных сечениях (на границах участков и в экстремальных
точках), а затем проводят линии эпюр, учитывая их свойства,
отмеченные в § 21.
Ординаты эпюр, как и всегда, откладываем перпендикулярно
к оси рамы, причем положительные ординаты ^ и N с внешней
стороны рамы, а отрицательные — с внутренней (если, конечно, рама
такой конфигурации, что можно различить ее наружную и
внутреннюю стороны). Эпюры М условимся и для рам строить на
сжатых волокнах.
Если рама имеет более одной опоры, то прежде чем приступить
к построению эпюр, нужно обычными методами статики найти
опорные реакции.
Построим эпюры N, ^ и М для рамы, изображенной на рис. 76.
Заметим, что ввиду отсутствия распределенной нагрузки все эпюры
будут прямолинейными.
Чтобы построить эпюру Л^, нужно спроектировать силы,
приложенные к части рамы, лежащей по одну сторону от сечения, на ось
стержня. Таким образом, для любого сечения получим Л^ = О на
участке А В; N = Р на участке ВО (растяжение); Л^ = —2Р на
участке Р/С (сжатие). По этим данным строим эпюру Л^. Она имеет
вид двух прямоугольников, расположенных на ригеле и левой
стойке.
62
Перейдем к построению эпюры С.
Для любого сечения на участке А В сумма проекций
нижележащих сил на сечение одинакова, равна Р и дает отрицательную
величину ^, т. е. ^ = —Р. Точно так же в любом сечении стержня ПК
сила ^ = Р. Чтобы пояснить знаки С в этом случае, на рис. 77
показаны направления векторов ^, например, в сечениях / и IV.
_ .2Р.
А,
л г
77777/
К
р1
0 Г
11111
^11111
®
2Р
ф
1
2Р
®
р
р
Рис. 76
/Г
На рис. 77, а векторы стремятся повернуть части рассеченной рамы
против часовой стрелки, значит здесь С < О, а на рис. 77, б — по
часовой стрелке, поэтому здесь С > 0.
В сечении //, как и в любом сечении участка ВС, сумма
проекций на сечение (на вертикаль) сил, приложенных к части рамы,
лежащей справа от сечения (т. е. одна сила Р), равна нулю.
Следовательно, на участке ВС усилие С = 0.
Для сечения /// и вообще для любого сечения участка СП
проектироваться на сечение будет только сила 2Р, поэтому в этих
сечениях С = 2Р.
Итак, на участке АВ ^ = — Р; на участке
ВС ^ = 0; на участке СО ^ — 2Р; на участке '^ |"/
ПК ^ = Р. Эпюра С на этих участках пред- |
ставлена тремя прямоугольниками. с
Для построения эпюры М будем
вычислять величины изгибающих моментов в
характерных сечениях А, В, С, О, Е и К. Очевидно,
Ма = 0. в сечении В стержня АВ (т. е. в сечении /, бесконечно
близком к В) имеем
Мл = Р • ЛВ = ^,
причем от действия этого момента сжаты внешние (правые) волокна,
так как изгибающий момент, приложенный к верхней стороне
сечения /, направлен против часовой стрелки. Поэтому на эпюре М
Р1
из точки в откладываем с внешней стороны ординату, равную -^,
и проводим прямую аЬ.
В сечении В стержня ВО (т. е. в сечении //, бесконечно близком
к В) имеем ту же величину:
Рис. 77
Мв = Р
ав = р4-
63
и сжаты вновь наружные (верхние) волокна. Такой же изгибающий
момент будет и в сечении С:
Р1
Откладываем в сечениях В и С с внешней стороны ординаты -п—
и проводим прямую &1С. Продолжать эту прямую дальше влево
нельзя, так как в этом сечении на эпюре М должен быть перелом.
В сечении ^ стержня ОБ (сечении ///) изгибающий момент
должен быть вычислен от действия сил Р и 2Р. Приняв, например,
что для стержня ОБ положительным будет такой изгибающий
момент, который вызывает сжатие верхних волокон, находим, что
Мо = Р ■ А10—2Р-С0^ Р-^ —2Р^ = ~ .
Знак «минус» говорит о том, что в сечении /// сжаты нижние
волокна. Откладываем вниз ординату, равную —х-, и проводим на
эпюре М прямую ей.
Переходим к построению эпюры на стойке ПК, считая,
например, что изгибающий момент положителен, если он вызывает сжатие
внутренних (правых) волокон. Тогда в сечении [V
Мо ^ — Р ■ А^О + 2Р ■ СО =^ ~Р — + 2Р ~ = ~.
В сечении Е на эпюре М должен быть скачок, поэтому
значение М вычисляем отдельно:
в сечении V
Ме = Р- А,Е + 2Р- ЕС1 = Р^ + 2Р~ = ^Р1,
2
а в сечении VI
Ме -= Р ■ А^Е +2Р • ЕС^ — М = Р -^ + 2Р-^ — Р1 = -^Р1.
Наконец, в сечении К
Мк = Р-А^К-^2Р-КС^-М = Р± + 2Р-^-Р1^^Р1.
Все моменты получились положительными. Следовательно, во
всех этих сечениях, согласно принятому для стойки ОК правилу
знаков, сжаты правые волокна. Поэтому откладываем
соответствующие ординаты и, проведя прямые (^^е^ и е^к, заканчиваем построение
эпюры М.
пример 9. Построим эпюры Ы, ^ и М для рамы, изображенной на рис. 78.
Поскольку эта рама не консольная, то прежде всего определим опорные
реакции. В каждом неподвижном опорном шарнире А к В будет по две
составляющих реакции: вертикальные /?^ и Я^ и горизонтальные Н^ и Н^.
Действительные направления этих реакций еще не известны, поэтому направим их пока про-
64
извольно, например, вертикальные реакции вверх, а горизонтальные — направо
(почему реакции Я^ и /?д зачеркнуты, станет ясно позже).
Для определения четырех неизвестных Яд, Я^д, Н^ и Я^ кроме обычных
уравнений статики имеем еще условие равенства нулю суммы моментов
относительно точки С всех сил, расположенных по одну сторону от нее (иначе говоря,
равенство нулю изгибающего момента в сечении С, где есть шарнир).
Можно выбрать различные варианты четырех уравнений статики для
нахождения реакций. Наиболее удобно рассмотреть суммы моментов относительно
4 Г?
Рис. 78
шарниров Л, В и С. При составлении уравнений принимаем во внимание
зачеркнутый вариант реакций Яд и К^-
^]Мд = 4.3 + 2-1-/?^.2 = 0; /?^ = 7 тс;
^Мд = 4. 1+2.1-|-/?в.2 = 0; ;?в = -3тс;
^Мс = —7. 1+4.2-1-Я^.2 = 0; Я^ = —0,5тс;
лев
^ Мс = — 2 • 1 — 3 . 1 + Яд . 2 = 0; Яд = 2,5 тс.
прав
Реакции Я^ и Н^ получились положительными, значит они действительно
направлены так, как было принято: Р.^ — вверх, Я^ — направо; реакции Я^
и /?д отрицательны, значит, имеют направление, противоположное принятому,
а именно: Я^ направлена влево, & Я^ — вниз. Изменим на чертеже направление
этих реакций на противоположное и будем теперь считать все реакции
положительными: Я^— 7 тс; Яд= 0,5 тс; /?д = 3 тс; Нд = 2,5 тс.
3 8—2770
65
Проверим, правильно ли найдены реакции:
ЕХ = — Я^ — 2 + Яд = — 0,5 — 51%- 2,5 = 0;
ЕК=;?^-4 —/?д = 7 —4-3 = 0.
Теперь можно построить эпюры М, ^ и N таким же способом, как это было
сделано в предыдущем примере, так как опорные реакции определены и, значит,
известны все внешние силы, приложенные к раме.
Прежде всего сделаем некоторые замечания относительно общего вида эпюр
М я ^. Поскольку распределенной нагрузки нет, эпюры М и ^ будут
прямолинейными, причем эпюра ^ будет состоять из прямоугольников. В точке О на ней
будет скачок, а на эпюре М — перелом. В точках А, В, С и Р изгибающий момент
равен нулю.
Для построения эпюры Л' находим, что
на участке ВК Л? = /?д = 3 тс;
» » /Сг Л/ = Я^ = 0,5 тс;
АЕ N = -
РЕ N = 0.
» » АЕ К = — Яд='—7 ^с■,
м,=
Щи
■Ив-
= "а
Мв-
2-2
• 2 —
= Я^,
• 1 =
4.1:
По этим данным строим эпюру Л'.
Для построения эпюры ^ вычисляем характерные ординаты:
на участке ВО ^== — Яд = — 2,5 тс;
» » ОК С = — Яд + 2 = {— 2,5 + 2) тс = — 0,5 тс;
» » кг С = ;?д = 3 тс;
» » РЕ ^= — 4 тс;
» » АЕ ^ = Нд = 0,5 тс.
По этим данным строим эпюру ^.
Теперь вычисляем значения изгибающих моментов:
• 1 = 2,5 • 1 тс • м = 2,5 тс • м (сжаты правые волокна);
: B,5 • 2 — 2 • 1) тс • м = 3 тс • м (сжаты правые волокна);
М^ = Ж, = 3 тс ■ м (сжаты верхние волокна);
= @,5 -2 — 4 • 1) тс • м = — 3 тс • м (сжаты нижние волокна);
М^у = Я^ • 2 = 0,5 -2 тс • м = 1 тс • м (сжаты левые волокна);
Му = 4.1тС'М = 4тс<м (сжаты нижние волокна)
и строим по этим данным эпюру М,
§ 23. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
В поперечных сечениях плоского кривого бруса могут
действовать, как и в рамах, три внутренних силовых фактора — Л^, ^и М.
Наиболее часто имеют дело со стержнями, ось которых очерчена
по дуге окружности. В этом случае положение любого сечения
удобно определять при помощи полярной системы координат, тогда
продольная, поперечная силы и изгибающий момент будут функциями
угла ф : Л^ (ф), ^((р) и М (ф).
66
Для N и ^ примем обычное правило знаков (см. § 15 и 19),
эпюры М будем, как и в рамах, строить на сжатых волокнах.
В качестве примера рассмотрим плоский кривой брус, схема
которого показана на рис. 79, а. Напишем значения Л^ (ф), С (ф)
и М (ф) для произвольного сечения С.
Чтобы получить Л^ (ф), нужно силы Р^ и Рг спроектировать на
направление оси стержня в точке С, т. е. на касательную К1-- Для
удобства проектирования их можно перенести мысленно в точку С
(на рис. 79, а они показаны штриховыми линиями). Тогда
Л^ (ф) = Р^ С08 ф + ^*2 ^1П ф-
0,5Р
а
0 \ в
р,
5.
^Рг
\1
4 Рг
Чтобы получить с (ф), нужно спроектировать силы,
приложенные к части АС, на плоскость сечения, т. е. на направление 05:
^ (ф) == Р1 51П ф — Рз С05 ф.
При составлении выражения для изгибаюш,его момента в
произвольном сечении условимся, например, считать изгибающий момент
положительным, если он вызывает сжатие волокон, лежащих с
внутренней стороны стержня (т. е., если он увеличивает кривизну
стержня). Будем иметь
М (ф) = Р^ • ЛО — Рг • СО = Рх/? A — С08 ф) — Р^Н 51П ф.
Полученные формулы позволяют строить эпюры Л^, ^V^ М.
Примем для определенности, что Р1 = Р, а Р^ = 0,5Р. Тогда
Л^ (ф) = (С08 ф + 0,5 81П ф) Р;
^(ф) = (зшф —0,5созф)Р; C.9)
М (ф) = A — соз ф — 0,5 31П ф) РЯ.
Вычислим значения N, ^ а М ъ нескольких сечениях (табл. 3).
Разметив ось стержня через 10°, откладываем в масштабе по
нормали к оси (т. е. по радиусу) соответствующие ординаты для
С, Л^ (положительные — наружу, отрицательные — внутрь) и для
М (на сжатых волокьах), соединяем концы ординат плавной кривой
и получаем эпюры Л', С и М (рис. 79, б).
Рассмотрим некоторые общие вопросы построения эпюр для
криволинейных стержней.
3* 67
к криволинейным стержням, как и к другим стержневым
системам, иногда бывает приложена равномерно распределенная
нагрузка. Для вычисления усилий и моментов от такой нагрузки полезно
иметь в виду следующую теорему: равнодействующая равномерно
распределенной нагрузки, приложенной к дуге любого очертания,
равна произведению величины интенсивности нагрузки на длину
хорды, стягивающей эту дугу, перпендикулярна к этой хорде и
проходит через ее середину.
Таблица 3
ф"
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
8Ш ф
0
0,174
0,342
0,500
0,643
0,766
0,866
0,940
0,985
1,000
С05 ф
1,000
0,985
0,940
0 866
0,766
0,643
0,500
0,342
0,174
0
0,5 81П ф
0
0,087
0,1/1
0,250
0,322
0,383
0,433
0,470
0,488
0,500
0,5 С08 ф
0,500
0,498
0,470
0,433
0,383
0,322
0,250
0,171
0,087
0
Л' (ф)/Р
1,000
1,072
1,111
1,116
1,088
1,026
0,933
0,812
0,672
0,5
^ (ч>)/р
—0,500
—0,324
—0,128
0,067
0,260
0,444
0,616
0,769
0,898
1,000
м т/рн
0
—0,072
—0,111
—0,116
—0,088
—0,026
0,067
0,188
0,328
0,500
Для доказательства рассмотрим произвольный плоский
криволинейный стержень АСВ, загруженный равномерно
распределенной нагрузкой интенсивности д (рис. 80).
У
)
>
сй-^
»«-
л
^1 \
41Х
Хр
1
1
, 1
\р
с^--'—^--и/7\
/
в
X
Рис. ео
Выделим элемент дуги д.8, центр которого имеет координаты х и
у, а касательная к дуге в точке х, у образует с осью абсцисс угол а.
На этот элемент действует сила д^8, составляющая которой по
оси X равна дй^ 81п а, а по оси у — дй8 С08 а. Но из соз а = их,
а д.8 зш а = йу, поэтому составляющие будут соответственно равны
дйу и дйх (рис. 80).
Обозначим равнодействующую нагрузки (т. е. элементарных сил
дй8) через Р. Проекция Р^ равнодействующей на ось х равна сумме
68
проекций элементарных сил д^8, т. е. сумме д((у:
в о
АСВ А О
Аналогично находим, что проекция равнодействующей на ось у
в I
Ру == I дйх = ц\ йх= д \^йк== д1.
АСВ А о
Отсюда видно, что равнодействующая
т. е. равна произведению величины интенсивности нагрузки на
длину хорды /, стягивающей дугу АСВ.
Так как Р^ = О, то равнодействующая перпендикулярна к оси
X, т. е. к хорде, поскольку ось х направлена по хорде.
Теперь вычислим сумму моментов элементарных сил
относительно начала координат:
в в
'^Ма ~ ] цйх ■ х-{- \ цАу • у = ц ] кйх + ? ] уЛу =
АСВ АСВ А А
I О
= д\хйх + д\ уйу = -^.
6 6
Пусть плечо равнодействующей относительно начала координат
равно хр. Тогда по теореме о моменте равнодействующей
Рхр = У^Ма, или д1 ■ Хр = -^ ,
откуда Хр == -К-. Значит, равнодействующая проходит через
середину хорды. Теорема доказана.
В качестве иллюстрации применения этой теоремы рассмотрим
следующий пример.
Найдем выражения для изгибающего момента, поперечной и
продольной сил в сечениях кругового криволинейною стержня АС
(рис. 81, а), загруженного на части АВ равномерно распределенной
нагрузкой (считаем заданными величины д, Я, а и Р).
В этом примере криволинейный стержень имеет два участка —
АВ и ВС.
В произвольном сечении ^1 на участке АВ (О < ф < ос)
вычисляем усилия и моменты как результат действия нагрузки,
приложенной к дуге Л^1. Равнодействующая этой нагрузки
перпендикулярна к хорде Л^1 и проходит через ее середину,
следовательно, направлена по биссектрисе угла А0О1. Поэтому при
69
о < ф < ОС (для удобства
вычисления N и ^
равнодействующая сила Р1 показана
также и в текущем сечении ^1)
ЛГ(ф) = -Р,8Ш-|- =
2
С05 ф);
Я1С08-|- =
^(Ч>)
= 2дН 81П -|- С08 -|- =
= ^/?зшф; C.10)
М(ф) = Л ""^^
^1
= 2^/?^ 81П^ -|- =
= д1^^A — со8ф).
Усилия и изгибающий
момент в произвольном сечении
^2 участка ВС (а < Ф < Р)
являются результатом
действия всей распределенной
нагрузки. Ее
равнодействующая
Р^ = д- АВ = 2д1^&т-^
перпендикулярна к хорде АВ
и направлена по биссектрисе
угла АОВ. Поэтому при а <
<Ф<Р
Л^ (Ф) = - ^^2 «ш (ф - —) = - 2<?/? 8Ш-|-8ш (ф --|-) ;
<?(ф) = -Ра С05' ф —-|-1 == 2^/? 8т -|-со8^ф 1-|; C.11)
М (ф) = Р, . 0,К = Р.Р^ 81П (ф _ -|-) = 2дЯ^ зш -|- 81П (ф —|-) .
Задавшись величинами углов аир, вычислим значения Л^ (ф),
С (ф) и Л1 (ф) при различных значениях ф и построим эпюры. Зна-
70
Таблица 4
ф"
0
15
30
45
60
&|Пф
0
0,259
0,500
- 0.707
0,866
С05 ф
1,000
0,966
0,866
0,707
0,500
1 — соз ф
0,000
0,034
0,134
0.293
0,500
N Ш/Ч^^
0,000
—0,034
—0,134
—0,293
—0,500
<Э (Ф)/9«
0,000
0,259
0,500
0,707
0,866
ЛКФ)/'?^*
0,000
0,034
0,134
0,293
0,500
Таблица 5
ф°
60
75
90
105
120
ф — 30°
30
45
60
75
90
8111 (ф — 30°)
0,500
0,707
0,866
0,966
1,000
соз (ф — 30°)
0,866
0,707
0,500
0,259
0,000
Л' (ф)/*К
—0,500
—0,707
—0,866
—0,966
—1,000
<Э (Ф)/*«
0,866
0,707
0,500
0,259
0,000
М (ф)/9«»
0,500
0,707
0,866
0,966
1,000
чения Л^ (ф), C (ф) и М (ф) при а = 60°, р
в табл. 4 и 5, а эпюры показаны на рис. 81, б.
120'^ приведены
§ 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
ПРИ ИЗГИБЕ ПЛОСКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Пусть на криволинейный стержень ^ действует произвольная
нагрузка (рис. 82). Проведя два бесконечно близких сечения под
углами ф и ф + йц), выделим произвольный элемент А В так, чтобы
.^+о'(?
в его пределах не было сосредоточенных воздействий.
Положительный угол ф откладываем, как обычно, против часовой стрелки. Длина
■■ Чтобы избежать несущественных, но усложняющих рассуждения вопросов
о знаках изгибающих моментов, ограничимся случаем стержня, ось которого не
имеет точек перегиба.
71
дуги выделенного элемента равна йв, радиус кривизны — г,
центральный угол, соответствующий дуге АВ, равен с^ф.
В сечениях, ограничивающих элемент, действуют продольные
силы Л' и Л' + ёМ, поперечные силы ^ и С) + ё^, изгибающие
моменты Л1 и Л1 -Ь с1М (рис. 83), заменяющие действие отброшенных
частей стержня.
При выводе зависимостей для криволинейного стержня будем
полагать, что изгибающий момент считается положительным, если
он вызывает сжатие внутренних волокон стержня (волокон,
расположенных на вогнутой стороне), а распределенная нагруска
положительна, если направлена к центру кривизны.
Рассмотрим условия равновесия элемента (рис. 83) — суммы
г.роекций всех сил на оси АВ и ОК соответственно и сумму моментов
сил относительно точки В:
Цпр.'
1]пр.'
Ав = ^^ + с^^M■т ^ + (м + йщ соз -^ -^
+ 05Ш
Л'соз
Лф
0;
,«а ОК '
{^ -^ йО) С05 -^ - (л^ -I- ^л^) 51П -^
•(ЗС08
4ф
•Л'бШ
Лф
— ^ • у4Б = 0;
2Мв = —{М-^^йМ)-^М-^^■ВС-^N■АС-^^^АВ
, Учитывая, что
Лф
АВ
2
C.12)
= 0.
81П
2
АВ
2 '
2Л81П
СОВ
Лф
1;
Лф
~2~"
АС = г{\—со5Йф)я:;0; БС = л ■ 8ш г^ф =»гс^ф,
и пренебрегая произведением дифференциалов, получаем
^й^ -{-йМ = 0;
й^ — Шф — цгй(^ = 0;
—ам-{- (?/-^ф = 0.
Разделив каждое уравнение на ^ф, имеем
Лф
й^
ам
= -<3;
==N-\-^^,
^^^.
C.13)
C.14)
C.15)
72
Это и есть искомые дифференциальные зависимости при изгибе
криволинейного стержня. Поскольку гс1ц> = йв, их можно записать
еще и в таком виде:
^ = С- C.18)
Зависимости C.13) — C.15) позволяют проверять правильность
составления выражений для N (ф), ^ (ф) и М (ф) при изгибе, в
частности кругового криволинейного стержня. Так, нетрудно убедиться,
что выражения C.9) — C.11) в рассмотренных примерах
составлены правильно.
Из формул C.13) и C.15) следует, что в сечениях, где М и N
достигают экстремальных значений, C = 0. Это обстоятельство
дает возможность в известной степени контролировать
правильность построения эпюр Л^, ^ и М. Так, на эпюрах рис. 79, б в
сечении Е, где C = 0, момент М = Мкт, а усилие N = Л'макс
Экстремальные значения М а N можно найти следующим образом.
Из второго уравнения C.9) видно, что C = 0, когда
8Ш ф — 0,5 С05 ф = О,
т. е., когда 1ёф = 0,5; ф = 26" 34'; б1п ф = 0,447; ссб ф = 0,894.
Подставив эти значения бш ф и соб ф в первое и третье уравнения
C.9), найдем
Л1„„„ = A — 0,894 — 0,5 • 0,447) Р/? = — 0,118РК;
Лимане = @,894 + 0,5 • 0,447) Р = 1,118Р.
Зависимость C.14) дает возможность найти экстремальные точки
на эпюре C. В тех сечениях, где ^ ~ (Змакс или ^ — ^иш,
Л' = —^г, C.18)
если сечение находится на участке стержня с распределенной
нагрузкой, или
Л^=0, C.20)
если сечение находится на участке стержня без распределенной
нагрузки. Вследствие этого, на рис. 79, например, усилие (? нигде
не достигнет экстремальных значений (касательная к эпюре ^ ни
в какой точке не будет параллельна касательной к оси стержня в
том же сечении), так как распределенной нагрузки нет, а N нигде
не равно нулю.
Заметим, что условия C = 0, C.19) и C.20) необходимы, но не
достаточны для достижения функциями Л' (х), С (х) и М {х)
экстремальных значений; при выполнении их экстремума может и не быть,
но тогда на соответствующей эпюре будет точка перегиба, причем
73
касательная к эпюре обязательно будет параллельна оси стержня
в этом сечении.
Эпюры Ы, ^\^ М для криволинейных стержней обладают
следующими свойствами (часть их вытекает из определения Л^, С и М,
остальные — из формул C.13) —
C.15)]:
1) в концевой шарнирной опоре и
на свободном конце консоли, если они
не загружены внешними моментами,
М = 0;
2) в сечениях, где к стержню
приложен сосредоточенный момент, на эпюре М будет скачок (рис. 84),
причем касательные к эпюре до скачка и за ним параллельны;
3) в сечениях, где к стержню приложены сосредоточенные силы,
нормальные к оси стержня (т. е. направленные по радиусу), на
эпюре ^ будут скачки, а на эпюрах М \\ N — переломы (рис. 85);
Рис. 84
@
Рис. 85
4) в сечениях, где приложены сосредоточенные силы,
направленные по касательной к оси стержня, на эпюре Л^ будут скачки,
а на эпюрах ^ п М — переломы (рис. 86);
5) в сечениях, где C = О, на эпюрах М и Л^ будут экстремумы,
т. е. касательные к эпюрам будут параллельны касательным к оси
стержня в этих сечениях (рис. 86);
6) в сечениях, где Л^ = О, на эпюре ^ будут экстремумы (рис. 85);
с
®
7) на участках, где ^'>0, М возрастает, а Л' убывает в
направлении отсчета «р; там же, где C <; О, М убывает, а Л^ возрастает
(рис. 85 и 86);
8) на участках, где Л^ >- О, C возрастает в направлении отсчета
Ф, а где Л^ < О, ^ убывает (рис. 85 и 86).
Пример 10. Построить эпюры М,^кN для стержня, показанного на рис. 87, а.
I. Определяем опорные реакции:
2ж^ = _;?д.4 —3 + 2.2 —1 .2A—соз30°) = 0; ^?в = 0,18 тс;
74
^М^ = — 2 • 2 — 3— I . 2 (I + С0530°) + ^?^ • 4 = 0; ^?^ = 2,68 тс;
VЖс= — 0,18-2 — Яд- 2 — 3 — 1 . 2 A — 5ш 30°) + 2,68 -2 = 0; Я^ = 0,5 тс.
Проверка:
^Х = 0,5 — 1 • С05 60° = 0,5 — 0,5 = 0;
^У= —0,18 + 2+ I .со5 30°—2,68 = 2,87 —2,86 = 0,01 тс.
Погрешность в 0,4% получилась вследствие округлений.
2. Выбираем произвольные сечения:
К1 на участке /II) (О < ф < 30°);
^2 на участке ВС C0° < ф < 90°);
И.=0,1еге
(м)пн
Рис. 87
Лз на участке СВ (90° < ф < 180°, или О < р < 90°). Очевидно, на участке
ВС удобнее пользоваться углом Р = 180° — ф.
Записываем для этих сечений выражения М (ф), р (ф) и Л? (ф):
участок АВ
М (ф) = 2,68 • 2 A — С05 ф) = 5,36 (I — соз ф);
д(ф) = 2,688Шф; C.21)
N (ф) = 2,68 со$ ф;
участок ВС
М (ф) = 2,68 ■ 2 (I — со5 ф) — 1 • 2 [1 — сов (ф — 30°)];
С (ф) = 2,68 5т ф — 1 • ап (ф — 30°); C.22)
N (ф) = 2,68 С05 ф — 1 • со$ (ф — 30°);
участок ВС
М (Р) = 0,18 • 2 A — 005 Р) + 0,5-2 51п Р;
С (Р) = — 0,18 ап Р — 0.5 С05 Р; C.23)
N (Р) = 0,18 С08 Р — 0,5 51П р,
или, поскольку р = 180" — ф, то со5 р = —со5 ф, а $1п р = $1п ^ и тогда
М (ф) = 0,36 (I + С05 ф) + ап ф;
С (ф) = — 0,18 51П ф + 0,5 С05 ф; C.24)
Л? (ф) = — 0,18 С05 ф — 0,5 51П ф.
Выражения C.24) приведены для того, чтобы можно было осуществить
проверку, так как дифференцирование ведется по углу ф, который должен отсчиты-
ваться против часовой стрелки. Для вычислений же удобнее формулы C.23),
так как угол р острый, а ф — тупой.
3. Подставляя выражения C.21), C.22) и C.24) в формулы C.13) — C.15),
убеждаемся в их правильности. Например, для выражений C.24)
1 ам
Я йф
: -^ (— 0,36 ЯП ф + соБ 41) = ^ (ф);
75
йЫ
-п— = 0.185Шф —0,5со5ф = —С(ф); C.25)
:—0,18со5ф —0,5 51П ф = Л'(ф).
4. Пользуясь формулами C.21) — C.23), составляем таблицы значений М, ^
и М: табл. 6 — для участка АО; табл. 7 — для ОС; табл. 8 — для ВС-.
Откладываем вычисленные ординаты на эпюрах М, N ^^^ (рис. 87, б).
5. По веерам отложенных ординат обнаруживаем, что С обращается в нуль
только в сечении А. Значит, только для этого сечения касательные к эпюрам
М н N будут перпендикулярны к радиусу стержня.
На эпюре Л' кривая, мысленно проведенная через вершины ординат, два раза
проходит через нуль: на участке ОС и иа участке ВС. Пользуясь формулами
C.22) и C.23), находим угловые координаты этих точек:
на участке ОС
2,68 сох фо — со5 (фо — 30°) = 0;
2,68 со5 фо — сов 30^ ■ соз фо — 5т 30" • 51п ф^ = 0;
1,81 сох Фо = 0,5 51П Фо;
1,81
*б Фо = -тЬг- = ^'^2' "Ро = 74° 35'; 5Ш ф^ = 0,964,
значит,
Смаке = С Ы = 2.68 51П ф„ - 51П (Фо - 30") =
= 2,68 • 0,964 — 51П 44° 35' == 1,88 тс;
на участке ВС
0,18со5Ро —0.5 5тРо = 0; 18Ро = 0.36; Ро=19°45';
5шРо = 0,338; со5Ро = 0,941,
значит,
Смии = С(Ро)=—0.185шРо-0,5со5Ро==
= — @,18- 0,338 + 0,5-0,941) тс =—0,53 тс.
6. Откладываем ординаты С?„акс ^^ ^миа " проводим кривые эпюр (рис. 87, б).
7. Анализируем эпюры с точки зрения общих свойств:
а) в шарнирах А к В момент М = 0;
б) р сечении С приложен момент /И = 3 тс • м и на эпюре получается
скачок на эту величину;
в) в сечении С приложена сила 2 тс, чему на эпюре ^ отвечает скачок, а на
эпюрах М к N — переломы;
г) в сечении О приложена сила 1 тс, чему на опюре Л' отвечает скачок, а на
эпюре ^ — перелом;
д) в сечеиии А усилие ^= О н касательные в этой точке к эпюрам М к N
вертикальны (перпендикулярны к радиусу);
е) в сечениях ф = фд н Р=Ро усилие Л' = О и на эпюре ^ в этих сечениях есть
экстремумы;
ж) на участке АС усилие С? > О, Л1 возрастает, а Л' убывает (если двигаться
вдоль стержня в направлении отсчета ф, т. е. из точки А против часовой
стрелки); на участке СВ усилие ^ <. О, М убывает, а Л' возрастает;
з) на участке 0<ф<фоиО:^Р<Ро усилие Л' > О и С? возрастает, а на
участке между ф„ и Ро Л' < О и С убывает;
и) значения р и Л' в сечениях А н В соответствуют величинам опорных
реакций.
^ Здесь и далее цифры в квадратных скобках, помещенные в головках таблиц,
указывают значение соответствующей графы,
76
Таблица 6
1
Ф'
0
15
30
2
51П ф
0
0,259
0,500
3
СОЕ ф
1,000
0,966
0,866
4
1 — С05 (р
0
0,031
0,134
5
ЛГ((р) =
= 5 36 [4]
тс м
0
0,18
0,72
6 1 7
<Э((Р) =
= 2,Ь8 • [2]
= 2,68 • [3]
тс
0
0,69
1,34
2,68
2,59
2,32
Таблица 7
1
Ч,"
30
45
60
75
90
1
•р"
30
45
60
75
90
2
0
15
30
45
60
э 1
5,36 • [71
0,72
1,57
2,68
3,97
5,36
3
МП ф
0,500
0,707
0,866
0,966
1,000
10
2- [8]
0
0,07
0,27
0,59
1,00
4
С05 ф
0,866
0,707
0,500
0,259
0
11
Л1(ф) =
— [10]
тс • м
0,72
1,50
2,41
3,38
4,36
Б
51П (ф —
— 30<=)
0
0,259
0,500
0,707
0,866
12
2,68 ■ [3]
1,34
1,89
2,32
2,59
2,68
ь
С05(ф —
— 30'=)
1,000
0,9г6
0,866
0,707
0,500
13
С(Ф) =
= 112] -
— [5] тс
1,34
1,63
1,82
1,88
1,82
7
I — со*; ф
0,134
0,293
0,500
0,741
1,000
14
2.68 . [4]
2,32
1,89
1,34
0,69
0
8
1 — С08 X
Х(ф —30°)
0
0,034
0,134
0,293
0,500
15
Л/(ф) =
= [141-
— [6] тс
1,32
0,92
0,47
—0,02
—0,50
Таблица 8
1
Р
0
15
30
45
60
75
90
2
81п Р
0
0,259
0,500
0,707
0,866
0,966
1,000
а
€03 Р
1,000
0,966
0,866
0,707
0,500
0,259
0
4
1 — соз р
0
0,034
0.134
0,293
0,500
0,741
1,000
^
0,36 . [4]
0
0,01
0,05
0,11
0,18
0,27
0,36
е
М(Р) =
= 12] +
+ [5] тс • м
0
0,27
0,55
0,82
1,05
1,24
1,36
'
— 0,18 • [2]
0
—0,05
—0,09
—0.13
—0,16
—0,17
—0,18
77
Продолж. табл 8
1
Р
0
15
30
45
60
75
90
8
—0,5 . [3]
—0,50
—0,48
—0,43
—0,35
—0,25
—0,13
0
9 ) 10 1 и
+ [8] тс "-'8 ■ И
—0,50
—0,53
—0,52
—0,48
—0,41
—0,30
—0,18
0,18
0,17
0,16
0,13
0,09
0,05
0
-0.5 . [2]
0
—0,13
—0,25
—0,35
—0,43
—0,48
—0,50
12
ДА (Р) = [Ш] +
+ Г11]тс
0,18
0,04
—0,09
—0,22
—0.34
—0,43
—0,50
Если стержень имеет прямолинейные и криволинейные участки,
то на прямолинейных участках эпюры строят так, как для балок
или рам, а на криволинейных,— как было показано в предыдущем
примере.
§ 25. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИИ
ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
В конструкциях встречаются стержни, оси которых не лежат
в одной плоскости, а также и плоские системы, находящиеся под
воздействием пространственной нагрузки. В поперечных сечениях
таких систем могут
действовать все шесть
внутренних силовых
факторов: Л^, ^^, ^^, М„ Му,
Мг (см. рис. 40).
с методикой
построения эпюр в этом случае
познакомимся на
примере стержня, ось которого
представляет собой
пространственную ломаную
линию (рис. 88).
Условимся при переходе от
одного стержня системы
к другому совмещать ось
X с осью
рассматриваемого стержня, соответственно располагая положительные
направления осей у и г (рис. 88, а, б).
Эпюры изгибающих моментов по-прежнему будем строить на
сжатых волокнах, причем ориентировать их нужно так, чтобы
плоскость эпюры совпадала с плоскостью действия пары того
изгибающего момента, для которого она построена. Знак изгибающего
момента вводится произвольно и притом только в случае
необходимости записать соответствующее уравнение (как для плоских рам
Р»с. 88
78
и криволинейных стержней). Для продольных сил и крутящих
моментов сохраняются прежние правила знаков. Эпюры Л^ и Мир
могут быть ориентированы как угодно, но ординаты всегда
откладывают по нормали к оси стержня. Поперечные силы в сечении
считаем положительными, если их направления совпадают с
положительными направлениями осей у к г.
Построение начинаем с участка АВ. Для произвольного сечения,
находящегося на расстоянии х от точки В, определяем результат
действия сил, расположенных слева от сечения (т. е. силы Р и
равнодействующей распределенной нагрузки д):
N^0, д^=_^(/,_х); ^,= -Р■, М
кр-
.0;
М, =
дA1-х)^
(сжаты нижние волокна);_
м.^рИг
в сечении В (при л: = 0)
N = 0; д,=
■х) (сжаты левые волокна).
V/,; ^г=—Р^ Л1кр = 0;
Мг =
4
м,=ри
По этим данным строим эпюры для участка АВ (рис. 89). Пара
момента М^ действует в вертикальной плоскости ху, в этой
плоскости и ориентируем параболическую эпюру. Пара момента Му
действует в горизонтальной плоскости хг, в этой плоскости и
ориентируем треугольную эпюру Му.
Переходим к участку ВС. Проекцию на ось стержня дает только
распределенная нагрузка, значит N — д^ \\ эпюра Л^ на участке
ВС прямоугольна. Легко видеть, что ^2 = ^, г ^у = —Р,
следовательно, эпюра ^у прямоугольна.
Момент относительно оси стержня получается только от силы Р,
причем к верхней стороне любого сечения он приложен против
часовой стрелки (смотреть снизу вверх, т. е. против направления оси
79
х). в соответствии с принятым правилом знаков для крутящих
моментов на участке ВС
и эпюра Мкр здесь прямоугольна.
Эпюры изгибающих моментов Мд и М^ на участке ВС
прямолинейны, поскольку распределенной нагрузки на нем нет.
Следовательно, достаточно вычислить значения изгибающих моментов в
двух сечениях, например в В и С В сечении В момент М^ — О,
так как и сила Р и равнодействующая распределенной нагрузки
проходят через ось г этого сечения. В сечении С
М, = Я,.
Равнодействующая распределенной нагрузки момента М^ не дает
и в этом сечении, так как пересекает ось г сечения С. По этим
данным строим треугольник эпюры М^, (рис. 89) на сжатых волокнах,
располагая его в плоскости ху, в которой действует пара
изгибающего момента М^.
Для изгибающего момента Му в сечениях В и С
Сила Р не дает момента относительно осей у в сечениях В и С,
так как она параллельна этим осям. Следовательно, эпюра Му на
участке ВС прямоугольна. На рис. 89 прямоугольник построен
на сжатых волокнах и располагается в плоскости хг.
Осталось построить эпюры на участке СО. На ось х
проектируется только сила Р, причем она вызывает сжатие. Поэтому здесь
и эпюра продольных сил прямоугольна.
В произвольном сечении участка ^2 = О, а ^у = —дк,
следовательно, эпюра ^у прямоугольна.
Момент относительно оси х получается только от действия д
(Р параллельна оси х), причем, согласно принятому правилу знаков
для крутящих моментов, этот момент отрицателен:
л/1 1 к ^'1
Эпюра Мкр вновь получается прямоугольной.
Поскольку эпюры изгибающих моментов Му и М^ будут
прямолинейными, вычислим их значения только в двух сечениях — в
С и О:
в сечении С
М^~ Р • ВС = Р/г (сжаты нижние волокна);
Му — Р ■ АВ = Р11 (сжаты левые волокна);
80
в сечении О
М^ = Р ■ ВС + д11 • СО = 91^ + я1\1з (сжаты нижние волокна);
Му= Р • АВ — Р11 (сжаты левые волокна).
По этим данным строим прямоугольную эпюру изгибающего момента
Му в горизонтальной плоскости и трапециевидную эпюру
изгибающего момента М^ в вертикальной плоскости.
Пользуясь построенными эпюрами (рис. 89), можно в любом
сечении пространственного стержня найти величины и направления
м,=Р1г*д1,(,
М,'Р1,
Рис. 90
Рис. 91
изгибающих и крутящих моментов, продольной и поперечной сил.
В качестве иллюстрации показаны усилия и моменты в сечении О
(рис. 90).
Пример 11. Построим эпюры для пространственно загруженного
криволинейного стержня (рис. 91, а), расположенного в горизонтальной плоскости. Сечения
его (например, показанное на рисунке пунктиром прямоугольное) таковы, что
одна из главных центральных осей у совпадает с направлением радиуса,
проведенного в центр тяжести (ц. т.) сечения, а вторая — г — вертикальна.
Касательная к окружности дает для каждого сечения направление оси стержня (оси х).
Сила Р вертикальна, а вьешний момент М приложен в плоскости концевого
сечения А.
Таблица 9
1
2
3
4
5
6
ф°
8Ш ф
СО? ф
8000-[3!
^кр = [4!-6000
М = 8000-[2!
0
0
1
8000
2000
0
15
0,259
0,966
7730
1730
2070
30
0,500
0,866
6930
930
4000
45
0,707
0,707
5660
—340
5660
60
0,866
0,500
4000
—2000
6930
75
0,966
0,259
2070
—3930
7730
90
1
0
0
—6000
8000
В данном случае, чгобы построить эпюры, нужно ввести угловую координату
Ф и записать выражения для усилий и моментов. При этом проще рассматривать
проекцию стержня на горизонтальную плоскость (рис. 91, б). Ось г тогда
совпадает с точкой С и отмечена точкой в кружочке, а сила Р — с точкой А и
отмечена крестиком в кружочке; приложенный внешний момент представлен в виде
вектора-момента.
Рассмотрев результат действия приложенных к стержню сил в текущем
сечении С, получим
Л'(ф) = }]Х = 0; С.(Ф) = Р. С!;(ф) = 0;
Мг(ф) = ;^Мг==0.
81
Изгибающий момент М = Му и крутящий М — М^ от силы Р вычислим,
умножая Р на соответствующие плечи: АГ) = ^? 8Ш (ри/1^ = СС= ^?A — соб ф).
Чтобы вычислить составляющие М и М от действия момента М^,
перенесем мысленно вектор Мд в точку С (рис. 91, б). Проекции этого вектора на оси у
и X клЩ'^ соответственно составляющие изгибающего и крутящего моментов в
6С00\
Рис. 92
6000
(М)кессм
А
Рис. 93
гооор
сечении С. Придерживаясь принятого правила знаков для М и считая М
положительным, если он вызывает сжатие в нижних волокнах стержня, получим
следующее:
М («р) = Му (ф) = Р1^ 5Ш ф + М^ 51П ф = (РЦ + Л^^) 81П ф;
л^кр (ф) = Мж («р) = — Р^? A — С05 ф) + м^ со5 ф = (р;? + м^ С05 ф — я;?.
При Р = 200 кгс, М^ = 2000 кгс -см, Ц = 30 см
М (ф) = 8000 51П ф кгс • см;
Л1„р (ф) = (8000 соБ ф — 6000) кгс • см.
Составляем таблицу (табл. 9) и по полученным данным строим эпюры М и
Ж^р (рис. 92).
Иногда эпюры для пространственно загруженных криволинейных стержней
строят не на проекции стержня, как это сделано на рис. 92, а в перспективе
(рис. 93).
§ 26. НАПРЯЖЕНИЯ В СЕЧЕНИИ
Как уже говорилось (§ 14), в сечениях нагруженного стержня
действуют непрерывно распределенные по сечению внутренние
усилия. Приводя их к центру тяжести сечения, получаем главный век-
тор ^? и главный момент М, проекции которых на главные
центральные оси сечения у, г и ось стержня х дают величины Л^, ^у, 0^,
Му, М^, ЛГкр, называемые усилиями и моментами в сечении.
На рис. 94, а показаны распределенные по левой стороне сечения
усилия, являющиеся результатом действия правой части стержня
(изображена штриховой) на левую, их главный вектор /? и глав-
ный момент М. Вектор /? представляет собой некоторую сумму
усилий, распределенных по всей площади сечения.
Рассмотрим бесконечно малый элемент площади ёР (рйс. 94, б).
В силу малости элемента можно считать, что внутренние усилия,
приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и
82
направлению. Тогда равнодейст-
—>
вующая их с11^ будет проходить
через центр тяжести элемента ёР,
координаты которого равны у
и г. Следовательно, приводя эти
усилия к центру тяжести
элемента йР, получим главный
вектор ё^ и главный момент,
равный нулю.
Проекциями с//? на оси х, у, г
будут элементарная продольная г)
сила (^N и элементарные
поперечные силы (^^уЦ(^^^. Поскольку,
как было сказано, усилия на
элементе можно считать
распределенными равномерно, то,
разделив величины Ш, ё^у, и (^^;^ на площадь AР, получим величины
продольных и поперечных сил, приходящихся на единицу
площади:
C.26)
Рис. 94
у~ ар '
^г- ар •
Эти величины называют напряжениями в точке у, г проведенного
сечения стержня, причем
а — нормальное напряжение;
г — касательное напряжение.
Они измеряются в единицах силы, деленных на квадрат длины. В
расчетах а и т всегда будем выражать в кгс/см^ ^. При
экспериментальных исследованиях свойств материалов, а также в справочных
таблицах напряжения часто выражают в кгс/мм^.
Таким образом, напряжением называется внутренняя сила,
отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого
сечения.
Иногда кроме нормальных напряжений а и касательных г у, т^
рассматривают еще и полное напряжение
Р =
йК
АР
C.27)
т. е. величину полного усилия, приходящегося на единицу
площади. Очевидно,
р =. Уо^ -I- т^ + ^.
C.28)
^ Согласно СИ, напряжения, как и давление, измеряют в Паскалях (Па)
(см. § 13).
83
в общем случае нагружения тела напряжения различны в
разных точках сечения (как принято говорить, напряжения
распределены по сечению неравномерно), но встречается также и
равномерное распределение напряжений.
Понятие «напряжение» играет очень важную роль в расчетах
на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления
материалов отводится изучению способов вычислепня напряжений
а и т.
Нетрудно установить общие зависимости между о и т с одной
стороны и N, ^у, Сг. М,/, Мг И /Икр — С другой. Исходя ИЗ опре-
деленнй для усилий и моментов (§ 14) и учиаьшая формулы C.26),
имеем
Л/ = 5 ал/ ^ 5 аёР; C.29)
%=\^%=\\^^-^ C.30)
р р
^^==\й^,^\x,йр■, C.31)
р р
Л1^ = 5 г^Л/ == 5 агйР; C.32)
р р
Ж^ = I уй!Л/ == I суйР; C.33)
р р
Л^кр = \ {уй^, ~ гй^^) = I (ут, - 2т,) йР ^\ рхёР. C.34)
р р р
В последнем выражении т представляет собой полное
касательное напряжение в точке рассматриваемой площади:
=^ = /%^ = Кг^
ар — расстояние от центра тяжести сечения до линии действия ^^
(рис. 94, е).
Полученные выражения C.29) — C.34), устанавливающие связь
между напряжениями и внутренними усилиями, будем называть
статическими уравнениями или интегральными уравнениями
равновесия.
Хотя величины компонентов внутренних сил в любом сечении
стержня обычно легко определить, например из эпюр, однако для
практических расчетов полученные зависимости непосредственно
использовать нельзя, так как закон распределения напряжений по
сечению не известен. Следовательно, задача вычисления
напряжений всегда статически неопределима. Например, зНая величину
изгибающего момента /И^ в сечении, нельзя найти нормальные
напряжения из формул C.32). Все же, если, пользуясь теми или иными
84
соображениями, удается установить закон распределения а или т
по сечению, то по формулам C.29) — C.34) можно найти и сами
величины напряжений.
Выводить формулы для напряжений в стержнях будем всегда
по такой схеме:
1. Рассматриваем статическую сторону поставленной задачи,
т. е. записываем те из уравнений C.29) — C.34), которые нужны
для вывода.
2. Рассматриваем геометрическую сторону задачи: на основе
опытного изучения данного вида деформации стержня и
определенных гипотез (в частности, гипотезы плоских сечений) устанавливаем
зависимости между перемещениями точек стержня и их
положением в сечении относительно принятой системы координат. Эти
зависимости называют геометрическими уравнениями.
3. Рассматриваем физическую сторону: базируясь на
экспериментальном исследовании физических свойств материала,
определяем зависимость между напряжениями и деформациями (или
перемещениями). Эти зависимости называкп физическими уравнениями.
4. Проводим синтез, т. е. совместное решение уравнений,
полученных в п. 1—3, и путем исключения деформаций (или
перемещений) получаем формулы, выражающие напряжения через усилия
или моменты в сечении.
Глава 4
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
§ 27. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ.
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
Растяжение или сжатие стержня вызывается силами,
действующими вдоль его оси. В этом случае в поперечных сечениях стержня
из шести внутренних силовых факторов возникает только один —
продольная (осевая) сила Л^. Простейший случай растяжения
стержня и эпюра продольных сил показаны на рис. 95, а, б. Осевая сила
в сечении является равнодействующей возникающих в каждой из
точек сечения нормальных напряжений. Отсугствие поперечных
сил дает основание предположить, что касательные напряжения
в каждой точке поперечного сечения равны нулю.
Выведем формулу для определения нормальных напряжений.
При решении этой задачи будем придерживаться указанной в § 26
последовательности.
85
Рассечем стержень произвольным поперечным сечением п — п
(рис. 95, ё). Статическая сторона задачи выражается уже известньш
уравнением C.29):
N = 5 айР.
D.1)
Из уравнения D.1) нельзя определить величину а, так как закон
распределения последних в точках поперечного сечения не
известен.
Рассмотрим геометрическую сторону задачи. При наблюдении
деформации растяжения стержня, на поверхности которого
нанесены линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 95, а), можно
-р-^1г:^
Ж5
г:^.
:5г~:
Ас
I
-4г-
и"
ар
Рис. 95
отметить, что эти линии, смещаясь параллельно самим себе,
остаются прямыми и перпендикулярными к оси бруса. Предполагая, что
указанная картина перемещения сечений имеет место и внутри
стержня, приходим к гипотезе плоских сечений: поперечные
сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после
нее, перемещаясь поступательно вдоль оси стержня. Разобьем
теперь стержень на продольные Спараллельные оси стержня) элементы
бесконечно малых поперечных течений и будем в дальнейшем
называть их волокнами. На основании гипотезы плоских сечений следует
заключить, что все волокна удлиняются на одну и ту же величину
и их относительные удлинения е одинаковы:
N.
I
— СОП51.
D.2)
Это аналитическое выражение геометрической стороны задачи.
Физическая сторона рассматриваемой задачи заключается в
установлении зависимости деформаций от напряжений. При упругих
деформациях эта зависимость линейна и, как известно, называется
законом Гука:
е =
а
Т
или
\о = Ее\,
D.3)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем
продольной упругости, модулем упругости первого рода или
модулем Юнга. Модуль упругости — это одна из физических констант
материала. Измеряется модуль упругости в единицах напряжения.
86
Учитывая постоянство модуля упругости Е для однородного
и изотропного материала, а также выражения D.2) и D.3), находим,
что
а -= Е& = СОП84. D.4)
Подставляя выражение D.4) в формулу D.1), получаем
N = ^ ЕгёР = Ее \^ ар = ЕеР == аР, D.5)
откуда
а ~
_л/_
Р •
D.6)
^
54
<7=:
Т^
2 г
в
Рис. 96
.^Я
Знак напряжения зависит от знака продольной силы в
рассматриваемом сечении. В случае сжатия напряжения считают
отрицательными.
Отметим, что формула D.6) справедлива лишь для сечений,
достаточно удаленных от мест приложения сосредоточенных
нагрузок. Вблизи приложения нагрузок распределение напряжений
носит сложный характер и требует более точных методов исследования.
Определяя напряжения при растяжении, сжатии и при других
видах деформаций, в сопротивлении материалов, а также в теории
упругости широко пользуются следующим весьма важным
положением, носяш,им название принципа Сен-Вена-
на: если тело нагружается статически
эквивалентными системами сил, т. е. такими,
у которых главный вектор и главный момент
одинаковы, и при этом размеры области
приложения нагрузок невелики по сравнению с
размерами тела, то в сечениях, достаточно
удаленных от мест приложения сил,
напряжения мало зависят от способа нагружения.
Общего теоретического доказательства
принцип Сен-Венана не имеет, но его
справедливость подтверждается многочисленными
теоретическими и экспериментальными исследованиями
принцип на следующем примере.
Один и тот же стержень, закрепленный верхним концом (рис. 96),
нагружается на свободном конце статически эквивалентными
нагрузками, равнодействующие которых выражаются величиной
вектора Р. Нагрузки приложены различными способами: а — в виде
сосредоточенной осевой силы; б — в виде двух сил; в — в виде
распределенной нагрузки. Исследования показывают, что во всех
случаях в поперечном сечении, удаленном на расстояние,
превышающее в 1,5—2 раза его поперечные размеры, напряжения
практически одинаковы. В сечениях же, расположенных близко от места
приложения сил, величина напряжений и характер их
распределения различны.
Поясним этот
87
Перейдем к определению деформаций стержня. Из выражения
D.5) можно найти относительное удлинение:
N
ЕР
D.7)
В пределах призматического участка стержня длиной /,
выполненного из однородного материала {Е = соп81), в сечениях которого
действуют одинаковые продольные силы /V, удлинение каждой еди-
//^('/А///////, , , ницы длины одинаково и,
следовательно, абсолютное удли-
нение
^^'^^ \т ^ .
4==' л^^:*^.
Ш
М = е/
гг^рс
N1
ЕР
D.8)
^1^^
+—^
/+/)/
цЦг
Рис. 98
Формула D.8) выражает закон Гука для абсолютных удлинений.
Произведение ЕР.ъ знаменателе формулы называется жесткостью
1]рперекного сечения стержня при растяжении и с-жятщ и имеет
размерность силы. Величину /с = —р1 называют жесткостью
стержнЯ;___
"^ Если на рассматриваемом участке продольная сила и поперечное
сечение переменны (рис. 97, а — е), то для элемента бесконечно малой
длины их (рйс. 97, г) на основании формулы D.8) можно записать
Полное удлинение участка длиной / получим, суммируя
удлинения всех бесконечно малых участков:
D.9)
Заметим, что перемещение некоторого сечения относительно
другого равно ^^родольной деформации участка стержня,
заключенного между рассматриваемыми сечениями, и обозначается бук-
вой(Х)
Растяжение и сжатие сопровождаются изменением поперечных
размеров стержня (рис. 98). При растяжении они уменьшаются,
а при сжатии — увеличиваются.
По аналогии с продспьной деформацией разность
соответствующих поперечных размеров после деформации и до нее назовем а6-
солютной поперечной деформацией:
^ ^^'^^"''''' '^^1'"^ D-10)
При растяжении поперечные деформации отрицательны, а при
сжатии — положительны.
Разделив абсолютную поперечную деформацию на
соответствующий первоначальный размед. получим относительную пореррчную
деформацию, обозначаемук^З Относительная поперечная деформа-
ТШя~для~йзотропных материалов по всем поперечным направлениям
одинакова: ^__^^——-^ \
е' = ^ = -^. \ D.11)
Между поперечной 1ГгГродоль'ной_91н©бш-еяьными деформациями
при простом растяжении и сжатии в пределах применимости закона
Гука существует постоянное отношение. Абсолютная величина этого
отношения ьосит название коэффицуритп Рупгт^д и пбознячяется
буквой (и^)
D.12)
^1
Коэффициент Пуассона — безразмерная величина.
Учитывая, что продольная и поперечная деформации всегда
имеют противоположные знаки, получаем
8'=—Ц8, D.13)
или, согласно формуле D.3),
е' = —ц-|г. ^„,„!,-,улул.^ |-р«?D.14)
При сжатии напряжение в формулу D.14) следует подставлять бо
знаком «минус».
Коэффициент Пуассона ц наряду с модулем упругости Е
характеризует упругие свойства материала. Для всех изотропных
материалов значения коэффициента Пуассона лежат в пределах 0—0,5.
В частности, для пробки р, близок к нулю, для каучука — к 0,5,
для стали ц яь; 0,3. Значения модулей упругости Е и коэффициентов
[X для некоторых материалов приведены в приложении 9.
§ 28. ^?СЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ И ЖЕСТКОСТИ.
ВИДЫ РАСЧЕТОВ
Основная задача сопротивления материалов — обеспечить
надежные размеры деталей, подверженных тому или иному силовому,
температурному или другому воздействию. Такие размеры можно
определить из расчета на прочность и жесткость. В большинстве
случаев основным бывает расчет на прочность.
Рассмотрим условия прочности и жесткости для случаев
простого растяжения и сжатия.
89
Отметим прежде всего, что опасность наступления разрушения
характеризуется не столько величинами внутренних усилий и
моментов в сечении, сколько величинами наибольших нормальных
и касательных напряжений, а также их комбинацией, которые
действуют в опасных (т. е. наиболее напряженных) точках сечения.
Физически очевидно, что сколь угодно большие напряжения
материал выдерживать не в состоянии. Поэтому величины наибольших
напряжений из условия надежности работы детали необходимо
ограничивать некоторыми допустимыми значениями. Их называют
допускаемыми напряжениями. При растяжении и сжатии
допускаемые напряжения обозначают соответственно [ол-] и [о-], при
сдвиге — [т] ^
I. Если известны допускаемые напряжения и есть формулы,
выражающие напряжения через усилия и моменты в сечении, то в
принципе рассчитать на прочность можно любую деталь.
В случае 4>астяжения или .^жатия стержня находят опасные
сечения, в которых напряжениядбСТигают наибольших значений
по абсолютной величине, и для этих сечений записывают! услови'е
^
эочностн
■I /^ , л/ ^
D.15)
При растяжении в правую часть этого условия подставляют
допускаемое напряжение на растяжение [о^], а при сжатии
^—допускаемое напряжение на сжатие [а_].
Используя условие прочности D.15), можно решать три типа
задач:
1) по известным нагрузкам для выбранного материала найти
надежные с точки зрения прочности размеры поперечного сечения
стержня (проектировочный расчет);
2) по известным размерам и материалу детали проверить,
может ли она выдержать заданную нагрузку (проверочный расчет);
3) по известным размерам детали, материалу и схеме загруже-
ния определить допустимую величину нагрузки.
В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы
машин и сооружений размеры их деталей нужно выбирать так, чтобы
обеспечивалось условие жесткости. При растяжении (сжатии)
\^ловиед<есткости\ имеет следующий вид:
'^'-21^^<№
D.16)
где А^ — изменение размеров детали;
1А.1] — допускаемая величина этого изменения.
Напомним, что расчет по условию жесткости всегда следует
дополнять расчетом на прочность. Если условие жесткости выпол-
* Некоторые соображения о выборе допускаемых напряжений будут даны в
§34.
90
нено, а условие прочности не удовлетворяется, то задачу
необходимо решать из условия прочности.
Аналогично ведут расчет на прочность и жесткость при других
видах простых деформаций стержня. Соображения о расчете на
прочность при сложных напряженных состояниях изложены в
гл. 7.
§ 29. ИСПЫТАНИЕ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ
При проектировании и расчетах на прочность, жесткость и
устойчивость элементов механизмов, машин и сооружений необходимо
знать свойства материалов. Поэтому материалы испытывают на
растяжение, сжатие, сдвиг, кручение,
изгиб и твердость. Подробные описания
всех видов механических испытаний, а
также применяемых при этом машин и
приборов приведены в специальных
курсах и руководствах к лабораторным
работам по сопротивлению материаловЧ
Ограничимся лишь кратким описанием
некоторых распространенных видов
механических испытаний и получаемых при
этом результатов.
Одним из основных видов испытаний
материалов является испытание на
растяжение, так как при этом обнаруживаются наиболее важные их
свойства. Из испытуемого материала изготовляют специальные
образцы. Чаще всего их делают цилиндрическими (рис. 99, а); из
листового металла обычно изготовляют плоские образцы (рис. 99, б).
В цилиндрических образцах должно быть вьщержано
соотношение между расчетной длиной образца 1^ и диаметром й^: у длинных
образцов /о = Ю^о, у коротких 1^ = Ьйд. Эти соотношения можно
выразить в несколько иной форме. Учитывая, что
Рис. 99
^=/-^=1'13">^^«'
D.17)
где Р„ — площадь поперечного сечения образца, получаем
для длинного образца
/о==11,31/То;
для короткого образца
1, = 5,65 УК- D.18)
Чтобы соблюсти подобие при испытаниях, эти соотношения нужно
выдерживать и для плоских образцов.
В качестве основных применяют образцы с диаметром
йо = 10 мм; при этом рабочая длина 1^ = 100 мм. Допускается
^ См., например, А. М. Афанасьев, В. А. Марьин. Лабораторный
практикум по сопротивлению материалов. 2-е изд. М., Наука, 1975.
91
Рис. 109
применение образцов и других диаметров при условии, что рабочая
длина их /о = 10 ^о или 4 = 5^о- Такие образцы называют
пропорциональными.
Диаграммы растяжения. Для испытаний на растяжение
применяют разрывные машины, позволяющие в процессе испытания
определять усилия и соответствующие им деформации образца. По
этим данным строят первичную диаграмму растяжения, в которой
по оси ординат откладывают усилия, а по оси абсцисс —
соответствующие им удлинения. Диаграмма растяжения может быть полу-
^„^^^-1.^»^^^^ ^ автоматически при
■'помощи специальных
диаграммных аппаратов.
Характер диаграммы
растяжения зависит от свойств
испытуемого материала.
Типичный вид такой
диаграммы для
малоуглеродистой стали изображен на
рис. 100.
Рассмотрим
характерные участки и точки этой
диаграммы, а также
соответствующие им стадии
деформирования образца.
От начала нагружения до определенного значения
растягивающей силы имеет место прямая пропорциональная зависимость
между удлинением образца и силой. Эта зависимость на диаграмме
выражается прямой О А. На этой стадии растяжения справедлив
закон Гука.
Обозначим силу, при которой закон пропорциональности
прекращает свое действие, через Рпц. Этому значению силы на
диаграмме соответствует точка^Л. Напряжение, вызванное силой Рпц,
называется ^гфебелом 'пропорщональности] и вычисляется по фор-
• Г/ ..--'^
Таким образом, пределом пропорциональности называется
напряжение, после которого нарушается закон Гука.
Как уже указывалось, деформация называется упругой, если она
полностью исчезает после разгрузки. Допустим, что постепенно
повышая нагрузку Р, будем при каждом ее значении проводить
полную разгрузку образца. Пока сила Р не достигнет определенной
величины, вызванные ею деформации будут исчезать при разгрузке.
Процесс разгружения при этом изобразится той же линией, что и
нагружение.
Обозначим через^^^уп наибольшее значение силы, при котором
образец еще не дает пргкразгрузке остаточной деформации. Этому
92
значению на диаграмме соответствует точка В, а упругой стадии
рагтяжрния пбрячття — участок диаграммы _0Д.
■ ТТаибольшее напряжение^ до которого остаточная деформация
при разгрузке не обнаруживается, называете^пределом упригости.')
Эго напряжение вызывается силой Ру„ и определяется по фор"муле
D.20)
Предел упругости является характеристикой, не связанной
с законом Гука Точка В может располагаться как выше, так и
ниже точки А. Эти точки, а следовательно и
значения напряжений о'пц и Оуп, близки друг
к другу и обычно различием между ними
пренебрегают.
После точки А при дальнейшем
растяжении образца кривая растяжения становится
криволинейной и плавно поднимается до
точки С, где наблюдается переход к
горизонтальному участку СО, называемому площадкой
текучести. На этой стадии растяжения
удлинение образца растет при постоянном
значении растягиеающей силы, обозначаемой
через Рт- Такой процесс деформации,
называемый текучестью материала, сопровождается
остаточным (пластическим) удлинением, не
исчезающим после разгрузки,
Таким образом^!(^ё^^1^к^чео7шо,Лко-
зывается наименьшее напряжение, при тто-
ром деформация образца происходит при
постоянном растягивающем усилии. Величина
предела текучести вычисляется по формуле
а, = -^. D.21)
Начало пластической деформации соответствует наступлению
некоторого критического состояния металла, которое можно
обнаружить не только по остаточным деформациям, но и по другим
признакам. При пластической деформации повышается температура
образца; у стали изменяются электропроводность и магнитные
свойства; на полированной поверхности образцов, особенно плоских,
заметно потускнение, являющееся результатом появления густой
сетки линий, носящих название линий Чернова (линий Людерса).
Последние наклонены к оси образца приблизительно под углом
45° (рис. 101, а) и представляют собой микроскопические
неровности, возникающие вследствие сдвигов в тех плоскостях
кристаллов, где действуют наибольшие касательные напряжения. В
результате сдвигов по наклонным плоскостям образец получает остаточные
деформации. Механизм образования их упрощенно показан на
рис. 101, б.
Рис. 1Ф1
93
После стадии текучести материал вновь приобретает способность
увеличивать сопротивление дальнейшей деформации и
воспринимает возрастающее до некоторого предела усилие. Этому отвечает
восходящий участок ОЕ (рис. 100) кривой растяжения, называемый
участком упрочнения. Точка Е соответствует наибольшему усилию
Рмякг. которое может воспринять образ§1и_
ТТапряжение, соответгтвуюшрр. мпкг.ималычой гипр. Р„щ.„, илг__
мшается\времгнным сопротивлением <з^ или пределом прочности \
[апчГ^Его вычисляют по формуле.
3
D.22)
До этого момента удлинения распределялись равномерно по всей
длине /о образца, площади поперечных сечений расчетной части
образца изменялись незначительно и также равномерно по длине.
Поэтому для вычисления Опц, Оуп, о^ и о" в
расчетные формулы вводилось первоначальное
значение площади /^0-
- После достижения усилия Рмакс при
дальнейшем растяжении образца деформация
происходит, главным образом, на небольшой
длине образца. Это ведет к образованию местного сужения в виде
шейки (рис. 102) м к падению силы Р, несмотря на то что
напряжение в сечении шейки непрерывно растет. Падение растягивающей
силы Р наблюдается лишь при испытании образца в машине,
ограничивающей скорость нарастания деформации. При нагруженин
путем подвешивания грузов разрушение произойдет при
постоянной нагрузке, но со все возрастающей скоростью деформации.
Обозначив через Р^ величину растягивающей силы в момент
разрыва, получим
D.23)
Определяемое таким образом напряжение при разрыве образца
весьма условно и не может быть использовано в качестве
характеристики механических свойств стали. Условность состоит в том,
что получено оно делением силы в момент разрыва на
первоначальную площадь поперечного сечения образца, а не на действительную
его площадь при разрыве, которая значительно меньше начальной
вследствие образования шейки.
Основными характеристиками упругости и прочности
материалов, используемыми в практических расчетах, являются предел
упругости Оуп, предел текучести о^ и временное сопротивление
(предел прочности) а^ (Опч). Для малоуглеродистой стали,
имеющей площадку текучести, например для стали Ст2, эти
характеристики следующие: Оуп = 2000 кгс/см*, о^ = 2200 -4-
-г- 2600 кгс/см^, Оз =- 3400 -г- 4200 к^с/см^
Для металлов, не имеющих площадки текучести, предел
текучести определяют условно как напряжение, при котором остаточная
деформация составляет величину, установленную ГОСТом или тех-
94
ническими условиями. По ГОСТ 1497—73 величина остаточной
деформации составляет 0,2% от измеряемой длины образца. Условные
пределы текучести отмечают нижним индексом в соответствии с
заданной величиной деформации, например: Оо,2.
Учитывая, что практически трудно установить начало
отклонения от закона пропорциональности и начало появления первых
остаточных деформаций, вводят также понятия условных предела
пропорциональности и предела упругости.
Условным пределом пропорциональности называют наименьшее
напряжение, при котором отклонение от линейной зависимости
между напряжением и деформацией достигает некоторой величины,
устанавливаемой техническими условиями (например 0,002% от
измеряемой длины образца).
Условным пределом упругости называют наименьшее
напряжение, при котором остаточная деформация достигает заданной
величины (обычно 0,001 % — 0,05% от измеряемой длины образца).
Его отмечают нижним индексом в соответствии с заданной
величиной остаточной деформации (например, о'о,оо1 и Оо,о5).
Важнейшие механические характеристики некоторых широко
применяемых материалов приведены в приложениях 2—8.
Разгрузка и повторное нагружение. Как уже было сказано, если
при усилии растяжения, вызывающем напряжение не выше
предела упругости, прекратить нагружение, а затем разгружать
образец, то процесс разгрузки изобразится на диаграмме линией,
практически совпадающей с линией нагрузки. После окончательной
разгрузки образца его удлинение полностью исчезнет. Повторное
нагружение на диаграмме пойдет по той же линии ОБ, полученной
при первом нагружении образца.
Иначе будет, если к началу разгрузки напряжение в образце
превышает предел упругости. Произведя разгрузку, например,
после достижения силой значения, изображаемого ординатой точки М
(рис, 100), заметим, что процесс разгрузки на диаграмме описывается
уже не кривой, совпадающей с кривой ОАВСОМ нагружения, а
прямой МЫ, параллельной прямолинейному участку ОА
диаграммы. Удлинение А/', полученное образцом до начала разгружения,
при разгрузке полностью не исчезнет. Исчезнувшая часть
удлинения на диаграмме изобразится отрезком А1у„, а оставшаяся —
отрезком А/о. Следовательно, полное удлинение образца за
пределом упругости состоит из двух частей — упругой и пластической:
М' = М'уп + А/^.^ ^^^^ .^,^лд^-
Так будет вплоть до разрыва образца. После разрыва упругая
составляющая полного удлинения в обеих частях образца (отрезок
А/уп) исчезает. Оставшееся удлинение изображается отрезком А^.
Будем вновь нагружать образец, который был растянут силой,
вызвавшей в нем напряжение выше предела текучести, а затем
разгружен. При этом окажется, что линия повторного нагружения
95
почти совпадает на диаграмме с линией разгрузки МЫ. Предел
пропорциональности повысится и станет приблизительно равным
тому напряжению, до которого первоначально был растянут
образец. При дальнейшем увеличении растягивающей силы кривая
диаграммы совпадет с МЕР. Часть диаграммы, расположенная левее
линии ЫМ, окажется отсеченной, т. е. начало координат
переместится в точку Л^. Остаточное удлинение после разрыва будет меньше,
чем в образце, не подвергавшемся предварительной пластической
деформации.
Таким образом, предварительная вытяжка за предел текучести
изменяет некоторые механические свойства стали — повышает
предел пропорциональности и уменьшает остаточное удлинение после
разрыва, т. е. делает ее более хрупкой. Изменение свойств
материала в результате деформации за пределом текучести называется
наклепом. В .некоторых случаях явление наклепа нежелательно и его
стремятся устранить, в других же, наоборот, наклеп полезен и его
создают искусственно.
Относительное удлинение и суже! ие после разрыва. Полное
удлинение, полученное образцом перед разрушением, уменьшится
после разЩгШ, так как в частях образца исчезнут упдуие
деформации./_0^о^т^бн^З^!^242ш1а1М11113^11М^^2_Ю называют
отношение в процентах приращения расчетной длины образца после
разрыва к его первоначальной длине^^^^.^.^ис*^-**'*'*-*-*^
Относительное удлинение после разрыва характеризует
пластичность материала. В зависимости от величины этого удлинения
материалы делят на пластичные и хрупкие. Для первых можно
условно принять 6 > 5%, а для вторых — 6 < 5%. К пластичным
материалам относят малоуглеродистую сталь, медь, свинец и другие,
а к хрупким — закаленную сталь, чугун, стекло, камень, бетон
и др. Например, для углеродистой стали марки Ст2 относительное
удлинение после разрыва б яг:) 31%. ^ .
{ 0тносйш^ьнбЗ~ТС1ЖШП.е обрпяца ппслр. рп^рыла^У определяется
делением абсолютного уменьшения площади поперечного сечения
в шейке на первоначальную площадь и выражается в процентах
от начальной площади поперечного сечения:
4^ = -^. 100%. D.25)
Чем больше относительное сужение после разрыва, тем пластичнее
материал. Например, для мягкой углеродистой стали марки Ст2
^ = 55-ь65%.
Относительное удлинение 6 и относительное сужение Ч*" являются
характеристиками пластичности материала. Они в определенной
степени условны, так как приращение длины в формуле D.24) и
уменьшение площади поперечного сечения образца в выражении
D.25) относят к первоначальной длине и первоначальной площади
96
поперечного сечения. В действительности пластическая
деформация развивается на непрерывно изменяющейся длине образца.
Обозначая через (II приращение длины I образца в данный момент
испытания, находим так называемое истинное относительное
удлинение:
1„
I -^ = 1п -^ . D.26)
Здесь /о и /к соответственно начальная и конечная длины образца.
Поскольку
^к == /о + А' и 6
то
е=,1п-Ц:-^=1пA-Ьб).
•о
Разлагая правую часть этой формулы в ряд по степеням б, получ! м
е=1пA+б)==б~-|-4--|-- ••• .
Как видим, при малых значениях б условная и истинная
деформации практически совпадают. Так, уже при б = 10% истинное
удлинение е = 9,95%.
Аналогично можно определить истинное поперечное сужение:
% = -|4 = 1п-А.=.1п^^=,п -^. D.27)
Как показывают опыты, при пластической деформации объем тела
не изменяется:
или
'о ^ к
Отсюда следует, что % = е.
Работа деформация. Кроме названных уже характеристик
механических свойств материала диаграмма растяжения дает
возможность определить еще и энергетические его характеристики.
Величина площади диаграммы растяжения в координатах
Р — Д/ характеризует работу, затраченную на разрыв образца.
Это можно показать следующим образом.
Пусть некоторой растягивающей силе Р соответствует
деформация % образца (рис. 103). Дадим силе Р бесконечно малое
приращение АР, при этом деформация получит приращение АХ, Очевидно,
4 8—2770 97
работа внешних сил на этом перемещении
AА = {Р + AР)аК^Рй1.
Работа, затраченная на растяжение образца до удлинения Я,1,
Л = [ рак. D.28)
о
Как видно из рис. 103, интеграл представляет собой площ,адь
0АВСОМ1\10 диаграммы растяжения. Работа, затраченная на
разрыв образца, будет равна
всей плош,ади ОАВСОЕРОО
диаграммы растяжения.
Рис. 103
Рис. 194
В пределах упругости полная работа деформации выражается
площ,адью треугольника (рис. 104, а):
Луп —
D.29)
Разделив полную работудеформ_а11.ии А ня_^ъем рабочей у^от]^
образца, получим^дельн1/ю_^аботТ^^еформсшт^т. е. работу,
затраченную на деформиро1&шщё12диниць1 объема материала:
4^ *УУ^ • Г^~ ^^- D.30)
Подставив в формулу D.30) значение А из формулы D.29) и V =
= /^о'о. получим
РА/ 06 /л 01\
Удельная работа деформации в пределах упругости выражается
площадью треугольника на диаграмме о — е (рис. 104, б).
Удельная работа деформации характеризует способность
материала сопротивляться ударному действию нагрузки: чем больше
удельная работа деформации до разрыва, тем лучше материал
сопротивляется ударным нагрузкам.
Диаграмма растяжения в координатах а — е. Вид диаграммы
растяжения в координатах Р — М зависит не только от свойств
материала, но и от размеров испытуемого образца.
98
Чтобы получить диаграмму, характеризующую только
механические свойства материала, первичную диаграмму растяжения
перестраивают в координатах о — е. Ординаты такой диаграммы
получают делением значений растягивающей силы на первоначаль-
( р\
ную площадь поперечного сечения образца I о = -^-1, а абсциссы —
делением абсолютных удлинений расчетной части образца на
первоначальную ее длину (е = -—-|. В частности, для характерных
точек диаграммы ординаты вычисляют по формулам D.19) — D.23).
Диаграмма в координатах о — е, соответствующая первичной
Рис. 105
диаграмме (рис. 100), изображена на рис. 105, а. Точкам О, А, В,
С, О, Е, Р первичной диаграммы соответствуют точки О, а, Ь, с,
й, е, / диаграммы о — е.
Из диаграммы о —^ е видно, что
4ё« = -^ = ^,
D.32;
т. е. модуль упругости при растяжении равен тангенсу угла
наклона прямолинейного участка диаграммы к оси абсцисс.
Площадь диаграммы напряжений о —^ е в соответствующем
масштабе равна удельной работе деформации.
Нисходящий участок е/ диаграммы носит условный характер,
поскольку действительная площадь поперечного сечения образца
после образования шейки и первоначальная площадь, по которой
определяют ординаты диаграммы, значительно отличаются друг от
друга. Деля величину силы на действительную площадь
поперечного сечения образца, можно получить значения истинных
напряжений и построить соответствующую диаграмму (рис. 105, а
—штриховая линия).
Так как после образования шейки относительная продольная
деформация распределяется по длине образца неравномерно, то
истинные диаграммы принято строить в таких координатах:
относительное сужение Ч'поперечного сечения в шейке—истинное
4» 99
а р. и Р. — соответствен-
5 1ТГ ^0 — ^1 с ^<
, где Ч^ = —-р , о = -~р-,
но усилие и наименьшая площадь поперечного сечения в данный
момент испытания.
Кривая истинных напряжений при растяжении
малоуглеродистой стали представлена на рис.. 105, б. Точке В соответствует
начало возникновения остаточной деформации и истинное
напряжение, являющееся пределом текучести. Точке Е отвечает наибольшая
сила Рмакс, которую выдержэл образец во время испытания. По
ней определяется величина истинного временного сопротивления
5в. Деформация образца от начала растяжения до момента,
отвечающего точке Е, равномерна по длине образца. Абсцисса точки
Е (^е) представляет наибольшее
равномерное сужение. Точка /< диаграммы
е
кгс/сн'
вЬос
6000
4000
2000
-4
/3
2
1
^
"
Ь
кгс/ш
1200
есс
400
в
1
1
г
п
1
Н
Г
—
о 0С01 О002 0003 0.004 с
Рис. 106
о 0,002 о,оо^е
Рис. «07
соответствует моменту разрыва образца. Ее абсцисса
представляет собой наибольшее сужение сечения ^„, а ордината —
истинное сопротивление разрыву 5^. Как видно из истинной
диаграммы, сопротивление пластическому деформированию растет вплоть
до момента разрушения.
Для определения механических характеристик на практике
используют условные диаграммы растяжения в координатах о — е.
Посгроение диаграмм истинных напряжений значительно сложнее,
и служат они главным образом целям теоретических исследований.
Заметим еще, что площадка текучести есть у сравнительно
немногих металлов — малоуглеродистой стали, латуни и некоторых
отожженных марганцовистых и алюминиевых бронз. Большинству
же металлов свойственен постепенный переход в пластическую
область. Для сравнения на рис. 106 изображены диаграммы
растяжения нескольких металлов: кривая 1 — бронзы {о^ = 2470 кгс/см^,
6 = 36%); 2 — углеродистой стали (Од = 3580 кгс/см^, б = 38%);
5 — никелевой стали (о^ = 7150 кгс/см^, б = 54%) и 4 —
марганцовистой стали (о'в = 9160 кгс/см^, б = 30%).
Разрыв образцов из хрупких материалов происходит при весьма
незначительном удлинении и без образования шейки. На рис. 107
приведена диаграмма растяжения серого чугуна СЧ 28-48,
типичная для таких материалов. Диаграмма не имеет выраженного на-
400
чального прямолинейного участка. Однако, определяя деформации
в чугунных деталях, все же пользуются формулой, выражающей
закон Гука. Значение модуля упругости Е находят как тангенс угла
наклона прямой, проведенной через начальную точку О диаграммы
и ючку В, соответствующую напряжению, при котором определяют
деформацию. Такой модуль называют секущим.
§ 30. кекотоё>ыё другие виды механических испытании
Испытания на слатие, несмотря на их простоту, проводят реже,
чем на растяжение. Объясняется з.то следующим.
Для пластичных материалов модуль упругости Е, предел
упругости и предел текучести при сжатии примерно те же, что и при
растяжении. Напряжение, соответствующее разрушающей силе, при
сжатии пластичных материалов получить нельзя, так как образец
не разрушается, а превращается в диск и сжимающая сила
постоянно возрастает. Характеристики, аналогичные относительному
удлинению и относительному сужению при разрыве, при испытании
пластичных материалов на сжатие также нельзя получить.
Испытанию на сжатие подвергают главным образом хрупкие
материааы, которые, как правило, лучше сопротивляются сжатию,
чем растяжению, и применяются для изготовления элементов, рабо-
Р \Р
Рис. 109
Рис. {^0
тающих на сжатие. Для их расчета на прочность необходимо знать
характеристики материала, получаемые при испытании на
сжатие.
Испытание материалов на сжатие проводят на специальных
прессах или универсальных испытательных машинах. Для этого
изготовляют образцы в виде цилиндров небольшой высоты (обычно от
одного до трех диаметров) или кубиков. Трение, возникэюшее во
время испытания на сжатие между плитами машины и торцамп
образца, существенно влияет на результаты испытания и на характер
разрушения. Цилиндрический образец из малоуглеродистой стали
принимает при этом бочкообразную форму (рис. 108). Диаграмма
сжатия, полученная испытанием образца из такого материала,
изображена на рис 109. На рис. 110, а показан харакгер разрушения
образца из камня под действием сжимающих усилий Р при наличи-!
{01
сил трения между плитами машины и торцами образца. Если
) меньшить силы трения, нанеся слой парафина на торцы образца,
разрушение произойдет иначе (рис. ПО, б): образец даст трещины,
параллельные направлению сжимающих сил, и расслоится. Как
образец из камня, разрушается бетонный образец.
Разрушение при сжатии чугунного образца происходит
вследствие сдвига одной части образца относительно другой (рис. П1).
Диаграмма сжатия чугуна показана на рис. П2.
е
кгс,Ы
3000
2000
1000
Рис. 1^1
С 0,002 от Е
Рис. {12
Рис. {13
Древесина, являющаяся анизотропным материалом, при
сжатии, как и при растяжении, обладает различной прочностью в
зависимости от направления сжимающей силы по отношению к
направлению волокон. На рис. ИЗ изображены диаграммы сжатия
двух кубиков из древесины одной породы. Кривая / иллюстрирует
сжатие кубика вдоль волокон, а кривая 2 — поперек волокон.
Таблица 10
Материал
Чугун серый обыкно
"веж кгс/см^
6000—10 000
1200—2600
80—300
70—500
1300—2500
1500—1800
Л1атериал
Сосна (при 15%
влажности)
вдоль волокон . .
поперек волокон . .
Дуб (при 15%
влажности)
вдоль волокон . .
поперек волокон. .
"б еж кгс/см^
400
50
500
150
При сжатии вдоль волокон древесина значительно прочнее, чем при
сжатии поперек волокон. При сжатии вдоль волокон образец
разрушается вследствие сдвига одной части относительно другой, а при
сжатии поперек волокон древесина склонна к прессованию и не
всегда удается определить момент начала разрушения.
В табл. 10 приведены значения временного сопротивления при
сжатии некоторых материалов.
102
Определеиие твердости материалов. В некоторых случаях для
оценки величины временного сопротивления можно
воспользоваться косвенным методом, в частности измерением твердости.
Твердостью материала называют способность оказывать
сопротивление механическому проникновению в его поверхность другого,
более твердого тела. Для определения твердости чап1,е всего в
поверхность материала с определенной силой вдавливают тело (инден-
тор) в виде шарика, конуса или пирамиды. По размерам
полученного отпечатка судят о твердости испытуемого материала.
Наиболее распространенным способом определения твердости
является способ Бринелля. Стальной закаленный шарик диаметром
О (рис. 114) вдавливается в
испытуемый образец (изделие) под действием
нагрузки Р, приложенной в течение
определенного времени. После удаления
нагрузки измеряется диаметр отпечатка,
оставшегося на поверхности образца.
Число твердости по Бринеллю НВ
определяется делением нагрузки Р кгс на
площадь поверхности сферического
отпечатка, мм^, и может быть вычислено
по формуле
"~я:0@ —КБ2_^2)' D.33)
где Р — нагрузка, кгс;
О — диаметр шарика, мм;
й — диаметр отпечатка, мм.
Число твердости выражается в кгс/мм*, хотя обычно единицу
не указывают.
Если твердость измеряют шариком 0= 10 мм под нагрузкой
Р = 3000 кгс с выдержкой ^ == 10 с, то число твердости по
Бринеллю сопровождают обозначением НВ, например НВ 300. При
других условиях определения твердости число твердости
сопровождают индексами в следующем порядке: диаметр шарика, нагрузка
и продолжительность выдержки. Например, НВ 5/250/30 — 200
означает число твердости по Бринеллю B00) при испытании
шариком О = 5 мм под нагрузкой Р = 250 кгс, приложенной в течение
^ = 30 с.
Если твердость материала НВ >. 400 кгс/мм^, то определить ее,
вдавливая шарик, нельзя в связи с заметной деформацией
последнего. В этих случаях вместо шарика вдавливают аамазный конус
(по Роквеллу) или алмазную пирамиду (по Виккерсу). Применяюг
и другие способы. Например, твердость определяют по высоте
отскока бойка, падающего с определенной высоты на поверхность
испытуемого материала; по периоду качаний маятника,
упирающегося в поверхность материала.
Твердость, полученная различными методами, при помощи
специальных таблиц может быть переведена в твердость по Бринеллю.
103
Определение твердости — весьма распространенное испытание,
что объясняется его чрезвычайной простотой. Твердость можно
определять и непосредственно в условиях произвсдсгва на готовых
изделиях, так как остающиеся отпечатки во мно! их случаях не
1юр1ят изделия.
Опытным путем установлено, что для некоторых материалов
существует определенная связь между числом твердости по Бринеллю
и временным сопротивлением при разрыве. Например, для
малоуглеродистой стали 0в ;=* 0,36/УБ; для стального литья 0^ = @,3-ь
-^- 0,4) НВ, для серого чугуна о^ = ^ .
§ 31. гтитт о механизме образований деформаций
Различные виды механических испытаний металлов дают лишь
внешнее представление о характере упругой и пластической де-
4ормации. Приведем краткое и упрощенное изложение совреглен-
ьых представлений о процессах, происходящих в металлах при
таких деформациях.
Как известно, металлы ил5еют кристаллическую структуру. При
затвердевании металла в расплаве одновременно возникает мно-
ю центров кристаллизации, вследствие чего рост каждого
кристалла стеснен соседними. В результате технический металл состоит
из большого числа кристаллов неправильной огранки, называемых
кристаллитами или кристаллическими зернами. Относительно друг
друга кристаллические зерна ориентированы самым различным
образом. Вместе с тем в каждом из них атомы расположены
совершенно определенно и образуют так называемую кристаллическую
решетку, состоящую из повторяющихся одинаковых ячеек.
Атомы электрически нейтральны, так как отрицательные заряды
электронов, вращающихся вокруг ядра, нейтрализованы его
положительным зарядом. В металлах при достаточном сближении ато-
люв возникает возможность отрыва валентного электрона одного
атома положительно заряженным ядром другого, у этого —
следующим и т. д. Таким образом, часть валентных электронов начинает
перемещаться вокруг ядер всех взаимодействующих атомов. Эти
электроны называются свободными, поскольку не связаны с
определенными атомами. Металл можно представить себе как постройку
из нейтральных атомов и ионов, находящихся в атмосфере
электронного газа, который как бы стягивает ионы. Связь между атомами,
осуществляемая электростатическими силами в результате
взаимодействия положительных ионов и электронного газа, называется
металлической. Поскольку эти атомы по своей природе одинаковы,
то расположиться они должны на таких расстояниях друг от друга
и в таких точках пространства, где действующие на них силы
притяжения и отталкивания были бы равны. В результате происходит
закономерное расположение атомов, наблюдаемое в
кристаллической решетке.
104
Кристаллическую решетку образуют воображаемые линии и
плоскости, проходящие через точки пространства, в которых
располагаются ионы металла. Более правильно эти точки определить
как центры наиболее вероятного расположения ионов, так как те
не остаются неподвижными, а колеблются около этих центров.
Последние обычно называют узлами кристаллической решетки.
Наиболее распространенными типами таких решеток металлов являются
кубическая объемноцентрированная (рис. 115, а),
кубическая гранецешрированная (рис. 115, б) и
I ексагоиальиая плотноупакованная (рис. 115, е).
В них атомы находятся в устойчивом
положении рав1ювесия и обладают минимальной
потенциальной энергией.
При деформации металла расстояния между
атомами под действием внешних сил
изменяются гю определенным направлениям, линии и
плоскости, проходящие через атомы,
искривляются, кристаллическая решетка искажается. Так
как при этом равнодействующие сил притяжения
и отталкивания между атомами уже не равны
нулю, то в решетке будут действовать
внутренние силы, стре711ящиеся вернуть атомы в
положение равновесия. Зависимость между малыми
смещениями атомов и силами взаимодействия с
известной степенью приближения можно считать
линейной. Суммарно это проявляется в
линейной зависимости между смещениями точек
тела и внешними силами, выражаемой законом
Гука.
При устранении внешних сил атомы вновь
занимают свои прежние места в кристаллической
решетке, вследствие чего происходит упругое
восстановление формы металлического тела. Так
объясняется упругая деформация.
Если внешние силы увеличиваются, то возрастают и внутренние.
Тогда в зернах металла происходит смещение одной части
относительно другой, называемое скольжением. Исследованиями
установлено, что оно происходит по плоскостям и направлениям, вдоль
которых атомы располагаются наиболее плотно. В каждой из
кристаллических решеток, изображенных на рис. 115, одна такая плоскость
заштрихована, а направления скольжений указаны стрелками.
Важной характеристикой этих плоскостей и направлений является
величина сдвигающего напряжения т, вызывающего скольжение.
Рассмотрим механизм образования пластической деформации в
пределах одного кристалла с совершенной кристаллической
решеткой, упрощенная модель которой изображена на рис. 116, а.
Пусть в такой решетке верхний слой атомов смещается
относительно нижнего по плоскости А — А. Если предположить, что в
^>
V
Рис. 115
105
процессе сдвига кристаллическая решетка не искажается, т. е. в
частях ее вышей ниже плоскости Л—Л расстояния между атомами
остаются неизменными, то можно прийти к выводу, что все атомы
верхнего слоя смещаются относительно нижнего одновременно и на
одну и ту же величину.
Пока взаимное смещение и (рис. 116, б), возрастая, остается
меньше половины расстояния между атомами \-^], силы
взаимодействия между ними препятствуют сдвигу. Как только это сме-
а
щение превысит расстояние -^, силы взаимодействия начинают
способствовать смещению решетки в новое устойчивое положение
равновесия. Пластическая деформация
произойдет в результате смещения части
решетки на расстояния, кратные а (рис. 116, в).
Наименьшая пластическая деформация
соответствует смещению на а. В результате
таких смещений каждый предыдущий атом
занимает место последующего, все атомы
оказываются на местах, присущих данной
кристаллической решетке. Кристалл
сохраняет свои свойства, меняя лишь
конфигурацию.
Точные теоретические расчеты,
основанные на подобной картине деформации,
позволяют определить максимальные
касательные напряжения, которые должны
возникнуть в кристалле, чтобы появилась
пластическая деформация. В
действительности она начинает образовываться при
напряжениях, в сотни раз меньших, чем
дает теория. Такое расхождение между теоретическим и
действительным сопротивлением сдвигу в кристаллах объясняется тем,
что переход атомов из одного положения в другое совершается не
одновременно, а во времени, подобно волне, с местными
искажениями решетки, называемыми дислокациями.
На рис. 117, а показана так называемая краевая дислокация.
Верхняя часть решетки сдвинута относительно нижней на одно
106
межатомное расстояние, причем зафиксировано положение, когда
сдвиг охватил еще не всю плоскость скольжения. В результате
появилось искажение решетки: одна вертикальная атомная плоскость
верхней половины не имеет продолжения в нижней.
Отметим, что реальные кристаллы либо с самого своего
возникновения содержат дислокации, либо имеют какие-то иные
несовершенства и в них дислокации образуются уже при низких
напряжениях сдвига. Поэтому-то при низких напряжениях дислокации
движутся через кристаллическую решетку, отчего и происходит
пластическая деформация кристалла. После того как дислокация
Еыйдет наружу кристалла, форма его изменится, но структура
останется прежней (рис. 117, б). Возникают новые дислокации и
движутся через кристалл. Суммарно результат этих скольжений в
зернах проявляется в виде пластической деформации образца.
Перемещение дислокации через кристалл можно уподобить
движению складки по ковру. Когда складка пройдет через весь ковер,
сн будет несколько сдвинут. Сила, необходимая для перемещения
складки, существенно меньше той, которая нужна, чтобы сдвинуть
весь ковер целиком.
Так теория дислокаций объясняет механизм образования
пластических деформаций и расхождение между теоретической и
действительной прочностью металлов.
При массовой пластической деформации дислокации,
движущиеся в кристаллической решетке по пересекающимся плоскостям,
образуют неподвижные пороги, поэтому перемещение дислокаций
тормозится. Суммарно это проявляется в виде упрочнения металла
после определенной пластической деформации.
Появление сдвигов в кристаллической решетке, приводящих к
пластической деформации, не исключает искажений
кристаллической решетки, соответствующих упругим деформациям. Это
подтверждается тем, что при любой стадии деформации образца, вплоть
до разрыва, полная деформация состоит из упругой и пластической.
Повышение сопротивления движению дислокаций приводит к
увеличению прочности металла. Этого достигают введением в
металлы специальных примесей, термической обработкой, наклепом
и т. п. В настоящее время сделаны первые шаги по созданию
металлов, не имеющих дефектов кристаллической решетки. Получены
бездислокационные нитевидные металлические кристаллы («усы»),
обладающие очень высокой прочностью, приближающейся к
теоретической.
§ 32. ПОЗ^ЯТИЕ О КО^ЦЕЗ^ТРАЦИИ НАПРЯЖЕЗ^ИЙ
Теоретические и экспериментальные исследования показали, что
равномерное распределение напряжений по площади поперечного
сечения растянутого или сжатого стержня, которое дает формула
D.6), будет только в тех случаях, когда по длине стержня
поперечные сечения постоянны или изменяются весьма плавно. Резкие
107
1:?
изменения площади поперечного сечения вследствие наличия
поперечных отверстий, выкружек, канавок и надрезов приводят к
неравномерному распределению напряжений, вызывают
концентрацию напряжений. На рис. 118, а показан график распределения
растягивающих напряжений в сечении полосы, ослабленном
круглым отверстием, а на рис. 118, б — в сечении, ослабленном
полукруглыми выкружками.
Отметим, что изображенная здесь и в дальнейшем картина
концентрации напряжений несколько упрощена, но в основном верно
отражает сущность происходящих явлений. Точные исследования
показывают, что напряженное
состояние в местах концентрации имеет
более сложный характер.
Факторы, вызывающие
концентрацию напряжений (отверстие, надрез
и т. п.), называют концентраторами
напряжений. Максимального
значения напряжения достигают в
непосредственной близости от него
(например, у края отверстия или
выкружки) и ограничиваются весьма
небольшой частью площади
поперечного сечения, т. е. имеют местный
характер. Поэтому напряжения у мест концентрации и называют
лкстными.
Остановимся на некоторых понятиях и определениях,
встречающихся при расчетах на прочность в случае концентрации
напряжений.
Номинальным напряжением называют напряжение,
вычисленное на основе предположений об отсутствии концентрации
напряжений.
В рассмотренных примерах (рис. 118, а и б) номинальное
напряжение вычисляется как среднее напряжение в ослабленном сечении
"Ш
а
\р
Ш
р
^
V?"
Рмс. 14
ргт
8
Я
гШ!:
р
Л
пластины:
N
D.34)
где N — продольная сила в ослабленном сечении;
Рыкн — площадь ослабленного сечения, называемая площадью
нетто.
Иногда под номинальным напряжением понимают напряжение,
вычисленное по площади Р сплошного поперечного сечения без
учета ее уменьшения за счет отверстия. Эту площадь называют
площадью поперечного сечения брутто. Тогда
В случае весьма малого отверстия в полосе номинальные
напряжения, вычисленные по формулам D.34) и D.35), будут практически
юг
одинаковы. В других случаях в величине напряжений может быть
существенная разница. Поэтому, используя понятие номинального
напряжения, необходимо установить, на базе какого поперечного
сечения оно вычислено.
Теоретический и эффективный коэффициенты концентрации
напряжений. Количественной характеристикой концентрации }!апряженнй
является коэффициент концентрации а, равный отношению
наибольшего местного напряжения о„акс к номинальному напряже}1ию а^,:
а —
D.36)
Рис. 119
Чаше всего
коэффициенты концентрации
напряжений определяют ^
методами теории упру-
1 ости, основанными на 2,6
предположении об
однородности, изотропности
и совершенной упругое-^^,
1И материала. Такие '
коэффициенты
называются теоретическими
коэффициентами концентра- ^1^
(А,ии.
Величина местных
напряжений зависит от
вида и размеров
концентратора. Например, чем меньше радиус отверстия или
выкружки в полосе, тем больше максимальные напряжения отличаются от
номинальных. В случае весьма малого радиуса отверстия в полосе
(рис. 118, а) у краев отверстия наибольягее напряжение равно
трем номинальным (а = 3), а у краев полукруглых вырезов
(рис. 118, б) — примерно двум номинальным (а — 2). Надрезы
с острыми входяш,ими углами дают еще большие коэффициенты
концентрации напряжений у вершин углов. Для некоторых
распространенных концентраторов напряжений в полосе прямоугольного
поперечного сечения значения теоретических коэффициентов
концентрации приведены на графике рис. 119, а в стержнях круглого
поперечного сечения — в табл. 11. Более подробные данные о 1ео-
ретических коэффициентах концентрации напряжений приводятся
в справочниках по расчету на прочность и в специальных курсах.
Определив расчетом номинальное напряжение и зная
коэффициент концентрации напряжений для данного концентратора,
находят максимальнее напряжение в месте концентрации:
Омакс = ао„. D.37)
С концентрацией напряжений приходится считаться при
конструировании и расчете на прочность деталей машин. Следует по
109
возможности избегать глубоких выточек, выкружек, резких
переходов сечений, около которых возникает концентрация
напряжений, способствующая в известных условиях преждевременному
разрушению материала. Нужно также стремиться к тщательной
обработке поверхностей деталей, особенно изготовленных из высо-
копроч! ых закаленных сталей. Даже мелкие следы от шлифовального
круга могут снизить предел прочности твердозакаленной стали при
растяжении на 10—20%.
Теоретические коэффициенты концентрации напряжений зависят
от геометрии концентратора и не отражают свойств реальных
материалов. Совместный учет геометрии концентратора и свойств
материалов осуществляется так называемыми эффективными
(действительными) коэффициентами концентрами напряжений, которые
определяют, испытывая образцы из данного материала до
разрушения. Они представляют собой отношения предельной нагрузки
Таблица 11
Вид концентратора напряжения
Полукруглая выточка при отношении радиуса к диаметру
стержня
Галтель при отношении радиуса галтели к диаметру
стержня
0,0625
Отверстие при отношении диаметра отверстия к диаметру
а
2.0
1,6
1.2
1.1
1,75
1.50
1,20
1.10
2.0
3.0
2,0
1.2-1,4
образца без концентратора напряжений к предельной нагрузке
такого же образца с концентратором напряжений. При статической
нагрузке
к=.-^, D.38)
гдеРт— разрушающая нагрузка образца без концентратора
напряжений;
Ри— разрушающая нагрузка образца с концентратором
напряжений.
На прочность пластичных и хрупких материааов концентрация
напряжений влияет по-разному. Существенное значение при этом
имеет также характер нагрузки. Если материал пластичный
(диаграмма напряжений имеет площадку текучести значительной
протяженности) и нагрузка статическая, то при увеличении последней
1^0
рост наибольших местных напряжений приостанавливается, как
только они достигнут предела текучести. В остальной части
поперечного сечения напряжения будут еще возрастать до величины
предела текучести о^, при этом зона пластичности у концентратора
Судет увеличиваться (рис. 120). Таким оС^разом, пластичность
способствует выравниванию напряжений. На этом основании принято
считать, что при статической нагрузке пластичные материалы мало
чувствительны к концентрации напряжений. Эффективный козффи-
1^иент концентрации для таких материалов близок к единице. При
\дарных и повторно-переменных нагрузках, когда
деформации и напряжения быстро изменяются во
времени, выравнивание напряжений произойти не
успевает и вредное влияние концентрации
напряжений сохраняется. Поэтому в расчетах на
прочность учитывать концентрацию напряжений
необходимо.
Для однородного хрупкого материала
неравномерность распределения напряжений из-за
концентрации сохраняется на всех стадиях нагружения и
при статических нагрузках. В местах действия
максимальных напряжений начинается разрушение
материала (путем образования трещин). Особенно
чувствительна к концентраторам закаленная сталь
и тем больше, чем выше ее характеристики
прочности. Эффективный коэффициент концентрации напряжений для
хрупких однородных материалов весьма близок к
теоретическому. Следовательно, для хрупкого материала в расчетах на
прочность при статических нагрузках можно пользоваться
теоретическими коэффициентами концентрации напряжений.
§ 33. ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ
НА МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
Механические характеристики материалов зависят от многих
факторов. На свойства металлов и сплавов существенное влияние
оказывают химический состав, технология их получения,
термическая и механическая обработки, условия эксплуатации —
температура, среда, характер нагрузки и др.
В последние годы получили развитие новые виды техники:
реактивная авиация, ракетная техника, атомные реакторы и др.
Применяемые в них материалы подвергаются действию высоких
температур, высоких скоростей нагружения, агрессивных жидких и
газообразных сред, радиоактивных, особенно нейтронных, проникающих
облучений. Для работы в этих условиях создают новые
специальные сплавы и композиционные материалы.
Ниже рассматривается влияние некоторых факторов на
механические характеристики наиболее важных в машиностроении
материалов — сталей, чугуна, алюминия, различных сплавов.
111
Влияние скорости деформации. При увеличении скорости
нарастания нагрузки, и следовательно скорости роста напряжения
и деформации, все материалы, находящиеся в пластическом
состоянии, обнаруживают общую тенденцию к увеличению
сопротивляемости деформированию. Чем выше скорость деформирования,
тем выше предел текучести и временное сопротивление. Особенно
сильно зависят от скорости нагружеиия механические свойства
пластмасс и других органических материалов. У металлов влияние
скорости нагружеиия заметно проявляется лишь при значигельной
разнице в скоростях.
Сравнение результатов статических и динамических испытаний
малоуглеродистых сталей на растяжение при нормальной темпера-
^, туре (рис. 121) показывает а1едующее:
^о-^. 1) кривая / динамического растяжения ле-
/ 1 жит выше кривой 2 статического растяжения;
/ 2) максимум диаграммы для динамической
1^^ ^"~^ нагрузки смещается в сторону начала диаг раммы;
I 3) временное сопротивление при дииамиче-
/ ской нагрузке повышается, но меньше, чем пре-
, ^ дел текучести;
& 4) модуль упругости при динамической на-
Рие. «21 грузке практически не изменяется.
Влияние технологических факторов.
Конструкционные стали, из которых изготовляют элементы
конструкций, можно получить отливкой или прокаткой, ковкой,
штамповкой и волочением. Механические свойства стали одного и того же
состава весьма сильно изменяются в зависимости от способа ее
получения и обработки.
При отливке заготовок возможно образование различных
внутренних дефектов в виде пустот, раковин и включений, снижающих
прочность изготовленных из заготовок деталей. В связи с этим
требуется тщательный контроль качества таких деталей
рентгеновским, ультразвуковым или каким-либо другим способом.
Прокатка делает сталь анизотропной. Прокатанная сталь имеет
характерную структуру, у которой зерна, вытянутые в
направлении прокатки, образуют своего рода волокна. Механические
свойства стали в направлении прокатки существенно отличаются
от таковых в направлении, перпендикулярном к ней. Образцы,
вырезанные таким образом, что их ось совпадает с направлением
прокатки, оказываются более прочными, чем те из них, ось которых
перпендикулярна к направлению прокатки.
Предварительная вытяжка в холодном состоянии за предел
текучести (наклеп) очень сильно повышает предел текучести и
прочности, но снижает остаточное удлинение после разрыва.
Материал становится более упругим и прочным, но менее
пластичным.
Волочение в холодном состоянии, представляющее собой вытяж-
к> с обжатием, еще сильнее влияет на механические свойства стали,
112
Стальная проволока и стальные ленты, полученные волочением,
весьма прочны.
Токарная обработка, обработка поверхности роликами,
обдувка дробью, хромирование, никелирование, алитирование,
азотирование и другие виды поверхностной обработки могут оказать
существенное влияние на прочность деталей, особенно работающих при
переменных напряжениях.
Влияние термической обработки. Закалка стали значительно
повышает ее твердость, предел текучести и предел прочности, но
сильно снижает пластичность. Модуль упругости стали закалка
практически не меняет Если нужна высокая поверхностная твердость
_-____—__-___ В г
о Г" Г I .'..о. I 1 I кгс1т
50
кгс/ич'
^0
30
20
10
'
—V 2
00°С-
'/у 6'
юох
т°с
ч \
^
\
м
30
20
10
0,03 0.10 0,15 0,20 е
Рнс. 422
1 ■■
X
1а
-^
~у
"»%
ч/»
ч
ч.
N
о 200 400 Т°С
Рмс. 123
С сохранением других свойств стали, используют поверхностную
закалку токами высокой частоты. Для малоуглеродистых сталей
с этой целью применяют цементацию — увеличение в
поверхностном слое углерода — с последующей закалкой. При этом
закаливается только науглерожеииый поверхностный слой, а основная
часть материала сохраняет свойства малоуглеродистой стали.
Для устранения наклепа используют отжиг. Чтобы выровнять
и улучшить структуру, а также улучшить механические свойства
стали, применяют нормализацию. Подробно эти виды термической
обработки рассматриваются в металловедении.
Влияние температуры. Многие детали современных машин
(например, паровых и газовых турбин, реактивных двигателей и др.)
работают при высоких температурах, достигающих 800—1000°С.
Испытания показали, что все механические характеристики
металлов существенно изменяются в зависимости ст температуры.
На рис. 122 приведены диаграммы напряжения углеродистой
стали при различных температурах, а на рис. 123 — графики
зависимости предела текучести, временного сопротивления и
относительного удлинения при разрыве от температуры. В интервале
температур 150—250°С временное сопротивление достигает
наибольшего значения, а относительное удлинение после разрыва —
наименьшего; сталь, как говорят, становится синеломкой. При
более высоких температурах прочность углеродистой стали быстро
падает, поэтому выше 350—400°С такую сталь не применяют.
113
2,0
1,6
1?
О 200
Рме. 114
Т=соп51:
цю тс
При повышении температуры также существенно уменьшается
модуль упругости ^ (рис. 124), а коэффициент Пуассона несколько
возрастает. Так, при возрастании температуры от комнатной до
БОСС коэффициент Пуассона
увеличивается с 0,28 до 0,33.
Углеродистые агиш при высоких
температурах сильно окисляются, на
их поверхности образуется окалина.
В связи с этим применяют
специальные жаростойкие и жаропрочные
стали, содержащ,ие различные
легирующие добавки. Жаростойкостью
называется свойство материала
противостоять при высоких температурах
химическому разрушению поверхности,
а жаропрочностью — способность
сохранять при высоких температурах
механические свойсгва. В настоящее
время созданы специальные сплавы,
а также металлокерамические
материалы, надежно работающие при
температурах до 1000°С.
Ползучесть. При высоких
температурах существенное значение име^т
явление ползучести материалов (крип),
заключающееся в росте пластической
деформации с течением времени при
постоянном напряжении, не вызьшаю-
щем пластических деформаций при
кратковременном действии нагрузки.
В зависимости от величины
напряжения и температуры деформация,
происходящая в результате ползучести,
может либо прекратиться, либо
продолжаться до разрушения материала.
На рис. 125, а приведены кривые
ползучести стали при постоянной
температуре для различных напряжений
<^1<02<Оз<а4<ад, а на рис. 125, б —
кривые ползучести при
постоянном напряжении, но различных
температурах, причем Т^! <: Га < У» <
< 7^4 < Т^. Как видно из сравнения графиков, увеличение
напряжения при постоянной температуре и повышение температуры при
постоянном напряжении оказывают одинаковое влияние на
ползучесть материала, а именно — скорость ползучести увеличивается.
Отдельные участки кривых рис. 125 характеризуют различные
скорости нарастания деформации. Рассмотрим, например, кривую 4.
114
Вертикальный отрезок Оа изображает удлинение, полученное
тотчас после нагружения. Участок аЬ — это участок неустановившейся
ползучести, так как скорость ее здесь со временем убывает.
Прямолинейный участок Ьс называется участком установившейся
ползучести, характеризующейся ее постоянной скоростью. Участок с(}
характеризует возрастание скорости ползучести, заканчивающееся
разрушением образца (точка й).
Остальные кривые ползучести отличаются от кривой 4 тем, что
у них отсутствует тот или иной участок. Так, кривые 1, 2 и 3
изображают случаи, когда ползучесть не вызывает разрушения (на них
отсутствует участок ей). Кривая 5 не имеет участка установившейся
ползучести (точки Ь ч с слились). Эта кривая соответствует
случаю, когда период неустановившейся ползучести сменяется сразу
периодом с возрастающей ее скоростью, который заканчивается
разрушением. Граница между этими двумя периодами определяется
точкой перегиба Ь.
Пределом ползучести называется наибольшее напряжение, при
котором скорость или деформация ползучести при данной
температуре за определенный промежуток времени не превышает
установленной величины (например, скорости 0,0001 %/ч или деформации
1 % за 10000 ч).
Если предел ползучести определяют по величине деформации,
то обозначают его буквой а с тремя числовыми индексами: двумя
нижними и одним верхним. Первый нижний индекс отражает
заданное удлинение (суммарное или остаточное), %; второй нижний
индекс — заданную продолжительность времени испытания, ч;
ог- т т 700
верхний индекс — температуру, С. Например, запись ао,2/1оо
означает предел ползучести при допуске на деформацию 0,2% за
100 ч испытания при температуре 700°С. При этом необходимо
дополнительно указать, по суммарной или остаточной деформации
определялся предел ползучести.
В случае определения предела ползучести по скорости
ползучести его следует обозначать буквой а с двумя числовыми индексами:
одним верхним и одним нижним. Нижний индекс отражает заданную
скорость ползучести, %/ч; верхний — температуру испытания, °С.
Например, ^^ ,д_5 — это предел ползучести при скорости ее 1 X
X 10~^%/ч при температуре 600°С. При этом необходимо
дополнительно указать время испытания, за которое была достигнута
заданная скорость ползучести.
Детали, работающие при высоких температурах, рассчитывают
на ползучесть специальными методами с использованием
экспериментальных данных, характеризующих ползучесть материала.
Целью таких расчетов является определение пределов ползучести.
По результатам экспериментального определения скорости
ползучести Уо при растяжении образцов строят графики в
логарифмических координатах 1§а — 1§ Уд. Экспериментальные точки
хорошо группируются около некоторой прямой (рис. 126, а).
И!
Отметим, что у некоторых материалов (свинца, бетона,
высокополимерных материалов и др-.) ползучесть наблюдается и при
нормальной температуре.
Длительная прочность. В случае высокой температуры и
длительного воздействия нагрузки наблюдается разрушение материала
при напряжении, величина которого меньше временного
сопротивления материала при данной температуре. В связи с этим возникает
необходимость определять длительную прочность материалов.
Предсяом длительной прочнссти называется напряжение,
вызывающее разрыв образца после заданного срока непрерывного дей-
бчгс/сн-
юссо ■
1000
3000
2000
то
500
300
200
—-^
~ __
--.
_.
_
Псюу
Длит
Ста/
~ЛТ=50
--г'—
ъ2
0°С
0 Т
"*■"№
честь 1 1 ТТ
' '
бкгс/см'
600
400
200
Ю'
10->
Ю~
Ю^ ^Ч
%
\
\
7=т°с
5000
10000 г V
/о'Ч 'А
Рис. Об
ствия этого напряжения при определенной температуре.
Обозначается предел длительной прочности буквой а с двумя числовыми
индексами. Верхний индекс дает температуру испытания, "С,
нижний — заданную продолжительность испытания до разрушения, ч.
Последнюю можно обозначать числом часов или цифрой 10 с
показателем степени. Например, о™ или ошоо — предел длительной
прочности за 1000 ч испытания при температуре ТОО'С.
Испытания на длительную прочность заключаются в том, что
образцы подвергают различным напряжениям при определенной
температуре и узнают время до их разрыва. Результат представляют
в виде графика (рис. 126, б). Имея кривою длительной прочности
материала, можно опредепить разрушающее напряжение по
заданной продолжительности службы детали при данной температуре.
Наоборот, по заданному напряжению можно определить время до
разрушения. Например, деталь, изготовленная из материала, для
которого кривая длительной прочности изображена на рис. 126,6,
при напряжении 300 кгс/см^ и температуре БОСС разрушится
через 2550 ч.
Результаты экспериментального определения длительной
прочности удобно представлять в логарифмических координатах 1§а —
пь
1«^ где они достаточно хорошо аппроксимируются прямыми
(рис. 126, а).
Отметим, что чем меньше разрушающее напряжение, а значит,
больше время до разрыва, тем меньше относительное удлинение
при разрыве, т. е. материал становится более хрупким. Это явление
называется охрупчиванием. Для ряда материалов (например, для
с, 1500
■КтоК—
Ч
"^ 500
ТЧОО°С
О 1000
Рис. %П
2000 1: ч
Рис. 128
высокополимеров) указанный эффект проявляется и при комнатной
температуре.
Релаксацией напряжений называется уменьшение их с течением
времени вследствие ползучести в нагруженной детали при
неизменной ее полной деформации. У большинства
металлов релаксация заметна лишь при
высоких температурах (рис. 127). Для
иллюстрации этого явления приведем следующие
примеры.
Между разведенными концами
разрезанного стального кольца вставим пластинку
(рис. 128). Вследствие деформации кольца в
нем возникнут напряжения и концы кольца,
стремясь сблизиться, с большой силой сожмут
пластинку. Если это соединение выдержать
некоторое время при высокой температуре, то
в кольце произойдет релаксация напряжений,
сила зажатия пластинки уменьшится, и ее
можно будет легко вынуть.
Известно, что начальная затяжка болтов,
работающих при высокой температуре, с
течением времени ослабевает и это вызывает
необходимость их подтягивать.
Влияние низких температур. На механические свойства
некоторых материалов существенно влияют низкие температуры.
Проявляется Это в том, что материалы, пластичные при нормальной
температуре, становятся хрупкими при низких температурах.
Такие материалы называют хладноломкими.
Хладноломкость характерна для металлов, имеющих
кристаллическую решетку в виде объемноцентрированного куба или
гексагональную. К числу их относится большинство черных металлов,
в частности стали, а также цинковые сплавы. Проявляется
хладноломкость как при статическом действии нагрузки, так и, в
особенности, при динамическом. В качестве примера на рис.129 приведегы
V
6^
-200
400
Рис. 09
т°с
117
графики изменения предела текучести, временного сопротивления,
относительного удлинения и сужения при статических испытаниях
углеродистой стали в области низких температур.
Металлы, кристаллизующиеся в системе куба с центрированными
гранями (медь, алюминий, никель, серебро, золото и др.), не
обнаруживают хладноломкости ни при каком понижении температуры.
Например, алюминий при температуре жидкого азота {—Шб^С)
увеличивает прочность приблизительно в 2 раза, увеличивая
одновременно относительное удлинение в 4 раза. Аналогично ведут себя
медь и никель. Многие сплавы алюминия, меди, а также некоторые
стали не обладают свойством хладноломкости.
§ 34. ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Как уже указывалось, детали машин и других конструкций
должны удовлетворять условию прочности и жесткости. Размеры
деталей необходимо подбирать такими, чтобы под действием
приложенных нагрузок они не разрушались и не получали деформаций,
превышающих допустимые. В большинстве машиностроительных
деталей не допускаются, как правило, остаточные деформации.
Заметные остаточные деформации появляются в пластичных
материалах, когда напряжения достигают предела текучести.
Разрушение наступает, когда напряжения достигают величины
временного сопротивления; при этом деформации хрупкого материала
могут быть незначительными. Итак, для деталей, изготовленных из
пластичного материала, опасным напряжением можно считать
предел текучести, а для деталей из хрупкого материала — временное
сопротивление.
Естественно, что эти напряжения не могут быть приняты в
качестве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы в
эксплуатационных условиях действующие напряжения всегда были
меньше предела упругости. Таким образом, допускаемое
напряжение может быть определено по формуле
[а] =
D.39)
где о° — опасное напряжение (а^ или а^);
п — коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько
раз допускаемое напряжение меньше опасного.
Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от
состояния материала (хрупкое или пластичное), характера
приложения нагрузки (статическая, динамическая или повторно-переменная)
и некоторых общих факторов, имеющих место в той или иной
степени во всех случаях. К таким факторам относятся:
а) неоднородность материала, а следовательно, отличие его
механических характеристик в малых образцах и в деталях;
{13
б) неточность задания величин внешних нагрузок;
в) приближенность расчетных схем и некоторая приближенность
расчетных формул.
Указанные факторы и учитывают коэффициентом запаса
прочности п, который иногда называют основным.
Величина запаса прочности зависит от того, какое напряжение
считать опасным.
Для пластичных материалов в случае статической нагрузки
опасным напряжением, как уже сказано, следует считать предел
текучести, т. е. 0° == а^, а п = щ. Тогда
На основании данных длительной практики конструирования,
расчета и эксплуатации машин и сооружений величина запаса
прочности п^ для сталей при статической нагрузке принимается равной
1,4—1,6. Очевидно, меньшие значения п^ следует брать в тех
случаях, когда материал более однороден, лучше изучены его свойства,
полнее учтены нагрузки, точнее метод расчета и расчетные схемы.
Для хрупких материалов при статических нагрузках опасным
напряжением является временное сопротивление и тогда
1^3 = -^ = -^- D-41)
Принимают, что запас прочности п^ = 2,5 ч- 3,0.
Допускаемые напряжения 1а], получаемые по формулам D.40)
и D.41), называют обычно основными допускаемыми напряжениями.
В связи с тем что временное сопротивление опред&пить проще,
чем предел текучести, и, к тому же, в производственных условиях
последний не всегда можно получить, иногда и для пластичных
материалов при определении допускаемых напряжений исходят из
временного сопротивления, пользуясь формулой
М = -^^ . D.42)
'"В
в этом случае, учитывая, что временное сопротивление превышает
предел текучести на 50—70%, запас прочности п^ для пластичных
материалов принимают равным 2,4—2,6. Эту величину для
пластичных материалов берут несколько меньшей, чем для хрупких,
поскольку пластичные материалы, как правило, более однородны по
своим физическим и механическим свойствам.
Иногда допускаемые напряжения на растяжение обозначают
через [а+], а на сжатие — через [а_]. Хрупкие материалы лучше
сопротивляются сжатию, чем растяжению, и для них [а_] > [а^^].
Для сталей и большинства других пластичных материалов можно
принять [а+] = [о—] и обозначать допускаемые напряжения в
таком случае через [а] без индекса.
Выбор величины допускаемых напряжений весьма важен, так
кщ от правильного установления их значения зависит прочность
119
и безопасность проектируемой конструкции, а также экономическая
сторона расчета — количество затрачиваемого материала. Поэтому
установлением величины допускаемых напряжений для основных
марок материалов, применяемых в машиностроении и строительном
деле, занимаются государстненные нормкругсшие органы. Они
издают соответствующие нормы, которыми и следует
руководствоваться в обычных условиях проектирования. По мере улучшения
качества материалов и уточнения методов расчета допускаемые
напряжения повышают. Ориентировочные величины основных
допускаемых напряжений, принятых в настоящее время для наиболее
распространенных материалов, приведены в приложении Ш. В тех
же случаях, когда нет данных о допускаемых напр5гжениях для того
или Иного материала, вопрос об их величине приходится решать
на основании изложенных выше соображений и рекомендаций.
Остановимся кратко на составлении условий прочности в
наиболее часто встречающихся случаях.
В пластичных материалах при статической нагрузке
концентрация напряжений иезкачнте.пьно влияет на прочность, поэтому в
качестве действующего рабочего напряжения можно принять среднее
(номинальное) в опасном сечении и записать условие прочности
следующим образом:
с < [а]. D.43)
В случае однородных хрупких материалов (например,
закаленных сталей) при статической нагрузке необходимо учитывать кон-
центрйцию напряжений и расчет на прочность вести по наибольшим
местным напряжениям. В этом случае условие прочности
запишется так:
стмгкс ■= аа„ < [а]. D.44)
К вопросу о выборе величин допускаемых напряжений мы будем
неоднократно возвращаться, рассматривая условия прочности при
различных деформациях.
Глава 5
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСШОСТЬ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И США1ММ
§ 35. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
ПРИ ДЕЙСТВИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ
Рассмотрим некоторые задачи на растяжение и сжатие.
1. Определим диаметр стержня постоянного поперечного сечения
длиной / = 60 см (рис. 130). Материал стержня — сталь СтЗ,
модуль упругости ^ = 2 • 10* кгс/см^. Построим также эпюру к
перемещении сечений стержня н определим изменение его общей длины.
120
Прежде всего строим эпюру продольных усилий, из которой
видно, что стержень имеет три участка. В крайних действуют
растягивающие усилия N1 = N111 = Р ~ 1200 кгс, а в среднем —
усилие сжатия Л?;; = 2Р = 2400 кгс.
Так как проектируемый стержень должен быть постоянного
поперечного сечения, то подбирать последнее нужно по большему
по абсолютной величине усилию, действующему в средней части.
Выражение для напряжения в поперечных сечениях этого участка
запишется следующим об- 1=б0см
разом:
ет
О//
Условие
вид
или
р ~
2Р
р
прочности
О// < [о].
2Р
<м,
име
Я=/,2Л?
А ^ д ЗР
Р=1,2Т0
откуда
Р>
2Р_
ф
1/3
1/3
5Р С
2Р=2,^-1С
г-^5^^
РЧ,2ТС
Р=1,2п
®
^=С,007Всм'
Рис. 130
Для стали марки СтЗ
допускаемое напряжение
1а] на растяжение и
сжатие одинаково. При
статической нагрузке его можно принять равным 1600 кгс/см* (см.
приложение 10).
Подставляя числовые значения, получим площадь поперечного
сечения стержня: П/Л^
Р>
2 ■ 1200
1600
СМ* =1,5 СМ*
н диаметр его:
й = ]Л±7= 1,131^1,5 см = 1,
38 см.
п
Диаметр необходимо увеличить до ближайшего большего,
принятого согласно ГОСТу. Следует взять й = 1А мм (Р = 1,54 см*).
Отметим, что расчет на прочность при сжатии является
достаточным только для коротких стержней, в частности для стальных
круглых, когда -^ <; 20. При сжатии же длинных стержней может
произойти потеря устойчивости^. В нашем случае указанное выше
условие для сжатой части стержня выполняется.
Определим перемещения сечений стержня. Примем, например,
за начало отсчета левый конец стержня (сечение Л), условно считая
его неподвижным. Напомним, что перемещение любого сечения
' Расчеты окагых стержней ла устойчивость излагаются в гл, 19,
121
относительно начала отсчета равно изменению длины участка
стержня между неподвижным и рассматриваемым сечениями.
На первом участке перемещение сечения, находящегося на рас-
стоянии X от левого конца стержня О < л: <
при л: = О \__^ '
?1л = 0;
при л; = -у
Р±
, 3 1200 • 60 „ „„_о
^в = -^^ = 3 • 2 • 10ь ■ 1Ж ™ = ^'^^^^ ™-
На втором участке (-о- < л; < -^ м перемещение сечения х
X {х) =
при X = -о-
2 I
при Х—-К-1
г'/^ г/'
^ == 0,0078 см;
ЕР
р^^ 2Р-1.
?^с = -^1 ж- = - 0,0078 см.
На третьем участке, где -о- / < л; < /,
при X = -д- /
при X = /
122
?-с== — ^^ = —0,0078 см;
Р л. 2Р— Р~
о 3 3 ^^ 3 р.
Эпюра перемещений представлена на рис. 130. В данном случае
длина всего стержня не изменится, так как перемещение его
правого конца относительно левого оказалось равным нулю.
2. Построим эпюры продольных сил, нормальных напряжений,
относительных деформаций и перемещений для ступенчатого
стержня (рис. 131).
Стержень состоит из трех участков. В пределах первого из них
в сечении, находящемся на расстоянии х от закрепленного конца
(О < л; < /), продольная сила, нормальное напряжение и относи-
'/ельное удлинение не зависят от координаты х, т. е. от положения
сечения, и имеют следующие значения:
Л^1 = 2Я;
а =
2Р
4Р
ЪР
Р
Г
о
т
ЪЕР
2Р
:&
■ттттттлптттт
ф: 1-
2Р
РШ=
:©:
®
^
Ф
©
4 Р
ЗЕР
=©:
Рнс. 131
Перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от
закрепленного конца стержня,
4Рх
Х^х)
ъх =
ЪЕР
Следовательно, перемещения изменяются по линейному закону.
В начальной и конечной точках участка они имеют следующие
значения:
при л; = О
и = 0;
при х= I
^^ ~ ЗЕР •
Аналогично на втором участке (/ < л; < 3/)
Л^
/;
оп 2Р Р
е —
Е ~ ЕР •
Перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от
закрепленного конца стержня,
'^ ^^' ~ ЗЕР ЕР '
1
<23
в начале второго участка, при х — I,
•к 4Р/
В конце участка, при х = 31,
. 2Р1
Знак «минус» указывает на то, что рассматриваемое сечение
перемещается в направлении к сечению, принятому за начало отсчета.
На третьем участке C/ < а; < 4/)
Р Р
N = Р; а — -^; 8 = -=тг .
Р Ег
Перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от
конца А,
2Р1 , Р{х — 31)
К{х)
+
ЗЕР ' ЕР
В начале третьего участка, при х = 3/,
•к 2Р/ .
^^ ~ ЗЕР •
В конце третьего участка, при х = 4/,
Р1
II
ЗЕР
Эпюры М, а, е н X изображены на рис. 131. Эпюра X позволяет
определить изменение расстояния между любыми двумя сечениями
стержня, следовательно, и изменение длины любого его участка.
Определим, например, изменение длины второго участка
стержня. Для этого от перемещения сечения в конце участка (сечение С)
нужно вычесть перемещение сечения в
начале участка (сечение В). В результате по-
^ лучим
д, 2Р1 4Р/ „ Р1
60
^1
60
Рис. «2
ЗЕР ЗЕР ЕР •
Знак «минус» показывает, что длина
рассмотренного участка уменьшилась.
3. Проверим прочность ступенчатого стержня круглого
поперечного сечения (рис. 132). Материал стержня — закаленная
высокоуглеродистая сталь с временным сопротивлением о^ = 9000 кгс/см^.
Стержень растягивается силами Р ~ 8000 кгс.
В связи с резким изменением поперечного сечения стержня
возникает концентрация напряжений. Так как закаленная сталь
чувствительна к ней, то проверку прочности нужно проводить по
наибольшим местным напряжениям. Чтобы найти эти напряжения,
нужно знать коэффициент концентрации напряжений. Последний
зависит от отношения радиуса галтели к меньшему диаметру стерж-
<24
пя. в нашем случае -^
гр- — 0,25. По табл. 11 теоретический
коэффициент концентрации напряжений а = 1,2.
Номинальное напряжение вычисляем по меньшей площади по-
I еречного сечения стержня:
/V 8000
С1„ =
2550 кгс/см^.
Наибольшие местные напряжения найдем на основании формулы
D.37):
Омане = оа„ = 1,2 • 2550 кгс/см^ = 3060 кгс/см^.
Запас прочности
Рв 9000
«. =
3060
= 2,95.
Для хрупких материалов при статической нагрузке принимают,
I ак уже отмечалось, коэффициент запаса прочности п^ = 2,5 — 3.
Чоэфф'щиент запаса прочности рассматриваемого стержня лежит
р указанных пределах, т. е. стержень при данной нагрузке имеет
достаточный запас прочности.
4. Определим размеры поперечных сечений стержней АВ и ВС
кронштейна (рис. 133, а), предназначенного для крепления блока.
1,=1,5м
Рис. 133
при помощи которого будут подниматься грузы весом ^ = 2000 кгс,
а также поперечное сечение подвески ВО блока. Стержень АВ и
подвеска ВО (в верхней части) имеют круглое поперечное сечение.
Материал — сталь СтЗ. Стержень ВС будет изготовлен из сосны и
имеет квадратное поперечное сечение. Определим также
вертикальное перемещение узла В кронштейна.
Конструкция кронштейна позволяет при расчете приближенно
считать крепления стержней к стенке и соединение их между собой
шарнирными. Расчетная схема кронштейна изображена на
рис. 133, б.
125
Прежде всего определим усилие в подвеске блока и равную ему
силу, действующую на узел В. Так как при подъеме груза ^ ко
второй ветви троса, переброшенного через блок, должна быть
приложена сила, равная весу поднимаемого груза ^ (если пренебречь
трением), то в сечении подвески будет действовать усилие N1 = 2^ =
4000 кгс.
К узлу 5 кронштейна, следовательно, приложена сила Р = N1 =
= 4000 кгс.
Для стали СтЗ допускаемое напряжение на растяжение [а] =
= 1600 кгс/см^, для сосны допускаемое напряжение на сжатие
1а_] = 120 кгс/см^. Модуль упругости для стали Е^ = 2 х
X 10^ кгс/см^, для сосны ^д = 10^ кгс/см^.
Найдем необходимую площадь поперечного сечения подвески ВО.
Нормальное напряжение в подвеске определяется по формуле
Запишем условие прочности у^пГ'^ р-^-е-!-^ *-
откуда необходимая площадь поперечного сечения подвески
^1 > [С] ~ 1600 "■ "^'^ ™ •
Определяем диаметр подвески:
а^^= ]/^>1,13|^2;5= 1,78 см =17,8 мм.
Примем ближайший больший стандартный диаметр й = 18 мм
(Р = 2,54 см^).
Так как предполагается, что стержни прикреплены к стене и
соединены между собой шарнирами, а нагрузка приложена в узле
(к шарниру), то стержни будут испытывать только продольные
(растягивающие или сжимающие) усилия. Чтобы определить их,
рассмотрим равновесие узла Б (рис. 133, в), к которому приложены
вертикальная нагрузка Р и две неизвестные силы N2 и N3,
действующие соответственно со стороны стержней АВ и ВС и направленные
вдоль их осей.
При определении неизвестных усилий в стержнях обычно
принято считать их растянутыми и соответственно этому направлять
векторы сил от узла. Знак «плюс» в решении для усилия будет
подтверждать правильность сделанного предположения о
направлении усилия, а знак «минус» укажет на то, что в действительности
усилие направлено противоположно и соответствующий стержень
сжат. Полагая оба стержня растянутыми, следует усилия N2 и N^
направить так, как показано на рис. 133, в.
Для равновесия узла Б в плоскости достаточно, чтобы сумма
проекций всех сил, приложенных к узлу, на координатные оси х
126 !
и у равнялась нулю. Направим координатные оси, как показано на
рис. 133, в. Тогда
2^ = —Л'а —Л^зсоза = 0;
V = — Р — Л^з 81П « = 0.
Отсюда находим
а; Р 4000 ■ 2 сссл
Л'о = = я=— кгс = — 5660 кгс:
" Б1П а у 2
N.
«г / 4000 • 2 \ У2 .„пл
N^ соБ а = ;=— 1 -V- кгс = 4000 кгс.
е. стержень АВ растянут, а стержень ВС сжат.
Из условия прочности стержня АВ
а = -рЛ < [а]
определяем необходимую площадь его поперечного сечения:
Р ^ Л", 4000 2 ос 2
^2>-М'=-1б00-^^' =2'5«^^^-
В данном случае она оказалась равной площади поперечного
сечения подвески. Следовательно, диаметр стержня АБ должен
Сыть равен диаметру подвески, т. е. й = 18 мм.
Необходимая площадь поперечного сечения деревянного
стержня ВС
г N, 5660 9^-7 9
Сторона квадрата поперечного сечения
а = У17 см = 6,85 см.
Округляя до ближайшего целого числа, принимаем с = 70 мм
(Р = 49 см^).
Определим вертикальное перемещение шарнира Б кронштейна.
Стержень АВ удлинится на величину
А/ Л",/, 4000 -150 л 110
^^^ = -^ = 2 ■10^.2.54 ^^' = 0,118 СМ.
Стержень ВС укоротится на величину
д/ _ ^^з_ _ 5660-150/2 _ „ 245 см
Учитывая, что деформации малы, перемещения узла В можно
определить следующим образом. Предположим, что стержни в
шарнире Б разъединены. От точки Б направо, в направлении стержня
АВ, отложим его удлинение ВВ', а в направлении ВС —
укорочение ВВ" стержня ВС (рис. 133, б, г). На рис. 133, г это показано
в масштабе, значительно большем, чем масштаб длины стержней
на схеме конструкции. Положение шарнира В после деформации
127
совпадет с точкой пересечения дуг, описанных из точек Л и С
радиусами, равными новым длинам АВ' и СВ" стержней.
Вследствие малости деформаций стержней дуги можно заменить
перпендикулярами, восставленными в точках В' и В" к направлениям
АВ и ВС. Точка В^ пересечения перпендикуляров определит новое
положение узла В после деформации кронштейна. Отрезок ВВ1
изобразит полное перемещение узла В, а отрезок Б'^! = 6у —
вертикальную составляющую этого перемещения.
Приведенное здесь построение дает возможность легко
установить аналитическую зависшгость между перемещениями точки
и удлинениями стержней. Вертикальное перемещение узла В
(рис. 133, г)
В'В1 = Вф + ЬВ' =
+
А/,
Подставляя числовые значения, получим
0.245 • 2
б
'.= @
.118 +
Г2
СМ = 0,46 см.
Пример 12. Определить наибольшую величину груза ^, который может быть
безопасно подвешен к узлу В стержневой подвески (рис. 134). Стержни подвески
изготовлены из стали Ст2, для которой допускаемое напряжение на растяжение
[о] = 1400 кгс/см^. Диаметр стержней й = 2 см.
Наибольшее безопасное нормальное усилие, которое можно допустить в
каждом стержне подвески,
я2^
М=[а]Р= 1400 = 4400 кгс.
4
Наибольшую допускаемую величину груза ^ найдем, рассматривая
равновесие узла В. Приравняем нулю сумму проекций на вертикальную ось всех сил, дей-
I ствующих на узел В:
2К =
Отсюда
■д + 2Л^со8а = 0.
^ =
Рис. 134
'/■//У//у///>/
Рис. 135
= 2Л^ соз а = 2 • 4400 • 0,866 кгс =
= 7620 кгс.
Пример 18. Определить, какой
должна быть площадь поперечного
сечения деревянной колонны из
сосны с модулем упругости (см.
приложение Щ Е = 10^ кгс/см? (рис.
135), чтобы опускание верхнего
см.
конца колонны не превышало [М] = 0,2
Для определения площади колонны запишем условие жесткости:
ЕР
где N = Р,
Отсюда
Р^
N1
Е[М\
128
Подставляя числовые значения, получим
„ 3000 . 200
10» ■ 0,2
см2 = 30 см^.
Проверим, будет ли выполняться условие прочности при данной площади
поперечного сечения. Допускаемое напряжение на сжатие для сосны [а_] =
— 120 кгс/см^ (см. приложение 10). Напряжение, вызванное силой Ы,
N
3000
кгс/см2! = 100 кгс/см2 < [а_] = 120 кгс/см^.
Р 30
Условие прочности выполняется.
§ 36. УЧЕТ СОБСТВЕННОГО ВЕСА И СИЛ ИНЕРЦИИ
Собственный вес материала элементов конструкций, а также силы
инерции движущихся частей машин и механизмов являются
внешними нагрузками, распределенными по объему. Ниже рассмотрены
некоторые задачи определения напряжений и перемещений при
действии таких нагрузок.
Учет собственного веса. В машиностроении, как правило,
влияние собственного веса не учитывается, так как машиностроительные
^^
'МА-
тч'
а
р
б
;
Рис. 136
детали имеют сравнительно небольшие размеры, при которых
влияние собственного веса невелико. Однако в ряде инженерных
конструкций собственный вес — это одна из основных нагрузок. В
случае расчета канатов шахтных подъемников, штанг бурильных
устройств, устоев мостов, стен зданий, плотин влияние собственного
веса учитывать необходимо.
Предположим, что прямой стержень постоянного поперечного
сечения большой длины закреплен верхним концом и нагружен на
свободном конце силой Р (рис. 136, а). Определим закон изменения
продольных усилий и напряжений в поперечных сечениях стержня,
а также перемещения сечений по длине стержня, учитывая влияние
собственного веса.
В сечении стержня, находящемся на расстоянии х от свободного
конца, продольная сила
N (х)--= Р + уРх, E.1)
где у — вес единицы объема материала.
5 8—2770
129
Наибольшее значение сила имеет в верхнем закрепленном
сечении:
М^аис = Р + уР1. E.2)
Эпюра продольных усилий изображена на рис. 136, б.
Нормальное напряжение в сечении стержня на расстоянии х
от свободного конца получим, разделив усилие N (х) на площадь
сечения:
О = —^ =-р- + ух. E.3)
Наибольшего значения нормальное напряжение достигает в верхнем
закрепленном сечении, которое в этом случае будет опасным:
р
Омакс= 7^ + Т^- E.4)
в этой формуле первое слагаемое представляет собой напряжение
от силы Р, второе — от собственного веса. Эпюра нормальных
напряжений приведена на рис. 136, в.
Условие прочности для опасного сечения запишется следующим
образом;
р
Омакс = 7^ + Т^ < [Р]- E.5)
Из выражения E.5) получим формулу для подбора площади Р
поперечного сечения стержня при расчете на прочность с учетом
влияния собственного веса:
Если нагрузки на конце стержня нет, т. е. Р = О, то
напряжение в опасном сечении, вызванное только собственным весом,
согласно выражению E.4),
Омакс = У1- E.7)
Условие прочности принимает следующий вид:
у1 < [а]. E.8)
Отсюда можно определить длину стержня, при которой напряжение
только от собственного веса достигает допускаемого и стержень
не может нести полезной нагрузки. Эту предельную допустимую
длину найдем из условия E.8), сохранив в нем знак равенства:
/пр = ——. E.9)
От собственного веса может произойти разрыв стержня. Это
будет в случае, когда а^акс в выражении E.7) достигнет величины
временного сопротивления. Длина стержня, при которой он
разрывается от собственного веса, называется критической. Ее получим
из формулы E.9), заменив допускаемое напряжение временным
130
сопротивлением материала:
'к = -^- E.10)
Предельная и критическая длины не зависят от площади
поперечного сечения стержня.
Подсчитаем, например, критическую длину для стали марки Ст2, у которой
(Тв = 3600 кгс/см*. Вес единицы объема стали
V = 7,85 гс/смз = 7,85 • 10"^ кгс/см».
Подставляя в формулу E.10) числовые значения, получим
3600
7,85 • 10-
1-3
= 458 000 см ;=; 4,6 км.
В рассматриваемом стержне (рис. 136, о) определим перемещение
сечения, находящегося на расстоянии х от свободного конца.
Перемещение равно удлинению части стержня, расположенной выше
этого сечения.
В сечении стержня, находящемся на расстоянии | от свободного
конца (рис. 136, а), имеем Л' (^) = Р + уР1,. По формуле D.9)
при Р = сопз! находим
т = (^!!^м,= (!шр)« = -^«^+^(Р-^,. E,11)
X X
Удлинение Д/ стержня (или равное ему перемещение Я. нижнего
конца стержня) получим из выражения E.11), положив л; = 0:
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой
удлинение стержня от силы Р, второе — от собственного веса.
Учитывая, что полный вес стержня ^ = уР1, вместо выражения
E.12) будем иметь
Д' = ^+2Ж- E.13)
Таким образом, абсолютное удлинение стержня от собственного
веса такое же, как удлинение от сосредоточенной силы, равной
весу стержня и приложенной в его центре тяжести. Эпюра
перемещений сечений изображена на рис. 136, г. -
Стержень равного сопротивления. При расчете на прочность
стержня постоянного сечения с учетом собственного веса во всех
сечениях стержня, кроме опасного, напряжения оказываются ниже
допускаемого, т. е. материал недогружен (см., например, рис. 136, в).
Однако можно спроектировать стержень такого переменного
сечения, у которого во всех поперечных сечениях напряжения
будут одинаковыми и равными допускаемому. Такой стержень
5* 131
называется стержнем равного сопротивления растяжению или
сжатию. Установим закон изменения площади его поперечного сечения.
Пусть стержень сжимается силой Р (рис. 137). Необходимая
площадь верхнего сечения
Р
E.14)
Площадь поперечного сечения на расстоянии х от верхнего
конца стержня обозначим через Р {х), а вес части стержня длиной х —
через ^ (л;). По условию напряжение в этом
сечении должно равняться допускаемому.
Уравнение равновесия части стержня
длиной X запишется так:
Р + ^(.x) = [а^Р{x). E.15)
Перейдем к следующему сечению,
отстоящему от первого на расстоянии их. Площадь
этого сечения будет Р {х) + йР {х), а вес части
Рис. 137 бруса, расположенной выше сечения, составит
^ (^) + уР {х) <^х- В этом сечении напряжение
также должно быть равно допускаемому. Условие равновесия
части бруса длиной X + Aх запишется следующим образом:
Р + ^{x) + уР (х) ёх = [о][Р(х) + йР (х)]. E.16)
Вычитая выражение E.15) из выражения E.16), получаем
ур (X) их = [0] йР (х), E.17)
или, разделяя переменные:
ар{х)
Р(х)
уЛх
Проинтегрировав это выражение, найдем
\пР{х) = ^ + С:
Отсюда
ух
+с
E.18)
О
Р{х) = е [
Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при х
Р{х) = /^0- Тогда из формулы E.18) получим
Подставляя в формулу E.18) значение е^ = Р^, найдем закон
изменения площади поперечного сечения стержня равного
сопротивления:
ух
Р{х)= Рерт .
E.19)
132
Наибольшая площадь в месте закрепления (л: = О
Риакс = Р(^ ^"^ ,
ИЛИ с учетом выражения E.14):
''макс —
Р ^
E.20)
Найдем полный вес ^ бруса равного сопротивления. Проще всего
сделать это, исходя из условия равновесия всего бруса:
Р + ^ = ^о] Ршкс-
Отсюда
^ = [а] /^'макс — Р-
Учитывая формулу E.20), получаем
д = Р(еЕЧ — 1).
Легко определить и укорочение стержня. Так как во всех
поперечных сечениях напряжения постоянны и равны допускаемому, то
и относительная деформация е по длине стержня равного
сопротивления постоянна и равна -^. Абсолютное укорочение стержня
М = е1 =
Е
I.
E.21)
Ступенчатый стержень. Стержень, состоящий из отдельных
участков (ступенек) с постоянной площадью поперечного сечения в
пределах каждого участка, занимает промежуточное
место между стержнем постоянного поперечного
сечения и стержнем равного сопротивления. В
ступенчатом стержне материал используется лучше,
чем в стержне постоянного сечения, но менее
эффективно, чем в стержне равного сопротивления.
Последнее полностью окупается просто гой
изготовления ступенчатого стержня. Поэтому такие
стержни имеют большее распространение, чем
стержни равного сопротивления. В виде ступенчатых
стержней иногда изготовляют опоры мостов.
Ступенчатые стержни следует проектировать так,
чтобы в опасном сечении, находящемся в конце
каждой ступеньки, напряжения равнялись
допускаемому. Очевидно при этом во всех других сечениях напряжения
будут меньше допускаемого.
Составим формулы для подбора площади поперечного сечения
каждой ступеньки (рис. 138).
Площадь поперечного сечения первой ступеньки найдем по
формуле E.6):
Р1 = г 1 ^ > • E-22)
' [а] —у/х ^ '
V//////////////.
^
Гг
^,
^
-^
С\
-^
Р
Рис. 138
133
к нижнему концу второй ступеньки приложена сила, равная Рг 1а].
Тогда аналогично
'2- [а]-у/2
Учитывая формулу E.22), получим
E.23)
Р2 = ^т-т тШ-л п- • E-24)
2 ([а] — V^1) (М - тУ
к нижнему концу третьей ступеньки приложена сила, равная Р^ ^^^1-
Для площади поперечного сечения третьей ступеньки формула
запишется следующим образом:
Р — АМ
Подставляя значения р2 из формулы E.24), получим
E.25)
Р\аГ
'3 (М-тУСМ-тУСМ-Т/з)
Очевидно, для площади поперечного сечения п-н ступеньки формула
будет иметь счедующий вид:
Р„ =
Р[а]"~^
Если длины всех ступенек одинаковы, то
/, = 4 = /з =...=/„=...=/„ = ^ , E.26)
т
где т — число ступенек в брусе;
/ — общая длина бруса.
Тогда
Учет сил инерции. Под силой инерции материальной точки,
движущейся с ускорением, понимают силу, равную по величине
произведению массы точки на ее ускорение. Направлена сила
инерции в сторону, обратную ускорению. В реальном теле, которое
можно рассматривать как совокупность материальных точек, силы
инерции распределены по объему тела. Они складываются с другими
нагрузками и оказывают влияние на величину возникающих в нем
напряжений и деформаций. Часто силы инерции являются
основными нагрузками на движущиеся детали.
При решении задач с учетом сил инерции пользуются принципом
д'Алаыбера, который состоит в том, что уравнениям движения точки
(пли системы точек) можно придать вид уравнений равновесия, если
к действующим заданным силам и динамическим реакциям связей
присоединить силы инерции.
134
Определение напряжений и деформаций при действии сил
инерции рассмотрим на примере расчета тонкого (Н < -^) кольца
(рис. 139, а), свободно вращающегося вокруг центральной оси.
Пусть угловая скорость вращения кольца
со=.-^ с-'.
где п — число оборотов в минуту.
Для тонкого кольца можно считать, что все его точки находятся
на одинаковом расстоянии от оси вращения, равном его среднему
радиусу г.
Так как центростремительное ускорение направлено к оси
вращения, то силы инерции направлены от нее.
На элемент кольца длиной, равной единице, действует сила
инерции в виде центробежной силы, величина которой (интенсивность)
о = -— со-'г,
E,28)
где г
Р
средний радиус кольца;
площадь поперечного сечения;
■у — вес единицы объема материала.
Таким образом, действие на кольцо центробежных сил
аналогично действию равномерного внутреннего давления
интенсивностью 9- Вследствие круговой симметрии системы и нагрузки в
поперечных сечениях изгибающие моменты и поперечные силы во всех
сечениях равны нулю.
Для определения продольных усилий Л', действующих в
поперечных (радиальных) сечениях кольца, рассмотрим равновесие
половины кольца (рис, 139, б). На половину кольца действуют две силы
Л', приложенные в проведенных сечениях, и силы инерции
интенсивностью 9-
Согласно теореме, доказанной в § 23, равнодействующая
распределенной нагрузки интенсивностью д равна произведению д на
диаметр, перпендикулярна к диаметру и действует по оси, проходящей
через его середину, т. е. по оси у. Условие равновесия половины
кольца при проектировании сил на ось у запишется следующим
образом:
2Ы — цЪ- = О,
133
откуда
Л' = дг. E.29)
Нормальное напряжение в поперечном сечении кольца
а=4=-^- E-30)
Подставляя значение д согласно формуле E.28), получим
V
ИЛИ
а = Х(й^, E.31)
о^^^Щг^. E.32)
Напряжение в кольце можно выразить через его окружную скорость
V. Учитывая, что V = (ИГ, из выражения E.31) будем иметь
0 = -^ у^ E.33)
Формчлами E.31) и E.33) можно пользоваться для
приближенного (если пренебречь влиянием спиц) определения напряжения
в ободе маховика.
Напряжение не зависит от площади поперечного сечения кольца.
Из условия прочности
-1-у2<[о] E.34)
определяем допускаемую величину окружной скорости:
|/М1 . E.35)
V
Относительное удлинение по окружности кольца в соответствии
с законом Гука и с учетом выражения E.31)
Рассматривая геометрическую сторону деформации (рис. 139, в),
убедимся в том, что относительное удлинение по окружности
кольца равно относительному удлинению радиуса:
_ 2пг1 — 2пг _ г^ — г _ и
^ ~ 2^г ~ ~г ~ ~ • ^'^•^''
Найдем радиальные перемещения и точек средней линии кольца.
На основании формул E.37) и E.36)
ы = 8г=-^сй^з. E.38)
§ 37. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Статически неопределимыми называются такие конструкции,
в элементах которых при помощи только одних уравнений статики
определить усилия невозможно. Кроме уравнений статики для рас-
136
чета таких систем (конструкций) необходимо использовать
также уравнения, содержащие деформации элементов конструкций.
Схемы некоторых статически неопределимых конструкций
изображены на рис. 140: а — стержневой подвески; б — стержня,
закрепленного обоими концами; в — стержневого кронштейна; г —
составного кольца; д — железобетонной колонны, состоящей из
бетона с включенной в него арматурой (стальными стержнями);
е — шарнирно-стержневой системы.
Все статически неопределимые конструкции имеют
дополнительные, или так называемые «лишние», связи в виде закреплений,
стержней либо других элементов.
Лишними такие связи называют
только потому, что они не
являются необходимыми для
обеспечения равновесия конструкции
и ее геометрической
неизменяемости, хотя постановка их
диктуется условиями эксплуатации.
По условиям прочности и
жесткости конструкции лишние
связи могут оказаться
необходимыми.
В статически неопределимых
конструкциях число неизвестных,
подлежащих определению,
больше, чем число уравнений статики,
которые могут быть для этой цели использованы. Разница между
числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число
лишних неизвестных, или степень статической неопределимости
конструкции. При одной лишней неизвестной конструкция
называется один раз статически неопределимой, при двух — дважды
статически неопределимой и т. д. Конструкции, изображенные на
рис. 140, а, б, г—е, имеющие по одной дополнительной связи,
являются один раз статически неопределимыми, а конструкция,
представленная на рис. 140, в, имеющая две лишние связи,—
дважды статически неопределимой.
Решение статически неопределимых задач. Статически
неопределимые конструкции, элементы которых работают на растяжение
и сжатие, будем рассчитывать, решая совместно уравнения,
полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и
физической сторон задачи. При этом будем придерживаться
следующего порядка.
1. Статическая сторона задачи. Составляем
уравнения равновесия отсеченных элементов конструкции,
содержащие неизвестные усилия.
2. Геометрическая сторона задачи.
Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи
между деформациями или перемещениями отдельных элементов
137
У^
конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями
совместности деформаций.
3. Физическая сторона задачи. На основании
закона Гука выражаем перемещения или деформации элементов
конструкции через действующие в них неизвестные усилия. В
случае изменения температуры к деформациям, вызванным усилиями,
добавляются температурные деформации.
4. Синтез. Решая совместно статические, геометрические и
физические уравнения, находим неизвестные усилия.
Рассмотрим примеры расчета некоторых
. простейших статически неопределимых конст-
"а^Ь Рукций.
1. Пусть к стержню, закрепленному
обоими концами, приложена осевая сила Р (рис.
141, а). Определим усилия, возникающие в
нижней и верхней частях стержня.
Статическая сторона зада-
ч и. Поскольку сила Р действует вдоль оси
стержня, на его концах могут возникнуть
только вертикальные составляющие реакций
A^А и ^в)- Направим их произвольно — так,
как показано на рис. 141, а.
Для системы сил, действующих по одной
прямой линии, можно составить лишь одно
Рис. 141 уравнение равновесия:
'^Х==Яа + Яв — Р^О. E.39)
Следовательно, задача один раз статически неопределима.
Геометрическая сторона задачи. Так как
концы стержня жестко закреплены, то его общая длина не
изменяется. Следовательно,
а; == 0. E,40)
Физическая сторона задачи. В поперечных
сечениях верхней части стержня действуют усилия NАс = Ка, а в
поперечных сечениях нижней — усилия Л'йс = —Яв- Используя
закон Гука, выразим деформации через эти усилия:
а
у/Т/ут?.
±^:
_
.
=Ф=
®
/?„
а+1?,
М
ЕР
+
^всЬ
ЕР
^л«
ЕР
ЕР
E.41)
Синтез. Подставляя выражение E.41) в уравнение E.40),
получим
^^' =0.
ЕР ЕР
ИЛИ после сокращения на ЕР:
Нла = НвЬ.
138
E.42)
Решая совместно уравнения E.39) и E.42), получим
Ь
На =
а + Ъ
Р\ Яе
а + Ь
Окончательная эпюра продольных сил представлена на рис. 141, б.
2. Подобрать площади поперечных сечений трехстержневой
подвески, расчетная схема которой изображена на рис. 142, а. Длина
среднего стержня /х = 1,5 ы, угол между осью среднего стержня и
осями боковых стержней а = 30°. Все стержни из стали марки Ст2.
Площади поперечных сечений боковых стержней Р^ = Р^. Подвеска
в узле А будет нагружаться вертикальной силой Р = 8000 кгс.
Рис.
Из расчетной схемы конструкции, а также из допущения о том,
что шарниры в узлах идеальные, следует, что при нагружении
подвески в узле А силой в стержнях будут возникать только осевые
усилия, в данном случае — растягивающие.
Подбор площади поперечного сечения стержня при растяжении
(проектировочный расчет) проводят по условию прочности
о = 7^ < [о],
откуда, если известно усилие К, определяют необходимую площадь:
Р>
\(У]
Найдем усилия в стержнях подвески. Конструкция один раз
статически неопределима, так как имеет одну лишнюю связь.
Статическая сторона задачи. Условие
равновесия узла Л (рис. 142, б) выражается двумя уравнениями статики:
^ X = Л'з 81П а — Л^2 81П а = 0;
1] Г = Л^14-Л^2С05а + Л^зС05« —^ = 0-
Из первого уравнения следует, что N2 = Л'з- В результате
остается одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия:
Л^1 -I- 2Л^2 соз а, = Р.
E.43)
139
Геометрическая сторона задачи. Так как
система симметрична относительно оси среднего стержня и боковые
стержни растягиваются одинаковыми силами, то узел А при
деформации подвески опустится по вертикали на какую-то величину б.
Новое положение узла будет А^ (рис. 142, е). Все стержни
удлинятся и займут положение, показанное на рис. 142, в штриховыми
линиями. Удлинение среднего стержня, очевидно, будет Д/^ = б.
Удлинения боковых стержней получим, если из точек В и О
радиусом, равным В А (или О А), проведем дуги через точку А и
сделаем засечки на новых длинах стержней ВА1 и ОЛх. Вследствие того
что упругие удлинения очень малы по сравнению с длинами
стержней (на рис. 142, в для наглядности удлинения сильно увеличены),
можно считать, что углы а между осями стержней не изменяются,
а проведенные дуги заменить перпендикулярами, опущенными из
узла А на новые направления стержней. Тогда, как видно из
рисунка,
А/д = А/г = А/1 соз а. E.44)
Физическая сторона задачи. Удлинения
стержней выразим по закону Гуна через действующие в них усилия:
А/,=^; А/г = 4^. E.45)
Синтез. Подставляя значения А/х и А/а из выражений E.45)
в выражение E.44), получим
Выразим Л'г через N1;.
N2 = —^—Л'1С08а,
или
с.
Л'г =-!^Л^,со8а, E,47)
ЕР ЕР
где с^ = —г^, с^ = —р^ — жесткости соответственно среднего и
боковых стержней.
Внеся выражение E.47) в уравнение E.43), будем иметь
Л?, -I- 2 -^ /VI соз^ а = Р,
с,
1
откуда
140
Л'. = -, . E.48)
1 -^ 2 -^ соз^ а
С1
Учитывая выражение E.47), получим Л^д"
Р —^ С05 а
N^ = ^1 . E.49)
1 + 2 -^ 005= а
Усилия Л^1 и Л^2 оказались зависящими от соотношения жест-
костей стержней. Поэтому в проектировочном расчете вычислить
их можно, только задавшись отношением жесткостей. В этом
заключается одна из особенностей расчета статически неопределимых
стержневых систем.
В случае одинаковых материалов стержней задаются не
отношением жесткостей, а отношением площадей поперечных сечений,
которое, разумеется, устанавливает и определенное отношение
жесткостей стержней.
Примем -р^= к. Тогда, учитывая, что 1^= 1^008а, получим
''2
«2 Ер211 Ер212 С05 « С05«
«1 /г^^! [^ЁР^г к
Теперь усилия в стержнях Л^х E.48) и N^ E.49) определятся
такими выражениями:
Л/1 == ^ ; E.50)
1 -1—г- со5^ а
к
Мо — . , „ 5— . E.51)
Вычислим эти усилия, приняв, например, к = 2:
а; 8000 -сел
^' ^ 1 -Ь 0.8663 = 485^ «^^•'
Л^2 = ^ ,. , » ,. = 1820 кгс.
8000 • 0.866^
2 A + 0,8663)
I Подберем площади поперечных сечений стержней, исходя из
I предположения, что напряжение в среднем стержне равно допу-
^:кашому ^^апряжениюXо1 — 1400 кгс/см^. Тогда
17 Л'. 4850 , о дс 9
^» == "М" = -1400- ™ = 3,46 СМ^
Площади поперечных сечений боковых стержней, согласно
принятому отношению, получим такими:
Напряжения, с которыми будут работать эти стержни,
а//= От = -^ = , _- кгс/см^ = 1050 кгс/см'*.
г 2 1,73
141
Эти напряжения меньше допускаемого, т. е. стержни имеют
избыточный запас прочности.
Если из условия прочности определить площади поперечных
сечений боковых стержней Р^, а затем, согласно принятому
отношению, взять Р^ = 2р2, то напряжение в среднем стержне окажется
больше допускаемого. Таким образом, этот второй вариант
подбора площади поперечных сечений следует отбросить.
Отметим, что в рассматриваемой статически неопределимой
конструкции нельзя получить равнопрочность всех ее элементов.
Начальные и температурные напряжения. Свободная сборка
статически неопределимых систем возможна лишь при весьма точном
изготовлении их элементов. В противном случае сборку вынуждены
у///////уу'/,^////.''.'///у^ у//////////////////////
\Г'/
/I ;
Ь
осуществлять с приложением усилий, вызывающих деформации
элементов, поэтому в них после монтажа системы будут напряжения,
называемые начальными или монтажными. В статически
определимых конструкциях неточность размеров элементов не требует
приложения усилий при монтаже и в элементах не возникают
начальные напряжения.
В элементах статически неопределимых систем усилия и
напряжения возникают также при изменении температуры.
1. Предположим, что стержни конструкции, рассмотренной в
предыдущем примере, изготовлены с заданными площадями
поперечных сечений Р^ к Р^ = Р^к средний стержень оказался короче
на величину А (рис. 143, а). Если величина Д незначительна по
сравнению с длинами стержней, то, приложив определенные усилия,
можно все три стержня соединить в узле, который займет после
сборки какое-то положение А (рис. 143, б). Очевидно, при этом
средний стержень будет растянут, а боковые сжаты. Определим
монтажные усилия в стержнях.
Статическая сторона задачи. Уравнения
равновесия узла А (рис. 143, в) следующие:
^ X == Л^2 51П а — Л^з 51П а = 0;
^ К = Л^^ — Л'а С08 а — Л^з сох а = 0.
Из первого уравнения находим, что К^ = Л^з- Остается одно
уравнение с двумя неизвестными:
Л^1 — 2Л^2 С08 а = 0.
E.52)
142
Геометрическая сторона задачи. Из
приведенного на рис. 143, б построения следует, что
А/2 = (А —А/1)со5а. E.53)
Физическая сторона задачи. По закону Гука
А/, = -|^; Д4 = -^. E.54)
Синтез. Подставляя значения Д/^ и А/г из выражений E.54)
в выражение E.53), имеем
(--*)
сок а.
Выразим М^ через М^ и Д:
., ЕР^ IА N-,1-, \
или
Л^2 = С2 (а — -А С05 а.
Вн€ся Л^2 в уравнение E.52), получим
N^ — 2^2 (а — -^) соз^ а = 0.
Отсюда находим растягивающее усилие в среднем стержне:
Л^^ = 2^^2!1Е д. E.55)
1+ 2 -^ С052 а
Сжимающие усилия в боковых стержнях определим на
основании уравнения E.52):
Л^2 = т~— . E.56)
^ 2 С08 а ^ '
Усилия в стержнях зависят как от отношения жесткостей, так
и от величины Д.
Пусть в рассматриваемой конструкции (рис. 143) все стержни
изготовлены из стали {Е = 2 • 10* кгс/см^). Площади поперечных
сечений стержней Р^ — Ъ см*, Р^, =Р^ — 2 см^; проектная длина стержня
^1 = 2 м, углы наклона крайних стержней а = 30°. После
соединения крайних стержней оказалось, что средний стержень короче,
чем это необходимо для свободной сборки, на величину Д = 0,15 см.
Найдем усилия и напряжения, возникшие после сборки
конструкции.
По формуле E.55) находим растягивающее усилие в среднем
стержне:
^' = . ,„ 2 • 10--■ 2 ■ 0.866 ■ 200 ..... ' ' ^''^ '^^^ = ^090 КГС.
•+2 200.2-100-3 °'«66^
143
Сжимающие усилия в боковых стержнях, согласно выражению E.56),
Соответственно напряжения в стержнях
о = -р^- = —5— кгс/см^ = 697 кгс/см*;
^1 -^
аг = Оз = —
~- кгс/см= = — 603 кгс/см^
Таким образом, сравнительно небольшая неточность,
допущенная в длине стержня при изготовлении, вызывает большие
начальные (монтажные)
напряжения.
2. Определим температурные
напряжения в стержне АВ (рис. 144)
длиной / и площадью поперечного
сечения Р. Модуль упругости
материала Е, коэффициент линейного
температурного расширения а.
Стержень закреплен плотно между
двумя стенками и нагрет так, что
на конце А температура его
повысилась на Та, на конце В — на Тв,
Л
н^ г
V
'л
п^)^
А
X Ф
1
.■4 ___
$^ о
^^"в
'.
с
^г-
Рис. 144
а по длине стержня она изменяется по закону
гр гр
Т(х) = Та +
/"
E.57)
При п = О изменение температуры по длине стержня постоянно и
равно Тв, при п = 1 температура изменяется линейно, при п = 2 —
по закону параболы второго порядка и т. д.
Определим реакции закреплений и напряжения в стержне.
Статическая сторона задачи. При повышении
температуры стержень стремится удлиниться. Этому препятствуют
жесткие опоры, в результате чего возникают реакции,
направленные вдоль оси стержня (рис. 144).
Для системы сил, направленных по одной прямой, можно
составить одно уравнение равновесия:
откуда
/?л = /?в = /?. E.58)
Следовательно, задача один раз статически неопределима. Осевая
сила в стержне Л^ = —/?.
Геометрическая сторона задачи. Вследствие
закрепления концов стержня его длина не изменяется:
Д; = 0. E.59)
144
Физическая сторона задачи. Укорочение
свободного стержня, вызванное продольными силами, равными реакциям
закреплений,
А/л' = -|^ . E.60)
Удлинение свободного стержня вследствие нагрева определим
следующим образом. На расстоянии х от конца А стержня выделим
элемент длиной их, для которого повышение температуры Т (х)
может считаться постоянным. Температурное удлинение этого эле
мента
Мхт = аТ (X) йх==а (Тд + '^'^~/^ х'\ их. E.61)
Температурное удлинение всего стержня найдем,
проинтегрировав выражение E.61) по длине стержня:
Д/г = I ее (т^ + -^^"^'^ х-\ их = а1 (та + "^^^Т^] • E-62)
Полное изменение длины стержня выразится так:
Д/ = Д/л, + А/г=--|^г + «/1Тл + ^4тГ^)- (^•^^)
Синтез. Подставив выражение E.63) в формулу E.59),
получим
--§- + «/(Гл + ^^^) = 0. E.64)
откуда находим реакции опор:
Я==а[Тл+ '^1~'^'')еР E.65)
и напряжения:
«(Т^Л-Ь—ТГГ^)^- E-66)
при п = о последние две формулы переходят в формулы для
случая равномерного нагрева стержня по длине на ДГ = Тв-
К = аКГЕР и а = — аЕ^Т.
Рассмотрим числовой пример. Определим осевую силу и
напряжения в стальном стержне, если / = 80 см; /^ = 20 см^; ^: == 2 X
X 10« кгс/см^; а := 125 • 10-^; Та = 10°С; Гв = 55°С.
Температура по длине стержня изменяется по закону параболы второго
порядка (« = 2).
Подставляя числовые значения в формулы E.65) и E.66), найдем
Л?=
-125-10-'(Ю 4- ^^7'° )^' 10*-20 кгс = -12 500 кгс,
^ 12500 „ ^„^ , ,
О = ^ = — -2о~ кгс/см^ = — 625 кгс/см^.
145
Заметим, что при понижении температуры в системе, подобной
изображенной на рис. 144, возникают растягивающие напряжения.
На основании рассмотренных з параграфе примеров можно
отметить следующие особенности статически неопределимых
конструкций, которыми они отличаются от статически определимых:
1. Распределение усилий между элементами статически
неопределимых конструкций зависит от жесткостеи этих элементов. Если
увеличить жесткость какого-либо из них, то он примет на себя
большее усилие. Изменяя соотношение жесткостеи элементов
конструкций, можно любым образом менять распределение усилий в них.
2. В статически неопределимых конструкциях при изменении
температуры ее элементов по сравнению с температурой, при
которой осуществлялась сборка конструкций, возникают усилия и
напряжения.
3. В элементах статически неопределимых конструкций могут
существовать усилия и напряжения при отсутствии внешней
нагрузки. Эти усилия и напряжения, называемые начальными
(монтажными), появляются при сборке конструкции. Начальные
напряжения или создаются с определенной целью (например, затяжка
болтов, прессовая посадка), или возникают вследствие неточного
изготовления отдельных элементов конструкций.
4. В статически неопределимых конструкциях з общем случае во
всех элементах одновременно нельзя получить напряжения,
равные допускаемым. При проектировании таких конструкций это
следует иметь в виду.
§ 38. РАСЧЕТ ГИБКИХ НИТЕЙ
Совершенно гибкой называется нить, которая способна
сопротивляться только растяжению. Из шести компонентов внутренних сил
в поперечных сечениях такой нити только осевая растягивающая
сила не равна нулю. В инженерной практике широко
распространены системы, которые с известным приближением могут
рассматриваться как гибкие нити. Таковы воздушные линии электрических
проводов, провода телеграфной сети, контактные провода
электрифицированных железных дорог и трамваев, цепи висячих мостов,
тросы канатных дорог и кабелькранов и т. п.
Точки подвеса нити могут находиться на одном или на разных
уровнях (рис. 145).
При расчете на прочность длинных гибких нитей, кроме других
нагрузок, существенное значение имеет их собственный вес. Пусть
весомая гибкая нить постоянного поперечного сечения подвешена
в двух точках, расположенных на разных уровнях (рис. 145, б)
или на одном уровне (рис. 145, а). Под действием собственного веса
нить провисает по некоторой кривой.
Введем следующие обозначения:
/^ — расстояние между точками Л и б подвеса нити;
/ — пролет, равный горизонтальной проекции расстояния /х;
146
Н — разность уровней точек подвеса нити;
/ — удаление нити от прямой АВ, соединяющей точки подвеса
нити, измеренное посредине пролета;
^ — длина неподвешенной нити;
д — интенсивность нагрузки на единицу длины нити.
В случае одинакового уровня точек подвеса величина / является
удалением низшей точки нити от горизонтальной линии АВ и
называется стрелой провисания. Нагрузка д может быть не только
собственным весом, но и включать в себя другие нагрузки, например
вес льда при обледенении проводов, давление ветра. Эти нагрузки
предполагаются также равномерно распределенными по длине нити.
В случае, когда нагрузка со-^^^^ _^д
стоит из собственного веса нити,
ее интенсивность
E.67)
где д„
\,.^^н.
1 "••■
2
^ .1. „■■— _ ..... . .1.--
_^--^
■ ■ ■-■ ■ '»
Я = Чп = УР,
вес единицы длины
провода;
у — вес единицы объема ма-/|
териала;
Р — площадь поперечного
сечения нити.
При обледенении проводов
<? = 9п + <?л, E.68)
где Gл — Еес льда на единице
длины провода.
Толщину корки льда в зависимости от климатического района
принимают равной 0,5—2,5 см.
Перечисленные нагрузки действуют в вертикальной плоскости,
давление же ветра на провод — в горизонтальной плоскости.
Интенсивность его Ов определяют, умножая давление ветра р на
площадь диаметрального сечения единицы длины провода:
или
Яь = Р^.
9в = кадс^4.
E.69)
где к = 1,2 — аэродинамический коэффициент;
а = 0,85 — коэффициент неравномерности ветра;
^ск — скоростной напор;
й — диаметр провода с учетом его увеличения за счет
обледенения.
Выражая Gск кгс/м через скорость ветра V, получаем
<7, = 636 . \^Г^VЧ. E.70)
Здесь скорость ветра V—в метрах в секунду, а диаметр провода й—
в метрах.
147
Суммарную интенсивность нагрузки на провод найдем в
результате геометрического сложения вертикальной и горизонтальной
нагрузок:
<? = К (<?п + <?л)^ + <?в • E.71)
При этом, естественно, плоскость действия суммарной
нагрузки, совпадающая с плоскостью провисания нити, не будет
вертикальной.
На практике провисание нити чаще всего бывает небольшим —
таким, при котором длина нити по кривой провисания мало
отличается от длины пролета (обычно не более чем на 10%). Ограничим-
Рис. 146
ся рассмотрением только таких пологих нитей. В этом случае для
упрощения расчетов с достаточной степенью точности можно
считать, что нагрузка, действующая на подвешенную нить,
равномерно распределена не по длине нити, а по длине линии АВ,
соединяющей точки подвеса (рис. 146, а).
Для удобства вычислений эту нагрузку д заменяем статически
эквивалентной нагрузкой д, распределенной вдоль пролета /.
Очевидно,
отсюда
<?
д1 = (?/1,
совр
E.72)
Статическая сторона задачи. Рассмотрим
равновесие нити. Так как нить предполагается совершенно гибкой,
то растягивающие усилия в каждом поперечном сечении должны
быть направлены по касательной к кривой провисания нити. В
точках прикрепления эти усилия равны реакшгям опор. Обозначим
последние соответственно через Тд и Тв. Выберем начало
координат в левой точке подвеса нити и направим оси координат так, как
показано на рис. 146, а.
148
Заменяя реакции опор их горизонтальными и вертикальными
составляющими, запишем уравнения равновесия нити:
У,Г = ~ЯА-Кв + д1 = 0; E.73)
У^Мв^~НаН + Яа1-^ = 0.
Из уравнений E.73) следует, что
На==Нв = Н; E.74)
/?л=^+я4-; E.75)
/?в--| И-^. E.76)
Так как из трех уравнений равновесия нельзя определить
четыре неизвестных (На, Яа, Нв и 1^в), то задача является один раз
статически неопределимой.
Рассмотрим равновесие части нити, отсеченной любым сечением
(рис. 146, б):
У,Х = -Н + ТАх} = 0;
У,У = -ЯА + дх + Т^(х)=0.
Отсюда с учетом формулы E.75) получаем
Т,{х) = Н\ E.77)
Т^{х ==Н^ + д(^~ху E.78)
Как видно из выражения E.77), горизонтальная составляющая
растягивающего усилия в любом поперечном сечении нити
постоянна и равна величине Н. Усилие Н называется горизонтальным
натяжением нити.
Таким образом, растягивающее усилие в произвольном сечении
нити
79)
Т{х) = Ут1(х)+Т1{х) = у^ Н'+^н± + д{±--х'^^\ E,
Как видно, наибольшее растягивающее усилие Гмакс действует в
высшей течке подвеса нити (при х = 0):
Гмакс = Т/^ ^' + (-|- + ^ -^)' •
Для пологих нитей различие между наибольшим растягивающим
усилием, действующим у более высокой точки подвеса, и
натяжением Н невелико. Поэтому с достаточной для практики точностью
можно считать, что растягивающее усилие в нити постоянно и равно
149
величине натяжения Я. По этой величине обычно и ведут расчет
нити на прочность.
Выясним форму кривой провисания нити. С этой целью запишем
уравнение для изгибающего момента в каком-либо сечении
(рис. 146, б). Поскольку нить совершенно гибкая, то во всех ее
сечениях изгибающий момент равен нулю:
М (х) = 1^аХ — Ну — -^ = 0.
E.80)
С учетом формулы E.75) получим
откуда
2 ^^'
дх^
2Я
E.81)
E.82)
т. е. кривая провисания нити выражается квадратичной параболой.
Заметим, что если задачу решать точно, считая нагрузку
распределенной равномерно по длине нити, а не по пролету, то кривая
провисания будет цепной линией. Формула E.82), являясь первым
членом разложения уравнения цепной линии в ряд Маклорена по
степеням х, дает для пологих нитей хорошее приближение при
решении практических задач.
Определим возможные положения низшей точки кривой
провисания нити. Координаты этой точки обозначим через х= а, у= /'
^
О
—г^
а
» л
а
1
^^ЛЛ' -
(
а
6
Рис. 147
(рис. 147, а). В ней у имеет экстремальное значение. Для
определения его возьмем производную от выражения E.82):
н.
их
И приравняем ее к нулю:
я1 I
2Я "^ /
д1 . ^г_
2Я "^ I
дх
1Г
н
0.
E.83)
E.84)
Отсюда найдем значение абсциссы, определяющее положение
низшей точки:
д; = а = -2" + -^ . E.85)
Низшая точка кривой провисания нити всегда находится ближе к
более низкой точке подвеса.
150
Подставляя выражение E.85) в формулу E.82), найдем
экстремальное значение ординаты, т. е. величину наибольшего
провисания нити:
Ушке = ! = -8Я" + 2^ + "^ • (^-^^^
Будем различать три характерных случая расположения низшей
точки кривой провисания нити:
1. Низшая точка кривой провисания находится в пределах
пролета, т. е. о; < / (рис. 147, а). Согласно выражению E.85), это
будет иметь место, когда
Н<^. E.87)
2. Низшая точка кривой провисания лежит вне пролета, т. е.
а>. / (рис. 147, б). Это будет при условии
Я>-|^. E.88)
3. Низшая точка кривой совпадает с более низкой точкой
подвеса, т. е. о; = / (рис. 147, в). Необходимое условие для этого
случая
Я = 1^ . E.89)
Во всех трех случаях координаты о; и /' низшей точки
определяются по формулам E.85) и E.86).
Установим зависимость между натяжением Н и величиной ^.
Посредине пролета х~ -^, & у = -^ +1 (рис. 145, б). Подставив
эти значения координат в формулу E.82), получим
или
E.91)
Выразим натяжение нити Н через наибольшее провисание I'.
Из формулы E.86), решая квадратное уравнение относительно
натяжения Н, получим
^ = -^ [/' - 4 ± УТЖ^ • E.92)
Если низшая точка кривой провисания лежит в пределах
пролета, то перед корнем следует брать знак «минус», если вне пролета —
знак «плюс», так как в первом случае натяжение Н меньше, чем
во втором, что видно из сравнения выражений E.87) и E.88).
Геометрическая сторона задачи. Установим
связь между длиной подвешенной нити, пролетом и величиной /",
«5«
характеризующей провисание нити. Длина элемента кривой, как
известно.
с18 = Уйх^ + ау''==[1 + (-^)'
их.
Если нить пологая, то величина [-^1 мала по сравнению с еди-
ницей. Раскладывая выражение М + (тг') ^ РяД по формуле
бинома Ньютона и ограничиваясь первыми двумя членами
разложения, получим
'^^ ' E.93)
'«-[" + 1Ш
их.
Подставляя сюда — из выражения E.83) и^ интегрируя по всей
длине пролета, будем иметь
2/
Подставляя на основании формулы E.91) Н==-^, получим, что
8/
5 = / +
/ "^ 2/
E.95)
Из геометрических соображений удлинение А5 нити длиной ^
после подвески
24//2 + 2/
А5 = 5-1 = / + -^+^-1.
E.96)
Физическая сторона задачи. Установим также
физические зависимости, выражающие изменение длины нити от
растягивающего усилия и от изменения температуры. Как
указывалось, для пологих нитей растягивающее усилие можно принять
равным натяжению Н. При определении удлинений длину нити
заменим длиной 1^, что достаточно точно при малом провисании.
Тогда упругое удлинение от растяжения
Ш^ _ т
дс
" ЕР Е/'созр •
Температурное удлинение нити определяется по формуле
E.97)
А5го - а/, (Г — Т1)
а/
С05 р
(Г —Го),
E.98)
где Го — температура в момент подвешивания нити;
7^ — температура, для которой производится расчет нити.
152
Суммарное изменение исходной длины нити
А5 = А5// + А5г» = -ш^^ + -^ {Т° — Го). E.99)
' Е/^ С05 р ' С05 р ^ ' ^ '
Формулы E.96) и E.99) выражают одну и ту же величину —
удлинение подвешенной нити. Приравняв правые части этих
равенств, найдем, что
E.100)
1-1 л. ^^'^" л- ^" -
Н1
ЕР С05 Р
(X/ /ГР^
С05р *■
-т1).
Уравнение E.100) совместно со статическим уравнением E.90)
позволяет определить натяжение нити Н и стрелу провисания I.
Определив из уравнения E.100) натяжение нити Н, можем по
формуле E.79) вычислить растягивающее усилие в произвольном
сечении нити, а значит, и Гыакс Зная последнее, проверяем
прочность нити:
„ макс п г„1.
а= —^«-^ <[а],
с учетом формулы E.91) получаем
а=-|?-<[о]. E.101)
При расчете нитей удобно ввести понятие удельной нагрузки у,
которая представляет собой интенсивность погонной нагрузки ^,
отнесенную к площади поперечного сечения нити:
Если действует только собственный вес, удельная нагрузка
совпадает с объемным весом материала нити.
С учетом сказанного условие прочности можно записать так:
(^=-^<М- E.102)
Заметим, что при расчете электрических проводов сечение нити
определяется из электротехнических соображений, а затем
выполняется проверочный расчет.
Приведем расчетные формулы для часто встречающегося
случая нити с точками подвеса, расположенными на одном уровне
(рис. 148, а), т. е. при со8 Р = 1.
В этом случае Н = О, реакции в точках подвеса одинаковы: На —
= ^в = -|-, наибольшее провисание I будет посредине пролета.
Как и ранее, оно связано с натяжением формулами E.90) и E.91):
г. ф-" .
I ~ 8И '
Н = -^. E.103)
153
Уравнение совместности деформаций E.100) принимает вид
/ +
24//2
т
ЕР
-а/(Г-Го).
E.104)
Влияние изменения температуры и нагрузки на напряжение
и стрелу провисания нити. В процессе эксплуатации нить может
подвергаться
воздействию различных
нагрузок и температур.
Выясним, как изменяются
напряжения и стрела
провисания нити при
изменении этих факторов.
С этой целью
рассмотрим два состояния нити:
т-е и п-е (рис. 149).
Пусть в т-ы
состоянии температура равна
Т°т, погонная
нагрузка — ?„, а стрела
провисания —/^; при этом
1а
1 Ч
1 . \
/и А
У
1^А
К-г—
1/2 ,
^^^^
1
ИГ
1^1 ГТ5
4 'х
М т
в Нд
натяжение Н„
8/„
6
Рис. 148
напряжение в нити а^ =
При изменении температуры и нагрузки в п-м состоянии до
величин Тп и ^„ стрела провисания станет /^^, натяжение Н„ =
= —^—, а напряжение а„ = -^•
Установим зависимость
между напряжениями и
стрелами провисания нити для
указанных двух состояний.
Задача легко решается,
если записать выражение для
длины нити Ь к моменту
подвеса через параметры обоих
состояний. Если точки
подвеса нити находятся на одном уровне, то на основании уравнения
E.104), исходя из параметров т-го и п-го состояний,
соответственно получим
1^^1-Г^^--^-о.1(Г^-Т1у. E.105)
д
у
<*
»
'^*=5:::;^Ич^
л'^"~—~.
н^
\^<^
[р>^
в
X
Рис. 149
24Я^
Ь = 1 +
я1р
24Н1
Нп1
ЕР
■аЦГ„ — Т1).
E.106)
114
Правые части этих двух выражений, представляющие одну и ту
же величину — длину нити к моменту подвеса, равны между собой.
Следовательно,
24//^
Отсюда, обозначая -^^ = Тш! "Т" ~ '^п и учитывая, что —^ — сг„;
Нп
~- = о„, находим
(^п-
~у1ре
24с1
= <^т~
?т1'Е
24
-и пР (Т°
-\- аг; ^^ т
-К).
E.107)
Эту зависимость иногда называют уравнением состояния нити.
Его можно переписать также в виде
■аЕ{К-Т:п) "' ^"
3
24а?,
о1
24
= 0. E.108)
Если выразить напряжения через стрелы провисания:
УтР . „- _ Уп1'
о„ =
то уравнение E.108) можно записать так:
^п-
Л + ^ЫЦП-Гт)
3
64
Ут1' 1 . _
ЕГт У"
3
64
Уп1*
= 0.
Е/„ ]'" 64 Е
E.109)
Чтобы получить уравнения состояний для нитей, подвешенных
на разных уровнях (рис. 148, б), в качестве исходной формулы
длины ^ следует взять формулу E.100). Тогда уравнение состояния
E.107) примет вид
24а2
= сг„
Гт^Е сов ^
24а1
+ аЕ{Т°т — Г„). E.110)
Выразив, как и выше, напряжения через стрелы провисания,
получим
^«-[/т + 4
аР
(Т — Т )
Ут1*
созр
64 Е!п1 С05 Р
!п-
Уп1*
= 0.
64 Б' С05 р
E.111)
Выведенные выше кубические уравнения могут быть решены
любым известным методом, в том числе и графическим.
При графическом решении, например, уравнения E.109),
имеющего вид
Д-й/„-Ь = 0.
155
где о: и Ь — известные числа, запишем его так:
}1==а[, + Ь. E.112)
В прямоугольных координатах строим графики у = /"п ^ у =
= а^^ + Ь (рис. 150). Очевидно, что абсцисса точки пересечения
кубической параболы с прямой дает действительный корень
уравнения, а значит, и искомую стрелу. Два других корня кубического
уравнения мнимые.
В случае необходимости уточнить полученное графическим
способом решение можно применить способ Ньютона:
[п — Тп -\-
Р'Цп) '
где
Р'(!п) = ^}1~а.
Понятие о критическом пролете. Расчетом на прочность нужно
также установить, при каком состоянии нити в ней будет
максимальное напряжение. Оно может быть:
а) при наибольшей нагрузке (гололед и умеренный ветер или
отсутствие гололеда, но сильный ветер);
б) при самой низкой температуре без гололеда.
Так как наибольшая нагрузка не совпадает во времени с
наиболее низкой температурой, то для расчета важно установить, какое
из этих состояний будет опасным. Выясним
влияние нагрузки и температуры на напряжения в
зависимости от длины пролета нити.
Исходим из уравнения состояния E.107).
В случае весьма малых пролетов, положив в этом
уравнении / = О, найдем, что
т. е. при малых пролетах изменение напряже-
Ри«. 150 ния зависит главным образом от температуры.
С уменьшением температуры Т'п напряжения а„
растут и наибольшие напряжения в нити имеют место при низшей
температуре.
Рассмотрим теперь случай весьма больших пролетов. Разделив
уравнение E.107) на Р и положив /^- оо, получим
Следовательно, если пролеты велики, то изменение напряжения в
основном зависит от нагрузки на нить. Наибольшие напряжения
будут действовать при максимальных нагрузках.
Найдем такую длину пролета, при которой напряжения в нити
одинаковы в обоих опасных состояниях, т. е. как при наибольшей
156
нагрузке, так и при наиболее низкой температуре. Такой пролет
называется критическим (/«р).
Пусть Тп соответствует температуре гололеда, т. е. Тп == 5"гол
(обычно Ггол = —5°С), при этом у„ == унакс; Т°т соответствуст
низшей температуре, т. е. Тт = Т^тй на нить в этом случае
действует только собственный вес, так что у„ = ух-
При / = /кр, согласно определению,
«^« = «^ш = [(^1-
Внося эти данные в выражение E.107), находим, что
/ Г„11 / '*"(^ГОЛ 'мим' /С110\
^кр = М|/ — . E.113)
Сопоставляя расчетный пролет с критическим, можно
установить, при каких условиях в нити действует наибольшее
напряжение. Так, если /< /кр, то наибольшее напряжение будет при низшей
1емпературе. В случае / > /кр опасное состояние будет при
наибольшей нагрузке.
Пример 14. Многожильный медный провод сечением 7^= 120 мм^
подвешивают при температуре Т°^ = 15°С к опорам, расположенным на одном уровне иа
расстоянии /= 100 м.
Определить: а) какую стрелу провисания /ц необходимо дать проводу, чтобы
напряжение в наиболее опасном состоянии равнялось допускаемому; б) высоту
точек подвеса провода, чтобы расстояние его низшей точки от земли было не
менее 6 м.
Расчет провода провести для следующих случаев:
1) температура 7'°^^,= —5°С; при этом провод кроме собственного веса
нагружен слоем льда толщиной 1 см (гололед), а также горизонтальным
давлением ветра р = 24 кгс/м^;
2) температура Г°,^ц == —40°С; действует только собственный вес провода;
3) температура Г^а^с " +40°С; действует только собственный вес провода.
Первый и второй случаи могут оказаться опасными с точки зрения
прочности провода. В третьем случае может образоваться наибольшая стрела
провисания, по которой следует определить минимальную высоту точек подвешивания
провода.
В соответствии с сортаментом проводов многожильный медный провод
сечением Р = \20 мм^ имеет диаметр й= 14,2 мм и вес погонного метра его 9п =
= 1,09 кгс/м. Модуль упругости материала провода Е= 1,3 • Ю'' кгс/см^,
коэффициент линейного температурного расширения а = 17 • 10~^ 1/°С. Допускаемое
напряжение для провода [а] = 800 кгс/см^.
Найдем нагрузку 9„акс ^ первом случае. Для определения веса льда
необходимо знать внутренний и наружный диаметры ледяного покрова. Внутренний
диаметр его равен диаметру провода, т. е. й = 1,42 см; наружный диаметр О при
толщине ледяной оболочки 1 см будет О = 3,42 см. Площадь поперечного сечения
ледяного покрытия провода
МР^-Ч^) ^3.14C.42^-1.42^) ,,. ^ ^.60 см^
• 4
157
При объемном весе льда у„ = 0,9 гс/см^ нагрузка от льда на погонный метр
провода
^ 0,9-7,6-100 , .„_.
9л = 7л^л = -—,000 кгс/м = 0,684 кгс/м.
Давление ветра на погонный метр обледеневшего провода
94 . Ч 49
9в = рО = д' ■ КГС/М = 0,821 кгс/м.
Полную нагрузку на погонный метр обледеневшего провода найдем
геометрическим сложением суммарной вертикальной и горизонтальной нагрузок;
Чышс-=У (9п + 9л)^ + 9в = Т^(Ь090 +0,684J+ 0.821^ кгс/м = 1,96 кгс/м.
Выясним, в каком из первых двух состояний провода напряжения в нем
будут большими. Для Этого находим
"^ 9маКС 0,0196 , о ЛЛ1^0 / Ч
Vмакс = ^^ = ,2 • "^гс/смз = 0,0163 кгс/с]^^;
VI =-М!^ кгс/смз = 0,00908 кгс/смз.
По формуле E.113) определяем длину критического пролета:
, = [о]/.
'«р = м1/ —-^^—^^—
/1 = -ГГТГГ == о .о опп М = 2,54 М.
Тмакс VI
= 800 |Л4. 17 .10-^-5-(-40)] ^^ ^ ,060 см «. 71 м.
V A63^ — 90,82I0-^
Так как действительная длина пролета I = 100 м больше длины
критического пролета, то большее напряжение в проводе о^акс будет при максимальной
нагрузке (9„акс ^ ''^^ кгс/м и Т°^о„ =— 5° С), т. е. в первом состоянии. Приняв
*^макс ~ 1'^^' найдем стрелу провисания провода в этом состоянии:
^^ 1,96 • 1002
ЪР [а] " 8 • 1,2 . 800
Определим, какую стрелу провисания нужно дать проводу при
подвешивании. Для этого воспользуемся зависимостью E.109), приняв 9т = 9макс ~
= 1,96 кгс/м; /„ = /1 = 2,54 м; Г^, = Г^^^ = _5° С; ?„= ?„ = 1.09 кгс/м;
К- 7'о= 15°С;/„=/о.
Подставляя числовые величины в уравнение E.109), получим уравнение для
определения /о-
^„_ [2.542 +4 • ,7 . ,0- . 1002A5 + 5) - -^4 . 2^4-'ьЗ-Г- 1.2 ] ^о "
3-1,09-100* ^0
64 • 1,3 • 10" . 1,2
Проведя вычисления, будем иметь
/о —5.41/о —3,28=0.
Решая уравнение, выясняем, что
/о = 2,58 м.
1»
Найдем теперь, какую стрелу провисания получит провод при Т"^^^-. — 40''С.
Для этого вновь воспользуемся зависимостью E.109), приняв 9т = 9п =
= 1,09 кгс/м; /^ = /о = 2,58 м; Т'^ = 7-° == 15''С; 9„ = <?„ = 1,09 кгс/м; Г° =
= 7';акс=40Х; [„= ^
Подставив числовые значения, получим
Г1 - [2.58^ + А • 17 • 10- . 100^ D0- 15) - ^4 . 2^58 !'ьЗ-Г. 1.2] ^^ "
3 ■ 1,09 • 100» _
— и.
64 • 1,3 • 10' • 1,2
или
^|-7/з-3,28 = 0.
Решив уравнение, найдем, что
/^3 = 2,85 м.
Стрела провисания в третьем случае больше, чем после подвешивания (при
Гр = 15''С), а также больше, чем в первом случае. Очевидно, она больше стрелы
провисания, которую будет иметь провод и во втором случае (при Гиид =
= —40°С).
Для того чтобы низшая точка провода находилась на расстоянии не менее
6 м от земли, нужно точки подвеса расположить не ниже 6 м + 2,85 м == 8,85 м.
Глава 6
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО
И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
§ 39. НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ.
ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ И ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Напряжения яаляются результатом взаимодействия частиц тела
при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное
расположение частиц, а возникающие при этом напряжения
препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве
случаев некоторой малой величиной.
В соответствии с гипотезой о сплошности материала следует
считать, что каждая частица тела в сколь-угодно малой окрестности
имеет бесконечное множество других частиц, окружающих ее по
всем направлениям. Расположенная в данной точке частица по-
разному взаимодействует с каждой из этих соседних частиц.
Поэтому в одной и той же точке по разным направлениям напряжения
будут различными и только в очень редких случаях они одинаковы
во всех направлениях.
Исследуя напряженное состояние тела в данной точке А, в
окрестности ее обычно выделяют элемент в виде бесконечно малого
.параллелепипеда (рис. 151), который в увеличенном масштабе
159
Рис. 151
/ %г/
<
Тгу
Гг,
Ри
с. 15
%/х
/
.4
2
показан на рис. 152. Грани параллелепипеда перпендикулярны к
направлениям декартовых осей х, у, г. На этих гранях действуют
внутренние силы, заменяющие воздействие удаленной части тела.
Полные напряжения на гранях элемента представляют
нормальными и касательными составляющими — проекциями полных
напряжений на координатные оси. Нормальные напряжения
обозначают буквой а с индексом, соответствующим направлению нормали
к площадке, на которой они действуют. Касательные напряжения
обозначают буквой т с двумя индексами: первый соответствует
направлению нормали к площадке, а второй — направлению самого
напряжения. Например, на площадке, перпендикулярной к оси х
(рис. 152), действуют на-
^ пряжения с^, т^у и х^^.
Можно показать, что
совокупность
напряжений на' гранях такого
элементарного
параллелепипеда полностью
характеризует
напряженное состояние в точке на -
груженного тела. Эта
совокупность напряжений
называется тензором
напряжений.
Если ориентацию граней выделяемого элемента изменить, то
действующие на его гранях напряжения также изменятся. При этом
можно провести такие площадки, на которых касательные
напряжения равны нулю. Площадки, на которых касательных
напряжений нет, называются главными площадками, а
нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями.
Можно доказать, что, как бы ни было загружено тело, в каждой
точке его имеются, по крайней мере, три главные площадки, причем
они взаимно перпендикулярны. Следовательно, в каждой точке
будут и три главных напряжения и они тоже взаимно
перпендикулярны. Направления, параллельные главным напряжениям,
наЗдшают главными направлениями напряжений в данной точке.
Главные напряжения условимся всегда обозначать с^, с.^ и с^;
при этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось
неравенство
(^1>02>аз- (8.1)
Понимаем это неравенство в алгебраическом смысле, поэтому, если,
например, одно из главных напряжений равно нулю, другое
(растягивающее) составляет 600 кгс/см^, третье (сжимающее)
равно — 1400 кгс/см^, то их следует обозначить так:
а, = -}- 600 кгс/см^; Оа = 0; Од = — 1400 кгс/см^.
Такое напряженное состояние, в котором только одно главное
напряжение (любое из трех) отлично от нуля, а два других равны
160
нулю, называется одноосным или линейным (рис. 153, а). Если два
главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю, то это
двухосное, или плоское, напряженное состояние (рис. 153, б).
Когда все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное
состояние называется трехосным или объемным (рис. 153, в).
Кроме того, различают однородные и неоднородные
напряженные состояния. В однородном напряженном состоянии напряжения
одинаковы в каждой точке какого-либо сечения и всех
параллельных ему сечений. В случае однородного напряженного состояния
размеры выделяемых элементов не играют никакой роли, так как
напряжения одинаковы во всех точках одной (любой) грани и,
следовательно, равномерно распределены по кан;дой грани.
{^1
\б,
}
■^
-/
-•—ь
^'^
V.
■^
б.
а
6
Рис. 153
6
б.
в неоднородном напряженном состоянии элемент следует
полагать бесконечно малым. Тогда предположение о равномерном
распределении напряжений по граням будет выполняться с точностью
до малых второго порядка. Следовательно, независимо от того,
будет ли во всем теле однородное или неоднородное напряженное
состояние, выделенные элементы будут всегда находиться в
однородном напряженном состоянии.
§ 40. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии,
встречаются и в некоторых точках стержня, работающего на изгиб
или сложное сопротивление, но главным образом в стержнях,
испытывающих растяжение или сжатие.
Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение
(рис. 154, а). Как указывалось, в сечениях, достаточно удаленных
от точек приложения сосредоточенных сил, напряжения
распределяются равномерно. В поперечных сечениях стержня нормальные
напряжения (см. § 27)
Оо = -^ = -^. F.2)
Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти
сечения являются главными площадками.
Перейдем теперь к определению напряжений в неглавных,
наклонных площадках. Элемент, находящийся в линейном
напряженном состоянии (а также и в двухосном), будем изображать в виде
6 в—2770
161
плоской фигуры (рис. 154, б), помня, однако, что в действитель-!
кости он имеет вид, изображенный на рис. 154, а. Наклон
площадки определяется острым углом а между направлением оси
стержня и нормалью Па к площадке. Условимся считать угол а
положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки.
Введенную таким образом наклонную площадку будем обозначать (а), а
действующие на ней напряжения — ра, ^а и Ха. Для вычисления
этих напряжений применим метод сечений. Считая, что наклонная
площадка рассекла элемент на две части, отбросим одну из них,
например верхнюю, и рассмотрим равновесие оставшейся, нижней
части 1.
По наклонной площадке, площадь
которой равна Ра, равномерно
распределены полные напряжения ра,
параллельные осевой силе N = Р в сечении.
Следовательно, результирующа-я этих
напряжений
РаРа = N.
Отсюда
Л' Л^
ра
■ С08 а = Оц С05 а
Рис. 154
Проектируя Ра на нормаль «« и на
плоскость сечения, получим выражения
для нормальных и касательных напряжений на наклонной
площадке:
Оа = Ра. С05 а;
Та = Ра Б1П «,
ИЛИ
а„ соз" а;
о,
;"- 51П 2а.
F.3)
F.4)
Для напряжений принимаем следующее правило знаков:
нормальное напряжение Оа положительно, если оно растягивающее;
касательное напряжение Та положительно, если оно стремится
повернуть рассматриваемую часть элемента относительно любой
точки, взятой внутри ее, по часовой стрелке. На рис. 154, б
напряжения Оа и Та положительны.
Как видно из формул F.4) и F.3), при а = О (рис. 154, а,
площадка /) Та = О, а сГа = сГд. При а = -^ (рис. 154, а, площадка //)
и Та и сГа равны нулю. Аналогично можно показать, что во всех
сечениях, параллельных оси стержня, нормальные и касательные
напряжения также равны нулю. Таким образом, при простом растя-
•* Здесь и далее будем считать, что стрелка нормали указывает на ту часть,
которую отбрасываем, иначе говоря, п^ — это внешняя нормаль к оставшейся
части элемента.
162
жении (сжатии) в каждой точке тела главные площадки
перпендикулярны и параллельны его оси, а главные напряжения на них
соответственно равны:
при растяжении
а, = Оп =
Л'
Оо = а.
0.
при сжатии
а, ■= Ог = 0; 03="— '^о-
Из выражения F.4) видим, что касательные напряжения
достигают своей наибольшей величины при а = ±45°, причем
Та....._ =
F.5)
Пример 15. Определить нормальные и касательные напряжения на наклонных
площадках для элементов, показанных на рис. 155, а—в.
Для элемента на рис. 155, а
(Т^ = сг^ = 0; сгз = — 500 кгс/см^; ^а\ 30[
а = 30^ '^
откуда
- 375 кгс/см^,
500
- 500^
ад, = — 500 С052 30°
КГ\Г\
■ 51П бО"" = — 217 КГС/СМ2.
Для элемента, показанного на
рис. 155, б, а^ = 500 кгс/см^; Сд = сТд =
= О, а = —30° и, значит,
ст„ = 500 С052 (— 30°) = 375 кгс/см^;
т„ = —- &\п (— 60°) = — 217 кгс/см2.
Для элемента, показанного на рис. 155, в, 0^=0^= 0; а^ = —500 кгс/см^;
а = —30°, следовательно,
с^ = — 500 С052 (_ 30°) = — 375 кгс/см^;
•*а = — -^ 51П (— 60°) = 217 КГС/СМ2.
§ 41. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
При исследовании напряженного состояния элементов
конструкций наиболее часто приходится иметь дело с плоским (двухосным)
напряженным состоянием. Оно встречается при кручении, изгибе
и сложном сопротивлении. Поэтому на нем мы остановимся
несколько подробнее.
Все определения и правила, которые были введены в
предыдущем параграфе, остаются в силе и для плоского напряженного
состояния. Поскольку, однако, здесь имеются два отличных от нуля
главных напряжения, необходимо уточнить условие для отсчета
углов, характеризующих наклон площадок. Будем считать, что этот
угол всегда отсчитывается от направления алгебраически большего
163
из двух отличных от нуля главных напряжении до нормали к
наклонной площадке, причем всегда берется острый угол, но с учетом
его знака.
Определим напряжения на наклонных площадках. Рассмотрим
элемент (рис. 156), грани которого являются главными площадками
и по ним действуют положительные напряжения а^ и а^, а третье
главное напряжение Од = О (главное направление,
соответствующее Оз' перпендикулярно к плоскости чертежа).
Проведем сечение /—/, которое определит площадку (а),
характеризуемую положительным углом а. Напряжения а^ и т„ по
этой площадке будут вызываться как
действием а-,, так и действием о 2-
Применяя принцип суперпозиции,
т. е. рассматривая данное плоское
напряженное состояние как наложение
двух ортогональных одноосных
напряженных состояний, можем
записать
о» = СГк + Оа!
Та = ''^а ~г "^ау
где а„ и Та — напряжения,
вызванные действием Ох,
Оа и Та — напряжения,
вызванные действием а^.
Чтобы вычислить а'а и Та, воспользуемся непосредственно
формулами F.3) и F.4):
о'а = О! со8^ а;
г'а = -^ 81П 2а.
Для определения а'а и Та, следует учесть, что «„ образует с
направлением а2 угол 90° — а. Тогда, имея в виду, что
51П 2 [— (90° -~а)] = — Б1П 2а; соз^ [— (90° — а)]:
получим
Рис. 156
БШ^а,
т„ = ф- 81П 2а.
Сложив, найдем, что
Оа = сг, со5^ а + Оа 51п^ а;
Гп =
— 51П 2а.
F.6)
F.7)
Напомним, что сжимающие главные напряжения подставляют
в эти формулы со знаком «минус», а угол а отсчитывают от
алгебраически большего главного напряжения.
164
Воспользуемся формулами F.6) и F.7) для нахождения
напряжений на площадке, перпендикулярной к площадке (а). Условимся
такую площадку обозначать (Р). Нормаль пр к ней (рис. 156,
сечение //—//) образует с направлением о-, угол
р = _ (90° — а).
Формулы F.6) и F.7) верны для любых а. Подставив в них
вместо а указанное значение р, будем иметь
F.8)
F.9)
Совокупность формул F.6) — F.9) дает возможность находить
напряжения по любым взаимно перпендикулярным наклонным
площадкам, если известны главные напряжения. Проведем анализ этих
формул.
Складывая левые и правые части равенств F.6) и F.8),
обнаруживаем, что
Оа + Ор = ^1 + (Та. F- Щ
т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно
перпендикулярным площадкам не зависит от наклона этих площадок и равна
сумме главных напряжений. Иначе это свойство может быть сфор^у-
лировано так: сумма нормальных напряжений по двум взаимно
перпендикулярным площадкам инвариантна по отношению к наклону
этих площадок.
Из формулы F.7) или F.9) видим, что, как и в одноосном
напряженном состоянии, касательные напряжения достигают наибольшей
величины при а = ±45°, т. е. по площадкам, наклоненным к
главным площадкам под углом 45°, причем
F. Л)
т„ = .
Сравнивая формулы F.7) и F.9), находим, что
1
■^ ^*
То = ~ Т„
F.12)
Это равенство выражает закон парности касательных напряжений.
Его можно сформулировать так: если по какой-либо площадке
имеется некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной
к ней площадке непременно будет действовать касательное
напряжение, равное ему по величине и противоположное по знаку.
Наконец выясним, при каком наклоне площадок действующие
по ним нормальные напряжения будут иметь экстремальную
(наибольшую или наименьшую) величину. Для этого
продифференцируем выражение F.6) по а и приравняем производную к нулю:
^
йа
2а, соз а 81П а -|- 20^ 81п а соз а — — (а, — а^) 81п 2а = 0.
165
Отсюда или
Ог,
или
81П 2а = 0.
В первом (частном) случае (равномерное всестороннее
растяжение в плоскости) из формул F.6) — F.9) получаем
0.
Оа = СГй = а/.
= Тр:
На всех этих
Это значит, что любая площадка здесь главная,
площадках действуют одинаковые напряжения.
Во втором (общем) случае имеем
а = 0°; а = 90°.
Но площадки, характеризуемые этими углами,— главные
площадки.
Таким образом, приходим к заключению, что экстремальными
значениями для нормальных напряжений а^ будут величины
главных напряжений, причем
поскольку при а = о вторая производная
отрицательна, и
поскольку при а = 90°
— 2 (а, — а^) С05 2а
Оп == ст.
"мин
2>
>0.
На всех наклонных площадках нормальные напряжения имеют
значения, промежуточные по величине между а^ и а^.
4
(Р)
%
'^СГГ^'
Рис. 157
Проведем теперь еще два
сечения (рис. 156): сечение ///—
///, параллельное /—/, и
сечение IV—/У, параллельное //—//.
Поскольку напряженное
состояние элемента однородное, напря-,,,^
женин по площадкам, образо- 1
ванным сечениями 111—111 и -
IV—IV, будут такими же, как
соответственно по площадкам (а)
и (Р). Поэтому элемент аЪсй,
выделенный четырьмя сечениями из элемента АВСО (рис. 157, а),
будет иметь вид, показанный на рис. 157, б. Оба элемента
определяют одно и то же напряженное состояние, но элемент АВСО
представляет его главными напряжениями, а элемент оЪсй —
напряжениями на наклонных площадках.
В теории напряженного состояния можно разграничить две
основные задачи.
166
Прямая задача. В точке известны положения главных
площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется
найти нормальные и касательные напряжения по площадкам,
наклоненным под заданным углом а к
главным. Иначе говоря, дан элемент аЬсй
(рис. 158) с действующими по его
граням главными напряжениями; требуется
найти напряжения на гранях элемента
афгС^й^.
Обратная задача. В точке
известны нормальные и касательные
напряжения, действующие в двух взаимно
перпендикулярных площадках,
проходящих через данную точку; требуется
найти главные направления и главные
напряжения. Иначе говоря, дан элемент
афхСхйг (рис. 158) с действующими по
его граням нормальными и
касательными напряжениями; нужно определить
положение элемента аЬаЛ, т. е. угол «о»
и найти главные напряжения.
Обе задачи можно решать как аналитическим, так и графическим
путем.
§ 42. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА
В ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ.
КРУГ НАПРЯЖЕНИЙ
Аналитическое решение прямой задачи дается формулами
F.6)-F.9).
Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись
простым графическим построением. Для этого введем в рассмотрение
геометрическую плоскость и отнесем ее к
прямоугольным координатным осям о и т,
т. е. по оси абсцисс будем откладывать
значения главных напряжений, а также
напряжений Оа и ар, а по оси ординат —
значения Та и Тр. Порядок решения опишем
на примере напряженного состояния,
изображенного на рис. 159.
Выбрав для напряжений некоторый
масштаб, откладываем на оси абсцисс (рис. 160)
отрезки
Ш = а,; 0В== Оа.
На АВ как на диаметре строим окружность с центром в точке С.
Построенный круг носит название круга напряжений или круга
Мора.
«67
Координаты точек круга соответствуют нормальным и
касательным напряжениям на различных площадках. Так, для определения
напряжений на площадке, проведенной под углом а (рис. 159),
из центра круга С проводим луч под углом 2а до пересечения с
окружностью в точке Оа (положительные углы откладываем против
часовой стрелки). Докажем, что абсцисса точки (отрезок ОКо)
равна нормальному напряжению Оа. а ордината ее (отрезок КаОа) —
касательному напряжению Тк.
Радиус круга
04 — 05 0,-0.
в
-^■—.»——»-
м
ц>
^ЬV^
в«
ус Ка
б,
:-,т,ш.10,.
А
н =
Рис. 160
2 2
Поскольку центр круга С
лежит посредине между точками А
и В, то
^ _^ ОА + ОВ __ 01 + С2
Далее,
СКа = я С05 2а = ''^""^ С08 2а.
Тогда абсцисса точки Оа
1 + С08 2а , 1 -
Р1 + Р2
2
- С08 2а
-^ С08 2а =
а^ СОБ^ а + Ог 51П^ а. F.13)
Из треугольника СОаКа ордината точки Оа
КаРа = Я. 51П 2а =
^8т2а.
F.14)
Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной,
найдем, проведя луч под углом 2р = 2|а + -2~) = 2а4-яи
получив в пересечении с окружностью точку В^. Очевидно, ордината
точки Ор
^1—Ра
К(,0(, = — КаОа =
И, наконец, абсцисса точки Лр
ОК^=^ОС~СКр
■ Б1П 2а = тр
-^ С08 2а ■■
О! 81П^ а + Оа СОБ* а
2
(Тр.
F.15)
F.16)
Сравнивая формулы F.13), F.14) с формулами F.6), F.7),
видим, что действительно
что и требовалось доказать.
168
КаОа
Следует подчеркнуть, что две точки круга — Л„ и Вр,
характеризующие напряжения на двух взаимно перпендикулярных
площадках (а) и (Р), всегда лежат на концах одного диаметра ^„^р.
Построенный круг Мора полностью описывает напряженное
состояние элемента, изображенного на рис. 159. Если менять угол а
в пределах от —90 до +90°, то наклонные площадки (а) и (Р)
займут последовательно все возможные положения, а точки Оа и Вр
опишут полный круг. В частности, при а = О, когда грани е/ и ет
станут главными площадками и по ним будут действовать те же
напряжения, что и на гранях элемента аЬсё, точка Оа совпадет с А
(рис. 160), а Ор — с В.
г
Рис. т
Как и в случае круга инерции, найдем на круге напряжений
положение полюса. Для этого из какой-либо точки круга проведем
прямую, параллельную нормальному напряжению на площадке,
которой эта точка соответствует. Так, проведя из точки Во, линию,
параллельную Оа Ы нашем примере (рис. 160) — горизонталь|,
до пересечения с кругом, найдем искомый полюс — точку М. Если
бы при этом мы исходили из точки Ор, то следовало провести линию,
параллельную напряжению сгр, т. е. вертикаль.
Как и при рассмотрении кругов инерции, можно показать, что
линия, соединяющая полюс М с любой точкой круга,
параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой
эта точка соответствует. Так, например, линия МА параллельна
главному напряжению а^. Действительно, /_ВаМА =^ -^ /^ВаСА =
= а, т. е. он соответствует углу между нормалью к площадке
/е и направлением а^. Очевидно, что линия МВ параллельна
направлению главного напряжения Ог-
Пример 16. На главных площадках действуют растягивающие напряжения
900 кгс/см^ и 600 кгс/см^. Требуется найти нормальные и касательные
напряжения по граням элемента, одна из которых наклонена к горизонтали под углом 20°
(рис. 161, с).
Произвольным образом обозначаем площадки (а) и (Р) (например, так, как
показано на рисунке) и проводим нормаль п^. Тогда будем иметь а^ == 900 кгс/см^;
169
(Та = 600 кгс/см^; а^— 0; а= —70°. Угол а отрицательный, так как здесь он
отсчитывается по часовой стрелке.
Решая данную прямую задачу аналитически, по формулам F.6)—F.9)
находим
а„ = О! 005^ а + Ог 5!п2 а = (900 ■ 0,117 + 600 • 0,884) кгс/см^ = 636 кгс/см^;
Ор = О! 5т^ а + Ог С052 а = (900 • 0,884 + 600 • О, И 7) кгс/сы^ = 866 кгс/см^;
зш 2а = -555_Г:^(—0,643) КГС/СМ2 = _ 96,5 кгс/см^.
о, — Од
^а 43 - 2 ■"""" ~ 2
Учитывая знаки вычисленных напряжений, показываем напряжения на гранях
элемента аЬсй (рис. 161, а).
Графическое решение приведено на рис. 161, б. Проведя измерения,
получим координаты точек В^ C,18 см; —0,485 см) и О» D,33 см; 0,485 см). Имея
1ЯГ ,^1 в виду принятый масштаб A см — 200 кгс/см^),
' приходим к тем же значениям напряжений, ко-
—• ^ ^ торые были вычислены выше.
Г
0
(^г
V
)
б
Рис. 162
Заметим, что одноосное напряженное
'(?, ^-^—^ состояние может рассматриваться как
частный случай плоского. При этом круг
напряжений будет проходить через
начало координат (рис. 162). Наконец, в
случае равномерного всестороннего растяжения (а^ = а^ или
сжатия (оа = Оз) в плоскости круг Мора превращается в точку. Тогда.^
как уже указывалось ранее, все площадки будут главными.
§ 43. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
В ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
При практических расчетах наиболее часто удается определить
(теоретически или экспериментально) нормальные и касательные
напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных
площадках. Пусть, например, известны напряжения Оа, т„, ар, тр на
^1
Х'
г>
4л
4/
['^
^/'
"^
Г'
а
Рис. 163
взаимно перпендикулярных площадках выделенного элемента
(рис. 163, а). По этим данным требуется определить величины
главных напряжений и положение главных площадок.
Сначала решим эту задачу графически. Для определенности
примем, что (т„ > сгр, а Та > 0. В геометрической плоскости в системе
170
прямоугольных координат о — т нанесем точку 0„ с координатами
Ста, т„ и точку Ор с координатами ар, тр (рис. 163, б). Как
указывалось при рассмотрении прямой задачи, точки 0„ и О^ лежат на
концах одного диаметра. Следовательно, соединив их, находим
центр круга — точку С — и радиусом СОа — СО^ проводим
окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью а — отрезки ОА и ОВ —
дадут соответственно величины главных напряжений о^ и о^-
Для определения положения главных площадок найдем полюс
и воспользуемся его свойством. С этой целью из точки Оа проведем
линию параллельно линии действия напряжения «?«, т. е.
горизонталь. Точка М пересечения этой линии с окружностью и является
полюсом. Соединяя полюс М с точками А и В, получим
направления главных напряжений Ох и о^ соответственно. Главные
площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных
напряжений. На рис. 163, с внутри исходного элемента выделен элемент,
ограниченный главными площадками. На гранях элемента
показаны главные напряжения а^ и о^-
Используем построенный круг напряжений для получения
аналитических выражений главных напряжений Ох и ^'г»
соответствующих отрезкам О А и ОВ. Имеем
с^ = Ш = бС + СА; F.17)
ОВ = ОС — СВ.
Очевидно,
ОС^-
Рд + Рр .
F.18)
F.19)
СА = СВ = СОа = Уск1 + ВаК1 = ]/ ( "" 2 "" ]' + ^« • (^-20)
Подставляя выражения F.19) и F.20) в выражения F.17) и F.18),
получим
о, =
Р« + Рр
или
О1 = ^[а„ + огр +1/ (аа —арJ + 4т^];
<72 = -9- \^ос + Ор
трГ + 4т^].
F.21)
Учитывая принятое правило знаков, найдем выражение для
тангенса угла наклона главного напряжения 0% к оси а. Из чертежа
171
следует, что
^§«0= — ■
МКа
Таким образом.
ОЛ—ОКр 01—0^
Ыап =
F.22)
Эта формула и определяет единственное значение угла «о, на
который нужно повернуть нормаль п„, чтобы получить направление
Рис. 164
алгебраически большего главного напряжения. Напомним, что
отрицательному значению а соответствует поворот по часовой стрелке.
Следует обратить внимание и на то, что если одно из главных
напряжений, вычисленных по формулам F.21), окажется
отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать не о^ и а^,
а а^ и Од. Если же оба главных напряжения окажутся
отрицательными, то а^ и Од.
Пример 17. По граням элемента (рис. 164, а) действуют показанные
напряжения. Нужно найти главные напряжения и соответствующие им главные
направления.
Если обозначим площадки так, как показано на рисунке, то
ог„ = 1000 кгс/см«; Ор = — 800 кгс/см^;
т„ = — 500 кгс/см^; Тр = 500 кгс/см^.
По формуле F.21) находим, что
= ~ [1000 — 800 + / A000 -\- 800)^ -\- 4 • 500^] кгс/см* =
172
= -^ B00 + 2060) кгс/см^ =
ИЗО кгс/см^;
Оз = — B00 — 2060) кгс/см^ = — 930 кго/смЗ.
По формуле F.22)
'б «о = —
■ (— 500)
500
•Од
1930
= 0,259:
1130 — (— 800)
ап = 14=32'.
Этот угол откладываем от горизонтали (направление и„) против часовой стрелки
и получаем направление 01; направление Од перпендикулярно к нему. На рис. 164
выполнено также графическое решение задачи в соответствии с изложенным выше
планом.
§ 44. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ^^
В задачах сопротивления материалов трехосное, или объемное,
напряженное состояние встречается редко. Поэтому отметим здесь
лишь некоторые моменты теории объемного напряженного
состояния.
На рис. 165 изображен элемент, который находится в объемном
напряженном состоянии и грани которого представляют собой
главные площадки. Вычислим для него напряжения на других,
неглавных площадках.
Вначале рассмотрим площадки, параллельные одному из
главных напряжений, например, произвольную площадку /,
параллельную главному напряжению о^. Как указывалось выше, нормальные
\
V
Рис. 165
Рис. 166
И касательные напряжения на такой площадке не зависят от ст^
и целиком определяются величинами о^, Од и наклоном площадки.
Напряженное состояние на таких площадках может быть
изображено графически при помощи круга Мора ^/ (рис. 166), построенного
на главных напряжениях о^ и Од. Совокупность всех точек этой
окружности описывает напряженное состояние всех сечений,
проведенных в элементе параллельно о^.
173
Точно так же напряженное состояние площадок //,
параллельных 02, будет описываться точками окружности ^//, построенной
на 01 и 03. 3 напряженное состояние площадок ///, параллельных
Оз,— точками окружности ^/^^. Точки С/, Сц и Сщ —
соответственно центры этих окружностей.
Можно показать, что напряженное состояние на площадках, не
параллельных ни одному из главных напряжений, изображается
точками 0„ (оа. Та), лсжащими в заштрихованной области (рис. 166).
Аналитически нормальное и касательное напряжения на таких
площадках могут быть определены по формулам
ва = о, со8^ а, 4- Оо соз^ «о + о, соз^ а,;
1-г 2 2-г 3 3. ^^23)
У О) соз^ а, + а| соз^ аз + Од соз^ а^ — о»
а •
где «1, «2, «3 — углы, которые образует нормаль к
рассматриваемой площадке с направлениями а^, а^ и Оз
соответственно.
Легко установить, на каких площадках будет действовать
наибольшее касательное напряжение Тмакс при трехосном напряженном
состоянии, и найти его величину.
Очевидно, что точкой, характеризующей напряженное
состояние площадки, в которой действует Тмакс, будет точка О (рис. 166),
так как она имеет наибольшую ординату. Точка В лежит на
окружности Ьц, определяется углом а = 45° и имеет ординату, равную
радиусу большого круга, т. е. —^~"^. Следовательно, при любом
объемном напряженном состоянии наибольшее касательное
напряжение
Т'мякг —
F.24)
и действует по площадке, параллельной главному напряжению
©2 и наклоненной под углом 45° к главным напряжениям а^ и Од.
Известный интерес, особенно при изучении пластических
деформаций, представляет касательное напряжение, действующее по
площадке, равнонаклоненной ко всем главным направлениям. Такая
площадка называется октаэдрической. поскольку она параллельна
грани октаэдра, который может быть образован из куба. Нормаль
к этой площадке образует равные углы с главными направлениями:
«4 = «2 = ^-^3 = '"•
Учитывая, что всегда
С05^ а, -|- С05^ «2 + С05^ «3=1,
получаем
со5^ а = -д- .
174
Тогда из формул F.23) находим
Токт —
Ох + аг + 03 .
'-'окт — о '
^ ^ 1/ 2 , 2 , 2
—д— V 01 + 02 + 03 — 0,02 — ОгО'з — ^^^1 =
4-1/ @1 - 02)' + {^2 - <УзГ + (Оэ - <У^^ .
F.25)
Это касательное напряжение называется октаэдрическим.
Напряжение 0ОКТ представляет собой как бы среднее напряжение для
данного трехосного напряженного состояния.
В теории пластичности оказалось удобным вводить в расчеты
так называемую интенсивность напряжений 0,, связанную с Токт
зависимостью
_ 3
или выражаемую через главные напряжения формулой
0, =1^^0^+о| + о| — 0^02 — 02Оз — 0з<71 =
= -^ V {О, - 02)^ + @2 - Оз)' + (Оз - <У„' . F.26)
В заключение отметим, что все зависимости и способы решения
задач, описанные в этом и предыдущих параграфах гл. 6, верны
для напряженных состояний, соответствующих как упругим, так и
пластическим деформациям.
§ 45. ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ОБЪЕМНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ.
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУНА
Исследуя деформации и рассматривая вопросы прочности при
объемном и плоском напряженных состояниях, будем в соответствии
с основными гипотезами и допущениями предполагать, что материал
следует закону Гука, а деформации малы.
Изучая простое растяжение — сжатие, мы выяснили, что
относительная продольная деформация
Е=-2., F.27)
а относительная поперечная деформация
е' = -.^^. F.28)
Эти два равенства выражали закон Гука (зависимость между
деформациями и напряжениями) при простом растяжении или
сжатии, т. е. при линейном напряженном состоянии. Здесь установим
17$
зависимости между деформациями и напряжениями в общем случае
объемного напряженного состояния. /
Обобщенный закон Гуна. Рассмотрим деформацию элемента тела/
выбрав этот элементу виде прямоугольного параллелепипеда
размерами а X Ь X с (рис. 167). По граням параллелепипеда действуют
главные напряжения а^, о^, Од (для вывода предполагаем, что все
они положительны). Вследствие деформации ребра элемента
изменяют свою длину и становятся'равными с + До; Ь + ДЬ; с + Дс.
''^(-/
^
Ог
-/^
Ж-
■1
Величины
\е, б.
.11
Да
а
е, =
Ь
Ас
с
а+Ла
а
б
называются главными
удлинениями и представляют
собой относительные
удлинения в главных
направлениях.
Рис. 167
Применяя принцип суперпозиции, можно записать
е, = 61 + Е1 + Е1 ,
где 61 — относительное удлинение в направлении а^, вызванное
действием только напряжений а^ (при 02 = 03 = 0);
е^ — удлинение в том же направлении, вызванное действием
только 02;
е™ — удлинение, вызванное действием а^-
Поскольку направление Ох для самого напряжения о^ является
продольным, а для напряжений Оа и о^ — поперечным, то, применяя
формулы F.27) и F.28), находим, что
Е
1
61 =
\1
Е1 = -^ ; 61 = —Ц-
Сложив эти величины, будем иметь
Аналогично получим выражения и для двух других главных
удлинений. В результате
F.29)
ч =
ч =
Ез =
1
Е
1
Е
1
Е
[01-
[0^2-
[Оз-
-Ц@2
-(г@а
-Ц@1
+
+
+
о^з)];
0^1I;
02I.
176
формулы F.29) выражают обобщенный закон Гуна для
изотропного тела, т. е. зависимость между линейными деформациями
V главными напряжениями в общем случае трехосного
напряженного состояния. Заметим, что сжимающие напряжения
подставляют в эти формулы со знаком «минус». Из формул F.29) легко
получить формулу закона Гука для плоского напряженного
состояния. Например, для случая 02 = О
^1 = ^ (<71 ~ ц<7з);
е^ = - -^ (а, 4- Оз); F.30)
ез = X ^^'з — \^1)-
Выражения F.29) справедливы не только для главных
деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно
перпендикулярным направлениям, поскольку при малых
деформациях влияние сдвига на линейную деформацию представляет собой
геличину второго порядка малости. Так, относительные удлинения
в направлении действия напряжений 0„ и ар (рис. 167, б)
Са = -^ (<7а — М'Ор);
, F.31)
ер = -^ (ар — ЦОа).
Объемная деформация. Установим связь между относительным
изменением объема ЪV и главными напряжениями.
До деформации элемент занимал объем У^ = аЬс. В
деформированном состоянии его объем
V = (с + Ас) ф + ДЬ) (с -Ь Ас) =
= а&сA + -^)A + -^)A + ^) = П(Ц-еОA+е2)A -Ьез) ^
= Ко A + е, + 62 + бз + 6,62 + Е2Е3 + Е381 + 646263).
Учитывая незначительную величину относительных деформаций,
последними четырьмя членами можем пренебречь. Тогда
относительное изменение объема
гу = ^-5- = Е1 + 62 + Ч-
Выразив главные удлинения через главные напряжения при
помощи формул F.29), получим
Еу = р ^ (о, + 02 + Оз)-
F.32)
в частности, при равномерном всестороннем сжатии, когда о^
= 02 = Од = —р,
р
К '
Ву =
где
К =
3A — 2(х)
F.33)
Величина К называется модулем объемной деформации. Из
формулы F.32) видно, что при деформации тела, материал которого
имеет коэффициент
(например, резина),
няется.
Пуассона (д, = 0,5
объем тела не ме-
Пример 18. Брус плотно, но без
напряжения вставлен между двумя неподвижными
стенками и подвергается сжатию равномерно
распределенными по горизонтальным граням силами Р
(рис. 168). Пренебрегая трением между брусом
и стенками, найти силы давления его на стенки
и изменение его размеров, если Е и (х материала
бруса известны.
Напряжения сжатия, которые возникают в
продольном направлении, являются следствием
эффекта Пуассона и стесненности деформации,
т. е. представляют собой вторичный эффект,
вызванный действием напряжений в вертикальном
направлении. Поэтому предполагаем, что они по
величине меньше, чем вертикальные. Учитывая
Это, вводим для напряжений обозначения,
указанные на рис. 168 (это будут главные
напряжения, так как т в гранях бруса, очевидно,
отсутствуют). Тогда имеем
Рис. 168
^0;
N
ЬН
Р
Ы
Через N обозначено давление стенок на брус. Поскольку по условию задачи
размер / не изменяется, е^ = 0. Из второй формулы F.29)
бг = -^ (
■ ЦОз) = 0.
Ог = 1^<'з
^x^
Ы
Значит,
Далее,
Л^ = — ЪНОп
цРН
ДЬ = 616 = —
Н
Ьц
(^2 + О^з) =
(хA -V ц) Р
Е1
АН = евй = -р" ^"з ~ (^^^2) = — A — [1^)
РН
ЫЕ
178
'///Л'////,
Относительное изменение объема по формуле F.32)
а изменение объема бруса
РЛ
Д^ = 81,^ = ^уЫН = — A — 2(х) A + (х) -^ .
§ 46. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Потенциальной энергией деформации называется энергия,
которая накапливается в теле при его упругой деформации. Когда
под действием внешней статической нагрузки тело деформируется,
точки приложения внешних сил перемеш,аются и потенциальная
энергия положения груза убывает на величину, которая численно
равна работе, совершенной внешними силами. Энергия, потерянная
внешними силами, не исчезает, а превраш,ается, в основном, в
потенциальную энергию деформации тела. Остальная, незначительная
часть рассеивается, главным образом, в виде тепла за счет различных
процессов, происходяш,их в материале при его деформации.
Потенциальная энергия деформации V накапливается в
обратимой форме — в процессе разгрузки тела она снова превращается
в энергию внешних сил или в кинетическую энергию.
Величину потенциальной энергии деформации,
приходящуюся на единицу объема A см^) тела, называют
удельной потенциальной энергией деформации и
обозначают и. В разных точках тела величина и может быть
различной.
Величину потенциальной энергии деформации можно
легко вычислить на основе закона сохранения энергии.
Поскольку при статической нагрузке кинетическая
энергия системы остается неизменной, то приращение
потенциальной энергии деформации II равно уменьшению
потенциальной энергии положения внешних сил И^:
Уменьшение потенциальной энергии внешних сил численно
равно работе Ар, совершенной ими при деформации:
и, = Ар.
Таким образом, потенциальная энергия деформации численно
равна работе внешних сил, затраченной при упругой деформации тела:
и == Ар. F.34)
в случае простого растяжения или сжатия стержня (рис, 169)
ва основании формулы D.29)
ХЛ^
Рис. 169
Удельная потенциальная энергия
РМ
2Р1
ое
F.35)
Имея в виду, что е =
энергии выражение
а
получим для удельной потенциальной
а'
2Е
F.36)
Вычислим теперь удельную потенциальную энергию в общем
случае объемного напряженного состояния. Для этого вырежем
элемент в виде кубика с длинами ребер,
равными единице (рис. 170), грани
которого являются главными
площадками. На этих площадках действуют
главные напряжения 01, Оа и ^'з-
Поскольку площади граней равны
единице, то действующие в них усилия
численно равны о^, а^ и Од. Они
производят работу на тех перемещениях,
которые получают грани вследствие
деформации рассматриваемого
элемента. Перемещения в данном случае
численно равны главным удлинениям
Е1, е^, Ед, так как ребра имеют
единичную длину.
Таким образом, на основании формулы F.35)
и =
+
(^^2
F.37)
2 ' 2 ' 2 •
Такое суммирование работ главных напряжений возможно,
поскольку главное напряжение а^ производит работу только на
перемещении е^, ©2 — на перемещении е^ко^ — на перемещении в^.
Подставив выражения е^, Ез и Ед из формул F.29) в формулу
F.37), найдем, что
и =
1 ,„2 , 2 , 2
[01 -)-02 + 03-
2Е
2ц@,02 + 020з + Оз01)].
F.38)
Удельная потенциальная энергия формоизменения. При
деформации элемента (рис. 170) изменяется, вообще говоря, как его объем,
так и форма (из кубика он превращается в параллелепипед). В
соответствии с этим можно считать, что полная удельная
потенциальная энергия деформации
и = иу + Ыф, F.39)
где «V — удельная потенциальная энергия изменения объема,
т. е. энергия, накапливаемая за счет изменения объема;
1ео
Ыф — удельная потенциальная энергия формоизменения, т. е.
энергия, накапливаемая вследствие изменения формы
элемента.
Непосредственное вычисление Ыф затруднительно, поэтому
найдем сначала иу. Это можно сделать, исходя из предположения о том,
что в различных элементах при действии разных главных
напряжений величина Ыу будет одинаковой, коль скоро у элементов будет
одинаковое изменение объема еу.
Кроме рассматриваемого элемента (назовем его Л) введем еще
вспомогательный элемент А'. Пусть А' — тоже единичный кубик,
но по граням его действуют одинаковые главные напряжения 0\ =
= Ог = оз = а'. Для этого элемента, согласно формулам F.32)>
F.39) и F.38),
3 A — 21х) , , ' , ' 3 A — 2(х) . ,,2
Но, очевидно, элемент А' при деформировании меняет только свой
объем, форма же его не изменяется (остается кубической). Поэтому
Ыф = О и, значит,
3 A — 21х) , ,,„
иу = 2г (^) ■
Выберем величину о' такой, чтобы ъу = гу, т. е., чтобы
3A—2(х) , 5—2(х , , , ,
Отсюда
«1 + «2 + Оз
а =■
3
Поскольку у обоих элементов изменения объема одинаковы, на
основании принятого предположения можно утверждать, что
3A- 2ц) @x4- 02 + оз)'
ы-у — ь*\/ ■— "
т. е.
иу = иу — 2^
">' = -Ц?- (^» + °^ + ^з)'- F.40)
Теперь, согласно формуле F.39),
Иф = ы — иу.
Подставив сюда значения и и иу из формул F.38) и F.40), после
элементарных преобразований получим окончательно, что
Иф = 'I/ (от? + 02 + о1 — 0,02 — ОгОз — О3О1)
F.41)
Это и есть искомое выражение для удельной потенциальной
энергии формоизменения.
181
л
1^,
1
б.
Рис. 171
Глава 7
КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
§ 47. ЗАДАЧИ ТЕОРИЙ ПРОЧНОСТИ
Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка
прочности детали по известному напряженному состоянию. Наиболее
просто эта задача решается для простых видов деформации, в
частности для одноосных напряженных состояний, так как в этом
случае значения предельных
(опасных) напряжений легко
установить
экспериментально. Под опасными
напряжениями, как уже указывалось,
у.\.} УХ} '^ ^>- ^т~-~—^ понимают напряжения,
соответствующие началу разруше-
^ '"^ ^ ния (при хрупком состоянии
материала) или появлению
остаточных деформаций (в
случае пластического состояния
материала). Так, испытания образцов из данного материала на
простое растяжение или сжатие позволяют без особых трудностей
определить значения опасных напряжений:
ог° = о^ или о° = Од.
По опасным напряжениям устанавливают допускаемые
напряжения [о_|-] при растяжении или [о__] при сжатии (см. § 34),
обеспечивая известный коэффициент запаса против наступления
предельного состояния. Таким образом, условие прочности для «одноосного
напряженного состояния (рис. 171, а) принимает вид
01<[о+] или |Оз|<[о_].
Рассмотрим теперь вопрос о прочности материала при сложном
напряженном состоянии, когда в точках детали два или все три
главных напряжения о^, а^, Од не равны нулю (рис. 171, б).
В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же
материала опасное состояние может иметь место при различных
предельных значениях главных напряжений о?, 0°, 0° в зависимости от
соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить
предельные величины главных напряжений очень сложно не только
из-за трудности постановки опытов, но и из-за большого объема
испытаний.
Другой путь решения задачи заключается в установлении
критерия прочности (критерия предельного
напряженно-деформированного состояния). Для этого вводят гипотезу о преимущественном
влиянии на прочность материала того или иного фактора: полагают,
что нарушение прочности материала при любом напряженном состоя-
182
Иногда пользуются
А
б,
е,
+
5^
1^
НИИ наступит только тогда, когда величина данного фактора
достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение
фактора, определяющего прочность, находят на основании простых,
легко осуществимых опытов на растяжение
также результатами опытов на кручение.
Таким образом, введение критерия
прочности позволяет сопоставить данное
сложное напряженное состояние с простым,
например с одноосным растяжением
(рис. 172), и установить при этом такое
эквивалентное (расчетное) напряжение,
которое в обоих случаях дает
одинаковый коэффициент запаса.
Под коэффициентом запаса в общем
случае напряженного состояния понимают число п, показывающее,
во сколько раз нужно одновременно увеличить все компоненты
напряженного состояния о^, Оа, Од, чтобы оно стало предельным:
о? = па{;, а\ = па^\ а% = па^.
Выбранная указанным образом гипотеза часто называется
механической теорией прочности. Ниже рассмотрены некоторые из
таких теорий.
Ънв
Рис. 172
§ 48. КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ (ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ!
Критерий наибольших нормальных напряжений [первая A)
теория прочности]. Согласно этой теории, преимущественное
влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального
напряжения. Предполагается, что нарушение прочности в общем
случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее
нормальное напряжение достигает опасного значения а°. Последнее
устанавливается при простом растяжении или сжатии на образцах
из данного материала.
Условие нарушения прочности при сложном напряженном
состоянии имеет вид
01 = о_)_;
G.1)
Условие прочности с коэффициентом запаса п следующее:
|01<[0+1|
или
где
|Оз|<[о-],
G.2)
[а] = .
«83>
Таким образом, критерий наибольших нормальных напряжений
из трех главных напряжений учитывает лишь одно — наибольшее,
полагая, что два других не влияют на прочность.
Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не
отражает условий перехода материала в пластическое состояние и дает
при некоторых напряженных состояниях удовлетворительные
результаты лишь для весьма хрупких материалов (например, для
камня, кирпича, керамики, инструментальной стали и т. п.).
Критерий наибольших линейных деформаций [вторая (II) теория
прочности]. Согласно этой теории, в качестве критерия
прочности принимают наибольшую по абсолютной величине линейную
деформацию. Предполагается, что нарушение прочности в обш,ем
случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая
линейная деформация 8„акс достигает своего опасного значения е°.
Последнее определяется при простом растяжении или сжатии
образцов из данного материала.
Таким образом, условие разрушения следующее:
а условие прочности —
|е„аис1<[е] = ^. G.4)
Используя обобщенный закон Гука [формулы F.29)], выразим
условие прочности G.4) в напряжениях. 11усть наибольшее
относительное удлинение будет е^. Тогда
е^гкс = ^1 = -^ [о^ — и (о2 + Оз)].
При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого
напряжение [о], мы тем самым для наибольшего относитель'1юго
удлинения допускаем величину
[о]
[8] =
Е
Подставим выражения для 8„акс и [8] в условие прочности G.4).
Тогда
-^[01-^1@, + 0з)]<-^.
или
01 —ц(Оа + Оз)<[о]. G.5)
Как видно из условия прочности G.5), в этой теории с
допускаемым напряжением нужно сравнивать не то или другое главное
напряжение, а их комбинацию. Эквивалентное напряжение в этом
случае
I Оэквп = «1 — Ц (Оа + Оз)- G-6)
Опытная проверка этой теории указывает на согласующиеся
в ряде случаев результаты лишь для хрупкого состояния материала
184
(например, для легированного чугуна и высокопрочных сталей
после низкого отпуска). Отметим также, что применение второй теории
прочности в виде G.5) недопустимо для материалов, не следующих
закону Гука или находящихся за пределами пропорциональности.
Критерий наибольших касательных напряжений [третья (III)
теория прочности]. Здесь в качестве критерия прочности принята
величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой
теории предполагается, что предельное состояние в общем случае
наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение т„акс
достигает опасного значения т°. Последнее определяется при
достижении предельного состояния в случае простого растяжения.
Условие разрушения имеет вид
^макс = Т , I' • • )
условие прочности —
Тмакс < М = —^ . G.8)
Так как согласно выражению F.24)
Тмакс = ~2' (*^1 ^з)) а Т° == -д- 0°,
ТО условия разрушения и прочности G.7), G.8) можно выразить
через главные напряжения так:
о^ — Оз = а°; G.9)
О1-Оз<[0]. G.10)
Таким образом, эквивалентным напряжением по третьей теории
является разность алгебраически наибольшего и наименьшего
главных напряжений:
Ожвш = ^1 — Од. G.11)
Третья теория прочности в общем хорошо подтверждается
опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и
сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего
по величине главного напряжения а^, которое, как показывают
опыты, оказывает также некоторое, хотя во многих случаях и
незначительное, влияние на прочность материала.
Отметим, что критерий наибольших касательных напряжений
обычно рассматривается как условие начала образования
пластических (остаточных) деформаций. Последние являются
результатом скольжения слоев атомов в кристалле по определенным
кристаллографическим плоскостям. Это становится возможным в случае,
когда на указанных плоскостях скольжения касательные напряжения
достигают некоторой предельной величины.
Таким образом, в качестве критерия, определяющего
наступление текучести материала, можно принять величину наибольшего
касательного напряжения.
183
Считая предельным состоянием наступление текучести, из
равенства G.9) имеем
«1 —Оз=о^. G.12)
Это условие достаточно удовлетворительно описывает начало
пластической деформации для мно1 их металлов и сплавов.
Критерий удельной потенциальной энергии формоизмене}'ия
[четвертая (IV) теория прочности]. В качестве критерия прочности
в этом случае принимают количество удельной потенциальной
энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом.
Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае
напряженного состояния наступает тогда, когда удельная
потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного
значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении
в момент текучести.
Условие наступления текучести —
«Ф = («ф)т- G.13)
Условие прочности —
«Ф<[«ф]. G.14)
Предполагая, что закон Гука справедлив вплоть до наступления
предельного состояния, можно потенциальную энергию
формоизменения в общем случае напряженного состояния записать, согласно
выражению F.41), в виде
«Ф = —^^ [<^^ + о1 + аз~ (а^а^ + а^а^ + о^у)]. G.15)
При простом растяжении в момент текучести (о^ = о^; 02 = 03 =
= 0) имеем
(^ф)т — з5~ ^^'
G.16)
Следовательно, условие G.13) после подстановки выражений G.15)
и G.16) преобразовывается так:
или
]/о? + (^ + (й — (О1О2 + ОаОз + О3О1) = сг^,
У 4- Е(^1 - ^^2)' + (^2 - о^Г + (Оз - о,Т] = а.
Условие прочности будет следующим:
У 4- [К - о^г+к - озГ+(оз - о^п < -— = [<^1
G.17)
G.18)
G.19)
Следовательно, эквивалентное напряжение по четвертой теории
ОэквХУ = |/ 4" ^^^1 ~ ^2)^ + (^2 — Оз)^ + (Оз — 01)%
G.20)
№6
Заметим, что Оэкв1У совпадает с выражением F.26) для
интенсивности напряжений а,.
Опы1ы хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных
материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие.
Появление в материале малых пластических деформаций четвертой
теорией определяется более точно, чем третьей.
Следует отметить, что выражение G.20) с точностью до
постоянного множителя совпадает с выражением для касательного напряжения
Токт на октаэдрической площадке, равнонаклоненной к трем главным
направлениям (см. § 44). Поэтому расчетные уравнения четвертой
теории прочности можно получить исходя из критерия постоянства
октаэдрических касательных
напряжений: /^
Такая трактовка освобождает
рассматриваемую эеорию прочности от
ограничений, связанных с областью
применимости закона Гука, и дает возможность
установить условия начала не только
пластических деформаций, но и разру- Рис. 173
шения.
Критерий Мора основан на предположении, что прочность
материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным
образом от величины и знака наибольшего а^ и наименьшего а^
главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение, как
указывалось выше, лишь незначительно влияет на прочность. Опыты
с медными, никелевыми и чугунными трубками показывают, что
погрешность, связанная с тем, что не учитывается а^, не превышает
12—15%. Исходя из этого предположения, можно любое
напряженное состояние изобразить одним кругом Мора, построенным на
главных напряжениях а^ и а^.
Если при данных 01 и а^ прочность материала нарушается, то круг,
построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя
соотношение между главными напряжениями, получим для данного
материала семейство предельных окружностей (рис. 173). Опыты
показывают, что по мере перехода из области растяжения в область
сжатия сопротивление разрушению увеличивается. Этому
соответствует увеличение диаметров предельных окружностей по мере
движения влево.
Огибающая АВСОЕ семейства предельных кругов ограничивает
область прочности (рис. 173). Точка С соответствует всестороннему
равномерному растяжению. Так как при равномерном всестороннем
сжатии материал способен, не разрушаясь, выдержать очень
большие напряжения, то огибающая слева остается незамкнутой.
При наличии предельной огибающей рассчитать прочность
весьма просто. По найденным в опасной точке детали значениям
главных напряжений о^ и Од строят круг. Прочность будет обеспечена,,
если он целиком ляжет внутри огибающей. Будем увеличивать
т
пропорционально величины главных напряжений до тех пор, пока
круг, изображающий данное напряженное состояние, коснется
предельных огибающих. Отношение радиусов полученного таким
образом предельного круга и начального определит коэффициент запаса.
На практике обычно небольшой участок огибающей строят на
основании двух опытов — на растяжение и сжатие, причем
предельные кривые заменяют прямыми линиями, касательными к
окружностям (рис. 174). Допускаемое напряженное состояние можно
получить, уменьшив масштаб чертежа в п раз (п — коэффициент за-
^ " •
^1
7^4К-~.
а
6з
^^'^ .
_^^А^
/
\
/ '/ \ \
^1 1 (
0} \0,]
1 /
-. ^' „
6
Рис. 174
Рис. 175
паса). На рис. 175 показано допускаемое напряженное состояние
лля небольшого участка огибающей.
Легко получить условие прочности для промежуточного
напряженного состояния (о^, Оз), центр круга которого 0^ располагается
между точками 0^ и Ог (рис. 175). Проведем прямые О^М^, О^М^
и ОдМз. соединяющие центры и точки касания окружностей с
огибающими линиями, а также прямую Оха, параллельную ТЙ^а-
Из подобия треугольников получим следующие зависимости:
Оф
ОА
или
ом.
■ О1М1 _ ООх—ОО-,
Заменив отрезки лиций значениями соответствующих напряжений,
будем иметь
Р1 — Оз — [О+Д _ 1<^+] — ( + "з)
После преобразования, вводя знак неравенства, получаем
условие прочности:
[<^+1
Оэквм = 01 — -^^ Оз < {^^+1 G.21)
При одинаковом сопротивлении материала растяжению и сжатию
([о_|_] = [а_]) огибающая на указанном участке проходит
параллельно оси абсцисс и расчетная формула G.21) совпадает с формулой
G.10), полученной по третьей теории прочности.
188
Основанная целиком на опытных данных, теория Мора в общем
не нуждается в дополнительной экспериментальной проверке.
Однако построение предельных огибающих для каждого материала
может быть произведено в результате ряда сложных опытов с
плоскими и объемными напряженными состояниями, что, собственно, и
ограничивает ее применение. Кроме того, эта теория, как уже
отмечалось, не учитывает влияния на прочность промежуточного главного
напряжения Ог-
О применимости той или иной теории прочности для практических
расчетов можно сказать следующее.
Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет
растягивающих напряжений или удлинений и путем среза за счет
наибольших касательных напряжений. При этом разрушение отрывом
может происходить при весьма малых остаточных деформациях или
вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет
место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое
разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности,
отражающие разрушение отрывом, можно применять лишь для
материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую
теории прочности, хорошо отражающие наступление текучести
и разрушение путем среза, надлежит применять для материалов,
находящихся в пластическом состоянии.
Теория прочности Мора позволяет установить сопротивление
разрушению материалов, обладающих разными сопротивлениями
растяжению и сжатию. При этом ветвь АВ (рис. 173) характеризует
разрушение от среза, а ветвь ВС — от отрыва.
Так как первая и вторая теории прочности страдают
существенными недостатками, то в настоящее время утверждается мнение о
нежелательности их применения. Таким образом, для практических
расчетов следует рекомендовать четвертую (или третью) теорию
прочности для материалов, одинаково сопротивляющихся
растяжению и сжатию, и теорию Мора — для материалов, различно
сопротивляющихся растяжению и сжатию, т. е. для хрупких
материалов (для них в настоящее время пока еще применяют и вторую
теорию прочности).
Следует подчеркнуть, что состояние материала (хрупкое или
пластическое) определяется не только его свойствами, но и видом
напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения.
Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных
условиях нагружения и температуре ведут себя, как хрупкие, в то
же время хрупкие материалы в определенных напряженных
состояниях могут вести себя, как пластичные. Так, например, при
напряженных состояниях, близких к всестороннему равномерному
растяжению, пластичные материалы разрушаются, как хрупкие.
Такие напряженные состояния принято называть «жесткими». Весьма
«мягкими» являются напряженные состояния, близкие к
всестороннему сжатию. В этих случаях хрупкие материалы могут вести
себя, как пластичные. При всестороннем равномерном сжатии
189
материалы могут выдержать, не разрушаясь, очень большие
давления.
Следует отметить, что перечисленные теории прочности
неприменимы для расчета прочности в случае всестороннего сжатия (о^ =
— 02 = Од = —р). Влияние типа напряженного состояния может
быть учтено приближенно при помощи диаграмм механического
состояния, которые рассматриваются ниже.
§ 49. ПОНЯТИЕ О НОВЫХ ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ
Условия перехода материала в предельное состояние, а также
условия прочности по различным теориям были выражены через
главные напряжения о^, о^, а^, которые являются инвариантами
напряженного состояния.
Для трехмерного пространства, направив оси координат по
главным направлениям, указанные условия можно представить в виде
некоторых предельных поверхностей
/^(а„а„аз) = 0. G.22)
Так, предельная поверхность, соответствующая условию появления
массовых пластических деформаций по теории удельной
потенциальной энергии формоизменения [см. формулу G.20)], имеет вид
(о^ - а^Г + {Р2 - Оз)^ + (Оз - а^Т - 2о? = О.
G.23)
Предельная поверхность G.23) представляет собой круговой
цилиндр с осью, равно наклоненной к координатным осям (рис. 176, а),
и радиусом г = |/ — о^. Для
плоского напряженного
состояния, когда одно из главных
напряжений равно нулю, условие
G.23) дает эллиптическую
предельную кривую (рис. 176, б).
Критерию наибольших
касательных напряжений
соответствует предельная поверхность в
виде правильной шестигранной
призмы, вписанной в цилиндр
G.23). Критерию наибольших,
нормальных напряжений соответствует куб с ребром, равным а°.
Заметим, что все точки, расположенные внутри области,
ограниченной предельной поверхностью, соответствуют напряженным
состояниям с коэффициентом запаса, большим единицы.
Напряженные состояния, представленные точками, лежащими вне этой
области, имеют коэффициент запаса, меньший единицы.
Недостатки рассмотренных теорий, а также появление новых
материалов, явились стимулом для разработки новых теорий
прочности. Большинство из них основано на выборе такой формы пре-
Рис. 176
190
дельной поверхности, при которой можно наиболее полно учесть
особенности сопротивления данного класса материалов в условиях
сложного напряженного состояния.
Рассмотрим некоторые новые теории.
Ю. И. Ягн предложил предельную поверхность G.22) принять
в виде полинома второй степени, симметричного по отношению ко
всем трем главным напряжениям:
К — ^^Т + (^2 — Оз)^ + (Оз — ^1? + « (^1 + Оа + ^г? +
+ Ь(а1 + 02 + аз) = с, G.24)
где постоянные а, Ь и с для данного изотропного материала должны
определяться из опытов на одноосное растяжение и сжатие и на
чистый сдвиг.
Установив допускаемые напряжения [а], [а_] и [т]
соответственно при растяжении, сжатии и сдвиге, находим выражения для
постоянных:
6 [т]2 - 2 [О] [о_1 6 [т]2 ([о_1 - [о])
^~' Ш^\ • ^^ Шя2 • с = 6[т]2.
Из приведенного ясно, что теория Ю. И. Ягна позволяет учесть
неодинаковое сопротивление материала растяжению и сжатию,
а также сопротивление материала сдвигу. При определенных
соотношениях между введенными постоянными а, Ь и с из выражения
G.24) можно получить ряд энергетических критериев, в том числе
и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения.
Г. С. Писаренко и А. А. Лебедев, считая, что наступление
предельного состояния обусловлено способностью материала
оказывать сопротивление как касательным, так и нормальным
напряжениям, предложили искать критерии прочности в виде инвариантных
по отношению к напряженному состоянию функций касательных
напряжений и максимального нормального напряжения.
Предложен, например, критерий в следующей линейной форме:
Токт + т^а^ < т^. G.25)
Выражение для Токт дается формулой F.25). Константы т^
и Ша материала можно выразить через предельные напряжения а°1
а^ при одноосном растяжении и сжатии. Тогда условие G.25)
примет вид
-у^ ХТокт + A — л) О! < 0°, G.26)
где
Для материалов, находящихся в пластическом состоянии, о° ==
= а^, X = 1 и выражение G.26) преобразовывается в расчетное
уравнение теории формоизменения. Для идеально хрупкого
материала X = О и выражение G.26) преобразовывается в уравнение
191
для I теории прочности. При О < X < I (подавляющее большинство
реальных материалов) предельная поверхность G.26) представляет
собой равнонаклоненную к главным осям фигуру, в которую вписана
шестигранная пирамида, соответствующая упрощенной теории
прочности Мора {условие G.21)].
Экспериментальная проверка рассмотренной теории показала,
что критерий G.26) хорошо согласуется с результатами испытаний
широкого класса конструкционных материалов.
Диаграммы механического состояния (критерий Я. Б.
Фридмана). Влияние типа напряженного состояния на характер нарушения
прочности материалов приближенно можно учесть при помощи
диаграмм механического состояния. Последние строят на основании
следующих положений.
1. В зависимости от типа напряженного состояния материалы
могут разрушаться от растягивающих напряжений или удлинений
путем отрыва либо от касательных напряжений путем среза.
Соответственно этому различают две характеристики прочности —
сопротивление отрыву 5от, которое представляет собой величину
нормальных напряжений на поверхности разрушения в первом случае,
и сопротивление срезу Тк, представляющее собой величину
касательных напряжений во втором случае.
2. Обе характеристики прочности Eот и Тк) не зависят от типа
напряженного состояния.
3. Кривая деформации материала в координатах Тмакс — Тмакс
также не зависит от напряженного состояния.
4. Нарушение прочности путем отрыва описывается теорией
наибольших относительных удлинений так:
сгэквп = сг^ — и (Оа -Ь Оз) = 5от, G.27)
а нарушение прочности второго вида — теорией наибольших
касательных напряжений следующим образом:
Тмакс = ^^^ = т,. G.28)
Диаграмма механического состояния состоит из двух диаграмм
(рис. 177) — собстйенно диаграммы механического состояния
(слева) и кривой деформации в координатах т„акс — Тмакс- При
построении диаграммы по оси ординат откладывают наибольшее касательное
напряжение т„акс, а по оси абсцисс — наибольшее эквивалентное
растягивающее напряжение по второй теории прочности (оэкви). На
диаграмму наносят предельные линии, соответствующие пределу
текучести т^ при сдвиге, сопротивлению срезу т^ и сопротивлению
отрыву 5от. Отклонение линии сопротивления отрыву вправо
выше предела текучести (рис. 177) соответствует возрастанию
сопротивления отрыву с появлением остаточных деформаций.
Для характеристики типа напряженного состояния вводят
коэффициент «мягкости», представляющий собой отношение наибольше-
192
го касательного напряжения в точке к наибольшему
эквивалентному растягивающему напряжению:
а =
■^экв и
G.29)
Различные напряженные состояния, таким образом, при
возрастании нагрузки изображаются на диаграмме лучами, тангенсы
углов которых равны соответствующему значению а. Например:
при всестороннем растяжении {ог = Оа = а^) Тмакс = 0, а = О
'зи9^
^макс
Рис. 177
И луч совпадает с осью абсцисс; при простом растяжении (а^ = а\
«2 = <^3 == 0)
, II == а и а =
1
при простом сжатии (а^ ~ а^ = 0; ад = —а)
о » ^экв II
\мз;
а =
1
21^
Принимая ^1 = 0,25, находим, что а = 2.
Рассматривая лучи, отвечающие различным типам
напряженного состояния материала, можем приближенно установить вид
разрушения и выбрать, таким образом, подходящую теорию прочности.
Например, луч 1 на диаграмме пересекает раньше всего линию
сопротивления отрыву. Следовательно, материал разрушится путем
отрыва без предшествующей пластической деформациии. Луч 2
пересекает сначала линию текучести, а затем линию сопротивления
отрыву. Следовательно, при данном напряженном состоянии
разрушение произойдет путем отрыва, но с предшествующей пластической
деформацией. Для напряженного состояния, соответствующего
лучу 8, после пластической деформации разрушение произойдет
путем среза. В тех случаях, когда лучи, изображающие то или иное /
сложное напряженное состояние, пересекают прежде всего линию /^
сопротивления отрыву, расчет прочности следует производить
7 8—27/0
ить /
по теории Мора, второй или первой теориям прочности. Если же
вначале лучи пересекают линию предела текучести, то расчет
прочности надлежит проводить по третьей или четвертой теориям
прочности.
Таким образом, диаграммы механического состояния с известным
приближением отражают зависимость формы разрушения от вида
напряженного состояния. Приближенность построения заключается
в том, что предел текучести и сопротивление разрушению
непостоянны. Лучи, изображающие напряженные состояния, прямы лишь
до достижения предела текучести.
§ 50. ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ ПРОЧНОСТИ
Пример 19. На гранях элемента (рис. 178), вырезанного из цилиндрической
стенки резервуара, действуют напряжения а^ = 1500 кгс/см^, а^ = 750 кгс/см^,
1аз = 0. Резервуар изготовлен из малоуглеродистой стали
марки СтЗ. Допускаемое напряжение на растяжение [а] =
:= 1600 кгс/см^. Проверить прочность стеики.
Так как материал находится в пластическом состоянии,
I то для расчета прочности следует применить четвертую или
ТТГ / третью теорию.
'Щ I Условие прочности по четвертой теории при Оз = О имеет
вид
Рис. «78 аз„, ,У = Ус^1 +4- ''1<'2 < М-
Внося в выражение G.30) значения а^ и а^, находим, что
«экв IV = 1^1500^ + 7502 — 1500 • 750 кгс/см^ =
= 1299 кгс/см2 < [о] = 1600 кгс/см^.
По третьей теории прочности условие прочности следующее: •
<^э^в1П = ('1 —Оз<М-
G.30)
'^эквШ = 1500-0<1600.
Как видно из расчета, прочность стенки обеспечена.
Пример 20. В опасной точке чугунной детали на гранях выделенного
элемента (рис. 179) напряжения ст„= 50 кгс/см^; Оо= —250 кгс/см^; т^ = —То =
= 260 кгс/см^. Проверить прочность, если допускаемое напряжение на
растяжение [а , ] = 350 кгс/см^, а допускаемое напряжение на сжатие [а_] = 1200 кгс/см^.
Определяем главные напряжения (см. § 43): ^
Га
Г—200 + /3002 + 4 • 2602] КГС/СМ2 = 200 кгс/смг; ^ -] {
1 "^^ 'X
«^3 = -у [^а + <^р - У К - <^р)' + К] -
-— —200 — }/^3002 -1- 4 • 2602 1 кгс/см2 = — 400 кгс/см«.
Р
4
Рис. 179
194
Так как материал различно сопротивляется растяжению и сжатию, то
проверку прочности проведем по теории Мора. Задаииое иапряжениое состояние
располагается на предельной диаграмме (см. рис. 175) между простым
растяжением и простым сжатием. Следовательно, для расчета прочности можно
применить формулу G.21):
Имеем
«эквм = 200
, 350
1200
400 = 317 кгс/см2 < 350 кгс/см».
По теории наибольших относительных удлинений, учитывая, что (Тг = О,
имеем
Для ц = 0,25 уравнение прочности принимает вид
%^ П = 200 + 0,25 • 400 = 300 кгс/см^ < 350 кгс/см^.
Пример 21. По граням элемента (рис. 180), выделен- '^^
ного в опасной точке стержня, испытывающего
деформацию изгиба, напряжения "?
^а^"'-' '^р=о;
•Г.
1^
Рмс. 180
б
Определить эквивалентные (расчетные) напряжения
по четырем теориям прочности.
Вычисляем главные напряжения в опасной точке по формулам F.21):
1
Тогда эквивалентные напряжения и условия прочности примут следующий вид:
а) по первой теории
1
«экв I = (^1 = ^ (о + 1^0= -I- 4x2) ^ {о].
G.31)
экв I
б) по второй теории
"•экв п = 01 - (^ (а, + аз) = -Ц^ а + -1-±^ У^Т^ < М, G.32)
2 ' 2
или, принимая ц = 0,3, находим, что
«'экв II = 0.35а + 0,65 /с2 + 4тг < [а];
в) По третьей теории
''экв III = «1 — Оз = Уо^ + 4x2 ^ [д].
г) по четвертой теории
G.33)
G.34)
G.35)
7* «5
\:
Глава 8
СДВИГ
§ 51. СДВИГ. РАСЧЕТ НА СРЕЗ
С деформацией сдвига мы встречаемся, когда из шести
компонентов главного векюра и главного момента внутренних сил отличны
от нуля только поперечные силы ^у или ^^. С достаточной степенью
приближения деформация сдвига или
среза практически может быть получена
в случае, когда на рассматриваемый брус
с противоположных сторон на весьма
близком расстоянии друг от друга
действуют две равные силы,
перпендикулярные к оси бруса и направленные в
противоположные стороны. Примером
такого действия сил на брус может быть
разрезание ножницами прутьев, полосы и т. п. (рис. 181). Вообше же на
практике сдвиг в чистом виде получить трудно, так как обычно
деформация сдвига сопровождается другими видами деформаций и
чаще всего изгибом.
Установим формулы для напряжений и деформаций,
необходимые при расчете на срез элементов конструкций, имеющих форму
бруса. Известна внешняя нагрузка Р, в частности для случая,
представленнсЛго на рис. 181. Исгюльзуя метод сечений, находим,
что на участке Ьс поперечная сила
Яу = Р- (8.1)
Опуская в дальнейшем индекс
при ^, установим связь между
поперечной силой и напряжениями,
действующими в рассматриваемом
сечении. Из уравнения C.30)
Р^ а 6
Рис. 181
I /7
I \й? = С. (8.2)
Рис. 182
Принимая касательные напряжения т равномерно
распределенными по площади поперечного сечения Р (рис. 182), на основании
выражений (8.1) и (8.2) будем иметь С1 = Р = %Р, откуда
т=-|-. (8.3)
Допущение о равномерности распределения касательных
напряжений по сечению весьма условно. Однако это допущение во
многих случаях себя оправдывает и поэтому в инженерной практике
им широко пользуются при расчете болтов, заклепочных
соединений, шпонок, сварных соединений и других деталей.
196
§ 52. ЧИСТЫЙ СДВИГ
При расчете ряда элементов конструкций встречается частный
случай плоского напряженного состояния, когда на четырех гранях
прямоугольного элемента действуют только касательные
напряжения (рис. 183, а). Такое напряженное состояние называется чистым
сдвигом.
Найдем величину и направление главных напряжений при
таком напряженном состоянии. Для этого воспользуемся построением
круга напряжений (рис. 183, б). Поскольку в данном случае
Оа = Щ = 0; т„
1(х т; тр := т,
то, построив круг напряжений, находим, что
01
— а, = т.
(8.4)
а главные площадки наклонены к граням элемента под углом 45°.
Третья главная площадка совпадает с ненагруженной
фасадной гранью элемента, следовательно,
Оа = 0. (8,5)
Рассмотрим деформацию элемента аЬсA (рис. 183, а). Поскольку
по граням элемента нет нормальных напряжений, то вдоль граней
г
До
Рис. 183
Рис. 184
нет и удлинений. В то же время диагональ ас, совпадающая с
направлением а^, удлиняется, а диагональ &(^, совпадающая с
направлением сжимающего напряжения Од, укорачивается. В результате
квадрат аЬсй превращается в ромб а'Ь'с'й'.
Таким образом, деформация чистого сдвига характеризуется
изменением первоначально прямых углов. Более наглядное
представление о деформации элемента можно получить, закрепив одну из
граней (рис. 184). Малый угол у, на который изменяется
первоначально прямой угол, называется углом сдвига или относительным
сдвигом. Из рис. 184 следует, что
у = /^ ВАВ^.
197
Величину абеолютного смещения грани обозначают Ав и
называют абсолютным сдвигом.
Из треугольника ВАВ^ следует, что
. Д5
Учитывая малость угла, "можно считать, что
тогда
Т =
Д5
(8.6)
Закон Гуна при чистом сдвиге. Зависимость между нагрузкой
и деформацией при сдвиге можно проследить по так называемой
диаграмме сдвига (рис. 185). Для пластичных материалов она
аналогична диаграмме растяжения. На диаграмме показаны
характеристики прочности Тпц, Т^ и Тз-
Экспериментально диаграмму сдвига можно получить при
скручивании тонкостенной трубы (рис. 186). Действительно, л'ысленно
выделенный элемент стенки трубы (ячейка ортогональной сетки.
ВидА
Рис. 185
Рис. 186
предварительно нанесенной на поверхности трубы) находится в ус-
ловиях чистого сдвига, характеризуемого напряженным состоянием,
показанным на рис. 184. Рассматривая деформацию этого элемента
в пределах упругости, найдем, что между относительным сдвигом
и касательными напряжениями, действующими по граням элемента,
согласно диаграмме сдвига (рис. 185), существует линейная
зависимость, которая может быть выражена формулой
т
'а
или т
Су,
(8.7)
где С — коэффициент пропорциональности, который называется
модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода
и измеряется в кгс/см^ (или кгс/мм^). Значения модуля С для
некоторых материалов приведены в приложении 9.
198
соз 45° =
1й7 ^
2 '^
Д5
Г2
' 2 •
Для изотропных материалов между модулем упругости С при
сдвиге и модулем упругости Е при растяжении существует
определенная зависимость. Для получения ее рассмотрим деформацию
элемента, претерпевающего чистый сдвиг (рис. 184). Найдем сначала
удлинение диагонали АС, длина которой
/ = аК2.
Рассматривая геометрическую картину деформаций, получим
М = СА = СС^ соз ("х — -2") "^ ^^1 '^"^ ^^° =
Тогда относительное удлинение диагонали
__ дг _ Дз __ 1 Д5
^~ I ~ У2аУ2 ~ 2 ' а '
По закону Гука для чистого сдвига у = -—, поэтому
8 = -^. (8.8)
Теперь воспользуемся обобщенным законом Гука [формулы
F.29)]. Главное напряжение а^ действует в направлении диагонали
АС. Поэтому относительное удлинение е диагонали есть не что иное,
как главное удлинение 81 при плоском напряженном состоянии,
представленном чистым сдвигом. Учитывая зависимость (8.4), из
первой формулы F.30) находим, что
8 =. 81 = -~^ Т. (8.9)
сравнивая формулы (8.8) и (8.9), получаем искомую зависимость:
(8.10)
0 =
2A+ц)
При И = "з~~^ 1~ получим О = @,375 — 0,4) Е.
Запишем выражение для перемещения одной грани
относительно другой (абсолютного сдвига Дх) при чистом сдвиге. Обозначая
площадь грани Р, равнодействующую сдвигающую силу ^ — Рх
и расстояние между сдвигаемыми гранями через а (рис. 184),
получим
А Т Ой
А8 = уа = -^а=-^,
т. е.
Д8 = -^. (8.11)
Формула (8.П) выражает закон Гука для абсолютного сдвига.
199
Потенциальная энергия деформации рассматриваемого элемента
при чистом сдвиге
2 ~ 2ар •
а удельная потенциальная энергия
" ~" V "~ 2ар ■ аР 2РЮ '
Т. е.
Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом
сдвиге. Проверим прочность элемента, испытывающего деформацию
чистого сдвига (рис. 183, а). Касательные напряжения на гранях
элемента равны т, допускаемое напряжение для материала при
растяжении — [а].
Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге
о^ = т; Ог = 0; Од = — т.
Условие прочности составим по второй, третьей и четвертой
теориям:
а) по второй теории
а^_цаз<[а1. (8.13)
Подставляя значения главных напряжений, находим
г<-^. (8.14)
Правая часть формулы (8.14) представляет собой допускаемое
напряжение при чистом сдвиге:
[т]=-у|5_. (8.15)
Для металлов ц = 0,25 -^ 0,42. Следовательно, по второй теории
прочности
[т] = @,7^0,8Iс]; (8.16)
б) по третьей теории прочности
01 — ОЗ < М,
или
т —(-т)<[а],
откуда
т<-^=[т], (8.17)
т. е. допускаемое напряжение при сдвиге
1т] = 0,5[а]; (8.18)
в) по четвертой теории прочности
]/о? 4- Оз — 0103 < М-
200
Внеся значения главных напряжений, получим
ГгтТ
Следовательно,
Гз
[т] = -Ж-«0,б[а].
(8.19)
(8.20)
Полученные величины допускаемых напряжений применяют
также при расчетах на прочность деталей, испытывающих деформацию
среза (болтов, заклепок,
шпонок и т. д.). Отме- ^
ТИМ, что для пластичных
материалов наиболее
подходит формула (8.20),
полученная на основании
четвертой теории
прочности. При
использовании этой формулы для
допускаемых
напряжений на растяжение сле-
дЗ'ет принимать
современные значения.
Например, для стали марки
СтЗ допускаемое
напряжение на растяжение и
сжатие о = 1600 кгс/см^.
Тогда
[т] = 0,6 • 1600
Условие прочности на сдвиг (срез) может быть записано в
обычном виде:
Тмакс = -%^ < [Т]. (8.21)
Величина допускаемых напряжений на срез [т] зависит от свойств
материала, характера нагрузки и типа элементов конструкции.
Основания для выбора допускаемых напряжений [т] даны выше,
а значения величин допускаемых напряжений на срез для некоторых
материалов применительно к заклепочным и сварным соединениям
приведены в приложении 11.
В качестве примера рассмотрим расчет болтового соединения,
приведенного на рис. 187.
Силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга.
Этому препятствует болт, на который со стороны каждого листа
передаются распределенные по контактной поверхности силы
(рис. 187, а и б). Равнодействующие последних, равные Р,
направлены противоположно (рис. 187, а). Усилия стремятся срезать
болт по плоскости раздела листов т—п, так как в этом сечении
действует наибольшая поперечная сила ^ = Р (рис. 187, в). Считая,
Рис. 187
960 кгс/см^ ^ 1000 кгс/см^
281
что касательные напряжения распределены равномерно, получим
Таким образом, условие прочности болта на срез принимает вид
4Р
<м.
(8.22)
Отсюда можно найти диаметр болта:
г лГт1
Следует отметить, что силы Р, приложенные к болту, стремятся
гакже изогнуть его. Однако изгибающий момент мал и
вызванными им нормальными напряжениями можно пренебречь, тем более
что при увеличении внешних сил разрушение произойдет путем
среза.
При расчете болтовых, заклепочных и других подобных
соединений следует учитывать, что нагр^/зки, приложенные к элементам
соединений, помимо среза вызывают смятие контактирующих
поверхностей. Под смятием понимают пластическую деформацию,
возникающую на поверхностях контакта.
Расчет на смятие также проводят приближенно, поскольку закон
распределения давления по поверхности контакта точно не известен.
Обычно принимают криволинейный закон распределения (рис. 188),
считая, что давление д по диаметру A изменяется пропорционально
изменению проекции
площадки йР цилиндрической
поверхности на
диаметральную плоскость:
д _ др
Тогда максимальное
напряжение смятия на
цилиндрических поверхностях
Р
Рис. 188
где Рсы представляет собой площадь проекции поверхности контак-
га на диаметральную плоскость (рис. 187, г):
Рш = ^^б. (8.23)
Условие прочности на смятие имеет следующий вид:
Р
Осм —
< [Осм].
(8.24)
Допускаемые напряжения на смятие устанавливают опытным
путем и принимают равными [осм! == B -н 2,5) [о_].
202
На основании зависимости (8.24) получим
Р
й>
6 К
Чтобы были зодовлетворены з'словия прочности на срез и на
смятие, из двух найденных диаметров следует взять больший,
округлив его до стандартного значения.
Учитывая, что болты и заклепки ослабляют листы, последние
проверяют на разрыв в наиболее ослабленных сечениях. В случае
одного болта (рис. 187) условие прочное- ,^_-—-х^ А-А
ти будет иметь вид
<[о+]. (8.25)
Пример 22. Определить необходимое число
заклепок диаметром й = 23 мм для
прикрепления раскоса фермы, состоящего из двух уголков
90 X 56 X 8, к фасонному листу (косынке),
имеющему толщину 6= 1,2 см (рис. 189). Растягивающее усилие в раскосе Л^ =
= 30 тс, материал — СтЗ, отверстия для заклепок продавлены.
Полагая, что усилия между заклепками распределяются равномерно, и имея
в виду, что они испытывают двойной срез (одновременно по двум сечениям), число
заклепок I определим из условия прочности на срез:
- ' <ы
21
лй^^
или из условия прочности иа смятие:
1&й
^ [ОсмЬ
Учитывая при этом, что для стали можно принять [т] = 1000 кгс/см* и [0^] ■
= 2800 кгс/см^, найдем:
а) из расчета иа срез
N 30 000
1>
^4^14
о 3,14.2,3^
4
= 3,6;
1000
б) из расчета иа смятие
«■>
N
30000
м\
1,2 • 2,3 • 2800
= 3,9.
Принимаем, что число заклепок I = 4.
В расчете на смятие фигурировала толщина фасонного листа 6= 1,2 см, так
как суммарная толщина полок двух уголков 26=1,6 см, а следовательно,
напряжение смятия в заклепках в местах контакта с
уголками будет меньше, чем в месте контакта с
косынкой (предполагается, что материал заклепок
мягче, чем материал соединяемых элементов).
Пример 23. Вал передает крутящий момент
М^;р = 2700 кгс-м при помощи шлицевого
соединения (рис. 190). Диаметр валаО== 80 мм, виут-
Рие. 190 ренний диаметр й = 68 мм, высота шлица Н =
203
= 6 мм, ширина шлица 6= 12 мм, длина соединения /= 100 мм. Число
шлицев I = 6. Определить напряжение среза и смятия шлица.
Полагая, что все шлицы нагружены одинаково, найдем усилие, приходящееся
на один шлиц:
Р, = -
М.
кр
270 000 • 2
6,8-6
кгс = 13,235 кгс.
Напряжение среза
Ы
Напряжение смятия
А.
13 235
1,2- 10
13 235
' 10 • 0,6
кгс/см2= 1102,5 кгс/см''.
кгс/см'' = 2205 кгс/см«.
На Срез принято (также условно) рассчитывать и некоторые
сварные соединения. Изготовляя металлические конструкции, как
известно, часто применяют сварку электрической дугой. Если выбор
конструкции соединения, материалов и технологии сварки сделан
■Ъг "О! '=^1
<
Л ^~
0^
Рис. 192
правильно, то сварное соединение по надежности не уступает
заклепочному при действии как статических, так и динамических
нагрузок. В то же время, соединение элементов конструкций с помощью
сварки имеет целый ряд преимуществ, основное из которых —
экономичность.
Наиболее распространены соединения в стык и с помощью
угловых, или валиковых, швов. Соединения в стык применяют, когда
листы находятся в одной плоскости. При толщине листов б < 8 мм
Рис. 193
Рис. 194
Рис. 195
кромки их не обрабатывают (рис. 191, а); при б = 8 -г- 20 мм кромки
скашивают и заваривают листы с одной стороны (У-образный
шов, рис. 191, б); при б >> 20 мм кромки скашивают с двух сторон
(Х-образный шов, рис. 191, в). Расчетную толщину шва
принимают равной толщине листа б, наплывы не учитывают.
Соединения с помощью угловых швов делают, когда листы
параллельны или перпендикулярны. Сюда относятся соединения внахлест-
204
--4^2
^3—
ку, с накладками и в тавр. Если направление углового шва
перпендикулярно к действующему усилию, то шов называется лобовым
(торцевым). Швы, параллельные усилию, носят название фланговых
(бо/собьа). Применяются также косые швы (рис. 192), направленные
под углом к усилию. На рис. 193 показано соединение листов
внахлестку лобовыми швами, на рис. 194 — соединение с накладками,
приваренными фланговыми швами, а на рис. 195 — тавровое
соединение.
Если не учитывать наплывы, то в
разрезе угловой шов имеет форму
равнобедренного прямоугольного треугольника
(рис. 196, а). Разрушение шва будет
происходить по его минимальному сечению
АВСО (рис. 196, б), высота которого
а=6со8 45°«0,7б.
Расчетная плош,адь сечения шва Р^ =
~ а1 ~ 0,7Ы, где / — расчетная длина шва.
Сварные соединения, как и заклепочные,
условно рассчитывают в предположении
равномерности распределения напряжений
по сечению шва. В табл. 12 приведены некоторые значения
допускаемых напряжений для сварных соединений. Данные этой
таблицы могут быть использованы только для конструкций,
изготовленных из СтЗ.
Не останавливаясь на расчетах всех видов швов, рассмотрим
на примерах расчет только лобовых и фланговых, т. е. таких швов,
Таблица 12
Рис. 196
Вид напряжения
Растяжение
Сжатие
Срез
Обозначений
допускаемого
напряжения
[Оэ1
[Тэ]
Допускаемое напряжение, кгс/см^
Ручная сварка
электродами
с токкон обмазкой
1000
1100
800
Автоматическая
сварка и ручная сварка
электродами с
толстой обмазкой
1300
1450
1100
Примечание. Индекс «э» означает, что изделия свариваются электрической дугой.
которые, главным образом, должны сопротивляться действию
касательных напряжений.
Учитывая, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению,
составляющей нормальных напряжений в лобовом шве
пренебрегают и рассчитывают его условно на срез, предполагая, что
касательные напряжения равномерно распределены по площади сечения
АА^В^Б (рис. 197). При этом для соединения внахлестку в расчет
205
вводят оба шва — верхний и нижний. Тогда, предположив, что
работают оба шва с обш,ей площадью опасного сечечия Р. = 2а1. =
= 2 • 0,76/^ = 1,4 б/^, где 1^-
запишем условие прочности шва:
Р
расчетная длина торцевого шва,
1,46/т
< [Тз].
(8.26)
Поскольку в начале и в конце шва из-за непровара качество шва
ухз'дшается, действительную его длину увеличивают по сравнению
с расчетной на 10 мм, т. е.
I = 1^-\- 10 мм,
где I — действительная длина шва (на рис. 197 / = Ь).
Отметим, что вследствие незначительной деформативности
материала шва в направлении действия силы лобовые швы жесткие,
поэтому они разр>и1аются при весьма малых остаточных
деформациях и плохо сопротивляются действию повторно-переменных
и ударных нагрузок.
Более распространены на практике фланговые швы. Они
относятся к вязким, так как разрушаются лишь после значительных
остаточных деформаций. Фланговые швы всегда ставят парами; эти швы
Р
А
^т
~ъ
цшттц
^
Рис. 197
Рис. 198
работают на срез в биссекторных сечениях (рис. 198). Площадь среза
каждого шва
а;ф = 0,76(^—10).
Условие прочности на срез принимает вид
Р
1,46 (г—10)
< К].
(8.27)
Пример 24. Определить необходимые размеры фланговых швов, соединяющих
полосы (рис. 198). Растягивающая сила Р = 14 000 кгс, а допускаемое
напряжение иа срез для металла шва [Тэ] = 1100 кгс/см^; 6 = 1 см; 6, — 0,8 см; 6 = 10 см;
61= 12,5 см.
Из условия прочности (8.27) определяем необходимую длину шва:
/ Р , , / 14 000 , ,\
206
Пример 25. Найти необходимую длину 1^ и /д фланговых швов (рис. 199),
соединяющих равнобокий уголок № 5 с косынкой, при действии нагрузки Р =
= 6000 кгс. Принимаем, что [Тэ] = 900 кгс/см^.
Условие прочности на срез двух
швов имеет вид
Р
(/, + /з) б С08 45°
^ [Тэ], (8.28)
где 6 — толщина полки уголка.
Общая длина швов при 6 = 5 мы
6 сок 45° [Тэ]
6000
0,5 • 0,7 • 900
см = 19 см.
Рис. 199
Чтобы обеспечить одинаковые
условия работы обоих швов, следует
соотношение длин швов выбрать обратным соотношению расстояний Н^ и Н^,
определяющих положение центра тяжести уголка, через который проходит сила Р, т. е.
~ = -7^. При й, = 3,6 см и и,
/з
А_
/а 3,6
1,4 см
1,4
= 0,4; 1^
19
(=г 13,5 см; ?!= 19—13,5 = 5,5 см.
1,4 '1
В заключение рассмотрим пример расчета врубки,
используемой для соединения деревянных элементов конструкций.
Древесина анизотропна, т. е. ее механические характеристики зависят
от направления силовых воздействий относительно ориентации
продольных волокон^. Вследствие этого допускаемые напряжения
для различных направлений действия сил приходится принимать
разными (табл. 13).
Таблица 13
Вид напряжения
Обозначение
допускаемого
напряжения
Допускаемое
напряжение, кгс/см2
Сосна
Дуб
Растяжение .
Сжатие вдоль волокон и смятие торца
Смятие во врубках вдоль волокон . . .
Смятие перпендикулярно к волокнам (на
длине > 10 см)
Скалывание во врубках вдоль волокон
Скалывание во врубках поперек волокон
Изгиб
Скалывание при изгибе
[о]
Кж!
["'см^ЭО"
[Х]доо
К]
К]
100
120
24
5—10
6
120
20
130
150
ПО
48
8—14
8
150
28
Пример 26. Рассчитать соединение стропильной ноги со стропильной
затяжкой (рис. 200). Угол между осями стропильной ноги и затяжки а — 30°. Сила,
* Предел прочности для сосны вдоль волокон 400, поперек — 50 кгс/см^,
для дуба вдоль волокон 500, поперек — 150 кгс/см^.
207
действующая вдоль стропильной ноги,
N = 5000 кгс. М,!териал — сосна, допу-
Ь _^ скаемое напряжение на смятие вдоль
волокон — 80 кгс/см^. Сечение стропильной
^{ ноги й X 6 = 20 X 20 см.
Конец затяжкн испытывает
скалывание вдоль волокон под действием
горизонтальной проекции Л^! силы М:
М^^М С08 30° =
= 5000 • 0,866 кгс = 4330 кгс.
Длину X затяжки, выступающую за врубку, определим из условия
Рис. 200
/V,
.=4^^
Ьх
[т].
Принимая [т] = 8 кгс/см^, находим площадь скалывания:
Л^1 4330
^ск>
М
тогда
541
Ь 20
Необходимая площадь смятия врубки
см^ = 541 см*",
см= 27,1 см.
/V,
4330
Глубина врубки
Примем у=3 см.
4' = -
' 80
54,1
20
см^ = 54,1 см*.
см = 2,71 см.
Глава 9
КРУЧЕНИЕ
§ 53. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ.
УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ и ЖЕСТКОСТИ
Как уже указывалось (§ 2), деформация кручения вызывается
парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня.
Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня
из шести внз'тренних силовых факторов возникает только один —
крутящий момент УИкр (рис. 201). Как показывают опыты, поперечные
сечения при кручении поворачиваются одно относительно другого
вокруг оси стержня, при этом длина стержня не меняется.
Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.
Рассматривая кручение вала (например, по схеме, приведенной
на рис. 202), легко установить, что под действием скручивающего
момента, приложенного к свободному концу, любое сечение на
расстоянии X от заделки поворачивается относительно закрепленного
208
сечения на некоторый угол ф — угол закручивания. При этом, чем
больше скручивающий момент М^, тем больше и угол закручивания.
Зависимости ф = /" (Мк), называемые диаграммами кручения,
можно получить экспериментально на соответствующих испытательных
машинах с помощью специального записывающего устройства.
Примерный вид такой диаграммы (полученной при постепенном
увеличении нагрузки вплоть до разрушения) для вала длиной /,
изготовленного из пластичного материала, показан на рис. 203.
Рассматривая диаграмму кручения, нетрудно убедиться, что
она до некоторой степени подобна диаграмме растяжения: характер-
^ ^ ные з'частки и точки аналогичны тем,
(которые наблюдаются на диаграмме рас-
\
5
тяжения: Мп
Ж
мТП
^^
момент, до которого
сохраняется прямолинейная зависимость
между нагрузкой и деформацией; М^ —
м.
^^^
1~1
14^
-^
л
'р
Рис. 201
Рис. 202
Рис. 203
момент, соответствующий началу текучести; М^ — крутящий
момент, вызывающий разрушение.
В дальнейшем в ээом параграфе при выводе формул для
напряжений и угла закрз'чивания нас будет интересовать участок
диаграммы кручения, отвечающий работе материала в пределах
пропорциональности, т. е. начальный прямолинейный участок,
характеризующий линейную зависимость между крутящим моментом и углом
закручивания, что имеет место при нормальной работе валов.
Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях стержня,
рассмотрим прежде всего статическую сторону
задачи. Поскольку Мкр—единственный внутренний силовой фактор
в поперечном сечении, пять интегральных уравнений C.29) — C.33)
тождественно обращаются в нуль, а уравнение C.34)
принимает вид
] рхАР
М,
кр.
(9.1)
где т — касательное напряжение, действующее на элементарной
площадке йР, расположенной на произвольном расстоянии р от центра
сечения (рис. 204, б).
Характер распределения напряжений по сечению выясним,
рассмотрев геометрическую картину деформации
вала при кручении. Для этого на поверхности круглого вала нане^е л
209
сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий,
представляющих собой параллельные круги (рис. 204, а). После
приложения скручивающего момента наблюдаем следующее: образующие
цилиндра превращаются в винтовые линии, т. е. линии
одинакового наклона к оси стержня, параллельные круги не искривляются
и расстояние между ними практически остается неизменным;
радиусы, проведенные в торцовых сечениях, остаются прямыми. По-
лагая, что картина, наблюдаемая на поверхности стержня,
сохраняется и внз'три, приходим к гипотезе плоских сечений: сечения,
плоские до деформации, остаются плоскими при кручении кругло-
Рис. 204
ГО стержня, поворачиваясь одно относительно другого на некоторый
угол закрз'чивания.
Рассмотрим некоторый участок вала длиной их (рис. 205),
выделенный из исследз/емого вала (рис. 202); вал подвержен действию
скручивающего момента М^, вызывающего в поперечных сечениях
внутренние крутящие моменты М,^. Пусть угол поворота сечения
га — га относительно неподвижного будет ф, тогда угол поворота
сечения п — п, расположенного на расстоянии с1х, будет ф + ^Ф-
Следовательно, угол закручивания участка стержня длиной ^
равен йф.
Рассмотрим в связи с этим деформацию прямоугольного
элемента аЬ'й'с бесконечно малой толщины, вьщеленного у поверхности
вала. Так как радиусы остаются прямыми, то отрезок О'Ь',
поворачиваясь в плоскости поперечного сечения на угол закручивания ^^ф,
займет положение О'Ь. При этом образующая аЬ' переместится в
новое положение аЬ, составив с первоначальным угол у. Совершенно
аналогично образующая сA' перейдет в положение ей. Так как длина
этих отрезков практически неизменна, то деформация
прямоугольного элемента аЬ'й'с состоит в изменении первоначально прямых
углов на величину угла у. Таким образом, рассмотренный элемент
находится в условиях чистого сдвига и, следовательно, на его
гранях действуют касательные напряжения (рис. 205, 206).
В силу сказанного угол у является углом сдвига (относительный
сдвиг) и
. Ь'Ь
210
Учитывая, что аЬ' ~ их, а ЬЬ' = гс/ф, угол сдвига на
поверхности скручиваемого стержня можно представить в виде
(9.2)
Лх
йф
Величина ~ является относительным (погонным) углом
закручивания (измеряется в см—') и обычно обозначается через 9.
Учитывая это, формулу (9.2) можно записать так:
у = 0г. (9.3)
Если мысленно представить себе аналогичный элемент,
выделенный внутри стержня на произвольной цилиндрической
поверхности радиуса р (рис. 205), то аналогичные
рассуждения приведут к заключению, что угол
сдвига
ур = бр. (9.4)
Теперь рассмотрим физическую
сторону задачи, устанавливающую связь
между напряжением и деформацией. Посколь-
макс
Рис. 205
Рис. 207
ку элемент испытывает чистый сдвиг, то с учетом выражений (9.4) и
(8.7) получим
тр = С0р. (9.5)
Формулы (9.4) и (9.5) показывают, что углы сдвига и касательные
напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному
закону прямо пропорционально расстоянию р точек от центра сечения
(рис. 207, а). Очевидно максимальные напряжения будут у
поверхности стержня, при р = г. Таким образом, выражение (9.5) можно
переписать в виде
^г = Т„акс = С0Г.
Подставляя выражение (9.5) для касательного напряжения в
уравнение (9.1), будем иметь
М^р = С01 рЧР = С0/р.
Р
Отсюда получим формулу для относительного угла закручивания
круглого стержня:
0 =
их
М,
кР
с/„
(9.6)
211
где ^^„
1^
■ жесткость сечения стержня при кручении, кгс • см^;
^10ля^ный_моме^^т_^^аердин_^щуглогп стержня^ который
для сплошного сг^^жня т^^|^т^^оы^^_шк^V;^вё^^ш^ (§ 5).
выражается формулой у^ = ~^'\ ^ Для трубчатого
стержня с внутренним диаметром с^ и наружным й„
•^Р =
п(й1
■О
32
Здесь а
Зная выражение (9.6) относительного угла закручивания, можно
написать формулу для определения взаимного угла закручивания
двух сечений, расположенных на расстоянии /:
о
Если в пределах цилиндрического участка стержня длиною /
крутящие моменты в сечениях не изменяются, то
ф:
Ш = -^
0У„
(9.7)
Формулу (9.7), устанавливающую связь между силовым
фактором при кручении (Мкр) и сооуветствующей деформацией кручения
(углом ф), часто называют законом Гуна при кручении.
Для определения касательного напряжения т в любой точке
сечения стержня достаточно в формулу (9.5) подставить выражение для
0 по формуле (9.6). Тогда
Л^крР
(9.8)
Максимальное касательное напряжение, действующее на
периферии сечения стержня,
Тмакс —
^крГ
М.
кр
1Г„
(9.9)
где
см"
Эта величина называется полярным можнтом сопротивления.
Для сплошного круглого сечения
Р 16
16М,
кр
(9.10)
212
Изложенная теория применима и для трубчатого круглого
сечения. В этом случае
к- 16 '
^ 'б^^Р .9 11)
Таким образом, максимальное касательное напряжение в
скручиваемом круглом стержне пропорционально крутящему моменту
Мкр и обратно пропорционально кубу наружного диаметра стержня.
Установив формулу для определения максимального
касательного напряжения при кручении, можно записать уравнение
прочности при кручении:
''^макс ^ Ш ^ [Т],
Р
(9.12)
где [т] — допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге).
Отсюда полярный момент сопротивления вала
[<
Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость,
<5граничивая погонные углы закручивания некоторой допускаемой
величиной [0]:
(9.14)
откуда необходимый полярный момент инерции вала определится
формулой
§ 54. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
И РАЗРУШЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
Из анализа общей формулы (9.8) для касательных напряжений т
видно, что напряжения в плоскости сечения вала распределены
неравномерно и в зависимости от радиуса изменяются по линейному
закону от нуля в центре сечения до максимума на его периферии
(рис. 207, а). В продольных сечениях, проходящих через ось вала,
по закону парности касательных напряжений возникают такие й\е
по величине касательные напряжения (рис. 207, б). В элементе
материала, мысленно выделенном из наружных слоев стержня
сечениями, параллельными и перпендикулярными к образующим
(рис. 208), по граням будут действовать только касательные
напряжения. В сечениях, наклоненных к оси, будут также и нормальные
напряжения, как об этом подробно указывалось при рассмотрении
213
напряженного состояния элемента, находяш,егося в условиях
чистого сдвига. Наибольшие нормальные напряжения действуют
на главных площадках, которые, как известно, наклонены под
углом 45° к площадкам чистого сдвига [при кручении — под углом
45° к оси вала (рис. 208)].
Таким образом, при кручении круглых валов опасными могут
стать как касательные напряжения, возникающие в поперечных
г
Рис. 208
Рис. 209
И в продольных сечениях вала, так и нормальные напряжения,
возникающие в площадках под углом 45° к первым. В связи с этим
характер разрушения вала будет зависеть от способности материала
сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений.
Так, если материал плохо сопротивляется касательным
напряжениям (действию сдвига), то первые трещины разруш'ения возникают
по образующим в местах
действия наибольших касательных
напряжений. Например, в
случае кручения деревянных валов
с продольным расположением
волокон трещины разрушения
ориентированы вдоль
образующей (рис. 209), поскольку древесина плохо сопротивляется
действию касательных напряжений вдоль волокон. Если же материал
плохо сопротивляется растягивающим напряжениям, как
например чугун, то трещины разрушения при кручении пройдут по
линиям, нормальным к действию главных растягивающих
напряжений (рис. 210), т. е. по винтовым линиям, касательные к
которым образуют угол 45° с осью стержня. Стальные валы на практике
часто разрушаются по поперечному сечению, перпендикулярному к
оси вала. Этот вид разрушения обусловлен действием в поперечном
сечении касательных напряжений.
Рис. 210
§ 55. РАСЧЕТ ВАЛОВ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
Для проектирования можно рекомендовать следующий порядок
расчета валов на прочность и жесткость при кручении.
По схеме вала и действующим на него скручивающим моментам
строят эпюру крутящих моментов по отдельным участкам (§ 16).
Выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для
этого материала допускаемое напряжение [т]. Записывают условие
ги
прочности (9.12) для участка вала с максимальным значением
крутящего момента (согласно эпюре моментов).
Если вал достаточно длинный и по отдельным его участкам
действуют существенно разные по величине крутящие моменты, то его
следует конструировать ступенчатым. Диаметр вала каждой ступени
рассчитывают, исходя из той же формулы (9.12), но значения
крутящего момента при этом берут разные для разных участков в
соответствии с эпюрой крутящих моментов.
Учитывая, что для сплошного круглого вала й^'р = -^^, можно
из выражения (9.13) записать расчетную формулу для диаметра вала:
3 Л 16УИ„„
Определяя диаметр полого вала, из конструктивных соображений
задаются соотношением между размерами внутреннего и
наружного диаметров, т. е. коэффициентом а = —-, а затем, учитывая
"н
выражение (9.11), из выражения (9.13) находят величину наружного
диаметра вала:
3/- [Щ-
Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал
на жесткость по формуле (9.14). Допускаемый относительный угол
закручивания вала принимают следующим: при статической
нагрузке [в°] = 0,3° на каждый метр длины вала; при переменных
нагрузках [0°] = 0,25°, а при ударных нагрузках [в°] = 0,15°.
Учитывая, что формула (9.14) выражает угол закручивания в радианах,
приведенные допускаемые значения углов нужно перевести в
радианы, умножив их на -узо°"- ^'^^^ при проверке окажется, что условие
жесткости (9.14) удовлетворяется, то на этом обычно и заканчивают
расчет вала. В противном случае размеры вала нужно подобрать
из условия жесткости (9.15):
•^р^ О [в] •
Подставляя в эту формулу выражение полярного момента инерции
найдем, что для сплошного вала
для полого вала
НГ 32Л1„„
Иногда при расчете вала известна передаваемая им мощность
N в лошадиных силах и число оборотов п в минуту. В этом случае
215
скручивающие моменты в расчетных формулах можно выразить
непосредственно через мощность Л^ и число оборотов п, исходя из
формулы C.1):
М,, = 71 620-^ кгс ■ см. (9.20)
В случае, когда мощность К задана в киловаттах, скручивающие
моменты определяют по формуле C.2):
М„ = 97 360-^ кгс-см.
(9.21)
Пример 27. Найти мощность в лошадиных силах, передаваемую валом, если
диаметр сплошного вала й= 150 мм, число оборотов вала в минуту п = 120,
модуль сдвига О = 8,4 ■ 10* кгс/см^ н угол закручивания участка вала длиной
7,5 м равен 1/15 рад.
Из уравнения (9.7)
Л^кр =
С/рф
32
-ф
840 000-я- 15"
кгс • см = 371 500 кгс • см.
/ / 32 • 750 ■ 15
Тогда, применив формулу (9.20), определим передаваемую мощность:
М =
М^Л 371 500 • 120
'кр
УГ620" ~ 71 620
^ 622 л. с.
Пример 28. Из условия прочности и жесткости определить диаметр
сплошного вала (рис. 211) при следующих значениях передаваемых шкивами моментов:
Рис. 211
М^ = 60 кгс . м; Мд = 80 кгс ■ м; УИд = 200 кгс • м; Ж^ = 60 кгс • м. Допускае-'
мое напряжение [т] = 200 кгс/см^. Допускаемый угол закручивания [в] = -- 7м.
или[в]=-^^
Х10* кгс/см^
4 . 100
см~'. Модуль упругости стали при сдвиге С = 8 X
216
см 1Ж 7 см.
Строим эпюру крутящих моментов. Наибольший момент действует на участке
2—3.
Л^кр.макс = ^1 + Л^а = F0 + 80) кгс . м = 140 кгс • м.
Подберем диаметр вала сначала из условия прочности, для чего воспользуемся
формулой (9.16):
э^А 16Ж^р _ 3^ Ш-ИООТ
|/ п [т] ~ У п • 200
Теперь подберем диаметр вала из условия жесткости, используя формулу
(9.18):
4 /- з2М^р */ 32- 14 000 • 180 • 400 _
"^^У -ЩЩ-^У ёТш^^^З см^есм.
Из двух найденных значений диаметров следует принять больший (й = 8 см),
найденный из условия жесткости.
Теперь определим относительный угол закручивания вала по отдельным
участкам, пользуясь формулой (9.6). Подставляя в эту формулу значения М^^
для разных участков, найдем, что
е, = ^кр/ _ 6000 • 32 _ 5;
е ^КР// _ 14 000-32 5.
Л^кр/я 6000 ■ 32 5
^'Ч = ~~Ш~ = 8 ■ 10^ . я . 8* = ^'^^ ■ '^ •
Зная относительные углы закручивания ггс отдельным участкам, можно
построить эпюры в/ и углов ф по длине вала (рис. 211). Эпюра углов закручивания ф
построена при // = '//= 50 см и ^^^^ = 90 см. При этом одно из сечений принято
неподвижным (на рис. 211 это сечение /). Поскольку в предачах каждого участка
в = С0П81, то угол закручивания на каждом участке изменяется по линейному
закону и
Ф2-1 = в/'/ = 1,86 • т-^ ■ 50 рад = 0,93 ■ 10^^ рад;
Фз-1 = Ф2-1 + Фз-2 = @,93 • 10-^ + 2,18 • 10"^) рад = 3,10 ■ 10"^ рад;
Ф4-1 = Ф2-1 + Фз-2 + Ф4-3 = @,93 • 10"* + 2,18 ■ 10-^ — 1,67 . 10"^)
рад =
= 1,43- 10-^ рад.
Пример 29. Определить, иа сколько процентов увеличится наибольшее
напряжение вала при кручении, если в валу сделано аксиальное отверстие Л^ =
= 0,4 а„ (а = 0,4).
На основании формул (9.10) и (9.11), полагая й„ = й, получим напряжения
сплошного и полого валов:
^ __16Л^_
16Л!
кр
•-иакс пазA—а«)
Искомая разница в напряжениях
1 — Т 16А!кп
Дт = -12 Ъ- . 100о/„ = ^
' ,1 п(р
1-«* ]-1бЖ-^^^ =
=-г?&^«о-2-б%-
'кр
347
Пример 30 Заменить сплошной вал диаметра й = 300 мм полым
равнопрочным валом с наружным диаметром й^, = 350 мм. Найти внутренний диаметр
полого вала йв н сравнить веса этих валов
Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равны:
16Л!„
16М,
кр
тР
Отсюда определим коэффициент а:
ЧA-а«)
а =
Внутренний диаметр полого вала
йв -= ай„ = 0,78 ■ 350 = 273 мм.
Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:
п{а1-л1).4 4-
3502 — 2732
4лй2
300=
= 0,534.
Из примеров 29, 30 видно, что изготовление пустотелых валов,
т. е. валов, у которых малонагруженная внутренняя часть
удаляется, является весьма эффективным средством снижения затраты
материала, а следовательно, и облегчения веса валов. При этом
наибольшие напряжения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются
от максимальных напряжений в валу сплошного сечения при том же
^^
^^
М
;
а
/
/%
(/г.
а
^ 6
Рис. 212
наружном диаметре. Так, в примере 29
-тт за счет сверления при а =
Йн
0,4,
/Ч,
дающем облегчение вала на 16%,
максимальные напряжения в наружных
волокнах полого вала возросли всего на 2,6%.
Во втором случае равнопрочный
пустотелый вал, но с несколько большим
наружным диаметром C50 мм) по
сравнению со сплошным валом C00 мм),
оказался легче сплошного на 53,4%. Эти
примеры наглядно свидетельствуют о рациональности применения
пустотелых валов, что широко используется в некоторых областях
современного машиностроения, в частности в моторостроении.
В качестве примера статически неопределимого стержня,
подверженного кручению, рассмотрим круглый стержень,
защемленный обоими концами и нагруженный скручивающим моментом М^
в некотором сечении С (рис. 212, а). Построим эпюру крутящих
моментов и вычислим диаметр стержня.
При такой нагрузке в защемлениях возникают реактивные
моменты Ма и Мв в плоскостях, перпендикулярных к оси х стержня.
Статическая сторона задачи. Из условия
равновесия стержня
ЪМ^^ МаЛ-Мв — М^ = ^
видим, что задача один раз статически неопределима.
(9.22)
218
Геометрическая сторона задачи. Так как оба
конца защемлены, то угол поворота сечения В относительно А равен
нулю:
(рв-А = <Рв-с + Ч>с~А = 0. (9.23)
Физическая сторона задачи. Используя
формулу (9.7), запишем выражение для угла закручивания сечения В
относительно А:
МвЬ
*Р«-^ = —оу7'
"Р--^ оу^— • ^^■'^^>
Внося формулы (9.24) в выражение (9.23), получим
ч'^-^ = - -077 + —Ч— " ^ ^ ^
Отсюда с учетом уравнения (9.22) найдем, что
Мв--^\ (9.26)
Ма = -^. (9.27)
Эпюры крутящих моментов показаны на рис. 212, б.
Если а> Ь, то ЛТкр.макс = Л4в и на основании формулы (9.16)
3
а^у. '6аЖ„
(а-\-Ь)л [т]
§ 56. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
В инженерной практике довольно часто кручению подвергаются
стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное,
эллиптическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоских
сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют).
Точные расчеты стержней некруглого сечения можно получить
методами теории упругости. Однако поскольку в настоящем курсе нет
возможности их изложить, приведем здесь только некоторые
окончательные результаты. Отметим при этом, что в стержнях
произвольного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные
напряжения при кручении направлены по касательной к контуру.
Наибольшие касательные напряжения, погонные и полные углы
закручивания по аналогии с кручением стержней круглого сечения
принято определять по формулам
''^макс ■—
1Гк
(9.28)
219
в =
м.
кр
о/.
(9.29)
(9.30)
Здесь /^ и и^!^ — некоторые геометрические характеристики,
которые условно называют моментом инерции при кручении и
моментом сопротивления при кручении, см* и см^ соответственно.
Наиболее часто встречаются стержни прямоугольного сечения.
В этом случае распределение касательных напряжений имеет вид,
показанный на рис. 213. Наибольшие
напряжения возникают у поверхности посредине
длинных сторон прямоугольного сечения
(в точках С и О). Определяются они по
формуле (9.28), где '
^^^=а/г6^ (9.31)
Здесь Н — длинная сторона прямоугольного
Рис. Ш поперечного сечения;
Ь — короткая его сторона.
Напряжения, возникающие у поверхности сечения посредине
коротких сторон (в точках А и В), меньше. Их можно выразить через
Тмакс следующим образомг
Т = уТ„акс- (9.32)
Для определения относительного угла закручивания
прямоугольного сечения в формуле (9.29) принимают
(9.33)
Коэффициенты а, у и Р, зависящие от отношения -г-, даны в табл. 14.
Там же приведены данные по кручению некоторых других
некруглых сечений.
Запишем условия прочности и жесткости для прямоугольного
сечения:
(9.34)
Тмакс -
0 ==
Л^кр
- < [т];
<1в1.
(9.35)
При кручении стержней, имеющих форму равнобедренной
трапеции, приближенное значение наибольших касательных
напряжений и угла закручивания можно получить, рассчитывая стержень
с сечением эквивалентного прямоугольника. Последний строится
следующим образом (рис. 214): из центра тяжести С трапеции
опускают перпендикуляры СВ и СО на боковые стороны и затем прово-
220
дят Еертнкалн через точки В м О. Полученный прямоугольник
аЬсй и будет тем эквивалентным сечением рассматриваемого
трапецеидального стержня, к которому должны быть применены
формулы (9.28) — (9.33).
При кручении стержней эллиптического поперечного сечения
максимальные касательные напряжения возникают в крайних
точках, лежащих на малых полуосях (рис. 215). В этом случае
V^.
16
где Ь и Н — соответственно размеры малой и большой осей эллипса.
Наибольшие напряжения в наружных точках сечения на большой
полуоси
Рис. 215
Л
где т = -7-.
ь
Условный момент инерции
при кручении для эллипса
/, = ^^(/г^+П (9.36)
64
Значения /„ и }^^ для некоторых некруглых поперечных сечений
приведены в табл. 14.
Если скручивается стержень сложного незамкнутого сечения,
которое можно разбить на части с ^^^с и }^ш, то для него
/,= /„,+/к2 + Лз+ ••• +/кя-2/к«, (9.37)
где / = 1; 2; 3; ...; п — номера простейших частей, на которые
разбито сечение.
Так как угол закручивания для всего сечения и всех его частей
один и тот же:
Л1„
М,
кр1
м,
кря
с^„
ш.
к1
Ш.,
ТО крутящий момент распределяется между отдельньши частями
сечения пропорционально их жесткостям:
Мнр1 = Мкр -^
М
кр2 ■
м,
'к2
Кр г
«к
кр/г — ^'^'кр 7
•'к
Соответственно наибольшее касательное напряжение в каждой части
(/) сечения
Л1„
М.
ькх —
кр
К'
»г„
Наибольшего значения напряжение т достигает для того элемента,
у которого пя— максимально:
м^..
м.
кр
^к
»г,
к1
м.
кр
1Г„
(9.38)
221
Таблица 14
Форма сечеиия
Момент инерции при
крученин ^^ см*
Момент сопротивления
при крученин
Точки с наибольшими
касательными
напряжениями
М,
"^макс —'
кр
Ю'.
Примечание
9
V//
///
ь
///
^
^„ =
^У-к
■аШ^
Посредине
длинных сторон
"кр
посредине
коротких сторон
''' ^^ 'У''^макс'
в углах
напряжения равны нулю
к
Ь
1
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
4,0
6,0
8,0
10,0
оо
а
0,208
0,231
0,239
0,246
0,256
0,267
0,282
0,299
0,307
0,313
0,333
Р
0,141
0,196
0,2L
0,229
0,249
0,263
0,281
0,299
0,307
0,313
0,333
1
0,859
0,795
0,753
0,745
0,743
0,743
0,743
0,743
\ '^
Щщщ
Н\ + ЬЬ^ — 6^ ■
Посредине длин-
нон стороны
т,=
157,
'кр
к1
посредине
короткой стороны
М,
кр
1Г.
к2
Во внутренних углах имеет
место высокая концентрация
напряжений, достигающих предела
текучести материала.
При наличии закруглений
радиуса г коэффициент концентрации
1.74
3 Аб„
V
Л
^р
л
ш
уА
*о
^.=
лАб
~64~
(Л2 + 62)
47 =
16
В наружных точках
малых полуосей
М,
кр
«''к
-^ = т>1
в наружных точках
больших полуосей
, ■ Ь,
пт?ь\ A — а*)
16 (т2 + 1)
ХA-
яЬ,
16
-а^)т
X
В конце
полуоси
М
т = -
кр
'макс ^^7 '
в конце большой
полуоси
т.
1
Т, =
'макс
т
Ьх
т>\
= а< 1
^-^(^.4-0
1^и=-^Х
"" @.3 4+ 0.7)
Л1
кр
и7„
А>„,5
^'к = а
16
«7к=Р
Сз
По дну канавки
М.
кр
и^^
й/С
0,00
0,05
0,10
0,20
а
1,57
0,80
0,81
0,82
Р
1,57
1,56
1,56
1,46
й1В
0,40
0,60
0,80
1,00
а
0,76
0,66
0,52
0,38
1,22
0,92
0,63
0,38
где
" к
'к(
К'^
(9.39)
Пример 31. Стальной стержень прямоугольного сечения передает крутящий
момент Мк = 100 кгс • м. Найти размеры сечения стержня, если известно, что
допускаемое напряжение на кручение [т] = 400 кгс/см?, а отношение сторон —=
Ь
= 2.5.
Из условия прочности
АГ„
«7„
«[т]
находим момент сопротивления кручению стержня:
И^к=-
М,
кр
1т]
10 000
400
см^ = 25 см',
Н
а, зная соотношение сторон сечения -г-= 2,5 и беря из табл. 14 соответст'вующее
значение а = 0,256, размеры сечения найдем из формулы (9.31).
и7к = аНЬ^ = 2,5 • обз,
откуда
3 / IV/ 3
СМ = 3,38 см, Н = 2,ЪЬ =
^=у-5^=у^
25
5 • 0,256
= 2,5-3,38 см =8,45 см.
Пример 32. Найти наибольшее касательное напряжение и угол закручивания
для стального стержня длиной 5 м, имеющего поперечное сечение, показанное
на рис. 216, а. Стержень скручивается моментами М^ = 5000 кгс • см,
приложенными к обоим его концам.
Для вычисления напряжений и деформаций в
стержне при кручении профиль его необходимо разбить на
отдельные элементы (рис. 216, б). Наибольшее
напряжение вычисляют по формуле (9.28):
М „
<
45
0_
го
со
95
^^
,
\
\
г. п
^
■'ч-
где
а
\к^.
Рис. 216
Г.,
Вычислим геометрические характеристики, входящие в последние формулы:
■'к = ^^^^ + ■'кг + ■'кЗ-
Для части 1 сечения стержня Н^ = 45 мм; Й1 = 35 мм; ——- = 1,285; ^^^ =
^ф\. В табл. 14 при -~- = 1,285 находим, что а, = 0,221; Рг = 0,172. Тогда
\^7^^ = «А*! = 0,221 • 4,5 • 3,52 (.„з = 12,2 см';
224
-'к! = Мх*! = 0.'72 . 4.5 • 3.53 см* = 33,2 см«;
■'к! 33,2
«^к! 12,2
см = 2,72 см.
и ол
Для части 2 сечения стержня й. = 80 мм; Ь^ = 10 мм; —— = = 8.
Аналогичным путем найдем, что
1Г^2 = «АЬ! = 0.307 • 8 • Р смЗ = 2,5 см^;
/„2 = Мг^! = 0,307 • 8 - 1» см* = 2,5 см*;
■'кг ,
■ 1 см.
Н 95
Для части 3 сечения стержня Лд = 95 мм; Ьд = 20 мм; —^ = = 4,75.
Ьд 20
Пос1упая аналогично предыдущему, найдем, что
1Г^з = «з'^з^з = 0.288 • 9,5 • 2^ см^ = 10.9 см»;
У^з = МзЬз = 0.288 • 9,5 • 2' см* = 21.9 см* ;
■'кЗ 21,9
Таким образом.
4 = ^'к, + ■'кг + ■'кЗ = 33,2 + 2,5 + 21,9 см* = 57.6 см«.
Наибольшее отношение .—■ соответствует части 1 сечения, поэтому наи-
большее касательное напряжение т будет посредине длинных ее сторон. Находим
•^макс = ~1^ = -2Г2~ ^^'^^'^^'^ = 236 кгс/см».
Угол закручивания стержня
^кр^ ^ 5000 ■ 500
0^^ ~ 8 ■ 10* ■ 57,6
рад = 0,0542 рад.
§ 57. КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Переходя к рассмотрению кручения тонкостенных стержней,
заметим, что методы их расчета зависят от того, открытый или
замкнутый профиль имеет их поперечное сечение.
Замкнутые профили. Рассматривая кручение замкнутых
тонкостенных профилей (рис. 217), будем считать толщину стенки стержня
настолько малой, что касательные напряжения по ней можно
принять одинаковыми, равными напряжениям посредине толщины
стенки и направленными по касательной к средней линии стенки.
8 8—2770 221
Из тонкостенного замкнутого стержня вырежем элемент (рис. 218)
двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми Aх,
и двумя произвольными меридиональными сечениями. Составляя
сумму проекций на ось х стержня всех сил, приложенных к элементу,
находим
тб = Т161 = СОП51. (9.40)
Момент силы тбЙ5, воспринимаемый элементом профиля длиной
Й8 (рис. 217), относительно произвольной точки О
тЬгёв.
Учитывая, что Ыз
представляет собой удвоенную
площадь элементарного
треугольника (на рис. 217
заштрихован), т. е.
гйз = 2^@,
и поэтому
аМ^р = 2тМ(а, (9.41)
интегрируя последнее
выражение по всему контуру с учетом условия (9.40), получим
величину крутящего момента, действующего в сечении:
М^р == 2тб{0, (9.42)
гдеи—площадь, охватываема я средней линией тонкостенного сечения.
Из формулы (9.42) получим, что
Рис. 217
Рис. 218
М
кр
2(йб
(9.43)
Формула (9.43) впервые получена Бредтом.
Если толщина профиля по контуру неодинакова, то
максимальное напряжение в тонкостенном профиле определяется формулой
(9.44)
где бмин — минимальная толщина стенки профиля.
Чтобы определить относительный угол закручивания
тонкостенного стержня, рассмотрим потенциальную энергию деформации,
накопленную в элементарном объеме тонкостенного стержня с
размерами ёз, их, б. Учитывая, что при кручении имеет место чистый
сдвиг, на основании формулы (8.12) имеем
йи = ~-Мхйв.
226
Полную энергию деформации однородного стержня длиной /
получим, проинтегрировав последнее выражение по длине / и по
замкнутому контуру:
О
Подставляя выражение тб из формулы (9.42) в правую часть
последней формулы, найдем
$■
20B0J у 6 •
Выражая эту же энергию через работу внешнего скручивающего
момента Л1к = Мкр на искомом угле закручивания, т. е.
II -А- ^кФ ^крФ
И приравнивая правые части последних формул, найдем, что
.ф.
^~ 400J ^ 6
Относительный угол закручивания
Эту формулу можно представить в принятых выше обозначениях
для кручения:
е - ^к
где
40J
Л=-
При постоянной по длине контура 8 толщине
^кр«
400J6
(9.46)
Рассматривая, например, кручение тонкостенной трубы (рис. 219),
при б = С0П81 будем иметь
"^'' $-у- =
(д _ ^ иа- .11 -- ^^^
По формулам (9.43) и (9.46) найдем
т^Зр_. ^-_3^
Чят ' ~ 2л^?збО •
Открытые профили. Определяя при кручении напряжения и
деформации в тонкостенных стержнях открытого профиля типа
227
швеллера, двутавра (рис.220) или уголка, можно воспользоваться
теорией расчета на кручение стержней прямоугольного сечения. В этом
случае незамкнутый профиль разбиваем на прямоугольные элементы,
толщина которых значительно меньше их длины. Как видно из
табл. 14, для таких прямоугольных элементов [при — >• 10]
коэффициенты аир равны —. Тогда для составного профиля на
основании выражений (9.33) и (9.37)
Л = ^4-1;ЬХ (9.47)
Здесь введен коэффициент ц, учитывающий
схематизацию реального профиля:
для уголкового сечения ц = 1,00;
» двутаврового » Г1=1,20;
» таврового » ц—1,15;
» швеллерного » ц=1,12.
В тонкостенных открытых профилях
длину элемента обычно принято обозначать
через 8, а толщину стенок — через 6. Тогда,
заменяя в формуле (9.47) Нна з, а Ь на б,
получим
Рис. 219
4 = 'п-о-11б^«г
(9.48)
Угол закручивания определится по форму-
р*^^^ ле (9.30), а наибольшее касательное напряже-
Рис. МО ние, которое возникает на участке, имеющем
наибольшую толщину стенки бмакс.— по
формуле (9.28). При »том длт длинных прямоугольников
^к^ \
/макс
Тогда
тумаке —
"•кр макс
(9.49)
Рассмотрим примеры расчета
тонкостенных стержней открытого профиля.
Пример 33. Определим максимальное
напряжение и угол закручивания стержня длиной
900 мм (рис. 221) с поперечным сечением в виде
равнобокого уголка 50 X 50 X 5, который
подвергается действию скручивающего момента М^ =
■= 500 кгс • см. Модуль сдвига материала
стержня С =- 8 • 106 кгс/см8.
228
Рис. 221
||-М§г>
Максимальные касательные напряжения возникают посредине полок (концен*
трация напряжения во входящем угле не учитывается). Эти напряжения определим
по формуле (9.49):
"'кр"макс
макс 7 •
« к
где
г=2
■/к = *14- 1] 6;*% = 1 . ^ [E • 0,5=) + D.5 . 0,5-^)] см* = 0.4 см*.
г=1
Л^кр^макс 500 • 0,5
кгс/см* = 625 КГС/СМ-.
Угол закручивания стержня определится по формуле (9.30):
500-90
Ф =
^кр<
8 . 105 . 0,4
= 0,140625 рад = 8°3',
Пример 34. Определить напряжение и погонный угол за-
кру-швания стальной трубы, разрезанной вдоль образующей
(рис. 222). Наружный диаметр трубы й^^ = 90 мм, внутренний
йв = 85 мм. Труба находится под действием скручивающего
момента АГк = 500 кгс • см. Модуль сдвига материала О = 8 X
X 10^ кгс/см^.
Сравнить полученные напряжения и угол закручивания с
напряжением и углом закручивания сплошной трубы.
Рис. 222
Касательные напряжения в разрезанной трубе определим по формуле (9.49):
Л^крб
где
■/к
4= 5б».
3
Здесь X — развернутая длина средней линии сечения трубы.
Тогда
1 , 1
/„ = — «О» = -д- я • 8,75 • 0,25» см* = 0,143 см*;
Л^крб
500 • 0,25
кгс/см* = 875 кгс/см*.
Р ^^ 0,143
Напряжение в сплошной трубе определится по формуле (9.43):
М.
кр
500- 4
СП 20N 2я • 8.752 . 0,25
Погонный угол закручивания разрезанной трубы
кгс/см^ = 16,63 кгс/см^.
М.
кр
500
^Р "" "ОТ^Г "" 8- 10^""о,143 Р^Л/*=" = 0,00437 рад/см.
Погонный угол закручивания неразрезанной трубы найдем из формулы (9.48):
©„„ =
Л^кр^
500 • л • 8,75
<=п~ 40@^6
4 • 8 • 10* I 8,754 . 0,25
■ рад/см = 0.00000475 рад/см.
Таким образом, в сплошной трубе при кручении напряжения меньше в 52,5
раза, а угол закручивания — в 920 раз, чем в трубе, разрезанной вдоль
образующей.
229
§ 58. РАСЧЕТ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
Винтовые пружины — наиболее распространенный в технике
тип пружин. Чаще всего их изготовляют из стальных стержней
(проволоки) круглого поперечного сечения. Они подвергаются
действию растягивающих или сжимающих сил.
Точный расчет на прочность винтовых пружин достаточно
сложен, так как проволока винтовой пружины может испьпывать
одновременно кручение, сдвиг и изгиб. Однако при малых углах наклона
витков влиянием изгиба можно пренебречь.
I Пусть цилиндрическая винтовая пружина со
средним диаметром Ь = 2/? (рис. 223), имеющая п витков
и диаметр й поперечного сечения проволоки (стержня)
пружины, подвергается растяжению центрально
приложенной силой Р. Чтобы установить расчетные фор-
Рис. 223
Рис. 224
Рис. 225
мулы для напряжений в пружине, разрежем ее на две части по
любому витку плоскостью, проходящей через ось цилиндра,
образованного витками. Применяя метод сечений (удаляя мьгсленно нижнюю
часть пружины), рассмотрим условие равновесия оставшейся
(верхней) ее части (рис. 224). Очевидно, влияние отброшенной части
пружины на рассматриваемую верхнюю может быть учтено приложением
к месту разреза витка поперечной силы
и крутящего момента
М,
кр
РК.
Считая, что приближенно угол наклона витка равен нулю, можно
остальными силовыми факторами (продольной силой, изгибающим
моментом) пренебречь.
Таким образом, в рассматриваемом сечении пружины действуют
две группы касательных напряжений:
1) напряжения от среза, равномерно распределенные по сечению:
2) напряжения от кручения, максимальное значение которых
АГ,
Тмякс ■
кр
1Го
16Р/?
(9.51)
2Э0
Распределение напряжений т' от среза показано на рис. 225, а,
а напряжений т" от кручения — на рис. 225, б.
Как видно из картины распределения напряжений, в точке А
сечения витка на внутреннем радиусе пружины касательные
напряжения т' от действия поперечной силы и максимальные напряжения
т" от крутящего момента по направлению совпадают. Поэтому
максимальные напряжения в пружине
_ , , " _ АР 16РЯ
Тмакс — Т "г Тумаке — ^^ ^2 "г ^^^з >
или
Тмакс = —^^^3- A + -^) ■ (9.52)
Во многих случаях при расчете пружин большого среднего
радиуса Я, изготовленных из тонкой проволоки, при -^ ч^ 1
напряжения от кручения Тмакс значитсльно выше, чем напряжения среза
т', и последние можно не учитывать. Тогда максимальные
напряжения в винтовой пружине с достаточной степенью точности
определяются по формуле
_ 16Р/?
1иР
(9.53)
Заметим, однако, что при расчете мош,ных винтовых рессор,
таких, например, как применяемые в железнодорожном подвижном
составе, следует пользоваться формулой (9.52), поскольку
напряжения от среза здесь суихественны из-за относительно большого
значения й/Я- Опыт эксплуатации пружин показывает, что первые тре-
ш,ины при разрушении, как правило, появляются с внутренней
стороны витка, где действуют наибольшие суммарные гасательные
напряжения.
Выводя формулу (9.52), мы не учитывали, что на внутренней
и наружной поверхностях витков радиусы кривизны различны.
В некоторых случаях, учитывая это, вместо формулы (9.52) для
определения наибольших касательных напряжений используют
следующую, более точную формулу:
16РЦ 4т —I
, 0,615 ^
^^■^•^ псР \4т-
где
2/?
Нетрудно убедиться, что поправочный коэффициент в скобках
увеличивается с уменьшением т: например, при т = 10 он равен
1,14; а при т = 4 этот коэффициент составляет ^ 1,4.
Определяя перемещение 'к пружины (растяжение или осадку),
обычно принимают во внимание только кручение витков.
Рассмотрим деформацию кручения мысленно выделенного из пружины
231
элементарного отрезка Й5 ее витка (рис. 226), временно
предположив остальную часть пружины абсолютно жесткой. В сечениях
А м В элемента проведем радиусы витка в плоскости,
перпендикулярной к оси пружины, продлив их до пересечения с осью пружины.
Полученные при этом отрезки АС и ВС будут радиусами пружины.
По этим радиусам витка направим абсолютно жесткие стержни,
прикрепленные к сечениям А м В витка Силы Р, растягивающие
пружину по оси, можно считать приложенными к концам С и С
стержней АС м ВС.
В описанных условиях элемент пружины испытывает
деформацию кручения. Если считать сечение Е неподвижным, то сечение В
повернется относительно А на угол л?ф,
который определяется по формуле
где
^ц> =
Мкр = РЯ;
с^„
•^Р='
32
Вследствие поворота сечения «жест-
Рис 126 кий» радиус ВС, повернутый на тот же
угол ёц), «перенесет» точку приложения
силы Р в новое положение С". Отрезок С С" характеризует часть
деформации растяжения витой пружины, определяемую
закручиванием рассматриваемого участка кз витка, т. е.
СС" ^ак^ Рйср.
Так как в действительности скручиваются все витки пружины,
имеющие общую длину в, то полное перемещение одного конца
пружины относительно второго определяется формулой
(«) E) (8)
Учитывая, что приближенно длина стержня пологой
цилиндрической пружины с числом витков п
\ Aв = 2пЯп,
E)
деформацию пружины определим по формуле
''-^2я7?п.
о^^
или, подставляя М
па*
кр
^ Д IX и „р -
, 64Р/?»п
^= са*
' 32 ■
&РВЧ
" Си» •
(9.54)
233
Формулы (9.53) и (9.54) позволяют проверить прочность и
определить удлинение (или осадку) цилиндрической винтовой пружины.
Допускаемые напряжения на срез при расчете стальных пружин
выбирают в зависимости от диаметра проволоки пружины; обычно
для закаленной пружинной стали
[т] = 50 кгс/мм^ при ^ ~6 мм;
[т] = 40 кгс/мм^ при л? = 10 мм;
[т] = 35 кгс/мм^ при й = 12 мм.
Для хромоникелевых сталей при растяжении пружин с диаметром
проволоки 12—16 мм принимают [т] = 70 кгс/мм^. Для фосфористой
бронзы с модулем упругости при сдвиге С = 4,4 • 10^ кгс/см^ при
(^ <; 16 мм берут [т] = 13 кгс/мм^. Такие допускаемые напряжения
могут быть приняты при постоянных нагрузках.
Часто, рассчитывая амортизационные пружины (пружины для
смягчения резких толчков), за основу берут величину энергии Т,
которую должна поглощать пружина (рессора) во время
эксплуатации. При этом исходят из того, что между перемещением К пружины
и силой Р, действующей на нее, в пределах упругости существует
прямолинейная зависимость. Поэтому потенциальную энергию
деформации пружины можно выразить формулой
/
и=4-рк ^''''''''
2 Сй«
С другой стороны, из формулы (9.53) через напряжения можно
выразить крутящий момент:
Мкр = РР
"макс
Тогда потенциальную энергию, накапливаемую в пружине, также
можно выразить через напряжения:
,, 2лЯп ясР 2
Но так как 2лРп — длина стержня (проволоки) пружины, а —^
площадь его сечения, то
2пРп -^ = V
4
Представляет собой объем материала пружины. Учитывая это,
потенциальную энергию пружины можем представить формулой
а^-^у. (9.55)
Таким образом, задаваясь предельной величиной напряжения
Тмакс = М, можно ВЫЧИСЛИТЬ объем пружины, необходимый для
поглощения заданной величины энергии Т, с тем чтобы не было
га
превышения допускаемого напряжения:
откуда
Т = 11 =-11!!-^
^-^' ■ (9.56)
Конструируя пружину по найденному объему, следует выбрать
ее размеры {Я, им п) с таким расчетом, чтобы при проверке осадки
пружины зазоры между витками не закрывались.
В заключение отметим, что кроме рассмотренных цилиндриче-'
ских пружин постоянного сечения с пологим наклоном витка
существует много других конструкций витых пружин: конические,
призматические и различные фасонные (параболические, двойные
конические, бочкообразные и др.). При этом шаг пружины может быть
как постоянным, так и переменным, а сечение витка не только
круглой, но и прямоугольной формы. Методы расчета таких пружин
достаточно сложны и рассматриваются в специальной литературе.
Пример 35. Предохранительный клапан диаметром й^ = 75 мм должен
открываться при давлении пара р = 6 кгс/см^, иметь возможность подниматься на
высоту Яд = 20 мм. Диаметр проволоки стальной пружины й= 12 мм, средний
диаметр внтка пружины 2/? = 60 мм. При отсутствии нагрузки шаг витков пружины
<= 17 мм; 0= 8 . 10» кгс/см^.
Определить необходимое число витков пружины п с тем, чтобы при
максимальном поднятии клапана еще оставался запас на дальнейшее сжатие ие менее
Я.2 = 15 мм. Найти также начальное сжатие пружины Х^ и напряжение т при
полном открытии клапана.
Сила, поднимающая клапан,
^ п- 7,5=
Р = р —-— = 6 • кгс = 265 кгс.
4 4
При этой силе пружина, согласно формуле (9.54), имеет следующую
первоначальную осадку:
ЫРЯ^п 64 . 265 • З^п
^^ = -~ШГ~ = 8 .10^-1,2^ = "'^^^^ ™-
Полная осадка пружины в нагруженном состоянии складывается из к^,
требуемого подъема \ и запаса "к^- Эта сумма должна равняться разности шага
пружины и диаметра проволоки пружины, умноженной на число витков, т. е.
КЛ-ко-\-к2 = пA — а),
или
0,276п + 2+1,5 = пA,7—1,2),
откуда
3,5
п = ——-— г=* 16 витков.
0,224
Предварительная осадка пружины
Я,1 = 0,276п = 0,276 • 16 см = 4,4 см.
Наибольшее напряжение в пружине при полном открытии клапана найдем,
связав выражения для Я, и т„а,,^,. Из формулы (9.54)
ЫР}п '
Х34
Подставляя это значение Р в формулу (9.53) для т^д^,,, найдем напряжение при
полном открытии клапана:
ЫО 6,4.1,2.8.10В
макс 4:Р,^пП
4 • 32 . 16 . я
кгс/см2;=;3390 кгс/см^.
Пример 36. Винтовая пружина изготовлена из проволоки диаметра й = 4 мм.
Внутренний диаметр пружины С^ = 46 мм. В напряженном состоянии зазор
в свету между витками <х "^ ' мм! 0=8. 10^ кгс/см^. Определить, какая
потребуется сила для сжатия пружины, чтобы зазор исчез.
Средний диаметр пружины
В = 2/? = С^ + «^ = D6 + 4) мм = 50 мм.
Зазор закроется, если осадка одного витка будет равна ему,
Я, = ^
64Р/?з
Ой«
откуда
Р = -
8 • 10^ • 0,4* • 0,1
кгс = 2,05 кгс.
64 • 2,53
Пример 37. Две пружины 1 к 2 (рис. 227), свитые из про- '*'^'. ^^'
волоки одинакового диаметра й = 10 мм и имеющие одинаковое
число витков п == 10, сжимаются штоком клапана. Высота наружной пружины 1
в свободном состоянии на а = 60 мм больше, чем внутренней пружины 2. Найти
усилие, осадку и напряжение каждой пружины, если радиус осевой линии витка
наружной пружины Я.^ = 50 мм, внутренней Я^ = 30 мм, усилие Р = 400 кгс и
модуль упругости при сдвиге 0=8. 10^ кгс/см^. \
Обозначим через Р^ и Р^ усилия, приходящиеся на каждую из пружин. Из
уравнения равновесия клапана следует, что
2Х = Р^ + ^^2 — ^^ = 0. (9.57)
Таким образом, задача один раз статически неопределима.
Второе уравнение, необходимое для определения искомых неизвестных Р,
и Рз, получим из условия совместности деформаций:
\ = 'к^ + а, (9.58)
где Я1 и Я^ — величины осадки соответственно наружной н внутренней пружин
под действием сил Р^ и Р^ соответственно:
Я,=
А» =
64Р1/^^1П
64Р2/?|п
Ой^
(9.59)
(9.60)
Подставив выражения для ^ и Я^ в формулу (9.58), будем иметь
ир^Щп &АР^Щп
Ой*
Ой*
+ й*
или в числовом выражении:
64Р1 • 5« • 10 ^ 64Р., • 3» • 10
8 • 10^ • Н ~ 8 • 10В . 1*
откуда
125Р1 — 27Р2 = 7500.
2?5
Решая это уравнение совместно с уравнением (9.57), которое следует переписать
в виде
Р1+Рг = 400,
найдем
Р^ = 120 кгс; Рг = 280 кгс.
Определим осадку пружин. Для наружной пружины, согласно равенству
(9.59),
64^1/^/1 64 120 • 125 • 10
'^^=—Ш*—= 8 ■ 10^ ■ 1* см = 12см.
Для внутренней пружины
64^2^2" 64 • 280 . 27 . 10
^^^~ШГ-= 8 . Ю" . И см = 6см.
Касательные напряжения, возникающие в витках наружной и внутренней
пружин, согласно формуле (9.52), соответственно
16Рг/?1 /, , а \ 16-120.5 /, , 1 \ , , _,„ , ,
16^2^2 /, , 'М 16 280-3 /, , 1 \ , , ^^„. , ,
-"^^--Г-^ +^/== 3,14-1^ ('+ТТТ) «■■=/^' = 4630 кгс/см^
§ 59. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
Концентрация напряжений, или местное увеличение напряжений,
вызывается резким изменением очертаний детали (наличием
надреза, отверстия, резьбы и т. п.).
Величина наибольшего напряжения при кручении в зоне
концентрации (пик напряжения) выражается как произведение
номинального напряжения Тн на коэффициент концентрации ах'.
Т„акс = ахТ„. (9.61)
Здесь Тн вычисляется по формулам сопротивления материалов,
в частности, для вала круглого сечения
т„ = ^г, (9.62)
ах представляет собой отношение максимального напряжения в
зоне концентрации, вычисленного в предположении совершенной
упругости материала, к номинальному напряжению, т. е.
ах =
Как указывалось ранее, он называется теоретическим
коэффициентом концентрации и определяется методами теории
упругости или экспериментально (поляризационно-оптическим методом,
тензометрированием, по методу аналогий).
Заметим, что коэффициент концентрации напряжений для
выточки (или надреза) при данной ее глубине и размерах детали зависит
главным образом от кривизны поверхности по дну выточки.
236 •
Для иллюстрации влияния формы выточки на концентрацию
напряжений рассмотрим случай паза (шпоночной канавки) с резко
очерченными углами (рис. 228). Опыты, проведенные с полым
валом наружного диаметра а^ = 254 мм и внутреннего й^ = 147 мм,
с глубиной паза Н = 25,4 мм и шириной Ь — 63,5 мм при
различных радиусах р выкружки в углах, показали, что наибольшие
напряжения в закругленных углах равны наибольшим напряжениям
в таком же валу без паза, умноженным на
коэффициент концентрации ах, значения которого
приведены в табл. 15.
Как видно из табл. 15, концентрация
напряжений может быть значительно снижена увеличением
радиуса закругления в углах.
Рассмотрим второй типичный пример
концентрации напряжений при кручении валов переменно-
10 сечения, с которыми часто приходится
встречаться в машиностроительной практике. Если диаметр
нала по его длине меняется пос1епенно, то
формулы, полученные для определения напряжений
в цилиндрических валах, позволяют оценить максимальные
напряжения с достаточной степенью точности. Если же изменение
диаметра происходит резко — так, как показано на рис. 229, то
в точках т в начале закругления имеет место высокая
концентрация напряжений. При этом величина наибольшего напряже-
ьия зависит от отношений р : л? и С : л?, где р — радиус
закругления, а О м й — диаметры сопрягаемых цилиндрических
частей вала. Как показывают опыты, основанные на применении
электроаналогии, картина распределения касательных напряжений
Рис. 228
Таблица 15
Р мм
«т
2,54
5,4
5.08
3.4
7,62
2,7
10.16
2,3
12.70
2.1
15.24
2,0
17,78
1.9
при кручении в зоне концентрапии, т. е. в месте сопряжения двух
диаметров, имеет примерно такой вид, как показано на рис. 230
для случая -^ = 1,2 и -^ = 0,1. Зависимости ах = / [-у-] при
разных значениях отношения О : й приведены на рис. 231.
Из анализа графиков рис. 231 видно, что в некоторых случаях
при определенном соотношении диаметров О : д. и малых радиусах
закругления р коэффициенты концентрации напряжений могут быть
больше трех. Для пластичных материалов при статических
нагрузках концентрация напряжений не представляет опасности,
поскольку за счет текучести в зоне концентрации происходит пере-
237
распределение (выравнивание) напряжений. В валах же,
изготовленных из" хрупких однородных материалов, например из закаленной
стали, за счет концентрации напряжений в местах закругления двух
смежных диаметров даже в случае статических нагрузок возможно
появление трещин, которые могут привести к разрушению вала.
3.2
2,8
2.4
2.0
1.6
1.2
Ов
Л||
1
^^
N
В^
ч
1,0
2,00-
Л50
9
лзз
,1
,2С
Рис. 230
О 0,04 0,0е 0,12 0,16 0,20 2р
а
Рис. 231
Рис. 232
Поэтому, конструируя детали из хрупких материалов, необходимо
учитывать концентрацию напряжений даже при статическом
приложении нагрузки. Что же касается влияния концентрации
напряжений при повторнопеременных кагрузках, то оно, как будет
показано в гл. 21, имеет существеннее значение даже для пластичных
материалов.
В заключение рассмотрим случай
концентрации напряжений вокруг малого
радиального отверстия в полом тонкостенном
валу при кручении (рис. 232). Двумя
парами взаимно перпендикулярных площадок,
наклоненных под углом 45° к образующим
вала, выделим вокруг отверстия некоторый
элемент (рис. 233). Эти площадки для
рассматриваемой задачи кручения, как было установлено,
являются главными, а поэтому по граням рассматриваемого
элемента аЪсй будут действовать только нормальные напряжения, равные
по величине, но разные по знаку. Абсолютные значения их, как
известно, равны касательным напряжениям, определяемым в
соответствующих точках поперечного сечения по формулам теории
кручения. Анализируя напряженное состояние рассматриваемого
элемента и полагая, что отверстие мало, а стенки вала тонкие, легко
убедиться, что это напряженное состояние аналогично тому, какое
имеет место для тонкой пластинки с малым отверстием, растянутой
в одном направлении некоторым напряжением 0 = т и сжатым
таким же по величине напряжением в направлении под углом 90°
к первому.
238
Таким образом, задача об определении величины концентрации
напряжений у радиального отверстия в стенке скручиваемого
трубчатого вала сводится к определению концентрации напряжений
в пластинке с отверстием, подверженной во взаимно
перпендикулярных направлениях действию растяжения и сжатия напряжениями
0 = т.
Как указывалось выше, в зоне концентрации напряжения у
отверстия малого диаметра, сделанного в пластинке, растягиваемой
в одном направлении (рис. 234, а), значение максимальных
растягивающих напряжений в точках т. в три раза выше напряжений,
действующих на контуре
пластинки, т. е. а = 3.
В то же время в точках
п, расположенных под
углом 90°, возникают
сжимающие
напряжения, примерно равные
по абсолютной величине
действующим на контуре
пластинки
растягивающим напряжениям.
Очевидно при сжатии
пластинки в
перпендикулярном направлении с
напряжением о напряжения в точках тип будут равны указанньш на
рис. 234, б. В случае плоского напряженного состояния, при
котором по взаимно перпендикулярным направлениям действуют
напряжения а и— о, как это имеет место при кручении (рис.233), в
рассматриваемых точках тип напряжения будут суммироваться, т. е.
напряжения в точках т
= За 4- о = 4а,
Рис. 234
Ома;
а напряжения в точках п
Смин = — ЗО — 0 =
■4а.
Таким образом, имея в виду, что в местах концентрации
максимальное напряжение вычисляется по формуле '
ССаО.
а в нашем случае
получим
■о"ц.
м.
кр
«7„
40 = 4^
Г„
Значит в рассматриваемом случае (рис. 232) коэффициент
концентрации напряжений
ах = 4.
239
Такое высоко1е значение коэффициентов концентрации при
кручении валов с отверстием (часто такие отверстия делают для смазки)
обязывает особенно осторожно подходить к выбору размеров
валов, изготавливаемых из хрупких материалов. Для снижения
концентрации напряжений в машиностроительной практике
приходится прибегать к различным технологическим мерам: сглаживанию
резких переходов, закруглению кромок (у отверстий) и т. п.
Глава 10
ИЗГИБ
§ 60. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки (рис. 235, а).
Из шести внутренних силовых факторов, которые могут действовать
в ее поперечных сечениях в общем случае изгиба, при чистом изгибе
отличен от нуля только изгибающий момент М. Ось балки
деформируется в плоскости, совпадающей с силовой (на рис. 235 — в
плоскости чертежа). В § 17 были указаны условия, необходимые для того,
чтобы изгиб был плоским. Настоящий параграф посвятим выводу
формулы для вычисления напряжений в любой точке сечения.
Пока не будем вводить никаких ограничений в отношении формы и
расположения силовой
плоскости (за исключением того,
у что силовая плоскость должна
^^ проходить через ось стержня).
1=4^ Согласно общему плану
(§26), начнем вывод с рассмот-
М
3**
м
®
I
®
аг
ш
ваг*
рения статическои сто-
/Г роны задачи. Проведем
поперечное сечение т — т на
Рие. 2Э5 произвольном расстоянии X от
начала координат (рис. 235, а).
В плоскости сечения (рис. 235, б) проведем координатные оси у
и г: ось у совместим с силовой линией (линией пересечения силовой
плоскости с плоскостью сечения), а ось г проведем на
произвольной пока высоте, но перпендикулярно к оси у. Ось х направим
перпендикулярно к плоскости сечения. Выделим'в сечении элемент
площади йР, координаты которого укг.Ъ общем случае на элемент
могли бы действовать напряжения ант. Однако при чистом изгибе
все усилия и моменты, связанные с касательными напряжениями, —
^у, ^2 и Мкр — равны нулю. На основании выражений C.29) —
C.34) можно принять, что касательных напряжений в сечении нет
и на элемент йР будет действовать только усилие айР = ^^Л^. Поэто-
240
му из всех формул C.29) —• C.34) останутся только три:
Л^ = I айР; Му=^ агйР; М^ = [ ауйР.
A0.1)
р р
Но в данном случае в сечениях балки действует только один изги
бающий момент, так что
Л^ = 0; Л1^, = 0; М, = М. A0.2)
Из зависимостей A0.1) и A0. 2) получаем
A0.3)
а
Рис. 236
\айР = ^^ \огйР~^\ {[ауйР^М.
р' р .
Переходя к
геометрической стороне задачи^,
рассмотрим картину деформаций той же
балки (рис. 236). Опыты, поставленные на
эластичных (например, резиновых)
моделях, позволяющих легко
получить значительные деформации,
показывают, что если на поверхность
модели нанести прямоугольную сетку
линий (рис. 236, а), то при чистом
изгибе она деформируется (рис. 236, б)
следующим образом:
а) продольные линии искривляются по дуге окружности;
б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;
в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными
волокнами под прямым углом.
На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе
поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются
так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки. Следователь
но, при чистом изгибе, как и при растяжении (сжатии) и кручении
круглых стержней, будет справедлива гипотеза плоских сечений.
Замеряя расстояния между аналогичными точками контура каких-
либо двух сечений, можно обнаружить, что при деформации эти
расстояния изменяются. Так, оказывается, что а^ < а и Оа > а
(рис. 236, а и б). Значит, верхние продольные волокна балки
укорачиваются, а нижние — удлиняются. Но можно найти и такие волок
на, длина которых при изгибе остается неизменной {а,, = а). Сово
купность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, на
зывается нейтральным слоем (н. с). Волокна, принадлежащие
нейтральному слою, до деформации лежат в одной плоскости, а в
деформированном состоянии образуют некоторую цилиндрическую
поверхность. В обоих случаях каждое поперечное сечение
пересекается с нейтральным слоем по прямой, которая называется нейтральной
линией (н. л.) сечения.
При плоском изгибе нейтральный слой оказывается
перпендикулярным к силовой плоскости, а значит, нейтральная линия
241
перпендикулярна к силовой линии в сечении. Будем считать, что ось г
(рис. 235, б) проведена в сечении так, что она совпадает с
нейтральной линией (но положение последней по высоте сечения пока
неизвестно).
Вьщелим элемент двумя смежными поперечными сечениями т — т
и п — п, отстоящими друг от друга на расстоянии <^x (рис. 237, а),
и, приняв во внимание гипотезу плоских сечений, рассмотрим его
деформированное состояние (рис. 237, б). Сечения т — тип — п
остаются плоскими и поворачиваются на угол ёср. Элемент щЬ^
нейтрального слоя превращается в дугу аф^ с радиусом р, а волокно
аЬ, находящееся на рас-
^у, стоянии у от нейтрального
слоя, — в криволинейное
волокно а!^! с радиусом
кривизны р + у.
Относительное удлинение этого
^
а
к'"
^
. ах
Ьо
ь
п
а
волокна
■аЬ
аЬ
Но
аЪ --
«!&!
е =
(Р + у) ^ф
их, поэтому
(Р + {/) ^Ф — Лх
их
A0.4)
Рис. 237
Чтобы упростить это
выражение, рассмотрим
волокно аф^, принадлежащее
нейтральному слою. Его
длина щЬо'= их. После
деформации оно превращается в дугу аоЬо = р^ф. Но волокна
нейтрального слоя не изменяют своей длТшы при деформации, поэтому
Aх = р^ф. A0.5)
Подставив выражение A0.5) в выражение A0.4) и сократив на ^ф,
получим
е = -^. A0.6)
Следовательно, рассмотрение геометрической стороны задачи
показало, что относительная продольная деформация пропорциональна
расстоянию волокна от нейтральной оси.
Чтобы записать закон Гука, выражающий физическую
сторону задачи, нужно выяснить, в каком напряженном
состоянии находится волокно аЬ. На торцовой поверхности волокна
(площадка йР на рис. 235, б), как уже было сказано, касательных
напряжений нет. В силу закона парности нет их также и в сечениях,
параллельных оси балки. Что же касается нормальных напряжений,
выражающих взаимодействие рассматриваемого волокна с соседни-
242
ми волокнами, то предполагается, что волокна не давят друг на
друга, и значит, эти напряжения равны нулю. Таким образом, волокно
аЬ находится в линейном напряженном состоянии — испытывает
простое растяжение или сжатие. Поэтому для него закон Гука
следует записать в виде
'^^ ' A0.7)
Переходя к синтезу, исключим е из формул A0.6) и A0.7)-
В результате будем иметь
Е
0 = —и.
Р ^
A0.8)
Подставляя зависимость A0.8) в третье уравнение A0.3) и учитывая,
что Е н р как величины, не зависящие от положения элемента AР
в сечении, можно вынести за знак интеграла, получим
— I уЧР = М.
Р р
Вспомнив, что ]у^AР — 3^ представляет собой момент инерции се-
р
чения относительно оси г, можем последнюю формулу записать
в виде
м
Е1,
A0.9)
Наконец, подставив формулу A0.9) в выражение A0.8), найдем,
что
Му
A0.10)
Это и есть искомая формула, дающая возможность вычислять
нормальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее
сечения.
Осталось только установить, где в сечении расположена ось
г — нейтральная линия сечения. Чтобы ответить на этот вопрос,
внесем значение а из формулы A0.10) в первые два уравнения A0.3):
Поскольку
то
м
■«г
^ 0, а
= 0;
5.;
Луг
м
\у-
р
= 0;
= 0.
\угйР
0.
»4гг»
A0.11)
A0.12)
24>
На основании равенства A0.11) заключаем, что ось г —
нейтральная линия сечения — проходит через центр тяжести (ц. т.)
поперечного сечения. Силовая плоскость проходит через ось балки,
а значит, силовая линия (ось I/) проходит через центр тяжести
сечения. Равенство A0.12) показывает, что оси у и г — главные
центральные оси сечения. Этим определяется положение нейтральной линии
сечения.
Таким образом, если силовая линия совпадает с одной из главных
центральных осей сечения, то изгиб будет плоским и нейтральная
линия сечения совпадет с другой главной центральной осью.
Иначе говоря, если силовая плоскость совпадает с одной из главных
®,
плоскостей стержня, то нейтральный слой совпадает с другой главной
плоскостью.
Заметим, что часто индекс г в обозначении момента инерции
опускают, помня, однако, что 3 вычисляется относительно нейтральной
линии сечения.
Теперь проанализируем полученные результаты.
Формула A0.9) в проведенном выводе была вспомогательной,
однако она имеет и большое самостоятельное значение. Ее можно
трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку она связывает
деформацию [кривизну нейтрального слоя —| с действующим в сечении
моментом. Произведение ЕЗ носит название жесткости сечения при
изгибе, кгс • см^. Из формулы A0.9) видно, что если балка
изготовлена из однородного материала {Е = сопз!) и имеет постоянное
сечение {3 = С0П81), то при чистом изгибе (М = сопз!;) ось ее
искривляется по дуге окружности /— = сопз!, и, значит, р = сопбп.
Формула A0.10) показывает, что, какую бы форму и размеры
ни имело сечение, напряжения в точках нейтральной линии равны
нулю. Величина а линейно возрастает по мере удаления от
нейтральной линии. При этом напряжения оказываются постоянными по
ширине сечения (вдоль линии у = сопз!). Следовательно, эпюра с для
любых сечений, имеющих горизонтальную ось симметрии, всегда
будет иметь вид, представленный на рис. 238. Все волокна,
расположенные выше нейтральной линии, окажутся сжатыми, а ниже ее —
растянутыми. Если же изгибающий момент будет иметь
противоположный знак, то верхние волокна будут растягиваться, а нижние —
сБчиматься,
244
Наибольшей величины (а„акс) напряжения достигают в волокнах,
наиболее удаленных от нейтральной линии, т. е. в случае сим-
Л
метрии сечения относительно горизонтальной оси г при у = ±-к-.
Подставляя это значение в формулу A0.10), для абсолютной
величины напряжения получаем
М —
Обозначим отношение г^ через Ш и назовем его осевым
моментом сопротивления, см^. Тогда
М
и/
A0.13)
Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то
нейтральная линия смещена по отношению к середине высоты сечения
(рис. 239) и напряжения амакс в крайних верхних и а^^акс в крайних
нижних волокнах не будут одинаковыми:
A0.15)
Рис. В9
Характер распределения нормальных напряжений в поперечном
сечении наглядно представлен на рис. 240.
Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы
о рациональной форме сечения при чистом изгибе. В отличие от
простого растяжения — сжатия при изгибе, как и при кручении,
напряжения в сечении распределяются неравномерно. Материал,
расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому
в целях его экономии и снижения веса конструкции для деталей,
работающих на изгиб, следует выбирать такие формы сечения, чтобы
245
большая часть материала была удалена от нейтральной линии.
Идеальным с этой точки зрения является сечение, состоящее из двух
узких прямоугольников (рис. 241, а). Реально такое сечение
невыполнимо, так какэти два прямоугольника должны быть связаны между
собой, чтобы представлять одно сечение. Из практически
встречающихся профилей наиболее близко к идеальному двутавровое сечение
(рис. 241, б).
Изгибающий момент, который сечение способно выдержать
безопасно, пропорционален Ш. Величина наибольшего действующего
в сечении напряжения о„акс должна быть ограничена значением
[с], и тогда из формулы A0.13)
допускаемый момент
[Л1] = а„акс^- МГ. A0.16)
\Н/7.
X
Н/1
4=
^+^"'-
Н-1
-1-
ь
и/7^
-+-
—А-^
Нл.
Рис. 241
Рис. 242
Рис. 243
Расход же материала пропорционален площади сечения Р.
Следовательно, чем больше отношение -„-, тем больший изгибающий момент
выдерживает сечение с заданной площадью (т. е. с заданным весом
стержня) и тем меньше материала уйдет на изготовление стержня,
Еыдерживающего заданный изгибающий момент. Поэтому отно-
шение —р- может быть принято за критерий, оценивающий качество
профиля.
Основываясь на этом критерии (или просто обратив
внимание на то, какая часть материала расположена вблизи
нейтральной линии), легко убедиться, что сечение, показанное на
рис. 242, рациональнее сплош'ного круглого, а расположения двутавра
и прямоугольника, показанные на рис. 243, а, при вертикальной
силовой плоскости выгоднее, чем показанные на рис. 243, б.
Все формулы настоящего параграфа получены для случая
чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы
приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою
силу, так как поперечные сечения не остаются плоскими, а
искривляются; продольные волокна взаимодействуют друг с другом, давят
друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном, а в плоском
напряженном состоянии. Однако практика расчетов показывает, что
и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечениях кроме М
действует еще Мк ^, можно пользоваться формулами, выведенными для
чистого изгиба. Погрешность при этом получается весьма
незначительной.
246
§ 61. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
При поперечном изгибе, когда в сечениях бруса действует ^
и М, возникают не только нормальные напряжения а, но и
касательные напряжения т.
Получим формулу для определения т в простейшем случае
поперечного изгиба балки. Как уже указывалось (§ 26), задача об
определении напряжений всегда статически неопределима и требует
рассмотрения трех сторон задачи. Однако можно принять такие гипотезы
?*«!?:
Лк-
$№^
А
ГЛг
В, Вг }4+т. в' _в, В2_ 6"
■+Г
-ь+-
Щ\
ом
т
М{х) +с1М
®
®
ах
д
«5-1^
у ■
1
^1 с,
п.
\\\\
6
т,
л\\^
ь
-4 ^~
В,
•^
1
.С/Г
А,
Пг
N.
с,
"^
г
г^
♦ г*
Ч№;
'^
\т'
Щ''Л1г
с1х
'!'
Аг
Рис. 244
О распределении напряжений, при которых задача станет
статически определимой. Тогда необходимость в привлечении
геометрических и физических уравнений отпадет и достаточно рассмотреть
одну только статическую сторону задачи. Так именно и будет
обстоять дело с выводом формулы для т при изгибе.
Проведем вывод на примере балки прямоугольного поперечного
сечения (рис. 244, а).
Двумя близкими поперечными сечениями Л^Б^ и А2В2 выделим
элемент балки (рис. 244, б) длиной их. Как видно из эпюр, в обоих
сечениях ^и М положительны, причем в сечении А^Вх
^=^{xу, м = м(х),
а в сечении А^В^
^=^(x)■, М = М (х) + с?М.
Таким образом, в проведенных сечениях действуют нормальные и
касательные напряжения. Нормальные напряжения на левом и
правом торцах выделенного элемента на основании зависимости A0.10)
определяются формулами
а'-^^у. ,^^^Ц^у^ A0.17)
247
Введем два предположения о характере распределения
касательных напряжений в балках прямоугольного сечения:
1) т всюду параллельны ^■,
2) во всех точках сеченпя на данном уровне {у = сопз!) т
одинаковы (т. е. т постоянны по ширине и зависят только от расстояния
точки до нейтральной линии).
Эти предположения справедливы, если Ь <^ Н.
Отсечем часть элемента балки, проведя горизонтальную
плоскость /7?! — /П2 на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 244, в, д).
Очевидно в гранях Л^/^г'^г'^!' С1С2П2П1 и А^А^С/^х вообще нет
никаких напряжений, так как эти грани являются частью наружной
поверхности балки. Вычислим равнодействующую нормальных
напряжений, распределенных по грани А^Су^Пгпг^. На элементарную
площадку <1Р = Ь^г), проведенную параллельно нейтральной оси г
на расстоянии г) от нее (рис. 244, г), действует элементарная осевая
сила (Шх = о'йР — —~^ йР. Тогда искомая равнодействующая
•'г
К,=^\о'йР=.\^^^йР=-^\г)^Р.
р, р, "^ ' р,
Так как ] г\(}Р = 5^ (у) представляет собой статический момент
площади, заключенной между уровнем у и краем балки, то
Мг=А^8М- A0-«8)
•"г
Аналогично в грани А^С^щт^ равнодействующая нормальных
напряжений с"
л;^=ЛМ_МЛ15л«/). A0.19)
Величина 5^ (у) будет, очевидно, такой же, как и для первого
сечения.
В грани п-^щпцт^ действуют нормальные напряжения, поскольку
при поперечном изгибе волокна давят друг на друга. Однако этими
нормальными напряжениями пренебрегают, как несущественными
для расчета на прочность. Кроме того, согласно закону парности
касательных напряжений, здесь непременно возникнут и напряжения
причем они направлены так, как показано на рис. 244, д.
Так как размер их грани ПхП^^т^ элемента мал, можно считать,
что т' равномерно распределены по этой грани и, следовательно,
дают усилие
AТ = г'Ьйх ^ хЪйх.
Запишем теперь условие равновесия параллелепипеда
А^А^С^С^п^п^!^!!!^:
248
Внося сюда найденные величины усилий, получаем
1М(х) + ам]8г(у)
М (X) 8г (у)
— т:Ьйх=-0,
или
тЬ^АГ =
ам8Ау)
Разделив это равенство на Ь сЬс и учитывая, что —з— = ^, находим
окончательно, что ^^ 4-'МЛ;у|»*»^г^> (.^/1А лу1/"*0
6» ^Д '"^
т =
-М.4Г-
Ь^г
Ей
а-Тв/и^*" Кола «-ви/л>*^[Го.20)
Выведенная формула впервые была получена Д. И. Журавским
и носит его имя. Несмотря на то что положенные в основу ее вывода
гипотезы справедливы только для узких прямоугольных сечений
(при -г->2|, на практике ею можно пользоваться для любых
сечений, кроме тех мест в сечении, где есть узкие прямоугольники,
расположенные перпендикулярно к <Э — полки двутавра, швеллера
и т. д.
Для произвольного сечения (рис. 245) величины, входящие в
формулу A0.20), имеют следующие значения: ^ = ^ (х) — абсолютная
®
•%1акс
■Ср 1Г
Рис. 246
величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются
касательные напряжения; ^^ — момент инерции этого сечения
относительно его нейтральной линии; Ь = Ь (у) — ширина сечения на
уровне, где определяют т; 5^ (у) — абсолютная величина
статического момента относительно нейтральной линии той части площади
Р (у), которая заключена между линией, где определяют т, и краем
сечения.
Формула A0.20) дает, таким образом, только величину т. Что
касается направления т, то в соответствии с исходными допущениями
оно считается параллельным ^ и направленным в сторону^ето
действия.
Построим эпюру т для прямоугольного сечения (рис. 246).
Проведем линию тп, параллельную нейтральной линии и удаленную от
249
нее на произвольное расстояние у, и найдем величины т в точках этой
линии. Линия тп отсекает площадь Р (у) = Ъ 1-х т.
Статический момент этой площади
5г(У)=Р{У)' Уп.:
8
Н-т-у)]
A0.21)
Подставляя в формулу Журавского A0.20) найденное значение
5^ (у), а также /^ = ~То~' получаем
6А2
т = <Э
('-^)
№3
12
2 ЬН
|-A-^). 00.22,
НИИ точках у
±Т
"Ьмйис —
A0.23)
Переменная у входит во второй степени, следовательно, эпюра т
будет параболической. В наиболее удаленных от нейтральной ли-
и т = 0. Для точек нейтральной линии
у = 0и
^ 0___з_
2 ЬН ~ 2
По этим данным и построена эпюра т на
рис. 246.
Для круглого поперечного сечения
(рис. 247) введенные выше гипотезы о
характере распределения касательных
напряжений не выполняются. Однако с
достаточной степенью точности можно полагать, что вертикальную
составляющую касательных напряжений, возникающих в поперечном
сечении на уровне ^/от нейтральной линии,можно вычислить по формуле
Журавского. Проводя соответствующие вычисления 5^ (у), для
круглого сечения получим
Рис. 247
4С
■(■-^)
Как видим, эпюра т вновь получается параболической. В
наиболее удаленных от нейтральной линии точках ^ ((/ = ± ^) т = 0.
Наибольшее касательное напряжение будет в точках нейтральной
линии (у = 0):
4 С
3 пЯ^
= 1,33 А
A0.25)
Пример 38. Построить эпюры изменения нормальных и касательных
напряжений по высоте поперечного сечения двутавровой балки № 12, если в сечении
действует изгибающий момент М = 200 кгс • м и поперечная сила ^ == 1 тс.
250
По таблице сортамента (приложение 1) находим основные раэмеры профиля
(рис. 248), момент инерции площади поперечного сечения ^г — 350 см* и
статический момент площади половины этого сечения 8^^^^ = 33,7 см*.
Нормальные напряжения в точках поперечного сечения, находящихся на
расстоянии у от нейтральной линии (по линии тт), определяем по формуле A0.10):
Му
Максимальные по абсолютной величине напряжения будутпри г/^,^^^, =
-^.Вычислим их:
20 000 • 6
350
кгс/см^ = 342,8 кгс/см^.
Эпюра напряжений сг приведена на рис. 248 слева от профиля сечения.
\0
(б)кгс/сн'
'200,6
'(г)ггс/сг1'
156,1
Касательные напряжения в точках поперечного сечения на расстоянии у от
нейтральной линии определяем по формуле Журавского A0.20):
Для построения эпюры касательных напряжений вычислим т в нескольких
характерных точках: а) в крайних волокнах (по линии АВ)\ б) в месте
сопряжения полки со стенкой (в точках / и 2), причем будем считать, что точки У и 2
расположены бесконечно близко к границе полки, но лежат по разные стороны от
этой границы (для ясности это место на рис. 248 вынесено отдельно); в) в точках
нейтральной линии.
Для точек линии АВ статический момент 5^ D/) = 5г (^1 = О,
так как линия
АВ не отсекает никакой площади. Таким образом, в точках линии АВ напряжение
т = 0.
Для точки 1 ширина сечения Ь = 6,4 см, статический момент равен
статическому моменту полки. С достаточной точностью полку можно считать
прямоугольником с размерами Ь У. I. Тогда
5г (г/) = 5,„„^кн = *' (-^ ^)== ^''' ■ °'^^ ■ ^^ ~ ^'^^^ "^^ = ^^'^ '''''•
Касательное напряжение в точке /
1000 . 26,3
6,4 • 350
кгс/см^= 11,8 кгс/см^.
251
Для точки 2 статический момент остается практически тем же, но ширина
сечения й = 0,48 см. Поэтому касательное напряжение в точке 2
1000.26,3 „ ,„
Та = —;; =— кгс/см^ = 156,7 кгс/см^.
0,48 -350
Следовательно, при переходе от точки / к точке 2 касательное напряжение резко
возрастает
Для точек нейтральной линии ширина сечения Л = 0,48 см, а статический
мол1ент следует взять для половины сечения. Очевидно, это будет наибольшая
величина для данного сечения —5^макс- Тогда
^■^гмако 1000 - 33,7
ЙУ 0,48 - 350
кгс/см^ = 200,6 кгс/см^.
На основании этих данных строим эпюру т для нижней половины сечения. Для
верхней половины в силу симметрии профиля относительно оси г эпюра будет
симметричной Эпюра т приведена на рис. 248 справа от профиля
Построенная эпюра условна, так как дает верные значения т только для
точек стенки, достаточно удаленных от полок Вблизи полок касательные
напряжения в стенке возрастают ввиду того, что место сопряжения полки со стенкой
является источником концентрации напряжений
Формула A0.20) и рассмотренные примеры позволяют сделать
не1'оторые общие заключения о распределении касательных
напряжений в сечениях при поперечном изгибе:
1) вид эпюры т зависит от формы поперечного сечения балки;
2) в крайних наиболее удаленных от нейтральной линии точках
т всегда равны нулю,
3) наибольшей величины касательные напряжения для
большинства видов сечений достигают на нейтральной линии сечения, причем
"■""макс /<А осч
Тмакс = —^7—' A0.26)
где 5„а(,с — статический момент половины площади сечения.
Эту формулу можно представить и в виде
Тмакс = ^^. A0.27)
Здесь к — коэффициент, зависящий от формы сечения. Для
прямоугольника к = 1,50, для круглого сечения к = 1,33;
4) формулой Журавскою можно пользоваться для вычисления
касательных напряжений в любых точках массивных профилей.
Соображения об определении касательных напряжений при
изгибе балок тонкостенных профилей изложены в § 72. __
§ 62. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
В предыдущих параграфах этой главы были получены формулы
для вычисления опт при плоском изгибе балок. Эти формулы
дают возможность составить условия прочности, необходимые для
проверки и подбора сечений деталей, работающих на изгиб. Чтобы
получить эти условия, выясним, в каком напряженном состоянии
252
находятся элементы стержня, испытывающего плоский изгиб. Для
конкретности рассмотрим балку, изображенную на рис. 249.
На рис. 249, а показана схема балки и нагрузка, а также
построены эпюры ^ и М. На рис. 249, б изображен фасад балки. У ряда
точек ее поперечного сечения выделены элементарные кубики, одна
0=1,9тс
Рис. 249
ИЗ граней которых совпадает с плоскостью поперечного сечения.
На рис. 249, в для примера показано сечение А—А и выделенные
в нем элементы 3 и 13.
Элементы 1, 2, 12, 13 и 14 выделены у крайних точек сечений.
Здесь т = О, а == Омакс и элементы испытывают простое растяжение
или сжатие, т. е. находятся в ли- ^ ^
■О^
6
Рис. 250
неином напряженном состоянии /г , ,с: ,,!=, --
(рис. 250, а). %«Г—1^««^. |Г—14 б
Элементы 6, 7 и 8 выделены —
у точек нейтрального слоя, где О
о ~ О, а т = Тмакс. поэтому в их
гранях действуют только
касательные напряжения и, следовательно, они испытывают чистый сдвиг
(рис. 250, б).
В вертикальных гранях элементов 3, 4, 5, 9, 10 и 11, выделенных
у произвольных точек балки, действуют и а и т, поэтому элементы
находятся в плоском напряженном состоянии (рис. 250, е).
Величины и направления а и т зависят от величины и
направления М и ^ в рассматриваемом сечении и от положения элемента
по высоте сечения. Направления напряжений определяются
непосредственно на основании эпюр ^ и М. При этом нужно помнить,
что эпюры М строят на сжатых волокнах. Поэтому элементы 1, 3, 10,
253
14 и '// испытывают сжатие, а элементы 9, 12, 13, 4, 2 и 5 —
растяжение.
Чтобы выявить направление т, обращаем внимание на знаки ^
в соответствующих сечениях. Например, в сечении А—А ^
отрицательно, а следовательно, стремясь повернуть обе части
рассеченной балки против часовой стрелки, ^ действует на левую сторону
сечения вверх (рис. 249, в). Так именно и будут направлены т в
правой грани элемента 5; в остальных гранях направления т
определяются законом парности касательных напряжений.
Величины напряжений могут быть найдены по формулам,
полученным в предыдущих параграфах:
а) для элементов 1, 2, 12, 13 и 14
б)
в)
для элементов
для элементов
6,
%
3,
с
7
О^макс —
И 8
макс —
4,
5,9,
Му
М
1Г
^макс
У6
10 и
-: X
И
~ >
^5г^у)
Если балка имеет, например, прямоугольное сечение с размерами,
показанными на рис. 249, в, то
6 = 5 см; Я = 10 см; Г = 50 см^; й = 1,5;
Г =. ^ '^^ см^ == 83,3 см«; ^ = -Щ^^см* = 417см*.
Тогда для элементов 2 и 14 (\М\ = 1,8 тс • м = 180 000 кгс • см)
180 000
""«■«="~ 83,3
для элемента 7 ()С) = 1,9 тс = 1900 кгс)
1,5. 1900
кгс/см^ = 2160 кгс/см^;
1900 кгс)
кгс/см^ = 57 кгс/см^;
.макс — 50
для элемента 5 (М = 48 000 кгс • см; |С2| = 1900 кгс)
у==3см; 5 = E —3)-5-(з+-^=^) см5 = 40см«;
48000-3 , о „.г 10 1900-40
О ==
кгс/см^ = 345 кгс/см^; т = - ", кгс/см® =з
^^^ .^х^,,^,.., ^.-г^, .^.ч,,^... , 5-417
= 37 кгс/см^
и т. д.
Таким образом, при поперечном изгибе балки материал её
находится в неоднородном плоском напряженном состоянии. Условие
прочности должно быть записано для так называемой опасной точки
254
балки, т. е. той точки, где материал находится в наиболее
напряженном состоянии. Опасной будет одна из следующих трех точек:
а) точка, где нормальное напряжение достигает наибольшей
величины; б) точка, где касательное напряжение достигает наибольшей
величины; в) точка, где о и т, хотя и не принимают наибольших
значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное
сочетание, т. е. наибольшее эквивалентное напряжение по принятой для
расчета теории прочности. При этом таких точек может оказаться
несколько.
Первая точка расположена в крайних волокнах того сечения,
где изгибающий момент имеет наибольшее значение (например,
точки 2 и 14 на рис. 249). Напряженное состояние в такой точке
линейное (рис. 250, а) и условие прочности запишется в виде
М
Омасс =-- -^ < т. A0.28)
Вторая точка находится на нейтральной линии того сечения, где
поперечная сила наибольшая (на рис. 249 это точка 6 и вообш,е
любая точка на участке нейтрального слоя, где ^ = ^макс). В такой
точке наблюдается чистый сдвиг (рис. 250, б) и поэтому условие
прочности примет вид
тмакс = '^"%^^"^'"' = к -%^ < [т]. A0.29)
Что касается третьей точки, то положение ее не столь определенно.
Но где бы она ни была выбрана, в ней будет плоское напряженное
состояние (рис. 250, е), при котором главные напряжения
рассчитывают по формулам
02 = 0;
Од = ^ [а — У^а^ + 4т^
A0.?0)
Внося эти величины в выражения для эквивалентных
напряжений по различным теориям прочности [G.2), G.6), G.И), G.20),
G.21)], получаем условия прочности
•7эке1
•7экв1
^[о + 1/о-^ + 4т^]<[о];
I = -Ц^о + -Ц^Уо^ + 4т^ < [О];
ОэквИ! = 1/о^ + 4т?< [а];
сгэкв1у = Уо^ + Зт^ < [о];
1 — т , I 4- т -г г—^—,—т—о- ^ , ,
A0.31)
A0.32)
A0.33)
A0.34)
A0.35)
255
где
т
Гр+1
Для расчета балок из пластичных материалов рекомендуется
пользоваться условиями прочности, полученными по III и IV
теориям [формулы A0.33) и A0.34)].
Практика применения и расчета балок показала, что в
подавляющем большинстве реальных случаев опасной является крайняя точка
того сечения, где М = Ммакс- Поэтому практически проверочный
расчет балок на прочность состоит в следующем:
1) находят опасное сечение, т. е. сечение, в котором действует
наибольший по абсолютной величине изгибающий момент Ммакс",
2) по таблице или вычислением определяют момент сопротивления
й^' сечения относительно нейтральной линии сечения;
3) применяют только одно условие прочности A0.28), которое
и называется поэтому основным.
По этой схеме для большинства профилей (круглого,
прямоугольного, двутаврового и других сечений) легко выполним и
проектировочный расчет; при этом условие прочности A0.28) записывается
в виде
М
1уг "^макс
A0.36)
Определив необходимый момент сопротивления балки и приняв
определенный профиль поперечного сечения, подбирают его размеры.
Рассмотрим некоторые примеры
расчета балок по основному условию
прочности.
Р
Рис. 251
Пример 39. Для балки (рис. 251), считая
заданными размеры 1,0 кё и величину допускаемого
напряжения [а], найти допускаемую нагрузку [Р].
Опасное сечение будет, очевидно, в заделке,
причем М„^^^ = Р1.
Момент сопротивления в данном случае
Опасными точками в балке будут верхняя и нижняя точки сечения у
заделки. Записывая для них условие прочности, получаем
32Рг
<[ст]-
макс згОЗA—«4)
Отсюда находим допускаемую нагрузку:
яРа A — к*) [а]
Р<1Р]
2,21
Пример 40. На балку (рис. 252) действует нагрузка 10 тс, равномерно
распределенная по пролету. Материал балки СтЗ ([0] = 1600 кгс/см*). Требуется
256
подобрать различные варианты сечений. На чертежах горизонтальными осевыми
линиями показаны нейтральные линии.
Опасным будет сечение посредине пролета, где
М =
д^ д1 ■ I ^ Р1 ^
~8 8 8
10 000 ■ 160
8
■ кгс • см = 200000 кгс-см.
Опасными точками будут точки этого сечения, наиболее удаленные от
нейтральной линии. Условие прочности для них следующее:
200 000
< [а] = 1600 кгс/см2.
"макс \^ ^
Отсюда находим необходимую величину момента сопротивления:
200 000
1Г = •
расч
1600
см^ = 125 см^.
Найденные размеры сечения обычно округляют до ближайших стандартных,
поэтому фактический мос.ент сопротивления 1Г может отличаться от й^расч- '^
результате напряжение в опасной точке будет отличаться от [а] и, следовательно,
будет иметь место перенапряжение ^
(О^у > 0) или недонапряжение (б^ < 0),
где
ипни»ииттг
1^ ^
М^
М^
1Г
Т^
расч
м.
^
ф
1Г.
Г,
расч
расч
— 1Г
ш^^-
а
6 ^_
г
100%.
■1—^
II- -^-
-■=?
При расчетах на прочность
отклонение расчетных напряжений от
допускаемых должно быть в пределах ±5% ^ а Ж 3
величин допускаемых напряжений.
Чтобы сравнить веса балок различ- '•ис. 252
ных вариантов сечений, учитывая, что
веса пропорциональны площади Р сечения, вычислим также и величину Р. Для
большей наглядности полученные расчетом размеры поперечных сечений будем
округлять до ближайших ббльшйх целых чисел, а для стандартных профилей
брать ближайший профиль с ббльшим моментом сопротивления.
Перейдем к вычислениям:
1. Для сечения, показанного на рис. 252, а,
3
«7 =-~-> 125 смЗ; й>|/-?Ц^^см=10,83см.
я
Принимаем й = 11 см =
я. 113
Г =
32
: ПО мм; тогда
130,5 смЗ; б„ ^
п- 11^
Р = -
125—130.5
130,5
см2 = 95,0 см .
100%=—4,2%;
9 8—2770
257
2. Для сечения, показаиного на рис. 252, б,
^^ Ь. (Щ^ ^^1^-^125 см»; 6 > уП|87:5 см = 6,72 см.
Принимаем 6 = 6 см = 60 мм; тогда
Г = -|- • 6' смз = 144 смЗ;
о
10С >44
бд = ^^^ 100% = — 13,2%; /■ = 6 • 12 см^ = 72 см».
3. Для сечения, показанного на рис. 252, в,
г = ^^ = -^ 6» > 125 см«; 6 > у"з75 см = 7,21 см.
Принимаем 6 = 7,5 см = 75 мм; тогда
Г = -1- 7,5'' см8 = 140.5 см^; б„ = '^^,7оУ^'^ 100% = - 11 %}
/■=7,5- 15см2= 112,5 см*.
4. Рассмотрим сечение в виде двутавра (рис. 252, е). Принимаем двутавр
№ 18, тогда
1ог; 144
Г = и7г = 143 см"; б„ = ;4з 100% = — 12,6%; Р = 23,4 см».
5. Для сечения, показанного на рис. 252, д, приемлемыми оказываются
профили № 50 и № 55, первый из которых дает незначительное перенапряжение
A,6%), а второй имеет заметный избыток прочности A6,7%). Останавливаемся
на двутавре № 50. Для него
19'^ 194
Г = и^г = 123 см8; бд = Д23 ^^% = ^ >6%: ^ = ^0 см%
6. Для сечения в виде двух двутавров (рис. 252, е) подходящим профилем
в сортаменте будет двутавр № 14. У этого сечения
(ОС 1СО 4
и7 = 21?'г = 2 • 81,7 смЗ = 163,4 см^; б„ = ;бз 4 '°^"/« = " 23-^%:
Р = 2- ПА см2 = 34,8 см".
7. Для сечения, показанного на рис. 252, ж, нейтральная линия (она
расположена на стыке двух профилей) не совпадает с нейтральной линией каждого
профиля. Поэтому момент сопротивления всего сечения не равен сумме
моментов сопротивления 1Гг каждого профиля, а должен быть вычислен делением
момента инерции сечения на расстояние от нейтральной линии до крайних волокон
(т. е, на высоту одного профиля):
4'М^Р]
где {>1, Р-у, ^г ч ^г — соответственно высота, площадь, момент инерции и
момент сопротивления одного двутавра.
Возьмем двутавр № 12. Для него
Легко убедиться, что меньший профиль не подходит,
258
Таким образом,
«» =
125 — 146,6
146,6
100%
14,7%; /? = 2 . 14,7 см^ = 29.4 т\
8. Для сечения в виде двух равнобоких уголков (рис. 252, з) момент
сопротивления равен сумме моментов сопротивления каждого профиля. Но в таблицах
сортамента для уголков значения \С^ нет. Поэтому определяем момент Лпротивления
сечения как
XV = 2-^^—, Таблица 16
6 —го
где ^г, Ь, гд имеют тот же смысл, что и в
таблице сортамента (опасными точками
будут нижние концы уголков).
Указать непосредственно, какой
именно профиль нужно взять, трудно, поэтому
рассмотрим два варианта сечений:
для уголка 140 X 140 X 12
Г=2-
602
■смЗ= 119,3 см»}
14 — 3,9
для уголка 160 X 160 X 10
774
Г= 2-
• смз = 132 см».
Св^ение
на рис.
252
а
б
в
г
д
е
ж
3
Недоста'
ток илн
избыток
прочности. %
4.2
13,2
11.0
12,6
1.6
23.5
14.7
5.3
Площадь
сечения,
см'
95,0
72.0
112.5
23,4
100,^
34,8
29,4
62,8
Относительный
вес
4,06
3,08
4,81
1,00 „
4,27
1.49
1.26
2,65
16 — 4,3
Последний вариант с точки зрения прочности лучший. Получаем
125 — 132
Г = 132 см»; Р = 2 . 31,4 см2 = 62,8 см^; б„
132
100%^
■5,3%.
Таким образом, определены размеры всех сечений и задача решена.
Различные формы сечений дали разные избытки прочности и площади сечений, а
следовательно, и веса балок.
Приведем сводную таблицу результатов (табл. 16), которая позволяет
судить о том, какие из полученных сечений рациональны для данной балки, а какие
нет. Числа последнего столбца показывают, во сколько раз балка с данным
сечением тяжелее двутавровой балки (рис. 252, г), вес которой получился
наименьшим и поэтому принят за единицу.
Заканчивая исследование напряжений в балке при изгибе,
сделаем еще некоторые замечания и дополнения.
При изгибе балки (рис. 253, а) в точках определенного
поперечного сечения п — п, взятых на различных расстояниях от
нейтральной оси, мы находили нормальные напряжения а и касательные т.
М/О
® ^ © ©©^
е ж
Рис. 253
259
Для балки прямоугольного поперечного сечения эпюры напряжений
опт приведены соответственно на рис. 253, бив. Кроме того, в
каждой из этих точек по напряжениям о и т вычисляли главные
напряжения: растягивающие О1 и сжимающие Од. Эти напряжения действуют
на площадках, наклон которых к плоскости поперечного сечения
изменяется от точки к точке. Изменение величины главных
напряжений по высоте балки может быть представлено в виде эпюр а^ и Од.
Для той же балки эти эпюры приведены на рис. 253, г, д.
В каждой точке по высоте балки по напряжениям опт (или а^
и Од) могут быть вычислены также максимальные и минимальные
/ М>0;0>0
" )
чШн ^'
N444 ///х-
1 л Ш IV
Рис. 2X4
^
Рис. 255
касательные напряжения, которые действуют в сечениях,
наклоненных под углом 45'' к сечениям с главными напряжениями о^ и Од
в этой точке. Эти касательные напряжения вычисляютея по формуле
т — л- '^^"''а
1макс — а: о »
или, учитывая зависимости A0.30), по формуле
1
Тмакс — ^ ■
мин
■ ]/о'' -{- 4т«.
Эпюры значений максимальных и минимальных касательных
напряжений для рассматриваемой балки приведены на рис. 253, е, ж.
Отметим, что в точках, взятых на нейтральной линии, абсолютные
значения х, а^, Од, Тмакс, '^мин одинаковы. При одном и том же
масштабе для всех напряжений ординаты эпюр этих напряжений
посредине высоты балки также одинаковые.
Проверяя прочность балки, определяют величины главных
напряжений. В ряде случаев важно знать также и направления
главных напряжений во всех точках балки. В частности, это необходимо
при конструировании железобетонных балок, в которых арматуру
нужно располагать в направлении наибольших растягивающих
напряжений.
260
Рассмотрим направления главных напряжений в различных
точках какого-либо сечения / (рис. 254). Тонкими линиями
показаны направления 01, а толстыми — Од. Продолжим направление а^
для точки 2 до пересечения со смежным сечением в точке 2'. В этой
точке определим вновь направление рассматриваемого главного на-
напряжения и, далее поступая аналогичным образом, получим
ломаную линию 2—2'—Т—2'". В пределе эта ломаная линия обратится
в кривую, касательная к которой совпадает с направлением
рассматриваемого главного напряжения в точке касания. Эта кривая
называется траекторией главного напряжения. Направление траекторий
главных напряжений зависит от вида нагрузки и условий
закрепления балки. Очевидно, через каждую точку балки проходят две
траектории главных напряжений (соответственно о^ и а^,
пересекающиеся между собой под прямым углом.
В железобетонных балках арматуру обычно стремятся
располагать примерно в направлении траекторий главных растягивающих
напряжений (рис. 255).
§ 63. о рациональной форме сечения
в § 60 настоящей главы были сделаны некоторые замечания о
рациональной форме сечения при чистом изгибе. Здесь на основе
рассмотренных примеров расчета на изгиб эти замечания будут
несколько расширены. При этом мы отвлекаемся от каких-либо
конструктивных или технологических соображений, связанных с формой
сечения той или иной конкретной детали, и считаем сечение
рациональным, если оно обеспечивает прочность данной балки при
минимальном ее весе, т. е. при минимальной площади сечения.
В ряде случаев кроме формы сечения большое значение имеет
и его расположение — ориентировка относительно силовой
плоскости. Как видно из табл. 16, наиболее рациональным является
двутавровое сечение, поставленное так, чтобы его нейтральная линия
совпадала с осью, относительно которой /^ — -^макс- Хуже будет
сечение, составленное из двух двутавров, поставленных рядом или один
на другой. Значительно хуже сечения из двух равнобоких уголков
и прямоугольное сечение. Нерационально круглое сечение, так как
вес балки такого сечения почти в 4 раза превышает вес двутавровой
балки, имеющей ту же прочность. Поэтому выбор круглого сечения
может быть оправдан только конструктивными или
технологическими соображениями (например, для вращающихся деталей), причем
в таком случае выгоднее ставить полое сечение. Совершенно
нерационально сечение, ориентированное так, что нейтральная тиния
совпадает с осью /мин (варианты в и й на рис. 252 и в табл. 16).
Заметим также, что если в условии прочности
"макс — т ^ \Р\
максимальное напряжение близко к допускаемому, то это не означает
еще, что сечение подобрано удачно, так как при другой форме сечения
261
и значительно меньшем Омакс балка может оказаться намного
легче.
Изложенные выводы получены из рассмотрения данных примера
40. Эти выводы справедливы для любой балки, работающей на
плоский изгиб и изготовленной из пластичного материала, поскольку
характер нагрузки и схема балки влияют только на величину
расчетного изгибающего момента.
Для балок т хрупкого материала полученные рекомендации
теряют силу, так как у него допускаемое напряжение на
растяжение [о+З значительно меньше допускаемого напряжения на сжатие
1о_]. В этом случае нецелесообразно
применять сечения, нейтральная линия
которых является осью симметрии сечения и,
следовательно, максимальные напряжения
в растянутой и сжатой зонах одинаковы.
Рационально такое сечение, у которого о„акс
в растянутой зоне значительно меньше Оиякс
Б сжатой зоне. Добиться этого положения
можно, выбирая такую форму сечения, у
которой нейтральная линия была бы
сдвинута в сторону растянутой зоны. Пример такого сечения и
соответствующая ему эпюра о показаны на рис. 256.
В настоящем параграфе были рассмотрены некоторые вопросы,
связанные с рациональной формой сечения балки. Если же говорить
о рациональности балки в целом, то следует иметь в виду, что М и
^ неодинаковы в различных сечениях. Поэтому размеры,
подобранные по опасному сечению, окажутся излишне большими для других
сечений балки. Это обстоятельство побуждает в целях экономии
веса и материала применять балки переменного сечения. Основы
расчета таких балок рассмотрены в § 69.
Рис. 216
§ 64. полный РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ
Все рассмотренные примеры расчета на прочность при изгибе
относятся к тем случаям, когда опасной является одна из точек
крайних волокон балки (рис. 249, б) и напряженное состояние в ней
линейное (рис. 250, а). Как уже отмечалось, в подавляющем
большинстве практически важных случаев этого расчета достаточно.
Однако, хотя и редко, но встречаются случаи, когда опасная
точка принадлежит нейтральному слою. В ней материал испытывает
чистый сдвиг (рис. 249, б и 250, б), и для расчета следует
пользоваться условием прочности A0.29). Такое положение может быть
тогда, когда при больших поперечных силах в сечениях балки
действуют незначительные изгибающие моменты, например, при
коротких пролетах и значительной поперечной нагрузке.
Пример 41. На балку (рис. 257) действует равномерно распределенная иа-
1 рузка 9=12 тс/м. Пролет / = 70 см, сечение балки двутавровое, материал СтЗ
(До] = 1600 кгс/см?; М = 1000 кгс/см?).
262
Подберем сечение из условия прочности по
нормальным напряжениям
^
[а].
Наибольший изгибающий момент будет в
среднем сечении балки:
М.,
120 • 702
8
Из условия прочности
8
кгс • см = 73 500 кгс • см.
\? ■■
М..
М
73 500
1600
см^ == 46 см^.
Рис. 217
По таблице сортамента подбираем двутавр № 12, у которого \^ = 58,4 см', а
/ = 350 см*.
Проверим прочность по касательным напряжениям.
Условие прочности, согласно формуле A0.29), имеет вид
<макс макс
[Т].
•макс |,^
Наибольшая поперечная сила будет в опорном сечении!
д1 120 • 70
«Змакс = ^- = 2 '^'■'^ "" ^^^ ^^'
Ширина сечения по нейтральной линии, т. е. толщина стенки двутавра, Ь =
= 0,48 см (в сортаменте она обозначена буквой й). Далее по таблице сортамента
находи л, что 5„акс ~ ^3,7 см. Подставляя числовые величины в условие
прочности, получим
4200 • 33 7
''«"'^'^ = 0,48 • 350 ''•"'^''''"' ^ ^^^'^ '"''=^'=''' < Г*'! = '°°° '"''=^*''''-
Таким образом, размеры сечения балки удовлетворяют условиям прочности
как по нормальным, так и по касательным напряжениям.
В балках с тонкостенным сечением (двутавр, швеллер) опасной
может оказаться точка, расположенная в месте соединения стенки
с полкой. Это происходит в тех случаях, когда к балке приложена
значительная поперечная нагрузка, причем есть сечения, в
которых М и ^ одновременно велики. Одно из таких сечений и будет
опасньш.
Таким образом, если балка имеет тонкостенное сечение и к ней
приложена значительная поперечная нагрузка, то необходимо
производить полный расчет на прочность (типовой расчет приведен
ниже). Если расчет проектировочный, то сначала можно подобрать
сечение по основному условию прочности A0.28), а затем произвести
проверку по всем условиям прочности.
Пример 42. Требуется подобрать двутавровое сечение для балки,
показанной на рис. 258, а. Материал СтЗ ([о] = 1600 кгс/см^; [т] = 1000 кгс/см^).
Построив эпюры ^ и Л1, заключаем, что опасными могут оказаться такие
точки балки:
263
а) крайняя точка (рис. 258, б, точка /) сечения С;
б) точка, расположенная в месте соединения стенки с полкой (рис. 258, б,
точка 2) в сечении справа от опоры А;
в) точка, лежащая на нейтральной линии этого же сечения (рис. 258, б,
точка 3).
Подберем поперечное сечение балки, считая опасной точку / в сечении С.
Из условия прочности A0.28) имеем
ХС =
м^
960 000
[о]
1600
смз = 600 смз.
I)-
Ш1ПШШ1ШШ111Ш
_^Км
Ж
1Ш
С
3,30м
1Й11гы
По таблице сортамента находим
подходящий профиль № 33, у которого П^' =
= 597 см^. Тогда напряжение в точке 1
Л1„
960 000
Ш
597
кгс/см* = 1608 кгс/см^.
Это больше допускаемого, но
перенапряжение составляет всего 0,5%.
_. Далее находим геометрические ха-
({упн рактеристики двутавра № 33,
необходимые для проверки прочности в
точках 2 к 3 сечения А. Согласно таблице
сортамента,
В сечении у споры А У = 9840 см<; 8^^^^ = 339 см^;
\б_)ве/си' (^угс/см1 ширина сечения стенки, соответствуго-
695
щая точкам 2 и 3, 4= 0,7 см.
Находим 5„<,^,„„ = 14 . 1,12 . 15,94 см^ =
= 250 см».
Проверяем прочность в точке 3 се
0^2 чения балки непосредственно справа от
опоры Л. По условию прочности A0.29),
учитывая,
дим:
^.
что ^иакс~ 19.14 тс, иахо-
маку''^макс 19 14у • 339 ^{■^/(^^ гз=
Ь^ ~ 0,7 • 9840
= 942 кгс/см^ < [т] = 1000 кгс/см».
Проверяем прочность в точке 2 этого же сечения. Материал СтЗ пластичный,
поэтому пользуемся условием прочности A0.34) по четвертой теории:
В сечении действуют
М = 8,71 тс . м = 871 000 кгс • см и С = B„акс = 1^ ^^0 кгс.
Поэтому в точке 2
Му _ 871000A6,5—1,12)
С,
с
манс полки
ы
9840
19 140
кгс/см= =1361 кгс/см^;
250
0,7 • 9840
кгс/см=' == 693 кгс/см=';
264
с(,^.^V•=-V^^'+^'^
-=. ]/
1 + 3 ~ = 1361 ]/1 + 3 • 0,259 кгс/см« =
= 1814 КГС/0М2 > [а] = 1600 игс/ем».
Таким образом, в данной балке опасной оказывается точка 2 сечения справа
от опоры А, причем перенапряжение в ней составляет около 14%, что
недопустимо. Поэтому вместо профиля № 33 следует принять профиль № 36.
§ 65. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ
При изгибе, как и при растяжении или кручении, в местах
резкого изменения формы или размеров поперечных сечений
наблюдается концентрация напряжений. Если нагрузка статическая, то
концентрация напряжений в
деталях из пластичного материала
неопасна благодаря
перераспределению напряжений в зоне
концентратора вследствие текучести. В слу-
Рис. 260
чае же хрупких материалов, когда не приходится рассчитывать на
ограничение максимальных напряжений, так как уровень
последних будет определяться временным сопротивлением материала,
при расчете детали на прочность нужно учитывать концентрацию
напряжений.
В зависимости от степени резкости нарушения призматической
формы стержня или сплошности материала будет та или иная
степень концентрации напряжений, т. е. местного повышения
напряжений.
На рис. 259 приведены эпюры нормальных напряжений,
возникающих в стержне при отсутствии концентрации напряжений
(рис. 259, а) и при наличии концентрации (рис. 259, б). В
последнем случае вследствие резкого изменения сечения вала в крайних
волокнах сечения действуют максимальные напряжения
м
Р1
Смаке — ^^н^
альн
центрации;
где Он ~ -т- — -^ — номинальные напряжения при отсутствии кон-
гы
а — теоретический коэффициент концентрации,
величина которого зависит от соотношения
диаметров й и О сопрягаемых участков стержня,
а также от радиуса закругления г в месте
сопряжений этих участков.
^ Значения а в зависимости от -^г- и г рассчитываются методами
теории упругости и приводятся в справочной литературе в виде
соответствующих графиков или таблиц. В частности, для
круглой галтели при отношениях -^- = 3 и 1,5 на рис. 260
приведен график зависимости теоретического коэффициента
концентрации а от отношения -г.
а
Рассмотрим и другие типичные случаи концентраторов
напряжений, встречающихся при изгибе.
Двусторонняя внешняя выточка (рис. 261).
С увеличением глубины двусторонней симметричной выточки
коэффициент концентрации
приближается к своему предельному у^'лГЧ
значению. При этом в силу так '
называемого закона затухания,
согласно которому чем больше
максимальное напряжение в
{6
, Рис. 262
месте концентрации, тем резче затухание напряжений при удалении
от наиболее напряженной зоны, существенное влияние на
коэффициент концентрации рказывает только кривизна у дна выточки.
Форма выточки в остальной ее части мало влияет на коэффициент
концентрации. Учитывая последнее и принимая, что выточка имеет
форму гиперболы, формулу для определения максимальных напряжений,
выведенную методами теории упругости для случая чистого изгиба
(рис. 262), можно представить в виде
= о„
Р >^ Р
A0.37)
''[/т+(т-')"'»1^т]'
где Он= -^~ номинальное напряжение (без учета
концентрации). На рис. 263 изображена зависимость наибольшего напряже-
зм
2М
ния от —, а на рис. 264 — кривые теоретического коэффициента
» Н р
концентрации а для различных соотношении -т- в зависимости от -V-
Круглые и продолговатые отверстия в
очень широком стержне (рис. 265). Предполагается,
а
что большая ось отверстия совпадает с осью стержня или
перпендикулярна к ней. На рис. 265 даны графики распределения
напряжений для случая, когда — »= 25. При перемещении от дна
выточки вдоль ее контура, а также вдоль оси у напряжения быстро
убывают. Напряжения,
показанные штриховой
щ
ли-
Рис. 265
нией, соответствуют результатам, полученным на основании
элементарной теории изгиба с учетом ослабления стержня в результате-
высверливания отверстия. Для наибольшего напряжения,
возникающего у дна выточки, формула может быть записана в виде
-иA+/^).
A0.88)
где
ЪМ1
2663
б — толщина стержня.
267
Зависимость наибольшего напряжения от — представлена на
рис. 266. Для круглого отверстия а„ако == 2стн- Когда
продолговатое отверстие расположено параллельно оси стержня,
концентрации напряжений около отверстия нет.
глубокая внешняя кольцевая
теле враш,ения (рис. 267). Наибольшее
х.=0
выточка на
напряжение при
Сечете. 1=0
?ме. 2в7
изгибе возникает у дна выточки, где материал испытывает плоское
напряженное состояние. На рис. 267 показано распределение
напряжений 01, (Та и 08 в точках по поперечному сечению в месте
выточки, а на рис. 268 дано распределение напряжений о^ и Оа У
дна выточки в зависимости от отношения ■— при различных коэф-
фициентах Пуассона.
Весьма распространенным
концентратором в машиностроительной
практике являются различного рода
поперечные отве рстия вдеталях
круглого сечения,
работающих на изгиб. Величина коэффициента
концентрации в данном случае зависит
от отношения диаметра поперечного
отверстия й к диаметру детали О.
Зависимость коэффициента концентрации а =
рис. 269.
2,8
2,0
/,2
Л
А\
О 0,2 О,'!-
0.6 0.8 й.
Рис. 269
= / (-| приведена на
Распространенными концентраторами напряжений есть также
различного рода мелкие выточки на круглых
деталях, приводящие к ступенчатости стержня. Величина
коэффициента концентрации в данном случае зависит главным образом
от отношения радиуса закругления г к меньшему диаметру
ступенчатого стержня (диаметру выточки й). На рис. 270 приведен график
зависимости ^ ~ ! [-т] ДЛЯ рассматриваемого случая.
268
Кроме концентрации нормальных напряжений при изгибе в
некоторых случаях приходится иметь дело с концентрацией
касательных напряжений, в частиостн при поперечном изгибе
уголковых, швеллерных, тавровых и двутавровых балок. В данном
случае концентрация напряжений обусловливается резким измеиевнем
толщины элементов сечения балки в месте соединения полни со
стенкой. Как показывают детальные исследования иартииы
распределения касательных напряжений при изгибе, например в балке
двутаврового сечения, фактическое распределение касательных
напряжений не отвечает картине, приведенной на рис. 271, а,
полученной на основании расчетов по формуле A0.20). По линии 1—1,
и
2
1
\
—,,, , 1
С:)
л—
-
"""""■
0,^ 0,2
Рис. 270
03 ^
' й
совпадающей с осью симметрии сечения, распределение
касательных напряжений будет с достаточной точностью изображаться
графиком рис. 271, б. По линии же 2—2, проходящей у самого края
стенки, распределение напряжений в случае малого радиуса
закругления в месте сопряжения стенки с полкой будет представляться
кривой, показанной на рис. 271, в. Из этого графика видно, что в
точках входящих углов сечеиия касательные напряжения
теоретически достигают очень большой величины. На практике эти
входящие углы скругляют, напряжения падают и их распределение в
точках линии 2—2 примерно представляется кривой, приведенной
иа рис. 271, г.
Во всех случаях снизить концентрацию напряжений можно,
вводя соответствующие плавные переходы от одного размера
сечения к другому, закругляя углы, уменьшая жесткость более
массивной части детали в месте перехода и т. п.
Если при статическом изгибе концентрация напряжений не
представляет собой опасности, особенно для элементов конструкций,
изготовленных из пластичных материалов, то в случае динамических
и повторно-переменных нагрузок вопросам концентрации должно
уделяться особенно большое внимание (см. гл. 21).
§ 66. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ
В предыдущих параграфах были рассмотрены вопросы,
относящиеся к расчету балок на прочность. В большинстве случаев
практического расчета деталей, работающих на изгиб, необходимо также
производить расчет их на жесткость. Под расчетом на жесткость
мы понимаем оценку упругой податливости балки под действием
369
приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного
сечения, при которых перемещения не будут превышать
установленных нормами пределов. Для выполнения такого расчета
необходимо научиться вычислять перемещения точек балки под действием
любой внешней нагрузки. Такое умение необходимо также для
расчета статически неопределимых балок.
Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе. Ось балки
(рис. 272) под действием нагрузки, расположенной в одной из
главных плоскостей инерции (в плоскости хОу), искривляется в той
^1>
В<0
^тттшз^_^
0<0
> X
Рис. 272
Рис. 273
же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и
одновременно получают поступательные перемещения. Искривленная ось
балки называется изогнутой осью или упругой линией. На рис. 272 и 273
изогнутая ось изображена тонкой кривой линией.
Перемещение центра тяжести сечения по направлению,
перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в данном
сечении и обозначается буквой хш. На рис. 272 и 273 центр тяжести
произвольного сечения, взятого на расстоянии х от начала
координат, переместился по вертикали из точки 0^ в точку 0^ на
расстояние О1О2. Это перемещение и является прогибом балки т {х)
в сечении с абсциссой х. Наибольший прогиб называется стрелой
прогиба и обозначается буквой /.
Угол Э, на который каждое
сечение поворачивается по
отношению к своему первоначальному
положению, назьюается углом
поворота сечения. Угол поворота также
может быть определен как угол
между касательной к упругой
линии и осью X (рис. 273).
Заметим, что длина изогнутой оси, принадлежащей
нейтральному слою, при искривлении бруса не изменяется, следовательно,
при этом происходит смещение ее точек также и в направлении оси х
(перемещение ОуО^ на рис. 274). Однако в большинстве случаев
смещения V (проекции на ось х полных перемещений) настолько
малы, что ими можно пренебречь.
Условимся оси координат всегда располагать следующим
образом: начало координат помещать на левом конце балки, ось х
направлять по оси балки вправо, а ось ш — вверх.
Прогиб т будем считать положительным, если перемещение
соответствующей точки происходит вверх, т. е. в направлении оси ш.
Рис. 274
270
Угол поворота в будем считать положительным при повороте
сечения против часовой стрелки.
В связи с малостью деформаций балок можно полагать 1д,@!=: @.
Так как тангенс угла поворота есть производная от ординаты
прогиба:
*б® =
<1т
их
A0.39)
то с достаточной степенью точности можно считать угол поворота
в (х) в данном сечении равным производной прогиба ш {х) по
абсциссе сечения:
@{Х):
йт (х)
их
A0.40)
Рис. 275
Таким образом, для
определения деформации
балки в ее произвольном
сечении необходимо
прежде всего получить
уравнение упругой линии
Л)= Р (Х).
Исходя из физической природы изогнутой оси бруса, можем
утверждать, что упругая линия должна быть непрерывной и гладкой (не
имеющей изломов) кривой, следовательно, на протяжении всей оси
бруса должны быть непрерывны функция тяее первая производная.
Прогибы и углы поворота и являются перемещениями сечений балок
при изгибе. Деформация того или иного участка балки
определяется искривлением его изогнутой оси, т. е. кривизной. Так как
влияние поперечной силы на кривизну мало, то и в общем случае
поперечного изгиба уравнение A0.9) можно записать в виде
Из курса высшей математики известно такое уравнение кривизны
плоской кривой:
1
ах^
р(*)
Ы^
A0.42)
Теперь для получения дифференциального уравнения изогнутой
оси остается приравнять правые части выражений A0.41) и A0.42),
выяснив предварительно вопрос о знаке.
Если изгибающий момент положителен, то упругая линия своей
вогнутой стороной обращена вверх (рис. 275, а) и, следовательно,
при принятом направлении координатных осей кривизна А = —
считается положительной. При отрицательном изгибающем моменте
кривизна также отрицательна (рис. 275, б). Если бы ось и) была
271
нами направлена вниз, то при положительном изгибающем моменте
кривизна была бы отрицательной (рис. 275, в), а при
отрицательном моменте — положительной (рис. 275, г).
Сохраняя принятое нами направление оси ш вверх, имеем
соответствие между знаком момента и знаком кривизны, поэтому можем
просто приравнять правые части равенств A0.41) и A0.42). Тогда
[■^(^Л
2
Если бы ось Ы1 была'направлена вниз, то в правой части следовало
бы поставить знак «минус».
Полученное уравнение называется точным уравнением изогнутой
оси бруса.Оно является нелинейным дифференциальным
уравнением второго порядка, интегрирование которого, как известно,
представляет значительные трудности. В связи с этим и так как в
подавляющем большинстве рассматриваемых на практике задач прогибы
малы, точное уравнение A0.43) заменяют приближенным
уравнением — уравнением для малых перемещений.
В знаменателе уравнения A0.43) стои1 сумма двух слагаемых:
1 + 1ё^ е.
^+т
При малых деформациях величина второго слагаемого во много раз
меньше первого. Действительно, при расчете обычных
машиностроительных или строительных элементов нормы допускаемого прогиба
составляют 1/100—1/1000 пролета в зависимости от условий работы
балки, а получающиеся при этом углы поворота не превышают 1°^
Даже приняв больший предел для прогиба [/ = -щ- Л, наибольшую
величину тангенса в получим следующей:
1бв«е1§1°я5 0,02.
Таким образом, значение 1@^ в не превышает 0,0004, т. е. весьма
мало по сравнению с единицей. Этими величинами и можно
пренебречь без ощутимой для практических целей ошибки. Тогда
получим упрощенное дифференциальное уравнение упругой линии:
ач) м {х)
йх^ Е1 {X)
A0.44)
в котором величина изгибающего момента М (х) вычисляется для
недеформированной балки. В дальнейшем уравнение A0.44) будем
называть основным дифференциальным уравнением упругой линии
(для малых деформаций). С его помощью можно вычислять
перемещения в балках при любых условиях нагружения.
Решая задачу аналитическим методом, углы поворота в (х) и
прогибы ы) (х) вычисляют последовательным интегрированием ос-
272
вм = ^ = 141-ч- + с.
новного дифференциального уравнения A0.44). Проинтегрировав
уравнение первый раз, получим выражение для угла поворота в (х):
содержащее одну произвольную постоянную С. Интегрируя второй
раз, находим выражение для прогиба хю (х):
и,(х)=^^с1х^-^^с1х + Сх-\-0, A0.46)
содержащее две произвольные постоянные С и Д. Значения
постоянных С и О определяют из условий закрепления балки следующим
образом:
а) если балка имеет на конце
заделку (рис. 276), то прогиб и угол
поворота в ней равны нулю:
к)в = 0; @в = 0; A0.47)
б) для балки на двух шарнирных
опорах (см. рис. 273) равны нулю
прогибы на этих опорах:
и>д = 0; ы)в = 0. A0.48)
Заметим, что уравнение упругой линии иногда удобно записать
в иной форме, считая заданным не момент М (х), а нагрузку д (х).
Вспомнив, что —^]^^^^ — Ч М. и продифференцировав уравнение
A0.44) два раза, получим
Рис. 276
ё^ {х)
д(х).
A0.49)
Уравнение упругой линии в форме A0.49) применяют при
расчете балок на упругом основании и при рассмотрении колебаний
балок.
§ 67. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИДЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ИЗОГНУТОЙ ОСИ БДЛКИ
Рассмотрим несколько примеров определения деформаций балок
методом непосредственного интегрирования основного
дифференциального уравнения A0.44), а затем установим правила
построения эпюр углов поворота и прогибов, которые необходимы при
исследовании деформированного состояния балок при сложной
системе нагрузок.
Определим вмако и гсмакс ДЛЯ консоли постоянного поперечного
сечения с сосредоточенной силой Р на свободном конце (рис. 276).
Изгибающий момент в сечении х будем вычислять как результат
действия внешних сил, расположенных слева от сечения:
Л1(х) = —Рх.
273
Подставляя выражение для М (х) в уравнение A0.44), получаем
Интегрируем дважды:
6D =
И) (д;) = —
Е^
2ЕЗ
С;
Ял'
ЬЕ}
-\-Сх-\-0.
Для определения постоянных С и О имеем граничные условия:
1) при X = I И) = 0;
2) при ж ^ / е = 0.
( Из второго условия
- Р1^
в@ =
откуда
Тогда
ы){х) =
Из первого условия
ОУ (О =
откуда
С==
2Е^
рр
+ С = 0.
2Е^
A0.50)
Рх» РР , „
'''' +-^1 + В^0,
ЬЕ^
О
2ЕЗ
РР
ЗЕ^
A0.51)
Окончательные уравнения прогиба и угла поворота следующие;
Ы!(Х)
6Е1
е(х) =
(х« — ЗРх + 2Р) =
РР
&Е]
A0.52)
"'■ [1-(^)]. (.0.53)
2Е1 ^^* ^'')~ 2Е}
Упругая линия балки A0.52) представляет собой параболу третьей
степени.
Теперь можно определить Шмако и вмакс Как легко убедиться,
1^макс И вмако имеют место на свободном конце балки в точке А
(при X = 0). Следовательно,
хю„
/л=
: = в.
РР
ЗЕ^
РР
2Е1
A0.54)
A0»55)
274
'йщ
?ГПтт-.|
2Ш
в
^пТТГ'
о
^м^
^^'^ИЦЩ
®
ЩПСс^
2417
®
Отрицательное значение /л
показывает, что прогиб происходит
в направлении, противоположном
направлению оси ьи (т. е. вниз).
Положительный угол поворота вл
показывает, что поворот сечения
происходит против часовой
стрелки.
Сравнивая выражения A0.50),
A0.51) для произвольных
постоянных с выражениями A0.55), A0.54)
для в @) и И) @), убеждаемся, что С
равно углу поворота на свободном
конце консоли (при ж = 0),аО
равно прогибу свободного конца
консоли (при X — 0).
Построим эпюры прогибов и
углов поворота для простой балки
постоянного сечения (рис. 277), несущей сплошную равномерную
распределенную нагрузку д.
Опорные реакции д1
На = Кв = """ •
Изгибающий момент в произвольном сечении
м^x) = ^^x-^.
Составляем дифференциальное уравнение изогнутой оси:
й^ш __ 1 ( д1 дх^ \
Интегрируя его дважды, получаем
бш д1
Рис. 277
в{х)
ьи{х) =
их
4Е1
Я
Я1
\2Е}
Д^-
Я
2\Е]
Граничные условия следующие:
1) на левом конце прогиб равен нулю, т. е. при л; — О
2) на правом конце прогиб равен нулю, т. е. при х = /
Первое условие дает хю@) = О = 0.
Второе условие дает
г.(о = -т:,^-^!^ + а = о.
откуда
д1*
12Е}
с =
2АЕ]
A0.56)
A0.57)
ш = 0;
ю = 0.
A0.58)
A0.59)
Подставив вычисленные значения произвольных постоянных в
уравнения A0.56) и A0.57), получим уравнение изогнутой оси:
а» (х) — -^-^
дх^
12Е1
24Е/
A0.60)
275
и уравнение углов поворота:
й /г\ — -^ — д^^' _ _о^ дР _
^ ' ах ~~ 4Е^ ЬЕ^ 2^Б^
■=-1ёг['-«(т-Г+ЧтГ1- 00.6.)
Для построения эпюр @ (х) и ш (х) вычислим углы поворота по
концам балки, а также прогиб посредине пролета ы) (-^\ — /. Углы
поворота на опорах найдем из уравнения A0.61). При л; = О
получим величину угла поворота на левой опоре:
6^ = 6 @) =
дР
2АБ}
A0.62)
дР
24ЕУ
На правой опоре, т. е. при д; = /,
е A) = вв :=
Сравнивая значения произвольных постоянных С и /) с
выражениями для 0 @) и г:& @), вновь убеждаемся, что они соответственно
равны углу поворота и прогибу на той опоре, где находится начало
координат:
С = е{0) = ^-2||^; Д = :,,@) = 0.
Отметим, что таким будет геометрический смысл произвольных
постоянных на участке, примыкающем к началу координат, для любой
балки при произвольной нагрузке.
Подставив в уравнение A0.60) х — -^, вычислим величину
прогиба:
A0.63)
. 5 д1^
' 384 Е1
Из уравнения A0.60) упругой линии заключаем, что балка
изгибается по кривой, являющейся параболой четвертого порядка. Так
как изгибающий момент на всем протяжении балки положителен,
то, значит, всюду сжаты верхние волокна и, следовательно, балка
изгибается выпуклостью внив.
Вычислив величины прогибов в различных сечениях,
откладываем их в определенном масштабе вниз от базисной линии.
Соединив концевые точки отложенных отрезков кривой, получаем эпюру
прогибов ы). Эпюра прогибов в принятом масштабе изображает
изогнутую ось рассматриваемой балки.
Для построения эпюры 0 отложим вычисленные значения 6^
и &в от базисной линии вниз и вверх соответственно. Из условия
симметрии балки и нагрузки заключаем, что сечение на оси
симметрии (т. е. при X = -к-] не поворачивается. Значит,
вD-]-о.
276
в соответствии с уравнением A0.61) эпюра углов поворота
должна быть очерчена параболой третьего порядка. Строим эпюру по
точкам (рис. 277), вычислив
промежуточные ординаты:
9 цР
384
9
дР
О-г/
*^/
1
V/
.
"*
О^
а
^ .„
* Л
1
Р Ь
С
1С)
3?
б>
л ^
Рис. 278
384 Е^ •
При этом параболическая
кривая на левой половине балки
обращена вогнутостью вверх,
а на правой — вниз.
Рассмотрим еще один случай определения перемещений. Для
простой балки постоянного поперечного сечения, нагруженной
силой Р в точке С (рис. 278), необходимо:
а) найти уравнения упругой линии и углов поворота;
б) вычислить прогибы в точке С и посредине пролета, а также
определить положение и величину стрелы прогиба /;
в) вычислить углы поворота сечений в точках А, В и С;
г) построить эпюры С, М; в и С1У, приняв Р = 18 тс, / = 6 м,
а = 2,2 м, ^^ = 46 470 см*, Е = 2 • 10" кгс/см^
Предоставим читателю возможность самостоятельно решить
этот пример. Укажем лишь, что на каждом из участков балки при
интегрировании дифференциальных уравнений упругой линии бу-"
дут получены по две произвольные постоянные: С1,01 и Си, Вцс
Для их определения к двум опорным условиям балки "* '''^
И) @) = 0; ьу (/) = О - _ ~ ./■
должны быть добавлены условия плавного ~и непрерывного
сопряжения участков АС и СВ в точке С при х ~ а: ' ^
& (й)лев = & (й)прав; !« (а)лев = ЬУ (й)прав.
Эти дополнительные условия выражают отсутствие разрыва "и
отсутствие излома упругой линии балки под силой Р.
Для самоконтроля приводим окончательные уравнения
прогибов и углов поворота:
для участка АС
в(х)
для участка ВС
к» (л:) = —
оЕЛ
РЬ
6ЕЛ
(а^ + 2аЬ — Зх^у,
Ра
6ЕЛ
в(х)== —
1—аЧ + (а^ + 2Р)х + х^
Ра
■ Ых%
6ЕЛ
{а" + 2Р
Эпюры ^, М, в, т изображены на рие.
Ых + Зх^.
279.
A0.64)
A0.65)
A0.66)
A0.67)
277
Воспользуемся результатами этого примера для того, чтобы
определить абсциссы сечений с наибольшим прогибом и величины /
при различных положениях груза Р на балке. Наибольший прогиб
будет иметь место в сечении X], где
их
При а> Ъ это сече'ние находится на участке АС.
Приравняв к нулю уравнение A0.65), получим
X,
= 1/ °(°
+ 26)
/-
/2—Ь"
ом
шт
ОЛ
A0.68)
A0.69)
Исследуем, как будет меняться
абсцисса сечения с наибольшим
прогибом при перемещении силы Р от
середины балки к правой опоре. При Ь-»-
-> О абсцисса лг/ = —7=- = 0,ЪП1.
Значит даже в предельном случае,
когда груз Р подойдет к опоре В,
точка /^ с наибольшим прогибом будет
(в)рад находиться от середины балки на
расстоянии всего
(М^тсм
7.9
Рис. 279
®
ММ
I = 0,577/ — 0,5/ = 0,077/ -=
I
13
Заметим, что на таком же расстоянии
от середины пролета находится
наибольший прогиб и в случае, когда
балка на двух опорах нагружена моментом, действующим над одной из
опор (см. рис. 62).
Подставив выражение A0.69) в уравнение A0.64) для упругой
линии на участке АС, получим формулу для хюшкс = /:
Прогиб посредине пролета найдем из уравнения A0.64),
подставив ж = -2-: , . ,
Анализ формул A0.69) и A0.64) показывает, что даже при Ь -> О
разница между прогибом посредине балки и максимальным
прогибом не превышает 3%. Следовательно, прогиб балки посредине
пролета ^{-т]'^^ ('2") приблизительно равен наибольшему прогибу ^.
Это заключение применимо при действии на балку любых нагрузок,
вызывающих изгиб в одну сторону.
278
Во многих случаях построение эпюр ш и 0 возможно и без
составления аналитических выражений для прогибов и углов
поворота по участкам: достаточно лишь вычислить прогибы и углы
поворота для некоторых характерных сечений. При построении же
эпюр следует пользоваться правилами, которые могут быть
получены на основе анализа дифференциальных зависимостей,
существующих между И), в, М и С. Запишем эти зависимости в удобной
для анализа форме.
Из уравнения A0.44) с учетом выражения A0.40) находим, что
Продифференцировав уравнение A0.72) по х и учтя зависимость
-^=д, получим ^,е см .,„-„.
Таким образом, имеем две группы дифференциальных зависимостей:
т=4^^ Т-еМ-- 00.74)
^'в Я(х) . а^ш _ М(х) ПП7К\
йк^ — Е1 ' йх^ ~ Е1 ' К1^.10}
аналогичных зависимостям, на основании которых были получены
правила для построения эпюр ^ и М {§ 21).
Выражения A0.74), A0.75), а также сопоставление построенных '
эпюр позволяют установить общие для любых балок зависимости
между эпюрами хю, &, ^ и М, которые будут в дальнейшем служить -^
правилами построения эпюр. Укажем наиболее важные из этих
правил:
1. Так как М (х) представляет собой диаграмму производной
эпюры углов поворота в, то ординаты эпюры М пропорциональны
тангенсу угла наклона касательной к эпюре в. В сечениях, где
М (х) — О, касательная к кривой & = Р (х) должна быть
параллельна оси абсцисс (рис. 277 и 279, сечения А и В). Скачку на
эпюре моментов соответствует угловая точка на эпюре в (рис. 283,
сечение С; рис. 286, сечение О).
2. Если изгибающий момент равен нулю на протяжении какого-
либо участка балки, то на этом участке эпюра в прямоугольна,
а эпюра ш прямолинейна, но, вообще говоря, наклонна (рис. 286,
участок ОЕ).
3. На участках, где действует постоянный момент (на участках,
находящихся в условиях чистого изгиба), эпюра в прямолинейна
и наклонна, а эпюра т — параболическая (рис. 286, участок ВВ).
Здесь обнаруживается противоречие с изложенным выше
утверждением, что при чистом изгибе кривизна постоянна 1к = — ==
= "БТ — С0П8П и балка изгибается по дуге окружности. Причина
279
этого кроется в приближенности дифференциального уравнения
упругой линии, которым мы пользуемся для вывода уравнения A0.72).
Строго говоря, при чистом изгибе балка изгибается по дуге
окружности, которая в пределах малых деформаций с весьма большой
точностью может быть представлена квадратичной параболой.
4. Вторая проигводная прогиба
(РО! __ М{Х)
"а?"" Е^
имеет знак момента. Если момент положителен (сжаты верхние
волокна), то вогнутость на эпюре хю будет обращена в сторону
положительных ы) (вверх). При отрицательном моменте вогнутость
параболы обраш,ена вниз. Так как ординаты эпюр изгибающих моментов
мы условились откладывать со стороны сжатых волокон (§ 20), то
вогнутость эпюры прогибов ьи всегда обращена в ту сторону, с
которой расположены ординаты эпюры изгибающих моментов. В
сечении, где действует сосредоточенный момент М, имеем точку
перегиба упругой линии (рис. 283, точка С).
5. Вторая производная угла поворота
аю ^{x)
йх^ ~ Е^
имеет знак поперечной силы. Если (? положительна, то выпуклость
на эпюре 0 будет обращена вниз (рис. 279, участок АС; рис. 286,
участки АС и СВ). При С <; О выпуклость направлена в сторону
оси ш, т. е. вверх (рис. 279, участок СВ). В сечении, где ^ меняет
знак, на эпюре 0 имеем точку перегиба (рис. 279, сечение С).
6. На тех участках балки, где эпюра М изменяется по
линейному закону (участки АС и СВ, рис. 279), эпюра 0 будет
квадратичной параболой, а эпюра ш — параболой третьего порядка.
7. Так как 0 представляет собой график изменения по длине
балки тангенсов углов наклона касательных к упругой линии, то
можно утверждать следующее:
а) на участках, где в направлении оси х прогиб ш возрастает,
угол наклона 0 положителен (рис. 279, участок РВ), при
уменьшении ш углы наклона 0 отрицательны (рис. 279 и 286, участки АС);
б) в сечениях, где 0 = 0, касательная к эпюре ш
горизонтальна, т. е. здесь на эпюре ьу получается аналитический максимум или
минимум (рис. 279, сечение Р).
8. В тех сечениях, где на балке расположены промежуточные
шарниры (рис. 286, сечение С), на эпюре углов поворота будут
скачки. На эпюре ш в этих сечениях получаются переломы, т. е.
угловые точки, в которых скачкообразно изменяется угол наклона
касательной к эпюре ьи.
Перечисленные особенности эпюр позволяют по самому их виду
установить, не допущены ли принципиальные ошибки при
построении. Несколько примеров построения эпюр рассмотрено в
следующем параграфе. В дальнейшем всегда будем пользоваться этими
общими правилами.
280
§ 68. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕ»ЕМЕи|ВНИЙ В БАЛКАХ
ПО МЕТОДУ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Определение перемещений методом непосредственного
интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае
балок с большим количеством участков сопряжено со значительными
трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании
дифференциальных уравнений, а в технике определения
произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем
линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям
нагружения разбивается на п участков, то интегрирование
дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п
произвольных постоянных. Добавив к двум основным опорным условиям
балки 2 (п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех
участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для
определения этих постоянных.
Задача становится очень трудоемкой уже при п = 3. Для
уменьшения большой вычислительной работы, связанной с определением
произвольных постоянных интегрирования, в настоящее время
разработан ряд методов. К ним относится и метод начальных
параметров, позволяющий при любом числе участков свести решение к
отысканию всего двух постоянных — прогиба и угла поворота в начале
координат.
Вывод общих уравнений и примеры их применения. Рассмотрим
некоторую часть балки длиной А (рис. 280, а), проведя сечения
в точках К и Ь. На рис. 280, б изображен этот отрезок,
нагруженный следующими наиболее часто встречающимися нагрузками:
а) сосредоточенным моментом М в сечении с абсциссой о;
б) сосредоточенной силой Р в сечении с абсциссой Ь;
в) нагрузкой, распределенной по закону трапеции от сечения с
абсциссой с до сечения с абсциссой й, интенсивностью
A{х) = дс + '^{х~с),
где к — тангенс угла наклона E касательной к эпюре нагрузки
(рис. 280, а):
г) кроме того, по концам рассматриваемой части балки
приложены поперечные силы и изгибающие моменты, заменяющие
действие мысленно отброшенных частей балки.
При выводе уравнений направления всех нагрузок выберем
такими, чтобы они вызывали положительные изгибающие моменты.
Заметим также, что на рассматриваемом отрезке может быть
несколько сосредоточенных моментов и сосредоточенных сил, а также
несколько участков распределенной нагрузки. Мы показали на балке
по одному из перечисленных силовых факторов лишь с целью
упростить дальнейшие выкладки.
281
Чтобы резко'сократить число неизвестных произвольных
постоянных, сведя решение к определению только двух постоянных
интегрирования, необходимо обеспечить равенство
соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство может быть
только тогда, когда в уравнениях моментов, углов поворота и
прогибов при переходе от участка к участку повторяются все члены
Рис. 280
предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые
обращаются в нуль на левых границах своих участков. Для обеспечения этих
условий при составлении дифференциальных уравнений упругой
линии и их интегрирования должны соблюдаться следующие
правила:
1. Начало координат необходимо выбирать в крайней левой
точке рассматриваемой балки и делать его общим для всех участков,
2. Выражение для изгибающего момента М (х) составлять, вы»
числяя моменты сил, расположенных слева от рассматриваемого
сечения.
3. При включении в уравнения внешнего сосредоточенного
момента М его нужно умножать на множитель (л; — о)", равный
единице. Здесь а — абсцисса точки, где приложен момент М
282
4. В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в
сечении X ^ й, рис. 280, б) ее продлевают до конца рассматриваемого
сечения, а для восстановления действительных грузовых условий
вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления.
«Дополнительную» и «компенсирующую» нагрузки будем показывать
на чертежах штриховыми линиями.
5. Интегрировать уравнения на всех участках следует, не
раскрывая скобок.
Итак, выбрав начало координат в крайней левой точке
рассматриваемого отрезка балки (в точке К), составим выражение для
изгибающего момента М (х) в произвольном сечении крайнего
правого (У) участка с соблюдением пунктов 2—4 указанных правил.
При этом условимся разбивать трапецеидальную нагрузку на
треугольную и равномерно распределенную. Изгибающий момент
запишется так:
М(х)'^ М, + ^^ -\. М{х-аГ -\- Р (х-Ь) + д,.^!-^
-Ча-^^^^^ + к^^^^^~к ^^^^^ . A0.76)
Рассматривая чертеж балки (рис. 280, б), легко убеждаемся в том,
что выражение для изгибающего момента на IV участке легко
получить из уравнения A0.76), вычеркивая члены, учитывающие
нагрузку, появляющуюся лишь на V участке.
Действительно, выражение для изгибающего момента на IV
участке имеет вид
М{х) ^М^-\-^^ + М{x — аУ> -ЬР(х — &)-Ь
+ 9.-^^^ + ^-^^^. A0.77)
у Полезно запомнить, что выражения (л; — о), (х — Ь), (х — с),
.... {X — /) могут быть только положительными величинами. Если
окажется, что (х — Л<„0, то это означает, что соогветствующая
нагрузка расположена справа от рассматриваемого сечеиия и такое
слагаемое должно быть вычеркнуто из уравнения.
Изгибающий момент М^ и поперечная сила ^о, действующие в
сечении, совпадающем с началом координат, называют
статическими начальными параметрами.
Составим дифференциальное уравнение упругой линии на
участке V:
283
Интегрируем обе части равенства, не раскрывая скобок. Тогда
получаем
A0.79)
Интегрируя вторично, находим
ьу{х) = -^[Мо-2- + ^о-^ 4-М-1—_-1- + Р д -Ь
+ Яс 24 Чл §4 +*~П[20 ^ 120 - + '-УХ + Ву\.
A0.80)
Дифференциальное уравнение упругой линии на IV участке
запишется так:
"Т- = -ё!гК + ^^ + М{к~аГ +Р (х-Ь) +
+ '?.-^^^^+«-^^^]. A0.81)
Проинтегрировав его дважды, получим
е (х) = ^5^ =-^ [МоХ + (Зо 4-+ Л1 (X - а)+
+ <?. Т^ + * ^^"^0"^' + С/ух + Оп]. A0.83)
Теперь можно показать, что соблюдение правил составления
и интегрирования уравнений упругой линии обеспечило
равенство произвольных постоянных на /К и V участках. Действительно,
положив в выражениях A0.79) и A0.82) л: — с(, из условий плавного
сопряжения участков получим
+-/.-^^^^ + ^-^^^ + Ок] = е (^)к =-^Р [мой + (Зо4-+
+ ,Л:^^,Л=^}1+Су]. A0.84)
Следовательно, С/к = Су-
284
Положив л; — ^ в уравнениях A0.80) и A0.83), и8 условия
непрерывного сопряжения участков ш (<1)/у = ш {(})у найдем, что и
Выполнив аналогичные операции для остальных участков,
заключаем, что соответствующие произвольные постоянные равны на
всех участках рассматриваемого отрезка балки:
С] = Сц = С[[] =г Сд/ = Су = С; A0.85)
О, = В„ = ^^^^ = 0,у ^Оу = В. A0.86)
Геометрический смысл этих двух постоянных интегрирования
установим, рассматривая уравнения углов поворота и прогибов на
первом участке. Вычеркивая в уравнениях A0.79) и A0.80)
слагаемые, учитывающие нагрузки, приложенные на //—V участках,
получим уравнения для первого участка:
в(х):
Лх
Е^
МоХ+0,^ + С
]■■
м,-^ + ^,^+сx + ^\.
A0.87)
A0.88)
Подставив в эти уравнения л; — О, найдем:
е @) = 00 = С/Е/; A0.89)
ш @) = Шо = С/Е/. A0.90)
Следовательно, произвольные постоянные С и О равны
соответственно углу поворота и прогибу в начале координат. Прогиб т^
и угол поворота в^ являются начальными параметрами.
Подставив значения С и О в уравнение A0.80), получим общее
выражение для прогиба в произвольном сечении балкн:
ш (х) = Шо + воХ +
1
+ Р
{X — ЬK
+ (}с
Е]
{X-
м,^ + ^,^ + м
(X-
су
24
(х — ау
{X-
24
^)- + «-A
2
+
120
120
A0.91)
Для случая нескольких моментов и сил, а также нескольких
участков распределенной нагрузки уравнение записывают в
следующей форме!
ш (X) = Шо + вох +-^ Ыо ^. + Со-|^ + 2 ^-^^-2Г-+
+1;^
(X — 6)=*
3!
+ 2'
(X - сГ
4!
■2?--*^^ +
+Ъ^Щ^~1.^^^^\
A0.92)
285
Уравнение A0.92) обычно называют универсальным уравнением
упругой линии. При этом имеют в виду, что это уравнение
применимо для любых расчетных схем балок.
Дифференцируя уравнение A0.92), получаем уравнение углов
поворота сечений:
A0.93)
М,^'
тт\
^ ■—
^—я.
в уравнения A0.92) и A0.93) подставляют только те нагрузки,
которые расположены слева от рассматриваемого сечения. Знаки
слагаемых определяются знаком соответствующих силовых
факторов.
Таким образом, определение перемещений по методу начальных
параметров сводится в первую очередь к определению величин
начальных параметров ^о, М^, ®о, щ. Статические начальные
параметры Со и Жо находят из условий равновесия балки.
Геометрические начальные параметры во и щ определяют из условий на
опорах. Уравнения A0.92) и A0.93), выведенные для произвольного
отрезка балки, пригодны и для всей
балки в целом. Начало координат,
как правило, будем выбирать в
крайней левой точке балки.
Рассмотрим примеры
определения перемещений в балках по
методу начальных параметров.
В консоли, нагруженной
равномерно распределенной нагрузкой
на половине длины (рис. 281, а),
определим прогибы в сечениях бал-
. ки с абсциссами х = а и к = 2а.
Запишем уравнение упругой линии для правого участка балки.
Так как распределенная нагрузка обрывается в точке С, продлим
ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку
такой же интенсивности (рис. 281, б). Уравнение упругой линии
в общем случае будет иметь вид
[/Но 21
(
",»Г
6
Рис. 281
т {%) -= Ш(, + воХ +
+ <Зо
_
31
+ <?
{х-
-]•
A0.94)
Из условий равновесия балки определяем статические начальные
параметры:
М^^Ма
дО'
^о = ^А = да-
A0.95)
286
^^
Так как начало координат совпадает с заделкой, то
геометрические начальные параметры — прогиб и угол поворота в начале
координат — равны нулю:
Шс=0; во-0. A0.96)
Подставив в уравнение A0.94) найденные значения начальных
параметров, получим уравнение упругой линии в окончательном
виде:
11и{х) =
1
Е^
да-"
21
да
31
~ц
Положив в выражении A0.97) л; =
>= 2а, получим формулу для прогиба
свободного конца консоли:
1!0В =
да'
4!
IV
А
^^"^1
A0.97)
24 Е/ •
Положив в выражении A0.97) х ==
— а, получим формулу для прогиба
в точке С:
да*
Г
№ X
Рис. 282
В7г =
8Е/
A0.98)
В балке, нагруженной, как показано на рис. 282, определим
прогибы и углы поворота в точках С и В.
Запишем уравнение упругоц-л1!нии для крайнего правого участка
балки (участка ВО, где / < л < -т- /|, предварительно продлив
распределенную нагрузку до конца балки и приложив
компенсирующую нагрузку:
ЕЗ
{Х-1У
31
41
+ Я
41
A0.99)
Уравнение A0.99) записано с учетом того, что статические
начальные параметры нам уже известны:
Для определения геометрических начальных параметров имеем
опорные условия:
при л; = О ш @) = шл = О,
при л; = / ш (О = шв = 0.
Из первого опорного условия следует, что
щ=^уоа= 0.
287
Второе опорное условие дает
Ш(/)=во/ +
откуда
1
Е/
Т Р
[ 8 -^^ 6 ■'?-
е - 57 9/3
0 .484 Р.Г •
('-!-) 1
24
= 0.
Теперь уравнение упругой линии для участка балки ВО примет
вид
и» (л;) ==
Е^
384
7 , хз 11 , (л; —О*
+ Я
3'
41
3!
41
A0.100)
Чтобы найти перемещение точки О, достаточно положить в этом
5
уравнении л; — -у /. Тогда
ш
57
384
1 / 3 V , 1 / 1 V] 9** 167
8 б\4/^8 6\4/
<?/*
Т. е.
шо = —0,11
1536 " е1
д1'
Е/
011-^
A0.101)
Чтобы вычислить перемещение точки С, нужно записать
уравнение упругой линии для того участка, где находится эта точка.
Так как она лежи г на границе/и// участков, запишем уравнение
упругой линии для первого участка. С этой целью в уравнении
A0.100) нужно вычеркнуть слагаемые, соответствующие нагрузкам,
появляющимся лишь на // и /// участках. Другими словами,
в уравнение должен войти лишь один силовой фактор —■
Таким образом, уравнение упругой линии на первом участке
имеет вид
^ (^) - ^ [-Ш <^^'' -^Я1р{' A0.102)
Положив здесь л; = -к-, получим формулу для прогиба точки С:
шс
-ш=
43 д1*
768 Е/
■■ 0,056
д1*
288
Чтобы вычислить угол поворота какого-либо сечения балки,
необходимо иметь выражение для угла поворота на соответствующем
участке балки. Уравнение углов поворота для участка ВО получим
дифференцированием уравнения A0.100):
вМ=-^
57 ,3 7 , а;« , 11 , {х — 1)^
('-4-Г
{X — /K
A0.103)
5
Положив здесь х = -^1, получим формулу для угла поворота
сечения О:
«-«(^')Ч^-4-4DГ+-^-4-Ш'-
6 \Т/ '^ 6 \4 I } Е/ '~ ЗМ Е/ ~ • "
Е1
следовательно.
0о = —0,56-^. A0.104)
Уравнение углов поворота для первого участка (участка АС)
получим дифференцированием уравнения A0.102):
Отсюда при л; == -д- получаем формулу для угла поворота в
сечении С:
е.,-еМ \-{ ^'' ^ \ 9Р _ 15 д1^ ООЗЭЛ^
«е - « \-^) - (^-Щ- 8 • 2 • 2= / ^Г ~ ^8Г ^Г ~ ^'^'^^^Г-
Расчет на жесткость при изгибе. Овладев методикой определения
прогибов и углов поворота, можно перейти к проверке жесткости
балок, а также к подбору размеров сечения балок из условия
жесткости.
Обозначив абсолютное значение максимального прогиба балки
через /, а допускаемую стрелу прогиба через [/], получим условие
жесткости балки:
/<[/]• A0.106)
Допускаемые величины прогибов устанавливают на основании
экспериментальных и эксплуатационных данных.
Пример 43. Для балки, нагруженной на расстоянии а = 4 м от левой опоры
сосредоточенным моментом М == 12 тс • м (рис. 283), построить эпюры поперечных
сил, изгибающих моментов, углов поворота сечений и прогибов, а также
подобрать двутавровое сечение из условий прочности и жесткости; [о] = 1бОО кгс/см'';
М\'=-Ш-1-> Я = 2.10«кгс/см<'.
10 в-2770 189
Определив опорные реакции, строим эпюръ! поперечных сия и моментов.
Перемещения характерных сечений будем определять в соответствии с
рекомендованным выше порядком решения. Записываем уравнение прогибов для
участка СВ:
^Щ + в^ + -^У^~6{х-4)']. A0.107)
Начало координат совмещено с левой опорой А, следовательно, Шд=ш_^= 0.
В соответствнн со вторым опорным условием ш (/) = ш^ц = 0.
П?
1^А=гтс^м
Ам=тсп
^^щлжг
Из уравнения A0.107) прн / = 6 м имеем
' [-^-6(/-4J] = 0,
"^ ..(/) = 0о/ + -^
откуда
вп
8
Е^
A0.108)
Подставив выражение A0.108) в уравнение
A0.107), запишем уравнение упругой лннни на уча-
(м)тсм стке СВ в окончательном виде:
ш (х) ■■
[-
•8л:-
-6(.
;х —4J]. A0.
109)
В,75 "•' Е^ I '3
{В^мии Уравнение упругой линии на участке Л С зап»
шстся так:
^^V)см
0,97
Рис. 283
ш(л;) ==
(-
Продифференцировав уравнение A0.109), получим уравнение углов поворота
на участке балки СВ:
в(х).
Е^
[—8 + л?—12(х —4I.
A0.111)
Для построения эпюры в необходимо ш.1числить углы поворота на границах
этого участка:
-8+4»
8
' 0С = вD) = ^^ _-^
0В= в F) =-—-[-8-^ 6=^- 12 F - 4)] :
Е^
■* Если Е измеряется в кгс/см*, а ^ — в см*, то, чтобы получить угол поворота
в радианах, необходимо правую часть умножить на 10'. Тогда
0г
8- 10'
Е!
_ 4-10'
■ рад; вд = -^ рад.
Дифференцируя уравнение A0.110), получаем уравнение углов яовсфота на
а'частке ЛС:
1
Ь{х)
ЕЗ
(-8 + х^).
A0.112)
290
Углы поворота на границах этогб участка уже известны. Таким образом, можно
построить эпюру 0^.
На границах участка откладываем ординаты
8-10' ^ 8 • 10'
-^^—рад и ве = —^
в^ = во = — рад и ве = ;=г7 ред.
Вершины этих ординат в соответствии с уравнением A0.112) соединяем
параболической кривой. Так как С > О, то парабола 0 должна быть обращена
выпуклостью вниз (см. п. 5 на с. 280). В точке А касательная к эпюре должна быть
параллельна оси абсцисс (см. п. 1). Аналогично проводим построение на участке СВ.
Для построения эпюры прогибов вычислим наибольший прогиб. Он имеет
место в сечении, где в (х) = 0. Запишем это условие:
откуда
дг/ = 2.83 м.
В этой точке прогиб имеет экстремальное значение ^1>^^у^^ = А Вычислим
величину стрелы прогиба, подставив в выражение A0.1Ш) лг = Х(:
^^=_-|^B1-2.8а^м^ 0,943-16 _ 15,09..
ЪЕЗ ''■' —'"■- Е^ "- Е1 '"•
Е к I измеряются в кгс/см? и см* соответственно. Поэтому, чтобы получить прогиб
в сантиметрах, необходимо умножить правую часть на 10':
15г09 ,.„
/= ^^г-10»см.
Для построения эпюры прогибов необходимо еще вычислить прогиб в точке
С, являющейся точкой перегиба для эпюры прогибов (в этой точке на эпюре
моментов меняется знак). Полагая в уравнении A0.110) «== 4 м, получим
,,, 4 B4 — 42) 32
или
'0,6 ,„„
тс = Ш~^^ ™-
Откладываем вычисленную ординату вниз от базисной линии. В
соответствии с уравнениями A0.109) и A0.110) эпюра прогибов должна быть очерчена
на обоих участках кубическими параболами. На участке АС момент М > О,
поэтому парабола обращена здесь вогнутостью вверх; на участке СВ момент М<0
и парабола обращена вогнутостью вниз (п. 4).
Перейдем к подбору сечения балки из условия жесткости. Условие жесткости
A0.106) принимает вид
15,09 ^(^,
откуда
ЕЗ
см < [/],
/ > -^?- 'О" ™*-
При Е = 2 • 105 кгс/см? и допускаемой стреле [/] = ——- = 1 см необходим
оОО
момент инерции
, 15,09 • 10» , „.- .
"^ 1.2- 10° ' "" '
* На эпюрах 0 и гг; отложены ординаты, полученные после окоичательиого
расчета; / = 7780 см*.
10* 291
По каталогу сортамента (приложение 1) находим, что нужен двутавр № 30а,
момент инерции которого / = 7780 см*.
Необходимо проверить прочноста выбранного двутавра № 30а, момент
сопротивления которого ))С = 518 см^. Вычисляем наибольшее напряжение:
Л^шкс 800 000 _1545кгс/см^<[а]=1600кгс/см'>.
маке ^ Б18
Следовательно, прочность балки обеспечена.
Расчет балок с промежуточным шарниром. Полученные выше
универсальные уравнения упругой линии и углов поворота были
найдены из рассмотрения участка К!- (рис. 280, б), на котором
балка не имеет промежуточных шарниров, нарушающих плавность
изогнутой оси. Поэтому, рассматривая всю балку в целом и
оставляя общее для всех участков начало координат, применить эти
уравнения к непосредственному определению перемещений на участке
5/^ балки, расположенном правее шарнира 5, нельзя. В этом
случае определить перемещения можно, лишь рассматривая балку по
частям (отдельно часть С5 и отдельно — 5/^).
Можно, однако, показать способ обобщения уравнений метода
начальных параметров и для случая балки с промежуточным
шарниром (рис. 280). С этой целью, записав дифференциальные
уравнения для участков Б5 и 5/^, проинтегрируем их дважды:
для участка 65
а^т(х) М(х)
ах^ ~ Е^ '
®(^)--Т- = 1-4г-^^ + ^- A0.113)
и>(х)=-^йх^-^!^^ах + С„х + В„; A0.114)
для участка 5/^
а^т (х) _ М(х) .
йх^ ~ Е] '
в(х) = ^^ = |4г-^^ + ^- A0.115)
(х) =\^х^ -^^1^ ах + С„рХ + Бпр. A0.116)
Вследствие наличия шарнира углы поворота слева и справа от
точки 5 будут отличаться на некоторый угол а. Для того чтобы
установить связь между постоянными С„, Ъ^ и Слр, 1)пр, составим
условия сопряжения участков в точке 5:
1г;(8)^ = №(8)пр; A0.117)
0(8)^ + а = е(8)пр. A0.118)
Подставляя в равенства A0.117) и A0.118) соответствующие
значения т(8) и вE) из выражений A0.114), A0.116) и A0.113),
292
ХЮ
A0.115), при д; = 5 получим
С^ + а = Спр; A0.119)
С„8 + 0„ = С„р8 + ^р. A0.120)
Из равенств A0.119) и A0.120) находим
Опр = —а8 + 0^. A0.121)
Подставив равенства A0.119) и A0.121) в уравнения A0.115)
и A0.116), сможем записать уравнения углов поворота и прогибов
на участке 5/^ в таком виде:
в(х) = |-4^^^ + С, + а; A0.122)
и>{х)= {йх^-^^У^Aх + С„х + 0„ + а(х — з). A0.123)
Так как было установлено, что левее шарнира 5 произвольные
постоянные С к О на всех участках одинаковы и представляют
собой соответственно угол поворота и прогиб в начале координат,
заключаем, что для сечений правее шарнира в универсальное
уравнение прогибов следует ввести дополнительный член а (х — х), а
в уравнение углов поворота — член а. Итак, при наличии шарнира
^
-•в
ч
ИНН
1
.
Р
[
Ш
Рис. 284
шм
Рис. 285
слева от рассматриваемого участка уравнение A0.92) для этого
участка принимает вид
Яа
2!
(л: — а)^
4!
-I
41
51
^]. A0.124)
Взаимный угол наклона а является дополнительной
неизвестной величиной в универсальных уравнениях для ш (х) и в (х). Как
и начальные параметры щ и ©о, его определяют из опорных
условий.
В зависимости от вида расчетной схемы балки возможны два
основных варианта дополнительных опорных условий:
1. Условие равенства нулю прогиба на правой опоре (рис. 284).
Отсюда определяют только угол а.
293
2. Условие равенства нулю прогиба на опорах В и С (рис. 285).
Угол а здесь определяется совместно с © путем решения системы
двух алгебраических уравнений.
Пример 44. Для балки (рис. 286) построить эпюры ^, М,& к т; подобрать
двутавровое сечение из условий прочности и жесткости, если М. = 16 тс • м; а =
= 2 м; [с] = 1600 кгс/см2; [/] = 10 мм.
Вычислив опорные реакции Му^, Я^ иЯ^, строим эпюры ^и М. Для
построения эпюр в и О! необходимо прежде всего вычислить их значения на границах всех
участков.
Запишем универсальное уравнение
упругой линии A0.124) для крайнего
правого участка балки СЕ, учтя, что геомет-
А^=А/
рические начальные параметры 0^ и т^
равны нулю. Получим
да (л) = а (л; — а) 4
1
31
/?
(X-
■Мп
■2а)з
2!
3!
— М
2!
A0.125)
Значение взаимного угла поворота
сечений в шарнире С — (а^;) — найдем из
условия равенства нулю прогиба в
сечении над правой опорой В:
Шд = И1 Bа) = 0.
Уравнение для прогиба в сечении В
^.М5 получим из выражения A0.125),
вычеркнув последнее слагаемое и положив л: = 2а:
1Ю^ — а Bа) = аа-\-
■ 1 [ .^ 4а2 I Л1 8аЗ "]
Рис. 286
•^ Е^
откуда
2 Ма
A0.126)
Подставив выражение A0.126) в уравнение A0.125),
уравнение упругой линии для участка балки ОЕ:
а){х) — ■
1
Е^
м
— Ма(х-
(х —20)8
■а) — М-
3 Е1 '
получим окончательное
М х^
2!
3!
3!
■М
{х~2,ЪаУ
2!
-]■
A0.127)
'■ Из уравнения A0.127) можно получить уравнения для всех остальных
участков.
Уравнения углов поворота для всех участков получим дифференцированием
уравнений упругой линии на соответствующих участках.
Предоставляем читателю возможность самостоятельно провести все
указанные вычисления и построить эпюры 0 и си. Для самоконтроля на рис. 286
приведены эпюры прогибов и углов поворота.
294
Перейдем к подбору сечения балки. Наибольший изгибающий момент М^^^^=
= М = 16 тс • м. Из условия прочности
^,. -Ломаке 1600 000 3 1ПГ.П ч
Г > -^-^ = —^ёоо— ™' = ЮОО смз.
По сортаменту принимаем двутавр № 45, для которого
Г = 1231 см»; / = 27 696 см».
Проверим, выполняется ли условие жесткости. Находим численное значение
стрелы прогиба:
, , , 25 Ма« 25 16 • 2^. 10»
/-1^^^1-^4-"г^^ = -2Г- 2- 10».27696 '^^^''^Осм.
Условие жесткости A0.106) не удовлетворяется:
}= 1,20 см >[/] = ! см.
Следовательно, размеры поперечного сечения балки необходимо увеличить,
исходя из условия жесткости:
^ = #•4^70^^ !« = »-• ("'•»2«>
Из выражения A0.128) находим, что
25 16 ■ 4 • 10'
^г > 4 2 • 10" • 1 «='"*'=' 33 400 см*.
По сортаменту принимаем двутавр № 50 (У = 39 727 см*),
§ 69. РАСЧЕТ БАЛ^К ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
До сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение
которых оставалось постоянным по длине. Такие стержни, особенно
при значительной их длине, нельзя считать рациональными с точки
зрения веса и расхода материала, так
как размеры сечения подбираются по
усилиям, действующим в опасном
сечении, в остальных же сечениях получа- „
ется весьма значительный избыток проч-
ности. Кроме того, по конструктивным
соображениям стержни, работающие на
изгиб, часто имеют конусность,
отверстия, выточки, ступеньки и т. д. В силу
указанных причин на практике широко
распространены стержни непостоянного
по длине сечения.
С точки зрения расчета на прочность
и жесткость все такие стержни можно
разделить на три основные группы:
а) стержни, имеющие местные изменения формы и размеров
сечений (рис. 287, а):
б) стержни ступенчато-переменного сечения (рис. 287, б):
в) стержни, имеющие непрерывно изменяющиеся по длине
размеры (иногда и форму) сечений (рис. 287, в).
293
ЕЗЕ^-ф-
Разумеется, есть много деталей, в которых сочетаются
различные виды нарушения размеров и формы сечений. В этом случае
при расчете на прочность и жесткость следует учитывать все
особенности, присущие тому или иному виду нарушения формы и
размеров. Перейдем к рассмотрению каждой группы в отдельности.
Местные изменения формы и размеров сечений. Отверстия,
выточки и прочие нарушения формы и размеров сечений вызывают
резкое и значительное изменение картины распределения
напряжений и деформаций. Однако это возмущение носит местный
характер и на напряженное и деформированное состояние стержня в
целом влияет незначительно. Поэтому, определяя прогибь! и углы
поворота сечений, отверстия и прочие нарушения не учитывают.
При расчете на прочность касательные напряжения не принимают
во внимание, а основное условие прочности записывают для
опасной точки, расположенной в одном из ослабленных сечений, так
как здесь может иметь место концентрация напряжений (§ 65).
В зависимости от чувствительности материала к концентрации
условия прочности будут иметь различный вид, а именно: для
высокопластичных материалов (малоуглеродистых сталей, меди,
алюминия) и хрупких неоднородных материалов (чугунов)
концентрацию можно не учитывать и условие прочности записывать в
обычном виде:
-^<И; A0.129)
для однородных хрупких материалов (высокопрочных закаленных
сталей)
а-^<т, A0.130)
где а — теоретический коэффициент концентрации, определяемый
по справочным таблицам (§ 65).
В обеих формулах Ш — это момент сопротивления ослабленного
сечения.
Пример 45. Палец (неподвижная ось), изготовленный из легированной стали
20Х (Ох = 60 кгс/мм^), имеет размеры, указанные на рис 288, а, и нагружен
силой 400 кгс. Посредине пальца есть отверстие диаметром 3 мм для смазки.
Требуется проверить прочность, если" коэффициент запаса прочности Пх = 1,6, и
найти прогиб посредине. Расчетная схема пальца и эпюра изгибающих моментов
показаны на рис. 288, б.
Опасным будет ослабленное сечение, в котором действует М = 400 кгс ■ см.
Опасной точкой, строго говоря, будет точка а (рис. 288, а), однако для расчета
удобнее принять в качестве опасной условную точку Ь, что, очевидно, не внесет в
расчет заметной погрешности. '
Момент инерции ослабленного сечения
где
•^отв = 2 [-^^Щ^^^^ 1- 0.3- 0,35 • 0,575^] см* = 0.072 см«.
296
причем /(,тв вычислено для двух прямоугольников размерами 0,3 X 0,35 см.
Таким образом,
/ = 0,228 — 0.072 см* = 0,156 см*.
Тогда момент сопротивления для определения напряжений в точке Ь
I 0,156
\Г =
0,750
0,750
• смз = 0,208 см".
-
'-Л
т\—\т'
— -|--^
ж
ь<
Ё&—-;
^^^ 1
00
400кгс
иН
1
Р^^200к->л
А
200тс
20
20
20
у 200т:
40
Р=200т
20
^,
Л
ф
(мI(гесн
Рмс. 288
При заданном запасе прочности допускаемое напряжение
[с] = -^ = -^22_ КГС/СМ2 = 37Б0 кгс/см2.
Йт 1,0
Вычислим номинальное напряжение в опасной точке Ь:
400
М
"о:ж"
кгс/см2 = 1920 кгс/см*.
Так как рассматриваемая опасная точка находится возле конструктивного
концентратора — отверстия для смазки, то ИаибоЛЬШее напряжение должно быть
вычислено с учетом концентрации напряжений. Величину теоретического
коэффициента концентрации а находим по графику рис. 269, где при -|=г- = -~- == 0,2
коэффициент а = 1,87.
Вычислим максимальное напряжение и проведем проверку прочности:
''макс = <^и = 1.87 • 1920 кгс/см^ = 3590 кгс/см^ < 3750 кгс/см^.
Следовательно, прочность обеспечена.
Переходим к определению прогиба. Пользуясь универсальным уравнением
упругой линии A0.92), для крайнего правого участка получаем
,, ^ , 1 Г 200л:8 200(д: —2K 200(д:-
ш(х) = е^ + -^[—^ ^ 6
■31],
297
■ Из условия, что прогиб на правой опоре (*= 8 см) равен нулю, получаем
Уравнение для определения начального параметра:
в„ . 8+-^—-(8^-63-23) = 0,
отсюда
во =
1200
Е} •
Теперь для определения прогиба посредине пролета получаем выражение
Е. D) = / = во-4 4--^-^ D3 - 23).
откуда при Е = 2,0 • 10* кгс/см* и / = ^^ = 0,228 см* найдем, что
— 1200-4+1867 2933 ,__5 I, .. ,„-3^
^=-^Ж^2ЖП0^Г-™=-^;228Т2-'0 ™ = -6.44.10 см =
т. е.
/=0,064 мм и
= — 0,0064 см,
/ 0,064
/ 80 1250
Ступенчатые стержни. В местах сопряжения участков с
различными размерами сечений возникает концентрация напряжений.
Если материал чувствителен к ней, то нужно применить условие
прочности A0.130) ко всем сечениям на границах участков. Если
же материал нечувствителен к концентрации напряжений, то нужно
применить условие прочности A0.129) к нескольким вероятным
опасным сечениям.
Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно
или пользоваться общими методами, изложенными ниже (гл. 13),
или применять видоизмененный метод начальных параметров. Суть
последнего заключается в замене ступенчатого стержня эквивалент-
ньш ему по деформациям стержнем постоянной жесткости.
Рассмотрим обоснование такой замены на примере произвольной
многоступенчатой балки (рис. 289, а). Расчленим балку на части постоянного
сечения (рис. 289, б), приложив в местах разрезов соответствующие
внутренние силовые факторы — ^п М.
Дифференциальйое уравнение упругой линии для первой части
имеет вид
ЛЬю{к) М{к) /щ 1ЧП
Аналогично для всех последующих призматических частей
йЧо(к) _ М{к) . . Л^т(к) _ М(к) /1П 119\
Преобразуем заданную ступенчатую балку в эквивалентную
балку постоянного сечения с моментом инерции /о» равным моменту
инерции одного из участков балки, например первого. Умножив
числитель и знаменатель правой части последнего дифференциаль-
298
ного уравнения A0.132) для произвольного участка п на /о.
получим
<Ра| (х)
М(х)
М(х)
Е/„
Е^,
^п
М(х)
Е^^
Рп.
A0.133)
где р„ — коэффициент приведения.
Отсюда следует, что, умножив изгибающие моменты каждой части
балки на соответствукяцие коэффициенты приведения и заменив
Г '"^^™ '—
момент инерции /„
моментом инерции ^о,
получим балочки
одинакового сечения с моментом
инерции ^0, упругие
линии которых
тождественны упругим линиям
соответствующих частей
заданной ступенчатой
балки.
Так как изгибающие
моменты находятся в
линейной зависимости от
нагрузок, то для каждой
части балки вместо
умножения на коэффициент
приведения изгибающих
моментов можно
умножить на этот
коэффициент все нагрузки этой
части вместе с внутрен-
А/.(-
г
\Рг
31Е-©—€
а
м,
''11-©-Й
ы
^'Ц МА. АОМПШ
части вместе с внутрен- | "'г"'., п"!!^"!
ними усилиями С и М ДДЖ7/1=7,Ь"^)Шд ^(^~^^^°>^^~^' ~^
в .ОППО..Х сечениях ^,^,\р,п^^Р,4т
6
ДА//4-- 47.)—------- -~-
в торцовых
(рис. 289, в).
Соединяя теперь
отдельные разрезанные
части, получаем
эквивалентную балку
постоянного сечения. Эта балка
нагружена
приведенными внешними
нагрузками (т. е. нагрузками,
измененными в р„ раз);
в местах сопряжения частей балки действуют дополнительные
силы Аб? и моменты АМ. Величина этих дополнительных нагрузок
определяется разностью приведенных внутренних силовых
факторов, приложенных к левой и правой сторонам сечения:
АС, = С,(Р2-Р1);
АС2 = С2(Рз-Р2);
г
Рмс. 289
299
дм, = м,(Р2-Р.);
ДЛ/г-Л/гФз —Рг). A0.134)
Таким образом, получена эквивалентная балка (рис. 289, г),
упругая линия которой полностью совпадает с упругой линией
заданной ступенчатой
балки. Для любого
участка этой эквивалентной
балки упругая линия
определяется
интегрированием
дифференциального уравнения
1
Р,=Р
1^
'</
Р2=Р
^ ^
■Ьв
а Л:
ш
I"
^Ра ^Р''
Ра
Ы
®
АЧю _ Л1пр(л;)
ах^
Е1„
!'■
A0.135)
^^
/Ра
а
°гРа
Ыр (НЕ.
\
2Р
(М) где Мпр {х) — момент от
гфиведенных внешних
нагрузок и
дополнительных нагрузок А^ мАМ.
Для определения
перемещений в полученной
эквивалентной балке
можно использовать
универсальное уравнение
упругой линии A0.92).
Пример 46. Определить
углы поворота опорных
сечений и прогибы для
трехступенчатой балки, лежащей на
двух опорах (рис. 290, а).
Отношение моментов инерции
сечений отдельных ступеней
балки ^1: ^2 ■ -^3 ~ I : 3 : 2.
Определяем опорные
реакции и строим эпюры
изгибающих моментов и поперечных сил. Разрезаем балку на три части в местах
сопряжения ступеней. На рис. 290, б изображены отдельные части балки,
находящиеся под Действием внешних сил и внутренних усилий 0,к М ъ местах
разрезов.
Приведем заданный ступенчатый брус к эквивалентному брусу постоянной
жесткости с моментом инерции /„, равным моменту инерции /^ сечения его
средней части. Коэффициенты приведения следующие:
•^1
= ^ = 3:
Рг = -
4=и
1л.
= -|-. A0.136)
300
Умножаем на всех участках задаввые вагрузки, а также ^ ч М ъ сечениях
разрезов на соответствующие коэффициенты приведения р„. Все три части с
приложенными к ним приведенными нагрузками показаны на рис. 290, е. Теперь
составим их в один брус постоянной жесткости Е/„ =« Е^^, приложив в сечениях
сопряжений добавочные силы А^^, А^2 и добавочные моменты АМ^ и АМ^.
Вычисляем добавочные сильи
АСх = 4-
д<3, = ^р-
Р —2Р =
4-'—
Вычисляем добавочные
АМ^ = -|- Рй -
АМг = 4Ра -
- 7Рй = —
4-=-
Ч'.
^^.
или
или
моменты:
-1-".
Т''"'
или
или
Д(г1 =
АС2 =
ДМ1
АЛ12 =
= -^РA-3}
I
3
7
" 3
44-
-РйA —
8 п С 3
== —
3) =
-)^
4^^
1
6
И
3
-4-
р
Рс
Эквивалентная балка с приложенными к ней нагрузками изображена на
рис. 290, г. Чтобы убедиться в правильности произведенных подсчетов загрузки
эквивалентной балки, проверяем, соблюдены ли условия ее равновесия:
2]л^(Л) = ЗРй+-|-Р.2о + Р-Зй+—р.-4а + ЗР-5й ^Р • 6й —
Перейдем к определению перемещений при помощи метода начальных
параметров. Возьмем сечение на крайнем правом участке и запишем для него
уравнение упругой линии:
ш^x) = т^ + в^x + -^^-^ 3~ "^—2~^^ + 'Т ^^^—5-^ +
^-ЧР ^ ЧР_Ё11^>!_ '^ я (х-2аГ п (х-3а)з
^р (^-4«)« ■ЗР-^'^"^' 1. A0.137)
6 6 6 ^
Начальные параметры находим из опорных условий: при х= О ш @) = О,
следовательно, а1д = 0; при х= I = 6а 'ш(/) = 0. Используем условие для
определения второго начального параметра вд;
Е^^ I 3 2 ^3 2 ' 6
= 0.
ор EаГ 4 р Dа)8 (За)^ Р Bа)з «з
^/.__ з~^~6 '^~6 6 6 -^^
откуда
во = -10,58-^. 00.138)
Для определения угла поворота 6^ правого конца балки продифференцируем
уравнение упругой линии A0.137) для крайнего правого участка балки Eа < х<
^ 6й) и в полученное таким образом уравнение для В(х) подставим х == / = 6й.
301
Получим
вв=еFа) = ео + -^[ ^±- Ра@а-2а) + ^Ра(еа-4а) +
■ гп фаГ Fа-а)^ 4 ^ Fа-2аГ „ (ба-ЭаУ
Ч-5Я-^ ЗР 2 Х^ 2 ^ 2
Р Fа —4а)* „Р Fа —5йJ 1
" 2 ^^ 2 ]'
откуда находим, что
6^ = 8,92-^. A0.139)
Определим, для примера, прогибы в местах приложения внешних нагрузок
^1 и ^2 (т- е. в сечениях х= а и д; = За),
При д;= й
.(«, = в^н-=.-^.[-1«У^]...=-^
75Рй»
При д; = За
шCа) = еа3а-
Л_^.^. 5Р-1М1-зР-|^
^Б^, 2 ^ 6^5^, &е/„
4 дз Рлз 15 80 Ра^
—д-Р-^|р-=(-10,58 . 3 - 2,33 + 22,5 - 4 - 0,222)^ = --^^^^.
Определение линейных и угловых перемещений любых других сечений бялки
также не представляет каких-либо затруднений.
Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами
сечений. Если размеры сечения стержня непрерывным образом
изменяются по длине, то формулы, полученные на основании гипотезы
плоских поперечных сечений, становятся, вообще говоря,
неверными (как и сама гипотеза). Однако некоторые точные решения теории
упругости показывают, что в том случае, когда угол наклона
образующей поверхности стержня к его осп невелик (не превышает 15—
20°), с достаточной для инженерной практики точностью можно
принимать распределение нормальных напряжений по высоте
сечения прямолинейным. Тогда, естественно, можно вользоваться
обычным условием прочности и дифференциальным уравнением
упругой линии, т. е.
амакс = -^§-<[а] A0.140)
и
.^т_^_]}Ш_ A0.141)
Касательные же напряжения более чувствительны к наклону
образующих поверхности стержня, поэтому формула Журавского в
применении к стержням переменного сечения дает значительные по-
I решности.
302
Расчет на прочность и жесткость стержней переменного сечения
осложняется тем обстоятельством, что момент сопротивления и
момент инерции сечения являются функциями абсциссы х сечения.
На это указывают и обозначения в формулах A0.140) и A0.141).
Последнюю формулу можно записать в несколько измененном виде.
Обозначим через /о момент инерции какого-либо сечения
(обычно наибольшего или наименьшего) и введем понятие приведенного
изгибающего момента;
Мпр {х) == М (х)
/(X)
A0.142)
Тогда, умножив на ^^ числитель и знаменатель правой части формулы
A0.141), получим
Л^лр (^)
Е^о
A0.143)
Эта формула по своему внешнему виду совпадает с формулой
A0.135), но входящие в формулы величины Мпр (х) имеют
различный смысл.
Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине
размерами сечений являются балки равного сопротивления изгибу,
во всех сечениях которых максимальное напряжение равно
допускаемому, т. е.
(X)
\М(х)\
Ш(х)
[о].
Отсюда получают уравнение для
определения размеров балки равного
сопротивления:
М(х)
Ш{х) =
[с]
A0.144)
Задавшись какой-либо формой
сечения (причем таким образом, чтобы
размеры его определялись только одним
параметром), из уравнения A0.144) находим закон изменения этого
параметра по длине балки. Тем самым определяем размеры всех
сечений. Для нахождения перемещений можно пользоваться
дифференциальным уравнением упругой линии A0.143).
Найдем форму консоли равного сопротивления изгибу. Сечение
прямоугольное с постоянной шириной Ь и переменной высотой
(рис. 291).
Обозначим высоту балки в произвольном сечении через Н {х).
Тогда
кроме того, очевидно,
1Г (х) = -^ ,
IМ (х) I =- Рх.
303
Поэтому, согласно уравнению A0.144),
ЬЬР' (X) _ Рх
6 ~ [о]
откуда
"м-Уп^^Кх
Ь[а]
Следовательно, высота рассматриваемой балки равного
сопротивления будет изменяться по параболическому закону (рис. 291, б).
I
При этом
К = Н (О = У
6Р
Ь[а]
УТ.
Заметим, что в окрестности концевого
сечения (х ■= 0) изгибающие моменты
малы, поэтому высоту сечения следует
определять из условия прочности по Тмакс:
чумаке —
откуда
1
®
□Ж]
пжп
л>
р
ьн
ЗР
[т].
6
Рие. 292
®
26 [т]
Построенная балка параболического
очертания наиболее рациональна с точки
зрения экономии материала, однако из-за
сложности формы не удовлетворяет
технологическим требованиям. Поэтому на
практике применяют не балки равного
сопротивления, а близкие к ним ступенчатые
стержни.
Аналогично обстоит дело и в случаях
двутаврового, круглого и других видов
сечений. Есть один вид балок равного сопротивления с весьма
простым очертанием, который получил широкое распространение в
листовых рессорах,— это балки прямоугольного сечения с
постоянной высотой Н и переменной шириной Ь (х).
Найдем форму балки равного сопротивления изгибу для схемы,
показанной на рис. 292, а. Сечение балки прямоугольное с
постоянной высотой Н и переменной по длине шириной Ъ {х).
В силу симметрии для определения формы балки достаточно
рассмотреть только левую половину пролета. Тогда
М{х)= -^-х; 1Г {х) = -Ц
Подставляя эти выражения в формулу A0.144), получим
6Р«
26 (х) к^
= т.
304
Ьо=ьD-)-
откуда
Ширина сечения меняется по линейному закону, и, следовательно,
балка имеет вид, представленный на рис. 292, б. Максимальная
ширина Ьо будет посредине пролета:
2Н* [а] '
Определим наибольший прогиб / этой балки. Согласно
выражениям A0.142) и A0.143), имеем
~3х^ Е/о
где
' Л4„р(х) = Л1(х)_А_=.-^х-А_.
в данном случае
/ — ^<^* . т 1^\— ^ (^^ ^* .
так что
и, значит.
■^0 ''" ^
1(к) Ь (х) 2х
Л^пр (х) = -5Г- X • -к- = -V-
2 '^ 2л:
На рис. 292, б показаны эпюры Ма ^, а также эпюра
приведенных изгибающих моментов.
Таким образом, дифференциальное уравнение упругой линии.для
левой половины пролета имеет вид
й-^^ю Р1
Ох.» "~ 4Е/о
Дважды интегрируя его, получаем
к;
Отсюда
Тогда
оянных с и в I
»ана штриховой ли
@) = вD^==0.
Для нахождения постоянных С и В используем симметрию
упругой линии (она показана штриховой линией на рис. 292, а):
-^; 0 = 0.
(')=4г[т'--Т']
305
значит,
I I \ \ I Р1 Р РР I \
и, следовательно,
Г
ш
^I=
РР
анЕЗ,
<
<
г
СГ
^
>-ь-
\
Н
й
ь>+
>^
.
<1:Ц
Рис. 293
Если бы балка имела постоянное сечение, то из условия
прочности мы нашли бы, что она будет прямоугольного очертания в
ллане (балка с постоянной
шириной Ьо на рис. 292, б
показана штриховым контуром).
Для такой балки
максимальный прогиб
Таким о6раз<ш, балка
равного сопротивления имеет
вдвое меньший вес, чем балка
постоянного сечения, а
максимальный прогиб ее в полтора
раза больше, т. е.
/=1,5/'. A0.146)
В заключение отметим, что
у опор ширина сечения Ь должна быть определена из условия
прочности по Тмакс- Но размер Ь получается незначительным, и обычно
прочность у концов обеспечивается конструктивным устройством,
необходимым для опирания балки.
Расчет обычной листовой рессоры (рис. 293, г), состо5!Ш,€й из
пакета листов, приводится к расчету только что рассмотренной
балки. Будем рассуждать следукмцим образом.
Разрежем балку равного сопротивления (рис. ^3, а) на полосы,
как показано на рис, 293, б, а затем сложим одинаковые полосы
шириной -^. В результате, получим п полос шириной
и
изображенных на рис. 293, е. Сложив эти полосы вместе, получим
представленную на рис. 293, г листовую рессору.
Если все листы соединить между собой (например, сварить или
склепать), то получится балка постоянной ширины I и переменной
высоты сечения. В рессорах же листы не связаны друг с другом
(хомуты, имеющиеся в рессорах, служат для того, чтобы рессора
не рассыпалась) и имеют возможность свободно проскальзывать
относительно друг друга. Кроме того, приближенно можно считать,
что при деформации вс^ полосы получают одинаковую кривизну.
Тогдй бумма полос, находяш,ихся в рессоре, с точки зрения напря-
жений и деформаций будет эквивалентна сумме полос, показанных
на рис. 293, б, т. е. балке равного сопротивления постоянной
высоты и переменной ширины (рис. 293, а). Поэтому для такой рессоры
условие прочности (учитывается, что Ьд — 1п) имеет вид
^^' - М. A0.147)
(^к^ке —
а наибольший прогиб [см. равенство A0.146K
где
/=1,5Г= 1.5
М"
48Е^.
1пН?
A0.148)
12
12
Для рессоры, показанной на рис. 294, а, соответствующая балка
равного сопротивления имеет форму треугольника (рис, 294, б)
и, очевидно,
г =
О'макг. —
К1^
е^1
Поэтому условие прс«но€тн имеет вид
^пк^
/ = 1,5-
№
Р1^
A0.1^>
A0.150)
Рис 294
Ш1^ 2Е1о
Заметим, что рессоры изготовляют из
высокопрочных сталей, так что обычно величина [а]
достигает 4000 кгс/см^ и выше. Что касается
прогиба рессор, то на практике (главным
образом из-за трения между листами) он получается несколько
меньше, чем у соответствующей балки равного еопрашвления, швтому
в формулах A0.148) и A0.150) вместо коэффициента 1,5 принимают
Р = 1,2 4-1,40.
Пример 47. Ресс<^а (рис 292, 29^) длиной 100 см, состоящая из семи полос
сечением 60 X 8 мм, нагружена силой Р = 750 кгс. Требуется проверить
прочность рессоры ([<т] = 4500 кгс/см?) и найти максимальный прогиб.
В данном случае А = й,8 см; 1= 6см; 1= 100 а»; Р= 750 кгс; я = 7. Тогда
/о =
(пН»
6 . 7 . О.»"
12
12
см*== 1,79 см*.
100
По условию прочиосхи A0.147)
аР! 3 . 750 .
<^мзкс ~ 2^пH ~ 2 . 6 - 7 . 0,^
Следовательно, рессора прочная.
ыс/см* = 4180 кгс/см^ < 4500 кгс/с»^.
^7
Далее, пользуясь формулой A0.148) и заменяя в ней коэффициент 1,5 на р,
находим, что
РР 750 • ЮО**
^= Р^ШГ=<''^^-^'''°) ^8Т2ТТТоёТТдГ ^"=(Ь25-^1,40) 4,16 см =
= 5,2 -=- 5,8 см,
т. е. наибольший прогиб лежит в пределах 52—58 мм.
В заключение отметим, что приведенный способ расчета
листовых рессор в известной мере условен, так как:
1) не учитывает трения между листами рессоры;
2) в действительности листы рессоры соприкасаются друг с
другом не всюду, а только в отдельных точках, вследствие чего
кривизна листов при деформации неодинакова, а значит, и напряжения
в них различны.
§ 70. РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ
Расчет на изгиб с учетом сил инерции приходится проводить
в том случае, когда элементы конструкций в процессе эксплуатации
испытывают большие ускорения, вызывающие значительные
инерционные усилия. Классическим примером деталей, прочные размеры
которых следует выбирать из условия расчета на изгиб с учетом
сил инерции, являются спарники локомотивов и шатуны двигателей.
1|1 Рассмотрим спарник АВ (рис. 295), соединяющий два колеса,
одно из которых (О1) является ведущим и на него передается
вращающий момент от машины. В точках А и В спарник присоединен к
колесам при помощи цилиндрических шарниров; расстояния ^402
и В01 равны радиусу кривошипа г; диаметр колеса — В; длина
спарника /; локомотив двигается-с
постоянной скоростью V.
Участвуя в переносном
движении вместе с локомотивом с
постоянной скоростью V, спарник, не
имея ускорений, не будет
испытывать инерционных усилий.
Ускорение он получит только в процессе
относительного движения. Так как
в этом движении точки А и В
спарника перемещаются одинаково, описывая в одной плоскости
окружности радиуса г, то это движение будет плоским и
поступательным. Следовательно, все точки спарника будут иметь те же
скорости и ускорения, что и точки А и В.
Точка А движется вместе со вторым колесом, описывая
окружность радиуса г. При постоянной скорости движения локомотива
угловая скорость вращения колеса ю постоянна. Следовательно,
тангенциальное ускорение точки А равно нулю, а
центростремительное ускорение а!„, направленное от течки А к точке Оа, равно ео^.
Рнс. 295
308
Любой элемент спарника испытывает такое же ускорение,
направленное параллельно О^А.
Определяя изгибающие моменты в спарнике, необходимо к
равномерно распределенным силам инерции, интенсивность которых
прибавить его собственный вес. При этом наиболее опасным
положением спарника, очевидно, будет крайнее нижнее, т. е. положение,
в котором нагрузка от сил инерции суммируется с нагрузкой от
собственного веса. Тогда полная нагрузка д на единицу длины
спарника д
При выборе расчетной схемы спарник в
данном случае надо рассматривать как
балку, шарнирно опертую в точках Л и В и
нагруженную равномерно распределенной на- Рис. 296
грузкой ц.
Наибольший изгибающий момент будет, как известно, посредине
пролета:
а наибольшее напряжение в опасном сечении
Омакс - 1^ - Г ■ 8 Г "*" ~7~/ *
Кроме инерционных нагрузок и собственного веса, вызывающих
изгиб, спарник при работе подвергается действию осевой силы,
которая также должна быть учтена в расчете на прочность. Условие
прочности при совместном действии изгиба и осевой силы приведено
в §76.
Подобным же образом можно выполнить и расчет шатуна
(рис. 296), шарнирно скрепленного в точке А с кривошипом ОЛ,
вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью ю.
Если кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то
точка А шатуна испытывает только центростремительное, а точка
ВI— только тангенциальное ускорение. Все промежуточные точки
шатуна, расположенные между А и В, имеют и то и другое
ускорения. Ограничимся учетом только центростремительного ускорения.
При таком положении, когда кривошип составляет с шатуном
угол 90°, направление центростремительного ускорения
перпендикулярно к оси шатуна. Естественно предположить, что
центробежные силы инерции везде перпендикулярны к оси шатуна и по длине
его меняются т д ^ Gмакс в точке Л до ^ = О в точке В. Это
предположение тем ближе к истине, чем больше длина шатуна по
сравнению с длиной кривошипа.
309
Составляя расчетную схему, шатун следует рассматривать как
балку АВ на двух шарнирных опорах Л и Б с нагрузкой,
распределенной по закону треугольника (см. рис. 73). Максимальный
изгибающий момент, как известно, будет в сечении на расстоянии
/
X = 'у-д- от точки В:
'"макс —■
а максимальное напряжение
^^
макс
9/3
макс
\у
'/макс — ~ ^ ''»
РуРау^г
Учитывая, что
найдем
Заметим, что в рассмотренных случаях, определяя напряжения
в спарнике и в шатуне, мы из всех возможных положений,
непрерывно меняющихся в процессе эксплуатации, выбирали положение
рассчитываемого элемента, соответствующее опасному положению.
Помимо нормальных напряжений, вызванных изгибом, при
расчете шатуна на прочность следует учитывать также и действие
осевой силы (см, гл. 19).
Глава 11
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА
§ 71. О РАСЧЕТЕ СОСТАВНЫХ БАЛОК
В строительной практике, а также в самолетостроении,
судостроении и т. д. встречаются балки, однородные в отношении
материала, но не представляющие собой монолитного стержня. Это
главным образом сварные (рис. 297) и клепаные (рис. 298) балки
двутаврового сечения. Такие балки состоят из трех основных частей:
двух поясов и стенки. Стенка 1 представляет собой вертикальный
лист (рис. 297 и 298). Пояса 2 сварной балки (рис. 297) — это
горизонтальные листы большей по сравнению со стенкой толщины.
Пояс клепаной балки в свою очередь состоит из нескольких
деталей — поясного листа 2 и поясных уголков 3 (рис. 298).
Отдельные части составной балкч скрепляют в одно целое при
помощи соединительных элементов. Соединг.тельным элементом
310
сварной балки есть сварной шов 3 (рис, 297). В клепаной балке
соединительными элементами являются поясные заклепки 4, а
также заклепки 5, соединяющие поясные листы с поясными уголками
(рис. 298).
При расчете на прочность составных балок нужно удовлетворить
следующим требованиям:
1. Сечение в целом должно иметь необходимую прочность.
2. Листы поясов, а особенно стенки составных балок
представляют собой тонкостенные элементы и способны при сжатии (пояса)
или при сдвиге (стенки) терять устойчивость, коробиться. Чем
меньше толщина листов и чем больше длина свисающей части
с поясных листов, тем меньшую
нагрузку может выдержать балка без
опасности коробления листов. Поэто-
5
ЕС
Ж
Ег:^
^хз
Рис. 297
му необходимо ограничивать величину с (рис. 297 и 298) и не
принимать для листов слишком малую толщину. Чтобы предотвратить
потерю устойчивости стенки, ставят уголки или ребра жесткости.
3. Соединительные элементы должны обладать достаточной
прочностью.
Первый вопрос решается методами, изложенными в предыдущей
главе, и сводится к расчету сечения по 0макс, к определению
толщины стенки из расчета по т„акс и, в ряде случаев, к проверке
сечения по теориям прочности в месте перехода стенки в полку.
Второй вопрос, как и вообще подробный расчет составных балок,
излагается в специальных курсах (например, в курсе металлических
конструкций). Здесь же остановимся только на расчете
соединительных элементов.
Двумя близкими сечениями выделим элемент их сварной балки
(рис. 299, с). Пусть в левом сечении поперечная сила и изгибающий
момент равны ^ и Л1, а в правом — ^ -{- й^ и М + йМ. Тогда
по формуле A0.18) Нормальное усилие в левом сечении пояса
Л^.
М8п
где 5п — статический момент пояса относительно нейтральной линии
сечения.
311
в правом сечении пояса
Нормальные усилия в правом и левом сечениях пояса
отличаются на величину
Усилие йЛ/д стремится сдвинуть пояс относительно стенки, в
результате чего сварные швы, прикрепляюш,ие пояс к стенке (их два),
работают на срез как фланговые швы. Условие прочности для них
^_^ имеет вид (§ 52)
"ТШ
а-
I
^.
-с^
т —
йР^
< [Т^].
Ня
Рис. 300
Если обозначить через Н^ катет
шва (рис. 299, б), то площадь среза
йРср = 2 • 0,7Н^с1х.
Тогда касательное напряжение в
опасном сечении шва
ар.
Но
ам
Ах
ср
2 • 0,7Лш^ Л
— ^, поэтому окончательно условие прочности для шва
примет следующий вид:
С5п
2 • 0,7Лш^
< [Тэ1.
A1.1)
Заметим, что найденная выше разность усилий в двух сечениях
пояса относится к тому случаю, когда расстояние между этими
сечениями равно их. На единицу же длины пояса нормальное усилие
получает приращение, кгс/см.
9/ =
Ах
ам5„
Аx^
или
Ч{
^8п
A1.2)
Часто применяют не сплошные, а прерывистые (шпоночные) швы
(рис. 300). Рассмотрим шпоночное сварное соединение.
На рис. 300 /„, — длина шпонки, а — шаг шва. Расчетная
длина шпонки с учетом непровара будет 1^ — 1 см. На участке АВ
длиной а в поясе развивается разность нормальных усилий
Рассчитывая шпонку на это усилие, получим
A1.3)
д5па
2 . 0,7Лш Aш — 1) /
< [Тэ].
A1.4)
312
в клепаной балке (рис. 301) усилие АЛ/п воспринимается поясной
заклепкой 1. Эта заклепка должна быть рассчитана на срез и смя-
тие. Поскольку заклепка двусрезная, площадь среза Рср = 2-4—-
Расчетная площадь смятия Р^и ~ /ст^ или Рем = 21у,4- Обычно
толш^^на стенки /ст меньше
удвоенной толщины полки
уголка. Поэтому будем
считать Рск= иА-
Условия прочности на срез
и смятие для поясных
заклепок имеют вид
ДЛ-п С5па
т =
Осм —
' ср
Р.
пй^
^5ф
<[т];
(П.5)
< [Оси]-
A1.6)
Рис. 301
Заклепки 2, соединяющие поясные листы с уголками, расчету
не подлежат, так как они имеют те же диаметр й и шаг а, что
поясные, а нагрузка на них меньше, поскольку в формуле (И.З)
вместо 5п для них нужно принимать 5п = 5п — 5уг, где 5уг —
статический момент уголков.
§ 72. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК
ТОНКОСТЕННОГО ПРОФИЛЯ. ЦЕНТР ИЗГИБА
Допущения, положенные в основу вывода формулы A0.20),
в достаточной степени соответствуют действительности, если ширина
сечения Ь мала по сравнению с высотой (размером,
перпендикулярным к нейтральной линии сечения). Так,
во всех сечениях, показанных на рис. 302,
ширина тп на уровне, где определяются
касательные напряжения, мала по
сравнению с Л. В этих случаях формула A0.20)
дает верные результаты. Если сечение
представляет собой тонкостенный профиль
(рис. 302, в, г, д), то в полках ширина
сечения т!^! значительна и картина
распределения касательных напряжений здесь
существенно меняется: они не только
переменны вдоль средней линии полки т1Л1, но
и направление их становится не
параллельным, а перпендикулярным к усилию С.
Заметим, что в полках будут действовать и касательные
напряжения, параллельные С. Однако эти напряжения настолько малы по
сравнению с касательными напряжениями, параллельными средней
313
А,
Чх
!^^
ТГ
Щ-.
„таг
>^^ у\
0,1
0(х1
11111111A111A 1&3111111111
1
,<гггГГШМ\
ш
ш
^11
11Ьк
р^
®
®
линии полки (будем обозначать их г„), что их можно совсем не
принимать во внимание.
Получим формулу для вычисления касательных напряжений т^
в полках тонкостенных профилей.
Для определенности проведем вывод на примере балки
двутаврового сечения. На рис. 303, а показана балка, ее схема и эпюры
,р ^иМ. Двумя близкими
й, в^ } -[^|.- I поперечными сечениями
^^^^ ^ ^^^^ выделим
элемент балки длиной их
(рис. 303, б).
Проведем в сечении
балки А1В101Е1 в
нижней полке линию т^п1 на
произвольном
расстоянии 2 от оси у. в точках
этой линии будут
действовать (У и Тп Сейчас нас
интересуют лишь
касательные напряжения т^.
И(х}+с1М Учитывая, что полка
а узкая {I мало по
сравнению с Ъ), примем
следующие допущения:
1) во всех точках
линии т1П1 касательные
напряжения одинаковы,
т. е. Тд постоянны по
толщине полки и зависят
только от расстояния г
до вертикальной оси;
2) всюду в полке Тд
параллельны средней
линии полки.
Отсечем часть
элемента балки, проведя че-
Рис. 303 рез т1П1 вертикальную
плоскость,
параллельную оси балки (рис. 303, б и е), и рассмотрим только те
напряжения, которые действуют в гранях отсеченной части полки и дают
усилия, проектирующиеся на ось х.
Нормальные напряжения приводятся к усилию Л^1. Согласно
формуле A0.18),
М (х) 8 (г)
Л^1
Здесь
^(^)=(-1--фD--4)
A1.7)
814
т. е. 5 (г) — статический момент площади А1С1т1П1 относительно
нейтральной линии. Он является функцией
координаты 2.
В грани А2С2т2П2 нормальные напряжения приводятся к
усилию
ЛГ,
Щ {х) + аМ] 8 (г)
«2 ~ I
^г
причем, очевидно, величина 5 (г) такая же, как и для первого
сечения.
В грани П1т11ЩП2г согласно закону парности касательных
напряжений, возникнут напряжения
т' - т„.
\--- .Л
ли-
/I
7="
Рис. 304
А
П
э
!к^
В силу первого допущения г' считаем равномерно
распределенными по толщине полки ^, а в силу малости размера п^п2 =
= т^т^ = Ах можно считать, что т' распределены равномерно и по
длине их грани п^т^тф^. Площадь этой грани равна Ых, поэтому
действующие в ней касательные напряжения приводятся к усилию
йТ = хЧйх = х^Ах.
Направление т' должно быть таким, чтобы усилие йТ
уравновесило разность
^1^ ^1^ _Л^ _- [М(х) + ЛМ]5(г) Л1(хM(г) _ ЛМ • 5 (г) .
Если в уравнение равновесия
подставим выражение для йТ и ^Л^, то получим
х„1Aх
ам • 8 B)
Разделив последнее равенство на /их и имея в виду, что
получим
ам
их
^8(г)
A1.8)
Напряжения т„ всегда образуют единый поток с касательными
напряжениями т в стенке профиля (рис. 304). Последние же
определяются по формуле Журавского и направлены в сторону ^.
315
Формула A1.8) для касательных напряжений Тп в полках
и формула A0.20) для касательных напряжений ТВ стенке дают
возможность вычислить касательные напряжения в любой точке
тонкостенного профиля и построить полную эпюру касательных
напряжений. При этом обычно пренебрегают уклоном полок в
двутаврах и швеллерах и считают, что полка имеет постоянную,
указанную в сортаменте, толщину /. Кроме того, пренебрегая
закруглениями, эпюру т доводят до
полок, а эпюру Тп, пренебрегая наличием
стенки,— до оси профиля.
Примр 48. Построить полную эпюру
касательных напряжений для сечения двутавровой
балки № 20, в котором действует поперечная
Ю87кгс/см'ста й== 10 000 кгс (рис. 305).
По сортаменту находим, что / = 1840 см*;
5 = 104 см^, и вычисляем статический момент
полки относительно нейтральной линии:
— I ^ М _
^полки — ^' \-~^ ^ 1 —
/ 20 0,84 \
= 10 • 0.84 /— —\ см' = 80.47 см».
Тогда касательные напряжения в месте соединения стенки с полкой
С^полки 10 000-80,47 , , о,, , а
''» = 1Г- = - 1840 • 0.52 '''""/™ = ^^ '''^'^^'
и наибольшие касательные напряжения в точках нейтральной линии
С5 10000- 104
Ри<. 305
^с^
1840 - 0,52
кгс/см* = 1087 кгс/см*.
По этим данным строим параболическую эпюру г для стенки.
Для построения эпюры касательных напряжений Тп в полках двутавра
обратим внимание на то. что, согласно выражениям A1.7) и A1.8),
'"^-7-(т—т)(-Т~')
Координата г точки, где определяется Тп, входит в это выражение в первой
степени, значит, эпюра Тд будет прямолинейной.
Непосредственные вычисления проведем по формуле A1.8). Для края полки
:(|) = 0,
а значит, Тп = 0. Для середины полки (г = 0)
5@)=-^5„„,,„=40,2см^;
О —— Ч
^ 2 полки
7^
10 000 - 40.2 , , „.„ , ,
1840 . 0,б4 '"■'''^^" ^ ^^ ^^^^'^^^•
По этим данным строим треугольную эпюру Тп на правой половине полки. На ее
левой половине эпюра будет симметричной, так как статические моменты по
абсолютной величине там такие же, как и на правой половине полки. Очевидно,
такой же вид имеет эпюра Тп и для нижней полкн.
316
Наличие касательных напряжений в полках тонкостенных
профилей приводит к тому, что в крайних волокнах балки, где действуют
наибольшие нормальные напряжения а„а„с, напряженное состояние
будет плоским, а не линейным (рис. 306). Поэтому в таких балках
вероятной опасной точкой будет не произвольная точка крайних
волокон, а та точка, где т^ = т ^^
балок следовало бы писать
не в обычном виде
Оп макс — гш ^ [О^!!
Условие прочности для Этих
A1.9)
Рис. 306
а с использованием теорий I
прочности, что имеет смысл
для нестандартных профилей,
особенно при наличии
широкой полки.
Касательные напряжения
в полках тонкостенных
профилей могут существенно изменить характер напряженн9Г0
состояния стержня и вид его деформации.
Если сечение имеет две оси симметрии и силовая плоскость
проходит через одну из них (например, у двутавра), то в нем возникают
касательные напряжения, показанные на рис. 307, а (см. также
рис. 306). Эти напряжения дают равнодействующие усилия Т^ и Т„
(рис. 307, б). В силу симметрии полок относительно вертикальной
оси усилия Т„ взаимно уравновешиваются на каждой полке.
У
1о
:=3 С
II
1—
1—
1
1
1
1
1
)
-1-
т„
—'—^1
т
ЯП
Цм
—-^ 1
|<?
-Я/7,
2 аг
-гг-
?^=^
Ил
Цт
3
Цт.
2о
^]
Рис. 307
Рис. 308
Иначе обстоит дело в том случае, когда главная центральная
ось сечения, перпендикулярная к нейтральной линии, не является
осью симметрии (рис. 308). Касательные напряжения в стенке и
полках здесь приводятся к усилиям Гст и Тп, показанным на рис. 308, б
(как и раньше, вертикальными касательными напряжениями в
полках пренебрегаем). Поперечная сила B, являющаяся
равнодействующей этих усилий,
317
очевидно, будет направлена вертикально вниз, но она уже не будет
проходить через центр тяжести сечения, так как две силы Т„ дают
еще и пару сил. Сила ^ сместится на некоторое расстояние гс
(рис. 308, б), пересекая нейтральную линию в точке С.
Чтобы найти гс, воспользуемся тем, что момент
равнодействующей относительно какой-либо точки равен сумме моментов
составляющих относительно этой же точки. Будем вычислять моменты
относительно точки С.
Тогда получим
2мс = дBс+-|-)-т„(л-о = о,
откуда
Эта формула не дает еще окончательного ответа на вопрос о
положении точки С, поскольку она выражает координату гс не только
через геометрические, но также и через силовые факторы. Чтобы
исключить последние, вычислим усилие Т„.
На элемент полки йг (рис. 308, а) действует элементарное усилие
AТ„ = х„Шг. Следовательно,
—(га—*
Пользуясь выражением A1.8):
и учитывая, что
получим
8(г)={Ь-го-гI-^^,
ь—г»
—(г„-й)
~(г„—й)
Внеся последний результат в формулу A1.9), получим окончательно
Выясним теперь, какое значение имеет смещение
равнодействующей ^ относительно центра тяжести сечения. Для наглядности
рассмотрим один из простейших случаев, когда на консоль
швеллерного сечения действует вертикальная нагрузка Р (рис. 309, с),
причем силовая плоскость совпадает с одной из двух главных
плоскостей стержня (плоскостью ху). Эта нагрузка вызывает в сечениях
318
балки переменные по длине изгибающие моменты М (х) — Рх л
поперечную силу ^ (х) — Р (рис. 309, б). В сечениях появляются
касательные напряжения: т — в стенке и т^ — в полках.
Поперечная сила ^ (х) = Р, являющаяся равнодействующей касательных
усилий, в любом сечении смещена относительно геометрической
оси стержня (оси х) на одно и то же расстояние «о + 2с.
Таким образом, участок балки, заключенный между концевым
и произвольным сечениями (рис. 309, б), находится под действием
сил Р, ^ (х) = Р и момента М (х) = Рх. Эта система сил
удовлетворяет всем условиям равновесия, кроме одного. Здесь сумма
моментов относительно оси х не равна нулю. Но рассматриваемый
участок балки находится в равновесии. Значит, в сечении х должен
Рис 309
действовать еще один силовой фактор, обеспечивающий выполнение
также и этого условия равновесия. Таким фактором будет, очевидно,
крутящий момент Мкр — Р Bо + гс), направленный, как показано
на рис. 309, б. Следовательно, несмотря на то что нагрузка
пересекает ось X, балка будет не только изгибаться, но и скручиваться.
Опыты подтверждают это (рис. 309, е).
Как известно, открытые тонкостенные профили ллохо работают
на кручение. Кроме того, если балка заделана так, что депланация
сечения в заделке становится невозможной, то будет иметь место так
называемое стесненное кручение, при котором в поперечном сечении
возникают не только касательные, но и значительные нормальные
напряжения. Поэтому желательно принимать меры, устраняющие
кручение в балках прокатного профиля. Обычно по этой причине
ставят симметричное сечение из даух швеллеров. Если же профиль
один, а нагрузка значительна, то ее нужно выносить из главной
плоскости так, чтобы она проходила через точку С (на рис. 309, б
такое положение нагрузки показано пунктиром; на рис. 309, г дан
один из возможных вариантов конструктивного оформления
вынесения нагрузки). В этом случае участок балки длиной х полностью
уравновешивается силами Р, ^ (х) — Р п моментом М (х) ^= Рх;
кручения не будет. Поэтому точка С называется центром изгиба
319
(иногда — центром жесткости). Центры изгиба всех сечений
балки расположены на прямой, которая называется осью жесткости
балки (рис. 309, б).
К балке может быть приложено несколько сил. Тогда, чтобы
не было кручения, все они должны пересекать ось жесткости.
Положение последней определено, вели известно положение центра
изгиба в сечении. Ноли еечение имеет две (или больше) оси симметрии,
то центр изгиба лежит на пересечении этих осей, т. е. совпадает
с центром тяжести сечения. Так будет, например, в двутавровом
сечении.
Пример 49. В качестве примера применения формулы A1.10) определим
положение центра изгиба для швеллера № 18а. Согласно сортаменту,'! й = 18 см,
Ь = 7,4 см, а = 0,51 см, I = 0,93 см, / = 1190 см*.
Тогда
^ 1(Н~1)^(Ь-аГ а ( 0.93 • 17.07^ • 6,89^ . \ „ _ ^
гс= гт о- =1 л - мол 0,26] см = 2.7 см.
4У
1190
§ 73. ОСНОгЬ! РАСЧЕТА БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Рассмотрим балку (рис. 310), опирающуюся на сплошное
упругое основание, реакция которого на балку в каждой точке может
быть с известным приближением принята пропорциональной
упругому прогибу т в этой точке. Это предположение соответствует
модели, в которой упругое основание
представляет собой набор не
связанных между собой упругих пружин.
Р,
I ^1 <7
у//////,1т
!ШШ_
ат(х)
Рис. 310
Рис. 311
Обозначив коэффициент пропорциональности буквой а и
предположив, что упругое основание по всей длине балки однородно,
получим, что интенсивность реакции основания равна —ат, где
Л.Л. I сила I
коэффициент а имеет размерность -.^ \>^ .
Таким образом, полная распределенная нагрузка р (х),
действующая на балку, будет еостоять из заданной внешней
распределенной нагрузки д (х) и неизвестной реакции упругого основания
р (х) "^ д {х) — ахй) (х). (П. И)
Для удобства положительное направление оси прогибов и
распределенной нагрузки принято вниз.
Расчет балки на упругом основании является статически
неопределимой задачей, так как одних уравнений равновесия (^Х ^ О
320
и т. д.) недостаточно для определения закона изменения
интенсивности реакции основания по длине балки. Интенсивность реакции
основания связана с деформацией балки, поэтому для решения
задачи сначала найдем уравнение упругой линии балки.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси для балки постояи
ного поперечного сечения на упругом основании в соответствии
с выражением A0.49) можно, учигывая принятые направления
прогибов ш и интенсивности нагрузки ^, записать так:
^^^=-^[Я{х)~ахю{х)]. A1.12)
Ограничимся рассмотрением участка балки (рис. 311), на
котором отсутствует внешняя распределенная нагрузка. Дифференциаль
ное уравнение для этого случая упрощается. Получим
ш (х). A1.13)
йл-« Е^
Поместим начало координаг в крайнюю левую точку
рассматриваемого участка, направив ось т вниз, и обозначим прогиб, угол
поворота, изгибающий момент и поперечную силу в этом сечении
соответственно через щ, вц, Мд и ^^. Все этн величины являются
нача^ьными параметрами.
Приведем уравнение A1.13) к виду, удобному для интегрирова-
Е^ I,*
ния, обозначив = —р. Отсюда
т. е. характеристика Ь измеряется в единицах длины (см). В
уравнении A1.13) независимую переменную х заменим безразмерной
абсциссой
6=-^- A1.15)
Тогда уравнение A1.13) с учетом выражений A1.14) и A1.15)
приводится к виду
-^ + 4гс;=0. A1.16)
Напишем общий интеграл этого уравнения в такой известной
форме:
ш = Ле^созё +беЧшб + Се"» созе + ^>е~'5ш|. A1.17)
Последовательно продифференцируем это выражение по Е,
приняв во внимание дифференциальные зависимости между т, в, ^,
М и соотношение A1.15):
ш' = в/. = Ае^ (соз 6 — 81ПI) + Ве^ (соз | + 51п 1) —
— Се~"- (соз I + 81ПI) + Ое~- (соз I — 81п I); A1.18)
И 8-2770 321
т
+ Ое~Чо8?); A1.19)
О)'" = ^Щ^ •= — 2 [Ае^ (со51 + 51П 6) — Ве^ (соз | — 51П1) —
— Се~^ (со5 6 — 51П б) — Ое~^ (со81 + 51П1)] • A1.20)
Выразим произвольные постоянные А, В, С и О через
начальные параметры щ, во, Со и Мц, положив для этого в уравнениях
A1.17) —A1.20) 1 = 0:
щ = А + С;
^во = А + В — С + ^■, A1.21)
^^Мо = {—2В + 20) Е]\
^з^^ = {2Л — 2В — 2С — 20) Е].
Решая систему A1.21) четырех линейных алгебраических
уравнений, получаем
А =
В =
с =
о =
2 "^
Шо
4
Шо
2
-Т--Г
1.00
4
1.2уИо
АЕ]
1.0„
4
4Е^
8Е^ '
ЕЧ),
8Е^
^'^о .
8Е^ '
8Е^
A1.22)
Подставив эти выражения произвольных постоянных в формулы
A1.17) —A1.20) для и), 6, М и С, найдем:
ЕМ,
е(х) = 00^1A)
-ЁГ''^^
Е^
Уза)~-^у,аI A1.23)
Е^
4шп
Е^ Увт—-^^УЛ1): A1.24)
М (X) = МоУг (б) + ^^оУ, F) + а^'^о^^з (б) + а^^воК, (|); A1.25)
<3 {X) = ^оУг F) + «Ьс^оК, (I) + аЬ^воУз (б) - "^ ^оГ, (|). A1.26)
Здесь через К], У^, Уд, У^ обозначены функции А. Н. Крылова Н
5^1F)=СЬ6С08^
(е= + е--) СОЗ I;
У 2т = X (СЬ 6 31П I + ЗЬ I СОЗ I) =
= 4" ^(^^ + ^~') ^'" 1 + (е^ — е~^) С05 б];
^ Сокращенные таблицы функций А. Н. Крылова приведены в приложении 12.
322
5^4 (б) = X (СЬ6 8Ш|-5Ь^С08^) =
1
[(е^ -\-е *■) 51П 6 — (е — е ') со5 е]-
.27)
7? а^
с
+
1^ ^"^
"^ч^
.
0
ь
во ^'-^
УМ
■т>^
р
И'"
,
■-'Г
11>
X
X
,') М(х)
\0{х)
Рис. 312
Заметим, что при дифференцировании функций Крылова
получаются следующие простые, но очень важные для практического
приА1енения завнсимосги: ^
1У\ = - \У^, 1У\ =- Гг;
^^;=^2; ^Г; = Гз. A1.28)
Перейдем к выводу общих
уравнений для оу, в, М и С при дейст- д;^ <'
ВИИ произвольных распределенных
или сосредоточенных внешних
нагрузок. Пусть на отрезке х балки
(рис. 312) действуют вертикальная
сосредоточенная сила Р, з точке с
абсциссой &„ сосредоточенный
момент М^ В точке с абсциссой а, и
равномерно распределенная
нагрузка интенсивности ^^ на участке от
X ■= с }^ X ~ й.
Для вывода воспользуемся принципом независимости действия
сил, а также будем считать перемещения малыми. Сначала
допустим, что все внешние нагрузки на участкех равны нулю, тогда
общий интеграл, или прогиб ш (х), будет функцией начальных
параметров и абсциссы X по формуле (П.23). Пусть теперь все
начальные параметры равны нулю, но действуют сосредоточенные
нагрузки Р, и М^. Вдумываясь в геометрический и статический
смысл факторов Р, и М, (рис. 312), легко видим, что их можно
принять за новые статические начальные параметры и вновь
определить 1ю{х) по формуле A1.23), подставив
При этом за начало координат следует принять не точку О, а
соответственно расположению каждого силового фактора точки с
абсциссами а, и Ъ^. Поэтому аргументами функций Крылова У^, Ка.
^3. ^4 будут расстояния от рассыатривае^ю^о сечения до новых
силовых факторов Р, и М„ т. е. отрезки (х — а,), (х — Ъ^) и т. п.
Если сил и люментов несколько, то вводят их суммы. При
распределенных нагрузках суммы превращаются в интегралы от
элементарных силовых факторов цАц, а при нескольких участках
распределенных нагрузок — в суммы интегралов.
Ограничимся рассмотрением случая действия равномерно
распределенной нагрузки. Тогда в результате интегрирования с учетом
П"
323
зависимостей A1.28) получим простую формулу
й й
С с
^-^[УА1-й)-УЛ1-с)\. A1.29)
Таким образом, при одновременном действии всех
перечисленных силовых факторов и начальных параметров полный интеграл
ш (х) можно представить так:
+
1^
ъ4Ч-
'А-^)]]
A1.30)
4 ^^ч' Н ^
Обобщив аналогичным образом выражения для Э (х), М (х)
и С (х), получим следующие универсальные уравнения метода
начальных параметров для балки на упругом основании:
е {X) = воГ, (-^1 + -^-^- [м,1У^ (-^) + ^,^^у, (-^) +
М {X) = М,У^ (-^) + ^,^У, (-^ I + аШоУ^ [-^) +
-4-/.^
2^'[^з(-
^)
+
A1.32)
^ (X) = ^,У^ (-^) + а^ШоГ^ (-^) + аЬ^воГз (-^) -
Теперь вьмисление т (х), © (х), М (х) и ^ (х) в каком угодно сечении
балки на упругом основании не представит затруднений, если
известны начальные параметры и'о, Эо, СоиМо-В каждом конкретном
случае начальные параметры можно определить из концевых
условий балки. Эти условия для различных случаев закреплеьия
324
балки представлены в форме таблицы (табл. 17), при составлении
которой предполагалось, что начало координат совмещено с левым
концом балки.
Таблица 17
Условия закрепления
левого конца
балки
Свободен
»
»
Оперт
»
Заделан
правого конца
балки
Свободен
Оперт
Зацелан
Оперт
Заделан
»
Перемещения и силовые факторы для
левого конца (х = 0)
ге/СО)
,
—
•—
0
0
0
в@)
—
—
—
—
0
Мф)
Мо
Мо
м„
Мо
Мо
дф)
<?«
^о
<?п
—
—
правого конца (х = 1)
и,A)
0
0
0
0
0
в О)
—
0
—
0
0
У'A)
м,
М1
—
м,.
—
—
^(^)
^
—
—
—
—
В таблице через М (/) и ^ (I) обозначены внешние
сосредоточенные момент и сила на правой опоре. Если на свободных концах
балки внешние силы и моменты отсутствуют, то необходимо
положить
м, = д„ = м, = д^ = 0.
в результате анализа данных таблицы заключаем, что при
выборе начала координат на левом конце однопролетнои балки два
начальных параметра всегда известны. Для определения двух
остальных параметров нужно решить систему двух алгебраических
уравнений, составляемую из условий закрепления правого конца
балки.
§ 74. ИЗГИБ БАЛОК, МАТЕРИАЛ КОТОРЫХ
НЕ СЛЕДУЕТ ЗАКОНУ ГУКА
Изложенные ранее расчеты на прочность и жесткость при изгибе,
основанные на гипотезе плоских сечений и законе Гука с
одинаковым модулем упругости на растяжение и сжатие, не исчерпывают
всех случаев, с которыми приходится встречаться конструкторам.
Известно, что закон Гука справедлив, пока напряжения не
превышают определенной величины, называемой пределом
пропорциональности, а в некоторых случаях расчеты на прочность приходится
проводить при более высоких напряжениях, с учетом пластических
деформаций. Кроме того, и в пределах упругости зависимость между
напряжениями и деформациями у ряда материалов нелинейна,
т. е. не подчиняется закону Гука. К таким материалам относятся
чугун, камень, бетон, некоторые пластмассы. У некоторых
материалов, подчиняющихся закону Гука, модули упругости при
растяжении и сжатии различны. Поэтому в последнее время расчеты на
325
прочность во всех указанных случаях приобретают все большее
значение.
Расчеты на прочность с учетом пластических деформаций будут
рассмотрены в гл. 18. Здесь ограничимся лишь определением
нормальных напряжений при изгибе балки прямоугольного
поперечного сечения, материал которой не следует закону Гука на
протяжении всего процесса нагружения, причем зависимости между
напряжениями и деформациями различны при растяжении и сжатии.
©
ХНейгграАьныи САсй
\Ось балки
Рис. 313
Рис. 314
Рассмотрим также случай изгиба при различных модулях упругости
для растяжения и сжатия. Опыты показывают, что и в указанных
случаях гипотеза плоских сечений справедлива.
Пусть балка подвергается чистому изгибу. Если предположить,
как и прежде, что волокна при изгибе не давят друг на друга, то
материал балки будет находиться в состоянии простого растяжения
и сжатия.
Диаграммы растяжения и сжатия,
записанные для материалов, не следуюш,их
закону Гука (чугунов, камней и др.),
показывают, что напряжения растут
медленнее деформаций и отставание
роста напряжений от роста деформаций
значительнее при растяжении, чем при
сжатии (рис. 313). В этом случае
нейтральная линия поперечного сечения не
проходит через его центр тяжести, а
смещается в сторону центра кривизны оси
балки.
На основании гипотезы плоских сечений и указанного характера
диаграммы растяжения (сжатия) материала можно изобразить
эпюры относительных удлинений и нормальных напряжений (рис. 314)
в поперечном сечении балки. Если обозначить радиус кривизны
нейтрального слоя через р, то относительное удлинение волокна,
находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 315),
выразится известной зависимостью
е=-^. A1.34)
Для определения относительных удлинений волокон балки, а
Рис. 315
326
нейтральной оси поперечного сечения, радиус кривизны
нейтрального слоя и выразить аналитически или графически связь между
деформациями и напряжениями.
Проведем какое-либо поперечное сечение балки,
перпендикулярное к ее оси. При изгибе балки парами сил внутренние силы
упругости в поперечном сечении должны привестись также к паре,
следовательно, проекция нормальных усилий на ось х (рис. 315)
равна нулю, а момент их относительно нейтральной оси г равен
изгибающему моменту.
Таким образом, получим следующих два уравнения статики:
2 X = [ о^/^ = 0;
р
V м, = { ауйР — М = 0. (П.35)
р
Так как йр — Ьйу, то соответственно
Ь I ] Орйу — ] ОсжС^у 1 = 0; A1.36)
Ъ I \ а^уйу -\- 3 а^^йу \ = М. A1.37)
Для многих материалов зависимость между напряжениями и
деформациями при растяжении и сжатии может быть с достаточной
точностью представлена степенным законом
Ер = ^рОр; Есж = ^сж<71Гж. A1.38)
где йр, йсж, ппт — величины, характеризующие физические свойства
материала.
Учитывая формулу A1.34) для относительной деформации, из
зависимостей A1.38) выразим нормальные напряжения следующим
образом:
^ 1_ 1 1
Эти зависимости и уравнения A1.36) и A1.37) позволяют
определить положение нейтральной оси, величину радиуса кривизны, а
также напряжения Ор и Осж-
Подставив формулу A1.39) в уравнение A1.36), получим
а выполнив интегрирование, будем иметь
= 0.
7ГТГ(-^ЗГ] '^^-1^(-^} ^ = '- (Ч-^О)
327
Затем, подставив формулу A1.39) в уравнение A1.37), найдем, что
= м.
1Ш"^^^+И^)"'^*
и после интегрирования получим
^_ _1_
.^Ц_м'-А-)"/г?+-^^-^ь(-^Г /г^ = М. A1.41)
2п -I- 1 \ крр I ' ' 2т + 1 (^ к^^р }
Имея в виду, что /г, + Ла = к, из уравнений A1.40) и A1.41)
найдем р, /21 и Лг, а затем по формулам A1.39) •— напряжения Ор
и Осж.
Можно решить и обратную задачу — определить наибольший
лопускаек'.ыи изгибающий момент по допускаемому напряжению на
растяжение [Ор] или сжатие [осж1- Для решения этой задачи
запишем по формулам A1.39) напряжения растяжения и сжатия в
крайних волокнах» балки, находящихся на расстояниях Нх и Н^
от нейтрального слоя:
На основании этого выражения A1.40) и A1.41) представим в
следующем виде:
<^А - ^гЗгт 02Й2 = 0; (П.43)
п+ 1 11 т + 1
К/г? + -о;;!^п- ^°Л = М. (П.44)
A1.45)
2п + 1 1 ' 2ш+1
Кроме того, из формул A1.42) следует, что
Присоединив к последним трем уравнениям равенство Нх -\- 11^^=
= к, можно вычислить по допускаемому напряжению [о1 ] или [а^ ]
положение нейтральной оси и допускаемое значение изгибающего
гпмента. По предельным значениям напряжений может быть
определен предельный изгибающий момент, величина которого
соответствует достижению предельного значения одним из напряжений
в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах в области
растяжения или сжатия.
Подобно тому, как это сделано для балки прямоугольного
поперечного сечения, можно решить задачу и для других простых сечений,
например состоящих из прямоугольников (таких, как двутавр,
тавр и т. п.).
Рассмотрим еще определение нормальных напряжений при
изгибе в случае, когда материал следует закону Гука, но модули
328
упругости при растяжении и сжатии различны. Пусть ^р — модуль
упругости материала при растяжении, Есж — при сжатии. Для
таких материалов обычно 1:сж > ^^'р. Эпюра нормальных напряжений
в сечении балки для этого случая изображена на рис. 316.
Для волокон, расположенных на расстоянии у от нейтрального
слоя, в области растяжения и сжатия
Ор = — Ер и Осж =
р
A1.46)
Из равенства A1.36) следует, что
л»
] Орф = ^Осжф- A1.47)
о о
Подставив вместо Ор и Ос,к их выражения A1.46), будем иметь
л.
{уф
A1.48)
откуда после интегрирования и сокращения на -5—получим
ЕЛ1
^сж'^2»
A1.49)
или
й?
Принимая во внимание, что Нх + Н2
— Н, найдем
Но
A1.50)
Рис. 316
Таким образом, положение нейтральной оси определено.
Теперь найдем напряжения в крайних волокнах балки в
области растяжения Ор и в области сжатия Осж- Из эпюры
напряжений следует, что суммарная растягивающая сила Л^р в зоне
растяжения и сжимающая сила Л^сж в зоне сжатия поперечного сечения
определяются следующими выражениями:
N^
ОрЬН^
N.
°С»<РК
A1.5!)
Действуют эти силы на расстоянии -^Нх н -^ Н^ от нейтрального
слоя. Так как усилия в поперечном сечении приводятся к паре
2
сил, то N
N.
Плечо пары равно -^^ Н. Изгибающий момент
может быть записан как момент пары сил, равный растягивающей
329
или сжимакщеи силе, умноженной на плечо пары:
Учитывая выражения A1.51) и A1.50), будем иметь
3 3
м
откуда
A1.52)
р
У Ер + УЕ,^
зм /^ ^ уЕр
V еж
ьн^
зм /, , К^сж
A1.53)
__,.^ ^к
ЬП' \^ УЩ ,
Пользуясь этими формулами, ьюжем по изгибаюш,ему моменту
найти наибольшие растягивакщие и сжимающие напряжения, если
известно отношение модулей упругости.
Представим формулы A1.53) в несколько ином виде. В
соответствии с выражениями A1.50) имеем
]Ч_
[/ ^сж ^1 _1н_ ер
Р
Внеся это отношение в формулы A1.53), получим
ЗМ /, , 8
1 +
еж
Ыг^ \ чр /
]; (П.54)
__ зм
ьн^
;'+-^)- (".55)
в таком виде формулы удобны для вычисления напряжений в
случае, когда в крайних волокнах балки измеряются
относительные деформации при помощи тензометров.
Глава 12
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Под сложным сопротивлением подразумевают различные
комбинации ранее рассмотренных простых напряженных состояний
брусьев (растяжения, сжатия, сдвига, кручения и изгиба).
В общем случае нагружения бруса (рис. 317) в поперечных
сечениях могут действовать шесть компонентов внутренних сил — М,
330
^у, ^^, Му, М^, Мкр, связанные с четырьмя простыми
деформациями стержня — растяжением (сжатием), сдвигом, кручением и
изгибом.
Чего-либо принципиально нового задачи сложного
сопротивления при достаточно жестких брусьях не вносят, так как совместное
действие указанных усилий приводит к
напряженному состоянию, которое можно получить
суммированием напряженных состояний, вызванных
каждым видом простого нагружения в отдельности.
Умея определять нормальные и касательные
напряжения в различных точках стержня, а также
главные напряжения, можно по той или иной
теории прочности проверить прочность данного
стержня. Аналогично могут быть изучены деформация
или перемещение бруса путем соответствующего
сложения перемещений, получаемых при отдельных
более простых нагружениях.
Принцип суммирования действия сил применим
во всех случаях, когда деформации малы и
подчиняются закону Гука.
На практике одновременное действие всех силовых факторов
встречается редко. Чаще приходится иметь дело с различными
комбинациями их, которые и рассмотрим ниже.
§ 75. СЛОЖНЫЙ И КОСОЙ ИЗГИБ
Сложный изгиб вызывается силами или моментами,
расположенными в разных плоскостях, проходящих через ось балки
(рис. 318, а). Такой изгиб называется также неплоским изгибом,
так как изогнутая ось балки
не является плоской кривой.
Если все нагрузки,
вызывающие изгиб, действуют в
одной плоскости, не
совпадающей ни с одной из главных
плоскостей, то изгиб
называется косым (рис. 319, а).
Как в случае неплоского,
так и в случае косого изгиба,
наиболее удобно приводить
сложный изгиб к двум
плоским. Для этого нагрузки,
действующие в произвольных
продольных силовых
плоскостях, нужно разложить на
составляющие, расположенные в главных плоскостях ху и хг, где
оси у и г — главные оси инерции сечения (рис. 318 и 319). Таким
образом, схемы нагружения брусьев при сложном и косом изгибе
Рис. 318
331
могут быть представлены так, как показано на рис. 318, б и 319, б
соответственно.
При сложном изгибе в поперечных сечениях бруса в общем
случае возникают четыре внутренних силовых фактора: ^2, ^^^, М^
и М^. Проводя расчет на
прочность при сложном изгибе,
обычно пренебрегают влиянием
касательных напряжений.
Вычислим напряжения в
некоторой точке {у, г)
произвольного поперечного сечения,
расположив ее для определенности
в первом квадранте (рис. 320, а).
Направления главных осей
показаны на рисунке. Изгибающие
моменты будем считать
положительными, если они вызывают в
Рис. 319 точках первого квадранта
растягивающие напряжения.
Исходя из принципа суперпозиции, найдем напряжения в
указанной точке, рассматривая два плоских изгиба. Пусть вначале
действует только момент М^. Тогда нормальное напряжение в точке
О = —^ •
■"г
Если действует только момент Му, то напряжение
» Муг
О = —?— •
Рис. 320
Рис. 324
Очевидно, что при одновременном действии обоих изгибающих
моментов напряжения
МгУ
/г
-I-
Миг
A2.1)
»2
Формула A2.1) позволяет определить нормальные напряжения
в любой точке поперечного сечения при сложном, или, как
говорят еще, пространственном, изгибе. Изгибающие моменты и
координаты точек, в которых определяют напряжения, подставляюг
в эту формулу со своими знаками.
В случае косого изгиба (рис. 321) изгибающие моменты М^ и Му
связаны зависимостями
М, = Л1со5а;
М^ = М 51П а,
где М — изгибающий момент в данном сечении в силовой плоскости
р—р (рис. 321).
Тогда, используя формулу A2.1), будем иметь
Ми С05 а , Мг 51П а
или
^,
а^м{-^^^+-^^). A2.3)
\ •'г •> у /
Уравнение нейтральной линии при сложном изгибе в любом
поперечном сечении получим из формулы A2.1), положив о = О
и обозначив координаты точек нейтральной линии через у^ и 2о
(рис. 320, б). Тогда
о=-^^+Л^=0. A2.4)
•'г ■I у
Это уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей
через начало координат (центр тяжести О сечения). Положение
нейтральной линии характеризуется ее угловым коэффициентом
1рр = -^ = ^ -Ь- ■ A2.5)
«•^ г,, Мг 1у ^ '
В общем случае сложного (пространственного) изгиба углы
наклона нейтральных линий вдоль оси бруса не остаются постоянными,
а изменяются в соответствии с изменением соотношения величин
изгибающих моментов М^ и Му, как это следует из выражения
A2.5).
Если в некотором сечении бруса, где действуют изгибающие
моменты М^ и Му (рис. 322, а), нужно найти положение нейтральной
линии, то удобно для наглядности сначала показать положение
силовой линии р—р. Наиболее просто выполнить это, построив
векторную диаграмму моментов (рис. 322, б), которая показывает
направление результирующего вектора-момента М и,
следовательно, определяет угол а наклона его плоскости действия (силосой
линии р—р):
^ё"--^- A2.6)
333
Теперь выражение A2.5) для угла наклона нейтральней» линии
с учетом формулы A2.6) можно представить так:
4ёР
1ёа.
A2.7)
Анализируя это выражение, находим, что в отличие от плоского
(прямого) изгиба при сложном изгибе нейтральная и силовая линии
в общем случае (когда /^ Ф 3у) не будут взаимно перпендикулярны.
При косом изгибе в соответствии с формулами A2.2) отношение
изгибаюш,их моментов Му и М^ постоянно по всей длине бруса
Рис. 322
|-д^ = ^§а). Поэтому из выражения A2.7) следует, что и угол р
наклона нейтральной линии также постоянен. Значит, поперечные
сечения бр>са, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг
параллельных друг другу нейтральных линий, как и при простом
плоско*! изгибе. Искривление оси бруса при этом происходит в одной
плоскости п—п, нормальной к направлению нейтральной линии
(рис. 321). Эта плоскость называется плоскостью изгиба.
Проверку прочности следует проводить в тех сечениях, где
изгибающие моменты Му и М^ одновременно велики. Таких сечений
в общем случае сложного изгиба может быть несколько.
Если опасное сечение известно, то в нем нужно отыскать опасные
точки. Наглядное представление о распределении напряжений о (М^)
и о (М^) по поперечнся*1у сечению бруса дают соогветствующие
экюры, представленные на рис. 322, б. Для построения эпюры
суммарных напряжений сг^^ необходимо провести базис эпюры
перпендикулярно к нейтральной линии. Так как из формулы A2.1) следует,
что эпюра о линейна, то для ее посгроения кроме известной нулевой
точки достаточно вычислить какую-либо одну ординату, например
для точки А. Очевидно наиболее напряженными точками сечения
будут 10ЧКН, наиболее удаленные от нейтральной линии — точки Л
и В (рис. 322, б). В данном случае в точке А действует наибольшее
растягивающее, а в точке В — наибольшее сжимающее напряжение.
»4
Таким образом, условия прочности для опасных точек имеют вид
Омакс = Оа = -г 1 -, < \р+\; A2.в)
Омии = ов = ^ - -^ < [а__]. A2.9)
В случае косого изгиба, когда направления изгибающих
моментов такие, как показано на рис. 320, а, наибольшие растягивающие
напряжения возникают в точке В, а наибольшие сжимающие — в
точке О (рис. 320, б). Условия прочности принимают вид
/ гп 5Ш а г/п со5 а \
Омане = ов = М„,„с(-^7 + ~^,—' < ^^+1' (^^-"^^
/ гп 5111 а г/п С05 а \
Омин = Од = - М™кс !-^7^ + -~^ ) < {0-]. A2.11)
В частности, для прямоугольного сечения
-^^ ^^ = XV,;, -^ = ^^ = ^„
гд ^в " Ув Уо
поэтому формулы A2.10), A2.11) можно упростить так:
,. ( 51па сока \ - г ,.
Омане — Од — ^"макс \—^ 1 ^ 1 ^ [О-^У,
,. / 5Ш а , С05 а ^ ^ г I
Омин = Оо = — ЛЗмаке \—^ 1 ^ 1 < [0-1-
В общем случае неплоского изгиба условие прочности принимает
A2.12)
вид
{
""" +-^<[о]. ) A2.13)
\Уу ' Г;
Аналогично проверяется прочность в точке, где действуют
наибольшие сжимающие напряжения.
Подбор сечений при неплоском изгибе ~ задача более сложная,
чем при простом плоском изгибе. При ее решении необходимо
сначала задаться отношением моментов сопротивлений и находить
сечения методом подбора.
Заметим, что, если нужно найти касательные напряжения при
неплоском изгибе, последние ьюжно определить по формулам
у~~ ^ф ' "^^ ~~ ^уН '
Определяя перемещения, также исходим из принципа
независимости действия сил и вычисляем перемещения в каждой из
главных плоскостей. Сохраняя прежнее обозначение прогиба в
направлении главной оси у через хю и обозначая прогиб в направлении
главной оси г через у, дифференциальные уравнения прогибов в
плоскостях хг и ху запишем в виде
33!
Пользуясь указанными дифференциальными уравнениями,
непосредственным их интегрированием или по методу начальных
параметров можно получить перемещения. Кроме того, перемещения
люгут быть определены энергетическими методами, которые
рассмотрим ниже.
Значение полного прогиба / сечения определится как
геометрическая сумма прогибов у и ш:
/==. Уь' + т^
A2.14)
Рнс 323
В качестве примера вычислим прогиб свободного конца консоли,
нагруженной силой Р, как показано на рис. 323. Раскладывая
силу Р по направлениям главных осей, получим составляющие
Ру = Р сова; Р^ = Р8та. A2,15)
На основании формулы A0.54) определяем прогибы в главных
плоскостях (рис. 323, в):
Ы) = -
Полное перемещение
Рур
ЗЕ^,
/ = Ую^ + ь^ =
Р1»
ЗЕ
/'■
A2.16)
C2.17)
Определим направление полного прогиба /, для чего найдем угол
между отрезком 00^ и осью у:
кАОгОО,^
V
Ру^у
1§а
A2.18)
Сравнивая формулы A2.18) и A2.7), замечаем, что угол между
плоскостью изгиба и осью у по абсолютной величине равен углу
между нейтральной линией сечения и осью г. Отсюда следует, что
полный прогиб при косом изгибе перпендикулярен к нейтральной
линии сечения (рис. 323, в). Очевидно отклонение полного прогиба
от силовой плоскости тем больше, чем больше отношение -—-.
336
Заметим, что, когда ^^ = ]у{эхо имеет место для круглого
сечения и любого правильного многоугольника), суммарный прогиб
лежит в силовой плоскости. В этих случаях косой изгиб невозможен.
Пример 50. Деревянный прогон сечения 16 X 20 см (рис. 324, б) свободно
опирается на стропильные фермы (рис. 324, а), расстояние между которыми 3 м.
Прогон нагружен вертикальной равномерно распределенной нагрузкой
интенсивности д = 400 кгс/м Уклон верхнего пояса стропил фермы I : 2. Определить
наибольшие напряжения сжатия и растяжения в сечении балки, указать точки
сечения, где они имеют место, и найти полный прогиб среднего сечения балки.
Максимальный изгибающий момент, который будет
посредине балки,
дР 4 • 8002
М =
макс
8
кгс • см = 45 000 кгс • см.
Составляющие этого момента, действующие в главных
плоскостях игерцин (относительно осей г и у),
определим по формулам
Мг = — М„._ сок а = — 46 000 • 0,894 кгс • см =
= — 40 248 кгс • см;
М„
■м.
„а^р 51П а = — 45 000 • 0,447 кгс • см =
= — 20 115 кгс • см.
Угол наклона нейтральной линии п—п определится
из формулы A2.7) так
^, , I П' 1 . 202
•«Р = --77 ^^'^ ="" -• 1;^ =-тт1б^ =
= — 0,7813 = —4§ 38°.
Наибольшими будут напряжения сжатия в точке В и растяжения
О, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии:
в точке
-ь
= 6
у
Мг
40248 20 115 \
16 /
кгс/см^ = — 61,3 кгс/см^.
16-20 V 20
В точке О, очевидно, будет такое же по величине напряжение растяжения:
Од = 61 ,3 КГС/СМ^.
Наибольший прогиб имеет место посредине пролета. Определится он по
формуле
'^'-^8Ш"
в которую вместо интенсивности распределенной нагрузки должны подставляться
ее составляющие в направлении главных осей:
9^, = 9 сок а =. 400 ■ 0,894 = 357,6 кгс/м = 3,576 кгс/см,
9г = 9 51П а = 400 • 0,447 = 178,8 кгс/м = 1,788 кгс/см,
а также моменты инерции огносительно главных осей г и у. Составляющие прогиба
тогда
5 • 3,576 • 300« • 12
с = ■
384Я/г 384 • 10= • 16 • 20^
Ъдг1* 5- 1,788- 300^- 12
384^У„ "" 384 • 10* - 16» - 20
см= —0,35 см;
см = — 0,28 см.
337
а полный прогиб найдем как геометрическую сумму указанных составляющих
прогиба:
/ = /ц2 + к>* = ^^0,28* + 0,352 см = 0,45 см.
Прогиб / лежит в плоскости, перпендикулярной к нейтральной линии.
§ 76. ИЗГИБ С РАСТЯЖЕНИЕМ (СЖАТИЕМ)
Расчеты на совместное действие изгиба и растяжения можно
свести к следующим двум основным видам:
а) расчеты на действие продольно-поперечных нагрузок;
б) расчеты на внецентренное растяжение (сжатие).
Отдельно должен быть рассмотрен изгиб с растяжением (сжатием)
кривого бр>са.
Сложный изгиб с растяжением (сжатием) прямого бруса. Если
па балку действуют и продольные и поперечные нагрузки,
пересекающие ось бруса, то в общем случае (рис. 325, а) в поперечных
сечениях возникают изгибающие моменты М^ и Му в двух
плоскостях, поперечные силы С^ и ^„, а также продольная сила N
(рис. 325, б). Таким образом, в этом случае будет сложьый изгиб с
Рис. 325
растяжением или сжатием. Нормальное напряжение в произвольной
точке сечения
о =
N
Р
+
Мг
У +
Ми
г.
A2.19)
Изгибающие моменты, продольную силу и координаты точки, в
которой вычисляют напряжения, подставляют сюда с их знаками.
Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил,
моАно считать, что напряженное состояние в опаской точке
линейно. Следовательно, условие прочности имеет простейший вид:
< [01-
A2.20)
Если сечение имеет две оси симметрии и выступающие углы, то
опасной будет одна из угловых точек. Напряжения в ней опреде-
338
ляют по формуле A2.19) или же так \
N
Р
М,
"«/.
±
A2.21)
Знаки в этой формуле комбинируют по смыслу или на основе сого
ставления с формулой A2.19).
В случае плоского изгиба в главной плоскости уОх с
растяжением (сжатием) трехчленная формула превращается в двухчленную:
11 \
^
(ы)тс
6
A2.22)
1,9
— —
—в~-~
6,39
Эти формулы применяют при расчете на прочность плоских рам
и арок малой кривизны. Опасными в этом случае являются те
сечения, где действует наибольший изгибающий момент М„акс-
В случае расчета брусьев с поперечным сечением произвольной
формы для определения опасной точки сечения необходимо прежде
всего установить положение нейтральной линии. Способ
определения положения нейтральной линии описан ниже при рассмотрении
внецентренного растяжения.
Пример 51. Подобрать двутавровое сечение плоской стальной рамы
(рис. 326, а) при [от] = 1600 кгс/см^.
Определив опорные реакции и построив эпюры М^ и N (рис. 326, б, в),
обнаруживаем, что опасным является сечение О правой стойки, в котором
10* кгс ■ см; Л^ = —63,9 ■
Ломаке = 57
10^ кгс.
Опасные точки в этом сечении находятся слева (рис. 326, г), так как здесь
арифметически складываются напряжения от М^ и УУ. В соответствии с формулой
A2.22) условие прочности запишется так:
57 • 10* , 63,9 • 102
макс
"№,
кгс/сы2 < 1600 кгс/см^. A2.23)
'■ При изгибе со сжатием применять приведенные формулы можно лишь к
коротким стержням большой жесткости, так как в случае тонкого длинного
стержня возможна Потеря устойчивости (см. гл. 19).
339
'' Условие прочности содержит две неизвестные величины —И^^ и Т'. В боль-
ши'1сгве случаев напряжения (Т^от изгиба больше, чем от продольной силы,
поэтому при подборе сечения можно вначале опустить второе слагаемое и найти
приближенное значение И^" из расчета на изгиб
11"^
57 10^
1600
счЗ = 356 смЗ.
Затем по сортаменту (прило/^ение 1) нужно выбрать двутавр с моментом
сопротивления, несколько большим, чем и/ Выбираем двутавр № 27, для которого
Гг = 371 см=, Р = 40,2 см^
Далее проверяем прочность выбранного сечения, вычисляя максимальные
нормальные напряжения по формуле A2 22)
57 10* _|^ ^63^91№_ ^^^^^^, ^ 1520+159 кп/см^ = 1695 кгсум^.
'™ 371 ' 40,2
Перенапряжение составляет
1695— 1600
1600
100 %
поэтому необходимо увеличить ра^^^ер сечения, прчняв по сортаменту следующий
бопьший номер двутавра — № 27а, для которого
Й^г = 407 сыз, Р = 43,2 см2
Внецентренное растяжение (сжатие) прямого бруса. Ядро
сечения. Внецентрепиое растяжение (сжатие) представляет собой
частный сличай сложного изгиба с
растяжением (сжатием), при котором бр>с
растягивается силами, параллельными оси
бруса, так что их равнодействующая не
совпадает с осью бруса (рис. 327), а
проходит через точку р, называемую полюсом
силы
Пусть на брус произвольного сечения
действует одна сила Р, параллельная оси
Ср>са и пересекающая любое поперечное
сечение в точке р (рис. 327) Координаты этой
точки в системе главных осей сечения
обозначим через ^р и Хр, а расстояние этой
точки до оси X, называемое
эксцентриситетом, — через е В любом поперечном сечении
при такой нагрузке внутренние силовые
факторы Л^ = Р; Му =- Р?р; /И, = Рур.
Таким образом, напряжения в
произвольной точке сечения будут складываться
\ 3 напряжений осевого растяжения силой Л^ и напряжений от чи-
1-гого изгиба моментами М,, и М:
Рис. 327
м.
Внеся сюда вместо Л^, Му и М, их значения, получим
о =
A4-
^г +
УрР
4
A2.24)
A2.25)
340
Этой формуле можно придать несколько иной вид, выразив
главные моменты инерции через радиусы инерции:
Р
а =
1 +
2 +
.2
У
A2.26)
Для определения опасной точки при сложном профиле
целесообразно построить нейтральную линию сечения. Опасной в сечении
будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии.
Уравнение нейтральной линии получим, приравняв к нулю
правую часть уравнения A2.26) и обозначив координаты точек на
нейтральной линии через уо и гд-.
'^г,+
Ур
,2
Уо
1. A2.27)
Полагая в этом уравнении поочередно
2(, = О и (/о = 0. найдем отрезки у^
и 2„, отсекаемые нейтральной линией
на осях у и г (рис. 328):
2н = - ~ ; у., - - V- • ('2-28)
'р ур
Из зависимостей A2.28) следует,
что нейтральная линия пересекает
координатные оси в точках,
принадлежащих квадранту, противоположному тому, в котором находится
точка р.
Теперь, проведя параллельно нейтральной линии касательные
к контуру сечения, найдем наиболее напряженные точки А и В
в растянутой и сжатой зонах сечения (рис. 328). Напряжения в этих
точках и условия прочности имеют вид
Ом
= оа =
= Ов
Р
Р
Р
Р
1 + ^2^ +
гв-
Ур
.1
,2
Уа
< [0+1;
A2.29)
«/в <[о_].
?десь г А, у А и —гв, —у в — координаты точек А \\ В соответствен-
I о. Эпюра напряжений о приведена на рис. 328. Для
прямоугольного сечения условие прочности удобнее представить в следующем
виде:
Р ■ ^' ■ -^^^ [О]. A2.30)
0|мячс —
+ ■
«7,
+
и/,>
Формулы A2.29) и A2.30) справедливы и в случае действия
сжимающей Силы Р, если нет опасности возникновения продольного
изгиба.
Ядро сечетия. Хотя до сих пор мы изображали нейтральную
линию проходящей через сечение, она в общем случае может
проходить и вне его. Действительно, если сила Р приложена в центре
341
тяжести, то нейтральная линия проходит в бесконечности, так как
напряжения в этом случае распределены по сечепию равномерно.
По мере увеличения эксцентриситета е (рис. 329) нейтральная
линия будет приближаться к сечению и при некотором положении
силы Р (на рис. 329, например, при положении Л.,) впервые коснется
контура сечения. При дальнейшем увеличении эксцентриситета
нейтральная линия пересечет сечение, причем нормальные напряжения
в сечении будут обоих знаков: по одну сторону от нейтральной
линии — растягивающими, а по другую — сжимающими.
Нл^^■
ч?
.
г
1
0
1
у
-'
Ил 2
Рис. 329
Рис. 330
Представляет интерес установить область таких удалений силы Р
от оси, при которых нормальные напряжения по всему поперечному
сечению будут одного знака. Такая область называется ядром
сечения. Это важно для брусьев из материалов, плохо
сопротивляющихся растяжению (например, для кирпичной кладки, бетона и серого
чугуна).
Итак, ядром сечения называется область вокруг центра тяжести
поперечного сечения, которая обладает следующим свойством: если
внецентренно приложенная нагрузка расположена в области ядра,
то нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения имеют
один знак.
Для построения ядра сечения будем задаваться различными
положениями нейтральной линии, касательными к контуру сечения,
и вычислять координаты соответствующих точек приложения силы
Р по следующим формулам, вытекающим из выражения A2.28):
Ур =
Уа
2р = -
A2.31)
Вычисленные координаты определяют точки, лежащие на границе
ядра сечения.
Чтобы облегчить построение ядра сечения, используем
следующее свойство нейтральной линии: при повороте нейтральной линии
вокруг некоторой фиксированной точки А контура сечения точка
приложения силы перемещается вдоль некоторой прямой. Для обо-
342
снования этого свойства достаточно подставить в уравнение A2.27)
координаты точки А (уод, гол), лежащей на нейтральной линии.
Получим
A2.32)
Действительно, уравнение A2.32) при год = сопз!, уоА ~ сопз!
является уравнением прямой относительно координат точек
приложения силы Р — (Ур, г^).
Таким образом, для построения ядра сечения какой-либо фигуры
нужно провести ряд положений нейтральной линии, совпадающих
со сторонами сечения, а также касающихся его выступающих точек.
Построим, например, ядро сечения для прямоугольника АВСО
(рис. 330). Совместим вначале нейтральную линию со стороной СО
(положение /—/). Очевидно в этом случае
ь
Уа= -2-> 2н = ОО.
Тогда из выражений A2.31)
,2
^г Ь
^"^ Ун ~ в ' ^Р-
Здесь учтено, что
-1.0.
\2ЬН ~ 12
Таким образом, координаты точки /' ядра
сечения определены.
Совместим теперь нейтральную линию со
стороной АО (положение 2—2). Имеем
Н
оо;
2„ =
Тогда координаты точки 2' ядра
1/р = 0;
Л«
12
(-4)
Рис. 331
Аналогично определяются координаты точек 3' и 4',
соответствующих положениям нейтральной линии 3—3 и 4—4.
Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на
другую она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка
приложения силы перемещается по прямой, образуя контур ядра.
Таким образом, ядро сечения будет ромбом с диагоналями, равными
одной трети соответствующей стороны сечения.
Пример 52. Для круглого сечения построить ядро сечения (рис. 331).
В круге все центральные оси — главные. Поэтому при касании нейтральной
линии /—/ в любой точке А точка Г лежит на диаметре, также проходящем через
343
точку л, и ее координаты следующие:
Ур==--
Можно, очевидно, сделать вывод,
что благодаря симметрии сечения ядро
сечения также Судет кругом с радиусом
4/?
4
''^4|л;
4-
2-
3
11
N
^4
1 1
||
1
5
Рис.
1
1
11
1 1
1А
г
И
1
г
332
-и
\В1М)
Рис. 333
Рис. 334
Построение ядра сечения для двутавра (рис. 332), швеллера (рис. 333) и
треугольника (рис. 334) рекомендуем читателю выполнить самостоятельно.
§ 77. ИЗГИБ С КРУЧЕКИЕМ
Круглые валы. Силы, действующие на валы (давление на зубья
шестерен, натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов и т. п.),
вызывают в поперечных сечениях валов следующие вн>тренние
силовые факторы: Мкр ~ М^; Му\ М^, ^уИ ^2- Таким образом, в
любом поперечном сечении одновременно возникают нормальные
напряжения от изгиба в двух плоскостях, а также касательные
напряжения от кручения и изгиба.
Для расчета вала в первую очередь необходимо установить опгх-
ные сечения. С этой целью должны быть построены эпюры
изгибающих моментов Му, М^ и крутящего момента Л^^.
Нагрузки, действующие на вал, разлагаем на составляющие
вдоль координатных осей (рис. 335), а затем строим эпюры: от сил
Ргг, Ргг,..., Рпг~ эпюру Му,ОГ СИЛ Р^у, Р2у, .... Р„4, — ЭПЮру М^
(рис. 335, б и в).
При изгибе вала круглого или кольцевого сечения в каждом
из его сечений имеет место прямой изгиб под действием
результирующего изгибающего момента (рис. 336)
м = Ум1
М1
A2.33)
Вектор момента М в разных сечениях может иметь различные
направления, в силу чего даже при отсутствии распределенных
нагрузок эпюра М может быть криволинейной (рис. 335, г). Для общего
случая это легко показать аналитически.
344
Пусть Му ~ а + Ьх; М^ = с + их (а, Ь, с а й — постоянные
коэффициенты). Тогда
М ==■ У{а + Ьху- + (с + йх)^.
Выражение, стоящее под радикалом, лишь в некоторых частных
случаях является полным квадратом (например, при о = с = 0),
а в большинстве случаев эпюра
криволинейна, причем
М < Уа" + С + (|'"Ь2 + (Р) X.
Это позволяет строить эпюры М
упрощенным способом, несколько завышая
значения суммарного изгибающего
момента М на участках между переломами
эпюры: величины суммарного
изгибающего момента М вычисляют лишь для
тех сечений, в которых на эпюрах М^
и М. есгь переломы. Эти величины
откладывают в масштабе по одну сторону
от оси на эпюре М и соединяют прямой
линией.
Далее строим эпюру Мкр = М^
(рис. 335, д) и ищем опасные сечения,
в которых одновременно велики М и Мкр.
Сопоставляя эпюры, посгроенные в
одном масштабе, находим, что опасным
будет сечение /—1 или 2—2.
Теперь в опасном сечении нужно
найти опасные точки. Легко определяем
положение нейтральной линии ф — а) и строим эпюры
нормальных напряжений а от результирующею изгибающего момента М
(рис. 337), когорые изменяются пропорционально расстоянию то-
Рис. 335
м
/
/
с. 33
6
!/
^
р
мс.
3
) г
У^К
""^^шу
337
Рис. 338
чек от нейтральной линии. Очевидно, опасными являются
точки Л и В, наиболее удаленные от нейтральной линии,— в них
одновременно и нормальные напряжения от изгиба и касательные
345
напряжения от кручения имеюг наибольшие значения:
Ц^макг —
м
и/
Ум1 + м1
мс
м..
«7„
A2.34)
A2.35)
У наиболее опасной точки В выделим элемент (рис. 338). По
четырем его граням действуют касательные напряжения, а к двум
из этих граней приложены еще и нормальные напряжения.
Остальные две грани свободны от напряжений. Таким образом, при изгибе
с кручением элемент в опасной точке находится в плоском
напряженном состоянии. Совершенно аналогичные напряжения на
гранях мы имели при изучении главных напряжений в изгибаемом
брусе (гл. 10), поэтому здесь главные напряжения нужно определять
по тем же формулам:
(о + Ко^ + 4т^); 0^ = 0; а,= ~ {а-Уа'^ + ^г^)-
A2.36)
Разница между выражениями A0.30) и A2.36) лишь в том, что
в последнем случае касательные напряжения вызываются крутящим
моментом, а при изгибе они вызывались поперечной силой.
Заметим, что в данном случае сложного напряженного
состояния влиянием касательных напряжений от поперечных сил
пренебрегаем, так как они значительно меньше касательных напряжений,
вызванных кручением.
Для проверки прочности элемента, выделенного у опасной
точки, нужно, выбрав соответствующую теорию прочности,
воспользоваться одной из формул § 62, например формулами A0.35), A0.34):
по теории Мора
ОэквМ
по IV теории
I —т , 1
т
|/а2 + 4x2 < [о]; A2.37)
Оэкв1У = ]/ О^ + ЗТ^ < [о].
A2.38)
Подставляя в формулы A2.37), A2.38) выражения A2.34), A2.35)
для напряжений и учитывая, что Ш^ = 2V^^, получим
О^эквМ
-^]/м^ + м-Ч
^ •<^ 14].
Оэкв1у =
Vо^ш^^ + м^ + м^ ^^^^
«7 ^ ^°^-
A2.39)
A2.40)
346
Числители этих формул представляют собой приведенные моменты,
действие которых эквивалентно совместному действию трех
моментов (согласно принятой теории прочности). Следовательно,
Мпр!Л =
Ум1
I -г т
1 + М1 + ^^р-|- Ж^р + М1 + МЬ
Мпргу = Уо,75М1 + М1 + М^ - Ум^ + 0,75М:
кг-
A2.41)
A2.42)
В случае необходимости подобным же образом можно получить
формулы для приведенных моментов и по другим теориям
прочности.
Нетрудно заметить, что теперь условия прочности A2.37), A2.38)
можно заменить одной простой формулой
М„
«7
<[о1.
A2.43)
Таким образом, при совместном действии изгиба с кручением
стержни круглого сечения рассчитывают на изгиб от приведенного
момента Мпр-
Решая неравенство A2.43) относительно 1^, получаем формулу
для определения момента сопротивления:
1Г>
[о]
и диаметра круглого вала:
''>У-1й^-'-\/
[о]
A2.44)
A2.45)
Заметим, что приведенные формулы полностью применимы и к
стержням кольцевого сечения.
Рассмотрим простейший пример расчета вала на изгиб с
кручением.
Пример 53. На вал (рис. 339) насажены три зубчатых колеса. Колеса
нагружены силами Рх = 400 кгс; Р^ = 300 кгс; Рд = 200 кгс, причем сила Р^
вертикальна, а силы Р^ и Рз — горизонтальны. Диаметры зубчатых колес следующие:
Ох = 100 мч; Оа = 300 мм; Од = 250 мм. Допускаемое напряжение [с] =
= 600 кгс/см^. Подобрать диаметр вала по четвертой теории прочности.
Заменим действующую нагрузку статически эквивалентной системой сил.
Перенесем силы Р^, Р^ и Рд на ось вала, заменяя каждую из них силой,
приложенной в точке В, С или О соответственно, и скручивающей парой сил Мх =
= -—Р^О^; М^ = -к-Р^^^' М^ = -к- РгРз соответственно. Таким образом,
А Л ^
получаем расчетную схему (рис. 339). На схеме сразу указаны как значения
приложенных внешних нагрузок (Р(, М^,), так и величины вызванных ими опорных
реакций.
Рассматривая отдельно силы в горизонтальной и вертикальной плоскостях
(рис. 340, о и б), строим эпюры изгибающих моментов. Для построения суммарной
эпюры .моментов М вычисляем ординаты в характерных точках по фор.муле A2 33);
347
в сечении В
М = Ум1 -{-М1= КТбОО^ + 500^ кгс • см = /2 810 000 К1С • см ^
= 1676 кгс • см,
в сечении С
■320кгс
М==\ 4400^ + 5625* кгс • см =
\ 51 000 625 кгс см = 7142 кгс см;х
в сечении В
М = У 6400' + 2500- кгс • см =
= V 47 210 000 кгс • см = 6871 кгс см.
Эпюра М, построенная по этим данным,
приведена на ри;. 340, е Как
указывалось выше, на участках ВС и СО такая
апюра имеет завыл1енные значения
ординат (действительные значения
показаны штриховой линией)
Рис. 339
\^Г "^
(М^кгсо!
@йг(;ш,
(^Уаст
Из-'2500кгссм
М,=^-500'(гс см
М,=г000нгссм
^тт
9м. 340
Рассматривая действующие на вал моменты, строим эпюру крутящих
моментов (рис 340, г)
Сопоставляя эпюры М и Л1^р, находим, что опасным является сечение /—1,
расаоложенйое слева от точки С, где одновременно действуют М = 7142 кгс • см
и М„_ -= 2500 кгс • см
Со1ласно IV теорчн прочности, приведенный момент вычислим по формула
A2 42) Получим
Л4„р = К6775^5002 + 71422 кгс • см = /55 6Ь8 125 кгс • см = 7463 кгс ■ см.
348
Подставляя приведенный момент в формулу A2.44), находим требуемый
осевой момент сопротивления:
«^'>
М,
пр
7463
см" =12,44 см"
и, положив Ц7 ;
[с] 600
■■ 0,1 (Р, вычисляем необходимый диаметр вала:
3 -:—^_ 3,,— .„ 3
й > ^ \т = V 10 • 12,44 см = ^ 124,4 см = 4,99 см.
Округлив до ближайшего стандартного диаметра, принимаем д.-
50 мм.
Брус прямоугольного сечения. На практике часто встречаются
стержни некруглого сечения, подверженные действию крутящих
и изгибающих моментов. В качестве примера рассмотрим брус
прямоугольного сечения (рис. 341, а), нагруженный силами Р1 и Р^,
вызывающими в поперечных сечениях изгибающие мсгтенты Му
и Л1^, а также поперечные силы ^у и ^^.
Расчет выполняем в такой
последовательности. Раскладываем заданные
нагрузки (силы Р^ и Рг) на составляющие
вдоль координатных осей и приводим их
к оси вала; при этом пол>чаем в
поперечных сечениях, в плоскостях которых
находятся точки приложения сил,
внешние скручивающие моменты Мц] = Ми
и Мк2 = Л^2г- Полученная таким
образом расчетная схема представлена на
рис. 341, б.
Для того чтобы установить
положение опасного сечения, строим эпюры
изгибающих моментов Му и М^, а
также эпюру крутящих моментов М^^,
(рис. 341, б).
Сопоставление эпюр показывает, что
наиболее опасным является сечение /—1
бруса, располон<енное левее точки
приложения силы Р^. В этом сечении
действуют наибольщие изгибающие ^юменты
?Л^, М1у и максимальный крутящий
момент Мкр. Чтобы проверить прочность
бруса, нужно в опасном сечении найти
опасную точку, вычислить для нее
эквивалентное напряжение (по одной из
теорий прочности) и сопоставить его с
допускаемым напряжением.
Для нахождения опасной точки
сечения строим эпюры напряжений от всех
силовых факторов (рис. 342, б—е): о^ {М^);
о^ (Му); тг, ^^,); Тух {^у)■, т (Мкр).
Эпюра т (Мкр) для длинной стороны
контура имеет максимум, который обо- Рис. 341
349
значим т„акс(Л^кр)- Наибольшую ординату эпюры т (Мкр) на
короткой стороне обозначим т' (Л1кр)- Эти напряжения можно рассчитать
по известным формулам кручения брусьев прямоугольного
сечения (гл. 9):
Тмакс (/Икр) _ Т1 — Тг — -—^ ', A2.46)
Т' (Мкр) = Т5 = ТЛ = Тумаке (М^).
Эпюры нормальных и касательных напряжений наглядно
показывают, что в отличие от круглого сечения в рассматриваемом слу-
г
■'г
г^,@,)
1^
чае наибольшие нормальные напряжения а^^ и наибольшие
касательные напряжения т (^) и т (Л1кр) имеют место не в одной и той же
точке.
Следовательно, для выявления самой опасной точки в сечении
нужно сопоставить эквивалентные напряжения в нескольких
опасных точках. Обычно считают достаточным рассмотреть три точки
сечения: одну угловую точку (А или С), одну точку посредине
длинной стороны прямоугольника (^ или Т) и одну точку посредине
короткой стороны прямоугольника E или К).
, Элемент, выделенный в окрестности точки С (при принятых на
рис. 342, а направлениях Му и М^), находится в условиях простого
растяжения напряжениями, равными сумме нормальных
напряжений от Му и М^. Поэтому условие прочности для этой точки
должно быть записано как для случая линейного напряженного
состояния:
Ос
Мг
М,
+ ж:< М.
A2.47)
Элемент в окрестности точки А также находится в условиях
линейного напряженного состояния — простого сжатия, так как Оа от-
310
личается от ос только знаком. Если материал бруса имеет разные
допускаемые напряжения для растяжения и для сжатия, то
проверять прочность по формуле A2.47) необходимо в каждой из этих
точек.
Элементы в окрестности точек ^ и /С находятся в плоском
напряженном состоянии, и, следовательно, главные напряжения в них,
как и в круглом брусе, можно вычислить по формуле A2.36). В
общем случае касательные напряжения, входящие в формулу A2.36),
следует вычислять как от действия крутящего момента Мкр, так
и от действия поперечных сил:
Л^кр ^ 3 Ог .
Т1.
а№ -^ 2 №
Однако касательные напряжения от поперечных сил 0^ и ^^, как
указывалось, обычно бывают малы, а поэтому в большинстве
случаев их влиянием можно пренебречь.
Для вычисления эквивалентных напряжений в точках ^ и /С
подставляем значения нормальных и касательных напряжений в
формулы A2.37) и A2.38). Одновременно получим и
соответствующие условия прочности (по IV теории и по теории Мора):
в точке ^
азке.у = ]/(-^)'+ 3 (^Г < М; A2.49)
Сзквм = —2 ГГ + -Т-]/ Ы) + ^ 1-^] < М; A2.50)
в точке К
аэкв1у = ]/(-^'1+^[У -Т;^) < М; A2-5»)
Сзквм =—2 ^ + —|- ]/ [-^] + 4 (т -^Щ-] < М-
A2.52)
Знаки моментов при подстановке их в уравнения A2.49) —
A2.52) не имеют значения, так как в эти формулы входят квадраты
моментов.
Таким образом, наиболее опасная точка определяется только в
результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех
точках (С, ^ и /С) по формулам A2.47) и A2.49) —A2.52), причем в
каждом отдельном случае положение наиболее опасной точки
зависит от конкретного соотношения величин моментов М^, Му и М^.
Для иллюстрации методики расчета рассмотрим числовой пример.
Прижр54. Проверить прочность бруса (рис. 341, с) по IV теории прочности,
если силы, действующие на брус, таковы: Рх =? 721 кгс; Ра = 1340 кгс; с осью у
они составляют углы ах = 33° 41' и оСа = 26° 34'; размеры поперечного сечения
351
66В00
60000
гоооо
(Я^игссн
'^ВОООО
Рис. 343
кссм ^^ 12 см; Ь = 8 см; длины участков /( = 300 см,
/а = 200 см. Сила Рх приложена к рычагу,
прикрепленному в торцовом сечении бруса. Длина
рычага й= 100 см. Допускаемое напряжение
[а] = 1400 кгс/см».
Расчетная схема почти совпадает с
рассмотренной выше (рис. 341, б).
Вычисляем составляющие нагрузок вдоль
Координатных осей:
Р-щ — ^1 С05 а1 = 721 • 0,832 тс = 0,6 тс;
Р^у = Ра С05 а^ = 1340 • 0,834 тс = 1,2 тс;
Ри = Рг 5'" «1 = 721 • 0,555 тс = 0,4 те;
Ргг = Рг 55п «2 ^ 1340 • 0,447 тс = 0,6 тс.
Приведя нагрузки к оси, получаем скручивающие моменты:
а + —] + ^12 — = (— 600 • 106 + 400 • 4) кгс • см =
== — 62 000 кгс • см;
Л^кр! =
1у
М,
кр2 '
Ряу-^ + Р
2г = (— 1200 • 6 + 600 • 4) кгс • см = — 480Э кгс • см.
Элюры крутящих и изгибающих моментов построены па рис. 343.
Сопоставление эпюр показывает, что опасным является сечение с абсциссой
* = 'х = 300 см; действующие в этом сечении моменты
М^р = 66 800 кгс • см; М,^ = 80 000 кгс • см; Мг = 120 000 кгс • см.
В соответствии с формулами A2.47), A2.49) и A2.51) составим условия
прочности для трех опасных точек С, С ^^ К сечения (значения коэффициентов а и у
приведены в табл. 14 — § 56). Получим
+
Мг
80 000
120 000
Гг
\, 192 ' 128
= 1355 кгс/см2 < 1400 кгс/см^;
кгс/см^ = D17 + 936) кгс/см^ ==
"-/(^Г
+ 3
^-^кр ^'
а''М I
VI-
120 000
128
+ 3
65 800
0,231 • 12 - 8М
< 140Э кгс/см^;
кгс/см"'' =1140 кгс/см^ <
Г
V
г:
+ 34
М \2
= /(■
80 000 \^
/ 66 800
192"/ +М • ^ "(Шт
< 1400 кгс/см2.
О V
:^—^ I КГС/СМ2 = 699 КГС/СМ* <
Таким образом, наиболее опасной является точка С, но и в ней
эквивалентное напряжение меньше допускаемого. Прочность бруса обеспечена.
312
Общий случай действия сил на брус. В качестве примера более
общего случая сложного сопротивления рассмотрим расчет
коленчатого вала. Для него в ряде сечений имеет место одновременное
действие осевых сил, крутящих и изгибающих моментов.
Исследуем случай работы наиболее простого вала — вала,
имеющего только одно колено. Вал (рис. 344, а) состоит из шатунной
шейки 3, двух щек 2 и двух кореннь-х шеек /, опирающихся на
6,37
5.31
(м^гссм
X ^^КСИ
дГССМ
Рис. 344
коренные подшипники. Все необходимые размеры вала указаны на
чертеже.
На шатунную шейку 3 со стороны шатуна действует под углом
а = 15° к горизонтальной оси у сила Р^ = 1 тс. Момент этой силы
относительно оси вращения уравновешивается крутящим моментом
М на маховике. Вес маховика С = 0,5 тс.
При заданных условиях необходимо определить размеры
сечений вала и шатунной шейки, а также назначить размеры
прямоугольного сечения щек в зависимости от большего из диаметров по
соотгюшениям Н = 1,250; Ь — 0,6Л, после чего провести
проверочный расчет на прочность. Принять допускаемые напряжения
[ст] = 800 кгс/см*. Расчет вести по IV теории прочности.
От заданной конструкции переходим к расчетной схеме. Прежде
всего необходимо определить реакцию в подшипниках, а также
скручивающий момент на маховике. Для этого разложим силу Ра на
горизонтальную и вертикальную составляющие (Рг^ и Рг^):
Р2. - Ра С08 а = 1 • 0,966 = 0,966 тс;
Ргг = Рг 51П а = 1 • 0,259 = 0,259 тс.
12 3-2770
353
Реакции в опорах также можно представить в виде двух
проекций — 1^Ау, 1^Аг и 1^ву, Нвг- Их вбличины находим из уравнений
равновесия:
^1^(^00 ^ р дрр . 16 — /?вг/ ■ 43 = 0; Яву = 0,359 тс;
^М%°'^ = — 0,966 • 27 + Ялу ■ 43 = 0; Нау = 0,607 тс;
2Л1^°'' = 0,5 • 12 + 0,259 • 16 — Квг • 43 = 0; Явг = 0,236 тс;
^М'в°^^ ^ 0,5 . 55 — Ялг • 43 — 0,259 • 27 = 0; Клг = 0,477 тс;
^М^ = — Л1 + 0,966 -9 = 0; М = 8,69 тс • см.
Переходим к построению эпюр изгибающих моментов.
Вычислим ординаты эпюры моментов Му (в плоскости хОг):
для / участка (О < х < 12 см)
М^ {х) = ~ 0.5д;; М^ @) = 0; М^ A2) = — 6 тс ■ см;
для // участка A2 см < х < 23,5 см)
Му (х) = — 0,5х + 0,477 {х — 12); Л1^ A2) = — 6 тс - см;
М^B3,5) = —6,26 тс- см;
для /// участка (О < х < 9 см)
Му (х) = — 0,5 ■ 23,5 + 0,477 • 11,5 = — 6,26 тс • см;
для IV участка B3,5 см ^^ х < 28 см)
Му (х) = — 0,5х + 0,477 {X — 12); Му B3,5) = — 6,26 тс ■ см;
Му B8) = — 6,37 тс • см;
для V участка B8 см < х < 32,5 см)
Му (х) = — 0,236 E5 — х); Му B8) = — 6,37 тс ■ см;
М^C2.5) = —5,31 тс -см;
для VI участка (О < л: < 9 см)
Му (х) = — 0,236 . 22,5 = — 5,31 тс • см;
для VII участка C2,5 см < х < 55 см)
Му (х) = — 0,236 E5 — х); Му C2,5) = — 5,31 тс • см; Му E5) = 0.
Откладывая вычисленные ординаты, строим эпюру Му (рис. 344, б).
Аналогично вычисляем ординаты и строим эпюры изгибающих
моментов М^ и М^, действующих в плоскостях хОу и уОг, а также
эпюру крутящих моментов Мкр-
В результате сопоставления эпюр устанавливаем, что опасными
являются следующие сечения:
354
для вала — сечение у нижнего конца левой ш,еки (рис. 345),
причем
М^р = 8,69 тс • см; М^ = 6,26 тс • см; М^ = 6,98 тс • см;
для щек — нижнее сечение левой щеки (рис. 346), причем
М^ = 8,69 тс . см; Л1^ = 6,26 тс • см; Л1кр = 6,98 тс - см;
N = 23 кгс;
для шатунной шейки — среднее ее сечение, причем
Мкр = 3,23 тс • см; М = 6,37 тс • см; М^ = 9,71 тс • см.
Определение диаметров вала и шатунной
шейки. Расчет на прочность круглого бруса при изгибе с
кручением по IV теории производится по ^юрмуле A2.40), откуда
1Г>
При 1(т] = 800 кгс/см^ =
сопротивления
__ /6,26^ + 6,98^ + 0.75 -"8
Ум1 + М^ -I- 0,75М;
__ Л1„р
[аГ [оГ- (»2.53)
0,8 тс/см^ вал должен иметь момент
Ш.
0,8
см*" =
= 15 см^
о у 144,54
0,8
СМ"
12
0,8
СМ*
Приняв приближенно 157 г=;0,Ш^, найдем диаметр вала:
О > ^/ЮГ = У 10 • 15 см = /150 см «5,31 см.
Шатунная шейка должна иметь момент сопротивления
Г > УШ±Щ+ШЕ1^_ емз ^ ,4.95 смз,
тогда ее диаметр
ё > КЮ • 14^2 см«=^ 5,31 см.
12*
355
Назначаем для шатунной шейки и вала одинаковый диаметр
сечения: й — О — 54 мм.
Проверочный расчет щеки. В соответствии с
условием задачи подбираем размеры сечения щеки такими: Н =
= 1.250 = 1,25 • 54 = 67,5 «68 мм; Ь = 0,6й«; 41 ллг. Переходя к
проверке прочности принятого сечения щеки, вычислим его
геометрические характеристики:
/^ = -^ = ЛА^ = 107,4 см*; Ш, = 31,6 см«;
/^ = -^ = ^'^ ■^^'^" = 39,0 см*; 1Г^ = 19,0 см^
Проверять на прочность в опасном сечении прямоугольную щеку,
работающую на изгиб с кручением (рис. 346), следует в нескольких
точках — К, 8 и ^.
В точке К по формуле A2.51)
-/I
8690 \^
31,6 '
+ з@.839.„-2зТО^ТрГ«^-^'=-^ =
== |/ 214 558 кгс/см^ =464 кгс/см^ < [а].
В точке 5 по формуле A2.49)
С^экв1У =
- 1/(-гах)'+3 @,234 Те ■4.рГ ^^'^/"«^ - ^^^2^4 «^'^'^^ ==
= 559 кгс/см^ < [о].
В точке Ь по формуле A2.47)
__ Мг , Мг, _ 8690 6260 ™„/„„2_/97^^ ,
+ 328) кгс/см^ == 603 кгс/см^ < [о].
Таким образом, самой опасной является точка ^, но и в ней
наибольшее нормальное напряжение меньше допускаемого.
Оценка влияния поперечных и
продольных сил. Учет продольных и поперечных сил при подборе
сечения чрезвычайно усложнил бы расчет. Так как дополнительные
напряжения от действия поперечных сил обычно невелики, то при
подборе сечения ими пренебрегаем. Наиболее просто оценить их
влияние, проверяя сечение после его подбора.
В опасном сечении вала (рис. 345) кроме учтенных при подборе
сечения моментов М„ Му и М^ действуют еще поперечные силы
81«
^I^ — 607 кгс и ^^ — 23 кгс. Наибольшие касательные
напряжения от этих сил будут соответственно в точках К VI Ь'-
в точке К
кгс/см^ = 35,4 кгс/см^;
4
''^г/макс — о
В точке Ь
4
Р
Ог
Р
4
3
4
3
607
3,14 ■ 2,7^
23
3,14 • 2,72
кгс/см^=1,34 кгс/см^.
Опасную точку сечения найдем, определив патожение
нейтральной линии. Последняя! перпендикулярна к плоскости действия
результирующего изгибающего
момента
Л1 = У М1 + М1
= КбгеО^ + 6980^ кгс • см =
= 9375 кгс • см.
Направление нейтральной линии
легко определ'ить графически
(рис. 347), так как оно совпадает
—>-
с направлением вектора М.
Опасной точкой в сечении
является точка 5 (рис. 347).
Естественно, что в этой точке
касательные напряжения т^^ и тр'
тс Ч/
Рис. 347
будут значительно меньше
вычисленных выше максимальных значений. Примем приближенно и с
некоторым запасом, что в опасной точке 5 к касательным
напряжениям Т5 от крутящего момента М^:
Т5 =
1Г„
8690 • 16
кгс/см^ = 282 кгс/смг
'р 3,14 •5,4-'
добавляется следующее касательное напряжение т^ от поперечных
сил ^у и ^^■.
г'з =^ 0,7 (Т^/макс — Тгмакс) » 24 КГС/СМ^
Вычислим эквивалентное напряжение в точке 5 по IV теории:
г;
V Ш
+ 3(тз + ХзГ
|/(-та-)' + ^ B^2 + 2"^^' •''''/'^"'
= 1/6062 + 3 ■ 306^ кгс/см^ == 804 кгс/см^
Эквивалентное напряжение в той же точке без учета влияния
поперечных сил
05= КбОб^ + 3 ■ 282^ кгс/см2«:!779 кгс/ш\
357
Следовательно, если учесть действие поперечных сил, то напряжения
увеличатся на
804 — 779
804
. 100%^3%.
В опасном сечении щеки (рис. 346) действует только поперечная
сила ^у = 607 кгс; поперечная сила ^^ = 0. Поперечная сила ^^,
не дает касательных напряжений в наиболее опасной точке сечения
Ь. Поэтому рассмотрим ее влияние в точке Хь где вызванные ею
касательные напряжения достигают наибольшей величины
т^ = -2--^ =-^ 6,8-4,1 кгс/см2 = 32,7 кгс/см^
и совпадают по направлению с касательными напряжениями от
воздействия крутящего момента Мкр. Величина последних
т1- - п о^с ^^Л .. .8 кгс/см2 = 257 кгс/см^
1г/макс — ^1^2 0,236 • 6,8 . 4,1«
Вычислим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:
аэкв1у = |/ 0^ + 3 (т^ + т^акс)' = 1^328^ + 3 C2,7 + 257)^ крс/см*» =
= К359 700 кгс/см2 = 600 кгс/см^.
В той же точке напряжения без учета ^у нами уже вычислены:
Опр = 559 кгс/см^.
Таким образом, поперечные силы увеличивают напряжения в
точке 51 на
605 — 559
100% =7,6%.
605
Если в сечении действует осевая сила, изгибающие моменты в
главных плоскостях и крутящий момент, то условие прочности,
например по IV теории, в точке К (рис. 346) имеет вид
сгзкв.у = ]/(^ + '^)' + 3 (V ^[ < М. A2.54)
Аналогично в точке 5
сГзкв.у=|/(^+-#-Г + з{-^)'<[а]. A2.55)
В рассматриваемом опасном сечении щеки действует продольная
растягивающая сила Л^ = 23 кгс. Вызываемое ею нормальное
растягивающее напряжение
A^ =-#- ==-^#-г- кгс/см2«0,83 кгс/см^
г 0,0 • 4,1
настолько мало, что им можно пренебречь.
358
Глава 13
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УПРУГИХ СИСТЕМАХ.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 78. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Одной из важнейших задач сопротивления материалов является
оценка жесткости конструкции, т. е. степени ее искажения п^)д
действием нагрузки, смещения связей, изменения температуры. Для
решения этой задачи необходимо определить перемещения (линейные
и угловые) любым образом нагруженной упругой системы (балки,
рамы, криволинейного стержня, фермы и т. д.). Та же задача
возникает при расчете конструкций на динамические нагрузки и при
раскрытии статической неопределимости системы. В последнем
случае, как уже отмечалось, составляются так йазываемые
уравнения совместности деформаций, содержащие перемещения
определенных сечений.
В предыдущих разделах рассматривались некоторые частные
способы определения перемещений, удобные при решении
простейших задач. Ниже излагается общий метод определения
перемещений в стержневых системах, в основе которого лежат два основных
принципа механики: начало возможных перемещений и закон
сохранения энергии.
Как известно из теоретической механики, работа постоянной
силы Р на перемещении Д по ее направлению равна произведению
величины силы на указанное перемещение:
А = Р^.
В задачах сопротивления материалов и строительной механики
внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно
представляет собой группы сил. Выражение для работы группы
постоянных сил также можно представить в виде произведения двух
величин:
Л==РДя, A3.1)
в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется
обобщенной силой, а Дя зависит от перемещений и называется
обобщенным перемещением.
Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую
нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары,
распределенную нагрузку), а под обобщенным перемещением — тот вид
перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.
Рассмотрим некоторые примеры часто встречающихся
обобщенных сил и перемещений.
1. На рис. 348 показана обобщенная сила, состоящая из двух
равных по величине противоположных сил Р, приложенных в
точках Л и Б и направленных по одной прямой. Предположим, что
359
точки приложения сил переместились в направлении ВА на отрезки
А^ н Да- Очевидно работа системы постоянных сил на этих
перемещениях
Л = РД1—РД2 = Р{Д1 —Д„) = РДя, A3.2)
где Ар = ^1 — А2 — А1 — изменение расстояния / между точками
приложения сил.
Следовательно, в данном примере Р — обобщенная сила, а
изменение Д/ длины отрезка Л В — обобщенное перемещение
2. Пусть группа сил состоит
из пары сил, момент которой М —
В В,
А А,
л^
ц-*^
Рис. 348
Рис. 349
= Ра (рис. 349). Допустим, что элемент А В повернулся на угол
й&. Пути, пройденные силами пары по направлению их действия,
лл, = ОАав; ВВ1 = овав.
Суммарная работа обеих сил
А = Р ■ ЛЛ, 4- Р • 6Б, = Р (ОЛ + ОВ) ав = Рш1в = Мав. A3.3)
Следовательно, если обобщенной силой является момент М пары,
то обобщенным перемещением будет угол поворота A&.
Легко также показать, что при действии на элементы АВ и СО
(рис. 350) двух равных и противоположно направленных пар с мо-
п( ментом М обобщенной си-
и ^\ лой является момент па-
м ^ м аВ: 'и^м Ц ^-~~^ "У ры М, а обобщенным пере-
\
I
Рис. 350
мещением —
Иначе:
6
Рис. 351
изменение угла ф между
ибо
Рис. 352
элементами А В
СО.
Условимся в дальнейшем обобщенные перемещения (как
линейные, так и угловые) какого-либо сечения стержня обозначать
буквами Д или б с двумя индексами. Первый индекс отмечает точку
и направление перемещения, второй — указывает причину,
вызвавшую искомое перемещение. Например, Арр обозначает перемещение
360
точки приложения силы Р по направлению ее действия, вызванное
этой же силой (рис. 351, а). На рис. 351, б изображена консоль,
нагруженная на свободном конце сосредоточенным моментом.
Очевидно угол поворота сечения, где приложен момент, следует
обозначить через Амм. Здесь первый индекс указывает перемещение
по направлению момента М, т. е. угол поворота.
Для обозначения полного перемещения точки, вызванного
несколькими усилиями, при Д сохраняется только первый индекс.
Так, полный прогиб и угол поворота сечения В балки, показанной
на рис. 352, следует обозначить соответственно через Ар и Ам,
прогиб сечения С — через Д^.
Рассматривая достаточно жесткие л1Л1ейно деформируемые
конструкции (т. е. системы, деформации которых следуют закону Гука),
можно на основании принципа независимости действия сил
определять полные перемещения точек как сумму перемещений,
вызванных отдельными нагрузками.
Для показанной на рис. 352 балки прогиб и угол поворота
сечения В можно записать в виде
Ар = Арр + Ар^ -\- Арм', ,^„ .^
А А , А I А A3.4)
Им = йм-Р + ^М^ + ^ММг
где Арр — перемещение точки В по направлению силы Р от силы Р;
Ард — ТО же от силы ^■,
Арм — то же от момента М;
Дмр — перемещение сечения В по направлению пары М (угол
поворота) от силы Р;
Амд — то же от силы ^•,
Амм — то же от пары М.
Перемещение, вызванное единичной силой (Р = 1) или
единичной парой (М — 1), будем обозначать буквой б и называть удельным.
При этом условимся считать единичные силы или пары,
вызывающие перемещение б, безразмерными.
Если единичная сила Р = 1 вызвала перемещение бр, то на
основании принципа независимости действия сил полное перемещение,
вызванное силой Р,
Ар = РЬр. A3.5)
Из выражения A3.5) легко установить единицу удельного
перемещения:
,1, , единица обобщенного перемещения «чо л.\
\0р\ = ^-^ :^ , A0.0)
^ единица обобщенной силы ^ '
Запретим, что нагрузку, действующую на сооружение, обычно
обозначают буквами Р, Ж, X и т. д. с числовыми индексами
(например, XI, Ха, .,.). В этих случаях буквенные индексы при Д или б
заменяют соответствующими числовыми, т. е. вместо Дx^ пишут
361
На рис. 353 показаны обозначения перемещений свободного
конца рамы под действием различных усилий (Р, Хи Л^а. -'^э)-
Полные перемидения сечения С в горизонтальном и вертикальном
направлениях (т. е. в направлениях сил Л^1 и Х^), а также угол
поворота (перемещение по направлению Хз) соответственно можно
представить в виде
^^ = Ахр + Х18и + Xф^^ + Хф^;
Аз = Азр + Х,бз, 4- Хаб^ 4- ''^з^зз-
A3.7)
^~1 хА
.4» -Л ^т-пш
1^* V
^ "- ?| ^ ---^ ^ =]! й ^ §
Рис. 353
Здесь
•^1^11 ■= Ац; Х2612 = А^2; ^3^13 = А4з; ...;
Хфт, = А„
Для оценки единицы перемещений 8„, умножим последнее
равенство на Х^. Тогда выражение
Х„^Х{Ьт1 = Л^Дщ!
будет измеряться в единицах работы (кгс • см). Отсюда
кгс • см
Например, в формуле A3.7)
кгс • см
1X^1 [ХЛ •
1в,з1 =
кгс • см __ 1
[Хх] [Хд] ~" кгс • кгс • см ~ кгс
§ 79. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ
При деформировании конструкции различные ее точки
перемещаются. Перемещаются также точки приложения внешних сил.
В результате этого внешние силы совершают работу.
Вычислим работу некоторой обобщенной силы Р, приложенной
к любой упругой-«^линейно деформируемой системе (рис. 354, а).
Предполагается, что нагрузка возрастает от нуля до заданной
величины достаточно медленно, чтобы при этом можно было пренебречь
силами инерции перемещаемых масс. Такая нагрузка в дальнейшем
именуется статической.
362
Пусть в данный момент силе Р соответствует обобщенное
перемещение Д. Бесконечно малое приращение силы на величину йР
вызовет бесконечно малое приращение перемещения AА. Очевидно
элементарная работа внешней- силы, если пренебречь бесконечно
малыми второго порядка,
ЙЛ = (Р 4- йР) а^ » РА^-
Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной
силой Р, вызвавшей обобщенное перемещение Д,
Л = { Ре?Д.
д
Интеграл A3.8) представляет собой
площадь диаграммы Р — Д для данной
конструкции (рис. 354, б).
|Я-кэ5о
A3.8)
?♦
а
6
Рис. 354
%|
1,
'
0
р
/V
А '
-« 1^ -
А
&
м
Рис. 355
В линейно дефордшруемых системах перемещения
пропорциональны величине силы (закон Гуна):
Д = РЬрр, A3.9)
где Ьрр — переммцение, вызванное силой Р = 1,
Дифференцируем выражение A3.9):
^Д = АРЬрр.
Подставляя полученное выражение в формулу A3.8), найдем, что
р
Л = б/=я I РЛР
бррР^
Учитывая выражение A3.9), окончательно получим
8ррР^
ЯД
2
A3.10)
Таким образом, действительная работа при статическом
действии обобщенной силы на упругую систему равна половине
произведения окончательного значения силы на окончательное значение
соответствующего ей обобщенного перемещения Aеорема
Клапейрона).
В случае статического действия на упругую систему нескольких
обобщенных сил (рис. 355) Ри Р^, ■■■, Р„ работа деформации равна
363
полусумме произведений окончательного значения каждой силы на
окончательное значение соответствующего суммарного перемещения.
Л^^'ЕРА A3.11)
и не зависит от порядка нагружения системы.
§ 80. РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ
При упругой деформации тела во всех деформируемых элементах
развиваются внутренние силы — силы упругого сопротивления. Они
также совершают работу. Вначале определим работу внутренних
сил упругости при
деформировании плоской стерж-
I —+^^ невой системы.
^"ИХ^^ ^\:2X^^^ Двумя смежными сече-
1/?7,
^-4
ЙУ
Рис. 357
ниями выделим из стержня
элемент длиной Й5 (рис 356).
, „ В общем случае для плос-
2'(&Т, кого изгиба действие
удаленных частей стержня на
оставленный элемент
выражается равнодействующими
осевыми силами /V, поперечными ^ и изгибающими моментами М.
Эти усилия, показанные на чертеже сплошными линиями, по
отношению к выделенному элементу являются внешними.
Внутренние силы препятствуют развитию деформации,
вызываемой внешними силами, равны им по величине и обратны по
направлению. На рис. 356 равнодействующие внутренних сил показаны
штриховыми линиями.
Учитывая направления внутренних сил по отношению к
деформации, вызванной внеш'ними силами, можно утверждать, что при
нагружении тела суммарная работа внутренних сил всегда
отрицательна.
Вначале вычислим работу, совершенную отдельно внутренними
осевыми силами, поперечными силами и изгибающими моментами.
Пусть элемент испытывает действие только осевых сил Л/,
равномерно распределенных по сечению (рис. 357). Удлинение элемента
в результате этого
где ЕР — жесткость поперечного сечения на растяжение — сжатие.
Работа постепенно возрастающих от нуля до величины N
внутренних сил на этом перемещении выразится формулой
ЙГл/- ^^ММ8 = ~-^. A3.12)
Как указывалось, работа внутренних сил отрицательна, поэтому
в формуле A3.12) поставлен знак «минус».
364
Рассмотрим теперь элемент, находящийся под действием
изгибающих моментов (рис. 358). В результате изгиба сечения тп и
/Л!»! повернутся на углы A@. Моменты внутренних сил
(показанные штриховыми линиями) на указанных перемещениях совершат
работу
Шм = — -1- лме — -1- лме = — ^ лу ф, A з. 1 з)
где <^ф = 2йв — взаимный угол поворота сечений элемента. Как
было показано в гл. 10,
^ф = ^5
1
Таким образом,
Р
й8
М _
Е1
2Е1
A3.14)
Вычислим, наконец, работу постепенно возрастающих
внутренних поперечных сил С (рис. 359, а). Как указывалось, поперечные
силы являются равнодействующими распределенных в точках
сечения касательных напряжений т. Последние в любой элементар-
Ь
еда'
/7?
/П,
И ,
м м
с1$
М
♦^
(^3
а^
к
ь,
т
т.
аг \
Рис. 358
а
у}
6
Рис. 359
аз
\
6
ной площадке йр, параллельной нейтральной линии (рис. 359, б),
согласно формуле Журавского, таковы:
где 5^ — статический момент относительно нейтральной оси 2 части
сечения, заключенной между уровнем полоски и краем
сечения.
На основании закона Гука взаимный сдвиг двух
соответствующих площадок АР, взятых на торцах тп и тхПх (рис. 359, в).
Следовательно, работа внутренних элементарных сил ЫР при их
нарастании от нуля до окончательного значения
-н- хйРуАв ■■
20
йР.
365
Интегрируя в пределах сечения Р, получим работу сил сдвига:
20У2
'т^-^^Р^-К-^. A3.15)
где
ку = —2] -т|- ^^ — коэффициент, зависящий от формы попе-
■^г р речного сечения;
СР — жесткость поперечного сечения стержня
при сдвиге.
Для прямоугольного сечения Ь X Н
А
2
о '
Аналогично определяются значения коэффициента к и для дру-
32
гих сечений. Например, для кругового сечения к = -5=-, для про-
р
катных профилей приближенно к = -^г-, где Р^ — площадь стенки.
В случае чистого сдвига касательные напряжения
распределяются равномерно по сечению:
Следовательно,
йГд = -4-,Стуа5^^ = —4-^^V^=--^^-"-^-
A3.17)
При одновременном действии осевых и поперечных сил, а также
изгибающих моментов полную работу можно получить как сумму
работ отдельных составляющих. Это объясняется тем, что работа
каждого из этих усилий на перемещениях, вызываемых остальными
силами, равна нулю. Например, при удлинении, вызванном силами
N, поперечные сечения остаются плоскими и параллельными, а
потому пары М и силы ^ работы не производят. Аналогично силы N
не производят работы на перемещениях, вызванных силами ^ и
парами М.
Таким образом, в рассмотренном случае полная элементарная
работа внутренних сил
^•^^ 2Ё1 2ЁР ^0Г- ('^•*^)
366
Интегрируя выражение A3.18) в пределах всего стержня и
суммируя по всем стержням системы, получим формулу для работы
внутренних сил в случае плоского изгиба:
Ш
-1.\^-1[
N44
1^
0^а&
A3.19)
2Е^ ^^ ^ 2ЕР -4^ ^ 2СР
0 0 о
Когда стержень подвергается деформации кручения, в сечениях,
ограничивающих выделенный элемент длиной ^5, действуют
крутящие моменты Мкр (рис. 360), являющиеся по отношению к элементу
внешними. Моменты сил упругости равны по величине моментам
Мкр и направлены в
противоположные
стороны. Взаимный угол
поворота сечений тп
и т^п^
<^<р =
Чр^
где С/к — жесткость
поперечного сечения
стержня при
кручении.
Таким образом, при
кручении элементарная работа постепенно возрастающих
внутренних сил
Рис. 360
аш.р =
МкрA<р =
Полная работа внутренних сил при кручении стержня
й?'„
= _ ^ -1- м«р^^ф = — ]
20^к
A3.20)
A3.21)
Наконец, в общем случае действия сил на брус в сечениях имеем
шесть силовых факторов (рис. 361): осевую силу N, поперечные
силы ^^, и ^^, крутящий момент М^р, изгибающие моменты М^ и М^.
Учитывая, что работа каждого из этих усилий на перемещениях,
вызванных остальными усилиями, равна нулю, получаем
следующую формулу для работы внутренних сил (сил упругости):
A3.22)
Заметим, что выражение A3.22) справедливо также и для
криволинейных стержней малой кривизны.
367
§ В1. ПРИМЕНЕНИЕ НАЧАЛА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
К УПРУГИМ СИСТЕМАМ
Начало возможных перемещений, являясь общим принципом
механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем.
Применительно к ним этот принцип можно сформулировать
следующим образом: если система находится в равновесии под действием
приложенной нагрузки, то щ^мма работ внешних и внутренних
сил на возможных бесконечно мальа перемещениях точек системы
равна нулю, т. е.
^/'{А^т + Ге^-О, A3.23)
где Р, — внешние силы;
Кт — возможные перемещения этих сил;
ЕР,Д,„г — работа внешних сил;
'Шт — работа внутренних сил.
Заметим, что в процессе совершения системой возможного
перемещения величина и направление внешних и внутренних сил
остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать
не половину, а полную величину произведения соответствующих
сил и перемещений.
Учитывая малость деформаций и их линейную зависимость от
нагрузок, в качестве возможных перемещений можно принимать
упругие перемещения, вызванные любым видом нагрузки и
происходящие без нарушения связей. Работа
внешних и внутренних сил на
возможных перемещениях называется
возможной или виртуальной работой.
Покажем, как определяется
возможная работа внешних и внутренних
сил, на примере плоской системы.
Рассмотрим два состояния какой-либо
системы, находящейся в равновесии
(рис. 362). В состоянии а система
деформируется обобщенной силой Р^
(рие. 362, а), в состоянии Ь — силой Р^
(рис. 362, б).
Очевидно перемещения состояния Ь можно рассматривать как
возможные для состояния а, и наоборот, перемещения состояния а
являются возможными для состояния Ь.
Поэтому работа сил состояния а на перемещениях состояния
Ь {Ааь), равно как и работа сил состояния Ь на перемещениях
состояния а (Льа), будет возможной. Указанные работы внешних сил
соответственно
АаЬ = Ра1^аЬ\ ^^3.24)
Аьа = РьАьа-
Вычислим теперь возможную работу внутренних сил состояния а
на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния Ь. С этой целью
36В
рассмотрим произвольный элемент стержня длиной их в обоих
состояниях. Для плоеного изгиба действие удаленных частей на
элемент выражается системой усилий Л^^' ^а■^ ^а (РИс. 363, а).
Внутренние усилия, действующие на элемент, имеют направления,
противоположные внешним, и показаны штриховыми линиями. На
рис. 363, б показаны внешние усилия УУ^,, ^^„ М^„ действующие на
элемент йя в состоянии Ь. Деформации элемента, вызванные этими
усилиями, показаны на рис 364.
Очевидно удлинение элемента ^5, вызванное силами Л'^,
{М8\
ЕР
Работа внутренних осевых сил Л^^ на этом возможном перемещении
NаNьЛ$
■Л^„(А^)ь-
ЕГ
A3.25)
с/з
Аг АЬ
—^^-
л*
С15
2Х
А4
Л
аз
Рб
Рис. 363
Рис. 364
Взаимный угол поворота граней элемента, вызванный парами М^
Работа внутренних изгибакадих моментов Ма на этом перемещении
--МЛ^Ф). = --^^^^. A3.26)
Е^
Взаимный вдвиг граней элемента, вызванный поперечными
силами ^^„
Работа внутренних поперечных сил С„ на этом перемещении
- ^, (уйз), = - к '^У . A3.27)
Суммируя выражения A3.25), A3.26) и A3.27), получаем
возможную работу внутренних сил, приложенных к элементу Лз стержня,
на перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной
нагрузкой, отмеченной индексом Ь:
Шаь =—М^ (йф), — N. (Айв), — (?„ (у^5)„ A3.28)
или
<ШаЬ =
МаМь<^^ ЛаМьА^^
Е^
ЕР
ОР
A3.29)
369
Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, а
затем по всем стержням системы, получим полное значение
возможной работы внутренних сил:
■ [21 л^« (д^)*+21 ^« <^*>ь+21^- ^^^^)ь
Запишем его в более удобном виде:
М^а =
. A3.30)
A3.31)
Внеся теперь в уравнение A3.23) выражения для возможной
работы внешних сил [первую из формул A3.24)] и внутренних сил
[формулу A3.30) или A3.31)], получим общее выражение начала
[ озможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:
или
^а^Ы^^
СР
О,
A3.32)
0.
A3.33)
Иными словами, если упругая система находится в равновесии,
10 работа внешних и внутренних сил в состоянии а на возможных
перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом Ь, равна нулю. Выражения A3.32) и A3.33)
применимы и для стержня малой кривизны. Аналогичные
выражения легко составить и для общего случая нагружения стержня.
Если в качестве возможных принять действительные
перемещения Да, вызванные заданной нагрузкой Р^, то выражение A3.33)
примет вид
1^Ра^а- 2]-|7- + 2)^^ + 2]^-5Г- =0.A3.34)
Нетрудно видеть, что, разделив выражение A3.34) на два,
получим
Т ^
A3.35)
т. е. А представляет собой действительную работу внешних сил
в процессе статической деформации [см. формулу A3.11)], а
= 1Г A3.36)
работу внутренних сил [см. формулы A3.19)].
370
Таким образом,
^ + Г = О,
A3.37)
т. е. суммарная работа внешних и внутренних сил при статическом
деформировании упругой системы равна нулю. Отсюда следует, что
действительные значения работы внешних и внутренних сил равны
по величине и обратны по знаку.
§ 82. ТЕОРЕМЫ О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассмотрим произвольную упругую систему, например балку,
в двух состояниях. В первом состоянии (рис. 365, а) пусть
действует обобщенная нагрузка, отмеченная индексом 1; перемещения
соответствующих точек системы будут Ди, Д21, ..., Д,1.
Во втором состоянии (рис. 365, б) система нагружается
обойденной нагрузкой, отмеченной индексом 2, а перемещения
соответствующих точек системы от этой нагрузки будут Д12, Дгг» •■•, ДB-
Напишем выражение возможных работ внешних и внутренних
сил для обоих состояний системы, взяв для первого состояния в ка-
Рг
\Р,=1
/ 2
Р,=1
7^
Рис. 365
Рис. 366
честве возможных перемещения, вызванные силами второго
состояния, а для второго — перемещения, вызванные силами первого.
На основании формулы A3.33) для первого состояния
^А2-2К^«^ + |-^^+^^-^^1 = 0, A3.38)
-5 5 5 ^
РЛ
г'-'г!
для второго состояния
^!^ + | Д^+|;^ ^у1^0. A3.39)
Так как выражения дяя работ внутренних сил одинаковы, то
на основании уравнений A3.38) и A3.39) приходим к равенству
щ-
РА
12
/^2^21-
A3.40)
371
Выражение A3.40) носит название теоремы о взаимности рабст
(теоремы Бетти). Она формулируется следующим образом:
возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния 1 на
перемещениях состояния 2 равна возможной робст.е внешних (или внут-
реньчх) сил состояния 2 на перемещениях состояния 1.
Применим теорему о взаимности работ к частному случаю на-
гружения, когда в обоих состояниях системы приложено по одной
единичной обобщенной силе Р1 =* 1 и Р^ — 1 в точках 1 м 2
(рис. 366). На основании формулы A3.40)
Р1О12 = "г^г!'
^ а так как Р1 ^ Р^ = 1, то
б|, = б;
21-
C1.41)
Выражение A8.41) носит название
теоремы о взаимности перемещений (теоремы
Максвелла). Формулируется она так:
перемещение точки приложения первой силы по
ее направлению^ вызванное действием ет.о-
рой единичной силы, равно перемещению
точки приложения второй силы по ее
направлению, вызванному действием первой
единичной силы.
Теоремы о взаимности работ и перемещений имеют большое
значение в общей теории исследования напряженного и
деформированного состояния стержней, пластинок, оболочек и других расчетных
объектов. Их применение существенно упрощает решение многих
задач строительной механики, а также производство опытов по
определению перемещений.
Пользуясь теоремой о взаимности работ, определим прогиб Дг!
балки посредине пролета при действии на опоре момента М
действие в точке 2 сосредо-
(рис. 367, а).
Используя второе состояние балки
точенной силы Р (рис. 367, б) — по формуле A0.65) при а = Ь = -^
и л: = О найдем угол поворота опорного сечениям
^12 =
РР
Согласно теореме о взаимности работ,
М^^. = РД21,
откуда
A3.42)
Пример 55. Определить прогибы точек 1, 2 к 3 вала, нагруженного силой Р
в точке С (рис. 368).
Вместо того чтобы устанавливать прогибомеры в указанных точках, как это
показано на рис. 368, а, на основании теоремы о взаимности перемещений доста-
372
точно установить прогибомер в точке С, а силу последовательно прикладывать в
тс !ках 1,2 нЗ (рис. 368, б). Измеренные при этом в точке С прогибы равны искомым.
Пример 56. Показать, что при нагружении балки с консолью (рис. 369, а)
моментом М, приложенным на расстоянии —7=- от левой опоры А, консоль ВС
V 3
остается неподвижной.
Если нагрузить балку в опорном сечении В моментом М (рис. 369, б), то
максимальный прогиб на участке АВ будет в сечении О, находящемся на расстоянии
—;=г- от опоры А. Следовательно, угол по-
г 3
вэрота этого сечения равен нулю Fо= 0). .
\Р
А ['
1-Л 1
в
''ТТ/? 77^ 7^^
а
г—)
ё^ 1 2
Рис. 368
3
п
А
'
и
"^^'^
^с
а
б
Рис. 369
Если момент М приложить в сечении О (рис. 369, б), то на основании теоремы
о взаимности перемещений на опоре В угол поворота сечения будет равен нулю
(вд = 0). Консоль ВС остается неподвижной, так как ее перемещение, очевидно,
может произойти только в результате поворота опорного сечеиия в, а он
отсутствует.
§ 83. ОВЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕРЕМЕЩЗ^НИЙ.
МЕТОД МОРА
Рассмотрим вначале произвольную плоскую стержневую систепу
(балку, раму, ферму и т. п.), нагруженную заданными силами Р
(рис. 370, а). Усилия в произвольном сечении системы обозначим
через Мр, С^р, Ыр. Пусть требуется определить перемещение
(обобщенное) любой точки т системы по направлению I—I.
Введем вспомогательное состояние (рис. 370, б), представляющее
собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой
(обобщенной) X, = 1, приложенной в той же точке т и по тому же
направлению, по которому надлежит разыскать перемещение И^ср.
Усилия в произвольном сечении вспомогательного состояния,
вызванные действием единичной силы X,- = 1, обозначим через М,,
Применим начало возможных перемещений для
вспомогательного состояния, принимая в качестве возможных действительные
перемещения заданной системы. Согласно формуле A3.33),
\■^^Р =
3 Е^
Мрйв , 'У Г ^0ра»
+ 21*-%^. A3.43)
373
Выражение A3.43) является общей формулой для упругого
перемещения плоской стержневой системы.
Если исходить из выражения начала возможных перемещений
в форме A3.32), то общую формулу для упругого перемещения
можно записать в виде
8 ? «
В общем случае действия сил (см. рис. 361) формула для
перемещения содержит шесть слагаемых:
ЧР
-п-^
мт^
+
+
+ к,
0Г<2^р , ,. ^^^I
ч СГ
+ к
СР
N,Nр
~Ер'
A8.
A3.45)
Индексы у, г в формуле A3.45) обозначают главные оси, индекс
«кр» — крутящий момент. Заметим, что общая формула A3.45)
применима и для кривых стержней малой кривизны.
Рис. 370
Формулы A3.43) и A3.45) впервые были получены Мором.
Определение перемещений по этим формулам часто называют методом
Мора. Отметим, что метод Мора является самым общим методом
определения перемещений стержневых систем. Его значение особенно
велико при расчете статически неопределимых систем.
В большинстве случаев при определении перемещений в балках,
рамах и арках можно пренебречь влиянием продольных
деформаций и деформаций сдвига, учитывая лишь перемещения, которые
вызываются изгибом и кручением. Тогда формула A3.43) для
плоской системы принимает вид
A3.46)
374
При пространственном нагружении, согласно формуле A3.45),
^,я=2 I
~Ё77~
М^МрЛв ^ с
Е^г
+
М^РуИ^Рй5
о^.
A3.47)
Если рассчитываются шарнирные фермы, образованные прямыми
стержнями, то в формуле Мора сохраняется лишь член, содержащий
продольную силу: _
Х:
2(
2
В
■;^г-ттгт>^
-.:11Г1Ж]1СЬ=^
Формула A3.48) носит название
формулы Максвелла.
Можно указать следующий порядок
определения перемещений по методу
Мора:
1. Строят вспомогательную систему,
которую нагружают единичной
нагрузкой в точке, где требуется определить
перемещение. Определяя линейные
перемещения, в заданном направлении
прикладывают единичную силу, определяя
угловые перемещения,— единичный
момент.
2. Для каждого участка системы вы-
писыванэт выражения силовых факторов
в произвольном сечении заданной {Мр,
Nр, ^р) и вспомогательной {А1„ М^, ^^)
систем.
3. Вычисляют интегралы Мора (по
участкам в пределах всей системы).
В соответствии с указанным, при расчете
плоских балок, рам и арок исходят из формулы A3.46), при расчете
ферм — из формулы A3.48).
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак',
то это означает, что его направление совпадает с направлением
единичной силы. Отрицательно знак указывает на то, что
действительное направление искомого перемещения противоположно
направлению единичной силы.
Рассмотрим примеры применения метода Мора для определения
перемещений в стержневых системах.
Пусть требуется огфеделить прогиб посредине пролета и угол
поворота на опоре шарнирно опертой балки {Е^ = сопз!:),
нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью д
(рис, 371, с), а также исследовать влияние поперечных сил на
максимальный прогиб.
1. Для определения прогиба посредине пролета нагружаем в
этом месте вспомогательную балку (рис. 371,6) единичной сосредо-
375
точенной силой. В произвольном сечении первого участка балки
Учитывая симметрию, получим
2 _ 2
^1 (х) Мр (X) ах _ 2 с X I д1 Чх'Л, 5 д^'^
МР
_ Г М^ (х) Мр (X) ах _ 2 С X I д1 дх'\
~^3 Е^ ~ Е^} ~2'[~2'^ 2"}^^-
.384 Е^
Учтем влияние касательных напряжений на искомый прогиб,
предполагая, что балка имеет прямоугольное сечение. Очевидно
при О < X < -
^р (^) = -| чх;
На основании равенства A3.43) прогиб, вызванный действием
поперечных сил,
1. ^-
2 _ 2
дР
о о
2 дР
5 ЕР •
При этом учтено, что коэффициент формы для прямоугольного
сечения
Суммируя выражения для перемещений, находим, что
V1Р
384 Е/ ' 5 ЕГ 384 Е^
Второй член в скобках, отражающий влияние поперечной силы,
при "Г " 1гГ Р^^^н 0,026. Следовательно, прогиб, вызванный
поперечной силой, составляет менее 3% прогиба, вызванного
изгибающими моментами.
2. Для определения угла поворота опорного сечения
вспомогательную балку нагружаем единичным моментом (рис. 371, в). При
376
о < л; < / имеем
Мр(х)^^х-
2 '
дР
2АЕ^
A3.49)
Положительный знак указывает на то, что поворот совпадает с
направлением единичного момента.
Рче. 2?2
Определим вертикальное перемещение узла В шарнирно-стерж-
невой системы (рис. 372, а), состоящей из двух одинаковых
стержней ЛВ и ВС постоянного поперечного сечения. Вспомогательная
система показана на рис. 372, б.
Вырезая узел В и рассматривая его равновесие, легко находим
усилия в стержнях для обоих состояний:
Стержень Nр Ы-^
АВ Р 1
ВС —Р—\
На основании формулы A3.48)
яя
^1Л'р' _2 ''^
ЕР
ЕР
A3.50)
Пример 57. Расположенная в горизонтальной плоскости рама АВС
(рис. 373, а) состоит из двух стержней одинакового круглого поперечного сечения.
Определим вертикальное перемещение точки С. Вспомогательная система
показана на рис. 373, б.
Перемещение Д)р определим исходя из формулы A3.45). Для произвольных
сечений двух участков имеем:
для / участка (О < х < с)
М,
Рх; М'З' = 0;
М^ = х; муР = 0;
377
для // участка (О < л < /)
Мр = Рх; М^ = Ра:
^1 = х; ЩР = а;
а
Р (о? + Р)
РаЧ
ЗЕУ
О].
РаЧх
A3.51)
§ 84. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ ДЕЙСТВИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ
Допустим, что произвольный элемент A8 стержня нагрет внизу
до температуры Т„, а вверху — до Т^ (рис. 374, а, б). Обычно
предполагается, что по высоте сечения температура изменяется
по линейному закону, тогда сечения бруса перемещаются, оставаясь
плоскими.
Удлинения нижнего и верхнего волокон (рис. 374, б)
соответственно
М8^ = аТ^A8,
где а — коэффициент линейного расширения.
Удлинение по оси бруса (среднее удлинение)
Ае1з^=а ^" + ^" ^я
/77 _ /7 ^ «^5я
~е-
A3.52)
A3.53)
Взаимный угол поворота сечений элемента й8, вызванный
неравномерным нагревом элемента,
(^0O
Аа8„ — АОЯа _ Т„-
■й8.
A3.54)
Пусть теперь требуется определить перемещение (обобщенное)
произвольной точки к системы в любом направлении I — I,
вызванное действием температуры. С этой целью нагружаем вспомога-
278
тельное состояние системы единичной силой (обобщенной) Х^ = 1
(рис. 374, в). Применяя начало возможных перемещений для
вспомогательного состояния и считая возможными действительные пе
ремещения, вызванные действием температуры, на основании
формулы A3.44) находим
^'^=21 ''^' (^®)^+21 ^'•^^^-
После подстановки формул A3.53) и A3.54) получим
А,7
21
М.а
Тп-Т^
й8 +
21"-»
КТ ^ ^и + Тв
A3.55)
й8. A3.56)
Формула A3.56) применима и для брусьев малой кривизны.
В фермах, где действуют только продольные усилия, температурные
перемещения определяются по
формуле
А/г = 2 Л^.аТ^/. A3.57) й>г7 / \ / \Н>0
Тп + Тв
где Т
температура на
М>0
Рнс. 375
ОСИ стержня,
постоянная по его
длине.
Суммирование проводят по всем
стержням фермы.
Знак перед вторым членом в формуле A3.56) зависит от выбора
правила знаков для изгибающего момента. Если считать
изгибающий момент положительным, когда он направлен так, как
показано на рис. 375, а, то перед вторым членом в формуле A3.56)
сохраняется знак «плюс». Иногда изгибающий момент считают
положительным, если он направлен, как показано на рис. 375, б. Тогдз
перед вторым членом в формуле A3.56) берут знак «минус».
Напомним, что в статически определимых системах
температурные перемещения не вызывают усилий N, ^ и М в элементах
системы.
В случае действия нагрузки и температуры на плоскую систему
общая формула для перемещений представляет собой сумму членов
формул A3.43) и A3.56):
д. = д„+д..21^^ + 21
Ма-^^Ф^
й8 +
+ 2^М.а.
Г„-Гв
йв.
A3.58)
Пример 58. Определить горизонтальное и вертикальное перемещение, а
также угол поворота свободного конца стальной консоли (рис. 376, а), вызванные
неравномерным нагрево1М. Длина балки / = 2 м, высота сечения Л = 10 см.
379
^
«
^
д а = 118 • 10 . Начальная температура балки Тд = 5°С;
затем нижнее волокно нагрето до температуры 55°С,
а верхнее охлаждено до температуры —5°С.
.Х,=/ Очевидно расчетные температуры волокон следую-
л;=/
Гн = 55 — 5 = 50°С;
Гв = — 5 — 5 = — 10°С.
г
Рис. 376
В Вспомогательные состояния для определения
вертикального и горизонтального перемещений и угла по-
.^1^' ворота показаны на рис. 376, б — г. Имеем
-ё) Л11 = -(г-х). N1=0;
М, = 0; Л^а = -1;
Л1,= 1; Л^, = 0.
Следовательно, иа основании формулы A3.56)
а) прогиб
I I
^^^. = Г М^а ^" ^ ^" йл: =
о о
или после подстановки значений,
118- 10-^-60 •4- 10*
|(/-х)
^^=-«Лй^''.
Д,у. = -
2- 10
см = — 1,42 см;
б) горизонтальное перемещение
I
-'2Г
= и,а^
+1в^^__„^к+1л/
118- 10-^- 40-200
в) угол поворота
I
-■37"
. Г Мза ^
-0,047 см;
'-^йх^а ^" . ^»
^-^
■Гв)
^зг
118- 10~^- 60-200
10
рад = 0,0142 рад.
§ 85. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МОРА ПО СПОСОБУ ВЕРЕЩАГИНА
Вычисление интегралов Мора существенно упрощается, если
одна из эпюр (в действительном состоянии или единичном)
прямолинейна. Такое условие всегда выполняется для систем, состоящих
из прямых брусьев, так как при этом эпюры от единичной нагрузки
(сосредоточенной силы или пары) всегда ограничены прямыми
линиями.
]М1Мрйх
Вычислим интеграл ]М1Мрйх для случая, когда эпюра от задан-
I
ной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной —
280
прямолинейна (рис. 377). Обозначим через ^ площадь эпюры Мг;
с — ее центр тяжести, Мс — ордината эпюры от единичной
нагрузки под центром тяжести эпюры Мр. Очевидно, что Мрйх = йИ
представляет собой дифференциал площади эпюры Мр, а
Ж, = х !§ а.
Тогдэ искомый интеграл
Г ТЛ.Мрйх = 1ёа Г хйа. A3.59)
I I
Интеграл в правой части равенства
A3.59) представляет собой статический
момент площади эпюры Мр
относительно оси О—О:
Г хйО: = х^О,
I
где Хс — абсцисса центра тяжести
эпюры Мр.
В таком случае
Г ММр<^ = Ч ^х,0, = ^М„ A3.60)
%1-
ах
-4-и- I
Хс
Рис. 377
так как
Хс !§ а = М^.
Следовательно, интеграл Мора равен произведению площади
эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от
единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры
от заданной внешней нагрузки.
Общая формула A3.46) перемещений для систем из
прямолинейных элементов принимает вид
А,Р = 2
A3.6!)
Описанный графоаналитический способ вычисления интеграла
Мора был предложен А. Н. Верещагиным и носит название способа
Вереищгина. Вычисления по этой формуле проводят по участкам,
на каждом из которых эпюра от единичной нагрузки должна бьть
прямолинейной (рис. 378). В тех случаях, когда обе эпюры
прямолинейны, можно умножать площадь любой из них на ординату
другой под центром тяжести первой.
Если эпюра Мр имеет сложный вид, то ее нужно разбить на
простые фигуры (рис. 379), для которых легко определить площадь
и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей
умножают на ординату единичной эпюры под центром тяжести
соответствующей площади. Ординаты в этом случае удобно обозначать
вместо Мек буквами %, где й = 1; 2;...
381
Таким образом.
ир
(г=1....
Е^
A3.62)
При учете крутящих моментов в общем случае нагружения
знаменатель формулы A3.61) в соответствующем члене содержит
жесткость на кручение С/^.
В с
@
Рис. 378
Рис. 379
Если эпюры Мр и Л4( противоположны по знаку, то результат
умножения эпюр имеет знак «минус».
Способ перемножения эпюр по Верещагину широко применяют
при расчете рамных конструкций (конструкций, у которых углы
в месте сопряжения отдельных стержней, жесткие до деформации,
остаются жесткими после нее).
Рассмотрим некоторые примеры применения способа
Верещагина для определения перемещений в различных стержневых си-
шит
етемах.
Определим прогиб в точке О и угол
поворота сечения В консоли (рис. 380, а).
Соответствующие вспомогательные
(единичные) состояния показаны на рис. 380,
б, е.
Строим эпюры изгибакмцих моментов
Мртл М(. Прогиб в точке!) по
Верещагину
А1р =
Е^
I
Рис. 380
На участке АВ площадь О = -^ да^.
Центр тяжести этой площади,
ограниченной квадратичной параболой вида
д(а--х) ^р^^ 380, а), находится на рас-
3 о
стоянии-т-а от точки о, в чем легко
182
%'П
убедиться, применив формулу B.3). Ордината вспомогательной
— 7
эпюры Мс1 = -г-а. На участке ВВ О — 0. Итак,
Мр
= 2-
1
щ^
■а~
Е^ 6 4 24 Е/
Для определения угла поворота вспомогательную систему
нагружаем единичной парой. Очевидно Мс2 — 1. Следовательно,
угол поворота сечения В
А2Р = 2^-
д(?
ЕЗ
Е^
1
до?
6Е^
В
м
^ в
А
±!).д
А
7Ш>
-^2=/ В С^ С В ,, С
Ж1^ ^ШТ^
А
М
Р^^Ш
Рис. 381
Определим полное перемещение точки С рамы, изображенной
на рис. 381, а, приняв, что Е^ = сопз!. Для определения полного
перемещения Д = СС1 вычислим предваритааьно перемещения
указанной точки в вертикальном и горизонтальном направлениях.
Чтобы определить вертикальное перемещение точки С, раму во
вспомогательном состоянии нагружаем силой ^1 = I,
направленной вертикально (рис. 381, б). Основная эпюра Мр показана на
рис. 381, г, вспомогательная Мх — на рис. 381, д. Имеем
МР =
Е^
Вычисления проводим по участкам:
для участка СВ
для участка А В
Следовательно,
^^ = М1; гI
Оа = МН; ■щ. = I-
М1
Ахр =
+
МН ■ I
%-И+'')
Е^ ' Е^
Для определения горизонтального перемещения
вспомогательную систему нагружаем в точке С горизонтальной силой Х^ =1
шис. 381, в). Эпюры Ма показаны на рис. 381, е.
383
Очевидно на участке СВ ордината т)! — О, а на участке А В
ордината гJ
Следовательно,
Аор =
^2%
Л№2
Е^ 2Е^ •
Полное перемещение точки С рамы
Л = Уа\р + А|р.
Определим изменение расстояния между точками А и В для
рамы, показанной на рис. 382, а. Эпюра изгибакхцих моментов от
_А В
А В Х,=1 А
^
Ф
% шШь.
а
6
Рис. 382
в^<!I^
заданной нагрузки Мр показана на рис. 382, б. Во вспомогательном
состоянии нагружаем систему обобщенной нагрузкой,
соответствующей искомому перемещению (рис. 382, е) ^. Такой нагрузкой являют-
Рие. 383
ся единичные сосредоточенные силы, приложенные в указанных
точках. Эпюры Мр и М1 построены на сжатых волокнах. Имеем
" "~ 2 4 ' 8 •
^ Для сокращения количества рисунков здесь и в некоторых примерах в
дальнейшем эпюры строим непосредственно на осях стержней, т. е. схемы нагрузочных
состояний н эпюры совмещаем на одном рисунке.
384
Следовательно,
ЙЛТ, РРа
Чр
Е^ 8Е^
Определим опускание свободного конца ломаной консоли
круглого поперечного сечения, нагруженной на участке АВ
вертикальной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 383, а). Эпюры
изгибающих и крутящих моментов для основного и
вспомогательного состояний изображены на рпс. 383, б, г. Эпюры крутящих
моментов расположены в горизонтальной плоскости, а их ординаты
изображены штриховыми линиями
Вычисления проводим по участкам:
А 1 ш* 3 ,11 ,о 2 , , I ш* ,
Е/ \ 8 ^ 3 / ^ 20/р
§ 86. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ВЕРЕЩАГИНА К СТЕРЖНЯМ
ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Чтобы применить метод Мора для определения перемещений в
стержнях переменного сечения, преобразуем формулу A3.46)
следующим образом:
) -^Т^^ = 2 ] —1^ ^'^. ('3.63)
/ I
где ^ (х) — момент инерции произвольного сечения;
/о — момент инерции определенного (характерного) сечения.
Обозначим Мр -у— — М„р и назовем эту величину приведенным
изгибающим моментом в текущем сечении. Тогда интеграл Мора
можно записать в виде
^^-^ах. A3.64)
Л,Р = |
Е^о
I
Применяя к формуле A3.64) способ Верещагина, находим, что
А<р = , A3.65)
где Йпр — площадь эпюры Мпр, т. е. площадь приведенной эпюры;
Мс — ордината единичной эпюры под центром тяжести
приведенной эпюры.
Определим прогиб свободного конца и угол поворота сечения В
консоли переменного сечения (рис. 384), если
«/ (х) = •/() I I
13 8-2770 385
л
ДЩШ^^
®
я/"""'"'""
/й -
1
В
Рис. 384
где /о — момент инерции сечения в месте
защемления.
Текущая ордината эпюры Мр равна
—Р (I—х). Приведенные ординаты
постоянны, так как
М„р = Мр ■
'о .
^{x)
■Р1.
Для определения прогиба строим
вспомогательное состояние (рис. 384, б).
Очевидно
ЧР
ЙпрА11
2ЕЗ,
Чтобы определить угол поворота
сечения В, нагружаем балку во
вспомогательном состоянии сосредоточенным моментом
Хг — 1 (рис. 384, в). Учитывая, что
эпюра Мг имеет два участка, получаем
О,
'пр ■
Р1
I
-Т' ^2=1:
Агр
РП
2Б/я
§ 87. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил не
исчезает, а трансформируется в потенциальную энергию,
накапливаемую в упругом теле. Следовательно, величина накопленной
потенциальной энергии деформации определяется
величиной работы внешних сил. Эта энергия
проявляется в виде работы, совершаемой при
разгрузке внутренними силами. Снимая,
например, часть гирь, приложенных к балке (рис. 385),
заметим, что балка несколько выпрямится и при- рис. 38$
поднимет оставшиеся гири. Таким образом,
упругое тело способно аккумулировать механическую энергию,
которую можно вернуть при разгрузке.
Пренебрегая при статическом нагружении изменениями
кинетической энергии системы, а также потерями энергии на
внутренние трения, изменение температуры, магнитные и электрические
явления, которые имеют место при деформации, можно утверждать,
что уменьшение потенциальной энергии грузов равно
потенциальной энергии деформации, накопленной упругой конструкцией, т. е.
V = Ур, A3.66)
386
где II — приращение потенциальной энергии деформации;
IIР — уменьшение потенциальной энергии грузов.
Уменьшение потенциальной энергии грузов численно равно
работе внешних сил при нагружении тела. Следовательно,
потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил при
нагружении системы или работе внутренних сил, совершенной в
процессе разгружения.
На основании формулы A3.22) потенциальная энергия
деформации в общем случае нагружения бруса
A3.67)
Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации
является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных
перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными
силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда
положитааьна. Ее величина не зависит от порядка нагружения и
целиком опредааяется окончательными значениями усилий и
перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как
квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу
независимости действия сил. Это значит, что потенциальная
энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна
сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки
в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении
потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда
перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное
действием другой силы, равно нулю.
Пример 59. Определить величину потенциальной энергии деформации,
накопленную в шарнирно-стержневой системе (рис. 386), нагруженной в узле В
вертикальной силой Р. Стержни АВ и ВС имеют одинаковые размеры и наготовлены из
одного материала.
Рассматривая равновесие узла В, легко находим, что стержни растягиваются
одинаковыми силами;
Л'1 = Л'2 = ^^. A3.68)
Следовательно, потенциальная энергия деформации системы
4, ЛГ2/ [-^) ' рц
1=1
с другой стороны, на основании формулы A3.10) потенциальную энергию
деформации можно представить как половину произведения силы, приложенной
13* $87
в узле, на вертикальное перемещение узла Др, т. е.
I/ = — РДр. A3.70)
Заметим, что, сравнивая формулы A3.69) и A3.70), можно найти перемещение
точки В по направлению силы:
2 Р1
Пример 60. Определить потенциальную энергию, накопленную при
деформации балки постоянного прямоугольного сечения Ь X Н, иагруженной, как
показано на рис, 387.
Ей
I
I а Р
II
ЩГ,
^~) 2ЕЗ "♦' 20/'
Рис. 387
Будем исходить из формулы A3.67), сохранив члены, соответствующие
плоскому изгибу. Получим
!Г- A3.7.)
I I
Вычисления проводим по участкам. Выражения для изгибающих моментов
и поперечных сил в произвольных сечениях участков имеют следующий вид:
для / участка (О < л: < а)
РЪ ^ РЬ
М(х)=-^х; <2(;«) = -у-;
для // участка (а ^ л: < /)
Следовательно,
Ра ^ Ра
М (х) =—^ {I — х); 0(х)^ —
О
Р^аЬ
3 Р^аЬ
бЕЛ ' 20Р1 6ЕЛ ' 5 0Р1 '
так как для прямоугольного сечения к= 1,2. Подставив в формулу A3.72)
A3.72)
найдем, что
С = 0,4^; ^ = -— ; Р = Ы1,
и =
2РЧ^1^
ЕЬНЧ
('+т1)-
388
Г'оследний член в скобках, выражающий влияние поперечной силы, при
обычных размерах балок не превышает 2—3%. В связи с этим при нзгнбе балки
влиянием поперечной силы при вычислении потенциальной энергии обычно
пренебрегают.
Желая вычислить прогиб балки в месте приложения нагрузки, представим
потенциальную энергию деформации балки в виде
и = -~Рй.р A3.73)
и, сравнивая выражения A3.73) и A3.72), пренебрегая в последнем влиянием
поперечной силы, найдем прогиб в сечении В:
ЪЕН
A3.74)
§ 88. ТЕОРЕМА КДСТИЛЬЯНО. ТЕОРЕМА ЛДГРДНЖД
Пусть упругая система статически нагружена произвольной
нагрузкой С и некоторой обобщенной силой Р (рис. 388). Вычислим
потенциальную энергию, накопленную при деформации системы.
С этой целью для удобства примем следующий порядок нагружения.
Вначале нагружаем систему силой Р. Перемещение точки
приложения силы по ее направлению и от ее действия обозначим Дрр.
Затем прикладываем нагрузку С. В результате дополнительной
деформации сила Р получит перемещение Дрд. Полное (обобщенное)
перемещение точки приложения силы . ^
ар = арр -ЬДрд. A3.75)
Очевидно накопленная
потенциальная энергия деформации численно
равна работе внешних сил:
с/ = -2" РДрр 4- Р^ро. + с/дд.
A3.76)
р
=^ ^.
:^==^^
'"^
р,
а
\\т
~~., —'
Рис.
388
М'
^
■^ у/
где V
чч
энергия, накопленная в результате деформирования
системы только силами С, численно равная работе сил
С на вызванных ими перемещениях.
Второй член в формуле A3.76) не содержит 1/2, так как на
перемещении Др(э сила Р, выполняя работу, не изменяла своего
значения. Так как Дрр = Рбрр, то формулу A3.76) можно записать
в виде
V = \-РЧрр + РДрд -Ь ^/д<г.
A3.77)
Продифференцируем выражение A3.77) по силе Р с учетом
равенства A3.75):
= Рбрр + Др(э = Дрр + Др(з = Др.
дР
Таким образом,
дР
D3.78)
389
Перемещение точки приложения сообщенной силы по направлению
ее действия равно частной производной от потенциальной энергии
деформации по этой силе (теорема Кастильяно).
Заметим, что, согласно формуле A3.77), вторая производная от
потенциальной энергии по обобщенной силе
д^и
дР^
д^р
дР
= 6
рр
A3.79)
и имеет существенно положительную величину.
Для плоской стержневой системы, исходя из общей формулы
A3.67), потенциальную энергию деформации запишем в виде
^,_^«^^|^^|,
(?Д E) ^5
20Р
A3.80)
где М (в), Л^ (8), С (в) — усилия в сечении стержня.
Применяя правило дифференцирования по параметру, находим,
что
Ар =
дР ~]
м (8) а^ дм (8)
Е^
+ и
дР
^ {«) а«
СР
+
дР
N (8) & дN (8)
ЕР
дР
+
A3.81)
или, если пренебречь влиянием осевых и поперечных сил на
величину перемещения,
д _ С М(8)а8 дМ(8)
Е^
дР
A3.82)
Чтобы определить линейное или угловое перемещение в точке,
Где по условию задачи сила отсутствует, в этой точке следует при-
р ложить соответствующую фиктивную
обобщенную силу. Далее, написав выражение
для потенциальной энергии от системы сил,
включая указанную фиктивную силу,
следует взять его производную по этой
фиктивной силе и в полученном выражении
для перемещения положить фиктивную
нагрузку равной нулю.
^^ШШШШЩв
а
■в
6
Рис. 389
Пример 61. Определить по способу
Кастильяно угол поворота свободного конца консолн,
нагруженной равномерно распределенной ^ нагрузкой
(рнс. 389, а).
В указанном сеченнн балкн в качестве фиктивной нагрузки прикладываем
момент М" (рис. 389, б). Угол поворота сечения А, согласно формуле A3.78),
®л = ^мр =
=!•
М (к) ах дМ (х)
Е^
дМ"
Э90
Имеем
М(х) = -
дх'
, „ дМ (х)
о
Пртсимая М» = О, получаем
дх"
дМ»
М" Лх.
Отметим, что общая формула A3.45) для вычисления
перемещений в стержневых системах, не требующая написания выражений
потенциальной энергии и их дифференцирования, вытеснила из
расчетной практики способ Кастильяно. Однако последний
является общим способом определения перемещений в нестержневых
системах (пластинках, оболочках и деталях, все три измерения
которых имеют один порядок).
Выразив потенциальную энергию деформации в функции
независимых перемещений Д1, Да. ••-. ^п> можно показать, что частная
производная от потенциальной энергии по любому перемещению
равна силе, действующей по направлению перемещения, т. е.
A3.83)
Эта теорема была установлена Лагранжем.
Пример 62. Симметричная шарнирно-стержневая система нагружена в узле
В вертикальной силой Р (рис. 390). Определить величину силы Р, если
опускание узла равно Др.
Введем обозначения: ог/ — угол наклона
стержня к вертикали; // — длина стержня;
Е//"/ — жесткость поперечного сечения
стержня. Стержни, равно наклоненные к
вертикали, имеют одинаковые жесткости.
Легко видеть, что удлинение «-го стержня
Д/ = Дрсоза^,
а усилие в нем
Р,=
^,Е1р1
Потенциальная энергия деформации
системы ^ ,
V
-2
РА
А%Р1
2 -^ 21,
Дифференцируя по Др, находим:
дЦ
аДо
= 42
С05'' К/Е,/"/
211
Р =
Др2
соз" сх^Е.Р/
391
§ 89. ТЕОРЕМА О МИНИМУМЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим произвольную статически неопределимую систему
(рис. 391, а), усилия в элементах которой только из уравнений
равновесия определить нельзя. Так, опорные закрепления
изображенной балки дают шесть реакций, а уравнений равновесия для
произвольной плоской системы сил можно составить только три.
Превратим систему в статически определимую, удалив соответствующее
число связей. В данном примере (рис. 391, б) отброшены три
связи — шарнирно-подвижные опоры В, С и О. Действие отброшенных
связей заменим соответствующими реакциями X^, Хг, Хд и т. д.,
которые будем рассматривать как
независимые друг от друга внешние
нагрузки.
Вычислим по способу Кастильяно
перемещения Д,, А^, Да точек
приложения сил X^, Х2, Хд, ... по
направлению их действия. Очевидно
. ас; » ш
^1
4
тй
?
Т^.
6
Рис. 391
В
и.
Дз =
А.=
ех.
дЦ
ал..
гдеи ^и {Хи Х^, Хз,
Р) — потенциальная энергия
деформации системы.
Так как эти перемещения равны нулю, то
дЦ
дХг
0;
дЦ
дХ,
0;
0;
A3.84)
Уравнения A3.84) — необходимое условие экстремума
функции I). Легко видеть, что этот экстремум является минимумом. В
самом деле, согласно формуле A3.79), вторые производные функции
V по Хи Х^, Хз
A3.85)
дХ\
= бц;
дх1
— 622;
дх1 " "=" * • •
Перемещения
^11> ^221 ^33 — существенно положительные величины,
а положительный знак вторых производных свидетельствует о том,
что условия A3.84) являются условиями минимума функции 1/.
Таким образом, приходим к теореме о минимуме потенциальной
ьнергии: в статически неопределимых системах митние неивеест-
ные усилия принимают такие значения, при кстссрых пстенциаль-
иая анергия деформации имеет наименьшее значение (теорема Мена-
Р.реа). Эта теорема известна также как теорема о наименьшей
работе, так как вместо потенциальной энергии можно говорить о
численно равной ей работе внешних сил.
гп
На основании изложенной теоремы можно заключить, что при
добавлении каких-либо свйЗей потенциальная энергия всегда
уменьшается.
Пример 63. Пользуясь теоремой о минимуме потенциальной энергии
определить реакцию шарннрно-подвижной опоры бруса малой кривизны,
изображенного на рис. 392, Брус нагружен сосредоточенным моментом в опорном сечении В.
Обозначим неизвестную реакцию через X. Тогда на основании теоремы с
минимуме потенциальной энергии деформации
-^=0. A3.86)
Так как II = \ пр7 > то формула A3.86) принн-
= 0. A3.87)
мает вид
] Е^ ' дК
8
Имеем
Л{((г) = Л{ + Л'/?5Шф; -ММ_ = /?5шф; ^8 ^ Ш<^.
Рис. 392
Внеся эти значения в формулу A3.87), получим уравнения для определения
реакции X:
я
2
(М + X/? 51П ф) /? 51п ф/?^ф
I
о
Е^ ^ = '^=
Л{ + Л'/?-^ = 0; X. *^
4 ' я/? •
Знак «минус» в выражении для X указывает, что первоначально выбранное
направление для реакции следует изменить на противоположное.
Глава 14
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
§ 90. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ЭТАПЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ
Как уже указывалось, статически неопределимыми называются
системы, силовые факторы в элементах которых только из
уравнений равновесия твердого тела определить нельзя. В таких
системах больше связей, чем необходимо для равновесия. Таким образом,
некоторые связи оказываются в этом смысле как бы лишними, а
усилия в них — лишними неизвестными. По числу лишних связей
или лишних неизвестных усилий устанавливают степень
статической неопределимости системы.
393
в ^ 37 были рассмотрены простейшие случаи статически меояре-
делимых степей, эьяемешы которых испытывали гт1т> осевое
растяжение или сжатие. В настоящей главе рассмотрим более общие
случаи, причем основное внимание уделим статически неопредели-
М1^1 бал%я№ и рамам.
На рис. Ш^, а показана шарнирно опертая балка — система
статически определимая и геометрически неизменяемая. Все три
УР р „ реакции (/?л. Ял, Яв) определяются из трех
' 1г * в условий равновесия плоской системы сил.
"^ Д^ Используя метод сечений, легко найти сило-
а ' вые факторы С, М в любом сечении балки.
р п р р Добавим еш;е одну связь, например шарнир-
/ \с V \^ но-подвижную опору в сечении С (рис. 393, б).
^ V '—д^ Хотя в результате этого система стала более
•^ ;^ 77^7, прочной и жесткой, однако с точки зрения
^ геометрической неизменяемости эта связь
Рис. 393 лишняя. Теперь из трех уравнений
равновесия четыре реакции {К.а, На, Ив, Кс)
определить нельзя. Таким образом, балка, изображенная на рис. 393, б,
один раз статически неопределима.
На рис. 394, а показана дважды статически неопределимая балка.
Для определения пяти реакций есть лишь три уравнения
равновесия. Следовательно, система содержит две лишние связи. Она
может быть образована, например, из консоли (рис. 394, б)
постановкой шарнирно-подвижных опор в сечениях В а С.
В конструкциях часто встречаются статически неопределимые
балки с ломаной осью — рамы. В отличие от ферм, где стержни
4
м,
В
-" """" г А^
7?У7. ?^ Ь
шт
Рис. 394
соединены между собой шарнирами и нагружены силами,
приложенными в узлах, рамы имеют один или несколько жестких узлов. В
жестком узле торцы соединяемых стержней не имеют относительных
поступательных перемещений, а также относительных поворотов.
Рамные конструкции могут состоять как из прямолинейных, так
и из криволинейных элементов. На рис. 395 показана дважды
статически неопределимая плоская рама. В этом случае, как и в
предыдущем, для определения пяти реакций внешних связей имеем
только три уравнения равновесия.
Рамы могут быть нагружены вполне произвольной нагрузкой,
любым образом ориентированной.
Статическая неопределимость может быть результатом не только
введения дополнительных внешних связей, но также и условий
образования системы. Рассмотрим раму, показанную на рис. 396, а.
394
Очевидно реакции /?л, ^^А. Ив внешних связей (опор) легко
определить из уравнений равновесия. Однако после этого условия
равновесия не позволяют определить все силовые факторы в ее элементах.
Разрежем раму на две части и рассмотрим равновесие одной из
ее частей (рис. 396, б). Действие отброшенной части на оставленную
заменено в каждом сечении разреза тремя силовыми факторами:
осевой силой Л^, поперечной силой С и изгибаклцим моментом М.
»'?л •?
Рис. 395
Рис. 396
Таким образом, из трех уравнений равновесия надлежит
определить девять неизвестных усилий. Система, следовательно, шесть
раз статически неопределима. Она состоит из двух замкнутых
бесшарнирных контуров, каждый из которых трижды статически
неопределим.
Отметим, что постановка шарнира на оси стержня (рис. 397, а)
обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении и,
следовательно, снижает степень
статической неопределимости на
единицу. Такой шарнир
называют ос^ночнбш. Очевидно
рама, показанная на рис. 397, а,
пять раз статически
["неопределима.
Шарнир, включенный в
узел, где сходятся п стержней
(рис. 397, в), снижает степень статической неопределимости на п — I,
так как заменяет собой столько же одиночных шарниров (рис. 397, а).
Такой шарнир называется общим. Рама, изображенная на рис. д&7, б,
четыре раза статически неопределима.
Для определения степени статической неопределимости шюеких
систем можно пользоваться формулой
зй?
т 7т
б
Рис.
кк
Э»7
в = Зк — т.
^НЛ)
где 5 — степень статической неопределимости;
к — число замкнутых контуров в предволеше]та1г лошин'о
отсутствия шарниров;
ш — число шарниров в пересчете на одиночные.
395
Основание (земля) рассматривается как стержень. Так,
например, рама, приведенная на рис. 396, имеет четыре замкнутых
контура; у каждого шарнира указано соответствующее число одиночных
шарниров, при этом группа стержней, жестко связанных между
собой (не разделенных шарнирами), принимается за один стержень.
Итак, в рассматриваемом случае ^ = 4, ш = 1 + 2 + 1 + 1 +
Ц- 1 = 6. Следовательно, 5 — 3-4 — 6 — 6.
Как уже отмечалось в § 37, для определения усилий в
статически неопределимых системах дополнительно к уравнениям статики
составляют так называемые уравнения совместности деформаций.
В самом деле, лишние связи накладывают определенные
ограничения на перемещения тех сечений, к которым они приложены. Это
обстоятельство и используют для составления дополнительных
уравнений, которые вместе с уравнениями статики позволяют
определить все силовые факторы в элементах системы.
Рассмотрим основные этапы расчета статически неопределимой
системы:
1. Устанавливаем степень статической неопределимости, т. е.
число лишних связей или лишних усилий.
2. Удаляя лишние связи, заменяем исходнуго систему статически
определимой, которая называется основной системой. Выбор
лишних связей зависит от желания расчетчика, так что для одной и той
же статически неопределимой исходной системы возможны
различные варианты основных систем. Однако нужно следить за тем, чтобы
каждая из них была геометрически неизменяемой. Рациональньй
выбор системы упрощает расчет.
Таким образом, основной системой называется любой из
статически определимых вариантов рассматриваемой системы, полученный
освобождением ее от лишних связей.
3. Загружаем основную систему заданной нагрузкой и лишними
неизвестными усилиями, заменяющими действие удаленных связей.
Такая система называется эквивалентной системой.
4. Для эквивалентности основной системы с исходной
неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформация
основной системы не отличалась от деформации исходной статически
неопределимой. Для этого приравнивают к нулю перемещения точек
приложения неизвестных усилий по направлению их действия. Из
полученных таким образом уравнений определяют значения лишних
неизвестных. и» |4%,_-«.
Определять перемещения соответствующих точек основной
системы можно любым способом, однако лучше всего общими
методами — методом Мора или способом Верещагина.
Найдя лишние неизвестные усилия, определение реакций и
построение эпюр внутренних силовых факторов, а также подбор
сечений и проверку прочности проводим обычными способами.
Указанная схема расчета носит название метода сил, поскольку
в качестве основных неизвестных здесь выбирают усилия лишних
связей.
396
у
4
^51 д
"~"Т1^
^
В
"^ 1 У^,'^
а
§ 91. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
В качестве примера рассчитаем балку, один конец которой
защемлен, а другой оперт на шарнирно-подвижную опору (рис. 398, а).
Защемление левого конца, эквивалентное трем стержням, дает
три реакции, шарнирно-подвижная опора — одну реакцию. Всего
требуется определить четыре реакции. Следовательно, балка один
раз статически неопределима. Для построения основной системы
нужно устранить одну связь.
В качестве лишней связи выберем шарнирно-подвижную опору.
Основная система, полученная в результате удаления лишней связи,
представляет собой консоль.
Нагружаем основную систему заданной
распределенной нагрузкой, а вместо
отброшенной опоры прикладываем неизвестную
реакцию 1^в — Х1 (рис. 398, б). В
дальнейшем лишние усилия будем обозначать
буквой X независимо от того, сила это или
момент.
Полное перемещение точки В основной
системы (от заданной нагрузки и лишнего
неизвестного усилия) по направлению Хь
т. е. по направлению удаленной связи
(рис. 398, б), должно быть равно нулю, так
как в точке В исходная балка не имеет
прогиба. Таким образом, дополнительное
уравнение перемещений имеет вид
Д1 = 0. A4.2)
Полный прогиб Д1 можно представить как
сумму прогибов от внешней нагрузки А\р =
= —^^ (рис. 398, в) и неизвестной реакции Д» = -д^^ (рис. 398, г).
(Методы определения Д1р и Дц приведены в гл. 10 и 13). Тогда
уравнение A4.2) запишется в виде
Д, = Д1Я + Д„ = О,
Рис
или
д1' , х^/з
8Е/ "*" ЗЕ/
Отсюда искомая реакция
^, = 4-9^-
Теперь из уравнений статики легко вычислить остальные
реакции, а затем обычным способом построить эпюры изгибающих
моментов и поперечных сил. На рис. 399 приведены эпюры ^ я М,
а также значения реакций опор. Проверка прочности или подбор
сечения проводятся обычным путем.
3»7
Напомним, что вид основной системы зависит от того, какие
связи (усилия) выбраны в качестве лишних. Так, выбрав в качестве
лишнего усилия опорный момент Ма, получим основную систему,
заменив защемление шарнирно-неподвижной опорой (рис. 400, а).
Здесь основная система, кроме заданной нагрузки, загружается
неизвестным моментом Ма — Хи величина которого определится на
основании уравнения перемещений A4.2). Под Д1 в этом случае
следует понимать полный угол поворота сечения А.
На рис. 400, б показана основная система, полученная в
предположении, что в качестве лишней неизвестной принята реакция Ка-
Такое устройство опоры препятствует д
повороту и горизонтальному
перемещению, но допускает вертикальное
перемещение. В этом случае уравнение пере-
м.
|/?^=|-(?г
§<Г1
за
_г т 3.
^А =
7Ш.
ШШиьь.
в'
^щщ
126
д1'
/?в=|^/
\Я1
©
Рис. 399
мещений A4.2) выражает равенство нулю в основной системе
вертикального перемещения (прогиба) точки А.
Наконец, основную систему можно получить и постановкой
промежуточного шарнира в каком-либо сечении (рис. 400, б). Таким
путем получаем статически определимую шарнирную балку. Здесь
уже удалена не внешняя, а внутренняя связь. Так как постановкой
шарнира ликвидируется изгибающий момент в данном сечении
балки, то для восстановления утраченных связей прикладываем два
равных и противоположно направленных момента М = Хи
представляющих собой действие друг на друга отделенных шарниром
частей балки. Уравнение перемещений A4.2) в этом случае
представляет собой равенство нулю взаимного угла поворота сечений
правой и левой частей балки, примыкающих к шарниру (рис. 400, г):
Д, = 0Г + 0?Р = О,
A4.3)
поскольку в исходной балке эти сечения образуют одно сечение.
мв
Отметим, что при построении основной системы в качестве
лишних связей нельзя принимать элементы, реакции которых могут
быть определены непосредственно из уравнений равновесия,
например горизонтальную реакцию На опоры на рис. 399,
Пример 64. Балка АВ, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой
(рис. 401, а), опирается по концам на шарнирные опоры, а Посредине пролета
подпирается пружиной (упругой опорой). Определить усилие, сжимающее
пружину; построить эпюру изгибающих моментов, если податливость пружины,
т. е, ее осадка от единичной силы (см. §58),
64/?3п
Си* '
Рассматриваемая система один раз
статически неопределима. В качестве
лишнего неизвестного усилия примем
реакцию пружины Не = -^х- В соответствии с
этим иа рис. 401, б построена основная
система. Чтобы она деформировалась как
заданная балка, прогиб точки С балки
должен быть равен осадке точки С
пружины. Другими словами, взаимное
перемещение точек Си С, т. е. Дх, должно
быть равно нулю.
Уравнение перемещения,
следовательно, можно записать в виде
где Д.р =
Б я1*
— перемещение
'^ 384 Е^
точки с основной системы от заданной
нагрузки д;
^" - 48Е^
6
Рис. 401
7\, — взаимное перемещение точки С балки и точки С пружины
только от сил Хх, причем перемещение точки С пружины,
К = аХ^.
Положительные направления перемещений соответствуют направлениям сил Х1
Таким образом,
^1'' ■ „V 59г« _
Отсюда
48Е/
^1
аХ^
8
384Е/
Ч1
= 0.
1 +
48Е/а
При абсолютно жесткой пружине а = О и
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на рис. 4Ш, е построены для
последнего случая.
399
§ 92. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ
I
1^
а
Дополнительные уравнения перемещений, выражающие
равенство нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных,
удобно составлять в так называемой канонической форме, т. е. по
определенной закономерности.
Вначале рассмотрим систему, один раз
статически неопределимую (рис. 402, а).
В качестве лишней связи выберем шар-
нирно-подвижную опору В. Тогда,
нагрузив основную систему заданной
нагрузкой и лишней неизвестной силой Х1
(рис. 402, б), мы должны приравнять
нулю полное перемещение точки В
основной системы по направлению Х\:
Л. = А1(Р,Х1)=0. A4.4)
Вычисляя Дь применим принцип
независимости действия сил:
где Д1Р — перемещение от заданной
нагрузки (рис. 402, в);
Д,1 — перемещение от силы XI.
Если бц — перемещение по
направлению XI от силы XI = 1 (рис. 402, д), то
Д„ = бцХ,
1х,
Я
2
ИЕ®
'М
В
^
м,
СР
е
Рис. 402
лк
>
л
в
ттрт:
а
/
в
7/77.
Рис. 403
и уравнение перемещений A4.4) примет вид
бцХ, -I- Д1Р = 0.
A4.5)
Это каноническая форма уравнения перемещений для один раз
статически неопределимой системы. Из формулы A4.5)
Х.= --^. A4.6)
Для системы с двумя лишними связями, как, например, на
рис. 403, а, дополнительные уравнения перемещений сечения А ос-
400
A4.7)
новной системы (рис. 403, б) имеют вид
Д1 = 0; Д2 = 0.
где Д1 — Д1 (Р, Хь Ха) — полное перемещение точки А по
направлению XI от заданной нагрузки и
лишних неизвестных усилий Хь Х^,
Да = Дг (Р, XI, Ха) — полное перемещение точки А по
направлению Хг от указанных нагрузок.
Исходя из принципа независимости действия сил, запишем
перемещения Д1 и Да в виде сумм перемещений, вызванных отдельно
каждой из неизвестных сил Х,, Х^ и заданной нагрузкой Р.
Используя введенные ранее (см. § 78) обозначения перемещений, находим,
что
Д, = Д,1 + Д12 + Д|Р = 0;
Дг = ^21 + ^22 + Дгр = 0.
Полное перемещение Д,й можно записать как произведение
удельного перемещения 6,^, вызванного действием единичной силы,
на величину соответствующей обобщенной силы:
^11 = бцХ!*, Д,2 = 612X2; . . . ; &1к = ^1кХ1^.
Таким образом, уравнения A4.7) принимают вид
^иХ, + 6,2X2 + Д|р = 0;
62,Х, + 622X2 + Дгр = 0.
Это каноническая форма уравнений перемещений для системы, два
раза статически неопределимой.
По аналогии можно записать в канонической форме уравнения
перемещений для любой п раз статически неопределимой системы:
A4.9)
A4.8)
6,1X1 + 6,2X2 + • •
621^1 + 622X2 + • •
6л|Х, -}- 6^2X2 + • •
. + 6,„Х„ + Д!Р = 0;
• + 62„Х„ + Д2Р = 0;
. + 6™Х„ + Д«р = 0.
Перемещения Д/р и 6/й, входящие в канонические уравнения,
чаще всего определяют по методу Мора или по способу Верещагина.
При этом для балок и рам влиянием поперечных и продольных сил
обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты.
Однако, определяя перемещения в балках прямоугольного
поперечного сечения, для которых отношение высоты сечения к длине
Н I
пролета -~ ^ н". поперечные силы учитывать обязательно. При
расчете статически неопределимых рам с большими значениями
указанного отношения (— > -г) ошибка, вызванная неучетом интегралов
продольных и поперечных сил, также становится существенной.
401
особенно для высокой рамы. Следует иметь в виду, что в реальных
балочных, рамных и арочных конструкциях отношение у обычно
меньше -т^. Поэтому при определении перемещений в общей
формуле Мора вполне допустимо сохранять интеграл, учитывающий
лишь изгибающие моменты.
Для определения перемещений строим эпюры изгибающих
моментов (см., например, рис. 402) в основной системе отдельно^)т
заданной нагрузки (состояние Р) и от каждой единичной силы: Х1 = I
(состояние 1); Хг — 1 (состояние 2); ...; Х„ — 1 (состояние и).
Ординаты соответствующих эпюр обозначим, как обычне, через Мр,
Жь Щ, ..., М„.
Тогда на основании формулы A3.46) находим
С М^Мрйв С М^МрЛв С
Е}
Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы и
называемые главными коэффициентами канонических уравнений,
определяют следующим образом:
ЕЛ
Очевидно эти перемещения положительны.
Удельные перемещения, имеющие неодинаковые индексы и
называемые побочными коэффициентами, определяют пе формулам
'2 - 3 17 ' ^13 - ^ ^ ; .... о<А - 3 Ё1 •
5 5 $
Они могут быть положительными или отрицательными, а также
равными нулю.
На основании теоремы о взаимности перемещений
Для систем, состоящих из прямолинейных элементов,
вычисления перемещений удобно проводить по способу Верещагина.
Например, для статически неопределимой балки, показанной на
рис. 402,
МР
^рМ,р
ЕЛ
О - '''" •
— -2- .
' ^^ч ~ ЕЛ
Жр =-^1''
'Мс1 = -^1.
«а
Следовдтедьно,
л 5 Р/з , . р
48 Е^ ' " ~~ ъе: '
Из формулы A4.6)
в тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть
и влияние температуры, порядок расчета остается прежним.
Свободные члены канонических уравнений при этом представляют собой
перемещения в основной системе не только от заданных нагрузок
но и от изменения температуры:
йц-?*^! + 6,2X2 + • • • + 61„Х„ + Д1Р + Д1Г = 0;
A4.10)
бйД, + бпгХа + • • • + 6„„Х„ -\- А„р + Д„г = О,
где Дгг— перемещения в основной системе по направлению силы
Х„ вызванное изменением температуры.
Определив коэффициенты б,й и свободные члены Д,р и /!^ст,
из системы линейных уравнений A4.10) находим значения лишних
неизвестных усилий Х^, Ха, ..., Х„. Далее обычным способом строим
эпюры внутренних усилий М, ^, М в элементах системы. Иногда
строить эпюры удобно методом сложения эпюр Мр с эпюрами
М,, М^, .... М„, предварительно умноженными на значения Х,,
Ха, ..., Х„:
м = М1Х. + М2Х2 + ... +Мр:
^ = ^,x, + (?2Х2 + •.. +^р•,
N = N1X1 +N2X2+ ... +Мр.
Существенно отметить, что буквенный вид канонических
уравнений остается неизменным при любом возможном варианте
основной системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и
геометрический смысл перемещений. Например, при выборе в качестве
лишних неизвестных внутренних сил в каких-либо сечениях
коэффициенты в канонических уравнениях представляют собой
соответствующие взаимные перемещения сечений по направлению лишних
неизвестных усилий.
На рис. 404 показана трижды статически неопределимая
плоская рама (а) и два варианта основной системы (б и е). Для любой
трижды статически неопределимой системы канонические уравнения
имеют вид
бцХ, + 612X2 + 613X3 + Д1Р = 0;
621X1 + 622X2 + 623X3 + А2Р = 0; A4.1!)
631X1 + 632X2 + 633X3 + Дзр = 0.
403
р^
А
'/'/
■«;
Л
/
-
_1
В
7/Л
л
а
"^4)
777?.
При выборе основной системы по первому варианту (рис. 404, б)
уравнения A4.11) выражают требование равенства нулю
перемещений сечения А по направлениям Х1, Ха и Хд.
Второй вариант основной системы (рис. 404, е) образован
разрезом ригеля. Так как в плоской системе в сечениях действуют,
вообще говоря, три силовых
фактора (осевая сила, поперечная сила и
изгибающий момент), то к сторонам
разреза следует приложить в
качестве лишних неизвестных
указанные силовые факторы Хи Ха, Х^,
выражающие взаимное действие
обеих частей системы друг на
друга в данном сечении. При таком
выборе основной системы уравнения
A4.11) выражают равенство нулю
полных взаимных перемещений
сторон разреза по направлениям
лишних неизвестных. Например, третье
уравнение системы A4.11) означает
равенство нулю перемещения по направлению Хз, т. е. взаимного
угла поворота сторон разреза под действием заданной нагрузки и
лишних неизвестных усилий.
Принимая в качестве лишних неизвестных внутренние усилия,
во многих случаях можем значительно упростить расчет. Например,
7^
6 ^'
Рис. 404
Рис. 405
если исходная система симметрична (по конфигурации и
расположению жесткостей), то основную систему выгодно строить также
симметричной, поскольку при этом некоторые побочные
коэффициенты канонических уравнений будут равны нулю. Так, при
расчете симметричной рамы, показанной на рис. 404, о, основную
систему целесообразнее получить разрезом горизонтального стержня
(ригеля) посредине (рис. 405, а). При этом основная система будет
также симметричной. Тогда в числе лишних неизвестных будем
иметь симметричные усилия Х1, Хз и кососимметричные Х^. Эпюры
изгибающих моментов от усилий Х1 — 1, Ха — 1 и Хз = 1 показаны
на рис. 405, б—г. Заметим, что эпюры М1 и Мд симметричны, а
404
эпюра Ма кососимметрична. Перемножение симметричной эпюры
на кососимметричную дает в результате нуль.
Определим перемещение 612 = бгх. Пользуясь способом
Верещагина, получим
Аналогично
^23 = 6з2 = 0.
Таким образом, система уравнений A4.11) упрощается и
принимает вид
бц^! + 6,3X3 + &1Р = 0;
6,2X2+ Д2Р = 0; A4.13)
«31^1 + ДззХз + ДЗР = 0.
Если при этом заданная нагрузка Р кососимметрична
(рис. 404, а), то эпюра Мр также кососимметрична (рис. 405, а)
и перемещение Д1р = Азр ~ 0. Тогда из первого и третьего
уравнений A4.13) следует, что симметричные усилия в месте разреза
равны нулю:
XI = 0; Хз = 0.
Заметим, что когда нагрузка симметрична, то эпюра Мр также
симметрична и Дгр = 0. Тогда из второго уравнения A4.13) следует,
что кососимметричное усилие Х^ = 0.
Пример 65. Построить эпюры силовых факторов в элементах рамы,
показанной на рис. 406, а. Рама нагружена равномерно распределенной нагрузкой д,
приложенной к горизонтальному стержню (ригелю).
Легко видеть, что система дважды статически неопределима. На рис. 406,
б—г показаны некоторые возможные варианты эквивалентной системы. Для рас-
Рие. 406
чета примем вариант, показанный на рис. 406, б. Чтобы определить два лишних
неизвестных усилия ^1 и Х^, воспользуемся каноническими уравнениями A4.8):
^21^1 + ^22^2 + ^2Р — О-
Для определения перемещений 6,;^, А,р рассматриваем основную систему,
отдельно нагруженную заданной нагрузкой и каждой единичной силой Хх = 1,
405
■^2 == • (рие. 407, а). Так как стержни ирямолиней-ные, те удо*»э применить для
определения перемещений способ Верещагина. Эпюры изгибающих моментов
Мр, Мх, Ма показаны на рис. 407, б.
Для определения А^р и А.2р площади эпюр Мр перемножаем на ординаты
эпюр Мх и М^, соответствующие центрам тяжести эпюр Мр:
1
^1Р-
дР
Е^З^
'^^р~~Е7Г
6
^/3 3
Н =
1 =
6Е^
д1»
8Е/
,ШШЩ
® /
в Ай -=:=ГП
©
Хг(
А Я ———-
©
Х,=1
^ррш^^
Здесь и дальше для простоты принято Н= I п ^1^1 = Е^^2 = Е^.
Перемещения 6^1 и ^22 получаем аналогичным умножением эпюр Мх на М^
и Л1а на Л12:
* ' «.^ «. . I Й2 2 . 4/3
о,, = ^ ,— М • п-
С«1/в
2 ^ .
2 3 3 Е/ •
1
2 3
/3
Е^^^ 2 3 ЗЕ/
Наконец, вха определяем перемножением эпюр М^ и М^:
Р
2Е^ '
«12 = ^21 ^
Подставляя значения перемещений в канонические уравнения, получаем
Ч1 .
4 1
Отсюда
^1 + "з" "'^2 =
_01_
8
■^1 — 8" • ^^2 у- ?'•
406
Эиак «М'йнус» в виражении для Х^ показывает, что первоначально выданное
направление этой силы ^ис. 406, б) следует изменить на противоположное.
Рассматривая теперь эквивалентную систему, т. е. статически определимую
оснввиую систему под действием заданной нагрузки и найденных сил Х% и Х^,
легко построить окончательные эпюры внутренних силовых факторов и
составить условия прочности элементов рамы.
Оконч«1гедьж>1е эпю^ы изгибающих моментов, поперечных и осевых сил
приведены «а рис. 408.
Подберем прямоугольное сечение для стержней рамы, если <7 = 1 тс/м, / =
= 2 м. Материал стержней Ст2, [а] = 1400 кгс/см*, [т] = 900 кгс/см^.
Отношение высоты а к ширине Ъ сечения составляет 2:1.
Как видно из эпюр внутренних усилий (рис. 408), в опасном сечении
М.
иако 28
43 • 10» кгс • см; С„а
Л/ = -|^ = 71,5кгс.
-=-9/= 1143 кгс;
СО
/1т1111М1^«дшХ,
§9{
®
^я^
ц1
Рис. 408
Так как осевая сила незначительна, то размеры сечения подбираем только
из условия прочности на изгиб:
то- ^макс 43 -10' „ „. „ ,
V/ = —г-ч— = —тп^— см^ = 30,6 см^.
М
Поскольку
то, округляя, получаем
3
Г =
1400
6 ""
12
0^/12.30,6 см да 7,2 см; 6 = -^ = 3,6см; 1Г = 31,1смЗ.
Наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении определится
как сумма напряжений от действия изгибающего момента и осевой силы:
„ _ ^макс , /V /43000 , 71,5 \ , „ ,„„ ,
"№ ^ Р \ 31,1
-1-2,76) кгс/см«г=г1383 кгс/см^ < 1400 кгс/см^
Наибольшее касательное напряжение
3 У„акс 3- 1143 „ „_ _ ^лпп , .
■^макс = 1— ^ 2 • 7,2 • 3,6 ^^^^^^^ = ^^'^ кгс/см» < 900 кгсу^г.
Пример 66. Рассчитать однопролетную раму (рис. 409), нагруженную
горизонтальной силой Р посредине левой стойки. Для простоты вычислений
принимаем, что Н= I; Е^^^ = Е^^2 = Ез^з = Е/,
407
Система, представляющая собой один замкнутый контур, тр^1Ж4и
статически неопределима. Для образования основной системы следует удалить три связи.
Различные варианты эквивалентной системы показаны на рис. 409 б—г.
Принимая во внимание симметрию рамы, в качестве основной системы целесообразно
В
Я-
_ад
Е
Р_
в
77??:
^У
^3
м.^
7777;
V>■
\.Хг
7777, 7777:
Рие. 409
7^777.
принять симметричный вариант, показанный на рис. 409, г. В этом случае
лишними неизвестными будут усилия в разрезе.
Для определения лишних неизвестных усилий воспользуемся каноническими
уравнениями A4.11):
бз,л:, + 632^:2 + ь^Хз + Дзр = 0.
:^
Ь,р
!—-
/
"гр
\ '■'
..(
(
^ .
д
ОЙ
Ей
2
В
в этих уравнениях перемещения б и Д представляют собой соответствующие
взаимные перемещения сторон разреза.
Чтобы определить перемещения, применим способ Верещагина. На рис. 410
показаны эпюры изгибающих моментов для основной системы от заданной
нагрузки и от единичных обобщенных сил ^1 = 1, -Х^г ~ '> -^з" '• Отметим, что
эпюры Мх и М^ симметричные, а эпюра М^ — кососимметричная. Как
указывалось, побочные коэффициенты, определяющиеся перемножением симметричной
эгаоры на кососимметричмую, равны нулю. В силу этого 61а = б^ = 0; 62$ =
408
Канонические уравнения принимают вид
*и^1 + 613X3 + А,р = 0;
Перемножая соответствующие эпюры, находим, что
A4.14)
A4.15)
Д,р = -
РН^ 5
Ег^г
^'Р-'Ш
8 6
РЙ2 /
/!= —
РН^
48 Е^
Р№
1-Ч
1
8 2
РЙ2
"ЗР
^" = -Ё^
Л" 2
8
1 =
\ЬЕ^ '
РН^
^ЕЗ '
Й + -1-— —Й:
2/1^
бз1 = ■
1
Е,^,
1
Е^^^ 2 2
_1 /гг_
Сз^з 2
1 ,
з-'з
^1^1
+ ■
+ ■
8
_зл_
/1^
Е^
0.187Р [,й!07Р
Вг——^
^ Е
А
777/,
0,0325Р/1
0,126Р11
7^.
7 /;3 .
12 Е^ *
11 пи 11111Ц
с,да7/'
^
С,2е/ЯЛ о,113РГ1 0,В13Р
Рис. 411
.^»7Я 0.Ю7Р
е;
ы^7
^^Ю7Я
Подставив в уравнения A4.15) и A4.14) найденные значения б и Д, получим
3
^НХ,-Х,= ^РЫ
^НХ, + Х, = -^^РН;
12 Е^ 2 "^ 16ЕУ
Отсюда Х1=0,187Р; ^2=—0,107Р; Ха= О.^&ХРН.
На рис. 411 показана эквивалентная система и построены эпюры М, ^, N.
Рассчитаем прямоугольную раму (рис. 412, а), состоящую из
двух одинаковых поперечин и двух стоек. Рама нагружена двумя
равными и противоположно направленными силами, приложенными
посредине поперечин. Внутри рамы температура Ти а снаружи —
Т^; 7^1 > Т^. Жесткость поперечин Е^и стоек — Е^2■
Рама, образующая замкнутый контур без шарниров, трижды
статически неопределима. Задачу можно существенно упростить.
4в9
используя симметрию системы и нагружения. Выберем
симметричную основную систему, разрезав одну из стоек по оси симметрии
(рис. 412, б). В месте разреза приложим систему усилий Хи Х^,
Хд. Как указывалось, вследствие симметрии нагрузки поперечная
сила Хг = 0.
Рассечем теперь раму по оси А—А (рис. 412, д). Учитывая
симметрию системы относительно оси В—В, из условий
равновесия сразу определяем силу Хз:
2Хз = Я; Хз = -к- •
■ В л
1 ^^ . А
■^-'■■"-■ ^'
р
г
Р
г
^
'^
1^
®
ж
®
р
?
0
Рис. 412
Ф
I
Остается определить лишь один статически неопределимый
фактор XI. Каноническое уравнение 'перемещений имеет вид
б^Х, + А,р + А,г = О,
где Д1Р -Ь А17- = А]^, т— взаимный угол поворота сторон разреза,
вызванный действием нагрузки Р и
температуры Т.
Температурные перемещения определяем по формуле A3.56):
Айг = 2 I Л^й« ^Н^ ^^ + 2 $ М,« ^"~^" их,
где
Гн-ЬГв _Т\±Т2.
средняя температура нагрева элемента;
2 2
Гц — Т^^ = Ту — Та — разность температур крайних волокон.
Если деформации элемента их от действия температуры и
единичных силовых факторов одного знака, то подынтегральные выраже-
410
ния положительны. Если в пределах участка температура
постоянна, то
Акт
= Ч^/л/.« ^н + Тв
= 2(л^.«
/+ а
^н Ув г ли
Г МкAх\
2 • ' " Н
Здесь а^ = \М^с1х — площадь эпюры М^
Для определения перемещений строим эпюры Мр,'М1 (рис. 412,
е, г). Эпюра Л^1 равна нулю. Пользуясь способом Верещагина,
находим
А«я =
Р1'
Р1\
Е^^ 8
4Е^^ '
Д,у = -2«(/. + 4) ^^7^^
Здесь в правой части поставлен знак «минус», так как при Т} >■ Т^
внутренние волокна элементов рамы удлинены, а в единичном
состоянии (рис. 412, г) — сжаты. Далее,
2/, , 2/„
следовательно.
^^^- Е^,
РЦ
Е^^
X, =
-^ + 2«^(/,+У^^
2Р 6 6 г
Рис. 413
В случае /1 = 4 = ^ и ^^ — ^2 =" ^
.Е^ 4-пРт ^'~^д
16 +°'^-' л
X, =
На рис. 412, е—з приведены эпюры внутренних силовых
факторов для случая Т} — Тд = О, Р ФО.
Пример 67. Рассчитать ферму, изображенную на рис. 413, о, в
предположении, что все стержни изготовлены из одного материала и имеют одинаковые
сечения. Стержни 5 и6 общего узла ие имеют, -^
411
Легко видеть, что система один раз статически неопределима. Основная с
сгема, полученная разрезом стержня б, показана на рис. 413, б. Лишнее неизве'
иое усилие XI определяем из канонического уравнения, которое в этом слу».
выражает равенство нулю взаимного смещения сторон разреза;
«11^1 + Д1Р = О-
Таблица 18
стержня
1
2
3
4
5
6
2
Длина
стер
жня {
а
а
а
а
а}/'2
аУ2
—
N1
Г2
2
V2
2
Г2
2
У2
2
1
1
—
^Р
2Р
Р
0
2Р
— 2Р\^2^
0
—
N,N^1
— РаУ2
-^.'4
0
— РаV2
— 4Ра
0
-Ра-^{5 + 4^2)
— 2
а
а
1
а
2"
а
"
а}^2
аУ2
2а(\^^V^^
Так как в элементах фермы действуют только осевые усилия, то перемен
ния 6ц и Д1Р определяем (см § 83) по формулам
сч.=2
К1
ЕР
A4.1
Нр
=2
ЕР
A4.1
где N1 — усилия в стержнях от нагрузки XI = 1;
Nр — усилия в стержнях от заданной нагрузки.
Для определения усилий Nр и Л?, рассматриваем основную систему в состо
НИИ Р (рис 413, в) и в состоянии 1 (рис. 413, г).
Вычисления удобно вести при помощи таблицы (табл. 18). Знак «мину
при Л/^г и Л'р показывает, что в соответствующем стержне усилие сжимающе
В таблице не приведены жесткости, так как для всех элементов они одинаков
4»
Таким образом,
Д,р = -
Ра
У 2 ЕР
E + 41^2);
^ _ 2а(\+У2)
Подставив Эти значения в каноническое уравнение, находим
5 + 4>^2
X,
2B + ^2)
Р(=й1,56Р.
§ 93. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ.
УРАВНЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ
Неразрезными называют балки, лежащие более чем на двух
опорах и не имеющие промежуточных шарниров. Такие балки, широко
применяемые в различных конструкциях, принадлежат к числу
статически неопределимых.
На рис. 414 показана балка, опирающаяся на т шарнирных
опор. Одна из опор делается шарнирно-неподвижной для
восприятия осевой нагрузки, остальные — шарнирно-подвижными, что дает
возможность балке свободно изменять свою длину с изменением
температуры.
Опоры принято нумеровать слева направо, обозначая крайнюю
левую номером 0; номер пролета определяется номером
принадлежащей ему правой опоры.
При опирании на т шарнирных опор имеем столько же
вертикальных реакций. Так как условий равновесия можно составить
только два, то такая система (т — 2) раза статически неопределима.
Как видно, число лишних связей, а следовательно, и лишних
реакций, равно числу промежуточных опор. Иногда крайняя опора
Жх
л
л-^тп^ |.^/ л.2ттт^-^
ш^. ш ш ш щ щ щ: ф
Рис. 414
выполняется в виде защемления. В этом случае степень статической
неопределимости увеличивается на единицу по сравнению с
шарнирной опорой.
Для получения основной системы можно освободиться от всех
промежуточных опор, заменив их действие неизвестными реакциями
Хи Ха, ..., Хп-ъ приложенными к основной системе дополнительно
к заданной нагрузке (рис. 415). Дополнительные уравнения
перемещений
Д, = 0; Лг = 0; ... ; Л„,_2 = О
выражают условия равенства нулю прогибов в точках прикрепления
промежуточных опор. Однако такой способ расчета громоздок.
413
поскольку в каждое уравнение перемещений входят все искомые
неизвестные усилия. Значительно выгоднее строить основную систему
постановкой шарниров в сечениях над всеми промежуточными
опорами (рис. 416). Лишними неизвестными в этом случае будут
изгибающие моменты в опорных сечениях балки.
Таким образом, эквивалентная система представляет собой ряд
простых ш'арнирно опертых балок, нагруженных заданной
нагрузкой и неизвестными изгибающими моментами
М, = Х,; Мг = Хг; ... ; М„+1 == Х„+ь ....
ШЦ.
7^
Щ /а Мл-/ Хп Х„+{ \Х^1
Х„.,
Рис. 415
приложенными в сечениях, где поставлены ш'арниры. Направления
моментов для определенности приняты положительными.
При таком выборе основной системы действие заданной нагрузки
распространяется только на пролет, где она приложена; влияние
7 7Ж? 7^> 7Ш
1п..
П-1
я^
т-1
Рис. 416
ее на другие пролеты выражается опорными изгибающими
моментами Мс.
Составим теперь дополнительные уравнения перемещений. Они
выражают собой равенство нулю перемещений опорных сечений по
направлениям действия неизвестных моментов М,.
В самом деле, каждая двухопорная балка
основной системы под действием заданной нагрузки
и опорных моментов деформируется независимо от
других. Это значит, что торцы двух смежных бало-
чек, примыкающих к одной опоре, например «-й
(рис. 417), могут повернуться на некоторые углы
Д™"^ и Д"''^'^. Так как в исходной статически
неопределимой системе каждая пара таких сечений
представляет собой одно сечение, то из условий сплошности их взаимный
угол поворота должен быть равен нулю. Отсюда для каждой
промежуточной опоры
д„ = д;;^" + д^^р^" = 0. A4.18)
Поскольку основная система состоит из отдельных, не связанных
между собой двухопорныхбалочек, то для раскрытия условия A4.18)
414
следует рассмотреть только два пролета основной системы,
примыкающих к п-й опоре (рис. 418).
Запишем условие A4.18) в каноническом виде:
6„,„_1Х«_1 + 6„„Х„ + б„,„4-1Х„4-1 + АпР = 0.
A4.19)
Для определения перемещений 6 и А, входящих в уравнение
A4.19), строим эпюры изгибающих моментов в основной системе
отдельно от заданной нагрузки (рис. 418, а) и от каждой из лишних
неизвестных, равных единице (рис. 418, б—г). Площади эпюр от
заданной нагрузки на п-м и (п + 1)-м пролетах обозначим
соответственно через И„ и йл+ь а расстояния центров тяжести этих
площадей от левой и правой опор своего пролета — через а„, Ь„, а„^1 и
Ьп+1 соответственно.
Применяя способ Верещаги- ^^ПТТП\/?5''1 ] Д'*'
на и полагая, что на протяжении /?-/(у '''''')у(^ Т .,* "^/^у
каждого пролета балка имеет
постоянное сечение, получаем
Т ^^ Т? '"^* Т
А„Р =
Е^п
о„
"П 1
Е^
в+1
й«+. -г^ ; A4.20)
Ы+1
°"■"-^ ~ ~Е1^ 2
1п
^^К
ЬЕЗп '
A4.21)
5ж7 7Ш.
Ьпп =
^У„ 2 3 ^
+
'«+'
п+1
згу„
+
'/г+1
З^У
л+1
бл.л+1 =
'я+1
^У
я+1 -*
; A4.22)
1.^==_
Ш1
п+1
A4.23)
Внося выражения A4.20)
следующее уравнение:
A4.23) в формулу A4.19), получаем
Х„_1 -р- + 2Х„
= _6
1п
^п'п
+
п+1
'п+1
+ Лл4-1 —
•>п+1
+
^п+1^п+^
A4.24)
415
Поскольку при таком выборе основной системы все лишние
неизвестные представляют собой изгибающие моменты в опорных
сечениях балки, то в уравнении A4.24) принято вместо Х,- писать Л1,-.
Таким образом.
1п
■'п+1
+
A4.25)
..^^шш^
ь,
Рис. 419
Уравнение A4.25) называется
уравнением трех моментов.
Составляем их столько, сколько вводим
шарниров, образовывая основную
систему. Чтобы написать эти
уравнения, достаточно в формуле A4.25)
дать индексу п последовательно
значения 1, 2, 3 и т. д.,
соответствующие номерам промежуточных
опор. В каждое из таких
уравнений входит не более трех
неизвестных опорных моментов Мп-\, М„,
Мп-^1, а в первое и последнее
уравнения — только по два
неизвестных момента. Решение системы
легко выполнить методом
последовательного исключения неизвестных.
Для балки постоянного поперечного сечения (/
ние трех моментов упрощается так:
сопз!) уравне-
М„-11„ + 2М„ (/„ + /„+!) + Мп+11п+1
\ 1п
+
A4.26)
Рассмотрим примеры составления уравнений трех моментов. На
рис. 419 изображена двухпролетная балка. Система один раз
статически неопределима. Уравнение трех моментов следует написать
один раз для промежуточной опоры /.
Полагая в уравнении A4.26) и = 1, имеем
М,1, + 2М, (I, + I,) + М^1, = - 6 (-^124-- -Ь ^^) . A4.27)
Поскольку крайняя левая опора шарнирная и не нагружена
сосредоточенным моментом, то
416
Момент на крайней правой опоре равен моменту от нагрузки,
приложенной к консоли. Следовательно,
М2 =
9/|
Очевидно
1
3
^2
(/, + с); Ь,=~A1+ф;
2 Ч11 , _ Я1\ .
3 8 '2- 12 '
/,
«9 = &!.= -:?-
Таким образом, уравнение A4.27) принимает вид
2М.(/.+4) = -6(^-ё ^ + ^ + -2-^2.
Отсюда легко найти момент М^.
Если левый конец балки защемлен (рис. 420, а), то защемление
можно заменить дополнительным пролетом бесконечно большой
жесткости или бесконечно малой длины (рис. 420, б). Уравнения
трех моментов для 1-й и 2-й
опор следующие:
Мо/. + 2М1(/,+ /2) + Л424 =
М,4+2М2(/2 + 'з) + Л4з^з =
Очевидно
а
тррг
д, == Оз = 0; ^3 =
I
р.!
, тк?. , 7ш, ,
11
а,=о
а,=о
^,3
ри
.,г(Ш\^
а-, = Ь,
_-2_
2
М, = 0.
Рис. 420
Кроме того, в первом уравнении системы следует положить 1^ = 0.
Тогда
2М.4 + М^/г = 0;
РЦ
Аналогично поступаем, если защемлен правый конец балки.
14 8—2770 417
Определив опорные моменты, вычисление реакций, построение
эпюр изгибающих моментов и поперечных сил проводят обычным
способом.
Вначале определяют реакции опор каждой простой балочки
от заданной нагрузки и опорных моментов. Обозначим эти реакции
для п-го пролета через Л„ и В„ (рис. 421, а). Очевидно, что
1п
Б„ = В1 , "-' . A4.28)
где Ап, Вп — реакции только от заданной нагрузки на пролете.
Полная реакция промежуточной опоры п (рис. 421, б) '
/?; = Б„ + л,. = /?° _^Ц^ __ ^^1,^^^ . (Н.29)
'я 'п+1
Здесь 1^п = Вп + Ап+1 — реакция опоры п, вызванная действием
заданной нагрузки, приложенной к
пролетам /„ и 1„^1.
После определения реакций строят эпюры ^ и М для каждой
двухопорной балочки основной системы.
Окончательную эпюру изгибающих моментов легко построить
также как сумму эпюр моментов от нагрузки и от опорных моментов,
причем последняя эпюра
имеет вид ломаной линии,
соединяющей отрезки, отложенные
над опорами и равные
опорным моментам (см. пример 68).
Можно рекомендовать сле-
Рие. т дующий порядок расчета
неразрезной балки. После
нумерации опор и пролетов (опор — с нуля, пролетов — с
единицы) под исходной балкой изображают основную систему,
нагруженную заданной нагрузкой и неизвестными опорными
моментами. Далее строят эпюры М для отдельных балочек основной
системы только от заданной нагрузки на пролетах. Вычисляют
площади О, этих эпюр и координаты и,-, 6,- их центров тяжести. Для
каждой промежуточной опоры выписывают уравнение трех моментов.
Решая полученную таким образом систему уравнений, определяют
неизвестные опорные моменты. Затем определяют реакции и строят
эпюру поперечных сил и изгибающих моментов. Последнюю эпюру,
как указывалось, можно построить как сумму эпюр моментов от
нагрузки и от опорных моментов.
Пример 68. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для
балки, изображенной на рис. 422, а.
2Р
Для простоты вычислений принято д = —г-. Эквивалентная система показана
иа рис. 422, б, причем защемление левого конца балки заменено дополнительным
4«8
пролетом. Имеем
Й,
О^ = Оз = 0;
РР ^ I
8
Й4--12-
Ц^,\Р
РР
I
а4 = Ь^ = —.
2Р
щшштпп
,-1 , ^,
Р Мг ^ ^3
^^/,=0/?|7 /р:г/ !7^ 1^=1 ^ /^=/ р^'
^ж:'' иШк^-^"
а25Р1
0,168 Р1
0.63Р
отР1 о;о5зр1
0,803Р р
Ю,25Р1
®
[иаца...^...^^^^чи I |ц1^1 ®
^р 0,0{5Р
6
^47^
Рис. 422
^ Составляем уравнения трех моментов для трех промежуточных опор (я = I,
2. 3):
3
2Л11 + Ма
8
Р1, (п = 1);
УИх + 4Л12 + Л1з = - -д-Рг. (п = 2);
Р1
A4.30)
М^-{-АМ^+М^■■
. (« = 3).
Очевидно момент М^ равен опорному моменту нагрузки, приложенной к
консоли, т. е.
^4 = Ц-. A4.31)
Решая систему уравнений A4.30) с учетом выражения A4.31), получаем
М^ =<;^^68Р/^; М^ = — О.ОЗВР/; Л1з = — 0,053Р/.
Отрицательные значения моментов свидетельствуют о том, что в
действительности они направлены противоположно указанным на рис. 422, б.
14*
419
Реакции опор (рис. 423) определяем по формулам A4.28) и A4.29):
А^ = 0,5Р + 0,13Р = 0,63Р;
ба = 0,5Р - 0,13Р = 0,37Р;
Л--
е« =
Л = -^?/-
Мя
е,=
■д1 +
I
Л1.
— 0,015Р;
= 0,01БР;
= 0,803Р;
- = 2,20Р.
Рис. 423
Полные реакции опор
1?^ = ^2 = о,63Р;
/?2 = Ва + Лз = 0,36Р;
/?з = 5з + Л = 0,82Р;
Я^^В^ = 2,20Р.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов приведены иа рис. 422, в.
§ 94. ВЛИЯНИЕ НЕТОЧНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ОПОР ПО ВЫСОТЕ
Б рассмотренных уже случаях предполагалось, что все опоры
находятся на одном уровне. На практике, однако, нередки случаи
смещения опор от проектного уровня.
Б статически определимых системах смещеШ1Я опор не вызывают
дополнительных усилий в конструкции. В неразрезных же балках
из-за их статической неопределимости эти смещения вызывают
значительные начальные напряжения, которые, как показывают
расчеты, зависят от величины смещения опор и жесткости балки,
возрастая в прямой пропорциональности от величины указанных
факторов.
Пусть (п — 1), п и (п + 1)-я опоры получат смещения по
вертикали соответственно на Уп-1, Уп, Уп+\ (рис. 424). В результате этого
в основной системе участки /„ и 1п+\ повернутся на углы
в„
^" ~^"-' и е„+, = И.П+^^1. , A4.32)
1п
»л+1
которые будем считать положительными в случае поворота по
часовой стрелке.
420
Легко видеть, что такое смещение вызывает взаимный угол
поворота торцовых сечений у п-й опоры
А^с = в„.
+1
е„
A4.33)
Следовательно, каноническое уравнение A4.19) при расчете на
смещение опор принимает вид
8„,п—1Хп—1 + Ьпп^п + йп.л+1-^л+1 + А«с = О
A4.34)
и выражает требование равенства нулю взаимного угла поворота "ср-
цовых сечений у п-й опоры, вызванного действием всех лишних не
известных и смещением опор.
Внося в уравнение A4.34)
значения б из уравнений A4.21) — A4.23)
и Але из выражения A4.33), при
^„ = ^„—^ = ... = сопз! получаем
следующее уравнение трех
моментов:
М„_,/„ + 2МЛ/„ +/«ч |)+
+ М„+,^„^ , = ~6Е^ (в„н , -в„).
A4.35)
Для определения опорных
моментов, возникающих вследствие смещения опор, составляют и
решают уравнения типа A4.35).
Заметим, что начальные напряжения, возникающие от смещения
опор, могут быть использованы для выравнивания напряжений от
Рис. 424
-Е
^
50см
т
50сн
0
1
^
"*
м"м,
, щ.
» 1 -
/
2
7^.
О
1
О,
7^.
Т
7?^.
Рис. 423
заданной нагрузки.
Пример 69. Определить напряжения,
возникающие в стальном валу,
установленном в трех подшипниках (рис. 425, а),
при смещении вниз на 2 мм крайнего
правого подшипника. Диаметр вала й = 4 см.
Расстояние между подшипниками / =>
= 50 см. Подшипники рассматривать как
шарнирные опоры
Эквивалентная система показана на
рис. 425, б, в Так как крайние опоры
шарнирные, то
Мп
кроме того.
о - •''Иа = 0;
1 = 0.
Следова1ельно, уравнение тр»х г.'ог(^;нтов, полагая в уравнении A4.35) п = 1,
2М1 • 2/ = — 6^/02,
Е^ „
■ложно записать в виде
откуда
М1 = -1,5
/
1 Индекс «с» при Д указывает, что причиной обобщенного перемещения
является смещение опоры.
421
Так как
то
У2
6
Е^6
Наибольшее напряжение в сечении над опорой 1
'1Г = 'Шг ^ ^^^^^ "" ^^ кгс/см".
§ 95. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Статически неопределимые системы, содержащие криволинейные
стержни, рассчитывают по методу сил в такой же последовательности,
как и системы, рассмотренные в предыдущих параграфах. В этих
случаях, однако, перемещения, входящие в канонические
уравнения, нельзя вычислять по способу Верещагина. Для этой цели
рекомендуется применять метод Мора.
В качестве примера рассмотрим круговое кольцо постоянного
поперечного сечения, растягиваемое двумя равными и
противоположно направленными силами (рис. 426, а).
Как замкнутая система, кольцо трижды статически
неопределимо. Однако использование симметрии при выборе основной
системы существенно упрощает решение.
Выберем основную систему, разрезав кольцо по сечению А^
(рис. 426, б). Из условий симметрии следует, что поперечная сила
в этом сечении
Разрезав кольцо на две части по оси А^А^ (рис. 426, е), из
условий равновесия отсеченной части находим, что осевая сила Х^ ~
= -^. Остается только определить неизвестный изгибающий момент
в сечении А^. Окончательная эквивалентная система показана на
рис. 426, е.
422
Каноническое уравнение перемещений, выражающее условие
равенства нулю взаимного угла поворота граней разреза, имеет вид
бцХ^ + А,р = 0.
Коэффициенты этого уравнения определим по способу Мора,
сначала рассматривая основную систему под действием заданной
нагрузки, а затем— под действием
лишнего неизвестного
единичного момента (рис. 427). Влиянием
осевых и поперечных усилий
пренебрегаем. Очевидно
5
М^Мрёз
Е^
Рис. 427
Учитывая симметрию в состояниях Р я 1 основной системы
(рис. 427, а, б), при вычислении перемещений ^и> и бц можно
ограничиться рассмотрением одной четверти кольца. Имеем
Мр = -^A-со8ф), /0<ф<-|-|;
М,= 1.
цтгрк
@
Положительное направление для изгибающего момента принято
такое, при котором наружные волокна растянуты. Таким образом,
^ С РЯ^ A—С05 ф) аср _ 2РТ? ( п л. л лСШср 2пК
Тогда
X,
Нр
.^1_А)р/^ = _0,182Р/?.
423
Итак, изгибающий момент в сечениях А
М^ = —0,182Р7?
и направлен в сторону, противоположную ранее принятой. В
произвольном сечении кольца изгибающий момент
М {(р) = -ф- A _ С08 ф) — Ма = 0,5Р/? A -- С08 ф) — 0,182Р7?.
Наибольший изгибающий момент действует в сечениях В, при ф =
= -^, и составляет величину
Поперечная сила ^ (ф) == 0,5Р 81П ф, осевая сила Л'^ (ф) =
= 0,5Р со? ф. На рис. 428 показаны эпюры внутренних силовых
факторов в сечениях кольца.
§ 96. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
в СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
После определения лишних неизвестных усилий перемещения
в статически неопределимых системах можно найти обычными
способами. При этом следует пользоваться методами, которые в каждом
частном случае наиболее просто приводят к результату. Например,
прогибы и углы поворота сечений статически неопределимых балок,
несущих сложную нагрузку, удобно определять по методу
начальных параметров. Способ Мора, являющийся универсальным,
применим, конечно, во всех случаях. Им широко пользуются при
определении перемещений в балках, рамах и фермах.
Вычисляя перемещения по формуле Мора
г» п п и<-
A4.36)
следует рассмотреть заданную систему под действием нагрузк)!
(окончательные эпюры силовых факторов М,Мн ^ статически
неопределимой системы), а также под действием единичного силового
фактора, соответствующего искомому перемещению
(единичныеэпюры М,, Л^,, ^,). Если при этом единичную нагрузку прикладывать
непосредственно к заданной статически неопределимой системе, то
каждый раз для построения единичных эпюр М,, Л/,, ^^ вновь
придется решать статически неопределимую задачу. Однако этого можно
избежать, если учесть, что исходная статически неопределимая
система и основная статически определимая, нагруженная заданными
силами и найденными лишними неизвестными, полностью
тождественны по условиям работы. Поэтому, определяя какие-либо
перемещения, мы вправе прикладывать единичную нагрузку к основной
424
статически определимой системе. Последняя может быть выбрана
по любому возможному варианту.
В качестве примера вычислим взаимные перемещения точек Л^,
А^ и В^, В^ соответственно в горизонтальном и вертикальном
направлениях для рамы (см. рис. 412) без учета действия температур.
Определим только перемещения, вызванные изгибом, так как
перемещениями от продольных деформаций и сдвига можно пренебречь.
На рис. 429, б показаны составляющие суммарной эпюры
изгибающих моментов в виде, удобном для применения способа Верещагина.
Для определения взаимного перемещения в горизонтальном
направлении точек А^, А^ прикладываем к основной системе в этих точ-
в, ■ ^
А, -
Л
. 11
В,
а
Рис. 429
ках (рис. 429, е) единичные силы X, = 1. Перемножая эпюру М
на Мс и принимая, что /х = 4 = /, находим
РР I , РР I „ РР / \ рр
4.-Л ^^^=-ЖГ\^
16 2^8 2 32 4/ 64Е^ '
Чтобы определить взаимное вертикальное перемещение точек В^ и
В^, прикладываем к основной системе в этих точках две единичные
силы (рис. 429, г) Хй = 1. Перемножая эпюру М на М^, находим,
чго
А А \ I Р1^ I Р1^ \
1В,-
■ Е^ \
16
16
РР
^+8 16 ^;~
192 Е^ '
Отметим, что в случаях действия на статически неопределимую
систему температуры к перемещениям основной системы,
нагруженной найденными лишними неизвестными, следует добавить чисто
температурные перемещения. При этом формула A4.36) примет вид
^ С м,м^й$ ^ С л,Ит.й8 , -^ с. ^^^тй8
^^Р= 2л]—17 + 2^3 ЕР +^3* ОР +
5 5 9
+ Ъ\^,а^^^±^^йв+^,\м^а^^^^^йв, A4.37)
425
где Мт, Мт, От
внутренние силовые факторы от лишних
неизвестных, обусловленных действием
температуры.
§ 97. КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ
Окончательные эпюры Ы, ^и М подлежат обязательной
проверке. Проверяют при этом условия равновесия и деформаций.
Для проверки условий равновесия следует вырезать узел или
какую-либо часть системы и удостовериться в ее равновесии, т. е. в
выполнении условий равенства нулю суммы проекций или моментов
всех внешних и внутренних сил,
приложенных к этой части:
п
/ч
с-в
ж
Рис. 430
Рис. 431
При этом нужные величины следует брать непосредственно из
окончательных эпюр.
Рассмотрим, например, как должны быть проверены условия
равновесия для эпюры изгибающих моментов, показанной на
рис.430. Вырежем узлы В и С (рис. 431). Действие отброшенных
частей рамы на узлы заменим соответственно изгибающими
моментами МвА, Мвс, МвЕ и Мсв, Мсо. Направления моментов
соответствуют расположению эпюр на сжатых волокнах.
Из условия равновесия узла В следует, что
МвА + МвЕ — Мвс = 0.
Из условия равновесия узла С вытекает, что моменты Мсв и
Мсв должны быть равны по величине и обратны по направлению.
Аналогично можно проверить эпюры Л'^ и ^.
Отметим, что проверка условий равновесия не является
достаточной, так как проверка правильности построения эпюр по
найденным значениям лишних неизвестных усилий не дает оснований для
суждения о правильности самих величин.
Общим контролем является проверка выполнения условий
неразрывности деформаций. При этом следует убедиться, что
окончательные 5пюры согласуются с условиями опорных закреплений и
неразрывности контура.
Так как в заданной статически неопределимой системе
перемещение по направлению любой лишней связи равно нулю, то произ-
426
ведение окончательной эпюры изгибающих моментов на эпюру
моментов любого 1-го состояния основной системы должно равняться
нулю, т. е.
"^^ = 0. A4.38)
21-
в качестве основной системы /-го состояния лучше всего
выбирать систему, отличную от принятой при расчете. Количество
проверок условий деформаций должно ран- ооз25Р^1
пяться числу лишних связей.
Проведем в качестве примера проверку
условий деформаций для рамы, рассмотрен- р,12б/}
ной в §92 (пример 66). Окончательная
эпюра М приведена также на рис. 432, а.
Вычислим взаимные перемещения
граней разреза ригеля в горизонтальном
направлении. Для этого следует
перемножить эпюру М на единичную эпюру М^
(рис. 432, б). При умножении часто удобно
заменить эпюру М ее составляющими:
Получим |-'
Е^А^ = 2 1 М1МA8 = ^ 4-Л +
0,281 РA 0,тРA
а
8
^^^^^Н-0,02Ш
2Н-^ =
Рис. 432
= Рй» (— 0,104 + 0,125 — 0,021) =
= Р1^ (— 0,125 + 0,125) = 0.
Теперь проверим, равен ли нулю угол поворота сечения О
исходной ^системы. С этой целью, умножая эпюру М на единичную
эпюру Мд основной системы (рис. 432, е), находим умноженный на
Е^о угол поворота:
^^А;
= 21
МзМ^^8^д
Здесь Е^о — жесткость поперечного сечения какого-либо элемента
рамы.
Так как в бесшарнирной системе Мз = 1, то
^
Е^оАз='^^м^а5.
Интеграл в правой части представляет собой площадь эпюры М,
умноженную на отношение -4-. Он называется приведенной
площадью эпюры М.
427
Таким образом, для замкнутых бесшарнирных контуров
приведенная площадь эпюры моментов равна нулю, т. е.
21
а8 = 0.
A4.39)
В нашем случае, учитывая, что ^ — сопз!, получим
Е/Дз = (— -^ + 2 А1^^ _ 0.021Р/1 • Зн] = РН^ (— 0,125 +
+ 0,187 — 0,063) = РН^ (— 0,188 + 0,187) = — 0,001/»/1*.
Так как при расчете системы лишние неизвестные вычисляются
с определенной точностью, то и результаты проверки, естественно,
имеют некоторую погрешность — искомые перемещ,ения отличаются
от нуля. Поэтому при проверке рекомендуется отдельно вычислять
сумму положительных и отрицательных членов. Если разница
между обеими суммами, выраженная в процентах к меньшей из них,
невелика (до 5%), то результат расчета можно считать
удовлетворительным. В нашем случае
— 0,188 4-0,187
0,187
— 0,535%.
Аналогично осуществляется контроль правильности расчета
неразрезной балки.
§ 93. О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМНЫХ СИСТЕМ
В общем случае действия сил на брус (см. гл. 12) в поперечных
сечениях имеем шесть внутренних силовых факторов (рис.433) — Л/,
^у, Bг> ^и< ^у и М^. Для неподвижного прикрепления сечения
V /г
Й
О^
Хв
Рис. 434
нужно наложить шесть связей, усилия в которых могут быть
найдены из шести уравнений равновесия твердого тела. Количество
связей в пространственных системах, превышающее указанное число,
дает степень статической неопределимости. Так, пространственная
рама, изображенная на рис. 434, а, шесть раз статически неопреде-
428
лима, так как для определения двенадцати неизвестных реакций
можно составить только шесть условий равновесия. Один из
вариантов основной статически определимой системы показан на
рис. 434, б. Для определения
шести неизвестных усилий
решаем шесть канонических
уравнений обычного вида
(см. § 92).
Показанная на рис. 435, а
пространственная рама 24
раза статически неопределима.
Это легко обнаружить по
числу разрезов, которые необходимо сделать, чтобы получить основную
систему (рис. 435, б), причем каждый разрез освобождает шесть
связей.
В машиностроительных конструкциях встречаются плоские
рамы, работающие на пространственную нагрузку. На рис. 436, а
показана плоская рама с защемленными концами, нагруженная
перпендикулярно к плоскости рамы.
На основании принципа взаимности можно показать, что в
плоских системах, нагруженных перпендикулярно к плоскости системы,
Рис. 435
Рис. 436
силовые факторы, характеризующие работу рамы в ее плоскости,
равны нулю. Следовательно, из шести неизвестных усилий
(рис. 436, б) три равны нулю, т. е. Х^ — Х^ = Х^ — 0.
Это обстоятельство существенно упрощает расчет плоских рам,
нагруженных пространственной нагрузкой. Любую нагрузку можно
разложить на составляющие в плоскости рамы и перпендикулярные
к ней. Используя принцип независимости действия сил, можно
рассчитать систему отдельно от нагрузок в плоскости рамы и от
перпендикулярных к ней.
, В качестве примера рассчитаем раму, показанную на рис. 436.
Чтобы использовать ее симметрию, образуем основную систему
разрезом стержня ВС посредине (рис. 437). Такой вариант выгоднее
изображенного на рис. 436, в.
429
Из соображений симметрии основной системы следует, что ко-
сосимметричные силовые факторы в сечениях разреза (крутящий
момент Ха и поперечная сила Х^) равны нулю. Неизвестный изги-
. - бающий момент Х^ легко опреде-
'////УА у/////, лить из канонического
уравнения перемещений
Кх^х + Д1Р = О-
Для определения
перемещений строим в основной системе
эпюры изгибающих и крутящих
моментов для Р-го (рис. 438, а)
и единичного Х^ = 1 (рис. 438, б)
состояний. Эпюры крутящих
моментов заштрихованы штриховыми линиями.
Перемещения определяем по формулам Мора для
пространственного случая действия сил, причем пренебрегаем влиянием осевых и
поперечных сих. Получаем
Ч^.
ХгО
4
.1
Рис. 437
д.,==2|^^^#^+21-^
^" ^ Е^у ^^ ^ Е^з^
+21-
М^1М^рйв
О/к
О/к
A4.40)
A4.41)
Рис. 438
Учитывая, что единичные эпюры ограничены прямыми линиями,
перемещения А1Р, бх^ можем определить и по способу Верещагина.
Получим
А1Р =
1
Е^^
Ч1\
8
1 1^
3 2
яА
.1.2 ' ^''
11 .1. К ^•'1 'г \.
/,.1.2
24Е/,
МО
Таким образом,
^1Р
где
Е/1 /а
Р =
1+6
С-^к /х
1+2
Е^1 /а
О/к /,
Рис. 439
Окончательные эпюры изгибающих и крутящих моментов показаны
на рис. 439.
Глава 15
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
§ 99. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В КРИВЫХ БРУСЬЯХ
В различных конструкциях часто встречаются брусья с
криволинейной осью. К ним относятся грузоподъемные крюки, проушины,
звенья цепей, ободы шкивов и колес, арки и т.п. Оси этих брусьев —
плоские кривые. Брусья же с пространственной кривой осью
встречаются редко и здесь не рассматриваются.
В поперечных сечениях плоского кривого бруса в общем случае
имеются три внутренних силовых фактора — N, ^V^ М. Правила
их определения и построения их эпюр для кривых брусьев
рассмотрены в § 23. В § 24 выведены дифференциальные зависимости C.13)—
C.15) между внутренними силовыми факторами и нагрузкой.
В настоящей главе рассмотрим определение напряжений и
перемещений в кривых брусьях, а также расчет их на прочность. При
431
этом ограничимся рассмотрением брусьев, имеющих продольную
плоскость симметрии (рис. 440), в которой и действуют внешние
нагрузки. В силу симметрии перемещения точек оси бруса также будут
происходить в этой плоскости.
Исследования показывают, что при изгибе распределение
нормальных напряжений в поперечном сечении, а также величина
максимальных напряжений в кривом брусе иные, нежели в балке с
прямой осью. При прочих равных условиях это различие тем больше,
чем больше отношение высоты Н поперечного сечения к
радиусу /? кривизны его оси (рнс. 440)
В связи с указанным
обстоятельством
принято различать брусья
малой кривизны, у которых
-^ < -Ё-, и брусья
большой кривизны, у которых
-р- >> -с". При изгибе
брусьев малой кривизны
нормальные напряжения
с достаточной для
инженерных расчетов
точностью можно
определять по формулам A0.10),
A0.13), выведенным для
балок с прямой осью Подсчеты максимальных напряжений по этим
формулам для бруса прялюугольного сечения при -в- = "тг Дают
разницу в 2% по сравнению с напряжениями, вычисленными по
более точным формулам, которые будут получены ниже. При "В" = тк'
разница возрастает до 3,5%, а при -^ — -^ она достигает 7%.
Вывод формулы для нормальных напряжений при изги1е бруса
большой кривизны. Рассиотрим случай чистого изгиба кривого
бруса (рис 440). Для прямого стержня мы сначала предположили
неизвестным положение нейтрального слоя, а затем выяснили, что он
находится на уровне оси стержня. Здесь также предположим, что
нейтральный слой имеет неизвестный пока радиус кривизны г„,
вообще говоря, отличный от радиуса 7? оси стержня.
Вывод формулы для напряженпй о при изгибе проведем по той
же схеме, которая применялась для бруса с прямой осью, и в основу
его положим те же гипотезы: гипотезу плоских сечений и гипотезу
о том, что продольные волокна не давят друг на друга.
Проведем в сечении оси у и г, как показано на рис. 440. Ось г
совпадает с нейтральной линией сечения, положение ее пока не
определено. Положительным принимаем направление оси у к центру
кривизны бруса.
Рис. 440
432
Для получения уравнений статической стороны
задачи рассечем кривой брус на две части каким-либо
поперечным сечением, например аЬ (рис. 440), и выделим в сечении элемент
площади йР, находящийся на расстоянии у т нейтральной линии
(рис. 440 и 441, а). На элемент действует усилие ойР. Из условий
A0.2) и A0.3) при N =: О, М^ = М получим
^айР = 0; ^ауаР = М.
A5.1)
Условие Му = ] огёР == О удовлетворяется автоматически в силу
р
симметрии сечения относительно оси у.
Рассматривая геометрическую сторону зада-
ч и, выделим КЗ кривого бруса (рис. 440) двумя бесконечно близкими
сечениями аЬ и Ы элементарный участок, которому соответствует
до деформации угол с1(р. После деформации угол ме>вду этими
сечениями изменится на некоторую величину А (^^ф) (рис. 441, б).
Наблюдая деформацию произвольного волокна АВ, расположенного на
расстоянии у от нейтрального слоя и имеющего до деформации
длину (''н — у) <^ф. легко заметить, что вследствие деформации под
нагрузкой за счет взаимного поворота сечений аЬ и Ы рассматриваемое
волокно удлинится на
величину ^Д (^ф). Тогда
относительное удлинение
выбранного
произвольного волокна, очевидно,
Физическую
сторону, как и для
балки, если пренебречь
давлением- продольных
волокон друг на друга,
можно выразить
формулой Гука:
о = Ег
Рис. Ш
Подставляя в эту формулу выражение 8, согласно формуле A5.2),
будем иметь
а =
ЕА(ац>) у
Л<^
A5.3)
Эту формулу, очевидно, нельзя непосредственно использовать
для определения нормальных напряжений при чистом изгибе
кривого бруса, поскольку в ней пока неизвестны радиус Га
нейтрального слоя и изменение угла А (йф). Для определения Гц и А (<^ф)
433
воспользуемся двумя условиями A5.1). Из первого условия имеем
Так как в этом выражении —/ ■ - ф О, то
уйР
■У
0. A5.4)
р
Второе условие соответственно запишется в виде
Интеграл в последнем уравнении можно записать так:
р р р
= -<^уйР + г,^-^^. A5.6)
Первый интеграл в правой части уравнения A5.6) представляет
собой статический момент 5^ площади поперечного сечения
относительно нейтральной оси 2, т. е. Р (—ё) (рис. 440, б), а второй
интеграл, согласно выражению A5.4), равен нулю. Учитывая это,
выражение A5.6) можно записать так:
где е — расстояние от центра тяжести сечения кривого бруса до
нейтральной оси;
Р — площадь сечения бруса.
Очевидно интеграл в левой части выражения A5.7) всегда
величина положительная, а это означает, что статический момент 5^ —
величина отрицательная. Так как статический момент равен
произведению положительной величины Р на координату е центра тяжести
площади Р относительно нейтральной оси г, то из этого следует,
что е — всегда координата отрицательная. Поэтому можно
утверждать, что при изгибе кривого бруса нейтральная ось всегда
смещена от центра тяжести сечения к центру кривизны бруса.
В дальнейшем в формулах, содержащих е и 5^, имеем в виду их
абсолютные величины.
Подставляя выражение A5.7) в условие A5.5), получим
ЙФ ^'^ '^^'
откуда
ЕА (<^ф) _ М
,^ еР' (»5-8)
434
а =
а —
еР
Му 1
(Ги-У) '1
Му
Учитывая выражение A5.8), формулу A5.3) для определения
напряжений теперь можно представить в виде
A5.9)
или
Зг{Гн — У)
где М — изгибающий момент в сечении;
5г — статический момент площади сечения кривого бруса
относительно нейтральной линии.
Из анализа формулы A5.9) видно, что, как и в балке с прямой
осью, нормальное напряжение по ширине сечения одинаковое (не
зависит от г) и изменяется только с изменением расстояния точки от
нейтральной линии. По высоте сечения напряжения в кривом брусе
изменяются по гиперболическому закону (рис. 442, б). Наибольшие
по абсолютной величине напряжения будут в крайних точках
сечения, находящихся у вогнутой поверхности бруса.
Абсолютные величины напряжений в крайних точках сечения
кривого бруса согласно выражению A5.9)^ определяются по форму-
^ лам
Мк^ . _ МН,
у^^ "' "
Рис. 442
где /?1 и /?2 — со©?Ветственно радиусы кривизны внутреннего и
/?! и ^2
внешнего волокон кривого бруса;
расстояния от нейтральной линии до этих волокон
(рис. 440).
Знаки напряжений легко установить по направлению
изгибающего момента в сечении.
Определение положения нейтральной оси в кривом брусе при
чистом изгибе. Для определения по формулам A5.9) и A5.10)
напряжений в кривом брусе при изгибе нужно ^прежде всего определить
величину е (расстояние от нейтрального слоя до центра тяжести)
435
или радиус г„ нейтрального слоя, поскольку
е = /? —г,„ A5.11)
где /? — радиус слоя, содержащего центры тяжести сечений
кривого бруса.
Покажем, как определяется положение нейтрального слоя, на
примере бруса прямоугольного поперечного сечения высотой Н и
шириной Ь (рис. 443). Для этого будем исходить из уравнения A5.4):
уар
$
■У
0.
Введем в этом уравнении следующую замену переменных (рис. 443):
г = г^~У, или у=г„ — г.
Тогда уравнение A5.4) может быть переписано так:
Г-^^1^й/^=0, или гЛ-^-Р = 0,
откуда
Учитывая, что
будем иметь
A5.12)
ьн
Р — Ыг, йР = Ъйг,
Н
я.
A5.13)
Ъйг
1п-^ 2,30318-^
Здесь 2,303 — модуль перехода к десятичным логарифмам.
Воспользовавшись рядом
1п-^=1п-
к +
п-
1п
1 +
2Я
получим
е = 7? —г„ = /? —
/?
В первом приближении
■^+Ш"+4гШ*+
1 +
г \2я}
12/? •
436
Второе приближение дает
_ Н^ \, . ^ [ Н У]
^~ 12/? [^ + 15 \ 2/? ; ]■
Пользуясь формулой A5.12), аналогичным путем можно найти
выражение для е в случае иных форм поперечного сечения кривого
бруса.
Пример 70 Определим положение нейтрального слоя для двутаврового
сечен я (рис 444)
Учитывая обозначения на рис. 444, величину е для двутаврового сечения
можно определить по формуле
(О-
\Ч
21^
ь^ч-^ 4- ьф.^ 4- ЬЛ
A5.14)
Ь 1п ^1 + ^1 \ ъ \п ^^^^ \ Ь 1п ^^
Ь^1п__^^_4-Ьз1п ^^^^^^ -\-Ь,1п ^^^_^^^
Положив здесь '0^= Н^= О или Ь^ = их = О, получим эксцентриситет е
для таврового сечения
Положение цеигра тяжести сечения найдем по формуле
A5.15)
г»
^
■/у'/?1
^
*</
■ I
Рис. 444
Риг. 445
Пример 71 Определим эксцентриситет нейтральной линии для
трапециевидного сечения (рис 445).
Р = ^1 + ^^ Н; йР^Ь {г) йг.
Ширину сечення Ь (г) на произвольном расстоянии г находим из подобия
треугольников.
огкуда
Ь{г)=Ь^
&1 — Ьз
/г
^?1-
Н
437
Тогда
^1 ^^1 ^1
Пользуясь формулами A5.11) и A5.12), находим,
что
Ь1 + Ь^ и
= /?■
^ A5.1в)
Положение центра тяжести сечения определяет-
■ -О ся по формуле
Рис. 446
^?-^?1 =
л &! + 2Ьа
К + ь^ •
которую нетрудно получить, разделив статический момент сечения относительно
основания на площадь.
Из общей формулы A5. 16), положив ^1 = О или ^2 = О, находим величину
эксцентриситета соответственно расположенных треугольных сечений.
Для круглого полого сечения (рис. 446) аналогично можно получить
/4/?" — д^ + У4Я^ — рг
A5.17)
§ 100. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
Если при изгибе кривого бруса кроме изгибающего момента в
поперечном сечении действует и продольная сила, то расчет на
прочность ведут, учитывая напряжения от обоих этих силовых
факторов. Касательные напряжения за крайне редкими исключениями
(тонкостенные сечения) не оказывают заметного влияния на
прочность, и их обычно не определяют, хотя в случае необходимости
можно найти их приближенно по формуле Журавского.
Для стержней малой кривизны условие прочности имеет тот же
вид, что и для балок:
обмане = -р- + X < М- A5.18)
Для стержней большой кривизны на основании формулы A5.9)
условие прочности запишется так:
Му . N
О^макс ■—
8,г
<1о].
A5.19)
При этом нужно рассматривать сечения, в которых суммарные
напряжения от изгибающего момента и от продольной силы имеюг
438
наибольшие значения. В этих сечениях опасной будет одна из
крайних точек. Для этих точек в формулу A5.19) нужно подставлять
у = A1 или у = Н^ и соответственно г = Я.^ или г = К^.
В проектировочном расчете бруса большой кривизны для
определения размеров поперечного сечения можно воспользоваться
условием прочности при изгибе балки с соответствующей формой
поперечного сечения, а затем, несколько увеличив полученные
размеры, проверить прочность бруса по условию A5.19). Если брус
большой кривизны изготовлен из
материала, имеющего различные
допускаемые напряжения на
растяжение и на сжатие
(некоторые чугуны, пластмассы и т. п.),
то условие прочности должно
выполняться для крайних точек
сечения как в растянутой, так и в
сжатой областях.
Пример 72. Пластмассовое кольцо
прямоугольного сечения (Ь X Л)
подвергается действию равномерного
внешнего давления р кгс/см^ (рис. 447).
Требуется определить допустимую
величину давления для двух вариантов
материала:
а) винипласт с пределом прочности на растяжение а^ = 540 кгс/см* и
пределом прочности на сжатие а^*^ = 900 кгс/см^;
б) волокнит с пределом прочности на растяжение а\ = 300 кгс/см''; на
сжатие а^ = 1200 кгс/см2.
Дано: Ь= 8 мм; /?1 = 10 мм; Яг = 30 мм; 6=2 мм.
Вычислим допускаемые напряжения. Принимая коэффициент запаса
прочности к = 3 (для хрупкого материала), получим
для винипласта
[о Л =—^— кгс/см'' = 180 кгс/см^;
Рис. 447
[а_Ь
900
кгс/см'' = 300 кгс/см'';
для волокнита
300
\о^^\ =—о— кгс/см* = 100 кгс/см2; [о_] ■■
1200
кгс/см2 = 400 кгс/см''.
^ Перейдем к определению усилий и моментов. Рассмотрим произвольное
сечение, проведенное под углом ф к горизонтали. Точка О — центр тяжести этого
сечения — лежит на осевой дуге кольца, радиус которой
И
-ЛЛЗж.
1+3
см = 2 см.
2 2
Равнодействующая нагрузки, расположенной по правую сторону от сечения,
Ф
Р= рЬ- 2/?2 8Ш
2 •
439
Вычисляя момент силы относительно точки О и проектируя силу на
касательную к дуге в этой точке, получаем
М (ф) = Я/? 51П -|- = рЬ/?2/? A — С05 ф); Л? (ф) = — Р 51п -2- =—рЪЯгA —сокф).
Изгибающий момент и осевая сила достигают наибольшей величины в
сечении АВ, где ф = л, причем
Ломаке = 2рЬ/?2/? = 2р • 0,8 • 3 ■ 2 = 9,6р кгс • см;
Л'макс^-Р-О.в-З-З^ —4,8р кгс.
к 1
Высота сечения А = Я^ — К\= 3 — 1 см = 2 см и -^ = 1 > -=-, поэтому
Н о
необходимо пользоваться условием прочности для кривого бруса. Поскольку
осевая сила в опасном сечении АВ сжимающая, а материал кольца хрупкий,
применяем условия прочности A5.19) к двум вероятным опасным точкам — Л и 5.
Радиус Лв нейтрального слоя при чистом изгибе находим по формуле A5 13):
^ и 15 2,303 • 0,477
1+-^ 2,303 16-^
2,303 1ё ^ "'^
1 ^
2Я.
Эксцентриситет нейтральной линии при чистом изгибе
е = /? — /-и = B — 1,82) см = 0,18 см.
Площадь сечения
Р = Ьк = 0,%-2 см2=1,6 см».
Статический момент сечения относительно нейтральной линии
5 = /^е = 1,6 • 0,18 см^ = 0,288 см^.
Расстояния от нейтральной линии и от центра кривизны для точки А
1/^ = /-н — /?1 = A,82 — 1) см = 0,82 см; л^ == /^^ = 1 см;
для точки в
г/в = •'?2 — ''н = C — 1.82) см = 1,18 см; /-^ = /?2 = 3 см.
Тогда
см = 1,82 см.
^^шсУа ,
^^ 8Ях '
^ижсУв
•"^ 5/?а
Кроме того, при /■ =
^макс 9,6,0 • 0,82
Р 0,288 • 1
= — 30,4р кгс/см^;
^макс 9,6р- 1,18
Р 0,288 ■ 3
== 10,1р кгс/см^.
Л'
« макс
« = 0 И а= —=— = -
4,8р
1,6
4,8р
1.6
-Зр.
= —27,4р —
Зр:
По этим данным для наглядности на рис. 447 построена эпюра а.
Теперь запишем условия прочности и определим допустимую величину р:
в случае винипласта для точки А
30,4р < 300 и р :$ 9,9 кгс/см2;
440
для точки В
10,1р < 180 и /7 < 17,8 кгс/см*;
в случае волокиита для точки А
30,4р :$ 400 и р :е 13,2 кгс/см*;
для точки в
10,1р :е 100 и р < 9,9 кгс/см*.
Таким образом, если кольцо изготовлено из винипласта, то Рд^^ = 9,9 кгс/см*
и опасной является точка А, если же оно волокнитовое, то рщ, = 9,9 кгс/см*
и опасной является точка В. Следовательно, несруютря на заметное различие
в механических характеристиках винипласта и волокнита, величина Рдо^,
получается в обоих случаях одинаковой и равной приру!ерно 10 кгс/сру!*.
§ 101. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В КРИВЫХ СТЕРЖНЯХ
Определять перемещения в кривых стержнях необходимо для
проверки их жесткости, а также при решении статически
неопределимых задач. Как в случае стержней малой, так и большой
кривизны, для определения перемещений удобно воспользоваться методом
Мора. В стержнях малой кривизны можно пренебречь продольными
деформациями и деформациями сдвига. Тогда в случае плоскою
изгиба формула Мора будет
иметь тот же вид, что и для
балок: _
М,Мрй$
А,я
= 21
Е^
A5.20)
Рис. 448
В случае плоского изгиба
бруса большой кривизны
деформация элемента от действия
усилий Мр и Ыр (рис. 448, а, б)
также состоит из удлинения
А Мв) отрезка из оси и относительного поворота (№) сечений,
ограничивающих элемент. Взаимный угол поворота сечений,
вызванный изгибающими моментами, как следует из выражения A5.8),
а@1 =
Е8
ЕЬК„
Угол поворота сечений, вызванный осевыми силами Ыр,
возникающий вследствие неодинаковой длины волокон элемента (рис. 448, б),
Полный угол поворота сечения
N рс18
Nра8
а&--^&. + а@,=^4щ- + -ЕЩ
A5.21)
441
Удлинение осевого элемента, вызванное поворотом сечений на
угол й&1,
Мрйв
Мрйа
Удлинение осевого элемента в результате действия осевых сил
КрДз
А№J= ^р .
Полное удлинение осевого волокна
Д Щ = А {A8I + А (^8J
МрЛв ЫрЛа
ЕРЯ,,
ЕР '
A5.22)
Подставляя формулы A5.21) и A5.22) в
выражение A3.44), находим общую формулу для
определения перемещений бруса большой
кривизны:
A5.23)
Обычно влиянием поперечной силы
пренебрегают. Тогда последнее слагаемое в формуле A5.23)
исключается.
В качестве примера вычислим угол поворота
свободного конца бруса большой кривизны, выполненного в виде
четверти кольца постоянного сечения (рис. 449, а).
Вспомогательное состояние показано на рис. 449, б.
В произвольном сечении, определяемом полярным углом ф,
внутренние силовые факторы для действительного и вспомогательного
состояний следующие:
Мр = РЯ. 8Ш ф; Ыр = — Р зш ф; С/> = Р соз ф; (о < ф < -^|
м; =1: ЛГ. = 0; ^^ = 0.
Согласно формуле A5.23), искомое перемещение
^•^= 3 —Б5 + ) ЕР =15-] ^^81ПФ^Ф-
ЕР
|рз1Пфйф = -^--^=^A--^). A5.24)
442
Как было уже показано (см. § 99), для кривого бруса
прямоугольного поперечного сечения в первом приближении можно принять е «=
« Т^. Тогда
и формула A5.24) принимает вид
Для бруса малой кривизны, согласно формуле A3.46), искомое
перемещение
Д,р =
(■-т)
Мр
ч
ЕЗ
I РК'' 81П фб^ф = -^ . A5.25)
Глава 16
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
И ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
§ 102. ТОЛСТОСТЕННЫЙ ЦИЛИНДР,
ПОДВЕРЖЕННЫЙ ВНУТРЕННЕМУ И НАРУЖНОМУ ДАВЛЕНИЯМ
' Цилиндр следует считать толстостенным, если толщина его
стенки больше одной десятой среднего радиуса цилиндра.
При расчете тонкостенных цилиндров предпопагается, что в
окружном направлении напряжения постоянны по толщине стенки,
а в радиальном вообще отсутствуют. Эти допущения неприемлемы
для толстостенных цилиндров.
Рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом г, и
наружным Га, находящийся под действием
внутреннего давления р^ и наружного р^ (рис. 450).
Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок
напряжения и деформации также симметричны относительно
его оси.
Двумя сечениями, перпендикулярными к оси
цилиндра и находящимися друг от друга на расстоянии,
равном единице, вырежем кольцо (рис. 450). В этом
кольце выделим элемент аЬйс двумя плоскостями,
проходящими через ось цилиндра и образующими между
собой угол йв (рис. 451, а), и двумя соосными
цилиндрическими поверхностями с радиусами т \1 г -\- йг
443
(рис. 451, б). Нормальные напряжения на цилиндрической
поверхности элемента, имеющей радиус г (радиальные напряжения),
обозначим через а/, на радиусе г + йг напряжения получат
приращения и будут равны о^ + йо^. Нормальные напряжения на плоских
гранях (тангенциальные, или окружные, напряжения) обозначим
через а©.
Указанные на рис. 451, б направления напряжений считаются
положительными и соответствуют растяжению элемента по двум
взаимно перпендикулярным направлениям.
Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок
перекашиваться элемент не будет п касательных напряжений по его граням
б^^абг
Рис. 451
нет. Поэтому нормальные напряжения о^ и а© будут главными
напряжениями.
Статическая сторона задачи. Умножая
напряжения на площади граней, получим действующие на элемент усилия
(рис. 451, е): 0/йв — на внутренней цилиндрической грани;
(а^ -Ь аа,.) {г + йг) е1& — на наружной цилиндрической грани;
аес1г — на боковых гранях.
Так как все силы лежат в одной плоскости и пересекаются в
одной точке, то для равновесия элемента суммы их проекций на две
взаимно перпендикулярные оси должны равняться нулю. Ось х
направим по биссектрисе угла A@, ось у — перпендикулярно к ней.
Условиями равновесия будут
2 X = 0; 2 Г = 0.
Благодаря симметрии элемента второе условие удовлетворяется
тождественно, а первое после подстановки выражений для усилий
имеет следующий вид:
I] X = — о/ав + (о, + ао,) (г + йг) йв — 2 [авйг 81п ~\ = 0.
После раскрытия скобок получигл
— а^гA&^-а/AВ -{■ йа,гA& -\- а/1гAВ -\- йа1.йгй& — Ъ^вйг 81п
^э
В последнем уравнении взаимно уничтожаются члены ± а^гдВ-
й@ _ :.. йв
Вследствие малости угла -^ принимаем, что 8Ш
•;
отбрасываем член высшего порядка глалости йа,йгйЬ и делим оставшиеся
444
члены на AгA&. После этого получим
/•^+а,-а0 = О. A6.1)
Уравнение A6.1) содержит два неизвестных напряжения а, и о©.
Для их определения, придерживаясь общего плана решения
статически неопределимых задач, рассмотрим еще геометрическую и
физическую стороны задачи.
Геометрическая сторона задачи. Деформация
элемента симметрична относительно оси и поэтому вызовет
радиальные перемещения всех точек цилиндра (рис. 451, е). Обозначим
радиальное перемещение цилиндрической поверхности радиуса г
через и, тогда перемещение цилиндрической поверхности радиуса
г + йг будет и + с1и. Абсолютное радиальное удлинение элемента йг
будет равно ^и, а относительное удлинение
8, = ^. A6.2)
Относительное удлинение в тангенциальном (окружном)
направлении на радиусе г найдем следующим образом. Длина элемента по
окружности цилиндрической поверхности радиуса г после его
приращения на величину и равна (г Ч- и) с1&. Вычтя из последней
начальную длину гс1&, получим абсолютное приращение длины
элемента на радиусе г в окружном направлении:
(л + и) йв — гAв = иав.
Разделив абсолютное удлинение на первоначальную длину гA&,
получим окружное относительное удлинение:
ее == -^ . A6.3)
Физическая сторона задачи. В случае
двухстороннего растяжения, которому подвергается рассматриваемый
элемент, согласно закону Гука, напряжения и деформации связаны
между собой следующими зависимостями:
Р Р
^г = ■}_^а (^г + 1^60); 06 = ,_^г (ее -1- щ.^.
Учитывая формулы A6.2) и A6.3), получаем
Е { Ли , и\
^ A6.4)
Е ( и , е1и \
Подставляя выражения A6.4) в уравнение A6.1), для
определения перемещения и получим линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (уравнение
445
Эйлера):
"ЗГ
г>
= 0.
A6.5)
Записав это уравнение в виде
аг I г йг \
и интегрируя его по г последовательно два раза, найдем общее
решение уравнения:
и = Аг-\-В — .
A6.6)
Подставляя решение A6.6) в формулы A6.4), получим выражения
для напряжений в точках на расстоянии г от оси цилиндра:
A6.7)
A6.8)
Постоянные интегрирования Ак В находим из условий для о^ на
внутренней и наружной поверхностях цилиндра. На внутренней
поверхности {г = г^ эти напряжения равны внутреннему давлению,
т. е. 0, = — Ри а на наружной поверхности (г = г^ — наружному
давлению: а^ = —ра.
Для определения постоянных А к В, согласно уравнению A6.7),
получим следующих два уравнения:
~Р1 =
-Р2=-т4]]г[A + ^^)^ ^^]"
Решая эти уравнения относительно Л и В, найдем, что
В =
Подставляя значения постоянных в выражения A6.6), A6.7)
и A6.8), получим формулы для определения радиального
перемещения и напряжений (формулы Ламе):
и =
1—ц ЛРх — АРг , 1+Ц '^4(Р1—Рг> I
А-Л
-Г Л
^.-А
A6.9)
446
"г
Ов =
1ЛР1 — 4р2
2 2
ггР! — Г2Р2
'^2 4
А'\ (Р1 — Рг)
'^2 '\
АА (Р! — Рг)
,2_.2
'^2 '^1
1 .
Л2 '
1
Л2 •
A6.10)
A6.11)
Сложив левые и правые части выражений для а, и ао, убедимся
в том, что сумма радиального и окружного напряжений —
величина постоянная:
а^ -]- ае = соп81.
Относительная деформация рассматриваемого кольца в
направлении, параллельном оси цилиндра, также постоянна на любом
радиусе, т. е.
*г = ^ (<7г + <70) = С0П81.
На основании этого цилиндр можно рассматривать как
составленный из отдельных колец, нанизанных на ось. Поперечные сечения
цилиндра при деформации остаются плоскими.
В случае, когда цилиндр кроме радиальных давлений
воспринимает еще и продольную силу N (например, при наличии днищ), в его
поперечных сечениях возникает напряжение
,/ . . A6.12)
0, = -^=г=-
а к выражению A6.9) для радиальных перемещений добавляется
слагаемое
Аы
V-
Е
Г.
A6.13)
Напряжения с, и а© при этом не изменяются.
Отметим, что все приведенные формулы для деформаций и
напряжений о^, ов и о^ справедливы для сечений, достаточно
удаленных от днищ. Вблизи закрытых торцов цилиндра деформации и
напряжения несколько искажены вследствие влияния днищ.
Рассмотрим два частных случая нагружения цилиндра.
1. Цилиндр нагружен только внутренним
давлением, а наружное давление отсутствует или мало и им
можно пренебречь, т. е. р^ = р; р^ = 0. Формулы A6.9) — A6.11)
для напряжений и радиального перемещения принимают
следующий вид:
а, = -^{1 ■^]р: A6,14)
4у.
447
(Та
Ы'+^Ь
1-ц
^Р
/• +
1+ц
'2 М
A6.15)
A6.16)
Напряжение 0, всюду сжимающее, а а© — растягивающее.
Наибольшие значения а^ и ае будут у внутренней поверхности цилиндра
(при г = г^:
,+;^. A6.17)
((Т0)г=г. = -ТТГьГ Р.
0,67р
1—^2
где
Рис. 452
Радиальное перемещение у
внутренней поверхности (увеличение
внутреннего радиуса)
Ыг=
-I-
1 +Д;^
1 —К^
+
(л)/7. A6.18)
Напряжения и перемещение у наружной поверхности цилиндра
следующие:
(сг>=,, = 0;
2к^
(ре)г=п =
1
-р;
2^2
"'•='•« ~ ^5 Х—к'^Р'
A6.19)
A6.20)
Эпюры напряжений о^. и 0© для рассматриваемого случая при
отношении к = — = 0,5 приведены на рис. 452, а. Напряжения изме-
''2
няются по гиперболическому закону. Наиболее опасной с точки
зрения прочности является точка, лежащая у внутренней поверхности
цилиндра.
Определим допускаемое внутреннее давление в цилиндре при
безграничном увеличении толщины стенки. Полагая г^,-^ оо и
принимая в формулах A6.17) й = О, получим {Ог)г=^т1 = —р; (о^в)г=г, = Р-
Используем, например, третью теорию прочности:
В рассматриваемом случае
01 = @в)г=г. = р И 03 = (<7г)г=г. = — Р
И ЭТО условие прочности принимает вид
2р < [о],
448
откуда
Р<^
Цилиндр с весьма толстой стенкой не допускает внутреннего
давления, большего определенной величины. Таким образом,
увеличение толщины стенки щглиндра не всегда является эффективным
способом увеличения прочности.
2. Цилиндр нагружен только внешним
давлен и е м: р^ = Т'; Рх = О- В этом случае формулы A6.10) и A6.11)
для напряжений и формула A6.9) для перемещений принимают
следующий вид:
^' = - ~4~^{^ ~ Щ"' <*®-2*>
''2 — '■IX /
и^-1:^-^^-±Ь^.^^^, A6.23)
Оба напряжения сжимающие, причем по абсолютной величине
о© > ^г' 3 радиальное перемещение направлено к оси цилиндра
(радиусы уменьшаются).
У внутренней поверхности цилиндра (г = г^)
{а,иг, = 0:
Ыг=г. = ^р; A6.24)
иг^г,=-—^-^р. A6.25)
У наружной поверхности цилиндра (г = г^)
(сг,).=., = —р;
Ыг^г, = -\^Р\ A6.26)
ы.=,, = -^(-|^-(^)р. A6.27)
Эпюры напряжений а,, и о© при к = -^ = 0,5 приведены на
рис. 452, б. Наибольшего по абсолютной величине значения
напряжение а© достигает у внутренней поверхности цилиндра. Как и в
случае внутреннего давления, наиболее опасной является точка у
внутренней поверхности цилиндра.
Уменьшение наружного радиуса сплошного цилиндра (без
внутреннего отверстия) получим, положив в формуле A6.23) Гх = О и
г = г^. Тогда
м,=,,=^--^A-|л). A6.28)
15 8-2778 449
§ 103. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ ЦИЛИНДРОВ
Прочность цилиндра, работающего при внутреннем давлении,
с увеличением толщины стенки возрастает только до определенного
предела. Выше было показано, что даже при бесконечно большом на-
рЗ'жном радиусе внутреннее давление в цилиндре не может
превышать определенной величины. Исходя из расчета на прочность по
допускаемым напряжениям и воспользовавшись третьей теорией
прочности, мы пришли к выводу, что ни при каком увеличении толщины
стенки цилиндра его нельзя изготовить на давление, большее, чем
р = -'у-. Объясняется это тем, что с увеличением радиуса
напряжения о, и сг© быстро убывают и материал наружных слоев цилиндра
работает малоэффективно. Распределение напряжений можно
улучшить, разгрузив внутренние слои за счет более интенсивного
использования наружных. Для этого нужно сделать цилиндр составным,
надев один цилиндр на другой с натягом (обычно с помощью
горячей посадки). В таких цилиндрах величина допускаемого
внутреннего давления может быть значительно больше, чем в цельном
цилиндре. Подобным образом изготовляют орудийные стволы.
При посадке одного цилиндра на другой с нагягом окружные
напряжения а© во внутреннем цилиндре становятся сжимающими, а
в наружно.м — растягивающими (рис. 453, а). Если такой составной
цилиндр подвергнуть внутреннему давлению, то в нем возникнут
дополнительные растягивающие окружные и сжимающие радиальные
напряжения (рис. 453, б). Эти напряжения определяются по
формулам A6.14) и A6.15) как для цельного цилиндра. Окружные
напряжения от внутреннего давления будут складываться с напряжениями!
от посадки в наружном цилиндре и вычитаться из них во внутрен-!
нем цилиндре. Радиальные напря.жения от внутреннего давления и|
от давления посадки складываются в обоих цилиндрах. Суь5марные
эпюры напряжений после приложения давления будут иметь вид,
представленный на рис. 453, в. Характерным для них является
скачок на эпюре 0© и перелом в эпюре а, на радиусе контакта цилиндров.
Рассмотрим расчет составных цилиндров. Прежде всего найдем
зависимость давления р^ по контактной поверхности от величины
4$0
имевшейся до посадки разности 8 между наружным диаметром
внутреннего цилиндра / и внутренним диаметром наружного цилиндра //
(рис. 454). Эта разность представляет собой величину натяга.
Поскольку после посадки одного цилиндра, на другой наружный
радиус внутреннего цилиндра и внутренний радиус наружного
становятся одинаковыми, то очевидно, что сумма абсолютных величин
радиальных перемещ,ений обоих цилиндров на радиусе поверхности
контакта, вызванных контактным давлением, должна быть равна
половине натяга, т. е.
2
A6.29)
I м, I + I"//1
Так как величина натяга б
весьма мала по сравнению с
размерами радиуса поверхности
контакта, то при вычислении
перемещений будем считать, что ы =
= Пц = Гд (рис. 454).
Обозначим через к^ = -^ от-
''с
ношение внутреннего радиуса
цилиндра к радиусу поверхности
контакта, а через к2 ~ -^- —
''2
отношение радиуса поверхности контакта к наружному радиусу
цилиндра.
Хотя в большинстве случаев части составных цилиндров
изготовляют из одного материала, будем для общности при решении задачи
вначале полагать эти материалы различными.
Контактное давление р^ будет наружным для внутреннего
цилиндра и внутренним для наружного цилиндра. Абсолютную
величину радиального перемещения внутреннего цилиндра на
контактной поверхности найдем по формуле A6.27):
Рис. 454
М/
\+к\
1—к\
МРс'
A6.30)
а наружного — по формуле A6.18):
1«//1 = -^
1+4
Г + 1^2 Р,
A6.31)
Подставляя значения этих перемещений в уравнение A6.29),
будем иметь
Т"*
15*
ЛИ
Решая уравнение ошоси1ельно р^, получаем
( 2
A6.32)
*
в случае одинаковых материалов сопрягаемых цилиндров последняя
формула упрощается и принимает вид
2^с A+й2)A-й|) + (Ц-й|)A-й2)
A6.33)
Напряжения, вызванные давлением р^, определяются по
формулам A6.21), A6.22) для внутреннего цилиндра и по формулам A6.14),
A6.15) для наружного.
Отметим следующее обстоятельство. Величину натяга
определяют, измеряя диаметры сопрягаемых деталей микрометрическими
инструментами или другими точными приборами. Поверхности ж
деталей никогда не бывают абсолютно гладкими: на них всегда есть
следы обработки — так называемые гребешки, которые сминаются
при запрессовке. Вследствие этого действительная величина натяга
несколько меньше измеренной, а действительное контактное
давление меньше определяемого по формуле A6.32) или A6.33).
Кроме этого следует иметь в виду, что формулы A6.32) и A6.33)
справедливы лишь в том случае, когда ни в одной из сопрягаемых
деталей напряжения не превышают предела пропорциональности.
При появлении же пластических деформаций контактное давление
будет меньше, чем определяемое по этим формулам. Найти его мож-|
но методами теории пластичности.
§ 104. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ
Если толстостенный цилиндр нагревается неравномерно, то в нем
появляются температурные напряжения, которые суммируются с
напряжениями, вызванными давлением.
Часто температурное поле симметрично относительно оси
цилиндра и постоянно по его длине. При этом условии также можно считать,
что поперечные сечения, лежащие на достаточном расстоянии от
концов цилиндра, остаются плоскими и деформация е^ постоянна.
Для решения температурной задачи можно воспользоваться тем
же методом, который был применен при расчете цилиндра на
действие внутреннего и внешнего давлений. При этом уравнение
равновесия A6.1) не изменится. Геометрические соотношения A6.2) и
A6.3) также сохранятся. Несколько иными будут физические
зависимости.
Обозначим через Т повышение температуры, зависящее от
радиуса г, а через а — коэффициент линейного расширения.
452
Воспользуемся обобщенным законом Гука, добавив к
деформациям, обусловленным напряжениями, температурные расширения.
Тогда для 8^, е^, е© получим следующие формулы ^:
^г — -р- (<^г — 1^г ~~ 1^<^0) +аТ = СОП81;
е^ =-^ (а^ — (га^ — }1СГ0) + аГ; A6.34)
80 = -^ (ае — [ш^ — ца^) -{- аТ.
Решая эти уравнения относительно напряжений, найдем, что
^г = A4-ц)A—2ц) ^(^ —1^)^г + 1^^г + И^»» — (I + И^) «Л;
^г = A 4- ц) (I - 2ц) ^^^ — Н^) ^г + Н^^® + Н^^г — (I + И^) «Л; A6.35)
^0 = A-|-{г)A-2ц) ^(' — И^) 80 + И^е, + {ге^ — (Ц- Н-) аГ|.
Выражая в этих формулах деформации через перемещения:
8, = ^ И ее = —
и затем подставляя полученные значения для а^ и а© в уравнение
равновесия A6.1)
получим следующее дифференциальное уравнение для
перемещения и:
A6.36)
а^и 1
Ли
йг
и
1 +Ц ЙГ
1 —{* аг
Из этого уравнения может быть определено перемещение, если
известен закон изменения температуры Т (г) по толщине стенки
цилиндра.
Последнее уравнение можно представить в виде
а Г 1 а(иг) 1 1+и „ ^5"
<1г I г аг ] ~ 1 — ц " йг •
Интегрируя это уравнение два раза по г, найдем общее решение:
г
м = X-1^ ^ аПаг + Аг + -^. A6.37)
* Модуль упругости Е зависит от температуры. Здесь это не учитывается, что
вполне допустимо, если разность температур внутренней и наружной
поверхностей цилиндра невелика. В таком случае модуль Е следует брать равным его
значению при средней температуре стенки цилиндра,
413
Постоянные А и В определяются из условий для о^ на
внутренней и наружной поверхностях цилиндра. Так как эти поверхности
свободны от нагрузки, то ^
{а,)г=г, = О и (а,),=г, = 0.
Подставив в выражение A6.35) для а^ деформации е, = -~- и
ее = —, а затем полученное решение A6.37) для и, будем иметь
1+ц
1Ч-Ц 1
1
±1^ _^ С „Тгаг 4- -А— ±4- ^
2ц
A6.38)
Приравнивая это выражение к нулю при г = г^ и г = г^, получим
два уравнения для определения А и В, решая которые, найдем, что
11Е^
После подстановки этих значений в формулы A6.35) получим
; A6.39)
77 I I Л Г'
' ) аТг йг
('1-'^)
1' г,
^"(^1-/-?)
' 2
\ аТгйг — аТ
1г,
—„ ^ „ I аТг йг + A — и) е, — аТ
; A6.40)
A6.41)
В последнем выражении неизвестна величина е^. Если цилиндр
имеет возможность свободно расширяться, то е^ можно найти из
условия, что продольная сила в поперечном сечении равняется
нулю, т. е.
2л Го
N =^ Iо/й/-йф = О,
или
о г,
] а/ йг — 0.
Подставляя сюда значение а^ из выражения A6.41), найдем:
^2 ■" П. г.
A6.42)
A6.43)
A6.44)
454 I
Окончательное выражение для а^ следующее!
A6.45)
Вычислить г аТг йг и определить напряжения можно, если
известен закон изменения температуры Т (г) по толщине стенки цилиндра.
Наиболее простым и часто
применяемым в технических
расчетах законом изменения
температуры является линейный
закон. Пусть Т* = 7^1 — Га
обозначает превышение температуры
внутренней поверхности цилинд- 0,793ЕаТ2
ра над температурой наружной
поверхности. Тогда линейный
закон изменения температуры по
радиусу цилиндра выразится
формулой
\б35ЕаТ* \ ^в^
0,875ЕаЩ
Т (г) = Т*
гг-
. A6.46)
Рис. 455
Подставив это выражение в формулы A6.39), A6.40), A6.45) для
напряжений и выполнив интегрирование, получим
а, =
ЕаТ*
ав
3(Г
ЕаТ* Г,
_[._4-(.-4-)^]м.а.47)
2г-Ь
1 + 4
A6.48)
^^ = 3A-,)(..-лЛЗг ;|з^] . A6.49)
У внутренней поверхности цилиндра (при г = г^
(ст,)г=г. - 0;
(ав).^,^(а^.^,= 3A4ж-..)Ь-^|^]- <''•''>
У наружной поверхности цилиндра (при г = г^)
(а,).=г. - 0;
Эпюры распределения напряжений по толщине стенки цилиндра с
отношением к = ~ ~ 0,5 при у, = 0,3 представлены на рис. 455, а.
''а
455
Иногда принимают, что в толстостенных цилиндрах температура
изменяется по логарифмическому закону, устанавливаемому теорией
теплопередачи: ^
Т{г)=^^\п~^. A6.52)
л
Подставив это выражение в формулы A6.39), A6.40), A6.45) и
выполнив интегрирование, получим
ЕаТ*
Б-['"^ + -^('--^)'"^]'<'*-^>
2A—цIп-^
Об
ЕаТ*
2A —11Iп-^
Ь'"^-7|^(' + 4)'п^]-. 06.54)
[1-21п-^—-^^1п-^].(,б.55)
2A-цIп^
У внутренней поверхности цилиндра
{а,)г=г. = 0;
(се)^,. = (а,).., = ^«1!_--[1 - -^\п ^1. A6.56)
2A_„Iп-^ ■- -^ и
У наружной поверхности
(о,),=,, = 0;
(С0).=,, = (о,).=,, = ЕаТ1_^ 1 -^^ \п ^1 . A6.57)
2A_»Iп-^ •- '2 '^1 1^
Эпюры распределения напряжений по толщине стенки цилиндра
с отношением к = — = 0,5 при {г = 0,3 в случае изменения темпе-
''2
ратуры по логарифмическому закону представлены на рис. 455, б.
Отметим, что вблизи торцов цилиндра напряжения,
определяемые полученными формулами, могут иметь место лишь в том
случае, если торцы будут нагружены поверхностной нагрузкой,
изменяющейся Б соответствии с формулой для а^.
§ 105. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
1. Толстостенный цилиндр подвергается внутреннему
давлению р^ = 1000 кгс/см* и наружному Рг = 600 кгс/см*.
Исследуем, как будут изменяться напряжения о^ и о© с изменением тол-
456
щиьы сгенки цилиндра, x^ракт^;р1;^)емым величиной 01НОшения
внутреннего радиуса к наружному к = —.
Напряжения определяются по формулам A6.10) и A6.11),
которые в данном случае удобнее записать, введя отношение к — ■^'.
^^1 — Ра
Р\ — Р% '1
1 — Й2 Г2
У\ — Рг 'I
1 — /г2 д2
A6.58)
A6.59)
К=0,655
кЛ=0,707
'г
гоОкгс/см' ^ООкс/а^
ЮООкеМ
Рис. 456
При изменении толщины стенки цилиндра напряжение а^
остается сжимающим и плавно изменяется по гиперболическому закону
от значения —р^ у внутренней поверхности до значения —р^ у
наружной (рис. 456, а).
Для вычисления напряжений а© у внутренней поверхности
цилиндра (г = Г1) и у наружной (г = г^) формулу A6.59) можно записать
соответственно так:
1
1
1 —Й2
.\A+к')р^-2р^];
[2к'р^-(\+к')р,].
Подставляя сюда различные значения к, можем вычислить
напряжения о@ у внутренней и наружной поверхностей цилиндра при
заданных значениях р^ и р^.
На рис. 456, б—е показаны эпюры ае при значениях к = 0,707;
к = 0,655; к ^ 0,578; к = 0,446; к = 0,354.
2. Стальная трубас внутренним диаметром 2г1=40мм
подвергается внутреннему давлению р = 2500 кгс/см^. Определим
толщину 5 стенки трубы по четвертой теории прочности, если
допускаемое напряжение для стали [о] = 5000 кгс/см^.
457
Опасными являются точки трубы у внутренней поверхности, где
главные напряжения имеют следующие значения:
2 2
а, = ае^ ^ Р = Т^ Р' (^^•^">
''2 ~''1
«^2 = Ог = 0; аз = а^=—р.
Условие прочности по четвертой теории
а9кв1у = -7-- К(о1 — стг)^ + (а, — а^У + (а^ — Оз)^ < [а]
после подстановки напряжений из формул A6.60) принимает вид
Оэкв1У = гОв — а@а, + а^ < [а\, A6.61)
или
откуда
0экв1У = |/D^$ Р)' + 1^ Р'+Р'< [0\. A6.
62)
([а]2 — р^) ^* — 2 [а]^ к^ + ([а]2 — Зр^) = 0.
Решая относительно к^, получаем
к^ =
т^/т-^
Так как к^ <С I, то перед корнем следует взять знак «минус». Тогда
г — ^1 —
/
т-ум~'
т-
2
1
20
/-
/ 5000 V _ , /"/ 2 • 5000 \^
\ 2500 / [/ \ 2500 / ■
( ^^^ V 1
\ 2500 /
ММ = 55 мм.
Толщина стенки трубы 5 = E5 — 20) мм = 35 мм.
3. Найдем оптимальную величину давления р^ натяга
составного цилиндра из условия равнопрочности внутреннего и
наружного цилиндров и величину допускаемого внутреннего давления
р1. Дано: / == 40 мм; г^ = НО мм; г^ = 80 мм; [а] = 6000 кгс/см^.
Расчет выполним по четвертой теории.
458
Напряжения во бнутреннем цилиндре будут наибольшими при
/■ = л-1 и такими согласно формулам A6.14), A6.15) и A6.24):
(а^^)^=^. = — р1,
г1 + г\ 2г1 A6.63)
(ав>=г. = —2—-т Р1 -3 Г Рс = 1.31р1 — 2,67р^.
'^2 ~ '1 '^с "~ '^1
В наружном цилиндре напряжения будут наибольшими при г =
= г^ и такими согласно формулам A6.14), A6.15) и A6.17):
{Ог^)г=г^ = /' 2 A — 4- Р1 — Рс = — 0.136р1 ~ р,;
''2 ~ '1 \ ''с'
(ав^^),=, = -^ 2" V +-Т]Р^ 1 Г Ре = 0,44р1 + 3,25р„.
''2 ~ ''1 \ 'с / '^2 ''с
Условие равнопрочности по четвертой теории имеет вид
У{о®, ? — {о@,) (ог,) + {Ог,У = К(о^^^/^Чо^^^а7-ЬК/-
Подставив выражение напряжений через давления,
освободившись от радикалов и приведя подобные члены, получим
3,74р? - 13,62р4р, - 7,68р^ = 0.
Решив это уравнение относительно р^, найдем, что
р, = 4,12ре. A6.64)
Оптимальная величина давления р^ определяется условием
прочности
Используя формулы A6.63) для С5^^ и ав^ и зависимость A6.64),
получим
A,31 . 4,12 — 2,67)^р^ + A,31 • 4,12 — 2,67)р1 + А,\2^р1 = [а\\
откуда находим, что р^ = 1145 кгс/см^.
Допускаемое внутреннее давление
р, = 4,12р^ = 4,12 . 1145 кгс/см^ = 4720 кгс/см^
4. Стальная труба с внутренним диаметром 2г1=4 см и
наружным 2^2 = 8 см нагревается так, что температура внутренней
поверхности Т^ = ЗОСС, а наружной Т^ = 200''С. Определим
температурные напряжения в трубе, считая, что по толщине стенки
температура изменяется по линейному закону. При расчете примем
^ = 2 . 10« кгс/см^ ц = 0,3; а = 125 • 10"''. Превышение
температуры внутренней повфхности над наружной Т* = Т^ — Уа =
= юсе.
459
По формуле A6.50) находим окружное и осевое напряжения у
внутренней поверхности трубьп-
/ ч ЕаТ* Го 2(л|-г|)]
@0).=.. = @,).=.. = зA-^^)(г,-г1) [•^'■» ^з;^] =
2 • 10» • 125 • 10-^ • 100 [^ „ 2D» —23) ] 2_
. ~ 3A-0.3) D-2) Г"^ 42-2« ] •^^^'^ ~
== — 1990 кгс/см^
По формуле A6.51) находим напряжения ов и а^ у наружной
поверхности:
@е).=.. = @.).=.. = 3A-,)(.,-.4^'^ —^":::тг ] ^
. 2 • 10в ■ 125 ■ 10-^ . 100 Г3 , 2D3-23I , ,_
- 3A-0.3)D-2) ["^ ^ 4*-22 ] кгс/см -
= 1580 кгс/см^
В других точках поперечного сечения трубы напряжения можно
вычислить по формулам A6.47) — A6.49).
§ 106. РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
Вращающиеся диски широко применяют в паровых и газовых
турбинах, в компрессорах, вентиляторах и машинах химической
промышленности. Диски подвергаются нагрузкам, вызывающим их
растяжение и изгиб, а также действию высоких температур.
Существенное значение имеют центробежные силы. Обычно нагрузки и
температурное поле симметричны относительно оси диска, вследствие
чего и напряжения являются функциями только расстояния от оси
вращения.
Ограничимся рассмотрением диска постоянной толщины,
нагруженного силами, параллельными его срединной плоскости и
равномерно распределенными по его толщине. Рассмотрим также нагрев
диска при линейном законе изменения температуры вдоль радиуса.
Будем считать, что диск тонкий и вследствие этого напряжения
по его толщине не изменяются, а в направлениях, параллельных
оси, вообще отсутствуют (а^ = 0). В такой постановке задача об
определении напряжений в диске относится к так называемой плоской
задаче теории упругости, а именно — к задаче о плоском
напряженном состоянии.
Рассмотрим вращающийся диск постоянной толщины Н, имеющий
центральное отверстие (рис. 457, а). Дополнительно к обозначениям
рисунка примем следующие:
— — удельная масса материала диска;
О) — угловая скорость вращения.
460
Как и в рассмотренном уже случае расчета толстостенного
цилиндра, вырежем мысленно элемент диска двумя меридиональными
плоскостями, угол между которыми в срединной плоскости равен
ё0, и двумя цилиндрическими поверхностями радиусов г V г -\- йг
(рис. 458).
Кроме сил, приложенных по граням элемента (рис. 458, б), на
элемент действуют силы инерции в виде центробежной силы,
распределенной по всему объему и приводящейся к равнодействующей
е
Эта сила также лежит в
срединной плоскости диска и направлена
вдоль радиуса от оси вращения.
21 _
а
бдМГ
ЬгйВAгыг
.Г X
(бг+с1бг)Цг+с1г)с1в
Рис. 457
Рис. 458
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось х,
совпадающую с биссектрисой угла д.&, получаем уравнение равновесия в
следующем виде:
(кзг
йг
■о, —ав+ -^-ю^:
0.
A6.65)
Это уравнение отличается от уравнения равновесия A6.1),
полученного при расчете толстостенного цилиндра, только слагаемым
— со^^, обусловленным действием центробежных сил.
Геометрические и физические уравнения не отличаются от уравнений A6.2) —
A6.4), полученных для толстостенного цилиндра.
Дифференциальное уравнение для радиальных перемещений
точек диска в этом случае примет вид
+
1 йи
\—\1?
йг
^^Г.
A6.66)
461
Это дифференциальное уравнение отличается от уравнения A6.5)
лишь правой частью. Записав его в виде
и проинтегрировав последовательно два раза, найдем, что
„ = 4г+-^-^^^со^. A6.68)
Внеся это решение в выражения A6.4) для напряжений, получим
а, = Л + 4 _ -^ Л- со^; A6.69)
ав = Л 1— -Ш!^- -^ 00^, A6.70)
где
А = -г^- Л, а В = ,^ В^.
I — ^1 1 + [X ^
Постоянные Л и В (а следовательно, Л^ и В^) определяются из
граничных условий. Чаще всего известны радиальные напряжения
на наружном и внутреннем контурах диска. Тогда при г = г^ а,=
= а^,, а при г—г^ о^ = Ог^. В соответствии с выражением A6.69) эти
условия дают два уравнения:
л, в 3 + 1X7 22
решая которые относительно Л и В, найдем:
Л - -Ат-^г. —А^о, + ^±^^- ^соМг? + /1); A6.71)
/-2 — Г1 ''2 — ''1 ^
г2,2 ,2,2
О 2'1 '|'2 3+11 у ,22 /1о точ
В = 2 ,2 Рг. - 2 9 Рг. ^-^соV,/■2. A6.72)
Если на наружном и внутреннем контурах диска напряжения
отсутствуют, т. е. Ог^ = О н Ог^ = О, то
Л=-Ц^-^^Чг1 + г1у, A6.73)
В = --^-^со^^|. A6.74)
Подставляя последние значения Л и В в формулы A6.69) и A6.70),
получаем ^
а.^-Ч^-^со^(И + г|—^-г^); A6.75)
с^в = 4" Т''' [^^ + ^'^ ('■' + '■^ + ■^) - (^ + 3^') '■'] • A6.76)
462
Полагая для краткости
формулы A6.75) и A6.76) можно написать так:
о^ = с[\+к'[\-^)-р']; A6.78)
ав = с[ц-^^A + -1-)-тр^]. A6.79)
Напряжение а^ положительно и, как нетрудно убедиться,
достигает наибольшей величины при р = У~к= Л/ -^. Тогда
(а>акс = сA—ЛI A6.80)
Напряжение ов при всех значениях р также положительно и
достигает наибольшей величины у внутреннего края диска (при р = к):
(ав)„акс = с [2 -Ь A — т) к\ A6.81)
Сравнивая формулы A6,80) и A6.81), убеждаемся, что (ав)манс
всегда больше (а^)макс. Поэтому при проверке прочности диска по
энергетической теории формоизменения условие прочности должно
быть записано в виде
ОэквГУ = (О0)макс = С\2-\-{\ — ГП) Й^] < [а[. A6.82)
В случае хрупких материалов проверку следует проводить по
теории Мора, которая при Од = а,. = О приводит к той же формуле
A6.82).
Характер распределения напряжений а^ и ©в вдоль радиуса
диска с отверстием при к — 0,2 и р, = 0,3 показан на рис. 457, б.
Формулы для напряжений в сплошном диске (без отверстия)
можно получить из формул A6.69) и A6.70), если принять во внимание,
что на оси диска (при г = 0) напряжения должны иметь конечные
значения. Для выполнения этого условия постоянную В следует
положить равной нулю, и тогда формулы примут следующ,ий вид:
а, = А — ^±Ь -^ (оV^■ A6.83)
о^ = А~ 1±^ -^ @^^ A6.84)
Постоянную А найдем из граничных условий на наружном
контуре (при г = Гг). Если диск подвергается действию только
инерционных сил собственной массы, вызванных его вращением, а
внешняя нагрузка на наружном контуре отсутствует, т. е. о^, = О, то,
согласно формуле A6.83),
Л=-^±^^--^соV|. A6.85)
463
Подставляя это значение А в формулы A6.83) и <16.84), имеем
0^ = сA—р^); A6.86)
а@ = сA—тр\ A6.87)
Оба напряжения положительны при всех значениях р и
увеличиваются по мере приближения к оси диска. На оси диска, при р = О
(сТ,)макс = (ав^макс - С = -1±^ -|- СоV^2. A6.88)
По найденным напряжениям легко определить перемещения и
деформации в диске.
Наибольший интерес представляет радиальное перемещение и
равное ему увеличение радиуса. Согласно выражению A6.3),
и = евг. A6.89)
Так как
ев= -^-(о'в —Р-'^г).
то
«==-^(ав—р,а,). A6.90)
Для определения перемещения на наружном контуре и равного
ему увеличения радиуса в формулу A6.90) нужно подставить г = г^,
о& = ов, и а, = Ог^.
В саучае неравномерного нагрева диска к напряжениям,
вызванным центробежными силами его собственной массы и контурными
нагрузками, прибавляются температурные напряжения.
Определим отдельно температурные напряжения. Ход решения
этой задачи аналогичен ходу только что рассмотренной. Уравнение
равновесия получим из уравнения A6.65), положив со = 0. Оно
будет таким же, как в случае расчета толстостенного цилиндра
[формула A6.1]:
г-^ + Ог-а^ = 0. A6.91)
Относительные деформации с учетом температурного расширения
определяются следующими выражениями:
е, = -^ {а, — цое) + аТ;
A6.92)
ее = -^ (а© —цо^) + аТ.
Решая совместно эти уравнения относительно напряжений,
получаем
^ A6»93)
4«4
Учитывая выражения A6.2) и A6.3), будем иметь
/ г . 1 A6-94)
с^в = ПГГ]1Г [ — + (^ ^ - A + 1^) «7^1 •
Обозначим Т* = Т^ — Т^ (см. рис. 457, а). При линейном
изменении температуры вдоль радиуса диска Т = Т* '^ ~ '^^ и послед-
''а —''1
ние выражения принимают вид
Модуль упругости и коэффициент Пуассона полагаем постоянными,
не зависящими от температуры и равными их значениям при
средней температуре диска.
Подставляя формулы A6.95) и A6.96) в уравнение равновесия
A6.91), получаем|следующее дифференциальное уравнение для
определения перемещений в температурной задаче:
Записав уравнение в виде
и проинтегрировав его последовательно дважды, получим решение
для перемещения:
« - С/ + -^ + -^^-^ а,Т*г'. A6.99)
Подставив это решение в формулы A6.95) и A6.96) для напряжений,
будем иметь
о,=^С + -^~^^^аЕг, A6.100)
а^^С — -^ 1.-1-*—аЕг, A6.101)
где
с-^(с.+^5р)-- "-ттг"-
Постоянные С и О могут быть определены из граничных условий:
при г = Г1 напряжение 0^, = О при г = г^ напряжение о^^ = 0.
Если вращающийся диск нагревается неравномерно, то
напряжения от центробежных сил и температурные напряжения следует
суммировать. В случае линейного изменения температуры вдоль
465
радиуса, сложив правые части выражений A6.69) и A6.100), а также
выражений A6.70) и A6.101), будем иметь
, ^г = К + -^—Ц^-^^^'г^--щ^ссЕг, A6.102)
где К = А + С, ^ = В^-^ — новые постоянные, которые
также определяются из граничных условий.
Пример 73. Найдем напряжения во вращающемся и неравномерно нагретом
диске постоянной толщины с центральным отверстием. Наружный диаметр
диска ^2 = 500 мм, диаметр отверстия ^^ = 100 мм, толщина диска Л = 10 мм и
число оборотов п = 3000 об/мин. На единицу длины наружного контура диска
при этом числе оборотов действуют центробежные силы обода и лопаток р^ =
= 100 кгс/см, внутренний контур диска считать свободным. Температура у
внутреннего контура Гх = 200°С, а у наружного Г^ = 300°С и изменяется вдоль
радиуса по линейному закону. Материал диска — сталь с ^ = 2 • 10* кгс/см*;
,1= 0,3; 7= 7,85 • 10-^ кгс/см»; а= 125 • Ю"^.
Вычислим суммарные напряжения от центробежных сил и от
неравномерного нагрева. Для этого воспользуемся формулами A6.102) и A6.103),
Подсчитаем входящие в эти формулы величины:
1,9 0.00785 / 3,14 • 3000 \^
^^ = -8 98Г-1 30 ] =°''^^5
"'^^ 3B5°-5) 125. 10-^.2. 10в==. 41,6;
■аЕ = -^ ^^ ■■ 125 . 10~^ • 2 . 10° = 83,3.
3 г^ — г^ 3 25 — 5
Подставив эти величины в формулы A6.102) и A6.103), получим
I
а^ = /С + _- _ 0,325г2 — 41,6г;
I
аа = /С _ _ о, 187г2 — 83,3г.
Постоянные К и I найдем из граничных условий:
при г = г^ = 5 см
Ог = а^^ = 0;
Рг. 100
' кгс/см2 = 100 кгс/см2.
3+(х
8
1 + 31Х
8
у*
3(^2-
2 Т
У
е
"^ с
е
гд
«
3,3 0,00785
0)-'= —^г
Л I
Эти условия дают следующих два уравнения
I
100 = /( + —— —0,325 . 252 — 41,6 • 25;
25^
О = /С -Ь -4- — 0,325 . 5" — 41,6 • 5,
5^
4М
или
625/С + /. = 839 4501
25/С + 1 = 5400.
Решив уравнения, найдем, что К = 1390, а ^= —29 350.
Уравнения для определения напряжений принимают следующий вид:
29 350 1^200-01=^^^'^
аг= 1390-
— 0,325г'' —41,6г;
0^= 1390-
29 350
— 0,187г2 —83.3г.
Вычислим напряжение а^ при сред- Щцгс/сМ'
нем значении радиуса
Г1 + Г2
'•ср =
5 + 25
гзонгс)
2
Получим
см = 15 см.
-%
ткгфн^
Рис. 459
(Рг)г^1Ь = (
29 350 \
1390 0,325- 152 — 41,6- 15 кгс/см^ = 560 кгс/см».
15^ /
Напряжения а^ вычислим при г = г^ = 5 см, '' = ''ср = 15 см и г = г^ =
= 25 см:
Ы.=15 = A390-
(Ов).=25=(»390 +
ср
29 350 \
1390Н 0,187 • 52 — 83,3 • 5| кгс/см^ = 2140 кгс/см»;
52
29 350
152
29 350
•0,187- 152 — 83,3- 15 кгс/см2 = 230 кгс/см2;
252
- 0,187 - 252 — 83,3 - 25 кгс/см2 = — 800 кгс/см".
Эпюры напряжении показаны на рис. 459,
Глава 17
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 107. ВВЕДЕНИЕ
В различных областях техники широко применяются такие
детали и элементы конструкций, которые с точки зрения расчета их на
прочность и жесткость могут быть отнесены к тонким оболочкам. Это
цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые баллоны,
купола зданий, герметические перегородки в самолетах и подводных
лодках, аппараты химического машиностроения, части корпусов
турбин и реактивных двигателей и т. д.
467
Рассмотрим элемент оболочки (рис. 460). В общем случае в
сечениях, которыми выделен элемент, действуют погонные
(отнесенные к единице длины сечения) усилия (рис. 460, а) и моменты
(рис. 460, б): нормальные усилия N^ и Л/г; касательные (сдвигающие)
усилия 5^ и 52; поперечные силы ^^ 4^2, изгибающие моменты Ж^
и М^; крутящие моменты Мыр и Макр. Исходные дифференциальные
уравнения для расчета оболочек, полученные с учетом всех этих
усилий и моментов, оказываются настолько сложными, что
интегрирование их даже для простейших задач связано с большими
математическими затруднениями.
Во многих же частных случаях исходные дифференциальные
уравнения и решения задачи существенно упрощаются. Этого мож-
Рис. 460
НО достичь, во-первых, учитывая характер самой задачи. Если
оболочка представляет собой тело вращения и нагрузка симметрична
относительно оси оболочки, то задача называется осесимметричнсй
и в этом случае во всех сечениях, образованных плоскостями,
проходящими через ось симметрии, и в ортогональных к ним сечениях
М1КР = Мгкр = 5, = 52 = 0; ^^ = 0 (или ^2 - 0). A7.1)
Во-вторых, если вид оболочки, характер нагрузки и закреплений
по тем или иным соображениям позволяет прийти к выводу, что
какие-либо усилия или моменты всюду малы по сравнению с
остальными усилиями и моментами, то принимают допущение, что эти усилия
и моменты равны нулю. Например, часто полагают, что
Мх = Мг = М,кр = М2КР = 0; ^^ = ^^ = 0, A7.2)
и в результате приходят к так называемой безмоментной теории
оболочек. *
Еще более упрощаются уравнения и их решения, если
сочетаются оба указанных обстоятельства — рассматривается осесимметрич-
ная задача в безмоментной теории оболочек. Тогда выполняются все
равенства A7.1) и A7.2).
§ 108. НАПРЯЖЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНСЙ ОБОЛОЧКЕ
Рассмотрим резервуар (рис. 461), представляющий собой осесим-
метричную оболочку. В ней меридиональные сечения срединной
поверхности образуют плавные кривые, не имеющие изломов.
Толщина Н оболочки предполагается малой по сравнению с радиусами кри-
468
визны. Свободный край резервуара закреплен так, что на него могут
действовать только усилия, касательные к меридиональным кривым.
Тогда можно считать, что оболочка находится в безмоментном
напряженном состоянии, для которого справедливы равенства A7.2).
Пусть резервуар заполнен (частично или полностью) газом,
жидкостью или сыпучим веществом. Давление р кгс/см^ в этом случае
может меняться по высоте (т. е. вдоль оси резервуара), но,
очевидно, будет одинаковым во всех точках плоскости, перпендикулярной
к оси резервуара. Тогда оболочка будет находиться не только в
безмоментном, но и в осесимметричном напряженном состоянии.
(А/^+(/А/г)(/5,
Рис. 462
Выделим прямоугольный криволинейный элемент АВСВ
оболочки (рис. 461), проведя два близких осевых сечения и два
ортогональных к ним и к поверхности оболочки сечения (последние сечения
представляют собой две конические поверхности с вершинами на оси
резервуара). Длины граней элемента обозначим через йв^я йв^.
Согласно равенствам A7.1) и A7.2), в гранях элемента действуют
только нормальные погонные усилия Л'^, и Л'^2 и соответствующие им
напряжения 01 и в^, (растягивающие в случае внутреннего давления
и сжимающие — в случае внешнего). Следовательно, грани
элемента — главные площадки.
В гранях АВ и СВ усилия Л/г могут отличаться на величину йК^;
усилия же Л'^1 в гранях ВС и АО в силу осевой симметрии
одинаковы. Поскольку N1 — это усилие, приходящееся на единицу длины,
то на все сечение ВС приходится полное усилие М1й&2- Это же
относится и к другим граням элемента.
Элемент АВСО срединной поверхности оболочки вместе с
приложенными к нему усилиями и давлением изображен на рис. 462.
Точка О — центр элемента, точки 0^ и Оз — центры главных кривизн
срединной поверхности, 00^ — нормаль к поверхности элемента.
Главные радиусы кривизны срединной поверхности обозначены
через р1 И Р2, Причем Рх — радиус широтной кривизны, а р^ — радиус
меридиональной кривизны. Очевидно
а8^ = Рх^гф^; Й5а = Ра^Фа- A7.3)
469
Запишем условие равновесия элемента, приравняв к нулю
сумму проекций всех сил на нормаль к элементу. Рассматривая рис. 462
и 463, получаем
2Л^1^52 81П -^ + N^$181П -^ + (Л/г + йМ^ йз^ &т -^
— рд,В1й82 = 0.
Слагаемое AМ^8181П-^ имеет более высокий порядок малости,
и им можно пренебречь. Далее, учитывая малость углов йср, и йсрг
и соотношения A7.3), находим, что
Рис. 463
Рис. 464
Рис. 465
Подставив эти выражения в уравнение равновесия и разделив его
на йв^йв^, получим
-^ + А=Р. 07.4)
Выражение A7.4) устанавливает зависимость между двумя
усилиями — Л^1 и Л/г- Поскольку, однако, неизвестных усилий два, то
для определения их одного уравнения недостаточно.
Дополнительных уравнений равновесия для элемента составить больше нельзя.
Поэтому запишем уравнение равновесия (сумму проекций на ось
оболочки) произвольной конечной части Л^С,^, оболочки (рис. 461
и 464). Эта часть отсекается конической поверхностью Л^О,^!,
нормальной к срединной поверхности оболочки, по контуру А^В^.
По контуру сечения Л!^, (по окружности радиуса г) действуют
погонные усилия Л/г- На единице длины контура получается
вертикальная проекция Л'^2 С08а, где а — угол наклона меридиональной
кривой к оси резервуара. Поэтому результирующ^ее вертикальное
усилие от действия К^ направлено вверх и равно
Л/а С08 а - 2лг.
Вертикально вниз действуют сила давления рпг^, вес С^
жидкости (или сыпучего вещества), заключенной в объеме А1С^В1, и вес Ср
части резервуара А^С■^В^. Тогда из условия равновесия
2лг — рпг^ — Сж — Ср — О
N2 сова
Л/2 = '
РГ
^ж + ^р
2со5а
2пг С05 а
A7.5)
470
Уравнения A7.4) и A7.5) дают возможность найти все усилия
в осесимметричной безмоментной оболочке. В сопротивлении
материалов принято эти уравнения записывать в напряжениях.
Приняв предположение о том, что изгибающие и крутящие
моменты в оболочке отсутствуют, допускаем тем самым, что по толщине
ее напряжения распределяются равномерно (как при простом
растяжении — сжатии). Поэтому (рис. 465)
N = а .Н-\=аН. A7.6)
Кроме того, в сопротивлении материалов для меридиональных
напряжений и радиусов кривизны приняты обозначения а^ и р^, а
не Оз и Рз; для широтных величин — о^\^р^ вместо а^ и р^. В
соответствии с этим
Л^4 = а,Л: N^^а^^. {ПЛ)
Подставив эти выражения в уравнения A7.4) и A7.5) и учтя
замечания в отношении индексов, получим
A7.8)
ч»
91 Рт
Р' I
2/1 С05 а '
Р
Н
Сж + Ср
2пгН С05 а
A7.9)
Формула A7.8) носит название формулы Лапласа; формула A7.9)
иногда именуется уравнением равновесия зоны или просто уравнением
зоны. Напряжение а^ называется меридиональным нормальным
напряжением, 0; — окружным (широтным, кольцевым) нормальным
напряжением.
Поскольку оболочка тонкая, то вместо радиусов р^, р„ и г
срединной поверхности оболочки в формулы A7.8) и A7.9) можно
подставлять соответствующие радиусы наружной или внутренней
поверхностей.
Следует обратить еще внимание и на то, что в задаче о расчете
резервуара удалось получить формулы для напряжений, не
рассматривая геометрической и физической сторон задачи, т. е. задача
оказалась статически определимой. Это — результат того, что мы сразу
постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки —
считали их постоянными.
Как уже отмечалось, напряжения а^ и о^ являются главными
напряжениями. Что касается третьего главного напряжения,
направление которого нормально к поверхности оболочки, то на одной из
поверхностей резервуара (наружной или внутренней — в зависимости
от того, с какой стороны действует давление на резервуар) оно равно
р, а на противоположной—нулю. В тонкостенных оболочках всегда а^
и 0^ значительно больше р и, значит, величиной третьего главного
напряжения по сравнению с а„
его равным нулю.
и 0^ можно пренебречь, т. е. считать
471
■ Таким образом, будем полагать, что материал оболочки
находится в плоском напряженном состоянии. Тогда для расчета на
прочность в зависимости от состояния материала следует пользоваться
соответствующей теорией прочности. Например, применив IV
теорию прочности, условие прочности запишем так:
ОяШV =Уат + с^ — о^О{ < [0]. A7.10)
Рассмотрим примеры расчета безмоментных оболочек.
Сферический баллон заполнен газом, давление
которого равно р (рис. 466).
р=С0П1'^
б.
б.
Рис. 466
Рис. 467
В этом случае вследствие центральной симметрии
Рт = Рг = ^'
а^ = а, = 0.
Поэтому на основании формулы A7.8)
о
1
2 -к- = -т-, или 0
2/1 •
Таким образом, главные напряжения
0, = 09.
2/1
A7.11)
Условия прочности по первой, третьей и четвертой теориям
прочности приводятся к виду
РЯ ^ т -,
A7.12)
Цилиндрический баллон заполнен газом, давление
которого равно р (рис. 467).
Здесь
91 = ■'?; Рт = <»•
Тогда из формулы A7.8)
ог 1 Ощ Р_
/? "^ ОО /I »
Т. е.
с, =
РП
A7ЛЗ)
472
Чтобы найти о^, проведем сечение а — а и рассмотрим равновесие
любой из частей цилиндра. В результате, пользуясь формулой A7.9)
и полагая в ней С^ = Ор = О и а = О, получим
Следовательно, кольцевые напряжения а^ вдвое больше
меридиональных о^. Поэтому, например, у клепаного резервуара
продольный шов должен быть в два раза прочнее поперечного.
Заметим, что полученные результаты верны только для
центральной части цилиндра, так как те его части, которые примыкают к
г
Рис. 468
днищам, не могут быть рассчитаны по безмоментной теории
(подробнее об этом сказано ниже).
Резервуар в виде шарового сегмента (рис. 468)
наполнен жидкостью (или сыпучим веп].еством) с плотностью у.
Вводим полярный угол ф, определяющий положение
произвольной точки А. Тогда
0=90"—ф; р^ = р^,=/?; г = /?8Шф; У/ = /?(со5ф — созР);
р = уН = уЯ (С05 ф — С08 Р).
Из уравнения Лапласа следует, что
о„, + (^^ = -^г^ ~?~ ^'=°^ 'Р ~ '^^^ ^^.
Теперь воспользуемся уравнением A7.9). Величина Сж равна весу
жидкости в объеме шарового сегмента АСВ:
^ж = У^АСВ
Высота шарового сегмента
Поэтому
у-^пН1{ЗЯ-
Не).
С05 ф).
пу
Ож = ^ /?' A - С05 ф)^ B + С08 ф).
Подставляя в уравнение A7.9) выражения для р, г, ^^, а и
пренебрегая весом резервуара Ср, получаем
уР^ \ 1 Н- соз ф + со5^ ф
">» ^ Л [ 3 A -1- С05 ф)
2
A7.15)
473
_ Максимальная величина напряжений получается в точке С, где
Ф = 0:
_„ УЯ^ A - С05 Р) /17 17\
О/пмакс — "/„акс ~ 2Л * ^ '
На краю оболочки (ф = Р)
^ /й\ ^ /й\ У/?^ 2 —СОЗР —С0$ЗР /1-7 10\
О^Ф)=-оЛР)=-^й 1+созР <*^-*^>
причем кольцевые напряжения становятся сжимающими.
Купол в виде шарового сегмента радиусом /? и толш.и-
ной стенки Н (рис. 469) изготовлен из материала плотности у.
Вес материала, соответствуюш.его единице плош.ади поверхности
купола, д = уН. Его составляющ,ая, нормальная к поверхности,
Яп ^Л ^*^^ Ц> = уЬ. С05 ф
играет роль давления, приложенного к поверхности. Внутри же
купола давление равно нулю, так что в уравнении Лапласа следует
полагать р = —д^, а в уравнении зоны р = 0.
Учитывая, что р< = р^ = ^> из уравнения Лапласа находим
<^т + <^<=-1^=-V^С08ф. A7.19)
Чтобы получить дополнительное уравнение, вычислим вес части
АСВ резервуара:
(?р = дЗлсв = ф^Асв,
где площадь боковой поверхности шарового сегмента АСВ
8АСВ = 2лЯНс = 2пН^ A — соз ф).
Значит,
^р = 2пуНН^ A — С05 ф).
Подставив теперь в формулу A7.9) выражение для ^^ и
г = /? 5т ф; а = 90° — ф; р — О,
а также учтя (знаком «минус»), что в сечении АВ вес части АСВ
вызывает сжатие, получим
о,„ = — -^-У^— . A7.20)
'" 1 + соз ф ^ '
Тогда из уравнения A7.19)
1 — соз ф — соз^ ф
« • 1 + соз ф ^ '
Меридиональные напряжения всюду сжимающие и возрастают по
мере удаления от вершины купола к краю. Кольцевые напряжения
474
Б верхней части купола отрицательны (сжимакицие); при ф =
= 5Г50' они обращаются в нуль, а при ф > 51° 50' становятся рас-
тягиваюш.ими. Полученные результаты верны, если опорное
устройство купола такое, что в нем могут возникать только реакции,
направленные по касательной к меридиональной кривой.
§ 109. РАСПОРНЫЕ КОЛЬЦА В ОБОЛОЧКАХ
До сих пор мы рассматривали оболочки, меридиональные сечения
которых представляли собой плавные кривые с непрерывно
изменяющейся кривизной. Расчет такой оболочки по безмоментной теории
(если толщина оболочки мала) дает вполне приемлемые для практики
результаты.
,^ в
/
.
>
\
\
}
Рис
Уе.У
щ^
^
/
/
гО\
. 471
^.■С
\>
Я
-1
д ^/^^г
Рис. 472
Теперь исследуем влияние переломов меридиональной кривой на
напряженное состояние оболочки. Пусть в некотором сечении А — А
(рис. 470) оболочка имеет перелом, так что касательные к
меридиональной кривой слева и справа от точки А образуют между собой
угол не 180°, а 180° — («х -Ь «г)- Рассмотрим меридиональные
напряжения От, и Отг (рис 471) В сечениях В — В и С — С,
бесконечно близких к Л — А (эти сечения образованы коническими
поверхностями О^ВВ и О2СС, нормальными к срединной поверхности
оболочки). Погонные усилия в этих сечениях равны Ощ^Н^ и От^Н^
(рис. 472), где Н^ и йг — толщины частей 7 и 2 оболочки.
Из условия равновесия кольца ВВСС следует, что
О/л^Й! С05 а42лг = От^^2 С05 а^Г,
т. е.
От^Н^ С05 а, = ат,Ь,2 С05 О^.
A7.22)
Таким образом, проекции усилий От^Ь.^ и От^1^г на ось оболочки
взаимно уравновешиваются. Иная картина будет с проекциями этих
усилий на плоскость Л — Л (рис. 472). Складываясь, они дадут
погонное радиальное усилие
д — От.Нх 5Ш а, -Ь От^Нг 51П аз- A7.23)
Усилие д можно рассматривать как местную нагрузку,
сжимающую оболочку. Эта нагрузка может вызвать в оболочке
значительные изгибные напряжения. Чтобы уменьшить изгиб, в резервуарах
часто устанавливают кольца жесткости, или распорные кольца
(рис. 473), которые и принимают на себя радиальные усилия д.
475
Распорное кольцо нагружено по схеме, показанной на рис. 474.
В нем возникают только сжимающие напряжения, и условие
прочности для кольца имеет вид
<[о1.
A7.24)
где /?^ — радиус оси кольца; Р^ — площадь поперечного сечения
кольца, а д определяется по формуле A7.23).
Иногда вместо распорного кольца создают местное утолщение
оболочки (рис. 475), загибая края днища резервуара внутрь
обечайки.
^3^
Рис. 473
Рис. 474
Рис. 475
Если оболочка испытывает внешнее давление, то
меридиональные напряжения будут отрицательными (сжимающими) и, согласно
формуле A7.24), радиальное усилие д получится также
отрицательным, т. е. направленным наружу. Тогда кольцо жесткости будет
работать не на сжатие, а на растяжение. При этом, очевидно,
условие прочности A7.24) останется тем же.
Заметим, что распорное кольцо не уничтожает совсем, а лишь
уменьшает изгибные напряжения. При наличии кольца причиной
появления изгиба в оболочке является
различие радиальных перемещений в сечении по
кольцу и в соседних с кольцом поперечных сечениях
оболочки (от сжатия диаметр кольца и
прикрепленной к нему оболочки должен уменьшаться,
а в соседних с кольцом сечениях от действия
растягивающих широтных напряжений диаметр
оболочки должен увеличиваться).
Рассмотрим цилиндрический резервуар со сферическими
днищами (рис. 476), наполненный газом, давление которого равно р кгс/см^
Требуется определить толщины стенок и площадь сечения кольца,
считая допускаемые напряжения известными.
Толщину Н^ стенки днища находим из формулы A7.12):
Рис. 476
Н1>
2Н
Принимая четвертую теорию прочности и пользуясь формулами
A7.10), A7.13) и A7.14), записываем условие прочности для
обечайки:
/12
2к
2
476
откуда
Тогда меридиональное напряжение в днище
^'"' 2/11 '
а в обечайке
'"'' 2/12
Подставляя эти значения в формулу A7.23) и учитывая, что в
данном случае а^ = 90° — а, осз = О, находим погонное радиальное
усилие, приложенное к распорному кольцу:
д = „ С08 а.
Наконец, считая, что радиус кольца 7?„ (^ г, из формулы A7.24)
определяем необходимую площадь поперечного сечения кольца:
Р 9/?ц рКг С08 а
[а] 2[а] '
§ ««0. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Рассмотрим одну из простейших задач моментной теории
оболочек: по краю тонкой полубесконечной цилиндрической оболочки
(рис. 477) равномерно распределены погонные поперечные силы Со
и изгибающие моменты М^; кроме того, на оболочку действует
постоянное внутреннее давление р; требуется найти перемещения точек
оболочки и напряжения в ней.
Эта задача имеет некоторое самостоятельное значение, и, кроме
того, полученные в ней результаты в следующем параграфе будут
использованы для нахождения местных изгибных напряжений.
Выделим из оболочки полубесконечную полоску единичной
ширины (рис. 477 и 478, а), которой соответствует малый центральный
угол
Ф = -^ . A7.25)
В концевом сечении на полоску действуют усилие Со и момент М„,
по поверхности — давление р, по продольным краям — погонные
широтные усилия Л^1, переменные вдоль края.
Введем оси координат т ч х: ось гю направим от оси оболочки по
радиусу, ось X — по образующей (рис. 478, о). Распределенную по
поверхности и по продольным краям нагрузку можно привести к
погонной нагрузке д (х), действующей в плоскости юх параллельно
оси ш.
Выделив в окрестности произвольной точки А (рис. 478, а)
элемент полоски, длина которого равна единице, и считая, что д {х) > О,
477
если нагрузка действует от оси оболочки наружу, получим
9(л:) = —91(л:) + 92.
Учитывая малость угла ф и формулу A7.25), будем иметь
^1 (л:) = 2Л^1 • 1 • 81П -|- = Л^1Ф = -^ ;
итак,
^(Iо 0
A7.26)
6
Рис. 477
Рис. 478
Распределенная нагрузка ц (х), а также 0,^ и М^ вызывают
плоский изгиб полоски в плоскости тх. Эту полоску можно назвать
балкой-полоской и в дальнейшем обращаться с ней как с
полубесконечной балкой (рис. 478, о) прямоугольного сечения 1 X Л.
Рассматривая изгиб балки-полоски, необходимо учесть, что
прогибаясь, она взаимодействует с соседними полосками. Одна сторона
этого взаимодействия учитывается слагаемым -^ в выражении
A7.26) для погонной нагрузки ц {х). Но оказывается еще, что в
результате этого балка-полоска становится более жесткой на изгиб в
плоскости по сравнению с обычной балкой. Выясним, почему это
происходит и каким образом должно быть учтено.
При изгибе обычной балки форма ее поперечных сечений
изменяется, так как размеры их по ширине, т. е. в направлении,
параллельном оси 2, в сжатой части балки увеличиваются, а в растянутой —
уменьшаются (штриховые линии на рис. 479, б). Не изменяется
только ширина нейтрального слоя. В балке-полоске из-за взаимодействия
ее с соседними полосками такого изменения поперечного сечения
произойти не может. Это взаимодействие приводит к возникновению
напряжений о^, препятствующих изменению размеров в направлении,
параллельном оси г, вследствие чего е^ = 0. Таким образом, в
балке-полоске, в отличие от обычной балки, кроме напряжений а^ в
поперечном сечении (рис. 479, о), будут еще и напряжения о^ в
продольных сечениях, перпендикулярных к нейтральному слою (рис. 479, б).
Наличием напряжений а^, и объясняется увеличение жесткости на
изгиб балки-полоски.
478
Каждый бесконечно тонкий слой материала балки, параллельны:^
нейтральному, находится в плоском напряженном состоянии
(рис. 479, е). Это обстоятельство и необходимо учесть при выводе
дифференциального уравнения упругой линии балки-полоски.
Дифференциальное уравнение изгиба для балки-полоски можно
получить таким же способом, как и для обычной балки (см. § 66).
^1 6г
б.
^
, их
. ^'
X
а
Рис. 479
При этом статическая и геометрическая
стороны задачи выражаются теми же зависимостями A0.3) и
A0.6), что и в случае обычной балки, а именно:
а) статическое уравнение —
I о^уйР = М {х);
б) геометрическая зависимость
или е^
У-
A7.27)
A7.28)
Физическая сторона задачи (связь между
напряжением о^ в поперечном сечении и относительной деформацией е^
для балки-полоски выражается на основании формул обобщенного
закона Гука с учетом того, что е^ = 0:
Ог
ц-
Ох
II
Е
= о, или а^ = ^ш^^
Из этих формул находим нужную нам зависимость
_ Е
A7.29)
479
Подставив выражения A7.28) и A7.29) в уравнение A7.27),
получим
Для балки-полоски с размерами сечения 1 х Л элемент площади
ар = Ыу. Тогда
+4-
^^^Ь'*-«м.
I
_^
2
ИЛИ после вычисления интеграла —
Е И» йЬю (к)
I — [!« 12 Лк
Величина
М{х).
называется цилиндрической жесткостью. Она больше обычной
жесткости поперечного сечения балки Е^.
Дифференциальное уравнение изгиба с введением обш,епринятого
обозначения цилиндрической жесткости через ^ записывается так:
Дважды дифференцируя по х обе части этого уравнения и учиты-
вая.что —^Д ■ — д (х), получаем уравнение в следующем виде:
В^^=.с,{х). A7.31)
Таким образом, для балки-полоски
дифференциальное уравнение упругой линии будет иметь
вид
Рис. 480
от^»/'--^- О'-зг)
Теперь выразим кольцевое усилие Л^1
оболочки через прогиб балки т {х) (рис. 478, б). Одновременно т {х)
является и радиальным перемещением точек оболочки (рис. 480)
вследствие действия ^(„ Мо и р. Это перемещение вызывает в широтном
направлении относительное удлинение
2я [/? +ьу (•«)] —2я;/? VI) (к) /IV ооч
^' = ад "= ~"^ • ^^^'^*'
Считая, что меридиональных напряжений растяжения в
оболочке нет, получим кольцевое напряжение
а^ = ЕЕ^ = ^т (х) A7»34)
480
и, наконец, кольцевое усилие
Л^1 = а, . Л . 1 = -^ ш (а;). A7.35)
Внеся это выражение в уравнение A7.32), получим
О —^^ + -^^{Х)==Р- A7.36)
Уравнение A7.36) идентично уравнению A1.12) (см. § 73),
описывающему изгиб балки на упругом основании, если принять
а=^.. A7.37)
Поэтому преобразуем уравнение A7.36) так, как это делалось в § 73.
Разделив уравнение A7.36) на О, учтя выражение A7.30) и введя
обозначение
«=>^^^^^^?^, A7.38)
получим
-^^ + 4а*^М = ^. A7.39)
Очевидно величина а измеряется в см~^ поэтому переменная
1 = ах A7.40)
будет безразмерной. Примем ее за новую независимую переменную.
Поскольку
^^а) (к) _ . а^^ (Е) _ 3 A - ^^^) й'т {I)
то уравнение A7.39) окончательно запишется в виде
^ + 4»© = ^. (-7.40
Легко проверить, что частным решением этого уравнения будет
т.сг-'^. A7.42)
Однородное же уравнение, соответствующее уравнению A7.41),
в точности совпадает с уравнением A1.16), и его общий интеграл
записывается в виде A1.17). Поэтому общий интеграл уравнения
A7.41) будет иметь вид
шA} = -^ + е~^ (Л со8^ + В5т1) + е^(Ссо5^ + 015т^.
A7.43)
Здесь четвертая постоянная обозначена Бц а неР, чтобы не путать
ее с цилиндрической жесткостью.
С физической точки зрения очевидно, что в сечениях, бесконечно
удаленных от рассматриваемого края оболочки, влияние Оо и М^
16 8—2770 481
должно исчезать и ш (оо) должно быть конечной величиной. Этому
противоречит последнее слагаемое в выражении A7.43), которое
из-за множителя ^ неограниченно возрастает на бесконечности.
Поэтому следует положить
С = Б^ = 0.
Тогда
^ © = -Ж- + ^~^ (^ С05 ^ Ч- 5 51ПI). A7.44)
Воспользовавшись известными дифференциальными
зависимостями для балок (где жесткость Е^ заменена цилиндрической
жесткостью Д):
в = -^— = а —7^ ;
^ = ^^?- = ^« -йГ'
из формулы A7.44) получим следующие выражения для углов
наклона упругой линии, изгибающих моментов и поперечных сил:
е = ае~^ [А (со51-\-5т1) +В (сов I — 51п ^)];
М = ВаЧ~^ BА 5Ш1 — 2В соз ^);
B = Оа^е~^ [2А (соз I — 81п I) + 2В (соз I + вт 1)\. A7.45)
Выразим теперь постоянные А и В через ^^ и Мо- Поскольку
(см. рис. 478, б)
Мо = м ||=о; <Зо = <Э 1|=о,
то, положив в последних двух формулах A7.45) | =0, получим, что
— 2ВОа' = Мо;
ОаЦ2А + 2В)-^ ^о,
откуда
Подставив найденные значения коэффициентов в выражения
A7.44) и A7.45), найдем окончательно:
в = ^ е~^ ^^^ (со5 ^ Ч- 51П 9 Ч- 2аМо соз Ш;
М = 4" ^~^ [до зш ^ Ч- оЛ^о (соз I + 31П ^)]; A7.46)
^ = е~^ [до (соз I — 31П р — 2аМо 81п |},
причем а дается формулой A7.38), а ^ — формулой A7.40).
482
Полученные формулы представляют решение поставленной
задачи, так как дают возможность вычислить в любом поперечном
сечении оболочки радиальное перемещение ш, угол наклона 6
деформированной образующей к оси оболочки, погонный изгибающий
момент М и погонную поперечную силу ^. Положительные
направления этих величин совпадают с положительными направлениями
Шо, во, Мо и ^о (на рис. 478,6 щ > О, Мо > О, Со > О, а во < 0).
Исследовав изгибные напряжения в балке-полоске, выделенной
в тонкостенной цилиндрической оболочке, мы получили решение и
для всей оболочки. Напряжения а/в балке-полоске являются из-
гибиыминапряжениями а^ в меридиональном направлении оболочки
(в поперечных ее сечениях), а
напряжения а^ — изгибными
напряжениями а( в широтном направлении (в
продольных сечениях). Эпюры а^ и а^
показаны на рис. 481. Напряжениям а^
соответствует изгибающий момент М,
а напряжениям а^ — момент М^.
Ранее было показано, чтоа^ = ца^.
Тогда, очевидно, р^^_ ^^^
М^ = [1М. A7.47)
В продольных сечениях оболочка также подвергается растяжению
или сжатию (в зависимости от того, изнутри или извне действует
давление).
Максимальные напряжения определяют по формулам
где
так что
1Г = -!^; Р = 1-Н.
Отмакс —■ 1,2 » Обмане — ПГ —т-^ 1 т— . ^1/.'*0^
Входящие сюда величины М^ и Л^^ можно найти по формулам A7.47)
и A7.35) после того, как по формулам A7.46) вычислены гючМ. Имея
же максимальные напряжения и выбрав ту или иную теорию
прочности, можно провести расчет на прочность. При этом нужно
обращать внимание на выбор правильного знака в формуле для аймаке
Выясним теперь, насколько далеко от края оболочки
распространяется влияние краевых моментов М^. Сделаем это на следующем
числовом примере.
Пример 74. Стальная труба (Е = 2 • 10^ кгс/см=, [г = 0,3) радиусом /? =
= 40 мм с толщиной стенки Л = 2 мм находится под действием равномерного
внутреннего давления /? = 25 ксс1см^ и краевых моментов Мо = 3,33 кгс X
X см/см (рис. 482),
16* 483
/^По ^^^ и Построим эпюры и
г I^-■-■/^^^!^^^^■;^^^у^ ;Ь ;;ы.^ . НЫХ МерИДИОНаЛЬНЫХ Н
Т М М М т М| Г)*^ НИИ вдоль оси трубы.
Построим эпюры изменения максималь-
кольцевых напряже-
При отсутствии краевых моментов всюду
было бы
От = 0;
р;? 25-4
О/ = = — кгс/см'' = 500 кгс/см*.
Л 0,2
A7.49)
Полагая в формулах A7.46) ^в = О,
получаем
рР^
М
^е 5^со5| —5шё);
2 4 6 в Ю лсм
Рис. 482
М = М^е-^ (С05 I + 51-п I) A7.50)
и, согласно формулам A7.48), A7.35), A7.38), A7.30) и A7.47), у внутренней
поверхности
с = = — е ^ (со5 6 + 51П Е);
. _ . . . . 6/И„
*^<макс'
^0 л/11^
2 г 3
е *(соз| —
A7.5»)
Подставив числовые значения р. Я, М^, Н и |я, получим
''тмакс=500е-Чсо5^б + 5т|);
О/маис = ^^0 + 425е-^ со51 — 125е-5 81Г) | = 20 + Пе"^ соз ^ — Бе-^ &1п 5-
A7.52)
Наконец, согласно формулам A7.40) и A7.38),
X (см) = -^- = II/ = -Х_____| = о,695|.
с |К йA—р.) ^3-0,91
Пользуясь таблицами функций е~6 (со8 е + 81П |); е""* соз 5 и е * бш %
(табл. 19 и приложение 13), вычисляем значения ^тмакс ^ ''<макс ■'•'''' Р*'^^ ^ИЗ"
чений 6 (табл 19) и по этим данным строим эпюры, показывающие изменение по
длине оболочки максимальных меридиональных и кольцевых напряжений в
точках у внутренней поверхности в поперечных и продольных сечениях оболочки
(рис. 482).
Эти эпюры показывают, что приложенные к краю оболочки
изгибающие моменты УИ(, оказывают влияние на напряженное состояние
оболочки только в непосредственной близости от места их
приложения. На достаточном же удалении от края напряжения практически
совпадают с теми, которые получаются в результате расчета оболочки
по безмоментной теории. Наличие в оболочке местных быстро зату-
484
Таблица' 19
\
8
0
0,21
0,49
0,76
1,04
1,32
1,60
1,88
2,15
2,43
2,71
2,99
3,27
3,54
3,82
4,10
2|3|4|5|6 7|8|9 10
*ш
0
0,3
0,7
1.1
1,5
1,9
2,3
2,7
3,1
3,5
3,9
4,3
4,7
5,1
5,5
5,9
ДЛЯ
«
О
с;
1
1,000
0,708
0,371
0,151
0,016
—0,048
—0,067
—0,061
—0,045
—0.028
—0,015
—0,005
0,000
0,002
0,003
0,003
С
1
0
0,219
0,329
0,297
0,222
0,141
0,075
0,029
0,002
—0,011
—0,014
—0,0K
—0,009
—0,005
—0,003
—0,001
СО
1,000
0,927
0,700
0,448
0,238
0,093
0,008
—0,032
—0,043
—0,039
—0,029
—0,018
—0,009
—0,003
0,000
0,002
II ^
^==11
500
464
350
224
119
47
4
—16
—22
—20
—15
—9
—4
—2
0
1
СО
17,00
12,04
6,31
2,57
0,27
—0,82
-1,14
—1,04
-0,76
—0,48
—0,26
—0,08
0,00
0,03
0,05
0,05
0
1,10
1,65
1,48
1,11
0,71
0,38
0,14
0,01
0,06
—0,07
—0,07
—0,04
—0,03
—0,02
—0,01
1
8 1
37,00
30,94
24,76
21,09
19,16
18,47
18,48
18,82
19.23
19,58
19,81
19,99
20,04
20,00
20.08
20,06
1е
г* II
925
774
619
527
479
462
462
470
481
490
495
500
501
500
502
502
-.
хающих изгибных напряжений обычно называется краевым
эффектом. Все сказанное относится н к действию поперечных сил ^^,
распределенных по краю оболочки (см. рис. 477).
§ т. ПРИМЕРЫ УЧЕТА ИЗГИБНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В ОБОЛОЧКАХ
В предыдущем параграфе было введено понятие краевого
эффекта в оболочках, что во многих случаях упрощает расчет конструкций,
которые по своей расчетной схеме могут быть отнесены к
цилиндрическим оболочкам. При этом
большое значение имеет то
обстоятельство, что, хотя формулы A7.46) и
другие были получены в
предположении, что цилиндрическая
оболочка полубесконечна, их, очевидно,
с успехом можно применять и для
конечных оболочек, если только
длина последних заметно превышает размеры зоны, занятой краевым
эффектом.
Допустим, что к тонкостенному длинному
цилиндру (рис. 483) в сечении А — А приложена равномерно
распределенная по периметру сечения нагрузка интенсивностью
д кгс/см. В данном случае краевой эффект симметричен
относительно линии АА. Поэтому:
Рис. 483
481
а) нагрузка д распределяется поровну на левую и правую части
цилиндра, т. е. (см. рис. 477)
причем начало координат считаем помещенным в точке О (рис. 483);
б) касательная к упругой линии балки-полоски в сечении А — А
параллельна оси цилиндра, т. е. (см. рис. 478)
0о = 0||=о = О.
Тогда из второго уравнения A7.46) находим, что
Мп =
Я
где
Подставляя значения ^^V^ М^в формулы A7.46), получаем (здесь
= 0)
т ■■
АаЮ
М = -1-е-^ (С081 - 81ПI); A7.53)
Отсюда, в частности для сечения А — А (^ = 0),
0= |-е ^со8^.
!:г^макс = Шп == —
НаЮ 2Е
^М\^^^) [-^)'' ; A7.54)
^ 4/3A-(А^)
Максимальные напряжения вычисляются по формулам A7.48).
Пусть на тонкостенную трубу (рис. 484) посажено
тонкое кольцо, площадь поперечного сечения которого равна Р^,
^1_^ материал его имеет модуль упругости ^:^.
ГП Л Если обозначить через д радиальное усилие,
возникающее между кольцом и трубой, а через б — натяг
(разность между наружным радиусом трубы и
внутренним радиусом кольца до посадки), то из условия
совместности деформаций должно быть
(^ Ц
Рис. 484
где да^ = -^-^ увеличение радиуса кольца после запрессовки;
13Умакс — максимальный прогиб трубы.
486
Труба находится в условиях, близких к условиям предыдущего
примера, поэтому Шмакс определяется формулой A7.54). Подставив
выражения для ш^ и Шмакс в условие^ совместности деформаций,
получим
откуда определяем д. После этого по формулам A7.55) и A7.47)
находим изгибающие моменты, а затем по формулам A7.48) определяем
напряжения. Перемещения найдем по формуле A7.54).
Глава 18
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ
ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ
§ 112. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ
Расчеты на прочность отдельных стержней, балок и конструкций,
рассмотренные в предыдущих разделах курса, основаны на оценке
прочности материала в опасной точке. При таких расчетах
наибольшие нормальные, касательные или эквивалентные напряжения (в
зависимости от вида напряженного состояния и принятой теории
прочности) в опасном сечении и в опасной точке сравниваются с
допускаемым напряжением. Если наибольшие расчетные напряжения не
превышают допускаемых, то считается, что надлежащий запас
прочности конструкции этим обеспечивается. Такой способ расчета на
прочность называют расчетом по допускаемым напряжениям.
Метод расчета на прочность по допускаемым напряжениям,
бесспорно, обеспечивает прочность конструкции, однако во многих
случаях не позволяет рационально использовать все ее возможности
и часто приводит к завышенному весу.
При расчете по допускаемым напряжениям опасным, или
предельным, состоянием конструкции считается такое ее состояние, при
котором наибольшее напряжение хотя бы в одной точке материала
конструкции достигает опасной величины — предела текучести (для
пластичного материала) или временного сопротивления (для
хрупкого материала). Состояние всей остальной массы материала во
внимание не принимается.
Между тем при неравномерном распределении напряжений
(например, при изгибе, кручении) в статически неопределимых
конструкциях, изготовленных из пластичных материалов, появление
местных напряжений, равных пределу текучести, в большинстве
случаев не является опасным для всей конструкции. Практика пока-
зывает.что при появлении местных пластических деформаций
конструкция еще может удовлетворять предъявляемым к ней требованиям
487
и для перехода ее в предельное состояние требуется дальнейшее
возрастание нагрузки. Таким образом, в действительности
конструкция обладает запасом прочности, большим, чем при расчете по
допускаемым напряжениям.
В связи с этим недостатком метода расчета на прочность по
допускаемым напряжениям возникла необходимость в новом подходе
к оценке прочности конструкций. Был предложен метод расчета
конструкций по предельному состоянию.
Под предельным состоянием конструкции понимают такое ее
состояние, при котором она теряет способность сопротивляться
внешним воздействиям или перестает удовлетворять предъявляемым
эксплуатационным требованиям.
Приведем некоторые примеры, характеризующие предельные
состояния.
Испытания слабоармированных железобетонных балок
показывают, что, как только напряжения в арматуре достигают предела
текучести, балка сильно и необратимо провисает (т. е. получает
большие остаточные деформации), а также покрывается большим
количеством трещин. Ясно, что дальнейшая эксплуатация такой балки
невозможна, хотя для ее разрушения и требуется еще некоторое
увеличение нагрузки. Таким образом, железобетонная балка
переходит в предельное состояние, как только напряжения в арматуре
достигают предела текучести.
Стальные стержневые конструкции могут превратиться в
кинематически изменяемые после образования достаточного числа так
называемых пластических шарниров, т. е. появления в стержнях таких
сечений, во всех точках которых напряжения равны пределу
текучести. Однако в некоторых типах конструкций этот процесс может
протекать таким образом, что после образования первых
пластических шарниров (задолго до превращения этих конструкций в
кинематически изменяемые) дальнейшая эксплуатация их делается
невозможной из-за возникших значительных остаточных деформаций.
В этих случаях имеют место предельные состояния конструкций.
Различают три вида предельных состояний:
а) первое предельное состояние — по несущей способности
(прочности, устойчивости и выносливости при переменных
напряжениях);
б) второе предельное состояние — по развитию чрезмерных
деформаций (прогибов, перекосов и др.);
в) третье предельное состояние — по образованию или
раскрытию трещин.
Расчеты по предельным состояниям широко применяются при
проектировании строительных конструкций и сооружений. Все
большее распространение методы этих расчетов получают и в
машиностроении, причем и здесь сказывается их прогрессивная роль: они
позюляют вскрыть резервы прочности, не используемые при
расчетах по допускаемым напряжениям. Расчет по предельным
состояниям дает возможность уменьшить вес конструкций.
488
Здесь будут рассмотрены некоторые примеры расчетов по
несущей способности конструкций из пластичных материалов, которые
имеют площадку текучести на диаграммах растяжения, сжатия и
чистого сдвига.
Площадку текучести имеют диаграммы напряжений
малоуглеродистых сталей и некоторых других материалов (рис. 485).
Например, кривая на диаграмме напряжений алюминия (рис. 486) за
пределами действия закона Гука имеет очень слабый наклон и при
расчетах ее можно принять за горизонтальную прямую.
Чтобы упростить расчеты, диаграммы растяжения, сжатия и
чистого сдвига для пластичных материалов схематизируют так, что
прямая закона Гука непосредственно сопрягается с горизонтальной пря-
б
Г
Рис. 485
Рис. 486
Рис. 487
МОЙ без плавного перехода (рис. 487). Этим самым принимается
равенство между пределами пропорциональности и текучести. Длина
горизонтального участка диаграммы не ограничивается, т. е.
материал считается не упрочняющимся, идеально пластичным. Такая
диаграмма носит название диаграммы Прандтля.
Указанная схематизация достаточно точна для материалов типа
алюминия и вполне допустима для материалов, имеющих диаграммы
с ограниченной длиной площадки текучести (рис. 485). Это вытекает
из следующих соображений. При наличии такой площадки
текучести, как, например, у мягких углеродистых сталей, величина
относительного удлинения в начале упрочнения е^ в несколько раз
превышает величину относительного удлинения е^, в начале появления
пластической деформации. Поэтому даже при неравномерном
начальном распределении напряжений (изгиб, кручение, наличие
концентраторов), но дальнейшем последовательном распространении
пластической зоны с выравниванием напряжений, предела текучести
они достигнут одновременно по всему сечению раньше, чем
начнется упрочнение материала в точках с наибольшей
пластической деформацией. Таким образом, предельное состояние,
определяемое значительной пластической деформацией, наступит до начала
упрочнения материала и предельная нагрузка может быть
вычислена по пределу текучести.
Для сложного напряженного состояния, как указывалось в гл. 6,
предложены различные теории перехода материала в пластическое
состояние. Наиболее просто расчеты выполняются при
использовании теории пластичности Сен-Венана. Согласно этой теории,
489
пластическое состояние материала при сложном напряженном
состоянии наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения
достигают предельного значения — предела текучести при сдвиге:
"■^макс = ''■т- (^°-')
Приведенными выше положениями и будем пользоваться в
дальнейшем.
§ 113. РАСЧЕТЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
При растяжении и сжатии напряжения по площади поперечного
сечения стержня распределяются равномерно. Вследствие этого
расчет на прочность статически определимых систем по допускаемым
напряжениям и по предельному состоянию дает один и тот же
результат. В случае статически неопределимых систем результаты расчета
различны.
Покажем это на примерах.
Определим запас прочности трехстержнеюй подвески (рис. 488, й),
нагруженной силой Р. Площади поперечных сечений стержней
одинаковы. Материал пластичный с пределом текучести а^.
Расчет по допускаемому напряжению. За-
дача'один раз статически неопределимая. Ее решение рассмотрено
в § 37. При Р^ = р2 коэффициент ^ = I и тогда из формул E.50) и
E.51) получим
^1=ТЧГ2^^: 08-2)
^^-^^ = Т^^Р- 08-3)
Очевидно всегда Ы^^ Ы^ = М^, т. е. большее усилие возникает
в среднем стержне. Следовательно, в среднем стержне будет и
наибольшее напряжение:
Запас прочности при расчете по допускаемому напряжению
«'т A+2 С053 а) Рот .^_ .
"т=-^ = р • A8.5)
Расчет по предельному состоянию.
Предельное состояние конструкции будет характеризоваться исчерпанием
несущей способности, которое наступит тогда, когда во всех
стержнях напряжения достигнут предела текучести. Найдем предельную
нагрузку для конструкции.
Так как напряжения в стержнях при упругой работе их
неодинаковы (в среднем стержне больше, чем в крайних), то предела
текучести напряжения достигнут не одновременно во всех стержнях.
Вначале при нагрузке Р^г наступит пластическая деформация в среднем
стержне. Усилие в нем
Л^1т = а,/^. A8.6)
490
При этом, согласно выражению A8.2),
Р1х = A + 2 соз' а) а^Р. A8.7)
После появления пластического течения в среднем стержне
конструкция еще сохраняет способность юспринимать юзрастающую
нагрузку. При этом усилие в среднем стержне остается постоянным
и равно N1-1. Конструкция превращается в статически определимую,
и усилия в крайних стержнях определяются из условия равновесия
узла (рис. 489):
Л^, = Л^я
ж
р
6
2со5а
A8.8)
4у Л=Ци
Рис. 488
Рис. 489
|/3,
•/////X'/////.
2Р
2Г
Г
///
»
1
1
о
<
■
77//// •//////, ■
Рис. 490
Исчерпание несущей способности конструкции наступит, когда и
в крайних стержнях напряжения достигнут предела текучести.
Соответствующая этому моменту нагрузка
Р„р = а/ + 2Ро^ С05 а = (Ц- 2 С08 а) о^?. A8.9)
[ Запас прочности при расчете по предельному состоянию
^пр — '
A+2 С05 а) Стт/^
A«.10)
Очевидно, что Ппр > п^. Например, при а = 30° -^^ = 1,19.
Таким образом, расчет по предельному состоянию позюлил
обнаружить скрытый запас работоспособности конструкции.
Определим запас прочности трехступенчатого бруса (рис. 490),
изготовленного из пластичного материала.
Расчет по допускаемому напряжению.
Задача один раз статически неопределимая. Условие равновесия имеет
следующий вид:
^?л + ^?в —2Р = 0. (8.11)
Деформации участков бруса должны удовлетворять условию
А/,-ЬА/2Ч-А/з=0,
или
ЕГ
2ЕР
ЕР
т
Отсюда следует, что
Ка'=^Вв. A8.12)
Подставляя значения /?л в выражение A8.11), найдем, что
Реакция верхнего закрепления
5
Яа = -1-Р. A8.14)
Участки I и II бруса сжаты усилием N1 == Мц = -г-Р,а
участок /// растянут усилием NI^^ — -^Р.
Наибольшие напряжения юзникают в поперечных сечениях
верхнего участка. Эти напряжения
0111= —рг-^-^ . A8.15)
Запас прочности по пределу текучести
«^=^ = -Г-Т-- A8.16)
Расчет по предельному состоянию. Прежде
всего выясним, какое состояние для рассматриваемой системы
предельное. Из выполненного выше расчета следует, что в пределах
упругости а/я >а/>а//. Поэтому при юзрастании нагрузки
предела текучести сначала достигнут напряжения в верхнем участке. Это
состояние не приведет к исчерпанию несущей способности системы,
так как нижние участки, находящиеся еще в упругом состоянии,
будут сопротивляться юзрастающей нагрузке. Усилие,
воспринимаемое верхним участком, при этом постоянно:
ЛАш„р = ^?^ = а/. A8.17)
Участки I и II сжаты силой
М, = N,1 = 7?в = 2Р — /?л = 2Р — 0,/=". A8.18)
При дальнейшем возрастании нагрузок Р пластическое состояние
наступит в нижнем участке /, где напряжения больше, чем в
участке //. Этот момент и соответствует исчерпанию несущей способности
системы, так как средний участок, находясь между пластически
деформированными областями, не встретит возрастающего
сопротивления перемещению.
Таким образом, предельное состояние системы характеризуется
появлением текучести одновременно в верхнем и нижнем участках.
Предельную нагрузку найдем из условия
%р = ~-р- Р т" A8.1У)
492
Отсюда
пр
■аир.
Запас прочности системы, нагруженной силами Р,
'пр
пр
ОгР
A8.20)
A8.21)
Р — Р •
Сопоставляя формулы A8.16) и A8.21), видим, что запас
прочности оказался большим, чем в случае расчета по допускаемому
напряжению.
§ 114. РАСЧЕТЫ ПРИ КРУЧЕНИИ
При кручении стержней с круглым поперечным сечением
касательные напряжения в упругой области пропорциональны
расстояниям точек сечения от оси стержня (рис. 491) и определяются по
формуле
т:=4^р, A8.22)
•'р
а
1 Уш^
\о 1
Рис.
491
^СЪюнс
Ът
/
Рис.
492
Г
A8.23)
Когда крутящий момент увеличивается, то пластические
деформации появляются не сразу по всему поперечному сечению, а
постепенно, по мере роста момента распространяются от наиболее удаленных
точек к оси стержня.
Вследствие этого расчеты на
прочность по напряжениям
Б наиболее опасных точках
и по предельному
состоянию дают различные
результаты даже в
статически определимых системах.
Расчет по предельному
состоянию и в этом случае
позволяет обнаружить дополнительные резервы прочности.
Рассматривая кручение в пластической области, будем
предполагать, что зависимость между касательными напряжениями и
относительным сдвигом для материала соответствует
идеализированной диаграмме с неограниченным горизонтальным участком
(рис. 492).
При некотором значении крутящего момента М^ = г^]}^р
напряжения тГмгкс в наиболее удаленных точках сечения достигнут
предела текучести. Вследствие роста напряжений во всех точках,
лежащих ближе к оси, стержень сохранит способность юспринимать
возрастающий крутящий момент. С дальнейшим увеличением
последнего рост напряжений приостанавливается в тех точках, где они
достигли предела текучести, в остальных же точках, образующих
так называемое упругое ядро, напряжения юзрастают. Эпюра
493
напряжений, соответствующая этому состоянию стержня, приведена
на рис. 493, а. Упругое ядро имеет радиус г^
Когда пластическая зона охватит все сечение, несущая
способность стержня будет исчерпана, так как в дальнейшем он будет
закручиваться без увеличения крутящего момента. Эпюра
напряжений при этом состоянии стержня изображена на рис. 493, б.
Вычислим величину предельного крутящего момента Л1пр,
соответствующего исчерпанию несущей способности стержня.
Выделим в поперечном сечении элементарную площадку в виде
кольца шириной ф (рис. 493, в). Величина площадки, на которой
действуют касательные напряжения т^, составит йР — 2прйр, а
величина момента от этих напряжений относительно оси стержня
будет Тг2яр*ф.
Крутящий момент в сечении равен сумме всех элементарных
моментов внутренних сил. Поэтому
а_
2
М,
пр
г2я ] р*ф.
или
Величина
М,
пр
о
"Т2~
"Т2~
= 1Г
Р(пл)
A8.24)
A8.25)
называется пластическим моментом сопротивления при кручении.
Тогда
Л^пр = г^^р^пп). A8.26)
Найдем отношение предельного момента Л1пр и момента М^, при
котором в сечении впервые возникнут напряжения текучести:
Л1,
пр_ _
VI'.
р{пл)
Мт
"№„
эти'
Подставив значения И^р(пл)=-72" И ^^
пб?
М,
пр
Мр
_4_
3 '
16
получим
A8.27)
A8.28)
494
или
Мпр =
Л1,= 1,ЗЗМ^
A8.29)
Таков скрытый запас работоспособности круглого стержня,
обнаруживаемый при переходе от расчета по допускаемым напряжениям к
расчету по предельному состоянию.
У скручиваемых стержней кольцеюго поперечного сечения
распределение напряжений в упругой стадии ближе к равномерному,
поэтому разница в запасах прочности, обнаруживаемая при расчете
М,
^ а
4
N. II
Н
2а
т
а
Ш
^
•-■у^
по предельному состоянию и по допу- ^■
скаемым напряжениям, будет
меньшей.
В качестве примера рассмотрим
стержень круглого поперечного
сечения, концы которого жестко
защемлены (рис. 494, а). В промежуточном
сечении стержня приложен
закручивающий момент М^. Определим запас
прочности при расчете по допускае- ^р^!
мому напряжению и по предельному "^Н^
состоянию.
Расчет по допускаемо- 11 I И Р
му напряжению. Раскрыва- 0
ем статическую неопределимость зада- Рие, 494
чи при упругом состоянии материала.
Обозначив реактивные моменты через Ма и Мв, получим уравнение
равновесия в таком виде:
Ма + Мв = М^. A8.80)
Деформации должны удовлетюрять следующему условию:
Ф = Ч^у — Фу/ = О,
?1
-|СЧ|
или
М^а
Мд2а
Отсюда
с^р о^р
Ма = 2Мв.
Решая совместно уравнения A8.30) и A8.32), найдем, что
A8.81)
A8.32)
Ма = Мыр = -|- М^; Мв = Мшр = 4" ^«
Эпюра крутящих моментов показана на рис. 494, б.
Наибольшие касательные напряжения будут на участке /I
м
/кр
1Г„
1Г„
2Мк
16
_ 32^к
491
Ведя расчет по допускаемым напряжениям, имеем
Тмакс==-|^<[Т] = -^. A8.33)
Отсюда запас прочности по пределу текучести
"т = -:г~ ^ 2ЛГ~ • (*^-^'*>
Расчет по предельному состоянию. При
увеличении скручиваюш,его момента наибольшие напряжения на
первом участке достигнут предела текучести и затем зона текучести
будет распространяться к оси стержня. Когда текучесть охватит все
сечение, реактивный момент Ма достигнет своего предельного
значения. Его величина
Л^лпр == т,1Гр(пл), A8.35)
или
Ма,^ = х,-^. A8.36)
Это состояние не будет предельным для всего стержня, так как
второй участок, находящийся в упругом или в упруго-пластическом
состоянии (с упругим ядром), сохранит способность оказывать
сопротивление возрастающему моменту М^. Несущая способность
стержня исчерпается, когда и на втором участке зона пластичности
распространится по всему сечению. Реактивный момент Мв при этом
достигнет своего предельного значения
Л1впр = т,1Гр(п^,), A8.37)
или
Л1впр = т,^. A8.38)
Эпюра крутящих моментов в предельном состоянии стержня
изображена на рис. 494, в.
Предельное значение скручивающего момента для всего стержня
найдем из условия равновесия A8.30):
Мк.пр = Млир + Мвпр,
или с учетом выражений A8.36) и A8.38):
Запас прочности
Л1к.пр = т^^. A8.39)
Таким образом, расчет по предельному состоянию показал, что
запас прочности стержня значительно выше, чем тот, который дает
расчёт по допускаемому напряжению [формула A8.34)]. Отношение
этих запасов прочности -^ = 1,78.
Следует отметить, что расчеты по несущей способности вполне
приемлемы при действии постоянных крутящих моментов,
496
§ 11$. РАСЧЕТЫ ПРИ ИЗГИБЕ
В поперечных сечениях балки при изгибе нормальные
напряжения в упругом состоянии материала распределяются неравномерно,
линейно изменяясь по высоте балки (рис. 495, а). Наибольшие
нормальные напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии
точках поперечного сечения определяются по формуле
_ м
При расчете на прочность по допускаемым напряжениям запас
прочности определяется как отношение предела текучести материала
к наибольшему напряжению. Этим самым за опасное принимается
Рис. 495
состояние балки, соответствующее достижению наибольшими
нормальными напряжениями в опасных сечениях предела текучести.
Такое состояние лишь условно можно считать опасным. Балка еще
сохраняет способность воспринимать увеличивающийся
изгибающий момент.
Определим величину предельного изгибающего момента в случаэ
чистого изгиба. Рассмотрим вначале балку, поперечные сечения
которой имеют две оси симметрии. Пределы текучести при растяжении и
сжатии будем считать одинаковыми.
После появления текучести в наиболее удаленных от нейтральной
оси точках сечения при дальнейшем увеличении изгибающего
момента пластическое состояние материала распространяется в
направлении к нейтральной оси. До полного исчерпания несущей
способности балки в ее поперечных сечениях будут две зоны — пластическая
и упругая (рис. 495, б). Предельное состояние наступит, когда
текучесть распространится по всему поперечному сечению, так как
после этого дальнейшая деформация балки происходит без
увеличения изгибающего момента. Эпюра нормальных напряжений в
поперечном сечении для предельного состояния изображена на
рис. 495, в. В рассматриваемом поперечном сечении образуется так
называемый пластический шарнир, который передает постоянный
момент, равный предельному изгибающему моменту.
Предельный момент можно вычислить как сумму моментов
относительно нейтральной оси сил а^Р в поперечном сечении
497
(рие. 495, в):
М,
пр
- I а^уйР = 0^2 { уйР = с^25,
иаио
2
A8.41)
где 5„
— статический момент площади половины поперечного
сечения относительно нейтральной оси.
Величину 25макс принято называть пластическим моментом
сопротивления и обозначать И!?'™. Тогда
Мпр = с,1Гпл. A8.42)
Для прямоугольного поперечного сечения, имеющего ширину 6 и
высоту Н,
1Гп
Ш
A8.43)
Опасная величина изгибающего момента при расчете по
допускаемым напряжениям
Отношение
м„
VI'
Мт
1Г
A8.44)
характеризует степень увеличения запаса прочности балки при
переходе к расчету по предельному состоянию. В случае балки
прямоугольного сечения
^
Г
ьнуб
= 1,5.
Рие. 496
Для двутавровых прокатных балок в
среднем —^ = 1,18.
Если сечение балки имеет только одну ось
симметрии в плоскости нагрузки (рис. 496),
то в предельном состоянии нейтральная ось
не пройдет через центр тяжести поперечного сечения. Положение
нейтральной оси определяется из равенства нулю суммы проекций
на ось балки всех сил о^йР, распределенных по ее сечению:
[ а^с1Р = I аЖ + I (— с,) йР = О,
Р Р1 Р,
где Рх — площадь растянутой зоны сечения;
р2 — площадь сжатой зоны.
Отсюда получаем
Р1 — Р2 = О, ИЛИ р1 = Ра.
т. е. в предельном состоянии нейтральная ось сечения должна
делить его площадь пополам.
A8.45)
498
Предельный изгибающий момент
Л^пр = I о,уйР = $а^уР +](— а,){^у)йР = а,Eр + 5сж), A8.46)
где 5р — статический момент растянутой зоны сечения
относительно нейтральной оси;
5сж — абсолютная величина статического момента сжатой зоны
сечения относительно той же оси.
В этом случае пластический момент сопротивления
1Г„
5р + 5е
A8.47)
Приведенные рассуждения относительно определения
предельного состояния, эквивалентного образованию пластического
шарнира в поперечном сечении балки, строго говоря, справедливы только
для чистого изгиба, когда нет касательных напряжений.
Определение предельного состояния с учетом поперечной силы более
сложно. Этот вопрос здесь не выясняется.
Рассмотрим пример расчета балки на изгиб по допускаемым
напряжениям и по предельному состоянию без учета влияния
поперечной силы.
Балка прямоугольного поперечного сечения, защемленная по
концам, несет равномерно распределенную по длине нагрузку
интенсивности д (рис. 497, а). Определить наибольшую интенсивность
этой нагрузки, допустимую
согласно расчету по допускаемым
напряжениям и по предельному
состоянию при одном и том же запасе
прочности п.
Расчет по
допускаемым напряжениям.
Балка статически неопределима. Ее
расчет существенно упрощается
благодаря симметрии. Используя
методы гл. 14, легко находим лишние
неизвестные и строим эпюру
изгибающих моментов (рис. 497, а).
Наибольшее значение изгибающий
момент имеет в опорных
защемленных сеченях:
*г1макс. —-
12
A8.48)
Рис. 497
При увеличении нагрузки д максимальные напряжения в этих
же сечениях прежде всего достигнут предела текучести. Принимая
запас прочности по пределу текучести равным п, найдем наибольшую
допустимую кнтенсивность нагрузки из условия прочности:
-%^==^. A8.49)
4$»
Учитывая, что ТГ = -^, а Ммакс = -72"' получаем
д, = 2^-^. A8.50)
Расчет по предельному состоянию. После
появления пластических деформаций в наиболее удаленных от
нейтральной оси точках опорных сечений дальнейший рост нагрузки
приведет к образованию в этих сечениях пластических шарниров,
а изгибаюЕ:ий момент при этом достигнет предельного значения Мпр.
Теперь уже балка работает как шарнирно опертая, к которой на
опорах приложены постоянные моменты (рис. 497, б)
Мпр = с^1Гпл = с,-^^-. A8.51)
При дальнейшем росте нагрузки эти моменты сохраняют свое
значение и задача стгноЕИтся статически определимой. В пролетных
сечениях величины изгибающих моментов будут возрастать, пока
посредине пролета момент не станет равным той же величине Мпр,
т. е. пока не образуется пластический шарнир. При этом три
пластических шарнира расположатся на одной прямой, поэтому
дальнейший рост нагрузки невозможен. Несушдя способность балки
исчерпается.
Условие равенства изгибающих моментов в опорных сечениях и
посредине пролета имеет вид
■^ Мпр == Мпр, A8.52)
откуда находим, что
М„р = -^. 08.53)
Приравнивая правые части формул A8.51) и A8.53), найдем:
9пр = 40^—^2-- A8.54)
Принимая запас прочности равным п, получим наибольшую
допустимую интенсивность нагрузки:
9, = -^ = 4-2^-^5^. A8.55)
Отношение наибольших допустимых нагрузок при расчетах по
предельному состоянию и по допускаемым напряжениям
Расчет по предельным состояниям часто позволяет вскрыть
дополнительные резервы прочности. Как указывалось выше, он
получил широкое распространение при расчете строительных
конструкций и находит все большее применение в машиностроении. Однако
этот метод не следует считать универсальным, полностью
заменяющим расчет по допускаемым напряжениям.
500
Расчет по предельному состоянию с определенным запасом
прочности не гарантирует от появления местных пластических
деформаций. Последнее еще допустимо при постоянных нагрузках,
которые имеют место преимущественно в строительных конструкциях.
При переменных нагрузках, на которые чаще всего приходится
рассчитывать машиностроительные конструкции, появление
пластических деформаций во многих случаях недопустимо. Поэтому в
таких случаях следует вести расчет по допускаемым напряжениям.
Глава 19
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 116. УСТОЙЧИВОЕ И НЕУСТОЙЧИВОЕ
УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ
Проводя расчеты на прочность и жесткость при различных
деформациях, мы полагали, что во время деформации любой системы
имеет место единственная заранее известная форма равновесия. В
действительности же в деформированном состоянии равновесие между
внешними и вызываемыми ими внутренними силами упругости может
быть не только устойчивым, но и неустойчивым.
Упругое равновесие будет устойчивым, если деформированное
тело при любом малом отклонении от состояния равновесия
стремится возвратиться к первоначальному состоянию и возвращается к
нему после удаления внешнего воздействия, нарушившего
первоначальное равновесное состояние. Упругое равновесие неустойчиво.
если деформированное тело, будучи выведено из него каким-либо
воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться
в направлении данного ему отклонения и после удаления
воздействия в исходное состояние не возвращается. Между этими двумя
состояги ^ми равновесия существует переходное состояние,
называемое критическим, при котором деформированное тело находится
в безразличном равновесии: оно может сохранить первоначально
приданную елу форму, но может и потерять ее от самого
незначительного воздействия.
Устойчивость формы равновесия деформированного тела зависит
от величины приложенных к нему нагрузок. Например, если силы,
сжимающие стержень, невелики, то первоначальная форма
равновесия остается устойчивой (рис. 498, а). При возрастании величин
приложенных сил достигается состояние безразличного равновесия,
при котором наряду с прямолинейной формой стержня возможны
смежные с ней слегка искривленные формы равновесия (штриховые
линии на рис. 498, б). При дальнейшем самом незначительном
увеличении нагрузки характер деформации стержня резко меняется—
501
стержень выпучивается (рис. 498, в), прямолинейная форма
равновесия перестает быть устойчивой. Это означает, что нагрузки
превысили критическое значение.
Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости
первоначальной формы тела, называется критической и
обозначается через Р^^р.
Можно утверждать, что достижение нагрузками критических
Ёначений равносильно разрушению конструкции, так как
неустойчивая форма равновесия неминуемо будет утрачена, что связано с
практически неограниченным ростом деформаций и напряжений.
Р<Р.
кр
Р=Р,
Щ-\ Щ-.[
кр
р>р.
а
6
Рис. 498
Особая опасность разрушения
вследствие потери устойчивости
заключается в том, что обычно она происходит
внезапно и при низких значениях
напряжений, когда прочность элемента
ещ,е далеко не исчерпана.
До момента наступления
критического состояния упругие деформа-
^А^ \А ' ' \А / ^^^ "° величине весьма незначи-
^Г>4 ^^ ^^>° тельны и нарастание их происхо-
^т N7^ угГ дит почти незаметно для глаза. Но с
момента наступления критического
состояния до момента разрушения
остаточные деформации нарастают
крайне быстро, и практически нет времени принять меры по
предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчете на устой-
чиюсть критическая нагрузка подобна разрушающей при расчете
на прочность. Для обеспечения определенного запаса
устойчивости необходимо, чтобы удовлетворялось условие
Р<[Р]. A9.1)
Здесь
Р^
{Р\ =
где Р
кр
A9.2)
действующая нагрузка;
1у — коэффициент запаса устойчивости.
Следовательно, чтобы рассчитывать сжатые стержни на
устойчивость, необходимо изучить способы определения критических
нагрузок Ркр.
Из всего многообразия расчетов на устойчиюсть упругих систем
подробно рассмотрим лишь случай потери устойчивости при сжатии
длинного тонкого стержня, или так называемый продольный изгиб.
§ 117. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
Предположим, что под действием силы Р, величина которой
несколько превышает критическую силу Р^р, стержень с шарнирно
вакрепленными концами (рис. 499, а) слегка изогнулся (рис. 499, б).
502
Отнесем искривленную ось стеря^ня к прямоугольной системе
координат, выбрав начало координат в точке О.
Предположим, что критическая сила Ркр не вызывает в стержне
напряжений, превышающих предел пропорциональности, и что
рассматриваются только малые отклонения от прямолинейной формы.
Тогда для определения критической силы можно воспользоваться
приближенным дифференциальным уравнением A0.44) упругой
линии:
Е^^
Ох^
±М(х).
A9.3)
Здесь /мин — наименьший момент инерции сечения стержня.
В расчет принимается наименьшая жесткость стержня ^/мии,
так как очевидно, что прогиб произойдет перпендикулярно к оси
наименьшей жесткости, если остальные условия для изгиба во всех
плоскостях одинаковы, как в рассматриваемом случае.
В отличие от поперечного изгиба при продольном в правой части
Этого уравнения следует ставить знак «минус», так как абсолютная
величина изгибающего момента
\М(х)\ = \Ры)\, A9.4)
а знак прогиба всегда противоположен знаку второй производной,
т. е. Енаки момента М (х) и второй производной -^^
противоположны при любом направлении ш.
Подставив в уравнение A9.3) выражение
A9.4) для изгибающего момента, получим
■С^МИИ ^„2 "и).
ах""
или
+
г/..
ш = 0.
Введя обозначение
к\
перепишем уравнение A9.6) так:
ах^
+ кЪ = 0.
A9.5)
A9.6)
A9.7)
A9.8)
X
^
" 1
1
?
*^
0
%
X
1
м
X
VI
м
ч
\
р
•ч^
0
р
а 6
Рис. 499
Мы получили одноролное линейное дифференциальное
уравнение, общий интеграл которого, как известно, представляется
гармонической функцией
т ~ Аъ\г\кх + Всоъкх. A9»9)
Постоянные интегрирования Л и В должны быть подобраны так,
чтобы удовлетворялись граничные условия
ЬУ (-к) ^=0 = 0; VI} {х) \х=1 = 0.
503
Из первого граничного условия следует, что Я = О, т. е.
и)(х) = А вт кх. A9.10)
Из второго условия получаем
Л8ШЙ/ = 0. A9.11)
Если допустить, что Л = О, то прогиб будет тождественно равен
нулю, т. е.
гг;(л:) = 0.
Это решение соответствует одной из возможных форм равновесия
сжатого стержня, а именно — прямолинейной форме. Нас же
интересует значение силы Р, при которой становится возможной другая
форма равновесия — криволинейная. Так как Л =7^ О, то при
искривленной форме стержня должно выполняться равенстю
81П Ы = 0.
Корень этого уравнения М может иметь бесконечное множество
значений: О, л, 211, ..., тх, т. е.
Ы ~ пп,
где п ■— произвольное целое число.
Однако первый корень Ш = О отпадает, так как он не
соответствует исходным данным задачи. Таким образом,
кЧ'' = п^я^. A9.12)
Тогда из уравнения A9.7) получим выражение для сжимающей силы:
р== ^1^^^. A9.13)
Уравнение A9.13) представляет собой формулу, впервые
полученную Эйлером.
Практически нас интересует наименьшее значение продольной
сжимающей силы, при котором становится возможным продольный
изгиб. Наименьшее значение критической силы Ркр получим при
п = 1 и к1 ~ п:
мин
ко ^^^ 7^.
кр
A9.14)
Возвращаясь к уравнениям A9.10) и A9.12), получим уравнение
изогнутой оси стержня при малых деформациях:
/V л ■ П1ХХ
и)(х) = А 81П —.— .
ппх
Наибольший прогиб стержня Шмакс = / при 51П —.— = 1. Тогда
ш (л:)—ьУмакс =/= Л. Следовательно, уравнение упругой линии
сжатого стержня имеет еид
гг; = /8ш-^. A9.15)
График этой зависимости показан на рис. 500.
5С4
Максимум хй) имеет место при
таком значении х, для которого
^ 0.
п=3
т. е.
их
-у- С08
или соз-
пях
I
= 0.
-о,
Наименьшее значение
аргумента, при котором косинус равен
^ л ппх л
нулю, будет , значит, —^— = -^'
откуда ^
I A9.16) Рис. 500
2Я-
4-4-
УУ
Рис. 501
Если п
/
1, то л: = -н-, а максимум т имеет место посредине
стержня, что соответствует так называемому основному случаю,
показанному на рис. 499.
Из соотношения A9.16) или из уравнения A9.15) и рис. 501
следует, что п представляет собой число полуволн синусоиды,
располагающихся на длине изогнутого стержня.
§ 118. ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ЗАКРЕПЛЕНИЯ
КОНЦОВ СТЕРЖНЯ НД ВЕЛИЧИНУ
КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ
В § 117 рассмотрен так называемый основной случай нагружеиия
и закрепления концов сжатого стержня — стержня с шарнирно
опертыми концами. Как было показано, после потери устойчивости на
длине стержня укладывается только одна
полуволна (я = 1).
Рассмотрим другие случаи закрепления
концов стержня:
1. Стержень длиной / заделан одним
концом и сжат продольной силой, приложенной
к свободному концу (рис. 502, а). Сравнивая
рис. 502, а и б, видим, что изогнутая ось
стержня, заделанного одним концом,
находится в таких же условиях, как и верхняя
половина стержня длиной 2/ с шарнирно закреп-
/К1 ленными концами. Таким образом, критиче-
7^^ екая сила для стержня с одним заделанным,
а другим свободным концом такая же, как и
Рис. 502 для стержня с шарнирно опертыми концами
"^?1?^
"^Т
505
У
при длине Ь — 21, т. е.
кр-
АР
A9.17)
При этом изогнутая ось стержня (рис. 502, а) имеет вид половины
полуволны синусоиды.
2. Стержень длиной /, у которого оба конца жестко заделаны
(рис. 503). После потери устойчивости стержня вследствие
симметрии средняя его часть длиной -^ работает в тех же условиях, что и
стержень при шарнирно опертых концах. При этом образуются две
полуволны: средняя длиной Ь = -^ и две крайние по-
„ /
ловинки полуволны длиной у.
Критическую силу в этом случае находим из
уравнения A9.14) при ^ =-2-:
кр
Р
Рис. 503
Рис. 504
A9.18)
3. Стержень
длиной / заделан одним
концом и шарнирно
оперт на другом
(рис. 504). После
потери устойчивости правая часть СВ стержня имеет вид полуволны
синусоиды. Из сравнения рис. 504 и 502, б находим, что участок СВ
длиной ^ = 0,7/ находится в таких же условиях, как и стержень с
шарнирно закрепленными концами. Значит,
A9.19)
Соотношения A9.14), A9.17) — A9.19) можно объединить в одну
формулу
A9.20)
где V/ = /пр — приведенная длина стержня;
/ — фактическая длина стержня;
V — коэффициент приведения длины.
Таким образом, различные случаи опирания и нагружения
стержня приводятся к основному случаю введением в формулу для Р^р
так называемой приведенной длинц /рр = V/. Это понятие впервые
было введено Ф. С, Ясинским/
$06
Из формулы Эйлера A9.20) видно, что критическая нагрузка
зависит от наименьшей жесткости Е^мт, длины стержня / и
коэффициента V.
На рис. 505 приведены значения V для рассмотренных стержней.
Однако такие расчетные схемы на практике редко встречаются в
чистом виде. Чаще закрепления концов бывают упругими. Наиболее
распространены следующие случаи упругого закрепления концов:
а) один конец стержня жестко заделан, а другой упруго оперт;
б) оба конца упруго заделаны.
Рассмотрим первый случай (рис. 506). После потери
устойчивости упруго опертый конец стойки перемещается в вертикальном
направлении на величину /в, при этом возникает упругая реакция 1^в-
Эта реакция пропорциональна
отклонению [в'-
Яв = с/в,
где с— коэффициент упругости опоры В.
^ Ь'^^
я. '?77. 777. ТТГ,
Р=1 ' Р=0,7 Р=0,5 У=2
'—" РйёГ505 ~
К'
'1
, 5
X ,
г
в Р,р
-^
^
■"Ч^в
л
Рис. 506
Составим дифференциальное уравнение упругой линии сжатого
стержня после потери устойчивости:
^^мин -^ = -Ркр (/в — и)) — с[в {I — X).
Разделив почленно на ^Умии и обозначив, как обычно,
р
КР А2
A9.21)
получим
или
Е^..
а^ш
+ кЪ} = Щв(\ 4~] + к^^х, A9.22)
Общий интеграл этого дифференциального уравнения
хю=^Съткх + Всо&кх + ^ви — -4—1]+-^!вХ. A9.23)
\ ^кр / ''^кр
Для определения постоянных интегрирования и р|)итической
нагрузки имеем такие граничные условия!
«07
при X = о
т @) = ши == 0; A9.24)
-^==0@) = 0^ = 0; A9.25)
при X = I
ш(/)=:гг;в = /в. A9,26)
Используя граничное условие A9.24), из уравнения A9.23)
находим
Чтобы применить граничное ус^■овие A9.25), вычислим
производную от перемещения хю:
—7— = кСо-оъкх — кВ 81П кх + -в— /в.
откуда при л; = О находим
' кр
или ,
с
/в-
*Ркр
Подставив полученные выражения для произвольных
постоянных в формулу A9.23), получим окончательное уравнение
изогнутой оси сжатого стержня:
хю (л;) = г^— /в 81п кх — /в A -^— /] соз кх +
+ /вA—^/) + -|^^. A9.27)
Граничное условие A9.26) используем, чтобы получить
определяющее уравнение для нахождения критической нагрузки. Положив
в уравнении A9.27) х = I, находим, что
^ (О = ~-Ж~ /в8Ш к1 — 1в[\ — -/- 1\ созЛ/ +
кр \ ' кр
или
откуда
\ ^кр / '^кр
■ р 8Ш й/ —11 — -^— /^1 соз Ы = о.
{ёк1 = к1(^
1--^). A9.28)
Если это уравнение решить, т. е. определить наименьший
корень к, то тем самым можно найти значение критической нагрузки,
508
так как
Рассмотрим два предельных случая. Положив с = О, получим
\д,Ы — со; т. е. Ы = ~^,
и приходим к такой расчетной схеме стержня, когда один конец
(левый) жестко заделан, а другой (правый) свободен. Величина
критической силы
МИН
л^кп ■—- ■
Положив с = оо (очень жесткая опора), получим определяющее
уравнение
*§Ы = к1\ т. е. Ы = 4,493 ^~.
Величина критической силы
^"Р ~ @,7/J '
что дает формулу для стержня, один конец которого заделан, а
другой шарнирно оперт.
Таким образом, если коэффициент упругости опоры с меняется
от нуля до бесконечности, то это можно учесть коэффициентом
приведения V, который при этом соответственно изменяется от 2 до 0,7.
§ И9. ПОНЯТИЕ о ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ПРЕВЫШАЮЩИХ
ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Вывод формулы Эйлера основан на применении
дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому воспользоваться этой
формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т. е.
пока критическое напряжение (напряжение сжатия,
соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности:
" -^'"' <апц. A9.29)
^^Кр — р
Действительно, если прямолинейная форма стержня остается
устойчивой и при напряжениях, превышающих предел
пропорциональности, то дифференциальное уравнение A9.3), предполагающее
справедливость закона Гука, уже непригодно.
Выведем формулу для критического напряжения Окр. В
соответствии с выражениями A9.29) и A9.20)
Окр---р-- р^^^^^ — / у/ х2 ' и»-^"|
509
Здесь 1^ = '^и„ = -^ — квадрат наименьшего из главных
радиусов инерции стержня;
Р = Рбр — площадь брутто поперечного сечения
стержня.
Введя безразмерную величину
Я=-^, A9.31)
называемую гибкостью стержня, окончательно получим
■'кр
Я2
A9,32)
т. е. критическое напряжение стержня зависит только от упругих
свойств материала (модуля упругости Е) и гибкости стержня (К).
Функциональная зависимость A9.32) представляет собой
видоизменение формулы Эйлера. В системе координат а^р —Я эта
зависимость может быть представлена гиперболической кривой,
называемой гиперболой Эйлера. В качестве примера приведем такой
график (рис. 507) для стержня из стали марки СтЗ, для которой модуль
упругости Е = 2,1 • 10" кгс/см^, предел текучести с^ = 2400 кгс/см^
а предел пропорциональности с„ц = 2000 кгс/см^.
График показывает, что по мере возрастания гибкости стержня
критическое напряжение стремится к нулю, и наоборот, по мере
приближения гибкости стержня к нулю критическое напряжение
стремится к бесконе! ности.
Однако из условия A9.29)
применимости формулы Эйлера в
соответствии с формулой A9.32)
имеем
СГкр ^
И, следовательно.
^=2400
Б„^2000
1000
N 8
К
\
м
V
^лред,
A9.33)
50
Рис. 507
100 150К
Значит, формула Эйлера становится непригодной при гибкости
стержня, меньшей предельного значения Япред, зависяш,его только
от свойств материала, т. е. в рассматриваемом случае при
Ж Я,
пред
= /
3,142 . 2,1 . 10в
2000
100.
То же можно получить и графически. Если на оси ординат (акр)
отложить величину предела пропорциональности @пц =
= 2000 кгс/см^) и провести из полученной точки К прямую,
параллельную оси абсцисс, то она в пересечении с гиперболой Эйлера даст
точку М, абсцисса которой и есть Япред. Слева от точки М
гипербола Эйлера показана штриховой линией, так как здесь она дает
510
значения напряжений, большие предела пропорциональности, т. е.
не соответствующие условиям ее применимости.
Однако явление продольного изгиба продолжает существовать
и за пределом упругости. Опытным путем установлено, что
действительные критические напряжения для стержней средней и малой
гибкости (Я < Япред) ниже значений, определенных по формуле Эйлера.
Таким образом, в этом случае формула Эйлера дает завышенные
значения критической силы, т. е. всегда переоценивает действительную
устойчивость стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для
стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, не только
Таблица 20
Материал
Ст2, СтЗ
Ст5
^пред
1С0
100
90
100
110
80
а
3100
4640
3210
5890
293
7760
Ь
11,4
32,6
11,6
38,2
1,94
120
принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим
последствиям.
Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом
пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются
эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого
количества опытных данных.
Ф. С. Ясинский собрал и обработал обширный опытный материал
по продольному изгибу стержней, в результате чего составил таблицу
критических напряжений в зависимости от гибкости для ряда
материалов и предложил простую эмпирическую формулу для
вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности:
Окр = а ■
■Ь%.
A9.34)
Значения коэффициентов а и Ь для некоторых материалов даны в
табл. 20.
Для чугуна пользуются параболической зависимостью
Скр = « — ЬЯ + сЯ^,
A9.35)
где с — 0,53.
По этим данным для каждого материала при О < Я < Япред
можно построить график зависимости критических напряжений от
гибкости стержня.
При некотором значении гибкости (обозначим его Я^,) величина
Окр, вычисленная по формуле A9.34) или A9.35), становится равной
т
предельному напряжению при сжатии, а именно: для пластичных
материалов
а для хрупких материалов
акр = 0-3. A9.36)
Стержни, у которых К <; Яд, называют стержнями малой
гибкости. Их рассчитывают только на прочность.
В рассматриваемом примере (рис. 507) часть графика критических
напряжений за пределом пропорциональности (при 40 -< Я, < 100)
представит собой слегка наклоненную прямую 5М, а часть (при О <
<. Я, <; 40) — горизонтальную линию Л^5. Следовательно, график
о^кр = / (Я-) для стали СтЗ состоит вз трех частей: гиперболы Эйлера
при Я, >. 100, наклонной прямой при 40 <: А. < 100 и почти
горизонтальной прямой при Я<: 40 = Я.О. Наклонная прямая 8М
соответствует напряжениям между пределом пропорциональности и
пределом текучести. Горизонтальная прямая ХЛ/^ соответствует
напряжению, равному пределу текучести.
§ 120. РАСЧЕТЫ НД УСТОЙМИВОСТЬ
ПРИ ПОМОЩИ КОЭФФИЦИЕНТОВ УМЕНЬШЕНИЯ
ОСНОВНОГО ДОПУСКАЕМОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Можно считать, что ценгрально сжатые стержни теряют свою
несущую способность от потери устойчивости раньше, чем от потери
прочности, так как критическое напряжение всегда меньше предела
текучести или предела прочности:
о-кр < о°,
где а° = а^ — для пластичных материалов;
о° = а^ — для хрупких материалов.
Необходимо напомнить, что для стержней малой гибкости (Я <
< %о) трудно говорить о явлении потери устойчивости
прямолинейной формы стержня, как это имеет место для стержней средней и
большой гибкости. Несущая способность стержней малой гибкости
определяется прочностью материала.
Критическое напряжение для центрально сжатых стержней
средней и большой гибкости представляет, пожалуй, большую опасность,
чем предел текучести для пластичных материалов или предел
прочности для хрупких материалов при простом растяжении. Очевидно,
что при практическом решении вопроса об устойчивости стержня
нельзя допустить возникновения в нем критического напряжения,
а следует принять соответствующий запас устойчивости.
Чтобы получить допускаемое напряжение на устойчивость,
нужно выбрать коэффициент запаса Пу. Тогда
512
Коэффициент запаса на устойчивость всегда принимают
несколько больше основного коэффициента запаса на прочность (Пу > п)-
Это делается потому, что для центрально сжатых стержней ряд
обстоятельств, неизбежных на практике (эксцентриситет приложения
сжимающих сил, начальная кривизна и неоднородность стержня),
способствуют продольному изгибу, в то время как при других видах
деформации эти обстоятельства почти не сказываются. Коэффициент
запаса устойчивости для сталей выбирают в пределах 1,8—3,0; для
чугуна — в пределах 5,0—5,5; для дерева —^2,8 ... 3,2. Заметим,
что меньшие значения Пу принимают при большей гибкости.
V
Допускаемое напряжение на устойчивость [а]у =-
каемое напряжение на прочность при сжатии [<!_] =
связаны. Составим их отношение:
ф,
'кр
Обозначив
Пу
п
'^кр
И допус-
взаимно
A9.38)
рО Пу
получим
Му = ф [0-].
A9.39)
Здесь ф — коэффициент уменьшения основного допускаемого
напряжения при расчете на устойчивость. Этот коэффициент для
каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкости ^
и представить в виде таблицы или графика зависимости ф от к.
Значения коэффициента ф для сталей, чугуна и дерева приведены в
табл. 21. Пользуясь аналогичными таблицами, можно достаточно
просто рассчитывать стержни на устойчивость.
Составим условие устойчивости сжатых стержней:
о < 1о]у.
A9.40)
Так как
0 =
Л'
'^бр
, а [(Г]у = ф [ог_],
то условие устойчивости принимает вид
Л'
бр
< ф [о-].
A9.41)
При расчете на устойчивость местные ослабления сечения
практически не изменяют величину критической силы, поэтому в
расчетные формулы вводится полная площадь Р^^ поперечного сечения.
Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней —
проверочный и проектировочный.
17 8—2770
513
Таблица 21
Гибкость к
0
10
20
30
, .40
50
60
70
80
90
100
110
ТЭТ
130
140
150
160
170
180
190
200
Ст2, СтЗ,
Ст4
1,00
0,99
0,96
0,94
0,92
0,89
(У§.-.
0.81
0,75
0,69
0,60
0,52
0,45
0,40
0,36
0,32
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
Коэффициент <р для
Ст5
1,00
0,98
0,95
0,92
0,89
0,86
0,82
0,76
0,70
0,62
0,51
0,43
0,36
0,33
0,29
0,26
0,24
0,21
0,19
0,17
0,16
чугуна
1,00
0,97
0,91
0,81
0,69
0,57
0,44
0,34
0,26
0,20
0,16
—
—
—
—
—
—
—
—
—
дерева
1,00
0,99
0,97
0,93
0,87
0,80
0,71
0,60
0,48
0,38
0,31
0,25
0,22
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
Проверочный расчет сжатых стержней. Порядок проверочного
расчета на устойчивость при использовании таблицы
коэффициентов ф следующий:
1) исходя из известных размеров и формы
поперечного сечения, определяем наименьший осевой момент
инерции /мин, площадь Р^р, вычисляем минимальный
радиус инерции
гИ
И гибкость
■бр
у
я = -
V/
Рис. 508
2) по таблице находим коэффициент ф и вычисляем
допускаемое напряжение на устойчивость по формуле
Му = Ф [а-1;
3) сравниваем действительное напряжение а = ~р-
с допускаемым напряжением [Оу] на устойчивость: ^р
о < [о]у.
Пример 75. Проверить на устойчивость сжатую деревянную колонну (рис. 508)
квадратного поперечного сечения (а = 15 см) длиной / = 5 м, если основное
допускаемое напряжение [а_] = 100 кгс/см^, а сжимающая сила Р = 10 тс.
514
Определяем следующие величины:
площадь
/=• = а^ = 225 см»;
момент инерции
^ = -^ = -^ см« = 4210 см»;
радиус инерции
'=/^ = 1Лг = '*'^*'"=
У\2
приведенную длину
'пр = V/ = 0,7/=0,7 • 5 м = 3,5 м = 350 см;
гибкость
По табл. 21 интерполяцией находим, что
ф =. 0.48—0^«1^ 0.6 = 0.474.
Тогда
[о]у = ф [о_] = 0,474 . 100 кгс/см2 = 47.4 дгс/см«;
Р 10000 , 2 ,А л /2
о = -=г = —пл^— кгс/см'' = 44,4 кгс/см^.
Так как о = 44,4 кгс/см^ < 47,4 кгс/см^, то устойчивость колонны
обеспечена.
Проектировочный расчет. В расчетной формуле на устойчивость
ст = ^ < [а-], или Р,, > ^. A9.42)
имеются две неизвестные величины — коэффициент ф и искомая
площадь брутто Р^р поперечного сечения. Поэтому при подборе сечений
приходится пользоваться методом последовательных приближений,
варьируя велич'»ну коэффициента ф. Обычно в первой попытке берут
Ф1= 0,5 ~ 0,6. Принимая какое-либо из этих значений ф1,
определяют требуемую площадь Р^^ и подбирают сечение. Подобранное
сечение проверяют и устанавливают фактическое значение ф!. Если ф1
значительно отличается от ф^, то и напряжение отличается от
допускаемого. Тогда следует повторить расчет, т. е. сделать вторую
попытку, приняв среднее по величине значение между ф1 и ф1:
щ = Щ±. A9.43)
В результате второй попытки устанавливают фг. Если требуется
третья попытка, то
Фг + Фа
Фз== 2
И т. д. Обычно при подборе сечений требуется не более двух-трех
попыток.
17» 5М
Пример 76. Подобрать по сортаменту двутавровое поперечное сечение
стержня длиной 5 м, находящегося под действием центральной сжимающей нагрузки
32 тс. Оба конца стержня защемлены Материал — СтЗ. Основное допускаемое
напряжение [а_] = 1600 кгс/см'.
Определяем расчетную длину стержня:
1^^ = V/ = 0,5 • 500 см = 250 см
Подбираем поперечное сечение путем последовательных приближений.
Первая Попытка: принимаем ф^ = 0,5; требуемая площадь поперечного
сечения
р Р 32000 , ^„ ,
ф [о_] 0,5 • 1600
По сортаменту подбираем двутавр № 27 с площадью Р = 40,2 см^ и минимальным
радиусом инерции «^,^ц = 1у = 2,54 см. Гибкосхь стержня
Х = -
'пр 250
%>
2,54
По табл. 21 при линейной интерполяции
ф! = 0,69 —0,69--ею ^^^ ^^^^^ ^ ^^ ^ ^^^_
гг . ^ 0,5 -I- 0,614
Переидем ко второму приближению, приняв фз = —^ ——^ яг 0,557.
Необходимая площадь поперечного сечения стержня
Р 32 000 о „. ,
/ = ' г == • » гг- 1/пп СМ'' = 36 СМ^.
ф[о_] 0,55/ • 1600
По сортаменту подбираем двутавр № 24а с площадью Р = 37,5 см'-* и минимальным
радиусом инерции ^^^^^ "'</== 2,63 см. Гибкость стержня
^пр 250
=€)
2,63
По табл. 21 находим коэффициент фз"
Ф^ = 0,69 - °'^^~°'^° ^ 0,645 » ф2 = 0,557.
Переходим к третьему приближению, приняв
0,557 + 0,645
Вычисляем необходимую площадь.
32 000
0,60 • 1600
да 0,60.
см2 == 33,3 см«.
По сортаменту подбираем двутавр № 24 с площадью Р = 34,8 см* и минимальным
радиусом инерции („щ, = ({, = 2,37 см. Гибкость стержня
'мин 2,37
Для Я, = 105 коэффициент
ф:^0.60- Р-^»-''"' ^-Р'^^-
Вычисляем напряжение:
Р 32 000 , „ ,„,„ , ..
" = -^ = 0,56-34.8 '^•■'^/™ = '^^^ '^'^/™ '
Перенапряжение составляет
1640— 1600
100%;=!2,5«/о.
1600
Окончательно принимаем для стержня двутавр № 24
§ т. о ВЫБОРЕ МАТЕРИАЛА И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФОРМ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ДЛЯ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Для стержней большой гибкости {К >• Япред), когда критические
напряжения не превышают предела пропорциональности
материала, модуль упругости Е является единственной механической
характеристикой, определяющей сопротивляемость стержня потере
устойчивости. В этом случае нецелесообразно применять сталь
повышенной прочности, так как модули ^5'для различных сталей
практически одинаковы.
Для стержней малой гибкости применение специальных
высокосортных сталей целесообразно', так как в этом случае повышение
предела текучести стали увеличивает критические напрял^еаия,
а следовательно, и запас устойчивости.
С экономической точки зрения наиболее рациональна такая фор
ма поперечного сечения стержня, при которой величина
наименьшего радиуса инерции 1мин при определенной площади является паи
большей. Для удобства сравнения различных сечений введем
безразмерную характеристику
= Р
которую можно назвать удельным радиусом инерции. Ниже
приведены значения ^ для некоторых сечений:
Трубчатое сечение (а'= 0,95 — 0,8) . . . 2,25—164
Трубчатое сечение (а = 0,7-^ 0,8) . . . 1,2—1,00
Уголок 0,5 —0,3
Двутавр 0,41—0,27
Швеллер 0,41—0,29
Квадрат 0,289
Кру1 0,283
Прямоугольник (Н=- ^1)) 0,204
"нар
Анализ данных показывает, что наиболее рациональны
трубчатые тонкостенные сечения. Столь же рациональны и коробчатые
тонкостенные сечения. Однако следует заметить, что при
проектировании тонкостенных трубчатых н коробчатых сечении необходимо
предусматривать постановку диафрагм (ребер жесткости) на
определенных расстояниях по длине стержня. Эти диафрагмы
препятствуют появлению местных деформаций (короблений стенок).
Наименее рациональны сплошные прямоугольные сечения.
517
При расчете сжатых стержней на устойчиюсть следует
стремиться к тому, чтобы они были равноустойчивыми во всех направлениях.
Для этого проектировать сечения надо так, чтобы главные моменты
инерции были по возможности одинаковыми. Трубчатые сечения
рациональны и с этой точки зрения. Этому критерию удовлетворяют
также квадратные и круглые сечения. Нерационально применять
двутавровые сечения и сечения в виде прямоугольника.
Однако если приведенные длины в главных плоскостях различны,
то и главные моменты инерции также следует проектировать
разными, с тем чтобы величины гибкостей стержня в обеих главных
плоскостях были одинаковыми или хотя бы близкими между собой. Если
не удается сделать гибкости одинаковыми, то расчет следует вести
по максимальной гибкости.
§ 122. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
Изгиб прямого бруса называется продольно-поперечным, если
в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты как от
продольных, так и от поперечных нагрузок (рис. 509). При расчете
Рис. 509
Рис. 510
на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечных
сечениях вычисляют с учетом прогибов оси бруса:
|М„| = |МЦ-|5ш„1, A9.44)
где М„ — полный изгибающий момент;
М — момент от поперечной нагрузки;
8и>„ — дополнительный изгибающий момент от действия
осевой силы 5-
Вычисление полного изгибающего момента М„ осложняется тем,
что в данном случае принцип независимости действия сил
неприменим. Действительно, полный прогиб су^ можно рассматривать
состоящим из прогиба и), возникающего от действия одной только
поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба и.>„ — и.>,
вызванного силой 5. Совершенно очевидно, что, если осевые силы
сжимающие, полный прогиб больше прогиба от одной только поперечной
нагрузки.
Точный способ расчета. Рассмотрим точный метод определения
величины изгибающего момента М,;. Пусть на консольную балку
518
(рис. 510) действуют сжимающая сила 5 и поперечные нагрузки:
момент Л1„ и сила Р„, приложенные на свободном конце,
совпадающем с началом координат.
В этом случае дифференциальное уравнение A0.44) упругой
линии запишется так:
е1Ч!}п{х) _ М„(х) /%п лч\
где М„ (х) — полный изгибающий момент в произвольном
поперечном сечении балки.
При составлении выражения М„ (х), подставляемого в правую
часть уравнения A9.45), для изгибающих моментов, вызванных
поперечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков, а
момент от сжимающей силы 5 записывается со знаком «минус», так
как ■ .^ и ш всегда имеют противоположные знаки. Для нашего
случая выражение A9.44) нужно представить так:
- М„ (х) == М (х) — 8ш„ =Мо + РоХ — 5!^„. A9.46)
Продифференцировав выражение A9.46) по х дважды, получим
аш„(х) ^_^^!^ (,9,47)
Подставив сюда выражение для . " из уравнения A9.45),
запишем
Введя обозначение
получим дифференциальное уравнение для изгибающих моментов:
'^'У + кт„ (X) = 0. A9.50)
Общий интеграл уравнения A9.50) будет следующим:
М„(х) = Асо5кх +Взткх. A9.51)
Продифференцировав уравнение A9.51) по х, получим уравнение
для поперечных сил:
(?„ (х) = — Ак 51п кх + Вк со5 кх. A9.52)
Физический смысл постоянных интегрирования установим,
рассматривая начальные условия:
при л; = О
М„ @) = А; A9.53)
^^^0) = Вк. A9.54)
Эти начальные значения М^ и ^„ назовем начальными
параметрами и обозначим через М^ и ^^ соответственно. Тогда уравнение
5П
изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе примет
вид
М„ (X) == уИ„ со5 кх + -^ 51П кх. A9.55)
I Чтобы получить общее уравнение для изгибающих моментов при
действии сжимающей силы и различных сосредоточенных или
распределенных внешних нагрузок, можно применить метод начальных
параметров. Действительно, уравнение A9.55) составлено с учетом
одновременного действия продольной силы и поперечных нагрузок,
и значит, здесь может быть
К1
I
II
-*-Мп
С1;
-М,
\Р1
ь,
11
а.
4
V.
Рис. 511
применен принцип
независимости и сложения действия сил.
Рассмотрим балку,
нагруженную следующими попереп-
нымп нагрузками (рис. 511):
силами Рд и Р,, моментами М^
и Ж,, распределенной
нагрузкой ^^. Приложим также
сжимающую осевую силу 5.
Чтобы найти выражение
для изгибающих моментов
Л1п (х) на крайнем правом
(т. е. V) участке балки, будем
рассуждать следующим
образом. Сначала допустим, что
все нагрузки (Р,, УИ, и ^^, за
исключением начальных, отсутствуют. Тогда моментМ,, (х) выразится
в функции от начальных параметров УИ„, C„ и абсциссы х по формуле
A9.55). П>сть теперь начальные параметры равны нулю, но
действуют сосредоточенные нагрузки Р, и М,. Вдумываясь в геометрический
и статический смысл этих силовых факторов, приходим к выводу,
что их можно принять за новые начальные параметры, если
переместить начало координат соответстБенно расположению этих
силовых факторов — в точки с абсциссами а^ или &, соответственно.
Тогда аргументами тригонометрических функций в формуле A9.55)
будут отрезки
(X — й,); (х — Ь,)
и уравнение для изгибающих моментов примет вид
М„(X) = М,-С05к(х — а^)-^~-%т к(х — Ь,). A9.5€)
Если сил и люментов на участке х несколько (т), то нужно ввести
суммы. Тогда получим
т
М„(х) ^"^М.со5к(х — ад + 2"Г"^'"^^^~^'^- ('9-37)
(=1 —I
При действии распределенных нагрузок д (х) второе слагаемое пре-
по
вращается в интеграл от элементарных силовых факторов дёц
(рис. 511):
Г -|- 81П ^ (х — т!) йц == -^ [С05 к (х — A)~со5к {х —х:)\. A9.58)
Учитывая одновременное действие всех перечисленных силовых
факторов, в том числе и начальных параметров М„ и Р„, получмм
универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном
изгибе:
М„ (х) = Мц соБ кх + -^ 51П кх + V ж, соб /г (х — о,) +
+2 Х ^'" ^ (^ ~ ^^^ +2 ^ [С05к(х — а,) ■— со5 /г (х — с,-)]. A9.59)
Продифференцировав это уравнение по х, получим уравнение для
поперечных сил:
^п (Х) = — ^н^ ^'П ^Х + ^„ С05 кх — X Мск 51П к{Х — о,) +
+ 2^<С05к1х — Ь,) —^-^[^тк (X — а() — 51П ^(х — с^)!- A9.60)
Порядок применения этих уравнений к решению задач
принципиально тот же, что и в рассмотренных случаях применения метода
начальных параметров (см. гл. 10).
Начальные параметры определяются из краевых условий балки.
В общем виде эти условия можно представить так:
а) для шарнирно опертой балки
М„@) = М„@); A'КП)
М„(/) = М„(/); A9.62)
при ОТСУТСТВИИ внешних моментов на концах балки М @) = М (/) =
= 0;
б) для консольной балки с левым защемленным концом
м„@ = м„(/);
Сп@) = С„@);
в) для консольной балки с защемлением справа
/И„@)-М„@);
^л^) = ^л^)■
(A9.еЗ)
A9.64)
A9.65)
A9.66)
Напоминаем, что здесь М @), М (/) и ^ (/) — моменты и
поперечные силы в концевых сечениях балки только от поперечной иа- •
грузки.
$21
Условия A9.64) и A9.66) вытекают из того, что в заделке
продольная сила 5 не дает поперечной составляющей, так как касательная
к оси балки здесь горизонтальна.
После того как найдены начальные параметры /И„ и ^^, легко
определить полный изгибающий момент М^ в любом сечении балки.
Зная величины изгибающих моментов, можем вычислить
наибольшее нормальное напряжение:
5 , ™пмакс _.
а„акс = -р- -\ ^— • A9.67)
Для определения прогибов воспользуемся уравнением A9.44),
откуда получим
^„(х)=.-^(^)-^(") . A9.68)
Пример 77. Приняв для балки (рис. 510) следующие нагрузки: 5 = 100 Р^;
Жо = 2Ро'; ^0 = 250 кгс, определить наибольшие нормальные напряжения в
сечении В, если / = 200 см. Поперечное сечение квадратное площадью
7=' = 10 X 10 см2; У= = 835 см«; 1Г = — =167 см^; Е = 2 . Ю' кгс/см^.
Составляем уравнения моментов и поперечных сил:
М„ (х) — М^ соз кх + —— Сн 81П кх;
к
Ол (л;) = — Жн^ 81П кх + Си со5 кх.
Граничные условия рассматриваемой балки следующие:
Жп @) = Жо = 2Ро/; Сп (О = 0.A) = Ро-
Из первого граничного условия находим
Жп @) = Жн = 2Р^.
Второе граничное условие дает
Сп (/) = _ 2Р^к 81П к1 + Рн соз Ы = Р^,
откуда
_ Ра + 2РаШвтк1
соз Ы
Теперь запишем окончательное выражение для М„ (х):
-—- + 2Ро/ 51п к1
М„ (х) = 2Ро/ соз кх -\ г-, 51П кх.
СОЗ К1
Так как нас интересует изгибающий момент М„ в сечении В, то при
' = /^ = У^?^^ «-' = 3,873 . ,0-» „-,
31П Ы = 81П 200Й = 81П 0,775 = 0,700;
Соз Ы = соз 200Й = соз 0,775 = 0,713;
42 Ы = 42 200Й = 42 0,775 = 0,983
найдем, что
.„.Г .. /1 .Л. ..1 - „
кгс • см.
М„ (I) = Ж^ = 2Ро/ [соз к1 + [ -^ + зш к1\ 12 А:/] = 20,35 • 10»
522
Наибольшие напряжения вычисляем по формуле A9.67):
с'накс = 250 + 1219 крс/см^ = 1469 кгс/см^.
Приближенный расчет. В практических расчетах широко
распространены приближенные способы решения, основанные на
допущении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке
принимает форму синусоиды, т. е.
и){х)^!5т-~. A9.69)
При наличии продольной силы также приближенно принимают,
что
ш„(х)=^/п5Ш^. A9.70)
Это предположение позволяет получить практически достаточно
точные результаты для шарнирно опертых балок при действии
поперечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если
деформация балки оказывается симметричной относительно ее
середины, где ш„ /—\^/„.
Дифференциальное уравнение упругой линии
й%г) (х) _ М (X)
их ^'•'мин
A9.71)
при продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения A9.46)
запишется так:
йх^ Е^ Е^ ' \ ' }
Исключив из уравнений A9.71) и A9.72) М (х) и учтя допущения
A9.69) и A9.70), находим, что
(!п -!)^ (зш ^)=^-4-!п^^~- A9.73)
Тогда после дифференцирования
Введем обозначение
-^^ = Р, A9.75)
и назовем Р^ эйлеровой силой. Эта сила численно равна Р^р»
определяемому по формуле A9.14). Из уравнения A9.74) нарадем
выражение для прогиба посредине пролета балки при совместном действии
продольной и поперечной нагрузок:
/п= V-- (*9.76)
Применяя эту формулу, следует иметь в виду, что эйлерова сила Р,
введена выражением A9.75) чисто формально. Поэтому в отличие
523
о г критической нагрузки Р^р сила Р^ должна вычисляться по
формуле A9.14) при любой гибкости балки (даже меньшей предельной).
Вычисляя эйлерову силу, момент инерции следует брать
относительно той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна
к плоскости действия поперечной нагрузки.
Выражение A9.76) обычно применяют и при других типах
опорных закреплений сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова
сила должна вычисляться по формуле A9.20):
Р.=
(V/J
Выражение A9.76) дает удовлетворительные результаты, когда
сжимающая сила 5 не превышает О.вР^р.
Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны
прогибам, получим простую формулу для приближенного определения
величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:
Мпмакс = ^—. A9.77)
Тогда для вычисления наибольших напряжений, согласно
выражениям A9.67) и A9.77), получим формулу
^ A9.78)
О'п макс —
^
(-^)
Пример 78. Вычислить максимальный момент и наибольшее нормальное
напряжение в балке, показанной на рис. 512. Поперечное сечение балки — двутавр
№ 10, для него Р = \2 см^; 1Гг = 39,7 см^; ^г. = 198 см».
Вычисляем Рз по формуле A9.75):
п^Е^
3,142.2- 10в. 198
Р
6002
кгс =: 10 846 кгс.
5=Ю0Р
У.
/?»
У?
1
2
Р=в5т
1=6м
!^в
к
у Вычисляем момент посредине
пролета для случая поперечного изгиба:
М
85 • 600
(^н
Р1
4
Рис. 512
кгс • см = 12 750 кгс • см,
а затем по формуле A9.77) находим наибольший момент при
продольно-поперечном изгибе:
л.„(^)=.
М
12 750
1
1-
100 • 85
кгс • см = ■
12 750
1—0,784
кгс • см ==
10 846
= 58 946 кгс • см.
Наибольшие напряжения вычисляем по формуле A9.67):
8500 , 58 946
12
+
39,7
кгс/см^ = 2193 кгс/см^.
524
Определение допускаемой нагрузки при продольно-поперечном
изгибе. Расчет на продольно-поперечный изгпб обладает той
особенностью, что напряжения при увеличении нагрузки возрастают
значительно быстрее последней (рис. 513) (График на рисунке построен
по формуле A9.78) в соответствии с данными примера 78). Такая же
нелинейная зависимость напряжений от нагрузки имеет место в
любой задаче продольно-поперечного изгиба.
Из графика следует, что если для пластичного материала
напряжения Ом^кс в стержне равны допускаемым напряжениям [а!, то
обеспечен запас проч- р^^с
ности по
напряжениям:
От
п.
во
ОТ
40
_.
1
1
1
1
-—^^
Чгд
гооо г»)о 2тб„^,
кге/т'
A9.79)
Казалось бы, что при
этом прочность сжато- о мо воо ^ то
изогнутой балки
обеспечена. Однако из
графика также следует,
что в этом случае коэффициент запаса по нагрузкам значительно
меньше п, т. е.
Рт
то
т
Рис. 513
Пр =
[О]
<п.
A9.80)
лто означает, что достаточно незначительного увеличения нагрузки
(на величину Р^ — -Ри), чтобы напряжения достигли предела
текучести, а это практически соответствует разрушению балки. Отсюда
необходимо сделать вывод, что расчет сжато-изогнутых балок
следует вести не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой
нагрузке
[Р] = -^ . A9.81)
Понятно, что при этом напряжения а„акс будут значительно меньше
допускаемых напряжений [а].
Таким образом, для определения допускаемой нагрузки
необходимо сначала найти величину опасной (разрушающей) нагрузки
Р^. Это можно сделать, воспользовавшись формулой A9.67) или
A9.78), если предположить, что предел пропорциональности и
предел текучести совпадают. При применении формулы A9.67) с
вычислена ехм Л1„ по точному способу задача решается методом
последовательных приближений, при этом целесообразно воспользоваться
построением графика, подобного изображенному на рис. 513.
Применяя формулу A9.78), результат можно найти скорее. Для этого
достаточно решить квадратное уравнение относительно Р^.
525
Глава 20
УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 123. ВВЕДЕНИЕ.
КЛАССИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Изучение колебательных процессов имеет важное значение для
различных разделов механики, физики и техники. Вибрация
сооружений и машин, электромагнитные колебания в радиотехнике и
оптике, звуковые и ультразвуковые колебания — все эти не похожие
друг на друга процессы объединяются методами математической
физики в одно общее учение о колебаниях. ч]
Рассмотрим механические колебания, с которыми приходится
иметь дело в машиностроении и строительном деле. Изучение этих
колебаний очень важно для решения задач прочности при
переменных напряжениях.
Кратко остановимся на основных понятиях и зависимостях,
которыми придется оперировать в настоящей главе.
Чтобы то или иное тело способно было совершать колебания, ему
необходимо иметь определенную массу и упругость. Если упругое
тело (нагруженная балка, скрученный вал или деформированная
рессора) будет выведено из положения равновесия какой-либо
посторонней причиной (ударом, внезапно приложенной силой), то сила
упругости этого тела в новом положении уже не уравновесится
нагрузкой и возникнут колебания.
Все колебательные процессы, с которыми приходится
встречаться в технике, можно классифицировать по внешним признакам,
форме того закона, по которому некоторая величина, участвующая в
процессе, изменяется со временем. Такую классификацию можно
назвать кинематической.
Различают два класса колебательных процессов: периодические
и непериодические. В теории существенное значение имеет
промежуточный класс — почти периодические колебания.
Периодическим называется такой процесс, при котором
колеблющаяся величина, взятая в любой момент времени, через
определенный отрезок времени Т (период) имеет то же значение. ^Математи-
ческое определение периодической функции следующее: функция
/ (О называется периодической с периодом Т, если существует такая
постоянная величина Т, для которой
/(/Н-Г) = /@
при любом значении переменной I.
Непериодическими функциями называются все остальные
функции, не удовлетворяющие указанному условию.
Почти периодическая функция определяется условием
1/1(^ + т)-/1@1<е
526
при любом I, где т и е — определенные постоянные величины.
Величина т, которая, вообще говоря, есть функцией е, называется
почти периодом. Очевидно, что если е очень мало по сравнению со
средним значением модуля функции /^ (/) за время I, то почти
периодическая функция близка к периодической.
Среди класса периодических колебаний огромную роль играют
гармонические, или синусоидальные, колебания, при которых
изменение физической величины со временем происходит по синусоиде
(или косинусоиде).
Непериодические колебания гораздо разнообразнее
периодических. Наиболее часто из непериодических колебаний встречаются
затухающие (или нарастающие)
синусоидальные движения.
Колебания, происходящие по закону
затухающей синусоиды, или, как
иногда их называют, затухающие
гармонические колебания,
показаны на рис. 514, а и математически
представляются выражением
где А, ц>, ё, и со — постоянные
величины;
I — время.
Нарастающие гармонические
колебания показаны на рис. 514, б.
Математически они описываются
последним выражением с той разницей, что должен быть изменен знак
на обратный у величины б. Строго говорч, о таких колебаниях
следовало бы сказать: затухающие (или нарастающие) колебания
близки к гармоническим при достаточно малом значении б. Поэтому
название «затухающие синусоиды» или «затухающие периодические
колебания» не совсем логично, так как гармонические
колебания не могут затухать. Но название это обычно принято и мы
также будем им пользоваться.
Перечисленные внешние признаки колебательных процессов,
конечно, недостаточны для их систематизации и анализа. Поэтому
целесообразно классифицировать колебания по основным физическим
признакам рассматриваемых колебательных систем.
Вообще упругая система может давать колебания разных типов.
Например, струна или балка во время колебаний могут принимать
различные формы, зависящие от числа точек перегиба, разделяющих
длину элемента. При исследовании колебательных движений
упругих систем важно знать, какое число независимых параметров
определяет положение системы в каждый данный момент
времени. Число таких параметров называется числом степеней
свободы.
Рис. 515
527
в простейших случаях положение системы может быть
определено только одной величиной. Такие системы называются системами
с одной степенью свободы.
Рассмотрим простейший случай, изображенный на рис. 515.
Если устройство таково, что возможны только вертикальные
перемещения груза О,, н если масса пружины мала по сравнению с
величиной массы гру за ^, то систему можно рассматривать как имеющую
одну степень свободы. Положение такой колебательной системы
может быть определено одним параметром — вертикальным
перемещением груза.
Системой с двумя или несколькими степенями свободы назовем
такую систему, положение которой в произвольный момент времеьи
может быть охарактеризовано двумя или несколькими независимыми
т^ V, парамеграми. Двумя степенями свободы, на-
,^^ ~^~—.-^-^-'^Хг прьмер, обладает невесомая балка, несущая
^^^^ две массы (рис. 516, а). В качестве независи-
с мых параметров могут быть приняты
перемещения масс т^ и т^ по отношению к
положению равновесия.
Рассматривая поперечные колебания
балки, можно постепенно увеличивать число
степеней свободы, присоединяя к балке
сосредоточенные массы. В пределе получается балка с распределенной
по всей длине массой (рис. 516, б) —• система с бесконечным числом
степеней свободы. При этом прогиб в любой точке балки меняется
по особому закону. С одной стороны, прогиб балки при колебаниях
является функцией абсциссы л:, а с другой — непрерывной функцией
времени I.
Классифицируя механические колебания по другим признакам,
различают следующие четыре типа возможных колебаний:
собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания.
Собственными (свободными) называют колебания, возникающие
в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения
(«толчков»), вызывающего у точек системы начальные отклонения от
положения равновесия или начальные скорости, и продолжающиеся
затем благодаря наличию внутренних упругих сил,
восстанавливающих равновесие.
Классическим примером собственных колебаний упругой
системы являются вертикальные колебания груза, подвешенного к
концу пружины (рис. 515), если верхний конец ее закреплен, а груз
первоначально оттянут вниз и затем отпущен.
При собственных колебаниях характер колебательного процесса
в основном определяется только внутренними силами системы, зави-
сяшилш от ее физического строения. Необходимая энергия,
обеспечивающая процесс колебаний, поступает извне в начальный момент
возбуждения колебаний.
Наибольшее значение отклонений, т. е. амплитуда колебаний
и скорость собственных колебаний, определяется из начальных
52в
условий, при этом период колебаний (время одного полного
колебания) или частота колебаний, т. е. величина, обратная периоду,
зависит от самой системы. Эта величина является определенной
для данной системы и называется собственной частотой
колебаний системы.
Собственные колебания могут происходить не только около
положения устойчивого равновесия, но и по отношению к устойчивому
движению, например крутильные колебания равномерно
вращающегося вала.
Вследствие наличия сил сопротивления колебательному
движению (сопротивление среды, в которой происходит движение, трение
в подшипниках, трение в сочленениях конструкции, силы
внутреннего трения в материале) во всех реальных механических системах
собственные колебания Есегда затухают.
В этом заключается важная особенность -^ ^^
собственных колебаний по сравнению с ^'^ — "" \^'^'
другими типами колебательных движе- Рие. Я7
НИИ.
Для упрощения при теоретическом исследовании собственных
колебаний в начале решения задачи силами сопротивления обычно
пренебрегают.
Вынужденными называют колебания упругой системы,
происходящие при действии на систему (на протяжении всего периода
колебаний) заданных внешних периодически изменяющихся
возмущающих сил, которые действуют непрерывно независимо от колебаний в
системе. Характер процесса при этом определяется не только
свойствами системы, но также существенно зависит от внешней силы.
Примером вынужденных колебаний системы могут служить
поперечные колебания балки (рис. 517), служащей опорой для
электродвигателя, если у него вращающиеся массы не вполне
уравновешены. Период вынужденных колебаний равен периоду изменения
возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний от начальных
условий не зависит.
В отличие от собственных вынужденные колебания не затухают,
хотя имеют место силы сопротивления. Это объясняется тем, что при
вынужденных колебаниях в систему со стороны возмущающей силы
непрерывно подводится энергия, которая и расходуется на
преодоление имеющихся в системе сопротивлений.
В известных условиях, когда частота возмущающих сил близка
или совпадает с частотой собственных колебаний рассматриваемой
системы, вынужденные колебания сопровождаются значительным
(часто опасным) увеличением амплитуд, вызывающим недопустимые
для конструкции деформации. Это явление, как известно, носит
название резонанса.
Параметрическими называют колебания упругой системы, в
процессе которых периодически меняются физические параметры
системы, т. е. величины, характеризующие массу системы или ее
жесткость. Существенной особенностью параметрических колебаний
529
является то, что внешние силы влияют не непосредственно на
колебательное движение, а на физические параметры системы.
Таким образом, параметрические колебания отличаются от
вынужденных видом внешнего воздействия. При вынужденных
колебаниях извне задана сила или какая-либо другая величина,
вызывающая колебания, а параметры системы при этом остаются
постоянными. Параметрические колебания вызываются периодическим
изменением извне какого-либо физического параметра системы. Так,
например, вращаюш,ийся вал некруглого сечения, имеющий
относительно различных осей сечения различные моменты инерции,
которые входят в характеристику жесткости при изгибе, испытывает
поперечные колебания (см. с. 531) в определенной плоскости благодаря
переменной жесткости, периодически изменякмцейся за каждый
оборот вала. Изменение физического параметра вызывается внешними
силами. В приведенном примере внешним фактором является двигатель,
осуществляющий вращениевала. Параметрическиеколебания
незатухают при наличии сил сопротивления. Поддержание параметрических
колебаний происходит за счет подвода энергии внешними силовьши
воздействиями, изменяющими физические параметры системы.
Автиэколебаниями, или самоколебаниями, упругой системы
называют незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними
силами, характер воздействия которых определяется самим
колебательным процессом.
Автоколебания возникают в системе без внешнего
периодического воздействия. Характер колебаний определяется исключительно
устройством системы. Источник энергии, покрывающий потери ее
в системе при колебаниях (главным образом на тепло), обычно
составляет неотъемлемую часть системы.
Из сказанного следует, что автоколебания отличны от
собственных колебаний, поскольку последние являются затухающими, в то
время как автоколебания не затухают, С другой стороны,
автоколебания отличаются от вынужденных и от параметрических
колебаний, так как и те и другие так или иначе вызываются внешними
силами, характер действия которых задан. Б этом смысле
автоколебания могут быть названы также самовозбуждающимися, так как
процесс колебаний здесь управляется самими колебаниями. Источник
дополнительной энергии, поддерживающей колебания а^стемы,
находится вне упругой системы. Например, энергия воздушного
потока, набегающего на вибрирующие части сама1ета, Из1зыва€т особый
вид автоколебаний, называемый флаттером.
Кроме указанной классификации колебаний, принято также
различать колебания по виду деформации упругих элементов
конструкций. В частности, применительно к стержневым системам
различают продольные, поперечные и крутильные колебания.
К продольным колебаниям относят такие колебательные
движения системы, в частности упругого стержня, при которых
перемещения всех точек направлены вдоль оси стержня; при этом имеет место
деформация его удлинения или укорочения. Возникающие при та-
5Э0
кого рода колебаниях нормальные напряжения распределены
равномерно по поперечному сечению. Следовательно, продольные
колебания иначе можно назвать колебаниями растяжения — сжатия.
Поперечными колебаниями называют колебания изгиба, при
которых основные компоненты перемещений (в данном случае
прогибы) направлены перпендикулярно к оси стержня. Напряженное
состояние при поперечных колебаниях, очевидно, такое же, как и
при статическом изгибе балок. Поэтому поперечные колебания иначе
можно назвать изгибными колебаниями.
Крутильными называют колебания стержней, сопровождаемые
переменной деформацией кручения. С этими колебаниями в
машиностроении приходится иметь дело главным образом при анализе
деформаций различного рода валов, работающих преимущественно на
кручение.
При рассмотрении тонкостенных конструкций, в частности
конструкций самолета, часто приходится иметь дело с колебаниями
смешанного типа, при которых одновременно имеют место напряженные
состояния изгиба и кручения, так называемые изгибно-крутильные
колебания.
§ 124. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Задача о гармонических колебаниях системы с одной степенью
свободы рассматривается в курсе теоретической механики. В
качестве упругой системы обычно рассматривают груз,
подвешенный к вертикально расположенной пружине (рис. 518).
Дифференциальное уравнение колебаний груза весом С
(пренебрегая массой пружины) можно получить, пользуясь принципш!^
ШАламбера. Приравнивая к нулю сумму проекций у//х.
на вертикальную ось всех сил, действующих на
груз, получаем
^+сx■
ё
о,
откуда
или
О ■■
-ух + сх.
о,
х + а^х = О,
B0.1)
где X — вторая производная перемещения груза по времени 1]
.2 = _М I
со'
Сё
^
6.
B0.2)
Здесь с — жесткость пружины, численно равная силе,
вызывающей растяжение пружины, равное единице длины;
^ — ускорение силы тяжести;
531
бет — статическая деформация растяжения пружины поддей-
ствием подвешенного груза весом ^.
Уравнение B0.1) имеет, очевидно, следующее обш,ее решение,
устанавливающ,ее зависимость между ординатой х груза и
временем I:
х = Асо5(>^^ + В 81П со/.
B0.3)
где со — круговая частота собственных колебаний, г А к В — по-
тоянные интегрирования, зависяш,ие от начальных условий. За
начало отсчета перемещений выбирается положение груза,
соответствующее состоянию равновесия.
Если заданы начальная координата груза Хд и начальная скорость
V(, = X При / = О, ТО из уравнения B0.3) определяются постоянные
интегрирования:
А = Хо; е=-^. B0.4)
Полагая л; = е 81П а и — = й соз а, уравнение B0.3) можно
представить также в виде
х = а5'т{аI + а);
при этом амплитуда колебаний
а = ]/А^ + В\
или
.==]/х1
+
л2
Величина со/ + а носит название фазы колебаний, а величину а
называют сдвигом фазы. На основании выражений B0.4) а может
быть определено из услсвия
Из уравнения B0.2) круговая частота собственных колебаний
определится формулой
B0.5)
со •
V 4 ■
Имея в виду, что — представляет собой массу т подвешенного
груза ^, круговую частоту можно также представить так:
V'
со : "^
т
Напомним, что под круговой частотой подразумевается число
колебаний, совершаемых в течение 2п с; измеряется круговая
частота в с '.
332
Зная круговую частоту колебаний, можно найти период
колебаний Т (время одного полного колебания) по формуле
Т =
2л
2п
V
Г 6,
5
2л
К^-
B0.6)
Величина, обратная периоду колебаний, определяет число
колебаний в единицу времени (секунду) и носнт название секундной
частоты:
г __ 1 ^ ю
I -~ Т ~ тГ •
Секундная частота колебаний обычно выражается в герцах; число
герц равно числу колебаний в секунду.
В качестве реальной упругой колебательной системы с одной
степенью свободы может служить система, состоящая из упругого
тонкого стержня, верхний конец которого жестко закреплен, а к
нижнему подвешен груз. Очевидно в том случае, когда масса
стержня значительно меньше массы груза, данная система ничем не
отличается от ранее рассмотренной (рис. 518). Поэтому для нахождения
частоты, периода н амплитуды собственных колебаний груза,
подвешенного к упругому стержню, можно пользоваться полученными
выше формулами для груза, подвешенного к пружине. При этом
необходимо установить жесткость стержня, эквивалентную жесткости
с пружины.
При растяжении стержня длиной / и площадью поперечного
сечения Р абсолютное удлинение стержня, как известно, определяется
формулой
Ост— ^р .
Усилие, соответствующее статической деформации б„, равной
единице, представляет собой искомую жесткость:
ЕР
с =
I
B0.7)
Тогда на основании выражения B0.5) собственная частота
колебаний подвешенного груза ^
B0.8)
Имея Б виду, что --^ представляет собой массу груза, можно
записать
со ■■
У-^=У'-
ЕР
т1
B0.9)
Из формул B0.8) и B0.9) видно, что частота свободных
колебаний системы возрастает с увеличением жесткости, или, что то же.
533
с уменьшением/статической деформации, вызываемой данным
грузом. Легко убедиться, что груз, подвешенный к упругому стержню,
обладает значительно более высокой собственной частотой
колебания, чем тот же груз, подвешенный к податливой пружине.
Отношение частот собственных колебаний груза,
прикрепленного к двум различным стержням, обратно пропорционально корню
квадратному из отношения статических удлинений стержней.
Пример 79. Определить собственную частоту колебаний груза весом
С = 20 кгс, подвешенного к концу стального стержня длиной 40 см и площадью
поперечного сечения Р = 1 см^, при модуле упругости материала /; = 2 X
X 10" кгс/см2.
Круговая частота колебаний, согласно формуле B0.8),
со - /^1_ - Л/'-В^ - ]/981 ■ 2 ■ 10" . 1 ^._, _ 1570 с
V Ь,^ " У 01 ~ V 20-40
ст
Таким образом, соответствующая собственная частота колебаний груза
Пример 80. Определить, как изменится частота собственных котебаний
груза Р, если от первого способа крепления его перейти ко второму, разрезав
пружину на две равные части и закрепив груз посредине (рис. 519).
Частота колебаний груза, подвешенного на пружине,
' 2я 2п у 6„
. , 4Р/?%
<='■ Оа* с '
где с — жесткость пружины;
/? — средний радиус витка пружины;
у///^ п — число витков;
г — радиус проволоки пружины;
Рис. 519 О — модуль упругости при сдвиге.
Для первой схемы
_ С^*
^^ 41^Ы •
Во второй схеме каждая часть пружины будет обладать большей жесткостью
В первом случае перемещение груза
01 = —.
с
Во втором случае каждая половина пружины воспримет нагрузку Р12.
Поэтому перемещение груза
" 2с2 2 • 2с1 4
Частота колебаний груза, подвешенного на пружяне по первой схеме,
^ -Л-л/"а. ^1/:
'1'~ 2я; У б^ ~ 2я; Г
534
Частота колебаний груза, подвешенного по второй схеме,
Г б, 2п Г Р •
к
2п
Соотношение частот колебаний
^1
■2,
т. е. при замене способа подвеса груза частота увеличится в два раза.
Пример 81. Найти период колебаний груза ^, подвешенного на жесткой
нити (рис. 520), пренебрегая трением в блоке. Жесткость верхней и няжней
пружин соответственно Сх и сг-
Определяем перемещение статически подвешенного груза ^.
Это перемещение складывается яз удлинения верхней пружины 6в
под действием силы 2C и удлинения нижней пружины бц под
действием сялы ^, т. е. опускание груза ^
б„.
■■ бв + йн =
С1
^
+ -т- = -
^
С^Со
■ (С1 + 2С^).
Тогда период колебаний
:2П
/^=/-
<г(с1 + 2са)
Изложенная выше теория расчета продольных колебаний может
быть распространена также и на случаи расчета поперечных и
крутильных колебаний. Например, рассматривая невесомую балку с
одной степенью свободы, получим уравнение движения в виде B0.1).
В этом случае вместо переменной х следует принять перемещение
груза в направлении,перпендикулярном
к оси, т. е. прогиб лу. Выражения для
собственной частоты и периода
колебаний сохраняют прежний вид B0.5) и
B0.6). При этом б,,т представляет собой
прогиб под грузом С при статическом его
приложении.
Для случая, изображенного на
рис. 521,
X)
-е
-^
~ ^
(
^
Рис. 521
а=40см
бет = йУст =
€
Ь=бОсм
ЗЕ/
Пример 82. Определить частоту ^собствен-
Рие. 522 ных поперечных колебаний стального вала
диаметром й= 50 мм, несущего дяск весом 6 =
= 100 кгс (ряс. 522).
Собственная частота поперечных колебаний рассматриваемой системы с
одной степенью свободы определится по формуле B0.5):
Юг
где б.
/
5
статическяй прогиб вала в месте расположения диска:
^ат 100 • 402 . 502 . 64
— см = 0,0312 см.
^ст = К'ст
ЪЕЛ
3 • 2 • 10в • 3,14 . 5* • 100
5Э5
Подставляя полученное значение 6^,^ в формулу частоты, будем иметь
и, ^ -,/^ = ]/~98Г~ е-1 ^ 177 с"'.
Примером упругой системы, способной совершать крутильные
колебания, может служить диск, сопряженный со стержнем по схеме,
показанной на рис. 523. Если к диску в его плоскости приложена
и внезапно удалена пара сил, то возникнут свободные колебания
кручения стержня вместе с диском.
Обозначим крутильную жесткость вала (скручивающий момент,
необходимый для закрутки вала на один радиан) через с = -. „„
(A — диаметр стержня, / — его длина), а полный угол
закручивания стержня — через ф. Крутящий момент в
циклически закручиваемом при колебаниях стержне в
произвольный момент времени будет сц). Пренебрегая
силами инерщги массы стержня по сравнению с массой
диска и приравнивая крутящий момент в стержне
моменту сил инерции диска, получаем следующее
дифференциальное уравнение движения диска:
%
(!^
(Р
Рис. 523
"Ж'
4- сф = о.
B0. Ш)
где ^ — момент инерции диска относительно оси стержня,
перпендикулярной к плоскости диска.
Для круглого диска постоянной толщины диаметром О с
удельным весом его материала -у
32ё - 8; •
где С — вес диска.
В случае диска переменной толщины Н (р)
он
/ = ~ ] /г (р) ТР^Ф-
с
Обозначая ю* = -,-, уравнение B0.10) можно переписать в виде
B0.1):
общее решение которого
ф = Л С08 (й1 -\- В 51'П <Л1,
Отсюда видно, что период колебаний кручения рассматриваемой
системы
Г = -2^ = 2л /^
м Ус
пь
Для стержня постоянного сечения диаметром ё период и частота
колебаний соответственно
^-2-/-|^' ^ =
1 1 1/" пСа^
Т ~~ 2л V 32Л •
I
т
т
B0.11)
Полученный результат применим также и к системам с двумя
вращающимися дисками (рис. 524). Действительно, если закрутить
диски один относительно другого, а затем
мгновенно снять приложенные внешние
моменты, то диски начнут совершать
крутильные колебания навстречу друг
другу. При этом некоторое промежуточное
сечение вала останется неподвижным.
Положение этого так называемого
узлового сечения т — т можно найти из
условия равенства частот колебаний обоих
дисков с примыкающими к ним участками вала длиной а и Ь,
которых применимы формулы B0.11):
г I I / нии' I
Рис. $24
ДЛЯ
2п Г
27^
2я
У
г яОй*
32/„Ь
откуда
а _ ^г
Ь /1 '
где ^^ и ^^ — моменты инерции соответственно первого и второго
дисков.
Используя последнее соотношение, а также имея в виду, что
а -^ Ь — I, найдем
а —
1, + !^
/1+-^2
Тогда период и частота крутильных колебаний системы, согласно
формулам B0.11), в которых вместо / следует подставить выражение
для а (пли Ь), будут следующими:
32/1/2' . с _ I
' = 2л ]/-
V-
лОй^ (/1 + /а)
32/1/2?
пОA'^ (/1 -I- /д) ' ' 2я
Заметим, что рассмотренная колебательная система имеет
большое практическое значение, так как она является прототипом
колебательной системы, к которой могут приводиться многие упругие
системы, встречающиеся в инженерном деле, в частности валы с
двумя вращающимися массами.
§ 125. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Если принять, что кроме постоянной силы тяжести груза ^ (см.
рис. 518) на него действует периодическая возмущающая сила Р,
то в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе свободных
т
колебаний будем иметь случай вынужденных колебаний.
Уравнение этих колебаний получим из выражения B0.1), прибавляя к
его правой части силу Р (/):
-^х + сх= Р {{).
B0.12)
Деля все члены уравнения на —, получаем
х + (о2^^.__Р^_ B0.13)
Рассмотрим частный случай, когда сила Р (О пропорциональна
2л
С05 р/, т. е. когда период силы Тг = , а частота /1 =
Обозначив
у^ =дсо8р1,
приведем уравнение B0.13) к виду
X + ю^л; = д С08 р1. B0.14)
При медленном изменении Р (/), т. е. при р, малом по сравнению
с (О, можно пренебречь членом х, содержащим ускорение в
уравнении B0.14), и тогда получить статическую деформацию
х„=^^. B0.15)
Для определения динамической деформации нужно решить
дифференциальное уравнение B0.14). Это решение, как известно, можно
получить, если к решению однородного уравнения B0.1)
л; = Л со8 со; + 5 81п (О/ B0.16)
прибавить частное решение уравнения B0.14)
л; = Ссо5р^. B0.171"
Подставляя частное решение B0.17) в дифференциальное
уравнение B0.14), найдем, что
х = — рС 8Ш р1;
X— — р^С С08 р1\
— р'^С С05 р1 + Ю^С С05 р1 = д С05 р1.
Отсюда после сокращения на соз р1 получим
С(ю'--р^)=9,
т. е. амплитуда
С = -^^. B0.18)
538
Тогда общее решение уравнения B0.14) окончательно примет вид
B0.19)
X = А С05 а( Л- В 81П (и1 + „ ^ „ соз р^.
' м^ — р^ ^
Первых два слагаемых правой части уравнения B0.19)
характеризуют свободные колебания, которые обычно быстро затухают;
последнее слагаемое характеризует вынужденные установившиеся
колебания системы, которые происходят с частотой внешней
возмущающей силы.
Амплитуда С вынужденных колебаний, как следует из формулы
B0.18), зависит от частоты этих колебаний р. Отношение амплитуды
С к статической деформации B0.15) определяет так называемый
коэффициент нарастания колебаний Р:
Р = ^=-::;.^^:-^ = -7;.^=-Лг-. B0-20)
или
где
И2-
Тг
-Р^ J И2 —
В '
1^ Т2 '
2я , гр 2}
р^
с
■
1
B0.21)
1Р1
1
О
Рис. 525
Из формулы B0.20) следует, что при малом отношении —
коэффициент Р близок к единице и амплитуда вынужденных колебаний
лишь немного отличается от статической
деформации. Когда же частота вынужденных
колебаний приближается к частоте собственных
колебаний системы, амплитуда вынужденных
колебаний стремится к бесконечности, т. е. при
— ->■ I амплитуда С -> оо. При р = а имеем
состояние резонанса. Соответствующая частота
возмущающей силы называется критической.
Рассматривая выражение B0.20), графическое изображение
которого представлено на рис. 525, видим, что при частоте возмущающей
силы р, большей собственной частоты со колебаний системы, т. е.
при р >• (О, амплитуда С динамического перемещения уменьшается
и при р ^ (О делается очень малой по сравнению со статическим
перемещением. В этом случае груз ^ можно рассматривать как
неподвижный.
При р < (О вынужденные колебания и возмущающая сила
находятся в одной фазе, т. е. сдвиг фаз а = 0. Это значит, что в момент,
когда колеблющийся груз (см. рис. 518) достигает своего наибольшего
539
отклонения, предположим, вниз, возмущающая сила получает
наивысшее значение в это1М же направлении. При р >• ю разница в
фазах вынужденных колебаний и возмущающей силы составляет
величину а = я, т. е. колебания происходят в противофазе с
возмущающей силой. Это значит, что в то время, когда возмущающая
сила имеет максимальное значение в направлении вниз,
колеблющийся груз достигает своего максимального отклонения вверх.
Такое явление можно хорошо понять на примере вынужденных
колебаний математического маятника (рис. 526), возбуждения которого
осуществляют путем горизонтального возвратно-поступательного
периодического перемещения точки подвеса с различной частотой.
Положение маятника, колеблющегося в одной фазе с возмущающим
фактором, приведено на рис. 526, а; колебание маятника в
противофазе с возмущающей силой показано на
рис. 526, б.
Амплитуду собственных
(независимых) колебаний можно определить из
общего решения B0.19) при
рассмотрении начальных условий. Так, полагая,
что в начальный момент (при / = 0)
перемещение и скорость равны нулю, т. е.
(л:)(=о = О и (л:)(=о = О из уравнения
B0.19) будем иметь
й = 0; Л = 2-^-^-
ы^ — р^
Подставляя найденные значения в уравнение B0.19), окончательно
получаем
X = ^^^_ 3 (С05 р1 — С08 ©О- B0.22)
В начале действия возмущающей силы возникают вынужденные и
свободные колебания одной амплитуды.
Если частота возмущающей силы приближается к частоте
собственных колебаний, имеет место биение. Пусть
(О —р = 2Д.
Тогда уравнение B0.22) при
^
в
*=0
^/
о
к/ а/ («/
ъ\ \ л
\1 Х'-'^'
( у
Р<(Х) '~- Р>(а)
а=0 а=71
а 6
Рис. $26
Д _ 1 (со-р)
будет иметь вид
хаР- — р^ 2 2
- - -^^ зш (- Д) I €ш (^^ = -5^ 51П -(^±^, B0.23)
т. е. получим уравнение синусоидального колебательного движения
с периодом
Г = 2к:-^4^=.-5^
2 р-|-м
$40
и переменной амплитудой
а
2?
зт (А,
«■* — р==
период изменения которой, или период биения, характеризуется
величиной
2я
Тб =
Графическое представление колебания с биением приведено на
рис. 527. Из последней формулы следует, что период биения
увеличивается с приближением частоты возбуждения р к частоте собствен-
48
/'
й
-^
Рис. $27
ных колебаний со и становится равным бесконечности в случае
резонанса (при р == ю). В последнем случае, когда р -> со и Д -> О,
уравнение B0.23) может быть представлено так:
л: = •
2^^^
-8Ш
2
2р
81П р1.
B0.24)
2Д(м+р)
Т. е. амплитуда с течением времени возрастает безгранично. Заметим,
что последнее заключение справедливо только при отсутствии в
колебательной систел1е сил сопротивления. Таких реальных
колебательных систем не существует.
§ ПЬ. РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
Прежде всего рассмотрим колебания системы с одной степенью
свободы (рис. 528) в случае, когда силы сопротивления при
колебании пропорциональны скорости движе11ия. Для получения
уравнения движения груза
воспользуемся принципом Д'Аламбера
(условия динамического равновесия
груза рассматриваем при отклонении
его на расстояние х от положения
статического равновесия):
2^
^ —X — ах = ^ -{- сх,
где а — коэффициент
пропорциональности; р^^^ 528
ах — сила трения,
пропорциональная скорости (действующая в направлении,
обратном движению).
54)
Отсюда дифференциальное уравнение колебаний системы с
учетом рассеяния энергии можно представить в виде
X + 2пх + (о^л: = О,
где
Обозначая
(о| = 0J — П^,
B0.25)
B0.26)
B0.27)
общее решение дифференциального уравнения B0.25) можно
представить так:
X = е "' (А 8т щ1 + В соз щ().
B0.28)
где е = 2,718.
Из этого уравнения следует, что период колебаний
рассматриваемой системы с затуханием
Т =
2я
2я
УA^ — П2 '
B0.29)
т. е. он зависит от затухания, характеризуемого коэффициентом п.
Общее решение B0.28) может быть представлено также и так:
X = Ше~"' 81П @I1 + я];), B0.30)
где 91 и 'ф — некоторые постоянные, которые зависят от
начальных условий и могут быть найдены таким же путем,
как в § 124.
При м <^ (О разность между круговой частотой щ системы с
затуханием и собственной частотой со, т. е. е = сй! — со, является
величиной второго порядка малости, поэтому период Т будет мало
отличаться от периода собственных колебаний
Т =
2я
со
т. е. можно считать, что небольшая сила сопротивления не влияет
на период (частоту) колебаний системы.
Рассматривая решение B0.28), видим, что из-за множителя е~"'
амплитуда колебаний с течением времени убывает. Постоянные
интегрирования А и В, входящие в решение, определим из начальных
условий. Так, полагая в начальный момент (при I = 0) х = х^ я
X = ^0. из уравнения B0.28) найдем, что
В = Хо, А =-—-{Хо + пхо).
$42
Подставляя эти данные в уравнение B0.28), получаем
В частном случае, когда А = О, т. е. когда
*0 1 '"'О __ Г\
ы^ '^ щ '
последнее уравнение примет вид
« = лгоб""' С08 щ1. <20.31)
Графически зависимость B0.31) представлена на рис. 528.
Уравнения верхней и нижней огибающих приведенной затухающей
виброграммы соответственно л; = лгое""* и л; = —лгое""'. Точки /щ, /щ,
щ, ... касания огибающей к виброграмме имеют координаты
времени ^ = 0; ^ = Г; ^ = 2Г и т. д., а точки /щ, шг, /щ,... касания к ниж-
т зт
ней огибающей кривой — координаты !^ = -9"! ^ — ~~о~ и т. д.
При этом указанные точки не совпадают с точками крайних
перемещений системы из положения равновесия. Легко убедиться, что
вследствие затухания время перемещения системы из среднего
положения к следующему крайнему положению меньше времени,
необходимого для возвращения из крайнего в следующее среднее
положение.
Степень затухания колебаний системы зависит от величины
постоянной п (характеристики затухания). Амплитуда колебаний после
каждого цикла уменьшается в отношении
что видно из уравнения B0.31), т. е. уменьшение амплитуды
соответствует геометрической прогрессии. Действительно,
последовательные амплитуды при ^ = 0; ^ = Г; / = 27" и т. д. имеют значения
. —пТ, —2пТ,
пТ —2пТ
й, х^ —пТ. «2 Хг.е '■"' —пТ
е ; тг" = -пт = ^ и т. Д.
Отношение какой-либо амплитуды колебаний к непосредственно
следующей за ней амплитуде через один период
-кпТ
Як
откуда
|"Ш='"'"="'■='•
B0.32)
Величина б называется логарифмическим декрементом затухания
колебаний и обычно является основной характеристикой затухания
колебаний.
$43
\
в технике, в частности в машиностроении, величина декремента
существенно отличается от единицы и составляет, например для
таких колебательных систем, как турбинные лопатки, величину
порядка 0,03, т. е. 3%.
, Кроме сил сопротивления, пропорциональных скорости
движения, затухание колебаний (демпфирование) в реальных
конструкциях может обусловливаться и другими причинами, в частности,
потерями на рассеяние энергии в самом материале упругого элемента
системы, т. е. потерями гистерезисного типа, величина которых,
оказывается, зависит уже не от скорости, а от амплитуды колебаний.
Другим распространенным источником потерь энергии при
колебаниях является рассеяние энергии за счет сил трения в
сочленениях элементов конструкции, утечки энергии в фундамент и т.д.
Здесь мы лишены возможности останавливаться на расчете
колебаний элементов конструкций с учетом различных видов рассеяния
энергии ^ и ограничимся лишь случаем вынужденных колебаний,
когда рассеяние энергии пропорционально скорости.
§ 127. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
С УЧЕТОМ РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью
свободы при наличии сил сопротивления, пропорциональных
скорости. Уравнение движения для такого случая получим, если в
дополнение к силе сопротивления 5 = ах на груз в вертикальном
направлении (рис. 528) будет действовать некоторая периодическая
сила Р 51П р^. Обозначив
ч ^ •
получим уравнение движения для данного случая, добавляя в
правую часть уравнения свободных колебаний с затуханием B0.25) член
д 81п р(. При этом
X + 2пх -4- <а^л: = д 81п р{.
B0.33)
Общее решение этого уравнения найдем, если к решению B0.28)
X = е""* (А 81П ©1/ -4- В С08 (^^1^) B0.34)
однородного уравнения прибавим частное решение
X = К5'тр1 -1-Ь С08 р1. B0.35)
* Детально этот вопрос освещен в монографиях Г. С. П и с а р е н к о
«Колебания упругих систем с учетом рассеяния энергии в материале». Киев, Изд-
во АН УССР, 1955 и «Рассеяние энергии при механических колебаниях». Киев,
Изд-во АН УССР, 1962.
$44
Тогда, имея в виду, что
X = Кр С08 р1 — Ьр 81П р1',
л: = — Кр^ 51П р1 — Ьр^ С08 р1,
и подставляя выражения х, л: и л: в дифференциальное уравнение
B0.33), а затем приравнивая коэффициенты при 81п р1 и со8 р1
правой и левой частей, получим
— 1р^ + Жрп + 1а? = 0;
— Кр'—21рп-\-Кау'=-я.
Решая совместно полученную систему двух уравнений относительно
неизвестных постоянных К \\ Ь, найдем, что
(И2 — р2J + 4р2п2 •
2дрп
@J — рУ + 4р2п2 •
Тогда общее решение уравнения B0.33) может быть представлено
в виде
Х^е "' (А 51П Сй^ + В С05 Сй^) — -(^ _ р2^2\ 4р2„2 С08 р1 +
(И^ — р2J + 4р2п2
B0.36)
Первые слагаемые, имеющие множитель е"~"', со временем
уменьшаются (затухают), два других слагаемых, пропорциональных д,
характеризуют вынужденные колебания; они со временем не
затухают.
Период незатухающих колебаний тот же, что и период
возмущающей силы:
а их амплитуда пропорциональна величине возмущающей силы. Эта
амплитуда, как легко убедиться, зависит также от характеристики
п затухания, а также от соотношения периода независимых
колебаний
гр 2я
со
и периода Г^ возмущающей силы.
Если ввести следующую замену:
-^-,-^^^ = 9{8ша; B0.37)
18 8—2770 545
то вынужденные колебания можно представить несколько проще:
х\='а (со8 а 51П р{ — 81П а С08 р{) = 8181П {р1 — а). B0.39)
Амплитуда 81 вынужденных колебаний на основании уравнений
B0.37) и B0.38) определится из выражений
[@J — р2J ^ 4р2„2]2 — ^^ 1'1'Ь "■.
складывая которые и решая относительно §(, находим
ЭД== Г4дУп2 + 9у-рТ ^ . .^ B0.40)
Угол сдвига фаза на основании тех же уравнений B0.37) иB0. 38)
можно определить делением первого из них на второе:
^8« = -7^2^- B0.41)
ОУ^ — р-
я
При (О > р угол а положительный и меньше -у , т. е. О < сб <;
<: -2". Из уравнения B0.39) следует, что при этом вынужденные ко-
лебания отстают по фазе от возмущающей силы. Когда (и < р, -к-<.
<: а < я, т. е. вынужденные колебания отстают больше чем на
а = -у. Когда ю = р, !§ а = оо, т. е. во время колебательного
движения система занимаег свое среднее положение в тот момент,
когда возмущающая сила достигает максимального значения.
Анализируя выражение для амплитуды 2( вынужденных
колебаний, имея при этом в виду, что
„ - еР . ,,2 «
находим
где б^т — перемещение, которое возникло бы при статическом
приложении максимального амплитудного значения
возмущающей силы.
Имея в виду формулу B0.42) и деля числитель и знаменатель
выражения B0.40) для амплитуды % на квадрат круговой частоты
собственных колебаний со^, получаем
B0.43)
511; _
бет
/(-#1+^'
546
2п
рде у = коэффициент, зависящий от величины силы
сопротивления.
При очень большом периоде вынужденных колебаний амплитуда
вынужденных колебаний приближается к статическому
перемещению (91 -> бег). При Тх -^ Г и малом затухании 31 -> оо.
Как указывалось, при расчетах амплитуд вынужденных
колебаний удобно пользоваться коэффициентом нарастания амплитуды
колебаний Р, представляющим собой отноше- п
ние амплитуды 9( вынужденных колебаний к
статическому перемещению 6^^: 4
На основании уравнения B0.43) выражение
для коэффициента Р, очевидно, будет д
\,7=0
\^^'^
^^\^а4
р
/(-*)"+
4рЭД
и)
B0.44)
Рис. 529
а
Ж
2
О
1
Рис. 530
Представив Р = /1—1 графически при
различных значениях у (рис. 529), получим так
называемые резонансные кривые, наглядно
иллюстрирующие зависимость амплитуды
вынужденных колебаний от соотношения частот
(периодов) свободных и вынужденных
колебаний при различных демпфирующих характеристиках системы,
определяемых значением коэффициента у.
Графическое представление величины сдвига фазы а = [^ [ —)
при различных значениях коэффициента у приведены на рис. 530.
Из этих диаграмм видно, что в области, близкой к резонансу, имеет
место очень резкое изменение фазы вынужденных колебаний в том
случае, если затухание мало.
Пример 83. Электродвигатель весом 400 кгс, делающий п = 1000 об/мин,
установлен на двух швеллерах, консольно заделанных в стене. Подобрать
сечение швеллеров, если расстояние от стены до центра тяжести двигателя / =
= 1 м, вертикальная составляющая центробежной силы, возникающая от
неуравновешенности двигателя, равна Р «га Ы, где амплитуда центробежной силы
Р составляет 25% от веса двигателя.
Сечение швеллеров должно быть таким, чтобы собственная частота
колебаний системы примерно на 30% была больше частоты возмущающей силы, т, е.
П(. = 1,31 = 1,3 • 1000 = 1300 колебаний в минуту,
или
^4о^^-'='36с-'.
•"•^^ 30
а возникающее напряжение не превышало допускаемого [а] == 1000 кгс/см*.
18*
547
Колебательную систему, представляющую собой мотор на швеллерах, с
достаточной степе1нью точности можно рассматривать как сисгему с одной степенью
свободы, для которой собственная частота может быть определена по формуле
B0 5):
136 с"
откуда
'~у б!/
981
см = 0,053 см.
1362
С другой стороны, статический прогиб двух консольно закрепленных
швеллеров
"-'- зЕ2^г ■
Отсюда определим момент инерции одного швеллера:
•^^ = "бМ- = 6-2. 10^.0,053 ™ = ^2^ ^^-
Согласно таблице сортамента, ближайший по размерам швеллер № 16 с
моментом инерции
Для швеллеров № 16 частота собственных колебаний системы
, /"Т" -{/аНШ! т/ 981 .6-2- 10"-747" _, _]
'"'^^У \;^У ~ОР~~"=У 400"П005 ^= ='47 с .
или
ЗОшс 30- 147 ,^„„ . ,
Пе = ^ — —5~гт— ?=' 1400 колебании в минуту,
ЗХ, о, 14
что выше частоты возмущающей силы на
Проверим напряжения, возникающие в швеллерах, с учетом вибрационной
нагрузки. Напряжения в швеллерах (под действием веса мотора)
Ломаке ^^ 400.100 , , -,„ , „
^ср = ^-рг- = -^^ = 2 ■ 93,4 •""'''™ = 2'^ '^'"^ ™ •
Коэффициент нарастания амплитуды колебаний, согласно выражению B0.20),
\ы 1 \ 1400 /
Тогда величина напряжения с учетом динамичности
Оа = Р ~^^ = 2,04 ^ дд^ КГС/СМ2 =±110 ксс/смЗ.
Максимальное напряжение в швеллере
«'макс = «'ср + Ой = B16 + 110) кгс/см^ = 326 кгс/см» < [а] = 1000 кгс/см».
§ 128. КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ВАЛА
Из практики эксплуатации машин известно, что вращающиеся
валы при некоторых вполне определенных для данной машины
числах оборотов, попадая в резонанс, становятся динамически неус-
548
тойчивыми; при этом могут возникать большие поперечные
колебания. Число оборотов, при котором обнаруживается указанное
явление резонанса, называется критическим. Легко показать, что кри-
т.чческая скорость для вала соответствует числу оборотов вала в
секунду, равному собственной частоте его поперечных колебаний.
Для доказательства рассмотрим вращение вертикального вала
с одним диском посредине (рис. 531, а).
Предположим, что центр тяжести С диска отстоит от его оси
на расстоянии е (при посадке дисков на вал избежать
эксцентриситета е практически не удается). При вращении такой системы па вал
будет действовать центробежная сила,
вызывающая его изгиб:
Г = -|- и^ (ш + е),
гле (О — угловая скорость вращения вала;
ш — прогиб вала в месте посадки диска.
Найдем реакцию сил упругости вала в месте
приложения центробежной силы:
Р = аю,
где с— нзгибная жесткость вала, которая, например, для вала
постоянного сечения при размещении диска посредине между опорами
с = -^^ . B0.45)
Из условия равновесия очевидно, что Т — Р. Подставляя вмес-
тз Г и Р их выражения, получим следующее уравнение для
определения ш:
Рае. 531
8
(ш -|- е) со = СО).
Из последнего уравнения
ш =
с
7?
B0.46)
B0.47)
Имея в виду [см. формулу B0.26)), что
^
представляет собой квадрат собственной частоты поперечных
колебаний вала, уравнение B0.47) можно переписать так:
йу =
B0.48)
— 1
Из этого уравнения видно, что прогиб вала 1Ю быстро
увеличивается с приближением значения угловой скорости вращения вала со
к собственной частоте 0)^ поперечных колебаний вала. Критическая
D9
скорость вращения вала
СОк
= О),
-V-
^
B0.49)
(гю — е) со^ == схи).
При этом знаменатель в выражении B0.48) равен нулю, а поэтому
прогиб теоретически равен бесконечности, т. е. должен безгранично
увеличиваться вплоть до разрушения вала. В действительности же
из-за имеющихся в системе потерь энергии, которые в приведенном
расчете не учитывались, на практике при попадании вала в
резонанс прогибы не всегда принимают значения, опасные для
эксплуатации.
Интересно отметить, что при скоростях вращения вала, больших
критических, амплитуда колебания вала существенно уменьшается,
колебания затухают. Опыты показывают, что при со > со,, центр
тяжести диска располагается между линией, соединяющей опоры,
и искривленной осью вала (рис. 531, б). В этом случае уравнение для
определения прогиба будет иметь вид
А.
откуда
B0.50)
Отсюда видно, что с увеличением скорости вращения вала прогиб
ш уменьшается и приближается к эксцентриситету е, т. е. при очень
больших скоростях центр тяжести диска достигает линии,
соединяющей опоры, и изогнутый вал вращается вокруг центра тяжести С
диска.
Пример 84. Определить диаметр вала турбогенератора мощностью N =
= 100 л. с, несущего посредине пролета длиной / = 100 см диск весом ^ =
= 150 кгс, в двух случаях: 1) для жесткого вала с критическим числом оборотов
выше п = 3000 об/мин на 35%; 2) для гибкого вала с критическим числом
оборотов ниже рабочего числа в три раза. Массой вала по сравнению с массой диска
пренебречь. Дано: эксцентриситет е = 0,01 см; [о] = 800 кгс/см^; ^Е' = 2 X
X 10<= кгс/см2.
Для первого случая определяем собственную частоту колебаний системы:
, „ пп , „^ 3,14-3000 _1 ,., _1
•^ж =«кр= 1.35-^= 1,35—^-^^^ с ' = 424 с '.
Диаметр жесткого вала находим из выражения
/^н/^=К-
откуда
4 /
V-
424^ ■ 4 • 150 • 1С03
3-981 • 2. 10"- 3,14
см = 8,75 см.
550
Его максимальный прогиб при колебаниях
I со '
Нормальные напряжения от изгиба
6^ 6-2. 10^ .8,75- 1,22. 10-2
о = —р— = 1002— кгс/см^ = 128 кгс/см^.
Касательные напряжения, вызванные скручиванием,
^кр 71 620Л/ 71620.100-16 , , ,о
^ = "ГГ = -1Й5— = 3.14 ■ 8,75^ ■ 3000 ''^'^'='' = '^ •''■'^™
-16-"
Эквивалентные напряжения по третьей теории прочности
«'экв III = /а^ + 4т2 = /1282 + 4 . 18^ кгс/см^ = 133 кгс/см» < [а] =
= 800 кгс/см^.
Во втором случае собственная частота колебаний системы с гибким валом
со пп 3.14-3000 _1 ,„^ _1
'^ = "кр = -з- = -зоТТ = —373^*= =>05с .
Диаметр гибкого вала
1*/^ ««г • * • Ч^^ -,^/ 1052 . 4 . 150 . 1003
''=1/ -1^"^^^]/ 3-981.2-10°.3.14 <^" - ^,35 см.
Динамический прогиб
/ = -? 5- = 5^^^—5- см= 1.13- 10-2 см.
'-{-^Г -D)
Нор1^альные напряжения от изгиба
бЕй! 6-2 . 10'• 4.35 • 1.13. 10-2 , . „ , .
а = —й-^ = — ^—' кгс/см2 = 59 кгс/см^.
Касательные напряжения кручения
г^З^- 71 620^ __ 71 620 - 100 - 16 _
^"" ^Г - ^й^ " 3,14 4,35=' . 3000 '"^''/™ " '^ '''^'''''" '
16
Эквивалентные напряжения по третьей теории прочности
, ,^^ = 1^52+1x2 = 1^59^ + 4 • 146^ кгс/см^ = 298 кгс/см» < [а] =
= 800 кгс/см^.
%кь
§ 129. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ
ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Системой с двумя, тремя и т. д. степенями свободы называется,
как указывалось выше, такая система, положение которой в любой
момент времени может определяться соответственно двумя, тремя
и т. д. независимыми параметрами.
551
Типичными колебательными системами такого рода, часто
встречающимися в машиностроении, являются вал с несколькими
дисками (рис. 532), совершающий крутильные колебания, балка с
несколькими сосредоточенными массами (рис. 533), совершающая
поперечные колебания, и т. п. В первом случае движение описывается
(Р,
4>г Ъ л-з ^Р'^
•^1 ^г ^3 >4
Рис. 532
Рис. 533
углом поворота вокруг продольной осп вала, а во втором — верт!'-
кальным неремеи1ением сосредоточенных масс в направлении,
перпендикулярном к оси балки. Примером колебательной системы, в
которой движение массы определяется
одновременно линейным смещением и
углом поворота, может служить к\-
зов автомобиля, схема которого при-
ье^ена на рис. 534.
Рассматривая колебания упругих
систем с несколькими степенями
свободы, дифференциальные уравнения
движения во многих случаях можно
получить, как и в случае систем с
одной степенью свободы, пользуясь
принципом Д'Аламбера.
Движение массы т в пространстве рассмотрим в координатной
системе хуг. Составляя уравнения равновесия, к равнодействующим
X, У ч 2 всех внешних сил, действующих на массу и направленных
Рис. 534
{
т,
с,(^г^ЧГс,^1(^,н-^,} -т,х,
6
■1Г,,Х,
6
Рис. 535
соответственно вдоль осей х, у и г, необходимо добавить силы
инерции. Составляющие сил инерции на направлениях х, у, г равны
соответственно •— тх, —ту,—тг. Тогда уравнения движения будут
X —тх==0; У — ту = 0; 2 — тг = 0. B0.51)
Если рассматривается система из нескольких масс, свободных в
пространстве, то уравнения B0.51) должны быть написаны для каждой
массы системы.
Теперь рассмотрим применение принципа Д'Аламбера для
составления уравнения движения колебательной системы (рис. 535, а).
552
состоящей из двух масс т^ и Шг и двух пружин с жесткостями Сх и с^.
Будем полагать, что указанные массы могут перемещаться без
трения только в горизонтальном направлении вдоль оси х.
Перемещение первой массы обозначим через х^, второй — через х^.
В процессе колебания на массу т^ в качестве внешних сил
действуют сила С1Х1 натяжения внец1ней пружины и сила с^ (Хг — л:,)
натяжения второй пружины. Силами сопротивления пренебрегаем.
Тогда, пользуясь принципом Д'Аламбера, уравнение движения пе;з-
вой массы
X — т^х = О
запишем в виде
— С1Х1 + Са (АГг — а:,) — т^х^ = О,
или
т^х^ + С1Х1 — ^2 {Х2 — Хх) = 0.
B0.52)
На массу /Иг действует только сила натяжения второй пружины
а уравнение движения будет
/-^2 + С2 {Х2. — Хг) = 0.
B0.53)
Если бы система имела не две, а три или более последовательно
соединенных масс, то уравнение движения для каждой из масс
содержало бы три или более неизвестных координат. Так, например,
силы упругости пружины, действующие на г-ю массу, полностью
определятся смещениями х,_1, х, и х,+| (рис. 535, б).
Составляя дифференциальные уравнения движений, можно было
воспользоваться и другим методом.
Действительно, при рассмотрении той же колебательной системы
можно было бы считать, что имеются две связанные между собой
пружины (рис. 535, е), которые подвергаются действию сил инерции
—пг^Хх и —1П2Х2, приложенных соответственно в местах удаленных
масс (точки / и 2). Тогда первая пружина нагружена силой —гПхХ^ —
— т^х^, а вторая — силой —1112X2- При этом перемещение первой
массы, равное удлинению первой пружины,
А^1 =^ ~ »
а перемещение второй массы определится суммарным удлинением
обеих пружин:
^2 = ^1 —-— . •
^а ^х '-а
553
Несколько преобразовав последние уравнения, окончательно получим
Х1С1 + гпт^^ 4- '"г^г = 0; B0.54)
х^гСг + Са {т^х^^ + ^2-^2) + с^т^х^ = 0. B0.55)
Полученная система уравнений движения B0.54) и B0.55)
эквивалентна системе уравнений B0.52) и B0.53), но отличается своей
структурой.
Заметим, что второй способ в задачах рассмотренного типа
громоздок, так как смещение, например, концевой точки зависит от
сил инерции всех масс, а следовательно, выразится через вторые
производные от смещений всех точек.
Кроме указанных двух способов, существует третий, наиболее
общий способ, основанный на применении известных из
теоретической механики уравнений Лагранжа второго рода, которые при
отсутствии сил сопротивления и внешних возмущающих сил имеют вид
B0.56)
где Г и {/
соответственно кинетическая и потенциальная
энергия системы.
Применяя уравнения Лагранжа для составления уравнений
движения рассматриваемой двухмассовой системы, прежде всего
запишем выражения кинетической и потенциальной энергии этой системы:
Г =
т,ж;
*2
-\ о—
I]
X I . Сд (.^^2
-х^?
2 ' 2 •
Соответствующие производные, входящие в уравнение B0.56), такие:
дТ дТ . ■ . дТ ^_ дТ
дх.
= ШхХх;
дх„
тп^х^'.
йл;^
= 0;
<^ I ^т \ _ ■■ а /дТ\
0;
дЦ
дх.
— СчХ,
1^1
- ^2 (^2 х^);
дЦ
дх.
— Сз (^2 Х^).
Тогда уравнение B0.56) применительно к рассматриваемому
случаю примет вид
т^Хд + с^Х! — ^2 (Хг — х^) ^ 0; гПгХ^ + Сг (Хг — х^) = 0.
Заметим, что уравнения, полученные из уравнений Лагранжа,
всегда совпадают с уравнениями, полученными способом,
основанным на использовании принципа Д'Аламбера. В некоторых
случаях, в частности для систем цепной структуры типа рассматривае-
554
мой, по соображениям простоты выкладок следует пользоваться
первым способом; при расчете изгибных колебаний оказывается
более удобным второй.
Итак, предположим, что уравнения движения системы с двумя
степенями свободы одним из рассмотренных способов получены.
Пусть эти уравнения имеют вид B0.52) и B0.53);
B0.57)
т^Хг + с^Х! — Сг (х^ — х^) = 0;
т^х^ + Са (Х2 — Хг) == 0.
Решение системы этих двух линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами можно искать в следующей
форме:
х^ = Я^ 81П (со/ 4- а);
а;^ = ^2 &т (сог! + а).
B0.58)
где ^,'^2, со и а — постоянные, которые нужно выбрать так, чтобы
удовлетворялись уравнения B0.57) .Подставляя решения B0.58) в
уравнения B0.57), получим
— т^К^а^ + 01^1 — С2 (^2 — ^-1) = 0;
— т2?^2Ю^ + С2 (К — К) = 0.
или А., (с, + Со — /п,со^) — ХпС« = 0;
\ ,\ / I А B0.59)
— ^2 + ^2A^2 —/"г») = 0-
Уравнения B0.59) содержат три неизвестных: амплитуды Х^, Х^
и частоту со. Из этих двух уравнений найти указанные три величины
нельзя, однако из них можно определить частоту. Действительно,
рассматривая систему уравнений B0.59), видим, что случай
колебательного движения, когда Х^ =^ О и К^ =Ф О, возможен тогда, когда
равен нулю определитель указанной системы однородных уравнений
относительно \ я Х^, т. е. когда
= 0.
С1 + Сг — /П^СО^ — С.2
— Сг Сг ~ «201^
Написав этот определитель в развернутом виде, после
преобразований получим
01*
С1 + С2
+
1со2 +
= 0.
Это уравнение является квадратным относительно со^, и легко
показать, что оно имеет два действительных положительных корня:
/ е1 + С2
"''--т \-ц^+-7и:1~ V т
2_ 1 ( С^ + С^ . С^ ^ ■ /" 1 / <?1 -)- Сг ■ С^ V
^1^2
555
Соответственно могут быть получены и две собственные частоты:
. . „ . „ _ . с^с.
«2
т^т2
B0.60)
Получившийся в соответствии с выражениями B0.60) двухчас-
тотный колебательный процесс в общем виде следует записать так:
х^ = ?.„ 5ш к/ + «х) + ?.12 81П {@2^ + «г);
Здесь первый индекс у амплитуды % показывает номер координаты,
а второй — номер слагаемого в строке, или номер частоты.
Амплитуды колебаний связаны отношением, определяемым из
первого или второго уравнений системы B0.59):
^1 ^2 'Ч С^
ИЛИ в соответствии с принятой индексацией
}ь„1 Сх + с^ — тХ
1/ -^^^^—.^___—__^___
'41 '-2
9 >
'<22 — г "" ~
B0.62)
Тогда уравнения B0.61) могут быть записаны в виде
XI — Кц 81п (со^г! -|- а^) -{- А.12 51п (сог^ + а^);
Х^ = К21?1,11 51П {Щ! + а^) + К22>^12 51" («г^ + «г)-
При этом собственные частоты щ и ы^, а также отношения амплитуд
х_,1 и «22 зависят от параметров колебательной системы. Что
касается значений амплитуд Кц и ^.21. ^ также углов сдвига фаз а^ и «а.
то они должны быть определены из четырех начальных условий,
выражающих значения смещений и скоростей обеих масс в начальный
момент времени.
В случае, когда движение системы вызвано ударом по массе гщ,
что соответствует следующим начальным условиям при I = 0: ^
XI @) = 0; Хг @) = 0;
-^1 @) = 0; Х2 @) = Vо,
из уравнений B0.62) получим
^11 51П а^ + А.12 51П «2 = 0;
'^21^1 51П % + '<22^12 51^ ^ — ^>
$56
Т^иЩ 005 а^ -}- ^ха'^г '^оз 0С2 = 0;
Отсюда, поскольку щ, щ, к^г и Кгг известны, находим, что
а* = сХо = 01 Л|1 = I Л^о = —
Подбирая искусственным образом начальные условия так, чтобы
амплитуда ^.^а = О, можно получить одночастотные колебания,
описываемые одной гармоникой:
" ./,/', B0.63)
Колебания, описыв<аемь!е одной гармокикой, называются
первыми нормальными колебаниями. Поскольку величина к,! отношения
амплитуд не зависит от начальных условий то рассматриваемые
одночастотные колебания характеризуются вполне определенным
соотношением амплитуд, зависящим только от параметров системы.
Следовательно, Щх определяет первую нормальную форму
колебаний.
Вторая форма колебаний, очевидно, определится отношением
5*22 — -г^ в том случае, когда начальные условия выбраны такими,
при которых А.11 = о и осуществляются вторые нормальные
колебания, описываемые формулами
Х22 = И22А.12 8Ш (сОг/ + «г)-
Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему
число собственных частот совпадает с числом степеней свободы
колебательной системы и что две нормальные формы колебаний
ортогональны, т. е. имеет место соотнои1ение
Установив общие принципы определения основных параметров
колебаний упругих систем с несколькими степенями свободы,
перейдем к рассмотрению важнейн1их видов колебаний, часто
встречающихся в инженерном деле.
§ «30. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
И СИСТЕМ ПЕРЕДАЧ
Представим себе механическую систему, состоящую из упругого
вала с насаженными на него дисками (рис. 536, а), совершающую
крутильные колебания. Пусть ^^, 3^, /д, ...,/„ — моменты
инерции масс дисков относительно оси вала, а ф^, фа. Фз' •••' Фп — углы
поворота дисков при колебании; Сх, с^, с^, ..., с„ — жесткости
$57
различных участков вала при кручении:
С1 ==
Здесь /, — длина соответствующего участка.
Поскольку Сх, Сг, Сз, ... представляют собой крутящие моменты,
вызывающие закручивания соответствующих участков вала на один
радиан, то с^ (ф^ — фа); Са (фг — Фз); ■•• — крутящие моменты,
возникающие в сечениях при взаимном повороте первого и второго
дисков на угол ф] — фг. второго и третьего — на угол фа — Фз и т. д.
(рис. 536, б).
Пренебрегая моментом
инерции массы
вращающегося вала по сравнению с
моментами инерции ^^^, ]^,
... вращающихся масс
дисков, кинетическую энергию
колеблющейся системы
можно представить в виде
Т = -о- ^тФ? + -9-ЛФ2 +
Сг(%-9з} Сп.,(%-Г%)
%^ФЩ-^^
Рис. 536
+4-^зФз-ь
B0.65)
Потенциальная энергия рассматриваемой системы с п степенями
свободы за счет упругой деформации вала
V
>=1
ИЛИ
^ = -9- ^1 (Ф1 — Фг)" + -о- ^ (Ф2 — Фз)^ +
+ -о-^8(фз —Ф4)' +
B0.66)
Подставляя выражения B0.65) и B0.66) в уравнение Лагранжа
B0.56), получим следующие дифференциальные уравнения
свободных крутильных колебаний вала:
ЛФ1 + ^1 (ф1 — Фа) = 0;
•'гФг + Са (фг — Фз) — Ч (ф1 — фг) =
ЛФз + ^3 (фз — Ф*) — <^2 (Ф2 — Фз) =
У„_1ф„_1 4- Сп-\ (фп_] — ф„) — Сп-2 (фп-2 -
4ф„ — С„_1 (ф«_1 — ф„) = 0.
= 0;
= 0;
- ф„_1) = 0;
B0.67)
558
Складывая эти уравнения, получим /^ф^ + ^^Ч>^ + ••• + •^п'^п ~ О,
откуда
^^(^)^ -Ь /афа + ЛФз + • ' • + ^пЧ>п = СОП51,
т. е. момент количества движения системы вокруг оси вала при
свободных колебаниях остается постоянным.
В дальнейшем этот момент количества движения будем принимать
равным нулю. Этим самым исключаем из рассмотрения любое
вращение вала как твердого тела и рассматриваем только колебательное
движение, вызываемое скручиванием вала.
Пользуясь общими методами решения полученной системы
дифференциальных уравнений B0.67), решение ищем в виде
Фх = ^1С05 (A)^ -{- ^у. Фа = ^2 С05 (Ш + ^),
B0.68)
Подставляя решения B0.68) в уравнения B0.67), будем иметь
^^К^К^^ — Сх (^1 — ^.а) = 0;
^^^о^^ + ^1 (К — К) — ^2 (^'2—^з) = 0;
B0.69)
Л
с,
й-Ц\
Ш
Исключив ИЗ ЭТИХ уравнений "к^ и \,
получим частотное уравнение для
определения A)^.
Так, в случае трех дисков (рис. 537)
система уравнений B0.69) принимает
вид
^^'к^ы^ — с^ (А.^ — "к-^ = 0;
З^к^^ + с^ {\ — ?.2) — <^ (^^2 — ^з) = 0;
З^к^аР- + Са (?.2 — Ю = О- B0.70)
Сложив эти уравнения, получим
^,■к^-{-^^к^ + ^^^ = о. B0.71)
Из первого и третьего уравнений системы B0 70) найдем, что
Г*ис. 5Э7
1,=
B0.72)
Подставляя выражение B0.72) в формулу B0.71), будем иметь
_111213_ „4.
Л С1
-](й^ +
+ {^^ + ^2 + ^з) = о. B0.73)
Решая это уравнение относительно (о^, можно получить два
корня A)^ и A)|, соответствующие двум главным видам колебаний.
Подставляя найденные значения щ и (Ог в уравнения B0.72), получим
559
значения отношений амплитуд -^ и -~ для двух главных видов
колебаний и тем самым установим состояние системы во время
колебаний. Указанные два вида колебаний для трехмассовой системы
представлены на диаграммах / и // (рис. 537) соответственно для
одноузловой и двухузловой форм колебаний.
В случае четырех вращающихся масс уравнение частоты получим,
приравняв к нулю определитель уравнений B0.67) при п = А.
Решая его, получим четыре корня уравнения, из которых один
вследствие свободного вращения вала как твердого тела вокруг его оси
окажется равным нулю, а остальные три (отличные от нуля) дадут
частоты трех главных колебаний рассматриваемой системы.
§ 131. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ
С поперечными колебаниями стержней весьма часто приходится
встречаться в машиностроении, и в час1ности в турбостроении, где
применяются валы с прямолинейной осью, несущие ряд дисков.
Поскольку такие валы имеют значительные пролеты, то весьма важно
определить критические скорости вращения этих валов, что
связано с изучением их поперечных колебаний.
Изучение поперечных колебаний валов начнем с рассмотрения
упругой балки на двух опорах, несущей произвольное количество
сосредоточенных (точечных) масс т^, т^, .... /?г„ (рис. 538).
Решая поставленную задачу, воспользуемся вторым способом
(см. § 129), согласно которому к упругой системе, не обладающей
массой, необходимо приложить силы инерции —т^ш^; —ШгШа; ...;
—т„ш„, где щ, г;^;, ..., ш„ — соответственно гп т гп т
поперечные перемещения (прогибы) оси бал- с^»■ -^—•^' *" "Л
ки в месте приложения масс т-^, т^, .... т„, т^- '^
а ш^, Шг, ..., ш„— вторые производные этих Рис. 538
перемещений по времени.
Выражения для указанных перемещений могут быть обобщенно
поедсгавлены в каноническом виде;
ЫI= — т1Ш1б11 — т2щб12, — • • • — т„ш„б1„;
^2 = — т^Ы)^82^ — т^шф^г — ■•■ — гПп^п^п,
B0.74)
где б,д, — перемещение в направлении /, вызванное единичной
силой, действующей в направлении к.
Эти коэффициенты при изгибе определяются по методу Мора:
/
2]^-''
560
где Л1( (х) и М/1 (х) — изгибающие моменты, вызванные
соответствующими единичными силами
Р,- = — т,ш, = 1; Р;, = — т,,10к = 1-
Эти коэффициенты могут быть вычислены также при помощи
формулы Верещагина:
б,й = 2 ■
Е^
где _9г — площадь эпюры М, (или части М^);
^ск — ордината эпюры М^, расположенная против центра
тяжести площади ^^.
Напомним также, что, согласно теореме о взаимности
перемещений (теореме Максвелла),
Основная система уравнений B0.74) в простейшем случае для
колебательной системы с одной степенью свободы приводит к одному
уравнению с одним неизвестным:
что эквивалентно известному уравнению
ты) + с,ш = О,
поскольку
1_
Дл-я системы с двумя степенями свободы на основании
уравнений B0.74) получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
функциями прогиба щ и щ-
ш^ = — гп-хии^бц — т2щб12;
щ= — т1Ш1б21 — щпиф^^-
При решении системы уравнений B0.74) функцию прогиба
можно принять в виде
Ш, = А., 51П (СО^ + а).
Подставляя это выражение в основные уравнения B0.74), получим
следующую однородную систему алгебраических уравнений
относительно неизвестных амплитуд Кс и частот со,:
А.1 (т1бцСо^ — 1) + '^гЩ^г^^ + • • • + >^„т„б1„ю^ = 0;
\т1821(и^ + 1^2 {тА?!^^ — 1) + • • • + ^^п^Л»»' = 0;
B0.75)
'к^т^8п^(о^ + ^тфп-^^ + • • • +К {т„Ьпп<^? — 1) = 0.
При наличии колебаний амплитуда А.,- не обращается в нуль, если
определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений
561
B0.75), равен нулю, т. е.
= 0. B0.76)
т^бй!»^ тфп-^^ ... т„8пп(й^ — 1
Написав этот определитель в развернутом виде и обозначив через
а, коэффициенты при различных степенях со, получим частотное
уравнение п-й степени для квадрата частоты со:
1 — а1Со^ -+- йгсо* — а^ол^ + •-. + (— 1)" й„со2" ==^ 0. B0.77)
Из уравнения B0.77) получим
СО! = + ^<^Ь «2 = + ^D; - • •; «>„ = + Уоьг',
{щ>щ> ••• >со„).
Тогда общее решение системы уравнений можно записать так:
щ = Ка 51П (со1^ Ч- а!) + Кг 51П {@^1 + «г) + • • • +Кп ^т (со„^ + «п).
или в развернутом виде:
и»! = кц 51П (со1^ 4- «о + ^12 51П (сог^ + «г) + ''" + Кп 51П {оУ„1 + а„);
Щ = ^21 51П (С01^ + а!) 4- ^22 51П (С02^ + «г) + • • • + А,2„ 51П (С0„^ + «„);
Ш„ = Л„1 51П (СО,^ Н- а!) + Кг 51П (СО^^ + «г) + • • • +Кп 51П (С0„^ -I- «п)
B0.78)
Таким образом, в каждом направлении г = 1, 2, ..., п
происходят колебания с большим спектром частот.
В частном случае системы с двумя степенями свободы уравнения
B0.75) примут вид
К (т1бцСо2 —1L- У^-гт^^^"' = 0;
Кт1Ь^1(л^ + К {тф^а»^ — 1) = 0.
Определитель B0.76) при этом будет
т^6^^(>)^ — 1 т2,Ь12(С1^
Записав определитель в развернутом виде, найдем частотное урав-
= 0.
нение
«* F11622 — 612) т^гщ — со2 (бц/И! 4- 622^2) + 1=0.
откуда первая и вторая частоты колебаний определятся
соответственно формулами
"'=/т^
■^\^^
би + ё.2^ +
562
► ,
Шо
/
2(«1Л
■ ^и) "^2
[в„ + ^-|-
/(^
Ьи + ^2-^ -4(М22-б^2)-
Пример 85. Определить собственную частоту колебаний балки (рис, 539),
несущей три одинаковых сосредоточенных груза массой т каждый.
Прежде всего определим перемеще- ^
кия точек приложения грузов под
действием единичных сил Ях = 1, Яг = 1
Рз = 1. С этой целью построим эпюры
изгибающих моментов от указанных еди
ничных сил (рис. 540). Пользуясь фор-
X
т
6
т
3
т
X
3
...^гтггП!!^^
I
6
^^тттТТТ1ТТ1Т&"'^'
Рис. 539
Рис. 540
мул ой Верещагина, найдем перемещения от единичных нагрузок:
^11 = ^ = 75А; 6^2 = 243А; Ь^г = б^ = 632 = баз = 117А; б^.
■ Б1к,
где
А = -
/3
= 0.
9 • 12965'/ •
Имея значения б^^, составим определитель, аналогичный выражению B0.76):
1Ътка?—1 ИТшкоу' ЫткаР
117тк(л^ 24Ътк@^ — 1 117тк@^
ЫткФ^ Штка>^ ЧЪтка?—1
Записав полученный определитель в развернутом виде, найдем уравнение
частоты:
77 760 (тйсй2)з — 12 096 {тк(,^)^ + ЗдЗтйсо^ —1=0.
Это уравнение имеет следующих три корня, соответствующих трем значениям
собственных круговых частот колебаний рассматриваемой упругой системы.
5,692 л/' Е^
22,05 1/"Ш'
36,00 лГ
*з = —7— \ -
Е1
B0.80)
B0.81)
B0.82)
563
§ 132. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ
Поперечные колебания струны. Выведем дифференциальное
уравнение поперечных колебаний струны. Для этого рассмотрим
отклонение струны, закрепленной в точках А и В (рис. 541, а).
Первоначальное ее натяжение пусть будет Р. Будем считать отклонение
незначительным, а изменением усилия натяжения Р при этом
пренебрежем, т. е. Р = С0П51.
Длина струны /.
Полагая, что при
отклонении все точки
струны находятся в
плоскости ху, рассмотрим
элемент струны, имеющий
массу ёт; конечные
точки его X и X -\- их. Проведем касательные к струне в крайних
точках элемента; углы наклона касательных к оси х соответственно а и
а^ (рис. 541, б). Считаем их также малыми.
Составляющая натяжения по оси Оу в точке х
К = — Р ьт а,
а в точке х + их
У + дУ = Р%тщ.
В силу малости углов можно принять, что
Рис. 541
БШа;
■Лца =
дх
51П Щ '.
■■Ч^1 = -^ + -^^Х.
дх ' сх'
Сумма проекций натяжений на ось у составляет
дУ = Р
дх^
■йх.
Чтобы найти уравнение движения, нужно, следуя принципу
Д'Аламбера, эту силу приравнять силе инерции элемента струны,
„ , д^у
равной ат -щ-, что даег
Aт-
= Р-^йх.
т^ -' ^- B0.83)
Обозначив через С вес всей струны, для йт получим следующее
выражение:
йт
■йх.
где д, — ускорение силы тяжести.
Тогда уравнение B0.83) примет вид
^у
^ дх''
B0.84)
564
Обозначая
Ре1
^
выражение B0.84) запишем так:
т
а\
= а^
B0.85)
Это и есть уравнение плоских поперечных колебаний натянутой
струны.
Теперь задача состоит в том, чтобы отыскать у как функцию от
X и I, т. е.
у==Р(х, I).
Эта функция должна удовлетворять:
1) дифференциальному уравнению B0.85);
2) граничным условиям, т. е. при л; = О и д: = / ордината у — О,
пли
Р = (О, 0 = 0; Р (/, () = 0; B0.86)
3) начальным условиям, т. е. при ^ = О она должна обращаться
в заданную функцию прогибов:
Р{х,0)=[{х). B0.87)
Кроме того, частная производная по I при ^ = О должна
обращаться в заданную функцию V (х) (начальная скорость):
дР {X, 0)
д{
= V {х).
B0.88)
Условие B0.87) означает, что в начальный момент, т. е. при ^ =0,
сгрука имеет заданную форму, например такую, какую она
примет, если будет оттянута штифтом 5 (рис. 542). у>
В момент ^ = О штифт убирают и струна
начинает свои колебания.
Условие B0.88) означает, что в начальный
момент все точки струны имеют заданную
скорость, в частности могут находиться и в
состоянии покоя, как это имеет место в случае, показанном на рис. 542.
Решение уравнения B0.85), следуя методу Фурье, ищем в виде
Рис. 542
у = хт.
B0.89)
где X и Т — соответственно функции х и I:
Х=/,(х); Т^[^а).
Продифференцировав выражение B0.89) по х и I, получим
д'^у V ^5" . ^^У 'п д^Х
дР
дР
дх^
= Т-
дх^
565
После подстановки этих выражений в уравнение B0.85) последнее
примет вид
или
1
ар
Т йР
X ах^
B0.90)
Приравнивая правую и левую части последнего уравнения к одной
и той же постоянной величине — к^, получим два уравнения:
= — /^Т;
й^Х
— ■^Х.
Ф
B0.91)
Частные решения этих двух обыкновенных дифференциальных
уравнений следующие:
B0.92)
В этом легко убедиться, подставив их в уравнение B0.91).
к
Пз функций B0.92) соз —х следует исключить как выражение,
не удовлетворяющее первому из условий B0.86), так как оно не с б-
ращается в нуль при л; = 0. Чтобы зш — х равнялся нулю при х = I,
апп
нужно, чтобы к1 = апп, откуда к = ^-г-, где п — целое число.
Равенство к1 = апп называется уравнением периодов или
уравнением частоты. Оно получается непосредственно из граничных
условий.
Теперь имеем два частных решения уравнения B0.85):
пп
^1 = 8т-рх
апл , . пп . апп . /„„ „„,
соз —у— I; У2, = зш -у— д: 3 ш —.— Л B0.93)
Умножив каждое из этих решений на неопределенные коэффициенты
А и В и сложив эти два решения, получим общее решение в виде
^ = 31П-
^4^"
апп . , г, . апп
соз —— I -\- Оп 5Ш —,—
')•
B0.94)
или, полагая
^ апп
С>й соз ; ^'т^^
г, /^ • апп
В„ = С„ зш —^— т„,
где С„ и т„ — постоянные, уравнение B0.94) запишем в виде
^ . пп апл ,, _ .
I; = С„ 81П-р X СОЗ-у-(г — т„).
B0.95)
566
Полученное уравнение характеризует движение как
периодическое, т. е. колебательное. Период колебаний
а частота колебаний
Тп=-
/« =
2л;
апп
1
1
Гп
21
~~ ап '
ап
'Г-
B0,96)
B0.97)
При п = 1 струна колеблется в основном тоне (с одной полуволной).
При п = 2 струна колеблется, образуя две полуволны, при п = 3 —
с тремя полуволнами (рис. 543).
Характер колебаний, которые струна
совершает в действительности, зависит от начальных
условий. Например, струна будет колебаться
только в основном тоне, если при ^ = О она
имела форрлу первой кривой (п = 1) и все ее точки
были в покое. Если же начальная форма струны
иная, то кроме основного тона появляются и
обертоны, так как колебания струны
представляют совокупность налагающихся друг на друга
отдельных колебаний. Уравнение движения примет в этом случае
такой вид:
п=3
Рис. 54Э
У
2{л.
па . , г, . па Л ■ пх
С05 П —г- 1+ В„ 81П П —7— I 51П П —г-
1\.:
B0.98)
Для окончательного решения задачи нужно из начальных
условий B0.87) и B0.88) определить коэффициенты А и В уравнения
B0.98).
Из условия B0.87)
а из условия B0.88)
гтх е, \
5Ш -у— = / (Х),
( со
ппа . пп
5т—7—X
V (Х).
B0.99)
B0.100)
Здесь / {х) и V (х) — функции, заданные в интервале от О до /.
Равенства B0.99) и B0.100) требуют разложения этих функций в
ряды, члены которых представляют собой тригонометрические
функции углов, кратных -у. Эта задача решается методом Фурье,
который, как известно, заключается в том, что равенство B0.99)
умножают на 51п т-^ и интегрируют по всей длине от О до Л В результате
$67
этого интегрирования получают
^/(;,Mш-^./х = 2?Д,зш^8Ш-^йх. B0.101)
о "='^ с
Все члены правой части этого равенства, кроме одного, обращаются
в нуль, так как при п Ф т
I
ппх . птх , г\
5Ш —;— 51П ;— ^Х ~ О,
I
I
B0.102)
а при п
т
8Ш ; 5Ш ; ёХ
B0.103)
Для доказательства равенств B0.102) и B0.103) вспомним, что
соз (а — р) = соз а соз р + 51П а 51П Р;
соз (а + Р) = соз а соб р — 51п а 51П Р;
2 вт а 81П р = соз (а — р) — соз (а + Р).
_ Тогда
лх . пх ,
8Ш п -у— 81П т —V- ах
I
о
I
о
-4,(
{п — т)пх ,
СОЗ -^ ^ |^x —
(п + т) пх ,
СОЗ -^—-~ йх.
Рассмотрим второй интеграл правой части этого равенства. Он
представляет собой площадь, ограниченную кривой
ТУХ
у = соз [п + т) -у-
и ординатами х = О и х = /. Если п -\- т — четное число, то
кривая имеет вид, показанный на рис. 544, а, если п -\- т — нечетное
число — вид на рис. 544, б. Площади отдельных частей в обоих
случаях взаимно уничтожаются. Интеграл
I
\ соз {п — т) -^ йх
о
также обращается в нуль для всех значений п Ф т, а при п ~ /пего
величина равна /.
$68
Таким образом, в правой части равенства B0.101) только один
член, содержащийся в равенстве B0.103), не обращается в нуль. Он
^ Ап1
по доказанному равен ——-, откуда
Аналогично
Л„ = —^/(л:)8ш—у-
ёх.
B0,104)
а. =
I , ч • ппх ,
\V(X) ЙШ —-— ёХ.
B0.105)
С помощью этих равенств вполне можно определить ряд B0.98),
а вместе с тем и движение струны.
Продольные колебания стержней. Перейдем к рассмотрению
колебаний призматических стержней, обладающих в отличие от струны
значительной поперечной жесткостью. Прежде всего напомним, что
различают три Т1ша колебаний: продольные, поперечные и
крутильные.
При продольных колебаниях все частицы стержня движутся
параллельно его оси (рис. 545, а). Сн<атие и растяжение поочередно
следуют друг за другом как во времени, так
и в пространстве.
Выведем дифференциальное уравнение
колебаний стержня. С этой целью
рассмотрим условие динамического равновесия
участка колеблющегося стержня. Сечения аиЬ
(рис. 545, б), ограничивающие
элементарную длину ёх, периодически
перемещаются. Перемещение и произвольного сечения
с координатой х может быть выражено как
и = [ (х, I). Это уравнение указывает на
наличие в стержне относительных
перемещений отдельных его поперечных сечений.
Если сечение а перемещается на и, а Ь ~
'Л
^
г а
X
Ма
Ь 1
с/х ^
■^ 0
Aх
1
1
^6
6
на и +-^с1х, то относительное удлинение
в сечении а элемента ёх (рис. 545, в) е =-^' Тогда осевая сила в
сечении а
М„ = ЕР
ди
дх
В сечении Ь, расположенном на бесконечно близком расстоянии Aх,
осевая сила
М, = М„
дМа
дх
^^ = ^^[-|г + ^(-|г)^^
569
Равнодейстаующая этих усилий должна быть равна силе инерции
элемента, величина которой при массе стержня т и длине / будет
т д^и
/ =
Тогда уравнение движения
/ а<2
их.
ЕР-
I ди \ , п
т д''и
йх.
B0.106)
дх \ дх I '"^ I дР
После сокращения на йх и замены -^ на р (плотностьматериала)
получим
B0.107)
Е
Это уравнение замечательно тем, что выражаемое им движение не
зависит от размеров стержня. Если положить
Е 2
— = а%
Р
то получим уравнение, совпадающее по форме с уравнением B0.85)
движения струны:
д^и
B0.108)
Рис. 546
Поэтому формулы, полученные при рассмотрении колебаний
струны, могут быть автоматически использованы для расчета
продольных колебаний стержней.
^.^.ч,Прп этом только
потребуется подставить
соответствующее значение для
коэффициента а.
Крутильные колебания
стержней. При колебаниях
кручения какого-нибудь,
например
цилиндрического, стержня движение лучше всего охарактеризовать волнистой
линией, вычерчивая ее на развернутой поверхности стержня
(рис. 546, а).
Пусть сечение на расстоянии х закручивается относительно
неподвижного сечения на угол ф, а сечение на расстоянии х -\- ёх —
на угол ф-|--:^ б/л; (рис. 546, б). Тогда величина относительного угла
закручивания элемента длиной йх будет -^ и крутящие моменты в
обоих поперечных сечениях — соответственно
С/
9ч>
р дх
и СЛ
дх
^9
йх
)•
570
Приравнивая равнодействующую этих крутящих моментов к момен-
ту инерции вращения элемента длиной ёх, равному р^р -^ Aх,
получим уравнение движения
которое после сокращения на ^р и их примет вид
с4^=р-^-^'р
дх^
а<2
B0.109)
С
Обозначая — через а^, вновь получаем уравнение в форме
колебания струны:
B0.110)
Поэтому и в данном случае формулы, выведенные при рассмотрении
колебаний струны, остаются в силе.
§ 133. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
При выводе дифференциального уравнения поперечных
колебаний стержня рассмотрим динамическое равновесие участка их,
выделенного из произвольно закрепленной балки, предположим по схеме,
показанной на рис. 547, а. уу||
Пользуясь принципом Д'Алам-
бера, спроектируем на ось ш; .
силы, действующие на
рассматриваемый элемент (рис. 547, б),
и приравняем их к нулю:
^ — д^йх — ^
откуда
_дО_
дх
дх
с1х= О,
B0.111)
М4
где ^
1-т-\
А
дх
их
^'Ъ'^'
поперечная сила; д-
интенсивность сил ИНер- Рис. 547
ции массы балки,
направленных параллельно оси прогибов т\
11 = рР
B0.112)
Здесь Р
Р
площадь поперечного сечения стержня;
плотность материала.
571
Подставляя выражение B0.112) в уравнение B0.111), найдем
уравнение поступательного движения элемента колеблющегося
стеожня в виде
Кроме поступательного движения, рассматриваемый элемент
совершает также вращательное движение в плоскости шх. Для вывода
уравнения движения элемента с учетом его вращения выразим угол
между осью элемента и осью х, зависящий не только от поворота
поперечного сечения 6, но и от сдвига у, следующим образом:
-|^=в + т. B0.114)
Известны зависимости между изгибающим моментом М в
поперечном сечении и углом поворота в этого сечения:
М^=ЕЗ^, B0.115)
а также между поперечной силой ^ и углом сдвига у, который в
нашем случае отрицательный:
- ^==.—куРС, B0.116)
где к — коэффициент формы сечения. На основании зависимости
B0.114) выражение для ^, согласно формуле B0.116), можно
записать в виде
^ = -кРс{^--^). B0.117)
Момент инерции вращения массы рассматриваемого элемента
-^ ^ у\1т = ~- ^ у^рР (х) их = р^ -^ их. B0.118)
Учитывая выражение B0.118) и рассматривая, пользуясь
принципом Д'Аламбера, динамическое равновесие вращения стержня,
будем иметь
^йx~-^Ax = ~р^~-йx. B0.119)
Поделив уравнение B0.119) на их и учитывая формулы B0.115) и
B0.117), запишем его в виде
_,ге(-^-в)-Ы-^ + р/-^^0. B0.120)
Продифференцировав последнее уравнение по х, получим
-«(^-^)-'^^-^ + Р^1||- = ''-<2«.'21)
Переписав уравнение B0.113) с учетом выражения B0.117) в виде
572
и исключая из уравнений B0.121) и B0.122) угол в, легко получить
дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний
стержня постоянного сечения.
Действительно, определив из уравнения B0.122)
~дх' ~ к(Г ' дР
а также выразив -^^, ^^
окончательно получим
+
ах^
и подставив их в уравнение B0.121),
B0.123)
Если пренебречь силами инерции вращения элемента, а также
влиянием на прогиб поперечной силы, как это обычно и принято в
инженерной практике при рассмотрении поперечных колебаний
тонких длинных стержней, то уравнение B0.123) существенно
упростится и его можно будет записать в виде
Е]
+ рР
= 0,
или
где
а^и-
д{^
■\-С^
= 0,
■=К:
р/
B0.124)
B0.125)
B0.126)
представляет собой скорость распространения волны деформации по
стержню.
Простейшим периодическим решением уравнения B0.125)
свободных поперечных колебаний стержня является так называемое
главное колебание, в котором функция прогиба колеблющегося
стержня изменяется с течением времени по гармоническому закону:
ш = Ф (л:) 81п (со^ -|- С')'
B0.127)
Функция ф (х), устанавливающая закон распределения
максимальных амплитудных отклонений точек оси стержня, называется
формой главного колебания или собственной формой. Собственных
форм колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное
множество, и каждой из них соответствует определенное значение
частоты со, которая называется собственной частотой. Эти частоты и
соответствующие им собственные формы определяют с помощью
уравнения собственных форм и краевых условий задачи.
Для получения уравнения собственных форм подставим
выражение B0.127) в уравнение B0.124). После сокращения на 8ш(со^4-а)
из
получим
где
к^
Е/
B0.128)
B0.129)
Уравнение B0.128) имеет четыре независимых частных решения:
С05 кх; 81П кх; сЬ кх; бЬ кх,
а его общее решение может быть записано так:
Ф (х) = Л со5 кх + В 81П кх + СсЪкх + О^Ь кх. B0.130)
Четыре произвольные постоянные А, В, С и В следует подбирать
так, чтобы функция ф (х) удовлетворяла условиям закрепления
концов стержня.
В обычных случаях число краевых условий равно числу
произвольных постоянных — по два на каждом ксйще. Все они
выражаются равенством нулю двух из следующих четырех величин:
Ф(л:); ф'{х); Ц)" (х); Ц)'" (х),
пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота
(геометрические условия), изгибающему моменту и поперечной силе (ди-
р намические условия) при х — О я х = I.
/у а "ТуС^. Выполняя эти условия, получим четыре
однородных уравнения, из которых
найдем соотношения между А, В, С, В и
частотные уравнения для определения
собственных частот колебаний
рассматриваемой системы.
Так, например, для стержня на двух
опорах (рис. 548, а) условия на концах
следующие: при х = 0 ц){х) — О, ф" (х) = 0; при х = I ц){х) — О,
Ф" {х) = 0.
Запишем эти условия, исходя из формулы B0.130):
Л + С = 0; В 81П Л/ + О 8Ь У^/ == 0;
— Л+С=0; ~В%тк1^Ь%^к1 = ^,
откуда
Л = С = /) = 0
В8тйг = 0.
Так как для нетривиального решения В 1^^ О, то
8т Л/=0. B0.13()
Выражение B0.131) и будет уравнением частоты для
рассматриваемого случая поперечных колебаний балки, свободно опирающейся
574
своими концами. Из уравнения B0.131) следует, что
к^1 = ш (I = 1, 2, 3, ...),
но так как
кс = -^^- (т = рР),
то собственные круговые частоты колебаний рассматриваемой балки
B0.132)
,2 1/ Е^ Рп^ \[ Е.}
а частоты колебаний в герцах
Для собственных форм колебаний балки, согласно формуле
B0.130), получим уравнение
Ф,(д;) = В.-8т-^, B0.134)
где 1=1, 2, 3, ...
Первые три собственные формы графически представлены на
рис. 548, б.
Общее решение дифференциального уравнения B0.125)
применительно к рассматриваемой балке на двух опорах имеет вид
и) (х, 0 = 2 ('^' '^^^ '^'^ + ^^ ^'" '^'^^ ^'" "Х" •
(=1
Коэффициенты а,., Ь^ находят из начальных условий,
выражающихся соотношениями
ш (х, 0) = и (х); т (х, 0) = у (х),
имеющими место в момент ^ = О, где ы (х) и у {х) — некоторые
заданные функции переменной х, определяющие начальное
распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных
его элементов.
§ 134. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ
Во многих случаях при решении задач колебаний систем удобно
исходить из рассмотрения принципа сохранения энергии системы.
Так, рассматривая простейшую колебательную систему с одной
степенью свободы (см. рис. 515), легко убедиться, что кинетическая
энергия такой системы во время колебаний (массой пружины
пренебрегаем) составляет величину
0. ^2
Т = . ^ у^
575
где
■ (]х
Потенциальная энергия системы состоит из потенциальной энергии
деформации пружины и потенциальной энергии груза, зависящей
от его положения.
При любом перемещении х нижнего конца пружины
растягивающая сила в пружине будет (бет + х) с,а. соответствующая
потенциальная энергия, накапливаемая при этом в пружине,
//' _ „Фст + х^
где бет — деформация пружины под действием статически
приложенного груза ^.
Энергия пружины в положении равновесия, т. е. при л: = О,'
С/п— 2 •
Следовательно, увеличение потенциальной энергии в пружине при
перемещении на величину х
1] - 11- 11" _ С(ёст + Х)' «^«с
1^^^ — с/п с/п п ■—г^-
>!2
= сб„л: + -^ = Сх + -^ . B0.135)
Потенциальная энергия, обусловленная положением груза при
перемещении его на величину х, уменьшится на величину
^^=^x. B0.136)
Тогда на основании последних двух равенств полное изменение
потенциальной энергии колебательной системы при перемещении
груза на величину х
^ = ^^~^^=-^. B0.137)
Благодаря тому, что груз ^ всегда уравновешивается начальной
растягивающей силой, возникающей при статических растяжениях
бет, окончательное выражение B0.137) для потенциальной энергии
системы будет то же, что и для случая, когда ^ = О и удлинение
пружины равно х.
Пользуясь принципом сохранения энергии и пренебрегая
потерями энергии в системе при колебаниях, следует положить, что
сумма кинетической и потенциальной энергии системы остается
постоянной, т. е
Т + 11 = соп81;у
или
28
576
^ х^ + ~-== С0П&1. B0.138)
Величина постоянной в правой части равенства B0.138) зависит
от начальных условий. Так, например, полагая, что при ^ = О
перемещение X == Хо, а начальная скорость х^ = О, будем иметь
9
^х^ + -^ = -^. B0.139)
Уравнение B0.139) показывает, что при колебаниях сумма
кинетической и потенциальной энергий остается равной начальной
энергии деформации. При этом, когда колеблющийся груз находится
в своем крайнем положении и его скорость равна нулю, вся энергия
системы состоит только из потенциальной энергии деформации. При
X = О, т. е. когда груз проходит среднее положение, скорость
достигает своего наибольшего значения и вся энергия системы состой г
из кинетической энергии. На основании уравнения B0.139) имеем
<3(^икс _^^ ^20.140)
Последнее уравнение можно использовать для вычисления
частот колебаний системы. Как уже отмечалось, в данном случае имеем
простое гармоническое движение, т. е. можем положить, что
Х — Хо С05 со/; (Х)макс = ХоО).
Подстав^'яя значения х и (л:)макс в уравнение B0.140), получаем
^X^ СХд
28 2 '
откуда
со^ = -|-. B0.141)
Это совпадает с ранее полученной формулой B0.2).
Описанный способ, основанный на принципе сохранения энер-
щи, весьма часто используют для решения различных инженерных
задач колебаний, в том числе более сложных, чем здесь рассмотрены.
В заключение заметим, что изложенный здесь энергетический
метод может быть использован для получения дифференциального
уравнения колебаний рассматривае\1ой системы с одной степенью
свободы. Действительно, продифференцировав уравнение B0.139),
найдем, что
^-2хх + с^^0.
Отсюда получим ранее найденное дифференциальное уравнение
движения B0.1):
или
д; + со^д; = О,
19 8—2770 577
^- где
"'"^
Сказанное здесь применительно к колебательной системе с одной
степенью свободы справедливо также и по отношению к упругим
колебательным системам с несколькими и с бесконечным числом
степеней свободы.
§ 135. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
Способ Рейлея. При рассмотрении колебаний упругих систем с
одной и с несколькими степенями свободы мы, как правило,
пренебрегали массой упругого элемента по сравнению с колеблющейся
сосредоточенной массой. Это имело место и в случае вертикальных
колебаний груза, подвешенного на пружине (см. рис. 515), и в
случае крутильных колебаний диска на валу (рис. 523), и в случае
поперечных колебаний грузов, расположенных на балке (рис. 533),
и в других случаях. Хотя эти упрощения во многих практических
случаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения,
тем не менее для некоторых технических задач желательно более
детально рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить
влияние принятых упрощений на получаемое значение частоты
колебаний упругой системы, воспользуемся приближенным методом
Рейлея.
Приближенность метода состоит в том, что при его
применении делают некоторые допущения
относительно конфигурации колебательной упругой системы
во время колебания. Частоту колебаний по способу
Рейлея определяют из баланса энергии системы.
Проиллюстрируем применение метода Рейлея на
примере колебаний груза, подвешенного на пружине
(рис. 549).
При допущении, что масса пружины мала по
сравнению с массой подвешенного груза ^, тип колебания груза не может
существенно зависеть от массы пружины и с достаточной
точностью можно принять, что перемещение ее поперечного сечения на
расстоянии Г] от закрепленного конца то же, что и в случае
невесомой пружины, т. е. равно
хц
где / — длина пружины; х — перемещение груза ^.
Если перемещение, согласно принятому допущению, не зависит
от массы пружины, то, очевидно, потенциальная энергия системы
такая же, как и в случае, если бы пружина была невесомой.
Кинетическую энергию системы определим следующим образом.
Пусть д — вес единицы длины пружины. Тогда масса элемента пру-
573
жины йц будет
дйц
а соответствующая кинетическая энергия
\2
'^. = ^(-^^г^ч■
Полная кинетическая энергия пружины, очевидно,
I
\2 , / И^ \2
т
Это значение кинетической энергии пружины следует прибавить
к кинетической энергии груза
„ д ( аху
Тогда полная кинетическая энергия, подлежащая учету при
колебании системы,
В то же время полное изменение потенциальной энергии системы
при перемещении груза на величину л;, согласно уравнению B0.137),
^^ 2 •
Условие сохранения энергии должно быть записано в виде
1
2§
{^Г(е
Я1
+
СХп
B0.142)
3 / ' 2 2
Сравнивая это уравнение с уравнением B0.139), можем
заключить, что для оценки влияния массы пружины на период
собственных колебаний нужно к весу груза С
прибавить одну треть веса пружины. Это
заключение, полученное при допущении,
что вес пружины очень мал по сравнению
с грузом, можно с достаточной степенью
точности использовать и для случаев,
когда вес пружины того же порядка, что
и вес груза. Так, для <7^=0,5С ошибка
приближенного решения составляет 0,5%,
0,75% и для ^^=2^ — около 3%.
В качестве второго примера рассмотрим
расположенного посредине балки (рис. 550).
Следуя методу Рейлея и полагая, что вес д1 балки мал по
сравнению с весом О груза, с достаточной точностью можно
допустить, что кривая прогибов балки при колебании имеет такую же
форму, как и кривая статических прогибов. Тогда, обозначая
через / перемещение груза С при колебании, получим перемещение
любого элемента дйх балки на расстоянии х от опоры:
^^11^^!!:^. B0.143)
Рис. $50
а для д^=^
колебания груза.
около
19"
«79
Кинетическая энергия самой балки
г/2
о
Кинетическая энергия груза
т _ О /" ^М'
Тогда полная кинетическая энергия колеблющейся системы
Т^Т, + Т, = ё^Ш- B0.144)
Потенциальная энергия деформации балки при изгибе
" МЧх
V
2Е^
или, учитывая, что
М = ЕЗ
1^
а на основании выражения B0.143)
получим
Условие B0.138) сохранения энергии тогда примет вид
Т^V.
л м )
, 24Е^ « ^ 4.
+ —щ—Р = СОП81.
Дифференцируя последнее уравнение по I, найдем, что
17
^"^5"^^^ о ггу 41 , 2.24Е^ . а! _г.
откуда после сокращения получим
М^ ^ Р I 17 Л
или, вводя понятие приведенного прогиба бпр:
/==0,
6„п- ^гЗ-, 1\
ь-Пр ■
^8Р^
B0.146)
«80
дифференциальное уравнение колебания груза на балке с учетом ее
массы можно представить в виде
Л^^ , 8 1 п
1Г + -б;7^" B0.147)
Отсюда частота V собственных колебаний груза, согласно
выражению B0.6),
со \ ■. / 8
231 231 I/ бпр
/
Из формулы B0.146) следует, что для учета массы балки при
определении частоты или периода свободных колебаний следует балку
17
считать невесомой, а к весу груза прибавлять -^ = 0,486 веса балки.
Величина -^ —— называется приведенной массой балки.
В заключение рассмотрим случай поперечных колебаний грузов,
связанных с балкой, лежащей на двух опорах (см. рис, 538).
Предположим, что кинетическая энергия системы обусловлена только
поступательным перемещением грузов, а потенциальная — только
изгибом балки. Далее полагаем, что колебания всех точек оси балки
происходят с одной частотой и находятся в одной фазе, тогда
свободные колебания сечения балки с абсциссой х в функции времени
можно описать синусоидальным законом
ф {Х, () — Ы1 (Х) 81П (СО^ + а),
где ш (л;) — уравнение кривой максимальных отклонений от
равновесного состояния, определяющее форму колебаний.
Имея в виду, что скорость перемещения точек оси балки
определится выражением
V (Х, у) = ^ ^' =Ы)(Х)@ С08 (со/ + а),
максимальное значение скорости запишем в виде
Умакс = ЮШ (Х),
а кинетическая энергия, соответствующая максимальной скорости,
2 2 2
гр '"х^'ыакс . '"г^'гмакс . . '"п^'пмакс
■/ макс — 2 1 2 Г " • * + 2 •
ИЛИ , '=" „
Т^макс = -й- И т, (ш^ю«), B0.148)
где ш, — амплитуда перемещения сечения балки в месте
расположения сосредоточенной /-й массы.
Значение максимальной потенциальной энергии деформации
изгиба балки, которое будет при наибольшем отклонении балки,
определится выражением
= 4-^П'-^^Г^- B0.149)
531
Приравнивая выражения B0.148) и B0.149), найдем следующую
основную формулу Рейлея для квадрата частоты:
Н^^]-
(У? = ^^ —^ . B0.150)
В случае непрерывного распределения массы суммирование в
знаменателе последней формулы заменяется интегрированием:
I
\2
йх
Н-^1
4?==-^ ^ . B0.151)
птР-йх
\
Поскольку в рассмотренном случае форма колебаний балки
принята была приближенно в виде синусоиды, то формула B0.150) дает
приближенное значение частоты. Когда же известна действительная
форма ш (л;) колебаний, то формула B0.150) дает точное значение
частоты. Вообще же уравнение функции прогиба ш (л;) заранее не
известно и им обычно приходится задаваться. При выборе формы
кривой необходимо стремиться отразить хотя бы примерно форму
колебаний и соблюдать граничные условия задачи (в нашем случае
условия на опорах).
Практически вместо того чтобы задаваться формой колебаний,
задаются некоторой статической нагрузкой и определяют форму
упругой линии, которую и принимают за форму колебаний. Этот способ
удобен тем, что граничные условия всегда будут удовлетворены
автоматически, какой бы ни была выбрана нагрузка. Принимая
нагрузки в виде какой-либо системы сил ^1, Рг. • ••» ^п. потенциальную
энергию изгиба можно выразить через работу внешних сил:
^ 1=1
где ш^ -гг- прогибы, вызываемые принятой системой нагрузки.
Тогда формула B0.150) примет вид
(О* = -5^ ■. B0.152)
1=1
Вообще говоря, за систему сил Р,- целесообразно принять
фактическую нагрузку Р1 = ш^^. Тогда на основании выражения
582
B0.152) получим
1=п
^ = ё-^ . B0.153)
1=1
Пример 86. Определить наименьшую собственную частоту двухопорной
балки, несущей три одинаковых груза массой т (см. рис. 539).
При решении поставленной задачи примем синусоидальную форму колебаний:
Ч){Х) = а 51П —у— .
Это выражение удовлетворяет условиям на концах балки. Действительно, при
х= О и д^ = / прогиб и изгибающий момент отсутствуют, т. е, ш (л:) = О и -т~^ —
ГУ ЙШ , „
= о, в то же время угол поворота и поперечная сила не равны нулю, т, е, -^— Ф О
Для определения частоты воспользуемся формулой B0.150),
Поскольку
я* . „ пх
■ 51П^ ——
то числитель формулы B0.150)
1ы[^)\х^^Ша^-р.1п^^,х^^^. B0154)
о о
Чтобы определить знаменатель формулы B0.150), нужно вычислить значения
прогибов балки в местах расположения грузов, т. е. значения ш (л;) при х =
/ / 5 ,
щ
. пх . A1 I \ а
пх . I п I \
Ша = а51П-у- = а51п1-^—^1 =а;
. пх . I 11 51 \ а
Тогда знаменатель формулы B0.150)
1=3
I; т,1^ = '" (т") +"^^ + '^ (-|-) = -|- пм". B0.«55)
Подставляя выражения B0.154) и B0.155) в формулу B0,150), определим
квадрат частоты:
I
\2
ах
И-5-)
ш' = -
о а^П^Е! п^Е!
"
^ т/о»? 2/3-^ та»
<=1
983
Частота
,=1Л:
5,696
I
V'
Е]_
пй
B0.156)
Заметим, что полу'1ениое значение частоты, определенное приближенным
энергетическим методом Рейлея, мало отличается от точного ее значения,
определяемого формулой B0.80).
Способ Ритца. При использовании способа Рейлея делается
определенное допущение относительно формы упругой линии колебаний
стержня. Выбор этой формы равносилен введению некоторых
добавочных ограничений, которые приводят сложную систему к системе,
имеющей только одну степень свободы. При этом указанные
добавочные ограничения могут только увеличить жесткость системы, что
дает несколько преувеличенное значение частоты по сравнению с
фактическим ее значением.
Более точные значения основной частоты, а также частот высших
видов колебаний можно получить, пользуясь методом Ритца,
который является дальнейшим развитием метода Рейлея.
При использовании метода Ритца в уравнение упругой линии,
представляющей вид колебаний, вводят несколько параметров,
величины которых выбирают таким образом, чтобы частота основного
типа колебаний была минимальной.
Так, например, рассматривая поперечные колебания стержня,
задаемся функцией прогиба стержня в виде ряда
т (х) = о,ш, {X) -\- а^^ {х) +
B0.157)
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям.
Подставляя выражение B0.157) в формулу Рейлея B0.151), легко
убедимся, что результат зависит от конкретного выбора
коэффициентов йу, щ,, Сз (а точнее — от отношений —^, —^ и т. п.).
Согласно способу Ритца, указанные коэффициенты должны быть
выбраны так, чтобы формула B0.151) давала наименьшее значение
для частоты со. Условием минимума, очевидно, будет следующее
равенство:
X
д
да.
й^ш \*
\-т
ах
тт^йх
0.
или
$»>^^^и(^)'<и-|и(^)'<..^^»л.=.о.
134
Деля это уравнение на [тыРйх и учитывая формулу B0.151),
получим
B0.158)
Очевидно, таких уравнений будет столько, сколько членов в ряду
B0.167). Эти уравнения однородные и линейные относительно
коэффициентов «1, «2, щ, ..., а„. Приравнивая определитель
указанной системы уравнений нулю, получим час-^V^
тотное уравнение.
Способ позволяет определить не только
низшую частоту, но и значения высших час-^
тот, хотя и с меньшей точностью. При этом
можно определить столько частот, сколько
слагаемых принято в выражении B0.157).
Пример 87. Определить способом Ритца
низшую частоту поперечных колебаний консольно закрепленного стержня
переменного сечения (рис. 551), имеющего толщину, равную единице, а высоту, меня!о-
щуюся по линейному закону
X
1
Р
1
1
к
'х
В этом случае
I
ЬН^ (х)
рК
12 12/3
Для приближенного решения примем, что
«) (л:) = «10I (л:) + а^щ (л:) +
+ -т(-тГ-ь
Ч'-^У
+
B0.159)
Каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи: при
х==1 сй,М==0; —-^ = 0.
их
Принимая в выражении B0.159) два члена разложения и подставляя их в
уравнение B0.158). получаем
д [ /го Г 24
— №р ■
О?
(«1 —2с2)аг + 6а| -
2Й102
0.
Е \ 30 105 280
Дифференцируя это выражение по «1 н яо «2, найдем следу-чэщую систему
уравнений:
Ек^,
12р1^
30
«1-1-
ЕЩ
V?
\ 30р/«
0,+
ЕК
\ зорг«
105
280
= 0;
B0.160)
585
, Приравнивая к нулю определитель, составленный из коэффициентов этих
I уравнений, получим уравнение частоты, решая которое,'найдеМ| что
„=А^|/":^. B0.161)
Эта формула дает ошибку 0,1% по сравнению с точным решением рассматривае-
1 мой задачи, данным Кирхгофом, согласно которому
2,657Й,
У зр
Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г.
Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для
приближенного решения различных задач статики и динамики
упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого
способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях
стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным
уравнением
^['^■'М-^]-'»^ = 0. B0.Г62)
Решение этого уравнения, как известно, можно получить,
представляя функцию прогиба ш в виде произведения двух функций,
одна из которых X является функцией только координаты сечения, а
вторая Т — только времени:
ы) = Х{х)Т(().
Подставляя это выражение в уравнение B0.162), получаем два
уравнения для определения функций X и Т. Первое из них имеет вид
Согласно способу Бубнова — Галеркина, действительную
кривую прогиба X (л:) заменяют некоторой приближенно выбранной
функцией Ч*" (л:), удовлетворяющей граничным условиям
закрепления и ортогональной к исходному дифференциальному оператору.
Для этого образовывают интеграл
I
^ {^Е^ (х) У" (л;)]" — тю^Ч' (л;)} ^ (х) их =- 0. B0.163)
о
Отсюда, в частности, может быть получена формула Рейлея B0.151):
со'
[[Е^ (х)Ч"{х)\"?(х)йх
Г тЧ^ (х),
О
Если принять Ч' (л;) в виде
B0,164)
4{х)^а,'^1(х) + а^'^^{_х) +
Щ
и рассмотреть каждое из слагаемых ^^ (л) как возможное
перемещение, то вместо равенства B0.163) получится соотношение,
выражающее равенство нулю виртуальной работы:
г
I {[Е1 (х) Ч'" (х)]" — та' (х)} Ч',. (х) их = 0. B0.165)
о
Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых имеет
принятое выражение Ч'' {х).
Каждое из уравнений B0.165) однородно и содержит
неизвестные значения коэффициентов а^, (ц, йд, ... в первой степени.
Приравнивая к нулю определитель полученной таким образом системы
однородных уравнений B0.165), получим частотное уравнение.
Пример 88. Определим способом Бубнова — Галеркина низшу-чэ частоту
поперечных колебаний консоли переменного сечения (рис. 551), имеющей толщину,
равну[о единице; высота изменяется по линейному закону
.3
Н(х)=-у11„; •^ = -[2р'^'' '" = —Г~^'
Для приближенного решения поставленной задачи по способу Бубнова —
Галеркина примем:
'}?(х)^а,Ч',{х)+а^^,(х)-]- ... =01^1 ^^+0,-^^1 ~^ + ...
Выбранная функция, очевидно, удовлетворяет граничным условиям
задачи:
при х= I
^{х) = 0: %(х)=^0.
при х= о
Е^V'{ (;с) = о и Е/Ч'," (х) = 0.
Дифференцируя Ч' (л) два раза, умножая на Е^ (х) = —~ х^ и вновь диффе-
12/^
ренцируя два раза, будем иметь
[Е1 (X) V" (х)Г = -^ |^(«1 - 2а,) X + 6 [-~)\ ■
Подставляя полученное выражение в уравнение B0.165), получим ^
|{4[,«.-...«+^]-^^»-[...A-^)^
о
+«.т('-тЛ)('—гГ'^=»--
|1-[(.,-2.,,+^а^]-^«^[.., (,-4-)'+
+-т(-тI}т-(-^/-=«-
587
I
Выполняя указанное интегрирование, после преобразования будем иметь
такую же систему однородных уравнений, как и B0.160) по способу Ритца.
Приравнивая к нулю определитель системы, получим уже известную формулу B0.161)
для определения частоты.
Глава 21
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ДЕЙСТВИЮ
ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 136. ЯВЛЕНИЕ УСТАЛОСТИ МАТЕРИАЛОВ
Сопротивление материалов действию нагрузок, меняющихся во
времени по величине или по величине и знаку, существенно
отличается от сопротивления действию статической нагрузки. При этом
под действием переменных нагрузок элементы конструкций
разрушаются при значительно меньших напряжениях, чем под действием
статических нагрузок. Типичным примером детали, испытывающей
переменные нагрузки, является шток поршневой машины, знак
напряжений в котором меняется в соответствии с изменением
направления движения поршня.
Практикой установлено, что если элемент конструкции
многократно подвергать переменному нагружению определенного уровня,
то после некоторого числа перемен напряжений в нем появится
трещина, которая постепенно будет развиваться. В конце концов
деталь разрушится, не дав при этом заметных остаточных
деформаций даже в том случае, когда ее материал высоко пластичен.
Число циклов до появления первой трещины и до полного
разрушения стержня будет тем больше, чем меньше напряжение.
Характерно, что разрушение материала под действием повтор
но-переменных нагрузок может произойти при напряжениях ниже предела
текучести. Разрушение материала под действием
повторно-переменных напряжений называется разрушением от усталости.
Вообще же усталостью материалов (в частности, металлов)
называют явление разрушения в результате постепенного накопления
в них повреждений, приводящих к возникновению усталостной
трещины при многократном повторении нагружений.
Способность металлов сопротивляться разрушению при
действии повторно-переменных напряжений называется выносливостью
материала.
Изучение вопросов усталости в сопротивлении материалов имеет
чрезвычайно большое значение. Такие ответственные детали, как оси
железнодорожных вагонов, коленчатые валы, шатуны моторов,
гребные винты, клапанные пружины, воздушные винты,
поршневые пальцы и многие другие детали, выходят из строя главным
образом вследствие разрушений усталостного характера.
$88
Усталостное разрушение наблюдается при наличии одной из
следующих двух особенностей приложения нагрузки:
1) многократного приложения нагрузки одного знака, например
периодически изменяющейся от нуля до максимума (рис. 552, а);
2) многократного повторения нагрузки, периодически
изменяющейся не только по величине, но и по знаку (знакопеременной
нагрузки), когда на выносливость материала одновременно оказывают
влияние и повторность и переменность нагружения. При этом раз-
1ЛАЛ.
а
ЧАА>
Каа
г
Рис. 552
В Рис. 553
личают изменение нагрузки по симметричному циклу (рис. 552, б)
и изменение нагрузки несимметричное (рис. 552, в, г).
Для разрушения от усталости недостаточно переменности
напряжений. Необходимо также, чтобы напряжения имели
определенную величину.
Максимальное напряжение, при котором материал способен
сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно болыиом
числе повторений переменных напряжений, называется пределом
выносливости или пределом усталости.
Излом детали от усталости имеет характерный вид (рис. 553).
На нем почти всегда можно наблюдать две зоны. Одна из них {А) —
гладкая, притертая, образованная вследствие постепенного
развития трещины; другая (В) — крупнозернистая, образовавшаяся при
окончательном изломе ослабленного развившейся трещиной сечения
детали. Зона В у хрупких деталей имеет крупнокристаллическое,
а у вязких — волокнистое строение.
Остановимся кратко на механизме явления усталости.
Все металлы, применяемые в технике, являются
поликристаллическими веществами, состоящими из отдельных зерен и не
представляющими того однородного монолита, каким считают материал
согласно основным гипотезам сопротивления материалов. Зерна
технических металлов представляют собой совокупность кристаллов, \
389
имеющих неправильную огранку, которые обычно называют
кристаллитами. Поликристалличность материала и неизбежная его
неоднородность приводят к тому, что под действием тех или иных
нагрузок в отдельных зернах возникают перенапряжения и создаются
возможности появления ммкротрещин. При этом в случае
напряжений, вызванных статическими нагрузками, подобные микротрещины
не опасны. Если же напряжения переменны во времени, то имеет
место тенденция к развитию микротрещин, приводящая в конечном
итоге к усталостному излому детали.
Кроме указанной гипотезы, существует и несколько другой
подход к объяснению физической природы явления усталости. В
частности, возникновение усталостных трещин можно объяснить
исчерпанием способности кристаллических зерен сопротивляться сдвигу.
Зерна большинства металлов состоят из ряда элементарных
кубиков с размерами сторон 3 • 10~® — 6 • 10~^ см. Кубики, в свою
очередь, состоят из системы взаимодействующих между собой
атомов, расположенных в строго определенном для данного материала
порядке, образуя так называемую пространственную атомную
решетку. Форма и размеры элементов последней зависят от сил
взаимодействия атомов и определяют характерные свойства данного
вещества.
Деформация материала обычно связана с искажением
кристаллической решетки и изменением межатомных расстояний. При этом
в случае небольших напряжений взаимодействие между атомами не
нарушается и при последующих разгрузках указанные искажения
решетки исчезают. Если же напряжения большие, то в
кристаллических зернах пластичных материалов по некоторым плоскостям,
которые называются плоскостями скольжения кристаллита,
происходят необратимые сдвиги. Сдвинутые относительно друг друга
группы атомов уже не образуют единой атомной решетки.
Получившееся при этом новое образование оказывается более прочным в
результате усиления плоскостей скольжения внутри отдельных
зерен. Теперь для его разрушения требуется большее усилие.
Однако упрочнению при сдвигах сопутствует разупрочнение
(разрыхление). Поэтому процесс сдвига обязательно сопровождается
появлением зон, где атомные связи нарушаются, а новые не
создаются. Проявляется это в том, что образовываются мельчайшие микро-
трещины, каждая из которых в определенных условиях (например,
при соседстве нескольких зерен, ослабленных трещиной) может
явиться очагом развития усталостной трещины, приводящей в
конечном итоге к разрушению от усталости.
Таким образом, из сказанного видно, что механизм образования
трещин при повторно-переменных нагрузках весьма сложен и не
может считаться полностью изученным.
Из несомненных положений теории усталости можно отметить
следующие:
I) процессы, проходящие при повторно-переменных нагрузках
в металле, носят резко выраженный местный характер;
$90
' 2) из двух видов напряжений — нормальных и касательных —
решающее влияние на процессы усталости до образования первой
трещины включительно имеют касательные напряжения,
вызывающие пластические сдвиги и разрушение.
Развитие усталостной трещины, несомненно, может ускоряться
при наличии растягивающих напряжений как у пластичных, так и,
в особенности, у малопластичных и хрупких материалов типа
чугуна, в которых появление трещины отрыва значительно повышает
чувствительность к растягивающим напряжениям.
Образование трещин чаще всего наблюдается в зернах, лежащих
ближе к поверхности детали. Объясняется это тем, что поверхност-
Р
т -с
ИкС:
Рис. 554
ные слои материала в известной степени имеют следы повреждений
различными технологическими операциями при обработке детали
(внутренние напряжения, следы механической обработки), не
говоря уже о тех случаях, когда наружные слои при
повторно-переменных нагрузках испытывают наибольшие напряжения (при
изгибе и кручении).
Предел выносливости определяют экспериментально. Он зависит
от целого ряда факторов, в частности, от формы и размеров детали,
способа ее обработки, состояния поверхности детали, вида
напряженного состояния (растяжение — сжатие, кручение, изгиб и т. п.),
закона изменения нагрузки во времени при испытаниях и т. п.
При рассмотрении сопротивления материалов действию
переменных напряжений в большинстве случаев инженерной практики
предполагается, что эти напряжения представляют собой периодические
функции времени р = / (О с периодом, равным Т^.
Совокупность всех значений напряжений за время одного периода
называется циклом напряжений (рис. 554, а).
^ В настоящем учебнике не рассматриваются расчеты на выносливость под
действием случайных переменных нагрузок, встречающихся в ряде конструкций.
591
На усталостную прочность в основном влияют максимальные
Рмакс и минимальные рмин напряжения цикла. Кроме них в
сопротивлении материалов вводят понятие постоянного, или среднего,
напряжения цикла р (рис. 554, б):
Рмакс
Рс= о
B1.1)
и понятие об амплитуде р^ цикла, характеризующее переменность
напряжений:
"макс г и
B1.2)
Среднее напряжение может быть как положительным, так и
отрицательным, амплитуда же цикла определяется абсолютной величиной
(без учета знака). В соответствии с выражениями B1.1) и B1.2)
Рмакс = Рс"Т" Ра'> Рмин = Рс Ра'
Удвоенная величина амплитуды колебаний напряжений
называется размахом цикла. Отношение минимального напряжения цикла
к максимачьному с учетом знаков этих напряжений называется
характеристикой цикла или коэффициентом асимметрии цикла,
и обозначается буквой г, т. е.
г =
B1.3)
Наиболее опасным является так называемый симметричный цикл,
когда Рмакс = — Рмин И р^ = О, ПрИ КОТОрОМ
"мин I
Предел усталости при симметричном цикле является
минимальным для данного типа деформации и обозначается через р_1. В
случае напряжения, изменяющегося от нуля до максимума, т. е. при
отнулевом, или пульсирующем, цикле, когда рмин = О,
г = = О,
Рмакс
а предел усталости, соответствующий данному циклу, обозначается
через ро-
При р = сопз1, т. е. когда действует постоянная статическая
нагрузка, рмакс = Рмин = р и характеристика цикла
г — ^"И" __ _Р_ _. 1
"макс Р
В самом общем случае предел выносливости, полученный при
характеристике цикла г, обозначают р^, предел выносливости, по-
592
гченный при каком-то определенном значении г, предположим при
= —0,5, обозначают соответственно р_о,5.
Циклы, имеющие одинаковые характеристики г, называются
доёными. Характеристика цикла, или коэффициент асимметрии,
»жет меняться от —оо до +оо.
Таблица 22
Вид цу1кла
%акс' Рмин
Рс =
Рмакс "Т" Рмин
Рмакс Рмин
Рмин
Рмакс
^
кЖУ
Е1'
-»■ I
±.
= Рмии > о
''макс — Рмии
Рмакс ^ ^^
Рмин > О
Рмакс > О
Рмии = О
Рмакс > О
Рмин < О
Рмакс — Рмин ^ ^^
Рмин < О
Рмакс > О,
ГМИН
<о
Рмакс "^ I Рмин I
''макс ■
Рмии < о
Рмакс < О
Рмин < О
Рмакс —• Рмин "^ ^^
Рс—Рмакс ~ Рмин ^"
Ра = 0
Рс>0
РаФО
Рс = 1/2р„акс
Ра= 1/2р„акс
Рс>0
РафО
Ра — Рмакс
Рс<0
РафО
Рс = 1/2раии
Ра = 1/2 I Рмин I
Рс<0
РафО
Рс—Рмакс—Рмин'^^'
Ра = 0
/•=+1
0</-<+1
г = 0
-1</-<0
г = —1
—оо</-<—1
/•= ± со
+ 1<г<+с>о
л= +1
Значения коэффициентов асимметрии цикла для различных ви-
3 циклов приведены в табл. 22. Очевидно, для полного суждения о
рактере действия циклической нагрузки кроме характеристики
кла г должно быть известно хотя бы максимальное или минималь-
2 напряжение цикла.
В заключение заметим, что в частных случаях, когда речь будет
ги о нормальных или касательных напряжениях (в первом случае
593
при циклическом растяжении — сжатии или изгибе, во втором —
при циклическом кручении), буква р в принятых выше обозначениях
должна быть заменена соответственно на о или на т при сохранении
соответствующих индексов. Так, например, при циклическом
растяжении — сжатии или изгибе вместо рмакс, Рмнн. Рс и Ра должны
соответственно фигурировать амакс, Омин, о^ и Од, тогда предел
усталости при характеристике цикла г будет обозначаться а^, а,
например, при симметричном цикле, т. е. при г = —1, будет а_1. В
случае кручения с циклическим изменением напряжений характерные
напряжения цикла будут соответственно обозначаться через т„акс,
Тмин, Тс, Тд, а предел выносливости — через т^, т_1, То и т. д.
§ 137. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ.
ДИАГРАММЫ УСТАЛОСТИ
Чтобы определить предел выносливости того или иного
материала, нужно на соответствующей испытательной машине испыгать
партию образцов из данного материала в количестве не менее 6—
12 шт. Для этого чаще всего берут гладкие цилиндрические образцы
диаметром 7—10 мм.
Пределы выносливости материала при выбранной
характеристике цикла г, разумеется, будут различными в зависимости от вида
деформации, при которой испытывают образцы, т. е. в зависимости
Рис. 555.
ОТ того, при переменных напряжениях растяжения — сжатия,
переменном кручении, изгибе или в условиях сложного напряженного
состояния их испытывают. Поэтому, ставя перед собой цель
получения предела выносливости, следует заранее указать, при каком
виде деформации и характере изменения напряжений за цикл
требуется определить предел выносливости.
В соответствии с поставленными требованиями выбирают
необходимую испытательную машину. Для испытания материала на
выносливость при переменном растяжении — сжатии можно взять
машину, схема которой приведена на рис. 555.
594
в лабораторных условиях симметричный цикл осуществить
проще всего. Схема простейшей установки для определения предела
выносливости при ротационном изгибе в случае
симметричного цикла показана на рис. 556. При вращении образца его
наружные волокна будут испытывать попеременно то растяжение (когда
они расположены снизу), то сжатие (при повороте образца на 180°).
Схема нагрузки
М{ I—Г~=-1—)\М
Г Корпус спорного
, I подшипника
Вращаемый образец
СчетшкодоротоВ
'МЯМ^////М/7м//мм//т/'м/М'','??Л
Рис. 556
Число оборотов в минуту наиболее распространенных
усталостных машин обычно порядка 3000 E0 Гц). Поэтому испытание на
усталость с целью получения предела выносливости требует
продолжительного времени, исчисляемого неделями непрерывной работы
машины. За последнее
время во многих случаях при Рпахо
исследовании выносливости
материалов и
конструктивных деталей применяют
более быстроходные
машины —100—500 Гц, а в
некоторых случаях и 20 000 Гц
(ультразвуковые частоты).
В последнем случае для
испытания требуются только
десятки минут.
При испытании партии образцов с целью получения предела
выносливости необходимо давать такие нагрузки на отдельные
образцы, чтобы они разрушались, выдержав различное число циклов
нагр ужения.
Обработка полученных экспериментальных данных обычно
сопровождается построением кривой усталости, которая в литературе
часто называется кривой Веллера (рис. 557). Кривую усталости
строят по точкам в координатах числа циклов N и напряжения Рмакс
Каждому разрушившемуся образцу на диаграмме соответствует
одна точка с координатами N (число циклов до разрушения) и рмако
Рис. 557
595
(напряжение), т. е. кривая усталости представляет собой функцию
Рманс = / (Л^)-
Порядок установления нагрузок на испытуемые образцы в
большинстве случаев принимают ниспадаквдим, т. е. на первый
образец дают нагрузку, значительно превышающую предел
выносливости, а нагрузку на последующие образцы постепенно снижают.
Разумеется, каждый из менее нагруженных образцов будет
выдерживать все большее и большее число циклов. Может быть принят и
другой порядок установления нагрузок.
Строя кривую усталости по тх)чкам разрушившихся образцов,
легко убедиться, что, например при испытании стали (рис. 557,
кривая /), при высоком уровне напряжений кривая круто падает,
а по мере снижения их крутизна уменьшается и кривая
асимптотически приближается к некоторой горизонтальной прямой,
отсекающей на оси ординат отрезок, величиной которого и определяется
предел выносливости. Ордината точки на кривой, где последняя
практически начинает совпадать с указанной асимптотой,
соответствует такому напряжению, при котором образец не разрушится,
пройдя число циклов, соответствующее заранее заданной величине,
так называемой базе испытания М^.
Нетрудно понять, что за базу испытания Л^о как раз и принимают
то число циклов, при котором правый конец кривой усталости
проходит практически параллельно оси абсцисс. Исходя из этого,
базой испытания на выносливость называется наибольшее число
повторно-переменных нагрузок, существенное превышение которого не
должно приводить к усталостным разрушениям испытываемого
образца при данном напряжении.
Для черных металлов (стали, чугуна и т. п.) за базу испытаний
обычно принимают 10 млн. циклов, а для цветных (меди, алюминия
и т. п.) — число, в 5—10 раз большее. Из рассмотрения характера
усталостной кривой для цветных металлов (рис. 557, кривая 2)
видно, что на большом участке она спадает весьма постепенно, т. е.
кривая стремится к асимптоте медленно, поэтому и приходится в
данном случае за базу испытания принимать большее число циклов.
Вообще для таких металлов можно говорить только о некотором
условном пределе усталости. Условным пределом усталости
называется максимальное напряжение, при котором не происходит
разрушения при осуществлении определенного наперед заданного числа
циклов, соответствующего той или иной принятой базе
испытания.
В связи с тем что по кривой усталости, построенной в
координатах N — р, или, что то же самое, Л^ — о (рис. 558, а), часто
бывает затруднительно определить предел выносливости, применяют
два других способа построения диаграмм усталости.
Первый способ заключается в том, что по оси абсцисс
откладывают величину, обратную числу циклов (рис. 658, б). Предел
усталости тогда определяют как ординату в месте пересечения кривой
усталости с осью напряжений.
596
36
^4
32
30
28
^^■п—,„
110"
2-10°
а
310"
N
Второй способ основан на представлении результатов испытаний
в полулогарифмических (рис. 558, в) или логарифмических
(рис. 558, г) координатах. Как видно из чертежа, критерием для
суждения о пределе усталости здесь является перелом кривой.
В заключение отметим, что, согласно многочисленным
экспериментальным данным, для некоторых материалов можно заметить
определенные соотношения между
пределами выносливости при
различных видах деформации и, в
частности, между пределами
выносливости при изгибе а'^\, кручении
т_1 и растяжении — сжатии а!.^
при симметричных циклах.
Для гладких образцов эти
соотношения приблизительно следу-
юш,ие: для стали о!.! = 0,7о11; для
чугуна а!] == 0,б5о11; для сталей т/т^
и легких сплавов т_1 = 0,55011; ^4
для чугуна т_1 = 0,80^,.
Имея величину временного
сопротивления Ов, пределы
выносливости стали при симметричном
цикле можно приближенно найти по
следующим эмпирическим
соотношениям соответственно для растя- кго/т'
жения — сжатия, изгиба и круче- ^4
ния: ^2
30
28
32
30
28
О
10'^ 210'-
1/Ч
\
к.
\,.
Г"
/»* 510''10^ 5ЮЧ0^ 510^Ю' 5ЮЧдН
б
1дб
35
о1, = 0,280^; от!, = 0,400,;
т_1 = 0,2203. B1.4)
Для цветных металлов
наблюдается менее устойчивое соотношение
между пределом усталости и
временным сопротивлением; согласно
опытным данным, в этом случае
а11= @,24 -^ 0,50) 0^.
Диаграмма предельных
напряжений. Чтобы охарактеризовать
сопротивляемость материала
действию переменных напряжений с
различной асимметрией цикла, строят так называемую диаграмму
предельных напряжений (рис. 559). В ней по оси ординат откладывают
наибольшее Омакс и наименьшее ст„„„ напряжения цикла, а по оси
абсцисс — среднее напряжение цикла 0о (диаграмма Смита). Их
предельные значения Ог^^, Ог^^, Ог^ определяются при данной
30
28
N.
г
"% п
т -
/о*
ю
г
Рис. 553
«?' 1дМ
597
характеристике цикла опытным путем в результате построения
кривых усталости.
Обычно начинают с симметричного цикла (г = —1). Предельным
напряжением в этом случае будет предел выносливости а_1.
Следовательно,
а_1 = о_г, а_1 = — О—!', 0—1 == 0.
'макс " 'мин " с
Этому циклу на диаграмме соответствуют точки А и А', лежащие
на оси ординат.
Испытав партию образцов из данного материала при определен-
""" , определим
наибольном значении характеристики цикла ^ ~ -
~ макс
шее и наименьшее значения напряжений, при которых материал
работает на пределе выносливости а„ т. е.
= а/.
а....... = га-
%-=
''макс
Нанесем на диаграмму точки М и Ы, абсцисса которых равна Ог^,
а ординаты — соответственно Ог^^^^ и Ог^^^. Поступая подобным
образом для ряда других
значений г, получаем
точки Ми Мц М^, М^ и т. д.
Соединяем линиями
все точки, изображающие
максимальные и
минимальные предельные
напряжения циклов.
Очевидно правая крайняя
точка диаграммы
(точка О) соответствует
циклу, при котором Онакс ==
= о-„,ш = а^,г= 1, т. е.
постоянной нагрузке.
Предельным
напряжением в этом случае
является предел прочности
материала. Следовательно,
абсцисса и ордината
точки Г> равны пределу
прочности материала.
Таким образом, ординаты точек линии АВ соответствуют пределам
выносливости материала при различных значениях коэффициента
асимметрии циклов.
Легко убедиться, что лучи, проходящие через начало координат
диаграммы предельных напряжений, являются геометрическим
местом точек, характеризующих циклы с одинаковым коэффициентом
Рис. 559
598
асимметрии г
Действительно,
^бР
^^
, + Ом
1+г
Для определения предела выносливости материала при данном
значении коэффициента асимметрии г нужно вычислить по
приведенной формуле угол р и провести луч под этим углом до пересечения
с линией АО; ордината точки пересечения равна величине о,.
В случае циклического кручения диаграмма строится по одну
сторону от оси ординат и имеет такой вид, как показано, например,
для конструкционной стали на рис. 560.
%1ак'^г^ Диаграмму предельных напряжений можно
строить также в координатах а^ — о^ (диаграм-
2д^^=^-Л—у/ \\ ма Хейя), т. е. по оси ординат откладывать пре-
0
-20
/ / '
20 Гс
кгс/мм"
Рмс. 560
Рис. 561
Рис. 562
дельную амплитуду а^ цикла, а по оси абсцисс — среднее
напряжение Од цикла (рис. 561). На этой диаграмме прямая, проведенная
из начала координат под некоторым углом, также характеризует
циклы с одинаковой асимметрией, так как
Щ
Оа
I
°о ''макс + ''мин
1+^
Таким образом, при постоянном р оказывается постоянным и
коэффициент асимметрии г.
В случае плоского или объемного напряженного состояния
сопротивление усталости можно охарактеризовать, исходя из
соответствующих гипотез прочности, согласующихся с экспериментальными
данными.
Для исследования действительного поведения материала в
условиях сложного напряженного состояния, например при сочетании
изгиба с кручением, используют специальные испытательные
машины, позволяющие одновременно нагружать образец
переменными изгибающим и крутящим моментами.
599
По результатам испытаний, полученным при различных
сочетаниях переменных а и т, строят диаграммы в координатах а„ — Тд
или в относительных величинах -^— и ~:^ . 1 очки таких диаграмм
определяют напряженные состояния, характеризуемые величинами
0а и Тд при сложном напряженном состоянии. Типичная диаграмма
для конструкционных сталей, построенная по экспериментальным
данным, показана на рис. 562 (кривая 1). Она соответствует дуге
окружности. Для высокопрочных сталей и чугунов
экспериментальные данные располагаются ближе к эллиптическим дугам (рис. 562,
кривая 2).
В случае симметричного цикла с соблюдением синхронности
и синфазности напряжений условие прочности в амплитудах
главных напряжений в соответствии с гипотезой наибольших
касательных напряжений запишется так:
Исходя из теории прочности энергии формоизменения, условие
прочности можно записать в виде
Ко^а - ЫаГ + т)а ~ (Ог)аГ + т)а " (О.^ = 2а^_,. B1.5)
Для сложного напряженного состояния, характеризуемого
совместным действием растяжения и кручения или изгиба и кручения,
с поправкой на соотношение величин пределов выносливости
условие прочности выражается так:
}//о^ + (-^)'та = ст_,. B1.6)
Последнее условие совпадает с ранее приведенной
экспериментально полученной зависимостью, характеризующейся в
координатах ■—; —■ дугой круга.
§ 138. ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНО-
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ
На величину предела выносливости образцов или деталей,
изготавливаемых из того или иного материала, кроме характеристики
цикла влияет целый ряд различных факторов. К ним относятся
форма образца, размеры, состояние поверхности, среда, в которой
происходят испытания, температура испытаний, режим циклического
силового воздействия (тренировка, паузы, перегрузки, частота на-
гружения и т. п.), предварительная внутренняя напряженность
материала и др.
Для выяснения влияния того или иного фактора в качестве
эталона принят предел усталости р_1, полученный испытанием на
воздухе при симметричном цикле партии гладких полированных об-
600
разцов диаметром 7—10 мм. Тогда влияние различных факторов на
выносливость может быть оценено отклонением предела
выносливости р_1 партии рассматриваемых образцов от предела
выносливости р_1 эталонных.
Влияние концентрации напряжений. Наиболее важным
фактором, снижающим предел выносливости, является концентрация
напряжений, вызванная резким изменением сечения детали.
Концентраторами напряжений на практике являются шпоночные канавки,
отверстия в детали, нарезки на поверхности, малые радиусы
закруглений в местах резкого изменения размеров сечения и т. п.
Концентрация напряжений, как правило, содействует зарождению
усталостной трещины, которая, развиваясь, приводит в конце концов к
разрушению детали.
Как показывают опыты, в случае действия переменных
напряжений предел выносливости с концентрацией напряжений больше,
чем частное от деления предела выносливости гладкого образца на
теоретический коэффициент концентрации напряжений «о (см. § 33),
т. е.
Такое расхождение объясняется тем, что теоретический
коэффициент концентрации а<, отражает характер распределения
напряжений лишь для идеьльно упругого материала. В реальных же
материалах за счет пластических деформаций в микрообласти места
концентрации напряжения несколько перераспределяются и
сглаживаются. Учитывая это, наряду с теоретическим коэффициентом
концентрации при рассмотрении вопросов усталости используют
понятие аффективного, или действительного, коэффициента
концентрации, представляющего собой отношение предела
выносливости гладкого образца без концентрации напряжений к пределу
выносливости образца с концентрацией напряжений, имеющего
такие'же абсолютные размеры сечений. Эти коэффициенты в
дальнейшем обозначены так:
для нормальных напряжений
ко = ——;
для касательных напряжений
^-1к
где 0-1 и т_1 — пределы выносливости гладких образцов;
0_1к и т_1к — пределы выносливости образцов с концентрацией
напряжений.
В дальнейшем все рассуждения будем вести применительно к
нормальным напряжениям, имея в виду, что для касательных
напряжений все сказанное останется в силе, только следует индекс «о» при
коэффициентах заменить на «т».
601
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений имеют
меньшие значения, чем коэффициенты концентрации Кс,
определяемые теоретическим путем в предположении «упругого»
распределения напряжений.
Количественная оценка указанной разницы коэффициентов ка и
«о может быть получена введением так называемого коэффициента
чувствительности материала к концентрации напряжений:
9о^
0,8
0,6
ОА
0.2
'•\
1
^7^^Р
'%=
%2
<5
1ек\
0,8
ол
°п\.
о
«ф\
^
40 60 80 б^ш/мм^
Рис. 5«}
0,4
Рис. 564
0,д ба^
Очи
ы
< Зная коэффициенты чувствительности (?о, для которых в
справочной литературе имеются соответствующие графики (рис. 563),
можно по «о определить значения эффективных коэффициентов
концентрации:
йс == 1 -Ь 9сг («сг — !)•
B1.7)
Очевидно для материала, не чувствительного к концентрации
напряжений, т. е. при ^с = О, ^ = 1. Когда (?с = !• Ь.а ~ «сг, т. е.
материал обладает полной чувствительностью к концентрации
напряжений.
Как видно из графиков (рис. 563), чувствительность металла к
концентрации напряжений зависит прежде всего от его свойств. При
этом чем выше прочность стали, тем выше ее чувствительность к
концентрации напряжений. Поэтому применение высокопрочных
сталей при переменных напряжениях не всегда оказывается
целесообразным.
Чувствительность металла к концентрации напряжений у
крупнозернистых сталей меньше, чем у мелкозернистых. Металлы и
сплавы с неоднородной структурой, такие как, например, серый чугун^,
имеют пониженную чувствительность к концентрации напряжений
вследствие того, что структурная неоднородность является внутрен-
602
ним источником концентрации напряжений и снижает предел
выносливости гладких образцов, поэтому внешние концентраторы уже
мало снижают предел выносливости.
Коэффициенты чувствительности к концентрации напряжений,
как показывают эксперименты, зависят не только от механических
свойств, но и от конструктивной формы самой детали, а также
распределения в ней напряжений.
Влияние концентрации напряжений в расчетах деталей машин,
подвергающихся действию переменных напряжений с
асимметричным циклом, следует учитывать на основе экспериментальных
данных, так как теоретически этот вопрос пока не решен.
Согласно экспериментальным данным, полученным на
лабораторных образцах небольшого сечения, отношение предельных
амплитуд гладких образцов и образцов с концентрацией,
соответствующих одному и тому же среднему напряжению а^, не зависит от
амплитуды цикла. Это обстоятельство используют для расчета деталей
машин на выносливость при асимметричных циклах.
Оценку влияния концентрации напряжений при изгибе с
кручением обычно осуществляют на основании соответствующих
усталостных испытаний на машине, позволяющей создавать
одновременное нагружение образца крутящими и изгибающими моментами при
различном их соотношении. На рис. 564 представлены результаты
экспериментов при синфазном изменении нормальных и касательных
напряжений при симметричном цикле (а_1к, т_1к — пределы
выносливости при симметричном цикле для образцов с концентрацией
1Х)лько при изгибе и только при кручении соответственно; Оа , 'Са ^^
предельные амплитуды для образцов с концентрацией при
одновременном действии изгиба и кручения).
Рассматривая рис. 564, видим, что большая часть
экспериментальных данных вполне отвечает эллиптической зависимости
'—1к у \ *—1к
1,
B1.8)
т. е. такой же зависимости, как и при отсутствии концентрации
напряжений.
Влияние размеров (масштабный фактор). Эффективность
концентрации напряжений связана с абсолютными размерами сечения
детали, а именно: с увеличением размеров детали при сохранении ее
геометрического подобия значения эффективных коэффициентов
концентрации напряжений увеличиваются. 5
Как показывают результаты экспериментов, при увеличении
диаметра образца свыше 30—40 мм дальнейший рост эффективных
коэффициентов концентрации практически прекращается. Можно
полагать, что по достижении некоторого размера сечения эффективный
коэффициент не отличается от теоретического, т. е. ко = Од. Для
легированных сталей с пределом прочности а^ >> 120 кгс/мм^
равенство указанных коэффициентов при средних уровнях концент-
603
рации напряжений «сг == 2 -^ 3 достигается уже при й — 40 ч-50 мм.
Что касается углеродистых сталей, то там предельный размер,
после которого ка == ад, оказывается значительно большим.
Абсолютные размеры сечений детали наряду с влиянием на
эффективность концентрации напряжений оказывают существенное
влияние и на пределы выносливости образцов без концентрации
напряжений. При этом с ростом абсолютных размеров сечений пределы
выносливости понижаются. Отношение предела выносливости детали
размером й к пределу выносливости лабораторного образца
подобной конфигурации, имеющего малые размеры (<^о = 7 -=- 10 мм),
называют коэффициентом влияния абсолютных размеров сечения
и обозначают, например применительно к нормальным напряжениям
так:
(<^-1)й
('^-1)</„
B1.9)
Коэффициенты влияния абсолютных размеров сечения можно
определять и на образцах с концентрацией напряжений. В этом случае
(^-1к)й
6E
^°к - (а_„). •
B1.10)
причем деталь размером й и образец малого размера й^ должны
быть геометрически подобны.
Для расчета элементов машин с учетом влияния размеров детали
как при наличии концентраторов напряжений, так и без них
существуют специальные графики типа приведенных на рис. 565 (здесь
шкала ё — логарифмическая), полученные на основании
экспериментов. Здесь кривая / соответствует детали из углеродистой стали
без источника концентрации напряжений, а кривая 2 — детали из
легированной стали (Од == 100 -н 120 кгс/мм^) при отсутствии
концентрации напряжений и углеродистой стали при наличии
умеренной концентрации напряжений. Кривая 3 соответствует детали из
легированной стали при наличии концентрации напряжений, а
кривая 4 — любой стали при весьма большой концентрации
напряжений типа нарезки.
Как показывают эксперименты, при увеличении диаметра до
150—200 мм снижение пределов выносливости образцов при
ротационном изгибе (см. рис. 556) может достигать 30—45%. Опытные
данные свидетельствуют о малом влиянии абсолютных размеров на
выносливость при однородном напряженном состоянии —
растяжении — сжатии. При кручении, как и при изгибе, снижение
пределов выносливости с ростом размеров детали проявляется в большей
степени. Это следует отнести за счет влияния градиента напряжения.
Снижение пределов выносливости с ростом абсолютных
размеров сечений детали можно объяснить также влиянием следующих
факторов:
604
1) уменьшения механической прочности материала по мере
увеличения диаметра заготовок даже при условии соблюдения их над-
лежащ,ей термической обработки;
2) изменений свойств поверхностного слоя после механической
обработки, поскольку эти изменения оказываются различными при
разных размерах детали;
3) неоднородности механических свойств и напряженности
различных зерен в связи с поликристаллической структурой металла и
вытекающего отсюда повышения вероятности более раннего
усталостного разрушения с ростом размеров детали; этот фактор, по-
видимому, является главным.
Падение прочности с ростом 5.,^
размеров особенно сильно выра-
1,0
0,8
С.6
ОЛ
^Щ^^^^^
10
20
30 40 60
Рис. 565
100 с/мм
Рис. 566
жено у неоднородных металлов, например у серого чугуна: с
увеличением размера с 5—10 до 50 мм снижение с^ и о_1 для него
может достигать 60—70%. Исходя из вероятности усталостного
разрушения, которую следует считать пропорциональной количеству
опасных дефектов на единицу объема наиболее напряженного слоя
металла, можно установить влияние абсолютных размеров сечения
на прочность. На рис. 566 представлены эпюры напряжений при
изгибе для образцов различных диаметров без концентрации
напряжений. Заштрихованная зона представляет собой слой, в котором
напряжения превышают предел выносливости 0_1р (который
получается при однородном распределении напряжений), определенный
либо при растяжении — сжатии, либо при изгибе на образцах
достаточно большого размера. Из рис. 566 видно, что с ростом диаметра
образца растет объем опасно напряженного слоя, а следовательно,
и вероятность разрушения от усталости, приводящая к снижению
пределов выносливости. При увеличении диаметра образцов с 7 до
150 мм снижение предела выносливости для углеродистой стали
достигает 45%.
Объяснение зависимости пределов выносливости от размеров
сечений, как и других закономерностей и характеристик усталости,
дают статистические теории усталости. Эти теории освещают
вопросы изменения эффективных коэффициентов концентрации в
зависимости от величин градиентов напряжений и абсолютных размеров.
Гипотезы, объясняющие ослабление эффективности концентрации
напряжений по сравнению с тем, которое должно вытекать из
605
распределения напряжений в упругой области, и зависимость
коэффициентов ка, кх от ряда факторов (размеров, свойств материала и
т. д.), высказанные различными авторами, не позволяют пока
вычислять значения этих коэффициентов для различных случаев
расчетной практики исходя из первичных свойств металла. Поэтому для
расчета деталей машин следует использовать экспериментальнке
данные, применяя в случае необходимости интерполяцию.
Сопротивление усталости материала оценивается по пределу
выносливости (С-Ойо, определяемому на гладких лабораторных
образцах малого диаметра, а для суждения о прочности детали при
переменных напряжениях необходимо знать ее предел выносливости
^=2; с1=30
а
Рис. 567
Рис $68
((Г_1к)й. Поэтому вводят дополнительное понятие эффективного
коэффициента концентрации напряжений детали (кв)а,
определяемого по формуле
Коэффициент (ка)/! учитывает суммарное влияние концентрации
напряжений и абсолютных размеров на выносливость и обычно
определяется по данньш испытаний образцов и моделей различных
сечений.
Если эффективный коэффициент концентрации (ка)с1
определяется на образцах достаточно большого диаметра ё (после которого
дальнейшее увеличение его размеров влияет на величину {ка)а
незначительно), то
(ка).
(""-1L.
@_1)й
(ка)а
Заметим, что степень влияния концентрации напряжений на
пределы выносливости зависит от вида напряженного состояния. При
циклическом кручении, например, эффективные коэффициенты
концентрации оказываются обычно более низкими, чем при изгибе для
одних и тех же конструктивных форм (рис. 567 и 568). Соотношение
между коэффициентами при изгибе и кручении, представленными
606
120пес/мн^
на рис. 567 и 568, можно выразить приближенной формулой
А;х= 1+0,6(А;,,—1). B1.12)
Что касается эффективного коэффициента концентрации при
растяжении — сжатии, то его величина обычно равна или несколько
превышает коэффициенты кон- ^^^
центрации при изгибе (рис, 567 сг/
и 569). ^^8
Влияние состояния
поверхности. В большинстве случаев
поверхностные слои элемента
конструкции, подверженного дей- ^ /
ствию циклических нагрузок, '
оказываются более
напряженными, чем внутренние (в
частности, это имеет место при изгибе и ^ «
кручении). Кроме того, поверх- '
ность детали почти всегда имеет -г,
дефекты, связанные с качеством "^"^1 С^=30-^50/1И
механической обработки, а так- р„5_ 5^9
же с коррозией вследствие
воздействия окружающей среды. Поэтому усталостные трещины,
как правило, начинаются с поверхности, а плохое качество
последней приводит к снижению сопротивления усталости.
Влияние состояния обработанной поверхности на выносливость
оценивается коэффициентом р, который равен отношению предела
выносливости испытываемого образца с определенной обработкой
Р
0,6
0,2
—4-Л_
■—_
_2
^^Л^
5
л
0,4
0
/
-^
^
40
80 6^ кж/мп^
Рис. 570
40 80 Секгс/мм''
Рис. $71
поверхности к пределу выносливости тщательно полированного
образца. Зависимость коэффициентов р от предела прочности Ов для
различных видов обработки приведена на рис. 570, где кривая /
соответствует полированным образцам, 2 — шлифованным, 3 —
образцам с тонкой обточкой; 4 — с грубой обточкой; 5 — с
наличием окалины. Как видим, предел выносливости стальных образцов
при грубой обточке снижается на 40%, а при наличии на
поверхности окалины — на 70%.
Вредное влияние микронеровностей поверхности во многих
случаях смягчается пластической деформацией, вызываемой в поверх-
607
костном слое механической обработкой и распространяющейся на
некоторую глубину, зависящую от режимов резания и, в частности,
от величины подачи. При грубой обточке она может достигать 1 мм
и более, а при шлифовании и полировании измеряется сотыми
долями миллиметра и микронами. Пластическая деформация
поверхностного слоя может дать повышение предела выносливости на 10—
20%.
На предел выносливости существенное влияние оказывает
коррозия, ^о влияние будет различным в том случае, когда металл,
подвергавшийся коррозии до испытания на усталость, не
подвергается ей при испытаниях, и в случае, когда металл подвергается
коррозии во время испытаний. В обоих указанных случаях,
особенно во втором, коррозия вызывает резкое снижение пределов
выносливости (до 70—80%). При этом снижение предела выносливости при
наличии коррозии тем более сильно выражено, чем выше предел
прочности металла и чем больше последний склонен к коррозии.
Влияние коррозии при расчете можно учесть коэффициентом Рк>
представляющим отношение предела выносливости оИ)
корродированного образца к пределу выносливости «7_] полированного об-
разца, т. е. Рк = • Влияние коррозии в процессе испытания на
предел выносливости стальных образцов при ротационном изгибе
показано на рис. 571, где кривая / характеризует влияние коррозии
в пресной воде при наличии концентрации напряжений; 2 — в
пресной воде при отсутствии концентрации или в морской воде при
наличии концентрации; 8 — в морской воде при отсутствии
концентрации.
Причиной столь резкого снижения выносливости вследствие
коррозии являются коррозионные повреждения поверхности,
вызывающие значительную концентрацию напряжений, а также
ослабление сопротивления образованию трещин.
Уменьшить влияние состояния поверхности на усталость можно
соответствующими технологическими методами обработки,
приводящими к упрочнению поверхностных слоев. К числу таких методов
относятся: наклеп поверхностного слоя путем накатки роликом,
обдувки дробью и т. п.; химико-термические методы — азотирование,
цементация, цианирование; термические — поверхностная закалка
токами высокой частоты или газовым пламенем. Указанные методы
обработки приводят к увеличению прочности поверхностного слоя и
созданию в нем значительных сжимающих остаточных напряжений,
затрудняющих образование усталостной трещины, а потому
влияющих на повышение предела выносливости.
При наличии концентрации напряжений помимо глубины слоя
и его абсолютных размеров существенное влияние на эффект
упрочнения оказывают уровень концентрации напряжений и градиент
напряжений у поверхности. Эффект упрочнения растет с увеличением
концентрации.
608
Влияние пауз. На предел выносливости имеют влияние паузы
(перерывы в нагружении). При этом в одних случаях влияние пауз
незначительно, в других число циклов до разрушения
увеличивается за счет пауз на 15—20%. Увеличение числа циклов тем больше,
чем чаще паузы и чем они длительнее (последний фактор влияет
слабее).
Влияние перегрузок. Влияние перегрузок, т. е. нагрузок выше
предела выносливости, это влияние зависит от характера
перегрузки. При малых перегрузках до определенного количества циклов
предел выносливости повышается, при больших перегрузках
после определенного числа циклов — понижается.
Влияние тренировки. Если приложить к образцу напряжения
немного ниже предела выносливости и затем постепенно повышать
величину переменной нагрузки, то сопротивление усталости можно
значительно повысить. Это явление, называемое тренировкой
материала, широко используется в технике.
Упрочнение можно получить при сравнительно
кратковременных тренировках (порядка 50 000 циклов), но значительных
перегрузках. Опыты показывают, что если вначале действует меньшая, а затем
большая перегрузка, то выносливость материала оказывается
более высокой, чем в том случае, когда сначала действует большая, а
затем меньшая перегрузка.
Влияние температуры. С повышением температуры предел
выносливости обычно падает, а с понижением ее — растет как у
гладких образцов, так и у образцов с концентраторами.
Для стали при температуре выше 300°С наблюдается понижение
предела усталости примерно на 15—20% на каждые 100°С
повышения температуры. Правда, у ряда сталей при повышении
температуры от 20 до 300°С предел усталости повышается. Однако это
повышение, по-видимому, связано с физико-химическими процессами,
происходящими при одновременном влиянии нагрева и переменных
напряжений.
При повышенных температурах даже при очень большом числе
циклов кривая усталости не имеет горизонтального участка. Так,
для гладких образцов даже при 100 млн. циклов горизонтальный
участок не наблюдается. Влияние концентрации напряжений с
повышением температуры в общем уменьшается, однако для ряда
сталей, по-видимому, опять-таки за счет физико-химических
процессов чувствительность к надоезу сплава увеличивается. При
температурах порядка 500—600°С в стали начинаются процессы
ползучести, имеющие место также и при переменных нагрузках даже при
симметричном цикле.
' При понижении температуры с 20 до —190°С предел
выносливости у некоторых сталей увеличивается более чем вдвое, хотя ударная
вязкость их при этом понижается.
Это еще раз указывает на принципиальное отличие между
усталостным и хрупким разрушениями путем отрыва при статических и
ударных нагрузках.
20 8—2770 609
§ 139. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В случае простых видов деформации при изменении напряжений
в детали по симметричному циклу запас прочности при действии,
например, нормальных напряжений можно вычислить по формуле
(о--1„)<г
Пв = ,
где (о—1к)а — предел выносливости детали при растяжении —
сжатии или при изгибе;
0д — номинальные фактически действующие
знакопеременные напряжения.
Для расчета на прочность при переменных нагрузках в случае
сложного напряженного состояния можно использовать
соответствующие теории прочности. При этом для материалов в
пластическом состоянии, как известно, применяют третью и четвертую
теории прочности. В рассматриваемом случае эти теории должны
быть записаны в виде
«7-1
У(у1 + ах1\
0-1
Уо1 + зт^
B1.13)
B1.14)
В соответствии с экспериментальными данными условие
прочности в форме эллиптической зависимости (см. рис. 562) при изгибе
и кручении выражается формулой B1.6), а применительно к детали
достаточно больших размеров с концентрацией напряжений —
формулой
или
{а_иЬ=у^а +
1 A_1к)<г \
^а . <
('У-ыГа ' {т_,«)^й
= 1.
B1.15)
B1.16)
(Д-1к)«г
коэффициент, характери-
Тогда, имея в виду, что Па
зующий запас прочности только по нормальным напряжениям, и
Пх = коэффициент, характеризующий прочность только
по касательным напряжениям, на основании соотношения B1.16)
будем иметь
"' ~ п1 ^ пУ
IV
610
откуда запас прочности п при
сложном напряженном состоянии,
например при совместном действии изгиба
и кручения, определится формулой
ужщ- <'■•"'
"паке
^
А
0
В
У^
/\^5°
6о
. 2 .
-*—' 1
>^51СЧ;
>1§|счо
*
^
*
бс
Определяя запасы прочности при
асимметричных циклах для любого
вида циклического нагружения
(изгиба, растяжения — сжатия, кручения),
исходят из схематизированной
диаграммы предельных напряжений для р„^_ 572
образцов без концентрации
напряжений (рис. 572).
Аналитическое выражение кривой предельных напряжений в
координатах Омакс — ^с можно представить уравнением прямой,
проходящей через две точки Л и В с координатами (О, а^х) и (-^, (?о).
и записать в виде
= G_,+ а^1еа,
где, согласно рис. 572,
1;йа =
"-1
Тогда
сТо/2
(Тм
а-\ -\ а^ = G_1 + 1 ~
2ст_, —ао
Обозначая
^сг =
2G
B1.18)
запишем уравнение кривой предельных напряжений для образца
без концентрации напряжений так:
Gмакс = G-1+A—^сг)Gс
B1.19)
Таблица 23
СТц КГС/ММ»
35—55
52—75
70—100
100—120
120—140
Ч'а
0
0,05
0,10
0,20
0,25
0
0
0,05
0,10
0,15
При действии касательных
напряжений соответствующее уравнение имеет
аналогичный вид:
Тмакс = Т_, + A — ^^) Т^. B1.20)
Значения ^о и И'х для ряда сталей
при различных видах деформации в
зависимости от предела прочности
приведены в табл. 23.
20»
611
Учитывая влияние на предел выносливости при асимметричном
цикле различных факторов, в том числе концентрации напряжений,
абсолютных размеров сечения, состояния поверхности и т. д.,
исходят из экспериментально установленных закономерностей,
заключающихся в том, что отношение предельных амплитуд
напряжений гладкого образца и рассматриваемой детали остается по-
стоянньгм независимо от величины среднего напряжения цикла.
На основании этого можно построить схематизированную
диаграмму предельных напряжений для детали (рис. 573).
Это построение можно получить также, исходя из следующих
аналитических представлений. Ё соответствии с выражением B1.19)
предельная амплитуда напряжений образца выражается формулой
.-0,= [0_, + A-^-Усг)Се]
о--] — ^оОе,
Рис. 573
Рис. 574
а предельная амплитуда напряжений для детали (сак)^ на основании
вьшеотмеченной закономерности о влиянии различных факторов
только на переменную составляющую напряжений будет в (кв)^ раз
меньше, т. е.
Юа
{К)а
B1.21)
Тогда уравнение кривой предельных напряжений для детали может
быть записано в виде
(Омакс)й + Ос = «^с +
1-Ч'оСс
"-1
Фв)а
{ка)а
+
[1--^1
[ {ка)<1 }
а,. B1.22)
Предположим, что деталь в опасной точке подвергается действию
переменных напряжений с коэффициентом асимметрии г, причем
известны соответственно Смакс и Сд цикла. Как отмечалось выше,
все циклы, соответствующие г == соп81, лежат на одной прямой.
По указанным данным на диаграмме рис. 574 заданное напряженное
состояние характеризуется точкой М. Следовательно, все точки,
лежащие на луче, проведенном из начала координат через данную
точку М, имеют коэффициент асимметрии, равный г. Точка пересечения
этого луча с кривой усталости имеет ординату, равную пределу вы-
612
нослнвости (Gгк)й- Следовательно, коэффициент запаса
"°" О^ ~ «макс ~^-^' ^^'-^^^
где (<^^к)й — предел выносливости детали при асимметричном
цикле;
Омаке = о^ — мэксимальное напряжение детали.
При пересечении луча ОО с прямой АВ предельных напряжений
в точке Л^ максимальное напряжение а^кс совпадет с
максимальным предельным напряжением а^ == {о^^^ф т. е.
_ N
Смаке —• ^ •
С другой стороны, на основании уравнения B1.23),
<?макс = д{ <?с > B1.24)
С^ N <^-1
а.
^с =-7ГТ7- +
(^о)й (Vй
(Тс.
Отсюда находим абсциссу точки N1
Ос
(кд)а
^
Г G^
'-1
1+ "
(*о)Ло'"-а^) + Ч'^о,
а "с
Поскольку а'^ — Ос == Оа , последняя формула преобразуется так:
Ог
(к^а^Уа + '^'аО^
Подставляя полученное выражение а^ в формулу B1.24), найдем
выражение максимального предельного напряжения для детали
(ординату точки Л');
.^ , . ^-х^
Тогда окончательное выражение для запаса прочности будет
следующим;
Аналогично при кручении
т
Пх = —-^—— лг-. B1.26)
Если асимметрия цикла очень велика, то роль переменных
напряжений при оценке прочности может оказаться несущественной и
расчет следует проводить по предельному состоянию, как при
613
статической нагрузке. В связи с этим наряду с запасом прочности
по усталости [формулы B1.25), B1.26)] следует определять запас
прочности и по несущей способности при статическом нагружении.
Аналогично проводят расчет и при сложном напряженном
состоянии. При асимметричном цикле коэффициент запаса при
переменных нагрузках определяется по формуле B1.17), в которой Па и Пх
вычисляются соответственно по формулам B1.25) и B1.26). Запас
прочности по статической несущей способности определяют по
методике, изложенной в гл. 18. При этом прочность оценивается по
наименьшему из запасов по усталости и по статической несущей спо-
юбности.
Величина запасов прочности при расчете на выносливость за-
Еисит от точности определения усилий и напряжений, от
однородности материалов, качества технологии изготовления детали и
других факторов. При повышенной точности расчета (с широким
использованием экспериментальных данных по определению усилий,
напряжений и характеристик прочности), при достаточной
однородности материала и высоком качестве технологических процессов
принимается запас прочности п = 1,3 -^ 1,4. Для обычной точности
расчета (без надлежащей экспериментальной проверки усилий и на-
ьряжений) при умеренной однородности материала п = 1,4 -^ 1,7.
При пониженной точности расчета (отсутствии экспериментальной
проверки усилий и напряжений) и пониженной однородности
материала, особенно для литья и деталей значительных размеров, п =
= 1,7 -^ 3,0.
Наиболее достоверные данные о необходимых запасах прочности
детали могут быть установлены на основе результатов натурных
испытаний деталей или опыта эксплуатации машин с деталями этого
типа.
Пример 89. Шатун поршневого двигателя, представляющий собой стержень
круглого сечения, вдоль оси подвержен повторно-переменным нагрузкам,
меняющимся без ударов от Ямакс = + 20 000 кгс до Р„ин= +5000 кгс. Стерзкень имеет
радиальное отверстие 0 3 мм, материал стержня — сталь 12ХНЗА с такими
характеристиками прочности: Ов = 95 кгс/мм", о^ = 72 кгс/мм", а_| = 43 кгс/мм"
и ^д=0,\. Поверхность шатуна грубо шлифованная. Требуется определить
диаметр его из расчета на выносливость и полученные размеры сопоставить
с найденными из расчета на статическую нагрузку, равную максимальной
нагрузке цикла.
В рассматриваемом примере требуется произвести так называемый
проектировочный расчет, т. е. по известным усилиям, действующим на деталь,
определить ее размеры.
Устанавливаем опасное сечение вала. Таким следует принять сечение в
месте радиального отверстия.
Поскольку соотношение размеров шатуна и радиального отверстия не
известно, то не известна и величина ад. Поэтому, имея в виду, что этот
коэффициент при малых отверстиях и крупных деталях машин составляет величину,
близкую к двум, задаемся значением теоретического коэффициента
концентрации ад = 2.
Пользуясь графиком рис. 563, находим коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений: при Кд = 2 и ав = 92 кгс/мм" д^ = 0,77,
614
Пользуясь формулой B1.7), определим эффективный коэффициент
концентрации:
*о= 1 +'7о(«сг-1) = 1 +0,77B-1)= 1,77.
Из графика рис. 570 по кривой 3 находим коэффициент, учитывающий
качество обработки поверхности: Р = 0,82.
Задаемся коэффициентом, учитывающим размеры стержня: 8 = 0,8.
Эффективный коэффициент концентрации детали с учетом размеров и
состояния поверхности
{к^и-
1,77
ер
0,8 • 0,82
2,70.
Примем запас прочности п= 2,1.
Определим сечение шатуна из формулы B1.25):
0_,^
(ка)аОаЛ-'^^,
о"с
Фа)а
■ + '?сг
■ЛК
откуда
Р =
"-1
(Юа
2.1
43
Р —Р
* макс мин
+ Ч'сг
макс
+ Р«
2,70.7500-1-0,1
20 000 -4- 5000
Определяем диаметр стержня из формулы Р =
мм^ = 1050 мм".
^ 1 / 4/? 1 / 4 • 1050
^= К -1Г= К 3,14 "^'^37 км.
Проверим значение ранее принятого коэффициента, учитывающего
абсолютные размеры, для чего воспользуемся графиком рис. 565. Согласно этому
графику, при ^ = 37 мм 8 = 0,81, т. е. величина 8 оказалась близкой к
ранее принятому значению е = 0,8.
Находим диаметр шатуна из статического расчета, т. е. из
р
' макс г 1
условия а^^ = —р— « [0+,1:
пд?
20 000
1С-Ь11
48
мм^ = 417 мм^;
Ф60
, о. 37
^2^
Ф50
Рис. 575
Примем й=24мм, т. е. диаметр оказался в-^ = 1,54 раза
меньше, чем в случае расчета с учетом переменности нагрузки.
Пример 90. Шток водяного насоса, представляющий собой
ступенчатый круглый стальной стержень (рис. 575),
подвергается повторно-переменному растяжению — сжатию усилиями,
сопровождающимися динамическим приложением нагрузки с
характеристикой цикла г = —0,5. Материал штока —
малоуглеродистая сталь с временным сопротивлением о^ = 40 кгс/мм", пределом
текучести 0т ^= 33 кгс/мм" н пределом усталости при симметричном цикле 0_, ==
= 20,4 кгс/мм". Поверхность стержня обработана резцом. Определить
допускаемые усилия, действующие на шток.
В данном случае речь идет о проверочном расчете. Имеются размеры детали,
необходимо установить допускаемую нагрузку при заданной характеристике
615
цикла. За расчетное следует принять опасное сеченне, находящееся в месте
сопряжения двух диаметров.
О 5
Определим теоретический коэффициент концентрации; при -~= -ё7г= 0,1
МОЖНО принять 01,д= 1,6 (см. § 32).
По графику рис. 563 находим коэффициент чувствительности к концентрации
напряжений: <?(,= 0,39.
Определяем действительный коэффициент концентрации:
/г^=1 + 9с(ао-1)= 1 + 0,39A,6-1) = 1,234.
По графику рис. 565 находим коэффициент влияния абсолютных размеров:
е = 0,75.
Коэффициент, учитывающий качество обработки поверхности, определим
по графику рис. 570: Р = 0,875.
Принимаем коэффициент запаса прочности с учетом динамичности (см. гл. 22)
равньш Пд= 3.
Находим эффективный коэффициент концентрации напряжений для детали:
г/, ^ _ ''<' _ '.234 _
^''о'^ ~"РГ ~ 0,875 . 0,75 ~ ''
Определяя амплитуду напряжений из формулы
Р-1
""" {кМа + 'Уо^с '
получим
<^-1 1
"о
Имея в виду, что для рассматриваемого материала @^ = 40 кгс/мм*), согласно
табл. 23, коэффициент ^д = О, по последней формуле найдем, что
о_| 20 4
~ - - ' кгс/шл^ г» 4 кгс/мм^.
"" п^Юа 3.1,88
Определяем допускаемые усилия, действующие на шток:
амплитудное значение усилия
среднее
Ра =
значение усилия
Рс
максимальное
р 1+'
усилие
«о
=
3,14 . 50=
4
,о«п 1—0,5
^^^ 1+0,5
• 4 кгс = 7860 кгс;
кгс = 2620 кгс;
Ршкс = ^о + Рс = G860 + 2620) кгс = 10 480 кгс;
минимальное усилие
Рм„„ = -Рмак/ = - 0,5 • 10 480 кгс = - 5240 кгс.
Врижр 91. Вращающийся круглый полый вал (рис. 576) в опасном сечении,
ослабленном отверстием для смазки @ 3 мм), испытывает переменный изгиб
с моментом УИ = 15 000 кгс • см. Одновременно вал подвергается переменному
кручению с коэффициентом асимметрии г = —0,25 и М^^^^^^ — 18 000 кгс - см.
Диаметры вала: наружный 1> = 70 мм, внутренний й = 35 мм. Материал —
616
сталь 45 @в = 70 кгс/мм"; От = 32 кгс/мм"; 0_, = 30 кгс/мм"; т^ = 18 кгс/мм").
Поверхность вала шлифованная. Определить запас прочности вала.
Определим номинальные напряжения в валу от изгиба и круЧения:
М
32М
Г
32- 15000
пСз 1
ш
3,14-703A
М,
кр.макс
16М,
1Г„
кр макс
д ^ кгс/мм= = 4,73 кгс/мм*!
4,73 кгс/мм=; Ос == 0;
16 - 180 000
п1)з
,14-703A—0,5«)
— 0,25 . 2,83 кгс/мм2 = — 0,71 кгсА1м2;
, 2,83+0,71
кгс/им^ = 2,83 кгс/мм^;
кгс/мм2 = 1,77 кгс/мм".
■. + т:м
2,83 — 0,71
кгс/мм" = 1,06 кгс/мм^
Определим коэффициенты концентрации при изгибе. Коэффициент концен-
0 _ 8
трации Кр при изгибе (см. § 65, рис. 269) при
В
70
= 0,04 ад = 2,Б.
Коэффициент чувствительности к концентрации напряжений д^, согласно графикам
(рис. 563), 9о = 0,65. Эффективный коэффициент концентрации при изгибе
'«0= 1 + -Усг («о - О = 1 + 0,65 B,5 - 1) = 1.975.
Коэффициент, учитывающий абсолютные размеры, согласно графикам (см.
рис. 565), можно принять равным е = 0,70; коэффициент, учитывающий
состояние поверхности вала (см. рис. 570, кривая 2), р = 0,92. Тогда эффективный
коэффициент концентрации вала
{ка)а
"■о
1,975
3,1.
-О'" — рВ 0,70 - 0,92
Определим запас прочности на изгиб:
о
п„
—1
30
3,1 -4,73 + 0
= 2,05.
Рис. 576
Определим коэффициенты концентрации при кручении. Теоретический
коэффициент концентрации примем а^ = 3; коэффициент чувствительности к
концентрации напряжений примем тот же, что и при изгибе, т. е, д^= '?о"= 0,65.
Тогда эффективный коэффициент концентрации при кручении
й^ = 1 + <7^ (а.^ - 1) = I + 0.65 C - I) = 2,3.
Принимая, как и при изгибе, е = 0,70 и Р = 0,92, получаем
^ -^'^"" ер ~" 0,70 - 0,92
= 3,60.
мт
Определим запас прочности при кручении:
'-1
18
■■ 2.77.
' {к^)а Та + V^^а 3,60-1,77 + 0,05 • 1,06
^ Определим общий запас прочности при совместном действии переменного
изгиба н кручения:
«о«1 2,05 .2,77 , _,
— * 1,00.
V
<+<
2 К2,052 ^ 2,772
Таким образом, общий коэффициент запаса прочности оказался значительно
меньше запаса прочности отдельно на изгиб и на кручение.
§ 140. ПОНЯТИЕ О МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ МАТЕРИАЛОВ
Во многих реальных инженерных конструкциях наблюдается
разрушение после относительно небольшого числа циклов
нагружения, исчисляемого несколькими тысячами повторений. Разрушение
после малого числа циклов нагружения от так называемой
малоцикловой усталости обычно происходит при значительной (около
1%) пластической циклической деформации в макрообъемах
рассматриваемого элемента конструкции.
^ Расчеты элементов конструкций на малоцикловую усталость
базируются на экспериментальных данных изучения закономерностей
сопротивления деформированию и разрушению при циклическом
упруго-пластическом деформировании, а также исследованиях
кинетики неоднородного напряженно-деформированного состояния и
накопления повреждений в
зонах концентрации — местах
вероятного разрушения.
Ниже приведены основные
понятия и некоторые результаты
~- изучения кинетики
деформирования и разрушения
материалов при циклическом
упруго-пластическом
деформировании.
Сопротивление материалов
циклическому
упруго-пластическому деформированию обычно изучают при однородном
напряженном состоянии, используя два основных вида нагружения. При
первом в процессе циклического деформирования постоянной
сохраняется амплитуда напряжений, при втором — амплитуда
деформации. Эти виды соответственно называют мягким и жестким нагру-
жением.
Л1ягкое нагружение. Диаграмма циклического деформирования
при мягком нагружении в случае одноосного растяжения — сжатия
(рис. 577) построена в относительных координатах а = -—; е = —.
Здесь в качестве предела текучести а^ обычно принимают предел
пропорциональности в исходном полуцикле, обозначаемом нуле-
Рие. 577
618
относительная деформация, соответствующая пределу
текучести (пропорциональности). Для описания последующих
полуциклов удобно пользоваться координатами 5 = —; е = —, начала
которых берутся в точках, соответствующих началу разгрузки в
каждом полуцикле.
После исходного деформирования ОАВ и разгрузки ВС,
реверсивного деформирования СВЬ и разгрузки ЬМ образуется, вообще
говоря, незамкнутая петля упруго-пластического деформирования
первого полуцикла; ее ширина обозначена через б"\ При
дальнейшем повторении нагружения и разгрузки получим кривые
циклического деформирования в различных полуциклах и соответствующие
им петли шириной б**'.
Переход к нелинейному участку диаграммы в /г-м полуцикле
наблюдается при напряжениях и деформациях, равных 5?^ и 8?^ а в
начальной системе координат — при ст?^ и е*т''\ Эти величины
являются пределами текучести (пропорциональности) в данном
полуцикле и соответствующими им деформациями.
В зависимости от свойств материала в процессе циклического
упруго-пластического деформирования пределы текучести
(пропорциональности) и форма кривых деформирования могут изменяться.
Так, для большого количества металлов и сплавов при растяжении
образца напряжением, превышающим предел текучести
(пропорциональности), при последующей разгрузке и реверсивном
деформировании, т. е. при сжатии, предел текучести (пропорциональности)
оказывается ниже исходного. Это явление, названное эффектом Бау-
шингера, наблюдается не только при растяжении — сжатии, но и
при других видах напряженного состояния.
Для объяснения эффекта Баушингера был предложен ряд
моделей. Наиболее вероятной причиной изменения пределов упругости,
пропорциональности и условного предела текучести при
реверсивном нагружении, по-видимому, являются остаточные
ориентированные микронапряжения, возникающие в предшествующей
пластической деформации. Они и способствуют более раннему
возникновению пластической деформации при повторной нагрузке другого
знака.
Модель Мазинга — одна из первых моделей. Он рассмотрел
реверсивное деформирование поликристаллического образца в
предположении, что зерна, обладая анизотропией свойств, различным
образом ориентированы по отношению к деформирующей нагрузке,
деформируются по-разному и имеют различные пределы текучести.
Эта модель позволила установить следующую зависимость предела
текучести при первом реверсивном нагружении для симметричного
цикла от величины исходного напряжения в нулевом полуцикле,
т. е. от степени предшествующей деформации:
5^" = 5<°'-2, B1.27)
619
или, в координатах 5^— е:
5^" = 2. B1.28)
Зависимость B1.27), однако, как показали многочисленные
эксперименты, не выполняется для многих материалов. Значения 5^ для
некоторых материалов приведены в табл. 24.
Таблица 24
Материал
Сталь:
45 (нормализованная)
1Х18Н9Г (аустенизация)
ЗОХГС (отжиг)
ЗОХГС (закалка, отпуск 680°С)
ЗОХГС (еакалка, отпуск 360°С)
теплоустойчивая
Сплао
В96 (естественное старение)
АК8 (искусственное старение)
5т
1,13
1,66
1.61
1,34
1,60
1,45
1,84
1,67
а
0
0,15
0.03
—
—
—
0,4
0,28
Р
—
—
—
0,01
0,10
0,02
—
А
3,55
1,13
0,90
1,2
0,86
1,93
1,15
1,35
к*
20—30
10
—
—
—
—
—
""*
ад
20
^?—
""о
и
ь
о ад по
Рис. 578
Сказанное относится к первому полуциклу. При последующем
циклическом деформировании сопротивление материалов упруго-
пластическому деформированию изменяется, что ведет к изменению
предела текучести (пропорциональности) 5?'. С увеличением числа
циклов эта характеристика может возрастать
или убывать в зависимости от свойств
материала (рис. 578; линия / соответствует сплаву
Д16, 2 — стали ЗОХГСА). Изменяется она и
в зависимости от степени исходного
деформирования е'°*. Однако для практических
расчетов обычно принимают, что предел текучести
(пропорциональности) не зависит от числа
циклов и от степени исходного деформирования.
Основным параметром в исследованиях малоцикловой усталости
при мягком нагружении является ширина петли гистерезиса б*^"~'*
для нечетных и б'^"' для четных полуциклов (рис. 577). Ширина
петли за данный полуцикл — пластическая (остаточная) деформация за
полуцикл, а разность ширины петель в двух соседних полуциклах
характеризует накопленную за цикл одностороннюю пластическую
деформацию.
Для разных материалов кинетика изменения ширины петли с
числом циклов различна. Для циклически упрочняющихся материалов
(например, сталь 1Х18Н9Т, алюминиевые сплавы В96, Д16Т, АДЗЗ,
АК8) ширина петли с числом циклов уменьшается, а накопленная
в процессе циклического деформирования пластическая
деформация стремится к некоторой предельной величине. Эксперименты по-
620
казывают, что для таких материалов изменение ширины петли с
числом полуциклов хорошо описывается зависимостью
6'*' = -^. B1.29)
где параметр а > О зависит от материала и исходной деформации,
возрастая с ростом последней, В первом приближении, однако, его
считают постоянным.
При симметричном цикле нагружения ширина петли в первом
полуцикле зависит от величины начальной деформации е"* и
предела текучести 5^ и, как показывают эксперименты, может быть
представлена выражением
б''> = л(?°^ 11), B1.30)
где А — константа материала, характеризующая сопротивление
деформированию в первом полуцикле.
В случае циклически разупрочняющихся материалов (например,
теплостойкие стали, чугуны) ширина петли с числом полуциклов
увеличивается, а также увеличивается суммарная деформация.
Зависимость ширины петли от числа полуциклов достаточно хорошо
описывается выражением
б№)_бA)/(*-1)^ B1.31)
где р — константа материала, зависящая от степени исходного
деформирования. Ее также в первом приближении можно
принять постоянной.
Для некоторых материалов константы а, р, А приведены в табл. 24.
Наконец, в случае циклически стабильных материалов
(например, среднеуглеродистые и аустенитные стали) ширина петли
упруго-пластического гистерезиса практически не зависит от числа
циклов деформирования. При различной ширине петель в четных и
нечетных полуциклах происходит одностороннее накопление
деформации. Для таких материалов, стабилизирующихся при
определенном числе полуциклов к — к*, ширина петли определяется по
формуле B1.29) при к = к*.
Заметим, однако, что деление материалов на циклически
упрочняющиеся, стабильные и разупрочняющиеся носит несколько
условный характер, так как поведение определенного материала при
циклическом деформировании зависит от температуры, его
исходного состояния (наклеп, термообработка) и других факторов.
Например, наклеп — предварительное пластическое деформирование
при комнатной температуре — ведет к циклическому
разупрочнению. То же имеет место и при закалке. Так что в нестабильном го-
стоянии материал циклически разупрочняется. В то же время в
стабильном состоянии (отжиг) наблюдается циклическое упрочнение.
Пластические свойства материала после определенного числа
циклов нагружения характеризует суммарная пластическая
деформация, накопленная за к полуциклов. Она связана с шириной петли
621
в четных и нечетных циклах (см. рис. 577) выражением
;<*)
*=1
B1.32)
Жесткое нагружение. Как уже указывалось, весьма
распространенным методом изучения сопротивления материалов
циклическому упруго-пластическому деформированию являются испытания
при постоянных
амплитудах деформации — жесткое
нагружение (рис. 579; а —
сплав В96, б — сталь
1Х18Н9Т). При таких
испытаниях за счет
перераспределения упругой и
пластической составляющих
деформации максимальные
напряжения от цикла к
циклу могут изменяться.
Кинетика изменения
максимальных напряжений
зависит от свойств материала
и находится в соответствии
с поведением различных
групп материалов при
мягком нагружении. Так, в
испытаниях циклически
упрочняющихся материалов
при жестком нагружении
амплитуда напряжения
вначале возрастает.
Интенсивность возрастания с
увеличением числа циклов
уменьшается. После сравнитель--
но небольшого числа циклов
амплитуда напряжений
становится практически постоянной на большей части долговечности
вплоть до разрушения. Размах установившегося напряжения иногда
называют <шсимптотическим» размахом или размахом «насыщения».
Предполагают, что каждому размаху деформации соответствует
определенный «асимптотический» размах напряжения. Он берется
при числе циклов, равном половине разрушающего, т. е. при
средней долговечности.
В испытаниях циклически разупрочняющихся материалов при
фиксированной циклической деформации напряжения от цикла к
циклу постепенно снижаются. Однако и в этом случае процесс
сравнительно быстро затухает и можно говорить о существовании
предельного асимптотического размаха напряжений, зависящего от
размаха циклической деформации.
/
|\
"■""
/
/у
//*г/1
[
&
Ш
^■---ЗГ!
Трещина]^
-V,
/
/А
5
У
У^^
\
....,
///
678
а
Рмс. 579
622
Разрушение при циклическом упруго-пластическом
деформировании. Сопротивление разрушению при циклическом
деформировании существенно зависит от характера нагружения (мягкое или
жесткое) и циклических деформационных свойств материала.
При мягком нагружении циклически разупрочнякщихся или
стабильных металлов накапливаются пластические деформации,
которые могут привести к двум типам разрушения —
квазистатическому и усталостному. Квазистатическое связано с возрастанием
остаточных деформаций до уровня, соответствующего разрушению
при однократном статическом нагружении. Разрушение
усталостного характера связано с накоплением повреждений, образованием
прогрессирующих трещин при существенно меньшей пластической
деформации. Возможны и промежуточные формы разрушения,
когда образуются трещины усталости на фоне заметных пластических
деформаций.
Циклически упрочняющиеся материалы разрушаются только от
усталости. Для них кривая усталости в интервале числа циклов
10^—10* достаточно хорошо описывается эмпирическим уравнением
а„N^^ = соП51,| B1.33)
где Од — амплитуда напряжения;
р, — показатель степени;
Л? — число циклов до раарушения.
Для квазистатического разрушения в качестве критерия
перехода в предельное состояние принимают величину накоплеинной
деформации ^5 при циклическом нагружении, соответствующую
разрушению при однократном статическом нагружении.
На основании выражения B1.32),
ё<*) = ?«) - 5<°' + I; (- 1)'б<*' = ё,. B1.34)
С учетом выражений для ширины петли, зная циклические
параметры материала, из формулы B1.34) можно определить для заданной
амплитуды напряжений число циклов до разрушения.
При жестком нагружении нет накопления деформаций, что
исключает возможность квазистатического разрушения. В этом
случае все материалы разрушаются по усталостному типу с
образованием трещин.
Эксперименты с различными материалами показали, что
зависимости между размахом пластической деформации за цикл е™ = 2еапл
и числом циклов до разрушения в двойных логарифмических
координатах близки к линейным. Это явилось основанием для
следующего эмпирического выражения между циклической долговечностью Л?
и размахом пластической деформации за цикл (формула Мэнсона —
Коффина):
[еп^М"" = М,\ B1.35)
где т и М — константы материала.
623
Показатель степени ш для большинства материалов можно
принять приблизительно равным 0,5. Постоянную М легко определить
в предположении, что формула B1.35) справедлива и при
однократном нагружвнии до разрушения, т. е. при N — -^ и е„л — е^,
где вд — истинная деформация при статическом разрыве. Тогда
Ж = -^ е, и
е„лЛ^°-' =
1
B1.36)
С учетом выражения D.27) для истинной деформации формула
B1.36) принимает вид
I «,-0.5 B1.37)
1 _ ' 1„
^о пл — ~2~ ^пл — ~т~ |П
хр
ы-
Уравнения B1.36) и B1.37) можно считать основными
зависимостями для оценки долговечности при малом числе циклов нагруже-
ния, когда преобладающее значение имеет сопротивление
материала пластическим деформациям. С увеличением числа циклов до
разрушения, т. е. с уменьшением размаха пластической деформации,
упругая часть деформации становится соизмеримой с пластической.
В связи с этим предложены критерии малоциклового разрушения
в упругих и суммарных деформациях.
Опыты с многими материалами показывают, что в области
долговечности 10—10* циклов имеет место следующая зависимость:
1^ «г—и
Л'"
B1.38)
где
?у — размах упругой деформации за цикл, вычисленной в
результате деления размаха асимптотического
напряжения (соответствующего циклической долговечности
Ы) на модуль упругости Е;
^ и и — постоянные материала.
Зависимость между размахом полной деформации и циклической
долговечностью можно получить из уравнений B1.35) и B1.38):
е =еал + ^у = МN~"'
+ -^к-
B1.39)
(де
В области малых долговечностей упругая составляющая
деформации незначительна, основное значение имеет пластическая
деформация, а суммарная асимптотически
приближается к прямой пластической
составляющей (рис. 580). При больших долговечнос-
тях роль убывающей пластической
деформации становится незначительной,. в то
время как упругая деформация вследствие
малого наклона линии е^ сохраняет
высокое значение; линия суммарной деформа-
Рие. 180 НИИ асимптотически приближается к пря-
ге/р,^
Г^А/
624
мой упругой деформации. Переходная точка между двумя кривыми
для большинства материалов находится в области 10* циклов.
При использовании критерия B1.39), как показали
эксперименты, константы следует принять такими:
ш = 0,6; к = 0,12; М == е°А ^ = 3,5а^,
где Ов — предел прочности.
Следовательно,
е=2еа =(\п-^^■'N~'•' + 3,5^N-'■^^. B1.40)
Предельную упругую деформацию можно выразить также через
параметры кривой усталости: предел усталости 0_1 при выбранном
базовом числе циклов Л^^ и показателе степени кривой усталости ц.
Подставляя эти значения в выражение B1.33), найдем_значение
константы в правой части уравнения:
Следовательно, амплитуда напряжения и условная упругая
деформация
0„ = 0_,Л'^Л/~'';
Уравнение кривой усталости при жестком нагружении принимает
вид
еа==еапп + еау = \ 1п -|4чГ Л^~°'' + -^ ЛбЛ/~^ B1.42)
Эмпирические формулы B1.41) и B1.42) позволяют с достаточной
точностью оценить долговечность материалов в довольно широком
диапазоне перемен упруго-пластических деформаций.
Глава 22
РАСЧЕТЫ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ
§ 141. РАСЧЕТ НА УДАР
ПРИ ОСЕВОМ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗКИ
С яемнием удара приходится шлешь дело в том случае, когда
скорость рассматриваемого элемента конструкции или
соприкасающихся с ним частей в очень короткий промежуток времени
изменяется на конечную величину. Получающиеся при этом большие
ускорения (замедления) приводят к возникновению значительных
инерционных сил, действующих в направлении, противоположном
621
направлению ускорений, т. е. в направлении движения тела. В случае
падающего груза величина силы удара (динамической силы Рд)
может быть вычислена по формуле
^д@ = -^-/@. B2.1)
е
где
г—з)
1К\
•^
о о
" а
ш
щ
6
Рис. 581
С — вес падающего груза;
^ — ускорение свободного падения;
/ (О — ускорение падающего груза после соприкосновения его
с препятствием.
Однако определение силы удара Р^ (^) по формуле B2.1) весьма
затруднительно, так как не известно время соударения, т. е. время,
в течение которого скорость движущегося тела
снижается от своего максимального значения в
момент соприкосновения с ударяемым телом
(начало удара) до нуля после деформации
последнего (конец удара). Б связи с указанными
трудностями, определяя напряжения в элементах
упругих систем, вызьюаемые действием ударных
нагрузок (динамические напряжения), в
инженерной практике обычно пользуются так
называемым энергетическим методом, основанным на
законе сохранения энергии. Согласно этому
методу полагают, что при соударении движущихся
тел уменьшение запаса кинетической энергии их
равно увеличению потенциальной энергии деформации
соударяющихся упругих тел.
Вывод расчетных формул для определения динамических
напряжений проведем на примере простейшей системы (рис. 581),
состоящей из вертикально расположенного упругого призматического
ЕР
стержня с жесткостью с = —г- и некоторого груза ^. Полагаем
при этом, что удар неупругий в том смысле, что при соударении
падающий груз не отскакивает от стержня, а движется вместе с ним,"
и, следовательно, в стержне не возникают упругие волны. Кроме
того, данная система обладает одной степенью свободы.
Рассмотрим два случая:
1) груз С прикладывается к стержню статически, т. е. нагрузка
медленно нарастает от нуля до своего максимального значения
(рис. 581, а) и сжимает стержень на величину бет;
2) груз падает с некоторой высоты И и, ударяя по стержню,
создает в нем сжатие бд > бет (рис. 581, б).
Изменение деформации при ударном действии нагрузки ^ по
сравнению с деформацией при статическом приложении той же
нагрузки может быть охарактеризовано коэффициентом динамичности
B2.2)
626
откуда динамическую деформацию через статическую можно
выразить формулой
б„ = ^дб„. B2.3)
Учитывая линейную связь между напряжением и деформацией.
а также принимая одинаковыми модули упругости при статическом
и ударном действии нагрузки, что с достаточной степенью точности
подтверждается экспериментом, по аналогии с последней формулой
можно установить связь между статическим и динамическим
напряжениями:
I Од = Уст, I B2.4)
где
СТст — р
B2.5)
— напряжение, возникающее в стержне при сжатии силой, равной
весу падающего груза.
Чтобы использовать формулу B2.4), нужно определить
коэффициент динамичности Лд. При этом будем исходить из общепринятого
в теории удара допущения, что связь между усилия/ли и
деформациями сохраняется одной и той же как при статической, так и при
динамической нагрузках, т. е.
бст = -%-; B2.6)
вд=4-' B2.7)
где Рст — статическая нагрузка, равная весу падающего груза (в
нашем случае Рст = ^)',
Рд — динамическая нагрузка, представляющая собой силу
инерции ударяющего тела в первый момент его
соприкосновения со стержнем.
Изменение кинетической энергии падающего груза численно
равно работе, совершенной им при падении и деформировании стержня:
Т = е(Я + бд), B2.8)
а потенциальную энергию деформации упругого тела при ударе,
накопленную за счет уменьшения потенциальной энергии
падающего тела, учитывая выражение B2.7), устанавливающее связь между
усилием и деформацией, можно представить формулой
^„-4-^А=^- B2.9)
Пользуясь законом сохранения энергии и пренебрегая потерями
энергии, вызываемыми местными пластическими деформациями при
соударении тел, а также инерцией массы ударяемого стержня,
можно записать
Г = <Уд.
627
На основании выражений B2.8) и B2.9)
-2^ = е(я+бд).
B2.10)
с
Имея в виду, что §„ = —, уравнение B2.10) можно
представить так:
6^
2бст6д — 2бетЯ :
0.
Отсюда можно определить динамическую деформацию:
6д = бет ±']/б^х + 26стЯ. B2.11)
Поскольку знак «минус» в этой формуле не соответствует физической
стороне рассматриваемой задачи, следует сохранить знак «плюс».
Записав формулу B2.11) в виде
6д = бет 11 Ч-
/
1 +
2Н
B2.12)
и сопоставив ее с формулой B2.3), находим выражение для
коэффициента динамичности:
1 +
/
1 +
2И
B2,13)
Имея в виду, что Н = -^— (у — скорость падающего груза в начале
удара), коэффициент динамичности можно представить формулой
B2.14)
Если учесть, что
_2Н_
СЯ
то коэффициент динамичности Лд можно также записать и так:
B2.15)
^д = 1 +
I-
V
1 +
Уг.-
где Т.
^Н — кинетическая энергия падающего груза к моменту
соударения;
^/ст — потенциальная энергия деформации
подвергающегося удару упругого стержня, которая
накапливается в нем при статическом действии силы, равной
весу ударяющего груза ^, т. е.
1^01 ~2~ т- <^Т •
2с
2ЕР
B2.16)
628
Если Я = О, т. е. сила прикладывается внезапно, то, согласно
выражению B2.13), коэффициент динамичности йд = 2. Поскольку
высота падения груза Н всегда значительно больше бет, то в
большинстве случаев определения коэффициента динамичности в
выражениях под корнем единицей по сравнению со вторым слагаемым
можно пренебречь. Тогда на основании выражения B2.13)
получим
1 +
/'-
B2.17)
B2.18)
или, согласно формуле B2.15),
Имея выражение B2.13) для коэффициента динамичности,
напряжение при ударе на основании зависимости B2.4) определим
формулой
ЛдО^ст ■
1 +
/
1 +
2Я
ИЛИ
Аналогично определяем и усилие при ударе:
2^НЕ
1Р
Р^ = а,Р = Р^1 +
/
1 +
2Я
B2.19)
B2.20)
B2.21)
Изложенная приближенная теория расчета на удар имеет
определенные пределы применения. Они обусловлены скоростью
падающего груза к моменту удара и жесткостью конструкции, что выража-
ется В формулах B2.13) или B2.15) отношением -г— """ —^-
Так, если
или
и^.
2Н
б„ и^
< 100,
то ошибка расчета не превышает 10%. Учет массы ударяемой
конструкции расширяет пределы применения приближенной теории.
Из анализа формул B2.19) и B2.20) видно, что при равномерно
распределенных напряжениях, одинаковых во всех сечениях стержня,
величина динамических напряжений зависит не только от площади Р
его поперечного сечения, как это имеет место в случае действия
статической нагрузки в статически определимых системах, но и от
длины I и модуля упругости Е материала стержня, т. е. можно
сказать, что динамические напряжения в стержне при ударе зависят
как от объема, так и от качества его материала. При этом чем больше
объем упругого стержня, подвергающегося удару (чем больше
«энергоемкость» стержня), тем меньше динамические напряжения,
629
возникающие в нем, а чем больше модуль упругости материала
стержня, тем динамические напряжения больше.
До сих пор предполагалось, что стержни, подвергаемые действию
удара, по всей длине имеют одинаковые сечения. Именно для таких
стержней справедливо все сказанное о роли объема стержня при
оценке динамических напряжений.
Картина оказывается несколько иной в стержнях, отдельные
участки которых имеют различную площадь поперечного сечения.
В этом случае (рис. 582, а) наибольшее номинальное напряжение
в стержне (без учета концентрации)
будет в месте наименьшей площади (в
месте выточки). Зависит оно, как известно,
от деформативности всего стержня, а не
только его ослабленной части. Понизить
динамические напряжения в этом случае
можно двумя путями: увеличением
поперечного сечения в месте выточки или
уменьшением площади поперечного
сечения утолщенной части стержня и, следо-
''у'Л']// вательно, повышением податливости
всего стержня в целом, что приводит к с ни-
жению максимальных динамических
напряжений в месте выточки. Если
изготовить весь стержень постоянного диаметра,
равного диаметру выточки <^2, то при этом существенно увеличится
деформативность стержня, а следовательно, уменьшится
динамическое напряжение Од.
Таким образом, снижение напряжений при ударе может быть
достигнуто увеличением объема путем уничтожения выточки, т. е.
выравниванием напряжений по различным сечениям, или
уменьшением объема материала за счет уменьшения площади утолщенней
части, что приводит к увеличению деформативности.
Сказанное удобно проиллюстрировать на примере определения
максимальных динамических напряжений, возникающих в трех
типах стержней при продольном ударе грузом ^, падающим с одной
и той же высоты Н.
Пусть соотношения между отдельными размерами стержней
следующие:
Для определения напряжений в каждом из стержней
воспользуемся общей формулой
(Рд)макс = Лд (СГст)макс = *д —р ,
"
N
>
^
<"\\
а:
- 1
'
—7\ К—71
.^
•^
'
,
V
:^//А ///У/А У///А
а 5 Ъ
Рис.
582
где
^л=1 + ]/
1 +
2Я
6ст =
Я1п .
п — число ступеней.
630
Для ступенчатого стержня (рис. 582, а)
(в„,,=4(^+^)--^(.-Р+1).
Для стержня постоянного сечения с размерами утолщенной
части ступенчатого стержня (рис. 582, б)
Я11
Фсг)б =
ЕР
Для стержня постоянного сечения, равного минимальному
сечению ступенчатого стержня (рис. 582, в), имеем
(бст)в — -рр^
^^1
ЕРг ЕР^а ■
Тогда соотношения между деформациями отдельных стержней,
очевидно, будут следующими;
Fст)„: Fсг)б:(бет). = A-Р + |-):1:4-- ^^^'^^^
Пренебрегая в выражении B2.17) единицей по сравнению с
корнем, что при большой высоте падения Н и малой статической
деформации 6^,, можно допустить, выражение для коэффициента
динамичности приближенно можно записать в виде
Пользуясь этой формулой и учитывая выражения B2.22), получим
соотношения между коэффициентами динамичности для
рассматриваемых случаев:
(К)а • {К)б ■■ (К)е = /«A_"р) + ^ -Л-.Уа. B2.23)
Исходя из выражений
К)„ = (К)а (Осх)„ = {К)а -^ = {кХ -^ ;
И учитывая соотношение B2.23), получим
Предположим, например, что коэффициенты аир имеют
следующие числовые значения:
а = ^ = 0.5; р = -А- = 0,4.
631
1
Тогда по формуле B2.24) найдем следующее соотношение:
К)а : Юб: (сТд)« = 1,7:1: 1,41.
Таким образом, видим, что наибольшее напряжение возникает в
стержне с выточкой (рис. 582, а), а наименьшее—в стержне
постоянного максимального сечения (рис. 582, б). В стержне же
минимального сечения, постоянного по длине (рис. 582, в), напряжение имеет
некоторое промежуточное значение.
Результаты проведенного анализа имеют существенное
практическое значение. Прежде всего этот анализ показывает, что характер
сопротивления стержней удару качественно резко отличается отг
УУУУУУ сопротивления их статической нагрузке. При статиче-
''уг" ском сжатии утолщение одной части стержня не вызы-
^C вает изменения напряжений в сечениях другой части;
при ударе оно повышает их. Местное уменьшение
площади поперечного сечения на небольшой длине
стержня резко повышает напряжение.
Для снижения напряжений надо стремиться глав-
ньш образом к увеличению податливости стержня
. путем увеличения его длины, добавления буферной
*"■ * пружины, замены материала другим, с более низким-
модулем упругости, выравнивания площадей
поперечного сечения с целью получить все участки стержня одинаковой ми-
нималыюй площади сечения. Вот почему, конструируя стержни,
работающие на удар, надо добиваться постоянной площади сечения
по всей их длине. Местные утолщения допустимы лишь на
небольших участках длины; местные выточки небольшой протяженности
крайне нежелательны. Если при таких условиях сконструировать
достаточно прочный стержень не удается, необходимо удлинить его
или равномерно увеличить его площадь.
Условие прочности при ударе имеет вид
((Тд)„ш<С < [Од] = -^
Величину коэффициента запаса щ можно было бы выбрать
равной величине основного коэффициента запаса при статическом
действии нагрузки A,4—1,6), так как динамичность уже отражена в
расчетных формулах коэффициентом Ад. Однако ввиду некоторой
упрощенности изложенного метода расчета этот коэффициент
принимают несколько большим (п^ = 2).
Мы рассмотрели расчет динамических напряжений в случае
ударного сжатия. Однако все приведенные формулы будут также
справедливы и для ударного растяжения, в частности для случая,
показанного на рис. 583.
Пример 92. Груз р весом 5 кгс, прикрепленный к стальной проволоке
диаметром 3 мм (рис. 584), свободно ладает от точки А с ускорением д. Найти
напряжение в проволоке, когда ее верхний конец внезапно остановлен. Массой
проволоки пренебречь.
632
Напряжение в точке А после внезапной остановки проволоки получим
по формуле B2.20) при длине проволоки 1~ Н:
а. = 4-ь/-
2^НЕ
4-5
П Я . О.З»
= G0,8+ 17 200) кгс/см^{=
Так как кинетическая энергия
падающего тела увеличивается в то!! же пропорции,
что и объем проволоки, то напряжение не
зависит от высоты падения груза р.
Пример 98. Определить величину
динамических напряжений, возникающих в
стержнях подвески (рис. 585) при падении груза
Р = 25 кгс с высоты Я = 1 см. Площадь
поперечного сечения медных наклонных стерж-
не!! Л С и ВС Р^ = 0,2 см*, площадь
поперечного сечения стального стержня СВ /•с =
= 0,25 см*, длина стального стержня 1^ ==
= 2,4 м, длина наклонных стержней 1^ = 2 м.
Динамические напряжения в стальном
стержне определятся по формуле
Од = АдОст
, -|/ 4. 2. б-2,1
^ V п- 0,32
По'"
17 271 кгс/см^.
•Л
^
Рис. 584
Находим значения величин, входящих в эту формулу:
25
(О'
ст'с ■
_0_
Тс
0,25
кгс/см^ = 100 кгс/см";
(<^ст)м =
25
6„ = F„),+
ЧРи С05 30"
Fст)м
2 . 0,2 • 0,866
кгс/см^ = 72 кгс/см*;
С/с
С
—-/
2 "
+
соь 30" Е^Р^
12,5 . 200
1
Е^^Р^ со8« 30'
10'>-0,2 •'0;75") ™""
-(■
25 • 240
2 • 10» 0,25
28,7 . 10"-^ см;
1 +
/'+^=- + /
1 +
2- 1
28,7 • 10-
9,4.
Напряжения в стержнях
(ад1с = Ад (о„)с = 9.4 - 100 кгс/см" = 940 кгс/см«;
(ад)м = К (<'ет)м = 9.4 • 72 кгс/см2 = 677 кгс/см^.
■^
СИГ
Рис. 586
На практике встречаются такие случаи, когда на
основании полученных выше формул динамические
напряжения найти нельзя. К числу таких задач может быть
отнесена, например, задача об определении напряжений
в стальном канате, поднимающем груз 0_ со скоростью о
при внезапном торможении подъемника (рис. 586),
Обозначим свободную длину каната в момент
остановки через / и площадь поперечного сечения его через Р.
633
Пренебрегая массой троса и полагая на основе закона
сохранения энергии, что кинетическая энергия движущегося груза
полностью превращается в потенциальную энергию деформации троса,
получим следующее уравнение для определения наибольшего
удлинения 6 троса:
+ V (о — Ост)»
21
откуда, имея в виду, что
21
^^ЕР■
2§
б.
получим
Отсюда
ЕР
21
(б - 6„)^ =
28
б = 6е,+ }/-
ЕР§
Следовательно, при внезапной остановке растягивающие
напряжения возрастают в отношении
B2.25)
т. е.
к,= 1 +
У^ств
Пример 94. Определить напряжение в стальном канате, опускающем груз
весом С = 4,5 тс со скоростью V ~ 1 м/с в случае внезапно!"! остановки в момент,
когда груз опустится на 18 м. Сечение каната Я = 16 см*; модуль упругости
Е= 1,05 • т кгс/см*.
Вычислим статическую деформацию каната:
й —Ж^— 4500 • 1800
«~ ЕР ^
1,05 • 10^ ■ 16
Согласно формуле B2 25), коэффициент динамичности
V . . 100
см = 0,482 см.
1 +
бст8
1 +
V 0,482 - 981
■ 5,6
в динамические напряжения
о,
■ ^ст =
к ^ - 5 6 ^^"^
кгс/см* = 1575 кгс/см".
Получившиеся высокие напряжения при резком торможении могут привести
К обрыву подъемного каната, что необходимо учитывать.
Пример 95. Решить предыду1цую задачу при условии, что между тросом
и грузом помещена пружина, которая под действием груза 4500 кгс дает
статическое удлинение 12 см.
Статическая деформация упругого элемента (каната 6^^ и пружины 6"^
<5ст = <5ст + <5Й- = @.482 + 12) см = 12,482 см.
634
Подставляя значение 6^^ в формулу B2.25), найдем, что
*«=! +
Динамическое напряжение в канате
1 +
100
/12,482 • 981
1,92.
«^д = ^ст = *д-^ = 1.92
4500
16
кгс/см^ = 540 кгс/см^.
Как видим, включение пружины между канатом и грузом существенно
(почти в 3 раза) снизило динамические напряжения при резком торможении груза,
В данном случае пружина явилась тем амортизатором,
который часто применяют в технике для смягчения толчков, а
следовательно, и уменьшения возникающих при толчках
динамических напряжений.
Учет массы стержня, испытывающего удар. В
некоторых случаях масса стержня может оказать
существенное влияние на динамические напряжения,
возникающие в стержне, подверженном действию
ударных нагрузок.
Для учета влияния инерции массы ударяемого
стержня в процессе удара следует различать два
этапа. Первый начинается с момента
соприкосновения падающего груза, имеющего максимальную
скорость V, со стержнем и заканчивается, когда
произойдет смятие материала, за счет чего скорость
груза снизится до величины &1, а верхний конец
ударяемого тела приобретет за это время ту же скорость у^. Второй
этап начинается с момента совместного движения груза и конца
подвергаемого удару стержня.
Если в момент начала второго этапа удара верхний конец
ударяемого стержня будет иметь скорость у^, то, предположив, что
скорость последующих (нижележащих) сечений стержня уменьшается
ло линейному закону, достигая нулевого значения в нижнем
сечении стержня, найдем скорость движения произвольного сечения
стержня на расстоянии х от нижнего сечения (рис. 587) в этот момент:
V {Х) = &1 ■
/
Кинетическая энергия массы участка ёх, находящегося на
расстоянии X от нижнего конца.
'^'= а.
■(".^Г
Тогда полная кинетическая энергия всего стержня определится
выражением
635
Обозначив собственный вес стержня через ^^, кинетическую энергию
в начальный момент второго этапа можем выразить формулой
^о = -Т-^' B2.26)
Таким образом, если в момент начала первого этапа удара падаю-
щии груз обладал кинетической энергией -н^-. то потеря энергии до
начала второго этапа за счет местных пластических деформаций
или
^^=-|-[^'-^'(^ + -Г^)]- B2.27)
С другой стороны, эту же потерю кинетической энергии можьо
выразить, исходя из тою, что скорость груза в первый этап удара
изменяется на величину V — у^, вследствие чего кинетическая энер
гия падающего груза уменьшается на величину -~- (у — у^)^. Уда-
ряемый стержень за первый этап удара получит запас кинетической
Ос (О —а,J „
энергии -~ • -^—^-^^- Тогда суммарная потеря кинетической
энергии падающего груза, выраженная через величину потери энергии
груза и запасенной энергии стержня,
или
Приравняв правые части выражений B2.27) и B2.28), будем
иметь
Отсюда определим величину скорости груза в момент начала
второго этапа удара:
B2.29)
Энергия удара стержня, характеризуемая кинетической энергией,
запасенной системой в начальный момент второго этапа удара, оп-
636
ределится формулой
1 ОсЩ
2&
3 ^' Г,, ^_ Сс
Ч" 3 "о"
или окончательно:
B2.30)
Энергия Т при ударе согласно закону сохранения энергии и
будет трансформирована в потенциальную энергию деформации
упругого стержня. Поэтому полученное выражение B2.30) и должно быть
подставлено вместо Го в формулу B2.15) для определения
коэффициента динамичности, т. е.
Йд-
/'
1 + 1/ 1 +
У^
или
1 +
/'^Ч^
~^
3 ^
-)"'
Учитывая, что
Н и Н^ = Гц, а также обозначая -— =:
2й ~" " "-«-'0.
= р, формулу для определения коэффициента динамичности
представим в виде
У ^стA+4-Р)
B2.31)
а максимальное напряжение в стержне, испытывающем удар,
Од — КдОст — Ост
или
0'д= СТст
11 /11 ^^^^
Из последних формул видим, что если значение коэффициента р
(отношение веса ударяемого стержня к падающему грузу) не мало
637
по сравнению с единицей, то энергия удара Т меньше величины
Т'о = -^Н_, т. е. учет массы стержня снижает расчетное напряжение
при ударе.
Удар стержня о жесткую плиту. В некоторых случаях приходится
определять напряжения в ударяющем теле, в частности,
рассчитывая шток ковочного молота. При этом наиболее опасным для
прочности штока является момент окончания ковки, когда проковывае-
Г
Рис. 588
мое изделие почти не деформируется и вся
энергия удара поглощается штоком. Схематически этот
случай показан на рис. 588, где некоторый
призматический стержень длиной / поперечного сечения Р
и веса B падает с высоты В и ударяется о жесткую
плиту А. Поскольку плита не деформируется, то
весь запас кинетической энергии Го = BЯ,
накопленной падающим стержнем к моменту соударения,
целиком перейдет в потенциальную энергию
деформации падающего стержня.
Так как характер сил инерции массовый (они
действуют на каждую единицу объема), то при
ударе стержня о плиту в каждом его сечении
динамические напряжения по величине будут разными.
В верхнем сечении они равны нулю, а в
последующих (нижележащих) нарастают по линейному
закону, достигая максимума у нижнего сечения.
Динамическое напряжение в произвольном сечении х
стержня (рис. 589) через максимальное напряжение в нижнем
сечении может быть выражено так:
Величина потенциальной энергии деформации под действием сил
инерции в элементе стержня длиной Ах на расстоянии к может быть
выражена следующим образом:
ш
и?
Рис. 589
дЮ.
2Е
.Рйх =
/макс
2Е
Р-^ёх.
Тогда энергия деформации всего стержня
I
V
^Л
Р(.Ы,
2ЕР
макс ^^(Л^ =^ ^ Д^макс р1
ы'
6Е
B2.32)
Зная запас кинетической энергии Гц падающего стержня и
пренебрегая потерями энергии на местное смятие при ударе, трение
о среду, деформацию плиты и т. п., примем, что С/д = Го, откуда
на основании формулы B2.32)
1Г ~ I ^.
6Е
638
Максимальное напряжение при ударе
(<Тд)и
/:
Р1
B2.33)
Учитывая, что Го = 7^^-^^. получим
(ад)макс = УЩН. B2.34)
Так как высота падения груза Н может быть выражена через
скорость в момент удара по известной формуле Н = -к-, то
максиме
мальное напряжение при ударе может быть выражено также
формулой
(Од)ы
~^У^-
Преобразовав формулу B2.33) иначе, получим
(о \ = 1/Ж1 _ 1/'
(.Уд^макс у Р1 ~ V
3■2Е^Н
Р1
B2,35)
Из сопоставления формул B2.35) и B2.20), пренебрегая в по-
0
С'леднеи членом-^, найдем, что динамические напряжения в
ударяющем стержне будут такие, как будто он получил удар от другого
стержня с кинетической энергией, в три раза большей по сравнению
с энергией рассматриваемого стержня, падающего на жесткую плиту.
§ 142. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СКРУЧИВАЮЩЕМ УДАРЕ
В случае ударного кручения (рис. 590) можно из энергетического
баланса {II = Т) вывести формулу для определения максимального
напряжения, аналогичную той, которая была получена при
продольном ударе:
где, как и прежде
к
О
О.
'.=■+/
1 +
2Й
й
/
Здесь бет — перемещение точки
соударения в направлении удара под
действием статически приложенной силы С.
Пренебрегая деформацией кривошипа
и полагая, что вследствие малости
перемещения проекция на вертикаль перемещения точки соударения
равна длине дуги, бет можно вычислить по формуле
Рис. 590
Т. е.
...= '^^.^
« о.т
°^ ~ (Ир '
^т
с^р
К
B2.37)
639
где С — вес падающего груза;
/ — длина вала;
Я — радиус кривошипа.
Если к кривошипу внезапно приложен крутящий момент, т. е.
высота падения груза Я = О, то коэффициент динамичности [см.
формулу B2.13I йд = 2.
В машиностроении ударное кручение чаще всего вызывается не
падением тех или иных грузов, а силами инерции масс при больших
ускорениях последних. Это имеет место главным образом при
торможении быстровращающихся валов, несущих маховики.
Определять напряжения и деформации стержней, находящихся
под действием скручивающих ударных нагрузок, как и при
растяжении или сжатии, целесообразно из рассмотрения потенциальной
энергии деформации скручиваемого стержня.
Потенциальная энергия деформации стержня при
скручивающем ударе может быть представлена в виде
м11
^Д=-Г^Д'РД = -2Г5?
2Шр '
где УИд — динамический крутящий момент;
Фд — соответствующий угол закручивания вала длиной /.
Вообще говоря, Л^д обычно не известен. Известна кинетическая
энергия То соответствующей массы маховика, вызывающей ударное
кручение. Так, например, при резком торможении вала, несущего
маховик на некотором расстоянии от места торможения, участок вала
между тормозом и маховиком будет испытывать ударное кручение.
При этом, зная начальный запас энергии маховика и конечный
после его торможения' можно найти ту часть кинетической энергии То,
которая превращается в потенциальную энергию деформации и^
вала. Определяя возникающие в этом случае напряжения, их
выражают не через действующий при этом крутящий момент Л^д, а через
энергию деформации или равную ей кинетическую энергию.
Так как
. - ^д
^Р
где ]1^р — момент сопротивления для круглого вала:
^Р — 16 »
ТО
Д 16
Тогда потенциальная энергия деформации вала может быть
выражена через максимальное напряжение формулой
*^Д ~ 16* . 20/р ~ 40 '
640
где / — длина скручиваемого участка вала;
Р — площадь поперечного сечения его.
Пренебрегая различными потерями энергии, можно принять, что
Гогда напряжение при ударном кручении может быть определено
по формуле
^макс
^2/:
1Р
■де кинетическая энергия маховика
/ =
B2.38)
3 — полярный момент инерции массы д
маховика; ^
^ — вес маховика. '"
/
Пример 96. Диск диаметром /3 = 20 см и весом р^^^^ 591
Э = 50 кгс, насаженный на вал АВ длиной / = 1 м
1 диаметром й= &сы (рис. 591), вращается с посто-
1ИН0Й угловой скоростью, соответствующей п = 120 об/мин. Определить величи-
1у наибольших касательных напряжений в вале в тот момент, когда конец А вие-
)апио останавливается (крутящий удар). Массой вала пренебречь. Модуль сдвига
7=8- 10* кгс/см='.
Для определения максимального напряжения при ударном кручении вос-
тользуемся формулой B2.38):
_21/^:^
1Р
•де
2 4;?
50 - 202 . 3,142 1202
16 • 981 • 900
кгс • см = 201 кгс-см;
/^=4^=А111^см^ = 28.26см^.
4 4
Подставляя полученные значения в формулу для Тмакс найдем, что
о Л/"^ о 1/'201 •8-108 , ^ ,па 2
^„акс = 2 К -1^ = 2 [/ 100 • 28,26 ««■'=/'^"' = 476 кгс-см^
Пример 97. Работающая на сжатие винтовая пружина изготовлена из
стальной проволоки квадратного сечения 6=6 мм. Средний диаметр витка пружины
О = 12 см, число витков п = 18. Определить величину статической нагрузки,
которая сожмет пружину на Л = 2,5 см. Предполагая, что тот же груз падает
на ненагружеиную пружину с высоты Я = 10 см, определить осадку пружины
и наибольшее касательное напряжение при ударе. 0=8- 10^ кгс/см^.
Вес груза определим из выражения статической осадки пружины:
И.мея в виду, что
'/221 8—2770 641
осадку можно представить формулой
Л =
ОрЛйЗ
откуда определится вес груза С:
_ КарШ _ 2,5-8- 10»-0.141 • 0,6* _
^ ~ я/?% ~ 2 • 3,14 • 63 . 18 •''■'^"~ ''^ '^'''^•
Согласно табл. 14 (с. 217), при —-=1(/1==6) коеффициеит Р = 0,141.
Ь
Определим величину осадки пружины при динамическом приложеннн груза
С = 1,5 кгс в случае падения его с высоты Я = 10 см:
'^д = Мст. B2.39)
где
б„ = Л = 2.5 см; к^=1 + 1/"*+-^= 1 + ^/^^ +-2"^ ='*•
Подставляя значение кц и б^^ = X в формулу B2.39), найдем величину К^^:
?1д = АдХ ==4-2,5 см = 10 см.
Определим максимальную величину динамических напряжений кручения
в витке пружины:
где
т = т = 2Л . 1В' — «АЗ
^ст — ^макс ]^^ ' "^ к —"" •
Для квадратного сечения, согласно табл. 14, коэффициента = 0,208. Тогда
ОЯ 1,5-6
оЬз 0,208 - 0,6=*
кгс/см2 = 200 ктс1см\
а максимальное динамическое напряжение
Хд = У^дТр^ = 4 . 200 кгс/см^ = 800 кгс/см«.
§ 143. РАСЧЕТ НА УДАР ПРИ ИЗГИБЕ
Рассматривая теорию удара, вызывающего изгиб, будем
полагать, что, как и ранее, в процессе удара во всех его фазах движение
конструкции происходит без потерь энергии на нагрев за счет
трения о среду, на местные пластические деформации и т. п. Поэтому,
определяя деформации и напряжения при изгибающем ударе,
придем к формулам, аналогичным выражениям для ударного
растяжения или сжатия. Применительно к случаю динамического изгиба
указанные формулы соответственно примут вид
/д = ^ст; B2.40)
B2.41)
1^д=
<^д =
= 1 +
= "дО'ст!
У: +
2Я
Я •
/ст
B2.42)
М2
где /^ст — статический прогиб в месте удара, зависящий от схемы
нагружения и условий опирания.
Так, например, для балки с длиной пролета /, шарнирно
закрепленной по концам и испытывающей посредине пролета удар от
падающего с высоты Н груза ^ (рис. 592),
(./ст/макс 48Й./
(Ост)макс —
_0/_
т
Для консоли, испытывающей удар от груза р, падающего на ее
свободный конец.
(/ст)
(а \ - -5^
^"стУмакс — щ; -
Подставляя значения /„ в
формулу для коэффициента
динамичности B2.42), находим к^^, а затем
по формулам B2.41) и B2.40)
находим динамические напряжения и
деформации. Так, для балки на
двух опорах динамические
напряжения определятся по формуле
10д)накс = Кд (О'ст)макс =
-^1'+]^^ + ^^)-
Рис. 592
Обозначая ^Н = То (энергия
-ударяющего тела к моменту начала удара), последнюю формулу
можно представить в виде
(а„)«акс = ^(ц-|/'ц-
д»/з
-).
B2.43)
а условие прочности в этом случае запишется так:
, где Пд — запас прочности с учетом динамической нагрузки.
Сопротивление балки ударным нагрузкам зависит как от момента
сопротивления, так и от ее изгибной жесткости. Чем больше
податливость (деформируемость) балки, тем большую кинетическую
энергию удара она может принять при тех же допускаемых напряжениях.
Наибольший прогиб балки получится тогда, когда во всех ее
сечениях наибольшие напряжения будут одинаковыми, т. е. если это
будет балка равного сопротивления изгибу. Поэтому рессоры и де
лают в форме балок равного сопротивления.
Вычисляя напряжения при ударе, мы считали, что вся энергия
удара переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого
тела. В действительности же некоторая ее часть расходуется на
местные деформации, происходящие в зоне удара. При более или
■Лгг
643
менее значительной массе ударяемого тела эта поправка может
оказаться существенной.
В расчетах напряжений при ударе [формула B2.41I не
учитывалась также масса ударяемого тела, которая после прихода в
соприкосновение с ударяющим телом приобретает определенные
ускорения и тем самым влияет на возникающие в балке динамические
напряжения. В некоторых случаях учет массы упругой системы,
испытывающей удар, может оказаться также весьма существенным.
В качестве примера рассмотрим случай удара при изгибе
(рис. 592). Пусть в момент удара груз ^ имеет скорость V, а балка
неподвижна. В течение очень короткого промежутка времени все
элементы балки приобретают некоторую скорость, а скорость груза
тем временем несколько уменьшается.
Можно считать, что в этот период удара ось балки остается
практически прямой, а уменьшение скорости груза происходит за счет
местных деформаций как балки, так и самого груза. Этот период
окончится тогда, когда скорость груза и приобретенная скорость
балки сравняются и будут иметь одну и ту же величину у^. После
этого начнется изгиб балки под действием груза ^, движущегося со
скоростью VI вместе с получившим удар сечением балки, как бы
прикрепленным к грузу
В этот второй период удара, когда имеет место деформация уже
всей балки, кинетическая энергия груза и движущейся балки
переходит в потенциальную энергию изгиба. Для вычисления этой
энергии необходимо знать скорость груза ^1 и скорость остальных
сечений балки по ее длине.
Кинетическая энергия груза и балки до удара равна кинетиче-
скои энергии падающего груза -|—. В конце первого периода удара
кинетическая энергия груза будет -^-~, Полагая, что при ударе балка
гнется по той же кривой, что и при действии статической
сосредоточенной нагрузки, приложенной посредине пролета ее, кинетическую
энергию балки в конце первого периода удара можно определить
следующим образом.
Уравнение изогнутой оси шарнирно опертой балки, статически
нагруженной посредине пролета, легко представить в виде
где / = .^д, стрела прогиба балки.
Если под действием удара среднее сечение балки переместится на
величину Шмакс ОТ положения статического равновесия, то сечение
на расстоянии х от левого конца (рис. 592) переместится на
м,==_!^C/2х-4х8).
644
Скорость движения этого сечения при ударе
Тогда кинетическая энергия элемента балки длиной Aх определится
так:
ЛП = -^ = ^ [-^ -^ (ЗРх - 4х^)]'.
а кинетическая энергия всей балки
17 уП I Л^шжс ^^
35 2^^
I A1 }
B2.44)
В конце первого периода удара, когда скорость сечиния балки
в месте удара
= V,
кинетическая энергия балки определится формулой
т 17 уР1 2
- -^— VI.
в 35 2^^
Таким образом, потерянная при ударе кинетическая энергия Т1
может быть вычислена по формуле
ео2
28
^^'1 , 17 уР! 2
28
35 2§
Л.
28
К4'+-й-^)'
B2.45)
С другой стороны, эту же энергию можно вычислить иначе.
Действительно, кинетическая энергия, потерянная грузом за счет
изменения скорости на величину у^ — V, будет
1(-
ю,г
в то же время кинетическая энергия балки, приобретеннэя за счет
изменения скорости на величину (^1 — 0), равна
Поэтому суммарная кинетическая энергия груза и балки,
соответствующая потерянной скорости груза и приобретенной скорости
балки, может быть вычислена по формуле
л.
28
у^ _ 2VV, + V\{\+-^ -^\^. B2.46)
21+72 8--2
645
Поскольку правые части формул B2.45) и B2.46) выражают
одну и ту же энергию, то их можно приравнять, т. е.
Отсюда определим скорость груза V^ вместе с балкой в конце первого
этапа удара:
B2.47)
VI =
V
1+ ''
^ 35
уР1 ■
Имея скорость VI, можно вычислить кинетическую энергию
системы (груза с балкой), которая должна полностью перейти в
упругую энергию деформации балки;
Подставляя в эту формулу ^х согласно формуле B2.47), получим
т _ _5^!_ 1 П ^22.48)
23
1 +
17 уР1
35 О
1-1-
17 V^'
35
поскольку
Го = рЯ
Ои^
2«Г
B2.49)
Тогда формула (Я2.43) для определения максимального
динамического напряжения в балке при ударе с учетом массы балки
должна быть записана в виде
(Од)^
_0/_
Ш
■К/ч-^).
Подставляя вместо Т его значение согласно формуле B2.48),
получим
(Од)макс — 4Г I "'"
/"
+
96Т„Е^
ч
17 уР1 \
35 ^ }
Т. е. в этом случае коэффициент динамичности
B2.50)
Рассматривая выражения B2.48) и B2.50), видим, что если
отношение —- не мало по сравнению с единицей, то энергия удара Т за-
метко меньше величины Т^ = -|—, т. е. учет массы балки снижает
646
расчетные напряжения в балке при ударе, а неучет массы,
по-видимому, идет в запас прочности. Вообще же анализ последней формулы
показывает, что одна и та же кинетическая энергия, запасенная
ударяющей массой, будет вызьюать разные динамические напряжения
в зависимости от массы ударяемой балки, при этом, чем больше
масса последней, тем напряжения будут меньше.
Пример 98. Определить напряжения и осадку рессоры автомобиля, если его
колеса с небольшой скоростью попадают в канаву глубиной Н = 200 мм.
Нагрузка на рессору Р = 700 кгс. Рессора представляет собой балку равного
сопротивления. Состоит рессора из 11 листов, длина ее / = 1020 мм. Ширина листа
Ь = 65 мм, высота /1=6 мм. Модуль упругости материала рессоры Е = 2,1 X
X 106 кгс/см2.
Определим статическую деформацию рессоры:
^ ^РР ^Р1Ч2 _ ^РР
/ст - 48Е/ ~ тЕпЬ№ " 4ЕпЬ№ '
где Р — некоторый коэффициент ф = 1,25 -ь 1,40), учитывающий степень
приближения практически выполненной рессоры к балке равного
сопротивления.
Подставляя в последнюю формулу известные величины и принимая Р= ЬЗб,
находим. Что
_ рЯг^ 1,35-700- 102'^ см _
'" ^ЕпЬН^ ~ 4 • 2,1 ■ 10" • 11 • 6,5 . 0,6^ '^- '' ™"
Статическое напряженна
макс Р1-& ЗР1 3 • 700 -102
"сг ~ ^^ ~ 4пЬA^ ~ 2пЬН^ " 2- П .6,5.0,6^ '^^'^' ""
= 4170 кгс/см^.
Определяем коэффициент динамичности:
Осадка рессоры при попадании колеса автомобиля в канаву
/„ = йдРст = 3-5 • 7,7 см = 27 см.
Определяем динамическое напряжение:
Од = к^^^ = 3,5 • 4170 кгс/см2 = 14 600 кгс/см^.
Пример 99. Определить динамические нормальные напряжения в стальном
стержне при его падении с высоты Н = 10 см таким образом, что, оставаясь
горизонтальным, он ударяется концами о жесткие опоры. Длина стержня / =
= 100 см, диаметр й= 1 см, удельный вес материала ■у = 7,8 • 10"^ кгс/см^.
В данном случае динамические напряжения не могут быть определены через
коэффициент динамичности йд по приведенной выше методике. Поэтому, решая
задачу, будем исходить из того, что вся кинетическая энергия Т, запасенная
падающим стержнем до достижения им опор, полностью перейдет в энергию
деформации II стержня при его ударе (поуерями энергии на смятие в местах
контакта стержня с опорами и на трение о среду пренебрегаем), т. е.
G = Г.
Полагаем, что в момент удара стержень будет нагружен силами инерции ?;
массы стержня, равномерно распределенной по его длине. Эти силы не известны,
поскольку не известны ускорения, какие будут иметь место при ударе стержня.
21+ '/2* М'
Поэтому для определения потенциальной энергии деформации воспользуемся
формулами потенциальной энергии в стержне, нагруженном равномерно
распределенной нагрузкой:
2
М^ (х) Ох
Ч
2ЕЗ
где
М(x) = -^^-x^^^''"^
2 2
Определим кинетическую энергию стержня:
Т=Н^ = НР^у = 10 — 100 • 7,8 • 10"^ кгс • см = 6,12 кгс • ом.
Тогда потенциальная энергия деформации
"'1^^-=4т1^{-~^^^^)
240Е^ •
о
или
и — ^^ _ ^^ = 425д:.
240ЯУ 240 . 2 • Ю" • я ■ 1* '
Определяем интенсивность инерционной равномерно распределенной на^
грузки д, из условия
или 6,12=4259?:
<?.= /■
' кгс/см = 0,12 кгс/см.
425
Тогда максимальный изгибающий момент
^А 9'' 0,12-1002
'"макс ~ "^~ = — о '^'"'^ • см = 150 КГС • см.
Определяем максимальное динамическое напряжение в падающем стержне:
. Ломаке 150-32 , „ ,_„- , ,
1°д)макс = —^— = я- 13 кгс/см^ = 1530 КГС/СМ''
§ 144. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ПРИ УДАРЕ
Для проверки способности материала сопротивляться ударным
нагрузкам применяют особый вид испытаний ударным изгибом —
определение ударной вязкости надрезанных образцов. Эти
испытания проводят на маятниковых копрах (рис. 593). На рис. 594
показаны применяемый при испытании образец и направление удара
бойка маятника. Разность высот положения маятника до и после
удара позволяет вычислить работу А, израсходованную на
разрушение образца.
Ударной вязкостью материала а^ называется величина работы
разрушения образца, отнесенная к площади его поперечного сечения
648
е месте надреза:
B2.Б1)
Хотя данные об ударной вязкости не могут быть использованы
при расчете на прочность, но они позволяют оценить особое качество
Рис. 593
41; I
А-А
55
тНт
^0
г*
металла — его склонность к хрупкости при динамических
нагрузках в условиях сложного напряженного состояния в области
надреза и решить вопрос о применимости того или иного материала для
данных условий работы. Именно в таких
условиях работают многие детали машин, имеющие
отверстия, канавки для шпонок, разные
входящие углы и т. п.
Низкая ударная вязкость служит
основанием для браковки материала. Стали,
применяемые для изготовления деталей,
работающих при динамических нагрузках, должны
иметь ударную вязкость не менее 8—10 кгс х
X м/см^.
Ударная вязкость одной и той же стали зависит от ее структуры,
причем зависимость эту при статических испытаниях обнаружить
невозможно. В табл. 25 приведены результаты определения ударной
вязкости для мелкозернистой и крупнозернистой сталей марки Ст2
@,15% углерода). Эти стали, имеющие почти одинаковые пластические
свойства при статических испытаниях, сильно отличаются по
ударной вязкости.
Рис. 594
649
Таблица 25
Материал
"в
кгс/мм^
37,5
34,5
С
Ф
%
35,3
36,9
72,2
66,7
Ударная
вязкость
"к
кгс-м/см"^
13,1
2,6
При низких температурах большинство черных металлов
становятся хрупкими, ударная вязкость их также снижается. Для
таких металлов ударными испытаниями с постепенным понижением
температуры удалось установить так называемую критическую
температуру хрупкости — температуру, при которой происходит резкое
тм/см
200 400
Рис. 595
600 то ГС
уменьшение ударной вязкости металла. Критическая
температура хрупкости различных металлов различна. Ниже этой
температуры металл становится непригодным для работы при
динамических воздействиях.
Ударная хрупкость может появляться и при повышенных
температурах. Например, ударная вязкость углеродистых сталей
значительно снижается в интервале температур 200—550°С (рис. 595).
Глава 23
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
§ 145. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Деформации и напряжения, возникающие при взаимном нажатии
двух соприкасающихся тел, называют контактными. Вследствие
деформации в местах соприкосновения элементов конструкции пере-
650
^
&
т
т
дача давлений происходит по весьма малым площадкам. Материал
вблизи такой площадки, не имея возможности свободно
деформироваться, испытывает объемное напряженное состояние (рис. 596).
Как показывают расчеты, контактные напряжения имеют явно
местный характер и весьма быстро убывают по мере удаления от места
соприкосновения. Несмотря на это, исследовать контактные
напряжения и деформации необходимо для решения вопросов прочности
многих ответственных
деталей. К таким деталям
относятся, например, шариковые и
роликовые подшипники,
зубчатые колеса, элементы
кулачковых механизмов, колеса
подвижного состава, рельсы,
шаровые и цилиндрические
катки и т. д.
Впервые правильное
решение основных случаев сжатия
упругих тел дано методами
теории упругости в работах
немецкого физика Г. Герца,
относящихся к 1881—1882 гг. Дальнейшее развитие контактной
проблемы принадлежит главным образом советским ученым.
Ниже приведены некоторые результаты, полученные методами
теории упругости при следующих предположениях:
1) нагрузки создают в зоне контакта только упругие деформации,
следующие закону Гука;
2) площадки контакта малы по сравнению с поверхностями
соприкасающихся тел;
3) силы давления, распределенные по поверхностям контакта,
нормальны к этим поверхностям.
Рис. 596
§ 146. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Сжатие шаров. В случае взаимного сжатия силами Р двух шаров
с радиусами ^^ и /?2 (рис. 597) образуется круглая площадка
контакта, радиус которой определяют по формуле
а =
.Л
= 0,88-|/ Р
1
1
^?1
1 '
1
' 1^.
B3.1)
где Ех и Е2, — модули упругости материалов шаров.
Нормальные (сжимающие) напряжения на площадке контакта
распределены по полусфере. Наибольшее из них имеет место в центре
651
площадки контакта:
I О'макс I "^ 11<5 '
Г
0,388 ]/
4Р
B3.2)
«?«1
два других главных напряжения в центре площадки
01 = от, ж — 0,8 1 ОГмакс I-
Таким образом, в наиболее напряженной точке площадки
контакта материал испытывает напряженное состояние, близкое к
равномерному сжатию. Благодаря этому в
зоне контакта материал может
выдержать без появления остаточных
деформаций весьма большие давления (см. § 48).
I Вычислим, например, напряжение (т„акс
к?1 в центре площадки контакта, при
котором впервые появляются остаточные
деформации. Воспользуемся для этого
четвертой теорией прочности:
Подставив значения главных
напряжений, найдем, что
0,2Очакс = ОГт» или ОГмакс = 5ог^-
Для закаленной хромистой стали,
употребляемой для щариковых
подшипников, вместо предела текучести примем
величину предела пропорциональности Опц «== Ю 000 кгс/см^.
Следовательно, ОГмакс =« 50 000 кгс/см^.
Наиболее опасная точка расположена на оси г на глубине,
примерно равной половине радиуса площадки контакта. Главные
напряжения в этой точке
ОГ, = о, = — 0,180макс".
B3.3)
'1 —
ОГ, = — 0,8с7м
где ОГмакс — наибольшее напряжение в центре площадки
контакта, определяемое по формуле B3.2).
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
— ^'1^
'^^ - 0,31а„
B3.4)
Изменяя в формуле B3.2) знак при К^, на обратный, получим
значение Омакс в случае давления шара на вогнутую сферическую
632
еП
(К^-К^
поверхность (рис. 598):
3 /-—
0,388]/ 4^
При взаимном давлении шара и плоскости (рис. 599), приняв
/?2 = оо, находим
(Ёг + ЕЖ Ц\Щ
B3.5)
3 ^-
■2вг
вт
СТмакс = 0,388 |/ 4Р.^^-1^^
B3.6)
Сжатие цилиндров. При
взаимном нажатии двух цилиндров с
параллельными образующими равно-
Рис. 598
птптг
Рис. 600
мерно распределенной нагрузкой интенсивности д кгс/см (рис. 600)
площадка контакта имеет вид узкого прямоугольника, ширина
которого определяется по формуле
6 = 2,151/
Ег
/?1 "^ /?2
B3.7)
Наибольшее напряжение сжатия, действующее в точках оси
площадки контакта,
1,27-|-= 0.418 [/29-^
Е1Е2 /?1 -{- ^2
ЬЕ^
^1^2
B3.8)
Анализ напряженного состояния показывает, что опасная точка
расположена на оси г на глубине, равной 0,4 ширины площадки
кои гакта. Главные напряжения в этой точке имеют следующие
значения:
а^ = —0,180амакс;
а, = -0,288о„акс; B3.9)
Од = — 0,780амакс-
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
""^макс = 0,ОСТмакс' B3.10)
Изменяя в формуле B3.8) знак при /?2 на обратный, получим
напряжения в случае давления цилиндра на деталь с вогнутой цилинд-
633
рической поверхностью. Такие напряжения
действуют между цилиндрическим шарниром и
балансирами (рис. 601).
При взаимном давлении цилиндра и
плоскости, приняв в формуле B3.8) /?2 = оо, находим,
что
0,418/^
Е\Еа
Ег + Е^
B3.11)
Приведенные выше формулы получены при
\1 = 0,3. Однако для практических расчетов они
пригодны и при других значениях
коэффициента Пуассона.
Общий случай контакта двух тел. Приведем
формулы для обш,его случая контакта двух тел
из одинакового материала.
Предполагается, что оба тела в точке
касания имеют общую касательную плоскость АВ и
общую нормаль г, вдоль которой направлены
силы Р (рис. 602). Обозначим радиусы кривизны
в точке касания первого тела р^ и р|, второго
тела — рг и р2, причем р1 <Г р|, Ро <Г Р2-
Напомним, что главными кривизнами называют
наибольшую и наименьшую кривизны,
расположенные в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях, проходящих через центр кривизны.
Радиусы кривизны считаются положительными, если центры
кривизны лежат внутри тела. Обозначим через ср угол между
главными плоскостями кривизны тел, в которых лежат меньшие
радиусы Р1 и р2.
в общем случае площадка контакта представляет собой эллипс
с полуосями
а
/"
^ /
У
ЗР A — Ц^)
+ ■
+ ■
Р1
Р2
*=у
ЗРA—ц^')
B3.12)
B3.13)
Р, Р2 р^
где \1 — коэффициент Пуассона.
Значения коэффициентов аир приведены в табл. 26 как функции
вспомогательного угла ^, вычисляемого по формуле
±
С08^=:
654
/(^-
1\2
Р1
п-
1
1 \2
-—1+2
Р2
Р1
-Г) -т; г^со'^Зф
Р2
Р1
1
Р1
1
Рг Р2
B3.14)
При этом знак числителя в формуле B3.14) выбирают так, чтобы
С05 Ч'' был положительным.
Наибольшее напряжение сжатия в центре площадки контакта
= 1.5
тшЬ
B3.15)
Наиболее опасная точка расположена на беи г на некоторой
глубине, зависяш,ей от отношения (— 1 полуосей эллиптической пло-
Таблица 26
\^о
20
30
35
40
45
50
55
а
3,778
2,731
2,397
2,136
1,926
1,754
1,611
Р
0,408
0,493
0,530
0,567
0,604
0,641
0,678
<ро
60
65
70
75
80
85
90
а
1,486
1,378
1,284
1,202
1,128
1,061
1,000
Р
0,717
0.759
0,802
0,846
0,893
0.944
1,000
щадки контакта. Однако наибольшее касательное напряжение в
опасной точке почти не зависит от указанного отношения размеров
площадки, и можно принять, что
|Тм
'0,32а„
B3.16)
Из приведенных формул видно, что контактные напряжения
зависят от упругих свойств материалов и не являются линейной
функцией нагрузки, с ростом сил нарастая все медленнее. Это
объясняется тем, что с увеличением нагрузки увеличиваются и размеры
площадки контакта.
§ 147. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ
ПРИ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
Учитьшая «мягкость» напряженного состояния в опасных
точках (все три главных напряжения сжимающие), проверку прочности
при контактных напряжениях следует производить по третьей или
че вертой теориям прочности [формулы G.10), G.19)]:
(ТэшШ = 01 —0^3< М'.
0Гэкв1У =1/4" '(""^ ~ ""а)" + @^2 — (Тз)' + @^3 — 0^1)'] < [о].
Внося в эти формулы значения главных напряжений в опасной
точке, выраженные через наибольшее напряжение Омакс в центре
площадки контакта, условия прочности можно записать в следующем
виде:
Оэкв =/"Омакс < М. B3.17)
655
откуда
Омакс < 4" '•'^ "" [о]конт- B3.18)
Здесь [о]ковт = —— допускаемое значение для наибольшего
напряжения в месте контакта.
Значения коэффициента т в зависимости от отношений полуосей
эллиптической площадки контакта и выбранной теории прочности
приведены в табл. 27.
Можно рекомендовать
следующий порядок расчета на прочность
элементов конструкции в местах
контакта.
1. Определить главные
радиусы кривизны контактирующих тел
(Р1. р'ь Р2. Рг) и угол ф между
главными плоскостями кривизны одного
и другого тела.
2. Вычислить по формулам
B3.12) и B3.13) с учетом формулы
B3.14) размеры полуосей
эллиптической площадки контакта.
3. Определить по формуле B3.15) наибольшее напряжение
сжатия (Тмакс в центре площадки контакта. В случае круглой и
прямоугольной площадок контакта о„а|<с находят непосредственно из
формул B3.2) или B3.8), не определяя размеров площадки.
ь
1 (круг)
0,75
0,50
Р,25
0 (полоса)
С:;
•^
ь
Таблица
о
&
с
II
Е
0,620
0,625
0,649
0,646
0,600
>
ь:
о
27
и
;г
с
II
Е
0,620
0,617
0,611
0,587
0,557
Таблица 28 '
1
1 Марка металла
Сталь:
Чугун:
30
40
50
50Г
15Х
20Х
15ХФ
ШХ15
СЧ 21-40
СЧ 24-44
СЧ 28-48
С 4 32-52
СЧ 35-56
СЧ 38-60
Бременноб
сопротивление
Оц КГС/ММ2
48—60
57—70
63—80
65—85
62—75
70—85
160—180
96
100
110
120
130
140
Гвердость по
Брннеллю ив
180
, 200
230
240
240
240
240
180—207
187—217
170—241
170—241
197—255
197—255
Допускаемое наибольшее
давление на площадке
контакта [о]^^^^^у кгс/см=
8 500—10 500
10 000—13 500
10 500—14 000
11000—14 500
10 500—16000
12 000—14 500
13 500—16 000
38 000
8 000—9 000
9 000—10 000
10 000—11 000
11000—12 000
12 000—13 000
13 000—14 000
1 Справочник машиноироителя, т. 3. М., Машгиз, 1955, с. 482.
656
4. Расчет на прочность производят по формуле B3.18). Значение
коэффициента т берут из табл. 27. При этом рекомендуется исходить
из четвертой теории прочности.
Допускаемые наибольшие напряжения в месте контакта [о]конт
для роликовых и шариковых подшипников из хромистой стали
принимают до 35 000—50 000 кгс/см^, для рельсовой стали — до 8000—
10 000 кгс/см^. В табл. 28 приведены значения допускаемых
наибольших давлений на плош,адке контакта при первоначальном контакте
по линии (т = 0,557) и статическом действии нагрузки. В случае
первоначального контакта в точке
значения [о]конт следует увеличить в 1,3—
1,4 раза.
Пример 100 Упорный шариковый подшипник
с плоскими кольцами без желобов (рис. 603)
статически сжат силами О = 640 кгс.
Определить размеры площадки контакта между
шариком и кольцом и величину наибольшего
напряжения иа этой площадке, проверить прочиость.
Диаметр шарика ^ = 15 Ь'м, число шариков I = 20,
коэффициент неравномерности распределения нагрузки между отдельными
шариками подшипника — 0,8. Материал шариков и колец — хромистая сталь,
допускаемое значение наибольшего напряжения в месте контакта [{т]конт~ ^^ ^^^ кгс/см^,
модуль упругости Е= 2,12 • 10^ кгс/см^.
Учитывая неравномерность распределения нагрузки между отдельными
шариками, найдем наибольшее усилие, сжимающее шарик, по формуле
Р =
С1
640
0,81 0,8 • 20
кгс = 40 кгс.
В местах соприкосновения колец и шариков (рис. 599, точки к) образуется
круглая площадка, радиус которой, согласно формуле B3.1),
а = 0,88
2РИ
= 0,88
^ / 40. 1,5
У
2.12 ■ 10"
см = 0,0268 см.
При этом /?^ = -^ -.= 0,75 см; К^ = <=о;
Величина наибольшего напряжения на
Э10Й площадке на основании формулы B3.2)
Р
«'макс— ^'^ Па^
<}:^ЩШ$^
1,5- 40
3,14 • 0,02688
С].Ч\\\\Ч-^
кгс/см" = 26 570 кгс/см*
< 1«у1кпнт.
Следовательно, сг^^^кс
Рис. 604 Пример 101. Цилиндрическое ходовое
колесо крана передает на рельс дав.чеине Р =
= 7000 кгс (рис. 604). Диаметр наружного
обода колеса О = 700 мм. Радиус поперечного сечения головки рельса г -=
= 300 мм. Определить размеры площадки контакта и наибольшее напряжение
на этой площадке. Модуль Е = 2 • Ю*" кгс/см*, коэффициенг Пуассона и, =
= 0,3.
657
в соответствии с указанным выше порядком расчета выпишем главные
радиусы кривизны:
для колеса р1 = 350 мм, р] = оо;
для рельса р2 = 300 мм, Р2 = со.
Угол между главными плоскостями, содержащими р^ и р^, как легко увидеть
я _
из чертежа, ф>= -^. Тогда из формулы B3.14) находим:
11 11
СОЗЧ':
Р1
35
30
-1- + -1
Рх Рг
• = 0.077.
35
30
Следовательно, вспомогательный угол Ч' = 85,5°.
Из табл. 26, произведя линейную интерполяцию, находим значения
коэффициентов а, Р:
а =1,055; Р = 0,950.
По формулам B3.12) и B3.13) определяем размеры полуосей эллиптической
площадки контакта:
3 • 0,91 • 7000
Ю"
V 35 30 /
см = 0,566 сщ
см = 0,510 см.
3 • 0,91 • 7000
Наибольшее напряжение на площадке контакта
Р
Смаке ='-5-
1,5 • 7000 КГС/СМ2
паЬ
11 600 кгс/см2.
" 3,14 . 0,566 • 0,51
Прижр 102. Предполагая статическое действие
нагрузки для радиального однорядного шарикового
подшипника (рис. 605), определить размеры
эллиптической площадки контакта наиболее
нагруженного шарика с дорожками качения внутреннего и
наружного колец и наибольшее .напряжение на
площадке контакта. Размеры подшипника: внутренний
диаметр «^ = 130 мм, наружный диаметр С = 280 мм,
ширина В = 58 мм, диаметр шарика йш = 44,5 мм.
Радиус наименьшей окружрости дорожки качения
Рие. 605 внутреннего кольца /?в = 80 мм. Радиус
наибольшей окружности дорожки качения наружного
кольца Кц = 125 мм. Радиус поперечного профиля дорожки качения г — 23,4 см.
Наибольшее расчетное давление на шарик Р == 4000 кгс Материал шариков и
колец— хромистая сталь. Модуль упругости Е= 2,12 • 10^ кгс/см*, коэффициент
Пуассона ц = 0,3. Допускаемое значение для наибольшего напряжения в (Лесте
контакта [сг],^^^^ == 50 000 кгс/см^.
Главные радиусы кривизны поверхностей тел в точках С1 и Сг их
первоначального касания равны:
658
для шарика
р1 = — йш = 22,25 мм; р/ = — йц, =3 22,25 мм}
для внутренней дорожкн качения
Рг = — А = — 23,4 мм; р^ = ^?в = 80 мм;
для наружной дорожки качения
.02 = — »■ = — 23,4 мм; р2 = — ^?н = — 125 мм;
Вначале рассмотрим соприкосновение шарика с внутренней дорожкой
качения. Формула B3.14) при р, = р,' принимает вид
1 _1_
Р2 р^
соз «г = ± 5 ^ —. B3.19)
+ -7-+ —+ -Т-
Р1 р, Р2 Р2
Подставим значения кривизны. Тогда
со='Г - г -0.0427-0.0125
созч'_± 0,0895-0.0427+0,0125 " "'^•^^•
Следовательно, 4'= 21° 25'.
Пользуясь табл. 26 н производя линейную интерполяцию, находим, что
а = 3,629; Р = 0.420.
Согласно выражениям B3.12) и B3.13) определяем размеры площадки
касания:
а=аЗ / ЗРA-(г^)
-I/ ,(±.^±.^±.^±.\
о поп I / 3-0,91 • 4000 . _,„
= 3-629У 0,593-2,12.10^ '"^ = °'^^ '^^^
Ь=Р 3 / —г-| ^^^-^^ ^^^^^ ГТ"" 0,420 • 0,206 см = 0,087 см.
Максимальное напряжение на площадке контакта
1 с Р 1 .5 - 4000 , , ОП .7ГЧП ,2
с^макс = >.51^ = 3.14-0,740-0,087 •^'■^/™' = ^^ ™ "^^/^ •
Совершенно аналогично в месте контакта шарика с внешней дорожкой качения
имеем
ГП.Т Т -0.0427 + 0,0080
^''^ ^ - =Ь 0,0895-0,0427-0,0080 " °■*^^•
Отсюда »?•= 26° 30'.
Из табл. 26 находим, что
а = 3,097; р = 0,463.
659
Тогда
«= ^'^^^'/2.12^^оV.оЖ' ^" = °-''' '^«'
Наибольшее напряжение нл площадке контакта
1 5Р 1 5 • 4000
"макс = -^ = ХН . 0,732 ■ 0.109- '''""^"^' = 2* °°° '''""'™'-
Как видим, наиболее опасной является точка С^.
Для шариковых подшипников из закаленной хромистой стали допускаемое
значение наибольшего напряжения на площадке контакта [о]^^^^^ =50 000 кгс/см*.
Следовательно, прочность обеспечена.
Глава 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ 148. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
В предыдущих главах изложены основные положения курса
сопротивления материалов, составляющие комплекс правил и
методов для решения простейших задач прочности в инженерном деле.
В то же время, на практике приходится решать более сложные
задачи, часто требующие проведения специальных исследований.
Будущие инженеры-механики, практическая деятельность которых
в той или иной степени связана с вопросами прочности
конструкций, должны представлять себе те научные проблемы, которые стоят
перед учеными и инженерами-прочнистами на современном этапе
технического прогресса. Эти проблемы сводятся к тому, чтобы при
проектировании и расчете на прочность и жесткость той или иной
реальной детали, на которую действуют известные по величине
силовые и тепловые нагрузки, был выбран наиболее подходящий
материал с точки зрения оптимальной работы в будущей детали с учетом
условий ее эксплуатации, чтобы при этом деталь была
минимального веса и имела оптимальные конструктивные формы и
технологию ее обработки.
Ниже остановимся на основных научных проблемах в области
прочности, диктуемых уровнем современного технического
прогресса человечества и перспективами его динамичного развития в
ближайшие годы.
Прежде всего необходимо отметить, что в современных условиях
развития науки и техники, когда появляются новые классы ранее
неизвестных материалов, обладающих часто специфическими
свойствами, взгляды на такие материалы и оценку их сопротивления из-
660
менились. Создание многих материалов, и в первую очередь
композиционных,— дело не только материаловедов, но и в не меньшей
степени прочнистов, потому что во многих случаях приходится, строго
говоря, конструировать прочный материал, рациональным
образом располагая составляющие композиции. При этом многие
материалы создаются с наперед заданными свойствами,
обеспечивающими их оптимальную работу в той или иной детали с учетом
условий ее эксплуатации и характера силовых и тепловых нагрузок.
Существенно изменилось и представление о современных
проблемах прочности. В настоящее время такие проблемы возникают, как
правило, в связи с реализацией общегосударственных программ по
использованию новейших открытий в области физики, механики,
биологии и других естественных и технических наук. Это,
например, программы, связанные с использованием энергии расщепления
атомного ядра, а также с освоением космоса. Именно в этих
областях мы сталкиваемся с чрезвычайно тяжелыми эксплуатационными
условиями работы элементов конструкций как в отношении
интенсивности воздействия внешней среды и уровня силового и теплового
нагружения, так и в отношении характера изменения этих
воздействий во времени.
Обобщая условия, порождающие проблематику в области
прочности, мы имеем основание утверждать, что в подавляющем
большинстве эти проблемы возникают при создании машин, аппаратов
и конструкций, некоторые элементы которых работают в
экстремальных условиях, а их прочность определяет в конечном итоге
надежность и долговечность всего агрегата.
К числу экстремальных условий, существенным образом
интенсифицирующих разупрочнение материалов в эксплуатации,
относятся достаточно высокие температуры (до 3000—4000 К),
пониженные и весьма низкие температуры (до температуры жидкого
гелия — около 4К), интенсивное радиационное облучение,
высокотемпературные газы (продукты сгорания), содержащие химически
активные примеси, металлические расплавы и морская вода, а
также сочетание одновременно действующих различных
перечисленных факторов.
Экстремальными следует считать также условия, при
которых в эксплуатации протекают неустановившиеся режимы
силового и теплового воздействий, в том числе периодические или
случайные импульсные нагрузки и резкие теплосмены, т. е. фактически
условия, которые имеютместо в реальной эксплуатации
большинства стационарных энергетических установок, летательных аппаратов,
различного типа турбомашин, корпусов надводных и подводных
кораблей, химических установок, трубопроводов, двигателей
внутреннего сгорания, подвижного состава железнодорожного
транспорта, землеройных машин и т. п. Во многих из этих объектов при
эксплуатации сложно сочетаются самые различные факторы,
оказывающие неблагоприятное влияние на прочность и долговечность
наиболее ответственных элементов конструкций.
М1
Заметим, что классические методы сопротивления материалов
без специальных исследований, главным образом
экспериментальных, не позволяют учесть влияние многочисленных факторов,
сопутствующих реальным условиям эксплуатации, при решении
вопросов прочности тех или иных элементов конструкций и
прогнозировать их долговечность. В связи с этим можно указать те вопросы
и проблемы, стоящие перед прочнистами, решение которых
вызывается настоятельными требованиями, запросами современного
технического прогресса нашей страны.
Прежде всего внимание должно быть уделено накоплению
экспериментальных данных о физико-механических свойствах
различных материалов в условиях, максимально приближенных к
эксплуатационным — экстремальным для данного класса материалов, чтобы
получить уравнения состояний материала при заданных
условиях силового и теплового воздействий.
Отметим, что простейшим выражением уравнения состояния,
характеризующего поведение материала под действием статически
прикладываемой нагрузки, является графическое представление
зависимости деформации испытуемого образца материала от
нагрузки в виде диаграммы растяжения Р — АЛ или в относительных
координатах — диаграммы напряжений о — е. В других случаях это
будут графические или аналитические зависимости исслегуемых
характеристик прочности или деформативности от тех или иных
факторов (времени, температуры, асимметрии цикла, интенсивности
облучения и т. п.).
Необходимость проводить в первую очередь экспериментальные
исследования различных аспектов сопротивления материалов
обусловлена тем, что разупрочняющее влияние перечисленных выше
факторов, имеющих место в эксплуатации, нельзя учесть расчетньш
путем. Чтобы правильно учесть т! тиячие этих факторов на показатели
конструктивной прочности материалов, нужно поставить
соответствующие хорошо продуманные экспериментальные исследования
по методикам, разработка которых часто представляет
самостоятельный научный интерес. К тому же установить соответствующие
аналитические критериальные зависимости можно только на
основе большого количества экспериментальных данных о свойствах
материала. Получают их при испытаниях изготовленных из этого
материала специальных образцов в тех или иных условиях силового
и теплового воздействий заданной длительности и режима
изменения этих воздействий во времени.
Следует иметь в виду, что исследовать прочностные и деформя-
ционные свойства любого материала — это значит изучать его
потенциальные возможности, чтобы выявить специфические свойстра
и условия, при которых использование данного материала в
конструкции было бы оптимальным. В других случаях нужно выявить
те дополнительные модификации технологического и
конструкционного характера, которые существенным образом скажутся на
улучшении важнейших физико-механических свойств материала, а сле-
662
довательно, и на повышении их прочности и долговечности при
эксплуатации в тех или иных условиях.
Конкретизируя сказанное, приведем перечень вопросов по
проблемам прочности, подлежащих решению в ближайшие годы. К числу
таких вопросов относятся следующие:
1. Исследование прочности при высоких температурах
жаропрочных и тугоплавких материалов при простом и сложном
напряженном состояниях как при статических кратковременных и
длительных нагрузках, так и при повторно-переменных нагрузках и
теплосменах. Особое внимание при этом должно быть обращено на
изучение длительной прочности и выносливости материала при
неустановившихся режимах силового и теплового воздействия
(раздельно и совместно).
2 Изучение основных механических характеристик прочности
и пластичности конструкционных материалов при пониженных и
низких температурах при статических, повторно-переменных и
импульсных нагрузках с учетом конструкционно-технологических
факторов для установления уравнений состояния материалов и
обоснования критериев предельного состояния и прочности тех или иных
типичных элементов конструкций, работающих в условиях низких
температур.
3. Изучение влияния реакторного облучения на
кратковременную и длительную прочность и пластичность, а также на другие
механические свойства конструкционных материалов при
различных видах силового и теплового воздействий, установление
уравнений состояния различных материалов и получение
критериев их прочности, учитывающих эффект влияния радиационного
облучения.
4. Изучение влияния агрессивных сред (металлических
расплавов, продуктов сгорания, морской воды и др.) на механические
свойства конструкционных материалов при длительных статических и
повторно-переменных нагрузках в условиях нормальных и высоких
температур с целью выявить эффект разупрочнения материалов,
обусловленный влиянием среды, а также выбрать оптимальные
защитные покрытия исследуемого материала.
5. Изучение влияния различного рода покрытий тугоплавких
материалов и их сплавов на показатели прочности и пластичности
этих материалов при высоких температурах, чтобы оптимизировать
тип покрытия и технологию его нанесения для различных условий
эксплуатации элементов конструкций из тугоплавких и
жаропрочных материалов с покрытием.
6. Исследование характеристик конструкционной прочности
композиционных материалов для оптимизации их состава и
прочности объектов из композиционных материалов и установления
критериев предельного состояния типовых изделий из композиционных
материалов и разработки методов их расчетов.
7. Исследование конструкционной прочности хрупких
материалов типа стекла и ситалла с целью создать рациональные инженерные
663
конструкции, в которых бы в наиболее полной мере были
реализованы характерные положительные свойства (низкий удельный
вес и высокая прочность при сжатии) этих материалов.
8. Дальнейшее развитие механики разрушения и прежде всего
теории трещин, а также живучести различного типа инженерных
конструкций, имеющих трещины, и установление критериев
предельного состояния таких конструкций, а также прогнозирование их
долговечности.
9. Вопросы усталости, и в первую очередь малоцикловой
усталости, совершенствование методов испытания на усталость,
обоснование деформационных критериев малоцикловой усталости,
установление физической модели накопления повреждений при
повторно-переменных нагрузках, кинетики развития усталостных трещин
в тех или иных условиях нагружения, статистический аспект
усталости, а также разработка инженерных методов расчета элементов
конструкций на прочность при повторно-переменных напряжениях с
учетом различных факторов (вида напряженного состояния,
конструктивно-технологических особенностей, температуры, начальной
напряженности и т. п.).
10. Вопросы расчета напряженно-деформированного состояния
как в упругой, так и, особенно, в упруго-пластической области
элементов конструкций сложных форм под действием внешних
нагрузок (в том числе изменяющихся во времени) и
неравномерного нагрева, вызывающего большие термические напряжения,
при широком использовании современной вычислительной
техники.
11. Исследование физических аспектов прочности материалов и
элементов конструкций при широком использовании электронной
микроскопии, рентгено-структурного анализа, фрактографии,
ультразвуковой дефектоскопии и т. п.
12. Изыскание методов оценки накопления поврежденности
материала и установления динамики изменения повреждаемости по
мере наработки часов в процессе эксплуатации высоконапряженных
ответственных элементов конструкций.
Можно было бы указать и более частные вопросы,
представляющие значительный научный интерес и большую практическую
ценность для технического прогресса.
Исследование конструктивной прочности рулонированных
тонкостенных и толстостенных оболочек типа газопроводных труб
и корпусов атомных реакторов Здесь имеются в виду как
разработка теории расчета таких систем, так и экспериментальное
исследование их напряженно-деформированного состояния (в том числе в
упруго-пластической области) и разрушения под действием силовых
нагрузок и теплосмен при неравномерном нагреве, а также
малоцикловой усталости. Цель — установить их предельное состояние
и разработать метод расчета таких объектов на прочность
применительно к тем или иным условиям их эксплуатации.
Исследование конструктивной прочности лопаток газовых тур-
664
Георгий Степанович Пиеаренко,
Виктор Андреевич Агарев,
Александр Львович Квитка,
Виктор Григорьевич Попков,
Эммануил Соломонович Уманекий
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
Редактор Г. Б. Елисеева
Переплет художника Ю. П. Щепкина
Художественный редактор С. В. Анненков
Технический редактор Т. И, Трофимова
Корректор Е, А. Каплан