537
Н62
УДК 538.3
Электродинамика и распространение радиоволн.
В. В. Никольский. Учебное пособие. Глав-
Главная редакция физико-математической литературы
изд-ва «Наука», М., 1973.
Систематически излагается теория электромаг-
электромагнетизма с акцентом на радиотехническую электро-
электродинамику. Построение дедуктивное: после обсуж-
обсуждения исходных понятий и уравнений рассматри-
рассматриваются подчиненные выводы (с анализом) и прило-
приложения к частным проблемам. Статическим и ста-
стационарным полям уделяется сравнительно мало
внимания. Основным предметом изучения являются
электромагнитные волны. На базе общих положе-
положений электродинамики описываются простейшие
волновые процессы, а затем процессы излучения
И дифракции. Далее подробно рассматривайте Я
направляемые волны и особенности сред. После
общего знакомства с простейшими волпопыми про-
процессами поднимаются вопросы распространения
радиоволн в природных условиях; по мере углуб-
углубления теоретической подготовки этот материал по-
постепенно развивается в последующих главах. Зна-
Значительное внимание уделено различным объектам
радиотехники. Подробно излагается теория вол-
волноводов и различных линий передачи, волповодных
устройств и резонаторов; рассмотрены квазиопти-
квазиоптические системы. В разделе об анизотропных средах
описаны искусственные диэлектрики и устройстна
с намагниченными ферритами. Затронуты вопросы
нелинейной оптики и активных сред. Дается пред-
представление о современных методах расчетов элект-
электродинамических объектов.
Книга предназначена служить учебным посо-
пособием по программе курса «Электродинамика и рас-
распространение радиоволн» радиотехнической спе-
специальности вузов @701).
' 1-УИТ5;
Издательство «Наука», 1973
02.42—1768 „„„„

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие Г 7
Введение 9
ГЛАВА 1
ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
I. Основные понятия и уравнения электромагнетизма 14
§ 1. Явления электромагнетизма и электромагнитное поле 15
§ 2. Основные уравнения Максвелла 19
§ 3. Расхождения электрической и магнитной индукции 26
§ 4 Дальнейшее обсуждение уравнений Максвелла 28
II. Электромагнитные свойства сред 32
§ 5. Поляризация и намагничивание 32
§ 6. Электропроводность 38
§ 7. Поля на границах раздела сред. Граничные условия 43
§ 8. Примеры применения граничных условий 49
III. Энергия электромагнитного поля , 54
§ 9. Поглощение энергии и действие источников 54
§ 10. Уравнение баланса энергии 57
§ 11. Энергия электромагнитного поля, ее локализация и движение .... 60
§ 12. Применение полученных результатов 63
IV. Заключение 66
§ 13. Система уравнений Максвелла и виды электромагнитных явлений . . 66
ГлА в а 2
СТАТИЧЕСКИЕ, СТАЦИОНАРНЫЕ И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ
I. Электростатика и магнитостатика , . 71
§ 14. Основные уравнения электростатики. Потенциал 72
§ 15. Точечные заряды. Диполь : 75
§ 16. Примеры электростатических полей 80
§ 17. Проводники в электростатическом поле. Емкость 87
§ 18. Системы диполей и поляризация диэлектрика 95
§ 19. Энергия электростатического поля 100
§ 20. Деформация однородного поля проводниками и диэлектриками
простой формы 103
§ 21. Магнитостатика . , .- , . 109
1* 3

II. Стационарное электромагнитное поле 116
§ 22. Уравнения стационарного магнитного поля. Векторный потенциал 116
§ 23. Линейные токи. Магнитный диполь 120
§ 24. Примеры магнитных полей 126
§ 25, Энергия стационарного магнитного поля. Индуктивность 132
§ 26. Стационарное электрическое поле и общие свойства стационарного
электромагнитного поля 139
III. Заключение 145
§ 27. Квазистационарное электромагнитное поле и цепь переменного тока 146
ГЛАВАХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
I. Общие положения электродинамики 149
§ 28. Основные уравнения электродинамики 149
§ 29. Комплексные проницаемости и уравнения электродинамики в ком-
комплексной форме 153
§ 30. Баланс энергии при гармонических колебаниях 157
§ 31. О единственности решений задач электродинамики 161
II. Плоские однородные волны 164
§ 32. Одномерный электромагнитный процесс. Волны в непоглощающих
средах ^ 164
§ 33. Волны в поглощающих средах 168
§ 34. Ориентация, поляризация и сложение волн 172
§ 35. Распространение электромагнитных сигналов 178
III. Волны при налимий плоской границы раздела сред 182
§ 36. Нормальное падение с. 183
§ 37. Наклонное падение. Законы Снеллиуса 192
§ 38. Формулы Френеля и строение поля 197
§ 39. Полное отражение и полное прохождение при наклонном падении 202
§ 40. Поверхностный эффект и поглощение в проводниках 213
IV. Радиоволны в природных условиях 221
§ 41. Элементарные сведения о радиолинии 222
§ 42. Диапазоны радиоволн 227
ГЛАВА 4
\ ИЗЛУЧЕНИЕ, ДИФРАКЦИЯ И РЕФРАКЦИЯ
I. Излучение 234
§ 43. Основная задача об излучении 235
§ 44. Элементарный электрический излучатель и линейный вибратор . . . 241
§ 45. Элементарный магнитный излучатель 251
§ 46. Магнитные токи. Обобщенная задача об излучении 255
§ 47. Эквивалентные поверхностные источники Принцип Гюйгенса . . . 260
§ 48. Принцип взаимности : 267
§ 49. Системы излучателей 271
II. Дифракция 280
§ 50. Явления и задачи дифракции. Предельные случаи 280
§ 51. Дифракция на цилиндре: пример строгого решения задачи 290
4

§ 52. Дифракция на сфере 297
§ 53. Метод Гюйгенса — Кирхгофа. Дифракция Фраунгофера на отверстии 302
§ 54. Дифракция Френеля , 308
§ 55. Экраны и принцип двойственности; узкие щели 315
III. Рефракция 320
§ 56. Локально плоские волны в неоднородных средах 320
§ 57. Лучи в неоднородных средах 326
IV. Земные и тропосферные радиоволны 331
§ 58. Физические факторы и приближения теории 332
§ 59. Земные радиоволны 340
§ 60. Влияние тропосферы ' 350
ГЛАВА 5
НАПРАВЛЯЕМЫЕ ВОЛНЫ И ПОЛЯ В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМАХ
I. Общая теория направляемых волн > 356
§ 61. Строение полей и виды плоских неоднородных волн 356
§ 62. Основные особенности направляемых волн 360
§ 63. Передача энергии и волны при поглощении . 369
II. Свободные волны в направляющих системах 377
§ 64. Прямоугольный волновод 377
§ 65. Круглый волновод 386
§ 66. Различные системы с однородным диэлектриком 397
§ 67. Системы с неоднородной средой 406
§ 68. Действие реального проводника 417
III. Свободные колебания объемных резонаторов 422
§ 69. Общие свойства объемных резонаторов 422
§ 70. Важнейшие объемные резонаторы 431
IV. Вынужденные поля. Нерегулярные системы 443
§ 71. Вынужденные колебания резонатора 444
§ 72. Вынужденные волны волновода 455
§ 73. Волноводные системы 461
§ 74. Свойства волноводных трансформаторов 469
§ 75. Теория возмущений 476
§ 76. Общие алгоритмы для нерегулярных систем 485
V. Периодические и квазиоптические системы 490
§ 77. Периодические системы и импедансные поверхности 491
§ 78. Квазиоптические системы 499
ГЛАВА б
ОСОБЕННОСТИ ПОЛЕЙ В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ
I. Поля и заряженные частицы . 507
§ 79. Частицы в стационарных полях 507
§ 80. Частицы в переменных полях и модели сред 514
§ 81. Радиоволны в ионосфере , 521
5

II. Анизотропные среды 525
§ 82. Природа и проявления анизотропии 526
§ 83. Поля и волны в гиротропных средах 533
§ 84. Гиротропия в радиотехнике . .-, . - 542
III. Активные среды 552
§ 85. Поля и волны в активных средах 552
IV. Нелинейные среды 557
§ 86. Природа и проявления нелинейности 558
§ 87. Волновые процессы в нелинейных средах 565
V. Радиолинии 572
§ 88. Радиолинии разных диапазонов 572
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Векторы 578
Приложение 2. Дельта-функция Дирака 581
Приложение 3. Метод комплексных амплитуд 583
Приложение 4. Вращение -декартовой системы координат 584
Приложение 5. Об уравнениях математической физики 585
Приложение 6. Специальные функции 589
Приложение 7. Метод разделения переменных 594
Приложение 8. Ряды Фурье и ортогональные системы 599
Приложении 9, Сведения о матрицах 602
Литература 605

ПРЕДИСЛОВИЕ
По своему назначению эта книга является курсом теории электро-
электромагнетизма для радиотехнических специальностей втузов. Автор
руководствовался духом соответствующей программы для специаль-
специальности 0701 в последнем варианте, однако позволил себе не придер-
придерживаться ее буквально. Известно, что за последние годы указанная
программа существенно изменилась: в нее были включены вопросы
распространения радиоволн в природных условиях, ранее составляв-
составлявшие содержание отдельного предмета. Как лучше всего расположить
их в новой складывающейся дисциплине?
По мнению автора, простое соединение (в виде независимых
частей) двух разных учебных предметов, один из которых дает
студенту широкую теоретическую базу, а второй является специаль-
специальным и во многом эмпирическим, — путь, быть может, Простейший,
но не лучший. Правильнее сохранить единство учебной дисциплины,
основанное на подчинении частного общему. Расширение задач
курса в сущности означает усиление внимания к электромагнитным
процессам в различных средах; при этом нельзя не учитывать,
что важны не только природные среды, но и многие иные (гиро-
тропия в технике СВЧ, квантовая радиотехника, нелинейная опти-
оптика и др.).
Стремясь удовлетворить новым требованиям, автор не смог
ограничиться простой переработкой более ранней своей книги
по теории электромагнетизма [В.З] (см. литературу в конце книги).
Предлагаемая книга написана заново. Она отличается не только
структурой и тематическим содержанием, но также и методологи-
методологически; так, в частности, продемонстрированы преимущества отказа
от векторных потенциалов в теории излучения. Однако в общем
построении автор по-прежнему придерживался дедуктивного прин-
принципа: «от уравнений Максвелла — к частным вопросам»; авторский
опыт применения этого подхода в учебной литературе 1В.З], не-
несомненно, оправдал себя.

Содержание важнейших понятий при изучении теории электро-
электромагнетизма раскрывается постепенно. Чтобы помочь читателю
в установлении связей и усвоении сущности предмета, многие во-
вопросы намеренно рассматриваются в книге с разных позиций.
В этом смысле, как и по тематическому содержанию, книга шире
обычного лекционного курса. Последний можно строить на основа-
основании книги по-разному, отдавая предпочтение тем или иным аспектам
и темам. Поэтому автор надеется, что она окажется полезной при
существующих различиях традиций преподавания в разных вузах.
Что касается изложения вопросов распространения радиоволн в при-
природе, то этот материал вводится по мере формирования необходимых
теоретических представлений. Не исключается, конечно, выделение
указанного материала в лекциях; тогда соответствующие параграфы
книги, взятые в прежнем порядке из разных глав, могут использо-
использоваться как единое целое.
Книга снабжена приложениями математического содержания
(девять приложений в конце текста). В них наряду с данными спра-
справочного характера в краткой форме излагаются некоторые специаль-
специальные вопросы. Подробнее математический аппарат электродинами-
электродинамики изложен в вышедшей недавно книге автора [К.5].
Декабрь 1972 р. в. Никольский

ВВЕДЕНИЕ
Хотя проявления электромагнетизма в природе наблюдались
людьми всегда, научные понятия в этой области появились всего
около двухсот лет назад; для сравнения напомним, что некоторые
понятия механики складывались еще в древнем мире. Вряд ли это
удивительно: ведь механические явления наполняют повседневный
опыт человека, и здесь оказалась полезной интуиция, выработанная
многими поколениями. Воспроизводимые же электромагнитные
явления (такие, как действие магнита или натертого янтаря) были
слишком примитивны, чтобы положить начало технике, которая,
несомненно, обострила бы внимание к электромагнетизму. Примеча-
Примечательно другое — медленное развитие механики, достигшей относи-
относительной зрелости только во времена Галилея и Ньютона, и весьма
быстрое завершение классической теории электромагнетизма в по-
последующий период. Однако даже теперь, когда использование слож-
сложнейших электромагнитных процессов получило самое широкое рас-
распространение, основные понятия электромагнетизма порой кажутся
изучающим слишком отвлеченными: они далеки от нашего непосред-
непосредственного опыта.
К началу XIX века уже существовали довольно ясные представ-
представления о макроскопических зарядах, токах и их взаимодействии.
В это время возникла электротехника, еще десятилетия спустя
не имевшая большого практического значения. Гораздо более глу-
глубокое понимание сущности электромагнетизма понадобилось для
создания радиотехники, основная функция которой связана с не-
непосредственным использованием электромагнитного поля, перенося-
переносящего энергию в пространстве.
Что же такое электромагнитное поле? Термин «поле» во многих
случаях имеет только формальный смысл. Его употребляют, когда
в каждой точке области пространства надо указать какую-либо фи-
физическую характеристику как функцию координат; это может быть
плотность вещества, температура, давление и пр. Можно, таким
образом, говорить о «поле температур» воздуха в комнате или «поле
скоростей» частиц воды в реке, понимая под этим, что задана функ-
функция I (х, у, г) или V (х, у, г) соответственно. Тогда для любой точки
рассматриваемого пространства, например М (х0, у0, г0), можно
записать значение I (х0, у0, г0) в первом случае и V (х0, у0, г0) во вто-
втором. Подобно этому об электрическом поле формально говорят как

о «поле сил», имея в виду силу, которая будет действовать на заряд
(точнее, единичный положительный заряд), если его поместить в про-
пространстве,- где существует поле.^ Понятие поля выступает в этих
примерах как некоторое условное средство описания физического
процесса, возможно очень удобное, но не имеющее самостоятельного
физического содержания. Отказавшись от такого средства, мы не
должны потерять никакой физической информации.
Однако, привлекая известные факты, нетрудно убедиться, что
понятие электромагнитного поля, помимо своего формального зна-
значения, также еще физически содержательно, и от него нельзя отка-
отказаться, не исказив этим представления о природе. Рассмотрим, на-
например, такой вполне реализуемый эксперимент. В вакууме распо-
расположены две антенны: передающая и приемная (рис. В.1). Передача
-О-
г «ль
Рис. В.1.
электромагнитной энергии производится в течение короткого интер-
интервала времени т, а остальное время передатчик бездействует. Пусть
время Ы, в течение которого электромагнитная энергия распростра-
распространяется, чтобы достигнуть приемной антенны, превышает т (возможно,
что даже Д/ ^> т). В таком случае легко указать время, когда энергия
уже излучена передающей антенной, но еще не поступила в приемную.
Что же является носителем этой энергии в вакууме, где отсутствует
привычная материальная среда? Ответ заключается в том, что носи-
носитель энергии — электромагнитное поле, которое, следовательно,
физически реально. В философском смысле электромагнитное поле
следует рассматривать в качестве одной из форм существования ма-
материи.
Понятие электромагнитного поля лежит в основе современной
теории электромагнетизма. Посмотрим, как оно исторически по-
появилось. В 1784—1789 гг. были опубликованы работы Шарля Ку-
Кулона об электрических и магнитных взаимодействиях. Известный
закон Кулона о взаимодействии электрических зарядов, изучаемый
сейчас уже в средней школе, поразительно похож на закон тяготе-
тяготения. Легко представить впечатление, произведенное этим фактом
на современников открытия, когда наиболее разработанная часть
физики сводилась к механике Ньютона. Открытые позднее законы
различных электромагнитных взаимодействий (например, закон
Ампера о токах) при всех своих особенностях идейно близки закону
Кулона: действие одного объекта на другой, как полагали исследо-
исследователи, происходит мгновенно без всякого участия промежуточной
среды. Это так называемый «принцип дальнодействия» (действия
Ю

на расстоянии), вошедший в науку вместе с механикой Нью-
Ньютона *).
Согласно современным физическим воззрениям мгновенных взаи-
взаимодействий не бывает; роль промежуточной среды никак нельзя игно-
игнорировать, ибо она вмещает энергию. Участие среды (в частности,
вакуума) в передаче электромагнитных взаимодействий находит
выражение в «принципе близкодействия». В силу последнего взаимо-
взаимодействие должно осуществляться только через посредство среды,
являющейся «вместилищем» электромагнитного процесса. Этот прин-
принцип связан с именем Майкла Фарадея A791—1867 гг.), впервые
высказавшего (если судить с современных позиций) идею физической
реальности электромагнитного поля, долго затем не встречавшую
признания. Приведем одну цитату 2): «Фарадей своим мысленным
взором видел линии сил, проходящие через все пространство там,
где математики видели центры сил, притягивающиеся на расстоя-
расстоянии. Фарадей видел среду там, где они не видели ничего, кроме рас-
расстояния. Фарадей искал источник явлений в реальных процессах,
происходящих в среде. Они же были удовлетворены тем, что нашли
его в действующей на расстоянии силе, приложенной к электриче-
электрическим флюидам». Эти слова принадлежат Джемсу Клерку Максвеллу
A831—1879 гг.), которому было суждено внести исключительный
вклад в теорию электромагнетизма. В современной науке уравнения
Максвелла являются фундаментальными законами этой теории.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим уравнения Максвелла; они
лежат в основе всего материала этой книги. Пока же отметим, что
сила идей Максвелла выявилась лишь постепенно по мере накопле-
накопления опыта и развития техники. Его вывод о существовании электро-
электромагнитных волн (как результат математического завершения прин-
принципа близкодействия) и гипотеза ,об электромагнитной природе
света были холодно встречены современниками; по существу все это
опережало экспериментальные возможности своего времени. Воз-
Возбуждение электромагнитных волн в лаборатории и их эксперимен-
экспериментальное исследование было осуществлено позднее Генрихом Герцем
A857—1894 гг.), который внес также значительный вклад в теорию
электромагнетизма. Герц предвосхитил многое из того, что мы отно-
относим теперь к радиотехнической электродинамике. В частности, в сво-
своих опытах он использовал параболические зеркала, в которых можно
видеть прообраз современных зеркальных антенн. Тем не менее им
никогда не ставился вопрос о техническом применении электромаг-
электромагнитных волн. Историческая заслуга изобретения беспроводной свя-
связи, радио, принадлежит нашему соотечественнику А. С. Попову
A859—1906 гг.). Отметим еще, что для подтверждения электромаг-
электромагнитной природы света решающими оказались опыты другого русского
х) Сам Ньютон (утверждавший: «гипотез я не измышляю») не высказывал
принципа дальнодействия; такая интерпретация закона тяготения принадлежит
его последователям.
2) Из введения к книге .I. М а х да е 1 1, А 1геаA$е оп е1ес1псИу апй та§-
пеИзга (цитируется по [3.1]).
11

ученого П. Н. Лебедева A866—1911 гг.), измерившего световое
давление.
Можно без преувеличения сказать, что радиотехника явилась
широчайшей опытной базой теории электромагнетизма, основываю-
основывающейся на уравнениях Максвелла, а также стимулятором ее даль-
дальнейшего развития. Вместе с радиотехникой появилось понятие
радиоволны, т. е. электромагнитные волны в радиотехнических сис-
системах. Важным научным направлением стало исследование распро-
распространения радиоволн в природных условиях (над Землей). Проблема
изучения и приема электромагнитной энергии, переносимой радио-
радиоволнами, привела к образованию теории антенн, в настоящее время
весьма разработанной.
В первых опытах длина радиоволн измерялась метрами. В на-
начале нынешнего века радиосвязь достигла заметного размаха;
при этом господствовали длинные волны (порядка километров).
Но, начиная с двадцатых годов, в радиотехнической практике осваи-
осваиваются волны все более короткие. Возникшая в военное время радио-
радиолокация дала этому процессу мощный толчок — в технику вошли
волны дециметровые, сантиметровые и миллиметровые, которые
имеют теперь многочисленные применения в разных областях.
Столь короткие волны изменили многое как в самой радиотехнике,
так и в ее теоретических основах. Дело в том, что ранее размеры
элементов радиоаппаратуры оставались намного меньше длины
волны. Благодаря этому основные представления электротехники
и используемая ею теория цепей были пригодны как аппарат рас-
расчетов, а радиотехническая аппаратура во многом напоминала элект-
электротехническую. Но такое положение не могло сохраниться, когда
понадобилось создавать радиотехнические элементы, сравнимые
по размерам с длиной волны.
Отмеченное обстоятельство требует пояснения. Предположим,
что электромагнитная энергия распространяется вдоль проводника,
который мы хотим считать участком цепи, причем в двух находящих-
находящихся на расстоянии Ь сечениях проходят токи 1Х (I) и /2 (I) соответ-
соответственно. В теории цепей считают, что эти токи одинаковы, т. е.
Л @ = и @> н0 так ли это?^Пусть /х (/) = 1т соз со/. Какова
при этом фаза тока /2 в удаленном сечении? Поскольку для распро-
распространения электромагнитного процесса на расстояние Ь нужно время
Д/ = ЬЬ, где V — скорость, то фазу со/ ток /2 будет иметь только
по истечении времени Д/, а в данный момент / его фаза есть со (/ —
— Д/). Токи 1г (/) и /2 (/), как мы видим, не равны, поскольку имеется
фазовое различие Дер = соД/; может оказаться, например, что /2 =
= 0, когда /х = /ш. Учитывая известную связь скорости, длины
волны и частоты (у = Д, со = 2я/), имеем: Дф = 2пЫК. Таким
образом, фазовое запаздывание пренебрежимо мало, когда
Ь<%. • (В.1)
Принцип постоянства мгновенного тока во всех сечениях провод-
проводника, следовательно, можно считать соблюденным лишь при доста-
12

точно сильном выполнении записанного неравенства, в котором Ь
надо понимать как максимальный размер объекта. Неравенство
(В.1) известно под названием условия квазистационарности. В соот-
соответствии с этим условием различают квазистационарные или не-
квазистационарные объекты. Из рассмотрения следует, что теория
цепей переменного тока пригодна, вообще говоря, для квазистацио-
квазистационарных объектов. В дальнейшем читатель убедится, что по мере ос-
ослабления условия квазистационарности все большая часть энергии
«обыкновенной цепи» излучается в пространство. Антенные устрой-
устройства с позиций теории цепей уже рассматривать нельзя. Часто антен-
антенны в высокой степени неквазистационарны. Таковы же обычно
и элементы аппаратуры, применяемой в случаях дециметровых,
сантиметровых и миллиметровых волн. Не только методы анализа,
но и сами принципы построения радиотехнических устройств здесь
весьма далеки от старых электротехнических образцов. Примеча-
Примечательно, например, широкое использование так называемых полых
систем — волноводов для передачи энергии, различных полых
резонаторов в качестве «колебательных контуров», а также родст-
родственных элементов. Для описания этих и других неквазистационар-
ных объектов необходима общая теория электромагнетизма; иссле-
исследованию подлежит их электромагнитное поле.
Эта книга предназначена для изучения теории электромагнетизма
студентами радиотехнических специальностей. Поэтому главным
предметом ее являются радиоволны. Собственно говоря, радиовол-
радиоволнами в настоящее время могут быть электромагнитные волны длиной
по меньшей мере от десятков километров (сверхдлинные) до тысяч
ангстрем (оптические). Условия их распространения над Землей
в этом огромном диапазоне весьма разнообразны, однако локально
по своей структуре они могут быть близки к простейшей плоской
волне, которая распространялась бы в безграничном пространстве.
Структурно более сложны радиоволны в волноводах и иных направ-
направляющих системах. В анизотропных средах волны распространяются
по-разному в зависимости от направления и ориентации; в активных
средах может происходить усиление и генерация волн. Особенности
различных сред, применяемых в радиотехнике, весьма разнообразны.
Для понимания свойств радиоволн в природных условиях и
радиоаппаратуре надо изучить всевозможные электромагнитные
волновые процессы — и сравнительно простые, как, например, от-
отражение, преломление, образование стоячих волн, и гораздо более
сложные, как дифракция и излучение. При этом применяются ме-
методы математической физики.
Выше уже говорилось о роли уравнений Максвелла в теории
электромагнетизма. Ими и начинается изложение.

ГЛАВА 1
ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
Как раздел физики теория электромагнетизма охватывает опре-
определенный круг явлений — электромагнитные явления. При изу-
изучении облеченной в математическую форму физической теории надо,
разумеется, располагать предварительными сведениями о самих
явлениях. Студент, приступающий к данному предмету, уже получил
такие сведения из курсов общей физики и электротехники. Поэтому,
в частности, будет предполагаться, что читатель знаком в достаточ-
достаточном объеме с теми опытными данными, которые приводят к понятию
электрического заряда. Это фундаментальное физическое понятие
не подлежит далее формальному определению.
Электромагнетизму отведена важная роль в современных воз-
воззрениях на строение материи. Согласно известным представлениям
материя построена из элементарных частиц, но следует иметь в виду,
что слова «элементарная частица» это просто термин, а наглядное
представление о частице (малом теле, корпускуле) вообще очень
поверхностно. Тем не менее в простейших случаях оно остается по-
полезным, и, например, носитель элементарного отрицательного за-
заряда электрон или иную отрицательную частицу иногда рассматри-
рассматривают подобно непосредственно наблюдаемым телам, имеющим траек-
траектории движения. Теория строения материи относится, как известно,
к компетенции квантовой физики. Прямо с ней связанные или сопри-
соприкасающиеся вопросы электромагнетизма составляют так называе-
называемую микроскопическую электродинамику.
Теория электромагнетизма, изложение которой начинается
в этой главе, является макроскопической. Ее материальные объекты
таковы, что происходит действие огромных — «практически беско-
бесконечных» — количеств элементарных частиц. Структуру материи
при этом игнорируют, среду представляют себе сплошной. Так,
в частности, отвлекаясь от строения материи, мы будем гово-
говорить о непрерывном распределении заряда в объеме. При нахожде-
нахождении его плотности в данной точке, т. е. заряда, отнесенного к еди-
единице объема, приходится последний устремлять к нулю. Однако
нельзя забывать, что в действительности имеет смысл лишь
«практически бесконечно малый» элемент объема: достаточно ма-
малый при рассматриваемом предельном переходе, но в то же время и на
столько большой, что дискретность материи еще не проявляется.
14

§ 1. Явления электромагнетизма и электромагнитное поле
1. Векторы электромагнитного поля. Что составляет общую
основу явлений электромагнетизма? Во Введении было дано началь-
начальное представление об электромагнитном поле как носителе электро-
электромагнитной энергии, особой форме материи. Электромагнитное поле
лишь в некоторых особых случаях заметно воздействует на органы
чувств человека (один из примеров этого — видимый свет). Однако
весьма разнообразные превращения энергии поля доступны наблю-
наблюдению. Последние и лежат в основе электромагнитных явлений,
из которых черпается информация о поле.
Электромагнитное поле можно охарактеризовать (описать) при
помощи нескольких векторных функций пространственных коор-
координат и времени. Начнем с функций Е = Е (х, у, г, г) и В =
= В (х, у, г, г), называя их соответственно напряженностью электри-
электрического поля и магнитной индукцией.
Простейшие электромагнитные явления, приводящие к непосред-
непосредственному представлению о векторах поля Е и В, связаны с тем,
что на заряд в электромагнитном поле действует сила. То или иное
электромагнитное явление происходит, когда эта сила совершает
работу, отбирая, таким образом, от поля некоторую энергию.
«Наблюдать» электромагнитное явление — значит заметить (инди-
(индицировать) или измерить производимую работу. Очевидно, если нужно
составить суждение о поле, которое было бы в отсутствие заряда,
указанное извлечение энергии поля должно быть пренебрежимо
малым.
Пусть имеется точечный заряд величиной # (д измеряется в ку-
кулонах [к]); говоря «точечный заряд», имеют в виду заряженное тело,
весьма малое по своим размерам в сравнении с тем расстоянием,
с которого оно рассматривается. Но в данном случае еще важно,
чтобы оно было мало в сравнении с областью пространства, внутри
которой уже заметны изменения поля. Идеальным точечным зарядом
является, очевидно, заряд, сосредоточенный в исчезающе малом
(«нулевом») объеме; это безусловно некая абстракция. В электро-
электромагнитном поле на точечный заряд будет действовать сила
[ю, В]), A.1)
где V—скорость движения заряда.
Если заряд неподвижен (ю= 0), то сила зависит только от на-
напряженности электрического поля:
Р=ЯЕ. A.2)
Таким образом, располагая какой-то реализацией точечного заряда,
а также средством измерения действующей на него силы, можно
найти напряженность электрического поля Е в заданной точке прост-
пространства М (х, у, г) в некоторый момент времени I. Не входя в под-
подробности такого рода измерений, отметим все же два обстоятельства:
во-первых, измерения должны быть достаточно малоинерционными,
15

т. е. совершаться намного быстрее изменений поля, и, во-вторых,
величина заряда должна быть настолько мала, чтобы неизбежное
извлечение энергии почти не изменяло исследуемого поля. Равенство
A.2) обычно рассматривают как определение векторной функции Е.
Единицей измерения напряженности электрического поля Е (точнее,
абсолютного значения Е вектора Е) служит вольт на метр [в/м].
На движущийся точечный заряд, как видно из A.1), действует,
кроме того, сила
/=■=<? [я, В], A.3)
называемая лоренцевой силой. С проявлением этой силы можно свя-
связывать определение вектора магнитной индукции В; В измеря-
измеряется в веберах на квадратный метр [вб/м2].
СУ
Рис. 1.1.
Рассмотрим весьма малый виток с током (контур тока). Вслед-
Вследствие лоренцевой силы на этот контур действует момент силы К
(см. рис. 1.1, а, на котором виток имеет форму прямоугольной
рамки):
К=13[х0, В]. A.4)
В этой формуле 5 — площадь контура, / — величина тока и х0 —
единичный вектор нормали к плоскости контура; при этом направле-
направление тока и нормаль составляют правовинтовую систему. Заметим,-
что малость контура требуется постольку, поскольку магнитная
индукция В должна быть практически одной и той же во всех точках
ограничиваемой им площадки 5.
Нетрудно убедиться, что описываемое формулой A.4) воздейст-
воздействие поля на контур тока действительно обусловлено лоренцевой
силой. Обращаясь к рис. 1.1, б, видим, что в соответствии с форму-
формулой A.3) на боковые стороны контура должны действовать силы Р
и Р' соответственно, образующие момент силы, направленный вдоль
вертикальной оси (г на рис. 1.1, б); он равен
16

причем, согласно A.3), Р = ц\ъ, В], где V— скорость зарядов в ле-
левой стороне контура, а ? — содержащийся там полный движущийся
(условно положительный) заряд; можно считать, что положитель-
положительные заряды в контуре уравновешены отрицательными, так что сила
цЕ на виток не действует. Обозначая через I время, в течение кото-
которого заряд проходит по боковой части контура (расстояние Ь), имеем
дъ= — гф^- = — гф1.
С учетом этого результата вносим выражение силы в предыдущую
формулу момента силы и получаем
К=1аЬ[у0, [гв, В]] = го1аЬВ.
Поскольку аЬ = 5 и г0В = [л;0, В] = [х0, В], это совпадает с A.4).
Векторные функции Е и В вполне определяют электромагнитное
поле в вакууме. Но в случае произвольной среды этих двух функций
недостаточно, так что вообще необходимы четыре вектора поля.
В дополнение к Е и В введем векторные функции Н = Н (х, у, г, г)
и О = Б (х, у, г, I), называя их напряженностью магнитного поля
и электрической индукцией. При этом Н измеряется в амперах на
метр [а/м], а О — в кулонах на квадратный метр [к/м2].
Для поля в вакууме
Я = е0Е, В = ^Н, A.5)
где е0 и ц0 — постоянные коэффициенты, выбор которых определен
используемой системой единиц. Они называются электрической
постоянной и магнитной постоянной соответственно. При этом
10-12^з^гЮ-в фарад на метр [ф/м]
и цо = 4я- 10~7^ 1,257- 1(Гв генри на метр [гн/м].
Говорят, что электромагнитное поле предстает как совокупность
электрического поля (векторы Е, О) и магнитного поля (векторы В
и Н). Физическое содержание векторных функций Е, Н, В и Д
определяется основными уравнениями электромагнетизма, к рас-
рассмотрению которых мы вскоре перейдем.
Подчеркнем, что все сведения об единицах измерения (в книге
используется международная система единиц СИ) приводятся пока
исключительно для справок. Их смысл, а также связи с более рас-
распространенными единицами (такими, как вольт, ампер, кулон и т. д.)
будут еще обсуждаться при подходящих обстоятельствах.
2. Об исследовании и описании электромагнитного поля. Меха-
Механические проявления электромагнитного поля, положенные в основу
определения векторов Е и В, в принципе могут служить источником
информации о полях, например, в воздушной среде. Иными словами,
заряженное тело и рамка с током (конечно, достаточно малые)
могут применяться для экспериментального исследования электро-

магнитного поля. Помещая эти «пробные элементы» в различные
точки заданной области пространства в определенные моменты вре-
времени, можно — при ряде предосторожностей — получать сведения
о поле. В действительности возможности такого подхода весьма огра-
ограничены, но современная экспериментальная техника располагает
более эффективными средствами исследования полей, пригодными
для разных конкретных случаев. Вообще же данные о строении по-
полей, полученные при помощи различных пробных элементов, состав-
составляют лишь небольшую часть огромного объема опытных данных об
электромагнитном поле, известных науке.
Теория электромагнитного поля сложилась в результате накоп-
накопления и обобщения экспериментальных фактов. В ее основе лежит
аналитическое описание: к векторным функциям координат и вре-
времени Е, Н, В и Б применяются операции векторного анализа; основ-
основные законы электромагнетизма формулируются в виде уравнений
Рис. 1.2.
с частными производными. Благодаря этому решение задач об
электромагнитном поле сводится к применению чисто математи-
математических средств. Исследование математических решений приводит
к пониманию сложных физических процессов или даже к открытию
ранее неизвестных закономерностей и явлений.
В 'теории электромагнетизма широко используется также гра-
графическое описание электромагнитного поля, облегчающее понимание
сложных процессов благодаря своей наглядности. Векторные функ-
функции поля изображаются в виде картин силовых линий. Обычно линии
вектора Е называются электрическими, и линии вектора В — маг-
магнитными силовыми линиями. На рис. 1.2 в качестве примера пред-
представлено несколько картин силовых линий, хорошо знакомых чи-
читателю по курсу физики. Это силовые линии следующих полей в одно-
однородной среде: электрического поля одиночного положительного то-
точечного заряда (а), двух зарядов, знаки которых противоположны
(б), плоского конденсатора (в); магнитного поля провода с током (г).
В заключение параграфа введем два понятия, употребляемых
наряду с векторами Е, Н, Б и В в общих формулировках законов
электромагнетизма. Это плотность заряда р и плотность тока /
Плотность заряда определяется как предельное соотношение
Ид
р= Нт
дуо
A.6)
18

где Дд — заряд, содержащийся в элементарном объеме Д1Л Подобно
этому плотность тока выражается следующим образом:
/= 1ш 10 д
Д
Д/
A.7)
причем Д/ — ток, пересекающий площадку Л5, а /0 — единичный
вектор, направленный вдоль движения зарядов в некоторой точке
Д5. Плотность заряда измеряется в кулонах на кубический метр
[к/м3], а плотность тока — в амперах на квадратный метр [а/м2].
О физическом содержании предельного перехода в подобных соот-
соотношениях было сказано перед началом параграфа. Очевидно, плот-
плотности р и У имеют смысл производных, если подразумевать идеали-
идеализированную сплошную среду. В сущности же для реальных сред
символы ДУ->0 и Д5 -> 0.сохраняют лишь условное значение:
элемент объема (площади) уменьшается, однако только до такой
степени, что еще не проявляется дискретность материи, т. е. макро-
макроскопические закономерности остаются в силе.
§ 2. Основные уравнения Максвелла
1. Исходная формулировка. Теперь мы можем приступить
к рассмотрению фундаментальных законов электромагнетизма, кото-
которые формулируются в виде уравнений Максвелла. Вот два основных
уравнения Максвелла:
яг»
B.1)
дВ
B.2)
Как видно, это дифференциальные уравнения с частными производ-
производными относительно векторных функций координат и времени Е, Н,
О и В, а также/ Каждое из этих векторных уравнений есть краткая
запись трех скалярных уравнений, которые немедленно получаются,
как только выбрана определенная система координат и входящие
в B.1) или B.2) векторы спроектированы на соответствующие орты
в произвольной точке пространства М. Тогда возникают, как принято
говорить, «уравнения Максвелла в координатной форме». Самым
простым и распространенным является использование декартовых
координат. Обращаясь при этом к формулам (П1.20), находим
дНг дНу _ дРх
Я,/ Я* ~~ М Т/лг>
дг
дНх дН,, _ дРу
дг дх д(
дНу дНх дРг . .
дх ду дг ^г'
Читателю рекомендуется для упражнения записать также уравнения
19
дЕ,
ду
дЕх
дг
дЕу
дх
дЕу
дг
дЕг
дх
дЕх
ду
дВх
дг '
дВу
дг '
дВг
дг ■

Максвелла B.1) и B.2) в цилиндрических и сферических координа-
координатах, используя формулы приложения. .
Бросается в глаза, что число неизвестных в B.1) и B.2) больше
числа уравнений и, следовательно, необходимы еще иные связи
между входящими функциями; к их рассмотрению мы вскоре пе-
перейдем.
Известно, что уравнения с частными производными не имеют
сами по себе определенных решений, пока к ним не присоединены
некоторые дополнительные условия (в частности, граничные усло-
условия). В данном случае это вполне естественно: именно благодаря
такой неопределенности уравнения Максвелла способны выражать
общие принципы электромагнетизма.
Было бы интересно проследить, как именно развитие физических
воззрений привело, наконец, к уравнениям Максвелла, но это отнюдь
не легкий труд, и он отнял бы много времени 1); позднее (§ 4) этот
вопрос мы затронем лишь частично. Подчеркнем следующее. Зна-
Значение уравнений Максвелла, т. е. уравнений B.1), B.2) и несколь-
нескольких других (рассматриваемых ниже) состоит в том, что они в компакт-
компактной форме заключают в себе все основания теории электромагнетизма.
Последняя выводится из уравнений Максвелла чисто дедуктивным
путем, т. е. получается как система следствий. Уравнения Максвел-
Максвелла, таким образом, играют роль основных постулатов теории электро-
электромагнетизма и, следовательно, не подлежат выводу (доказательству).
Их оправдание — во всей совокупности опытных данных об электро-
электромагнетизме, которыми располагает современная физика.
Тот факт, что мы принимаем основные уравнения теории без
детального анализа их происхождения, не должен вызывать подо-
подозрений. Подобным же образом, например, в классической механике
вводятся уравнения Ньютона. Изложение теории электромагнетиз-
электромагнетизма, начинающееся с уравнений Максвелла, оказывается гораздо
яснее и короче, чем то, при котором сначала изучают частные элект-
электромагнитные процессы, и только под конец /равнения Максвелла
дают в виде заключительного обобщения. К тому же радиоинженер
должен уметь работать с уравнениями Максвелла, т. е. применять их
при решении своих задач, а для этого надо к ним «привыкнуть».
Что же касается физического содержания уравнений Максвелла,
то охватить его можно, только изучив теорию электромагнетизма,
т. е. ознакомившись со всеми главными следствиями из них. Это
не означает, конечно, что сначала уравнения Максвелла должны
быть совершенно непонятными. Напротив, общие черты их физи-
физического содержания нетрудно воспринять уже при самом беглом
анализе.
2. Второе уравнение Максвелла. Возьмем второе уравнение
Максвелла B.2). Стоящая справа производная выражает скорость
изменения во времени магнитной индукции В, а в левой части под
знаком дифференциального оператора го{ содержатся только прост-
1) Читателю, интересующемуся данным вопросом, рекомендуется книга 13.2].
20

раиственные производные компонент напряженности электрического
поля Е. Пространственные изменения электрического поля и вре-
временные изменения поля магнитного, таким образом, взаимно свя-
связаны. Положим, что электрическое поле отсутствует, т. е. Е = О,
и потому го! Е — 0. В таком случае дВ1д1 = 0, а это значит, что
магнитное поле может быть в отсутствие электрического только
постоянным. Но всякое изменение магнитного поля {дВ1д1 ф 0)
неизбежно вызывает электрическое поле: левая часть B.2) отлична
от нуля.
Прежде чем делать какие-либо дальнейшие выводы, подчеркнем,
что дифференциальное уравнение B.2) дает локальную характеристи-
характеристику электромагнитного процесса: ему удовлетворяют функции Е и В
в некоторой точке пространства М (х, у, г) в какой-то момент вре-
времени I. Однако закон электромагнетизма, лежащий в основе второго
уравнения Максвелла B.2), можно выразить и в интегральной форме,
а)
6)
и, применяй далее слева теорему Стокса (П1.25), получаем
если в качестве непосредственного объекта взять уже не точку,
а произвольную поверхность 3 (рис. 2.1, а) с контуром Ь.Вычисляя
поток вектора через 5 в левой и правой частях уравнения B.2),
имеем г»
го!
B.3)
Интересно, что при фиксированном контуре ^ правая часть B.3)
никак не изменяется при любых изменениях «натянутой на него»
поверхности 5 (рис. 2.1, в).
Оператор временного дифференцирования д/д( справа в B.3)
можно вынести за знак интеграла (контур считаем неизменным).
Поскольку сам интеграл зависит только от времени, то символ
частной производной д/д( заменяется тут же на йШ. В результате
приходим к уравнению
Ей1 = -й^\вйв, B.4)
21

известному как второе уравнение Максвелла в интегральной форме.
Согласно B.4) циркуляция напряженности электрического поля Е
по произвольному контуру Ь равна взятой с обратным знаком произ-
производной по времени потока магнитной индукции В через любую
поверхность 5, опирающуюся на этот контур.
Заметим, что поток вектора В через 5 называется магнитным
потоком и обозначается
Ф=\Вй8. B.5)
5
Он измеряется в веберах [вб] (теперь понятно, почему В измеряется
в [вб/м2], как указывалось в § 1). Далее нетрудно заметить, что цирку-
циркуляция вектора Е по Ь, для которой мы установим здесь обозначение
Э = §ЕЛ1, B.6)
ь
измеряется в вольтах [в], поскольку (см. § 1) Е имеет единицу изме-
измерения [в/м]. Переписывая второе уравнение Максвелла B.4) в форме
Э = -% B.7)
замечаем, что внешне оно совпадает с законом электромагнитной
индукции Фарадея.
Совпадение это, конечно, не случайно: для тех условий, в кото-
которых может быть применен закон Фарадея, второе уравнение Максвел-
Максвелла B.4) действительно в него переходит. Если взять, скажем, про-
проволочный (рис. .1, б) контур в качестве ^ и вычислить скорость
изменения магнитного потока, проходящего через какую-либо по-
поверхность 5, ограниченную этим контуром, то найденная величина,
взятая с обратным знаком, по закону Фарадея должна быть равна
э. д. с, наводимой в контуре. Эта э. д. с. и равна Э в B.7). Понятно,
что в случае произвольного (мысленно очерченного в пространстве)
контура ^ закон Фарадея не может быть применен хотя бы потому,
что столь общая ситуация далеко выходит за область опытных фак-
фактов, на основе которых он был установлен. Закон электромагнетиз-
электромагнетизма, выражаемый вторым уравнением Максвелла, гораздо шире:
пространственный объект здесь совершенно произволен. Однако
этот закон мы все же вправе охарактеризовать как обобщенный
закон электромагнитной индукции.
3. Первое уравнение Максвелла. Перейдем теперь к первому
уравнению Максвелла B.1). Смысл членов его в правой части легче
понять, рассматривая их проявление раздельно. Если электромаг-
электромагнитный процесс неизменен во времени (д/д( — 0), или, как говорят,
стационарен, то уравнение B.1) принимает вид
где / в данном случае — плотность постоянного тока. Первое урав-
уравнение Максвелла характеризует при этом связь магнитного поля
и постоянного тока. Нельзя представить себе постоянный ток без
22

магнитного поля, поскольку /=^0 обязательно при го{ Н ф 0,
а следовательно, при Н Ф 0.
Если же поле изменяется во времени (д/д(фО), но ток проводи-
проводимости отсутствует (/=0), то, согласно B.1),
Сравнивая это уравнение с предыдущим, видим, что векторная функ-
функция дй1д1, выражающая скорость изменения электрической индук-
индукции, играет во втором случае ту же роль, что плотность тока прово-
проводимости/в первом, т. е. существование изменений во времени индук-
индукции Б (дй/д( Ф 0) влечет за собой наличие магнитного поля (НфО).
Величина дО/д( называется плотностью тока смещения.
Подобно тому как это делалось при рассмотрении второго урав-
уравнения Максвелла, получим первое уравнение Максвелла в интеграль-
интегральной форме. Повторяя уже знакомые действия, из B.1) находим
в конечном счете
§%\ B.8)
Интеграл
$ B.9)
формально есть поток вектора у через поверхность 5 и, следователь-
следовательно, выражает'ток проводимости, пересекающий эту поверхность.
Так как ток измеряется в амперах [а], становится ясным происхож-
происхождение единицы измерения [а/м] (см. § 1) для Н. Аналогично
7 08 . B.10)
выражает ток смещения. Полным током и соответственно плотно-
плотностью полного тока мы будем называть величины
Итак, согласно первому уравнению Максвелла, в интегральной
форме B.8) циркуляция напряженности магнитного поля Н по
произвольному контуру ^ равна полному току через любую поверх-
поверхность 5, опирающуюся на этот контур.
Из уравнения B.8) видно, что в отсутствии магнитного поля равен
нулю и полный ток (/ + /см = 0). Но появление тока (/ + /см Ф 0)
обязательно порождает магнитное поле: Н Ф 0, поскольку должна
быть отлична от нуля и левая часть B.8), Согласно B,8) роли / и /см
при этом совершенно одинаковы: магнитное поле может возбуждаться
как током проводимости, так и током смещения, т. е. изменением
потока электрической индукции.
Ток смещения — одна из характеристик переменного электро-
электромагнитного поля, О нем мы еще будем говорить не раз и, в частности,
23

в § 4. Пока же рассмотрим одно из свойств полного тока, подчерки-
подчеркивающее роль тока смещения в ряде важных случаев.
4. Свойство полного тока. Применяя операцию сНу к левой и
правой частям уравнения B.1), слева в соответствии с (П1.32)
имеем нуль, так что
(
т. е. расходимость вектора плотности полного тока равна нулю,
а это, как известно, значит, что линии этого вектора непрерывны.
Плотность тока проводимости таким свойством не обладает, и линии
этого вектора могут обрываться, но тогда тут же начинаются линии
вектора плотности тока смещения.
Возьмем некоторую замкнутую поверхность 5, ограничивающую
объем V. Произведя в B.11) интегрирование по V и применив теорему
Остроградского—Гаусса (П1.24), по-
получаем
&Ь д4) B.12)
или
B.12а)
О ^—
Рис. 2.2.
обязательно равен
где индекс ~«0» означает, что речь идет
о токах, пересекающих замкнутую по-
поверхность (положителен ток, выходящий
из 5). Как видно, полный ток через
какую-либо замкнутую поверхность 5
нулю: выходящий ток равен входящему.
Поясним полученный результат на примере конденсатора в цепи
переменного тока (рис. 2.2). Замкнутая поверхность 5 (она показана
пунктиром) проведена так, что, проходя между пластинами конден-
конденсатора, она затем пересекает провод. Очевидно, только в этом месте
через 5 проходит ток проводимости /. Согласно B.12а) он уравнове-
уравновешивается входящим внутрь 5 током смещения /см, который практи-
практически сосредоточен внутри конденсатора. Считая, что электриче-
электрическое поле внутри конденсатора однородно (вектор Б везде имеет
одну и ту же величину), а следовательно, неизменна в пространстве
и плотность тока смещения дй/д(, имеем
где 5К — площадь пластины конденсатора. Если I = 1т соз со/ (за-
(закон гармонических колебаний), то
О=-%-8ШС0/.
со5к
В случае воздушной среды с высокой степенью точности справед-
24

ливы соотношения A.5), поэтому абсолютное значение напряжен-
напряженности электрического поля внутри конденсатора равно
сое„5к
5. Магнитное поле прямолинейного тока. Наконец, рассмотрим
простой пример расчета магнитного поля на основании уравнения
B.8). Известно, что магнитные силовые линии поля в пространстве
вокруг прямолинейной нити постоянного тока — это концентриче-
концентрические окружности (см. рис. 1.2, г). Как найти напряженность магнит-
магнитного подя на расстоянии г от оси тока? Поскольку процесс-неизме-
процесс-неизменен во времени, уравнение B.8) принимает вид
§Н<11 = 1. B.13)
I.
Выберем силовую линию, радиус которой есть г (рис. 2.3, а), и сов-
совместим с ней контур интегрирования Ь в B.8), т. е. B.13), а обходить
Рис. 2.3.
будем его по направлению вектора //. Тогда под интегралом будет
Нй1 = Н<И, причем Н имеет одно и то же значение во всех точках
контура, ибо все радиальные направления физически равноправны.
Поэтому
Таким образом, из B.13) сразу же получается абсолютное значение
напряженности магнитного поля как функция расстояния от оси
тока. Остается выяснить взаимную ориентацию тока и поля. По-
Поскольку, согласно B.13), при положительной циркуляции вектора //
положителен и ток /, то пря обходе контура вдоль //ток оказывается
направленным по нормали к плоскости контура, связанной с на-
направлением обхода правовинтовой системой. Отсюда следует вывод,
что направления вектора // и тока / также образуют правовинтовую
систему. Направив в цилиндрической системе координат ток / вдоль
оси г (рис. 2.3, б), получаем
"=«о2~г. B.14)
где а0 — единичный вектор касательной к координатной окружности
г = сопз!, соответствующий угловой координате а.
25

§ 3. Расхождения электрической и магнитной индукции
1. Третье и четвертое уравнения Максвелла. Следующие два
уравнения
сНуЯ = р C.1)
и
сНу# = 0 . C.2)
также входят в систему уравнений Максвелла.
Согласно C.1) расхождение электрической индукции равно плот-
плотности заряда р. По смыслу понятия расхождения это означает, что
электрические силовые линии могут начинаться или кончаться
только в точках пространства, где р ф О (мы подразумеваем здесь
линии вектора О). Если же во всех точках некоторой области V
Рис. 3.1.
оказывается р = 0, то силовые линии либо пронизывают её на-
насквозь, либо являются замкнутыми. Это показано на рис. 3.1. По-
Поскольку при р > 0 расхождение Б положительно, а при р < О
отрицательно, то «источниками» служат положительные заряды,
а «стоками» — отрицательные. Это иллюстрируют также
рис. 1.2, а, б.
Проинтегрируем левую и правую части уравнения C.1) по неко-
некоторому объему V:
Интеграл справа выражает полный заряд внутри V:
C.3)
Слева применим теорему Остроградского — Гаусса (П1.24), т. е.
заменим объемный интеграл расхождения сНу Ь потоком Ь через
замкнутую поверхность 5, являющуюся границей V. В результате
получаем интегральную формулировку закона электромагнетизма,
соответствующего уравнению C.1):
■-д. C.4)
26

Это так называемая теорема Гаусса, согласно которой поток элект-
электрической индукции через любую замкнутую поверхность <? равен
находящемуся внутри нее полному заряду <?. При этом не имеет зна-
значения, как распределен заряд (возможно, внутри V имеется не-
несколько заряженных областей). Если полный заряд внутри V равен
нулю (т. е. либо заряд отсутствует, либо положительный заряд урав-
уравновешен отрицательным), то поток вектора Б через 5 равен нулю:
число силовых линий, входящих в V, равно числу выходящих; в част-
частности, быть может, вообще нет входящих и выходящих линий, как
на рис. 3.1, г.
Относительно теоремы Гаусса C.4) сделаем еще следующее
замечание. В § 1 было указано, что электрическая индукция изме-
измеряется в кулонах на квадратный метр. Зная, что в кулонах измеря-
измеряется заряд, и пользуясь равенством C.4), подтверждаем эту размер-
размерность.
Обратимся далее к уравнению C.2). Равенство нулю расхожде-
расхождения' магнитной индукции В означает, что магнитные силовые ли-
линии — линии вектора В — нигде не начинаются и не кончаются:
они или замкнуты (как на рис. 3.1, г), или уходят в бесконечность.
Интегральная форма, соответствующая C.2), получается так же,
как и теорема Гаусса из C.1). Это уравнение имеет вид
& ВЛ8—0. C.5)
5
Поток магнитной индукции через любую замкнутую поверхность 5,
таким образом, всегда равен нулю.
Непрерывность магнитных силовых линий соответствует отсут-
отсутствию в природе магнитных зарядов. Уравнения C.2) и C.5) в срав-
сравнении с C.1) и соответственно C.4) позволяют
записать чисто формально для магнитного
заряда:
р» = 0 и д" = 0. C.6)
2. Поле точечного заряда. Рассмотрим при-
пример применения теоремы Гаусса для расчета
поля. Пусть имеется точечный заряд в пустоте
(или, например, в воздухе). Силовые ли-
линии поля представляют собой радиальные
прямые, идущие равномерно (через одинако- Рис. 3.2.
вые угловые расстояния), поскольку все на-
направления физически равноправны. Желая найти электрическую
индукцию на расстоянии г от заряда, опишем вокруг него сферу ра-
радиуса г (рис. 3.2). Радиальные направления образуют нормали к сфе-
сферической поверхности, поэтому под интегралом C.4) Ьй8 = О из.
Учитывая, что величина Б на поверхности сферы неизменна, имеем
4яг2
27

Перепишем этот результат в векторной форме, заменив также
вектор Б -через Е при помощи одного из соотношений A.5):
Е=гв
C.7)
§ 4. Дальнейшее обсуждение уравнений Максвелла
1. О строении электромагнитного поля. Познакомившись со
свойствами электромагнитного поля, которые отражают уравнения
C.1) и C.2), мы сможем теперь расширить круг представлений,
связанных с основными уравнениями Максвелла B.1) и B.2).
В этом параграфе будут рассмотрены также взаимосвязи всех четы-
четырех уравнений.
Сделаем сначала некоторые заключения о строении электро-
электромагнитных полей. Возвращаясь к примеру с прямолинейным по-
постоянным током из § 2 (п. 5), напомним, что структура рассчитывае-
О,Е(Возраст)
I
н,в
ЦЕ(убыв)
Рис. 4.1.
мого магнитного поля, изображаемая семейством концентрических
силовых линий, считалась там заранее известной. Однако на основа-
основании выводов § 3 ее нетрудно было бы предугадать. Действительно,
замкнутые силовые линии вектора В, отвечающие осевой симметрии
системы, могут быть только концентрическими окружностями; и то
же самое ввиду A.5) можно сказать о линиях вектора Н.
Не выходя за пределы применимости соотношений A.5), пойдем
дальше1). Поскольку магнитное поле может в равной степени воз-
возбуждаться как током проводимости, так и током смещения, то оче-
очевидно, что магнитные силовые линии в виде концентрических окруж-
окружностей свойственны не только осевому току проводимости, но и
вообще любому осесимметричному распределению полного тока.
Если имеется такой «сгусток» полного тока (а в частности, только
тока проводимости или только тока смещения), то его окружает
магнитное поле, описываемое концентрическими силовыми линиями,
причем полный ток и поле образуют правовинтовую систему(рис. 4.1).
Положим, что/=0, но есть изменяющееся во времени электриче-
х) Будет использован тот факт, что векторы В и Н, а также /) и Е в случае
вакуума в соответствии с A.5) параллельны. Однако позднее (§ 5) мы увидим,
что коллинеарность имеет место для всех изотропных сред.
28

ское поле. Тогда при наличии осевой симметрии мы должны обна-
обнаружить магнитное поле данного вида; направления векторов Б
(или Е) и Н (или В) связаны правовинтовой системой, если Б
возрастает, и левовинтовой системой, если Э убывает: в первом
случае векторы И и дЮ1дг направлены одинаково, а во втором —
противоположно.
Пусть в некоторой области вектор Н имеет неизменное направле-
направление. Введем декартову систему координат так, чтобы оно совпадало
с ее осью г; тогда Н = г0Н. На основании (П1.20) го* Н =
= л:0 дН/ду —у0 дН/дх, и следовательно, векторы Н и го! Н в дан-
данном случае перпендикулярны, а потому взаимно перпендикулярны
векторы напряженности магнитного поля Ни плотности полного тока
Далее вместо электрического тока будем рассматривать магнит-
магнитный поток. При осевой симметрии изменяющегося во времени маг-
|*^
В,Н(убыв)
В, Н(возраст)
Рис. 4.2.
нитного потока должна возникнуть ситуация, аналогичная предьг
дущему: создаваемое им электрическое поле будет описываться
семейством концентрических силовых линий. Это видно прямо
из формальной аналогии уравнений B.4) и B.8), заключающейся
в том, что они переходят друг в друга при замене Н ^ Е и
АС* (* А (*
-г, \ Ой8+ \]й8^ — ^ \ Вд.8. Итак можно построить картину
\
5
поля (ряс. 4.2), подобную уже известной (рис. 4.1); однако электри-
электрическое поле и магнитный поток образуют левовинтовую систему
(знак минус перед выражением потока означает, что его направление
надо обернуть). Отметим, что направления векторов В (или Н) и Е
(или В) при возрастании В связаны левовинтовой системой, а при
убывании — правовинтовой.
Выбрав область, в которой вектор Е не* меняет направления,
легко проверить, что векторы Е и дВ/д( взаимно перпендикулярны.
2. Сохранение заряда и ток смещения. Отметим еще один момент,
касающийся роли тока смещения и исторического происхождения
этого понятия. Существует закон сохранения заряда, согласно ко-
которому заряд д не уничтожается и не создается «из ничего». Поэтому
убывание заряда в некоторой области можно объяснить только его
вытеканием наружу, а возрастание — притоком извне. Пусть /°—
ток проводимости через полную (замкнутую) границу 5 области V,
29

полный заряд которой есть д. Тогда математическая формулировка
закона сохранения заряда будет иметь вид
или — с привлечением интегральных представлений тока и заряда—
D.1а)
(ср. формулы B.9) и C.3)).
Получим дифференциальную формулировку закона сохранения
заряда. Для этого преобразуем D.1а) слева при помощи теоремы
Остроградского — Гаусса (П1.24), а справа перенесем дифферен-
дифференцирование под знак интеграла; объединяя затем оба члена под одним
знаком объемного интеграла, получаем
(Ну/+})<& = О,
причем область V произвольна. Отсюда следует дифференциальная
формулировка закона сохранения заряда
^/=~|, D.2)
известная также под названием «уравнения непрерывности».
Теперь можно перейти к выяснению роли тока смещения в пер-
первом уравнении Максвелла. В случае постоянного тока его дифферен-
дифференциальная форма есть
го1 Н=У, D.3)
а интегральная имеет вид B.13). Записанное уравнение выражает
связь магнитного поля и постоянного тока, изученную еще до того,
как Максвелл сформулировал свои уравнения х). Заслугой Максвел-
Максвелла является, в частности, установление того факта, что уравнение
D.3) не выражает универсального закона электромагнетизма, по-
поскольку оно в общем случае (для переменных процессов) противо-
противоречит закону сохранения заряда. Действительно, образуя в D.3)
расходимости векторов и учитывая тождество (П1.32), имеем
' . сНу/=0,
тогда как на основании D.2) справа должно быть — др/д(.
Заметив это, Максвелл ввел поправку в D.3) в виде дО/д(, чтобы
привести уравнение в соответствие с D.2). Так возникло первое
уравнение Максвелла, включающее плотность тока смещения.
х) Мы имеем в виду сущность вопроса, а не математическую форму выраже-
выражения. В частности, векторная запись уравнений электромагнетизма не использо-
использовалась и самим Максвеллом, а была введена более поздними исследователями.
Уравнения Максвелла первоначально писались в координатной форме. ,
30

Нетрудно проверить, что с законом сохранения заряда оно действи-
действительно согласуется. Образуя расходимости в B.1), получаем уравне-
уравнение B.11). Если теперь поменять местами операции дифференциро-
дифференцирования сПу и д/д(, а затем заменить сПу Б через р согласно C.1),
то от B.11) придем к D.2). Можно еще отметить, что само название
«уравнение непрерывности» для D.2) указывает на его связь с ра-
равенством B.11), выражающим непрерывность линий полного тока.
3. Соотношение первой и второй пар уравнений Максвелла.
В заключение обсудим вопрос о связи уравнений C.1) и C.2) с ос-
основными уравнениями Максвелла B.1) и B.2). Дело в том, что урав-
уравнения C.1) и C.2) не являются вполне независимыми. Действитель-
Действительно, применяя операцию сНу к B.2), получаем после перестановки
местами операций сПу и д/д(
^ = 0. D.4)
Но это означает, что функция сНу В не зависит от времени:
сНуВ = соп51(/). D.5)
Можно сказать1): «Если поле в прошлом отсутствовало, то эта по-
постоянная должна быть равна нулю, и так как разумно предположить,
что первоначальное возникновение поля произошло не бесконечно
давно, то мы заключаем, что сПу В = 0». Приведенное рассуждение,
таким образом, на самом деле, позволяет перейти от второго уравне-
уравнения Максвелла B.2) к уравнению-C.2). Однако когда уравнение C.2)
пишется как самостоятельное, то это означает лишь то, что физиче-
физическое содержание приведенного рассу*ждения заключено в матема-
математической формулировке C.2). Как ив иных случаях, математиче-
математическое выражение лаконичнее словесного; к тому же оно незаменимо
при решении задач теории электромагнетизма, когда все исходные
положения должны быть выражены математически (формализованы).
По этой причине мы будем включать уравнение C.2) в систему
уравнений электромагнетизма.
Если же образовать расходимости в B.1), то получим подобно
предыдущему
~сПуЯ + с!^./=0. D.6)
Используя далее закон сохранения заряда в дифференциальной
форме D.2), имеем
|(ШуД-Р) = 0, D.7)
т. е.
сНуЯ— р = сопз1(/), D.8)
а отсюда при помощи прежнего рассуждения можно прийти к урав-
уравнению C.1).
Цитируется весьма авторитетная монография [А.2].
31

Итак, уравнение C.1) получается из первого уравнения Максвел-
Максвелла B.1) не только при помощи рассуждения о поведении поля во
времени, но и с привлечением закона сохранения заряда. Если же
уравнения B.1) и C.1) рассматривать как независимые, то закон
сохранения заряда возникает как их следствие.
Н. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СРЕД
Связь между векторами напряженностей Е, Ни векторами индук-'
ций Б, В в вакууме характеризуется соотношениями A.5). Различие
физического содержания Е и Б, В и Н при этом относительно:
оно определяется выбором системы единиц. В используемой нами
системе единиц СИ фигурируют имеющие определенную размер-
размерность постоянные е0 и ц0, служащие коэффициентами пропорцио-
пропорциональности между индукциями и напряженностями. Но, например,
в гауссовой системе е0 = ц0 = 1, так что для вакуума Б = Е
и В = Н.
Однако существенные различия индукций и напряженностей
(никак, по существу, не связанные с выбором единиц измерения)
характерны для различных материальных сред1). В зависимости
от вида среды имеется определенная связь между векторными функ-
функциями Б и Е, В и Н, а также /иЕ. В некоторых особых случаях
надо учитывать и более сложные связи, например, Б с Е и Н.
В дополнение к уравнениям B.1), B.2), C.1) и C.2) появляются,
таким образом, уравнения, характеризующие свойства среды,
в которой происходит электромагнитный процесс.
Очевидно, что указанные связи определяются взаимодействием
элементов материи и поля. К задачам микроскопической электро-
электродинамики относится изучение совокупности физических факторов,
определяющих зависимости Б (Е), В (//), ЛЕ) или более сложные.
Однако для реальных сред такие зависимости пока не могут быть
вычислены теоретически. Поэтому при их установлении в микро-
микроскопической электродинамике полагаются на экспериментальные
исследования.
В следующих параграфах мы рассмотрим типичные соотношения
между индукциями и напряженностями, а также между током
и полем. Затем будут получены важные соотношения, характеризую-
характеризующие поля на границах раздела сред.
§ 5. Поляризация и намагничивание
1. Об электромагнитных процессах в материальных средах.
Внутренние электромагнитные процессы в веществе обычно настоль-
настолько в среднем уравновешены, что сами по себе не создают макроско-
макроскопически наблюдаемого поля. Лишь некоторые среды составляют
х) Термин «материальная среда» (в отличие от «пустоты», вакуума) имеет,
конечно, узкий смысл, а не философский,
32

исключение, и среди них, например, ферромагнетики: всем известно
действие постоянных магнитов, поля которых обусловлены именно
внутренними самопроизвольными процессами. Однако под дейст-
действием внешнего (постороннего) поля уравновешенность внутренних
полей вещества в той или иной степени нарушается: последние
связаны с элементарными частицами, которые в свою очередь
подвержены действию внешнего поля. Так, например, во внешнем
электрическом поле происходит некоторая деформация, а также
переориентация атомов и молекул, заряды которых продолжают
оставаться, как говорят, «связанными» (т. е. испытывают лишь
некоторые отклонения); в результате этого появляется такое внут-
внутреннее поле, которое заметно изменяет первоначальное внешнее, на-
лагаясь на него. Это называется поляризацией среды. Аналогичный
процесс во внешнем магнитном поле называется намагничиванием.
В дальнейшем еще представится возможность рассмотреть неко-
некоторые черты подобных процессов более внимательно х). Пока же
важно выяснить, каким образом поляризация и намагничивание
находят отражение в общих уравнениях теории электромагнетизма.
Пусть напряженность электрического поля есть Е, тогда электри-
электрическая индукция в вакууме будет е0Е, и мы здесь обозначим ее Д,.
Однако в материальной среде при напряженности Е будет уже наблю-
наблюдаться индукция Б. Разность
Р=О-й0 (йо = еоЕо) E.1)
называют поляризованностью (электрической поляризацией) среды.
Поляризованность, следовательно, имеет такую же размерность,
как и электрическая индукция. Подобным же образом введем поня-
понятие намагниченности (магнитной поляризации) М. А именно,
если при напряженности магнитного тюля Н индукция в вакууме
есть Во = \10Н, а в данной материальной среде В, то намагничен-
намагниченностью назовем 2) разность
М = В-В0 (В0 = \10Н). ■ E.2)
Определенная таким способом намагниченность имеет размерность
магнитной индукции. Процессы поляризации и намагничивания
среды обычно выступают как независимые, т. е. первый не зависит
от магнитного поля, а второй — от электрического. Поэтому>можно
выделить следующие функциональные зависимости:
Р=Р{Е), Д = Д(Я), 1
* М = М(Н), В=В(Н). ) @ >
г) В §§ 18 и 80, п. 4 будет рассмотрена простая модель процесса поляриза-
поляризации. Вообще же физические процессы поляризации и намагничивания в разных
средах сложны и многообразны; они описываются в курсах электродинамики
сплошных сред; см., например, [Д.1—3].
2) Ради единообразия мы отступаем здесь от традиционного определения
вектора намагниченности, согласно которому М = —В—Н.
Но
2 Электродинамика 33

Простейшее понимание этой записи состоит в том, что для данных
х, у, г, г поляризация Р (х, у, г, г) вполне определяется напряжен-
напряженностью Е (х, у, г, () и т. д., иными словами, процессы поляризации
и намагничивания локальны и безынерционны: в каждой точке среды
М (х, у, г) они не зависят от состояния окружающей среды, а также
от «предыстории» состояния. Пока мы будем держаться такой точки
зрения, полагая также, что Р = О при Е = 0 и М = 0 при Н — О,
т. е. отсутствуют самопроизвольные поляризация и намагничива-
намагничивание х).
2. Восприимчивости и проницаемости сред. В большинстве
случаев векторы Р, Е и й, как и М, Н и В, коллинеарны, и удобно
писать:
Р=%%Е, E.4)
E.5)
где безразмерные коэффициенты %" и %" называются электрической
восприимчивостью и магнитной восприимчивостью среды соответ-
соответственно. Они выражают «меру активности» среды по отношению
к электромагнитному процессу. Далее, как видно, можно записать
следующие соотношения между индукциями и напряженностями:
й = гЕ, E.6)
В=ц#, E.7)
где в соответствии с E.1), E.4) и E.2), E.5)
и ц = цо
Коэффициент е называется диэлектрической проницаемостью, ац —
магнитной проницаемостью среды. Наконец, для того чтобы охарак-
охарактеризовать среду в сравнении с вакуумом, вводят безразмерные
относительные проницаемости
е,=^=1+Х9 и ^ = ^=1 + х- E.9)
(электрическая постоянная е0 и магнитная постоянная ц0 формально
являются проницаемостями вакуума).
Подчеркнем теперь, что в систему основных уравнений электро-
электромагнетизма мы включим в дальнейшем уравнения E.6) и E.7),
поскольку они в простой форме выражают связи индукций и напря-
женностей. Эти уравнения в высокой степени универсальны, т. е.
пригодны для правильного описания свойств широкого класса
сред, и пока не имеет смысла сосредоточивать внимание на ограни-
ограничениях их применимости. Проницаемости е и ц при этом играют
в уравнениях электродинамики роль характеристик сред, которые
в конкретных случаях определяются в результате измерений; мы
впоследствии обсудим некоторые возможности таких измерений.
!) О самопроизвольных поляризации и намагничивании см. § 21, п. 4.
34

3. Виды сред. Характер проницаемостей е и ц, которые мы
пока понимаем как скалярные коэффициенты в соотношениях E.6)
и E.7), соответствует виду среды. Очевидно, в случае среды одно-
родной, т. е. обладающей одинаковыми свойствами во всех точках
пространства, е и \х — величины, не зависящие от координат, а для
неоднородной среды — функции координат х, у, г (или иных). Если
е и ц не зависят от поля, то соотношения между индукциями и на-
пряженностями E.6) и E.7) являются линейными; при этом говорят,
что среда линейна (в смысле процессов поляризации).
Разумеется, не может быть идеально линейных сред, но практи-
практически нелинейности проявляются в большинстве случаев лишь при
огромных напряженностях полей. Так, например, с электрической
нелинейностью сред встречаются в случае электромагнитных полей,
создаваемых мощными лазерами. Однако при довольно слабых полях
нелинейность свойственна ферромагнетикам, а также сегнетоэлект-
рикам (магнитная и электрическая нелинейность соответственно).
Вообще уравнения E.6) и E.7) при не зависящих от поля е и ц
надо рассматривать как «линеаризованные» зависимости E.3),
т. е. полученные путем отбрасывания весьма малых нелинейных
членов в соответствующих разложениях. Действительно, записав
в скалярной форме одну из зависимостей E.3), например И = Б (Е),
представим ее в виде ряда Тэйлора по степеням Е:
1=1
причем, поскольку отсутствует самопроизвольная поляризация,
то О @) = 0, и мы получаем:
г(Е)=гл + г1Е + г2Е^ + ... + г0 + ...,) EЛ1)
е,= ^1, в^А^В, / = 2,3,4,... E.12)
Диэлектрическая проницаемость е (Е) может считаться не завися-
зависящей от Е и равной линеаризованной проницаемости ел, если пре-
пренебрежимо мала бесконечная сумма во второй строчке E.11),
начинающаяся с ггЕ.
Отметим,еще одно обстоятельство. Уже говорилось, что векторы
Р, Е и й, а также М, Ни В обычно коллинеарны, и в соответствии
с этим было проведено все рассмотрение (можно добавить, что —
за особыми исключениями — в и ц положительны, так что имеет
место не только коллинеарность, но и параллельность указанных
некторов). По своему смыслу соотношения E.6) и E.7) верны, как бы
ни были направлены векторы Е и Н; иными словами, свойства опи-
описываемых сред не зависят от ориентации полей (от выбранного на-
мранления). Такие среды называются изотропными,
2* 35

4. Описание анизотропии. Однако встречаются и анизотропные
среды, т. е. такие, свойства которых зависят от выбранного направ-
направления. Анизотропию не следует путать с неоднородностью; анизо-
анизотропная среда, как и изотропная, может быть неоднородна и одно-
однородна; в последнем случае ее свойства зависят от направления во
всех точках одинаково. Анизотропны кристаллы. В радиотехнике
широко используются намагниченные ферриты, анизотропные
в сверхвысокочастотном электромагнитном поле. Имеются и другие
практически важные случаи анизотропии сред. При анизотропии
(в смысле электрической или магнитной поляризации) вместо соот-
соотношений E.6) и E.7) пишут такие, которые соответствуют неколли-
неарности векторов индукций и напряженностей.
Итак, например, в случае линейной электрически анизотропной
среды вместо E.6) мы должны написать три скалярные равенства:
1-^У = ^ух^х -г Ъуу^у ~Т ^уг^гг
"'г = ^гх^х Т ^гу^у Т егг^г>
где гхх, гху, ..., ггу, ггг — некоторые величины, не зависящие от Е.
Нетрудно убедиться, что характеризуемая таким способом среда
действительно анизотропна; ее свойства, вообще говоря, различны
для направлений х, у и г. Меняя только ориентацию вектора Е
(направляя его поочередно вдоль осей х, у и г), мы можем получать
разные Б.
В дальнейшем для описания линейных анизотропных сред мы
будем пользоваться краткой формой записи и соотношения E.6)
и E.7) заменим следующими: /
Б = гЕ, E,13)
E.14)
где
8 = | &ух гуу ®уг ) И \1 = I \1ух №уу И
тензор диэлектрической проницаемости и тензор магнитной про-
проницаемости х). Заметим, что E.6) и E.7) — это частные формы ра-
равенств E.13) и E.14), возникающие при е = /е и ц, = /ц, (./ — еди-
единичный тензор).
Подобно E.6) и E.7) обобщаются при анизотропии и соотношения
E.4), E.5): вместо %* и %м появляются тензоры восприимчивостей
г) Не затрагивая понятие тензора в широком смысле, отметим, что в данном
случае имеется в виду умножение матрицы на вектор. Так, в E.13) вектор-столбец
(Их, ©г/, О г) получается путем умножения матрицы е на вектор-столбец (Ех, Еу,
Ег), см. Приложение 9.
36

%а и хм- Легко проверить, что тензоры относительных пронидае-
мостей ег = 8о'е и цг — ц^ц связаны с тензорами восприимчивости
соотношениями, подобными E.9):
и |.1г=/-|-%м. E.15)
5. Некоторые справочные данные. В заключение параграфа
приведем некоторые справочные данные о свойствах распростра-
распространенных веществ [Л.2].
Данные в обеих таблицах указаны для температуры / = 20 °С
и нормального давления (последнее существенно для газов). В
табл. 5.1 содержатся результаты измерения гг в различных перемен-
переменных полях, а также в статическом поле («частота 0»). Табл. 5.2 дана
Таблица 5.1
Относительная диэлектрическая проницаемость
Вещество
Воздух
Вода
»
»
»
»
»
Парафин
Кипрц пла-
плавленый
Частота (гц)
0—3-101»
0
10в
10»
3-10»
101»
1,9- 101»
2,4-101»
108-10»
103—10е '
8г
1,000536
. 81,10
80
80
78
64
44
35
2,2
3,8
Вещество
Стекло свинцо-
свинцовое
Стеатит
Мрамор
Стирол
Полиэтилен
Слюда
Титанат бария
Частота (гц)
108—10°
108—10*
108
108—10»
108—10»
Юз—108
Ю8
6,9
6
8
2,55
2,30
7
1200
славным образом для иллюстрации того факта, что относительная
магнитная проницаемость большинства веществ близка к единице.
Таблица .5.2
Относительная магнитная проницаемость
Вещество
Вмдород
Кислород
Вода
*г
0,99999999776
1,00000191
* 0,99999095
Вещество
Медь
Серебро
Алюминий
0,99999044
0,9999736
1,0000222
Приведены данные для некоторых парамагнетиков (цг > 1) и диа-
м</,-нс/пиков (цг <С 1). У ферромагнетиков (в частности, железа)
• щосительная магнитная проницаемость намного больше единицы
.(Ли постоянного и сравнительно медленно меняющегося поля; при
37

этом она связана с полем сложной зависимостью. Отметим, что тита-
титанат бария (см. табл. 5.1) относится к сегнетоэлектрикам, электри-
электрические свойства которых аналогичны магнитным свойствам ферро-
ферромагнетиков (в таблице дана линеаризованная проницаемость).
Титанат бария и мрамор изотропны, будучи поликристаллическими.
Плавленый кварц — аморфное изотропное вещество; кристаллы
кварца относятся к так называемым «одноосным», монокристалл
кварца — анизотропная среда (§82, п.1), характеризуемая тензором
относительной диэлектрической проницаемости
/4,55 О О
^.=[0 4,55 0
\0 0 4,49у
§ 6. Электропроводность
1. Движение зарядов. При наличии свободных электрических
зарядов в электромагнитном поле, как известно, существует ток
проводимости, характеризуемый в каждой точке пространства век-
вектором плотности/. Начнем с того, что получим простое соотношение,
связывающее плотность тока /, плотность заряда р одного знака
и скорость движения заряда V. Как это показано на рис. 6.1, а,
выделим в пространстве элементарный цилиндр, ось которого парал-
параллельна вектору У (т. е. направлению движения заряда). Ток /,
проходящий через основание
цилиндра 5, равен
/=уУо5 = /5. F.1)
С другой стороны,
а)
б)
Рис. 6.1.
где Ад — заряд, проходящий
через 5 за время А(.
Пусть в некоторый момент
времени / в объеме V = 31 ци-
цилиндра, показанного на рис.
6,1, а, содержится заряд д. По
прошествии времени А{ он займет область, заштрихованную на
рис, 6.1, б. При этом, как видно, заряд Д#, прошедший через осно-
основание цилиндра, располагается в объеме АУ = 5Д/ (рис. 6.1, б).
Учитывая, что при А( -> 0
АУ
М
И Ы
V,
приводим выражение F.1а) к виду;
/= Пт -.
До ,, од; _
АУ Д<0 & ^
F.2)

Сравнивая F.1) и F.2), видим, что / = ро, а поскольку векторы,/
и V направлены одинаково, то
/=рю. F.3)
Отметим еще один побочный результат. По аналогии с A.6)
и A.7) на основании A.3) можно выразить плотность лоренцевой
силы:
— движущийся со скоростью V объем, содержащий заряд Д#).
Привлекая равенство F.3), имеем
/=р[г», В] = У, В]. F.4)
2. Ток и поле. Закон Ома. Полученный выше результат сам по
себе очень прост (к аналогичному соотношению приводит анализ
движения жидкости), однако к уже имеющимся векторным функциям
прибавилась еще одна — скорость движения заряда V. Это требует
добавления к уравнениям Максвелла дополнительных уравнений,
связывающих V с векторами электромагнитного поля. Так в действи-
действительности и делают, например, при рассмотрении электронных по-
потоков в вакууме, используя уравнения движения заряженных мате-
материальных частиц в поле.
Однако в огромном большинстве проблем макроскопической
электродинамики просто полагают, что / есть некоторая функция
напряженности электрического поля Е:
/=№■ • F-5)
Если среда изотропна в смысле электропроводности, то можно
ввести скалярный коэффициент а, называемый удельной проводи-
проводимостью, и писать
]=оЕ. F.6)
Уравнение F.6) вместе с E.6) и E.7) причисляют к основным урав-
уравнениям электромагнетизма, называя их «материальными уравне-
уравнениями», а также «уравнениями состояния». С формальной точки
зрения удельная проводимость а есть характеристика среды, по-
подобная диэлектрической проницаемости е или магнитной проницае-
проницаемости ^. Среда называется линейной (в смысле электропроводности),
если соотношение F.6) линейно, т. е. а не зависит от Е. Для линей-
линейной анизотропной среды, подобно тому как делалось в § 5, вместо
F.6) пишем
/=оЕ, F.7)
где
/охх Оху Охг>
о,.
— тензор удельной проводимости.
39

Покажем, что уравнение F.6), понимаемое как линейное, есть
не что иное, как форма записи закона Ома, приспособленная для
локального описания процесса (иногда говорят: «дифференциальная
форма закона Ома»). Возьмем, как и ранее, цилиндрический объем
с параллельным оси равномерно распределенным током (рис. 6.1, а).
Согласно F.6) параллельно оси цилиндра направлен и вектор Е.
Проинтегрируем по V обе части равенства F.6):
Ввиду постоянства вектора / внутри цилиндра
/&, =/5/= /„//,
где /0 — единичный вектор вдоль направления оси. Аналогично
^ а Е (IV=оЕ31 = 10аЗЕ1 = 1<р
где V = 1Е есть не что иное, как падение напряжения на участке /.
Сопоставляя полученные выражения, приходим к равенству
Это хорошо известный закон Ома для участка цепи; величина
е^= //05 есть электрическое сопротивление выделенного цилиндра
(это мог бы быть кусок проволоки). Поскольку сопротивление изме-
измеряется в омах [ом], то удельная проводимость имеет размерность
11/од»-д»]; соответствующая единица измерения называется сименс
на метр [сим/м].
3. Проводники и диэлектрики. Ниже в табл. 6.1 приведены
значения удельной проводимости для некоторых распространенных
веществ 1А.2].
Таблица 6.1
Удельная проводимость
Вещество
Серебро
Медь отожженная
Алюминий промыш-
промышленный '
Железо
Олово
Свинец
Ртуть
а (сим/м)
6,139-10?
5,8005-10?
3,54 ■ 10'
1,0 • 10*
0,869 • Ю»
0,48 • 10?
0,1044 ■ 10?
Вещество
Кварц плав-
плавленый
Парафин
Слюда
Стекло
обычное
Бакелит
Мрамор
а (сим/м)
2 • 10-1'
Ю-14— Ю-"
1 10-и— Ю-"
Ю-"
Ю-» _1о-1в
Ю-2 -Ю-»
Примечание. Все данные указаны для / = 20°С.
40

В зависимости от степени электропроводности вещества делят
на проводники и диэлектрики (изоляторы). Удельные проводимости
типичных проводников и диэлектриков различаются на много по-
порядков, как об этом свидетельствует табл, 6.1. Поэтому их поведение
в электромагнитных полях глубоко различно. В ряде случаев
реальный проводник или диэлектрик при решении электродинами-
электродинамической задачи с успехом заменяют идеализированными: используются
понятия идеального проводника с неограниченной проводимостью
(а -> оо) и идеального диэлектрика, лишенного проводимости
(а = 0).
Имеются, однако, среды, занимающие по электропроводности
промежуточное положение (см. табл. 6.2).
Таблица 6.2
Промежуточные среды х)
. Среда
" {сим/м)
Земля сухая
» влажная
Вода дистиллированная
» пресная природная
» морская
3—6
10-30
(см. табл. 12.1)
80
80
1,1
3-
2.
Ю-2
Ю-5-2 •
10-3—3-
10-*
10-3—2,4 • 10-
1 —4,3
Данные взяты из [ЕЛ].
Такие вещества в переменных электромагнитных полях прояв-
проявляют в зависимости от условий свойства диэлектриков или провод-
проводников. Чтобы найти меру оценки свойств промежуточных сред, надо
сначала выяснить сущность качественного различия между провод-
проводниками и диэлектриками.
Сравним идеальный диэлектрик с идеальным проводником.
В первой среде (а = 0) может существовать лишь ток смещения, так
как первый член в выражении плотности полного тока
равен нулю. Во второй среде (а -> оо ), наоборот, существует только
ток проводимости: второй член в сравнении с первым -— величина
бесконечно малая. Поэтому реальная среда должна быть признана
близкой к идеальному диэлектрику, если в ней ток смещения значи-
значительно преобладает над током проводимости, и близкой к идеальному
проводнику при значительном преобладании тока проводимости.
По этому признаку и различают в электродинамике реальные про-
ьодники и диэлектрики. Но, как видно, соотношение токов прово-
проводимости и смещения зависит не только от характеристик среды о иг,
а также и от скорости изменения поля.
В радиотехнике особый интерес представляют поля, гармонически
колеблющиеся во времени; для них нетрудно получить простой кри-
41

терий принадлежности среды к группе проводников или диэлектри-
диэлектриков. Итак, пусть напряженность электрического поля есть функция
Е=Ет(х, у, г) сов [со* + <р (х, у, г)],
что соответствует гармоническим колебаниям с круговой частотой со.
Вычисляя в произвольной точке М (х, у, г) плотности токов прово-
проводимости и смещения (у = оЕ = оЕт соз (со* + <р) и дО/д* —
= — шЕт 51П (со* + ф)), составим отношение их амплитуд:
Ы __ О
(Ю/д()п
а
F.9)
Это и есть мера оценки свойств среды при данной частоте. Очевидно,
среда характеризуется как про-
проводник или как диэлектрик соот-
при
1 и
а
0)8
F.10)
ветственно
а
0)8
Таким образом, с точки зрения
электродинамики, деление сред
на проводники и диэлектрики
относительно, поскольку вопрос
о принадлежности одному из
этих классов решается в зави-
зависимости от свойств поля (в дан-
данном случае — его частоты). В том
огромном диапазоне частот, ко-
которым располагает современная
радиотехника, свойства сред ме-
меняются весьма значительно, Во-
Вообще говоря, нельзя считать не
зависящими от частоты и ха-
характеристики сред к и а. Однако
вплоть до очень высоких частот,
пока колебания частиц мате-
материи еще далеки от своих резонансов, г я о могут быть практически
частотно-независимыми. Тогда они выступают в оценке F.10) как
постоянные.
Поведение ряда известных сред иллюстрирует рис. 6.2. Как
видно, например, сухая почва, будучи на низких частотах проводни-
проводником, на сверхвысоких становится отчетливо выраженным диэлект-
диэлектриком. Отмеченный факт играет важную роль в процессе распро-
распространения радиоволн над земной поверхностью, на чем мы специ-
специально остановимся позднее.
4. Сторонние силы. Остается еще один вопрос, который необхо-
необходимо здесь рассмотреть в связи с электропроводностью сред. До сих
пор мы имели в виду ток проводимости как процесс движения заря-
заряженных частиц материи в электромагнитном поле. На положитель-
положительный точечный заряд ц действует сила цЕ (см. § 1); при движении на
42
Рис. 6.2,

пути Д/ она совершает работу дЕЫ, отнимая энергию поля. Если
представить себе, что поле, появляясь в некоторый момент, вызывает
движение зарядов, то ток проводимости предстает как процесс
«вторичный», требующий затраты энергии поля. Однако регулярное
(нехаотическое) движение заряженных частиц может происходить
и в результате действия сил, не имеющих отношения к электромаг-
электромагнитному полю, так называемых сторонних электродвижущих сил.
Если под действием сторонней силы заряд движется против поля Е,
то работа на пути Д/ оказывается отрицательной: — дЕА1 ■< О,
т. е. сторонние силы увеличивают энергию электромагнитного поля.
Очевидно, наличие сторонних сил того или иного происхождения
необходимо при преобразовании какой-либо энергии в энергию
электромагнитного поля. Об энергии будет говориться подробнее
уже в этой главе (§§ 9—12), а позднее (§ 28) вопрос о сторонних силах
будет поставлен в несколько иной плоскости *). Пока подчеркнем,
что физическое содержание сторонних сил ничем не ограничивается.
В качестве простого примера можно рассмотреть движение заряжен-
заряженных частиц (обладающих массой) под действием гравитационного
поля; действием сторйнних сил объясняются процессы в гальвани-
гальванических элементах, термоэлементах и т. д.
Описание сторонних сил сводится к изменению вида уравнения
F.6). При этом используется одна из двух формализации:
F.11)
F.11а)
В первом случае введена функция Е", называемая напряженностью
сторонних сил (или кратко «сторонней напряженностью»), а во вто-
втором — плотность стороннего тока ,/". Если подразумевается, что
I" = оЕ", то обе записи эквивалентны. Однако условия их приме-
применения, как будет позднее показано, различны.
§ 7. Поля на границах раздела сред. Граничные условия
1. Предварительные замечания. Поверхности физических тел
являются границами, разделяющими среды с разными свойствами.
Наша задача^ будет состоять в изучении полей непосредственно
вблизи таких поверхностей, при переходе через которые параметры
сред е, \х и о, возможно, испытывают скачок. Проще всего считать
этот скачок идеальным, т. е. рассматривать е, ц и а как разрывные
функции нормали к границе. Можно было бы, конечно, допустить,
что граница не является резкой, а имеется весьма тонкий переход-
переходный слой, внутри которого свойства среды изменяются плавно.
Но попытка изучать такого рода слои в рамках макроскопической
электродинамики была бы непоследовательной (стр. 14).
х) В § 28 будут обсуждаться условия, при которых в уравнения электродина-
электродинамики входят заранее заданные токи, и поля; последние прямо или косвенно отра-
отражают действие сторонних сил, у
43

Дифференциальные уравнения Максвелла B.1), B,2), C.1) и
C.2) применять в точках границы затруднительно '), Зато их инте-
интегральные аналоги B.4), B.8), C.4) и C,5) по своему математиче-
математическому характеру таковы, что они могут быть применены к областям
E и V), содержащим внутри себя границы, на которых векторы поля
терпят разрыв. Эти уравнения мы и будем использовать для изуче-
изучения полей на границах раздела сред.
2. Нормальные компоненты векторов поля. Исследуем сна-
сначала поведение компонент векторов поля, нормальных границе
раздела сред. Пусть поверхность 5 (рис. 7,1) разделяет среды 1 и 2
(все величины, относящиеся к ним, будем снабжать индексами
1 и 2). На 5 выберем достаточно малый элемент Д5 и построим на
нем элементарный цилиндр высотой ДА, находящийся в обеих
средах, Под словами «достаточно малый элемент» подразумевается,
что Д5 можно считать элементом плоскости, а прилежащее поле —
однородным (не изменяющимся) вдоль
границы в обеих средах,
В общем случае поверхность раз-
раздела сред 5 может нести заряд. Фак-
Фактически речь идет о заряде, который
располагается на ней очень тонким
слоем (этот случай, как будет видно
в дальнейшем, представляет значи-
значительный интерес), Однако в соответ-
Рис. 7.1. ствии с общей концепцией об идеа-
идеализированной границе раздела сред,
т. е. об" отсутствии переходного слоя, предположим, что заряд не
занимает объема, а сосредоточен в самой поверхности 5; тогда
величина
1= Нт %,
Д5 — 0 ао
G.1)
где Д# — заряд элемента поверхности Д5, имеет смысл плотности
поверхностного заряда. Заметим, что во всех точках, где имеется
поверхностный заряд (^ ф 0), на основании A.6) р -> оо; но плот-
плотность р может быть представлена при помощи дельта-функции
согласно (П2,7).
Чтобы изучить поведение на границе 5 электрической индук-
индукции Б, применим к построенному цилиндрическому объему теорему
Гаусса C.4). Ввиду однородности поля поток вектора Б через
верхнее и нижнее основания цилиндра находится простым умно-
умножением скалярного произведения этого вектора и внешней единич-
единичной нормали (Уо или соответственно \1) на площадь поперечного
сечения цилиндра Д5, а заряд внутри цилиндра в общем случае
г) Можно ввести такие обобщения дифференциальных операций го1 и (Ну,
что в рассмотрение будут входить векторные функции с разрывами некоторых
компонент.
44

равен сумме заряда в его объеме д и заряда на границе раздела сред
^Д5. Поэтому, согласно C.4), получаем
где через Ф^ок обозначен поток индукции Б через боковую по-
поверхность цилиндра.
Будем неограниченно уменьшать высоту цилиндра ДА так,
чтобы в пределе при ДА -> 0 его основания совпали с элементом
граничной поверхности Д5; поскольку вместе с ДА стремятся
к нулю боковая поверхность и объем цилиндра, то в предыдущем
равенстве исчезнут Ф^ок и д. Сделаем замену
где л*о — единичный вектор нормали к поверхности раздела, направ-
направленный в первую среду. Разделив далее все члены равенства на Д5,
получаем
(Ях-^К^, ' G.2)
или
ОУ1-ОУ2 = |. G.2а)
Это и есть окончательный результат произведенных действий,
показывающий, что нормальная компонента Оу вектора электри-
электрической индукции на границе раздела сред терпит разрыв, и вели-
величина скачка равна плотности поверхностного заряда ^. Если же
поверхность не заряжена, то нормальная компонента индукции
непрерывна:
А* = А* A = 0). G.3)
Формулы G.2), G.2а) и G.3) нетрудно переписать относительно
напряженности электрического поля Е, заменив при помощи E.6)
/)х на г1Е1 и й2 на г2Е2. При анизотропии вместо E.6), как из-
известно, надо пользоваться соотношением E.13).
Перейдем к вектору магнитной индукции В. Возвращаясь
к выполненному построению (рис. 7.1), используем теперь не
теорему Гаусса C.4), а подобное ей уравнение C.5). Так как фор-
формально левые части обоих этих равенств одинаковы, все ранее
произведенные действия просто повторяются, и мы имеем
где Ф^ок означает поток магнитной индукции В через боковую
поверхность цилиндра. Затем при ДА -> 0 получаем результат,
подобный G.2):
(В1-В2)у0 = 0, G.4)
или
Вп = Вп. G.4а)
Итак, нормальная компонента Ву вектора магнитной индукции на
границе раздела сред непрерывна. Формулы G.4) и G.4а) при
45

помощи соотношения E.7) (а если требуется, E.14)) легко перепи-
переписать относительно Н.
Наконец, отметим следующий факт. Вектор плотности полного
тока У+ ^- подчинен соотношению B.12) — совершенно такому
же, как только что примененное равенство C.5), содержащее век-
вектор В. Это значит, что все выполненные выкладки верны и для
вектора плотности полного тока. Поэтому можно прямо записать
следующее равенство:
з = 0, G.5)
подобное G.4). Оно свидетельствует, что нормальная компонента
плотности полного тока на границе раздела сред непрерывна.
В частности, для процесса, неизменного во времени (д1д1 = 0),
непрерывна нормальная компонента плотности тока проводимости:
/VI
G.6)
3. Тангенциальные компоненты векторов поля. Чтобы иссле-
исследовать поведение тангенциальных границе раздела сред компонент
векторов поля, произведем другое построение. Рассечем поверх-
поверхность раздела сред 5 плоскостью Р (рис. 7.2, а), которую можно
\
Рис. 7.2.
считать перпендикулярной к выделенному элементу границы 5
(этот элемент Д5' на рисунке не обозначен). В плоскости Р возьмем
прямоугольный контур Ь = АВСО, пересекающий границу, не
выходя за пределы указанного малого элемента ее Д5. При этом
АВ = СО = Д/ и ВС = АВ = Дй; боковая сторона контура парал-
параллельна нормали к границе г0. Единичный вектор, совпадающий
с линией пересечения плоскости Р и границы 5 (в пределах сделан-
сделанного построения) обозначим х0. Направление т0 выбрано так, чтобы
выполнялось соотношение х0 = [п0, у0], где п0 — единичный вектор
нормали к Р, составляющий правовинтовую систему с направле-
направлением обхода контура ^
Желая исследовать поведение вектора напряженности электри-
электрического поля Е, применим к контуру уравнение B.4). Ввиду малости
46

рассматриваемой области пространства получаем простой по форме
результат
Егх0 Д/ - Е2х0 Д/ + С§ок = - ~ п0 Д/ ДА,
где (слева от знака равенства) циркуляция вектора Е по контуру ^
разбита на три части: первые два члена соответствуют сторонам
контура АВ и СО, а третий выражает долю боковых сторон.
Будем неограниченно уменьшать высоту контура ДА так, чтобы
его стороны АВ и СО совпали на границе. При этом правая часть
записанного равенства и Сэбок исчезают, в результате чего находим
(Ег-Е^х0 = 0, G.7)
или
Еп = Ехъ. G.7а)
Заметим, что ориентация выбранного тангенциального направ-
направления (вектор х0) на границе раздела относительно рассматривае-
рассматриваемого поля произвольна. Поэтому в формулах G.7) и G.7а) право-
правомерно считать, что Ех есть проекция вектора Е на 5. Эта танген-
тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического
поля па границе сред непрерывна, как о том свидетельствует полу-
полученный результат.
Конечно исключено, что проекции Ег иЕ8 на 5 не совпадают по
направлению (тогда сделанный вывод был бы неверен): действи-
действительно, равенство G.7) не выполнялось бы в этом случае при лю-
любом х0. Впрочем, к вопросу можно подойти и чисто формально.
Учитывая, что х0 = [л0, у0], напишем вместо G.7) /
(Е1-Е2)[п0, го] = [уо, (Е1-Е2)]п0=Ь,
а так как это равенство не должно зависеть от направления век-
вектора л0, указывающего ориентацию контура ^ на поверхности 5,
то получаем следующую форму записи ранее найденного условия:
[у0, (Е1-Е2)] = 0. G.76)
Ее удобство в том, что в отличие от х0 направление вектора V,, на
поверхности 5 во всех обычных точках является вполне определен-
определенным (исключение составляют, например, точки, принадлежащие
линиям излома поверхности).
Перейдем к рассмотрению напряженности магнитного поля Н.
Применяя уравнение B.8), для прежнего контура ^ (рис. 7.2, а)
запишем равенство, аналогичное полученному выше при исследо-
исследовании вектора Е:
( )
Полагая, что плотность полного тока дБ1д1 + ] является величи-
величиной ограниченной (не бесконечной), в результате предельного пере-
перехода при ДА ~* 0 находим
^О G.8)
47

или
Нх, = Ны G.8а)
а также
К (Нг-Щ} = 0 G.86)
(мы не приводим промежуточных выкладок, поскольку они фор-
формально не отличаются от предыдущих). Итак, при ограниченной
плотности тока тангенциальная составляющая вектора напряжен-
напряженности магнитного поля, как и Ех, непрерывна на границе раз-
раздела сред.
4. Случай поверхностного тока. Существует, однако, особый
случай, на который полученный выше вывод о непрерывности тан-
тангенциальной компоненты вектора Н не распространяется. Пред-
Предположим, что на границе раздела сред имеется поверхностный тбк,
т. е. ток, проходящий по поверхности 5, не занимая объема. Плот-
Плотностью поверхностного тока является величина
/ <79)
где (рис. 7.2, б) /0 — единичный вектор, указывающий направление
движения зарядов, а А/ — пересекаемый током Д/ элемент линии,
перпендикулярный вектору /0. Представление о поверхностном токе
является полезной абстракцией, которой широко пользуются
в теории электромагнетизма.
Вернемся к изучению поведения вектора Н на границе раздела
сред. Так как в точках границы ч\ Ф 0, то там,/-»- оо (ср. формулы
G.9) и A.7)), а потому в действия, произведенные в п. 3, надо внести
изменения х). В правой части равенства, предшествующего формуле
G.8), теперь имеем-ллен
АН/2
$ /</а = л0Д/ \ ]йН (/г = 0 на 5),
А1 АН — АН/2
который при Д/г -> 0 не исчезает. При стягивании контура Ь к
отрезку Д/ на" граничной поверхности 5 (рис. 7.2, а) записанное
выражение не обратится в нуль потому, что через этот отрезок про-
протекает поверхностный ток. При этом
АН/2
и,
следовательно,
или
И
далее
— АН/2
вместо прежнего результата
(Н1-Н2)т:0 = цп0
Нх1 — Ята = Лло
G.8)
получим
G
G.
G-
.10)
10а)
106)
1) Плотность ] может быть выражена при помощи б-функции согласно (П2.8).
48

Если контур Ь ориентирован так, что т0 совпадает с направлением
проекции вектора Нх — Н2 на Д5, то левая часть G.10) принимает
свое максимальное значение, а вместе с ней и правая: ч\п0 = ц;
отсюда нетрудно заключить, что векторы Нх — //2 и ц взаимно
перпендикулярны. Из G.106) это следует формально.
Итак, согласно полученному результату, тангенциальная ком-
компонента напряженности магнитного поля при наличии поверхност-
поверхностного тока на границе раздела разрывна.
5. Граничные условия. Подведем некоторые итоги. Применение
уравнений Максвелла б интегральной форме позволило установить
ряд соотношений, которым подчинены нормальные и тангенциаль-
тангенциальные компоненты векторов поля на границах раздела сред. Следуя
традиции, мы будем называть эти соотношения граничными усло-
условиями. Очевидно, их совокупность сводится к системе равенств:
К(^-^)]=о,
М1)
(например, G.86) есть частная форма G.106) при т] = 0).
Важно, что благодаря граничным условиям мы располагаем
некоторой информацией о характере поля на той или иной границе
раздела сред, еще не зная самого поля в обеих средах. Такая инфор-
информация необходима для нахождения решений дифференциальных
уравнений Максвелла, описывающих это поле. Иными словами,
когда ставится какая-либо задача теории электромагнетизма, гра-
граничные условия на заданной поверхности рассматриваемого тела,
отражающие его свойства, дают те конкретные сведения о задаче,
которые требуются для получения определенного решения общих
уравнений теории электромагнетизма. Следует, однако, иметь
в виду, что, кроме изученных граничных 'условий, вытекавших
из уравнений Максвелла, должны использоваться и граничные
условия независимые. Оставляя пока этот вопрос в стороне, заметим
лишь, что независимые граничные условия могут выражать при-
причину существования поля.
Начиная со второй главы, мы рассмотрим немало задач с задан-
заданными граничными условиями на определенных поверхностях.
Но уже сейчас можно дать несколько иллюстраций, которые пока-
покажут, какие сведения о полях заключают в себе граничные условия.
§. 8. Примеры применения граничных условий
1. Экранирующая граница. Предположим, что поверхность 5,
разделяющая среды 1 и 2, обладает свойством «экранирования»
поля, т. е. поле может существовать в одной из них (скажем, в
среде 1), не проникая в другую (среда 2). Поскольку при этом
Е-2 = 0, и поэтому Ех2 = 0, из условия G.7а) непосредственно
49

следует:
Ят1 = 0, ' (8.1)
т. е. поле в, среде 1 лишено тангенциальной компоненты: оно,
таким образом, нормально границе раздела сред (рис. 8.1, а).
Обратимся сразу же к граничному условию для нормальных ком-
компонент G.2а). Ввиду отсутствия поля в среде 2 должно быть:
О^ = 0. Отсюда
О1==О^ = Ъ (8.2)
а если первая среда изотропна, то ОУ1 можно заменить на г-^Е^, т. е.
Ег=Еп = ^. (8.3)
Итак, на экранирующей границе обязательно сосредоточен поверх-
поверхностный заряд, плотность которого и определяет существующее
1 Г
V////////////////
2 Е2=о
а)
У/////////////////,
б)
Рис. 8.1.
2
1
поле. Если бы этого заряда не было (^ = 0), то, как следует из
(8.2), в среде 1 отсутствовала бы нормальная компонента Оп;
вместе с условием ^8,1) это означает отсутствие поля на границе
вообще.
Продолжая исследование экранирующей границы, возьмем
условие G.4а). Ввиду отсутствия поля в среде 2 в правой части
должен быть нуль, а поэтому
Ву1 = 0, (8.4)
т. е. поле в среде 1 оказывается тангенциальным границе (рис. 8.1, б).
Отсюда и НУ1 = 0 (в случае изотропной среды). Предположим,
что на экранирующей границе нет поверхностного тока (т] = 0).
Тогда из факта отсутствия поля во второй среде (Ята = 0) следует,
что НХ1 = 0, и остается прийти к выводу, что магнитного поля
на границе вообще нет. Но поле будет существовать при наличии
поверхностного тока. Действительно, учитывая отсутствие поля
во второй среде, из формул G.10а) и G.106) получаем
Я! = Ят1 = г) (8.5а)
К #!] = т] (8.56)
(в (8.5а) полагаем, что Нх1 есть проекция Нх на Д5); векторы Нх
50

и ц взаимно перпендикулярны. Для изотропной среды можно
записать также
51=ВТ1 = ц1т) (8.6а)
К, ВД = [1{1\. (8.66)
Итак, если при наличии экранирующей границы существует
электромагнитное поле в одной из разделенных сред, то вектор Ю
нормален границе, а вектор Н тангенциален, а их граничные зна-
значения определяются поверхностным зарядом и поверхностным
током.
2. Преломление электрических и магнитных силовых линий.
Рассмотрим поле на границе двух изотропных диэлектриков при
отсутствии поверхностного заряда, а также заряда в объеме При
Рис. 8.2.
этом линии вектора й непрерывны (§ 3), и если они проведены
вплоть до границы в одной из сред, то легко указать направление,
в котором продолжается каждая линия в другой среде. Действи-
Действительно, согласно G.3) нормальные компоненты вектора И по обе
стороны границы равны, а из G.7а) получается отношение танген-
тангенциальных:
Отношение нормальной компоненты к тангенциальной есть тангенс
угла наклона линии вектора к границе:
И =^ = 1
(8.8)
На основании (8.9) и, учитывая G.3) и (8.7), находим
=г=й' • (8.9)
т. е. на границе раздела сред происходит «преломление» линий
вектора Д лежащих в плоскости, которая проходит через нормаль
к границе. Это показано на рис. 8.2, а, где для определенности
выбрано е2 > б1 (Оп = Оад, о <ОТ2).
51

Поскольку среда изотропна, то при е > 0 векторы Е и /Э парал-
параллельны; таким образом, линии вектора Е преломляются точно так
же, как и линии вектора Б (это отражено на рис. 8.2, а), К формуле
(8.9) можно было прийти, рассматривая вектор Е и отправляясь
соответственно от формул G.7а) и G.3).
Линии вектора В (магнитные силовые линии) всегда непрерывны,
и прежние рассуждения, очевидно, остаются справедливыми.
Используя в дополнение к G.4а) соотношение
_ 14
,0 1
следующее из G.8а) (при отсутствии поверхностного тока), можно
построить картину преломления линий на границе раздела сред,
подобную рассмотренной (рис. 8.2, б). Обозначая, как и ранее,
§ веР2. (8.П)
имеем формулу
. |8к=М* = М - - (8.12)
сходную с (8.9).
При изотропии линии вектора Н параллельны линиям вектора В
(магнитная проницаемость положительна). Поэтому формула (8.12)
характеризует также преломление линий вектора Н. Ее можно было
бы получить, исходя из G.8а) и следующего из G.4а) соотношения,
содержащего напряженности.
При е2 > гг .(ц2 > ц,^ картина преломления линий индукции
выглядит так, как это показано на рис. 8.3, а, а при е2 < ех (ц2 <;
< р.,) — как на рис. 8.3, б. В первом случае О2 > Вг (В2 > В^)
и(вУ у / ,, ,в(в)
б)
Рис. 8.3.
и линии во второй среде сгущаются, а во втором случае О2'<^О1
(В2 <; Вг) и линии разрежаются.
Для напряженностей поля Е и Н построенные картины силовых
линий уже несправедливы: хотя углы ' преломления и остаются
прежними, число линий при переходе через границу раздела в дан-
данном случае не сохраняется. Действительно, перепишем, например,
уравнение C.2) относительно Н:
сНу|л//=0
52

и предположим сначала, что ц остается на границе гладкой функ-
функцией, переходя от ^ к [12 в очень тонком слое. Применяя тождество
(П1.30), получим
(Ну#= —-
Магнитная проницаемость постоянна и §гас! ц = 0 везде, за иск-
исключением переходного слоя, внутри которого, следовательно,
сНу Нф- О, т. е. лежат источники (стоки) линий вектора Н. При пере-
переходе к скачкообразному изменению ц на границе §гас! ц -*■ со на 5,
что соответствует поверхностному распределению источников (сто-
(стоков) линий Н (ср. соотношение ^ и р § 7, П.2).
3. Узкие щели. Наконец, рассмотрим следующий пример.
В диэлектрической среде существует поле, характеризуемое векто-
вектором Е. Если прорезать узкую щель перпендикулярно к Е (рис. 8.4,а),
а)
Рис. 8.4.
то напряженность электрического поля внутри нее, согласно G.3)
будет равна
Если же прорезать щель параллельно Е, то в силу непрерывности
тангенциальной компоненты напряженность, внутри щели останется
прежней:
Как видно,
Р —— =: —-—
г в Р '
(8.13)
т. е. относительная диэлектрическая проницаемость среды
быть найдена на основании двух измерений Е внутри щелей в среде.
Разумеется, приведенные рассуждения остаются вполне строгими
только для однородных полей, а следовательно, для бесконечно
вытянутых щелей. Реальные щелевые полости — при ряде предо-
предосторожностей — могут быть выполнены так, что соотношение (8.13)
соблюдается с высокой точностью.
53

В случае определения магнитной проницаемости среды вместо
(8.13) имеем
и в,
^ к 8Л
III. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Говоря о физической реальности электромагнитного поля,
подразумевают, что с полем связана энергия. Изменяясь, поле
может отдавать свою энергию какому-либо неэлектромагнитному
процессу, а также и отбирать энергию. Электромагнитные поля
способны переносить энергию в пространстве.
Выделим некоторую область V; пусть в момент I заключенная
в ней энергия электромагнитного поля есть № = № {I). При этом
может оказаться, что
ж<0 или -ж>0.
Первое означает, что энергия поля в V уменьшается. Убывание №
может явиться результатом поглощения в среде или отдачи в полез-
полезную нагрузку, причем в обоих случаях энергия поля превращается
в иные формы (например, необратимо переходит в тепло); причиной
может быть и излучение в окружающее пространство. В свою очередь
возрастание энергии в V {(Ш'/йОО) может быть связано с дейст-
действием источников (генерацией), регенеративными процессами в среде,
либо с притоком энергии извне. -^
Напомним еще раз, что хотя электромагнитное поле в ряде
случаев и производит непосредственное действие на органы чувств
человека (свет и тепло), основную научную информацию о нем
получают, изучая превращение энергии поля в иные формы. Можно
считать, что начало такого рода исследований было положено
наблюдением электромеханических превращений; на определенной
стадии это привело к представлению о векторных функциях Е и В.
Специфические особенности различных превращений энергии
(например, электрохимических, фотоэлектрических, электромеха-
электромеханических и многих других, используемых в технике)', конечно, не
рассматриваются в курсе теории электромагнетизма. Предметом
данного раздела является общее описание баланса-энергии поля, ее
распределения и движения. При этом мы должны будем установить
связь между векторными функциями Е, Н, Б и В и энергетиче-
энергетическими характеристиками электромагнитных процессов.
§ 9. Поглощение энергии и действие источников
1. Закон Джоуля—Ленца. Поскольку на точечный заряд д
действует сила (см. A.1))
Г=д(Е + [ю, В]),
54

то для векторного дифференциала пути й1 дифференциал работы
имеет вид ЛА
{61 и V параллельны, так что [V, В] й/ = 0: лоренцева сила работы
не производит). Таким образом, мощность, определяемая как
работа, отнесенная к единице времени, есть
В качестве д можно взять весьма малую область объемного рас-
распределения заряда ДУ; при этом # = рАУ, и для мощности АР
в объеме АУ с учетом F.3) из (9.1) получаем
АР=УЕАУ. (9.2)
Поэтому величина
р=ЗЕ (9.3)
выражает не что иное, как плотность мощности в объеме:
(ср. определение плотности заряда в § 1, п. 2). Плотность мощности р
измеряется в ваттах на кубический метр [вт/мЦ.
В отсутствие сторонних сил происходит затрата энергии поля,
в частности так называемые «тепловые потери». Отмечая этот факт,
введем индекс «п» и придадим равенству (9.3) при помощи соотно-
соотношения F.6) следующие формы:
рп==уЕ=аЯ2 = ^. (9.5)
Чтобы найти мощность потерь Р„ в некотором объеме У, достаточно
произвести интегрирование плотности рП (9.5) по У:
Р„ =
= $аЕ«4У=$|л>. (9.6)
Нетрудно убедиться, что физическое содержание равенств (9.5),
(9.6) согласуется с известным законом Джоуля — Ленца. Действи-
Действительно, применяя (9.6) к цилиндрической области, изображенной
на рис. 6.1, а, имеем
Рп = \\]Ей1й8^Е1^3^Ш (9.7)
(использованы обозначения из § 6, п. 2). Это формулировка за-
закона Джоуля — Ленца для участка проводника.
2. Сторонние силы. Если в области V действуют сторонние
силы, то плотность тока У в произвольной ее точке можно выразить,
исходя из равенств F.11) или F.11а). Пусть
65

В первом случае в V задано стороннее поле (напряженность Е"),
а во втором — внутри V имеется «область источника» Уг, в которой
задан сторонний ток (плотность тока /ст). Соответственно этому
равенство (9.3) представим в виде
| или р^оЕ*+ГЕ. (9.8)
Первое соотношение получено при подстановке в (9.3) выражения
Е = -—^".следующего из F.11), второе же — при подстановке
в (9.3) представления плотности тока У вида F.11а). В обоих слу-
случаях имеем
(9.8а)
Здесь плотность мощности р разделена на две части, одна из кото-
которых соответствует потерям энергии, а другая — действию сторон-
сторонних сил. Поскольку а > 0, то и рп > 0; впрочем, в специальных
случаях рассматриваются среды с отрицательной проводимостью
(а <; 0), но тогда отрицательная величина рп характеризует не
потери, а генерацию (регенерацию) энергии в среде. Величина р"
отрицательна, если, как обычно, сторонние силы совершают работу
«против сил поля» и происходит преобразование энергии возбуждаю-
возбуждающего их процесса в энергию электромагнитного поля.
Интегрируя (9.8) по V, находим полную мощность в рассматри-
рассматриваемом объеме при наличии сторонних сил:
или
(9.9)
(9.9а)
где Рп — мощность потерь, определяемая законом Джоуля —
Ленца в форме (9.6), и
Р" = -^-Е"йю, или Рст'= \ГЕ^ = \^Ейь. (9Ш)
V У% V \ • /
Последняя величина называется мощностью сторонних сил в
объеме V.
Если мощность Р положительна, то это значит, что область V
в целом поглощает энергию электромагнитного поля. Если же
в результате действия сторонних сил прирост энергии поля пре-
превышает ее расход за то же время, то мощность Р отрицательна,
и область V в целом действует как источник энергии.

§ 10. Уравнение баланса энергии
1. Вывод уравнения баланса энергии. Взяв первое уравнение
Максвелла B.1), умножим все его члены на Е и запишем:
Его1Н=Ед-щ+]Е. A0.1)
Поскольку $Е есть плотность мощности, следует ожидать, что и
остальные слагаемые (величины той же размерности) имеют какой-то
энергетический смысл. Необходимо, однако, привлечь второе урав-
уравнение Максвелла B.2); после умножения его членов на Н имеем
Нто\Е=--- Н~. A0.2)
Стремясь к формальному упрощению, объединим оба равенства
так, чтобы можно было применить тождество векторного анализа
(П1.31). Очевидно, для этого нужно произвести вычитание пра-
правых и левых частей A0.2) и A0.1), что окончательно дает:
(Пу[Е, Щ^-Ед-§-Нд^-]Е. A0.3)
Полученное уравнение, как будет видно в дальнейшем, выражает ло-
локальную характеристику баланса энергии электромагнитного поля.
Впрочем, более наглядна интегральная форма полученного
результата, возникающая после интегрирования всех слагаемых
в A0.3) по некоторому объему V к применения к левой части теоремы
Остроградского — Гаусса (П1.24). Интегральная форма имеет вид
§[Е,
$ A0.4)
5 есть замкнутая поверхность, ограничивающая рассматриваемую
объемную область V. Нашей ближайшей целью будет истолкование
смысла отдельных членов этого равенства.
Если предположить, что поляризация и намагничивание среды
(§ 5) происходят без затрат или выделения энергии, то очевидно,
что последний член справа в A0.4) выражает полную мощность
Р в V:
V
йь, , - A0.5)
и характеризует все процессы преобразования энергии внутри
этой области в совокупности. В сущности мы считаем, что эти
процессы обязательно связаны с током проводимости: при его
отсутствии (/ = 0) никаких превращений энергии не происходит
(Р = 0). Такая физическая картина, конечно, является упрощен-
упрощенной, но она во многих случаях весьма близка к действительности.
В то же время сделанное предположение позволяет нам легко про-
проанализировать уравнение A0.4).
57

Для выяснения физического содержания интеграла
дй , „дВ\
рассмотрим особый случай. Пусть внутри V к поверхности 5 при-
примыкает непроницаемая для поля (экранирующая) оболочка 5'
(рис. 10.1). При этом интеграл, стоящий в левой части A0.4),
равен нулю, так как на поверхности 5 поле отсутствует. Итак,
для энергетически изолированной области V уравнение A0.4) при-
принимает следующий вид:
Но раз область V не сообщается с внешней средой, то мощность.Р
должна быть связана с энергией XI/ внутри V
соотношением
"' ^ - " Ш,. '(Ю.7)
которое описывает действие закона сохране-
сохранения энергии: при Р > 0 (поглощение) вну-
внутренний запас энергии ХУ в требуемой мере
расходуется, а при Р < 0 (генерация) —
Рис. 10.1. возрастает. Сравнивая A0.6) и A0.7), мы
убеждаемся, что исследуемый интеграл равен
временной производной энергии XI/:
(.0.8,
Вернемся к общему случаю (отсутствие энергетической изоля-
изоляции) и рассмотрим уравнение A0.4) в целом. Придавая выводу
A0.8) универсальное значение, запишем A0.4) с учетом последнего
равенства и A0.5) в следующем веде:
П а$ + ~ + Р=0, A0.9)
5
где обозначено
П = [Е, Щ. A0.10)
Введенная величина П известна под названием вектора Пойн-
Пойнтинга.
2. Поток вектора Пойнтинга и баланс энергии. Теперь нетрудно
выяснить смысл поверхностного интеграла в A0.4), перешедшего
в A0.9) в виде потока вектора Пойнтинга через граничную поверх-
поверхность 5, и убедиться, что записанное уравнение выражает баланс
энергии в ограничиваемой области V.
58

Существование потока вектора Поинтинга
§ П йи Ф О,
как видно, отличает область, сообщающуюся с окружающим прост-
пространством, от энергетически изолированной; сам этот интеграл,
имеющий подобно другим членам уравнения A0.9) размерность
мощности, характеризует обмен энергией между областью V и
внешней средой. Если, в частности, поток вектора Поинтинга
положителен, то сумма оставшихся двух членов A0.9) отрица-
отрицательна: С АШ
§1Ы$>0, ~~ + Р<0. A0.11)
Смысл записанных неравенств ясен. Убывание запаса энергии
(йУР/Ш < 0) и процессы генерации (Р < 0) внутри У обусловливают
переход энергии через границу 5 во внешнюю среду, причем ввиду
A0.9) поток вектора Поинтинга равен энергии, уходящей из V
за единицу времени. Разумеется, при выполнении неравенств
A0.11) может действовать один из указанных факторов, который
должен быть тогда преобладающим (например, й№/Ш < 0 при
Р>0). В простейшем варианте запас энергии внутри V остается
постоянным (йУРШ = 0), а поглощение отсутствует (Рп = 0);
при этом, согласно A0.9) и (9.9а),
фПй« = — Рст (Рст<0),
т. е. поток вектора Поинтинга создается только сторонними силами
и равен мощности расположенных внутри V источников. Можно
сказать, что неравенства A0.11) соответствуют «режиму отдачи»
области V. Простой пример — излучающая антенна, которая сама
по себе или вместе с частью окружающего пространства может рас-
рассматриваться как область V в режиме отдачи.
Если же поток вектора Поинтинга отрицателен, то сумма двух
оставшихся в A0.9) членов положительна:
й«<0, ^ + Р>0. A0.12)
Возрастание запаса энергии ((ШШ > 0) и процессы поглощения
(Р > 0) внутри V связаны с притоком энергии через границу 5
извне, а поток вектора Поинтинга ввиду A0.9) по абсолютной
величине равен энергии, приходящей за единицу времени. При
выполнении неравенств A0.12) будем говорить о «режиме погло-
поглощения» области V. Пусть, в частности, запас энергии остается
постоянным (й№/Ш = 0) и сторонние силы отсутствуют (Рст = 0),
тогда, согласно A0.9) и (9.9а),
59

п
и, следовательно, поток вектора Пойнтинга равен по абсолютной
величине поглощаемой внутри V мощности внешних источников.
Заметим, что отрицательность потока вектора Пойнтинга в A0.12)
удобно истолковывать как выражение следующего факта: внешнее
пространство по отношению к V играет роль «генератора».
Итак, поток вектора Пойнтинга через рассматриваемую замкну-
замкнутую поверхность 5 всегда по абсолютной величине равен энергии,
проходящей через нее в
том или ином направлении
за единицу времени, т. е.
«скорости прохождения»
энергии через 5; эта вели-
величина, имеющая размер-
размерность мощности, получила
название потока энергии.
Поток энергии положите-
положителен, если энергия выходит
во внешнюю среду, и от-
отрицателен, если она вхо-
входит в рассматриваемую
область.
Остается отметить фор-
Рис. ю.2. мальное, на первый взгляд,
обстоятельство: поток энер-
энергии выражается потоком вектора. Напомним, что в случае поло-
положительного потока вектора его линии (преимущественно или все
полностью) являются выходящими наружу, а в случае потока
отрицательного — входящими внутрь. Таким образом, выходящие
линии вектора Пойнтинга П свидетельствуют об отдаче энергии,
а входящие — о поглощении; это поясняется на рис. 10.2. Под-
Подробнее о физическом содержании вектора Пойнтинга будем гово-
говорить ниже.
§ 11. Энергия электромагнитного поля,
ее локализация и движение
1. Электрическая энергия и магнитная энергия. На основании
предыдущего можно найти выражение энергии электромагнитного
поля через его векторные функции. В качестве промежуточного
результата уже найдена скорость изменения энергии поля внутри
рассматриваемой области пространства; будем исходить теперь из
полученной при этом формулы (Г0.8).
Напомним, что мы уже использовали некоторое предположение
о поведении материальной среды, а именно, что процессы поляри-
поляризации и намагничивания происходят без преобразования энергии.
Позднее, при изучении периодически меняющихся во времени элек-
электромагнитных полей, это ограничение будет снято. Пока же будем
еще считать (не останавливаясь здесь на связи с предыдущим), что
60

поляризация и намагничивание безынерционны, так что проницае-
проницаемости е и [I не зависят от времени. Привлекая соотношения E.6)
и E.7), произведем под знаком интеграла A0.8) следующие простые
преобразования:
Р дИ Р дЕ д (гЕ2\ д
НдВ—Н дН — д />Я2\ _ д (НВ\
П~Щ—ПР д( ~~д{ \~Т) ~~ д( \~Т)
(аналогичные действия можно произвести и при анизотропии).
Таким образом, равенство A0.8) принимает вид
что в свою очередь дает основание для следующего выражения
энергии электромагнитного поля в области V:
\ ± ^ (ЕО + НВ)^. (ц.3)
V V
Возникает представление, что эта энергия распределена в простран-
пространстве с плотностью
ю- Нш ^-, (П.4)
д у-*0АУ
равной
ш = у(еЕ2 + ц//2) = у(Е/)+ЯВ). A1.5)
Интеграл A1.3) распадается на два слагаемых, одно из которых
зависит только от электрического поля, а другое — только от
магнитного:
№ = №э + №м, A1.6)
где
№э = у ^ еЕМо = -Н Еййу и Гм= ~ ? цЯМо= М
Поэтому различают электрическую энергию №э и магнитную энер-
энергию №м электромагнитного поля. Соответственно этому интерпре-
интерпретируется и плотность энергии да:
а^а^ + ад", A1.7)
где
«•^-^ и ^ = ^ = ™.
2. Локальный баланс энергии и интерпретация вектора Пойн-
тинга. Теперь мы можем вернуться к'уравнению A0.3), чтобы
выяснить его смысл. Привлекая формулы (9.3), A0.10), A1.1) и
A1.5), имеем
Ш 5 0, A1.8)
61

т. е. расходимость вектора Пойнтинга в каждой точке поля урав-
уравновешивается скоростью изменения плотности энергии и плотностью
мощности. Если в исчезающе малой окрестности рассматриваемой
точки имеет место «режим отдачи», то в этой точке -^ + р < О
и согласно A1.8) сНу П > 0, а в «режиме поглощения» -^+ р > О,
и, следовательно, сНу П < 0. Наконец, при отсутствии количест-
количественного изменения или преобразования энергии либо при их взаим-
взаимном уравновешивании -=т + р = 0, так что сПу П = 0. Итак,
в зависимости от того, является ли данная точка «источником» или
«стоком» линий вектора Пойнтинга либо не является ни тем, ни
другим, можно судить о локальном (местном) характере баланса
энергии.
Каков непосредственный смысл вектора П? Чтобы ответить на
этот вопрос, сделаем допущение, что поток П через любую (а не
только замкнутую, как в § 10) поверхность 5 выражает, поток
энергии через эту поверхность, т. е. равен проходящей за единицу
времени энергии. Тогда очевидно, что П есть плотность потока
энергии: ..у/
П= Нш я0 х|. A1.9)
Здесь ДИ7— количество энергии, проходящей через элемент по-
поверхности А5, отнесенное к единице времени, а я0 — единичный
вектор, указывающий направление движения энергии. Как видно,
поток энергии |Пй и его плотность П находятся в таком же
соотношении, как ток проводимости I = \ ]&$ и плотность тока у.
Эту формальную аналогию нетрудно продолжить. Так, при р = 0
уравнение A1.8) переходит в следующее:
<КуП = -|! (р = 0), A1.10)
т. е. получен аналог «уравнения непрерывности» D.2), выражаю-
выражающего в дифференциальной форме закон сохранения заряда. В данном
случае речь идет о сохранении энергии электромагнитного поля
при отсутствии процессов преобразования.
При рассмотрении движения энергии без преобразования можно
также использовать рассуждения, приведенные в § 6, п. 1, заменив
] на П и р на т. Это, разумеется, приводит к следующему аналогу
формулы F.3):
П = дао, (П.11)
где теперь о — скорость движения энергии электромагнитного поля.
Мы видим, что знание вектора Пойнтинга и плотности энергии
электромагнитного поля как функций координат позволяет найти
скорость ее движения в любой точке пространства.
62

В заключение, однако, следует сказать, что данная общеприня-
общепринятая интерпретация вектора Пойнтинга не является необходимым
следствием уравнений электромагнетизма и уравнения баланса
энергии. Иными словами, понятие вектора Пойнтинга как плот-
плотности потока энергии электромагнитного поля содержит в себе
независимую физическую концепцию. Действительно, как в диф-
дифференциальной форме A1.8), так и в интегральной A0.9) уравнение
баланса энергии не определяет плотности потока энергии одно-
однозначно. Вместо П = [Е, /Я можно было бы внести в A1.8), как и
в A0.9) функцию П + 2, где 2 — любая векторная соленоидальная
функция (сНу 2 = 0); очевидно, в силу теоремы Остроградского
— Гаусса (П1.24) ф 2^5 = 0. Неопределенность плотности пото-
ка энергии следует из того, что замена П на П + 2 не изменяет
расходимости вектора и его потока через замкнутую поверхность.
§ 12. Применение полученных результатов
1. Энергетически изолированная система. Понятия электри-
электрической и магнитной энергии электромагнитного поля и их плот-
плотности, потока энергии и вектора Пойнтинга в дальнейшем будут
неоднократно использоваться при описании электромагнитных
процессов. Здесь мы рассмотрим только несколько простых при-
примеров, которые помогут лучше усвоить содержание этих понятий.
Пусть имеется энергетически изолированная система, причем
мощность Р пропорциональна запасу ее энергии:
Р = аШ. A2.1)
Коэффициент пропорциональности а положителен при преоблада-
преобладании поглощения и отрицателен при достаточно эффективной гене-
генерации. Внося выражение мощности A2.1) в уравнение баланса
энергии A0.9) и полагая П — 0, находим следующее дифферен-
дифференциальное уравнение относительно запаса энергии системы:
^ A2.2)
Его решение
0(^) A2.3)
показывает, что запас энергии является экспоненциальной функ-
функцией от времени, убывающей или возрастающей в зависимости от
направления преобразования энергии.
При а = 0 запас энергии неизменен:
(/) = -М
Оо = сопз! (ее = 0). A2.4)
Однако отсюда вовсе не следует, что не изменяются электрическая
63

и магнитная энергии системы. Например, важен случай гармони-
гармонических колебаний, при которых абсолютные значения векторов
Е и Н записываются как функции координат и времени:
Е = А(Х, у, 2M1110)/ И Н = 1/ ~В (X, У, 2)СО8'
причем
у, 2)^о = \ В*(х, у, г),
V
Легко убедиться, что хотя запас энергии здесь и остается постоян-
постоянным, соотношение электрической и магнитной энергии непрерывно
меняется. Существуют моменты, когда энергия системы является
чисто электрической (// = 0), а также
моменты, когда она оказывается чисто
магнитной (Е = 0).
2. Пример вычисления магнитной
энергии. Рассмотрим тороид из магне-
магнетика, прямоугольный в радиальном се-
сечении (рис. 12.1), внутри которого про-
проходит бесконечный цилиндрический про-
провод с постоянным током /. ^
Ввиду аксиальной симметрии систе-
системы магнитные силовые линии являются
концентрическими окружностями, как и
в примере из п. 5 § 2, и напряженность
магнитного поля вне провода выражает-
выражается формулой B.14). Положим, что маг-
магнитную проницаемость можно считать величиной постоянной, и
вычислим плотность магнитной энергии:
Рис. 12.1,
(как видно, это функция радиальной координаты). Сосредоточенная
внутри тороида магнитная энергия теперь определяется путем
интегрирования ы>м по его объему (рис. 12.1):
A2.6)
Отметим, что полученная величина пропорциональна магнит-
магнитному потоку Ф через радиальное сечение тороида
02.7)
A2.8)
который линейно связан с током /:
64

Поэтому можно написать:
A2.9)
Коэффициент X называется индуктивностью, и рассмотренный
пример показывает, что магнитная энергия, связанная с постоян-
постоянным током, может быть выражена через индуктивность и ток по
формуле A2.9). Этот вопрос будет рас-
рассмотрен во всей полноте в § 22.
3. Пример вычисления электрической
энергии. Возьмем плоский конденсатор.
Полагая, что постоянное во времени
электрическое поле полностью заклю-
заключено внутри него и однородно (рис. 12.2),
вычислим электрическую энергию:
1 С 1
V _ г*ъ _/_. * ОГ2 СЛ /10 1 Л\
= -п-8С*ОЙ. A/.Ш)
Рис. 12.2.
Выделяя «напряжение» между пласти-
пластинами конденсатора V ~ Е1 (позднее будет подобран более под-
подходящий термин), запишем:
где
A2.12)
называется емкостью конденсатора (подробнее см. далее § 17).
4. Поток энергии в случае провода
с постоянным током. Будем рассматри-
рассматривать проводник с током / как уединен-
уединенный проводящий цилиндр (влияние ка-
каких бы то ни было предметов и, в част-
частности, далеких участков цепи считается
пренебрежимо малым). Пользуясь фор-
формулами F.6) и B.14), найдем напряжен-
напряженности электрического и магнитного по-
полей в какой-либо точке на поверхности
- проводника (г = К):
б) _ у _ 7 _ ,
Рис. 12.3. а пК*о' 2я#"
Вектор Е направлен в сторону тока (г0),
а вектор И— так, что магнитные силовые линии составляют с током
правовинтовую систему (а0); учтено, что плотность тока по абсо-
абсолютному значению равна / = //я#2.
Составляя векторное произведение Е и //, найдем вектор Пойн-
тинга в произвольной точке на поверхности проводника:
A2.14)
3 Электродинамика

Мы видим, что вектор П везде направлен радиально внутрь провод-
проводника (рис. 12.3, а, б). Таким образом, энергия внешнего поля
«втекает» в проводник.
Поток энергии на участке проводника длиной / имеет следующее
значение:
A2.15)
где <М (см. также § 6, п. 2) есть сопротивление участка проводника.
Это не что иное, как мощность тепловых потерь в проводнике Р„
(§ 9, п. 1): входящая в него энергия поглощается. На основании
уравнения баланса энергии можно утверждать, что энергия внеш-
внешнего поля проникает в проводник именно постольку, поскольку она
им поглощается. При переходе к идеальному проводнику (а -> оо,
е5? -» 0) исчезает поглощение, а вместе с ним, как это видно из полу-
полученного результата, и поток энергии в проводник.
IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной главе были сформулированы основные исходные
положения теории электромагнетизму, а также выведены наиболее
простые и общие их следствия. Там, где можно было опереться на
широко известные элементарные факты, приводились поясняющие
примеры. Однако последовательное применение общей теории
с целью изучения важнейших электромагнитных процессов является
задачей дальнейших глав. Перед этим будет полезно составить и
обсудить полную систему уравнений теории электромагнетизма,
систему уравнений Максвелла. Это даст представление о различных
классах электромагнитных явлений, а вместе с этим и о последую-
последующем содержании курса.
§ 13. Система уравнений Максвелла и виды
электромагнитных явлений
1. Система уравнений Максвелла. Сведем уравнения B.1),
B.2), C.1), C.2), а также уравнения E.6), E.7) и F.6) в следующую
систему:
хох п = -ш-\-^, шу и = р, |
A3Ла)
^=аЕ, A3.16)
причем в случае действия сторонних сил вместо последнего из
этих уравнений записывается F.11) или F.11а), т. е.
или
/-оЕ+Г. A3.2)
66

Это система уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
Входящие сюда материальные уравнения A3.16), как отмечалось
в §§ 5, 6, не являются наиболее общими, но охватывают весьма
значительный круг явлений. При необходимости эти уравнения
могут быть заменены другими (почему и выделены здесь в особую
группу). Условимся, что при анизотропии среды е, (х и а мы будем
понимать как тензоры; в соответствии с E.13), E.14) и F.7) при
этом можно использовать обозначения е, (х и а.
Границы раздела сред будем всегда считать идеальными (со
скачкообразным изменением свойств). Поэтому необходимым допол-
дополнением к системе уравнений Максвелла A3.1а), A3.16) являются
граничные условия G.11).
Система уравнений Максвелла A3.1а), A3.16) — с учетом
сделанных замечаний — считается полной системой уравнений
теории электромагнетизма. Она выражает общие принципы теории,
достаточные для описания различных частных электромагнитных
процессов. Сама по себе система уравнений Максвелл? не имеет
определенных решений. Определенное решение, т. е. совокупность
Е, Н, В, Д / и р как конкретных функций координат и времени,
существует только при наложении некоторых дополнительных
условий, характеризующих ту или иную рассматриваемую задачу.
Иными словами, после того кГ" задача об исследуемом электромаг-
электромагнитном процессе правильно сформулирована, она становится, мате-
математической задачей, включающей систему уравнелий Максвелла и
дополнительные условия, при которых существует решение, описы-
описывающее данный процесс.
Заменяя уравнения A3.1а) их интегральными аналогами
получим систему уравнений Максвелла в интегральной форме,
рассматриваемую вместе с материальными уравнениями A3.16).
2. Виды электромагнитных явлений. Поскольку система урав-
уравнений Максвелла описывает любые электромагнитные явления, то
для рассмотрения какого-либо их класса надо лишь сформулировать
соответствующие общие ограничения.
Самыми простыми являются неизменные во времени поля при
отсутствии токов, т. е. -при ограничительном условии д/д( = О,
/ = О (обращение в нуль временных производных выражено симво-
символически). Систем 1 уравнений A3.1а), A3.16), как видно, распа-
распадается при этом на две независимые системы:
го!Я=0, |
и A)Ув = 0, | A3.4)
67

Это так называемые уравнения электростатики (левый столбец)
и уравнения магнитостатики (правый столбец). Запишем также,
согласно A3.3), отвечающие им уравнения в интегральной форме:
A3.5)
Электростатическим называется, таким образом, электрическое
поле при наличии неподвижных зарядов, а магнитостатическим —
магнитное поле постоянного тока в областях, где ток отсутствует 1),
а также поле постоянного магнита; следует, однако, иметь в виду,
что в последнем случае (как и вообще для ферромагнетиков) мате-
материальное уравнение В = (х// должно быть заменено выражением
более сложной зависимости В = В (/У).
Если оставить лишь требование стационарности поля д1д1 = О,
то из системы уравнений Максвелла A3.1а), A3.16) возникает сле-
следующая частная система уравнений стационарного электромагнит-
электромагнитного поля: 1 _
A3.6)
а из A3,3) — уравнения
A3.7)
Дифференциальные уравнения, описывающие электрическое поле
(левый столбец), не отличаются от уравнений электростатики,
но теперь они не являются независимыми. Действительно, с напря-
напряженностью Е связан вектор плотности тока У, который также входит
в первое уравнение из второго столбца в A3.6). Записанные урав-
уравнения характеризуют электрическое и магнитное поля при наличии
постоянного тока в общем случае.
Итак, некоторым классам электромагнитных явлений соот-
соответствуют частные формы системы уравнений Максвелла. Позднее
мы убедимся в этом и на других примерах. Среди переменных во
времени электромагнитных процессов относительно просты ква-
квазистационарные — близкие к стационарным, т. е. протекающие
довольно медленно. Во Введении уже отмечалось, что именно для
квазистационарных процессов сохраняет справедливость теория
х) Необходимые уточнения будут сделаны в §§ 21, 22.
68

цепей. В § 27 мы рассмотрим те упрощающие предположения, при
которых уравнения тебрии цепей переменного тока следуют из
системы уравнений Максвелла. Особое значение имеют процессы,
изменяющиеся во времени по закону гармонических колебаний.
В гл. 3 будет показано, что система уравнений Максвелла в этом
случае значительно упрощается благодаря применению метода
комплексных амплитуд.
3. Принцип суперпозиции. Остановимся на одном важном
свойстве системы уравнений Максвелла. Если среда линейна
(§§ 5, 6), то эта система в целом обладает свойством линейности
(стр. 583). Это значит, что для электромагнитных процессов в дан-
данном случае справедлив принцип суперпозиции. Он проявляется
в том, что если имеется несколько решений системы A3.1а), A3.16):
\ЕЪ Ни А, Въ А, Р1), (Е2, Я2, />2, В2> Л, р2), (Ег>, Н3, />3, В3,
Уз» Рз)> •■•> то решением является и их линейная комбинация, т. е.
+ а3Е3 + ■■■, агНг + а^Н2 + а3Н3- + ..., ахОх +
а3й3 + ..., а-^Ву + а2В2 + а3В3 + ..., а^\ + а.^'2 +
3 ..,а1р1 + а2 р2 + а^р3 +...), где а1г а2, а3, ... —произволь-
—произвольные постоянные коэффициенты (в частности, равные единице). Это
легко проверить путем простой подстановки.
Если решение 1 (т. е. Е1г Нх и т. д.) имеет место при наличии
сторонних сил, заданных в виде ^т или Е^т, иными словами, если
поле 1 возбуждается известными источниками и точно так же
поле 2 возбуждается своими источниками, поле 3 — своими и т. 'Д;?
то указанная выше комбинация решений выражает поле, возбуждае-
возбуждаемое аналогичной линейной комбинацией источников (сторонние
силы заданы в виде а^г + а^т + а^ + ... или а^Е™ + а2Есат +
+ а3Ес3т +-...). Поэтому принцип суперпозиции часто приводится
в следующей форме: поле, образованное несколькими источниками,
можно рассматривать как сумму полей всех источников, действую-
действующих раздельно.
Подчеркнем, что принцип суперпозиции не распространяется
на энергию. Если, например, электрическое поле 1 (напряжен-
(напряженность Ех) обладает энергией Щ, а поле 2 — энергией Щ, то при
одновременном существовании обоих полей энергия равна
т. е.
где дополнительный член УР\2 = \ г ЕХЕ2 &о называется взаимной
V
энергией обоих полей.
С формальной точки зрения мы имеем здесь простое следствие
того факта, что энергия — нелинейная функция напряженности
поля. Фактически же уменьшение или увеличение полной энергии
поля (в зависимости от того, меньше или больше нуля №1а) может
69

быть связано лишь с соответственным изменением энергии источ-
источников.
4. Замечания. Дальнейшее содержание книги строится по за-
законам дедукции: имея в распоряжении систему уравнений Макс-
Максвелла, мы рассмотрим различные классы электромагнитных явле-
явлений, переходя от общего к частному. При этом сначала изучаются
наиболее простые явления, и далее при постепенном усложнении
содержания внимание переносится на процессы, непосредственно
важные для радиотехники.
При такой направленности некоторые разделы теории электро-
электромагнетизма, не имеющие непосредственного отношения к радиотех-
радиотехнике, останутся в стороне. Мы почти не затронем микроскопической
электродинамики й электродинамики движущихся сред. О послед-
последней необходимо., сказать несколько слов.
Согласно принятому современной физикой принципу относи-
тельности все законы природы одинаковы для всех так называе-
называемых инерциальных систем (эти системы движутся друг относительно
друга прямолинейно и равномерно). Преходя от одной инерциаль-
ной системы к другой, совершают определенные преобразования
координат и времени, называемые преобразованиями Лоренца; на
этой основе строится специальная теория относительности Эйн-
Эйнштейна. В рамках этой теории законы природы должны иметь вид
уравнений, инвариантных относительно преобразований Лоренца,
т.'е. сохраняющих при этом свое содержание. Этим свойством,
например, не обладают законы Ньютона, но оно присуще уравне-
уравнениям Максвелла.
Указанное свойство уравнений Максвелла, однако, не означает,
что электромагнитное поле выглядит одним и тем же в разных
инерциальных системах. Подробное рассмотрение этого вопроса
невозможно без привлечения специальной теории относительности,
но сущность вещей нетрудно понять при помощи очень простых
рассуждений. Пусть в некоторой системе существует статическое
магнитное поле, и магнитная индукция равна В, а электрическое
поле отсутствует (Е = 0). Но наблюдатель, движущийся относи-
относительно данной системы со скоростью о, обнаружит электрическое
поле, поскольку на используемый им пробный заряд ц будет дей-
действовать сила /г = 9 [*>> В] (§ 1, п. 1). Действительно, так как в си-
системе наблюдателя заряд неподвижен, сила Р будет приписана
действию электрического поля с напряженностью Е' = Р1ц.
В электродинамике движущихся объектов векторы поля Е и В
имеют лишь относительный смысл.

ГЛАВА 2
СТАТИЧЕСКИЕ, СТАЦИОНАРНЫЕ
И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ
I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И МАГНИТОСТАТИКА
По традиции явлениям электростатики уделяют значительное
внимание в курсах физики. В основу изложения при этом часто
кладется закон Кулона. Для нас, однако, электростатика представ-
представляет интерес не только сама по себе, но больше как область прояв-
проявления общих законов электромагнетизма. Поэтому мы будем исхо-
исходить из системы уравнений Максвелла, приводящей к уравнениям
электростатики в качестве частной их формы (см. § 13, п. 2). Что
касается закона Кулона, то он будет получен как следствие этих
уравнений.
Электростатику можно рассматривать как своего рода «подгото-
«подготовительный раздел» теории электромагнетизма, при изучении кото-
которого осваиваются операции векторного анализа и простейшие
понятия. Впоследствии этот материал найдет применение при фор-
формировании более сложных понятий. Так, например, существует
преемственность между представлениями об электростатическом
диполе (§ 15) и диполе Герца, элементарном излучателе (гл. 4).
Электростатика дает возможность построить несложную модель,
поясняющую явление поляризации среды, о котором ранее (§ 5)
говорилось лишь в общих чертах. Наконец, в электростатике мы
находим источники некоторых понятий, широко употребляемых
в технике (потенциал, емкость и др.).
Строго говоря, настоящим явлениям электростатики нет места
в природе. Все реальные среды обладают некоторой электропровод-
электропроводностью, и условие у' = 0 является идеализированным; так, напри-
например, заряженный предмет, находящийся в воздухе, постепенно
теряет свой заряд вследствие «утечки». Далее, когда два заряжен-
заряженных тела притягиваются или отталкиваются, их движение есть не
что иное, как ток, которому обязательно сопутствует магнитное
поле (см. § 2, п. 3). Вообще в эксперименте о реальных «электро-
«электростатических» полях судят по динамическим процессам, чуждым
идеальной электростатике. Идеальное электростатическое поле
не обменивается энергией с чем бы то ни было и вообще не могло
бы быть замечено, так как в любой его точке вектор Пойнтинга
(см. §§ 10, И) равен нулю. Все сказанное, правда, не мешает элект-
электростатике быть полезной абстракцией. Но важно помнить, что
когда в электростатике говорят о движении зарядов, то подразу-
П

мевают столь медленное движение, что при этом можно пренебречь
магнитным полем.
В сферу действия уравнений магнитостатики (см. § 13, п. 2)
входят неизменные во времени магнитные поля при отсутствии
токов. Позднее (§§ 21, 22) мы обсудим отвечающую им область
явлений.
' § 14. Основные уравнения электростатики. Потенциал
1. Уравнения Максвелла и понятие потенциала. Итак, в качест-
качестве наиболее общих уравнений электростатики мы возьмем следую-
следующую частную форму уравнений Максвелла (см. § 13, п. 2): I
го1Е=0, A4.1а)
сНу/) = р, A4.16)
й = гЕ. A4.1в)
Запишем также соответствующие двум первым уравнениям интег-
интегральные соотношения:
§ЕA1 = 0, A4.2а)
§/)с&=<7- A4.26)
я
Согласно A4.1а) электростатическое поле является потенциаль-
потенциальным. Действительно, достаточно сопоставить A4.1а) с тождеством
векторного анализа (П1.33), чтобы написать
Е=-§гас1ф. A4.3)
Позднее будет сказано, почему в правой части выбран знак минус
(т. е. в (П1.33) взято ф = — ф). Скалярная функция ф называется
электростатическим потенциалом. Тот факт, что в случае электро-
электростатики решение уравнений Максвелла Е выражается в виде гра-
градиента некоторого скаляра —ф, говорит об известной простоте
поля. Действительно, все три (в общем случае) компоненты вектора Е
вполне определяются одной скалярной функцией ф.
2. Свойства электростатического потенциала. Выясним сна-
сначала физическое содержание понятия электростатического потен-
потенциала ф. С этой целью представим себе, что в электростатическом
поле перемещается заряд ц (выше говорилось о том, в какой
мере такое представление условно). Известно, что на заряд будет
действовать сила Р = цЕ (§ 1, п. 1), а следовательно, работа, совер-
совершаемая при его перемещении по некоторому пути I от точки Мг
до точки М2, выражается следующим интегралом по данному пути:
Л= ^ ГА1=>Я \ ЕсП^—я $ §гас!фСЙ. A4.4)
Мх Л<1 Л1»
72

Полученный интеграл хорошо известен в векторном анализе;
представляя подынтегральное выражение в декартовых коорди-
координатах (<и=*хо<1х+уо4у + го йг и §гас!ф = л;о д^ % д^
имеем
мг
так как раскрытое скалярное произведение оказалось полным
дифференциалом функции ф. Поэтому
Л = 9(ф1-ф2), A4.5)
где фх и ф2 — электростатические потенциалы (значения ф) в точ-
точках Мх и М2. Как видно, если взять единичный положительный
заряд (<7 = + 1), то работа будет равна просто разности потенциа-
потенциалов фх — ф2. Работа положительна, т. е. энергия поля расходуется
при перемещении положительного заряда от большего потенциала
к меньшему (фх > ф2). Это толкование и придает смысл сделанному
ранее выбору знака в правой части равенства A4.3).
Сопоставляя A4.4) и A4.5), получаем весьма важное в электро-
электростатике соотношение
Мг
Ф1-ф2= ^ Е01, A4.6)
Мг
обратное по отношению к A4.3). В частности, когда путь замкнут
(точки Мх и М2 совпадают), A4.6) должно перейти в A4.2а), а это
произойдет, только если окажется, что
фх = ф2. Иными словами, функция ф в ука- т
занном смысле однозначна1). Согласно A4.5)
работа, совершаемая при перемещении
заряда, определяется значениями ф в на-
начальной и конечной точках пути. Ввиду
однозначности ф отсюда следует, что она
не зависит от вида пути и будет одной и Рис 14 1
той же для путей М{тМ2 и МгпМ2 на
рис. 14.1. К такому выводу можно прийти,
рассматривая один лишь контурный интеграл A4.2а); поскольку
он равен нулю, работа при прохождении замкнутого пути иу в
частности, пути М1тМ2пМ1, не совершается.
Электростатический потенциал ф, как и вообще потенциал
в векторном анализе, определен с точностью до постоянного сла-
слагаемого: формулы A4.3) и A4.6) сохраняют справедливость при
замене ф на ф + С. В электростатике обычно принимают, что
х) Таким свойством не обладает, например, азимутальная координата а,
изменяющая свое значение на 2я, когда текущая точка возвращается в исходное
положение после обхода начала координат по замкнутому контуру.
73

потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю. Тогда на ос-
основании A4.6) потенциал ф в некоторой точке М есть
4 = 1 Е01, A4.7)
м .
т. е. оказывается равным работе, совершаемой при удалении единич-
единичного положительного точечного заряда из этой точки в бесконеч-
бесконечность. Впрочем, в некоторых случаях — особенно в технике — бы-
бывает удобно полагать равным нулю потенциал Земли или какого-
либо проводящего экрана (впоследствии мы убедимся, что потен-
потенциал постоянен во всех точках проводника).
3. Уравнения потенциала. В силу потенциальности электро-
электростатического поля для нахождения его напряженности Е (как уже
отмечалось в п. 1) вполне достаточно знать одну скалярную функ-
функцию ф; после определения потенциала напряженность Е вычис-
вычисляется по формуле A4.3). Какому же уравнению удовлетворяет ф?
Заменяя Ь через гЕ в A4.16) и далее выражая Е через потен-
потенциал при помощи A4.3), получаем
сНуе§гас1ф = — р. A4.8)
Это и есть требуемое уравнение.
Чаще используется частная форма уравнения A4.8), справед-
справедливая при постоянной (не зависящей от координат) диэлектрической
проницаемости, т. е. для однородных сред:
(Ну§гаAф==у2Ф = — — • A4-9)
Общий вид решения этого уравнения Пуассона для неограниченной
области мы можем записать сразу же на основании (П5.1), (П5.5):
Для тех областей, в которых заряд отсутствует (р =0), A4.9)
переходит в уравнение Лапласа
у2Ф = 0. A4.11)
Задачи электростатики для однородных сред, а также сред, состоя-
состоящих из однородных областей (подразумевается также изотропия),
всегда можно рассматривать как задачи для уравнения Пуассона
A4.9) и уравнения Лапласа A4.11).
В связи со сказанным надо знать поведение электростатического
потенциала на границах разнородных сред. Взяв граничные усло-
условия G.7а) для тангенциальных компонент вектора Е и G.2а) для
нормальных компонент вектора /), ввиду A4.3) получим
(&ай ф)Т1 = (§га<1 ф)Т2, —
74

Согласно (П1.6)
A)г = |Е и
где т и V — тангенциальная и нормальная оси местной декартовой
системы координат на границе, выбранные так, что Е = х0Ех -+-
+ V02:V. Первая строчка граничных условий означает, таким обра-
образом, непрерывность тангенциальной производной потенциала, что
имеет место при непрерывности самого потенциала. Окончательно
имеем следующие граничные условия для ф:
Ф1 = Ф2, -«1^ + в.^-Е. A4.12)
Отметим, что требование непрерывности дф/дт было бы выполнено
и при граничном условии фх = ф2 + сопз!; однако при этом нор-
нормальная компонента поля на границе обращалась бы в бесконеч-
бесконечность.
4. Векторные уравнения второго порядка. Можно получить
также векторные уравнения Пуассона и Лапласа относительно
напряженности электростатического поля Е. Ввиду A4.1а)
а поэтому на основании (Ш.34)
§гас!сНуЕ-у2Я = 0. A4.13)
При е = сопз!:, учитывая A4.16), A4.1в) получаем
у2Е = 1§гаар. A4.14)
Это векторное уравнение Пуассона при р = 0 переходит в векторное
уравнение Лапласа
у2Я = 0. A4.15)
§ 15. Точечные заряды. Диполь
1. Точечный заряд. Простейшим объектом электростатики яв-
является точечный заряд и его поле. В § 1, п. 1 уже говорилось, что
практически под точечным зарядом понимают любое заряженное
тело в тех случаях, когда расстояние, на котором производится
наблюдение, значительно превышает размеры заряженного тела.
Таким образом, всякое электростатическое поле на достаточно
больших расстояниях от ограниченной в пространстве заряженной
области может рассматриваться как поле точечного заряда. Чем
больше расстояние, тем в большей степени поле оказывается таким,
как если бы весь заряд действительно был сосредоточен в точке.
Поле точечного заряда мы определили в § 3, п. 2, используя
теорему Гаусса, т. е. формулу A4.26). Напомним основную мысль
вывода. Заряд, локализованный в некоторой точке О, служит на-
началом электрических силовых линий; все направления из О физи-
75

чески равноправны, так что линии должны идти радиально и с оди-
одинаковой плотностью, а следовательно, на поверхности сферы ра-
радиуса г с центром в О вектор й постоянен и направлен по нормали.
Это значит, что интеграл в A4726) дает 4лгЮ, откуда и следует
формула C.7). Перепишем этот результат в более общей форме,
заменив вакуум произвольной однородной изотропной средой
(/) = гЕ вместо й = г0Е) и обозначив точку локализации заряда
Р (г1), а точку наблюдения М (г)
(рис. 15.1):
« A5.1)
Здесь гщ— единичный
направления РМ, т. е.
г— г1
Г-Г'\
вектор для
г —г'
Рис. 15.1.
Располагая выражением напря-
напряженности поля точечного заряда, мы
можем по формуле A4.7) определить соответствующий электро-
электростатический потенциал ф в любой точке пространства. Поскольку
путь интегрирования безразличен, возьмем его вдоль проходящей
через точку наблюдения силовой линии (т. е. в направлении г—г').
Тогда Е и й1 совпадают по направлению: год й1 = <И. Внося A5.1)
в A4.7) н обозначая переменную интегрирования (путь) символом
х, получаем
4яе
4ле | г—г'
!/■-/■'I
A5.2)
Попробуем также вывести этот результат, используя математи-
математический аппарат из Приложения. На основании (П2.6) плотность
точечного заряда ц, расположенного в Р (г'), есть
р(г) = <7б (г-/-').
A5.3)
Потенциал ф (/*) — это решение уравнения Пуассона A4.9), которое
для неограниченного пространства выражается формулой A4.10).
Подставив в A4.10) функцию плотности A5.3) и учитывая свойство
6-функции (П2.4), находим
A5-4)
(чтобы избежать путаницы с /*' в A5.3), переменная интегрирова-
интегрирования в A4.10) обозначена двумя штрихами). Как видно, результаты
A5.4) и A5.2) совпадают.
Возвращаясь к выражению напряженности поля точечного за-
заряда A5.1), подчеркнем, что его нетрудно получить из выражения
потенциала A5.4) по формуле A4.3); это рекомендуется выполнить
76

читателю, расположив заряд в начале сферической системы коор-
координат и взяв формулу (П1.9).
В заключение представим себе идеальный точечный заряд, дей-
действительно не занимающий объема (а не просто весьма малое за-
заряженное тело). Для такого объекта все рассмотренные выражения
будут правомерны при любом конечном расстоянии \ г — /*' |, в чем
и заключается преимущество данной идеализации. Мы видим, од-
однако, что формулы A5.1) и A5.2) теряют смысл — приводят к бес-
бесконечностям— для самой «заряженной точки» (/-=/*'); в этом прояв-
проявляется несовершенство абстракции идеального точечного заряда.
2. Закон Кулона. На основании A5.1) можно выразить силу
взаимодействия двух точечных зарядов. Действительно, если в
точке с радиус-вектором гх расположен заряд цъ то сила, действую-
действующая на единичный положительный заряд в точке с радиус-вектором
г2, определяется как Е по формуле A5.1) при замене ц на цх, г" на
/у и г на г%. Пусть теперь вместо
единичного взят заряд <7г> тогда сила
будет ц^Е, т. е. (рис. 15.2)
Г~ Л0?л„Р | ____ 12- (.10.0,)
Рис. 15.2.
Это не что иное, как закон Кулона,
который оказался выведенным в
конечном счете из уравнений Макс-
Максвелла.
Соотношение A5.5) непосредствен-
непосредственно выражает силу, действующую на
заряд <72*. когда по знаку он совпадает с <?1, сила эта направ-
направлена по /*09=| 2_ 1,, т. е. заряд цг отталкивается от <7ъ если
же знаки цг и цх противоположны, то сила направлена по — /*0?(
а это значит, что заряд ц% притягивается к цг. Разумеется, совер-
совершенно аналогично можно рассуждать о силе, действующей на за-
заряд ^1, но при этом под единичным вектором г0? следует понимать не
ГГ2~Г' |, а , Г1~Га., т. е. требуется переменить знак.
I Г2—Г\ I 1 ' 1 — ' 2 I
3. Система зарядов. Перейдем к рассмотрению системы точеч-
точечных зарядов. На основании принципа суперпозиции поле мо-
может быть найдено путем суммирования полей отдельных заря-
зарядов, т. е.
2 ^10117^, A5.6)
где Е( — напряженность поля заряда <7<> расположенного в точке
М1 (г{), а го1— , 1_гг1-. Пример графического определения несколь-
\г-П,
ких точечных зарядов представлен на рис. 15.3; расстояния | /* — /** |
обозначены
77

Аналогично определяется и потенциал:
A5.7)
Интересно, что из A5.7) можно путем элементарных действий
(хотя и не вполне безупречно) получить общее решение уравнения
Пуассона A4.9) для неограниченного пространства, выражаемое
формулой A4.10). Рассмотрим произвольное непрерывное распреде-
распределение заряда с плотностью р в V. Разбивая V на достаточно малые
элементы АУ(, внутри каждого из которых р я» р,-( можно построить
«эквивалентную» систему точеч-
точечных зарядов <7г= Рс&Уь полагая,
что эти заряды расположены
где-то в своих ячейках АУг. Да-
Далее производится бесконечное из-
измельчение элементов ДУг. При-
Применяя формулу A5.7), получаем
_ _1_ С Р (Г'У
4яе л | г—г'
(IV', A5.8)
Рис. 15.3.
а это совпадает с A4.10).
4. Диполь. В качестве весьма
важного и притом простого слу-
случая системы точечных зарядов
рассмотрим так называемый ди-
диполь. Возьмем два разноименных, но равных по абсолютной вели-
величине точечных заряда ц и —д, расположенных на расстоянии /. По-
Полагая д~> 0, электрическим моментом этой системы назовем вектор
Р = д1, A5.9)
где / — вектор с абсолютным значением /, направленный от отрица-
отрицательного заряда к положительному. Если расстояние г, на котором
наблюдается эта система (т. е. исследуется ее поле), весьма велико
в сравнении с размером I, то ее называют диполем. Будем мысленно
уменьшать I, сохраняя ц1 постоянным, т. е. сближать разноименные
заряды, изменяя требуемым образом их величину. Тогда в пределе
при / -> 0 получится «дипольная точка», характеризуемая момен-
моментом р. Это идеальный диполь, т. е. система зарядов, которую можно
считать диполем на любом конечном расстоянии.
На основании A5.7) нетрудно записать выражение потенциала
системы двух зарядов дх = —д и цг = д:
A5.10)
78

Сама система вместе с точкой наблюдения представлена на рис. 15.4
в двух вариантах расположения начала системы координат О. Во
втором случае точка О лежит на середине отрезка /, так что гг =
= —1/2 и г2 = 112.
Желая определить потенциал диполя, воспользуемся формулой
A5.10); при этом надо устремить / к нулю, оставляя ц1 постоянным,
т. е. вычислить предел:
Ф(г)= Нш ±
I _> о ЧЯ6
*•-!;
\г-г2\
A5.11)
В случае рис. 15.4, б при этом
Я\г—Гх\ —я\г — гг\ ->-<7'СО5д,
так что
A5.12)
По сравнению с этим в более общем
случае рис. 15.4, а разница со-
состоит только в том, что г— /*2 и г -т- гг стремятся к /* — г1, где г* —
радиус-вектор средней точки отрезка /, и мы имеем
, л __ д1 соя д
4ле I г—г' I2
4ле|г —
A5.12а)
г г'
Единичный вектор гоч= , г_у
как и г0 в A5.12), направлен из
середины отрезка / на точку наблюдения М.
Напряженность поля Е диполя нетрудно найти как градиент
потенциала по формуле A4.3), используя сферические координаты
(рис. 15.5, а). На основании (П1.9) из A5.12) получаем
р
Е {г) =
со8
*»
A5.13)
Поле симметрично относительно оси диполя, поэтому ф и Е не за-
зависят от азимутальной координаты а; оно убывает с расстоянием
быстрее, чем поле одного точечного заряда: Е = 0AУг3) вместо Е =
= О A/г2).
Найдем уравнение силовых линий рассматриваемого поля.
Согласно (П 1.37) и табл. 6.1
и компоненты вектора /; известны из A5.13). Внося их сюда, запи-
записываем следующее дифференциальное уравнение:
2с1§0^§, A5.14)
79

описывающее силовые линии в произвольной плоскости. Его не-
нетрудно проинтегрировать. Это дает
--С. A5.15)
Чтобы построить отдельную силовую линию, надо задать какое-либо
значение постоянной С.
Рис. 15.5.
Картина силовых линий поля диполя показана на рис. 15.5, б.
§16. Примеры электростатических полей
1. Поля с центральной симметрией. Ниже мы .рассмотрим не-
несколько простых электростатических полей, при нахождении ко-
которых используются соображения симметрии. При этом результат
получается очень быстро из теоремы Гаусса.
б)
Рис. 16.1.
Начнем с замечания, что формула A5.1) в сущности пригодна
для описания не только поля точечного заряда, но и любых электро-
электростатических полей с той же центральной симметрией. Возьмем, на-
например, равномерно заряженный (р = сопз!) шар радиуса /? в од-
однородной изотропной среде; полный заряд его равен ц = 4я/?3 р/3;
80

диэлектрическая проницаемость шара и внешней среды гх и е2 со-
соответственно.
Описав концентрическую шаровую поверхность радиуса
\г—г' | > /? (на рис. 16.1, а /*' =0), как и в случае точечного за-
заряда, при вычислении интеграла теоремы Гаусса получаем
4я | г — г \Ю = <7, откуда и следует A5.1). В данном случае начало
координат удобно будет расположить в центре шара (рис. 16.1, а),
так что
Я Я3
Е=г0
г=Г„
A6.1)
4ле,/-2'
Аналогично находится поле и внутри шара (/■</?), но в соответ-
соответствии со смыслом теоремы Гаусса в этом случае вместо полного за-
заряда <7 надо брать заряд ц', содержащийся внутри сферы'радиуса г
(рис. 16.1,6) и равный <7' = 4яг3р/3. Поскольку ц'1ц = (г/Я)а,
то нужная формула получается из A6.1) заменой ц на цгг1Я3 и гг
на еа:
К ,^о A6.2)
Мы видим, что внутри равномерно заряженного шара поле ли-
линейно возрастает с расстоянием от центра, а вне его оказывается
а)
таким, как если бы заряд был сосредоточен в центре шара. На
рис. 16.2, а, б изображены функции Ь (г) и Е (г) при гг > е2, а так-
также при гг <с е2.
Если же заряд шара равномерно распределен по его поверх-
поверхности (<7 = 4я/?2|), то вне его поле по-прежнему выражается фор-
формулой A5.1), т. е. при начале координат в центре
<7 - ■
Е=г0
/■>/?,
A6.3)
а внутри (г <. /?) оно отсутствует: Е = 0. Действительно, в силу
симметрии поле могло бы быть только радиальным и равномерным,
а при этом для внутренних (г <С /?) сфер 4яг2О = 0. На рис. 16.2, в
распределение поля изображено графически.
2. Поля с осевой симметрией. Теорема Гаусса с таким же ус-
успехом используется для нахождения осесимметричных полей, по-
подобных полю равномерно заряженной бесконечной прямой нити.
В случае нити из соображений симметрии следует, что электриче-
81

ские силовые линии радиальны и распределены с постоянной плот-
плотностью. Построив на отрезке нити коаксиальный цилиндр
(рис. 16.3, а, б), видим, что силовые линии выходят только через
его боковую поверхность E = 2яг/)> и теорема Гаусса дает: 2пгЮ =
— 9- Заряд ц11, приходящийся на единицу длины нити, обозначим
х и запишем:
Е=г0
2тг
A6.4)
Читателю предоставляется проверить, что напряженность по-
поля равномерно заряженного (р = сопз!) бесконечного цилиндра
В
1
Г'
1
1
1
1
1
\
1"
г
1
—
—
—
Т
1
1
1
1
■ :
а)
б)
Рис. 16.3.
радиуса 1? с диэлектрической проницаемостью ёа при внешней
(г. >• /?) диэлектрической проницаемости ех есть
%г
==/*°2^' Г">Я>
г>Я,
лГ'
A6.5)
а напряженность поля цилиндра с поверхностным зарядом
Е=г0
_1 „ 1_К_
2пгг Г° е г
A6.6)
при
р
3. Поля слоистых систем. Рассмотрим далее плоский беско-
бесконечный слой толщиной 2й, равномерно заряженный по объему.
В данном случае симметрия такова, что силовые линии должны
бвпъ распределены с постоянной плотностью нормально поверх-
поверхности слоя. Чтобы применить теорему Гаусса, построим цилиндри-
цилиндрическую поверхность, охватывающую участок слоя с площадью 5
(рис. 16.4, а); основания цилиндра параллельны поверхности слоя
и располагаются на одинаковых расстояниях от его средней плос-
плоскости гОх. По теореме Гаусса 281) = ц= 25йр E является также
площадью основания цилиндра, а поток через его боковую поверх-
82

ность равен нулю). Если же, уменьшая высоту цилиндра, сблизить
его основания настолько, что они окажутся внутри заряженного
слоя, то построенная замкнутая поверхность будет содержать лишь
1
\ 1
ы
тф
'Л
0
'/
1
г
|
к
1
У
\ 1
'4
/
1
/
1
/
/
/
1
1
у
к
9
>
1
1
Ч-1
1
^ 1.
1
/
. )
1
1
1
а)
б)
Рис. 16.4.
часть заряда, и соответственно этому 251) = ц' = 25 \у \ р. Таким
образом,
Е=
где | = ^/5 — заряд, приходящийся на единицу поверхности слоя,
а е2 и гх — диэлектрические проницаемости слоя и внешней среды.
,>Е,
о
II
б)
-а
а)
Рис. 16.5.
На рис. 16.5, а приведен график, поясняющий найденную зависи-
зависимость.
Предположим теперь, что плоскость у = 0, заряженная с поверх-
поверхностной плотностью |, создает поле только в верхнем полупростран-
полупространстве (у > 0). В этом случае аналогичное применение теоремы Гаусса
приводит к результату
Е=У*\, A6.8)

вытекающему также непосредственно из граничного условия для
Оу (ср. § 8, п. 1); см. рис. 16.4, б и 16.5, б.
4. Применение уравнений Пуассона и Лапласа. Подчеркнем,
что все полученные выше результаты могли бы быть найдены путем
интегрирования уравнений Пуассона и Лапласа с последующим оп-
определением вектора Е по формуле A4.3). Этот несколько более слож-
сложный подход нецелесообразен, если можно прямо воспользоваться
теоремой Гаусса. Из методических соображений мы приведем все
же два примера, демонстрирующих содержание уравнений электро-
электростатики.
Для задачи о равномерно заряженном слое уравнение Пуассона
A4.9) принимает вид
причем р = сопз1 ф 0 и е = е2 при —й <С г/ < й; р = О и е = ех
при у~> й, у <. —с( (рис. 16.4, а); вне слоя A6.9) переходит в урав-
уравнение Лапласа.
Интегрируя A6.9), пишем
и далее
-а<у<а,
где А и В — неизвестные пока константы. Точно так же
^2— Л' ) *?=А" 1
л\ *у ' \у<-а.
\
Поскольку в силу симметрии системы Е(—у) = —Е(у), т. е.
■ 4ф(— У) _ аЧ>(У)
йу йу '
то А = 0 и А' = —Л". Таким образом,
^=-^^=^^^' -A<у<A. A6.10а)
Применяя затем второе граничное условие из A4.12) при у = й
(| = 0, так как поверхностный заряд отсутствует), получаем
-81Л' —8а-_
что дает Л'. Отсюда
Е=з;0^-, г/>с( и Е=-у0^, у< — A. A6.106)
Полученные результаты A6.10а), A6.106) совпадают с A6.7).
84

В качестве второго примера рассмотрим цилиндр, несущий по-
поверхностный заряд. Уравнение Лапласа A4.11) в цилиндрических
координатах, согласно (П1.18), принимает вид
= 0 A6.11)
{61 да = 0 и д/дг = 0); внутри цилиндра {г < /?) поле отсутствует.
Интегрируя уравнение A6.11), имеем
и далее
откуда
Вторая строчка граничных условий A4.12) в данном случае при-
принимает вид
~е57^ при г==/?>
так что А = —|/?/е. В результате получаем
Е=- г/-^^го\^г, A6.12)
что совпадает с A6.6).
5. Поле двух заряженных нитей. Полученный в п. 2 результат
A6.4) можно, используя принцип суперпозиции (ср. § 15, п.З), при-
применить для нахождения поля нескольких заряженных нитей.
а)
■ 6)
Взяв две идущие на расстоянии й параллельные нити с зарядами
на единицу длины т и —т соответственно, для некоторой точки на-
наблюдения М (рис. 16.6, а) получим
A6.13)
2Я8Г»
A6.14)
83

На основании A4.6)
1
! —ФО2= \
г = Г1Е1п^, '
где ф01 и ф02 — потенциалы полей Ех и Е2 в точке Мо. Пусть точка
эта находится на одинаковых расстояниях от обеих нитей (г01 = г02),
тогда в силу осевой симметрии полей Ех и Ег при данной их вели-
величине ф02 — —ф01. Складывая оба потенциала, получаем
Итак, потенциал постоянен на поверхностях, описываемых урав-
уравнением
Т-± = к (Й = СОП8*). A6.16)
Нетрудно убедиться, что это поверхности цилиндров, параллель-
параллельных, но не коаксиальных нитям. Переписывая A6.16) в декартовой
системе координат (рис. 16.6, б), имеем
■к\ A6.16а)
или
1 A6.17)
Это уравнение окружностей, которые являются поперечными се-
сечениями эквипотенциальных цилиндров. Их центры лежат на оси
х вне отрезка —^- <С х < -к, а радиусы по мере удаления от начала
координат неограниченно возрастают.
Если точка наблюдения М лежит очень далеко (г ^> й), то
а , а
СО8« И Г2 >^Г-\- -^ СОЗа
(рис. 16.6, в), и формула A6.15) принимает вид
х ,
Вычисляя напряженность поля Е как —Уф при помощи (П1.8),
в пределе при й1г -* 0 и хй = сопз! имеем
86

Это поле «дипольной нити» (каждая точка прямой — поперечно
ориентированный диполь); %й есть абсолютное значение дипольного
момента, отнесенное к единице длины нити.
§ 17. Проводники в электростатическом поле. Емкость
1. Поля и потенциалы при наличии проводников. В проводни-
проводниках заряды под действием электрического поля должны приходить
в движение. Это значит, что в электростатике, рассматривающей
исключительно неподвижные заряды, поля внутри проводников
всегда отсутствуют. Данный вывод формально следует из урав-
нения F.6) у=аЕ> A7Л)
согласно которому в проводящей среде (а Ф 0) при наличии элект-
электрического поля (ЕфО) существует ток (/=/=0). Поскольку же нет
тока (/ = 0), то при а Ф 0 (проводник!) не должно быть и поля:
Е = 0.
В электростатике свободные заряды проводящего тела оказы-
оказываются на его поверхности, где и занимают такое равновесное поло-
положение, при котором их поля внутри тела взаимно компенсируются.
При этом также отсутствует тангенциальная компонента вектора
Е на поверхности проводника
Ех = 0 на 5. A7.2)
Действительно, при Ех Ф 0 существовал" бы тангенциальный ток
с плотностью ут = аЕх. Напомним, впрочем, что вывод A7.2) сле-
следует уже из отсутствия поля в одной из граничащих сред (§ 8, п. 1).
Мы можем теперь сказать, что именно применительно к проводникам
оказывается полезным представление о поверхностном заряде, харак-
характеризуемом плотностью |. Итак, электростатическое поле существует
вне проводящих тел и нормально их поверхностям, а поэтому для
поля на поверхности проводника справедливо соотношение (8.2)
/> = го| на 5. A7.3>
Наконец, ортогональность силовых линий проводящим поверх-
поверхностям, выражаемая этой формулой, означает, что поверхности эти
в электростатике эквипотенциальны. Действительно, ввиду A7.2)
Е = —т0Утф = —ходу1д% = 0 для любого касательного направле-
направления х, а следовательно,
Ф = сопз1 на 5. A7.4)
Во всех внутренних точках проводника потенциал имеет то же зна-
значение, что и на поверхности, поскольку при Е = 0 он постоянен и,
согласно первой строчке A4.12), непрерывен на границе тела с внеш-
внешней средой. Поэтому говорят «потенциал проводника», подразуме-
подразумевая значение функции ср, которое она принимает во всех его точках.
2. Электростатическая индукция. Обращаясь к материалу пре-
предыдущего параграфа, мы можем констатировать, что формулы A6.3),

A6.6) и A6.8) относятся к равномерно заряженным проводящим
телам (| = сопз1). Проводники более сложной формы заряжаются,
вообще говоря, неравномерно (| ф сопз!); на рис. 17.1 приведены
для сравнения некоторые картины полей.
1
к 1
, 1
1
///у/////////////////
а)
Предположим теперь, что в заданное электростатическое поле (на-
(например, однородное, рис. 17.2, а) помещается незаряженный провод-
проводник Л. Возьмем сначала идеализированный случай, когда А —
бесконечный плоский проводящий слой, перпендикулярный полю.
Согласно A7.3) на обеих его поверхностях появляется заряд, рас-
распределенный с постоянной плотностью | и —| соответственно
(рис. 17.2, б); полный заряд слоя (ц — 0) и первоначальное строение
поля не меняются. В иных случаях при внесении проводника А
поле должно деформироваться таким образом, чтобы силовые ли-
линии стали ортогональны проводящей поверхности (рис. 17.2, в).
Появляется поверхностный заряд, плотность которого, согласно
A7.3), равна значению ^ на 5, причем полный заряд тела, разу-
разумеется, по-прежнему будет равен нулю. Возникший заряд называют
а)
Рис. 17.2.
«наведенным» или «индуцированным», а само явление — электро-
электростатической индукцией.
При сближении нескольких заряженных проводников поле на
поверхности каждого претерпевает изменения, и происходит пере-
перераспределение заряда; электростатическая индукция предстает
как взаимное влияние тел.
3. Постановка граничной задачи. Ясно, что в системе провод-
проводников распределение заряда на каждом из них заранее неизвестно,
и задача электростатики не сводится к определению поля заданных

зарядов; неизвестно распределение заряда и на поверхности уеди-
уединенного проводника, за исключением простейших случаев, рассмот-
рассмотренных в § 16, и аналогичных.
Пусть одно или несколько проводящих тел расположено в одно-
однородной изотропной среде. Потенциал ср во всем пространстве между
телами подчинен уравнению Лапласа A4.11), а на их поверхностях
принимает, согласно A7.4), постоянные значения. Поэтому ср есть
решение граничной задачи:
У2ф = 0, 1
Ф = Ф, на 5г (/=1, 2 АО } A?'5)
Eг — поверхности тел, число которых Щ. Это задача Дирихле
(П5.9), которая, как известно, имеет единственное решение. Таким
образом, если найдена функция ф, удовлетворяющая уравнению
Лапласа и принимающая требуемое значение Фг на поверхностях
рассматриваемых проводников, то это наверняка электростатиче-
электростатический потенциал ф их поля.
Задача Дирихле A7.5) не может быть поставлена, если потен-
потенциалы проводников Ф; заранее неизвестны. Однако вместо потен-
потенциалов достаточно знать полные заряды всех проводников. Дейст-
Действительно, в приложении 5 указано (стр. 587), что граничная задача
для уравнения Лапласа имеет единственное решение при задании
интегралов \ -^ с?з. А так как
согласно A4.12) или A7.3), есть не что иное, как полный заряд
проводника с поверхностью 5, то отсюда следует единственность
решения электростатической задачи в виде уравнения Лапласа
A4.11) для системы проводников при задании их полных зарядов.
Итак, сформулировано два положения, составляющих так на-
называемую теорему единственности электростатики. Практиче-
Практическое значение этой теоремы заключается в том, что она открывает
путь самым различным приемам решения электростатических задач
о проводниках в однородной среде, ибо гарантирует истинность
результатов при соблюдении некоторых условий. Ведь каким бы
путем ни было найдено решение ф, всегда можно проверить, удовлет-
удовлетворяет ли оно условиям единственности (т. е. реализует ли оно за-
заданные потенциалы или полные заряды проводников) и является
ли, следовательно, электростатическим потенциалом исследуемого
поля.
4. Зеркальные изображения. В качестве примера электроста-
электростатической индукции рассмотрим влияние проводящей плоскости на
поле точечного заряда. Интересно, что для решения этой задачи до-
достаточно ввести в рассмотрение дополнительный (фиктивный) заряд,
являющийся как бы «зеркальным изображением» чзаданного заряда
с противоположным знаком. Таким образом, для нахождения поля

заряда <7, расположенного на расстоянии к над проводящей плоско-
плоскостью Р (рис. 17.3, а), возьмем систему двух зарядов, одинаковых
по абсолютной величине | ц | и противоположных по знаку, отстоя-
отстоящих на расстоянии 2/г. Исследуем их поле. Легко видеть, что плос-
плоскость симметрии <2 (рис. 17.3, б), к которой силовые линии подхо-
подходят под прямым углом, является, таким образом, эквипотенциаль-
эквипотенциальной. Между тем в поставленной задаче нам и нужно найти поле за-
заряда над эквипотенциальной плоскостью Р. Поле это, как легко
П
Р>
V////////////////
а)
е-\-
У///////////////////////////////////
г)
Рис. 17.3.
догадаться, не отличается от поля в верхнем полупространстве над
0.. Это значит, что его можно найти, как поле двух зарядов по фор-
формуле A5.6), что поясняется на рис. 17.3, в. В точках плоскости Р
поле, как видно, имеет напряженность
цН
СОЗ # = —- V,
0 2яег3 *
A7.6)
Следовательно, в соответствии с A7.3) на плоскости распределен
заряд с плотностью
A7.7)
Полный индуцированный заряд на Р равен —ц, что устанавливается
путем применения теоремы Гаусса или интегрированием \ по всей
плоскости (это рекомендуется проделать читателю). Заметим, что
систему «заряд — плоскость» можно рассматривать как два про-
проводящих тела, одно из которых точечное, с зарядами ц и —ц. Реше-
Решение электростатической задачи при этом единственно, и не может
90

возникнуть сомнения в правильности использованного приема,
называемого методом зеркальных изображений.
Метод зеркальных изображений пригоден для определения поля
любой заданной системы зарядов над проводящей плоскостью;
изображения строятся отдельно для каждого из них, и затем приме-
применяется принцип суперпозиции. Читателю предоставляется прове-
проверить, что поле заряженной нити (§ 16, п. 2), расположенной над
плоскостью на расстоянии Н, индуцирует на ней заряд с плотностью
5 A78)
где г — расстояние до нити. Составляя отражения отдельных за-
зарядов, можно также получить правила построения отражений ди-
польных моментов (рис. 17.3, г). Как видно, диполь, параллельный
плоскости, порождает антипараллельное изображение, а перпен-
перпендикулярный диполь — параллельное. В случае произвольно ориен-
ориентированного диполя его момент разлагается на параллельную и пер-
перпендикулярную плоскости компоненты.
5. Емкость. Остановимся далее на весьма употребительном
понятии емкости проводника. Как говорилось, все точки провод-
проводника обязательно имеют один и тот же потенциал. При этом раз-
различным по форме и размерам уединенным проводникам для получе-
получения некоторого заданного потенциала надо сообщать разные за-
заряды. С этой точки зрения каждое проводящее тело характеризуется
емкостью С, определяемой по величине заряда, при котором по-
потенциал проводника относительно бесконечности A4.7) равен еди-
единице. Ввиду линейности уравнений электростатики (когда среда
линейна) потенциал и заряд связаны зависимостью ц = Сер, т. е.
С=|., A7.9)
Единица измерения емкости — фарада [ф].
Определим в качестве примера емкость сферического провод-
проводника радиуса /?. Поскольку поле вне шара не отличается от поля
точечного заряда (§ 16, п.1), его потенциал находим, применяя фор-
формулу A5.2). Полагая в A5.2) \г—г'\ = /? (поверхность провод-
проводника), имеем
ШМ 07.10)
Поэтому на основании A7.9) емкость шара есть
С=Ыгк. A7.11)
В системе проводящих тел заряд любого из них линейно связан
с потенциалами всех тел:
91

Удобнее писать это в несколько ином виде:
Я1 = Си (ф; — Фх) + С,-2 (ф, — фа) +... Сацч +... + Сш (ф( —
(»=1, 2, .... Я), A7.12)
где имеется в виду система N тел. Коэффициент Си называется
собственной емкостью проводника /, а Сш — взаимными емкостями
проводников I и к. Собственные емкости проводников в системе,
конечно, отличаются от емкостей таких же уединенных провод-
проводников. Точно так же взаимные емкости отдельных пар проводников
определяются не только данными двумя, но и всеми остальными про-
проводниками; можно показать, что Сц, = Сы. Запись A7.12) есть си-
система Л^ линейных алгебраических уравнений относительно потен-
потенциалов (разностей потенциалов) при заданных зарядах проводни-
проводников и емкостных коэффициентах С,А.
Систему двух защищенных от внешнего влияния проводников
называют конденсатором. Попутно отметим, что полная защита
от внешних электростатических полей достигается помещением
объекта внутрь замкнутой проводящей оболочки — электростати-
электростатического экрана. Любые внешние поля индуцируют заряд на наруж-
наружной поверхности экрана, внутри же него поле внешних зарядов
равно нулю, как в сплошном проводнике (если в проводнике, где
поле всегда отсутствует, сделать полость, то ничего не должно из-
измениться). Простейшим идеальным конденсатором является сис-
система двух тел, одно из которых находится внутри другого
(рис. 17.4, а). В полости существует лишь поле, создаваемое за-
зарядом внутреннего тела ц, которое наводит на внутренней поверх-
поверхности экрана заряд —ц, в чем можно убедиться, применяя теорему
Гаусса к какой-либо замкнутой поверхности, лежащей внутри эк-
экрана и охватывающей полость. Поток вектора /? через такую поверх-
поверхность, обозначенную на рис. 17.4, а пунктиром, равен нулю, по-
поскольку поле в проводнике отсутствует. Поэтому полный заряд
внутри нее также равен нулю, откуда и следует, что заряд ц внутрен-
внутреннего проводника компенсируется зарядом —д, наведенным на внут-
внутренней поверхности экрана.
Емкостью конденсатора называют отношение
где <7 — заряд одного проводника, а Аф — разность потенциалов
проводников, причем обе величины должны быть одного знака.
6. Вычисление емкости конденсатора. Пример идеального кон-
конденсатора дает система двух проводящих концентрических сфери-
сферических поверхностей (рис. 17.4, б). Разность потенциалов обоих
проводников на основании A4.6) и A6.3) определяется как
я,
92

Отсюда по формуле A7.13)
A7.15)
Аналогично для коаксиальных бесконечных цилиндрических
поверхностей (рис. 17.4, в слева), согласно A4.6) и A6.4),
A7.16)
A7.17)
т 2яе \ г 2яе /?11
и емкость, приходящаяся на единицу длины, равна
„, х 2яе
К реальным цилиндрическим конденсаторам конечной длины
а)
//////////////л
'//////////////////7/.
'////У/////
в)
г)
Рис. 17.4.
7
(рис. 17.4, в справа) полученный результат применим лишь прибли-
приближенно, поскольку поле на краях заметно отличается от радиального
продольно однородного.
Между параллельными проводящими плоскостями поле однород-
однородно и описывается выражением A6.8), рис. ПА, г слева. Разность
потенциалов между плоскостями равна
а
<*!/ = }* A7-18)
93

Следовательно, емкость, приходящаяся на единицу площади си-
системы параллельных плоскостей, есть
Дф а
A7.19)
К реальным плоским конденсаторам (рис. 17.4, г справа) эта фор-
формула, подобно ранее выведенной формуле A7.17), применима только
как приближенная из-за деформации поля на краях.
В заключение приведем выражения емкости для двухслойных
систем:
плоской (рис. 17.5, а)
С"=-
(<*-&)'
цилиндрической (рис. 17.5, б)
С г
7Г"
сферической (рис. 17.5, в)
?1-Я) •
A7.20)
A7.21)
A7.22)
Во всех этих случаях электрические силовые линии направлены
по нормали к границе раздела сред, а поэтому вектор й не испыты-
испытывает скачка. В случае плоской системы /) = уо%, так что
и вместо A7.18)
откуда и получается формула A7.20). Вывод формул A7.21) и A7.22)
предоставляется читателю.
94

§ 18. Системы диполей и поляризация диэлектрика
1. Нейтральная система зарядов. Вернемся к вопросам, рас-
рассматривавшимся в § 15, пп. 3, 4. Пусть имеется система одинаковых
по абсолютной величине зарядов ци в целом нейтральная, т. е.
29*=0. A8.1)
Ее электрическим моментом назовем вектор
где гг — радиус-векторы зарядов цг (точечных!), отнесенные к лю-
любому началу координат; легко убедиться, что от его расположения
величина р не зависит.
В частности, когда зарядов два ($х = —ц ид2 = ц), мы приходим
к определению электрического момента из § 15, п.4.
Действительно (рис. 18.1), -д^ -^д
где /—вектор, направленный от отрицательного
заряда к положительному и равный по абсолют-
абсолютному значению расстоянию между ними.
Потенциал нейтральной системы определим по
формуле A5.7). Если расстояние от любого заряда
системы до точки наблюдения значительно пре- Рис. 18.1.
восходит все расстояния между зарядами, то на-
начало координат можно.выбрать так, чтобы для всех г было г ^>>г.
При этом члены суммы A5.7) удобно преобразовать следующим
образом:
\г-п\ у \
где отброшены члены высшего порядка малости. В силу A8.1) сум-
суммирование таких слагаемых приводит формулу A5.7) к виду
_ рг0
A8.3)
где использовано определение A8.2). В пределе при — -»-0 и р =
= сопз! формула становится точной. Сопоставляя A8.3) и A5.12),
мы видим, что нейтральная система зарядов с моментом р ведет себя
как диполь с тем же моментом.
Естественно, что нейтральная система точечных зарядов может
рассматриваться как система диполей, и при Вычислении момента
по формуле A8.2) можно объединять заряды разных знаков попарно,
находя предварительно моменты пар рг. Тогда
A8.4)

Пусть, наконец, исследуется нейтральная система очень боль-
большого числа зарядов; будем считать, что даже в каждом относительно
малом объемном элементе ДУ число зарядов весьма велико. Если
рду — момент системы зарядов, сосредоточенных внутри ДУ, то,
составив дробь рду/ДУ, мы получаем момент, отнесенный к единице
объема. Далее введем величину
Р= \1т ?$-, A8.5)
где символ АУ -> 0 имеет тот же условный смысл, что и при полу-
получении формул A.6), A.7) и т. п. (стремление АУ к нулю возможно
для некоторой идеализированной сплошной среды, заменяющей
данную систему зарядов, в которой измельчение объема должно ос-
оставаться конечным). Величина Р есть плотность электрического
момента условной среды, заменяющей систему зарядов.
Понятие плотности Р пригодно во многих случаях. Например,
ценой некоторого обобщения можно снова вернуться к системе су-
существенно дискретной и даже описать среду, содержащую всего
лишь один диполь. В последнем случае достаточно положить
Р(г) =рб (г-/-'), A8.6)
гдер — момент этого диполя, расположенного при г= г\ а 6(г—г')
— б-функция (приложение 2).
2. Поляризация диэлектрика. При помещении диэлектричес-
диэлектрического тела в электростатическое поле последнее, как и в случае тела
проводящего, деформируется: иначе, вообще говоря, не были, бы
удовлетворены граничные условия. Так, если поле сначала одно-
однородно (рис. 18.2, а), а тело имеет форму эллипсоида, то поле при
наличии диэлектрика оказывается таким, как изображено на
рис. 18.2, б, в: внутри тела оно параллельно и однородно (то же в слу-
случаях шара, бесконечного цилиндра и плоского слоя, которые яв-
являются частными формами эллипсоида). Чтобы найти поле, надо ре-
решить граничную задачу, и в § 20 будет показано, как это делается.
Пока же сосредоточим внимание, на внутренних процессах в диэлект-
диэлектрике.
Под поляризацией среды (§ 5, п.1) понимается совокупность про-
процессов, совершающихся в ней под действием электрического поля
и оказывающих на него обратное влияние: возникающее при дефор-
9в

мации частиц материи «внутреннее» поле налагается на первона-
первоначальное «внешнее». Согласно E.1) электрическая индукция в ди-
диэлектрике /) отличается от индукции /H = г0Е в вакууме при той
же напряженности поля Е на величину Р, называемую поляризо-
ванностью:
/>=/>„+Р. A8.7)
Основанное на этом макроскопическое описание поляризации
в электростатике вполне определяется соотношением между ин-
индукцией й и напряженностью поля Е в виде уравнения A4.1в).
Однако такое чисто феноменологическое описание мы можем
теперь дополнить внутренней картиной поляризации, хотя и схе-
схематической, но полезной для уяснения сущности явлений.
Заряды внутри атомов (ионов) и молекул, которые не могут пе-
перемещаться на макроскопически заметные расстояния, называются
связанными; это выражение употреблялось в § 5. В электростатике
Е=О
О
а> 6)
Рис. 18.3.
мы должны рассматривать лишь идеальные, т. е. лишенные проводи-
проводимости, диэлектрики. В сущности это среды, построенные из связан-
связанных и взаимно уравновешенных зарядов. При этом в силу симметрии
распределения заряда каждая молекула может не обладать диполь-
ным моментом, но под влиянием поля молекула в целом приобретает
некоторый момент р (рис. 18.3, а). Если же молекула с самого на-
начала обладает электрическим моментом р0, то гораздо легче, чем
деформация, происходит ее ориентация в электрическом поле
(рис. 18.3, б), которую можно расценить как приращение электри-
электрического момента р0 на параллельную полю величину Ар:
р=ро + Ар, Ар\\Е.
Вообще в практически широких пределах дополнительный диполь-
ный момент пропорционален вектору поля Е:
р=ро + аЕ. A8.8)
В том случае, когда в отсутствие внешнего поля микрочастица ли-
лишена момента, здесь надо положить р0 = 0; ввиду пропорцио-
пропорциональности р и Е при Ътом можно сказать, что деформирующая сила
поля уравновешивается как бы силой упругости.
Возьмем какую-либо макроскопическую область АУ, содержа-
содержащую ЫАу частиц, и, рассматривая ее как систему диполей (т. е.
4. Электродинамика X 97

описанную выше в п.1 нейтральную систему зарядов), вычислим
полный электрический момент рАу. Согласно A8.4)
^1^1 A8.9)
так как при ры Ф О сумма ^Рог обращается в нуль ввиду хаотич-
хаотичности начальной ориентации электрических моментов отдельных
частиц. Относя момент рАу к объему АУ и переходя к пределу, как
в A8.5), получаем плотность электрического момента поляризован-
поляризованного диэлектрика в некоторой точке:
A8.10)
Полученный результат запишем в форме
A8.11)
Теперь остается лишь убедиться в том, что вектор плотности
электрического момента Р, являющийся для макроскопически идеа-
идеализированной сплошной среды функцией координат, как Е и /),
есть не что иное, как поляризованность Р, входящая в A8.7), а
%э — электрическая восприимчивость (§ 5, пп. 1,2).
3. Поляризованность и связанные заряды. Итак, покажем,
что в соотношении A8.7) участвует величина Р, определяемая
именно формулой A8.11).
Пусть в среду с постоянной диэлектрической проницаемостью
е внесено распределение заряда, характеризуемое плотностью р.
В некоторой точке М (/*) электростатический потенциал ф нахо-
находится на основании A5.4), т. е.
Если же воспользоваться введенным выше в п.2 представлением
о диэлектрике как о системе связанных зарядов в вакууме, то
Ф = Фо + фд. A8.13)
где, согласно A5.4),
есть потенциал, который создается заданным распределением за-
зарядов в вакууме (е = е0), а срд — потенциал, обусловленный всеми
диполями взятой модели среды.
Чтобы вычислить фд, учтем сначала, что достаточно малый эле-
элемент диэлектрика действует как диполь с моментом РАу, создавая
потенциал, который мы обозначим Афд. Последний определяется
прямо по формуле A5.12а):
96

а потенциал системы диполей, эквивалентной всему диэлектрику,
находится интегрированием этой величины по полному объему:
Согласно (Ш.11), (П1.36)
и далее с учетом (П1.30)
Р(г'\агаА' , ! = Н.у' Р(Г>) Ё^
На этом основании преобразуем подынтегральное выражение
A8.15), используя также теорему Остроградского —Гаусса (П1.24).
Это дает
Пусть рассматриваемая диэлектрическая среда занимает все
пространство. Объем V возьмем в виде сферы бесконечно возра-
возрастающего радиуса с центром в точке наблюдения М (/*) и убе-
убедимся, что поверхностный интеграл в A8.16) исчезает. Действи-
Действительно, создаваемое заданным распределением заряда поле- Е
с увеличением расстояния приближается к полю точечного
заряда ^ = ^рёV, расположенного в центре сферы. Это значит,
V
что, выражая Р через Е при помощи A8.11), будем иметь
Нт
\г—г'
= Нт 4я|/--г'|а —гг^ Л г-=0.
Нт 4я|/-г| —гтг0Г г2 г-
|г-г'|-*со \г-г'\ оА 4яео|г-г'|2
В результате потенциал, создаваемый дипольной моделью диэлект-
диэлектрика (всеми связанными зарядами), есть
что дает возможность выразить полный потенциал ф в виде суммы
A8.13) так:
Теперь, наконец, можно сделать выводы из того факта, что фор-
формулы A8.12) и A8.18) по-разному представляют одну и ту же функ-
функцию ф (/*), а следовательно,
р р — сНу Р
4* 89

При помощи уравнений A4.16), A4.1 в) отсюда получаем
) (Д, = е0Е), A8.19)
что согласуется с A8.7).
Вернемся к выражению A8.17). Поскольку потенциал срд соз-
создается системой связанных зарядов модели диэлектрика, располо-
расположенных в вакууме,, то, согласно A5.4), следует написать
Сопоставляя A8.17) и A8.20), получаем соотношение, устанавли-
устанавливающее связь между поляризованностью Р и плотностью связанных
зарядов рсв:
р„ = —<ИуЯ. A8.21)
В заключение параграфа отметим, что пока мы игнорировали
явление самопроизвольной поляризации; об этом скажем в § 21,
п. 4 в связи с самопроизвольной намагниченностью.
§ 19. Энергия электростатического поля
1. Энергия и заряд. В пространстве, где существует электри-
электрическое поле, как известно (§ 11 п.1), распределена энергия ЧУЭ
с плотностью
«•-^-^. - A9.1)
Таким образом, вычисляя энергию электростатического поля,
содержащуюся в некоторой области V, с учетом A4.3) имеем
\ > = —1 ^ДегайфА». A9.2)
Подынтегральное выражение преобразуем при помощи формулы
(П1.30) и, применяя теорему Остроградского — Гаусса (П1.24),
а также заменяя (Ну п через р, получим
№" = -М рф Ж> --*-& ф/> <й. A9.3)
V 8
Чтобы определить полную энергию поля, надо распространить
интегрирование на все пространство. Подобно тому как это уже де-
делалось в § 18, п. 3, возьмем объем V в виде сферы бесконечно воз-
возрастающего радиуса с центром в области распределения заряда или
на конечном расстоянии от нее (эта область, разумеется, ограничена).
Тогда поверхностный интеграл в A9.3) исчезает, поскольку на до-
достаточно больших расстояниях взятое распределение проявляет
100

себя как точечный заряд д = \ р йу, расположенный в центре сферы
V
М (/-'). Действительно,
Нт <§ ц>(г)О(г)аз~
= Нт 4л\г-г'\24_„ Л _, ,_ _я _, |О = 0
4яе0 | г—г' | 4я | г—/
(вне некоторой ограниченной области во всем пространстве е = е0).
Поэтому энергия электростатического поля, создаваемого ограни-
ограниченным в пространстве распределением заряда, равна
И7» = -Мрср*>. A9.4)
При этом, как видно, интегрирование распространяется фактиче-
фактически только на область (возможно, состоящую на разъединенных
частей), которая содержит заряд (р^=0). Энергия электростати-
электростатического поля выражена, таким образом, не путем непосредственного
учета ее содержания во всем — бесконечном — пространстве, как это
делается при интегрировании хюэ A9.1), а через источники поля,
заряды.
2. Случай проводников. Если рассматривается заряженное про-
проводящее тело в пространстве, не содержащем иных зарядов, то в
A9.4) ф = сопз!, а интеграл \ р &о сохраняет смысл полного заряда
V
тела ц, поскольку при желании мы можем считать заряд, располо-
расположенный тонким слоем у поверхности проводника, объемным. Впро-
Впрочем, и. для идеального поверхностного заряда ввиду (П2.7)
х'+а
Ж \ |б (V — V ) й5 (IV = (Л) | й& = <7,
•3 •) * «}
5 V' —а 5
где V — координата нормали к поверхности проводника (на послед-
последней V = 0). Следовательно, выражение A9.4) дает
№ = ~2 <7Ф = ~2 Сф2 = -^ -ф A9.5)
(здесь использовано также соотношение A7.9)).
Покажем на простом примере, что вычисление энергии по фор-
формуле A9.5), действительно, дает тот же результат, что и интегриро-
интегрирование'плотности да" A9.1) по всему пространству, занимаемому по-
полем. Для проводящего шара с зарядом ц на основании A6.3) ш* = 0
при 0^г</? и даэ= <72/32 я2ег4 при г ^ Я- Интегрируя эту
функцию в сферической системе координат, находим
оэ я 2я
0
Результат A9.5) подтвержден.
101

В случае системы N проводящих тел с потенциалами ер* и пол-
полными зарядами цг, исходя из A9.4), получаем
N N
1 = 1 V"; (=1
\
Применяя эту формулу к конденсатору (Ы = 2, цх=ц и цг =
= —ц), имеем
^Э = |(ф1-Ф2) = -|(Ф1-Ф2J = |^ 'A9.7)
с учетом A7.13).
3. Собственная и взаимная энергия. Ранее отмечалось (§ 13, п. 3),
что на энергию электромагнитного поля не распространяется прин-
принцип суперпозиции: при соединении элементов в систему к их соб-
собственной энергии добавляется энергия взаимодействия, или взаим-
взаимная энергия. В случае системы проводников потенциал каждого
из них можно представить в виде суммы
(, A9.8)
где фг — потенциал г-го проводника в отсутствие всех остальных,
а ф; — потенциал, создаваемый действием последних. Соответствен-
Соответственно этому выражение энергии A9.6) перепишем в форме
N N
ф,7/ + {2«. A9-9)
( = 1 1 = 1,
где
*'* и ^чЬ
1 = 1 (=1
— собственная и взаимная энергия системы проводников.
Определим собственную и взаимную энергию двух проводя-
проводящих шаров (радиусы /?х и /?2, заряды цх и <72), причем расстояние
между центрами шаров г значительно превышает /?х и /?2. Исполь-
Используя A9.10), имеем
Яы „ тег»' ' (Я\ хЯ\\ пл
шГ и ^^ш^ + щ) A9Л
а поскольку каждый шар в поле другого можно считать точечным
зарядом, то, согласно A5.2),
A9.11)
Говорить об энергии идеального точечного заряда не имеет
смысла: величина \^э A9.5) в данном случае обращается в бесконеч-
бесконечность вместе с ф. В этом сказывается несовершенство представле-
представления о заряде, сосредоточенном в точке. Однако, привлекая выраже-
выражение A9,10), мы можем утверждать, что для системы точечных заря-
102

дов сохраняет физическое содержание понятие взаимной энергии
№э, поскольку все потенциалы ф( конечны.
Можно рассматривать также энергию взаимодействия точечных
зарядов с заданным полем. Работа, совершаемая при удалении из
электростатического поля с напряженностью Е = —§гас1 ср заряда
<7, равна <7Ф- Следовательно, <7Ф выражает энергию взаимодействия
заряда с полем, которую обозначим №Е. Для системы N зарядов
Шв=^дт, A9.12)
1 = 1
где ф,- — потенциал поля Е в точке, содержащей заряд цг.
■ В частности, для диполя (М = 2, цх = —ц и ц% = ц)
A9.13)
Поэтому в случае идеального диполя
Е ^ A9.14)
т. е. энергия взаимодействия с полем Е определяется его моментом
р. В той мере, в какой формулу A9.14) можно употреблять вместо
A9.13), она, как можно показать, оказывается справедливой и для
произвольной нейтральной системы зарядов, характеризуемой своим
электрическим моментом A8.2).
§ 20. Деформация однородного поля проводниками
и диэлектриками простой формы
1. Общие замечания. Проводящий цилиндр. При внесении в
электростатическое поле проводящего тела на его поверхности
появляются наведенные заряды (§ 17, п.2), а в случае тела диэлект-
диэлектрического происходит поляризация среды (§ 18, п. 2). И тут и там
в результате возникновения дополнительного поля первоначальное,
вообще говоря, деформируется. При этом, несмотря на физическое
различие процессов электростатической индукции и поляризации
диэлектрика, задачи о проводниках и диэлектриках, помещаемых
в заданные поля, рассматриваются единообразно. Действительно,
результирующее поле и его потенциал в любой среде должны удов-
удовлетворять исходным уравнениям электростатики (§ 14), а на поверх-
поверхности тела, будь то проводник или диэлектрик, — известным гра-
граничным условиям.
Пусть, например, в однородное электростатическое поле, парал-
параллельное оси х,
, Е1=х0Е1, B0.1)
вносится проводящий или диэлектрический цилиндр с осью,
103

перпендикулярной направлению этого поля (рис. 20.1, а). Со-
Согласно A4.6) потенциал поля Ег равен
Ф1 = Ф01 — ^ Е1Х0 Л* =Цо1—Е1Х,
о
где ф01 — потенциал в плоскости х = О, или в цилиндрической
системе координат (рис. 20.1, б)
ц>1=ц>01 — Е1гсО5а. B0.2)
Сначала рассмотрим цилиндр проводящий, поверхность кото-
которого (г = /?) должна быть эквипотенциальна (§ 17, п. 1). Поскольку
потенциал первоначального поля Е1 при г = Я непостоянен, за-
заключаем, что внесение проводящего цилиндра в поле Ел вызывает
появление дополнительного поля Е2, уравнивающего потенциал
а)
6)
Рис. 20.1.
на его поверхности. Обозначая потенциал результирующего поля Е
символом ф, имеем условие
Ф = ф1 + ф2 = сопз1 при г=Я, B0.3)
где ф2 — потенциал поля Е2- Оно может быть выполнено лишь в том
случае, если ф2 изменяется при г = Я так же, как и ц>ъ т. е. является
косинусоидальной функцией угла а.
Потенциал ф2 должен удовлетворять уравнению Лапласа. Об-
Общее решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах
получено в приложении 7; ф2 надо рассматривать как произведе-
произведение функций <М (г) и е/(а), общий вид которых дается формулами
(П7.4) и (П7.5). Поскольку, как следует из B0.3) и B0.2), азиму-
азимутальная зависимость имеет вид соз а, следует в общем решении
Ф2=(А соз па + В 81П па) {Сгп + ВГп) B0.4)
взять п = 1 и В = 0, а так как потенциал ф2 не может неограни-
неограниченно возрастать по мере удаления от цилиндра, то также С = 0.
Следовательно, ,, . /пп _.
Ф2=/Сг1со8а, B0.5)
где К = АО — пока неизвестная постоянная.
104

Внося выражения B0.2) и B0.5) в граничное условие B0.3),
видим, что оно выполняется при
К=ЕХП\ B0.6)
потому что при этом значении К азимутальная зависимость потен-
потенциала на поверхности цилиндра
Ф (Щ = фщ — ЕХЯ со8 а + КК'1 соз а
компенсируется, и он оказывается постоянным. В сущности, опре-
определив К в B0.5), мы завершили решение внешней задачи Дирихле
(П5.9) для цилиндра при граничном условии B0.3).
Зная фх и ф2, потенциал ф результирующего поля Е получим
как их сумму. Используя B0.2), B0.5) и B0.6), находим
B0.7)
Для определения напряженности поля Е возьмем формулу A4.3)
и представление градиента в цилиндрических координатах (П1.8).
Это дает
{Щ[^уиа. B0.8)
Поставленная задача решена. Полагая в B0.8) г = Я, убеждаемся,
что вектор Е нормален поверхности цилиндра:
Е{П) = г02Е1со%а, B0.9)
а по мере удаления от него Е приближается к напряженности пер-
первоначального («невозмущенного») поля Ех:
\\т Е= Е1(г0со$а — ао$\па) = хоЕ1 = Е1. B0.10)
г-<-со
Строение результирующего («возмущенного») поля Е (/)) схемати-
схематически представлено на рис. 20.2, а. Интересно, что дополнительное
(«возмущающее») поле
^ B0.11)
налагающееся на первоначальное однородное поле Еъ таково, как
если бы оно было создано параллельными заряженными нитями
с моментом на единицу длины (§ 16, п. 5)
%й=2пП*&Еъ B0.12)
что следует из сравнения B0.11) и A6.19).
2. Диэлектрический цилиндр. Возьмем теперь вместо прово-
проводящего цилиндра диэлектрический. Искомое результирующее поле
в данном случае должно существовать как вне, так и внутри ци-
цилиндра; введем обозначения:
Н1: г<1 Bо-13)
105

Радиальная и азимутальная компоненты внешнего и внутреннего
полей подчинены на поверхности цилиндра граничным условиям,
следующим из G.7а) и G.3):-
'-*•
B0.14)
где е,- и ге — диэлектрические проницаемости цилиндра и внешней
среды соответственно.
Потенциал внешнего поля представим в виде суммы
Фе = ф1 + ф2> B0.15)
где фх — по-прежнему потенциал первоначального поля Ег B0.2),
а ф2 имеет вид B0.5), причем коэффициент К еще не известен.
а)'
6)
Рис. 20.2.
Что касается потенциала внутреннего поля Фь то он, так же
как и ф2, представляется решением уравнения Лапласа типа B0.4)
при п — 1 и В = 0. Но вид радиальной функции <М(/) теперь иной:
необходимо взять 0=0, так как иначе ф,- обращается в бесконеч-
бесконечность на оси цилиндра. Таким образом,
фг=Мгсо$а. B0.16)
Выражая поле через потенциалы по формуле A4.3), имеем:
B0.17)
-1 = М (— г0 соз а + ао §1П а)
и, взяв отсюда выражения их компонент для подстановки в гранич-
граничные условия B0.14), превращаем последние в систему уравнений
относительно неизвестных коэффициентов К. и М:
1-М = Е1,
К
106

Таким образом:
К^ЕуК2^^ и М = — 2Е1-^^-, B0.18)
и из B0.17) находится следующее решение поставленной задачи
о диэлектрическом цилиндре:
Е*= Ел I /*„ ( 1 + -^ е'Т^) соз а — а0 М — -^ ^'~-|--) зш а ,
( г0со8а-а0
B0.19)
Характерно, что внутреннее поле однородно и параллельно пер-
первоначальному («невозмущенному») полю Ех. Внешнее же представ-
представляет собой сумму поля Еу и поля
в —г ^2е<— 8г(/-0соза + ао3^па), B0.20)
как бы созданного параллельными заряженными нитями с момен-
моментом на единицу длины
ха —
B0.21)
Представление о структуре поля дает рис. 20.2, б.
В заключение отметим, что при решении задач вместо граничных
условий B0.14) можно было бы воспользоваться эквивалентными
граничными условиями для потенциалов, следующими из A4.12).
Читателю предлагается проверить это.
3. Сферические тела. Поляризованность. Совершенно анало-
аналогично можно получить решение задачи о помещении в однородное
электростатическое поле проводящего или диэлектрического шара.
Для этого сначала методом разделения переменных (Приложение 7)
находится -общее решение уравнения Лапласа в сферических коор-
координатах. Однако действия существенно сокращаются, если дога-
догадаться, что диэлектрический шар подобно цилиндру поляризуется
однородно.
Таким образом, будем с самого начала учитывать, что внутрен-
внутреннее поле шара /:( параллельно первоначальному полю Еу.
Е1 = АЕ1. B0.22)
Ориентация используемой в дальнейшем сферической системы коор-
координат относительно первоначального доля показана на рис. 20.3, а, б.
107

При этом создаваемое шаром дополнительное поле Е%, при на-
наложении на Ех дающее внешнее результирующее поле
Ее=Е1 + Ег, B0.23)
должно иметь характер поля диполя, расположенного в центре шара:
Ё 0&т®). B0.24)
Что касается первоначального поля, то в используемой системе коор-
координат оно имеет вид
Е1=г0Е1=Е1(г0со$Ъ-Ъ05т$). B0.25)
Налагая на Ее и Ег граничные условия G.7а) и G.3), имеем
что приводит к системе уравнений относительно неизвестных коэф-
коэффициентов А и В:
А ^+|з = ^1,
откуда
А=1^к и в=
Следовательно,
B0.28)
Это поле в плоскости симметрии шара похоже на аналогичное поле
в случае цилиндра (рис. 20,2, б).
Сравнивая формулы B0.24) и A5.13), находим эквивалентный
электрический момент диэлектрического шара в поле Ех:
Пусть шар находится в вакууме (ее = е0, гс = е). Ввиду однород-
однородности внутреннего поля поляризованность диэлектрика Р (§ 18, п.2)
на основании A8.10) есть
Щ»Еь B0-30а)
и в то же время, согласно A8.7) из B0.28),
Р=О(-е0Е1 = (е-ь0)Е1 = 3~^г0Е1. B0.306)
108

Подобную же проверку читателю рекомендуется выполнить и для
случая цилиндра (п. 2).
В случае проводящего шара внутреннее поле Ег отсутствует.
Поскольку в B0.28) Е{ -> °о при е,-/ее -> оо, то можно предполо-
предположить, что при этом же предельном переходе в первом из соотноше-
соотношений B0.28) будет получено внешнее (результирующее) поле для
проводящего пара. Найденное выражение
5)] B0.31)
действительно дает решение задачи о проводящем шаре. Легко
убедиться, что вектор Е B0.31) на поверхности шара направлен
по нормали Е(Ю = г0ЗЕ1Со$§, B0.32)
а при г -*■ оо поле Е стремится к Ей в плоскости симметрии шара
оно похоже на аналогичное поле цилиндра (рис. 20.2, а). Эквива-
Эквивалентный электрический момент проводящего шара есть
р=4лееК*Е1. B0.33)
Заканчивая параграф, напомним замечание, сделанное в начале
§ 18, п. 2. Как можно показать, решая задачу методом разделения
переменных (см. например, [А.2]), однородным оказывается внут-
внутреннее поле любого эллипсоидального диэлектрического тела, по-
помещенного в заданное однородное поле (рис. 18.2). Шар, цилиндр,
а также плоский слой — это частные формы эллипсоида.'
§ 21. Магнитостатика
1. Основные уравнения. Начнем с записи системы уравнений
(§ 13, п. 2), характеризующих неизменное во времени магнитное поле
в пространстве без токов:
го1Я=0, B1.1а)
ЫчВ=0, B1.16)
В=(хЯ. B1.1в)
Эти уравнения магнитостатики аналогичны уравнениям электро-
электростатики A4.1), однако существенное различие заключается в том,
что в правой части B1.16) мы имеем нуль, тогда как в подобном
электростатическом уравнении A4.16) стоит плотность заряда р:
свободные магнитные заряды в природе отсутствуют. Интегральные
соотношения, отвечающие двум уравнениям B1.1), имеют вид
§ 0, B1.2а)
В A8=0. B1.26)
5
Напомним также, что граничные условия для векторов поля, вхо-
входящих в уравнения магнитостатики, G.4а) и G.8а) формально
109

идентичны используемым в электростатике граничным условиям
G.3) и G.7а), первое из которых справедливо в отсутствие поверх-
поверхностного заряда.
Как и в электростатике, мы можем выразить напряженность
поля в виде градиента потенциала:
Н= — §гас!срм. B1.3)
Из B1.16), B1.1в) получаем относительно ерм уравнение
(Ну(х©гаAсрм = О, B1.4)
подобное B5.8), которое в случае однородной среды ((х = сопз!)
переходит в уравнение Лапласа
= О. B1.5)
Нетрудно также на основе G.4а) и G.8а) и B1.3) получить гранич-
граничные условия для магнитостатического потенциала фм, аналогичные
условиям A4.12):
д<рм_ дерм 1 B1.6)
И7 ^^- I
Наконец, подобно тому, как это было сделано в § 14, п.4, для слу-
случая однородной среды можно получить векторное уравнение Лап-
ласа У2#=0. B1.7)
2. Магнитостатика и электростатика. Из всего сказанного
следует, что магнитостатическим объектам можно сопоставить
электростатические без свободных зарядов, причем нет надобности
заново решать магнитостатическую задачу, если уже решена соот-
соответствующая ей электростатическая. Действительно, ввиду соответ-
соответствия уравнений B1.1) и A4.1), а также указанных граничных ус-
условий векторные функции Н и В должны прямо получаться из Е
к /) при замене е на ц. Так, например, на основании результатов
§ 20 мы можем теперь прямо выписать решения задач о внесении в
однородное магнитостатическое поле Нг цилиндра и шара из маг-
магнетика. В силу B0.19) для цилиндра имеем
B18)
где (х,- и \1е — магнитные проницаемости цилиндра и внешнего про-
пространства соответственно. Аналогично из B0.28) получаем следую-
следующие формулы для шара:
ПО

3. Магнитные диполи и намагниченность. Сделаем дальнейшие
сопоставления. В § 18 было выяснено, что поляризованность Р
есть электрический момент среды, отнесенный к единице объема:
диэлектрик ведет себя, как система диполей. Подобно этому магне-
магнетик можно рассматривать как систему магнитных диполей. Таким
образом, хотя свободные магнитные заряды отсутствуют, представ-
представление о связанных магнитных зарядах имеет под собой реальную
почву (см. позднее § 23). Условно можно говорить о системе двух
неразделимых магнитных зарядов, равных по абсолютной величине
и противоположных по знаку, которая обладает магнитным момен-
моментом т и действует как магнитный диполь. Намагниченность М,
определяемая формулой E.2),
Л1 = В-(х0Я B1.10)
есть, следовательно, магнитный момент среды, отнесенный к еди-
единице объема (ср. § 18, п. 2).
В магнитостатической задаче о шаре, решение которой выра-
выражается формулами B1.9), последний ведет себя как магнитный ди-
диполь. Полагая, что шар с магнитной проницаемостью (х находится
в вакууме ([х* = (х, \1е — (х0), запишем выражение его магнитного
момента на основании B0.29):
у^> B1.11)
Намагниченность шара есть
^ <21л2а)
(ср. B0.30а)), и в то же время.в силу B1.10) из B1.9):
^^оЯ1 B1.126)
(ср. B0.306)).
Далее вычислим разность между первоначальным полем Нг =
= 2ОНХ, в которое помещается шар, и его внутренним полем Н{.
Эта величина
Н913Ш=Н1-Н1 = -^^Н1 B1.13)
является «размагничивающим полем» связанных зарядов. Соответ-
Соответственно этому отношение
легко получаемое из B1.12) и B1.13), называется размагничиваю-
размагничивающим фактором шара.
Понятие размагничивающего фактора используется не только
в случае шара. Оно сохраняет строгий смысл для всех тел, которые
11!

в однородном иоле намагничиваются параллельно ему и однородног).
Таким свойством обладает эллипсоид (ср. § 18, п. 2 и § 20, п. 3),
намагничиваемый вдоль одной из осей симметрии, а также (кроме
шара) бесконечно плоский слой и цилиндр, которые можно рассмат-
рассматривать как вырожденные формы эллипсоида. Читателю предлагается
путем непосредственного вычисления размагничивающего фактора
разм
м
B1.15)
проверить следующую таблицу.
Таблица 21.1
Размагничивающий фактор
Форма тела
Шар
Цилиндр (бесконеч-
(бесконечный)
То же
Слой (бесконечный)
То же
Ориентация
поля
поперечная
продольная
поперечная
продольная
Размагничиваю-
Размагничивающий фактор Л'
1/3
1/2
0
1
0
Следует иметь в виду, что в технике понятие размагничивающего
фактора имеет хождение и в тех случаях, когда внутреннее поле не
а)
Рис. 21.1.
является однородным, но может считаться достаточно близким
к однородному.
х) Если внутреннее поле однородно, но не параллельно первоначальному,
то может быть введен тензорный (ср. § 5, п. 4) размагничивающий фактор
(так делается, например, при произвольной ориентации изотропного или ани-
анизотропного эллипсоида).
112

Тело из магнетика с высокой проницаемостью, содержащее по-
полость, может быть использовано для магнитного экранирования,
т. е. для защиты какого-либо предмета (помещаемого в эту полость)
от действия внешних магнитных полей. Возьмем, например, полый
шар (рис. 21.1, а). Помещая его в однородное магнитное поле Нъ
обнаруживают, что поле в полости существенно слабее, а именно
* <2Ы6>
Этот результат можно получить, решая граничную задачу, подобно
тому как это делалось в § 20. Строение поля показано на рис. 21.1, б.
Из B1.16) видно, что при бесконечном возрастании магнитной про-
проницаемости шара (х внутреннее поле Н исчезает, а при заданной про-
проницаемости степень экранирования зависит от толщины оболочки.
4. Самопроизвольная намагниченность. Заключительные заме-
замечания. В § 5, п. 1 очень кратко были упомянуты самопроизвольные
процессы в веществе, которым соответствует макроскопически наблю-
наблюдаемое поле. В ряде случаев среда оказывается электрически или
магнитно поляризованной без воздействия внешнего поля. Можно,
например, поместив в электрическое поле диэлектрик типа расплав-
расплавленной смолы, поляризовать его и сохранить поляризацию (т. е.
некоторую преимущественную ориентацию молекулярных диполей)
после застывания уже в отсутствие внешнего поля. Такие среды,
называемые иногда электретами, не могут долго сохранять само-
самопроизвольную поляризацию вследствие естественной проводимости.
Некоторые вещества — сегнетоэлектрики — могут обладать само-
самопроизвольной электрической поляризацией в силу асимметрии крис-
кристаллической структуры. Но гораздо более распространенным и ус-
устойчивым оказывается явление самопроизвольной магнитной поля-
поляризации. Намагниченные ферромагнетики —постоянные магниты —
сохраняют свою намагниченность потому, что не существует свобод-
свободных магнитных зарядов, а следовательно, и соответствующих токов.
Формально среды с самопроизвольной электрической поляризацией
и с самопроизвольной намагниченностью анализируют одинаково.
Остановимся на последнем случае.
Будем исходить из основных уравнений магнитостатики B1.1),
однако последнее из них B1.1 в) нуждается теперь в некотором из-
изменении. К B1.1в), т. е. E.7), мы пришли, заменяя в E.2) М через
%м(а0// в соответствии с E.5). Вместо E.5) напишем:
М=%™ц0Н+М°, B1.17)
где Л1° — самопроизвольная намагниченность (не зависящая от Н).
Тогда
B1.18)
причем по-прежнему (х определяется соотношением из E.8).
Поскольку уравнение B1.16) никак не затрагивается, гранич-
граничное условие G.4а) остается в силе, но в соответствии с B1.18) из
113

него следует новое условие для нормальных компонент вектора Н,
включающее М°:
B1-19)
Далее, раз не затрагивается уравнение B1.1а), то сохраняет свой
смысл представление B1.3) и граничное условие G.8а). Что же ка-
касается уравнения B1.4), то вместо него получаем
(Ну[х§га(]срм = (НуЛ10, _ B1.20)
и соответственно вместо уравнения'Лапласа B1.5)
У2фм = —{ЦуМ0. B1.21)
Для случая неограниченной среды с постоянной проницаемостью
(х мы сразу можем выписать общее решение этого уравнения Пуас-
Пуассона на основании (П5.6) и (П5.7):
(предполагается, что сНу М° Ф- 0 в ограниченной области). По
форме это выражение повторяет A8.17), очевидно, —сНу М° есть
плотность связанных магнитных зарядов (ср. A8.21)).
Не занимаясь реализацией решения B1.22), рассмотрим одно-
однородно намагниченный шар с проницаемостью ц, в ненамагниченной
среде с другими свойствами ((х = це). Итак, пусть внутри шара
B1.23)
(используются те же координаты, что и в § 20, п. 3). При этом внут-
внутреннее магнитное поле также однородно:
а внешнее имеет характер поля диполя:
Не — -ъ(г02со&$-\-'(Ь05т'&), г>К B1.25)
(ср. § 20, п. 3). Задача состоит в определении коэффициентов А и В.
Налагая при г = /? граничные условия G.8а) и B1.19), записы-
записываем:
А — в
"'' в B1-26)
1« Не-
Неоткуда сразу находятся эти коэффициенты. Поле найдено:
114

Рассмотренный шаровой магнит действует как магнитный диполь
с моментом
М°. B1.28)
B1.28а)
Если среда в целом однородна ((х,- = це), то
где V — объем магнита. На рис. 21.2 представлена картина линий
вектора В, соответствующая полю B1.27).
В заключение сделаем некоторые замечания. Круг явлений
магнитостатики в сравнении с явлениями электростатики более
беден в том смысле, что нет ни свободных
магнитных зарядов, ни сред, аналогичных
проводникам. Однако изучение некото-
некоторых важных для магнитостатики сред, и
а)
Рис. 21.2.
Рис. 21.3.
особенно ферромагнетиков, составляет обширную и сложную об-
область физики, которой мы пока не касаемся (см. § 86, п. 2).
Поскольку магнитное поле связано с током (§ 2, п. 3), уравнения
B1.1) и B1.2) имеют ограниченную область применения: они при-
применимы лишь в тех точках и частях пространства, где нет тока. При
этом магнитостатический потенциал фм вполне аналогичен электро-
электростатическому потенциалу ф. Следует, впрочем, уточнить, что же
можно считать областью пространства без тока. Сравним рис. 21.3, а
и 21.3, б. На первом из них область V такова, что любой содержа-
содержащийся в ней замкнутый контур не охватывает тока /, и уравнение
B1.2а) остается справедливым. Этим свойством, как видно, не
обладает область V, показанная на рис. 21.3, б: контуры, охваты-
охватывающие ток, в данном случае существуют, и для каждого из них
вместо B1.2а) надо писать соотношение, содержащее справа /.
Мы должны заключить, что, хотя во всех точках данной области
^ = О, она все же не может рассматриваться с позиций магнитоста-
магнитостатики.
Обсуждение поставленного вопроса будет продолжено в следую-
следующем параграфе.
118

II. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Стационарное электромагнитное поле существует при наличии
неизменного во времени тока проводимости (/т^О, д1д1 — 0) и опи-
описывается системой уравнений A3.6), к которой сводятся при этом
уравнения Максвелла. Впоследствии (§ 26) будет установлено, что
такое поле в реальных условиях должно поддерживаться сторон-
сторонними силами, расходующими энергию неэлектромагнитного проис-
происхождения, что отражается в записи последнего из уравнений A3.6)
в форме F.11).
Заметим, что в системе уравнений A3.6) можно выделить отно-
относительно независимые группы уравнений (левый и правый столбец).
Одна из этих групп (левый столбец) совпадает с системой уравнений
электростатики A4.1), причем первое из указанных уравнений, как
и в электростатике, свидетельствует о потенциальном характере
электрического поля. Но отличие электрического поля постоянного
тока от поля электростатического заметить нетрудно. Внутри прово-
проводящих тел теперь Е ф 0, что является прямым следствием существо-
существования тока О'у^О). А поскольку токи проходят и вдоль границ
проводников с диэлектрической средой, то эти поверхности уже
не эквипотенциальны.
Вторая группа уравнений A3.6) — правый столбец — содержит
магнитные величины и отличается 'от уравнений магнитостатики
B1.1) наличием плотности тока проводимости. Самостоятельность
этих уравнений проявляется в том, что они вполне определяют маг-
магнитное поле заданного постоянного тока. Часто круг характери-
характеризуемых ими явлений также называют «магнитостатикой».
В идеальном электростатическом поле (см. § 14 и ранее) нет дви-
движения энергии: так как Я = 0, то в каждой точке пространства
обращается в нуль вектор Пойнтинга. По аналогичным причинам
нет движения энергии в идеальном магнитостатическом поле (§ 21),
где Е — 0. Чтобы подчеркнуть характерное отличие стационарного
электромагнитного поля, заметим, что движение энергии в нем суще-
существует, хотя и носит ограниченный характер. Именно, если построить
замкнутую поверхность, охватывающую все токи и сторонние силы,
то окажется (§ 26), что полный поток энергии через нее равен нулю.
§ 22. Уравнения стационарного магнитного поля.
Векторный потенциал |
1. Основные уравнения и свойства магнитостатического по-
потенциала. В соответствии со сказанным магнитное поле заданного
постоянного тока описывается системой уравнений (§ 13, п. 2)
го1//=./, B2.1а)
сНуВ=0, B2.16)
В=(хЯ B2.1в)
Пв

и соответствующими интегральными соотношениями
= 0.
B2.2а)
B2.26)
Согласно B2.1а) магнитное поле уже не потенциально, как
в случае чистой магнитостатики (§ 21), поскольку го! Я фО. Впро-
Впрочем, рассматривая только области без тока (/ = 0), можно, как и ра-
ранее, ввести потенциал срм B1.3). В связи с этим вернемся к вопросу,
затронутому в конце п. 4 в § 21.
Пусть во всех точках, где определяется напряженность магнит-
магнитного поля Н, ток отсутствует, и мы вправе выразить И как — §гад срм.
Тогда можно произвести вы-
выкладки, формально не отли- /^--^\ #В /Г^Г\ л*
чающиеся от тех, которые т/// \^Т //
привели к выражению A4.6),
и получить аналогичное ра-
равенство
н<и,
а) А
B2.3)
Рис. 22.1.
но смысл его оказывается
значительно сложнее. Рассмотрим применение этой формулы в слу-
случае, показанном на рис. 22.1, а. Используя путь интегрирования
АтВ, запишем:
Дф^тВ = ^ Нй1. B2.,3а)
(АтВ)
Теперь учтем, что, согласно B2.2а),
и в то же время
ф Нй1= \
(АтВпА) (АтВ)
(АтВпА)
(ВпА)
$ Нй1- \ Нй1.
(АтВ) (АпВ)
Поэтому, интегрируя вдоль пути АпВ, получаем
(АпВ)
B2.36)
Этот результат означает, что разность потенциалов ц>™ — ср™ изме-
изменилась на величину / при однократном обходе тока. Точно так же
можно убедиться, что при ^-кратном обходе тока (рис. 22.1, б)
ДФлРв = ДФлтв-й/. B2.3в)
причем величина к положительна, если обход АтВрА связан с
117

направлением тока правовинтовой системой, а при противополож-
противоположном направлении обхода (левовинтовая система) — отрицательна.
Итак, потенциал срм в общем случае — неоднозначная функция.
Он однозначен и подобен электростатическому потенциалу только
для односвязных областей без тока.
С целью сделать срм однозначной функцией можно наложить
запрет на обход тока, затянув все контуры тока воображаемой плен-
пленкой, через которую не могут проходить пути интегрирования
Рис. 22.2.
(рис. 22.2). Форма каждой такой опирающейся на контур поверх-
поверхности безразлична; согласно предыдущему это поверхность разрыва
потенциала срм на величину /.
2. Уравнение напряженности магнитного поля. Заданное рас-
распределение постоянного тока вполне определяет магнитное поле.
Применяя операцию го1 в уравнении B2.1а), получаем следующее
векторное уравнение второго порядка:
го1го1 //—го!/
B2.4)
Операции го1 может подвергаться не всякая, а только достаточно
гладкая функция распределения тока./(г). Во всяком случае должна
быть непрерывна тангенциальная компонента функции У, а это зна-
значит, что на границе области тока она должна обращаться в нуль.
Физических ограничений это требование не налагает: всегда можно
считать, что спад ]х до нуля происходит в весьма тонком слое.
Левую часть B2.4) можно преобразовать при помощи тождества
(П1.34). Если среда однородна (ц = сопз!), то ввиду B2.16)
сНу Н = 0; тогда B2.4) принимает следующую форму:
= —го*/
B2.5)
Это известное уже векторное уравнение Пуассона (П1.6), и мы сразу
можем записать его решение для бесконечной области при ограни-
ограниченном в пространстве распределении тока на основании (П1.7):
го'. B2.6)
Непосредственное применение формулы B2.6) может быть за-
затруднительным из-за необходимости дифференцировать функцию
распределения тока / но B2.6) легко преобразовать к удобному
118

для интегрирования виду. Заметив, что подынтегральное выражение
имеет форму г|) го1 Р, используем тождество (Ш .35), в силу которого
Первый интеграл ввиду (П1.28) сводится к поверхностному:
г-г'| •
после чего становится ясным, что он равен нулю: ведь, как подчер-
подчеркивалось выше, \х = 0 на 5. Что касается второго интеграла в
B2.6а), то здесь подынтегральное выражение преобразуется при
помощи формул (П1.11) и (П1.36). В результате получаем
Ь, B2.7)
где, как и ранее (например, в § 15, п.1), гоч— (г— г*I\ г — г* \.
3. Векторный потенциал. По широко распространенной тра-
традиции при определении магнитного поля по заданному току вводят
промежуточную векторную функцию А, называемую векторным
потенциалом. По определению
В = го*Л. B2.8)
Отсюда видно, что в выборе А допускается известный произвол,
а именно вместо А всегда можно взять другую функцию
Л' = Л + §гас1г|\ B2.8а)
где г|) — любая (достаточно гладкая) скалярная функция. Действи-
Действительно, поскольку
го* Л'= го* Л,
то, согласно B2.8), оба векторных потенциала соответствуют одной
и той же функции В. Векторный потенциал определен, таким обра-
образом, с точностью до потенциального слагаемого.
Свойства векторного потенциала вытекают из необходимости
удовлетворить исходным уравнениям B2.1). Второе из них не дает
никаких сведений о характере А, так как удовлетворяется тожде-
тождественно (при любых А):
Заменяя в B2.8) В через Н и используя уравнение B2.1а), получаем
го* ЦТ1 го* Л=/ B2.9)
Это и есть уравнение, которому подчинен векторный потенциал
при заданном токе.
Для однородной среды (^ = сопз*) найденное уравнение прини-
мает вид го*го*Л = 1ху. B2.10)
119

Ввиду отмеченной выше неопределенности А мы имеем право нало-
наложить дополнительное условие
<НуЛ = 0 B2.11)
(оно имеет следствием, что г|з в B2.8а) теперь не произвольная,
а гармоническая функция, стр. 586). Применяя в B2.10) векторное
тождество (П1.34), с учетом B2.11), получаем следующее вектор-
векторное уравнение Пуассона:
УМ = — щ/. * B2.12)
Его решение для бесконечной области при ограниченном в про-
пространстве токе на основании (П5.7) есть
^М0'- B2ЛЗ)
Эта формула позволяет по заданному распределению тока в одно-
однородной среде вычислять векторный потенциал А и затем определять
магнитное поле, пользуясь соотношением B2.8).
В заключение получим одно важное интегральное выражение,
содержащее векторный потенциал. Ранее (§ 2, п. 2) мы определили
величину Ф, называемую магнитным потоком. Заменяя в B.5) В
через го1 А и используя теорему Стокса, запишем
Ф = §АA1. B2.14)
ь
Магнитный поток через некоторую поверхность 5 представлен здесь
в виде циркуляции векторного потенциала А по контуру Ь, на ко-
который она опирается.
§ 23. Линейные токи. Магнитный диполь
1. Линейные токи. Закон Био — Савара. Представим себе ток /,
проходящий вдоль некоторой линии Ь (не занимающий объема).
Это идеальный линейный ток; условно его можно описать как ток
в объеме (Приложение 2), введя плотность
У(г) = то/6 (/•-/•'), B3.1)
где т0 — единичный вектор касательной к Ь, указывающий направ-
направление тока, а б-функция двумерная.
Практически можно считать линейным ток проводника постоян-
постоянного поперечного сечения при условии, что длина проводника и
расстояние до точки наблюдения значительно превышают его по-
поперечные размеры (диаметр поперечного сечения).
В случае линейного тока формула B2.7) очевидным образом
упрощается (ср. вывод A5.4)). Предварительно в B2.7) при обозна-
обозначении переменной интегрирования заменим один штрих на два,
чтобы избежать совпадения символов разных величин: в B3.1) г'
120

есть радиус-вектор точки на Ь. Внося в B2.7), согласно B3.1),
1/(г") = т0/б (г" — г'), пишем:
1*0. Гид] А (Г"
~4я\
_ 7_ С С
~ 4л ^ )
^ „ _
С [т°' »-,,9]6(г"-г')
\г-г" |»
4я
[Тр, Г0д]
г-г' }
М(г-)
где Ь — путь тока, а 5 — пересекаемая им поверхность (например,
перпендикулярная т0 плоскость, как на рис. П2.2, в). Разумеется,
можно было бы обойтись и без аппарата б-функции: достаточно взять
область тока V в виде провода, в поперечном сечении которого он
распределен равномерно,.и рассматривать лишь расстояния, в срав-
сравнении с которыми диаметр провода прене-
пренебрежимо мал.
Найденный результат фиксируем в
форме
Щ . год\ /по п\
|г-г'* B3-2)
(йГ — хой1')\ на рис. 23.1 сделано построе-
построение, поясняющее смысл обозначений в
B3.2).
Мы получили интегральную формули- Рис. 23.1.
ровку закона Био — Савара; под его диф-
дифференциальной формулировкой понимают утверждение, что каждый
элемент тока создает поле с напряженностью
B3.2а)
Закон Био — Савара позволяет находить магнитное поле линей-
линейного тока непосредственно по заданному его распределению. При-
Примеры применения закона Био — Савара будут приведены ниже
в § 24.
2. Векторный потенциал линейного тока и другой вывод-закона
Био — Савара. Подобно тому как выше формула B3.2) была по-
получена из B2.7), найдем выражение векторного потенциала линей-
линейного тока, исходя из B2.13). При подстановке в B2.13) плотности
линейного тока в виде B3.1), используя прежнее обозначение, полу-
получаем
А(г) = ^
4я
Запишем это в форме
*06(г"-г') ^п ,,, ц/ С хой1'
й8 М ~ )Т7=
\г-г
ц/ С хой1'
~4л )Т7=Р
B3.3)
121

Формула B3.3) часто применяется при вычислениях; иногда более
просто сначала определить векторный потенциал линейного тока,
а затем уже напряженность поля по формуле B2.8) с учетом B2.1в).
Покажем теперь традиционный способ получения формулировки
закона Био — Савара, опирающийся на выражение для потенциала
B3.3). Желая найти общее выражение напряженности магнитного
поля, мы должны вычислить го! А = го! А (г); при этом произво-
производится дифференцирование по координатам точки наблюдения М (г),
остающейся в процессе интегрирования B3.3) неизменной. Поэтому
-г ГО1 А (г) = 4
го*
B3.4)
причем данный интеграл можно преобразовать таким образом, чтобы
устранить операцию дифференцирования. Возьмем для этого вектор-
векторное тождество (П1.35), согласно которому
Но го1 <И' = 0, так как векторный элемент линии тока 61' не зависит
от координат точки наблюдения М(г), и первое слагаемое равно
нулю. Вычисляя градиент во втором слагаемом при помощи формулы
(ШЛО), (П1.36), приводим интеграл B3.4) к виду
что совпадает с B3.2), т. е. дает формулировку закона Био — Савара.
3. Круглый контур тока как магнитный диполь. В качестве
простейшего примера замкнутого линейного тока рассмотрим его
Рис. 23.2.
круглый контур. Расположив начало сферической системы коорди-
координат в центре круга (рис. 23.2, а), расстояние \г — г' \ от точки на
контуре Р(г') до точки наблюдения М (г) определим из прямо-
прямоугольного треугольника РМС}:
Как видно из рис. 23.2, с, здесь МО? = г'1 соз2 ф, а /^ф'2 находится
122

из треугольника ОРС1, лежащего в плоскости контура тока:
= гг 5ш2 ^ + (г')г — 2гг' 51п ^ СО5 а'. Таким образом,
| г - г' |а = га + Ф + 2га 5Ш # СО5 а,
где а = г' есть радиус контура и а = я — а'.
Далее (рис. 23.2, б) векторный элемент длины й1' разложим на две
компоненты:
й1' = а0 й1а + Яо(И'я = {— аосо8 а + Ко 5*п а)а ^а>
где а0 указывает азимутальное направление в точке М, а /?0 —
радиальное направление в плоскости контура для этой же точки
(очевидно, что /?0 = г0 зш ^ + Фо соз тЭ1).
Полученное пространственное соотношение проще всего иаполь-
зовать для вычисления векторного потенциала по формуле B3.3).
При этом имеем
2Л
а/г\ \±1_ С (— «о соз а + /?0 8Ш а) а Ла
4л \
а поскольку
Л 2Л
У /-а + а2 + 2а/- 8Ш О соз а 0 ^ /-3 + аа + 2а/- вт д сое а '
л
соз а
81п а йа
в чем легко убедиться, сопоставляя зш а и соз а в каждом из квад-
квадрантов, то окончательно:
2л
. , ч и./ С* — а соз а йа, /по о\
Л (г) = «о т" \ —— B3.6)
к' °4л ^ Уг* + а* + 2агагпЪсо5а
Векторный потенциал магнитного поля круглого контура тока на-
направлен азимутально, как и ток: его линии образуют концентриче-
концентрические окружности в плоскостях г = сопз!. К этому выводу можно
было бы прийти и просто из соображений симметрии.
Интеграл B3.6) следует рассматривать как окончательный ре-
результат при определении векторного потенциала, поскольку он не
выражается через элементарные функции *). Нас, однако, будет
интересовать случай весьма далекой точки наблюдения (г ^> с),
когда интеграл B3.6) легко упрощается.
Возьмем контур, относительный радиус которого стремится
к нулю (а/г-^-0), но таким образом, что произведение его тока на
квадрат радиуса остается постоянным (/с2 = сопз!). Разлагая зна-
х) Его можно выразить через так называемые полные эллиптические интегралы
К и Е (табулированные в математических справочниках, например [Л.1]). При
этом
123

менатель подынтегрального выражения по формуле бинома Ньютона,
имеем
(гг + с2 + 2га5Н1 ■& СО5 а)-'/» =Д [ 1 — у «ш ф со8 а — -^ (у У + .. .1
и, переходя к пределу, находим
2л
\Г)== '1ГП Род
/а»
т. е.
Л(г) = ао^8шФ. {23.7)
Теперь по формуле B2.8), используя выражение вихря вектора
в сферических координатах, определяем напряженность магнитного
поля:
Н= — го! А
\ Л
( л ~ Т [г* яп
что дает
Н(г)^(г02со&Ъ + Ъ0*тЩ. B3.8)
Полученный результат заслуживает самого пристального внима-
внимания. Как видно из прямого сравнения с формулой A5.13), он описы-
описывает поле диполя. Рассмотренный контур ведет себя таким образом,
как если бы вместо него в точке О находился идеальный магнитный
диполь с моментом т = гот; последний сразу же определяется, как
только B3.8) переписано в форме, аналогичной A5.13):
Сопоставляя B3.8) и B3.8а), получаем:
т = ц1лагг0. B3.9)
Итак, исчезающе малый контур с током, сохраняющий постоян-
постоянство произведения тока на площадь, в сущности является идеальным
магнитным диполем с постоянным моментом га, а соответственно
контур конечных размеров можно считать магнитным диполем
на достаточно больших расстояниях.
4. Дальнейшие обобщения. Формулу B3.9), полученную для
круглого контура, можно рассматривать как частную форму выра-
выражения момента плоского контура с площадью 5
га = гоц/5 B3.10)
(в B3.9) паг = 5). В свою очередь B3.10) — частная форма выра-
выражения момента
/и = !~5)[г, Ш] B3.11)
и
124

произвольного (неплоского) линейного замкнутого тока, а B3.11)
получается из общего выражения момента замкнутого тока, распре-
распределенного в объеме
"»=!([''./('■)]* B3.12)
при подстановке плотности У вида B3.1).
Любой замкнутый ток на достаточно большом расстоянии прояв-
проявляет себя как магнитный диполь с моментом т.
Чтобы прийти к пониманию этого факта, используем представле-
представление о двойном магнитном слое. Пусть имеется система связанных
магнитных зарядов такого рода, что она выглядит как аналог плоско-
плоского конденсатора (рис. 23.3, а): две параллельные плоскости либо
близкие эквидистантные поверхности несут противоположные по
а) ' 0)
Рис. 23.3.
знаку магнитные заряды; припишем им плотности ^м и — ^м. По
аналогии с A7.18)
Если неограниченно сближать поверхности (й->0), оставляя по-
постоянной величину Ь,"й, то в пределе будет получена поверхность,
пересечение которой сопровождается скачком магнитостатического
потенциала на величину Дфм. Это и есть двойной магнитный слой.
Его мощностью М3 называют постоянную величину Ь,"й.
Реализацией двойного магнитного слоя является любая поверх-
поверхность, опирающаяся на контур линейного тока (рис. 23.3, б), по-
поскольку, как было показано в § 22, п. 1, на такой поверхности как раз
происходит скачок магнитостатического потенциала на величину
Дфм = /. Следовательно, его мощность есть
Мя = ц1. B3.13)
Каждый элемент двойного слоя Д« ведет себя как магнитный
диполь (рис. 23.3, а) с моментом
5. B3.14)
Таким образом, для двойного слоя, соответствующего контуру тока,
ввиду B3.13) имеем
Д/Д B3.15)
125

Отсюда путем суммирования всех элементарных моментов (точнее,
интегрирования йт по поверхности слоя) получаем момент рассмат-
рассматриваемого тока. В случае плоского контура из B3.15) сразу следует
формула B3.10).
В заключение напомним, что представление о магнитных дипо-
диполях было введено в § 21, п.З при интерпретации намагниченности
среды. Там было, в частности, показано, что как магнитный диполь
ведет себя однородно намагниченный шар. Теперь на основании ана-
анализа замкнутых токов может быть высказана принятая гипотеза
о происхождении связанных магнитных зарядов. Оставаясь в рамках
классических представлений, можно утверждать, что роль магнитных
диполей вещества, обусловливающих его намагниченность М,
играют микроскопические токи, образуемые циклическим движе-
движением заряженных частиц материи.
§ 24. Примеры магнитных полей
1. Поля с осевой симметрией. Слоистые системы. При иссле-
исследовании некоторых простейших магнитных полей постоянного тока
удается использовать соображения симметрии. Подобно тому, как
в электростатике применялась теорема Гаусса (§ 16, пп. 1—3), здесь
исходят из интегрального соотношения B1.2а).
Еще в § 2, п. 5 таким путем было определено поле бесконечного
прямолинейного тока. Ясно, что полученная при этом формула
НС)~аоШ <24Л)
выражает напряженность магнитного поля любого распределения
постоянного тока при той же симметрии, т. е. когда линии вектора
Н являются окружностями с центрами на некоторой прямой; при
этом г есть (по происхождению) радиус окружности контура интегри-
интегрирования в B1.2а), охватывающей ток / и совпадающей с одной из
силовых линий. Рассмотрим несколько типичных примеров приме-
применения формулы B4.1).
В случае бесконечного цилиндрического проводника радиуса /?
с током / полный ток охватывают лишь внешние силовые линии (кон-
(контуры интегрирования), внутренние же — лишь часть полного тока
так что при определении поля внутри проводника в формуле B4.1)
следует заменить / на /'. Поэтому оказывается, что
2&
ЯМ 7 B4,2)
т. е. внутри проводника поле растет с расстоянием от1 оси, а вне его
126

не отличается от поля нити тока (рис. 24.1, а). Интересно, что по
распределению интенсивности (абсолютное значение напряженности
как функция координат) оно повторяет электрическое поле заря-
заряженного цилиндра A6.5).
Рис, 24.1.
Аналогично находят поле трубы с током /, но тут уже надо раз-
различать три разных области, в первой из которых контуры интегри-
интегрирования совсем не охватывают тока. Применение формулы B4.1)
дает (рис. 24.1, б)
//=
го,
™°2я(/?| — К!) г •
B4.3)
I
1°2лг
При нахождении поля коаксиального кабеля, по обоим провод-
проводникам которого проходят одинаковые, но противоположно направ-
направленные токи (/и — /), рассматриваются четыре разных области;
когда контур интегрирования лежит в наибольшей из них (г > /?3
на рис. 24.1, в), то полный охватываемый ток равен нулю (/ — / =
127

= 0). Напряженность поля выражается следующими формулами
(рис. 24.1, в):
0 ^/■</?,,
}2яг
B4.4)
0,
Несколько иной пример применения прежнего принципа мы
имеем в случае тороида с равномерной обмоткой (рис. 24.1, г),
по которой проходит ток /. Очевидно, что в силу симметрии маг-
магнитные силовые линии можно считать окружностями и для опре-
определения поля применять формулу B4.1). При этом, если круговой
контур интегрирования лежит вне тороида с обмоткой (М (г) вне 5
на рис. 24.1, г), то в B4.1) числитель равен нулю, так как контур
не охватывает тока либо охватывает взаимно уничтожающиеся токи.
Если же контур проходит внутри тороида (М (г) в 5 на рис. 24.1, г),
то в числителе B4.1) надо взять п/, где п— число витков обмотки,
поскольку это и есть охватываемый ток. Таким образом,
@,
М(г)
М(г)
вне
в
5,
5
B4.5)
(г — расстояние от оси тороида до М). Разумеется, вывод будет
вполне строгим, если вместо обмотки взять сплошную проводящую
оболочку с током; тогда легко решить вопрос и о поле внутри про-
проводника. Это предоставляется читателю как упражнение.
Путем применения формулы B4.1) нетрудно также находить поля
некоторых слоистых систем, например показанного на рис. 24.2
УМ/Г,
х
н=о
У////Г, \24
а.)
^
У1//////////:
• И--0
б) '
Рис. 24.2.
плоского слоя с равномерно распределенным током, направленным
по оси г. Читателю предлагается показать, что в этом случае
Н=
B4.6)
128

где ц = 1/1 — ток, проходящий через единицу длины слоя (ср. фор-
формулы B4.6) и A6.7)). Поле двух одинаковых параллельных слоев
с антипараллельными токами, получаемое наложением полей обоих
слоев, оказывается между слоями удвоенными (Н = уои]), а вне
системы отсутствует {Н'= 0), рис. 24.2, б.
2. Магнитные цепи. Вернемся к предпоследнему примеру. По-
Полагая магнитное поле тороида {рис. 24.1, г) однородным по радиаль-
радиальному («поперечному») сечению, выразим проходящий через него
магнитный поток Ф <=& ВЗ = цН8. На основании B4.5)
Ф;
п1
Ср>
B4.7)
Магнитный поток' Ф аналогичен току, величина п/ — э. д. с, а
1/(х5 — сопротивлению электрической цепи из однородного про-
провода длиной Ь с поперечным сечением 5; при этом магнитная про-
проницаемость аналогична удельной проводимости'. В этом смысле
[н
1_
]
^
ё)
Рис. 24.3
говорят о «магнитной цепи», а п/ называют «магнитодвижущей
силой» (м. д. с).
Понятие магнитной цепи оправдано в тех случаях, когда магнит-
магнитный поток можно считать сосредоточенным в замкнутом сердечнике
электромагнита независимо от его формы и размещения обмотки,
т. е. системы, показанные на рис. 24.3, приближенно рассматри-
рассматриваются как магнитные цепи.
Возьмем сердечник практически постоянного поперечного се-
сечения с зазором (рис. 24.3, а, в). Производя интегрирование в B4.1)
по некоторой «средней» магнитной силовой линии, имеем
Этот интеграл равен м. д. с. п/, а напряженность в тороиде (сер-^
дечнике) и его зазоре нетрудно выразить через магнитный поток,
который считается везде одинаковым:
„ В Ф
" =— == ~~с
Язаз = - = -Ф-.
б Электродинамика
129

Отсюда
Ф =
т
1-й а
B4.8)
Сам сердечник из магнетика и его зазор предстают как последова-
последовательно включенные «магнитные сопротивления».
3. Примеры применения закона Био — Савара. Следующие при-
примеры демонстрируют применение закона Био — Савара. Покажем
сначала, что этим путем можно получить выражение напряжен-
напряженности'магнитного поля нити тока в виде формулы B4.1).
2
ан,
V
ан
а?г{
,
V
ч,
г
—ч,
'
/
//у
а*
*
с11
/. ■
\
\
ч
л
^—
2
/
/
-\
'
а)
б)
Рис. 24.5.
Рис. 24.4. ,■
Используя цилиндрическую систему координат (рис. 24.4),
запишем для данного случая формулу B3.2) в виде
,_ I С №, г0<1) I
'~Ы ) г2 + г2 -«0^
Ь ' -оо
° 4я
г йг
а поскольку
то
B4.9)
что совпадает с B4.1).
Определим далее поле на оси круглого витка с током , /
(рис. 24.5, а). Подынтегральное выражение в B3.2), как видно из
рисунка, имеет радиальную и продольную компоненты
причем радиальная при интегрировании должна уничтожиться.
Таким образом, на оси г
2л 2л
Н= \
130

т. е.
B4.10)
Этот результат используем для определения поля на оси соленои-
соленоида. Можно допустить, что в этом случае ток непрерывно распре-
распределен по циллндрической поверхности и в элементарном поясе ши-
шириной Аг (рис. 24.5, б) равен А1 = п1 Аг, гдеп — число витков об-
обмотки, приходящееся на единицу длины соленоида, а / — ток одного
витка. Поле на оси соленоида в точке М (рис. 24.5, б), создаваемое
элементарным поясом, находим на основании B4.10). Полагая г —
= 0 в М, имеем
Аг=г0"— А
= — г0 — А (сок
Интегрируя это выражение от 61 до я — 62 (рис. 24.5, в),„получаем
выражение напряженности поля соленоида в точке М
Н=гЛ{со%\
+ сок 62).
B4.11)
Отсюда, в частности, нетрудно найти напряженность поля в средней
точке соленоида F2 =761= 6):
^ B4.11а)
и напряженность поля бесконечного соленоида
Н=гоп1. B4.116)
4. Поле двухпроводной линии. В качестве последнего примера
возьмем двухпроводную линию и определим сначала векторный
потенциал ее магнитного поля, пользуясь системой координат,
2
-г\
\г
6)
Рис. 24.6.
показанной на рис. 24. 6, а. Полагая, что ток первого провода на-
направлен по оси г (/), а ток второго — противоположно (—/), на осно-
основании B3.3) запишем:
[00 00
с ** _ с
131

Отсюда
и, следовательно,
Л = 20^1п^-. B4.12)
Как видно, поверхности постоянного векторного потенциала опре-
определяются тем же условием "
B4.13)
что и эквипотенциальные поверхности электростатического поля
двух противоположно заряженных нитей (§ 16, п. 5). '
Отметим тот факт, что магнитные силовые линии лежат в попе-
поперечных плоскостях г — сопз! и потому, согласно (П1.38), описыва-
описываются дифференциальным уравнением
Оу_Ну_
их Нх •
Поскольку векторный потенциал А направлен по оси г, то на осно-
основании B2.8)
и —±дА и и — ±М
п*—цду "у— цдх'
Внося это в данное дифференциальное уравнение, после несложных
преобразований находим
т. е. магнитные силовые линии удовлетворяют условию
Л = сопз1.
Иными словами, линии вектора //совпадают с окружностями в попе-
поперечных плоскостях, на которых постоянен векторный потенциал,
и образуют совершенно такую же картину, как эквипотенциальные
поверхности заряженных нитей, рис. 24. 6, б (ср. с рис. 16.8).
Наконец, вычислив производные дА/дх и дА/ду, получаем выра-
выражение напряженности поля^не областей тока
^)] B4Л4,
§ 25. Энергия стационарногб магнитного поля.
Индуктивность
1. Энергия и ток. Если в пространстве существует магнитное
поле, то в нем распределена связанная с этим полем энергия, плот-
плотность которой (§ 11, п.1) есть
^ ^ B5.1)
132

Вычисляя энергию стационарного магнитного поля, содержащуюся
в некоторой области V, и пользуясь при этом понятием векторного
потенциала B2.8), имеем
^ \ &о. , B5.2)
М=-Н НВ&о = ^ \
Подынтегральное выражение преобразуем при помощи формулы
(П1.31) и появившуюся функцию го! //заменим, согласно B2.1а),
через у, а также применим . теорему Остроградского — Гаусса
(П1.24). В результате получим
±&Л, И]й$. B5.3)
Чтобы определить полную энергию стационарного магнитного поля,
надо распространить интегрирование на все пространство, т. е,
отнести границу 5 области V в бесконечность. Поверхностный интег-
интеграл в B6.3) тогда исчезает. Действительно, возьмем объем V в виде
сферы неограниченно возрастающего радиуса, содержащей все
токи. Поскольку любое распределение стационарного тока ведет
себя на достаточно большом расстоянии как диполь, то, выбрав
надлежащим образом начало сферической системы координат, выра-
выразим Ни А при помощи формул B3.8) и B3.7), используя в их записи
соотношение B3.9). Вычисляя предельное значение поверхностного
интеграла в B5.3), пишем
Нт ф [А, Н]й$ =
Л 2л
Гао$шФ, г02
и далее
Нт (& [Л,
в Ляг" г.оо*Ч"-
Полная энергия стационарного магнитного поля, таким образом,
оказывается равной
М B5.4)
где V хотя и означает бесконечное пространство, но фактически
представляет собой область тока, поскольку подынтегральное выра-
выражение обращается в нуль вместе с плотностью тока / ?
Итак, энергия стационарного магнитного поля может быть вы-
вычислена не только путем непосредственного учета ее распределения
во всем пространстве, как это делается при интегрировании ты
B5.1), но и через источники поля. Тот факт, что магнитное поле
существует лишь при наличии тока, непосредственно вытекает из
133

B5.4): если во всем пространстве нет токов, то функция координату
равна нулю, а следовательно, обращается в нуль магнитная энергия
B5.4); но тогда и Н = 0 согласно B5.2). Напомним в связи с этим,
что действием микроскопических токов объясняется намагничен-
намагниченность вещества.
Возьмем линейный ток /, проходящий по замкнутому контуру Ь
(рис. 25.1, а). Поскольку при этом плотность тока / есть функция
вида B3.1), то из B5.4) получаем
№и = ^1§Ай1 B5.5)
или с учетом B2.14)
Гм = |/Ф = у/ ^ВЛа. B5.6)
Здесь надо указать на принципиальную трудность, связанную
с представлением об идеальном линейном токе. Так как на линии
Рис. 25.1.
тока, как видно из B3.2) и B3.3), векторные функции А и Н обра-
обращаются в бесконечность, то теряют смысл и интегралы B5.5), B5.6).
Подобно этому (§ 19, п.З) не имеет физического содержания собствен-
собственная энергия точечного заряда. В действительности идеальных ли-
линейных токов нет, а записанные формулы можно рассматривать как
приближенные соотношения для реальных токов, которые близки
к линейным (токи тонких проводов и т. п.). При этом в качестве кон-
контура Ь допустимо брать, например, линию на поверхности провод-
проводника.
2. Индуктивность. Поскольку векторный потенциал А выра-
выражается через плотность тока согласно B2.13), то из формулы B5.4)
вытекает следующая:
где интегрирование по V производится дважды. Если данное рас-
распределение тока имеет вид единственной цепи с полным током /,
то часто пишут:
№м = {^/2, B5.8)
134 •

где X
есть коэффициент, не зависящий от величины тока и Называемый
индуктивностью. Эта величина измеряется в генри [гн].
Для линейного тока к выражению B5.8) проще всего прийти от
B5.6), определив индуктивность^как коэффициент пропорциональ-
пропорциональности между магнитным потоком и током:
# = ~ B5.10)
(разумеется, пропорциональность имеет место, когдн среда линейна).
Рассмотрим далее систему N контуров Ь( с токами 1{ (рис. 25.1, б).
При этом подобно B3.1)
/(г) = то,/г6 {г-г\), /=1,2 N
в областях, прилежащих к контурам Ьи и вместо B5.5) из B5.4) по-
получаем
N
1=1
Отсюда N N
Вй8 = }^11Ф1, B5.12)
где Ф; — магнитный поток, пересекающий поверхность 5г, ограни-
ограниченную контуром Ц.
Так как каждый поток Ф; линейно связан с токами всех конту-
контуров, то напишем
1=1, 2, 3, .... N.
Коэффициенты оЖц и аЖ1к называются собственными и соответственно
взаимными индуктивностями; вместо еЖа используется также обозна-
обозначение %1-Внося B5.13) в B5.12), приходим к следующему выражению^
энергии стационарного магнитного поля в случае системы контуров:
N N N Ф1 N
*»/,/*, B5.14)
причем, как будет показано ниже,
<Л1к = <Мы. B5.15)
Первый член в B5.14) выражает собственную, а второй — взаимную
энергию системы контуров. Легко убедиться, что последняя со-
сохраняет смысл и для идеальных линейных токов (ср. § 19, п. 3).
135

В_ частном случае двух контуров (# = 2)
4 !/.• B5.16)
Возвращаясь к системе N контуров, сосредоточим внимание на
каких-либо двух из них, например Ъ\ и Ьк (рис. 25.1, б). Пусть Фгк
есть магнитный поток, вызванный током 1к контура Ьк и проходя-
проходящий через контур 1; (точнее, через поверхность 5Ь опирающуюся на
этот контур), так что
Ф« = •*<*/*. B5.17)
При этом, согласно B2.14),
Ч
а на основании-B3.3)
д _Ё^
л* — л-
Учитывая это, из B5.17) получаем следующее выражение для взаим-
взаимной индуктивности:
Поскольку формула симметрична относительно индексов I и к,
то она верна и для взаимной индуктивности «4^, определяемой
равенством
Ф
где Ф^г — магнитный поток, обусловленный током /г контура Ь{
и проходящий через поверхность 8к, ограниченную контуром Ьк
(в этом также легко убедиться, повторив вывод). Таким образом,
действительно справедливо равенство B5.15).
Формула B5.18) позволяет вычислять взаимную индуктивность
двух контуров только по их конфигурации (форме и взаимной ориен-
ориентации). Она является частной формой общего выражения взаимной
индуктивности двух распределений тока
(ср. B5.9)) и получается при подстановке в B5.19) функций
и Дгк) вида B3.1).
3. Примеры вычисления индуктивности. На рис. 25.2, а пока-
показана система двух концентрических витков, лежащих в одной плос-
плоскости. Поток Ф12, создаваемый большим контуром Ьг через поверх-
поверхность 5! меньшего контура Ьъ при условии аг <; аг можно прибли-
приближенно вычислить как
Ф12 ?=& 81В2 = ла[\кНг,
136

где #2 — абсолютное значение напряженности магнитного поля
большего витка в центре. Так как из B4.10)
то
и взаимная индуктивность контуров <Лгг — Ф12//2 есть
^12^И^- B5.20)
Совершенно аналогично находятся взаимные индуктивности
систем, показанных на рис. 25.2, б, в, г. Если по-прежнему аг^ а%,
то для витков с общим
центром, лежащих в разных
плоскостях (рис. 25.2, б)
имеем
С1О сжу
B5.21)
а для витков, расположен-
расположенных в параллельных плос-
плоскостях коаксиально на
расстоянии й (рис. 25.2, в)
B5.22) '
Для прямолинейного про-
провода и витка, лежащего в его плоскости на достаточно большом
расстоянии (к ;> а),
(рис. 25.2, г). Вывод формул B5.21) — B5.23) предоставляется
читателю.
Рассмотрим теперь провод круглого поперечного сечения. Ис-
Используя цилиндрическую систему координат, запишем на основании
B4.2) и B5.1) выражение энергии, содержащейся в элементарном
объеме дм = г йг йа йг\
Интегрируя й№м по объему на единице длины провода, находим
\\г»,г,а^. B5.24)
137

Это внутренняя энергия провода, приходящаяся на единицу длины;
мы видим, что она имеет одно и то же значение для проводов любого
диаметра при данном токе. Внутренней индуктивностью единицы
длины провода называется величина
^'=8я"' B5'2^
определяемая из соотношения {Щ)' = %'гР12 типа B5.8).
Совершенно так же находится отнесенная к единице длины
индуктивность коаксиального кабеля (см. рис. 24.1, в); при этом
используются формулы B4.4). Читателю рекомендуется проверить
получаемый при этом результат:
1§4 B5.26)
(цг и |х2 — магнитные проницаемости металла и внутренней среды
соответственно). /
Далее определим отнесенную к единице длины индуктивность
двухпроводной нити, полагая, что расстояние между проводами зна-
значительно превышает их диаметр 2/? (рис. 24.6, а). Приходящийся
на единицу длины магнитный поток Ф'приближенно вычислим как
а-н
Ф'^-ц $ Ну их, ,
—а+к
где интегрирование производится по области, ограниченной поверх-
поверхностью проводов. Так как при у = О, согласно B4.14),
Н„=А~
то
а-н
Ф'.
\Ы_ Г их _
я ^ ха — <Р ~
а+х
а-н
и отнесенная к единице длины индуктивность линии
оказывается равной
Ф'//
У Л г^ 1*-. /ОС О7\
X ?ы — 1П-5-. . \1Ъ.П)
Наконец, рассмотрим системы с
замкнутыми магнитными потоками.
Пусть на тороид прямоугольного^ ра-
рис 25.3. диального сечения (рис. 25.3) равно-
равномерно намотано п витков провода. При
этом через каждый из витков проходит магнитный поток
Ф= и
н,
138

(мы использовали выражение напряженности поля B4.5)). Поток,
проходящий через «поверхность всех витков», в п раз больше:
Ф = пФ,
и индуктивность системы X = Ф// равна
,5? = М!*1п§1. B5.28)
Напомним, что в § 12, п.2 аналогичная формула была получена из
иных соображений.
В предположении, что поле в радиальном сечении тороида од-
однородно и Н определяется средним расстоянием от оси, найдем
Читателю рекомендуется проверить, что в случае двух равно-
равномерно распределенных на торонде обмоток с числами витков тип
их взаимная индуктивность будет
^^. B5.30)
В заключение отметим, что совершенно так же вычисляется
индуктивность «магнитных цепей» (§ 24, п. 2). Для замкнутого сер-
сердечника (внутри которого в силу большой магнитной проницае-
проницаемости практически сосредоточен весь магнитный поток) со средней
длиной контура Ь, зазором й и поперечным сечением 5 при обмотке
из п витков с током / магнитный поток Ф, проходящий через каждый
из витков, находится по формуле B4.8). Поэтому индуктивность
X =ч Ф// = пФ/1 оказывается следующей:
При отсутствии зазора {й = 0) это дает выражение B5.29).
§ 26. Стационарное электрическое поле и общие свойства
стационарного электромагнитного поля
1. Основные уравнения стационарного электрического поля.
Левый столбец системы уравнений A3.10) дает нам уравнения ста-
стационарного электрического поля
го1^=0, B6.1а)
<1Гу/) = р, ' B6.16)
О = еЕ. • B6.1в)
139

Эти уравнения и соответствующие интегральные соотношения
§Ес11 = 0, B6.2а)
ф/)б!«=<7 B6.26)
5
совпадают с аналогичными соотношениями электростатики (§ 14).
Поэтому, в частности, как и в электростатике, ввиду B6.1а) можно
написать
Е= —§гас!ф, B6.3)
причем потенциал ф также удовлетворяет уравнениям, получен-
полученным в § 14. "*
Однако, как было отмечено на стр. 116, все сказанное еще не
означает, что стационарные электрические поля х) неотличимы от
полей статических. При наличии постоянного тока электрическое
поле существует внутри проводников, и поверхности последних
теперь уже не являются эквипотенциальными (ср. §28, п. 1). Дей-
Действительно, в силу уравнения
У=оЕ B6.4а)
(в A3.1) оно записано в нижней строчке) при ]'Ф Оио^О обяза-
обязательно Е ф О (случай идеального проводника, когда а -> оо, мы
сейчас исключаем). И если ток проходит вдоль поверхности прово-
проводящего тела 5, то имеется тангенциальная электрическая компонента
Ех = — дф/дт; потенциал ф на 5 не изменяется. Ниже будет пока-
показано, что существование стационарного электромагнитного поля
связано с действием сторонних сил; напишем важное для дальней-
дальнейшего выражение плотности тока в области их проявления:
. B6.40)
2. Пример стационарного электрического поля. В качестве при-
примера рассмотрим поле между двумя бесконечными параллельными
проводящими слоями (рис. 26.1, а, б). Пусть сначала тока нет, и по-
потенциалы слоев равны соответственно ■*■
Как известно, при этом (рис. 26.1, а)
р = сопз1:, /; = 0 в проводниках
й — к^у^ — й.
г) Мы употребляем этот термин в узком смысле, подразумевая поля при
наличии постоянного тока. В широком смысле «стационарное поле» означает
поле при отсутствии временной зависимости. Поэтому можно сказать, что электро-
электростатическое поле — частный случай стационарного электрического.
140

Если же, как это показано на рис. 26.1, б, в проводниках проходят
противоположно направленные токи (/ и —/), то внутри них появля-
появляется продольное поле:
а. B6-5)
А так как Тангенциальная компонента вектора Е остается непрерыв-
непрерывной на границах раздела сред, то продольная составляющая поля
имеется и в пространстве между слоями (й > у > — й), где,
следовательно, электрические силовые линии искривляются
(рис. 26.1, б),
ь{у/////////ж/%Ш,
Рис. 26.1.
Чтобы найти поле между слоями, удобно предварительно опре-
определить его потенциал как решение уравнения Лапласа
(зависимость от координаты г отсутствует), подчиненное требуемым
граничным условиям. В отличие от электростатики потенциалы
слоев теперь не постоянны, и мы положим, что их разность равна I/
только в плоскости х = 0, и учтем B6.5):
| 0-^- при х = 0, у = й, (^
ф= '„■■-- а?Ч /- B6-6б)
( Фо+ 2" при х = 0, у = — й, \ -^ при у=—й.
Решение граничной задачи B6.6а) и B6.66) имеет вид
(формулу нетрудно найти методом разделения переменных или под-
подтвердить проверкой). Поэтому между слоями
B6.8)
Заметим, что на практике электрическое поле постоянного тока
в прилежащем к проводнику диэлектрике мало отличается от поля
электростатического. Так, в рассмотренном примере при й = 0,5 см,
V = 10 в, /' = 2 а/мм2 и а = 5,8 • 107 сим/м (Медь) для х = 0 и у = й.
ёх — Ех — _ Ш ^ _ з 4 10~6
-с у **"■ с, у (Тс/
141

т. е. искривление электрических силовых линий должно быть незнат
чительным: вектор Е практически нормален поверхности провод-
проводника, как в электростатике.
Читателю предлагается проанализировать изменение величины
ф(х, —й) — ц>(х, о!) = Ш1 +^ц-х), рассматривая двухслойную си-
систему как линию передачи постоянного тока.
3. Аналогия проводимости и емкости. Рассмотрим систему
уравнений ""
го1Е = 0, ' B6.9а)
сПу./=0, > B6.96)
/=сЕ, B6.9в)
где вторая строчка представляет собой частную форму равенства
B.11) для стационарного процесса (д/д( = 0). Учтем также гранич-
граничное условие G.6)
Ы=Ы- B6.10)
Записанные соотношения характеризуют стационарное электриче-
электрическое поле и ток внутри проводника.
Вместе с тем уравнения B6.9) по форме повторяют уравнения
электростатики A4.1) для среды, не содержащей зарядов (р = 0).
Достаточно в A4.1) при р = 0 сделать замену
-О-*/ е-* а, B6.11)
как1 возникает система уравнений B6.9). Кроме того, вектор плот-
плотности тока у, играющий в B5.9) ту же роль, что и вектор электриче-
электрической индукции Ь в B4.1) при р = 0, согласно B6.10), имеет на гра:
ницах раздела сред непрерывную нормальную компоненту, как и век-
вектор Ю при отсутствии поверхностного заряда.
Отмеченная формальная аналогия между уравнениями, описы-
описывающими стационарное электрическое поле в проводящей среде,
и уравнениями электростатики в диэлектрике без зарядов бывает
полезной на практике. Если, например, в рассматриваемой задаче
о стационарном электрическом поле все граничные поверхности
имеют такую же конфигурацию, как и в некоторой электростати-
электростатической задаче, и на границах вектор / в первом случае ведет себя
так же, как вектор Ь во втором, то можно использовать готовое
решение электростатической задачи, сделав в нем замену B6.11).
Требуемое соответствие граничных условий будет иметь место,
когда рассматривается слабо проводящая среда, ограниченная хо-
хорошо проводящей поверхностью, и для сопоставления берется
электростатическая задача, в которой точно такой же поверхностью
ограничен идеальный диэлектрик. Действительно, ввиду непрерыв-
непрерывности тангенциальной компоненты вектора Е на границе.раздела
проводящих сред
(? = (?. B6-12)
142

откуда следует, что в слабо проводящей среде / тангенциальная ком-
компонента плотности тока оказывается в ог/а1 раз меньше, чем в гра-
граничащем с ней хорошем проводнике 2. Поэтому при достаточно силь-
сильном различии удельных проводимостей ог и сг2 можно пренебречь
тангенциальной компонентой/с1 и считать вектору в слабо проводя-
проводящей среде нормальным внешней границе, а это и свойственно век-
вектору Ь в сравниваемой электростатической задаче.
Пусть в слабо проводящей среде расположены два хорошо про-
проводящих тела А и В (рис. 26.2, а), потенциалы которых ф2 и ф2.
Проводимостью среды в этой системе называется величина
где числитель и знаменатель выбираются так, чтобы дробь была по-
положительна; / есть ток, выходящий из одного тела или входящий
в другое (обе величины должны
быть одинаковы). Очевидно,
^ Е Ш,
(А)
B6.13а)
где 5 — поверхность одного из
проводников. р
Сделав здесь замену B6.11),
убеждаемся, что проводимость
переходит в сравниваемой электростатической задаче в емкость:
/ (В)
[ ^ С. B6.14)
.) Ф1 —
(А)
Пусть, например, требуется определить «проводимость утечки»,
приходящуюся на единицу длины коаксиального кабеля постоянного
тока. Из § 17, п. 6 известно выражение отнесенной к единице длины
емкости коаксиального конденсатора. Заменяя в соответствующей
формуле A7.17) в соответствии с B6.11) е на а, получаем (рис. 26.2, б)
С'=^. B6.15)
На принципе отмеченной выше аналогии базируется также мо-
моделирование электростатических полей в электролитической ванне.
Для экспериментального исследования электростатического поля
системы проводящих тел последние помещают в ванну и, создав
требуемые потенциалы, измеряют плотность тока в различных участ-
участках электролита. Найденное таким путем поле тока в электролите
представляет собой модель электростатического поля исследуемой
системы. Гарантией этому служит весьма значительное различие
удельных проводимостей электролита и элементов системы (обычно
143

металлических), позволяющее считать, что вектор плотности тока
нормален к поверхностям системы.
4. Общие свойства стационарного электромагнитного поля.
В заключение рассмотрим некоторые общие свойства стационарного
электромагнитного поля. Пусть постоянный ток сосредоточен
в ограниченной области пространства. Выбрав какую-либо поверх-
поверхность 5, отделяющую область V, вне которой нет тока, из A0.4)
получим ф [Е щ й^_
5 V
Будем, неограниченно увеличивать объем, V, относя поверхность 5
в бесконечность. На достаточно больших расстояниях электриче-
электрическое поле подобно полю точечного заряда, а, магнитное — полю
магнитного диполя; таким образом, поверхностный интеграл в пре-
пределе должен исчезнуть (ср. § 19, п. 1 и § 25, п. 1), и мы имеем
= 0. B6.17)
Прежде чем делать какие-либо выводы из равенства B6.17),
заметим, что величина интеграла в нем не может зависеть от V,
если только внутри V локализован весь ток (а именно это и пред-
предполагалось заранее). Поэтому в правой части B6.16) всегда нуль,
а отсюда
^[Е,Н]с18 = 0 . B6.18)
5
при условии, что поверхность 5 охватывает весь ток. Полученное ра-
равенство выражает важное свойство стационарных электромагнитных
полей: поток энергии через поверхность, содержащую внутри себя
весь ток, обязательно равен нулю. Можно сказать, что постоянный
ток не'излучает энергии.
Обращаясь к равенству B6.17), заменим в нем плотность тока
через напряженность электрического поля при помощи соотношения
B6.4а), т. е. в предположении, что сторонние силы отсутствуют
во всем объеме. При этом получается
откуда следует, чтоу= 0. Но при отсутствии тока нет и стационар-
стационарного электромагнитного поля.
Если же вместо B6.4а) взять соотношение B6.46), то возникает
равенство
С 1 [ B6.19)
показывающее, что постоянный ток (вместе со своим полем) суще-
существует лишь при наличии сторонних сил, т. е. источника энергии
неэлектромагнитного происхождения.
144

Для иллюстрации этого факта возьмем цепь постоянного тока /
в виде замкнутого провода и, приняв ее за контур Ь, вычислим цир-
циркуляцию вектора Е, которая, согласно B6.2а), должна быть равна
нулю. Заменяя Е через/и Е" при помощи B6.46), находим
С С1" Л/_ С /_ Л/
Здесь
г.
E — поперечное сечение провода, а еЯ" — его сопротивление).
Таким образом,
§Е"д1 = Ш B6.20)
и, как видно, ток / равен нулю, если в цепи не действуют сторонние
силы (Ест = 0).
Интеграл в B6.20), который мы обозначим
Э" = §Е"й1, B6.21)
называют электродвижущей силой (э. д. с), а соотношение B6.20)
выражает закон Ома для цепи постоянного тока.
III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Статические и стационарные поля, рассмотренные выше в этой
главе, являются относительно простыми. Исторически они были
исследованы значительно раньше, чем поля, изменяющиеся во вре-
времени. Последние стали представлять практический интерес вместе
с появлением электротехники переменного тока, а затем радиотех-
радиотехники. Естественно, что при изучении изменяющихся во времени
электромагнитных явлений старались использовать уже имевшийся
опыт и сложившиеся представления. Так возникла теория явлений
квазистационарных, т. е. «как бы неизменяющихся»; к ней по суще-
существу относится и теория цепей переменного тока. Во Введении отме-
отмечалось, что понятие цепи переменного тока сохраняет смысл до тех
пор, пока можно пренебрегать запаздыванием электромагнитного
процесса, распространяющегося в пространстве. К этой точке
зрения мы вернемся, когда будем рассматривать излучение электро-
электромагнитной энергии (гл. 4). Пока же примем во внимание следующее
обстоятел ьство.
Предположим, что изучено некоторое стационарное электромаг-
электромагнитное поле, т. е. при заданном постоянном токе и прочих условиях
найдены векторные функции координат Е(г) и Н{г). Очевидно,
можно представить себе настолько медленное изменение тока, что
электромагнитное поле будет изменяться вместе с ним практически
лишь по величине, сохраняя свое распределение в пространстве,
145

т. е. Е{г,()^!{{)Е (г) и И (г, I) «а/ (О Н (г), где С (г) и //(г)
это прежние векторные функции, а / (/) выражает закон изменения
тока. Это простое соображение и кладется в основу теории квази-
квазистационарных явлений, которая, следовательно, сохраняет досто-
достоверность для достаточно медленных процессов.
§ 27. Квазистационарное электромагнитное поле
и цепь переменного тока
1. Индуктивность и емкость при квазистационарных процессах.
Итак, пусть переменный во времени электромагнитный процесс про-
протекает достаточно медленно (в частности, если речь идет о гармони-
гармонических колебаниях, то низка их частота), и можно считать, что рас-
распределение поля в каждый момент таково, как если бы оно было ста-
стационарным, не зависящим от времени. Покажем, что применение
этого «принципа квазистационарности» к основным уравнениям
поля и энергетическим соотношениям порождает некоторые понятия,
широко используемые в инженерной практике.
В § 2, п. 2 было отмечено, что второе уравнение Максвелла можно
рассматривать как обобщенный закон электромагнитной индукции
Фарадея. Если Ь есть контур стоком /(/), то запись этого уравнения
в форме B.7) аф
ГД6 Э=*\ЕМ, B7.2)
выражает закон электромагнитной индукции, обычно применяемый
к квазистационарным системам. При этом Э есть не что иное, как
электродвижущая сила (ср. § 26, п. 4), наводимая в контуре изменяю-
изменяющимся во времени магнитным потоком. Пусть рассматривается уеди-
уединенный недеформируемый контур. Магнитный поток Ф создается
при этом собственным током контура /, а поскольку поле квазиста-
ционарно, то он связан с током контура / тем же соотношением, что
и в случае постоянного тока1.
Ф = <#7, B7.3)
и закон электромагнитной индукции B7.1) принимает вид
Это соотношение имеет смысл только для квазистационарного про-
процесса, поскольку само понятие индуктивности происходит из теории
стационарного магнитного поля (§ 25). Аналогично в случае двух
контуров с токами 1Х и 12
&и м ли ,
» I
И1 I B7.5)

Поскольку для квазистационарного поля Е «=« — §гас! ф, то
сохраняют значение понятия потенциала и емкости; последняя
определяется, как в электростатике:
B7.6)
ф1 —Фг
2. Энергия квазистационарного поля и цепь переменного тока.
Рассмотрим теперь какую-либо систему, которую допустимо описы-
описывать как цепь переменного тока, составленную из последовательно
соединенных сопротивления <М, индуктивно-
индуктивности X и емкости С, а также источника ^ —-/
э. д. с. Э" (рис. 27.1). I ■—-1—I Т
Что значит «допустимо»? Во-первых, си- г*\яст I
стема должна быть действительно квазиста- ч^ -р^
ционарна (достаточно медленные временные \ г~у^-* I
изменения). А во-вторых, требуется, чтобы ^
можно было пренебречь магнитным полем всех
элементов, кроме индуктивного, и электри- Рис. 27.1.
ческим полем всех элементов, кроме емкост-
емкостного, поглощение же энергии приписать одному резистивному
элементу.
Тогда магнитную и электрическую энергию системы можно
выразить при помощи формул B5.8) и A9.8а):
-д- 1 [л.«« <лк -д- <~ 1 B,1.1)
B7.8)
(V, вообще говоря, бесконечное пространство), а мощность потерь
в виде
B7.9)
Что касается мощности источника, то будем пользоваться первым
выражением Р" из (9.10):
о = /ЭС1.' B7.10)
Заметим, что следующее отсюда выражение э. д. с.
имеет совершенно тот же смысл, что и в § 26: для линейного контура
оно переходит в B6.21):
147

Чтобы извлечь пользу из всех найденных соотношений, возьмем
уравнение баланса энергии, например, в форме A0.9) и применим
его к бесконечной области V, включающей рассматриваемую цепь,
которая считается^ уединенной. Так как, по предположению, рас-
распределение поля в пространстве не отличается от стационарного,
то поток вектора Пойнтинга через отнесенную в бесконечность гра-
границу равен нулю ввиду достаточно быстрого убывания векторов Е
и Н (§ 26, п.4). Таким образом, внося в A0.9) Г = Г + Г и Р =
= Рп + Р" на основании B7.7) — B7.10) имеем следующее урав-
уравнение:
+ У \ I 72 <%) I ОСТ /О7 1 1 \
фр ) -\- I вл = 1о . B/. 11)
' г
Учитывая, что / = йц1й1, после дифференцирования и деления на /
получаем
-± = Э™ B7.12)
и далее при вторичном дифференцировании
Мы получили известное уравнение для цепи переменного тока.
Круг явлений, описываемых теорией цепей, должен быть хорошо
знаком читателю, изучавшему электротехнику и основы радиотех-
радиотехники. Повторение этого материала не входит в нашу задачу. Мы
имели в виду лишь объяснить характер упрощений, используемых
в этой теории.

ГЛАВА 3
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Желая рассмотреть основания электродинамики, мы должны
теперь обратиться к системе уравнений Максвелла в ее полном виде.
Однако особое внимание будет уделено процессам, протекающим
по закону гармонических колебаний, а в этом случае применение
метода комплексных амплитуд приводит систему уравнений Макс-
Максвелла к весьма сжатой форме. Существенно, что этот метод также
порождает в электродинамике новые содержательные понятия,
значение которых не исчерпывается их ролью в формальном ап-
аппарате.
Материал данного раздела составляет основу всего последующего
содержания книги. При первом чтении можно пропустить только § 31.
§ 28. Основные уравнения электродинамики
1. Система уравнений Максвелла. Источники поля. Уравнения
электродинамики — это полная система уравнений Максвелла
(§ 13, п.1); характеризуя поле в некоторой точке пространства,
имеем
Го1 Е= -
дВ
Ж'
(Ну 5 = 0, В =
B8.1)
последнее из уравнений взято в форме второй строчки A3.2); при
отсутствии сторонних сил/" = 0. Выпишем также соответствующие
интегральные соотношения:
= ^\Ба-з+1,
~
БA$ = д,
ва$=о.
B8.2)
Напомним, что входящие^ систему B8.1) материальные уравнения
не вполне универсальны (см. § 5), однако такая их форма является
распространенной ввиду Простоты и широкой применимости.
149

Как известно, уравнения B8.1) выражают общие законы электро-
электромагнетизма; эти уравнения электродинамики описывают общие
свойства полей и не могут иметь определенных решений в виде век-
векторных функций Е, Н и т. д., пока к ним не присоединены условия,
характеризующие ту или иную конкретную задачу.
Остановимся на одном общем вопросе. Предположим, что во всем
пространстве либо в какой-то рассматриваемой нами энергетически
изолированной области V не действуют сторонние силы. Если при
этом найдено физически осмысленное решение системы уравнений
электродинамики B8.1), то оно выражает свободное электромагнит-
электромагнитное поле, т. е. поле, не обязанное своим существованием процессу
преобразования неэлектромагнитной энергии в электромагнитную,
«не имеющее причины вне себя». Позднее в этой главе (§ 32 и далее)
будут рассмотрены простейшие свободные поля — плоские одно-
однородные волны.
При действии сторонних сил происходит возбуждение определен-
определенного электромагнитного поля. Употребляется также выражение
«вынуждающая сила», а чаще источник поля. Электромагнитные
поля, вызванные действием сторонних сил, источников, мы будем
называть вынужденными. Передача энергии вынужденным полем
обычно характеризуется как излучение источника.
Источники могут быть заданы разными способами, например
через граничные условия, но, пожалуй, чаще всего в задачах о вы-
вынужденных полях задается функция /ст (или г)", ср. §7, п. 4), отлич-
отличная от нуля лишь в некоторой области, называемой областью
источника. Заметим, что процесс преобразования энергии некоторого
рода в энергию электромагнитного поля вовсе не должен обязательно
происходить в области источника. Возьмем, например, излучающую
металлическую антенну. Поле излучения можно найти, зная распре-
распределенный на антенне ток, и если он известен, то рассматривается как
сторонний. Что же касается расходуемой неэлектромагнитной энер-
энергии, которая в конечном счете поддерживает данный ток, то это,
быть может, химическая энергия батареи или тепловая энергия на
электростанции, питающей передатчик, подключенный к антенне.
Понятно, что указанные первичные факторы должны оставаться за
пределами электродинамической задачи.
2. Уравнения второго порядка. Из уравнений электродинамики
B8; 1) можно исключить все неизвестные величины, кроме напря-
напряженности электрического поля Е или напряженности магнитного
поля //, и получить дифференциальные уравнения с частными произ-
производными второго порядка относительно этих функций. Заменив
в первых двух уравнениях Максвелла индукции напряженностями
при помощи материальных уравнений, после очевидных действий,
включающих применение операции го1, получим
го! е го! Н=|, го! Е + го! е/
го! ц, г го! Е = — -щ го! //
150

(е г и ц не вынесены за знак го1, так как проницаемости предпо-
предполагаются зависящими от координат).Теперь го! Е и го! //в правых
частях исключаем, используя первоначальные уравнения Максвел-
Максвелла, что дает
го! е.го! Н+ \х ^ = го1 е^У B8.3)
| = -|. B8.4)
Второе из этих равенств становится уравнением относительно Е
при замене У через Е и Уст (последняя функция задается):
^о^^^-Чо^Е + ед^+о§=-^. - B8.5)
Если среда однородна, г'1 и цг1 выносятся из под знака го1,
функции же го! го! Е и го! го! Н преобразуются с привлечением
тождества (П1.34); при этом учитывается, что ввиду однородности
среды сПу Е = р/е и сПу Н = 0. Равенства B8.3) и B8.4) принимают
вид
*2 -го1у B8.6)
^ 1. B8.7)
Если правые части заданы (например, при а = 0 в B8.6) справа
имеем — го! У"), то это векторные уравнения Даламбера. При отсут-
отсутствии токов и зарядов (у'= 0, р = 0) они переходят в однородные
векторные волновые уравнения
^ B8.8)
^ B8.9)
Для полей, не изменяющихся во времени, записанные уравнения
вырождаются в более простые и уже встречавшиеся при изучении
статических и стационарных полей. Так B8.-6) и B8.7) становятся
векторными уравнениями Пуассона B2.5) и A4.14) соответственно,
а B8.8) и B8.9) — векторными уравнениями Лапласа.
Отмеченное обстоятельство дает повод подчеркнуть роль тока
смещения в электродинамических процессах. В пренебрежении им,
т. е. полагая ЗО1д1 = 0, мы получили бы при выводе вместо B8.6)
и B8.7) уравнения Пуассона.
3. Электродинамические потенциалы. Следуя традиции, введем
в рассмотрение вспомогательные функции, подобно тому как это
делалось ранее, в гл. 2. Используя понятие векторного потенциала
(§ 22, п. 3), выразим напряженность магнитного поля в виде
Я=|1-1го14. B8.10)
151

Подстановка этого выражения во второе уравнение Максвелла дает
Замечая, что функцию в круглых скобках в силу тождества (П1.33)
можно приравнять градиенту скаляра, который обозначим —ф,
находим
г) А
-^ B8.11)
(ср. § 14, п.1). Таким образом, векторы поля Е и // представлены
через вспомогательные функции Лиф; эти последние мы и будем
называть электродинамическими потенциалами.
Найдем уравнения, которым удовлетворяют Лиф. Внося B8.10)
и B8.11) в первое уравнение Максвелла, получаем
го! ЦТ1 го! Л = — -щ е (§гас! ф + —) +/
Полагая, что среда однородна, и привлекая тождество (П1.34),
приводим это к виду
^ E )и/ B8.12)
Поскольку в определении потенциалов допускается известный про-
произвол (как и в § 14, функция ф определена с точностью до аддитивной
константы, а Л — с точностью до градиента некоторого скаляра,
как в § 22), уравнение B8,12) можно упростить, наложив на ф и Л
дополнительное условие *)
§ А = 0. B8.13)
Тогда B8.12) переходит в следующее уравнение:
^=-Н/; B8.14)
а из B8.13) и B8.11) нетрудно получить
Ф|| = -^. B8.15)
При заданных/и р это уравнения Даламбера относительно Л и ф.
Если найдены эти потенциалы, то векторы поля Е и //определя-
//определяются по формулам B8.10) и B8.11). Впрочем, ф можно заранее
исключить: согласно B8.11) и B8.13)
х) В физике это часто называют «лоренцевской калибровкой», а ранее исполь-
использовавшееся условие B2.11) — «кулоновской калибровкой».
152

Заметим, что при отсутствии временной зависимости равенства
B8.11), B8.13), B8.14) и B8.15) превращаются в A4.3), B2.11),
B2.12) и A4.9) соответственно.
§ 29. Комплексные проницаемости и уравнения
электродинамики в комплексной форме
1. Переход к комплексной форме уравнений электродинамики.
Комплексная диэлектрическая проницаемость. В начале главы
отмечалось значение гармонически колеблющихся полей. В этом
случае все векторные функции, входящие в уравнения B8.1), т. е.
Е, Н, п, В и ], имеют вид (П3.1), соответственный вид имеет
и скалярная функция р. Применяя метод комплексных амплитуд,
заменим в B8.1) все перечисленные функции их комплексными пред-
представлениями:
Е-+Ётеш, Н-+Йте1<*< и т. д.
В первом уравнении Максвелла B8.1а), например, при этом получим
Поскольку по отношению к операции го! множитель е'а1, не зави-
зависящий от координат, выступает как постЪянный коэффициент, а при
дифференцировании по времени постоянной оказывается комплекс-
комплексная амплитуда, то
го1Нт = 1а1)т+/т. B9.1)
Таким образом, получено уравнение относительно комплексных
амплитуд, утратившее временную зависимость.
Мы видим, что уравнения электродинамики без труда приводятся
к комплексной форме при выполнении действий, обсуждавшихся
в приложении 3. В данном случае достаточно заменить в уравнениях
функции поля их комплексными амплитудами, а дифференцирование
по времени — умножением на г со.
Но прежде, чем выписывать в комплексной форме всю систему
уравнений электродинамики B8.1), вернемся к уравнению B9.1),
чтобы сделать некоторые преобразования. На основании B8.1)
напишем вместо Ьт и /т функции еЕт и оЕт + ] т соответственно
го! Нт = ШЕт + оЕт -
и справа вынесем в первых двух слагаемых общий множитель
Ёт, что дает возможность представить их в виде
1и>еЁт -\-оЁт = т[г — 1 — ) Ёт = т&Ёт,
где параметр
ё = е-г-^ B9.2)
153

называется комплексной диэлектрической проницаемостью. .Исполь-
.Используя это новое понятие, можно придать первому уравнению Макс-
Максвелла B9.1) следующую форму:
го[Нт = ШЁт+)%, B9.3)
так что, в частности, при отсутствии сторонних сил уравнение
вовсе не содержит в явной форме тока проводимости:
го1/7т = коёЁт. B9.3а)
Если в одном случае среда обладает некоторой электропроводностью
(а ф 0), а в другом — нет (а = 0), то различие проявится лишь
в характере параметра ё (см. B9,2)), который в первом случае будет
комплексной величиной, а во втором — вещественной.
2. Инерционность процессов поляризации и намагничивания.
Комплексные проницаемости. Введенная выше комплексная прони-
проницаемость ё является полезным символом, улучшающим форму
записи первого уравнения Максвелла. Но можно пойти дальше
и так обобщить понятие комплексной диэлектрической проница-
проницаемости, что оно позволит учесть особенности процессов в диэлект-
диэлектрике, ранее не принимавшиеся во внимание.
Напомним, что материальные уравнения в B8.1) не отражают
инерционности процессов поляризации: если при гармонических
колебаниях Е = Ет сов со/, то, согласно B8.1), Ю = гЕт сов со/.
Но в действительности, поскольку процессы поляризации вещества
не следуют мгновенно за изменениями поля, электрическая индук-
индукция как функция времени несколько «запаздывает», т. е. колеба-
колебания происходят с отставанием по фазе на некоторую величину а,
и надо писать Ю = ъЕт сов (со/ — а); фазовый сдвиг а может быть
практически заметен лишь при очень высоких частотах со. Взяв
комплексные амплитуды векторов Е и Ю, равные Ет = Ет и
Ьт = еЕте~'а соответственно, видим, что они различаются на комп-
комплексный множитель ее~'а = е сов а — /е зт а. Это значит, что,
желая учесть инерционность поляризации, комплексную форму
уравнения И = гЕ надо писать в виде
1)т = ве-'аЁт. B9.4)
Соответственно этому в предыдущих выкладках следует заменить
е на ее-'а. Сделав это в B9.2), получаем более полное выражение
комплексной диэлектрической проницаемости:
причем
= есоза, е" = — + езта. B9.5)
Заметим теперь, что комплексная диэлектрическая проница-
проницаемость ё есть коэффициент пропорциональности между величинами
Ът =е &Ёт и Ёт. Первая из них Ът не является комплексной
154

амплитудой Электрической индукции Ьт, определяемой по формуле
B9.4). Напишем:
^« = ё = |е1<г'\ ^А = 7' B9>6)
где е' = | ё | соз А и е" = | ё | зт Д определяются из B9.5). Угол А,
выражающий фазовое отставание Ю от Е, называется «углом электри-
электрических потерь», а отношение е"/е', как видно, оказывается равным
тангенсу угла потерь. Если можно пренебречь инерционностью
процессов поляризации, положив в B9.5) а = 0, то тангенс угла
потерь есть следующая величина:
1§А = ^е (а = 0), B9.7)
уже рассматривавшаяся в §6, п. 3 и равная отношению амплитуд
плотности тока проводимости и плотности тока смещения. На осно-
основании F.10) запишем теперь критерий оценки свойств сред в виде
[ К ! —Диэлектрик,
—прОВОДНИК. К '
Обратимся, наконец, к процессам намагничивания. Учитывая
их инерционность, вместо соотношения Вт — \ьНт, напишем
Вт = у*-*Нт„ B9.9)
где р — соответствующее фазовое отставание, «угол магнитных
потерь». Магнитная проницаемость, следовательно, так же, как
и диэлектрическая, в уравнениях для комплексных амплитуд во-
вообще должна рассматриваться как величина комплексная:
' B9.10)
3. Уравнения Максвелла в комплексной форме. На основании
предыдущего можно записать полную систему уравнений электро-
электродинамики в комплексной форме. Легко убедиться, что это следу-
следующие два уравнения:
го! Нт = «п*Ёи + Тт, B9.11а)
го! Ёт=— т^.Нтх B9.116)
первое из которых было получено выше в п. 2, а второе вытекает
из B9.1) при введении комплексной магнитной проницаемости.
Действительно, материальные уравнения, связывающие индукции
и плотность тока проводимости с напряженностями поля, в урав-
уравнениях B9.11) учтены. Что касается уравнений Максвелла с'расходи-
мостями, то они непосредственно следуют из B9.11). Покажем это.
Применив операцию сНу к B9.116), ввиду (П1.32) сразу имеем
<НуДя = 0, B9.12)
что является комплексной формой уравнения <ИуБ = 0.
155

Подобным же путем из B9.11а) находим сначала
) = О,
где использованы соотношения B9.4) и B9.5). Принимая во внимание
уравнение непрерывности D.2), которое в комплексной форме
имеет вид
) B9.13)
причем, согласно B8.1), у„ = оЁт + у'т, получаем
сНуД„ = рт, B9.14)
что является комплексной формой уравнения сИу Б = р.
Разумеется, вывод остается справедливым и при а = 0, |3 = О,
когда инерционность поляризации и намагничивания не учиты-
учитывается.
Итак, метод комплексных амплитуд приводит к довольно крат-
краткой форме записи системы уравнений электродинамики B9.11),
которая к тому же более полно, чем система уравнений B8.1),
учитывает особенности процессов поляризации и намагничивания.
В принципе этот подход, непосредственно применимый при гармони-
гармонических колебаниях, легко обобщается на любые временные зависи-
зависимости. Как следует из Приложения 8, п. 1, при представлении
векторов поля в виде рядов или интегралов Фурье будут иметь
место уравнения вида B3.11) относительно коэффициентов Фурье,
или соответственно функций спектральной плотности Е и Н.
Осталось отметить лишь одно обстоятельство, связанное с записью
уравнений электродинамики в комплексной форме. В ряде случаев
плотность тока проводимости / = оЕ + у" оказывается удобнее
выделить (обычно в некоторой частичной области V). Тогда уравне-
уравнение B9.11а) имеет вид
го\Нт = ШЁт+}т, B9.15)
где ё = ее-1а в области выделения тока.
4. Уравнения второго порядка в комплексной форме. Уравне-
Уравнения электродинамики второго порядка B8.3)—B8.9), а также
уравнения относительно потенциалов B8.14), B8.15) можно сразу же
привести к комплексной форме, заменив векторы их комплексными
амплитудами, а двукратное дифференцирование по времени дг/дР —
умножением на (коJ = — со2. Но если в качестве исходного момента
взять уравнения электродинамики B9.11), то получается резуль-
результат более общего физического содержания.
Поступая с уравнениями B9.11) совершенно так же, как ранее
в § 28, п. 2 с уравнениями из B8.1), вместо B8.3) и B8.4) находим
следующие уравнения второго порядка:
156
= гои-1^ B9.16)
го1 {I-1 го! Ёт - а>ЧЁт = — 1а>}". B9.17)

Переходя к случаю однородной среды (ё = сопз1, [л = сопз1),
учтем, что, согласно B9.11а) при этом шё «Ну Ет = —сИу/", а из
B9.12) следует, что сПу //т = 0. Поэтому тем же путем, который
в § 28, п. 2 приводил к уравнениям Даламбера B8.6) и B8.7), полу-
получаем следующие неоднородные уравнения Гельмгольца
^Нт + со'ёрНт = - го!У", B9.18)
«>Ч\хЁт = ^ §гай сПу у™ + гсо^. B9.19)
При отсутствии стороннего тока (/'" = 0) они превращаются в одно-
однородные уравнения Гельмгольца
0, B9.20)
= 0. ' B9.21)
Рассмотрим далее употребление электродинамических потенци-
потенциалов. Комплексную амплитуду векторного потенциала А определим
равенством
Йт = ^хо{Ат. B9,22)
Тогда
Ёт = — егаафя-ноДя B9.23)
(ср. получение B8.11)). Вместо уравнений Даламбера B8.14) и
B8.15) при условии
кй8(крт + сПуЛт = 0, B9.24)
соответствующем B8.13), получаем неоднородные уравнения Гельм-
Гельмгольца
^А -^, B9,25)
^ B9-26)
Наконец, из B9.23) и B9.24) имеем
+ 2ё^Л). > B9.27)
§ 30. Баланс энергии при гармонических колебаниях
1. Средние энергетические характеристики. Хотя энергетичес-
энергетические характеристики электромагнитного поля уже рассматривались
в гл. 1, и, в частности, в § 10 было составлено уравнение баланса
энергии, мы должны вернуться к этой теме, чтобы выяснить некото-
некоторые свойства гармонически колеблющихся полей. В данном случае
интерес представляют не только мгновенные значения энергии,
мощности, вектора Пойнтинга и аналогичных функций векторов
поля, но и их средние во времени значения; последним и будет уде-
уделено основное внимание. При этом мы используем преимущества,
157

которые дает введение комплексных проницаемостей, а также
получим их энергетическую интерпретацию.
Начнем с того, что выразим средние значения уже известных
энергетических величин. Полагая, что процессы в веществе без-
инерцйонны, мы пришли в § 11, п. 1 к выражению плотности энер-
энергии поля ы>. Чтобы найти среднее значение ш величины по при гармо-
гармонических колебаниях, надо заменить Е2 и //* соответствующими
средними Е2 и Нг. Поэтому в соответствии с A1.5) и (П3.13)
Ъ = \ (еЁтЁ*т + 1хНт ЙЩ), C0.1)
а также
и ар = ± цНтН%. C0.1а)
Интеграл от по по некоторой области V дает среднюю энергию Ш
гармонически колеблющегося поля при справедливости сделанных
в § 11, п. 1 предположениях о свойствах среды. Интегралы по У от ы>э
и ы>м, т. е. среднюю электрическую и среднюю магнитную энергии,
будем обозначать Шэ и Ши.
Далее для плотности мощности р — ]Е (9.3), согласно (ПЗ. 14),
среднее значение есть
р = ~Яе^Ёт = ~Яе}тЁт. C0.2)
Обычно величину
Р=^ГтЕт C0.3)
называют плотностью комплексной мощности, причем
р = Яер. C0.4)
Комплексная мощность Р в V есть интеграл по V от р, а средняя
мощность — его вещественная часть Р = КеР.
Подобно этому среднее значение вектора Пойнтинга П == [Е, Н]
A1.10) определяется на основании (П3.15):
П = ~Яе[Ёт, //т] = 4ке[ёт, Щ]. C0.5)
Введем так называемый комплексный вектор Пойнтинга
П = ~[Ёт, №] C0.6)
и запишем
П = КеП. C0.7)
2. Средний баланс энергии. Теперь займемся выводом-новых
энергетических соотношений, следующих из уравнений электро-
электродинамики B9.11). Во втором из этих уравнений произведем умноже-
умножение на Нт, а первое возьмем в комплексно сопряженной форме
158

и умножим на Ёт. Вычитая левые и отдельно правые части полу-
полученных равенств, найдем (ср. § 11, п. 1)
Ш го! Ёт - Ёт го! //* = - корЙтЙ& + ш'е*Ё^Ёт - О'т)*Ёт,
или с учетом (П1.31)
<Ну [Ёт, Щ] = ко {к*Ё*тЁт -^НтЩ) - О")*Ёт. C0.8)
Это комплексный аналог уравнения локального баланса энергии
A1.3). Перепишем C0.8), используя введенные выше символы
C0.3) и C0.6):
сНу П = г у (г*Ё?пЁт - рЙтЙ&) - р". C0.8а)
Здесь р" есть плотность комплексной мощности источника.
Производя интегрирование по некоторому объему Ус границей 5
и применяя слева теорему Остроградского—Гаусса, придадим этому
равенству вид, аналогичный A1.4):
& П из = 1Ц- ^ (г*Ё*тЁт- рЙМ) йо-Р", C0.9)
где введено обозначение для комплексной мощности источника
Р"= § р"^ = ~- § и™)*Ёт^ C0.10)
(ср. (9.10)).
Каков смысл уравнения C0.9)? Чтобы ответить на этот вопрос,
разделим в C0.9) вещественную и мнимую части, учитывая при этом,
что ё* = е' + 1&" и (х = ц/ — щ". Это дает
§ П <Ш = - ~ ^ (е"ЁтЁ?п + \х"Йтт) &о - Ке Р", C0.11а)
1т <& П йа = ~ [ {г'ЁтЁ% - \и'Нтт) Ао - 1т Р". C0.116)
ЗУ
Истолкование первого из этих равенств не представляет труда.
Согласно C0.7) слева в C0.11а) мы имеем среднее значение потока
энергии через ограничивающую объем V замкнутую поверхность 5,
а последний член в соответствии с C0.4) выражает среднюю мощность
источника; таким образом,
& П йа = - у ^ {г"ЁтЁ% + \х"ЙтЙ*) <Ь - Р". C0.12)
Поскольку источник, расходуя неэлектромагнитную энергию,
создает энергию электромагнитного поля, то р" < 0. Что касается
взятого без знака минус первого члена правой части C0.12), то при
е">0и ^">0 C0.13)
159

он наверняка положителен и, следовательно, характеризует погло-
поглощение; по смыслу это средняя мощность поглощения в среде. Дей-
Действительно, если область У энергетически изолирована (П = 0 на 5),
то интеграл
Рп = %\ Ц"ЁтЁГп + \ь"НтН*)^ C0.14)
V
будет равен мощности —Р", в среднем отдаваемой источником
(поглощение будет иметь место, если отлична от нуля одна из неотри-
неотрицательных величин е" и \х"). В частности, при а = 0ир = 0в B9.5)
и B9.10), когда
^" = 0, в" = ^, C0 15)
ц,' = [г, е' = е,
имеем
Рп = %\ г"ЁтЁ* Л» = -И аЁтЁ*тЛ». C0.16)
V V
Это средняя мощность тепловых потерь в бреде.
Итак, равенство C0.12) есть не что иное, как уравнение среднего
баланса энергии при гармонических колебаниях, и ему можно при-
придать вид
ф = 0 (? = ?„+?") C0.17)
для сравнения с уже известным уравнением мгновенного баланса
энергии A1.9). Не случайно в C0.17) отсутствует средняя скорость
изменения энергии <Ш1&1\ эта величина равна нулю, так как произ-
производная (Ш16.1 сама является гармонически колеблющейся (с частотой
2со, поскольку энергия № квадратична). Заметим, что среднюю
полную мощность Р в C0.17) называют иногда «активной» мощ-
мощностью: Р = Рй.
Наконец, можно поставить вопрос, всегда ли ё" и \х" неотрица-
неотрицательны. При е" < 0 или (и) ц" < 0 вместо поглощения должна
происходить регенерация (восстановление) или генерация энергии
поля в результате каких-то процессов в среде, связанных с преобра-
преобразованием неэлектромагнитной энергии. Такие регенеративные среды
действительно приходится рассматривать, например, в теории
параметрических или квантовых усилителей и генераторов (§ 85).
Разумеется, в C0.14), в этом случае мы будем иметь уже не мощность
поглощения, а мощность регенерации (генерации).
Перейдем к уравнению C0.116). В частном случае, соответству-
соответствующем условию C0.15), первый интеграл справа, согласно C0.1а)
выражается через среднюю электрическую и среднюю магнитную
энергию в V, так что имеем
1т<^йс18 = 2а>(Шэ~Шы)-1тРСТ. C0.18)
160

Как говорят, интеграл слева в C0.18) характеризует «реактивный»
поток энергии,, а величина 1т Р" — «реактивную» мощность
источника: 1т РСТ = Рг.
Как видно отсюда, для энергетически изолированной системы
Рг = 2соAГэ-Гм) (П = 0 на 5), C0.19)
т. е. реактивная мощность равна умноженной на 2со разности
средних значений электрической и магнитной энергии,- Она обра-
обращается в нуль, когда эти значения-равны.
При невыполнении условия C0.15) энергетическое истолкование
равенства C0.116) становится затруднительным, поскольку теряют
силу выражения C0.1), C0.1аI).
§ 31. О единственности решений задач электродинамики
1. Внутренняя задача электродинамики. Свободное электро-
электромагнитное поле является обычно одним из возможных полей (при
тех или иных условиях); уравнения электродинамики могут иметь
при этом множество решений, описывающих различные поля.
Вынужденное же поле вызывается с необходимостью действием
источников определенного рода. Поскольку в этом случае физи-
физически реально лишь какое-то одно поле, уравнения электродина-
электродинамики должны иметь единственное решение. Вопрос заключается
в том, какой предварительной ин-
информацией об электромагнитном
процессе надо располагать, чтобы ///ля"- / V л" е,н
в конкретном случае можно было
найти вынужденное поле, или,
иными Словами, как сформули-
сформулировать дополнительные условия
к уравнениям электродинамики,
чтобы они имели единственное ре-
решение. а)
В так называемой внутрен-
внутренней задаче электродинамики тре-
требуется определить электромагнитное поле Е, И внутри области V,
ограниченной поверхностью 5 (рис. 31.1, а). Вынужденное поле
возбуждается источником внутри V (/" ф 0 в V) или (а быть может,
одновременно) потоком энергии из внешнего пространства через
границу 5; при этом Ех Ф 0 и Нх Ф 0 на 5. Выясним, при каких
условиях внутренняя задача электродинамики имеет единственное
решение.
Предположим (рассуждая от противного), что уравнения электро-
электродинамики B9.11) имеют в случае внутренней задачи два решения:
Ётъ Нт1 и Ёт, Нт%. Внося их в B9.11), запишем эти уравнения
/
/
1
1
1
1
\
\
ч
Рис.
Ч5"
31.
V
5!
1.
3°Т
б)
!) Вопрос о выражении энергии электромагнитного поля при более общих
предпосылках рассмотрен, например, в [В.2, Д.2].
6 Электродинамика 161

в двух вариантах, а затем, произведя вычитание, получим новые
уравнения относительно разностей е = Ет1 — Ётг и Н — Нт1 —
го! е = — 1ацхН.
Далее,- поступая, как при выводе энергетических соотношений
в § 30, возьмем эти уравнения в качестве исходных вместо уравнений
B9.11). Тогда вместо C0.11а) получим
C1.2)
Поскольку в конечном счете мы стремимся к нахождению усло-
условий, при которых решение е, Н исчезает, а при этом равна нулю
правая часть C1.2), ясно, что искомые условия должны обеспечи-
обеспечивать уничтожение поверхностного интеграла слева, для чего доста-
достаточно, чтобы обращалась в нуль проекция векторного произведе-
произведения [е, к*\ на 5. Это будет иметь место, если при постановке задачи
дано:
а) Е, на X
или б) Нх на 5,
или в) Ех на 5Х и Нх на 52 при
C1.3)
Действительно, в этих случаях равенство [е, Н*]8 = 0 выполняется
из-за обращения в нуль е^ или Н^.
Считая одно из требований C1.3) удовлетворенным, из C1.2)
получаем
^ (е"ее* + ^"М*)оЬ = О. C1.4)
V
Потребуем также, чтобы среда внутри V была поглощающей
или регенеративной: пусть е" ф 0 или ц* Ф Олибое" > 0 и ц" > 0
одновременно (или е" <0 и \х" <0). Если, например, е" Ф 0 и \х" =0,
то из C1.4) и C1.2) непосредственно следует, что е = 0, а из второй
строчки C1.1) находим, что и к = 0. К такому же выводу приходим
и в остальных вариантах.
Итак, Ёт1 = Ёт и Нт1 = Нт, т. е. решение рассмотренной
задачи единственно при выполнении введенных условий.
При более внимательном анализе обнаруживается, что сделанный
вывод условий единственности решения относится только к вынуж-
вынужденным полям. Если нет источников в V (/ст = 0 в V) и отсутствует
приток энергии извне (например, при Ех = 0 на 5), то гармони-
гармонические колебания возможны лишь при отсутствии поглощения
(регенерации), но тогда условия единственности решения не выпол-
выполнены. В противном же случае — при поглощении или регенерации —
162

не будет гармонических колебаний, так как поле должно затухать
или возрастать 1).
В итоге видим, что внутренняя задача электродинамики имеет
единственное решение при задании источника в V (/'' ф 0) или (и)
при потоке энергии через границу 5 (тогда хотя бы на какой-то
ее части Ех Ф 0, Нх Ф 0 одновременно); при этом существенно,
чтобы среда была поглощающей или регенеративной — в принципе
в как угодно слабой степени.
2. Внешняя задача электродинамики. Рассмотрим далее внеш-
внешнюю задачу электродинамики, когда требуется найти электромаг-
электромагнитное поле вне области V, ограниченной поверхностью 5', в бес-
бесконечном пространстве (рис. 31.1, б). Источники представлены
заданным током вне V (/т ф 0) и (или) имеется поток энергии
через 5'.
Исследуя внешнюю задачу, используем полученное выше энерге-
энергетическое соотношение C1.2). При этом областью V будет бесконеч-
бесконечное пространство вне V", а ее границей 5 — совокупность поверх-
поверхности 5' и сферической поверхности 5" бесконечно возрастающего
радиуса с центром внутри V (она показана на рис. 31.1,6 пунктиром).
На ближней границе 5' потребуем выполнения прежних усло-
иий, т. е. условий C1.3). Что касается дальней границы 5", то дого-
договоримся, что в рассмотрение входят только поля, которые при нали-
наличии поглощения убывают быстрее, чем 11г. Тогда выполняется равен-
равенство
§[е, Н*\й8=\[е, Н*]й$+ $ [е, А*]йв = 0.
5 5' 5"
Действительно, первый интеграл уничтожается точно так же, как
в случае внутренней задачи, а второй— потому, что [е, к *] убывает
быстрее, чем 1/г2, в то время как 5" возрастает лишь, как г2, при отне-
отнесении этой границы в бесконечность.
Мы видим, что при поставленных условиях опять имеет место
равенство C1.4). Следующие рассуждения, как и в п. 1, приводят
к выводу о равенстве нулю е и А, т. е. об единственности решения
внешней задачи электродинамики. Однако это единственность
«и классе достаточно быстро убывающих полей». Отрицать наличие
дополнительных решений вне данного класса нет оснований. Усло-
Условия единственности — при сделанной оговорке — остаются в сущ-
сущности теми же, которые были поставлены для внутренней задачи,
по регенеративные среды, в которых достаточно быстро убывающие
поля невозможны, исключаются сами собой. Впрочем, задача
о бесконечной регенеративной среде была бы лишена физического
содержания.
*) Позднее (§ 69) мы увидим, что свободное поле при этом можно рассматри-
пать как гармонически колеблющееся с комплексной частотой со = со' + ('•»".
Выполнив прежние выкладки, в C1.2) вместо со(х" и сое" будем иметь со'(х" — со"|х''
и со'е" — со'е'; прежний вывод окажется невозможным из-за неопределенности
•наков слагаемых подынтегрального выраженияг которые оба отличны от нуля.
6* 163

И. ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ВОЛНЫ
Представление о волнах читатель имеет из общего курса физики.
Поэтому мы кратко напомним лишь некоторые факты.
По современным воззрениям, волновой характер электромаг-
электромагнитного поля есть проявление весьма общей закономерности,
заключающейся в том, что не существует мгновенной передачи
взаимодействий. Изменение поля в точке А по закону / {I) в простей-
простейшем случае будет отмечено в точке В на расстоянии г в виде/ (I — —),
где V — скорость распространения; налицо запаздывание на время
т = г/у, которое отсутствовало бы при у-*оо. Если изменение
во времени происходит по закону гармонических колебаний, т. е.
/ (/) = А сое со/, то процесс в целом будет описываться функцией
/(I — ~) = А С05со(/ — -^-) = А СО5 (со/ — кг), где к = со/у назъь
вается волновым числом. Полагая, что речь идет об описании, спра-
справедливом для всего пространства, назовем процесс плоской однород-
однородной гармонической волной: поверхности постоянной фазы — это
плоскости г = сопз! и в каждой такой плоскости, называемой
фронтом волны, амплитуда постоянна. В некоторый момент вре-
времени (при I = сопз!) мы имеем косинусоидальное распределение
поля вдоль оси г. Эта косинусоида представляет собой как бы
«мгновенный снимок» процесса (см. ниже рис. 32.1); ее период
К = 2п/к называется длиной волны. С течением времени косинусо-
косинусоидальное распределение смещается в направлении г со скоростью V,
называемой фазовой скоростью, причем V = а/к.
Подчеркнем теперь, что центральным моментом предлагаемого
раздела является изучение простейшего решения уравнений электро-
электродинамики, которое имеет характер плоской однородной волны:
Свободное поле такого рода мыслимо лишь в безграничном однород-
однородном пространстве, и потому есть некоторая идеализация. Однако
понятие плоской однородной электромагнитной волны — одно из
весьма полезных и широко употребительных.
§ 32. Одномерный электромагнитный процесс. Волны
в непоглощающих средах
1. Одйомерный электромагнитный процесс. Будем рассматри-
рассматривать свободное гармонически колеблющееся поле, которое изменяется
в пространстве лишь вдоль одного прямолинейного направления;
пусть это будет ось г выбранной декартовой системы координат.
Мы можем взять уравнения Максвелла B9.11) или одно из векторных
уравнений Гельмгольца B9.20) — B9.21), отбросив производные
по координатам х и у в соответствии с принятым условием. Останав-
Останавливаясь на уравнении B9.21), запишем:
^ = 0. C2.1)
164

Пусть вектор напряженности электрического поля не изменяет
своего направления в пространстве, т. е. в выражении комплексной
ймплитуды Ёт = е0Ёт единичный вектор е0, указывающий это
направление, постоянен. Тогда C2.1) по существу не отличается
от хорошо известного скалярного уравнения, и мы можем сразу
записать его решение в виде
C2.2)
где А = Ле'ф и В = Ве1^ — произвольные комплексные постоян-
постоянные. Итак, найдено выражение комплексной амплитуды Ет напря-
напряженности электрического поля Е для рассматриваемого одномерного
процесса.
2. Плоские однородные гармонические волны при отсутствии
поглощения. Далее ограничимся пока случаем непоглощающей сре-
среды, т. е. положим: ё =*е и \х = \х. Обозначая
C2.3)
придадим решению C2.2) вид
Ёт = е0(Ле-ш + ёеш). C2.4)
Взяв КеЁтеш1, находим отсюда выражение напряженности электри-
электрического поля
Е = е0[А<:о&(и>{-кг + (р) + Всо$№-\-кг+$)]. C2.5)
Эта формула описывает не что иное, как суперпозицию двух
плоских однородных гармонических волн с амплитудами А и В, дви-
движущихся в противоположных направлениях г и —г, а к есть волновое
число, связанное с фазовой скоростью V и длиной волны К соотноше-
соотношениями
, со 2л /Оп /~\
к = Т = Т. C2.6)
Из сопоставления равенств C2.3) и C2.6) следует формула
фазовой скорости электромагнитной волны:
V = 1/Ущ. C2.7)
В частности, в вакууме (§ 1, п. 1)
V = у0 = 1/Уёфо <=«2,998 • 108 [м/сек]. C2.8)
В среде с относительными проницаемостями ег = е/е0 и \хг = 1х/\х0
фазовая скорость оказывается в У ег\хг раз меньше.
Напомним, что исторически величина у0 сначала была известна
как скорость света — в воздушной среде или космическом простран-
пространстве (ее обычно обозначают с), а получение близкого численного
значения у0 из теории Максвелла стало аргументом в пользу электро-
электромагнитной природы света.
165

3. Строение волнового поля. Полученное решение C2.4) урав-
уравнения Гельмгольца C2.1) еще не дает возможности описать строение
электромагнитного поля: ни ориентация вектора Е, ни характер
магнитного поля пока неизвестны.
Привлечем теперь уравнения Максвелла B9.11). Положив
в них /т = 0 (свободное поле), спроектируем векторы на оси декар-
декартовой системы координат и отбросим производные по х и у в соответ-
соответствии с первоначальным условием (п. 1). Это дает
йг
C2.9)
Мы видим, таким образом, что при одномерном процессе поле не имеет
продольных компонент Ег и Нг. Поскольку же направление век-
вектора Е в пространстве неизменно, можно так выбрать ориентацию
поперечных осей х и у, чтобы он был направлен по оси х; для этого
достаточно положить в C2.2) ео= х0. Тогда Ёту = О, Ё^к = Ёт.
Поэтому также йЁту1с1г = 0, и из C2.9) далее следует: Нтх = О,
Нту = Йт, т. е. Нт = у0Йт. Векторы Е и Н, таким образом,
взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению рас-
распространения волны: они лежат в плоскости фронта волны. Уравне-
Уравнения C2.9) принимают вид'
0Г т^тх, —&-- — 1®\ьпту, I C2.10)
= Е/м == "тх ^ Нщх = I).
Исследуем подробнее волну, распространяющуюся в направле-
направлении г. Согласно C2.4), где теперь надо положить В = 0, при выбран-
выбранной ориентации (е0 = х0)
C2.11)
Внося во второе из уравнений C2.10) при ё = е, \х = ц. величину
Ёщх = Ае"'кг, получаем
пт "ту соц г е
Эта величина называется волновым сопротивлением. Волновое
сопротивление вещественно, а следовательно, электрическое и
магнитное поля колеблются в фазе. Для вакуума
[ом]. C2.13)
Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать решение
166

уравнений B9.11), выражающее плоскую однородную волну в непо-
глощающей среде:
лиг н = у А
11 А
и определить векторы поля:
Е = Х0А
C2.14)
. C2.15)
Амплитуда А и начальная фаза ф остаются неопределенными,
поскольку речь идет о свободном поле (не возбуждаемом какими-то
источниками, которые обусловливали бы его интенсивность и тре-
требовали синхронности). На рис. 32.1, а представлен «мгновенный
снимок» распределения Е (г) и Н (г); такое поле движется вдоль
оси г со скоростью V C2.7). Взаимная ориентация векторов Е и //,
Н
Рис. 32.1.
а также направления распространения показаны на рис. 32.1, б.
Очевидно,
=±[г0, Е]
C2.16)
и по оси г направлен вектор Пойнтинга II = [Е, Н].
4. Локальные энергетические характеристики. Для волны в
непоглощающей среде определим мгновенную и среднюю плотность
потока энергии: ,
и (§ 30, п. 1)
П = 1 Ке [Ёт, //*] = 20 ~ = 1 Птах. C2.18)
Поскольку со82(со/ — кг-\-ц>) = ~2 [1 + со8 2(со/ — кг-\-(р)], мгно-
мгновенное значение П колеблется около среднего с удвоенной частотой.
Вычислим также мгновенные значения плотности электрической
и магнитной энергии распространяющейся волны:
хюэ = -а- = -9- сое2 (со/ — кг + ф)
и
-кг + ц>) = ~
-■■■ -1 ' ^* *\г* п ^ *^ ^ '
167

Эти величины, как видно, одинаковы:
701 Р А 'л
C2.19)
Плотность энергии подчинена тому же пространственно-временному
закону, что и плотность ее потока; очевидно,
а> = ~ = ^а)тех. C2.20)
По формуле A1.11) можно найти скорость движения энергии волны;
она оказывается равной
«,, = °мг 1 =го 1 . C2.21)
Величина о, постоянна и совпадает с ранее определенной фазовой
скоростью V C2.7):
уэ = о, C2.22)
Поскольку по обычным представлениям скорость уэ весьма велика,
можно поставить вопрос, что означает пренебрежение временем
распространения электромагнитной энергии. Полагая для рассмот-
рассмотренного одномерного процесса у? -» оо, мы имеем к = 0 в C2.3)
и соответственно этому уничтожение второго члена в уравнениях
Гельмгольца B9.20) и B9.21), которые становятся уравнениями
Лапласа. Электродинамическая проблема упрощается этим до ста-
стационарной.
§ 33. Волны в поглощающих средах
1. Комплексное волновое число. Вернемся к решению C2,2)
уравнения C2.1), чтобы рассмотреть теперь одномерный электромаг-
электромагнитный процесс в поглощающей среде.
Обозначив
/к^аУщ, C3.1)
назовем этот параметр комплексным волновым числом. Можно внести
в C3.1) выражения комплексных проницаемостей ё = е' — г'е"
и ц, = ц,' — г'ц," и, разделив вещественную и мнимую части, получить
формулу
к = к' - 1к", C3.2)
где к' и к" — вещественные функции от е', е", ц,' и ц".
Для поглощающих сред е" и ц" неотрицательны (г" 3= 0, ц" ^ 0),
причем хотя бы одна из этих величин отлична от нуля. Вещественные
же части комплексных проницаемостей, за исключением особых
случаев, положительны (е' > 0, \х' >> 0). Поскольку из B9.6) и
168

B9.10) следует, что при этом углы потерь А и |3 лежат в пределах
0 -г- 90°, и в то же время
),
то в силу положительности входящих сюда тригонометрических
функций выполняется условие
к'>0, к">0, \
или ,, п ,„ п \ C3.3)
к ^^ 0 к ^Т" 0 1
Решению C2.2) при помощи введенных символов C3.1), C3.2)
придадим форму
Ёт = е0 (Ае-ь"ге- <'*'г + Ве*"ге''*'г), C3.4)
Характер Ёт не изменится от того, используем ли мы первую либо
вторую строчку C3.3): слагаемые только поменяются ролями;
в дальнейшем остановимся на положительных к' и к".
2. Плоские однородные гармонические волны при поглощении.
Переходя от комплексной амплитуды Ет к напряженности электри-
электрического поля Е = Ке Ётет1, получаем
Е = е0 [Ае-ь"г соз (со/ - к'г -{- ср) -+- Ве*"г сое (со/ + к'г + 1|з)]. C3.5)
Первое слагаемое (частное решение при В = 0), следует интер-
интерпретировать как затухающую волну, распространяющуюся вдоль
оси г. Второе же (частное решение при А = 0) описывает затуха-
затухающую волну, движущуюся в противоположном направлении. При
исчезновении поглощения (е" -* 0, \х" -* 0) найденное решение C3.5)
переходит в C2.5), так как при этом к' -* к и к" -* 0. Заметим, что
на всей оси г решение C3.5) при Л^ОиВ^Оне рассматривается
ввиду неограниченного возрастания одного из слагаемый с | г |.
Полученный результат показывает, какой смысл имеют вещест-
вещественная и мнимая части комплексного волнового числа к C3.1).
Величина к' играет в сущности ту же роль, что и вещественное волно-
волновое число & в случае волны в непоглощающей среде. Подобно C2.6)
запишем:
где у и Я, — фазовая скорость и длина волны соответственно. Разу-
Разумеется, длина волны к по-прежнему представляет собой расстояние,
на котором (в фиксированный момент времени) происходит изменение
фазы на 360°, но «пространственным периодом» поля уже не является.
Фазовая скорость, в отличие от предыдущего, равна
Уц1. C3.7)
169

Величина к" есть, коэффициент затухания Отношение
C3.8)
показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны на рас-
расстоянии /. Под затуханием Ь понимают величину, определяемую
как натуральный логарифм или двадцать десятичных логарифмов
этого отношения; в первом случае она измеряется в неперах [неп],
а во втором — в децибелах [дб]:
= к неп,
дб.
C3.9)
Число 20 1§ е ?« 8,69 дает соотношение между обеими единицами
измерения.
Рассмотрим подробнее электромагнитное поле в виде плоской
однородной затухающей волны. Ориентировав ось х декартовой
\Е(г),НШ
Рис. 33.1.
системы координат так, чтобы вдоль нее был направлен вектор Е,
мы можем прямо исходить из уравнений C2.10). Для волны, распро-
распространяющейся вдоль оси г, из C2.2) или C3.4) при В = 0 имеем
и уравнения C2.10) дают
C3.10)
C3.11)
где № — комплексное волновое сопротивление. Являющееся, как
и в § 32, отношением комплексных амплитуд Ёт = Ётх и Нт =
= Нту, комплексное волновое сопротивление равно
C3.12)
причем ф^ = Ф — Л)/2, как это получается при использовании
выражений B9.6) и B9.10).
170

Из C3.11) находим выражения векторов поля Е и Н
Е = х0Ае-к"гсо${и>1 — к'г-\-ц>), 1
Н=у0 ^ ет*"* со8 (со/ - к'г + Ф ^ Фв,). } C3'13)
В отличие от незатухающей волны, здесь векторы Е и //, как видно,
сдвинуты по фазе на угол ф^. «Мгновенный снимок» распределения
Е (г) и Н (г) показан на рис. 33.1.
Наконец, вычислим средний вектор Пойнтинга для рассматри-
рассматриваемой затухающей волны:
П = 1 Ке [Ёт, т}= го^ще~и"г соз Ф^. C3.14)
Что касается энергии электромагнитного поля, то на основании
предыдущего (§§ 11 и 30) мы не могли бы в общем случае найти шиш,
поскольку соответствующие выражения были получены для безынер-
безынерционной среды. Это можно сделать, однако, при а = 0, |3 = 0
(см. ниже § 35).
3. Волны в диэлектриках и проводниках. Обсудим отдельно рас-
распространенный случай среды, свободной от магнитных потерь
ф = 0, ц. = ц.). Возведя в квадрат комплексное волновое число к,
после разделения вещественной и мнимой частей при этом получаем
Отсюда
к' = соУе> ]/" | [ 1 + V 1 + 1§2 А],
C3.15)
|[-1 + К,1 + 1ё2А].
В частности, при а = 0 здесь 1§ А = а/сое и соУ^'ц, = со^ец, = к
(волновое число для непоглощающей среды). Ниже будем считать
это условие выполненным. Напомним, что диэлектриком называют
среду при условии 1§ А <^ 1, а проводником — при условии 1§ А ;> 1
(§ 29, п. 2). Выясним особенности распространения волн в этих двух
случаях.
При 1§ А <^ 1 удобнее всего комплексное волновое число к
разложить в биномиальный ряд:
C3.16)
т. е. с высокой степенью точности
к'^ки к"^к^^^уГ^-. C3.16а)
171

Если же 1§ А ^> 1, то
к = со /е'цО-йе) 1>У § |/ > ^
C3.17)
т. е.
к>ък"ъкУЩ=УЩ-. C3,17а)
Напишем также:
№?«№ при 1§А<1 C3.18)
Формулы C3.16), C3.16а) показывают, что вещественная часть
комплексного волнового числа волны, распространяющейся в не-
несовершенном диэлектрике, лишь незначительно отличается от вол-
волнового числа незатухающей волны в диэлектрике идеальном. То
же можно сказать о фазовой скорости и длине волны, которые
определяются соотношениями C3.6). Эти величины практически
не зависят от частоты, как и коэффициент затухания к", пропорцио-
пропорциональный тангенсу угла потерь; затухание является слабым ввиду
малости последнего.
В проводниках, особенно в металлах, как видно из формул
C3.17), C3.17а), затухание волн весьма велико из-за большой вели-
величины удельной проводимости а (из табл. 6.1 следует, что для метал-
металлов а на много порядков больше, чем для типичных диэлектриков).
Поскольку вместе с коэффициентом к" растет и вещественная часть к'
волнового числа к, то становится весьма короткой длина волны %,
определяемая на основании C3.6). Как видно из C3.17а), к' и к"
для проводника нелинейно зависят от частоты; согласно C3.6)
от частоты существенно зависит и фазовая скорость волны.
При переходе к идеальному проводнику (о -* оо) коэффициент
затухания неограниченно возрастает. Поскольку в предельном
случае полное поглощение должно происходить на любом конечном
пути, следует сделать вывод, что электромагнитное поле не может
существовать в подобной среде.
§ 34. Ориентация, поляризация и сложение волн
1. Произвольно ориентированные волны. Мы рассматривали
до сих пор плоские однородные электромагнитные волны, пользуясь
специально выбранной декартовой системой координат, одна из осей
которой (г) была параллельна направлению распространения волны,
а другие {хм у) — векторам поля Е и Н. Поскольку описание поля
оказывается при этом наиболее простым, такую систему координат
будем называть «естественной» для волны.
В ряде случаев, однако, система координат {х, у, г) является
заранее заданной, а направление распространения волны не совпа-
172

дает ни с одной из координатных осей. Тогда предварительно вво-
вводится естественная для данной волны система координат E, т], С).
в которой справедливо выражение поля в виде формул C3.11)
Далее, зная ориентацию волны в основной системе (х, у, г), а следо-
следовательно, и ориентацию естественной системы E, т}> 0 относительно
основной, следует применить формулы преобразования ортов
(П4.1а) и преобразования координат (П4.2а). Таким образом,
формулы C4.1) примут вид
C4.2)
Нт = (ДГ0 СО8
СО8
20
4
Очевидно, здесь (аи а,, а3) и фи Р2, рз) — углы, указывающие
направления векторов Е и Н соответственно, а (уь у2, у3) — углы
ориентации направления распространения волны (рис. 34.1, а).
* 4Г=сопз1;
Рис. 34.1.
Рассмотрим внимательнее множитель
е~'* '* С05 VI +У с°5 Уг + г сов Уз
степенной показатель которого определяет зависящую от коорди-
координат фазу поля. Полагая его постоянным:
х сох ух -\- у сох у2 -\- г сое уд = сопз!, C4.3)
мы получаем не что иное, как уравнение плоскости фронта волны
в основной системе координат. Введем так называемый волновой
вектор к = к$ = к(ХС08у{\усо8у + гсо$у3). C4.4)
Теперь степенной показатель в C4.2) можно записать в краткой
форме, используя скалярное произведение ^волнового вектора на
радиус-вектор г = хох + уоу+ гог (рис. 34.1, б). Действительно,
к {х сое уг-\-у сое у2 -\- г со§ у3) = кг,
и, следовательно,
д—1к1 = е—г!(лгсоз VI + У соз у2 + г соз Уз) = ё~1^г , C4.5)
173

Из рис. 34.1, б видно, что проекция радиус-вектора г на направление
распространения волны I, равна расстоянию фронта волны, на кото-
котором лежит точка М (/"), от начала координат 0.
2. Волны линейной поляризации. Далее перейдем к вопросу
об ориентации поля волны при заданном направлении распростра-
распространения, или, как принято говорить, о ее поляризации. В волне,
описываемой уравнениями C4.1), вектор Е лежит в плоскости,
проходящей через ось % и направление распространения ^. Этот
факт выражается словами «волна поляризована в плоскости |02;».
Возьмем две волны, распространяющиеся в одном направлении ^,
но поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
^02; и г|0^; пусть они также различаются амплитудами и начальными
фазами. Соответствующие комплексные амплитуды равны
В
C4-6)
(см. рис. 34. 2, а, б; плоскости поляризации заштрихованы).
V
Н
Рис. 34.2.
При наложении (т. е. одновременном существовании) обеих
волн будем иметь поле с комплексными амплитудами Ёт = Ёт1 +
4- Ётг и Йт = Йт1 + Нт, так что
Ёт = AоА-\-г\оВ)е-<к. C4.7)
В частном случае, когда фазы волн совпадают (А =Ле")), В =
= Ве'*), переходя от Ет к Е, имеем
~к'% со8 (со/ - к'% + Ф) =
В
C4.8)
т. е. наложение двух волн, поляризованных во взаимно перпенди-
перпендикулярных плоскостях, дает волну, поляризованную в плоскости,
составляющей угол § с ^0^ (рис. 34.2, в). Задавая различные А и В,
174

можно получать волны, поляризованные во всевозможных плоскос-
плоскостях, проходящих через ось ^, и имеющие любые амплитуды. Это —
по определению — волны плоской, или линейной, поляризации.
3. Волны круговой и эллиптической поляризации. Но нало-
наложение двух рассматриваемых волн может привести и к волновому
процессу, который уже нельзя охарактеризовать как волну линей-
линейной поляризации. Пусть, например, А = Ле'4* и В = Ле'(ср-9°О),
а)
б)
Рис. 34.3.
т. е. амплитуды волн одинаковы, а фазы отличаются на 90°. Прц
этом из C4.7) вместо C4.8) получается:
Е = Ае-к [|0 сов (со/ - к% + ф) + % З1п (со/ - к% + Ф)]. C4.9)
Соотношение компонент Е^ и Ец в этом случае не остается постоянным
во времени и пространстве. Действительно, л
т. е. угол наклона вектора Е к оси % (рис. 34.2, в) равен
д = <о/-#-Н>. C4.10)
Поэтому, взяв какую-либо плоскость ^ = сопз!, мы .обнаружим
вращение вектора Е относительно направления распространения §
с угловой скоростью со; смотря навстречу волне (рис. 34.3, а), уви-
увидим вращение против часовой стрелки. Если же зафиксировать
момент времени I = сопз!, то окажется, что вектор Е составляет
с осью \ угол, монотонно изменяющийся как —к^; поле распределено
таким образом, что конец вектора Е как бы скользит по винтовой
линии (рис. 34.3, б). Это волна круговой поляризации, точнее,
175

левой круговой поляризации. Правая круговая поляризация соответ-
соответствует случаю Л = Ае'У и В = Ле'(ср + 9°О), что означает вращение
вектора Е в противоположном направлении.
Легко убедиться, что всякая линейно поляризованная волна
может быть разложена на две волны противоположной круговой
поляризации. Например, для волны, поляризованной в плоскости
^0^, имеем разложение
Ёт = %0Ае-^ = А A0 + /цо) е-'« + А (|о - «Чо) «-* =
.я \ / .я
= Л и0 + е 2 %)<?-<*« +А[Ъо + е 2 %) е-«*«. C4.11)
Это поясняется на рис. 34. 3, в: два вращающихся в противопо-
противоположных направлениях вектора порождают вектор колеблющийся.
Наконец, если в C4.7) А = Ле'ср и В = Ве'^ — произвольные
комплексные числа (т. е. налагаемые волны имеют любые ампли-
амплитуды и фазы), то поляризация результирующей волны будет, вообще
говоря, эллиптической. Это значит, что вектор Е при г — сопз!,
вращаясь около направления распространения волны, изменяет
свою длину, скользя концом по эллипсу, произвольно ориентиро-
ориентированному в этой, плоскости (рис. 34.3, г).
4. Сложение бегущих навстречу волн. Вместо двух волн, поляри-
поляризованных в разных плоскостях и распространяющихся в одном
направлении, возьмем теперь две волны одной и той же линейной
поляризации, движущиеся в противоположных направлениях.
Пусть, таким образом, вместо C4.6)
] C4Л2)
В этой записи изменению направления распространения волны
соответствует перемена знака перед к и % (можно было бы взять
.^ >Е2 с измененным знаком не Йт, а Ёт2,
1 Пг $ Пг Т/Нг это одн? и то же ВВИДУ произволь-
~~~у * ' " ности В)'. Напомним, что векторы
'М/ а) Е, Н и П распространяющейся
волны должны образовывать пра-
\ ' и * л вовинтовую систему, и вектор
А ^1 » с 2 ,. Пойнтинга в первом случае на-
/ /\ правлен по ^, а во втором — по —^;
Н1 $) Н2 \Е2 это поясняет рис. 34.4, а, б.
Рис. 34.4. Если волны имеют одинаковые
амплитуды, но, возможно, раз-
различные фазы, т. е. А = Аещ иВ = Ле1*, то, составляя комплексные
амплитуды векторов Е и Н результирующего поля
Ёт = 10 (Ае-'Ь + Ве'к) и Нт = % 1
176

находим
C4.13)
Отсюда в случае непоглощающей среды (к = к, № =
Е = %02А сов (к1 -Цн1!сов
C4.14)
Рассмотрим это поле. Пространственная зависимость фазы, свой-
свойственная бегущим волнам (ср.
C2.15)), здесь отсутствует. Фаза
напряженности Е равна со/ -\- 2
или
— 180 в зависимо-
положительна или
сти от того,
отрицательна величина 2Асо& (к1,—
абсолютное значение ко-
есть а м- -
Рис 34.5.
торой
плитуда гармонически колеблю-
колеблющейся функции Е ((). Амплитуда,
как видно, зависит от ^; распре-
распределение Е (^) в каждый фиксиро-
фиксированный момент времени есть коси-
косинусоида, нули которой («узлы»
поля) расположены в одних и
тех же местах. Это распределение
не смещается по I,, как в случае*
бегущей волны; кривая Е (^) лишь синфазно меняет вертикаль-
вертикальный размах (рис. 34.5). Поле называют стоячей волной.
Как видно из C4.14), стоячие волны электрического и магнит-
магнитного поля сдвинуты в пространстве на А74 и во времени на Г/4,
т. е. на 90° по фазе (рис. 34.5). Электромагнитное поле чисто
реактивно, т. е. в среднем не переносит энергии. Формально данный
вывод следует из того, что в результате фазового сдвига Е и Н на 90°
комплексный вектор Пойнтинга П C0.6) оказывается чисто мнимой
величиной, и согласно C0.7) П = КеП = 0.
Рассматривая в непоглощающей среде наложение полей C4.12)
с произвольными амплитудами и фазами, мы можем второе из них
177

предварительно разложить на два, представляя коэффициент В
как сумму А и В — А. Легко видеть, что в конечном счете будет
получена стоячая волна с амплитудой 2А и бегущая в направлении
—I, волна с амплитудой \ В — А \.
§ 35, Распространение электромагнитных сигналов
1. Дисперсия. Рассмотренная в § 32 плоская однородная электро-
электромагнитная волна в непоглощающеи среде имеет фазовую скорость
V = 1/|/^е[х и, как было установлено, такова же скорость движения
переносимой ею энергии. Согласно современным физическим пред-*1
ставлениям величина у0 = 1/|/ео[хо я« 2,998 -Ю8 м/сек, которая
равна этой скорости в случае вакуума, называемая обычно скоростью
света в пустоте (с), является верхним пределом скорости распростра-
распространения любых физических взаимодействий, а следовательно, и пере-
передачи сигналов. Ниже мы остановимся на некоторых особенностях
распространения электромагнитных сигналов.
Можно ли отождествлять с сигналом плоскую однородную
волну? На этот вопрос нетрудно сразу же ответить отрицательно,
поскольку речь идет о процессе, не изменяющем своего характера
в пространстве и во времени. Формулы C2.15) описывают электро-
электромагнитное поле,, имеющее такой вид «всегда» (любое 1), тогда как,
сигнал должен иметь начало и конец. Впрочем, реальный электро-
электромагнитный процесс, строго говоря, никогда не сводится к гармони-
гармоническим колебаниям одной частоты уже потому, что генератор рабо-
работает ограниченное время. В действительности всегда имеют дело
с импульсами той или иной формы и длительности, характеризуе-
характеризуемыми спектром частот. Радиопередающие станции, излучают, как
известно, модулированные сигналы: изменение поля во времени
служит средством передачи информации.
Таким образом, мы должны сосредоточить внимание на электро-
электромагнитных процессах более сложных чем гармонические колебания
и волны. Представляя произвольную (непериодическую) временную
зависимость в виде интеграла Фурье, мы имеем право говорить
в этом смысле о суперпозиции бесконечного числа гармонических
колебаний, образующих сплошной спектр. Поэтому при заданной
форме (временном законе) сигнала одномерный электромагнитный
процесс (§ 32) можно представить как подобную же суперпозицию
плоских однородных гармонических волн, «спектральных волновых
компонент». Если е и [х не зависят от частоты, то определяемая
по формуле C2.7) фазовая скорость любой из спектральных компо-
компонент, равная также скорости движения энергии, имеет одно и то
же значение; так, в вакууме она равна скорости света. Поскольку
все волновые компоненты распространяются без относительного
смещения, сигнал при передаче сохраняет свою форму: временной
закон при разных г различается лишь сдвигом на время запаз-
запаздывания.
178

, Гораздо сложнее обстоит дело, если нельзя не учитывать, что
фазовая скорость гармонической волны зависит от ее частоты.
В таких случаях говорят о наличии дисперсии, а среда, в которой
дисперсия проявляется, называется диспергирующей. При распрост-
распространении сигнала в диспергирующей среде его спектральные волно-
волновые компоненты, имеющие разные фазовые скорости, как бы «раз-
«разбегаются». Не сохраняется форма сигнала, поскольку сложение
компонент, получающих неодинаковые фазовые запаздывания, про-
происходит при разных г с изменяющимися фазовыми соотношениями
и дает нечто неповторяющееся. При передаче сигнал деформируется.
Впрочем, при определенных обстоятельствах (например, если
дисперсия слаба) эта деформация может быть незначительной.
2. Группа волн и групповая скорость. Чтобы сделать некоторые
количественные оценки, рассмотрим распространение сигнала
в непоглощающей диспергирующей среде, используя представление
поля в виде интеграла Фурье. Напряженность -электрического
поля выразим в виде
Е = Ке $Я(ш) «*[«*-*<«»*] Ао, .. * C5.1)
о
где подынтегральное выражение описывает спектральную волновую
компоненту с частотой со. Эта формула может быть получена из (П8.3)
при подстановке спектральной плотности в виде комплексной
амплитуды волны и (со)= -суЁ(и>)е~1к(<л)г:
Е= $ и (со) е'ш^со = 2 Ке \ и (и>)еш йю = Яе \Ё
— со О О
поскольку, согласно (П8.3), и (—со) = и*(со).
Если спектр допустимо считать заключенным в полосе частот
от соо — Асо до соо + Асо, то C5.1) принимает вид
Шо +Аео
Е = Ке $ Ё(а>)ё№-к^Яйи>. C5.2)
еоо —Аео
Этот интеграл перепишем в форме
C5.3)
Ао —ДА
где частота со заменена новой переменной к и введено обозначение к0
для волнового числа к (соо).
В дальнейшем полосу частот возьмем узкой: Дсо ^ соо, причем
также Ак <^ к0. При этом условии рассматриваемый волновой
процесс называется группой волн. Так как при интегрировании
C5.3) \ к — к0 | йЦ | № |, то имеет смысл разложить частоту со (к)
в ряд Тэйлора по степеням малой величины к — к0
со = соо + ^|о (*-&„) + ... C5.4)
179

и ограничиться выписанной линейной частью разложения C5.4).
Тогда интеграл C5.3) принимает вид
C5.5)
М*> * йк.
Простым примером группы волн может служить электромагнит-
электромагнитный сигнал с прямоугольной спектральной функцией (рис. 35.1, а);
величина Ё (к) = Е (-со) в этом частном случае является константой
Ё (к0) = Ет. После вынесения ее за знак интеграла C5.5) имеем
^ <-* (*-*.)
о
-ДА
и в результате интегрирования находим
8Ш
Е *=« 2 Ке С (&о)
180

Этому выражению напряженности электрического поля придадим
следующую окончательную форму:
ся»2ст—-*-= —- сов (со/ — кг) (со = соо). C5.6)
Остается обсудить полученный результат. Как видно, поле
группы волн имеет характер модулированной гармонической волны с
огибающей, которая описывается функцией (рис. 35.1, б)
Фазовая скорость у ,= а/к, определяемая волновым числом к
в аргументе косинуса формулы C5.6), показывает нам, с какой
быстротой смещается вдоль оси г «несущая косинусоида» внутри
огибающей. Ясно, что это не скорость, распространения сигнала:
последний характеризуется огибающей, и надо исследовать ее дви-
движение.
Максимум огибающей (согласно C5.7) 5тах = Д&) имеет место при
^(-г = 0. C5.8)
Он действительно движется, ибо условие C5.8) выполняется при раз-
разных координатах г в различные моменты времени I. Скорость дви-
движения огибающей мы получим, вычислив из C5.8) производную
йг1йг. Это так называемая групповая скорость огр, которая, следо-
следовательно, равна
Групповая скорость и является в данном случае скоростью распро-
распространения сигнала.
3. Замечания о групповой скорости. Понятие групповой ско-
скорости в большинстве случаев оказывается полезным до тех пор,
пока дисперсия еще не приводит к существенному искажению сиг-
сигнала. Обычно групповая скорость имеет смысл скорости движения
энергии.
Каково соотношение между фазовой скоростью V = а/к и груп-
групповой скоростью угр = йа/йк} Согласно C5.9)
№ х>+к%'' C5Л0)
или
^ ЗхШ -КЖ' C5Л0а)
и, таким образом, в зависимости от знака производной йо/йк либо
й/"к групповая скорость может быть как меньше, так и больше
181

фазовой. Формулы C5.10),' C5.10а) показывают, в частности, что
при отсутствии дисперсии, т. е. при независимости фазовой скорости
V от частоты со (а.следовательно, от к и X), она равна групповой ско-
скорости: V — угр при йу/йт = 0. Для среды с поглощением по ана-
аналогии с C5.9) определим величину
и на примере убедимся, что она может иметь определенное,физиче-
определенное,физическое содержание.
Исследуем случай проводника ({§ А = а/сое ^> 1), среды сильно
Диспергирующей. На основании C3.17а)
Как видно, здесь угр = 2у, причем
и поэтому угр заведомо меньше, чем у0.
Воспользовавшись формулой A1.11), в которую внесем средние
значения вектора Пойнтинга и плотности энергии, запишем выраже-
выражение скорости движения энергии в виде
Vэ = ~ C5.13)
т
и вычислим уэ, взяв соотношения C0.1), C0.6) и выражения напря-
женностей C3.И). Таким образом,
4 4
С учетом C3.19) отсюда получаем
2 ]/г2а/ша
!-^ А I/
У%~< • <35Л4>
(пренебрежение первым членом знаменателя соответствует условию
с/сое ^ 1 в этом же приближении определялись к', #, с и уГ?).
Итак, скорость движения энергии оказалась совпадающей с группо-
групповой скоростью, определенной по формуле C5.11).
III. ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СРЕД
Уже отмечалось, что плоскую однородную электромагнитную
волну в неограниченной среде нельзя рассматривать как реальный
объект; в сущности это лишь звено в изучении электромагнитных
волновых явлений. Абстракция бесконечного пространства с неиз-
неизменными физическими свойствами имеет определенную ценность,
182

но не позволяет еще выявить многие черты этих явлений. В действи-
действительности обычно встречаются границы раздела различных сред,
существование которых следует учитывать. Так, например, при
распространении радиоволн в природных условиях существен-
существенную границу раздела сред образует земная поверхность.
Ниже предметом изучения будут свободные электромагнитные
поля в пространстве, разделенном плоскостью на два полупростран-
полупространства с различными свойствами. Следует ожидать, что поле в виде
плоской однородной волны не явится решением задачи, так как
последнее должно удовлетворять уравнениям Максвелла в каждом
из-полупространств и граничным условиям на плоскости раздела.
Однако понятие плоской однородной электромагнитной волны про-
продолжает оставаться полезным. Дело в том, что типичный электромаг-
электромагнитный процесс в рассматриваемых условиях сводится к существо-
существованию трех таких волн. Позднее — на рис. 37.1 — будет представ-
представлена схема распространения этих характерных волн, она дает
основание для следующей интерпретации. Движущаяся в среде / к
границе раздела волна «Л, или, как говорят, падающая на гра-
границу волна в измененном направлении проходит в феду 2 в виде
так шазываемойлреломленной волны «+»; в первой же среде порожда-
порождается движущаяся от границы раздела волна «—», называемая отра-
отраженной. ,
Мы приходим таким путем к понятиям отражения и прелом-
преломления электромагнитных волн, а точнее, их волновых нормалей
(линий, перпендикулярных фронту), или лучей.
В § 34 уже были рассмотрены некоторые случаи сложения
плоских однородных волн. Наложение падающей и отраженной
волн в разных условиях приводит, вообще говоря, к более сложным
волновым процессам; изучение их — одна из главных задач предла-
предлагаемого раздела.
§ 36. Нормальное падение
1. Постановка задачи. Согласование сред. В простейшем слу-
случае плоскость раздела параллельна фронту волнового процесса.
Расположим декартову систему координат таким образом, чтобы
среды с разными свойствами разделяла плоскость хОу (рис. 36.1):
среда / (левое полупространство, г < 0) характеризуется проница-
емостями ех и цх, а среда 2 (правое полупространство, г > 0) —
проницаемостями ё2 и \12.
Пусть в левом полупространстве распространяется плоская
однородная электромагнитная волна
Ё°т = х0Ае-^, НЧп=у,^-е-Ск* ' C6.1)
. ™ 1
(г < 0, кх = со V е^, Ф\ = V ^/е^. Назовем ее нормально пада-
падающей на границу раздела сред. Очевидно, что поле с комплексными
• 183

амплитудами C6.1) не является решением уравнений Максвелла
для правого полупространства. В нем от границы должна была бы
распространяться волна, для которой
C6.2)
2>0, к2 =
Сначала поставим следующий вопрос: могут ли выражения
C6.1) и C6.2) в совокупности представлять решение поставленной
электродинамической задачи? Чтобы ответить на него, надо рассмот-
рассмотреть предполагаемое поле на границе раздела сред, где, как это
Е°Н°
Ощ.0
е°,н
<ы 'и""''
Рис. 36,1.
&,Аг>
следует из § 7, должны быть выполнены определенные условия —
в данном случае условия непрерывности тангенциальных компонент
векторов поля Е и //принимающие вид
при 2 = 0,
C6.3)
так как векторы параллельны границе. Внося сюда выражения C6.1)
и C6.2), имеем
А = в и 4—2-
1^ 1Р
и получаем равенство
C6.4)
которое, таким образом, является условием существования предпо-
предполагаемого решения задачи.
Итак, если волновые сопротивления для обеих сред одинаковы, то
волна, нормально падающая из первой среды на границу со второй,
порождает там свою волну, распространяющуюся в прежнем направ-
направлении, чем и исчерпывается электромагнитный процесс (рис. 36.1, а).
184

Равенство C6.4) называют условием согласования сред; придадим
ему вид - ' "
C6.4а)
2. Получение общего решения. Случай согласования сред яв-
является довольно искусственным; нас же интересует решение задачи
без специальных ограничений, налагаемых на проницаемости сред.
Предположим, что такое решение будет отличаться от полученного
в п. 1 наличием отраженной волны, распространяющейся в среде /
от ее границы:
Ё-т = хйСё'ь*, Йш = -Уо§-е1кг C6.5)
(г < 0), т. е. решение имеет вид
Ё^ + ЕЦ, г'<0, Й I Ш + Нт, г<0,
"ш < • (оЬ.Ь)
г>0, \ Н+, г>0. '
Тогда на границе раздела вместо C6.3) должны выполняться условия
Ё°т + Ё„ = Ё]п И Н\+Йт = Й1п "C6.7)
(г = 0), которые при подстановке C6.1), C6.2) и C6.5) дают
А + С = В и 4-—?- = А
1^1 \?х Ц>%
Мы получили два уравнения относительно коэффициентов
А, В и С. Поскольку система уравнений всегда разрешима, гранич-
граничные условия C6.7) будут удовлетворены, и решение рассматрива-
рассматриваемой электродинамической задачи действительно имеет вид. C6.6).
Естественно, что решение этой линейной задачи определено с точ-
точностью до постоянного коэффициента: амплитуда падающей волны
остается произвольной. Вводя новые величины в виде относитель-
относительных амплитуд
р = | и т = |, C6.8)
имеем следующую систему уравнений:
1 + р=\\ \
из которой находим
' * '" « -^41- (зело)
185

Фактически решение найдено. Внося в C6.6) выражения C6.1),
C6.2) и C6.5), с учетом C6.8) получаем
Ет =
Нт =
C6.11)
Л ^ «-<*",
Здесь коэффициенты р и т определены формулами C6.10).
3. Исследование поля при нормальном падении. Остается ис-
истолковать полученный результат. Сначала отметим, что величины
р и т на основании предыдущего легко представить через отношения
комплексных амплитуд составляющих волн на границе раздела
(г - 0):
Р =
Етф)
Йт@)
Ят@)
Т =
Ёт @)
т@)
@)
C6.12)
Обычно р называют коэффициентом отражения, а т — коэффициен-
коэффициентом передачи: первая из этих величин дает относительное значение
электрической комплексной амплитуды отраженной волны на гра-
границе раздела сред, а вторая — аналогичное значение для прошед-
прошедшей волны.
Если в обеих средах отсутствует поглощение, то волновые
сопротивления ^ и №2 вещественны (при этом будем писать Н^
и №2), а с ними, согласно C6.10), вещественны также р = р и т = т.
В этом случае при прохождении волны через границу фаза
не меняется, при отражении же
фаза либо остается прежней (р > 0
при №2 > 1^), либо изменяется
на 180° (р<0 при И72 < И^).
Что касается абсолютных величин
вещественных р и т, то первая
не превышает единицы, а вторая —
двух; читателю предоставляется
проверить, что
@), //,Ц0)* +
■Л*
- у'
г
7 ^
^ -
/ -
о
Рис3б2
т. е. при переходе границы поток
энергии, переносимый полным полем, сохраняется. На рис. 36.2
графически показано, как р и т зависят от отношения И^/И^.
186

Желая исследовать поле в первой среде, произведем простое преобра-
преобразование в соответствующих выражениях из C6.11):
Отсюда видно, что амплитуды векторов поля (Ет и Нт) пропорци-
пропорциональны модулям комплексных чисел 1 + ре12к^г и 1 — рей*'г соот-
соответственно. Изменение последних в зависимости от г легко понять
Рис. 36.3.
направленный отрезок, около которого при изменении г вращается
при помощи диаграмм, используемых для изображения комплексных
величин. Пусть по-прежнему отсутствуют потери (йх = къ ^1 = Ц71).
При этом на диаграммах (рис. 36,3, а, б) фиксируется единичный
№2~\
а)
б)-
Рис. 36.4.
направленный отрезок ре'2*'г или —рег2*>г длиной |р| (вместе с г
растет фаза 2кхг). Величины Ет и Нт пропорциональны, таким
образом, отрезкам, получаемым на диаграммах векторным сложением
неподвижного и вращающегося «векторов». Как видно, Ет (г) и
Нт (г) колеблются (рис. 36.4, а, б), причем расстояния между
1Й7

соседними максимумами или соседними минимумами соответствуют
полному обороту вращающегося вектора диаграмм; обозначая такое
расстояние Дг, имеем: 2йх Дг = 2л, откуда
C6.14)
т. е. максимумы, как и минимумы, расположены на расстояниях
полуволны. Максимальные значения Ет (г) и Нт (г) пропорцио-
пропорциональны 1 + |р|, а минимальные 1 — |р|; поэтому при малых
отражениях колебания амплитуд также невелики, а при полном
отражении (| р | = 1) амплитуды спадают до нуля. Согласно C6.10)
отражение велико, когда одно из волновых сопротивлений намного
превосходит другое по модулю ( | 1^ | ;> | #2 | или | №2 | ^> | 1^ |).
4. Отражение от идеального проводника. Пусть среда, на гра-
границу с которой падает волна, есть проводник. Тогда, согласно
C3.19), ' . ^
C6.15)
При переходе к идеальному проводнику (о -> оо) выражение C6.15)
становится точным: #2 = 0. Тогда на основании C6.10):
р = —1 и т = 0. C6.16)
При этом в силу C6.11) поле во второй среде отсутствует; в первой
же среде комплексные амплитуды векторов Е и Н имеют вид
... . д . .
т 0 1, т 0 ^ 1> ,
ИЛИ
, Ет = — х0 2А (г 81п к[гсЪ й^'г + созй^гзЬ к[г),
А
Нт =уо2 -г- (со§ к[г сЬ к\г + г зш к[г зЬ к[г),
г ^ 0.
C6.17а)
Подчеркнем, что определяемое этими формулами магнитное поле
уже не удовлетворяет исходному условию непрерывности на гра-
границе раздела Ях @) = Я2 @). Согласно (8.56) на плоскости раздела
распределен поверхностный ток, комплексная амплитуда плотности
которого есть
Чт=\-гй, Нт@)] = х024г = х02Нат. C6.18)
В случае непоглощающей среды (к1 = к± и ^ = Н^ вещест-
вещественны), как следует из C6.17), напряженности Е и Н сдвинуты
по фазе на 90°. Средний вектор Пойнтинга П = -^ Ке \Ёт, Нт\ ока-
оказывается равным нулю: поле в среднем не переносит энергии. В то
188

же время Е и Н имеют фазы, не изменяющиеся в пространстве
при постоянстве знака Ет и Нт соответственно. Действительно,
определяя в данном'случае из C6.17)
Е=ЯеЁ
еы
и Н= Ке пте , имеем
Е = хо2А 81пйх2 81п (со/ + ф), Н=у0 2 „г соз кхгсоз (со/ + ф).
C6.19)
Мы видим, что фазы электрического и магнитного полей зависят
только от времени при зш к^г > 0 или зш ^<0 и соответственно
Ет(г),Нт(г)
Л/2
а)
б)
при Соз кгг > 0 или соз к^г <; 0, в пространстве же изменяются
их амплитуды.
Итак, в рассмотренном случае образуется стоячая волна, в более
общем виде описанная в § 34, п. 4, поскольку при |р | = 1 здесь
налицо наложение двух противоположно распространяющихся
волн с одинаковыми амплитудами. Ряд эпюр функции Е (г) для после-
последовательности моментов времени 1У < 4 < ... < 1п показывает,
что максимумы («пучности») и нули («узлы») распределения фикси-
фиксированы в пространстве (рис. 36.5, б); это следствие пространствен-
пространственной синфазности колебаний поля. Распределения Ет (г) и Нт (г)
сдвинуты вдоль оси г на А./4 (рис. 36.5, а), а в результате фазового
сдвига на 90°, т. е. сдвига во времени на 774 (рис. 36.5, в) имеются
моменты и = тп~(рг т = 0, 1, 2,...], когда поле чисто магнитное,
и другие моменты (пп~ ф = 21, п=\, 2, ...], когда оно чисто
электрическое.

На любой плоскости, отстоящей от идеально проводящей гра-
границы на целое число полуволн, поле удовлетворяет тем же условиям,
что и на этой границе; следовательно, каждую такую плоскость
можно заменить второй идеально проводящей границей, нисколько
не нарушив предпосылок существования поля. На рис. 36.6, а
две идеально проводящие границы расположены на расстоянии
ЗА./2; между ними существует поле типа стоячей волны, описываемое
выражениями C6.19).
Далее зафиксируем расстояние между плоскостями, назвав
его й. Ясно, что между этими плоскими идеально проводящими
Е(г)
/Л /Ч
\
1
'//
у/л
Ул
1
Е(г) //=/
Е(г)
ЕB)
V/
1
у;
|
г
а)
Рис. 36.6.
б)
границами возможны различные поля типа стоячей волны, причем
условием их существования является требование:
2а - ' " C6.20а)
Л„ — « — 1 , ^,
На рис. 36.6, б представлены три распределения поля, соответству-
соответствующие низшим значениям п. Каждой «разрешенной» длине волны %„
соответствует частота
= ^77^ = "^=-. *=1.2 C6.206)
которую называют собственной частотой системы идеально прово-
проводящих плоскостей. Последняя есть не что иное, как простейший
электромагнитный резонатор, ибо она будет «откликаться» на воз-
возбуждение с частотой со, равной одной из собственных частот сол.
Всевозможные свободные поля резонатора называются его собст-
собственными .колебаниями. Очевидно, что их бесконечное множество.
Электромагнитные резонаторы будут систематически рассматри-
рассматриваться в гл. 5.
190

5. Отражение от реального проводника. В заключение иссле-
исследуем падение волны, распространяющейся в идеальном диэлектрике
(к\ — к1г №1 = Н^), на границу с реальным проводником. Исполь-
Используя формулу C6.15), введем отношение
, C6.21)
2-
являющееся малым комплексным параметром (положено, что \12 =
= \х1 = \10, как это и бывает в большинстве случаев). Формулы
C6.10) удобно представить в виде разложений по а:
C6.22)
Таким образом, с точностью до а2
C6.23)
Насколько этот результат близок к соотношениям C6.16), по-
полученным для идеального проводника, видно из того, что, например,
при медной отражающей плоскости (о2 = 5,8 • 107 сим 1м) в воздухе
(б1 = е0 = 8,854-Ю-12 ф/м)
<?2
где частота / в гц.
Тем не менее разницу необходимо учитывать, если ставится за-
задача вычислить поглощение энергии при отражении от проводящей
(металлической) поверхности. Согласно C6.11) и C6.23) среднее
значение вектора Пойнтинга П = -2 Ке [Ёт, Нт], направленного
внутрь металла, есть
2 = 0. C6.24)
Абсолютное значение этого вектора — это мощность, теряемая на
единице поверхности металла. Чтобы придать результату более
удобную форму, учтем, что на проводящей поверхности, как видно
из C6.11),
Поэтому
п ^ т УШн™ (°)=2 уШ?(Я-J- C6-25)
Мощность поглощения на площади 5 находится путем умножения
этой величины на 5.
191

§ 37. Наклонное падение. Законы Снеллиуса
1. Основные черты постановки задачи. Пусть на границу раз-
раздела сред 1 и 2 наклонно падает волна Е°, /7°. Как и при нормаль-
нормальном падении, полное поле представляет собой совокупность трех
волн: в первой среде кроме падающей существует отраженная
волна Е~, Н~, а во второй — преломленная волна Е+, Н+; схема вол-
волнового процесса представлена на рис. 37.1.
В отличие от § 36 начнем исследование не с нахождения решения
электродинамической задачи, а с выяснения некоторых предпосы-
предпосылок его существования, которые сами по себе приведут к формули-
формулировке законов отражения и преломления.
На рис. 37.1 изображены три луча, указывающих направления
распространения исследуемых волн. Луч падающей волны (о)
лежит в плоскости гОу, называемой плоскостью падения, и состав-
составляет с осью г угол ф (угол падения).
Согласно C4.2) все компоненты поля па-
падающей волны зависят от координат как
+2 соз V^
где в соответствии с рис. 37.1
34.1, а VI = 90°, V2 = 90° — ф и
Таким образом, функция
г)=
СО5ч>>
и рис.
у3 = ф-
C7.1)
Рис- 371-
характеризует (с точностью до постоян-
постоянного множителя) зависимость от коорди-
координат любой из компонент падающей волны Е°, Н°; заметим, что поле
не зависит от коордащаты х (перпендикулярной к плоскости чер-
чертежа).
Лучи отраженной и преломленной волн также лежат в плоскости
падения уОг, поскольку в противном случае соответствующие поля
имели бы зависимость от координаты х, а тогда граничные условия на
плоскости раздела не могли бы быть удовлетворены. В соответствии
с рис. 37.1 компоненты отраженной и преломленной волн описыва-
описываются функциями, подобными /° (у, г) C7.1): надо лишь вместо ф
в одном случае взять угол о|з, а в другом О, заменив также йх на к2.
Речь идет, следовательно, о функциях
[-(у, 2\-=е-»,AГ5Ш1|)+гсо5ф)
C7.2)
C7.3)
соответственно.
Очевидно, что граничным условиям можно будет удовлетворить
только при требовании, чтобы на плоскости раздела сред (г = 0)
компоненты полей Е°, И°; Е~, Н~ и Е+, //+ с точностью до постоянных
192.

множителей являлись идентичными функциями координаты у,
что формулируется в виде двойного равенства
[°(У, 0) = Г(У, 0) = Г(у, 0). C7.4)
2. Законы Снеллиуса. Внося в C7.4) выражения функций C7.1) —
C7.3), видим, что должно быть
к151ПЦ)=к151П^='к2 5[П'&. C7.5)
Отсюда, в частности, имеем
а поскольку, согласно рис. 37.1, ф ^ 90° и а|з ^ 90°, то угол ф
равен смежному с а|з углу 180° — 1|з, обозначенному ф' и называемому
углом отражения:
Ф = ф\ C7.6)
Итак, угол падения равен углу отражения. Этот факт составляет
содержание первого закона Снеллиуса.
Далее из C7.5) следует: 1
C7.7)
C7.7а)
8Шф кг
При отсутствии поглощения в обеих средах
81П Ф кл 1>„
81П <[> к2 VI '
где V1 и V2 — фазовые скорости волн в средах 1 и 2. Угол О называ-
называется углом преломления, а полученное соотношение выражает
второй закон Снеллиуса: синусы углов падения и преломления
относятся как фазовые скорости в соответствующих (непоглощаю-
щих) средах.
Введя показатели преломления пг = У е1г\11г и п2 = 2\2г
а также относительный показатель преломления пп = пх1пг, за-
запишем еще одну формулировку второго закона Снеллиуса:
-.—- = — = «12. C7.76)
81П ф 1Ц " Ч '
Равенство C7.7) можно рассматривать как выражение обобщен-
обобщенного закона Снеллиуса.
Законы Снеллиуса известны из геометрической оптики, в кото-
которой вообще отсутствует понятие волны, а изучаются лучи. Понимая
луч как направление распространения волны (нормаль к ее фронту),
мы получили эти законы в качестве следствия из общих законов
электромагнетизма.
Обратимся теперь к законам Снеллиуса, чтобы сделать некоторые
важные выводы.
Если /гх > к2 (т. е. % > п2 или пХ2 > 1), то говорят, что первая
среда является «оптически более плотной», чем вторая. Из C7.7а)
7 Электродинамика 193

или C7.76) получается, что при этом угол преломления О больше
угла падения ц> (рис. 37.2, а). Поэтому при некотором остром
угле ф = ф* окажется, что угол О прямой и луч во второй среде
с «.*
»<90°
а)
»-90с
б)
Рис. 37.2.
21
2?
#
направлен вдоль границы раздела (рис. 37.2, б). Согласно C7.76)
условием этого будет равенство
* = 1 C7.8)
C7.8а)
(зш о = 1 и д = 90°). Если теперь увеличить угол
ф>ф*, П128Шф> 1,
то уже не найдется вещественного угла О, поскольку зш о > 1.
Это значит, что преломленной волны не будет; падающая волна по-
порождает только волну отраженную (рис. 37.2, в), происходит полное
(О)
@)
до
отражение от непоглощающей («прозрачной»)
среды при наклонном падении.
Возьмем иной случай. Пусть вторая среда
значительно оптически плотнее, чем первая,
к > & > 1 И
т. е. к2 >
(п2
р
или п12 < 1). Из
C7.76) следует, что независимо от величины ф
д-*0 при п12-*0, C7.9)
т. е., каков бы ни был угол падения ф, при
(+) достаточно высокой оптической плотности
Рис. 37.3. второй среды луч входит в нее практически
по нормали (рис. 37.3).
3. Преломление при поглощении. Далее рассмотрим случай,
когда вторая среда является поглощающей (к\ = кх; к2 — к'% — 1к1).
Выражая на основании C7.7) угол преломления о, имеем
к, . I
тА 81Пф.
кг
По смыслу угол падения ф обязательно лежит в пределах 0 -ь 90°;
0^5Шф< 1, и правая часть равенства ввиду множителя кх1к2
комплексна. Поэтому комплексным будет 31П ■&, и предстоит выяс-
выяснить, какой это имеет смысл.
194

Исследуем характер функции /+ (у, г) C7.3), выражающей за-
зависимость поля во второй среде от координат. В результате веще-
вещественности к1 51п ф, согласно C7.7), вещественна также величина
к2 зш О; обозначим ее
к2$\пЪ = ау. C7.10)
Вместе с тем
к2 соз § = к\ V1 - 8Ш2 О
как видно, величина комплексная; напишем:
ф>
где аг и р вещественны; очевидно,
C7.11)
аг - ф = У{Щ* - №'J - к\ 81П2 ф- ЙА&'. C7.11 а)
С учетом C7.10) и C7.11) функцию /+ (у, г) C7.3) представим
в виде
Г {у, г) = е-*ге-1^у+а*г\ C7.12)
Величина р, разумеется, должна быть положительна (ниже это
будет проверено), а следовательно, речь идет о поле, затухающем
Рис. 37.4.
по нормали, направленной внутрь поглощающей среды (ось г).
Соответственно этому
г=сопз1
есть уравнение плоскости постоянной амплитуды поля. Что же
касается фронта волны, т. е. поверхности постоянной фазы, то
из C7.12) вытекает, что это плоскость, описываемая уравнением
C7.13)
Плоскости постоянных амплитуд, таким образом, не совпадают с
плоскостями постоянных фаз (рис. 37.4, а), или, иными словами,
амплитуда фронта волны не постоянна; говорят, что волна, будучи
плоской, неоднородна.
7* 195

Нормаль к фронту волны, или луч, указывается углом у, кото-
который будет называться истинным углом преломления, в отличие от
комплексного угла преломления ■&. Записав уравнение плоскости
фронта в форме (рис. 37.4, б; ср. также § 34, п. 1)
C7.14)
при сопоставлении с C7.13) имеем
^4Щ- " C7Л5)
Отсюда и находится истинный угол преломления; заметим, что он
является также углом между фронтом и плоскостью постоянной
амплитуды (рис. 37.4, а). Поскольку на основании C7.10) и C7.11)
то
C7.17)
Вернемся к формуле C7.11а). Пусть
C7.18)
П2ф, " '
что имеет место, когда вторая среда слабопоглощающая, но в до-
достаточной степени оптически более плотная, чем первая (\к2\ >■ к±).
Разлагая в C7.11а) правую часть в степенной ряд и ограничи-
ограничиваясь линейной частью, находим
- к\ зш2 Ф, C7.19а)
C7.196)
Ввиду к\ ^ к'ъ при этом р <^ аг, так что
C7.20)
Если же вторая среда оптически значительно плотнее первой
(|&2| !> к]), в частности, из-за сильного поглощения, то, как следует
из C7.15), истинный угол преломления у весьма мал, и фронт волны
в поглощающей среде почти параллелен плоскости раздела сред.
Справедливо предельное соотношение
у-*0 при Ах/| к21-»■ 0. C7.21)
При отражении от металла в соответствии с C3.17а) к'% я« к\ т^,
^л/ щ^н и I ^21 я«|/а»^ао2. Условие |А2| ^ кх при этом заведомо
196

выполняется ввиду большой удельной проводимости о2, и луч
в металле, можно сказать, совпадает с внутренней нормалью. Со-
Согласно C7.11а) в этом случае аг — ф «^ |/— ь2к'ф,\, т. е.
C7.22)
а это значит, что изменение фазы и амплитуды вдоль нормали
происходит — с большой степенью точности — по тому же закону,
что и при распространении плоской однородной волны (§ 33, п. 3).
Не следует, однако, думать, что преломленная волна на самом
деле является плоской и однородной. Как бы ни был мал угол
между плоскостями постоянных амплитуд и фаз, их несовпадение
существенно. Действительно, плоскостью постоянной амплитуды
является граница раздела сред, фаза же на ней изменяется по за-
закону укх 51П ф.
§ 38. Формулы Френеля и строение поля
1. Вводные замечания. Перпендикулярная поляризация. Законы
Снеллиуса, как видно из предыдущего, дают ряд ценных сведений
о волновых процессах при наличии плоской границы раздела сред.
Однако мы не имеем полной картины, пока не найдены выраже-
выражения напряженностей поля в обеих средах. Теперь надо вернуться
к исходной постановке электродинамической задачи и получить ее
решение.
Сама постановка задачи о наклонном падении волны (§ 37, п. 1)
нуждается в некотором уточнении, поскольку ничего не говорилось
о поляризации волны. Очевидно, падающую волну любой поля-
поляризации можно разложить на две волны, поляризация которых
показана на рис. 38.1, а и рис. 38.1, б. Вектор Е первой волны (а)
перпендикулярен плоскости падения (и параллелен плоскости
раздела сред); вектор Е второй волны (б) лежит в плоскости падения,
т. е. параллелен ей, а вектор Н при этом параллелен плоскости
раздела сред. Будем называть поляризацию первого рода перпен-
перпендикулярной, а второго рода — параллельной. Случаи перпендику-
перпендикулярной и параллельной поляризации относительно просты, и
мы рассмотрим каждый из них. При произвольной же поляри-
поляризации поле можно будет находить как суперпозицию двух извест-
известных полей.
Начнем со случая перпендикулярной поляризации (рис. 38.1, а).
Чтобы записать поле падающей волны в заданной декартовой си-
системе координат, нужно лишь перейти от формул типа C4.1) к
формулам типа C4.2). Согласно рис. 38.1, а
а1 = 0, а2=90°, а3 = 90°,
р1=90°, р2 = Ф, р3 = 90° + ф, .
71-=90°, Т2=90°-ф, у3 = ф
197

(вектор Е° направлен по оси х, так что |0 =лг0, а вектор Н° состав-
составляет угол ф с осью у). Таким образом, для падающей волны
@)
получаем следующие выражения комплексных амплитуд:
Р° —:** Ар— '*»
г<0. C8.1)
198

Аналогично для преломленной волны
ах = 0, а2=90°, а3 = 90°,
■ р1=90°, р2 = д, р, = 9
71=90°, у2=90°-д, у3 = д
(вектор Е+ коллинеарен Е°, а вектор //+ составляет с осью у угол
О). Запишем комплексные амплитуды поля:
Для отраженной волны электрический вектор коллинеарен
(на рис. 38.1, а параллелен) прежнему направлению, а магнитный
составляет при этом с осью у угол а|з = 180° — ф, поэтому
а1=0, а2 = 90°, а3 = 90°,
р1=90°, р2=180°-Ф, р3 = -90° + Ф>
Т1=90°, Т2 = -90° + Ф> Тз=180°-ф
и далее
'
Налагая на поля требование непрерывности тангенциальных
компонент векторов Е и Н на границе раздела сред (г = 0)
Ёат (у, 0) + Ё'т {у, 0) = ЁЬ (у, 0),
Н°ту(у, 0) + Н„у(у, 0) = Н+ту(у, 0),
имеем
А + С = В, №2(А-С) = №1Всо5&. C8.5)
Подобно тому как это делалось в § 36 при рассмотрении нормального
падения, введем коэффициент отражения и коэффициент передачи
для случая наклонного падения при перпендикулярной поляриза-
поляризации; это величины
А = ^. = Ё'т (У, 0) = Нт(у, 0) -% = В_ = Ёт(У, 0) = ГхЯт (</, 0)
Р± А Ё'т (у, 0) Нт (у, 0)' Х А Ёт (у, 0) Г2Ят (у, 0)
C8.6)
(условное положительное направление векторов Ёт, Ёт и Ёт
указывается при этом ортом лг0, а векторов Йт, Нт и Нт — единич-
единичными векторами Н1 = у0 соз ф— г0 &т ф, Нъ = — у0 соз ф — г0 &\п ф
и Ло = Уо соз О — 2й 51П д соответственно, рис. 38.2, а). Уравнения
C8.5) принимают вид
#( ^о8д. C8.7)
199

Отсюда
и х± =
со? ф
C8.8)
Эти выражения коэффициентов отражения и передачи называются
формулами Френеля.
Заметим, что при ф = д = О (нормальное падение) формулы
Френеля C8.8) переходят в ранее полученные соотношения C6.10),
поскольку, согласно определениям C8.12) и C8.6)
Р± = Р, тх=т. C8.9)
Найдя р^ и т_|_, мы можем теперь использовать эти коэффициенты
при записи полей в обеих'средах; в выражениях комплексных ам^
плитуд останется лишь один неопределенный коэффициент А. Итак,
У
Рис. 38.2.
составляя суммы Ёт + Ёт и Нт+ Нт, характеризующие поле
в первой среде, и дописывая Ёт, НтАля второй среды, при помощи
соотношений C8.6) получаем
Ет =
2<0,
2>0
C8.10а)
1^ ^"ч г-"
— г|0(е-'*'гсо5(<L-р1е''*1гсО5Ч))з1Пф], г<0, C8.106)
2. Параллельная поляризация. Не делая пока каких-либо вы-
выводов из полученных результатов, обратимся к случаю параллель-
параллельной поляризации (рис. 38.1, б). Теперь магнитный вектор направ-
направлен против оси х, а электрический, ориентирован точно так же, как
магнитный вектор при перпендикулярной поляризации. Поэтому
200

все выражения полей можно написать сразу же по аналогии с фор-
формулами C8.1) — C8.3). Таким образом,
г<0 C8.11)
г>0 C8.12)
и
Ёт:=—С{у0 С08 ф + #0 81П ф) е"'*»D15|п ф-5Ф),
2<0
Приравнивая тангенциальные компоненты векторов поля в обеих
средах при 2 = 0, имеем
(Д-С)со8<р = 5со8*, ^,(Д + С) = ^!5. C8.14)
Коэффициентом отражения и коэффициентом передачи для случая
наклонного падения при параллельно^ поляризации назовем ве-
величины
• =_ С = Ёт (</, 0) ^ Нт(у, 0)
^ *т(у, 0) Н°т(у,0)'
. , . , (оо.1о)
^ _б _ ^(У. 0) ^1Ят(у, 0) ^ ;
" Л ЁтA/, 0) ФзНт{у, 0)
(единичные векторы е°й= ^0со5 ф — г0 51П ф, е^ = ^0 соз Ф + ^о 5'п ф
и е\— у0 соз О — #0 5'п О указывают условное положительное
направление векторов/:^, Е^и Ет (рис. 38.2, б), а —лг0— векторов
Й*т НтИ НИ). Из C8.14)
(Ц-р„)со5ф = т||со8д, и7аA—р|()=#1т„. C8.16)
Отсюда получаем формулы Френеля для рассматриваемой поляри-
поляризации
• 1^2 СОЗ Ф — #1 СОЗ ф • 2 Й?2 СОЗ ф ,оо ]уч
Р~ "~ 1Г соз д 4^ соз ф' ■ '
2 соз д 4-^1 соз ф
Сопоставляя C8.15) и C6.12), замечаем, что при ф = д = 0
р„ = р, т„ = т, C8.18)
и действительно формулы C6.10) можно получить при ф = О = 0
из C8.17), как и из C8.8).
201

Подобно тому как это делалось в случае перпендикулярной
поляризации, выпишем для обеих сред комплексные амплитуды
векторов поля, выраженные через р(| и Тц:
е-1'к^з1пч>[у0 (е-'*1гс05ч>-}-Р11е'*'гс05 ф) со§ ф —
Ет= — 20(е-г*'гсозч>— р„е1'*'гс05ф)81Пф], г<0; C8.19а)
и
Нп=
— х0 — е-йо'з'пф (е-'*>2««Ф _ р11е^*»гсозч>), г < О,
7 "
, г>0.
C8.196)
§ 39. Полное отражение и полное прохождение
при наклонном падении
1. Полное отражение от идеального проводника. Направляемые
волны. Полученные выше формулы Френеля и выражения полей
позволяют сделать ряд интересных выводов о волновых процессах
при наличии плоской границы раздела сред. Рассмотрим некоторые
важные случаи.
Как видно из формул Френеля C8.8) и C8.17), отражение тем
значительнее, чем более различаются волновые сопротивления обеих
сред. Как и при нормальном падении (§ 36), коэффициент отражения
по модулю близок к единице, если |^г| ^> \№2\ или 1^1^ И^!-
Пусть вторая среда — идеальный проводник, т. е. о2 -> °о и |Ц721 =
= 0. Из C8.8) и C8.17) имеем
Рх = -1. Р„ = -1, C9.1)
тх = 0, т„ = 0.
Естественно, для случая нормального падения отсюда получаются
равенства C6.16): надо лишь учесть соотношения C8.9) и C8.18).
Внося в C8.10а), C8.106) р^= — 1 и т^ = 0, получим выра-
выражения комплексных амплитуд поля при полном отражении пер-
перпендикулярно поляризованной волны от идеально проводящей
плоскости
Ёт = х0Ё0 8Ш (к^г сок ф) е-'*>4'51п(Р,
Нт= -А[_у01со8ф соз (^гсозф) — C9.2)
4^1
] г<0
(Ёо = — г2А). Как видно, в результате наложения падающей и
отраженной волн возникает весьма характерное поле, имеющее
свойства бегущей волны для направления у (распространение вдоль
202

У//////////////,
п
у
•с
границы раздела сред) и стоячей волны для направления г (образо-
(образование узлов и пучностей вдоль нормали к границе раздела). Роль
комплексных волновых чисел при этом играют величины
Первая из них Г характеризует поле как бегущую волну и будет
называться продольным волновым числом, а также постоянной рас-
распространения, вторая же величина % будет называться поперечным
волновым числом. В целом поле является плоской неоднородной вол-
волной: в плоскостях фронта у = сопз! амплитуды векторов Е и Н
не остаются постоянными, а изменяются по закону стоячей волны.
В отличие от известной плоской однородной волны данная волна
имеет не только поперечные компоненты поля (Ех и Нг в выбранной
системе координат), но и продольную
компоненту (Ну).
Причина образования рассмотрен-
рассмотренного поля поясняется векторной
диаграммой средней плотности потока
энергии (рис. 39.1). Отметим сначала,
что чистая стоячая волна в направ- п "х
лении г и незатухающая бегущая
волна по у (вдоль границы) имеют ме-
место при отсутствии поглощения (к\ = Рис. 39.1.
= &!). В силу полного отражения сред-
средние значения вектора Пойнтинга для падающей и отраженной волн
равны по абсолютной величине: П~ = П°. Но, как видно из диа-
диаграммы, это означает, что их нормальные компоненты взаимно
уничтожаются, а тангенциальные — складываются. Поле не пере-
переносит энергии по нормали г (действительно, энергия не должна
проникать во вторую среду), а потому приобретает характер стоя-
стоячей волны по г. Энергия, таким образом, переносится вдоль гра-
границы тангенциально распространяющей неоднородной волной. По-
Последняя как бы направляется границей раздела, поэтому будет
употребляться название направляемая волна.
В случае отражения от идеально проводящей плоскости парал-
параллельно поляризованной волны выражения комплексных амплитуд
поля получаются путем подстановки рц = — 1 и Тц = 0 в C8.19а),
C8.196). Это дает
Ёт= Ёо [у0 СО8 ф 81П (к\г СО8 ф) —
— го18Ш ф соз (к^г со8 ф)] е-'*»*15'11^,
Нт = — хо1-т^- соз (кгг соз ф)е~''*>
2<0
(Ёо = — 12А). Подобно C9.2) полученный результат описывает
плоскую неоднородную волну, направляемую границей раздела
203
C9.4)

сред. Как и ранее, в плоскости фронта у — сопз! амплитуды поля
распределены по закону стоячей волны (чистая стоячая волна —
при отсутствии поглощения). Поперечное и продольное волновые
числа те же, что и при перпендикулярной поляризации C9.3). Поле
имеет продольную компоненту, но уже не магнитную, а электри-
электрическую (Еу).
2. Простейший полый волновод. При отсутствии поглощения
(кх = йх) мгновенные значения компонент поля измеряются по
нормали г, как это показано на рис. 39.2, а, б. Нетрудно заметить,
Рис. 39.2.
что в плоскостях (см. пунктир), удаленных от границы раздела
сред на расстояния йп (п = 1, 2, 3, ...), определяемые условием
(п=\, 2, 3, ...)
C9.5)
удовлетворяются те же граничные условия, что и на самой идеально
проводящей плоскости раздела сред (Ех = О, Нг = 0 при перпен-
перпендикулярной поляризации и Еу — 0 при параллельной). Более того,
строение поля периодически повторяется. Следовательно, если одну
(или несколько) из отмеченных пунктиром плоскостей наделить
свойствами идеального проводника, это никак не повлияет на поле.
Последнее может существовать между двумя идеально проводящими
плоскостями, которые играют роль системы, направляющей волну,
или волновода. На рис. 39,3, а, б представлено строение простейших
полей в такой системе. При перпендикулярной поляризации можно
еще ввести идеально проводящие плоскости, параллельные гОу,
которые могут быть расположены на любых расстояниях, так как
везде вектор Е не будет иметь на них тангенциальной компоненты,
а Н—нормальной. В результате оказывается, что волна спо-
способна 'распространяться и в идеально проводящей «трубе» прямо-
прямоугольного поперечного сечения (рис. 39.4). Это так называемый
прямоугольный волновод.
204

Волноводы будут подробно рассматриваться в гл. 5, поэтому
мы ограничимся пока лишь несколькими замечаниями. Пусть
расстояние й между двумя идеально проводящими плоскостями
Е И
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ/. УУУУУУ)УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ/.
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ
Перпендикулярная поляризация
а)
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ,
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ/.
ТУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ/
Параллельная поляризация
б)
Рис. 39.3.
фиксировано. Тогда, согласно C9.5), между ними смогут распро-
распространяться волны, поперечные волновые числа которых % = %„
подчинены условию
Иными словами, возможен
бесконечный ряд свободных
полей C9.2) и C9.4) при ука-
указанных значениях %. В со-
соответствии с C9.3)
C9.7)
C9.8)
и, следовательно,
Рис. 39.4.
т. е. каждому из решений соответствует своя постоянная распро-
распространения Г = Гл. Соответствующее поле представляет собой,
таким образом, самостоятельную неоднородную волну, распростра-
распространяющуюся со своей фазовой скоростью.
205

Впрочем, при каждом п о бегущей волне можно говорить лишь
до тех пор, пока частота со достаточно велика, так что подкоренное
выражение в C9.8) положительно. В противном случае постоянная
распространения становится мнимой величиной Г = + ф и поле,
по существу, утрачивает волновой характер, так как
= ет^ со$
Оно оказывается синфазным и затухающим по амплитуде в направ-
направлении у или — у. Частота, при которой постоянная распростране-
распространения обращается в нуль, называется критической (сокр). Очевидно,
с C9-9)
Далее с понижением частоты (со < сокр) Г„ переходит в мнимую
область. Основной называется волна, распространяющаяся при
У///////////// '/////////////,
У////////////////////////////,
/УУУ////У////У^УУУУУУУ//>У77,
а)
б)
- УУУУУУУУУУУУУ///У//////У/УУ//.
УУУУУ/У/УЛУУУХУУУУУУУУУУУУУ/. У7/УУУУУУУУУУУУУУ/У/У///////Л
6) г)
Рис. 39.6.
наиболее низких частотах; ее поперечное волновое число %1=
является наименьшим.
При сопоставлении C9.6) и C9.3) получаем
созФ = ^ = ±^ ! <•>-
к, Л со с
Мы видим, что при данной частоте со каждая неоднородная направ-
направляемая волна (фиксированное п) образуется при падении однород-
однородной волны под определенным углом ср. Возьмем какую-либо из
волн, например основную (п = 1), и проследим, как изменяется
угол ф в зависимости от частоты. Чем больше со, тем со$ ф ближе
к нулю, а ф к 90°. Для относительно высокой частоты схема лучей
представлена на рис. 39.5, а. С понижением частоты соз ф увели-
увеличивается, а угол ф уменьшается (рис. 39.5, б, в), пока при крити-
критической частоте не станет равным нулю (рис. 39.5, г). Распростра-
Распространение неоднородной волны между плоскостями эквивалентно мно-
многократному отражению волны однородной; по мере приближения
206

к случаю нормального падения (ф = 0, со = сокр) перенос энергии
вдоль плоскостей замедляется и, наконец, прекращается с образо-
образованием обычной стоячей волны при критической частоте (см. § 36,
п. 4, электромагнитный резонатор). Частотам ниже критической
соответствуют мнимые углы падения ф (соз ф > 1), так что концеп-
концепция полного отражения сохраняет лишь формальный смысл.
В соответствии с содержанием понятия волнового числа (стр. 164,
§ 32, п. 2, § 35, п. 2) запишем для области вещественного Г = Г:
гь, — — Л — — V _.*?_ ГЮ1П
где Vф — фазовая скорость неоднородной волны, Л — соответ-
соответствующая длина волны (пространственный период вдоль направле-
направления распространения), а угр — групповая скорость. Из C9.8) полу-
»Ф=; ■ ■ "■- "- к-
1. Л
.@:
: СО,
'кр-
C9.12)
Рис. 39.6.
При со -> сокр фазовая скорость и длина волны неограниченно воз-
возрастают, а групповая скорость стремит-
стремится к нулю.
Поскольку
Уф>У1 = -4=г, C9.13)
т. е. фазовая скорость рассмотренных
неоднородных волн превышает фазовую
скорость однородной электромагнитной
волны в той же среде, их называют
.быстрыми.
В заключение отметим, что свойство
идеально проводящей поверхности на-
направлять электромагнитную волну должно сохраняться и при
определенной кривизне. Легко представить себе постепенный
переход от плоской границы раздела к цилиндрической (рис. 39.6);
можно ожидать поэтому, что роль волновода будет выполнять и
круглая или иной формы труба. Позднее (гл. 5) читатель убедится
в этом.
3. Полное отражение от диэлектрика. Поверхностные направ-
направляемые волны. Перейдем к рассмотрению полного отражения,
происходящего при наклонном падении волны на границу с опти-
оптически менее плотной средой, уже кратко обсуждавшегося в § 37,
п. 2. Оно имеет место, когда угол падения ср превышает критическую
величину ф*, определяемую формулой C7.8), т. е.
~ 8111 ф > 1
«2
C9.14)
207

(обе среды непоглощающие). При этом косинус угла преломления
оказывается мнимым: согласно C7.7) е
*= ~ 81Пф, так что
«2
C9.15)
поскольку подкоренное выражение ввиду C9.14) отрицательно.
Не обсуждая пока вопроса о выборе знака в C9.15), убедимся, что
полное отражение действительно происходит, и с этой целью внесем
в выражения коэффициентов отражения C^ C8.8) и р'ц C8.17) мнимое
значение косинуса угла преломления соз # = ± I |соз #|. Модули
обеих величин, как видно, равны единице:
1X1
, сов ф +
| соз *
|^
*• '
Это и свидетельствует о полном отражении.
Введем обозначения для фаз коэффициентов р^и рц при полном
отражении, так что
р1=е^1 и ри = ет при ф>ф*. C9.17)
Далее рассмотрим поля. Внося рх = е'*1 в C8.10), получаем при
перпендикулярной поляризации
C9.18а)
г>0,
Нт =
— -^- [у0 1
й 81П ф СОЗ (Йх 2 СОЗ ф +
, г<0,
C9.186)
2И7,
>, г>0
BД = ^0).
(
При параллельной поляризации из C8.19) при C9.17)
Во 1у0 соз ф соз (кх г соз ф +1|зм/2) +
<31Пф 81П(Й12СО8ф +
•>, г>0,
ЛГ0 I ~ 81П(Л1 2 СОВ ф +1|Зм/2) б"' ^У-Ъи1Ъ)} г < О,
2>0
C9.19а)
C9.196)
208

Как показывают выведенные формулы, поле в первой среде
представляет собой плоскую неоднородную волну, которая очень
похожа на волну, направляемую идеально проводящей плоскостью.
Это тоже бегущая вдоль границы волна (ось у), поле которой в по-
поперечном направлении (ось г) распределено по закону стоячей волны
и имеет продольную электрическую или магнитную компоненту;
соответствующие волновые числа равны
C9.20)
(ср. 39.3). К данному случаю, разумеется, применима и векторная
диаграмма на рис. 39.1. Различие в сравнении с предыдущим за-
заключается в том, что стоячая волна несколько сдвинута по оси г
и имеется также фазовый сдвиг; и то, и другое определяется фазой
коэффициента отражения.
Удивительным может показаться тот факт, что, несмотря на пол-
полное отражение, поле существует и во второй среде, как это видно
из C9.18) и C9.19). Однако не нужно забывать, что мы имеем дело
с установившимся процессом, и вопрос «как проникло поле во вто-
вторую среду» неправомерен (это вопрос об установлении поля); в силу
граничных условий существование поля во второй среде необходимо.
Рассмотрим это поле внимательнее. Из формул C9.18) и C9.19)
следует, что и при перпендикулярной и при параллельной поля-
поляризации все его компоненты изменяются в пространстве по закону
}+{у, г) =е-'*«и'51пФ+гсоз<». При этом множитель е~'*>гс08* в силу
мнимости соз # есть убывающая или возрастающая экспонента.
По физическим соображениям следует остановиться на первой
возможности, что соответствует выбору знака минус в формуле
C9.15). Учитывая также, что к2 зш & = кг зш ф = Г, и обозначая
= - #Ь21 соз О | = —1\Ук\%\хРч — к\\= -ф, . C9.21)
имеем /+ (у, г) = е' Рг е-1^, р > 0. C9.22)
Попутно,— для сравнения с равенствами C9.20) — запишем:
Г=к2$тр, '%2 = к2совЪ. C9.23)
Итак, во второй среде (оптически менее плотной) поле экспо-
экспоненциально убывает по нормали от границы, не изменяя в этом
направлении своей фазы. Поэтому плоская неоднородная волна
здесь называется поверхностной. Чем больше |3, тем в большей мере
поле во второй среде сосредоточено вблизи границы раздела сред.
При полном отражении от границы с менее плотной средой в по-
последней не появляется преломленной волны, уносящей энергию
от границы, а поле как бы «прилипает» к ней.
Поскольку Г = к± 51П ф, то Г «^ кг @ «^ Ф ^ 90° и зт ф г^ 1);
в то же время на основании C9.14) Г >^к%. Таким образом,
К C9-24)
209

Это означает, что фазовая скорость неоднородной волны оф = со/Г
обязательно лежит в пределах, определяемых неравенством
У1^уф^у2. C9.25)
где У] = 1 / 1^8!^ ик2 = 1 /У^аЦа — фазовые скорости однородных
волн в обеих средах. Можно сказать, что по отношению к более
///////////л
У
Е Н Е Н
У
XI* ! о( о О| ;
е н е н
Рис. 39.7.
плотной среде неоднородная волна оказывается быстрой, а по от-
отношению к менее плотной — медленной. В большинстве практи-
практически интересных случаев менее плотной "средой является воздух
или вакуум. Не интересуясь полем в прилегающем диэлектрике,
обычно говорят о медленной поверхностной волне.
4. Простейший диэлектрический волновод. На рис. 39.7, а по-
показано распределение поля в направлении нормали к полностью
210

отражающей границе диэлектриков при перпендикулярной поля-
поляризации. Пунктиром обозначены следы плоскостей, на которых поле
удовлетворяет граничным условиям, свойственным идеальному
проводнику. Из C9.18) и C9.19) следует, что такие плоскости вообще
расположены от границы раздела сред на расстояниях йп, подчи-
подчиненных условию
1^п + \ = п^ (л=1, 2, ...), C9.26)
где XI = &1 С05 ф и 'Ф = 1|>± или 'Ф = 'Фп берется в пределах от — я
до л.
Изолировав идеально проводящей плоскостью г = —йп слой
диэлектрика (см. рис. 39.7,6, где взято г = —йх), можно рас-
рассматривать его отдельно в качестве системы, направляющей неод-
неоднородную волну. Можно и так выбрать толщину слоя, что он будет
способен направлять волну без ограничивающей идеально прово-
проводящей плоскости, а только в результате полного отражения от
обеих границ с менее плотным диэлектриком (рис. 39.7, в). Это
прообраз используемого в технике диэлектрического волновода,
представляющего собой стержень из диэлектрика. На рис. 39.7, б, в
даны и картины силовых линий для простейших волн диэлектри-
диэлектрического слоя при перпендикулярной поляризации; читателю ре-
рекомендуется построить аналогичные схемы для случая параллель-
параллельной поляризации.
Распространению энергии в диэлектрическом слое, как и между
идеально проводящими плоскостями (ср. рис. 39.5), отвечает кар-
картина многократно отражаемых лучей (рис. 39.8,а,б). Однако теперь
<Р<<р*
а) б) .
Рис. 39.8.
угол падения ц> может меняться не от нуля до прямого, а лишь в
пределах 0=^фг^ф*. При ц> > ф* условие полного отражения
от границы раздела диэлектриков уже не выполняются и слой пере-
перестает концентрировать в себе поле. Действительно, при ф = ф*
имеет место процесс, показанный на рис. 39.9, а, б, в. Во внешней
среде появляется преломленная волна, распространяющаяся вдоль
границы (-г^-81Пф=1, о = 90°); поле вне диэлектрического слоя
не убывает по нормали (в C9.22) |3=0, Г=&2); это обычная одно-
однородная волна; ее энергия равномерно распределена в бесконеч-
бесконечном пространстве; в слое же остается йсчезающе малая часть энергии.
211

Для слоя фиксированной толщины й условие _ф = Ф * выполня-
выполняется при вполне определенном значении частоты со, называемом
критической частотой (сокр); разумеется, для каждой возможной
структуры поля сокр имеет свою величину. Желая вычислить сокр
в случае слоя на идеально проводящей плоскости, отметим сначала,
что на основании C9.20) и C9.23)
и Й1-Х1 + Г2- C9.27)
= И-«. C9-28)
так что при ф = ф*
(О = 90°, %2 = к2 соз 0 = 0)
Х! = #-Л| (со = сокр). C9.29)
Для случая перпендикулярной поляризации, положив в C8.8)
У///////////////.
'/////////////'у
о 1о
|О<1
ОЮ,
н
*г { \ \
а)
б)
Рис, 39.9.
О = 90°, находим, что при со = сокр коэффициент отражения р±
равен единице, т. е. ч|з_1_= 0. Поэтому на основании C9.26)
•ий = п\ (п=1, 2, ...; со-сокр), C9.40)
Внося получающееся отсюда значение %х = %1п в C9.29), имеем
(П —^г • ~г ) = СОкр (^1 (^1 ^2 |^2/
/ О, I
(напомним, что толщина слоя й фиксирована); разные значения п
соответствуют различным типам поля в слое. Таким образом,
сокр = ^1/„„1 ... (п=1, 2, ...). C9.31)
Наконец, сделаем замечание того же рода, что и в конце п. 2,
Свойство границы раздела диэлектриков направлять электромаг-
электромагнитную энергию должно сохраниться и при ее цилиндрическом
искривлении (рис. 39.10). Уже упоминавшийся выше волновод в
виде диэлектрического стержня будет рассматриваться в гл. 5.
5. Полное прохождение при наклонном падении. Наконец,
перейдем к выяснению условий, при которых наклонно падающая
212

волна не испытывает отражения на границе раздела сред (полное
прохождение). Исключая при отсутствии поглощения из C8.8)
соз д при помощи второго закона Снеллиуса C7,7) и приравнивая
р^ нулю, имеем
' \2 ?а
откуда находим следующее условие полного прохождения при пер-
перпендикулярной поляризации;
C9,32)
Волна, падающая под углом ф, опреде-
определяемым этой формулой, не отражается,
Однако, как видно, не всегда такой '/////////////
угол существует; он отсутствует, на-
например, в случае обычных немагнитных Рис 39.10.
диэлектриков (^ = ц2 = ^0).
При параллельной поляризации прежним способом из C8,17)
находим
/Ц7а\2_ А1A-5т2ф)
C9.33)
и далее
№ еа
8Ш«Ф = ? "
е2
Для обычных диэлектриков (^ = ц2
C9.35)
Найденный угол ф называется углом Брюстера. Волна параллель-
параллельной поляризации, падающая под углом Брюстера на границу
раздела непоглощающих диэлектрических сред, проходит без от-
отражения.
§ 40. Поверхностный эффект и поглощение
в проводниках
1. Сущность поверхностного эффекта. В § 37, п. 2, 3 было ус-
установлено, что при падении волны на границу с существенно более
плотной средой преломления волна — независимо от угла падения—
распространяется почти в направлении внутренней нормали к гра-
границе раздела сред. Произвольная суперпозиция падающих под раз-
различными углами волн, таким образом, вызовет в достаточно плот-
213

ной граничащей среде поле, являющееся совокупностью таких
преломленных волн. Учитывая это обстоятельство, нетрудно прийти
к довольно общему выводу о характере электромагнитных полей
на границах с весьма плотными средами. Дело в том, что поле
можно рассматривать как суперпозицию различных падающих и
соответствующих им отраженных волн (на строгом обосновании
этого утверждения здесь мы не будем останавливаться). Поэтому
в примыкающей весьма плотной среде поле представляется как
Суперпозиция преломленных волн Д-, Ни для которых с высокой
точностью справедливо соотношение:
Ёт1 = №2[Нт1, г0], D0.1)
где г0 — единичный вектор внутренней нормали (ср. C2.16)). С
таким же основанием можно записать это соотношение и для пол-
полного поля в плотной среде Е, Н
D0.1а)
поскольку Ёт = 2 Ет1
I «
Особый интерес представляет случай, когда вторая (оптически
плотная) среда является поглощающей. Все преломленные волны,
а следовательно, и их суперпозиция Е, Н затухают (рис, 40.1, а),
г'
_/е,н
1
так что на некоторой глубине поле оказывается исчезающе малымч
Расстояние от границы раздела сред, на котором поле ослабляется*
в е — 2,718... раз, условно называется глубиной проникновения;
мы обозначим его А0. Поскольку закон затухания (см. §§ 33 и 37,
п. 3) имеет вид функции ё~к"*', то глубина проникновения, опреде-
определяемая из условия
равна обратной величине коэффициента затухания к\
D0.2)
214

В проводящей среде затухание весьма значительно. На основании
C3.17а) и C7.22) для проводника
А° = У2/п\хо (\1 = \12, а = аг). D0.3)
Так, для некоторых распространенных металлов имеем данные,
приведенные в табл. 40.1.
Например, для меди при частоте / = 100 кгц глубина проник-
проникновения составляет А0 я» 0,2 мм, а при / = 10* Мгц — уже всего
лишь 6,6-10 4 мм, т.е. меньше ми-
микрона. Практически поле становится
пренебрежимо слабым на расстояниях
нескольких А0: на глубине 10 А0 оно
ослабляется уже в е10 «« 22 026 раз.
Если размеры проводящего тела зна-
значительно превосходят А0, то обычно
можно считать, что поле в нем сосре-
сосредоточено вблизи поверхности. Это и
называется поверхностным эффектом,
а также скин-эффектом.
2. Граничные условия Леонтовича
и поглощение в проводнике. При по-
поверхностном эффекте глубокие слои
проводника в сущности не оказывают влияния на электромагнит-
электромагнитный процесс у его границы. Уходящая вглубь волна настолько
Глубина
Металл
Серебро
Медь
Алюминий
Латунь
Таблица 40.1
проникновения
Глубина проникно-
проникновения д° в мм (ча-
. стота \ в гц)
64,2/1/7"
66,0/1/7
82,6/1//
127,0/1/7
а)
Рис. 40.2.
быстро затухает, что не успевает дойти до противоположной гра-
границы тела, где она претерпела бы отражение. Поэтому безраз-
безразлично, ограничено ли электромагнитное поле в диэлектрике бес-
бесконечной металлической средой (рис. 40.1,6) или слоем толщиной
10 ч-20 А0 (рис. 40. 1, в).
Напрашивается вывод, что при нахождении поля в ограничен-
ограниченной проводником диэлектрической среде процесс в проводнике
можно учесть при помощи граничного условия, вытекающего из
соотношения D0.1а). Ведь векторы поля Е и //внутри проводника,
будучи параллельными плоской границе раздела сред, непрерывно
215

переходят в тангенциальные составляющие Ех и Нх на самой гра-
границе (рис. 40.2, а). Полагая в D0.1а) при 2 = 0
ст = стт и пт = птх,
получаем соотношение, связывающее тангенциальные компоненты
на границе:
Етх = Н72 [Нтх, г0] = &2 [у0, Нтх] D0.4).
(у0 — орт внешней нормали), или в координатной форме:
Ету— —^' чНтх-
Здесь, согласно C3.19) и D0.3),
■ ^. = A + 0 У^- = -^ (^ = И2, а = а,). D0.5)
Равенства D0.4), D0.4а) известны под названием граничных
условий Леонтовша. Поскольку их происхождение связано с ана-
анализом преломления на плоской границе раздела сред, то для произ-
произвольных поверхностей они могут применяться только в тех случаях,
когда кривизна относительно мала; условием этого является ра-
равенство
Я>Л°, D0.6)
где /? — радиус кривизны. Естественно, что при невыполнении
данного равенства величина А0, вычисляемая по формуле D0.3),
в свою очередь теряет смысл глубины проникновения.
Для идеального проводника (о -* оо) граничное условие Леон-
товича D0.4) переходит в известное граничное условие
Ех = 0. D0.7)
Поскольку электропроводность металлов очень велика, то танген-
тангенциальная электрическая компонента оказывается чрезвычайно ма-
малой, и ею часто пренебрегают, используя идеализированное гра-
граничное условие D0.7). Однако этого нельзя делать, если требуется
учесть поглощение энергии металлом. Хотя последнее и мало, оно
в ряде случаев является единственной причиной потерь энер-
энергии, а потому непренебрежимо. Если же положить Ех = 0, то на-
направленная внутрь проводника компонента вектора Пойнтинга
исчезает.
Применяя формулы C0.6) и D0.4), выразим величину П2 на
поверхности проводника через НтХ. Располагая местную систему
координат так, чтобы вектор Ех был направлен по оси х, а Нх —
по оси у (рис. 40.2,6), имеем
216

Таким образом, направленная внутрь проводника компонента
комплексного вектора Пойнтинга равна
Интегрирование этой величины по полной поверхности проводя-
проводящего тела 5, т. е. вычисление потока комплексного вектора Пойн-
Пойнтинга внутрь проводника дает комплексную мощность
Вещественные части от D0.8) и D0.9) — это среднее значение Пг
и соответственно средняя мощность потерь. Последняя выражается
формулой
^п = т У
1
5 5
Видно, что в случае идеального проводника (о -* оо) потери от-
отсутствуют.
Заметим, что обычно Нтх практически неотличается от Нтх |о _ «,—
амплитуды Нт на поверхности проводника, найденной при о -* оо,
т. е. при граничном условии D0.7). Это позволяет при вычислении
мощности потерь исходить из решения идеализированной задачи.
Пусть, например, на металлическую пластину нормально па-
падает плоская однородная волна (пластина достаточно велика, и
мы пренебрегаем особенностями процесса на ее краях). Согласно
C6.17) и C6.1) на поверхности металла #тт|а-оэ=2#т. Вычисляя
по формуле D0.8) П = Ке Пг, находим
(Я^ = я-[9(Я^. D0.11)
Этот же результат из других соображений был получен в § 36, п. 5,
где было показано, что его точность весьма велика.
3. Ток и поверхностное сопротивление. Далее рассмотрим ток
в проводнике. В силу закона Ома
У = оЕ
функция } (г) имеет тот же вид, что и Е (г), т. е. ток убывает в
глубь проводника по закону е~к, как и поле. Поэтому А0 называют
также глубиной проникновения тока.
Поскольку ток сосредоточен вблизи поверхности проводника,
его можно условно считать поверхностным (§ 7, п. 4); при этом плот-
плотность поверхностного тока ц вычисляется путем интегрирования
величины ] по внутренней нормали г. Таким образом,
Чт = $-М2- D0Л2)
0
217

Очевидно, т] в сущности есть ток, проходящий через бесконечный
в глубину слой единичной толщины (рис. 40.3, а). При ст -> оо ве-
величина к] становится плотностью настоящего поверхностного тока.
ее
/
а)
в)
Используя закон Ома и соотношение D0.1а), запишем:
00 00
Чт = ст#Д [Нт, *„] <Ь = -Щ- ^ [Нт, г0] йг, D0.13)
о о
а поскольку в соответствии с C3.17) и D0.3)
И —
ТО
00 1+/
йг =
2 *_
д°
1+1
Нт
Внося это в D0.13), находим I
Чт= [Нтх, г0] = [у0, Нт] \3, D0.14)
где у0 = — %й. Интересно, что этот результат по форме совпадает
с уже известным соотношением (8.56), справедливым для идеаль-
идеального проводника: введенная плотность «условно поверхностного»
тока связана с магнитным полем на границе так же, как и плот-
плотность настоящего поверхностного тока ц.
Проводник при скин-эффекте можно охарактеризовать так назы-
называемым поверхностным сопротивлением Ж5 = <М5 + 1^з> опреде-
определяемым как отношение комплексных амплитуд напряженности
электрического поля на поверхности и плотности поверхностного
тока: . . *
%з = Ет(и\т, D0.15)
причем из D0.4) и D0.14) с учетом D0.5) следует, что'
т. е.
218
аД»
D0.16)
D0.16а)

Активная часть поверхностного сопротивления (М5 оказывается
равной сопротивлению параллелепипеда, показанного на рис. 40.3, б.
Это значит, что активное сопротивление проводника таково, как
будто бы ток, не уменьшаясь по амплитуде, проникает на глубину
А0 (рис. 40.3,е). Это и объясняет смысл выражения «глубина про-
проникновения тока».
Возьмем цилиндрический проводник произвольного попереч-
поперечного сечения (рис. 40.4, а, б), для которого выполняется условие
Ят1п^>А0 = ~|/2/сй^(т, D0.17)
где Ят\п — наименьший радиус кривизны контура поперечного
сечения. Можно ожидать, что в этом случае граница проводника
достаточно близка к плоской, и будет наблюдаться скин-эффект.
Полный ток вдоль цилиндра на-
находится тогда через плотность ц
(ср. D0.12)), как интеграл
а)
1т = §и\т41. D0.18) /%
При цт = сопз! это дает: 1т =
= \\тЬ. Если уместно тракто-
трактовать Етх как отнесенное к еди- Рис- 40-4-
нице длины напряжение (Ётх =
— У'т)у то можно говорить и о сопротивлении единичного отрезка
проводника %' = 0'т/1т> причем, согласно предыдущему, %' =
— Ёт/цтЬ. Теперь воспользуемся соотношениями D0.15) и D0.16),
которые тем более справедливы в данном случае как приближен-
приближенные равенства, чем в более сильной степени удовлетворяется
неравенство D0.17). Выражая 2' в виде 25//,, получаем
и, в частности, для провода круглого сечения радиуса
D0.20)
Эти формулы заведомо неверны, когда неравенство D0.17), которое
можно назвать «условием сильного скин-эффекта», не соблюдается.
Позднее (§ 68, п. 1) скин-эффект в проводе будет рассмотрен без
ограничений.
4. Поверхностный эффект в проводящем слое. Решим строго за-
задачу о поверхностном эффекте в плоском слое (рис. 40.5, а), по
обеим сторонам которого плотность тока имеет одно и то же значе-
значение, не изменяющееся в плоскости хОу.
219

На основании C2.2) представим комплексную амплитуду на-
напряженности электрического поля в слое выражением
D0.21)
(поле является одномерным), причем в силу исходного условия
Е(-а) М-а) Ёт(О) = Ёт(-а)=~'~
Отсюда
////У///////
D0.22)
УУ7У//У
т. е.
Л =5,
= 2А со$
кг,
2А сов Ш
\Ш\»1 и окончательно
р р
-1кг
2 соз кй
_ ь соз кг
созЫ
б)
D0.23)
Поскольку при этом по закону Ома
л> созЛг
созМ
D0.24)
с,- 1кг.
2 соз кй
то
га-
Цт=
2аЕп,
-а
г)
Рис. 40.5.
D0.25)
и сопротивление слоя, отнесенное к
единице поверхности, равно
ь • /• 1 Л
= — с1§Ы \к =
2а
Д°
D0.26)
На рис. 40.5, б, в, г показаны распределения тока в слое при
различных степенях проявляния скин-эффекта, получаемые на
основании D0.24); пунктиром обозначены кривые, соответствующие
слагаемым в виде распространяющихся навстречу затухающих
волн. При \кй\ ;> 1 наблюдается сильный скин-эффект (рис. 40.5,6);
движущиеся от краев волны быстро затухают, и в средней части
слоя поле и ток пренебрежимо малы. Поскольку при этом с1§ к'й я« «,
то выражение D0.26) принимает вид ч
'2аД°
D0.26а)
220

этот результат был бы получен по формуле D0.19). Если \Ы\ <! 1,
то скин-эффект слаб (рис. 40.52): в средней части слоя имеется лишь
небольшой спад поля и тока. Полагая в этом случае 1§ Ы «^ кй,
имеем
\\<Х'< D0.266)
это сопротивление для постоянного тока.
5. Давление на проводник. Согласно F.4) в толще проводника
действует сила, которая, будучи, отнесенной к единице его поверх-
поверхности, при сильном скин-эффекте равна
00 00
=\[1В]с1г D0.27)
о
(ср. определение ц'через/согласно D0.12)). В сущности это оказы-
оказываемое на проводник давление. В случае гармонически колеблюще-
колеблющегося поля на основании (ПЗ. 15) можно выразить среднее давление:
р = I Ке $ [)-т, В*т] йг = ^- Ке $ [Ёт, //*] йг. D0.27а)
о о
Пользуясь соотношениями D0.1а) и D0.16), находим
00 00
/? = -дгКе^ \ |_|_Ят, ^о], Н%}йг = г0—ъ— I №тйг =
О О
~ь°2 йг^г^—1. D0.28)
Пусть на проводящую. плоскость нормально падает волна.
Полагая в этом случае Нтх = 2#„ (§ 36, п. 5), имеем
D0.29)
где о; — средняя плотность энергии падающей волны (§ 32, п. 4).
Как известно, П. Н. Лебедевым в 1901 г. было впервые экспе-
экспериментально доказано существование светового давления, и это
сыграло важную роль в обосновании теории электромагнетизма.
IV. РАДИОВОЛНЫ В ПРИРОДНЫХ УСЛОВИЯХ
Под радиоволнами мы имеем в виду электромагнитные волны,
используемые в радиотехнике; к ним относятся, в частности, волны
в различной радиотехнической аппаратуре, например распрост-
распространяющиеся по специальным волноводам. Такого рода электро-
электромагнитные волны будут подробно рассматриваться позднее (гл. 5).
Но независимо от характера применяемой аппаратуры сущность
радиотехники связана с распространением электромагнитных волн
221

в природных условиях. На основании того, что уже было сказано
об электромагнитных волновых процессах, можно теперь обсудить
некоторые общие особенности этих радиоволн.
Радиоволны возбуждаются передающими антеннами и распро-
распространяются в относительной близости Земли; исключение составляет
дальняя космическая радиосвязь. Таким образом, обычно сущест-
существенным фактором является наличие сферической границы двух
сред: Земля — околоземное пространство. Иногда эту границу
можно рассматривать как плоскость; при этом используются све-
сведения о волновых процессах при наличии плоских границ, отраже-
отражении и преломлении. Весьма существенно, что околоземное прост-
пространство, в свою очередь, неоднородно. Простирающиеся на высоте
сотен километров над .земной поверхностью слои повышенной иони-
ионизации атмосферы — ионосфера — способны поглощать и «отражать»
радиоволны (точнее, изменять направление их распространения).
Заметно может сказываться и неоднородность нижних воздушных
слоев. Наконец, при изучении распространения радиоволн в природ-
природных условиях нередко нельзя отвлечься от вопросов их излучения
и приема, т. е. от действия антенн.
Из сказанного уже нетрудно заключить, что проблема распро-
распространения радиоволн в природных условиях в целом весьма сложна.
Но выше была обрисована еще далеко не полная картина явлений.
Нерегулярность и изменчивость природных факторов, наличие мно-
многих одновременных электромагнитных процессов, влияние маг-
магнитного поля Земли и солнечной активности, а также многое дру-
другое создают особые трудности для анализа радиоволн, разрешение
которых немыслимо без широких экспериментальных исследований
и наблюдений над природой. Благодаря настоятельным потребно-
потребностям практики экспериментальное и теоретическое изучение рас-
распространения радиоволн в околоземном пространстве ведется уже
десятки лет. Можно сказать, что общая картина процессов в насто-
настоящее время ясна; при этом некоторые важные черты явлений пода-
подаются элементарному описанию. На них в первую очередь мы и
остановимся.
§ 41. Элементарные сведения о радиолинии
1. Действие антенн и идеальная радиолиния. Радиолиния,
или радиотракт, — это пространство, в котором расположены
передатчик и приемник со своими антеннами; через радиолинию
передается электромагнитная энергия, а с ней и требуемая инфор-
информация. Конечно, существенную роль играет при этом лишь опре-
определенная область пространства.
Теория электромагнитного излучения будет рассматриваться
в следующей, четвертой, главе; что же касается антенн, то им по-
посвящен отдельный курс, изучаемый после теории электромагне-
электромагнетизма. Тем не менее простейшие вопросы действия антенн, отно-
относящиеся к радиолиниям, целесообразно обсудить уже сейчас.
222

Пусть в однородной изотропной непоглощающей среде из точки
А происходит электромагнитное излучение; среда безгранична.
Если бы плотность потока энергии была во всех направлениях
одинакова, то, взяв сферическую поверхность 5 = 4яг2 с центром
в А, можно было бы следующим образом выразить среднюю мощность
излучения Р = Ра'-
Я°л = §П°Й5 = 4я/-2ТТ°(/-). D1.1)
5
Обычно гипотетическую равномерно излучающую антенну называют
изотропным излучателем.
В действительности антенны излучают в разных направлениях
неравномерно. Если мощность некоторой антенны есть Р = Рд
и в точке М (г, ■&, а) она создает поток энергии с плотностью, в
Ва(&> а) не Раз превышающей плотность потока энергии изотроп-
изотропного излучателя при той же мощности, т. е.
П(лд, а) = ^л(д,а)П0(/•) при РА=~Р\,
то на основании D1.1) получаем
ТЦ^^Л. ,41.2)
Это выражение плотности потока энергии на расстоянии г в направ-
направлении (д, а). Множитель Оа{Ь, а) называется коэффициентом,
направленности действия данной антенны.
Полагая, что локально поле излучения можно рассматривать
как плоскую однородную волну, воспользуемся формулой C2.18),
т. е. положим
П(г,О,а)=еЬуа), D1.3)
где Ет (г, ■&, а) — амплитуда напряженности электрического поля
на расстоянии г в направлении (О, а). Тогда из D1.2) и D1.3)
Величину Ет (или У П) как функцию угловых координат рас-
рассматривают в качестве характеристики направленности антен-
антенны. Нормированной характеристикой направленности является
функция
Е(Г1а) D1.5)
Ее график в той или иной плоскости (например, при а = соп$1
или о = сопз!) — это так называемая диаграмма направленности.
Диаграмма направленности изотропного излучателя (рис. 41.1,а) —
окружность (рис. 41.1,6). Можно представить себе антенну, все
излучение которой сосредоточено в пределах телесного угла Й
223

(рис. 41.1, б), и в любой меридиональной плоскости диаграмма
направленности имеет вид, показанный на рис. 41.1,г. Направле-
Направлению г соответствует максимальное значение коэффициента Ь.
Пусть далее в точке В расположена приемная антенна (мы го-
говорим «в точке», потому что размеры антенны пренебрежимо малы
в сравнении с рассматриваемыми расстояниями). Из потока энергии,
падающего в направлении (о, а) с плотностью П (о, а), антенна
отбирает мощность
Яв=П@,аMв(д,а). D1.6)
Коэффициент 5Й (д, а) называют эффективной поверхностью ан-
антенны для данного направления. Доказывается х), что коэффициент
/7=сопз1;
Рис. 41.1.
направленности действия антенны связан с ее эффективной поверх-
поверхностью соотношением
4я5
в
, а)
D1.7)
Если ранее рассмотренная передающая антенна А и приемная
антенна В составляют радиолинию, то П (о, а) в D1.6) следует
выразить в виде D1.2). Используя также формулу D1.7), получаем
Э1, а) Ха -
——Ра- D1.8)
х) См., например, стр. 39 и предыдущие в (В.5]. В этой книге вывод не при-
приводится, так как это потребовало бы углубления в теорию антенн, однако в § 53,
п.4 дается пояснительный пример.
224

Это соотношение характеризует «идеальную радиолинию», когда
антенны расположены в однородном изотропном пространстве.
При расчетах реальных радиолиний часто употребляют анало-
аналогичную формулу
°"У"!Я, D1.9)
где Г (г) — так называемый коэффициент ослабления, который
показывает, во сколько раз напряженность поля в реальной линии
оказывается меньше, чем в идеальной.
2. О реальных радиолиниях. При проектировании радиолинии
основной является проблема определения мощности передатчика,
обеспечивающей достаточно высокую мощность приема (или напря-
напряженность поля в точке приема). Если радиолиния близка к идеаль-
идеальной, что может быть, например, при связи в космосе, то необходимые
расчеты легко могут быть произведены по формуле D1.8) Что же
Ионосфера
В)
касается реальных радиолиний более сложного типа, то ввиду
разнообразия условий нельзя указать простой и общий способ их
проектирования. Кажущаяся простота формулы D1.9), пожалуй,
маскирует действительные трудности.
Перейдем к рассмотрению наиболее важных факторов, определя-
определяющих распространение радиоволн над Землей. В отличие от без-
безграничной однородной среды, разные направления излучения в
данном случае заведомо неравноправны. Если радиолиния должна
быть установлена между расположенными вблизи Земли точками
А и В (рис. 41.2, а), то на первый взгляд интерес представляет лишь
направление излучения, касательное земной поверхности. Говорят,
что в этом направлении распространяется «земная волна». Дей-
Действительно, излучение в какой-то мере направляется земной поверх-
поверхностью; при этом Земля вызывает значительное поглощение, так
что Ет убывает гораздо быстрее, чем 1/г. Но, оказывается, радио-
радиолиния между пунктами А и В может быть создана и без использо-
использования земной волны.^Над Землей, как уже отмечалось, расположена
ионосфера; так называют ионизированные слои атмосферы (нижней
границей ионосферы принято считать высоту порядка 60 км).
По причинам, которые мы ниже обсудим кратко, а в гл. 6 более
подробно, в ионосфере происходит нечто вроде отражения радиоволн
многих диапазонов. В результате излучение из точки А под неко-
8 Электродинамика 225

торым углом к горизонту может прийти в точку В, как это показано
на рис. 41.2, б; возможны и многократные отражения с участием
поверхности Земли (рис. 41.2, в). Именно «ионосферные волны»
разрешают проблему радиопередачи на больших расстояниях (глав-
(главным образом свыше 2000 км).
Чтобы понять характер ионосферной волны, надо прежде всего
учесть, что волну, пришедшую в ионосферу, можно рассматривать
как локально плоскую. Ионизация сначала постепенно нарастает
с высотой, причем оптическая плотность среды уменьшается (§ 81,
п. 1). Заменим реальную среду системой плоских слоев (рис. 41 3, а)
и обсудим свойства этой модели. По условию ко> кх>к2 > ...>
> кп> ... , поэтому в силу закона Снеллиуса C7.7) мы имеем
к,
Кх
кп
к;
/
\
У///////////////////////////////7///,
а)
б)
Рис. 41.3.
картину преломленных лучей, все более приближающихся по
направлению к горизонту. Действительно, из равенства
к0 5Ш Оо = кг 5Ш $! = к2 51П ^ =... = кп зт ^„=..., D1.10)
учитывая соотношение волновых чисел, получаем: зш ■&„ >■ 51П дц.
Если соседние слои близки по оптической плотности, то отраже-
отражения очень малы, когда луч проходит через границу. Однако при
выполнении условия
^
'б'га_1>-1 произойдет пол-
ное отражение от и-го слоя, и луч «повернет назад». Легко убедиться,
что вторая (нисходящая) половина его пути будет симметрична
первой (восходящей к точке В) относительно вертикали.
В действительности к меняется не скачкообразно от слоя к
слою, а плавно с высотой, и поэтому траектория луча не имеет
изломов (рис. 41.3, б); по этой же причине полное отражение про-
происходит при о = 90°, так как в C7.76) надо положить пп = 1.
Пусть полное отражение имеет место при к = к, тогда, согласно
D1.10), _
На этом выводе условия поворота луча мы пока и остановимся,
сделав несколько замечаний. Во-первых, существенно, что отно-
Ч
226

сительная диэлектрическая проницаемость ионизированного газа
(е/е0 <; 1) есть функция частоты; это определяет особенности рас-
распространения радиоволн разных диапазонов. Самые короткие волны,
для которых условие поворота может быть выполнено, имеют
длину порядка 10 м; еще более короткие волны уходят от Земли
через ионосферу. Во-вторых, заметим, что выше в рассуждениях
а) б)
Рис. 41.4.
ради простоты не учитывалось поглощение; в действительности
этот фактор^важен. И, наконец, само представление об искривлен-
искривленном луче требует обоснования (см. ниже § 56, п. 5 и § 81).
В заключение параграфа отметим еще, что некоторое искривление
лучей при определенных условиях наблюдается и в нижних слоях
атмосферы, называемых тропосферой. Оно обусловлено изменением
плотности воздуха с высотой под влиянием различных факторов.
Это- называют «атмосферной рефракцией». В зависимости от того,
уменьшается или увеличивается с высотой плотность воздуха, имеет
место «положительная рефракция» (рис. 41.4, а) или «отрицательная
рефракция» (рис. 41.4, б).
§ 42. Диапазоны радиоволн
1. Классификация волн по диапазонам. Частоты электромаг-
электромагнитных колебаний, применяемых во всем многообразии современ-
современных радиоустройств, занимают столь обширную область, что при-
природные условия распространения соответствующих радиоволн силь-
сильно различаются. Это главная причина деления радиоволн на ряд
диапазонов по частотам (длинам волн). Оно производится так, что
внутри каждого диапазона природные условия остаются относительно
однообразными, и можно указать главные особенности распро-
распространения радиоволн соответственно преобладающим физическим
факторам.
В настоящее время выделяют следующие пять главных диапа-
диапазонов радиоволн:
1. Ультракороткие волны 10~3 — 10 м C-10 — 3 .105 Мгц);
поддиапазоны:
миллиметровые волны 1—10 мм C-Ю4 — 3-Ю5 Мгц),
сантиметровые волны 1 — 10 см C-Ю3 — 3-104 Мгц),
дециметровые волны 10 см — 1 м C -102 — 3 -103 Мгц),
метровые волны 1 — 10 м C-10 — 3 ■ 102 Мгц).
8* -~ 227

2. Короткие волны 10—100 м C — 3 -10 Мгц).
3. Средние волны 100 м — 1 км C ■ 102 — 3-103 кгц).
4. Длинные волны 1—10 км C-10 — 3-Ю2 кгц).
5. Сверхдлинные волны 10—100 км C — 3-10 кгц).
Разумеется, мыслимы как более длинные, так и более короткие
радиоволны. Освоение ультракоротких волн происходило по мере
развития методов генерации все более высокочастотных электро-
электромагнитных колебаний. Наконец, в последнее десятилетие произошло
событие принципиальной важности: в результате изобретения ла-
лазеров стали доступны когерентные электромагнитные колебания,
соответствующие оптическому спектру. Поэтому можно сказать,
что техника располагает радиоволнами оптического диапазона;
в последнем различают следующие поддиапазоны:
1. Ультрафиолетовая область 10~* — 4-Ю мм G,5 -108 —
3-10" Мгц).
2. Видимый свет 4-10 — 7,5-10~4 мм D-108 — 7,5-108 Мгц).
3. Инфракрасная область 7,5 -10~*—1 мм C -105—4 -108 Мгц).
2. Краткие сведения об околоземном пространстве. Каковы же
наиболее характерные особенности распространения радиоволн
разных диапазонов? Более полный и аргументированный ответ на
данный вопрос читатель получит к концу книги. Ближайшая же
задача — обсудить основные черты явлений в пределах уже из-
известных сведений из теории электромагнетизма.
Но сначала необходимо принять во внимание некоторые дан-
данные об атмосфере Земли. Нижние — плотные — ее слои, как уже
сообщалось, называют тропосфе-
тропосферой; тропосфера простирается
до высоты около 15 км. Тропо-
Тропосфера нагревается поверхностью
Земли; ее температура в сред-
среднем постепенно падает с вы-
высотой.
На высоте 60—80 км начи-
начинается ионосфера. Процессы
10000
1000
100
10
1Ог Ю3 ю4 Ю5 Юв /V' ионизации, происходящие глав-
главным образом . под влиянием
Рис. 42.1. Солнца, таковы, что на расстоя-
расстоянии 250—400 км от земной по-
поверхности лежит область наибольшей концентрации свободных
электронов, называемая слоем р. На рис. 42.1 *) представлен по-
построенный на основании экспериментальных данных график функ-
функции Ы' (к), выражающей число свободных электронов в 1 см3 на
высоте "к. В так называемой «внутренней ионосфере», т. е. ниже
слоя Р, различают еще слои /) и Е (см. рисунок), где концент-
концентрация электронов Ы' достигает значений порядка 103 и 105 соот-
соответственно, быстро возрастая на условных границах.
х) Рисунок заимствован из [Е.2].
228

Показанная картина изменчива. Слой О днем, образует нижнюю
границу ионосферы, а ночью исчезает, и эта граница поднимается
до слоя Е. На высоте слоя /) плотность газа, падающая с высотой,
еще относительно велика, так что колеблющиеся под действием
поля свободные электроны должны испытывать сравнительно час-
частые соударения с тяжелыми частицами, отдавая им свою энергию;
это основной механизм поглощения энергии электромагнитного
поля в ионосфере (§ 80, п. 3). Величина V, выражающая среднее
число соударений электрона с тяжелыми частицами в еекунду,
достигает в слое /) порядка 107.
Слой Е начинается на высоте около 100 км, причем этот уровень
устойчив; здесь V я» 10б. К ночи электронная плотность Ы' посте-
постепенно понижается до нескольких тысяч и остается до наступления
дня почти постоянной.
Вся ионосфера подвержена почти периодическим суточным,
сезонным, а также и более медленным изменениям, которые, на-
лагаясь, могут создавать сложную картину. Сложен режим слоя
Р. Например, зимой в дневное время величина Ы' достигает 2-Ю6',
а ночью становится на порядок ниже. При этом высота слоя днем
около 200, а ночью — 300 км. Летом же в дневное время слой Р
распадается на два слоя: Рх (высота около 200 км) и Р2 (высота
300—400 км). Во всех случаях слой Р довольно неустойчив. Число
V для него лежит в пределах 103 — 104.
Выше слоя Р в так называемой «внешней ионосфере» электрон-
электронная концентрация, падая с высотой, имеет значение порядка 10г
на расстоянии 20 000 км от Земли. Этот уровень считают границей
ионосферы.
3. Диапазонные особенности распространения радиоволн. Те-
Теперь можно перейти к обзору особенностей распространения ра-
радиоволн разных диапазонов.
Начнем с длинных волн. Для электромагнитных полей соот-
соответствующих частот C0—300 кгц) различные виды почв большей
частью выступают как проводники; тем более все водные поверх-
поверхности ведут себя как проводящие. Например, взяв из табл. 6.2
для сухой почвы о = 10~3 сим/м при е/е0 = 4, а частоту,— равной
106 гц, находим: 1§ А я» 45 (см. § 29, п. 2). Волновое сопротивление
среды относительно мало по модулю; магнитное поле вблизи земной
поверхности преимущественно тангенциально, а электрическое имеет
лишь небольшую тангенциальную компоненту; относительно не-
невелико и .поглощение (§ 40, п. 2). Поэтому, а также ввиду дифрак-
дифракционных явлений, о которых будет говориться в следующей главе,
в диапазоне длинных волн так называемая земная волна может при-
приниматься на весьма значительных расстояниях (скажем, около
3000 км).
Поскольку приемная и передающая антенны в данном диапазоне
находятся как бы на самой границе раздела сред (высота над Зем-
Землей всегда очень мала в сравнении с длиной волны), то в си-
силу свойственных проводнику граничных условий естественной
229

оказывается параллельная (§ 38, п. 2) поляризация — вектор Е в
вертикальной плоскости.
Распространение ионосферных волн происходит тоже при до-
довольно слабом поглощении: проникновение поля в ионосферу не-
невелико. Полагают, что в данном диапазоне ионосферная волна от-
отражается от слоя Б (днем) и Е (ночью), как от резкой границы
разнородных сред: изменение оптической плотности среды на гра-
границе ионосферы является быстрым (в масштабе длины волны).
Ионосферные волны могут приниматься во всех точках земного
шара.
Полезной моделью при изучении распространения длинных волн
является «сферический волновод», т. е. система двух концентри-
концентрических полностью отражающих сферических поверхностей, в про-
пространстве между которыми распространяется волновой процесс;
а)
л
Риг
4?
ЛЯ
б)
I
В
участок такого волновода мало отличается от участка волновода
в виде двух параллельных плоскостей (§ 39, п. 2). Если поле в сфе-
сферическом волноводе возбуждается источником в точке А (рис. 42.2, а),
равномерно излучающим во все стороны, то можно сказать, что
лучи соберутся в точке антипода В. Напряженность поля в зави-
зависимости от расстояния должна изменяться при этом, как показано
пунктиром на рис. 42.2, б. В действительности земная поверхность
и нижняя граница ионосферы образуют лишь некоторое подобие
такого сферического волновода; отличие заключается, главным
образом в поглощении при отражении от обеих границ. Однако
все же имеет место так называемый «эффект антипода» — возраста-
возрастание напряженности поля на расстоянии земной полуокружности
от антенны; изменение напряженности поля в реальных условиях
показано на рис. 42.2, б сплошной кривой.
По мере увеличения частоты условия распространения радио-
радиоволн изменяются настолько, что для диапазона средних волн ха-
характерными являются уже иные особенности. Из-за большего по-
поглощения в почве радиолинии, использующие земную волну, имеют
протяженность лишь порядка 1000 км. Что касается ионосферной
волны, то она способна отразиться лишь при электронной концен-
концентрации, свойственной слою Е. Поэтому днем, когда существует
230

более низкий слой /), волна проходит через него и практически
полностью поглощается. Ночью же поглощение соответственно го-
гораздо меньше, и радиолиния может работать на ионосферной волне;
ее протяженность при этом весьма значительно возрастает. Суще-
Существенно, что ночью в точку приема В могут прийти одновременно
земная и ионосферная волны (рис. 42.3, а) или две ионосферные
Рис. 42.3.
волны (рис. 42.3, б), а также более двух. Поскольку состояние ионо-
ионосферы не остается постоянным, фаза проходящей через нее волны
изменяется со временем. По этой причине в обоих указаннхы слу-
случаях (рис. 42.3) интерференция волн приводит то к усилению, то
к ослаблению поля. Это называется «замираниями» или «федингом».
С федингом борются, стараясь уменьшить изучение под большими
углами к горизонту.
Рис. 42.4.
При дальнейшем повышении частоты волны проникают глубоко
как в почву, являющуюся уже несовершенным диэлектриком, так
и в ионосферу. Для диапазона коротких волн характерно столь
значительное поглощение земной волны, что радиопередача при
ее помощи оказывается возможной лишь на десятки километров.
Основной практический интерес здесь представляют ионосферные
волны. Последние, проходя слои Б и Е, могут испытывать отраже-
отражение только при электронной концентрации Ы', близкой к макси-
максимальной (слой Р). Чем выше частота, тем большая концентрация
Ы' требуется для реализации полного отражения при данном угле
падения до и тем больший угол падения уже не приведет к полному
отражению при данной концентрации; рис. 42.4, а,б показывает,
231

как может нарушаться условие отражения. Если отражения в ионо-
ионосфере не происходит, то это значит, что волна уходит за пределы
слоя Р и к Земле не возвращается. Что касается поглощения ионо-
ионосферных волн, то оно в данном диапазоне возрастает с уменьшением
частоты. Таким образом, частоты выгодно повышать, но возможно
это лишь до определенных пределов, зависящих от изменяющихся
условий. Днем электронная концентрация ЛГ выше, и используются
волны 10—25 м — «дневные волны». Диапазон «ночных волн» 35—
100 м. На состояние ионосферы оказывают влияние процессы,
происходящие на Солнце. Слой Р разрушается в результате так
называемых «магнитных бурь»; на освещенной стороне земного шара
может возникать внезапное (практически полное) поглощение ко-
коротких волн вследствие дополнительной ионизации слоя /) под
влиянием вспышек на Солнце.
Особенностью радиолинии на коротких ^волнах является суще-
существование «зоны молчания» — области, до которой, можно сказать,
не доходит земная волна (точнее, где напряженность ее поля пре-
пренебрежимо мала) и куда не может
/?о^_^__^ 7 прийти ионосферная волна, посколь-
поскольку для этого отражение в ионосфере
должно было бы произойти при
весьма малом угле падения ■Од. Это
поясняется на рис. 42.4, в: Пусть
прием земной волны невозможен уже
в точке В' на расстоянии АВ' от антен-
Рис. 42.5. ны А, и при углах падения ф0, кото-
которые меньше О*, отражения в ионосфе-
ионосфере не происходит (как, например, для луча /); тогда зона молчания
простирается от В' до В". Другим характерным эффектом, иногда
наблюдаемым на коротких волнах, является «кругосветное эхо» —
наложение на принимаемый сигнал другого, который создается
волной, обошедшей земной шар (в прямом или обратном направ-
направлении), и соответственно запаздывает во времени.
Ультракороткие волны отличаются, прежде всего, тем, что они
не отражаются от ионосферы, а уходят через нее (исключение сос-
составляют случаи отражения наиболее длинных метровых волн в пе-
периоды повышенной солнечной активности). Почва во всем диапа-
диапазоне ультракоротких волн обладает свойствами поглощающего ди-
диэлектрика.
Типичная радиолиния в данном диапазоне существует лишь в
пределах прямой видимости: излучение приемной антенны А
(рис. 42.5) достигает точки приема В прямым (/) и отраженным от
Земли B) лучами. Протяженность радиолинии увеличивается
с высотой поднятия антенн над Землей.
Имеется, однако, ряд физических факторов, проявление которых
способствует удлинению радиолиний на ультракоротких волнах.
К ним относится, например, атмосферная рефракция (§41,рис.41.5,а),
а также рассеяние волн на случайных неоднородностях в атмосфере;
232

существуют радиолинии, использующие рассеяние волн на метеор-
метеорных следах.
Итак, был сделан краткий обзор основных особенностей рас-
распространения радиоволн разных диапазонов; мы не коснулись
лишь диапазона сверхдлинных волн и оптического. В последую-
последующих главах вопросы распространения радиоволн в природных
условиях вновь будут затронуты.
В §§ 58—60 рассматриваются земные и тропосферные радио-
радиоволны. При этом использованы некоторые сведения о дифракцион-
дифракционных явлениях (§§ 50, 54) и рефракции (§§ 56, 57). В § 80 вводится
электродинамическая модель плазмы, чтобы вернуться к вопросам
распространения радиоволн в ионосфере (§ 81). Позднее (§ 84)
учитывается влияние на ионосферные процессы магнитного поля
Земли. Наконец, в § 88 обсуждаются особенности различных
радиолиний.

ГЛАВА 4
ИЗЛУЧЕНИЕ, ДИФРАКЦИЯ И РЕФРАКЦИЯ
I. ИЗЛУЧЕНИЕ
Проблема электромагнитного излучения неоднократно затраги-
затрагивалась в предыдущих главах, и теперь накоплен материал, позво-
позволяющий рассмотреть ее систематически. Напомним некоторые мо-
моменты, исходные для дальнейшего.
Под излучением понимается движение энергии в пространстве
от источника; впрочем, здесь нужен ряд уточнений. Заметим сна-
сначала, что само слово «источник» употребляется в разных смыслах.
Говорят, например, что источниками электростатического поля
являются заряды, а источниками стационарного магнитного поля —
постоянные токи. В электростатическом поле нет движения энер-
энергии — ввиду отсутствия магнитного поля вектор Пойнтинга равен
нулю. Что же касается постоянного тока, то вспомним вывод, сде-
сделанный в § 28, п. 4. В этом случае существуют как электрическое,
так и магнитное поля, образующие в совокупности электромагнит-
электромагнитное поле, и происходит передача энергии, поступающей в результате
действия сторонних сил (т. е. процессов преобразования энергии
неэлектромагнитной в электромагнитную). Однако, поместив любое
распределение постоянного тока внутри мысленной замкнутой по-
поверхности 5, мы обнаружим, что поток вектора Пойнтинга через 5
равен нулю:
з.
Например, существует движение электромагнитной энергии от хи-
химического источника постоянного тока в направлении к подклю-
подключенной нагрузке, но равен нулю поток энергии через любую поверх-
поверхность, охватывающую всю цепь. Здесь налицо движение энергии
в пространстве от источника, однако она не покидает при этом неко-
некоторой ограниченной области пространства. Такую передачу энергии
не принято называть излучением.
Излучение свойственно переменным электромагнитным процес-
процессам. Создаваемое действием сторонних сил переменное электромаг-
электромагнитное поле имеет волновой характер и, если только нет внешних
препятствий, переносит энергию как угодно далеко от источника.
В §§ 32—39 уже довольно подробно рассматривались волновые
электромагнитные поля, но это были поля свободные, существующие
234 х

без источников. Проблема излучения заключается в исследовании
волновых полей, возбуждаемых источниками, иными словами,
полей вынужденных.
Что может являться источником электромагнитного волнового
процесса? Начало ответа на этот вопрос содержится в § 28, п. 1.
Если вследствие преобразования неэлектромагнитной энергии
в электромагнитную имеется заранее известное распределение
переменного электрического тока, то ток этот называют сторонним,
рассматривая его при решении уравнений электродинамики как
заданный. При этом задача об излучении сводится к требованию
найти электромагнитное поле в результате решения уравнений
Максвелла (или производных из них) при данном стороннем токе,
выражающем действие источника.
йервое, что теперь предстоит сделать, — это найти решения наи-
наиболее простых и вместе с тем характерных задач такого рода. Осмыс-
Осмысливая действие элементарных излучателей, мы выясним важные
общие закономерности электромагнитного излучения.
Далее будет сформулирована более общая точка зрения, согласно
которой в качестве источников излучения уместно рассматривать
не только заданные токи проводимости, но и, например, заданные
поля. Это находит отражение в принципе Гюйгенса.
В предлагаемом разделе излагается целый ряд вопросов теории
электромагнитного излучения. К ним относятся также представ-
представление о магнитных токах, принцип двойственности и принцип
взаимности. Весь этот круг вопросов будет иметь особенное значе-
значение при изучении теории антенн.
§ 43. Основная задача об излучении
1. Сторонний ток и поле излучения. Рассмотрим одну из поста-
постановок задачи об излучении, обладающую значительной общностью.
Пусть в некоторой области пространства распределен сторонний
ток, причем, за исключением этой области источника V, токи прово-
проводимости отсутствуют, так что
" в V,
вне V. <43Л>
Пусть среда однородна (проницаемости е и [I постоянны). Записы-
Записывая при поставленных условиях векторное уравнение Даламбера
B8.6), имеем х) мН
^//-е^ = -го1У". D3.2)
На основании (П5.25) можно было бы сразу выписать решение
уравнения D3.2). Сейчас, однако, в первую очередь представляет
интерес физическое содержание процесса излучения, и мы подой-
подойдем к вопросу с другой стороны.
х) О применении операции го! к заданной функции распределения тока
" (г) см. начало п.2 в § 22.
235

Обратимся к рис. 43.1, а, на котором схематически изображена
область источника V с выделенной в ней точкой Р (/*') и лежащей
на каком-то расстоянии (пусть вне V, что несущественно) точкой
наблюдения М (г). Предположим сначала, что временные измене-
изменения являются весьма медленными. Пусть они настолько медленны,
что напряженность магнитного поля //в точке М (г) в произвольный
момент времени г не отличается в пределах любой наперед заданной
"(Г),
а)
Рис. 43.1.
точности от напряженности стационарного магнитного поля при
] = У*ст @- Тогда //определяется по формуле B2.6), выражающей
решение уравнения B2.5), т. е.
И {г, г)^±-
го!'Уст (г', I)
\г-г'\
да*.
D3.3)
Очевидно, поле при этом следует назвать квазистационарным (§27).
Но чем выше скорость изменения стороннего тока, тем менее
достоверным будет результат определения магнитного поля в фик-
фиксированной точке М (г) по этой формуле. Это понятно: излучаемая
в точке Р (/*') электромагнитная энергия не может мгновенно преодо-
преодолеть расстояние [г—г'\, отделяющее М (г) от Р (г/), и можно ожи-
ожидать, что изменения в М (г) будут запаздывать на время А/ =
= |г—г^/у, потребное для распространения процесса (у — ско-
скорость распространения).
Допустим, что учет указанного обстоятельства сделает формулу
D3.3) пригодной для определения //в М (г) при любых изменениях
стороннего тока уст в Р(г'). Точнее, будем считать, что для вычис-
вычисления Н(г, I) надо лишь вместо го!' у" (/*', г) брать значение функ-
функции го1уст в предшествующий момент времени I—А(. Тогда доста-
достаточно ввести в D3.3) соответствующую поправку. Зная, что I—А/ =
, \г-г'\
напишем
I —
\т-т'\
D3.4)
236

причем под V, согласно предыдущему (гл. 3), естественно понимать
У
Удивительно, что. найденный путем столь простых рассуждений
результат D3.4) дает, оказывается, строгое решение задачи. Чтобы
убедиться в этом, возьмем формулу (П5.25). Сопоставляя D3.2) и
(П5.21), видим, что (П5.25) является решением D3.2), если в каче-
стве / (г', I —| взять — го1уст как функцию от г' и
г г>
г . Что касается формы записи, то мы воздерживаемся
от символа го1усМг', I — -—-—П, потому что его можно истол-
истолковать как вихрь от уст(/ — — ~г '), что не одно и то же1).
V
Если ток гармонически колеблется, т. е. уст(г', () = ]'ст (г')х
ХСО8 [со^ -}- ф (г')], то удобно перейти к комплексному представ-
представлению /ст (г', I) =/% {г')еш, где /% (г') =^ (г1) е'ф <р - комплекс-
комплексная амплитуда. Далее
го1'/т(г')
= е1 Ш-к]г-г'1) Т01' ,;ст
где & = со"|/е^1. Поэтому
V
Выделяя и опуская множитель е!и>', запишем выражение комплекс-
комплексной амплитуды напряженности магнитного поля:
4яУ ^^-^' —М- D3.5)
Это решение уравнения Гельмгольца
#4 D3-6)
получаемого из D3.2) при использовании метода комплексных
амплитуд. Разумеется, выражение D3.5) сразу же находится по
формуле (П5.23) при замене /т (г') на — го1у„т (г').
2. Разные виды решений. Все предыдущее рассмотрение пресле-
преследовало единственную цель — осмыслить решения уравнений Да-
ламбера и Гельмгольца для задачи об электромагнитном излучении;
при этом была выбрана одна из возможных ее формулировок.
Между тем при задании стороннего тока D3.1) вовсе не обязательно
исходить из уравнения D3.2). В § 28 были выведены различные
х) Поскольку время запаздывания | г — г'\1у есть функция г', то оно раз-
различно для находящихся под знаком интеграла функций уст(г') и пйуст (/•')•
237

уравнения Даламбера B8.6), B8.7), B8.14) и B8.15), и их решения
могут быть прямо выписаны на основании общих выражений (П5.25)
и (П5.20). Так, при условии D3.1) решения уравнений Даламбера
для потенциалов B8.14) и B8.15) имеют вид
V, ,_
)
А С. О = & \ " г-гп° ' *>' D3-7)
Рст г', *-
Ф (г. О = ^ ^ 1 |Г_Г>|Р У *'• D3-8)
причем рст — плотность заряда, присутствующего только в области
источника; ввиду D.2) дрст/д/-= —сНуу". Говорят, что формулы
D3.7) и D3.8) выражают «запаздывающие» потенциалы. Действи-
Действительно, они могут быть прямо получены из B2.13) и A4.10) при
введении времени запаздывания. '
Обратимся теперь к уравнениям Гельмгольца из § 29, п. 4,
которые были найдены при введении комплексных проницаемостей.
При их помощи мы можем поставить задачу об излучении в погло-
поглощающей среде. Используя общую форму решения (П5.23), запишем
решения уравнений B9.18) и B9.19):
|Г_?.'-(Г)*' D3.9)
— ' I '''''-'^"у-ЛУ^^-))^ D3.10)
4яше л,) I г—г |
л,)
а также уравнения для потенциалов B9.25) и B9.26):
в—'* 'г—г''
—Г
4ясое Л
D3.11)
D3.12)
Формула D3.9) дает обобщение решения D3.5), распространяю-
распространяющееся на поглощающие среды. Этот тип решения представляет особый
интерес, так как он допускает преобразование, ведущее к простому
выражению вектора Н поля излучения; ниже оно будет выполнено.
3. Преобразование решения и характер электромагнитного из-
излучения. Поступим так же, как это делалось в § 22 при получении
формулы B2.7) из B2.6). Изменяя вид подынтегрального выражения
238

D3.9) при помощи векторного тождества (П1.35), пишем
го1
г—г-
(> Г
- ^ [
1ь\г-г'\
D3.13)
Первый интеграл на основании (П1.28) приводится к поверхностному:
г'1 с а—1к\г—г' I
У-^=Г
Этот интеграл равен нулю, как и аналогичный поверхностный ин-
интеграл в § 22, п. 2. Во втором интеграле D3.13) ввиду (П1.11) и
"(П1.36)
Г —Г'
- = /•„,
\Г-Г'
где год= (г — г/)/\г — г'\. В результате из D3.13) находим
—'^'-D3.14)
Полученная форма решения дает сравнительно простой способ
определения поля излучения при заданных источниках: выражая
непосредственно комплексную амплитуду вектора //, она.не содер-
содержит операций дифференцирования под интегралом. Применение
формулы D3.14) позднее будет продемонстрировано. Пока же для
нас важно, что эта формула сама по себе дает некоторое представле-
представление о характере поля излучения.
Интеграл распадается на два слагаемых, и можно сказать, что
поле состоит из двух определяемых ими компонент, которые с уда-
удалением от источника убывают по-разному. Перепишем D3.14)
в виде
1С
_ 1 I
■и С
~ы1
Год]
■(IV1.
(г"\ г
йо1.
D3.14а)
Й
Более быстро убывающая компонента Йт характеризует так назы-
называемое «ближнее» поле. Привлекая для сравнения формулу B2.7),
видим, что ближнее поле по своему строению может быть похоже
на поле стационарное. Для этого нужно, чтобы присутствующий под
239

интегралом множитель е-'*!г~г'1 мало отличался от единицы. Пусть,
в частности, поглощение отсутствует (к = к). Тогда е~'Ь\г~г'\^\
при к| г—г' | <! 1, т. е. при |г—г' |<^ А,: расстояние от точки наблюде-
наблюдения М (г) до любой точки источника Р (/*') должно быть мало в срав-
сравнении с длиной волны. Ясно, что такое же ограничение автоматически
налагается и на размеры источника. Тогда ближнее поле квазиста-
ционарно.
Медленнее убывающая компонента Нт характеризует поле, на-
называемое «дальним». При \г—г'|->оо (см. рис. 43.1, а) \г—г'\ -> г,
поэтому при отсутствии поглощения ближнее поле асимптотически
убывает, как \/г2, а дальнее, как \1г.
Нт = 0[~) и /7«=0^] при к = к. D3.15)
Ввиду D3.15)
Нт-*Йт при г-*оо. D3.16)
Таким образом, поле излучения убывает с расстоянием от источника
существенно медленнее, чем поле стационарное.
Очевидно, что по мере удаления от источника поле все более
приближается к расходящейся сферической волне с радиальной
зависимостью е—'*г/г, и решение D3.9), D3.14) удовлетворяет ус-
условию излучения (П5.24), которое в данном случае имеет вид
• Игл гр^ + /Шт(г)] = 0. D3.17)
Поскольку при поглощении поле убывает быстрее, чем \1г, то ре-
решение удовлетворяет также условию единственности, сформулиро-
сформулированному в § 31, п. 2.
4. Излучение линейных токов. Если сторонний ток есть иде-
идеальный линейный ток (§ 23, п. 1), т. е.
утцг) = т:о1%8(г — г') D3.18)
(рис. 43.1, б), то некоторые из формул, полученных выше в пп. 2, 3,
можно легко упростить. Так, вместо D3.14) имеем
1 V ГСТ / * | 1П | ,•/, | . ,.' | Г .111 ~ 1 /4*3 1 О\
а вместо D3.11)
^ $ 1е~*Т''Ж- D3-20)
Вывод этих выражений ничем не отличается от вывода формул
B3.2) и B3.3). Величина 1т не вынесена за знак интеграла, так
как, в отличие от постоянного тока (§ 23), /„ может изменяться
вдоль Ь.
240

§ 44. Элементарный электрический излучатель
. и линейный вибратор
1. Элемент тока и диполь Герца. Полученные выше формулы
позволяют находить поле излучения при любых заданных распре-
распределениях стороннего тока. Начнем с рассмотрения простейшего
случая, представляющего, однако, большой принципиальный ин-
интерес — возьмем малый элемент линейного тока.
«Открытый» элемент постоянного тока, конечно, немыслим, но
мы рассматриваем ток переменный, который, как легко убедиться,
может поддерживаться колеблющимися зарядами на концах от-
отрезка (рис. 44.1, а). Если в некоторый момент оба заряда — проти-
противоположные по знаку — равны по абсолютной величине, то такое
равенство сохранится и в дальнейшем. Пусть, например, условный
Уменьшение
зарядов
а)
а Ь с с1 е
б)
Рис. 44.1.
положительный заряд перетекает на отрицательно заряженный ко-
конец. Уменьшение заряда по абсолютной величине происходит при
этом на обоих концах и в одинаковой мере: на одном из-за потери
заряда, а на другом — в результате нейтрализации. Наконец, ток
разрядит оба конца, а затем (не изменяя направления) перезарядит
их противоположно. Когда же все движущиеся заряды «израсхо-
«израсходованы», и абсолютные значения зарядов на концах достигли мак-
максимума, ток, снизившись до нуля, меняет направление и т. д. Этот
циклический процесс поясняется графиком на рис. 44.1, б. Отрез-
Отрезку переменного тока, таким образом, соответствует колеблющийся
диполь.
В справедливости сделанного описания можно убедиться при
помощи закона сохранения заряда в форме B9.13). Поместив эле-
элемент тока на оси г декартовой системы координат рис. 44.2, с, мы
должны записать уравнение B9.13) в виде
D4.1)
или
йг
D4.1а)
241

Приписывая отрезку / некоторую толщину, т. е. фактически заме-
заменяя его проводящим стержнем поперечного сечения 5, как угодно
тонким, имеем
где /" — комплексная амплитуда стороннего тока, проходящего
вдоль оси г, а 4" — комплексная амплитуда соответствующего ему
заряда на малом элементе Аг. Умножая левую и правую части
D4.1а) на 5Лг, таким образом, получаем
Д/™ = _«»4«, D4.2)
понимая под Д/™ изменение величины /" на элементарном участке
Дг. Если амплитуда /„ постоянна на всем отрезке /, как это пока-
показано на рис. 44.2, б, то изменения ее имеют место лишь на концах
а)
'т
б)
Рис 44.2.
+9
9
в)
и от /"до нуля. При этом,
его, причем Д/" = ±/т от нуля до 1сп
как следует из D4.2), д" = О на всем отрезке /, за исключением
концов, на которых сосредоточены равные по абсолютной величине
и противоположные по знаку колеблющиеся заряды с комплексными
амплитудами
4™=?+/—. D4.3)
Эти заряды и образуют диполь (рис. 44.2, в), соответствующий эле-
элементу переменного тока. Отметим, что, согласно D4.3), заряды и ток
сдвинуты по фазе на 90°, как это показано на рис. 44.1, б. Введем
в рассмотрение момент диполя р = год1 (§ 15, п. 4), который, как и
заряды, колеблется с круговой частотой ©; его комплексная ампли-
амплитуда равна
11
D4.4)
Итак, элемент переменного тока, амплитуда которого неизменна,
существует при наличии колеблющегося диполя, называемого
обычно диполем Герца, а также элементарным электрическим излу-
излучателем.
242

2. Решение задачи об элементарном излучателе. Найдем элек-
электромагнитное поле, источником которого является диполь Герца.
Прямолинейный отрезок / с током расположим в сферической си-
системе координат (рис. 44.3, а). При этом на основании формулы
D3.19), где в данном случае аЧ' = г^г, имеем
1/2
* 1 С 9от /1 Нъ \
Ъ-1 /у\ __ V уст / [ \ ^— (к \ т—г' | Ту р» 1 ^2 (АА 5)
-1/2
Ввиду малости элемента тока вычисление Йт сводится к очень
простым действиям: чем меньше / в сравнении с расстоянием на-
наблюдения и длиной волны, тем с большим основанием подынтеграль-
подынтегральное выражение можно считать постоянным. Действительно, при
- б)
Рис. 44.3,
г имеем:
— и
, год]^[го, го] = ао$т'&, а при
<^ е~1'кг. Последнее нуждается в некотором поясне-
пояснении. Как видно из рис. 44.3,6, \г — \г — г'\\<.1/2, так что при
отсутствии поглощения (к = к = 2я/Х) \'кг — к\г — г'||<Яу. От-
Отсюда и вытекает аппроксимация; она сохраняет силу и при по-
поглощении, когда А—-2я/&'.
С учетом этих замечаний из D4.5) получаем
о— 1кг
D4.6)
Результат найден. Однако, прежде чем использовать его для пол-
полного определения поля излучения, введем в рассмотрение объект,
для которого формула D4.6) является точной при любых г. Это
идеальный диполь Герца, «дипольная точка» (ср. § 15, п. 4), получае-
получаемая при / -*■ 0 с сохранением момента/?, что, согласно D4.4), озна-
означает постоянство произведения 1^1. Привлекая D4.4), из D4.6)
находим
0, /)т =
. D4.7)
243

Желая, далее, найти комплексную амплитуду напряженности
электрического поля идеального диполя Герца, будем исходить из
первого уравнения Максвелла. Согласно B9.11а) везде вне диполь-
ной точки Ет — —гго!//т. Внося сюда Нт из D4.7), при помощи
/Ш8
формулы (П1.23) вычисляем
1 + 1к>1 соз 0 + #01A + ~- к^ 8то]г'*'. D4.8)
Равенства D4.7) и D4.8) полностью описывают поле излучения
в виде комплексных амплитуд векторов Е и Н*, ниже в п. 3 оно будет
исследоваться. Пока же отметим, что вместо прямого определения
из D3.19) можно было сначала воспользоваться формулой D3.20)
• '/2 —'6 —г'\
Ат(г) = ^ { \™е '^'! гойг. D4.9)
Отсюда для идеального диполя Герца (/-*-0, рт = ^- = сопзп
D4.10)
(рис. 44.3, а), и выражение D4.7) находится в результате приме-
применения формулы Йт = [I го! Лт B9.22).
3. Свойства поля излучения. Начнем с того, что выпишем сле-
следующие из D4.7) и D4.8) выражения векторов Е и Н взяв среду не-
поглощающей (к = к) и положив рт = рте1^. В результате
В = Ш Т Ь2 [тг С05 № - кг + Ч>) -
Ш Т Ь2 [тг С05 № кг + Ч>) - 51п И кг + ф)] 1
} D4.11а)
Я= — а0 ^~\ 1 8Ш(а>(—кг+<р)+со& (Ы—кг+фI 31п0. D4.116)
В этой записи слагаемые в скобках сделаны безразмерными.
Как видно, поле элементарного электрического излучателя имеет
характер неоднородной сферической волны. Действительно, на по-
поверхности любой координатной сферы г = сопз! фаза каждой из
компонент векторов поля Е и Н постоянна, а амплитуда изменяется
в зависимости от угла ф. От а поле не зависит, оно азимутально од-
однородно, как и должно быть при данной симметрии источника. Маг-
Магнитные силовые линии образуют концентрические окружности
в плоскостях, перпендикулярных току (г = сопз!), а электриче-
электрические силовые линии лежат в меридиональных плоскостях (а = сопз!).
Обозначив к = 2яА мы не можем, однако, рассматривать "к в каче-
качестве длины волны. Этот параметр не только не является «простран-
«пространственным периодом» в силу ослабления поля с расстоянием, но и не
244

соответствует изменению фазы на 360°. При переходе от точки
М {г, ф, а) к удаленной на X точке М' (г + X, ф, а) приращение фазы
зависит от г и различно для разных компонент поля. Итак, поле
излучения сравнительно сложно. Но отдельные слагаемые в форму-
формулах D4.11а), D4.116) не равноценны для полей на разных расстоя-
расстояниях от излучателя. Это значительно облегчает дальнейшее иссле-
исследование.
Рассмотрим сначала поле в так называемой «ближней зоне»
излучателя, т. е. на расстояниях г <^ X1), Поскольку при этом кг <^
«^ 1, то формулы D4.11а), D4.116) можно заменить простыми при-
приближенными соотношениями, отбросив в квадратных скобках малые
члены; пренебрегая также фазовым сдвигом кг, получаем при г << X
8Ш0, D4.12)
где р = ртсо8(©г + ф) и /и = -/"$ш(а/ + ф) (рт = /"//©).
Поле, определяемое этой записью, не имеет волнового характера.
Сопоставляя D4.12) с A5.13) и B3.2а), видим, что распределение
в пространстве электрического поля в любой момент ( оказывается
таким же, как в случае электростатического диполя, а распределе-
распределение магнитного ноля подчиняется закону Био — Савара, справедли-
справедливому для стационарного магнитного поля. Таким образом, как и
следовало ожидать, в ближней зоне преобладает квазистационарное
электромагнитное поле (ср. § 43, п. 3). Из D4.12) следует, что в ближ-
ближней зоне векторы Е и Н сдвинуты по фазе почти на 90°. Приняв
формулы D4.12) за точные, мы пришли бы к выводу, что излуче-
излучение отсутствует, так как равен нулю средний вектор Пойнтинга П
C0.7): комплексный вектор Пойнтинга П — величина чисто мнимая.
Это соответствует колебательному движению энергии около источ-
источника. В действительности такое движение в ближней зоне преоб-
преобладает.
Возьмем теперь «дальнюю зону», т. е. будем рассматривать поле
на расстояниях г ^> X; при этом кг*^> 1. Отбросив в D4.11а), D4.116)
пренебрежимо малые члены, находим при г 2> X
(И? = У^|л/е).Это «дальнее поле» (§ 43, п. 3) представляет собой до-
довольно простую сферическую неоднородную волну, векторы Е и Н
которой, как и в случае плоской однородной волны (§ 32), перпенди-
перпендикулярны направлению распространения, взаимно перпендикулярны
и находятся в одной фазе. Для дальнего поля X = 2л/к является
х) Если рассматривается не идеальный диполь Герца, а конечный элемент
тока, то, применяя формулы D4.11), надо следить также за выполнением усло-
условия г >> /.
245

длиной волны, поскольку по г на этом расстоянии фаза изменяется
на 360°. Отношение амплитуд Ет и Нт, как и для плоской однород-
однородной волны, равно И? = У ц/г. Все сказанное означает, что сфериче-
сферическая волна диполя Герца локально превращается в известную плос-
плоскую (§ 32).
4. Характеристики излучения. Комплексный вектор Пойнтинга
в дальней зоне направлен радиально' и не имеет мнимой части; со-
согласно D4.13) средняя плотность потока энергии, переносимой при
излучении, равна
D4.14)
(рис. 44.4, а). Выражение является точным, в чем легко убедиться,
взяв Ёт и Йт в виде D4.7), D4.8) (при к = к). Что касается мнимой
а)
Рис. 44.4.
компоненты П, то она вообще имеет не только радиальную, но и
поперечную составляющую (П#); колебательное движение энергии
происходит в меридиональных плоскостях.
Как следует из D4.14), излучение максимально в экваториаль-
экваториальной плоскости (ф = 90°) и отсутствует в осевых направлениях
(Ф = 0 и ф = 180°). Функция
Р($, а) = Уп Щ/У П (90°) = | 8И1 # | D4.15)
дает представление о распределении излучения в пространстве;
это не что иное, как нормированная характеристика направленности
D1.5). График Р (ф, ее) — диаграмма направленности — для любой
меридиональной плоскости имеет вид двух соприкасающихся окруж-
окружностей (рис. 44.4, б). Еще нагляднее объемная диаграмма напра-
направленности, т. е. поверхность г = Р (ф, а); это поверхность тора
(рис. 44.4, в).
Вычислим полную среднюю мощность излучения 732. Составляя
поток усредненного по времени вектора Пойнтинга через какую-
246

либо координатную сферическую поверхность, охватывающую
элементарный электрический излучатель, имеем
Я2я
Р2 = ^ игг2 $т й йЬ йа. D4.16)
и о
Внося сюда П D4.14), имеем
й5 РтГ
и, принимая во внимание, что \ 8Ш3'(Ы'в' = ^, находим
или
|(^J(|J • D4.17а)
Таким образом, излучение малого элемента тока (/" = сопз!)
резко возрастает при ослаблении условия квазистационарности
/ <^ "к. Часто выражение излучаемой мощности переписывают
в форме закона Джоуля — Ленца
^ (!)•' D4.18)
называя <Мг — сопротивлением излучения.
Из D4.14) и D4.17) следует, что
D4.19)
Гипотетический изотропный излучатель (§ 41, п. 1) при той же мощ-
мощности создает поток энергии с плотностью П° = Р2/4лг2, т. е.
в полтора раза меньше. Поэтому максимальный коэффициент на-
направленности действия' элементарного электрического излучателя
равен 3/2:
^в |. D4.20)
Отах = О(90) = = |.
5. Заключение. Линейный вибратор. Созданный Генрихом Гер-
Герцем первый искусственный излучатель электромагнитных волн
фактически был реализацией элементарного электрического излу-
излучателя. На рис. 44.5, а показано его изображение, а на рис. 44.5, б —
схема включения: шаровые емкости на концах проводников переза-
перезаряжались быстропеременным током, возбуждавшимся во-вторичной
247

цепи индукционной катушки; промежуток между малыми ша-
шарами замыкался при этом искровым разрядом. Герцем была построена
и теория излучения, использующая представление о колеблющемся
а)
Рис. 44.5.
диполе. Он получил картину электрических силовых линий разви-
развивающегося электромагнитного поля элементарного излучателя,
которая ниже приведена на рис. 44.6, а х).
о а ь
а)
Рассматривая рис. 44.6, а, надо иметь в виду, что в сущности
речь идет об установившемся процессе при гармонических колеба-
колебаниях заряда и тока, показанных на рис. 44.1, б. При этом поле,
описываемое формулами D4.11а), D4.116),,существует во всем про-
*) Читателю рекомендуется посвященное Герцу историческое исследование
[3.2], откуда заимствованы рис. 44.5, а и 44.6, а.
248

странстве, и построенная картина иллюстрирует лишь процесс
в относительной близости от излучателя. В некоторый момент а
(см. также рис. 44.1, б, где буквами отмечены фазы колебаний)
электрическое поле вблизи излучателя в радиусе порядка А/4
весьма похоже на поле электростатического диполя. Электрические
силовые линии раздвигаются вширь (моменты Ь и с) и деформируются
таким образом, что в некоторый момент происходит их отрыв от
источников и замыкание на себя. Замкнутые электрические силовые
линии мы наблюдаем в момент й. Не удивительно: при этом колеб-
колеблющиеся заряды проходят через нулевое значение и линии не могут
иметь начало и конец. Момент е вполне аналогичен моменту а,
произошла «переполюсовка» зарядов. Но на рисунке теперь пока-
показано и поле на расстояниях г > Я/4 — результат описанного про-
процесса. Так формируется сферическая волна элементарного излуча-
излучателя. Электрическое поле в более обширной области пространства
изображено на рис. 44.6, б. Магнитное поле, не обозначенное сило-
силовыми линиями на рис. 44.6, а и рис. 44.6, б, является более простым.
Начиная с некоторого расстояния, сгущения магнитных силовых
линий, представляющих собой концентрические окружности в плос-
плоскостях, перпендикулярных оси диполя, совпадают со сгущениями
электрических силовых линий, перемещаясь в радиальных напра-
направлениях.
В дальней зоне устанавливается распределение поля по углу й-
Чтобы оценить точность выражений D4.13), составим отношение
Ндт/Н6т (§ 43, п. 3). Как следует из D4.116)
-^ = А:г = 2л^, D4.21)
т. е., например, на расстоянии г около 16А, это отношение равно
100. На таком удалении от источника фактически уже сложилась
сферическая волна, комплексные амплитуды которой зависят от
координат, как е~1кг $т $1г.
Малые в сравнении с длиной волны антенны, напоминающие
элементарный электрический излучатель, применяются и в настоя-
настоящее время.
Антенна, называемая симметричным линейным вибратором,
состоит из двух питаемых посредине проводящих стержней, на
которых устанавливается стоячая волна тока (рис. 44.7, а)
Т+ г), г<0,
D4-22)
1т$тк -н-- г), г>0.
Точнее говоря, действительное распределение тока обычно бывает
близким к описываемому этой формулой. В зависимости от длины
вибратора / распределение тока принимает различные формы,
249

показанные на рис. 44.7, б. Правда, в большинстве случаев приме-
применяются не малые в сравнении с длиной волны вибраторы, например
полуволновые (/ = Х/2).
1/2
тСГ
Г1/2
а)
б)
Рис. 44.7.
Найдем дальнее поле линейного вибратора в непоглощающей
среде, используя выражение D4.5), на основании - которого
1к_ Р *ст 1го>
= 4я 3
-1/2
Г-Г'
■йг.
D4.23)
Внося сюда функцию распределения тока D4.2) и- полагая
|Г-Г'I = 7' а также (см- Рис- 44.7, а)
имеем
Ь—1/2
1/2
со,*
4-
D4.24)
(строгое равенство получается при г -> оо). Ъ результате интегри-
интегрирования находим
>ы л ы
соз -~ соз О — соз -,г-
р-1кг \ 4 / ^_
81П О
D4.25)
Дальнее поле представляет собой сферическую неоднородную
волну с такой же радиальной зависимостью, как и в случае элемен-
250

тарного излучателя. Поэтому Ёт = Ъ0Ч?Йт» в чем легко убедиться,
взяв первое уравнение Максвелла. Что касается углового распре-
распределения излучения, то с ростом длины вибратора / оно становится
2; Ф,ос)
Ф,а)
180
180°
Рис. 44.8.
все более сложным. Это показывает приведенные на рис. 44.8 диаг-
диаграммы направленности для разных /.
§ 45. Элементарный магнитный излучатель
1. Постановка задачи и определение векторного потенциала.
В качестве другого примера распределения стороннего тока рас-
рассмотрим круглый замкнутый контур радиуса а; на рис. 45.1, а
он изображен в сферической системе координат. Подобный контур
постоянного тока исследовался в § 23, п. 3, где было установлено,
г
Рис. 45.1.
6)
что в пределе при а/г -> 0 (а2/ = соп$1) он превращается в идеаль-
идеальный магнитный диполь с моментом т = го}х/5 E = па\ г0 — орт
положительной нормали к площадке витка. Поэтому есть основа-
основание полагать,' что при гармонических колебаниях тока такой кон-
контур будет подобен колеблющемуся магнитному диполю, и мы полу-
получим элементарный магнитный излучатель.
Вместо непосредственного определения поля найдем сначала
векторный потенциал, применяя формулу D3.20), которая ввиду
251

постоянства 1т принимает вид
~~Л^-<и'- D5.1)
Выражения величин Ш и \г—г1] в сферической системе координат
для данной конфигурации (см. рис. 45.1) известны из § 23, п. 3
(рис. 23.2): (И' = (—а0со$а-\-Я0$та)аЛа, \г—г'\2 = г2+а2 +
+ 2га 81п§со8а. При интегрировании лишь азимутальная компо-
компонента аоа соз а йа дифференциала Ш' даст отличный от нуля вклад
(см. вывод формулы B3.6)). Поэтому
Ат И = - оо -з- \ ——п с1а. D5.2)
Отмечая, что \г— г'| — г = (г2 + а2 + 2га $т й со« аI'" — г ==
= а 51п й соз а -\- О (а2), запишем:
е—1к\г — г'\ [е~''кг й е~^г 1
а со? а , _ ,, = а со« а (- % а зт й СО8 а + О (а2) =
.— ИГ Г / 1 . \ -1
= -у— СО8 а а — (у + /Л] а2 зт ■& СО8 а + О (а3) .
Будем рассматривать исчезающе малый контур (а -> 0) при
/"а2 = сопз1, т. е. — с учетом выполненных преобразований —
будем искать Ат как предел
а-*0
2я
X \ \а — [у + Иг)а2 5\п ® со$а + 0 (а3) С08а с?а.
Это дает
^(^ )-1*г 8Ш#. D5.3)
При ^ -> 0 (т. е. о -> 0) формула D5.3) приводит к результату
B3.7), полученному ранее в случае постоянного тока.
Придадим, наконец, выражению Ат D5.3) следующую форму:
Ат (г) = а0^ A + у) е-'*' 8ш О, D5.4)
где тт = }х7тла2. Действительно, величину
|»т = го|х/т5 E = ла2) D5.5)
естественно считать комплексной амплитудой магнитного момента
контура т = тт соз (а>1 -\- ф), испытывающего гармонические КО'
лебания вместе с током /ст.
252

Поставим вопрос, при каких условиях выражение векторного
потенциала D5.3), являющееся точным в пределе, можно исполь-
использовать как приближенное. Во-первых, расстояние до точки наблю-
наблюдения должно быть большим в сравнении с размерами контура
а (г "р> а). Но этого еще недостаточно, так как при разложении
е~1'к'-т~т'^1\г—г'\ в ряд Тэйлора существенна близость е~''к'г-г'\
к е-'*'. При к = к = Ц- имеем: \кг—к\г—г'\\<2па1% (рис. 45.1,6).
Таким образом, требуется еще условие квазистационарности кон-
контура а <^ А. Нетрудно увидеть здесь полное сходство с требова-
требованиями, сформулированными в § 44 для элементарного электриче-
электрического излучателя.
2. Определение поля излучения. Зная Ат, найдем теперь на
основании B9.22) комплексную амплитуду напряженности магнит-
магнитного поля. Используя формулу (П1.23), получаем
Нт ="~^\г^ A + 1к) со8 0 + #01 A + % - к?) 8ш в] е-&г. D5.6)
Как и в случае элементарного электрического излучателя, при-
VI во внимание, что вне ]
помощи (П1.23) вычисляем:
мем во внимание, что вне источника Ёт = —=• го! Нт. Отсюда при
/0)8
Как и в § 44, выпишем теперь выражение напряженностей поля
Е=ЯеЁтеил1 и Я=Ке//те'т' при отсутствии поглощения (к=к)
т&, D5.8а)
- кг + ф) -8ШИ- кг + ф)]^ СО8
? (Ш -кг + <р)-~ 51п (и/ - кг + Ф)] 51пй} D5.86)
3. Свойства элементарного магнитного излучателя. Сопостав-
Сопоставление полученных выше результатов с соответствующими форму-
формулами из § 44 показывает, что строение электромагнитного поля в оп-
определенном смысле повторяет уже известную картину, но электри-
электрическое и магнитное поле как бы меняются ролями. Так, в частности,
в ближней зоне (г <; X)
D5.9)
СО8 И + Ф).
253

В дальней зоне (г !!>
Е~а
С05 И-
D5.10)
8Ш
у-С05 И -
Как и в случае элементарного электрического излучателя, в ближ-
ближней зоне преобладает квазистационарное электромагнитное поле,
в среднем не переносящее энергии (векторы Е и Н сдвинуты на 90°
по фазе). При этом строение магнитного поля таково, как если бы
оно создавалось магнитостатическим диполем с моментом т. Что
касается поля электрического, то его характер будет вполне поня-
понятен после введения концепции магнитного тока в § 46.
Относительно электромагнитного' поля в дальней зоне можно
повторить почти все из того, что говорилось о поле элементарного
электрического излучателя. Однако сфериче-
екая волна дальней зоны, локально рассма-
рассматриваемая как плоская, будет иметь иную
поляризацию по отношению к оси диполя.
Вычисляя среднюю плотность потока
энергии, имеем
D5.11)
(рис. 45.2), ср. D7.14). Излучение распреде-
Рис. 45.2. лено в пространстве совершенно так же, как
и в случае элементарного электрического излу-
излучателя. Формула D4.15) для характеристики направленности и
диаграммы направленности на рис. 44.4, б, в сохраняют силу. По-
прежнему также 1)тах= Ь (90°) = 3/2.
Полная средняя мощность излучения Р2, вычисляемая как по-
поток вектора П D5.11) через координатную сферическую поверх-
поверхность, равна
г - 3 тт8цГХ*' (ю.и)
ср. D4.18), или с учетом D5.5)
Р2 = _4|! (/^тJ г ^2. D5.12а)
Переписывая D5.12а) в форме закона Джоуля — Ленца, получаем
е^^ =-5-1^ р . D0. Щ
Вернемся теперь к рис. 44.6, а, б. Ввиду полного сходства электри-
электрического поля диполя Герца и магнитного поля рассмотренного выше
элементарного магнитного излучателя (ср. формулы D4.11а) и
D5. 86)) эти рисунки дают картину .магнитных силовых линий пос-
254

леднего в ее развитии. Электрические силовые линии являются кон-
концентрическими окружностями в плоскостях, лежащих перпенди-
перпендикулярно оси магнитного диполя (параллельно плоскости контура
тока).
Наконец, вспомним, что любое распределение постоянного тока
на больших расстояниях проявляет себя как магнитный диполь
(§ 23, п. 4), причем всякий плоский контур с площадью 5 обладает
моментом т = 20\118. Можно догадаться, что полученные выше ре-
результаты пригодны для всякого замкнутого распределения перемен-
переменного тока /", размеры которого значительно меньше длины волны,
а формула D5.5) может использоваться при этом в случае плоского
контура произвольной формы с площадью 5.
В частности, нетрудно оценить, каковы потери энергии вследствие
излучения для цепи переменного тока с заданной площадью
(рис.45.1, в). Пусть 5 = 0,01 X2 (поперечный размер порядка 0,1 X).
При е = е0, (х = (х0 (И7= 120л) сопротивление излучения цепи <М^
оказывается около 3 ом. Вполне может оказаться, что эта величина
не мала в сравнении с обычным активным сопротивлением цепи <М
или даже е^>2>,е^). Тогда мощность излучения Р2 находится
в таком же соотношении с мощностью тепловых потерь Рп; ее
следует учитывать.
Излучение как вредный эффект — одна из главных причин от-
отказа от применения открытых контуров тока в диапазоне сверх-
сверхвысоких частот (дециметровые, сантиметровые и более короткие
волны).
§ 46. Магнитные токи. Обобщенная задача об излучении
1. Представление о магнитных токах и симметричные уравне-
уравнения электродинамики. Напомним, что в природе нет магнитных за-
зарядов, о чем свидетельствует уравнение C.2): сПу В = 0; магнитные
силовые линии не имеют начала и конца. Тем не менее представле-
представление о связанных магнитных зарядах и соответственно о магнитных
диполях полезно, поскольку в ряде случаев оно упрощает описа-
описание магнитных полей. Так в § 23, пп. 3, 4 говорилось об эквивалент-
эквивалентности постоянных токов системам магнитных диполей, а теперь
в § 45 понятие магнитного диполя было использовано и в случае
тока переменного. Оказалось, что достаточно малый контур тока /ст
действует подобно колеблющемуся магнитному диполю, который
аналогичен диполю Герца. Но поскольку последнему отвечает эле-
элемент переменного тока проводимости (§44, п. 1), то колеблющемуся
магнитному диполю естественно сопоставить элемент переменного
магнитного тока. После этого, разумеется, можно рассматривать
и различные распределения магнитного тока, характеризуемые
функцией у™.
Введенная таким образом функция плотности магнитного тока
остается формальным вспомогательным понятием, и было бы из-
излишним приписывать ей какое-то физическое содержание. Однако,
255

как будет видно, это понятие является удобным; поэтому мы про-
продолжим аналогию магнитного тока и тока проводимости, написав
уравнение
& = -'<»&,. D6.1)
Скалярная функция рм — плотность магнитного заряда — вели-
величина в такой же мере фиктивная, как и у". Уравнение D6.1), яв-
являясь аналогом B9.13), устанавливает связь р" и у™, наглядным
прообразом которой должно быть движение сохраняющихся маг-
магнитных зарядов при гармонических колебаниях.
Последовательное применение нового понятия приводит далее
к такой записи уравнений Максвелла B9.11), что они становятся
симметричными:
I
Применяя во втором из них операцию (Ну, ввиду (П1.32) получаем:
О = —ш (Ну \1Йт — (Ну Ут, откуда, с учетом D6.1),
(Ну}х//т = р", D6.3)
т. е. в рамках рассматриваемой концепции магнитные силовые ли-
линии (линии вектора В = цН) не являются замкнутыми: они начи-
начинаются и кончаются на магнитных зарядах.
Указанное обстоятельство, конечно, не следует считать нару-
нарушением законов электромагнетизма. Благодаря ему лишь приоб-
приобретается некоторая гибкость в описании обычных магнитных полей.
а)
Поясним это на примерах. На рис. 46.1, а схематически предста-
представлено магнитное поле в ближней зоне элементарного магнитного из-
излучателя, причем кружком выделена малая область V, в которой
поле не рассматривается. Можно считать, что данное поле создано
круговым электрическим током, и продолжить картину силовых
линий, как это показано на рис. 46.1, б. При использовании же
концепции магнитного диполя получается картина, представленная
на рис. 46.1, в; в этом случае силовые линии не непрерывны. Но
при переходе к исчезающе малому источнику (одновременно можно
256

сжимать выделенную область: V -» 0) поля, соответствующие
рис. 46.1, б и рис. 46.1, в совпадают везде, за исключением един-
единственной точки. Это фактически полное совпадение, поскольку
особенную точку источника, в которой поле неограниченно возра-
возрастает, вообще нельзя рассматривать. Другой пример — произволь-
произвольное магнитное поле, изучаемое в какой-то ограниченной области,
скажем, в одном полупространстве (рис. 46.2, а). Оно, конечно,
продолжается в другом полупространстве так, что магнитные сило-
силовые линии непрерывны (рис. 46.2, б). Однако если нам действительно
безразлично, что происходит ниже пунктирной черты, можно пред-
представить, что там поля нет, но зато на граничной плоскости распре-
распределен поверхностный магнитный заряд, и на ней начинаются маг-
магнитные силовые линии (рис. 46.2, в).
а) б) б)
8 связи с последним примером встает вопрос о пересмотре по-
полученных в § 7 граничных условий, с тем чтобы они пришли в со-
соответствие с представлением о магнитных зарядах и токах. Анало-
Аналогично величинам | G.1) и ц G.9) введем плотность поверхностного
магнитного заряда ^м и плотность поверхностного магнитного тока
Т1М. Тогда, как легко показать, вместо G.4а) должно получиться
соотношение типа G.2а), т. е. в комплексных амплитудах
\>*ЙтЛ-'р9Йтч, = &. D6.4)
Точно так же вместо G.76) будет иметь место соотношение, подоб-
подобное G.106); в связи с'этим запишем:
К (Ёт1-Ёт2)] = -цмт. D6.5)
Равенства D6.4) и D6.5) выводятся непосредственно из интеграль-
интегральных форм уравнений D6.3) и D6.2) (имеется в виду второе уравне-
уравнение Максвелла) при помощи методики, изложенной в § 7. Это пре-
предоставляется читателю как упражнение.
2. Обобщенная задача об излучении. В § 43 была рассмотрена
основная постановка задачи об излучении, вытекающая из задания
функции у" в области источника. Различные уравнения Гельм-
гольца, решения которых были выписаны в § 43, пп. 2—4, имеют
основой уравнения Максвелла B9.11). Но так как источники могут
описываться и при помощи магнитных токов, то более общей (по
крайней мере с формальной точки зрения) следует признать поста-
9 Электродинамика "' 257

новку задачи, опирающуюся на уравнения Максвелла D6.2) при
заданных /," и /т, т. е., как говорят, при одновременном действии
электрических и магнитных источников. Эту задачу можно расчле-
расчленить на две. Действительно, при линейности уравнений Максвелла
D6.2) (линейная среда!) ее решение Ёт, Нт представимо в виде
, \
} D6.6)
нт=нт1+нт2,} .
где складываются решения двух задач об излучении, основанных
на уравнениях Максвелла
го! Нт1 = ш&Ёт1+М\ \ и го! Нт2=ШЁт2, )
го! Ёт1 = — «В[х#т1, \ го! Ёт2 = — го)[хЯт2 —]%,)
Можно, следовательно, отдельно решить «электрическую» задачу
A) и «магнитную» задачу B), и из их решений составить решение
общей задачи на основании D6.6).
Решение задачи A) при постоянных ё и A уже подробно рассмат-
рассматривалось в § 43, пп. 2—4. Запишем здесь ее решение в двух следую-
следующих формах:
D6.8а)
1 = ——.то1Йт1 вне V
@8
ФО в V); D6.8а) вытекает из D3.14) и
*■■
Ят1 = — Г01 Ат,
11 ш • • D6.86)
Ет1= — -$ (§гай (Ну А^ + к2Ат),
что следует из D3.11), B9.22) и B9.27).
3. Магнитная задача об излучении и принцип двойственности.
Сравнивая системы уравнений Максвелла A) и B) D6.7), отметим,
что первое из уравнений A) и второе из уравнений B) идентичны
по форме, и то же самое надо сказать о втором из уравнений A)
и первом из уравнений B). Более того, при замене
*3*-|1, )т^-]т D6.9а)
258

указанные уравнения просто поменяются ролями. Действительно,
поменяв также местами Ёт1, Йт1 и Ёт2, Йт2 по схеме
^т1^т2>} D6"9б)
Мы переведем пару уравнений A) в пару уравнений B) и обратно.
Проведенное рассуждение показывает, что электрическая за-
задача A) и магнитная задача B) формально эквивалентны, причем,
поскольку решение D6.8а) или D6.86) первой задачи вполне опре-
определяются заданием стороннего тока в виде функции У", то суще-
существует формально аналогичное решение второй задачи, вполне опре-
определяемое заданием у"-
Как получить решение магнитной задачи? Для этого надо лишь
сделать замену D6.9а), D6.96) в формулах D6.8а) или D6.86);
во избежание путаницы во втором случае вместо Ат будем писать
Рт. Таким образом, решение магнитной задачи B) имеет следующий
вид:
1 С I 1 /& \ I ■ 1
р Г^ \ ' 1 )\ / 1г'\ г \ег-1к\г — г' \ лп'
Ст2~ Ы \ V | /- — /-' I3 +|г-г'|/1</т < >' гоч\^ т '
* D6.10а)
ДЛ2 = -4го1ёт2 вне У
(Ут ^Ов У) или
т~4я ) \г — г'\ '
,=5=.— 4- го* /"„,,
8
D6.106)
Рассмотренное взаимное соответствие электрической и магнит-
магнитной задач основывается, как принято говорить, на принципе пере-
перестановочной двойственности уравнений Максвелла.
Весьма существенно, что принцип двойственности позволяет
не только получить общее решение магнитной задачи из имеюще-
имеющегося общего решения задачи электрической (как это выше было
сделано), но и в любом конкретном случае при заданном распреде-
распределении ]т определить Ёт2, Нт2, если уже решена задача о поле Ёт1,
ЙтЪ возбужденном таким же распределением утТ (/т и УтТ— оди-
одинаковые функции координат). Для получения Ёт2, Йт2 надо в имею-
имеющемся готовом решении произвести замену D6.9а), D6.96). Совер-
Совершенно так же в любом конкретном случае находится решение Ёт1,
Йт при известном Ёт2, Нт2.
9*. 259

Так все формулы, характеризующие поле элементарного маг-
магнитного излучателя (§ 45), можно было бы получить на основании
принципа двойственности из соответствующих выражений для эле-
элементарного электрического излучателя (§44). Сначала отметим, что,
поскольку для последнего имеется формула D4.4), то комплексная
амплитуда момента магнитного излучателя совершенно так же вы-
выражается через магнитный ток I" и длину / диполя
D6.11)
Применяя принцип двойственности, в соответствии со второй
строчкой, D6.9а) следует в выражениях поля электрического излу-
излучателя заменить 1т на —1т. При сравнении D4.4) и D6.11)мы ви-
видим, что это равносильно замене
рт-*-тт. D6.12)
Взяв формулу D4.7), выражающую комплексную амплитуду
Йт = Йт1 поля электрического излучателя, при замене ё 5± — ^
и рш-» —тт получаем комплексную амплитуду Ёт = Ёт поля
магнитного излучателя в виде формулы D5.7)'; заметим, что при этом
волновое число к переходит само в себя. Точно так же из формулы
D4.8) для Ёт = Ёт1 получаем формулу D5.6) для Йт = Ят2.
§ 47. Эквивалентные поверхностные источники.
Принцип Гюйгенса
1. Принцип эквивалентности. Рассмотренные выше магнитные
токи дают пример так называемых эквивалентных источников. То
или иное распределение
тока всегда
целью более
магнитного
строится с
просто отобразить реаль-
реальные условия возбуждения
электромагнитного поля;
при этом неважно, что по-
понятие магнитного тока само
по себе лишено физиче-
физического содержания.
Перейдем к довольно
общему и часто используе-
используемому способу построения
эквивалентных источников".
Пусть действительные источники излучения находятся внутри
ограниченной области V (на рис. 47.1, а она заштрихована), и
требуется найти поле в ее бесконечной внешности V. Одновременно
с этой внешней задачей электродинамики будем также рассматри-
а)
Рис. 47.1.
260

вать внутреннюю: источники расположены в бесконечной внешности
V (заштрихованной на рис. 47.1, б), а поле требуется найти в огра'-
ниченной области V. В обоих случаях не будем пользоваться пря-
прямой информацией об источниках. ФункцииутТ иут могут оставаться
неизвестными, но предполагается известным поле на ограничиваю-
ограничивающей V поверхности 5:
Ё=Ё3, Й=Й8. D7.1)
Имеющихся данных (при некоторых оговорках, см. § 31) заведомо
достаточно для определения электромагнитного поля в V. Тем
самым мы располагаем сведениями для построения эквивалентных
источников, и надо лишь найти способ решения задачи.
Заметим, что ввиду сказанного нас может не интересовать, что
происходит в V на самом деле. Вместо реальной картины процесса
в V можно выбрать любую фиктивную, облегчая анализ. Проще
всего положить, что в этой области поле отсутствует, т. е. на 5
оно как би обрывается:
Е=Е3, Н=Н8 со стороны V,
Е=0, Я=0 со стороны V. { '
Разумеется, искусственно введенные разрывы всех компонент
поля потребуют теперь специального исследования. Для этого ис-
используем известные из § 7 и дополнительно найденные в § 46, п. 1
граничные условия. Ввиду D7.2) формулы G.2а), G.106), D6.4)
и {46.5) дают *)
г $ I 8]
(х0 — внешняя нормаль по отношению к V). Согласно этим соот-
соотношениям разрывам векторов поля на 5 сопутствуют поверхност-
поверхностные токи и заряды, как электрические, так и магнитные, плотности
которых определяются исходным условием D7.1).
Смысл полученного результата очевиден. Рассматривая вместо
действительных («первичных») источников, расположенных в V, поля
на ограничивающей V поверхности 5, мы пришли к представлению
о распределенных на 5 эквивалентных («вторичных») токах и за-
зарядах.
2. Определение поля излучения. Принцип Гюйгенса. Итак, на
основании предыдущего, зная электромагнитное поле на некоторой
поверхности 5, охватывающей действительные источники (область У),
мы вправе рассматривать поле вне ее (область V) как созданное не-
некоторыми эквивалентными источниками на 5).
Сама идея введения эквивалентных поверхностных источников
родственна известному принципу Гюйгенса. Напомним (см. общий
х) В первую строчку входит вещественная диэлектрическая проницаемость
(см. § 29, п.З), если а = 0 {§ 29, п.2); при а Ф 0 делается замена е -*■ ее'га.
261

курс физики), что согласно этому принципу каждая точка волно-
волнового фронта принимается за источник сферической волны, и поло-
положение фронта в следующий момент времени находится при соста-
составлении суперпозиции всех элементарных сферических волн. В этой
простейшей и наглядной формулировке принцип Гюйгенса неточен.
В частности, при сложении элементарных волн, кроме нужного
фронта, должен появиться еще фронт «позади» первоначального,
что приходится чисто искусственно игнорировать. Ниже (п. 3)
мы еще вернемся к принципу Гюйгенса.
Сосредоточим внимание на электромагнитном поле, возбуждае-
возбуждаемом эквивалентными источниками. Легко видеть, что внешняя элек-
электромагнитная задача (см. рис. 47.1, а) после введения этих источни-
источников имеет вид обобщенной задачи об излучении (§ 46, п. 2). Поле
излучения, таким образом, представляется по формулам D6.6)
как наложение двух полей Еъ Нх и Е2, Нг, первое из которых опре-
определяется электрическими, а второе — магнитными источниками.
Каждое из этих полей находится по источникам на основании фор-
формул D6.8а), D6.10а) или D6.86), D6.106).
Чтобы воспользоваться указанными формулами, нам нужны
функции ]т и ]т. Их роль будут играть величины х\т и г\т из D7.3);
областью же источника является поверхность 5. Ввиду (П2.8) цт
и Цт можно выразить как функции, заданные в объеме, что дает
возможность прямо внести их в интегралы из D6.8а), D6.86) и
46.A0а), D6.106). Последние переходят при этом в поверхностные:
4я > V |г—г'|» ' \г-г'\
I \ п— ьЬ ' г — г' I ГЫс' Р5Т *■ 1 т Й
4я 3 | г-/1'! 4л \ \г-г'\
D7.7)
Все необходимые формулы для нахождения поля излучения при
помощи эквивалентных поверхностных источников получены.
Эквивалентные поверхностные заряды, плотности которых за-
задаются формулами D7.3),' здесь не понадобились. Можно было бы,
262

однако, прибегнуть и к такому способу-выражения поля излуче-
излучения, чтобы ввести в расчет эти величины, определяемые нормаль-
нормальными компонентами поля на 5. Так, например, используя для
вычисления Ёт вместо третьей строчки D6.86) формулу B9.23),
мы должны были бы выразить фт в виде интеграла, содержа-
содержащего Ётч.
Заметим еще, что, поскольку Ёт, Нт — решения уравнений
Максвелла B9.11) при утТ=0 на 5 (на этой поверхности нет источ-
источников), то в формулах D7.4)—D7.7) можно исключить функцию
Ёт, заменив ее через -Л-го1 Нт, либо подобным же образом исклю-
@8
ЧИТЬ Нт-
3. Элемент Гюйгенса. Вернемся к принципу Гюйгенса, поста-
поставив теперь целью установить, что же следует понимать под элемен-
т
в)
О
а)
тарным источником на поверхности фронта электромагнитной
волны.
Выделим в плоскости хОу, являющейся фронтом плоской од-
однородной волны, элемент Д5 = АхАу (рис. 47.2, а). Мысленно
обратив в нуль поле позади фронта, согласно предыдущему прихо-
приходим к выводу, что поле в переднем полупространстве можно счи-
считать созданным распределенными на хОу поверхностными токами /ст
и /м, плотности которых находятся на основании формул D7.3):
Цт — [^О» Пт\ ХоНт,
• м _ г Ё.5
>\т — [С'т,
= -у,Ет. D7.8)
Через элемент А5 проходят токи с комплексными амплитудами
/" = ЛтДг/= - НтАу, /™ = ЦтАх=- Ё*Ах. D7.9)
Легко видеть, что рассматриваемый малый элемент фронта
волны (для которого во всяком случае Ах «^ X и Ау <^ X) должен
проявлять себя как совокупность ортогонально ориентированных
электрического и магнитного элементарных излучателей (рис.47.2Д
в). Комплексные амплитуды моментов диполей определяются по
формулам D4.4) и D6.11) путем подстановки .выражений токов
263

D7.9) и длин (Ах в D4.4) и Ау в D6.11)), а также замены г0 на х0
в D4.4) и на у0 в D6.11):
рт^1~—х0 и мт = г_^_Л D7.10)
(Д5 = АхАу). Чтобы найти поле излучения элемента фронта
волны, который мы будем называть элементом Гюйгенса, можно
сложить поля, создаваемые двумя элементарными излучателями
с известными теперь моментами. Однако, желая использовать ре-
результаты, полученные в §§ 44, 45, мы должны были бы выразить поля
в единой системе координат, что сопряжено с громоздкими преобра-
преобразованиями. Более короткий путь — непосредственное применение
формул D7.4) и D7.6).
Фактически интерес представляет лишь дальнее поле (§ 43, п. 3)
элемента Гюйгенса. На основании D7.4) ввиду D3.14а) комплексная
амплитуда вектора Н дальнего поля, создаваемого электрическим
током элемента Гюйгенса, равна
«Д А К /*|>|
\г — г
Д5
Аналогично § 44, п. 2 -г-—-гг^--, гОд'=>=>го при г^>Ах, г>До,
и е—'к\г~г'\ *=ые~1кг при Ах^Х, Ау<^Х. Поэтому
^ ^ D7.12)
Как видно из рис. 47.3, цт = — х0Нт = —/?0соз а + а0 $т а=
= — (г0 8Ш ■& + *о С08 'в') С08 а + «о 51П а. Внося это в D7.12),
получаем
1кЙ^ Д5 е— (Г
Н% ^ 4д (#0 5Ш а + а0 соз О соз а) —у—. D7.13)
Соответствующую амплитуду вектора Е находим теперь из пер-
первого уравнения Максвелла, как это диктуется второй строчкой
D6.8а). Применяя формулу (П1.23), отбросим в получаемом ре-
результате слагаемые, убывающие быстрее, чем \1г (ищется дальнее
поле). Имеем
(#0созйсоза-а0вта)——. D7.14)
Найдем теперь дальнее поле, создаваемое магнитным током
элемента Гюйгенса. На основании D7.6)
} \г-г'\
Д5
264

и ввиду малости'элемента А5 (см. выше)
Из рис. 47.3 видно, что г\?„ = —
г
Д5. D7.16)
—/?о 51па — а0со5а =
М
= — (г0 51П й + #0 соз й) зш а — а0 соз а, так что выражение D7.15)
дает
„— 1кг
#0
соза —
D7.17)
Имея Ё%12> найдем Нт2 из второго уравнения Максвелла (см. вто-
вторую строчку D6.10а)). Пренебрегая убывающей, как 1/г2, радиаль-
радиальной компонентой, находим
(#0 соз й 31П а + Щ соз а) •
D7.18)
Формулы D3.13), D7.14), D7.17) и D7.18) содержат все данные
для определения полного дальнего поля излучения элемента Гюй-
Гюйгенса на основании D6.6). Учитывая, что в плоской однородной
волне Ёт = №7/,л и, следовательно,
D7.19)
265

получаем
„—1кг
A -{-СОзй) (*пСО!!а — Ол8Шо)-р,
т^-(\ + соз й) (#0 81п а + а0 СО5 а) #
Из D7.20) следует, что
D7.20)
?т=н1 г =
и при отсутствии поглощения
32я2Г
D7.21)
а потому характеристика направленности элемента Гюйгенса есть
@)
D7.22)
Излучение не изменяется в зависимости
от угла а и отсутствует в обратном
направлении (ф = 180°). Диаграмма на-
направленности в любой меридиональной
плоскости есть кардиоида (рис. 47.4, а);
соответствующая объемная диаграмма
изображена на рис. 47.4, б,
В заключение отметим, что при ис-
использовании представления об эквива-
эквивалентных токах особенно в теории антенн
часто вводится понятие «обобщенного
элемента Гюйгенса». Пусть на некоторой
поверхности
у0]. D7.23)
Рис. 47.4.
Введя локальную систему координат
так, что V,, = 20, рассмотрим малый
элемент поверхности А5 точно таким же способом, как выше
рассматривался элемент плоскости фронта плоской однородной
волны. При этом будут опять получены формулы D7.13), D7.14),
D7.17) и D7.18), но вместо D7.19) ввиду D7.23) будет: Ё* =2Н5т.
263

Таким образом, на основании D6.6) вместо D7.20) будем иметь
Ё% ««! -—5Й *° (~^ С°8 ^ + О С08 а ~
- Оо(Д- + СО5 О
1п а] СШ
D7.24)
Так выражается дальнее поле излучения обобщенного элемента
Гюйгенса.
§ 48. Принцип взаимности
1. Лемма Лоренца. Получим сначала важное соотношение, воз-
возникающее при исследовании полей двух источников.
Пусть в некоторой заданной среде источник, характеризуемый
функцией плотности стороннего тока у'^, возбуждает поле Еъ Н±.
При этом, согласно B9.11),
го! Йт1 = ШЁт1+)ти го1Ёт{= — ш'\1Йт1. D8.1)
Для этой же среды при другом источнике (плотность стороннего
тока У'т) имеем
го* Ят2 = ШЁт2 +O, го! Ёт2 = — ш'\кЙт2. D8.2)
Не задумываясь пока над физическим содержанием выполняе-
выполняемых действий, произведем в первом равенстве D8.1) умножение на
Ёт2, а во втором— на Нт2 и аналогично в первом равенстве D8.2)
на Ёт1 и во втором на Нт1. Рассматривая попарно первое и четвертое,
второе и третье уравнения, после вычитания соответственных ча-
частей и применения формулы (П1.31), получим
(Ну [Ёт2, Нт1] = —/йAЯт2Ят1 - ШЁт1Ёт2 -}'тЁт2 D8.3)
Ёт1—^Ёт1. D8.4)
Как и ранее в этой главе, будем иметь в виду лишь изотропные
и линейные среды; поскольку при этом е и ц — скалярные коэф-
коэффициенты, не зависящие от поля, то нет разницы между цЙтНт1
и [хЯт1Ят2, гЁт2Ёт1 и гЕтЁт. Поэтому из D8.3) и D8.4) следует:
(Ну {[Ёт„ Йт1] - [Ётъ Йт2]\ =Лт^т1 -}^Ёт2. D8.5)
Это дифференциальная формулировка так называемой леммы Ло-
Лоренца. Интегрируя результат по некоторому объему V, охватываю-
267

щему источники (У^т = 0 и /^ •= 0 вне V), и применяя теорему
Остроградского — Гаусса, получаем интегральную формулировку
леммы Лоренца
ф {[Ёт2, Нт1] - [Ёт1, Нт2]} 08 = 1 0™гЁт{ -^хЁт2) Л». D8.6)
V
До сих пор не уточнялся характер пространственной области,
в которой расположены источники и существуют поля, описывае-
описываемые уравнениями D8.1) и D8.2); в частности, речь может идти об
энергетически изолированной области. Если же рассматривается без-
безграничное пространство, то в D8.6) можно перейти к пределу при
V -»• оо, относя соответственно в бесконечность границу 5. Поверх-
Поверхностный интеграл при этом исчезает. Действительно, это сразу видно,
если имеется поглощение, и поля убывают быстрее, чем \1г (§ 31).
Но и при отсутствии поглощения интеграл обращается в нуль для
полей, удовлетворяющих условию излучения (Приложение 5,
п. 3, § 43, п. 3). В этом случае при г -» оо поля имеют характер рас-
расходящихся сферических волн
е~1кг г^ IV/ г , т е~'*'
Нт2 = А2 —-—, Ет2=ЧР [А2, г0]
где Аг и А2 не зависят от г и ортогональны г0. Подынтегральное вы-
выражение, принимающее вид
2, г0], Л1]-[[Л1, г0], А2]}^-й8,
равно нулю, как легко проверить при помощи формулы (П1.5).
Таким образом, в случае неограниченного пространства ока-
оказывается равным нулю объемный интеграл в D8.6), и, следовательно,
Ёт2^, D8.7)
причем интегрирование фактически распространяется на области
источников. Далее, поскольку объемный интеграл в D8.6) неизме-
неизменен для любой области, охватывающей источники, будучи равным
нулю, то и поверхностный интеграл при тех же условиях равен
нулю; отсюда
ф [4,2, Нщ\ 08=ф [ЁтЪ Йт2] йи D8.8)
5 5
для любой поверхности 5, охватывающей расположенные в безгра-
безграничном пространстве источники.
Наконец, отметим, что вместо исходных уравнений D8.1) и
D8.2) можно было бы взять обобщенные уравнения Максвелла
D6.2), содержащие магнитные токи. Как легко проверить (это
263

рекомендуется читателю), соответствующая обобщенная форма*
леммы Лоренца D8.5) имеет вид
^1у {[Ет2, Нтт\ — [Ет1, Нт2]}=УтъЕт1—^т1Ет2— Ута"т1 + 3 т\Нтг.
При интегрировании по некоторой области V имеем
ф {[Ёт2, Йт1] - [ЁтЪ Йт2]} й« =
В случае неограниченного пространства
)О т%Ет1—]т\Ет2—] тчНт\-\- ] т\Нт2) п1) =
D8.9)
. D8.10)
D8.11)
что не требует специального вывода, так как поверхностный ин-
интеграл в D8.10) тот же, что и
в D8.6), и его обращение в
нуль установлено.
2. Принцип взаимности.
Смысл различных формули-
формулировок леммы Лоренца сво-
сводится к принципу взаимности,
играющему важную роль в
прикладной электродинамике
и главным образом в теории
антенн.
Общей особенностью полу-
полученных выше соотношений
D8.5)—D8.8) является сим-
симметричность относительно ве-
величин Етл, Й,
а)
т1
с од-
од6)
В)
Рис. 48.1.
ной стороны, и величин Ет2,
Нт2 и ]т1 с другой. Заметим,
что формулы D8.5)—D8.11)
верны независимо от того,
рассматриваются ли поля Еъ
Нх и Е2, Н2 в двух не имеющих связи задачах или как существую-
существующие одновременно, так что полное поле есть Ех + Е%, Нг + Н2.
Пусть области распределения источников пространственно раз-
разделены, так что 7*" ф 0 в Ух и 7" Ф 0 в У2 (рис. 48.1, а). Равенство
D8.7) при этом принимает вид
. ст
йь.
D8.12)
Интеграл слева можно рассматривать как некоторую характери-
характеристику взаимодействия поля первого источника со вторым источни-
.269

ком, а интеграл справа — как того же рода характеристику взаимо-
взаимодействия поля второго источника с первым. Как видно, для любых
двух источников такие характеристики равны.
Возьмем источники в виде прямолинейных токов (рис. 48.1, б),
плотности которых имеют вид (П2-.9)
Ут1=ТИ/т1в(Г-Г1), У "а = Т02 /^ б (Г- Г2), D8.13)
где дельта-функции двумерные. Равенство D8.12) при этом дает
ы Ёт2 61 = \ 1'т2Ёт1 й1. . D8.14)
«а
Если токи вдоль отрезков 1Х и /2 не изменяются (по амплитуде
и фазе), как это имеет место в случае элементарных излучателей, то
1'т\ \ Ёт2 61 = /„2 ^ Ёт1 61, D8.15)
I ' 1
ИЛИ
/т.0$ = /"я0$, D8.15а)
где величины 0^ и О'&[, выражаемые интегралами в D8.15), можно
рассматривать как комплексные амплитуды напряжений. Так,
11^' есть напряжение на отрезке 1Ъ создаваемое полем тока 1\у,
Ц'*' имеет соответственный смысл. В случае элементарных излуча-
излучателей AХ < X, /2 < X)
Ётг1х и 0%\ = Ёт112. D8.16)
Употребленный термин «напряжение» является несколько ус-
условным, но его содержание нетрудно понять. Надо иметь в виду,
что напряжение на отрезке 1Ъ названное С/%], обусловлено полем
второго излучателя Е2 без всякой связи с тем, что же в действи-
действительности находится на отрезке 1±. Вопросом, каково будет полное
поле на /х при наличии обоих излучателей, мы не задаемся. Тем не
менее, если в поле Е2 на место 1Х поместить пассивный проводящий
элемент, «приемную антенну», то в нем появится пропорциональный
Ьгя1' ток. Какие выводы позволяет сделать# принцип взаимности?
Во-первых, разделив обе части D8.15а) на 1т\1т2, имеем
/уA) /уB)
~Ш 7?Г- D6.1/)
' т2 'т\
Можно истолковать эти отношения как взаимные сопротивления
излучателей и написать:
^21 = ^12- » D8.17а)
Из D8.15а) или D8.17) следует, что при одинаковых токах излуча-
излучатели наводят — один на другом — одинаковые напряжения.
Пусть далее два элементарных излучателя, ориентированные,
как показано на рис. 48.1, в, находятся на расстоянии г ;> X. Вра-
Вращая первый излучатель, констатируем, что создаваемое им напря-
270

жение ^У',2' изменяется пропорционально его характеристике на-
правленности Р (■&) =
Г- Но, согласно D8.15а), ^^2 =
т. е. наводимое на первом элементе как на приемной антенне напря-
напряжение 0^' пропорционально О'*\ а следовательно, функции Р (й) =
= |зт й|. В теории антенн это положение распространяется на
антенны любого вида; говорят, что характеристика направленности
в режимах передачи и приема остается неизменной.
В сущности для обобщения принципа взаимности в форме
D8.15а) на любые антенны надо лишь переформулировать равен-
равенство D8.12), введя тем или иным способом представление об экви-
эквивалентных токах и напряжениях.
Очень важно, что форм"ы леммы Лоренца D8.5) — D8.12) спра-
справедливы для любых изотропных линейных сред. Принцип взаим-
взаимности, таким образом, сохраняет силу, когда среда, будучи
изотропной и линейной, неоднородна. Можно, например, рассматри-
рассматривать излучатели в свободном пространстве в присутствии различ-
различных посторонних тел, действие которых оказывается учтенным
косвенно. Об этом будет говориться позднее в связи с явлениями
дифракции.
§ ^9. Системы излучателей
1. Постановка задачи. Дискретные системы. Если имеется сис-
система излучателей, каждый из которых в отдельности изучен, то
ее исследование сводится к применению принципа суперпозиции
(§ 13, п. 3).
На рис. 49.1, а объединенные в систему излучателя схемати-
схематически изображены точками; можно сначала предположить, что это
о/У
Рис. 49.1.
элементарные излучатели, вообще различные. Точка наблюдения
М (г), в которой определяется поле, полагается отнесенной на очень
большое расстояние (г^гр), так что направление на М(г),
27)

характеризуемое угловыми сферическими координатами ф и а,
практически одно и то же для всех излучателей (выбор начала О
произволен).
Каждый излучатель создает сферическую волну, так что поле
его в точке М(г) можно охарактеризовать комплексной ампли-
амплитудой
Етр(г) = АтрРр(Ъ,а) ]г_Гп\ , D9.1)
где Атр=Атре®р—постоянный скалярный множитель, определяю-
определяющий амплитуду и фазу колебаний данного (р-го) излучателя, а функ-
функция рр (й, а) не только указывает направление Е, но и дает норми-
нормированную характеристику направленности (§ 41, п. 1) Рр($, а) =
= \рр (й, а)[. Среду будем считать непоглощающей.
Для нахождения поля системы излучателей, сложим все Етр
Л, . . .-«■*!/■-/■ |
Ет= % АтрРр{Ъ,а) |г_Гр|'• D9.2)
В простейшем случае — он является распространенным — излу-
излучатели идентичны и одинаково ориентированы, так что Рр(®, а) =
= Р (ф, ее) для всех р. Учитывая также, что т- _ ;.- я« — и \г—гр|я=г
я«г—грсозгKр, где г|зр — угол между г и гр (рис. 49.1, б), в этом слу-
случае получаем
)^-% ' D9.3)
где-
/(■&, а)= 2] ^тре~'*''осо5*р. ^р^^р^.а). D9.4)
Функция / (О, а) имеет весьма простой смысл: если бы излучатели
были изотропными (Р (ф, а) = сощ{), она полностью описывала
бы зависимость Ёт и П от угловых координат; тогда функция
1/( ,а) _ 1^У_была бы нормированной характеристикой на-
|/(Ф, СС)|тах
правленности системы излучателей. Функцию / (§, а) называют
множителем системы. Нормированная характеристика направлен-
направленности системы есть
^®-. D9.5)
2. Система двух элементарных излучателей. Рассмотрим сис-
систему двух элементарных электрических излучателей, расположив
272

их, как показано на рис 49.2, а. Согласно D4.13) в этом случае
формула D9.3) дает
•D9.6)
Здесь
-'тр
4яе
(р=1,2); Г1=
2 •
Пусть излучатели синфазны и имеют одинаковые амплитуды
(рт] = рт2 = рт). В общем случае расположения точки М (г), как
Рис. 49.2.
видно из построения на рис. 49.2, г, соз г|зх = зш й соз а и г|з2 =
= 180°—%. Внося эти данные в D9.6), получаем
Ет= -1
так что Ф (й, а) =
ко.
„-1кг
D9.7)
31П Ф СО8 (-^ 31П й СО8 а )
. В частности, _когда
точка наблюдения М (г) лежит в горизонтальной плоскости, й =
= 90° (рис. 49.2, б) и Ф(#, а) = Ф(90°, а)= соз^соза] .
Диаграммы направленности, являющиеся графиками этой функции
представлены на рис. 49.3. Каждый излучатель в данной плоскости
действует как изотропный (Р (й, а) = |51П 90° | = 1), но поле есть
результат интерференции двух волн, имеющих в точке М (г) в за-
273

висимости от угла а тот или иной фазовый сдвиг Дф. Разность фаз
Дф напряженностей Е'-у {г) и Е2 (г) пропорциональна разности рас-
расстояний излучателей до М (г), которая равна а соз а (рис. 49.2, б),
а именно
= &асо8а = 2л у
Сложение комплексных ам-
амплитуд поясняется векторной диаграммой на рис. 49.2, б. Когда
а = 90°, то Дф, = 0; таким образом, в направлении, лежащем пер-
перпендикулярно линии излучателей, напряженность поля Е удваи-
удваивается. При отклонении от него Е падает тем быстрее, чем больше
расстояние а между излучателями. Если а^Х/2, спад происхо-
происходит до нуля, а затем с изменением а поле опять возрастает. Чем
до0
большей, тем больше направлений, в которых излучение отсутствует
( \ СО8 а = "-, п — ± 1, ± 3,...) ,и соответственно направлений мак-
-С08а=л, п = 0, 1, 2, ...).
симального излучения
Если точка наблюдения лежит в плоскости а = 0 (рис. 49.2, в),
^о Ф (й, а) = Ф (®, 90°)= зшйсоз (-=- зтй) .В этом случае про-
является направленность действия каждого излучателя.
Положим далее, что излучатели противофазны, т. е. рт1 = рт
и Ртг — —Рт- Тогда вместо D9.7) находим
' ~^-. D9.8)
От синфазной рассматриваемая противофазная система отличается,
в частности, тем, что в любом направлении, лежащем перпендику-
перпендикулярно линии излучателей, излучение отсутствует.
Наконец, электрические элементарные излучатели заменим
магнитными. Из D9.3), используя D5.10), находим
Ь2 117 -,— 1кг I .
D9.9)
274

что аналогично выражению D9.6). Отсюда можно получить того
же рода частные результаты.
3. Пример многоэлементной системы. Рассмотрим систему эле-
элементарных электрических излучателей, размещенных эквидистантно,
т. е. на равных расстояниях, вдоль прямой; расположение системы
координат показано на рис. 49.4, а. Согласно D4.13) и D9.3)
N N
р=1
В данном случае гр = (р—1) й (р = 1, 2 УУ), а угол 1|зр — один
и тот же для всех р, так как радиус-векторы гр параллельны. Оче-
Очевидно, что г|зр — это то же, что % на рис. 49.2, г; поэтому соз г|зр =
= 8Ш й сов а.
а)
Рис. 49.4.
Пусть амплитуды и фазы всех излучателей одинаковы (ртр =
= рт для всех р). При этом в D9.10) суммируется геометрическая
прогрессия
N
51П О1 СО5 а
1
После очевидного преобразования получаем
—1к ( г
Ы \
^гкй 81П О сОз а
Ц1
81П I -х- к 6. 81П О СОЗ а ]
D9.11)
Остановимся на случае, когда точка наблюдения М (г) лежит
в плоскости й =; 90° (в D9.11) зш й = 1); при этом Ф (ф, а) =
= -тг 5\п(~2 кАсоза) 81п (-у кс1со5а) . В направлении нормали к
линии излучателей (а = 90°) их поля складываются в фазе: Д<р = О
(см. диаграмму на рис. 49.4, б). Отношение синусов в D9.11) при
этом становится неопределенностью типа 0/0, которая раскрывается
как ЛЛ- амплитуда поля возрастает в N раз в сравнении со случаем
одиночного излучателя. Типичная диаграмма направленности си-
системы при Nй^>% и й <А. представлена на рис. 49.5, а, а также на
275

рис. 49.5, б в виде прямоугольного графика. За основным мак-
максимумом излучения, повторяющимся через 180°, следует ряд «бо-
«боковых лепестков» диаграммы.
Определим ширину главного максимума излучения, т. е. угло-
угловое расстояние 2Да0 (рис. 49.5, б) между ближайшими к нему на-
направлениями, в которых излучение отсутствует. Очевидно,
6)
Рис. 49.5,
Б1П у к й С08 (90° ± Да0) = 0, причем имеется в виДу низший
корень синуса, так что
Ы ' ' " * D9.12)
= л.
При N й^Х величина зш Да0, будучи малой, может быть заменена
через Да0. Таким образом,
2Да0я«2А. D9.13)
Существенно, что ширина главного максимума 2Да0 зависит не от
числа излучателей синфазной системы, а от ее «приведенной длины»
N й. Чем больше число излучателей, тем ближе N йк действительной
длине системы а = (УУ—1) й.
Если й > X, то, кроме а = 90° и а = 270°, имеются также и дру-
другие направления, для которых волны всех излучателей синфазны
и, налагаясь, порождают главные максимумы излучения (Ёт =
= МЁтр). Вообще условием главного максимума является превра-
276

щение Ёт D9.11) в неопределенность типа 0/0, а это будет, когда
аргумент синуса в знаменателе принимает значения пл(п = 0,1,2,...).
4. Заключительные замечания. Понятие системы излучателей
широко используется в теории антенн. Наряду с дискретными рас-
рассматриваются и непрерывные системы. Пусть, например, надо оп-
определить поле излучения, создаваемое током /ст (/) в проводе /
произвольной формы (рис. 49.6, а). Каждый элемент провода примем
г-г
а)
6)
за элементарный электрический излучатель, комплексная ампли-
амплитуда момента которого определяется на основании D4.4): йрт =
= — I ——Ш. Внося йрт в D4.13), находим комплексную ампли-
амплитуду йЁт его поля в дальней зоне. Провод предстает как непрерыв-
непрерывная система таких излучателей, и его поле — как наложение всех
элементарных полей йЁт, т. е. как интеграл: Ёт — \йЕт(И. Этим
I
путем можно получить, в частности, выражение поля излучения
прямолинейного провода (рис. 49.6, б) (ср. § 44, п. 5). Анализ ряда
антенн, например так называемой рупорной (рис. 49.6, в), сво-
сводится к тому, что, выделяя некоторую «поверхность раскрыва» 5,
принимают ее за непрерывную систему излучателей типа обобщен-
обобщенного элемента Гюйгенса (§ 47, п. 3, окончание). Такой подход будет
применен позднее (§ 53) к некоторым задачам дифракции.
Наконец, рассмотрим действие излучателей в полупространстве,
ограниченном идеально проводящей плоскостью. Как будет, на-
например, вести себя перпендикулярный границе элементарный
электрический излучатель (рис. 49.7, а)? Легко убедиться, что поле
излучения оказывается при этом таким, как если бы имелась система
двух одинаковых излучателей — рассматриваемого и фиктивного,
расположенного по другую сторону границы, как показано на
рис. 49.7, б. Это видно из приведенной картины силовых линий:
суммарное электрическое поле лишено тангенциальной компоненты
на поверхности проводника и, таким образом, удовлетворяет обя-
обязательному граничному условию. Заметим, что фиктивный диполь
Герца можно было бы построить как «зеркальное изображение»
(ср. § 17, п. 4) действительного, рис. 49.7, в. Пользуясь формула-
формулами D9.3) и D4.13), найдем комплексную амплитуду вектора поля
277

излучения диполя Герца, расположенного над плоскостью на вы-
высоте к перпендикулярно:
, = — #0 -о— 81П Ф сое (кк сое 1
D9.14)
Если элементарный электрический излучатель ориентирован
параллельно идеально проводящей границе, то дополнительный
р\
а)
в)
Рис. 49.7.
фиктивный излучатель должен быть направлен противоположно
(рис. 49.8, а, б, в), т. е. является противофазным. Определяя поле
г
\ГУ
а)
У///////////.
Рис. 49.8.
излучения как результат действия системы двух элементов, находим
согласно D9.8)
о- 1кг
Ет= —•&(,
—
D9.15)
Аналогично исследуется влияние идеально проводящей плос-
плоскости на элементарный магнитный излучатель. Фиктивный диполь
подбирается здесь так, чтобы на проводящей поверхности уничто-
уничтожалась нормальная магнитная компонента. Поэтому для перпенди-
перпендикулярного плоскости излучателя (рис. 49.9, а) дополнительный
278

оказывается противофазным (рис. 49.9, б, в), а для параллельного
(рис. 49.10, а) — синфазным (рис. 49.10, б, в). Соответствующее пра-
правило построения зеркального изображения в сравнении со случаем
т
"'
а)
б)
Рис. 49.9.
т-
Рис. 49.10.
т',.
У//////////,
*о—о'
6)
'////////////,
, *'
р'
а)
7777777777777,
т'
/77'ГС1 "
6)
Рис. 49.11.
V/////////////
6)
электрических излучателей изменяется (рис. 49.9, ей рис. 49.10, б).
Выражения комплексных амплитуд векторов поля излучения чи-
читателю предлагается получить самостоятельно.
Действие идеально проводящей плоскости при произвольной
ориентации элементарных излучателей сводится к рассмотренным
279

случаям, поскольку моменты/? и т можно разложить на перпенди-
перпендикулярные и параллельные плоскости составляющие (рис. 49.11, а, б).
Нетрудно распространить полученные результаты и на произволь-
произвольные распределения токов, так как в качестве элементарных излу-
излучателей можно рассматривать их элементы (рис. 49.11, в).
II. ДИФРАКЦИЯ
Происхождение термина дифракция связано с волновой оптикой,
возникшей задолго до электромагнитной теории светаГ и совре-
современной электродинамики. При изучении света к дифракционным от-
относят те явления, в которых заметны отклонения от правил, пред-
предписываемых геометрической оптикой.
Подчеркнем, что в большей или меньшей степени такие откло-
отклонения должны иметь место всегда, поскольку концепции геометри-
геометрической оптики являются приближенными. Действительно, предста-
представление о лучах, подчиненных законам Снеллиуса (§ 37, п. 2), строго
говоря, справедливо лишь для единственного идеализированного
случая падения плоской однородной волны на плоскую бесконеч-
бесконечную границу, разделяющую два разнородных полупространства.
В геометрической же оптике законы Снеллиуса применяют при
рассмотрении реальных тел ограниченных размеров. При этом,
в частности, получается, что непрозрачное тело, «препятствие»,
на которое падает свет, должно отбрасывать резкую тень (так что
на границе тени интенсивность света, т. е. напряженность поля,
скачкообразно спадает до нуля). В действительности резких теней
не бывает; свет в той или иной степени «огибает препятствие» и про-
проникает за предсказываемую границу тени, вблизи которой наблю-
наблюдаются пространственные колебания интенсивности. Это дифрак-
дифракционное явление имеет тем большее значение для процесса распро-
распространения света в целом, чем сильнее нарушается характерное
для геометрической оптики условие, что все размеры рассматривае-
рассматриваемых объектов намного превосходят длину волны (й ^> %).
В радиотехнической практике относительные размеры объектов
ё/Х обычно гораздо меньше, чем в оптике; поэтому концепции гео-
геометрической оптики часто вообще неприменимы, и говорить о диф-
дифракции как об отклонении от нормы уже нелогично. Тем не менее
термин дифракция остается весьма употребительным. Ниже будет
объяснено, что понимается при этом под явлениями и задачами
дифракции.
§ 50. Явления и задачи дифракции. Предельные случаи
1. Содержание задач дифракции. Прежде всего надо выделить
класс электромагнитных процессов, подлежащих рассмотрению.
Напомним, что в §§ 36—39 были описаны простейшие волновые про-
процессы, происходящие при наличии разнородных сред. Общая кар-
картина их укладывается в схему, представленную на рис. 50.1, а.
280

Плоская однородная волна Е°, И0, падающая на плоскую границу
раздела сред 1 и 2, частично проходит через нее, продолжая рас-
распространяться в виде волны Е^, Н+ в измененном направлении, —
преломляется, частично же отражается в виде волны Е", Н~; гра-
граница служит при этом как бы источником обратной волны. С точки
зрения геометрической оптики процесс вполне характеризуется
показанными на рис. 50.1, а тремя лучами; стрелки указывают также
направления вектора Пойнтинга для трех отмеченных плоских волн.
х»
'нЧ
<^
б)
74
/
\
Рис.
' *"
50.1.
'01
г)
Г
1
Возьмем теперь вместо полупространства, заполненного средой
2, ограниченное тело V (рис. 50.1,6). Падающая волна Е°, Н°,
которая может быть, как и ранее, плоской и однородной, возбу-
возбудит внутри тела V поле Е^, Н+, а вне его появится дополнительно
поле Е~,Н~- Схема волнового процесса, как будто бы осталась преж-
прежней: энергия падающей волны частично проникает в среду 2,
а в среде / возникает движение энергии от границы раздела. Од-
Однако поля Е+, А/+ и Е~, И' уже не являются плоскими волнами;
поэтому электродинамическая задача стала существенно сложнее.
Это задача дифракции. Мы будем называть Е+, //+ внутренним полем
дифракции и Ег, Н~—внешним полем дифракции, а также полем
рассеяния. Разумеется, преломленную и отраженную волны в слу-
случае плоской границы раздела сред можно рассматривать как прос-
простейшие формы этих полей.
281

Рис. 50.1, б даёт весьма общий образ задачи дифракции; заме-
заметим, что среда в V может быть и неоднородной. Правда, более общи-
общими являются условия, когда не существует локализованного в про-
пространстве тела V, являющегося объектом дифракции, а вся среда
неоднородна. Но при этом обычно уже невозможно или нецелесооб-
нецелесообразно расчленять электромагнитное поле на компоненты Е°, Н°;
Е+, Н+ и Е~, Н~, так что не употребляется и понятие дифракции.
Поскольку реальные объекты дифракции часто бывают металли-
металлическими, особый интерес представляет частный класс дифракцион-
дифракционных задач, в которых тело V берется идеально проводящим. При
этом внутреннее поле отсутствует (идеальный скин-эффект, § 40)
и определению подлежит только поле рассеяния, возникающее
при действии той или иной падающей волны (рис. 50.1, в). Тело V,
в частности, может иметь вид бесконечного идеально проводящего
экрана с отверстием; в этом случае говорят о дифракции на отвер-
отверстии (рис. 50.1, г).
Сущность волнового процесса в задаче дифракции (как, впрочем,
и при падении волны на плоскую границу раздела сред) можно ви-
видеть в том, что объект V, возбуждаясь под действием падающей
волны, ведет себя как излучатель дополнительного волнового поля,
т. е., как еще говорят, «переизлучатель» (по отношению к первичной
падающей волне). Тут же отметим, что разница между задачами
дифракции и задачами об излучении («антенными») в ряде случаев
чисто условна. Антенна, например, может состоять из некоторого
первичного источника и облучаемого им пассивного тела, объекта
дифракции.
Итак, задача дифракции заключается в нахождении внешнего
и внутреннего полей дифракции при заданной падающей волне
для того или иного объекта V. «Явлением дифракции», очевидно,
следовало бы называть сам происходящий электромагнитный про-
процесс, но не нужно забывать, что традиционный смысл этого термина
значительно уже (см. стр. 280).
Задачи дифракции — при всей простоте общей схемы — обычно
являются трудными математически и в большинстве случаев
рассматриваются при различных упрощающих предположениях.
2. Предел геометрической оптики. При неограниченном возрас-
возрастании частоты (©-»-оо, X -у 0) для всякой границы раздела сред
#ттА->сю, E0.1)
где #т1П — наименьший радиус кривизны (разумеется, при этом
заведомо A1%-+ оо, где к — любой из размеров тела). Граница
является, можно сказать, локально плоской, и в каждой ее точке
применимы законы Снеллиуса, т. е. можно, построив касательную
плоскость, рассматривать картину падающего, отраженного и пре-
преломленного лучей (рис. 50.2, а). Соотношение E0.1) определяет,
таким образом, предельный класс задач дифракции; мы будем упот-
употреблять выражение предел геометрической оптики.
282

Положим, что объект дифракции V есть однородное тело с глад-
гладкой поверхностью, причем для любой ее точки
х>1, E0.2)
где Хтах— длина волны для той из сред (тело V или его внешность),
где она больше. Чем выше степень выполнения этого неравенства,
тем ближе мы к пределу геометрической оптики. Пусть на рассмат-
рассматриваемое тело падает плоская однородная волна, которая теперь
описывается как параллельный пучок лучей. На основании законов
Сиеллиуса, в принципе, можно проследить ход каждого луча.
Правда, учет многократных отражений в случае прозрачного или
вогнутого непрозрачного тела (рис. 50.2, б) может быть довольно
сложным. Но часто построения можно довести до конца.
а)
6)
Рис. 50.2.
В качестве примера х) падения плоской волны на непрозрачное
выпуклое тело возьмем случай идеально проводящего цилиндра;
волна распространяется перпендикулярно его оси (рис. 50.3, а).
Сосредоточим внимание на двух лучах, соответствующих падающей
волне и идущих на расстоянии Ау. Один из них отражается в точке Р±.
которая видна из начала координат О под углом <р (по отношению
к направлению —х), и направлен, следовательно, с этого момента
под углом 2ф. Второй луч отражается в точке Я2. Поскольку
/.Р\ОР2 = Аф, то этот луч идет далее под углом 2 (<р + Д<р). Про-
Проследив ход лучей, нетрудно заметить, что ограниченный ими пучок
стал после отражения расходящимся. Но так как связанный с ним
поток энергии не изменился, то плотность последнего П уменьши-
уменьшилась. Можно считать, что в сечениях пучка с поперечными разме-
размерами Ау и А/ (ввиду малости Аф дугу А/ считаем элементом прямой)
абсолютные значения среднего вектора Пойнтинга П 1д; =П~Bф) и
П(д^ = П° относятся, как Ау и А/, причем Ау «^ 7? Дф со§ ф и
А/ «=* г'2Дф (г' — расстояние от О' до сечения А/), так что
По
■■ — СО8 ф.
1) Заимствовано из [Г. 4].
E0.3)
283

Указывающий направление отраженного луча угол 2<р заменим
координатным углом а, отсчитываемым от положительной оси
(а = 180° — 2ф), и учтем, что для больших расстояний г'р&г. Та-
Таким образом, при г -у оо
П-_(а)
2т
E0.4)
= КЦ- (а)/ Уп- A80°)=
п-™- может рассматриваться как нормированная характери-
характеристика направленности для поля рассеяния. Она представлена на
рис. 50.3, б в виде соответствующей диаграммы направленности.
б)
Рис. 50.3.
Угловая ширина области тени есть т = агс!§ 2Я/г т 2Я/г.
Это угол, под которым с расстояния г виден диаметр цилиндра.
По мере удаления точки наблюдения т неограниченно уменьшается,
так что из E0.4) имеем т = 0.
3. Зеркала и линзы. Плоский проводящий лист, размеры кото-
которого значительно превышают длину волны, будучи объектом диф-
дифракции, ведет себя, как зеркало. Схема отражения от него плоской
волны представлена на рис. 50.7, б. Согласно первому закону Снел-
лиуса отраженный пучок лучей идет симметрично падающему;
область тени находится из простейших геометрических соображе-
соображений. Следует, однако, иметь в виду, что условие применимости пра-
правил геометрической оптики 7? ^> X не выполняется на краях листа.
Представленная картина оказывается, таким образом, верной
с точностью до краевого дифракционного эффекта.
В антенной технике нередко применяются фокусирующие зер-
зеркала. Можно представить себе зеркало такой формы, что параллель-
параллельный пучок лучей после отражения сходится в одну точку, т. е. падаю-
падающая плоская волна превращается (в ограниченной области) в волну
сферическую (рис. 50.4, а). Если в эту точку, называемую фокусом,
поместить источник сферической волны, то при отражении от
зеркала она преобразуется в плоскую (рис. 50.4, б). Как опреде-
определить требуемую форму зеркала? Чтобы излучаемая в точке О
284

(рис. 50.4, в) сферическая волна после отражения превращалась
в плоскую, надо выполнить условие постоянства фазы в предпола-
предполагаемой плоскости ее фронта; последняя же пересекает под прямым
углом отраженный параллельный пучок лучей. Это значит, что
изменение фазы вдоль пути ОР (х, у) М должно быть таким же, как
и вдоль ОР (—/, 0) О: к (г + О) = 2к[, или Ух2 + у2 — х = 2/.
Отсюда в результате простых преобразований получаем
у2 = 2р(х-х0), ■ E0.5)
где р = 2/ и х0 = —/. Это уравнение параболы; величина / назы-
называется ее фокусным расстоянием. Зеркало, следовательно, должно
иметь параболический профиль. Оно — параболоид вращения.
Рис. 50.4.
Остается проверить, что отражение лучей происходит в соответ-
соответствии с первым законом Снеллиуса. В точке отражения Р (х, у)
(рис. 50.4, г) проведем нормаль V и покажем, что угол падения <р
и угол отражения <р' действительно равны. Согласно E0.5) для дан-
данной параболы у' = 2\1у. Поскольку у' = 1§ г|) = с!§ <р', то 1§ <р' =
= (//2/. Достаточно установить, что <р + <р' = 2<р\ Очевидно,
*8 (Ф + Ф') = —У1х. Но 1§ 2ф' = 21§ ф'/A -1§2 ф') = (М) №—№1L
Внося в знаменатель выражение у2 из E0.5), убеждаемся, что 1§ 2<р' =
= —у/х.
Линза — диэлектрическое тело — падающую на нее плоскую
волну преобразует (в некоторой области) в прошедшую сфериче-
сферическую, которая сходится в фркусе, а падающую сферическую —
в плоскую, рис. 50.5, а, б.
Пусть линза ограничена плоскостью и выпуклой поверхностью;
определим форму последней. Чтобы излучаемая в точке О сфериче-
285

екая волна (рис. 50.5, в) превращалась. в плоскую, плоскость,
след которой показан пунктиром, должна быть синфазной. Потре-
Потребуем поэтому, чтобы изменение фазы вдоль путей г и / + Л было оди-
одинаковым, т. е. куг — к-^ -\- кг ё, где кх и к2 — волновые числа для
(О)
Рис. 50.5.
внешней среды и диэлектрика линзы. Введем относительный пока-
показатель преломления кг\кх = п21 = п; теперь Ух2 + у2 = [ + п(х—/).
Отсюда получаем уравнение гиперболы
(X — Хо) у_ .
,п-1
'«+1
E0.6)
где #о = —гт> аа= . '. П2 и &а = Г—гт»- Итак, линза ограничена
гиперболоидом вращения.
Как и в случае зеркала, можно проверить, что правила геомет-
геометрической оптики выполняются; в данном случае речь идет о втором
законе Снеллиуса. При выводе уравнений E0.5) и E0.6) принима-
принимались во внимание лишь изменения фазы вдоль предполагаемых лу-
лучей. Почему этого оказывается достаточным? На данный вопрос мы
ответим несколько позднее (стр. 000).
Подчеркнем еще раз, что зеркала и линзы производят желатель-
желательное действие лишь на участок фронта падающей волны; впрочем,
последняя может быть настолько неоднородна, что вне области дей-
действия зеркала или линзы поле практически отсутствует (пучок лу-
лучей ограничен). Надо также иметь в виду, что краевые эффекты
с помощью представления о лучах не могут быть исследованы: здесь
нарушается условие # ^> к. Наконец, говоря о линзе, мы не рас-
рассматривали отражение.
4. Квазистационарный предел. В пределе при ©-»-0 (Х-^оо,
к -у 0) электромагнитное поле становится стационарным; однород-
однородные уравнения Гельмгольца B9.20) и B9.21) переходят при этом
в уравнения Лапласа A4.15) и B1.7).
286

Пусть тело V, являющееся объектом дифракции, мало в сравне-
сравнении с длиной волны, т. е.
0тахАт|П<1, E0.7)
где Дтах — наибольший размер тела, а Хт1п —длина волны в той
из сред (тело V или его внешность), где она меньше. В таком случае
можно пренебречь различием фаз в разных точках объекта дифрак-
дифракции (е-1Шр^\) и он выступает как квазистационарный. Поэтому
оправдана приближенная постановка задачи, состоящая в том, что
вместо уравнений Гельмгольца B9.20) и B9.21) при нахождении
поля в V используются получаемые из них при © = 0 уравнения
ЛаПЛЗСа VI*,,-0 E0.8)
и
т = 0. E0.9)
Это квазистационарный предел в задаче дифракции.
Рассмотрим в квазистационарном приближении дифракцию
плоской однородной волны на малой сфере V (рис. 50.6, а) с прони-
цаемостями е, и (х,- (проницаемости внешней среды (хе и ге). Взяв
а)
Рис. 50.6.
декартову систему координат с началом в центре сферы, запишем
комплексные амплитуды векторов Е° и Н° падающей волны:
E0.10)
Желая найти внутреннее дифрагированное поле Е+, Н+, мы должны
решить две независимые граничные задачи для уравнений Лап-
Лапласа E0.8) и E0.9). При этом можно воспользоваться уже извест-
известными решениями соответствующих задач электростатики и магни-
магнитостатики (§ 20, п. 3 и § 21, п. 2). Если, в частности, (хг = (хе, то
в соответствии с B0.28) и B1.9)
н+ — н°
E0.11)
287

(в данном приближении вектор Н° падающей волны внутри тела
не испытывает изменений).
В однородном электростатическом поле диэлектрическая сфера
ведет себя, как диполь с моментом, определяемым формулой B0.29).
Таким образом, под воздействием падающей волны сфера приобре-
приобретает колеблющийся электрический момент, комплексная амплитуда
которого есть .
Это значит, что она становится элементарным электрическим излу-
излучателем, и поле рассеяния Е~, Н~ можно найти по формулам из
§ 44, внеся в них выражение рт E0.12). Интересуясь дальней зо-
зоной, на основании D4.13) получим
- 1кег
е
E0.13)
(ориентация сферической системы координат показана на рис. 50.6, б).
Малая сфера, у которой е; = е„ и (х,- Ф це, как объект дифрак-
дифракции подобна элементарному магнитному излучателю. Если же е,- ф
■ф ге и (X,- Ф \1е, то рассеяние аналогично излучению элемента
Гюйгенса (§ 47, п. 3). Эти случаи читателю рекомендуется рассмот-
рассмотреть самостоятельно в качестве упражнения.
5. Заключительные замечания. Существует много практически
интересных задач, которые можно отнести к рассмотренным пре-
предельным случаям дифракции. Особенное значение имеет предел
геометрической оптики; позднее (§§ 56, 57) мы еще вернемся к мето-
методам геометрической оптики. Однако идеальные предельные процессы
лишены характерных черт дифракционных явлений. В действитель-
действительности к ним можно лишь в той или иной степени приблизиться,
и всегда будут наблюдаться некоторые отклонения; последние мо-
могут представлять интерес, даже когда они малы.
В качестве характеристики объекта дифракции часто исполь-
используется понятие поперечного сечения рассеяния. Это отношение пол-
полного потока энергии рассеяния, т. е. потока вектора П~через какую-
либо поверхность 2, охватывающую объект дифракции (рис. 50.7, а),
к абсолютному значению вектора П° падающей волны:
E0.14)
Возьмем простейший случай, когда на пути электромагнитной
волны находится металлическая пластина больших размеров с пло-
площадью 5. Полагая ее идеально проводящей, вычислим поток энер-
энергии отраженной волны в приближении геометрической оптики
(рис. 50.7, а): ' _ . '
Р01р = П-5со$ф=П°5со8ф. E0.15)
288

Однако это еще не полный поток энергии рассеяния: существование
области тени следует рассматривать как результат наложения на
падающую волну Е°, Н° поля рассеяния —Е", —Н°; последнее
@)
@)-
б)
создает такой же поток энергии, как и отраженная волна. Полный
поток энергии рассеяния поэтому вдвое больше, чем РОтр;
и поперечное сечение рассеяния равно
5^ = ^- = 25 со§ф. E0.16)
При нормальном падении оно вдвое превышает площадь отражающей
пластины.
В случае дифракции на отверстии (рис. 50.7, в) вводят понятие
поперечного сечения прохождения
П»
По
E0.17)
Смысл величины Тх очень прост: это площадь отверстия в экране,
которое в условиях применимо-
применимости геометрической оптики пропу-
пропускает такой же поток энергии,
как и рассматриваемое отверстие
в заданных условиях.
Сделаем еще замечание о при-
применении принципа взаимности
(§ 48, п. 2). Предположим, что
решена задача о дифракции волны
отдаленного элементарного излу-
излучателя А на теле V (рис. 50.8).
Это, в частности, означает, что его полное поле ЕА, НА вблизи V
известно, и, поместив там другой элементарный излучатель В, мы
10 Электродинамика 289
Рис. 50.8.

можем вычислить величину /"в^тл/в. Однако ввиду принципа
взаимности в форме D8.15а), D8.16)
/ )пвЕтА1в = 1тлЁ.тв1а- E0.18)
Отсюда можно найти напряженность поля Ев излучателя В в точке
локализации излучателя А; точнее говоря, вычисляется одна проек-
проекция вектора Ётв, но тем же путем определяются и оставшиеся две
проекции. Итак, зная решение задачи дифракции на теле V, полу-
получаем возможность учитывать его влияние на действие близко рас-
расположенного излучателя. Это способ, позволяющий, например,
исследовать антенны, находящиеся в непосредственной близости
Земли, на летательных аппаратах и в иных условиях.
§ 51. Дифракция на цилиндре: пример строгого
решения задачи
1. О строгих решениях задач дифракции. Вернемся к общей
схеме дифракционной задачи, представленной на рис. 50.1, б. При
постановке той или иной конкретной задачи дифракции задаются
геометрические и электродинамические характеристики тела V
и падающая волна Е°, Й°; внешняя среда обычно — вакуум. Тре-
Требуется же найти решение уравнений Максвелла Е, И такое, что
Е = Е\ Н= Н+ в V и Е = Е° + Е~, Н =№ + Н~ вне V. При
этом на границе 5 тела V должны соблюдаться известные из § 7 ус-
условия. Непрерывность тангенциальных компонент векторов Е, И
и нормальных компонент векторов В, О означает в данном случае
выполнение равенств: Е\ + Е^ —Е$, Н^ + Н^ = Щ, Б% + О^ =
= Оу, Ву +ВУ = В$. В случае, когда тело V является идеальным
проводником, граничные условия имеют вид
Внешнее поле дифракции ЕГ, Н~ должно также удовлетворять тре-
требованиям, которые предъявляются к решениям внешних задач
электродинамики (§ 31, п. 2, (П5.24), § 43, п. 3).
Таким образом, нахождение поля дифракции Е±, И- требует
решения краевой задачи для уравнений электродинамики. Получае-
Получаемые при этом выражения поля Е±,Н± называют «строгим решением»
задачи дифракции.
Строгие решения задач дифракции, как правило, не удается по-
получать в замкнутой аналитической форме. Для некоторых геомет-
геометрически простых случаев они выражаются в виде функциональных
рядов 1). Характерным примером является рассматриваемая ниже
аадача дифракции плоской волны на цилиндре.
х) Интенсивно разрабатываются математические методы решения задач ди-
дифракции для тел произвольной формы, приводящие к алгоритмам, реализуемым
на быстродействующих вычислительных машинах.
290

2. Дифракция на цилиндре; получение решения. Итак, в ка-
качестве объекта дифракции возьмем бесконечный круговой цилиндр
в пустоте (рис. 51.1). Проницаемости среды можно, таким образом,
представить как кусочно-постоянные функции радиальной коор-
координаты: ё(г) = ё, A (г) = & при г < Я (внутри цилиндра); 6 (г) =
= е0, р, (г) = }х0 при г > # (вне цилиндра). Пусть плоская одно-
однородная волна падает на цилиндр перпендикулярно его оси г и
Рис. 51.1.
поляризована параллельно последней: Е°=г0Е° (символЦ на рис. 51.1).
Запишем:
Ё Й е-1^*, E1.1)
где к0 = а/У^гоцо, Ц70 = )/^хо/ео. Выражая Ёт в цилиндрических
координатах, имеем Ёт = 20Ае~ '*»ГС03 "..Воспользовавшись формулой
(П6.24), представим Ет в виде следующего разложения:
г ж.
E1.2)
Поскольку поле Е°, Н° не изменяется по координате г и вектор /;°
параллелен оси цилиндра, то этими же свойствами должно обладать
и дифрагированное поле: д/дг = О, Е±= 20Е±, т. е. задача двумерна.
Из B9.21) следует скалярное уравнение Гельмгольца, которому
удовлетворяют функции Ё°т, Ёт и Ет'^
= 0, E1.3)
где 6(о) = к'2 = ©2ёA при г <: Я и к'\о) = к\ = ю2е0ц0 при г> Я.
Решения этого уравнения в цилиндрических координатах были по-
получены в Приложении 7, п. 3. Мы выразим Ёт и Ёт в виде линейных
комбинаций решений типае^в^(П7.17). При выборе©?? учтем, что
ограниченные решения для области г < 7?, согласно (П6.4), выра-
выражаются функциями Бесселя (В = 0 в (П.7.17), а решения для об-
области г"> Я, имеющие характер расходящихся волн, — функциями
Ханкеля второго рода согласно (П6.9) (Р = 0 в (П7.17)); азиму-
10*
291

тальные зависимости (а4) выберем те же, что и в представлении
E1.2). Таким образом, можем записать следующие ряды с неизвест-
неизвестными коэффициентами:
оо
E1.4)
_ E1.5)
л=— оо
Далее выпишем такие же разложения для магнитного поля.
Поскольку на основании второго уравнения Максвелла
Нт = —т го! Вт = —г (/"о —— — <х0 "г5) ПРИ Ёт = 2оЁт,
шц шц \ г да дг I
то рядам E1.2), E1.4) и E1.5) соответствуют следующие:
* П °° E1.6)
1п 1 {п
г I
E1.7)
поо
E1.8)
После записи всех этих представлений решение задачи сводится
к нахождению коэффициентов Ьп и сп путем наложения требуемых
граничных условий. Требование непрерывности тангенциальных
компонент векторов Е и Н принимает форму
Ёт-\-Е~^ = Ет> Нта.~\- Нта = Нтаг Г = В.. E1.9)
При почленном сопоставлении рядов E1.2), E1.4) и E1.5) первое
из записанных условий дает
- Ьп1п (Щ + с„НТ (к0Я) = -К (*оЯ). E1 • Ю)
Точно так же на основании разложений E1.6)—E1.8) из второго
условия находим
Ья I Гп№)-сп^НТ' (*оЯ) =-1'п(ЬД). E1.11)
292

Теперь Ьп и сп определяются как решения системы уравнений
E1.10) и E1.11)
Ьп . -. К М "Т <*°/?) У" {кЛ ""М ,E1.12)
^п(кР!)нТ'Ы-~,0-'()Т()'
-^п(кя) /п Ш+^А /„ (й
Итак, коэффициенты разложений E1.4)—E1.7) найдены, и поле
дифракции определено.
Следует подчеркнуть, что полученные ряды сходятся достаточно
быстро лишь для» цилиндров не очень больших диаметров.
3. Обсуждение результатов. Идеально проводящий цилиндр.
Перейдем к обсуждению полученных результатов, взяв сначала
идеально проводящий цилиндр. Данный случай будем рассматри-
рассматривать как предельный при ё -*■ — /оо. Поскольку одновременно ~Ф ->■
->- 0, то предельные выражения коэффициентов Ь„ и с„ E1.12)
вид имеют , ., ет
Ьп = 0, сп = -^Щ-у E1.13)
Как и следовало ожидать, внутреннее поле Е+; Н+ теперь отсут-
отсутствует. Конечно, граничное условие E1.9) для На на поверхности
идеально проводящего цилиндра не удовлетворяется. Его заменяет
соответствующее граничное условие из (п. 1).
[/о,/& + Ят] = т|т при г = Я, E1.14)
дающее возможность найти плотность поверхностного тока, наво-
наводимого падающей волной. На основании E1.14)
цт = 20(Н°та + Нта)\г=ц. ■ E1.15)
Желая найти внешнее дифрагированное поле Е~, Н~ в дальней
зоне, воспользуемся асимптотическим представлением функций
Ханкеля (П6.8), согласно которому
*
E1.16)
С учетом E1.13) из E1.5) и E1.7) получаем для дальнего поля рас-
рассеяния следующие ряды:
293

2 -1[ког-^
пког
(радиальная компонента вектора И ввиду дополнительного множи-
множителя \1г пренебрежима в дальней зоне в сравнении с азимутальной).
Формулы E1.17), E1.18) выражают цилиндрическую волну, кото-
которая локально может рассматриваться как обычная плоская одно-
однородная волна (§ 32) с волновым сопротивлением Ц70.
Суммирование рядов E1.17), E1.18) практически затрудни-
затруднительно при &0# > 10, т. е. когда радиус цилиндра превышает ве-
величину порядка ЗА/2. По данным суммирования находится плот-
плотность потока энергии рассеяния П~; о поперечном сечении рассея-
рассеяния 5Х (§.50, п. 5) ввиду двумерности задачи можно говорить как
о величине, отнесенной к единице длины цилиндра. Характеристика
направленности рассеяния — это величина
_ Ем (а) _ Нт (а)
р-
ттах
E1.19)
где подразумеваются амплитуды векторов поля, определяемые из
соотношений E1.17), E1.18). На рис. 51.2 в условном масштабе
150°
180°
210°
120°
Г"
1
90"
\
/
■ —~
\\
\ I44
м
01/ ОС/
П!/К=0,08 /^
>С\ Я/Л=0,64
*^--\—Л ~\ Я/А=128
С-—■— \ \ \ ^\
240е
270е
300°
Рис. 51.2.
330 е
представлены графики функции V П (а) для цилиндров разных ди-
диаметров [Г.4]; там же пунктиром нанесена кривая для предельного
случая #А -*■ оо, полученная по правилам геометрической оптики
(§50, п. 2). Мы видим, что в «области тени» в действительности имеется
максимум рассеянного излучения, который по мере относитель-
относительного укорочения волны обостряется. При рассмотренных значе-
значениях параметра К/Х еще очень далека область относительных раз-
размеров цилиндра, для которых можно ожидать удовлетворительного
результата от приближения геометрической оптики. Однако с рос-
294

том ЯIX кривые на рис. 51.2 все ближе подходят к предельной пунк-
пунктирной кривой вне «области тени».
Решение Ёт, Нт E1.17), E1.18) удовлетворяет требованиям,
гарантирующим его единственность. Следует иметь в виду, что
здесь нельзя непосредственно применить критерий из § 31, п. 2,
потому что задача двумерна (и в этом смысле искусственна).
Чтобы распространить рассуждения из § 31, п. 2 на двумерные
задачи, надо рассматривать построение на рис. 31.1,6, как по-
поперечное сечение бесконечного цилиндра. При отнесении поверх-
поверхности 5" в бесконечность она будет возрастать не как г2, что было
в трехмерном случае, а как г. Поэтому в окончательном выводе
о допустимом законе убывания полей вместо \1г надо ввести функ-
функцию НУ г. Иными словами, единственность решения двумерной
электродинамической задачи (в соответствующем классе) гаранти-
гарантирована, если при введении поглощения векторы поля убывают
быстрее, чем 1/Уг. А из E1.17), E1.18) видно, что Ёт и Нт как
раз и убывают быстрее, чем 1/у7 при замене к0 комплексным вол-
волновым числом.
Совершенно того же характера изменение вносится и в условие
излучения (П5.24). Функции Ёш, Нт E1.17), E1.18) удовлетворяют
условию излучения
Нт У?\^Л1 + 1к0Рт\= О E1.20)
(ср. (П5.24)).
4. Применение принципа двойственности. Рассмотрим далее
дифракцию на цилиндре волны иной поляризации (рис. 51.1, сим-
иол _|_), так что
)
Если ранее (п. 2) исходным моментом служило разложение E1.2)
комплексной амплитуды Ёт°, то теперь роль Ёт играет параллель-
параллельный оси цилиндра вектор Нт. Чтобы найти решение, надо выполнить
аналогичные предыдущему действия, взяв Нт вместо Ет; это должно
потребовать такого же объема выкладок. Но решение можно полу-
получить быстрее, применив принцип двойственности (§ 46, п. 3). Из
сделанного выше сопоставления следует, что должны поменяться
ролями и дифрагированные поля. Именно, выражения Ёт E1.4)
п Нт E1.6) дадут Н& и Ет соответственно при замене (включая,
разумеется, формулу для Ьп) ё на —(х и обратно, как это должно
быть в соответствии с D6.9а), D6.96). Итак, теперь
(-ОаЬп[го1^п(кг)-а0кГа(кг)]е1яа, г<Я
E1.22)
295

2 E1.23)
п —— оэ
Точно так же выражения Ет E1.5) и А/„ E1.7) при замене е0 на —}х0
и обратно (включая формулу для сп) переходят соответственно
В Нт И Ет-
Ё 2 ( 1)ПС[Г Я
2 ( 1)С"[Г° 7 Я ]
г>#, E1.24)
2 . E1.25)
« = — со
В E1.22)—E1.25)
Н'п
«7
°. E1.26)
1
117 '
нТ (*о#)-#- & №) "*»" (V?)
" О
что следует из E1.12).
Решение новой дифракционной задачи получено, таким образом,
на основе известного решения путем простых преобразований.
Задача об идеально проводящем цилиндре при данной поляриза-
поляризации падающей волны, строго говоря, должна решаться отдельно.
Но при ё -»•—/оо из E1.26) получаются правильные-значения сп,
а следовательно, формулы E1.24), E1.25) остаются применимыми.
Внутреннее же дифрагированное поле исчезает.
5. Квазистационарный предел. Вернемся к формулам E1.4),
E1.6) и E1.12) и, полагая цилиндр по диаметру весьма малым в срав-
сравнении с длиной волны, найдем выражение внутреннего дифраги-
дифрагированного поля.
Воспользовавшись формулами (П6.11)—(П6.12), из E1.12) на-
находим, что при #1% -* О
^- E1-27)
В E1.4) при К/К -+ 0 сохраняется только один член с п — 0, -в ко-
котором /0 (кг) -> 1. В результате Ет = г0А, т. е.
Ёт = Ёт (*=0). E1.28)
Поэтому можно считать, что внутреннее электрическое поле дифрак-
дифракции в случае весьма тонкого цилиндра при рассматриваемой поля-
296

ризации падающей волны не отличается от ее поля. Ввиду непрерыв-
непрерывности тангенциальной компоненты вектора Е этот вывод предста-
представляется вполне естественным.
Для определейия Йт достаточно взять в E1.6) лишь члены с я =
«= 1 и п = —1, поскольку все остальные члены (в том числе и ну-
нулевой) при #1% -н> 0 исчезают. При этом имеем
Согласно E1.1) Нт =—УоА1^й при х = 0, поэтому
|1- Йт = -^—Йт (х = 0). E1.29)
Для другой поляризации падающей волны (п. 4) при #/А -»■ О
нл E1.26) получаем
Ьо=\ и Ь1 = Ь-г = —1——. E1.30)
и далее из E1.22), E1.23) находим
й=-^-а (х=о) E^31)
Йт = Й°т (х=0) E1.32)
(все действия аналогичны).
Формулы квазистационарного предела E1.28), E1.29) и E1.30),
E1.31) могут применяться при выполнении условия E0.7).
Заметим, наконец, что полученные результаты совпадают, по
существу, с соответствующими решениями задач электростатики
и магнитостатики: ср E1.29) с B1.8) и E1.31) с B0.19).
§ 52. Дифракция на сфере
1. Решение задачи. Пусть плоская однородная волна, векторы
которой имеют комплексные амплитуды
70 *• Ар—1к<,г
А
/о <• Л_ р— 1Ьог
р
E2.1)
(проницаемости среды е0 и |х0), падает на сферическое тело (рис. 52.1)
с проницаемостями ё и (х.
Решение задачи можно получить таким же способом, как в слу-
случае дифракции на цилиндре, т. е. разлагая падающую волну по
подходящим функциям и составляя аналогичные разложения с не-
неопределенными коэффициентами для поля дифракции; последние
297

находятся при наложении граничных условий. Однако реализация
этого подхода оказывается более сложной. Вместо «цилиндрических
гармоник» я/?<М (П7.17) теперь надо использовать «сферические
гармоники» е^ве^ (П7.35), причем не непосредственно, а путем
построения из них векторных функций. Отсылая читателя,
интересующегося подробностями, к соответствующей литературе
(напр., [А. 2], стр. 493), ограничимся записью готового решения.
Внутреннее поле дифракции:
Г<Я> E2.2)
п=\
), г<я>
п — \
где
~ / , (кг) X
2кг п + У '
X
« а]
> = 17
^]п+\ {кг)
#о /I [У *
E2-4б)
причем индекс о (е) означает выбор верхнего (нижнего) варианта
двойного знака и тригонометрической функции; формулы для коэф-
коэфф Ь™ Ь б
фициентов
298
и Ьп будут приведены ниже.

Внешнее поле дифракции:
со
• • VI ^П -4- 1
_« /а / I 1} , , 1 , I С- *'*пг] 1^ ■**«)' "*^ * \О&. О}
п= I
со
Входящие сюда функции МОп и ЫОп получаются из М%п и Л#п
ее. ее
E2.4) путем замены & на к0 и / , (кг) на Я2'
, (кг) на Я ,
В E2.5), E2.6) и E2.2), E2.3)
х
X
"|/ ] ^) к^Я'а■ (V?) 1Г E2.7а)
во Г А "+<Г Ч "+2-
(V?)
П+2
"+2
E2.76)
I
к ^ ,
299

2. Некоторые выводы. Напомним, что в § 50, п. 4 уже рассмат-
рассматривалась задача дифракции на прозрачной сфере в квазистационар-
квазистационарном приближении. Было установлено, что рассеяние достаточно
270
270°-
В)
Рис. 52.2.
малой диэлектрической сферы подобно излучению диполя Герца,
а в более общем случае сфера ведет себя как совокупность электри-
электрического и магнитного электрических излучателей. Аналогичный
вывод справедлив и в отношении идеально проводящей сферы, За-
Заметим, что формулы E0.11), E0.13) можно получить в пределе
при К. Д -* 0 из записанного выше решения (используя также
300

преобразование координат); подобный предельный переход был
выполнен в случае цилиндра в § 51, п. 5.
По мере увеличения к0К рассеянное излучение становится более
сложным. Рассмотрим некоторые данные [Г. 51, полученные для
идеально проводящей сферы в пределах к0К = 0,5 -г- 10 путем сум-
суммирования рядов. Результаты представлены графически на рис. 52.2;
функции А и (й) и А^®) имеют смысл коэффициентов в выражениях
компонент векторов Е'т и Нш в дальней зоне. Именно, эти векторы
имеют вид
Ё'т = — (А ^—^— №<И|! @1) со8 а — аоА± (й) 5Ш а], E2.8)
Нт = — 1-~- ^—т— [Ф<й± @) 51П а + «0Дц (■&) соз а], E2.9)
так что
П" = 9Ш7 [I ^11 (*) I2 СО52« + М± (#) I2 51п2 «]• E2. Ю)
Рис. 52.2 демонстрирует картину, напоминающую ранее рассмот-
рассмотренный процесс рассеяния на идеально проводящем цилиндре
(§ 51, п. 3). С ростом параметра к0К все более обостряется максимум
рассеянного излучения в «области тени».
Можно показать, что поперечное сечение рассеяния шара вы-
выражается через коэффициенты с™ и с% E2.7а) следующим образом:
E2.11)
Область весьма больших значений параметра ко# представляет
интерес в связи с вопросами распространения радиоволн над по-
нерхностью земного шара (см. также замечание в § 50, п. 5). Од-
Однако мы не можем останавливаться на способах преобразования ре-
решения, используемых для оценок в этой области, ввиду их матема-
математической специфики.
В приближении геометрической оптики для идеально проводя-
проводящего шара нетрудно получить формулу
характеризующую рассеяние в дальней зоне освещенной области
(угловой размер области тени при г-»-оо пренебрежим): читателю
рекомендуется вывести ее самостоятельно тем же способом, которым
была найдена формула E0.4). Подчеркнем, что описываемое рассея-
рассеяние изотропно: П~ не зависит от угловых координат. Вычисляя по-
поток вектора 1Г" через поверхность, охватывающую объект дифрак-
дифракции (пусть это будет сфера радиуса г), имеем
= л^2Ш. E2.13)
301

Таков же был бы отраженный поток энергии при замене сфериче-
сферического объекта нормально ориентированным диском того же диа-
диаметра (§ 50, п. 5). Полный поток энергии рассеяния — с учетом об-
области тени — вдвое больше (§ 50, п. 5): Р~ = 2Ротр и поперечное се-
сечение рассеяния идеально проводящего шара в приближении гео-
геометрической оптики оказывается следующим:
^ E2.14)
§ 53. Метод Гюйгенса — Кирхгофа. Дифракция Фраунгофера
на отверстии
1. Метод Гюйгенса—Кирхгофа и постановка задачи. На рис. 53.1
схематически показано несколько случаев дифракции сферической
(а, в) и плоской (б, г) волн на непрозрачных — например,'идеально
проводящих — телах; в частности, тело может иметь вид экрана
с отверстием (в, г).
С точки зрения геометрической оптики непрозрачное тело просто
заслоняет источник, оставляя за собой область тени. Можно по-
построить поверхность, состоящую из частей С} н 8, по одну сторону
которой остается источник падающей волны (след С} -\- 8 на рис.53.1
показан пунктиром), причем С1 лежит целиком в области воображае-
воображаемой тени и соединяется с 5 на ее границе. Поставим целью найти
поле вне поверхности С? + 5. Согласно § 47 его можно приписать
излучению эквивалентных источников — электрического и магнит-
магнитного поверхностных токов, плотности которых на основании D7.3)
вполне определяются тангенциальными компонентами Е8 и Н8
векторов поля на С} + 5. В сущности это применение принципа
Гюйгенса.
Точные значения Е8 и Н8 при постановке задачи, однако, не
могут быть известны; поэтому довольствуются приближенными
представлениями этих функций. Еще Кирхгофом (для скалярной
задачи волновой оптики) был предложен способ, который и сейчас
широко используется при решении различных дифракционных за-
задач и в теории антенн. Приближение Кирхгофа в электродинамике
определяется наложением условий
Е° на 5, Г #° на 5,
0 на С; //5=| 0 на д. <53Л>
Таким образом, предполагается, что на теневой стороне непрозрач-
непрозрачного тела напряженности поля обращаются в нуль, а вне тела па-
падающая волна не деформируется.
Пусть рассматривается задача дифракции на отверстии рис.E3.1 ,в}
е, д). При этом создаваемое распределенными на 8 -\- С} эквива-
эквивалентными источниками поле есть не что иное, как внешнее поле
302

I
I»
тени
^05л. тени
В)
-Пс
д)
Обл. тени
/3
б)
-^-
_*»
-*•
]
ЪОбл. тени
V
и
1—.—
Ь Обл. тени
и,
г)
Рис. 53.1.

дифракции. Определяя его по принципу Гюйгенса (§ 47, п. 2), на
основании D6.6) напишем:
, . E3.2)
где слагаемые находятся в приближении Кирхгофа E3.1) по фор-
формулам D7.4), D7.6) с учетом равенств Ёт1 = -хо\Нт1 и Нт2=
0)8
= ~то1Ёт2 из D6.8), D6.10) либо через векторные потенциалы.
При этом в D7.4)—D7.7) г\т = [\0, Нт] и г\т = [Ё°т, у0] согласно
E3.1).
Если решается задача дифракции типа рис. 53.1, а, б, то полное
поле излучения эквивалентных источников включает также падаю-
падающую волну; формулы E3.2) в этом случае заменяются следующими:
Ёт + Ё1 = Ёт1 + Ёт, Н-т + Н°т = Нт1+Нт2. E3.2а)
Слагаемые в правых частях находятся так же, как и ранее.
Отметим, наконец, что при пользовании формулами D7.4),
D7.6) в большинстве случаев имеет смысл отбрасывать в круглых
скобках слагаемое \г—г'|~2(ближнее поле), как это делалось в § 47,
п. 3.
Описанный подход называют методом Гюйгенса—Кирхгофа.
2. Определение поля дифракции в дальней зоне. Сосредоточим
внимание на задаче о нормальном падении волны в пустоте Е°,
Н° на идеально проводящий экран с отверстием (рис. 53.1, г, д);
при этом
Ё
Отверстие 5, можно сказать, «вырезает» участок фронта падающей
волны, и каждый элемент 5 в приближении Кирхгофа есть обычный
элемент Гюйгенса. Фактически часть работы, связанной с нахожде-
нахождением поля дифракции указанным выше способом (п. 1), уже произ-
произведена в § 47, п. 3 при получении выражений D7.20). Зная поле
излучения элемента Гюйгенса, мы можем рассматривать отверстие
как систему непрерывно распределенных излучателей этого типа,
создающих поле дифракции Е~, Н~ (см. также § 49, п. 4).
Выразим поле дифракции в точке М (г) (т. е. М (г, й, а) или
М (х, у, г)), создаваемое произвольным элементом Гюйгенса, распо-
расположенным в окрестности точки Р (г1) (экран лежит в плоскости
г = 0, так что это точка Р (х', у', 0)). Согласно первой строчке
D7.20) комплексная амплитуда вектора Е~ равна
д,Ё~т = 1-л-^— A + сох Ф?) (Ф09 сох ад - аод зш ая) е |Г°_Г>| Лх' йу'
E3.4)
304

и на основании второй строчки D7.20) аналогично выписывается
йНт. Здесь индексом д снабжены угловые координаты и их орты для
направления г—г'.
Полное поле дифракции определяется путем интегрирования
функций йЁт и йНт по координатам отверстия. Учитывая, что рас-
расстояние до точки наблюдения во много раз превосходит размеры
Рис. 53.2.
отверстия, положим: \г—г'\~1 = Г~1, й? = ф и ад=а, т. е. ампли-
амплитуды всех элементарных полей в точке /И (г) и направления всех
излучателей на М (г) будем считать одинаковыми. Тогда
1кпЁ° @) г
Ет = 4™г—■ A + со8 ^) (й0 сох а — а0 51п а) V ег 1к° Iг~г'I их1 йу'.
E3.&)
Пусть отверстие имеет прямоугольную форму (рис. 53.2). Так
как
| г - г' | = У(х - хУ + (у - у')г + г2 = У г* - 2 (да' + г/г/') + х'2 + г/'2,
где г = Ухг + г/2 + г2, причем х' и г/' весьма малы в сравнении
с г, то посредством разложения \г — г/\ в биномиальный ряд с точ-
точностью до малых второго порядка имеем: \г—г''\ = г (хх' +
+ г/г/') +... Равенство E3.5) принимает вид
A +соз
—ао51па)
а/2 6/2
5 5 <-"■
хх' + уу'
г
— а/2—Ъ/2
(согласно E3.3) ^^ @) = Л), и интегрирование дает
их'(к/
E3.6)
\ \ е
,+уу,
йх'йу' =
XX
Переходя здесь к сферическим координатам в соответствии с соот-
305

ношениями х — г соз а $т ф и у — г з)п а зт ф (рис. 53.2), из
E3.6) окончательно получаем
Ёт =1 ° (#0 соз а —- а0 зт а) х
. (каа . А . 1кпЬ . .А
зт I —"-- соз а зш # 1 зт I -' - зт а зт д 1
X Г7, ~ Га 41 +СОЗ ф). E3.7)
-к- соз а зт гг -~ зт а зт гт
Точно так же, отправляясь от выражения йЙт, можно найти
Нт- При этом оказывается, что
Нт = щ[г0, Ёт\ E3.8)
3. Исследование поля дифракции. Запишем следующее из E3.7),
E3.8) выражение характеристики направленности излучения от-
отверстия:
а)
@, а)
ЯП и ЗШ V
E3.9)
к а к Ь
где и = -~-со&а эти и о = -|-8та8тф. Полученный результат
является весьма важным. С точки зрения теории антенн (читатель
познакомится с таким аспектом в соответствующем курсе) это ха-
характеристика направленности «идеальной поверхностной антенны»,
которая служит моделью, частично воспроизводящей свойства
многих реальных антенн. По традициям оптики дифракцию плоской
волны на отверстии, наблюдаемую в дальней зоне, называют диф-
дифракцией Фраунеофера.
Рассмотрим подробнее формулу E3.9). Как видно, функция
Р ('&, а) есть произведение трех множителей, один из которых не
что иное, как характеристика направленности элемента Гюйгенса
D7.22), а два другие — интерференционные множители, отражаю-
отражающие совместное действие всех элементов (ср. понятие множителя
системы в § 49, п. 1).
Если точка наблюдения лежит в плоскости хОг (а = 0), назы-
называемой Я-плоскостыо (ей параллелен вектор Е в отверстии), то V =
= 0 и множитель зш о/о превращается в единицу. При а = 90°
точка наблюдения находится в Я-плоскости (уОг); при этом и = 0
и зт и/и = 1. Обозначая в этих двух случаях характеристику на-
направленности РЕ (й) и Рн (й), имеем
™^ E3.10)
Iе- н
где Iе =~8Ш'б> и !я = -°рзтй. Функция |зт |/|| представлена
графически на рис. 53.3, а. При а ^> К (Ъ ^> %) интерференционный
множитель в E3.10) изменяется в зависимости от й гораздо быстрее,
306

чем 1 + соз й, и в основном определяет характер излучения в об-
области малых углов, где наблюдается главный максимум (й = 0).
Угловую ширину главного максимума 2Д0^- н, т. е. угол между
ближайшими к нему направлениями, в которых излучение отсут-
отсутствует, определяем из условия
= 0 или 8ш^8шДф») = 0, E3.11)
где имеется в виду низший корень я (рис. 53.3, а): -^5т
= я, т. е.
и у8
= А и
E3.12)
»2у. E3.12а)
Типичная характеристика направленности РЕ-Н (ф) изображена в
ииде диаграммы на рис. 53.3, б.
или ввиду малости углов (ср. § 49, п. 3)
а2- и
-6Л -5Л-4Я-ЗЛ-2Я -я1 О Я 2п ЗтИ 4П 5тХ Вп %
а)
6У
Рис. 53.3.
4. Заключение. Сделаем некоторые замечания. Во-первых, надо
иметь в виду, что общий характер полученных результатов не за-
зависит от формы отверстия. Можно было бы, например, взять круг-
круглое отверстие диаметром 2% и получить подобные найденным вы-
выражения векторов Ег и Н~ излучаемой отверстием волны, аналогич-
аналогичную характеристику направленности и выражение ширины глав-
главного максимума излучения в виде
2Д#0^2,44^-. E3.13)
Во-вторых, подчеркнем, что использованное приближение Кирх-
Кирхгофа дает решение задачи, которое нельзя назвать строгим. Следует
ожидать (и это подтверждается теоретическими сравнениями [В.2]),
что результаты являются удовлетворительными для больших отвер-
отверстий; тогда краевая зона, для которой заведомо неприменимо пред-
представление E3.1), невелика.
307

С увеличением относительных размеров отверстия ширина глав-
главного максимума излучения стремится к нулю, т. е. соответствующий
ему пространственный канал становится нерасширяющимся. Таким
свойством и должен обладать проходящий через отверстие пучок
лучей: мы пришли к пределу геометрической оптики. -
Следует иметь в виду, что в дальней зоне само отверстие 5
видно под исчезающе малым углом, а диаметр «главного луча»
г-2А®0 намного больше размеров отверстия.
Наконец, замечание о трактовке отверстия как антенны. В
приближении Кирхгофа полная мощность излучения из отверстия
равна потоку энергии падающей на него волны, т. е., согласно
E3.3), Ра = П° 5 — аЬА2/2№0. Вычисляя плотность потока энергии
в направлении максимального излучения (й = 0), на основании E3.7)
и E3.8) получаем: Птах (г, ф, а) = Щг, 0, а) = к20АгагЬг/8л2г^0.
Эти данные позволяют воспользоваться формулой D1.2) и вычис-
вычислить максимальный коэффициент направленности действия отвер-
отверстия, принимаемого за идеальную поверхностную антенну. Простая
подстановка дает
Апах (О, а)=И @,а) = ^§- C = аЬ). E3.14)
Как видно, при фиксированной площади 5 величинаОтах с укороче-
укорочением волны возрастает как 1/№. Полезно сопоставить равенства
E3.14) и D1.7). Сделанный вывод подтверждает последнее на прос-
простом примере, когда 5 .есть просто площадь антенны.
Вообще поверхностными называют те антенны, действие кото-
которых в режиме передачи удобно представлять как излучение источ-
источников, распределенных на некоторой «поверхности раскрыва» 5,
обычно плоской; к ним относятся, например, рупорные и зеркаль-
зеркальные антенны (ср. § 49, п. 4). Это излучение анализируют методом
Гюйгенса—Кирхгофа, подобно тому как выше исследовалась ди-
дифракция на отверстии. Поскольку поле в раскрыве существенно не-
неоднородно, вместо E3.4) берутся формулы, построенные на основе
D7.24), в которых ориентация, амплитуды и фазы векторов поля Е8
и Н8 вообще зависят от координат.
§ 54. Дифракция Френеля
1. Постановка и решение задачи. Вернемся к условиям, при
которых выше, в § 53, п. 2, было получено решение задачи дифрак-
дифракции на отверстии. Рассматривая поле в дальней зоне (дифракция
Фраунгофера), мы справедливо предполагали, что расстояние до
точки наблюдения значительно превосходит не только длину волны
(г "р> к), но и размеры отверстия (г ^> а, г ^ Ъ). При ослаблении
последних неравенств, когда угол, под которым видно отверстие,
уже нельзя считать пренебрежимо малым, явления дифракции имеют
существенно иной характер и требуют отдельного исследования.
308

В этом случае употребляется пришедший из волновой оптики тер-
термин дифракция Френеля.
Продолжая- изучать прямоугольное отверстие, выберем неко-
некоторую плоскость г = сопз! (рис. 54.1, а), на которой все
время будет находиться точка наблюдения М (г). При этом \г — г' =
('*+(у')* +••• Будем счи-
считать, что удержанный здесь квадратичный член разложения все же
настолько мал, что им можно пренебречь при вычислении ампли-
амплитуд векторов йЁт и йНт (см. § 53, п. 2), так что он должен быть
X
б)
учтен лишь при вычислении фаз.-Мы ограничимся, таким образом,
областью малых углов ф, для которой | г ~ г1|~х я« г'1 и A + со§ й) х
х (й0соза —а0 81па);=«2д:0 (рис. 54.1, б). Поэтому, интегрируя
А Ёт по прямоугольному отверстию, вместо E3.6) будем иметь
а/2 6/2 , ,., , ,„_„,>,
Е"г=Х° 2п г \ \ 6 йхй^- E4Л)
— а/2—'б/2 '
Двойной интеграл, подобно тому как было в E3.6) есть произведе-
произведение сходных однократных интегралов. Взяв один из них, получим
2г
•--*.
-а/2
где произведена простая замена переменной. Аналогично преобра-
преобразуется интеграл по у'. Обычно употребляют обозначение
E4.2а)
309

где
С(и) = I/ ^ I соз
о
E4-26)
— так называемые интегралы Френеля, которые не берутся в эле-
элементарных функциях. Они табулированы (напр., [Л. 1]) и ниже
(рис. 54.2) представлены графически; очевидно С (—и) = —С (и)
и 5(—и) = —5(и).
Итак, выражение комплексной амплитуды вектора Е поля
дифракции E4.1) приводится к
^следующему виду:
;«. [С@) _
E4.3)
где
2г Г — 2
20 30 40
Рис. 54.2.
50 и
E4.3а)
Совершенно таким же путем,
интегрируя йЙт, нетрудно убедиться в выполнении равенства
Нш = 4 т (г) [С(и) - /5(н)-] \1\ [С(о) - ВД] \1\. E4.4)
Возвращаясь к постановке задачи, еще раз отметим, что при
дифракции Френеля, в отличие от дифракции Фраунгофера (§ 53),
нельзя пренебречь квадратичными членами в разложении \г—г'\
при вычислении фазы. Поэтому, например, при определении поля
в точке М @, 0, г) в подынтегральном выражении E4.1) имеем фазу
(х', у') = к0
, а в E3.6) при тех же условиях фаза равна
22
нулю. Очевидно, следует говорить о дифракции Фраунгофера, если
величина тах Аф (х', у') пренебрежимо мала. Взяв х' = а и у' = Ь
и полагая, что фаза достаточно мала, если она значительно меньше
180°, имеем неравенство
———■%_ I. E4.5)
Это условие дифракции Фраунгофера.
2. Исследование поля дифракции. В первую очередь представ-
представляет интерес распределение интенсивности поля дифракции в рас-
310

сматриваемой плоскости г — сопз1. Для нахождения амплитуд Ет
и Нщ, а также среднего вектора Пойнтинга
П~ = -^-П°! [С(и) — /5(и)] \и[ [С(а) - /5(а)] $ |2 .E4.6)
приходится, как это видно из формул E4.3)—E4.6), вычислять
модуль комплексного числа С(щ) — (8(щ) — [С(щ)—18A1)^], где
XV это и или V. При этом удобно пользоваться специальной диаг-
диаграммой, позволяющей быстро понять общий характер изменения
-З(иг)
1,4
[см-
С/иг)
-1,2
-14
Рис. 54.3.
такой величины в зависимости от ее аргументов, а следовательно,
выяснить и закономерности дифракции.
В декартовых координатах | = С(ш) и ц = —5(и») построим
кривую, каждая точка которой соответствует значениям функций
С (хм) и —5(о)) одного аргумента т\ это так называемая спираль
Корню (рис. 54.3). Поскольку направленные отрезки, идущие из
начала координат О к точкам спирали Корню, которые отвечают
аргументам XVх и щ, изображают комплексные числа С(щ)—18(щ)
и С(щ)—13(щ) соответственно, то разность этих комплексных чи-
чисел изображается отрезком, соединяющим обе точки спирали.
Очевидно, зависимость амплитуд векторов поля (и V П ) от ко-
координаты х выражается функцией
Ф (х) = | С(и2) - 18(и2) -
311

а зависимость от у — функцией
V (У) = IС (у2) - '5 (у2) - [С @1) -13 (V,)) |.
При х = 0 и у = 0 промежуточные аргументы и1-2 и у112 E4.3а)
равны
Величины
*=т% и 5=т1? E4-8>
являются важными параметрами рассматриваемого дифракцион-
дифракционного процесса; будем называть их «волновыми размерами» отвер-
отверстия.
Пусть волновые размеры весьма велики (а ^> 1, Ь^> 1); поскольку
формулы E4.3), E4.5) справедливы при малых — и — (г ^а г), то не-
неравенства а ^» X, Ъ ^> X должны при этом выполняться в суще-
существенно более сильной степени. Возьмем среднюю точку в плос-
плоскости наблюдения (х — О, у — 0). Согласно E4.7) аргументы всех
интегралов Френеля в E4.3), E4.5) и E4.6), т. е. функций С (И1,2),
5 (и1л), С (а1>2) и 5 (о112) для нее очень велики по абсолютному зна-
значению. Можно поэтому положить все перечисленные интегралы
равными своим предельным значениям ±1/2 (рис. 54.2 и рис. 54.3).
В результате получаем
Ё-т @, 0, г) = Ё°т (г) = х0
Нт @,0,2) = т (г) = у0 -.§- е4***, E4.9)
т. е. в рассматриваемой точке М @, 0, г) поле дифракции воспри-
воспринимается как не деформированная отверстием падающая волна.
Исследуем далее распределение поля дифракции в ^-плоскости,
пользуясь диаграммой рис. 54.3; отдельные положения для нагляд-
наглядности изображены, кроме того, на рис. 54.4. Точке М @, 0, г) на
диаграмме соответствует отрезок, соединяющий предельные точки
спирали Корню (рис. 54.4, а); его длину мы можем принять за ве-
величину У П~ @, 0, г) E4.9), выбрав условный масштаб, и начать
построение графика функции У Н~ (х, 0, г) (рис. 54.5, точка а).
Будем двигаться в плоскости г = сопз1 от средней точки к краю
отверстия в сторону возрастания х. При этоми1 = 1/ о^(х + -§")
увеличивается так что еще больше оснований считать соответствую-
соответствующую точку спирали Корню предельной. Другой же предел и2 =
= 1/ ~-(х—у] уменьшается по абсолютной величине, а следователь-
312

но, соответствующий ему конец направленного отрезка будет сколь-
скользить по спирали Корню, удаляясь от своей предельной точки
(рис. 54.4, б, в, г, д). Длина этого отрезка, представляющая
а)
61
б)
Рис. 54.4.
г)
У И (х, О, г), колеблется, причем наибольшее значение
У П~ (х, О, г) |тах ^ 1,17 КП" @, 0, г) наблюдается вблизи края
(рис. 54.4, в). Затем поле спадает. В точности против края
х
-а/2
а/2
Рис. 54.5.
(V П~ (х, 0, г)—У И (а/2, 0, г), (рис. 54.4, г)) оно вдвое меньше, чем
в средней точке: движущийся конец направленного отрезка пере-
переместился по спирали Корню в начало координат (рис. 54.4, г).
С точки зрения геометрической оптики, здесь проходит граница
тени (вертикальная пунктирная линия на рис. 54.5). Мы видим, что
-а/2
О а/2 -а/2 О а/2
а) б)
Рис. 54.6.
-а/2 0 а/2
в)
У И (х, 0, г) не обращается сразу в нуль за этой границей, а спадает
постепенно (рис. 54.4, д). Вообще интенсивность колеблется около
постоянного значения, предсказываемого геометрической оптикой
(пунктир на рис. 54.5). При движении от средней точки в сто-
сторону другого края отверстия картина повторяется.
313

М(ОДг)
Чем больше волновой размер отверстия, тем меньшую область
освещенной части захватывают сильные осцилляции (рис. 54.6, а)
и тем ближе к реальности приближение геометрической оптики.
При значительном же уменьшении волнового размера «съедается»
внутренняя часть эпюры (рис. 54.6, б). При волновых размерах
порядка единицы возможен даже резкий спад интенсивности в сред-
средней точке наблюдения (рис. 54.6, в). При малых волновых разме-
размерах, согласно E4.5), имеет место дифракция Фраунгофера.
3. Простейшая интерпретация дифракции Френеля. Выше было
показано, как построенная на основе спирали Корню (рис. 54.3 и
54.4) позволяют выяснить общий характер дифракции Френеля на
отверстии. Нетрудно составить также очень простое представление
о происхождении самой спирали
Корню.
Разобьем мысленно рассма-
рассматриваемое отверстие на весьма
малые элементы (обязательно
малые в сравнении с длиной
волны) (рис. 54.7). Приближен-
Приближенно отверстие выглядит как дис-
дискретная система таких элементар-
элементарных излучателей. Интересуясь,
(например, дифрагированным по-
полем в точке М (О, 0, г), мы
должны сложить ряд комплекс-
Рис 54.7. ных чисел АЁтщ, выражающих
абсолютные значения векто-
векторов АЕт и), которые являются комплексными амплитудами полей
отдельных излучателей в этой точке (векторы АЕт </) практически
параллельны). Модули чисел АЁт(Ь, можно сказать, одинаковы;
фазы же их различны и изменяются тем быстрее, чем дальше от
средней части отверстия расположены элементы, поскольку при
этом быстрее возрастают соответствующие пути г/ до М. Используя
при сложении чисел Л^ши «векторную» диаграмму (ср.#§ 49, пп. 2,
3), мы должны откладывать отрезки, отображающие АЁш щ, с воз-
возрастающим отклонением (описывая увеличивающиеся фазовые
сдвиги). Мы видим, что диаграмма начинает походить на спираль
Корню. Она действительно станет спиралью Корню в пределе при
бесконечном измельчении элементов, т. е. представлении отвер-
отверстия в виде непрерывной системы излучателей, как это и было фак-
фактически сделано в п. 1.
Следующий полезный момент — построение так называемых
зон Френеля. Выделим в плоскости отверстия область, обладающую
тем свойством, что расстояния от ее точек до точки наблюдения
М (О, 0, г) не различаются более чем на полволны; это круг радиуса
(рис. 54.8)
Гх = у (г + Х/2J - г2 ъ*У&, E4.10)
314

он называется первой зоной Френеля. Вторая и следующая зоны
Френеля — это обладающие подобными же свойствами кольцевые
области. Вторая зона лежит между границей первой зоны и окруж-
окружностью радиуса
т. е. для нее
У2Хг>г>УХг. E4.11)
Вообще для п-й зоны Френеля
УпХг>г>У(п-1)Хг. E4.12)
Далекие зоны Френеля имеют (будучи смежными) почти равные
площади и создают в точке М противофазные сигналы, можно ска-
сказать, одинаковые по амплитуде, а потому 'компенсирующиеся. По-
Поэтому, если внутри отверстия (любой формы) умещается много зон
■к/г"
>,*ЗК/2
Рис. 54.8.
Френеля, то экранируемая часть фронта волны уже несущественна:
поле в точке М будет таким, как если бы экрана не было. Но «много
зон Френеля», иными словами, означает выполнение неравенства
E4.13)
где й — любой из поперечных размеров отверстия. В случае отвер-
отверстия прямоугольного мы опять приходим к условию
а =
= —— Ъ> 1
E4.13а)
использованному при выводе выражений E4.9).
§ 55. Экраны и принцип двойственности; узкие щели
1. Принцип двойственности и дифракция на плоских объектах.
Как известно (§ 46, п. 3), вследствие «перестановочной двойствен-
двойственности» уравнений Максвелла из решения некоторой задачи об излу-
излучении источников электрического типа в неограниченной среде
.315

преобразование D6.9, а), D6.9, б) позволяет немедленно получить
решение задачи для такого же распределения магнитных источников;
обратно: решение второй задачи посредством D6.9, а), D6.9,6) пре-
преобразуется в решение первой.
Рассмотрим теперь принцип двойственности в такой форме,
чтобы его можно было легко применить к некоторым задачам дифрак-
дифракции. Сравниваемые задачи будут различаться характером граничных
условий.
Возьмем две электродинамические задачи, в одной из которых
фигурирует бесконечный идеально проводящий плоский экран <3
/
а)
б)
Рис. 55.1.
с отверстием 5 (рис. 55. 1, а), а в другой — плоский идеально про-
проводящий элемент Т, геометрически идентичный отверстию в первой
задаче (рис. 55. 1, б). Сформулируем эти задачи.
Задача!.
E5.1)
го* Ет\ = — трНщ, го* Нт1=тгЕт1,
с-тхг=^Ещ на о, г.тх^\) на у.
Из § 31, п. 2 известно, что решение такой задачи (при некоторых
оговорках) единственно. Если в данной форме поставлена задача
дифракции на отверстии в экране волны, падающей из полупрост-
полупространства Л, то в полупространстве В поле Ег, Нх есть поле рассея-
рассеяния Ех, Нх.
Задача 2.
E5.2)
Ятт = Ят на Т, ЯтТ = 0 на Ц. )
В смысле выполнения условий единственности решения задача 2
не отличается от задачи 1 (§ 31, п. 2). Следует, однако, учесть, что
поле Ей, #2 не может быть полным полем задачи дифракции на иде-
идеально проводящем элементе Т: полное поле, конечно, не удовлет-
удовлетворяет условию Нтх = 0 па (} ((} — плоскость, в которой лежит Т,
за вычетом Т). Но Е2, Н2 может быть полем дифракции. Действи-
Действительно, последнее связано стоками проводимости в Т, а такие токи
создают магнитное поле без тангенциальной компоненты на ф
(рис. 55.1, б).
316

Проявление принципа двойственности состоит в том, что форму-
формулировка E5.2) задачи 2 переходит в формулировку E5.1) задачи 1
(причем Ёт2 -> Нтг и Нт -> Ётг) при замене е -> —A и (х-> — ё
(и обратно: E2.1) при аналогичной замене преобразуется в E2.2)).
Если к тому же
Ёпп = Нт, E5.3)
то решения двух задач идентичны.
Задачи 1 и 2 являются в указанном смысле дополнительными
друг к другу, что было отмечено А. А. Пистолькорсом и использо-
использовано им для построения теории щелевых излучателей (см. ниже п. 2).
В волновой оптике аналогичное свойство дополнительности известно
под названием «принципа Бабине».
Впрочем, обычная формулировка принципа Бабине существенно
связана с принципом Гюйгенса в приближении Кирхгофа. Пусть
В Е7НГ ■ В С°+Ш*Н°+Н+
■ ''. ' НИШ
3 * ? Г
Е°Н° Е"
а) б)
Рис. 55.2.
одна и та же волна Е°, Н° в одном случае падает на экран с отвер-
отверстием (рис. 55. 2, а), возбуждая в полупространстве В поле дифрак-
дифракции Е~1, //Г, а в другом — на дополнительный (в форме отверстия)
экран (рис. 55.2, б); в полупространстве В полное поле есть при этом
наложение волны Е°, Н° и поля, дифракции Е% Н$. Согласно
приближению Кирхгофа поле Е8, Н3 в плоскости раздела полупро-
полупространств Л и В не отличается от падающей волны Е°, Н°, где нет
экрана; на теневой же стороне экрана (в обоих случаях!) оно отсут-
отсутствует: Е5= О, Н8 = 0. Складывая полные поля в полупростран-
полупространстве В, получаем
= Е, \
Но в силу принципа суперпозиции Е,Н есть поле, возникающее
при условии, что на всей плоскости раздела Е8 = Е° и Н8= Н°,
а потому
Е=Е°, Н=Н°.
Таким образом,
Е<;=—Е;, Щ = — Н; ' ■ E5.4)
и, следовательно,
Па=ПГ. E5.4а)
317

Это формулировка принципа Бабине, согласно которому взаимно
дополнительные объекты (рис. 55.2, а, б) возбуждают в переднем
полупространстве одинаковые по интенсивности поля дифракции.
Результаты решения задач дифракции на отверстиях (§§ 53, 54)
сразу переносятся на случаи дополнительных к ним экранов.
2. Узкие щели. Дифракцию на узких щелях уже нельзя иссле-
исследовать в приближении Гюйгенса (§ 53, п. 4); мы рассмотрим дейст-
действие щелевого излучателя, как это было сделано А. А. Пистоль-
корсом.
В смысле принципа двойственности узкая щель (рис. 55.3, а),
аналогична дополнительной к экрану полоске (рис. 55. 3, б), а
последняя может излучать
как прямолинейный ток
(§ 44); малый в сравнении
с длиной волны элемент по-
полоски есть в сущности эле-
элементарный электрический
излучатель.
Интересуясь полем в
дальней зоне, запишем для
элемента полоски А/ на
основании D4.13) следую-
следующие выражения:
\Н3
,ст
, = ею -
1Ы™ А/ яп ■
4я
М яп
„-1кг
-гкг
4л
E5.5)
б)
Рис. 55.3.
(здесь использовано соот-
соотношение D4.4) и введены
нижние индексы, указы-
указывающие, что рассматривается задача 2 E5.2)).
Надо учесть, что ток полоски связан с магнитным полем на ее
поверхности соотношением
'а = 2Ш1, E5.6)
непосредственно следующим из B.8), поскольку (рис. 55.3,6)
Нт &
(ср. также § 7, п. 4).
На основании принципа двойственности получим теперь из
E5.5) решение дополнительной задачи 1 E5.1) при тангенциальном
электрическом поле Е8 того же вида, какой имело в задаче 2 поле Н8.
Это и даст поле излучения элемента щели Л/; вектор Е8 (рис. 55.3, а),
как видно, направлен в щели поперечно.
31Й

Делая в E5.5) замену е ^ — ц, Ёт 5± Йм, возьмем, в частности,
Ёт вместо Нт и величину
и=йЕ3 E5.7)
будем рассматривать как напряжение между краями щели. В резуль-
результате находим
\
E5.8)
-1кг
Элемент щели, создающий такое поле в дальней зоне, подобен
элементарному магнитному излучателю, как показывает прямое
сравнение формул E5.8) и D5.10). Впрочем, об этом можно было
догадаться и раньше, поскольку поперечное поле Е8 эквивалентно
ввиду D7.3) продольному магнитному току. Из сопоставления E5.8)
и D5.10) следует, что элемент щели обладает магнитным моментом
с комплексной амплитудой
т» = ^. E5-9)
т. е. излучает в полупространство В, как расположенный в свободном
пространстве элемент магнитного тока
Г = —2аЕ3 = — 21/. E5.10)
Разумеется, последнее соотношение можно было бы получить непо-
непосредственно из интегральной формы второго уравнения Максвелла
D6.2), т. е. тем же способом, что и E5.6).
Отметим, что вдоль щели длиной в полволны устанавливается
почти синусоидальное распределение напряжения. Такой щеле-
щелевой излучатель аналогичен в смысле принципа двойственности
полуволновому вибратору (§ 44, п. 5). Взяв в D4.25) / = К/2, имеем
.; соз -„- соз д )
и по принципу двойственности получаем для щелевого излучателя
.,-, СО8(-5-СО8^
E5.12)
Остается выяснить, при каких обстоятельствах возбуждается
щелевой излучатель. Пусть на идеально проводящем листе магнит-
магнитное поле и ток проводимости распределены, как показано на
рис. 55. 4, а; это будет, например, при падении по нормали плоской
однородной волны. Если в листе прорезаны две узкие щели — парал-
параллельная и перпендикулярная вектору Н (рис. 55.4, б), то первая
будет излучать, а вторая фактически нет. Дело в том, что первая
щель прервет ток проводимости, в результате чего в ней появится
319

ток смещения, т. е. поперечное электрическое поле, строение кото-
которого показано на рис. 55.4, в. Вторая же щель почти не затрагивает
\>п
Н
И)
—-.
7
—-.
-—-
.
■—■
—-.
(г)
•—.
б)
Рис. 55.4.
тока, и первоначально неизлучающее поле, можно сказать, остается
невозмущенным.
III. РЕФРАКЦИЯ
Под рефракцией понимают явления при распространении волн
в неоднородных средах, которые можно трактовать как искривле-
искривление лучей. Таким образом, по самому определению, понятие реф-
рефракции относится к области действия геометрической оптики.
Простейший вид рефракции — это преломление лучей на плоской
границе раздела сред, рассмотренное в §§ 37—39; в § 50, п. 2 говори-
говорилось об условиях применимости понятия преломления при рассмот-
рассмотрении реальных тел. Особого же внимания требует плавное искрив-
искривление лучей, происходящее в средах, проницаемости которых —
непрерывные функции координат; необходимо подчеркнуть, что
само понятие лучей является при этом правомерным лишь в случаях
достаточно медленного изменения свойств среды.
Явления рефракции просты в сравнении с рассматривавши-
рассматривавшимися в этой главе ранее. Однако с точки зрения изучаемого
предмета они представляют двоякий интерес. Во-первых, при озна-
ознакомлении с рефракцией предоставляется возможность совершить
переход от уравнений Максвелла к довольно общим уравнениям
геометрической оптики, которые влекут за собой ряд следствий,
включающих уже известные частные положения геометрической
оптики. Во-вторых, изучение рефракции нужно для понимания ряда
особенностей распространения радиоволн в естественных условиях.
§ 56. Локально плоские волны в неоднородных средах
1. Эйконал. Для всякого электромагнитного поля формально
можно записать представление
Ёт=Ше"\ Нт = Ж(Г\ E6.1)
где^ = ^(/*), 3€=3€ (г)иф = ф (г) — некоторые вообще комплек-
320

сные функции координат. Действительно, достаточно лишь взять
какую-то функцию ср и положить 8 = Ётещ, 34 — Нтещ. Но суще-
существуют особые случаи, когда такое представление естественно и
полезно.
Пусть, например, Ш,3€ и ф вещественны. При этом формулы
E6.1) описывают волну, фронт которой характеризуется уравнением
ф(/-) = сопз4 E6.2)
(ср. стр. 164). Волна эта однородна, если 8 и 34 постоянны на поверх-
поверхности фронта. Функция ф называется здесь ьйконалом. В частности,
для плоской волны эйконал — линейная функция координат:
Ф (г) = Ах + Ву + Сг или (§ 34, п. 1): <р (г) = к (х соз ух +
+ у соз у2 + г соз у,,), а для волны сферической ф (г) = Сг = кг.
Теперь мы видим, что если в комплексных амплитудах поля
Ё>т и Нт можно выделить множитель е~!(р (функция ф пусть будет
вещественна) так, что коэффициенты 8 и 34 оказываются слабо
зависящими от координат, то поле близко к однородной электро-
электромагнитной волне с фронтом ф (г) = сопз!. При этом в окрестности
любой точки можно указать достаточно малую область, в которой
векторы Ш и 34 практически постоянны, а участок фронта является
почти плоским. Мы вправе, таким образом, рассматривать данное
электромагнитное поле локально как плоскую волну; будем упо-
употреблять в подобных случаях выражение локально плоские волны.
2. Основные уравнения локально плоских волн. Поставим целью
получить уравнения, описывающие локально плоские волны.
Согласно (П1.35) при E6.1) го! Ёт = е~1<*> го! 8 + [у^'ф, Щ, причем
уе-гф = — /е^'ФУф, и подобным же образом выражается го\Нт. По-
Поэтому, внося представления E6.1) в однородные уравнения Макс-
Максвелла для комплексных амплитуд (т. е. в B9.11) при /^ = 0), имеем
, да • гп' 5Рп ■ • 1Р E6.3)
ГОТ© — Н'ф, *.| = —КВ(Х<Лр.
Рассматривая вообще неоднородные среды, будем считать проница-
проницаемости функциями координат: ё = ё (г) и (х = [I (г).
Отличительным свойством локально плоской волны является
слабая зависимость от координат функций Ш (г) и 34 (г) в сравнении
с ф (г). Поэтому ограничим класс рассматриваемых процессов,
потребовав выполнения следующих неравенств:
I ^ср, 811 ^ I [34, ?ф] | ^ V"",™,
или равносильных неравенств:
< 1 E6.46)
о) | № \ ^ ш 16!
(позднее в п. 5 мы обсудим эти ограничения). Чем сильнее выпол-
11 Электродинамика 321

няются неравенства E6.4а) или E6.46), тем с большим основанием
можно заменить уравнения Максвелла E6.3) следующими:
[Ж, Уф] = соё^, [Уф, Ш]=щЗ€. E6.5)
Отсюда видно, что векторы Ш, Ж и Уф взаимно перпендикулярны.
Пусть е и (I вещественны (ё = е, |1 = ц). Исключая из E6.5)
Ж или Ш соответственно, получаем уравнения
[[УФ, Ш[, УФ] = со2ец1 E6.6)
и
[Уф, [Ж, Уф] = со2ецЖ. E6.7)
Из E6.6) либо из E6.7) при помощи формулы (П1.5) находим
(УфJ = й2, E6.8)
где к2 — со2ец. Это так называемое уравнены эйконала. В частности,
в декартовых координатах оно имеет вид
$"+(ЗУ+ ($"-*■■ <56А>
Эйконал ф, как и требуется, —вещественная функ-
функция.
О чем говорят полученные результаты? Взаимно
перпендикулярные векторы Ш, Зъ и Уф образуют,
Рис. 56.1. как видно из E6.5), правую тройку, так что
градиент эйконала Уф параллелен вектору Пойн-
тинга [Е, Н\. При этом вектор Уф направлен по нормали к поверх-
поверхности ф = соп5{, являющейся фронтом волны (рис. 56.1). Отношение
Уф/| Уф | есть, следовательно, единичный вектор волновой нормали
Введя волновой вектор к (§ 34, п. 1), поэтому, с учетом E6.8), имеем
Й=^06 = Уф. E6.10)
Наконец, внесем последнее представление в E6.5) и получим
[Ж, V0]=18> \уй,Ш\ = У9€, E6.11)
где № = У77^, и
&=М- = урш E6.12)
Итак, мы действительно имеем поле, локально неотличимое от обыч-
обычной однородной волны (§ 32).
3. Геометрическая оптика неоднородной среды. Вернемся к
тому факту, что вектор Уф как градиент скаляра ф всегда направлен
по нормали к эквифазной поверхности ф = сопз*, т. е. к фронту
волны, и выражает наибольшую (в сравнении с иными направлени-
направлениями) скорость возрастания фазы ф. Линии вектора Уф — это и
322

есть лучи, рассматриваемые в геометрической оптике. Для некото-
некоторого семейства поверхностей ф = сот! лучи находятся как орто-
ортогональные им линии (рис. 56.2, а). При этом, поскольку вектор
Пойнтинга направлен везде параллельно Уф, лучи можно опреде-
определить как линии, вдоль которых происходит движение энергии.
Сосредоточим внимание на двух эквифазных поверхностях и
луче, соединяющем расположенные на них точки А я В (рис. 56.2, б);
очевидно, каждая из таких поверхностей определяет мгновенное
а) ?(А)
б)
Рис. 56.2.
положение фронта распространяющейся волны. Обозначим линию
луча V и на основании определения градиента запишем:
Уф = л?0-Д. E6.13)
Привлекая также формулу E6.10), получаем отсюда
^- = к = к0П, @0.14)
где к0 = со 1^еоцо и п =]^егцг— показатель преломления среды
(§ 37, п. 2). Интегрируя E6.14) по V от Л до В, имеем
в в
пA\. E6.15)
Это выражение разности фаз на пути рассматриваемого луча, или,
как говорят, его оптической длины через коэффициент преломления
среды.
Сделаем некоторые выводы из соотношений E6.13) — E6.15).
Взяв случай однородной среды (п = сопз!), получаем
E6.16)
где & — длина пути вдоль луча. Пусть в однородной среде зафикси-
зафиксирован плоский (рис. 56.3, а) или сферический (рис. 56.3, б) фронт
волны ф = Фо. Поскольку во всех точках ду/дч имеет одно и то же
значение, то построение Уф (символически изображенное стрелками)
показывает, что следующее положение фронта ф = Ф будет также
11* 323

плоскостью (а) или, соответственно, сферой (б). Лучи при этом —
прямые линии.
Пусть далее среда неоднородна; рассматривая такие же фронты
(рис. 56.4, а, б), мы придем к выводу, что они, вообще говоря,
V?
Ф
а)
а)
6)
Рис. 56.3.
Рис. 56.4.
деформируются, а лучи криволинейны. Действительно, это прямо
следует из построения Уф на поверхностях ф = Фо: согласно
E6.14) величина ду/ду в разных точках фронта будет иметь разные
значения при непостоянстве п. Исключение составляет случай
неоднородной среды, для которой п меняется только вдоль V.
4. Принцип Ферма. Существует еще важное общее положение,
позволяющее находить линии лучей в неоднородной среде и извест-
известное под названием принципа Ферма. Согласно ему луч — это та
Линия, вдоль которой оптическая длина минимальна, т. е.
= т'т
E6.17)
слева путь интегрирования совпадает с линией луча, а справа
подразумевается перебор всех возможных
путей от Л до В.
Для доказательства принципа Ферма
отметим сначала, что в силу потенциально-
сти поля лучей для любого пути
в
/ = ф(В)-ф(Л), E6.18)
Си С
ой.о.
т. е. записанный интеграл не зависит от
линии интегрирования, а определяется
только'значениями эйконала (фазы) в на-
начальной и конечной точках пути (ср. свойства электростатического
потенциала, § 14, п. 2). Выберем путь, не совпадающий с линией
луча (рис. 56.5), и заменим в E6.18) Уф, согласно E6.10), через
к = уок = у^п
в в в
^ Уф й1 — ^ к <Н = к0 ^ п соз а 6,1,
А А А
324

где соз а — (\0, т0) — косинус угла между направлениями луча (г0)
и пути интегрирования (т0). Взяв, в частности, путь интегрирования
вдоль луча (/ = V), мы должны положить соз а — 1. Но в силу
независимости интеграла E6.18) от пути
в в .
§ п СО5 а A1= ^п йу,
а . а
а поэтому
в в
так как умножение положительного п на соз а ^ 1 может только
уменьшить величину интеграла. Отсюда и вытекает принцип Ферма
E6.17).
Теперь нетрудно обосновать изложенную в § 50, п. 3 методику
расчета зеркал и линз. В обоих случаях речь идет о нахождении
условий, при которых все оптические пути из точки (фокуса) до неко-
некоторой плоскости (фронта волны) одинаковы. Положим, такие пути
построены, как и было сделано при выводе уравнений E0.5) и E0.6).
Почему эти пути должны в действительности реализоваться, т. е.
именно вдоль них пойдут лучи? На этот вопрос позволяет ответить
принцип Ферма: потому что, будучи равными, все найденные пути
оказываются наименьшими.
5. О применимости геометрической оптики. Обратимся к нера-
неравенствам E6.46), выполнение которых оправдывает применение
концепций геометрической оптики к электромагнитным полям.
Отметим сначала, что они должны быть справедливыми при доста-
достаточно высоких частотах, и в пределе при со -» оо геометрическая
оптика закономерна (ср. § 50, п. 2). Взяв далее вещественные про-
проницаемости, приведем E6.46) к виду
го* 81 ^и „ |го1^-<Л, E6.19)
где введены параметры к = соУец и Ц7 = У\х./е, являющиеся
функциями координат вместе с проницаемостями е к^ц. Функцией
координат будет и величина к = 2п1к, которую условно можно
назвать, «мгновенной» (отнесенной к точке) длиной волны; на самом
деле, к может рассматриваться как длина волны лишь в том случае,
если исследуемое поле есть локально плоская волна. Переписав
E6.19) в форме
^^Ц±<2п и ^|го1^||Г<2я, E6.19а)
отметим, что компоненты вихря вектора составлены из первых
производных самого вектора, а поэтому записанные неравенства
будут заведомо выполнены, если ™-т
где е и к компоненты векторов 8 и Ж соответственно, а
дк
\ —
325

произвольная декартова координата. Но, в частности, —
есть приращение е на длине X в направлении |. Таким образом,
для всех компонент Ш, Ж и всех | потребуем
2я. E6.20)
Достаточным условием применимости представлений геометри-
геометрической оптики является, как мы видим, относительная малость
изменения амплитуд поля на расстояниях порядка X. Это мыслимо,
если на таких же расстояниях мало изменяются е и [I (а с ними и X).
Но, разумеется, даже в однородной среде (е = сот!, (л = сот!)
могут существовать поля, для которых требования E6.20) не выпол-
выполняются; весьма быстро изменяются поля, например, вблизи границ
«тени» (§ 54).
В заключение запишем вытекающие из E6.3) точные равенства
вида
[[УФ, Щ, \(р] = аЩ1Ш + Ш(».то\3€-1[то\Ш, УФ] E6.21)
и
[УФ, [Ж,
, го! Ж] E6.22)
(ср. E6.6) и E6.7)). Из них, в свою очередь, следует:
±
Щ УФ-
2} E6.23)
. E6.24)
Сопоставление E6.23) и E6.24) с E6.8) приводит к следующим
критериям применимости уравнения эйконала:
1 ,. .
Ш*
8 го! Ж -1 [Ш, хо\
или
< \к* | E6.25)
. E6.26)
Если для некоторого поля Е, Н построено представление E6.1),
формулы E6.25), E6.26) покажут, имеются ли основания для гео-
метрооптической трактовки.
I
§ 57. Лучи в неоднородных средах
1. Кривизна луча. Вывод основного уравнения. На рис. 57.1
изображен луч ц виде, плоской кривой V. Рассматривая две близкие
точки М и М', при а -> 0 имеем: Ау -> а/? и а-»-— = Ау0,
где Ду = ММ' — длина дуги, # — радиус кривизны в точке М,
326

а Ду0 — абсолютное значение приращения Ау0 единичного век-
вектора V,, касательной к лучу. Таким образом, для радиуса кривизны
получаем следующее дифференциальное выражение:
К = с1у/с1у0. ' E7.1)
Будем использовать в дальнейшем следующую векторную характе-
характеристику кривизны луча (вообще неплоского):
А=-?Г = 1,з @1 .2)
где /?0 — единичный вектор, указывающий направление бК>0, т. е
обращенный в сторону уклонения
луча, а 1//?, как известно, назы- о+Д*о
вается кривизной. Один из спосо-
способов вывода основного уравнения,
характеризующего оптический луч, ' м
состоит в следующем [Г. 2].
В декартовых координатах
с1хг. дхг. с1х дх> с1и дхп с?2
дх
ду
дг йу'
причем входящие сюда производ-
производные координат х, у, г по длине
V — это направляющие косинусы,
а следовательно, проекции единичного вектора
оси. Поэтому
ах0 дх0
Рис 57.1.
на координатные
Учтем далее, что VVо = 0, так как V, = 1; раскрывая
= V (у1х + Vад + Уог), имеем отсюда равенство
= 0.
E7.3)
E7.4)
Из E7.3) и E7.4), в частности, следует:
дх0
-УУог , E7.5)
что можно переписать в иной, лаконичной форме. Действительно,
проектируя E7.5), например, на ось х, имеем
■ = Vп
а так как подобный же вид имеют и остальные проекции, то равен-
равенство E7.5) приобретает форму
-г5 = — [у0, го! V,,]. E7.6)
327

Чтобы получить уравнение оптического луча, учтем, что, согласно
(П1.33) и E6.10), го! к = 0, а так как к = уопко (§ 56,п. 3)
то!у0я = 0 E7.7)
и на основании (П1.35)
го!у0 = — \[^п, ^1' E7.7а)
Внося это в E7.6), получаем уравнение луча
Й = 1К, 1^п, V0]] E7.8)
или после преобразования при помощи (П1.5)
3 = _ {У« — у0 (г0Уп)}. E7.8а)
Заметим еще что
а
так что уравнению луча можно придать форму
(Цау(уоп) = \п. E7.86)
2. Свойства лучей. Слоистые среды. Начнем с замечания, что
из E7.8) с учетом E7.2) следует: в однородной среде (п = сопз!,
V» = 0) лучи — прямые линии (К = 0, К -> оо).
Представим себе далее, что луч везде направлен в сторону наи-
наибольшего изменения свойств среды — векторы у0 и \п параллельны.
Из E7.8) видно, что при этом также К = 0, т. е. луч прямой. Это
возможно, если поверхности п = сопз! неоднородной среды одно-
одновременно являются поверхностями фронта распространяющейся
волны. Возьмем, например, случай плоско-слоистой среды, когда
поверхности п = сопз! — параллельные плоскости (рис. 57.2, а);
здесь мыслима плоская волна, лучи которой — параллельные пря-
прямые. В случае сферически-слоистой среды (поверхности п = сопз! —
концентрические шаровые) речь может идти о сферической волне:
лучи — радиальные прямые, рис. 57.2, б.
Пусть теперь в некоторой точке слоистой среды луч направлен
перпендикулярно Чп (вдоль поверхности п = сопз!). При этом
из E7.8а) имеем
т. е. луч уклоняется в сторону наибольшего возрастания показа-
показателя преломления среды. Это иллюстрируют рис. 57. 2, в, г.
Рассмотрим более общее положение, когда в слоистой среде
направление луча составляет с Чп произвольный угол 6О- Качест-
Качественно искривление луча можно охарактеризовать по-прежнему:
он уклоняется в сторону Уп; это видно из векторных диаграмм
сложения Чп1п и, —у0 (гоуп)/п, приведенных на рис. 57.2, д, е.
Координата г указывает здесь направление, которое будем называть
328

вертикальным. Вектор V/! либо совпадает с вертикальным направле-
направлением (рис. 57.2, д), либо противоположен ему (рис. 57.2, ё). В первом
случае луч искривляется к вертикали, и кривизна будет считаться
отрицательной, а во втором — от вертикали (положительная кри-
кривизна).
V
Уп
а)
УпЛ
в)
(Я
Рис. 57.2.
Желая определить радиус кривизны /?, будем отправляться
от формул E7.2) и E7.8а). Поскольку теперь ^п=гй-!^ (йпШ> О
(рис. 57.2, д) или йп[йг < 0 (рис. 57.2, ё)), то
Учитывая, "что
отсюда
и, наконец,
= С05 60» при возведении в квадрат получаем
E7.10)
329
йп

где знак минус (при извлечении корня из предыдущего выражения)
выбран в соответствии с условием о знаке кривизны, указанным
выше; К > 0 при убывании оптической плотности среды по верти-
вертикали. Взяв 60 =90°, получаем из E7.10) формулу для случая луча,
идущего параллельно плоскости п = сопз!
E7.11)
4 ап/аг •
Читателю рекомендуется вывести ее также прямо из E7.9).
Приведем еще один очень простой вывод формулы E7.11). Пусть
в результате изменения коэффициента преломления с высотой
первоначально вертикальный фронт волны оказался несколько
наклоненным (рис. 57.3). При этом А/ и А/' — приращения лучей
при г и г + Аг соответственно. Очевидно,
: = -^- и
где уо= 1/^60^0 и т —интервал времени. Если
п ' М' М' — М
К — радиус кривизны луча, то -р-*« ———• т- е-
Аг
Аг
Рис. 57 3 Внося сюда выражения А/ и А/', приходим
к E7.11).
Наконец, обратимся к уравнению луча в форме E7.86), чтобы
найти для плоско-слоистой среды подобие второго закона Снелли-
уса. Умножая обе части равенства E7.86) векторно на гй, справа
будем иметь тождественный нуль ввиду параллельности векторов г0
и Чп = %ййп\&г. Поэтому
\д.{уф)\йч, го] — О. E7.12)
Очевидно, что
\, г0] =
= 0 (г0 = сопз!). Таким образом, из E7.12) сле-
слеп[х0, 2'о] = соп51; E7.13)
E7.13а)
поскольку
дует:
или
Подчеркнем, что речь идет о величине, постоянной по длине луча
во всех его точках. Можно ввести в рассмотрение начало луча:
п == «о и ф = 6О (рис. 57.4, а). Тогда выведенное соотношение
принимает такую форму:
П8т# = по81и %> E7.136)
в которой оно сходно со вторым законом Снеллиуса.
330

Напомним, что ранее (§ 41, п. 2) рассматривалась система слоев
постоянной оптической плотности, на границах которых п изме-
изменяется скачкообразно. Полученный теперь результат E7.136) есть
в сущности предельная форма соотношения D1.10).
Возьмем систему двух сред с показателями преломления «, и п2,
разделенных плоской границей, на которой изменение свойств
у^-' 1 Переходный
слои
а)
б)
Рис. 57.4.
происходит постепенно в некотором слое. Сомнений относительно
применимости формулы E7.136) при выполнении некоторых тре-
требований (§ 56, п. 5) не возникает, и мы находим (рис. 57.4, б)
«х 5111 фх = П2Зт
E7.14)
По форме это второй закон Снеллиуса (§ 37, п. 2). Очевидно, что
с этих позиций мы имеем право выступать, пока толщина проме-
промежуточного слоя не слишком мала (§ 56, п. 5); переход же к случаю
скачкообразного изменения п, формально допустимый, не обоснован.
IV. ЗЕМНЫЕ И ТРОПОСФЕРНЫЕ РАДИОВОЛНЫ
В этом разделе мы возвращаемся к вопросам распространения
радиоволн в природных условиях, первоначально затронутым
в §§ 41, 42. Предшествующий материал данной главы послужит
при этом необходимой теоретической базой.
Уже отмечалось, что совокупность физических факторов, опре-
определяющих свойства радиолиний, весьма сложна; пожалуй, наиболее
сложным является влияние верхних ионизированных слоев атмо-
атмосферы — ионосферы.
Однако для широкого круга процессов распространения ра-
радиоволн это влияние вполне пренебрежимо, а существенно только
наличие земной поверхности. Радиоволны в таких случаях назы-
называют земными (§ 41, п. 2).
Часто нижние слои атмосферы, в которых практически распро-
распространяются земные радиоволны, можно рассматривать как одно-
однородную среду, которая по своим электродинамическим характерис-
характеристикам близка к вакууму. В других случаях неоднородность приле-
33)

жащих к Земле слоев атмосферы, тропосферы, заметна или даже
играет определяющую роль. Радиоволны, особенности распростра-
распространения которых обусловлены этого рода факторами, называются
тропосферными.
Ниже будут рассмотрены земные и тропосферные радиоволны.
§ 58. Физические факторы и приближения теории
1. Природные условия и их моделирование. Земля с атмосферой,
вообще говоря, есть сложная неоднородная среда. Различны свой-
свойства почв, и около 70% земной поверхности покрыто водой. Горы,
леса, строения и т. д., казалось бы, запрещают говорить о Земле
как о физическом теле с простой поверхностью и везде известными
электродинамическими характеристиками. Понятно, что строгая
постановка задачи о распространении радиоволн в природных
условиях оказывается невозмож-
@) 1_) ной из-за многообразия фак-
факторов, и неизбежно моделирова-
моделирование, т. е. замена реальных
условий некоторыми упрощен-
упрощенными, которые, однако, должны
воспроизводить существенное с
удовлетвррительной достоверно-
достоверностью.
Каково влияние рельефа зем-
земной поверхности и расположен-
расположенных на ней предметов, зависит
от соотношения размеров неров-
Рис. 58.1. ностей и длины волны. Пусть
плоская волна падает на поверх-
поверхность раздела сред сложной формы, отклоняющуюся от плоскости не
более чем на высоту к (рис. 58.1). Это объект дифракции, и вопрос со-
состоит в том, насколько поле рассеяния отличается от волны, которая
бы отражалась плоской границей, т. е., в частности, каково непосто-
непостоянство фазы поля рассеяния в гипотетической плоскости фронта
такой волны (пунктир на рис. 58.1). Отдельные элементы поверх-
поверхности раздела подобны элементарным излучателям, фазы которых
вынуждаются падающей волной, и можно попытаться оценить
фазовые различия в интересующей нас плоскости, сравнивая их
поля. Два близких, но максимально отстоящих по высоте элемента
неровной поверхности подобны излучателям (или отражающим
площадкам), расположенным на расстоянии к по вертикали. Соот-
Соответствующая разность фаз равна различию оптических путей А'($В'
и А0&, т. е. . .
Дф = 2Ш = ~ соз #. E8.1)
Если к <^ к, то Дф ^» 0. Тогда, пренебрегая фазовыми отклонениями,
можно заключить, что неровности границы не проявляются. Фор-
332

мула E8.1) показывает, что влияние неровностей уменьшается
не только с их высотой, но и по мере приближения направления
распространения волны к горизонтальному. Считается, что пренебре-
пренебрежение неровностями границы в какой-то мере оправдано вплоть
до фазовых отклонений Аф порядка я/2. Согласно E8.1) этому
соответствует высота неровностей
к<к/8со&®. E8.2)
В диапазонах средних и длинных волн лесистую местность или
даже город можно считать ровной поверхностью, характеризу-
характеризуемой некоторыми эквивалентными электродинамическими парамет-
параметрами, например коэффициентом отражения для волны той или иной
поляризации и направления. Затр для сантиметровых волн отдель-
отдельный камень или куст должен рассматриваться как объект дифракции.
В ряде случаев, анализируя распространение радиоволн, поверх-
поверхность Земли принимают за плоскость («плоская модель»), иногда
идеально проводящую. Что касается атмосферы, то надо иметь
в виду следующее. Около 80% массы воздуха сосредоточено
в слое вблизи Земли, имеющем в среднем толщину около 11 км.
Это и есть тропосфера, уже кратко упоминавшаяся. Показатель
преломления газа, заполняющего тропосферу (а он состоит из воз-
воздуха с примесью водяных паров), весьма близок к единице, однако,
несмотря на это, пространственные вариации оптической плотности
тропосферы в ряде случаев необходимо учитывать при объяснении
особенностей распространения радиоволн.
При нормальном устойчивом состоянии тропосферы ее темпера-
температура и плотность убывают с высотой, причем верхней границей
тропосферы как раз считают уровень, на котором падение темпера-
температуры прекращается; среднегодовая температура здесь может дости-
достигать —80 °С.В следующих за тропосферой сильно разреженных слоях
температура опять повышается, но это обстоятельство с точки зре-
зрения электродинамики уже не имеет большого значения: основным
фактором является падение оптической плотности вместе с плот-
плотностью газа. При количественных
оценках в данном случае удобно
пользоваться не коэффициентом 300
преломления п, отличающимся от
единицы на десятитысячные доли, 200
а так называемым «индексом пре- ^ "
ломления» N, который определяет-
определяется формулой д
Л^ = (п— 1)- 106. E8.3) 1 2 34 5678 9Ю11'Н,км
Идеализированный закон измене- Рис. 58.2.
ния N с высотой представлен, гра-
графически на рис. 58.2 [ЕЛ); на линейном участке (до высот около
7 км) ЙЛШЛ ^»—4 • 10~2 \1м. Важно, что наблюдаются существен-
существенные отклонения от приведенного нормального закона, как более
или менее стационарные, так и случайные.
333

Медленные изменения плотности тропосферы вызывают при рас-
распространении радиоволн явления, описываемые как рефракция.
Локальные флуктуации плотности надо рассматривать как объ-
объекты рассеяния.
2. Доминантная область радиолинии. Ввиду разнообразия физи-
физических факторов в разных местах земного шара особенно важен
вопрос, в какой степени их надо одновременно учитывать при ана-
анализе радиолиний. И вообще необходимо ли в принципе рассматри-
рассматривать при этом электромагнитное поле во всем пространстве?
Сначала предельно упростим задачу. Пусть в неограниченной
однородной среде распространяется плоская волна, и в некоторой
точке наблюдения М поле характеризуется напряженностями Е, Н.
Желая выяснить, насколько эти величины зависят от электромаг-
электромагнитного процесса в отдаленных областях пространства, представим,
что на пути волны расположен экран с отверстием (рис. 58.3, а);
последнее может быть прямоугольным. Теперь в точке М мы имеем
поле дифракции, рассматривавшееся в § 54. Из § 54, п. 2 известно,
что в случае отверстия достаточно больших размеров поле против
его средней точки практически не отличается от падающей волны.
Подчеркнем, что оценке подлежат «волновые размеры», определяемые
соотношениями E4.8), т. е. если поперечный размер отверстия
есть й, то велик должен быть соответствующий волновой размер
И = й[\Гкг E8.4)
(ср. E4.13)), где г в данном случае есть расстояние до точки наблю-
наблюдения (рис. 58.3, а). Предположим, что поле в М при наличии экрана
334

не отличается (с заданной степенью точности) от поля без экрана,
когда й = С; это значит, что при
A = СУТг E8.5)
экранируется «несущественная часть» поля. Чем меньше X, тем
уже допустимое отверстие; при к^-0 оно становится исчезающе
малым и, можно сказать, выделяет луч. Естественно сделать вывод,
что в формировании поля плоской волны в точке М активно участ-
участвует лишь часть полного поля, сосредоточенная в области в виде
канала. Эту область будем называть «доминантной» (определяющей).
В условиях радиолинии волну следует считать сферической.
Рассмотрим сферическую волну, излучаемую в точке ф (передающая
антенна) и наблюдаемую в точке М (приемная антенна). Чтобы
выяснить в этом случае характер доминантной области, введем,
как и ранее, экран с отверстием (рис. 58.3, б) и исследуем поле
дифракции.
Если точка ф далека от экрана, то амплитуду сферической волны
в плоскости отверстия можно считать неизменной, что же касается
фазы, то различием расстояний ф^ и С}Р2 уже нельзя пренебрегать.
Обозначая (}Р2 символом г , имеем
где г=BРх — кратчайшее расстояние, а х', у'— координаты
в плоскости экрана. Очевидно (ср. § 54, п. 1),
Заметим теперь, что для нахождения поля дифракции сферической
волны нужно внести лишь очень небольшие изменения в формулы
из § 54. Именно, под интегралом E4.1) должен фигурировать допол-
дополнительный фазовый множитель
(х'У + Ю'
так что
Ст — Хо 2я 2 X
а/2 6/2
5 ~1
X 5 5 е1к°1 22 - й* ! ЫЛУ'- E5-6)
— а/2 —6/2
Поскольку нас будет интересовать лишь точка наблюдения
М @, 0, г), то в E8.6) надо положить х = 0 и у = 0. Интеграл,
как и в § 54, п. 1, распадается на два идентичных по форме интег-
интеграла по х' и у'. Один из них:
а/2 _1к\0П1 + Щ а/2 ,.о ^
\ в Ь* 2г \с[х'= $ е 2гг/{г+г) ^',
— а/2 —а/2
335

В сравнении со случаем дифракции плоской волны (§ 54), когда
множитель е—'*е><*'I/2г отсутствует, различие свелось к тому, что
вместо г мы имеем теперь —.
2+2
Выписать результат интегрирования уже не представляет
труда: надо лишь внести очевидные изменения в E4.3), E4.3а).
Но требуется не выражение поля, а представление о волновых раз-
размерах отверстия. Ясно, что новые размеры будут по-прежнему
выражаться формулами E4.8) при замене в них г на ?, и смысл
2+2
этих параметров сохранится (вывод формул E4.9) остается в силе 1)).
Поэтому вместо E8.4) будем иметь
й=—-А=, E8.7)
2 + 2
и, положив минимально допустимый волновой размер отверстия
равным С, получим
E8.8)
Проанализируем этот результат, отметив сначала, что г + г есть
не что иное, как расстояние между приемной и передающей антен-
антеннами фМ = А. На рис. 58.3, в введена декартова система координат
(!;, т)) с началом на середине радиолинии; пусть Р (!;, т)) — точка
на краю отверстия, ограничивающего доминантную область, так
что (рис. 58.3, в) г = -к + Е, г = -к — \ и й = 2т). Внося это в E8.8),
после простых преобразований находим
5 + % = 1. ' А = у. в = т У^- <58-9)
Получено уравнение эллипса, на котором будут лежать краевые
точки указанного отверстия при перемещении экрана вдоль всей
линии. Таким образом,, доминантная область для радиолинии
имеет форму тела с продольным сечением в виде эллипса. Начала
ная и конечная точки радиолинии находятся в фокусах эллипса,
а его поперечная полуось В, как и следовало ожидать, уменьшается
вместе с длиной волны X. При X -> 0 доминантная область вырож-
вырождается в линию, соединяющую обе антенны. Нетрудно догадаться, что
вообще она является эллипсоидом вращения; к такому выводу
мы бы пришли непосредственно, если бы исходили из задачи дифрак-
дифракции на круглом отверстии'.
х) Надо иметь в виду, что А в E8.6), а следовательно, и а получаемых отсюда
формулах типа E4.9) есть амплитудный коэффициент поля в отверстии, завися-
зависящий от г (А ~ 1/г).
336

Выводы, которые обычно делаются из приведенного рассмотре-
рассмотрения, заключаются в том, что для действия радиолинии существен-
существенным является лишь электромагнитный процесс в эллипсоидальной
доминантной области с наибольшим поперечным размером 2В =
= Суг%А/2. Все необходимые оговорки и уточнения вместе с расши-
расширением интерпретации будут приведены ниже в п. 3. Пока же оста-
остановимся на выборе константы С и поясним предыдущее при помощи
геометрического построения.
Строго говоря, следует брать С ^> 1, однако часто граница
доминантной области определяется так, что это Эквивалентно вы-
выбору С = 2 в E8.8).
Что, на самом деле, означает выбор С = 2, можно легко пред-
представить на примере квадратного отверстия в экране, взяв крупно-
крупномасштабную диаграмму в виде спирали Корню (рис. 54.3). Для
нахождения концов изображающего отрезка используется шкала
величины да ]/2/я (засечки на кривой), а да вычисляется по одной
из формул E4.3а), где к (или у) берется равным нулю, г заменяется
на гг/(г+ г), а а (или Ъ) — на А. При С = 2 концы отрезка лежат
в точках да]/2/я = ± ]/2; отношение отрезков для С = 2 и С -» оо
(они схематически представлены на рис. 58.4) оказывается около
а/
Рис. 58.4.
1,25, что соответствует отношению мощностей A,25L я» 2,4. С уве-
увеличением отверстия поле сильно осциллирует, достигая минимума
при да]/2/л я» 1,9 (С <=& 2,7). Изображающий отрезок по сравнению
со случаем С = 2 составляет здесь около 60%, а следовательно,
мощность падает приблизительно до 13%. Как видно, экран с
отверстием при С=2 нельзя считать не влияющим на прямую
передачу энергии.
Обратимся, наконец, к построению на рис. 58.5, где показано, как
сферический фронт волны, излучаемой в B, делится на зоны Френеля
(в § 54, п. 3 аналогичные зоны строились на плоскости). По-прежнему
337

центральная (первая) зона Френеля ограничена окружностью,
а следующие зоны являются кольцевыми. Пусть отверстие в экране
вырезает п зон Френеля. Тогда
г =
1 / A
г\
г+г=
так что
и, следовательно, полудиаметр отверстия равен
22
E8.10)
Рис. 58.5.
Сравнение формул E8.8) и E8.10) показывает, что выбор С = 2
означает совпадение поперечно-
поперечного сечения доминантной области
с первой зоной Френеля на
сфере.
Если отверстие в экране «вы-
«вырезает» первую зону Френеля,
то интенсивность излучения пе-
перед ним больше, чем без экрани-
экранирования, но увеличение отвер-
отверстия вплоть до границы второй
зоны Френеля существенно сни-
снижает интенсивность.
3. Геометрическая оптика и
теория дифракции при анализе
радиолиний. Попробуем использовать понятие доминантной облас-
области радиолинии для уяснения главных черт процесса распростране-
распространения радиоволн над Землей и смысла применяемых методов анализа.
При этом отчасти выяснится соотношение методов, базирующихся
на геометрической оптике и представлении о локально плоских
волнах, с одной стороны, и методов теории дифракции и близких
к ним — с другой.
Само понятие доминантной области возникло при рассмотрении
радиолинии в свободном пространстве. В этом случае при излуче-
излучении сферической волны в точке ф поле в точке М вполне определяется
процессом внутри некоторой границы, обозначенной на рис. 58.6, а
пунктиром. Можно сказать, что такие лучи, как ф/И' и ф/И" здесь
совершенно пренебрежимы.
Пусть, далее, радиолиния расположена над Землей. При этом
возможны различные случаи. Если обе антенны находятся доста-
достаточно высоко (рис. 58.6, б), то, очертив доминантную область (пунк-
(пунктир), мы отмечаем, что между точками 0. и. М существует «связь
338

по прямой видимости», в результате которой в М создается такое
поле, которое было бы в отсутствие Земли. Однако в сравнении
со случаем свободного пространства появилась весьма существен-
существенная особенность. Дело в том, что луч фМ' уже не может считаться
пренебрежимым. В результате действия Земли он, отражаясь, при-
приходит в точку М; полное поле в М складывается, таким образом,
из двух компонент, одна из которых соответствует прямой.види-
прямой.видимости, а другая — отражению от Земли. Возникает вопрос: допус-
допустимо ли рассматривать влияние Земли в аспекте геометрической
оптики? На него можно ответить, прибегая опять-таки к понятию
доминантной области. На рис. 58.6, б построена такая область
для ломаного луча фМ'М. Если оказывается, что в пределах пло-
площадки на поверхности Земли, лежащей в доминантной области
(на рис. 58.6, б она выделена) условия однородны, то можно ввести
м'
а) б) 6)
Рис. 58.6.
понятие коэффициента отражения и воспользоваться формулами
Френеля (§ 38), полагая волну локально плоской.
Заметим, что если сказывается влияние ионосферы (§ 41, п. 2),
которое в данной главе нв учитывается, то нельзя пренебрегать
также излучением под большими углами к горизонту. Луч фМ"
(рис. 58.6, б) может тогда прийти в М в результате рефракции
в ионосфере.
Обратимся теперь к наиболее трудному для анализа случаю,
когда антенны находятся в непосредственной близости у Земли,
и доминантная область не лежит целиком над Землей (рис. 58.6, б).
В сущности это означает, что Земля влияет и на связь по прямой
видимости. Простая лучевая трактовка неприменима здесь даже
как приближенный подход, и нужна строгая постановка электро-
электродинамической задачи о возбуждении поля вблизи тела, имитирую-
имитирующего Землю. Такая задача может ставиться как дифракционная
(§ 50, п. 5).
Если на пути радиолинии имеется отчетливо выраженное пре-
препятствие в виде холма, здания и т. п. (рис. 58.7, а), размеры кото-
которого значительно превышают длину волны, то его обычно рассматри-
рассматривают как край отверстия в экране (рис. 58.7, б). В простейшем
варианте радиоволна может считаться нормально падающей на вооб-
воображаемый экран (полуплоскость); интенсивность поля за препят-
339

ствием, где расположена приемная антенна, распределена по ранее
выясненному закону (§ 54, п. 2), что и показано на рис. 58.7, б;
на «границе тени» амплитуда поля падает вдвое, зато несколько
выше имеется область наибольшего «усиления поля препятствием»
(амплитуда поля выше, чем при его отс}тствии). Действительная
@)
(О)
А
У//////////////////,
а)
I
П@1
л/////////////////////////////,
б)
Рис. 58.7.
картина процесса бывает значительно сложнее, в частности, из'-за
действия Земли. Рис. 58.7, в поясняет практикуемое при этом прибли-
приближенное рассмотрение. Считается, что на объект падают две волны
(одна отраженная от Земли), каждая из которых дифрагирует
по прежнему закону; в свою очередь дифрагирует по прежнему
закону; в свою очередь, дифрагированная волна за препятствием,
получаемая как соответствующее наложение, приходит в М такими
же двумя путями. При хорошем отражении от Земли и благопри-
благоприятных фазовых соотношениях «усиление» может проявляться
и в «области тени».
§ 59. Земные радиоволны
1. Удаленная от Земли короткая радиолиния; плоская модель
Земли. В данном параграфе будут рассмотрены свойства земных
радиоволн при условии, что не сказывается неоднородность тропо-
тропосферы. С точки зрения анализа наиболее простым является случай
радиолинии, когда высоты обеих антенн над Землей значительно
превышают длину волны, а расстояние между ними намного меньше
радиуса Земли, так что земную поверхность в пределах радио-
радиолинии (при достаточно хорошем рельефе, § 58, п. 1) можно считать
плоской. Пользуясь обозначениями рис. 59.1, а, выразим эти исход-
исходные данные в виде неравенств
Й1>А,, й,>А,; /-!</?„, E9.1)
полагая, что они выполняются в достаточно сильной степени.
Как следует из § 58, п. 3 (рассматриваемое положение соответст-
соответствует рис. 58.6, б), поле в точке приема М можно найти как супер-
суперпозицию прямой волны (луч фМ) и волны, отраженной- от Земли
^(луч 0,1\А'М), причем изменение амплитуды и фазы при отражении
340

определяется так, как будто бы речь идет о плоской однородной
волне, падающей на плоскую границу раздела сред (т. е. по форму-
формулам Френеля, § 38). Надо, однако, оговориться, что окрестность
точки отражения М' в пределах сечения доминантной области пред-
предполагается ровной и однородной (§ 58, пп. 1—3).
Таким образом, поле в М есть результат наложения, интер-
интерференции двух волн. Обозначая комплексные амплитуды вектора
Е этих волн Ёт1 и Ет2, для полного поля будем иметь
— Е-т1 Т *^чг,
E9.2)
Первое из слагаемых немедленно определяется при помощи формулы
D1.4):
к
2я
E9.3)
Здесь е01 — орт вектора Е1 и $1 — угол склонения прямого луча
(рис. 59.1, б). Что касается величины Ет2, то нужно учесть, что отра-
отражаемый луч приходит в М' под углом ф2, отличающимся от ■б>1, и
ч/У
У/////////////////////////7//////,
V М
Рис. 59.1.
вектор Е2, вообще говоря (за исключением случая перпендикуляр-
перпендикулярной поляризации), направлен не так, как Ег. Далее существенно,
что отраженная волна является сферической, и ее путь от источника ф
до М есть г2 = г2 + гг, а в результате отражения происходит изме-
изменение амплитуды и фазы, учитываемое при помощи коэффициента р.
Следовательно,
Полагая, что поляризация может быть перпендикулярнойдда парал-
параллельной, будем определять р = рхц по формулам C8.8) и C8.17);
в иных случаях волну нетрудно разложить на компоненты той и
другой поляризации (§ 34, п. 2). Подчеркнем, что при пользовании
указанными формулами Френеля надо соответственно выбирать
орт е02 в E9.4). Так, при перпендикулярной поляризации (§38, п. 1)
е02 = х0, а при параллельной (§ 38, п.2) еО2 = е^ (см. рис. 38.2, б).
341

Итак, чтобы найти поле в точке приема, надо применить соотно-
соотношения E9.2) — E9.4); все они имеют элементарный характер.
Иногда задача еще более упрощается. Важен случай, когда
А1<г1 = г. E9.5)
Принтом (рис. 59.2, а)
$2 яа $1 = ф, Гг я» Гг + 2Н.1 СОЗ ^1 = Г + 2Н.1 СОЗ Ф.
Если поляризация перпендикулярная, то еО2=еО1 (=х0)- Пусть
М
УУУ/У///У////////////7У7////Л
б)
Рис. 59.2.
У///////
далее поляризация параллельная, а первоначальное условие уси-
усилено:
К<г и А2<г. E9.5а
Тогда (рис. 59.2, б; ср. рис. 38.2, б) е02 я« —е01. Обозначая еп =
— е0, в обоих случаях из E9.2) — E9.4) имеем
-'то
-0 \1 -1- Р±, II е
У
Р (Ъ, а)
E9.6)
Обозначая комплексный коэффициент отражения р_|_, ц =рх, це'*Ь и,
находим отсюда
Ет ъ* Ео У\ + р1, ц ± 2р±. |, соз B^! соз й - фх. ц). E9.6а)
Заметим теперь, что условие E9.5а) означает близость угла паде-
падения к прямому. Полагая в формулах Френеля C8.8) и C8.17) ср =
= 90°, находим: рх= — 1 = еы и рц = 1. Формула E9.6а) дает
У 2-2
342

или
Етъ*2Е0]&т(к</11со&в)\ E9.7)
для обеих поляризаций.
Это выражение приводится к еще более простому виду.
Поскольку й я» 90°, то мал соз й, а с ним и аргумент синуса в E9.7),
так что
Ет я» 2Е0к0к1 соз й.
Очевидно, что угол й более правильно брать как среднее арифме-
арифметическое углов #! и й2 рис. 59.1, б. При этом
11^Г
г2 I г
и окончательно
Етъ2Е0к0к-^==2е0^Ц^к01^. E9.8)
Это весьма употребительная формула Введенского.
Подчеркнем, что формулы E9.6) — E9.8) удовлетворительны
при слабой направленности антенн в вертикальной плоскости
(Ь (Ь, а) медленно меняется в зависимости от й). Может показаться,
что вследствие неравенства E9.5) углы ■б>1 и й2 достаточно близки
всегда; но в случае остронаправленной антенны величины й (ф1; а)
и й (й2, а) даже при близких йх и й.2 могут различаться во много
раз, и представление E9.6) станет неправомерным.
Формула Введенского интересна тем, что в явной форме показы-
показывает рост ослабления поля с расстоянием в результате действия
земной поверхности при заданных условиях: ^1/г2 вместо ~1/г
в свободном пространстве. Это следствие противофазности отражен-
отраженной волны; чем меньше поэтому отличается г2 от гх (к равенству
эти пути стремятся при увеличении), тем ближе к 180° соответству-
соответствующая разность фаз.
Если бы речь шла об идеально проводящей отражающей плоско-
плоскости, то из C8.8) точно следовало бы: р± = —1, но из C8.17) вместо
+ 1 было бы получено значение рц = —1, что означает здесь син-
фазность отражения (при малых углах е^^ь—е,°). Тогда переход
от E9.6а) к формуле E9.7) незаконен, и вместо нее должна полу-
получиться следующая:
)|. E9.9)
Хотя реально такой случай невозможен, надо учитывать, что при
проводящей границе (скажем, морская поверхность) величина #2
в C8.17) может быть очень мала по модулю. Поэтому переход от
E9.6а) к E9.7) будет справедлив в области существенно меньших
значений соз Ь, чем при перпендикулярной поляризации.
Рассмотрим далее две относительно близкие антенны. Пусть
они расположены на одинаковых высотах Н (рис. 59.3, а),и й (ф1; а) =
= О (-&2, а), р = Рх = —1, а также с достаточной точностью \1гг ^
343

где Ёо — та же величина, что и в E9.6). Отсюда
8Ш-
^ 1/г2. Складывая комплексные амплитуды Етл E9.3) и Ёш E9.4),
имеем . ,ц • .,
Е Е[\
E9.10)
и, ограничиваясь первым членом разложения, получим из E9.10)
результат, соответствующий формуле Введенского.
Примечательно, что определяемая формулой E9.10) величина
Ет, вообще говоря, не является монотонно убывающей функцией
расстояния. Для относительно близких антенн разность хода
Из рис. 59.3 видно, что г2 = У г2 + BНJ, а потому
ко(г2-г1) = ко[Уг2 + BНJ-г] = ког(^-+ ...
а)
лучей г2 — гх может быть не мала в сравнении с длиной волны, и
зависимость Ет (г) при выполнении требования E9.1) имеет вид,
показанный на рис. 59.3, б. Из E9.9) и E9.6) следует, что в области
осцилляции огибающая кривой (пунктир) — характера 1/г. Сростом
г2 и г{ их разность монотонно уменьшается, стремясь к нулю при
^2 -*■ Г1 ~> °°- Начиная с какого-то расстояния, это приводит
к монотонному уменьшению синуса в E9.10): мы приходим в область
применимости формулы Введенского, где Ет^ 1/г2 (рис. 59.3, б).
Формулы, полученные на основании E9.2) из E9.3) и E9.4),
называют обычно «интерференционными». Остановимся на конкре-
конкретизации интерференционных формул применительно к известным
излучателям.
Начнем с замечания, что действие излучателей над- идеально
проводящей плоскостью уже исследовалось в § 49, п. 4 с других
позиций. Легко проверить, что оба способа ведут к идентичным
результатам. Возьмем, например, формулу D9.15) для горизонтально
расположенного над плоскостью элементарного электрического
излучателя. При ■б" = 90° (см. рис. 49.8, а; система координат
отличается от применяемой сейчас) находим из нее
Ет = 2Е0151п (к^г соз
Еа =
E9.11)
344

где обозначение угла изменено (а -» ф) в соответствии с рис. 59.2.
То же находится из E9.7), причем написанное здесь выражение Ео
следует из второй строчки E9.6) при подстановке Б = 3/2 и
— 4л3р2 Н7
Р = - ту. согласно D4.17) и D4.20). Читателю это предлагается
установить самостоятельно.
Рассматривая прежний горизонтально ориентированный эле-
элементарный излучатель над произвольной средой, мы лишь должны
Ь/Л"@,
заменить в E9.11) 2 | зш (кдк соз й) | вытекающим из E9.6а) множи-
множителем
Ет/Е0 = У\ +р! + 2р± соз Bк0Н сов й—^ .
Для вертикально ориентированного элементарного электриче-
электрического излучателЯ'Над идеально проводящей плоскостью в соответ-
соответствии D9.14) имеем (рис. 49.7, а)
= 2Е0\со$(к0Нсо$®)\,
$тФ|. E9.11а)
- 345

Эта формула получается также из E9.9) при должной конкрети-
конкретизации Ео (рекомендуется проверить).
В общем случае в E9.11а) 2 | соз (к^к соз й) | заменяется множи-
множителем
Ет/Е0 = ]/1 + Рп — 2рц соз Bк0Н соз й — ■фц).
В заключение приведем некоторые результаты вычислений
Ет/Е0 по обсуждавшимся формулам [Е. 3]. На рис. 59.4, а пред-
представлена зависимость величины Ет/Е0 от й для горизонтального
электрического излучателя на высоте к = 3,8^, в предположении,
что почва имеет параметры A = |л0 и ё = 20в0 (т. е. гг = 20, о = 0).
Как видно, при такой высоте излучение характеризуется уже зна-
значительным числом интерференционных максимумов, которое с рос-
ростом к быстро увеличивается. При высоте к = 0,5 к в каждом
квадрате имеется лишь один максимум (рис. 59.4, б); кривая для
| ё [ —*■ оо является точной, данные же для ё = 2е0 не вполне досто-
достоверны, так как условие применимости интерференционных формул
к ^» к заведомо не удовлетворено. Аналогичные диаграммы для
вертикального электрического излучателя приведены на рис. 59.4, в;
ввиду относительно малой высоты (к = к) данные более достоверны
при большой диэлектрической проницаемости (близость к предель-
предельному случаю |ё| — оо ). Отметим, что при вертикальном положе-
положении излучателя из-за дополнительного множителя |зш й| макси-
максимумы напряженности поля не достигают прежних значений.
2. Прилежащая к Земле радиолиния. В отличие от предыду-
предыдущего, рассмотрение радиолинии, прилежащей к Земле, порождает
ряд сложных для анализа проблем. Мы имеем в виду линию, доми-
доминантная область которой по прямой видимости не лежит целиком
над Землей, что соответствует рис. 58.6, в. Здесь возможны три основ-
основных положения (рис. 59.5, а, б, в).
а) б) в)
Рис. 59.5.
В наиболее простом случае (рис. 59.5, а) радиолиния настолько
коротка, что относящийся к ней участок земной поверхности можно
считать плоским, как и выше в п. 1. Различие же состоит в том, что
антенны уже не подняты над Землей так высоко, как это требуется
для выполнения двух первых неравенств в E9.1). Задача о такой
радиолинии решается элементарно только в предположении, что
поверхность Земли идеально проводящая. Тогда — независимо
от высоты поднятия антенн — подход, продемонстрированный в
п. 1, остается правомерным (соответствующие результаты полу-
получаются также по правилам, указанным в § 49, п. 4). Однако это
приближение не дает вполне удовлетворительной картины процесса
346

уже потому, что игнорируется поглощение: поскольку принимается,
что на поверхности Земли Ех = 0, то отсутствует уходящий в глубь
нее поток энергии. Впрочем, полученные в п. 1 интерференционные
формулы сохраняют достоверность и при невыполнении неравенств
E9.1), пока высоты антенн еще не малы в сравнении с длиной волны,
и часто в этих условиях применяются (рис. 59. 4, б, в).
Если вещество почвы является все же проводником (§ 6, п. 3),
то понять характер поля вблизи земной поверхности можно при
а)
Рис. 59.6.
помощи граничных условий Леонтовича (§ 40, п. 2). Пусть в предполо-
предположении бесконечной проводимости почвы поляризация волны, рас-
распространяющейся вдоль Земли, вертикальна (вектор Е перпенди-
перпендикулярен земной поверхности). Волну будем рассматривать локально
как плоскую и однородную, так что (рис. 59.6, а)
= 0.
При конечной проводимости почвы такого поля быть не может,
однако существенно иным будет лишь вид вектора Е: появится
тангенциальная электрическая компонента, которую можно вычис-
вычислить прямо по формуле D0.4), внеся туда Йт из сделанной записи.
Эта дополнительная компонента имеет комплексную амплитуду
ИР*
E9.12)
т. е. оказывается продольной (рис. 59.6, б). Поэтому результирую-
результирующий вектор несколько наклонен в продольной вертикальной плос-
плоскости; можно сказать, что он в этой плоскости эллиптически поля-
поляризован, так как компоненты Ех и Ег сдвинуты по фазе. Внутрь
Земли направлен вектор Пойнтинга -со средним значением
А E9.13)
Получение строгого решения задачи об излучателе над полупро-
полупроводящей средой, ограниченной плоскостью, требует применения
347

метода 1), в сущность которого мы здесь входить не можем. Поэтому
ограничимся обозрением окончательного результата в форме,
оправдавшей себя в инженерной практике. Взяв формулу D1.4),
введем в нее коэффициент Р, так что теперь
Ет =
2л
E9.14)
«Множитель ослабления» Р находится при помощи графика [Е. 11,
приведенного на рис. 59.7, или по формуле
E9.15)
где р =
т. Это упрощенный вариант так называемой «фор-
мулы Шулейкина — Ван-дер-Т1оля».
г-'-
Ш--
0,0! ---.
опт -.
Щ
81
ПО
1
\ '■-
Гор
ПОЛ
=ч
из.
щ
;;■ -—
г- ^^>
О-'
со—^
_-—
"Л
\
\
\
ч
ч
N
N
\
0,01
0,1 1 Ю
Рис. 59.7.
/00 Ж
Переходя к случаю модели земной поверхности в виде идеально
проводящей плоскости (| гг \ -> оо, р = 0), видим, что как по фор-
формуле E9.15), так и на основании графика рис. 59.7 Р = \^2. При
этом, согласно E9.14), напряженность поля возрастает в |^2 раз
по сравнению со случаем идеальной передачи в свободном простран-
пространстве. Это естественный результат для вертикального вибратора
(диполя Герца), поток- энергии которого при излучении прежней
мощности в полупространство должен быть вдвое больше.
См., например, [Г.7], гл. 11, п. 1.
348

3. Учет сферичности Земли. Прежде чем рассматривать поло-
положения, показанные на рис. 59.5, б, в, вернемся к случаю поднятой
радиолинии (п.1), несколько ослабив неравенство гх <^ /?0, так, чтобы
поверхность Земли в пределах линии была уже заметно сферической.
Так как доминантная область, соответствующая прямой видимости,
лежит целиком над Землей, предпосылки вывода формул E9.2)—
E9.4) никак не затрагиваются. Поэтому последние остаются в силе,
и расстояния гь г2 = г% + г'% определяются так же, как и ранее.
Что же касается последующих интерференционных формул, вклю-
включающих высоты антенн, то они
нуждаются в несложных поправ-
поправках, смысл которых понятен из
рис. 59.8. Действительные высо-
ты Нг и Н2 в этих формулах, на-
пример в формуле Введенского
E9.8), надо заменить приведенны-
приведенными высотами Ну и Н2. Углы С}ОМ'
и М'ОМ обычно малы, вследствие
чего
• Ну ;=« Ну —
и Н2
-■ Н2 — б2,
E9.16)
где б! и б2 — высоты точек, нахо-
находящихся на наименьшем расстоя-
расстоянии прямой видимости 0,уМу = г0. Само это расстояние вычис-
вычисляется по приближенной формуле, вытекающей из рассмотрения
треугольников /\(}уМ'О и /\М'ОМг
E9.17)
Пусть далее, независимо от того, выполняются или нет первые
неравенства E9.1), т. е. низко или высоко расположены антенны
над сферической Землей, последняя оказывается в доминантной
области радиолинии (рис. 59.5, б, в). Тогда Земля проявляет себя
как объект дифракции, не допускающий упрощенной геометрической
трактовки (§ 58, п. 3). Более прост случай, когда приемная антенна
находится в «области тени», т. е. там, где в представлении геометри-
геометрической оптики поле должно отсутствовать (рис. 59.5, в). При этом
в существующей практике используется формула, внешне совпада-
совпадающая с E9.14), но с множителем ослабления, определяемым как
произведение
ЧЛУЫгШЧз)у{^Ш^\ E9-18)
где сомножители находятся по графикам г) (рис. 59.9, а, б); поскольку
1) Графики заимствованы из [Е.5].
349

они даны в децибелах (§ 33, п. 2), то Рдб = Vдб + Уев \г + Уд5 |2
и далее Р = \0рдб12°. Формула E9.18) является результатом
п
и
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-200
-220
-эдп
ид6ш
л
- \
\
\
\
\
\
I \
- \
-
\ -
\_
\ ■
\ ;
, , ,-,\"
-9ПП
ьии
-220
-240
-260
-280
-320
-340
-360
~-400
-420
024 6 810121416182022242626
а}
О
-10
-20
-30
.ЫУ)
120
100
80
60
40/
'
- у' 20
/
/
/
/
/ у
/ 1.
у/ 1
у' / "
^^У 1 #д
^*| 1111 1 1 / 1 1
150
140
130
120
110
100
0,010,02
4 6 810 гО 40 60100
Рис. 59.9.
'/3
упрощенной трактовки выводов теории дифракции. Последняя в
значительной степени была разработана В. А. Фоком [Г.7].
§ 60. Влияние тропосферы
1. Атмосферная рефракция. Уже подчеркивалось, что хотя тро-
тропосфера является весьма слабо неоднородной средой, она может
оказывать заметное влияние на распространение радиоволн ввиду
значительной протяженности радиолиний. Слабое изменение пока-
показателя преломления с высотой вызывает в тропосфере явления,
которые вполне можно рассматривать с позиций геометрической
оптики и трактовать как искривление лучей. Это так называемая
атмосферная рефракция.
Типичным является убывание показателя преломления с высо-
высотой (§ 58, п.1), что, согласно E7.10), приводит к искривлению луча
в сторону Земли.
350

Действительно, при йп1йг
; 0 по формуле
п
Аг тп В°
F0.1)
находим, что В, > 0 (рис. 60.1, а). Для луча, идущего под заданным
углом 6 о, вместо прямолинейной траектории, которая должна быть
при йп1йг = 0 (пунктир на рис. 60.1, а), получается криволинейная,
а это имеет следствием увеличение расстояния прямой видимости
и соответственно удлинение радиолинии. Такая — чаще наблю-
наблюдаемая — рефракция называется положительной.
Учет рефракции при рассмотрении различных радиолиний,
о которых говорилось в § 59, производится следующим обра-
образом. Пусть действительная картина распространения радиоволн
соответствует рис. 60.1, а; при этом относительная кривизна
б)
Рис. 60.1.
луча и профиля земной поверхности характеризуется разностью
— — =-. Построим теперь воображаемую картину распространения
Я АО
с прямолинейным лучом (^ -> оо) над поверхностью кругового про-
профиля радиуса /?0 (рис. 60.1, б); относительная кривизна, прямо-
прямолинейного луча остается прежней, если
оо)
откуда
Говорят, что /?0 есть эквивалентный радиус земного шара при реф-
рефракции. На основании F0.1) при 60 = 90° получаем
Ъ ^о
п Аг
F0.3)
351

При нормальной положительной рефракции йп\йг = —4 -10~5 1/км
(§ 58, п. 1); внося в F0.3) также /?0 = 6370 км, находим: /?0 «=< 4/?0/3 я»
«* 8500 км.
После того как найден эквивалентный радиус Земли, надо,
лишь взяв /?0 вместо /?0, сделать поправки в тех формулах, которые
используют сферическую модель Земли. Так, в частности, делается
при определении расстояния прямой видимости по формуле E9.18).
Согласно предыдущему при нормальной рефракции это расстояние,
увеличивающееся в V К0Ш0 раз, равно го«=< 1,15 г0, т. е. протяжен-
протяженность радиолинии возрастает приблизительно на 15%!
В,
; а)
6)
Ыл йп I
Ыг *с/г1кр
а г <аг111р
е)
Рис. 60.2.
Вследствие сложности температурного режима тропосферы встре-
встречаются различные локальные отклонения от е? нормального состо-
состояния, охватывающие значительные области пространства. Поэтому,
кроме рассмотренного случая нормальной рефракции, следует при-
принимать во внимание возможности повышенной и пониженной поло-
положительной рефракции (п убывает с высотой быстрее или соответст-
соответственно медленнее), отрицательной рефракции (й«/йг> 0) и отсутст-
отсутствия рефракции (с1п/с1г = 0). Схема различных случаев атмосферной
рефракции представлена на рис. 60.2. При отрицательной рефракции
расстояние прямой видимости уменьшается (г0 < г0), так что она
представляет лишь негативный интерес. Что касается разных видов
положительной рефракции, то интересна принципиальная возмож-
возможность критической рефракции (рис. 60.2, г), при которой луч должен
огибать земной шар на неизменной высоте; для нее требуется зна-
352

чение величины Ап\Аг, равное Ап1йг |кр «а —15,7-10~5 1/км. При
более быстром спаде коэффициента преломления с высотой {Ап1йг ■<
<_йп1йг |кр) будет иметь место сверхрефракция (рис. 60.2, д), когда
луч возвращается к Земле. Заметим, что сверхрефракцией обуслов-
обусловлены и такие явления, как оптический мираж, Можно представить
себе процесс, при котором траектория луча, многократно отража-
отражаемого земной поверхностью, периодична (рис. 60,2, е). Говорят, что
сверхрефракция приводит в таком случае к образованию тропосфер-
тропосферного волновода. Действительно, тропосфера при этом (как, впрочем,
и при критической рефракции) играет роль направляющей системы.
Картина лучей в тропосферном волноводе (рис. 60.2, е) напоминает
рис. 39.5, поясняющий процесс распространения волн между иде-
идеально проводящими плоскостями.
2. Рассеяние и поглощение в тропосфере. Подчеркнем, что
рассмотренные выше состояния тропосферы, обусловливающие
различные виды аномальной рефракции, являются временными и
местными образованиями. Тропосфера подвержена разным измене-
изменениям случайного характера, причем турбулентные движения воз-
воздуха вызывают многочисленные локальные изменения его плот-
плотности, а следовательно, и оптической плотности среды. Каждое
такое образование есть объект дифракции радиоволн, который —
при малости размеров — создает поле рассеяния, подобное полю
элементарного электрического излучателя. Считая область измене-
изменения диэлектрической проницаемости сферической, мы можем выра-
выразить поле рассеяния отдельного объекта при помощи формул E0.13).
Поскольку в данном случае е,- «^ ге я& е0, то. первой из строчек
E0.13) удобно придать следующий вид:
«о
^е-^, F0.4)
г
где Ае = е,- — ге, а Ё°т = Ё°т @) — комплексная амплитуда ве-
величины Е падающей волны в области объекта. Полагают, что в сред-
среднем относительное отклонение диэлектрической проницаемости
Ае/е0 имеет порядок 10~6, так что в отдельности поле рассеяния
F0.4) вполне пренебрежимо. Однако полное поле рассеяния в тро-
тропосфере образуется в результате наложения множества таких полей,
амплитуды и фазы которых случайны.
Как показывают измерения, в результате действия различных
случайных факторов и главным образом тропосферного рассеяния г)
напряженность поля в диапазоне УКВ за границей прямой види-
видимости» систематически оказывается значительно больше, чем это
должно быть в результате дифракции на границе Земли (§ 59, п. 3).
Образец подобных данных дает рис. 60.3 [Е. 2], на котором приве-
приведены кривые множителя ослабления Р (коэффициента в формуле
типа E9.14)), вычисленного с учетом Земли как объекта дифракции
(§ 59, п. 3), — кривая /, и измеренного — кривая 2; последняя по-
х) Позднее (§ 88) при рассмотрении УКВ-радиолиний будут отмечены также
иные причины рассеяния радиоволн.
12 Электродинамика 353

строена в результате усреднения многих данных, полученных для
сантиметровых и дециметровых волн.
Тропосфера заметно поглощает волны высокочастотной части
диапазона УКВ, начиная с дециметровых. В основном это связано
20 Ш 50 100 2003110500 г,нм
Рис. 60.3.
10
5
1
0,5
0,1
0,05
0,01
Г'/дв/км
Интенсивность
осадкод, мм/ч
0,5 1 5 к,см '
Рис. 60.4,
Г','86/нм
15 20 30 40 50 вО 80 100 160 %/О 300 фи,
(К=1ммТ
Рис. 60.5.
с действием капель воды (туман, дождь). Каплю с еще большим осно-
основанием, чем газовую неоднородность, можно рассматривать как
сферический объект дифракции, который во многих случаях мал
в сравнении с длиной волны. При этом, согласно E0.11), E0.13),
354

для одной капли
Ё-п=--
F0.5)
/7 + __ "в0 с-0
где г — комплексная диэлектрическая проницаемость воды, и
поглощаемая мощность есть /)п = -^сое" (Е^J У=-^—сое" (ЕтJ
(§ 30, п. 2).
В системе капель дифракция многократна: поле рассеяния ка-
каждого объекта дифрагирует на других. Появляется дополнительное
поглощение. Непоглощенное же рассеяние в свою очередь отнимает
энергию распространяющейся радиоволны, вызывая излучение
«в стороны». Из F0.5) нетрудно заключить, что затухание передавае-
передаваемой волны должно возрастать с ее укорочением (множитель Ц
в первой строчке). И действительно, это подтверждается экспери-
экспериментом. Затухание описывают при помощи экспоненциального
множителя е~Г"г. По данным измерений коэффициент затухания
Г" изменяется в зависимости от длины волны и интенсивности осад-
осадков, как показано на рис. 60.4 [Е.5].
Кроме указанного существенным является затухание радиоволн
в результате молекулярного резонансного поглощения газами тро-
тропосферы. На рис. 60.5 представлены соответствующие зависимости
Г" для кислорода и водяных паров [Е.5].
12*

ГЛАВА 5
НАПРАВЛЯЕМЫЕ ВОЛНЫ И ПОЛЯ
В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМАХ
I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НАПРАВЛЯЕМЫХ ВОЛН
Понятие направляемой волны было введено в § 39 при описании
волновых процессов у плоских границ раздела сред. Можно ска-
сказать, что полностью отражающая граница обладает способностью
направлять движение электромагнитной энергии. Поле имеет при
этом характер распространяющейся вдоль границы плоской неод-
неоднородной волны: оно распределено неравномерно в плоскости фронта.
Это и есть волна, направляемая границей.
В § 39 (пп. 2—4) мы рассмотрели простейшие объекты существо-
существования направляемых волн в виде системы идеально проводящих
параллельных плоскостей и диэлектрического слоя. Вообще на-
направляющими системами, или волноводами (в широком смысле этого
слова), являются все линии передачи электромагнитной энергии,
поскольку процесс передачи есть распространение волны. Выше
отмечалось, что направляющие системы образуются и в природных
условиях (§ 42, п. 3, § 60, п. 1).
Некоторые распространенные линии передачи схематически
изображены на рис. 61.1. Это обычная двухпроводная линия (а),
коаксиальная линия (б), полосковые линии (в, г), полые волноводы:
прямоугольный (д) и круглый (е), круглый диэлектрический волно-
волновод (ж), волновод Губо (з). Об этих устройствах, а также о некото-
некоторых других в дальнейшем будет говориться подробно.
Ближайшей нашей задачей является выяснение общих свойств
свободных направляемых волн.
§ 61. Строение полей и виды плоских
неоднородных волн
1. Общее описание направляемой волны. Любая из систем, по-
показанных на рис. 61.1, продольно однородна, т. е. не изменяет своих
физических свойств в одном прямолинейном направлении, которое
будет обозначаться г; в дальнейшем рассматриваются именно такие
направляющие системы.
Допустим, что в естественно выделенном направлении г распро-
распространяется какой-то электромагнитный процесс в виде свободной
гармонической волны. Чем должен он отличаться от простейшего
356

одномерного процесса, описанного в §§ 32, 33? Во-первых, тем, что
ввиду поперечной неоднородности системы поле уже не может быть
неизменным в плоскости г = сопз1, и в уравнениях электродина-
электродинамики нельзя заранее положить д/дх = О, д/ду = 0. В самом деле,
поперечно однородное поле ни в одной из показанных систем
(рис. 61.1) невозможно, поскольку граничные условия на поверх-
поверхности проводника или диэлектрика не удовлетворялись бы. Далее,
нет оснований полагать, что фазовая скорость и затухание волны
будут обязательно такими же, как и при одномерном процессе.
г)
ж)
Рис. 61.1.
Не зная заранее комплексного волнового числа, обозначим его Г
(в отличие от определяемой формулой C3.1) величины к = со Vец).
Таким образом, будем исходить из общего выражения поля плоской
неоднородной волны, и запишем комплексные амплитуды векторов
Е и Н в виде
Ёт=Ш(х,у)е-^, Нт = Ж(х, у)е-#', F1.1)
где Ш (х, у) и с№ (х, у) —функции, характеризующие распределение
поля в поперечном сечении. Заметим", что Г обычно называют по-
постоянной распространения, а также продольным волновым числом.
По аналогии с C3.2), C3.6) введем обозначения
г, 2я _ со
1 — Л ~ ~
V
F1.2)
где смысл величин остается прежним: Г" есть коэффициент затуха-
затухания, Л — длина волны, а оф — ее фазовая скорость. В частности,
когда Г — вещественная величина (Г"=0, Г' = Г), то Г = -г- =
=в —; длина волны Л есть в данном случае пространственный пе-
риод процесса.
Как и в § 32, возьмем однородные уравнения Гельмгольца
B9.20) и B9.21) справедливые для однородных сред; остановимся,
357

например, на втором из них. Применяя оператор Лапласа у2 к
Ёт из F1.1), имеем
где ^'^ есть оператор Лапласа в плоскости г = сопз1. Введем также
величину
которую называют поперечным волновым числом. С учетом предыду-
предыдущего из уравнения B9.21) получаем следующее двумерное уравне-
уравнение;
& = 0. F1.4)
Точно так же из B9.20) следует:
Ж = 0. F1.5)
Двумерные векторные уравнения Гельмгольца F1.4) и F1.5) при-
применяются при изучении плоских неоднородных волн.
2. Компоненты поля. Желая, далее, исследовать связи различ-
различных компонент векторов Е и Н плоской неоднородной волны, обра-
обратимся к уравнениям Максвелла. Ънося в B9.11) при ^т =0 выра-
выражения Ёт и Нт из F1.1), имеем:
~
дЖг
ду
дх
F1.6)
дх ду '"
Важной особенностью уравнений F1.6) является то, что попереч-
поперечные компоненты Шх, Шу, <Ж'х и &&'у можно выразить через продольные,
т. е. Шг и &%"г. Действительно, первая строчка в левом столбце и
вторая в правом — это система линейных алгебраических уравне-
уравнений относительно Шу и е%'х, а вторая строчка в левом столбце и пер-
. Запишем
F1.7)
вая в правом — такая же система относительно Шх и <3%у
решения этих систем, используя обозначение F1.3):
~, {Г_ дё_г
X2 дх
ду
ф//* 1С08
яЖ-х=-^
ду
/Г дЖ_г
х2 дх
ду
+
1*
358

Полученным выражениям можно придать более компактный вид.
Обозначая поперечные части векторов Ш и Ж символами Ш( и Э$(:
К = ХоЯх+УоЯу, Ж( = хА'х + у^у, F1.8)
и принимая во внимание формулы (П1.6) и (П1.20), находим
*,= -^А-1-^ТО{х#„ Ж^ГО^-^Л'г F1-9)
X X X , X
(символ _1_, как и ранее, означает, что операция производится по
координатам, лежащим в плоскости г = сопз1).
Выражения F1.9) удобны также тем, что они сохраняют смысл
для любой «обобщенно-цилиндрической» системы координат д1,
<72, г, т. е. при использовании в поперечной плоскости г = сопз!
любых криволинейных ортогональных координат д1г ц%. Чтобы за-
записать F1.9) в тех или иных конкретных криволинейных коорди-
координатах, надо применить формулы (П1.7) и (П1.21), подставив в них
нужные координаты и коэффициенты Ламэ. В случае обычных
цилиндрических координат следует, конечно, прямо брать формулы
(П1.8) и (П1.22). Мы будем так делать при рассмотрении некоторых
направляющих систем (§§ 65, 66).
3. Классификация волн. Как видно из F1.7), а также из F1.9),
поперечные компоненты поля плоской неоднородной волны в общем
случае слагаются из двух частей, одна из которых обращается
в нуль вместе с Шг, а другая — с е%"г.
Частный класс плоских волн составляют такие, которые лишены
продольной магнитной компоненты {Нг = 0). Это так называемые
Е-волны («электрические волны»), или, как еще говорят, ТМ-волны
(«поперечно-магнитные волны»). Положив в F1.9) <з%"г = 0, с учетом
F1.1) запишем выражения комплексных амплитуд векторов поля
для волн этого класса:
F1.10)
А. ='% го! А*-гЬ = ^ [V
Другой частный класс образуют волны без продольной электри-
электрической компоненты (Ег = 0), называемые Н-волнами, или ТЕ-вол-
нами (т. е. «магнитными», или соответственно «поперечно-электри-
«поперечно-электрическими»). Взяв в F1.9) %г = 0, в этом случае имеем
F1.11)
359

Третий частный класс включает волны чисто поперечные (Ег = О
и Нг = 0), которые называются ТЕМ-волнами (т. е. «поперечно-
электромагнитными»). Из F1.7) или F1.9) видно, что если Шг = 0
и *Ж г = 0, то при х2 Ф 0 обращаются в нуль все компоненты поля,
а это значит, что волны ТЕМ невозможны. Однако данный запрет
снимается при х2 = 0, поскольку выражения всех поперечных ком-
компонент становятся при этом неопределенностями типа 0/0. Равен-
Равенство нулю поперечного волнового числа х является, таким образом,
свойством всех ТЕМ-волн.
Конечно, к классу ТЕМ-волн относится и хорошо уже знакомая
по предыдущему плоская однородная волна (§§ 32, 33), распро-
распространяющаяся в безграничной однородной среде. Выражения ее
компонент соответствуют случаю % = сопз1, &^Г = сопз$ и Г = к
в F1.1); последнее, согласно F1.3), и обеспечивает обращение
в нуль поперечного волнового числа. ,.
Поле ТЕМ-волны можно рассматривать как предельный случай
поля /:-волны при Ег -> 0, х -*■ 0 или Н-волны при Нг -» 0, X -> 0.
Поэтому для ТЕМ-волн на основании F1.10) и F1.11)
Нт=
где ср= Пгп —^- ^г и \|5= Пт
X
F1.12)
В заключение отметим, что плоские неоднородные волны общего
вида, имеющие обе продольные компоненты (Ег =/=0 и Нг Ф 0),
называют ЕН-волнами и НЕ-волнами.
§ 62. Основные особенности направляемых волн
1. Волны ТЕМ. Обсуждение особенностей различных направ-
направляемых волн начнем с класса ТЕМ.
Было отмечено, что обязательным свойством волн этого класса
является равенство нулю поперечного волнового числа; поэтому,
согласно F1.3), продольное волновое число оказывается таким же,
как в случае плоской однородной волны:
х = 0; Т = к'=иУщ. F2.1)
Это значит, что прежними будут также фазовая скорость и длина
волны:
ь, А = Х, F2.1а)
т. е., в частности, при отсутствии поглощения в среде V =
360

Выражение F2.1), будучи очень простым, позволяет тем не ме-
менее сразу же прийти к одному интересному выводу. Подчеркнем,
что Г может быть только постоянной величиной (иначе уравнение
Гг = сопз1 не описывало бы плоскость поперечного сечения), и
выше во всех действиях это, конечно, учитывалось. Вместе с тем
в силу поперечной неоднородности любой направляющей системы
ё и A изменяются в плоскости г = сопз1. Например, в случае ди-
диэлектрического волновода (рис. 61.1, ж) проницаемости имеют одно
значение внутри стержня и другое — вне его, так что нет постоян-
постоянной величины Г = к F2.1), а следовательно, не может быть ТЕМ-
волны. Если бы мы допустили два разных значения Г для внутрен-
внутренности и внешности стержня, то речь пошла бы уже о двух различных
волнах, причем существование таких волн невозможно, поскольку
при разных зависимостях от г внешнее и внутреннее поля неизбежно
не удовлетворяют граничным условиям на поверхности стержня.
Так как, в сущности, сказанное относится не только к диэлектри-
диэлектрическому волноводу, а ко всем направляющим системам (рис. 61.1),
то напрашивается вывод, что направляемых ТЕМ-волн в реальных
условиях вообще не может быть.
Иное дело — системы с однородной средой, ограниченные иде-
идеальным проводником: внутри последнего поле должно отсутство-
отсутствовать, и гипотетические волны будут распространяться в области,
где еи[1 постоянны; не исключено, что среди них окажутся и волны
ТЕМ, Но, как уже не раз подчеркивалось, реальные металлы весьма
близки электродинамически к идеальному проводнику. Поля при
наличии металлических границ лишь очень мало отличаются от тех,
которые были бы при границах идеально проводящих. Поэтому
естественно ожидать, что хотя бы в некоторых металлических на-
направляющих системах с однородным диэлектриком возможны волны,
которые практически надо отнести к классу ТЕМ (Ег я« 0, Нг я« 0).
Взяв какую-нибудь конкретную систему этого рода, скажем, полый
прямоугольный волновод (рис. 61.1, д) или коаксиальную линию
(рис. 61.1, б), нужно только выяснить, могли бы в ней существовать
«истинные» ТЕМ-волны (Ег = 0, Нг = 0) при идеальности про-
проводника (о -» оо).
Итак, постараемся найти условия существования ТЕМ-волп
в идеализированных системах. Обращаясь к уравнениям F1.4) и
F1.5), видим, что для данного класса волн в силу обязательного
требования F2.1) они вырождаются в двумерные уравнения
Лапласа
V2±# = 0 F2.2)
и
У1Ж = °- F2.3)
Это примечательный факт, поскольку из § 14, п. 4,'а также § 21,
п. 1 известно, что векторные уравнения Лапласа описывают стацио-
стационарные (постоянные во времени) поля.
361

Рассматривая ту или иную направляющую систему с однородной
диэлектрической средой и идеальным проводником, легко уста-
установить, возможно ли в ней существование электростатического
поля Ео и стационарного магнитного поля Но, не изменяющихся
по оси г. Положительный ответ на этот вопрос означает, что имеются
решения уравнений V2x^;0 = 0 и Ч\Н0 = Ь при тех же самых гра-
граничных условиях, которые налагаются на Ш и 34 в F2.2) и F2.3).
Поэтому существуют решения Ш и Ж, совпадающие с Ео и Но соот-
соответственно (с точностью до постоянного коэффициента), а следова-
следовательно, в данной направляющей системе может распространяться
77Ш-волна, поперечная структура которой повторяет эти стацио-
стационарные поля. Если же в системе невозможны стационарные поля
Ео и Но, то не будут распространяться и волны ТЕМ.
Теперь мы имеем основание утверждать, что в идеализированной
(о -> оо) коаксиальной линии (рис. 61.1, б) может распространяться
ТЕМ-волна, строение электрического поля которой в поперечном
сечении такое же, как поля коаксиального конденсатора (§ 17, п. 6),
а поперечное строение поля магнитного — как при постоянном токе
(§ 24, п. 1). Подобным же образом следует охарактеризовать, на-
например, и двухпроводную линию (рис. 61.1, а). Но в полых волно-
волноводах (рис. 61.1, д, 61.1, е) волны ТЕМ невозможны, как и стацио-
стационарные поля Ео, Но (§ 17, п. 1, § 24, п. 1).
Наконец, вернемся к формулам F1.12), которые ввиду предыду-
предыдущего нетрудно уточнить. Принимая как должное, что векторы Ш и
9$ потенциальны: Ш= Ухф и <5^ = У_|_^, сформулируем граничные
задачи, имеющие решениями ф и гр (ср. § 14, п. 3 и § 21, п. 1). Пусть
5Х с контуром Ь± есть поперечное сечение направляющей системы
(точнее, области существования поля в ней); для открытых систем
область 5Х бесконечна (рис. 62.1, а, б, в), при многосвязном попереч-
поперечном сечении контур /-х распадается на несколько частей: /,± =
= /-Х1 + Ь±2 + ••• ~Ь ^хл/ (рис. 62.1, б, в и 61.2, б, в). Так как
Шх = дф/дт и о?^, = д$>/д\, то получаем следующие задачи Дирихле
и Неймана (см. приложение 5, п. 2):
? ) F2.4,
= Сг на ^ |
362

(Сг — константы) и
F2.5)
Исследуя их, можно показать, что в экранированной односвязной
системе (рис. 62.2, а) ТЕМ-волн действительно нет, а во всех Л'-связ-
ных системах (М > 1) может существовать N — 1 различных
77Ш-волн, т. е. одна волна в случаях рис. 62.1, а и 62.2, б и две
волны в случаях рис. 62.1, б и 62.2, в; подробнее см. § 66, п. 4.
В заключение отметим, что выражения F1.12) свидетельствуют
о взаимной перпендикулярности векторов Ей //волны ТЕМ, а также
а)
о постоянстве отношения их комплексных амплитуд в любой пло-
плоскости г = сопз!. Последнее называют волновым сопротивлением,
обозначая ИР'. Из F1.12) следуем что
Ёт = &[Нт,г0], № = У"рA. F2.6)
Этот же смысл и такую же величину имеет, как известно, волновое
сопротивление в случае плоской однородной волны (§§ 32, 33).
2. Быстрые Е- и //-волны. Волны, распространяющиеся в не-
некоторой однородной среде с фазовой скоростью, превышающей фа-
фазовую скорость 77Ш-волны в этой среде, называют быстрыми
(для данной среды). Таким образом, в случае быстрых волн
Г<#, оф>о=1/КёКе]Г F2.7)
и, в частности, при отсутствии поглощения Г </г и уф> 1/|/е|д,.
Можно показать, что быстрыми должны быть Е- и Я-волны в на-
направляющих системах, полностью ограниченных (экранированных)
идеально проводящей оболочкой, т. е. при конфигурации полого
волновода (рис. 61.1, д, е), коаксиальной линии (рис. 61.1, б) и т. п.
(рис'62.2, а, б, в). Сюда относится и рассмотренная в § 39, п. 2
система идеально проводящих плоскостей.
Пусть дана такая идеализированная (о -> оо) система с одно-
связным или многосвязным поперечным сечением (рис. 62.2, а, б, в),
и требуется исследовать ее Е- и Я-волны. Как видно из соотноше-
соотношений F1.10) и F1.11), в обоих случаях поле полностью определяется
363

одной продольной компонентой: ег или я%"'г. Поэтому надо сформули-
сформулировать задачу определения этой компоненты.
При изучении ^-волн будем исходить из уравнения F1.4),
которое спроектируем на ось г, учитывая, что {
Таким образом, имеем следующую краевую задачу:
.=о в 51,1 F28)
^* = 0 на /-х )
(Ех = 0 на поверхности идеального проводника). Это не что иное,
как первая краевая задача типа (П5.27) для двумерного уравнения
Гельмгольца. Переписывая для задачи F2.8) формулу (П5.31), полу-
получаем
X2 —^ л , . ^0,- F2.9)
причем нуль имеет место только в предельном случае 77Ш-волн.
Итак, для /?-волн
5С2>0, F2.10)
т. е. поперечное волновое число % = % — величина вещественная.
Переходя к случаю Я-волн, мы должны сформулировать гра-
граничную задачу относительно &%"%. Для этого сначала придется вы-
вывести соответствующее граничное условие.
Фиксируя произвольную точку идеально проводящей границы
направляющей системы, примем криволинейные координаты т, V
(рис. 62-2) за локальные декартовы координаты х, у и на этом осно-
основании перепишем первую строчку уравнений F1.6) в форме
Поскольку на поверхности идеально проводящего тела Ех = 0
и Ву = 0, то здесь Шх = 0 и с^у = 0, а потому должно быть
&%",/&> = 0. F2.11)
Это и есть требуемое граничное условие.
Проектируя F1.5) на ось г, получаем, таким образом, следую-
следующую краевую задачу:
ПЖ, + х*^, = 0 в 5х,| ' 2)
дч^Уду = 0 на 1Х, /
364

т. е. вторую краевую задачу типа (П5.28) для двумерного уравнения
Гельмгольца Конкретизируя формулу (П5.31), пишем:
<62'13»
а так как нуль будет только в предельном случае 77Ш-волн, то
для Я-волн выполняется неравенство F2.10).
Учитывая F2.10), нетрудно проверить справедливость нера-
неравенств F2.7). Например, при отсутствии поглощения (вещественное
к2 = к2) немедленно убеждаемся, что Г = У к2 — %2 </г2, т. е.
Ё- и Я-волны действительно являются быстрыми.
Краевые задачи F2.8) и F2.12) — это задачи на собственные зна-
значения (см. примеры в Приложении 7). Решения Шг и а%", образуют
бесконечные множества {§г„} и {а%"г„}, причем, каждому соответ-
соответствует определенное значение поперечного волнового числа / =
= %„, так что все их можно расположить в виде последовательности
0<Х?<хК...<ЗЙ<... F2.14)
Поэтому существует бесконечное множество Е- и Я-волн, которые
могут при определенных условиях распространяться в конкретной
направляющей системе (например, в полом волноводе), имея по-
постоянные распространения Гп=Ук2 — %п.
Наконец, возвращаясь к формулам F1.10) и F1.11), отметим, что
поперечные компоненты векторов Е и Н взаимно перпендику-
перпендикулярны как для^/>, так и для Я-волн. Отношения их комплексных
амплитуд в обоих случаях постоянны, они называются волновыми
сопротивлениями ~ФЕ и И?я соответственно. При этом
Йт=фг[г0,Ёт1 ШЕ = Г/сое (Я-волны), ■ 15)
{Н ) (Я-волны).
При отсутствии поглощения волновые сопротивления вещест-
вещественны, если вещественна постоянная распространения; тогда попе-
поперечные компоненты напряженностей поля находятся в фазе. Про-
Продольные же компоненты, как следует из F1.10) и F1.11), сдвинуты
по отношению к ним на 90° по фазе. Легко сообразить, что в резуль-
результате этого в любом поперечном направлении П = -^- Ке [Ёт, Й'т] =
= 0, т. е. в среднем равен нулю поток энергии.
3. Дисперсия быстрых волн при отсутствии поглощения. Для
быстрых Е- и Я-волн при а -> оо мы можем, таким образом, на ос-
основании F1.3) и F2.10) выразить продольное волновое число
формулой ■
Г = ^2-5С2, 5С2>0. F2.16)
365

Будем пока рассматривать распространение волн в непоглощаю-
щей среде, так что к2 = к2 = со2е(д,. Пусть / = со/2я — частота
электромагнитного процесса, и к = 2п1к—' длина плоской одно-
однородной 77: М-волны, распространяющейся при этой частоте в неог-
неограниченной среде с проницаемостями е и (д, (теми же, что и для среды
внутри направляющей системы). Иногда к называют «рабочей дли-
длиной волны». Введем параметры
/кр = —*= и ХКр = —, F2.17)
2я|/ец X
называемые соответственно критической частотой и критической
длиной волны. Поскольку на основании F2.16)
то теперь можно также написать следующие выражения продольного
волнового числа:
_ F2.18,
При / ^ /кр (к ^ ккр) постоянная распространения Г вещественна:
Г" = О, Г = Г; используя F1.2), нетрудно при этом выразить фазо-
фазовую скорость и длину волны:
F2.20)
Весьма существенно, что параметры /кр и^,кр вместе с X постоянны
для того или иного типа волны конкретной направляющей системы
(см., например, формулу C9.6) для случая системы плоскостей).
Как видно, фазовая скорость направляемой волны оф и ее длина Л
являются функциями частоты. Здесь мы встречаемся с дисперсией
волны (§ 35, п. 1) при отсутствии поглощения.
При частотах, значительно превышающих критическую (/ ^> /кр),
т. е. при «рабочих длинах волн» значительно более коротких, чем
критическая (к <^ Я,кр), постоянная распространения направляемой
волны Г = Г лишь незначительно отличается от волнового числа
к однородной 77?М-волны; поэтому близки соответствующие фазо-
фазовые СКОРОСТИ (Оф ^ V) И ДЛИНЫ ВОЛН (Л (=& К).
С уменьшением / (ростом к) фазовая скорость оф и длина волны
Л неограниченно возрастают по мере приближения / к /кр (к к ккр).
После этого (при / < /кр; к > ккр) постоянная распространения Г
становится чисто мнимой величиной:
/7J-1, /</кр. F2.21)
366

Взяв здесь знак минус, получаем продольную зависимость комплекс-
комплексных амплитуд поля F1.1) следующего вида: (
' 2~° * • /</кР, F2.22)
что означает экспоненциальное убывание вдоль оси г без изменения
фазы. Так, например, '
Е =
= Ке
г"г
1 = Ше~т"г
соз (со/ + ф),
где ф — какая-то постоянная начальная фаза (Ш = Ше1®). Собст-
Собственно говоря, это уже не бегущая волна, поскольку поле везде спн-
фазно; говорят, что при / = /кр волна «испытывает отсечку». По*
скольку волновые сопротив-
сопротивления F2.15) при чисто мни-
мом Г в отсутствие поглоще-
поглощения (ё = 8, (д, = A) также
являются чисто мнимыми, то
поперечные компоненты век-
векторов Е и Н сдвинуты по фазе
на 90°. Это в свою очередь
означает обращение в нуль
среднего вектора Пойнтинга
вдоль оси г: при / < /кр нет
передачи энергии.
Вычислим далее группо-
групповую скорость (§ 35) быстрой
волны, взяв формулу C5.9),
в которой ввиду F1.2) к за-
меняется на Г:
F2.23)
Таким образом, при критиче-
критической частоте групповая ско-
скорость обращается в нуль. Заметим, что формулы F2.19) и F2.23)
приводят к следующему соотношению:
F2.24)
Дисперсию быстрой Е- или Я-волны в идеализированной (о -> оо)
системе при отсутствии поглощения во внутренней среде (к = к)
характеризует приводимый ниже график зависимостей Рф (/) и
огр (/). построенный по формулам F2.19) и F2.23), рис. 62.3, а.
367

На рис. 62.3, б представлена также зависимость от частоты отно-
отношения Т/к (волна распространяется вдоль оси г). При / </кр эта
величина является мнимой (пунктир) и стремится к —гоо при
/ -> 0, что соответствует максимальному значению коэффициента
затухания Гшах = %.
4. Медленные волны. Волны, фазовые скорости которых мень-
меньше, чем фазовая скорость 77?М-волны в той же среде, называются
медленными. Для медленных волн
1/8^ F2.25)
(в частности, при отсутствии поглощения Г > к и оф <; 1/]/е|д,).
В § 39, п. 3 было показано, что плоские неоднородные Е- и
Я-волны, образующиеся при полном отражении однородной ТЕМ-
волны на границе раздела прозрачных сред, являются медленными
по отношению к менее плотной из них. Соот-
Соответствующее поперечное волновое число %2
C9.21) — величина чисто мнимая, и это опре-
определяет поверхностный характер волны. Отме-
Отметим также, что %2 — не константа (ср. пп. 2,
3), а функция частоты.
Эти особенности оказываются довольно
общими для медленных волн различного
вида.
Рис. 62.4. Из F1.3) следует, что для медленной
волны, т. е. при условии F2.25), в отсутствие
поглощения поперечное волновое число обязательно должно быть
чисто мнимым:
Х' = #-Р<0, % = ±ф (Р>0). F2.26)
Пусть имеется некоторая открытая направляющая система так
что, в частности, поле существует в полупространстве у < О
(рис. 62.4), причем вдоль оси г распространяется медленная .Е-волна.
Если можно считать, что в поперечном направлении х вдоль гра-
границы раздела у = О поле не изменяется (д/дх = 0), то уравнение
F1.5) принимает вид
^§--^№ = 0, F2.27)
где х2, согласно F2.26), заменено через —152. Его общее решение
есть (в скалярной форме)
Но в соответствии с физическим содержанием задачи здесь надо
положить А = 0 (поле не может неограниченно возрастать при уда-
удалении от направляющей системы, у < 0), так что
Ж^=Ве?>у (р>0, у<0). F2.28)
368 \

Таким образом, речь идет об экспоненциально убывающем в попе-
поперечном направлении —у поле направляемой поверхностной волны.
Из последней строчки F1.6) немедленно получаем
F2.29)
причем, как следует из третьей строчки первого столбца F1.6),
Шх = 0, а потому Ётг и Йтх — проекции векторов 'Ёт и Нт на
плоскость у = 0. Обозначая их Ёт и //„, запишем на основании
F2.29): ,5/л5 * .
Ет/нт-ш5 -и ,_р_ F2,30)
Кт = 7Е5 [Пт, Vо^, ;
(г0 = +_у0 есть единичный вектор внутренней нормали к границе
направляющей системы у= 0). Назовем %5 поверхностным импедан-
импедансом границы. Поскольку |3/сое — положительная величина, можно
сказать, что импеданс имеет «индуктивный» характер.
Рассмотренная поверхностная волна может существовать, если
в силу определенных физических условий внутри направляющей
системы (у > 0) плоскость у = 0 будет обладать таким импедансом,
т. е. создастся необходимое соотношение тангенциальных компо-
• С • С
нент Ёт и Нт. Эти условия создаются, например, на границе рас-
рассмотренного в § 39, п. 4 диэлектрического слоя при вертикальной
поляризации. Читателю предлагается проверить указанное обстоя-
обстоятельство, а также самостоятельно исследовать в том же плане слу-
случай горизонтальной поляризации, когда направляемая волна отно-
относится к классу Н.
Медленные волны, принадлежащие различным классам и, в част-
частности, имеющие обе продольные компоненты, будут описаны в § 67.
§ 63. Передача энергии и волны при поглощении
1. Передача энергии. Средняя мощность направляемой волны
вычисляется как поток среднего' вектора Пойнтинга П =
=." ^е [ЁтМт] через поперечное сечение системы 5±:
Р =1 Ке ( [Ёт, Щ] й8 = \ Де ( [Ёт/, Н&] йа F3.1)
(для открытых систем область 5± бесконечна). Это выражение для
систем с однородной средой можно записать в виде
Р =1Ке №*.">§ Н1« <1з=±Ке1-1±щ7 | ЕЪ* из, F3.2)
где Н7(Е. Н) это Ц7) Ц7Е или Н7Я в зависимости от типа волны.
369

При вещественном № <Е- "> знак Ке опускается, так как стоящая
за ним величина вещественна, а при чисто мнимом №(Е-Я| средняя
мощность Р равна нулю. В § 35, п. 3 скорость движения энергии
при гармонических колебаниях вычислялась по формуле
г>э = П/да. . F3.3)
С этой точки зрения скорость энергии, которая переносится волной
вдоль направляющей системы, есть
F3.4)
где №" —средняя энергия, отнесенная к единице длины системы.
Возьмем случай быстрых Е- или Я-волн при отсутствии поглоще-
поглощения и покажем, что введенная для них групповая скорость V^р
совпадает с Ъь. Действительно, например, для /?-волн из F3.4)
с учетом F1.10) и F2.15) имеем
V3 =
ее Г П
2Г 3 ^-
г
@8
•
X4 5±
Г2 Г
ёг
2A8+1
С0282
1 Ц Г2
Привлекая F2.9) и F1.3), находим далее
2 Г
Таким образом,
Г2
@8 Ц
Г
— — VI
С08Ц Й '
F3.5)
что совпадает с F2.23).
Читателю предлагается сделать аналогичную проверку, взяв
случай быстрых Я-волн.
2. Поглощение. Исследование постоянной распространения.
Действие поглощающей среды уже изучалось в случае плоской одно-
однородной ТТУИ-волны (§ 33). Как и эта простейшая волна, все плоские
неоднородные волны при распространении в поглощающих средах
затухают по экспоненциальному закону. Действительно, при ком-
комплексных пррницаемостях комплексной величиной является и по-
постоянная распространения: Г = Г' — ьГ"; тогда амплитуды векторов
370

Ей Н изменяются вдоль оси г по закону е~т"г, т. е. происходит экспо-
экспоненциальное затухание в направлении г, когда Г" > 0. Уже гово-
говорилось (§ 61, п. 1), что Г" называется коэффициентом затухания
(как и к", ср. § 33); затуханием волны на некотором отрезке пути /
называют величину I = Г"/ (ср. § 33, п. 2).
Рассмотрим сначала настоящие ТЕМ-волны, свойственные, как
указывалось (§ 61, п. 1), системе с идеальным @ -* оо) направляю-
направляющим проводником. Поскольку для этих волн Г = к, то можно прямо
воспользоваться найденными ранее результатами. Так, при отсут-
отсутствии магнитных потерь (|д, = ц) на основании C3.15) пишем
Г = Г-гТ" =
-1§аД-1 , F3.6)
где к? = ш]/е'|д, (напомним, что е' есть обычная диэлектрическая
проницаемость среды е только при а — 0, § 29, п. 2). Соответственно,
при весьма малых электрических потерях A§2Л <^ 1), свойственных
диэлектрику, верны формулы C3.16а), т. е.
Г = Г-1Г^ке'(\-1^^А]. F3.6а)
Возьмем далее быстрые Е- и //-волны в системах, экранирован-
экранированных идеальным проводником (§ 62, п. 2). Постоянная распростране-
распространения Г выражается в этом случае формулой F2.16), которая после
возведения в квадрат и разделения вещественной и мнимой частей
дает
(по-прежнему полагаем (д, = (д,). Находя отсюда Г' и Г" (ср. § 33,
п. 3), представим постоянную распространения в форме
где кг.=шУ7]1 и г> = ^ 1Л-№-J=*е' УЛ-(!кР/П2-
Полученный результат потребует некоторого внимания. Отме-
Отметим, во-первых, что при определенных условиях формулу F3.7)
можно существенно упростить:
= Г-/Г:
2|Ге'|2
-1 >/</:
Кр
*..
ч>
F3.7а)
371

Поскольку обычно речь идет о распространении волн в диэлектри-
диэлектрической среде A§ А <; 1), то представление F3.7а) -оказывается
возможным везде, за исключением «области отсечки», т. е. сравни-
сравнительно малой окрестности точки / = /кр (Ге- = 0). В самой же точке
/ = /кр
Г = Г'-гТ" = A-г)/ге'1ЛеЛ/2 (/-/кр). F3.76)
Характер частотной зависимости Г иллюстрируется построен-
построенными по формуле F3.7) кривыми (рис. 63.1). При е' = 8 (/ге> = к)
вычислены функции частоты Г'/к и Г"/к для случая 1§ Д = а/те =
= 0,2/кр// (т. е. таких о и 8, что 1§ А = 0,1, когда / = 2/кр). Пунк-
Пунктиром для сравнения нанесены кривые Г'/к и Г"/к при отсутствии
поглощения ({§ Д = 0). В результате действия поглощающей среды
10
Рис. 63.1.
1
Рис. 63.2.
ЩР
постоянная распространения Г комплексна при всех частотах, при-
причем Г' ф 0. Следовательно, в отличие от случая направляющей
системы без поглощения (§ 62, п. 3), теперь распространяющаяся
волна сохраняется и при / </кр- Правда, в этой области с умень-
уменьшением частоты происходит резкое увеличение затухания и фазо-
фазовой скорости (уменьшается Г' = со/оф). Но оф уже не обращается
в бесконечность (рис. 63.2), а стремится при / -> 0 к пределу
2 Г8,|со
и->0
и если е = 8, то
F3.8)
F3.8а)
(при 1§ А = 0,2/кр// получаем отсюда оф = 10о).
В качестве упражнения предлагается выяснить на данном чис-
численном примере область применимости приближенных формул
F3.7а).
372

3. Энергетический метод определения затухания. При иссле-
исследовании направляемых волн часто не удается найти точное решение
электродинамической задачи при наличии поглощения. Прямое вы-
вычисление затухания волны, продемонстрированное выше в п. 2,
при этом невозможно. Однако если поглощение невелико, оказы-
оказывается, затухание можно определить, исходя из решения задачи,
полученного при отсутствии поглощения. Для этой цели может быть
использован так называемый энергетический метод, излагаемый
ниже.
Начнем с вывода некоторых точных соотношений.
Поскольку при распространении волны вдоль оси г комплекс-
комплексные амплитуды векторов поля Е и Н изменяются по закону е~AЧ
то передаваемая за единицу времени энергия — мощность волны —
падает, согласно F3.1), как е~'^г (е~1^г) * = е~2Т"г. Поэтому, если
в некотором сечении г передаваемая мощность есть Р (г) = Р, то
можно написать
где Ро = Р @) — мощность волны в сечении 2 = 0.
Убывание мощности волны при прохождении весьма малого
участка направляющей системы Дг вычислим как
АР^-~Аг = 2Г Р'Аг. F3.10)
Разумеется, величина АР должна быть равна поглощаемой на участ-
участке Аг за единицу времени энергии — мощности потерь ЛРП; послед-
последнюю можно выразить в виде
АРп=^Аг = РпАг, F3.11)
где рп = йРп1йг — мощность потерь, отнесенная к единице длины
направляющей системы. При Аг-> 0 равенства F3.10), F3.11)
становятся точными; *-из уравнения баланса энергии АР = АР„
находим
Г = рп/2Р. F3.12)
Это и есть «энергетическое выражение» коэффициента затухания.
Если при нахождении мощности потерь величину рп по каким-то
соображениям удобно разбить на части: рп = рп1 + Рпг ~Ь •••» т0
т. е. коэффициент Г" представляется в виде суммы «частичных» ко-
коэффициентов
Г = ГГ + Г'2' + ..., F3.13)
каждый из_ которых определяется предыдущим выражением, т. е.
Г, = рп1/2Р и т. д.
373

Чтобы определить р„ в числителе F3.12), сосредоточим внима-
внимание на области существования поля ДУ, соответствующей участку
Дг направляющей системы. Очевидно, ДУ = 5±Дг и, согласно
C0.14),
= 11т 4Г|-Дг\ (е" Ё
Дг->0
т. е. . (
''т)йз. F3.14)
Поэтому на основании F3.12) с учетом F3.1)
со \ (г" Ётйт ■
Г'= -^ р-р,—п- . F3.15)
2 Ке ( [Ет,Нт] аз '
Проницаемости г и [х, вообще говоря, являются функциями коорди-
координат в поперечной плоскости. Поперечное сечение 5± может распа-
распадаться на несколько областей с постоянными проницаемостями
(«кусочно-постоянные» 6 и ^).
Часто направляющая система состоит из металлических и ди-
диэлектрических элементов. Например, полый волновод представляет
собой трубу с диэлектрическим заполнением, двухпроводная линия
состоит из двух металлических стержней с промежуточной диэлект-
диэлектрической средой и т. д. Вычисляя в таких случаях коэффициент за-
затухания по формуле F3.15), надо производить интегрирование по
поперечному сечению диэлектрика и металла. Известно, однако
(§ 40), что при скин-эффекте сколько-нибудь заметное поле имеется
лишь вблизи самой поверхности проводника. При сильном скин-
эффекте внутреннее состояние с большой точностью описывается
условиями на поверхности, а именно граничными условиями Леон-
товича. Это позволяет находить поглощение в металле путем вычис-
вычисления интеграла D0.10), выражающего уходящий внутрь него по-
поток энергии.
Чтобы найти указанным путем потери в металле направляющей
системы, отнесенные к единице ее длины, выделим на поверхности
металлической части (рис. 63.3) пояс Д5 шириной Дг и запишем:
Д5
поскольку Д5 = /-^Дг, где Ь±_ — контур (или совокупность конту-
контуров) поперечного сечения границы металла с диэлектриком.
374

Величина раш следовательно, находится как контурный интеграл
Н™Ш> F3.16)
Рпм =
а частичный коэффициент Г„, учитывающий только потери в металле
согласно F3.12), а также F3.1), есть
Г'м =
2аД°
5±
F3.17)
Формулу F3.15) обычно применяют не для вычисления полного
коэффициента затухания Г", а только для нахождения частичного
коэффициента Гд, учитывающего потери в диэлектрике. При этом
Рис. 63.3.
вместо 5± берется поперечное сечение диэлектрической области
5±д (совокупности областей). Если, как это чаще бывает, магнит-
магнитных потерь нет (|д," = 0), то из F3.15) следует:
со
2Ке ^
F3.18)
Полный коэффициент затухания находится в соответствии с F3.13)
как
.Г = ГМ + ГД, F3.19)
где Гд и Гд определяются формулами F3.17) и F3.18).
4. Применение энергетического метода. Уже говорилось, что
энергетический метод приходит на помощь, когда нет аналитиче-
аналитического выражения Г и нет возможности вычислить Г" как —1т Г, но
величины Р и р„ могут быть приближенно найдены. Обычно при
этом используются выражения полей, полученные в результате ана-
анализа направляющей системы без поглощения.
Сначала произведем действия, которые можно рассматривать
как проверку такого подхода, а именно вычислим в указанном приб-
приближении по формуле F3.18) Гд для быстрых Е- и //-волн, а также
375

волн ТЕМ (диэлектрик однороден). Поскольку при идеальности
проводника системы (о -> оо) имеется точное выражение Г" = Гд
(п. 2), то сделаем затем сопоставление результатов.
После преобразования знаменателя F3.18) при помощи F3.2)
имеем
Г'. сое"
1д 2
(для распространяющейся волны при отсутствии поглощения И?<Е' Я) =
= ще,н) и Г = Г). В случае Я-волн (Ётг — 0) отсюда сразу сле-
* д— 2 — 2Г 2Г'' ■—' р" V
Взяв /?-волны, выразим Ётг и 5т< на основании F1.11) и учтем
F2,9). Это дает
Гд = ™"^Е (^-J = \ Щ±, / > /Кр. F3.206)
Наконец, для Т^М-волн, положив в F3.20а), F3.206) Г = к,
получаем 1
™ '«-*-* F3.20в)
Мы видим, что выражения F3.20а)—F3.20в) при г' = г дают
те же значения Гд, что и приближенные формулы F3.7а), F3.6а).
В области отсечки (/ я»/кр) формулы F3.7а), как известно, непри-
неприменимы. Тот факт, что таким же свойством обладают и результаты
энергетического метода F3.20а), F3.206), не должен удивлять.
При подстановке в F3.18) функций Ёт и Йт, найденных для непог-
лощающей системы, мы получим в знаменателе нуль для всей об-
области частот / ^ /кр (которая выше была исключена), что, конечно,
не соответствует действительности, поскольку при поглощении поток
энергии никогда полностью не исчезает (п. 2). Поэтому вычисление
Р при / я« /кр не может быть точным и в области / > /кр.
Энергетический метод является основным средством учета пог-
поглощения в направляющих проводниках, так как обычно строгое
решение задачи отсутствует, когда они неидеальны. Конечно, как
и выше, результаты получаются для области частот / > /кр и при
I ^ /кр становятся неточными. Общая формула для Г^, следующая
из F3.17) при подстановке функций Ет и Нт, найденных для непог-
лощающей системы, имеет вид
^ Нт сЧ о%5 $ Нт й1
где использовано обозначение D0.16а); в рассмотрение входят вол-
волны Е, Н и ТЕМ.
376

!!. СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ
На основе изложенной выше общей теории теперь будет рассмот-
рассмотрен ряд распространенных направляющих систем. Мы исследуем
свободные, т. е. в сущности возможные электромагнитные процессы
в этих системах, не ставя пока вопроса об условиях возбуждения
волн.
Определяя и анализируя электромагнитные поля, будем сначала
считать металлические элементы направляющих систем идеальными
проводниками, что ввиду сильного скин-эффекта в большинстве
случаев вполне допустимо, пока не ставится целью найти затухание
волны, вызванное поглощением в металле. Эта последняя задача
будет решаться энергетическим методом,
§ 64. Прямоугольный волновод
1. Постановка задачи. Е-волны. Из полых металлических вол-
волноводов самым распространенным является волновод прямоуголь-
прямоугольного поперечного сечения; он схематически изображен на рис. 64.1.
Полагая оболочку трубы идеально проводящей, мы приходим к си-
системе, довольно просто анализируемой.
Согласно § 62, п. 1 в ней не может быть
волн ТЕМ, и следует ожидать, что сво-
свободные поля имеют характер Е- и Я-волн,
которые уже рассматривались в общем
виде в § 62, пп. 2, 3. Теперь предостав-
предоставляется возможность подробно рассмо- ^
треть важный пример таких волн. г
Поставив целью исследовать /?-волны Рис 64.1.
идеализированного прямоугольного вол-
волновода, мы должны решить-краевую задачу F2.8), которая в дан-
данном случае формулируется в виде (рис. 64.1)
\0<У<Ь;
= 0 при
= 0, х =
F4.1)
Эта первая краевая задача для двумерного уравнения Гельмгольца
решается в Приложении 7. Действительно, формулировки F4.1)
и (П7.Д0) полностью совпадают. Воспользовавшись готовыми ре-
результатами в виде формулы (П7.11) и далее, напишем
F4.2)
F4.3)
а • Ь
{т=\; 2, ...
1«-1, 2, ...
— неопределенный амплитудный коэффициент).
— 1тп — \ а I -г" I ь ,
377

Напомним, что Штп— это собственные функции задачи F4.1),
а %%п — соответствующие им собственные значения, т е. значения
параметра х2 в F4.1), при которых реализуются решения Е™п.
Они составляют бесконечное множество, причем каждая из функций
ёг характеризует распределение в поперечном сечении волновода
продольной компоненты вектора Е той или иной свободной волны,
которую будем называть волной типа Етп; будет также употреб-
употребляться выражение поле типа Етп. На рис, 64.2 показаны распреде-
распределения Ег для полей типа Еп, Е^, Еш и ЕЯ2; пунктиром проведены
«линии узлов», на которых Ег = 0.
Е11
ш
Е21
1
1
1
1
1ц
Ш
Е31
> I Ч
щ
Е32
Рис. 64.2.
Зная функцию Штп, по формулам F1.7), F1.1) можно определить
комплексные амплитуды всех компонент поля типа Етп. В резуль-
результате получаем:
Стг —
тпх . ппу г
СО5 8Ш —г- е~1
а
тпх
81П-
а
тпх
Ь
ппу
,- 1Тг
с08
ппу
и'ту — —а
—' л,тп!
тп
пп
~7~
F4.4)
где на основании F1.3) или F2.16) с учетом F4.3)
Г = Гтп =
F4.5)
есть комплексное продольное волновое число (постоянная распро-
распространения) данной /?-волны. При этом следует оговориться, что
поле, по существу, теряет волновой характер, если Г — чисто мни-
378

мая величина F2, п. 3), что при комплексном к невозможно F3, п. 1).
Запишем также выражение волнового сопротивления ШЕ = В7™
F2.15):
На рис. 64.3 показано строение различных полей Етп прямо-
прямоугольного волновода для некоторого фиксированного момента вре-
времени («мгновенный снимок» волны, ср. стр. 164). Ввиду отсутствия
' а/2)
продольной компоненты вектора //магнитные силовые линии лежат
в'плоскости поперечного сечения. Поле Еп (щ = 1, п = 1) является
простейшим; его структура включает одно семейство замкнутых
силовых линий, расположенных симметрично относительно сред-
средней точки сечения, где находится максимум продольной составляю-
составляющей вектора Е. По рис. 64.3 легко найти соответствие между строе-
строением полей Етп и значениями индексов тип: последние указывают
числа полупериодов структуры по поперечным осям х и у на отрез-
отрезках аи Ь. При отсутствии поглощения поле периодично также в про-
продольном направлении г, и периодом является длина волны Л.
2. //-волны. Для изучения Я-волн надо сначала решить гра-
граничную задачу F2.12), формулировка которой для прямоугольного
379

волновода (рис. 64.1) имеет вид
дх*
0<х<:а,
= а\
Ту
F4:7)
что совпадает с уже рассмотренной задачей (П7.12). Взяв готовый
результат (П7.13), запишем собственные функции
тпх ппу
соз—г2-
а Ь
F4.8)
F4.9)
и соответствующие им собственные значения
~] +\Ч ' (« = @), 1,2,...
задачи F4.7); индексы тип могут быть равны нулю порознь.
Нр
Рис. 64.4.
Каждая из бесконечного множества функций а%^™" характеризует
распределение в поперечном сечении волновода продольной компо-
компоненты вектора Я свободного поля типа Нтп. На рис. 64.4 показаны
распределения Нг для полей типа Н10, Н01, Нп и Н32.
Выпишем, как и в случае /?-волн, комплексные амплитуды всех
компонент векторов поля типа Нтп, получаемые по формулам F1.7)
и F1.1) при подстановке <М'г F4.8):
380
П щх =
10 ~1ё
тпх пщ &.
/О ■■■■ С1^о . С- .
а Ь '
Г у* . тпх ппу ,*,.
** 81П СОЗ —г2- е~ СГг
Н
ту "
Г х« ^яд:
: 1Но -Та- с08 -Г~
А ' А*тп1
тпх ппу
соз зт —т— в"
зт-
F4.10)

Здесь, как и ранее,
1 -'ям- у « у а ^
F4.11)
т. е. постоянные распространения Е- и Я-волн при одинаковых ин-
индексах тип совпадают. Каждой волне Нтп, за исключением волн
НОп и Нт0 соответствует волна Етп, распространяющаяся с такой
же фазовой скоростью. Здесь же запишем выражение волнового со-
сопротивления #Я = №тп F2.15)
к*[\а
F4.12)
Строение различных полей Нтп прямоугольного волновода пред-
представлено на рис. 64.5 (ср. рис. 64.3). Простейшими являются поля
1х--а/2)
X
X
о
«
X
(саа)
л
а х
'гг
--а/2)
Л
Рис. 64.5.
Н\о и ^01- Магнитные силовые линии поля Н10 образуют замкнутые
контуры, лежащие в плоскостях у = сопз!, а электрические линии
параллельны оси у; при этом максимум электрического поля сдви-
сдвинут вдоль оси г от центра семейства магнитных линий на четверть
пространственного периода, т. е. на Л/4. Заметим, что при этом в
центре лежит максимум тока смещения (читателю рекомендуется
это проверить). Как и в случае /?-полей, индексы тип указывают
числа пространственных полупериодов на отрезках а и Ь. Когда
381

один из них равен нулю, поле вдоль соответствующего направления
однородно («О полупериодов»).
3. Волновод без поглощения. Основная волна. Исследуем ха-
характер распространения волн в прямоугольном волноводе с идеаль-
идеально проводящей оболочкой при отсутствии поглощения, взяв в F4.5),
F4.11) к = к. При этом удобна форма записи из § 62, п. 3. Конкре-
Конкретизируя выражения F2.18)—F2.20) и др., мы должны лишь поло-
положить в них на основании F2.17) и F4.3), F4.9)
и
F4.13)
То или иное поле типа Етп или Нтп будет иметь характер распро-
распространяющейся волны, когда постоянная распространения Ттп,
определяемая формулой F2.18), вещественна, а это будет при
/ > /кр (^ < ^кр)- Если же для всех типов полей / < /кр, то пере-
передача энергии по волноводу невозможна. Пусть теперь частота /
постепенно возрастает; когда она превысит наименьшую из всех
критических частот /™р, в волноводе сможет распространяться одна
волна. Эта волна имеет наибольшее техническое значение и обычно
называется основной волной (имеется в виду, что реальный прямо-
прямоугольный волновод весьма близок к рассматриваемому идеализиро-
идеализированному). Будем считать, что а> Ь, как это соответствует рис. 64.1.
Тогда, согласно F4.13), наименьшая критическая частота есть
Это критическая частота поля Н10. Волна Н10 и является, таким об-
образом, основной волной прямоугольного волновода.
Продолжая повышать частоту /, можно прийти к выполнению
неравенства /> /кр для двух, трех и более типов волн. Очевидно,
для всякого конкретного волновода без поглощения при фиксиро-
фиксированной частоте / лишь конечное число полей Етп и Нтп может иметь
вид распространяющихся волн.
Рассмотрим основную волну Н10 подробнее. Из F4.13) полу-
получается легко запоминающееся соотношение
■ К°Р = 2а. F4.14а)
Критическая длина волны для поля Н10 (равная длине ТЕ М-волны
при / = /кр в среде такого же вида, как и внутри волновода) оказы-
оказывается вдвое больше наибольшего поперечного размера волновода.
Выпишем комплексные амплитуды компонент векторов Е и Н
волны Я10, положив в F4.10) т = 1 и п = 0:
-^зт—е-'Ч F4.15)
в а ч '
Нтг = Носоз — е-я1*, нтх = Шо -^-у 1 - -=— зт-— егя1*,
382

где \/Кь — ^/2Ь- Величины Г, оф, Vгр, Л, ЧРН вычисляются по фор-
формулам F2.18) — F2.20), F2.23) и F4.12). Так как критическая длина
иол и и Я,','!, ™ 2а пе зависит от поперечного размера Ь, все эти вели-
величины сохраняют свои значения для всех «одинаково широких» вол-
ноиодоп (а = сопз!) независимо от «высоты» Ь.
С уменьшением частоты (ростом К) растет пространственный пе-
период ноля Л (рис. 64.6, а, б), пока не становится бесконечным при
Л ■= 2д (рис. 64.6, в); поперечная компонента Нх при этом утрачи-
1ШГК-Н, как видно из F4.15). Затем, когда К > 2а, то Нх ф 0, но все
магнитное поле по отношению к электрическому сдвинуто на 90°
С_ у ■" (* с
Рис. 64.6.
по фазе, так что передачи энергии нет. При К/а -> 0 (неограниченное
уменьшение К или «расширение» волновода), как видно из F4.15),
пх
Нт* 1а щ1
2а
т. е. основная волна Нго переходит в волну чисто поперечную, при-
причем Н7Я -> Уц/е и Л -> Л,.
4. Передача энергии и затухание волн. Для вычисления пере-
передаваемой мощности используются формулы из § 63, п. 1, Взяв опять
основную волну Н10 при отсутствии поглощения, будем исходить
из электрического поля; это удобнее, поскольку оно имеет только
одну компоненту Еу F4.15). Величина —^- = Но ~ 1/ ~=Е0
есть амплитуда вектора Е в пучности поля (х = а/2). Ниже уста-
устанавливается связь Ео с мощностью распространяющейся волны Н10.
На основании F3.2)
а Ь
Р=—г? Г \ 31П2 — йх йу == ——гг, F4.16)
г\ ЧТ771~1 А \ _. *~ Л ТТ77/7 ^ *
383
и о ,
где урн = И7//1 — (Я/2ар~ согласно F4.12); Г = ]/"A7ё.

По мере приближения к критической частоте (Я, -> 2а) напряжен-
напряженность поля при фиксированной мощности волны неограниченно
возрастает. Это резонансное явление, конечно, сохраняется и при
поглощении, но Ео уже не стремится к бесконечности, в чем легко
убедиться, взяв к вместо к и соответственно заменив Н7Я в F4.16)
через КеГя*.
Рассмотрим далее затухание волн.
Затухание в результате поглощения энергии в заполняющем
волновод диэлектрике вычисляется на основании формул F3.7),
F3.7а). Первая из них в случае идеально проводящей оболочки
является точной. Напомним, что для области частот / ~> /кр суще-
существует сходный с F3.7а) результат энергетического метода F3.20а).
В большинстве случаев, однако, волновод заполнен воздухом,
поглощение в котором пренебрежимо мало, так что затухание фак-
фактически вызывается лишь действием металла (Г" = Т"м).
Вычислим Т"м для основной волны Н10 по формуле F3.21). Со-
Согласно F4.15) интеграл в числителе F3.21) имеет вид
^ Н*т & = 2 (« Н*тг \х=0 йу + \ №
т. е.
Интеграл в знаменателе F3.21) в сущности уже вычислен при на-
нахождении передаваемой мощности:
Подстановка полученных результатов в F3.21) приводит к следую-
следующему выражению:
-V*. *•
*
Зависимость Г„ от частоты, описываемая этой формулой, пред-
представлена графически на рис. 64.7. Согласно F4.17) П, -> оо при
% -» 2а; однако в области отсечки (% р^ 2а) выражение П, неточно
(§ 63, п. 4), и в действительности рост затухания не является неогра-
неограниченным. С увеличением частоты затухание сначала падает, а по-
потом медленно возрастает в результате уменьшения глубины проник-
384

Ъ=2-10'2м ,а*26
новения А0 = |/2/со[х0 (§ 40, п. 1). Зависимость П!(/) такого вида
типична для различных волн полых волноводов; с отклонением от
нее мы встретимся позднее
(§ 65) в единственном случае.
5. Заключительные заме- 4
чания. Картина электромаг-
электромагнитных процессов в прямо-
прямоугольном волноводе еще нуж-
нуждается в ряде дополнений.
Во-первых, надо принять г
во внимание, что в металли-
металлической оболочке волновода ;
распределен ток. Полагая ее
идеально проводящей, конста- о
тируем, что на границе вну-
внутренней области имеются по-
поверхностный ток и заряд,
плотности которых равны т] = К'о, //] и | = еЕ соответственно
(§ 8, п. 1). Линии вектора т] ортогональны магнитным силовым
линиям на поверхности волновода. Для основной волны Я10 распре-
распределение тока и заряда представлено на рис. 64.8. Волнам типа Е
1
2. 3 4
Рис. 64.7.
Рис. 64.8.
сопутствуют только продольные токи (ц = ад), поскольку век-
вектор Н поперечен.
Во-вторых, отметим, что хотя строение полей в реальном метал-
металлическом волноводе весьма близко к идеализированному представ-
13 Электродинамика
335

лению, полученному выше в пп. 1—3, сам характер различий нельзя
не учитывать. Возьмем, например, опять основную волну Н10.
Поскольку соответствующий ей ток в оболочке волновода имеет
продольную компоненту, то в силу закона Ома (/ = оЕ) суще-
существует и продольная составляющая вектора Е. Правда, она весь-
весьма мала в сравнении с поперечной, но, с точки зрения стро-
строгой классификации, следует уже говорить о волне не //-, а
ЕЯ-типа.
Выше (п. 2) отмечалось, что некоторые волны прямоугольного
волновода с идеально проводящей оболочкой имеют одинаковые
постоянные распространения; их называют вырожденными1). Та-
Таковы все Е- и //-волны с одинаковыми соответственными индексами
тип (например, волны Еп и Нп, Еы и //23 и т. д.). Кроме того,
вырождение существует при определенных пространственных соот-
соотношениях; так, в волноводе квадратного сечения (а = 6).вырождены
волны Етп и Епт, Нтп и Нпт. Волны, распространяющиеся в реаль-
реальных волноводах, характерны тем, что они могут быть близки не
к изученным вырожденным волнам, скажем, Еп и Нп, а к их вполне
определенным комбинациям. Имеются волны, которые можно наз-
назвать ЕНп и НЕп по тому признаку, что они близки к комбинациям
волн Еп и Нп, причем ЕНп -> Нп и НЕп -> Еп при 0 -> оо, т. е.
при переходе к идеализированному волноводу такие волны (вообще
уже невырожденные) становятся известными нам волнами типа Е
и //. Говорят, что существование волн ЕН и НЕ есть следствие энер-
энергетической связи Е- и //-волн в указанных условиях. ■*
В заключение вернемся к вопросу о том, чем различаются усло-
условия распространения основной волны Н10 в волноводах одинаковой
ширины а при разных Ь. Ранее мы видели, что формулы F2.18)—
F2.20), F2.23), F2.12), в которые при этом Ь не входит, таких раз^
личий не обнаруживают. Но от Ь зависят передаваемая мощность Р
и затухание ТЦ. При равных Р напряженность поля больше в
волноводе меньшего поперечного сечения.
Затухание же, согласно F4.17), обрат-
обратно пропорционально высоте поперечного се-
сечения Ь.
§ 65. Круглый волновод
1. Постановка задачи, ^-волны. Полый ме-
Рис. 65.1. таллический волновод круглого поперечного
сечения (рис. 65.1), как и прямоугольный вол-
волновод, часто используется в технике. Мы рассмотрим его в том же
плане, полагая сначала оболочку идеально проводящей.
х) Если в некоторой задаче разным собственным функциям соответствуют
одинаковые собственные значения, это называется вырождением. В данном слу-
случае имеется в виду вырождение в задачах F4.1) и F4.7),
386

Исследуя Е-волны, поставим граничную задачу F2.8) в виде
F5.1)
1А/
г дг V
дг
\ 0=^а<2я, }
ег = 1) при г = к,
что совпадает с (П7.18). Поэтому, согласно (П7.19),
С со» па +1) 31П «а,
= ёг = ^п (%пт
=^п (Хптг) А (па)
F5.2)
X
.{р.
п = 0, 1, 2
т=\, 2
F5.3)
где Впт — корни уравнения ^п (х) = 0, сведенные в таблицу в При-
Приложении 6, п. 6. Множитель азимутальной зависимости А (па)
записан здесь в двух вариантах (верхняя и нижняя строчки).
Каждая из бесконечного множества собственных функций ё"т
определяет поле круглого волновода типа Епт, компоненты кото-
которого находятся при подстановке F5.2) в F1.10) с учетом (П1.8) и
(П1.22). Это дает:
Ётг = -1 \ Гп (%г) А (па) Г' Ч
1
Ета = - 1~ ^пA^) А' (па) е-**, % = %пт,
F5.4)
где ^'п (%г) — производная ^п (у) по аргументу %г и А' (па) — про-
производная А (па) по па:
1—Съ\\\па-\-Ь соз па,
С}1па
В F5.4) постоянная распространения Г, определяемая формулами
F1.3) и F5.3), равна
, F5.5)
Перед изучением строения полей разных типов выясним смысл
множителя азимутальной зависимости А (па). В одном варианте он
представляет собой линейную комбинацию функций соз па и зш па.
Это значит, что всякое решение с данным распределением поля по
13»
387

радиусу ^'„ (%г) может иметь как косинусоидальное (О = 0), так и
синусоидальное (С = 0) азимутальное распределение. Можно го-
говорить о двух вырожденных волнах, поскольку пит для обоих
решений совпадают. При этом поля типа Епт, получаемые при
А (па) = С соз па и А (па) = Г) зш па, различаются лишь ориен-
ориентацией: так как зш па = соз (па — 90°), то одно поле переходит
в другое при повороте около оси волновода на 90°. Что же означает
произвольная линейная комбинация обоих решений (С Ф 0 и
Ъ ф 0)? Взяв вещественные С и Б, т. е. рассматривая наложение
обоих вырожденных полей в фазе, имеем
А (па) = С сов па-{-Б 51П па = Ео соз (па — гр); |
Е0 = УС*+Щ ^ = агс!§-5-. ' }
Речь идет, следовательно, о косинусоидальном распределении, по-
повернутом относительно начала координат на некоторый угол г|з,
т. е. о возможности произвольной азимутальной ориентации поля
в круглом волноводе, что естественно при его симметрии.
При комплексных С и Б происходит сложение двух указанных
полей с разными фазами. Возьмем, например, С = Ео и О = ± 1Е0.
Тогда А (па) = Ео (соз па ± I зш па) =Еф±1п1Х, что соответствует
выбору А (па) в виде выражения в нижней строчке F5.2) с <3 = Ео
и Т = 0, либо С} = 0 и Т = Ео. Поля с таким азимутальным рас-
распределением имеют структуру, вращающуюся относительно оси
волновода с круговой частотой со (аналогия круговой поляризации,
§ 34, п. 3), причем направление вращения зависит от выбора знака
В общем случае составления линейной комбинации вырожден-
вырожденных функций ^п (%г) соз па и ^п (%г) зш па или ^п (%г)е'1па и ^п (%г)ёпл
с комплексными коэффициентами получается подобие эллиптиче-
эллиптической поляризации.
Обратимся к рис. 65.2, на котором показано строение различных
Е-полей круглого волновода. Поля с п = 0, для которых функция
А (па) является константой, не изменяются в зависимости от угла
а, т. е. азимутально однородны. Остальные поля изображены при
ориентации, соответствующей О =0 в F5.2); в одном случае, од-
однако, показано (поле Еп), как изменяется азимутальная ориентация
при разных А (па). Привлекая для сравнения рис. 64.3, где изобра-
изображены Е-поля волновода прямоугольного, сразу же находим черты
сходства: полю Еп прямоугольного волновода аналогично поле
Е01 круглого, полю Егу прямоугольного — поле Еп круглого и т. д.
Но такое соответствие существует далеко не всегда. В частности,
в прямоугольном волноводе не может быть аналогов полям круглого
волновода типа Еш при тф 1.
На рис. 65.3, который нужно рассматривать, сопоставляя его
с графиком бесселевых функций (рис. П6.1) и картинами силовых
388

линий на рис. 65.2, показано, как изменяется по радиусу продоль-
продольная компонента Ег полей разных типов. Из сравнения читатель
легко установит, какую характеристику структуры поля могут дать
Рис. 65.3.
числа тип, являющиеся индексами того или иного типа Епт.
Как и на рис. 64.2, пунктиром проведены «линии узлов», на которых
Е* = 0.
2. //-волны. Поставив граничную задачу F2.12) в виде
■</?.
F5.6)
^ = 0 при

обнаруживаем ее совпадение с задачей (П7.24) и сразу записываем
известное решение:
\ Ое-1па + Те1па
где
у2==у* -{АппЛ2 /я = 0, 1, 2, ....
(■^лт — корни уравнения ]'п (х) = 0; см. таблицу в приложении 6,
п. 6.
Теперь, пользуясь формулами F1.11), определяем комплексные
амплитуды всех компонент векторов Е и И поля типа Н„т:
■=-1\*пAг)А{па)е~1
Нта. = — I
'-■тг — '
. пТ
о-СГг
ПСО)Х
X — Хпт
(обозначения см. п. 1), где
F5.9)
F5.10)
На рис. 65.4 показано строение различных //-полей при ориен-
ориентации, соответствующей Г) = 0 в F5.7). Как и ранее (п. 1), заметна
аналогия ряда полей круглого и прямоугольного волноводов;
сходны, например, типы полей Нп круглого волновода и Н10 пря-
прямоугольного. Однако аналогия по-прежнему не распространяется
на все типы полей. Так, в частности, в круглом волноводе нет соот-
соответствия полям Нтп волновода прямоугольного при четных т и п.
Простейшие по строению азимутально однородные поля круглого
волновода Нот (которым нет соответствия в прямоугольном волно-
волноводе) интересны тем, что на оболочке имеют только продольную ком-
компоненту вектора Н. Последняя стремится к нулю при Х/Я, -» 0 (это
390

относится и к другим полям, ср. § 64, п. 3), а следовательно, в пре-
пределе на оболочке отсутствует поле и нет тока. Строение полей
дополнительно поясняется эпюрами Нг на рис. 65.5.
ос
а О
л
и:
° ч
о
о
о
о
*
•
о
о
■А
X X
/
//
1 1
г?
! ]
> 1
к 1
\
О О
\
1 1
1
1
\\
1 )
1 1
I
Рис. 65.4.
Рис. 65.5.
3. Волны без поглощения. Простейшие типы полей. Положив
в полученных формулах г = е и ц = (д, (/г = к), приходим к случаю
волновода без поглощения во внутренней среде. При переходе к сим-
символике из § 62, п. 3 имеем:
для Е-волн
/\птп 1 Впт „л л ""•
кр = /кр = Г—77— —Г- И Лкр — Лкр
2я/?_
Впт
F5.11а)
391

для /У-волн
/кр — /кр —
1
2я V ец /?
Я,ср = С = -~-. F5.116)
На основании таблиц из Приложения 6, п. 6 составлена следующая
таблица значений лкр для разных типов волн.
Критические длины волн
кр
Таблица 65.1
, отнесенные к /?
х
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2,61 г
1,64
1,223
0,9847
1,64
3,413
2,057
1,495
2
3
Е-волны
1,138
0.8955
0,7464
0,6436
0,726
0,6176
0,5407
0,4827
Я-волны
0,8955
1,178
0,9369
0,7839
0,6176
0,736
0,6302
0,5538
4
0,5328
0,4716
0,4246
0,3873
0,4716 "
0,5367
0,477
Не рассматривая вновь общие особенности распространения
вОлн, обсуждавшиеся как в § 62, п. 3, так и на примере прямоуголь-
прямоугольного волновода в § 64, п. 3, подчеркнем, что в данном случае основ-
основной является волна типа Нп:
ГП1П
г кр — / кр,
а пт я 11
шах дкр = лКр
= 3,413^. F5.12)
Эта волна, нр будучи низшей по индексам, аналогична, как уже отме-
отмечалось, основной волне прямоугольного волновода Н1п. Можно
представить себе, что при постепенном переходе круглого волновода
в прямоугольный основная волна Нп, деформируясь, преобразуется
в основную волну Я10.
Далее критические длины волн располагаются в такой последо-
последовательности:
Акр
ЛКр _^> Акр ^> АКр = Акр _> Акр
АКр
., (Ь5.1о)
т. е. с ростом частоты вслед за основной волной будет распростра-
распространяться волна Е01, затем Я21 и т. д.
Простейшими в смысле описания являются поля Е01 и Н01.
Первое имеет компоненты Ег, Ег и На, а второе — Нг, Нг и Еа.
Основное поле Нп имеет все пять компонент, присутствующих
в F5.9). Читателю предлагается выписать выражения величин оф,
Vгр, Г, Ли Й7Е- н для полей Ео1, Н01 и Нп, пользуясь формулами
F2.18) —F2.20), F2.23), F2.15), а также формулами F5.11), F5.12)
и табл. 65.1. . .
392

4. Передача энергии и затухание волн. Вычислим мощность, пе-
передаваемую волной Нп при отсутствии поглощения. На основании
F3.2) и F5.9), обозначая, согласно F2.15), соц/Г = Гя, имеем
Я 2л
= Кг И №г+Н1га) г йг йа=
о о
# 2л
Будем рассматривать волну, распространяющуюся без вращения
относительно оси волновода (п. 1), и положим здесь А (а) = С соз а.
Интегрируя по ос, а затем делая простую замену переменных и учи-
учитывая соотношение F5.8), имеем
]
и, согласно (П6.21), ввиду равенства ^\ (Ап) = О получаем
-(АЪ-1)Д(Ап), F5.14)
или
Р = ЕЬ^г^-Д(А11)ъО,75ЕЬ^Г, F5.14а)
где Ео = (ГИ?я/2х) С есть амплитуда вектора Е на оси волновода.
Действительно, из F5.9) при А (а) = С соз а следует:
Ео = Етг 1г_0.о-9о- = С\\т^-^-^1 (Хг) з1п 90° = 1~- С
(в пределе при г -> 0 функция ^1 (%г) заменяется первым членом
степенного ряда (П6.10) %г/2).
Для вращающейся волны Нп с А (ос) = О.е~1а, как легко убе-
убедиться, в правую часть равенства F5.14а) надо ввести коэффициент 2.
Вычислим мощность волны' Е01. Взяв формулы F3.2) и F5.9)
(А (па) = С), пишем:
К 2л
«2л Во1
ее ст* -
Принимая во внимание, что ^0 (В01) = 0, на основании формулы
(П6.20) получаем
р = яСГ'В^УНВя) = пОТЩЧ\ (Во1)
2Е4 2В%Е
393

Аналогично в случае волны Нт (А (па) — С)
ЯЛ 2Л
Г2 (
Поскольку /о (^01) = 0 (т. е. ввиду (П6.17) ^^ (Ао1) — 0), то,
согласно (П6.20),
В _ пС*ШнТЩ^1 (Ло1) _ я&УнТ*КЧ1 (Аа1) /бб 16)
2Х4 ~ 2А\Х ' У ' '
Теперь, как это делалось в случае прямоугольного волновода
(§ 64, п 4), рассмотрим затухание волн. Поскольку коэффициент
Гд находится по формулам, которые уже известны (§ 63, п. 2), то
по-прежнему предстоит учитывать только поглощение в металле.
Чтобы определить Г„ для основной волны Нп, вычислим сна-
сначала контурный интеграл в числителе F3.21). Пусть, как и ранее,
А (а) = С соз а; тогда
2л
а] К 0а -
Интеграл в знаменателе F3.21) находим, привлекая готовый резуль-
результат F5.14):
51
Таким образом,
1
м Шн /Г\2Л2П
\ XI *
Для волны Е(
394
(гK л
1
2 "
'п
I
Г/XV, 1
5[\ к } Л?! —1
в
г
к
9 \( ^
5| \3 413/?
Р#1/ 1
/нвд,
■)*+ 0.418]
( ^ J
' F5.17

так что с учетом F5.15) на основании F3.21)
Для волны Н
/-(к
Я, \2
F5.18)
612/?/
01
= $ т
Ь1
и ввиду F5.16)
■р» —^ ол
F5.19)
Полученные формулы F5.17) и F5.18) качественно сходны с
формулой F4.17). И действительно, представленные на рис. 65.6, а, б
кривые зависимости Г„ (/) для волн
круглого волновода Я,, и Ео1
напоминают аналогичный график
для основной волны волновода
прямоугольного (рис. 64.7). Совер-
Совершенно иной характер имеет за-
зависимость Г^ (/) для волны круг-
круглого волновода Яо1 (рис. 65.6, в).
С ростом частоты числитель F5.19)
стремится к нулю при / -> оо,
и коэффициент затухания Г„ не-
неограниченно уменьшается. Объяс-
Объяснение /этой закономерности содер-
содержится в замечании, сделанном в
конце п. 2. В самом деле, раз поле
и ток на оболочке волновода для
волн Нот при %1Н -> 0 исчезают, то
прекращается и поглощение энер-
энергии, переносимой по волноводу.
5. Заключение. На рис. 65.7
представлены картины токов в
оболочке волновода для волн Яп,
Е01 и Яо1. В первом случае за-
заметно сходство с картиной тока основной волны прямоугольного
волновода (рис. 64.8). Волне Е01 сопутствует чистр продольный
ток, а волне Яо1 — чисто поперечный (азимутальный). В- послед-
последнем случае оболочка не несет заряда.
Каждая из волн круглого волновода, как отмечалось в п. 1,
является двукратно вырожденной. Так, например, говоря о невра-
щающейся основной волне, следует иметь в виду две ортогонально
ориентированные структуры, показанные на рис. 65.8. Этот тип
вырождения, связанный с аксиальной симметрией системы, при-
присущ как идеализированному волноводу, так и реальному (с конеч-
395

ной проводимостью оболочки). Ввиду равенства В1т = Аот для
всех т попарно вырождены также волны идеализированного волно-
волновода Е1т и Нот. Соответствующие им волны реального металлического
Рис. 65.7.
волновода имеют лишь незначительные структурные отличия и хотя
уже не равные, но весьма близкие постоянные распространения.
Практически создать условия для распространения одной волны
Яо1 и таким путем реализовать передачу энергии с очень малым
поглощением (п. 4) чрезвычайно трудно.
Заметим, что в волноводе с неидеально проводящей оболочкой
азимутально однородные волны ЕОгп и Нот сохраняются (при пере'
Рис. 65.8.
ходе к конечному 0 вместо них не появляются волны НЕ и ЕН).
Например, волна Яо1, создающая в оболочке азимутальный ток,
приобретает электрическую компоненту Еа, но не Ег. Однако
лишь при очень небольших деформациях волновода эта волна,
можно сказать, не вступает в энергетическую связь с полями дру-
других типов (в особенности с волной Еп).
396

§ 66. Различные системы с однородным диэлектриком
1. Односвязные волноводы. Прямоугольный и круглый волноводы
(§§ 64, 65) — важнейшие среди направляющих систем типа метал-
металлической трубы. На рис. 66, 1, а, б, в, г показано несколько видов
а)
б)
в)
г)
Рис. 66.1.
поперечного сечения полых волноводов, для которых решение за-
задач F2.8) и F2.12) по-прежнему может быть получено в замкнутой
форме методом разделения переменных. Для секториальных об-
областей (рис. 66.1, а, б) такие задачи решены в приложении 7, п. 3, и
читатель может развить теорию соответствующих волноводов,
повторяя применявшуюся схему. Для треугольного поперечного
сечения (рис. 66.1, в) задачи F2.8) и F2.12) решаются в декартовых
координатах, а для эллиптического (рис. 66.1, г) — в эллиптиче-
эллиптических координатах. Пока сечение остается выпуклым, общий характер
строения полей и передачи энергии сохраняется; на рис. 66.1 по-
показаны некоторые картины силовых линий.
К /а Ь'/Ь-О,1
1 а'/а
б)
Рис. 66.2.
Волноводы вогнутого поперечного сечения, например так
называемые П-образный и Н-образный (рис. 66.2, а), могут иметь
весьма низкие критические частоты /кр (высокие Я,кр). При этом
электрическое поле основного типа сосредоточено в узком зазоре,
а магнитное имеет относительно малую продольную компоненту,
так что волна близка к типу ТЕМ. Некоторые зависимости для
Н-образного волновода качественно представлены на рис. 66.2, б.
Можно показать, что среди Е- и Я-волн любого полого волно-
волновода низшим поперечным волновым числом обязательно обладает
397

//-волна:
F6.1)
Таким образом, односвязному полому волноводу свойственна ос-
основная //-волна.
Простейшей открытой односвязной системой является однопро-
водная линия. В принципе в однопроводной линии из идеального
проводника возможна волна ТЕМ. Напряженности поля Е и Н
должны быть при этом распределены в поперечном сечении так же,
как и в случае стационарных полей (§62, п. 1). Учитывая соотноше-
соотношение Ёт и Йт F2.6), на основании B4.1) и F2.1) пишем:
И — п. ^О-
F6.2)
при г
(рис. 66.3); для провода в вакууме ЧР = №0> к = кои,
вычисляя переносимую волной энергию,
при помощи F3.2) находим
2л
- оо
при /т^0, F6.3)
т. е. при любом конечном токе в про-
проводе средняя мощность оказывается
бесконечной. Конечная же мощность
соответствует исчезающе малому току, а
Рис. 66.3. следовательно, и полю. Рассмотренная
волна поэтому физически немыслима; с
этой точки зрения ее можно сравнить с однородной ТЕМ-волной
(§§ 32, 33), также физически нереализуемой.
Позднее (§ 68) будет показано, что учет конечной проводимости
металла реальной однопроводной линии меняет дело, но при этом
существенна неоднородность среды, передающей энергию.
2. Двусвязные и многосвязные системы. Такие двусвязные и
многосвязные системы, как коаксиальная линия, двухпроводная
линия и др., интересны главным образом своей способностью
направлять ТЕМ-волны.
Взяв систему двух проводников произвольного типа при от-
отсутствии поглощения, покажем, что для 77?М-волны уравнения
Максвелла приводят к так называемым «телеграфным уравнениям»
относительно напряжения и тока в линии.
Электрическое поле 77?М-волны в каждой поперечной плоскости
системы г = сопз! потенциально, ибо подобно полю электроста-
электростатическому (§62, п. 1). Поэтому можно ввести понятие разности по-
потенциалов, или напряжения между проводниками А и В направля-
направляющей системы в данной поперечной плоскости
(В)
и= \ ЕсП F6.4)
(А)
398

(начало и конец пути интегрирования лежат на разных проводниках
при г = сопз!); как известно, интеграл F6.4) не зависит от пути
интегрирования.
а)
Ш+йг)
В двух поперечных плоскостях г и г + А г (рис. 66.4, а) про-
проведем пути интегрирования от Л до В и вычислим напряжения
С/(г)и(/(г + Дг) по формуле F6.4):
(А/) (Р)
У(г)= ^ Ей1 и Ц(г + Аг)= \Ей1.
(М) (<?)
В то же время
(А/) (Р)
ф Е01=— \ ЕШ+ \ Ей1,
(ым<)Р) (к) «?)
поскольку на проводниках (участки пути ЫР и (}М) Ех = 0.
Следовательно,
Взяв второе уравнение Максвелла B.3), имеем, таким образом:
399

где 5 — поверхность, ограниченная контуром ИМС[Р и А Ф —
магнитный поток через нее. В пределе при А г -> О
<Ш_ _ _ ±0Ф^
йг ~ йг йг "
Если X'— индуктивность, приходящаяся на единицу длины системы
(величина, определяемая для стационарного поля, § 25, п. 2), то
д.Ф1д.г =%'I, и мы получаем
-&=-х ъ- F6-5)
Это и есть одно из «телеграфных уравнений».
Второе уравнение находится следующим образом. На плоскос-
плоскостях г и г + А г, как на основаниях, построим цилиндр, охватываю-
охватывающий один из проводников (рис. 66.4, б). Площади оснований обозна-
обозначим 8 (г) и 5 (г + А г), а боковую поверхность цилиндра — 5.
Возьмем первое уравнение Максвелла B.8). Применяя его к основа-
основаниям цилиндра, имеем
ф 1(г) и ф Нс11=1(г
Цг) ' М2.+ А2)
где Ь (г) и Ь (г + А г) — контуры оснований цилиндра 5 (г) и
5 (г + А г); ток смещения отсутствует, так как вектор Б лежит
параллельно основаниям (поле ТЕМ не имеет продольной электри-
электрической компоненты). В то же время
ф Нс11- § НМ = §НМ,
Цг) Цг + Аг) 1
где Ъ — контур боковой поверхности цилиндра 5. Поэтому
& Нс!1 = 1(г)-1(г + Аг) = — ^Дг + ...
Теперь, согласно уравнению Максвелла B.8) и теореме Гаусса C.4),
где А ц — заряд проводника на участке А г (ток проводимости
через боковую поверхность 5, естественно, отсутствует). Поэтому
в пределе при А г -* О
<и _ _ а_ йц
йг ~ й1йг'
Пусть С — емкость, приходящаяся на единицу длины системы
(она определяется при решении электростатической задачи, § 17, п. 5).
Тогда д.ц1д.г = С'О. Следовательно,
F6.6)
Это второе «телеграфное уравнение».
400

Перейдем к рассмотрению гармонической ТЕМ-волны, когда
поля, а следовательно, также напряжения и токи изменяются по
закону соз (со^ — кг — ф). Внося в телеграфные уравнения F6.5) и
F6.6) комплексные представления тока и напряжения / =
= 1те'(**-кг-^ = 1теш и 0 = ите!(ы~кг-<*"'> = 0теш, получаем
F6.7)
Отсюда сразу же находится выражение волнового числа к = со/
через параметры двухсвязной системы X' и С:
F6.8)
Это значит, что вообще имеет место соотношение
ец = Х'С, F6.9)
поэтому, например, фазовая скорость 77?М-волны V = 1/
есть также
"=77^- F6-Ю)
Далее из F6.7) можно найти отношение От и /т, которое оказыва-
оказывается равным
F6.11)
Это волновое сопротивление, рассматриваемое в теории длинных
линий (речь идет об известном читателю разделе теории цепей).
Поскольку й^л — величина вещественная, ток и напряжение бе-
бегущей ТЕМ-волаы находятся в фазе (начальные фазы ф/ и фу,
выбранные ранее, совпадают).
Естественно, что И?л и введенное ранее волновое сопротивление
И? F2.6) — различные величины. Последняя равна Уц/г для
любой 77Ш-волны (при отсутствии поглощения). Что касается \РЯ,
то это волновое сопротивление существенно зависит от вида направ-
направляющей системы. Согласно предыдущему
Ей1
___ F6.12)
В заключение запишем выражения величин X' и С, вытекающие
из F6.11) и F6.10):
<0 Г ТТ/7 1 /~ "Л /^*' г Е1А 1 /ОО 1 О\
X =1Ул1/8ц = —- и С = -==— = -™— . (ЬЬ. 1о)
Л Л
Таким образом, параметры X' и С, определяемые из задач о ста-
стационарных полях, можно найти также, зная И?л и у; однако для
401

получения №л, согласно F6.12), в свою очередь нужно знать на-
напряженности Е и Н поля 77: М-волны в данной системе.
Уместна, наконец, оговорка относительно определения X' из
задачи о постоянном токе. Проводник направляющей системы счи-
считался идеальным @ -> оо), так что подобное стационарному маг-
магнитное поле волны ТЕМ внутри него отсутствует, а ток является
поверхностным. Постоянный ток при нахождении X' надо поэтому
также брать поверхностным.
3. 7'ЕМ-волна коаксиальной линии. Коаксиальная линия яв-
является технически важной и просто анализируемой двухсвязной
системой. Полагая проводник идеальным, мы должны рассмотреть
Е-, Н- и 77Ш-ВОЛНЫ этой системы:
Начнем с 77Ш-волны. Ее магнитное поле имеет то же строение,
что и поле коаксиального кабеля с постоянным током (§ 24, п. 1),
а электрическое — как поле
коаксиального конденсатора
(§ 17, п. 6), отношение же Ёт и
Нт есть #. Поэтому комплекс-
комплексные амплитуды поля 77Ш-волны
имеют вид
п-2,,-1
К,* 1,35 см
Кг=3,65см
р —
т —
■ 1т. е-Ф
2яг
, ^р—гУ
1 2яг
F6.14)
(К.1 «^ г «^ Я.2)- Эти выражения
отличаются от полученных в
О 02 0,40,6 0,8 1 1,2 1,4 1~б 1,8 2-г-1Одги п. 1 при рассмотрении однопро-
водной линии только областью
существования поля (рис. 66.5),
Рис. 66.5.
теперь ограниченной.
Вычислим комплексную амплитуду напряжения между провод-
проводниками; на основании F6.4)
F6.15)
и волновое сопротивление
которое, в отличие от предыдущего, комплексно, так как диэлек-
диэлектрик взят поглощающим. Для линии, заполненной газом (напри-
(например, воздухом), внутренняя среда практически не отличается от
вакуума по своим электродинамическим характеристикам (Ф =
= №=120 л), так что
Гл==601п%. F6.16а)
*1
402

Формулу F6.16) можно получить также на основании F6.11),
взяв %' и С из решений соответствующих стационарных задач
при области существования поля 9.г <; г <; ^2 (разумеется, в этих
задачах е и ц вещественны). Действительно, согласно A7.17) и
B5.26),
и корень их отношения дает нужный результат. Аналогичная про-
проверка показывает, что выполняется соотношение F6.10).
Вычисляя мощность' 77Ш-волны, на основании F3.1) находим
2 2л
1 ^
= Ке#^1п^ = Ке^л-|?. F6.18)
Затухание 77Ш-волны в результате поглощения в диэлектрике
находится по общей формуле F3.6). Для учета поглощения в ме-
металле применим энергетический метод, как это делалось в случаях
прямоугольного и круглого волноводов. При подстановке в F3.21)
'К
2/
получаем
Г; = *'"'+*■> . - F6.19)
., 1п ^
Коэффициент затухания Г", зависит от частоты через <э%5; на рис.
66.5 показан пример такой зависимости. Необходимо иметь в виду,
что данные достоверны только в области сильного скин-эффекта
(Д° ^ ^х), и потому при малых частотах не имеют смысла.
Выражение F6.19) можно найти и иным путем, внося в энерге-
энергетическую формулу F3.12) Р из F6.18) при №,, = №л, а рп опреде-
определяя как Рт (е^;+е^)/2, где -М\ и <М'^— отнесенные к единице длины
сопротивления внутреннего и внешнего проводников; согласно
D0.20)
и
И
&*1 - 2я/?1Д»а ~ 2я/?! И в/Н~ 2я/?2Д»а ~ 2я/?2
(сильный скин-эффект). Физическое содержание такого вывода,
403

разумеется, остается прежним. Читателю предлагается распро-
распространить его на случай, когда внутренний и внешний проводники
коаксиальной линии различны @ = 0, и 0 = 02).
4. Заключение. Высшие волны коаксиальной линии. Как во
всех двухсвязных и многосвязных системах с 77Ш-волнами, ТЕМ-
волна коаксиальной линии выступает в качестве основной: она
может. распространяться при отсечке высших волн всех типов.
Основная волна реальной металлической линии, имея (хотя и весьма
малую) продольную электрическую компоненту, строго говоря,
является волной Е, а не ТЕМ.
Заметим, что открытые и замкнутые системы из двух провод-
проводников, рассматривавшиеся в п. 3 идентично, все же различаются
тем, что в случае первых задача электростатики имеет решение и
при равных потенциалах обоих проводников. Поэтому мыслима
соответствующая 77Ш-волна, которая подобна волне однопровод-
ной линии (п. 1); при 0 -*■ оо она также физически нереальна.
Такую 77Ш-волну называют синфазной, поскольку ей соответствуют
одинаково направленные токи обоих проводников; волны, рассмот-
рассмотренные в пп. 2, 3, противофазные (токи направлены противоположно).
Противофазная волна системы из двух проводников вполне оп-
определяется разностью комплексных амплитуд потенциалов провод-
проводников в заданном поперечном сечении ф1ш — ф2т = Ф12; соответ-
соответствующее электрическое поле обозначим Е{ФХ^. Если известна
некоторая векторная функция Е A), то для любой 77Ш-волны
Е (Ф12) = сЕ A), где с — постоянный коэффициент: существует
лишь один тип противофазной 77Ш-волны.
Пусть далее имеется какая-то направляющая система из трех
проводников (рис. 62.1, в, 62.2, в). Если в ней распространяется
77Ш-волна, то подобно предыдущему проводники характеризу-
характеризуются амплитудами потенциалов ф1т, ф2т и фзт. При этом поле
вполне определяется двумя разностями Ф12 = ф1т — ф2т и Ф23 =
= Ф2СТ — Фзт (разность фш —фа™ есть Ф12 + Ф23). Поэтому для
электрического поля произвольной 77Ш-волны введем обозначение
Е (Ф12, Ф23)- Имея векторные функции ЕA, 0) и Е @, 1), можно
построить любую 77Ш-волну, взяв линейную комбинацию Е (Ф12,
Фгз) = сгЕ A, 0) + с2Е @, 1), а это значит, что возможны две
независимые 77Ш-волны, не считая синфазной (в открытой системе),
для которой ф1т = ф2т = фзт.
Сделаем, наконец, замечание о высших типах полей коаксиаль-
коаксиальной линии, полагая, проводник идеальным @ -> оо). Соответствую-
Соответствующие задачи F2.8) и F2.12) решены в приложении 7, п. 3. Так,
компоненты Шг Е-полей имеют вид (П7.20), а компоненты яЖг //-по-
//-полей — вид (П7.27). Поперечные волновые числа — корни уравне-
уравнений (П7.21) и (П7.28) соответственно. По известной схеме читатель
может выписать все компоненты полей. Строение некоторых про-
простейших полей показано на рис. 66.6. Корни трансцендентных
уравнений (П7.21) и (П7.28) приводятся в справочниках (например,
1Л.З]). Низшая волна Ни напоминает такую же волну круглого
404

волновода. Когда размеры #х и #2 относительно близки, Х"р' я»
^ я (^х + ^2), т. е. отсечка происходит при средней длине ок-
окружности около длины волны к. Если к > Я,^р", то в коаксиальной
линии может распространять только 7\ЕМ-волна.
§ 67. Системы с неоднородной средой
1. Открытая цилиндрическая система. Общее решение. Бу-
Будем рассматривать область в виде бесконечного однородного кру-
кругового цилиндра, расположенного в однородной среде с иными
свойствами (поперечное сечение системы представлено на рис. 67.1);
система в целом поперечно неоднородна. В зависимости от того,
каковы свойства каждой из сред, рассматриваемая система про-
проявляет различные особенности. Напри-
Например, если внешняя среда — металл, а
внутренняя — диэлектрик, мы имеем
полый волновод, а при обратном соот-
соотношении — ■ однопроводную линию; если
внутренняя среда является более плот-
плотным диэлектриком в сравнении с внеш-
внешней, получаем диэлектрический вол-
волновод.
Выразим решение уравнений электро-
электродинамики для исследуемой системы
в виде наиболее общего типа направляе-
направляемой волны, имеющей как электрическую,
так и магнитную продольные компоненты
Функции Шг и е%*г являются решениями скалярных уравнений
Гельмгольца, получаемых проектированием F1.4) и F1.5) на ось
г, и их можно сразу выписать (с должной степенью неопределен-
неопределенности), опираясь на общую форму решения из приложения 7,
п. 3. Возьмем Шг и <М\ в таком виде:
Рис. 67.1.
= С2<7„
(па —1|>) при
F7.1)
Щг = СхНп' {%2г) соз па, &г г = С%Н^' (х2/") С08 (па —
причем на основании F1.3)
при
«,2 Да рг и V2 Ьг Г2 1РП 9^
ГДе ^1 ^ Ш^!^! \\ к\ = Ш282(Д,2.
Запись F7.1) требует некоторых пояснений. Выбор при г ^ ^
радиальной зависимости У„ (^г) (В = 0 в (П7.17)) соответствует
требованию ограниченности решения при г = 0 (см. приложение
6, п. 1). Выбор зависимости Н„ (Ъг) ПРИ г Ж (Р = 0 в (П7.17))
отвечает условию (П6.9); при Р ф 0 для поглощающей среды мы
406

имели бы решение, неограниченно возрастающее в бесконечности.
Азимутальная зависимость в F7.1) описывает какую-то фиксирован-
фиксированную ориентацию поля (ср. § 66, п. 1); азимутальный сдвиг лр рас-
распределений Шг и а%"г пока неизвестен. Идентичность азимутальной
зависимости в обеих средах следует из требования непрерывности
на границе раздела; из этих соображений далее имеем
Шг и
г —
Из F7.2) следует:
F7-4)
Исходя из F7,1), выразим поперечные зависимости всех ком-
компонент векторов поля при помощи формул F1.9).
При /■</?
Шг= — /(?! ^- ^п (ъг) соз па + /Са^1 ^п (ж) 81П(па - 1|з),
81П
XI
СО8 («а — ц),
г = - /Сх 2^ У„ (ъг) 8Ш яа - /С2 -^ ^ (зьг) сох («а - ф),
%\г _ XI
в = - гСх^у; (^Г)соз«а + 1С2~ ^п (^г) &т (па-^);
XI %1Г
при /■>./?
Хг
СОЗ па —
- С2 Ч~ Щ (%2г) 8ш («а -
F7.5)
407

Требуя непрерывности тангенциальных компонент векторов
Е и Н на границе раздела сред, приравниваем оба выражения
Ша и вЖ'а при г= В.. Это дает:
и
(йС, С05 ,
\х? XI
= соС2 соз („ос - Ю [- | /„
Г- ^ У; &
I XI
Хг Н
= С2 8Ш(«а- ,0
)
\Л1 Хз/
Записанные равенства могут быть выполнены только при идентич-
идентичной азимутальной зависимости в их левых и правых частях, что
ведет к требованию: ф = 90°.
После простых преобразований с учетом F7.4) записываем:
Х1А (Ь/
<082 Х1Х2
Наконец, из F7.6) и F7.7) можно исключить амплитудные коэффи-
коэффициенты С1 и С2, в результате чего возникает следующее трансцен-
трансцендентное уравнение относительно поперечных волновых чисел %г
и %2< рассматриваемое совместно с F7.4):
х!х! \*1
2. Диэлектрический волновод. Прежде всего используем полу-
полученные результаты для рассмотрения направляющей системы в
виде диэлектрического цилиндра, находящегося в оптически менее
плотной среде (обычно это воздух).
Как показывают формулы F7.5), в общем случае поле диэлек-
диэлектрического волновода нельзя отнести ни к классу Е, ни к классу Н.
Однако, например, сопоставление выражений компонент векто-
векторов Ш и <$?при г <С К с формулами для полого волновода F5.4) и
F5.9) приводит к выводу, что речкидет как бы о комбинациях зна-
знакомых Е- и Я-полей.
Ш^СМВЛ-СМН, 3% = С1&Е+С2%". F7.9)
Впрочем, возможны также чистые Е- и Я-поля. Полагая в
F7.8) п = 0, т. е. рассматривая поля азимутально однородные,
408

мы обращаем в нуль левую часть этого трансцендентного уравне-
уравнения. Это значит, что равно нулю одно из выражений в квадратных
скобках справа. Пусть, например, выбор остановлен на первом
множителе в квадратных скобках. Из его равенства нулю следует
уничтожение правой части равенства F7.6), откуда Сх = 0, а сле-
следовательно, азимутально однородное поле относится к классу Н.
Если же равен нулю второй множитель справа в F7.8), то вместе
с ним уничтожается и правая часть равенства F7.7); в этом случае
С2 = 0, и мы имеем поле Е. Итак, азимутально однородные поля
диэлектрического волновода — это либо Я-поля, либо /?-поля.
Для азимутально однородных полей (п — 0) уравнение F7.8)
«распадается» на два более простых, соответствующих уничтожению
одного из множителей справа. Запишем их после небольших пре-
преобразований с учетом соотношения (П6.17):
<67Л0>
Как видно, при равенстве отношений (д,2/^1 ='в2/в1 оба уравнения
совпадают, так что азимутально однородные Е- и Я-поля окажутся
в этих условиях вырожденными.
Характер распространения волн в диэлектрическом волноводе
уже обсуждался в § 39, п. 4 на простом модельном примере. Анало-
Аналогичные закономерности можно проследить теперь в случае диэлек-
диэлектрического стержня. Остановимся на исследовании азимутально од-
однородных /?-волн при отсутствии поглощения FХ = еь цг = цг и
ё2 = е2, (д,2 = (д,2, т. е. к\ — кх и к2 = к2). Пусть поперечное вол-
волновое число 5A вещественно, а потому вещественна левая часть урав-
уравнения F7.11); чтобы последнее могло иметь решение, число %2 долж-
должно быть чисто мнимым, так как только при этом будет вещественна
правая часть (читателю рекомендуется сделать соответствующую
проверку при помощи формулы (П6.8) для цилиндра бесконечного
радиуса). Поскольку %\ > 0 и %\ < 0, то, согласно F7.2),
к\>Т*>к\ F7.12)
(ср. C9.24)), т. е. волны, будучи быстрыми по отношению к внут-
внутренности стержня, для внешней среды являются медленными. В
силу мнимости 5С2 (при должном знаке: %2 = — *'{}, Р > 0) функции
Ханкеля второго рода в F7.5) выражают поверхностный характер
этих волн.
На рис. 67.2 качественно представлена зависимость модуля
левой части уравнения F7.11) от своего аргумента 5а#- Кривая
образует ряд ветвей, начинающихся в точках на оси абсцисс, для
409

которых равен нулю числитель ^0 (ХгК), и асимптотически касаю-
касающихся вертикальных прямых, соответствующих обращению в нуль
знаменателя ^1 (х^)- Первая ветвь лежит, таким образом, в
°12
913
0 1 2\ 3 4 5 \В 7 8 \9 10 11 ■ \/2 13 %,Н
°О2
Рис.- 67.2.
°03
°О4
области значений аргумента В01<х1К < Вп, т. е. 2,405
< 3,832, а вообще для произвольной ветви
ВОт<%1К<В1т. "
F7.13)
В таких пределах и находятся корни уравнения F7.11). Каждый
корень можно найти графически по пересечению кривых, изобра-
изображающих функции в левой и правой
частях F7.11); это показано на
рис. 67.3.
Убедимся, что поверхность ди-
диэлектрического цилиндра прояв-
проявляет себя как индуктивная импе-
дансная поверхность, т. е. в соот-
соотношении типа F2.30), которое
имеет вид
Ёт(Я) = %а[йт(К), —Го]
F7.14)
будет ^5 == 1^8, ^5>О- Используя
F7.1) и F7.5), имеем
_Ётг .%^
%^^0
Рис 67 з. Требуемое соотношение выполняет-
выполняется, поскольку в областях аргу-
аргумента F7.13) функции ^1 (эA#) и ^0 (ХгЮ имеют разные знаки, что
нетрудно понять из рис. П6.1.
Степень концентрации передаваемой энергии диэлектрическим
стержнем (быстрота убывания поля в радиальном направлении вне
волновода) прямо зависит от величины %а = — /§. Чем меньше р,
410

тем убывание поля слабее. Критической частотой для волны диэлек-
диэлектрического волновода следует считать такую, при которой & обра-
обращается в нуль:
2С2(ш) = О при ш=шкр. F7.15)
При этом из F7.2) и F7.11) имеем
т. е. при ш = шкр аргумент %х/? равен ВОт. Равенство F7.4) при
ш — шкр Дает {Вт1ИJ = ©кр (б1(д,1 — е2(д,2), т. е.
F7.17)
(ср. с C9.31)). При критической частоте стержень не концентри-
концентрирует энергии; отсутствует и замедление: согласно первой строчке
F7.16)
оф(ш) = -7== при ш = шкр. -F7.18)
Во внешней среде мы имеем распространяющуюся вдоль направле-
направления стержня 77?М-волну, доля энергии внутри него исчезающе
мала. Для пояснения сущности процесса можно опять привлечь
уже обсуждавшееся построение на рис. 39.9: волна данного типа
разрушилась, так как при ш = шкр на границе стержня перестало
выполняться условие полного отражения для составляющих ее
внутренних парциальных волн.
Все рассуждения непосредственно относились к азимутально
однородным /^-волнам; они почти без изменений переносятся и на
азимутально однородные //-волны, поскольку различия уравне-
уравнений F7.10) и F7.11) несущественны. Что касается всех прочих волн
диэлектрического волновода, имеющих продольные компоненты обоих
векторов поля, то их анализ уже более сложен, но общие законо-
закономерности распространения сходны. Исключение составляет основ-
основная волна диэлектрического волновода ЕНп (п = 1 в F7.8); низ-
низший корень), критическая частота которой оказывается равной
нулю. Ни при какой частоте волна не подвергается описанному ра-
ранее разрушению, что, однако, не означает, что диэлектрический
волновод остается способным канализировать энергию при сколь
угодно низких частотах.
С уменьшением частоты все меньшая доля энергии распростра-
распространяется внутри стержня, что иллюстрируется графиком на
рис. 67.4, а; на рис. 67.4, б представлены зависимости фазовой ско-
скорости волны ЕНп от плотности и толщины стержня.
Строение поля ЕНп волны вне волновода по мере уменьшения
частоты все более приближается к простейшему типу волны сво-
свободного пространства — однородной 77Ш-волне, изучавшейся в
411

§§ 32, 33. Стержень как бы возмущает уже существующую одно-
однородную ТЕМ-волну. Разумеется, при выполнении условия квази-
квазистационарности (^ <^ Кг) поле внутри стержня легко найти, исходя
0,8
0,6
0,4
0,2
-
\ч___
ч^_
ч
111!
0,1 0,2 0,3 0,4
0,5 0,6
а)
0,7
е,/ег*2
е,/е2~5
е,/е2*10
е,/е2*30
0,8 0,9 1
р1/ре еь
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Й/К2
б)
Рис. 67.4.
из знания невозмущенной 77Ш-волны. Пусть для нее Ёт =
е-'*«г и Нт — у0-—е-'1к*г. Тогда внутри диэлектрического
1^2
2А.
цилиндра
Этот результат получен путем непосредственного обобщения фор-
формул B0.19) и B1.8), ср. § 50, п. 4.
3. Диэлектрический волновод с идеально проводящим стержнем.
Предыдущее рассмотрение легко распространить на тот случай,
когда внутри диэлектрического цилиндра коаксиально располо-
412

жен стержень идеально проводящий. Это образ используемой в
технике однопроводной линии, направляющей поверхностную
волну (ее называют иногда линией Губо).
В данном случае в области 0 ^ г <; ^х (рис. 67.5, а) поле от-
отсутствует. Представляя Шг в слое ^^г< ^2> мы Уже не можем,
как в F7.1), отбросить в (П7.17) функцию Неймана и должны на-
написать: #
«, = [«V» {.ЪГ) + С2ип (Ы1 соз па, /?! < г «г Яа,
но соотношение коэффициентов Сх и С2 немедленно находится из
требования Шг = О при г = /?х:
Поэтому вместо F7.1) имеем
соз па,
и далее
Здесь учтено, что при г = Кг должно выполняться граничное ус-
условие дНг1дг = 0, а также принято во внимание, что г|з = 90° (теперь
это легко предвидеть, см. п. 1).
Дальнейшие действия должны повторять выкладки из п. 1 с
той лишь разницей, что функции Бесселя из F7.1) заменяются ком-
комбинациями^ цилиндрических функций из первых строчек F7.19),
F7.20). Таким путем читатель легко получит вместо формул F7.3),
F7.5), F7.6) и F7.7) аналогичные, которые, правда, будут зани-
занимать больше места. Ограничимся записью трансцендентного урав-
уравнения, соответствующего F7.8):
X
X
"
F7.21)
413

В случае азймутально однородных полей (п = 0) это уравнение
также распадается на два, одно из которых отвечает Я-волнам,
а другое — ^-волнам. Последнее получается путем приравнивания
нулю величины во второй квадратной скобке F7.21); после простых
преобразований
(ср. F7.11)). Наибольший интерес представляет низшая азйму-
азймутально однородная /?-волна, обозначаемая Ем; она не имеет крити-
критической частоты (шкр = 0) и может рассматриваться как возмущен-
возмущенная диэлектрическим слоем основная волна однопроводной линии
(§ 66, п. 1).
Полагая в F7.19) п = 0 и пользуясь фор мулами F1.10), выра-
выразим комплексные амплитуды векторов Е и //азймутально однород-
однородной /?-волны вне диэлектрического слоя
. F7.23)
Строение поля Еоо схематически представлено на рис. 67.5, б.
а)
Рис. 67.5.
Разумеется, как и в случае обычного диэлектрического волно-
волновода (п. 2), для распространяющихся волн при отсутствии погло-
поглощения *%1 >0 и зс| <0 (зся — — Ф> Р > °)"> постоянная распростра:
нения лежит в пределах, указанных соотношением F7.12). Взяв
формулу F7.15), нетрудно показать, что внешняя поверхность ди-
диэлектрика обладает индуктивным импедансом; это предоставляется
читателю.
414

4. Заключение. Исследование аксиально симметричных сис-
систем будет продолжено ниже в § 68; при этом мы рассмотрим случаи,
когда в одной из областей среда является реальным проводником.
В заключение же предыдущего остановимся еще на нескольких
примерах систем с неоднородным диэлектриком.
Пусть в круглый волновод, оболочку которого считаем иде-
идеально проводящей, внесен коаксиальный диэлектрический цилиндр
У, Щ/////////////Л
О У//////////////////Л
1 %г
о у///////////////////,
г)
ОН!)
д)
Рис. 67.6.
(рис. 67.6, а). Такая система легко анализируется прежним .мето-
.методом (п. 1). Функции $г и <Жг имеют вид
сок па,
F7.24)
(ср. F7.1) и F7.19), F7.20)). Нахождение поля и вывод трансцен-
трансцендентного уравнения для поперечных волновых чисел предлагается
в качестве упражнения. Отметим, что, как и ранее, все волны, за
исключением азимутально однородных будут иметь и электрическую,
и магнитную продольные компоненты. Эти волны делятся на ЕН и
НЕ. Первые трансформируются в Я-волны, а вторые — в .Е-волны

круглого волновода при переходе к однородной среде (т. е. при
#х -> 0 или к\ -> к2).
Перейдем к примеру прямоугольного волновода с двухслойной
диэлектрической средой (рис. 67.6, б). Задача очень проста. Огра-
Ограничиваясь случаем Я-полей, зависящих только от координаты х,
пишем:
1С1СОЗУ1Л:, 0<Сх^с1,
. F7.26)
2(я — х), й^<
(удовлетворяется граничное условие д<Ж'г/дх = 0 при х = 0 и х =
= а, ср. § 64, п. 2). Из условия непрерывности продольной компо-
компоненты вектора Н на границе раздела сред (х = к) имеем
Сх соз %гс1 = С2 соз %2 (а — й).
По формулам F1.11) получаем
Ет =
-У0С1
Ъ
о < х <; й,
F7.27)
F7.28а)
.г . (Г . . 1 ..
^ XI -1
• Г «г • 1
С2 г0 соз х2 (а — х) — х0 — 81П Ъ (а — *) К~ггг > ^ < * < а-
I- Хг ^
Приравнивая на границе раздела сред тангенциальные компоненты
вектора Е, пишем
- Сх ^-зшх^= С2Эзш ь(а -Л) F7.29)
XI Х2
и теперь из F7.27), F7.29) находим следующее уравнение относи-
относительно поперечных волновых чисел:
XI
Х2
(а-«0 = 0.
F7.30)
Числа %1 и %2> подчиненные, как и ранее, равенствам F7.2), связаны
соотношением F7.4).
Читателю рекомендуются следующие упражнения: а) задавшись
свойствами сред и относительными размерами областей, найти не-
несколько решений уравнения F7.30) графически и исследовать рас-
распределение поля; б) получить решение задачи, зависящее от х и у
(будут ли поля иметь электрическую и магнитную продольные ком-
компоненты?); в) рассмотреть трехслойную систему (рис. 67.6, в).
Следует подчеркнуть, что продемонстрированный в этом пара-
параграфе подход к решению задач о направляющих системах с неод-
416

нородными средами ' далеко не универсален. Он возможен, если
в поперечном еечении имеется несколько однородных областей,
к каждой из которых может быть применен метод разделения пере-
переменных, причем наложение условий на границах (как говорят,
«сшивание решений») реализуемо в замкнутой форме. За эти рамки
выходит, например, уже задача о прямоугольном волноводе с диэлек-
диэлектрическим стержнем типа рис. 67.6, г. При таких и более сложных
(«поперечно-нерегулярных», § 66, п. 1) конфигурациях могут ис-
использоваться проекционные методы, § 76, Приложение 8, п. 4,
[И. 3].
К направляющим системам с неоднородной средой относятся
и различные полосковые линии (рис. 67.6, е, ж), имеющие большое
значение в- технике. Практически используется основная волна
такой системы, которая была бы волной ТЕМ при однородном ди-
диэлектрике (и идеальном проводнике), но в силу влияния оптически
более плотной внутренней вставки оказывается замедленной по от-
отношению к внешней среде. Поле быстро убывает в поперечном на-
направлении вне вставки, в чем проявляется ее положительная роль.
§ 68. Действие реального проводника
1. Скин-эффект в цилиндрическом проводе. Сначала вернемся
к вопросу о поверхностном эффекте, ранее рассматривавшемся
в § 40. Теперь после анализа ряда направляющих систем, описывае-
описываемых в цилиндрических координатах (§§ 65—67), мы без труда рас-
рассмотрим проявление скин-эффекта в проводе. •
Пусть вдоль цилиндрического провода радиуса К течет перемен-
переменный ток. Полагая его распределение равномерным по азимуту
(д/да = 0), а также учитывая, что при конечной проводимости
среды току обязательно сопутствует продольное электрическое
поле, мы должны заключить, что в целом электромагнитное поле
будет иметь вид азимутально однородной Е-волны (§ 67, пп. 1—2),
так что
Электрическое поле имеет еще радиальную компоненту Ег (при
нулевом порядке функции Бесселя Еа = 0). Однако, взяв случай
относительно низких частот, когда ток можно считать неизменным
вдоль провода (д/дг = 0), и полагая соответственно Г = 0, из
F7.5) находим, что Ётг = 0; при этом также %г = кг. Такимобразом,
F8.1)
или
^ Fй.1а)
Уо (А]/?)
поскольку тангенциальная компонента вектора Ёт на поверхности
14 Электродинамика 417

провода, согласно F8.1), равна С/о (к\К). В силу C3.17) и D0.3)
для проводника
= 1-^, F8.2)
где Д° — параметр, имеющий смысл «глубины проникновения»
в случае плоской границы (§ 40, п. 1).
Полученная формула F8.1а) дает закон распределения поля
и плотности тока (/ = оЕ) внутри провода. Несколько кривых за-
зависимости
Ет(г) _/т(г)
показаны на рис. 68.1, а. Мы видим, что поверхностный эффект
проявляется все слабее по мере уменьшения \кЩ или #/Д° (]/2#/Д°=
а)
Рис. 68. К
= \к% |); он уже очень мал при 7? я« Д° (разумеется, надо помнить,
что Д° в рассматриваемой задаче не глубина проникновения, как
в § 40, а только условный параметр).
Путем интегрирования по поперечному сечению провода величины
]т = оЕт найдем комплексную амплитуду проходящего по нему
тока проводимости:
К 2л
Так как, согласно (П6.18),
418

то
1 F8-3)
Отношение
^' Ех к ^ (кК) ^,
есть не что иное, как сопротивление провода, отнесенное к единице
его длины.
Возьмем предельный случай, когда #/Д° -> оо (| Щ | -> оо),
т. е., можно сказать, исчезает относительная кривизна провод-
проводника. На основании (П6.5) при этом
■< (« -т)-' ('«
( т)_, ( Г
и далее
так как е-'(*я-л/4)_> д. Выражение й'F9.4) в пределе принимает вид
что совпадает с приближенной формулой D0.20), полученной при
выполнении условия сильного скин-эффекта D0.17).
Если же, наоборот, #/Д° <^ 1 (|/># | ^ 1) и скин-эффект весьма
слаб, то, используя разложение (П6.10), имеем
1 (Ш\2 1
2 V 2/ Т
^1(кК) к
В результате
* 1Г1^ЦЙ1 F8.6)
Ц+.
2 4Д»2
Первый член выражает сопротивление при отсутствии скин-эффекта,
т. е. при постоянном токе.
Зависимость Ш' = е%'+1&" от #/Д° иллюстрируется кривыми
на рис. 68.1, б, построенными по точной формуле F8.4). Все вели-
величины отнесены к их предельным значениям при постоянном токе
(ш -> 0). Сопротивление имеет индуктивный характер EС' > 0),
что нетрудно заметить и в предельных случаях, взяв формулы
F8.5) и F8.6). На рис. 68.1, б нанесена также кривая индуктивно-
индуктивности единицы длины провода %'; эта величина отнесена к получаемой
при постоянном токе по формуле B5.25) индуктивности Х\ = (д,/8я.
2. Однопроводная линия и круглый волновод. В § 66, п. 1 го-
говорилось об однопроводной линии в виде идеально проводящего
цилиндра. Возьмем теперь линию из реального проводника и рас-
14* 419

смотрим ее основную волну, которая, как это понятно, будет ази-
мутально однородной Е-волной. Привлекая трансцендентное урав-
уравнение F7.11), допустим, что постоянная распространения этой
волны весьма близка к волновому числу ТЕМ-волны во внешней
среде (случай идеального провода), т. е. Г«^ к2 (рис. 67.1). Тогда,
согласно F7.2), | %2 — весьма малая величина. Учитывая также,
что | &х | ^> \&2\, из F7.5) имеем: %г ^ кх. Это дает основание для
записи уравнения F7.11) в виде
(^ ^) Далее, поскольку речь идет о сильном скин-эф-
скин-эффекте, отношение бесселевых функций слева можно считать равным
( (см. выше п. 1), так что уравнение еще упрощается:
Как легко проверить, к этому уравнению можно прийти, отказав-
отказавшись от рассмотрения внутреннего поля (при г <; Я) и вместо
этого налагая на внешнее при г == 7? граничное условие Леонто-
вича (§ 40, п. 2), которое в данном случае превращается в отношение
^•тг (") __ гё?
Внося сюда получаемые из F7.1) и F7.5) с учетом F7.3) величины
и Нта(К)~{С1^Н[*(Ш, получаем
F8.8); заметим, что можно также использовать формулы F7.23).
Поскольку, как отмечалось, величина |%2| очень мала, то при
достаточно малом 7? функции Ханкеля справа в F8.8), почти не
отличающиеся от — гЛ^ (%2К) и — 1Л^ (%2К) соответственно (это
следует из Приложения 6, п. 1), можно представить при помощи
соотношений (П6.12). Таким путем получают уравнение х)
(М* 1п -Л- ^ шеД^. F8.9)
Не входя в методику его решения, рассмотрим известный из лите-
литературы пример. Медный провод диаметром 27? = 2 мм расположен
в воздухе (к2 = к0 = ш ]/гоцо), и частота составляет 109 гц (к^ =
= 30 см). Оказывается, что %2 — малая комплексная величина, и
определяемая по формуле Г = У/гЦ — %| постоянная распростра-
распространения равна: Г = к0 A,00006 — Ю.000064).
х) Уравнение такого типа было получено еще Зоммерфельдом (см.,например,
[А.З]) и неоднократно обсуждалось в современных курсах [В.2, 4].
420

Полученный результат не является неожиданным: распростра-
распространяющаяся вдоль провода основная волна — это медленная (Г' > к0)
волна, затухающая из-за поглощения в проводнике. Она близка
к волне ТЕМ идеально проводящей однопроводной линии, но в от-
отличие от этой волны представляет собой реальный физический объект:
интеграл типа F6.3) при 1т ф О уже не обратится в бесконечность,
поскольку в радиальном направлении поле убывает быстрее, чем
\1г (зависимость #Г (%2г)). Будучи медленной, волна имеет поверх-
поверхностный характер (§ 62, п. 4), что обусловлено индуктивным им-
импедансом границы металла (см. выше п. 1). В принципе волна отно-
относится к классу Е и по своему строению (вне провода) повторяет
уже известную структуру волны Еоо провода с диэлектрической
оболочкой (рис. 67.5, б); компоненты поля описываются формулами
F7.23). Но продольная компонента вектора Е в сравнении с попе-
поперечной чрезвычайно мала; действительно, согласно F7\23),
ЬЁ1ШЦ2 (г :>/?),
где следует учесть малость %2-
Заметим, что, принимая во внимание только что обсуждав-
обсуждавшийся результат, нетрудно сделать вывод о физической реальности
синфазной волны произвольной многосвязной направляющей си-
системы (см. начало п. 4 в § 66).
Высшие волны однопроводной линии из реального проводника
мы рассматривать не будем. Анализ показывает [А.З], что эти волны
(в отличие от основной) испытывают очень сильное поглощение,
поскольку их поля в основном сосредоточены в проводнике (ср.
диэлектрический волновод).
Наконец, сделаем несколько замечаний о круглом полом вол-
волноводе, рассматривавшемся в § 65, главным образом в предполо-
предположении идеальной проводимости оболочки. Этот волновод можно
трактовать как канал в безграничном проводнике, а на такую си-
систему распространяются все действия, выполненные в § 67, п. 1 —
достаточно лишь придать требуемые значения параметрам кг и
к2 в F7.2). Поэтому поперечные волновые числа круглого волновода,
собственно говоря, надо искать как корни трансцендентного урав-
уравнения F7.8), причем ввиду сильного скин-эффекта в проводнике
допустимы существенные упрощения данного уравнения. Анало-
Аналогом уравнения F8.8) является следующее:
F8.10)
Его нетрудно получить на основе граничного условия Леонтовича,
что и предлагается читателю.
Как следует из формул F7.5), в общем случае поле круглого
волновода (как и в случае волновода диэлектрического, § 67, п. 2),
нельзя отнести ни к класу Е, ни к классу Я. Чистые Е- и Я-поля
421

азимутально однородны (Ет и Нш); это показывается так же, как
и в § 67, п. 2. Остальные же можно разделить на классы ЕН и НЕ
в зависимости от соотношения коэффициентов С1 и С2 в формулах
F7.11), которые, разумеется, по-прежнему справедливы. При пере-
переходе к случаю идеальной проводимости оболочки волны ЕН
становятся волнами Н (С^/С^ -*■ 0), а волны НЕ — волнами
Е (Сг1Сг -»■ 0).
Таким образом, теперь подкреплены соображения, высказанные
в § 65, п. 5.
III. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Простейшая модель объемного резонатора была рассмотрена
в § 36, п. 4, это была система идеально проводящих плоскостей.
Различные объемные резонаторы в виде металлических полостей
находят широкое применение в радиотехнике СВЧ. Ниже будут
рассмотрены свободные (§ 28, п. 1) поля резонаторов; уравнения
электродинамики приводят в этом случае к задачам на собственные
значения.
§ 69. Общие свойства объемных резонаторов
1. Направляющая система и резонатор. Движение энергии
в изолированном объеме может иметь циклический или колебатель-
колебательный характер (рис. 69.1, а, б). Последнее свойственно любой стоячей
волне, в среднем не переносящей энергии. Как известно (§ 34, п. 4,
§ 36, п. 4), простейшая электромагнитная стоячая волна образу-
образуется при наложении двух дви-
движущихся навстречу плоских
однородных волн с одинаковыми
амплитудами. Подобно этому
возникают стоячие волны и в
, ф направляющих системах.
Ясно, что поле типа стоячей
ис- • • ' волны возможно в области на-
направляющей системы, отсечен-
отсеченной двумя идеально проводящими плоскостями,- которые отра-
отражают бегущие волны (ср. § 36, п. 4). На рис. 69.2 схематически
показаны такие области, образованные диэлектрическим волново-
волноводом (а), двухпроводной линией (б), коаксиальной линией (б), прямо-
прямоугольным и круглым волноводами (г, д). В последних трех случаях
возникают объемы, которые можно рассматривать как полностью
ограниченные идеальным проводником.
Исследуем системы типа рис. 69.2 подробнее. Одна бегущая
волна в выделенной области, естественно, существовать не может.
Взяв ее поперечную электрическую компоненту в виде комплексной
амплитуды р
А2г
О
л

сразу же убеждаемся, что на введенных поперечных плоскостях
не удовлетворяется условие равенства нулю тангенциальной ком-
компоненты вектора Е, так как для этого должно быть
[ г=* О,
Ет( = 0 при I _ F9.1)
Возьмем теперь суперпозицию двух распространяющихся
в противоположные стороны волн; тогда
р Ш+о— (V* А-ШтР(Тг 1(\Ц О\
где Щ и Ш] могут различаться только постоянным коэффициентом,
так как поперечные распределения полей обеих волн одинаковы х).
2=1
б)
—*~
Рис. 69.2.
Требование F9.1) в данном случае легко выполнить; подчиняя ему
функцию Ёт/ F9.2), получаем
F9.3)
а эта система уравнений относительно Щ и Ш{ всегда разрешима.
Используя первую строчку F9.3), приводим выражение F9.2)
к виду
Ет{ = — 12Ш* 81п Гг. F9.4)
*) Это утверждение при анизотропии среды может оказаться несправедливым.
423

Вторая же строчка F9.3) равносильна равенству
из которого следует
Г = ^, р = @), 1, 2, ...
F9.5)
F9.6)
р=2
р--4
Остается истолковать полученные результаты. Мы видим, что
в отсеченном объеме действительно может существовать суперпо-
суперпозиция двух противоположно дви-
движущихся волн, составляющих
стоячую волну. Отличительным
качеством последней является не-
независимость фазы поля от коор-
координат (§ 36, п. 4); формулы F9.4),
F9.6) демонстрируют это. Весь-
Весьма существенно, что постоянная
распространения Г принимает ряд
значений F9.6), каждому из ко-
которых отвечает определенный тип
стоячей волны; это поясняется
на рис. 69.3, показывающем различные продольные распределения
компоненты Ет(, соответствующие разным значениям Г в F9.4).
К чему сводятся условия существования типов стоячей волны
между идеально проводящими перегородками, выясним, привлекая
общее соотношение F1.3)
Рис. 69.3.
Внося сюда значения Г из F9.6), имеем
к — Л ТЛг1 Кг — ^ \ру.1)
(новое обозначение %г аналогично %* и %у из § 64). «Разрешенные»
значения Г = %г F9.6) вещественны, что, как мы знаем, возможно
при отсутствии поглощения в направляющей системе, так что
к = к; позднее, правда, будет сделано важное дополнение (см. ниже
п. 3). Подставим в F9.7) к2 = со2ец,. Немедленно следует вывод, что
отнюдь не любую частоту может иметь поле в отсеченном объеме:
каждому типу стоячей волны свойственна собственная частота
1
■рп\*
ч ■
F9.8)
Объем обладает, так сказать, частотной избирательностью, т. е.
является резонатором.
Рассматриваемый объемный резонатор — система с бесконеч-
бесконечным числом степеней свободы. Его собственные круговые частоты
соь образуют последовательность
0<со1^со2^...^со„^..., F9.9)
424

причем эти величины получаются не только перебором всех р в
F9.8) в соответствии с F9.6), но и выбором разных поперечных
волновых чисел направляющей системы % = %тп (различные типы
волн). Разумеется, можно говорить как о собственных круговых
частотах со0 = со„, так и об обычных собственных частотах /0 =
= а»0/2я либо о собственных длинах волн Ко = у//0 = 1//0 У~г\1 и
собственных волновых числах к0 = со0/у = щ^гц.
Обращаясь к соотношению F1.2), сделаем один очень простой
вывод. При сопоставлении F1.2) и F9.6) получаем
Ь = РТ> /> = (°)' 1> 2 F9Л°)
т. е. условием существования поля оказывается кратность длины
резонатора Ь половине длины волны Л/2 в направляющей системе.
Случай р = 0 требует особого внимания. Из F9.4) и F9.6)
видно, что при р = 0 электрическое поле совершенно лишено попе-
поперечной компоненты. Это может быть только при
отсечке ^-волны полой направляющей системы;
электрическое поле тогда продольно, как пока-
показано на рис. 69.4 (граничные условия на идеально
проводящих перегородках, конечно, выполняют-
выполняются). Так как при отсечке Л -> оо, то, согласно
F9.10), длина резонатора неопределенна:
1 = 0-с» при р = 0, F9.10а)
она на самом деле может быть любой — усло-
условия существования поля изменением Ь не затрагиваются. Полу-
Получаемая при р = 0 из F9.6) величина Г = 0 как раз и соответст-
соответствует случаю отсечки (/ = /кр). Формула собственных частот F9.8)
здесь принимает вид
со0 = -^. F9.11)
Уец
Действительно, собственные частоты являются критическими (ср.
величину /к^ = %/2п Ущ F2.17) и /0 = а»0/2я).
Отметим важное свойство, которым обладают электромагнит-
электромагнитные поля в виде чистых стоячих волн. Если электрическое поле
имеет везде постоянную фазу, т.е. в выражении комплексной ам-
амплитуды Ёт = Ете"РЕ фаза фг не зависит от координат, то
где Нт = — го! Ет. Таким образом,
F9.12)
425

т. е. векторы Е и Н сдвинуты на 90° по фазе, рис. 69.5: в некоторые
моменты в резонаторе существует только электрическое поле (Е =
= Ет, Н = 0), и есть такие моменты, когда, наоборот, сущест-
существует только магнитное поле (Н = Нт, Е = 0). При условии F9.12)
в любой области резонатора
в среднем передача энергии от-
отсутствует: П = уКе[Ёт> Я*] = 0.
В заключение сделаем замеча-
замечание о резонаторах с циклическими
потоками энергии (рис. 69.1, а).
Рис. 69.5 Поле типа бегущей волны в ог-
ограниченном объеме можно создать, образовав из направляющей
системы замкнутую цепь; берут, например, согнутый в кольцо
прямоугольный волновод (рис. 69,6, а). Конечно, в кольцеобразном
резонаторе возможна и стоячая волна как суперпозиция двух волн,
бегущих навстречу. С другой стороны, не следует думать, что цик-
циклические потоки энергии бывают лишь в двусвязных областях.
В круглом волноводе, как известно (§ 65, п. 1), поля могут быть
вращающимися; легко проверить, что в поперечном сечении вра-
вращающаяся волна создает циклический поток энергии (Па=^=0).
Если такая волна резонирует в цилиндрическом объеме (рис. 69.2, д),
то движение энергии является колебательным вдоль оси г и цикли-
циклическим при г = соп5{, что схематически показано на рис. 69.6, б.
То же самое возможно в полости квадратного сечения, напри-
а)
б)
Рис. 69.6.
мер, при резонансе волн #]б и Нп, фазы которых отстоят на
90° (рис. 69.6, б). Позднее (§ 70) мы вернемся к обсуждению подоб-
подобных случаев.
2. Полые резонаторы. Задачу о резонаторе в виде объема,
ограниченного идеально проводящей оболочкой, нетрудно поста-
поставить независимо от рассмотрения полого волновода. В принципе
форма полости произвольна, и полый резонатор вовсе необязательно
должен образовывать отсеченный отрезок волновода. Общий под-
подход тем более важен, что в технике (особенно в электронике СВЧ)
иногда находят применение полые резонаторы довольно сложной
формы.
426

Задача о полом резонаторе ставится как граничная задача для
уравнений Максвелла или производных уравнений второго по-
порядка. Так, взяв уравнения B9.16) и B9.17), при исследовании
свободных полей (/ст = 0) в полости V с границей 5 имеем следую-
следующие граничные задачи:
то\\1-1го\Ёт-а>ЧЁт=0 в V, |
Втх = 0 на 5, | (б9ЛЗ)
го! г'1го[Йт-а^Йт = 0 в V, )
(г~1го[Нт)х = 0 на 5. ]
В случае однородной изотропной среды
<ЦуЁт = 0 и сПу#т = О, F9.14)
и исходные уравнения преобразуются в уравнения Гельмгольца
B9.20) и B9.21), а задачи F9.13) принимают вид
= 0 в V, | (бд 15)
= 0 на 5 /
(/г2 = соае[х). Условия F9.14) необходимо принимать во внимание
и при нахождении полей резонаторов из F9.15). Например, потен-
потенциальное решение Ет = §.га& фт первой задачи F9.15), для кото-
которого сНу Ёт Ф 0 в V (возможно, за исключением границы 5), от-
отбрасывается. Оно не имеет электродинамического содержания: в
однородной среде обязательно сИу Ёт = 0, если нет объемного за-
заряда (рт = 0). В то же время функция Ёт = §,гай фт может быть
решением более общей краевой задачи (П5.29).
Трехмерные задачи F9.15) полезно сравнить с двумерными
задачами F2.8) и F2.12), которые ставятся при рассмотрении полых
волноводов. В данном случае, воспользовавшись формулой (П5.32),
с учетом F9.14) для задач F9.15) получаем
| го! Ет !• А> ^ | го1 Нт |* бя
\ 0. F9.16)
у**
\*<ь
Читателю рекомендуется вывести F9.6) непосредственно из F9.15)-
Ряд конкретных резонаторов мы рассмотрим в § 70.
3. Колебания при поглощении. В реальных резонаторах про-
происходит поглощение энергии, в результате чего свободные колеба-
колебания оказываются затухающими. Экспоненциальное убывание за-
запаса энергии в изолированной системе было рассмотрено еще в
§ 12, п. 1. Пусть теперь имеется такая система в виде резонатора
с идеально проводящей оболочкой, содержащего поглощающую
среду.
427

Если резонатор построен на основе полого волновода (быть
может, неодносвязного, как, скажем, коаксиальная линия), то в
формуле F9.7) %* = %* :> 0 (§ 62, пп. 1—2), и мы получаем нера-
неравенство
& = *5>0. F9.17)
Такой же смысл имеют и найденное для полых резонаторов произ-
произвольной формы соотношение F9.16). Собственные волновые числа
ко = аоУг\х, таким образом, вещественны, что ввиду комплексно-
комплексности проницаемостей возможно, только если комплексна величина
со0. Мы пришли к представлению о комплексных собственных часто-
частотах резонатора с поглощением х), которые будем обозначать
F9.18)
Вместо F9.8) в данном случае из F9.7) будет следовать:
Полагая, что соё > 0, легко убедиться (ср. § 33, п. 1), что для обыч-
обычных поглощающих сред со© > 0.
Каков смысл комплексной собственной частоты? Желая выра-
выразить напряженности поля в резонаторе, пишем:
1
= Ке Нтё^' = ЯяГ-»»' соз (со^ + сря) ]
(для случая, когда все компоненты векторов имеют одинаковые
фазы), т. е., как и ожидалось, они, колеблясь, убывают. При этом
^круговой частотой колебаний является вещественная часть комп-
комплексной собственной частоты щ = Ке со0; мнимая же часть со„ =
= 1т й0 есть коэффициент затухания. Обычно со о <^ со--, и процесс
является почти периодическим. Действительно, введем величины:
7" = 2я/со„ — удвоенный интервал между ближайшими нулевыми
значениями Е ({) или Н ({) и Т" = 1/со")— «постоянную времени»,
указывающую, через какой интервал наибольшее значение Е (() или
Н (() уменьшится вг^ 2,71 раза. Записанное выше неравенство
означает, что 7" <^ Т" (рис. 69.7); 7" можно рассматривать как
период процесса на том основании, что в течение нескольких V
колебания, можно сказать, неотличимы от гармонических с часто-
частотой /о = со„/2я.
Допустим, что при очень малом поглощении (соЦ <^ со'0) право-
правомерна энергетическая трактовка C0.18) равенства C0.116). Пони-
х) Уместно подчеркнуть, что представление о двух бегущих волнах, состав-
составляющих поле резонатора (п. 1), сохраняется. Постоянная распространения
Г = 1/(о§8|х—х2» несмотря на поглощение, остается вещественной величиной.
428

мая Шэ и Шм как средниеза период 7", для свободных колебаний
изолированной системы (Рст = 0, П = 0 на 5) из C0.18) имеем
Шэ = Ши. F9.21)
При этом
Ш = Ш* + Шы = 2Ш* = 2Ш« =
_ 1
~ 2е
-'•'У1
F9.22)
где были взяты выражения напряженностей F9.20); замена г на
Т должна лишь ничтожно изменять Ш. Таким образом,
@ = ИГ
F9.23)
Нетрудно убедиться, что в прежнем приближении Ш A) =
= Ш ({). Фазовое соотношение F9.12) для напряженностей F9.20)
ЕЮ Т" '
1/е
О
Рис. 69.7.
сохраняется с большой точностью, поскольку Ке (со0(л) *> 1т (со0(л)
(см. вывод в п. 1). Поэтому
X
(ввиду F9.22)), т. е.
F9.24)
F9.24а)
Введем величину, называемую добротностью резонатора. Это
отношение
<5 = °^ = 2л-^-, F9.25)
Рп А№Т,
429

где Рп = Рп @ — средняя мощность, расходуемая при поглощении,
а А №7-= №Т' —■ убыль запаса энергии Ш = Ш ({) за период
7". Поскольку с учетом предыдущего
то также справедливо
(± = щП^, F9.26)
Остается сделать некоторые обобщения. Не может быть сомне-
сомнений в том, что экспоненциальное убывание энергии свободных ко-
колебаний F9.23) свойственно не только случаю, когда поглощение
происходит в одном внутреннем диэлектрике. Принимая во-внима-
во-внимание поглощение энергии в металлических элементах (не являющихся
в действительности идеально проводящими), а также, быть может,
излучение (например, из отверстия в оболочке полого резонатора),
мы не теряем права пользоваться понятиями комплексной собствен-
нойчастоты и добротности. В общем случае в F9.25) Рп = Рд +
+ Рм + ^2, где учтены перечисленные факторы; слагаемые соответ-
соответствуют каждому из них в отдельности (индексы означают: д — ди-
диэлектрик, м — металл, 2 — излучение). Из F9.25) следует, что
F9.27)
где Bд, ^м и ^2— «частичные» добротности (ср. 63.13). Зная доброт-
добротность B и собственную частоту со0 = со0, нетрудно на основании
F9.18) и F9,26) определить собственную комплексную частоту:
F9.28)
В заключение остановимся на определении частичных добротно-
стей <3Д и С?м. Из F9.27), F9.24) и C0.14) при \х" = 0 получаем
~(Л"«{
а со —
(в C0.14) Ёт в соответствии с F9.20) заменяется на Ёте
на Ц; среда однородна, так что е' и е" выносятся за знак интеграла).
Для нахождения <2М используем формулу D0.10), по которой
ввиду F9.20)
430

(Нт = Нтх). Внося это в выражение BМ F9.27) и представляя Ш,
согласно F9.24), через Нт, получаем
со0ц' V
= '
_. 2ц'
[н^аз Д°Им \н%
F9.30)
где ц' характеризует внутреннюю среду (диэлектрик), а^ — ме-
металл (обычно [хм = \10). При пользовании данными формулами
Йт находят для системы с идеальным проводником (см. § 40, п. 2),
т. е. так же, как при определении Г„ по формуле F3.21).
§ 70. Важнейшие объемные резонаторы
1. Прямоугольный резонатор. Поле прямоугольного резона-
резонатора, представляющего собой полый параллелепипед (рис. 70.1, а)
с идеально проводящей поверхностью, можно найти, решая крае-
краевые задачи F9.15) с учетом F9.14). Для этого векторы Ёт и Нт
проектируются на оси декартовой системы координат, и на общие
Г>Г^
X
а)
решения получающихся скалярных уравнений Гельмгольца нала-
налагаются указанные в F9.15) граничные условия. Заметим, что фор-
формулируемые при этом краевые задачи относительно компонент
векторов Ёт и Нт, в отличие от задач (П5.27), A15.28) являются
«смешанными» (условия типа и = 0 на одной части поверхности и
ди1д\ = 0 на другой). Описанный подход читатель может испро-
испробовать, опираясь на материал Приложения 7.
Другой путь, идущий от представления стоячей волны в виде
двух бегущих навстречу (§ 69,. п. 1), в данном случае оказывается
более коротким, так как мы уже располагаем выражениями всех
компонент этих волн (§ 64). Надо лишь удовлетворить граничным
условиям при г = 0 и г = Ь, как это делалось в § 69, п. 1. Рассмат-
431

ривая последовательно Е- и Я-волны прямоугольного волновода,
на основании формул F4.4) и F4.10) находим Е-поля
рпг
А
— *-0
Нтх= 1Ё0
тпх . ппу . рпг
С08 51П -~- 51П ~-
а Ь Ь
Щ „:„ Рпг
тпх ппц рпг
81П С08 —г- С08 —Т—
Нту = — 1Е0
и Н-поля
тпх . ппу рпг
а Ь Ь
G0.1)
тг = Яо СО8 —— СОЗ
а
ХхХг
X2
81П
ряг
тпх ппц рпг
8Ш СОЗ —г^- СО8 -{-г—
ряг
,
G0.2)
прямоугольного резонатора. Здесь х* = тп/а, %у = лп/Ь, хг = р,
X = Хтп, й0 = птпр, при этом в G0.1) ш = 1, 2, .... л = I, 2, ...,
р = 0, 1, 2, .... а в G0.2) т = @), 1, 2, ..., л = @), 1, 2, .... р =
= 1, 2, ... Неопределенные коэффициенты ^0 и Яо отличаются от
таких же коэффициентов в § 64 вдвое по модулю. Величина хтп оп-
определяется по формуле F4.3), а собственная частота со0 — по фор-
формуле F9.19), которая принимает вид
Запишем также выражение собственной длины волны Хо =
G0.4,
Векторные функции Ёт и Нт, составляемые из компонент G0.1)
и G0.2), являются собственными функциями задач F9.15); им отве-
отвечают собственные значения к?тпр — &тпРщ, которые для обеих за-
задач одинаковы.
Подобно тому как в случае прямоугольного волновода говори-
говорилось о типах волн Етп и Нтт теперь введем представление о типах
432

колебании (полей) Етпр и Нтпр прямоугольного резонатора, проис-
происхождение которых можно видеть в наложении этих волн. Всякие
три целых положительных числа т, п и р (нуль пока исключается)
определяют типы полей Етпр G0.1) и Нтпр G0.2), имеющих равные
собственные частоты й>тпр G0.3). При афЬфЬ существуют
только эти два типа колебаний с частотой (атпр, т. е., как говорят,
вырождение двукратно (ср. § 64, п. 5). Но, например, в случае ку-
кубического резонатора {а = Ъ = Ь) при тФ пф р типов колебаний
с той же частотой уже двенадцать, это Етпр, Етрп, Ептр, Епрт, Ертп,
ЕРпт, Нтпр, Нтрп, Нптр, Нпрт, Нртп и Нрпт (они различаются хотя
бы ориентацией поля). Из соображений, изложенных в § 64, пп. 1,
2 и § 69, п. 1, следует, что лишь одно из чисел т, п и р может при-
принимать нулевое значение; в G0.1) это р, а в G0.2) т или п.
Подчеркнем, что выбор продольной оси г для прямоугольного
резонатора, в отличие от волновода произволен. Можно тремя спо-
способами устанавливать ось г, что соответствует получению резона-
резонатора путем пересечения поперечными плоскостями трех различных
волноводов (рис. 70.1, б, в, г). Каждому из фактических типов
полей можно, таким образом, сопоставить три разных трактовки.
Основным принято называть тип колебаний с наименьшим соб-
собственным волновым числом ктпр = (ЬтпрУ^г\х (наибольшей собствен-
собственной длиной Ктпр = 2п1ктпр). Пусть Ь — самое короткое ребро па-
параллелепипеда \Ь < а, Ь < Ь), тогда
тш ктпр = кт = я У± + -^, G0.5)
т. е. основным является тип колебаний Е110. При Ь <а, Ь <Ь
основным будет тип Н10Ъ а при а <^Ь, а <^Ь— тип Нои. Впрочем,
соответствующие поля различаются только ориентацией, так что
при замене координат х -> г, у -> х, г -> у потребуется изменение
обозначений Еш -> Нш, а при х -> у, у -> г, г -> х — Е110 -> Ноп.
Основным всегда будет тип колебаний без вариаций поля вдоль наи-
наименьшего ребра.
Выпишем компоненты поля Нш в комплексных амплитудах
G0.2):
(йо=(п/|/лё[х)|/л1/а2+ 1/Ь2). Строение поля представлено на
рис. 70.2. Сопоставляя это изображение с «мгновенным снимком»
волны Н10 прямоугольного волновода (рис. 64.6), видим, что по
сравнению с ним электрическое и магнитное поля резонатора сдви-
сдвинуты на расстояние Л/4 по оси г; благодаря этому, можно сказать,
удовлетворяются граничные условия при г = 0 и г = Ь. Рассмат-
433

ривая изображенное поле при соответствующей замене координат
как Епо, мы можем отождествить его с волной Еп при критической
частоте (§ 69, п. 1).
н
101
1
— I
)
\
-1-Е
1 1 111 I
(Ет при у*г,
X 2-
ас
И,
111
212
Рис. 70.2.
Рис. 70.2 дает также представление о высших типах полей резо-
резонатора; сравнение с рис. 64.4 и рис. 64.6 приводит к аналогичному
выводу о соотношении полей резонатора и
волновода. Заметим, что поле Еп1 можно рас-
рассматривать как наложение двух таких полей,
которые трактуются как Нп1 в системах коорди-
координат, получаемых при замене х. -> г, у -* х,
г -> у и у -> г, г -> х, х -»• у соответственно.
Подобным же образом описываются и другие
высшие поля.
На примере прямоугольного резонатора
легко показать возможность свободных коле-
колебаний с циклическим потоком энергии (§ 69,
п. 3). Взяв поля Нш и Ноп с одинаковыми амплитудами и фазовым
Рис 70.3.
сдвигом ±90°
получим
П = ±
(в G0.2) Но = А для Нш и #0 = ±гЛ для Но11),
1 8111 %ХХ СО8 %уу +уо
-у1со$%ххт\%уу) х
X 8Ш2Хг2 G0.7)
(ё = е, ^1 = \х). На рис. 70.3 для квадратного сечения (а = Ъ)
показано направление вектора П в точках х = ±а/4, у = ±Ь/4
и 0 <; г < Ь при выборе в G0.7) знака плюс.
434

Наконец, приведем вычисление добротности прямоугольного
резонатора <3„ для типа колебаний Нш по формуле F9.30). Интег-
Интегралы в числителе и знаменателе находятся в пренебрежении погло-
поглощением. На основании G0.6) Н2т = Щ (со52 -^-зш2^ + ~ х
X зш2—соз2-^-), и интегрирование по объему дает
11
а при интегрировании по поверхности получаем
Ьа аЬ ■ Ы
0 0 0 0 0 0
Таким образом,
а2)+26(^
При пропорциональном увеличении размеров резонатора в т раз
во столько же раз возрастает множитель при 1/Д° и уменьшается соб-
собственная частота G0.3), а потому глубина проникновения Д° увели-
увеличивается в ]/7п раз; таким образом, добротность (Зм растет, как У т.
В частном случае кубического резонатора (а = Ь = Ь) формула G0.8)
принимает вид
а при а
Поскольку собственная частота типа колебаний Нш не зависит от
Ь (в G0.3) п = 0), добротность такого плоского резонатора с умень-
уменьшением Ъ пропорционально падает.
2. Односвязный и двусвязный цилиндрические резонаторы.
Совершенно так же, как в случае прямоугольного резонатора, поля
резонатора в виде кругового цилиндра (рис. 70.4) находятся при
наложении распространяющихся навстречу волн соответствующего
волновода (§ 69, п. 1) на основании имеющихся формул F5.4) и
F5.9). Это дает
• 435

Е- пол я
г = ]пAг)А(па)со%-^-,
Етг = — ^^-^п (у) А (па) 51П —л~,
л Щ^г т I \ л' / \ „:„ РЛг
G0.9)
Нта = -1-
рпг I рп - \
'. [ л/ " л/ л/ \
[^ ». 1лг— ^ » Л—кпт]
(р = 0, 1, 2, ...), причем % = %пт определяется по формуле F5.3)
и, согласно F9.19),
2я
/(^
G0.10)
(числа Впт сведены в таблицу в приложении 6, п. 6);
Я-поля
Ета = I
G0.11)
_ря _
! у > % — Хпт
(р = 1, 2, ...); здесь %= %пт определяется по формуле F9.19),
так что
2я
G0.12)
(числа Апт см. таблицу в приложении 6, п. 6).
Разумеется, векторные функции Ет и Йт, составляемые из ком-
компонент G0.9) и G0.11), являются собственными функциями задач
F9.15), а по формулам G0.10) и G0.12) находятся отвечающие им
собственные значения к\тр = &>птрщ, которые одинаковы для обеих
задач.
436

Так как направление г, в отличие от прямоугольного резонатора,
ё данном случае выделено вследствие аксиальной симметрии об-
области, то и деление полей на классы Е и Н уже не относительно.
Вырождение колебаний также имеет иной характер и обусловлено
главным образом теми обстоятельствами, которые были описаны
при рассмотрении круглого волновода (§ 65 пп. 1 и 5). В частности,
ою
112,
Рис. 70.4.
собственные частоты типов колебаний Ептр и Нптр не совпадают.
Строение некоторых полей показано на рис. 70.4; его рекомендуется
сравнить с рис. 65.2 и 65.4.
Интересно, что в зависимости от формы цилиндрического резо-
резонатора, т. е. от соотношения Я. и Ь, основным типом колебаний яв-
является Н1П либо Еоы. Действительно, как следует из G0.10) и G0.12),
волновые числа к^п =
г\1 и к^10 =
равны при
т. е. в случае резонатора с соотношением размеров
= ^2,03
G0.13)
колебания Нш и ^010 вырождены. При иных соотношениях Ь и Я
одно из указанных волновых чисел будет наименьшим, а именно:
при Ш<2,03,
при
437

Таким образом, Еш — основной-тип колебаний плоского резона-
резонатора, а Нш — вытянутого.
Легко убедиться, что вращающиеся поля цилиндрического ре-
резонатора (А (па) ■— Се-'па) создают азимутальный поток энергии
(§ 69, п. 3). Так, для типа колебаний НПр на основании G0.11) по-
получаем
Перейдем к вычислению добротности (Зм. Для произвольного
типа колебаний Нптр при азимутальной зависимости А (па) =
со2ц2 I пЧ\ (%г)
= С сое па без поглощения Е2т = С2 —^- —^—51П2 па -{- У„2 (%г) X
рлг
5Ш2— и ввиду F9.21)
ГтМ = -[ \ \ Е2тг Ог йа йг =
ооо
А
т
и (ж)] х их = 6С2 ~ пЬ (А%т -л2) Л (Апт),
где б = 1 при п = 0 и б = х/2 при л =^= 0 (см. (П6.21)). Далее
» +
С2 Л (%) ^
р[ ^- Л (Хг) 51
Поэтому
н„
т
8 0 0 г—0 0 0 г-^Н
г А
йа Иг ■-
A
ч \2
1)
4ПA) 5
о
[^г- (Л• т - л2) -Ь1Я {1 + ^)] Рп (Апт)
(б = 1 при л = 0 и б = х/г при л ^ 0).
Внося полученные результаты в F9.30), после преобразований на-
находим
^ Й^ л^ Gа 16)
(л ф 0 и л = 0). -
438

Аналогично выводятся формулы добротности <3М в классе Е-ио-
лей. Ограничимся записью готового результата для типа колеба-
колебаний Е010:
Предлагается получить его самостоятельно в качестве упражнения.
Наконец, рассмотрим двусвязный цилиндрический резонатор,
построенный на основе коаксиальной линии (рис. 70.5). Основной
интерес представляют в данном случае поля класса ТЕМ. Комплекс-
Комплексные амплитуды векторов Е и Н собственных колебаний находим
подобно предыдущему, составляя суперпозицию противоположно
X
2 ; «
х *
1
1
• 5!
ТЕМ,
Рис. 70.5.
ТЕМ.
направленных волн ТЕМ (§ 69, п. 1) и используя при этом формулы
F6.14):
Ёт = -г0А^5тр-^, G0.18)
/. а 1 рпг
Нт = а<И - соз ^~
(р = 1,2, ...), причем № = У\и1г и А = /т/2п, где /т — комплекс-
комплексная амплитуда тока в пучности. Типы колебаний будем называть
ТЕМР; на рис. 70.5 показано строение полей. Соответствующие
собственные частоты определяются по формуле F9.19):
■ 1 рп « _2Ь
ио — ,/—г-г — I "о — •
V це I р
G0.19)
Определим добротность Bмдля типа колебаний ТЕМР. Очевидно,
#22я I-
\
о о
2 2л
«1 0
2л Ь
О О
439

так что, согласно F9.30),
1 ,,'
1 \"
G0.20)
3. Объемные резонаторы, близкие к квазистационарным. Ква-
Квазистационарные (см. Введение, (В.1)) резонирующие системы,
называемые обычно «колебательными контурами», обладают тем свой-
свойством, что их электрические и магнитные поля можно считать про-
пространственно разделенными (§ 27, п. 2): первые практически сосредо-
сосредоточены в емкостных элементах, а вторые — в индуктивных. В этом
а
г)
д)
Рис. 70,6.
смысле к ним близки некоторые объемные резонаторы, применяемые
главным образом в электронике СВЧ. Таковы, например, колеба-
колебательные системы клистронов, магнетронов и триодных СВЧ генера-
генераторов, схематически изображенные на рис. 70.6, а, б, в. Их электри-
электрические поля, можно сказать, локализованы в узких квазистацио-
квазистационарных зазорах (с1 <^ К), внутри или вблизи которых происходит
взаимодействие колебаний системы с электронным потоком (квази-
(квазистационарность зазора связана с требованием, чтобы время пролета
электронов было малым в сравнении с периодом колебаний). За-
Зазор поэтому приближенно можно рассматривать как плоский кон-
конденсатор, приписывая роль чистой индуктивности примыкающему
объему.
440

Применим такой подход в случае тороидального резонатора
(рис. 70.6, а, г). Для плоского конденсатора в зазоре
г е5 _ шК1
С^ а ~ а
(§ 17, п. 6). Магнитные силовые линии являются концентрическими,
так что в квазистационарном приближении Н = 1/2лг (ср. § 25,
п. 3, случай тороида), где / — полный ток, охватываемый магнит-
магнитным потоком. Индуктивность равна
5
Теперь можно вычислить собственную частоту:
1
G0-21)
В частности, для прямоугольного тороида (рис. 70.6, г) эта формула
принимает вид
°''-7Г. G0.21а)
Рассмотренный тип колебаний является основным; нетрудно убе-
убедиться, что при достаточно малом й собственная длина волны Ко —
= —^= может значительно превышать все размеры тороидаль-
ного резонатора, который оказывается при этом в целом квазиста-
квазистационарной системой.
На рис. 70.6, д изображена отдельная ячейка магнетронного
резонатора (рис. 70.6, б). Собственная частота ее основного типа
колебаний находится аналогично. Емкость конденсатора в зазоре
равна
р гак
Примыкающая плоскость в некотором приближении подобна от-
отрезку бесконечного соленоида, так что Н «=* 1/к (§ 24, п. 3) и
Ф
Отсюда
1
Ухе я
]/—. • G0.22)
Заметим, что по этому же принципу можно получить приближен-
приближенное выражение критической частоты для основного типа вол-
волны Н-образного или П-образного волновода (рис. 66.2, а), поле
441

которого при (о = сокр должно иметь тот же характер, что и в
«сдвоенном» резонаторе типа рис. 70.6, д. Формула имеет вид
' (а - а') Ъ G0.23)
(см. обозначения размеров на рис. 66.2, б). Читателю предлагается
вывести эту формулу.
Что касается коаксиального резонатора с зазором, показанного
на рис. 70.6, в, то он может приближенно рассматриваться с позиций
теории цепей как отрезок линии, закороченной на одном конце
и нагруженный емкостью на другом-.
4. Заключение. Сделаем несколько общих замечаний. В п. 1
было показано, что добротность BМ прямоугольного резонатора для
типа колебаний Нш вместе с увеличиваемыми в т раз размерами
растет как ]/т, т. е. как У~к0. Легко убедиться, что данная законо-
закономерность свойственна всем типам колебаний полых резонаторов.
Действительно, для фиксированного типа колебаний отношение
интегралов
в F9.30) при неизменной форме резонатора пропорционально Ко,
а глубина проникновения Д° — корню квадратному из Ко.
Для каждого типа колебаний объемный резонатор можно оха-
охарактеризовать эквивалентными параметрами X, С и оЯ5, в выборе
которых, однако, существует неопределенность, поскольку в энер-
энергетических соотношениях
т 2 ' т 2 2С
(Шэ = Ш1^) ток или заряд в общем случае могут определяться раз-
разными способами. Можно, например, в качестве ц взять заряд на
какой-то части оболочки резонатора и энергетически определить С;
тогда индуктивность находится из соотношения •
1
ХС
Сопротивление е^ (последовательной эквивалентной схемы) вычис-
вычисляется после этого по известной добротности: е-%— щХЦф = 1/со0СC.
В ряде случаев существует естественный способ определения
эквивалентных параметров. Так, для типа колебаний Е010 цилиндри-
цилиндрического резонатора без поглощения, согласно G0.9) и G0.10),
Ёт = 2^0(%г), Н^п = ао^у^^1 (%г) (% = В011Я, Ш = У~ф,, со0 =
= В0Х1Я У"е[х), и запас энергии равен (П6.20)
Ш - №- = Г % = \\ Вт (IV - ~ пАЧК*Ы\ (Ад). G0.24)
442

Заряды — одинаковые по абсолютной величине и разные по з'наку —
локализованы на основаниях цилиндра, а ток проходит по боковой
поверхности вдоль образующей и далее по основаниям радиально,
убывая на них до нуля в центре. Взяв в качестве ^ заряд одного
основания, а в качестве / — ток, проходящий по полной боковой
поверхности, имеем (П6.18)
<7»= 5 Ья* = е 5 Етс18 = 2лАг^Чг (В01)/В01,
*осн *осн G0.25)
/„ = 2я#г)т = 2пЯНт \г^к = 2пЯА1х (Во1)/Ш.
Емкость и индуктивность при этом находятся из энергетических
выражений независимо:
С = 4лгЯУВЪ1Ь и % = ц№л G0.26)
и оказываются «согласованными», поскольку по формуле со0 =
= 1/]Л5?С получается правильное значение со0.
Привлекая выражение добротности BМ G0.17), находим также
(при отсутствии поглощения в диэлектрике).
Предлагается рассмотреть таким же способом коаксиальный ре-
резонатор (поля ТЕМ) и прямоугольный резонатор при основных
колебаниях.
IV. ВЫНУЖДЕННЫЕ ПОЛЯ. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ
Электромагнитные поля в объемных резонаторах и направляю-
направляющих системах, используемых в радиотехнике, обычно бывают
вынужденными; они возбуждаются посредством специальных эле-
элементов связи, играющих по существу роль антенн. Свободные ко-
колебания резонаторов и свободные волны волноводов — это возмож-
возможные поля в этих системах при отсутствии внешних энергетических
связей; лишь изредка они представляют технический интерес сами
по себе. Вынужденные поля выступают как необходимое следствие
действия источников (§ 28, п. 1). При определенных условиях вы-
вынужденное поле в волноводе или резонаторе может быть очень близ-
близким по строению к свободному полю того или иного типа, но отли-
отличается уже тем, что его амплитуда вполне определена расходом
энергии внешних источников. В общем случае, как будет показано,
вынужденные поля можно получать при решении электродинамиче-
электродинамических задач как суперпозиции свободных полей (позднее мы сделаем
некоторые уточнения).
Регулярными называют направляющие системы и объемные ре-
резонаторы, для которых соответствующие краевые задачи электро-
электродинамики имеют замкнутые аналитические решения. В случае по-
полых резонаторов с однородной изотропной средой это задачи F9.15);
443

в § 66, п. 1 в этом смысле говорилось о задачах F2.8) и F2.12).
Реальные системы всегда в той или иной степени нерегулярны.
Направляющие системы не бесконечны и содержат различные эле-
элементы (включая элементы связи), усложняющие их форму и свой-
свойства среды. Употребляются всевозможные соединения волноводов
и других направляющих систем, полых элементов и т. д. Поэтому
ниже будет уделено внимание и этим вопросам.
§ 71. Вынужденные колебания резонатора
1. Постановка задачи. На рис. 71.1 показаны три основных
способа соединения полого резонатора с экранированной направляю-
направляющей системой: в качестве «оконечной нагрузки» (рис. 71.1, а), «по-
«последовательного элемента» (рис. 71.1, б) и «параллельного элемента»
(рис. 71.1, в). Соединительное отверстие служит элементом связи —
а) б) в)
антенной, возбуждающей поле в резонаторе под действием электро-
электромагнитного процесса в волноводе; это может быть, в частности,
щелевая антенна (§ 55, п. 2). Роль такого же элемента связи могут
играть различные подобия электрического и магнитного элементар-
элементарных излучателей (§§ 44, 45) — «штырьки» и «рамки»; в электронике
СВЧ резонаторы возбуждаются электронным потоком. В гл. 6 будет
говориться также о возбуждении резонаторов активной средой,
свойства которой обусловлены параметрическими или квантовыми
процессами. Различные элементы связи показаны на рис. 71.2.
Рассматривая его, нетрудно уяснить себе некоторые соображения,
позволяющие так выбирать и располагать эти элементы, чтобы по-
получать поля желательного строения. Например, на рис. 71.2, а
возбуждение цилиндрического резонатора осуществляется нахо-
находящимся в средней части радиальным штырьком, который является
продолжением среднего проводника коаксиальной линии. Такая
антенна создаст поле с параллельной себе электрической компо-
компонентой, и если частота возбуждения будет близка к собственной
частоте колебаний Нп1, то следует ожидать, что поле вынужденных
колебаний окажется похожим по структуре (это отмечено симво-
символом Нт). Аналогично в случае двусвязного коаксиального резо-
резонатора (рис. 71.2, б) рамочная антенна при подходящей частоте воз-
возбудит поле, мало отличающееся от типа свободных колебаний ТЕМХ;
действительно, излучение рамки имеет нормальную ее плоскости
444

магнитную компоненту, которая в данном случае, как это и тре-
требуется, направлена азимутально. С таких же позиций следует рас-
рассматривать и остальные случаи, представленные на рис. 71.2;
среди них возбуждение тороидального резонатора электронным
потоком (рис. 71.2, е), а также — резонатора на основе двухпровод-
двухпроводной линии при помощи «рамки» (или, как еще
говорят, «петли связи»).
После этих предварительных замечаний ка-
качественного характера перейдем к постановке
электродинамической задачи о возбуждении по-
полого резонатора заданными источниками. Он
представляет собой полость V, ограниченную
идеально проводящей оболочкой с отверстием
52, на котором задано стороннее поле в виде
тангенциальной компоненты вектора Е",
рис. 71.3. Кроме того, внутри полости имеются
заранее известные распределения электрического и магнитного сто-
сторонних токов /т и /Ч Таким образом, взяв симметричные уравнения
Максвелла D6.2), запишем.
Рис 71.3.
-А В
на
Это и есть исходная постановка задачи.
445

Как найти решение задачи G1.1)? Интуиция подсказывает,
что возбужденное поле должно содержать структурные элементы,
соответствующие всевозможным типам собственных колебаний ре-
резонатора, выраженные в большей или меньшей степени в зависи-
зависимости от того, насколько близки их собственные частоты к частоте
возбуждения, а также в зависимости от вида источников.
Если задача о свободных колебаниях резонатора предварительно
решена, то все эти типы колебаний со своими частотами из-
известны.
2. Представление возбужденного поля. Сказанное наводит на
мысль искать решение Ёт, Нт задачи G1.1) в виде суперпозиции
всевозможных собственных колебаний резонатора:
Ёт->^апЁпт и Нт-+% ЬпНт- G1.2)
/1 = 1 /1 = 1
Но анализ показывает, что разложения G1.2) не содержат всех
элементов, требуемых для представления поля вынужденных коле-
колебаний. На этом необходимо остановиться.
Ограничимся случаем однородной среды (ё = сопз1, ц =сопз1).
Тогда векторные функции Ёт и Нт — это собственные функции
задач F9.15), им соответствуют собственные значения к% = бJпк\1
(при комплексных е и \х комплексна собственная частота со„, но вол-
волновое число кп вещественно, § 69, п. 2, 3). Как Ет, так и Йт, будучи
собственными функциями задачи типа (П8.11), ортогональны; их
можно нормировать, т. е. путем подбора постоянных коэффициен-
коэффициентов подчинять соотношению (П8.6). Таким образом, представления
G1.21 можно рассматривать как ряды Фурье типа (П8.7). При этом,
однако, возникает вопрос о полноте систем \Ёт} и \Нт), и выяс-
выясняется, что эти системы данным свойством не обладают. Полные же
системы собственных функций порождаются задачами (П5.29) и
(П5.30), причем системы {Ёт} и {Йт\ оказываются включенными
в указанные полные системы, по которым уже можно производить
разложение Фурье, рассчитывая на сходимость в среднем.
Не входя в подробности х), приведем ряд сведений, которые
следует учитывать при решении задачи о возбуждении резонатора.
Решения первой краевой задачи (П5.29) и образуют систему{Еп, Еп-},
распадающуюся на две подсистемы: {Еп}, (Ну Еп = О (к2 = к%) и
{ЕП'}, го1 ЕП' = 0 (к2 = кп-). В знак того, что функции на гра-
границе области удовлетворяют тем же условиям, что и вектор Е,
они обозначаются таким же символом и условно называются элек-
электрическими. Принадлежащие первой подсистеме функции Еп со-
леноидальны и могут рассматриваться как комплексные амплитуды
вектора Е собственных колебаний резонатора: Еп = Ет. Функции
второй подсистемы потенциальны; они являются градиентами ска-
х) Подробное освещение вопроса см. в [И.З].
446

лярных функций ЕП' =Vфл; последние же — не что иное, как
собственные функции задачи (П5.27): ф„< = и.
Подобно этому решению второй краевой задачи (П5.30)и образуют
систему {Н„, НП'} также состоящую из двух подсистем: {Нп},
сИу Нп = О (к2 = к%п) и {Нп-}, го! Нп =0 (к2 = к\). Они называются
магнитными, будучи обозначены тем же символом, что и вектор Н,
потому что удовлетворяют таким же условиям на границе области.
Соленоидальные функции Нп можно отождествить с комплексными
амплитудами Нт вектора Н собственных колебаний резонатора.
Потенциальные же функции Нп- —это градиенты у1!5"'» причем
скалярные функции •$„> являются собственными функциями за-
задачи (П5.28): 1рч/ = и.
Нужно еще добавить, что все сказанное относится к односвяз-
ным областям и таким, границы которых не состоят из разделенных
частей. В общем случае, кроме соленоида л ьных и потенциальных
собственных функций (образующих бесконечные системы), задачи
(П5.29) и (П5.30) могут иметь конечноечисло гармонических собствен-
собственных функций, для которых обращаются в нуль и вихрь, и расхожде-
расхождение; это решения векторного уравнения Лапласа (к = 0). Условимся,
что такие функции, если они появляются, будем включать в потен-
потенциальные подсистемы.
Системы функций {Еп, Еп-} и {Н„, Н„-} можно считать орто-
нормированными в соответствии с (П8.6).
Вместо интуитивно построенных представлений G1.2) решения
Ёт, Йт задачи G1.1) запишем теперь следующие:
Ё_т=2 апЕп+ |] а»'Я»' и Йт=%ЬпНп+ |] Ьп.Нп.. G1.3)
л = 1 - л' = 1 * л = 1 /Г = 1
При должном выборе коэффициентов представления G1.3) образуют
сходящиеся в среднем ряды Фурье.
3. Свойства собственных функций. Ниже в п. 4 будет полу-
получено решение задачи G1.1) в виде представлений G1.3), т. е. их
коэффициенты будут найдены. Затем в п. 6 функции Е„, Еп- и Н„,
Нп< будут построены в одном из важных случаев. Перед этим рас-
рассмотрим некоторые особенности собственных функций.
Поскольку мы желаем отождествлять функции Еп и Нп с ком-
комплексными амплитудами векторов Е и Н свободных колебаний ре-
резонатора (Еп = Ёт, Нп = Нт), их надо подчинить уравнениям
Максвелла. Это наложит определенные связи.
Запишем уравнения Максвелла для собственных колебаний типа
п и взятые в комплексно сопряженной форме уравнения Максвелла
для собственных колебаний типа к:
го! Еп = — /со„н-Ял, го1 Е% = Ш%р*Н%,
го1 Нп = юпгЕп, го1 Щ = — ю%г*Е%. ( '
Сосредоточим внимание на первом уравнении первого столбца и
447

втором второго. Производя в них умножение на Н% и Е„ соответ-
соответственно, вычитание левых и правых частей, а затем интегрирование
по области резонатора (ср. § 48, п. 1), получаем
©„Н- $ Н,Д% йо - ®% в* $ ЕпЕ% Ли = 0. G1.5а)
V V
Подобным образом из оставшихся уравнений G1.4) находим
\НпЩйУ-йпг \ЕпЕ%Лу = 0. .G1.'56)
Из G1.5а), G1.56) легко исключить интеграл, содержащий Е,
или другой. Это дает следующие равенства:
(к% - к& $ НпЩ &о = 0 и (к% - к%) \ ЕпЕ% &о = 0, G1.6)
V V
где к% = &1е\1 = йл8*^* и кк = й|е^ = сол2е*^* — вещественные
собственные значения задач F9.15) или (П5.29), (П5.30). Полу-
Полученные выражения свидетельствуют об ортогональности соленои-
дальных собственных функций при отсутствии вырождения (к% ф
ф к%), что подтверждает вывод из Приложения 8, п. 3.
Ввиду взаимной зависимости векторов Е и Н электрические или
магнитные функции нельзя нормировать произвольно (тогда они
могли бы не удовлетворять уравнениям Максвелла). Полагая
в G1.5) к = п, имеем, например,
а„\1 $ НпН*п Ло = ю* ё* $ ЕпЕ*п (IV.
V
(х* =
Поскольку &п\1 = кп \х/гг\1 = кпУ\1/гг и &%г* = кп&*/Уе*
= кпгг*/У\1*, то отсюда следует:
| А 1 $ НпН% Л> = | е | $ ЕпЕ% Оо. G1.7)
V V
Ради единообразия потенциальные собственные функции Еп- =
= уфя' и Нп' = уФл' тоже можно рассматривать как решения
уравнений Максвелла G1.4). Учитывая тождество (П1.33), заме-
замечаем, что, поскольку ЕП' т^Ои Нп- Ф 0, это возможно лишь при
сЬ„' = 0, т. е. все «собственные частоты» 6>п- в уравнениях Максвелла,
отвечающие потенциальным собственным функциям, равны нулю х).
Электрические и магнитные потенциальные функции, в отличие от
соленоидальных решений уравнений G1.4), лишены взаимной
связи. Но для удобства выкладок ее можно ввести искусственно
в виде равенства, повторяющего G1.7). Итак, для ортогональных
х) Подчеркнем, что это «со — кратное вырождение» потенциальных функций
не имеет отношения к задачам (П5.29) и (П5.30), где кп, Ф 0.
448

систем {Еп, Еп-} и {Н„, Нп>\ можно установить следующее общее
соотношение ортонормировки:
|1| \Н%г,НппйУ= | е| \Е%-Мпг>йь-Ьы-ы-и G1.8)
V V
В этих обозначениях штрих в скобках означает, что он либо остается,
либо опускается, т. е., например, Епг, есть либо соленоидальная
функция Е„, либо потенциальная функция Еп<->.
4. Решение задачи о вынужденных колебаниях. Вернемся к
формулировке G1.1) поставленной задачи о возбуждении резона-
резонатора, чтобы получить теперь ее решение.
Из G1.1) следует, что
• *•'•=!, 2,...,оо, G1.9)
\ (го1
поскольку в круглых скобках заключены равные нулю величины.
Равенства G1.9) — это не что иное, как разновидности проекцион-
проекционного соотношения (П8.15). После применения формулы (П1.31),
т. е. интегрирования по частям, получаем
- \ (
V
/согЁ
> = О,
Нтго1
#'•=1, 2, ... ,оо, G1.10)
где учтены граничные условия задач G1.1) и (П5.29); последняя
существенна ввиду участия функций Еп<'>.
Сюда мы можем внести представления Ёт и Йт в виде ортого-
ортогональных рядов G1.3), коэффициенты которых подлежат определе-
определению. Такая подстановка в G1.9) была бы необоснованной, поскольку
потребовала бы почленного дифференцирования ■ рядов (операция
го1); в общем случае это привело бы к неверному результату.
Итак, заменяя в G1.10) Ет на Ет и Нт на Йт в соответствии
с G1.3) и учитывая G1.4), имеем ~
^] Гсо|<)г*апг> \Еп''1
16 Электродинамика
,\4а = 0,
449

где соА- = 0 для всех к' (это эквивалентно тому, что го1 Ек> = О
и го1 Нк- = О, см. п. 3). Остается использовать соотношение орто-
нормировки G1.8), что дает
8
СОт-г-
<-
Отсюда
G1.11)
СО — СОА 8
G1.12)
. I * I л
= — V \ /ст
со е г
ак
" СО (Л
В результате все коэффициенты ортогональных рядов G1.3) опре-
определены.
5. Исследование вынужденных колебаний. Рассмотрим внима-
внимательно решение задачи о вынужденных колебаниях резонатора,
представляемое рядами G1.3) с коэффициентами G1.12).
Отметим, во-первых, что в случае резонатора без отверстия,
возбуждаемого электрическим сторонним током (Егт = 0, /" = 0),
Ьк> = 0, т. е. в разложении Йт потенциальные функции отсутствуют
(напомним, что электрическое поле на отверстии эквивалентно
поверхностному магнитному току, §47, п. 1). Если же, напротив,
имеются только магнитные источники (/ст = 0), то ак- = 0: потен-
потенциальных функций нет в разложении Ёт.
Во-вторых, теперь имеется возможность обосновать концепцию,
использованную выше в п. 1. Как видно из G1.12), коэффициенты
при соленоидальных векторных функциях разложений Ёт и Нт
возрастают с уменьшением |со2—со||. Иными словами, структурная
составляющая поля вынужденных колебаний, соответствующая
свободным колебаниям типа к, увеличивается по мере приближения
450

частоты возбуждения со к собственной частоте этого типа. Сказан-
Сказанное нуждается в некотором уточнении. Пусть сначала поглощение
отсутствует, и собственные частоты вещественны (йА = со*). Тогда,
если интегралы в G1.12) отличны от нуля, то
I ак ->■ Ък -V оо
\ при со->-соА.
Это идеальный резонанс типа к; поскольку, как можно показать,
при исключении А-го члена ряды G1.3) сходятся, т. е. дают конеч-
конечные величины, которыми можно пренебречь, поле вынужденных ко-
колебаний имеет строение типа к свободных колебаний. Резонанс
типа к невозможен, если в силу характера источников равны нулю
интегралы в выражении ак (Ьк): «источники не имеют й-проекции».
Так, например, в случае прямоугольного резонатора, возбуждае-
возбуждаемого током, направленным по оси х (/ст = л:0/ст). не будет резо-
резонанса типа Епо (Ек = 20Ек), так как /"Ёк = 0. Интенсивность
возбуждения той или иной структурной составляющей зависит от
ориентации элементов связи; для положений, показанных на
рис. G1.2), она максимальна.
При наличии поглощения модули коэффициентов а^ и Ьк пропор-
пропорциональны функции частоты
' G1.13)
СО2— СО*
Учитывая, что, согласно F9.26), Bк = а'к/2а'к есть добротность ре
зонатора для типа колебаний к, запишем:
Л , Ч 1
Функция Ак (со) имеет максимум при частоте со
тах Ак (со) = Ак (со(А)) = -%,
©(*)
щ
G1.13а)
со(А), причем
G1.14)
Речь идет о реальном резонансе системы; резонансная частота со(й)
тем ближе к вещественной части со^ собственной частоты соА, чем
выше добротность (}к. При этом, как мы видим, коэффициенты ря-
рядов G1.3) ак и Ьк принимают максимальные значения ак(®(к))
и Ък (со(А)), которые пропорциональны добротности О.к.
На рис. 71.4 представлен график функции Ак (со), отнесенный
к ее максимальному значению Ак (со(А)); это типичная резонансная
кривая. Пренебрегая в G1.13а) членом 1/4B! и учитывая прибли-
'
женное равенство
15»
СО \2 . о
легко показать, что
G1.15)
451

где 2Асоо — «полоса пропускания» резонатора для колебаний
типа к, на краях которой — по определению — амплитуда возбуж-
возбуждаемого поля падает в У2 раз (рис. 71.4). Частотную характери-
характеристику резонатора выражает функция Ет (со) или Нт (со) G1.3);
-4-3-2-101234
Рис. 71.4.
при достаточно высоких добротностях (За ее график близок к нало-
наложению резонансных кривых всех типов колебаний, причем интен-
интенсивность последних зависит от характера источников (элементов
связи), что отражают интегралы в G1.12). Рис. 71.5 качественно
иллюстрирует сказанное. Отметим, что коэффициенты при потен-
потенциальных функциях в G1.3) изменяются монотонно, возрастая
Рис. 71.5.
с уменьшением частоты; отвечающие им структурные компоненты
поля не резонируют.
Полученные результаты допускают дальнейшее обобщение.
Хотя в сущности все действия выполнены для случая полой системы
с идеально проводящей оболочкой при поглощении во внутреннем
диэлектрике, формулы G1.3), G1.12) и последующие могут приме-
применяться при рассмотрении резонаторов с металлической оболочкой
и даже при излучении. Для этого требуется, чтобы строение полей
отличалось от предыдущего лишь незначительно, а данное условие
часто выполняется. Тогда надо только изменить величины комплекс-
комплексных собственных частот, определив их по формуле F9.28).
6. Прямоугольный резонатор. На основании того, что уже
известно.о свободных колебаниях резонаторов (§ 70, пп. 1 и 2),
нетрудно построить соответствующие системы собственных функ-
функций {Еп, Е„'\ и {//„, //„'}> подчиненные соотношению G1.8). Соле-
452

ноидальные функции в случае прямоугольного резонатора уже
имеются в виде выражений G0.1) и G0.2); их надо лишь нормиро-
нормировать. Потенциальные находятся дополнительно. Окончательно
имеем:
электрические функции
Ец-> = Х0Ах СОЗ № 8Н1 %уУ 81П %г2 +у0Ау 8Ш %хХ СОЗ %уу 8Ш Хг2 +
I & Л С1 Г1 V V С1 П V /У РП^ V 7* 1/1 I ^^
магнитные функции
Нцч = ДГоВл 31П Хх* СОЗ Х^У СОЗ Хг2 +У0Ву СОЗ ХхЛ: 51П Х^У СОЗ Хг2 +
+ г0Вгсо$%ххсо8%уу5т%гг. G Г. 17)
Здесь и далее
так что индекс г(/'понимается как совокупность трех чисел: г(/) =
= (т, п, р).
Соленоидальные подсистемы (Ец-> = Е{, Дп = Д) состоят из
Е-функций и Н-функций. Для ^-функций в G1.16) и G1.17)
2УТ
G1.19)
где т ф 0, п ф 0 к р ф 0. Третье из этих чисел может быть нулем,
но тогда все приведенные коэффициенты умножаются еще на 1/1^2,
что диктуется соотношением G1.8).
Запишем аналогичные выражения коэффициентов в G1.16) и
G1.17) для Я-функций:
2У2 %у
Аи —
В, = -
«2УТ
— г2 К2
G1.20)
где тфО, пфОирфО. Нулю может быть равно т или п; тогда
коэффициенты умножаются на 1/|/.
Читателю рекомендуется проверить, что формулы G1.16),
G1.17) при коэффициентах G1.19), G1.20) совпадают с выражениями
453

комплексных амплитуд, получаемыми из G0.1), G0.2) при должном
выборе постоянных Е„ и Йо, а также убедиться в выполнении соот-
соотношения ортонормировки G1.8).
В потенциальных подсистемах
= Ег =А §гас!
%уу зш
G1.21)
и коэффициенты в формулах G1.16) и G1.17) имеют вид
-12У2
У\г\аЫ к
—12 У2 Ху
В —
~12У2
G1.22)
В G1.22) предполагается, что т ф 0, л =^= 0, р фО. Однако одно
или одновременно два из этих чисел могут быть нулями, и тогда
1у коэффициенты умножаются на A/у)а, где
I а — число нулей (а = 1, 2).
В качестве примера рассмотрим прямо-
прямоугольный резонатор, возбуждаемый прямоли-
нейным элементом тока (рис. 71.6), причем
■//
IX
-Г
——*.
/
/
а
2
Рис. 71.6.
G1.3) соответствующий член и запишем:
@<у<Н)
G1.23)
(о б-функции см. Приложение 2). Желая
найти компоненту поля вынужденных коле-
колебаний, имеющую строение Н101, выделим из
где, согласно G1.16) и G1.20),
—2 . яг . лх
Ь а
G1.24)
G1.25)
(внутренняя среда — вакуум или воздух: г = е0, ц = \10). На ос-
основании G1.12)
% = •
}ст
]т ^101
Еш АО = [
.-•2/3
со
со2~со|о1'
G1.26)
454

где ввиду F9.28), G0.3) и G0.8)
1
«Ш =
+
а 01
G1.27)
При резонансе (со = со101) в соответствии с G1.3), G1.26)
ЁЁ :=^|^5Ш^ш^. G1.28)
§ 72. Вынужденные волны волновода
1. Постановка задачи. Исходные соотношения. Для возбуж-
возбуждения волн в направляющих системах используются те же самые
средства, которые были рассмотрены в § 71, п. 1. Элементы связи,
т. е. элементарные антенны, прямо или косвенно соединяющие
направляющую систему с генератором (например, через посредство
г)
д)
е)
ж)
Рис. 72.1.
другой направляющей системы), имеют вид штырьков, рамок (пе-
(петель), отверстий (в частности, щелей). Штырьком возбуждаются
волны С параллельной ему электрической компонентой, петлей —
волны с магнитной компонентой, направленной по нормали к ее
плоскости. Отверстия соединяют области систем, в которых их
поля должны иметь близкие структуры. Поэтому, например, ос-
основную волну Н10 прямоугольного волновода можно возбудить
коаксиальным кабелем, заканчивающимся штырьком или петлей,
как это показано на рис. 72.1, а, б, или другим прямоугольным вол-
волноводом с основной волной через щель (рис. 72.1, б). На рис. 72.1
представлены и различные иные случаи расположения элементов
связи в направляющих системах.
На рис. 72.2, а схематически изображен бесконечный волновод,
содержащий источники в некоторой ограниченной области V между
поперечными сечениями 5Х и 5а. Каково бы ни было поле в V,
455

за границами 5а и 52 в полубесконечных регулярных участках вол-
волновода оно может быть представлено в виде суперпозиции всевоз-
всевозможных свободных полей. Призтом речь может идти только о вол-
волнах, расходящихся от источника, либо (когда условия распростра-
распространения не выполнены) затухающих в тех же направлениях «запре-
«запредельных» полях. Собственно, данное требование есть выражение
условия излучения для волновода (Приложение 5, п. 3). Если — при
отсутствии поглощения — распространяться может одна основная
волна, то она лишь фактически и сохраняется на достаточно больших
расстояниях от источника; остальные (высшие) поля экспонен-
экспоненциально затухают (§ 62, п. 3, § 64, п. 3). Это условно отмечено на
рис. 72.2, а.
Поскольку в дальнейшем будут составляться суперпозиции
свободных полей волновода, введем необходимые средства описания.
5/ 5? 5). 5% 52
'Г
Высшие поля
а)
6)
Рис. 72.2.
Комплексные амплитуды векторов Е и Я свободных полей, имею-
имеющих характер волн, распространяющихся вдоль оси г, будем обоз-
обозначать Ёт1" и //т+, а при изменении направления на обратное — Ё$Г
и #т~; индекс п указывает тип поля, Согласно F1.1) и F1.2)
G2-1)
(при отсутствии поглощения либо П = 0, либо П, = 0; в последнем
случае мы имеем запредельное поле). При этом удобно выделить
поперечные компоненты векторов Ш% и 3€^\ устанавливая для них
обозначения, на основании формул F1.8), F1.10) и F1.11) запишем:
«л = еп, 3€% = ± К; К = IVп к, <?„].
G2.2)
Векторные функции еп и Н„ подчинены уравнениям Гельмгольца
(получаемым проектированием уравнений F1.4) и F1.5) на попе-
поперечное сечение волновода). Точнее, это собственные функции задач
= О в
^О в
впг = 0,
G2.3)
являющихся двумерными аналогами граничных задач (П5.29) и
456

(П5.30). Здесь 5_^— поперечное сечение волновода, а !,_[_— его
контур. Поэтому системы {еп} и {Нп} вполне аналогичны х) рас-
рассмотренным в § 71, п. 2. Мы ортонормируем их, принимая во внима-
внимание связи G2.2), следующим образом:
еке%
=Ь
кп I
G2.4)
' Теперь можно перейти к формулированию условий задачи о воз-
возбуждении поля в волноводе. Волновод бесконечен, и все источники
заключены в ограниченной области V на его отрезке 0 <; г ■< /
(рис. 72.2, б). Они заданы посредством функций /ст и /м в V и /^т
на отверстии в оболочке волновода, которая считается идеально
проводящей (ср. § 71, п. 1).
Поле вне V представляется в виде рядов
Ет=
п=1
СпЁпп-, 2<0;
• т > <■ г= '
п=1
с»
G2.5)
Надо определить коэффициенты этих рядов.
2. Решение задачи. Исследуемое вынужденное поле подчинено
неоднородным уравнениям Максвелла
го! Ёт = — шц Нт —
G2.6)
а свободные поля волновода — решения однородных уравнений,
которые ниже записаны в комплексно сопряженной форме:
G2.7)
(ё = е, ц = \1, так как поглощение по условию отсутствует).
Рассмотрим попарно первую строчку G2.6) и вторую строчку
G2.7), выполнив умножение на (Й%г)* и Ёт соответственно, а затем
оставшиеся уравнения с множителями (Е^г)* и Йт. Взяв в качестве
области интегрирования объем V (рис. 72.2, б), произведем
*) В системах (е„) и (й„) можно было бы выделить соленоидальные и потен-
потенциальные подсистемы. Как видно из F1.10) и F1.11), соленоидальны магнитные
компоненты Е-полей (сИу^йп=0) и электрические компоненты Я-полей
(<Ич±еп = 0), а потенциальны электрическое компоненты 5-полей (го1_{_0л = О)
и магнитные компоненты Д-полей (го^йя=0).
457

действия того же рода, что и в § 48, п. 1 (см. также § 71, п. 3). Это дает
где 5 — граница объема V, или
= - \ [Ё%, (Й*?)*]
5
G2.8)
так как на боковой поверхности волновода тангенциальные компо-
компоненты векторов Ёт и Ё^г* равны нулю, за исключением отверстия,
где Ётх = ЁСтХ.
Левую часть равенства G2.8) обозначим /±; внося в нее пред-
представления G2.5), имеем
я=1
G2.9)
(внешняя нормаль направлена по г на 52 и против г на 5!). Внося
в G2.9) выражения G2.1) и учитывая соотношения G2.2), G2.4),
убеждаемся, что в каждой из сумм отличен от нуля только один
член, и находим
,±_„-(- V*
\Ук
„+
Для распространяющихся волн (со Э= сокр при данном к) Тк и
Шк вещественны и положительны, а для запредельных полей
(со-< сокр) ГА=—г|ГА| и Шк = ц11\Шк\ (верхний и нижний знаки
в случаях Е и Н полей соответственно). Поэтому
^ = 2^ при
[4- '2^, тип
I — 12с±у тип
при
@
кр
G2.10)
и из G2.8) получаем следующие формулы для коэффициентов рядов
G2.5):
G2.11а)
458

(со<сокр). G2.116)
Поставленная задача решена.
Если ек и Ни вещественны (в поперечном сечении волновода
стоячая волна: циклический поток энергии отсутствует), то полу-
полученный результат можно представить более кратко:
G2.11в)
Здесь перед слагаемыми знак выбирается не в соответствии с верх-
верхним индексом, а по правилу: верхний знак при со ;>= сокр и нижний —
при со < сокр.
$2
"* 1
Рис.
1}
72
■Л
б)
.3.
1 _
1
а)
3. Пример возбуждения волновода. Заключение. Пусть прямо-
прямоугольный волновод возбуждается элементом тока (рис. 72.3, а)
так, что
^^УЛ8(г-г1)8(х-х1) ф<У<Н). G2.12)
Определим коэффициенты с± = с± для основной волны Н10.
По формулам G2.11а, б) или G2.Ив)
с^ = —
где
=у0
G2.13)
G2.14)
(см. F4.15) и G2.4)). Внося G2.12) и G2.14) в G2.13), получаем
Чтобы найти комплексную амплитуду вектора Е волны Н10,
распространяющейся от элемента тока в направлении оси г, и
459

волны Н10 противоположного направления (со ^ сокр), а также со-
соответствующих запредельных полей (со < сокр), надо взять теперь
один член ряда G2.5). Это дает
? г<г1), G2.16)
где
и У10=
Как видно, амплитуда возбуждаемой волны пропорциональна
величине рт =_уо/"/г/со, являющейся амплитудой момента диполя
Герца, эквивалентного действующему источнику (§ 44, п. 1). В за-
зависимости от горизонтального смещения хх амплитуда Ет меняется
синусоидально (максимальное возбуждение при хх = а/2), частот-
частотная же зависимость имеет резонансный характер: Ет -> оо при
К -*■ 2а; напомним, что не учтено поглощение.
Вычислим поток энергии, выходящий из области V (рис. 72.3, б),
при условии, что характер распространяющейся волны имеет только
поле типа Н10. Согласно F3.2) и G2.16) через поперечное сечение 52
в среднем проходит поток энергии
2
31П2
а поскольку излучение в обоих направлениях одинаково, то полный
поток энергии из V вдвое больше; он равен средней мощности излу-
излучения элемента тока в волноводе, которую обозначим Р2. Таким
образом,
^1*'^»»^. G2.17)
И7*0 ЧаЬ а
При К > 2а волновое сопротивление Шхо оказывается чисто
мнимым; как видно из G2.17), при этом передача энергии в волно-
волновод отсутствует: Р2 = 0.
Как и в случае элементарного электрического излучателя в сво-
свободном пространстве (§ 44), в данном случае также можно ввести
понятие сопротивления излучения <МЪ— 2Ръ11Ст- Читателю ре-
рекомендуется произвести соответствующее сопоставление с форму-
формулами D4.18).
В заключение сделаем некоторые замечания.
Ценой усложнения можно было бы распространить теорию воз-
возбуждения полей на волноводы с поглощением (ср. § 71). Однако
в этом нет особой необходимости, так как при частотах, существенно
отличающихся от критических, полученные результаты вполне
460

достоверны (а именно эти случаи представляют практический ин-
интерес).
В технических устройствах возбуждающие элементы распола-
располагаются в волноводах обычно вблизи оконечных металлических пе-
перегородок — «закорачивающих стенок», которые иногда выпол-
выполняются в виде перемещаемых «поршней». Применение формул G2.11)
в подобных случаях требует лишь небольших дополнительных рас-
рассуждений. Так, если в рассмотренный выше прямоугольный вол-
волновод ввести металлическую (практически идеально проводящую)
перегородку (рис. 72.3, в) на расстоянии гх от элемента тока, то
движущаяся в ее сторону волна основного типа отразится с изме-
изменением фазы на 180° (ср. § 33, п. 4) и наложится на прямую волну,
пройдя в сравнении с ней дополнительный путь 2гх. Таким обра-
образом, к комплексной амплитуде, вычисляемой по формуле G2.16),
мы должны добавить еще величину, отличающуюся на множитель
_ (.1* г,
— е—12Г10г1 = — е л» '• в результате получаем
№,п1стк пхл пх
Ет = -уо-^=-8т-8т-A-в-'^.)в-т»(г-*.) =
1X1 - ПХ (Г 2 /1 ^ О \ / -^ Ч
— мп — с 1и ^Л <^ ^и}у \с ^> %\.)'
"У G2.18)
Мощность излучения Рг будет равна
2ягх . пхх
2 л^^ G2.19)
(ср. G2.17)).
§ 73. Волноводные системы
1. Предварительные замечания. В радиотехнике СВЧ при-
применяются устройства, составленные из отрезков направляющих
систем (в частности, полых волноводов), объемных резонаторов,
а также различных иных элементов, к числу которых относятся и
элементы связи (§ 71, п. 1, § 72, п. 1); будем кратко называть их
волноводными системами. На основании материала, изложенного
в §§61—72, можно уже многое сказать об электромагнитных процес-
процессах в реальных волноводных системах, но необходим ряд дополни-
дополнительных соображений.
Начнем со следующих замечаний.
В § 55, п. 2 при описании щелевых излучателей было отмечено,
что если в идеально проводящем листе прорезать узкую щель,
не пересекающую тока проводимости, то излучение, можно ска-
сказать, будет отсутствовать. То же самое, конечно, можно утверждать
и в отношении щелей в оболочках волноводных систем, и это всегда
принимается во внимание при их конструировании. Так, например,
круглый волновод, в котором распространяется волна Нш, может
461

быть «безболезненно» разрезан поперек (рис. 73.1, а), поскольку
ток в оболочке азимутален; в случае же какой-либо волны типа Е
допустим продольный разрез (рис. 73.1, б). В прямоугольном вол-
волноводе с основной волной Н10 можно сделать неизлучающие щели,
показанные на рис. 73.1, в (продольная щель в ряде случаев исполь-
используется для введения зондирующего элемента). Цилиндрический
резонатор при колебаниях НШр можно перестраивать в диапазоне
частот, изменяя его объем при помощи подвижного «поршня» (дна),
не опасаясь существенного уменьшения добротности в результате
излучения из кольцевой щели (рис. 73.1, г). Число таких примеров
легко увеличить.
Второе замечание касается описания металлических элементов
волноводных систем, т. е. в первую очередь металлических оболо-
оболочек полых волноводов и резонаторов. Во многих случаях металл
можно принимать за идеальный проводник. Затухание волн, про-
проходящих короткие отрезки направляющих систем, практически
Отр
е)
незаметно. В длинных же линиях передачи это важнейший техниче-
технический параметр. Надо иметь в виду, что металлические поверхности
бывают в той или иной степени шероховатыми в зависимости от
характера их обработки, в то время как выражения Г„ F3.21),
B„ F9.30) и аналогичные получены в предположении идеальной
гладкости границ раздела сред. Поэтому вычисляемые значения
Гм и BМ обычно несколько отличаются от экспериментально наблю-
наблюдаемых; иногда вводится представление об эквивалентной удельной
проводимости а шероховатой поверхности, которая должна быть
внесена в F3.21) или F9.30) вместо а для получения правильного
результата. Значения а для разных случаев можно найти в справоч-
справочниках, например, в [Л. 3].
2. Волноводный тракт. Под волноводньш трактом, или линией
передачи, понимают отрезок направляющей системы, соединяющий
генератор с каким-либо устройством, условно называемым «полез-
«полезной нагрузкой». В волноводный тракт могут вводиться элементы
разного назначения (измерительные, регулирующие и др.), он
может быть разветвленным; наконец, выполняемая им функция бы-
бывает более сложной, чем простое соединение генератора с его на-
нагрузкой. Но для определенности мы рассмотрим сначала простей-
простейший пример волноводного тракта.
Пусть волноводный тракт представляет собой отрезок про-
продольно регулярного (с неизменным поперечным сечением) полого
волновода. На одном конце он возбуждается генератором, напри-
462

мер клистронным, энергия которого вводится при помощи штыре-
штыревого элемента связи; при этом имеется (рис. 73.2, а) перемещаемый
«закорачивающий поршень» (ср. § 72, п. 3), служащий для регу-
регулировки возбуждения. Каково бы ни было поле в волноводном
тракте, на регулярном участке волновода оно может быть пред-
представлено в виде суперпозиции его всевозможных свободных полей
(ср. § 72, п. 1). Обычно размеры волновода таковы, что характер
распространяющейся волны имеет лишь поле основного типа; эта
волна и передает энергию нагрузке. Вблизи элемента связи поле,
будучи вообще довольно сложным, содержит компоненты в виде
высших полей волновода, однако они экспоненциально затухают
/
% \ \ ° ■ —^ I\
Высшие поля \\г(О
-; *
/ б)
%1Г: ! ! л . V I Ч . Нагрузт
Области регулярного \
режима
в)
Рис. 73.2.
в направлении к нагрузке и, начиная с некоторого поперечного
сечения 5Х, становятся пренебрежимо малыми. В зависимости от
свойств нагрузки, вид которой мы не уточняем (это может быть,
например, антенна), в тракте существует также более или менее
интенсивная обратная волна основного типа, называемая отражен-
отраженной. Вблизи нагрузки поле вообще содержит компоненты в виде
высших полей волновода, которые затухают в направлении к ге-
генератору и пренебрежимо малы, начиная с некоторой границы 52.
В области тракта между сечениями 5Х и 52, таким образом, есть
лишь прямая и обратная волны основного типа; будем называть
ее областью регулярного режима. Пользуясь обозначениями G2.1),
представим комплексные амплитуды поля области регулярного
режима в виде
Йт = с\
(п = 1), где с\ и сГ— амплитудные коэффициенты того же рода,
что и коэффициенты рядов G2.5). При помощи соотношений G2.2)
запишем поперечные части векторов Ет и Нт:
463

где введено обозначение
Ро ■= т+ — #Т~
г-0
G3.3)
Величина р0 называется коэффициентом отражения, отнесен-
отнесенным к сечению 2 = 0. Что касается записи G3.2), то она по своей
форме повторяет выражения C6.13), полученные при анализе нор-
нормального падения плоской', однородной волны на границу раздела
сред. Разница состоит в том, что теперь локализованной в простран-
пространстве отражающей границы может и не быть. Может оставаться не-
неизвестным, как именно формируется отраженная волна где-то
12Пх
2Г.Х
-ре
12П2
р>0
2 Г, г<О
б)
Рис. 73.3.
в области нагрузки; мы имеем право лишь говорить о ее существо-
существовании в регулярном участке волновода (внутри которого лежит
область регулярного режима). Поэтому часто определяют коэффи-
коэффициент отражения в произвольном сечении г этого участка как
функцию
р = рB) = -т^ = -т^. ' G3.4)
Очевидно,
ст1
т1
р"о=р(О).
G3.5)
Напомним, что формулы C6.13) позволили построить диаграммы
(рис. 36.3 и 36.4), поясняющие строение поля, представляющего
собой наложение прямой и обратной волн. Выражения G3.2) при-
приводят к аналогичной интерпретации строения поля в области ре-
регулярного режима (рис. 73.3, а, б); все необходимые рассуждения
читатель найдет в § 36, п. 3.
464

Составим далее отношение
2 = 2{г) = Ётг1Нт{. G3.6)
Функцию 2 (г), определенную на регулярном участке волновода,
называют сопротивлением в сечении г для волны основного типа.
Из G3.2) с учетом G3.5) и G2.2) следует, что
&\±2 G3.7)
1—р
и если отраженная волна отсутствует, то 2 — №\.
Почему отношение величин Ёт( и Йт{ называют «сопротивле-
«сопротивлением»? Если направляющая система является двусвязной, то при
рассмотрении ее основной ТЕМ-волны можно оперировать не
только напряженностями полей, но также напряжениями и токами.
Пусть, в частности, речь идет о двухпроводной линии, в которой
распространяются прямая и обратная ТЕМ-волны. Напряжение и
ток в некотором сечении при этом имеют вид
\
Обозначая
р--4«р. и Щ = ±ЧГЖ G3.9)
(см. также § 66, п. 2), составим отношение величин От и /т, кото-
которое есть не что иное, как сопротивление линии в данном сечении г;
оно оказывается равным
2Д = ШД[^Ц, G3.10)
1—Р
где р = рое12кг.
По форме выражения G3.7) и G3.10) совпадают. Это означает,
что величина 2 (г) подобна сопротивлению 2Д (г), и можно построить
отрезок условной двухпроводной линии с параметрами №л = №х
и к = Гь который будет «моделировать» область регулярного ре-
режима волноводного тракта. Такой отрезок (рис. 73.2, б) при г = I
должен быть, нагружен сопротивлением 2Н = 2 (/).
Если, помимо генератора и нагрузки, регулярность волновода
нарушается включенными в него элементами, то вблизи каждого
из них поле тракта будет содержать компоненты в виде высших
полей волновода, экспоненциально затухающие с расстоянием.
На рис. 73.2, в представлен волноводный тракт с .включенным эле-
элементом (пассивным штырем), расположенным на относительно боль-
больших расстояниях от генератора и нагрузки; в этом случае в тракте
имеются две области регулярного режима.
Когда волноводный тракт является отрезком открытой напра-
направляющей системы (двухпроводной линии, диэлектрического вол-
волновода и др.), элементы, нарушающие регулярность системы,
465

вызывают излучение в окружающее пространство. Здесь так же
можно выделять области регулярного режима, в которых поле
тракта представляет собой суперпозицию прямой и обратной волн
основного типа.
На рис. 73.4, а, б показано два примера открытых трактов.
Открытый конец двухпроводной линии (рис. 73 и, а) подобен эле-
элементарному электрическому излучателю (§ 44). Область регуляр-
регулярного режима начинается там, где полем излучения, убывающим при
удалении от конца, можно пренебречь. Так как мощность излуче-
излучения пропорциональна (й/ХJ (ср. § 44, п. 4), при достаточно малом
расстоянии между проводами действие концевой нерегулярности
практически незаметно. Следует подчеркнуть, что аналогично от-
открытому концу проявляет себя любая нерегулярность двухпровод-
двухпроводного тракта. Другой пример — отрезок линии Губо (§ 61, п. 3),
Область
регулярного \ , ^Излучение
режима
:у
Область регулярного
режима
б)
Рис. 73.4.
переходящий при подключении к генератору и нагрузке в коак-
коаксиальную линию; соединительные элементы имеют вид рупоров.
Требуется, чтобы осуществлялось преобразование волны ТЕМ коак-
коаксиальной линии в волну Еоо линии Губо на передающем конце и
обратное преобразование — на приемном. «Чистая» волна Еоо
формируется на некотором расстоянии от рупора, где и начинается
область регулярного режима; соединительные элементы конструи-
конструируются так, чтобы свести к минимуму излучение в окружающее
пространство.
3. Общее описание волноводных систем. На рис. 73.5 в не-
нескольких вариантах изображена полная система с присоединенными
к ней регулярными волноводами; последние могут быть односвя-
зными и многосвязными, но обязательно являются экранирован-
экранированными. Мы не задаемся каким-либо определенным внутренним уст-
устройством полой системы и формой ее оболочки. Такой волноводный
трансформатор может содержать внутри себя различные прово-
проводящие и диэлектрические элементы, изотропные и анизотропные.
Наша задача состоит в том, чтобы установить средства описания
общего вида волноводных трансформаторов.
В каждом из присоединенных волноводов выделим определенное
поперечное сечение, которое назовем входным сечением. Взяв ка-
какое-либо из входных сечений 5а, построим для него системы функ-
466

ций {еп{а)} и {Н{па)) (§ 72, п. 1), подчиненные условиям ортонорми-
ровки вида G2.4)
Нк (а) Л*(а) ^5'.
-G3.11)
Любое поперечное поле на 5а разлагается по этим системам в орто-
ортогональные ряды:
V
"от(а) =
G3.12)
Пусть такое разложение произведено на всех входных сечениях
волноводного трансформатора (<х= 1, 2,..., Р), т. е. можно говорить
Рис 73.5.
о коэффициентах Фурье а„(а) и Ья(а). Объединяя все эти коэффи-
коэффициенты, составим векторы (см. Приложение 9, п. 1)а=(с1A), а2A),...
..., пц2), С2B), ...) И &=(&!(!), ^2A). •••. ^1B). ^2B). ••■)■ ЕсЛИСреДЭ
внутри волноводного трансформатора линейна и пассивна (отсут-
(отсутствуют источники), то векторы а и-Ь связаны линейной однород-
однородной зависимостью,, так что можно написать:
а=1Ъ и Ь=Уа, G3.13)
где матрицы У и 2. называют матрицей сопротивления и соот-
соответственно матрицей проводимости волноводного трансформатора.
Они имеют строение, которое ниже поясняется на примере мат-
матрицы 2:
2=
2УУ
221
212
222
. . .
. . .
. • •
. . .
21Р
2РР
где 2а$ =
(клетки 2ар — бесконечные матрицы).
а,Р=1, 2 Р G3.14)
467

Поскольку на каждом сечении 5а поле можно представить
также в виде суперпозиции прямых и обратных волн данного вол-
волновода с поперечными компонентами еп(а) и Нп{а) (включая запре-
запредельные поля), то вместо G3.12) можно написать:
со
2^ (с"(а)#я(а) + Сп(а)еп(а))>
G3.15)
Совокупности всех коэффициентов с^(а) и сй(а) (а=1, 2,...,Р;
п=\, 2,...) образуют векторы с+ и с~ такого же типа, как а и Ь,
причем на основании сопоставления G3.12) и G3.15) имеем .
Ь = с+ — с-.
В линейном однородном соотношении
с- = #с+ - G3.17)
матрица К называется матрицей рассеяния; зная К, можно опре-
определить амплитуды всех уходящих («рассеянных») волн в виде век-
вектора с-, если заданы амплитуды волн приходящих («падающих»),
определяемые вектором с+.
Матрица рассеяния имеет такую же структуру, как матрицы
2 и V G3.14). Смысл ее элементов очень прост. Пусть все волно-
волноводы бесконечны и только по одному из них на сечение 5а падает
волна типа п(а), т. е. вектор с+ имеет только одну отличную от
нуля компоненту с^а). Тогда, согласно G3.17), в этом волноводе
появляется отраженная волна того же типа с амплитудным коэф-
коэффициентом с-а) = #^с+а) и отраженные волны других типов, для
которых эти коэффициенты равны сыа> —■#""с+ • на остальных же
сечениях появятся прошедшие волны с амплитудными коэффициен-
коэффициентами с~р) = ^Р«с+а). Таким образом, элементы К™п — это коэффици-
коэффициенты отражения для входных сечений 5а (при к = п речь идет
об отражении волны без преобразования типа), а элементы Щ%~
коэффициенты прохождения (передани) данного волноводного транс-
трансформатора.
Установим связь матриц Я, 2 и У. Из G3.13) и G3.16) сле-
следует: с+ + с- = 2(с+ —с") и далее, с учетом G3.17):
(I + К) с~ = 2 (I — Я) с-. На этом основании пишем:
,2(/-#), G3.18а)
а отсюда
2= (/+#) A-К)-1 и Я = B + 1)-1B~1). G3.186)
468

Аналогично находим
/-Я = У(/+#). G3.19а)
откуда
и Я = A+ ГУ1 A-У). G3.196)
Наконец, на основании G3.13)
У = 1-\ G3.20)
Нетрудно увидеть в первом из соотношений G3.186) обобще-
обобщение ранее полученного равенства G3.7). Можно сказать, что в п. 2
была рассмотрена простейшая система с одним входным сечением
(/э=1) и одним типом поля. Матрицы 2 и Я имеют при этом по
одному элементу B\\ и Яи), так что ра-
равенство G3.186) принимает вид 1\\= . о\{
— ^11
и переходит в G3.7). При этом Я\\ =
= р — коэффициен т отражения для основ-
основной волны, а 2\\ — «нормированное» (отне-
(отнесенное к Шг) сопротивление 2/№х.
Наконец, отметим следующее важное
обстоятельство. Хотя в общем случае мат-
матрицы 2, У и Я бесконечные, всегда можно так
расположить входные сечения (при достаточ-
достаточной длине волноводов), чтобы матрицы пра-< Рис 73.6.
ктически стали конечными. Пусть в каждом
из присоединенных волноводов характер распространяющейся волны
имеет только один тип поля. Это значит, что если сечение 5а на-
находится в области регулярного режима, то в выражениях G3.12)
можно считать равными нулю все коэффициенты, кроме а1(а) и
Ъца). Векторы а и Ь оказываются только /^-мерными: а = (а1A),
йц2), •■■-, &1{Р)) и Ь = (Ъц1), Ъц2),..., Ьцр)), и в бесконечных кле-
клеточных матрицах 2аР G3.14) остается по одному элементу 2®$
(это касается, конечно, и аналогичных матриц У°Р и Я^)- Таким
образом, при отнесении входных сечений 5а в области регуляр-
регулярного режима (рис. 73.6) матрицы 2, V и Я будут иметь равный
числу входных сечений порядок Р. Волноводный трансформатор
описывается тогда, как 2/э-полюсник в теории цепей.
§ 74. Свойства волноводных трансформаторов
1. Матрицы сопротивления и проводимости. Ниже мы будем
рассматривать только волноводные трансформаторы с входными
сечениями, лежащими в областях регулярного режима присоеди-
присоединенных волноводов, передающих лишь одну основную волну.
Выясним некоторые свойства матриц 2 и У.
Мысленно построим поверхность 5, проходящую через все вход-
входные сечения 5а и полностью охватывающую волноводный транс-
трансформатор (рис. 73.6). Векторы поля отличны от нуля только на 5а,
469

причем представления G3.12) имеют вид: Ёт(а) = а1(а)е1{а) и
Нт(а)=Ь1(а)/11{а); волновые сопротивления вещественны {Ш1{а) =
= №\(а))- ПОЭТОМУ
р р
5 а = 1 5а а = 1
Можно задать такое поле, что на входных сечениях попереч-
поперечная электрическая компонента будет отсутствовать везде, кроме
одного из них:
Ётт = 0, а=1,2, ..., р-1, р+1, ..., Р, )
^т{а) V НТ [ G4.2)
(а1(Р)^0). Это так называемый «режим короткого замыкания»;
он будет иметь место, если в соответствующих входных сечениях
введены идеально проводящие перегородки. При условии G4.2)
из G4.1) следует:
<§ [Ет, Нт\ с1з= — а1(Р) &*(Р). G4.3)
Если волноводный трансформатор является непоглощающим и пас-
пассивным, то, согласно C0.11),
„, Я*] Й5 = 0. (е" = 0, [х" = 0, Р^ = 0). G4.4)
В то же время при условии G4.2) &1(р) = УРРацр). Поэтому правая
часть G4.3) принимает вид— \Ь1{^ |2=УРР*, и из G4.3) с учетом
G4.4) получаем
КУде 0, G4.5)
т. е. все элементы матрицы проводимости УРР (сечение 5Р произ-
произвольно: |3= 1, 2, ..., Р) в случае пассивного непоглощающего транс-
трансформатора являются мнимыми.
Задав далее «режим холостого хода»
) = 0, о=1, 2......Р-1, РЧ-1, -,Р,\ G4б)
!
ц^О), также приходим к равенству G4.3). Теперь можно на-
написать: а1(р) = 2РР&1,р), и в правой части получить —|а1(Р) |22РР.
Отсюда
Ке2рр = 0, G4.7)
т. е. мнимыми являются и все элементы 2.$ матрицы сопротивления.
Теперь используем лемму Лоренца в форме D8.6). Применяя
ее к прежней области, ограниченной поверхностью 5, проходящей
через все входные сечения (рис. 73.6), имеем
ф {[&,» Йт1] - [Ёт1, Йт2}) аа = 0. G4.8)
5
470

Пусть режим короткого замыкания распространен на все входные
сечения, кроме двух 5р и 5Г Каковы бы ни были два разных ре-
решения уравнений Максвелла ЁтЪ Нт[ и Ёт, Йт2, на входных се-
сечениях 5р и 5У представления G3.12) дают
*7<1.2) ,A,2) ^ (л/№и{^ I ^Ь<1.2)\Л.._ на о >
на 5У;
I /7т(р)^(р) «1(р) На Ор,
Н 1 о ^= Л
(верхние индексы A,2) указывают на принадлежность первому и
второму решению). Внося это в G4.8), при вещественности
и Лкр,У) с учетом G3.11) пишем:
( у йр М&,+у В" О «4,+(УК" С+
- (к.? «4, + уВ" ^) ЯЗ» - (ЯГ С + уЙ1 &(.!р,) ь%=о,
откуда
у В"
и, следовательно,
Ур1Т= УйР @,у=1,2,...,Р). G4.9)
Матрица проводимости У, таким образом, симметрическая (При-
(Приложение 9). Анализируя аналогичный режим холостого хода, та-
таким же путем легко прийти к выводу, что
2^ = 2уР ф, у=1, 2, ...,/>). G4.10)
Следует подчеркнуть, что равенства G4.9) и G4.10), выража-
выражающие принцип взаимности для волноводного трансформатора
(ср. § 48, п. 2), верны только в пределах справедливости леммы
Лоренца (§ 48, п. 1).
Покажем, что все элементы матриц У и 2 непоглощающего
пассивного волноводного трансформатора, подчиненного принципу
взаимности, являются мнимыми («сопротивления» и «проводимости»
имеют «реактивный» характер). Создавая короткое замыкание на
всех входных сечениях, кроме 5а и 5р, в правой части G4.1) бу-
будем иметь — а1(р) Ь*(р> —а1(У) Ь*(У) (ср. 74.3)). На основании G4.4)
т. е.
Ке [а1(Р) (УРР а{т + У® а1М)* + ацу) (Ууу <ц(„ + УуЭ сцф))*] =0.
Отсюда с учетом G4.5) и G4.9) следует:
^у)) = 0,
471

а поскольку величина в скобках вещественна, то
КеУ^ = 0. ф, 7=1, 2, ..., Р). G4.11)
Аналогично устанавливается, что при тех же исходных условиях
.. Ке2^ = 0 ф, 7=1, 2, ...,/>). G4.12)
2. Матрица рассеяния. Ввиду соотношений G3.186) и G3.196)
при выполнении равенств G4.9), G4.10) матрица рассеяния Я яв-
является симметрической, как 2 и У:
Щ?^ЯУ? ' Ф, 7=1. 2 />) G4.13)
(это можно установить при помощи формул приложения 9).
Далее существенно, что для непоглощающего пассивного вол-
новодного трансформатора матрица рассеяния унитарна (прило-
(приложение 9). Покажем это. Унитарная матрица Я, согласно (П9.6),
должна быть подчинена соотношению ч__
Я^Я'1. „ G4.14)
Выражая Я через 2 при помощи формулы G3.186), записываем
обратную матрицу Я'1 в виде
Д-1 = B-/)-1 B + 1) G4.15)
(простая проверка показывает, что произведение этой мат-
матрицы на Я дает единичную матрицу /). Найдем сопряженную
матрицу Я, т. е. транспонированную и комплексно сопряженную.
Но матрица Я симметрическая, и поэтому /? = ./?*; таким образом,
= B-1уН2+1). G4.16)
Сравнивая результаты G4.15) и G4.16), видим, что равенство
G4.14) действительно выполняется.
Унитарность матрицы рассеяния есть следствие закона сохра-
сохранения энергии в форме G4.4). Поскольку
Е (с|(а) + СГ(а)) #1 (а),
( = №а) — сГ(а)) &1 (а),
это равенство можно записать так:
р '
Отсюда
р
47-2

т. е.
или
(К<«>12-|сг<«>12)=о
= (с-, с")
G4.17)
G4.17а)
(ср. приложение 9, стр. 604). Дальнейшие действия —те же, что
и в приложении 9. Выражая с через с+
при помощи соотношения G3.17), имеем ^
Рис, 74.1.
или, что то же,
(с*, 1с*) = (с
А это опять приводит к G4.14).
3. Примеры. Заключение. Рассмотрим
несколько простых примеров. Пусть в обла-
области регулярного режима волноводного тракта выделен отрезок дли-
длиной / (рис. 74.1). Поскольку распространяется только одна основ-
основная волна, которая проходит через выделенную область без отра-
отражений, приобретая фазовый сдвиг —IV, и нет причины для
появления высших полей, то матрица рассеяния имеет вид
0
е~
е
0
G4.18)
независимо от длины /; выбрав 1 = пА (п=\, 2, ...), получаем,
в частности,
0 1
1 0
G4.18а)
В радиотехнике СВЧ применяются так называемые направлен-
направленные ответвители. Это устройства, принцип действия которых можно
А_Щ<_В "%-Г
а)
б)
Рис. 74.2.
пояснить на примере двух волноводов, соединенных весьма малыми
отверстиями А и В (рис. 74.2, а), расположенными на расстоянии
Лх/4. Чем меньше размер отверстий, тем с большим основанием
можно считать, что каждое из них действует так, как если бы
оно было одно. Если в волноводе 1 от 5х к 52 распространяется
основная волна, то в присоединенном волноводе 2 возбуждаются
(помимо высших полей) четыре основные волны, условно обо-
473

значаемые Л+, А , В+ и В ; смысл этих символов понятен из
рис. 74.2, а. Волны Л+ и В+, налагаясь, дают волну, выходящую
из 54- Они интерферируют в фазе, потому что отверстие А воз-
возбуждается по сравнению с В с опережением на 90°, но зато в
присоединенном волноводе волна А+ отстает от В+ на те же 90°.
Что касается волн А' и В~, то они интерферируют в противофазе,
так что из 53 волна не выходит. Действительно, к опережению
возбуждения волны А' по сравнению с В' со сторны волновода 1
добавляется еще опережение на 90° в результате различия путей
в волноводе 2. Итак, распространяющаяся в волноводе 1 от 5Х
к 52 волна порождает в волноводе 2 волну, движущуюся парал-
параллельно. ■ Устройство симметрично, и мы придем к аналогичному
выводу, изучая первичные волны, идущие от 52 к 5Ь от 53 к 54
и от 54 к 53-
Имеется целый ряд способов построения направленных ответ-
вителей (причем более интересных, с технической точки зрения),
поэтому остановимся на общем их описании.
Общего вида направленный ответвитель условно изображен
на рис. 74.2, б. Если он идеален, то, как и в рассмотренном выше
случае будет:
#«=#•. = ^• = #« = 0. G4.19а)
Если также нет отражений, то
Я»=#ц=#;;=#ц-о G4.196)
(позднее будет показано, что эти условия должны выполняться
одновременно). Затем ввиду симметрии устройства
#12 = ^21 = ^34 = ^43 = ^ G4.20а)
#14 = #41 = #82 = .#28 = б. G4.206)
где а и й — некоторые комплексные числа. Таким образом, запи-
записывая матрицу рассеяния при входных сечениях, отнесенных в
области регулярного режима, имеем
0 й 0 й
й 0 й 0
0 й 0 й
й 0 й 0
Дальнейшую информацию об элементах матрицы Я принесет
учет того факта, что она унитарна. Умножая #=#* на Я, мы
должны получить единичную матрицу I:
G4.22)
474
# =
G4.21)
0
й*
0
й*
й*
0
й*
0
0
й*
0 "
а*
й*
0
й*
0
0
й
0
й
й
0
й
0
0
й
0
й
й
0
й
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

По правилу умножения матриц (приложение 9, стр. 603) находим
'} G4.23)
так что, обозначая й=ае'ф и Ь = Ь^ (а и Ъ вещественные), получаем
= ^ ~й' 1 G4.24)
Вторая строчка означает, что
соз (ф — г|з) = 0,
т. е.
ф — \|э = ±Bя— 1)у (л=1, 2,...), G4.24а)
и мы пришли к выводу, что прямая и ответвляемая волны нахо-
находятся' в квадратуре.
Покажем, наконец, что исходные условия G4.19а) и G4.196)
не являются независимыми, т. е. что идеальный направленный
ответвитель должен быть неотражающим. Предположим, что вместо
G4.19а)
#;! = #!» = #« = д42 = с' G4.25)
11 11 11 11 ' \ /
и внесем это значение в G4.22) вместо соответствующих нулей.
Тогда будет:
G4.26)
(первая из строчек совпадает со второй строчкой G4.23)). Но эти
уравнения несовместны. Действительно, перепишем G4.26) в виде
трех пропорций:
а о о с а с
Исключая из первого равенства а*1й и 6*/6, получаем
7~Т«
Предположение G4.25) отвергается.
Пример направленного ответвителя примечателен тем, что,
исходя из общих свойств матрицы рассеяния и симметрии системы,
удалось установить некоторые особенности последней, которые
непосредственно не очевидны. Число такого рода примеров можно
было бы увеличить.
475

Матрица рассеяния в сравнении с матрицами сопротивления
и проводимости дает более естественное средство описания волно-
волноводных трансформаторов, поскольку в действительности обычно
бывают известны не полные электрические и магнитные поля на
входных сечениях, а падающие волны. В то же время матрицы
2 и V позволяют составлять «эквивалентные схемы» волноводных
трансформаторов в виде цепей, точнее 2/э-полюсников; при этом
коэффициенты а1(а) и Ьца) рассматриваются как входные напря-
напряжения и токи соответственно.
Возьмем в качестве примера отрезок волновода, для которого
получена матрица рассеяния G4.18). На основании G3.186)
2=
т. е. согласно (П9.7)
2 =
1
1
— 1
1
= -/
G4.27)
ег- 'г>' 1
Перемножая матрицы, находим
с1§ ГУ созес Г:
созес Гх/ с1§ ГУ
Это значит, что действие отрезка волновода, выделенного в области
регулярного режима, можно выразить при помощи схемы эквива-
эквивалентного четырехполюсника,
г. г, 1,*ь„~, например, Т-образной (рис.
Ш)
иГаК1)
74.3), где
= -/ (с1§ Гх/ - созес IV)
Рис. 74.3.
22 = 2п = —I созес ГУ.
В заключение необходимо
подчеркнуть, что, кроме неко-
некоторых простых случаев, матрицы 2,У и И волноводных трансформа-
трансформаторов нельзя определить из элементарных соображений. Однако при
исследовании реальных систем элементы этих матриц можно нахо-
находить посредством измерений; соответствующие методы излагаются
в курсах радиоизмерений на СВЧ. Для вычисления матриц V,
2 и # надо располагать решениями специально поставленных
краевых задач электродинамики для рассматриваемого волновод-
ного трансформатора. Этого вопроса мы коснемся ниже в § 76.
§ 75. Теория возмущений
1. Постановка задачи. Принцип сравнения. Уже отмечалось,
что задачи о направляющих системах, объемных резонаторах и
волноводных трансформаторах лишь в немногих случаях являются
476

регулярными, т. е. имеют замкнутые аналитические решения. Однако
нерегулярные задачи иногда удобно рассматривать как регулярные,
претерпевшие некоторое отклонение, возмущение исходных условий.
При малости возмущения решение нерегулярной, возмущенной
задачи часто в некотором приближении можно определить, имея
решение регулярной задачи.
Начнем с того, что сопоставим две краевые задачи для урав-
уравнений Максвелла.
Задача 1 («начальная»)
Г01 С/710 == ^^оМ"О*
го1 Нт0 = щогоЕто
Етох = ^ на <->о
Етп== ЕтпУ на о
в Ко,
Задача 2 («возмущенная»)
го1 Ёт = — т\кНт,
го1 Нт =
в У,
= 0 на 5-
— ЕтХ На 5
G5.1)
Проницаемости е0 и \х0 — скалярные вещественные величины; час-
частота соо всегда вещественна (последнее уточнение имеет смысл при
А8,
в)
рассмотрении свободных колебаний). Области Уо и V с границами
50 и 5 обязательно пересекаются или совпадают, что составляет
важный частный случай (рис. 75.1, а).
Взяв уравнения G5.1) (задача 1) в комплексно сопряженной
форме и произведя уже знакомые действия (ср., например, § 71,
477

п. 3 и § 72, п. 2), получаем из G5.1) соотношения
= — /и $ \х,НтЙ%.а(}о + /соо $ гоЁтЁтФ— \ /тоЁте1у G5.2)
5.
= /«во $ \10НтЙи& - /и $ гЁтЁиЛъ - $ У "^с А> G5.3)
(предполагается, что при несовпадении областей У и Уо существуют
подчиненные уравнениям Максвелла продолжения функций Ёт,
Нт в Ко)- Объединяя равенства G5.2) и G5.3), находим
С0 ^ (АвЁтЕт0
+ Аа $ ([х0Ят//*0 + гоЁпЁ^о) (IV, G5.4)
где Де = е —е0, А[х = [х — [х0 и Дсо = со —соо.
2. Свободные колебания. Будем рассматривать объемный резо-
резонатор с идеально проводящей оболочкой; при этом возмущенная
задача будет отличаться от начальной характером внутренней сре-
среды — проницаемости получают приращения Де и А\1 в некоторой
части АУ объема Уо (рис. 75.1,6) (быть может, во всем объеме:
=К0). Полагая в G5.4) $„2=0, }то = О и /„т = 0, получаем
G5.5)
(Де^О и Д[х = О вне ДК; поверхностный интеграл исчезает, по-
поскольку при 502=0 на всей границе 50 нет тангенциальной, элект-
электрической компоненты обоих полей).
Пусть далее возмущение состоит в том, что в оболочке резо-
резонатора 50 появилось отверстие Д50 (рис. 75.1, д) либо оболочка
деформирована (рис. 75.1, в, г); тогда Д50 — начальное положение
границы в месте деформации. Полагая в G5.4) /^,=/^ = 0, 502 = 0,
Де = 0 и Ду. = О, находим
$ [Ёт, Нто]а$
АяG5.6)
о
\Ёт0х = 0 на всей границе 50).
478

Для случая деформации границы формулу G5.6) нетрудно пре-
преобразовать. Заметим предварительно, что соотношение типа G5.2)
можно записать, взяв вместо Уо объем деформации \У0, ограни-
ограниченный поверхностью Д50 + Д5, и считая при необходимости функ-
функции Ёт0 и Йт0 продолженными. Если, как и в G5.6), за поло-
положительную принимать внешнюю нормаль к 50, то это дает
/ $ [Ёт, Щ0]й8 = -^а $ цоЙтН^о (IV ± соо $ г0ЁтЁт0 (IV, G5.7)
Д5„ АУ„ ДУ„
где верхний знак соответствует увеличению, а нижний —умень-
—уменьшению объема Уо при деформации (рис. 75.1, в, г). Таким образом,
поверхностный интеграл в числителе G5.6) можно заменить ком-
комбинацией объемных на основании G5.7).
Если требуется исследовать влияние помещаемого внутрь Уо
идеально проводящего тела АУ0 (рис. 75,1, ё), то можно исполь-
использовать результат, полученный выше для случая деформации обо-
оболочки с уменьшением объема («прогиб внутрь»).
Пусть теперь принцип сравнения применяется в обратном
порядке: прежнее возмущенное состояние будем считать началь-
начальным, а начальное — возмущенным. Равенство G5.6) запишем при
этом в виде
$ [Ёт, Н
(V»)
ВоЁтЁто)
Чтобы перейти к прямой задаче, сделаем замену: Ёт^Ёто,
Нт^Йт0, (Д(Ь)-^-Ди*, (Д50)->Д5 и (У0)-+У0±АУ0. После
комплексного сопряжения получим ,
$ [ЁтО, Нт]с1$
Ди = / . А.5 . .. . ... . G5.8)
Поверхностный интеграл в числителе можно преобразовать в ком-
комбинации объемных, записав подобное G5.3) соотношение
$ $ ^ G5.9)
Д5 ДУ„ ДУ„
(смысл двойного знака тот же, что и в G5.7)). Формулы G5.8),
G5.9) имеют такое же значение, как G5.6), G5.7).
3. Свободные волны. Возьмем теперь бесконечный полый волно-
волновод. Возмущение сначала будет заключаться в продольно одно-
однородном изменении внутренней'среды (скажем, в помещении внутрь
соосного диэлектрического стержня). Объем Уо выделим, рассмат-
рассматривая отрезок волновода, ограниченный поперечными сечениями
479

/
5±1 и 512 (рис. 75.2, а). При этом /^ = /„=0, 502 =
и для какой-либо из свободных волн
Разумеется, также Дсо = 0.
9и\
'////////////.///
л/УУ,
ш
б)
д)
Интегралы в G5.4) преобразуются следующим образом:
—произвольное поперечное сечение волновода) и
со 5 (АгЁтЁ^о + А\1ЙтЙ%.о) Аи =
= со 5 е
2,
»±
— С0-
е- С (Г - Г„) 22_е- ( (Г - Г„) г,
-((Г-Го)
(Де = 0 и Д[1 = 0 вне Д5^). Поэтому из G5.4) получаем
1кт
G5.10)
гдеДГ = Г-Г0.
4В0

Если возмущение заключается в щелевом разрезе или дефор-
деформации оболочки волновода, оставляющими его продольно одно-
однородным (рис. 75.2, б, в, г), то справедливо соотношение
\ [Ш, #?кл
1 г-« G5.11)
Ж]}
(ср. G5.6)). Для случая деформации оболочки G5.11) приводится
к виду >
G5.12)
причем эта формула может применяться и при внутренних вклю-
включениях типа идеально проводящего стержня (рис. 75.2,5). Вывод
формул G5.11) и G5.12) предоставляется читателю в виде упраж-
упражнения х).
4. Применение теории возмущений. Формула G5.5) и после-
последующие результаты теории возмущений являются точными соотно-
соотношениями, но наряду с известными величинами в них входят неиз-
неизвестные комплексные амплитуды векторов возмущенного поля.
Лишь когда о нем можно сделать достоверные предположения',
указанные формулы практически применимы, и притом как прибли-
приближенные; обычно это бывает в случаях малых возмущений.
Сделаем сначала некоторые качественные выводы. Пусть в полый
резонатор вносится малое диэлектрическое поле. Собственная
частота соо получит при этом лишь небольшое (вообще комплексное)
приращение, так что Дсо/со^Дсо/соо; поле в полости деформируется
локально, и в знаменателе G5.5), где интегрирование производится
по всему объему, можно пренебречь отличием возмущенного поля
от начального, положив Ёт = Ёт0 и Йт = Йт0. Это приводит к при-
приближенной формуле
Дш ДУ />7Г ю\
«=< с~7—:—="* : г*~^ • ('5.1.3)
. юо \ (епЕтОЕтО + ипНтОНтЮ) №
? (г0Ёт0Ёт0 + ЦоН
Знаменатель положителен, поэтому числитель указывает характер
изменения собственной частоты. Предположим, что Де = Де>>0 —
скалярная вещественная величина (среда изотропна; поглощение
пренебрежимо) и Д^ = 0. Можно догадаться, что ЁтЁто положи-
') Опущенные здесь подробности, а также иные результаты теории возму-
возмущений содержатся в [И. 3).
16 Электродинамика 481

тельно. Таким образом, собственная частота ю0 уменьшится: Дсо<;О.
Очевидно, приращение частоты будет исчезающе малым («незамет-
(«незаметным»), если возмущающее тело окажется в «узле» электрического
поля.
Аналогичные рассуждения приводят от формул G5.6), G5.7)
или G5.8), G5.9) к приближенной формуле
± ^ %ЁтЕ то дя +
«о
которая применяется при оценках влияния деформаций оболочки
резонатора и помещения внутрь металлических тел (верхние знаки
соответствуют увеличению объема при возмущении, нижние —
уменьшению). Отсюда можно, например, заключить, что внесение
металла или прогиб внутрь оболочки в области преобладания маг-
магнитного поля вызовут — при достаточной малости возмущения —
увеличение собственной частоты, а если преобладает электрическое
поле, то уменьшение. Выгиб оболочки наружу приводит к проти-
противоположному изменению.
Ниже дается несколько примеров вычисления Асо.
Возьмем цилиндрический резонатор произвольного поперечного
сечения (рис. 75.3, а); в частности, это может быть обычный (кру-
(круговой) цилиндр (рис. 75.3,6) или параллелепипед (рис. 75.3, б).
Пусть какие-либо колебания типа Н возмущаются внесением в «пуч-
«пучность» электрического поля поперечного диэлектрического слоя
толщиной /г. Считая, что слой очень тонок и учитывая непрерыв-
непрерывность вектора Е на границе диэлектрика (нормальная компонента
отсутствует), отождествим начальное и возмущенное поля внутри
слоя. Числитель G5.13) принимает вид
Вычисляем далее знаменатель:
^ Е0ЁтоЁт0 + ц0Нт0Нт0) (IV = 2е0 $ Е*т йю =
== ^^о \ \ *^т.о 5111 т Л5 и2^=&пЬ, \
Л ^ тах ^ А
*; »^ **» а л ~ _^ ШаХ
и получаем
где величина ё, входящая в Де = е — е0, есть диэлектрическая про-
проницаемость слоя.
482

Рассмотрим возмущение основного поля Е^ прямоугольно-
прямоугольного резонатора тонким диэлектрическим цилиндром (рис. 75.3, г),
т
а)
7
в)
/-4Г/
/л
\
■А
/
\
т /
/
г)
Г\2*й>
/, ч
ш
е)
д)
а
ом)
Рис. 75.3.
помещаемым в «пучность» электрического поля параллельно век-
вектору Е.
При этом
(гоЁтоЁ*тО
= 2е0
= 2е0
так что
- П ЦХ ' • А ЗГУ , 1 1 пЬЬ 1-«О
31П2 -— 31П2 -^- их йу йг = е0 -^— Е*т0
тах О
До
"©7
Дё
G5.16)
Пусть теперь возмущающим телом служит диэлектрическая
сфера (рис. 75.35). Как бы ни была она мала, в данном случае
16"
483

уже нельзя считать, что возмущенное поле в диэлектрике не отли-
отличается от начального. Однако при достаточной малости возму-
возмущающего тела хороший результат дает так называемое «квази-
«квазистационарное приближение», согласно которому соотношение внут-
внутреннего возмущенного поля и начального поля в этой области
таково же, как и при помещении сферы в однородное электро-
электростатическое поле (§ 20, п. 3). Тогда (ср. § 50, п. 4)
^ G5.17)
е + 2е0
и числитель G5.13) примет вид
- М 4^ Е*т0
ДУ
так что
Ае G518)
ю0 аЫ е+2е0
Формулы G5.15), G5.16), G5.18) и подобные после разделения
вещественной и мнимой частей распадаются на два соотношения:
Асо' = /1(е', е") и Дсо"=/2(е', е"), причем в простейших случаях
Дю' р Де' Дю" с е"
я» —Г и я» Г ,
е о> 8
» Г и » Г
©о е0 о>0 8о
где /-1 — «формфактор» — коэффициент, зависящий только от кон-
конфигурации системы. Учитывая связь со" и <2 F9.28), а также
равенство G1.15), которому теперь удобно придать вид <2 = 26со/соо,
запишем:
До" 1 . / ©0 \Дбю
)
1 .
©о
Здесь Абсо — приращение половины ширины резонансной кривойх).
Можно сказать, что при помещении в резонатор диэлектрического
тела происходит сдвиг и ущирение резонансной кривой для каж-
каждого типа колебаний (рис. 75.3, ё). Этот эффект иногда исполь-
используется для измерения комплексной диэлектрической проницаемости
веществ (т. е. величин е' и е"). Аналогично можно измерять и |я.
Читателю предлагается самостоятельно построить соответствующий
пример и вычислить сдвиг частоты Дсо, который бы зависел только
от Л|л, на основании G5.13).
Следует иметь в виду, что действие возмущающего тела может
быть и более сложным, чем «независимая» деформация полей раз-
различных собственных колебаний начального^ состояния. Вырожден-
') Теоретическая добротность начального состояния бесконечна (не учиты-
учитывалось поглощение ни в диэлектрике, ни в проводящей оболочке), так что
должно было бы быть: Дбю = бю. Но здесь имеется в виду применение резуль-
результатов к реальным резонаторам, которое вполне правомерно.
484

ные колебания в результате возмущения могут получить разные
приращения собственных частот, причем возмущенные поля пред-
предстают в виде суперпозиций деформированных начальных полей:
возмущение связывает типы колебаний. Пользование формулой
G5.13) при этом несколько усложняется. Что касается формулы
G5.14), то ее применение для количественных оценок очень огра-
ограниченно. Обычно полагают, что Ет = Ёто и Йт = Йто, но это
лишь иногда приводит к удовлетворительному вычислению Дсо.
В заключение рассмотрим волноводный пример. Прямоуголь-
Прямоугольный волновод возмущается тонкой диэлектрической пластиной
(рис. 75.3, ж); требуется найти приращение постоянной распро-
распространения волны Н10. Взяв формулу G5.10), пишем:
2 $ [#0, ^]жаз=Л- $
81 81
а Ь
Г аЬ
2 С
1<7ЪаЪ,
г°
. 2 ПХ
тах О
;)сEя» соДё йШо
31П' 4
тах О
Таким
или
образом,
ЛИ
ДГ
Го ^
XV
СОИ/
аЬ
'Н 81
81П2
1 — (
гул -и_п|-|
а
ЛХг
а
Я/2аJ
- Д^
Дё
е0
Теория возмущений может быть распространена и на волно-
водные трансформаторы; существуют, например, формулы, позво-
позволяющие вычислять приращения элементов матрицы рассеяния при
возмущении системы.
Результаты теории возмущений просты по форме и в этом
смысле удобны, однако ввиду малости рассматриваемых эффектов
область их применения сравнительно невелика.
§ 76. Общие алгоритмы для нерегулярных систем
1. Постановка задачи. Резонаторы. Реальные резонаторы, водно-
водные системы и аналогичные устройства в целом всегда нере-
нерегулярны, причем отклонения от легко анализируемых регулярных
систем часто весьма значительны. Общая теория нерегулярных
систем базируется на применении проекционных методов (Прило-
(Приложение 8, п. 4). В настоящее время она практически охватывает
все задачи прикладной электродинамики; результаты здесь имеют
вид универсальных алгоритмов, приспособленных для решения
целых классов задач и подлежащих реализации на ЭВМ. В этой
485

книге невозможно изложить относящиеся сюда вопросы с должной
полнотой!), и мы ограничимся лишь пояснением общих принципов.
Остановимся на способе построения универсального алгоритма
для класса -задач о резонаторе с всевозможными внутренними
включениями. Пусть резонатор без включений изучен; это какой-
либо регулярный резонатор (на рис. 76.1, а для определенности
изображен резонатор прямоугольный), так что известны системы
собственных функций {Еп, Еп-\ и {//„, Нп>\ (§ 71, пп. 2, 3, 6).
Требуется найти поля и собственные частоты резонатора при наличии
любых включений.
N
л
Рис. 76.1.
Применяя проекционный метод, представим комплексные ампли-
амплитуды исследуемого поля Ёт, Нт в виде сумм
Л/ Л''
Ет = У, пп.Еп-\- У,
= 2 ЬаНа+
G6.1)
(ср. ряды G1.3)). Для Ёт и Йт, подчиненных однородным уравне-
уравнениям Максвелла, справедливы соотношения2) •
О =1,2, .... оэ G6.2)
х) Они подробно рассмотрены [И. 3].
2) В G6.2) символ к1'1 означает, что имеется в виду два случая, в одном
из кЛчэрых берется к, а в другом к\ ниже штрих в скобках при любых сим-
символах имеет аналогичный смысл.
486

(интегрирование производится по внутреннему объему резонатора
за вычетом объема, занимаемого металлическими телами, которые
принимаются за идеально проводящие). Это проекционные соотно-
соотношения типа (П8.15) (ср. G1.9)). После применения формулы (П1.31)
получаем
0^^ \ иш ТГСхк Р., I /^71 — 1 С{\ \ Р г* г* / г /77) *— X Р11 г шш /7 ^
М М • ■"* М
*<'>=1,2 аэ. G6.3)
Сюда мы имеем право внести вместо Ёт и Нт их представления
Ёт и Нт, ограничив перебор индексов й(?) в пределах выбран-
выбранного базиса (&(')=1,2, ..., ^/('*); в знак того, что речь идет уже
о приближенном решении, будем писать также со^ вместо со (обо-
(обозначение приближенных частот). Мы придем так к соотношениям
типа (П8.18).
Базисные функции удобно подчинить ортонормировке G1.8)
с | е = е0 и )я|^)я0; соответственно этому в уравнениях Макс-
Максвелла G1.4) е=е0 и |л = ^„ (не путать эти константы с прони-
цаемостями среды внутри исследуемого резонатора, входящими
в G6.3)). Внося под интегралы суммы G6.1), получим следующую
систему уравнений, записанную ниже в матричной форме:
ю" Eа + Эс1) - (ИМ + /5) Ь — (пМ' ■+ »5') V = 0,
й>" (Эа + 'ЗГО) - ?8Ь - Г84/ = 0, G6.4)
+ пЭ'а - со" (мь+м'Ь') = о,
Здесь а и а' —векторы, составленные из коэффициентов ап и ап>
сумм G6.1) соответственно; аналогичный смысл имеют векторы Ь
и Ь''. Входящие в G6.4) матрицы состоят из элементов:
G6 5)
Например, Э'кп = ^ гЕп-Е% йо и т. п. Проницаемости ё и )я —
у-Ум
функции координат (быть может, тензоры); в частности, на
рис. 76.1, а предполагается, что они имеют одни постоянные зна-
значения в Уд и другие — вне 1/д. Матрица ^ диагональная; она
составлена из собственных частот ш„ пустого резонатора.
487

Решение однородной системы G6.4) приводит к определению
ряда приближенных собственных значений со^ (как корней харак-
характеристического уравнения, получаемого обращением в нуль детер-
детерминанта системы) и коэффициентов представлений G6.1). По мере
увеличения порядка матриц они приближаются к точным значе-
значениям и стремятся к ним в пределе при N -► оэ.
Система G6.4) сохраняется при исследовании резонатора, отли-
отличающегося к тому же еще сложной оболочкой, т. е. нерегуляр-
нерегулярного даже без внутренних включений (рис. 76.1, б). Здесь для полу-
получения G6.4) резонатор мысленно помещают внутрь регулярной
области (пунктирная граница на рис. 76.1, б)), поставляющей базис.
По сравнению с предыдущим различие будет состоять в том, что
матрицы (М5''' в G6.4) теперь имеют элементы
'& = ^ [Ё%->, Ш-]й8, G6.6)
где интегрирование распространяется также на оболочку резона-
резонатора. Матрица п составляется из базисных частот.
Разумеется, кроме уравнений G6.4), существуют и другие
алгебраические формы, к которым приводят проекционные методы,
и мы не касаемся здесь вопроса о их вычислительных преиму-
преимуществах и недостатках в сравнении с G6.4).
Если рассматриваются вынужденные колебания нерегулярного
резонатора при заданных источниках, то проекционный метод раз-
развивается так же, как и в § 71, п. 4. При этом получается система
уравнений, в левой части совпадающая с G6.4); правая же часть
ее может быть прямо записана на основании соотношений G1.11);
вместо со^ мы имеем, разумеется, заданную частоту возбуждения со.
Читателю рекомендуется выписать эту систему уравнений.
2. Ввлноводы и волноводные трансформаторы. Заключение.
Если требуется определить постоянную распространения какой-
либо волны поперечно-нерегулярного волновода, то можно выде-
выделить объемную область, ограниченную двумя поперечными сече-
сечениями 5_]_, и 5 |„ и представить внутреннее поле в виде сумм
типа G6.1). Пусть длина выделенного отрезка есть Л = 2я/Г
(рис. 76.1, в) (величина неизвестная). В качестве базисов вместо
{Еп, Еп-} и {Нп, НП'} возьмем системы функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению Гельмгольца и прежним граничным условиям на
боковой поверхности волновода (или вспомогательной базисной
области, рис. 76.1, г), но с продольной зависимостью е А »
такие функции принимают одинаковые значения на 5_]_, и 5^ „,
т. е. подчинены «периодическим» (по г) граничным условиям.
Нетрудно убедиться, что при данной постановке задачи мы опять
придем к системе алгебраических уравнений G6.4), в которых
вместо 6)м будет заданная частота со, а матричные элементы G6.5)
(за исключением 1П8'кп) сведутся к интегралам по поперечному
сечению волновода (за вычетом площади включенного металличес-
488 '

кого стержня, если он имеется), умноженным на неизвестную длину
волны Л = ЛЛ/, которая может быть и комплексной. Аналогично
этому матричные элементы "'8кп сведутся к контурным интегралам.
Рассмотрим далее произвольный волноводный трансформатор
(рис 76.2, а); входные сечения, в отличие от § 74, теперь не должны
обязательно находиться в областях регулярного режима. Если
задать условия короткого замыкания
а=1, 2 р-1,
1 Р,
G6.7)
(ср. G4.2), то, согласно G3.12), G3.13), для любого входного
сечения 5а (в частности, и при <х = Р) Ьк (О) = У^л- Пусть НтП — ком-
комплексная амплитуда вектора Н внутри полости, полученной при
а)
6)
Рис. 76.2.
б)
этом коротком замыкании (рис. 73.2, б) и возбуждаемой в соот-
соответствии с условием G6.7) через отверстие 5р сторонним полем
{'Ет=епт). Тогда ввиду G3.11) и G3.12)
Укп = Ьк(а)= №к(а)\ \ НтНк(а)йз \Нт=Нт(а) На 5а). G6.8)
Таким образом, любой элемент матрицы проводимости волновод-
ного трансформатора может быть определен по формуле G6.8),
если известно решение задачи о возбуждении резонатора в указан-
указанной постановке. Такое решение — а точнее, сходящееся к нему
в среднем представление — получается, как об этом говорилось
выше в п.1. Следует подчеркнуть, что для пользования формулой
G6.8) надо, чтобы представление сходилось в среднем и на оболочке
резонатора. Этим свойством как раз обладает представление
в базисе {//„, Н„-}. Если бы требовалось аналогичным путем найти
элементы матрицы сопротивления, то пришлось бы представлять
электрическое поле на входных сечениях, что возможно в ином
базисе (в случае базиса {Еп, Е„-} будет иметь место сходимость
в среднем в объеме резонатора). Существуют также возможности
489

построения универсальных алгоритмов, приводящих непосредственно
к определению матрицы рассеяния.
Интересно, что описанный выше прием может быть применен
и для построения универсальных алгоритмов для внешних задач
электродинамики — антенных и дифракционных. Антенна или объект
дифракции мысленно окружается сферической границей (рис. 76.2, в),
которая играет роль входного сечения «волноводного трансформа-
трансформатора»; окружающее пространство описывается как волноводный
канал, в котором распространяются сферические волны разных
типов.. Рассматриваемая система вполне характеризуется матрицей
проводимости, сопротивления или рассеяния такого волноводного
трансформатора. Поле излучения или рассеяния находится как
суперпозиция расходящихся сферических волн. Внешняя задача
электродинамики сводится к серии задач о возбуждении сфериче-
сферического резонатора с включением в виде исследуемой антенны или
объекта дифракции. Возможно и непосредственное определение
матрицы рассеяния антенны или объекта дифракции.
3. Заключение. Еще раз подчеркнем, что получение наиболее
выгодных в вычислительном отношении формулировок не было
целью проведенного изложения. Был лишь продемонстрирован
общий подход к задачам электродинамики, приводящий к алго-
алгоритмам для ЭВМ универсального типа. Единый подход к внут-
внутренним и внешним задачам при этом весьма характерен. Вообще
можно показать, что антенная или дифракционная задача есть
внутренняя краевая задача для показанной на рис. 76.2,в сфери-
сферической области, на границе которой заданы весьма общего вида
импедансные условия («импедансная трактовка»'1));
Следующее замечание связано с вариационным исчислением.
Читатель, знакомый с этой областью математики, может принять к
сведению, что уравнения G6.4) и аналогичные, могут быть полу-
получены методом Ритца на основе сеответствующих функционалов.
Как функционалы («функции от функций») могут рассматри-
рассматриваться и формулы F2.9), F2.13), F9.16). Низшее значение %2 или к\
всегда может быть получено с избытком путем подстановки в одну из
этих формул векторных функций, не являющихся решениями урав-
уравнений электродинамики, а только допускающих применение тре-
требуемых операций. При этом для подстановки в F2.13) и вторую
формулу F9.16) (с Нт) пригодны функции, не удовлетворяющие
граничным условиям. Точность результата зависит, конечно, от
близости этих «допустимых» функций к настоящим решениям.
V. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И КВАЗИОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Представление о направляемых волновых процессах было бы
неполным без рассмотрения периодических направляющих систем,
т. е. состоящих из повторяющихся структурных элементов.
!) В. В. Никольский, Радиотехника и электроника 16, №7, 1120; №3,
1342 A971).
490

Такого рода системы находят многочисленные применения, в част-
частности, в электронике СВЧ и антенной технике. Развитая в §§61—
83 теория направляемых волн здесь уже, строго говоря, непри-
неприменима, поскольку свойства систем не остаются постоянными
в направлении передачи энергии, т. е. системы продольно неод-
неоднородны. Однако когда пространственный период А достаточно
мал, волновой процесс в хорошем приближении предстает как
обычная направляемая волна (§ 61), длина которой намного пре-
превосходит. Л\ Мы увидим, что периодические системы дают одно
из средств получать такие медленные (§ 62, п.4) волны.
Особые периодические системы находят применение для кана-
канализации весьма коротких волн. Они могут рассматриваться как
совокупности линз или зеркал. Само это описание предполагает,
что размеры элементов значительно превосходят длину волны; тем
более сказанное справедливо в отношении расстояния между от-
отдельными элементами (близкого к пространственному периоду).
Такие системы называются квазиоптическими.
В нашу задачу не входит описание всевозможных электродинами-
электродинамических систем, которые имеют характер линз или зеркал и потому
могут быть отнесены к квазиоптическим. Обычно это антенны или
антенные элементы, и они изучаются в курсах антенн. Однако
кроме периодических будут рассмотрены также такие квазиопти-
квазиоптические системы, которые играют роль объемных резонаторов и при-
применяются в лазерной технике.
§ 77. Периодические системы и импедансные поверхности
1. Волновые процессы в периодических системах. На рис. 77.1
показано несколько систем, строение которых является периоди-
периодическим вдоль оси г: через расстояние Л оно повторяется.
Положим, что поглощение отсутствует. Поперечная структура
свободных полей в периодических системах в силу симметрии
также должна повторяться через период Л. Однако, взяв два
отстоящих на Л поперечных сечения, мы вовсе не должны обна-
обнаружить там одинаковые фазы колебаний. Зато, если соответст-
соответствующий фазовый сдвиг равен <р, то при дальнейшем смещении на
пА дополнительный фазовый сдвиг составит тр. Вообще для комп-
комплексных амплитуд векторов поля справедливы соотношения
Ет(х, у, г + А) = Ёт(х, у, г)е'^, 1
Нт(х, у, г + А) = Нт(х, у, г)е-^:\
Иногда говорят, что эти равенства выражают содержание теоремы
Флоке.
До решения конкретной электродинамической задачи о той
или иной периодической системе, разумеется, нельзя сказать, по
какому именно закону изменяется фаза поля вдоль ее произволь-
491

ного отрезка длиной Л, т. е. — по принятой терминологии — вдоль
ячейки структуры. Но существует прием, позволяющий сделать
некоторые общие выводы о характере поля. Введем величину
G7.2)
G7.3)
и построим функции
Ш(х, у, г) = Ёт(х, у,
а№(х, у, г) = Нт(х, у,
которые, как следует из G7.1), являются периодическими, так
6)
что, например, © (х, у, г + А) = Ш(х, у, г). Разлагая Ш(х, у, г)
в ряд Фурье типа (П8.1), имеем
Ш(Х, у, г)= 2] Шп(х, у)е Л
л = — оа
Ш{х, у, г)е А ,
г
| ? Ёт(х,у,г)Х G7.4)
2
,1 , 2ял\
Таким образом, ввиду G7.3)
Ёт(х, у, 2)= 21 %п(х, у)е
хе
<Хг.
G7.5)
и точно так же можно представить комплексную амплитуду Нт.
Полученное разложение есть одно из основных соотношений
теории периодических направляющих систем. Согласно G7.5) сво-
свободный волновой процесс в периодической системе можно рас-
рассматривать как наложение бесконечной совокупности плоских
492

неоднородных волн с поперечными распределениями %„(х, у) (и
<Йл(х, у)) и постоянными распространения
Г„ = Т+^р, я=0, ±1, ±2 ±оо. G7.6)
Как следует отсюда, этим парциальным волнам свойственны фазо-
фазовые скорости (§ 61, п.1)
^ 4 <777а>
при одной и той же групповой скорости (§ 35, см. также § 62, п.З)
°гР<») = Зг; = 5у' G7'7б)
которая характеризует передачу энергии.
В зависимости от величины п в G7.6) фазовые скорости пар-
парциальных волн 1)ф(„) G7.7а), называемых обычно «пространствен-
«пространственными гармониками», имеют разные
знаки. Волновой процесс в периоди-
ческой системе, таким образом, пред-
ставляется в виде совокупности
прямых (Уф/уГр>0) и обратных
(^ф/угр"<0) волн; последние обла-
дают тем свойством, что фазовая и
групповая скорости противоположны.
Какой смысл имеет построенное
разложение? При каждых фиксиро-
ванных х = хг, у=уг мы получаем
в G7.4) ряд Фурье некоторой функции от г, заданной на отрезке
(г, г + А), который сходится к ней (вообще только в среднем).
Разлагаемая функция и пространственные гармоники определены
и в таких областях, где нет поля. Например, при фиксированных
на рис. 77.2 координатах хх, ух в виде ряда Фурье представляется
функция, равная Ш (хг, у1г г) на /2 и нулю на 1г и /а- В области,
заштрихованной на рис. 77.2, ряд Фурье определен и сходится
к нулю.
Физическое содержание пространственных гармоник видят
в том, что в области существования поля можно (по крайней
мере в принципе) реализовать взаимодействие с отдельной из них,
-например, при помощи электронов нужной скоростиг).
Наконец, заметим, что все предыдущее легко распространить
на системы с поглощением. Для этого в G7.1) и далее надо рас-
рассматривать комплексные <р.
*) О заряженных частицах в электромагнитном поле будет сказано позд-
позднее (§ 80).
493

2. Простейшая периодическая система. На рис. 77.3, а изобра-
изображена простейшая «гребенчатая структура», которая мыслится как
ряд параллельных идеально проводящих полос, толщиной кото-
которых пренебрегают, примыкающих к такой же плоской границе;
система неограниченна в направлениях г и х, а по х однородна.
Если период структуры весьма мал в сравнении с длиной
волны в той же однородной среде (Л<^), то можно ожидать
б)
Рис. 77.3.
что он будет мал и по отношению к длине волны основной гар-
гармоники Л0 = 2л/Г0. При этом условии удовлетворительные резуль-
результаты дает следующий приближенный подход.
Рассматривая распространяющуюся вдоль оси г .Е-волну, будем
считать, что поле в каждом из пазов гребенки имеет характер
стоячей ТЕМ-волны в направлении у. Для его выражения можно
прямо использовать формулы C6.17) е соответствующей заменой
координат (ср. рис. 36.1 и 36.5 с рис. 77.3, а), а именно г-^-у — б,,
х-*-г, у^-х. Таким образом, в данном приближении при каждом
фиксированном г
8ш к (у — й),
к (у-Л),
G7.8)
и поверхность гребенки (у=0) можно охарактеризовать импедан-
импедансом F2.30) 15:
Ёт@) = &3[Нт@), у,]; &3 = ^& = №1ека. G7.9)
лт@)
Если *§Ы>0, то, как показано в § 62, п.4, данная импеданс-
пая поверхность способна направлять медленную Е- волну, поле
которой, согласно F2.28) — F2.30) и F1.1), будет иметь компоненты
G7.10)
(а также компоненту Ёту, нахождение которой предоставляется
494

читателю). Приравнивая тангенциальные составляющие G7.10) и
G7.8) при у = 0, находим, что в G7.8)
Постоянная распространения Г, согласно F2.26), есть
Г = У# + Р»5в&.) G7.12)
а из G7.9) и F2.30) имеем
|~ = *ёЫ^0 G7.13)
и далее, с учетом G7.12),
Г//г = зесМЗг1, G7.14)
или
^ф { У). * G7.14а)
Мы видим, что волна может существовать при
затем при 31/4 < <Х < 1 и т. д. Ее замедление и поверхностный
характер усиливаются в каждой такой полосе с возрастанием
й1%, потом волна терпит отсечку.
Можно сказать, что рассмотренное упрощенное решение явля-
является усредненным по г. Действительно, при такой процедуре,
примененной' по отношению к ряду G7.4), останется лишь непе-
непериодическая часть Ш0(х, у).
Принцип усреднения позволяет далее очень просто подойти
к анализу гребенчатой структуры с ребрами конечной толщины
(рис. 77.3, б). Полагают, что для пазов по-прежнему верна фор-
формула G7.9), а на идеально проводящих торцах ребер 25 = 0
(^2@)^0). Поэтому усредненный импеданс есть
%8 = 1кШ^кй, G7.15)
где к = //А — отношение ширины паза к периоду структуры
(рис. 77.3, б). Эту величину вместо G7.9) и вносят в последую-
последующие соотношения, так что, например, вместо G7.13) получается
' р/к = х12к4. G7.16)
Несмотря на то, что подход, использованный выше при рас-
рассмотрении гребенчатых структур (рис. 77.3а, б), довольно груб,
он приводит к верным качественным представлениям и даже в ряде
случаев оказывается полезным в технических расчетах. В сущ-
сущности гребенка уподобляется при,этом диэлектрическому слою на
идеально проводящей плоскости (§ 39, п.4, рис. 39.7, б), граница
которого является импедансной поверхностью, а сам он — простей-
496

а)
шим диэлектрическим волноводом. Гребенку можно даже рассмат-
рассматривать как слой «искусственного диэлектрика» (см. ниже § 82, п.1)
и охарактеризовать при помощи
эквивалентной диэлектрической про-
проницаемости.
Читателю предлагается самостоя-
самостоятельно изучить систему в виде экра-
нированной гребенки (рис. 77.1, б).
3. Осесимметричные системы. На
рис. 77.4 схематически изображены
открытая (рис. 77.4, а) и экраниро-
экранированная (рис. 77.4, б) периодические
системы круглого поперечного сече-
ния с гребенчатой (гофрированной)
поверхностью. Первая из них анало-
аналогична рассмотренному в § 77, п. 3
диэлектрическому волноводу с внут-
внутренним проводником: роль диэлектри-
диэлектрического слоя играет гофрированная
часть проводника.
Представляя — в прежнем при-
приближении — азимутально однородную
Е-ьолщ, направляемую гофрированным стержнем (рис. 77.4, а),
для внешнего поля мы должны получить выражение комплексных
амплитуд типа F7.23), т. е.
Рис. 77.4.
Ёт = Ео
г0 ? Н?' (хгI
ег
G7.17)
Если глубина пазов относительно невелика (с?<^/?), то поверх-
поверхность цилиндра можно рассматривать локально как импедансную
плоскость, для которой справедлива формула G7.15), так что
^=(#1§М G7.18)
(ср: F7.14) и далее). Приравнивая это импедансу, следующему
из G7.17), получим трансцендентное уравнение
G7.19)
которое рекомендуется сравнить с F7.22) и F8.8).
В случае экранированной системы (рис. 77.46) —ее называют
«диафрагмированным волноводом» — вместо G7.17) будем иметь
Ёт =
е—СГг
г<Р>, G7.20)
496

а вместо G7.18) —аналогичное соотношение с измененным знаком
(если раньше при использовании F2.30) было уо= — г0, то в дан-
данном случае Vо = ^о). Таким образом, получается уравнение
G7-21)
(ср. F8.10)).
Перейдем, наконец, к рассмотрению так называемого «спираль-
«спирального волновода» (рис. 77.1, г, 77.5, а). При простейшем его опи-
описании полагают, что вдоль провода спирали (т. е. по винтовой
линии) распространяется волна ТЕМ со своей обычной скоростью
Рис. 77.5.
I. Тогда фазовая скорость волнового процесса в направ-
направлении оси системы есть
оф = о81п7 G7.22)
(рис. 77.5, а); входящий сюда «угол намотки» у есть угол, состав-
составляемый проводом с плоскостью 2 = сопз1 A§у=й?/2л/?). ■-
В качестве удовлетворительной модели спирального волновода
часто чберут цилиндр с анизотропной проводимостью (рис. 77.5, б),
в каждой точке которого ток может иметь лишь такое направле-
направление, какое свойственно току витка спирали, проходящего в этой
области. Исследуем азимутально однородную волну в этой системе.
Используя выражения F7.1), запишем:
г<К;
<ЫГ*
G7.23)
где % — У к2 — Г2. При помощи формул F1.10) определим азиму-
азимутальные компоненты (ср. F7.5)):
Ч. 0)8
'' '%
/■>/?:
G7.24)
497

Тангенциальные составляющие вектора Е должны быть непре-
непрерывны на поверхности цилиндра (при г = К)\ учитывая это в G7.23)
и G7.24), имеем
и С2 = С2-±Щ. G7.25)
Анизотропная проводимость цилиндра проявляется в том, что
параллельная направлению тока электрическая компонента по обе
стороны его поверхности равна нулю (что соответствует идеальной
проводимости «канала тока»):
0, G7.26а)
а такая же магнитная компонента непрерывна:
»Гя(/?-0) = в%*5(/? + 0) G7.266)
(она не связана с поверхностным током); заметим тут же, что
50 = а0со8 7 + 20 5111 у G7.27)
(рис. 77.5,6).
Ввиду G7.27) условие G7.266) с учетом G7.23), G7.24) дает
= 1С[ ™ ЯГ(хЯ)со8
т. е. после исключения С} и С'2 при помощи G7.25)
С&НТ Ш = (СфгНТ (хЯ) с*8 V- G7.28)
Далее реализуем условие G7.26а), согласно которому
гС2с41Л (^) с!§ V = СЖ* Ш- G7.29)
Последние два равенства приводят к следующему трансцендентному
уравнению относительно поперечного волнового числа % волны
в спиральной системе:
1ШЛ1Ш 1Й2 „ G7 до
Это и есть требуемый результат.
Возвращаясь к первоначально записанной простой фор-
формуле G7.22), попробуем выяснить теперь степень ее применимости.
Для медленной волны % является чисто мнимым. Если при
этом %/? ^> 1, то, как следует из асимптотических представлений
цилиндрических функций (Приложение 6, п. 2), их комбина-
комбинация в G7.30) близка к единице, так что это уравнение прини-
принимает вид
%ъ*-1кс\ёу. G7.30а)
498

Поэтому
у к2 - V2 = кгу 1 + с!§2 у = ~,
* Л У ' ь • 81П V
что равносильно G7.22). Согласно G7.30а) использованное нера-
неравенство %/? ^> 1 равносильно следующему: к%^>1§у. В то же
время модель спиральной системы в виде анизотропно проводя-
проводящего цилиндра имеет смысл, пока период, т. е. шаг спирали й,
мал в сравнении с длиной волны Л = 2л/Г; учитывая, что й? = 2/?1
и Г = А/зту, убеждаемся в равносильности неравенств
и й/?<^1. Итак, формула (98.22) применима при
(х, G7.31)
В заключение подчеркнем одну особенность азимутально одно-
однородной волны спирального волновода. В отличие от ранее рас-
рассматривавшихся азимутально однородных волн разных направля-
направляющих систем (§§ 67, 68), которые могли быть только ^-волнами
либо //-волнами, она имеет как электрическую, так и магнитную
продольные компоненты. Можно сказать, что спираль «связывает»
даже азимутально однородные Е- и Я-поля.
§ 78. Квазиоптические системы
1. Линзовые и зеркальные линии передачи. Как отмечалось,
рассмотренные выше в § 77 периодические системы являются
главным образом средством получения медленных волновых про-
процессов, используемых в электронике СВЧ, а также в антенной
технике. Особое место занимают периодические системы, появив-
появившиеся при решении проблемы канализации весьма коротких
электромагнитных волн — миллиметровых, субмиллиметровых и
световых. Дело в том, что применение продольно однородных
направляющих систем обычного типа уже на миллиметровых вол-
волнах становится невыгодным из-за большого поглощения. Если,
например, в случае круглого волновода сохраняется отношение У/?,
то, как следует из формул F5.17)— F5.19) и т. п., коэффициент
затухания Гм с уменьшением X растет, как еТёз/Я, т. е. как А,-3/2.
В действительности Гм возрастает значительно быстрее, так как
шероховатость поверхности металла (§ 73, п. 1) все сильнее про-
проявляется с укорочением длины волны (эквивалентная электропро-
электропроводность а в <М§ = у о>ц/2а уменьшается). О затухании в случае
диэлектрического волновода можно судить на основании F3.20);
согласно этим формулам Гд при У/? = сопз1 изменяется как Аг1.
Таким образом, по мере перехода к все более коротким волнам
следует отдавать предпочтение линиям передачи, которые способны
направлять поток электромагнитной энергии в воздухе при мини-
минимальном соприкосновении с металлом или твердым диэлектриком,
тем более, что одновременно облегчается и практическая реализа-
реализация подобных устройств. В самом деле, легко представить, что
499

нужным требованиям удовлетворяет периодическая система линз
или зеркал (рис, 78.\,а — д), однако само понятие линзы или
зеркала имеет смысл лишь при достаточно больших в сравнении
с К размерах объекта, т. е. близости к пределу геометрической
Рис. 78.1.
оптики (§ 50, пп. 2 и 3). Системы этого рода называют квазиоп-
тическими.
Система линз очень большого диаметра 27? может поддержи-
поддерживать поток энергии внутри канала шириной а" <^ 2/?. Как в любой
периодической системе, при этом выполняется условие G7.1),
в котором ф можно считать вещественной величиной, т. е. ква-
квазиоптическая ячейка практически вызывает лишь сдвиг фазы.
В приближении геометрической оптики процесс характеризуется
показанной на рис. 78.2, а картиной лучей в пространстве между
линзами. Все лучи касаются некоторой поверхности (пунктир),
которая является границей пучка лучей и называется каустикой.
В действительности на каустике нет скачкообразного спада интен-
интенсивности поля до нуля, а происходит пбстепенное ее уменьшение
типа экспоненциального. Но линзы далеко не всегда настолько
велики. Обычно выполняются неравенства
/?<А,
G8.1)
500

так что еще не определено соотношение величин К2 и Х°А, полу-
получаемых перемножением соответственных частей обоих неравенств.
Между тем, если принять одну из линз за излучающую апертуру,
то величина ]/ЛЛ, согласно E4.10), будет не чем иным, как ра-
радиусом первой зоны Френеля в области второй (соседней) линзы.
Понятно, что если не выполняется неравенство /?2^>ХЛ, то линза
вообще может не «перехватывать» почти весь направляемый на нее
поток энергии: передача будет сопровождаться существенным
затуханием в результате излучения за пределы линзовой линии —
«радиационные потери»; в соотношении G7.1) при этом <р — вели-
величина комплексная. Разумеется, данный дифракционный^ эффект
не может быть объяснен с позиций геометрической оптики.
2. Теория линзовой линии. Начнем с рассмотрения действия
отдельной линзы как «фазового корректора»; этот частный вопрос
поддается методу геометрической оптики. Пусть на линзу произ-
произвольной формы падает параллельный пучок лучей (рис. 78.2, б),
который в силу известного закона (§ 50, п. 3) сходится за ней
в фокусе. Как распределена фазалоля на плоскости <2" (пунктир)
за линзой? Ответ дает определение длины А отрезка луча, соеди-
соединяющего <2" в произвольной точке Р (г, г) со сферическим фрон-
фронтом <2'" сходящейся в фокус волны; положим, что <2" касается ф"'
(на оси линзы). Как видно из рис. 78.2, б,
Отсюда, пренебрегая А2 в сравнении с 2А/, находим
Д=т*/2/.
501

Для определения фазы в точке Р (г, г) на С}° достаточно умножить
эту величину на волновое число внешнего пространства кй и доба-
добавить произвольную постоянную ф0:
Ф = *о^г + Фо- G8.2)
Далее, поскольку на О1 фаза постоянна, то полученная формула
выражает также изменение фазы волнового процесса, вносимое
линзой при разных г на отрезках от ф' до <2". Результат верен
для любых параксиальных пучков (когда лучи составляют малые
углы с осью г). Поле линзовой линии, можно сказать, чисто по-
поперечно (Е2**=1О, #2«^0). Если в плоскости С} комплексная ам-
амплитуда вектора нравна Ёт(х, у, г) (рис. 78.2, в), то в соответ-
соответствии с G8.2) за линзой на <2"
Ёт (х, у,г + 1) = Ёт (х, у, г) е~' V*0 яГ +фо) • G8.3)
Участок между плоскостями С? и С1 рассмотрим, применяя
принцип Гюйгенса: исходя из заданной на <2' величины Ёт(х', у', г'),
определим величину Ёт (х, у, г) на С}. Согласно E3.4)
' ах' а-у'.
Используя далее те же приближения, что и в § 54, п.1, вместо
E4.1) получаем
Иг е~1к«1 С •
Ет (х, у, г) = § е—Г- \ Ет (х', у", г') е
~1к° гЕ их1
СИ
G8.4)
где г = гг + ^-
Заметим теперь (рис. 78.2, в), что
Ёт(х, у, г + 1) = Ёт(х, у, г' + А) G8.5)
и наложим условие G7.1), которое запишем так:
Ёт(х, У, * + А)=кЁт(х, у, гО, * = «"* G8.6)
(допуская комплексные значения ф = ф). Объединение формул
G8.3) - G8.6) дает
%Ёт(х, у, г') =
+ ® + ] \ Ё, У', ^-^-^
G8.7)
Комплексная амплитуда Ёт как функция поперечных коорди-
координат — величина неизвестная, и полученный результат G8.7) есть
502

не что иное, как интегральное уравнение, которому она подчинена.
Точнее, это интегральное уравнение Фредгольма второго рода
однородное; оно представляет собой формулировку задачи на соб-
собственные значения (ср. (П8.11))
G8.7а)
*Ь G8.76)
где X — интегральный оператор:
Иг С ч
<? (I )
<? (I. п)
причем ^==Ц1 + ^р) + Фо-
. Совокупность собственных функций уравнения G8.7) Ет — и„,
соответствующих собственным значениям х = х„, описывает различ-
различные свободные волновые процессы. Основной волне, как можно выяс-
выяснить, отвечает (с точки зрения геометрической оптики) наиболее
о
Л
а)
Л
Рис. 78.3.
6)
узкий пучок лучей. В вынужденных режимах эта волна играет
главную роль, обладая наименьшими радиационными потерями
(см. конец п.1).
Заметим, что в соответствии с принципом Гюйгенса (§§ 47, 53)
интегрирование в G8.7) должно распространяться на всю плоскость.
В теории линзовых линий, однако, бывает уместным приближение
Кирхгофа (§ 53, п.1), согласно которому в качестве области
интегрирования берется лишь проекция 5 линзы на поперечную
плоскость (ср. формулировку E3.1)).
В приближении Кирхгофа предельной формой системы линз
является «диафрагменная линия» (рис. 78.3, а), т. е. система
непрозрачных плоскостей с отверстиями 5, вне которых (на самих
плоскостях) поле, по предположению, отсутствует. Для такой
линии в G8.76) надо положить <2 = 5, /, = Л и г|; = й()/, (отсутст-
(отсутствие «фазовой коррекции»).
3. Зеркальные системы. Открытые резонаторы. Периодические
системы зеркал (рис. 78.1, б — д) рассматриваются с тех же пози-
позиций, что и линзовая, линия. Геометрическая оптика дает картину
503

лучей, а принцип Гюйгенса в приближении Кирхгофа приводит
к учету радиационных потерь. При этом можно получить анало-
аналогичные G8.7) интегральные уравнения.
Если взять систему плоских зеркал 5 (рис. 78.3, б), допол-
дополнительную к диафрагменной линии (рис. 78.3, а), то, с одной
стороны, это уже будет не линия передачи: в приближении Кирх-
Кирхгофа два соседних зеркала представляют собой энергетически
изолированную систему (рис. 78.3, в). С другой стороны, в силу
принципа двойственности (§ 55, п.1) нет нужды заново решать
задачу о зеркалах, раз имеется решение задачи о дополнительных-
к ним диафрагмах. На основании предыдущего (п.2) можно прямо
написать интегральное уравнение для периодической системы
(рис. 78.3, б), а следовательно, и для системы двух (рис. 78.3, в)
зеркал.
Полагая непрозрачные части идеально проводящими, мы должны
(§ 55, п.1) заменить в интегральном уравнении Ет на Нт. Взяв
в G8.76) <2=5, Ь = А и г|з = к^ (см. конец п. 2), вместо G8.7)
получим
кНт(х, у, О^^] ДЖ / г') °
G8.8)
Остается истолковать этот результат. Система двух зеркал
есть открытый резонатор. В том случае, когда расстояние между
зеркалами значительно меньше их поперечных размеров, такой
резонатор по своим свойствам близок к идеализированной системе,
рассмотренной в § 36, п. 4; при иных же соотношениях размеров
системы существенную роль играет дифракция. Происхождение
интегрального уравнения G8.8) можно истолковать следующим
образом. Пусть при распределении поля Н{1) одно из зеркал воз-
возбуждает на втором поле НB), которое можно определить при
помощи принципа Гюйгенса как Йт=%№т- В свою очередь новое
поле на первом зеркале //C> определяется теперь как Н{т = %Н<'т •
Если таким путем мы описываем процесс многократного отра-
отражения от зеркал, в результате которого на них устанавливается
некоторое собственное распределение поля, то в соотношении
Нт+ ^) = ХН(т) (для «я-го прохода») при п-> оо поле на одном
зеркале может отличаться от поля на другом только постоянным
множителем: Нт + 1) = кНт'>; последний указывает изменение фазы
и амплитуды (из-за радиационных потерь). Написанное равенство
и есть интегральное уравнение G8.8).
Собственные функции уравнения G8.8) //„, = ©„ дают попе-
поперечные распределения поля Н для различных свободных колебаний
резонатора; им отвечают собственные значения х = х„. Поскольку
каждому типу собственных колебаний свойственно возвращение
504

отраженной волны к первому зеркалу в фазе, то величина к„ дол-
должна быть положительной вещественной; легко убедиться, что это
будет при <р' = /ж (<р = ф' — мр", р — целое). Из данного условия
♦ 1*
1
Ф
'■-' '00
\
\
\
\
\
\
\
иг, 2д
\\\
Ф
ТЕМ01
ТЕМ,,
ТЕМ,;
\
\
\
\
ТЕМ,
'02
ТЕМ,
'12
ТЕМ,
КЗафатше зеркала
'ог
ТЕМ,
'12
ТЕМ,
'22
Круглые зеркала
Рис. 78.4.
определяются собственные частоты. На рис. 78.4 показана клас-
классификация структур различных собственных колебаний для ква-
квадратных и круглых зеркал по Фоксу и Ли 1); схематически предо-
предоставлено строение поперечного электрического поля. Следует
подчеркнуть, что эти поля, названные ТЕМ, имеют в действитель-
действительности продольные компоненты ^
(хотя и пренебрежимо малые). , — а ^
Существует сходство между
линзовой линией и открытым
резонатором, составленным из
фокусирующих (неплоских) зер-
зеркал. Такой резонатор имеет соб-
собственные колебания, описывае-
описываемые в представлении геоме-
геометрической оптики такими же
картинами лучей, как и свобод-
свободные волны в эквивалентной лин-
линзовой линии. Простейший пучок лучей с каустической поверхностью
показан на рис. 78.5, (ср. рис. 78.2). Интегральное уравнение для
резонатора из одинаковых фокусирующих зеркал совпадает с
уравнением G8.7), ибо множитель фазовой коррекции для зеркала
оказывается таким же, как и для линзы.
Рис. 78.5.
1) А. О. Рох, Т. И, Ве11 5у$1ет ТесЬп. Лоигп. 40, № 2, 453 A961)
(см. также [Д. 9]).
505

Остается отметить особенности открытых зеркальных резо-
резонаторов, благодаря которым они находят применение в технике.
Дело в том, что для любого полого резонатора число собствен-
собственных частот, лежащих в некотором интервале Лео, быстро возрастает
с ростом со; в этом легко удостовериться на примере прямоуголь-
прямоугольного резонатора (§ 70, п.1). Рассматривая вынужденные колебания
в резонаторе при весьма высоких частотах, уже невозможно выде-
выделить резонансные кривые, соответствующие отдельным типам
колебаний (высокого порядка). Можно сказать, что они «сливаются».
Система перестает быть резонансной.
Отмеченное уплотнение спектра, т. е. относительный рост
числа высших колебаний, в лучевой трактовке связывается с воз-
возможностью многих видов многократных отражений в резонаторе
(рис. 78.6, а). В случае, когда по какой-либо причине существуют
только параллельные лучи (рис. 78.6, б), спектр не уплотняется:
У К/ V/ ^
а) 6)
Рис. 78.6.
собственные частоты следуют через одинаковые промежутки.
Именно такой случай был предметом изучения в § 35, п. 4.
Неуплотнение спектра — свойство одномерной системы (в отличие
от трехмерной, а также двумерной).
Впрочем, между бесконечными параллельными плоскостями
возможны, конечно, не только нормальные лучи, которым отве-
отвечают колебания ТЕМ (§ 36, п. 4), но и наклонные лучи (колеба-
(колебания Е и Н). Но положение существенно изменяется, когда
берется система двух ограниченных зеркал. Здесь, кроме нормаль-
нормальных лучей, можно представить себе только наклонные лучи,
идущие под сравнительно небольшими углами к нормали
(рис. 78.6, в); многократные же отражения при больших углах
явно невозможны (рис. 78.6, г). Благодаря этому спектр откры-
открытого зеркального резонатора оказывается в значительной мере
«разреженным».
Ввиду указанной особенности открытые зеркальные резонаторы
находят применение в наиболее коротковолновых диапазонах,
особенно в качестве резонансных систем лазеров.
Деформация (в частности, перекос) плоских зеркал приводит
к резкому увеличению радиационных потерь для колебаний
всех типов. Резонатору из вогнутых зеркал свойственно меньшее
разрежение спектра, но зато колебания, вообще говоря, более
устойчивы по отношению к деформациям.
Для подробного ознакомления с квазиоптическими системами
читателю рекомендуются книги [В. 4] и [Ж. 4].

ГЛАВА 6
ОСОБЕННОСТИ ПОЛЕЙ В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ
I. ПОЛЯ И ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
■1
В этом разделе будут рассмотрены некоторые простейшие
представления о заряженных частицах в электромагнитных полях;
ни квантовая, ни релятивистская физика при этом не затрагива-
затрагиваются. Модели классической физики оказываются достаточными
для объяснения многих процессов, имеющих важное значение
в радиотехнике.
Сведения о движении частиц в стационарных полях исполь-
используются в теории радиотехнических электровакуумных приборов,
они относятся к предмету электронной оптики. Для электроники
СВЧ характерны неквазистационарные электромагнитные поля
при наличии электронных потоков. Колебательное движение
системы частиц в переменном электромагнитном поле лежит
в основе электродинамических моделей различных сред, например
металла и ионизированного газа.
Ознакомление с перечисленными вопросами даст возможность
перейти к изучению радиоволн в ионосфере, начатому еще в § 41.
§ 79. Частицы в стационарных полях
1. Электростатические поля. Предположим, что в неизменном
электростатическом поле с напряженностью Е находится свободная
материальная частица, обладающая зарядом ^. Под действием
силы
она должна двигаться с ускорением.
Мы не ставим целью найти полное поле системы —на исходное
электростатическое поле наложится нестационарное электромагнит-
электромагнитное поле движущегося заряда. Рассмотрим лишь само движение,
полагая его достаточно медленным: скорость V остается значительно
меньше скорости света. Согласно классической механике
яЕ=т^-, G9.1)
где т — масса частицы. Пусть, в частности, электростатическое
507

поле однородно, причем Е=х0Е. Тогда
) п Лих _ а'гх
7й ~ЙГ~ ип
0=-^-.
G9.1а)
Отсюда
G9.2)
Если, например, ^ @) = с^ @) = 0 и Vг@) = V0 (т. е. V@) = 20V0),
то из G9.2) имеем
Решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Частица движется по параболической траектории (рис. 79.1, а).
Подобное движение происходит в отклоняющих системах
электроннолучевых трубок. Несколько идеализируя реальное
О
а}
Рис. 79.1.
устройство, заменим его плоским конденсатором, поле которого
будем считать однородным внутри и равным нулю вне пластин.
Угол выхода электронного пучка О определяется следующим обра-
образом (рис. 79.1, б):
Ог
дЕ1
а поскольку отклонение х при этом равно
G9.4а)
G9.46)
то вне пластин (по инерции) частицы движутся так, как если бы
пучок «преломлялся» в точке г=л;(/)/18Ф = //2 ,(рис. 79. 1, б).
508

В технике часто используются системы с неоднородными
электростатическими полями, действующие на электронные пучки
подобно линзам. Рассмотрим в общих чертах два типа таких
электростатических линз.
Роль линзы может играть круглая диафрагма в проводящем
экране. В однородном поле (рис. 79.2, а) идущий нормально
эквипотенциальным поверхностям пучок частиц не деформируется.
Пусть такое поле существует в полупространстве, ограниченном
Ч>3
гг
в)
Рис'79.2.
экраном. Если в экране имеется диафрагма, поле выглядит дефор-
деформированным, как это показано на рис. 79.2, б при помощи
системы эквипотенциалей. Видно, что здесь налицо радиальная
компонента, которая должна оказать «сжимающее» действие на
поток частиц, замедляемых полем (в данном случае частиц поло-
положительных). Достаточно узкий пучок частиц при этом соберется
за диафрагмой в «фокусе».
Линзой будет и поперечно разрезанный проводящий цилиндр
(рис. 79.2, в). Проходящий в нем коаксиальный параллельный
пучок частиц испытывает действие радиальной компоненты поля,
направленной к оси в одной области и от оси —в другой. Если
частицы, ускоряемые продольным полем, попадают во вторую
область позднее, то они быстрее проходят ее. Поэтому в целом
система оказывается собирающей.
2. Стационарные магнитные поля. Частица" с зарядом щ,
движущаяся в стационарном магнитном поле со скоростью V,
находится под действием лоренцевой силы /г==^[г), В] (§ I п. 1).
Поэтому
д^,В]~т^. G9.5)
609

Пусть речь идет об однородном поле, причем В=20[10Н. Тогда
»4^=^' -*>№=%*. 0 = %-. G9.5а)
Исключая из первых двух уравнений уу или ух, находим дифферен-
дифференциальные уравнения второго порядка относительно одной из этих
функций, которые оказываются одинаковыми:
% (>) G9.6)
Таким образом,
~ = ух ({) = Асо5Ш + В 81п Ш,
аи G9-7а>
■=^ = ууA) = А' совп! + В' $тШ
= (л0-3-п\, а третья строчка G9.5а) дает
■ = 0,@ = МО). G9.76)
Уточним постоянные коэффициенты в G9.7а). Из первого урав-
уравнения G9.5а) следует:
й (А' СО5 Ш + В' 5Ш Ш) = п (— А 51П Ш + В СО5 Ш),
Т- е- А' = В и В' = — А.
Поэтому выражения G9.7а) принимают следующий вид:
V* ({) = АСО$Ш + В 5Ш Ш=У СО5 (Ш - ф0),
где У = у А2 + В2 и фо=агс1§В/Л, причем константа V есть'не
что иное, как абсолютное значение скорости частицы в плоскости
Интегрируя уравнения G9.7а, б) с учетом G9.8), получаем
УA) = Ъ сов (Ш - фо) - ~ сов ф0 + у @), G9.9)
2@ = 0,@)^ + 2@).
В частном случае, когда у2@)^0, найденный результат описы-
описывает движение по окружности с радиусом /? = У/Й. Действительно,
мы имеем уравнение
^ со5у@)]* = (~)\ G9.10)
Вращение происходит с круговой частотой й = |ло-^-/7, а поло-
положение центра круговой траектории частицы и ее радиус опреде-
510

ляются начальными данными. Согласно G9,.8) V @) = (ха соз <р0
При V? @) ^ 0 заряженная частица движется по винтовой
линии (рис. 79.3, а, б): складываются рассмотренные выше дви-
движение по круговой орбите и равномерное прямолинейное движение
вдоль оси г.
Стационарные магнитные поля, как и электростатические,
используются для отклонения и фокусировки электронных пуч-
пучков. В качестве упражнения читателю предлагается рассмотреть
пучок, проходящий через ограниченный участок однородного поля
(модель отклоняющей системы в виде электромагнита) и вычис-
вычислить угол отклонения.
-Н
У
Н-Х0Н
а)
б)
Рис 79.3.
в)
3. Стационарные электромагнитные поля. Возьмем, наконец,
более общий случай, когда на заряженную частицу действует
стационарное электромагнитное поле. Вместо G9.1) и G9.5) мы
имеем уравнение движения
В]} = т%. G9.11)
) = ^, G9.11а)
При Е=у0Е и В=2о[1оН отсюда следует:
где, как и в п. 2, $^ = |ло^#.
т
Исключение из первых двух уравнений G9.11а) компоненты ьу
дает
и, следовательно,
ах
ар
т
%■ = V* (() = АСО5Ш + В81п Ш + С,
G9.12)
G9.13а)
где константа С, определяемая при подстановке G9.13а) в G9.12),
оказывается равной
" ' ' п Е , G9.136)
О. т
511

Теперь из первой строчки G9.11а) имеем
и из третьей
■^- = 0,@ = 0,@). G9.15)
Как и при получении G9.8) из G9.7а), положим У=УА2-\-В2
и <ро=агс1§В/А После соответствующего преобразования произ-
произведем интегрирование уравнений G9.13)— G9.15). Это дает
=  С05 <Ш - Фо) - "г с05 Фо + ^ @), G9.16)
2@ = 0,@)^ + 2@).
Вдоль оси г, как и ранее (п. 2), происходит лишь равномерное
движение. Что касается процесса в плоскости хОу при Цг@) = 0,
то это движение по циклоиде: действительно, первые два уравнения
G9.16) являются параметрическими уравнениями циклоиды. Из
ьих легко получить
= (^J. G9.17)
Поэтому можно сказать, что частица движется по окружности
радиуса К=У/п с круговой частотой й, но сама эта окружность
(ее центр) смещается вдоль оси х с постоянйой скоростью Е/ц0Н.
Вид циклоиды зависит от соотношения линейной скорости дви-
движения по окружности V и скорости смещения ее центра Е/ц0Н,
что показано на рис. 79.3, в. Параметры траектории определяются
начальными данными; при у2@) = 0 из G9.13) и G9.14)
имеем: г>(О) = лго ^1/со5ф0 + —■%) +у0 Кз1пф0.
Заметим, что рассмотренный вид движения заряженных час-
частиц характерен (в общих чертах) для ряда приборов электроники
СВЧ типа магнетронов.
4. О прецессии магнитного момента. Заключение. Материаль-
Материальные частицы могут обладать магнитным моментом, что имеет
простое классическое объяснение. Действительно, в этом при-
приближении можно говорить об орбитальных движениях электро-
электронов в атомах и их спинах как о круговых токах, которые про-
проявляют себя как магнитные диполи (§ 23, пп. 3, 4). Согласно
B3.10) эквивалентный замкнутому току магнитный момент опре-
определяется формулой: т = 20 /5ц0 (среда— вакуум). В то же время,
512

как следует из A.4), на такой ток во внешнем магнитном поле
действует момент силы К= /5,и0 [20, Н], т. е.
К=[т, Н\. G9.18)
Это соотношение мы используем при рассмотрении частицы,
обладающей магнитным моментом т. Так как последний обуслов-
обусловлен некоторым вращательным движением, то частица имеет также
момент количества движения, который обозначим 5, причем
т = у8, G9.19)
где у — постоянная. В частности, для спина электрона у= —2,21 X
X Ю5 (а/М)~1сек~1- Взяв известный закон классической механики
К=^§, ' G9-20)
на основании G9.18) и G9.19) получим
у[т,Н] = й^. G9.21)
Это не что иное, как уравнение движения частицы с магнитным
моментом т в магнитном поле с напряженностью Н.
Описываемое движение при //=сопз{ есть так называемая
прецессия около направления Н. Заметим сначала, что длина век-
вектора т при движении сохраняется. Действительно, умножая обе
части G9.21) скалярно на т, имеем
откуда
G9.22)
что и доказывает это утверждение. Вектор йШ/Ш, который имеет
смысл скорости перемещения конца т на векторной диаграмме
(с фиксированным началом),
согласно G9.21) перпендику-
перпендикулярен т и Н. Иными слова-
словами, для двух последователь-
последовательных положений магнитного
момента т ({) и т ({+ Д/) при-
приращение Ат = т A-\- Ы) —
— т ({) при Ы -*■ 0 лежит
перпендикулярно плоскости
т и Н (рис. 79.4, а). Это
значит, что «магнитная стрел-
стрелка» т (связанная с части-
частицей), оставаясь под углом ■& к Н (рис. 79.4, б), прецессирует
подобно оси волчка в гравитационном поле: ее конец вращается
около направления Н с постоянной линейной скоростью У =
= | с1т/Ш I = | у [т,Н] \ =] утН зт О |. Нетрудно найти и угловую
б)
Рис.' 79.4.
17 Электродинамика
513

скорость (круговую частоту) вращения Й=У//?, где /? = /п5Ш'О'
(рис. 79.4, б). Получаем
п = \уН\. G9.23)
Направление вращения составляет правовинтовую систему с век-
вектором Н.
Моделью магнетика — сплошной среды—служит система частиц,
каждая из которых движется в соответствии с уравнением G9.21),
причем намагниченность М есть магнитный момент системы, отне-
отнесенный к единице объема (§ 21, п. 3). Поэтому положим М = Ы' т,
где ЛГ — требуемое число частиц, и запишем:
у[М, Щ = ^. G9.24)
Это так называемое уравнение движения намагниченности.
При выводе уравнения G9.24) не были учтены потери энергии
в среде. Это обычно делается путем введения в G9.24) дополни-
дополнительного члена, вид которого отвечает той или иной модели
«механизма» поглощения. Широко используется уравнение Ландау —
Лифшица
, п\ — Щ10 ^ ~ ~аГ' (/У.2о)
Здесь диссипативный член представляет собой вектор, перпенди-
перпендикулярный М; он влияет на амплитуду прецессии, не изменяя
величины М. Параметр т] (величина положительная). определяется
экспериментальным путем.
В заключение сделаем два замечания. Еще раз подчеркнем
(см. начало п. 1), что во всех случаях поле, в котором движет-
движется частица, считалось заданным. Между тем, ускоренно движу-
движущийся заряд (переменный ток) излучает, и «реакция излучения» —
потеря энергии — изменяет его движение. Пренебрегать этим не
всегда допустимо.
Следующее замечание состоит в том, что движение частиц
можно рассматривать на основе принципа наименьшего действия
механики. При этом выясняется аналогия с принципом Ферма
(§ 56, п. 4), из которого, как известно, выводятся законы гео-
геометрической оптики. Так строятся основы электронной оптики,
занимающейся траекториями заряженных частиц в стационарных
полях;. ее законы оказываются аналогичными.
§ 80. Частицы в переменных полях и модели сред
1. Взаимодействие полей с потоками частиц,. Поток заряжен-
заряженных частиц можно охарактеризовать, указывая их скорость V
и плотность заряда р как функции координат; при этом, соглас-
согласно F. 3), также определена плотность тока проводимости
^=РV. (80.1)
514

Положим, что переменное электромагнитное поле может не иметь ка-
каких-либо иных источников, кроме электронного потока, в то же
время движение частиц обусловлено полем. Если бы функция /
оказалась известной, то, найдя решение уравнений электродина-
электродинамики B8.1) (или B8.6), B8.7)), мы должны были бы получить
именно то поле, благодаря которому частицы движутся по дан-
данным траекториям со скоростью V, создавая ток с плотностью /
В действительности, строго говоря, параметры потока V и р не мо-
могут быть заранее известны, а это значит, что уравнения электро-
электродинамики B8.1) надо решать совместно (как единую систему)
с уравнениями движения заряда (80.1) и G9.11). Такая полная
постановка задачи даже в своих частных формах приводит к зна-
значительным трудностям, поэтому обычно прибегают к разного рода
упрощениям.
В электронике СВЧ рассматриваются электромагнитные поля
в обьемных резонаторах и направляющих системах, возбуждаемые
у
/ 2
а) б)
Рис. 80.1.
или усиливаемые электронными потоками. В частности, система
двух (обычно тороидальных) резонаторов с отверстиями, пронизы-
пронизываемых электронным потоком (рис. 80. 1, а), может служить при-
прибором типа клистрона. Если в первом резонаторе существует по-
поле, то оно, как говорят, модулирует поток частиц по скорости,
то ускоряя, то замедляя их в зависимости от времени прихода
в пространство взаимодействия (область резонатора), где направле-
направление вектора Е меняется периодически. Поэтому функция /, харак-
характеризующая ток во втором резонаторе, уже имеет гармоническую
составляющую, и там возбуждаются электромагнитные колебания.
Резонаторы можно связать и создать таким путем систему, спо-
способную к самовозбуждению.
На рис. 80. 1, б схематически показано прохождение электрон-
электронного потока внутри направляющей системы в виде спирального
волновода (§ 77, п. 3). Если движение частиц таково, что они
преимущественно тормозятся бегущей волной спирали, то энергия
отдается электромагнитному полю, и амплитуда волны возрастает.
Так действуют приборы типа лампы бегущей волны.
Выясним некоторые особенности взаимодействия электронного
потока с бегущей волной, полагая электрическое поле в его обла-
области чисто продольным и неизменным в поперечном сечении (пучок
узок). Таким образом, Е, а соответственно V, / и р будут рас-
17* 515

сматриваться как функции продольной координаты г и времени
I. Составляя производную от у=уг(г, 1) по г, имеем
йь до , до йг_ _ дь . дь
41 ~ Ж + ~дг И ~ "дТ + :}~дгг
так что уравнение движения G9.1) принимает вид
Функции Е (г, (), у(г,(), } (г, () и р (г, () представим рядами
Фурье вида (П 8.1), так что, в частности,
V (г, 0= 2 Уп(г)е^, (80.3а)
я=— со
причем будем считать, что
у1{г) = Ьте-^г, уо^>\Ьт\ = ут, (80.36)
а остальными членами ряда пренебрежем, полагая их несущест-
несущественными для изучаемого процесса взаимодействия. Причем пере-
перечисленные функции опишем аналогично. В сущности предполага-
предполагается, что в пучке преобладает постоянная составляющая, а пере-
переменная имеет характер гармонической волны с частотой со
и постоянной распространения Г.
Внося в (80.2) указанные представления Е и V, получаем
следующее приближенное линейное соотношение для переменной
составляющей:
^Ёт^Шт-1^Ьт. (80.4)
Точно так же из (80.1) находим
/т^Ро^т + Рт^о- (80.5)
Наконец, используем уравнение непрерывности ;4.2), которое
в данном случае имеет вид
и дает
Рт^~]т. (80.7)
Исключая из (80.4), (80.5) и (80.7) комплексные амплитуды
рт и ьт, находим следующую связь /т и Ёт:
(8а8)
где обозначено кя = и>/у0. Это дает возможность выразить плот-
516

ность мощности переменной составляющей в пучке р=.1т.™-
при помощи равенства
Иг -^-9-
'~п^г«- <8а9)
Отдача энергии частиц полю происходит, если Ке/)<0 (§ 30);
при этом амплитуда бегущей волны возрастает: Г" <0(Г = Г" — /Г").
Поскольку элементарное преобразование предыдущего результата
приводит к выражению
к~ ~[— 2(кд — Г')Г"+ 1(к1 — 2кдТ' + Г'* — Г)]
то, как видно, усиление волны будет при
*,-Г'<0 (Г"<0), (80.10)
т. е. с учетом F1.2) при
у„>^ф. (80.10а)
Постоянная составляющая скорости частиц должна превышать
фазовую скорость волны.
Мы получили этот вывод при ряде упрощений, приводящих
к линеаризации исходных уравнений — вообще нелинейных. Однако
результаты отражают главные черты процесса, и формула (80.9)
пригодна для приближенных оценок. Электронный поток в поле,
как говорят, группируется, разбиваясь на отдельные сгустки. При
«синхронизме» движения электронов с волной, когда у0 —уф> сгустки
локализуются в ее узлах, и лишь при а„ > уф происходит эффек-
эффективное торможение электронов полем; если же у0 < уф, то, напро-
напротив, электроны ускоряются полем и отбирают энергию, в резуль-
результате чего волна затухает (Г" > 0).
В заключение отметим, что электронный поток можно рассмат-
рассматривать как среду с комплексной диэлектрической проницаемостью,
вид которой выясняется при сопоставлении (80.9а) с выражением
плотности мощности р, следующим из C0.9). В частности, согласно
C0.16), Яер = ыг"Ет/2. При выполнении неравенства (80.10) среда
оказывается активной (регенеративной): е" <С 0.
2. Простейшая модель плазмы. Важный для дальнейшего при-
пример представляет плазма, т. е. частично или полностью ионизи-
ионизированный газ, при наличии гармонически колеблющегося электро-
электромагнитного поля. Имеется, таким образом, система заряженных
частиц — электронов и ионов, а также нейтральных атомов. Будем
сначала пренебрегать их соударениями. При этом движение каж-
каждой заряженной частицы под действием электрического поля опи-
описывается уравнением G9.1), которому придадим вид
1КЕ=% ' (80.11)
617

где г—радиус-вектор положения частицы. Полагая Е=Ет X
(^ находим решение:
г -& + г>°* + г<» (80Л2)
причем функция ^^-{-г0 характеризует положение частицы при
отсутствии поля. Разумеется, первый член решения, выражающий
вынужденные гармонические колебания в поле, можно получить
методом комплексных амплитуд, согласно которому уравнение (80.11)
переходит в алгебраическое -$~ Ёт = — со2г,„, откуда
*—тйр (8
Плазма есть нейтральная система зарядов (число электронов
и отрицательных ионов равно числу ионов положительных). Поэтому
можно вычислить электрический момент произвольного элемента
ее объема А V по формуле A8.2), что ввиду (80.12) дает
(А V)
(^ ) (80.13)
где индекс I означает суммирование по всем частицам внутри А V.
Нас интересует лишь гармоническая составляющая момента. Пере-
Переходя к комплексным амплитудам и учитывая, что все заряды
одинаковы по абсолютной величине и равны заряду электрона
(| ^ | = е, ионы считаются одновалентными), получаем
. <дю
РгпАУ
В дальнейшем пренебрежем влиянием ионов, так как их массы
весьма велики в сравнении с массой электрона, которую обозна-
обозначим т, так что
ртАУ Щ-Ёгп, (80.136)
где Nм — число электронов в объеме А V. Переходя к пределу,
как в A8.10), определяем, комплексную амплитуду вектора поля-
ризованности среды: . лм' .
ЯЯ» (80-14)
(ЛГ — число электронов, отнесенное к единице объема).
Полученный результат дает возможность охарактеризовать
плазму при помощи электрической восприимчивости %э и диэлект-
диэлектрической проницаемости ё, которые сразу же находятся на осно-
основании формул E.4) (либо A8.11)) и E.8):
( ) (80.15)
518

При переходе к относительной проницаемости и подстановке числен-
численных значений параметров электрона е и т имеем
Здесь концентрация И' выражена числом электронов, приходя-
приходящихся на 1 м3, а частота / — в гц (либо, что практически удобнее,
частота берется в кгц, а число электронов относится к 1 см3).
Величина г оказалась вещественной; это отражает тот факт,
что система колеблющихся в поле частиц в среднем не отбирает
и не отдает энергии. Примечательно, что при данной концентрации
электронов ЛГ в зависимости от частоты диэлектрическая прони-
проницаемость может быть и положительной, и отрицательной величиной,
проходя через нуль при ю2 = е2М'/е0т. Выражению (80.15) можно
придать также вид
1^
Параметр сор называют плазменной частотой.
3. Поглощающая плазма. Чтобы учесть поглощение в плазме,
введем в рассмотрение отдачу энергии колеблющимися электро-
электронами при столкновениях с тяжелыми частицами. Полагая, что
при соударении с нейтральной частицей или ионом электрон, дви-
движущийся со скоростью V = йг/сИ, передает ей свой импульс т йг1сИ,г
а среднее число таких соударений за единицу времени есть V,'
мы должны учесть в уравнении движения дополнительное изме-
изменение импульса за единицу времени, равное ту йг1(И. При этом
вместо (80.11) пишем
5
Совокупный эффект соударений подобен проявлению силы трения.
Поскольку, как и выше в п. 2, интерес представляют лишь
вынужденные гармонические колебания электронов, применим
метод комплексных амплитуд, приводящий от (80.16) к алгебраи-
алгебраическому уравнению ~Ёт = — а2гт-\-тугт, откуда
(ср. (80.12а)). Вместо (80.14) теперь —прежним путем — получим
*«—Ж-тЛгА. (80-18)
и далее перейдем к выражению комплексной диэлектрической
проницаемости егдг/ 1
ё е(80.19)
" тш ш —
или
(80.19а)
519

Сопоставление этого результата с выражением B9.2) позволяет
получить формулу проводимости плазмы
а ^^.. (80.20)
т (ш2 + V2) V '
Приведем еще часто используемые приближенные формулы ком-
комплексной диэлектрической проницаемости, следующие из (80.19а),
при со2^^2
. , е2ЛГ . ё>Ы'у /ЯП 9П
8,<^@^1)
г
при со2 <^2
Подчеркнем, наконец, что рассмотренная электродинамическая
модель плазмы является одновременно моделью металла. Для
металла обычно полагают
е ^ _ I ±- (80.23)
(в таком приближении, например, получены формулы C3.17) C3.19)
и др.). Согласно (80.19) это справедливо при относительно низких
частотах, причем
сг = е2ЛГ//т> (80.24)
(ср. (80.22)).
Однако при свойственных металлам Ы' и V «низкими» оказы-
оказываются любые радиочастоты.
4. О модели диэлектрика. Заключение. Статическая модель
диэлектрика в виде системы связанных зарядов была рассмотрена
в § 18. При отклонении от положения равновесия на такой заряд
действует пропорциональная смещению «восстанавливающая» сила,
которая подобна силе упругости; в статически поляризованном
диэлектрике она уравновешивается силой поля дЕ.
Обозначив восстанавливающую силу аг, введем ее в уравнение
движения (80.16), которое принимает вид
■*-*-^-а-+^г. (80-25)
Заметим, что параметр V не имеет в данном случае смысла частоты
соударений электрона с тяжелыми частицами; однако в диэлект-
диэлектриках имеются силы типа трения, поэтому член V &г1&г сохранен.
Пользуясь методом комплексных амплитуд, т. е. приводя (80.25)
к виду -~Ёт = — (»2'гт + тугт + ~гт, получим
5
Ш2 ^
т
и далее
^+Ёт, (80.27)
ш2 кол?
т
520

откуда
^1E0.28)
з15
т ы2 — ы1~1
где обозначено соо = а/т.
По ряду причин, связанных с необходимостью уточнения силы,
действующей на связанный заряд, а также с ограниченностью
представлений классической физики, описание диэлектрика как
среды, характеризуемой проницаемостью ё вида (80.28), в боль-
большинстве случаев оказывается слишком упрощенным; оно, однако,
может быть достаточным, например, для газа. Существенной осо-
особенностью динамической модели диэлектрика является наличие
резонанса при совпадении частоты электромагнитного процесса со
с собственной частотой среды соо; вообще диэлектрик имеет спектр
собственных частот. Напомним, что о резонансном поглощении
в газах упоминалось в § 60, п. 2 в связи с распространением
радиоволн в тропосфере.
Построенные модели сред объединены единообразием подхода,
но по своей ценности они различны. В отличие от модели диэлек-
диэлектрика, хотя и более сложной, но менее претендующей на адэкват-
ность, модель плазмы находит широкое практическое применение
при рассмотрении радиоволн в ионосфере.
§ 81. Радиоволны в ионосфере
1. Ионизация атмосферы и рефракция радиоволн. В общих
чертах описание ионосферы и особенностей распространения раз-
различных ионосферных радиоволн было сделано в §§ 41, 42. Возвра-
Возвращаясь к этой теме, мы привлечем теперь для объяснения электро-
электромагнитных процессов построенную в § 80 модель плазмы.
О структуре ионосферы уже говорилось достаточно подробно.
Главной причиной ионизации газов атмосферы является ультра-
ультрафиолетовое излучение Солнца, а точнее, излучение в диапазоне
волн короче 0,1 мк; заметим, что на эту часть спектра прихо-
приходится довольно малая доля энергии солнечного излучения. Более
длинноволновое электромагнитное излучение (с меньшей энергией
квантов) не в состоянии произвести требуемую работу иониза-
ионизации. Вторым по значению ионизирующим фактором являются
корпускулярные потоки также в основном солнечного проис-
происхождения.
Чем вызвано образование ионизированных слоев, описанных
в § 42? Это можно понять на примере идеализированной атмосферы
однородного состава. Плотность энергии ионизирующего потока,
приходящего к Земле, по мере проникновения в атмосферу падает
в результате поглощения. Плотность же газа, наоборот, падает
с увеличением расстояния от Земли. Поэтому-то количество свобод-
свободных электронов в единице объема N' как функция высоты имеет
максимум: на некоторой высоте ионизация наиболее интенсивна
и лежит «ядро» слоя. '
521

В § 41, п. 2 была обрисована картина рефракции в ионосфере.
Для ее обоснования надо удостовериться, что при вертикальном
вхождении в ионосферный слой с повышением ионизации оптичес-
оптическая плотность среды уменьшается. Но это непосредственно следует
из формулы (80.15). или (80.19). Действительно, диэлектрическая
проницаемость (или модуль ё) падает с ростом N' (при со;> сор).
Конкретизируя формулу D1.11) при помощи выражений (80.15)
и (80.15а), имеем
=/1-80,6^. (81.1)
Здесь Ы' — значение концентрации на высоте «поворота луча»
при данной частоте / и начальном угле до.
Несмотря на упрощенность трактовки (ниже обсуждение будет
расширено), равенство (81.1) часто используется для различных
оценок. Пусть луч направлен вертикально (до = 0), тогда равен-
равенство (81.1) удовлетворяется при обращении в нуль подкоренного
выражения, т. е. когда со2 = е2ЛГ/е0/п = со^ (согласно (80.156) кру-
круговая частота равна плазменной). Положим, что при этом Л^пах
есть максимальное значение электронной концентрации для дан-
данного слоя; вычислим частоту
/кР = ^~ = УЩЩ^, (81.2)
называемую критической, можно утверждать, что при меньших
частотах (/ < /кр) волны будут полностью отражаться от ионосферы,
а при больших (/ > /кр) — проходить через нее. Действительно,
от нижней границы слоя до его ядра концентрация изменяется
в пределах от нуля до Л^пах. так что в первом случае обязательно
найдется уровень, для которого со = сор, и выполняется условие
полного отражения при нормальном падении.
Во втором же случае такого уровня нет.
Для всякого наклонного луча (О,, Ф 0) су-
ществует своя максимальная рабочая частота
11 ах 2я сое д0 соз д0
(81.3)
Согласно (81.1) при /</(#0)тах в слое най-
0 дется уровень поворота луча, а если />
Рис 81.1. >/('в'о)тах. то луч уйдет за пределы ионо-
ионосферы.
Угол О,, всегда меньше прямого; его максимальное значение
■ботах (Рис- 81.1) есть
#отах = ЭГСЗШ-^-р (81.4)
522

где к — высота луча, а /?„ —радиус Земли. Поэтому и возникает
высокочастотное, ограничение ионосферных волн:
о тах^тах — 9
гп сое
Напомним D2 п. 3), что эта граница лежит в диапазоне коротких
волн. В редких случаях — в годы наибольшей солнечной актив-
активности в дневное время — рефракция в ионосфере оказывается дос-
достаточной для поворота луча при Ж 10 м (в длинноволновой части
диапазона УКВ).
Как уже отмечалось, простые рассуждения, основанные на
использовании равенства (81.1) и его следствий, употребительны
на практике. Взяв значения К' из рис. 42.1, таким путем нетрудно
подтвердить указанные в § 42, п. 3 диапазонные особенности
ионосферных волн, обусловленные степенью концентрации элект-
электронов. Поглощение (и его влияние на оптическую плотность среды)
при этом не учитывается. Но и при отсутствии поглощения лежа-
лежащее в основе всего применение геометрической оптики нельзя
считать обоснованным для областей, где диэлектрическая прони-
проницаемость близка к нулю. Дело в том, что при этом неограниченно
возрастает длина волны в среде X, и изменение свойств среды
на расстояниях порядка X уже не может быть малым, а потому
критерий E6.20) не выполняется.
2. Поглощение и дисперсия. Заключение. Выходя за пределы
геометрической оптики, рассмотрим плоскую однородную электро-
электромагнитную волну, распространяющуюся в безграничной однород-
однородной плазме. Собственно говоря, решение такой электродинамичес-
электродинамической задачи содержится в общих формулах, полученных в § 33;
их надо лишь конкретизировать. Поскольку, согласно (80.19а),
"Г5*
где ю2р = е2№/е0т — плазменная частота (80.156), то формулы C3.15),
выражающие вещественную и мнимую части комплексного' волно-
волнового числа, примут вид
Ш2^^2
\ ШР
-1
, (81.7)
/
-1 + 1/ 1 +
V2
„ / СО2 + V2 ,\2
(/го = ы 1/"е„ц0). Если
т. е. ионизированный газ может
523

рассматриваться как несовершенный диэлектрик, то удобны при-
приближенные формулы C3.16а), согласно которым с учетом (81.6)
^М»^Д = М_^. (81.8)
" 9 9 <й -4- V — (й3 '
Наибольший путь в ионосфере проходят короткие волны (§ 42,
п. 3), причем на всем его протяжении, за исключением небольшой
области вблизи места поворота луча, со2^с0р; кроме того, в этом
диапазоне со2^^2. Из (81.8) при этом получаем
Коэффициент затухания растет линейно с увеличением частоты
столкновений V и обратно пропорционален квадрату частоты со.
Пусть теперь 1§А^>1 (среда является проводником). Тогда
в соответствии с C3.17а) и (81.6)
Этот результат справедлив при весьма низких частотах; учиты-
учитывая, что в этом случае со2<^2 и со2^>сор, имеем
к' ъ* к" я« КеоН-о/2 сор У1ф, (81.11)
т. е. коэффициент затухания с частотой со растет, как ]Ао, а при
увеличении частоты столкновений V уменьшается, как 1/]А>.
Возьмем, наконец, простейший случай, когда можно пренебречь
столкновениями (их частота весьма мала). Ввиду (80.156) при этом
^/- (81.12)
Интересно, что зависимость волнового числа от частоты имеет
здесь совершенно такой же характер, как и в случае быстрых
Е- и //-волн в направляющей системе (§ 62, п. 3): ср. формулы
(81.12) и F2.18). При со <сйр электромагнитный процесс утрачивает
характер бегущей волны, поле затухает по закону (ср. F2.22))
//J-1^0 (81.13)
при /^/кр (/Кр определяется формулой (81.2)).. Совершенно
такой же, как и для быстрых волн без поглощения, оказывается
групповая скорость рассматриваемой волны:
524

(ср. F2.23)); -здесь Vо=^/~\/~еоцо. Поэтому также
Уф^гР = Уо- 01 -15)
Ионосфера — среда заметно диспергирующая, что, конечно, следует
и из общего выражения к' (81.7).
В заключение отметим, что установленные выше в пп. 1, 2
относительно простые закономерности существенны при рассмот-
рассмотрении реальных радиолиний; позднее (§ 88) это будет учитываться.
Однако мы не приняли еще во внимание некоторые важные осо-
особенности распространения ионосферных радиоволн. К их числу
относится влияние магнитного поля Земли, вследствие которого
плазма ионосферы в действительности обладает анизотропией осо-
особого вида — гиротропией. Этот последний вопрос будет обсужден
ниже в § 84, п. 1.
II. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ
Понятие анизотропии было введено в § 5, п. 4, однако в после-
последующем рассматривались изотропные среды и лишь иногда указы-
указывалось на ограничения при распространении тех или иных общих
принципов на среды анизотропные.
Анизотропия проявляется при упорядоченности строения, хотя
упорядоченность не обязательно ведет к анизотропии. Естествен-
Естественными упорядоченными структурами являются кристаллы. В тех-
технике нередко искусственно получают макроскопические структуры,
сравнимые с кристаллами; таковы искусственные диэлектрики,
широко применяемые в антенной технике.
В ряде случаев упорядоченность навязывается внешними фак-
факторами, вызывающими определенную ориентацию элементарных
процессов в веществе. При наложении постоянного магнитного поля
плазма становится анизотропным диэлектриком по отношению
к полю переменному, что нужно принимать во внимание при изуче-
изучении ионосферных волн. Аналогично ведут себя магнетики, из ко-
которых особого упоминания заслуживают ферриты, нашедшие
весьма значительную область применения в радиотехнике СВЧ,
благодаря своей «прозрачности» (в отличие от ферромагнитных
металлов).
В постоянном магнитном поле феррит становится анизотропным
магнетиком по отношению к переменному полю. Вид анизотропии,
свойственный указанным средам, называется гиротропией. Гиро-
тропные среды не подчинены принципу взаимности, и это обстоятель-
обстоятельство используется для селекции волновых процессов по направ-
направлению.
Для техники весьма важна также возможность управления
волновым процессом путем «подмагничивания» феррита. В настоя-
настоящее время многообразие волноводных устройств с применением
намагниченных ферритов весьма велико.
525

§ 82. Природа и проявления анизотропии
1. Кристаллы и искусственные диэлектрики. В § 77 были рас-
рассмотрены системы, строение которых в каком-то прямолинейном
направлении повторяется; они были названы периодическими.
Нетрудно представить себе системы с трехмерной периодичностью.
Таково, вообще говоря, строение кристаллов. Мы не можем подроб-
подробно останавливаться на характере связей ионов или атомов в кристал-
кристаллах, а также свойствах их симме-
симметрии; это относится к предмету
физики твердого тела и кристалло-
кристаллографии (см. например, [Д. 4]). Кри-
Кристаллическая структура характери-
характеризуется при помощи так называемой
«пространственной решетки» в виде
упорядоченной системы точек. Воз-
Возможны, например, точки, следую-
следующие периодически вдоль трех орто-
ортогональных направлений (рис. 82.1);
«элементарной ячейкой» решетки
при этом является параллелепипед.
Ограничимся этим типом про-
пространственной решетки и, отвле-
отвлекаясь от действительного строения кристаллического вещества, пред-
предположим, что в каждом узле расположена поляризуемая частица
(скажем, молекула). Выделив макроскопически малый объем АУ,
Рис. 82.1.
Е
У*
/
/
ли
V
а
а)
Л/
а
б)
ДУ
V
а
4
]
ч
/
)
>
в)
Рис. 82.3.
рассмотрим несколько случаев приложения внешнего поля
(рис. 82.2, а, б, б). В каждом из них частицы приобретают элект-
526

рический момент в направлении вектора Е, и если допустить,
что среднее поле в любой точке А У зависит только от внешних
факторов (источников) и средней плотности частиц,, то при всех
направлениях поля (рис. 82.2, а, б, в) объем АУ приобретает один
и тот же по абсолютному значению момент р&у, котЪрый каждый
раз параллелен Е. Вещество проявляет себя как изотропное
(ср. § 18, п. 2). В'действительности поляризация частиц зависит
от их взаимодействия, которое различно при разных ориентациях
внешнего поля по отношению к структуре. Момент рАу в случаях,
показанных на рис. 82.3, а и рис. 82.3, б, параллелен Е, но имеет
разные абсолютные значения; поэтому в третьем случае (в рис. 82.3)
векторы Е и Ра у уже не параллельны. Это анизотропия, обусловлен-
обусловленная видом решетки. Она отсутствует, если решетка является куби-
кубической (а — Ь = с на рис. 82.1). Однако анизотропия вызывается
и собственными особенностями частиц. Представим себе, что в узлах
решетки находятся жестко ориентированные «не взаимодействую-
взаимодействующие» диполи; величина р&у будет при этом определяться только
соосной составляющей вектора Е, изменяясь с его направлением.
Несмотря на некоторую искусственность, приведенные сообра-
соображения поясняют природу анизотропии диэлектрических свойств
кристаллов как упорядоченных структур. При должном выборе
координатных осей х, у, г тензор диэлектрической проницаемости
(§5, п. 4) имеет диагональный вид
[в* 0 0\
7= 0 е„ 0 . (82.1)
\0 0 ег/
Еслиструктура имеет одно выделенное направление (с ним совмещают
ось г), то в (82.1) ех = е<. -^ ег, и кристалл называют одноосным.
При решетке рис. 82.1 одноосность соответствует, например, случаю,
когда а=Ъфс (с\\г) или а = Ь = с, но частицы сами обладают
выделенной осью симметрии.
Заметим теперь, что можно взять упорядоченную систему шаров,
эллипсоидов, дисков или тел другой формы (в частности, метал-
металлических) и рассматривать в ней пространственно усредненные
поля. Таким образом, если речь пойдет о свободном волновом
процессе в этой периодической системе, то предметом изучения
будет только нулевая пространственная гармоника, которой соот-
соответствует член при п=0 в G7.5). При таком подходе данная
периодическая система вполне аналогична кристаллической струк-
структуре. Можно утверждать, например, что кубическая решетка шаров
(если они сами из изотропного материала) ведет себя как изотроп-
изотропная среда (рис. 82.4,а), а при элементарной ячейке в виде паралле-
параллелепипеда (рис. 82.4,6) уже будет наблюдаться анизотропия; но она
должна быть пренебрежимо малой при достаточно больших проме-
промежуточных расстояниях. Решетка дисков (рис. 82.4,в) или эллипсоидов
(рис. 82.4, г) анизотропна уже в силу асимметрии отдельных
элементов; кубическая решетка этого рода подобна одноосному
627

кристаллу. Следует, однако, иметь в виду, что для переменного
электромагнитного поля не только диэлектрическая, но и магнитная
проницаемость такого искусственного диэлектрика есть тензор. Это
очевидно, если принять во внимание, что вектор Н возбуждаемого
в системе («дифрагированного») поля под влиянием внешнего поля
зависит от ориентации последнего.
Искусственные диэлектрики применяются в антенной технике
для изготовления линз. С некоторой точки зрениия (по отношению
к усредненному полю) в качестве искусственного диэлектрика
можно рассматривать любую периодическую структуру, о чем
упоминалось в § 77, п. 2.
Задачу определения эквивалентных параметров искусственного
диэлектрика относительно легко решить в квазистатическом прибли-
приближении, пренебрегая также взаимодействием отдельных элементов,
т. е. полагая, что каждый из них реагирует на поле, как уединенное
тело в электростатике (магнитостатике). Учитывая, например, что
металлический шар в однородном электростатическом поле с напря-
напряженностью Е подобен диполю с моментом р = 4яг0ЯаЕ B0.33),
в) г)
Рис. 82.4.
искусственному диэлектрику, содержащему в единице объема И'
шаров, можно приписать поляризованность Р= 4лЛГе0/?3/: и соот-
соответственно диэлектрическую проницаемость
е = еоA + 4лЛГ#3). (82.2)
Разумеется, эта формула сколько-нибудь достоверна лишь при
/?<^Х и очень больших расстояниях между шарами.
В заключение подчеркнем, что физические факторы, обуслов-
обусловливающие анизотропию естественных кристаллов, разнообразны.
Ряд кристаллов обладает магнитной анизотропией.
2. Намагниченная плазма. Важный пример среды, проявляю-
проявляющей анизотропию под влиянием внешнего фактора ориентации
элементарных процессов, дает плазма в постоянном магнитном
поле. Возвращаясь к уравнению движения (80.16), введем в допол-
дополнение к цЕ действующую в этом случае на частицу лоренцеву
силу ц [ю, Во] = (?Цо [йг1(И, //„], где Но — напряженность постоян-
постоянного магнитного поля. Уравнение принимает вид
528

или в комплексных амплитудах:
со (со - /V) гт + /со 4 ц0[гт, Н0] = — ±Ёт.. (82.3а)
Поляризованность среды Р определим, как это делалось в § 80,
п.2 при получении формулы (80.14), учитывая только электроны;
тогда Рт = №цгт и д = е<0. Направим ось г вдоль вектора
Н0:Н0 = г0Н0, а также будем использовать обозначения О = ^0^//0
G9.7а) и со* = е2ЛГ/е0т (80.156). При этом из (82.3а) получаем
со (со - /V) Рт - /сой [Рт, г0] = —гоч>РЁт, (82.4)
или в координатной форме;
СО (СО — /V) Ртх — Ш&Рту = — е0О)рЁтх ,
1'ШРтх + а>(в> — 1\)Рту = — гао>*рЁту, (82.4а)
СО (СО — /V) Ртг= — евШрЁтг.
Решая эту систему, выражаем компоненты вектора Рт:
-5*- О»]
Ртг^ В°Ш1 Ёгпг,
что следует, рассматривать как развернутую форму соотношения
Р =ео%эЁт (§ 5, тт. 2 и 4): среда анизотропна. Не выписывая
компонент тензора электрической восприимчивости намагниченной
плазмы хэ. перейдем сразу к тензору диэлектрической проницае-
мости е =ео(/ + X/ E-15). Он имеет вид
8 - ф О
Р ё 0 |. (82.6)
О 0 гг
где
0 I ш[(ш-1\J-й2]/' р~ °
^^' й = ^о^Яо. (82.7)
529

В результате того, что диэлектрическая проницаемость среды
оказывается характерным кососимметрическим тензором вида
(82.6), последняя обладает рядом специфических свойств, кото-
которые будут рассмотрены в § 83; она называется гирот'ропной.
Постоянное магнитное поле, ориентированное по оси г, соз-
создает в плазме выделенное направление; при этом вдоль г сохра-
сохраняются прежние свойства: компонента тензора диэлектрической
проницаемости гг (82.7) не отличается от ё (80.19) при отсут-
отсутствии магнитного поля. Параметр & есть не что иное, как кру-
круговая частота вращения электронов в постоянном магнитном поле
(§ 79, п.2), совершающегося в данном случае в плоскости хОу;
ее называют гироскопической частотой электронов. Электромаг-
Электромагнитный процесс в намагниченной плазме имеет резонансный
характер: приближение со к & вызывает гиромагнитный резонанс.
Взяв идеализированный случай отсутствия поглощения ^ = 0),
обнаруживаем, что при со -»■ О компоненты тензора диэлектриче-
диэлектрической проницаемости в первых двух строчках (82.6) неограниченно
возрастают по абсолютной величине: |"ё|-»-оо и р -»-оо. Заме-
Заметим, что при V = 0 тензор эрмитов (Приложение 9): &ху=&уХ (сог-
(согласно (82.6) гху=—ф и гух = ф).
Происхождение гиротропии намагниченной плазмы имеет очень
простое объяснение: под влиянием постоянного магнитного поля
электроны «закручиваются» в перпендикулярной ему плоскости,
если только в ней лежит компонента вектора скорости. Пусть,
например, вектор Е направлен вдоль оси х и, следовательно,
имеется компонента ух; лоренцева сила ц [V, Во] вызывает при
этом движение в направлении оси у, и появляются соответст-
соответствующие компоненты поляризованности Р и индукции й. Косо-
Кососимметричность тензора е обусловлена направлением вращатель-
вращательного движения электронов. Гиротропия не проявляется, если Е
и соответственно V направлены параллельно Но по (оси г), так
как в этом случае не действует лоренцева сила.
В заключение подчеркнем, что ввиду пренебрежения ионами
при выводе тензора диэлектрической проницаемости формулы
(82.7) в той или иной мере утрачивают достоверность вблизи
соответствующих гироскопических частот О,' = \ай-~ Но, где т' —
масса иона. Так как т"^>т, то &' <^О.
3. Намагниченный феррит. Магнетикам свойственна гиротро-
гиротропия, вызываемая прецессией вектора М (§ 79, п.4). Она в силь-
сильной степени проявляется в случае ферритов, которые, обладая
ферромагнитными свойствами, по характеру электрических потерь
({§А<^1) являются диэлектриками на СВЧ, т. е. «прозрачны»
для электромагнитных волн.
Взяв уравнение движения намагниченности G9.24), отметим
сначала, что в случае постоянного поля (М = соп8*) [М, Н] = 0,
т.' е. векторы М и Н параллельны — среда изотропна. Пусть
530

теперь М = М0 + МA) и Н—Н0 + НЦ), где нулевыми индексами
отмечены постоянные составляющие. Внося эти функции в G9.24),
получаем
Н
■ (82.8)
Если, как это часто бывает, М(()-^М0 и Н(()^Н0, то квад-
квадратичным членом [М((), Н(()] можно пренебречь, и уравнение
(82.8) оказывается линеаризованным относительно переменной
составляющей. Рассматривая гармонические колебания, при этом
правомерно применить метод комплексных амплитуд, сделав замену
М (() -* Мтеш и Н(Г)-+Нтеш. Тогда из (82.8) следует:
[Мо,Но] = 0, тМт=у{[М0, йт] + [Мт, НО]}. (82.9)
Направим ось г вдоль постоянного поля (М0 = г0М0, Но = гоНо).
Представляя второе равенство (82.9) в координатной форме и пере-
перенося компоненты вектора Мт влево, имеем.
тМтх — уН0Мту = — уМ0Нту,
уН0Мтх + т'Мту = уМ0Нтх, (82.9а)
Решая полученную систему уравнений относительно Мтх, Мту и
Мтг, находим
(82.10)
Мт2 = 0,
где в соответствии с G9.23) обозначено: О = |у|//0. Это не что
иное, как подробная запись соотношения Мт = \1о%мНт (§ 5, пп.2
и 4), свидетельствующая о магнитной анизотропии среды. Тензор
магнитной проницаемости \1 = \10{1-\- %м), как следует- отсюда,
имеет вид
(д. — /а 0\
,1 0 I (82.11)
0 A2/
где
_ \у\
— Н-0— Ш2_
= | У\НО
531

Тензор \1 (82,11) по структуре таков же, как и тензор е (82.6):
среда гиротропна. Происхождение гиротропии объясняется тем,
что постоянное поле создает в магнетике (феррите) выделенное
направление, около которого происходит прецессия вектора М.
Частота О = |"у | Но есть собственная частота прецессии; поскольку
ферромагнетизм обусловлен спиновыми магнитными моментами
электронов, значение гиромагнитного отношения у для ферритов
оказывается близким к указанной в § 79, п.4 величине —
2,21 • 10б (а/м) сек'1 х). Приближение круговой частоты электро-
электромагнитного процесса со к п вызывает ферромагнитный резонанс;
при со -»■ & абсолютные значения компонент тензора \1 в первых
двух строчках, согласно (82.12), неограниченно возрастают:
НОИт\
Рис. 82.5.'
-со и а -► оо. Тензор \1 эрмитов (Приложение 9). Компо-
Компонента \12 не отличается от магнитной постоянной («проницаемости
вакуума») \10. Вместе с изменением направления постоянного
намагничивания (т. е. изменением знаков Но и Ма) меняет знак
а, а [1 остается неизменным.
В упрощенном представлении механизм ферромагнитного резо-
резонанса состоит в том, что при совпадении со и О прецессионное
движение вектора М совершает один цикл синхронно с «кача-
«качанием» результирующего вектора Н из положения //=//„ — Нт
в положение Н=На + Нт (рис. 82.5). Поскольку Н задает мгно-
мгновенную ось прецессии, ее радиус возрастает (в полученном приб-
приближении неограниченно, что противоречит G9.22)).
Выражения (82.12) являются идеализированными не только
в силу использованной линеаризации задачи (в противном слу-
случае вообще нельзя -было бы охарактеризовать среду при помощи
тензора \1 в рамках метода комплексных амплитуд), но и, в част-
*) На практике в формулах (82.12) величины ш и й обычно заменяют
частотами ^ и Р, измеряемыми в Мгц. Соответственно этому имеем соотношение:
Р = у>Н0, где 7' =0,035 Мгц (а/м)'1.
532

\Г\но*<»
ности, потому, что уравнение движения G9.24) не учитывает
поглощения энергии. Можно получить выражения компонент
тензора магнитной проницаемости с учетом потерь энергии, исходя,
например, из уравнения Лан- •
дау —Лифшица G9.25); соответст-
соответствующие формулы читатель най-
найдет в специальной литературе 2р0
[Д.5 —7]. Компоненты тензора и Ро
поглощающей среды —это комп- о
лексные величины: и = и' — щ",
а = а'—/а"\.|1* = |1г —Ф*- Их мо-
можно определять посредством спе-
специальных измерений. На рис. 82.6
качественно представлены зависи-
зависимости этих величин от Но. Тен- 2/1д
зор у поглощающей среды —не /л,0
эрмитов. Кривые на рис. 82.6 д
характеризуют реальный ферро-
ферромагнитный резонанс.
§ 83. Поля и волны в гиротропных
средах
1. Свободные поля в гиротроп-
гиротропных средах. Чтобы понять наи- °
более существенные электродина-
электродинамические особенности гиротропных
сред, полезно изучить характерные
типы свободных полей в этих средах. Начнем с записи основ-
основных уравнений электродинамики.
Возьмем сначала безграничный однородный магнетик, который
в постоянном поле с напряженностью Н0 = г0Н0 приобретает для
поля переменного гиротропные свойства и характеризуется тен-
тензором магнитной проницаемости и вида (82.11). Однородные урав-
уравнения Максвелла относительно комплексных амплитуд (уравне-
(уравнения B9.11) при ^т=0) принимают форму
, = — /сои Нт (83.1)
Рис. 82-6.
или в декартовых координатах:
Г дг
ду
дНтх
дг
дН,
туг
тУ
дх
(83.1а)
533

=-шAа Нтх + р Нту), (83.16)
дЕтУ дЁтх
дх ~ "^
В случае подобным же образом намагниченной плазмы (//„ =
= г0Н0) вместо (83.1) имеем
го! Нт = /со гЁт, го! Ёт = — т\аНт, (83.2)
где е —тензор диэлектрической проницаемости (82.6). В декарто-
декартовых координатах уравнения принимают вид
ъЁтх-$Ёту),
фЁтх + гЁту), (83.2а)
. • р
дНт,
ойтх
д1У
дх
дЕтг
ду
дёту
дНту
дЙтг
дНтх
ду
дЁту
оё1
дЁтх
Ниже будут рассмотрены некоторые решения записанных урав-
уравнений. Заметим, что уравнения (83.1) при замене е-»- — ц и |х->-
-»■ —е, Ёт^1Йт переходят в (83.2) (и соответственно (83.1а),
(83.16) в (83.2а), (83.26)), а уравнения (83.2)-в (83.1) при обратной
замене. В этом для гиротропных сред проявляется принцип двой-
двойственности (ср. § 46, п. 3). Следовательно, если найдено какое-то
свободное поле в гиротропном магнетике, описываемое решением
Ет, Нт уравнений (83.1), то существует аналогичное поле в гиро-
гиротропном диэлектрике, которому отвечает решение Еэт, Н%, урав-
уравнений (83.2), причем одно решение переходит в другое (Ё^^.Нт,
Нт ^ Ёэт) при указанной замене проницаемостей (е ^ — ц.
534

2. Продольные волны. Эффект Фарадея. Исследуем плоские
однородные волны в безграничной однородной гиротропной среде,
распространяющиеся в направлении постоянного намагничивания г;
будем называть их кратко продольными волнами. Волновой процесс
является одномерным (ср. § 32): изменения в плоскости хОу
отсутствуют, и в уравнениях (83.1а), (83.16) или (83.2а), (83.26)
мы должны положить равными нулю производные по х и у. Из
последних строчек указанных систем уравнений следует, что
электромагнитное поле не имеет продольных компонент (Етг = О,
Нтг = 0), т. е., как и в изотропной среде, однородная волна
относится к классу ТЕМ. Взяв продольную зависимость комплекс-
комплексных амплитуд в виде еТ'^г, где Г —пока неизвестная постоянная
распространения, будем, таким образом, иметь
Ет = [__ . .
(83.3)
Возьмем случай гиротропного магнетика. Внося представления
(83.3) в (83.1а, б), получаем
± Ыу = - со {&ЙГХ *скЯГ,),
Х = — ШШу, ± Ых = со
откуда после исключения Шх и Шу вытекает:
(Г2 — со2ец) <3%\ = ю2га^х,
(Г2 — С026(л) <Ж*х = — №2ЕО,еЖ'у.
Перемножая левые и соответственно правые части в обеих строч-
строчках, находим следующее уравнение относительно Г:
(Г2—со2ёAJ = со4ё2а2. Г~ (83.6)
Из (83.6) следует, что
Г2 = со2ё(A±а), (83.7)
и приходится заключить, что существует два рода продольных
волн с постоянными распространения, которые мы обозначим
и Г- =
ё(A— а). (83.8)
Сопоставляя (83.8) и C3.1), можно сказать, что гиротропная среда
для каждой из таких волн ведет себя как изотропная с эквива-
эквивалентной магнитной проницаемостью \1+ = \1-{-а или Ц~ = Ц — ос.
Остается выяснить строение электромагнитного поля в этих двух
случаях. Внося (83.7) в (83.5), получаем следующее решение:
(83.9)
635

показывающее, что компоненты Нх и Ну вектора Н равны по
амплитуде и сдвинуты по фазе на ± 90°. Продольные волны с
постоянными распространения Г±, оказывается, поляризованы по
«■ругу (§ 34. п.З) в противоположных направлениях. На основа-
основании (83.3), (83.9) и первого столбца (83.4) находим выражения
комплексных амплитуд их векторов Е и Н:
правой „
волна ——— круговой поляризации
Ё1п = ± Г+Л Aх0 - у о) е+ *Ч Н+т = А (*„ + 'У о) е+ <*Ч (83.10а)
левой
волна аво„ круговой поляризации
Ёт = ±&-А(-{хо-уо)е*1*-*, Нт = А(хо-1уо)ё*<*~*. (83.106)
Здесь А — неопределенный коэффициент, а Ц7± = 1 / ^ =
есть волновое сопротивление.
8
Отметим, что направление вращения поля левополяризованной
волны совпадает с направлением прецессионного движения вектора
М гиротропной среды (§ 79, п.4, § 82, п.З), а при ферромагнит-
ферромагнитном резонансе совпадают и частоты вращения. Этому соответствует
резкое возрастание величины ц'— а" (как видно из рис. 82.6,
а" < 0). Напротив, правополяризованная волна поглощается слабо,
так как величина \1" + а" весьма мала.
Перейдем к рассмотрению весьма важной особенности гиро-
тропных сред, благодаря которой они и получили это название.
Положим, что в среде одновременно существуют распространяю-
распространяющиеся вдоль оси г продольные волны правой и левой круговой
поляризации с одинаковыми амплитудами; поглощением пренебре-
пренебрежем. В каждой точке пространства поляризация будет линейной
(§ 34, п.З). Действительно, складывая поля в начале координат
B = 0), согласно (83.10а), (83.106) получаем
Йт@) = Йт@) + Йт@)=х02А, (83.11)
что соответствует «вертикально» поляризованной волне. Так как
волны правой и левой круговой поляризации распространяются
с разными скоростями
1>+=1/1/е(|х-1-а) и о" =1/1/е ((х-а),
то векторы Нт(!) и ЙтA) (на расстоянии от начала координат
г = I по движению волны) окажутся повернутыми на разные углы
(рис. 83.1, а) и, складываясь, дадут волну линейной поляризации,
плоскость которой также будет повернута относительно началь-
начального положения.
536

Найдем угол поворота плоскости поляризации О. Вектор Н,
комплексная амплитуда которого при г = 0 выражается форму-
формулой (83.11), при^г = / будет иметь комплексную амплитуду
Нт (/) = Нт (/) + Нт (I) = А [х0 (е- <г+1 + е-
или, после простых преобразований,
Нт (/) = 2Ае~' 2 ' (х0 сок ^—=1
) + 1у0
е- т+' -
е-
Г+-Г
, (83.12)
т. е. (рис. 83.1, б) произошел поворот вектора Н, а следовательно,
и плоскости поляризации на
угол
+—г-
I [рад].
(83.13)
Н(О)
Мы видим, что в гиротроп-
ном.магнетике вдоль направле-
направления постоянного магнитного
поля может распространяться,
условно говоря, линейно поля-
поляризованная волна, плоскость по-
ляризации которой при этом
вращается. Это называют эф-
эффектом Фарадея. Само слово «гиротропия» по происхождению
связано с данным эффектом.
Величина
Рис. 83.1.
г+—г-
— ^4т~('>/Н'+а —Уц-а). '
(83.14)
выражающая угол поворота плоскости поляризации на единицу
длины пути, называется постоянной Фарадея гиротропного магне-
магнетика. Из (83.12) видно, что постоянная распространения волны
при эффекте Фарадея есть
I ф
(83.15)
Эффект Фарадея необратим. Если смотреть вдоль направления
распространения волны, совпадающего с направлением постоянного
поля Но, то при а>0 плоскость поляризации будет вращаться
по часовой стрелке (/? > 0); при движении волны против Но
изменится знак а и /?; наблюдая уходящую волну, мы обнаружим
вращение ее плоскости поляризации, совершающееся против часо-
часовой стрелки (рис. 83.2, а, б). Характер распространения волны
зависит, таким образом, от направления; поле в гиротропной
537

среде не подчиняется принципу взаимности (§ 48), о чем специально
будет говориться ниже (п. 4).
Несколько сложнее выглядит эффект Фарадея при поглощении.
Нам остается распространить полученные выводы на гиротроп-
ный диэлектрик (намагниченную плазму), когда диэлектрическая
проницаемость — тензор вида (82.6). Воспользовавшись принципом
Рис. 83.2.
двойственности (п. 1), сразу выпишем аналоги имеющихся резуль-
результатов1).
В среде могут распространяться продольные волны правой и
левой круговой поляризации. При этом (ср. (83.10а), (83.106))
. . \ . . . . . . ._ (ооЛо)
ж. ш Т' __ / ттл/ ~Л1 \ I л /, ,1 , • _ .. \ „ -г* /ТЛ_ -р х '
(р)Д
(ср. (83.8))-.
При эффекте Фарадея (без поглощения)
—Г
(83.17)
(83.18)
(83.19)
(ср. (83.14) и (83.15)).
3. Поперечные волны. Эффект Коттон — Мутона. Рассмотрим
теперь волны в гиротропной среде, распространяющиеся в пло-
плоскости, которая перпендикулярна направлению постоянного намаг-
намагничивания (хОу). Все направления в ней равноправны, и мы
ограничимся случаем, когда
Ёт=Ше*^х, Йт = 3€еТ1^х, (83.20)
т. е. выберем ось х; волны однородны, так что по осям у и г
!) Поскольку Й7=шц/Г, то, не изменив в процессе применения принципа
двойственности знака Г, мы должны изменить знак №.
538

напряженности поля не изменяются (в (83.20) $ = соп5{, Ж =
Уравнения (83.1а), (83.16) принимают следующий вид:
^ (83.21а)
и
0*= \1(Ж'' х — 1аз%Г у, гр ТШг = со Aа^х + це%"_у),
=Ь ТШу = соA2е%. (83.216)
Записанные уравнения распадаются на две независимые системы,
одну из которых образуют второе и последнее равенства (83.21а),
(83.216). Исключая из них <Жг и Шу, находим
Г2 = со2ё^. , (83.22)
Речь, как видно, идет о волне, характеризуемой комплексными
амплитудами:
4 еТ
Ёт =у0Ае+ "«*, Нт = ±20 4- еТ *ИХ, (83.23)
Щ
где -
Г^соУ!^ и П7ц = >^г/ё. (83.24)
Эта волна, магнитный вектор которой параллелен напряженности
постоянного магнитного поля Но, имеет такой же характер, как
обычная однородная ТЕМ-волна в изотропной среде (§§ 32, 33)
и называется обыкновенной.
Третье, четвертое и пятое равенства (83.21а), (83.216) образуют
вторую самостоятельную систему уравнений; из них находим
^\ (83.25)
Для соответствующей волны
Ёт = г0Ае+ *±х, Йт = + -^~(у0 + х0'?}\ец:*Т1-х, (83.26)
где
и Ц7Х=.|/У?-а\ (83.27)
Как видно, в данном случае электрический вектор волны парал-
параллелен Но, а магнитный имеет как поперечную (Ну), так и про-
продольную (Нх) компоненты. Эта однородная Н - волна называется
необыкновенной; ее волновое число Гх зависит от квадрата недиа-
недиагональной компоненты тензора магнитной проницаемости. Согласно
(83.27) роль эквивалентной магнитной проницаемости играет в
данном случае величина \их= —=—•
Пусть в гиротропный магнетик (скажем, в виде слоя) входит
линейно поляризованная волна, распространяясь перпендикулярно
539

вектору Но, с которым вектор Е составляет некоторый угол \|>
(рис. 83.3). Не интересуясь отражением, отметим, что параллель-
параллельная //„ компонента Е сок 'ф возбудит в гиротропной среде необыкно-
необыкновенную волну, а перпендикулярная Но компонента Е зш \р —
обыкновенную. Распространяясь с раз-
разными скоростями
\
и
и ,„ =
(поглощением пренебрегаем), эти волны
при выходе из гиротропной среды ока-
окажутся в разных фазах и в изотропной
среде образуют волну эллиптической
поляризации (в частности, круговой при
равенстве амплитуд и фазовом сдвиге на
90°). Это явление известно как эффект
Коттон — Мутона.
Перейдем к случаю гиротропного
диэлектрика — намагниченной плазмы.
По принципу двойственности, решениям (83.23) (83.24) и (83.26),
(83.27) соответствуют следующие (см. сноску на стр. 538):
Рис. 83.3.
где
— обыкновенная волна и
где
и 1Гц =
(83.28)
(83.29)
необыкновенная волна, для которой е^=
играет роль
эквивалентной диэлектрической проницаемости.
4. Некоторые общие свойства полей. Заключение. Возьмем
произвольную анизотропную среду, свойства которой в какой-то
ортогональной системе координат ^1, цг, ^3 характеризуются тен-
тензорами
6 = |
622
623
= ( М-21 Н-22 Н-23
(83.32)
540

Внося е и |л вместо е и |л в уравнение C0.9) мы придем
к выводу, что средняя мощность поглощения в среде будет выра-
выражаться вместо C0.14) формулой
= 1 1т \ &Щ!а-$нМа0. (83.33)
Легко убедиться, что эта величина равна нулю, т. е. среда явля-
является непоглощающей, если тензоры е и |л эрмитовы (Приложе-
(Приложение 9). Действительно, при этом, в частности,
%
т\Н
— величина вещественная, так как вследствие соотношения
Н-*п = Н-** М-п, Н-22 и |лзз вещественны, а также \1\2Нт\Нт2 +
+ \*.2\Нт2Н*т1=2Яе{\112НпПН%12) И Т. Д.
Частные проявления отмеченной закономерности были указаны
в § 82, пп.2, 3.
Вернемся далее к принципу взаимности (§ 48). Если среда
анизотропна, то в D8.3), D8.4) вместо е и ц следует ввести
е и |л (83.32). Тогда выражающее принцип взаимности равен-
равенство D8.5) будет получено только, если
• • • •
^Нт2Нт1 - ^Нт1Нт2 = 0 и ^Ёт2Ёт1 - ТЁт1Ёт2 = 0. (83.34)
• •
Последние равенства выполняются при симметрических е и |л
(Приложение 9), т. е. при ёА-„= е„А ицкп = 11„ь.
Для гиротропного магнетика (|ли = |л22 = |л,- |Л12= — Ц21=—/а,
цза = ц2, а остальные компоненты равны нулю)
М- Нт2Йт1 — \1 Йт1Йт2 = /2а (Нт2хНт1у —
- НтгуНтгх) = &* \Нт2, Йт1]2. (83.35)
Принцип взаимности будет соблюдаться лишь для полей, маг-
магнитные компоненты которых в плоскости хОу (перпендикуляр-
(перпендикулярной направлению постоянного намагничивания) параллельны.
Аналогичный вывод справедлив для гиротропного диэлектрика.
Заметим еще, что в анизотропных средах нормаль к фронту
плоской волны может не совпадать по направлению со средним
вектором Пойнтинга, а поэтому векторы фазовой скорости и
скорости движения энергии C5.13) также оказываются некол-
линеарными.
Возвращаясь к случаю поперечных волн в гиротропных средах,
отметим следующий факт. При исчезновении гиротропии (а -> 0
541

Рис. 83.4.
или Р -*• 0) обыкновенная и необыкновенная волны остаются
невырожденными (Гц Ф Г^), если только (д, Ф цг или соответственно
е Ф е/, среда же при этом по характеру тензора |д или е подобна
одноосному кристаллу (§ 82, п.1). Вообще в отношении поперечных
волн гиротропная среда ведет себя так же, как одноосный кристалл.
Кроме эффекта Коттон — Мутона в том и другом случае — при
наличии плоской границы с изотроп-
изотропной средой — может наблюдаться двой-
двойное преломление. На рис. 83.4 изобра-
изображена такая граница, причем ось г
(для гиротропной среды направление
постоянного намагничивания) есть
нормаль к чертежу. Если в изотроп-
изотропной среде на границу падает волна
произвольной поляризации (луч /),
то ее удобно разложить на состав-
составляющие волны параллельной и пер-
перпендикулярной поляризации (§ 38) с
тем, чтобы рассматривать отражение
и преломление каждой в отдельности.
Но теперь одна из преломленных
волн окажется обыкновенной, а другая —необыкновенной. Фазо-
Фазовые скорости их во второй среде различны, поэтому соответствую-
соответствующие преломленные лучи не совпадают, их два (луч 2 и луч 3 на
рис. 83.4), причем, согласно C7.7а),
8т00б _ ^и и 5тОНеоб _ ^х
81П ф ХI 8Ш ф V■^ *
В заключение отметим, что при нормальном падении линейно
поляризованной волны на границе с гиротропной средой, намаг-
намагниченной также в направлении нормали, отраженная волна ока-
оказывается поляризованной в повернутой плоскости.. Это называют
эффектом Керра.
§ 84. Гиротропия в радиотехнике
1. Гиротропия ионосферы. Вследствие влияния магнитного
поля Земли плазма ионосферы представляет собой гиротропную
среду, диэлектрическая проницаемость которой описывается тен-
тензором е вида (82.6) — (82.7). Величина Но в среднем имеет зна-
I е I
чение около 40 а/м, так что частота г=12/2я=и,п !—]~ На/2п,
1 " т
вблизи которой происходит гиромагнитный резонанс электронов,
оказывается около 1,4 Мгц. Заметим, что для ионов атомарного
кислорода /г'=О'/2я«й54 гц.
Учет гиротропии приводит, в частности, к более сложной
картине рефракции в ионосфере в сравнении с описанной в §41, п. 2
542
(83.36)

и § 81, п.1. Полагая, что по отношению к магнитному полю
Земли распространение волн является поперечным, мы должны
рассматривать обыкновенные и необыкновенные волны, которые,
имея различные фазовые скорости, рефрагируют по-разному,
в результате чего ионосферный луч «расщепляется» (рис. 84.1).
Это аналогично двойному преломлению, о котором говорилось
выше в § 83, п.4.
Легко убедиться, что критические частоты (§ 81, п.1) для
обыкновенной и необыкновенной волн существенно различны.
В соответствии с D1.11) и § 83, п.З
1. (84.1)
Полагая в (82.7) V = 0 и внося выражения компонент тензора е
в (84.1), видим, что первое из равенств не отличается от (81.1),
а потому /Кроб = /кр (81.2). Что касает-
касается необыкновенной волны, то после
простых преобразований находим ,.-"""
|необ = 1/ !—"^
со2
а>гр
С22
(84-2)
Рис. 84.1.
а так как 8тд0Необ = 0 при со =
= сокрнеоб (/ = /кРнеоб), то, приравнивая нулю подкоренное выра-
выражение, получаем
со2 ^р сой — со2р=0, со = (окрнеоб. (84.3)
При фиксированной частоте со меньшей электронной концентра-
концентрации здесь отвечает знак минус (см. выражение щ в (80.156)).
Полагая, что нормально падающая волна полностью отражается
от соответствующего —наиболее низкого —уровня, найдем
!
«<*=■
В диапазоне коротких волн (й/2J
сор, а потому
+
или
[Мгц]
(84.4)
(84.4а)
(84.46)
(выше отмечалось, что Р = &12п<*&\,4 Мгц).
Для волн, распространяющихся в плазме вдоль направления
магнитного поля Земли, согласно § 83, п.2 и (82.7), при V = 0
(84.5)
Поэтому при достаточно низких частотах (со << й) эквивалентная
543

диэлектрическая проницаемость для волны левой круговой поля-
поляризации е остается положительной. Эта продольная волна, та-
таким образом, не претерпевает полного отражения при нормаль-
нормальном (и близком к нормальному) падении на ионосферный слой.
Ввиду указанного обстоятельства в сверхдлинноволновом диапа-
диапазоне возможно распространение электромагнитной энергии вдоль
силовых линий магнитного поля Земли (рис. 84.2), которые как
бы направляют волновой процесс. Столь низкочастотные волны
создаются грозовыми разрядами; они получили название «свистя-
«свистящих атмосфериков» — в знак того, что соответствующие сигналы
прослушиваются в приемнике в виде свиста.
Заметим, что выражение (84.5), как и
исходные формулы (82.7), достоверны, пока
со ^> й', где СУ — гироскопическая частота
ионов.
2. Ферриты в радиотехнике СВЧ. На-
Намагниченные ферриты, являющиеся гиро-
тропными магнетиками, весьма широко
применяются в волноводных и иных ус-
устройствах радиотехники СВЧ. Рассмотрим
действие некоторых таких устройств.
Рис. 84.2. Важное значение имеет волноводный
эффект Фарадея. Если в неограниченной
гиротропной среде эффект Фарадея заключается во вращении
плоскости поляризации волны, то в случае волновода речь
идет о повороте всей структуры поля. Пусть имеется круг-
круглый волновод с коаксиальным ферритовым продольно намаг-
намагниченным цилиндром; обычно последний имеет конические за-
заострения для уменьшения отражений (рис. 84.3, б). Когда сле-
слева на фёрритовый элемент падает основная невращающаяся волна
Нп «пустого» волновода, строение которой в поперечном сечении
5х показано на рис. 84. 3, а, справа от феррита в сечении 52 мы
будем иметь прошедшую основную волну с измененной азимуталь-
азимутальной ориентацией (рис. 84.3, в). Сущность явления нетрудно понять.
Разложим исходную волну Нп на две вращающиеся волны с ази-
азимутальными зависимостями е1а и е~'а (§ 65, п. 1). На оси волно-
волновода их поля поляризованы по кругу в противоположные стороны.
В феррит эти волны проходят, конечно, деформируясь, но указан-
указанное качество сохраняется, причем в случае тонкого ферритового
стержня можно считать, что круговая поляризация имеет место
во всем его поперечном сечении. Но тогда на основании § 83,
п. 2 нетрудно заключить, что феррит ведет себя как среда с маг-
магнитной проницаемостью ц+ = [1-\-а для одной волны (правая кру-
круговая поляризация) и с магнитной проницаемостью ц~ = ц — а —
для другой (левая круговая поляризация). Поэтому в участ-
участке волновода с ферритом данные волны распространяются с
разными скоростями, получая по выходе различные фазовые
544

сдвиги; наложение их и дает повернутую структуру, показанную на
рис. 84.3, в (ср. рис. 83.1, а).
Волноводный эффект Фарадея используется в ряде устройств,
так называемых «вентилей» («изоляторов») и «циркуляторов».
б)
Рис. 84.3.
Действие первого поясняется на рис. 84.4, а. Отрезок круглого вол-
волновода соединен с развернутыми на 45° прямоугольными волно-
волноводами и содержит продольно намагниченный ферритовый стер-
стержень, создающий поворот структуры поля также на 45°. Пусть
при движении волны от 1 к 2 вращение структуры происходит
по часовой стрелке, тогда волна, падающая на вход /, должна
Рис. 84.4.
пройти в выход 2. Но в противоположном направлении (от 2 к 1)
волна не пройдет. Действительно, эффект Фарадея необратим
(§ 83, п. 2), и теперь структура будет вращаться против часовой
стрелки для наблюдателя, тождественно ориентированного отно-
относительно движения волны. По отношению к широкой стенке вол-
волновода / вектор Е прошедшей через феррит (из 2) волны ока-
окажется параллельным, так что основная волна #10 не возбудится,
а пройдет полное отражение. Заметим, что обычно отраженная
18 Электродинамика
545

волна «гасится» при помощи поляризованного поглотителя в ви-
виде тонкой проводящей пластинки, поставленной в круглом волно-
волноводе вблизи соединения с волноводом / параллельно его широкой
стенке; на выходящую из / волну он почти не действует.
Аналогичное устройство с двумя дополнительно присоединен-
присоединенными прямоугольными волноводами (рис. 84.4, б) работает как
циркулятор. Это значит, что волна из / попадает в 2, из 2 — в 3,
из 3 — в 4 и из 4 — в /. Объяснение действия в принципе не отли-
отличается от предыдущего. Поместив в волноводы 3 и 4 неотражаю-
неотражающие поглотители («согласованные нагрузки»), мы придем от цир-
кулятора к вентилю.
Часто в прямоугольный волновод ставят вертикальную попе-
поперечно намагниченную ферритовую пластинку (рис 84.5). Напом-
Напомним (§ 64), что в силу фазового сдвига на 90° поперечной и про-
продольной компонент вектора Н волны Н10 пустого волновода,
а)
Рис. 84.5.
магнитное поле вращается в плоскости его широкой стенки, причем
на расстоянии
2а ~
поляризация является круговой, а направление вращения зави-
зависит от направления распространения волны. В несимметрично
расположенной ферритовой пластинке в зависимости от направ-
направления движения волны волновода также будет преобладать пра-
правая или левая круговая поляризация магнитного поля. Поэтому
можно сказать, что эквивалентная магнитная проницаемость плас-
пластинки для противоположно движущихся волн будет иметь раз-
различные значения. Разными, следовательно, будут и постоянные
распространения (т. е. фазовые скорости и затухания) этих волн.
Система необратима и может быть использована для построения
вентиля, а также циркулятора. Аналогично действие поперечно
намагниченного ферритового стержня иной формы, например
в виде горизонтальной пластинки (рис. 84.5,6).
Одно из устройств на основе описанной системы1—так назы-
называемый «резонансный вентиль». Феррит намагничивается до состоя-
состояния ферромагнитного резонанса; при этом параметры |д," и —а"
546

(— 1т (д, и — 1т а) максимальны и приблизительно равны (рис. 82.6).
Тогда ((I")' ^ 2A* и (|д,+)'«йО, а это значит, что одна из движу-
движущихся навстречу основных волн прямоугольного волновода с фер-
ферритом (с преобладающей левой круговой поляризацией) будет
сильно поглощаться, а другая пройдет почти без затухания
(§ 83, п. 2).
В качестве примера циркулятора на той же основе рассмот-
рассмотрим систему, составленную из двух направленных ответвителей
(§ 74, п. 3), производящих деление передаваемой энергии пополам
(а = Ь в G4.21)); их называют «щелевыми мостами»; ферритовые
3 4
/ г
а)
элементы помещаются в одном или обоих каналах между ответ-
вителями. Схематическое изображение устройства в одном из вариан-
вариантов дано на рис. 84.6,а. Пусть канал с ферритом для одного
направления создает фазовый сдвиг ф+180°, а для другого ср;
симметричный же канал для обоих направлений вызывает фазо-
фазовый сдвиг ф (в нем расположен нужный для этого диэлектричес-
диэлектрический элемент). Необходимо также учитывать, что при делении
потока энергии направленным ответвителем происходит сдвиг фаз
на 90° (см. G4.24а)); в данном случае фаза изменяется на 90°
«при проходе через отверстие». Если волна попадает на вход /, то она
выйдет через 2, не попав в 4. Действительно, как видно из рис.
84.6,6, в 2 приходят два волновых потока половинной энергии,
один из которых (прямой) имеет фазовый сдвиг ср, а другой —
сдвиг 90° + A80° + ф) + 90° (два прохода через отверстие и дей-
действие феррита); они интерферируют в фазе и складываются.
В то же время в 4 приходят потоки с фазовыми сдвигами <р-{-
+ 90° и 90° + A80° + ф), т. е. противофазные, уничтожающиеся при
интерференции. Таким же образом нетрудно проследить, как из 9.
волна пройдет в 3, из 5-в 4 и из 4—-в /.
18* 547

Заметим, что матрица рассеяния (§ 74, пп. 2, 3) идеального
циркулятора с Р каналами должна иметь вид
г> _
0
1
0
0
0-
0
...
0
. » .
...
1
0
0
1
1
0
0
0
(84.6)
Входные сечения предполагаются лежащими в дальней зоне и
выбраны так, чтобы скомпенсировать фазовые сдвиги (ср. переход
от G4.18) к G4.18а)).
Четырех-, а чаще трехканальные циркуляторы йыполняются
также в виде разветвления прямоугольного волновода в Я-плоскости
Нп
Н,
6)
(либо аналогичного разветвления полосковой линии), в которое сим-
симметрично помещается ферритовый элемент, намагниченный пер-
перпендикулярно к этой плоскости (рис. 84.7 а, б, в). -Падающая на
феррит волна дифрагирует асимметрично; при требуемом выборе
параметров поток энергии из / будет направляться в 2, из 2 —
в 3 и т. д. Устройства этого типа называются «Х-циркуляторами»
и «У-циркуляторами» соответственно.
Волноводные системы с намагниченными ферритами очень разно-
разнообразны, и в этой книге нет места для сколько-нибудь полного их
описания г). Различные вентили и циркуляторы (выше были рас-
рассмотрены лишь некоторые их виды) являются важнейшими устрой-
устройствами такого рода, но далеко не исчерпывают всего многообра-
многообразия функций, которые можно реализовать с применением ферритов.
Огромное техническое значение имеет уже сама возможность управ-
управления амплитудой и фазой волнового процесса «электрическим
путем», т. е. посредством изменения тока в электромагните, намаг-
1) Интересующийся читатель отсылается к монографиям [Д. 5—7].
548

ничивающем ферритовый элемент, вместо механического введения
в волновод какого-то тела, вызывающего поглощение, отражение
или сдвиг фазы.
В заключение обратимся к случаю полого резонатора с намагни-
намагниченным ферритом; особенно интересно при этом проявление эффекта
Фарадея. Пусть для определенности резонатор образован «зако-
«закороченным» отрезком круглого волновода с продольно намагничен-
намагниченным коаксиальным ферритовым цилиндром (рис. 84.8, а). При отсут-
отсутствии внутри феррита постоянного магнитного поля (#0 = 0)
последний лишь несколько деформирует невращающееся поле
колебаний основного типа, одинаково действуя на обе вращающиеся
компоненты с азимутальными зависимостями е'а и е~1а, которые
а)
н0 >н0
Рис. 84.8.
остаются вырожденными; соответствующие резонансные кривые
идентичны и «неразделимы». С приложением постоянного поля
(#0 Ф 0) феррит по-разному возмущает вращающиеся типы коле-
колебаний (если стержень тонок, можно сказать, что в одном случае
его эквивалентная магнитная проницаемость есть (д,+ = |д, + а,
а в другом |Г~=|1 — а). Собственная частота одного из них увели-
увеличивается, а другого —уменьшается.
Наблюдаемая резонансная кривая сначала становится двугорбой,
а затем с увеличением Но собственные частоты разносятся весьма
значительно (рис. 84.8, б). При этом кривая, соответствующая типу
колебаний с правой круговой поляризацией на оси, не только
сдвигается в сторону низких частот, но и сужается в результате
повышения добротности: (|а+)"<ц". Другая же (левая круговая
поляризация) смещается в сторону высоких частот и расширяется
(цТ>и"
549

3. О теории волноводных систем с гиротропными элементами.
Заключение. Реальные волноводные системы, содержащие ферриты,
нерегулярны, и к ним следует применять методы, о которых
кратко говорилось в § 76; эти вопросы подробно излагаются в [И. 3].
Но большой практический интерес представляет уже рассмотрение
а}
\Н„
1
б)
Рис. 84.а
идеализированных систем, например регулярного круглого вол-
волновода с продольно намагниченным ферритовым стержнем в виде
коаксиального цилиндра (рис. 84.9, а), регулярного прямоугольного
волновода с полным по высоте поперечно намагниченным слоем
(рис. 84.9, б) и т. п. Такие задачи сравнительно просты; они
давно решены методами, использовавшимися в § 67 (см. [Д. 5—7]).
Если ферритовый образец мал хотя бы по одному из размеров
(сфера и цилиндр малого радиуса, тонкая пластинка и т. п.),
успешно применяется теория возмущений (§ 75).
В качестве примера рассмотрим возмущение типа колебаний Н11р
круглого цилиндрического резонатора малым коаксиальным фер-
ферритовым диском, намагниченным по оси и
1 лежащим на одном из оснований, рис. 84.10.
Диск расположен, таким образом, в пучности
магнитного поля, которое тангенциально его
поверхности; возмущенное магнитное поле
внутри диска (//) можно отождествить с на-
начальным полем в этой области, пренебрегая
продольной компонентой магнитного вектора
и электрическим полем (которое поперечно).
Пусть начальное поле является вращаю-
щимся (с азимутальной зависимостью е'а или
е~'а). В области диска при /?0<^/? поле до-
допустимо считать однородным, а поляриза-
поляризацию— круговой, так что в зависимости от
знака в е±!а эквивалентная магнитная про-
проницаемость феррита есть |д,± = |д,±а и формула G5.5) или G5.13)
дает
Рис. 84.10.
Дм-
АУ
(84.7)
550

(средняя электрическая и магнитная энергии начальных колеба-
колебаний совпадают). Индекс ± при Асо соответствует двум различным
направлениям круговой поляризации. Внося сюда компоненты
вектора Нт = Нт0 поля типа. Н11р из G0.11) при 2 = 0, после
интегрирования получаем
^ х*\2 а /я, у ль /р±« Л ,
к0) I \К) (А\^~\)^■^(Ап) \ щ V" { >
Смысл этого примера тот же, что и в случае, обсуждавшемся
в конце п. 2. Гиротропия снимает вырождение вращающихся полей.
Иллюстрацией (качественной) к результату (84.8) может служить
рис. 84.8,6.
В случае круглого волновода с коаксиальным продольно намаг-
намагниченным цилиндром, когда последний тонок, можно применить
аналогичный прием, учитывая, однако различие начального и воз-
возмущенного полей внутри стержня. В квазистатическом прибли-
приближении (ср. § 50 и формулы E1.29), E1.31))
Р _ 2е0 р и 2[хо/Утр , 2[х0 д
и применение формулы G5.10) дает
АГ± = 1_ /^оу Аъ Г^±а-[х„ , I к\* к-гЛ
Го ~2 и^ ^\1-\)^АА1А^±а + ^\Т0) к + Ч\
(/?„</?) (84.9)
(рис. 84.9, а) для волн двух противоположных вращений. Отсюда
постоянная Фарадея (ср. § 83, п.. 2) равна
-2
Приведем еще без вывода получаемую методом возмущений
формулу приращения постоянной распространения волны Н10
прямоугольного волновода при помещении вертикальной намагни-
намагниченной ферритовой пластинки (рис. 84.9, в):
Го о* Ц. и V Го / \ е0
*"" "* (<*<а). (84.11)
+ (A)Со8±|8т
\Г0/ \ цц0 " / а (а Го а
Двойной знак соответствует двум направлениям распространения
волны (необратимость).
С последовательным применением теории возмущений и полу-
получаемыми при этом результатами читатель может ознакомиться
в [И.З].
В заключение подчеркнём, что, рассмотрев наиболее типичные
случаи гиротропии в радиотехнике, мы все же далеко не исчерпали
651

этой темы. Одним из заранее наложенных ограничений было
требование линейности среды. Но гиротропные среды могут быть
и заметно нелинейны, что в ряде случаев существенно. О нели-
нелинейных средах будет говориться отдельно в §§ 86, 87.
III. АКТИВНЫЕ СРЕДЫ
Активной, или регенеративной, мы будем называть среду,
которая в противоположность среде поглощающей отдает энергию
электромагнитному полю. Разумеется, это бывает обусловлено дей-
действием тех или иных физических факторов, являющихся по отно-
отношению к рассматриваемому полю сторонними. Однако речь идет
не о заданных сторонних силах (в виде функций ^ст илиУст и т. п.);
тогда некоторая область, заполненная активной средой, была бы
просто областью источника (§ 43, п. 1), т. е. отсутствовала бы
необходимость выходить за пределы обычной постановки задачи
об излучении (о возбуждении поля фиксированными источниками).
Признаком активной среды является «отклик» на электромагнит-
электромагнитное поле — сторонние процессы совершаются под действием послед-
последнего и отдают ему энергию. Как было отмечено в § 30 п. 2, при
гармонических колебаниях (или для гармонических составляющих
при произвольной временной зависимости) активные среды опи-
описываются путем введения комплексных проницаемостей е = е' — /е*
и (д, = |/ — щ" с е"<:0 и (или) |л"<0. Такую же роль может
играть отрицательная удельная проводимость сг<0 (§ 9, п. 2).
Представление об активных средах удобно тем, что дает единое
средство описания различных регенеративных факторов при поста-
постановке электродинамических задач. В современной, радиотехнике
их многообразие довольно велико. Для построения усилителей
и генераторов используются макроскопические движения частиц в
полях (электроника) и микроскопические эффекты (квантовая ра-
радиотехника); большое значение приобрело параметрическое уси-
усиление и возбуждение. Подробное изучение этих вопросов, конечно,
далеко выходит за рамки данного курса. Мы ограничимся общим
электродинамическим аспектом, который будет полезен читателю
как подготовка к соответствующим специальным дисциплинам.
§ 85. Поля и волны в активных средах
Природа и проявления регенерации. Вернемся к результатам
анализа взаимодействия электронного пучка с бегущей электро-
электромагнитной волной, полученным в § 80, п. 1. Область пучка (в
которой электроны отдают энергию полю) мы вправе рассматривать
как активную среду. Регенеративный процесс является чисто
электрическим — взаимодействие с электрическим полем волны,
что видно из (80.9). Поскольку, согласно C0.16), Я&р' = №"Ет/2,
то на основании (80.9а) сразу же можно получить выраже-
выражение мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости
552

данной активной среды. При | Г" |2
\кд — Г"|2 находим
Г"
Регенерация имеет место при условии (80.10).
Далее рассмотрим в упрощенной форме принцип парамет-
параметрического резонанса1), при котором регенерация колебаний
вызывается периодическим изменением того или иного па-
параметра колебательной системы. В качестве идеализирован-
идеализированного примера возьмем случай мгновенного изменения емко-
емкости колебательного контура, которое производится, скажем,
путем смещения пластин конденсатора либо введения и удаления
а)
твердого диэлектрика (рис. 85.1а). Пусть при максимальном зна-
значении емкости С происходят гармонические колебания с собствен-
собственной частотой контура со=1/]Л55'С. Если в момент максимального
напряжения на конденсаторе (и~ит), когда также максимален
заряд (д —дт) и отсутствует ток, мгновенно уменьшить емкость кон-
конденсатора на величину АС (например, разведя пластины), то произой-
произойдет скачок напряжения до величины и'т = дт(С — АС), и затем при
этой амплитуде будут совершаться гармонические колебания
с частотой (а'=\гХ(С — АС) (рис. 85.16). Энергия контура уве-
увеличилась потому, что при разведении пластин была совершена
работа против силы поля, обусловливающей их взаимное притя-
притяжение (заметим, что мощность Р ф есть при этом б-функция).
Можно, однако, в момент, когда напряжение на конденсаторе
отсутствует (м = 0), вернуть емкости прежнее значение (путем
сближения пластин), не внеся никакого энергетического влияния,
но изменив собственную частоту с со' до со, а в момент макси-
максимума напряжения опять уменьшить емкость на АС. Если этот
*) В связи с современным значением параметрического резонанса читателю
будет интересно познакомиться с лекцией Л. И. Мандельштама ([Г. 1], стр.189),
прочитанной в 1931 г.
' 553

процесс повторяется периодически, то напряжение скачкообразно
возрастает, как это показано на рис. 85.1,в; принято, что АС<^С
И й/ РЫ СО.
Будем считать, что кривая на рис. 85.1,е близка к синусоиде
на протяжении каждого «периода» и вычислим среднюю мощность,
отдаваемую электромагнитным колебаниям:
Р
р ] Аг
Г Т[2(С-АС) 2с]~ ТС*
G = 2я/со). Приписывая энергетическое воздействие активности
среды внутри конденсатора, согласно C0.16) получим
шдт
а поскольку дт = еЕтЗ, С=еЗ/й и V =8с1, то отсюда следует;
в" —в^. (85,2)
и, в частности, в том варианте, когда внутрь конденсатора
Вводится диэлектрик с проницаемостью е,
е"=— ^(е-е0). (85.2а)
В радиотехнике применяются так называемые параметрические
усилители и аналогичные устройства, в которых роль модулируемой
емкости играет слой, образующийся в р — «-переходе полупроводни-
полупроводникового ?■ диода. Диод может быть, например, помещен в полый
резонатор и играть роль области с активной средой для собствен-
собственных колебаний с частотой со; при этом модуляция емкости произво-
производится полем с частотой 2со (ср. рис. 85.1, е). Зто, как говорят,
поле «накачки» и служит источником энергии для усиливаемого
поля.
Можно модулировать параметр колебательной системы, связан-
связанный не с электрической, а с магнитной энергией, т. е. в простейшем
случае — индуктивность цепи. Параметрические усилители строи-
строились и с периодически перемагничиваемыми ферритовыми элемен-
элементами в полых резонаторах. Но они так и не вышли из стадии
экспериментальных образцов.
Широко известно значение квантовых усилителей и генераторов
СВЧ (мазеров) и оптических квантовых генераторов (лазеров).
Мы не можем излагать принципы их действия, поскольку предшест-
предшествующий материал книги для этого совершенно недостаточен; это
предмет квантовой радиотехники (см., например, [Д.8]). Однако
подчеркнем, что и они описываются как электродинамические
системы — полые и открытые резонаторы и волноводы — с актив-
активными средами. Например, парамагнитные вещества, применяемые
в мазерах, ведут себя как регенеративные магнетики ((/'<< 0).
664

2. Свойства электромагнитных полей. Выясним закономерности,
свойственные электромагнитным полям в активных средах.
В случае одномерного процесса поле описывается решением
C2.2) уравнения C2.1). Комплексное волновое число & = со)/ё|д,
C3.1) представим, как и ранее: к'=к'— Иг" C3.2). Пусть е>0
и |/ > 0, но поскольку среда активна, в отличие от ранее рас-
рассмотренного случая (§ 33), е"=^0 или ц," ==^0. Соответственно
этому вместо C3.3) рассмотрим неравенства
или
к'<0, к">0,
(85.3)
а так как характер решения C3.4) не изменяется в зависимости
от того, используется ли первая либо вторая строчка (85.3)
(слагаемые только меняются ролями), то для определенности остано-
остановимся на неравенствах первой строчки: к'>Ь, к" <0.
Выражениям векторов поля плоской однородной волны C3.13)
на этом основании придадим вид
Е — х0Ае*1к" 12 сов (со? — к'г + ф),
и .. А
к" 1
соз (Ы~
(85.4)
Е(г)Н(г)
При распространении волны амплитуды напряженностей Е м Н
экспоненциально нарастают; «мгновенный снимок» распределения
Е(г) и Н(г) показан на рис.
85.2 (ср. рис. 33.1). Величину
\к"\ естественно назвать коэф-
коэффициентом усиления волны.
Отношение
(85.5)
Ет(г)
показывает, во сколько раз
увеличилась амплитуда волны
на расстоянии / (ср. C3.8)).
Можно говорить об усилении Рис. 85.2.
волны С=\к" |/, измеряемом
в неперах или — после умножений па 201§ е — в децибелах (ср.
C3.9)). . -1 ■
Разумеется, случай безграничной активной среды нереален
(как, впрочем, и любой безграничной среды с постоянными е и (д,),
но встречающиеся процессы в активных средах могут быть близки
к одномерному.
В радиотехнике СВЧ применяются усилители бегущей волны
в виде отрезка той или иной направляющей системы, содержащей
активную среду. Как следует из F3.15), при отрицательных е"
и (д," величина Г" в F1.2) также отрицательна. В выражениях F1.1),
655

описывающих направляемую волну, при этом е~1Гг = е~'т'2е'г"^г.
Коэффициентом усиления теперь является величина |Г'|, которую
можно ввести в (85.5) вместо \к"\.
В действительности надо учитывать, что используемый в усили-
усилителе отрезок направляющей системы содержит и поглощающую
среду (поглощают, например, металлические оболочки волноводов),
так что в соответствии с F3.13)
Ет(г+1)
Ет(г)
_ (Г
(85.6)
где Г)'> 0 — коэффициент затухания, характеризующий поглоще-
поглощение, а | Г,' | —коэффициент усиления волны активной средой.
Величина | Г,' | = IIV (Р„) | есть монотонно возрастающая от нуля
функция мощности Ра генератора «на-
«накачки», обусловливающего действие
активной среды. При выключенной на-
накачке (Рн = 0) отношение (85.6) равно
е-Т\'1<^\, а при некоторой величине
рн = ри * поглощение будет скомпенси-
скомпенсировано (—Г^' +| Г,'| = 0), и волна прой-
пройдет без затухания. Усиление имеет место
при Ри>Рн*> когда отношение (85.6)
превышает единицу.
Наконец, рассмотрим полый резона-
резонатор с активной средой, соединенный с
двумя волноводами «на проход» (рис.
85.3; а) либо при помощи одного отвер-
отверстия и циркулятора (§84, п. 2), разделяю-
разделяющего волны двух направлений (в четвертом канале циркулятора
стоит неотражающий поглотитель), рис. 85.36.
Введем в рассмотрение абсолютные значения амплитуд вектора Е
сигнала, поступающего на вход / (Е{), поля в резонаторе (Е)
и выходного сигнала (Е2); последний идет в канал 2 (рис. 85.3а)
либо в канал 3 (рис. 85.3, б). При резонансе, согласно § 71, п.5,
Е = к^Еъ где к± — некоторый коэффициент пропорциональности.
Введя другой коэффициент пропорциональности к2, запишем:
Е2 = к2Е, т. е. Е2 = к1к2С1Е1. Пусть записанное равенство относится
к случаю отсутствия накачки (Рн = 0), а при ее включении доброт-
добротность и выходной сигнал изменились, а именно: Ё2 = к1к2&Е1.
Относительным коэффициентом усиления назовем дробь Ё2/Е2.
Очевидно,
Рис. 85.3.
(коэффициенты кг и кг можно считать неизменными), причем
добротности равны
I ВСТ I (ОЙ.в)
556

(§ 69, п.З), где Ро — мощность поглощения внутри резонатора,
Ре — мощность излучения в результате связи с волноводами,
а Рст < 0 — мощность, отдаваемая полю резонатора активной
средой. Очевидно, ее можно выразить через мощность и к.п.д.
накачки: | Рст | — г\ (Рн) Рн. Итак,
|^=1_|рет|)(ро + р2,). (85.9)
С ростом Рн. добротность Ц (85.7) неограниченно возрастает,
пока | Рст | приближается к величине Рп+ Р% (рис. 85.4, а). Коэффи-
Коэффициент усиления при этом становится бесконечным, т. е. выходной
сигнал существует при исчезающе малом входном. Это «порог
возбуждения» системы, которая начинает работать как генератор.
Рис. 85.4.
На рис. 85.4, б представлен график Е2/Е2- В качестве усилителя
резонатор функционирует, начиная с момента компенсации внут-
внутренних потерь: | Рст | = Ро.
IV. НЕЛИНЕЙНЫЕ СРЕДЫ
Как подчеркивалось в § 5, п. 3 и далее, «строго линейных» сред
не бывает, хотя, безусловно, преобладают положения, когда среды
«практически линейны», и применимы линеаризованные соотноше-
соотношения E.6), E.7) и F.6) либо — при анизотропии — E.13), E.14) и F.7).
Нелинейность большинства распространенных сред проявляется
лишь в сравнительно очень сильных полях, пока еще редко встре-
встречающихся в технике. Однако давно известны и нелинейные явления,
наблюдаемые при значениях Е и //, которые типичны для практики.
В первую очередь отметим явления ферромагнетизма; нелиней-
нелинейность ферромагнетиков учитывалась еще в XIX веке при проекти-
проектировании электрических машин. Ферромагнетикам аналогичны сег-
нетоэлектрики — речь идет о сходстве зависимостей В(Н) в пер-
первом случае и О(Е) — во втором (в феноменологическом понимании).
Существенно нелинейной является зависимость ]{Е) для частиц в
667

вакууме —например, электронных пучков — и плазмы. Нелиней-
Нелинейность плазмы ионосферы в ряде случаев оказывается заметной при
распространении радиоволн. В § 80, п. 1 уже отмечалась нелиней-
нелинейность задач электроники СВЧ.
Не стремясь дать полный перечень существенно нелинейных сред,
отметим лишь, что в последние годы в связи с появлением мощных
лазеров стали доступными беспрецедентно сильные электромагнит-
электромагнитные поля, и значительно расширился круг наблюдаемых нелиней-
нелинейных явлений, имеющих волновой характер. Возникла нелинейная
оптика — научная область, ставшая уже довольно обширной.
Ниже будут рассмотрены некоторые проявления нелинейности и
вопросы электродинамики нелинейных сред.
§ 86. Природа и проявления нелинейности
1. Нелинейность электропроводности. Рассмотрим в общих чер-
чертах прохождение постоянного тока через газ. Последний в резуль-
результате действия различных внешних факторов (см., например, § 81,
п. 1) всегда несколько ионизирован и, как можно полагать, рав-
равновесно: числа вновь образующихся и рекомбинирующих электро-
электронов и ионов одинаковы, так что средние плотности положительного
и отрицательного зарядов р+ и р~ = —р+ остаются постоянными.
Приложение электрического поля вызовет ток. Теперь, кроме потерь
на рекомбинацию, заряженные частицы будут изыматься во внеш-
внешнюю цепь постоянного тока1), но при малых
полях эта убыль частиц вполне пренебре-
жима, и плотность тока можно определить
как 4/=р+о+ + р"г»~, где г>+ и ©"" — скорости
частиц, а плотности не зависят от Е. При
достаточно большом числе столкновений с
Е нейтральными молекулами, которым отдает-
Рис. 86.1. ся энергия, у+ и V пропорциональны Е.
Таким образом, получается линейное соот-
соотношение ]=р*~ (кг-\-кг)Е; к+- и кг — коэффициенты пропорциональ-
пропорциональности, называемые «подвижностями» частиц. Это обычный закон
Ома, его иллюстрирует участок / кривой на рис. 86.1. С ростом
Е плотность тока возрастает, и все большее число заряженных
частиц уходит, не успевая рекомбинировать, пока, наконец, током
не будут увлечены все вновь возникающие частицы: происходит
насыщение (рис. 86.1, участок 2). Дальнейшее увеличение Е какое-
то время не вызывает роста тока. Но потом энергия частиц воз-
возрастает настолько, что наступает ударная ионизация. Это лави-
лавинообразный процесс, и наличие внешних ионизирующих факторов
теперь уже не является необходимым для поддержания тока; начи-
х) Можно представить себе, что ток проходит через параллельные пластин-
пластинчатые электроды. Для поддержания постоянного тока наличие цепи, содержа-
содержащей генератор, как известно, необходимо (§ 26, п. 4).
658

нается так называемый «самостоятельный разряд» (рис. 86.1, учас-
участок 3). Зависимость ](Е) нелинейна.
Упомянем нелинейность совсем другого рода, которую можно
назвать косвенной. Удельная проводимость металлов о в фикси-
фиксированных условиях, можно сказать, совершенно не зависит от напря-
напряженности электрического поля (или плотности тока). Тем не менее
металл ведет себя, как заметно нелиней-
нелинейная среда, даже при слабых полях и
токах, если с увеличением Е происходит
сильный разогрев, вследствие которого
изменяется,а; поэтому, например, нели-
нелинейно сопротивление лампы накали-
накаливания.
2. Ферромагнетизм и сегнетоэлектри'
чество. Ферромагнетики в первую оче-
очередь характерны самопроизвольной
намагниченностью (§ 21, п. 4). Говоря
о модели среды в виде совокупности маг-
магнитных диполей, приходится в данном
случае вводить в рассмотрение весьма сильные внутренние ориен-
ориентирующие факторы, сущность которых получает объяснение лишь
с позиций квантовой физики. Под действием этих факторов диполи
должны ориентироваться параллельно, и это действительно проис-
происходит внутри очень малых, но макроскопических областей, назы-
называемых доменами; последние, однако, образуют (для определенно-
определенности будем говорить о поликристаллическом веществе) хаотическую
-н,
Рис. 86.2.
а)
структуру (рис. 86.2). Является ли при этом вещество в среднем
намагниченным, зависит от его «предыстории».
Если в исходном состоянии ферромагнетик размагничен (равна
нулю средняя самопроизвольная намагниченность М°), то с при-
приложением магнитного пс?ля средняя индукция В в зависимости
от Н будет изменяться, "как показано на рис. 86.3, а. Домены
деформируются с тенденцией превратиться в один-единственный
домен, в котором вектор намагниченности параллелен Н—«на-,
сыщение». Интересно, что скачкообразность этого процесса мо-
может быть замечена экспериментально («скачки Баркгаузена»); на
559

рис. 86.3, а схематически представлен участок средней части кривой
В (Н) в увеличенном масштабе. Эта кривая намагничивания демон-
демонстрирует существенную нелинейность зависимости.
Пусть, намагничивая ферромагнетик, мы увеличивали напря-
напряженность магнитного поля Н от нуля до некоторой величины Нъ
что описывается движением изображающей точки по кривой на-
намагничивания от начала координат до положения Р {Нъ Вх)
(рис. 86.3, а, б). Если теперь уменьшать Н, то это отнюдь не при-
приведет к возвращению в предшествующие состояния. Ход изменения
В будет соответствовать движению по кривей 2 (рис. 86.3, б), так
что при Н = 0 будет В -=ВГ — «остаточная индукция». Дальнейшее
движение по кривой 2 отвечает изменению знака (направления) на-
напряженности магнитного поля при прохождении через нуль. При
Н — — #1 мы придем в точку Р' (—Н1, — В1), которая симметрична
Р (#1, Вх) относительно начала координат, а изменив здесь направ-
направление намагничивающего поля, будем уже двигаться по кривой
3 и, снова пройдя через нуль, вернемся в Р (Нх, Вх). При этом
оказывается пройденной замкнутая кривая, называемая ггетлей
гистерезиса.
Если, прилагая поле к размагниченному ферромагнетику, оста-
остановиться не в точке Р (Нх, В^'г «раньше — при меньшем значении Н,
то можно пройти другую петлю гистерезиса, которая будет лежать
внутри первой. Ряд таких частных петель показан на рис. 86.3, е.
При очень малых полях петли гистерезиса вырождаются в
отрезки прямой начального участка на кривой намагничивания;
в этой области процесс обратим. В дальнейшем же необратимость
намагничивания обусловлена потерями энергии при деформации
доменной-структуры вещества.
Согласно A0.8) и § 11, п. 1 бесконечно малое приращение маг-
магнитной энергии в объеме V можно выразить в виде
й№™= \НйВйь, (86.1)
V
а ее изменение при переходе от состояния Нх, Вх к //2, В% есть
в*
Гу-Г»= И НйВйь. (86.2)
V В,
При циклическом перемагничивании ферромагнетика, совершив
один обход петли гистерезиса, получим
Ши=\§НйВйу, (86.3)
V
где контурный интеграл есть не что иное, как площадь этой пет-
петли на графике зависимости В(Н). Таким образом, возвращение
в первоначальное состояние достигается здесь ценой потери энер-
энергии ДИ7М.
Если магнитное поле гармонически колеблется, то изображаю-
изображающая точка проходит петлю гистерезиса за каждый период коле-
560

баний. Потери оказываются пропорциональными площади петли
и частоте. Надо отметить, что сам характер петли гистерезиса
зависит от быстроты перемагничивания, т. е. от частоты колеба-
колебаний.
Подчеркнем, что, хотя рассмотренный выше процесс намагни-
намагничивания ферромагнетика имеет резко нелинейный характер, гис-
гистерезис— явление, которое может заключаться всего лишь в запаз-
запаздывании линейного процесса. Если в рамках метода комплексных
амплитуд имеется линейная зависимость Вт = у,Нт (§ 29, п.2), то
это означает, что при #=#тсо§ отбудет В = |д,#тсо§ (со/— Р). Гра-
График В(Н) свидетельствует о гистерезисе: он цикличен, а точнее,
кривая есть эллипс. Вычисляя интеграл (86.3), учтем, что йВ=
= —|д,со#т 81п (со/ — Р) сИ. Поэтому
сои. с о с
V О
Этот результат совпадает с известным из § 30, п.2 (ср. C0.14)).
Разумеется, при комплексной диэлектрической проницаемости
можно говорить об электрическом гистерезисе, если а^О.
Вернемся к случаю постоянного магнитного поля в ферромаг-
ферромагнетике. Пусть требуется рассчитать тороид с зазором, принимае-
принимаемый за магнитную цепь (§ 24, п. 2,
рис. 24.3,а). Согласно § 24, п. 2 (см.
вывод формулы B4.8))
а поскольку вектор В, будучи нор-
нормальным к границе раздела сред,
имеет одно и то же значение в фер-
ферромагнетике и воздушном зазоре, то
отсюда
-й, (86.4)
н
Рис. 86.4.
где имеются в виду В и Я в фер-
ферромагнетике. В то же время В и Н
связаны нелинейной зависимостью ти-
типа рис. 86.3, б. Требуемое решение
задачи находится графически: на график гистерезиса наносится
прямая В(Н), описываемая уравнением (86.4), как это показано
на рис. 86.4. Теперь надо лишь взять значения В и Н, соответ-
соответствующие точке пересечения обеих линий. Таких точек три, и
какую из них выбрать, ясно из предыдущего; если, например,
тороид сначала был размагничен, то это будет точка B.
661

О сегнетоэлектриках скажем лишь, что зависимость О (Е)
здесь имеет в основных чертах такой же характер, как зависи-
зависимость В (Н) в случае ферромагнетиков, хотя внутренние процессы —
совершенно иные.
3. Нелинейности в электродинамике. В § 80, п. 1 оказалось
возможным линеаризовать нелинейную задачу электродинамики
в условиях, когда постоянная составляющая поля значительно
превышает переменную. Такие условия довольно типичны. Пусть
имеется, например, нелинейная зависимость } (Е) (рис. 86.5), при-
причем Е = Ео + Е (г); ^0=соп51, \Е ({)\^Ео(например, Е({) = Етсо§а{
и Ет<^Еп). Очевидно, что А] р& —рАЕ — ^вЕ (I), т. е. чем меньше
переменная составляющая (приращение) напряженности поля, тем
с большим основанием зависимость А/ от АЕ A(г) от Е(г)) можно
считать линейной; коэффициент д]'/дЕ
иногда называют «дифференциальной удель-
удельной проводимостью» и обозначают сгд, это
функция постоянной составляющей: сгд =
= оД(Еп) (рис. 86.5). Аналогично при рас-
рассмотрении зависимостей О{Е) и В (И)
вводят понятия дифференциальных прони-
цаемостей ед = ед(^0) и |ад = |ад(#0).
Зависимость становится существенно
нелинейной даже при малых амплитудах
векторов поля, если в рядах Тэйлора для
Рис. 86.5. зависимостей У(Е), О(Е), В(Н) и т. п.
(ср. E.10)) нельзя пренебречь производны-
производными второго и более высоких порядков. Возьмем для определенно-
определенности зависимость Р(Е) E.3), которую представим подробно E.11),
но запишем это несколько по-иному:
(86'5)
Здесь поляризованность Р разбита на линейную и нелинейную
части Рл и Рнл соответственно.
В простейшем случае вектор Е совершает гармонические коле-
колебания с частотой со: Е — Етсо$ (со^ + ф)- Хотя метод комплексных
амплитуд (Приложение 3) в данном случае прямо и неприменим,
мы можем воспользоваться представлением (П3.5), согласно кото-
которому Е = -2 (Ёте1а' + Ё1%е-Ш). Подставив это в (86.5), легко убе-
убедиться, что Рнл предстает как ряд, состоящий из членов Р^л (± па),
которые изменяются по закону е±{па>1 (я = 0, 1, 2, ...), причем
Р Г (со) = е0 [%э (со + со - со) Ё\ЁЬ +
+ Г (и + со + со - со - со) Ё°тЁ*?+... ],
/С BС0) = 80 [%Э (СО + СО) Ё'т + %Э (СО + СО + СО - СО) Щ* +....]
562

и т. д., где различные хэ(...) — коэффициенты, составленные из
X? (86.5). Вследствие нелинейности функции Р(Е) гармонические
колебания Е с частотой со порождают также колебания с удвоен-
удвоенными, утроенными и т. д. частотами вектора поляризованное™.
Чтобы найти, например, составляющую удвоенной частоты, надо
сложить Р™ Bсо) и Р™(— 2со) либо взять вещественную часть от
одной из этих величин, например Р"? Bсо).
Если вектор Е имеет две частотные составляющие, т. е.
Е — Етрсо$ (оар(-\-($р)-\-Етсо& (ад(-\-ц>9), то таким же путем легко
разложить Рнл в ряд по частотным компонентам Р™ (± кар ± то?),
изменяющимся, как е Ч±ыр± пад) > причем
= ео\%э (сор± аA)Ётр ЕГ* + хэ К + сор - юр ± со?) Ё\прЁ*трЕ^-+.. .1,
Р™ Bсор ± со?) = е01 %э (сор -г сор ± со?) Е^,р ™? +
+ Г К + сор ^^ ^* 1
и т. д., где всевозможные %э(...) составлены из х^ (86.5). Компо-
Компонента той или иной комбинационной частоты ± ка>р±що? нахо-
находится этим способом.
Все рассуждения можно обобщить на любого вида временные
зависимости поля, используя разложение в ряд или интеграл
Фурье (Приложение 8). Разумеется, вместо Р(Е) можно говорить
также о зависимости М(Н), У(Е) и т. п.
4. Дальнейшее обсуждение. Рассмотрим пример, который по-
послужит иллюстрацией к представлению,(86.5), но в то же время
покажет и его ограниченность. Пусть в плазме электромагнитное
поле задано в виде плоской однородной волны, которая была
бы в пустоте (в разреженной плазме поле может быть очень
близким), а именно (§ 32, п. 3):
Е = х0Асо5(^-к0г), Н=уи ~ со§ (о^ - ког),- (86.6)
{ко = аУ еоцо, ^аТ/ч, Будем учитывать лоренцеву силу,
обусловленную переменным магнитным полем; при этом уравнение
движения отличается от (82.3) лишь присутствием Н вместо Но.
Полагая, согласно (86.6), Е=х0Е и Н = у0Е1^0, напишем:
— ^0^ + — — УоЕ И- == \-ч— о0 = -7== (86.7)
Для простоты пренебрежем столкновениями ^ = 0) и приведем
563

уравнение к координатной форме:
Яр <7 1 йгр_й4 п_а2у
Нелинейность заключена в произведениях скоростей на напря-
напряженность поля (первое и третье равенства); так как уг_ ^^и,,1).
соответствующие члены весьма невелики и в первом —линейном —
приближении могут быть отброшены, Тогда (86.7а) есть частная
форма уравнения (80.11), и для нахождения Р можно восполь-
воспользоваться формулой (80.14). Впрочем, при этом первое равенство
(86.7а) ввиду (86.6) дает
откуда
х=-~^АсоЦ<*1-кг) (86.8)
и, следовательно, суммируя электрические моменты частиц цх
в единице объема, получим
(Ы'— число электронов, ц = е); это же следует из (80.14).
Чтобы найти нелинейную поправку, внесем (86.8) в третью
строчку (86.7а). Учитывая также (86.6), после простых преобра-
преобразований получим
У
Отсюда
2= — о4г- (-^Г5Н1 Bсо^ — 2кг). (86.10)
Таким образом, вследствие нелинейности плазмы, обусловленной
лоренцевой силой, возникает продольное колебательное движение
частиц с удвоенной частотой. Соответствующая составляющая
вектора поляризованности находится умножением на годИ'
8^ (86.11)
Очевидно,
/ ^^ (86-11а>
Интересно, что найденная компонента нелинейной поляризован-
поляризованности не параллельна, а ортогональна напряженности электриче-
электрического поля. Скалярное разложение (86.5) не предусматривает такой
возможности. Более общей является векторная запись типа (86.5),
в которой частичные восприимчивости имеют тензорный характер.
Нелинейность рассмотренного вида не отнимает энергии рас-
распространяющейся волны, и излучение с частотой 2м отсутствует.
!) Поскольку используются законы классической механики, скорости
должны быть достаточно малы.
664

Действительно, интеграл
^ $ ^ (86.12)
(ср. (86.1)) в силу ортогональности Е и Р"л равен нулю.
Однако существует еще целый ряд факторов, обусловливающих
нелинейность плазмы. Частота соударений V (§ 80, п. 3) при
данной длине свободного пробега зависит от скорости движения
электронов. На тепловое движение налагается движение под дей-
действием поля, так что в (80.16) х — х(йг1й1). В свою очередь ско-
скорость ю — йг/сИ зависит от поля; в пренебрежении поглощением,
согласно (80.12а), 1)т = 1дЁт/та. Таким образом, в некотором
приближении верно, что через V функцией поля является ком-
комплексная диэлектрическая проницаемость плазмы (80.19).
При распространении радиоволн в ионосфере указанная нели-
нелинейность плазмы проявляется на средних волнах: при данной
мощности волны ут возрастает с уменьшением" со, однако на
длинных волнах поле лишь незначительно проникает в ионосферу.
Если, в частности, мощная волна несет модулированный сигнал,
то промодулированной оказывается и величина V, а с ней погло-
поглощение. При наличии другой — относительно слабой — волны это
изменяет условия ее распространения; на второй сигнал (в силу
изменения амплитуды волны с V) налагается первый. Этот эффект
перекрестной модуляции называется также «люксембург-горьков-
ским».
При распространении волны, создаваемой мощным лазером, через
жидкость или газ учитывают нелинейность поляризации, которая
оказывается вызванной действием многих факторов. Помимо пове-
поведения «оптических» электронов в сильном световом поле, сущес-
существенно механическое действие поля на вещество; возникает дав-
давление, пропорциональное средней мощности волны, сгущающее
среду и увеличивающее ее диэлектрическую проницаемость. Часто
приближенно полагают, что с учетом всех факторов
() (86.13)
где а>0, а ^ — среднее значение квадрата напряженности элек-
электрического поля (ср. E.11)); обычно речь идет о колебаниях
с медленно меняющейся амплитудой, и усреднение производится
по квазипериоду (при гармонических колебаниях Е2 = Ет*/2).
§ 87. Волновые процессы в нелинейных средах
1. Представление уравнений Максвелла. Продолжим рассмот-
рассмотрение сред с нелинейной зависимостью Р(Е), т.е. нелинейных
диэлектриков; переход к случаю нелинейных магнетиков не пред-
представляет труда: достаточно лишь к окончательным результатам
применить принцип двойственности (§ 46, п. 3).
565

Согласно E.1) и (86.5)
О = е0Е+Рл + Рил = влЕ + Рнл,
где ел = еоA+0Сл) (СР- Ф-й))'г пусть также В — \у,0Н. Уравнения
Максвелла B.1), B.2) принимают вид
^ ^ -щ,^, (87.1)
где У=
Пусть источник совершает гармонические колебания с частотой
со:Уст=У^тс08 (со^ + ср). Разложим функции Е—Е{1), Н=Н(г)
и Рт=ру) в ряды Фурье (П8.1):
СО
Е= 2 ^«М^ и т.д., (87.2)
я — — со
а плотность стороннего тока прздставим в виде: Уст —-% (Уте'а ~Ь
Уст*^~'ш0- Внося это в уравнения (87.1), получаем следующую
бесконечную систему уравнений:
го{ Йт («со) =/«со [ёл («со)Ёт («со) + Р™ («со)] +/% («со),
го! ^т («со) = —т®110Нт («со), (87.3)
(« = 0,±1,±2, ...)•
Здесь ел («со) = ел — I ^ и все Ут (па) равны нулю, за исключением
}% (± со) (У^,Т (со) ==у ^т/2 и У ^т <- со) =У^,Т*/2) •
Присутствие Р™ («со) делает все пары частичных уравнений
Максвелла относительно коэффициентов Фурье (87.2) связанными.
Действительно, подобно тому как это было в § 86, п. 3,
Рт (СО) = 80 [Г BС0 - СО) Ет BС0) Ё% (СО) + Г (ЗСО - 2С0) X
ХЁт(За)Ё%гBа) + ... + Г(а + а-а)Ё*(а)Ё*т(а) + ...], (87.4)
Р% Bа) - е0 [хэ (со + со) Ё1 (со) + ^ (Зсо - со) Ёт (За) ^ (а) +...
и т. д.
Обычно, анализируя определенный нелинейный эффект, остав-
оставляют в (87.3) лишь наиболее существенные связи, отбрасывая
малые члены в представлениях (87.4). Относительно мала вся
частотная компонента РПт (со) нелинейной поляризованности. Пре-
Пренебрегая ею, имеем обычные линейные уравнения Максвелла отно-
относительно первой гармоники поля
го! Нт (со) = каёл (со)^т (со) +у „Т (со), го! Ёт (со) = — /соцо//т (со).
(87.5)
Б66

Во второй строчке (87.4) справа оставим лишь первый член,
тогда для второй гармоники получаем
го! Нт Bм) = /2соёл Bсо)Ёт Bсо) + /2о)80х9 (со + со) Ёт (со) Ёт (со),
/тBсо). (87.6)
Ясно, что совокупность уравнений (87.5), (87.6) описывает
порождение нелинейной средой второй гармоники поля. Уравне-
Уравнения (87.5) формулируют линейную задачу электродинамики о воз-
возбуждении поля, гармонически колеблющегося с частотой со, задан-
заданным источником (функция (у'т (со)). Определив Ёт (со), мы тем самым
приобретаем информацию о «нелинейном источнике», фигурирующем
в уравнениях (87.6) в виде функции г'2соРтЛ Bсо) = 12(део%* (со + со) X
х Ет (со) Ет (со); поскольку она теперь задана, получена форму-
формулировка линейной задачи электродинамики о возбуждении поля,
колеблющегося с удвоенной частотой.
Совершенно аналогично решается задача о порождении полей
на -комбинационных частотах. При этом сторонний ток задается
как наложение нескольких частотных компонент, например у27 =
= ,/тТр со§ (сор^+фр)+уТ,т,,с08 (со^ + Ф?)- В первом приближении для
каждой из этих компонент формулируется линейная задача типа
(87.5) и задача с нелинейным источником типа (87.6). Это назы-
называют также «приближением заданного поля», так как не учиты-
учитывается реакция нелинейной среды на частотные компоненты исход-
исходного источника.
2. Падение волны на границу раздела с нелинейной средой.
В качестве примера исследуем падение плоской однородной волны
перпендикулярной поляризации из линейной среды / на плоскую
границу (г = 0) с нелинейной средой 2, задавая ее выражениями
комплексных амплитуд C8.1)
г<0
(87.7)
(рис. 38.1, а), где к1(а) = аУг1(аI10п^1(а) = У[10/г1(а) соответ-
соответствуют заданным характеристикам среды /.
Рассматривая первую гармонику, мы имеем уравнения Мак-
Максвелла B9.11) с ё = ё!(со) и A=ф0, а также 7^ = 0 Для первой
среды и те же по форме уравнения (87.5) для второй — нелиней-
нелинейной—среды (/шТ(со) = О); источники отсутствуют (можно считать,
что падающая волна возбуждается источником, лежащим в беско-
бесконечности). В сущности ставится именно та задача, которая бы-
была изучена в § 38, п. 1, и ее решение уже получено в виде
567

формул C8.10а), C8.106), в которых, кроме заданных
надо в соответствии с (87.5) положить
Сосредоточим внимание на второй гармонике. Исключая в (87.6)
#тBсо), находим уравнение
го! го!ЁтBсо)-&Bа)ЁтBсо) = А'к1{2а)Ёт (со) Ёт (со), г>0, (87.8)
где ^2Bй) = 4со2ёлBсо)|д,0 и Д&|B<а) = 4со2ео0С' (со + со) |д,0. В первой
среде комплексная амплитуда Ёт Bсо) подчинена вытекающему из
B9.11) уравнению
го! го! Ёт Bсо) - к!Bа)Ёт Bсо) = 0, (87.9)
где А1B@) = 40J8! Bсо) |и0.
Очевидно, что в (87.8) Ёт(а) есть не что иное, как комплекс-
комплексная амплитуда прошедшей волны первой гармоники, а именно,
согласно C8.10а) Ёт(а) = х0Ах±е-с'^'A»^5Ы& + гсо$'&\ а потому
уравнения (87.8) и (87.9) принимают вид
—а^~ + —5?— + к\ B<о) ^т Bм> =
\ (
( 0, г<0. ' ^
Решение уравнения (87.10) для нелинейной среды (г>0), когда
оно является неоднородным, естественно искать в виде
Ё BсО)= 7>—'*2B@) (г/8!пв + гсо8в), ^—
где первый член — решение соответствующего однородного урав-
уравнения (с правой частью в виде нуля), выражающее прошедшую
волну, амплитуда которой и ориентационный угол в (ср. C8.2))
пока неизвестны. Второй член —частное решение неоднородного
уравнения также типа плоской волны; угол '0 — тот же, что и
в выражении прошедшей волны первой гармоники, а комплексная
амплитуда 5 легко находится при подстановке в (87.10). В резуль-
результате имеем
-«*()<' *■"<> +*созОЬ 0_ (8? п
Решение уравнения (87.10) для линейной среды (г < 0), возьмем
568

в виде плоской волны, описываемой подобно отраженной волне
первой гармоники C8.3), так что
+ гсо5ф\ г<0, (87.12)
где /? и Ф —неизвестные величины.
Смысл полученных результатов состоит в том, что при паде-
падении на границу с нелинейной средой некоторой гармонической
волны, помимо отраженной и преломленной волн той же частоты,
во второй среде появляется волновое поле удвоенной частоты
в виде двух «преломленных» волн (87.11), а в первой среде —
«отраженная» волна удвоенной частоты (87.12).
Чтобы убедиться в правильности 'этого вывода, нужно лишь
проверить, что при должном выборе постоянных в (87.11), (87.12)
граничные условия будут удовлетворены; при этом, разумеется,
мы получим новую информацию о поле удвоенной частоты.
Начнем с вывода соотношений типа законов Снеллиуса, потре-
потребовав (ср. § 37, п. 1), чтобы выражения (87.11) и (87.12) были
одинаковыми функциями координаты у; в силу этого необходи-
необходимого условия
= 26
или
2(@)
= к
1Bт)
зт Ф,
(87.13)
8Ш в
8Ш О
2 к
■2 (и)
К2 B@)
ЯП Ф
8Ш в
B@)
(87.13а)
Пусть допустимо пренебречь поглощением в обеих средах
и ёл = ел в силу а2 = а = 0),
однако будем считать, что
вообще 81 л (со) ~ф. &1 л Bсо).
В этом случае из (87.13а)
находим
= е
шв = -. /" ел (со)
ап О У ел Bсо)
8Ш
шФ = -1 /" ел Bсо)
яп в У Ч Bсо)
8Ш
8:п
(87.14)
Схема лучей представлена
на рис. 87.1. Символами @),
(+) и (—), как и в §§ 37 и 38, Рис. 87.1.
обозначены лучи, соответст-
соответствующие падающей, преломленной и отраженной волнам основной
частоты. Лучи (Т), (8) и (/?) отвечают волнам удвоенной частоты
с амплитудными коэффициентами Т, 8 и /? в (87.11), (87.12) и
предшествующем выражении.
569

Покажем, как определяются коэффициенты Т и /?. Ввиду непре-
непрерывности Ётх = Ёт при 2 = 0 из (87.11) и (87.12) получаем
Непрерывны также магнитные компоненты Нту = -^ дЕт/дг.
Поэтому
к2(ш)Т со5 в - А1B@) /? со§ Ф = — 2 %2B^.2 х ■ *2(в) со§ф. (87.16)
4*2(ю) *2Bи)
Чтобы получить Т и /?, надо лишь выписать решение этой системы
двух уравнений, что предоставляется читателю. Результат будет
своего рода обобщением формул Френеля на нелинейные среды1),
3. О самовоздействии волновых процессов. Заключение. Луч
лазера —это резко неоднородная волна, амплитуда которой весьма
быстро убывает с расстоянием от оси. Распространяясь в среде
с диэлектрической проницаемостью вида (86.13), такой волновой
процесс, можно сказать, увеличивает оптическую плотность в об-
области луча, создавая осесимметричную неоднородность, что в свою
очередь оказывает действие на электромагнитное поле; происходит
самовоздействие волнового процесса. Разумеется, такое описание
несколько упрощает процесс как единое целое. Но во всяком
случае верно, что при прохождении луча через слабо нелинейную
среду его поле все более деформируется. Можно ожидать, что
при определенных условиях волновому процессу сопутствует
образование канала, направляющего его энергию, нечто вроде
диэлектрического волновода. Рассмотрим элементарные сообра-
соображения, поясняющие возможность такой самоканализации, которые
были высказаны Р. Чиао, Е. Гармайр и Ч. Таунсом2).
Пусть круглой апертурой радиуса /? с равномерным распре-
распределением поля создается «луч»;'согласно E3.13) его расхождение
характеризуется углом
до=1,22Я/2#о- (87.17)
С точки зрения геометрической оптики естественно приписать
этому слабо расходящемуся лучу резкую границу: интенсивность
изменяется скачкообразно от нуля вне луча до некоторой постоян-
постоянной в его сечении. Предположим, что луч идет из левого полу-
полупространства (рис. 87.2), где среда линейна, и падает на границу
с нелинейной средой (на рисунке пунктир). Далее в области
луча, на рисунке заштрихованной, среда будет иметь постоянную
*)/Впервые отражение от нелинейной среды, по-видимому, было исследо-
исследовано Н. Бломбергеном и П. Першаном A4. В1оетЬег§еп, Р. 5. РегзЬап, РЬуз.
Кеу. 128, 606 A962)).
2) К. СЫао, Е. Оаггшге2 С. То^пез, РЬуз. Кеу. 1«ей. 13, 479 A964).
570

диэлектрическую проницаемость е = еоA+а^2) (86.13); вне луча
везде диэлектрическая проницаемость есть Ец.
Мыслимо, что в нелинейной среде луч станет нерасходящимся.
Действительно (рис. 87.2), в си-
силу второго закона Снеллиуса
(87.18)
Полагая здесь Ф = 90°, мы удов-
удовлетворяем условию критическо-
критического полного отражения (начала
полного отражения), при ■ кото-
котором луч направляется вдоль границы раздела сред (§ 37, п. 2), т. е.
в данном случае пучок лучей становится параллельным, обра-
образуется нерасходящийся волновой канал.
Итак, условие самоканализации имеет вид
Линейная
среда
Рис. 87.2.
8Ш ф
(87.19)
а поскольку
созО0
то, внося в (87.19) выр&жение ■Оо из (87.17), получаем
{\,22%12ПJ = аЁ\ (87.20)
где также заменено /?0 на /? (рис. 87.2) в соответствии с пред-
предположением об однородности поля в поперечном сечении канала.
Вычисляя передаваемую при самоканализации мощность Ро =
== пЦ2Ё2№0, на основании (87.20) получаем
^ A^о= 120л). (87.21)
Это «критическая мощность» самоканализации. При Р < Ро пучок
лучей будет еще расходиться, а при Р^>Р0 он должен стать
сходящимся и фокусироваться в некоторой точке — самофокуси-
самофокусировка.
Разумеется, ввиду упрощенности подхода полученный резуль-
результат не претендует на точное количественное описание процесса.
Заканчивая на этом рассмотрение волновых процессов в нели-
нелинейных средах, подчеркнем, что тема эта весьма широка, и мно-
многие важные вопросы остались по необходимости вне нашего поля
зрения. К ним относятся вопросы взаимодействия полей, образо-
образования ударных волн и другие. Наконец, при более подробном
изучении можно было бы выявить черты общности в концепциях
активности (§ 84) и нелинейности. Читателю, желающему рас-
расширить свои представления об электродинамике нелинейных сред,
рекомендуются имеющиеся монографии [Д. 10,11].
571

V. РАДИОЛИНИИ
В заключение мы возвращаемся к рассмотрению радиолиний,
начальные сведения о которых были сообщены в §§ 41 и 42. Позд-
Позднее обсуждались различные виды волновых процессов в природ-
природных условиях: земные и тропосферные радиоволны (§§ 58 и 59),
радиоволны в ионосфере (§§ 81 и 84, п.1). В свою очередь этот
материал был подготовлен предшествующим содержанием книги,
что попутно отражено в ссылках. Таким образом, сведения о рас-
распространении радиоволн в природных условиях были постепенно
углублены и расширены. На этой основе полезно вновь обра-
обратиться к материалу, изложенному в § 42, п. 3.
Предлагаемое резюме содержит ряд дополнительных данных о
радиолиниях разных диапазонов (подробнее см. [ЕЛ—5]).
§ 88. Радиолинии разных диапазонов
1. Сверхдлинные, длинные и средние волны. В § 42, п. 3 уже
отмечалось, что в диапазоне длинных волн (а это тем более верно
для волн сверхдлинных) почва ведет себя обычно как проводник;
следует добавить, что земная поверхность здесь оказывается отно-
относительно наиболее гладкой (§ 58, п. 1): большинство образований
невелико в сравнении с длиной волны. В то же время из-за отно-
относительной быстроты изменения свойств среды (опять в масштабе
длины волны) граница с ионосферой проявляет себя как наиболее
резкая. В целом область пространства, в которой происходит рас-
распространение длинных и сверхдлинных волн, представляет собой
сферический слой, ограниченный двумя хорошо отражающими
поверхностями: поверхностью Земли и нижней границей ионосферы.
Моделью области является сферический волновод (§ 42, п. 3).
Утверждение, что длинные Т^и сверхдлинные) волны неглубоко
проникают в ионосферу (§ 42, п. 3), легко понять с позиций § 81, п. 1:
согласно (81.1) при данном ■Оо концентрация электронов Ы' на
высоте поворота луча тем меньше, чем ниже частота /, т. е. вместе
с / высота эта падает, приближаясь к нижнему краю ионосферы.
Следует, однако, иметь в виду, что условие применимости геомет-
геометрической оптики в данном случае существенно нарушено, так что
формула (81.1) способна давать лишь качественное представление.
Земная волна принимается вплоть до расстояния около 3000 км
(§ 42, п. 3), но уже значительно ближе преобладает волна ионо-
ионосферная. В практике расчета радиолиний длинных и сверхдлинных
волн используется так называемая формула Остина (эмпирического
происхождения); ниже она приводится в форме, которая употре-
употребительна в инженерной практике:
Здесь В а — к- н. д. передающей антенны (§ 41, п. 1), смысл угла
572

0 понятен из рис. 88.1, г и X выражены в км, Ра — в кет, а ампли-
амплитуда напряженности поля в месте приема Ет — в мв/м. Считается
[ЕЛ], что формулой Остина можно пользоваться до расстояний
16 000-т-18 000 км при рассмотрении радиолиний, функциониру-
функционирующих в дневные часы и проходящих над морем или сушей, при-
причем в последнем случае начиная с расстояний 2000-г-3000 км.
При расчетах напряженности поля земной волны до расстояний
около 500 км применяется формула Шулеикина — Ван-дер-Поля (§59,
п.2), а затем учитывается сферичность Земли; множитель ослаб-
ослабления в E9.15) находят, например, по формуле E9.18). Впрочем,
с расстояний более 500 км земная волна существенно слабее
ионосферной. Тропосфера практически не оказывает влияния на
распространение сверхдлинных, длинных и средних волн.
Напомним, что к диапазону наиболее длинных волн относятся
эффекты продольного (по отношению к земному магнитному полю)
распространения, рассматривавшиеся в § 84
(п. 1, окончание).
Исторически сверхдлинные и длинные волны
впервые использовались для трансатлантической
связи (частоты 15-Т-50 кгц). Вообще радиолинии
на этих волнах характеризуются высоким уров-
уровнем атмосферных —грозовых— помех; антенные
сооружения имеют громадные размеры и весьма
дороги; направленность излучения невелика
(антенны по своим относительным размерам Рис. 88.1.
близки к элементарным излучателям, §§ 44 \\.
45); полоса частот узка. В то же время связь устойчива по отно-
отношению к ионосферным возмущениям; зона действия передатчика
плавно — без колебаний интенсивности излучения — охватып.кт
огромные пространства; дополнительным преимуществом является
глубокое проникновение поля в слои воды (связь с подводными
лодками и т. п.). Международными соглашениями предусматри-
предусматривается применение сверхдлинных и длинных волн, главным обра-
образом для радионавигации и радиовещания.
Перейдем к обсуждению особенностей радиолиний средних волн.
Как отмечалось в § 42, п. 3, в отличие от длинных (и сверхдлинных)
волн, отражаемых нижним краем ионосферы, т. е. от слоя Е ночью
и слоя Ь днем, средние волны не испытывают поворота к Земле
при электронных концентрациях, которые свойственны слою О;
проходя через него, они сильно поглощаются; поворот же проис-
происходит в слое Е. Поэтому днем связь осуществляется посредством
земной волны; в свою очередь и она претерпевает большее погло-
поглощение, чем в ранее рассмотренных диапазонах, вследствие увели-
увеличения проникновения в почву; связь оказывается возможной не
более чем на расстояния около 1000 км. Ночью же —с разруше-
разрушением слоя Б — ионосферные волны (относительно неглубоко вхо-
входящие в слой Е) поглощаются слабо, и дальность связи резко
возрастает. При этом, однако, приходится считаться с существо-
573

ванием обширной зоны, в которую приходят земная и ионосферная
волны сравнимых интенсивностей. Их интерференция вследствие
ряда случайных факторов обусловливает «замирания», обсуждав-
обсуждавшиеся в § 42, п. 3. Приведем эмпирическую формулу [ЕЛ]
напряженности поля средневолновых линий связи, полученную
в результате длительных наблюдений в условиях европейского
радиовещания:
Ет = A0233/1/г) У^Л^е-8'94-10"^'26' (88.2)
(обозначения и единицы те же, что в формуле Остина (88.1)).
Средние волны интенсивно используются в радиовещании;
имеются и радионавигационные средневолновые системы. Типич-
Типичная дальность радиолиний соответствует использованию земной
волны; появление ночью ионосферной волны, искажающей пере-
передачу вследствие замираний, требует контрмер («антифединговые»
средства): к их числу относится построение антенн, направляющих
излучение в основном под малыми углами к горизонту.
Одна из особенностей средних волн — существование в этом
диапазоне эффекта перекрестной модуляции (§ 86, п. 4, окончание).
2. Короткие волны. Для коротких волн характерно значительно
более глубокое проникновение поля как в почву (несовершенный
диэлектрик), так и в ионосферу; первое приводит к сильному
поглощению земной волны. Напомним в связи с этим об эффекте
«зоны молчания» (§ 42, п. 3), в которой уже не принимается зем-
земная волна и еще не может быть принята волна ионосферная.
В диапазоне коротких волн впервые в практике радиолиний
были реализованы остронаправленные антенны, позволяющие эко-
экономно расходовать энергию передатчика при двусторонней связи;
наличие таких антенн и относительная малость поглощения при
рефракции в ионосфере и отражении от Земли (в типичных усло-
условиях) делают короткие волны весьма подходящими для дальней
радиосвязи. Интересно, что исторически значение коротких волн
было понято сначала радиолюбителями.
Диапазон коротких волн —область применения формул геоме-
геометрической оптики, а также простых соображений, приведенных
в § 81. Они составляют основу понимания главных закономерностей
функционирования коротковолновых радиолиний, уже обсуждав-
обсуждавшихся в § 42, п. 3. Со стороны высоких частот ограничение этого
диапазона приблизительно соответствует прекращению поворота
ионосферной волны к Земле в дневное время. Наиболее короткая
волна, для которой такой поворот еще происходит, определяется
при помощи формулы (81.3); в практике радиосвязи соответству-
соответствующая частота называется максимальной применимой частотой,
МПЧ. Выбирая рабочую частоту ниже МПЧ, нельзя забывать,
что ввиду (81.9) затухание волны растет приблизительно обратно
пропорционально квадрату частоты. Существует наименьшая при-
применимая частота, НПЧ, такая, что при данной мощности пере-
передатчика напряженность поля в месте приема находится на грани
574

выполнения требуемой нормы. При расчете коротковолновых линий
связи используются графики суточного изменения МПЧ и III14,
составляемые при помощи различных полуэмпирических правил
на основании данных измерений, осуществляемых так называемыми
ионосферными станциями; пример такого графика приведен па
рис. 88.2 [Е.2]. Что касается ионосферных станций, то они про-
производят главным образом «вертикальное зондирование» ионосферы,
т.е., посылая волну той или иной частоты в зенит, устанавливают,
на какой высоте происходит отражение. Напомним (§42, п.3), что
рефракция коротких волн происходит в ионосферном слое Р', элек-
электронная концентрация которого существенно меняется от дня к ночи
и сезонно, не говоря о разного рода несистематических возму-
возмущениях. Днем — при более высокой величине Л^' —МПЧ повышается,
ночью —снижается; в связи с этим говорилось о «дневных волнах»
A0 — 25 м) и «ночных волнах»
C5-100 ж).
На коротких волнах также
имеют место интерференционные
замирания, вызываемые наложе-
наложением нескольких относительно „
независимо распространяющихся и 8 10121?1В18 202224
волн, несущих принимаемый си- • Местное Время
гнал. Одна из причин (как на Рис 88 2,
средних волнах, § 42, п. 3) —при-
—приход в место приема волн, претерпевших разное число «отражений»
от ионосферы (скажем, одно и два). Могут также, например, интер-
интерферировать обыкновенная и необыкновенная волны (§ 84, п. 1).
Бывают и поляризационные замирания. Дело в том, что вследствие
гиротропии ионосферы в магнитном поле Земли поляризация про-
проходящей волны изменяется; случайный характер макроскопических
движений в ионосфере имеет следствием несистематические коле-
колебания поляризации, а следовательно, и принимаемого сигнала,
если приемная антенна реагирует на определенную (например,
вертикальную) поляризацию. Напомним еще о таком существенном
эффекте диапазона коротких волн, как радиоэхо (§ 42, п. 3).
Относительно стабильный режим ионосферы время от времени
нарушается под влиянием процессов на Солнце. Действие интен-
интенсивных корпускулярных потоков, приходящих от Солнца, приводит
к сильному изменению структуры и падению электронной кон-
концентрации слоя Р, к его «разрушению», в результате чего рефракция
коротких волн к земной поверхности становится невозможной;
действие радиолинии прекращается. Такие возмущения ионосферы
наиболее сильны в полярных областях, куда преимущественно
попадают корпускулярные потоки, направляемые магнитным полем
Земли. Другой важный вид нарушения коротковолновой связи
— внезапное поглощение из-за возникновения повышенной иониза-
ионизации слоя О под влиянием хромосферных вспышек на Солнце, сопро-
сопровождаемых ростом ультрафиолетового и рентгеновского излучения.
575

3. Ультракороткие волны. В годы высшей солнечной активности
рефракция в ионосфере приводит к «отражению» волн, формально
выходящих за пределы коротковолнового диапазона (например,
около 6 м). За этим исключением все ультракороткие волны
объединяет то качество, что рефракция не возвращает их к Земле.
В силу сказанного обычные радиолинии этого диапазона дейст-
действуют в пределах прямой видимости; для увеличения дальности
радиосвязи антенны поднимают над земной поверхностью. Если
последняя является достаточно гладкой, то радиолиния часто
принадлежит к классу, рассмотренному в § 59, п. 1, и при расчете
напряженности поля в месте приема могут использоваться полу-
полученные там интерференционные формулы. Особенно употребительна
формула Введенского E9.8). Следует помнить, что при выводе
формул E9.6) — E9.8) антенны считались слабо направленными
A>(#1, а)р&О(&2, а}; это могут быть, например, линейные вибра-
вибраторы (§ 44, п. 5), часто применяемые в поддиапазонах метровых
и дециметровых волн. В случае остронаправленных антенн надо
исходить из более общих соотношений E9.2) —E9.4). Впрочем,
при этом отражения от земной поверхности могут быть пренебре-
пренебрежимо малыми, и тогда радиолиния рассчитывается как идеальная
(§ 41, п. 1). С увеличением дальности связи следует принимать
во внимание сферичность Земли (§ 59, п. 3) и атмосферную рефрак-
рефракцию (§ 60, п. 1), используя /?0 вместо /?0 согласно F0.3).
Чем короче волна, тем менее относительно гладкой оказывается"
земная поверхность. Часто даже в тех случаях, когда критерий
гладкости E8.2) не выполняется, пользуются понятием эффективного
коэффициента отражения. Однако типичны случаи, когда это
становится невозможным; например, при распространении ультра-
ультракоротких волн в пределах города. Именно в данном диапазоне
встречаются положения, при которых доминантная область частично
захватывает отдельные образования на земной поверхности (§ 58,
п. 3); возможно «усиление препятствием» и т. п.
Различные случаи дальнего распространения ультракоротких
волн представляют особый интерес. В этом диапазоне реализуются
возможности существенного влияния тропосферных явлений, рас-
рассмотренных в § 60. Весьма значительное превышение расстояния
прямой видимости возможно в результате сверхрефракции при
образовании тропосферных волноводов (§ 60, п. 1), а также как
следствие процессов рассеяния в тропосфере (§ 60, п. 2). Даль-
Дальность линий связи при этом может быть порядка 1000 км.
Дальнее распространение ультракоротких волн, особенно метро-
метровых, может быть обусловлено рассеянием на неоднородностях
ионосферы, а также на ионизированных областях, образующихся
при вхождении в атмосферу метеоров («следы» метеоров) и при
полярных сияниях. Существуют весьма протяженные (свыше 1000км)
линии связи, использующие эти явления.
Дециметровые волны почти не рассеиваются в ионосфере; на
них также еще почти не влияют осадки. Сантиметровые волны
576

короче 5 см уже испытывают заметное воздействие осадков, а затем
сказывается молекулярное поглощение (§ 60, п. 2). Оно является
резонансным (селективным), так что и на миллиметровых волнах
имеются так называемые «окна» относительно слабого поглощения.
Субмиллиметровые и оптические волны испытывают сильное вли-
влияние осадков и тумана. Волны диапазона УКВ, и в особенности
дециметровые, сантиметровые и миллиметровые, используются в
радиолокации. В нем же лежит интенсивно изучаемое излучение
астрономических объектов. Для связи сантиметровые волны нахо-
находят применение в радиорелейных линиях. Изучается целесообраз-
целесообразность практического применения экранированных линзовых и зер-
зеркальных линий (§ 78) для связи на оптических волнах.
4. О космической радиосвязи. Диапазон ультракоротких волн
ввиду прозрачности для этих волн ионосферы используется в сис-
системах космической связи. Следует различать связь с космическими
объектами, т.е. различными спутниками Земли и Луны, а также
космическими кораблями, направляемыми к планетам Солнечной
системы, с одной стороны, и применение космических объектов
для связи на Земле —с другой стороны. Наконец, при освоении
Луны и планет возникнет потребность в местной связи; в послед-
последнем случае использование ультракоротких волн может и не иметь
особых преимуществ.
Космические линии связи могут быть беспрецедентно протя-
протяженными, простираясь на многие миллионы километров, как,
например, линии связи с советскими космическими станциями,
направлявшимися к Венере. Система спутников с активными или
пассивными ретрансляторами (в последнем случае используется
отражение радиоволн от поверхности спутника) способна обеспе-
обеспечить радиосвязь, охватывающую всю Землю.
Космические радиолинии обычно близки к идеальной (§ 41,
п. 1), и в основе их расчета лежит формула D1.8). Введя в нее
характеристики приемника, включая общую характеристику шумов,
нетрудно проследить влияние различных факторов на дальность
космической 2аДи0СВЯЗИ- При функционировании радиолинии
должно быть Рв 3& кТАРЫРс/Рш, где к = 1,38 • 10-23 дж ■ град-1 -
постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура (Т «= 300° К).
N — коэффициент шума приемника, Рс/Рш — отношение сигнал/шум,
требуемое для нормальной работы приемника, АР — его полоса
частот. Таким образом, согласно D1.8)
^ ■ (88.3)
Связь в неземных условиях может иметь различные особен-
особенности. Так, например, отсутствие у Луны ионосферы чрезвычайно
затрудняет проблему дальней связи. Оказывается, что для связи
между лунными объектами, лежащими вне пределов прямой види-
видимости, возможно, наиболее выгодно использование радиолинии
на сантиметровых волнах с ретрансляцией через Землю.
19 Электродинамика 577

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
ВЕКТОРЫ
1. Некоторые формулы векторной алгебры
Ниже имеются в виду векторы А = х0Ах-\-у0Ау-\-г0Аг, В = х0Вх-\-у0Ву-\-
+ г0Вг и С=х0Сх-\-у0Су-\-г0Сг (Ах, Ау, ...—декартовы компоненты, х0, у0, ...
... — соответствующие орты).
Скалярное произведение векторов А и В
(А, В) == АВ = АВ сое а=АхВх-\-АуВу-\-АгВг (П1.1)
(знак = указывает переход к другому обозначению; а — угол между направ-
направлениями А и В).
Векторное произведение векторов А к В
[А, В] = АХ В = \0АВ 8Ш а =
= хв (АуВг-АгВу)+у0 (АгВх-АхВг)+ г0 (АхВу-.АуВг) (П1.2)
(л>0 — единичный вектор нормали к плоскости векторов А к В, причем А, В
и л>0 образуют «правую тройку» векторов). В краткой записи
[А, В] =
В г В,,
(П1.2а)
Векторное произведение некоммутативно:
[В, А]=— [А, В]. (П1.3)
Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов А, В и С:
Ах
А [В, С]^[А,В]С=[С, А]В =
вг
Вг
(П1.4)
Двойное векторное произведение векторов А, В и С:
[А, [В, С]]=В(А, С)-С (А, В).
2. Операции векторного анализа
(П1.5)
В рассмотрение входят скалярные функции 1|) и векторные функции Р как
декартовых координат, так и криволинейных ортогональных координат ^,
<7г. <7з (орты ег, е2, е3; метрические коэффициенты Н1} Н2, Н3), в частности,
координат цилиндрических (<71=г, д2 = а> <7з=г; #1 = ''о, ^2=«о. ^з = го1
/гг=1, Нг=г, Н3=1) и сферических (<71 = г, <72 = 'б'. <7з = а! ^=-г0, ег = Ь0,
ез = ао'> ^=1, Л2=г. Л3 = г 8ш О).
г) Сведения, приводимые здесь в краткой форме, более подробно изло-
изложены в [^.5].
578

Градиент.
а) В декартовых координатах:
вг.а*^-*.&+л-|*+*.-*|-- (т.6)
б) В произвольных ортогональных криволинейных координатах:
в) В цилиндрических координатах:
^=^ + «„1^+^. (П1.8,
г) В сферических координатах:
Пусть г и г' — радиус-векторы точек М (г) и Р (г') соответственно.
Направленный отрезок, РМ = г — г' имеет длину |г — г'\ =
= V (х—х'J-\-(у — у'J-\-(г — г'J. Если |г —г'| рассматривается как функция
координат точки М (точка Р фиксирована), то
4 ё,Ы\г — г'\ = Г~Г\ . (ШЛО)
г —Г
Если же \г — г'\ рассматривается как функция координат точки Р (фиксиро-
(фиксирована точка М), то, используя обозначение §гай', имеем
-г'\ = --~~. (П1.11)
Расхождение (дивергенция)
а) В декартовых координатах:
дРх дРу дРг
и.„. дх , ду , дг .
б) В произвольных ортогональных криволинейных координатах:
в) В цилиндрических координатах:
г) В сферических координатах:
=-^Л- (г2Рг)-\ ^-5- ~ (зш !!"
г2 дг у " ' Г8шй Л1
^- (гРг)\ 5 (зш 0^) н !-.
г2 дг у " ' Г8шй Л1 " ' свшО да
Скалярный оператор Лапласа V2 = сНу бгас1.
а) В декартовых координатах:
19* . 579
б) В произвольных ортогональных криволинейных координатах:
д (Ы^^\ д/н^дф\ д
Д +Л +

' в) В цилиндрических координатах:
г) В сферических ,координатах:
^~ г2 дг X дг )^г*ШЪ
Вихрь (ротация).
а) В декартовых координатах:
*о Уо
го! Р = V X /=■= <?/<?* д/ду д/дг
Рх
б) В произвольных ортогональных криволинейных координатах:
Ч е2 е3
(П1.18)
(П1.19)
(П1.20)
го! /=• = V X /?=
Н1Р1
в) В цилиндрических координатах:
г~ «о ~-
д/дг д/да д/дг
Рг гРа Рг
г) В сферических координатах:
го\Р=
«о
г2 зш О г з:п О г
д/дг д/дЪ д/да
Рг ГР$ Г 8Ш ОРц
3. Интегральные формулы векторного анализа
Теорема Остроградского — Гаусса.
Теорема Стокса.
Теорема Грина.
(го!/? <&=<§>
5 I
= (V) 1M
(первая формула Грина),
- Ф
(вторая формула Грина).
580
(П1.21)
(П1.22)
(П1.23)
(П1.24)
(П1.25)
(П1.26)
(П1.27)

Формула с объемным интегралом от го* Р.
\МР^ = &[4$, Р]. (П1.28)
V 3
В записанных формулах ё$ = \ос1$ (у0 —единичный вектор внешней нор-
нормали V); й1 = той1 (х0 — единичный вектор касательной).
4. Дифференциальные формулы векторного анализа
, (П1.29)
сНу ^Р=Р§гаA1M+1M А\ч Р, (П1.30)
йп[Р, О] = Охо\Р— Рхо\О, (П1.31)
сНуго*^=0, (П1.32)
го1§г аи 1M=0, (П1.33)
( (П1.34)
?=[У1M, Р]-\-1\>МР, (П1.35)
) = /'(|)егас1|. (П1.36)
5. Уравнение силовых линий
СП! Ч7\
в частности, в декартовых координатах
их _ йу _ йг
Гх гу гг
Приложение 2
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
Дельта-функцией Дирака 8(х — х') называют особый математический
объект, входящий в следующее соотношение:
г ( 0 при х' вне /-,
?/(*) 6 (х-х1) йх = { ,.,* , . (П2.1)
[ ( I (х1) при х' внутри Ь,
где / (х) — некоторая функция, рассматриваемая в обычном математическом
анализе. Соотношение (П2.1) принимают за определение дельта-функции.
Если интегрирование в (П2.1) распространить на бесконечный интервал
(—оо, оо), го результатом будет /(*')•
В частности, из (П2.1) при ^(д;)=1 следует:
5 С 0 при х' вне Ь,
Ь(х-х')йх={ , ' (П2.2)
I. 1 при х' внутри Ь.
По существу соотношение (П2.1) регламентирует и употребление дельта-
функции.
Хотя б (х — х') не является функцией в обычном смысле, интуитивно
можно прийти к понятию дельта-функции, пытаясь найти предел «импульсной»
функции (рис: П2.1, а, б): б (%)= Нт Р (|) (при этом Р © = 0, когда | < — Д|
Д| -*• 0
оо \
а также выполняется интегральное соотношение ? Р(%) й%= 1).
—оо /
681

В частности, в случае прямоугольного импульса (рис. П2.1.6) имеем
Г 0 при | < — Д^ и | > Д|,
в© = Нт ] 1
2ДЕ
при —
(функция, везде равная нулю, кроме исчезающе малой окрестности начала
а)
б)
Рис. П2.1.
координат, где она неограниченна), С точки зрения обычного анализа предела
не существует. Обобщение на трехмерные области:
5@ при М (г') вне V,
\ {(г') при М (г') внутри V
(П2.3)
и, в частности, при Цг) = 1
0 при М (г') вне V,
1 при М (г') внутри V.
Представление дельта-функции б (г —г'):
$8 (/•-/•')*= {
|г — г'
(П2.4)
(П2.5)
Примеры применения дельта-функции.
\
Рис. П2.2.
а) "Представление плотности заряда р (г) в случае точечного заряда ц,
расположенного в точке Р (г')\
р(г) = <7б(г-г'). (П2.6)
б) Представление плотности заряда р (г) в случае поверхности 5, заря-
заряженной с плотностью | (ди <72):
Р @ = 6 (й.?*) « 0^') (П2.7)
(<71> <7а—координаты на 5; V — ортогональная к 5 координата, принимающая
значение V' на 5, рис. П2.2, а).
582

в) Представление плотности тока / (г) в случае поверхностного тока, рас-
распределенного на 5 с плотностью ц (ди д^)'-
/(»-) = ч(<71, <&)в^^') (П2.8)
(рис. П2.2, б).
г) Представление плотности тока / (г) в случае тока /, проходящего по
линии /. (рис. П2.2, в):
1(г) = то1Ь(г-г'), (П2.9)
где дельта-функция двумерная; соответственно этому точки М (г) и Р (г')
(последняя лежит на I) при интегрировании остаются на какой-либо поверх-
поверхности, пересекаемой током; орт т0 указывает направление тока.
Приложение 3
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
1. Представление гармонических колебаний. В случае гармонических коле-
колебаний векторные функции Р(г, I) вообще имеют вид
Р(г,() = х0Ртх соз (ш( + <рх) +у0Рту соз (ш1 + фу) + г0Ртг соз (ш1 + фг), (ПЗ. 1)
где Ртх=Ртх(.г)> Рту=Рту{г), Ртг=Ртг (г) —амплитуды компонент век-
вектора Р (г, I) и флг=флг(г), (Ру = (ру(г), фг=фг(г) —их- фазы (в частности,
Ф*=Фг/ = Фг=ф; тогда Рт = хоРтх+УоРту+гоРтг есть амплитуда вектора
На основании формулы Эйлера
), (П3.2)
где комплексное представление Р получается из (П3.1) заменой косинусов
экспоненциальными функциями по схеме: соз а—<-е'а. Выделяется комплексная
амплитуда
^ 1
е1Ч>у+ г0Ртге1^ (ПЗ.З)
При этом комплексное представление Р выражается как произведение функ-
функции координат Рт(г) и функции времени еш:
Р(г,1)=Рт(г)е^. (П3.4)
Заметим также, что функции Р(г, I) (П3.1) есть
Р=1 (/•+/•*), (П3.5)
где Р* — комплексно сопряженная величина.
Скалярные функции могут рассматриваться лак частный случай векторных.
2. Применение к линейным уравнениям. Пусть функция и вида (П3.1)
подчинена уравнению
%и = Г, (П3.6)
где/—известная функция того же вида (гармонические колебания), а X —
некоторый линейный (дифференциальный или интегральный) оператор: если
ии и2 —некоторые допустимые функции, а съ с2 — постоянные, то X (с^Щ +
-\-сги^)=с1Хи1-\-с<2Хи2,- Ввиду (П3.2) запишем уравнение относительно и =
= «„**«« (П3.4) ^=у?> (П3.7)
которое при отделении вещественной части дает (П3.6). После выполнения
операций по I и сокращения множителя е'®* получаем уравнение относительно
комплексной амплитуды ит:
8 (П3.8)
583

где временная зависимость отсутствует. Если его решение ит найдено, то для
получения решения и уравнения (П3.6) надо лишь произвести операцию: и =
т
Например, в случае уравнения (П3.6) вида
(/=0, <5?
туды ит (П3.8)
у2Ц ^_ " " =0 (П3.9)
1 <Э2 \
2"л7г) имеем Уравнение относительно комплексной ампли-
У»ят+**ят«0, А - со/у (ГОЛО)
ю + )
3. Средние величины. Средним значением функции Ф (и1г и^, где и1>2
имеют вид (ПЗЛ), назовем величину (вообще функцию координат)
В" частности,
Ф(И„ И.2) = ^
и=0,
Й
1^й;=У Ке
+ пту + итг)'
| Ке и*тй2т,
1. «2] = ^ Ке [и1; и*]=- Ке [я*, я8].
(ПЗЛ1)
(ПЗЛ2)
(ПЗЛЗ)
(ПЗ 14)
(ПЗЛ5)
Приложение 4
ВРАЩЕНИЕ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Пусть имеется две системы координат (х, у, г) и (|, т), у с общим началом
О (рис. П4.1, а). Направление каждой из осей второй системы можно охарак-
охарактеризовать тремя углами между этой осью (например, |) и тремя осями
/
г
щ
а;
Рис.
П4.1.
X
первой системы (т. е. ж, (/, г), как показано на рис. П4Лгб. Таким образом,
имеется девять углов
584

(например, Р] —угол между осями г) и х, у2— угол между осями I, и у и т. д.).
Очевидно,
Но = -*о соз С&! +Уо соз а2-\-г0 соз а3,
■По=*о соз Р! +у0 соз р2+г0 соз р3, \ (П4.1а)
?о =*о соз VI +у0 соз у2+г0 соз у3
и
хо = 1о соз а1 + т)о соз р] +?0 соз уи
у0 = 10 соз а2 + ц0 соз р2 + &, соз 72, (П4.16)
го = |о соз «з + Чо соз Рз+?о соз-уз
Аналогично преобразуются компоненты некоторого вектора Р=х0Рх-\-у0Ру -\-
+ го/?г = |о/:'| + 'По-^т! +■ Ео-^Е. в частности, радиус-вектора г = хо*+.Уо</+2ог =
= 1о? + т1от1+?оС- Приводимые ниже формулы преобразования компонент вектора
Р являются, таким образом, также формулами преобразования координат
(х, у, г) т! (I, п, О
Р-^ = Рх соз с^+Ру соз а2 + Рг соз аз,
?г\ = Рх соз рг+.русоз Рз + ^гСоз рз, (П4.2а)
^ = ^ соз уг -\- Ру соз у2 -\- Рг соз 7з
Рх =
СОЗ
СОЗ
СОЗ
(П4.26)
(П4.3)
Ру = Р^ соз а2 + Рц соз Р2 + Р^ соз 7г,
^г = Р% соз а3+^ соз Рз + Р^ соз у3.
Справедливы соотношения
л т = а, р, у;
! ф! СОЗ % + СОЗ фа СОЗ 1M2 + СОЗ фз СОЗ 1|53 = 0, | ^ _^ ^
соз а,-соз ай + соз р,-соз Рй+соз 7;соз 7й = 0, (^-у.^'
Углы Эйлера. Ориентация одной системы координат относительно другой
вполне определяется тремя углами Эйлера в, Ф и Чр, выбираемыми, как
показано на рис. П4.1, в. При этом фигурирующие в (П4.1) — (П4.3) направ-
направляющие косинусы выражаются так:
СОЗ <*! = СОЗ Ф СОЗ Ч' — СОЗ в ЗШ Ф ЗШ Чр,
соз а2 — зш Ф соз Ч' + соз в соз Ф зш Ч', соз а3 = 81П в зш Чр,
соз рх = — соз Ф зш Ч'—соз в зш Ф соз Чр,
соз Р2 = — зш Ф зш Ч' + соз в соз Ф соз Чр, соз Рз = зш в соз Чр,
соз уг = зш в зш Ф,
соз у2 = — зш в соз Ф, соз у3 = соз в.
Приложение 5
ОБ УРАВНЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. Уравнение Пуассона. При интегрировании скалярного уравнения Пуассона
вводится функция Грина 0 (г, г'), подчиненная уравнению Пуассона следующего
частного вида:
ЧЮ(г, г') = Ь(г — г'). (П5.2)
■ . 585
(П4.4)

Имеется (ср. (П2.5)) функция Грина
О (г, /•') = -■
1
Ш5.3)
4я (г — г')'
Используя вторую формулу Грина (П1.27) и формулу (П2.4), а также учиты-
учитывая симметричность функции Грина относительно аргументов г и г', нетрудно
получить соотношение
и(г)=[а (г, г') 1 (г') &>' +
[и (г'
-О (г, г')
(П5.4)
(переменными являются координаты со штрихами).
При рассмотрении уравнения Пуассона в неограниченной области важен
класс задач, в которых при г —♦ оо решение и (г) убывает не медленнее, чем
1/г (и (г) = О A/г)): «регулярно в бесконечности». В этом случае при отнесении
границы 5 области V в бесконечность поверхностный интеграл в (П5.4)
исчезает и получается следующее представление решения;
-■ 'Г \ (IV'. (П5.5)
Аналогично в случае векторного уравнения Пуассона
^а(
имеем выражение решения
и(г)=_ 1
I'■-'"
(П5.6)
(П5.7)
(П5.8)
образуют класс функций, называемых гармоническими. Важное значение имеют
краевые задачи для уравнения Лапласа, когда требуется найти решение и (г)
2. Уравнение Лапласа. Решения уравнения Лапласа
г)
в области V при некоторых сведениях о его поведении на границе
сматриваются внутренние и внешние задачи (рис. П5.1, а, б, в и рис. П5.2,
в последнем случае область V бесконечна. Краевая задача
У*и (г) = 0,
и(г)=1(г) на 5
называется задачей Дирихле. Доказывается (при этом используется
формула Грина (П1.26)), что решение задачи Дирихле единственно.
Неймана называется краевая задача
У2и(г) =0, ]
ди(г)
д\
5. Рас-
а, б, в);
(П5.9)
первая
Задачей
(ГОЛО)
на
586

При этом в случае внутренней задачи должно быть: \ /* (г) <1$=0. Решение внеш-
'$'
ней задачи Неймана для односвязных областей (рис. П5.2, а, б) единственно,
а решение внутренней задачи (рис. П5.1,а, б) определено с точностью до
аддитивной постоянной. Двусвязная (рис. П5.1,в и П5.2, в) и вообще много-
многосвязная область приводится к односвязной введением «перегородок» (рис. П5.1, г).
Однако если решение задачи Неймана многозначно, го эта операция
порождает смешанную краевую задачу (на обеих сторонах перегородки задаются
значения и (г)). Решение этой задачи единственно. Выше в случае внешних
задач (П5.9) и (П5.10) подразумевалась регулярность решения в бесконечности
(см. стр. 587).
Если известно, что и (г) принимает некоторые постоянные значения на
частях составной поверхности 5 (рис. П5.1.6, рис. П5.2, б), го краевая
а)
Ф
задача имеет решение, однозначно определяемое заданием интеграла \
на каждой части 5.
3. Уравнение Даламбера и неоднородное уравнение Гельмгольца.
Неоднородное волновое уравнение, или уравнение Даламбера
% (г,
: (г, {) — -
-= /(г,;
ди(г)
(П5.11)
в случае гармонических колебаний порождает (ср. стр. 585) неоднородное
уравнение Гельмгольца относительно комплексной амплитуды решения и (г, {):
Ч2ит(г)-\-к2ит(г)=} т(г), к = со/у. (П5.12)
При его интегрировании вводится функция Грина О (г, г') как решение урав-
уравнения
ЧЮ(г, г')-\-кЮ(г, г') = 8(г, г') (П5.13)
(ср. (П5.2)). В частности, функция Грина
е~
I/•-/•'!
О (г, /•') = -■
4п\г-г'\
(П5.14)
(ср. (П5.3) имеет характер однородной расходящейся сферической волны.
Легко проверить, что остается справедливой формула (П5.4). Если при рас-
рассмотрении неограниченной области поставить так называемое условие излучения
11т г Г ди™ И + 1кит (г)] = О,
(П5.15)-
то поверхностный интеграл в (П5.4) при отнесении границы в бесконечность
исчезает; тогда имеем решение
■
Г} г')/
1 С I
'=-± \
V
Ы(г\г_г1{
а»'.
(По. 16)
687

Легко убедиться, что условию излучения удовлетворяют лишь решения типа
расходящихся сферических волн
ит (Г) __> м №' а) е-1Ьг при г — оо (П5.17)
(к > 0; для сходящихся волн экспоненциальный множитель имеет вид ег*г;
существует и такого рода функция Грина (П5.14)).
В общем случае функции и (г, г) и /(г, г) в уравнении Даламбера (П5.11)
можно представить в виде интегралов Фурье (стр. 600)
и (г, 0= $ "(г> <в)е"а/<Лв и ?(г, 0= $ / (г> ш)«шо!а). (П5.18)
— 00 — 00
Тогда при условии обращения в нуль решения и его временной производной
при г=± со из (П5.11) получается уравнение Гельмгольца относительно спект-
спектральной плотности решения
У2и(г, со) + й2и(г, со)=/(г, со), й = со/с (П5.19)
Выражая и (г, со) при помощи формулы (П5.16) и переходя к и (г, () на осно-
вании (П5.18), находим следующее представление решения Даламбера (П5.11);
(П5-20)
Аналогичные результаты получаются в случае векторных уравнений
■ ?2« (г, 0 -~ д*П^ ° = /(г, О (П5.21)
V2ит (г) + к'2йт (г) =/т (г) (П5.22)
г = к' — 1к" в данном случае взято комплексным; к' > 0, й'Э=0). А именно:
/т (') е А,,1
, .^Т7] *'» (П5-23)
при условии излучения
Нт г Г ц^г) -|-(^Цт(Г)| = о (П5.24)
и
У ' ' ' (П5.25)
) = 0 . (П5.26)
называют просто уравнением Гельмгольца или волновым уравнением. Взяв
область V с границей 5, поставим первую краевую задачу для уравнения
Гельмгольца (ср. (П5.9))
4. Однородное уравнение Гельмгольца.
Однородное уравнение Гельмгольца
0, )
с Г (П5-27)
и = 0 на 5.
Эта задача имеет бесконечную последовательность решений {«„}, каждое из
588

которых реализуется при определенном значении числа № — к-п. Решения ип
называются собственными функциями, а ^ — соответствующими им собствен-
собственными решениями задачи. Нумерация производится в таком порядке, что
Вторая краевая задача для уравнения Гельмгольца формулируется сле-
следующим образом:
У2"+*2" = °- } (П5.28)
ди/ду = 0 на 5. / '
Это также задача, порождающая систему собственных функций с отвечающими
им собственными значениями.
Для векторного уравнения Гельмгольца имеем следующую первую краевую
задачу:
их=0, сНуя = 0 на 5, )
и вторую краевую задачу -
Ш(г) + к*и(г)=0, 1
иг = 0, (го1и)т = 0 на 5. / к '
Эти задачи также порождают системы собственных (векторных) функций с соот-
соответствующими им собственными значениями.
Для скалярных задач (П5.27) и (П5.28) при помощи первой формулы
Грина нетрудно получить интегральное выражение
^ | §гай и |2 (IV
Р (П5.31)
\ I и I2 &о
Аналогично для векторных задач (П5.29) и (П5.30)
и |2 д»
(П5.32)
(при получении (П5.32) используются формулы (П1.34), (П1.30), (П1.31) и
теорема Остроградского —Гаусса). Из (П5.31), (П5.32) следует неотрицатель-
неотрицательность соответствующих собственных значений к2.
Выражения (П5.31), (П5.32), можно рассматривать как функционалы («функ-
(«функции от функций»). В качестве функций, которые вносятся в (П5.31), (П5.32),
берутся те, что удовлетворяют граничным условиям из (П5.27), (П5.28) и
(П5.29), (П5.30). При этом минимальное значение функционала оказывается
равным наименьшему собственному значению краевой задачи, а реализующая
его функция — отвечающей к\ собственной функцией.
Приложение 6
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции. Обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение
" + у'
называется уравнением цилиндрических функций или уравнением Бесселя'
ге-го порядка. Его решения, называемые цилиндрическими функциями, удобно
589

сопоставлять с решениями уравнения у" + (/ = 0, т. е. тригонометрическими и
экспоненциальными. Так, частным решениям этого уравнения соз х и зш х соот-
соответствуют следующие решения уравнения цилиндрических функций (П6.1):
]п (х) — функции Бесселя п-го порядка,
Ып (х) — функции Неймана п-го порядка.
Точно так же экспоненциальным функциям е'* = соз х-\-1ьтх и е~г-* = соз х — 1зш*
отвечают следующие цилиндрические функции:
Я^11 (х)—функции Ханкеля 1-го рода п-го порядка,
Н'*> (х) — функции Ханкеля 2-го рода п-го порядка.
Имеют место равенства
Н1»(х) = 1п{х) + Мп(х) и Н^ (х) = 3п(х)-Шп(х). (П6.2)
Цилиндрические функции не являются периодическими, но они «осцилли-
«осциллируют»; функции ]п (х) и Ып (х) с возрастанием х принимают значения, колеб-
колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой и приближающиеся
к тригонометрическим при х-— со. Полезно помнить, что У0@)=1 и Ул@) = 0
при пфО, а также Ыпф) = — оо. Общее решение уравнения (П6.1) можно
выразить в двух формах:
у = А^п(x) + ВNп(x) (Пб.За)
или
у = РН'» (х) + <}Н<2»(х). (П6.36)
Обычно требуется, чтобы решение удовлетворяло условию ограниченности:
у\ <С оо. Поэтому, если в рассмотрение входит точка х = 0, то общее решение
(Пб.За) принимает вид
у = А1п(х). (П6.4)
Графики некоторых цилиндрических функций даны на рис. П6.1.
2. Асимптотические представления цилиндрических функций. При неогра-
неограниченно возрастающем аргументе цилиндрические функции переходят в тригоно-
тригонометрические или, соответственно, экспоненциальные:
-^), (П6.5)
(П6.7)
Очевидно,
у = С1Н^(х) (П6.9)
является решением, которое при х = кг имеет характер комплексной амплитуды
расходящейся волны.
3. Степенные ряды; представления функций малого аргумента. Функции
Бесселя представляются степенными рядами вида
у М111-
'/яТО~ 0! п\ ~ 1! (л+1I + 2! (л+ 2)!
590

1,0
1,0
0,5
0
4,0
1,0
а,Ь
-2,5
/
и
П
' 4
\
\
ч х
/
6/ 8
•ч ■
/ >
/ 10
\
/
^~
/
X
Рис. П6.1.
.591

поэтому при х < 1
Запишем также представления:
уУоМ^_|1пА „ уУ„(*)~- (гс-1)' ^", ге^о (П6.12)
G=1,781...).
4. Функциональные соотношения. Ниже под 2п (х) понимается произволь-
произвольная цилиндрическая функция. Для натурального п
2_„(*) = (-1)»2„(*) B_1 = -2!). (П6.13)
Далее
^Ц]@% 1(х)=±2п(х)-2п+1(х). (П6.14)
В частности, отсюда следует:
2и
2„ _ 1 (*) + 2п+! (*) = — 2п (х). (П6.15)
Другие формулы дифференцирования:
-^~л2л+1 (И (П6.16)
Нх 1~ "№ \"""л— ях /,п_1(кх) (Но. 17)
в частности, 2'0(х) = —21(х) и 2^ (х) = 20 (ж) ^~^-
Неопределенные интегралы:
^ хп+12п (х) ах=хп+12п+1 (х), (П6.18)
I *»""Л+17 (у\ Ау— у~л+17 (у\ (ХЛ(\ 10\
х2\ (х) ах=^ [21 (х) -2п1 (х) 2„+1 (х)] =
_^_
~ 2
п221 (х)
2„ (а,) 2п фх) 0х= №" (аХ) 2"-> таГ_^2"-1 ^ 2п ^ ■ (П6.22)
5. Разложение по функциям Бесселя. Пусть некоторая функция {(а) опре-
определена на отрезке —п^а^я. Разлагая /(а) в ряд Фурье по {е1па}
(см. стр. 601), имеем
Возьмем / (а) = е~'лсо5а. Учитывая интегральное представление
я
;„й=(^"° ^ е-1^^а+паиа, (П6.23)
— я
592

видим, что ряд Фурье принимает форму
(— I)" 3„ (х) е'™.
(П6.24)
6., Таблицы корней. Обозначая х = Впт корни уравнения ^п(x)=*^, сведем
некоторые из них в таблицу.
п \^
0
1
2
3
1
2,405
3,832
5,136
6,380
2
5,520
7,016
8,417
,9,761
3
8,654
10,173
11,620
13,015
4
11,792
13,324
14,796
16,223
Ниже приведена таблица корней х = Апт уравнения /л(д:)
п \^
0 !
1
2
3
1
3,832
1,841
3,054
4,201
2
7,016
5,331
6,706
8,015
3
10,173
8,536
9,969
11,346
4
13,324
11,706
13,170
7. Цилиндрические фудисции полуцелого порядка
В частности,
^1/(x)-
з!п х,
'1' у
■ — СОЗ X ,
X )'
Лг1/ (х) = —1/ ■—соз ж, Ы,, (х) = — 1/ —1в1пх-\-
сои
(П6.25)
(П6.26)
(П6.27)
Функции Ханкеля определяются на основании (П6.2).
8. Присоединенные функции Лежандра. Ограниченными решениями урав-
уравнения
= 0 (П6.28)
(— 1 < I < 1) являются присоединенные функции Лежандра Р^ ((), при этом
параметр р2 принимает значение п (п-\-1) (собственные значения, соответствую-
соответствующие этим собственным функциям):
п @
<Ит
(п=0, 1, 2, ...;
(П6.29)
баз

где Рп ({) — полиномы Лежандра:
Р* (9 = у Ф3-30, ■ ■ ■ - (П6.30)
ч-1 Ю -* Bл+ 1) Р„
Приложение 7
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Сущность метода. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических коор-
координатах. В методе разделения переменных уравнение с частными производ-
производными сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например,
в случае двумерного уравнения Лапласа в цилиндрических координатах (реше-
(решение не зависит от г), согласно (П1.18), имеем
(несущественный общий множитель 1/г отброшен). Вводится предположение,
что искомое решение и(г) = и (г, а) представляет собой произведение и (г, а) =
= е?Мв/(а). ГД° каждый из множителей зависит только от одной из
координат. Подстановка этого представления в (П7.1) с последующим умноже-
умножением обоих слагаемых на г/^д^ дает
Таким образом, левую часть (П7.1) удалось представить в виде суммы двух
независимых функций. Слагаемые должны быть постоянны. Действительно,
фиксируя некоторое значение г и делая тем самым постоянным первое сла-
слагаемое, будем менять в возможных пределах а, на что мы имеем право в силу
независимости слагаемых. Второе слагаемое, как видно из (П7.2) при этом
остается неизменным и равным первому с,обратным знаком. Рассуждения
легко продолжить, зафиксировав а и меняя г. Постоянная, которой равно
первое слагаемое, пока неизвестна. Обозначим ее п2. Приравнивая слагаемые
(П7.2) п2 и ■— п2 соответственно, получаем после очевидных преобразований
два обыкновенных дифференциальных уравнения
Это и есть результат «разделения переменных». Ясно, что уравнение Лап-
Лапласа (П7.1) имеет решение в форме и = ^@^, и надо лишь найти решения
обыкновенных дифференциальных уравнений ^ и о/@,
Решение первого из уравнений (П7.3) запишем в форме
о/& (а) = А соз па + В зщ па. (П7.4)
Если оно ищется в области 0 ^ а ^ 2зх, то требование однозначности приво-
приводит к условию периодичности:. оД (а-\-2п) = о/? (а). Отсюда следует,
что ге = 0, 1, 2, ... Далее
' (П7.5)
что дает теперь возможность записать решение уравнения Лапласа и (г, а) =
= сМ (г) в^ (а).
594

2. Решение однородного уравнения Гельмгольца в декартовых координатах.
Решение уравнения (П5.26), имеющего в декартовых координатах вид
—4 + —^~г->пг~г-*2" = 0> (П7.6)
будем искать в форме и (х, у, г) = X (х) У (у) 2 (г). Внося в (П7.6) это пред-
представление, после деления всех членов на и = ХУ2, получаем
— 1 1 1-й2 = 0 СП7 7)
откуда (ср. выше п. 1) следуют обыкновенные дифференциальные уравнения
= 0, (П7.8)
(П7.9а)
«-. (П7.96)
В двумерном случае, (решение не зависит от г) вместо к2 в (П7.6) напи-
напишем х2. При этом и (г) = и (*, </) = Х (х) У (у) (П7.9) и %$+%у = %2.
Рассмотрим первую краевую задачу (П5.27) в двумерном случае:
их2
гДе Хх> Х^> %1—некоторые константы, подчиненные равенству
Очевидно,
пЬсх< У = С сои Куу + пвткуу,
или в другой форме
и = 0 при
Г ж=0,
и=о,
(П7.10)
(функция и (х, у) определена в прямоугольнике, рис. П7.1, а). Будем искать
решение и = ХУ, используя формулы (П7.9а). Налагая- граничпое условие
О '11111111111111111111
г)
о
Рис. П7.1.
и @, (/) = 0, потребуем равенства А соб %хх-\-В йп %хх = 0, при дс^О, отку-
откуда Л = 0. Аналогично из требования и (х, 0)=0 следует, что С = 0. Таким
образом, и (х, у) =и0 8Ш у^-х 8Ш %уу, где и0 — постоянная и0 = ВО. Далее из гра-
595

ничного условия и(а, у)=0 имеем апх*а=0, а отсюда %ха — тп (т = 0, 1, 2;...).
Подобно этому из условия и (х, Ь)=0 получаем: хУЪ = пп (ге = 0, 1, 2, .'..).
В конечном счете находим следующие решения задачи (П7.10):
и (х, у) = и™ (х, у) = и0 8щ ~ 8Ш Ш, (П7.11)
Это собственные функции задачи (П7.10), которым соответствуют собственные
значения Хтп^У.1 + У.1 = \^~\ + (тг) (Ш' ПРиложение 5> п- 4)-
Сформулируем вторую краевую задачу (П5.28) для той же области:
ди да
^ = 0 при х = 0, х=а; ^ = 0 при </ = 0,
(П7.12)
При помощи аналогичных рассуждений находим следующие собственные функ-
функции этой задачи:
и (х, у) = итп (х, у) = щ со8 ~ со8 ^, (П7.13)
которым отвечают прежние собственные значения %1гп = ( —) +(тг) •
3. Решение однородного уравнения Гельмгольца в цилиндрических коорди-
координатах. Уравнение (П5.26) теперь имеет вид
Разыскивая его решение "и (г, а, г) = <& (г) а^ (а) 2 (г) после подстановки дан-
данного представления в (П7.15) и деления на и = (Мв/12-, получаем
0. (П7.15)
Третий член есть функция координаты г и, таким образом, независим от пре-
предыдущих, что дает основание (ср. п.1) положить его равным постоянной, кото-
которую обозначим —х|. Поэтому имеем уравнения
_1^
<^?г йг\ йг
причем Х2 + Х! — ^- Для разделения переменных в первом уравнении умножим
его члены на г2, что дает
Радиально-зависимую часть здесь положим равной п?. В конечном счете (П7.15)
приводит к следующим трем обыкновенным дифференциальным уравнениям'
При этом первое есть уравнение Бесселя (П6.1), в котором х=уг- Имеем:
о/ё = С СО8 па + О 8Ш иа = Яе"Ыа + 5е'ла, (П7.17)
I = Я сов Хгг + ^ 81п Ъг = Ге"гзСг 'Хг
(ср. (П7.9а), (П7.96)).
596

Первая краевая задача (П5.27) для круга (рис. П7.1, б) формулируется
следующим образом:
1 д ( ди\ 1 &>и
гд?\гд7) + 7*д^ + %и-и' (П7.18)
и=,0 при г = К; и (а-{-2п) = и (а).
Для других областей имеем отличающиеся граничные условия, а именно:
для кольцевой области (рис. П7.1, в)
и = 0 при г = Н1, г = #2; и (а + 2я)=и (а); (П7.18а)
для секториальной области (рис. П7.1, г)
и = 0 при г = Н, а = 0, а = а0; ■ (П7.186)
для секториальной области кольца (рис. П7.1, д)
и = 0 при г = ^1, г=Я2, а=0, а = а0. (П7.18в)
В случае круговой области (рис. П7.1, б) получаем решения:
ипт {г, а) = ]„ (%г) (С соз па + О ап па) = ]п (%г) (От1па + ТеЫа) (П7.19)
(в (П7.17) 6 = 0, см. (П6.4)), причем Х = ТПт = Впт/Я, где Влт-корни урав-
уравнения У„(д;)=О, и = 0, 1, 2, ..., т=1, 2, ... (см. Приложение 6, п.6).
Собственным функциям ипт соответствуют собственные значения %%т (ср.
выше п.2).
В случае кольцевой области имеем собственные функции
(в фигурных скобках даются две формы выражения), которым отвечают собст-
собственные значения 1%т (п — ®> 1.2,..., /и= 1, 2, 3, ...), являющиеся корнями
уравнения (рис. П7.1, в)
В случае секториальной области (рис. П7.1, г)
ипт (г, а) = и0У„ (%г) бш па, (П7.22)
где п = кл/а0, к—\, 2, ...; Х = Хлт = влт/^-
Для кольцевого сектора (рис. П7.1, д)
и™ (г, а) = «о [У„ (хг) - ^г§^} ып №)] йп па, (П7.23)
где п то же, что и в (П7.22), а % подчинено уравнению (П7.21).
Сформулируем вторую краевую задачу для круга (рис. П7.1,6)
^- = 0 при /■ = /?; и (а + 2я) = и (а)
и приведем граничные условия для других областей:
для кольцевой области (рис. П7.1, в)
^■ = 0 при /■ = /?!, г — Я2; и (а + 2я) = и (а); (П7.25а)
для секториальной области (рис. П7.1, г)
ди . ди
^ = 0 при г = Я, 5^=0 ПРИ а — О* а = Оо; (П7.256)
597

для секториальной области кольца (рис. П7.1, д)
^■ = 0 при /■ = /?!, /- = /?2; |~=° ПРИ а = 0> сс = «О' (П7.25в)
Соответственно этому имеем решения в виде систем собственных функций
с соответствующими собственными значениями:
для круговой области (рис. П7.1, б)
ап па)=^п (Хг) (Се-'"а + 71е'"а), (П7.26)
гДе Х = Хпт = Апт/Я, причем Апт — корни уравнения У^(д;)=О, ге—О, 1, 2, ...
..., /и=1, 2, ... (см. приложение 6, п.6);
для кольцевой области (рис. П7.1, в)
С сов яа + О а"п яа 1
Г (П77)
причем
^»Ш^& (П7.28)
для гекториальной области (рис. П7.1, г)
алт (г, а) = и0У„ (хг) сов па, (П7.29)
где и то же, что и в (П7.22), а % = %„т = Апт/Я;
для секториальной кольцевой области (рис. П7.1,д)
\ (П7.30)
где п прежнее, а х —корни уравнения (П7.28).
4. Решение однородного уравнения Гельмгольца в сферических координатах.
Теперь уравнение (П5.26) имеет вид
= 0. (П7.31)
Подстановка и (г, О, а) = ^ (г) 6 (О) оД (а) с последующим умножением всех
членов на /-281п20/е^!вв7^ дает
Третий член, зависящий только от а, приравнивается —т2, и уравнение рас-
распадается на два, одно из которых делится на зш2 О, после чего члены, зави-
зависящие только от г, приравниваются р2. В результате имеем три обыкновенных
дифференциальных уравнения:
аг'Г^-Р2'
Если 0^а<2я, то и (г, О, а+2я) = и(г, О, а), так что т=0, 1, 2, ...
В уравнении относительно в (О) сделаем замену ^=СО8 О и приведем его к виду
(—1<^<1). Это уже рассматривавшееся уравнение (П6.28), гак что в (О) =
= Р(„т) (соз О) (/и=04 14 2г ...; л=0, 1, 2, ...). Первое из уравнений (П7.32)
598

после дифференцирования выражения в круглых скобках и замены (в соот-
соответствии с обсуждением (П6.28)) р на п (« + 1), а также представления & (г) =
^ приводится к следующему уравнению:
Это не что иное, как уравнение Бесселя (П6.1) порядка я + -~- относительно
функции р (кг). Таким образом,
(кг)].
\=-~\рт1) {(кг)+<2т2)
2 ■• ' 2 ] ГкГ\_ "+2"
Итак, решения уравнения (П7.31) имеют вид
а (г, О, а) = -^= | Г 2 X
1А' 1 Р//О) ,(Аг) + СЯB) , (Аг)
Ссозта+О 81п та
(П7.35)
Приложение 8
РЯДЫ ФУРЬЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
1. Разложение Фурье и метод комплексных амплитуд. Пусть в (П3.6) и и
/— некоторые периодические функции времени (период Г). Разложим их в ряды
Фурье, используя комплексную форму записи. Так,
со Г/2
«@= 2 й„еМ@', й„= ~ ^
л= — со —'Т/2
(шТ=2п); аналогично разлагается известная функция /(()', ее коэффициенты
Фурье /„, в отличие от й„, можно считать известными при постановке задачи.
Внося разложения и и / в (П3.6), получаем относительно коэффициентов
Фурье й„ следующие уравнения вида (П3.8):
<5?я<аИ„ = Л. я = 0, ± 1, ±2, ... (П8.2)
В случае произвольной временной зависимости функции и и / можно пред-
представить в виде интегралов Фурье. Так,
СО
^ ^(Ое-'^Л (П8.3)
При этом из (П3.6) получается уравнение типа (П3.8) относительно спектраль-
спектральной плоскости а (со):
Хъ и (со) = /(со) ■ (П8.4)
(/(со) —спектральная гАютность известной функции /(()).
599

Прямая подстановка интеграла Фурье я ({) под знак оператора X тре-
требует некоторых обоснований, и ее можно заменить следующей процедурой.
Пусть, например, 3? = <11<И. Напишем:
-шс11= $ /Ц) е~шй1,
откуда после интегрирования по частям
X со «(со) + Bя)-'« @ е-
(=$?и = &о). Уравнение (П8.4) отсюда следует при а(±со)=0.
2. Ортогональные системы. Скалярным, произведением (я, V) функций и и V,
определенных в V, называют интеграл
(я, V) = \ и<о * аь. (П8.5)
V
В частности, вместо объема V может фигурировать поверхность 5 или линия Ь.
Говорят, что я и V ортогональны, если (и, г>) = 0.
Система функций щ_, и2, и3, ... (кратко {и„}) называется ортогональной
системой, если для каждых двух функций щ и и& выполняется соотношение
ортогональности \щ, и^) = 0. Путем выбора постоянного коэффициента ее можно
сделать ортонормированной, т. е. обеспечить выполнение равенства "
(«/,«*) = «». (П8.6)
где 6F = 0 при 1ф.к 6^=1 при 1=к (символ Кронекера).
Взяв ортонормировянную систему функций {я„} и некоторую функцию я,
определенную в той же области, построим ряд
со
« = 1>лил, «» = («.«»)• (П8.7)
Он называется ортогональным рядом или рядом Фурье функции я, аол —
коэффициентами Фурье. Отличительным свойством ряда
2 Фурье является выполнение равенства
(я, ик)=(и,ик), к=\, 2, ... (П8.8)
Действительно, составляя в (П8.7) скалярное произведе-
произведение с ик, справа получаем нуль во всех членах, кроме
к-го, который в силу (П8.6) дает ак. Говорят, что ряд
Фурье я сходится в среднем к я, а система {я„} полна
(в этом смысле), если
N N
|я— У! а„ип, и— У! ап,
(П8.9)
Для уяснения сущности разложения Фурье рассмо-
Рис П8 1 ТРИМ слеДУюш.Ую иллюстрацию. Пусть в трехмерном про-
пространстве выбрана декартова система координат, и, следо-
следовательно, имеются три единичных взаимно перпендику-
перпендикулярных вектора и1 = х0, и2=у0 и Яз=г0. Взяв произвольный вектор я, мы
можем разложить его по этим ортам (рис. П8.1):
з
а= 2 апип, ап = (а, ип) = аип. (П8.10)
Вектор а теперь представлен при помощи трех своих проекций ап = (а, я„),
600

являющихся скалярными произведениями а на единичные базисные векторы
и„, подчиненные соотношению (и,-, ик) = Ьцг (ср. (П8.6)). Сопоставляя A18.10)
и (П8.7), замечаем отчетливую формальную аналогию между построенным раз-
разложением вектора а и рядом Фурье функции и. Функция подобна вектору
в бесконечномерном пространстве, а ее ряд Фурье можно рассматривать кик
разложение этого вектора в базисе, образованном ортонормированной систе-
системой {и„}.
Заметим, что (П8.1) следует рассматривать как ряд Фурье (П8.7), полу-
получаемый при разложении функции и ((), определенной на отрезке — Г/2 -- I ■ 772
V 2я доо
1/Ге Т )—оо. Действительно, AЖ.7)
при этом имеет вид
™ . 2я. Г/2 . 2л
е , а„ = —р^ \ и (() е ш.
п=—со —Т/2
В качестве примера полной ортонормированной системы функций, опре*
деленных в области V в виде параллелепипеда с ребрами а, Ь \\ с, приведем
следующую: тш
««Р} = {Й0со8_со8-^со8_-|1
где «0 = 21^2^/1^0^ при тфО, пфО, р фО; когда среди этих чисел имеются
нули, а„ столько раз делится на 1^2, каково число нулей (один, ли I и м' ||>').
Это собственные функции второй краевой задачи для уравнения I > .1.м мни
(П5.28) (см. также приложение 7).
3. Об операторе Лапласа. Краевые задачи (П5.27) —(П5.30) можно кратко
выразить в форме Хи = шу (ИМ. II)
где =5?=—V2, причем подразумевается, что функции и подчипсии трсЛуеммм
граничным условиям, которые входят в определение оператора Ж- Леи 'т >■
верить, что оператор X во всех этих случаях симметрический, т. г >...м I-
няется соотношение (см. (П8.5))
(Хи, ъ)=(и, XV). (ИМ.1^
Согласно предыдущему (приложения 5 и 7) (П8.11) есть лнлпмл и I ■ ^ г-
венные значения. Пусть и„ — собственные функции задачи A18.II), I м
соответствуют собственные значения х„; предположим, что вое х„ р. ^,
или, как говорят, отсутствует вырождение. Взяв две любые собстиешп.н •]■>' к-
ции щ и щ, имеем
Хщ = У.1Щ и Хщ = х.ьик.
Образуя скалярные произведения (Хщ, и-ъ) и (и,-, Хик), получаем
(Хщ, ик) — (щ, Хик) = (к; — щ)(щ, цк)
(х; и щ вещественны, см. Приложение 5, п.4), или в силу (П8.12)
(у.1-щ)(щ, ик) = 0, (П8.13)
и отсюда следует, что при 1фк (щ, ик) = 0, т, е. собственные функции ип
ортогональны.
4. О проекционных методах. Пусть поставлена задача (быть может, неко-
некоторая краевая задача электродинамики) в виде
/, (П8.14)
где о/ё есть, в частности, дифференциальный оператор, заданный с надлежа-
надлежащими граничными условиями. Разность оДи—/равна нулю, а потому равны
нулю и ее проекции на базис {ип}, коэффициенты Фурье (в/&и— /, и„):
-/, ик) = 01 к=\, 2,..,, со. (П8.15)
601

В большинстве случаев замкнутые аналитические решения задач (П8.14) недо-
недоступны. Но существуют методы, позволяющие получать приближенные реше-
решения, которые могут быть как угодно близки к рядам Фурье настоящих реше-
решений; такие методы называются проекционными.
Проекционный метод Галеркина состоит в том, что строится представле-
представление решения и в виде суммы
N
= У, а ип (Но. 1о)
с неопределенными коэффициентами а„ и вместо (П8.15) берутся N аналогич-
аналогичных соотношений ортогональности
(ат#и"-/,иь)=0, к = \,2,...,Ы. (П8.17)
Легко видеть, что эти соотношения порождают систему уравнений
(П8.18)
относительно коэффициентов а% как неизвестных, т. е. в матричной форме
(см. Приложение 9)
Ааы=/, (П8.18а)
где в левой части фигурирует вектор ам = (а^ у а^, ..., а^) и матрица А с
элементами Ацг = (о^и/г, щ), а вправой части—заданный вектор/=(/ь/2,...
..., /д,) с компонентами /& = (/, и^). Таким образом, метод Галеркина сводит
задачу (П8.14) к системе линейных алгебраических уравнений (П8.18), реше-
решение которой определяет коэффициенты представления (П8.16). Метод Галер-
Галеркина при помощи интегрирования по частям переносится и на те случаи, когда
оператор не может быть непосредственно применен к базисным функциям.
Приложение 9
СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ
1. Векторы и матрицы. Запишем систему п линейных уравнений с п неиз-
неизвестными:
(П9.1)
(П9.2)
Ап1Х1 "Г АП2Х2 "Г • ■ ■ "Г АППХП — "П.
Существует следующая краткая форма записи этой системы:
Ах = Ь,
где введены объекты
= А,
= х,
\\=ь.-
(П9.2а)
Таблица коэффициентов А называется квадратной матрицей порядка п,
а столбцы х и Ь (наборы чисел) рассматриваются как векторы\ действительно,
602

вектор в трехмерном пространстве характеризуется набором трех чисел, выра-
выражающих его компоненты; подобно этому х и Ь играют роль векторов в я-мер-
ном пространстве. На векторы х и Ь распространяются обычные правила дей-
действий (сложение, умножение на скаляр, т. е. на число); скалярное произведе-
произведение векторов а и Ь определяется как число
(а, Ь) = 2] а,6?. (П9.3)
( = 1
Формальный смысл равенства (П9.2) заключен в том, что его левую часть
следует рассматривать как произведение матрицы Л на вектор х; с этой точки
зрения левая часть (П9.1) указывает правило умножения Л на х, результатом
п
которого является вектор с компонентами Ь\= 2 Ацх^.
/=1
Над матрицами также производятся алгебраические действия. Равенство
Аа-{-Ва = Ь, где А и В— квадратные матрицы порядка п, а а и Ь — соответствую-
соответствующие векторы, можно выразить в виде: Са = Ь, в котором С — новая матрица,
являющаяся суммой матриц Л и В: С=А-{-В (Сг^=Л,-А + бг*)- К понятию
умножения матрицы на матрицу приходим, имея равенства типа (П9.1) Ах = Ь
и х = Вс. Исключая х, запишем Сс = Ь, где матрица С есть произведение А и В.
п
Правило образования элементов Сд из А;^ и В-^ имеет вид: С^ = 2 ^'и^як-
5=1
2. Некоторые виды матриц. Матрица называется диагональной, если псе
элементы Ац, при I ф к равны нулю, т. е. Ац1 = Ац!8ц1; в частности, при
Ацг = Ьцг матрица А называется единичной и обозначается А = 1; все элементы
Ац при этом равны единице, а остальные — нулю.
Транспонированной по отношению к А называют матрицу А', обладающую
тем свойством, что А\к=Ак1.
Комплексно сопряженной называется матрица А * с комплексно сопряжен-
сопряженными элементами: (А *)цг = А^к.
Введем далее понятие обратной матрицы А~1, для нее АА~1 = 1 и Л"М — /.
Матрица А может не иметь обратной и называется тогда особенной.
Для данной матрицы А можно найти сопряженную матрицу Л, удовлет-
удовлетворяющую условию
(Аа, Ь) -(а, АЬ)=О, (II1.).1)
где а и Ь — произвольные векторы. На основании (П9.3) должно быть
т. е.
2 6*АЛ= 23 о-АЬЯ
I, к=1 I, 4 = 1
При любых а и Ь это возможно лишь при равенстве Лб,-=Л(** для осех / и
к, а следовательно,
А-1к=Аы- (ПИ.Б)
Мы видим, что сопряженная матрица1 является транспортированной и комп-
комплексно сопряженной.
Если матрица А равна сопряженной {А=А), т. е., согласно (ПО.4),
(Аа, Ь) = (а, АЬ), то ввиду (П9.5) А1к = А\1. Диагональные элементы тлкои мят.
рицы вещественны. Матрица называется эрмитовой (самосопряженной). Мели
эрмитова матрица вещественна (А*=А), то ЛгА = ЛА,-, т. е. А—Л'; такня
матрица называется симметрической.
003

Наконец, вернемся к уравнению (П9.2) и поставим вопрос, каким свой-
свойством должна обладать матрица А, чтобы выполнялось равенство (х, х) = (Ь, Ь).
Его можно истолковать так: при преобразовании вектора х в Ь последний
сохраняет длину, т. е..- имеет место поворот вектора в я-мерном пространстве.
Выражая Ь через х, имеем (х, х) = (Ах, Ах). Перепишем это с учетом (П9.4)
в виде (я, /*)=(*, ААх)- Отсюда следует, что равенство (х, х) = (Ь, Ь) выпол-
выполняется, если
АА = 1,'
(П9.6)
т. е. ввиду определения обратной матрицы сопряженная и обратная матрицы
равны. Исходная матрица А называется при этом унитарной.
Если матрица А вещественна и унитарна, то А'А = 1. Такую матрицу
называют ортогональной. Заметим, что ортогональными являются матрицы
преобразований, рассмотренных в Приложении 4, составленные из направляю-
направляющих косинусов в трехмерном пространстве. Элементы произвольной ортого-
ортогональной матрицы можно истолковать как направляющие косинусы в я-мерном
пространстве.
3. Обращение матрицы. Если матрица А в (П9.2) неособенная (имеет обрат-
обратную), то, умножая (П9.2) слева на А~1, сразу получаем формальное решение
задачи: х = А~гЬ. Показывается, что
Дп/Д Д21/А
Д12/Д Д22/Д
А„2/Д
Д1Л/Д Д2Л/Д
(П9.7)
где Д = Ое{Л—определитель, соответствующий матрице А, а Д^л — алгебраи-
алгебраические дополнения к элементам А^; подчеркнем, что в (П9.7) фигурируют
алгебраические дополнения не к тем элементам матрицы, на местах которых
они находятся, а к элементам транспонированной матрицы.

ЛИТЕРАТУРА1)
А. Электродинамика
1. И. Е. Тамм, Основы теории электричества, Гостехиздат, 1956.
2. Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.
3. А. Зоммерфельд, Электродинамика, ИЛ, 1958.
Б. Электродинамика для физиков
1. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по
физике, т. 5, Электричество и магнетизм, «Мир», 1966.
2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по
физике, т. 6, Электродинамика, «Мир», 1966.
3. Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
4. В. П а н о в с к и й, М. Филипс, Классическая электродинамика, Физ-
матгиз, 1963.
В. Электродинамика для радиотехников и радиофизиков
1. С. Ра мо, Дж. Уиннери, Поля и волны в современной радиотехнике,
Гостехиздат, 1950.
2. Л. А. Вайнштейн, Электромагнитные волны, «Сов. радио, 1957.
3. В. В. Н и к о л ь ск и й, Теория электромагнитного поля, «Высшая школа»,
1964.
4. Б. 3. Каценеленбаум, Высокочастотная электродинамика, «Наука»,
1966.
5. В. В. Никольский, Антенны, «Связь», 1966.
Г. Теория колебаний и волновых процессов
1. Л. И. Мандельштам, Полное собрание трудов, т. IV, АН СССР, 1955.
2. А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953.
3. Г. С. Горелик, Колебания и волны, Гостехиздат, 1950.
4. А. И. По те хин, Некоторые задачи диффракции электромагнитных воли,
«Сов. радио», 1948.
5. X. Хенл, А. Мауэ, К. В е с т п ф а л ь, Теория дифракции, «Мир»,
1964.
6. М. Б о р н, Э. Вольф, Основы оптики, «Наука», 1970.
7. В. А. Фок, Проблемы дифракции и распространения электромагнитных
волн, «Сов. радио», 1970.
') Автор не ставил целью дать полный список литературы последних лет
по теории электромагнетизма и смежным вопросам. Указываются только неко-
некоторые рекомендуемые книги, а также те из книг, которые цитировались в тексте.
605

Д. Электродинамика сред и смежные вопросы
1. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по фи-
физике, т. 7, Физика сплошных сред, «Мир», 1966.
2. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, 1957.
3. А. Р. Хиппель, Диэлектрики и волны, ИЛ, 1960.
4. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Гостехиздат, 1957.
5. А. Г. Г у р е в и ч, Ферриты на сверхвысоких частотах, Физматгиз, 1960.
6. Б. Л а к с, К- Б а т т о н, Сверхвысокочастотные ферриты и ферримагне-
тики, «Мир», 1965.
7. А. Л. Микаэлян, Теория и применение ферритов на сверхвысоких
частотах, Госэнергоиздат, 1963.
8. В. М. Ф а й н, Я. И. X а н и н, Квантовая радиофизика, «Сов. радио»,
1965.
9. Лазер ы, Сборник статей, ИЛ, 1963.
10. С. А. А х м а н о в, Р. В. Хохлов, Проблемы нелинейной оптики.
11. Н. Бломберген, Нелинейная оптика, «Мир», 1966.
12. В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плазме,
«Наука», 1967.
4 Е. Радиоволны в природных условиях
1. М. П. Дол у ханов, Распространение радиоволн, «Связь», 1965.
2. Г. П. Груди некая, Распространение радиоволн, «Высшая школа»,
1967.
3. Б. А. Введенский, А. Г. Аренберг, Вопросы распространения
ультракоротких волн, «Сов. радио», 1948.
4. Использование радиоспектра, «Связь», 1948.
5. Распространение ультракоротких волн, Перев. с англ. под ред. Б. А. Шил-
лерова, «Сов. радио», 1954.
Ж. Направляющие системы и резонаторы
1. Г. В. Кисунько, Электродинамика полых систем, Изд. ВКАС, Ленин-
Ленинград, 1949.
2. А. Г. Г у р е в и ч, Полые резонаторы и волноводы, «Сов. радио», 1952.
3. Р. А. Силин, В. П. Сазонов, Замедляющие системы, «Сов. радио»,
1966.
4. Л. А. В а й н ш т е й н, Открытые резонаторы и открытые волноводы,
«Сов. радио», 1966.
3. История науки
1. Б. Г. Кузнецов, Развитие физических идей от Галилея до Эйнштейна
в свете современной науки, «Наука», 1966.
2. А. Т. Григорьян, А. Н. Вяльцев, Генрих Герц, «Наука», 1968.
И. Математическая физика
1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической фи-
физики, «Наука», 1966;
2. С. Г. М и х л и н, Вариационные методы в математической физике, «Наука»,
1970.
3. В. В. Никольский, Вариационные методы для внутренних задач элект-
электродинамики, «Наука», 1967.
606

К. Математика
1. Н. Е. К о ч и н, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
АН СССР, 1961.
2. И. Е. Тарасов, Векторный анализ и начала тензорного исчисления,
«Высшая школа», 1966.
3. Б. П. Д е м и д о в и ч, И. А. Марон, Основы вычислительной матема-
математики, Физматгиз, 1960.
4. Г. И. Кручкович, Г. М. Мордасов а, В. Л. Подольский,
Б. С. Р и м с к и й-Ко р с а ко в, X. Р. С у л е й м а но в а, И. А. Чсчис,
Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики,
«Высшая школа», Москва, 1970.
5. В. В. Никольский, Математический аппарат электродинамики, изд.
МИРЭА, М., 1973.
Л. Справочники
1. Е. Янке, Ф. Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми, Физ-
Физматгиз, 1959.
2. Дж. К э й, Т. Л э б и, Таблицы физических и химических констант, Физ-
Физматгиз, 1962.
3. Справочник по волноводам, «Сов. радио, 1952.

Вячеслав Владимирович Никольский
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
М.. 1973 г., 608 стр. с илл.
Редактор В. А. Угаров.
Техн. редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Н. Б. Румянцева.
Сдано в набор 17/Х 1972 г. Подписано к печати
23/У 1973 г. Бумага 60X907,6. Тип. № 2. Физ. печ.
л. 38. Условн. печ. л. 38. Уч.-изд. л. 38,21. Тираж
17 000 экз. Т-05795. Цена книги 1 р. 48 к.
Заказ 522
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической
литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени
А М. Горького Союзполиграфпрома при Госу-
Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Ленинград, Гатчинская ул., 26