А.Г. Мерзляк
В.Б. Полонский
Е.М. Рабинович
М.С. Якир
Алгебра и начала анализа
10 класс
Сборник задач
и контрольных работ
«Схвачено
Майстере швом осе inn/ / науки Укра/ни
для використання у 3a?aibH0oceim//ix навчачъних закладах»
Харьков
«Гимназия»
2010
ББК 22.1 я72
М-52
«Схвачено Мипстерством oceinm i науки Украпш
для викорнспюння у загачьноосв'тинх навчачьних закчаОах^
(Письмо № 1.4/18-Г-477 от 06.07.2010 г.)
1I особ не является дидактическим материалом по алгебре и началам анализа для
1(* класса общеобразовательных учебных заведений Оно входит в состав учебно*
.методического комплекта и соответствует хчебнику по алгебре и началам анализа для
10 класса (авторы Л. Г. Мерзляк. Д Л Номировскнй. В. Б. Полонский. М. С Якир). Книга
содержит около 1000 задач. Первая часть «Тренировочные упражнения» разделена на
три однотипных варианта ио 220 задач в каждом Вторая часть содержит контрольные
работы (два варианта) для оценивания учебных достижений учащихся в соответствии с
государственной программой по математике. Третья часть содержит задания для
и ютовых контрольных работ по материалам первого и второго семестров
Для учителей общеобразовательных учебных заведений и учащихся 10 классов.
Мерзляк А.Г.
М52 Алгебра и начала анализа. 10 кл. : сборник задач и кон ( рольных
работ / А. Г Мерзляк, В. Б. Полонский. Е. М. Рабинович, М. С. Якир. —
X.: Гимназия, 2010. — 144 с.: или.
ISBN 978-966-474-107-8.
Постник г дидакпоишм магергалом < алгебрп i початки» аналпу для 10 класу
загальноосвншх навчачьних <аклад1в Bih < складовою навчально-меюдичного
К0МПЛСК1У 1 виповщас ицручиику г алгебра i иочатктв ан ал ну для 10 класу (авгори
АЛ Мерзляк. Д.А. Номфовський. В Б. Полоиськнй. М.С Яюр) Книга чистить близько
1 (НЮ задач llepim частику «Трену вальн» вправив полнено на три одно i hi ж их варщнги
по 229 задач у кожному Друга частика кпснпь коп грольш робоги (два eapiaHin) для
ошнювання наьчальних досягнснь vmhib В1лпов1лно до зержавно! программ г
математики. Трети частика mici iiti. завдання для ni;icy мкових кош ро и.них po6ii за
матер1алами першого i другою ceMCCvpiB.
Для вчите ив шальноосыгшх навчальннх закладж kivkhib 10 класт.
ББК22.1я72
А.Г. Мерзляк. В.Б. Полонский.
Е М. Рабинович. М.С Якнр. 2010
ISBN 978-966-474-1 07-8	(< J СХХ» ТО «Гимназия», оригинал-макет.
2010
ОТ АВТОРОВ
Ученикам
Дорогие дети! В этом году вы расширите и углубите свои знания
алгебры, ознакомитесь со многими новыми понятиями, фактами. Мы
надеемся, что задачи, предложенные в этой книге, помогут сделать это
знакомство не только полезным, но и интересным.
Учителю
Мы очень надеемся, что, приобретя эту книгу не только для себя,
а и «на класс», Вы не пожалеете. Даже если Вам повезло и Вы
работаете по учебнику, который нравится, все равно задач, как и
денег, бывает либо мало, либо совсем мало. Мы надеемся, что это
пособие поможет ликвидировать «заданный дефицит».
Первая часть — «Тренировочные упражнения» — разделена на
три однотипных варианта по 229 номеров в каждом. Ко многим (наи-
более сложным) задачам первого и второго вариантов приведены
ответы и указания к решению. Отсутствие ответов к заданиям тре-
тьего варианта, по нашему мнению, расширяет возможности учителя
при составлении самостоятельных и проверочных работ. На стр. 6-7
приведена таблица тематического распределения тренировочных
упражнений.
Вторая часть пособия содержит 7 контрольных работ (два
варианта). Содержимое заданий для контрольных работ разделим
условно на две части. Первая соответствует начальному и среднему
уровням учебных достижений учащихся. Задания этой части
обозначены символом (л — номер задания). Вторая часть
соответствует достаточному и высокому уровням. Задания каждого из
этих уровней обозначены символами п и л** соответственно.
Выполнение первой части максимально оценивается в 6 баллов.
Правильно решенные задачи уровня п добавляют еще 4 балла, то есть
ученик может получить отличную оценку 10 баллов. Если ученику
удалось еще решить задачу л**, то он получает оценку 12 баллов.
В третьей части пособия приведены две итоговые контрольные
работы (четыре варианта) по учебному материалу первого и второго
семестров. Эти контрольные работы не являются обязательными. Они
могут быть проведены и как зачетные, и как тренировочные.
Продолжительность их проведения в зависимости от особенностей
класса можег быть от 45 мин до 60 мин.
4
Каждый вариант итоговой контрольной работы состоит из трех
частей, отличающихся по сложности и форме тестовых заданий.
В первой части контрольной работы предложено 16 заданий с
выбором одного правильного ответа. Дня каждого тестового задания с
выбором ответа предоставлено четыре варианта ответов, из которых
только один правильный. Задание с выбором ответа считается выпол-
ненным правильно, если в бланке ответов указана только одна буква,
которой обозначен правильный ответ (образец бланка и правила его
заполнения приведены в конце пособия). При этом учащийся не
должен приводить какие-либо соображения, поясняющие его выбор.
Правильное решение каждого задания этого блока №№ 1-16
оценивается одним баллом.
Вторая часть контрольной работы состоит из 4 заданий в
открытой форме с кратким ответом. Такое задание считается
выполненным правильно, если в бланке ответов записан правильный
ответ (например, число, выражение, корни уравнения и т.п.). Все
необходимые вычисления, преобразования и т.д. учащиеся выполняют
в черновиках.
Правильное решение каждого из заданий №№ 17-20 этого блока
оценивается двумя баллами.
Третья часть контрольной работы состоит из 2 заданий в
открытой форме с развернутым ответом. Задания третьей части счи-
таются выполненными правильно, если учащийся привел развернутую
запись решения задания с обоснованием каждого этапа и дал пра-
вильный ответ. Правильное решение каждого из заданий №№21; 22
этого блока оценивается четырьмя баллами.
Сумма баллов, начисленных за правильно выполненные учащим-
ся задания, переводится в школьную оценку по специальной шкале.
Система начисления баллов за правильно выполненные задания
для оценивания работ учащихся приведена в таблице 1.
Таблица 1.
| Номера заданий |	Количество баллов	| Всего
1	1-16	1	по 1 баллу	| 16 баллов
|	17-20	|	по 2 балла	8 баллов
|	21; 22	J	по 4 балла	8 баллов
| Всего баллов		32 балла
5
Соответствие количества набранных учащимся баллов оценке по
12-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся
приведено в таблице 2.
Таблица 2.
Количество набранных баллов	Оценка по 12-балльной системе оценивания учебных достижений учащихся
1 -2	1
3-4	2
5-7	3
8-10	4
11-13	5
14-16	6
17- 19	7
20-22	8
23-26	9
27-28	10
29-30	11
31-32	12
Желаем вам творческого энтузиазма и терпения...
6
Тематическое распределение тренировочных упражнений
Тема	Номера упражнений
Множества. Операции над множествами	1 - 10
Функция и ее основные свойства	11-21
Четные и нечетные функции	22 - 25
Построение графиков функций с помощью геометри ч ес к их п реобразо ва н ий	26-29
Построение графиков функций у = /(|.т|) и v ~ |/(.т) |	30- 33
Обратная функция	34 - 37
Метол интервалов	38 - 45
Степенная функция с натуральным показателем	46 - 54
Степенная функция с целым показателем	55-61
Определение корня л-й степени	62-69
Свойства корня л-й степени	70-76
Тождественные преобразования выражений, содержащих корни л-й степени	77-87
Функция у - у/х	88 - 94
Определение и свойства степени с рациональным показателем	95-100
Преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем	101 - 103
Иррациональные уравнения	104 108
Системы иррациональных уравнений	109
Иррациональные неравенства	НО 113
7
Тема	Номера упражнений ||
Радианное измерение углов Тригонометрические функции числового аргумента Знаки значений тригонометрических функций Четность и нечетность тригонометрических функций Периодические функции Построение графиков тригонометрических функций Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента Формулы сложения Формулы приведения Формулы двойного аргумента Формулы суммы и разности тригонометрических функций Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму Решение простейших тригонометрических уравнений Функции у = arcsin.v. у ~ arccosx, г = arctgx, у = arcctg.r Решение тригонометрических уравнений Решение тригонометрических неравенств Системы тригонометрических уравнений	114-117 118- 123 124-127 128; 129 130-133 134 - 138 139 - 148 149- 157 158-165 166- 177 178 -184 185; 186 187- 196 197-208 209-223 224-227 228; 229
8	Тренировочные упражнения
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Вариант 1
Множества. Операции над множествами
1.	Поставьте вместо звездочки знак е или £ так, чтобы получить
верное утверждение:
1)6* Л’;	3)-4*(7;	5)	* Q;	7) 7з * R;
2)1*Z;	4) — 1 * Z;	6) 2* Л;	8)-0,14*0.
2.	Запишите множество корней уравнения:
I)	(л-1)(л~-1) = 0;	2)3.г-7 = 0;	3) х2 + х +1 = 0.
3.	Задайте перечислением элементов множество:
1)	правильных дробей со знаменателем 5;
2)	букв слова «алгебра»;
3)	цифр числа I 230 321.
4.	Равны ли множества А и Я, если:
1)4 = {2, 4}. В - К 2};
2)4 = j(2; 4)}, Я = [(4; 2)};
3)	А - множество корней уравнения х“ + 5 = 0, В = 0;
4)4 - множество прямоугольных равнобедренных треугольников,
В - множество прямоугольных треугольников с углом 45°?
5.	Пусть А — множество цифр числа 2342. Является ли множество
цифр числа л подмножеством множества А, если:
1)	х = 43;	2) X = 444 444; 3) х = 321;	4) х = 323 245 9
6.	Запишите все подмножества множества {1,2,3}.
7.	Найдите пересечение множеств А и В, если:
1)4 —- множество цифр числа 66 790, В — множество цифр
числа 40 075;
2)	А -- множество делителей числа 24, В — множество чисел,
кратных числу 6;
3)	А - множество однозначных чисел, В — множество составных
чисел;
4)	А — множество двузначных чисел. В — множество чисел, крат-
ных числу 75;
5)	А - множество параллелограммов, В — множество прямо-
угольников.
8.	Найдите:
1)	[-5;9]П(3;12);	4)(-4;3]ПЛА	7) (-1;0)П[0; + х);
2)	(1;6)П(3; +»);	5)(O;2)AZ;	8)(-3;1)П/?;
3)	(-ос; 4)П<6:10];	6) (-6; -2]ГЦ-2; 1J: 9)[7;16]П0.
Вариант 1	9
9.	Найдите объединение множеств А и В, если:
1)	Л - множество цифр числа 7786, В - множество цифр чи-
сла 5078;
2)	А - множество делителей числа 12, В - множество делителей
числа 16;
3)	А - множество параллелограммов, В - множество прямоуголь-
ников.
10.	Найдите:
1)	(-3;6]U(2;81;	4) (-x;6]U[6; + x);	7)(3;5)Ufl:
2)	(-х;4)U(-4;4];	5) (9; 12)U[9; + х);	8) [14; + x>)U0.
3)	(-x;7)U[-l; + x); 6) (-1;8)U[8; 10];
Функция и ее основные свойства
х — з
11.	Функция задана формулой f(x) -	. Найдите:
2)./(0);	3)/(-3);	4)/(/).
12. Дана функция /(х) = <	- 2х + 3, если х < -2, х2-х + 1, если -2<х<3, 3, если л* > 3.
Найдите: 1)/(-4); 2).Д-2): 3)/(1); 4)/(3); 5) ./'(4,9).
13. Найдите область определения функции:
1) /(.г) = 3.г-17;	10)/W = l45;
2)	Л«)=.Л,; 3)	/(x)=£f^; 4)	Лх)=х_7;	П) 13) f(x) = '/7+4 +V15-X ;
5) /(.r) = VT3; 7) /(х) = /-2; 81 '<*>= у — Д 9)	= Л*“ + ЭХ + Э	14)	f(x) = y/x-\ + y/l-x ; 15)	/(x) = 7772+^1; 16)/W = ^8 + -?j^_; I’*=	+ 18)	-/V) = 44~ x^5^ 7: yjx +4 Д - 8л + 7
10
Тренировочные упражнения
19)	/(х) = лМ-х2 ;	21) /(х) =	;
_________	Vl^l-5
20)	/(х) = л/х2 + 2х-3 ;	,, _ х + 2	4
J 7W-|x|_8 + x-
14.	Найдите область значений функции:
l)/(x) = Vx + 2;	5)g(x) = 5 + |x|;	9) g(x) = VTV ;
2)	g(x) = x2 + 4;	6) ,/(x) = 7a:2+4 -3;	10) h(x) =	.
3)	<p(x) = 5 -x2;	7) ./(a) = T^x2";
4)	A(x) = x2+4x-7;	8) (p(x) = TTd +	;
15.	Найдите нули функции:
1)	/(x) = o,5x2 - Зх - 2; 3) /(x) = *'~5* + 4 ; 5) ? < О = ^*2+4;
2)	,/(x) = Vx + 2 ;	4)	= ^25-x2 ;	6)	=	
16.	На рисунке 1 изображен график функции у = /(л), определенной
на промежутке [-3,5; 5]. Пользуясь графиком, найдите:
1)	/(-2,5); /(-2); /(-0,5); /(0); /(0,5); /(3);
2)	значения х, при которых /(х) = -2; /(х) = 3; /(х) = 1,5;
3)	нули функции;
4)	наибольшее и наименьшее значения функции;
5)	область значений функции;
6)	промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
7)	количество корней уравнения /(х) = а в зависимости от зна-
Рис. 1
Вариант 1
11
Рис. 2
17.	На рисунке 2 изображен график функции y = f(x). Пользуясь
графиком, найдите:
1)	нули функции;
2)	множество решений неравенства /(х) > О ;
3)	промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
18.	Постройте график функции, укажите промежутки возрастания и
промежутки убывания функции:
1)	/(х) = 2х-3;	4) /(х) = 4;
3)/(х) = -3л;	=
7)	f(x) = x2-2x‘,
8)	/(х) = 4-х2;
9)	/‘(х) = х2 - бхч-5 .
19.	Постройте график функции, укажите промежутки возрастания и
промежутки убывания функции:
!)/« =
2) Г(х) =
3) /(х) =
6
у, если х<-3,
ух, если -3<х<3,
у, если х>3;
-	2х - 3. если х < -4,
х2 + 2х - 3, если - 4 < х < 2,
5, если х > 2;
-	х + 3, если х < - 2,
х4-1, если - 2 < х <4,
yfx, если х > 4.
12
Тренировочные упражнения
20.
21.
22.
23.
24.
Найдите область определения и постройте график функции: .
4 - х
2)	=
х~ ~5х
Докажите, что функция:
1) f(x) = убывает на промежутке (1; +*>);
2) /(.г) = 6х-х2 возрастает на промежутке (-со; 3].
Четные и нечетные функции
Известно, что /(-4) = -20. Найдите /(4), если функция / явля-
ется: 1) четной; 2) нечетной.
Является ли функция / (а) = .г2 четной, если ее областью опре-
деления является множество:
1) [-4; 4];	2) (- оо; - 5) U (5; + х);	3) [-3; 3);	4) (-оо; 7] ?
Является ли четной или нечетной функция:
1)	/(х) = 9х4;
2)	/(х) = 7х3-5х5;
х2 -ь 4
3)	/•(x) = VL1:
х2-1
4)	/(х) = 7б-х2 ;
3)/(х) = ^-^;
х" -4
?-5v2
4)/(*) = ———;
7)	/(х) = (х + 4)(х-1)-Зх;
8)	/(х) = (х-5)2 - (х + 5)2;
9)	/’(a) = v2t;
2Х — о
10) /(х) = х|х|;
25.
5) f(x) = x2 + х-3;
6) f(x) = —-----;
х' + 2х
На рисунке 3 изображена
часть графика функции
У = g(*v), определенной
на промежутке [-7; 7].
Постройте график этой
функции, если она явля-
ется: 1) четной; 2) нечет-
ной.
П) /(•') =
Вариант 1
13
Построение графиков функций с помощью геометрических
преобразований
26. На рисунке 4 изображен график функции у= f(x). Постройте
график функции:
Рмс. 4
27. Постройте график функции:
=	3)у = |+1;	5)^ = ^;	7)y = ^±i;
2)у = |-5;	4)у = -4_; 6) >> = -^ + 2; 8)у = ^.
л	Д А.	Л — 1.	Л ~ Э
28. Постройте график функции:
1) у = 4х ;
2) у - 4х - 4 ;
3) у = 77^4 ;
4) у =
х-4 + 2;
5) у = -4х ;
6) у = 2-77;
29. Постройте график функции:
3) = 277;
4)	у = |7х;
5)	у = 72л-2;
6)	у = 77774-3;
7)	у = 27х-7 + 1;
8)	у = 0,5727+6-2.
Построение графиков функций у = /(|л|) И У = I Дг) I
30. Постройте график функции:
1)	у = л-2 3-2х-3;	3) у = | .г2-2х-3|;
2)	у = х2-21х| -3;	4) у = | х2 - 2|х| - 3|.
14
Тренировочные упражнения
31.	Постройте график функции:
1)7 = 77-3;	3)7 = ТЙ-3;
2)	7 = |Т7-3 |;	4) 7 = |л/|71-3 |.
32.	Постройте график функции:
1)7 = |х|;	3)7 = |.r + 3|;	5).v = -3|.v|;
2)7 = |х|-4;	4) 7 = ||л|-5|;	6) 7 = | х - 31 - 1.
33.	Постройте график функции:
ь-’н;	4’>'=йт2-
Обратная функция
34.	Какие из графиков, изображенных на рисунке 5, являются
графиками обратимых функций?
-2	0
а)	б)	в)
Рис. 5
35.	Является ли обратимой функция:
1)	у = у/х ;	3)	у	=	Г,	л е [-2;	0];
2)	у = х2, -V е [ 1; -Но);	4)	у	=	х2,	х е [-2;	+ос)?
36.	Найдите функцию, обратную данной:
1)у = 2.г + 4;	3)	7	=	1 + 7-v + 3 ;
2)	7 = у i 2 ’	4)	у	=	х~.	хе[2: +	ос).
37. С помощью графика функции /, изображенного на рисунке 6,
постройте график функции g, обратной к функции f.
Рис. 6
Вариант 1
15
Метод интервалов
38.	Решите неравенство:
1)	(х + 3.2)(х - 4) > 0:
2)	(х 4- 7)(л- - 6)(х-14) < 0 ;
3)	(2х + 3)(4х-3)(х-10)>0;
4)	(5 + х)(х +1 )(3 - х) < 0;
5)	(х 4-6,8)(1 - х)(2 - х) > 0;
6)	(5х + 20)(2 - 6х)(6х - 12)(9 - 2х) < 0.
39.	Решите неравенство:
1)	£±«<0; х-7	4)	х -1,6	7)	(х + 13)(х + 2)>0. х-13
2)	^>0; х +11	5)	х-5	8)		 <0; (х + 6)(х-12)
3)	х-4,8	6)	1,5-5х	9)	х + 7’2	>0. (10-х)(х-3)
40.	Найдите множество решений неравенства:
у- I 10 т I О
1)	(х2+7х)(х2-25)<О;	3)	--------<0;
х2 - 4х + 3
2) (х2 + 6х + 5)(х2 -Зх)>0;	4) Х *'т~12 >о.
х2 - 64
41. Решите неравенство:
1) (х2 + 4)(х2	- 4х + 3) > 0 ;	6)	(х - 5)2 (х2 - 2х - 3) > 0;
2) (х + 4)2(х2	+ 8х + 12)<0;	7)	(х - 5)2(х2 - 2х - 3) > 0;
3) (х + 4)2(х2	+8х + 12)<0;	8)	(х-5)2(х2	-2х-3)<0;
4) (х + 4)2(х2	+8х + 12)>0;	9)	(х-5)2(х2	-2х-3)<0;
5) (х + 4)2(х2 + 8х + 12) > 0 ;	10) (х-1)2(х-2)4(х-3)3 >0;
11) (х-1)2(х - 2)4(х-3)3 > 0 ;
12) (х - I)2 (х - 2)3 (х - З)4 (х - 4)5 < 0;
13) (х2 + 9х +18)(х2 + 4х + 5) > 0;
14) (х2 - 2х - 7)(3х - х2 - 6) < 0.
16	Тренировочные упражнения
42. Решите неравенство: 1) *~---~-12>0; х' - 4х + 4 2) *' +л'~12 >0; х“ - 4х + 4 7	_ х" 4-х-12	* * >-! hJ	hJ	t'J +	+++	+ £*	p и	и	и +	Л	+	2.	+ SC 5	o Л	IV •	О	о
3) —	< о ; х~ - 4х + 4 4) '\2 +Х~12 <0; х* - 4х + 4 х2 4- 6х 4-9	8) 		<0; x2 +3x-10 9 xi + x-б^о; |л-4| , л	1 x + 21
5) 	>0; .г- + Зх -10	10) -J	—>0. x* - 2x - 63
43. Найдите множество решений неравенства:
x2 -36 44. Решите неравенство:	2)	..2?..+ 1. <o . .v2 +Зл-4
1 x + 2 > 4-r~10 x-2~ x-2 ' 2)	< 1; 2.x-7	3). x - 1 x -1 — 4x 4) 2	Z±<3. x-2
45. Для каждого значения а решите неравенство:
1) (x - 4)(x - a)<0;	5) (x-a)(x + 2)2 <0;
2) (x-4)(x-a)2 >0;	6)Й*0;
3) (x - 4)(x - a)2 > 0 ;	(x-5)(x-a)	. '>	x-5	-u’
4) (x — a)(x + 2)2 <0;	(x-5)(x-g) x-a "°'
Степенная функция с натуральным показателем
46.	Через какие из данных точек проходит график функции у = х5:
Л(-2;-32); Я(-1; 1);	0(0,1;-0,00001)?
47.	Функция задана формулой /( л) = х8 . Сравните:
1)	/(2,4) и /(3,8);	3) /(-9,6) и /(9,6);
2)	Л-К,7) и /(-9,6);	,	4) /(-0,8) и /(0,4).
Вариант 1
17
48.	Функция задана формулой /(х) = х15. Сравните:
1)	/(3.4) и /(5,2);	3) /(4,1) и /(-4.1);
2)	/(-0,35) и /(-0,24);	4) /(0,6) и /(-5).
49.	Решите уравнение:
1)л-7±=128;	2)х’ = -1;	3)х4 =625;	4)х4=-16.
50.	Сколько корней в зависимости от значения а имеет уравнение:
1)	х*°=о-3;	2) х8 = д2-6а + 5?
51.	Постройте график функции:
1)г = х3+2;	2) г = (х + 2)3; 3)у = х4-2;	4)у = -|х4.
52.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у =хв на
промежутке:
1)	[0; 3];	2) [—3; —2];	3) [-3; 3];	4)(-оо;-3].
53.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = л9 на
промежутке: 1) [-2; 2]; 2) [2; -Но).
54.	Четным или нечетным натуральным числом является показатель
степени п функции у = хп, если:
1)	/(-5)>/(-3);	3) /(-5)</(-3);	5) /(-5)>/(3);
2)	/(-5) < /(3);	4) /(5) > ./(3);	6) /(5) > /(-3) ?
Степенная функция с целым показателем
55.	Проходит ли график функции у = х~7 через точку:
1)Л(-2;-128); 2)5^|;128^; 3)С(-1;-7);	4)£>(1; 1)?
56.	При каком значении а график функции у = ах~4 проходит через
точку: 1)	; 2) В(-3; 1)?
57.	Дана функцию /(х) = х-,:’. Сравните;
1)	/(20) и /(23); 2) /(-1,6) и /(-1,8); 3) /(-6,4) и /(6,4).
58.	Дана функция /(х) = х'2°. Сравните:
1)	/(1,4) и /(2,6);	3) /(-2,8) и /(2,8);
2)	/(-5,4) и /(-6,3);	4) /(-25) и /(7).
59.	Постройте график функции:
1)	у = х-2-2;	2) г = (а-2)"2;	3) у = 2х-\
18
Тренировочные упражнения
60.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = л ? на
I) Ь1 ;
промежутке:
2) [-2;-!]; 3) [2;+»).
61.	Четным или нечетным является натуральное число п в показателе
степени функции /'(х) = х-", если:
1)	/(-3)>/(-2);	3)/(-3)</(-2);
2)	/(-3) < / (2);	4)/(3)>/(2)?
Определение корня п-й степени
62.	Найдите значение корня:
1)^64;	2) ^0,0001;	3) 5>Г32 ;	4) ^5^ .
63.	Вычислите значение выражения:
1)	0,2 VTOOO -1 ^625 ;
2)	V-128+ 3(W)5-4^256;
3)	4(-^б)8-0,8^10000+^</270;
5)	VO,000064+ |(-3^0Л)4 + 6^0,3^ ;
6)	(-V3O)5 + V? - V343 + ^=27 + VlF -100^0,0081 .
64.	Найдите область определения функции:
1)	j = у1х - 8 ; 2)y = V-x; 3)>’ = V^+2; 4) у = \1х2 -4т .
65.	Решите уравнение:
1) х5 =32;	5) х8 = 1;	9) (x + З)3 = 27 ;
2) х7 = 8;	6) х6 = 729 ;	10) (x-2)6 =64;
3) х9 =-16;	7) х10 = 5 ;	11) 5x4+475 = 0;
4) х4 =— • х 16 ’	8) х4 =-81;	12) 8x4-64 = 0.
66. Решите уравнение:		
1) у/х =4;	4) Vx+2 = 0;	7) V?x +2 = 0;
2) V7 = j;	5) Vx +6 = 0;	8) V4x + 2 =0;
3) ^/7-5 = 0;	6) ±Vx-2 = 0;	9) V4x + 2 = 3.
Вариант 1
19
67.	Решите уравнение:
1)	х6-26х3-27 = 0;	3) х12+х6-6 = 0 .
2)	х8-17х4 + 16 = 0;
68.	Оцените значение л, если:
l)-l<Vx<2;	2)3<V*<5.
69.	Для каждого значения а решите уравнение:
1)	atfx =0;	3)а\[х=а;	5) х4 =а + 3; 7) х3 = а-4;
2)	Vax=0;	4)fyx = a;	6)ах6=3;	8)хь=а2-25.
Свойства корня н-й степени
70.	Найдите значение корня:
1)	V27 -64 ;	3) V243 • 0,00032 ;	5) ^0,37 -514 ;
/----- I
2)	V0,0081-625 ;	4) V46 -З9 ;	6) f л '' .
V54 -212
71. Вычислите значение выражения:
1)	V16 -V2 ; 2)	Vioooo -Vioo; 3)	Vo,108 V2; 4)	V35 -52 -V33 -56 ; 5)^; V729 72. Упростите выражение: 1)	tfa* , если а > 0;	^.7.° 1	 * V52 -716 7)	Vs-'/n -V5 + V17 ; 8)	^26 + VsT V26-V5T ; 9)	V3V2-5V2 -^За/2+5д/2 . 5) ^/16x8y4z12 ,если у>0, z <0;
2)	, если b < 0;	6) 3,5х^256х24 , если х<0;
31V7;	lV<3l0Z>20c30 7)	, если а < 0, с < 0 ; Л’с4	
4) З7з43?и6и9 ;	8) -0,2а3 -^625а|6636 ,если Z><0.
73. Упростите выражение: 1) Vu-З)4 ;	3)	+ З)8 , если у < -3;
2) ^/(<7-23)6 , если а > 23;	4) (32 - а)4^-—» если а > 32.
20
Тренировочные упражнения
74. Упростите выражение:
1) VVa ;	2) TVx ;
4)2^32';
75. Упростите выражение: l)^/(4-V3)4 ;	3) V(V6-T8)6 ;
2) V(2-V7)3;	4) V(8-VTT)5 +V(3-Vn)8
76. Постройте график функции: 1) v = у/х^ - л*, если х < 0;	4) у = л +	;
2) y = (V.V-3)6;	5) у = л/х • Vx3”;
3) v = ^(.v-6)6 ;	г 2 6) r=-j= + 3.  V7
Тождественные преобразования выражений, содержащих корни
л-й степени
77. Вынесите множитель из-под знака корня:
1)^54;	2)V%;	3) V1250;	4)^320.
78. Вынесите множитель из-под знака корня:
1)7&?;	5)	д/з2х10 у13	:	9)	tla'b5 ,если а<0у Ь<0;
2)V/;	6)	^25От7л20 ;	10)	tfabb5 ,если о<0;
3) V-«10 ;	7)	^-16х7 ;	11)	Va7/>l4c18 , если с < 0;
4)	;	8)	Vd26/>13 ;	12)	V-t/17^26 , если b< 0.
79. Внесите множитель под знак корня:
1) 4^3 ;
2) 2^5;
3) 10^/0.312 ;
4) |V135 .
80.	Внесите множитель под знак корня:
1)	а^7 ;	4) 2х\1зх2 ;	7) /и yjmA , если т < 0 ;
2)	aj- а ;	5) Ьу[^Ь ;	8) ab\[a2b . если а > 0;
3)	arfa* ;	6) За-2 ;	9) a5b' , если а < 0, b > 0.
81.	Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные
значения):
1)	yjbyfb :	2) yjРу[р ;	3) yja3 .
Вариант 1
21
82.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)-^;	2)^;	3)^1;	4)^; 5)^;	6)
>/б V3 V8 V25 W
83. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
85. Найдите значение выражения:
1) ^2-V3 • ^7 + 4>/з ;	2) 7^5+ 1 • tfb-ljs .
86. Упростите выражение:
87.Докажите, что значение выражения yll + Js+yll-Js является
числом рациональным.
Функция у = rfx
88.	Найдите область определения функции:
1)7 = УТ^8; 2) 7 = Ух+ 16 ;	=	4)7 = ^8-7х-х2 .
89.	Найдите область значений функции:
1)7 = У7 + 4;	2)7 = -Ух-3;
3) 7 = Ух + 5 .
22
Тренировочные упражнения
90.	Оцените значение выражения 1[х , если:
2) -27<х<64.
1) 8<х<343;
91. Сравните:
4) V6 и V34 ;
5) 2^5 и 3^2 ;
6) V7 и V2 ;
8) V10 и д/15-Уб .
7) V3 и V2 ;
92.	Между какими двумя последовательными целыми числами нахо-
дится на координатной прямой число: 1) V12 ; 2) V50 ; 3) -^30?
93.	Укажите все целые числа, расположенные на координатной пря-
мой между числами: 1) 2 и V130 ; 2) ^/-40 и >/б50 .
94.	Постройте график функции:
l)y = Vx-l; 2)j = VTd; 3)^ = VT^; 4)у = ^И+>-
Определение и свойства степени с рациональным показателем
95.	Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
J-	->	2-	.<
1)32;	3) 6 4;	5)(тлл)\	7)(а + />)’’5;
4	_2	2	_4
2)105;	4)12’;	6) тп> ;	8) а 5 +Ь-6.
96.	Замените арифметический корень степенью с дробным показа-
телем :
1)7^;	3)^7;	5)VF;	7) ^(х + у)2 ;
2)	V»? ;	4) %2х;	6) 736 ;	8) ^х2+у2 .
97.	Вычислите значение выражения:
1	2
l)16i;	2)8”’;	3) 0,0016‘0’5;
4) 320,4; 5)^11-^-
98.	Найдите область определения функции:
з	1
l)jp = x4; 2)> = а’0'7; 3) у = (х + 4)1'2; 4) у = (х2 +8.V-9) 5.
99.	Представьте в виде степени или произведения степеней:
»IJ; 4)	7)	в}’1 ;
2)сГ* <А ;	5) а*-а'2-а*;	8) (<?) °’7 (а'0’4)"5 :(о~°-5)к;
7	5
3) а1)
( 7 -21
9) амЬ 45
15	5_
•«V9 ( -- '-6
!	• a
( L А \п
6) а’615
Вариант 1
23
100. Найдите значение выражения:
1) 22'4 • 2"03 • 23'9;
2) (3'°'6)4-3°’4;
9
( _2>16 1J
3) 5 3	-2516;
_ 5	5
4) 16"0-7’ -812 -4s;
( i 1 \
274165
h 1
2 5 -8116
Преобразование выражений, содержащих степени с дробным
показателем
101. Упростите выражение:
1 ( 1
1) Y2 .X2 +3
2)
2/и4 -Зя4 I 5ти4 +2л4 ;
3) al2+Z>12 Ь'2-/)'2 Ь6+Ь6 b3+Z>3 ;
( 1 -Y- --	-Г- -
4) а6 -Ьв I а3 +аьЪь + />3 -л6 я3 -аь
102. Сократите дробь:
£
Д+б#4
' I *
Я 4 + 6
1
4)
1,5	А1’5
а -Ь
а о л-Ь
W2»1-5	»п,’5и2
т п — т п
т — 1т п 4-}
т2-4т-
П. а~ь 
U а°'5+Ь°'5 ’
1
х-5х5 .
6) I-----Г’
л5 - 5л5
103. Упростите выражение:
1	1115	5
а3 - 2a6bh + b3 a^b + ab6
Г”1 гп Г ’
а -а3Ь3	аьЬь-Ь3
Ь2
2>—h
а-b ? 1.5
а2 +Ъ2
Ь2
Ь2-а2
24
Тренировочные упражнения
1 । 1
л*8+8	л*+1	6 —а*8
।	।	I	।	»
х* + 4х8 Зх*+12 Зх8
4)
2	2
X3 -у*
~1	г~;
ху3 + X3J
Зш10
kwfo+5
1 \ 1 ।
8w10 Зш10 +7 5ш1О-25
^+10^+25; m5“-25 wfo+5
Иррациональные уравнения
104.	Решите уравнение:
1)	v2x-3 = -3;
2)	V2x-3 = -3;
3)	л/2х-3 = 3;
4)	у/2х - 3 =	;
5)	V2x-3 = V3-2x;
105.	Решите уравнение:
1)	Vx + 4-V2-x = 2;
2)	у/1-х = х -1;
3)	Дх2 + 8х + 7-2 = х;
4)	у/Зх-5 =-—!=;
yJx-2
5)	л/Т+5 - VTT = 2;
6)	V2x-3 = у/х - 2 ;
7)	у]2х - 3 = Vx2 +х-23 ;
8)	72х-3 = 3-2х;
9)	V2x-3 = VPx ;
10)	(х + 1)л/х2 + х - 2 =2х + 2.
6)	у[х + 3 + л/Зл -9 = 6;
7)	y[x + 5 + yf5^1 = 4;
8)	2у1х + 3-у/х-2 = 4;
9)	у/Т-х = у/2х + 3 - у/х + 2 ;
10)	у/9-2х + л/Г7г = 2yj4-x
II)	у/2х + 3 + V3x + 2 = V2x + 5 + >/Зх .
106.	Решите у ранение:
1)	4х -4>[х +3 = 0;
2)	Vx-4^x- 5 = 0;
3)	х-8^х=0;
4)	>/Г+3-3^/хТз + 2 = 0;
5)Vx2-2x + 1 +зУГЛ -4 = 0;
6)	х2 +Vx2 + 11=31;
7)	2х2 + Зх - 5 V2x2+3x + 9 +3 = 0
8)	G±4=2;
7 V х+4 V 2-х
9)	ху/х-у/х^ = 2;
10)	х2 - 4х + 6 = д/2х2-8х + 12 .
Вариант 1 25
107.	Решите уравнение:
1)	л/Гк2 -"УЗх + 2=0;	3) Vx^2 + >/^4 = 5;
2)	V45 + x-Vx-16 = 1;	4) $/18 + 5х+^/б4-5х =4.
108.	Решите уравнение:
1)	^(х + З)2 +^(6-х)2 -V(x + 3)(6-x) = 3;
2)	7x + 6 + 2-Jx + 5 + Vx+6-2Vx+5 = 6.
Системы иррациональных уравнений
109.	Решите систему уравнений:
х-у = 16
х/х -у[у = 2
Vx - У? = 2,
ху = 27;
f ^4- у + х + -^9 - 2у + х = 7,
|2х-3у = 12;
3)
Л/Зх-у + 3=2,
у]х + 2у + 4 = 4 - х;
6х . 1*+У _ 5
х+у V 6х “2’
ху - х - у = 9;
4){
/7. /1-41
Vx +у!у ~20’
х + у = 41;
9х2 + J9x2 +2у + 1 = 1 - 2у,
6х + у = 2;
5)
|х - у- 56;
Иррациональные неравенства
ПО. Решите неравенство:
1)	47+2 >5-, 2)47+2 <5; 3)47+2>-3; 4)47+2<-3.
111.	Решите неравенство:
1)	V3x-10>V6-x;	4) 42х2 -3x-5<Jx-1;
2)	42х2+6х + 3 > 7-х2-4х ;	5) 4х + 33 > х + 3;
3)	V5 - 2х < 6х -1;	6) 7х2 +4х-5 > х - 3 .
112.	Решите неравенство:	___ _________
1)	(5-2х)<х < 0 ;	3) Vx+T > 8 - V3x +1 ;
2)	4х-б4х + 5>0;	4) 77^5-VlO-x > 1.
113.	Для каждого значения а решите неравенство а>/х+Т < 1.
26
Тренировочные упражнения
Радианное измерение углов
114.	Найдите радианную меру углов: 15°; 30°; 48°; 75°: 120°; 240°.
115.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
л . л . я . л . 4п .
20’ 12' 6' 22' 5 ’ 1371’зл-
116. Радиус окружности равен 1 см. Найдите длину дуги окружности, соответствующей углу в 3 радиана.			
117. В какой четверти находится точка единичной			окружности, полу-
ченная при повороте точки Ро (1; 0) на угол:			
1) 138°;	4) 500°;		10) 2,7л;
2)285°;	5) -48°;		11)2;
3) -140°;	6)	9) -1,7л;	12)-3?
Тригонометрические функции числового аргумента
118. Найдите значение выражения:
1)	2cos0° + 5sin90°-4tgl80°;	3) tg45°cos30°ctg60°;
| sin ? + cos 4?- ctg5
_	ТГ	1-rr	\	4	2 J b 6
2)	ctg5 + 3cos5--4sin4?-;	4) ------------------:
222	tg-j-tg2n
5) д/(2 sin 45° + I)2 - 7(1 - 2 cos 45°) 2 .
119. Найдите значение выражения sin(a + P)sin(a - P) при:
1) a = 45°, р = 15°;	2) a = |, P = f.
120. Возможно ли равенство: 1) cos a = у;	3) sin a = у;
2) sin a =	i	4) cos a = V2 - 2 ?
121.	При каких значениях а возможно равенство:
1) cosx = л + 2;	2) sin х = 4a - а2 - 5 ?
122.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
lx 1 с	тх л • }	эч sina(3-cosa)
l)l-5cosa;	2) 4 +sin a;	3)-----
sin a
123.	Найдите область значений выражения:
1)	5—Ц- i 2) 5-----------1—=•;	' 3) tg2x + 2.
2-sin 3.x	jcosx-2	6
Вариант 1
27
Знаки значений тригонометрических функций
124.	Какой знак имеет:
1)	sin 140°;	3)tg200’;
2)	cos 320°;	4)ctg(-84°);
5) sin 2;
6) tgl^?
125. Определите знак выражения:
1) sinl48°cosl 16°;	2) tg216°cos(-232°);	3) sin4tg5.
126. Углом какой четверти является угол а, если известно, что:
1) sina> 0 и cosacO; 127. Сравните:	2) | sin ос | = sin a ?
1) tg 100° и tg(-100°);	3) ctg^£ и cos-Д; 4	о
2) cos70° и sin 340°;	4) cos6 и sin4.
Четность и нечетность тригонометрических функции
128. Найдите значение выражения:
1) sin(-30°)- 2tg(-45°)-cos(-60°);
2) 2tg( -^lctg(-£^ + sin(-n) + 5sin2(-“l.
у j J
129. Является ли четной или нечетной функция, заданная формулой:
1) fix) = sin2х;	3) f(Л-) =	: 5)= tgV + 2;
1 г ииьл
2) ,/(х) = x-sinx; 4)/(х) = -^;	6)/(х) = ^Ц^^?
А — I	Л 1
Периодические функции
130. Найдите значение выражения:
1) sin750°;	3)cosl260°;	5) sin^;
2)tg840°;	4) ctg(-405°);	6) cosf-^
131. Покажите, что число Г является периодом функции /:
1) /(x) = sin^, Т = 4л;	3) /(х) = ctg^|, Т = л;
2) Дх) = ctg тис, Т = 2 ;	4) /(х) = Vcosx , Т = 2л.
132. Покажите, что число Т = -л не является периодом функции
/(a) = sin х.
133. Найдите наименьший положительный период функции:
1) J(x) = co‘s(2x + 3);	2) '/(х) = tg .
28
Тренировочные упражнения
Построение графиков тригонометрических функций
134.	Постройте график функции:
1)	y = sinx-l;	3) y = sin2x;	5) у = 2sin^x -- 1;
2)	y = sin|x--~|;	4) y = 2sinx;	6) y = 2sin| 2x-4r 1-1.
\ о )	у j j
135.	Постройте график функции:
1)	у = cosx +1,5;	4)	у = - jcosx;
2)	у = cos^x +	;	5)	у = —i-cos^x +	+1,5;
3)	y = cosj;	6)	у = -jcos^j +	+
136.	Постройте график функции:
1)	v = tg^x-£j; 2) j = 3tgx-2;	3)y = ctg^.
137.	Постройте график функции:
l)y = I sinx I;	2)y = tg|x|;
3) у = cos x -
138.	Постройте график функции:
1)	у = (Vsinx)2;
2)	у = sinx + sin |x|;
3)	у = cos х - л/cos2 x ;
4)	у = 7- sin2 x ;
5)	у = Vcos x - 1 ;
6)	y =	;
|sinx|
7)	r _ cosx-|cosx|
sin x +1 sin x |
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента
139.	Могут ли одновременно выполняться равенства:
1)	sina = -j и cosa	2) tga = 5 и ctga = 0,2;
3)	cosa = у и tga = - у ;
.ч . a	b о
4)	sin a = ~т= . и cos а = -тз	.. . ?
140.	Вычислите значения тригонометрических функций угла а, если:
l)cosa = -j;	* ’ 2) smа =-у и л<а<;
Вариант 1
29
3)	tga =4 и 0<a <у;
141. Упростите выражение:
1)	sin2 (3-1;
2)	sin2 2a + cos2 2a + ctg2 5a;
4) ctga = ->/2 и 4^- < a < 2л.
3)	2sin у ctg у - cos у ;
.4 cos2 a - 1
4)	—--------4- tgactga ;
sin ~ a -1
_4 tgacosa
1 4- ctg “a
6)	I 1 + COS-J I 1 - COS-J
7)	(1 + tga)2+(l-tga)2;
8)	ctgx + r^-- - ;
7 6	1+ cosx
QI s^n(P l+coscp.
7 1 - coscp sin<p ’
10) sin4a + sin2acos2a + cos2a;
ID
7 tga + ctga ’
cos3(-a) -ь sin3(-a)
* cosa + sin(-a)
142.	Докажите тождество:
tga+ctgp
’ ctga+tgp lsaclgP’
2)	sin2 a cos2 (3 + sin2 asin2p + cos2 asin2 (3 + cos2 a cos2 p = 1;
(sin a > cosa)2 -1 _ о
3)	--------:-------= 2tg~a;
ctga - sin a cos a
sina-cosP sinp-cosa
4)	--------L_ = ---L----- ;
sin p + cosa sin a + cosp
5)	1 - sin6 a - cos6 a = 3sin2 a cos2 a.
143.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1)	3cos“ a - 4sin2 a ;	2) 2sin2a + 3tgactga.
144.	Постройте график функции:
I)	v = tgxctgx;	2) у = tgxcosx.
145.	Упростите выражение:
1	) sin2 у + ^1 - cos2 у , если Зл < a < 4л;
/| -I- sina II - sina ПЛО . ono
2	J-j-:---, если 90° < a < 180°;
у I - sina у I 4-sina
'	' < l 1 f 1 i I Л 1 l u	
.3) ^sin2afl -ctga) +'cos2a(l-tga),если 4y<a<2it.
30
Тренировочные упражнения
146.	Дано: sina + cosa = а. Найдите:
1)	sinacosa; 3) sin4а + cos4а;
2)	sin3 а + cos3 а ;	4) sin6 а + cos6 а;
5) tga + ctga;
6) sina-cosa.
147. Найдите значение выражения:
1)
5cosa + 6sina
3sina - Kcosa
если tga = 4;
3sin a-sinacosa + 2cos^ a	_
2)	----------------------, если ctga = -3.
sin2 a-4sinacosa
148. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
3cos2 a -4sina.
Формулы сложения
149.	Упростите выражение:
1)	cos(a - Р) + cos(a + 0);
2)	sin I a - -у - sinl a + у
3)	Vlsin^y-baj-cosa-sina;
sin(30° + a)-cos(60° + a)
sin(30° + a) + cos(60° + a)
150.	Упростите выражение:
1)	sin(pcos3(p + coscpsin3(p;
2)	cos 64° cos 34° + sin 64°sin 34° ;
3)	sin(840-a)cos(a + 240)-cos(84°-a)sin(a + 240);
151.	Докажите тождество:
sin(45° + a) - cos(45° + a)
sin(45° + a) + cos(45° 4- a)
cos(a + B)+ 2 sin a sin В
2) —1 *--—------------ = ctg(a - 0);
2 sin a cos 0 - sin(a 4- 0)
3) sin6actg3a - cos6a = 1;
4) sin2(a-30o)4-sin2(30° + a)-sin2a = 0,5.
152. Упростите выражение:
„ tg14a + tg46° .	tg^+«)-tga
’ 1 - tgl4°tg46° ’	-----/-----\-----
1 + tgl |+a Itga
153. Докажите тождество:
tgatgp t (tg(x + tg0)ctg(a +t0)= 1.
154. Пользуясь формулами сложения, найдите: 1) sin 15°; 2) tg 15°.
Вариант 1
31
9) sin 1916°;
10) cos3000°;
H)tg4,3%;
12) ctg^S.
7)	sin 1110°;
8)	COS;
9)	ctgf--2Qsl
155.	Дано: sin а =	, 90° < а < 180°. Найдите sin (30° + а).
156.	Дано: sina = 0,6, sin₽ = -0,8, 0° < а < 90°, 180° < р < 270°.
Найдите cos (а - Р).
157.	Найдите наибольшее значение выражения:
1)	VJcosa-sina;	2) 3sina + 4cosa.
Формулы приведения
158.	Приведите к тригонометрической функции угла а:
l)sin(n-a);	3) tg(y + a^;	5) sin2^4^- + a^;
2)	cos (4^ + a j ;	4) ctg(a - л);	6) cos2 (360° - a).
159.	Приведите к значению тригонометрической функции положи-
тельного аргумента, меньшего 45° ( или
1) cos 127°;	5)cos400°;
2)tgl72°;	6)tg(-298°);
3)sin219°;	7)cosl,2n;
4)ctgl94°;	8) sin-^;
160.	Вычислите:
1)	sin 120°;	4) cos^--^^;
2)cos225”;	Sjclg-1!';
3)4(-240");	6)cosl0n;
161.	Найдите значение выражения:
1)	3ctgl35° + 2cosl20° + tg420° + 2sin300°;
2)	sin^p-cos^?-tg^--T^ctg4^ ;
3)	tg41°tg42°tg43°... tg49°;
4)	sin 200° sin 310° + cos 340° cos 50°.
162.	Упростите выражение:
1)	sin^-j- + a) + cos(n + a) + ctg(2n - a) + tg^-^ - a
2) cost a + -y Jcos(3л - a) +:sin! a + -y- jsin(3ir + a);
32
Тренировочные упражнения
sin(7t - р) COS(7t 4- p)tg( Л - р)
sin^y ~ P^Ctg^y- 4- P^COS^y 4- pj
( f 5Я	4 z	2sin2(rc-a)
4)	ctg - a cos(2 n - a) + cos(rc - a) 4------------.
к к 2	)	J tg(a - л)
163.	Известно, что a, p, 7 — углы треугольника. Докажите, что
• «4-р у
sin—у- = COS у
164.	Найдите значения выражений sin^a--yj и tg(2n-a), если
sina =-у и у-<а<2л.
165.	Докажите тождество:
sinl a - у ,	.	.
—---------ctgl a - у j - cosl -5- + a sin(a - л) = cos2 a •
k 4	)
Формулы двойного аргумента
166.	Выразите данные тригонометрические функции через функции
аргумента в два раза меньшего, чем данный:
l)cosa;	3) tgy; 5) cosl;	7) sin^-y-20°^:
2)	sin 5a ;	4) sin(a + P);	6) sin8a;	8) cosU* + у .
167. Упростите выражение:		
sin a * '	ot ’ 2cos^	5)	sin 3a cos3a . sina cosa ’
cosa	6)	ctga - tga .
2'	. (x	(X ’ Sin J - COS J		ctga + tga ’
3) 1 - 2sin2(45° + 1,5a);	7)	sin22a-4sin2a sin22a + 4sin2a-4
4) sin у cos у cos a ;	8)	2cos2A-l 2ctg ~ - a cos2 4- 4- a v 4 J 14 J
Вариант 1 33
168.	Найдите значение выражения:
1)	sinl5°cosl5°; 2) cos2 £-sin23) —-3-—.
8 s l-tg222°3O’
169.	Дано: sin a = 0,8, 90° < a < 180°. Найдите:
1)	sin 2a;	2) cos2a;	3) tg2a.
170.	Дано: tg~ = 0,5. Найдите tg ^45°
171.	Представьте в виде произведения выражение:
1)	1+cos^;	3) l-cos70°;	5) 1 + sina;
2)l-cosl0a;	4)l-cos^;	6)l-sin40°.
172.	Понизьте степень выражения:
1)	cos2 4л;	2) sin2 Зл ;
173.	Докажите тождество:
1)	2sin2y+ cosa = l;
2)	ctg 2a(l - cos4a) = sin 4a;
174.	Упростите выражение:
sin 2a 1-cosa.
1-cos 2a cos a
1-sin(30° + 2a)
cos(30° + 2a) ’
cos40°
1 +sin 40°’
175.	Упростите выражение
A < г* < JL
4<a<2-
176.	Упростите выражение >/2 +
оо|?4
3) sin2^j-10°j; 4) cos2^2a-
1 + cos - - sin ~
3)	1---a----= “ct8 f ’
1 - COS - Sin J	4
.. 1 - sin 2a > ( Tt 'i
4)ra^ = tg\f-aj-
tg(<  ib-a)
4)	—V.;_._2------ ;
sin a
cosl 4a -
5)	—--------f
ctg I ~ + 2a || 1 - cosl ДД + 4a 11
4 4 Д ^2	J J
</(ctg2a - tg 2 a) cos 2a • tg 2a,	если
2cos2a , если ~ < a < л.
177. Докажите, что sinl0°cos20°cos40° = 1.
о
34 Тренировочные упражнения
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
178. Преобразуйте в произведение:
1)	cos40° + cos!0°;
5) sinLv+-^ l + sinf x-y ;
2)	sin 4a + sin 10a ;
3) sin ly - sin yj;
4) cos3a-cos7a ;
7) cos(a-p)-cos(a4p);
8) sin! + у -sin(a4-^- •
3) sin a - cosp.
179.	Преобразуйте в произведение:
1)	sin40° + cos70o; 2) cosy-sin^;
180.	Преобразуйте в произведение:
1)tg 14° + tgl6°; 2)tg7a-tg3a; 3) tg[Д"fj-
181.	Преобразуйте в произведение:
l)142cosa;	2)V3-2sina;	3) V3 -tga.
182.	Докажите тождество:
1)	sin a + sin 3a + sin 5a ч- sin 7a = 4 cos a cos 2a sin 4a;
_ sin a 4 sin 3a -
2)	— =tg2a;
cos a + cos 3a
Л ч sin 3a - sin a + cos 2a
3)	 = ctg2a;
cos a - cos 3a + sin 2a
4)	cos“a -cos~P = sin(a + P)sin(P~a).
183.	Упростите выражение:
। \ I sin a _ cos a	cos 10a - cos 6a
\ sin 4a cos 4a J sin 3a
2)	(cosa + cosP)2 4 (sin a 4 sin P)2;
3)14- cos(2a - 2л) 4- cos(4a 4 2л) - cos(n - 6a)
cos(k - 2a) 4 1 -2со$2(л 4 2a)
4)	cos2( 4 a] - sin2f-L|^ 4 al.
у о /	\ " J
184.	Докажите тождество:
1)	1 4 sina -cosa - 2^2 sin-^sinf4^L
Z \ Z 4 j
2 ) cosa+sin2a + cos3a->-sin4a =4 cos a cos
Вариант 1
35
Формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму
185.	Преобразуйте в сумму произведение:
1)	sin 4а cos 7а ;	2) cos 25° cos 50°;
3)	sin 2а sin а;	4) sin(a + р) sin(a - Р).
186.	Докажите тождество:
1)	sin2a + 2sin^jj-a^cos^yy + aJ = 0,5;
2)	sin 5а sin а 4- cos 7а cos а = cos6а cos 2а :
3)	sin2 2а - sinl 2сх - cosl -5- - 2а =4 ;
\	6 ) V 3 J 4
4)	cos2 а 4- cos2 Р - cos(a +• P)cos(a - Р) = 1.
Решение простейших тригонометрических уравнений
187.	Решите уравнение:
1)	sinx = -^;	3) tgA =
2)cosx = :y;	4)sinx =
188.	Решите уравнение:
I)	sin 2x =	;
2)	cos j = j ;
3)ctg(x + -|^ = V3 ;
4)tg	=
5)	sin^ + -|j = O;
6)	cos(5x-8) = -l;
189.	Решите уравнение:
1)	2sinf4-^l-2 = 0;
2)	VIcosf J-|] + l = 0;
>/3 ;	5) cos.t = --^-;
6)tg.r = -l.
7)	sin(4.v + 3) = |;
8)	cos^ = I;
9)	cos(2x-l) = ^;
l0)	sin(17~^=2;
11)	cos^4-^ = 0;
12)	tg(3 -2r) = 2.
3) 3-V3tg^--^j = 0;
4) 3ctg(2x + 6) - 9 = 0.
36
Тренировочные упражнения
190.	Решите уравнение:
l)Sin^ = 4;
2)	cositjx - -&;
191.	Найдите наибольший
.• [ _ . 7Г 1 _ УЗ
smI т +
3)tgJtr2 =0;
4) sin(7tsinx) = -l.
отрицательный корень уравнения
192.	Сколько корней уравнения tg3x = 1 принадлежит промежутку
[0; я]?
193.	Найдите все корни уравнения cost 7.x + у | = -Лу, удовлетворяю-
щие неравенству уД < х < я.
194.	При каких значениях а имеет решения уравнение:
1)	sinx = t/ + 2;	3) (4/ + l)cosx = а- 1;
2) cos ттг = а1 + 6а + 9;
4) (a2 -4)sinx = a-2?
195.	При каких значениях а данное уравнение имеет единственный
корень на указанном промежутке:
1)	(x-a)(tgx-l) = 0, f0;	;
2) (х + л)
2
196.	Определите количество корней уравнения sin x = a на проме-
0;ф
о
жутке
в зависимости от значения а.
Функций у = arcsinx, у = arccos.r, у = arctgx, у = arcctgx
197.	Найдите:
1)	arcsin-^; 3)arctg-^;	5) arcsin^-7)arctg(—/3);
2)	arccos-у-;	4) arcctg VI;	6) arccos f - у j; 8) arcctg(-1).
198.	Найдите значение выражения:
1)	arcsin(-l) + arccos I + arctg^--y^ + arcctg(-•75);
2) 3 arccos 0 + 4 arcsin I - 2 arccosf-1) + 3 arccos
\ 2 J'
Вариант 1
37
199.	Вычислите:
1)	tg I arccos-y I;	3) sin I arcsin-y + 2arctgl
2)	cosf 2arccos4r-|;	4) tg| arctgV3 - arctg-U |.
к 2 )	к	V3J
200.	Найдите область определения функции:
1)	у = arcsin(x -1);	3) у = arctg л/2-х .
2)	у = arccos(x2 - 8);
201.	Найдите область значений функции:
1) у = 3arcsinx + ~;
2)y = 4-2arctg2x.
202.	Вычислите:
1)	cos^arccos-y);
203.	Вычислите:
1)	arcsin^sm—^;
204.	Вычислите:
1)	cos ^arcsin у ;
2)	sin^arccosj^;
205.	Решите уравнение:
1)	arcsinx = “5 •
о
2)	arccos( х + 3) = -у;
206.	Решите неравенство:
1)	arcsinx>£;
2)	sin! arcsin у 1;
2) arccosf cos у 1;
3.) sin (arctg 3)j
4) cos(arcctg(-2));
3) tg(arctg 1).
3) arctg(tg2).
5) tg I arcsin у
6) ctg(arctg6).
3) arctg(2x- 1)= у .
3) arctg(5x + 2) >-y .
2) arccos3x<y;
207. Постройте график функции:
1) у = 2arccosx ;
2) у = arcsinx - 2;
_ arcsin |л'|
~ arcsin x
4)	у = cos(arccosx);
5)	у = sin(arccosx);
6)	у = cos(2 arcsin x).
38	Тренировочные упражнения
208. При каких значениях а имеет решение уравнение:
1) arcsinx = (a-l)n;	arctgx- j
2) arccos x = coscr; 3) arctgx = cos a ;	5)	=- = 0; arcctgx - a , arcsin x + a л л
arccosx-я _ 4)	=0; arccos x + ~ o	6) - r	= 0 ? Varcsinx
Решение тригонометрических уравнений
209. Решите уравнение:
1) sin2 За-3sin3x + 2 = 0;	3) cos2x + 3sinx = 2;
2) 6sin2 x + 5cosx -7 = 0;	4) 2tg~ - 2ctg^- = 3.
210. Решите уравнение:
1) sinx + V3cosx = 0;
3) 4sin2x + sin2x = 3;
2) 2sin2x + 3sinxcosx + cos2 x = 0;	4) 2sinx-3cosx = 2.
211.	Решите уравнение:
1)	cos3x + cos5a* = 0;
2)	sin9x = 2cos^4^- + 3x^;
212.	Решите уравнение:
1)	sin2 4 = 4;
/	4 4’
2)	cos2 x + cos2 5a = 1;
213.	Решите уравнение:
I)	cosa + V3 sin x = 1;
214.	Решите уравнение:
1)	sin(45° + x)sin(.v -15°) = Г ;
2)	cos7xcos3x = cos4x;
215.	Решите уравнение:
1)	c-os2* == 0;
1 - sin 2x
sin a + sin 3л
cosx + cos3 a
3)	sin3x + cos7x = 0;
4)	sin 3x + sin x = sin2x;
5)	cosx cos5x = cos3x + cos7x .
3)	sin2 x - sin2 2x + sin2 3x = 0,5;
4)	sin4x + sin4fA + -?^ = 4-.
\	4 ) 4
2)	cos л - sin л = 41 sin 3x.
3)	sin5xcos3x = sin9xcos7x;
4)	2sin2x = l,5 -sinxsin3x.
~ 4 sm 2x
3) -------= -2cosx;
1 + sin x
,1 - cosa - sin л _
4)--------------= 0 .
COS A
39
3) V- cos2x-4sinx + VI cos x - 0.
Вариант 1
216.	Решите уравнение:
1)	^5-4tgx = 2-tgx;
2)	Vcos2x = -cosx ;
217.	Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
sin2x + 0,5sin2x = l.
218.	Найдите наименьший положительный корень уравнения:
sin3 xcosx = 0,25 + cos3 .vsin х .
219.	Найдите все корни уравнения VIsinx + 2cosx = VI+ 2sinxcosx,
удовлетворяющие неравенству 0 < х < 2.
220.	Сколько корней уравнения sinx + cosx + sin3x = 0 принадлежит
п ромежутку - у; л ?
221.	Решите уравнение V9-x2 (2sin 2nx + 5cosnx) = 0.
222.	При каких значениях а имеет решения уравнение:
1)	sin2x-(3fl + l)sinx + a(2fl + l) = 0;
2)	cosx + cos5x = а2 -2а + 3 ;
3)	sin2 х-sinx+а2-а + -^ = 0 ;
4)	4cos2x-3sin2x = 20 + 2;
5)	sin4 х - 2(а -l)sin2x-2t/ + 1 = 0 ?
223.	При каких значениях а уравнение
sin“x
|sinx + y=- = 0
на промежутке 0; у. имеет: 1) два корня; 2) три корня?
1 Решение тригонометрических неравенств
224.	Решите неравенство:
1)	sinx< — ;	4) cosx<^;	7)ctgx>-VI;
2)sinx>~y;	5)tgx>-l;	8) ctg x < у .
3)	cosx > y-;	6) tgx < VI;
225.	Решите неравенство:
1)	sin3x<2y;
2)	cos-у >--;
3)	sin| х --7-> 4-;
226.	Решите неравенство:
1)	1 <tgx<2;
2)	--£<cosx<^-;
227.	Решите неравенство:
i)	2cos22x>1,5;
2)	cos x cos - sinxsin^ < -
Тренировочные упражнения
4)	cos^2x + -^<-~;
5)	------£ — •
^^4 зз ’
6)	ctg^ + ^-J<-i.
3) |sinx|>-£;
4) | tgx | > -Л.
3) 3sin2 2x+ 7cos2x-3>0;
у ; 4) VJ tg2x - 4tgx + л/3 < 0.
Системы тригонометрических уравнений
228. Решите систему уравнений:
1) <	cos.г + cosy = -j;	3) -	х- у = 5^, sinx = 2 sin у;
2)	х +у = ^.	4) •	
	sin2 j + sin2x = l;		tgA + tgj = 2>/з.
229. Решите систему уравнений:
	[ • • 7з sin rsm.y = л cos х cos у =		sinxsin у = 4-, 4 tgxtgj = |.
1) 		2) 	
Вариант 2
41
Вариант 2
Множества. Операции над множествами
1.	Поставьте вместо звездочки знак е или е так, чтобы получить
верное утверждение:
1)7*2V;	3)17*/V;	5)-1,28*0;	7)-9*Z;
2)-l*JV;	4)-6*£;	6) ^5 * Q;	8) yfi * R.
2.	Запишите множество корней уравнения:
1)	(а 4-3)(д2 -9) = 0;	2) 4x4-11 =0;	3) х2-2x4-3 = 0.
3.	Задайте перечислением элементов множество:
1)	неправильных дробей с числителем 5;
2)	букв слова «геометрия»;
3)	цифр числа 4 545 354.
4.	Равны ли множества А и В, если:
1М = {3,5}.2? = {5, 3}:
2)4 = {(3; 5)}. Я = {(5; 3)};
3)4 — множество корней уравнения х~ +4 = 0, В = [0|;
4)	А — множество равносторонних треугольников, В — множест-
во треугольников с углом 60°?
5.	Пусть В — множество цифр числа 5658. Является ли множество
цифр числа х подмножеством множества Л если:
1)	а-= 856;	2) х = 656565; 3) х = 876;	4)х = 5555 ?
6.	Запишите все подмножества множества {10, 11. 12}.
7.	Найдите пересечение множеств А и В, если:
1)4 — множество цифр числа 56 953, В — множество цифр
числа 31 515;
2)	А — множество делителей числа 36, В — множество чисел,
кратных числу 12;
3)А — множество четных чисел, В — множество простых чисел;
4)	А множество однозначных чисел. В — множество чисел,
кратных числу 10;
5)	А — множество прямоугольников, В — множество квадратов.
8.	Найдите:
1)	[-4; 8]П(-2; 14);	4)	(-10; 2]П N ;	7)	(1; 6)П[6; + х);
2)	(0;5)П(1; + *);	5)	(-2;1)П7;	8)	(-5; 5)07?;
3)	(-оо; 3) П (7; 9];	6)	[-12: 4] П [4; 8];	9)	[6; 14] П 0 •
9.	Найдите объединение множеств А и В, если:
1)4 — множество цифр числа 6694, В — множество цифр чи-
сла 41 686;
42
Тренировочные упражнения
2)	Л — множество делителей числа 15, 5-множество делителей
числа 20;
3)	А — множество прямоугольников, В - множество квадратов.
10.	Найдите:
1)	(-4;5]U(1;6);	4) (-qc;3]U[3; + *>);	7) (11; + оо)11Л;
2)	[9; 15]U(9; 4-оо);	5) (1; 2)U[1; + *>);	8) [2; 8]U0 .
3)	(-ос; 2)U[-2; + оо); 6) (-7; -6]U(-6;20);
Функция и ее основные свойства
v + 2
1L Функция задана формулой /(а*) = ~—р. Найдите:
1)/(2);	2)/(0):	3) /(-2);	4) /(6).
1, если л < -3,
12. Дана функция f (х) = < Зх + 10, если - 3 < т < О,
10 - 2а*2, если л > 0.
Найдите: 1) /(-3,01); 2) /(-3); 3) /(-2,5); 4) /(0); 5) /(2).
13. Найдите область определения функции:
1) /(л) = 5-4х; 2)/U)-.47: si = 4)	/М = д. _2' 5)	f(x) = y/5 + x ; 6)	/(л) = -=!=; 74 - X х — 2 ” 'W= ^>-20 : ’) IVI = ч "у1- ,: х~ - 4л* + 6 10) /(х) = ,;;_8; №ф'1;	,2> 13)	f(x) = y/x + 9 -у/4-х; 14)	f(x) = y/x-3+y/2-x ; 15)	/(x) = V-t + 3+^; 16)	f(x) = ylx-4+-fJ=; - x ,	_	6 a +1 17)	/(a)-va' + 2+ э , A* 4*+7x 18)	f(x) =	- --5~-4'-2— у[х-2 x2-lx + l2 19)	/(jt) = 7a2-9; 20)	/(x) = V1-4x-5a-2 ; 22)/(x)-t2_9 |x|.
Вариант 2 43
14. Найдите область значений функции:
1) /(х) = 7х+3;	6) /(х) = 7х2 +9-5;
2) g(x) = x2+8;	7) /(х) = 7-|х|;
3) /(х) = 3-х2;	8) ф(х) = Vx - 6 - л/б - х
4) <р(х) = 9 - 6х - Зх2;	9) g(x) = ^4 - х2 ;
5) Л(х) = |х|-4;	Ю)Л(х) = 3 х2 + 2
15. Найдите нули функции;	
1) /(х) = 5х2 - 6х + 1;	4) /(-V) = 7lx|-2;
2) /(х) = 73-х;	5) /(х) = 7 x | +1 ;
3) /(л) = ^~2У~3; х + 1	6) /(x) = (x - 2)7x-3 .
16.	На рисунке 7 изображен график функции у - f(x), определенной
на промежутке [-4; 5]. Пользуясь графиком, найдите:
1)	/(-3.5); /(-1); /(0); /(1,5); /(3); /(4.5);
2)	значения х, при которых f (х) = -1,5; f(x) = 1,5; f (х) = 3;
3)	нули функции;
4)	наибольшее и наименьшее значения функции;
5)	область значений функции;
6)	промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
7)	количество корней уравнения /(х) - а в зависимости от зна-
Рис. 7
44
Тренировочные упражнения
17.	На рисунке 8 изображен график функции у = f(x). Пользуясь
графиком, найдите:
1)	нули функции;
2)	множество решений неравенства f (х) < 0;
3)	промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
б)
Рис. 8
18.	Постройте график функции, укажите промежутки возрастания и
промежутки убывания функции:
1)/(х) = Зх + 1;	4) /(х) = -2;	7)	/(х) = 4х-х2;
2)/(а) = 5 + 1 х;	5)Лл) = |;	8)	f(x) = х2 - 9;
3)	/(х) = - 0.5х;	6) f(x) = -4	;	9)	/(х) = х2 + 2х - 3.
19. Постройте график функции, укажите промежутки возрастания и
промежутки убывания функции:
1) ЛЛ = >	если х<-4, О Jx, если -4<х<4,
2) /’(Х) = >	1 ? если х>4; - Зх - 5, если х < 1, х2 -4х-5, если 1<х<4, - 5, если х > 4;
3) /(х)=
2х + 1, если х<-1,
2-х, если - 1 < х < 1,
- Vx, если х > I.
20.
21.
22.
Вариант 2 45
Найдите область определения и постройте график функции:
, ч ч х2 4- 4х 4- 4
2)	=
х" - Зх
Докажите, что функция:
*7
1) /(х) = возрастает на промежутке (-со; 4);
2) f (х) = х2 + 10х убывает на промежутке (-ос; -5].
Четные и нечетные функции
Известно, что /(5) = 17. Найдите /(-5), если функция f явля-
ется: 1) четной; 2) нечетной.
23. Является ли функция f (х) - х3 нечетной, если ее областью опре-
деления является множество;
1) (- 5; 5);	2) (-оо; -1] U[1; + оо);	3) (-4; 4];	4) (-3; +х>) ?
24. Является ли четной или нечетной функция:
1) /(х) = 7х7;
2) /(х) = 2х6-Зх4;
3) f(x} =
ч 8х-2х2-х3
4) /(.г) =---------
3) /(-V) =
х - 25
4) f(x) = ylx2 -1 f>;
5) f(x) = x' + x~ +4 ;
7) /(*) = (х - 5)(х + 4) + х ;
8) /(х) = (х + 1)2+(х-1)2 ;
х3-Зх2
9)/(х) = ^-^-;
4х-12
10)/(х) = -х2 |х|;
9х3
11)/(х) = —
4
6) f(x) =---
25. На рисунке 9 изображена
часть графика функции
у = g(x), определенной на
промежутке [-6; 6].
Постройте график
функции, если она является:
1) четной; 2) нечетной.
этой
Рис. 9
46
Тренировочные упражнения
Построение графиков функций с помощью геометрических
преобразований
26. На рисунке 10 изображен график функции y-f(x). Постройте
график функции:
1) у = /(х)+1;	3) у = /(х + 3);	5) у = -Лх)‘
27. Постройте график функции:
'>>'4;	3)-ф2; 5)у = тЬ;
2)	,Ц-1;	4),.^;	6) ,=4т-1; 8)v = ^
28.	Постройте график функции: _ ______________________
1)	г = 7х ;	4)	у	= у/х - 1 - 1;	7) у = 2 + у/х -1 ;
2)	у = у[х 4- 2;	5)	у	= -7х ;	8) у = -2 -7х + 1 .
3)	у = у/х + 3 ;	6)	у	= 1 - 7х ;
29.	Постройте график функции:
I)	у = 7з7;	4)	у	=	|77;	7)	у = -2л/Гн 4-3;
=	5)	г	=	у/Зх и- 3 ;	8)	у = -j 72л* 4- 4 - 4.
3)	у = з7т ;	6)	у	=	72х - 4 - 2 ;
Построение графиков функций у =/(|х|) и у = |/(х)|
30. Постройте график функции:
1) л = .г2-4х + 3;	3) у = |х2-4д+3|;
2) у = х2-41х| + 3;	4) у = |х2 -41х| + 3|.
31. Постройте график функции:
])	2) v = | Л - 11;
Вариант 2
3)	л = >/Й-1;
______________________47
4)	.У = |дЯ-1|.
32.	Постройте график функции:
1)у = |.г|;	3)у = |.у + 2|:
2)у = |.х| + 3;	4) у = ||х|-3|;
33.	Постройте график функции:
=	2>v = |S-3j; 3)>.=
5)	у = |И;
6)	у = |х-1| + 2.
Обратная функция
34. Какие из графиков, изображенных на рисунке 1L являются гра-
фиками обратимых функций?
Рис. и
4) 3-Г7Г
35. Является ли обратимой функция:
1) у = |:	3) у = .г2. ле (-»;-]];
2) у = х2, хе [-3;3];	4) у = х2, х е (-оо; 1] ?
36. Найдите функцию, обратную данной:
1)у = 5-4.т;	3) y = 2-V.v-3 ;
2) у =	;	4) у = х2, хе (-х; -2].
37. С помощью графика функции f изображенного на рисунке 12.
Рис 12
48
Тренировочные упражнения
Метод интервалов
38.	Решите неравенство:
1)	(х-1,8)(х + 3) < 0;
2)	(х + 6)(х-1)(х - 7) > 0;
3)	(4х + 3)(2х-3)(х-5) > 0;
4)	(2 + х)(х +7)(2 - х) > 0 ;
5)	(х+7,2)(4-х)(5-х)<0;
6) (Зх + 20)(3 - 6х)(2л - 3)(7 - Зх) > 0.				
39. Решите неравенство: 1)^Ц<0;	4) А' — 6		^>0; х - 2,3	7)	(х + 5)(х+7) о. л-11
2) 1> -V4- 7	0;	5)	— >0; х-4	К)	U + 3)U-14)
3)AzM л-2,6	<0;	6)	4^<0; 1,8-Зх	9)	<Q (7-х)(х-4)
40. Найдите множество решений неравенства:
1) (х2 + 5х)(х2 -16) > 0;	3) \+ А' + “ < 0;
х-Зх + 2
2) (х2 -4х + 3)(х2 -2л)<0;
41. Решите неравенство:
1) (а-2 +9)(х2 +.Г-12) < 0;
4)
л2-25
6) (а* -- 4)2 (а 2 + л - 2) > 0;
2) (х + 2)2(х2 + 2х-3)<0;
3) (л + 2)2(х2 + 2х-3)<0;
4) (л+2)2(х2 +2х-3)>0;
5) (х + 2)2(х2 +2х-3)>0;
7)	(х-4)2(х2 + х-2)>0;
8)	(х - 4)2(х2+х -2) < 0;
9)	(х-4)2(л2 + х-2)<0;
10)	(л + 1)3 4(х-1)2(х-3)6 > 0
11)	(х + 1)3(х - 1)2(л - З)6 > 0 ;
12)	(х + З)3 (х -1 )2 (х - З)6 (х - 4)5 > 0;
13)	(х2+9х +14)(л2 + 5х +7) > 0 ;
14)	(х2-Зх + 1)(5х-л2 - - 9) < 0.
Вариант 2
49
42. Решите неравенство:
1Ч x2 -5x4-4 Л	х2 +4х + 4 Л
>_б>+г0; х" - 6х + 9 х2 -5x4-4	6) —	> Q; х“ -х-12 7) ?/4д- + 4<0; X2 -х-12 ... х2 + 4х + 4 _
3) —	<0; л" - 6х + 9 4) ';-5, + 4<0; х‘ -6х + 9 х2+4x4-4 Л	8) —	<0: х‘ - х-12 9) -?+-2У3.0; |х + 1| ,	1 х - 31	.
5) —	> 0; х2 — х —12	10) —3	!—>0. х2-5х-36
43. Найдите множество решений неравенства:
, х2 - 5х	_ х2-4х + 4 „
0 2 х -25 44. Решите неравенство:	2) —		> 0. х2 - х-2
! 5xZ8<£Z4. х+1	х+1	х + 3 х + 3
2)	< 2; Зх + 5	4)	~ > 1. х + 3
45. Для каждого значения а решите неравенство:
1) (х-2)(х - а) < 0;	5) (х-и)(х + 4)2 <0;
2) (х-2)(х -а)2 >0;	И| 1 1 IV о
3) (х-2)(х- а)2 > 0;	7) <Л + ^~а)>0;
4) (х-а)(х + 4)2 < 0;	8)
Степенная функция с натуральным показателем
46.	Через какие из данных точек проходит график функции у = х4 :
А{ -5; 625); 5(0,3; 0,0081); С(-10; -10 000); 0(2; -16) ?
47.	Функция задана формулой g(x) = xu. Сравните:
Г) g(5,8) и g(4,9);	3) g(-0,3) и g(0,3);
2)	g(-12.3) и g(-15,l);	4) g(l,4) и g(-2J),
50____________________________________Тренировочные упражнения
48.	Функция задана формулой g(.v) = т25. Сравните:
1)	g(6,2) и g(7,3);	3) g(-7,5) и	g(7,5);
2)	g(-0,13) и g(-0.17) ;	4) g(-3,5) и	g(2,4) •
49.	Решите уравнение:
1)л-9=512;	2) л-5 =-243;	3)х6=64;	4).г6	=-729.
50.	Сколько корней в зависимости от значения а имеет уравнение:
1)х20=о + 4;	2) .г16 = а2 +	7я - 8?*
51.	Постройте график функции:
1)	.у = л-’-1;	2)у = (т-1)’; 3) у = л4 +1;	4)у = -|г’.
52.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = л10 на
промежутке:
1)	[0; 2];	2) [-2; -!];	3) [-1; 1J;	4) [2;+<»).
53.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у - х1 на
промежутке: 1) [-1; 2]; 2) (~оо; 0].
54.	Четным или нечетным натуральным числом является показатель
степени п функции у = х”. если:
D /(-3)</(-1);	3) /(-3) = /(3);	5) /(-3)>/(-1);
2) Л-3)> /(1);	4) /(3)> /(1);	6) ЛЗ)>/(-3)?
Степенная функция с целым показателем
55.	Проходит ли график функции у = т 6 через точку:
1М(3;^; 2) fif-^-64^; 3)с(-2;^|; 4)	?
56.	При каком значении а график функции у = ах~* проходит через
точку: 1)Л(6; - 6); 2) 5^-2;-^?
57.	Дана функция / ( г) = .г11. Сравните:
1)	/(0,2) и /(-10); 2) /(14) и /(12); 3) /(-23) и /(-34).
58.	Дана функция /(л) = х . Сравните:
1)	/(7.2) и /(6,5);	3) /(42) и /(-42);
2)	/(-1,5) и /(-1.8);	4) /(-10) и /(6).
59.	Постройте график функции:
1)	у = л--’+1;	2) у = (л + 1)'3;	3)у = 4хЛ
Вариант 2	51
60.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х"4 на
промежутке:!) ^;2 ; 2) -1;--^ i 3)(-х>;-2].
61.	Четным или нечетным является натуральное число п в показателе
степени функции /(х) = х~п, если:
1)	/(-Ю) </(-9);	3) /(10) >/(9);
2)	/(-10) >/(-9);	4) /(—10) < /(9)?
Определение корня л-й степени
62.	Найдите значение корня:
1)	V125 ;	2) ^0,000064 ; 3) </-128 ;
4Ч7п-
63.	Вычислите значение выражения:
1)	0,7^10 000-|V243;
2)	</512 + 2(</7)7-бЗ/Й;
3)	з(- W)'° -1.4 </1 000000 +(-i-</80) ;
5)	V0,00032 +1(-2§/0^5)6 +5 '-^0,415 ;
О
6)	(-Ц17Г + ^32* -V729 + 2V-216 +V14* -10 V0.008 .
64.	Найдите область определения функции:
1)	у = </х + 7; 2)j’ = V^x; 3)y = Vx^6; 4) у = ^х2+3х.
65.	Решите уравнение:
1) х7 = 128;	5) х10 = 1;	9) (.v-4)3 =125;
2) х9 = 11;	6) х4 = 625;	10) (x +1)4 = 16;
3) х5 =-25;	7) х8=9;	11) 2x6-36 = 0;
4) х6 = -- - • 7	729 ’	8) х6 = -64;	12) 3x4 + 27 = 0.
66. Решите уравнение:		
1) V? = 0,8;	4) Vx + 3 = 0;	7) V3x-2 = 0;
2) V^ = |;	5) V7 + 7 = 0;	8) V3x-2 =0;
3) Vx-4 = 0;	6) |Vx + 3 = 0;	9) V3x-2=2.
52
Тренировочные упражнения
67.	Решите уравнение:
1)	х10 + 31/-32 = 0;	3) х12-5х6-24 = 0.
2)	х8-14х4 +13 = 0;
68.	Оцените значение д, если:
1)-2<</х<6;	2)2<</х<4.
69.	Для каждого значения а решите уравнение:
1)	(а-1)</х =0;	4) </х=а-1;	7)х5=а + 1;
2)	</а(х-1)=0;	5) х4 = а-5;	8)х'°=49-а2.
3)	(а + 2)</х = о + 2;	6) ах8 =6;
Свойства корня л-й степени
70. Найдите значение корня:
1) </216-343 ;	3) </128-0,0000001;
5) </о,99-318 ;
2) </0,0625-256 ;	4) </115-510 ;
71.	Вычислите значение выражения:
1)	</125-</5;	5) </250 _
2)	</16-</4;	</54 ’
3)-</0Д)9 -</Л4 ;	</27 -1О3
6>₽
' \ 9<2'
7)	^7-422-^1 + ^22 ;
8)	</9 + >/б5 -</9-\/б5 ;
9)	</713-16 -</7в+16 .
72.	Упростите выражение:
1)	д/л? , если т > 0;
2)	д/л* , если л < 0;
3)V7;
4) </0,008zn’6n48 ;
73.	Упростите выражение:
1)</(х + 2)6 ;
2)	</(£- 10)8 , если h > 10;
5)	</б25х|2у28г8 , если х >0, у < 0;
6)	2,5х3 </256х20 , если х > 0;
$//jl26I8r30
7)	V , ; .если Ь>0, с<0 ;
аЬ1^ ________________
8)	- 0,8у2 • Vsix44/4 , если х > 0.
3) '</(4 - у)12 , если у < 4;
4) (21 - b) J ^29 fe-, если £>21.
у < О 1 J
Вариант 2 53
74.	Упростите выражение:
i)V^: 2)3Ж;	3)Ж; 4)2^»;
75.	Упростите выражение:
1)	Vb/5-б)4 :	3) V(2a/3-3a/5)h ;
2)	^/(4-V3)3 ;	4) ^(7-5д/2)6 + ^(3-5л/2)5 .
76.	Постройте график функции:
I)	у =	+ л, если л < 0;	4) у =	- л;
2)у = (^/Гй)4;	5) > =
3)	y = V(A + l)4 ;	6)j = УГ~П' -1.
Vu-i)8
Тождественные преобразования выражений, содержащих корни
л-й степени
77.	Вынесите множитель из-под знака корня:
1)^40;	2) V128;	3) V162;	4)3/375.
78.	Вынесите множитель из-под знака корня:
1)	712а8 ;	5)	^1250х|8у21 ;	9)	ylт1 п1 , если т < 0, п < 0;
2)		6)	V108al0Z»25 ;	Ю)	yja b , если а < 0;
3)		7)	л/-81о13;	Н)	yja5bH]c2() , если с > 0;
4)	ix26y9 	8)		12)	lV~т*21^4»если
79. Внесите множитель под знак корня:
1)7^2;	2)4^5;	3)10^^24;	4) |^54.
80.	Внесите множитель под знак корня:
1)	.xy[s ;	4)	За^2а2 ;	7)	р*^р^,если р<0;
2)	у^-у5	;	5)	туЬт2 ;	8)	тп\1т4п3 , если /и < 0;
3)	6)	Str’s/—4— ;	9)	пг'тг'%]т4пг , если л? > 0,	и < 0.
V 25а4
81.	Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные
значения):
1)	;	2)	;	3)	.
54
Тренировочные упражнения
82.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
2)	А; 3)	4)	5)	6)^.
V7 • V2 V27	V10	V16
83. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)-7=^Г; 2) V26 + V5	5-V18	^3 + 1	4) V4-V2 + 1
84. Сократите дробь:		
m - я	Vt _ 4 3)	;	5) V7-2	tfb - у[а
2)	V? + X 4> г 4Г;	6) у1х + у!х	х-27
		л/т2+3V7 + 9
85. Найдите значение выражения:
1) ^4->/15  ^31 + 8>/Т5 ;	2) 7V5 + 2• ^9-475 .
86. Упростите выражение:
l)(VT + 5)(^-5)-(V7 + 6)2:
6)
' 8^6
JJb+7
+ 148Л + 49 ,
8^6 + 41 7VX-49
tfb-49 + tfb + 7
87.	Докажите, что значение выражения \9 + V80 + V9 - л/80
является
числом рациональным.
Функция у= у[х
88.	Найдите область определения функции:
1)J = V7+T; 2) у = ^х-п-	=
4)>’ = ^8л -2л2 .
Вариант 2
55
89.	Найдите область значений функции:
1)	р = Ух-8;	2)у = 9-'Ух;
90.	Оцените значение выражения \[х , если:
3) >> = Ух-6.
2) -100 000 < х < 243.
1) 32 <.г <1024;
91. Сравните:
4) У? и УбО ;
5) зУз и 2 УН) ;
6) Уб и УГГ;
7) Уб и Уз ;
8) ^4?6 и Уз .
92.	Между какими двумя последовательными целыми числами нахо-
дится на координатной прямой число: 1) V20 ; 2) V90 ; 3) -^40 ?
93.	Укажите все целые числа, расположенные на координатной
прямой между числами: 1)5 и V400 ; 2) ^/-98 и л/1300.
94.	Постройте график функции:
1)> = У7 + 2;	2)у = Ул--2;	3)/=У2^7; 4) у = У|7|-2.
Определение и свойства степени с рациональным показателем
95. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
1) 7’;	3) 2 ’;	5) («/>)’;	7) (m-л)2'5;
		4	3
			
2) 52;	4) 1 Г’;	6) abs;	8) m'5 -и2'4.
96. Замените	арифметический	корень степенью	с дробным показа-
телем:			
1) V7 ;	3) №;	5)	7) '^(а + Ь)4 ;
2) V7;	4) УЗЛ;	6) ’У27;	8) 'У«4+/>4 .
97. Вычислите значение выражения:
1)8’;	2)32’; 3) 0,0004 'Л
Z \1.5
4)810,75; 5) 1123-
98. Найдите область определения функции:
1) _у = л«; 2)>’ = х'1,2; 3) у = (х-2)5'4; 4) у = (5-4л-л2Р .
99. Представьте в виде степени или произведения степеней:
7	5	4	9.	_.1_5
1) л'ил25;	3)х12:лч;	5) х7-л14 х »;
11	5	( 2 ,у!*
2) л1” Л- <;	4) (Х‘6)0-6;	6) р / Г ;
56
Тренировочные упражнения
9
7)
9)
8) (л-4)° (x-'-V :(.г-15)6;
100. Найдите значение выражения:
1) 3З.6 _3-1,2 ,31.б.
2) (5-0,8)7 :5-2’6 ;
5)
/ _1 рО , .
3) 6 "	-36 ' ;
6)
7~4-2^
14’ -3’’
4	1
16’ 1259
_1	2
4 5 -255
1 1
57 2565
2"?-6257
4)	-275 ;
Преобразование выражений, содержащих степени с дробным
показателем
101. Упростите выражение:
1) а4
2) ( х ’ + у
1V 1	1А
1 I 2л-5 -3j’? ;
3) | т™ + л»
1_ У 1
1 /л10
1	1 У J L
т5 + л5 т20 -n2G
5 Л 2
( 1 J V 1 .	,	_
4) \ b2 +с2 I b-b2c2 + с \-Ьь\ Ь- + 66 ,
102. Сократите дробь:
2
л-9х7
5	’
х1 -9
2
6^ 5
—7 у ’
у6-у^
0,5	.0,5
а -о
а-Ь
1)
2)
3)
4)
5)
6)
W-/Z5»0-5 +
ш'-W5
/> + 260-5с°'5 +
bc°-5+b°-5e
1
За3 + д
7)
8)
4а1 -1
8о-1 ’
5	1
/ий + 5ти4
т -25 т4
1 1
1 1
Зя6 + а6
103. Упростите выражение:
1	1 1 L 7	7
аА +4а*Ь* +4Л4 ab* -а*Ь
। - > : . _
9)
1 1 ’
285 +45
а-а4Ь4
+2М
Вариант 2
57
( 1 1
9с"	7с"
। । ।
и*-8 с4-16с"+64
9с" -65
с4-64
8с" +64
с" -8
Иррациональные уравнения
104. Решите уравнение:
1)	73х-1 = -1; 2)	73х-1 = -1; 3)	73х -1=1; 4)	73х-1 = 79-2х ; 5)	73х-1 =71-Зх; 105. Решите уравнение:	6)	73х-1 =74х + 1; 7)	73х-1 =74х2-6х + 1 ; 8)	73х -1=1- Зх; 9)	73х-1 =70,2-х; 10)	(х + 5)7х2 - л - 20 = 6х + 30.
1)	л/х + 1 • Vx + 2 = 2; 2)	7х + 7 = х-5; 3)	2+V4+2x-.v2 =.v; . X 4- 2	/ 4)	-7=.- = уЗл* + 4 ; 77+1	6)	73х-5+7х-2=3; 7)	7х + 2 + 7з77 = 3; 8)	27х-3-7х + 2 = 1; 9)	7х-4 = 7х-3-72х-1 ;
5) 72х-4-77+5 = 1;	10) 73х+4+ 7x^4 = 277;
II) 78^7-79 + 5х -74-5х + 75 + х =0.
106. Решите уравнение:
1) 77 -5>/7 + 6 = 0;	4) 7х + 2 =2 7х + 2 + 3;
2) 3377 + 5 77-2 = 0; 3) X-9V7 = 0:	5) V9-6x + x2-7777-2 = 0: 6) х2-27л2-24 =39;
58
Тренировочные упражнения
7) х2 + 2х+л/х2+2х + 8 = 12;	9) xtfx-yfx2 = 4 ;
8) /-2jL.-2j4il = l;	10) 7зх2-6х + 7 = 3 + 1х-х2.
У .V 4- I V 2х	7
107.	Решите уравнение:
1)	^x+7-Vx+3=0;	3) VI^x^ l-Vx^T;
2)	V12-x + V14+.X = 2;	4) ЦЫ)+х+Ц2^х = 4.
108.	Решите уравнение:
I)	V(v + 4)2 + V(r~5)2 -V(-y + 4)(x-5) =3;
2)	дД -4 + 4л/х^8 ->/х-4-4'/х^8 = 2.
	Системы иррациональных уравнений		
109. Решите систему уравнений:			
1) <	л/а* - у{у = 5. у/х tfy = 14;	6)	[ V* + =з, [.ту = 8;
2Н	[х-у = 75, [у/х +у[у = 15;	7H	[7x + y+V2x + y + 3=7, [3x + 2.y = 22;
з>-	।	,ь7|1г Н	4; £ II	~ и 11 i* Ch	8) -	/£+1 + з I^Z2L =4 V х"-г	Vх + У л2 + 4x + y1 - 3y = 0;
4) <		9) .	З^/зх2-2,v + 3 =2> + 15-3x2. 3>,-2x = 5;
5)	' Vx +	=2, x + v = 26;	10)	f 7^/xy - 3^/xp = 4, |x+ у = 20.
	Иррациональные неравенства		
ПО. Решите неравенство:			
1) Y	A-3>2; 2) Vx-3 < 2		3) y/x-3 > -2; 4) Vx - 3 < -2
111. Решите неравенство:			
1) ч	A- + 5 < V8-x ;		4) y/lx - x2 < 5 - r ;
2) >	/x2 -7x + 5 > V3x-4 ;		5) Vll-5x>x-l;
3) л	A+I8<2-x;		6) y/x2 + 7x + 12 > 6 - x.
Вариант 2
59
112.	Решите неравенство:
1)	(4-3.r)Vx >0;	3) 7л + 3 <6-V-r + 15 ;
2)Vx+Vx-6<0;	4) 3-Zr-V5x + 5 >1.
113.	Для каждого значения а решите неравенство (a + l)V2-x < 1.
Радианное измерение углов
114.	Найдите радианную меру углов: 12°; 45°; 72°; 105°; 135°; 330°.
115.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
Д. • Л,. 21. Д • 5 л. 13. jr • 5 л
30' 8 ’ 4 ’ 3 ’ 6 ’ 1 4 л
116.	Радиус окружности равен 2 см. Найдите длину дуги окружности,
соответствующей углу в 5 радиан.
117.	В какой четверти находится точка единичной окружности, полу-
ченная при повороте точки Ро(1; 0) на угол:
1)283°;	4)420°;	7)Цг:	10) 1,9л; 1 о
2) 146°;	5)-53°;	8)-*;	11)3;
3) -215°;	6)|;	9)-2,1л;	12)-4?
Тригонометрические функции числового аргумента
118.	Найдите значение выражения:
1)	8 cos 90° - 7 cos 180° + 3 sin 270°;	2tg 5 - sin ? л
2)	sin л + cos л + tg л;	4) ---------------;
3)	sin 45°tg 30° tg 60°;	| tg f - tg0 |cosf
\ O ° ) о
5) 7(2cos30°+l)2 -д/d-2sin60°)2 .
119.	Найдите значение выражения etg (a + 0) tg(a - p) при:
1)	a = 45°, 0 = 15°;	2) a = |, p = |.
120.	Возможно ли равенство:
I)	sin a = -^; 2)cosa = ^2; 3)cosa = ^-; 4) sina = 3-V2?
121.	При каких значениях а возможно равенство:
1)	sin v = 4 - а ;	2) cosx = а1 - За +1 ?
122.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1)	7cosa-3;	2)5-sin2a;	3)	
60
Тренировочные упражнения
123.	Найдите область значений выражения:
1)	l-2|sin4.r|;	2) _ 3	, ;
1	'	1	7 2cosx +1
3) 1 - ctg4x
Знаки значений тригонометрических функций
124. Какой знак имеет:
1)	sin 230°;	3) tg330°;	5) cos3 ;
2)	cos) 70°;	4) ctg (-220°);	6) sin ?
О
125.	Определите знак выражения:
1)	cos260°sin 190°;	2) cos356°tg(-100°);	3) sin2cos3,5.
126.	Углом какой четверти является угол а, если известно, что:
1)	cosa>0 и tga <0;	2) |cosa| = -cosa?
127.	Сравните:
l)sinl56° и sin256°;	3) sin^A и cos-Ц^;
7	4	6
2)ctg220° и tg320°;
4)cos3 и sinl.
Четность и нечетность тригонометрических функций
128.	Найдите значение выражения:
1)	4 sin (-60°) - 3ctg(-60°) 4- 5cos(—30°);
2)	2sin2 (- -g-jctg^-4- 3cos(-я) 4- 6cos2(-	.
129.	Является ли четной или нечетной функция, заданная формулой:
1)	/(x) = tg3x;	5) ctg2:* .
2)	/(х) = tgx 4- sin х;	9 - х2 ’
3)	/(д.) .	.	6) Лд,. (1-»"»)(*+ 1),
1 ииьд	Л 4- J
4)	/(х) = х3 4-cosx;
Периодические функции
130.	Найдите значение выражения:
l)cos420°;	3)tg390°;	5) tg^* ;
2)sin540°;	4) ctg(-780°);	6) sin^--^).
131.	Покажите, что число Тявляется периодом функции/:
1)	/(x) = cos2x, Т = л ;	3) /(x) = sin(tgx), Т = л ;
2) /(.v) = sin^, Г = 8;	4) Дл) = -Д-, 7, = 2л. г
2	7 sinx	'
5) у = 3stnl х + у 1 + 2;
6) v = 3sin f.4 + $1 + 2.
L О )
у =	;
z 4
v = ~4cos[ А'-тг -1,5;
4	6)
У = ~4cosl 2a*--v -1.5 .
4	1	3
Вариант 2 61
132.	Покажите, что число Г = у не является периодом функции
/(x) = tgx.
133.	Найдите наименьший положительный период функции:
1)	f(x) = sin^ -	:	2) / (х) = ctg (4т +1).
Построение графиков тригонометрических функций
134.	Постройте график функции:
1)	у = sin г + 2;	3) у = sin |;
2)	y = sin^x + -y);	4) y = 3sinx;
135.	Постройте график функции:
1)	у = cosx-1,5;	4)
2)	v = cos[ х-# ;	5)
\ )
3)y = cos2x;	6)
136.	Постройте график функции:
l)j = ctg^x + ^;	2)^ = 2ctgx-l;	3)> = tgj.
137.	Постройте график функции:
1)>' = | cosx |;	2)y = sin|x|;	3) у = tg х + -|
138.	Постройте график функции:
1)	у = (Vcosx)2;
2)	у = tgx + tg | х|;
3)	у = sin a* + 7sin2 a ;
4)	j = -J-tg2x ;
5)	у = Vsinx-l;
6)	y =
|COSA'| .
COSX ’
sin x +1 sin a |
cosx + I COSX I
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента
139. Могут ли одновременно выполняться равенства:
1) sin а = 0,4 и cosa = 0,6;	2) tga = 2-V3 и ctga = 2 + V3 ;
62
Тренировочные упражнения
3) sin а =-у и ctga = ^y^-;
4) sin а = —и cosa =------^-г?
а+4	а+4
140.	Вычислите значения тригонометрических функций угла р, если:
3) tgP =-3 и у<р<л;
1)	sinp = --^;
2)	cosp = и 4у<р<2л;
141.	Упростите выражение:
1)	1 - cos1 2 у ;
2)	tg23(p + cos2 4<р + sin2 4<р;
3)	5cos^-4ctg|sin|;
sin2(p-1
4)	5^— + ctg<ptg(p;
cos~cp-l
tg5acosJa
1 + tg2a
6)	(sinx + l)(sinx-l);
142.	Докажите тождество:
tga+tgp	B.
U ctga+ctgP ,8at8P’
7) (tgP + ctgP)2-(tgP-ctgP)2:
8)tg.r + co^
ь 1 + sinx ’
oi 1 ~~sina _ cosa .
' cosa 1 + sina’
10) sin2a + sin2acos2a + cos4a ;
И) t'-—.--:
1 + ctga
COS2(-p) -cos4(-P)
sin2(-P)cos3(~P)
2 ’
2)	cos4 P - sin2 a sin 2 P + sin2 P cos2 P - sin2 a cos2 P = cos2 p - sin2 a :
(sin a + cosa)2 -1	-»
3)	2-------------= 2ctga ;
tg a - sin a cos a
. sina I-cosa
4)-	------= —-----;
1 + cosa	sin a
5)	sin6a + cos6a+-3sin2acos2a = 1.
143.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1)	sin2 a-ь 4cos2 a ;	2) 3cos2a - 3tg2acos2a.
144.	Постройте график функции:
1)	у = tg2xctg2x;	2) у = ctgxsinx.
145.	Упростите выражение:
1) Jl-cos2 § -J1 - sin2 £ , если 4л < р < 5л;
z \	4 V 4	г
Вариант 2
63
2)
	1 - cosa _	14 cosa
	14cosa	1 - cosa
, если л < a <	;
3)	^cos2p(14-tgP)4-sin2p(l 4ctgp) , если 180° <p<270°.
146.	Дано: tga 4ctga = а. Найдите:
1)	tg2a4ctg2a; 3) tg4a-i-ctg4a ;
2)	tg3a + ctg3a ;	4) tg6a 4 ctg6a;
147.	Найдите значение выражения:
4sina-cosa *	1
1)	 ----г—.— .если ctga = 4-;
cosa44sina	3
7sin2a-sinacosa
2)	5------------=---, если tga = -2 .
5sin“ a4 3cos a
148.	Найдите наибольшее и наименьшее
3cosa-2sin2a.
Формулы сложения
149.	Упростите выражение:
1)	sin(a4p)4-sin(a~P);
5) cos a sin а;
6) tga-ctga.
значения выражения
2) cos а +#
3) 2cos^y-aj-v3sina-c
4 sin(45° + a)-cos(45° + a)
sin(45° + a) + cos(45° 4- a)
150.	Упростите выражение:
1)	cos 6a cos 4a - sin 6a sin 4a;
2)	sinl4°cos31°4cosl4osin310;
3)	cos(24° 4 a) cos(24° - a) 4 sin(24° 4- a) sin(24° - a).
151.	Докажите тождество:
sin(a + p) +sin(a~P)
° sin(a + p) - sin(a -p) lgaCgp-
2)	sin(a + P)-2coSqSinP = tg(a _ ₽).
2 cos a cos p - cos(a 4- p)
3)	sin2a 4 cos2actga = ctga;
4)	cos2(a - 30°)4-cos2(a + 30°)4- sin2 a = 1,5.
152.	Упростите выражение:
n tg2° - tg47° .
’ l + tg2°tg470'
tg % + a +tg £-a
2)	____2___L2___L
l-tg(|+a Wg-a j
64
Тренировочные упражнения
153.	Докажите тождество:
tg(a + р) - (tga + tgр) - tg(a + p)tgatgр = 0.
154.	Пользуясь формулами сложения, найдите: 1) cos75°; 2) ctg75°.
155.	Дано: cos a = —~, 90° < a < 180° Найдите cos(a +- 45°).
156.	Дано: cosa = 0.8. cosp - -0,96. 270° < a < 360°, 180° < p < 270°.
Найдите sin(a - P).
157.	Найдите наименьшее значение выражения:
1)	sin a -h cos a;	2) 2 sin a - 7 cos a .
Формулы приведения
158.	Приведите к тригонометрической функции угла а:
1)	sin — cQ;	3)ctg^y-aj;	5) tg2 3 4^A^-aJ;
2)	cos(rc + a);	4) tg^a-;	6) sin2(180° + a).
159.	Приведите к значению тригонометрической функции положи-
тельного аргумента, меньшего 45° I или 1:
1) sin 204°;	5) sin 500°;
2) cos 250°;	6) ctg (-108°)
3)tg285°;	7) sin 1,6я;
4)ctg343°;	8) cos -|т;
160. Вычислите:	
1) sin 150°;	4) tg f-1^1 \ 6 J
2) cos 135°:	5) sin
3)ctg300°;	6) sin7rc;
161. Найдите значение выражения:	
9)	tg925°;
10)	sin 1600°;
11)	ctg2,4rc;
12)	sin-^yS..
7)	tglO5O°;
8)	COS-4^2-;
9)	sinf-yy
1) 2sin210° + tg240° + ctg 120° + 6cos450°;
2) sinf-^-lcosl^tg-^pCtgf-iTl);
о ) о 4 I 3 )
3) cos30° + cos40° + cos50° + ... + cos 150°;
4) sin 113° cos 323° + cos 247° cos 3 07° .
162. Упростите выражение:
I) sin -y- - a -sin(n- a) - cos(n - a) - sin(2n - a);
Вариант 2
65
2)	sin	- a jsin^a - 4^ j + cos(a - 4 л)cos(3rc - а);
sin(rc + a)cos[	-a jtgl а- -5 |
3)—7----------
cosl +а cos ~~+а ltg(H+ а)
cos |-5+а|
\ L )	.	(€-
----------+ sin(-a)tg| 4^ + а
ctg(Зя - а)	к
163.	Известно» что а, р. у — углы треугольника. Докажите, что
+	=с,ё2 •
164.	Найдите значения выражений cos(n + a) и ctg^a--y^. если
tga = и -^<а < л .
5) sin 2;	7) sin I 50 +-y ;
6)sini0a; 8) cos^^y-2pj.
4) cos2 a - 4 sin2 у cos2 у;
cos3a . sin3a .
sina cosa ’
l + tgatg^-
6) ---a-----a ;
ctg^ + tg^
165.	Докажите тождество:
cos2 ~ + a	z х z x
k J • 21 IT I V 71	| .
-----+ sin + a tg" -j- - a = 1 •
tg2(^-aj И И )
Формулы двойного аргумента
166.	Выразите данные тригонометрические функции через функции
аргумента в два раза меньшего, чем данный:
1)	sina ;	3) tg-^-;
2)	cos 3a ;	4) cos(a - p);
167.	Упростите выражение:
। x sin a
2sin2
cosa
a • a ’
cos + sin ~
3)	2 cos2 (135 ° -2,5a) -1 ;
66
Тренировочные упражнения
sin2 2а-4 cos2 а
• 2 -I а 2	7
sin 2а+ 4cos а-4
2sin24a -1
cos
168.	Найдите значение выражения:
1 — tg2
l)2cos2£-l;	2) sin75°cos75°;	3)-------
8	4tg5
169.	Дано: tg a = -2, 270° < a <360°. Найдите:
1)	sin 2a;	2) cos 2a;	3) tg2a.
170.	Дано: tgy = 3, tgy = -5. Найдите tg(a - P).
171. Представьте в виде произведения выражение:
1) i+cos6a;	3) 1 + coslOO0;
4) 1 +cos^;
2) 1 - cos-—;
172. Понизьте степень выражения:
3)
1) sin2 a ;	2) cos2 12л ;
cos2
5) 1 -siny:
6) 1 + sin-j^.
sin“
173. Докажите тождество:
1) 2cos2 a-cos2a = 1;
2) tga(l + cos2a) = sin2a;
4)
1-cosa + cos 2a
——-------:----= ctga;
sin 2a-sin a
l-sin(30°-a) = ,/ «Л
l + sin(30°-a)	g I2 J’
174.	Упростите выражение:
sin 2a cosa cos 2
14-cos 2a 14-cosa 14-cos^
sin a 4-
2) —
1 4* cost a + л
I - sin 36°
cos 36°
. f jr a si 1 - sin a
4)	Uh 2--------------;
\ 4 z ) cos a
igf --- - a 1(1 + sin 2a)
5)
cos f	-2a
Зя
4 ‘
л
2
--- ,,	cos2a
175.	Упростите выражение —--------—
V ctg“a -tg~a
176.	Упростите выражение ^/0,5 - 0.5cos4a , если < a < у.
Вариант 2
67
177.	Докажите, что cos-у cos	cos.
5) cos^p-i-y^ j + cos^p-jg I;
4a-^
о
7) sin(a+P)-sin(a-P);
8) cos 3a + 4 -cos a-— .
6) sinl 4aj + sin
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
178. Преобразуйте в произведение:
1)	sin 20° + sin50°;
2)	sin 13а-sin7а;
3)	cos + cos ;
4)	cos!4a -cos6a;
179.	Преобразуйте в произведение:
1)	sin35°-cos75°;	2) sin£ + cos-£;	3) sina + cosp.
O	J
180.	Преобразуйте в произведение:
1)	tg63° - tgl8°;	3) tg (j-2a| + tg (|+4a
2)	tg 14<p + tg2<p;
181.	Преобразуйте в произведение:
1)	l + 2sina;	2) V2cosa + 1; 3)l+tga.
182.	Докажите тождество:
1)	cos 5a + cos 8a + cos 9a + cos 12a = 4 cos	cos 2a cos ;
2)	sin(a + p)4-sm(a-P) =
cos(a + p) 4- cos(a - P)
_ sin a -2sin 2a + sin 3a _
3)	= tg2a;
cos a - 2 cos 2a + cos 3a
4)	cos2 (a - P) - cos2 (a + P) = sin 2a sin 2P.
183.	Упростите выражение:
1	(sin a + sin5a)(cos5a - cosa)
'	1 - cos6a
2	) (cos a - cos P)2 4- (sin a - sin P)2 ;
cost 4^ -6a ]4-sin(7t4-4a)4-sin(3n-a)
3)—A—x2----------------------------
sin f 4^ 4- 6a j 4- cos(4a - 2л) 4- cos( a 4- 2л)
68
Тренировочные упражнения
4) sin^^ + a j-cos2!-уу
184.	Докажите тождество:
1)	l + cosa-i-cos2a = 4cosacos 5 + cos z~'v k
\ О 2 ) lo 2 )
cos [ 2а - я
2) cosa-
2 cos а
4
Формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму
185.	Преобразуйте в сумму произведение:
I)	cos 3a cos 2a;	3) sin 5а sin За;
2)	sin!5°cos40°;	4) sin(a-P)cos(a + P).
186.	Докажите тождество:
1)	cos 2a 4-2 sin a+ 5 sin a--5- =0,5;
\	™ ) V oy
2)	cos 2a cos a - sin 4a sin a = cos 3a cos 2a ;
3)	sin2a + cos^y-ajcos^y+ a^ = ^-;
4)	sin2 a +sin2 P + cos(a 4- P)cos(a ~P) = 1.
Решение простейших тригонометрических уравнений		
187. Решите уравнение:		
1) sin л' =	;	3)tgj = 3y;	5)cosjc = -	A 2
2) cos t = у-;	4) sin.v = -^y ;	6) tg,t =	Г1.
188. Решите уравнение:		
1) sini = |;	6) sin^3x + -^j = 1;	
2) cos5x = 4^;	7) cos(6a -12) = 4;	
3) tg(x- ] = 1;	8) cos^ = 0;	
4) ctg +	= >/з ;	9) sin (7т-2) - ;	
5) cos(|_Jl) = |.	10) cos	- 2":	
Вариант 2
69
11) sin { § - ^ | = 0;
i 7 j j
189. Решите уравнение:
1) 3 + 3cosf4 + A-l = 0;
2) 3tg(3.x + 1)-t- л/з =0;
190. Решите уравнение:
i>>s£ = -i;
2) sin njx = -1;
12) ctg(5-4x) = -3.
4) 2sinf -j-л j + V3 =0.
3) cost2 = :
4) sin(sin(sinx)) = O.
191.	Найдите наименьший положительный корень уравнения:
COS^V=-4^-.
192.	Сколько корней уравнения ctg j = -л/З принадлежит промежутку
-^;2л ?
193.	Найдите все корни уравнения sin (Д "8xj =-4^-, удовлетворяю-
щие неравенству < х <
194.	При каких значениях а имеет решения уравнение:
1)	cosx = t7-5;	3) (<7 + 3)sinx = u-l;
2) sin6x = 4я-4/' - 5 ;
4) (л2 -5^7+ 4)cosx = -4?
195.	При каких значениях а данное уравнение имеет единственный
корень на указанном промежутке:
1)	(x-i-a)tgx = 0,
A. zl •
3 ' 6 J'
2)	(х- б/)| cosx +	1 = 0.
?
196. Определите
промежутке
количество корней уравнения cosx = а
на
А- Зя
2’ 4
в зависимости от значения а.
70
Тренировочные упражнения
Функции у = arcsin х, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctg*
197. Найдите:
1)	arcsin у-;
J2
2)	arccosy-;
3)	arctg VJ;
4)	arcctg 1;
5) arcsin! - 2 I; arctg
6)	arccos ; 8) arcctg (- 7з ).
198.	Найдите значение выражения:
Л
I)	arccos(-1) + arcsinO + arcsin у + arctg(-1);
2)	2arcsin 1 - 3arccos0 4- 4arcctg I -у I + 2arccos
199. Вычислите:
1) tgl arccos-y
2)cos(2arctgl);
3)	tg 5arctg^ -1 arcsin 4^ j;
4)	sin I arcctg(- Vs) + arctg(- VI) + arcsin
200.	Найдите область определения функции:
1)	у = arccos(4 + г);	3) у = arcctg
2)	у = arcsin(3-x );	v
201.	Найдите область значений функции:
1)	у = 2 arccosx - ;	2) у = 3 - 4arctg4x.
202.	Вычислите:
1)	sin(arcsin(-0,2)); 2) cos ^arccos 3) ctg(arcctg>/3 ).
203.	Вычислите:
1)	arccos ^cos у ;	2) arctg^tgyj;	3) arcsin(sin4).
204.	Вычислите:
1)	sin^arccos ;	3) sin(arcctg(-5));	5) tg ^arccos jJ;
2)	cos ^arcsin^j;	4)cos(arctg4);	6) tg^ arcctg
205.	Решите уравнение:
1)	arccosx = у ;	3) arcsin(4x + 3) = - у.
2)	arcctgtr - 2) = у;
Вариант 2
71
206. Решите неравенство:
1) arctgx < у ;	2) arcsin-y: 207. Постройте график функции:	> у ;	3) arccos(2x - 4) >	.
1) Д’ = -3arcsinx ; 2) у = arccosA -ь 1,5;	4) r = tg(arctgx); 5) у = cos(arcsinx);
I arccos л I arccos.r ;	6) у = cos(2arccosa) .
208. При каких значениях а имеет решение уравнение:
1)	arccos л' = л 4 a ; 2)	arcsinx = sine/; 3)	arctgx = tgr/; arcsinx4-a 4)	л=0; aresm x - д	arccosA' - 5 5)	= 0; arcsinx -a arccosx-ь^ 0)  	 = 0 : Jarccosx - j
Решение тригонометрических уравнений
209. Решите уравнение:
1) 2cos2 3 y-cosy-1 = 0 ;
2) 2cos" а•-7 sin л-5 = 0;
210. Решите уравнение:
I) 2sinx-3cosA = 0;
3) 2cosa-cos2x-cos2x = 0;
4) tg5.v -+ 3ctg5x 4-4 = 0.
3)	22 cos 2 x + 4sin2x - 7
2) 3sin2 x-7sin xcosx 4-4cos2 a = 0;	4) sinx-6cosx = 1.
211. Решите уравнение:
I) sin4x-sin2x = 0;
2) cos 3a = 2sinf Ду - a
3) cosa-sin 11л = 0;
4) sin 2x +• sin(n - Kv) = У2 cos 3л;
5) sinA4-sin7x-cos5x-cos(n-3x) = 0.
212.	Решите уравнение:
1)	cos2 = |;
2)	6sin2 л + 2sin2 2x = 5 ;
213.	Решите уравнение:
1)	Уз cos x - sin x = У2 ;
214.	Решите уравнение:
1)	cos(v + 70°)cos(a+ 10°) =
2)	sin 3xcos2x = sin 5 v ;
3)	sin2 x4-sin2 2x = cos2 3x + cos2 4x
4)	sin4 5 л4-cos4 A' = cos4x.
2)	cosa* - Л sin x = 2 cos 5x .
У ;	3) sin л sin lx - sin 3xsin 5x ;
4)	4sin22x-l = cos 2x cos 6a .
72
Тренировочные упражнения
215.	Решите уравнение:
cos i
0—A = o;
1	+ Sin J
2	) COs3x~~ COSX _0
sin 3x - sin x
216.	Решите уравнение:
1)	^/10-9tgx = 3tgx-2;
sin2.v _ .
3)---------= 2sinx;
1- cos л
1+sinx + cosx л
4)---------------= 0 .
sin x
3) V5 sin х + cos 2л + 2 cos .v = 0.
217.	Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
cos 2x-3cos.y = 4 cos2 у.
218.	Найдите наименьший положительный корень уравнения:
sin3x = cos5x.
x = 0, удовле-
219.	Найдите все корни уравнения sin хcosх
творяющие неравенству 0 < х < 3.
220.	Сколько корней уравнения tg2xcos3x + sin3x +V2sin5x = 0 при-
надлежит промежутку
221.	Решите уравнение v49- 4.y2
0.
222.	При каких значениях а имеет решения уравнение:
1)	cos2 х - (а + 7)cosх + (4 - а)(2а + 3) = 0;
2)	2 cos у + cos 7х = и2 - 6а +12 ;
3)	sin2x + 2asinx + la2 -4a + 4 = 0;
4)	8sin4 + 15cos4 = 2<7 + 4;
7	4	4
5)	cos4x + (n + l)sin2x-2tf-3 = 0 ?
223.	При каких значениях а уравнение
cos2 x -1 a + yy jcosx + yy = 0
на промежутке
11л
3 ’ 6
имеет: 1) один корень; 2) два корня?
Вариант 2
73
Решение тригонометрических неравенств 224. Решите неравенство: Osinxc-y^;	4) cosx7)ctgx<-l;			
2) sin x > - -у-:	5) tg x < y- /5 3) cosx>-y-;	6)tgx>l;		 *	8)ctg.T>5/3 .
225. Решите неравенство: 1) sin j > -у;		4) cos^3.r-^J>^;	
2) cos4x <^y;		5)tg^ + ^<-V3;	
3) sin^x + -y^ < --y-;			
226. Решите неравенство: 1) - -• < sin x < ^y-;		3)1	i^V3 cosj-|>-y-;
2) -	y- < ctgx < VI;	4)1	tg-v 1 >	•
227, Решите неравенство: 1) 2sin2^ < 1,5;			3) ctg22x-3ctgx + 2>0;
2) sin4xcosx-cos4xsinx>;			4) cos2x-cosx>0.
228. Pei I) • 2)<	Системы тригонометричес пите систему уравнений. 2.x-у =  У 1	" Sinx-Siny =у + Г = 2	6 2	1	4>' cos х + cos у = ;		khx уравнении x + y = ^, cosx-2 cosy = 0; x-y = 2y, tgx-tgr = -2^.
229. Решите систему уравнений: fsinxcosy = -0,5. ' [cosxsiny = 0,5;		2)<	f	V3 cos.vcosy = ^-, tg.¥tg7 = l.
74
Тренировочные упражнения
Вариант 3
Множества. Операции над множествами
1.	Поставьте вместо звездочки знак е или е так, чтобы получить
верное утверждение:
1)8*7V;	3)-5*N;	5) Л *	7) -2,25 * Q;
2)19*7V;	4)-7*£;	6) 41 * Я;	8)-19*Z.
2.	Запишите множество корней уравнения:
1)	(х-4)(х2-16) = 0 ;	2) 6х-3 = 0;	3)х2-4х + 5 = 0
3.	Задайте перечислением элементов множество:
1)	неправильных дробей с числителем 6;
2)	букв слова «химия»;
3)	цифр числа 2 211 002.
4.	Равны ли множества А и В, если:
1)А = {8. 12}, В = {12,8};
2)А = {(8; 12)}, В-{(12; 8)};
3)	А*— множество корней уравнения х" + 9 = 0, В = {-3; 3};
4)	А — множество равнобоких трапеций, В — множество тра-
пеций, около которых можно описать окружность?
5.	Пусть С — множество цифр числа 1123. Является ли множество
цифр числах подмножеством множества С, если:
1)	х = 321;	2)х = 234;	3) х = 2121;	4) л = 111 111?
6.	Запишите все подмножества множества {5, 6, 7}.
7.	Найдите пересечение множеств А и В. если:
1)4 — множество цифр числа 42 188, В — множество цифр
числа 72 294;
2)	А — множество делителей числа 18, В — множество делителей
числа 42;
3)	А — множество однозначных чисел, В — множество чисел,
кратных числу 5;
4)	А — множество простых чисел, В — множество составных
чисел;
5)	А - множество ромбов, В — множество параллелограммов.
8.	Найдите:
1)	[-3;10]П(0:15);	4) /VA[-3; 3];	7) [0; 8]П(8; + ос);
2)	(-х;6)П(-2;5); 5)ZA(-2:1];	8)ЯП(-6;2];
3)	[3;8]Г)(9; + Х);	6) [-1; 5]П[5; 11);	9)[5;12]П0.
Вариант 3	75
9.	Найдите объединение множеств А и В. если:
1)Л — множество цифр числа 53 299, В — множество цифр
числа 63 986;
2)	А — множество делителей числа 24, В — множество делителей
числа 32;
3)	А — множество ромбов, В — множество параллелограммов.
10.	Найдите:
1)	(-1;8)U(4; 9];	4) U |; + xj ; 7) (-»; 20]U R ;
2)	[7; 13]U(7;+х);	5) (-2; -l)U[-2; + x); 8)[1O;15]U0.
3)	(-x;0)U(-0.1; + x); 6) (-8;-5)U[-8; 8];
Функция и ее основные свойства
д- — 4
11.	Функция задана формулой /(х) =	. Найдите:
1)/(-5);	2) ДО); 3) /(7);	4) f(u).
-2, если л < -1,
12.	Дана функция /(х) =« х2 + 2х - 1, если -1 < х < 2,
4х-1,если х > 2.
Найдите: 1) /(-1,34); 2) /(-1); 3) /(0) ;4) /(1,5); 5) /(5).
13. Найдите область определения функции:
1)	/(л) = 4-9л ; 2)	/М-J2: 3)	= 4)	/<х) = ^Ц; 5)	/(х) = >/7-.г;	101 *'>=1,1-7: И) Лх)= [г|+5’22 ; 12) /(х) = —Ц==; х- yjx' В) f(x) = Vx-2+-j8-x;
7) Г(*)=^-Ц; х2 - 6 9>	= Г*'0 V 2xz - Зх + 5	14)	f(x) = y/3^ + yJx-3 ; lz.	ч г 2х-3 15)/(х) = ^ + бд._3; 16)	/(Л) = 7х-6— 75-х пч г, \	1	Г 7х + 8 17)	f(x) = Vr + l —5——; х“ + 4х
76
Тренировочные упражнения
Jv-1 Зх -1 л,ч у/ ч	5л* + 1
18)	/(х) = V  —/	‘ ; 21) Дх) = ,	;
у/х+ 4 х2 - х - 6	79-|х|
22) Дх) =
2
19)/(х) = 7х2-4х;
20) /(х) = л/4 + 4х-Зх2 ;
14. Найдите область значений функции:	
l)/(x) = Vx+9; 2)	/(х) = х2+3; 3)	g(x) = 7-x2; 4)	(р(х) = 3 + 4х + х2  5)	Л(х) = |х|-6;	6)	Дх) = л/х4 + 16+4; 7)	A(x) = V-|x-2|; 8)	q>(x) = >/x + 4+V-Jr-4 9)	Ф(х) = 725-|х|; Ю) Л(х) = __5_.
15. Найдите нули функции:	
1) Дх) = 4х2-5х + 1;	4) /(х) = д/16-х2 ;
2) /(x) = Vx + 4;	5) /(х) = Л2+3;
... . х2-Зх + 2 3) ./« =		—; х-1	6) 7(x) = (x + l)Vx .
16. На рисунке 13 изображен график функции у = f(x)9 определен
ной на промежутке [-5; 4]. Пользуясь графиком, найдите:
1) /(-4); /(-3,5); /(-1); /(2); /(3); /(4);
2) значения х, при которых f (х) = -2; f (х) = -1; /(х) = 1;
3) нули функции;
Рис. 13
Вариант 3-77
4)	наибольшее и наименьшее значения функции;
5)	область значений функции;
6)	промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
7)	количество корней уравнения f(x) =а в зависимости от зна-
чения а.
17.	На рисунке 14 изображен график функции у = f(x). Пользуясь
графиком, найдите:
1)нули функции;
3)	множество решений неравенства /(х) > 0;
3)	промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
7) /(х) = 2х2-4х;
8). /(х) = 3-х2;
18.	Постройте график функции, укажите промежутки возрастания и
промежутки убывания функции:
1)	/(х) = 1-2х;
2)	/ (х) = 0,3л• + 2 :
4) /(х) = 3;
5)	= ;
/u) = —v
9) /(х) = 4x-3-x'.
1) Лх) =
3)	/(x)-4x;
19.	Послройте график функции, укажите промежутки возрастания и
промежутки убывания функции:
4	л
Y» если х < -2.
-j-l, если -2< х < 4,
4	-л
у, если а >4;
3-х, если х< - L
х2 - 2х + 1, если - 1 < х < 3.
4, если х > 3;
2) ./ (х) =
78
Тренировочные упражнения
Зх - 4, если х < О,
3) /'(x) = <Vx, если 0<х<4,
4-0,5х. если х>4.
20. Найдите область определения и постройте график функции:
х2 — 2 V + 1 i)/(x)=-— х-1	д/х — 2 3) /(х) = 2^_£; Vx -2
2) /(х) = ^£; X 4- Зх 21. Докажите, что функция:	х^ — х2 — 2х 4)/(*) = — х + 1
о
О f (*) =	j убываег на промежутке (-3; 4-ос);
2) f(x) = -х2 - 4х возрастает на промежутке (-со; -2].
Четные и нечетные функции
22.	Известно, что /(-6) = -10. Найдите /(6), если функция f явля-
ется: 1) четной; 2) нечетной.
23.	Является ли функция /(х) = | х | четной, если ее областью опре-
деления является множество:
1) [-8; 8];	2) (-7;-2]U[2; 7);	3) [-5; 5);	4) (8; +<х>) ?
24.	Является ли четной или нечетной функция:
1)/(х) = -5х8;
8) /(х) = (х+4)2-(х-4)2;
2) /(х) = 4х5 +2х2;
9) /(*) =
3)/(v)=7"^;
х — 1 о
4)	/(х) = 73-|х|;
5)	/(х) = х7-Зх5+ х;
6)	f<*) = 4 5 2 *
х +4х
х2 + 8х
2x4-16’
7)	/(х) = (х-8)(х + 6) + 2х;
25. На рисунке 15 изображена часть гра-
фика функции j =g(x), определен-
ной на промежутке [-5; 5]. Построй-
те график этой функции, если она
является: 1) четной; 2) нечетной.
Вариант 3	79
Построение графиков функций с помощью геометрических
преобразований
26. На рисунке 16 изображен график функции у = /(л). Постройте
график функции:
О v=/U-) + 3;	3) у = /(т + 1);	5) у = -/(*):
Рис. 16
27. Постройте график функции:
>) у = -у-;	3) у =		5) у = —; 7 7 л+З	7) у =	Зх+12 X
2) у = ^-2;	4) у =	12 . х-3 ’	6)1'=й+1;	8)У =	2х + 8 х-2
28.	Постройте график функции:
1)	у - \[х ;	4)	у	-	л/х + 2 + 3;	7)	у = 1 - Va +1 ;
2)	у = 77+1;	5)	у	=	-д/7;	8)	у =3-Vx-2 .
3)	у = \1х - 2 ;	6)	у	=	-1 ~ у/~х ;
29.	Постройте график функции:
\)у = у[5х;	5)	р	= ^2х + 6 ;
2)v = J|:	6)	у	= >/Зх + 12 + 2;
3)	v = 5V7;	7)	v	= -3>/x--T + 4;
4)	у =	>	8) У = ^х/Зх - 6 — 1.
Построение графиков функций у =/(|л|) и у = | f(x) |
30.	Постройте график функции:
I)	у = 3-2х-х2:	3) v = |3-2x-x21;
2)	г = 3 - 2| v I-х2;	4) у = | 3-2 |х|-х2 I.
80	Тренировочные упражнения
31.	Постройте график функции:
l)y = 2-Jx;	3) у = 2-у1\х\;
2)	у = | 2-77|;	4) у = | 2-Тм|.
32.	Постройте график функции:
l)y = N;	' 3) у=|х-2|;	5) у = 2|л'|;
2)	у = | х|-2;	4) у = ||х| - 21;	6) у = | х + 31 -4.
33.	Постройте график функции:
Обратная функция
34. Какие из графиков, изображенных на рисунке 17, являются
графиками обратимых функций?
а)	б)	в)
Рис. 17
35. Является ли обратимой функция:
1) Г = 2х - 3 ;	3) у = | х |, х е [0; +оо);
2) у = |х|,хе [-9;-2);	4) j’ = |x|,xg [-9; Во) ?
36. Найдите функцию, обратную данной:
1) у = Зх + 2;	3) у = Vx + 4 + 2;
Рис. 18
Вариант 3
81
Метод интервалов
38.	Решите неравенство:
1)	(х-4,6)(х+5)<0;
2)	(х + 12)(х-4)(х-20)>0;
3)	(Зх + 5)(2х-7)(х-6)<0;
4)	(7 + х)(л-2)(5-х) > 0;
5)	(х +7.2)(3-х)(6-х) <0;
6)	(6х + 18)(4- 16х)(7х-21)(5- 2х)>0.
39.	Решите неравенство:
1)		•0;	4)	^<0; х + 7,4	7)	(х-4)(х + 6) >0 х + 4
2)	х + 7 х-10	<0;	5)	^.0; х-20	8)	Г~4-6	<0; (х + 8)(л-|5)
3)	X х + 1,4	>0;	6)	1,8-О.Зх	9)	—	>0 (14-х)(х-16)
40. Найдите множество решений неравенства:
1)	(х2 -10х)(х2 - 49) > 0;	3) Л'?~7х~8 > 0;
х2 -8х + 7
2) (х2 -1 Ох + 9)(х2 + 4х) < 0;	4) * ~'Y~20 < о.
х“ —36
41.	Решите неравенство:
1)	(х2 + 9)(х2 -Зх-4)<0;
2)	(х + 9)2(х2 -Зл -4)<0:
3)	(х + 9)2(х2-Зх-4)<0;
4)	(х + 9)2(х2 -Зх-4)>0;
5)	(х + 9)*(х2 -Зх-4)>0;
6)	(х-2)2(х2 -4х + 3)>0;
7)	(х-2)2(х2 -4х + 3)>0;
8)	(х-2)2(х2 -4х + 3)<0;
9)	(х-2)2(х2 -4х + 3)<0;
10)	(х + 2)2(х-3)4(х-4)3 >0
II)	(х+2)2(х-3)4(х-4)5 >0;
12)	(х+2)2(л-3)’(х-4)4(х-6)5 <0;
13)	(л2 + 2х - 3)(х2 + Зх + 6) < 0;
14)	(х2 + 2л-10)(4х-х2-5) > 0.
82	Тренировочные упражнения
42. Решите неравенство: 1) *2-3*-18>0; х“ -Юх + 25 2) Л'2~ЗТ~18 >0; х2 - Юх + 25 3) *2-3у-18 <0; х- - Юх + 25 х2-Зх-18 Л	6) х2 +4х-5 7)	-у4^,); х' +4х-5 + 4т + 4 8)	,	<0; х2 + 4х-5 ... х2 -6х + 8 Л
4) —	< 0: х- - Юх + 25 5) д?4х + 4>0; х‘ +4х-5	9) 	>0; |х-8| 10) ?|д + 11	>0. х2 + 4х-12
43. Найдите множество решений неравенства:
1) 4^>0; л“ - 25 44. Решите неравенство:	2)	<0. х2-8х + 15
j-4< Зх + 8 . х - 5 х - 5	х2 + 8х < 20 Л* + 6 х + 6 *
2) —— >1; Зх-4	4) Г±^>-|6. х-3
45. Для каждого значения а решите неравенство:
1) (х +6)(х - а) > 0;	6)
2) (х + 6)(х-а)2 <0;	
3) (х + 6)(х-а)2 <0;	(x+2)(x-d) х + 2
• 4) (х-а)(х-1)2 <0; 5) (х-а)(х - I)2 <0;	8) <»tay-g)20.
Степенная функция с натуральным показателем
46. Через какие из данных точек проходит график функции у = т3:
т4(-4;-64);	5(3;-27);	С(0,2; 0,008);	О(-5; 125)?
47. Функция задана формулой <р(х) = т16 . Сравните:
1) <р(3.5) и <р(2,9); 2) (р(-8,1) и ф(-6,5);	3) ф(1,4) и ф(-1,4); 4) ф(-0,18) и Ф(О,14).
Вариант 3	83
48.	Функция задана формулой ф(х) = х17. Сравните:
1)	ф(9,4) и ф(7,8);	3) ф(-3,6) и ф(3,6);
2)	ф(-4,7) и ф(-4,2);	4) ф(-6,4) и ф(0,3).
49.	Решите уравнение:
1)	Л5 = -32;	2) .? = 343 ;	3) д-4 = 10 000; 4) / = -81.
50.	Сколько корней в зависимости от значения а имеет уравнение:
1)	х12=5-а;	2) х|Х = 12 + 4«-а2?
51.	Постройте график функции:
l)j = ?-2;	2) > = (.r-2)3; 3)у = х4+2;	4)у = -±х4.
52.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = хн на
промежутке:
1)[-2;0];	2) [1:2];	3) [-2; 2];	4) (-«>;-1].
53.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = ху на
промежутке: 1) [-3; 2]; 2) (-ос; -2].
54.	Четным или нечетным натуральным числом является показатель
степени п функции у = хп, если:
1)	Л-6) > /(-5);	3) /(5) < /(6);	5) /(-6) > j (5);
2)	/(6) > /(-5);	4) /(6) = /(-6);	6) /(-6) < /(-5) ?
Степенная функция с целым показателем
55.	Проходит ли графин функции у = х ? через точку:
1)Л(-1;5);	2)B^2;JL|;	3) С(-3;-243); 4)	24з) ?
56.	При каком значении а график функции у = ах~~ проходит через
точку: I)	2) В\ -4; Jv)?
\	/	\ J
57.	Дана функция /(х) = х ,5. Сравните:
1)	,Л5) и /(-12);	2) ЛК9) и /(2,4); 3) /(-50) и /(-30).
58.	Дана функция /(х) = л~26. Сравните:
1)	/(-3,9) и /(-2,5);	3) /(19) и /(16);
2)	/(0,4) и /(-0,4);	4) /(-26) и /(3).
59.	Постройте график функции:
1)>’ = х'4-3;	2) > =(.v - З)-4;	3)у = 1х-2.
Тренировочные упражнения
60.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х~3 на
промежутке: 1) i; 3 ; 2) [-4; -2]: 3) [5; +оо).
61.	Четным или нечетным является натуральное число п в показателе
степени функции f(x) = x~\ если:
1)	/(-12) </(-16);	3) /(-12) >/(-16);
2)/(-12) </(16);	4)/(16) >/(12)?
Определение корня м-й степени
62.	Найдите значение корня:
1)	</16 ;	2) </0,027 ;	3) </-100000 ; 4) аЬШ .
*	V ZjO
63.	Вычислите значение выражения:
1)	0,6 </8000 -|</8Т;
2)	Д/-216 +4(V5)6-3 V5L2 ;
з)	г(- 4/12)12-30 </0,001 +(-£•</%j ;
^4^4^)";
5)	</0,00000256 + 54 -1 </7 + 6</1,5к ;
6)	(- </18 )5 + '$4* - 2 </-125 + </1/ -100 У0,0625 .
64.	Найдите область определения функции:
1)	у = V- v-1 ; 2) у = у1-х* ;	3) у = Ул*-4 ; 4) у~^5х-х2 .
65.	Решите уравнение:
1) / = 512;	5) а12 =1;	9) (л + 2)3 =125;
2) л5 = 6;	6) х4 = 1296;	Ю) (х-5)4 =256
3) / = -10;	7) / =8;	11) 5л-8-95 = 0;
4) х4 = JL- }	81’	8) / = -625;	12) 7х6+ 14 = 0.
66. Решите уравнение:		
1) 77 = 1.2;	4) </7 + 5 = 0;	7) </б7-4 = 0;
2) 77 = 2;	5) </7 + 5 = 0;	8) </бТ^4=0;
3) </7 - 6 = 0;	6) ^</7-3 = 0;	9) 7бл -4 = 2'. '
Вариант 3	85
67.	Решите уравнение:
1)	jr6 -6-Y3 -16 = О;	3) х16+х8-30 = 0.
2)	,гх -84л-4 +243 = 0;
68.	Оцените значение*, если:
l)6<Vx<!0;	2) 0,3 < Vx < 0,4 .
69.	Для каждого значения а решите уравнение:
l)aV^T = O;	4) 3/Г=2=а;	7)х7=а-1О;
2)	5/(«-|)х=0;	5)л-6=8-а;	8)х4=у2 + 3а.
3)	а>[х-\=а;	6) (а-З)х10 =8;
Свойства корня п-й степени
70. Вычислите значение корня:		
1) 3/8 125 ;	3) 3/32 0,00001;	5) V<V»8 -З16 ;
2) 3/0,0016 81;	4) ^76-29 ;	6) 6 6 '5 ’ Ъ18 -з,1<'
71. Найдите значение выражения:
1) З/Гб З/д		„ Уб"' з- .
2) 3/1000 -3	/100;	&,4-67 ’
3) Vo,O54  4) ^74 -29 V48	V4; •^73-25 ;	7) ^л/37+8 ^л/37-8; 8) ч/17-ТзЗ-V17 + /33 ;
3/243 ’		9) ^1273-3>/Л-^12л/3 + 3>/21
72.	Упростите выражение:
1) если х>0;	5) ^81л-,6у20г4 , если у < 0, z>0;
2) у[у$ . если у < 0; 3)V7;		6) 4,5а2 л/б4а18 , если а<0;	
		т1 п6к5 7) .   	, если т 8х/Л16Л40	>0, к<0 ;
4)	у125сгс 2 ;	8) -0,6х4-^256хкз-21< .	если v<0.
86
Тренировочные упражнения
73.	Упростите выражение:
0^/(5-х)4 ;
2)	^(от-3)ъ , если т < 3;
3)	д/(у +1)8 , если у > -1;
4)	(.V -12)	’ если х< 12
у (12 - Л)1и
74.	Упростите выражение:
Г) yfijb ;	2)	; 3) ^/у ; 4) Vw7;	5) 2у/а15Ь10 .
75.	Упростите выражение:
1)	V(3-V10)4 ;	3) V(Tio -V7)6 ;
2)	V(l-7>/2)5 ;	4) V(3-5>/3)8 -^(3-4>/3)3 .
76.	Постройте график функции:
1)	у = л/х4" + л, если х > 0;	4) у = Vx4" + 2д*;
2)	у = (УТЛ)6 ;	5) у - V( ' -3)5 • V(-r-3)’ ;
3)	у - V(* + 2)6;	6) у =	•
4J(x-4)4
Тождественные преобразования выражений, содержащих корни
л-й степени
77. Вынесите множитель из-под знака корня:
1)^24;	2) 3/1875 ;	3) УГбО ;	4)^243.
78. Вынесите множитель из-под знака корня:
1)	V48.?6 ;	5) У810а26*17 ;	9) ‘	.если а < 0. Z><0
2)	V?7;	6) V128m'V ;	10) !	ут п , если л?<0;
3)	V-A12 ;	7) У-625о15 ;	П) 	^•23yl(iz36 .если z<0;
4)	^**у7 ;	8) Vxl4y17;	12) !	У- >и49я2() , если л > 0.
79.	Внесите множитель под знак корня:
!)ЗЛ;	2)3^4;	3)0,1^23;	4) ^</500 .
Вариант 3
87
80.	Внесите множитель под знак корня:
1)	/ил/б ;	4) 3у ^2у2 ;	7) с , если с < 0;
2)	; 5) а Уба ;	8) ту tfxy4 , если у > 0 ;
3)	mtfnr ;	6) 2Л4 з^-^- ; 9) т3у7 ’^х8у12 , если х < 0, у > 0.
81.	Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные
значения):
1)	yjcjyfa ;	2) ylcy/c^ :	3) ^/э5 у[р^ .
82.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
’5	20	24	32	6 с6
1)-т=;	2) тг=; 3) 77==; 4Н=;	5)^7=;	6)-т=.
>/з	V?	t/гТб	Vi6	V27	V7
83.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)	Г16 л-; 2)—^=;	3) ~г ; 4)	1
V7-V15	4 + 710	V9-V5	V4-V10 + V25
84. Сократите дробь:
85. Найдите значение выражения:
88	Тренировочные упражнения
87.	Докажите, что значение выражения V14-^2 + 20-71477-20
является числом рациональным.
Функция у= \[х
88.	Найдите область определения функции:
1)у = Vx-6 ; 2) у = ’^7-х; ?<)y = 9|-|HZ ; 4)у = д/х2+8х-9 .
89.	Найдите область значений функции:
1)	y = Vx + 15;	2) у =	3) y = VV-7.
90.	Оцените значение выражения Vx , если:
1)	0,0016<л <81;	2) 625<х<1296.
91.	Сравните:
1)	7^8 и ;	4) Тб и 7210 ;	7) 7з и V?;
2)	7^42 и 7^45 ;	5) 4^2 и з77 ;	8) ^20>[2 и 78 .
3)	Т34 и 2;	6) 77 и ТГ8 ;
92.	Между какими двумя последовательными целыми числами нахо-
дится на координатной прямой число: 1) V42: 2) д/300 ;
3) - 7250 ?
93.	Укажите все целые числа, расположенные на координатной пря-
мой между числами:
1)	3 и 7250 ;	2) 7^30 и 7750 .
94.	Постройте график функции:
1)у = 77 + 1; 2) г = 73 + v ; 3) дл = ’7з7г ;
4) г = -7Й-
Определение и свойства степени с рациональным показателем
95.	Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
И 54;	3)3’:	5) (ли)’;	7) 0 + с)-' 5;
7	_ 4	з	_2	1Я
2) 810 ;	4) 6 11 ;	6) .гг7;	8) b ' +С1'8.
Замените	арифметический	корень степенью	с дробным показа
телем:			
1) Vw ;	3) VP-;	5)	;	7) '7(w-«)1J;
2) 7i/ :	4) Т4„;	6) 725 ;	о\ И»/ 13	13 8) Ут -п .
Вариант 3
89
97. Вычислите значение выражения:
1	.5	(	~
1)27’;	2) 64 6; 3) 0,000Го ь; 4) 25 60'375 ; 5) 2-Ц-
98. Найдите область определения функции:
1) у = х’; 2)J = X-2-3; 3) у = (3-л)2,8: 4) у = (2.г2 -5х + 2)'*•
99. Представьте в виде степени или произведения степеней:
1)	у14- у-1’8;
L’
2)	у24 -у *;
15	6
3)	у28 :у’ ;
4)	(Г4)0'9;
5)	у9-у”
49
( Н) 16 А 20
6) Л'21 У35
8) (у6Г°-9-(у23)4:(Г2’5)4;
100.	Найдите значение выражения:
1)	53,2.5-2,8.52,6.
2)	(3~0,9)8 :3~10,2;
3)	^732 j ’2 -491,25;
,,,	25
4)	625’2-5 25 3 -125 9 ;
(	1	2>|3
644 818
<272-2'S
Преобразование выражений, содержащих степени с дробным
показателем
101. Упростите выражение:
1)	-4|-| Ь'1 -2
2) -с
1- 1Y 1	1)
5/>" +2с4 ЗА8 -4с4 ;
3) о24 +Л'24 <7-4 -624' я12 +Ь'~ | о3 +а6/>* +/>•’ ;
4) г1’ + I
-х6 х(’
90
Тренировочные упражнения
102. Сократите дробь:
1)	5 m + 4/77s	4)	•v + J .	7)	a3 -1663
	3	’ w* +4		1 1 ’ x3 +y3		a - 64Z>
2)	lb^ 7	4 ’ bn -z>9	5)	а-ваП5Ь°'5+9b a}b2'5 -ЗЛ3 '	8)	P~7p9 . />-49p9
3)	a - 4b 1 1 ’	6)	4/77-T774	9)	154 +454 i	1 ’
	<7 +26-		4/7?4 - m		104 +304
103. Упростите выражение:
а + а*Ь$	+ 8a,^Z/I®.+ b5
i I I i L
4t/5 +t710ft10	ab' -a5b
1 1
m2 2n n2
I Г ~~» ™ I Г ’
7	7	11 U1 j 7
m- + n-	m2 -n2
a4 - 2,4
-2«!
1 L
4 m5 + /75
a4 -3 a4 + 2
—i-----+----i~ ;
5a4 -10	5a4
I	\	6 i io
m5 m5n5-m5n5
i T ’	2	2
m5 - /?5 J	m5 - n5
+ 7
1 A 1	i
15A4	8Z>4 +41 t lb4 -49
/4+14M+49J b2 -49 b4 +7
Иррациональные уравнения
104.	Решите уравнение:
1)	Vx + 4 = -2;
2)	7x77 = -2 ;
3)	VT+4 =2;
4)	7774 = 75-2x ;
5)	77+ 4 = 7--.v -4 ;
6) Л + 4 =727+9;
7)	7x + 4 = л/х2 +5л -1 ;
8)	7.r + 4 = -.v-4;
9)	77+4 = 7-X-6 ;
10)	(л-- 3)a/x2 -5.r + 4 = 2x - 6.
105. Решите уравнение: 1) 4з^-у/2-х =V2; 2) л/5л + 1 =1-.г;	6) 7Гй + л/Зх + 1 = 8; 7) 73.V + 1 + V16-3x =5;
3)	х + л/2х2-14х + 13 =5; .. А + 1	/_	, 4)	.	— у/ 2х +1 , у/Зх+1 5)	V4x + 8-V3x-2 = 2; 11)	711х + 3-ч/2-х 106. Решите уравнение: 1) л/л-бЗ/х + 8 = 0;	8)	2VTT->/x + 4 = l; 9)	T^T3=V2x+l-Vx+4; 10)	2>/х + 3-л/2х + 7 =-Л-; = л/9х + 7-77^2. 6) х2+2\М1-л'2 =26;
2)	2</х+5 Vx-3 = 0; 3)	х + 27\/х = 0; 4)	VT3-8 = 2 Vx^5 ;	7) х2-х + д/х2-х-2 =8; о\ 1х -ь 4 ~ « 1х — 4 _ 7 . 8)^х-4 ‘)|х + 4_3’ 9) x^/x + lV/=3;
5) 4д/х + 2+ 5 =Vx2+4х + 4 ; 107. Решите уравнение: 1) Vx + 6 -V4x + 15 = 0; 2) V13-x + </22 + x =5; 108. Решите уравнение:	10) Зх2 + 15х+2-7х2 +5х + 1 3) V24 + X + V12-X = 6; 4) V97-x+^/x =5.
1) V(8-x)2 +V(27 + x)2 = tfT-	х)(27+х)+7:
х + 2д/х -1 - л] jc - 2>Jx -1 = 3.
Системы иррациональных уравнений
109. Решите систему уравнений:
х + у = 25;
1)
л/х - tfy = з,
^•^ = 10;
92
Тренировочные упражнения
7 Л у/х + 2у + 7-V -у+ 2 = 3,
|2х + >- = 3;
5у2-30х +
2х-у = 4;
13 = з7у2-6х + 3,
8)
2 0^=272.
V У у зу-2х
Зх2 + х + 2 = у2 - ух + 2у;
Ю)
х + 25;’ •+• IQy/xy = 100,
Jx - у[у =4.
Иррациональные неравенства
110. Решите неравенство:
1) -74-х >3;	2) V4-x<3;	3) л/4^7>-4; 4) V4-XC-4.
111. Решите неравенство:	
1) -\/3-2х >-Jx+T ;	4) д/х2-Зх-10 <8-х;
2) Vx2 -4 <>/2х2 -х-6 ;	5) V2x +14 > х + 3;
3) >/2.г-1 <х-2;	6) д/2х2 + 5х - 6 > 2 - х .
112. Решите неравенство: 1) (6-7х)Тх>0;	3) >/2x-l+Vx + 15<5;
2) Vx + 2'л/х-8>0;	4) 2л/х-2 - Vx + 3 < 1.
113. Для каждого значения а решите неравенство яд/З-х > 1.
Радианное измерение углов
114.	Найдите радианную меру углов: 10°; 20°; 54°; 60°; 125°; 270°.
115.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
к . л . л . 2л . 5л . 7л. 9л
15' 10 ’ 4 ’ 3 ' 3 ’ 4 ’ 2 '
116.	Радиус окружности равен 1 см. Найдите длину дуги окружности,
соответствующей углу в 6 радиан.
117.	В какой четверти находится точка единичной окружности, полу-
ченная при повороте точки Ро(1; 0) на угол:
1) 126°;	4) 620°;	7)^:	10)-1,9 л;
2) 254°;	5) -290°;	8)-Л.	11)4;
3)-110°;		9) 0,8л;	12)-5?
Тригонометрические функции числового аргумента
118.	Найдите значение выражения:
1)	6sin270°-3cos0° + 4ctg90°;
2) cos 4^- - sin + ctg -у-;
Вариант 3________________________________________________93
3)	cos30° tg60°ctg45°;	5) ^(ctg 30° + 2)2 + 7(tg60°-2)2
I etc ~ + cos — • 4tg 4
4)^---------
cosTc + 2sin^
119.	Найдите значение выражения cos(a + p) cos(a - P) при:
1)	a = 75°. P = 15°;	2)a = J, p = ^.
120.	Возможно ли равенство:
1)	sin a - у ;	3) cosa = у ;
2)	cosa =	0,6 ;	4) sina = V5 - Уз ?
121.	При каких значениях а возможно равенство:
I)	sin а* = а + 6;	2) cosa = а4 + 1 ?
122.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
. ч ~	2	cosa(l-sina)
l)l + 3sma;	2) cos2a-5;	3)-----
123.	Найдите область значений выражения:
1)	л——г-;	2) < л :	3) tg6x - 4.
4 + cos5a	5smx-4	е
Знаки значений тригонометрических функций
124. Какой знак имеет:
1) cos260°;	3) ctg310°;	5)tg4;
2)	sin 185°;	4) tg (-220°);	6) ctg	?
125.	Определите знак выражения:
1)	ctg 204°sin 164°;	2) cosl00°sin(-193°);	3) cos5 ctg 2,4.
126.	Углом какой четверти является угол а, если известно, что:
1)	sin a < 0 и ctga > 0;	2) | tga | - tga = 0?
127.	Сравните:
1)	cos40° и cos240°;	3) siny^ и cos;
2)	tg 130° и ctg (-160°);
4)tg5 и sin2,5.
Четность и нечетность тригонометрических функций
128.	Найдите значение выражения:
1)	8 sin3(- 45°) - >/2 ctg(- 45°) + cos(-45°);
2)	2tg^- ^Itg2f-+ 3sin(-j) + 10cos2f-2r
94
Тренировочные упражнения
129.	Является ли четной или нечетной функция, заданная формулой:
2)	f(x) = cosx + ctgx;	/	\
г tex	-V- -S tgx
3)	<(х) = 2^;	6) /(х) =	?
э	v 4
4)	J (х) = tg“x ч- cosx;
Периодические функции
130.	Найдите значение выражения:
l)sin405°;	3)tgU10°;	5)tg^L;
2)cos390°;	4) sin(-900°);	6)ctg^-^|.
131.	Покажите, что число Tявляется периодом функции /:
1)	/<х) = sin (5х -1), r =	;	3) /(х) = | sin х |, Г = л;
2)	/(х) = cos - у}. Т = |;	4) f (х) = V- cos2 х , Т = л.
132.	Покажите, что число Т = 2 не является периодом функции
/(х) = ctgx.
133.	Найдите наименьший положительный период функции:
1)	/(x) = cos(^ + 2l;	2) /(х) = tg(iw--|j.
Построение графиков тригонометрических функций
134.	Постройте график функции:
1)	V = sinx-2;	3)	y = sin3x;	5)	y = -isin^x--^J-2:
2)	>’ = sin^x--^;	4)	v	=	-i-sinx;	6)	у = ^sin^3x--^^-2.
135.	Постройте график функции:
I)	у = cosxч-1;	3)	y	=	cos^;	5)	у = -3cos^x--?^ + 1;
2)	)’ = cos^x-^^;	4)	y	=	-3cosx;	6)	у =-3cos(j+1.
136.	Постройте график функции:
1)	У = tg(J 2) y = -itgx + 2;	3) y = ctg2x.
НприантЗ	95
137.	Постройте график функции:
l)r = |tgx|;	2)v=ctgix|;	3) у = sin .
138. Постройте график функции:
1) J' = (7tg7)2;	5) у = Vcos2.Y-l ;
2) j = ctg|.r|-ctg.v;	sin л 6) v = —r-’— ; sin .V cos X + I cos X 1
3) v = 7cos2.v - cost;	
4) v = V- cos2 .г ;	7) v — - 	  -  sin.v-1 sin x |
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента
139.	Могут ли одновременно выполняться равенства:
1)	sin а = и cos а = -	;
2)	tg а = VI + 1 и ctg а = >/з - 1;
3)	sin а = и tga = -у;
П • а2 ~1	2£7
4)	sin а = —Z- и cos а = —— ?
а" +1	+1
140.	Вычислите значения тригонометрических функций угла у, если:
1)	sin у = 0,2;	3) tgy = 5 и л < у < "у ;
2)	cos у = - и 4 < У < л ;	4) ctg у = - V? и -Д < у < 2 л.
о Z	Z
141.	Упростите выражение:
1)	cos2 <р — 1;
2)	cos2 Зу + sin2 Зу + tg24y;
3)	3cos-^ tg - 2 sin ;
4 ° 4	4
4) tgpctgft-*in ;
1 - cos" p
ctg a sin a
1 + tg~a
6) | 1 -sin~Yl 4-sin§
I 4 Л 4 J
7)	(1 + ctgP)2 +(l-ctgP)2;
8)	ctgx--. ;
& 1-cosx
9)	cosa + cosa .
' 1 +sina 1-sina ’
10)	sin4 * 6a-cos4a + 2cos2a;
96
Тренировочные упражнения
142.	Докажите тождество:
jga-tgp_ = toB.
ctga - ctgp & * &
2)	sin 2a sin2 P -sin2acos2a -cos4a -i-cos2a sin2 P = sin2 P~cos2a :
_ cos2 a - ctg2 a 4-1 э
3)	5-------*------= ctg*"a :
sin" a 4- tg~ a - 1
.. V3 - 2 sin a	14-2 cos a
4)	--------T =---------r;
2cosa-l 2sina4-v3
5)	2 (sin6 a 4- cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a) = -1.
143.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
I)	5sin2 a - 2cos2 a ;	2) 4sin2a - 3ctg2asin2a.
144.	Постройте график функции:
у = | tg.v| ctg.v;	2)у - tgA'| cos.v|.
145.	Упростите выражение:
1)	ф - cos2 у 4- уГ- sin2 у , если 2л < a < Зя;
11 -sina 11 4-sin а __ло
2)	А;— 4-	, если 270° < a < 360°;
V 1 ч- sina и 1 - sina
3) Vtg2P(1 + ctg2p) + Ctg2p(l + tg2p), если
146. Дано: sin a- cosa = а. Найдите:
1) sinacosa;
2) sirr a - cos3 a ;
5) tga + ctga;
6) cosa + sin a.
2
з) —Л—+-Л—;
sin4 a cos4 a
4) sin6a4-cos6a;
147. Найдите значение выражения:
sina-cosa	i
1)	, если tga = -4;
2sina + 3cosa b 4
_ sinacosa	.
2)-----------—г---------5— , если ctga = 5 .
sin2 a-4cos2 a
148.	Найдите наибольшее и наименьшее
5sin“ a + 2cosa.
значения выражения
Формулы сложения
149.	Упростите выражение:
1)	cos(a - Р) - cos(a + Р);
2) sin
Вариант 3
97
3) v2 cosl а - у -sin а + cosa ;
4) sin а 4- 2sin (60° - а)
2 cos (30° - а) - л/з cos а
150.	Упростите выражение:
1)	cos 2Р cos 5Р + sin 2р sin 5Р;
2)	sin530cos7° + cos53°sin70;
3)	cos(4° + а)sin(a - 4 Г) - cos(a - 41 °) sin(a + 4°)
151.	Докажите тождество:
sin(30° -ь а) - cos( 60° 4- а) _ /г
} sin(30°+a)4-cos(60° 4- а) ~ V3tga;
sin(a -Р) 4- 2 cos a sin В , , о
2)	—------------------- = tg(a 4- р);
2 cos a cos р - cos(a - Р)
3)	sin2a - cos2аtga = tga;
4)	cos2a4-cos2(60° + a) 4 cos2 (60°-a) = 1,5.
152.	Упростите выражение:
14-tg47° tgl7° .
' tg47°-tgl7°’
153.	Докажите тождество:
tga-tgP-tg(a -p)
tg(a-P)tgP
154.	Пользуясь формулами сложения, найдите:
l)cos 105°;	2)tgl05°.
155.	Дано: cosa = 0,6, 180° < a < 270°. Найдите sin(60° - a).
156.	Дано: sina = 4, Cos3=-^, 0° < a < 90°. 180° < p 270°
Найдите cos (a 4 p).
157.	Найдите наибольшее значение выражения:
1)	cosa 4-V3sina;	2) 3sina-cosa.
Формулы приведения
158.	Приведите к тригонометрической функции угла а:
I)	cos^y-aj;	3) tg (л4-а);	5) cos2(л-а);
2)	sin (у 4 a j:	4) sin (а - л);	6) ctg2(270°4-a).
98
Тренировочные упражнения
159.	Приведите к значению тригонометрической функции положи-
тельного аргумента, меньшего 45° ( или д):
i)tglO4°;	5) sin410°;	9) cos 1325°:
2) sin253°;	6) sin(-244°);	10)tg2000°;
3) cos295°;	7) tg2,17t;	11) sin 6,3 л;
4) tgl68°;	8) ctg-Ц^;	12) cos^2-. 0
160. Вычислите:		
1)	sin 210°; 2)	tgl20°; 3)	cos (-315°);	4)	sin^-Д^; 5)	tg^; 6)	cos 13л;	7)	cos 855°; 8)	sin ; 9)	tg^--TZ2Lj
161. Найдите значение выражения:		
1) 4sin225° - 6cos 12C	1° + tg300° + 3ctg240°;	
2) sinf-	"l cos 13)	4		
3)	ctg20° + ctg4O° + ctg60° -ь ... + ctg 160°;
4)	sin 463° cos 3 73° + cos 103° sin 193°.
162.	Упростите выражение:
1)	cos(H-a) + ctg(n + a)- sin^^y + a^j + tg(y+ a
2)	cos^y +ajcos^a--y^ + sin(7r-a)cos^y-a^;
sin (P — л:)cos(2тг — P)sin (2тс 4-p)
sin( - P jctg (л - P)ctg у + P^
/	x 2
I sin 2 + a -sin(2л-a) I -1
4)	-------------------------—•
tgl -al- sin(rc + a) cos(n - a)
163.	Известно, что a, p, у -- углы треугольника. Докажите, «по
COS(2+T) = sin2 •
Вариант 3__________________________________________________99
164.	Найдите значения выражений cos (а-4^j и tg(ir-a), если
ctga = | и л < а < 4^ .
165.	Докажите тождество:
sin2 + sin2 4 + a +sin -^-a cos 4 + tg(7i + a) = cos2 a.
14 J 14 J \2 J I 2 J
Формулы двойного аргумента
166.	Выразите данные тригонометрические функции
аргумента в два раза меньшего, чем данный:
1)	sin у;	3)tg4a;	5) cos 4;	7)
2)	cos 7a;	4) sin(a-P);	6) sin 12a;	8)
167.	Упростите выражение:
n sin 70° .
2cos35° ’
cos 4a
cos 2a - sin 2a ’
3)	cos4(45° + a)-sin4(45° + a);
4)	cos2 2a + 4 sin 2 a cos2 a ;
sin 9a _ cos9a .
' sin 3a cos3a ’
168.	Найдите значение выражения:
1)	sin 22°30’cos22°30’;	2) 1 - 2 sin215°;	3) --	8
169.	Дано: cosa = -, 180° <a <270°. Найдите:
1)	sin 2a;	2)cos2a:	3) tg2a.
170.	Дано: tg у = 4 . Найдите tg ^2y +	.
171.	Представьте в виде произведения выражение:
1)	l+cos4p;	3)1 -cos80°;	5) 1-sin8a;
2) I - cos | ;	4)l + cos^-;	6)l + sin-^-.
через функции
6)	Л , ;
7	tg 4a - tg 2a
sin2 2a + 4sin4a
4-sin2 2a -4sin2 a
tg|-4a]sin2| 4r +4a
8)	v—Lu—
1 - 2 cos" 4a
100
Тренировочные упражнения
2)
172.	Понизьте степень выражения:
l)sin2~; 2)cos25x; 3) sin2(3p4-5°);	4)cos2^-p^.
173.	Докажите тождество:
1)	2cos2(45°-a)-sin2a =1:
1 -hcos8a ,	2 л . *> A
-----— • tg 4a - cos 4a = sin~ 4a;
1 - cos8a 0
sin a 4- sin §
j---------= tgf;
1 4- cos a 4- cos ~ L
1 + sin(60° + 4(X) = ct£“ (15» - 2a)
i-sin(60° + 4a) g(
174.	Упростите выражение:
sin 8a cos 4a
1+cos 8a 14-cos 4a
3)
4)
D
sin 4a A ( 4irYi • x
---------; 4) ctg a-^1 (1 + sin2a);
I-cos 4a V 4 )
cos
2)
1 - sin
ctgl 4- a 1 14- cosf 4^ 4- 2a
5)—^------4------Ц------
cos
cos 24°
1 +sin 24° ’
175.	У простите выражение
Z <a<3*
2	4 '
176.	Упростите выражение --------= - ;—-—,
71 + cos 2a 71 ” cos 2a
177.	Докажите, что sin6°cos 12°cos24°sin42° =	•
10
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
178.	Преобразуйте в произведение:
1)	sin 100°-sin40°;
2)	cos3a + cosl la;
3)	sin ^- + sin
о	о
4)	cos2a 4-cos8a;
5)	sin a - j - sinf a 4- у ;
3)
д/Cctg a - tg a) 2 ctg 2a • tg 2a 4- 2 , если
cosa
— если ^<a<2n.
6)	cos^3a-^j-cos^y+ 3aj;
7)	sin(x - >’) 4- sin(x 4- y);
8)	cos 4a - | + cos a + 4 .
I 6 J I 4 J
101
3) tg
Вариант 3___________________________________________________
179.	Преобразуйте в произведение:
1)	cos70°-sin36°;	2) sin — -cos^£:	3) sina + cosa.
180.	Преобразуйте в произведение:
I)tg34° + tg26°;
2)	tg3cp - tg 10<p;
181.	Преобразуйте в произведение:
1)	2cosa-l;	2) л/з +
182.	Докажите тождество:
1)	sin 5a - sin 6a + sin 8a - sin 7a = - 4 sin у sin a sin -Ц^;
3) -Уз tga - 1.
2)	_
cos(a 4- P) - cos(a - p)
sin a 4- sin 2a 4- sin 3a ~
3)	----------------— =tg2a;
cos a 4- cos 2a 4- cos 3a
4)	sin2 a - sin2 P = sin(a + p) sin(a - p).
183.	Упростите выражение:
I)	(sin8a-sin2a)(cos2a -cos8a)cos 10a
1-cos 6a
2)	(cosa-cosP)2 + (sin a + sinP)2;
sin(a + P) 4- sin(a - P) - cos I	- a
3)	у-----------------------------
cos(a 4- p) 4- cos(a - p) - sin I ~~ 4- a
4)	sin2|-^4-a | -sin2| Ц^-a |.
\ *	) k ° J
184.	Докажите тождество:
1)	1 - sin a. - cosa = 2^2 sin у sin I-у--1;
2)	sin a cos 2a + sin 3a + cos 4a = 4 cos a sin I - у I cos I у - y^ .
Формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму
185.	Преобразуйте в сумму произведение:
I)	sin a sin 7a ;	2) sin36°cos24°;
102	Тренировочные упражнения
3)	cos cos ;	4) sin^y 4-a^sin^y-a
186.	Докажите тождество:
1)	sin a - 2sin^y -15o^j cos^y + 15°^ = 0,5;
2)	sin 4a cos a + sin 2a cos 5a = sin 6a cos a;
3)	sin a sin(p - a) 4- sin2	- a J - sin 2 у ;
4)	sin2f-v-4-a^i-sin2f-7--al-sinT7rCosf-~- + 2al = sin2a.
И I 6 I 12 A 12 J
Решение простейших тригонометрических уравнений
187. Решите уравнение: 1) sin л* = ^у- ;	3 ) tgA = 1	;	5) cosa' = -j
2) cos.¥ = y;	4) sinx =	4;	6)tg.< = -£
188. Решите уравнение:	
1) sin 4а' = &;	
2) C0Sj = Jy‘;	8) sin -p- = 0; 4л
3) ctg^x-h^ = 1;	9) sin (8л'+ 1) = у ;
4) tg ^6л'-^ = -7з ;	io) cos[^--y^ = -y-;
5) sin^ + -j^= -1;	11) sinf-J-^1 = -1 ; O	J J
6) cos(3x-5) = 0;	12) tg(10 - 5.v) =-4.
189. Решите уравнение:	
1) 4-4sin^-yj-^ = 0;	3) V3-3ctg^lO.r-^ = O
2) 2sinf3a- + £1 + V3=0;	4) 5 - 5tg ^•^-4.rJ = 0.
190. Решите уравнение: 1) cos = -у ;	3) sin юг2 - 0 :
2)tg^^;	4) sin (sin (cost)) = 0.
Вариант 3 103
191.	Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
COS^X4-y^ = -2y .
192.	Сколько корней уравнения sin2x = -y принадлежит промежутку
Л . Зл 9
2’ 2 ’
193.	Найдите все корни уравнения tg I Зх + £ = VI, удовлетворяющие
V *7
неравенству - у < х < у. ’
194.	При каких значениях а имеет решения уравнение:
1)	cosx = 3-tf ;	3) (a-5)cosx = tf + 2;
2)	sin у = а2 -8с/4-17 ;	4) («2 -6a)sin х = а1 -2я-24?
195.	При каких значениях а данное уравнение имеет единственный
корень на указанном промежутке:
1)	(х - я)(sin х - у^ 1 = 0,
Т-’
2)	(x + a/ctgx-^y 1 = 0
9

196.	Определите количество корней уравнения sinx = cz на
промежутке
л. 7л
4' 4
в зависимости от значения а.
Функции у = arcsinx, j’ = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx
197.	Найдите:
1)	arcsin у=-; 3) arctg 1;	5) arcsin- y^;	7) arctg (-1);
2)	arccosу;	4) arcctg-y-; 6) arccos^ -y-j; 8) arcctg^-4^
198.	Найдите значение выражения:
1)	arccos0 + arcsin 1 + arctg Уз + arcctg (--Уз);
2)	5 arccos 1 - 6 arcsinf-1)4-3 arctg 1 4- 2 arccos
104
Тренировочные упражнения
199. Вычислите:
14	(	 л/ЗЛ 1) ctgl arcsin2^- 1;	3) tg ( 2 arctg(--^ + arcsin	;
2) sin(2arctg(-1));	4) cos 1 arcsinl -	1 - arccos 1 - у 1+arctg 1 .
200. Найдите область определения функции:
1) у = arcsin( 2л - 3); 2) у = arccos(x2 - 2);	3).p = arctg	• Jx + 5
201. Найдите область значений функции:
I) у = 4arcsinx + y; 202. Вычислите:	2)y = 2 - 5arcctg3x.
I) tg(arctg5);	2) sin (arcsin у	3) cos(arccos2^.
203. Вычислите:
1) arctg^tg^-jy^; 204. Вычислите: 1) cos(arcsin	2) arcsin^sin	3) arccos(cos5). 3) cos(arcctg0,3);	5) ctg ^arcsin ;
2) sin(arccos; 205. Решите уравнение:	4) sin (arctg 8);	6) tg (arcctg (-10)).
1) arctg* =	; 2) arccos(3 - x) = ^;	3) arcsin(5л-6) =.
206. Решите неравенство:
1) arcsinx<—	3) arctg( 1 - 2x) > - .
2) arccos4^>^;
207. Постройте график функции:
1)	у = ^arctgx; 2)	у = arcsinл +; 3)	arcteA  } arctg |x|’	4) y = sin (arcsinx); 5)^ = ctg(arctgx); 6) у = cos2(arctgx).
arctgv 4- a
I arctgx
Вариант 3 105
208.	При каких значениях а имеет решение уравнение:
1)	arctgx = &4-а;	arccosx -
4	5)----------2_ = 0;
2)	arccosx = sin a;	arctgx-а
3)	arcctgx = ctg<?;
.. arcsinx-а л	6)
4)	:-------л =0;
arcsin х +
Решение тригонометрических уравнений
209.	Решите уравнение:
1)	6cos2 4x + cos4x-l = 0 ;	3) 5sin-^-cos-j + 3 = 0;
2)	2cos2x + V2sinx = 0;	4)tgy -5ctgy =4.
210.	Решите уравнение:
1)	V3sinx-cosx = 0;
2)	sin2x + sinxcosx-2cos2x = 0;
3)	6sin2x-l,5sin2x-5cos2x = 2;
4)	2sinx-3cosx = 3.
211.	Решите уравнение:
1)	cos7x-cosx = 0;
2)	sinl2x = 2cos^y-4x
3)	sinl0x-cos4x = 0;
4)	V3sin2x + cos5x-cos9x = 0;
5)	sin x - sin 2x + sin 5x - sin(n + 8x) = 0 .
212.	Решите уравнение:
l)sin2| = l;
2)	2cos22x + coslOx -1=0;
3)	sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 2 ;
4)	cos4[ 3x - 5 | + cos4 3x = 4-.
\ 4J	4
213.	Решите уравнение:
1)	V2(cosx + sinx) = l;	2) sinx4-л/з cosx = 2sin2x.
106
Тренировочные упражнения
214.	Решите уравнение:
1)	sin(x + 60°)cos(x4-30°) = -j;
2)	sin3xsinx + cos4x = 0;
3)	cos3xcos6x = cos4acos7x ;
4)	12cos2y = 9~4cosjcos^.
215.	Решите уравнение:
1)	51llSx =0;
l-cos5x
2^ cos4л-cos2x _
sin 4x + sin 2x
216.	Решите уравнение:
1)	713- 6 tgA' = 2tgx-3;
2)	76sinx = -2 cos x;
217.	Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
5 (1 + cosx) = 2 + sin4 х - cos4 x.
sm-v
3)	= l-cosx;
l + COSX
1 + sin x- cosx л
4)	= 0 .
sin 2x
3) Vl-3cosx-cos2x -2sinx = 0.
218.	Найдите наименьший положительный корень уравнения:
1 + cos 2х = (cos За' + sin Зл*)2 .
219.	Найдите все корни уравнения sin2 х - 7з sin 2х - cos2 х = -2,
удовлетворяющие неравенству 0 < х < 4.
220.	Сколько корней уравнения sin 2х + sin (л - 8х) = у[2 cos3x принад-
лежит промежутку - \	?
221.	Решите уравнение 71 - 4х2 ^sin лх - 75 sin	= 0.
222.	При каких значениях а имеет решения уравнение:
1)	sin2x-(4fl-9)sinA* + (tf-5)(3a-4) = 0;
2)	sin а* - cos 2х = 4я2 + 4я + 3 ;
3)	5cos2х —2(2а~l)cosx + сГ -2а-ь2 = 0;
4)	5cos3x + 12sin3x = a-5;
5)	sin4x + (2<7 -l)cos2x-6a-l = 0 ?
223.	При каких значениях а уравнение sin2x-ja+-^ jsinx + ^ = 0 на
промежутке -у;
имеет. I) один корень; 2) два корня?
Вариант 3
107
Решение тригонометрических неравенств
224.	Решите неравенство:
1)	sinx<:y-;	4) cosx >-у:
2)	sin л* > -	5) tgx< 1;
3)	cosx <	;	6) tg x > - -Уз ;
7) ctg x > 1;
8) ctg x < у/з .
225.	Решите неравенство:
1)	cos2x< j;
2)
3)	cos^x +	;
226.	Решите неравенство:
1)	у ^cosx^^y-;
2)	-3 < tgx < >/з ;
227.	Решите неравенство:
1)	sin2 3x>JL ;
4
2)	sin 2x cos у + sin у cos 2x <
51 ctizf —-— I <	’
5	10 )- 3 '
ал За* . л k V3
6>Цт+4 j-’T-
3) | sin л | >	;
4) I ctgx | > -y.
3) 3tg2x 4 tgx - 4 > 0;
4) 2cos2 x-л/з sin x +1 < 0.
Системы тригонометрических уравнений
228. Решите систему уравнений:
1) -	X + у - Др cos 6х -ь cos 6у - 2;	3) 1	[.V + J [2 sin х-sin у = 0;
2) •	А-У = р 2	2	3 cos x-cos у = -4; 4	4) •	у	 v — тс А А -у Ctg X - ctg у = -л/з
229. Решите систему уравнений:			
1) 	cos х cos у = у , sin х sin у - у;	2) -	sin их cos л у - -у. tgoctgnj’ = -l.
108
Кошрольные работы
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1
Контрольная работа № 1
Тема. Множества. Функция и ее основные свойства
1	.° Найдите пересечение и объединение множеств А и В. где А —
множество делителей числа 18, В — множество делителей
числа 24.
_ _ .. w	.	1(х- 7)(л + 10)
2	. Найдите область определения функции /(л) = --------- .
у х — 2
3	.° Задайте функцию, обратную функции у = -^х + 2 .
4/ Постройте график функции v = -j>/7 + 1. Пользуясь построен-
ным графиком, найдите:
1)	нули функции;
2)	промежутки знакопостоянства;
3)	промежутки возрастания и промежутки убывания;
4)	область значений функции.
5/ Исследуйте на четность функцию:
1) /(х) = 4х7-2л3;	2)/(х) = х* 1 2-Зх4;	3) <(х) = х3 + х6.
6/ Найдите множество решений неравенства:
1) (л-6)(т + 3)2(л + 1)>0;	2) .x.-.t.3-Y'IQ <0.
х + 8.V + 16
n	(-V-4)2(.х + 7)3
7. Решите неравенство------------> 0 .
Контрольная работа № 2
Тема. Степенная функция. Корень п-й степени и его свойства
1.° Функция задана формулой /(.г) = л*16 . Сравните:
1)/(5,6) и/(2,4);	3)/(4,5) и /(-4,5);
2) /(-2,8) и /(-7,3);	4) /(0,3) и /(-0,8).
2.° Найдите значение выражения:	___
1) 3^8+4^32+^625 ; 2) ^27-0,008; 3) д/?2-58 ; 4)	.
3.° Решите уравнение:
1) х3 -1000;	3)х4=16;	5)х’=-128;	7) V* = 2;
2) х5 = 6;	4)х6=12;	6) г4 = -81;	8)3/л = -1.
Вариант 1 109
4/ Найдите наибольшее и наименьшее значения функции >=х“4 на
промежутке [2; 4].
5/ Упростите выражение:
3)	, если а > 0;
4) д/(б/ — I)4 , если а < 1.
6/ Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
w? ;
V9
7/* Упростите выражение
8
3
4,
I.°
Контрольная работа № 3
Тема. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Иррациональные уравнении
Найдите значение выражения:
1)5-64
2) 125
3) 320-8;
Г 7Y1-5
4) 2V
2.°
Представьте
степеней:
выражение в
виде степени или произведения
1)Л6<Л4;
3) a
5) (a-0’*)4 (*-L4)-2 :(^4)Л
2) a i а™
.7	1
4) а15 :4/6;
/ Л
( 2 1° У
6) Я18/?27
з.°
4/
2)~-
т * + п
3)
Л 111
3 -2.г''.у6 +_)'3
Г-! Г1
Л2у3 -х3_у2
5.’
6?
Решите уравнение 72x4-8 -
Сократите дробь:
J.
I) т-3ту
т- -3
Решите уравнение 7х"-4 2 7х - 4 = 35 .
2	2
Ху ' 4-Х?у
1 i I *
4-Х3 V 3 4 V3
Упростите выражение -~2—~ •
и/
7.** Решите уравнение 7x4-5 -- 7Й
110	Контрольные работы
Контрольная работа № 4
Гема. Тригонометрические функции и их свойства. Соотношение
между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента
1	.° Найдите значение выражения 2tg-j ctg^--gj + cos л - 2sin-^.
2	.° Упростите выражение:
1Х	. -»	l-cos2a
I)	cos~a + sirTa +tg“p;	2)--------—+ tgactga.
1 - sin* a
3/ Определите знак выражения:
1)	sinl24°cos203°tg(-280°);	2) sin^j-cosqy-.
4.* Исследуйте на четность функцию:
’]) / (х) = х2 + 4cosx ;	2) /(х) = 1Ctg.'V .
v 7 1 - sin х
5.’ Постройте график функции /(х) = cos3x, укажите ее промежутки
возрастания и убывания.
6/ Упростите выражение:
1) ctgx- 1 rco4s'v ;	2) sin(-a)cos(-a)(tga + ctga).
7/ Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
2sin2a-3cos2a.
8." Постройте график функции у = Vsinx-l . * I)
Контрольная работа № 5
Тема. Формулы сложения и их следствия
1.° Упростите выражение:
I) cos(a - Р) - cos(a + Р);
sin2a + sin8a
z|T -----------•
' cos2a - cos8a '
2) sinPcos4p + cos[isin4P;
5) sin
+ cos(K-a);
3) sin 2a .
' 2sina '
2.* Дано: sina = --^
Найдите sin(a + Р).
cosP -
6) 2sin5acos3a-sin8a.
Зл	л
2 ’	2
Вариант 1
111
3.* Докажите тождество:
|)т4г'тЛг='82а:
sin(n - 3a)-cos [ у +a 11 sinl у + 3a j + cos(n + a)
2)  ------------------—------------------- = - sin 4a.
l + cos(n-2a)
4.’* Найдите наибольшее значение выражения Vasina + cos a .
Контрольная работа № 6
Тема. Тригонометрические уравнения и неравенства
1	.° Решите уравнение:
1)	sin4x = -3y;	2) cos
2	.° Решите неравенство:
1)	cosxc-^;	2) tgx >
3	.’ Решите уравнение:
1)	3cos2 л- + 7sin х -5 = 0;
2)	2 sin2 х +1,5sin 2х - 3cos2 х = 1;
3)	sinx + sin3x + cosx = 0.
4	.” Решите уравнение sin 2х + л/з cos 2х = 2 cos 3х.
Контрольная работа № 7
Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся
1	.° Найдите область определения функции у = V2sin г -1.
£
2	.° Вычислите значение выражения 16~°’75 -8 12 -4s.
3	.° Решите уравнение:
1)	л/Зх-2 2 = х;	2) sin х + 7з cos х = 0 .
4/ Сравните V3 и ^2^7 .
5	.* Докажите тождество:
cosa sina ) cos6a-cosl0a л . _
-----------------------------------------= 4 sin 2a .
cos 4a sin 4a J sin 3a
6	.* Найдите корни уравнения:
1)	cos2x - 2cosx + 1 = 0;	2) Vx +4 - Vx + 4 = 2 .
7	." Постройте график функции у = tgx | cosx |.
3) cos3x + cosx = 0.
112
Контрольные работы
Вариант 2
Контрольная работа № 1
Тема. Множества. Функция и ее основные свойства
1	.° Найдите пересечение и объединение множеств А и В, где А —
множество делителей числа 12, В — множество делителей
числа 30.	____________
о и - а	Ж	/•/ ч /(х -8)(х + 9)
2	. Найдите область определения функции /(х) = А----------.
У .\ 1
3.° Задайте функцию, обратную функции у = Зх -1.
4/ Постройте график функции у = -2у[х + 4 . Пользуясь построен-
ным графиком, найдите:
1)	нули функции:
2)	промежутки знакопостоянства;
3)	промежутки возрастания и промежутки убывания;
4)	область значений функции.
5	.* Исследуйте на четность функцию:
1)	/(х) = бх6 -5х* I) 2;	2) /(х) = Л-3 -5л5;	3) f(x) = х4 -х.
6	.* Найдите множество решений неравенства:
1)	(х + 8)(х + 2)2(х-4)<0;	2) * +Х~6 >0.
х2 -12.Г + 36
D	(х-2)(х-3)4
7	. Решите неравенство--------:--< 0.
(-Г-1)5
Контрольная работа № 2
Тема. Степенная функция. Корень п-й степени и его свойства
L0 Функция задана формулой /(х) = х19. Сравните:
1) /(3,6) и /(1,8);	3) /(-5,4) и /(5,4);
2) /(-1,7) и /(-2,5);	4) /(0,9) и /(-0,2).
2.° Найдите значение выражения:
I) 5 V16 - 2^/-216 - V64 ;	3) ^З12 -218 ;
2) V8 -125 ;	4) _^L.
V243
3.° Решите уравнение:
1)х3=27;	3)хб=64;	5)х5=-32;	7) Vx = 1;
2) X7 =10;	4)х8=3;	6)х4 = -16;	8)Vx = -3.
Вариант 2
113
4.* Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х ’ на
промежутке [-3; -1].
5.* Упростите выражение:
1)	;	3) ч если т < 0;
2)	;	4) Ц/(.г-2)10 . если г > 2.
6/ Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
D-Т
7.** Упростите выражение —------=—-
I V7 + 2 Чх-4 V7-2
4
Контрольная работа № 3
Тема. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Иррациональные уравнения
1.° Найдите значение выражения:
1)3-8Р;	2) 32'5 ;	3) 161,25;
2.° Представьте
степеней:
П -* 3’8 хД2.
1) с с ;
_4 И
2) с 9е'*;
выражение в виде степени или произведения
_ .14
3) (с» j45;	5) (с0,6)6 .(с0-4)-7 : (с’16)'3;
х ’О
5	1	( 2. _3\21
4) с8: с6;	6) Z>30d°	.
3.° Решите уравнение >/2х + 48 = - х.
4.’ Сократите дробь:
2	11	1 1	.1 1
х + 7х5	а3 -Ь-	т2п4 + 3т4п~2
' j ,	2) — р,	3) у 2 £ р •
х*+7	-Ь6	т2 +6т4п4 +9л2
5.* Решите уравнение Vx- 2 + yjx - 2 = 20 .
^5	5
a + b a'b3 -a3b2
6. Упростите выражение	;--j—j----- .
__a3 -^b2, +b3
1.” Решите уравнение >12x т 7 - x = 2.
114
Контрольные работы
Контрольная работа № 4
Тема. Тригонометрические функции и их свойства. Соотношение
между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента
1	.° Найдите значение выражения 3 tgl - -g- jctgy + sin-4^ -4cosy .
2	.° Упростите выражение:
. 2	2	cos2a-l
1)	sin ф + cos~ф + ctg (р;	2)----------tgactga.
1 -sin“ a
3.* Определите знак выражения:
I) cosl56°sin(-350°)ctg230°;	2) cosyy-ctg-^p
4.* Исследуйте на четность функцию:
1) f(x) = x3-5sinx ;	2) /(х) = tg2x + 3cosx.
5/ Постройте график функции /(x) = sin^ , укажите ее промежутки
возрастания и убывания.
6/ Упростите выражение:
n tgх___<?°g* •	2) cos^~-)-
' ®’ 1 -sinx ’	'l + sm(-a)'
7/ Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
6cos2a-3sin2a.
8.” Постройте график функции у = Vcosx-1.
Контрольная работа № 5
Тема. Формулы сложения и их следствия
1.° Упростите выражение:
1) sin(a + Р) - sin(a - Р);
2) С08бфС084ф-5ш6ф81п4(р;
2cos2a .
' sin 2a ’
2/ Дано: cosa -0,6, sinP =
Найдите cos(a 4- P).
.. sin6a-sin2a
4)---7------v- ;
7 cos6a + cos2a
5)	tg(rc + a) - ctg
6)	2cos4acosa-cos3a.
0,8,	4p<a<2rc, л < p < Ду .
Вариант 2
115
3/ Докажите тождество:
I) ,tga + tga =tg2a;
1 + tg a 1 - tg a &
( cos(2rc - a) + sin ( у + jf cos[ 2 ” a] “ sin(71 + 5a) J
2) ----------------------——--------------------------= sin 4a •
1 + sinl у - 6a
4.** Найдите наименьшее значение выражения cosa - л/з sina.
Контрольная работа № 6
Тема. Тригонометрические уравнения и неравенства
1	.° Решите уравнение:
1)	cos6x =	;	2) sin^4 += -1;	3) sin5x + sinx = 0
2	.° Решите неравенство:
1)	sinx >	;	2)ctgx<-l.
3	.* Решите уравнение:
1)	4sin2 х -1 Icosx-1 = 0 ;
2)	3 sin2 х - sin2x - cos2 x = 2;
3)	cosx - cos3x + sinx = 0 .
4	.** Решите уравнение sin Зх - cos Зх = V2 sin x.
Контрольная работа № 7
Тема. Обобщение и систематизация знании учащихся
1	.° Найдите область определения функции у = ^2 cosx-V2 .
25
2	.° Вычислите значение выражения 8Г2’25 -9 • 27 9 .
3	.° Решите уравнение:
1)	V7-x + х = 5 ;	2) 7з sinх - cosx = 0.
4	.* Сравните yjs и у 2	.
5	.* Докажите тождество:
(cos6a sin6a) sin 10a-sin6a A
-------ь--------------------= 4cos8a •
V sina cosa ) cos5a
6	.’ Найдите корни уравнения:
I)	cos2x- 2sinx-l =0;	2) УП7 + 2^Г^7 = 3.
7.“ Постройте график функции у = ctgx | sinx |. 
116 Итоговая контрольная работа №1
ИТОГОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Итоговая контрольная работа № 1
Тема. Функции, уравнения, неравенства. Степенная функция
Вариант 1
Часть первая
Задания 1-16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
L Какова область определения функции /(х) - 71 - V ?
А) Я; Б) (-»;-!]U[<; + «);	В)(-оо;1];
2.	Найдите нули функции у = х - .
А) 4; Б)-2; 2; В)-4; 4; Г) 2.
3.	На рисунке изображен график функции у = /(х),
определенной на множестве действительных чи-
сел. Укажите промежуток убывания функции.
Г)
А) [-2; 0];	Б) [-1; 2];	В) [ 1; 1];	Г) Г-2: 1].
4.	Область значений которой из функций состоит из одного числа?
A) y = V-~x;	Б) у = 7-~х;	В) у = 7-х2 ;	Г) у = V-х2	.
5.	Какая изданных функций является четной?
А) у = х2-1;	Б)у = х-1;	В)у = 7х-1;	Г) у =
6.	На каком из рисунков изображен график нечетной функции?
0	г
7. Какая функция является обратной к функции у = х + 4 ?
А)у = -х + 4; Б) у = -х-4; В) у = х + 4; Г)у = х-4.
8.	Множеством решений которого из неравенств является промежу-
ток [ -4; 3)?
А) (л- + 4)(л -3)<0; Б) (л + 4)(х  3)<0: В)у±-|<0: I')	<0.
Вариант 1
117
9.	Укажите рисунок, на котором изображен график функции у = х
10.	Дана функция f(x) = xb. Сравните /(-3,4) и /(-2,8).
А) /(-3,4) > /(-2,8);
Б) /(-3,4) < /(-2,8);
В) /(-3,4) = /(-2,8);
Г) сравнить невозможно.
11.	Найдите значение выражения ^0.027-29 .
А) 1,2; Б) 0,12;	В) 0,24; Г) 2,4.
12.	Вычислите значение выражения
А) 2;	Б) 3;
В) 4;
Г) 5.
13.	Упростите выражение yjbyfb
A) ; Б) ЬЛ>; В) yfb ; Г) УК.
14.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
V9
А)^;	Б)-—: 9	3	В) —; 3	Г) 9
Л 1 Y4 Г - 15. Упростите выражение ——. X4 А)х*;	Б)х4;	В) х4;	Г)х.
a'sb+abi5 16. Сократите дробь ——	-г-. +а°-5Ь A) ab:	Б) а°-5Ь0-5;	В) а + Ь;	Г) аа5+д'
118
Итоговая контрольная работа №1
Часть вторая
Решите задания 17-20. Запишите ответ в бланк ответов.
17. Найдите множество решений неравенства
х2 - 5х + 4
~2 е 7 “
х + 5х + 4
18. Упростите выражение
2>[b
+ 2 y[ab ч- 4b
19.	Какова область определения функции
г = ^х2-х-2 + (л2 - л- - 2)'< ?
20.	Решите уравнение \4х2 -3.v -1 - ,v +1.
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
д' — 4
21.	Найдите функцию, обратную функции у = ——. Постройте гра-
фик найденной функции и укажите ее промежутки возрастания.
22.	Решите уравнение х2 + 2у1х2 -Зх + 11 = Зх + 4.
Вариант 2
119
Вариант 2
Часть первая
Задания 1 16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
1.	Какая из изображенных прямых не может служить графиком
функции?
2.	График функции у = \[х сжали в 3 раза к оси ординат и перенесли
на 4 единицы вверх. График какой функции был получен?
А) у = V3x + 4; Б) у = УЗх - 4 ; В) г = ^х + 4 ; Г) у - ^х - 4 .
3.	Функция f(x) = х2 определена на множестве D. В каком из
приведенных случаев эта функция является обратимой?
A) D = R; Б) D = [-!;!]; В) D = (-!;!]; Г) D = [-1;0].
4. На каком из рисунков изображен график четной функции?
5. Укажите пару равносильных уравнений.
А) (4х-1)2 = (Зх + 4)2 и 4х-1 = Зх4-4;
сч л с л 2х - 3	5 - 2х
Б) 2х-3 = 5-2х и ---г- =----г-;
7	х-1	х-1
Г) х/х-1 = х и х -1 = х2 .
6. Решите неравенство (х 4- 2)(х -1)(3 - х) < 0.
А) (-оо; - 3) (J(-1; 2);	В) (-*;-2)U(1;3);
Б) (-3;-1)11(2;+	Г) (-2; 1) U (3; + оо).
7. Среди данных функций укажите степенную.
А)у = .г5 6 7;	Б)у = |;	В)у = ^;	Г) у = 6х.
120
Итоговая контрольная работа №1
8. Укажите верное утверждение, если f (х) = х
А) /(1,1) > /(-1,1) > /(-2,1);	В) /(-2,1) > /(-1,1) > /(1,1);
Б) /(1,1) > /(-2,1) > /(-1,1);	Г) /(-1,1) > /(-2.1) > /(1,1).
9. Укажите все значения а. при
которых выполняется равенство

= а .
А) а > 0 ;
Б) а<0;
В) а = 0;
Г) таких значений не существует.
10. Вычислите
V80
значение выражения —^=-
А)4;	Б) 8;	В) 16;	Г) 2.
11. Вынесите множитель из-под знака корня >1 а1 Ь7 , если а<0
и b < 0.
A) аЬт[аЬ\ Б) -abtfab ;
В) ab ;
Г) -abtf-'aib .
12. Сократите дробь
у[а +tfab
tfab+yfb ’

B)f;
Г) Va + Vft .
13.	Укажите промежуток, которому принадлежит значение выраже-
ния 3^2 .
А)(2;3);	Б) (3; 4);	В) (4; 5);	Г) (5; 6).
14.	Какова область определения функции у = (х - 8)"0,4 ?
А) Л;	Б) 0;	В) (8; +х>);	Г) [8; -юс).
' i
15.	Представьте в виде степени выражение
У ’
А) у2;	Б)к	В)	; Г)у \
16; Решите уравнение V* + 6 = -х.
А) -2;	Б) -2; 3; В) 3;	Г) корней нет.
Вариант 2
121
Часть вторая
Решите задания 17-20. Запишите ответ в бланк ответов.
17.	Найдите множество решений неравенства (х + 9)(х - 5)2(х- 8) < 0.
18.	Вычислите значение выражения 72 -у2-7з • 78 + 47з .
19.	Упростите выражение-----।: —-----
а + а2 + \ а2 -1
20.	Решите уравнение \[х + 3>/x -10 = 0.
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
21.	Решите неравенство —4-д + yLj > 1.
22. Постройте график функции у =
х3. если х > 0,
- Ух, если х < 0.
Пользуясь построенным графиком» укажите промежутки возрас-
тания и промежутки убывания функции.
122	Итоговая контрольная работа №1
Вариант 3
Часть первая
Задания 116 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
1. Какая из данных функций является возрастающей на множестве R?
А)у = х2; B)y = Vx; В) у = у/х; Г) р = —
3. Какова область определения функции у =
А) (-оо; 0]U (1; + оо);
В) (-оо; 1)U(1; +оо) ;
Б)<1;+х);
Г) (l; + oo)U{0}.
4. Какое из данных уравнений равносильно уравнению = 0 ?
А) [-2; 4];	Б) [-4; 2];	В) [-2; 4);	Г) (-4; 2].
7.	Решите уравнение .t4 = 2 .
А)|;	Б)-1;	В) ^2 ;
8.	При каком из указанных условий выполняется равенство
(^)4 -ffi = -ah?
А) я > 0 и Ь > 0;	В) я < 0 и /> > 0;
Б) я > 0 и /> < 0;	Г) я < 0 и Л < 0.
24
9.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби .
А) 3^2; Б) 3^8;	6)12^2; Г) 12^4.
123
вариант 3
10.	Сравните 5у/2 и V25O .
А) 5^2 < V250 ;	В) 5^2 > ^250;
Б) 5 V2 = V25O ;	Г) сравнить невозможно.
5	_2
11.	Вычислите значение выражения 164 + (0,125) 3.
А) 36;	Б) 32;	В) 57;	Г) 40.
12.	Найдите наименьшее значение функции у = на промежутке
[-3;-2].
А) 9;	Б)1;	В)4;	О
_1
13.	Укажите область определения функции у = (1 - т) 5.
А)(-оо;1);	Б)(-оо;1];	В)[1;+оо);	Г)(1;+х),
14.	Представьте в виде степени выражение я 3	•
А) о6;	Б) а21;	В) а*;	Г) о18.
2
~	с- а-а1
15.	Сократите дробь —$--.
а’7-1
2	5	Z	Z
А) а7;	Б) а7;	В)а7-1;	Г)а7+1.
16.	Найдите сумму корней уравнения V-v -1 • у[х + 2 • у/3 - х = 0.
А) 4;	Б) 6;	В) 2;	Г) 3.
Часть вторая
Решите задания 17-20. Запишите ответ в бланк ответов.
17. Найдите функцию, обратную функции у = * у .
18. Решите уравнение \jx-l +\Л‘ 4-15 = 2.
19. Чему равно значение выражения V1 + V2 V3-2V2 ?
4-х	1
20. Решите неравенство ---$ > у 2 Y •
124
Итоговая контрольная работа №1.
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
21.Докажите, что функция	возрастает на промежут-
ке (5; +»).
22. Установите графически количество корней уравнения:
х'2 = 5 - 2х.
Вариант 4
125
Вариант 4
Часть первая
Задания 1-16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
1. Какая изданных функций убывает на промежутке (0; +х)?
A)v=r6;	Б)> = -Ь В) у = лг“6;	Г)>'=6-
2. На каком из рисунков изображен график четной функции?
3. Функция y-f(x) является нечетной. Найдите /(-6), если
/(6) = -2.
А) 0;	Б) -2; В) 2;	Г) найти невозможно.
4. Какова область определения функции т =	?
А)(1;+х); Б) (-ос; 1)U(1; + х); В) [0; 1)U(1; + х); Г) [0;+х).
5. На каком рисунке изображен график необратимой функции?
6. Каково множество решений неравенства < -j ?
А) (-х; 2); Б) (2; +х); В) (0; 2); Г) (-х; 0)U (2; +х).
7. Сколько корней имеет уравнение (a*-3)(j - 5)V2-,v = 0 ?
А) од и н;	Б) два;	В) три;
Z	хЗ
8. Вычислите значение выражения Ц- V3 .
А) 9;	Б) 1;	В) |;
9. Найдите координаты точки пересечения
v = х5 + 32 с осью абсцисс.
А) (2; 0):	Б) (-2; 0); В) (0; 2);
Г) ни одного.
Г)|
графика функции
0(0;-2).
126
Итоговая контрольная работа №1
10. Известно, что а < 0 и Ь > 0. Какое из данных равенств верно?
A) 3/-oft = 3/-^а •	;	В) y/-^ab =у/—а  y[-b ;
Г)Ц^Ь=ЦаЦь.
11. Сравните 2 З/з и у/45 .
А) 23/з < 3/45 ;	В) 23/3 >3/45;
Б) 23/з = 3/45 ;	Г) сравнить невозможно.
г-.	т4т
iz. 11редставьте в виде степени выре
4	5
A) w * ; Б) т 6 ;
13.	Че^у равно значение выражения
А) 1;	Б) 2;
14.	Упростите выражение а°'6а4,4а“
А) а8;	Б) а2;
_ а+ 27
15.	Сократите дробь —j---.
а* +3
1	2
А) а 3 +3 ; Б) а 3 +9 ;
16.	Сколько общих точек им
у = - V ?
В) т *; Г) т3
V752-5-V752+5?
В) 3;	Г) 4.
I
В) а~2;	Г) а3.
2 J	2	1
В) а 3 - а 3 + 9 ; Г) а 3 + а 3 + 9.
графики функций у = д/Зх-2 и
А) три;	Б) две;	В) одну; Г) ни одной.
Часть вторая
Решите задания 17-20. Запишите ответ в бланк ответов.
111
а + 5а* а4 — Ь4
17.	Упростите выражение —-------1----р .
а* +5 а* +/>*
_	Г-Зх-4 А
18.	Решите неравенство —--------< 0.
л2+4х + 3
23
19.	Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби --у
3-V2
у[х -7
20.	Найдите функцию, обратную функции у =-----.
Вариант 4
127
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
21. Постройте график функции
х3
/ (д) =	+ 2 . Пользуясь постро-
6/ „6
енным графиком, найдите промежутки убывания и промежутки
возрастания данной функции.
22. Решите уравнение Vx+T->/2x-12 = 1.
128	Итоговая контрольная работа №2
Итоговая контрольная работа №2
Тема.Тригонометрические функции. Тригонометрические
уравнения и неравенства
Вариант 1
Часть первая
Задания 1-16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
1.	Вычислите значение выражения 2sin^-^ + 4cos-^.
А)-4;	Б) 2;	В) 0;	Г)-1.
2.	Укажите верное неравенство.
A) sin 160° < 0 ; Б) cos250° > 0 ; В) tg 140° > 0; Г) ctg200° > 0.
3.	Какая из данных функций является нечетной?
А^=с^х; Ь) у = a/cosx ; В) v = .г+ cos.r; Г) у = xcos.x.
4.	Чему равно наименьшее значение выражения 1 - 2 cos а ?
А)-2;	Б)-1;	В)0;	Г) 1.
.	1- cos2 а
5.	Упростите выражение--------.
sirT а
>.А)-1;	Б) 1;	B)tg2a;	T)ctg2a.
6.	Найдите значение выражения cos37°cos23° -sin37°siii23° .
А)|;	Б)^;	В) 4^;	Г)1.
7.	Упростите выражение cos^-j+ а j-Ksin(n-a).
A) cos а + sin a; B)2sina: В) cosa-sin а; Г) 0.
8.	Известно, что cos(a + 0) = 0 и sin а = I . Найдите значение sin 0 .
А) 2;	Б) 1;	В) 0;	Г)-1.
9.	Упростите выражение .
А) 2;	Б) 2 cos а;	В) 2 sin а;	Г) sinacosa.
cos20°-cos80°
10.	Вычислите значение выражения -------------.
sin 20° + sin 80°
А)^-;	Б)-^;	В) 7з;	Г)-т/з.
11.	Какое изданных уравнений не имеет корней?
A)sin.x = y;	B)cos.r = y:	B)tg.r = |;	f)ctgx = -^.
Вариант 1
129
12.	График какой функции изображен на рисунке?
А) у = sin л';
Б) у = sin(Tt-hx);
В) j’ = sin^-xj
Г) у = sin(27t -х).
13.	Найдите корни уравнения tg2v=O.
А) пк, к eZ;
Б)-у-, keZ\
14.	Решите уравнение cos-j = —.
А) ± -у + бпк, к е Z ;
Б) ±^ + 6пк; kzZ\
15.	Решите уравнение 51Р^Л = 0.
sin Л’
А)	-у, к е Z; Б) пк, к е Z ;
В)	% + 2пк, keZ;
Г)| + -^, keZ.
В) +-5| + -^, AeZ;
1 О	Э
Г) + k&Z.
1 о 5
В) -j + л£, к е. Z ; Г) корней нет.
1
2 ’
16.	Укажите множество решений неравенства sinx > -
A)--g- + 2лЛ < х <	+ 2л&, к g Z; В)-у + 2лА < х < ^ + 2л&, к g Z;
Б) --5- + 2лЛ < х < -^ + 2л£, к g Z; Г)-3- + 2лЛ < х < -^- + 2лА:, к g Z.
о	о	J	3
Часть вторая
Решите задания 17 - 20. Запишите отвез в бланк ответов.
17.	Найдите cos 2а , если sin а =	.
18.	Упростите выражение tg2a - sin2 а - tg2a sin2 а .
19.	Решите уравнение 1 - cos6x = sin3x .
20.	Решите неравенство 2cos^ -	> tg-^-.
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
21. Постройте график функции у = tgx |cosx|.
22. Докажите тождество sin2 2a-cos! j-2a jsin 2a1 = 1-.
130
Итоговая контрольная работа №2
Вариант 2
Часть первая
Задания 1-16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
1.	Укажите верное равенство?
A) |sin2| = sin2;
Б) j sin 2 | = — sin 2;
•В) | sin 21 = cos2;
Г) |sin2| = -cos2.
2.	Какая из данных функций не является ни четной, ни нечетной?
А) у = A'2 tgx; .Б) у = х2 + sin л*; В) у = х2 + cos х ; Г) у = xsin х.
3.	Областью определения периодической функции у = / (х) с перио-
дом 7 = 3 является множество действительных чисел. Чему равно
значение выражения 2/(-2) + 3/(10), если /(1) = 5 ?
А) 25;	Б) 15;	В) 10;	Г) 5.
4.	Как надо перенести параллельно график функции у = cosx, чтобы
получить график функции у = cosfx--^]?
А) на	единиц вправо;	В) на	единиц вверх;
Б) на	единиц влево;	Г) на	единиц вниз.
5.	Какое из данных неравенств выполняется при всех действительных
значениях х?
A) cosx<0,99; B)cosx>l; B)cosx>-1; r)cosx>-lj.
6.	Вычислите значение выражения arccosl - -j 1 + arccos0.
2п .
3 ’
г\ 7л .
Б) Т’


7.	Найдите значение выражения •
А)л/3;	Б)-ч/3; В)
Г)'Т'
8.	График какой функции изображен на рисунке?
А) у = sin(rc-x);
Б) у = cos(%-x);
В) y = sin^y-x
Г) у - cos j - х
9.	Каково множество значений функции у = (sinx + cosx)2 ?
А)[0; 1]; Б) [0; 2];
В) fl; 2]; Г) [1; 3].
Вариант 2____________________________________________131
10.	Чему равно значение выражения cos2 -pj - sin2 ?
А)^;	Б)|;	В)0;	Г) 1.
II.	Упростите выражение cos8аcos6а-sin8аsin 6а .
A) cos 2а ; Б) sin 2а ; В) cos 14а ;
_ w	cos4a + cos2a
12.	Упростите выражение----cosa----•
А) 2 cos 4а;	Б) cos 4а; В) 2 cos За;
13.	Решите уравнение 2cos2 - 1 = 2 .
A) ±arccos2 + 2лк, keZ;
Б) 2лА, к е Z;
14.	Сколько корней уравнения
_ Зя . 5л 9
4’2 ’
Г) sin 14а .
Г) cos За .
В) ^ + лА, keZ;
Г) корней нет.
sin х = I принадлежат промежутку
А) ни одного; Б) один; В) два; Г) бесконечно много.
15.	Решите уравнение arcsin х = л .
А)0;	Б)-1;	В) 1;	Г) корней нет.
16.	Решите неравенство cos л >	.
А)-^ + 2лА<х<^ + 2л£, keZ; В) -^ + 2лЛ < х <^ + 2лА\ keZ;
Б)-^ + 2ък < х<-^ + 2л£, к 6 Z; Г) ^ + 2яА < х <^--ь2лА, к g Z.
Часть вторая
Решите задания 17 20. Запишите ответ в бланк ответов.
/	\	Я
17.	Чему равно значение выражения sinl j-cx L если sina = -3y и
4^ < a < 2л ?
18.	Упростите выражение si-n^ + +vcosa .
r	r I-ь cosa sina
19.	Решите уравнение 6sin2 x-3sinxcosx-cos2 х = 1.
20.	Найдите наибольшее значение выражения 4sin a + 3 cos a .
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
21.	Докажите тождество 3 - 4cos(4a - Зл) - cos(5n + 8a) - 8cos4 2a.
22.	Постройте график функции у = cosx - a/cos2x .
132 И ютовая контрольная работа №2
Вариант 3
Часть первая
Задания 1-16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов.
1.	Найдите область значений функции у = 2cosx + 3.
А) [-!;!]; Б) [2; 4];	В)[1;5]; Г) [-5; 5].
/ /УА
2.	Чему равно значение выражения tgI arccos-3^- ?
А)^;	Б)|;	В)^;	Г) 7з.
3.	Какова область определения функции у = -A sin 4 ?
А) [-1; 1];	Б) [0; 1];	В) (--оо; 0];	Г) [0; Но).
4.	График какой функции изображен на рисунке?
А) у = sin(7t + x); В) у = sin(K-x);	•>’“ *
Б) y = sin^- + xj; Г) y = sin^y-x^.
5.	Упростите выражение sin4 а + sin2 acos2 а.
А) 1 +sin2а;	Б) sin2а;	В) cos2а;	О Г
6.	Вычислите значение выражения sin 520cos38° + cos520sin38°.
А)|;	Б)-у-;	В) 1;	Г)0.
7.	Упростите выражение tgl у + a I tg(n > а).
А)-1;
Б) 1;	В) tg2a;
8.	У простите выражение
Г) ctg “а.
A)ctg9a;	B)tg9a;	В) ctg5а;	Г) tg5a.
9.	Найдите тначение выражения 2sin 75°cos75°.
А) у-;	Б)|;	В)-	Г)-1.
- л	cos3a-cos7a
10.	Упростите выражение--^jn3a---*
A)2cos2a;	B)-2cos2a;	B)2sin2a;	P)-2sin2a.
11.	Какое из данных уравнений не имеет корней?
A) sinx = |;	Б) sin л-= -^;	В) sin х =	Г)бшл=-
ккс
Вариант 3 133
12.	Решите уравнение tgx = tg2.
А) 2;	В) arctg2 + лй, к g Z;
Б) 2 + лк, к g Z;	Г) корней нет.
13.	Найдите корни уравнения sin2х = у.
А) ±у^ + лЛ, k^Z\	В) (-1)*	AgZ;
Б) ±Т2 + 'Т’ *eZ;	Г) (-1)* -fr+пк, keZ.
14.	Укажите все значения а, при которых неравенство sinx>a + l
имеет решения.
А) -1 < а < 1; Б) а < 0 ; В) а > -2; Г) таких значений не существует.
15.	Решите неравенство ctgx < 1.
А) + пк<х<пк, к g Z;	В) х>^ + лА, к eZ;
Б) лк <х < + лк, к g Z;	Г) х <-^- +л£, к g Z.
16.	Укажите неверное утверждение.
А)	функция y=arctgx является нечетной;
Б) функция у = arccos х является четной;
В)	функция у = arcsinxявляется нечетной;
Г) функция у =хarcsinx является четной.
Часть вторая
Решите задания 17-20. Запишите ответ в бланк ответов.
17.	Найдите значение выражения sin^ + cos-^ +tg^ .
18.	Упростите выражение tga( 1 + cos2a).
19.	Решите уравнение sin 2х + sin 6х = 3 cos 2х.
20.	Расположите в порядке возрастания числа:
tg(~0,6), tg 1,4, tgO,8, tgl,6.
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
21. Постройте график функции y=cos^. Пользуясь построенным
графиком, найдите промежутки возрастания и промежутки убыва-
ния функции.
22. Упростите выражение ~2^2* 2"cosa' ’ если 71 < <* < 2л .
134
Итоговая контрольная работа №2
Вариант 4
Часть первая
Задания 1-16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ
ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный ответ н отметьте его в бланке ответов.
L Укажите верное неравенство.
A) sin 130° < cos 140°;	В) sin 130° < tgl40°;
Б) cos 110° < sin 20°;	Г) cos 110° < cos 180°.
(	( JV\\
2. Чему равно значение выражения sin I arctgl “ I ?
A)|;	Б)^;	B)-l;	Г)-^.
3. Какая из данных функций является нечетной?
А) у = xcosx; Б) у = х- cosx; В) у = Vsin х ;
4. График какой функции изображен на рисунке?
A)j = tg(n+x);	B>y = tg^+.^;
Б) у = tg(тс - х); г) У =	[у “	•
Я W	1	9
5. Упростите выражение - ctg 'а.
A) sin2 а; Б) cos2 а; В)-1; Г) 1.
6. Сократите дробь
sin 6а
2sin3a ’
Г) j = x3sinx.
A) sin За ;	Б) cos За ; В) sin 2а ; Г) cos 2а.
7.	Найдите значение cos2a , если cosa = -	.
А)-1;	Б)-1;	В)	Г) 1
8.	Чему равно значение выражения tgl ^ + р I, если tgP = 2?
А)-3;	Б) 3;	В) -|; Г) |.
9.	Сколько корней имеет уравнение sinx = ^0,98 ?
А) один; Б) два; В) бесконечно много; Г) ни одного.
10.	Решите уравнение cos^3x + -jJ = 1.
А)Л+2л4>Ае/.	В) n + 2n£, £eZ.
2лА	Г)keZ.
3	о 5
Вариант 4	135
11.	Найдите корни уравнения tg-j = л/з .
А) п + ък, к е Z;	В) у + -у-, к е Z;
Б) я + ЗтгА, к g Z ;	Г) у + 3лА, к g Z .
12.	Сколько корней уравнения sinx = 0 принадлежат промежутку
5тг. 5л 9
2'4’
А) один; Б) два;	В) три;	Г) четыре.
13.	Каково множество решений неравенства cos Зх < 3 ?
А) (-оо; 1); Б) (-оо; 3); В) (-оо; +ос); Г)
14.	Укажите множество решений неравенства cosxc^y-.
А) у + 2лА < х < Ду- + 2пк, к eZ: В) у + 2пА < х <	+ 2ккч к eZ;
Б) -5 + 2лА < х < Q + 2пк, к eZ; Г) -5- + 2лА < х < -Ц2- + 2пк, к е Z.
5	5	оо
15.	Найдите область определения функции у = arcsin(4x -1).
А) (-оо; +оо); Б) [-1; 1];
В)
i;1
2
О [0: 2].
16.	Какое из данных неравенств не имеет решений?
A) arcsin х >	; Б) arcsin х < у; В) arcsin х > 0; Г) arcsin х < 0.
Часть вторая
Решите задания 17-20. Запишите ответ в бланк ответов.
17.	Расположите в порядке возрастание числа:
cos0,3, cos 1,2, cos 1,6, cos(-0,2).
XT	V2cosa-2cos(45° + a)
18.	Упростите выражение---------------=------.
2sin(45° 4- a) - У 2 sin a
19.	Решите уравнение 2sin2 х = 14-cosx.
-in u «	l + cos2x A
20.	Найдите корни уравнения । у = 0.
Часть третья
Решение задач 21 и 22 должно содержать обоснование, в нем надо записать
последовательные логические действия и объяснения.
гт -	1	1	Isinxi
21.	Построите график функции у = 1	1 .
22.	Найдите значение выражения cos4 а + sin4 а, если sin2а = у.
136
Ответы и указания
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ТРЕНИРОВОЧНЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Вариант 1
73 V	2х+4 ,4 оч	2л-4	(2л-6)+ 2
27. 7) Указание. —=— = 2 + v ; 8) Указание. -у- = --i-- =
х л '	л-3	л-3
= 2 + -^. 43.1) (-»; - 6)U[0;6) U (6; + »); 2) (-4;!). 45. 1) Если
а = 4, то решений нет; если я <4, то а<х<4; если а >4, то
4<х<а; 2) если п<4, то х>4; если t/>4, то 4<х<а или х>а\
3) если а < 4, то х > 4 или х = а; если а > 4, то х > 4; 4) если а < -2,
то х < а; если а > -2, то л < -2 или -2<х <а; 5) если а < -2, то
х<а или х = -2; если а >-2. то х<а\ 6) если а =7, то решений
нет; если а < 7, то а < х < 7; если а > 7, то 7 < х < а\ 7) если а = 5, то
х>5; если а <5, то а<х<5 или х>5; если а >5, то х>а; 8) если
а = 5, то л < 5; если а > 5, то л < 5; если а < 5, то х < а или
а<х<5. 54. 1) Четное; 2) нечетное; 3) нечетное; 4) может быть как
четным, так и нечетным; 5) четное; 6) может быть как четным, так и
нечетным. 56. 1) а = -125; 2) а = 81. 61. 1) Нечетное; 2) может быть
как четным, так и нечетным; 3) четное; 4) такое неравенство не может
выполняться ни при каком п. 69. 1) Если а = 0, то х>0; если
то х = 0; 2) если а = 0, то х— любое число; если то х = 0;
3) если а = 0, то х - любое число; если а* 0, то х = 1; 6) если t/<0,
то корней нет; если я>0, то = или * =	• 86.4)	;
5)	. -0	г- • $7. Указание. Пусть yjl + y/s = а,
у/a	2fyx+V7
д/2-= Ь. Надо показать, что х = а + b - число рациональное. Име-
ем: а3 + Ь3 = 4; (а +b)((a + Ь)2 - ЗаЬ) = 4; х(х2 + 3) = 4, откуда x = 1.
100.5)	6)	103. 1) —; 2)^-^-; 3) 0; 4)-^;
а' + Ь3 а2 + Ь2	х3у3
5)	- 5 . 104. 10) -3; 2. 105. 5) 4; 6) 6; 7) -4; 4; 8) 6:	; 9)
10) 0; 11) 3. 106. 6) 5: -5. Указание. Замена V.v2 + 11 = Г; 7) 3; -4,5;
Вариант 1
137
10) 2. Указание. Замена Av2 -8х + 12 = t. 107.1) 2; 2) 80; -109; 3) 10;
4)-3,4; 12,6. 108.1) -2; 5; 2) 4. 109.7) (3;-2), (24; 12). Указание.
Замена ^4- у+ х = а, -^9 - 2у + х = Ь. Тогда а2 + Ь2 = 4 - у + х + 9 -
-2у + х = 2x-3j + 13 = 12 + 13=25; 8) (6; 3), (-3; -1,5).
-1--+|3—;12 + Зл/39П 12~23^;12-Зл/39 ; 9)(|;~2^; 10) (25;4).
Указание. x + y-Jx - у[у + 2^ху = (Jx + -/у)2 - (л/х + -/у)  Далее за-
мена 77 + 77 = /. 111.2) [-4;-3]U -|;0
; 3) 1;| ; 4) [2,5; 3];
5) [-33; 3); 6) (х; -5] U [ 1, +х). 112.3) (8;+х); 4) [9; 10]. 113. Если
а<0, то х>-1; если а>0, то -1<х<-Л--1- 118.5) 2.
121. 1) -3<а<-1; 2) а = 2. 122. 1) 6; -4; 2) 5; 4; 3) выражение не
принимает ни наибольшего, нет наименьшего значений. Указание.
Данное выражение не определено при а = лА, keZ. 123. 1)
+ l ;2)
1
5
-
U[l; + оо). Указание. Воспользуйтесь тем, что если а и b —
числа одного знака и а <6, то 3) [2;+»). 133. 1) л; 2) 7л.
143. 1) 3;-4; 2) выражение не принимает ни наибольшего, ни наи-
меньшего значений. Указание. Области определения данного выра-
жения не принадлежат значения а, при которых sina = 0 и sin2 a = L
145. 1) cos-j-siny; 2) -2tga; 3) cosa-sina. 146. 1)
Указание. Возведите обе части равенства sin a + cosa = а в квадрат;
2)	-. Указание. Воспользуйтесь формулой суммы кубов и ре-
/1\ n l-t/4 + 2u2	.4	4
зультатом примера (1): 3) ----------• Указание, sin a + cos a =
/ - 2	2 ,2 -л -2	2	1-Ьб#2-За4	_	7
= (sin a + cos a) -2sin a cos a; 4) --------; 5) - < • : :
6)yl2-a2 или ~yl2-a2 . Указание. Обозначив sina-cosa =x.
возведите обе части полученного равенства в квадрат. 147. 1)
Указание. Разделите числитель и знаменатель данной дроби на cosa;
138
Ответы и указания
2) -у . 148. у: -4. Указание. Представьте данное выражение в виде
3-4sina - 3sin2 а. Рассмотрите функцию /(/) = 3-4/-З/2 при
157.1)	2. Указание. VJcosa-sina
= 2 p~cosa-4-sina =2 cos 4 cos a - sin 4 sin a ; 2) 5. Указание.
I 2	2	) l о	о J
3sina + 4cosa
3	4
sin a +	cos a =
V32 +42	v32 + 42 J
= 5^sina + 4cosa^ = 5sin(a + ф), где С05ф = -|, sin(p=y. 170.-у.
174.4) 1; 5) tg4a. 175.-2. 176. -2cosa . 177. Указание. Умножьте и
разделите данное произведение на 2cosl0° и примените формулу си-
нуса двойного аргумента. 183. 3)-2cos2a; 4) ^-3- . 195. 1) а < 0 .
V2
или а > у, или а = ; 2) а <	, или а > -л, или а =	. 196. Ес-
ли -1 < а < или 0 < а < 1, то два корня; если - < а < 0 или | а |= 1.
то один корень. Указание. Рассмотрите график функции у = sin г на
. 203. 1) £; 2) Указание, arccosfcosДр) =
о	9	/	\	'
промежутке
7
9
= arccos
; 3) 2 - л. Указание.arctg(tg2) = arctg(tg(2-л)).
204.1) -пу-; 2)	Указание. Обозначим arctg3 = а.
а е f 0; 41- Тогда tga = 3, ctgа = |Л— = I + ctg2a =	; 4)-	.
V )	э sinza	У >
Указание. cos(arcctg(-2)) = со$(л - arcctg2) = -cos(arcctg2). Пусть
arcctg2 - а, а е | 0; 4 . Тогда ctga 2, tga = ^ , —L—
2)	2 cos2 а
= 7’ 5) "1У* 6) 5* Указание, ctg (arctg 6) -
206. 1) Jy < л < 1; 2) -| < v < I. Указание. Данное неравенство равно-
cos(arccos3A) > cos ^4
1 + tg“a -
tg (arctg 6) ’
4^-. 207.5) Рис. 19;
сильно системе <
Вариант I
139
Рис. 20
6) рис. 20. Указание, у - cos( 2 arcsin х) = 1 - 2 sin “ (arcsin x). Теперь
несложно показать, что графиком данной функции является дуга пара-
болы v - I - 2х2 при v е | 1; 1]. 208. I) < 0 < -|; 2) - у + 2кк <а<
<~ + 2кк. ke.Z: 3)0 — любое число; 4) О<0<л; 5) 0*-^;
6) - 4	< 0. 215. 1) - 4 + ял» пе Z ; 2) ял, п 6 Z ; 3) 4 + 2л£, keZ,
z	4	2
или (- 1)';+|- — -г лл, weZ; 4) 2ли, neZ. 216.1) ±^ + яА’, к е Z;
2) л + 2пА, keZ: 3) рЬ 2яА , А е Z. 217. -£. 218.	219.	*
О	Z	о	о 2.
221. л е < ± -у, ± |, t , ±. 3 к Указание. Данное уравнение равносильно
системе
f COS 7LV - 0,
9-х2 -0. 222. 1) -1 < а < 1. Указание. Решив данное урав-
9-х2 >0.
нение как квадратное относительно sinx, получим
sin х = а,
sin х = 2а + 1.
гда искомое значение а - решение совокупности
м<1,
12а + 11 < 1;
2) 0 = 1.
Указание. Данное уравнение может иметь решения только при усло-
вии а~ -2а 4-3 < 2. Следует убедиться, что при а= I уравнение имеет
решение; 3) а = ; 4) - < а < j. Указание. Запишите данное уравне-
ние в виде cos(2x 4- ip) = —, где coscp = y, sintp = ^; 5) ^<а<\.
223. 1) а > 1, или а < -	, или а =	; 2) -	< а < 0 или а= 1.
Указание. Данное уравнение равносильно совокупности
140
Ответы и указания
2 ’ Рассмотрите график функции у - sin л* на промежутке
sinx = а
0;4?1 - 227. 1) --Д- + ^-<х<-Д- + ^-, *е2;2)4 + 4л£<х<^Д +
3	12	2	12	2	2	5 О
+	, £ е Z; 3)	- 4 + яЛ < х < 4 + яА, к е Z;	4)	4 + лА < х < 4 + яЛ,
3	7	4 4	7	6	3
keZ. 229.1)	х = у + ^^-^-,	р = -g- +	ИЛИ Х = А +
п(А+2/?)	л(^ 2л) д. Е	neZ; 2)х =	-^ + я(А' 4- л), у = ~ +
+ ъ(к-п) иди х = —^ + п(£ч-п). у = -^ + п(А-я), keZ, neZ.
Вариант 2
43.1) (-ос; - 5) и [0; 5) U (5; + оо); 2) (-х; - 1)U(2; +х). 45. 1)Если
а < 2, то а < х < 2; если а > 2, то 2 < х < а; если а = 2, то решений
нет; 2) если а <2, то х>2; если а >2, то 2<х<а или х>а\
3)если а < 2, то х = а или х>2; если а >2, то х>2; 4) если
а < -4, то х<а; если я>-4, то х<-4 или -4<х<а; 5) если
а < -4, то х < а или х = -4; если а > -4, то х < а\ 6) если а < 3, то
х < а или х > 3; если а > 3. то х < 3 или х > а; если а = 3, то х —
любое число, отличное от 3; 7) если а < -3, то а < х < -3 или х > -3;
если а = -3, то х > -3; если а > -3, то х > а; 8) если а < 1, то х < а
или ^<х<1; если а = 1, то х<1; если а>1, то х<1. 54. 1) Не-
четное; 2) четное; 3) четное; 4) может быть как четным, так и не-
четным: 5) четное; 6) нечетное. 56. 1) а = -1296 ; 2) а = 2. 61. 1) Чет-
ное; 2) нечетное; 3) такое неравенство не может выполняться ни при
каком л; 4) может быть как четным, так и нечетным. 69. Если а = 1, то
х>0; если 6/^1, то х = 0; 2) если а = 0, то х — любое число; если
а * 0, то х = 1; 3) если а = -2, то х > 0; если а -2, то х = 1; 6) если
а < 0, то корней нет; если а > 0, то х = или х =	. 86. 4) - j ;
5)	6) VK-7. 100.5)^; 6)Х. 103.2) Х\~2у\ \
x-+2v*
Вариант 2	141
1
3) ^—^2; 4) -1; 5) с* +8. 104. 10) 5; -4; -5. 105.5) 20: 6) 3;
2.v6
7)-1:2; 8) 7; 9) корней нет; 10)4; 11)-1; -|. 106.6) 7;-7; 7)-4; 2;
10) -1; 3.107. 1) 1; 2) -15; 13; 3) 1; 2; 10; 4) -79; 1. 108. 1) -3; 4; 2) 9.
109.7) (-10;26). (4:5); 8) (-4; 0),	9) (2;3),
10) (10 + 3-ЛТ; 10-3-УН). (10-3-У1Т; 10 + 3-УГ1), (16;4), (4; 16).
111.2) [9; +оо); 3) [-18;-2); 4)[0;2]; 5) (-к; 2]; 6)	+
112.3) [-3; 1]; 4) (4;+оо). 113. Если то х<2; если а>-\, то
2- —1—у< л-<2. 118.5)2. 121. 1) 3 < « <5 : 2)0<а<1 или 2<а<3.
Ю +1)-
122.4; -10; 2) 5; 4; 3) наибольшее значение равно 1, наименьшего
значения не существует. 123. 1) [-1; 1]; 2) (-<*>;- 3]U[l; + =o);
3) (-со; 1]. 133.1) Юл; 2)	143. 1) 4; 1; 2) наибольшее значение
о	... ,ч В • В
равно 3, наименьшего значения не существует. 14э. 1) cos^-sm^;
2)2ctga;3) -cosp-sinp. 146. 1) а2 -2; 2) »(я2-3);3) а4-4а2+ 2;
4) (а2-2)(«4-4а2 +1); 5)	6) д/а2-4 или -7</2-4 . 147. 1) Ц;
2)	148.3; -^. 157.1) ->/2;2) -^53. 170.-44 174.4) 1;
2.J	о	J э
5) ctg2a. 175. -Г3ш2а. 176. sin 2а . 177. Указание. Умножьте и раз-
делите данное произведение на 2siny и примените формулу синуса
двойного аргумента. 183.3) tga; 4)	195, i) a<_n% Или
a>y, или 67 = 0; 2) жл, или а>^, или а = ^. 196. Если
0 < а < 1, то два корня; если - -у- < а < 0 или а = 1, то один корень.
203. 1) ту ; 2)	3) л-4. 204. 1) |; 2)^г ; 3)^. Указание.
sin(arcctg(-5)) = sin(n - arcctg5) sin(arcctg5). Пусть arcctg5^a,
142
Otbcim и указания
Рис. 21
к е Z ; 3) л + 2лк
a g f 0; 4 । • Тогда ctga = 5, -7-5— = 1 и- ctg2a = 26; 4)	; 5)	.
k 2)	sin2 a	1/2
Указание. Пусть arccos-j = a , ae^0;|j. Тогда cosa = у . Отсюда
получаем tga =	; 6)	. 206. 1) x < 1; 2) 7з < x < 2 ;
3) |<x<2~^. 207.5) Рис. 19; 6)рис. 21.
Указание. cos(2arccosх) = 2cos2(arccosx)-1.
208. 1) - я < а < 0; 2) а — любое число;
3) -arctg у + як < а < arctg у + як , keZ\
4)	или -4<</<4< 5)
2	4	4	2	о
6) - я < а < -у. 215. 1) л+ 4яА, к е Z ; 2) у + як.
или ±у + 2лА, AgZ: 4)-у + 2лА, к g Z. 216.1) -| + лА,Ае/;
2) Q + 2nk, keZ; 3) ^ + 2лА, к е Z. 217. -	. 218. & . 219. 4 ;
3	6	3	16	3
221. хе{±3;±1;±3,5) . 222. 1) - 2 < с/ < -1 или 3 < а < 5; 2) и = 3 ;
3) таких а не существует; 4) -10,5 < а < 6,5; 5) -2<а<-\ .
223. 1)£7<-1, ИЛИ t7>2y, ИЛИ	2) и --1, или
или < а <	227.	1)	-^ + 4яА <х< ^ + 4як, keZ:
2) - jy< jy+ AgZ; 3) лк <v< arcctg 2 + як или
4 + лЛ<л<л + лЛ, keZ; 4) +-2лА:< х < 4? + 2як, keZ, или
4	7 3	л
х = 2ял, neZ . Указание. Данное неравенство равносильно сово-
cosx <-4- ,,п .. л ,	+ 2'7) пп(к-2п)
купности	2 229. 1) л = “ +-----5---. >’=^ +-----2------'
,7	7	->. л +2")	я “ 2»)
keZ. n^Z, 2 л =4+	----,	> = z + ——=>------- или
3	2	6	2
л п(Ь2»)	л я(А - 2п)
Д — у* I	V
6	2	3	2
Бланк ответов
итоговой контрольной работы №___
по алгебре и началам анализа
ученика / ученицы 10 класса
название учебного заведения
фамилия, имя. отчество ученика Ученицы)
Вариант №
Внимание! Отмечайте только один вариант ответа в строке вариантов ответов
к каждому заданию. Любые исправления в бланке недопустимы.
Если Вы решили изменить ответ в некоторых заданиях, то правильный ответ
можно разместить в специально отведенном месте, расположенном внизу бланка
ответов.
В заданиях 1 — 16 правильный ответ отмечайте только так: [X]
АБВГ АБВГ АБВГ АБВГ
1 ГППП	5	:'ТТ1П	9 □□□□	13	□□□□
2 ГК К Т’:	6	ПППП	10 ODCO	14	СОСО
з Г1Г1ГГГ	7	ПППП	11 ПППГ:	15	П( :Г1П
4 МНМН	8	ГГГпп	12 Г;Г=Г;Г;	16	Г1Г1Г1Г1
В заданиях 17-20 впишите ответ.
17.19.
18. 20.
Чтобы исправить ответ к заданию, запишите его номер в специально отведенных
клеточках, а правильный, по Вашему мнению, ответ в соответствующем месте.
Задания 1 — 16	Задания 17 - 20
номер
tllxMPn	задания
номер д г о г
адания А?.А..
Содержание
От авторов..................................................3
Тематическое распределение тренировочных упражнений..........6
Тренировочные упражнения.....................................8
Вариант 1...............................................8
Вариант 2..............................................41
Вариант 3..............................................74
Контрольные работы.........................................108
Вариант 1.............................................108
Вариант 2.............................................112
Итоговые контрольные работы...............................116
Итоговая контрольная работа №1........................116
Итоговая контрольная работа №2........................128
Ответы и указания к тренировочным упражнениям..............136
Вариант 1.............................................136
Вариант 2.............................................140
Бланк ответов итоговой контрольной работы..................143
Н а в ч а л ь н е в и д а н и я
Мерзляк Аркадий Григорович. Полонськнй В|тал1й Борисович
Рябшовнч Юхим Михайлович. Як1р Михайло Семенович
Алгебра i початки анализу
10 к лас
Зб1рник задач i контролышх робп
(Ростською новою)
Редактор/' Ф. Висоцъка, коректор Т. С Цента. компТотерне верстання О. О. Удалова
Формат 60x90/16 Гарн1тура шкитьна. Ум друк арк 9,00.
Тираж 5000 прим Замовлення 1.
ТОВ ТО «Гпмназ1я».
вул Восьмого Березия, 31. м Харюв 61052
Тел (057) 719-17-26, (057) 719-46-80. факс: (057) 758-83-93
Свщоцтво суб’скта видавничо! справи ДК № 644 виз 25 10.2001
Надру ковано * Д1апозигив1в, ви готовлен их ТОВ ТО «11мназ1я», у друкарн) ПП «Модем»
в\л Восьмого Березия. 31 м Харкш 61052. Тел (057) 758-15-80
Свщоцтво суб'гкта видавничо! справи ХК № 91 шд 25 12 2003
А. Г. Мерзляк
В. Б. Полонский
Е. М. Рабинович
М. С. Якир
И НАЧАЛА АНАЛИЗА