/
Text
А. Г. Мерзляк
Д. А. Номіровський
В. Б. Полонський
М. С. Якір
АЛГЕБРА
І ПОЧАТИМ АНАЛІЗУ
Підручник для 10 класу
з поглибленим вивченням математики
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
Харків
«Гімназія»
2010
УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 + 517.1]
ББК 22.141я721.6
М52
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
(лист від 09.08.2010 № 1/11-7525)
Мерзляк А. Г.
М52 Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. з поглибле-
ним вивченням математики / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіров-
ський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — X.: Гімназія, 2010. —
415 с.: іл.
І8ВК 978-966-474-103-0.
УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 4- 517.1]
ББК 22.141я721.6
І8ВМ 978-966-474-103-0
© А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський,
В. Б. Полонський. М. С. Якір. 2010
© С. Е. Кулинич, художнє оформлення, 2010
© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, 2010
р Від авторів
ЛЮБІ ДЕСЯТИКЛАСНИКИ!
Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет — алгебру
і початки аналізу.
Цей предмет надзвичайно важливий. Мабуть, немає сьогодні
такої галузі науки, де б не застосовувалися досягнення цього
розділу математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи,
географи та економісти, навіть мовознавці та історики викорис-
товують «математичний інструмент».
Алгебра і початки аналізу — корисний і дуже цікавий пред-
мет, який розвиває аналітичне і логічне мислення, дослідницькі
навички, математичну культуру, кмітливість.
Ми маємо надію, що ви не розчарувалися, обравши нелегкий
шлях навчатися в математичному класі. У цьому навчальному
році ви продовжите вивчати математику за поглибленою програ-
мою. Це не просто. Потрібно бути наполегливим і завзятим, уваж-
ним і акуратним, при цьому найголовніше — не бути байдужим
до математики, а любити цю красиву науку. Сподіваємося, що
ви з інтересом будете засвоювати нові знання. Ми маємо надію,
що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся,
будь ласка, з його структурою.
Підручник розділено на шість параграфів, кожний з яких скла-
дається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал.
Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом.
Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом.
Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикла-
дами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один
з можливих зразків оформлення розв’язання. До кожного пункту
підібрано задачі для самостійного розв’язування, приступати до
яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед
завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні
задачі (особливо ті, які позначено зірочкою (*)).
Якщо після виконання домашніх завдань залишається віль-
ний час і ви хочете знати більше, то рекомендуємо звернутися
до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там,
є непростим. Але тим цікавіше випробувати свої сили!
Крім того, у підручнику ви зможете прочитати оповідання з іс-
торії математики, зокрема про діяльність видатних українських
математиків. Назви цих оповідань надруковано синім кольором.
Дерзайте! Бажаємо успіху!
Від авторів
ШАНОВНІ КОЛЕГИ!
Ми знаємо» що підготовка до уроку в класі з поглибленим
вивченням математики — робота нелегка. Організація такого
навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який фор-
мує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох
посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним
помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро
раді, якщо він вам сподобається.
У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний ма-
теріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати не-
можливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зруч-
ніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість
реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального
підходу в навчанні.
Червоним кольором позначено номери задач, що рекоменду-
ються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач,
які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на
розсуд учителя можна розв’язувати усно.
Бажаємо творчого натхнення й терпіння.
| Умовні позначення
п завдання, що відповідають початковому і середньому
рівням навчальних досягнень;
п завдання, що відповідають достатньому рівню на-
вчальних досягнень;
п* завдання, що відповідають високому рівню навчаль-
них досягнень;
а* задачі для математичних гуртків і факультативів;
задачі, у яких отримано результат, що може бути
використаний при розв’язуванні інших задач;
А закінчення доведення теореми;
• закінчення розв’язування прикладу;
рубрика «Коли зроблено уроки».
ПОВТОРЕННЯ
Й СИСТЕМАТИЗАЦІЯ
НАВЧАЛЬНОГО
МАТЕРІАЛУ
З КУРСУ АЛГЕБРИ
8-9 КЛАСІВ
Задачі на повторення курсу алгебри
8-9 класів
Вправи
Перетворення раціональних виразів
1.1. Спростіть вираз
2> 2
а о
.2 л2 *
о —а
ч п гл • ( а + 5 , а + 7 \а-9\ , 7 + а
1.2. Спростіть вираз -———-~ +--------------- +-—.
Ца-9)(а + 9) (а-9)2}\а + 3/ 9 + а
1.3. Спростіть вираз х2і/2| —-—Л -4- + А-1+———+ —
\(х + У) \х2 у2) (х + у)3{х У,
1.4. Спростіть вираз ~--------——— ь—
Ь2+Ь Т_1 1-а2
1.5. Доведіть тотожність
(х-#)2 + хі/
(х + у)2-ху
Х*+У*+Ху+Ху
_(х3-у3)(х3 + у3+х2у + ху2)] Х У‘
1.6. Доведіть тотожність
І а2 — Ь2 — ~ ( а_____
\ а + Ь )\а + Ь Ь~а
\ і 1^2
-Т-Гг =(а-Ь) .
а —о /
1~* ! 1-У , 1-2
1.7. Доведіть тотожність —-------^_х_---У-----— = 1.
ху + уг + гх 1 + 1 + 1
хуг
, а п . х4-(х-1)2 х2-(х2—І)2 х2(х-1)2-1
(х2+1)2-х2 х2(х + 1)2-1 х4 - (х +1)2
іп„ х2-х + 1 2х(х-1)2 2х2(х2-1)2
1.9. Спростіть вираз -2 - + . 2 + { + -вТТї ~р
1.10. Спростіть вираз
Ьс са аЬ____)_______2аЬс____
(а + Ь) (а + с) (Ь + с) (Ь + а) (с + а) (с + Ь) (д + с) (с + а) (а + Ь) *
1.11. Доведіть тотожність
Ь-с + с-а + а-Ь _ 2 2 2
(а-Ь)(а-с) (Ь-с)(Ь-а) (с-а)(с-Ь) а-Ь Ь-с с-а'
1 1 2 4 2Л
1.12. Спростіть вираз —— +----+ —+--------- +... + —-—
1-Ь 1 + Ь 1 + д2 1 + д4 і + Ь2-
1.13. Відомо, що а2 - а ~ 1 = 0. Доведіть, що
- + | + - = 0, то
а Ь с
1.14. Доведіть, що коли а + Ь + с = 1,
а2 + Ь2 + с2 = 1.
1.15. Доведіть, що коли — + ^ + - = 1 і - + — + - = 0, то
а Ь с хуг
^ + ^ + ^- = 1.
Л2 1,2 2
а о с
1.16. Розкладіть на множники вираз
х2 (у - г) + уг (з - х) + х2 (х - у).
1.17. Розкладіть на множники вираз
х (У2 - З2) + у (а2 - х2) + 2 (х2 - у2).
1.18. Попарно різні числа а, Ь, с такі, що а + ^ = 6 + - = с + ~.
Ь с а
Доведіть, що | аЬс | = 1.
Перетворення виразів, які містять квадратні корені
1.19. Знайдіть значення виразу (>/28-5^2)» у10 + л/84.
1.20. Знайдіть значення виразу І + ------І?-І.(^6+ц).
Іг/6+1 7б-2 3-УІ6}
1.21. Знайдіть значення виразу --—.
^л/І + З 2л/2-3
4.22. Знайдіть значення виразу ^-^-/29-6^/20 .
1.23. Знайдіть значення виразу \6 + 2уі5--\і13 + \[48 .
1.24. Знайдіть значення виразу ^17 + 6^4~д/9 + 4>/2 .
1.25. Знайдіть значення виразу 2і/7-4\/з +713-47з.
1.26. Знайдіть значення виразу (2-л/б)д/з + Зл/5.
1.27. Доведіть, що (4+>/Ї5)(л/Ї0-л/б)-\/4--\/Ї5 =2.
1.28. Доведіть, що л/З-л/б(з + д/б) (>/10 - л/І) = 8.
1.29. Доведіть, що а/21 + ^У^.^9-4л/5 =у/5-2.
4 + л/5
. оп ТТ • >/5-2л/б (5+2 л/б) (49-20 >/б) ,
1.30. Доведіть, що —=——=—=—- = 1.
л/27-Зл/18+ 3л/12 - д/8
1.31. Знайдіть значення виразу
1.32. Знайдіть значення виразу , г- ,-х
(у/а + у/Ь)(а-Ь)
1.33. Знайдіть значення виразу
((-А^Т + гал/а+Ьл/ь |:(За2+ЗЬл/аб)+ ^~а_
\\уІа + уІЬ) ) ауІа-ЬуІа
1.34. Спростіть вираз
1.35. Спростіть вираз
>/а®- 2а2 + а +
1.36. Знайдіть значення виразу
ґ л/1 + х | ' 1-х--------- |.Ґ7х"2-1-—), якщо 0 < X < 1.
^л/і + х-л/і-х л/1-х2 +Х-17 ' х'
1.37. Спростіть вираз ґ 2)2 - 8а2.
\ & + "у 2а + 2 )
1.38. Знайдіть значення виразу
якщо 0 < Ь < 1.
______Ь_______________________
.1>-2 + ±
У о
1.39. Спростіть вираз
а + Ь .ґа + Ь __ Ь а __ \]а + Ь-2\ІаЬ
у/а+\[ь ка-& Ь-4аЬ у/аЬ+а) 2
1.40. Спростіть вираз
1 + (а + л/а^ї)2 (ь + У»2 -1)2
(а + л/а2-1) (ь + >/ь2 -1)
1.41. Спростіть вираз -————— 1+^ /~ + 2 ПрИ > 2.
Ь2+ЗЬ-(Ь + 1)уіЬ2-4 + 2 УЬ-2
1.42. Знайдіть значення виразу
/а-2 л/а-1 а + 2 л/а-1 4
у а + 2л/а~1 у а-2>/а-1 д/а2-4а + 4
• \Іх + 4>/х-4 + х-4а/х-4
1.43. Спростіть вираз . ........
V * х2
Раціональні рівняння і нерівності
1,44. Розв’яжіть рівняння:
1) 5______4 1_
х2 - 4х + 4 х2 - 4 х + 2
г| 2х | 27 6
х + 4 2х2 + 7х-4 2х-1’
3)
х + 1 х-2 ) х-3 | х + 4
х-1 х + 2 х + 3 х-4
4Л + 4х + 4 _ 2х + 6 _ х2 + х + 1 _ 2х + 9 в
х+4 х+2 х+1 х+3
5)|х + 2| + |х~3| = 5;
6) | 2х + 5 | = | х | + 2;
7)|х-1|-2|х-2| + 3|х-3| = 4.
1.45. Розв’яжіть рівняння:
Зх 5 1
х3-1 4х2+4х + 4 2(1-х)’
2} ____х______Зх + 1___________х + 34
’ 2х2 + 12х + 10 4х2+16х-20 х3+5х2-х-5
3)
4)
2х-1 Зх-1 х-1 . А
--- +----—. --- + 4;
х + 1 х + 2 х-1
х2 + 2х + 2 х2 + 8хч-20 _ х2 +4х + 6 х2 + 6х + 12
х+1 х+4 х+2 х+3
5)
І*~3|
|х-2|-1~1’
6)||3-х|-х + 1| + х = 6.
1.46. Розв’яжіть рівняння:
І) -^--£ = 2;
’ х-3 2
2)
1.47. Розв’яжіть рівняння
6
х2-16
2х а-2 4а-2а2
2х + а 2х-а 4х2 - а2
1 За
= 0.
1.48. Розв’яжіть нерівність:
1) (х2 - 6х + 5) (Зх - І)2 > 0;
2) (х2 - 6х + 5) (Зх - І)2 < 0;
3) (х2 - х - 2) (х2 - 4х + 3) > 0;
4)
5)
6)
(х + 1)(х-2)4 (х + 3)
(х-7)(1-3х)
х3 + х2 + Зх + 3 р.
х2-6х + 7
| х | (х — 2) р.
|х + 3|(х-4ГЦ
7) (х + 7)>/х + х2-20 >0;
о\ Х-1
9) Щ-
4
9х-30
х-4
2
х + 1 1-х
11) (х2 + Зх + 1) (х2 + Зх - 3) > 5;
12) (х2 + Зх) (2х+3) -16 ♦ > 0;
13)
14)
х-2
(1 + х) (2 + х)
х2-| х |-2
15) | х2 - Зх | + х - 2 < 0;
16) І х2 + Зх | > 2 - х2.
1.49. Розв’яжіть нерівність:
1) (х2 - Юх 4- 9) (4х 4- І)2 > 0;
2) (х2 - Юх + 9) (4х + І)2 < 0;
3) (х2 - 6х 4- 8) (х2 - 4) > 0;
4) х3 + 4- 5* + Ю < р.
х2-х-6
3)
х-2 х х+2
6) (х2 - х - 1) (х2 - х - 7) < -5;
7) (х2-2х)(2х-9)-9--^^-<0;
х -2х
о\ 2х +1 х +11 р
’ х-2
»> Г^ЬЇ>!*+21;
10) |1~х|<2~х)>-2х;
х2+| х |-2
11) | X2 - 2х - З І < Зх - 3;
12) | х2 + 4х + 3 | > х + 3.
1.50. При яких значеннях параметра а рівняння
(а 4- 4) х2 4- (а + 4) х 4- 3 = 0
має корені?
1.51. При яких значеннях параметра а рівняння
(а 4- 3) х2 + (а2 4- За) х 4- 1 = 0
має один корінь?
1.52. Знайдіть значення параметра а, при яких сума коренів рів-
няння х2 - (а2 - 4а + 3) х 4- а - 2 = 0 дорівнює нулю.
1.53. При яких значеннях параметра а різниця коренів рівняння
(а - 2) х2 - (а - 4) х - 2 = 0 дорівнює З?
1.54. При яких значеннях параметра а різниця коренів рівняння
2х2 -(а4-1)х4-а-1 = 0 дорівнює їх добутку?
1.55. При яких значеннях параметра а нерівність (а 4- 4) х2 -
- 2ах 4- 2а - 6 < 0 виконується при всіх значеннях х?
1.56. При яких значеннях параметра а нерівність (а2 - 1) х2 4-
+ 2 (а - 1) х + 2 > 0 виконується для будь-якого значення х?
1.57. При яких значеннях параметра а нерівність (а - 3) х2 -
- 2ах 4- За - 6 > 0 виконується при всіх значеннях х?
1.58. При яких значеннях параметра а один з коренів рівняння
Зах2 - 2х - За - 2 = 0 більший за 1, а другий менший від 1?
1.59. При яких значеннях параметра а корені х1 і х2 рівнян-
ня 2х2 - 2 (2а 4- 1) х + а (а 4- 1) = 0 задовольняють умову
х± < а < х2?
1.60. При яких значеннях параметра а корені рівняння х2 - 2ах 4-
4- а2 - а = 0 належать проміжку [-2; 6]?
1.61. При яких значеннях параметра а нерівність ах2 - 4х 4- 4а > 0
виконується для всіх додатних значень х?
1.62. При яких значеннях параметра а нерівність х2 4- ах - 7а < 0
виконується для всіх х з проміжку (1; 2)?
1.63. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності
ах2 - 2х - а (а2 + 2) < 0 задовольняють нерівність х2 < 9?
1.64. При яких значеннях параметра а нерівність
х2 -ах + 1
X2 + X + 1
<3
виконується для будь-якого значення X?
1.65. Знайдіть усі значення параметра д такі, що для будь-
якого значення параметра р рівняння х2 4- рх 4- д = 0 має
розв’язок.
1.66. Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 + 2х)2 - (х + І)2 = 55;
2) (х2 4- х + 4)2 4- 8х (х2 4- х 4- 4) 4- 15х2 = 0;
3) (х - 2)4 4- (х 4- 2)4 = 82;
4) х2 + - +—-х = 4;
X2 X
4х 5х _ 3.
х2 + х + З х2 - 5х + З 2 ’
7) х2 + -^г=11.
(х + 5)2
1.67. Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 - 5х + 7)2 - (х - 2) (х - 3) = 1;
2) 5 (х2 + 2х)2 - 11 (х2 + 2х) (х2 + х + 1) + 6 (х2 + х + І)2 = 0;
3) х (х + 3) (х + 5) (х + 8) + 36 = 0;
4) (х2 + х + І)2 = х2 (Зх2 + х + 1);
2 , 9х2 1С
5) х +------»=16.
(х + 3)2
Властивості функцій
1.68. Знайдіть область визначення функції:
1) У =
У17-15х-2х2 .
х + 3
2) у = у/12х2-4х3-9х-^2-\ х |.
1.69. Знайдіть область визначення функції:
І 7-х ~
У = V 74х2-19х + іг’
2) 3-
Л і тсЛ ХіЛ *
1.70. Знайдіть область значень функції:
1) = 3) у = 7х2+2х+2;
X +
2) у = х + ±; 4) ^ = 5-л/х2-6х + 10.
1.71. Знайдіть область значень функції:
1} 3) У=^-^’
2) = х + 4) у = 3-у!х2-2х + 2.
1.72. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
1
х2 - 4х +10
1.73. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
2
У х2-6х + 11"
1.74. Знайдіть:
1 х2
1) тах—; 2) тіп—ї==, де М = (-°°; -1) СІ (1; +«>).
К х2 + 2 М
1.75. Знайдіть:
2) тах (л/2 - х + л/х +1), де М = [-1; 2].
ЛГ
1.76. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше
і найменше значення функції / на множині М:
1) / (х) = х2 + 4х + 5а, М = [-1; 1];
2) / (х) = х2 - 4х, М = [-1; а], де а > -1.
1.77. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше
і найменше значення функції / на множині М:
1) / (Х) = -х2 + 6х - 2а, М = [0; 4];
2) / (х) = 2х - х2, М = [а; 2], де а < 2.
1.78. Розв’яжіть рівняння д/х + 2д/х + 3 + д/х + 8 = 8.
1.79. Розв’яжіть рівняння Зх2 + д/х-1 + 2 д/х + 2 =17.
1.80. Розв’яжіть рівняння | х | + | х-2 | + д/х-1 = 2.
1.81. Розв’яжіть рівняння 2хд/4х-х2 =х2+4.
1.82. Дослідіть на парність функцію:
- ч х3 - 2х2 х3 + 2х2
7 у х + 3 х-3
І 2х -11 -1 2х +11
2) У =-----^4--------;
4)
3) у =
х2-3| х |-5
д/1-Х - д/1 + Х
У =
1.83. Дослідіть на парність функцію:
2) у =------г +------г;
* (4х-2)5 (4х + 2)5
ц — 2х +1 2х —1
х2 - Зх +1 х2 + Зх +1
1.84. Відомо, що Л (/) = К. Доведіть, що функції у = / (х) + / (-х)
і У = / (х) • / (-х) є парними, а функція у = / (х) - / (-х) —
непарною.
1.85. Побудуйте графік функції:
1) у = (| х | - І)2; 4) у = 7| х + 2 1-1;
2) «/ = 71-1x1; 5) у = | 7 х |-2-11;
3) 0 = ^ 1-х |; 6) у = | >/2х-1-2|.
1.86. Побудуйте графік функції:
1} г/ = Щ=2; 4) у = (І X - 2 І + І)2;
5)’=Іг+ї-2І;
3) У = ІХ+1І 2; 6) У = \^^ї~2\-
І X і ± | —
1.87. На рисунку 1.1 зображено графік квадратичної функції
у - ах2 + Ьх + с. Визначте знаки коефіцієнтів а, Ь і с.
а)
б)
Рис 1.1
1.88. На рисунку 1.2 зображено графік квадратичної функції
у = ах2 + Ьх 4- с. Визначте знаки коефіцієнтів а, Ь і с.
1.89. Установіть, скільки коренів залежно від значення параме-
тра а має рівняння | х2 - 6 | х | 4- 8 | = а.
1.90. Установіть, скільки коренів залежно від значення параме-
тра а має рівняння |х24-2|я-2|-4| = а.
1.91. Чи є правильним твердження, що на рисунку 1.3 зображено
1.92. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
4х4 24х2
У (х* + 1)2 х4+1
Рівняння і нерівності з двома змінними
1.93. Розв’яжіть рівняння:
1) ІЗх2 - 12хі/ + 4/ - 4х + 1 = 0; 2) | у | + 2 = у/4-х2.
1.94. Розв’яжіть рівняння:
1) х1 2 + 25г/2 - бху - 24у + 9 = 0;
2) 9-х2 = 73+| у |.
1.95. Побудуйте графік рівняння:
1) (X - З)2 = (у + 5)2;
2) х2у = | у ];
3) х + 2 = 7| і/І-І;
4) | г/-1 | = 7х;
5) | у - 3 | + | х | = 1;
6) |х|-3 = ї/9-і/2;
7) ^4 = 1.
1-х2
1.96. Побудуйте графік рівняння:
1) (х - І)2 = (х + 2у)2',
2)х\у\ = х2-,
3) х+2 = 5/|у-1|;
4) | у\-1 = 4х;
5)|і/ + 1| + |х-2| = 2;
6) (| х | - І)2 + (1 у | - З)2 = 4;
7у (х2-4)(х + у)__0
У2-1
1.97. Побудуйте графік нерівності:
1) х > І у + 2 І - 2; 3) (х + у) | у | > 0;
2) | х | < | у2 - 2у |; 4) (х2 + у2 - 1) у2 < 0.
1.98. Побудуйте графік нерівності:
1) у < І х - З І + 1; 3) (х - у) І X І < 0;
2)|х-2|-|у + 1|>2; 4)
У
1.99. Зобразіть на координатній площині ху множину розв’язків
системи нерівностей:
(х + 2н>1, [х2 + $/2<1,
1) і 2) *
|х-і/<3; [(х + 1)2+ і/2 <1.
1.100. Зобразіть на координатній площині ху множину розв’язків
системи нерівностей:
1) 1г/+Ж-2>°’ 2}\х2 + у2<4’
|х-3і/<1; [і/>|х| + 1.
1.101. Побудуйте графік нерівності:
1) у[х-2у >у/х + у; 2) х<~-
1.102. Побудуйте графік нерівності:
1) у/2х-у <у/х-у; 2) у>-~.
Метод математичної індукції
1.103. Доведіть, що
1»2‘3 + 2-3-4 + 3-4‘5+... + п(п + 1)(п+2) = ~—- ” + 2)(ге+3).
4
ілл тт • 1.3,5, , 2п-3 , 2и-1 о 2п + 3
1.104. Доведіть, що - + + ...нн—+ —— = 3-------—.
2 4 8 2 і 2 2
1.105. Доведіть, що
(і _ 2 У1 _ 2 ґі _ 2 . (л_____2 _ п + 3
V 2-ЗД 3-4Д 4-5/”* \ (п + 1)(п + 2);3(п + 1)‘
1.106. Доведіть, що 5л + 2 + 62л + 1 : 31, п є N.
1.107. Доведіть, що 7-52л + 12-6" : 19, п є N.
1.108. Доведіть, що 14 • Зл + 9 • 72л : 23, п є N.
1.109. Доведіть нерівність 2” > 2п, п є п > 3.
1.110. Доведіть нерівність 2п + 4 > (и + 4)2, и є N.
1.111. Доведіть нерівність Зл > п3, п є п > 4.
ЕЛЕМЕНТИ
МАТЕМАТИЧНОЇ
ЛОГІКИ
| Висловлення та операції над ними
У фізиці, хімії, біології, економіці, соціології тощо про істин-
ність висновків можна судити, ґрунтуючись на результатах спо-
стережень та експериментів. У цьому аспекті математика — наука
іншого роду. Наприклад, те, що сума кутів трикутника дорівнює
180°, неможливо встановити лабораторним шляхом. Істинність
математичних тверджень може бути доведена лише в результаті
логічно бездоганних міркувань.
Науку, яка вивчає такі математичні доведення (логічно без-
доганні міркування), називають математичною логікою. Отже,
математична логіка вчить, як треба міркувати, щоб отримувати
правильні висновки.
Міркуючи, ми формулюємо свої думки у вигляді тверджень.
Розглянемо приклади.
1. Якщо трикутник рівносторонній, то центри його вписаного
і описаного кіл збігаються.
2. Новела М. Коцюбинського «Іпіегтегго» надто складна для
сприйняття.
3. Число п є раціональним.
4. Леонід Каденюк — перший космонавт незалежної України.
5. Число п є простим.
Твердження 1 і 4 є істинними, твердження. З — хибним. Твер-
дження 2 і 5 не можна віднести ні до істинних, ні до хибних.
Будь-яке твердження, відносно якого має сенс говорити, що
воно істинне або хибне, називають висловленням.
Отже, твердження 1, 3, 4 є висловленнями, а твердження 2
і 5 висловленнями не є.
Висловлення позначають великими літерами латинського ал-
фавіту: А, В, С, В тощо.
Наприклад, пишуть:
А = {Київ — столиця України};
' В в {5 > 7};
С = {число 2 просте}.
Будь-яке висловлення є або істинним, або хибним. Якщо ви-
словлення А є істинним, то говоритимемо, що йому поставлено
у відповідність число 1, якщо висловлення А хибне — то число 0.
Таким чином, якщо задано деяку множину висловлень, то
можна розглядати функцію /, областю визначення якої є ця мно-
жина, а областю значень — двоелементна множина {0, 1}. Таку
функцію / будемо називати функцією істинності. Наприклад,
якщо А = {10 : 5}, то / (А) = 1.
За допомогою логічних зв’язок, а саме слів «і», «або», «якщо ...,
то», «тоді і тільки тоді, коли...» тощо з наявних висловлень
можна будувати більш складні висловлення.
Наприклад, якщо задано два висловлення
А = {5 > 3}, В = {5 = 3},
то висловлення С = {5 > 3} утворено з висловлень А і В за допо-
могою сполучника «або».
Ще один приклад.
М = {У Галини Василівни у городі росте бузина},
ДГ = {У Галини Василівни в Києві живе дядько}.
Утворимо висловлення виду «якщо М, то АГ».
Маємо: {якщо у Галини Василівни у городі росте бузина, то
у неї в Києві живе дядько}.
Цей приклад показує, що нові висловлення можна утворювати
з таких висловлень, які не зв’язані між собою за змістом.
Розглянемо висловлення С = {10 : 5 і 10 : 2). Воно складене
з двох висловлень: А з {10 : 5} і В = {10 : 2} за допомогою спо-
лучника «і». Висловлення С називають кон’юнкцією висловлень
А і В.
Означення. Кон’юнкцією (або логічним добутком) двох
висловлень А і В називають висловлення, яке є істинним, коли
кожне з висловлень А і В істинне, і є хибним, коли хоча б одне
з них хибне.
Кон’юнкцію висловлень А’і В позначають так: А А В (читають:
«А і В» або «А кон’юнкція В»).
Повертаючись до прикладу, розглянутого вище, можна сказа-
ти, що висловлення С є висловленням А А В.
Також говорять, що висловлення С отримано з висловлень А
і В у результаті логічної операції кон’юнкції.
Зрозуміло, що істинність або хибність висловлення А Л В
залежить від істинності або хибності висловлень А і В. Цю за-
можність зручно представити у вигляді таблиці, яку називають
таблицею істинності. Так, таблиця істинності для логічної опе-
рації кон’юнкції має такий вигляд:
' А В АлВ
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Функцію, яка впорядкованим на-
борам з чисел 0 і 1 ставить у відповід-
ність число множини {0, 1}, називають
булевою функцією. Таблиця істинності
задає булеву функцію.
Кон’юнкція відповідає логічній
зв’язці «і». Визначимо низку інших
логічних операцій, які відповідають
найбільш вживаним способам утворен-
ня висловлень у звичайній мові.
Означення. Диз’юнкцією (або ло-
гічною сумою) двох висловлень А
і В називають висловлення, яке є іс-
тинним, коли хоча б одне з висловлень
А або В істинне, і є хибним, коли вони
обидва хибні.
Джордж Буль
(1815-1864)—
англійський математик,
засновник математичної
логіки
Диз’юнкцію висловленьАЇВ позна-
чають так: А V В (читають: «А або В» або «А диз’юнкція В»).
Нехай А н {у понеділок першим уроком в розкладі є фізика},
В = {у понеділок першим уроком в розкладі є математика}.
Тоді А V В е {у понеділок першим уроком в розкладі є фізика
або математика}.
Наведемо таблицю істинності для диз’юнкції:
А В А V В
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Більшість теорем мають таку логічну структуру:
якщо виконуються деякі умови, то можна зробити певний
висновок.
Логічну зв’язку «якщо..., то» вживають і в інших науках,
а також у повсякденному житті. Визначимо відповідну логічну
операцію.
Означення Імплікацією (або логічним слідуванням)
двох висловлень А і В називають таке висловлення А => В (чи-
тають: «якщо А, то В»), яке є хибним за умови, що висловлен-
ня А істинне, а висловлення В хибне, а в усіх інших випадках
воно істинне.
В імплікації А => В висловлення А називають умовою, а ви-
словлення В — висновком.
Наведемо таблицю істинності для імплікації:
А В А=>В
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Зауважимо, що перші два рядки цієї таблиці повністю від-
повідають нашому побутовому розумінню слова «слідує» («ви-
пливає»): якщо з істини слідує істина, то це правильно (перший
рядок таблиці); якщо з істини слідує хибність, то це неправильно
(другий рядок таблиці).
Третій і четвертий рядки показують, що імплікація не повніс-
тю відповідає логіці, якої ми дотримуємось у побутовій розмовній
мові. Навряд чи у повсякденному житті ми керуємося таким:
«якщо з брехні випливає істина або з брехні випливає брехня,
то такі висловлення істинні».
Наприклад, у силу означення імплікації кожне з висловлень
{якщо 2 х 2 = 5, то Дніпро впадає в Чорне море}
і
{якщо 2x2 = 5, то‘Дніпро впадає в Біле море}
є істинним.
Разом з тим зрозуміти доцільність прийнятого означення
імплікації допомагає такий приклад.
Твердження «Якщо х : 10, то х : 5» безумовно істинне в усіх
випадках.
Якщо підставити х = 1, то отримаємо істинне висловлення:
«Якщо 1 : 10, то 1 : 5», яке ілюструє четвертий рядок таб-
лиці.
• Якщо підставити х = 5, то отримаємо істинне висловлення:
«Якщо 5 : 10, то 5 : 5», яке ілюструє третій рядок таблиці.
Означення. Еквівалентністю (або подвійною імпліка-
цією) двох висловлень А і В називають висловлення, яке є іс-
тинним, коли обидва висловлення А і В істинні або обидва хибні,
і є хибним, коли одне з них істинне, а інше хибне.
Еквівалентність висловлень А і В позначають так: А <=> В (чи-
тають: «А еквівалентне В» або «А тоді і тільки тоді, коли В»).
Наведемо таблицю істинності для еквівалентності:
А в А <=> В
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Розглянемо два висловлення:
А = {2 = 5} і В = {2 > 5}.
Еквівалентність А <=> В = {2 = 5 тоді і тільки тоді, коли 2 > 5}
є істинним висловленням, оскільки обидва висловлення А і В
є хибними.
Розглянемо логічну операцію, яка відповідає частці «ні»
у звичайній мові.
Означення. Запереченням висловлення А називають вислов-
лення, яке є істинним, коли висловлення А хибне, і є хибним,
коли висловлення А істинне.
Заперечення висловлення А позначають так: А (читають: «не
А» або «неправильно, що А»).
Наведемо таблицю істинності для заперечення:
А А
1 0
0 1
Комбінуючи між собою логічні операції, можна отримати
логічні вирази.
Записи А Л В, (А V В) л С, А => В, А <=> В є прикладами логіч-
них виразів.
ПРИКЛАД. Складіть таблицю істинності для виразу (А ЛВ) V С.
Розв'язання. Маємо:
А в с А лВ (АлВ)УС
1 1 1 1 1
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 0 0 0
0 1 1 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
Означення. Висловлення А і В називають логічно еквіва-
лентними, якщо вони або обидва істинні, або обидва хибні.
Пишуть А = В.
Іншими словами: А = В тоді і тільки тоді, коли А <=> В є іс-
тинним висловленням.
Покажемо, наприклад, що А => В = А у В для будь-яких вислов-
лень А і В. Для цього складемо таблицю істинності для виразу
А V В і порівняємо її з таблицею істинності для імплікації А => В:
А В А => В А Ач В
1 1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
Стовпці, які відповідають логічним виразам А В і А'у В,
збігаються. Це означає, що ці висловлення логічно еквівалентні.
Ви знаєте, що деякі властивості операцій над множинами
багато в чому аналогічні властивостям арифметичних дій. На-
приклад,
АОВ=ВОА
а -І- Ь - Ь -І- а
А А В = В А А аЬ = Ьа
А П (В О С) = (А А В) 0 (А А С) а (Ь 4- с) = аЬ + ас
Також можна помітити певну аналогію при вивченні влас-
тивостей логічних операцій. Наприклад, висловлення А V В
і В V А є логічно еквівалентними, тобто
А V В = В V А.
У цьому легко переконатися, порівнявши таблиці істинності
для виразів А V В і В V А.
Також нескладно встановити, що, наприклад,
А А В = В А А,
(А А В) ЛС=АЛ(В АС).
З іншими властивостями логічних операцій ви ознайомитесь,
розв’язуючи вправу 2.13.
Властивості логічних операцій дають змогу одне істинне
висловлення замінити іншим висловленням, йому логічно ек-
вівалентним. Це дозволяє будувати загальні схеми правильних
логічних міркувань, що, власне, і складає предмет математичної
логіки.
Зазначимо, що математична логіка, як правило, не займається
з’ясуванням істинності одного окремо взятого висловлення (на-
приклад, визначити, чи впадає Дніпро в Чорне море — справа
географії, а не логіки). Водночас питання про істинність різно-
манітних логічних виразів посідає важливе місце в цій науці.
Тому в математичній логіці особливу роль відіграють ті логічні
вирази, які завжди є істинними, незалежно від істинності ви-
словлень, з яких вони утворені. Такі логічні вирази називають
тотожно істинними або тавтологіями.
Розглянемо вираз А V А і складемо для нього таблицю істин-
ності:
А А А V А
1 0 1
0 1 1
Третій стовпець таблиці показує, що коли / — функція істин-
ності, то при будь-якому А має місце рівність /(АуА) = 1.
Отже, вираз Ау А є тавтологією, яку називають законом ви-
ключення третього. Цей закон є цілком зрозумілим з точки зору
повсякденного досвіду. Він стверджує те, що одне з двох вислов-
лень, А або А, є істинним.
З іншими тавтологіями ви ознайомитесь, розв’язуючи впра-
ву 2.14.
Наголосимо, що тавтології дозволяють нам будувати істинні
висловлення, тому вони найбільш цікаві для логіки.
Вправи
2.1. ° Які з даних речень є висловленнями:
1) 5 > 5;
2) х < 5;
3) що більше, зіп 30° або соз 45°?
4) якщо чотирикутник АВСВ є паралелограмом, то АВ = СВ;
5) число 1 не є простим і не є складеним;
6) неправильно, що 5 є дійсним числом;
7) усі кішки сірі;
8) функція § є парною?
2.2. ° Нехай / — функція істинності. Знайдіть / (А), якщо:
1) А = {число 2 — просте};
2) А = {рівняння х2 + х - 1 = 0 не має коренів};
3) А = {Нью-Йорк — столиця СІЛА};
4) Аз{>/5є0};
5) А = {ф с й};
6) А з {функція у = [х] є парною};
7) А = {функція у = ± є спадною}.
2.3. ° Дано два висловлення:
А = {5 < 6}, В = {6 — просте число}.
Визначте, істинним чи хибним є висловлення:
1)ААВ; 3)А=>В; 5) А;
2) А V В; 4) А « В; 6) В.
2.4. ° Дано два висловлення:
А = {2 = 3}, В = {2 — просте число}.
Визначте, істинним чи хибним є висловлення:
1)ААВ; 3)А=>В; 5) А;
2) А V В; 4) А « В; 6) В.
2.5. ’ Нехай У — функція істинності, А і В — деякі висловлення,
причому / (А) = 1. Знайдіть, де це можливо, значення функції У:
1) / (А А В); 3) / (А В); 5) / (а).
’ 2) / (А V В); 4) / (А « В);
2.6/ Нехай У —функція істинності, А і В — деякі висловлення,
причому У (а) = 1. Знайдіть, де це можливо, значення функції /:
1) У (А А В); 2) У (А V В); 3) У (А => В); 4) У (А <=> В).
2.7. * Нехай У — функція істинності, А і В — деякі висловлення.
Знайдіть / (В), якщо:
1) У (А А В) = 1; 3) У (А => В) = 1 і У (А) = 1;
2) У (А V В) = 1 і У (А) - 0; 4) У (А « В) = 0 і У (А) = 0.
2.8. * Нехай / — функція істинності, А і В — деякі висловлення,
причому У (А А В) = 1. Знайдіть:
1) /(А7В); 2) На=>в); 3) /(а«в); 4) /(в=>А).
2.9. * Складіть таблицю істинності для логічного виразу:
1) А=>В; 3) (А А В) => С; 5) (АЛС)=>В.
2) (А V В) А С; 4) (А => В) А (В V С);
2.10. ’ Складіть таблицю істинності для логічного виразу:
1) АуВ; 3) (ВЛС)=>А;
2) В=>А; 4) (АУВ)л(ВУС).
2.11. * Електричний ланцюг між точками М і N складений за
схемою, зображеною на рисунку 2.1. Розглянемо висловлення:
А = {елемент т ланцюга функціонує нормально};
В з {елемент п ланцюга функціонує нормально}.
Визначте, чи є ланцюг замкненим, якщо відомо значення
функції істинності У:
1)/(АЛВ) = 1; 3) / (А V В) = 0; 5) /(аув) = 0.
2) / (А А В) = 0; 4) /(АЛВ) = 1;
М0-
Рис 2.1
0М
2.12. * Електричний ланцюг між точками М ІN складений за схе-
мою, зображеною на рисунку 2.2. Розглянемо висловлення:
А = {елемент т ланцюга функціонує нормально};
В = {елемент п ланцюга функціонує нормально}.
Визначте, чи є ланцюг замкненим, якщо відомо значення
функції істинності /:
1) /(Алв) = 1; 2) /(аув) = О; 3){(А/\В) = 1.
М0--
©---0N
2.13. * Доведіть, що:
1) А = А;
2) А А А = А;
3)АУА=А;
4) А V В = В V А;
5) А V (В V Є) = (А V В) V С;
Рис 2.2
7)А V (В А С) = (А V В) А (А\/С);
8) АУВ = АдВ;
9) АЛВ = АУВ;
10) А=>В=В=*А;
11) А<=>В = (АлВ)у(АлВ).
6) А А (В V С) = (А А В) V (А А С);
2.14/ Доведіть, що логічний вираз є тавтологією:
1) А=>А; 2) АЛА; 5) (А => В) V (В => А); 6) А А (А=>В) =>В;
7) ВЛ(А=>В)=>А;
8) ((А => В) А (В => С)) => (А => С).
3) АЛА=>В;
4)А=>(В=>А);
2.15 /* Через операції кон’юнкції та заперечення виразіть операцію:
1) диз’юнкції; 2) імплікації.
2.16 /* Виразіть операцію кон’юнкції через операції диз’юнкції
та заперечення.
2.17 .* Деяка логічна операція * має таку таблицю істинності:
А В А * В
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
Виразіть операцію * через операції V, А та операцію запере-
чення.
2.18.* Деяка логічна операція * має таку таблицю істинності:
• А В А* В
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Виразіть операцію * через операції V, Л та операцію заперечення.
2.19.* Деяка логічна операція >1 має таку таблицю істинності:
А в АІВ
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Покажіть, що'через операцію >1 можна виразити диз’юнкцію,
кон’юнкцію та заперечення.
2.20.* Деяка логічна операція ? має таку таблицю істинності.
А В аТв
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
Покажіть, що через операцію ? можна виразити диз’юнкцію,
кон’юнкцію та заперечення.
Про комп'ютери, електричні схеми
та теорему Поста
Цікаво відзначити, що математична логіка зіграла істотну
роль у створенні комп’ютерів.
Напевно ви чули, що сучасні комп’ютери у своїй роботі спи-
раються не на десяткову систему числення, до якої ми звикли,
а на так звану двійкову систему числення, коли кожне число
кодується послідовністю нулів та одиниць1. Керування робо-
1 Технічно реалізувати таке кодування досить просто: подана на дріт
напруга означає одиницю, а відсутність напруги — нуль.
тою комп’ютера здійснюється за допомогою команд, що також
кодуються нулями та одиницями. Апарат математичної логіки
виявився надзвичайно зручним, бо кожне логічне висловлення
також характеризується нулем або одиницею.
Для реалізації операцій над висловленнями у перших ком-
п’ютерах використовувалися електричні схеми. Наприклад,
для операцій диз’юнкції та кон’юнкції можна використовувати
електричні схеми, описані в задачах 2.11 та 2.12 (у сучасних
комп’ютерах електричні схеми замінені на напівпровідникові мі-
кросхеми). Які ж електричні схеми відповідають іншим логічним
виразам, наприклад імплікації? Чи існують такі схеми взагалі?
І якщо існують, то як їх віднайти?
Виявляється, для побудови електричних аналогів будь-яких
(навіть найскладніших) логічних виразів можна обійтися лише
схемами для диз’юнкції, кон’юнкції та заперечення.
Для обґрунтування цього твердження перекладемо його ма-
тематичною мовою.
Кожний логічний вираз має свою таблицю істинності, яка
й описує його логічний зміст. Покажемо, що для довільної таблиці
істинності можна віднайти логічний вираз, що використовує лише
операції диз’юнкції, кон’юнкції та заперечення.
Розглянемо, наприклад, деякий логічний вираз Р, що залежить
від трьох висловлень А, В, С і має таку таблицю істинності:
А в с е
1 1 1 0
1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 ’ 0 0
Бачимо, що серед значень логічного виразу Е є дві одиниці
(синій та червоний рядки таблиці), а решта нулі. Побудуємо логіч-
ний вираз, рівний Е, використовуючи лише операції диз’юнкції,
кон’юнкції та заперечення.
Для отримання одиниці при комбінації
аргументів 1, 1, 0 (синій рядок) запишемо
вираз: А А В А С. Цей вираз набуває істин-
ного значення лише тоді, коли А і В — іс-
тинні висловлення, а С — хибне, тобто
якраз при комбінації аргументів 1,1,0. Ана-
логічно для отримання другої одиниці (чер-
воний рядок) запишемо вираз: АЛВЛС.
Тепер зрозуміло, що Р можна подати як
диз’юнкцію цих двох виразів:
2?' = (АлВЛС)\/(АЛВЛС).
Міркуючи таким самим способом, мож-
на відшукати потрібні формули для най-
Еміль Леон Пост
(1897-1954)
складніших таблиць істинності. Комбінуючи відповідним чином
електричні схеми для диз’юнкції, кон’юнкції та заперечення,
можна побудувати схему, яка відповідає довільному логічному
виразу. Наприклад, для виразу Р маємо:
На завершення цієї розповіді зазначимо, що математик Еміль
Леон Пост знайшов прості загальні умови, які дозволяють дати
відповідь на питання, чи можна довільну таблицю істинності
виразити через набір даних логічних виразів. З цією чудовою
теоремою ви ознайомитесь, якщо продовжите вивчати математику
в університеті.
І Предикати. Операції над предикатами
Розглянемо кілька тверджень:
• п — просте число;
• число а ділиться націло на 5;
• І У І <2;
• х + у = 1.
Кожне з них не є висловленням, оскільки неможливо сказа-
ти, є воно істинним чи хибним. При одних значеннях змінних
ці твердження перетворюються на істинні висловлення, при
інших — на хибні.
Говорять, що такі твердження залежать від змінних. їх на-
зивають предикатами.
Позначимо предикати, що розглядаються, відповідно так:
А (п) з {п — просте число};
В (а) = {число а ділиться націло на 5};
с (у) = {| у | < 2 };
о (*; у) = {х + у = і}-
У круглих дужках вказано змінні, від яких залежить предикат.
Якщо в предикат замість змінної підставити яке-небудь її зна-
чення, то буде отримано висловлення. Наприклад:
• А (2) — істинне висловлення;
• В (4) — хибне висловлення;
• С (5) — хибне висловлення;
• В (0; 1) — істинне висловлення.
Розглянемо множину М і деякий предикат Р (х), де х є М.
У цьому разі говорять, що предикат Р (х) задано на множині М
або множина М є областю визначення предиката Р (х).
Повертаючись до розглянутих вище прикладів, можна сказати,
що областю визначення предиката А (п) є множина К, предика-
та В (а) — множина 2, предиката С (у) — множина К, предика-
та -О (х; у) — множина всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
У множині М, на якій задано предикат Р (х), виділимо таку
підмножину, яка містить всі ті і тільки ті елементи, для яких
предикат Р (х) перетворюється на істинне висловлення. Цю мно-
жину називають областю істинності предиката Р (х) і позначають
відповідно буквою Р.
Наприклад, областю істинності предиката А (п) є множина А,
яка складається з усіх простих чисел. Для предиката С (у) маємо:
С = [-2; 2].
Якщо область істинності предиката збігається з його областю
визначення, то такий предикат називають тотожно істинним, а
якщо область істинності — порожня множина, то предикат нази-
вають тотожно хибним. Наприклад, Р (х) = {х - х = 0} — тотожно
істинний, аО(х) = {х2 4- 1 =*0} — тотожно хибний предикати, які
визначено на множині В.
Предикати існують не тільки в математиці. Наприклад, речен-
ня «футболіст х команди «Динамо» (Київ) у сезоні 2009-2010 рр.
забив 17 голів» є предикатом, заданим на множині футболістів
команди «Динамо» (Київ), які грали в зазначеному сезоні. Облас-
тю істинності цього предиката є одноелементна множина {Артем
Мілевський}.
Нехай предикати А (х) і В (х) задані на множині М і їх області
істинності дорівнюють відповідно А і В.
Означення. Предикати А (х) і В (х) називають рівносильни-
ми, якщо їх області істинності збігаються, тобто А ~ В.
Пишуть А (х) = В (х).
Наприклад, якщо А (х) в {у[х > о} і В (х) = {| х | = х}, то А (х) =
в В (х). Справді, тут А = В = [0; +«>).
Логічні операції над висловленнями природним чином поши-
рюються на предикати. Розглянемо деякі логічні операції над
предикатами.
Означення. Кон’юнкцією предикатів А (х) і В (х) називають
предикат, область істинності якого дорівнює А П В.
Кон’юнкцію предикатів А (х) і В (х) позначають так:
А (х) А В (х).
Наприклад, якщо А (х) = {х > 5}, В (х) в {х < 7}, то кон’юнкція
цих предикатів являє собою систему
ґх>5,
[х <7,
множина розв’язків якої, проміжок (5; 7], є областю істинності пре-
диката А (х) А В (х). Також можна записати А (х) А В (х) в {5 < х < 7}.
Означення. Диз’юнкцією предикатів А (х) і В (х) називають
предикат, область істинності якого дорівнює ЛОВ.
Диз’юнкцію предикатів А (х) і В (х) позначають так:
А (х) V В (х).
Наприклад, якщо А (х) = {х < -5}, В (х) = {х > 5}, то диз’юнкція
цих предикатів являє собою сукупність
х < -5,
х>5,
множина розв’язків якої, (~°°; -5) 0 (5; є областю істинності
предиката А (х) V В (х). Також можна записати А (х) V В (х) =
В {| х І > 5}.
Означення. Імплікацією предикатів А (х) і В (х) називають
предикат, який перетворюється в хибне висловлення для тих
і тільки тих елементів множини М9 для яких предикат А (х) стає
істинним висловленням, а предикат В (х) — хибним.
Імплікацію предикатів А (х) і В (х) позна-
чають так:
А (х) => В (х).
Наприклад, якщо А (х) = {х > 5}, В (х) =
= {х > 3}, то областю істинності предиката
А (х) => В (х) є множина К.
Узагалі, якщо А с В, то областю істинності
предиката А (х) => В (х) є множина М. Справді, у множині М
немає елементів, які належать множині А, але не належать мно-
жині В (рис. 3.1).
Означення. Еквівалентністю предикатів А (х) і В (х) на-
зивають предикат, який перетворюється в істинне висловлення
для тих і тільки тих елементів множини М, для яких обидва
предикати А (х) і В (х) стають істинними висловленнями або
обидва стають хибними висловленнями.
Еквівалентність предикатів А (х) і В (х) позначають так:
А (х) « В (х).
Наприклад, якщо
А (х) = {х2 - х - 2 = 0},
В (х) = {(х + 1) (х - 2) (х2 4- 1) = 0},
то областю істинності предиката А (х) <=> В (х) є множина К.
Означення. Запереченням предиката А (х) називають преди-
кат, областю істинності якого є множина М \ А.
Заперечення предиката А (х) позначають так:
А (х).
Наприклад, якщо А (х) = {х > 5}, то А(х) = {х<5}.
Логічні операції над предикатами мають властивості, анало-
гічні властивостям логічних операцій над висловленнями.
Наприклад,
А (х) А В (х) = В (х) А А (х),
А (х) V В (х) н В (х) V А (х).
Справедливість цих властивостей випливає з рівностей А П В =
= В п А і А и В = В о А.
Зокрема, ці властивості дозволяють стверджувати, що коли
в системі або сукупності рівнянь (нерівностей), визначених на їй,
поміняти порядок їх слідування, то отримаємо систему або су-
купність, рівносильну даній.
Оскільки для множин А, В і С справедлива рівність А П (В О С) =
= (А Сі В) О (А Сі С), то для відповідних предикатів виконується
властивість
А (х) Л (В (х) V С (х)) = (А (х) Л В (х)) V (А (х) Л С (х)).
х>5,
Наприклад, система <Гх<7, рівносильна сукупності
х>11
х>5,
х<7,
х>5,
х>11
Нехай предикат А (х) задано на множині М. Розглянемо два
твердження, які часто зустрічаються.
• Предикат А (х) перетворюється на істинне висловлення для
всіх елементів X множини М.
• Предикат А (х) перетворюється на істинне висловлення хоча б
для одного елемента х множини М.
Перше твердження прийнято коротко записувати так:
(Ух є М) А (х).
Друге твердження коротко записують так:
(Зх є М) А (х).
Символ V (перегорнута перша буква англійського слова АІІ —
кожний) називають квантором загальності. Він заміняє у сло-
весних формулюваннях словосполучення: для довільного, для
будь-якого, для кожного.
Символ 3 (перегорнута перша буква англійського слова
Ехізі — існувати) називають квантором існування. Він заміняє
у словесних формулюваннях слова: існує, знайдеться, хоча б
для одного.
Наприклад, якщо на предикат А (х) з {| х | > 0}, який задано
на множині К, «навісити» квантори, то отримаємо:
(Ух є В) А (х) = {для всіх дійсних чисел | х | > 0} — хибне ви-
словлення;
(Зх є В) А (х) = {існує дійсне число, для ЯКОГО І X | > 0} — іс-
тинне висловлення.
Отже, поява кванторів загальності або існування перед преди-
катом перетворює його на висловлення.
За допомогою введених в цьому пункті понять цілу низку ма-
тематичних тверджень можна сформулювати компактно.
Покажемо, як можна сформулювати принцип математичної
індукції.
Нехай предикат А (п) задано на множині N. Тоді ви-
словлення (Уп є №) А (п) логічно еквівалентне висловленню
А(1) Л ((V/? є ІЧ) А (к) =>А(к + 1)), тобто принцип математичної
індукції можна сформулювати так:
(Уп є Н) А (п) = А (1) Л ((V* є Н) А (к) => А (к + 1)).
Більшість теорем, які вивчають у школі, можуть бути сфор-
мульовані так:
•для будь-якого елемента х множини М з твердження А (х)
випливає твердження В (х).
Іншими словами, теорема являє собою істинне висловлення
виду
(Ух є М) А (х) => В (х).
Наприклад, розглянемо таку теорему.
Якщо натуральне число п ділиться націло на 6, то воно ді-
литься націло на З,
У цій теоремі розглядаються два предикати, задані на мно-
жині
А (п) = {п : 6};
в (п) = {п ; 3}.
Цю теорему можна подати у вигляді такого висловлення:
(Уп є Н) А (п) => В (п).
У формулюванні теореми, яке має структуру
(Ух є М) А (х) => В (х),
предикат А (х) називають умовою теореми, предикат В (х) —
висновком теореми. Опис елементів множини М — це роз’яс-
нювальна частина теореми.
Часто заради стислості формулювання роз’яснювальну частину
теореми опускають. Наприклад, теорему Піфагора формулюють
так: якщо в трикутнику АВС /С = 90°, то АВ2 = АС2 + СВ2.
Покажемо, як теорему Піфагора можна сформулювати у фор-
мі, описаній вище.
Нехай Т — множина всіх трикутників. Розглянемо два преди-
кати, задані на множині Т:
Р (Д АВС) = {А С = 90°};
(Д АВС) = {АВ2 = АС2 + СВ2}.
Тоді найбільш повне формулювання теореми Піфагора — це
висловлення
(УД АВС є Т)Р (Д АВС) => Є (Д АВС).
яке можна прочитати так: для будь-якого трикутника АВС, у яко-
му С = 90°, виконується рівність АВ2 = АС2 4- СВ2.
Нехай предикати А (х) і В (х), задані на множині М. мають
області істинності А і В відповідно. Ми знаємо, що з умови
А с В випливає, що областю істинності імплікації А (х) => В (х)
є множина М. Отже, умова А с В забезпечує істинність теореми
(Ух є М) А (х) => В (х).
Наприклад, множина чисел, які кратні 6, є підмножиною
множини чисел, кратних 3. Тому є правильною розглянута вище
теорема (Уи є Н) А (п) => В (п).
Означення 1. Теореми
(Ух єМ) А (х) => В (х) і
(Ух єМ) В (х) => А (х)
називають взаємно оберненими.
Інколи одну з цих теорем називають прямою, тоді іншу на-
зивають оберненою.
З взаємно оберненими теоремами ви нерідко зустрічалися
в курсі планіметрії 7-9 класів.
У теоремі (Ух є М) А (х) => В (х) предикат А (х) називають
достатньою умовою для В (х), а предикат В (х) — необхідною
умовою для А (х).
У взаємно обернених теоремах кожний з предикатів А (х)
і В (х) є необхідною і достатньою умовою для іншого. У цьому
разі висловлення
(Ух є М) А (х) « В (х)
є істинним. Цю теорему читають: «для всіх елементів множини М
умова А (х) є необхідною і достатньою для умови В (х)» або «для
всіх елементів множини М умова А (х) виконується тоді і тільки
тоді, коли виконується умова В (х)>. Теореми такого виду на-
зивають критеріями.
Наприклад:
• для того щоб довільний чотирикутник був паралелограмом,
необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину
ділилися навпіл;
• будь-яке натуральне число п кратне трьом тоді і тільки тоді,
коли сума його цифр кратна трьом.
Означення 2. Теорему (Ух еМ) А(х)=>В(х) називають про-
тилежною теоремі (Ух єМ) А (х) => В (х).
Розглянемо теорему, яку вважатимемо прямою:
у будь-якому трикутнику проти рівних сторін лежать рівні
кути.
Побудуємо за допомогою цієї теореми ще три нові теореми.
Обернена теорема: у будь-якому трикутнику проти рівних
кутів лежать рівні сторони.
Протилежна теорема: у будь-якому трикутнику проти
нерівних сторін лежать нерівні кути.
Теорема, обернена до протилежної: у будь-якому три-
кутнику проти нерівних кутів лежать нерівні сторони.
З попереднього пункту ви знаєте, що висловлення А => В і
В=>А є логічно еквівалентними (див. вправу 2.13 (10)), тобто
(А => В) = (в => а). Звідси логічно еквівалентними є висловлення,
які являють собою пряму теорему і обернену до протилежної,
тобто
(Ух є М) А (х) => В (х) = (Ух є М) В (х)=>А(х).
Цим фактом ми нерідко користувалися. Відомий метод дове-
дення від супротивного саме і полягає в тому, що замість вихідної
теореми доводять обернену до протилежної.
| Вправи
3.1 .° Серед даних тверджень укажіть предикати:
1) число (п + 1)2 - 1 — складене, п є Н;
2) для будь-якого х є К виконується рівність х2 + х + 1 = 0;
3) модуль дійсного числа х більший за нуль;
4) неправильно, що п : 5, п є
5) квадрат будь-якого натурального числа п при діленні на З
дає в остачі 0 або 1;
6) існує таке ціле число х, що одиниця є його дільником;
7) ціла частина дійсного числа х дорівнює числу х.
3.2 .° На множині [-2; 3) задано предикат
А (х) = {х — ціле число}.
Укажіть область істинності цього предиката.
3.3 / На множині [0; +<») задано предикат
Р (х) = {х3 - х = 0}.
Укажіть область істинності цього предиката.
3.4 / На множині всіх упорядкованих пар дійсних чисел задано
предикат
В (х; у) = {х2 4- у2 = 1}.
Зобразіть на координатній площині ху множину точок, коорди-
нати яких складають область істинності даного предиката.
3.5 .° Укажіть область істинності предиката
А (х) = {[х] > х},
заданого на множині К.
3.6 .° Зобразіть на координатній площині ху область істинності
предиката
В (х; у) = {у[х*у* = ху},
заданого на множині всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
3.7 / На множині К задано предикати Р (х) = {х - 5 = 0},
(і (х) = {х + 2 = 0}. Знайдіть рівняння, що задає предикат:
1) Р (х) Л О (х); 2) Р(x)V^ (х).
3.8 / На множині їй. задано предикати
Р (х) = {х * 5}, <2 (х) = {х / -2}.
Укажіть область істинності предиката:
1) Р(х)Л<2 (х); 2) Р (х) V в (х).
3.9 / Предикати А (п) = {п : 10}, В (п) з {п : 5} задано на множині N.
Укажіть область істинності предиката А (п) => В (п).
3.10 / Предикати Р (х) = {| х | = -1}, 8 (х) з {х + 3 = 0} зада-
но на множині К. Укажіть область істинності предиката
Р (х) => 8 (х).
3.11 / На множині К задано предикати Р (х) = {х > 2}, (х) г
= {х > 5}. Укажіть область істинності предиката:
1) Р (х) => ф (х); 2) 0 (х) => Р(х).
3.12 / На множині К задано предикати Р (х) = {х > 2}, ф (х) г
= {х < 5}. Укажіть область істинності предиката:
1) Р (х) => Я (х); 2) (х) => Р (х).
3.13 / Множини А і В — області істинності предикатів А (х)
і В (х), заданих на множині М (рис. 3.2). Заштрихуйте область
істинності предиката:
1) А (х) Л В (х); 2) А (х) V В (х); 3) А (х) => В (х).
а)
б)
Рис. 3.2
в)
3.14 .* Серед предикатів, заданих на множині К, укажіть рівно-
сильні:
А (х) н {-х2 = 2}; С (х) = {[х] > х};
В (х) = {(х - З)2 > 0}; В (х) « {з£п (х2 - 6х + 9) = 1}.
3.15 .* Серед предикатів, заданих на множині всіх упорядкованих
пар дійсних чисел, укажіть рівносильні:
А (а; Ь) = {л/а2Ь2 = | аЬ |}; С (а; Ь) = {| аЬ | = аЬ};
В (а; Ь) = {аЬ > 0}; В (а; Ь) = {аЬ > 0}.
3.16 .* Предикати А (х), В (х) і С (х) задано на множині М. До-
ведіть, що:
1) (А (х) Л В (х)) Л С (х) = А (х) А (В (х) Л С (х));
2) (А (х) V В (х)) V С (х) М (х) V (В (х) V С (х));
3) А (х) V (В (х) Л С (х)) = (А (х) V В (х)) Л (А (х) V С (х));
4) А(х)лВ(х) = А(х^В(х);
5) А(х)?В(х) = АЙаВ(х)-
ЗД7.* Укажіть істинні висловлення:
1) (Ух є К) | х | > х; 4) (Уи є Н) (п3 - п) 6;
2) (Зх є К) | х | < 0; 5) (Зх є К) зіп 2х = 2 зіп х.
3) (Уи є Н) п < п2;
3.18. * Предикат А (р) = {р — непарне число} задано на множині
простих чисел Р. Укажіть істинне висловлення:
1) (Ур є Р) А (р); 2) (УрєР)А(р); 3) (Зр є Р) А(р).
3.19/ При яких значеннях х є істинним висловлення:
хе N Л х > 1 Л (Ур є М) ((х : у) => (у = 1 V у = х))?
3.20. * Для теореми «якщо деяке натуральне число ділиться наці-
ло на 5, то його квадрат ділиться наділо на 25» сформулюйте
обернену теорему, протилежну теорему, обернену до проти-
лежної.
3.21. * Для теореми «якщо в довільному опуклому чотирикутнику
суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати
коло» сформулюйте обернену теорему, протилежну теорему,
обернену до протилежної.
СТЕПЕНЕВА
ФУНКЦІЯ
І Степенева функція з натуральним
І показником
Властивості і графіки функцій у = х і у = х2 добре знайомі вам
з попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції
у = хп, п є Н, яку називають степеневою функцією з натуральним
показником.
Оскільки вираз хп, п є Н, має зміст при будь-якому х, то об-
ластю визначення степеневої функції з натуральним показни-
ком є множина К.
Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль
х - 0.
Подальше дослідження властивостей функції у = хп, п є М, про-
ведемо для двох випадків: п — парне натуральне число і п — не-
парне натуральне число.
• Перший випадок: в = 2&, к є N.
Зазначимо, що при к = 1 отримуємо функцію у = х2, власти-
вості і графік якої були розглянуті у 8 класі.
Оскільки при будь-якому х вираз х2к набуває тільки невід’єм-
них значень, то область значень розглядуваної функції не містить
жодного від’ємного числа.
Можна показати, що для будь-якого а >0 існує таке значення
аргументу х, що х2* = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = хп, де
п — парне натуральне число, є множина [0; +<»).
Якщо х ± 0, то х2* > 0.
Отже, проміжки (-«>; 0) і (0; +©о) є проміжками знакосталості
функції у = хп, де п — парне натуральне число.
Функція у = хп, де п — парне натуральне число, є парною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність (-х)2к = х2к.
Розглянемо довільні числа х± і х2 такі, що х± є (-©о; 0],
х2 є (~°°; 0] і х± < х2. Тоді -хг > -х > 0. Скориставшись власти-
вістю числових нерівностей, отримуємо (“Х1)2Й > (~х2)2к. Звідси
х2к >х2*.
Отже, функція у - хп, де п — парне натуральне число, спа-
дає на проміжку (-©о; 0]. Аналогічно можна показати, що ця
функція зростає на проміжку [0; +«>).
Рис. 4.2
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік
функції у = хЛ, де п — парне натуральне число (рис. 4.1). Зокрема,
графік функції у - х4 зображено на рисунку 4.2.
• Другий випадок: п — непарне натуральне число.
Зазначимо, що при п = 1 отримуємо функцію у = х, властивості
і графік якої були розглянуті в 7 класі.
Тепер нехай п = 2к + 1, Ь є N.
Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення
аргументу х, що х2к 4 1 = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = хп, де п —
непарне натуральне число, є множина К.
Якщо х < 0, то х2к 41 < 0; якщо х > 0, то х2к 4 1 > 0.
Отже, проміжки (-«>; 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталос-
ті функції у - хп, де п — непарне натуральне число.
Функція у = хп,деп — непарне натуральне число, є непарною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність (-х)2* 4 1 = -х2к + \
Розглянемо довільні числа хг і х2 такі, що хг < х2. Ско-
риставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо
Х12Л + 1<Х2А+1.
Отже, функція у = х”, де п — непарне натуральне число,
є зростаючою.
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік
функції у - х", де п — непарне натуральне число, п > 1 (рис. 4.3).
Зокрема, графіки функцій у = х3 і у = х5 зображено на рисун-
ку 4.4.
Дослідимо взаємне розміщення графіків функцій у = хт
і у = хп, де т е И, п є Н, т > п, на проміжку [0; +©о). Очевидно,
що ці графіки мають дві спільні точки: (0; 0) і (1; 1).
Розглянемо різницю хт - хп -
= хп (хт~п - 1). Оскільки т > п, то
(ти - гі) є N.
Якщо 0 < х < 1, то хп > 0 і хт ’п < 1.
Звідси хп (хт~п - 1) < 0.
Якщо х > 1, то хп > 0 і хт п > 1.
Звідси хп (хт п - 1) > 0.
Отже, на проміжку (0; 1) графік
функції у = хт знаходиться нижче
від графіка функції у = хл, а на про-
міжку (1; +©©) — вище (рис. 4.5).
Якщо т і п — парні натуральні
числа, то, відобразивши графік, зо-
т > п > 1,
х > 0
Рис. 4.5
бражений на рисунку 4.5, симетрично
відносно осі ординат, отримаємо рисунок 4.6. Для непарних ті п
застосуємо симетрію відносно початку координат (рис. 4.7).
т і п — парні натуральні числа,
т > п
ті п — непарні
натуральні числа, т > п > 1
Рис. 4.7
Рис. 4.6
У таблиці наведено властивості функції у - хп, п е И, уста-
новлені в цьому пункті.
п — парне натуральне число п — непарне натуральне число
Область визначення к к
Область значень [0; +©©) к
Нулі функції х = 0 х - 0
Проміжки знакосталості У > 0 на кожному з проміжків (-©©; 0) і (6; +©©) У < 0 на проміжку (-©©; 0), У>0 на проміжку (0; +©©)
Парність Парна Непарна
Зростання / спадання Спадає на проміжку (-©о; 0], зростає на проміжку [0; +©©) Зростаюча
Вправи
1.1. При яких значеннях а графік функції у = ах4 проходить
. через точку: 1) А (2; -12); 2) В (-3; -3)?
4.2.’ При яких значеннях а графік функції у = ах3 проходить
через точку: 1) С (3; -18); 2) В (-2; 64)?
1.3. Функцію задано формулою / (х) = х19. Порівняйте:
1) г (1,4) І Г (1,8); 3) / (-6,9) і / (6,9);
2) / (-7,6) і / (-8,5); 4) / (0,2) і / (-12).
4.4. ’ Функцію задано формулою / (х) = х21. Порівняйте:
1) / (20) і / (17); 2) / (-44) і / (1,5); 3) / (-52) і / (-45).
4.5. ° Функцію задано формулою / (х) = х20. Порівняйте:
1) / (3,6) і / (4,2); 3) / (-2,4) і / (2,4);
2) ! (-6,7) і / (-5,8); 4) / (-15) і / (2).
4.6. ’ Функцію задано формулою / (х) = х50. Порівняйте:
1) / (9,2) і / (8,5); 3) / (19) і / (-19);
2) / (-1,1) і ї (-1,2); 4) / (-7) і ї (9).
4.7. ° Скільки коренів має рівняння х” = 1600,. якщо:
1) п — парне натуральне число;
2) п — непарне натуральне число?
4.8. ’ Чи має дане рівняння від’ємний корінь:
1) Xе = 2; 2) х5 = -3; 3) х7 = 9; 4) х® = -10?
4.9. ° Розв’яжіть рівняння:
1) х5 = 32; 2)х3=-^; 3) х4 = 81; 4) х4 = -16.
4.10/ Розв’яжіть рівняння:
1) х3 =-27; 2) х5 = 0,00032; 3) х® = 64; 4)х® = -1.
4.11. ° Знайдіть точки перетину графіків функцій:
1) у - х6 і у = 2х4; 2) у = х4 і у - -27х.
4.12. ° Знайдіть точки перетину графіків функцій у = х5 і у = х3.
4.13. ° Установіть графічно кількість коренів рівняння:
1)х8 = х+ 1; 3) х4 = 0,5х - 2;
2) х5 = 3 - 2х; 4) х3 = х2 - 3.
4.14/ Установіть графічно кількість розв’язків системи рів-
нянь:
1)
= 2) Ь = х4 5 6,
2х-і/-3 = 0; [і/ = 2-0,5х2.
4.15. ° Чи випливає з рівності х" =х£, що хх = х2, коли: 1) п — пар-
не; 2) п — непарне?
4.16. ° Чи випливає з нерівності
1) п — парне; 2) п — непарне?
х” >х£, що хг > Х2, коли:
4.17. Чи випливає з нерівності х1 > х2, що х^х", коли:
1) п — парне; 2) п — непарне?
4.18/ Скільки коренів залежно від значення параметра а має
рівняння:
1) х12 = а - 6; 2) х24 = а2 + 7а - 8?
4.19. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рів-
няння х8 = 9а - а3?
4.20. Чи існує парна функція /, визначена на К, яка задовольняє
умовам: / (0) = 0, / (-1) = 1, / (2) == 1024?
4.21. Чи існує непарна функція /, визначена на Ж, яка задоволь-
няє умовам: / (0) = 0, / (-1) = -1, / (3) = 243?
4.22. * Побудуйте графік функції:
1) У = х3 - 1;
2) у = (х + 2)3;
3) у = х4 - 4;
4) у = (х - І)4;
5) у = (х + І)4 - 1;
6) у = -х3;
7)у=-|*4;
8) у = | х3 |;
9) у = (| х | + І)4.
4.23 * Побудуйте графік функції:
1) у = х3 + 3;
2) у = (х - З)3;
3) у = х4 + 2;
4) у = (х + І)4;
5) у = (х - І)3 + 2;
6) У = \х3-,
4
7) у = -х4;
8) у = (| х | - 2)3;
9) у = | х + 1 |3.
4.24.* Побудуйте графік функції:
1) /(х) =
2) /(х) =
х4, ЯКЩОХ<Р,
л/х, якщо х > 0;
х5, якщох<-1,
-х-2, якщо х>-1.
Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зрос-
тання і проміжки спадання даної функції.
1.25/ Побудуйте графік функції /(х) =
х3, якщохсО,
-л/х, якщо х>0.
• Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зрос-
тання і проміжки спадання даної функції.
1.26 / Побудуйте графік функції:
1) у = І х І х4; 2) у = І х І х4 + х5.
1.27 /Побудуйте графік функції:
1) у - | х | х3; 2) у = | х | х4 - х5.
4.28 / Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х8
на проміжку:
1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (—; -2]; 5) (-2; 1).
4.29 / Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х6
на проміжку:
1) [-13; -1]; 2) [-2; 1]; 3) [1; +«>); 4) (1; +«>).
4.30 / Парним чи непарним натуральним числом є показник сте-
пеня п функції / (х) = х", якщо:
1)Н-4)>/(-2);
2) / (-4) < / (2);
3) / (-4) < / (-2);
4) / (4) > / (2);
5)/(-4)>/(2);
6) / (4) > / (-2)?
4.31 /* Знайдіть усі функції /* такі, що рівність / (х3) = х21 вико-
нується для всіх х є К.
4.32 /* Знайдіть усі непарні функції / такі, що рівність / (х6) = х24
виконується для всіх х є К.
4.33 /* Знайдіть усі парні функції / такі, що рівність / (х4) = х20
виконується для всіх х є К.
4.34 /* Розв’яжіть рівняння:
1) х11 + х3 = 2; 2) 2х4 + х10 = 3.
4.35 .’* Розв’яжіть рівняння:
1) 4х3 + х7 = -5; 2) х6 + Зх8 = 4.
4.36 /* Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/ (х) = х8 на проміжку [-1; а], де а > -1.
4.37 /* Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/ (х) = х6 на проміжку [а; 2], де а < 2.
4.38 .* Розв’яжіть рівняння 5х17 - Зх8 = 2.
4.39 .* Розв’яжіть рівняння 11х15 4- 2х4 = -9.
4.40 .* Наведіть приклад такої послідовності визначених на К
різних функцій /2, ..., що для всіх пєК, хєі ви-
конується рівність /к (х)) = /кп (х).
4.41 .* Наведіть приклад такої послідовності визначених на К
різних функцій /р /2, ..., що для всіх Н М, П Е М, хє К ви-
конується рівність Ік (х) • /п (х) — Ік + п (х).
Функціональний підхід Коші
Вам часто доводиться розв’язувати рівняння, тобто шукати
такі значення змінної, при підстановці яких у рівняння отри-
муємо правильну рівність. Такі рівняння можна було б назвати
числовими, оскільки їх розв’язками є числа. У математиці ви-
вчають й інші рівняння, розв’язками яких є не числа, а функції.
Природно, що їх називають функціональними рівняннями.
З функціональними рівняннями ви зустрічалися раніше. На-
приклад, рівність
/ (х) = Г (-х), х є Б («,
яка задає парні функції, можна розглядати як функціональне рів-
няння. Розв’язком цього рівняння є будь-яка парна функція.
Ось ще два приклади функціональних рівнянь:
/ (х + у) = / (у) + х, х є Ж, у є К; (1)
/ (х + у) = 2 / (у) + х - у, х є К, у є К. (2)
Розв’яжемо функціональне рівняння (1).
Якщо в рівність / (х 4- у) = / (у) 4- х підставити значення змін-
ної у ** 0, то отримаємо таке:
/ (х) = / (0) + х.
Оскільки / (0) — деяка стала, то тим самим доведено, що
розв’язками рівняння (1) можуть бути лише лінійні функції виду
/’ (х) = х 4- с, де с — стала.
Водночас зауважимо, йщ наведені міркування не гарантують
того, що кожна лінійна функція виду / (х) = х + с задовольняє
функціональне рівняння (1). Тому треба зробити перевірку.
Підставивши функцію / (х) « х 4- с у функціональне рівнян-
ня (1), отримаємо очевидну тотожність:
(х + у) 4- с — (у 4- с) 4- х.
Відповідь: / (х) = х 4- с, де с — будь-яка стала.
Зауважимо, що останній етап розв’язування задачі — пере-
нірка — є важливою частиною розв’язування, оскільки на ньому
можуть бути «відсіяні» сторонні розв’язки.
в Проілюструємо це на прикладі розв’язування функціонального
рівняння (2).
Міркуючи аналогічно попередній задачі, підставимо у = 0.
Тоді
/(х) = 2/(0) + х.
Отже, розв’язками функціонального рівняння (2) знову можуть
бути лише лінійні функції виду і (х) = х + с9 де с — стала.
Проведемо перевірку отриманих функцій. Підставляючи функ-
цію / (х) = х + с у рівняння (2), отримаємо
х + у + с = 2 (у + с) + х - у;
с = 0.
Бачимо, що серед всіх лінійних функцій / (х) = х + с функці-
ональне рівняння (2) задовольняє лише одна: / (х) = х.
Відповідь: / (х) = х.
Функціональні рівняння грають в математиці важливу роль.
Оскільки кожне функціональне рівняння задає певну властивість
функцій, то за допомогою функціональних рівнянь можна визна-
чати конкретні класи функцій. Такий спосіб визначення функцій
через опис їх характерних властивостей у вигляді функціональних
рівнянь запровадив відомий французький математик О. Коші.
Його ім’я носять такі функціональні рівняння:
/ (х 4- у) = / (х) + / (у)9
І (ху) = / (х) + / (у)9
Цх + у) = / (х) / (у)9
І {ху) = / (х) / (у).
Огюстен Луї Коші
(1789-1857)
Огюстен Луї Коші — французький
математик. Опублікував понад 800 ро-
біт з арифметики, теорії чисел, алгебри,
математичного аналізу, диференціаль-
них рівнянь, теоретичної і небесної ме-
ханіки, математичної фізики; займався
також дослідженнями з тригонометрії,
теорії пружності, оптики, астрономії.
Був членом Паризької академії наук,
Лондонського королівського товариства
і майже всіх академій наук світу.
Використовуючи рівняння Коші, можна, наприклад, визна-
чити степеневу функцію / (х) = х5.
Розглянемо задачу: знайти всі функції /, визначені на К, які
одночасно задовольняють такі умови:
1) / — непарна зростаюча функція;
2) / (2) = 32;
3) / (ху) = / (х) / (у) для всіх значень х > 0, у > 0.
На заняттях математичного гуртка ви зможете розглянути до-
ведення того, що даний перелік умов задовольняє лише степенева
функція / (х) = х5.
Вправи
4.42. Знайдіть усі функції /, які для всіх х є К, у є К задоволь-
няють умову / (х) + / (у) = х + у.
4.43. Знайдіть усі функції /, які для всіх х є К, у є К задоволь-
няють умову / (ху + 1) = / (х) + 1.
4.44. Знайдіть усі функції /, які для всіх х є К, у є К задоволь-
няють умову / (у 4- / (х)) = (х - 1) ї (у).
4.45. Чи існує функція /, визначена на К і відмінна від / (х) = х5,
яка одночасно задовольняє такі умови:
1) Г (2) = 32;
2) / (ху) = / (х) / (у) для всіх х > 0, у > 0?
4.46. Знайдіть усі функції /, які для всіх х є К, у є К задоволь-
няють умову / (2х - Зу) + 12хі/ = / (2х) + / (Зі/).
| Степенева функція з цілим показником
Функцію, яку можна задати формулою у = х”, де п є на-
зивають степеневою функцією з цілим показником.
Властивості цієї функції для натурального показника було
розглянуто в попередньому пункті. Тут ми розглянемо випадки,
коли показник п є цілим від’ємним числом або нулем.
Областю визначення функції у = х° є множина (-«>; 0) О (0; +°°),
областю значень — одноелементна множина {1}. Графік цієї функ-
ції зображено на рисунку 5.1.
Розглянемо функцію у = х"Л, де
п < N.
З окремим випадком цієї функції,
- 1
коли п = 1, тобто з функцією у = —, ви
X
знайомі з курсу алгебри 8 класу.
Запишемо функцію у - х~п у вигля-
ді у = -^-. Зрозуміло, що областю ви-
У‘ 1< У = Х°
0 X
Рис. 5.1
значення функції у = х п, п Е №, є множина (-«>; 0) О (0; +«>).
Очевидно, що ця функція нулів не має.
Подальші дослідження властивостей функції у = х~п, де п є
проведемо для двох випадків: п — парне натуральне число
і п — непарне натуральне число.
• Перший випадок: п == 2к, к є N.
Маємо: х 2к = Цг- Оскільки вираз набуває тільки додатних
X X
значень, то до області значень розглядуваної функції не входять
від’ємні числа, а також число 0.
Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення
аргументу х, що х~2Л = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = х п,
де п — парне натуральне число, є множина (0;
Очевидно, що проміжки (-«>; 0) і (0; +<») є проміжками
знакосталості функції у = х~п, де п — парне натуральне
число.
Функція у = х~п, де п — парне натуральне число, є парною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність (-х)'2* = = -~ = х2к.
Розглянемо довільні числа хг і х2 такі, що х1 є (-«>; 0),
х2 є (-©о; 0) і хг < х2. Тоді -хг > -х2 > 0. Скориставшись власти-
вістю числових нерівностей, отримуємо 0<—— <——. Звідси
Отже, функція у = х п, де п — парне натуральне число, зрос-
тає на проміжку 0).
Аналогічно можна показати, що функція у = х~п, де п — парне
натуральне число, спадає на проміжку (0; +<*>).
Зауважимо, що зі збільшенням модуля х значення виразу —~,
к є М, стає все меншим і меншим. Тому відстань від точки гра-
фіка функції у = Цт-, к є №, до осі абсцис зменшується і може
X
стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.
Аналогічно можна встановити, що зі збільшенням модуля
ординати відстань від точки графіка до осі ординат зменшується
і може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме
нулю.
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити гра-
фік функції у = х~п, де п — парне натуральне число (рис. 5.2).
Зокрема, графік функції у = зображено на рисунку 5.3.
х
• Другий випадок: п = 2к - 1, к є N.
Можна показати, що для будь-якого а ф 0 існує таке значення
аргументу х, що х~(2к~Х) = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = х~п,
де п — непарне натуральне число, є множина (-«>; 0) О
Сі (0; +«>).
Якщо х < 0, то <0; якщо х > 0, то —г>0.
X X
Отже, проміжки (-©о; 0) і (0; -К») є проміжками знакосталості
функції у = х п, де п — непарне натуральне число.
Функція у = х~”, де п — непарне натуральне число, є непарною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність (-хГ(2Л'Х)=------—-у
(-Х)2*-1
І „ у-(2*-1)
Розглянемо довільні числа хг і х2 такі, що хг є 0),
х2 є (~оо; 0) і хг < х2. Тоді -х1 > ~х2 > 0. Скориставшись вла-
11
етивостями числових нерівностей, отримуємо-------<----;
1
х2^-1
1
2Л-1
Х2
Отже’ Р°3’
Х1 х2
глядувана функція спадає на проміжку (-«>; 0). Аналогічно мож-
на показати, що ця функція спадає і на проміжку (0; +<~).
Отже, функція у = х~п9 де п — непарне натуральне число,
спадає на кожному з проміжків (-«>; 0) і (0; +«>).
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік
функції у - х~п, де п — непарне натуральне число (рис. 5.4). Зо-
крема, графік функції !/ = -у зображено на рисунку 5.5.
У попередньому пункті було проведено дослідження взаємного
розміщення графіків функцій у = хт і у = хп, де т е №, п є №,
т> п. Міркуючи аналогічно, можна показати, що схематичне
розміщення графіків функцій у = хтїу = хп, де т е п є К,
т > п, є таким, як показано на рисунках 5.6, 5.7.
т і п — непарні,
т > п
Рис. 5.6
т і п — парні,
т > п
Рис. 5.7
У таблиці наведено властивості функції у = х ", п є №, вивчені
в цьому пункті.
п — парне натуральне число п — непарне натуральне число
Область визначення (—оо; 0) 0 (0; +°°) (-□о; 0) 0 (0; +оо)
Область значень (0; +°°) (-оо; 0) СІ (0; +°°)
Нулі функції - —
Проміжки зна- косталості У > 0 на кожному з проміжків (—оо; 0) і (0; +оо) У < 0 на проміжку (-°°; 0), У > 0 на проміжку (0; +°о)
Парність Парна Непарна
Зростання / спадання Зростає на проміжку (-°°; 0), спадає на проміжку (0; +°°) Спадає на кожному з проміжків (—оо; 0) І (0; +оо)
Вправи
5.1 / Чи проходить графік функції у = х 4 через точку:
1) А (2; і); 2) В (-2; 3) с(|; 81); 4) р(>/2; -|)?
5.2 ." Чи проходить графік функції у = х~5 через точку:
1) А (0; 0); 2) В (-1; -1); 3) С (|; 32І; 4) В (-3; --М?
5.3 / При яких значеннях а графік функції у = ах 3 проходить
через точку: 1) А (-5; 20); 2) В[2; —І?
\ 24/
5.4 .° При яких значеннях а графік функції у = ах-4 проходить
через точку: 1) А (3; -3); 2) В1-2; і|?
5.5 .° Дано функцію / (х) = х-19. Порівняйте:
1) / (1,6) і /(2); 3)/(-9,6) і/(9,6);
2) / (-5,6) і / (-6,5); 4) / (0,1) і / (-10).
5.6 / Дано функцію / (х) = х"25. Порівняйте:
1) / (18) і / (16); 2) / (-42) і / (2,5); 3) / (-32) і / (-28).
5.7 .° Функцію задано формулою / (х) = х"16. Порівняйте:
1) / (1,6) і / (2,2); 3) / (-3,4) і / (3,4);
2) / (-4,5) і / (-3,6); 4) / (-18) і / (3).
5.8 / Функцію задано формулою / (х) = х-40. Порівняйте:
1) / (6,2) і / (5,5); 3) / (24) і / (-24);
2) / (-1,6) і / (-1,7); 4) / (-8) і / (6).
5.9 / Скільки коренів має рівняння х~п - 2500, якщо:
1) п — парне натуральне число;
2) п — непарне натуральне число?
5.10 / Чи має дане рівняння від’ємний корінь:
1) х’6 = 2; 2) х’5 = 0,3; 3) х’7 = -3; 4) х"8 = -2?
5.11 / Знайдіть область визначення функції:
1) У = (х’1)'1; 2) у = ((х - 2) 2)-2.
5.12 / Побудуйте графік функції:
1) і/= (х - 2)°; 2) у = (х2 - 4х + 3)°; 3) У = (^)
5.13 / Побудуйте графік рівняння:
1) (у + 2)° = х - 2; 2) (у - 2)° = (х + 1)°.
5.14 .° Знайдіть точки перетину графіків функцій:
1) у = х і у = х 3; 2) у = х-2 і У = |х.
5.15 .° Знайдіть точки перетину графіків функцій у = х~7 і у = х~\
5.16 .* Побудуйте графік функції:
1) У = х~2 + 2; 4) у = х’3 - 1; 7) у = | х'3 |;
2) у = (х - З)2; 5) у = (х - І) 3; 8) у = | х - 1 | 3;
3) у = 6) у = Зх 3; 9) У=~Г~г
5.17 / Побудуйте графік функції:
1) У = х 5 - 3; 3) у = (х + І)-4; 5) у = | х'5 |;
2) у = 4х“8; 4) у =-х“4; б) У = х^х|*
5.18 / Знайдіть найбільше і найменше значення функції /(х) = х
на проміжку:
і) [і;і
2) -к-|
3) [1; +°°);
4) [-1; 0).
5.19 .* Знайдіть найбільше і найменше значення функції /(х) = х
на проміжку:
і) |;2
_о
2) [-2; -1]; 3) (-«>; -3]; 4) (0; 2].
5.20 .’ Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
У = х
у = 4-х2;
У = х
у = х3 +3.
5.21 . Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
1)
У = х'3,
У = |х2-4;
О
2)
у = х 2,
у = х2-2.
5.22 / Побудуйте графік функції / (х) =
X 2, якщо х<-1,
х2, якщох>-1.
Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки
зростання і проміжки спадання даної функції.
5.23/ Побудуйте графік функції / (х) =
х 3, якщох<-1,
-х2, якщо -1<х<1,
х 3, якщо х>1.
Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки
зростання і проміжки спадання даної функції.
5.24. * Парним чи непарним е натуральне число п у показнику
степеня функції / (х) = х п, якщо:
1) / (-2) > / (-1);
• 2) / (-2) < / (1);
3) / (-2) < / (-1);
4) / (2) < / (1)?
5.25. ** Знайдіть усі визначені на М\{0} функції / такі, що рівність
-М = Х45 виконується для всіх х є М\{0}.
\х /
5.26. ** Знайдіть усі непарні та визначені на ІК\{0} функції / такі,
що рівність / (х4) = х-16 виконується для всіх х є ІЙ\{0}.
5.27. ** Знайдіть усі парні та визначені на К\{0} функції / такі, що
рівність 6^ =х3° виконується для всіх х є К\{0}.
5.28. * Знайдіть усі визначені на К функції / такі, що рівність
/ (х“4) = х28 виконується для всіх х є К\{0).
Означення кореня п-го степеня
Ви знаєте, що квадратним коренем (коренем другого степе-
ня) з числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а.
Аналогічно дають означення кореня п-го степеня з числа а, де
п є П, п > 1.
Означення. Коренем п-го степеня з числа а, де п є М, п > 1,
називають таке число, п-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад, коренем п’ятого степеня з числа 32 є число 2,
оскільки 25 = 32; коренем третього степеня з числа -64 є число
-4, оскільки (-4)3 = -64; коренями четвертого степеня з числа 81
є числа 3 і -3, оскільки З4 = 81 і (-3)4 = 81.
З означення випливає, що будь-який корінь рівняння хл = а,
де п є И, п > 1, є коренем п-го степеня з числа а і навпаки, корінь
п-го степеня з числа а є коренем розглядуваного рівняння.
Якщо п — непарне натуральне число, то функція у = хп є зрос-
таючою і, оскільки її областю значень є множина К, то рівняння
хп = а має єдиний корінь при будь-якому а.
Рисунок 6.1 ілюструє останнє твердження: при будь-якому
значенні а графіки функцій у = хп і у = а мають одну спільну
точку.
Тоді можна зробити такий висновок:
якщо п — непарне натуральне число, більше за 1, то корінь
п-го степеня з будь-якого числа існує, причому тільки один.
Корінь непарного степеня п, п > 1, з числа а позначають так:
>[а (читають: «корінь п-го степеня за»). Знак V” називають
знаком кореня п-го степеня або радикалом. Вираз, який стоїть
під радикалом, називають підкореневим виразом.
Наприклад, ^32 = 2, ^-64 = -4, ^0=0.
Корінь третього степеня також прийнято називати кубічним
коренем. Наприклад, запис читають: «корінь кубічний з чис-
ла 2».
Наголосимо, що вираз 2к+>[а, к є К, існує при будь-якому а.
З означення кореня п-го степеня випливає, що при будь-якому
а виконується рівність
( у/а) =а
Наприклад, ($2)3 =2, (^/-0,1)7 =-0,1.
Розглянемо рівняння хп = а, де п — парне натуральне число.
Оскільки областю значень функції у = хп, де п — парне на-
туральне число, є множина [0; +°°), то при а < 0 дане рівняння
не має розв’язків.
Очевидно, що при а = 0 рівняння має єдиний корінь х = 0.
Функція у - хп, де п — парне натуральне число, зростає на
проміжку [0; +<») і набуває всіх додатних значень. Отже, при
а > 0 рівняння хп = а, де п — парне натуральне число, на про-
міжку [0; +оо) має єдиний корінь.
Оскільки розглядувана функція є парною, то при а > 0 дане
рівняння має два корені, які є протилежними числами.
Наведені твердження мають просту геометричну інтерпретацію
(рис. 6.2). Якщо а < 0, то графіки функцій у = хп і у = а не мають
спільних точок; якщо а = 0, то розглядувані графіки мають одну
спільну точку; якщо а > 0, то спільних точок дві, причому їх
абсциси — протилежні числа.
Тепер можна зробити такий висновок:
якщо п — парне натуральне число, то при а < 0 корінь
п-го степеня з числа а не існує; при а = 0 корінь п-го степеня
з числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежні числа,
які є коренями п-го степеня з числа а.
п — непарне
натуральне число, п > 1
натуральне число
Рис. 6.2
Рис. 6.1
Вище було встановлено, що рівняння хп = а при а > 0
обов’язково має один невід’ємний корінь. Його називають ариф-
метичним коренем п-го степеня з числа а.
Означення. Арифметичним коренем п-го Степеня
з невід’ємного числа а, де п є Н, п > 1, називають таке невід’ємне
число, п-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь п-го степеня з невід’ємного числа а по-
значають так: л/а.
Наприклад, л/8Ї = 3, оскільки 3>0і34 = 81;
^64 = 2, оскільки 2 > 0 і 26 = 64;
= 0, оскільки 0 > 0 і О10 - 0.
Узагалі, якщо Ь > 0 і Ьп = а, де п є И, п > 1, то у[а=Ь.
Звернемо увагу на те, що для позначення арифметичного ко-
реня п-го степеня з невід’ємного числа а і кореня непарного
степеня п з числа а використовують один і той самий запис: \[а.
Запис к є Н, використовують тільки для позначення ариф-
метичного кореня. Зазначимо, що корінь парного степеня з чис-
ла а не має позначення.
За допомогою знака кореня п-го степеня можна записувати
розв’язки рівняння хп = а, де п є ІЧ, п > 1.
Якщо п — непарне натуральне число, то при будь-якому зна-
ченні а розглядуване рівняння має єдиний корінь х = у[а.
Якщо п — парне натуральне число і а > 0, то рівняння має
два корені: хг = х2 = ->Іа.
Якщо а = 0, то х = 0.
Наприклад, коренем рівняння х3 = 7 є число </ї; коренями
рівняння х4 = 5 є два числа: -</б і </б.
З означення арифметичного кореня п-го степеня випливає, що
для будь-якого невід’ємного числа а має місце таке:
л/а > 0 і виконується рівність (у/а) = а.
Наприклад, (</7) =7.
Покажемо, що при будь-якому а і к є N
Для того щоб довести рівність 2к^І[х-у, потрібно показати,
що у2к * 1 = х.
Маємо: у/а) = -( у а) =-а.
Доведена властивість дозволяє корінь непарного степеня
з від’ємного числа виразити через арифметичний корінь.
Наприклад, </=2 =-</2, </=Ї2 =-</Ї2.
Вправи
6.Е Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте):
1) </27=3;
2) </ї = 1;
3) </=27 =-3;
4) </16=2;
5) </=16=-2;
6) </=32 = 2?
6.2 , Доведіть, що:
1) число 2 є арифметичним кубічним коренем з числа 8;
2) число 3 є арифметичним коренем четвертого степеня з чис-
ла 81;
3) число -3 не є арифметичним коренем четвертого степеня
з числа 81;
4) число 10 не є арифметичним коренем п’ятого степеня з чис-
ла 10 000.
6.3.° Знайдіть значення виразу:
1) 7^25; 3) </0,0016;
5>Я!;
7) 4</0,125; 9) №;
2) </2Ї6;
4) </-0,00001; 6)
8) | </-243; 10) №.
О
2) (-</9)’; 4) (1
\о
(к І. Чому дорівнює значення виразу:
1) </343; 3) 0,5 </=64; 5) </27^;
. 2) 4) -8^^; 6) 1(^49“?
6.5. " Обчисліть:
1) (ч/її)2; 3) (-</7)4; 5) -Ч/т4"; 7) (-3</їо)4; 9) |</48®.
£л
2) (</б)3; 4) (-</2)7; 6) (б </з)’; 8) (|</4в)в;
6.6. Знайдіть значення виразу:
1) да)8; 3) (-</її)6; 5) |</45=;
</4б)3; 6) (-2</=б)5.
6.7. ° Обчисліть:
1) 0,3</1000 -5 </256+ 6 -Р^Г;
2) </14® + (-2 ч/Ї0)2 - </-128;
3) ^2—-</-7—+ — •</14?-(-</=б) .
7 V 256 V 32 16 \2 /
6.8. ° Обчисліть:
1) 200 </0,001 - </-0,00032 - (-4 ч/І)2;
2) </8000.^тЦ-(-</8)5 + <Я7?.
6.9. ° При яких значеннях змінної має зміст вираз:
1) </х"+6; 3) </ЙЇРЇ); 5) <Р?;
2) ч/а-10; 4) </=^; 6) ^ха+2х-8?
6.10/ Знайдіть область визначення функції:
1) у = </х-2; 2) і/ = </4-х; 3) і/= \/2х - х2; 4) у = . .1 =
</х2-4х + 4
6.11. Розв’яжіть рівняння: 1) х3 = 27; 4) х4 = 16; 2) х5 = 9; 5) х® = 5; 3) х7 = -2; 6) х4 = -81; 6.12. Розв’яжіть рівняння: 7) 27х3 -1 = 0; 8) (х - 2)3 = 125; 9) (х + 5)4 = 10 000.
1) х9 = 1; 4) х18 = 0; 2) х8 = 12; 5) х5 = -32; 3) х10 = 1; 6) х6 = -64; 7) 64х® + 2 = 0; 8) (2х + І)8 = 8; 9) (х - 3)® = 729.
6.13. ° Розв’яжіть рівняння:
1) >/х=9; 4) ^х=-6;
2) = 5) ^х=-2;
3) і/х=3; 6) ^х = 0;
6.14. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) ^х=-2; 3) Ух=-2;
2) ^х=-2; 4) ^Зх^2 = 0;
7) \/2х + 7 = 0;
8) 3/2х + 7=О;
9) >/2х + 7 = 7.
5) ^Зх-2=О;
6) ^Зх-2 = 2.
6.15. ° Побудуйте графік функції:
1) у = (л/х) ; 2) у = (і[х)\
6.16. * Розв’яжіть рівняння:
1) х8 - 82х4 + 81 = 0; 2) х® + х3-56 = 0; 3) х12 + х® - 12 = 0.
6.17. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) х® - 25х3 - 54 = 0; 2) х8 + 13х4 - 48 = 0.
6.18. * Знайдіть область визначення виразу:
2)^в-|х
6.19. ’ Знайдіть область визначення виразу:
1
^З-х
1) ?
\х -36
6.20.’ Розв’яжіть рівняння:
1) (х2-4)^х + 1=0;
6.21.* Розв’яжіть рівняння:
1) (|х|-3)^х=0;
____1
4/~“
2) (х-І)^х1 2-2х-3 = 0.
2) (х + 2) ^х2+2х-3 = 0.
6.22. * Побудуйте графік функції:
1) і/ = (^Гл)4+(^^)4+1; 2) у^^А^Т.
6.23. * Побудуйте графік функції:
1) і/ = х(^х)4; 2) у = (</2+х)8 + (^2-х)6.
6.24. ** Доведіть, що є ірраціональним число: 1) \/2; 2) у[б.
6.25. ’* Доведіть, що є ірраціональним число: 1) \І7; 2) ^12.
6.26. ** Залежно від значення параметра а визначте кількість ко-
ренів рівняння:
1) (х-а)>/х+ї = 0; 2) (х - а) (ІЇх +1) = 0; 3) (х-а)(^х-1)=0.
6.27. " Залежно від значення параметра а визначте кількість ко-
ренів рівняння:
1) (х + 1) ^х-а =0; 2) (х-1)(^х-а) = 0.
Властивості кореня п-го степеня
Розглянемо теореми, які виражають властивості кореня п-го
степеня.
Теорема 7.1 (корінь із степеня). Для будь-якого а є І
і к є N виконуються рівності:
Доведення. Для того щоб довести рівність 2кі-\[х~у, достат-
ньо показати, що у2к +1 = х. Тоді перша з рівностей, що доводять-
ся, є очевидною.
Для того щоб довести рівність 2\[х = у, достатньо показати, що
у > 0 і у2к = х. Маємо: | а | > 0 і (| а |)2Й = а2к. Лк
Теорема 7.2 (корінь з добутку). Якщо а>0їЬ>0, пєІЧ,
п > 1, то
ЧаЬ = Ча-ЧЬ
Доведення. Для того щоб довести рівність \ІХ=у, де х > 0,
достатньо показати, що у > 0 і уп = х.
Маємо: у/а>0 і у[ь>0. Тоді у/а*у[ь>0. Крім того,
(^.^)"=ВД"-ШП=аЬ. ▲
Зауважимо, що коли а < 0 і Ь < 0, п є К, п > 1, то
,</аЬ = ^Га-^/-Ь.
Теорема 7.3 (корінь з дробу). Якщо а >0іЬ>0,п є N.
п > 1, то
Доведіть цю теорему самостійно.
Зауважимо, що коли а < 0 і Ь < 0, п є М, п > 1, то
4-а
Теорема 7.4 (степінь кореня). Якщо а > 0, п є М, к є Н,
п > 1, то ____________
(л/а)* =
Доведення. Якщо к - 1, то рівність, що доводиться, є оче-
видною.
Нехай к > 1. Маємо: (^а) = >[а->/а -...•у[а= %Іа-а-...-а=\Іа*. А
к МНОЖНИКІВ к множників
Теорема 7.5 (корінь з кореня). Якщо а > 0, п є К, к є Н,
п > 1, к > 1, то
Доведення. Маємо: у$а >0.
Крім того, ($/а) =((\/^/я) ) =(>/«) =«• А
Теорема 7.6. Якщо а > 0, п є К, к є М, п > 1, то
Доведення. Якщо к = 1, то рівність, що доводиться, є оче-
видною.
Нехай к > 1. Маємо: пу[аї = ^\[а^ -\[а. А
ПРИКЛАД 1
Знайдіть значення виразу: 1) ^16-^2; 2)
Розв’язання
1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо:
^/ї6-</2 = ^16-2 = ^32 = 2.
2) Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), ма-
тимемо:
^24 =3Г2Г=3ПГ=2
^/375. N375 N125 5*
ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз: 1) 2) 3) V?; 4)
якщо х > 0 і у < 0.
Розв’язання. Застосуємо теореми 7.5 і 7.1.
1) 3 умови випливає, що а > 0. Тоді
^а3
• 4) Ураховуючи, що х > 0 і у < 0, можна записати:
Vх6/ = ^<ХУ)® =1 ХУ 1 = 1 ХІІ У\ = х(-у) = -ху. •
ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік функції
Графік функції зображено на рисун-
ку 7.1. •
Рис. 7.1
Вправи
7.1. ° Знайдіть:
1) 1/64.125; 3) ^210-75;
2) ^0,0625-81; 4) ^318-1024;
7.2. ’ Обчисліть:
1) ^0,064.343; 2) ^0,0081-114;
7.3. ° Знайдіть:
З12 - її4
5) V 58-21в ‘
О24 оіб
\ к16
2) ^0,054 • >/4; 7) ^11-^40 • ^/іі+а/40;
3) 8) ^бл/З+Ю-^бл/З-Ю;
4) -^=; 9) л/З • л/З • л/27 • д/-9;
^28
5) ^34 -52 -\/з8-54; 10) .
^35
7.4/ Чому дорівнює значення виразу:
1) ^25-^5; 2) ^5 5) </9->/Ї7-^9+>/Ї7; 6) ^2717 + 10-^2г/Ї7-10;
3) ^215-53 -^2в-54; ^256>\/8Ї. 3/12
4) Уз1о»іо2; ?/108 «З4 ’ 8) 3/Ї25.-ТЇ8 ••72-3/80?
7.5. Чому дорівнює значення виразу:
1) ^(-13)4; 2) ^(-9)5; 3) ^(-8)6?
7.6.° Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо а > 0 і & > 0:
1) УІ25а2; 2) 3/27Ь9; 3) 3/б25а12&4; 4) 3/729а54&18.
7.7/ Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо т > 0 і п > 0:
1) д/49т2; 2) 3/125п18; 7.8/ Спростіть вираз: 3) 3/о,ОООО64тзоп42; 4) З/Л24.
1) 7з/а; 3) 23/&®; 5) ^а8&24; 7) *^8Ї; 9) УІтьп3 іо/77
2) $/х; 4) ‘^с8; 6) ^16; 8) -^=;
7.9/ Спростіть вираз:
1) ^х; 3) ‘^а3; 5) 23/а14&7; 7) 3/б4;
2) 4) 6) ^27; 8) Ус
7.10/ Подайте вираз \[а у вигляді кореня:
1) четвертого степеня; 3) десятого степеня;
2) шостого степеня; 4) вісімнадцятого степеня.
7.11/ Подайте вираз у/ь , Ь > 0, у вигляді кореня:
1) шостого степеня; 3) п’ятнадцятого степеня;
2) дев’ятого степеня; 4) тридцятого степеня.
7.12. ’ При яких значеннях а виконується рівність:
1) і/а^ = а; 6) </(а-5)4 =(</а^б)4;
. 2) =-а; 7) </(а-2)4 = (</а^ЇЇ)4;
3)№ = а-, 8) $/а(а-1) = ^л*^(1-а);
4) \[а^ = -а; 9) ‘<4/1 •’</(а-4)9 = а-4;
5) </(а-5)3 =(>/аТ5)3; 10) =
у/3-а Уа-З
7.13. * При яких значеннях а виконується рівність:
1)^“=а8; 2)^ = -а5; 3) </7 = (<£)4; 4) V/=(^Ґ?
7-14.’ При яких значеннях а і Ь виконується рівність:
7.15/ При яких значеннях х виконується рівність:
1) </х2-4 = </х-2-</х+2;
2) ^/(х-3)(7-х) =л/х-3 • ^7-х;
3) ^/(х-6)(х-10) = \/х-6 • ^х-10;
4) ^(х+1)(х+2)(х+3)=^х+ї-^х+2.^х+3?
7.16/ Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить
знака кореня:
1) 3) 5) ї/т™-,
2) -0,4 V/; 4) у[а™; 6) /(х-5)'2.
7.17 / Замініть вираз тотожно
знака кореня:
1) 1,2^[х™-, 2)
7.18 / Спростіть вираз:
1) УІтв, якщо т > 0;
2) </< якщо и < 0;
3) </16/, якщо р > 0;
4) ^256й8, якщо к < 0;
5) V/4;
рівним виразом, який не містить
3) ‘^п88; 4) ‘</(8-ї/)14.
6) і/о,25Ь14, якщо Ь < 0;
7) </в1х8г/, якщо у > 0;
8) 7о,О1авЬ10, якщо а <0, 6>0;
9) -1,2х л/б4х30, якщо х < 0;
4/ 12> ге зг
10) , якщо а > 0, Ь < 0.
а Ь° сш
7.19 / Спростіть вираз:
1) ^625а24; 5) -0,1 Vі 000 000г42, якщо 2 > 0;
2) у]0,0001Ь2°, якщо Ь > 0; 6) 'у/т^п60, якщо т < 0, п < 0;
3) -5\/4х2, якщо х < 0; 7) аЬ2 уІа^Ь^с4*, якщо Ь > 0, с < 0;
$т3 4 | £60 40
4) ^р30?40, якщо р > 0; 8) —гг“ і2»якщо т < 0, к > 0.
' К V 2ОО7П
7.20 / При яких значеннях а виконується нерівність:
1) 2)
7.21 / Спростіть вираз:
1) \[а* + а, якщо а > 0; 3) \[а$ +\[а*-9
2) у/а^ + у[а?9 якщо а < 0; 4) уїа2 -у/а?.
7.22 / Розв’яжіть рівняння:
1) ^/(х + 4)4 -х + 4; 3) ^(х2-2х-3)6 = 3 + 2х-х2.
2) ^(1-Зх)8 = (1-3х)2;
7.23 / Спростіть вираз:
1) ^(л/б-2)3; 2) а/(1-72)2 ; 3) ^(л/2-ч/з)3; 4) ^/з-2)2.
7.24 / Спростіть вираз:
1) ^(>/5-2)4; 2) ^(ТЗ-М; 3) 1^(ч/її-3)3; 4) ^(Тї-З)3.
7.25 / Побудуйте графік функції:
1) у=&-х; 4) у = ^/(х-2)8; 6) У = ^=+2;
^Іхв
2) у = 2х + №; 5) 7)
3) у = $Іх-Ух*;
7.26 / Побудуйте графік функції:
— — --- бГТ
1)і/ = ^х8-2х; 2) у = %-х-У-х3-, 3) У = ~-
7.27 / Розв’яжіть рівняння:
1)№ = х-4; 2){^х^ = 6-х-, 3) 2^?=х + 3.
7.28 / Розв’яжіть рівняння:
2) 1^хї? = 6х-10.
1) № =х + 8;
7.29 .’ Розв’яжіть рівняння ^/(х-3)4 +^/(5-х)6 =2.
7.30 .’ Побудуйте графік функції у = ^/(х +1)8+7(х-3)2.
Тотожні перетворення виразів, які містять
корені п-го степеня
Користуючись теоремою про корінь з добутку, перетворимо
вираз \/Ї8:
л/48 = ^/16-3 = №б • № = 2 №.
Отже, вираз л/48 подано у вигляді добутку раціонального
числа 2 та ірраціонального числа у[з. Таке перетворення назива-
ють винесенням множника з-під знака кореня. У даному ви-
падку було винесено з-під кореня множник 2.
Розглянемо виконане перетворення у зворотному порядку:
2 </§ = </16 • ІІЗ = ^16-3 = л/48.
Таке перетворення називають внесенням множника під знак
кореня.
ПРИКЛАД 1 Винесіть множник з-під знака кореня: 1) №50;
2) >/162а8; 3) 4) 5) ^7, якщо а < 0.
Розв'язання
1) Подамо число, яке стоїть під знаком кореня, у вигляді до-
бутку двох чисел, одне з яких є кубом раціонального числа:
^/250 = ^125.2 = 5^/2.
2) л/162а8 = ^81а8-2 = За2 • ІІ2.
3) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді
№=</^=І ь51 №=Ь6. .
4) 3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді
5) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді
^Г = ^^Ь = \а\\Ь\^Ь=-аЬ^ІЬ. •
ПРИКЛАД 2 Внесіть множник під знак кореня: 1) -2 у/З; 2) а \І7;
3) с'у/с7; 4) ЗЬ
Розв’язання
1) -2^3=-^64-\/3 = -^92.
2) Якщо а > 0, то = \Іа? •>І7 = ^7а4; якщо а < 0, то
3) 3 умови випливає, що с > 0. Тоді =
4) 3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді
ЗЬ = -^8П>4 • = -^81Ь4 • (-|) = -л/-2768. «
ПРИКЛАД 3 Спростіть вираз: 1) ^54а + ІІЇба - ^2000а; 2) ^4^/ї;
3) >/4-5/7-^23+8 >/7.
Розв'язання
1) Маємо:
</б4а + ІІЇ&а -ІІ2000а = ^/27-2а + ^8-2а -^1000-2а =
= 3^2а + 2</2а-10^/2а = -5^/2а.
2) Внесемо множник 4 під знак кубічного кореня, а потім
скористаємося теоремою про корінь з кореня:
4/4І/4 =^48-4=1^44.
Далі, використовуючи теорему 7.6, остаточно отримуємо:
^4=^ = ^.
3) >/4-5/7 • ^/23+85/7 = ^/(4-5/7)2 • ^/23 + 85/7 =
= >/16-8 >/7 + 7 • ^/23+85/7 = ^/(23-85/7)(23+85/7) =
= ^232-(85/7)2 = 5/529-448 = і/йї = 3. •
ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб: 1)
Розв’язання
1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отри-
муємо:
</д-1 (^/&)2-1 (^Ь-1)(^+1) в/г 1
ЧЬ + 1 %Ь + 1 ЧЬ+1
ОЧ 2-3^2 _(^2)4-3^2 _-^2(^2?-з)_4/т-
2) й = я •
3) Розклавши чисельник і знаменник даного дробу на множ-
ники, маємо:
ПРИКЛАД 5 Звільніться від ірраціональності в знаменнику
дробу: 1) -^=; 2) —4т=.
2</3 2-</3
• Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу озна-
чає перетворити дріб так, щоб його знаменник не містив знака
кореня п-го степеня.
Розв'язання. 1) Помноживши чисельник і знаменник даного
дробу на отримуємо:
15 _ 15 _ 15^9 _15</9 _5^9
2^23у/з-№~2Ш3~ 2*3 ~ 2 '
2) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на не-
повний квадрат суми чисел 2 і \/з, отримуємо:
5 _ 5(4 + 2^3 + ^9) _ 5(4 + 2Уз + л/9) _
2-^3 (2 - \/з) (4 + 2 5/3 + 5/9) 23-(^/з)3
= 5(4±2Й±Й)=4 + 2Й + Й.
8-3
ПРИКЛАД в Доведіть тотожність
^+</ь. •
ПРИКЛАД 7 Скоротіть дріб
1ЧаЬ
Розв'язання. З умови випливає, що числа а і Ь однакового
знака. Розглянемо два випадки.
Перший випадок: а > 0 і Ь > 0. Маємо:
Другий випадок: а < О, Ь < 0. Маємо:
Випадок, коли а < 0 і Ь < 0, можна розглянути інакше. Нехай
а = -х, Ь = -у, де х > 0, у > 0. Маємо:
ПРИКЛАД 8 Доведіть, що </5/3-5/2 .^5-2ч/б .^49-2076 = 5/З - 5/2.
Розв'язання. Маємо: </>/3-5/2 • </5-2>/б • ^49-20ч/б =
= ^(>/3->/2)2 • </б-2>/б • ‘</49-20 5/6 =
= </б-2>/б • ^5-2д/б • ^49-20^6 =
= ^(5-2>/б)2 • ^49-20^6 = </49-20 5/6 • ^49-20^6 =
= *^(49-20 7б)2. ^49-20л/б = ‘</(49-20 7б)3 = </49-20 5/6 =
= ^(б-2^)2 =>/5-2>/б=7(>/3-5/2)2 =>/3->/2. •
ПРИКЛАД 9 Доведіть, що </9+5/80 +</9-5/80 =3.
Розв'язання. Нехай </9+5/80+</9-5/80 = х. Скористаємося
тим, що (а 4- &)3 = а3 + Ь3 4- ЗаЬ(а + Ь).
Маємо:
х3 = 9+5/80 + 9-5/8О + 3</9+780 • </9-5/80 • (</9+5/80 + </9-5/80).
Звідси х3 = 18 4- Зх; х3 - Зх - 18 = 0.
Розглянувши дільники.числа 18, нескладно установити,
що х = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен
х3 - Зх - 18 на двочлен х - 3, отримуємо х2 + Зх 4- 6.
Маємо: (х - 3) (х2 4- Зх 4- 6) = 0.
Це рівняння має єдиний корінь х = 3. •
Вправи
8.1. ° Винесіть множник з-під знака кореня:
1) </16; 3) </250; 5) </40а5; 7) </-54а5Ь9;
2) </162; 4) </7290; 6) іГа7; 8) </-1О8а7Ь10.
8.2. ° Спростіть вираз:
1) --</54; 2) |</б40; 3) -</б86; 4) -1,2 </Й.
Зо 7
8.3. ° Винесіть множник з-під знака кореня:
1) </80; 3) </432; 5) </б4у8;
2) </486; 4) </30000000; 6) </243№.
8.4. ° Внесіть множник під знак кореня:
1) 2у/3; 3) -10</0,271; 5) 5</0,04х;
2) 4</5; 4) |</54; 6) 2</б^;
О
8.5/ Внесіть множник під знак кореня:
1) — </§20; 2) 2</7; 3) 5</4а; 4) 0,3 </100с2;
4
8.6. ° Замініть вираз на тотожно рівний йому:
1) ^625-^320-^135 + ^40;
2) </б6тп + </-189т - </-81п -1,5 </24п + </448т.
7) ЬЧМ?;
8>е&
5) 2х3
8.7/ Спростіть вираз:
1) </54-3 </16 + 5^128+ </2000;
2) </б25а + 3</16а-2</8Їа+4</1296а.
8.8/ Спростіть вираз:
1) у[2^3;
2) </з</2;
8.9/ Спростіть вираз:
3) уіау/а; 5) </х3 </7;
4) 6) ^2^2 л/2.
3) у[ьї/Ь; 5) $1х2
4) </с2<£; 6) ^а</а</а.
2) (1 + л/а)(1+</а)(1-</а).
а^а;
8.10/ Спростіть вираз:
1) (1 + </а + </а^) (1 - </а);
8.11. Спростіть вираз:
1) (у/т + >/п)(^т + >[п)(у/т + ^п);
2) (<£-<£&+ </&)(<£ + </*)•
8.12. ° Подайте у вигляді кореня вираз:
8.13.° Подайте у вигляді кореня вираз:
8.14.° Обчисліть значення виразу:
2) </б^25(</4+3</32-2</Ї08); 5)
4 + 372
3) (2</2-2</5 + </Ї00)(</Ї0 + </ї);
8.15. Обчисліть значення виразу:
5 </£-</б4 + </250.
") о/- >
72
8.16.° Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
5) 7Г’
78
8)
12
</б
6) 7Г;
9)
Ю)
х2 3
</7:
а + Ь
і[(а + Ь)2
8.17.° Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) —• 3) -+• Уз’ Уі?’ 5) У10 7) ^Г;
у/а
* 2) ет.. 4) </2б’ УІ27 6) т5 8) 7/ 3 ’
Уіб \т
8.18.° 1) Скоротіть дріб: 5) в/ »2 в/ 2» у/по — уі а О9 у[а+у[ь
4/_ . 4/і 5/0 + у}0 4/ 4/1. у/а — у]о Уа-УаЬ + ї/ь'
2) 4/ 4/ уІт-уІпл 10) ^/2,
/ г~ > и)
л/т — у/п ІІ2
3) 7) 1\ІХ+3 а№-ь№_. УІ8 + 3/3. ^Ї2 + ^2’
у/а2Ь2
4) у[т + у/т оч У^ + 4^ + 16 л/а^ - ^ + >/а -1
і— > з т — у/т х-64 ’ ' а-у/а
8.19.’ 1) Скоротіть дріб: Л/О+Ї; 3) ^&5 ©1 а 1 1 О- сг"! ся у/аЬ +у/а
у/а-1 №ь2+&’
2) \/т^у/гпп. 4) о Ь з+Уз
у/тп-у/п у/аЬ Уз
8.20.* Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) ; 3) 15 ^36 + ^64-1’ 5> —іг-
УІ + І 2+У2
2) 8.21.* 4) Д Уб-Уз У25-У20 + У16 Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) 1 з) .—V 11100-1/10-і
у^+уг -1
2) 8.22.* 4) “ ^81 + ^63 + ^49 3-^5 Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 1
Уї + Уї + Ув+Уїв + Узі'
8.23.* Доведіть, що значення виразу є цілим числом:
11 1
8.24 / При яких значеннях а і Ь є правильною рівність:
1) 1/а^ = аЬ$/аЬ;
2) №ь = а$г,
3) №ь = -а$ІЬ?
8.25 / Винесіть множник з-під знака кореня:
1) \І-т9; 5) у]162а4Ь&с12, якщо а > 0, с < 0;
2) у]а*Ь13, якщо а > 0; 6) у]а15Ь15 ;
3) у]х6у7, якщо х Ф 0; 7) УІ-а^Ь50.
4) ^32тп18п17;
8.26 / Винесіть множник з-під знака кореня:
1) ^32а6, якщо а < 0; 3) \]а7Ь7, якщо а < 0, Ь < 0;
2) >/-625а5; 4) у]а20Ь19, якщо а > 0.
8.27 / Внесіть множник під знак кореня:
1) ау/2, якщо а > 0; 4) Ь>/б;
2) аЬ б/—якщо а > 0, Ь < 0; 5) а у/~а;
У а Ь
3) 6) аЬ^аЬ2, якщо Ь < 0.
V т п
8.28 / Внесіть множник під знак кореня:
і— І З
1) С\/3, якщо с < 0; 4) аЬ&1-у 5-, якщо а < 0;
V а о
2) а\[а; 5) а >]-а3.
3) -аЬ ^6, якщо а < 0, Ь > 0;
8.29 / Знайдіть значення виразу:
1) ^л/Ї0-3-^19+6>/ї(); 4) 74 + 2>/2 -^6-4>/2;
лІ-----7= І—7=---- ^\/з + \/б • ^9-6>/2 -^18
2) «24 - 8 л/б • «2 л/б + 2; 5) ------>----------—.
«2-1
3) ^^5 + 4«‘^ЗІ-вл/їб;
8.30 / Знайдіть значення виразу:
1) ^7-4л/з • ^2 + л/з; 2) • ^25+4^6.
8.31 / Спростіть вираз:
6) ~і= ° __________;ҐХ + 4=\
7) У2а + 2л/а^і
у/а-1 \Іа + 1 л
+ + 2
у\/а + 1 у/а-1
8.32/ Доведіть тотожність:
8.33/* Доведіть, що значення виразу є числом раціональним:
1) ^7 + 5л/2+^7-5>/2; 2) ^6>/3+10-^/бл/З-ІО.
8.34. “ Доведіть, що ^20+14 ^2 + ^20-14 >/2 =4.
8.35/ * Наведіть приклад такого многочлена з цілими коефіцієн-
тами, що число л/3 +^9 є його коренем.
8.36. ** Наведіть приклад такого многочлена з цілими коефіцієн-
тами, що число ^2+3 є його коренем.
8.37/ * Доведіть, що є ірраціональним число:
1) </2 + ^5; 2) і/з + у/2.
8.38. ” Доведіть, що є ірраціональним число:
1) </7-</3;
2) ^2 + >/3.
8.39. ’* Спростіть вираз (3^2 +1) (М/2 +1) (^2 +1) (^2 +1) (>/2 +1).
8.40. ” Спростіть вираз (®^а + 1)(\/а + 1)• ...-(д/а + 1).
8.41. ” Спростіть вираз ^3“ + ^З13 • 2 + ^З12 • 22 +... + 1^2ЇТ.
8.42. ” Спростіть вираз '^З1® - ^315-2 + ^314-22 -... + Ч/ІЇ*.
8.43/ ’ Доведіть рівність
^2 + 72 + 7/+>/2 + >/б = 102^2 + >/з + 102^2-л/3.
10 радикалів
8.44/* Доведіть рівність
Обернена функція
На рисунках 9.1, 9.2 зображено графіки функцій / і
Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції / не
більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу уое Е (/)
відповідає єдине число х0 є 2) (/) таке, що г/0 = / (х0). Функція §
такої властивості не має. Справді, з рисунка 9.2 видно, що зна-
ченню г/0 відповідають два значення аргументу х1 і х2 такі, що
Уо = 8 (Х1) і Уо = я (Х2).
Означення. Функцію у = /(х) називають оборотною, якщо для
будь-якого Уо є Е (її існує єдине Хо є В (Л таке, що у0 = / (х0).
Функція / (рис. 9.1) є оборотною. Функція § (рис. 9.2) не є
оборотною.
1 Рамануджан Срініваса Айєнґар (1887-1920) — індійський матема-
тик, член Лондонського королівського товариства.
Рис. 9.2
Функції у = х, у = —, у = л/х є прикладами оборотних функцій
(рис. 9.3).
Функція у = х2 не є оборотною. Наприклад, значенню функ-
ції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу хх = -2
і х2 = 2.
Теорема 9.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то
вона с оборотною.
Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція /, яка
не є оборотною. Тоді знайдеться у0 є Е (/), для якого існують хх
і х2 (х1 < х2) такі, що / (хх) = / (х2) = у0. Разом з тим функція / —
зростаюча, і з нерівності хх < х2 випливає, що / (хг) < / (х2).
Отримали суперечність.
Аналогічно розглядається випадок, коли функція / є спад-
ною. А
Зазначимо, що обернена теорема не є правильною, тобто не
будь-яка оборотна функція є зростаючою (спадною).
Рис. 9.3
Наприклад, на рисунку 9.4 зображено графік оборотної функ-
ції, яка не є ні зростаючою, ні спадною.
Розглянемо функцію у = / (х), задану
таблично:
Функція / є оборотною.
Поміняємо рядки таблиці місцями
і розглянемо функцію у = £ (х), задану
отриманою таблицею:
X л/б >/б >/7
У 5 6 7
Функції / і § зв’язані такими властивостями:
1) І) (Г) = Е (£) і Е (Л = В (я);
2) Г(5) = >/5, =
/(6) = А ^(>/б) = 6;
Г(7) = Л, Нл/7) = 7.
Ці рівності означають, що коли / (х0) = і/0, то £ (у^ = х0.
У таких випадках говорять, що функція £ є оберненою до
функції /, а функція / — оберненою до функції £. Такі функції
/ і £ називають взаємно оберненими.
Означення. Функції / і £ називають взаємно оберненими,
якщо:
1) В (Л = Е (£) і Е (Л = В
2) для будь-якого х0 є В (Л з рівності / (х0) - у0 випливає, що
£ <Уо> = тобто # V (*о» = Х0-
Можна показати, що другу умову в означенні можна замінити
на таке: для будь-якого х0 е В (£) з рівності £ (х0) = у0 випливає,
Що / (Уо) = х0, тобто / (£ (х0-)) = х0.
Коли функція /не є оборотною, то не існує функції, оберненої
до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція / (х) = 2х - 1 є оборотною.
Знайдіть обернену функцію.
Розв'язання. Функція /(х) = 2х - 1 є зростаючою. Отже,
вона є оборотною.
Щоб задати обернену функцію, потрібно вказати правило,
яке дає змогу за кожним значенням змінної у знайти відповідне
значення змінної х таке, що у = 2х — 1.
• Маємо: 2х = у + 1; х = ~—.
* 2
Отримана рівність задає функцію з аргументом у і залежною
змінною х.
Традиційно незалежну змінну позначають буквою х, а залеж-
ну — буквою у. Дотримуючись таких позначень, можна сказати,
, . , х+1
що ми отримали функцію, яка задається формулою у = ~—.
"І" 1
Покажемо, що функції § (х) = —— і /(х) = 2х - 1 є взаємно
оберненими.
Маємо: В (/) = Е (§) = К, Е (/) = В (у) = Ж.
Нехай / (х0) = у0, тобто у0 = 2х0 - 1. Доведемо, що § (у0) = х().
. ч У а +1 2хп -1 + 1
Маємо: 8(у0) = -^~ =-------= х0. •
£ £
Функція у = х2 не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає
на проміжку [0; +<*>). Отже, функція / (х) = х2, /)(/) = [0; +°<>),
є оборотною. Також прийнято говорити, що функція у = х2 є
оборотною на множині [0; +°<>). Знайдемо обернену функцію.
Маємо: у = х2, де х є [0; +оо). Звідси \/у =\1х* = \ х | = х.
Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функ-
цію і/ = л/х.
Покажемо, що функції / (х) = х2, !)(/) = [0; +°<>), і £(х) = \/х
є взаємно оберненими.
Маємо: Б (/) = Е (&) = [0; +°°), Е (/) = В (#) = [0; +«>).
Нехай / (х0) = у0, тобто у0 = х2, де х0 > 0. Запишемо &(у0) =
= у/Уо = = | | ~ •
Теорема 9.2. Графіки взаємно обернених функцій симе-
тричні відносно прямої у ~ х.
Доведення. Нехай точка М (а; Ь) належить графіку функції
у = ї (х). Тоді Ь = / (а). Якщо функція § обернена до функції Л то
§ (Ь) = а, тобто точка N (Ь; а) належить графіку функції у - Я (х).
Покажемо, що точки М і N є симетричними відносно прямої
у = х.
Якщо а = Ь9 то точки М і N збігаються і належать прямій
У = х.
При а*Ь маємо (рис. 9.5): ОN = \Іа2 + Ь2, ОМ = л]а2 +Ь2, тобто
точка О рівновіддалена від кінців відрізка а отже, належить
серединному перпендикуляру відрізка
МДГ. Середина К відрізка МN має коорди-
(а + Ь. а + Ь
2 9 2
нати
тобто належить прямій
у = х. Отже, пряма у = х і є серединним
перпендикуляром відрізка МЇЇ. А
Доведену теорему ілюструють графіки
взаємно обернених функцій, що розгляда-
лися вище (рис. 9.6).
Рис. 9.6
Теорема 9.3. Якщо функція / є зростаючою (спадною), то
обернена функція § є також зростаючою (спадною).
Доведення. Припустимо, що функція /— зростаюча і при
цьому обернена до неї функція § не є зростаючою. Тоді знайдуться
такі ух є Б (£) і у2 є О (#), що з нерівності ух < у2 випливатиме
нерівність § (ух) > § (у2). Нехай § (ух) = хр § (у2) = х2. Отримуємо,
що хх > х2. Оскільки функція / — зростаюча, то / (х1) > / (х2),
тобто ух > у2. Отримали суперечність.
Для спадної функції міркуємо аналогічно. А
Теорема 9.4. Спільні точки графіків зростаючих взаємно
обернених функцій лежать на прямій у = х.
Доведення. Нехай М (а; Ь) — спільна точка графіків взаємно
обернених зростаючих функцій / і §. Доведемо, що а = Ь.
Будемо міркувати від супротивного. Припустимо, напри-
клад, що а < Ь. Оскільки графіки взаємно обернених функцій
[ і я симетричні відносно прямої у = х, то точка N (&; а) є для
них спільною. У силу зростання функції / можна записати:
[ (а) < / (&). Але / (а) = Ь,Ї (Ь) = а. Отримали Ь <а, що суперечить
припущенню а< Ь. Аналогічно розглядається випадок, коли
а > &. Таким чином, а = Ь. А
Зауваження. Звернемо увагу на те, що умова зростання
у формулюванні теореми 9.4 є обов’язковою. Наприклад, функції
[ (х) == -х і я (*) = ~х є взаємно оберненими, проте їх спільні точ-
ки, наприклад А (-1; 1) і В (1; -1), не належать прямій у = х.
Наслідок. Якщо функції /і § — взаємно обернені і зроста-
ючі, то рівняння / (х) = £ (х) рівносильне кожному з рівнянь
[ (х) = х або £ (х) = х.
Доведіть цю теорему самостійно.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння \1у/х+5 = X-5.
Розв'язання. Зробимо заміну \[х=і. Отримуємо \/^ + 5 =і2 -5.
Розглянемо функції / (0 = уІі + 5 і я (0 = “ 5, В (я) = [0; +°°).
Ці функції є взаємно оберненими і зростаючими. Тоді з наслідку
теореми 9.4 випливає, що рівняння у]і + 5 = і2 -5 рівносильне
і2-5 = і, .
Звідси
И + л/ІЇ
2
Тепер можна записати
системі
22 + 2У21
4
Відповідь:
11 + УІ2Ї
2
Вправи
9.1.* Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 9.7,
є оборотними?
9.2. ° Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 9.8,
є оборотними?
9.3. ° Доведіть, що дана функція не є оборотною:
1)і/ = |х|; 2) у = ±; 3)у = 5; 4) у = [х].
X
9.4. ° Доведіть, що функції / і Я є взаємно оберненими:
1) Г(х) = 7 + |, £ (х) = Зх - 1;
О о
2) П*) = ^2’ ^(Х) = ~Г:
3) /(х) = >/х + 2, 8 (х) = х1 2 - 2, Р (£) = [0; +~).
9.5/ Доведіть, що функції / і § є взаємно оберненими:
1) / (х) = 4х + 2, £(х) = ^-|;
4 2
2>^=^Г
3) / (х) = (х - З)2, Р (Д = [3; +~), 8(х) = ^+3.
9.6 .° Знайдіть функцію, обернену до даної:
1)У = Зх-1; 3)^
2) у = ~; 4) у = |х+4.
X О
9.7 / Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) і/= 0,2х + 3; =
2) у = —±—; 4)у = 4х-5.
х — 1
9.8/ Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) у=^ї; ' 3) ^=2^~1;
2) ^ = л/2х-1; 4) у = х2, Р(у) = (-«>; 0];
1-х ЙЧ Мх-2, якщох>3,
5) у =--; 6) У~\
1 + х [2х-5, якщожЗ.
9.9 .* Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) у = -~2-, 3) у = л/х2-4, В (у) = [2; +оо);
X
1 [2-х2, якщо х>1,
2) «/ = -7==; 4) у=4
[2-х, ЯКЩОХСІ.
9.10 / Побудуйте в одній системі координат графік даної функції
і графік функції, оберненої до неї:
1) у = -0,5х + 2; 2) у = \[х + ї;
3) у =
х, якщо х > 0,
2х, якщо х < 0.
9.11 / Побудуйте в одній системі координат графік даної функції
і графік функції, оберненої до неї:
1) у = Зх - 1;
2) у - х2 - 4, якщо х > 0;
л/х, якщо х>0,
3)Н1
-х, якщо х<0.
9.12 / Користуючись графіком функції у - / (х), зображеним на ри-
сунку 9.9, побудуйте графік функції, оберненої до функції Л
а) б)
Рис. 9.9 Рис. 9.10
9.13 / Користуючись графіком функції у = / (х), зображеним на ри-
сунку 9.10, побудуйте графік функції, оберненої до функції Л
9.14 / Доведіть, що функція У =4
х2 +1, якщо 0 < х < 1,
х —1, якщо 1<х<2
збігається
з оберненою до неї функцією.
9.15 / Доведіть, що функція, обернена до лінійної функції
у = кх ’+ Ь при к Ф 0, теж є лінійною.
9.16 /* При яких значеннях параметрів к і Ь функція у = кх + Ь9
де к Ф 0, буде збігатися з оберненою до неї функцією?
9.17 /* При яких значеннях параметрів а і Ь функція у-—-—,
ах + Ь
де а 0, буде збігатися з оберненою до неї функцією?
’, * 9.18/* Доведіть, що функція, обернена до непарної функції,
теж є непарною.
9.19 /е Нехай § — функція, обернена до функції / (х) = х5 + 6х3.
1) Знайдіть § (7).
2) Розв’яжіть рівняння § (х) = -1.
3) Скільки коренів має рівняння § (х) = с залежно від зна-
чення параметра с?
9.20 /* Нехай § — функція, обернена до функції /(х) = х3 + \/х-2.
1) Знайдіть § (28).
2) Розв’яжіть рівняння § (х) = 1.
3) Чи існує таке значення с, що рівняння § (х) = с має два
корені?
9.21 /* Функція я є оберненою до функції / (х) = х3 + х - 3.
Розв’яжіть рівняння я (х) = х3 + х + 3.
9.22 /* Функція § є оберненою до функції / (х) = х3 + х + 12.
Розв’яжіть рівняння § (х) = X3 + X - 12.
9.23 /* Функція § є оберненою до функції / (х) в X5 + X - 1.
Розв’яжіть рівняння / (х) = £(х).
9.24 /* Функція / є оберненою до функції £ (х) = х3 + х - 8.
Розв’яжіть рівняння / (х) = £ (х).
9.25 /* Розв’яжіть рівняння ух~~ =х2 + ~-
9.26 /* Розв’яжіть РІВНЯННЯ у]1 + у/х =х-1.
9.27 /* Знайдіть функцію £, обернену до функції / (х) = х2,
Л (Л = (-1; 0] О [3; 4).
9.28 /* Знайдіть функцію £, обернену до функції / (х) = -х2,
в (Л = [-3; ”2) и [0; 1).
9.29 /* Функція / є такою, що для всіх х є К виконується рівність
/ (/ (*)) = Доведіть, що / — оборотна функція.
9.30 .” Функція / і оборотна функція £ такі, що для всіх х є К
виконується рівність / (/ (х)) == £ (х). Доведіть, що / — обо-
ротна функція.
9»31.” Чи існує оборотна функція / така, що Р (Л = N Сі {0},
Е (Л = N7
9.32 /* Чи існує оборотна функція / така, що Р (Л = Е (Л = N7
9.33 .* Чи існує оборотна функція / така, що Р (Л = 0, Е (/) = N7
9.34 .* Чи існує оборотна функція / така, що Р (Л = [0; 1],
Е (Л = [0; 1)?
9.35 .* Чи існує оборотна функція / така, що Р (Л = [0; 1],
Е (Л = N7
9.36 .* Чи існують такі взаємно обернені функції / і £, що при
всіх х є К виконується рівність / (х) = 2£ (х)?
9.37 .* Наведіть приклад таких взаємно обернених функцій / і £>
що при всіх х є І виконується рівність / (х) ~ £ (х) = X.
9.38 .* Функція / має обернену функцію £. Відомо, що нерівність
-х-1</(х)<-х + 1 виконується для всіх х є К, а рівняння
2 2
£ (х) = 10 - 2х2 має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь
наближено з абсолютною похибкою1 0,25.
9.39 .* Функція / має обернену функцію £. Відомо, що нерівність
2х - 8 < /(х) < 2х - 6 виконується для всіх х є К, а рівняння
£ (х) = 2х2 - 3 має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь
наближено з абсолютною похибкою 0,1.
9.40 .* Функція £ є оберненою до зростаючої функції / такої,
що І) (Л = [0; 1], Е (Л = [0; 1], / (0) = 0, / (1) = 1. Доведіть
нерівність
/її /2Ї Л 9^1 < 1 < 2 ї <9^99
Чіо^Чіо^”'+Ціо]+Ніо]+^Ііо]+‘‘'+^ио,Ь ю'
9.41 .* Функція £ є оберненою до зростаючої функції / такої, що
Р (Л ~ [0; 1], Е (Л = [0; 1], / (0) = 0, / (1) = 1. Для довільного
п є N доведіть нерівність
1 Абсолютною похибкою називають модуль різниці між наближеним
і точним значенням величини.
9.42 .* Знайдіть усі функції / такі, що для будь-яких х є К,
у є К виконується рівність
хї (ї (х) - 2у) = 9х (х - у) + у/ (х).
9.43 .* Знайдіть усі функції / такі, що для будь-яких х є К,
у є К виконується рівність
УЇ (/ (У) ~2х) = у (х + у) - хї (у).
Львівська математична школа
Підручник Банаха
«Курс функціонального
аналізу»
Ви тримаєте в руках підручник
«Алгебра і початки аналізу». У назві
з’явилося нове словосполучення —
«початки аналізу». Що ж приховано
за цією назвою? Відповідь дуже про-
ста — математичний аналіз вивчає
функції. З цього року ви починаєте
знайомство з елементами аналізу;
вам доведеться розглядати все нові
й нові класи функцій, вивчати їх
властивості, опановувати методи до-
слідження функцій.
У першій половині XX ст. при
вивченні певних класів функцій
з’явилася нова математична дис-
ципліна, вершина сучасної матема-
тики — «функціональний аналіз».
Важливу, фактично головну роль у створенні цієї дисципліни
відіграли науковці Львівської математичної школи.
У 20-30-х рр. XX ст. місто Львів було справжньою світовою
математичною столицею. У той час у його закладах працювали
такі легендарні математики, як Казимир Куратовський, Станіслав
Мазур, Владислав Орліч, Вацлав Серпінський, Станіслав Улам,
Юліуш Шаудер, Гуґо Штейнгауз та ін. Кваліфікація науковців
Львова була настільки високою, що всесвітньо відомий матема-
тик, автор видатних теорем у математичній логіці та теорії мно-
жин Альфред Тарський не пройшов за конкурсом на вакантну
посаду професора Львівського університету.
Математики Львова створили міцний науковий колектив, відо-
мий як «львівська математична школа». Її керівником вважають
геніального математика Стефана Банаха.
Стефан Банах
(1892-1945)
Вручення гусака
Сьогодні С. Банаха в усьому світі з цілковитою підставою
вважають засновником функціонального аналізу. Один з перших
у світі підручників з цієї дисципліни написано самим С. Банахом.
Багато результатів С. Банаха та введених ним понять стали кла-
сичними. Наприклад, досліджені ним множини одержали назву
«простори Банаха» і зараз входять до необхідного мінімуму знань
кожного студента-математика, фізика, кібернетика тощо.
Розповідають, що багато теорем львівські математики доводи-
ли... у кав’ярні. С. Банах з учнями облюбували «Шкотську (шот-
ландську) кав’ярню», де маленькі столики мали мармурове по-
криття — дуже зручне для запису математичних формул і теорем.
Господар кав’ярні був незадоволенні! таким свавіллям науковців,
але ситуацію врятувала дружина С. Банаха_яка придбала великий
зошит для записів. Так з’явилася знаменита «Шкотська книга» —
збірка математичних проблем, над якими працювала група С. Ба-
наха. Як винагороду за розв’язання складних задач автори з гумо-
ром пропонували коли кухлі пива, коли вечерю в ресторані. Так,
одна з проблем, за яку автор пообіцяв живого гусака (1936 р.),
була розв’язана лише в 1972 р., тоді ж і було вручено винагороду.
Проблеми, поставлені в «Шкотській книзі», є настільки важ-
ливими і складними, що кожний, кому вдасться розв’язати хоча б
одну з них, одразу дістає світового визнання. Сама ж «Шкотська
книга» є однією з найвідоміших і найцінніших реліквій світової
науки.
Функція у =
у[х
• У пункті 6 було встановлено, що корінь непарного степеня
з будь-якого числа існує і набуває тільки одного значення.
Тому кожному числу х є К можна поставити у відповідність
єдине число у таке, що у = 2к+у[х. Тим самим для всіх к є N
задано функцію /(х) = 2к+у[х з областю визначення К.
Покажемо, що функція / є оберненою до функції § (х) = х2Л+1,
к є N.
Оскільки рівняння 2к+у[х=а при будь-якому а має корінь
х = а2к + \ то областю значень функції / є множина К.
Маємо: В (/) = В (£) = К,
В (/) = В (£) = К.
Для всіх х є К виконується рівність 2к+у/х2к+1 = х. Іншими
словами, / (я (х)) = х для всіх х є В (#). Сказане означає, що
/ і £ — взаємно обернені функції.
Використовуючи графік функції у - х2к+1 і теорему 9.2, мож-
на побудувати графік функції у = 2к+у[х (рис. 10.1). Зокрема, на
рисунку 10.2 зображено графіки функцій у- у[х і у-^[х.
Рис. 10.2
Оскільки функція § (х) - х2к +1 є зростаючою, то за теоре-
мою 9.3 функція / (х) = 2*+л/х також є зростаючою.
Функція / (х) = 2к+у[х має єдиний нуль х = 0.
Якщо х < 0, то / (х) < 0; якщо х > 0, то / (х) > 0. Отже,
проміжки (-©о; 0) і (0; +оо) є проміжками знакосталості функ-
ції Л
Для будь-якого х з області визначення функції / виконується
рівність / (-х) = 2к+у[—х = -2к+\[х = -/ (х). Отже, функція / є непар-
ною.
• У пункті 6 було встановлено, що арифметичний корінь пар-
ного степеня з будь-якого невід’ємного числа існує і набуває
тільки одного значення. Тому кожному числу х з проміжку
[0; +®о) можна поставити у відповідність єдине число у таке,
що у-2у[х. Тим самим задано функцію /(х) = 2>/х, к є Н, з об-
ластю визначення [0; +©о).
Покажемо, що функція / є оберненою до функції § (х) = х2*,
є М, з областю визначення [0; +©<>).
Оскільки рівняння 2у[х = а при будь-якому а > 0 має корінь
х = а2к і при будь-якому а < 0 не має коренів, то областю значень
функції / є проміжок [0; +©о).
Маємо: Б (/) = Е (£) = [0; +оо),
Е (/) = В (£) = [0; +~).
Для будь-якого х є [0; -И») виконується рівність 2\Іх2к = х.
Іншими словами, / (# (х)) - х для всіх х є В (£). Сказане означає,
що / і § — взаємно обернені функції.
На рисунку 10.3 показано, як побудувати графік функції
у = 2\[х9 к е N. На рисунку 10.4 зображено графік функції у = л/х.
Рис. 10.3
Рис. 10.4
Оскільки функція § (х) = х2*, к є И, В (£) = [0; +<~), є зроста-
ючою, то функція /(х) = 2^х також є зростаючою.
Функція / має єдиний корінь х = 0.
Якщо х > 0, то / (х) > 0. Отже, проміжок (0; +°°) є проміжком
знакосталості функції /.
Оскільки область визначення функції / не є симетричною відносно
початку координат, то функція / не є ні парною, ні непарною.
У таблиці наведено властивості функції у = \/х, вивчені в цьо-
му пункті.
п — парне натуральне число и — непарне натуральне число, и > 1
Область визначення [0; +о°) к
Область значень [0; +°°) к
Нулі функції х = 0 х = 0
Проміжки знакосталості . У>0 на проміжку (0; +«) У < 0 на проміжку (-оо; 0), У > о на проміжку (0; +°°)
Парність Не є ні парною, ні непарною Непарна
Зростання / спадання Зростаюча Зростаюча
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність: 1) \/х<2: 2) \/х-2 <1;
3) ^х2-4>л/3х.
. Розв’язання
1) Дана нерівність рівносильна такій: і[х < ^8. Оскільки функ-
ція у = у[х є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8.
Відповідь: (-«з; 8).
2) Маємо: \}х-2 <у/ї. Оскільки функція у — ^Гі є зростаючою
з областю визначення [0; +°°), то дана нерівність рівносильна
системі:
х-2<1,
Звідси 2 < х < 3.
Відповідь: [2; 3).
„ . . . . (х2-4>Зх,
3) Дана нерівність рівносильна системі - >
Тоді
х2-Зх-4>0,
Звідси отримуємо, що х > 4.
Відповідь: (4; +°°).
ПРИКЛАД 2 Порівняйте </2 і $І2.
Оскільки функція у=\Іх
Вправи
10.1 / Через які з даних точок проходить графік функції у- і/х:
А (2; 16); В (16; 2); С (-1; 1); Р
; Е (81; 3); Г (0,001; 0,1);
О (10 000; 10)?
10.2 / Через які з даних точок проходить графік функції у = \[х:
А (-8; -2); В -А-;
М-; С (3; 27); В (0,64; 0,4); Е (-216; 6);
\1^о О/
Е (-1000; -10)?
10.3.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = ^ї; 3> У = 5) у = $ х|-1; V х +
2) у-у!х + 1’, 4) у = \1х2-х-2; 6) у = у]х2 (х-3).
10.4.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = ^х + 2’, 3) 5)У = ^3-\х\; N х — о
2) у = і/х-2; 4) у = л/х2-4х+3; 6) У = х|(х-6).
10.5.° Знайдіть область значень функції:
1) у = ^+1; 3) у = >/х-3; 5)у = |^х + 2|.
2) у = у/х-2; 4) у = | ^х-11;
10.6.° Знайдіть область значень функції:
1) у = </х+2; 3) у = \[х-2; 5) у = |л/х + 1|.
2) у = у[х~4- 4) у = | >/х-2|;
10.7.° Знайдіть область значень функції:
1) Дх) = ^, Р (П = [-27; 8]; 3) Г(х) = ^, Я(/) = Г-±; 32
0/5
2) /(х)-^х, -1; 10000 ;
116
10.8.° Оцініть значення виразу \[х, якщо:
1) 1 < х < 216; 2) -729 < х < 8.
10.9 ° Оцініть значення виразу уіх, якщо:
1) 0 < х < 256; 10.10.° Порівняйте: 2) 16 < х < 10 000.
1) ^6 і 4) ^5 і ^28; 7) 4^| і 5^|;
2) ^-23 і \/-26; 5) ^60 і </4; 8) 6^| і 4^.
3) 2 і <7; 10.11.’ Порівняйте: 6) 2</3 і 3^/2;
1) л/5 і л/80; 2) ^2 і л/18; 3) 3^4 і 4Д/2; 4) 5^2 і 10^0,012.
10.12.° Між якими двома послідовними цілими числами знахо-
диться на координатній прямій число:
1) >/3; 2) ^/3; 3) ^21; 4) ^00; 5) -^30; 6) -ІІ8Ї?
10.13. ° Між якими двома послідовними цілими числами знахо-
диться на координатній прямій число:
1) </Ї8; 2) ^139; 3) -3/2Ї2?
10.14. ° Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній
прямій між числами:
1) 4 і ^140; 2) ^-35 і ^640.
10.15. ° Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній
прямій між числами -^1300 і ^40.
10.16. ° Порівняйте:
10.17.° Порівняйте:
10.18.° Розташуйте в порядку зростання числа:
1) Л,
</3 і ^4;
3) >/з, </5 і ЇІ7;
2) ^3, </2 і ’-УзО;
4) *^Ї25, ^6 і ^4</4
10.19.° Розташуйте в порядку спадання числа:
10.20.* Побудуйте графік функції:
1) у = -</*; 4) у = ^2-х; 7) у=^І\х\-1;
2) у = у[х-2; 5) у = ^х-2-2; 8) У = ^\ х — 11;
3) у = ^х-2; 6) 9) у = | </лг+1-21.
10.21.* Побудуйте графік функції:
1) у = -$[х; 4) у = \/х+3; 7) у = >1\ х|+1;
2) у = ^Гх', 5) у = 1/х + 3 + 1; 8) у = $/\х + 1\;
3) у = <£+3; 6) У = $І\х\-, 9) у = \у/х + 2-2\.
10.22.* Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х |
на проміжку: 1) [1; 2]; 3) [-1; 1]; 5) [-3; +оо);
2) [-3; -1]; 4) [-1; 2]; 6) (-«; -1].
10.23. ' Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/(х)=^[х"І на проміжку:
1) [2; 3]; 3) [-2; 2]; 5) [-1; +«);
2) [-1; 0]; 4) [-2; 1]; 6) (-«; 2).
10.24. ’ Розв’яжіть нерівність:
1) ^х3!>2; 3) </4х + 1 < 1; 5) ^х2 + 2х >^х2-х-6.
2) ^Зх + 1<4; 4) ^х2-8>^/2х;
10.25/ Розв’яжіть нерівність:
1) ^х+2>1;
3) </5х + 1<3;
2) ^Зх + 2<2;
4) фс2-|х| + 1>^5-|х|.
10.26/ * Скільки коренів має рівняння залежно від значення па-
раметра а:
1) у/~х ~а-х;
2) у[х = а-х?
10.27/ ’ Скільки коренів має рівняння |^х-1| = а залежно від
значення параметра а?
10.28/ * Розв’яжіть рівняння ^х-26 +^х =4.
10.29/ * Розв’яжіть рівняння ^х-9 +^х + 6 =3.
10.30/ * Розв’яжіть систему рівнянь
10.31/ * Розв’яжіть систему рівнянь
Х + УІХ = у + у[у,
х2 + ху + у2 =27.
< х + Ух = у+$[у,
х2 + у2 =2.
10.32. ** Знайдіть усі функції / такі, що рівність /(\[х) = у/х
виконується для всіх х є В&.
10.33/ * Знайдіть усі парні функції / такі, що рівність / (х30) = х3
виконується для всіх х є [0; +«>).
10.34/ ’ Знайдіть усі непарні функції / такі, що рівність / (у[х) = >[х
виконується для всіх х є [0; +«>).
10.35/ * Знайдіть усі визначені на К функції / такі, що рівність
/(х4) = л/х виконується для всіх х є К.
10.36. * Знайдіть усі визначені на К функції / такі, що рівність
/ (х8) = х2 виконується для всіх х є К.
10.37. * Знайдіть цілу частину числа \24 + ^24 + ^... + >/24 .
100 радикалів
10.38. * Знайдіть цілу частину числа у12 + ^12 + \І... + у/12 .
200 радикалів
10.39. * Розв’яжіть рівняння х3 + 1 = 2>/2х-1.
10.40. * Розв’яжіть рівняння х3 + 2 = З^Зх-2.
10.41. * Розв’яжіть рівняння а5 + х = уІа-х.
10.42. * Нехай / (х) = -=1=. Обчисліть значення виразу
УІІ-х3
Г (/ (/ (.../ (2)))).
999 разів
10.43. *Для п є Н, ЛєН, к>1 позначимо X = [х/1 ] + [х/2] +... + [],
У = Iа -і- 2к + ... 4- пА. Доведіть, що X + У = пк +1 + п.
10.44. * Для невід’ємних чисел а, Ь і с доведіть нерівність
Означення та властивості степеня
з раціональним показником
Нагадаємо означення степеня з натуральним показником:
ап = а>а\..'а, п є Н, п > 1;
п множників
а1 = а.
Ви знаєте, що степінь з натуральним показником має такі
властивості:
. а 'О = а ;
2. ат : ап = ат~п, а * 0, т > п;
3. (ат)" = атп;
4. (аЬ)" = апЬп;
(\п п
£ = ® ь#0.
Ь) Ь
Пізніше ви ознайомилися з означеннями степеня з нульовим
показником і степеня з від’ємним цілим показником:
а° = 1, а * 0;
а п =—, а * 0, п є N.
ап
Ці означення дуже вдалі: при такому підході всі п’ять влас-
тивостей степеня з натуральним показником залишилися спра-
ведливими і для степеня з цілим показником.
Введемо поняття степеня з дробовим показником, тобто сте-
г . т
пеня а , показник якого є раціональним числом виду г = —, де
п
т є 2, п е И, п > 1. Бажано зробити це так, щоб степеню з дро-
бовим показником залишилися притаманні всі властивості сте-
пеня з цілим показником. Підказкою для такого означення може
слугувати такий приклад. 2
Якщо через х позначити шукане значення степеня 23, то,
ураховуючи властивість (ат)п = атл, можна отримати рівності
х3=(23) =22. Отже, х — це кубічний корінь з числа 22, тобто
------ 2 --
х=№ або 23 = №.
Ці міркування підказують таке означення.
Означення. Степенем додатного числа а з раціональ-
ним показником г, поданим у вигляді —, де т є Я, п є К,
ті
п > 1, називають число \[а™9 тобто
З ---- 1 -1 ---- З ---------------
Наприклад, 5? = ^53, З”5 = 35 = л/3’1, 0,4°’3 = 0,4їб = ^0,43.
Зауважимо, що значення степеня а\ де г — раціональне чис-
ло, не залежить від дробу, у вигляді якого подано число г. Це
можна показати, використовуючи рівності ап =уІат і ал* =
_п^І о,т
Степінь з основою, яка дорівнює нулю, означають тільки для
додатного раціонального показника.
т
Означення. 0» =0, де т є Я п є N.
і
Зазначимо, що, наприклад, запис 0 2 не має змісту.
тп
Зауважимо, що в означенні не йдеться про степінь ап для
і
а < 0, наприклад, вираз (-2)3 залишився невизначеним. Разом
з тим вираз має зміст. Виникає природне запитання: чому б
____________________ і
не вважати, що ^-2=(-2)3? Покажемо, що така домовленість
привела б до суперечності:
Отримали, що від’ємне число л/-2 дорівнює додатному числу ^4.
Функцію, яку можна задати формулою у = хг, г є ф, називають
степеневою функцією з раціональним показником.
Якщо нескоротний дріб —, т є п є №, п > 1, є числом до-
ті
т
датним, то областю визначення функції у = х п є проміжок [0; +«>),
а якщо цей дріб — від’ємне число, то — проміжок (0; +°°).
Властивості функції у =хг для цілого показника було вивчено
в п. 4 і 5. Випадок, коли показник г не є цілим числом, буде
розглянуто в 11 класі. Зараз зазначимо таке.
і
Функція 1/ = Х2*, А є К, нічим не відрізняється від функції
1
у = 2\[х. Функції у = х2к+1 і у = 2к¥\[х, к є №, мають різні області
визначення. Так, на проміжку [0; +°°) обидві ці функції не відріз-
няються, але на проміжку (-©о; 0) визначена лише функція у = 2к+у[х.
і і
На рисунку 11.1 зображено графіки функцій у = х2, у = х3,
і
Рис. 11.1
Покажемо, що властивості степеня з цілим показником зали-
шаються справедливими і для степеня з довільним раціональним
показником.
Теорема 11.1 (добуток степенів). Для будь-якого а > 0
і будь-яких раціональних чисел рід виконується рівність
ар*ад = ар + д
Доведення. Запишемо раціональні числар і д у вигляді дро-
бів з однаковими знаменниками: р = —, д = —, де т є к є 2,
п п
п є Н, п > 1. Маємо:
т к -------------- .-- і------ ----- т+к тк
ар*ад =ап*ап =Цат*уак =цат'ак =\Іат*к =а п =ап п=ар+д. А
Наслідок. Для будь-якого а > Оі будь-якого раціонального
числа р виконується рівність
Доведення. Застосовуючи теорему 11.1, запишемо: ар>ар -
= а~р + р = а° = 1. Звідси а~р = —. А
ар
Теорема 11.2 (частка степенів). Для будь-якого а > 0
і будь-яких раціональних чисел рід виконується рівність
. ар:ад = ар~
Доведення. Застосовуючи теорему 11.1, запишемо: ад>ар д =
= ад*р~д = ар. Звідси ар~ч = ар : ад. А
Теорема 11.3 (степінь степеня). Для будь-якого а > 0
і будь-яких раціональних чисел рід виконується рівність
(ар)д = а™
Доведення. Нехай р = —, т є п е К, п > 1, та £ = -, зе 4
п к
к є К, к > 1. Маємо:
Теорема 11.4 (степійь добутку і степінь дробу). Для
будь-яких а > 0 і Ь > 0 та будь-якого раціонального числа р
виконуються рівності
(аЬУ = а^ (гГ=77
____________ \о/ Ь
Доведіть цю теорему самостійно.
ПРИКЛАД Побудуйте графік функції
/ (х)=(**) .
• Розв'язання. Областю визначення
функції / є множина (0; +°°). Дану функ-
цію можна задати такими умовами:
/ (х) = х, Р (/) = (0; +°°). Графік функції
зображено на рисунку 11.2. •
Вправи
11.1. ° Подайте степінь з дробовим показником у вигляді кореня:
1) 5®; 3) 3; 5) (аЬУ; 7) (т + п)2 8;
2) Д 4) 1(3; 6) 8) (х-ЗуД
11.2. ° Замініть степінь з дробовим показником коренем:
1)13^; 3) с0,2; 5) Зпг1,26п°’76;
1 б А
2) З'9; 4) х1; 6) (а-25)1в.
11.3.° Подайте корінь у вигляді степеня з дробовим показником:
1) 4х\ 3) ^6®; 5) </гЛ 7)
2) </?; 4) ^За; 6) ^49; 8) ^а7-67.
11.4/ Замініть корінь степенем з дробовим показником:
1) л/2; 3) 5) ^х+у;
2) №; 4) ^5а®; 11.5/ Знайдіть значення виразу: 6) .
1 і 1 4
1) 42; 3) 3.64 3; 5) 0,216 3; 7) 273;
2) 25 2; 4) -5-0,01 2 6) (3ІҐ; 8) 32"°’2
11.6.° Чому дорівнює значення виразу:
1) 83; 3) 0,0081 °'25; 2 5) 0,125 9;
2) 100003; 3 *>(і)" 5 6) 11И ’? \ Ь4/
11.7.° Знайдіть область визначення функції:
1) У = х6; 3) у = (х - З)2,6;
2) у = х1’4; 4) £/ = (х2-6х-7р.
11.8/ Знайдіть область визначення функції:
2 . 1) і/ = х 3; 3) у = (х + 1)' 7 12. >
2) у = х3,2; 11.9/ Спростіть вираз: 1) а2 а3; 5) У) ; 1 2) У?; 6) ^/а-сД; 4) у = (х2-х 7 3 9) а8 :а 4; і і і 10) а2а6а 3; -зоД 3 ( 7 14 \7 13) Іа662Ч ; 1 1 5 1 14) а3а 8а3а3; 5 1
3) а2 :аЬ 4) а^а1-6; 7) а® 8) (а2’4)3; 11) (а0’4)°’8а0’18; 1 2 12) 15) а Ч3 18) ІЇШ".
11.10/ Спростіть вираз: б ( 2\б 1)&3,5ь-4,2. 5) ; а 5 7 3 2 9) а^а^Ь3; 13) бМьї;
-3 3 2) 2 3) Ь: Ь3; 4) Ь:Ь~Ь 6) Ь2 :уіЬ-, 7) і/Ь:Ь3-, 1 2 8) ь 3 10) а1вЬ6 11) (<ЛЗ) ; 3 12) (а’У) 4; 14) (60’6)0’8Ь-0’4; 15) (6 °-3)1>2(&0’8)0’4; 16) (Ь4Г°’7: (6-а8)Л
11.11/ Знайдіть значення виразу:
1) 31>8-3“2’в-32-8; 4) (^) ' 7)
22
2) (5‘°’8)6-54’8; 5) (-1 -1,24’5; 8) Зб^-б1’2;
\6 /
11.12/ Чому дорівнює значення виразу:
1) 53’4-5’1,8-5’2’в; 4) / 4-0,25 \16/
2) (7-0,7)8 : 7“7’6; 5) / а\2’5 2^ -1,42'5; \ 7/
8) (б ^Г-гіб0’2?
3)(^)3; 6)
З3
11.13.° Відомо, що а — додатне число. Подайте а у вигляді:
1) квадрата; 3) шостого степеня;
2) куба; 4) восьмого степеня.
11.14.° Відомо, що т — додатне число. Подайте у вигляді ква-
драта вираз:
1) иг4; 3) т3; 5) ти3; () т ;
1 5 2
2) /п’6; 4) ти2; 6) ти6; 8) тї.
11.15/ Відомо, що Ь — додатне число. Подайте у вигляді куба
вираз:
1) Ьв; 3) б2; 5) А 7) б-1'8;
і 4 7
2) Ь‘15; 4) Ь2; 6) Ь3; 8) Ьи.
11.16/ При яких значеннях а виконується рівність:
1) ((а-2^) =а-2; 2) ((а-2р) =а-2?
11.17.* Побудуйте графік функції:
1) у = (х3) ; 2) у = ((х-2)<) ; 11.18/ Обчисліть значення виразу: 1 1 1 . 3) у = х2х3х6.
12 1 1) 123 -б3 .(0,5)3; 5) 16« .8'5 .41’5;
2) 251'6 + (О,25)~0,5 - 81°’75; 1ОООО0'4-1О0’5 6) ! ; 1ООо,3-1ООО6 3 X і
3) 0,008 +0,064 3-0,0625 7\ 52 *812 84 •і і * в і» 9е 52-93
3 2 4) (і) 4 +(|) 3 -(0,81г0’5; \1о/ \о/ І 1 8) І723) -2 3:36 «
/ 1 _4 \4 і з
9) (12 3 *18 3 «б3'8; -54«258; 11)
Ю)
( Vе
з в ,7 в
З _4 Vі
12828 -27 9
і і
Зв*168 ;
З 9 V
162-818
з
93 *4 8 І
11.19.* Знайдіть значення виразу:
4
зДз
1 / 1 \8
1) 343*. и-
V \49/
2) 104-404-58;
320,24 • 40,7
64°-8. іб0125 ’
і 1 5 „ 123 32-73, о) 2 _1 1 ’
73-8 6 82
3) 0,0016 4-0,04 +0,216 3;
2
4) 625 1'25-25, 5-1253;
11.20/ Розв’яжіть рівняння:
( _2 _2 V1’8
5 3,3 8
2 16
Д53«2~8 ;
( 4 1\"2 < 11 14
8) 813-89 2® -275
<міго т-і|« ‘о _18 _1 X8 •128*®>
1) х’3 =0,04; 2) (х-2)2 =32; 3) (х2 -2х)’4 = -1.
11.21.* Розв’яжіть рівняння:
1) X’1-8 = 27;
2
2) (х-1) 6 =100;
з
3) (х-5)7 =0.
В Перетворення виразів, які містять степені
з раціональним показником
Розглянемо приклади, у яких виконуються тотожні перетво-
рення виразів, що містять степені з раціональним показником.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
1) (За0’3 + д0’2) (а0’3 - 4д0’2) - (а0’3 4- 2&0’2) (а0’3 - 2&0’2);
2) (а^-Й)(а®+сЛ>^+гЗ)+Ц+Ь8) .
Розв'язання
1) Розкриємо дужки, використовуючи правило множення
многочленів, формулу різниці квадратів, а потім зведемо подіб-
ніедоданки:
(За0 3 + Ь0’2) (а0>3 - 4і>0,2) - (а0-3 + 2Ь0’2) (а0’3 - 260’2) =
= За0,6 - 12а°-3Ь0 2 + а0360-2 - 46^ - а0-6 + 4Ь^* = 2а0,в - 11а°'3Ь0'2.
2) Маємо: (а^-Ь^)(а^ ч-а^іЛ+іЗ)+(а*+Ь®) =(а^) -(ь^) +
/ 1\2 11/1 \2 1 1 1 11 1 1 11
+ \а8) + 2а8Ь8+\Ь8) = а4-Ь4 +а4 + 2а8Ь8 +Ь4 = 2а4 + 2а8Ь8. •
1 з
ПРИКЛАД 2 Розкладіть на множники вираз а2 - Ь4, використо-
вуючи формулу: 1) різниці квадратів; 2) різниці кубів.
Розв'язання
і з / і\2 / з\2 /і
1) а2-Ь4~\а4) -ІЬ8/ = \а4
-Ь3)(а4+Ь3).
2) а*-64=(а«) -(&4) = (а«-64)(а3+а3гЗ+&2). •
1 5 11 11
• •« и 4а3 оч Ь8 + ЗЬ2с4 ОЧ 323 -163
ПРИКЛАД 3 Скоротіть дріб: 1) ----р; 2) —---—; 3) —у——.
а2-а3 Ь3 -9с2 43 -23
Розв'язання
1) Розкладемо знаменник дробу на множники, винісши за
дужки спільний множник, і скоротимо дріб:
і і
4а3 _ 4а3 _ 4
а2-а3 а3(а®-1) а®-1 _
2) Розклавши чисельник і знаменник дробу на множники,
отримуємо:
5 11 і/ і і\ і
Ь6+ЗЬ2с4 = Ь2\Ь3+Зс4) = Ь2
2 1 /1 1\/1 1\ 1 1 *
Ь3 - 9с2 \Ь3 -Зс4)\Ь3+ Зс4 ) Ь3 - Зс4
32^-163 163(г3-1) 163 /16^3 аІ о •
3) Маємо: —-----—= х - = —= — =83=2. •
43 -23 23І23-1/ 23
ПРИКЛАД 4 Спростіть вираз -
х3-2 х3+2 х3-4
Розв'язання. Зробимо заміну х3 = у. Тоді даний вираз на-
буває вигляду:
у+2 у-2 16
у-2 у + 2 у2-4
Цей вираз легко спростити. Завершіть розв’язування само-
стійно.
Відповідь: —.
х3 +2
Вправи
12.1. ° Розкрийте дужки:
1)
2) 2а2(а* -4:)+8аЬ
3) (а0’5 - З60’3) (2а0,5 + Ь°-3);
9) (Ь°-4 + З)2 - 6Ь°-4;
10) У-1)Ц+с3+1);
11) (а3+а2)(а3-а®+а);
4) (т4 -п4)(т4 + п4);
5) (зг3-3)(з*3 + 3);
/1 і)2
6) (а3 + Ь3) ;
7) (4п^ + Зт3) ;
а а
4
12.2.° Розкрийте дужки:
12) а* (а®+ю)-(а*+б) ;
/ 3 1\2 1/23 1\
13) \Ь5-2Ь3) +45® уЬ30-Ь2)‘,
14) Ц+гтОУ-іЗІУ-гЗ);
8) (
1) (5аол + і’0,2) (За0-4 - 4Ь°’2);
2) (тп0-5 + п0-5) (тп0*5 - п0-5); •
3) У-55 4)(а3+5Ь 4);
4) (У-тЗ) ;
5) (ь*-Ь~3) ;
6) (х« +г)(х3 -2х® +4);
7) (у1,5 - 4/-5)2 + 8г/2;
8) (3+Зс^) -ЗсМзсЗ +2сЧ;
9) (а®-1)(а4+1)(а®+1);
10) Ц+Ь®)У-аУ +ьз)У-/3).
12.3.° Подайте даний вираз у вигляді різниці квадратів і розкладіть
його на множники (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
1) а - Ь; 2 2 11 3) т3-п3; 5) х3-у7;
2) а3 - Ь3; 4)х~2-3; 6) 4хм - 9у0’7.
12.4.° Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці
квадратів (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
1) а® - Ь®; і і 2) т3 -п3; 3)х«-у«; 5) 5-е; 1 2 4)х4-2; 6) 16х°’3-25г/®.
12.5.° Подайте даний вираз у вигляді суми кубів і розкладіть його
на множники (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
1) а + Ь; 3)а®+гД; 5) а1'2 + 2;
11 З 2 2
2) + Ь3; 4) а2 + 27; 6) а3 + &3.
12.6. ° Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці
кубів (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
б
1) а - &; 2) а1’5 - &1’5; 3) ти0’6 - вп1’8; 4) х7 -6.
12.7. ° Винесіть за дужки спільний множник:
1 11 зі
1) а + За2; 3) а.Ь3-а3Ь; 5) т3-т6;
111 3 1 11
2)Ь2~4Ь4; 4)с4-с2; 6) б4-З4;
12.8. ° Винесіть за дужки спільний множник:
2
1) х-5х3; 4) 3&-д°’5с0’5;
11 2 1 1
2) а2 + 6а3; 5) аЬ5~а*Ь10;
4 7 3 1 1 3
3) р9-р9; 6) т2п2 +тп+т2п2;
7) 2-27;
5 1
8) X6 +х3.
7) 812-412;
8) 10 + юІ
12.9.° Скоротіть дріб:
і
1) а~5а2 ,
а2 -5
4)
__а-4&
0,5 . о» 0,5 ’
а + 2о
2 11 2
4с3-12АР+9гі3.
1 1 ’
2с3-Згі3
а3 + а3
з її
Ь4 +Ь2с4 ,
1 1 ’
Ь4 4-е4
аЬ2 +а2Ь
1 1
6) а + 2а2Ь2 + Ьл
а2 +Ь2
8)
9)
а + Ь ,
1 1 ’
а3 +Ь3
1 1
„ 2 __ 2
т — п
з з ’
т2 — п2
10) ± О*6,-;
X6 -6х3
12.10.° Скоротіть дріб:
З 1
11) аї±7аі;
а -49а2
12)
1 1
ЗО6 - б5
1 1 •
105-25
3)
а + 2а3 .
2 ’
а3 4-2
5 1 15
т4п4 -т4п4 .
5 5 ’
ТП4П4
а-52 .
і ’
а-а2Ь
Х**Ц2'* _х2,5^3,5 ,
X + 2х0’5!/0’5 4-І/ ’
а-125.
2 ’
а3-25
7 5
т6 -36т6 ,
1 1 ’
т2 -6т3
і і
244 -84
і і •
б4 -24
12.11 / Знайдіть значення виразу:
п с +(їМ8 }(4‘°’26-(2^)-і);
2)
( 1 1 1 1\6
52-33 4-53-32
і і
І 56 4-36 7
( з і і з А6
34*22-32*24
І І
І 24-З4 /
12.12 / Спростіть вираз:
л » 1,5 ,1,5
а—о а —о
а0,ь-Ь0,5 а-Ь ’
0,5 ,0,5 л0,5 , .0,5
а -о а
л0,5 , ,0,5 + 0,5 ,0,5 ’
1 її! 12
а2 4-2а4Ь4 +Ь2 ф а-а3Ь3 ,
7 5 57 1 1 1 ’
авЬ6-а6Ь6 а4Ь4+52
зз_2 і
а2+Ь2 ,а3(а-д)3
2 ’ З 3 ’
(а2-аЬ)3 а2-Ь2
3) ^-+(1-Ь«’)(1+Ь«’ н-Б* 1*8);
Ь10-1
12.13/ Спростіть вираз:
т-п т4-п
її її’
т3-п3 т34-п3
2) (1-а36)(1+а36+аІІ8)+^т’;
2-а12
5 3 1
т2-т2 т24-т
«З 2 »»»2 , 2
т —т т 4-т
12.14/ Доведіть тотожність:
2)
3)
{ ло,о , о Л0,о о А о,5 о
І бі 4-2 а " 2 і # д 2
\ Л + 2а0,5 +1 ~~ 1 7 +1 о — 1
' 1 1 А 2 2 11
а 3Ь 3 1 . а 3 +Ь 3 _ а3Ь3
-і ,-і _і _і • 2 і і 2 і і’
< а 3-Ь 3 ) а3+а3Ь3+Ь3 а3-Ь3
4)
(а-Ь)2
з З
а2 -Ь2
2 ,2 її
\а2 + Ь2 / \а + а2Ь2 + Ь)
12.15/ Спростіть вираз:
/її і і А
х2-у2 х2+у2
І І ї Г~
^ху2+х2у ху2-х2у}
2х + 2у.
ху
( її і і А
х6+3і/в х6-3і/6
і її 1 "* І Г~
кх3-2х6і/6 + у3 х3-у3 )
12.16/Спростіть вираз:
1)
НІ
7 5 2 4
а3 -2а3Ь3 +аЬ3
2) 1—ЇТ-----її—Г:о
а3 -а3Ь3 - аЬ3 +а3Ь
з
12.17/Спростіть вираз:
її її І _1
х^у іХ2у4^-х4у2 г х*у *
^^8 11* 1 1 1 11 1 ’
х4+х2у4 х2+у2 х2 -2х4у4 +у2
4 1
оч т3-27т3п
2 ___ 2 ’
т3 +3л/тп +9п3
3)
' х-9 . х°’6+3
- ^$-24
\х + 3х2 +9
0,5
І -х0’5
12.18 / Обчисліть добуток х1,2 • х1,3 • х1’4 • х1,5 •• х8’8, якщо х = ^2.
1 1 1 1 64
12.19 /Обчисліть добуток х2 «х4 *х8 •...•х64, якщо х = 2 9.
12.20 /* Спростіть вираз (а0,125 4- Ь0,75) (а0,25 4- Ь1’5) (а0,5 + Ь3) (а 4- Ь6).
12.21 /* Спростіть вираз а0,2 4- а0,5 4- а0,8 4- а1*1 4- ... 4- а7,1.
12.22 /* Спростіть вираз б12’7 - Ь12,6 4- Ь12’5 - &12’4 + ... 4- Ь3’3.
12.23 . СПРОСТІТЬ ВИраЗ 3 8 3 6 _МЛ2 , 3,2.3 -і_л°’2Ь184-Ь19’
а +а о + а о +а о +... + а о +о
12.24 .** Спростіть вираз
_ х6у0.3 + х^у0,6 _ х3.6^0,9 + х2.4у1,2 _ ^1,5 + у1.3
х^+у2'1
Ірраціональні рівняння
Розглянемо функцію у = х3. Вона є зростаючою, а отже, обо-
ротною. Тому функція у = х3 кожного свого значення набуває
тільки один раз. Іншими словами: з рівності х3 = х3 випливає,
що хг = х2. А оскільки з рівності хх = х2 випливає, що х3 =х3, то
можна стверджувати, що коли обидві частини рівняння піднести
до куба, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння ^2х + 1 =-3.
Розв'язання. Підносячи обидві частини рівняння до куба,
отримаємо рівняння, рівносильне даному. Маємо:
(^2х + 1)3 = (-3)3;
2х + 1 = -27;
х = -14.
Відповідь: -14.
Оскільки функція у - х2к + х, к є К, є оборотною, то міркування,
використані при розв’язуванні прикладу 1, можна узагальнити
у вигляді такої теореми.
Теорема 13.1. Якщо обидві частини рівняння піднести
до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне
даному.
Доведення. Покажемо, що рівняння
/ (х) = £ (х) (1)
і
(/ (X))2* ’1 = (в (*))2* \ * Є N (2)
є рівносильними.
Нехай число а — корінь рівняння (1). Тоді маємо правильну
’іислову рівність / (а) = § (а). Звідси можна записати:
(/ (а))2*”1 = (£ (а))2*"1.
Це означає, що число а є коренем рівняння (2).
Нехай число р — корінь рівняння (2). Тоді отримуємо, що
(/ (Р))2* 1 = (£ (Р))2* ~х- Оскільки функція у = х2к~ \ к є Н, є обо-
ротною, ТО / (Р) = § (Р). Отже, ЧИСЛО р — корінь рівняння (1).
Ми показали, що кожний корінь рівняння (1) є коренем рів-
няння (2) і навпаки, кожний корінь рівняння (2) є коренем рів-
няння (1). Це означає, що рівняння (1) і (2) рівносильні. А
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння \Іх2 -2 = \[х.
Розв'язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до
сьомого степеня. Отримаємо рівносильне рівняння:
х2 - 2 = х; х2 - х - 2 = 0;
хх = -1, х2 = 2.
Відповідь*. -1; 2.
Рівняння, які ми розглянули в прикладах 1 і 2, містять змінну
під знаком кореня. Такі рівняння називають ірраціональними.
Ось ще приклади ірраціональних рівнянь:
7х-3 = 2; а/х~2а/х + 1 = 0; >/3-х =\/2 + х.
При розв’язуванні прикладів 1 і 2 нам довелося спрощувати
вирази виду (^/(х)) , де п — непарне натуральне число. Роз-
глянемо випадок, коли п — парне натуральне число.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння (л/Зх + 4) = (>/х-2) . (3)
Розв'язання. Природно замінити це рівняння на таке:
Зх + 4 = х - 2. (4)
Звідси х = -3.
Але перевірка показує, що число -3 не є коренем початкового
рівняння. Отже, рівняння (3) не має коренів. Причина появи
стороннього кореня прлягає в тому, що застосування формули
(\Іа) = а призводить до розширення області визначення рівнян-
ня. Тому рівняння (4) є наслідком рівняння (3). •
Ще однією причиною появи сторонніх коренів при розв’язуванні
ірраціональних рівнянь є необоротність функції у = х2\ к є N.
Це означає, що з рівності х[к = х%к не обов’язково випливає, що
х1 = х2. Наприклад, (-2)4 = 24, але -2 / 2. Водночас із рівності
хі ~ х2 випливає рівність х*к = х*к.
Наведені міркування підказують, що справедливою є така
теорема.
Теорема 13.2. При піднесенні обох частин рівняння до
парного степеня отримане рівняння є наслідком даного»
Доведення. Покажемо, що рівняння
(/ (х))2* = и (х))2\ к є N. (5)
є наслідком рівняння
/ (X) = § (х). (6)
Нехай число а — корінь рівняння (6), тобто / (а) = § (а). Тоді
(/ (а))2* = (<х))2*. Отже, число а є коренем рівняння (5).
Ми показали, що кожний корінь рівняння (6) є коренем рівнян-
ня (5). Це означає, що рівняння (5) є наслідком рівняння (6). А
Зауважимо, що коли число Р — корінь рівняння (5), то з рівно-
сті (/ (Р))2* = (£ (Р))2* не обов’язково випливає, що / (|3) = £ (Р). Тому
в результаті переходу від рівняння / (х) = £ (х) до його наслідку
(/ (я))2* = (£" (*))2* можуть з’явитися сторонні корені, які можна
виявити за допомогою перевірки.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння \/4 + Зх = х.
Розв’язання. Підносячи обидві частини рівняння до квадра-
та, отримаємо рівняння, яке є наслідком даного:
4 + Зх = х2;
х2 - Зх - 4 = 0; х1 = -1, х2 = 4.
Перевірка показує, що число -1 є стороннім коренем, а число 4
задовольняє дане рівняння.
Відповідь: 4.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння у2х-3 + >/4х + 1 = 4.
Розв’язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до
квадрата:
2х-3 + 2л/2х-3 \/4х +1+4х + 1 = 16.
Звідси 72x3л/4х + 1 =9-Зх.
Переходячи до рівняння-наслідку, отримуємо:
8х2 - Юх - 3 = 81 - 54х + 9х2;
х2 - 44х + 84 = 0; х1 = 42, х2 = 2.
Перевірка показує, що число 42 є стороннім коренем, а число 2
задовольняє дане рівняння.
Відповідь: 2.
Вправи
18.1. ° Поясніть, чому не має коренів рівняння:
* 1) л/х-2 + 1 = 0; 3) х/х-4+ТГ^х = 5; 5) >/26+>/х+1=5.
2) ^/х + ^хЛ = -2; 4) </х-6 + л/6-х = 1;
13.2. ° Розв’яжіть рівняння:
І) ^2х-2 = 2; 3) $/х^6 = -3; 5) >/? + </х2 + 7 = 3;
2) 3/х-4 = 2; 4) ^/х3-2х+3 = х; 6) </х2+15 = 2^/х + 1.
13.3. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) \/х-3 = 4; 2) 7зх2-х-15 = 3; 3) ^25+л/х2+3 = 3.
13.4. ° Розв’яжіть рівняння:
1) V2x-1 = VЗ-x; 3) уі2х-1 = уіх-3‘,
2) >/2х-1 = >/1-2х; 4) уі2х-1 = \1х2 +4х-16.
13.5.* Розв’яжіть рівняння:
1) </х+3=</2х-3; 3) ^х2 -25 = </2х + 10;
2) >/4х-5 = 71^X5 4) >/х2-36 = >/2х-1.
13.6.° Розв’яжіть рівняння:
1) \І2-х = х; 5) 2>/х+5 = х+2;
2) >/х+1 = х-1; 6) >/15-Зх-1 = х;
3) л/3х-2 = х; 7) х->/2х2+х-21 = 3;
4) >/2х2-Зх-10 = х; 8) х + 2+л/в-Зх-х2 =0.
13.7.’ Розв’яжіть рівняння:
1) >/10-Зх = -х; 4) 3>/х+10-11 = 2х;
2) х = л/х + 5 + 1; 5) х-л/Зх2-Их-20 =5.
3) >/2х2+5х+4 = 2х+2; 13.8/ Розв’яжіть рівняння:
1) Л/(2х+3)(х-4) = х-4; 3) (х+2)>/х2-х-20 = 6х + 12;
2) Л/(х-2)(2х-5)+2 = х; 4) (х+1)д/х2-5х+5 = х+1.
13.9.* Розв’яжіть рівняння:
1) 7(3х-1)(4х + 3) = 3х-1; 2) (х-1)>/х2-Зх-3=5х-5.
13.10. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) + х V? + 24 = х +1;
13.11. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 722-х-710-х = 2;
2) 7х+2-72х-3 = 1;
13.12. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 72х + 5-73х-5 = 2;
13.13. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 7х-5 + 71О-х = 3;
2) х/х-7 + 5/Г=і = 4;
13.14. * Розв’яжіть рівняння:
1) 74^х + 7х+5 = 3;
2) 7бх + 1 + 77-х = 6;
13.15. ” Розв’яжіть рівняння:
1) уі2х+1 + 7х-3 = 27х;
2) 7бх-1-73х-2 = 7х^ї;
13.16. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 7х+2 + 73х + 7 = 78-х;
2) ^/1 + х\/х2-24 = х-1.
3) 72х + 3-Тх+ї = 1;
4) 272-х-Т7^х = 1.
2) 73х + 1-7х + 1 = 2.
3) Тї-х + 71 + х = 1;
4) 713-4х + 7х+3 = 5.
З) уі2х+3 + 7х+5 = 3.
3) 2 73х—1 — 7х—1= 7х—9.
2) 7бх-11 -7х-2 = 7х + 3.
13.17. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 7х-1-27х^2+^ + 7-б7х-2=6;
2) ^/х+3-47х-1 +7х + 8-б7х-1 =1;
3) а/х+^+27х+1 -^/х+5-47х+1 = 4.
13.18. ” Розв’яжіть рівняння:
1) + 2л/х^Т + 7х-2л/х^Г = 6;
2) л/х + 6 + 2\/х + 5 -л/х+6-2 л/х + 5 = 2.
13.19. ” Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння
^х + | + ^х+~ = а - х.
13.20. ” Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння
2 7х + 2 + 2л/х + 1 = а-х.
13.21. ” При яких значеннях параметра а рівняння
ах -1 = у8х - х2 -15 має єдиний розв’язок?
13.22. ” При яких значеннях параметра а рівняння
а \І4х-х2-3 = х-а має єдиний розв’язок?
Метод рівносильних перетворень
при розв'язуванні ірраціональних рівнянь
Ви знаєте, що сторонні корені рівняння можна виявити в ре-
зультаті перевірки.
Коли йдеться про перевірку як про етап розв’язування рівнян-
ня, неможливо уникнути проблеми її технічної реалізації. На-
приклад, число є коренем рівняння 72x5 + \Іх + 2 = >/2х + 1.
7
Щоб у цьому переконатися, потрібно провести значну обчислю-
вальну роботу.
Для подібних ситуацій можливий інший шлях розв’язування —
метод рівносильних перетворень.
Теорема 14.1. Рівняння виду ^/(х) = (х) рівносильне
системі
Г(х)>0.
Доведення. Нехай число а є коренем даного рівняння. Тоді
д//(а) - (ос). Звідси / (а) > 0. Обидві частини числової рівності
піднесемо до квадрата. Отримаємо правильну числову рівність
/ (ос) - В (ос). Таким чином, число а є розв’язком системи.
Нехай число Р є розв’язком системи, тобто
ПР) = £(Р),
ЛР)>0.
Звідси отримуємо, що § (Р) > 0. З того, що невід’ємні числа
/ (Р) і £ (Р) рівні, випливає, що (р) = (р). Отже, число Р є
коренем даного рівняння.
Таким чином, кожний розв’язок даного рівняння є розв’язком
системи, і навпаки, кожний розв’язок системи є розв’язком да-
ного рівняння. Отже, множини розв’язків рівняння і системи
рівні. А
Зауваження. Зрозуміло, що рівняння у//(х) = (х) також
рівносильне системі
/(х) = £(х),
£(х)>0.
Вибір відповідної системи, як правило, пов’язаний з тим, яку
з нерівностей, / (х) > 0 чи § (х) > 0, розв’язати легше.
х — 2 + \/39
х = 2-Тз, х = 2 + а/3.
-1, и. .
Звідси «
ПРИКЛАД В Розв’яжіть рівняння ^х2 -Зх = >/х-1.
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
х2 -Зх = з
|х>1.
Відповідь:
Теорема
системі
2+ 73.
14.2. Рівняння виду у]/ (х) = § (х) рівносильне
Г(х) = (£(х))2,
£(х)>0.
Скориставшись ідеєю доведення теореми 14.1, доведіть цю
теорему самостійно.
ПРИКЛАД 2 Розв яжіть рівняння X + 7 ~ X 3.
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
х+7 = (х-3)2,
х-3>0.
Звідси
х2-7х + 2 = 0,
х>3;
7 + У4Ї
2
7 + л/ії
2
Відповідь: ~
2
Теореми 14.1 і 14.2 можна узагальнити, керуючись таким оче-
видним твердженням: якщо а 0 і 6 > 0, то з рівності а2к = Ь2к9
к є М, випливає, що а = Ь.
Теорема 14.3. Якщо для будь-якого х є М виконуються не-
рівності / (х) > 0 і £ (х) > 0, то рівняння І(х)-§ (х) і (/ (х))2* =
= (Я (*))2\ є М, рівносильні на множині М.
Скориставшись ідеєю доведення теореми 14.1, доведіть цю
теорему самостійно.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння >/2х-3 4- >/4x4-1 = 4.
л Розв'язання. Областю визначення цього рівняння є множи-
М =
на
+<» І. На цій множині обидві частини даного рівняння
набувають невід’ємних значень. Тому дане рівняння на множи-
ні М рівносильне рівнянню
(>/2х-3 + л/4х+1)2=42.
Звідси 2х - 3+2 >/2х-3 >/4х + 1 + 4х+1 = 16; >/2х-3 уі4х+Ї = 9 - Зх.
Ліва частина останнього рівняння на множині М =
набуває невід’ємних значень. Тому права частина, тобто 9 - Зх,
має також бути невід’ємною. Звідси 9 - Зх > 0; х < 3. Тоді на
множині Мх =
обидві частини рівняння >/2х-3 >/4x4-1 = 9 - Зх
набувають невід’ємних значень. Отже, за теоремою 14.3 це рів-
х = 2,
х = 42,
т<х<3;
няння рівносильне системі
(2х-3)(4х + 1) = (9-3х)2,
— <х<3;
12
х2 - 44х + 84 = О,
|<х<3;
І2
Рівняння 72х-3 + -\/4х+1 = 4 можна розв’язувати й інакше.
Розглянемо функції /(х) = Чх-З і £(х) = >/4х + 1. Легко пере-
конатися (зробіть це самостійно), що ці функції є зростаючими.
Тоді функція і/ = >/2х-3 4->/4x4-1 є зростаючою на множині
ЧІ
+оо . Отже, дане рівняння має не більше ніж один корінь.
Нескладно помітити, що х = 2 є коренем розглядуваного рівняння.
Відповідь: 2.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння >/2х~5іЬ>/х4-2 = >/2x4-1.
Розв'язання. Областю визначення даного рівняння є множн-
ій \
на М= Обидві частини даного рівняння на цій множині
набувають невід’ємних значень. Тому дане рівняння на множи-
ні М рівносильне рівнянню (д/2х-5 + л/хї2)2 =(д/2х +1) . Звідси
2 д/2х-5 л/х + 2 = 4 - х.
Скориставшись теоремою 14.3, отримуємо:
4 (2х-5)(х + 2) = (4-х)2,
4 5 . л
- <х<4.
12
Звідси
7х2 +4х-56 = 0,
5 . / л
- < х < 4;
2
-2-6 VII
Х~ 7
-2 + 6л/п
7
5
.2
Відповідь'. - ^+-~——.
7
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння
>/4х2 +9х + 5 - >/2х2
-1.
Розв'язання. Вигідно розкласти квадратні тричлени, які
стоять під радикалами, на множники:
Л/(х+1)(4х + 5) - ^/(х+1)(2х-1) = 7(х-1)(х + 1).
Тепер важливо не зробити поширену помилку, а саме: засто-
сувати теорему про корінь з добутку в такому вигляді: 4аЬ =
= \[а*\/ь. Насправді записана формула справедлива лише для
а > 0 і & > 0, а якщо а < 0 і Ь < 0, то
’-Ь.
Оскільки областю визначення даного рівняння є множина
5
4.
II [1;+оо) Сі {-1} (рис. 14.1), то дане рівняння рівносиль-
не сукупності двох систем і одного рівняння.
X -—
-------1 -------------
4
Рис. 14.1
Гх>1,
1)
уі2х -1 + \/х -1 - >/4х + 5; [2>/2х-1 \/х-1 = х + 7;
(х>1, Іх>1,
|4 (2х - 1)(х -1) = х* 1 2 3 4 + 14х + 49; [їх2 - 26х - 45 = 0;
х~5» х _ 5
х = -«;
7
2)
5
х^ 4,
х<-$
4
л/-2х +1 + >/-х+1 = >/-4х-5;
Х< 4’
2 л/-2х+1 \/-х + 1 = -х - 7;
4 (2х-1) (х-1) = х2 + 14х+49; [7х2 - 26х -45 = 0;
х = 5,
9
Х 7
Зрозуміло, що ця система розв’язків не має.
3) х + 1 = 0; х = -1.
Відповідь*. -1; 5.
Вправи
14.1.° Розв’яжіть рівняння:
1) л/х-1 >/х + 4 = 6;
2) д/2х + 3 л/х-2 = 3;
5) * 2 =Ух-4
уі2х-
7) >/7^х + -7И= = 2л/5х+37.
л/7-х
3) у[х + ї л/х+2 = 4;
4) л/х >/1-х = х;
14.2. ° Розв’яжіть рівняння:
1) \/х + 2 л/х + 8 =4;
2) х-1 = л/2х-5 \Іх + 1;
3)
л/х-1
4) -2- — У2х + 3 = Ух + 10.
УІХ + 10
3) л/х + 2 = 1-х.
5) л/х + 5 + 75-х = 4;
6) 73х-1+ 7х+3 = 2;
7) 7х + л/х+ТЇ + 7х-7х+ї1 = 4.
3) 73х+1 + 716-3х = 5.
2) 7х + 1 -79-х = 72х-12.
2) 7х+1+7х-1 =7зх-і.
14.3. ° Розв’яжіть рівняння:
1) л/4 + 2х-х2 =х-2; 3) л/х2 +8 = 2х + 1; 5) л/х = х-1;
2) 7б-4х-х2 = х+4; 4) 72х2-7х+5 = 1-х; 6) 7х2-1 = 3-2х.
14.4. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 7х2-4х + 13 =-х + 2;
&
2) \/2х2+8х + 7 - 2 = х;
14.5/ Розв’яжіть рівняння:
1) 72х + 6 - 7х +1 = 2;
2) \[х + 5 - 7х = 1;
3) 7х-5-79-х = 1;
4) 72х + 5 = 8-Тх-ї;
14.6/ Розв’яжіть рівняння:
1) 72х-4-7х+5 = 1;
2) у/х + її - у/2х+ї = 2;
14.7. " Розв’яжіть рівняння:
1) \/Зх + 4 + >/х-4 =2л/х;
14.8. * Розв’яжіть рівняння:
1) 7х+3-72х-1-73х-2=0;
14.9/ * Розв’яжіть рівняння:
1) л/х2 -4 + 7х2 +2х-8 = 7х2 -6х+8;
2) 72х2 + 5х+2-7х2 +х-2 = 73х+6.
14.10/ ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 7х2 —Зх+2 + 7х2-6х + 8 = 7х2-11х+18;
2) 7х2 — Зх —10 + 7х2 +Зх+2 = 7х2 +8х + 12.
Різні прийоми розв'язування
ірраціональних рівнянь та їх систем
У попередніх пунктах ви ознайомилися з методами розв’я-
зування ірраціональних рівнянь, заснованими на піднесенні обох
частин рівняння до одного й того самого степеня.
Розширимо арсенал прийомів розв’язування ірраціональних
рівнянь.
Насамперед звернемося до методу заміни змінної.
ПРИКЛАД | Розв’яжіть рівняння х2 + Зх -18+4л/х2 +3х-6 = 0.
Розв'язання,Нехай \/х2 + 3х-6 = і. Тодіх2 + Зх - 18 = і2 - 12,
і дане рівняння набуває вигляду і2 - 12 + = 0. Звідси
“7 =-6,
і = 2.
Оскільки і > 0, то підходить лише і - 2. Отже, дане рівняння
рівносильне такому:
>/х2 +3х-6 =2. Звідси х2 + Зх - 6 = 4; х = -5 або х - 2.
Відповідь: -5; 2.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
ч/х+4 + 7х-4=2х + 2>/х2-16-12.
Розв’язання. Нехай >/х + 4 + >/х-4 =ї. Тоді, підносячи до
квадрата обидві частини останньої рівності, отримаємо
2х+2а/х2-16 =ґ2.
Дане рівняння набуває вигляду і = і2 - 12. Звідси і = 4 або
Д = -3.
Очевидно, що рівняння д/х + 4 + >/х-4 = -3 не має розв’язків.
Отже, початкове рівняння рівносильне такому: л/х + 4 + л/х-4 = 4.
Далі,
х>4, їх >4,
2х+2>/х2-16 =16; |>/х2-16 = 8-х;
Ґ4<х<8,
1 » . х = 5.
[х2 -16 = 64-16х+х2;
Відповідь: 5.
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння 2 (х +1) - х л/х +1 - х2 = 0.
Розв'язання. Оскільки число 0 не є коренем даного рів-
няння, то рівняння 2 + 1 _ і = о рівносильне даному.
X2 X
Нехай
= і, тоді 2іг - і - 1 = 0. Звідси і = 1 або і = -^.
х +1 _
X
,2
Маємо:
4х + 4 = х2;
Х 2 ’
х = 2-2у/2.
Відповідь: 2-2^2.
2
Метод заміни змінних є ефективним і для розв’язування сис-
тем ірраціональних рівнянь.
ПРИКЛАД < Розв’яжіть систему рівнянь
у/х + у + уІху + 22 = 5,
у/х + у + ^ху+22 = 3.
Розв'язання. Нехай ^/х +1/ = а, ^/хі/4-22 -Ь, а > 0, Ь > 0. Тоді
дана система набуває вигляду
а2+Ь2=59 тг .
Далі маємо:
а + 6 = 3.
Звідси
а=1, я
або
Ь = 2
(а + Ь)2-2аЬ = 5,
а + Ь = 3;
(ад = 2,
|а + & = 3.
(а = 2,
ІЬ = 1.
Отже, дана система рівносильна сукупності двох систем
^/х + У = 1,
^ху-^22=2,
звідси
%]х + у~29
$[ху + 22=19
х + у = 19
ху = ~&9
х + у~16,
ху = -21.
Розв’язавши останні дві системи, отримуємо відповідь.
Відповідь: (3; -2), (-2; 3), (в+>/85; 8->/85), (в->/85; 8+>/85).
х +1 _ 1.
х
2
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння
у/(2-х)2 + </(7 + х)2 - ^/(7 + х)(2-х) = 3.
Розв’язання. Нехай ^2—х = а, л/7+х =6. Тоді
|а2 + Ь2- а& = 3, а2 + Ь2 -аЬ = 3, |(а + б)2-3а6 = 3,
а3 + Ь3 = 9; (а + Ь) (а2 +Ь2 - аЬ) = 9; [я+Ь = 3;
[а = 1, >/2—х=1,
(а& = 2, [6 = 2; к Тепер можна записати </7 + х = 2; гх = 1і
І. о 4" Ь = 3; іа = 2, ЇІ2-х = 2, [х = -6.
Дб = 1. </7 + х = 1;
Відповідь: 1; -6.
приклад в розв’яжіть рівняння (7і+х +1) (>/і+х+2х - 5)=х.
Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на вираз
л/1 + х-1. Отримаємо рівняння-наслідок:
х (71+х + 2х - б) = х (71+ х -1).
Це рівняння рівносильне сукупності
х = 0,
_ 71 + х + 2х - 5 = 71 + х -1.
Розв’яжемо друге рівняння сукупності. Його наслідком буде
рівняння 2х - 5 = -1. Звідси х = 2.
Залишилося виконати перевірку. Легко переконатися, що
число 2 є коренем рівняння, а число 0 — ні.
Відповідь: 2.
і Вправи
15.1.° Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:
1) </х + 2^?-3 = 0;
2) л/х + >/х-6 = 0;
6) х2 - х + 9+л/л:2 -х+9 = 12;
7) ^х2-4х+4-2^х-2-3 = 0;
3) 2х-7 7х-15 = 0;
5) 2>/х+1-5 = -Д
/£±5+7 /х_1 =8,
Ух-1 ух+5
15.2/ Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін-
ної:
1) х->/х-12 = 0;
2) ^? + 8 = 9^х;
5) +^- = 1;
УІХ + 1 УІх+3
6) ^9-6х+х2 + 2>/3-х-8 = 0;
7) х2 -х+л/х2 -х+4 = 2;
4) >/х + 5-3 ^х + 5 + 2 = 0;
/Зх + 2 [ 12х — З
\2х-3 \Зх + 2
2,5.
15.3/ Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін-
ної:
1) х2-5х + 16-3>/х2-5х+20 =0; 4) л/Зх2-9х-26 = 12+3х-х2;
2) х2+4-5>/х2-2 = 0; 5) 2х2+6х-3 >/х2+3х-3 = 5;
3) >/х2-Зх + 5 + х2 =Зх + 7; 6) у[хЦх + у[х\/х =72.
15.4/ Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін-
ної:
1) х2-4х-3л/х2-4х+20 + 10 = 0; 3) уі2х2 -6х + 40 = х2 -Зх+8;
2) 2>/х2-Зх+11=4 + Зх-х2; 4) 5х2 + Юх+л/х2 + 2х -15 = 123.
15.5/ Розв’яжіть систему рівнянь:
уіх + 4у = 5»
х + у + 4д/хі/ =37;
2)
^х + ^ = 3,
^Х+^ + ^Х-у =4,
УІх + у-у/х-у = 8;
/Зх-2у | / 2х _2 V 2х уЗх-2у ’
х2 -8у2 =18-18у;
у[4^х+у + 79-2х+і/ = 7,
2у-3х = 12.
3)
ху = 8;
15.6/ Розв’яжіть систему рівнянь:
%/х-^/у = 2,
ху = 27;
і[х + 2у + ^/х-у + 2 = З,
2х+у = 7.
х +1/= 5.
15.7. ** Розв’яжіть рівняння
>/х-1 + л/х + 3 + 2 у](х-1) (х + 3) = 4 - 2 х.
15.8. ** Розв’яжіть рівняння
х + ^/(х + 6) (х - 2) = 2 + л/х + 6 + л/х-2.
15.9. ” Розв’яжіть рівняння
>/2х+3 + л/х + 1 = Зх + 2 >/2х2 + 5х + 3 -16.
2 _____
15.10. ** Розв’яжіть рівняння / - + у2х + 5 = 2х.
л/2х + 5 _____
15.11. ** Розв’яжіть рівняння 4х2 +12х\/1 + х =27 (1 + х).
15.12. ’* Розв’яжіть рівняння 6х2-5х>/х + 3 + х + 3 = 0.
15.13. ** Розв’яжіть рівняння
д/(х + 3)2 + ^(6-х)2 - ^/(х+3)(6-х) = 3.
15.14. ** Розв’яжіть рівняння
^(х + 4)2 + ^/(х-5)2 + ^/(х + 4)(х-5) = 3.
15.15. ** Розв’яжіть рівняння
15.16. ” Розв’яжіть рівняння
15.17. ” Розв’яжіть рівняння
15.18. ” Розв’яжіть рівняння
15.19. ” Розв’яжіть рівняння
15.20. ” Розв’яжіть рівняння
15.21. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 72х2 + Зх+5 + 72х2-Зх + 5 = Зх;
2) (л/х + 1 + 1)(>/х+10-4) = х.
15.22. “ Розв’яжіть рівняння:
1) 7х2+Зх-2 + >/х2-х + 1 =4х-3;
2) (7х+1 + 1)(\/х+1 + х2 + х-7) = х.
+ 8->/х-8 = 2.
л/18+5х + ^64-5х = 4.
л/х-2 + л/х-1 =5.
^2-х = 1 - л/х-1.
>/2->/2-х =х.
=х.
16.
Ірраціональні нерівності
Розглянемо теореми, за допомогою яких розв’язують основні
типи ірраціональних нерівностей. Доведення цих теорем анало-
гічні доведенню теореми 14.1.
Теорема 16.1. Нерівність виду (х) >(х) рівносильна
системі
/(х)>#(х),
£(*)>0.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність д/х2 -Зх + 1 >>/Зх-4
Розв9язання. Дана нерівність рівносильна системі
х2 -Зх + 1>Зх-4,
х2 -6х + 5>0,
.4
х>—;
З
х > 5.
Відповідь: [5; +<*>).
4.
З’
Теорвіма 16.2. Нерівність виду у]/ (х) < § (х) рівносильна
системі
7(х)<(^(х))2,
£(*)>0,
/(х)>0.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність >І2х2 - Зх - 5 < х -1.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі
2х2 -Зх-5<(х-1)2,
х -1 > 0, Звідси
2х2-Зх-5>0.
-2<х<3,
х >1,
х<-1 або х>2,5.
Рис. 16.1
Розв’язування цієї системи про-
ілюстровано на рисунку 16.1.
Отримуємо 2,5 < х < 3.
Відповідь: [2,5; 3).
Теорема 16.3. Нерівність виду (х) >§(х) рівносильна
сукупності двох систем
Ґ£(х)<0,
[Г(х)>0,
(#(х)>0,
1/(х)>(^(х))2.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність \Іх2 +7х + 12 > 6 - х.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох
систем.
1)
2)
6-х<0, А, V, х<- -4, х: > 6.
х2 +7х+12>0; х>- -3;
х<6,
6-х>0, 24
х2 + 7х+12>(6-х)2 < х>^; 1 19 19
24
19
Відповідь:
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність (х-3) \Іх2 +4 < х2 - 9.
Розв'язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:
(х-3)(>/х2+4-х-з)<0.
Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем.
1)
х + 3;
х2 + 4<х2 +6х + 9;
5,
6’
2)
Друга нерівність системи рівносильна су-
купності
х + 3 < 0,
Гх + 3 > 0,
Звідси
х < -З,
5 Тоді
б’
маємо: <
5
6’
Відповідь:
Нерівність прикладу 4 можна розв’язати інакше, викори-
стовуючи метод інтервалів. Справді, розв’язавши рівняння
(х - 3) (л/х2 +4 - х - з) = 0, отримуємо
два корені х = 3, х- Розв’язування
6
даної нерівності проілюстровано на
рисунку 16.2.
При розв’язуванні ірраціональних нерівностей можна корис-
туватися більш загальною теоремою.
Теорема 16.4. Якщо для будь-якого х є М виконуються не-
рівності /(х) >0і £(х) > 0, то нерівності / (х) > § (х) і (/ (х))2* >
> (х))2\ к є N. рівносильні на множині М.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність >/2х + ї + >/х-3 <2\/х.
Розв'язання. Обидві частини даної нерівності набувають
невід’ємних значень на множині М = [3; +°°), яка є областю ви-
значення цієї нерівності. Тому дана нерівність на множині М
рівносильна нерівності
(л/2х + 1 + \/х-3) <(2л/х) .
Звідси 2д/2х + 1 л/х-3 <х + 2.
На множині М ~ [3; +«>) обидві частини останньої нерівності
набувають невід’ємних значень. Тому за теоремою 16.4 отримуємо:
4(2х + 1)(х-3)<(х + 2)2,
х > 3;
7х2 -24х-16<0,
х>3;
х>3;
З < х < 4.
Відповідь'. [3; 4].
Вправи
16.1 .° Розв’яжіть нерівність:
1) >/х^ї>4; 2) 7х7Ї<4; 3) ч/х-1>-4; 4) >/х^ї<-4.
16.2 / Розв’яжіть нерівність:
1) 72х-4>7б-х; 4) 7х2-3x4-1 >72х-3;
2) 4х < 4х+і; 5) 7в-бх > 7х2-16;
3) >/х2 +х < 7х2 +1; 6) 7х2 -3x4-2 < 72х2-3x4-1.
16.3 / Розв’яжіть нерівність:
1) д/Зх-2 <л/х+6; 3) >/х2 +Зх-10 <>/х-2.
2) уі2х2 +6х-3 >л/х2 +4х;
16.4 / Розв’яжіть нерівність:
1) х>л/24-5х; 3) л/Зх-х2 <4-х; 5) >/х2 +3х + 3<2х +1;
2) 72x4-7 <Х4-2; 4) 3-х>з71-х2; 6) л/Тх-х2-6<2х+3.
16.5 / Розв’яжіть нерівність:
1) х/9х-20<х; 3) 274-х2 <х+4;
2) 7x4-61 <Х4-5; 4) >/х2 + 4х-5<х-3.
16.6 .' Розв’яжіть нерівність:
1) 72-х >х; 3) 7х2 —1 >х; 5) 7х2 -ьх-2 >х;
2) у[х+7>х+1; 4) 7х2-2х>4-х; 6) 7-х2+6х-5 >8-2х.
16.7 .* Розв’яжіть нерівність:
1) 7x4-2 >х;
2) 72х+14 >х+3;
16.8 .* Розв’яжіть нерівність:
1) (х4-10)7х-4 <0;
2) (х4-2)7(4-х)(5-х)>0;
16.9 / Розв’яжіть нерівність:
1) (х-12)7х-3 <0;
2) (х-3)7х2ч-х-2>0;
16.10 /* Розв’яжіть нерівність:
1)
Х-2
2) <3;
X
3) 7х2 -5х-24 >х4-2;
4) 7х2 4-4х-5 > х - 3.
3) (х2-1)7х2-4 <0.
3) (х2-9) 716-х2 >0.
3) 78-2х-х2 < 7б-2х-х2.
Х4-10 2x4-9
7х2-Зх-4-3x4-16 ,
4) -------------->1.
6-х
16.11. ” Розв’яжіть нерівність:
1) (х +1) 4х2 +1 > х2 -1;
2) Ух + 2° _ і < р.
X ’
16.12. *’ Розв’яжіть нерівність:
1) Зл/х-л/х + З >1;
2) х/1-х2 +\І4-х2 <2;
3) >/12-х-х2 ^^л/12-х-х2.
2х-7 х-5
4) \/х2 + х-6 + 3х + 13
х + 5
3) уіх + 3 <л/х-1 +\/х-2.
16.13. *’ Розв’яжіть нерівність:
1) 7х-6-л/х + 10<1;
2) 2л/х + \І5-х >\/х + 21.
16.14. ’* Розв’яжіть нерівність л/х + 3 + ^х3 + х + 6 >4.
16.15. ** Розв’яжіть нерівність л/х“2 4-л/х3 +8 <4.
16.16. *’ При яких значеннях параметра а множиною розв’язків
нерівності лД-(х + 2а)2 >~х є проміжок завдовжки
З 5
16.17. ” При яких значеннях параметра а множиною розв’язків
нерівності л/1-х2 >^(х-а) е проміжок завдовжки
З 5
моми
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ
ФУНКЦІЇ
-т.я-3 Радіанне вимірюваннякутів
Досі для вимірювання кутів ви використовували градуси
або частини градуса — міну ти і секунди.
У багатьох випадках зручно користуватися іншою одиницею
вимірювання Кутів. Її називають радіаном.
Означення. Кутом в один радіан називають центральний
кут кола, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює ра-
діусу кола.
На рисунку 17.1 зображено центральний кут АОВ, величина
якого дорівнює одному радіану. Пишуть: /. АОВ = 1 рад. Також
говорять, що радіанна міра дуги АВ дорівнює одному радіану.
Пишуть: иАВ = 1 рад.
Радіанна міра кута (дуги) не залежить від радіуса кола. Справ-
ді, розглянемо два кола зі спільним центром О і радіусами В і г
(В > г) (рис. 17.2). Сектор АОВ гомотетичний сектору А1ОВ1
В
з центром О і коефіцієнтом —. Тоді, якщо довжина дуги АВ до-
г
рівнює радіусу 7?, то довжина дуги А1В1 дорівнює радіусу г.
На рисунку 17.3 зображено коло радіуса Я і дугу довжи-
3
на якої дорівнює -Я. Тоді радіанна міра кута МСЖ (дуги
£
з
дорівнює - рад. Узагалі, якщо цент-
&
ральний кут кола радіуса Я спира-
ється на дугу кола довжини аЯ, то
кажуть, що радіанна міра цього цен-
трального кута дорівнює а рад.
Довжина півкола дорівнює лЯ.
Отже, радіанна міра півкола дорівнює
л рад, а його градусна міра становить
180°.
Це дозволяє встановити зв’язок
між радіанною та градусною мірами, а саме:
(1)
Звідси
л рад = 180°.
1рад=| (180\° 1 п І
Поділивши 180 на 3,14 (нагадаємо, що л ~ 3,14), можна уста-
новити: 1 рад ~ 57°.
Рівність (1) дозволяє також записати, що
Г^рад
(2)
З цієї формули легко встановити, що, наприклад,
15° = 15'їяПРаД=19Рад’ 90° = 90 * ЇЯП РаД =9 РаД’
1ОМ ІОм &
135° = 135-^ рад = рад
Зазвичай при записі радіанної міри кута позначення «рад»
Зл
опускають. Наприклад, пишуть 135° = —.
4
У таблиці наведено градусну і радіанну міри кутів, які часто
зустрічаються:
Градусна міра кута 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
Радіанна міра кута 0 л 6 л 4 л 3 л 2 2л 3 Зл 4 5л 6 л
Використовуючи радіанну міру кута, можна отримати зручну
формулу для обчислення довжини дуги кола. Оскільки централь-
ний кут в 1 рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу
Я, то кут в а рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює аН.
Якщо довжину дуги, яка містить а рад, позначити /, то можна
записати
І = аЯ
На координатній площині розглянемо коло одиничного раді-
уса з центром у початку координат. Таке коло називають оди-
ничним.
Нехай точка Р, починаючи рух від точки Ро(1; 0), пере-
міщується по одиничному колу проти годинникової стрілки.
У певний момент часу вона займе положення, при якому
2ГР0ОР = ^ = 120° (рис. 17.4).
З
Будемо говорити, що точку Р отримано з точки Ро у резуль-
2л
таті повороту навколо початку координат на кут — (на кут 120°).
з
2 л
Пишуть: Р = Яо3(Р0).
Нехай тепер точка Р перемістилася по одиничному колу за
годинниковою стрілкою і зайняла положення, при якому
2<РОР0 = ^ = 120° (рис. 17.5). Говоритимемо, що точку Р отри-
мано з точки Ро у результаті повороту навколо початку координат
на кут —— (на кут -120°). Пишуть: Р = Яо3 (Ро).
З
Узагалі, коли розглядають рух точки по колу проти годинни-
кової стрілки, то кут повороту вважають додатним, а за годин-
никовою стрілкою — від’ємним.
Розглянемо ще кілька прикладів. Звернемося до рисунку 17.6.
Можна говорити, що точку А отримано з точки Ро у результаті
повороту навколо початку координат на
кут (на кут 90°) або на кут (на кут
& и
/ \ Л Зл
в(___________\р "270°), тобто А = ЕІ (Ро), А = Яо 2 (Ро). Точ-
\ О /1 х ку В отримано з точки Ро у результаті по-
\ / вороту на кут я (на кут 180°) або на кут -л
(на кут -180°), тобто В = (Ро), В = Роя (Ро).
Точку С отримано з точки Ро у результаті
' 17 6 повороту на кут (на кут 270°) або на
кут —| (на кут-90°), тобто С = Яо2(Р0), С = Яо2(Р0).
Якщо точка Р, рухаючись по одиничному колу, зробить повний
оберт, то можна говорити, що кут повороту дорівнює 2 л (тобто
360°) або ~2л (тобто -360°).
Якщо точка Р зробить півтора оберти проти годинникової
стрілки, то природно вважати, що кут повороту дорівнює Зл (тобто
540°), якщо за годинниковою стрілкою — то -Зл (тобто -540°).
Зрозуміло, що кут повороту як у радіанах, так і в градусах
може виражатися будь-яким дійсним числом.
Кут повороту однозначно визначає положення точки Р на
одиничному колі. Проте будь-якому положенню точки Р на колі
відповідає безліч кутів повороту. Наприклад, точці Р (рис. 17.7)
відповідають такі кути повороту: ^ + 2л, ~ + 4л, ~ + 6л і т. д.,
4 4 4 4
а також —-2л, —-4л, ~-6л і т. д.
4 4 4
Кожному дійсному числу а по-
ставимо у відповідність точку Р оди-
ничного кола таку, що Р = Я£(Р0).
Тим самим ми задали відображення
множини дійсних чисел на множину
точок одиничного кола. Зауважимо,
що це відображення не є взаємно
однозначним: кожній точці одинич-
ного кола відповідає безліч дійсних
чисел. Наприклад, точці Р (рис. 17.7)
відповідають усі дійсні числа виду
~ + 2лЛ, к є 2. Зауважимо, що множину чисел виду ~ + 2як,
4 4
9л
к є 2, можна задати й інакше. Наприклад: — + 2лл, л є 2, або
• 4
7тг
—~ + 2ллі, лі є 2.
4
Вправи
17.1. ° Знайдіть радіанну міру кута, який дорівнює:
1) 25°; 2) 40°; 3) 100°; 4) 160°; 5) 210°; 6) 300°.
17.2. ° Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює*.
1) 777? 2) 3) 4) 1,2л; 5) Зл; 6) 2,5л.
10 5 9
17.3/ Заповніть таблицю:
Градусна міра кута 12° 36° 105° 225° 240°
Радіанна міра кута л 18 4л 9 Зл 5 4л 1,8л.
17.4.° Чому дорівнює довжина дуги кола, радіус якого дорівнює
12 см, якщо радіанна міра дуги становить:
1) 2) 2; 3) 4) 2л?
2 О
17.5. ” Обчисліть довжину дуги кола, якщо відомо її радіанну
міру а і радіус В кола:
1) а = З, В - 5 см; 2) а = В = 6 см; 3) а = 0,4л, В - 2 см.
4
17.6. ° Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:
1) £ і 1,5; 2) і -2; 3) | І 1; 4) і 4,8.
Л* Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:
і) 5 і і; 2) і
17.8. ° Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при
повороті точки Ро(1; 0) на кут:
1) 45°; 3) 150°; 5) 7) -120°; 9) 450°; 11)
З 2
17.9/ Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при
повороті точки Ро(1; 0) на кут:
1) 225°; 3) 5) 420°; 7) 9) 6л;
6 з
2) -60°; 4) 320°; 6) -315°; 8) -^; 10) -720°.
О
17.10. ° У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отри-
мана при повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1) 127°; 5) -240°; 9) -470°; ІЗ) =£; 17) 3;
2) 89°; 6) 400°; Ю) £ О 14) -1,8л; 18) 6;
3) 276°; 7) 750°; П) V5 15) 2,6л; 19) -2;
4) -130°; 8) -24°; 12) О 16) -^; 20) 7?
17.11.* У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отри-
мана при повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1) 94°; 4) -100°; 7) -800°; 10) о 13) 1;
2) 176°; 5) -380°; в> т; 11) 5,5л; 14) -3;
3) 200°; 6) 700°; 9)-Т; 12) -ф; О 15) 5?
17.12.° Знайдіть координати точки одиничного кола, отриманої
при повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1) 3) -90°; 5) 7) 450°;
А £і
2) л; 4) -180°; 6) -у; 8) -2л.
17.13 .* Які координати має точка одиничного кола, отримана при
повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1) 2) Зл; 3) 4) 180°; 5) -270°; 6) -540°?
А а
17.14 .° Кути трикутника відносяться як 2 : 3 : 5. Знайдіть раді-
анні міри його кутів.
17.15 / Кути чотирикутника відносяться як 1 : 3 : 4 : 7. Знайдіть
радіанні міри його кутів.
17.16 / Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого
дорівнює
15
17.17 / Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 36°.
Знайдіть радіанні міри кутів цього трикутника.
17.18 / Укажіть найменший додатний і найбільший від’ємний
кути, при повороті на які точки Ро(1; 0) буде отримано точку
з координатами:
• 1) (0; 1); 2) (-1; 0); 3) (0; -1); 4) (1; 0).
17.19 / Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р оди-
ничного кола (рис. 17.8).
а) б) в)
Рис. 17.8
17.20/ Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р оди-
ничного кола (рис. 17.9).
а) б) в)
Рис. 17.9
17.21 / Серед кутів 400°, 510°, 870°, 1230°, -150°, -320°, -210°,
-680°, -1040° укажіть ті, при повороті на які точка Ро (1; 0)
займе те саме положення, як при повороті на кут: 1) 40°;
2) 150°.
17.22 / Знайдіть кут а, 0° < а < 360°, при повороті на який точ-
ка Ро (1; 0) займе те саме положення, як при повороті на кут:
1) 440°; 2) -170°; 3) -315°; 4) 1000°.
17.23 / Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих
при повороті точки Ро (1; 0) на кути:
1) ^ + 2пк, к є 2; 3) к є 2; 5) 2тік, к є 2;
2) ~+4лк, кє 2; 4) пк, к є 2; 6) к є 2.
А Хи
17.24 / Побудуйте на одиничному колі точки, яким відповідає
така множина чисел:
1) ^+2пк, кє 2; 3) ~+пк, к є 2;
4 4
2) ^ + 2пк, ке 2; 4) к є 2.
Сі З
17.25 / Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку
Ро (1; 0), щоб отримати точку:
1)^(0; 1);
2)Р2(-1;0);
17.26 / Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку
Ро (1; 0), щоб отримати точку:
ПРДО-.-І); 2)р/і;^; 3) Р3(-^;-^).
17.27 / Спростіть:
1) {2іт | п е 2} О {лп | п є 2};
2) {2лп | п є 2} П {я + 2пп | п є 2};
з) Йо । пє2} и (ї+,гп । пє2};
4) <±£+лп | пє2І її {лп | пє2};
ІЗ 7
5) {(-1)"«^ + лп І пєг} І) {(-1)в-^+лп І пєг);
6) {|+лп І гає2}п|^- І пєг).
17.28 .’ Спростіть:
1) {2лп | п е 2} Іі {я + 2лп | п є 2};
2) {2пп | п є 2} П {лп | п є 2};
3) |±^+лп | пє2І;
4) {1І І пє2}п{| + 7Ш І
5) {(-1)" я + лп | п є 2};
6) і пєг]о і ПЄ2І.
І о і І З З
17.29/ Доведіть, що площу сектора, який містить дугу
ос??2
в а рад, можна обчислити за формулою 8 = -^-, де В — раді-
ус кола.
18.
Тригонометричні функції числового
аргументу
Поняття «синус», «косинус» і «тангенс» кутів від 0° до 180°
знайомі вам з курсу геометрії 9 класу. Узагальнимо ці поняття
для довільного кута повороту а.
Означаючи тригонометричні функції кутів від 0° до 180°, ми
користувалися одиничним півколом. Для довільних кутів пово-
роту природно звернутися до одиничного кола.
Означення. Косинусом і синусом кута повороту а називають
відповідно абсцису х і ординату у точки Р (х; у) одиничного кола
такої, що Р = Р£(Р0) (рис. 18.1).
Пишуть: соз а - х, зіп а = у.
Точки Ро, А, В і С (рис. 18.2) мають відповідно такі координа-
ти: (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Вони отримані з точки Ро (1; 0)
у результаті повороту відповідно на такі кути: 0, я, Тому,
користуючись даним означенням, можна скласти таблицю:
X 0 я 2 71 Зя 2
ЗІП X 0 1 0 -1
СОЗ X 1 0 -1 0
ПРИКЛАД 1 Знайдіть усі кути повороту а, при яких: 1) зіп а = 0;
2) соз а = 0.
Розв'язання
1) Ординату, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки оди-
ничного кола: Ро і В (рис. 18.2). Ці точки отримано з точки Ро
у результаті поворотів на такі кути:
0, л, 2л, Зл, ... або
-л, -2л, -Зл, ...
Отже, біп а = 0 при а = пк, де к є 2.
2) Абсцису, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки оди-
ничного кола: А і С (рис. 18.2). Ці точки отримано з точки Ро
у результаті поворотів на такі кути:
£+2л, £+зл. ••• або
2 2 2 2
' |-2л, І-Зя, ...
Отже, соз а = 0 при а = ^ + лй, де к є 2. •
Означення. Тангенсом кута повороту а називають відношен-
ня синуса цього кута до його косинуса:
, віпа
1е“=^
Означення. Котангенсом кута повороту а називають відно-
шення косинуса цього кута до його синуса:
х сова
сіє а = ~—
& віпа
, і » соз і___І
Наприклад, = = сі£і-£| =----^ = 0,
созя \ 2/ . і лі
81П\ 2/
З означення тангенса випливає, що тангенс визначено для тих
кутів повороту а, для яких соз а 0, тобто при а^^ + лЛ, к є 2.
&
З означення котангенса випливає, що котангенс визначено
для тих кутів повороту а, для яких зіп а Ф 0, тобто при а л&,
к є 2.
Ви знаєте, що кожному куту повороту а відповідає єдина точ-
ка одиничного кола. Отже, кожному значенню кута а відповідає
єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для
а^^+л&, котангенса для а * пк9 к є 2) кута а. Тому залежність
значень синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини
кута повороту є функціональною.
Функції / (а) = зіп а, § (а) = соз а, к (а) = а, р (а) = сі£ а,
які відповідають цим функціональним залежностям, називають
тригонометричними функціями кута повороту а.
• Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут
а рад. Це дозволяє розглядати тригонометричні функції число-
вого аргументу.
Наприклад, запис зіп 2 означає синус кута 2 радіана.
З означення синуса і косинуса випливає, що областю визна-
чення функцій у = зіп х і у = соз х є множина К.
Оскільки абсциси і ординати точок одиничного кола набувають
усіх значень від -1 до 1 включно, то областю значень функцій
у = зіп х і у - соз х є проміжок [-1; 1].
Кутам повороту а і а + 2лп, де п є 2, відповідає одна й та
сама точка одиничного кола. Тому
зіп а = зіп (а + 2лп), п є 2
соз а - соз (а + 2лп),
Областю визначення функції у = х є множина
{х є К | + пк, к е
Областю визначення функції у = сі& х є множина
{хе К і х * тік, к е ^}.
Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої
геометричної інтерпретації.
Проведемо пряму х = 1. Вона прохо-
дить через точку Ро (1; 0) і дотикається
до одиничного кола (рис. 18.3).
Нехай точка Р отримана з точки
Ро (1; 0) у результаті повороту на кут а
і розміщена так, як показано на рисун-
ку 18.3. Пряма ОР перетинає пряму х - 1
у точці М. Проведемо РN ± ОР0.
З подібності трикутників ОРN і ОМР^
РМ МР0
випливає, шо
Оскільки РN = зіп а, ОN = соз а, ОРп = 1, то МРп = 8---- = а.
0 0 соз а
Отже, ордината точки М дорівнює а.
Можна показати, що і при будь-якому іншому положенні
точки Р на одиничному колі виконується таке: якщо пряма ОР
перетинає пряму х = 1, то ордината точки перетину дорівнює а.
Тому пряму х = 1 називають віссю тангенсів.
Зрозуміло, що при зміні положення точки Р на одиничному колі
(рис. 18.4) точка М може зайняти довільне положення на прямій
х = 1. Це означає, що областю значень функції у = і£ х є множина К.
Нехай точка Р отримана з точки Ро (1; 0) у результаті повороту
на кут а і розміщена так, як показано на рисунку 18.5. Можна
показати, що коли пряма ОР перетинає пряму у = 1, то абсциса
точки перетину дорівнює сі& а (рис. 18.5). Тому пряму у - 1 на-
зивають'віссю котангенсів.
З рисунка 18.6 зрозуміло, що областю значень функції
у = сі£ х є множина К.
Якщо точки Р , О і Р2 лежать на одній прямій, то прямі
ОР± і ОР2 перетинають вісь тангенсів (котангенсів) в одній і тій
самій точці М (рис. 18.7, 18.8). Це означає, що тангенси (ко-
тангенси) кутів, які відрізняються на л, 2л, Зл і т. д., рівні.
Звідси _________________________
і£ а = і£ (а + лп), п є
сіє а = сіє (« + яп), п є 2
Рис. 18.8
Рис. 18.7
Рис. 18.9
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що сова = зіп (а + ^.
Розв’язання. Нехай точки Р± і Р2 отримано з точки Ро у ре-
зультаті поворотів на кути аі а + | відповідно. Опустимо пер-
пендикуляри Р^А і Р2В на осі х і у відповідно (рис. 18.9). Оскіль-
ки АР^ОР2—~9 то можна встановити, що АОР2В.
Звідси ОА = ОВ. Отже, абсциса точки Р^ дорівнює ординаті точ-
ки Р2, тобто СО8 0С = 8Іп(а + “~).
Випадки розміщення точок Р1 і Р2 в інших координатних
чвертях розглядаються аналогічно.
Розгляньте самостійно випадки, коли точки Рг і Р2 лежать на
координатних осях. ♦
ПРИКЛАД 3 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
їх ч а (2 ~ віп а) сой а
1) 1 - 4 соз а; 2) --——-.
сова
Розв’язання. 1) Оскільки -1 < сов а < 1, то -4 < -4 соз а < 4,
-З < 1 - 4 сов а < 5. Отже, найменше значення даного виразу до-
рівнює -З; вираз набуває його при соз а = 1. Найбільше значення
дорівнює 5; вираз набуває його при соз а - -1.
Відповідь: 5; -3.
(2 - зіп а) сов а о . « п
2) Маємо: 1----------= 2 - 8іп а. Зрозуміло, що вираз 2 - зіп а
сова
набуває всіх значень від 1 до 3. Найменше значення виразу
2 - зіп а, яке дорівнює 1, досягається лише при зіп а - 1, проте
„ . (2-віпа)сова „ ~
при цьому соз а = 0 і вираз ---------- не визначений. Отже,
сова
найменшого значення не існує.
Аналогічно, найбільшого значення вираз 2 - зіп а набуває
лише при зіп а = -1, проте при цьому також соз а = 0. Отже,
і найбільшого значення не існує.
Відповідь: не існують.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть область значень виразу: 1) -—- — ;
х5 — СО8 х£Х
2) Ззіпх-2'
Розв’язання. 1) Маємо: -1 < соз 2х < 1; 1 < 2 - соз 2х < 3;
1>-——— >4. Зрозуміло, що коли значення соз2х змінюється
2 - сов 2х З
1
від -1 до 1 включно, то значення виразу 2-соз2х змінюється ВІД
1 .
- до 1 включно,
о
Відповідь: [^1]-
2) Маємо: -1 < віп х < 1; -3 < Звіп х < 3; -5 < Звіп х - 2 < 1.
При 0 < Зеіп х - 2 < 1 отримуємо, що -------->1, причому
З еіп х - 2
рівність досягається при еіп х = 1.
При -5 < Зеіп х - 2 < 0 отримуємо, що
--------при
З еіп х - 2 5
чому рівність досягається при еіп х = -1. Отже, область значень
даного виразу — множина 1-е»;
О [1;+°°).
З Вправи
18.1.° Обчисліть значення виразу:
1) 2сов 0° 4- Зеіп 90°; 6) зіпО + І£ л-зіп—;
2) 4і£ 180° - 2сі£ 90°; 7) 5 сов л 4-4 сов-^ + 2 сов 2л;
3) в^п 45° 4- сов 45°; 8) 6віп^-2сов^ + і£“7сі£^;
4) віп* 2 60° 4- сов2 30°; 9) 2 віп2 4 +соз2
4 о
5) віп 45° сов 60° сі£ 30°; 10) зіп ~
З о о
18.2/ Чому дорівнює значення виразу:
.я . я
Віп — + СОВ Я + —
1) зіп 270° - 3сов 180°; 5) --2---------
2 еіп
. о
2) СО8 60° + зіп 30°; 6) зіп 4 соз 4
4 4 3
3) 7 і#2 45° - З СІ8 45°; 7) соз - зіп
Л
4) зіп 180° соз 120° 60°; 8) 6соз0+48іп2л+4зіп2^?
О
18.3.° Відомо, що а = 5*
о
Знайдіть і порівняйте значення вира-
зів:
. 1) вій 2а і 2 зіп а;
2) сов За і Зсо8 а.
18.4 / Відомо, що Р = Знайдіть і порівняйте значення виразів:
1) зіп 43 і 4зіп 3; 2) 43 і 4і£ З-
18.5 .° Чи можлива рівність:
1) 4 соєа = —; 7 4) Я соза = —; 7) і& а = —4;
2) 715 зіп а = —4—; 4 5) я соза = —; 4 8) сіє « = >/26?
3) зіп а = -^2; 6) 9 зіп а = о
18.8.* тт • >/б Чи може дорівнювати числу — значення:
1) зіп а; 3) а;
2) сов а; 4) сі£ а?
18.7 .° Знайдіть значення виразу:
1 зіп 2а + соз 2а
8Ш
-----, якщо а =
+ 31&а
я
4
зіп (а 4-р) я о я
2) -т—.—якщо а = ~, р = —;
7 зіп(а-Р) + соз(а + Р) З к 6
3) (зіп а + зіп З)2 - (зіп а - зіп З)2, якщо а = ^, 3 = т-
о 4
18.8 / Знайдіть значення виразу:
1)
З зіп
я
, якщо а = б
зіп Зр-зіпріла я о я
созЗа-3зіп(За+ ЗР)’ якщо а""з’
18.9 .° Укажіть найбільше і найменше значення виразу:
1) Ззіп а; 3) 2 - зіп а; 5) зіп2 а;
2) 4 + соз а; 4) 6 - 2соз а; 6) 2соз2 а - 3.
18.10 .° Укажіть найбільше і найменше значення виразу:
1) -5сое а; 2) сов а - 2; 3) 5 4- віп2 а; 4) 7 - Звіп а.
18.11 / Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:
1) віп х-1; 2) 8Іп х - -1.
18.12 / Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:
1) соз х = 1; 2) соз х = -1.
18.13 / Чи існує таке значення х є К, при якому обидві функції
у = х і у = сі& х не визначені?
18.14 / При яких значеннях а можлива рівність:
1) соз х = а 4- 3; 3) соз х = а2 - 1; 5) соз х = а2 - 5а 4- 5;
2) зіп х = а2 4- 1; 4) зіп х = а2 - а - 1; 6) х =
18.15 / При яких значеннях а можлива рівність:
1) зіп х = а - 2; 3) соз х = а2 - 3;
2) соз х = а2 4- 2; 4) зіп х = 2а - а2 - 2?
18.16 / Порівняйте значення виразів 2 зіп а і 8Іп2а, якщо 0 < а <
п
2
18.17 / Порівняйте:
1) соз 10° і соз 10°со8 20°; 2) 8Іп 40° і 8Іп2 40°.
18.18 / Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
І) х-4—
1 + зіп а
3)
зіп а (1 + соз а).
зіп а
2)
соз3 а'
соз а ’
« о . 2 соз2 а
4) 2 соз а 4-3 зіп а---------.
соз а
18.19 / Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1) ---£-—;
соз а - 2
зіпасоза.
• >
зіп а
. зіп а соз а
3) 8іпа + со8а------------
соз а
18.20 / Знайдіть область значень виразу:
І) 77-Д--; 2) —-----;
2 + зіп х 1 - соз х
18.21/ Знайдіть область значень функції:
1) и=—-—; 2) ц=—і—•
* З-созх у зіп х + 1
18.22 / Доведіть, що зіпа = -со8І^ + аІ.
18.23 .* Доведіть, що соє а=-со8 (я + а).
3) і^/тч*
4 зіп х — З
3) 1 —2сО8х'
Ставай Остроградським!
Видатний український математик Михайло Васильович Петро-
градський народився в селі Пашенівка на Полтавщині. У 1816-
1820 рр. він навчався в Харківському
університеті, а потім удосконалював
математичну освіту, навчаючись у таких
великих учених, як П’єр Симон Лаплас
(1749-1827), Симеон Дені Пуассон (1781-
1840), Огюстен Луї Коші (1789-1857),
Жан Батіст Жозеф Фур’є (1768-1830).
Серед величезної наукової спадщини,
яку залишив нам Михайло Остроград-
ський, значну роль відіграють роботи,
пов’язані з дослідженням тригонометрич-
них рядів і коливань. Багато важливих
математичних теорем сьогодні носять
ім’я Остроградського.
Крім наукових досліджень, Остроград-
ський написав низку чудових підручни-
Михайло Васильович
Остроградський
(1801-1862)
ків для молоді, зокрема «Програму і конспект тригонометрії».
Сам Остроградський надавав питанню викладання тригонометрії
такого значення, що це стало предметом доповіді в Академії наук.
Науковий авторитет Остроградського був настільки високим,
що в ті часи, відправляючи молодь на навчання, казали: «Ставай
Остроградським!» Це побажання актуальне і сьогодні, тому:
«Ставай Остроградським!»
Знаки значень тригонометричних
функцій. Парність і непарність
тригонометричних функцій
Нехай точку Р отримано з точки Ро (1; 0) у результаті повороту
навколо початку координат на кут а. Якщо точка Р належить
І чверті, то говорять, що кут а є кутом І чверті. Аналогічно можна
говорити про кути II, III і IV чвертей.
Наприклад, і -300° — кути І чверті, і -185° — кути
7 о
II чверті, ~ і -96° — кути III чверті, 355° і — кути IV чверті.
Кути виду —, к є 2, не відносять до жодної чверті.
2
Точки, розміщені в І чверті, мають додатні абсцису і ординату.
Отже, якщо а — кут І чверті, то зіп а > 0, соз а > 0.
Зрозуміло, що коли а — кут II чверті, то зіп а > 0, соз а < 0.
Якщо а — кут III чверті, то зіп а < 0, соз а < 0.
Якщо а — кут IV чверті, то зіп а < 0, соз а > 0.
Знаки значень синуса і косинуса схематично показано на
рисунку 19.1.
~ . зіп а , соз а
Оскільки іяа =-------, сі£а = —---, то тангенси і котангенси
соз а зіп а
кутів І і III чвертей є додатними, а кутів II і IV чвертей —
від’ємними (рис. 19.2).
Нехай точки Р і Р2 отримано в результаті повороту точки
Ро (1; 0) на кути а і -а відповідно (рис. 19.3).
Для будь-якого а точки Р± і Р2 мають рівні абсциси і проти-
лежні ординати. Тоді з означень синуса і косинуса випливає, що
Рис. 19.3
*Є(-а) =
для будь-якого а є К
соз (—а) = соз а
зіп (~а) = —зіп а
Це означає, що функція косинус
є парною, а функція синус — не-
парною.
Області визначення функцій у =
= X і у - сі& х симетричні віднос-
но початку координат (перевірте це
самостійно). Крім того:
зіп (-а) -зіп а ,
----7—7 = —— = а;
соз (-а) соз а
сі£(-а) =
соз(-а)
зіп (-а)
сова
-зіп а
= -сі£ а.
Отже, функції тангенс і котангенс є непарними.
ПРИКЛАДІ Який знак має: 1) зіп 280°; 2) (-140°); 3) 2?
Розв’язання. 1) зіп 280° < 0, оскільки кут 280° є кутом
IV чверті;
2) (-140°) > 0, оскільки кут -140° є кутом III чверті;
3) оскільки ^<2<л, то кут 2 рад є кутом II чверті. Отже,
2 < 0. •
ПРИКЛАД 2 Визначте знак виразу соз 123° 231° зіп 312°.
Розв’язання. Оскільки 123° — кут II чверті, 231° — кут
III чверті, 312° — кут IV чверті, то соз 123° < 0, 231° > 0,
зіп 312° < 0 і їх добуток більший за 0. •
ПРИКЛАД І Порівняйте зіп 200° і зіп (-200°).
Розв’язання. Оскільки кут 200° — кут III чверті, кут
-200° — кут II чверті, то зіп 200° < 0, зіп (-200°) > 0. Отже,
зіп 200° < зіп (-200°). •
ПРИКЛАД 4 Дослідіть на парність функцію: 1) /(х) = 1 + С°8Х;
х
2) Г (х) = 1 + зіп х; 3) Г(х) = ^Д; 4) Г(х)=^.
СОЗ X Х-1
Розв’язання. 1) Область визначення даної функції
Р (/) - (-оо; 0) 0 (0; +оо) є симетричною відносно початку координат.
Маємо:
ч 1 + соз(-х) 1 + созх ч
Отже, дана функція є парною.
2) Область визначення даної функції Б (/) = (-оо; +©о) є симе-
тричною відносно початку координат. Маємо:
/ (-х) = 1 + зіп (—х) = 1 - зіп х.
Тоді / (-х) Ф / (х); / (-х) Ф (х). Отже, дана функція не є ні
парною, ні непарною.
3) Область визначення даної функції — усі дійсні числа, крім
чисел виду ~ + тік, ке й, — є симетричною відносно початку
координат. Маємо:
соз (~~х) СОЗ X
Отже, дана функція є непарною.
4) Область визначення даної функції Р (/) = (-°°; 1) (1; +°°) не
є симетричною відносно початку координат. Отже, дана функція
не є ні парною, ні непарною. •
* 1 *—•— «-* -
Вправи
19.1 / Кутом якої чверті є кут:
1) 38°; 3) 302°; 5) -98°; 7) О 9) о
2) 119°; 4) 217°; 6) -285°; 8) о 10) ~ 4
19.2.° Додатним чи від’ємним числом є значення тригонометрич-
ної функції:
1) еіп 110°; 4) зіп (-280°); 7) зіп (-130°); 10) 1;
2) СО8 200°; 5) сов 340°; 8) сов 2; 11) сі&^;
4
3) І8 160°; 6) (-75°); 9) віп (-3); 12)
6
19.3/ Який знак має:
1) віп 186°; 3) сіє 340°; 5) сіє (-291°); 7)
О
2) 104°; 4) сов (-78°); 6) віп^; 8) соз(-^)?
19.4. ° Знайдіть значення виразу:
1) зіп (-30°); 2) (-60°); 3) сі£ (-45°); 4) сов (-30°).
19.5. * Чому дорівнює значення виразу:
1) соз (-60°) + (-45°); 2) сі£ (-60°) зіп (-45°) соз (-45°)?
19.6. ° Знайдіть значення виразу:
1) зіп (-30°) - 2 (-45°) + соз (-45°);
2) 5 і£ 0+2 зіп - 3 сіє 4)+сое (~^)»
3) І£ (-?) сіє (-£)+2 соз (-я)+4 зіп2 3
\ О/ \ О/ \ о/
2с“ (-?)
19.7.* Знайдіть значення виразу:
1) Зеіп (-45°) + соз (-45°) + 2зіп (-30°) + 6соз (-60°);
2) зіп2 (-60°) + соз2 (-30°);
3) 2 іе (-?) сіє (~)+3 зіп (“)+4 соз
\ 4/ \ О/ \ £/ \ О/
19.8. ° Визначте знак виразу:
1) зіп 100° зіп 132°;
2) соз 210° зіп 115°;
• 3) соз 285° соз (-316°);
4) 112° зіп 165°;
5) соз 318° і* (-214°);
6) сій 300° зіп 220°;
7) зіп 1 соз 2;
8) зіп 5 І£ 5;
9) зіп 3 соз 4 І£ 5;
10) зіп (-118°) соз 118° і£ 118°.
19.9. ° Порівняйте з нулем значення виразу:
1) зіп 102° соз 350°; 3) 5) зіп 112° соз (-128°) і§ 198°;
соз 256
2) зіп 134° соз 131°; 4) ; 6) зіп (-245°) І£ 183° сі® (-190°).
19.10. ° Відомо, що < а < я. Порівняйте з нулем значення виразу:
2
-.х . - пх 8іп2а. зіп3а. .
1) зіп а а; 2) ----------; 3) -----; 4) зіп а - соз а.
7 в 7 соз а соз а '
Зя
19.11 / Відомо, що я < р < —. Порівняйте з нулем значення виразу:
2
і \ • о а 8Іп Р
1) зіп р соз р; 2) —
соз р
19.12 .° Порівняйте:
1) 130° і (-130°);
2) 110° і 193°;
3) соз 80° і зіп 330°;
19.13 / Порівняйте:
1) зіп 200° і зіп (-250°);
2) сі£ 100° і сі£ 80°;
3) 7?; 4) ЗІП Р + СОЗ р,
81П Р
4) зіп 60° І 5ІП^“Ч
7
5) сі£ і соз 280°;
6) СІ£ 6 І СІ£ 6°.
3) соз 250° і соз 290°;
4) соз 6,2 і зіп 5.
19.14 / Відомо, що а — кут ПІ чверті. Спростіть вираз:
1) зіп а - | зіп а |; 3) | а | - а.
2) | соз а | - соз а;
19.15 / Відомо, що Р — кут IV чверті. Спростіть вираз:
1) | зіп Р | 4- зіп Р; 3) | сі£ Р | - сі£ р.
2) соз р - | соз Р |;
19.16 / Кутом якої чверті є кут а, якщо:
1) зіп а > 0 і соз а < 0; 3) | зіп а | = зіп а і а * к є 2;
2
2) зіп а < 0 і іє а > 0; 4) сі&а + |с<£а| = 0 і Лє2?
19.17 / Кутом якої чверті є кут а, якщо:
1) соз а > 0 і а > 0;
2) зіп а < 0 і сі£ а < 0;
3) | соз а | = -соз а і а * £ є X;
4) | а | - а = 0 і а * пк, к є £?
19.18 .* Дослідіть на парність функцію:
1) / (х) = віп2 х; 2) /(х) = ^; X 5) / (х) = х3 + сов х; ч хзіпх 6) /(х)= ; 1 - СОЗ X
3) / (х) = Іе х + соз х; 7) /(х)-(—^°8^;
.. ,, . 1-СО8Х 4) /(х) = - ; 1 + СОЗ X 3 • 8) /(ж) =
19.19.* Дослідіть на парність функцію:
1) / (х) = іе х + сіє х; 4) =
х-1
2) /(х) = 8^+-^-х-; 5) / (х) = соє х + ^;
ЗІП X - X З
3) Г(Х) = ^; 6)
х-1 х-1
ПЯ Періодичні функції
Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому
світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через
27,3 доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця;
якщо сьогодні субота, то через 7 діб знову настане субота.
Подібні явища і процеси називають періодичними, а функ-
ції, які є їх математичними моделями, — періодичними функ-
ціями.
Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності
зіп (х - 2л) = зіп х = зіп (х + 2л);
соз (х - 2л) = соз х = соз (х 4- 2л).
Це означає, що значення функцій синус і косинус періодич-
но повторюються при зміні аргументу на 2л. Функції у - зіпх
і у = созх є прикладами періодичних функцій.
Означення. Функцію / називають періодичною, якщо існує
таке число Т * 0, що для будь-якого х з області визначення
функції / виконуються рівності
- Т) = ї(х) = /(х + Т).
Число Т називають періодом функції /.
Виконання записаних рівностей для будь-якого х є І) (/) озна-
чає, що область визначення періодичної функції / має таку влас-
тивість: якщо х0 є В (/), то (х0 - Т) є В (/) і (х0 + Т) є В (/).
Ви знаєте, що для будь-якого х з області визначення функції
у = х виконуються рівності
(х - Л) = X = (х + Л).
Також для будь-якого х з області визначення функції у - сі£ х
виконуються рівності:
СІ£ (х - л) = СІ£ X = СІ£ (х + Л).
Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс
і котангенс є періодичними з періодом л.
Періодичною є функція дробова частина числа у = {х}. Її
періодом є будь-яке ціле число, відмінне від нуля. Справді, для
будь-яких X є В і к є виконується рівність {х + Л} = {х}.
Розглянемо деякі властивості періодичних функцій.
Теорема 20.1. Якщо число Т є періодом функції то і чис-
ло -Т також е періодом функції
Справедливість цієї теореми випливає з означення періодичної
функції.
/ Теорема 20.2. Якщо числа Туі Т2 е періодами функції
причому Тг + Т2* 0, то число Т± + Т2 також е періодом функ-
ції /.
Доведення. Для будь-якого х є В (/) можна записати:
ї (х) = / (х + Т\) = / ((х + Тг) + Т2) = / (х + (7\ + Т2));
ї (х) = ї (х - 7\) = / ((х - 7\) - Т2) = / (х - (Тх 4- Т2)).
Звідси для будь-якого х є В (/) виконуються рівності:
ї (х - (7\ + т2)) = / (х) = / (х + (7\ + т2)).
Отже, ЧИСЛО Тх + Т2 є періодом функції /. А
Наслідок. Якщо число Т е періодом функції то будь-яке
число виду пТ, де п є X, п 09 також е її періодом.
Доведіть цей факт самостійно.
Остання властивість означає, що кожна періодична функція
має безліч періодів.
Наприклад, будь-яке число виду 2лп, п є 2, п Ф 0, є періодом
функцій у = зіп х і у = соз х; будь-яке число виду лп, п є 2, п * 0,
є періодом функцій у = X І у = СІ£ X.
Теорема 20.3. Якщо число Т є періодом функції у = / (х),
Т
то число де к ф 0, є періодом функції у - / (кх 4- Ь).
к
Доведення. Для будь-якого х з області визначення функції
у = / (кх + Ь) можна записати:
Г(кх+Ь) = /((кх+Ь)+Т) = Г\к(х+^-}+Ь
\ \ к/
/(кх + Ь) = /((кх+Ь)-Т) = /\к[х-^-\+Ь
\ \ к}
Звідси для будь-якого х з області визначення функції
у = / (кх + Ь) виконуються рівності:
/[к
Т
Отже, число — є періодом функції у - / (кх + Ь). ▲
К
Якщо серед усіх періодів функції / існує найменший додатний
період, то його називають головним періодом функції /.
Наприклад, головним періодом функції у = {х} є число 1.
Теорема 20.4. Головним періодом функцій у = зіп хіу = соз х є
число 2л; головним періодом функцій у ~ї#хіу = сі£ х є число л.
Доведення. Проведемо доведення для функції у = зіп х (ре-
шту тверджень теореми доводять аналогічно).
Якщо число Т є періодом функції у = зіп х, то рівність
зіп (х + Т) - зіпх виконується при будь-якому дійсному значенні
т
х, зокрема при х = —-. Тоді маємо:
40
(7* і / 7* і Т 7і Г
“4" + 7| = 8Іп “4- ; зіп4-=-зіп4-; зіп4" = 0.
2 / \-2Г 2 2 2
Т
Звідси -т- = л&, Т = 2л&, к є 3 останньої рівності випливає,
£
що будь-який період функції у = зіп х має вигляд 2л&, к є X.
Найменшим додатним числом виду 2лЛ, к є 2, є число 2л, яке
є періодом функції у = ЗІП X.
Отже, число 2л — головний період функції у = ЗІП X. А
Застосовуючи теореми 20.3 і 20.4 до функцій у - біп (кх 4- Ь)
2тс
і у = СОБ (кх + &), де к Ф 0, отримуємо, що число — є періодом,
к
а число є головним періодом цих функцій.
І І
. Головним періодом функцій у = (кх 4- Ь) і у = сі& (кх 4- 6),
де к Ф 0, є число
1*1
Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний
період. Наприклад, функція у = с, де с — деяке число, є пері-
одичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля,
є її періодом. Отже, ця функція не має головного періоду.
Існують періодичні функції, відмінні від константи, які теж
не мають головного періоду.
Наприклад, розглянемо функцію Діріхле* 1 у - (х). Ця функ-
ція є періодичною, причому будь-яке раціональне число, від-
мінне від нуля, є її періодом. Це випливає з того, що сума двох
раціональних чисел — число раціональне, а сума раціонального
і ірраціонального чисел.— число ірраціональне. Отже, функція
Діріхле не має головного періоду.
Теорема 20.5. Якщо Т — головний період функції /, то
будь-який період функції / має вигляд пТ, де п є 2 і п 0.
Доведення. Нехай Т — період виду, відмінного від указа-
ного. Тоді можна підібрати таке ціле п і таке дійсне а є (0; 1),
що Т\ = пТ 4- аТ. Маємо: / (х) = / (х 4 / (х 4- пТ 4- аТ) =
= / (х 4- аГ), / (х) - / (х - / (х - пТ - аТ) = / (х - аТ). Отже,
аТ — період. Проте 0 < аТ < Т. Отримали суперечність (адже
Т — головний період). ▲
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу: 1) біп 660°; 2) БІп^-±у^;
3) 135°.
Розв'язання. 1) біп 660° = біп (720° - 60°) = біп (-60° 4- 360°-2) =
= 8ІП (-60°) = -8Іп60° = -^.
2) ЗІП = -8ІП = -8ІП І4п = -ЗІП (2 • 2л + 77) = —8ІП
\ 3 / 3 \ 3/ \ 3/ 3 А
3) 135° = (-45° 4- 180°) = (-45°) = -1. •
--------- Г1, якщохєО),
1 Нагадаємо, що Х)(х) = 5
[0, якщо х £
На рисунку 20.1 зображено графік деякої періодичної функ-
ції / з періодом Т, В (/) = В.
. Рис. 20.1
Очевидно, що фрагменти графіка цієї функції на проміжках
[0; Т], [Т; 2Т], [2Т; ЗТ] і т. д., а також на проміжках [-Т; 0],
[-2Т; -Т], [-ЗТ; -2Т] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яка
з цих фігур може бути отримана з будь-якої іншої паралельним
перенесенням на вектор з координатами (пТ; 0), де п — деяке
ціле число.
Узагалі, якщо проміжки [а; Ь] і [с; б/] є такими, що с = а + Тп,
(і = Ь + Тп, п є то частини графіка функції / на цих проміжках
є рівними фігурами (рис. 20.2).
ПРИКЛАД 2 На рисунку 20.3 зображено фрагмент графіка пері-
одичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї
ЗТ 5Т"
функції на проміжку —.
и -
Розв'язання. Побудуємо образи зображеної фігури при
паралельних перенесеннях на вектори з координатами (Т; 0),
(2Т; 0) і (-Т; 0). Об’єднання даної фігури та отриманих образів —
ПРИКЛАД З Покажіть, що число Т = я є періодом функції
/ (х) = л/-СО82Х.
• Розв'язання. Областю визначення функції / є множина зна-
чень ЗМІННОЇ X, при ЯКИХ СО8 X = 0, тобто Р (/) = {х Є ІК | х = + ЛП,
п є X}.
Тоді якщо х є В (/), то (х + я) є В (/) і (х - я) є В (/).
Оскільки Е (/) = {0}, то / (х - я) = / (х) = / (х 4- я) - 0. •
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що функція /(х) = —Ц- не є періодич-
ною.
Розв'язання. Зауважимо, що В (/) - (-«>; 2) 0 (2; +©о). При-
пустимо, що функція / є періодичною з періодом Т Ф 0. Очевид-
но, що х0 = 2 - Т є В (/), тоді х0 + Т = 2 - Т 4- Т є В (/), тобто
2 є В (/) — отримали суперечність. •
Означення. Додатні числа а і Ь називають сумірними
(спільномірними), якщо — раціональне число. Якщо
Ь
а
Ь
— ірраціональне число, то числа а і Ь є несумірними.
Наприклад, числа в парах 3 і 5, л/2 і л/32 є сумірними, а чис-
ла 1 і 7з є несумірними.
Означення. Число Т, яке є як періодом функції /, так і періодом
функції £, називають спільним періодом функцій / і £.
Наприклад, число Т = 2я є спільним періодом функцій у = зіп х
і У = *£ х.
Теорема 20.6. Якщо існують період Т? функції / і період
Т# функції § такі, що числа Т?і є сумірними, то функції /
і £ мають спільний період.
7 т
Доведення. Оскільки періоди і Те є сумірними, то -~ = —,
п
де т є М, п є N. Звідси Т^п- Т^т. Тоді за наслідком з тео-
реми 20.2 число Т - Т^п = є періодом як функції /, так
і функції §. А
Доведення цієї теореми показує, як можна знаходити спільний
період двох функцій.
ПРИКЛАД 5 Знайдіть період функції г/ = со8^ + і&-~.
5 7
Розв'язання. Якщо ми знайдемо спільний період функцій
6х
/(х) = соз — і £(х) = і&—, то цим самим знайдемо період даної
5 7
функції.
Скориставшись теоремою 20.3, запишемо:
^-лл.5- 3, в.
10
Тоді . Отже, періоди Т. і Т сумірні, а тому функції / і §
Тв 7 *
35л
мають спільний період Т. Він дорівнює 7Т або ЮТ , тобто Т =
• в о
Відповідь:
о
ПРИКЛАД 6 Знайдіть період функції
. л / Здг тс । її X
П = 81п2Х’~ЗсО8 — + — +4і£—.
* \ 2 4/ ь 2
Розв'язання. Розглянемо функції / (х) = 8Іп 2х, £(х) =
= -3сО8(Т+4/’
й(х) = 4і&^. Для розв’язання задачі достатньо
&
знайти їх спільний період.
Це можна зробити, наприклад, так: спочатку знайти пері-
од функції (р (х) = і (х) + § (х), а потім знайти спільний період
функцій ф і й.
Проте існує більш ефективний метод.
Маємо: Т, = л, = у, Тк = 2п.
Запишемо ці періоди в такому вигляді:
= у ’ я» = з '= у ‘711
„ . т НСК(1;4;2)
Розглянемо число Т =---- • п = 4л.
НСД(1;3;1)
Оскільки Т = 4Т„ Т = ЗТ і Т = 2Т., то число Т є спільним
т 8 Л
періодом функцій /, § і й.
Відповідь: 4л.
Зауважимо, що алгоритм знаходження спільного періоду трьох
функцій, запропонований у розв’язанні прикладу 6, поширюється
на будь-яку скінченну КІЛЬКІСТЬ функцій /р /2, /р періоди
яких можна відповідно подати у вигляді
ТЛ-і * ТЛо і ^к
— •і, — -і, ..., —-*і, де т., ..., т,, ио п_, ті. — на-
• Л2 Пк
туральні числа, і * 0.
20.1.° Знайдіть значення виразу:
1) віп 390°; 5) сов (-750°); 9) сов 300°; 13) віп^; О
2) сов 420°; 6) віп (-390°); 10) іє 150°; 14) соз—;
3) іє 780°; 7) іє (-210°); л.. 11л 11) сов—; О 15) \ о /
4) сіє 405°; 8) сіє 225°; л . 23л 12) віп——; 4
20.2. ° Знайдіть значення виразу:
1) віп 420°;
2) сов 405°;
3) іє (-315°);
4) віп 1110°;
5) іє 765°;
7л
6) сов—;
О
7) сіє^;
8) віп(-^);
Юл\
9) сіє —5-І-
\ о /
20.3. ° На рисунку 20.5 зображено частину графіка періодичної
функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції
на проміжку [-2Т; ЗТ].
а)
Рис. 20.5
в)
20.4. ° На рисунку 20.6 зображено частину графіка періодичної
функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції
на проміжку [-2Т; 2Т].
Рис. 20.6
20.5. ° Доведіть, що число Т є періодом функції /:
1) /(х) = со8р Т = 8л;
2)/(х) = і8Зх, Т = -^;
О
3) / (х) = сі£ лх, Т - 3;
4) / (х) = 8ІП (5х - 2), Т =
5
2тс
20.6. ° Доведіть, що числа — і -4л є періодами функції / (х) = сов Зх.
З
20.7. ° Знайдіть головний період функції:
1) / (х) = соз (Зх + 1); 4) / (х) = 8іп 2лх;
2) / (х) = і® (2х + 1); 5) / (х) = СО8 73х;
3) / (х) = сі® (“7х + 2); 6) / (х) = і® (4лх - 3);
7) Г(х) = {бх + |1;
І О 1
8) /(х) = {~^2х };
9) /(х) = | лх+ — к
І Я ]
20.8/ Знайдіть головний період функції:
1) / (х) = зіп (Зх - 1); 4) / (х) = соз лх;
2) /(х) = со8^+2); 5) / (х) = сі® (і+4);
3) / (х) = і® (-х + 1); . 6) Г(х) = {^-2}.
20.9. ° Функція / така, що Р (/) л [-1; 1] * 0- Доведіть, що є пе-
ріодичною функція:
1) У = / (соз х); 2) у = / (зіп х).
20.10/ Для довільної функції / доведіть періодичність функції:
1) У = / (*£ х);
2) у = / (сі® х).
20.11 / Доведіть, що число п є періодом функції у = х/~ЗІП2Х.
20.12 / Знайдіть головний період функції /(х) = А 1-.
V СО8 X
20.13 / Знайдіть головний період функції /(х) = Л1--.
V 8ІП X
20.14 / Доведіть, що функція / (х) = зіп (х/х) — неперіодична.
20.15 / Доведіть, що функція / (х) = соз (х/х) не є періодичною.
20.16 / Доведіть, що коли функція е зростаючою (спадною), то
вона е неперіодичною.
20.17 / Знайдіть період функції:
1) /г(х) = 8іп^ + ій7х;
£
2) / (х) = зіп Зх + соз ~ їй
4 2 5
3) /(х) = зіп лх-2соз—;
О
4) / (х) = зіп лх + {зх-~|.
20.18 .* Знайдіть період функції:
1) /(х) = СО8Х + 2зІп[^ + 5|;
' \ 5 6/
2) /(х) = со8^ + 5іб^у-^-8Іп(6х-3);
-Г / \ 4.^, 4лх , . 9лх
3)
/ 9 4
4) /(х) = 2зіп5ях + ^{2!х}-сі;£^^.
о 7
20.19 /* При яких значеннях параметра а число п є періодом
, ... ч 8ІПХ о
функції /(х) =----?
а - соз х
__ Я
20.20 .- При яких значеннях параметра а число — є періодом
, ... л/ х соз2х о
функції /(Х) = ———-?
он + зіп 2х
20.21 /* Знайдіть усі раціональні значення параметра а, при яких
2х х
функції / (х) = соз -7=—- і § (х) - їй —----мають СПІЛЬНИЙ
>/5 + а2 л/125-4а + 1
період.
20.22/ * При яких значеннях параметра а, де а є <0, серед періодів
функцій / (х) = зіп —2ахг-=-- і £(х) = і£--^Ц== знайдуться
а2+>/12 1- 2а + >/108
однакові?
20.23/ * При яких цілих значеннях п число 5л є періодом функції
/ (х) = соз пх зіп
п
20.24/ * При яких цілих значеннях п число Зл є періодом функції
/ (х) = соз 8их соз -Ц^?
п
20.25/ * Функцію / задано формулою
,, ч . І , 2л \ , 4л \, , . / , 202л\
/(х) = 8Ш ^х + —^ + зіп \Х + їої/ + ‘” + 8Ш г + ’їоГ/’
Чи має функція / додатний період, менший від 2л?
20.26/ * Функцію / задано формулою
/ (х) = СОЗ X + СОЗ (х + |+СОЗ ІX + І+... + СОЗ ІX + І-
\ 41/ \ 41/ \ 41 /
Чи має функція / додатний період, менший від 2л?
20.27/ * Чи існує функція, для якої кожне ірраціональне число
є її періодом, проте не існує раціонального числа, яке було б
її періодом?
20.28/ * Відомо, що функція у - (/ (х))3 + / (х) є періодичною. До-
ведіть, що функція / також є періодичною.
20.29/ * Функція / є такою, що функція у - (/ (х))2 + / (х) є пері-
одичною. Чи обов’язково функція / також є періодичною?
20.30. * Періодична функція / така, що серед чисел / (1), / (2), ...
є нескінченна кількість різних. Доведіть, що кожний період
функції / — число ірраціональне.
20.31. * Чи існує періодична функція / така, що / (и) = п для всіх
п є Н?
20.32. * Неперіодичні функції / і § визначені на К. Чи може функ-
ція у = / (я (х)) бути періодичною?
20.33. * Функція / є такою, що / (0) = 1 і при всіх х є К викону-
/ (х)
ється рівність / (х + 2) = —-. Знайдіть / (100).
о / (X) — і
20.34. * Функція / є такою, що при всіх х є К виконується рівність
/(*+!) =
Г(Х)-1
/(Х) + Г
Доведіть, що / — періодична функція.
20.35. * Функція / є такою, що при всіх х є К виконується рівність
/ (х 4-1) 4- / (х -1) = д/2 / (х). Доведіть, що / — періодична функ-
ція.
20.36. * Періодична функція / є такою, що при всіх х є К вико-
нується рівність / (2х) = 2/ (х). Доведіть, що функція / не має
головного періоду.
20.37. * Періодична функція / є такою, що при всіх х є К вико-
нується рівність /1^х І = - / (х). Доведіть, що функція / не має
головного періоду.
20.38. * Доведіть:
1) періодичність функції
4
2
З
/(х) = [х]+ Х4-- + х + ~ 4- Х4-| 4- х + ~ -[5х];
|_ 53 І 53 І 54 І. 54
54
54
2
3
4
2) рівність [х]4-
Х4-| 4- Х + ? 4- Х4~ 4- Х4~ = [5х] ДЛЯ ВСІХ
53 І 53 І 53 І 54
54
54
54
х Є К.
Про суму періодичних функцій
(Які
6х 6х
Функції /(х) = СО8— і £(х) = і&— є періодичними. У при-
5 7
кладі 5 п. 20 ми з’ясували, що функція у = / (х) 4- § (х) також
є періодичною.
Виникає природне запитання: «Чи завжди сума двох періо-
дичних функцій є періодичною функцією?»
Розглянемо функції / (х) = л/-8ІП2Х І § (х) = д/-СО82Х. Ці функ-
ції є періодичними (див. приклад 3 і задачу 20.11 п. 20). При
цьому П (/) - {х є К | х = тік, ке 2^}, П(£) = |хєМ|х = ^4-лА!,
Очевидно, що П (/) О П (£) = 0. Отже, функція у = / (х) 4- § (х)
не визначена при жодному значенні х.
Спробуємо підкорегувати запитання. Нехай періодичні функ-
ції / і § такі, що П (/) А 2) ф 0. Чи завжди функція
У = / (х) + § (х) є періодичною?
Якщо існують сумірні періоди І Те функцій / і § відповід-
но, то в силу теореми 20.6 функції / і § мають спільний період,
а отже, функція у = / (х) 4- § (х) є періодичною.
Залишається розглянути випадок, коли будь-який додатний
період функції / є несумірним з будь-яким додатним періодом
функції
Наприклад, розглянемо функції / (х) = сов х і § (х) = сов (>/2х).
Очевидно, що функції і і § не мають сумірних періодів.
Доведемо, що функція ^ = созх + совС\/2х) є неперіодичною.
Припустимо супротивне. Нехай число Т Ф 0 є періодом цієї
функції. Тоді для будь-якого х є К виконується рівність
сов (х + Т) + соз (>І2 (х + Т)) = соз х + соз (^х).
При х = 0 ця рівність набуває такого вигляду:
соз Т 4- соз (>/2Т) = 2.
Оскільки соз Т < 1 і соз (>І2Т) < 1, то доходимо висновку, що
соз Т = 1,
соа(л/2Т) = 1.
З першого рівняння системи знаходимо, що Т = 2лтп, т є 2,
т 2тсп _ ™
З другого — Г = —7=^, 71Є
Це означає, що для деяких цілих /піп має виконуватись
рівність
Звідси 7П = -^.
Але з огляду на ірраціональність числа \І2 остання рівність
можлива лише при т = п = 0, що суперечить умові Т * 0.
Після цього прикладу може скластися враження, що коли
періодичні функції / і § не мають сумірних періодів і Л (/) П
Л Л (§) Ф 0, то функція у = / (х) + § (х) завжди є неперіодичною.
Проте це не так.
Розглянемо функції
/(*) =
6, якщо х = а + 6у2,
0, якщо х^а+Ьу/2
а, якщо х = а + Ь\/2,
0, якщо х^а + Ьл/2,
і я(х) =
де а і Ь — довільні цілі числа.
Наприклад, /(з+2>/2) = 2, ^(з + 2>/2) = 3,
/(>/8) = г(0+2>/2) = 2, ^(>^) = ^(0+2>/2)=0,
/(>/з) = 0, = оскільки число л/З неможливо подати
у вигляді а + Ь>І2 з цілими а і Ь.
^Множину чисел виду а + Ь>І2, де а і Ь — цілі числа, позна-
чатимемо 2(5/2). Зауважимо, що кожне число хє 2(5/2) одно-
значно задає відповідні числа а і Ь.
Неважко переконатися, що Т = 1 є періодом функції Д По-
кажемо, що це число є головним періодом.
Припустимо, що функція / має період Т є (0; 1). Розглянемо
два випадки.
1) Ггєг(^), тобто Т\=а+ЬІЇ, де а і Ь — дрожі цілі числа.
Зазначимо, що Ь Ф 0, інакше Т1 — ціле і Т1 Є (0; 1). Тоді рівність
/ (х) = / (х + Тр не виконується, наприклад, при х = 0. Справді,
/ (0) = 0, а /(Т1) = /(а+Ь^) = Ь.
2) Ті £ 2 (5/2). Тоді рівність / (х) = / (х + Тг) не виконується,
наприклад, при х = 4ї. Справді, /(5/2) = !, а /(л/2 оскіль-
ки \/2+ 7} £2 (5/2).
Аналогічно можна показати, що головним періодом функції
§ є число \/2.
Отже, в силу теореми 20.5 періодами функції / є лише цілі
числа п, де и 0, а періодами функції § — лише числа виду 42к,
де & є 2 \ {0}. Тоді зрозуміло, що жодні два періоди функцій /
і § не є сумірними.
Функція у = / (х) 4- § (х) визначається так:
а + Ь, якщо х = а + Ьу/2,
0, якщо х^ а + Ь 5/2,
де а ЇЬ — довільні цілі числа.
Легко перевірити, що число Т = уі2-1 є періодом цієї функ-
ції.
Отже, ми показали, що коли будь-які додатні періоди функцій
/ і § несумірні і Б (/) П І) (я) * 0, то функція у = / (х) 4- § (х) може
бути як неперіодичною, так і періодичною.
Проте можна довести такий факт: якщо неперервні на К
періодичні функції Т і § не мають сумірних періодів, то функція
У - / (х) 4- § (х) є неперіодичною.
м Вправи
20.39. Доведіть, що коли функція /* (х) = зіп х + сов Ьх періодична,
то & — раціональне число.
20.40. Доведіть, що коли функція /* (х) = сов х + сов Ьх періодична,
то Ь — раціональне число.
20.41. Доведіть, що функція / (х) = {х} + зіп2 х не є періодичною.
20.42. Доведіть, що функція / (х) = ї) (х) + соз х не є періодичною.
20.43. При яких значеннях параметра а рівняння 2 соз ах -
- З і&2 х - 2 = 0 має єдиний розв’язок?
20.44. При яких значеннях параметра а рівняння 1 + зіп2 ах =
= соз х має єдиний розв’язок?
20.45. Чи можна функцію у = х2 подати у вигляді суми двох пе-
ріодичних функцій?
Н Властивості і графіки функцій у = зіп х
і у - соз х
Періодичність тригонометричних функцій дозволяє досліджу-
вати їх властивості та будувати графіки за такою схемою.
1) Розглянути проміжок виду [а; а + Т], тобто довільний про-
міжок завдовжки в період Т І найчастіше обирають проміжок
[0; Т] або проміжок
_ 2’2І
2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.
3) Побудувати графік функції на цьому проміжку.
4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на век-
тори з координатами (пТ; 0), п е 2.
У а
Рис. 21.1
Розглянемо функцію у - зіп х на
проміжку [0; 2л], тобто на проміжку
завдовжки в період цієї функції.
При повороті точки Ро (1; 0) навколо
початку координат на кути від 0 до ~
£
ордината точки одиничного кола збіль-
шується від 0 до 1 (рис. 21.1). Це озна-
чає, що функція у - зіп х зростає на
я
2
проміжку
0;
При повороті точки Ро (1; 0) на кути від — до ордината
А
точки одиничного кола зменшується від 1 до -1 (рис. 21.1). Отже,
функція у = зіп х спадає на проміжку
я Зл|
.2 2 _Г
При повороті точки Ро (1; 0) на кути від до 2л ордината
точки одиничного кола збільшується від -1 до 0 (рис. 21.1). Отже,
[Зл о
—;2л .
Функція у = зіп х на проміжку [0; 2л] має три нулі: х = 0,
х = л, х = 2л.
Якщо х є (0; л), то зіп х > 0; якщо х є (л; 2л), то зіп х < 0.
Функція у - зіп х на проміжку [0; 2л] досягає свого найбіль-
1 л .
шого значення, яке дорівнює 1, при х = — і найменшого значен-
- Зл
ня, яке дорівнює -1, при Х = —.
Отримані властивості функції у - зіп х дозволяють побудувати
її графік на проміжку [0; 2л] (рис. 21.2). Графік можна побудува-
ти точніше, якщо скористатися даними таблиці значень функції
у = зіп х, наведеної на форзаці 3.
На всій області визначення графік функції у = зіп х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (2лп; 0), п є 2 (рис. 21.3).
Графік функції у = 8Іп х називають синусоїдою.
У таблиці наведецо основні властивості функції у = зіп х.
Область визначення к
Область значень [-1; і]
Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює 2л
Нулі функції Числа виду лп, п є 2
Проміжки знакосталості зіп х > 0 на кожному з проміжків виду (2лп; л + 2лп), п є 2 зіп х < 0 на кожному з проміжків виду (л + 2лп; 2л + 2лп), п є 2
Парність Непарна
Зростання/ спадання г ( Вростає на кожної “ + 2лп; ^ + 2лп .25 £ Зпадає на кожною £+2лп; ^+2лп1 І2 2 му з проміжків виду , л є 2 іу з проміжків виду , пє 2
Найбільше і найменше значення Найбільшого значення, яке дорівнює 1, набуває в точках виду ^ + 2ли, п є 2 Найменшого значення, яке дорівнює -1, набуває в точках виду “ + 2лп, п є 2 25
Розглянемо функцію у ~ соз х на проміжку [0; 2л].
Розглядаючи повороти точки Ро (1; 0) навколо початку коор-
динат, можна дійти такого висновку: функція у = соз х спадає
на проміжку [0; я] і зростає на проміжку [я; 2л].
Функція у - соз х на проміжку [0; 2л] має два нулі:
л
л
2
г_3я
Х~ 2 ‘
л
2
Якщо хє 0; О 1^; 2л , то соз х > 0; якщо
хє
Зл
2
І, то
2
соз х < 0.
Функція у = соз х на проміжку [0; 2л] досягає свого найбіль-
шого значення, яке дорівнює 1, при х = 0 або х = 2л і найменшого
значення, яке дорівнює -1, при х = л.
Графік функції у = соз х на проміжку [0; 2л] зображено на
рисунку 21.4.
На всій області визначення графік функції у = соз х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (2лп; 0), п є 2 (рис. 21.5).
Рис. 21.5
Графік функції у = сов х називають косинусоїдою.
Якщо скористатися формулою сов х = еіп І х + ~ І (див. приклад 2
\ /5 /
п. 18), то зрозуміло, що графік функції у = сов х можна отримати
як результат паралельного перенесення графіка функції у = зіп х
(-|;°) (рис-
\ Л /
на вектор з координатами
21.6). Це означає, <що
графіки функцій у = 8Іп х і у - сов х — рівні фігури.
У
у^емлх
Рис. 21.6
У таблиці наведено основні властивості функції у - сов х.
Область визначення ж
Область значень [-1; і]
Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює 2л
Нулі функції Числа виду ^+лп, пе 2 £
Проміжки знакосталості соз х > 0 на кожному з проміжків виду |-~+2лп; ^+2ли|, п є X соз х < 0 на кожному з проміжків виду |5 + 2лп; ^ + 2лп), п є 2 \2 2 /
Парність Парна
Зростання/ спадання Зростає на кожному з проміжків виду [л + 2лп; 2л + 2лга], п є 2 Спадає на кожному з проміжків виду [2лп; л + 2лп], п є 2
Найбільше і найменше значення Найбільшого значення, яке дорівнює 1, набуває в точках виду 2лп, п є 2 Найменшого значення, яке дорівнює -1, набуває в точках виду л 4- 2лп, п є 2
ПРИКЛАД 1 Порівняйте: 1) зіп 0,7л і зіп 0,71л; 2) соз 324° і
соз 340°.
Розв'язання. 1) Оскільки числа 0,7л і 0,71л належать про-
міжку , на якому функція у - зіп х спадає, і 0,7л < 0,71л,
то зіп 0,7л > зіп 0,71л.
2) Оскільки 324° і 340° належать проміжку [180°; 360°], на
якому функція у = соз х зростає, і 324° < 340°, то соз 324° <
< соз 340°. •
ПРИКЛАД 2 Порівняйте зіп 40° і соз 40°.
>/2 уі2
Розв'язання. Оскільки зіп40° < зіп 45° = —, соз40° >соз45° = —,
2 2
то соз 40° > зіп 40°. •
ПРИКЛАД З Чи можлива рівність зіп а = 2 зіп 31°?
Розв'язання. Оскільки зіп31°>зіп30° = ^, то 2 зіп 31° > 1.
Отже, дана рівність неможлива. •
ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції г/ = зіп^х + ^.
Розв'язання. Шуканий графік отримуємо з графіка функції
у = зіп х у результаті його паралельного перенесення вздовж осі
ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції у = 1- зіп 2х.
£
Розв'язання. Стиснемо графік функції у = зіп х до осі орди-
нат у 2 рази, тобто зменшимо у 2 рази відстані від кожної точки
графіка функції у - зіп х до осі ординат. Отримаємо графік функ-
ції у ~ Потім цей графік стиснемо у 2 рази до осі абсцис.
Це і буде шуканий графік (рис. 21.8). •
ПРИКЛАД в Побудуйте графік функції ^ = зіп| 2х-~ |.
Розв'язання. Проведемо такі перетворення:
1) у = зіп х -» у ® | & | — симетрія відносно осі ординат
частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0;
2) у = зіп | х | у = зіп | 2х | — стиск до осі ординат
у 2 рази;
3) у = 8Іп| 2х | —>у = аіп| 2^х-^| — паралельне перенесен-
ня вздовж осі абсцис у додатному напрямі на ~ одиниць
о
ПРИКЛАД У Побудуйте графік функції у = зіп ^21 х | - ~
Розв'язання. Проведемо такі перетворення:
1)
2)
у = зіп х —> у = вш 2х — стиск до осі ординат у 2 рази;
у = ЯІ112х -»у = 8ІП
— паралельне перенесення
вздовж осі абсцис у додатному напрямі на одиниць;
6
3) у = 8Іп(2х-^)
\ о/
— симетрія відносно осі
-->// = зіп
(2|х|-|)
\ о /
ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0. Шуканий
графік складається з двох симетричних частин (рис. 21.10). •
Рис. 21.10
ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік рівнян-
ня сов х + сов у = 2.
Розв'язання. Оскільки | соз х | < 1
і І’сов у | < 1, то дане рівняння рівно-
{СО8Х = 1,
СОЗ 1/ = 1.
Звідси
х = 2лп, пє2,
у = 2лт, те!
Шуканий графік — це множина то-
чок, зображених на рисунку 21.11. •
Вправи
21.1 .° Серед чисел -Зл, -2л, -л, 0, 2л,
2 2 2 2 2 2 ’
6л, 7л укажіть:
1) нулі функції у = віп х;
2) значення аргументу, при яких функція у = зіп х набуває
найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = зіп х набуває
найменшого значення.
21.2 .* Серед чисел -п, 0, л, 5л, 8л
укажіть:
1) нулі функції у = соз х;
2) значення аргументу, при яких функція у - соз х набуває
найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = соз х набуває
найменшого значення.
21.3 / На яких з наведених проміжків функція у = віп х зрос-
тає:
_ л, л
. 2’ 2_|;
2)
__л, Зл
. 2’ 2 1
3)
2_г
4)
5л, Зл ?
2 ’ 21
Зл,
. 2 ’
21.4 / На яких з наведених проміжків функція у = віп х спадає:
І) Г--?; 2) [-я; 3) Г-£; £І; 4) ^1?
І 2 2 .] І 2 2.1 |_ 2 2 □
21.5 / Серед наведених проміжків укажіть проміжки спадання
функції у - сов х:
1)
5л, Зл
2 ’ 2 _І
2) [-2л; -л];
3)
я., п
2’ 2
4) [6л; 7л].
21.6 / Серед наведених проміжків укажіть проміжки зростання
функції у = сов х:
1) [-Зл; -2л]; 2) [0; л]; 3) [-л; л]; 4) [Зл; 4л].
21.7/ Порівняйте:
ЮЛ ;
1) соз 1,6л і соз 1,68л;
5)
______ 25л
СО8-— і соз——;
9 18
2) 8іп 20° і зіп 21°;
3) соз 20° і соз 21°;
6) соз 5,1 і соз 5;
7) зіп 2 і 8Іп 2,1.
4)
. 10л
ЗІП д
. . 25л
1 81П 18 ’
21.8/ Порівняйте:
\ л • 4л
1) СО8— 1 СО8—;
У У
. 5л . . 17л
2) 8Ш- і 8Ш—;
/ 7л\ . . ( Зп\
3) мпГ зо)1 Гїо)!
4)
10л . 11л
СОЗ ——-- 1 соз—-
7 9
21.9 / Розташуйте числа в порядку зростання:
1) зіп 3,2, зіп 4, зіп 3,6, зіп 2,4, зіп 1,8;
2) соз 3,5, соз 4,8, соз 6,1, соз 5,6, соз 4,2.
21.10 / Розташуйте числа в порядку спадання:
1) зіп (-0,2), зіп 0,2, зіп 1,5, зіп 1, зіп 0,9;
2) С08 0,1, СО8 1,4, СО8 2,4, СО8 3,1, СО8 1,8.
21.11 / Порівняйте:
1) зіп 58° і соз 58°; 2) зіп 18° і соз 18°; 3) соз 80° і зіп 70°.
21.12 / Чи можлива рівність:
1) соз а = 2 зіп 25°;
2) зіпа = л/2 соз35°?
21.13 / Побудуйте графік функції:
1) у = 2зіп(х + ^)-2; 2) у = -|соз(х-£)+1.
\ О/ £ \ О/
21.14 / Побудуйте графік функції:
1) г/ = -Ззіп^х-^) + ^; 2) і/ = 2соз^х + ^)-1.
21.15 / Побудуйте графік функції:
1) г/ = зіп| х4~ |; 2) у = 2соз|
21.16 / Побудуйте графік функції:
1) г/ = 2зіп
2) 1/ = -СО8
л
Х 4
21.17. * Побудуйте графік функції, укажіть область значень даної
функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання
і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значен-
ая може набувати функція і при яких значеннях аргументу:
1) у - віл х+1; 3) у = зіп 2х;
2) у = 8Іп(х-^); 4) у = -|зіпх.
21.18. * Побудуйте графік функції, укажіть область значення даної
функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання
і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значен-
ня може набувати функція і при яких значеннях аргументу:
1) у = соє х-1;
2) У = СО8 х + -
\ О І
3) і/ = соз^; 4) у - 3 соз х.
V 21.19.* Побудуйте графік функції і/ = зіп І х І- — І.
V 4/
21.20. * Побудуйте графік функції у = 2 соз 11 х | - -1.
/21.21.* Побудуйте графік функції г/ = 2зіп(2х + ^]-1.
\ о /
21.22. * Побудуйте графік функції у = -3 зіп(^~)+2.
У 21.23.* Побудуйте графік функції:
1) у = 2 соз | Зх + 2 |; 2)
21.24.* Побудуйте графік функції:
1) у = 3 зіп | 2х - 1 |; 2)
V 21.25.** Побудуйте графік функції:
у = -2зіп(1| х |-1)
у =+соз 121 х 1+^1.
* 2 \ 1 1 ЗІ
. 1 , я
1) у= зіп -х+ —
' * 2 6
2)
21.26." Побудуйте графік функції:
л Я
у= соз 2х-~
І о
1) у= СО8 2|х|—£
\ О і
2) у= зіп(|| X |+|)
21.27. ** Побудуйте графік функції:
1) у = (у[віп х) ; 5) у = уІсозх-1;
• І • І І зіп І X І
2)і/ = 5Піх + 5іп|х|; 6) у = -
. І ~ гтх 8ІПХ
3) у = созх + усоз х; 7) и = г~.---г;
|81ПХ|
4) ^ = л/-зіп2х; 8) у - х соз х;
9) У - і® х | соз х |;
Ю) у =
зіп2х
V зіп2 X
21.28/ * Побудуйте графік функції:
-і ч ( І-----\2 I 008 х I
1) у = {уІсо8х) ; 5) у = '——і;
2) у = зіп х-уізїп2х; 6) у - сі& хзіп х;
3) у = уі-соз2х; 7) у - сі%х | зіпх |;
----віп І х І
4) у = фшіх-1; 8) У = г“”—.
¥ І 81П X І
21.29. ** Скільки коренів має рівняння зіпх = ~~?
І х|
21.30. ** Скільки коренів має рівняння созх = І—1?
4я
21.31. - Побудуйте графік рівняння:
1) зіп л (х2 + у2) = 0; 2) зіп х 4- зіп у = 2.
21.32. ** Побудуйте графік рівняння:
1) соз л (х2 -Т у2) = 1; 2) соз х + соз у = -2.
21.33. ** Побудуйте графік рівняння:
1) зіп х - 0; 3) х2 + зіп2 х = 0;
2) у зіп х = 0; 4) | у | = зіп х.
21.34. ** Побудуйте графік рівняння:
1) зіп у = 0; 3) у2 + сов2 х = 0;
2) х зіп у = 0; 4) | у | = соз х.
21.35. ** Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння
созл/а2 -X2 =1 має рівно вісім коренів.
21.36. * Чи існує визначена на проміжку [-1; 1] функція / така, що
для всіх х є К виконується нерівність | / (соз х) + зіп х | < 1?
Н Властивості і графіки функцій у
і у = сі£х
ч>
Розглянемо функцію у = х на проміжку
я \
2Г
тобто на
я
2
проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що
функція у = х в точках ~ і ~ не визначена).
З рисунка 22.1 видно, що при зміні аргументу х від ~ до
значення функції у = х збільшується від -о© до +«>. Це означає,
Функція у = х на проміжку і-—;
я \
2/
має один нуль: х = 0.
Якщо Х€І~;0
\ і
то х < 0; якщо х є
0;~), то
І /
х > 0.
Отримані властивості функції у - х дозволяють побудувати
її графік на проміжку
(рис. 22.2). Графік можна побуду-
вати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень функ-
ції у = х, наведеної на форзаці 3.
На всій області визначення графік функції у = х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (пп; 0), и є 2 (рис. 22.3).
Рис. 22.3
У таблиці наведено основні властивості функції у = х.
Область визначення ^Х Є КІ X Ф ~ 4- яп, П Є 2^
Область значень к
Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює я
Нулі функції Числа виду яп, п є
Проміжки знакосталості х > виду і® х < ВИДУ 0 на кожному з проміжків яп; ^4-япІ, пе 2 ' 0 на кожному з проміжків “4-яп; яп , пє 2 \ /
Парність Непарна
Зростання/спадання Зростає на кожному з проміжків виду І-~4-яп; ~ +яп), п є 2
Найбільше і найменше значення Найбільшого і найменшого значень не набуває
Розглянемо функцію у = сі£ х на проміжку (0; я), тобто на про-
міжку завдовжки в період (нагадаємо, що функція у - сі£ х
не визначена в точках 0 і я).
З рисунка 22.4 видно, що при зміні аргументу х від 0 до я зна-
чення функції у - сі£ х зменшується від до -оо. Це означає,
що функція у - сі£ х спадає на проміжку (0; я).
У
Рис. 22.4
Функція у - х на проміжку (0; я) має один нуль: х - — .
Якщо х є (0;— І, то х > 0; якщо х є І^;лІ, то х < 0.
Графік функції у = х на проміжку (0; л) зображено на
рисунку 22.5.
На всій області визначення графік функції у = сі& х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (лп; 0), п є 2 (рис. 22.6).
У таблиці наведено основні властивості функції у - сі£ х.
Область визначення {х Є В І X Ф лп, п є 2}
Область значень к
Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює л
Нулі функції Числа виду ~ + лп, п е 2
- сі& х > 0 на кожному з проміжків
Проміжки виду Ілп; ~ + лп , пе 2 \ & /
знакосталості СІ£ х < 0 на кожному з проміжків
виду І“ + лп; лп], пе 2
Парність Непарна
Зростання/спадання Спадає на кожному з проміжків виду (лп; л + лп), п е 2
Найбільше і найменше Найбільшого і найменшого значень
значення не набуває
ПРИКЛАД І Побудуйте графік функції # = | х | х.
Розв’язання. Областю визначення даної функції є всі дійсні
числа, крім чисел виду п є тобто
В(і/) = (хєК|х*^ пеЗІ.
Якщо пк<х<^+пк, к є 2, то сі§ х > 0 і у = 1.
Якщо ^ + пк<х<п + пк, к є то сі& х < 0 і у = -1.
Шуканий графік складається з окремих відрізків з «виколо-
тими» кінцями (рис. 22.7). •
- Рис. 22.7
) Вправи
22.1 .° Чи проходить графік функції у = х через точку:
1) 2) в(-|; ->/з); 3) с(|;о); 4)
22.2 / Чи проходить графік функції у = сі£ х через точку:
1) 2) в(^;о); 3) С (я; 1); 4) в(^;7з)?
\4 / \ / \ о /
пп о 0 <т • Л л Л Зл . 5л ТС
22.3 . Які з чисел 0, —, -л, 2л, ——,
2 2 2 2’4
1) є нулями функції у = сі£ х;
2) не належать області визначення функції у = сі& х?
«« л • <т * Зл Л л Л Л 5 л О——.
22.4 . Які з чисел ——, -л, 0, —, —, —, Зл:
2 2 о 2 2
1) є нулями функції у = х;
2) не належать області визначення функції у - х?
22.5 .° Порівняйте:
1) іє (-38°) і іє (-42°); 4) іє0,9л і ІЄ 1,2 л; 7) сіє~ і у;
2) іЄу і іЄу! 5) І£ 1 і іє 1,5; 8) с<£ (-40?) і сіє (-60?);
3) іє 130° і іє 150°; 6) сіє24° і сіє28°; 9) сіє 2 і сіє 3.
22.6 / Порівняйте:
1) іє 100° і іє 92°; 3) ІЄ“~ і 1Л 5) іє (-1) і іє (-1,2);
У 1о
2) сіє Ю0° і сіє 92°; 4) сіє~ і сіє^; 6) сіє (-3) і сіє (-3,1).
22.7 .° Розташуйте в порядку спадання:
1) 0,5, 1,2, (-0,4), 0,9;
2) СІ£ 3,2, СІ£ 4,6, СІ£ 6, 5,3.
22.8 / Розташуйте в порядку зростання:
1) 1,6, ї% 4,1, 3,6, іе 2,5;
2) сі£ (-0,7), сі£ (-2,4), сі£ (-2,8), сі£ (-1,4).
22.9 / Побудуйте графік функції:
1)у = -І£х-, 2)у = і§х + 2; 3) у = іє(х-^; 4) у = іє Зх.
22.10 / Побудуйте графік функції:
1) у = -сіє х; 2) у = СІЄ х - 1; 3) у = сіє|х + ?); 4) у = сіє£.
22.11 .* Чи можлива рівність:
1) 8Іпа = ^іє80°; 2) соз а = сіє 7г; 3) соза = іє^?
о 1о У
22.12 / Порівняйте:
1) віп 78° і 78°; 2) зіп 40° і сі£ 20°.
22.13 / Побудуйте графік функції:
1) у = |сіє(х+5)+1; 2) у = іє(2х-5).
22.14 / Побудуйте графік функції:
1) У = 2іє(х + у)-|; 2) у = сіє(зх-^).
22.15 .’ Побудуйте графік функції:
1) у = (Л/сієх) ; 4) у =. - ; 7) у = -—Ц—;
9 у 6 ’ |сіех| ієхсієх
2) у = іє х + іє | х |; 5) у = сієх-Л/сїє^х; 8) у = | іє х | сіє х.
3) У = л/-*£2х; 6) у = | іє х |;
22.16 / Побудуйте графік функції:
1) !/ = (\/ЇІх)2;
2) у = сіє х - сіє І х |;
3) </ = л/-сіє2х;
. . І іг х І
4) у='-г—1;
і«х
5) у = 1^х + у/ї§2х;
6) у = | сіє х |;
7) у - іє х сіє х.
22.17 .’ Побудуйте графік рівняння:
1) у іє х = 0; 3) іє п (х2 - у) = 0; 5)іє(л(2|х| + |і/|)) = 0.
2) іє х іє у = 0; 4) іє2 х + іє2 у = 0;
22.18 .* Побудуйте графік рівняння:
1) х іє у = 0; 3) іє п (х - у) = 1; 5) сіє (І У І ~ І х |) = 0.
2)^ = 0; 4) х2 + іє2 у = 0;
іЄУ
И Основні співвідношення
між тригонометричними функціями
одного й того самого аргументу
У цьому пункті встановимо тотожності, які пов’язують зна-
чення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу.
Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задо-
вольняють рівняння х2 + у2 = 1. Оскільки х = сов а, у - зіп а,
де а — кут повороту, у результаті якого з точки Ро (1; 0) було
отримано точку Р, то
еіп2 а + сов2 а = 1 (1)
Звернемо увагу на те, що точку Р обрано довільно. Тому то-
тожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною
тригонометричною тотожністю.
Використовуючи основну тригонометричну тотожність, зна-
' йдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між ко-
тангенсом і синусом.
Припустивши, що соз 0, поділимо обидві частини рівно-
сті (1) на соз2 а. Отримаємо:
8ІП2а СО82а _ 1
сов2 а сов2 а сов2 а
1 + і£2а =
1
2
сов а
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких соз а Ф 0,
тобто при а Ф + пк, ке 2.
- Припустивши, що зіп а Ф 0, поділимо обидві частини рівно-
сті (1) на зіп2 а. Отримаємо:
віп2 а + сов2 а _ 1 .
віп2 а віп2 а віп 2 а
1 + сі§2а = —4—
віл а
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких зіп а Ф 0,
тобто при а Ф пк> к є 2.
Зв’язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за
_ , віп а . сова
допомогою означень цих функцій. Маємо: а =----, сія а = —--.
сов а віп а
Звідси
а а = 1
(2)
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких зіп а 0
і сов а ± 0, тобто при а Ф пк і а^^ + л/г, ке 2,
Зазначимо, що
{аєК|а = л&,&єй}и|аєК|а = ^4-л^йє2І==|ає1К|а== к є 2І.
2
Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, що а Ф
кеі.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
1) зіп2 і 4- соз2 і 4- і£2 х; 2) —--і£2ф-зіп2ф; 3)
сов2 (р 1 + сова
\ Розв'язання. 1) ЗІП2І4-СОЗ2І4-І£2х - 14-1£2х = —;
сов X
2) —-----І£2 ф-8ІП2(р = І4-І£2 ф-І£2 ф-8ІП2ф = 1-8ІП2ф = СО82ф;
сов ф
оч віп2а _ 1-сов2а __ (1-сова)(1 + сова) *
о І — ~- — -1 СОЗ ос.
1 + сов а 1 + сов а 1 + сов а
ПРИКЛАД 0 Доведіть тотожність:
1)
сі§а + і<р
2) соз2 а + зіп2 а зіп2 р + зіп2 а соз2 Р = 1;
3) -^2 18*0.
сі< а - зіп а соз а
п > м і«а + сі£р
Розв язання. 1) -т----
сіеа+іеР
(‘еа+ї^Н^+‘е|і)=
і&а*бР + 1.1 + *&а*£р _
Р ‘ і£ а р
= і£асі£ р.
2) соз2 а + зіп2 а зіп2 р 4- зіп2 а сов2 Р = соз2 а 4- 8іп2 а (зіп2 Р 4-
4- соз2 р) = соз2 а 4- зіп2 а = 1.
3)
(зіп а + соз а)2 -1 _ зіп2 а + 2зіп а соє а + соз2 а -1
сіє а - зіп а соз а соз а
—------81п а соз а
зіп а
1 + 2зіпасоза-1 _ 2зіпасоза
11 \ 1-зіп2
соз а ~----зіп а соз а • —;--
\зіпа / зіп а
2зіпа«зіпа 2зіп2а
= —--------=-----— = 2І^ а- '
1-8Ш а соз а
ПРИКЛАД > Відомо, що соза = ~.
Обчисліть зіп а.
Розв'язання. Маємо:
зіп2 а = 1 - соз2 а = 1 “ “ д • Звідси
зіпа = 2~ або зіп а =
З з
Рисунок 23.1 ілюструє цей при-
клад. •
ПРИКЛАД 4 Знайдіть соз а, а, сі£ а, якщо зіпа = -~
Зя
2
Розв'язання. Маємо:
соз2а = 1-8Іп2а = 1
і2 « 49 _576
1 625“ 625'
Оскільки я < а < Дг» то сов а < 0, отже, сов а =
2
24
25
, зіп а 7
і&а =-------= -«
соз а 25
24
25
ПРИКЛАД 5 Дано: сІ£ а = 90° < а < 270°. Знайдіть зіп а, соя а,
ос.
63
Розв'язання. Маємо: і£а = —.
16
1
зіп* 1 2 * 4 а
= 1 + сі£2а = 1 +
256 _4225,
3969 3969’
яіп2а =
3969
4225
Оскільки сі& а > 0 і 90° < а < 270°, то 180° < а < 270°. Отже,
зіп а < 0. Тоді 8Іпа = -—.
65
Маємо: соза = сі£аяіпа =
16 / 63\ П>
63 А 65/ 65’
ПРИКЛАДІ Спростіть вираз у/зіп2а (1 -сі£а)+соя2а (1 - а),
якщо ^~<а<2л.
Розв'язання, ^яіп2а (1 -сі£а) + соя2а (1 - а) =
І . о • 2 СОЗ ОС 2 2 ВІН ос
= /яіп а-япг а-——+ сояа-сояа---------=
у зіп а соз а
= у/яіп2 а - зіп а соз а + соя2 а - соз а зіп а =
= ^/зіп2 ос - 2зіп а соя а + соз2 а = ^/(яіпа-сояа)2 = | зіп а - соя а |.
Оскільки < а < 2л, то яіп а < 0, соя а > 0. Тому зіп а - соя а < 0.
Отже, | зіп а - соз а | = соз а - яіп а.
Відповідь* соз а - яіп а.
Вправи
^23.1.° Спростіть вираз:
1) яіп2 0-1;
2) 1 - зіп2 За - соя2 За;
1-зіп2 ос,
**' ч 2 ’
1-С08 а
4) сов а а;
6) 1 - зіп2 а + сі&2 а зіп2 а;
7) со82а+сі£2а----К—;
віп а
10) (зіп а + соз а)2 + (зіп а - соз а)2.
23.2/ Спростіть вираз:
1) зіп22а + соз2 2а + сі§25а; 5) (і£ а соз а)2 4- (сі£ а зіп а)2;
о\ • а 4._ а 2) 8Ш--СІЕ-; О о • 2 зіп а О/ 2 2* 1 + сі£ а(со8 а-1)
з) і—V; ЗІП у 4) 2 + іеасіеа; соз а -1 О—ж 23.3.° Чи можуть зіп а нулю? 7) |—-— + і£а ||— і§а |; ^соза у^соза } 8) (ІЄ Р + сі® Р)2 - (1® Р - сі® Р)2. і соз а одночасно дорівнювати
О—ж 23.4.° Чи можуть а і сі£ а за модулем бути: 1) обидва
більші за 1; 2) обидва менші від 1?
23.5.° Спростіть вираз:
1) (1 4- а)2 4- (1 - а)2; 8) 1-сі&23а. ’ іє23а-1 сіє За ’
2) зіп4а 4- 2 зіп2а соз2а 4- соз4а; 9) сі£ а . і£а+сі£а’
зіп а зіп а ч , 1 + соз а 1 - соз а .. , зіп X 4) сі®*+, , ; 1 + СОЗ X 1-8ІПХ СО8Х 5) 1 > СОЗ X 1 + зіп X зіп а 1 + соза Ь) ; 1 . , 1 + соз а зіп а ієа + ієР . ' СІ£а + СІ£Р’ 23.6/ Спростіть вираз: Ю) 1-СІ?Т. 1-і£У ’ 11) соз4 а - соз2 а 4- зіп2 а; 12) зіп4а 4- зіп2а соз2а 4- соз2а; 13) соз (-а) 4- соз а і&2 (-а); 14) ЧВ^~1е(~р)- соз (—р)
1) (1 + сі£ |3)2 + (1 - сі£ 0)2; 1 + сі£2а. 1 + і£2 а сі£2 а
2) віп2а соз2а (і^а 4- сі£2а 4- 2); 7)
СОЗ Р СОЗ р 1 + ЗІП Р 1 1-ЗІпР’ Ач , СОЗ X 4) ІЄХ + - :; 1 + зіп X 5) _СО8Р । 1-зіпре 1 - ЗІП Р СОЗ Р 8) соз4а 4- зіп2а соз2а - соз2а - 1; 9) зіп2 а 4- зіп2 а соз2 а 4- соз4 а; Ю) (-а) сі£ а 4- зіп2 (-а).
23 .7.° Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а,
якщо:
1) сов ос
3) а = 2 і л<ос<^;
2) зіп а = 0,6 і ^<а<л; 4) сі£ос = “ і ~^<а<2тс.
£ о Л
23.8 / Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а,
якщо:
1) со8ос = || і 0<а<~; 3) І£ос = -| і ^<а<2тс;
ІЗ 2 3 2
2) 8іпа = -^ і л<а<^; 4) сій а = -7 і ^<а<я.
23.9 ? Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
, 1 л/15
1) віп а-- і соза =——;
4 4
2) і£ а = 2,5 і сій а = 0,6;
б *. 2>/б„
3) сова = - і ій« =—— ?
і о
23.10 / Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
2 З
1) 8Іпа = ~ і созос = -;
5 о
4 1
2) і£а = ^ і сі£а = 1-;
9 4
3) віп а --і і сійа = л/37?
6
23.11 / Доведіть тотожність:
2) со82а + 28іп2а + 8іп2аі£2а==—
3) і&2 а - зіп2 ос = і£2 ос зіп2 а;
3-2 8Іпа 1 + 2соза
2сова-1 28іпа + л/з’
віп а + і£ а
1 + сов а
7) 1 + (сі^2 а - ій2 а) сов2 а = сій2 <4
23.12 / Доведіть тотожність:
1) віп4 а сов2 а 4- віп2 а сов4 а = зіп2 а сов2 а;
2) а - сов2 а = сі£2 а сов2 а;
3) (і^2а-віп2а)-^—^ = 1.
зіп а
23.13 / Доведіть тотожність:
1, віп4 а 4- сов4 а - віп* 6 а - сов6 а = віп2 а сов2 а;
2) віп6 а 4- сов6 а 4- З віп2 а соз2 а = 1.
23.14 .* Доведіть тотожність 2 (віп6 а 4- сов6 ос) - 3 (віп4 а 4- сов4 а) = -1.
23.15 .* Знайдіть значення виразу:
1)
віп а - соз а , і
—---------, ЯКЩО =
віп а + сов а З
2)
3)
__2сов2а-7віп2а
Зсов2а + 4віп а сов а
8 зіп а-Зсова
якщо а = -2;
віп3 а + 5 віп 2 а соз а - 8соз3 а
якщо а = -3.
23.16 .* Знайдіть значення виразу:
1)
2)
3)
5соза + 6віпа 1
—-----------, якщо і£а = 77;
Звіпа-7сова 2
віп а сов а х З
—5------5—, якщо сІ£а = ~;
віп а - сов а 4
2віп3а + Зсов3а , А
-------------, якщо а = -4.
5 віп а - сов а
23.17 ." Спростіть вираз:
1) 7с°82Р (1 + Р) + ЗІП2Р(1 + Р), якщо Л<Р<^;
&
2)
- зіп2 а - соз2 а соз2 Р
і£рсі£а
» якщо л<а<$р ^<р<л;
А Сі
/14 віп а /1-віпа
3) \ :----а ї-:--’ якщо 90° < а < 180°:
7 уі-зіпа у 1 +віпа ’
4) ^2-2сов2Р4-^2зіп2р-2л/2віпр4-1, якщо ^<РС:
23.18 .** Спростіть вираз:
1) віп а - 7сі&2 а - сов2 а, якщо 180° < а < 360°;
/1-соза /14-сов а Зл
2) < і------аг;----, якщо л<а<—;
’ у 14- соз а у 1-сов а 2
3) ^4сов2а4-4 сова 41 - л/4 -4віп2а, якщо
З
23.19 .** Дано: віп а + сов а = Ь. Знайдіть:
1) віп а сов а; 3) віп4 а 4- сов4 а; 5) тА— + —
віп а сов а
2) віп3 а 4- сов3 а; 4) віп6 а 4- сов6 а;
23.20 /* Дано: а 4- сі& а = Ь. Знайдіть:
1) і£2 а 4- сі£2 а; 3) і£4 а 4- сі£4 а;
2) і£3 а 4- сі£3 а; 4) (сов а 4- віп а)2.
23.21 /* Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1) 2 сов2 а - 3 зіп а; 3) 1 - л/сов2 а - 2 віп2 а;
2) і£2а + —І—; 4) 3 сов2 а - а сі& а.
сов а
23.22 /* Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1) 3 віп2 а 4- 2 сов а; 3) 2 зіп2 а + 3 а сі& а.
2) І4'л/зіп2а 4-2сов2а;
23.23 /* Побудуйте графік функції:
1) у = зіп2 \/1 - х2 4- соз2 л/І - х2; 2) у = і&2х-.
соз х
23.24 /* Побудуйте графік функції:
1) У = 7—^7—; 2) у = —-------------сі&2х.
X СІ£ X ЗІП2 X
23.25. * Знайдіть найбільше значення функції
/ (х) = зіп14 х 4- соз14 х.
23.26. * Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/ (х) = зіп10 х 4- сов13 х.
? З Формули додавання
Формулами додавання називають формули, які виражають
соз (а ± Р), зіп (а ± Р) і (а ± р) через тригонометричні функції
кутів а і р.
Доведемо, що
соз (а - Р) = сов а сов р 4- віп а віп р.
Нехай точки Рх і Р2 отримано в результаті повороту точки
Ро (1; 0) на кути а і р відповідно.
Розглянемо випадок, коли
0 < а - Р < л.
Рис. 24.1
Тоді кут між векторами ОРГ і ОР2
дорівнює а - Р (рис. 24.1). Координа-
ти точок Р± і Р2 відповідно дорівню-
ють (соз а; зіп а) і (соз Р; зіп Р). Тоді
вектор ОРг має координати (соз а;
зіп а), а вектор ОР2 — (соз Р; зіп Р).
Виразимо скалярний добуток век-
торів ОРг і ОР2 через їх координати:
ОР} • ОР2 = соз а соз Р + зіп а зіп р.
Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна
записати
ОРг • ОР2 = І О1\ І • ІОР21 соа (а - Р) = соа (а - Р).
Звідси отримуємо формулу, яку називають косинус різниці:
соз (а — Р) = соз а соз Р + зіп а яіп р
(1)
Покажемо, що доведення не зміниться при будь-якому виборі
кутів а і Р, зокрема, коли (а - Р) £ [0; л].
Кути поворотів а і Р для точок Рг і Р2 відповідно можна по-
дати в такому вигляді:
а = ос1 + 2л&, к є Д є [0; 2л];
Р = Рх + 2ли, п є Рг є [0; 2л].
Тоді кут між векторами ОРХ і ОР2 набуває одного з чоти-
рьох значень: - рх (рис. 24.2); Рг - аг(рис. 24.3); 2л - (аг - Рг)
(рис. 24.4); 2л - (рг - 00 (рис. 24.5).
Тоді косинус кута між векторами ОРХ і ОР2 дорівнює соз (а - Р).
Далі залишається лише повторити наведені вище міркування для
випадку,\коли (а - Р) є [0; л].
Доведемо формулу косинуса суми:
соя (а Р) = соя а соя р - яіп а яіп Р
Маємо: соз (а + Р) = соз (а - (~Р)) =
- соз а соя (~Р) + зіп а зіп (~Р) = соз а соз Р ~ зіп а зіп р.
Доведемо формули синуса суми і синуса різниці:
яіп (а + Р) = зіп а соя Р + соя а яіп Р
яіп (а — Р) = яіп а соя Р — соз а яіп Р
Рис. 24.5
За допомогою формули (1) доведемо, що
8Іпа = со8^-а
і /V І IV . IV
Маємо: соз — - а = со& — соз а + зш — зіп а = зіп а.
\2 ) 2 2
Тепер доведемо, що
сов а = зіп
Маємо: соз а = соз
Тоді зіп (а + р) = соз - (а + р) = соз — ос— р
І - аі зіп р = зіп а соз р+соз а зіп Р;
\ £ І
= соз І “ а І соз Р + зіп
\ £ /
зіп (а - Р) = зіп (а + (~Р)) = зіп а соз (~Р) + соз а зіп (-Р) =
= зіп а соз р - соз а зіп р.
Формули тангенса суми і тангенса різниці мають вигляд:
і£(а+Р) =
і£а+і£Р
1-і£аіеР
4с/а_В)=_!^г1еР_
р; і+^а^р
(3)
Доведемо формулу (2). Маємо:
і ( + В) - 8іп + Р) - в*11 а 008 Р + 008 а 8*п 0
н соз (а + р) соз а соз р - зіп а зіп р ’
Припустивши, що соз а соз р * 0, отриманий дріб можна пе-
реписати так:
зіп а соз р соз а зіп р
соз а соз Р соз а соз Р _ а + р
соз а соз р зіп а зіп р 1 - а р *
соз а соз р соз а соз Р
Формулу тангенса різниці (3) доведіть самостійно.
Тотожність (2) є правильною для всіх а і (3, при яких соз (а + (3) *
* 0, соз а * 0, соз р * 0.
Тотожність (3) є правильною для всіх а і Р, при яких соз (а - р) *
* 0, соз а * 0, соз Р * 0.
нніп/я ж м л • а/з зіп а + 2 соз (60° + а)
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз -----------------4=----
2 зіп (60° + а) - уіЗ соз а
„ , л/3зіпа + 2соз(60° + а)
Розвязання. Маємо: ------------------4=-----~
2 зіп (60° + а) - а/3 соз а
_ а/з зіп а + 2 (соз 60° соз а - зіп 60° зіп а) _
2 (зіп 60° соз а + соз 60° зіп а) - а/з соз а
Г~ і 1 -ч/ч І
а/Ззіп а+ 21 ^соз а- —_ 8Іп а І
2 ^соза + |зіпа -а/Зсозсс
\ & Лл І
соз а
зіп а
= сі#а. •
ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність: 1) 8Іпа-со8аі£~ = і£^;
2) сі£а-і;£Р =
соз (а 4- р)
зіп а соз Р *
. а
соз а зіп —
Розв'язання. 1) 8іпа-со8аі£т; = 8іпа---------— =
2 а
С°8 2
а
С°8ЇЇ
а . а
еіп а соє “ - соз а 8іп
СОЗ тг СОЗ -т-
А
зіп р __ соз а соз р - зіп а зіп р _ соз (а + р)
соз Р зіп а соз Р зіп а соз Р *
< х о СО8 ОС
2) сі£а-І£р = -—
зіп а
ПРИКЛАДІ Знайдіть значення виразу
1-І£ 70° І£ 65°
і£70° + і£б5° *
Розв'язання. Використовуючи формулу тангенса суми кутів
70° і 65°, маємо: - ~я_о; = ; ^о_о = сі£ 135° =
18 70°+ 18 65° 18 (70°+ 65°) 18135° 6
= сІ£ (180° - 45°) = -сі® 45° = -1. •
ПРИКЛАД 4 Знайдіть соа 15°.
Розв'язання. Маємо: соз 15° = соз (60° - 45°) =
- соз 60° соз 45° 4- зіп 60° зіп 45° = + = ф
ПРИКЛАД 5 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу
созос+а/з зіпа.
Розв'язання. Представимо даний вираз у вигляді синуса
суми. Для цього помножимо і поділимо даний вираз на 2:
г~ 11 а/3
соаа+д/Ззіпа = 2 -созач—— зіпа
\2 2
1 а/3
Ураховуючи, що - = зіп30°, — = соз 30°, отримуємо:
А
соз а + а/з зіп а = 2 (зіп 30° соз а + соз 30° зіп а) = 2 зіп (30° + а).
Отже, найбільше значення даного виразу дорівнює 2 (його ви-
раз набуває при зіп (30° + а) = 1), найменше значення дорівнює
-2 (його вираз набуває при зіп (30° + а) = -1). •
ПРИКЛАД|Дано: 8Іпа = ^=, со8р = -^=, 0°<а<90о,0о<р<90°.
а/5 а/10
Знайдіть а + 0.
Розв'язання. Оскільки 0° < а < 90°, 0° < р < 90°, то 0° < а + р <
< 180°. На проміжку (0°; 180°) косинус набуває кожного свого зна-
чення з проміжку (-1; 1) один раз. Отже, знайшовши соз (а + Р),
можна визначити і значення а + р. Маємо:
соз а = а/і-зіп2» = зіп р = л/1-соз2р =
а/5 710
Тоді соз (а 4- р) = соз а соз Р - зіп а зіп р =
_1____1____2______3_ =_____5_ =_____5_ =____Е
л/б у/10 л/б у/10 л/бО бл/І у/і'
Беручи до уваги, що 0° < а 4- р < 180°, отримуємо а + р = 135°. •
Вправи
24.1.° Спростіть вираз:
1) соз (а + Р) + соз (а - Р);
2) зіп (30° 4-а) - соз (60° + а);
3) л/2 зіп(а-45°)-зіпа4-соза;
4) 2 соз (60° - а) -у/з зіп а -соз а.
24.2.° Спростіть вираз:
1) зіп (а " Р) - зіп (а + р); 3) л/2 зіп^4-а)-соза-зіпа.
2) зіп (30° - а) + соз (60°- - а);
24.3.° Спростіть вираз:
1) зіп а соз 4а + соз а зіп 4а;
2) соз 17° соз 43° - зіп 17° зіп 43°;
Зл я . Зл . я
3) соз —соз-•-зіп —зіп—;
7 8 8 8 8
4) зіп а зіп (а -І- р) -І- соз а соз (а + р);
5) зіп 53° соз 7° - соз 53° зіп (-7°);
6) зіп (а -І- Р) соз (а - Р) - зіп (а - Р) соз (а -І- Р);
7) (зіп а соз Р -І- соз а зіп Р)* 1 2 3 -І- (соз а соз Р - зіп а зіп Р)2;
8) 8 9^п 20° соз 5° - соз 20° зіп 5°.
соз 10° соз 5° - зіп 10° зіп 5° ’
9) соз (а -І- Р) 4- 2 зіп а зіп р.
24.4.° Спростіть вираз:
1) соз 6а соз 2а - зіп 6а зіп 2а;
2) зіп 12° соз 18° 4- зіп 18° соз 12°;
3) зіп (-15°) соз 75° 4- соз 15° зіп 75°;
4) соз (а 4- р) соз (а - р) 4- зіп (а 4- р) зіп (а - Р);
кч 008 64°008 4 5 6 7°+ 8Іп 64° зіп 4°
зіп 19° соз 41° 4- зіп 41° соз 19° ’
6) соз (а - р) - 2 зіп а зіп р.
24.5.° Відомо, що =
« = |.
Знайдіть значення виразу
іЄ (а + Р).
24.6/ Відомо, що а = З,
іЄ (а - Р).
р = 5. Знайдіть значення виразу
24.7. ° Спростіть вираз:
іЄІЗ°+іе47° ,
1- іє 13° іє 47°’
ІЄІ°-ІЄ46° .
1+іє1°іє46°;
24.8. ’ Спростіть вираз:
іє24°+іє36° ,
1 - іє 24° іє 36° ’
24.9/ Доведіть тотожність:
1-ій 27° і£33\
3> Іе27°+іє33° ’
4)
,'*еї‘вЙ
1&5а-і£3а
2) 1 + і£5аі£3а'
соз (а - р) - зіп а зіп р
зіп (а + Р)+зіп (а - Р) .
зіп(а + р)-зіп(а-р) Р*
х/2 соз а - 2 соз (45° + а) .
3) --------------Ч------- = і£а;
2 зіп (45° 4- а) - х/2 зіп а
4)
зіп (а + Р) соз (а - Р) -ь соз (а + Р) зіп (а - р) ?
соз (а + р) соз (а - Р) - зіп (а + р) зіп (а - р)
5)
зіп (45° + а) - соз (45° 4- а)
зіп (45° 4- а) 4- соз (45° 4- а)
= і£а;
6)
зіп а 4- 2 зіп (60° - а)
2 соз (30° - а) - х/з соз а
= у/з сі% а.
24.10/ Доведіть тотожність:
1)
2)
зіп (а 4- р) - зіп р соз а
зіп (а - р) 4- зіп Р соз а
х/І соз а - 2 зіп (45° - а)
2 зіп (60° 4- а) — х/з соз а
х/2;
3)
28іпасо8р-8іп(а-Р) = , + „
соз а соз Р ~ зіп а зіп р н ’
о
24.11 / Дано: зіпа = —, 90° < а < 180°. Знайдіть зіп (а + 45°).
41
24.12 / Дано: соз а = -0,6, 180° < а < 270°. Знайдіть соз (60° - а).
24.13 / Знайдіть соз (а + р), якщо соз а = ^, 0 < а < ~ і соз Р =
5 2 5
5<Р<л.
£
24.14 / Знайдіть зіп (а - Р), якщо зіпа = ~~~, л<а<^ і
А < 2
СО8Р=Й’ т<р<2п-
2и 2
24.15 .° Дано: = зіпр = |, 0<Р<^. Знайдіть (а + Р).
2 О 2
о
24.16 .* Відомо, що 1§а = -. Знайдіть (45° + а),
о
24.17 / Доведіть тотожність:
, п зіп(а-р)
1) і£а-і£Р =----
соз а соз р
. . о соз(а-Р)
2) сі£а + і£р = -^—
зіп а соз р
л л м • тт . . х . о віп (а + Р)
24.18 / Доведіть тотожність сієа + сієр = -^—гЛг-
зіп а зіп р
24.19 / Спростіть вираз:
а . а, . а
1) со5-сі£~ + зіп-;
4 ь
2) сі£ а - сі^ 2а;
24.20 / Спростіть вираз:
1) соз 2а + зіп 2а і£ а;
3) 1 + і£аіє2а’
соз 2а зіп 2а
7 соз а зіп а
2) соз 4а - зіп 4а сі£ 2а.
24.21 / Користуючись формулами додавання, знайдіть:
1) зіп 15°; 2) зіп 105°; 3) сіє 105°.
24.22 / Користуючись формулами додавання, знайдіть:
1) соз 75°; 2) зіп 75°.
24.23 / Спростіть вираз:
1) І£І0° + іе50°+>/з і&10оі£50°; 2) і£ 70° - і® 25° - і£ 70° і® 25°.
24.24 / Спростіть вираз:
1) іе 80° - їе 20° -уіЗі.8 80° 20°; 2) 35° +1$ 10° + 35° і® 10°.
24.25 / Доведіть тотожність:
1) зіп (а + Р) зіп (а - Р)‘= зіп2 а - зіп2 р;
2) (зіп а - зіп р)2 4- (соз а 4- соз Р)2 - 2 = 2соз (а 4- Р);
3) 7^=^ = ія(а+Р)іе(а-р);
1-ій аі£ р
4) іеа + і£р іеа-іаР 2(Тт7 2
' І8(а+Р) і8(а-Р) сов2а*
24.26 / Доведіть тотожність:
1) соз (а 4- р) соз (а - Р) = соз2 а - зіп2 Р;
2) (а + р) - (і£ а + р) - (а + Р) а Р = 0.
24.27 / Знайдіть найбільше значення виразу:
1) зіп а - >/з соз а; 3) зіп а 4- соз а;
2) 4 зіп а 4- 5 соз а; 4) 2 зіп а - соз а.
24.28 / Знайдіть найбільше значення виразу:
1) >/з соз а-зіп а; 2) >/б соза-2>/5 зіпа; 3) 3 зіп а 4-соз а.
24.29 /* Дано: соз(~-а) = “, ^<а<4~-
* \3 / 5 6 З
24.30 /* Дано: зіп(у-а) = -~^, л<а<^.
\4 / 10 2
Знайдіть зіп а.
Знайдіть зіп а.
24.31 /* Дано: соз (5° 4- а) = 0,6, 0° < а < 55°. Знайдіть (35° 4- а).
24.32 /* Дано: зіп (40° + а) = 6, 0° < а < 45°. Знайдіть соз (70° 4- а).
24.33 /* Дано: зіп 10° = Ь. Знайдіть зіп 35°.
24.34 /* Дано: (а - 45°) = 3. Знайдіть а.
24.36 /* Дано: (б°4-а) = -, 0° < а < 40°. Знайдіть соз (50° 4~ а),
о
24.36 .** Дано: = = 0<а<^, 0<Р<^. Знайдіть а - р.
4 о 2 2
24.37 ” Дано: зіпа = ^ї, зіпр = ^, 0° < а < 90°, 0° < р < 90°.
Знайдіть а 4- р.
24.38 “ Дано: со8а = ^р, зіпр = ^, 0° < а < 90°, 0° < р < 90°,
Знайдіть а + р.
24.39 ." Дано: іе «= 5, сі£р = ^, 0<а<£, 0<Р<^. Доведіть, що
а+р = 3£.
24.40 ." Дано: і#а = |, <£р = |, 0° < а < 90°, 0° < р < 90°. Зна-
2 З
йдіть а 4- р.
24.41/ * Побудуйте графік функції:
1) „ = + .
у 1 + ІЄ2хівх 1-у/зіех
24.42. ** Побудуйте графік функції:
’ у 1 + іеЗхіех’ ’ у іех + 1
24.43/ * Доведіть, що коли а, Р, у — кути непрямокутного три-
кутника, ТО а + Р + у = а Р у.
24.44. ** Доведіть, що коли а, Р, у — кути трикутника, то
6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2
24.45. ** Обчисліть (1 + а)(1 + Р), якщо а + р = ^, а > 0,
Р > 0.
24.46. ** Обчисліть (1 4- сі£ а)(1 4- сі£ Р), якщо а + Р = ^, а > 0,
Р > 0.
24.47. ** Доведіть нерівність зіп (а + Р) < соз а + соз Р, де 0 < а < ^,
о<р<|.
24.48. ** Доведіть нерівність соз (а - Р) < соз а 4- зіп р, де 0 < а < ~,
0<Р<її-
?4.49.* Відомо, що зіп а + зіп р+зіп у > 7б. Доведіть, що
соз а + соз Р 4- соз у < 2.
24.50. * Доведіть нерівність 4- + і£2 ~ > 1, де а, Р, у — кути
Сл
трикутника.
24.51. * Доведіть нерівність > л/з, де а, Р, у — кути
2 2 2
трикутника.
24.52. * Знайдіть усі функції Л визначені на Ж, такі, що для всіх
х є В, у є В виконується рівність
/(х + у) = / (х) соз у 4- / (у) соз X.
24.53. * Знайдіть усі функції /, визначені на проміжку [-1; 1],
такі, що для всіх х є К, у є В виконується рівність
/ (соз х) / (соз у) 4- І (зіп х) / (зіп у) - соз (х - у).
24.54. * Знайдіть усі функції /, визначені на проміжку [-1; 1],
такі, що для всіх х є Ж, у є Ж виконується рівність
/ (зіп х) / (соз у) + / (зіп у) / (соз х) = зіп (х 4- у).
Формули зведення
Періодичність тригонометричних функцій дозволяє зводити
обчислення значень синуса і косинуса до випадку, коли значення
аргументу належить проміжку [0; 2л], а значень тангенса і котан-
генса — до випадку, коли значення аргументу належить проміж-
ку [0; л]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дозволяють
у таких обчисленнях обмежитись лише кутами від 0 до
ТС
Кожний кут у межах від 0 до 2л можна подати у вигляді — ±а,
&
або л ± а, або ^±а, де О<ос<^. Наприклад, ^ = л-^,
2 2 0 0
5л _ Зл л
З ” 2 6*
Обчислення синусів і косинусів кутів виду ^±а, л ± а, -~±а
2 2
можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. Напри-
клад:
соз І —•+осІ = соз ~ соз а- зіп ~ зіп а = -зіп а;
\ 2 / 2 2
зіп (л - а) = зіп л соз а - соз л зіп а - зіп а.
Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отри-
мати:
зіп^-а) = соза
. /л \
зіпі 2 + аІ = соза
зіп (л — а) = зіп а
зіп (л + а) = -зіп а
зіп ^“2" ~ “ ~со8 а
зіп +а) = -соз а
Ці шість формул називають формулами зведення для синуса.
Наступні шість формул називають формулами зведення для
косинуса:
Ці тотожності теж легко отримати, застосувавши формули
додавання.
Обчислення тангенсів і котангенсів кутів виду ~±ос можна
&
звести до обчислення тангенса або котангенса кута а. Наприклад:
Аналогічно можна отримати:
Ці чотири формули називають формулами зведення для тан-
генса і котангенса.
Проаналізувавши записані 16 формул зведення, можна
помітити закономірності, які роблять заучування цих формул
не обов’язковим.
Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися
такими правилами.
1. У правій частині рівності ставлять той знак, який мас
ліва частина за умови, що 0<а<^.
2. Якщо в лівій частині формули аргумент мас вигляд —±(Х
А
або то синус міняють на косинус, тангенс — на котан-
гене, і навпаки. Якщо аргумент мас вигляд п ± а, то зміни
функції не відбувається.
Покажемо, як працюють ці правила для виразу еіпі^-аі.
к Зл
Припустивши, що 0<ос<~, доходимо висновку: —-а є кутом
а
(Зїс і
~—а|<0. За першим правилом у правій
/
частині рівності має стояти знак «-».
Оскільки аргумент має вигляд то за другим правилом
слід замінити синус на косинус.
(З л \
——а І =-соз а.
ПРИКЛАД 1 Зведіть до тригонометричної функції кута а:
1) со82|^+а); 2) (а - 90°).
\ & /
\ / і \\2
Л | І /я II
-+а = соз -+а =
2 / І \2 І)
° Розв’язання. 1) Маємо: сов2
= (—віп а)2 = зіп2 а.
2) сіє (а ~ 90°) = -сіє (90° - а) = -іє а. •
ПРИКЛАД 2 Замініть значення тригонометричної функції зна-
9л 8л
ченням функції гострого кута: 1) сов—; 2) сов—; 3) іє (-125°).
Розв’язання. 1) соз —— = соз І я——— І= —соз ——;
10 \ 10/ 10
2) соз —— = сов (я+—1 = —сов —;
7 \ 7/ 7
3) іє (-125°) = -іє 125° = -іє (90° + 35°) = -(-сіє 35°) = сіє 35°. •
ПРИКЛАД 1 Обчисліть: 1) зіп 930°; 2) соз (-480°).
Розв’язання. 1) зіп 930° = зіп (360°-2 + 210°) = зіп 210° =
= віп (180°+30°) = —віп 30° = -|;
2) соз (-480°) = соз 480° = соз (360° + 120°) = соз 120° =
= со8(90°+30о) = -8Іп30° = -|. •
А
ПРИКЛАД | Обчисліть іє 41° іє 42° іє 43° іє 44°•... • іє 49°.
Розв'язання. Маємо: 49° = 41°, 48° - сі£ 42° і т. д.
Тоді, об’єднавши попарно множники, які рівновіддалені від
кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких до-
рівнює 1:
41° 49° = 42° 48° = 43° 47° = 44° 46° = 1.
Ще один множник даного добутку 45° = 1. Отже,
41° і£ 42° 43° 44°49° = 1. •
ПРИКЛАД > Спростіть вираз:
а—— |-со5І-+а|8іп (а-я).
4 / \ /
Розв'язання. Маємо: 8Іп а— =-зіп ~а
\ 4/ \4
Оскільки -т-а+гт + Оч-тг, то 8Іп|^ + аІ = со8|4-ос|. Отже,
\4 / \4 / 2 \4 } \4 /
. / я
-зіп — -а
\4
/я \
сов — - а
\4 /
і /я 11
• -сі£ я +— а +8іпа-(~8іпо0 =
\ \ 4 /у
(~а)-ґ-сІ§ (--аї)
\4 /V \4 /у
• 2 • 9 2
- зіп а -1 ~ зіп а = сов а.
Вправи
25.1/ Зведіть до тригонометричної функції кута а:
1) зіп^-а); 4) соз (-а + 270°); 7) сіє2 (90° + а);
2) \ / 5) соз (а - 180°); 8) соз +а);
3) зіп (я ~ а); 6) соз2 (Зл - а); 9) зіпр^-а). \ <6 /
25.2/ Зведіть до тригонометричної функції кута а:
1) соз (^4-а); 3) соз (л - а); 5) зіп (180° + а);
2) сіЄ (у-а); \ & І 4) сіє (а - 270°); 6) зіп2 +а).
25.3.° Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного
аргументу:
1) соз 123°; 2) зіп 216°; 3) соз (-218°); 4) соз у.
25.4 / Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного
аргументу:
1) іє 124°; 2) зіп (-305°); 3) сіє (-0,7л); 4) зіп^.
15
25.5 / Обчисліть:
1) соз 225°; 2) зіп 240°; 3) соз —; 4) соз(-^).
25.6 / Обчисліть:
1) 210°; 2) сі£ 315°; 3) Сов (-150°); 4) віп
25.7 .° Спростіть вираз:
1) 8Іп(“а1 + со8(л-а); 4) ;
е°8 (? + а)
2) іе(^+а)сія|^-аі; 5) со8* 1 2 3 4(л+а)+со82(^-а);
\ 2 / \ 2 / \ 2 /
3) 8іп(л+а)со8І^+а); 6) 8Іп|£+а|-8ІпІ^+а|.
\ З / \2 / \ 2 /
25.8 / Спростіть вираз:
1) іє^+а)-сіе(л-а);
2) віп (270° - а) + сов (270° + а);
\ / о_ \
^+а|+со8(л+а)+І£І——а|+сі£ (2л-а);
2 / \ 2 /
4) 8іп2(л-а)+8іп2І^-а
\ £ і
25.9.° Обчисліть:
1) 3 135° - 2 віп 150° + 300° - 2 зіп 240°;
8іп23150со8300° + іе(-315°)<
' віп (-120°) сов 150° ’
. 5л 5л . / 2л \ ._4л
3) 8Ш—сов—1<І-— <Я«—;
4 6 \ 3 / З
ВІП 20° СО8 10° + СО8 160° СО8 100°
8Іп210со8 9° + со8і590со8 99° ’
СО8б6°СО8бо + СО8 84оСО8 24°
01 1 е
сов 65° сов 5° + сов 85° сов 25°
25.10/ Знайдіть значення виразу:
1) 4 сов 225° - 6 сов 120° + 3 сі£ 300° + 240°;
6со82(-240о)сіе210°.
віп (-300°) сов2180° ’
771 2л 4л «+«•7л.
3) 81П—СО8—СІ£—;
4 3 3 6
А ч СО8 64° СО8 4° - СО8 86° СО8 26°
4) ---------------------в
СО8 71° СО8 41° - СО8 49° СО8 19°
25.11/ Спростіть вираз:
8іп(я + ос)со8(2я-а)в
І£(я-ос)со8(я-ос) *
2) віп (я-р) сов
(р-|)-8іп(| + р)
\ / \ & /
сов (л~Р);
віп (90° + а) віп (180° - а)(і£ (180° + а) + (270° - а));
4) віп а - І віп а+- 8Іп2 (а - я) 8Іп2(а + я) - сов2 (а+я) сов21 а —~
5) зіп2(я - х)+і§2 (п - х) і£21 +х І+зіп І £+х)со8 (х - 2л);
у л / \ & • /
СОб(Я + х) СІ£І-^ + Х
\ & і
. 2IЗЛ \
8Ш I 2 Х) , 8ІП2(-Х) .
сіе2(х-2л) с1е2(х_^)’
(л V. І зл V . , ч
—а|І8іп і---аІ+8іп (я + а)
2/ \\ 2/ і
сі£ (я + а) (сов (2я + а) - віп (2я - а)) ’
1 х і /о V / \ х \\2 81П (я Ос)
10) (сі£ (6,5я - а) сов (-а) + сов (я - а)) +-------;
І£(а-л)
26.12/ Доведіть тотожність:
л ч зіп (я - а) зіп (а + 2я)
1) —----------т------^ = -сова;
' । я і
і£ (я + а) со8І~ + а|
\ а /
/ _ \ / о—
2) 8ІП (Л + х)С08 — -X + СО8 (2п + х) зіп І -£- + X
\ } \ £ і
3) іе (180° - а) сов (180° - а) іе (90° - а) , р
’ 8Іп(90° + а)сі8(90° + а)1;£(90о+а) " ’
(З я
—--фІ-СО8(ф-Л)-8ІП(ф-Л) = зіпер;
А /
5)
6)
7)
8)
сов (2тс - а)
(Зтс
~^ + а
= зіп а;
8іп(л+а) б\2+ / , * / \ і
---~'----гЧ5—Г+ іє (я - ос) = -1;
сіє (я - а)
зіп
зіп (п а) соз (тс + а) (я - а)
зіп
зіп 2
1;
| зіп а соз а | *
1
25.13. ” Обчисліть:
1) сіє 5° сіє 15° сіє 25° •... • сіє 75° сіє 85°;
2) іє 20° 4- іє 40° + іє 60° + ... + іє 160° + іє 180°;
3) віп 0° + зіп 1° + зіп 2° + ... + зіп 359° + зіп 360°.
25.14. " Обчисліть:
1) зіп 110° + зіп 130° + зіп 150° +... + зіп 230° + яіп 250° + зіп 270°;
2) іє 10° іє 20° іє° 30° •... • іє 70° іє 80°;
3) сіє 15° + сіє 30° + сіє 45° + ... + сіє 165°.
25.15. " Доведіть тотожність:
соз2(^+а) і \ / \
1) —^+зіп215+а| іе2|тг-ос І = 1;
. 21 ТС \ \3 / \О /
іЄ к-а
\о /
2) -------сов3 4(«-")- 1сіє2а;
соз4Іа-“І+8іп4(а+^“І-1
3) зіп2 (— - а) (іє2 а -1) сіє (ос - зіп-2 +ой = 2.
\ 2 ) \ 4) \ 4 у
25.16." Знайдіть значення виразу
соз2 + сов2 уу+сов2 +соз2
25.17.” Спростіть вираз:
1) соз2 + ос)+сов2 - а)+віп - а) сов +а) іє (я+а);
2) СО8^22°__и)+(а+ю°) сіє (80° - а).
зіп2(70°+а)
25.18. * Чи існує така функція /, що для всіх х є К виконується
рівність:
1) / (сов х) = віп х; 2) / (віп х) = соз х?
25.19. * Чи існує така функція /, що для всіх х е К. виконується
рівність / (віп х) = зіп ЮОх?
25.20.* Сума додатних чисел а, 0, у дорівнює
я
2’
Доведіть, що
сов а + соз 0 +’соз у > зіп а + віп 0 + віп у.
25.21. * Сума додатних чисел а, 0, у менша від Доведіть, що
сі& а + сіє 0 + у > і£ а + Р + і£ у.
26.
Формули подвійного, потрійного
і половинного аргументів
Формули, які виражають тригонометричні функції аргумен-
ту 2а через тригонометричні функції аргументу а, називають
формулами подвійного аргументу.
У формулах додавання
сов (а + 0) = сов а сов 0 - віп а віп 0,
віп (а + 0) - віп а соз 0 + зіп 0 соз а,
покладемо р = а.
Отримаємо:
сов 2а = соз2 а — зіп2 а
зіп 2а = 2 зіп а соз а
2і£а
І82а=ї^?її
Ці формули відповідно називають формулами косинуса, синуса
і тангенса подвійного аргументу.
Оскільки соз2 а = 1 ~ зіп2 а і зіп2 а - 1 - соз2 а, то з формули
соз 2а = соб2 а - віп2 а отримуємо ще дві формули:
соз 2а = 1 — 2 зіп2 а
соз 2а = 2 соз2 а - 1
Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді:
1 - сов 2а = 2 віп2 а
або в такому вигляді:
1 + сов 2а = 2 сов2 а
Дві останні формули називають формулами пониження сте-
пеня.
ПРИКЛАД 1 Виразіть дану тригонометричну функцію через функ-
ції вдвічі меншого аргументу: 1) сов~; 2) І£[~+а .
2 \ 3 /
Розв’язання. 1) Маємо: — = 2-^. Тоді соз^ = соз2^-зіп2—;
2 4 2 4 4
/ \ / \ +
2) Маємо: £+а = 2-Р+£ . Тоді £+а =---------2\.
З \6 2/ \3 / , . 2 п , а\
6 \6 2/
ПРИКЛАДІ Спростіть вираз:
1) _—; 3) соз4 а - зіп4 а; 5) а - сі£ а;
. а а
81ПІ-СО8ЇЇ
2) -—2а ; 4) 1 - 8 зіп2 р соз2 р; 6)- 2 соз2а-1-
2 соз2— 2і£| — -а| зіп2 (у+ а)
Розв'язання. 1) Застосовуючи формулу косинуса подвійного
аргументу сов 2х = сов2х-віп2х і формулу різниці квадратів,
отримуємо:
га . 2(х І а а\1 а , . а\
СО8 — -81П — СО8—~8іп— сов—+ 81П— / \
—со?«— =-----2----2 = Ь 2-----2К 2-----2/ = _ с08«+ 8ІП « .
. а а . а а .аа \ 2 2/
8111—-СО8— 81П — “СОВ— 81П—-СО8—
2 2 2 2 2 2
2) Застосовуючи формулу синуса подвійного аргументу для
а
кута —, отримуємо:
зіп а
п га
2 соз —
2
п . а а .а
2 зіп—соз— зіп—
----2-2=2=1 а
2 соз2 соз— л
2 2
3) соз4 а - зіп4 а = (соз2 а - зіп2 а) (соз2 а 4- зіп2 а) = соз 2а.
4) 1 ~ 8 зіп2 Р соз2 р = 1 - 2 • 4 зіп2 р соз2 Р = 1 - 2 зіп2 2Р = соз 4р.
А х зіпа
5) і£а-сі£а =----
соз а
соза _ зіп2а-соз2а _ соз2а
зіп а соз а зіп а зіп а соз а
2 соз 2а 2 соз 2а л л
----------=-----—- = -2 сіє 2а.
2 зіп а соз а зт 2а
6) Оскільки сума аргументів ~а і ^~+а дорівнює 5, то
4 4 2
8Іп(^+а) = соз т~а|. Тоді
\4 / \4 /
2соз2а-1 2соз2а-1
соз 2а соз 2а
Застосувавши формулу синуса подвійного аргументу до кута
71
--а, отримуємо:
соз 2а __ соз 2а _ соз 2а
о . /я \ /я \ • /я п \ соз2а
2 зіп — - а соз (— - а зіп І — - 2а
\4 / \4 / \2 /
ПРИКЛАД З Обчисліть
Розв’язання. Застосовуючи формулу тангенса подвійного
аргументу, отримуємо:
1716 ЇЇ 1-16 8 2
їв (2-1
о о \ о-
—^— = 2. •
X Я
ІЄ4
ПРИКЛАД 4 Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 1 4- сов 4а;
2) 1 - соз 6а; 3) 1 - віп а.
Розв’язання. 1) Застосовуючи формулу 1 4- сов 2х = 2 сов2 х,
отримуємо: 1 4- сов 4а - 2 сов2 2а.
2) Застосовуючи формулу 1 ~ сов 2х = 2 зіп2 х, отримуємо:
1 ~ соз 6а = 2 зіп2 За.
3) За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус
і застосуємо формулу 1 - соз 2х = 2 зіп2 х:
1-віп а = 1-сов -а) = 2 віп2 •
\2 / \4 2/
ПРИКЛАДІ Спростіть вираз 2зіп2 (45° - а) 4- зіп 2а.
Розв'язання. Застосуємо формулу пониження степеня для
синуса, а потім формулу зведення. Отримуємо:
2 зіп2 (45° - а) + зіп 2а = 1 - соз (90° - 2а) + зіп 2а =
= 1 - зіп 2а + зіп 2а = 1. •
- а . а
1 + сов—зіп—
ПРИКЛАДІ Доведіть тотожність --------~= -сі£^.
1 — СО8~—— 5ІП~
2 2
- а .а о га о . а а
Розв’язання. Маємо: 1+ <**--вт^ ~ 2 сов --2віп~Сов-
1 — СО8“ — 8ІП“ 28ІП2у-2 8ІП~СО8у
2 2 4 4 4
о а / а . а)
2 СОЗ; СО8 — - 81П —
=---------------4 = -0‘ЄТ- •
о . а/. а аі 4
2 81П-- 81П — - СО8 1
4 \ 4 4/
ПРИКЛАД | Доведіть тотожність
„ . о зіп32а
соз а соз 2а соз 4а соз 8а соз 16а =----.
32 зіп а
Розв'язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної
рівності на зіп а та багаторазово застосуємо формулу синуса по-
двійного аргументу:
п о ч~ зіп а соз а сов 2а соз 4а соз 8а соз 16а
соз а соз 2а соз 4а соз 8а соз 16а =--------------------------=
зіп а
_ зіп 2а соз 2а соз 4а соз 8а соз 16а _ зіп 4а соз 4а соз 8а соз 16а
2 8Іп а 4 зіп а
_ зіп 8а соз 8а соз 16а _ зіп 16а соз 16а _ зіп 32а
8 зіп а 16 зіп а 32 зіп а*
Формули, які виражають тригонометричні функції аргумен-
ту За через тригонометричні функції аргументу а, називають
формулами потрійного аргументу.
Маємо: зіп За = зіп (2а 4- а) = зіп 2а соз а 4- соз 2а зіп а *
- 2 зіп а соз а соз а 4- (1 - 2 зіп2 а) зіп а - 2 зіп а соз2 а 4- зіп а - 2 зіп3 а»
- 2 зіп а (1 - зіп2 а) 4- зіп а - 2 зіп3 а = 2 зіп а - 2 зіп3 а 4- зіп а - 2 зіп3 а =
= 3 зіп а - 4 зіп3 а.
Отже,
зіп За = Ззіп а - 4зіп3 а
Цю формулу називають формулою синуса потрійного аргу-
менту.
Маємо: соз За = соз (2а + а) = соз 2а соз а - зіп 2а зіп а =
= (2 соз2 а - 1) соз а - 2 соз а зіп а зіп а = 2 соз3 а - соз а - 2 соз а (1 -
- соз2 а) = 2 соз3 а - соз а - 2 соз а 4- 2 соз3 а = 4 соз3 а - 3 соз а.
Отже,
соз За = 4соз3 а - Зсоз а
Цю формулу називають формулою косинуса потрійного ар-
гументу.
О—» Задача. Доведіть тотожність 4 соз а соз (60° - а) соз (60° 4- а) =
= соз За.
Розв’язання. Застосувавши формули косинуса різниці і ко-
синуса суми, отримуємо:
4 соз а соз (60° - а) соз (60° 4- а) =
= 4 соз а (соз 60° соз а 4- зіп 60° зіп а) (соз 60° соз а - зіп 60° зіп а) -
= 4 соз а (соз2 60° соз2 а - зіп2 60° зіп2 а) = 4 соз а [ - соз2 а - — зіп2 а І=
\4 4 /
= соз3 а - 3 соз а зіп2 а = соз3 а - 3 соз а (1 - соз2 а) -
= соз3 а - 3 соз а 4- З соз3 а = 4 соз3 а - 3 соз а = соз За. •
ПРИКЛАД 8 Доведіть рівність 16соз 20° соз 40° соз 60° соз 80° = 1.
Розв’язання. Маємо: Ібсоз 20° соз 40° соз 60° соз 80° =
і
= 16 • -соз 20° соз 40° соз 80° = 8 соз 20° соз 40° соз 80°.
2
Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° 4- 20°, то можна застосу-
вати тотожність, доведену в ключовій задачі цього пункту (при
а = 20°):
8 соз 20° соз 40° соз 80° = 2 соз (3-20°) = 1.
Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, як при
розв’язуванні прикладу 7:
ОЛО ЛЛО «по оло 8 81П 20 СО8 20° СОЗ 40° СО8 80°
16 соз 20 соз 40° соз 60 соз 80° =------------------------=
віп 20°
4 віп 40° соз 40° сов 80° _ 2 віп 80° сов 80° _ еіп 160° _ віп (180°-20°) _ х
віп 20° 8іп20° віп 20° віп 20° * *
Формули, які виражають тригонометричні функції аргумен-
ту — через тригонометричні функції аргументу а, називають
формулами половинного аргументу.
(X
Замінивши у формулах пониження степеня а на —, отримуємо:
£
-2 а 1-сова
зіп -“ =------,
2 2
2 а 1 + сов а
соз — =-------.
2 2
Почленне ділення першої рівності на другу призводить до
формули
Тепер можна записати
2 а _ 1-сова
2 1 + сов а ’
Ці формули називають відповідно формулами синуса, косинуса
і тангенса половинного аргументу.
ПРИКЛАД 9 Дано: іе3а = з|, 60° < а < 90°. Знайдіть зіп^,
<
За . За
008Т- ‘еТ-
(\2
—І = 0^-
7 І 49
сов2 За = -^^.
Оскільки 60° < а < 90°, то 180° < За < 270°. Отже, соє За < 0.
7
Тоді созЗа = -—.
Оскільки 90°<Д^<135°, то зіп —>0, а соз^-сО. Тоді:
2 2 2
о зіп — л
За 2 _ _ 4
2 “ За З
ПРИКЛАД Ц Знайдіть зіп 22°30' і соз 22°30'.
Розв'язання. Використовуючи формули половинного аргу-
менту, отримуємо:
• посол/ /1- соз 45’
зіп 22°30 = Л--------
посол/ /1 +соз 45°
соз 22°30 = А--------
V 2
ПРИКЛАД Н Спростіть вираз 1 - соз а 1 + соз а 14- соз а 1 - соз а *
Розв'язання. Маємо:
1 соз а
1+соза
/1 + соза
у 1 - соз а
За допомогою формул* подвійного аргументу можна виразити
, а
зіп а і соз а через .
о . а а
2 зіп — соз —
2 2
Маємо: зіпа =------------- -—
. 2 а га
8Ш —+ СО8 —
2 2
Припустивши, що сов ~ 0, поділимо чисельник і знаменник
Сі
отриманого дробу на сов2 :
Сі
. п • « «
2 зіп—соз—
2 2
2 а
сов -
віп а =---------—
2^1
Отже,
. 2 а , 2 а і . , 2 а
зіп її + соз її 1 + І8 -
СО82 “
2
віп ос =--—
!+482|
га . га
сов —-віп —
Маємо: соза =---------
2 а .га
сов — + віп —
2 2
Припустивши, що соз — Ф 0, поділимо чисельник і знаменник
Сі
отриманого дробу на соз2 :
2 а . 2 а
сов —-вш —
2 2
2 а і . 2 а
С08 - 1-ІЄ -
соз а =----------=-------
2а, .га 1,x2а
СО8 - + 81П - 1 + 1® -
________ Сі Сі
2 а
сов —
2
Отже.
соз а =------—
І + *82|
ПРИКЛАД 12 Дано: ід —= 3. Знайдіть віп а + сов а.
&
о , а
2 і£ „ 2-3
Розв'язання. Маємо: зіпа =----= -—- = 0,6;
1+9
1 +«2а
1 9 1 — 9
соз а =----= -—- = -0,8. Тоді зіп а + соз а = 0,6 - 0,8 = -0,2. •
і+і8 2 а 1+9
ПРИКЛАД 13 Знайдіть соз 2а, якщо 2 сі£2 а + 7сі£ а + 3 = 0
і^<а<7*
2 4
Розв'язання. Розглянемо дану рівність як квадратне рівнян-
ня відносно сі£ а. Знаходимо сі£ а = -~ або сі& а = -3.
Оскільки < а < , то сі£ а > сі&^ = -1 (нагадаємо, що коли
2 4 4
а і Р - кути IV чверті і а < Р, то сі& а > сі& Р). Отже, у даному
випадку сіда = -^, а = -2. Тоді соз 2а -1 а = •
2 1 + і£ а 1+4 5
Вправи
26.1. ° Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі
меншого аргументу:
1) соз а; 2) зіп За; 3) ; 4) соз 8а; 5) зіпІ2х-^І; 6)І£7а.
26.2. " Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі
меншого аргументу:
1) зіп 10а; 3) соз^; 5) 3;
4
2) еіп (а - Р); 4) соє(£-20°); 6) і£ 12а.
26.3. ° Спростіть вираз:
зіп 2а соз 2а
зіпа ’ 6) соз а - зіп а ’
л зіп 2а п\ • 7) і о * 2 а 1-2 зіп ~; 4
2 2 . 2 * соз а-зіп а
3) соз 2а + зіп2 а; 8) зіп 2а
соз2 а а ’
зіп 50° 4> 2соз25°’ 9) зіп2 а сі& а. зіп 2а
соз 44° +зіп2 22° Ю) (зіп (р - соз ф)2 + зіп 2ф;
5) соз2 22° ’
Ц) |8ІП^ + СО8^|І8ІП^-СО8^|; 14)
\ 4 4/ \ 4 4/
(зіп а + соз а)1 2 - зіп 2а
соз 2а + 2 зіп2 а
. зіп а соз а
1^) п >
1-2 зіп2 а
13) сов4|^-а|-зіп4(-^-а
\4 / \4 і
26.4/ Спростіть вираз:
і&(45° + а) .
} 1-і£2(45° + а)’
16) 4 віп а соз3 а - 4 зіп3 а соз а.
іч 8іп 80°. } соз 40°’ 2) 2соз2і^-1; 2 1 +віп 2а 8) 5-; (віп а + сов а) 9) віпа сова (соз2 а - віп2 а);
3) сов4Р + віп2 2(3; 10) ,“п4а, ; сов а-віп а
4) 2 віп 20° сов 20°; 11) віп|“а сові^-аі; \4 / \4 /
5) сов210ф“8Іп210ф; 12) 8Іп2(р-45°)-со82(р-45°);
6) сов 6а + 2 віп2 За; 13) 4віп^8Іп|90о-~Ч8іп(270о-а); 2 \ 2 /
7) со8 70° ' соз 35° +зіп 35°’ 26.5.° Обчисліть: 14) . 1 + 1&2 1,5а , п 2і£165°
1) 2 зіп 75° соз 75°; 3) 1-2зіп2А; 5)
2) соз215° - зіп215°; 1-і£215° 4) зіп 22°3(У соз 22°3(У; 6) •
26.6.° Обчисліть:
1) соз2 22°30' - зіп2 22°30'; 3) 2 зіп соз
о 8
2і£75° .
2) 1-і£275°’
4) 1-2со824-
12
26.7.° Знайдіть віп 2а, якщо віп а = -0,6 і — <а<2л.
2
5 тс
26.8 / Знайдіть віп 2а, якщо сова = -—і ~<а<л.
ІЗ 2
26.9 / Знайдіть сов 2а, якщо сова = ^.
о
26.10 / Знайдіть сов 2а, якщо віпа = “.
26.11 .° Знайдіть 2а, якщо:
1) а = 4; 2) зіпа = у і 0<а<|.
26.12 / Знайдіть 2а, якщо:
1) сі£ а = 2; 2) сов а = і я < а <
26.13 / Подайте у вигляді добутку вираз:
1) 1 - соє 4а; 2) 1+сов~; 3) 1 - сов 50°; 4) 1 + віп 2а.
о
26.14 / Подайте у вигляді добутку вираз:
1) 1-сов^; 2)1+сов 12а;
26.15 .° Понизьте степінь виразу:
1) сов2 8х; 2) віп2
26.16 / Понизьте степінь виразу:
1) віп2 5х; 2) сов2
26.17 / Доведіть тотожність:
1) 2 зіп2 а + сов 2а = 1;
2) сі£ За (1 - сов 6а) = віп 6а;
26.18 / Спростіть вираз:
1) 2 віп2 (135° - а) - віп 2а;
81П
3) 1 + сов 40°;
3) яп2 (2х -15°);
3) со82(4х+10°);
3)
4)
2)
4) 1 —віп—.
4) сов2
4) 8ІП2
1 - сов 2а
віп2 а
1 - сов 4а
1 + сов 4а
= 2;
= і£2 2а.
1 + сов 8а
26.19 / Знайдіть віп а, сов а, а, якщо і£^ = 5.
26.20 / Знайдіть сов 2а, якщо а = -3.
26.21 / Дано: сов 2а = -0,6, ^<а<я. Знайдіть віп а і сов а.
26.22 .* Дано: сова = ^, 0<а<^. Знайдіть віп^, сов^ і
4/2 /2 Л /2
26.23 .° Знайдіть:
5) 112°30';
6) '
1
1) віп 15°; 3) і£ 75°;
2) сов 15°; 4) сов 75°;
26.24.° Спростіть вираз:
_. віп За сов За
3) а + а) зіп 2а;
4) --------1—;
1-і£а 1 + і£а
4іеа(1-і£2а).
' (1+1в2а)2 ’
ф І82аік« .
2а-і£а’
• 4 4 2
74 81п а008 а + СО8 а.
2(1-соз а)
а) __/тс , а)
8) 2соз^---^соз^-+-^
26.25.* Спростіть вираз:
.. ч соз 6а зіп 6а
і) -...
зіп 2а соз 2а
соз а соз а
1 + зіп а 1 - зіп а
зіп 2а;
сі£ а -а *
З) _Є£О_+_Єеа_
1 + І£а 1 - а
5) (сі£ а - сі& 2а) зіп 2а;
соз 2а+1-соз2а
созІ“ + 2аІ
\ /
26.26/ Доведіть тотожність:
1) со52|^~-2а|-со82(^ + 2а| = зіп4а;
\ 4 / \ 4 /
2) 1 + 2 соз 2а 4- соз 4а = 4 соз2 а соз 2а;
3)
4)
1 - соз 4а 1 + соз 4а
—----------1---—-------
соз 2 2а -1 зіп 2а -1
1 + зіп 2а - соз 2а ,
--------------— = ід а;
1+зіп 2а + соз 2а
_ зіп22а + 4зіп2а-4 1 2 4
5) ----------------= ~сі£ а;
1-8 зіп а - соз 4а *
(. Тс\ . / 5ТС Л \
4а - — зіп І —- + 2а І
----------—-----------~ = І£0
' (1 + соз 2а) (1 + соз 4а)-в
7)
соз 4а +1
сі$а-і£а
= - зіп 4а;
2
8) 2с°»2а-1п4а= ,
2соз 2а + зіп 4а
26.27/ Доведіть тотожність:
1) зіп2 - 4а) - зіп2 4а) = -зіп 8а;
2) 1-2соз3а+со5ба = ~45іп2^“соз3а;
А
• 2ІА
зіп 14а- — І
3) ----------\----------г
сі£ - 2а) + + 2а)
л \ Заіпа-аіп 2а 2 а
2віпа + 8Іп2а 2*
-~-8Іп 8а;
26.28. * Доведіть, що 15° + сі£ 15° - 4.
26.29. * Доведіть, що і£75о-сі£75о = 2д/з.
26.30. * Доведіть тотожність:
_ соз3 а-соз За 8Іп3а + 8ІпЗа о зіп3 а + зіп За
1) +------------:---------= 3; 2) —о------= сі£а.
сова зіпа соз а-созЗа
«л . тт . • 8ІпЗа + 4зіп3а соз За-соз3 а
26.31. Доведіть тотожність ---------у—=----------—.
соз За - 4 соз а зіп За + зіп а
26.32. * Дано: зіп 2а = ——, 135° < а < 180°. Знайдіть зіп а.
26.33. * Дано: зіпа = -^~, 90° <^<135°. Знайдіть соз—.
2 2 2
26.34. * Дано: і&— = 6. Знайдіть зіп а - соз а.
26.35. * Обчисліть 2-13 соз 2а + —і—, якщо сі£а = “.
зіп 2а 5
26.36. * Обчисліть 1 + 5 зіп 2а--—, якщо а = -2.
соз 2а
26.37. * Знайдіть зіп 2а, якщо соза + 8Іпа = ^.
о
26.38. * Знайдіть зіп а, якщо со8^-віп^ = “.
£ 6 6
26.39. * Спростіть вираз:
1) соз4а - 6зіп2 3а соз2а + 8іп4а; 4)
2) ____С08-^____; 5)
сі& а - зіп 2а ’
3) 2біп 4а(1-і§22а).
1 + сі£2 + 2а]
\ л /
• 2 Л Л • 4 л • 2 2
зіп 2а+ 4зіп а-4зіп асоз а.
4 - зіп2 2а - 4 зіп2 а
2 соз2 а -1
2 сі£І — -а) зіп2] —-а|
\4 / \4 /
2зіп24а-1
о . / Я 4 І 21 бті л І
2сі£і — + 4а соз І—-4а|
\4 / \ 4 /
26.40/ Спростіть вираз:
. сов 2а
* зіп2 2а (сі£2 а - і£2 а) ’
2) 8^п2 3а со&2 За.
зіп2 а соз2 а
3) соз а
26.41/* Доведіть, що:
зіп2 (а - я) - 4 соз2 - — |
4) 7—Т~\---------- -/ -
соз21 а - І- 4+4соз2
\ / \ Хи і
. (п \ . (п . \
8іп І — — а І зіп І — 4- а
5) \4----/---\4---
зіп За соз а - сов За віп а
_ 4а) віп2 (^~ + 4а)
6) —
1-2 сов2 4а
1) зіп 18° соз 36° = —;
4
2) 8 сов сов сов= 1;
7 9 9 9
оч я 4я 5я 1
3) СО8—сов— СО8— = -;
'77 7 8
4) віп 6° віп 42° сов 12° сов 24° = -^;
16
5) сов а сов 2а сов 4а сов 8а сов 16а сов 32а =
64віпа
26.42 /* Доведіть, що:
1) віп 54° сов 72° = і; 3) сов За сов 6а сові2а = ;
4 8 віп За
о я 2я 4я я 2л Зл 7л 1
2) 8сов-сов— сов— = -1; 4) со8 — сов — сов — -...•сов — = —-.
7 7 7 10 10 15 15 12о
26.43 /* Виразіть через сов 4а:
1) віп4 а 4- сов4 а; 2) віп8 а 4- сов8 а.
26.44 /* Обчисліть віп6 * а 4- сов6 а, якщо а = ~г.
24
26.45 /* Доведіть тотожність:
1) 3 4- 4 сов 4а 4- сов 8а = 8 сов4 2а;
2)
3)
сов2 (4а - Зя) - 4 сов2 (2а - я) + 3 ^
сов2 (4а + Зя) + 4 сов2 (2а + я) -1
4 зіп4 (за-^)
---------—-------------г— = -2 сі£2 2а.
. 4Іп 1 41 ОЛ п 1 ч
зіп 2а-—— 1+соз І —-2а 1-1
\ 2) \ 2 )
26.46.** Спростіть вираз:
3 +4 соз а +соз 2а.
3-4 соз а + соз 2а ’
________сов4 (а-я)
' Зп\ . 4/
соз а-— +8іп |а-
3)
4 . 4 2
соз а-зіп а-соз а
2 (соз а-1)
26.4^ /* Спростіть вираз:
!а - і£2а) соз 2а • 2а, якщо ~ < а <
4
зіп 4а
у сі£ а - а зіп 2а
26.48.** Спростіть вираз:
+ 1, якщо ^<а<я.
4
1
1) л/(сі£ а - а) 2 сі& 2а • 2а + 2, якщо ^<а<^;
2 4
І соз 2а ті _ Зя
2) х ~2---Г2“’ ЯКЩ° ?<а<Т*
усі£ а-і£ а 2 4
26.49/ * Доведіть тотожність:
О—» і) 4 8іп а зіп (60° - а) зіп (60° + а) = зіп За;
2) 16 зіп 20° зіп 40° зіп 60° зіп 80° = 3;
ч 4 зіп 20° зіп 50° зіп 70°
3) зіп 80° ~ '
26.50. ** Доведіть тотожність:
О*"» 1) а (60° ~ а) (60° + а) = За;
2) іе20°^40о^80° = 5/з.
26.51/ * Доведіть тотожність
зіп За зіп3 а + соз За соз3. а = соз3 2а.
26.52. ** Доведіть тотожність
зіп3 2асоз 6а+соз3 2а зіп 6а = ^зіп 8а.
4
26.53/ * Спростіть вираз:
1) ^0,5 + 0,5 ^0,5+0,5соз а, якщо 0 < а < я;
соза зіпа ло лло
2) -т==г—- - якщо 0° < а < 90°;
^/1-соз 2а ^/1+соз 2а
ЗІП (450 + ЗІП (450 -
3) —р===^-----якщо 0° < а < 90°.
у]1 - зіп а у]1 + зіп а
26.54. ” Спростіть вираз:
1) ^2+^/2+20084а, якщо
2) ^0,5+0,5 ^0,5+0,55/0,5 + 0,5008 а, якщо 0 < а < я;
3) д/і + зіпср -^/і-віпф, якщо ~ < Ф < я.
26.55. " Знайдіть зіп 2а, якщо 2 і§2 а - 7 і£ а + 3 = 0 і < а <
26.56. " Дано: зіпа+соза=+. Знайдіть
5 2
26.57. * Обчисліть зіп 18°.
26.58. * Доведіть, що зіп 10° — ірраціональне число.
26.59. * Доведіть, що сов 20° — ірраціональне число.
26.60. * Доведіть рівність у2 + ^2 + >/2 + ^
п радикалів
... + л/2 = 2соз—
------• 2“ 1
/ І Формули для перетворення суми і різниці
і тригонометричних функцій у добуток
Спочатку розглянемо формули, які дозволяють перетворити
суму та різницю синусів (косинусів) у добуток.
Запишемо формули додавання для синуса:
8ІП (X + у) = 8ІП X СО8 у + СО8 X 8ІП у, (1)
8ІП (X “ у) = 8ІП X СО8 у “ СО8 X 8ІП у. (2)
Додаючи почленно ліві і праві частини цих рівностей, отри-
маємо:
8ІП (х + у) + 8ІП (х - у) = 2зіп X СО8 у. (3)
Введемо позначення:
х + у = а,
X - У = р.
г» • сс + В а-В ~ . о ~
Звідси х = — у= - -. Зазначимо, що аїр можуть набува-
2 А
ти будь-яких значень.
Тоді рівність (3) можна переписати так:
. о о . а + Р а-В
8Ш а + 81П р = 2 8ІП—” СО8—~-
ш А
Цю тотожність називають формулою суми синусів.
Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2):
8Й1(Х + у) - 8Іп(Х - у) = 2сО8Х 8ІПІ/.
Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отри-
маємо рівність, яку називають формулою різниці синусів:
• о « • а-0 а + Р
8Ш а - 81П р = 2 8Ш—сой—
А &
Запишемо формули додавання для косинуса:
СО8 (х + у) = СО8 X СО8 у ~ 8ІП X 8ІП у,
СОЗ (х - у) = СО8 X СО8 у + 8ІП X 8ІП у.
і віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отри-
муємо:
соз (х + у) + соз (х - у) = 2 соз х соз у; (4)
соз (х + у) ~ соз (х - у) = -2 8ІП х зіп у. (5)
Звідси, ввівши позначення х + ^ = аіх-і/ = Р, отримаємо
відповідно формули суми і різниці косинусів:
о п а + р а-Р сов а + сов р = 2 сов сов- А
о о . а + р . а-р сов а - сов 0 = -2 віп—— віп— А и
Перетворимо у добуток вираз ОС + р. Маємо:
1 В “ 8ІП а +8ІП -8ІП а С08 + С08 а 8^п - 8^п +
сова совр сов а сов р сов а сов Р'
Рівність
. х о зіп (а + Р)
і£а + іеР =------—
& сов а сов р
називають формулою суми тангенсів.
Аналогічно можна довести такі три рівності:
Іда-ібР =
5Іп(а~Р)
сов а сов р
сі#а + сі£р =
віп (а + Р)
віп а віп Р
сі£ а - СІ£ р =
віп(Р-а)
віп а віп р
їх називають формулами відповідно різниці тангенсів, суми
котангенсів, різниці котангенсів.
ПРИКЛАД 1 Перетворіть у добуток: 1) 1 4- а; 2) л/3-2зіпа.
Розв'язання
*1) 1 + і§а = іе^+1;еа =
4
сов а
я
сов--сов а
4
і / я і
- зіп а ~ 2 зіп— зіп а =
7 \ З І
--а 77 + а / \ / \
= 2-2 зіп---соз --= 4 зіп | ~ ~ 7Ч соя | - + —І.
2 2 ' \6 2/ \б 2/
ПРИКЛАД 2 Перетворіть у добуток вираз зіп За 4- зіп 5а 4- зіп 7а.
Розв'язання. Перетворимо суму зіп За 4- зіп 7а у добуток.
Маємо:
зіп За 4- зіп 7а 4- зіп 5а = 2 зіп 5а соз 2а + зіп 5а = 2 зіп 5а І соз 2а 4- І.
\ /
1 ТС
Подамо ~ як соя—. Маємо:
2 З
= 2 зіп 5а «2 соз І а+
(1 і । я і
соз 2а + - = 2 зіп 5а соз 2а + соз— =
2/ \ ЗІ
— соз(а-— =4зіп5асо8|а + 5|со8 а— . •
б/ \ 6/ \ 6/ \ 6/
ПРИКЛАД З Доведіть тотожність зіп2 (а + 0) - зіп2 (а - 0) =
= зіп 2а зіп 20.
Розв'язання. Застосуємо формули пониження степеня, потім
перетворимо отриману різницю косинусів:
• 2/ । • 2/ 1 - сов (2а 4-20) 1-сов(2а-20)
8Ш2 (а + р) - зіп2 (а - Р) =--------------------*- =
_ 1 - соз (2а + 2р) -1 + соз (2а - 2р) _ соз (2а - 2Р) - соз (2а + 2Р) _
2 - 2 -
. 2а-2р + 2а + 2р . 2а-2р-2а-2р . _ . о(3
= - зіп---е-------- зіп------------- = зіп 2а зіп 2р. •
2 2 к
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що коли а 4- 0 4- у = я, то:
зіп2 а 4- зіп2 0 4- зіп2 у = 2 4- 2 соз а соз 0 соз у.
, .2 . 2 о . 2 1-сов 2а 1-сов 20 . 2
Розв язання. зіп а+зіп 04-зіп у =-------4--------+ яіп у =
£
, соз2а + соз2Р . 2 < , , 2
= 1-------------+8іп у = 1 - соз (а+Р) сов (а - Р)+1 - соз у =
= 2 - соз (я - у) соз (а - р) - соз2 у = 2 4- соз у соз (а - р) - соз2 у =
= 2 + соз у (соз (а - Р) ~ соз у) = 2 + соз у (соз (а - Р) - соз (я - (а + Р))) =
= 2 4- соз у (соз (а - Р) + соз (а 4- Р)) = 2 4- 2 соз у соз а соз р. •
ПРИКЛАД® Обчисліть суму:
----1---+------1---+ ... +-----------, п > 1.
соз 1 соз 2 соз 2 соз 3 соз (п -1) соз п
Розв’язання. Використаємо тотожність
І£/?-І£(/?-1) =---- -------- або
соз (й -1) соз к
1_ (Й~-1) + І£Й
соз (к -1) соз к зіп 1
Скориставшись отриманим результатом, запишемо такі рівно-
сті:
1 -І&1 + І&2
соз 1 соз 2 зіп 1 ’
1 _-ї&2 + і£3'
соз 2 соз 3 зіп 1
1 _-і£3 + і£4
соз 3 соз 4 зіп 1
1(П-1) + І£П
соз (п -1) соз п зіп 1
„ $ . .
Додавши дані рівності, отримаємо:
$ _ -і&1 + і£2-і£2 + і£3-і£Зч-і£4-...-і£(п-1) + І£п _ -і£І + і£п
зіп 1 зіп 1
Відповідь: 8=^п
зіп 1
Вправи
27.1 / Перетворіть у добуток:
1) сов 2а ~ соз 4а;
2) зіп р 4- зіп 4Р;
3) СО8^+СО8^;
ІО іхй
4) сіє 5а - а;
5) СО8
6) а - (а - 30°);
7) сі£ (45° - а) - сі« (45° + а).
27.2.* Перетворіть у добуток:
1) соз 16° - соз 36°; 5) зіп (а + Р) - зіп (а - Р);
2) зіп 28° + зіп 12°; 3) соз За + соз 5а; 6) 8Іп|5+а)+8Іп|5-а); \3 / \3 ) 7) соз |~+(х 1—соз І <х|. \3 І \з І
4) сі£ 55° - сі£ 15°;
27.3.° Перетворіть у добуток:
1) зіп 20° + соз 20°; 2) соз^-зіп^; 8 8 3) зіп а - соз а; 4) віп а - сов (а - 60°).
27.4/ Перетворіть у добуток:
1) зіп 25° + соз 55°; 3) зіп а 4- соз р.
2) сов 22° - віп 66°;
27.5.° Спростіть вираз:
8іп За+зіп 2а * соз 8а + соз 2а ’ 27.6.* Спростіть вираз: 2) зіп 5а-зіп а. д. соз 74°-соз 14° соз5а-соза’ зіп74° + зіп 14°’
п соз 6а + соз 4а. соза + соз9а ’ 9 соза-созіїа. соя58° +соз32° яіп 11а - яіп а ’ яіп 58° + зіп 32° ’
27.7.° Перетворіть у добуток:
1) 1 - 2 соз а; 3) 1-72 зіп а;
2) -Уз + 2соза; 4) л/з+сі^а.
27.8.* Перетворіть у добуток:
1) 1 - 2 яіп а; 3) 72+2 соз а;
2) >/3-2соза; 4) 7з-1§а.
27.9/ Доведіть тотожність:
сов За - соз 4а - соз 5а + соз 6а = - 4зіп—яіп а соя—
2 2
(о— \
-у-+4а І+зіп (Зл - 8а) - зіп (4л - 12а) = 4соз 2а соз 4а зіп 6а;
& /
3) соз2 а - соз2 Р = зіп (а + Р) зіп (Р - а);
4)
зіп а+зіп За + зіп 5а + зіп 7а . .
----------------------— = Іе 4а;
соз а + сов За + соз 5а+соз 7а
2 (зіп 2а + 2 сов* 1 2 3 а-1) _ 1
сов а - віп а - сов За + віп За зіп а ’
6)
1 ч- сов а + сов 2а ч- соз За _
----------------5-------= 2 соз а;
соз а ч- 2 соз а -1
ос ~~ В
7) (сов а - соз Р)2 + (зіп а - зіп Р)2 = 4 зіп2 —т.
(зіп а - сов а)2 -1 + віп 4а ,
8) ----------—-------------= і£а;
соз 2а ч- сов 4а
віп а сов а
віп 2а сов 2а
соза-соз7а . . о
-----------= -4 зіп За;
віп а
10)
11)
(сов а - сов За) (зіп а ч- зіп За) . о
1-соз 4а
зіп (2а ч- 2л) ч- 2 зіп (4а - л) ч- зіп (6а ч- 4л) _
соз (6 л - 2а) ч- 2 соз (4а - л) ч- соз (6а - 4 л)
27.10.* Доведіть тотожність:
1) віп 5а + віп 6а ч- зіп 7а ч- зіп 8а = 4 соз — соз а зіп
2 2
2) віп ач- зіп За - зіп 2а = 4 віп — соз а соз—;
2 2
3) зіп а + зіп Р + зіп (а - Р) = 4 зіп соз соз ;
Сі Сі сі
4) зіп2 а - віп2 р = зіп (а Ч- Р) зіп (а - Р);
5)
,в)
сов а - сов 2а ~ сов 4а + сов 5а
віп а - віп 2а - віп 4а ч- віп 5а
віп а - віп За - зіп 5а ч- віп 7а
сов а - сов За ч- соз 5а - сов 7а
= сі£ За;
= -І£ 2а;
7) (зіп а+віп Р)2 +(соз а+сов Р)2 = 4соз2
8) віп 2а соз 4а (1 ч- соз 2а) _ 1 *
(зіп За ч- зіп а) (соз За ч- соз 5а) 2 ’
(зіп 4а соз 4а V 1 1 А . .
9) —-------------, ч-—;— =4сі£а.
зіп а соз а у зіп 81п а )
27.11/ Доведіть тотожність:
1) сі£ 6а - сі£ 4а + 2а - -сі£ 6а сі£ 4а 2а;
2) -----------------------= с1#4а;
За + а сі# За + сі£ а
3) І^ач-сі^ ач-І^Зач-сІ^За = ^Д^-^.
8іп 6а
27.12/ Доведіть тотожність:
1) За - 2а - а = а 2а За;
і£3а + і£а і£5а-і£а
27.13/ Доведіть тотожність:
1) 1+зіпа+соза==2л/2 соз^созі—“ ;
1 + соз (4а - 2л) + соз 14а - ~ І
2) ---------------р---— = сі£2а;
14-соз (4а 4-я) 4-соз 14а 4-^~-І
\ /
оч . 2/15я о \ г/17я о \ соз 4а
3) зіп ——2аІ-соз ——2аІ----------;
\ 8 / \ 8 / у]2
4) соз2 4- а] - зіп2 4- а) = ~- зіп 2а.
\ 8 / \ 8 /2
27.14/ Доведіть тотожність:
1) 1-2соза + соз 2а = -4соз а зіп2^;
г“ / а
2) 1-зіпа-соза = 2л/2 зіп—зіп І —
\ Л
3) зіп2
зіп 2а
у/2
27.15. - Доведіть рівність 30°+і£40° + 1^50° 4- 60° =
7з
27.16/ * Доведіть, що коли а 4- 0 + у = я, то має місце тотожність:
1) 5ІПа4“8Іпв4-5Іпу = 4сО5^СО5“СО5^;
7 г І 2 2 2
2) зіп 2а 4- зіп 20 4- зіп 2у = 4 зіп а зіп 0 зіп у;
а 0 7
3) соз а 4- соз 04- соз у = 14- 4 зіп — зіп - зіп —;
г ' 2 2 2
4) соз 2а 4- соз 20 4- соз 2у = -1 - 4 соз а соз 0 соз у;
5) зіп2 а 4- зіп2 0 - зіп2 у = 2 зіп а зіп 0 соз у.
27.17/ * Доведіть, що коли а4-04-у = я, то має місце тотожність:
1) зіп 4а 4- зіп 40 4- зіп 4у = -4 зіп 2а зіп 20 зіп 2у;
оч о -< л а 4- В а4-у 04-у
2) соз а 4- соз 0 4- сов у = 14- 4 соз-- соз-- соз -—-;
г 1 2 2 2
3) соз2 а 4- соз2 0 4- соз2 у = 1 - 2 соз а соз 0 соз у.
27.18. " Доведіть, що коли а + Р+у = ^, то має місце тотожність:
соз2 а + соз2 Р + соз2 у = 2 + 2 зіп а зіп Р зіп у.
27.19. * Обчисліть суму
8 =----і-----+------ї----+...+---------1----.
зіп а зіп 2а зіп 2а зіп За зіп (п -1) а зіп па
27.20. * Обчисліть суму
5= 1 + 1 +...+------------і--------.
зіп 1 зіп 3 зіп 3 зіп 5 зіп (2п -1) зіп (2п +1)
27.21. * Обчисліть суму
2 й 2 4 й 4 271"1 * 2"1 2” * 2п
27.22. * Доведіть існування такого многочлена Р степеня п, що
для всіх х є К виконується рівність соз пх = Р (соз х).
27.23. * Доведіть існування такого многочлена Р степеня 2п -1, п е К,
що для всіх X е К виконується рівність зіп (2п - 1) X = Р (зіп х).
27.24. * Відомо, що числа зіп 2а, зіп 5а і зіп 7а є раціональними.
Доведіть, що зіп 12а — також раціональне число.
Формули перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму
У п. 27 під час доведення формул суми та різниці синусів
(косинусів) було отримано тотожності:
зіп (х + у) + зіп (х - у) - 2 зіп х соз у;
соз (х 4- у) + соз (х - у} = 2 соз х соз у;
соз (х + у) - соз (х - у) = -2 зіп х зіп у.
Перепишемо їх так:
зіп X соз у = 1 (зіп (х - у)+зіп (х + у))
СОЗ X соз у = (соз (х - у) + соз (х + у))
зіп х зіп у = ~ (соз (х - у) - соз (х + у))
ЦІ тотожності називають формулами перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму.
ПРИКЛАД 1 Перетворіть добуток у суму:
• 1) зіп 15° соз 10°; 3) соз а соз За; 5) 2 зіп 2а соз 5а.
2) зіп зіп 4) 2 зіп (а+Р) соз (а~3);
12 о
Розв'язання
1) зіп 15° соз 10° = | (зіп (15° -10°) + зіп (15°+10°)) = | (зіп 5° + зіп 25°);
2 2
2) зіп зіп -
12 8
л
8
л 5л |
СО824 СО824/’
3) соз а соз За = - (соз (а - За) + соз (а + За)) = - (соз 2а + соз 4а);
2 2
4) 2зіп(а + Р)со8(а-Р) = 2--(зіп(а + Р-а + Р) + 5Іп(а + Р + а-р)) =
2
= зіп 20+зіп 2а;
5) 2 зіп 2а соз 5а = 2 • ^(зіп (2а - 5а) + зіп (2а + 5а)) =
22
= зіп (-За) + зіп 7а = зіп 7а - зіп За. •
ПРИКЛАДІ Доведіть тотожність1:
4 соз а соз (60° - а) соз (60° + а) = соз За.
Розв'язання. Двічі застосовуючи формулу перетворення добутку
косинусів у суму, отримуємо: 4 соз а соз (60° - а) соз (60° + а) =
= 2 соз а (соз (60° - а - 60° - а) + соз (60° - а + 60° + а)) =
= 2 соз а (соз 2а + соз 120°) = 2 соз а (соз 2а - =
= 2 соз а соз 2а - соз а = соз а + соз За - соз а = соз За. •
(^-2а)8Іп(2а-^ = 7.
\3 І \ 6/4
ПРИКЛАД 3 Доведіть тотожність зіп2 2а - соз
Розв’язання. Застосуємо формули пониження степеня і пере-
творення добутку в суму:
8Іп22а-со8|5-2аІ8іп|2а-5
\3 І \ 6,
6
Іншим способом ця тотожність була доведена в п. 26.
1-соз4а . /о Л Л л \ . /л Л Л Л н
=----«----- 81П 2а-—-—4-2а + зш 2а-~ +—-2а =
2 2< \ 6 3 / \ 6 3 /у
1
2
1 —соз4а-зіп 4а--зіп5
\ 2/ 6
1 - соз 4а+соз 4а -
. 2,
1
4*
ПРИКЛАД 4 Доведіть рівність
л , Зл , 5л , 7л , 9л 1
соз— + соз— + соз— + соз— + соз— = -
11 11 11 11 11 2
Розв'язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної
рівності на 2зіп^р
Отримуємо:
о . л ліО.л Зл , о . л 5л , о . л 7ліО.л 9л
2зіп—сов— 4-2зіп ™соз— 4- 2зіп—сов— 4- 2біп—СО8— + 2Зіп—СОЗ—
о . л
2 “"її
Застосуємо формулу зіп а соз Р = (зіп (а - Р)+зіп (а+Р)):
а
.2л .2л .4л .4л .6л .6л .8л .8л . 10л
8іп— - Зіп — + ЗШ— - ЗІП— 4- 81П — - ЗІП— + ЗІП — “ ЗШ— 4- 81П-у^“
о • п
2 “"її
. 10л л
ЗШ п 81П11
о . л о . л 2
2 зіп— 2 8іп—
- ф 0 у 1
ПРИКЛАД 5 Доведіть нерівність зіп—зіпзіп-^С-,
2 2 2 8
де а + р 4- у = я.
Розв'язання. За умовою у = я - (а + Р). Тоді
.а.р.у . а . Р . । л ач-р ) . а . Р ач-р
ЗШ— ЗШ - 81 П~ = зіп— зіп - зіп-- = зіп— зіп^ соз-—2- =
222 2 2 І2 2 ) 22 2
11 а-Р
-соз——- -соз
2 \ 2
ач-р 1
соз——- = -
2 2
а-Р ач-р 3
соз—~ соз—21 - соз
к 2 2
2 а-В (1 а-В а + В
Г Е-- - СО8 ——- - СО8 —г2-
1 1 2«-Р^1
— • —СО8 —г2"
л а • Р • У 1 *
Отже, 81П— 81П - 81П-т<—. •
2 2 2 8
11 2
2 ( 4 С°8
2
2
2
2
2
2 4
2 8
^""вправи
28.1. ° Перетворіть добуток у суму:
• 1) соз 15° соз 5°; 4) зіп 48° зіп 74°;
2) 2 соз (а + Р) соз (а - Р); 5) зіп (60° + а) зіп (60° - а).
3) зіп 6а соз 4а;
28.2 / Перетворіть добуток у суму:
1) 2 соз соз 3) зіп 5а соз За;
8 5 .
2) зіп 28° зіп 24°; 4) зіп І^+аІ зіп І §-аІ-
28.3 / Спростіть вираз:
1) 2 соз 20° соз 40° - соз 20°;
2) зіп а (1 4- 2 соз 2а);
3) 2 соз а соз 2а - соз За;
4) соз 2а+2 зіп (а+30°) зіп (а - 30°).
28.4 / Спростіть вираз:
1) 2 зіп 2а зіп а 4- соз За;
о . /а я) /а , я \
2) зіпа~2зіп —----соз — + —.
7 \2 12/ \2 12/
28.5 / Доведіть тотожність:
1) зіп а зіп За 4- зіп 4а зіп 8а = зіп 7а зіп 5а;
2) зіпҐ^ + 5а соз ^+2аІ-зіп(^+аІзіпІ^-ба = зіп4а соза.
\4 / \4 / \4 / \4 /
28.6 / Доведіть тотожність:
1) соз За соз 6а - соз 4а соз 7а = зіп 10а зіп а;
2) 2 соя - яіп (-+15°) соя (- -15°)=яіп (45°+-) соя І45° - —і
2 \4 І \4 / \ 4/ \ 4 /
28.7 / Спростіть вираз:
1) 8Іп2а+со8 ~-а со8 ^+а ;
\3 / \3 . )
2) соз2 а + соз2 Р - соз (а 4- Р) соз (а ~ Р);
3) соз2 (45° 4-а) - соз2 (30° - а) 4- зіп 15° зіп (75° - 2а).
28.8 / Спростіть вираз:
1) зіп2 а 4- зіп2 Р 4- соз (а 4- Р) соз (а - Р);
2) соз2 (45° - а) - соз2 (60° + а) - зіп (75° - 2а)соз 75°.
28.9 /’ Доведіть рівність:
1) СО5^4-СО8^ + СО5^ = -~
7 7 7 7 2
чіп 25°
2) яіп 10°+яіп20°+...+яіп50° = --^.
2 яіп 5°
28.10 ." Доведіть рівність СО8~-+СО8^“ 4-... +СО8^~~ =
XV XV XV &
28.11 .* Доведіть рівність:
2л 4л 2(п-1)л 2лп _
соз — + соз — 4-... 4- соз----+ соз----= 0;
п п п п
28.12 .* Доведіть рівність соз — + соз — + ... + соз ~ = 0.
ТІ ТІ ТІ
28.13 .* Обчисліть суму:
1) 8 = соз а + соз 2а + ... 4- соз па;
2) 8 = зіп а 4- зіп За 4- ... 4- зіп (2п - 1) а;
3) 8 - зіп2 а 4- зіп2 2а + ... 4- зіп2 па.
28.14 .* Обчисліть суму:
1) 8 = соз а 4- соз За 4- ... + соз (2п - 1) а;
2) 8 = зіп 2а + зіп 4а 4- ... 4- зіп 2па;
3) 8 = соз2 а 4- соз2 За + ... 4- соз2 (2п - 1) а.
28.15 .* Доведіть нерівність соз а соз 0 соз у де а, 0, у — кути
трикутника.
Гармонічні коливання
У попередніх пунктах ви ознайомилися з тригонометричними
функціями у = зіп х, у = соз х та їх властивостями. Розглядаючи
графіки цих функцій, можна згадати, що в повсякденному житті
ви бачили схожі криві та поверхні. Наприклад, хвилі на морі
мають форму, що нагадує синусоїду. І це не випадково. Багато
фізичних величин періодично змінюються і можуть бути описані
за допомогою тригонометричних функцій у = А зіп (кх 4- а) або
у - А соз (кх 4- а), де А, Л, а — задані числа, А * 0, к 0. У тако-
му випадку говорять, що фізична величина здійснює гармонічне
коливання, а відповідну тригонометричну функцію називають
функцією гармонічного коливання.
Розглянемо рух точки зі сталою ненульовою ШВИДКІСТЮ V
по одиничному колу (рис. 29.1). Нехай початкове положення
точки задається кутом а, тобто в початковий момент часу точка
має координати Мо (соз а; зіп а). За час і точка пройде по дузі
кола відстань VI. З означення радіанної міри кута випливає, що
довжина дуги одиничного кола, по якій перемістилася точка,
дорівнює куту повороту початкової точки Мо. Тому через час і
положення точки визначатиметься кутом оі + а, а отже, точка
матиме координати М (сов {VI 4- а); віп (рі + а)). Бачимо, що
кожна координата точки, яка рухається колом, визначає функцію
гармонічного коливання:
х = соз (рі + а), у = віп (Щ 4- а).
.У 8 класі в курсі фізики ви вивчали коливальний рух, зокрема
рух математичного маятника (рис. 29.2). На уроках фізики буде
встановлено, що відхилення маятника від положення рівноваги
ІЛ
визначається функцією 2/ = Асоз
• і , де А — величина від-
хилення маятника від вертикалі у початко-
вий момент часу, § — стала прискорення
вільного падіння, І — довжина нитки маят-
ника, і — час. Таким чином, коливання
математичного маятника — приклад гармо-
нічного коливання.
Гармонічні коливання також можна спо-
стерігати при коливанні гирьки з пружиною;
слухаючи музику, адже при цьому в повітрі
утворюються звукові хвилі; граючи на гіта-
рі, бо струна набуває форми, близької до си-
нусоїди; вивчаючи роботу електроприладів,
оскільки змінний електричний струм також
описується тригонометричними функціями,
та в багатьох інших випадках.
Якщо у функції гармонічного коливання у = А зіп {кх 4- а) або
у = А соз {кх 4- а) числа А і к є додатними, то число А називають
амплітудою гармонічного коливання, а число к — циклічною
частотою гармонічного коливання.
Оскільки тригонометричні функції у — А віп (кх + а),
у -А соз (кх + а), де А — додатне число, набувають значень з про-
міжку [-А; А], то амплітуда гармонічного коливання показує
найбільше значення функції гармонічного коливання.
Оскільки головний період функцій у = А зіп (кх + а), у =
= А соз (кх + а), де А — додатне число, дорівнює —, що в к разів
к
відрізняється від головного періоду функцій у = ЗІП X і у = СОЗ X,
то циклічна частота к показує кількість головних періодів функ-
ції гармонічного коливання в одному періоді функції у = зіп х
або у = соз х.
Гармонічні коливання грають значну роль при вивченні бага-
тьох процесів. При цьому намагаються подати функцію складно-
го періодичного процесу як суму кількох функцій гармонічних
коливань, які вважаються простішими. Наприклад, функцію,
що описує складний музичний акорд, можна подати як суму
функцій гармонічних коливань окремих нот, що складають цей
акорд. На цьому принципі працюють багато технічних пристроїв.
Так, деякі типи радіопередавачів кодують інформацію у вигляді
окремих гармонічних коливань, випромінюючи у простір хвилю,
що є їх сумою. В іншому місці радіоприймач виконує зворотний
процес — подає отриманий сигнал як суму окремих гармонічних
коливань, що дозволяє відтворити передану інформацію.
Розділ математики, який вивчає гармонічні коливання, нази-
вають «Гармонічний аналіз». Якщо ви пов’яжете своє майбутнє
з математикою, фізикою, технікою, то зможете ознайомитися
з цим розділом у вищому навчальному закладі.
ПРИКЛАДИ Укажіть амплітуду А і циклічну частоту к гармоніч-
ного коливання, яке задається функцією: 1) ї/=-3 зіп І —-4х|;
\4 /
2) і/ = -6сО5|^-—).
\8 2/
Розв'язання
1) Можна записати:
у = -3 зіпІ — - 4х І = 3 зіп 14х -—І.
\4 І \ 4/
Отже, А = 3, к = 4.
2) Маємо:
а (п х\ „ (п х , \ „ (х 9п\
-бсоз—~ — =6соз —-- + Л =6соз — - .
\8 2/ \8 2 І \2 8 І
Отже, А = 6, & = 77. •
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що функція у = 3 зіп 2х + 4 соз 2х є функ-
цією гармонічного коливання.
Розв'язання. Запишемо вираз 3 зіп 2х + 4 соз 2х у вигляді
7з2 + 421 -7= - зіп 2х + А, ; соз 2х | = 51 - зіп 2х + — соз 2х
7^77 ) 5
Оскільки
то існує
такий кут а, що
3
соза = -
5
4
зіп а = -
5
(рис. 29.3). Тоді маємо:
у = 5 (зіп 2х соз а + соз 2х зіп а) =
= 5 зіп (2х + а).
Отже, дана функція є функцією гар-
монічного коливання, амплітуда якого
дорівнює 5, а циклічна частота коли-
вання — 2. •
Вправи
29.1 .° Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли-
вання:
1) у - 2,6 зіп Злх; 2) г/ = 4созІ~1
\ <5
29.2 / Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли-
вання:
1) у = 0,6 соз (2лх - 3); 2) # = 8зіпІ7х + уЦ.
29.3 / Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли-
вання:
і а о • і с. ТСХ ।
1) у = -2 зіп 6—— ;
\ 4М /
2) у = -1,5 соз
29.4 / Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли-
вання:
1) і/=-3 зіп І-ЛХ“
\ <5;
2) г/ = --соз(-7х-^].
3 \ 3 /
29. 5/* Доведіть, що функція у - 2 зіп Зх - соз Зх є функцією гар-
монічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту
цього коливання.
29. 6.** Доведіть, що функція \/ = 5зіп— + 12 соз — є функцією гар-
4 4
монічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту
цього коливання.
Полярна система координат
Вивчаючи математику, ви часто стикаєтесь з декартовими
координатами на площині. Проте в математиці, фізиці, геогра-
фії, астрономії тощо розглядають багато інших способів задання
положення точки. Один з таких способів отримав назву полярна
система координат.
Нехай точка А на площині має декартові координати А (х; у).
У полярній системі положення точки А також визначають два
числа — її полярні координати (г; ф), але числа гіф мають інший
геометричний зміст. Число г дорівнює відстані від точки А до по-
чатку координат, число ф — величині найменшого невід’ємного
кута повороту, при якому додатний промінь осі абсцис перейде
в промінь ОА (рис. 29.4).
Число г називають полярним радіусом, а число ф — полярним
кутом.
Зрозуміло, що полярний радіус г — невід’ємне число, а по-
лярний кут ф задовольняє нерівність 0 < ф < 2л.
Рис. 29.4
ОВ = г = 2л/2
Рис. 29.5
Наприклад, якщо точкаВ має декартові координати В (-2; 2),
то в полярних координатах її положення визначатимуть числа
г = 2у/2, <р = ™ (рис. 29.5).
4
Початок координат — точку О (0; 0) — у полярній системі
координат задають рівністю г = 0, полярний кут ф для неї не
визначають.
ПРИКЛАД 1 У декартовій системі координат зобразіть точки,
полярні координати яких задовольняють умову:
г = 2,
2) г > 3;
3) Ф = у.
Розв'язання. 1) Умова г=2 означає, що шукані точки
лежать на колі радіуса г = 2 з центром у початку координат. На
цьому колі існує лише одна точка X з полярним кутом <р = ~
(рис. 29.6).
2) Умова г > 3 означає, що відстань від точки до початку
координат більша за 3. Тому шуканими будуть усі ті точки пло-
щини, які не належать кругу радіуса г = 3 з центром у початку
координат (рис. 29.7).
3) Розглянемо промінь ОА, який утворює з додатним променем
осі абсцис кут ф = ^ (рис. 29.8). Усі точки цього променя, крім
З
початку координат, задовольняють умову ф = ^-. Зрозуміло, що
З
4л
жодна інша точка площини не задовольняє умову <р = —
о
Рис. 29.6
Рис. 29.7
Рис. 29.8
Використовуючи тригонометричні функції, можна знайти
формули, що дозволяють переходити від полярних до декартових
координат. Розглянемо точку Р^х^у^ одиничного кола, яку
отримано з точки Ро(1; 0) у результаті повороту навколо початку
координат на кут ф. Використовуючи означення тригонометрич-
них функцій, маємо
хг = соє ф;
г/1=8Іпф.
Тоді декартові координати точки (і (х; у), яка лежить на колі
радіуса г і промені ОР (рис. 29.9), задовольняють рівності
х = г сов <р;
у = Г ВІП ф.
(1)
Отже, формули (1) дозволяють
знайти декартові координати (х; у)
точки відмінной від початку коор-
динат, якщо задано її полярні коорди-
нати (г; ф).
Обчислити полярні координати
точки за її декартовими координатами
допомагають формули:
г = 7х2 + у2;
Справді, з формул (1) маємо
= р х*0.
х2 + у2 = (г соз <р)2 + (г зіп ф)2 = г2;
у г зіп ф ,
£ =------ = і£ф.
X Г СО8 ф
ПРИКЛАД 2 Коло з центром в точці М (1; 0) і радіусом 1
у декартових координатах має рівняння (х - І)2 + у2 - 1. Задайте
це коло в полярних координатах.
Розв'язання. Використовуючи формули (1), маємо
(г сов ф - І)2 + (г віп ф)2 = 1,
(г2 сов2 ф - 2г соз ф + 1) + г2 зіп2 ф = 1,
(г2 СОЗ2 ф 4- г2 зіп2 ф) = 2г СОЗ ф,
г2 = 2г соз ф.
Звідси отримуємо, що дане коло в полярних координатах задає
сукупність
г = 0,
г = 2 соз ф.
Зауважимо, що
перше рівняння сукупності г = 0 задає
лише одну точку кола — початок коор-
динат. Усі інші точки кола визначають-
ся другим рівнянням г - 2 сов ф.
Також зазначимо, що рівняння г =
= 2 соз ф можна було отримати геомет-
рично з прямокутного трйкутника ОАВ
(рис. 29.10). •
Рис. 29.10
З полярними координатами ви могли зустрічатися на уро-
ках географії, визначаючи положення предмета за відстанню та
азимутом. В астрономії для визначення положення небесних тіл
використовують системи координат, близькі до полярної.
Цікаво зазначити, що полярну систему фактично використову-
вали ще стародавні греки (Динострат, IV ст. до н. е.) на дві тисячі
років раніше, ніж Рене Декарт винайшов звичну прямокутну
систему. Проте термін «полярна система координат» з’явився
лише в XIX ст. Можливо, найпростіше рівняння в полярній
системі координат г - ф вивчав Архімед (III ст. до н. е.). Криву,
що визначається цим рівнянням, називають спіраллю Архімеда
(рис. 29.11).
|: Вправи
29.7. Знайдіть декартові координати точки за її полярними ко-
ординатами:
1)
г = 1,
<р = я;
29.8. Знайдіть полярні координати (г; ф) точки за її декартовими
координатами:
1) А (0; 1); 2) В (1; >/з); 3) С (соя а; зіп а), а є [0; 2л).
29.9. Задайте в полярних координатах криву, яка в декартових
координатах має рівняння:
1) х2 + і/2 = 5; 2)у - х; 3) і/ = х2; 4) у = сов х.
29.10. Зобразіть фігуру, що задана в полярних координатах:
1) 9ф2 - 15лф + 4л2 = 0; 4) г сов ф = 1;
2) ф<^; 5) г віп ф > -2;
3) 1 < г < 3; 6) г = сов ф.
29.11. Схематично зобразіть криву, яка в полярних координатах
має рівняння:
1) г = уІч>;
2) г = і (гіперболічна спіраль);
3) г = 1 + соз ф (кардіоїда);
4) г = віп Зф (трипелюсткова троянда).
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ
РІВНЯННЯ
І НЕРІВНОСТІ
РІВНЯННЯ СО8 X - Ь
Оскільки областю значень функції у = соз х е проміжок [-1; 1],
то при | Ь | > 1 рівняння соз х ~ Ь не має розв’язків. Разом з тим
при будь-якому Ь такому, що | Ь | < 1, це рівняння має корені,
більш того, їх безліч.
Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпре-
тації: графіки функцій у = соз х і у = Ь, де | Ь | < 1, мають безліч
спільних точок (рис. 30.1).
Рис. 30.1
Зрозуміти, як розв’язувати рівняння соз х = Ь у загальному
випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, роз-
в’яжемо рівняння созх = ~.
На рисунку 30.2 зображено графіки функцій у = соз х і і/ = -.
Розглянемо функцію у = сов х на проміжку [-я; я], тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
крива на рисунку 30.2). Пряма у = - перетинає графік функції
2
у = соз х на проміжку [-я; я] у двох точках Мх і М2, абсциси яких
є протилежними числами. Отже, рівняння созх = ^ на проміжку
з
я
[-я; я] має два корені. Оскільки сові — = соз^ =
\ З/ з
1
то цими ко-
з
те . я
ренями є числа — і —.
З З
Функція у = сов х є періодичною з періодом 2я. Тоді кожен
з інших коренів рівняння созх = - відрізняється від одного із
2
знайдених коренів або ~ на число виду 2яп, п є 1
О о
Отже, корені розглядуваного рівняння задаються формулами
х = 5 + 2яп і х = -“ + 2яи, пєХ,
З З
Як правило, ці дві формули замінюють одним записом:
х = ±~ + 2яп, п є
Повернемося до рівняння соз х = Ь, де | Ь | < 1 (рис. 30.3). На
проміжку [~я; я] це рівняння має два корені а і -а, де а є [0; я]
(при Ь = 1 ці корені збігаються).
Зрозуміло, що всі корейі рівняння соз х = Ь мають вигляд
х = ±а + 2яп, п е 1
Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль:
знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння соз х - Ь.
Корінь а має спеціальну назву — арккосинус.
Означення. Арккосинусом числа Ь, де | Ь | < 1, називають
таке число а з проміжку [0; я], косинус якого дорівнює Ь.
Для арккосинуса числа Ь використовують позначення агссов Ь.
Наприклад,
1 Я • Я г/л і • її 1
агссов —= ~, оскільки — є[О;я] і сов —= —;
2 3 3 1 3 2
агссозґ-—1 = —, оскільки — є[О;я] і со8^ = -^~;
V 2 7 4 4 4 2
агссо80 = —, оскільки — є[О;я] і сов —= 0;
2 2 к л 2
агссоз (-1) = я, оскільки п є [0; я] і соз п - -1.
Узагалі, агссоз Ь = а, якщо а є [0; я] і соз а = Ь.
Зазначимо, що, наприклад, сові-—1 = -
\ 3 і
1 я
Проте агссоз-^—,
2 З
2
оскільки “ е [0;я].
Тепер формулу коренів рівняння со8 х = Ь, | Ь | < 1, можна
записати так:
х = ±агссоз Ь + 2яп, п є 2 (1)
Зазначимо, що окремі випадки рівняння соз х = Ь (для Ь = 1,
Ь =. 0, Ь = -1) було розглянуто раніше (див. п. 18). Нагадаємо
отримані результати:
СО8 X - 1 СО8 X - 0 сов X = -1
х = 2яп, п є 2 х = —4-ЯП, п Е 2 2 х = п + 2пп, п є 2
Такі самі відповіді можна отримати, використовуючи фор-
мулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто. Тому радимо
запам’ятати отримані результати.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння: 1) соз 4х = —2) сов
3) сов (^-7x1 = 0; 4) сов ях2 = 1.
\5 /
1.
2’
Розв'язання. 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати:
і л/її і
4х = ±агссов +2яп, п є 2.
І 2 7
Далі отримуємо:
4х = ±—+ 2лп; х = +
4 16 2
Відповідь: ±^ + ~, п є 2.
16 2
2) Маємо:
X Л 1
—+ —= ±агссо8-~ + 2лп, п є 2;
3 4 2
і+2Е = ±Д+2лп; £ = ±£—7+2лп;
3 4 3 3 3 4
х = ±л-^ + 6тгп.
4
Відповідь-. ±л —~~ + 6лд, п є 2.
4
3) Перепишемо дане рівняння у вигляді сов
0. Маємо:
7х- — = ~ + лп, пє 1
5 2
Тоді 7х = — + —+ лп; 7х = —+ лп; х = —+—.
2 5 10 10 7
Відповідь: — +—, лє 1
10 7
4) Маємо: лх2 = 2лп,
х2 = 2п, леї
Оскільки х2 > 0, то 2п > 0, тобто л є N О {0}.
Тепер можна записати х = \/2п або х = -у/2п, де п є N0(0}.
Відповідь: 4%п, л е N О {0}.
ПРИКЛАД Визначте кількість коренів рівняння сов х =
5л \
проміжку 0; —
|_ 4 /
Ь на
залежно від значень параметра Ь.
Розв'язання. Зобразимо графік функції у = сов х на проміж-
5 л \
ку 0; — І (рис. 30.4). Кількість коренів визначається кількістю
точок перетину прямої у - Ь з виділеною червоною частиною
графіка функції у = соз х.
У
Рис. 30.4
Звернемо увагу на те, що точка (0; 1) належить виділеній
ґ 5тг '/2\
кривіи, а точка І ) — не належить-
. Розглядаючи різні положення прямої у = Ь, отримуємо такі
результати:
якщо & < -1, то коренів немає;
якщо Ь = -1, то один корінь;
якщо -1<&<—то 2 корені;
якщо —-- < Ь < 1, то один корінь;
якщо & > 1, то коренів немає.
Відповідь: якщо Ь < -1 або Ь > 1, то коренів немає;
якщо Ь = -1 або —-- < Ь < 1, то один корінь;
\Ґ2
якщо -!<&<-—, то 2 корені.
Вправи
30.1.° Розв’яжіть рівняння:
1 \ІЗ
1) созх = -; 3) со8Х = —~~;
2 2
1
2) со8Х = —; 4) со8Х = -;
2 З
30.2/ Розв’яжіть рівняння:
1)
2)
<3
сов х = —
2
со8Х = -і;
2
ох >/2
3) созх —— ;
2
4) со8Х = -ї—;
2
5) со8Х = ^;
6) созх = —.
4
кч 4
5) СО8Х = ~.
30.3 / Розв’яжіть рівняння:
1) со8 3х = --; 3) соз 6х = 1;
2) соз-х = ^; 4) со8^ = 0;
’ 6 2 З
30.4 / Розв’яжіть рівняння:
1) соз2х--; 2) со8~ = ~^Д;
2 5 2
5) соб9х = -і;
5
6) СО8М)=:т-
\ о / о
Зх -«
3) СО8 — = -1.
30.5. ° Розв’яжіть рівняння:
. я\ уі2
1) соз х + — =—;
\ 6/ 2
\ л/3
2) соз ~~х =—;
\4 / 2
30.6/ Розв’яжіть рівняння:
1) соз (“ -4х] = 1;
\9 /
4) 2созІ—-Зх 1+1 = 0.
\8 І
2) >/2со8 - + 3| + 1=0.
\2 /
30.7. ° Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння соз
1
2'
о х 2
30.8/ Знайдіть найменший додатний корінь рівняння соз ~ =-
4
л/3
30.9/ Скільки коренів рівняння соз Зх = — належать проміжку
2
(Я | 1
х + —1 = --, які задо-
х^ /
я л
вольняють нерівність <х<4л.
30.11/ Розв’яжіть рівняння:
1) СОЗ —= 1; 2) СО8 7Сл/х =-^-; 3) СОЗ(СО8Х) = ”.
30.12/ Розв’яжіть рівняння:
2п \І2 х х \І2
1) СО8-^= = —; 2) СО8(СО8Х) = —.
30.13/ При яких значеннях параметра а рівняння соз 2х =
_ -4а2 ч- 4а - 2 має розв’язки?
30.14/ При яких значеннях параметра а рівняння соз
має розв’язки?
30.15/ * При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння
(а2 - 4) соз х = а + 2?
30.16/ * При яких значеннях параметра а рівняння За соз х =
= 2а 4- 2 має розв’язки?
о/ч "і гт •• тт . • соз х а «
30.17. При яких значеннях параметра а рівняння ....... — = 0
^/созх-За + 1
має розв’язки?
ОЛ1О.. гг со&х-а п
30.18. При яких значеннях параметра а рівняння ---------- = 0
сов х +
має розв’язки? 3
30.19. ** При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а]
містить не менше ніж 3 корені рівняння СО8Х = “?
30.20. ** При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а]
містить не менше ніж 3 корені рівняння совх--^?
30.21. ** Визначте кількість коренів рівняння сов х = а на проміж-
ку
л. 11л
4’ 6 _
залежно від значень параметра а.
30.22. ** Скільки коренів залежно від значення параметра а має
рівняння соя х = а на проміжку
я 9
~л’її]?
30.23. ** Визначте кількість коренів рівняння сов х = а на проміж-
ку
л Зл
. 2’ 4 .
залежно від значень параметра а.
30.24. ** При яких значеннях параметра а рівняння (х - а) сов х +
« . . Зл о
має єдинии корінь на проміжку л; — ?
- " -
О
30.25. **Приякихзначенняхпараметраарівняння(х + а) сов х
має єдиний корінь на проміжку -^;0 ?
3^^ РІВНЯННЯ 8ІП X = Ь
Оскільки областю значень функції у = віп х є проміжок [-1; 1],
то при | Ь | > 1 рівняння віп х = Ь не має розв’язків. Разом з тим
при будь-якому Ь такому, що | Ь | < 1, це рівняння має корені,
більш того, їх безліч.
Зазначимо, що окремі випадки рівняння віп х = Ь (для 6 = 1,
6 = 0, Ь = -1) було розглянуто раніше (див. п. 18). Нагадаємо
отримані результати:
ВІП X = 1 віп х = 0 віп X = -1
х = — + 2лп, п є 2 2 х = лп, п є 2 х = -~ + 2пп, п є 2 2
Для того щоб отримати загальну формулу коренів рівняння
зіп х = Ь, де | Ь | < 1, звернемося до графічної інтерпретації.
На рисунку 31.1 зображено графіки функцій у = віп х і у = Ь,
|Ь|<1.
Розглянемо функцію у = зіп х на проміжку
я, Зл
2’ 2
, тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
лінія на рисунку 31.1). На цьому проміжку рівняння зіп х = Ь
має два корені. Позначимо корінь, який належить проміжку
, через а. Оскільки зіп (я - а) - зіп а, то другий корінь
дорівнює я - а. Зауважимо, що при Ь = 1 корені а і я - а збіга-
я я
2’2
ються.
Рис. 31.1
Оскільки функція у = зіц х є періодичною з періодом 2я, то
кожен з інших коренів рівняння ЗІП х = Ь відрізняється від одного
із знайдених коренів на число виду 2яп, л є 2.
Тоді корені розглядуваного рівняння задаються формулами
х = а 4- 2яи і х = я - а + 2яп, п є 2.
Ці дві формули можна замінити одним записом:
х = (~1)*а + пк, к є 2.
(1)
Справді, якщо к — парне число, тобто к = 2п, п є 2, то отри-
муємо х = а + 2яп; якщо к — непарне число, тобто к - 2п + 1,
п є 2, то отримуємо х = -а 4- я 4- 2яи = я - а 4- 2яп.
• Формула (1) показує, що корінь а відіграє особливу роль:
знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння віп х = Ь.
Корінь а має спеціальну назву — арксинус.
Означення. Арксинусом числа Ь9 де | Ь | < 1, називають таке
• я я
число а з проміжку ; —
и Л £
, синус якого дорівнює Ь.
Для арксинуса числа Ь використовують позначення: агсвіп Ь.
Наприклад,
. 1 я . я я я . . я 1
агсвіп- = оскільки —є і зіп — = -;
2 6 6 2 2 6 2
агсвіп
я • я я я
, оскільки -—є —
з зі 2 2.
агсеіп 0 = 0, оскільки Оє
і зіп 0 = 0;
. , «ч я . Я Я Я І . • І я ї <
агсвіп(-1) = —, оскільки —є —і 8іп -— =-1.
4 2 2 І 2 24 \ 2/
Узагалі, агсвіп Ь = а, якщо а є
і віп а = Ь.
Зазначимо, що, наприклад,
зіп —= -. Проте агсвіп-^—,
6 2 2 6
5я
оскільки —Є
6
я. я
2’2
Тепер формулу коренів рівняння віп х = Ь, | Ь | < 1, можна за-
писати або у вигляді сукупності:
х = агсвіп Ь 4- 2яп,
х = я - агсвіп Ь 4- 2яп, п є 4
або одним записом:
х = (— 1)* агсвіп Ь + як, й є 2
(2)
Узагалі, при розв’язуванні тригонометричних рівнянь одна
й та сама правильна відповідь може бути подана в різних формах
запису.
Зрозуміло, що формула (2) застосовна і для окремих випадків:
Ь = 1, Ь = 0, Ь = -1. Проте рівняння зіп х = 1, віп х = 0, зіп X = -1
зустрічатимуться часто. Тому радимо запам’ятати формули їх
коренів, які записано на початку пункту.
я X 1
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння: 1) віп ~ 2) віп
Уз.
2 ’
3) віп
Розв'язання. 1) Використовуючи формулу (2), можемо записати:
х І 11
— = (-1)" агсзіпі-- +лп, пеі.
£ \ 2/
2
Далі отримуємо:
+ яп;
X ( 1\л + 1 7^1
7Г = (-1) -” + яп;
2 о
Відповідь-. (-1)л+1-^ + 2яп, п
Г-(-1ґ-| + яп;
х = (-1)п+1.|+2яп.
€
2) Перепишемо дане рівняння у вигляді -віпІЗх-^
\ З;
УЗ
2
Тоді віп
Уз
2
Зх- — = (-1)л-агсвіп — + яп, пє2;
З 2
Зх-| = (-1)л.| + яп; Зх = (-1)п.| + | + яи;
Х = (_1)-Л + - +—.
7 9 9 З
Відповідь-. (-1)л-£ + £ + ^, пєі
к 9 9 З
3) За формулою коренів рівняння віп х = -1 можемо записати:
і + ^- = -^ + 2лп, пє 1
10 2
Далі маємо: і=-~-£-+2пп; 1=-— + 2пп.
2 10 5
Відповідь: -^ + 2яп, п є 2.
5
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння л/з СОЗ X + віп X = 2.
Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді:
Тз 1 .
—- СОВ X + - віп X = 1.
2 2
д/3 . я 1 я
Оскільки -х—= віп—, а - = со8—, то можна записати:
2 3 2 3
7С Я
ЄІП — СОЄ X 4- СОЄ “ СІП X = 1
з з
Використовуючи формулу синуса суми єіп а соє Р + соє а єіп Р =
=^єіп (а + Р), отримаємо:
л тг
Звідси ~4-х = —4-2лп, п є
з з
Відповідь: ^ + 2лп, п є 2.
6
Зауважимо, що при розв’язуванні рівняння прикладу 2 можна
було скористатися і формулою косинуса різниці соє а соє Р +
4- єіп а єіп Р = соє (а - Р). Справді, оскільки = соє а = єіп то
2 6 2 6
я я
соє — соє х + еіп — еіп х = 1;
6 6
соє
7С
Звідси отримуємо таку саму відповідь: х = ~-4-2лп, п є
6
ПРИКЛАД 3 Скільки коренів залежно від значень параметра Ь
має рівняння (єіпх-6)^соєх-^) = 0 на проміжку [0; 2я)?
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне сукупності:
зіп х = Ь,
1
соєх = -.
Ь 2
Друге рівняння цієї сукупності на проміжку [0; 2п) має 2 ко-
. я . 5я
рені: - і —.
З З
При | Ь | > 1 рівняння єіп х = Ь коренів не має. Тоді дане в умові
рівняння має 2 корені.
Якщо Ь = 1 або Ь ~ -1, то рівняння єіп х = Ь на проміжку [0; 2л)
має один корінь. Це відповідно числа ~ і Тому при | Ь | = 1
£ и
дане в умові рівняння має 3 корені.
Якщо | Ь | < 1, то рівняння віп х = Ь на проміжку [0; 2л) має
2 корені. Тому може здатися, що задане в умові рівняння в цьо-
му випадку матиме 4 корені. Насправді один з коренів рівняння
єіп х = Ь може збігатися з числом або з числом
З З
Знайдемо значення параметра &, при яких числа і —є
коренями рівняння віп х = Ь. Маємо:
. 1) віп — = Ь; Ь = ^~;
З 2
• 5л і , З
2) зіп — = 6; Ь = ——.
7 3 2
\/з
При Ь = ~-~ рівняння еіп х = Ь на проміжку [0; 2л) має корені
я . 2л . . о . я 2л 5л
~ і —, а дане в умові рівняння має 3 корені: —, —, —
УІЗ
При Ь = —-- аналогічно отримуємо, що дане в умові рівняння
п • я 4л би
має 3 корені: —, —, —.
3 3 3
Відповідь: Якщо Ь < -1 або Ь > 1, то 2 корені; якщо Ь - -1,
л/з л/з
або Ь = 1, або & = —, або то 3 корені; якщо -1<Ь<——,
4 4
•\/з •ч/З \/3
або <Ь<—, або — <&<1, то 4 корені.
2 2 2
Вправи
31.1 .° Розв’яжіть рівняння:
\І2 л/3 1 г~
1) 8Іпх = —; 2) 8Іпх = ——; 3) 8Іпх = —; 4) зіпх = \/2.
31.2 / Розв’яжіть рівняння:
1 \І2
1) 8Іпх = ~; 2) 8Іпх = ——; 3) 8Іпх = -^—; 4) віп х = 1,5.
£ 6 0
31.3 / Розв’яжіть рівняння:
1) 8Іп| = ~|; 2) зіп^ = ^; 3) зіп 5х = 1; 4) 8Іп(-8х) = |.
31.4 / Розв’яжіть рівняння:
1) 8іп2х = ^; 2) 8іп£ = 0; 3) 8іп^ = -^.
2 7 5 2
31.5/ Розв’яжіть рівняння:
3) 8ЙЦ| + 1^ = -1;
4) уі2 віп—Зх)-1 = 0.
31.6.° Розв’яжіть рівняння:
1) 8іп
1;
+ 1 = 0.
31.7 / Знайдіть найменший додатний корінь рівняння зіп І х + у І =
\ 4/
УЗ
2
31.8 / Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння зіп
-1.
31.9 .° Знайдіть усі корені рівняння зіп
які належать
Зл
проміжку -я; — .
и 2 _
31.10 / Скільки коренів рівняння зіп Зх - — належать проміжку
&
Зя, я ?
_ 2 9 21
31.11 / Розв’яжіть рівняння:
1) л/ззіпх + созх = 2;
3) 38ІП- + >/ЗсО8- = 3.
' 2 2
2) л/2 зіпх-л/2 созх = 1;
31.12 / Розв’яжіть рівняння:
1) зіпх-л/з созх = 1;
2) зіпх + созх = \/2.
31.13 / Розв’яжіть рівняння:
2 г~
1) зіп —= 0; 2) зіптгл/х =-1; 3) зіп (соз х) = 0,5.
х
31.14 / Розв’яжіть рівняння:
1) зіп — = -—; 2) соз (я зіп х) = 0.
>/х 2
31.15 /* При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння
(а2 - 1) зіп х = а + 1?
31.16 /* При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння
(а + 4) зіп2 2х = а2 - 16?
пі -ІГУ •• тт • 8ШХ-Д
31.17 . При яких значеннях параметра а рівняння —======== = 0
1
./зіпх-
, О V 2
має розв язки?
31.18 . При яких значеннях параметра а рівняння * 2а +1 ~ ®
має розв’язки?
31.19. ** При яких додатних значеннях параметра а проміжок
л
2;“
містить не менше ніж 4 корені рівняння 8ІПХ = ^?
31.20. ** При яких від’ємних значеннях параметра а проміжок
[а; 0] містить не менше ніж 3 корені рівняння
81ПХ =---?
2
31.21. *’ Визначте кількість коренів рівняння на даному проміжку
залежно від значень параметра а:
0;1^
6
1) зіп х = а,
• /л 7л
2) зіп х = а, —; —
\4 4 .
31.22. ” Визначте кількість коренів рівняння зіп х = а на проміж-
ку
л. 2л
6’ З
залежно від значень параметра а.
31.23. ” Визначте кількість коренів рівняння зіп х = а на проміж-
ку
;2л
. З
залежно від значень параметра а.
31.24. ” Визначте кількість коренів рівняння зіп х = а на проміж-
ку
5л, Зл
6 ’ 2
залежно від значень параметра а.
31.25. ” Скільки коренів залежно від значень параметра а має
і Ті і
рівняння І соз х—— І(зіпх-а) = 0 на проміжку [0; 2л)?
31.26. ” Скільки коренів залежно від значень параметра а має
рівняння (соз х - а) зіп х +
-1 = 0 на проміжку (0; 2л]?
2 /
РІВНЯННЯ ® Ь І СІ£Х = Ь
Оскільки областю значень функції у = х є множина К, то
рівняння х = Ь має розв’язки при будь-якому значенні Ь.
Для того щоб отримати формулу коренів рівняння X = Ь,
звернемося до графічної інтерпретації.
На рисунку 32.1 зображено графіки функцій у = х і у = Ь.
Розглянемо функцію у = х на проміжку
л, л\
2’2/
тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
крива на рис. 32.1). На цьому проміжку рівняння х = Ь при
будь-якому Ь має один корінь а.
Оскільки функція у = х є періодичною з періодом я, то ко-
жен з інших коренів рівняння х = Ь відрізняється від знайде-
ного кореня на число виду лп, я є 2.
Тоді множина коренів рівняння х - Ь задається формулою
х = а + лп, п є 2.
Отримана формула показує, що корінь а відіграє особли-
ву роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння
х = Ь. Корінь а має спеціальну назву — арктангенс.
Означення. числа Ь називають таке число а
• / Я Я
з проміжку 1-^;^
тангенс якого дорівнює Ь.
Для арктангенса числа Ь використовують позначення агсі& Ь,
Наприклад,
агсі£>/з=~, оскільки ~є(-—;
З 3 \ 2
агсі£(-1) = -—, оскільки -—є
4 4
агсі£ 0 = 0, оскільки ОєІ-—;^
і
о
Узагалі, агсі& Ь = а, якщо а є
І 0 = 0.
і а = Ь.
(Зл\ Зл
---1 = 1. Проте агсі&1^——,
4 / 4
Зя / я я\
оскільки----£ —.
4 \ 2 2/
Тепер формулу коренів рівняння х = Ь можна записати так:
х - агсі£ Ь + лп, п є 2
Оскільки областю значень функції у = сІ£ х є множина К, то
рівняння сі& х = Ь має розв’язки при будь-якому значенні Ь.
На рисунку 32.2 зображено графіки функцій у - х
їу^Ь.
Розглянемо функцію у - х на проміжку (0; л), тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
крива на рис. 32.2). На цьому проміжку рівняння сі& х = Ь при
будь-якому Ь має один корінь а.
Оскільки функція у = сі& х є періодичною з періодом л, то ко-
жен з інших коренів рівняння сі& х = Ь відрізняється від знайде-
ного кореня на число виду лп, п є 2.
Тоді множина коренів рівняння сі£ х = Ь задається формулою
х = а + лп, п є 2.
Корінь а має спеціальну назву — арккотангенс.
Означення^ Арккотангенсом числа Ь називають таке число а
з проміжку (0; л), котангенс якого дорівнює Ь.
Для арккотангенса числа Ь використовують позначення агссі£ Ь.
Наприклад,
агссі£™р- = -^, оскільки ^е(0;л) і —= ^р-;
33 і З 3 3
агссі£ (-7з) = ^, оскільки ^є(0;л) і сі£^ = ->/3;
6 6 6
агссі^0 = ~, оскільки ^є(0;л) і сі£~-0.
Узагалі, агссід Ь = а, якщо а є (0; я) і сі£ а = Ь.
л
(Л і л
—- =-1. Проте агссі^(-І)^—-
4/ 4
4’
оскільки -“£(0;л).
4
Тепер формулу коренів рівняння сі£ х = Ь можна записати так:
х - агссі& Ь + лп, п є 2
ПРИКЛАДНІ Розв’яжіть рівняння:
і) 2) с
о
-1.
Розв’язання. 1) Маємо: ~- = агсі§(-у/з)+пк, к є 2;
З
-х = -- + пк', х = -~ + ^як.
3 3 2 2
Відповідь:
--+-пк, ке Я.
2 2
2) Маємо:
Відповідь:
2я
х-----= агссі£ 1 + тік, ке І;
З
х - — = — + пк; х = 777 я + пк.
3 4 12
Ця + лй, к є
12
ПРИКЛАД 2 Визначте, при яких значеннях параметра Ь рівнян-
ня (х ~ Ь) х - 0 на проміжку
я, я
6’2
має єдиний корінь.
Розв'язання. Множина коренів рівняння х = 0 визначаєть-
ся формулою х - пп9 п є Розглядуваному проміжку
належить лише один корінь х = 0.
я я
_ 6’2
Рівняння х - Ь = 0 має єдиний корінь х = Ь.
Якщо Ь = 0, то початкове рівняння має єдиний корінь х = 0.
Якщо Ье
Н=о
то початкове рівняння на заданому
проміжку має два корені х = 0 і х = Ь.
Зрозуміло, що умова Ьє
я. я
б;2
забезпечить існування у по-
чаткового рівняння тільки одного кореня.
Відповідь: Ь = 0, або Ь<~—, або Ь>~.
6 2
32.1.° Розв’яжіть рівняння:
1) іех = уІЗ;
2) іЄх = ~-
3) х = -1;
4) х = 5;
5) =
6) X = -1
7) сі£х = -л/3;
8) сі£Х = а/7;
9) х = 0.
32.2 .° Розв’яжіть рівняння:
1) х = 1; 3) іє* = -а/3; 5) сі£х = л/3; 7) х = 0.
2) і£Х = ^; 4) х =-2; 6) сі§х = -~-;
о О
32.3 .° Розв’яжіть рівняння:
1) і£ 2х = 1; 3) = 5) сі£бх = ^-;
2) = 4) сі8^ = 0; 6) сіб(-9х) = ^.
32.4 .° Розв’яжіть рівняння:
1) іЄ|х = 0; 2) сі§^ = ->/3; 3) сіб|х = 5.
О 2 2
32.5 .° Розв’яжіть рівняння:
1) = 3) л/Зсіе(5х+|)+3 = 0;
2) (3 - 2х) = 2; 4) =
32.6 / Розв’яжіть рівняння:
1) іе(х + ^) = 1; 2) сі£ (4 - Зх) = 2; 3) ЗІ£(Зх+1)-л/3 = 0.
32.7 .° Скільки коренів рівняння 4х = 1 належать проміжку
[0; я]?
х л/3
32.8 / Скільки коренів рівняння сі& —= -належать проміжку
;2л ?
І 2
і
32.9 .° Знайдіть суму коренів рівняння сі§2х = ->/3, які належать
п
проміжку -я; —
і
32.10 / Знайдіть суму коренів рівняння
Зя
проміжку -2я; — .
2 _
32.11 / Розв’яжіть рівняння:
1) =
—= л/3, які належать
2) сіЄ-^ = 1;
>/х
3) І£(Я8ІПХ) = \/3.
32.12 / Розв’яжіть рівняння:
і) сіє^=і;
5х
2)
3) (я СО8 х) = 1.
32.ІЗ /*При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:
1) «^- = 0;
сіє х + З
2) Я =0?
Зіє х-1
32.14 /* При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:
і) сіе^ + а _0.
іЄ-х-2
2) С°У а =0?
сіє х - З
32.15 /* При яких значеннях параметра а рівняння (х + а) (і£ х - л/з) = 0
на проміжку 10;--
\ 2 _
має єдиний корінь?
32.16 /* При яких значеннях параметра а рівняння (х-а)(І£ х+1) = 0
на проміжку
~^;0 має єдиний корінь?
_ Лл /
Функції у = агссов х і і/ = агсзіп х
Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння соз х - а на проміжку
[0; тс] має єдиний корінь, який дорівнює агссоз а (рис. 33.1).
Тому кожному числу х з проміжку [-1; 1] можна поставити
у відповідність єдине число у з проміжку [0; л] таке, що
у = агссоз х.
Тим самим задано функцію / (х) = агссоз х з областю визна-
чення Л (/) = [-1; 1] і областю значень Е (/) = [0; л].
Функція / є оберненою до функції £ (х) = соз х з областю ви-
значення 2) (я) = [0; я].
Дійсно, В (/) = Е (е) = [-1; 1];
Е (/) = Л (£) = [0; л].
З означення арккосинуса випливає, що для всіх х з проміжку
[-1; 1] виконується рівність
соз (агссоз х) = х
Іншими словами, § (/ (х)) = х для всіх х є В (/)•
Сказане означає, що / і § — взаємно обернені функції.
Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 9, до-
зволяють визначити деякі властивості функції / (х) = агссов х.
Оскільки функція § (х) = сов х, І) (£) = [0; я], є спадною, то
з теореми 9.3 випливає, що функція / (х) = агссов х також є
спадною.
Для будь-якого х є І) (й маємо / (£ (х)) = х. Це означає, що
для будь-якого х є [0; я] виконується рівність
агссов (сов х) = х
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно пря-
мої у - х. Це дозволяє побудувати графік функції / (х) = агссов х
(рис. 33.2).
Відзначимо ще одну властивість функції у = агссов х:
для будь-якого х є [-1; 1] виконується рівність
агссов (—х) = я — агссов х
Рис. 33.3
Рис. 33.2
Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисун-
ку 33.3 АВ = МN = агссов х0, NР - агссов (~х0), а + ЛТ = я.
Доведемо рівність (1). Нехай агссов (-х) = ар я - агссов х = а2.
Зауважимо, що о^ є [0; я], а2 є [0; я]. Функція у - сов х є спад-
ною на проміжку [0; я], отже, на цьому проміжку кожного свого
значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що
соз о^ = сов а2, тим самим доведемо рівність ах = а2.
Маємо: сов = сов (агссов (~х)) = -х;
сов а2 = сов (п - агссов х) = -сов (агссов х) = -х.
Для будь-якого а є [-1;’ 1] рівняння віп х = а на проміжку
® г *
— має єдиний корінь, який дорівнює агсвіп а (рис. 33.4).
Тому кожному числу х з проміжку [-1; 1] можна поставити
у відповідність єдине число у з проміжку
__л, п
_ 2’2,
таке, що
у = агсзіп х.
Тим самим задано функцію / (х) = агсзіп х з областю визна-
чення £>(/) = [-1; 1] і областю значень Е(/)= о •
Функція / є оберненою до функції § (х) = ВІП х з областю ви-
значення Х>(£) =
_я. п
_ 2;2.
Справді, Л (/) = Е (§) = [-1; 1];
З означення арксинуса випливає, що для всіх х є [-1; 1] ви-
конується рівність
зіп (агсзіп х) = х
Іншими словами, § (/ (х)) = х для всіх х є Р (/)•
Сказане означає, що / і § — взаємно обернені функції.
Визначимо деякі властивості функції / (х) - агсзіп х.
Оскільки функція § (х) = зіп х, Р (#) =
я, я
2’2
є непарною, то
функція / (х) = агсзіп х також є непарною (див. ключову задачу
№ 9.18). Іншими словами, для будь-якого х є [-1; 1] виконуєть-
ся рівність
агсзіп (—х) = —агсзіп х
тт . 7з
Наприклад, агсзіп І----
\
. 7з
= -агсзіп =
2
я
З’
Функція § (х) = зіп X, В (£) =
с зростаючою. Отже,
функція / (х) = агсзіп х також є зростаючою (див. теорему 9.3).
Для будь-якого х є В (£*) маємо / (£ (х)) = х. Це означає, що
для будь-якого х є
я я
2’2
виконується рівність
агсзіп (зіп х) - х
Рис. 33.5
Знову скористаємося тим, що
графіки взаємно обернених функцій
симетричні відносно прямої у = X.
На рисунку 33.5 показано, як
за допомогою графіка функції
§ (х) = зіп х, В (£) =
побуду-
вати графік функції / (х) = агсзіп х.
Доведемо, що для будь-якого
х є [-1; 1] виконується рівність
агсзіп х + агссоз х = —
Для цього покажемо, що
я
агсзіп х = — агссоз х.
2
Маємо: агсзіп х< —
2 2
Крім того, 0 < агссоз х < я. Тому
—я < -агссоз х < 0;
Я /Я
< — агссоз х<—.
2 2
я
2
Отже, значення виразів* агсзіп х і — -агссозх належать
проміжку зростання функції у = зіп х. Тому достатньо показати,
що зіп (агсзіп х) = зіп
- агссоз х^. Маємо: зіп (агсзіп х) = х,
зіп - агссоз х = соз (агссоз х) = х.
У таблиці наведено властивості функцій у - агссоз х і у = агсвіп х.
у = агссоз х у = агсзіп х
Область визначення 1-і; і] [-1; і]
Область значень [0; тс] 1 ""І 1 ьз | д 1 і
Нулі функції X = 1 X = 0
Проміжки знакосталості Якщо х є [-1; 1), то агссоз х > 0 Якщо х є [-1; 0), то агсзіп х < 0; якщо х є (0; 1], то агсзіп х > 0
Парність Не є ні парною, ні непарною Непарна
Зростання / спадання Спадна Зростаюча
ПРИКЛАД 1 Знайдіть область визначення функції
у = агссоз (х2 - 3).
Розв'язання. Областю визначення Р (у) даної функції є мно-
жина розв’язків нерівності -1 < х2 - 3 < 1.
Отже, Р(у) = [-2;-^] 0 [л/2; 2]. •
ПРИКЛАД 2 Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/ (х) = 4 - агссоз Зх.
Розв'язання. Оскільки 0 < агссоз Зх < ті, то -ті < -агссоз Зх < 0
і 4 - ті < 4 - агссоз Зх < 4.
Зазначимо, що Л-
1\
з)
= 4-п, /
4.
Відповідь*, найменше значення дорівнює 4 — ті, найбільше зна-
чення дорівнює 4.
ПРИКЛАД З Обчисліть агссоз [ соз
\ о
Розв'язання. Використовуючи формулу агссоз (соз х) = х, де
1
З*
х є [0; ті], маємо агссоз (соз =
Відповідь:
З
ПРИКЛАД 4 Обчисліть агсзіп (зіп 6).
Розв'язання. Здавалося б, відповідь можна отримати одразу,
зважаючи на рівність агсзіп (зіп х) = х. Проте число х = 6 не на-
лежить проміжку
ню арксинуса.
я я
’ а отже, не може дорівнювати значен-
Правильне міркування має бути таким:
я я
агсзіп (зіп 6) = агсзіп (зіп (6 - 2л)). Оскільки 6-2л є і.
то агсзіп (зіп 6) = 6 - 2л.
Відповідь: 6 - 2л.
ПРИКЛАД 5 Обчисліть агссоз (зіп 10).
Розв'язання. Маємо: агссоз (зіп 10) = агссоз (соз ("10^.
Зауважимо, що число ~10 не належить проміжку [0; л].
£
Тому слід виконати такі перетворення:
агссоз І соз І" Ю11 = агссоз | соз 110 - ~- 2л 11 = 10 -
V \2 )) V \ 2 І) 2
Відповідь: 10----.
2
/ З А
ПРИКЛАД 0 Обчисліть зіп агссоз - ;
\ 5/
З з
Розв'язання. Нехай агссоз- = а, тоді а є [0; л] і соза = -.
5 5
Задача звелася до пошуку значення зіп а.
Урахуємо, що коли а є [0; л], то зіп а
4
Відповідь: ~
5
зіпа
> 0. Тоді отримуємо:
_4
5’
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння агсзіп^—— = —.
2 о
Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді
. х-1 . у/з
агсзіп -г-т— = агсзіп —-.
2 2
Оскільки функція у = агсзіп х є зростаючою, отже, кожного
свого значення набуває один раз, то рівність агсзіп х2 = агсзіп х2
виконується тоді і тільки тоді, коли хг = х2, X! є [-1; 1] і х2 є [-1; 1].
ГГ . • х-1 л/з
Тому дане рівняння рівносильне такому: -у- = .
Відповідь: л/З + 1.
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть нерівність агссов (2х -1) > —.
З
Розв'язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:
о 1
агссоз (2х - 1) > агссоз -.
Оскільки функція арккосинус є спадною, то дана нерівність
рівносильна системі
2х-1<-, „ .
2 Звідси
2х-1>-1.
х<1
х<4,
х>0.
Відповідь.
ПРИКЛАД * Побудуйте графік функції у - агсзіп (зіп х).
Розв'язання. Нагадаємо, що агсзіп (зіп х) = х лише за умови
| х | . Тому думка, що шуканим графіком є пряма у = х,— по-
милкова.
Дана функція є періодичною з періодом Т = 2л. Тому достатньо
побудувати її графік на проміжку
л, Зл
2’ 2
довжиною в пе-
ріод.
Якщо то агсзіп (зіп х) = х. Тому на проміжку
_л, л
. 2’ 2_
шуканий графік — це відрізок прямої у = х.
Якщо ~
Зл л \
—, то —<л-х<—, отже, агсзіп (зіп х) =
2 2 2
= агсзіп (зіп (л - х)) = л - х. Тому на проміжку
графік — це відрізок прямої у = п - х.
л Зл
2’ 2
шуканий
Графік функції у = агсзіп (зіп х) зображено на рисунку 33.6. •
Вправи
33.1.
Чи є правильною рівність:
1)
агссоз
>/2
+ агссоз = я;
2
2)
агссоз2 1
4) агсзіп- +агсзіп —= —
2 2 2
-і .1л2
5) агсзіп 1 • агсзіп - = —;
2 12
3)
агсзіп 1 + агсзіп
• л/2
6) агсзіп —
к 2
/З І _ л
2 7 6
1 16
33.2.
Чи є правильною рівність:
1)
л/3 , 1
агссоз — + агссоз - =
2)
3)
2
УІ2 ।
агссоз----агссоз
2
агсзіп - + агсзіп
2
2
71
2
4)
5)
1 7л
агсзіп 0 + агсзіп - = —
2 6
. л/З
агсзіп----агсзіп
2
—?
36
33.3 .° Обчисліть:
. ( її
1) зіп агссоз- ;
V 2/
3) сі£ І 2 агсзіп 1;
к 42)
І -\ІЗ І
2) соз 2 агссоз — ;
І 2 /
33.4 / Обчисліть:
1) соз -агсзіп— ;
к2 2 )
4)
3)
І л/3 / 1
соз 3 агсзіп—+агссоз —
2
2
• о . >/3
зіп 3 агсзіп-------
к к 2 .
2) (2 агссоз (-1));
. >/2 , о >/2
агсзіп — + 2 агссоз — .
2 2 )
33.5 .° Знайдіть область визначення функції:
1) у = агсзіп (х - 1); 2) у = агссозл/х; 3) у = агссоз
33.6 / Знайдіть область визначення функції:
1) у = агсзіпїх + ~І; 2)• ^ = агссоз7з-х; 3) і/ = агссоз~~.
\ 2 / ОХ
33.7 / Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1) у-агсзіпх + —;
2) у = агссоз х + 2.
33.8 / Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1) у = агссоз х + л;
2) у = агсзіп х + 1.
33.9 .° Обчисліть: 1) соз І агссоз
33.10 .’Обчисліть: 1) зіп І агсзіп
33.11 / Розв’яжіть рівняння:
1) агсзіп х = -—; 2) агссозх = ~
6 2
33.12 / Розв’яжіть рівняння:
. я
агсзіп — .
к 6/
о \ • 5 Я
3) агсзіп х = —
і \ тс
1) агссоз х = —
ЛЧ Я
2) агссоз х = -~;
3) агссоз (2х-3) =
м і а
33.13/ Розв’яжіть нерівність:
1) агсзіп х>—; 7 2 2) агсзіпх<-^; 3) агсзіп х>-^; 44 л 4) агсзіп хС—; 5) агсзіпх>—; ’ 2 6) агссоз х < 0; 7) агссоз х " 8) агссоз х < > 0; с л.
33.14/ Розв’яжіть нерівність: 1) агссоз х > л; 3) агссоз х > 0; 5) агссоз х - > л.
2) агсзіпх<—; ' 2 4) агссоз х < л;
33.15/ Знайдіть область визначення функції:
1) У = уїл - агссоз х; 3) у = у/-агссоз х; 5) у = агссоз (-1 ~ х3 2).
2) у = ^/агссозх - л; 4) у = агсзіп (>/х + 1);
33.16/ Знайдіть область визначення функції:
1 \ І л •
1) у = агсзіп х
3) у = ^/агссоз х; 5) у~ агссоз
2) у = ^агсзіпх-~
4) у = агссоз (х2 - 2х + 2);
33.17 / Знайдіть область значень функції:
1) і/ = агсзіпд/х + 4;
3) у —---:—;
агсзіп х
2) у = д/-агссоз х; 4) у = —=2==
агссозх
33.18 / Знайдіть область значень функції:
1) у = агссоз л/х + 2; 3) у =----ї---;
агссоз х
2) у = ^/агсзіпхї 4) У = г І;-—
д/агсзіп х
33.19 / Доведіть, що при | х | < 1 виконується рівність
віп (агссоз х) = д/1 - х2.
О—» 33.20/ Доведіть, що при | х | < 1 виконується рівність
соз (агсзіп х) = \І1-х2.
33.21/ Обчисліть:
/ 4\ 1) соз агсзіп — ; \ 5/ / 2) зіп 2 агсзіп - ; \ 5/ 33.22/ Обчисліть: і 3 5 1 3) соз агсзіп — агссоз—; 7 \ 5 13/ .. /1 1\ 4) соз -агссоз— . \2 8/
1) зіп[агссоз \ З/ оч . / 1 . 2\ 2) зіп агссоз - 4- агссоз - ; \ 3 3/ 33.23/ Розв’яжіть рівняння: / 4\ 3) соз 2агссоз- ; \ 5/ лч /1 • 4) соз -агсзіп—. \2 13/
1) соз (агссоз (4х - 9)) = х2 - 5х + 5;
2) зіп (агсзіп (х 4- 2)) = х + 2.
33.24/Розв’яжіть рівняння:
1) соз (агссоз (4х - 1)) = Зх2; 2) соз (агссоз (х - 1)) = х - 1.
33.25 / Розв’яжіть рівняння:
1) агсзіп (Зх - 2) = агсзіп (~х + 2);
2) агссоз (Зх - 16) = агссоз (х2 - 26).
33.26 / Розв’яжіть рівняння:
1) агссоз (Зх 4- 2) = агссоз (5х 4- 3);
2) агсзіп (х2 - 4) = агсзіп (2х 4- 4).
33.27 / Розв’яжіть нерівність:
1) агссоз(2х-1)>—; 2) агсзіп2х>^; 3) агсзіп(5-Зх)<“.
3 6 З
33.28 / Розв’яжіть нерівність:
1) агссоз (4х-1)>—; ‘ 3) агссоз (4-7х)<^.
4 6
2) агсзіп (2-Зх)<—;
4
33.29 / Розв’яжіть нерівність:
1) агсзіп (Зх - 2) > агсзіп (5х - 3); 2) агссоз(2х-1)<агссоз—.
33.30 / Розв’яжіть нерівність:
1) агсзіп (х2 - х) > агсзіп (Зх - 4); 2) агссоз (1 - 2х) < агссоз
33.31 / Побудуйте графік функції:
1) у = агсзіп |х - 1|; 2) у = агссоз |2х + 1|.
33.32 .* Побудуйте графік функції:
1) у = агссоз (| х | 4- 1); 2) у = агсзіп[ ~| х |-11.
у 2 у
33.33 /* Побудуйте графік функції у=^ агС8Іу-^-|.
агсзіп І х І
33.34 /* Побудуйте графік функції:
1) у = зіп (агсзіп х); 3) у - соз (2 агсзіп х);
2) у - соз (агсзіп х); 4) у - зіп (агсзіп х -І- агссоз х).
33.35 /’ Побудуйте графік функції:
1) у = соз (агссоз х); 3) у = соз (2 агссоз х);
2) у = зіп (агссоз х); 4) у - соз (агсзіп х + агссоз х).
33.36 /’ Побудуйте графік функції у = агссоз (соз х).
33.37 .” Обчисліть:
1) агсзіп (зіп у); 3) агсзіп (зіп 3);
2) агсзіп (зіп 4) агсзіп (соз 8).
33.38 .” Обчисліть:
( 2п А
1) агссоз І соз — І; 3) агссоз (соз 6,28); 5) агссоз (зіп 12).
2) агссоз І соз-у-1; 4) агсзіп І соз — І;
5л2
33.39 .” Розв’яжіть рівняння (агсзіп х)2 + (агссоз х)2 = —-.
36
33.40 /* Розв’яжіть рівняння:
2 $^2
1) (агсзіп х)2-(агссоз х)2 = —; 2) агсзіп х • агссоз х = ——.
12 16
33.41 .” Доведіть, що (агсзіп х) =-?=£=
VI-х2
при І X І < 1.
-71 _х2
33.42 .” Доведіть, що (агссоз х) = —-— при | х | < 1 і х * 0.
33.43/* Доведіть, що
.3 .5 .56
агсзіп — + агсзіп — = агсзіп —.
5 13 65
33.44 .** Доведіть, що
33.45 /* Доведіть, що
33.46 /* Доведіть, що
. 5 , . 12 я
агсзіп — + агсзіп — = —.
13 13 2
агсзіп х =
агссоз х = <
агссоз \І1-х2 у якщо 0 < х < 1,
-агссоз 71-х2, якщо-Кх<0.
агсзіп 71 —х2, якщо0<х < 1,
я - агсзіп 71-х2, якщо -1 < х < 0.
33.47 /* Розв’яжіть рівняння агсзіп 2x4-агсзіп х = ^.
33.48 /’ Розв’яжіть рівняння агсзіп х 4-агсзіп ~ =
Сі &
ї у = агсі£ х і у = агссі£ х
ФуНКЦІ
Для будь-якого а рівняння х = а на проміжку
я. я\
2’ 2/
має
єдиний корінь, який дорівнює агсІ£ а (рис. 34.1). Тому будь-
якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у
Тим самим задано функцію / (х) = агсі#х з областю визначен-
ня В (/) - К і областю значень Е (/) =
Я, ЯІ
2’2/
я. я\
2’ 2/
Функція / є оберненою до функції £ (х) = х з областю ви-
значення £>(£) =
Дійсно, £>(/) = £ (£) = К;
£(/)=£(£)=(-?;?)•
\ /2 & /
З означення арктангенса випливає, що для всіх х е І вико-
нується рівність
(агсі£ х) - X
Іншими словами, § (/ (х)) = х для всіх х є Г) (/).
Сказане означає, що / і § — взаємно обернені функції.
Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 9,
дозволяють визначити деякі властивості функції / (х) = агсі& х.
Оскільки функція § (х) = X, В (£)
/_ Я. я\
\ 2’2/
є зростаючою,
то з теореми 9.3 випливає, що функція / (х) = агсі£ х також
є зростаючою.
Оскільки функція £ (х) = х, В(#) =
є непарною, то
функція / (х) = агсі£ х також є непарною (див. ключову задачу
№ 9.18). Іншими словами, для будь-якого х є К виконується
рівність
агсі& (~х) ~ — агсі£ х
я
З’
Наприклад, агсі£ (->/з) = -агсі£ \/з = -
Для будь-якого х є В (£) маємо / (£ (х)) = х. Це означає, що
я. я\
2’ 2/
для будь-якого х є
виконується рівність
агсі£ (І£ х) = X
Нагадаємо, що графіки взаємно
обернених функцій симетричні від-
носно прямої у = х. На рисунку 34.2
показано, як за допомогою графіка
функції § (х) = X, Р (^) =
побудувати графік функції / (х) =
= агсі£ х.
Для будь-якого а рівняння сі£ х = а на проміжку (0; я) має
єдиний корінь, який дорівнює агссі& а (рис. 34.3). Тому будь-
якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у
з проміжку (0; ті) таке, що у = агссі& х.
Тим самим задано функцію / (х) = агссі& х з областю визна-
чення Л (/) = К і областю значень Е (/) = (0; л).
Функція / є оберненою до функції я (*) = х з областю ви-
значення 2) (£) = (0; л).
Справді, Е О?) = К. Таким чином,
Щ/) = Е(0 = К;
Е (/) = Л оо = (0; л).
З означення арккотангенса випливає, що для всіх х є К ви-
конується рівність _____________
СІ£ (агссі£ х) = X
Іншими словами, у (/ (х)) = х для всіх х є В (/)•
Сказане означає, що / і § — взаємно обернені функції.
Визначимо деякі властивості функції / (х) = агссі£ х.
Оскільки функція я (*) = х, В (я) = (0; л), є спадною, то
функція / (х) = агссі£ х також є спадною.
Для будь-якого х є В маємо / 0? (х)) = х. Це означає, що
для будь-якого х є (0; л) виконується рівність
агСсІ£ (сі£ х) = х
На рисунку 34.4 показано, як за допомогою графіка функції
§ (х) = сі£ х, В (#) = (0; л), побудувати графік функції / (х) = агссі# х.
Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для
будь-якого х є К виконується рівність
агссі# (—х) = л — агссі£ х
Наприклад, агссі£ (-л/з) = я - агссіє >/з = я - - =—.
6 6
Доведемо цю властивість.
Нехай агссі£ (-х) = і я - агссі£ х = а2. Зауважимо, що
є (0; я), а2 є (0; я).
Функція у = сі£ х спадає на проміжку (0; я), отже, на цьому
проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз.
Тому, показавши, що сі£ а, = сі£ ао, тим самим доведемо рівність
Маємо: сіє а! = сіє (агссіє (_х)) = ~х‘,
сіє а2 = сіє (я _ агссіє х) = -сіє (агссіє х) = -х.
Отже, сіє а! = сіє а2.
Покажемо, що для будь-якого х є К виконується рівність
. і я
агсі£ х + агссі§ х - —
А
Достатньо показати, що агсі£ х = - агссі£ х.
Маємо: -~<агсІ£х<^
0 < агссі£ х < я;
-я < -агссі£ х < 0; ~ -агссі£х<
Отже, значення виразів агсі£х і — ~атссі&х належать про-
міжку зростання функції у = ї&х. Тому достатньо показати, що
(агсі£ х) = - агссі£ х
Маємо: (агсі£ х) = х, - агссі£ х) = сі£ (агссі£ х) - х.
У таблиці наведено властивості функцій у = агсі£ х і у = атссі& х.
у = агсі£ х у = агссі£ х
Область визначення к к
Область значень /я. \ 2’2/ (0; п)
Нулі функції х = 0 —
Проміжки знакосталості Якщо х є (-оо; 0), то агсі£ х < 0; якщо х є (0; +°°), то агсі£ х > 0 агссі£ х > 0 при всіх X
Парність Непарна Не є ні парною, ні непарною
Зростання / спадання Зростаюча Спадна
ПРИКЛАД 1 Обчисліть со8^2агсі|зц
Розв'язання. Нехай агсі£[--і =
\ З/
а, тоді = Запишемо:
З
1 +а = —; соз2 а =
соз а 10
Звідси СО82сх = 2сов2сх-1 = 2• —-І-
10 5
4
Відповідь: —
5
1 1 я
ПРИКЛАД І Доведіть, що агсі£-- + агсІ£- = -.
Розв'язання. Оскільки функція у = агсі£ х є зростаючою, то
можна записати:
1 я
0 < агсі£ - < агсі£ 1 = —,
2 4
1 я
0 < агсі£ - < агсі£ 1 =
1 1 я
Звідси 0<агсі£- + агсі&-<~.
2 3 2
Отже, значення виразів, записаних у лівій і правій частинах
рівності, яка доводиться, належать проміжку |0;~ • На цьому
* ' '
проміжку функція у = х зростає.
Тоді для доведення достатньо показати, що
І агсі£ | + агсі£ 11 =
\ А о/
п
Маємо: =
4
І агсі£ - + агсі£ ~ І
\ 2 о/
І агсіе * І + іе І агсіе - І
\2/\о/
1 - і® І агсі£ 11 | агсіе |
\ 2/ \ 0
І-1.1
2 З
= 1.
Вправи
1 1
2 + 3
34.1. ° Обчисліть:
1) соз (2 агсі£ 1); 3) 2агсІ£|—?=И + —
І І >/з7 б
2) сі£ (2 агссі& (-л/з)); 4) зіп [ агсзіп + 2 агсі£ 1
34.2. ° Знайдіть значення виразу:
1) агсзіп 1 + агссоз (-1) + агсі& л/З + агссі£ (->/з);
л/2 І л/З
2) агссоз 0 + агсзіп — + агсі& (-1) + агссі£ І——
г3
1
( \/2 і 1 л/З
3) 4 агссоз ——- - 3 агссоз 1 + 2 агсзіп - - агсі£
\ 2 / 2 З
З
2
34.3/ Знайдіть значення виразу:
(11 л/З
--1 + агсі£ 0 + агссі# 1 + агссоз —;
2 / 2
2) 2 агссоз
• л/З л • / -і\
агсзіп — + 4 агсзіп (-1).
34.4. ° Знайдіть область визначення функції:
1) у = уІагссї&х;
2) у = ^/агсіе (х-1).
34.5. * Знайдіть область визначення функції у = у]п~агссї§ х.
34.6. ° Знайдіть область значень функції:
1) у = агсі£ х + 2;
2) у = у[агсї§х.
34.7/ Знайдіть область значень функції:
1) у = агссіє х + 4; 34.8.° Обчисліть: 2) у-у]-агсї§х.
1) іє (агсіє 4); 3) іє (агсіє
2) сіє (агссіє 5); 4) сі£ (агссі£ я).
34.9/ Розв’яжіть рівняння:
1) іє (агсіє 2х) = 5; 2) сі£ (агссі£ (4 - Зх)) = 2.
34.10 / Розв’яжіть рівняння:
і х і я і Зтс
1) агсі£х = ~; 3) агсі£х = —;
4 4
2) агсі£ х = 1; 4) агсі£(4х + 9) = “.
6
34.11 / Розв’яжіть рівняння:
1) агссі£х-~; 3) агссі&х = “;
4 4
2) агссі£ х - -1; 4) агссі£(5-8х) = ^.
З
34.12 / Знайдіть область значень функції і/ = —-—.
агсі£ х
34.13 / Знайдіть область значень функції у =-----.
агссі# х
34.14 / Обчисліть:
1) зіп (агсі£ 2);
2) соз (агсі£ 2);
34.15 / Обчисліть:
1) зіп (агссі£ (-2));
2) зіп (агсі£ (-3));
4) соз (агсі& ~ -агссі£ з).
3) соз|2агсі£ — + агссоз
\ 4
00 | 1Л
34.16 / Розв’яжіть нерівність:
1) агсі£(5х + 3)>~;
о
34.17 ." Розв’яжіть нерівність:
2) агссіє (х-2) <—.
6
1) агссіє(Зх-7)>^;
О
2) агсі£(х + 11)<^.
34.18 .* Побудуйте графік функції:
1) у = (агсі£ *); 2) у = сі£ (агсі£ х).
34.19 / Побудуйте графік функції:
1) у = сіє (агссі£ х); 2) у = (агссі£ х).
2
34.20 / Розв’яжіть рівняння (агс1£ х)2 + (агссі£ х)2 = —.
о
5л2
34.21 / Розв’яжіть рівняння агсі£ х • агссі# х = ——.
18
34.22 .’* Побудуйте графік функції у = агсі£ х).
34.23 .** Побудуйте графік функції у = агссі£ (сі£ х).
34.24 /* Обчисліть:
1) агсі£ І8— ;
\ 1о/
2) агсіе^е^);
34,25/* Обчисліть:
1) агссі£ (сі£ 1^);
3) агсі£ (і£ 5);
4) агсі£ (сі£
\ 4&Л /
3) агссі£ (сі£ 15);
5) агсі£ (сі£ 17).
5) агссі£ (і£ 10).
2) агссі^^сі§
15яї
11 /’
34.26/* Доведіть, що агсі£ х = <
агссія —,
х
якщо х > 0,
-п + агссія —, якщо х < 0.
X
34.27/* Доведіть, що агссі£ х = <
агсі&“, якщох>0,
я + агсі£“, якщох<0.
34.28.*’ Доведіть, що:
агсі&
ЯКЩО 0 < X < 1,
1) агссоз х =
я + агсі£
X
УІІ-х2
'----, якщо-Кх<0;
агссоз
X
1
якщо х > 0,
2) агсі£х =
-агссоз р-Ха-а., якщо х < 0.
34.29.** Доведіть, що:
1) агсзіп х =
агссі£
ЯКЩО 0 < X < 1,
X
-я + агссі£ ———, якщо-Кх<0;
агсзіп
якщох>0,
2) агссі&х = <
1
я - агсзіп -т=,
717?
якщох<0.
О*"» 34.30/* Числа х, у такі, що | ху | < 1. Доведіть, що
1) < агсі£х + агсі£ у < 2) агсі&х + агсі& у = агсі£
і — ху
34.31 /* Чи існують такі числа х, у, що виконується нерівність
агсі£ х + агсі£ у > агсі£
34.32 /* Чи існують такі числа х, у, що виконується нерівність
агсі£ х + агсія у < агсі&
1-хі/
34.33 /* Доведіть рівність агсі£ і + агсі£ ~ + агсі£ ~ 4- агсі& — =
З о 7 8 4
1 1 1 49
34.34 /* Доведіть рівність агсі£ - 4- агс€& — + агсі£ - = агсі£—.
34.35 .* Обчисліть суму:
1) 8 = агсі£-4-агсІ£І4-...4-агсІ£--—
З 7 14-л + тг
2) 8 = агссі£ 3 4- агссі£ 7 4- ... 4- агссі£ (п2 4- п 4- 1).
34.36 .* Обчисліть суму 8 = агсі£^4-агсі£тД-4-...4-агс€£—-т-—•
2 11 п +п + 2
34.37 .* Про додатні числа х, у, 2 відомо, що агсі£ х + агсі& у 4-
4- агсі# г < я. Доведіть, що х + у 4- г > хуг.
34.38 .* Про додатні числа х, у, г відомо, що
агсі£ х 4-. агсі£ у + агсі£ з < ~.
Доведіть, що ху 4- уг 4- гх < 1.
Тригонометричні рівняння,
які зводяться до алгебраїчних
У пунктах 30-32 було отримано формули для розв’язування
рівнянь виду соз х = а, зіп х = а, х = а, х = а. Ці рівняння
називають найпростішими тригонометричними рівняннями. За
допомогою різних прийомів і методів багато тригонометричних
рівнянь можна звести до найпростіших.
У цьому пункті розглянемо рівняння, які можна звести до
найпростіших, ввівши нову змінну і розв’язавши отримане алге-
браїчне рівняння.
ПРИКЛАД І Розв’яжіть рівняння зіп х - 3 соз 2х = 2.
Розв'язання. Використовуючи формулу соз 2х = 1 - 2 зіп2х,
перетворимо дане рівняння:
зіп х - 3 (1 - 2 зіп2х) -2 = 0;
6 зіп2х + зіп х - 5 = 0.
Нехай зіп х = і. Отримуємо квадратне рівняння 6і2 + і - 5 = 0.
Звідси = -1, =|.
Отже, дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:
зіп х = -1,
5
81ПХ = -.
б
х = -~ + 2лп, о
Маємо: 4 5 х = (-1)” агсзіп - + яп, п є 3.
Відповідь: ~ + 2яп, (-1)" агсзіп | + лп, п є 2.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння і£х + —^— = 3.
СОЗ X
Розв'язання. Оскільки —= 1 + і£2х, то дане рівняння
соз х
можна записати так:
х + (1 + і£2х) = 3.
Звідси і&2х + х - 2 = 0. Нехай х = і. Тоді і2 + І - 2 = 0.
Звідси = 1, і2 = -2.
Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох
рівнянь:
Звідси
1&х = -2.
я
х = —4-лп,
4
х = -агсі£ 2 + лп, п є 2.
Відповідь: — 4-лп, -агсі& 2 4- лп, п є X.
4
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння 2 віп2 х + сов 4х - 2 = 0.
Розв’язання. Можна записати: 1 - сов 2х + 2 сов2 2х - 1 - 2 = 0.
Звідси 2 сов2 2х - сов 2х - 2 - 0. Зробимо заміну соз 2х = і. Тоді
останнє рівняння набуває вигляду 2і2 - і - 2 = 0. Розв’язавши
його, отримуємо ~—, і2 =—.
1 + \/17 1 — \/17
Оскільки —*—>1, а —~— є [-і;і], то дане рівняння рівно-
1-^/17
сильне рівнянню соз2х = —-—, звідси
4
1 1 — ч/17
х = ± - агссоз —т—+пк, к є 2.
2 4
1 1 — л/17
Відповідь: ±-агссоз—-— + тік, к є 2.
2 4
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння 12 сов2 — = 9 - 4 сов — сов —.
2 2 2
Розв’язання. Скориставшись формулами пониження степеня
і перетворення добутку в суму, отримуємо:
6 (1 4- сов х) = 9 - 2 (сов 2х 4- сов х).
Звідси 2 сов 2х 4- 8 сов х - 3 = 0; 2 (2 сов2 х - 1) 4- 8 сов х - 3 = 0;
4 сов2 х 4- 8 сов х - 5 = 0.
Використовуючи заміну сов х = і9 отримаємо рівняння
4*2 + - 5 =0.
15 1л
Звідси ^=-, і2 = -~. Далі маємо: совх = -; х = ±—4-2л&, к є 2.
2 2 2 о
Відповідь: ±—+2пк, к є 2.
З
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рірняння
І£2 X 4- сі£2 X + З X 4- З СІ£ X 4- 4 = 0.
Розв’язання. Маємо: І£2 х 4- сі£2 х 4- З (і£ х 4- сІ£ х) 4- 4 = 0.
Нехай х 4- сі£ х = у. Підносячи обидві частини записа-
ної рівності до квадрата, отримуємо: і&2х 4- 2 + сі%2х = у2;
і£2 х 4- сі£2 х = у2 ~ 2. Дане в умові рівняння набуває вигляду
у2 - 2 + Зу + 4 = 0, тоді у2 + Зу + 2 = 0; уг = -1, у2 = -2.
Маємо сукупність
х4-сі£ х =-1,
і£х + сі£х = -2.
Розв’язуючи рівняння
сукупності, знаходимо х = -1. Звідси
х = -—+ тік, к є 2.
4
Відповідь: ~ + пк9 к є 2.
4
Означення. Рівняння виду
а 8Іппх 4-а. 8Іпп1 х со8х 4-... 4-а 8Іпхсо8п1х + а созЛх = 0,
де а0, а , ..., ап — дійсні числа, які одночасно не дорівнюють
нулю, п є К називають однорідним тригонометричним
рівнянням п-го степеня ВІДНОСНО 8ІП X І СО8 X.
З означення випливає, що суми показників степенів при віп х
і сов х усіх доданків однорідного тригонометричного рівняння
рівні.
Наприклад, рівняння 2віпх - 3 совх = 0 — однорідне триго-
нометричне рівняння першого степеня, а рівняння віп2 X -
- 5 віпх совх 4- 2 сов2 х = 0 і 2 віп2 х - сов2 х = 0 — однорідні три-
гонометричні рівняння другого степеня.
Для однорідних рівнянь існує ефективний метод розв’язування.
Ознайомимося з ним на прикладах.
ПРИКЛАД < Розв’яжіть рівняння
7віп2х - 8віпхсо8х - 15со82х = 0.
Розв'язання. Якщо сов х = 0, то з даного рівняння випливає,
ЩО ЗІП X = 0. Але ВІПХ і совх не можуть одночасно бути рівними
нулю, оскільки має місце рівність віп2 х + сов2 х = 1. Отже, мно-
жина коренів даного рівняння складається з таких чисел х, при
яких сов х * 0.
Поділивши обидві частини даного рівняння на сов2 х, отрима-
ємо рівносильне рівняння:
7зіп2х 8вІПХСОЗХ 15сО82Х_^ф
СО82 X СО82 X СО82 X
7 і£2 х - 8 х - 15 = 0.
Звідси
Ї£х = -1,
, 15
7Г
Відповідь: —~ + пп,
4
л
х = —-4-лп,
4
15
х = агсі£ — + лп, п є 2.
15
агсі& — 4-лп, п є 2.
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння З 8ІП2 X + ЗІП 2х = 2.
Розв'язання. Це рівняння не є однорідним. Проте його можна
легко звести до однорідного:
З 8ІП2Х + 28ІПХ СО8Х = 2 (8ІП2Х 4- СО82х);
8ІП2Х + 2зІПХ СО8Х ~ 2 СО82Х = 0.
Отримали однорідне рівняння. Далі, діючи, як у попередньому
прикладі, отримуємо рівняння, рівносильне початковому:
і£2 х+2І£Х-2 = 0.
Завершіть розв’язування самостійно.
Відповідь: агсі^(-1±\/з) +яп, иєі
ПРИКЛАД • Розв’яжіть рівняння 8ІП X ~ СО8 X - 4 8ІП3 X.
Розв'язання. Це рівняння не є однорідним. Перепишемо його
інакше: (зіп2 х 4- соє2 х) (зіп х - соз х) = 4 зіп3 х. Після розкриття
дужок і зведення подібних доданків маємо:
З зіп3 X + 8ІП2 X СОЗ X - зіп X СОЗ2 X 4- СО83 X = 0.
Поділивши обидві частини цього рівняння на соз3 х і позна-
чивши х = і9 маємо: З£3 4- і2 - і 4- 1 = 0. Це рівняння очевидно
має корінь і - -1. Тому варто зробити такі перетворення:
З/3 4- І2 - і 4- 1 = З/3 4- Зі2 - 2і2 - 2і 4- і 4- 1 = Зі2 (і + 1) ~
- 2і(і 4- 1) 4- (і 4- 1) = (і 4- 1)(3£2 - 2і 4- 1). Оскільки рівняння
Зі2 - 2і 4- 1 = 0 не має коренів, то х = -1; х = -— + пк, & є 2.
4
Відповідь: -~ + пк9 к є ї.
4
ПРИКЛАД 9 Розв’яжіть рівняння 2 ЗІП X - З СО8 X = 2.
Розв'язання. Скористаємося формулами подвійного аргументу
та основною тригонометричною тотожністю:
л . X X о/ 2Х . 2ХІ 2Х . . 2ХІ
4 зіп — СОЗ--З СО8---81П — = 2 СО8 — 4- зіп — ;
2 2 \ 2 2/ \ 2 2/
8ІП2 -4-4 8ІП ~ соз — - 5 СО82 — = 0.
2 2 2 2
Поділимо обидві частини останнього рівняння на соз2 ~ і зроби-
о
мо заміну — = і. Отримуємо: і2 4- 41 - 5 = 0, звідси г = 1, і2 = -5;
О
х = ^+2лп,
2
х = -2агсі£5 + 2пп, пеіі.
Відповідь: ^ + 2тіп, -2 агсі£ 5 + 2яп, п є 2.
Зауваження. Рівняння прикладу 9 є окремим випадком рів-
няння виду
а зіп х + Ь соз х = с, (1)
де а, Ь, с — деякі числа, відмінні від нуля.
При розв’язуванні таких рівнянь крім методу, розглянутого
в прикладі 9, можна використовувати такий прийом. Перепишемо
рівняння (1) у вигляді:
а . , Ь с
--ЗІП X + —=== СОЗ X - .—.
уІа2+Ь2 уІа2+Ь2 \Іа2+Ь2
X \2 х х2 х х
Оскільки =1, то точка Р —-
ио2+&2; иа2+ь2^ у/тТь2)
належить одиничному колу. Тому існує такий кут ф, що
а . Ь
соз ф = —==, ЗІП ф = ——==•.
7777 7777
Тепер рівняння набуває вигляду
СОЗ ф ЗІП X + ЗІП ф СОЗ X = —====.
Звідси зіп (х + ф) = .
\І а2 +Ь2
Таким чином, отримали найпростіше тригонометричне рівняння.
ПРИКЛАД 10 При яких значеннях параметра а рівняння
2л. „
_ з ’
зіп2 Зх
+ ~ = 0 має на проміжку
рівно: 1) два
корені; 2) три корені?
Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне від-
носно зіпЗх. Тоді отримаємо рівносильну сукупність:
• о 1
зіп Зх = ~,
2
зіп Зх = а.
Перше рівняння сукупності має на
проміжку
2л
рівно два корені.
У цьому можна переконатися безпосе-
редньо, знайшовши ці корені, або гра-
фічно (рис. 35.1). Тому для задачі 1)
треба, щоб друге рівняння сукупності
не давало нових коренів на проміжку
2л. _
. з ’
При а = і очевидно, що корені рівнянь сукупності збігаються.
При а > 1 або а < 0 рівняння віп Зх - а не має коренів на про-
міжку
2я. „
—;л . У цьому знов-таки можна переконатися, напри-
_ о
клад, графічно (рис. 35.1).
Д тя задачі 2) друге рівняння сукупності на проміжку, що роз-
глядається, повинно додавати до множини всіх коренів тільки
один корінь. Зрозуміло, що це буде виконуватися тільки при
а = 1.
Відповідь: 1) а > 1, або а < 0, або а = 2) а - 1.
І Вправи
35.1 .° Розв’яжіть рівняння:
1) 2 зіп2 х + зіп х — 1 = 0;
2) 2 соз2 х - 5 соз х - 3 = 0;
3) зіп2 Зх + 2 зіп Зх - 3 = 0;
35.2 / Розв’яжіть рівняння:
1) 2 зіп2 х - 3 зіп х + 1 = 0;
2) 2 соз2 2х - соз 2х - 1 - 0;
35.3 .° Розв’яжіть рівняння:
1) зіп х - соз х = 0; 5)
2) л/3 зіпх + созх = 0; 6)
3) 3 зіп х = 2 соз х; 7)
4) 4 соз 2х - зіп 2х = 0; 8)
35.4 / Розв’яжіть рівняння:
1) зіп х + соз х = 0;
2) зіпх-л/З созх = 0; •
3) 2 зіп х + соз х = 0;
35.5 / Розв’яжіть рівняння:
1) 6 соз2 х + 5 зіп х - 7 = 0;
2) 2 зіп2 х -І- 7 соз х + 2 = 0;
3) соз 2х = 1 + 4 соз х;
4) і£2 х - 2 х - 3 = 0;
5) 3 сі&2 2х + сі£ 2х - 4 = 0;
6) Зсоз2 —+ 5соз —-2 = 0.
4 4
3) 4 і£2 х - х - 3 = 0;
4) ЗсЄЄ2^-сіб*-2 = 0.
О о
зіп — + 5соз — = 0;
З З
зіп2 х - 5 зіп х соз х + 4 соз2 х = 0;
зіп2 — - 3 зіп — соз — + 2 соз2 — = 0;
2 2 2 2
З зіп2 х - 2 Тз зіп х соз х + соз2 х = 0.
соз 4х - 3 зіп 4х - 0;
зіп2 х - 5 зіп х соз х + 6 соз2 х = 0;
6)4 зіп2 х = 3 зіп х соз х + соз2 х.
4) 2 соз х - соз 2х - соз2 х = 0;
5) соз 2х + зіп х = 0;
6) соз —-5соз —-2 = 0;
З З
7) соз 2х - соз2 х - >/2 зіпх = О;
8) соз —+ созх = 0;
2
9) х + сі£ х = -2;
10) 8 зіп2 Зх + 4 біп2 6х = 5;
35.6/ Розв’яжіть рівняння:
1) 4 зіп2 х + 8 сов х + 1 = 0;
2) 2 соз2 х = 1 + зіп х;
3) сов 2х + 8 зіп х - 3;
4) сов 2х + зіп2 х - соє х;
5) 5зіп —-соз —+ 3 = 0;
6 З
35.7/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп2 х + 0,5 зіп 2х - 2 соз2
11) 4 5х + 3 сі£ 5х = 7;
12) —= сі£ х + 3;
зіп X
13) 2 і£2 х + 4 соз2 х = 7;
14) соз2х-4>/2 созх + 4 = 0.
6) созх + зіп~ = 0;
7) 2 соз2 4х - 6 соз2 2х + 1 = 0;
8) х + 2 сі& х = 3;
9)
СОЗ X
10) 4 зіп2 х + 9 сі£2 х = 6.
х = 0
2) соз2 5х + 7 зіп2 5х = 4 зігі Юх;
3) (соз х + зіп х)2 = 1 - соз 2х;
4) 3 зіп2 х - 7 зіп х соз х + 14 соз2 х - 2 = 0;
5) 5 соз2 х - 3 зіп2 х - зіп 2х = 2;
6) 3 зіп2 х + зіп х соз х + 4 соз2 х = 3;
7) 3 зіп х соз х + соз2 х = 1;
2 соз х + зіп х 1
7 7 зіп х - соз х 2
35.8/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп2 х + 3 соз2 х - 2 зіп 2х = 0;
2) 5 зіп2 х - 5 зіп х соз х + 2 соз2 х = 1;
3) 6 зіп2 х + 2 зіп 2х + 4 соз2 х = 3;
4) 2 соз2 х + зіп 2х - 2 = 0;
5) 3 зіп2 х - 2 >/з зіп х соз х + 5 соз2 х = 2;
2 зіп х - соз х __ 1
5 зіп х - 4 соз х 3 ’
35.9 / Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння
зіп2 х + соз х + 1 = 0.
35.10 / Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння
зіп2 х + 0,5 зіп 2х = 1.
35.11 / Знайдіть найменший додатний корінь рівняння
6 зіп2 х + 2 зіп2 2х = 5.
36.12 / Знайдіть найменший додатний корінь рівняння
8ІІ1 X СО8 X + СО82 X = 0.
35.13 / Розв’яжіть рівняння:
1) 4 сов х віп х = х + сі£ х;
2) 3 сов х + 2 х = 0;
3) 8 8Іп2 х 4- 4 8іп2 2х + 8 сов 2х = 5;
4) 3 + 5 сов х = віп4 х - сов4 х;
5) со8 2х-9совх + 6 = 4віп2—.
2
35.14 / Розв’яжіть рівняння:
1) 4 сі& х ~ 5 еіп х = 0;
2) 4 еіп2 2х + 7 соє 2х - 2 еіп2 х = 6;
3) 7 4- 2 зіп 2х 4- 1,5 х 4- сі& х) = 0;
л \ • 2 4 • 4
4) 81П X = СО8 —81П —;
2 2
5) 2 соз 4х - 2 соз2 х = 3 соз 2х.
35.15 / Розв’яжіть рівняння:
1) зіп2 2х - — = соз 2х сов 6х;
4
2) зіп 2х віп х 4- соз2 х = віп 5х віп 4х 4- сов2 4х.
35.16 / Розв’яжіть рівняння:
1) еіп - еіп -х + сов2 — = 2) 2 зіп х соз Зх = соз2 4х - зіп 2х 4-1.
2 2 2 4
35.17 / Розв’яжіть рівняння:
1) 3 еіп х - 8 сов х = 3; 2) 2 віп х - 5 сов х = 3.
35.18 / Розв’яжіть рівняння:
1)3 зіп х 4- 5 сов х = -3; 2) 3 >/з віп х - 5 сов х = 7.
35.19 / Скільки коренів рівняння сов 2х + віп х = сов2 х належать
проміжку [-я; я]?
35.20 / Знайдіть суму коренів рівняння 2 еіп2 х + 7 сов х + 2 = 0,
я, Зя
2’ 2
які належать проміжку
35.21 / Знайдіть усі корені рівняння 2 сов2 х = віп х, які задо-
. . я
вольняють нерівність — < X < я.
35.22 / Знайдіть усі корені рівняння еіп х 4- сов х = 1, які задо-
вольняють нерівність 0 < х < я.
35.23 / Розв’яжіть рівняння:
-«ч • 4 . • 4 / । ТС І 1
1) 81П X + ЗІП х + — =-;
\ 4/ 4
в_х * 4 *4| ТС | • 4 і ТС і л р
2) ЗІП X + ЗІП х + — +81П х— =0,5.
\ 4/ \ 4/
35.24 .* Розв’яжіть рівняння:
1) 4 зіп4 х + соз 4х = 1 + 12 соз4 х; 2) соз43х + со84 (зх — —} =
\ 4/4
35.25 /* При яких значеннях параметра а має корені рівняння:
1) зіп2 х - (За - 3) 8Іп х + а (2а - 3) = 0;
2) соз2 х + 2 соз х + а2 - 6а + 10 = 0?
35.26 /* При яких значеннях параметра а має корені рівняння:
1) соз2 х - сов х + а - а2 = 0;
2) зіп2 х - 2а зіп х + 2а2 - 4а + 4 = 0?
35.27 /* Розв’яжіть рівняння:
1) і£4 х + сі£4 х + х + сі£2 х - 4;
2) 18 соз2 х + 5 (3 соз х + соз 1 х) + 2 соз2 х + 5 = 0.
35.28 /* Розв’яжіть рівняння:
1) і£3 х + ї%2 х + сі£2 х + сі£3 х = 4;
2) 4віп2х + —+ 4зіпх + -Д~ = 11.
ЗІП 2 X 81ПХ
35.29 /* Розв’яжіть рівняння:
1) СО83 X ЗІП X + СО82 X 8ІП2 X “ З СОЗ X 8ІП3 х - З 8ІП4 х = 0;
2) 2со82х + — зіп22х + 8Іп4х + соз2х = 0;
4
3) 8ІП3 X = зіп X + СОЗ X.
35.30 /* Розв’яжіть рівняння:
1) л/З зіп2 х соз х - 4 зіп х соз2 х + л/З соз3 х = 0;
2) зіп3 2х + соз3 2х - зіп 2х = 0.
35.31 /* Розв’яжіть рівняння:
1) соз Зх + 2 соз х = 0;
35.32 /* Розв’яжіть рівняння:
1) Ззіп — = зіпх;
З
35.33 /* Розв’яжіть рівняння:
1) ^б-Ззіп х =6зіпх~1;
2) ^-соз2х = ->/2 соз х;
2) зіп 6х + 2 = 2 соз 4х.
2) соз Зх - 1 - соз 2х.
3) у/2^3 СО8 2х = ^еіп X.
35.34. ” Розв’яжіть рівняння:
1) д/іО-Івсовх = 6созх-2; 3) д/3 + 4 соз 2х = ^созх.
2) д/3 сов 2х -1 = >/2 зіпх;
35.35/ * При яких додатних значеннях параметра а проміжок
[0; а] містить рівно 3 корені рівняння:
1) 2 зіп2 х - зіп х - 0; 2) 2 соз2 х - л/з соз х = 0?
35.36. ” Визначте, при яких додатних значеннях параметра а про-
міжок [0; а] містить рівно п коренів рівняння:
1) 2 зіп2 х + зіп х = 0, п = 4; 2) 2 соз2 х + соз х = 0, п = 3.
35.37.” Визначте, при яких
(7 \ 7д
—+ а со8Х + ^—= 0
10 / 10
значеннях параметра а рівняння
має на проміжку
л 11л
З’ 6
1) один корінь;
2) два корені.
35.38. ” Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння
.2 і л/2 і . а>/2
81ПХ- а +--- 81ПХ +----
V 2 у 2
= 0 має на проміжку
0; —
з
1) два корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені.
35.39. ” Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння
соз2 х
а л
соз х — = 0 має на проміжку
о
л,5л\,
4’ 3 /
1) два корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені.
35.40. * При яких значеннях параметра а рівняння
соз2 х + (2а + 3) зіп х - а2 = 0 має:
1) один корінь на проміжку [0; я];
2) один корінь на проміжку —І;
\ 2 о/
3) один корінь на проміжку
4) два корені на проміжку
л, 5 л
6’ 6
5) три корені на проміжку [0; 2л);
6) чотири корені на проміжку
35.41.* При яких значеннях параметра а рівняння
соз 2х + (4а - 1) соз х + 2а2 + 1 = 0 має:
1) два корені на проміжку
2) три корені на проміжку
л л
2’2
л 2л
з’ з _
л
2
?
35.42. * При яких значеннях параметра а рівняння еіп х = 2 еіп2 х
і зіп Зх = (а + 1) еіп х - 2 (а - 1) зіп2 х рівносильні?
35.43. * При яких значеннях параметра а рівняння зіп 2х + а =
«- зіп х 4- 2а соє х і 2 соє 2х + а2 = 5а сов х - 2 рівносильні?
Розв'язування тригонометричних рівнянь
методом розкладання на множники
Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину
вдалося розкласти на множники, то розв’язування цього рівняння
можна звести до розв’язування кількох більш простих рівнянь.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння еіп 2х + СОЗ X = 0.
Розв'язання. Маємо: 2 зіп х соз х 4- соз х = 0;
соє х (2 зіп х + 1) = 0;
СО8Х = 0, Гс°8 х = 0, х = ^+пп,
2біпх + 1 0; 8Іпх = —“і _/ .\п+і я и
2 х = (—1) • — + ТІЛ, п Є
|_ 6
Відповідь: - + пп, (-1)п+1 • —+ яп, п є 2.
2 6
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння еіп Зх 4- еіп х = еіп 2х.
Розв'язання. Маємо: зіп Зх 4- еіп х - зіп 2х = 0;
2 зіп 2х соз х - зіп 2х - 0; зіп 2х (2 соз х - 1) = 0;
еіп2х = 0, х = —,
2
СО8Х = |; х = ±£ + 2лп,пє2.
І. о
Відповідь: ±~ + 2яп, пе 1
2 З
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння зіп2 х 4- еіп2 2х 4- зіп23х = 1,5.
Розв'язання. Скориставшись формулами пониження степеня,
запишемо:
1-сое2х 1-сое4х 1-соебх З
1 1 — —
2--------------------2-2---2
Далі маємо: соє 4х 4- (соє 2х 4- соз 6х) = 0;
соє 4х 4- 2 соз 4х соз 2х = 0; 2соз4х|~ + со82х| = 0.
\2 /
Отримуємо сукупність
л л Л ЛП
сов4х = 0, х = —+ ,
। Звідси ь 4
сов2х = --. х = ±-^ + лп, пє2.
ь г Із
Відповідь: — + ±—+ лп, п є 2.
8 4 3
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння віп 6х сов 2х = віп 5х сов Зх - віп 2х.
Розв'язання. Перетворивши добуток тригонометричних функ-
цій у суму, отримуємо:
- (віп 8х + віп 4х) = - (віп 8х + віп 2х) - віп 2х;
віп 4х + віп 2х = 0;
2 віп Зх сов х = 0.
Перейдемо до сукупності:
х - —
віпЗх = 0, 3 ’
_совх = 0; х = ^- + лп, пє2.
Відповідь: —9 ^ + лп, п є 2.
3 2
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння віп Зх + З віп 2х = З 8ІП X.
Розв'язання. Застосувавши формули синуса подвійного та
потрійного аргументів, отримуємо:
З віп х - 4 віп3 х + 6 віп х сов х - 3 віп х.
Звідси 2 зіп х (3 сов х-2 віп2 х) = 0;
2 віп х (3 сов х - 2 (1 - сов2 х)) = 0;
2 віп х (2 сов2 х + 3 сов х - 2) = 0.
Переходимо до сукупності
8ІП X = 0,
2 соз2 х + 3 сов х - 2 = 0.
Звідси
х = лп,
х = ±-^ + 2лп, пє2.
7Г
Відповідь', пп, ±— + 2пп, п є 2.
З
ПРИКЛАД б Розв’яжіть рівняння
1 + віп X + СОВ X + віп 2х + СО8 2х = 0.
Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді
(1 + сов 2х) + віп 2х + (віп х + сов х) = 0.
Тепер можна записати: 2 сов* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х + 2 віп х сов х + (зіп х + сов х) = 0;
2 соз х (зіп х + соз х) + (зіп х + соз х) = 0;
(2 сов х + 1) (зіп х + соз х) = 0.
Отримуємо сукупність
СО8Х = -~,
&
зіпх+созх = 0.
Звідси
Відповідь: ±^ + 2л;п, -~ + лп, пє2.
З 4
Вправи
36.1.° Розв’яжіть рівняння:
1) соз х + соз Зх = 0; 3) 2 зіп х соз 2х - зіп х + 2 сов 2х - 1 = 0;
2) зіп 5х - зіп х = 0; 4) 2зіпхі£х + 2зіпх-і£х-л/з =0.
36.2/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп 7х + віп х == 0; 3) х + і&2 х - 2 х - 2 = 0;
2) сов 9х - соз х = 0; 4) 72созхсі£х-3>/2совх + сі£х-3 = 0.
36.3/ Розв’яжіть рівняння:
1) со8|” + хІ+совІ—-х| = 1; 3) віп 5х = соз 4х;
\4 / \4 /
2) 8Іп(“ + хІ-8Іп("Х| = 1; 4) зіп Юх - соз 2х = 0.
\6 / \о /
36.4/ Розв’яжіть рівняння:
1) віпі — + Х +8ІП — -х) = 1; 2) соз 5х + зіп Зх = 0.
\12 / \4 /
36.5/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп 2х + 2 віп х = соз х+1;
2) 1 + соз 8х = соз 4х;
3) соз х + сов Зх + соз 2х = 0;
4) 2 віп 2х + соз Зх - соз х = 0;
5) сов х - соз Зх + віп х = 0;
6) зіп 4х + 2 соз2 х = 1;
7) соз х - соз Зх = 3 зіп2 х;
8) зіп х + віп 2х + віп Зх + віп 4х = 0;
9) соз 7х + віп 8х = сов Зх - віп 2х;
10) >/з 8іп2х + соз5х-сов9х = 0.
36.6. * Розв’яжіть рівняння:
1) зіп 2х + 2 зіп х = 0; 5) зіп х 4- зіп 2х + зіп Зх = 0;
2) зіп2х - созх = 2 зіпх -1; 6) соз9х - соз7х + созЗх - созх = 0;
3) 1 - соз 8х == зіп 4х; 7)зіпх - зіп2х + зіпбх 4- зіп8х = 0;
4) зіп2х + зіп4х + созх = 0; 8) л/2 соз 5х 4- зіп Зх - зіп 7х = 0.
36.7. * Розв’яжіть рівняння:
. 2 х , . 2 Зх і
1) зіп — +зіп—-1;
2 2
2) соз2 х 4- соз2 2х + соз2 Зх = 1,5;
3) соз 2х - соз 8х 4- соз 6х - 1;
4) 1 - соз х = х - зіп х;
5) зіп х 4- зіп Зх = 4 соз2 х;
6) соз 2х = у/2 (соз х - зіп х);
7) еіп Зх + л/з соз Зх = 2 соз 5х;
8) зіп2 х 4- зіп2 2х - зіп2 Зх - зіп2 4х = 0;
9) соз2 х + соз2 2х 4- соз2 Зх 4- соз2 4х = 2;
10) соз 9х — 2 еіп — Зх
36.8. * Розв’яжіть рівняння:
1) соз2 6х 4- соз2 5х = 1; 4) зіп 2х 4- соз 2х - \І2 зіп х;
2) соз2 х - зіп2 2х + соз2 Зх = 5) сое2х 4- соз22х = соз23х 4- соз24х;
3) соз 2х - соз 4х = зіп 6х; 6) зіп6х = 2соз^у+ 2х).
36.9/ Розв’яжіть рівняння:
1) соз Зх 4- зіп х зіп 2х = 0; 3) 2 соз (х 4- 20°) соз х = соз 40°;
2) зіп Зх соз 2х = зіп 5х; 4) соз Зх соз 6х - соз 4х соз 7х.
36.10/ Розв’яжіть рівняння:
1) 2 зіп х зіп 2х 4- соз Зх = 0; 3) зіп (х 4- соз (х + ~) = 0,5;
2) зіп (х 4- 45°) зіп (х - 15°) = 0,5; 4) зіп 5х соз Зх = зіп 9х соз 7х.
36.11/ * Розв’яжіть рівняння:
1) зіп 7х - у/2 соз 5х 4- л/3 соз їх - >/2 зіп 5х = 0;
2) 2 зіп Зх 4- зіп х - соз 2х = у/з (зіп 2х - соз х);
3) л/3(2- соз х) + 4 зіп 2х = зіп х.
36.12. ” Розв’яжіть рівняння:
1) совЗх-віпх = ->/3(віпЗх-совх);
2) (8іп2х + л/3 соз2х)2-5 = соз|“2х|.
\6 /
36.13. ” Розв’яжіть рівняння:
1) віп Зх + зіп х - віп 2х = 2 сов2 х-2 соз х;
2) (сов х - віп х)2 - 0,5 віп 4х = зіп4 х - сов4 х.
36.14. ” Розв’яжіть рівняння:
1) віп3 4х 4- сов3 4х = 1 - 0,5 віп 8х;
2) соз2х + зіп2х = >/2 (соз42х-віп42х).
36.15. * При яких значеннях а триелементна множина {зіп а,
віп 2а, зіп За} збігається з множиною {сов а, соз 2а, сов За}?
Приклади розв'язування більш складних
тригонометричних рівнянь
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння СОВ X + зіп X + віп X СОЗ X = 1.
Розв'язання. Нехай соз х 4- віп х = і. Тоді віп2 х 4- 2 віп х сов х +
^2-1
+ сов2 х = і2; віпхсовх = ——. Дане в умові рівняння набуває
.2 і
вигляду і + = 1, або і2 4- 2і - 3 = 0. Звідси іл = -3, = 1.
2 і г
З урахуванням заміни отримуємо сукупність
сов х 4- віп х = - З,
СОВ X + віп X = 1.
Оскільки І СОВ X І < 1 і | зіп X | < 1, то перше рівняння сукуп-
ності коренів не має.
Залишається розв’язати рівняння сов х 4- віп х - 1. Маємо:
>І2 . у/2
— сов х 4- —- зіп х = —-;
2 2 2
я . . я . >12
сов — СОВ X 4- ВІП -7 віп х = —-;
4 4 2
І я\ 1
сов х—7 =-ї^;
\ 4/ у/2
х-^ =+^+2пп, пеі;
4 4
х = —• ±— 4-2яп;
4 4
х = 2пп,
х = ^+2пп.
Відповідь: 2пп, ~ + 2пп, п є 2.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
СО83 X СО8 Зх + 8ІП3 X 8ІП Зх =
4
Розв'язання. З формул синуса і косинуса потрійного аргу-
менту знайдемо зіп3 х і соз3 х:
. з 3 еіп х - зіп Зх з 3 соз х + соз Зх
81П X =-------------, СО8 X =------------.
4 4
Тоді дане рівняння набуде вигляду:
Зсозх + созЗх о . Ззіпх-зіпЗх . о 72
--------------- соз Зх+-----------8іп Зх = —;
4 4 4
(соз2 Зх - 8ІП2 Зх) + З (СО8 X СО8 Зх + 8ІП х зіп Зх) = >/2;
соз 6х + 3 соз 2х = \І2;
4со83 2Х“Зсоз 2х + Зсоз 2х = >/2;
соз3 2х = соз 2х = -і;
2 72 72
х = ±~ + лй, к є 2.
о
Відповідь: ±^ + пк, к є 2.
О
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння 4 соз х соз 2х соз 4х = соз 7х.
Розв'язання. Помножимо обидві частини рівняння на зіп х.
Отримаємо рівняння-наслідок:
4 8ІП X СО8 X СО8 2х СО8 4х = СО8 7х 8ІП X.
Звідси 8Іп 8х = 2 соз 7х зіп х; зіп 8х = зіп 8х - віп 6х;
зіп 6х = 0; х = к & 2.
О
Оскільки корені рівняйня зіп х = 0 не є коренями заданого
в умові рівняння, то з отриманих розв’язків необхідно виключити
всі числа виду х = пт9 т є 2. Маємо
тск
— ^пт9 звідси к 6т.
Відповідь: к є 2, к Ф 6т9 т є 2.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння сов^—— = х2 + 1.
5
Розв'язання. Оскільки при будь-якому значенні х викону-
ються нерівності СО8 ~ 1 і X2 + 1 > 1, то коренями даного
5
рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої
і правої частин одночасно дорівнюють 1. Отже, дане рівняння
рівносильне системі
х2 ~ 8х
СО8-------= 1,
5
х2 + 1 = 1.
Друге рівняння системи має єдиний корінь х = 0. Він також
задовольняє перше рівняння системи.
Відповідь9. 0.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння х2 - 2х 8ІП ^ + 1 = 0.
Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне від-
носно х. Оскільки дискримінант І) = 4 зіп2 -“4 має бути невід’-
ємним, то отримуємо зіп2 > 1. Звідси ЗІП = 1 або ЗІП = -1.
Тепер зрозуміло, що задане в умові рівняння рівносильне сукуп-
ності двох систем:
. тис і
8ШТ = 1,
х2-2х + 1 = 0,
І . тис і
8ШТ = -1,
х2 + 2х + 1 = 0.
Відповідь: 1; -1.
Вправи
37.1/ Розв’яжіть рівняння 2 він 2х = 3 (віп х + сов х).
37.2/ Розв’яжіть рівняння зіп 2х + 5 (зіп х + сов х) = 0.
37.3/ Розв’яжіть рівняння:
1) 8ІП3 х + СО88 х = 1; 2) 1+81п2х+2.* 1 + ^ = 3.
1~8Іп2х 1-І&Х
37.4/ Розв’яжіть рівняння 8ІП X + сов X = 1 + 8ІП X сов X.
37.5. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 3 соз х + 3 зіп х 4- зіп Зх - соз Зх = 0;
2) соз 4х = соз1 2 Зх;
3) зіп3 х зіп Зх 4- соз3 х соз Зх = соз3 4х.
37.6. ” Розв’яжіть рівняння:
З >/з
1) зіп3 х 4-зіп Зх =—— 8Іп2х;
4
2) соз 6х + 8 соз 2х - 4 сов 4х - 5 = 0.
37.7. ” Розв’яжіть рівняння:
1) соз х соз2х соз4х сов8х-
2) соз х 4- соз 2х 4- соз Зх 4- соз 4х = -0,5;
3) соз2 х+соз2 2х + соз2 Зх + соз2 4х = 1
4
37.8. ” Розв’яжіть рівняння:
1) созхсо8 2хсо8 4хсоз8х = ~со8І5х;
2) зіп х 4- зіп 2х + зіп Зх = соз х + соз 2х 4- соз Зх;
3) соз 2х 4- соз 4х + соз 6х 4- соз 8х = -0,5.
37.9. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 2соз =х24-4Х4-6; 2)3созх 4-4зіпх = х2 - 6х 4-14.
37.10. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 8Іп^ = х2-4х+5; 2) віп/+соіх =
37.11. ” Розв’яжіть рівняння зіп х = х2 4- х 4- 1.
37.12. ” Розв’яжіть рівняння Зх2 -1-2 соз х.
37.13. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 4г/2 - 4г/ соз х 4- 1 = 0;
2) (х 4- у)2 4- 10 (х 4- у) соз (пху) + 25 = 0.
37.14. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х2 4- 8х зіп (ху) 4- 16.= 0; 2) у2-З (созх-зіпх)#4-9 = 0.
37.15. ” Розв’яжіть рівняння:
1) соз 2x4-соз ^ = 2; 2) зіп 6x4-соз ^^ = -2.
о
37.16. “ Розв’яжіть рівняння:
1) СО8^^СО8^ = 1; 2) 8іп2х + со8^ = 2.
’ 6 6 ' З
37.17. ** Розв’яжіть рівняння:
1) соз7 х + зіп4 х = 1; 2) 78ІПХ + 7СО8Х =1-
37.18. ** Розв’яжіть рівняння:
1) зіп3 х 4- соз® х = 1; 2) соз4 х - зіп7 х = 1.
37.19. ** Розв’яжіть рівняння:
1) зіп5 х + соз5 х - 2 - зіп4 х; 2) 724- соз2 2х = зіп Зх - соз Зх.
37.20. ** Розв’яжіть рівняння:
1) зіп 5х 4- зіп х = 2 4- соз2 х; 2) 4- зіп2 Зх = зіп х 4- 2 соз х.
37.21. * Розв’яжіть рівняння ^3-і£2зіп кх-соз лх = 2.
37.22. * Розв’яжіть рівняння - сі#2 2пх соз пх 4- зіп лх = ТІ.
37.23. * Розв’яжіть рівняння:
1) 15 4-—|(2-5іп6х) = 74-соз2ї/;
к зіп X/
/ і \2 / і V і
2) зіп2х + з—І 4- соз2 х 4-—=—І = 124-±зіп//.
\ зіп х/ \ соз х/ 2
37.24. * Розв’яжіть рівняння:
1) (зіп (х - у) 4- 1) (2 соз (2х - у) + 1) = 6;
2) і£4 X 4- І£4 У 4- 2 СІ£2 X сі£2 у = 3 4- ЗІП2 (X 4- у).
37.25. * При яких значеннях параметра а рівняння
6асоз^-а2(14-б| х |) + 7 = 0
£л
має єдиний корінь?
37.26. * При яких значеннях параметра а рівняння а2 соз пх -
- а (1 4- 8х2) = 6 має єдиний корінь?
37.27. * При яких значеннях параметра а рівняння х2 - 2а зіп (соз х) 4-
4-2 = 0 має єдиний корінь?
37.28. * При яких значеннях параметра а рівняння 2х2 - аі£ (соз х) +
4- а2 = 0 має єдиний корінь?
37.29. * Знайдіть множину пар чисел (а; Ь), для кожної з яких
рівність а (соз х - 1) 4- Ь2 = соз (ах 4- Ь2) - 1 виконується для
всіх х.
37.30. * При яких значеннях параметра а рівняння
(а-1)5Іп^4-зіпх = 1 і (а - а2) соз 2х 4-зіп х = а
о
мають рівні непорожні множини розв’язків?
Про рівносильні переходи при
розв'язуванні тригонометричних рівнянь
Рис. 38.1
Множина
Область
визначення
рівняння
коренів
рівняння
У попередніх пунктах ви ознайоми-
лися з основними прийомами розв’я-
зування тригонометричних рівнянь.
Проте при застосуванні кожного методу
є свої тонкощі, нюанси, «підводні рифи».
Очевидно, що поза областю визна-
чення рівняння коренів бути не може
(рис. 38.1). Якщо під час перетворень
рівняння відбувається розширення об-
ласті його визначення, то зрозуміло, що
це може привести до появи сторонніх
коренів. Цю небезпеку слід брати до уваги при розв’язуванні
тригонометричних рівнянь.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння
2-2 зіп2 х - сов х
6х2 + 5ях + я2
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі
2-28іп2х~со8х = 0,
6х2 + 5лх + я2*0.
2С082Х“С08Х = 01
х = ^+лЛ, ЛєЕ,
2
Маємо:
Звідси
х = ±^+2лп.
«-І
я
2
я
З’
Зауважимо, що при к = -1 корінь першого рівняння, а при
п = 0 один із коренів другого рівняння сукупності не задоволь-
няють систему.
Відповідь: £+2пп, -~+2пт, £+пк, п е 2, т є 2, к є 2,
З 3 2
т Ф 0, к * -1.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння СО8Х 008 х = 0.
1 - зіп X
Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи:
сов х = 0,
созх = 1,
віп х Ф1;
Х = ^ + 7Г&, &є2,
х = 2лп, пє2,
х*^ + 2л/, І є 2.
Очевидно, що при парних значеннях к розв’язки першого
рівняння сукупності не задовольняють систему. При к = 2т - 1,
пг є 2, отримуємо х = ~+л(2т-1) = “ + 2лт, т є 2.
а А
Відповідь: -~ + 2пт, т є 2, 2лп, п є 2.
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння 8——- = л/З І£2 X.
созЗх
Розв’язання. Застосуємо формули синуса і косинуса по-
~ Ззіпх“4зіп3х-28іпх /т. 2
трійного аргументу. Отримаємо: -------а--------— = уіЗі% х.
4 соз х - 3 соз х
Звідси — = -Тз ід2 х. Останнє рівняння рівносильне
соз х (1 - 4 зіп2 х)
системі
І£Х = >/3 І£2Х,
1 звідси *
8ІПХ9*±^,
4и
Ч£Х = О,
*Єх = ^,
о
. 1
8іпх^±~;
х = лп, иє2,
х = 5+яй, &є2,
б
, 1
8ШХ*±-.
2
Відповідь: пп, п є 2.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння
л/9-х2 (2 віп2лх+5сов лх) = 0.
Розв’язаная. Дане рівняння рівносильне системі
Г9-х2 = 0,
[2 віп 2лх+5 соз лх = 0,
9-х2>0.
Гх2-9=0,
Звідси . |_4 зіп лх соз лх + 5 сов лх = 0,
х2 < 9;
х2=9,
[соз лх (4 зіп пх+5) = 0,
х2<9;
х* = 9,
соз лх = 0,
5
ЗІП ЛХ = --
4
х2 = 9
ЛХ = ^ + Л&, ЙбХ,
х = 3,
х = -3,
х = ^ + А, к є 2,
2
Розв’язавши відносно к
систему
відповідь.
-3<х<3.
І+ЛСЗ,
2
отримаємо
|+А>-3, йє2,
..4-І
Відповідь: х = 3, або х - -3, або х = ^ + &,
а
де к є {-3, -2, -1, 0, 1, 2}.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння ^соз 2х СОЗ X = 0.
Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи:
соз х = 0,
[соз 2х = 0,
соз 2х > 0;
При х = ^ + пк маємо: соз
П ПП П і
маємо: соз2х = соз
4 2 \
х = ^+лк, кє%,
х = Т+-о”’ пєА
соз 2х > 0.
2х = соз (л + 2лА) = -1 <0. При
Відповідь: 4 + п є X.
4 2
У деяких тригонометричних тотожностях вирази, які записано
в лівих і правих частинах, мають різні області визначення. На-
ведемо кілька прикладів.
п . СС
2*8^
зіп а =-----—
1+г«2її
(1)
Областю визначення лівої частини цієї тотожності є множи-
на В, а правої — множина {а є В | а л + 2пк, к є 2}.
V
і£(а+|}) =
І£а+іеР
1-а Р
(2)
Областю визначення лівої частини тотожності (2) є множина
{(а, Р) | а + Р * +пк, ке 2}; область визначення правої частини —
А
множина {(а, Р) | а^^ + лп, пеі, Р^^ + лти, т є 2, а + р*^ + лЛ,
ц ц а
А є 2}.
Застосування цих формул справа наліво призводить до розши-
рення області визначення рівняння, а отже, з’являється загроза
появи сторонніх коренів.
ПРИКЛАД і Розв’яжіть рівняння (1 + і£2 х) ВІП X + І£2 X - 1 = 0.
Розв'язання. Запишемо дане рівняння у вигляді
(1 + і£2 х) ВІП X = 1 - X.
Поділимо обидві частини останнього рівняння на 1 + х.
Зрозуміло, що таке перетворення не порушує рівносильності.
Маємо віп х -Оскільки має місце формула сов 2х = -—
1 + І£ 2Х 1 + і£ 2Х
то виникає бажання замінити праву частину останнього рівняння
на соз 2х. Проте така заміна розширить його область визначення
на множину чисел виду +лй, к є 2. Отже, дане рівняння рівно-
сильне системі
зіп х = соз 2х,
созх^О.
5ІПХ = -1,
1
ВІП х — —,
І 2
сов х Ф 0.
„ . [2зіп2х + віпх-1 = 0,
Звідси <
Ісозх^О;
Отримуємо 8ІПХ = І.
Відповідь: (-!)*• ~ + лп, п е 2.
Очевидно, що звуження області визначення рівняння — це
загроза втрати коренів. Наприклад, застосування формул (1) і (2)
зліва направо може призвести до втрати коренів.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння 2х + зіп 2х = -~сі§ х.
15
Розв'язання. Застосувавши формули
. о 2ісх . о 2іех . 1
і^2х =--, зіп2х =---------і сі&х = -—,
6 1-і£ 2х 1 + І£2Х Ї&Х
дане рівняння зручно звести до алгебраїчного рівняння відносно
х. Проте такі перетворення звужують область визначення рів-
няння і призводять (у цьому нескладно переконатися) до втрати
коренів виду “ + лп, п є 2. Цей факт треба врахувати при запи-
сі відповіді.
П . 2 І£ X , 2 І£ X 16
Розв язавши рівняння -----^—+---2-5-т = — --, отримаємо
1-І£2Х 1 + І8 X 15ІЄХ
х = ±агсі£^ +ли, пє2.
п 1
Відповідь: — + лп, ±агсі& — + лп, п є 1
2 2
(5л \
— + х =
4 /
-1-5сі§х.
Розв'язання. Очевидно, що вигідно застосувати тотожність
/5л \ іе^ + іех
— + х =----------. Але при цьому область визначення рів-
\ 4 / . . 5л.
1-Ье~т^ех
4
{те І
—+тік, кеИт. Легко переконатися,
що числа виду ~ + лЛ, к є 2, є коренями даного рівняння. Тому
запишемо сукупність, рівносильну даному рівнянню:
х-~ + л/г, ЛєХ,
ІВ^ + І'Єх 5
4_________= —1 — 0
к . 4
Звідси
х-^+пк, кеХ,
2
х =—+пк, Лє2,
1 + І£Х _ 1 5
І-іех
І£х’ .
ТЕ 5
Відповідь: —+пк, агсі£-+лЛ, к є 2.
2 З
Вправи
38.1 / Розв’яжіть рівняння:
1) -^^ = 0:
х + 2л
91 - З 8ІП Х ~ 008 _ А. о\ 1 ~ 5 8ІП ПХ + 2 СО82 ПХ
6х2-пх-п2 ’ 6х2 + х-5
38.2 / Розв’яжіть рівняння:
ЗІП X - СО8 X _ 0
4х- п
3)
3зіп22лх-ь7соз2лх-3
4х2-7х-ьЗ
СО8 2х - 2 008 X +1
12х2 -8лх + л2
38.3 / Розв’яжіть рівняння:
11 008 2*
1 - зіп 2х
л ч ЗІП 2х 008 Зх - 008 2х зіп Зх Л
4) ----------:----------------= 0;
1 + 008 X
2)
ЗІп2х
1 - 008 2х
8 ЗІП X 008 х зіп 2х -1
-Тз + 2 зіп 4х
3)
8ІП2Х + ЗІПХ
1 + 008 X
зіп2х
1 + зіп X
= ~2 соз х.
38.4/ Розв’яжіть рівняння:
008 2х Л
4 1 + зіп2х
2 8ІП2Х4-3 8ІП X _ П1
о) —О;
1 - 008 X
зіп 2х о .
5) -------= 28іпх.
7 1-008 X
зіп 2х о
2) 1 + СО82Х- ’
ЗІП X -
41 -------= 1-созх;
7 1 + СО8Х
38.5 / Розв’яжіть рівняння:
1) -Тх-2 зіппх = 0;
38.6 / Розв’яжіть рівняння:
1) л/З-хсозлх = 0;
38.7 /* Розв’яжіть рівняння:
008 X - 4 8ІП2 ХСО8 х _ п.
8ІпЗх + 1 “ ’
1-СО8Х-8ІПХ _п
' 008 X
38.8 /* Розв’яжіть рівняння:
11 СО822х-8ІП2Х __д.
) 8іп3х-1 “ ’
2) -725 - 4х2 (3 зіп 2пх + 8 зіп пх) - 0.
2) -749-4х21зіп лх + 3 соз і = 0.
3)
2)
8ІП X + 008 4х - 2
2 008 ~ - -ТІ
&
008 X + 008 Зх + 2
. х 1
8Ш 2 2
= 0.
38.9. ” Розв’яжіть рівняння:
1) ^/віп х со8Х = 0;
2) х~^3 соз * = 0;
3) л/соз^х (8 зіп х + 5 - 2 соз 2х) = 0.
38,10. ” Розв’яжіть рівняння:
1) уїсозх зіпх = 0; 3) ./зіпх (4-5созх-2зіп2х) = 0.
/ уІ2
2) 4ІСО8Х-—8Іпх = 0;
V л
38.11. ” Розв’яжіть рівняння:
4.^/п , 5л\ о , о .їх 13л і Ніс 2сі£х + 3
1) 2х+—] = 2сІє2х+-сїє—; 2) сі£ —= — ° .
\ О / О О О . І п 1
Мх+б)
38.12. ” Розв’яжіть рівняння:
о
1) і£2х + 8іп2х = —сі£х;
2) іе(2х-£) = сі;8^ + 3сі£2х;
3) 2іє(5+х)+5л/зі8(| + х) = -7.
Приклади розв'язування систем
тригонометричних рівнянь
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть систему рівнянь
х + і/ = —,
* з
8ІП X + 8ІП у = 1.
Розв'язання. Перепишемо дану систему у вигляді
х + у = ~,
* 3»
о . х + у х-и ч
2 зіп —СО8 —= 1.
2 2
Підставимо в друге рівняння системи замість х + у. Маємо:
з
х + і/ = ^,
У 3»
- . л х—у
2 8іп — соз-- = 1;
6 2
х + у = -~,
У З»
х~У і
соз—— = 1;
2
.Х+У=1>
х-у = 4пк, кє%.
Далі отримуємо:
х = ^+2пк,
6
у = ^-2л/г.
Г 6
Відповідь'.
—+2лЛ; -~2л/г
>6 6 ,
кеі.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть систему рівнянь
6
1
СОЗ X ЗІП у = —.
Розв’язання. Ураховуючи, що х-у = ^, перетворимо друге
6
рівняння системи:
І (зіп (у - х)+зіп (у+х)) =
+ 8Іп(х+і/)
1.
4’
зіп (х + у) = 1; х + у = — + 2пк, к є X.
£
Тепер система набуває вигляду
я
х-У=її,
х+у = + 2 л/?.
Звідси отримуємо:
я ,
х =—+л/?,
О
у = ^ + пк.
І о
Відповідь: 177+лЛ; ^ + лЛ|, к є 2.
\О О /
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть систему рівнянь
. я
х + и = —
* 4
І£Х + І£1/ = 1-
Розв’язання. Перетворимо друге рівняння системи:
зіп (х + у) * _ . п уі2
------— = 1. Оскільки х + м = —, то маємо: соз х соз і/ = ——;
соз х соз у 4 2
1 5/2
- (соз (х + у)+соз (х - у)) =—;
1 І Я , у/ї
- соз—+соз(х-и)
2\ 4 9 ) 2
л/2 Г~
—+со8(х-у)=у2;
а
СО8(Х-1/) = —
А
х-у~±— + 2л&, к є
4
Тепер отримуємо:
. я
х + у — --9
4
х-у~^- + 2лк9
4
. Я
х + ^ = 7’
4
х_^-_2Е + 2л&.
4
Л . ,
х = - + л/г,
4
Звідси
у = -пк9
х = пк9
л ,
у = --пк.
4
Відповідь:
— + лк-9 -лАп, лА?; --пк , к є Я.
Л / \ 4 /
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть систему рівнянь
зіп х сов у = 0,25,
созх віп у = 0,75.
Розв’язання. Запишемо систему, рівносильну даній:
віп х сов у + сов х зіп у = 1,
зіп х соз у - сов х віп у = -0,5.
Звідси
віп (х + і/) = 1,
віп (х-і/) = -0,5;
х + і/ = ^ + 2л/?, ЛєЖ,
х-і/ = (-1)п+1-^ + лп, пєХ;
о
(1)
(2)
х+у=^+2пк,
х-у = -~^2пп.
І у 6
с
Л л »
х + і/ = -- + 2л&,
у 2
х-і/ = -~ + 2лп;
6
х = ^+п(к+гі),
О
У = ^+п(к-п),
х = “+л(Л+п),
у = ^ + п(к-п).
о
Зауважимо, що, переходячи від системи (1) до системи (2), при
записі розв’язків першого рівняння системи ми використовували
параметр к, а при записі розв’язків другого рівняння — пара-
метр п. Вживання тільки одного параметра призвело б до втрати
розв’язків. Справді, якщо записати систему (2), використовуючи
лише параметр к, отримаємо сукупність:
х + у - + 2пк,
х-у--— + 2лк,
* 6
ЗВІДСИ
х + у = — + 2тік,
* 2
х- у = ——~ + 2я/г,
* 6
х = - + 2пк,
6
я
у~ з’
х = -—+2пк,
6
Тепер бачимо, що множина розв’язків отриманої сукупності
є підмножиною множини розв’язків вихідної системи. Так,
7л. 4я
6 ’ З
наприклад, пара
є розв’язком системи рівнянь, проте не
є розв’язком отриманої сукупності.
Відповідь} + я(к + гі); ^ + л(&-п)|,[“ + л(& + п); Д^ + л(/?~лг)
\6 3 / \ 6 3 і
к є 2, п є 2.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть систему рівнянь
І£Х + І£1/ = 2,
2 соз X СОБ і/— 1.
Розв’язання. Маємо:
8ІП (х + у)
СО8 X СО8 у
соз х соє у = 0,5;
ЗІП (х 4- у) = 1,
соз х соз у - 0,5;
х + = —+ 2пк, кє%,
со8хсо8і/ = 0,5;
у =—+2пк-х,
а
зіп2х = 1;
і/ = —+ 2л/г —х, я , о ,
у 2 і^= +2яй-х,
І "
сов х сов І - + 2пк- х І = 0,5; сов х віп х = 0,5;
\2 І
Л .
X = ~ + яп,
4
у = ^^п(2к-п)9 кє%,
4
Відповідь: Іу + яп; ^ + л(2к-п)), к є й, п є 2.
\4 4 /
Вправи
39.1.’ Розв’яжіть систему рівнянь:
1) н 1 II 00 |а 0 ео л х-у=~, О
2) совх+сов у = 1 2 5 х + і/ = -л, ! 4) СО82Х + СО821/ = —; 4 СО82 X - СО82 у = ~ л х-и = —, * 3 1 СО8ХСО8 У~—. 1 У 2
со|
39.2 .’ Розв’яжіть систему рівнянь:
ґи-х = 60°, х + у = ~,
і) Г ’ к 3) * з’
[сов х+сов у = 1,5; [8ІП пх + 8ІП = 1;
2) х + ^ = 7’ 4 4) - х + і/ = ~, у 3>
8іп2х + 8Іп2і/ = 1; 8ІПХ8ІП 1/ = 0,25.
39.3 / Розв’яжіть систему рівнянь:
, 2л
х + і/ =—,
* З
1)
8іпх-28іп у = 0;
2)
39.4/ Розв’яжіть систему рівнянь «
5
Іх + і/ = -л,
І
сов 2х+віп у = 2.
х~У = ^п,
віп х = 2 зіп у.
39.5 / Розв’яжіть систему рівнянь:
4
1)
х + у = ~,
* 2»
2)
Ї£ХЇ£у = -.
О
39.6 / Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
2л
о
і£х-ІЄ!/ = -2>/3;
2)
л
х-у = ~,
* 6
СІ£ХСІ£1/ = 1-
39.7 / Розв’яжіть систему рівнянь:
8Іпхзіпг/ = ^, [спч£±^гоч£г£-0 25
1) І 4 3) І соз 2 соз 2 -0,25,
созх соз у =—; [созх соз у = -0,5.
4
8ІП ЛХ СО8 Лї/= ~~,
2) У 2
ЛХ СІ£ лі/ = -1;
39.8 / Розв’яжіть систему рівнянь:
(зіп х соз у = -0,5,
[созх зіп у = 0,5;
І£Х-1О = 1,
СОЗ X соз
2)
зіп X зіп у = *
4 <2
іехієі/ = |;
О
созх соз у = 0,25,
Х+У х-у л ~
соз--- соз--~ = 0,5
2 2
Найпростіші тригонометричні нерівності
Нерівності виду / (х) > а, / (х) < а, де / — одна з чотирьох
тригонометричних функцій, називають найпростішими тригоно-
метричними нерівностями.
Підґрунтям для розв’язування цих нерівностей є таке на-
очне міркування: множиною розв’язків нерівності / (х) > § (х) є
множина тих значень змінної х, при яких точки графіка функ-
ції / розміщені вище за відповідні точки графіка функції §
(рис. 40.1). На цьому рисунку проміжок
розв’язків нерівності / (х) > § (х).
Розв’язування найпростіших три-
гонометричних нерівностей проводи-
тимемо за такою схемою: знайдемо
розв’язки на проміжку, довжина
якого дорівнює періоду даної функції;
усі інші розв’язки відрізняються від
знайдених на Тп, де Т — період даної
функції, п є 4 п 0.
Розглянемо приклади.
(а; Ь) — множина
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність зіпх>~.
Розв'язання. На рисунку 40.2 зображено графіки функцій
у = зіп х і у--. Оскільки агсзіп--—, то графіки перетинають-
2 2 6
ся в точках з абсцисами —+ 2лп, — + 2лп, пє X.
6 6
Розв’
। • • • Л Л л
яжемо цю нерівність на проміжку —; — + 2л завдовжки
|_6 6
в період функції у = ЗІП X.
На цьому проміжку графік функції у = зіп х знаходиться вище
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх
проміжків виду |^ + 2лп; ^ + 2лп|, пє2. Таке об’єднання прийня-
\о о /
то позначати так: О
пєй
— + 2лп; — + 2лп
.6 6
Відповідь записують в один з трьох способів:
—+ 2лп<х< —+ 2ли, п є 2,
6 6
ібо | —+ 2лп; — + 2лп|, п є 2,
\6 6 /
пєй
+ 2лп; — + 2лпІ.
6 /
л/З
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність 8Іпх<~—.
Розв'язання. Оскільки агсзіп-^—= —, то розв’яжемо цю не-
2 З
рівність на проміжку
^ + 2тс
Із з
тобто на проміжку
з;
7л
З
На проміжку, що розглядається, графік функції у - віп х
розміщений нижче від графіка функції у-
Рис. 40.3
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх
/2л , о 7л,
проміжків виду І---н2ли;---ь
\ О о
П Є 1
Відповідь'. —+ 2ли<х< —+ 2лп, леї.
З З
У прикладах 1 і 2, розв’язуючи нерівності виду зіп х > а
і зіп х < а, ми розглядали проміжок виду [агсзіп а; агсзіп а + 2л].
Зрозуміло, що розв’язування можна провести, розглядаючи будь-
який інший проміжок, довжина якого дорівнює 2л, наприклад
проміжок [-2л + агсзіп а; агсзіп а].
\/2
ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність СОЗ X >—
Розв’язання. Маємо:
агссоз
Зл
4 ’
Розв’яжемо дану
нерівність на
5л, Зл
_ 4’4.’
проміжку
-2п + —; —
4 4]
тобто на проміжку
Рис. 40.4
На цьому проміжку графік функції у = сов х розміщений вище
за графік функції у = -^~- при (рис. 40.4).
2 \ 4 4 /
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх
проміжків виду І-^“ + 2яп; ^~ + 2ттІ, пє 1
Відповідь: + 2тш<х<^~ + 2ли, пєі
4 4
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність X < 1.
Розв'язання. Розв’яжемо дану нерівність на проміжку І-—: —
\ 2 2
Оскільки агсі£ 1 = ~, то на проміжку, що розглядається, гра-
4
фік функції у - х розміщений нижче від графіка функції у = 1
при (рис. 40.5).
Рис. 40.5
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх
(Я 7С |
+ 7ги; — + лпІ, п є
а 4 /
Відповідь: + лп<х<^ +лп, п є 2.
2 4
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність СІ£ X > -\/3.
Розв'язання. Розв’яжемо дану нерівність на проміжку (0; я).
Оскільки агссі£ (-л/з) = то на проміжку, що розглядається,
графік функції у = сі& х розміщений не нижче від графіка функ-
(5л
0; — (рис. 40.6).
Рис. 40.6
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх
проміжків виду
лп; — + лп
6
п є Ж.
5л
Відповідь: пп < х < —н лп, п є 2.
6
ПРИКЛАД-б Розв’яжіть нерівність ЗІП X - соз х > -1.
Розв’язання. Маємо:
8Іпх-8Іп ^~х >“1; 2соз — зіп х- — |> —1;
\2 / 4 \ 4/
л/2 зіп (х - > -1; зіп(х"]>—.
\ 4/ \ 4/ 2
Скориставшись рисунком 40.7, отримуємо:
+ 2лп<£< — + 2лп, пє2.
4 4
Звідси + 2лп<х~ —< —+ 2лп; 2лп<х<^ + 2лп.
4 4 4 2
Відповідь'. 2лп<х< —+ 2лп, пє^.
Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
можна інтерпретувати за допомогою одиничного кола.
\/3 1
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть нерівність —— Ссозхс-.
Рис. 40.8
Розв’язання. Виділимо на одинич-
ному колі множину точок, абсциси
л/з . . . 1
яких не менші від---і менші від —
2 2
(рис. 40.8).
Множина розв’язків даної нерівно-
сті — це множина таких чисел х, що
точки РХ=В*(РО) належать дузі АВ
або дузі СВ.
Маємо:
1л. ґ 5л
агссоз - = - і агссоз---= —.
2 3 V 2 7 6
Уявімо собі, що ми рухаємося по дугах АВ і СВ проти годинни-
2Е 5 я
кової стрілки. Тоді можна записати: А = Я$(Р0), В = Я06 (Ро),
7я 5я
(Ро), Р = ЯО3 (Ро).
З урахуванням періодичності функції у = соз х переходимо до
сукупності, яка рівносильна даній нерівності:
- + 2пк<х< — + 2пк,
З 6
— + 2пк<х< — + 2пк, ке%.
І 6 З
Відповідь: —+2пк<х<—+2пк або^ + 2яй<х< — + 2пк, ке 2.
З 6 6 З
Вправи
40.1.° Розв’яжіть нерівність:
1) зіпхс-; 2 ЛА / л/З 4) сов х С—; 2 7) СІ£Х< 9) зіпхс —; 6
2) зіпх>-—; 2 5) х < -1; 8) сіє х > -1; 10) х > 3.
3) созх>—; 6) О
40.2. ° Розв’яжіть нерівність:
п • ^а/2 л/3
1) зіп х <—; 4) соз х >—;
2 2
» 1
2) 8іпх>-~; 5) х > -1;
3) СО8Х<~; 6) £&х<-л/3;
40.3. ° Розв’яжіть нерівність:
1) зіп2х>^; 2) ^)< >/3;
40.4/ Розв’яжіть нерівність:
1)зіп^<|; 2) сі8М>л/3;
40.5. ° Розв’яжіть нерівність:
7) сі£х>-^~;
О
З
9) со8х>-;
5
8) сІ£ х С 1; 10) сі& х < 2.
3) сі£ 5х > 1; 4) сов(—Зх)>—
о
А/о і
3) і£2х<-~-; 4) соз4х<“.
1) іе|х-£І<л/3; 3) сі£|--хі>4=; 5)
\ 3/ \4 / 7з
2) сов [їх - -) > 4) 2 зіп - Зх) < л/З; 6)
\ 6/ 2 \6 /
40.6 / Розв’яжіть нерівність:
еіп (1-2х)<—
1) сі/х + ^)>73; 3) 2віп(— -х)<1; 5) С08іх-£)>|;
\ 6/ \ 3 / \ о/ 2
2) со8(|+і)<-^; 4) *е(її+т)<6) 8ІП(4х+5)<-^-
О/ \0 4/ О \ о/
40.7 / Розв’яжіть нерівність:
1 . . 1
1) --<8іпх<~;
2 4
2) -~<СО8Х<—;
2 4
40.8/ Розв’яжіть нерівність:
іч / 1
1) -<со8Х<-~;
2) -Ч81ПХС-;
З 2
3) -2 < х < 3;
4) -1<сі£х<>/3.
3) -4 < сі£ х < 1,5;
4) ~^<і§х<1.
О
н І Приклади розв'язування більш складних
р тригонометричних нерівностей
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність і£2 X < 3.
Розв'язання. Маємо: -\ІЗ < х < >/3.
На рисунку 41.1 зображено графіки функцій у = х9 у~\І39
Оскільки агсі&л/з = ^, агсі£ (-\/з) = то на проміжку
о о
(Я Я | , • ч •.. . • м • і •
; —І графік функції у = х розміщений нижче від графіка
функції у = \ІЗ і вище за графік функції у = -\ІЗ при хєі-~).
Звідси отримуємо відповідь.
Відповідь: -~ +лп<х< —+ лп, пеі
З З
4 5
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність 8ІП X + СО8 X < —.
8
Розв'язання. Маємо: (§іп2 х + соз2 х)2-2зіп2хсо82х<
8
1--*48Іп2хсо82х< — ; івіп22х>^; 8Іп22х>^;
2 8 2 8 4
1 - сов 4х 3 .1
------->-; соз4х<--.
2 4 2
Нехай 4х = і. Отримуємо со8£<~.
6 2 3 2’
Відповідь: - + — <х<- + —, п є 2.
6 2 3 2
ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність -5 8ІП X + сов 2х < 3.
Розв’язання. Маємо: -бвіпх + 1 ~ 2зіп2х < 3;
2зіп2х 4- 5віп х + 2 > 0.
Зробимо заміну віп х - і. Маємо:
2ґ2 + 5і + 2 > 0; £ < -2 або І
2
Оскільки І і | < 1, то віпх>-~. Звідси
&
+ 2яп<х< —+ 2лп, п е 2.
6 6
Відповідь: -~ + 2пп<х< — + 2пп, п є 2.
6 6
У 9 класі ви ознайомились із методом інтервалів для розв’язу-
вання раціональних нерівностей. Цей метод можна використову-
вати і при розв’язуванні тригонометричних нерівностей.
Для розв’язування нерівності виду / (х) > 0 (або / (х) < 0),
де / — періодична функція, достатньо, користуючись методом
інтервалів, знайти розв’язки на проміжку, довжина якого дорів-
нює періоду функції /. Потім записати відповідь з урахуванням
періодичності. В аналогічний спосіб розв’язуються нестрогі не-
рівності / (х) > 0 і / (х) < 0.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність зіп 2х 4- зіп X > 0.
Розв’язання. Розглянемо функцію / (х) - зіп 2х + зіп х,
В (/) = К, яка є періодичною з періодом 2л.
Знайдемо нулі функції / на проміжку [~л; л].
Маємо: віп 2х 4- віп х = 0;
2 віп х сов х + віп х = 0; 2 зіп х І соз х +-1 = 0;
\ 2/
зіпх = 0,
1
совх = —;
2
х = лп,
х = ±—+ 2лп, пєі
З
На проміжку [~л; л] функція / має п’ять нулів: -л,
0,
З
2л
З ’
л. Ці числа розбивають указаний проміжок на проміжки
знакосталості (рис. 41.3).
Рис. 41.3
Функція / набуває додатних значень на проміжках
З урахуванням періодичності функції / запишемо відповідь.
Відповідь'. -л + 2лп<х<-— + 2лп або 2лп<х< —+ 2лп, п є 2.
З З
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність
віпх- І£Х>0.
Розв’язання. Розглянемо функцію
/?(х) = Ізіпх--Іі£х. Вона
\ /
є періодичною з періодом 2л (доведіть це самостійно).
Знайдемо нулі функції / на проміжку
зіпХ“Іі£х = 0;
к /
зіп х = -, X = (~1)п • — + лп,
2 7 6
і£х = 0; |_х = лп, пє2.
Маємо:
На проміжку
л. Зл
2’ 2
функція / має чотири нулі: 0
л 5л
’ 6’ 6 ’
7Г.
л. Зл~І
2’ 2 1
Функція / на проміжку
З я
2 _
не визначена в точках
п
2’
— і —. Ці числа і нулі функції / розбивають проміжок
£
п Зл
2’ 2
на проміжки знакосталості (рис. 41.4).
Рис. 41.4
З урахуванням періодичності функції / запишемо відповідь.
Відповідь: -~ + 2тт<х <2яп, або — + 2лп<х< — + 2лп, або
2 6 2
— + 2лп<х<л + 2яп, п е 2.
6
Вправи
41.1 / Розв’яжіть нерівність:
1) І СО8Х
2) | соаЗх |<^;
41.2 / Розв’яжіть нерівність:
1) | соз2х
2) | 8Іп2х |<-^;
41.3 / Розв’яжіть нерівність:
• 4 х 4 х 1
1) 81П —+ СО8 —
З 3 2
2) 8Іп(—-х| + со8| —-х|>л/3;
7 \3 І \6 /
41.4/ Розв’яжіть нерівність:
3) |і£х|<л/3;
4) | х | > 2.
3) |сі£х|<>/3;
4) | сі£ х | > 5.
3)
8ІП X + СО8 X
8ІП X - СОЗ X
>л/3.
1) 8Іп6х + соз6х>^;
2) зіп х > соз х;
3) СО8ЛХ + 8ІП ЛХ + —1>0.
\ 4/
41.5 / Розв’яжіть нерівність:
1) 4СО8ХСО5|Х4~|>5/3;
\ 6/
41.6 / Розв’яжіть нерівність:
1) 2зіп х + — созх<л/3;
\ З/
41.7 /* Розв’яжіть нерівність:
1) 2 соз2 х + 3 соз х ~ 2 < 0;
2) і£2х+(2->/з)іех-2л/з<0;
41.8 /* Розв’яжіть нерівність:
1) 2зіп2х +>/з зіпх-3>0;
2) сі£2 х + сі£ х > 0;
41.9 /* Розв’яжіть нерівність:
1) віп 2х ~ зіп Зх > 0;
2) соз 2х х > 0;
)2
41.10/* Розв’яжіть нерівність:
1) віп 2х + 2 зіп х > 0;
2) 8Їп х + зіп 2х + зіп Зх + зіп 4х
3) зіп2 X + 8ІП2 2х - зіп2 Зх >
4) соз х соз Зх < соз 5х соз 7х.
2) 3 + 2 зіп Зх зіп х > 3 соз 2х.
(тс і / л/3
х + — І СОЗ ІХ- —1>-.
4/ \ 4/ 4
3) 2соз2 (х+ — )--38Іп(~-х]>-1;
\ 6/ \3 /
4) X > 2 СІ£ X.
3) 4 зіп4 х + 12 соз2 х - 7 < 0;
4) —<2-і8х.
х + 1
4) 1 - віп 2х > сов х - віп х;
5) віп х + зіп 2х + зіп Зх > 0.
3) 1- зіп Зх С
<0;
0;
42. Тригонометрична підстановка
Застосування формул скороченого множення, використання
відомих нерівностей, зведення тригонометричних рівнянь до алге-
браїчних тощо — такі «чисто алгебраїчні» методи ви неодноразово
використовували при розв’язуванні тригонометричних задач.
Тут ми розглянемо певною мірою обернений прийом, який
полягає в тому, що при розв’язуванні задач деякий алгебраїчний
вираз замінюють тригонометричним.
ПРИКЛАД 1 Відомо, що т2 + п2 = 1, р2 + д2 = 1, тр + ид = 0.
Обчисліть тп + рд.
Розв'язання. Оскільки т2 + п2 = 1, р2 + д2 = 1, то існують
точки А (тп; п) і В (р; д), які належать одиничному колу. Тоді
існують такі а і р, що тп = сов а, п - зіп а, р - соз Р, д = зіп р.
Маємо: тр + пд = соз а соз З + зіп а зіп 3 = соз (а - Р). За
умовою тр + пд = 0. Тоді соз (а - 3) = 0.
Можна записати тп + рд = соз а зіп а + соз 3 з*11 Р =
= - (зіп 2а + зіп 23) = зіп (а + 3) соз (а-р).
Оскільки соз (а - 3) = 0, то тп + рд - 0.
Відповідь: 0.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть систему рівнянь
х2 + у2 = 19
4хр(2р2-1) = 1.
Розв’язання. Рівняння х2 + у2 - 1 дає змогу зробити таку за-
міну: х = зіп а, у = соз а, де а є [0; 2л). Тоді з другого рівняння
системи маємо:
_ _і-
4 зіп а соз а (2 соз2 а - 1) = 1; зіп 4а = 1; = + к е
8 2
Із знайденої множини коренів проміжку [0; 2л) належать
числа —,
5л 9л . 13л
8 ’ 8 і 8 ‘
__ я
Якщо а = —, то
8
. л
х = зіп — =
1 . я
„ /1 + соз —
Л . І 4
у = соз — = \-——~
* 8 12
Аналогічно можна знайти й інші три розв’язки.
Зауважимо, що відповідь до прикладу 2 можна подати
(. л л\ ( . 5л 5л^
зш—; соз —І, Ізіп—; соз — ,
8 8/ \ 8 8 /
зіп —; соз
. 8
13л
13л
зіп-—; соз—-
. 8 8
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння \І1-х2 = 4х3 - Зх.
Розв’язання. Оскільки має виконуватись умова 1 - х2 > 0, то
| х | < 1. Тоді можна зробити заміну х = соз а, а є [0; л].
Тепер дане рівняння можна записати так:
л/1-соз2а =4соз3а-Зсоза. Звідси | зіп а | = соз За.
При а є [0; я] зіп а > 0. Маємо: зіп а = соз За. Розв’язуючи
це рівняння, отримуємо
а = ^ + лп, пєХ,
4
а = £+^, ЛєЕ.
к 8 2
З розв’язків сукупності оберемо ті, які задовольняють умову
Л тт Л 5л . Зл
0 < а < я. Це числа —, — і —.
о 8 4
л 5л Зл
Відповідь'. соз~; соз—; соз—.
8 8 4
ПРИКЛАД 4 Числа х , х2, ..., хп належать проміжку [-1; 1], при-
чому сума їх кубів дорівнює 0. Доведіть, що х1 +х2 +...+ хл .
З
Розв'язання. Нехай х, = соз а,, хо = соз ао, ..., х = соз а , де
а. є [0; я], і = 1, 2, ..., п.
За умовою соз3 аг 4- соз3 а2 + ... + соз3 ая = 0.
~ . 4 соз3 а - соз За
Скориставшись рівністю соза =------------, маємо:
соз а. + соза9 + ... + соза„ =
1 <5 П
4 соз3 а, - соз За, 4 соз3 а9 - соз За9 4 соз3 а„ - соз Заи
З 3 •" з
= — (соз3 ах + соз3 а2 +... + соз3 ал) - ~ (соз 3ах + соз 3а2 +... + соз Зап) =
= -- (соз Зах + соз За2 +... + соз Зап) < •
3 х з
ПРИКЛАД 5 Доведіть, що при будь-яких х, у виконується нерів-
ність
2
< (х+г/)(1-ху) < 1
"(1 + х2)(1 + і/2)'2-
Розв'язання. Зробимо заміну:
X = а, у = р, де а є
• л\ Вє(-—• —і Маємо:
к 2’ 2/ н \ 2’ 2/
(х + у)(1-хг/) __(І£а + іеР)(1-<£а*еР)
(1 + х2)(1 + у2) (1 + іЄ2а)(1 + г82Р)
= віп (а+Р) соє (а+р) =
= 18іп 2 (а + р).
Звідси випливає справедливість нерівності, що доводиться. •
ПРИКЛАД 6 Доведіть, що:
а-Ь + Ь-с + с-а _ (а-Ь) (Ь-с) (с-а)
1 + аЬ 1 + Ьс 1 + ас (1 + аЬ) (1 + Ьс) (1 + ас) *
Розв’язання. Скористаємося заміною а = а, Ь = Р, с = у,
де а, Р, у належать проміжку
п п\
2; 2)
Тотожність, що доводиться,
стає такою:
і® (а - Р) + і® (Р - у) + і® (у - а) = і® (а - Р) і® (р - у) і® (у - а).
Зауважимо, що а-р + Р~у + у- а = О. Таким чином, задача
звелася ДО доведення ТОТОЖНОСТІ X 4- у + 2 = X у 2
при х 4- у 4- 2 - 0. Завершіть розв’язування самостійно. •
ПРИКЛАД 7 Доведіть, що з будь-яких 5 різних чисел завжди
можна вибрати такі два числа х і у, що 0 <
х-у
1 + хі/
<1.
Розв’язання. Нехай £2, ..., — довільні числа. Тоді в про-
міжку існують такі числа ах, а2, ..., а5, що ах,
І2 = а2, .... і5 = і® а8.
Розглянемо чотири проміжки: (-
Зрозуміло, що з 5 чисел ах, а2, .
я |_2£. п (п* — _і
2; 4Т Г4; Г \ ;4Т \4’ 2/
.., а5 знайдуться щонайменше
два числа ат і ап (ат > осп), які належать одному з цих проміжків.
Тоді 0<ат-ап<^. Звідси 0<1§(ат-а„)<^;
і -г ат ил
Позначивши ат = х, ал = у, отримаємо
0<
Х-У
1 + ху
<1.
ПРИКЛАД 8 Відомо, що 1 < х2 + у2 < 2. Доведіть нерівність
^<х2 + ху+уг<3.
Розв’язання. Позначимо х2 4-1/2 = г2, де г > 0. З умови 1 < х24-
4- у2 < 2 випливає, що точка М (х; у)
належить колу х2 4- у2 = г2, де 1 < г < л/2
(рис. 42.1). Тоді можна записати, що
х = г соз а, у - г зіп а, де а є [0; 2л).
Маємо х2 + ху + у2 = г2со$2а +
4- г2 соз а зіп а + г2 зіп2 а = г2 (14- зіп 2а І.
\ 2 )
Оскільки 1<г2<2і^СІ4-~ зіп 2а < -,
2 2 2
то ^<х24-хі/ + у2 <3. •
Рис. 42.1
г
Вправи
42.1. Числа а, Ь9 с9 (і задовольняють умови а2 + Ь2 = 1, с2 + (і2 = 1.
Доведіть, що | ас - Ьсі | < 1.
42.2. Розв’яжіть рівняння
42.3. Розв’яжіть рівняння
/1-І І
V 2
= 2х2-1.
\/ї--х = 2х2 -1+2ху/ї-х2.
42.4. Розв’яжіть рівняння
1 + 2х\І1-х2
N 2
+ 2х2=1.
42.5. Розв’яжіть рівняння 8х (1 - 2хг) (8х4 - 8х2 + 1) = 1.
42.6. При яких значеннях параметра а система
має розв’язок?
42.7. Скільки розв’язків має система рівнянь
х2 + у2 =а2,
ху (2х2 -а2) = 1
2х + х2ї/ = і/,
4 2у + у22 — 29
2? + 22Х = Х?
42.8. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу
X + у
42.9. Чи існує 100-елементна множина, яка має таку властивість:
разом з кожним числом х вона містить число 2х2 - 1?
42.10. Послідовність (хл) задовольняє умови: хх = 1, хп+1 = --
” 1 ~ ахп
п є N. Чи існує таке а, що х101 = л/з?
42.11. Дано функцію / (х) = 2х2 - 1. Розв’яжіть рівняння
/ (/ (/ (х))) = х.
42.12. Послідовність (ал) задовольняє умови: ах = а, ал+1 =2й2 -1,
п є N. Укажіть хоча б одне значення а, при якому а1000 = 0.
42.13. Послідовність (ал) задовольняє умови: ах = 0, а2 - а9
а„ і 1 — 1 9 9
Ьап~---------, де п > 2, а і Ь — такі числа, що а + Ь - 1.
Доведіть, що для всіх п є N виконується нерівність | ап | С 1.
ЧИСЛОВІ
ПОСЛІДОВНОСТІ
Числові послідовності
З поняттям *числова послідовність» ви ознайомилися в 9 кла-
сі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.
Розглянемо функцію у = / (х), областю визначення якої є мно-
жина натуральних чисел. Тоді функція / задає нескінченну по-
слідовність / (1), /(2), ..., / (и), .... Або говорять так: нескінченна
послідовність — це функція, областю визначення якої є множи-
на N. Можна сказати, що нескінченна послідовність — це відо-
браження множини N на деяку непорожню множину.
Нагадаємо також, що коли областю визначення функції у ~ / (х)
є множина перших п натуральних чисел, то кажуть, що задано
скінченну послідовність.
Надалі будемо розглядати тільки нескінченні послідовності.
Випадки, коли розглядатимуться скінченні послідовності, будуть
спеціально обумовлені.
Послідовність / (1), / (2), ..., / (п), ... традиційно записують,
позначаючи аргументи функції / у вигляді індексів, тобто:
ї2,73,...»/п,....
Індекс указує порядковий номер члена послідовності. Для
позначення самої послідовності використовують записи (/п), (ал),
(дп) тощо. Наприклад, нехай (рл) — послідовність простих чисел.
Тоді р1 = 2,р2 = 3, р3 = 5, р4 = 7, рь = 11 і т. д.
Послідовність вважають заданою, якщо кожний її член можна
визначити за його номером.
Повторимо основні способи задання послідовностей.
Розглянемо послідовність, у якої перший член дорівнює 1,
а кожний наступний член на 3 більший за попередній. Такий
спосіб задання послідовності називають описовим. Його можна
проілюструвати за допомогою запису з трьома крапками, випи-
савши кілька перших членів послідовності у порядку зростання
номерів:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... .
Цей запис доцільно застосовувати тоді, коли зрозуміло, які
числа мають бути записані замість трьох крапок. Наприклад,
у послідовності, яку ми розглядаємо, зрозуміло, що після числа
19 має бути записане число 22.
Послідовності можна задавати за допомогою формул. Напри-
клад, рівність хп = 2Л, де змінна п набуває всіх натуральних зна-
чень, задає послідовність (хд) натуральних степенів числа 2:
2, 4, 8, 16, 32, ... .
У таких випадках кажуть, що послідовність задано за допо-
могою формули п-го члена, або говорять, що послідовність задано
формулою загального члена.
Розглянемо кілька прикладів.
Формула ап = 2п - 1 задає послідовність непарних натураль-
них чисел:
1, 3, 5, 7, 9, ... .
Формула уп - (-1)л задає послідовність (уп), у якій всі члени
з непарними номерами дорівнюють -1, а члени з парними номе-
рами дорівнюють 1:
-1, 1, -1, 1, -1, ... .
Формула сп = 7 задає послідовність (сп), усі члени якої дорів-
нюють числу 7:
7, 7, 7, 7, 7, ... .
Послідовність, усі члени якої рівні, називають стаціонарною.
Нерідко послідовність задають правилом, яке дозволяє знайти
наступний член, знаючи попередній.
Розглянемо послідовність (ап), перший член якої дорівнює 1,
а кожний наступний член послідовності у 3 рази більший за по-
передній. Маємо:
1, 3, 9, 27, 81, ... .
Цю послідовність, задану описом, також визначають такі умови:
а = 1, а = За , п є N.
Записані рівності вказують перший член послідовності і прави-
ло, користуючись яким, за кожним членом послідовності можна
знайти наступний член:
ах = 1,
а2 = Заг = З,
а = За = 9,
а = За = 27,
4 3
Формулу, яка виражає член послідовності через один або
кілька попередніх членів, називають рекурентною формулою
(від латин, гесигго — повертатися). У наведеному прикладі це
формула ад + 1 = Зад. Умови, які визначають перший або кілька
перших членів, називають початковими умовами. У розглядува-
ному прикладі початкова умова — це а± - 1.
Зауважимо, що знання лише однієї рекурентної формули не
дозволяє задати послідовність. Ще мають бути вказані початкові
умови.
При рекурентному способі задання послідовності перший
або кілька перших членів послідовності є заданими, а всі інші
обчислюють один за одним. З цієї точки зору спосіб задання
послідовності формулою п-го члена видається більш зручним:
за його допомогою можна безпосередньо знайти потрібний член
послідовності, знаючи лише його номер.
Означення. Числову послідовність (ад) називають зростаючою
(спадною), якщо для будь-якого натурального числа п викону-
ється нерівність ап < ап (ап > ап +1).
Наприклад, послідовність, яка задана формулою ап ~ п2, є зрос-
1”
таючою, а послідовність із загальним членом а - — — спадною.
п
Означення. Числову послідовність (ал) називають неопадною
(незростаючою), якщо для будь-якого натурального числа
п виконується нерівність ап < ап (ап > ап +1).
Наприклад, послідовність (ап) така, що а1 = а2 = а3 = 1 і для
всіх п є И, п > 4 виконується рівність ап = 2, є неспадною.
Виходячи з означення, стаціонарну послідовність можна від-
нести як до неспадних, так і до незростаючих послідовностей.
Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні послідовності нази-
вають монотонними послідовностями.
Означення. Числову послідовність (ап) називають обмеженою
зверху, якщо існує таке число С, що для будь-якого натурального
числа п виконується нерівність ап < С.
Означення. Числову послідовність (ап) називають обмеженою
знизу, якщо існує таке число с, що для будь-якого натурального
числа п виконується нерівність ап > с.
Послідовність називають обмеженою, якщо вона обмежена
і знизу, і зверху.
Наприклад, послідовність, яка задається формулою ап = ,
є обмеженою. Справді, для будь-якого натурального числа п ви-
конується подвійна нерівність 0<—^--<1.
п + 1
Послідовності, задані формулами Ьп - п,сп = -п!, є прикладами
необмежених послідовностей.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою
п
ап=^9 є незростаючою.
Г> , муг пп + 12п-п-1п-1^л
Розв язання. Маємо а-а„^ =----------=-----ті—
п п+і 2^ 2 2
Отже, для будь-якого натурального числа п виконується нерів-
ність ап > ап + г>
Зауважимо, що коли всі члени послідовності є додатними
числами, то для дослідження послідовності на монотонність мож-
а
на порівняти відношення —з одиницею.
ап+і
У нашому прикладі легко показати (зробіть це самостійно), що
а
—— > 1. Звідси в силу того, що ап + х > 0, отримуємо ап > ап + г •
ап + 1 Г
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою
10>/п
а = —, є обмеженою.
п и + 25
Розв’язання. Оскільки ап > 0 для будь-якого п є К, то дана
послідовність є обмеженою знизу.
Покажемо, що ця послідовність обмежена зверху. Застосував-
ши нерівність Коші до чисел и і 25, отримуємо:
10 л/п 10 у/п і
п + 25^ 2л/25п~
Отже, для будь-якого натурального числа п маємо ап < 1. •
ПРИКЛАД 3 Доведіть, що послідовність, задана формулою
х = 5Л - 4Л, є необмеженою.
п
Розв’язання. За допомогою методу математичної індукції
доведемо, що 5Л - 4Л > и для всіх п є N.
База індукції: при п = 1 нерівність є правильною. Дійсно,
5і - 4і > 1.
Індукційний перехід. Нехай при деякому п = к має місце
нерівність 5* - 4* > к. Доведемо, що при п = к + 1 виконується
нерівність 5* +1 - 4* +1 > к + 1. Маємо:
*5* +1 - 4* +1 = 5 • 5* - 4 • 4* = 5* + 4(5* - 4*) > 5* + ±к > к 4- 1.
За методом математичної індукції нерівність 5п - 4” > п вста-
новлено для всіх п є N.
Доведена нерівність означає, що послідовність (хл) необмежена
зверху, тобто для будь-якої сталої С нерівність 5” - 4Л < С не ви-
конується для всіх п є N. •
Вправи
43.1.° Доведіть, що послідовність (ал) є зростаючою, якщо:
1) а = 5п - 12; 3) а = 3" - 2П; 5) а =^-^;
' п ' п ' п п+1
2) а = п* 1 2 + п - 1; 4) ап =—6) а =-^—.
' п ’ > п га + 1’ > п и + 1
43.2/ Доведіть, що послідовність (ал) є спадною, якщо:
1) ап = 11 - Зп; 3)а„ = ^; 5) ап=^.
2) ап = -п2 + п + 1; 4) ап =
43.3.° Доведіть, що послідовність (ал) не є монотонною, якщо:
1) ап = (-1)в; 3) ап = аіп5) а, = п + (-1)";
2) ап-(п- 4)2; 4) ап -п(1)П; 6) ап - віп п°.
43.4/ Доведіть, що послідовність (ал) не є монотонною* якщо:
1) ап = | п - 3 |; 3) ап = п - (-1)л;
2) а„ = сов^; 4) ап = (1 + (-1)») п.
43.5/ Наведіть приклад послідовності (ал) з найменшим чле-
ном а15.
43.6/ Наведіть приклад послідовності (ал) з найбільшим чле-
ном а^.
43.7/ Дослідіть на монотонність послідовність, задану форму-
лою:
1)ап=Ш; 2)ап = р, 3)ап=^-.
43.8 / Доведіть, що послідовність (ал) обмежена зверху:
1) ал = 12 - п2; = 5>°- = ї~;
2 і о л 2п 7 л?\ П 1
2) а = -п + 2п - 4; 4) а =----6) а„ = -==.
" п+2 п >/77ї
43.9 / Доведіть, що послідовність (ал) обмежена знизу:
1) а = п3 - 8п; 2) а=~2~.
43.1 0/ Доведіть, що послідовність (хл) є необмеженою:
43.1 1/ Чи є обмеженою послідовність (хл), задана формулою п-го
члена:
О—ж 43.12/ Доведіть, що послідовність (ал) є обмеженою тоді
і тільки тоді, коли існує таке число М > 0, що для всіх п є N
виконується нерівність | ап | < М.
43.1 3/ Для членів послідовностей (ал) і (&л) при кожному п є N
виконується нерівність ап < Ьп. Чи правильне твердження:
1) якщо послідовність (ал) обмежена знизу, то і послідовність
(Ьп) обмежена знизу;
2) якщо послідовність (Ьл) обмежена знизу, то і послідовність
(ал) обмежена знизу;
3) якщо послідовність (ал) обмежена зверху, то і послідовність
(&л) обмежена зверху;
4) якщо послідовність (Ьп) обмежена зверху, то і послідовність
(ал) обмежена зверху?
43.14/ Послідовності (ал) і (&л) обмежені. Чи можна стверджувати,
що обмеженою буде послідовність (сл), задана формулою:
1) с = а + & ; 3) с = а Ь ;
2) с = а ~ Ь ; 4) сга якщо Ь 0?
7 п п п’ ,пЬ п
. п 4
43.15/ Знайдіть найбільший член послідовності, заданої форму-
3) а„
2п + 1.
2п-5’
лою:
І 7\2
1) ап = 3-(п-|) ;
4) ап
20
п2-4п + 24
43.16 / Знайдіть найменший член послідовності, заданої форму-
лою:
1) ап - п2 - 4п + 1; 5) ап ~ п + 3 соз лп;
. 4. АЧ п (и + 3)(п + 12)в
2) ап = ге+—; 6) ап = - ;
3) а =2—2—^------; 7) а =6п~П.
' п п2-4п + 5 ' п Зп-8
4) ап = (п - 1) (п - 2) (п - 4);
43.17 /* Чи існує необмежена послідовність, яка для кожного й є N
містить к послідовних членів, рівних між собою?
43.18 /* Чи існує послідовність (ал) натуральних чисел така, що
для кожного к є N всі члени послідовності (ад), крім, можливо,
скінченної кількості, діляться націло на к?
43.19 /* Чи є обмеженою послідовність:
1) х = п4 - 7п3; 2) х = 4" - З"?
43.20 ." Доведіть, що дана послідовність є необмеженою:
1) х = п - ге3; 2) х = 2" - 7П.
43.21 /* Доведіть, що послідовність (ап) є обмеженою, якщо:
1) а = а/п + 1 -а/п; 2) д = т^7 + ^77 + ---~ь ,
' п 7 п 1-2 2-3 п(п + 1)
43.22 /* Доведіть, що послідовність (дл) є обмеженою, якщо:
1) а = а/п2 + 1 — п; 2) а =—— -і——+ ...Ч----------.
' " ’ ' п 1-33-5 (2п-1)(2п + 1)
43.23 /* Чи обмежена послідовність (тл), якщо тл — кількість на-
туральних дільників числа п?
43.24 /* Нехай ол — сума всіх натуральних дільників числа п.
Доведіть, що послідовність, задана формулою п-го члена
є необмеженою.
43.25 /* Чи існує послідовність така, що кожне раціональне число
є її деяким членом?
43.26 /* Чи існує послідовність така, що кожний проміжок (а; Ь)
містить нескінченну кількість її членів?
43.27 .* Доведіть, що послідовність (ал) є обмеженою, якщо:
1) ап=1+~+-^+...+^-; 2) а„ = ^4+/4+д/... + д/4 .
£ О П '-------V------'
2
43.28 .* Нехай а =----
п 1,01"
ті (а).
п радикалів
Знайдіть найбільший член послідовнос-
43.29 .* Чи є обмеженою послідовність, задана формулою
Як вивести формулу Біне
У підручнику 9-го класу1 ви читали розповідь про числа Фібо-
наччі. Нагадаємо, що так називають послідовність цілих чисел,
задану рекурентним способом:
и .ь о - и . + и , п є Н, и = = 1. (1)
Перші члени цієї послідовності такі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,
тобто кожний наступний член, починаючи з третього, дорівнює
сумі двох попередніх.
Важко повірити, але п-й член послідовності чисел Фібоначчі
можна обчислити за формулою
Цю формулу отримав французький учений Жак Біне (1786-
1856).
Довести формулу Біне (2) неважко, якщо її вже записано. Для
цього потрібно лише переконатися, що послідовність (2) задоволь-
няє означення чисел Фібоначчі, тобто перевірити виконання умов
(1). Питання в тому, як Жак Біне знайшов таку дивну формулу.
Виявляється, що для цілого ряду послідовностей, заданих реку-
рентним способом, існує метод знаходження таких формул.
Розглянемо цей метод на прикладі послідовності чисел Фібо-
наччі.
Спочатку зосередимо увагу лише на рекурентному рівнянні
(без початкових умов иг - и2 - 1):
ип + 2 = ип + 1 + ип’ ПЄ (3)
Спробуємо знайти формули для бодай якихось послідовностей,
що задовольняють співвідношення (3) при всіх значеннях п є N
(такі послідовності називають розв’язками рекурентного рівняння
п + и ).
п + 2 п+1 п'
1 А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Алгебра: підручн. для
9 кл. з поглибл. вивченням математики.— X.: Гімназія, 2009. — 384 с.
Природно починати пошук розв’язків рекурентного рівнян-
ня (3) серед знайомих послідовностей. Чудовим фактом є те,
що розв’язки рівняння (3) можна знайти серед геометричних
прогресій. Справді, якщо ип = Ьдп підставити в рівність (3), то
отримаємо таке:
У випадку, коли Ь = 0 або д = 0, отримаємо стаціонарну по-
слідовність 0, 0, 0,..., яка, звичайно, задовольняє рівняння (3).
Якщо Ь Ф 0, д Ф 0, то, скоротивши на матимемо квадратне
рівняння:
Є - 9 - 1 = 0, (4)
корені якого
Таким чином, доведено, що для довільних сталих і Ь2 по-
слідовності із загальними членами
х Г~\п ( Г~\п
/ » І 14" V 5 І // » । 1 — V 5 і
=&І } Та =Ьг 2~)
задовольняють рівняння (3), тобто для всіх п є N мають місце
рівності:
= м' . + и'„,
П + 2 п + 1 л’
и" п—и" и".
п + 2 п + 1 п
Якщо додати ці дві рівності, то отримаємо:
К + 2 + <+2) = «+1 + <+1) + « + Ю-
Це означає, що послідовність (и ) така, що ип = и'п 4- м'', тобто
„.^у^у,
задовольняє рекурентне рівняння (3) при довільних значеннях
сталих і Ь2.
Знайдемо такі значення сталих Ьг і 62, щоб члени послідовності
(5) задовольняли початкові умови иг = и2 - 1 членів послідовності
Фібоначчі. Для цього підставимо у формулу (5) значення п - 1
і п = 2.
З отриманої системи
знаходимо, що Ь,-—т-, Ь9=—Підставляючи ці значення
75 75
у рівність (5), одержуємо формулу Біне (2).
Підведемо підсумки нашим міркуванням. Нехай послідовність
(ип) задано рекурентним співвідношенням
и . п = аи , 4- Ви
п + 2 п + 1 “ п
і початковими умовами
“1 = її’ и2 = Ї2’
де а, Р, у , у2 — деякі числа.
Для знаходження формули п-го члена послідовності (ип) треба:
1) скласти і розв’язати квадратне рівняння (його називають
характеристичним рівнянням):
д2 - ад - Р = 0,
дх і д2 — його різні корені1;
2) використовуючи два знайдені корені дх і д2, записати фор-
мулу п-го члена послідовності (ип) з невідомими коефіцієнта-
ми Ьу і Ь2:
“П=МГ+М2Л;
3) підставляючи в записану формулу значення п = 1 і п = 2
та використовуючи початкові умови, скласти систему для зна-
ходження невідомих коефіцієнтів Ьг і Ь2:
|Мі+М2=Уі>
ІМі+М22=У2;
4) розв’язавши систему, знайти Ьу і &2.
Тоді отримана формула задає послідовність (ип):
иП=&Л"+М2-
ЗАДАЧА. На клітчатому папері намальовано прямокутну смугу
розміром 2 х п. Скількома способами її можна розрізати на пря-
мокутники розмірами 1x2 (різати дозволяється лише за лініями
клітин паперу)?
Розв'язання. Позначимо шукану кількість способів через ип.
У задачі вимагається отримати формулу для обчислення значень
ип для довільного прямокутника 2 х п. Наприклад,
при п = 1 маємо один спосіб розрізання, тобто = 1;
при п = 2 існує два способи розрізання (рис. 43.1), тобто и2 = 2;
при п = 3 — три способи (рис. 43.2), тобто и„ = 3.
1 Випадок, коли квадратне рівняння д, - ад - р = 0 має один корінь
або не має жодного, ви зможете розглянути на заняттях математичного
гуртка.
...г—"|
і
-4— -
І
а Ь—і—1 І—
Рис. 43.1
Зі збільшенням п безпосередньо обчислювати значення ин стає
все складніше.
Розглянемо прямокутник 2 х п. Зрозуміло, що при будь-якому
способі розрізання права верхня клітинка смуги 2 х п буде на-
лежати або вертикальному, або горизонтальному прямокутнику
1x2.
У першому випадку (рис. 43.3) залишиться смуга 2 х (п - 1),
яку можна розрізати ип1 способом.
Рис. 43.3
Рис. 43.4
У другому випадку (рис. 43.4) разом з прямокутником АВСІ)
обов’язково має бути відрізаний і прямокутник АВЕР. При цьому
залишиться смуга 2 х (п - 2), для якої існує ип 2 способів розрізу.
Це означає, що
и = и , + и о.
п п - 1 п - 2
Міркуючи так само, як і при виводі формули Біне, отримаємо
/ /“\л + 1 / Г~\п + 1
1 І 1 + 75 І 1 І І-л/5 ]
и = —ї=м------ —---------
п л/5< 2 ) уіїЛ 2 }
Границя числової послідовності
Розглянемо послідовність (ал), задану формулою п-го члена
Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:
12345678
2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ ’
Можна помітити, що зі збільшенням номера п члени послі-
довності прямують до числа 1.
Якщо члени цієї послідовності зображати точками на коор-
динатній прямій, то ці точки будуть розміщуватися все ближче
і ближче до точки з координатою 1 (рис. 44.1).
а2 Яз
---1-----------------------•-----•-----•.........м—. ...►
0 123 45678 * 1
2 34 56789
Рис. 44.1
Інакше кажучи, значення виразу | а - 1 | зі збільшенням но-
мера п стає все меншим і меншим. Маємо:
і І п 1 І І п-п-1 -1 1
1 п 1 п + 1 І І п + 1 п + 1 п + 1
Тоді, наприклад, розв’язавши нерівність —Ц-<0,1, установ-
люємо, що | ап - 1 | < 0,1 при п > 10, а розв’язавши нерівність
<0,0001, установлюємо, що | ап ~ 1 | < 0,0001 при п > 10 000
тощо. Узагалі, починаючи з деякого номера п0, значення виразу
| ап - 1 | стає меншим від будь-якого наперед заданого додатного
числа є (читають «епсілон»). Знайти п0 можна, розв’язавши не-
рівність
У цьому разі говорять, що число 1 є границею послідовно-
сті а .
п
Розглянемо послідовність (Ьп), задану формулою п-го члена
Ьп=2+«.
п п
Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:
1, 2-, 1-, 2—, 1-, 2-, 1-, ... .
’ 2 З 4 5 6’ 7
Зі збільшенням номера п члени послідовності прямують до
числа 2 (рис. 44.2).
Ьі
1
^8 ^5 ^7 * ^8 д6 ^4____«2 * *__________|
1| 1| 1® 2 2|2|2І 2| З
о 5 7 8 О 4 2
Рис. 44.2
Це означає, що для будь-якого додатного числа є можної вка-
зати такий номер п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність
\Ь - 2 І < є. Оскільки І Ьп-21 = 2 + ^-^—2 = то номер
1 п 1 1 п 1 І п п п
. . 1
п0 можна знайти, розв язавши нерівність ~ < є.
Означення. Число а називають границею послідовності
(ап), якщо для будь-якого додатного числа є існує такий номер
п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність | ап - а | < є.
Пишуть Ііт ап = а (тут Ііт — це початкові літери французь-
П-4О»
кого слова Іітііе — границя).
Для прикладів, що розглядалися вище, можна записати:
Ііт—= 1, 1іт|2+^-| = 2.
п—>00/1 + 1 И-»со \ п /
Послідовність, яка має границю, називають збіжною. Гово-
рять, наприклад, що послідовність (Ьп) збігається до числа 2.
Поняття границі послідовності має просту геометричну інтер-
претацію.
Нерівність виду | ап - а | < є рівносильна подвійній нерівності
-є < ап - а < є, тобто
а-є<ап<а + є.
Це означає, що коли Ііт ап = а, то для будь-якого є > 0 зна-
ті—>«»
йдеться номер п0, починаючи з якого всі члени послідовності
належать проміжку (а - є; а + є). Іншими словами, яким би ма-
лим не був проміжок (а - є; а + є), члени послідовності, яка
збігається до числа а, рано чи пізно потраплять в цей проміжок1
і вже ніколи не вийдуть за його межі, тобто поза вказаним інтер-
валом може знаходитися лише скінченна кількість членів по-
слідовності (ап).
Використовуючи матеріал пункту 3, означення границі по-
слідовності можна записати в компактній формі:
(Ііт ап = а) = (Х/є > 0 Зп0 є N Х/п > п01 ап - а | < є).
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що Ііт
п -4 оо 2п + 1 2
Розв'язання, Нехай є — довільне додатне число. Знайдемо
номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується нерівність
І Зп-1 З І
I 2п + 1 2 І Є'
1 Проміжки виду (а; Ь) називають також інтервалами,
Маємо:
Зл~1 ЗІ -5
2п + 1 2 І 2(2п + 1)
5
2(2п + 1)’
5
З’ясуємо, при яких п є N виконується нерівність —-——
а (/^71 + 1/
Переходимо до рівносильних нерівностей:
5 < 4пе + 2є;
4иє > 5 - 2є;
">т-4
4є 2
[5 І
— 1 + 1. Тоді,
якщо п > п_, то п> ——-, і, переходячи до рівносильної нерівно-
0 4є 2
сті 4пє > 5 - 2є, а потім 5 < 4пє + 2є, отримаємо врешті, що
5 • | Зл — 1 3 | гр т • Зл ~ 1 З А
------—<£ 1 ----- <£. Тому 11Ш-------- = •
2(2л + 1) І 2л+ 1 2 І п->«>2п + 1 2
Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність (ал), яку задано формулою
ап = (-1)л, є розбіжною.
Розв'язання, Припустимо, що послідовність (ал) є збіжною
і Ііш ап = а.
Тоді для £ = ~ існує номер п такий, що для всіх п > По ви-
конується нерівність | ап - а | < ~.
Отже, при п = 2п0 і п = 2п0 + 1 одночасно мають виконуватися
дві нерівності:
і |а2ло+і-а|<|. тобто
|1-а|<| і |-1-а|<|.
Легко показати (зробіть це самостійно), що система
11-е |<|»
І1+аІ<І
не має розв’язків. Отримали суперечність. •
Вправи
44.1 / Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею по-
слідовності (хп):
3+ —
1)хп=3+1; 2)хп = -т=Х==; 3)х„= —4)х„ = ^.
п \/п + 1 5_± п
п
44.2 .° Укажіть (без обґрунтування), яке число с границею по-
слідовності (хп):
1) = ~ + 4; 3) х - сов п - сов п;
п п п
44.3 / Відомо, що деяка послідовність, членами якої є тільки цілі
числа, є збіжною. Що можна сказати про цю послідовність
(обґрунтовувати відповідь необов’язково)?
44.4 .° Наведіть приклади трьох послідовностей, що збігаються до
числа: 1) 3; 2)-42.
44.5 . Чи для кожного числа а існує послідовність, що збігається до а?
44.6 / Знайдіть принаймні одне число и0 таке, що для всіх п > п0
виконується нерівність:
1 <0,01.
44.7.’ Знайдіть принаймні одне число п0 таке, що для всіх п > п0
виконується нерівність:
1) п-1 1 п <0,3; 2) 2 4п 4п+1 -2 <1000'
44.8.’, Доведіть, що:
1) п->~> п =1; 3) 1іт^^ = Л->«> 3/1 2, 3’ 5) Зл2+2 3 Ііт —= = -г. я-»™ 5п -1 5
2) Ит~- Л~*«> 2/1 — 1 _ і. 2’ 4) Ит І3+^Ч = 3; и—' Ті )
44.9.’, Доведіть, що:
1) Ит—= 0 . ,. 4п + 1 3) Ит-—- = ,4. 5) 1іт ^й + 11
П 3’ п-»“2>/п+2 2
V 2п + 2 о 2) Ііт = 2; Л->оо Ц 4) 1іт<=^ = л—>°° ТІ 0;
О""» 44.10/ Доведіть, що стаціонарна послідовність є збіжною.
Чому дорівнює границя цієї послідовності?
О—ш 44.11/ Для довільних чисел сеН, тп є К, & є Н, /? > 1 до-
ведіть, що Ііт-~=^ = 0.
V /*
44.12 / Нехай при будь-якому є > 0 в інтервалі (а - є; а + є) міс-
титься безліч членів послідовності (ап). Чи правильно, що
Ііт ап = а?
п—ь°°
44.13 / Нехай при будь-якому є > 0 поза інтервалом (а - є; а + є)
міститься скінченна кількість членів послідовності (ал). Чи
правильно, що Ііт ап = а?
п—
44.14 / Нехай ііт ап =0. Чи можуть в цій послідовності:
п —
1) бути члени, більші ніж 1 000 000;
2) всі члени бути від’ємними;
3) всі члени бути більшими, ніж 1О~100?
44.15 / Зі збіжної послідовності викреслили всі члени, які сто-
ять на парних місцях. Чи буде послідовність, що утворилася,
збіжною?
44.16 / У збіжній послідовності змінили 100 перших членів. Чи
залишиться послідовність збіжною? Чи може змінитися гра-
ниця послідовності?
44.17 / Відомо, що границею послідовності (ап) є число До-
ведіть, що, починаючи з деякого номера, кожний член послі-
довності (ап) буде більшим за —
44.18 / Покажіть, що коли в означенні границі замість «для будь-
якого є > 0» сказати «для будь-якого є», то жодна послідовність
не матиме границі.
44.19 / Запропонуємо таке «означення» границі послідовності:
число а називають границею послідовності (ап), якщо для
будь-якого є > 0 існує такий номер п0, що для всіх п > п0 ви-
конується нерівність | ап - а | < є. Які послідовності матимуть
границю за такого «означення»?
44.20 / Відомо, що 1іт| а 1 = 0. Чи правильно, що 1ітап=0?
п —п—
44.21 / Відомо, що послідовність (| ап |) є збіжною. Чи правильно,
що послідовність (ап) також є збіжною?
О—иг 44.22.” Доведіть, що Ііт ап = а тоді і лише тоді, коли
п —>°°
Ііт І а - а І = 0.
п—*
44.23. ” Чи правильно, що коли послідовність (ал) є збіжною, то
послідовність (| ап |) також є збіжною?
44.24. ” Послідовність (віп ап) є збіжною. Чи правильно, що по-
слідовність (ап) також є збіжною?
44.25. ” Чи правильно, що коли послідовності (ал) і (Ьп) мають одну
й ту саму границю, то цю саму границю має й послідовність
ар а2, Ь2, а3, Ь3, ...?
44.26. ” Доведіть, що послідовність із загальним членом
ап = (-1)71 + “ є розбіжною.
44.27. ” Доведіть, що послідовність із загальним членом ап = п
є розбіжною.
44.28. ” Нехай (хл) — розбіжна послідовність. Чи можна ствер-
джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом
Уп = < V?
44.29. ” Нехай (хл) — розбіжна послідовність. Чи можна ствер-
джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом
44.30. ” Нехай (хл) — розбіжна послідовність. Чи можна ствер-
джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом
Уп = П л?
44.31. ” Нехай (хл) — розбіжна послідовність. Чи можна ствер-
джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом
п п
44.32. * Нехай (хл) — така послідовність, що всі послідовності
виду:
Х2, Х4, Х6, ....
х3, Х6> х9,
Х4> Х8’ Х12...
є збіжними. Чи можна стверджувати, що (хп) — збіжна послі-
довність?
',Т*1 Властивості збіжних послідовностей
У цьому пункті розглянемо деякі властивості збіжних послі-
довностей.
Теорема 45.1. Числова послідовність може мати тільки
одну границю.
Доведення. Припустимо, що існує послідовність, яка має дві
границі, тобто Ііт ап ~а і Ііт ап = Ь, де а Ф Ь.
П~>оо п—>°°
Оскільки а Ф Ь, то можна обрати таке додатне число є, щоб
(а - є; а + є) О (Ь - є; Ь + є) = 0 (рис. 45.1).
є я є
а-£
а + є
Рис. 45.1
Число а є границею послідовності (ал), отже, починаючи з де-
якого номера п0, усі члени послідовності (ап) потраплять у про-
міжок (а - є; а 4- є), а поза цим проміжком знаходитиметься
лише скінченна кількість членів послідовності. Отже, у проміжку
(Ь - £; Ь + є) буде знаходитися лише скінченна кількість членів
послідовності (ал). Це суперечить тому, що число Ь — границя
послідовності (ал). А
Теорема 45.2. Збіжна послідовність є обмеженою.
Доведення. Нехай Ііт ап = а. Тоді, починаючи з деякого но-
П—
мера п0, усі члени послідовності (ап) потраплять у проміжок
(а - є; а + є), де є — деяке додатне число. Поза цим проміжком
знаходитиметься лише скінченна кількість членів послідовно-
сті (ап). Тому проміжок (а - є; а + є) можна розширити так, щоб
новий проміжок (позначимо його (с; С)) містив усі члени послі-
довності. Отже, для будь-якого натурального числа п виконува-
тиметься нерівність с < ап < С. А
З теореми 45.2 випливає, що обмеженість послідовності є не-
обхідною умовою збіжності цієї послідовності. Проте ця умова
не є достатньою для збіжності. Наприклад, послідовність із за-
гальним членом ап = (-1)л є обмеженою, але, як було показано
в прикладі 2 п. 44, вона не є збіжною.
ПРИКЛАД ;1 Доведіть, що послідовність (ап), яка задана формулою
З д
ап = 7П.--’ Є розбіжною.
Зп 4- П
Розв'язання. Доведемо, що послідовність (ап) є необмеженою,
а отже, не може бути збіжною. Справді, для всіх п є И, п > З,
має місце нерівність
з
З д
П —О>—.
2
Крім цього, для всіх п є N має місце нерівність
Зп2 4- п < 4п2.
Таким чином, для всіх п є №, п > 3, маємо
а = >-*- = ”
п Зп2 + п 4п2 8‘
Оскільки значення виразу де п є №, можуть бути як за-
о
вгодно великими, то послідовність (ап) не є обмеженою зверху,
що доводить розбіжність послідовності (ап). •
Теорема 45.3. Якщо Ііт ап -а і а> Ь (а < Ь), то, починаю-
чи з деякого номера п^, виконується нерівність ап>Ь (ап <Ь).
Доведення. Розглянемо випадок, коли а > Ь. У якості за-
даного додатного числа е візьмемо число Тоді, починаючи
£
з деякого номера п0, усі члени послідовності потраплять у про-
міжок (а - е; а 4- є). Оскільки
„ а-Ь а + Ь .
а-є = а--
2 2
то проміжок (а - е; а 4- е) містить лише числа, більші за Ь
(рис. 45.2).
І € 8
Ь а-є а+є
Рис. 45.2
Випадок, коли а < Ь, розглядається аналогічно. А
Наслідок. Якщо Ііт ап-а, а ф 0, то починаючи з деякого
п—>оо
номера п0 виконується нерівність | ап | > г, де г — деяке до-
датне число.
Доведіть цей наслідок самостійно.
Теорема 45.4. Якщо для всіх п є N виконується нерівність
а > Ь , причому існують границі Ііш а= а і Ііш Ь = Ь9 то а>Ь.
Доведення. Припустимо, що а < Ь. Оберемо додатне число
е так, щоб (а - є; а + е) П (Ь - є; Ь 4- е) = 0 (рис. 45.1). Тоді,
починаючи з деякого номера п0, усі члени послідовності (ад)
потраплять у проміжок (а ~ е; а + е), а всі члени послідовності
(Ь ) — у проміжок (Ь - є; Ь 4- е), що суперечить нерівності ап > Ьп
при будь-якому натуральному п. Д
Теорема 45.5 (про двох конвоїрів). Якщо для всіх п є N
виконується подвійна нерівність ад < сд < Ьп, причому послі-
довності (ап) і (Ьп) збігаються до спільної границі, тобто
Ит ап = Ит Ьп = а, то послідовність (с ) також є збіжною
П-+<х> П->«> П
і Ііт сп = а.
п—>°°
Доведення. Нехай є — деяке додатне число. Тоді, починаючи
з певного номера п0, усі члени послідовностей (ад) і (&д) потраплять
у проміжок (а - е; а 4- є). Для всіх п > п0 маємо:
а - є < а < с < Ь < а 4- є.
п п п
Це означає, що для будь-якого додатного числа е існує номер
п0, починаючи з якого всі члени послідовності (сд) потраплять
у проміжок (а - е; а 4- є). Отже, Ііш сп = а. Д
П —
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що Ііш . п+-3 - = 0.
п^“5/п7+5п-2
Розв'язання. Оскільки для всіх натуральних п має місце
нерівність 5п - 2 > 0, то
0 < п + 3 < п + 3 < п + Зп __ 4п _ 4
^л7 + 5п-2 х/т?" х/п7
4
Використовуючи ключову задачу 44.11, маємо, що Ит — = 0.
Л_>оо -
п3
Тому за теоремою про двох конвоїрів
Означення. Послідовність (ап) називають нескінченно
малою, якщо Ііт ап =0.
тт • • л. 100
Наприклад, послідовності, які задано формулами ап=—
. 1 2 .
оп =--2 ’ Сп==~Г=9 є нескінченно малими.
З означення границі послідовності випливає, що коли для будь-
якого є > 0 існує номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується
нерівність І Рл І < £, ТО ПОСЛІДОВНІСТЬ (Рп) є нескінченно малою.
. Теорема 45.6. Число а є границею послідовності (ап) тоді
і тільки тоді, коли загальний член цієї послідовності можна
подати у вигляді ап = а + рл, де (Рл) — нескінченно мала послі-
довність.
Доведення. Нехай Ііта = а. Розглянемо послідовність (р )
п->«> п
таку, що Рл = ап - а. Маємо: для будь-якого є > 0 існує номер и0
такий, що для всіх п > п0 виконується нерівність | ап - а | < є,
тобто | Р | < є. Звідси отримуємо, що послідовність (Рп) є нескін-
ченно малою.
Нехай тепер виконується рівність ап = а + рл, тобто ап - а - Рл,
де (Рл) — нескінченно мала послідовність. Маємо: для будь-якого
є > 0 існує номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується не-
рівність | Рл | < є, тобто | ап - а | < є. Звідси Ііт ап = а. А
ПРИКЛАД 3 Знайдіть границю послідовності (ал) із загальним
4л+ 1
членом а„ =-----.
п п
’ ікт 4п + 1 4п . 1 . 1
Розвязання. Маємо: --------= — + — = 4 +—.
п п п п
Якщо позначити = то послідовність (ал) можна подати
у вигляді ап = 4 + рл. Оскільки послідовність (Рл) є нескінченно
малою, то за теоремою 45.6 маємо, що Ііт - = 4. •
п—ТІ
При розв’язанні багатьох задач буває доцільним використо-
вувати таке твердження
ііт ~ = 0, де а > 1
а
Ідею доведення цього факту проілюструємо на конкретному
прикладі.
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що послідовність (хл), яку задано формулою
X = ^—
п 1,2Г ’
є нескінченно малою.
Розв'язання. Скористаємося нерівністю Бернуллі
(1 + х)п > 1 + пх,
яка має місце для всіх х > -1 і п є N. Маємо: 2
1,21" = (ІД)2" = ((1+ОД)")2 > (1 + п • ОД)2 > — .
Звідси для всіх п є N виконується подвійна нерівність:
о<--2-<і“
1,21” п
Оскільки 1іт^^ = 0, то за теоремою про двох конвоїрів
л->«> ТІ
= 0.
1,21
О—» ПРИКЛАД 5 Доведіть, що Ит>/п=1.1
Розв'язання. Доведемо, що для довільного є > 0 знайдеться
номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується подвійна нерів-
ність 1-£<л/Й <1 + £.
Зазначимо, що 1 - є < у/п для всіх п є N.
Розглянемо нерівність у/п <1 + є. Маємо: п < (1 + є)л,
—— <1
(1 + £)”
Оскільки Ііт —= 0 для всіх а > 1, то Ііт—-— = 0. За тео-
п^ап *->"(! + £)”
ремою 45.3 існує такий номер и0, що для всіх п > п0 має місце
п -
нерівність -----<1.
(1 + єГ
Таким чином, для довільного є > 0 доведено існування такого
п0, що для всіх п > п0 виконується подвійна нерівність
1-£<\/п<1 + є. Це означає, що 1іш\/п = 1. •
П—>«х>
ПРИКЛАД 6 Знайдіть границю Ііт л/з”+ 1.
п —> 00 «
Розв'язання. Скористаємося теоремою про двох конвоїрів.
Маємо
х/зп + 1>^3" =3.
Водночас для всіх п є И, п > 2 виконуються нерівності
^Зп + 1<\/Зп+Зп =^2-3" =3-^2 <3-^п.
Оскільки ііт = 1, то неважко довести (зробіть це самостій-
но), що 1іт3*^п = 3.
П—>«»
Тому за теоремою про двох конвоїрів Ііт >/зл+ 1 = 3. •
п~
1 При п = 1 під записом тут і далі будемо розуміти а1.
Теорема 45.7. Добуток обмеженої послідовності і не-
скінченно малої послідовності є нескінченно малою послідов-
ністю.
•Доведення. Нехай послідовність (ап) є обмеженою, а послі-
довність (Р ) — нескінченно малою. Покажемо, що ііт апрп = 0.
У силу ключової задачі 43.12 існує таке число С > 0, що для
всіх натуральних чисел п виконується нерівність | а | < С.
Нехай є — додатне число. Тоді для додатного числа існує
номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується нерівність
|рп|<§-
Тоді для всіх п > п0 можна записати
І «А 1=1 «п 1-І Р» |<с*^=е.
Це означає, що Ііт апРл = 0. А
Наслідок. Добуток нескінченно малої та збіжної послідов-
ностей є нескінченно малою послідовністю.
Доведіть цей наслідок самостійно.
Теорема 45.8. Якщо Ііт ап= а, де а > 0, то ііт 4а4 = 4а.
Доведення. Зауважимо, що з умови ап > 0 і теореми 45.4
випливає нерівність а > 0. Тому вираз 4а має зміст.
Розглянемо випадок, коли а > 0.
Помножимо і поділимо вираз | у/а^ - 4а | на двочлен у/а~ + 4а.
Маємо:
З умови Ііш ап = а маємо, що ііт І ап - а І = 0 (див. ключову
П->ОО П->«» ’
задачу 44.22). Водночас з нерівностей 0 < —?= < -1= випливає
4ап+4а у! а
обмеженість послідовності із загальним членом -т==—^=. За тео-
4ап+4а
ремою 45.7 ІітК/а^-л/а =0. Знову використовуючи задачу
П—»оо ' ' '
44.22, маємо Ит у/ап =\Іа.
Розглянемо випадок а = 0, тобто Ііт ап = 0. Треба довести, що
п—>°°
для довільного є > 0 існує такий номер По, що для всіх п > По
виконується нерівність 17«Г-0І<є, тобто ап < є2. Обґрунту-
вати останню нерівність можна, якщо в означенні границі
Ііт ап = 0:
п -»>
Х/є, > 0 Зп. є N Х/п > п. | а - 0 | < є,
1 О О 1 п ’ 1
покласти = є2. А
Міркуючи аналогічним чином, можна довести і таку теорему.
Теорема 45.9 (границя кореня). Якщо 1ішал=а, де
а > 0, то ііт $/а~ = л/а, де к є М, к > 1.
п . оо V п ’ ’ ’
Вправи
45.1.* Доведіть, що границя послідовності (хп) дорівнює нулю,
якщо:
1)
2)
45.2.*
Доведіть, що
3) =
4) *.=
5) хп = п23+2п 1
" Зп3 + п-2
п4 + 5п +1
границя послідовності (хл) дорівнює нулю,
якщо:
1) х = , = ; 2) х = , -1. ; 3) х = Х + п—.
л/^ + 2>/^ї " п5 + 2п+3
45.3 / Знайдіть границю:
1) 1ітґ1+-|Д 3) Ііт^Іі; 5) Ііт^-^.
2) Ііт--; 4) 1іт^+^
п—П , п—>°° у/П
45.4 / Знайдіть границю:
/ * \ І л \2
1) Ііт 3—з ; 3) Ііт п2 + -^- -п4;
п->~ \ І \ /1 /
.. 2-7п3 ,. 11п-2"
2) Ііт---х—; 4) Ііт-----—.
л-»~ п3 п-»~ 2
45.5 / Для даної збіжної послідовності (ал) знайдіть таку нескін-
ченно малу послідовність (0л), що ап - а 4- Рл, де а — границя
послідовності (ал):
1 п 4п-2 п2+(-1)п
1) а = —: 2) а = : 3) а —--------------: 4) а = ——
’ п п ’ п п + 1’ ' п 3п + 1 ' п п2+1
45.6 / Для даної збіжної послідовності (ал) знайдіть таку нескін-
ченно малу послідовність (Рп), що ап = а + Рл, де а — границя
послідовності (ал):
1 п + 1 о (-1)Л 2п
1) ап--т=; 2) а =----; 3) а=2-у-~ ; 4) а„ =—-.
п 4п п П ’ п п2+1 п п + 3
45.7/Для членів послідовностей (ал) і (&л) при кожному п є N ви-
конуються нерівності 0 < ап < Ьп. Чи правильне твердження:
1) якщо послідовність (6л) нескінченно мала, то і послідовність
(ал) нескінченно мала;
2) якщо послідовність (ал) нескінченно мала, то і послідовність
(6л) нескінченно мала?
45.8/ Чи є послідовність (хл) збіжною, якщо:
1) хп = ; 2) х =л/п-л/п; 3) х - п2зіпп°?
7 л п + 3 ’ п ’ п
45.9/ Чи є послідовність (хл) збіжною, якщо:
1) х = ; 2) х = 2Л - соз п; 3) х =и(‘1)Л?
45.10. ” Обчисліть границю Ііт (л/п + 1 - л/п).
П-*оо
45.11. ” Обчисліть границю ііт (и-л/п2 + з).
п—
О—ш 45.12.” Доведіть рівність Ііт пдп =0, де д є (-1; і).
О-ж 45.13.” Доведіть рівність Ііт л/а = 1, де а > 1.
п—
45.14. ” Знайдіть границю послідовності (хл), заданої формулою:
1) хп=^ 2) Хп = ^; 3) = 4) =
45.15. ” Доведіть, що є нескінченно малою послідовність (хл), якщо:
з/- / ІЧПМ6
1)^=$-; з)хи=^-^-.
45.16. ” Послідовність (ал) прямує до нуля. Чи можна стверджува-
ти, що має границю послідовність (£л), яку задано формулою
З =а14-а„ + ... + а?
п 1 2 п
45.17. ** Знайдіть границю послідовності (хп), якщо:
1) хп = 4) Хп = "^1п-1 + 2п-1 + ... + пп-1;
3) хп = ’у/п;
45.18. ** Знайдіть границю послідовності (хп), якщо:
1) х, = Ї5" + п-2; 3) х.=^1+2" + 7"; 5)х_ = ^і.
2)х.=£2!М; 4)Х.=^;
УІП
45.19. * Побудуйте графік функції / (х) = Ііт ^І + х^".
45.20. * Знайдіть границю послідовності (хп), якщо
1 , 1 . . 1
X = , —- Ч—і— +... Н—/— -.
УІпп+1 ЧПп+2 у/пп+п
45.21. * Знайдіть границю послідовності (хп), якщо
_ І5+ 38+58+ ... + (2п-1)8
Хп „7
п
45.22. * Наведіть приклад такого п є N. що 1+І+І + —+ ->Ю0,
2 3 п
та доведіть необмеженість послідовності (хп) із загальним чле-
ном Х„ =1 + 77 + 1 + ... + —.
п 2 3 п
46.
Теореми про арифметичні дії зі збіжними
послідовностями
Знаходити границі збіжних послідовностей за допомогою озна-
чення границі — задача трудомістка. Полегшити процес пошуку
границі дозволяють теореми про границі суми, добутку і частки
двох послідовностей.
Теорема 46.1. Сума двох нескінченно малих послідовностей
є нескінченно малою послідовністю.
Доведення. Нехай (ал) і (Рл) — нескінченно малі послідов-
ності, тобто Ііт ал = Ііт Рл = 0. Покажемо, що Ит(алч-рл) = 0.
Нехай є — задане додатне число. Тоді для додатного числа
існує номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконуються нерівності
І«„|<| і ІМ<|.
Тоді для всіх п > п0 можна записати
І«п+Р„ N «„ |+| р„ 1<|+|=є-
Це означає, що Ііт (ал + Рл) = 0. А
П—»<*>
За допомогою метода математичної індукції можна показати,
що сума скінченної кількості нескінченно малих послідовностей
є нескінченно малою послідовністю.
Теорема 46.2 (границя суми). Яки^о послідовності (ап)
і (Ь ) є збіжними, то послідовність (а+Ь) також є збіжною,
4 п' ’ ' п п'
причому
Ііт (ап + Ьп) = Ііт аЛ + Ііт Ь„.
х Я Я' я я
я—>°° Я—»00 Я—»<*>
Доведення. Нехай Ііт ап = а, Ііт Ьп Тоді в силу теореми
45.6 можна записати
а = а 4- а ,
п п’
ь =ь + р,
п гп’
де (ап) І (Рп) — нескінченно малі послідовності.
Звідси ап 4- Ьп - а 4- Ь 4- (ал 4- рл).
За теоремою 46.1 послідовність (ал 4- Рл) є нескінченно малою.
Отже, в силу теореми 45.6 послідовність (ап + Ьп) є збіжною, при-
чому ііт (ап 4- Ьп) = а 4- Ь. ▲
ПРИКЛАД 1 Знайдіть Ит^іі.
п—>оо ТІ
Розв'язання. Маємо: 1іт^іі = 1іт(—4- —) = 1ітІ24- —І.
П п->оо \ ТІ ТІ/ п->«> \ ТІ/
І 1
Послідовність із загальним членом а = —------ подано у вигля-
п
ді суми двох збіжних послідовностей із загальними членами хп - 2
1 т .
і у=—. Тоді можна записати:
п
Ііт(24- — ) = Ііт24-Ііт— -24-0 = 2. •
П—><*» \ ТІ/ п—їоо ТІ
Теорема 46.3 (границя добутку). Якщо послідовності
(а ) і (Ь ) є збіжними, то послідовність (а Ь ) також є збіжною,
причому
Ііт (а„Ьп) = Ііт а„ • ііт Ьп.
п—>°° п—>°° п—>°°
Доведення. Нехай Ііт ап = а, Ііт Ьп ~Ь. Тоді в силу теореми
п—>°° п—>°°
45.6 можна записати
а = а 4- а ,
п п7
ь = ь + р,
п *п7
де (ап) і (рл) — нескінченно малі послідовності.
Звідси апЬп = (а 4- ал) (Ь + рл) = аЬ 4- (арл 4- &ал 4- аД).
За теоремою 45.7 послідовності («Рл), (Ьал) і (аД) є нескін-
ченно малими.
Тоді за теоремою 46.1 послідовність (гД 4- Ьап 4- аД) є не-
скінченно малою.
Отже, за теоремою 45.6 послідовність (апЬп) є збіжною, при-
чому Ііт апЬп = аЬ. А
п —>о°
Теорема 46.4 (границя частки). Якщо послідовності
(а ) і (Ь ) є збіжними, причому Ііт Ьп * 0, Ь * 0, то послідовність
ч п . п
Г О- Л
І п І
їм
також є збіжною і
Ііт а.
а п—*°° п
Ііт тл-=
Ь ііт Ьп
Доведення. Нехай Ііт ап-а, 1ітЬп=Ь. Оскільки Ь 0, то
в силу наслідку з теореми 45.3, починаючи з деякого номера п0,
для членів послідовності (Ьл) виконується нерівність І Ьп | > г, де
г — деяке додатне число. Тоді для всіх и > п0 виконується не-
рівність
<-. Отже, ПОСЛІДОВНІСТЬ 1-^-1 є обмеженою.
Г \.Ьп)
За теоремою 45.6 можна записати
а = а 4- а ,
п п7
• ь = ь + р ,
п *п7
де (ад) і (Рл) — нескінченно малі послідовності.
Розглянемо послідовність (уп), яка задається формулою
7п Ьп Ь‘
Маємо- у = а” а = а + а" д^»(а + аи)-о(Ь + Р„)_ Ь<хд-аря
‘ Гв Ьп Ь & + р„ Ь (Ь + р„)6 ЬпЬ '
У силу теорем 45.7 і 46.1 послідовність (Ьал - а0л) є нескін-
ченно малою. Послідовність є обмеженою. Отже, послідов-
ність (ул) є нескінченно малою.
Тоді за теоремою 45.6 можна записати 1іш~- = ^. А
ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю Ііш
Розв’язання. Послідовності із загальними членами ап - 5п + З
і Ьп - 11 - 4л є необмеженими, а отже, розбіжними. Тому одразу
застосовувати теорему 46.4 не можна. Поділимо чисельник і зна-
- 5л + З
менник дробу ——— на п:
11 — 4п $
п—>°° 11 —4л п—>°° 11 .
---4
л
У чисельнику і знаменнику отриманого дробу записано загаль-
ні члени збіжних послідовностей. Тому можна записати:
5 + — Ііт (бч-—) Ііт 5+ Ііт ~
1 • ____П __ П->°°\ Л/ _ П->°о П->сю Л __ 5 + 0 _
/її 11 ~ /11 Л“ 11 “0-4~~4' •
----4 Ііт--------------41 Ііт - Ііт 4
Л л —>°° ' Л / л—>°° Л п —>°°
ПРИКЛАД З Обчисліть границю Ііт п 3+ — —1.
л->~ Зп + л-2
Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на л3.
Маємо:
1
л л
12 __1_
Ііт ^^1 = 1іт 11-^-
2 З
ТІ ТІ
Ііт
Г /о 1 2
Ііт 13 + 9 —о
л-»°°\ п2 п
+°-
ПРИКЛАД 4 Обчисліть границю
Ііт (л/4л2 + л - 2п).
п—>°°
Розв’язання. Послідовності із загальними членами ап-
= \І4п2 + п і Ьп = 2п є розбіжними. Тому одразу застосовувати
теорему 46.2 не можна. Проведемо тотожні перетворення:
\І4п2 +п-2п =
(л/4л2 + л + 2л) (л/4л2 + л - 2л)
л/4л2 + л + 2л
_ (4п2 4-й)-4п2 п
а/4п2 + п +2ті уі4п2 4- ]
1
Тепер отримуємо Ііт С\/4п2 + п - 2п) = Ііт — = і
п—>«» п~>°° /і 4
Л4 + - + 2
V П
Вправи
46.1.
Обчисліть границю:
1)
2п
Ііт----
2) Ит^~
3)
^-►оо П +1
46.2.
Обчисліть границю:
1)
V п + 2
1іт-~—;
п->оо Зті
2)
1іт|^|;
п->«> Зті- 4
3)
100л/п
Ііт-------—.
П-*°° п + 2
46.3.
1)
Обчисліть границю:
п2+3п + 15
Ііт —р--------; 2)
п->°° 2тг -п + 100
1іт»Т.З*2+44.
п-^оо п +5п-7
3)
Ііт4”4?"4:3”-2.
9п5 + п3-1 .
46.4.° Обчисліть границю:
1)
-2п24’7п + 1 і- 5-п
Ііт-----х-----; 2) Ііт —б--------;
п +1 п->«> п 4*Зп-8
3)
_,4 _,3 2 ч
Т П ~П —П —1
Ііт------7---5.
п-^оо -Зп4 + п2 + 12п
46.5.
2)
Обчисліть границю:
цт / 2п + 1 в п + 3 \
п—>«> \3 — 2п 4ті + 5/
Ііт 2п(3п~1)(п + 4) .
и->оо (4 4- 5п) (2и 4-1) (п 4-1) ’
3) Ііт
(п + 1)(п-2) (2п4-3)
(4п -1) (п + 3) (5п - 2) ’
46.6. ° Обчисліть границю:
7і(п + 1)(п4-2)
1) Ііт---------—-----—;
7 я-.- (п + 3)(п + 4)(п + 5)
о. ,. (2п + 1)(3п-1)
2) Ііт і----у1-----
п-»~ 2п2-З
46.7. ” Обчисліть границю послідовності, заданої формулою:
»“-=1+ї+?
1+И
1
З"’
2І.
5”
2Т2.
46.8 .° Послідовність задано рекурентно: хг = л/2, х
Знайдіть границю Ііт (х1 + х2 +... + хп).
п є N.
2 ’
46.9 / Вчитель запропонував обчислити границю Иші. Учень
п —
Василь Заплутайко розв’язав задачу так: Ііт 1= Ііт п- — =
П-Ь°о п —> П
= Ііт ।—і------ь... 4—) = Ііт —ь Ііт —ь... + Ііт — = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
\ 71 П ПІ п->оо П ТІ 71 '------V------'
'-------V---------' 4-------------лг--------------' п доданків
п доданків п доданків
Чи погоджуєтесь Ви з розв’язанням Василя?
46.10 / Розповідаючи розв’язання домашнього завдання,
Василь Заплутайко написав на дошці: Ііт 2 = Ііт (^2) =
п—>°° п—>°°
= 1іт^«^-...-^ = 1іт^-1іт^-...-1іт^2 = 1-1-...-1 = 1.
п —> 00 4-V----' /І—п—>00 п—>оо ---у---/
п МНОЖНИКІВ '-----------V----------' п множників
п множників
2)
2)
Ііт
2п
Ит
п-*оол/4п2+1
а=1, де0<а<1.
У чому помилився Василь?
46.11 / Обчисліть границю:
1) Ііт-;——2п + 2 ;
<4п4-1 + л/п + 3
46.12 / Обчисліть границю:
їх і- * уп + 2
1) Ііт —-—7=;
п^°° л/п + 1 +>/п + 3
О—иг 46.13/ Доведіть рівність
46.14 / Відомо, що 1ітая =а. Доведіть, що:
п —>°°
1) Ііт а2 = а2;
2) Ііт а* = а*, де к є Н;
п —
3) Ііт^а/ = \[а*9 де к є К, т є И, т > 1, а >0.
П->оо П
46.15 / Відомо, що Ііт ап =2. Знайдіть границю:
П—
п2а„ + а. „
1) Іітао.,; 2) Ііт------»—.
46.16 / Послідовність (ал) прямує до числа 3. Знайдіть границю:
1) 1іт(а„ + а„+1)(ап -2); 2) Ііт \
п -> оо п -> ~ + □
46.17 / Послідовність (ад) така, що існує границя Ііт (ал+1+ ап).
Чи можна стверджувати, що послідовність (ад) є збіжною?
46.18 .” З послідовності (хд) утворили послідовність із загальним
членом уп = х2 - 5хп + 6. Відомо, що (уп) — збіжна послідовність.
Чи завжди збіжна послідовність (хд)?
46.19 /* За послідовністю (хп) побудували послідовність (уп) таку,
що уп = хп - хп + 3. Виявилося, що послідовність (уп) має гра-
ницю. Чи обов’язково збіжна послідовність (хд)?
46.20 /* Члени послідовності (хп) для всіх п е N задовольняють
умову хп+1 = х2+4хл+ 3. Чи існує таке х , що (хл) — збіжна
послідовність?
46.21 /* Доведіть, що послідовність (ал), члени якої для всіх п є N
задовольняють рівність Зал + 2 (ап +1 “ 1) = %ап ~ 5, є розбіжною.
46.22 /* 3 послідовності (хд) утворили нову послідовність (8п) за
формулою: 8п = х± + х2 + ... + хп, п є N. Виявилося, що (8п) —
збіжна послідовність. Чи обов’язково 1ішхл=0?
46.23 /* Обчисліть границю Ііт (\п2-п-п).
П—^°°
46.24 /* Обчисліть границю Ііт (Vп2 +1 - л/п2 + Зп).
п100
46.25 /* Знайдіть границю Ііт
46.26 /* Знайдіть границю послідовності (хи), заданої формулою:
Хп=ї^2 + 2^3 + "' + П"(п + 1);
1-1! + 2-2! + 3-3! + ... + п«п!
46.27 /* Знайдіть границю послідовності (хп), заданої формулою:
1.2, , п
> Х"~2! ЗІ (п + 1)І
3) =
13 . «З , । ^3
1 +2 +... + п
4
п
2) _23-1 З3-1 п3-1.
Х" 23 + 1 З3 + 1 •‘••п3 + 1’
х2п+1
46.28. * Побудуйте графік функції /(х) = ііш---=-.
1 + х
46.29. * Дослідіть на збіжність послідовність (хд), якщо:
1) х = зіп 6п; 2) х = зіп 1 + зіп 2 + ... + зіп п.
46.30. * Чи існує границя послідовності із загальним членом
х = соз 7п?
п
47. Теорема Вейєрштрасса
* Важливою ознакою збіжності послідовності є така теорема.
Теорема 47.1 (теорема Вейєрштрасса). Кожна зроста-
юча і обмежена зверху (спадна і обмежена знизу) послідовність
має границю.
Твердження цієї теореми має просту геометричну інтерпре-
тацію. Справді, якщо послідовність (хл) зростає, то кожний на-
ступний її член буде розташований на числовій прямій правіше
всіх попередніх членів (рис 47.1). Крім цього, за рахунок обме-
женості послідовності (хп) зверху числом С її члени не можуть
необмежено зростати. А отже, існує число х, до якого прямує
послідовність (хл).
£ х3 х4е ******
Рис. 47.1
Незважаючи на наочність геометричної інтерпретації, дове-
дення теореми Вейєрштрасса вимагає точного розуміння таких
складних понять як «числова пряма», «дійсне число» тощо. По-
яснимо сказане.
Один з найпоширеніших способів побудови множини дійсних
чисел пов’язаний з аксіоматичним описом її властивостей, на
кшталт того, як в геометрії за допомогою аксіом було визначено
основні властивості точки, прямої, площини. Серед аксіом дій-
сних чисел є, наприклад, такі:
1) а + Ь = Ь + а;
2) (а + Ь) с = ас 4- Ьс;
3) (аЬ) с-а (Ьс);
4) якщо а < Ь і Ь < с, то а < с.
Повний перелік зазвичай містить більше 10 різних умов1
і сформований так, щоб описати всі характерні властивості дій-
сних чисел, тобто дозволити відрізняти множину дійсних чисел
від інших множин. Тому серед аксіом дійсних чисел має бути
і така умова, яка відрізняє множину дійсних чисел від множини
раціональних чисел. Зауважимо, що жодна з аксіом 1)-4) не є та-
1 3 ним ви зможете познайомитися у вищому навчальному закладі
або у підручниках з математичного аналізу.
кою умовою, оскільки раціональні числа також задовольняють
аксіоми 1)-4).
Чим же принципово відрізняються у своїй будові множини
дійсних і раціональних чисел? Говорячи неформально, сукупність
раціональних чисел містить «прогалини»; множина ж дійсних чи-
сел є повною,.тобто не містить «дірок». Справді, якщо зобразити
на прямій множину раціональних чисел, то отримаємо фігуру,
яка складається з «окремих точок», в той час як дійсні числа
«неперервно» заповнюють усю пряму.
Точного змісту ці глибокі і складні поняття набули лише
у другій половині XIX сторіччя у роботах Карла Вейєрштрасса,
Ріхарда Дедекінда, Едуарда Гейне, Георга Кантора, Огюстена
Коші, Шар ля Мере. Ці науковці знайшли кілька різних способів
опису відмінностей між раціональними і дійсними числами.
Сформулюємо одну з можливих умов, що відрізняє множину
дійсних чисел від раціональних.
Принцип вкладених відрізків1. Будь-яка послідовність вкла-
дених відрізків [а ; Ьг] о [а; Ь2] о [а3; &3] о ... має непорожній
перетин, тобто існує число х0, яке належить усім відрізкам [а*; Ьл].
Наприклад, послідовність вкладених відрізків
[-1; 1] з Г-1; |1 з Г-1; |1 з ...
має непорожній перетин — відрізок [-1; 0], тобто існує число х0,
наприклад х0 = 0, яке належить усім названим відрізкам.
Розглянемо інший приклад. Як відомо, \І2 =1,414.... Тоді по-
слідовність вкладених відрізків
[1; 2] о [1,4; 1,5] => [1,41; 1,42] о [1,414; 1,415] о ... (1)
має непорожній перетин — одноелементну множину {л/2}
(рис. 47.2).
д/2
4---------------ь-в&з----------------з-----------------Ь
* М мі М2 із $
• Рис. 47.2
Зауважимо, що для множини раціональних чисел принцип
вкладених відрізків не виконується. Наприклад, якщо на мно-
жині раціональних чисел розглянути послідовність вкладених
відрізків (1), то не знайдеться жодного раціонального числа, яке
належить усім цих відрізкам.
1 Проміжки виду [а; &] називають також відрізками.
Німецький математик, член Бер-
лінської академії наук, Паризької
академії наук, почесний член Петер-
бурзької академії наук. Його основні
роботи присвячені математичному
аналізу. Одним з найважливіших
його здобутків є система логічного
обґрунтування математичного ана-
лізу, заснована на побудованій ним
теорії дійсних чисел. Вейєрштрасс
приділяв значну увагу застосуванню
математики до механіки та фізики
і заохочував до цього своїх учнів.
Карл Теодор Вільгельм
Вейєрштрасс
(1815-1897)
Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести
важливі властивості множини дійсних чисел.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що не існує такої послідовності (хД, серед
членів якої є кожне число відрізка [0; 1].
Розв'язання. Розглянемо довільну послідовність (хД. Обере-
мо на [0; 1] такий відрізок [а1; Ь1], який не містить хх (зрозуміло,
що такий відрізок існує). Далі на відрізку [а ; 6Д оберемо такий
відрізок [а2; Ь2], який не містить х2. Продовжуючи цей процес,
побудуємо послідовність вкладених відрізків
[0; 1] о [в1; о [а2; Ь2] о [а3; &3] з ...»
в якій відрізок [а*; ЬД не містить х*, тобто хк Є [ак; ЬД. Тому жоден
член послідовності (хп) не може належати перетину побудованих
відрізків. Але цей перетин непорожній і містить деяке число
х є [0; 1]. Таким чином, доведено, що число х не представлене
в послідовності (хД, тобто доведено, що відрізок [0; 1] — незлі-
ченна множина1. •
Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести
теорему Вейєрштрасса.
Доведення. Розглянемо випадок, коли (хД — зростаюча і об-
межена зверху послідовність (випадок спадної і обмеженої знизу
послідовності розглядається аналогічно). Тоді існує таке число
С, що хп < С.
1 Інше доведення цього твердження можна отримати, спираючись на
ідею, викладену на с. 46-47 підручника Мерзляк А. Г., Полонський В. Б.,
Якір М. С. Алгебра: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики.
Побудуємо послідовність вкладених відрізків
[а1? Ь,] з [а2; Ь2] => [а3; 63] з ... .
Нехай а1 = хг і Ьг = С. Тоді всі члени послідовності (хл) нале-
жать відрізку [а ; Ь ].
Розіб’ємо відрізок &х] точкою йх навпіл. Можливі два ви-
падки.
1) Нерівність хп < с?х виконується для всіх и є И, тобто всі
члени послідовності (хл) не більші за число гіх (рис. 47.3). У цьому
випадку другий відрізок [а • &„] оберемо так: ао = а., Ьо- ск.
1^2» ^2^_
%2 * З *
Рис. 47.3
2) Нерівність хп < гіх виконується не для всіх п є К, тобто
існують члени послідовності (хл), більші за число с?х (рис. 47.4).
У цьому випадку відрізок [а2; Ь2] оберемо так: а2 = с/х, Ь2 - Ьг
[°2> ^2І_
Ох^1 ^3 *4 • 5 * •• -1ьі
Рис. 47.4
В обох розглянутих випадках відрізок [а2; Ь2] є частиною від-
різка [ах; Ьх] і містить деякі члени послідовності (хл), причому
для всіх п є N виконується нерівність Хп < Ь2. Оскільки (хй) —
зростаюча послідовність, то поза відрізком [а2; Ь2] знаходиться
лише скінченна кількість членів ПОСЛІДОВНОСТІ (хл).
Для побудови третього відрізка [а3; Ь3] повторимо описану про-
цедуру. Розіб’ємо відрізок [а2; Ь2] точкою сі2 навпіл. Тоді, якщо
нерівність хп < сі2 виконується для всіх п є N. то покладемо
а3 = а2, Ь3 = й2; в іншому випадку — а3 = гі2, Ь3 = Ь2.
Зрозуміло, що відрізок [а3; Ь3] є частиною відрізка [а2; &2]
і містить деякі члени послідовності (хл), причому для всіх п є N
виконується нерівність хп < Ь3. Оскільки (хл) — зростаюча послі-
довність, то поза відрізком [а3; &3] знаходиться лише скінченна
кількість членів послідовності (хл).
Міркуючи аналогічно, побудуємо послідовність вкладених
відрізків [а р М 3 [а.V ° [Я;5; 63] =>... . Зауважимо, що поза
кожним з цих відрізків знаходиться лише скінченна кількість
членів послідовності (хл). Крім цього, оскільки довжина відрізка
[а*; Ьк] дорівнює
ьі~аі
2*-і
, то послідовність довжин відрізків [ак; &А]
прямує до нуля.
. Використовуючи принцип вкладених відрізків, доходимо висно-
вку, що існує число х, яке належить усім побудованим відрізкам.
Доведемо, що Ііт хп = х. Справді, для будь-якого є > 0 інтер-
П—>«>
вал (х - є; х + є) міститиме деякий відрізок [а*; ЬД. Оскільки поза
відрізком [ак\ ЬД знаходиться лише скінченна кількість членів
послідовності (хД, то і поза інтервалом (х - є; х + є) також зна-
ходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хД.
Отже, доведено, що х — границя послідовності (хД.
Теорему Вейєрштрасса доведено. А
Зазначимо, що твердження теореми Вейєрштрасса можна уза-
гальнити для довільних монотонних послідовностей, тобто кожна
монотонна і обмежена послідовність має границю (доведіть
це самостійно).
Зробимо ще одне зауваження. Теорема Вейєрштрасса є при-
кладом так званої теореми існування. Ця теорема вказує умови,
за яких існує границя послідовності. Проте ні формулювання, ні
доведення теореми не задає скінченний алгоритм, який дозволив
би знайти цю границю.
ПРИКЛАД 2 Послідовність (ап) задано формулою ап =
І І1-!)*••• 1Де (рД — послідовність простих
\ 2/\ 3/\ 5/ рп) п
чисел. Чи існує границя 1італ?
П~>о°
Розв'язання. Оскільки для всіх п є N мають місце нерівно-
сті 0 < ап < 1, то (ап) — обмежена послідовність. З співвідношень
ап+1 = ап • [ 1 —— | < ап випливає, що (аД — спадна послідовність.
За теоремою Вейєрштрасса існує границя Ііт ап. •
п —
ПРИКЛАД 3 Послідовність (аД задано рекурентним способом:
ах = л/2, ап+1 = у]2 + ап, п є N. Дослідіть послідовність (аД на збіж-
ність і у випадку збіжності знайдіть границю.
Розв'язання. Зазначимо, що ап > 0.
Запишемо а„+1 = 2+ап, агп+2 = 2+ап+1. Звідси а2п+2 -а2+1 = ап+1 - ап.
Очевидно, що а2 - > 0. Водночас з припущення ап + х - ап > 0
випливає, що ал+2-ал+1>0, тобто ад + 2 ~ ап + 1 > 0. За методом
математичної індукції отримуємо, що (ап) — зростаюча послідов-
ність.
Маємо а*<а*+1 = 2 + ап. Звідси а*<2 + ап, -1 < ап < 2. Тому
(ап) — обмежена зверху послідовність.
За теоремою Вейєрштрасса існує границя 1італ = а. Знайдемо
п—>°°
значення границі а. Скористаємося рівністю ал+1 = ^2 + ап. Оскіль-
ки ііш ап+1 = а, а Ііт уІ2 + ап = л/2 + а, то маємо рівняння а = \І2 + а.
Звідси а ~ 2.
Відповідь: 1ітап = 2.
п—>«•
Вправи
47.1 / Послідовність (ап) є збіжною. Чи можна стверджувати, що
послідовність (ал) є: 1) монотонною; 2) обмеженою?
47.2 / Послідовність (ап) задано формулою
/і іїїі 1 її-і И Л И
ап = 1-- 1--у 1—т •.--• !—~ •
п \ 2/\ 22/\ 23/ \ 2 /
Чи існує границя Ііпі ап ?
А„ о • тт • / \ 2-4-6-...’(2п)
47.3 . Послідовність (а ) задано формулою ап = ™.
Чи існує границя Ііт ап?
п—>00
47.4 / Чи існує така послідовність вкладених відрізків [аг; &г] о
із [а2; 62] о [а3; &3] о ..., що їх перетин складається рівно з двох
точок?
47.5 / Чи обов’язково послідовність вкладених інтервалів (а ;
=> (а2; Ьг) о (а3; Ь3) о ... має непорожній перетин?
47.6 / Послідовність вкладених відрізків [а ; &1] о [а2; Ь2] о
задовольняє умову Ііт (Ьп -ал) = 0. Доведіть, що
<5 <5 п —>«»
відрізки [ап; дп], п є К, містять лише одну спільну точку.
47.7 / Послідовність (ап) складається з додатних чисел. Дове-
діть, що коли послідовність (6л) із загальним членом &п = а1 +
4- ао 4- ... 4- а є обмеженою, то вона є збіжною.
47.8 /* Доведіть збіжність послідовності (ап), яку задано формулою:
1) ап ~ + т? + • • • > 3) я + —іг + —7+
7 п 3 5 9 2 +1 7 І2 22 З2 п2
2) о = — + — + ^- + ... + 4) а — — н—-4------— +... + —~.
1! 2! З! п\ п п + 1 п + 2 2п
47.9/ * Доведіть збіжність послідовності (ал), яку задано форму-
лою:
1) а — — + — + + ••• п ’ 3) --оН 2 + • • ’ -2’
е п 1 7 25 3-2 І2 З2 52 (2п-1)2
2) а= —н—тН—Т-+...4—4) а ——і----------~н----— + ... + ——•
п 1 22 З3 п п п + 1 п + 2 5п
47.10/ * Послідовність (хл) задано рекурентним способом: = 5,
хп+і = уі^ + хп^ пе N. Дослідіть на збіжність послідовність (хд)
і в разі збіжності знайдіть її границю.
47.11/ * Послідовність (хл) задано рекурентним способом: хх = 1,
Хп + 1 = >/1 + Зхп, п є N. Дослідіть на збіжність послідовність (хл)
і в разі збіжності знайдіть її границю.
47.12/ * Для а > 1 розглянемо послідовність (хл) із загальним
членом хл = Знайдіть рекурентну формулу, що зв’язує х . 1
а п +1
і хп. Використовуючи знайдену формулу і теорему Вейєр-
штрасса, доведіть, що Иш ~- = 0.
л—а
47.13/ ’ Розглянемо послідовність (хл) із загальним членом хп = ,
де а > 0. Знайдіть рекурентну формулу, що зв’язує хл + 1 і хл.
Використовуючи знайдену формулу і теорему Вейєрштрасса,
доведіть, що Ііт — = 0.
л-ю» ПІ
47.14. ” Послідовність задано рекурентним способом: а1 = 1,
ап+і = ап + ”Т» є N. Чи є обмеженою послідовність (а )?
а, п
п
47.16. ” Послідовність задано рекурентним способом: ах = 0,
2а2 + 2па + З
=—--------—, п є N. Чи є обмеженою послідовність
п + ап
ю?
47.16. ” Послідовність задано рекурентним способом: а] = 1,
а [а^
ап+і==:^ + у~7~ + ^’ п Е N. Чи є обмеженою послідовність (ал)?
47.17. ” Послідовність (хл) є обмеженою. Доведіть існування такого
числа х, що при кожному є > 0 проміжок (х - є; х + є) містить
нескінченну кількість членів послідовності (Хл).
47.18. * Послідовність (ап) задано рекурентним способом: аї є (0; 1),
ап^ =ап ~а„, пє N. Покладемо Ьп = а* + а% + ... + а„. Доведіть,
що послідовність (Ь ) збіжна і Іітд < 1.
п п -Ам
47.19. * Послідовності (ап) і (&п) задовольняють умови: аг - 1, - 9,
’ н = 4агРп ’ Ьп+і = -—+--, п є N. Доведіть, що послідовності
2
(а ) і (Ь ) збігаються і Ііт а = Ііт Ь„.
' п“ 4 П7 _ п п
п—> 00 п —> 00
47.20. * Доведіть, що послідовність, задана формулою
хп = ^1 + ^2+^3+л/... + "+Ж,
має границю.
Число Ейлера
У цьому пункті розглянемо послідовність із загальним членом
І 1V
х = 1 + — і доведемо її збіжність. Вибір цієї послідовності не
\ п/
є випадковим. Число, до якого прямує послідовність (хп), є фун-
даментальною константою, що грає особливу роль не тільки
в математиці, а й у фізиці, хімії, біології, економіці тощо.
Дослідимо властивості послідовностей (хп) і (уп), які задано
14-і І , 1/п=^1+ —І :
Для всіх п є N виконується нерівність хп < уп.
І 1\п І 1\п І і\ / 1\л+1
Справді, х = 1 + — < 1 + — • 1 + — = 1 + “ ~Уп-
\ п) \ пі \ пі \ пі
Послідовність (хл) є зростаючою.
Достатньо довести нерівність
І 1\п І 1 \п+1
14-і < 1 + -І- , п Є N.
\ ПІ \ П4-1/
Застосуємо нерівність
-—---------і- > */а1а2 ... ак, а, > 0,
яку називають нерівністю Коші1 (рівність досягається при
а — а — ... = а ).
2
13 доведенням цієї нерівності ви можете ознайомитися в підручни-
ку Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: Підруч. для
9 кл. з поглибл. вивч. математики. С. 231-232.
Покладемо ах = а2= ...
= ап = 1 + ап + і = І- Тоді при к - п + 1
маємо:
пдоданків
лг (1 ч-—)-ь 1 Г/ Гуп
Звідси --------у----->п+аІ1 + —І .
п + 1 \\ п/
Ч> Послідовність (уп) є спадною.
Доведіть це твердження самостійно, скориставшись нерівністю
Коші для к - п + 2 і чисел а, =а9= ... = аи4, =--, а х = 1.
1 2 п + 1 п + і п + 2
Послідовності (хп) і (уп) є обмеженими.
Цей факт випливає з нерівностей хг < хп < уп < у , п є N.
Отже, доведено, що (хл) і (і/л) — монотонні і обмежені послі-
довності. Тому за теоремою Вейєрштрасса існують границі
(1 \ л і 1\Л+1
1 + —І =а, Ііт 11 +—) = Ь.
П/ п-^оо \ П/
Якщо в рівності уп = ^1 + • хп перейти до границі, то отримаємо
Ь = 1іт и =1іт|1 + —їх =1іт|1 + — І«Іітх„ =1*а.
•7 П 1*і/П І І п
П-+«> И~+<» \ П/ п~>°° \ П/ П—>°°
Таким чином, доведено, що (хп) і (уп) — збіжні ПОСЛІДОВНОСТІ,
причому Ит уп = Ііт хп.
П—+°° П-+оо
(1 / і іДП + іЛ
1 + —) або границю Ііт (1 + —) називають
І і V
числом Ейлера і позначають буквою е. Рівність 1ітІ1 + — І =е
називають другою чудовою границею.1
Можна довести, що е — число ірраціональне. Зазначимо, що
при цьому всі члени послідовності (хп) — числа раціональні.
Оскільки (хд) — зростаюча, (уп) — спадна послідовності, що
мають спільну границю, то для всіх п є N виконуються нерівності:
х < е < у .
п
1 Про першу чудову границю ви дізнаєтесь в 11 класі.
Наведені оцінки дають можливість знайти наближене значення
числа Ейлера, обчисливши хп та уп при «великих» значеннях п.
Наприклад, х1ппп = 2,716..., а = 2,719... . Це означає, що
є = 2,71... .
ПРИКЛАД
Знайдіть границю Ит |1 + 77-
І 1 \2п
Розв’язання. Оскільки 1іт|1+ —І =е,
п -»оо \ 2п /
І 1V // Г?" г
то Ит 1+ — =1іт«і 1+— =у/е.
П —> °° \ 2п1 \\ 2п]
Відповідь: уіє.
Вправи
( 11
47.21. Знаходячи Ііт II+ — І , Василь Заллутайко записав: «Оскіль-
п—>оо \ ПІ
І 1 \ / 1 \п
ки Ііт 1 + —1 — 1, то 1ітІ1 + —І = Ііт 1” = Ііт 1 = 1». Депомилив-
П-^оо \ Ті] п—>оо \ Ті] п—їоо
ся Василь?
47.22. Знайдіть границю:
; 2) Ііт І—І ; 3) ІітІІ-- .
Зп / П~>оо \ ТІ ] п—>оо\ Ті]
47.23. Знайдіть границю Ііттг(^й-і).
П->оо
І IV З
47.24. Доведіть, що 0<е-І1 + —І <—. Для якого значення п тре-
\ п] п
( 1 \л
ба обчислити 1 + — , щоб отримати наближене значення
\ п]
числа Ейлера з точністю 10~4?
47.25. Доведіть збіжність послідовності (хл), яку задано формулою
1+1+1+
/ 2 3+‘" п
47.26. Для всіх п е N доведіть нерівності ппе п + * 1< пі ^пп + 1еп + 1
„ „ . г х/Й!
Знайдіть границю Ііт---------.
П-^оо ТІ
Відповіді та вказівки до вправ
1.1. (і) . 1.2. 1. 1.3. 1. 1.4. -^+*,+1. 1.8. 1. 1.9. "----4 —. 1-Ю. 1.
\Ь/ Ь х8+х4+1
2п+1 1
1.12. -----т-. 1.13. Вказівка. З умови випливає, що а — = 1. По-
1_Ь2"+1 а
множте ліву частину даної рівності на вираз (а-—). 1.14. Вказівка.
З умови випливає, що аЬ + Ьс + ас = 0. Далі (а + Ь + с)2 = а2 + Ь2 + с2 +
+ 2(аЬ + Ьс + ас) = а2 + Ь2 + с2. 1.16. (х - у) (г - у) (г - х). Вказівка.
Розглянемо даний вираз як многочлен зі змінною х і параметрами у
і 2. Покажіть, що цей многочлен має корені у і г. 1.17. (х - у) (г - х) х
* (у - г). 1.18. Вказівка. З умови випливають рівності а-Ь--,
Ьс
Ь-с~с-а = Перемноживши почленно ліві і праві частини
са аЬ
цих рівностей, отримуємо (а -Ь)(Ь- с) (с - а) = . 1.19. 8.
а Ь с
1.20. -115. 1.21. 4. 1.22. 1. 1.23. >/3 + 1. 1.24. 3+72. 1.25. 3. 1.26. 0.
1.31. >/Ї0 + л/2. 1.32. 1. 1.33. 0. 1.34. Якщо а > 1, то а + 1; якщо
0<а<1, то-а-1; 1.35. >/1-х2. 1.36. -1. 1.37. Якщо 0<а<л/2, то
.— к2 ч
6 - 4а; якщо а>>/2, то 2(а - І)2. 1.38. —т^-. 1.39. Якщо 0 < Ь < а,
>!ь
то 0; якщо 0 < а < Ь, то у[а-у/ь. 1.40. 2(аЬ + 7а2-17ь2-1). Вказів-
ка. Помножте чисельник і знаменник даного дробу на вираз
(а->]а2 -1)(.Ь-уіЬ2 -1). 1.41. 1.42. Якщо а > 2, то 2; якщо 1 <
1 + Ь
< а < 2, то -2. 1.43. Якщо 4 < х < 8, то якщо х > 8, то ~^=.
*-4 л/х-4
144 П 7- 2) -!• 3) ~5-^• ~5+^• 4) 0- ~5+^- ~5~^-
7 ’ ’ З’ 10 ’ 10 ’ 2 2
5) [-2; 3]; 6) -7; -1; 7) {5} О [1; 2]. 1.45. 1) -1; 2) 3) 5;
£ О 4
4) 0; 5) (3; 6) -2; 4. 1.46. 1) Якщо а ї -4, то якщо
а = -4, то коренів немає; 2) якщо а * 1, то х =
а-2
2
якщо а = 1, то
коренів немає. 1.47. Якщо а#-і і а^-і то х= 2<-+12а; якщо а = -і
З 4 За + 1 З
або а = -і, то коренів немає. 1.48. 1) и (з’ї) и
2) [1;5] О МІ; 3) (-оо; -і] сі [і; 2] II [3; +~); 4) (-3;-1) С> (|;2І О (2;7);
ІО.І \О /
5) -1] О (3->/2;3+>/2); 6) (-«; -3) У (-3; 2] У (4; 7) (-7; -5) У
її (4; 4~); 8) (-1; -к»); 9) (-1; 1) У (4; 6); 10) (-«>; -1) У (1; +<»); 11) -4] У
У [-2; -1] У [1; -к~); 12) [-4;-3) У [-|;о] У [1; +~); 13) -3) У (2; М;
І. 1.49.
і) (-4)и (4;1)и (95+“)5 * 2) 11591 и НІ5
3) -2] У [4; +~) у {2};
4)(-о°; -2) У (-2; 3); 5)
У (0;2) У Г3+^;+°°); 6) (-2; -1) У
и л /
У (2; 3); 7) -1] У (0; 1] У (2; 3]; 8) (2; +~); 9) [-3-Тб;-4) У (-2;0];
Ю)
-3-У17
4
-б + л/її
4
11) (2; 5); 12) -3) У (-3; -2) У
□ (0; -н»). 1.50. а < -4 або а > 8. 1.51. а = 1 або а = -2. 1.52. а - 1.
1.53. а = 3 або а=Л. 1.54. а = 2. 1.55. а < -6. 1.56. а < -3 або а > 1.
2
1.57. а > 6. 1.58. а > 0. 1.59. а < -1 або а > 0. 1.60. 0 < а < 4.
1.61. а > 1. 1.62. а>—. 1.63. 1 < а < 2. 1.64. -5 < а < 1. 1.65. д < 0.
5
1.66. 1) -4; 2; 3) 1; -1; 4) >/2; -л/2; -1; 2; 5) 3; 6)
О
7) 1+^21; ІгУДІ. 1.67. 1) 2; 3; 2) 1; 3) -6; -2; -4 + ТЇЗ;
Л Л Л
-4-713; 4) 5) 1+77; І-л/7. 1.68. 1) (-3; 1];
л л
2) 1-2; 0] У {|}. 1.69. 1) (—о; |) У (4; 7]; 2) [2; 3) У (3; +~) У {1}.
1.70. 2) (-о»; -2] У [2; -н*>); 3) [1; 4~); 4) (-<»; 4]. 1.71. 3) [0; 2]; 4) 2].
1.72. Найбільше значення дорівнює найменшого значення не іс-
нує. 1.73. Найбільше значення дорівнює 1, найменшого значення не
існує. 1.74. 2) 2. 1.75. 1) 2) 7б. 1.76. 1) тіл/(х) = 5а-3;
л [-1; 1]
тах^(х) = 5а+5; 2)якщо-1 < а < 2,то тах/(х) = 5, тіп/(х)-а2-4а;
якщо 2 < а < 5, то тах/(х) = 5, тіп/(х) = -4; якщо а > 5, то
[-1; а] [-1: а]
тах / (х) = а2 - 4а, тіп / (х) = -4. 1.77. 2) Якщо а < 0, то тах / (х) = 1,
[а; 2]
тіп/(х) = 2а-а2; якщо 0 < а < 1, то тах/(х) = 1, тіп/(х) = 0; якщо
[а; 2] [а; 2] [а; 2]
1 < а < 2, то тах/(х) = 2а-а2, тіп/(х) = 0. 1.78. 1. Вказівка. Ско-
[а;2] [а; 2]
ристайтеся тим, що функція у = л/х + 2 >/х + 3 + л/х + 8 є зростаючою.
1.79. 2.1.80.1. Вказівка, Доведіть, що | х | +1 х - 2 | > 2, а 2-л/х-1 <2.
1.81.2. Вказівка, Перепишіть дане рівняння у вигляді \І4х-х2 = + ~.
1.§2. 3) Парна; 4) непарна. 1.83. 3) Парна. 1.85. Див. рисунки.
1.87. а) а < 0, Ь < 0, с < 0. 1.88. а) а > 0, Ь < 0, с > 0. 1.89. Якщо
а < 0, то коренів немає; якщо а = 0 або 1 < а < 8, то 4 корені; якщо
0 < а < 1, то 8 коренів; якщо а - 1, то 6 коренів; якщо а = 8, то
З корені; якщо а > 8, то 2 корені. 1.90. Якщо а < 0, то коренів немає;
якщо а = 0 або а > 1, то 2 корені; якщо 0 < а < 1, то 4 корені; якщо
а = 1, то З корені. 1.91. Ні. 1.92. шах у = 1, тіп у ~ -10. Вказівка,
2х2
Зробіть заміну --і покажіть, що 0 < і < 1. Далі розгляньте
1 + х
функцію / (0 = і2 - 12* + 1, В (/) = [0; 1]. 1.93. 1) 2) (0; 0).
1.94. 1) 1-95. Див. рисунки.
Рис. до задачі 1.85
до задачі 1.96 (7)
Рис.
Рис.
до задачі 1.97 (4) до задачі 1.98 (4)
Рис. до задачі 1.99 (2)
Рис. до задачі 1.101 (1)
1.96. 7) Див. рисунок. 1.97. 4) Див. рисунок. 1.98. 4) Див. рисунок.
1.99. 2) Див. рисунок. 1.101. 1) Див. рисунок. 2.5. 1) Визначити не-
можливо; 2) 1; 3) визначити неможливо; 4) визначити неможливо;
5) 0. 2.6. 1) 0; 2) визначити неможливо; 3) 1; 4) визначити неможли-
во. 2.7. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1. 2.8. 1) 1; 2) 0; 3) 1; 4) 1. 2.11. 1) Так;
2) визначити неможливо; 3) ні; 4) так; 5) так. 2.12. 1) Ні; 2) ні;
3) так. 2.15. 1) 2^В = АаВ; 2) А=фВ = АаВ. 2.16. АаВ = АуВ.
2.17. Наприклад, А*В = А\ААаВ). 2.18. Наприклад, А*В = (АлВ)\/
УІАлВ). 2.19. А=АІА, Ач В = (АІ В)і(АІ В), АлВ=(АІА)і(.ВІВ).
3.1. Предикатами є твердження з номерами 1), 3), 4), 7). 3.5.
3.7. 1) (х - 5)2 + (х + 2)2 = 0; 2) (х + 2) (х - 5) = 0. 3.8. 1) К \ {-2; 5};
2) Щ. 3.9. N. 3.10. К. 3.11. 1) (-оо; 2] Ь (5; +~); 2) К. 3.12. 1) (-оо; 5);
2) [2; +оо). 3.14. А (х) « С (х), В (х) <=> В (х). 3.15. В (а; Ь) <=> С (а; д).
3.19. х — просте число. 4.1. 1) 2) -±. 4.2. 1) 2) -8. 4.11.
1) (0; 0), (л/2;8), (-72; в); 2) (0; 0), (-3; 81). 4.12. (0; 0), (1; 1), (-1; -1).
4.13. 4) 1. 4.14. 2) 1. 4.18. 1) Якщо а - 6, то один корінь; якщо а > 6,
то 2 корені; якщо а < 6, то коренів немає; 2) якщо а = 1 або а = -8,
то один корінь; якщо а < -8 або а > 1, то 2 корені; якщо -8 < а < 1,
то коренів немає. 4.19. Якщо а - 0, або а = 3, або а = -3, то один ко-
рінь; якщо а < -3 або 0 < а < 3, то 2 корені; якщо -3 < а < 0 або
а > 3, то коренів немає. 4.20. Так. Наприклад, / (х) - х10. 4.21. Так.
Наприклад, / (х) = х5. 4.28. 4) шіп /(х) = 256, найбільшого значення
(—>;-2]
не існує; 5) тіп/(х) = О, найбільшого значення не існує. 4.30. 1) Пар-
(-2;!)
•ним; 2) непарним; 3) непарним; 4) установити неможливо; 5) парним;
6) установити неможливо. 4.31. / (х) = х7. Вказівка. Зробимо заміну
у = х3. Оскільки область значень функції у ~ х3 дорівнює К, то для
всіх у є ІК виконується рівність / (у) = у7. 4.32. / (х) = х3| х |. Вказівка.
Зробимо заміну у - х6. Оскільки область значень функції у - х6 —
проміжок [0; -н»), то для всіх у > 0 виконується рівність / (у) - у*.
Оскільки / — непарна функція, що визначена на [0; +°°), то В (/) = К.
Крім цього, /(у) = ^ ’ якЩ°^0» 4 / (х) = | х |5. 4.34. 1) 1; 2) -1;
[-і/4, якщо#<0.
1. Вказівка. Розгляньте функцію / (х) = 2х4 + х10. Вона є парною.
Тому досить знайти невід’ємні корені даного рівняння. На проміжку
[0; +°о) функція / є зростаючою, отже, рівняння / (х) = З на цьому
проміжку має не більше одного кореня. 4.35. 1) -1; 2) -1; 1.
4.36. Якщо -1 < а < 0, то тій/(х) = /(а) = а8, тах/(х) = /(-1) = 1;
якщоО < а < 1,то тіп/(х) = /(0) = 0, тах / (х) =/* (-1) -1; якщоа > 1,
[- 1;а]
то тіп/(х) = /!(0) = 0, тах/(х) = /(а) = а8. 4.37. Якщо а < -2, то
тіп / (х) = / (0) = 0, тах / (х) = / (а) = а6; якщо -2 < а < 0, то тіп / ґх) =
[а; 2] [а; 2] [а; 2]
= /(0) = 0, тах / (х) = / (2) - 64; якщо 0 < а < 2, то тіп/(х) = /(а) = а6,
(а; 2] [а; 2]
тах / (х) = / (2) = 64. 4.38. 1. Вказівка. Перепишіть рівняння у вигля-
[а;2]
2 3 1
ді —£у + -д=5 і виконайте заміну — = і. 4.39. -1. 4.40. /п (х) = хл.
4.41. /п (х) = х". 4.42. / (х) = х. Вказівка. Підставте у = 0. 4.43. Таких
функцій не існує. Вказівка. Підставте у = 0. 4.44. / (х) = 0. Вказівка.
Підставте х = 1 і зробіть заміну 2 ~ у + / (1). 4.45. Так. Наприклад,
І х > 0, 2
/(х) = < ’ ’ 4.46. /(х) = х2. Вказівка. Підставте у~~х і зробіть
[0, х<0. З
заміну І = 2х. 5.3. 1) -2500; 2) |. 5.4. 1) -243; 2) 8. 5.11. 1) (-==; 0) 0
О
II (0; +-); 2) ( ~; 2) 0 (2; +°°). 5.14. 1) (1; 1), (-1; -1); 2) (2;|).
5.15. (1; 1). 5.18. 1) та| / (х) = 64, ^дц|/(х) = 1; 2) гпах/(х) = 64,
тіп /(х) = 1; 3) тах/(х) = 1, найменшого значення не існує; 4) най-
[-1=4]
більшого значення не існує, тіп/(х) = 1. 5.19. 1) та^/(х) = 27,
|ПІ1| / (х) = ; 2) тах / (х) = -~, тіл / (х) = -1; 3) найбільшого значен-
ня не існує, тіп/(х) = --~; 4) найбільшого значення не існує,
тіп/(х) = ^. 5.20. 1) 4 розв’язки; 2) 2 розв’язки. 5.21. 1) 3 розв’язки;
2) 2 розв’язки. 5.24. 1) Непарним; 2) установити неможливо; 3) пар-
ним; 4) установити неможливо. 5.25. / (х) = х“9. 5.26. /(х) = —ту—-.
X |х|
5.27. / (х) = | х |"5. 5.28. /(х)^* ’ х>$’ де § (х) — будь-яка функ-
(Я(х), х<0,
ція, що визначена на (-«>; 0]. 6.3. 9) 3; 10) 2. 6.4. 5)* 3; 6) 7. 6.7. 1) 29;
2) 56; 3) -|. 6.8. 1) -11,8; 2) 581. 6.9. 3) (-~; 0] II [1; +~); 5) {0}.
6.16. 1) -1; 1; -3; 3; 2) -2; 3) -3/3; 3/3. 6.17. 1) -3/2 ; 3; 2) -3/3;
3/3. 6.18. 1) (-°о; -3) її [-1; 1] її (3; +=); 2) [-6; 3). 6.19. 1) (-«•; -6) її
II [-4; 4] 0 (6; +«); 2) (-4; -3] О [3; +~). 6.20. 1) -1; 2; 2) -1; 3.
6.21. 1) -3; 2; 2) -3; 1. 6.24. 1) Вказівка. З припущення 3/2=—, де
п
т є 2, п є И, — — нескоротний дріб, маємо рівність 2п3 = т3. Звід-
п
ки т : 2, тобто т = 2ти тг є X. Тоді п3 = 4т3. Отже, п : 2. Отримали
суперечність з тим, що ~ — нескоротний дріб. 6.26. 1) Якщо а < -1,
п
то один корінь; якщо а > -1, то 2 корені; 2) якщо а < 0, то коренів
немає; якщо а > 0, то один корінь; 3) якщо а < 0 або а = 1, то один
корінь; якщо 0 < а < 1 або а > 1, то 2 корені. 6.27. 1) Якщо а > -1,
то один корінь; якщо а < -1, то 2 корені; 2) якщо а < 0 або а = 1, то
один корінь; якщо в > Оіа# 1, то 2 корені. 7.14. 1) а > 0, Ь > 0;
2) а < 0, Ь < 0; 3) а > 0, Ь < 0; 4) а і Ь — довільні числа; 5) а і Ь —
довільні числа. 7.15. 2) [3; 7]; 3) К. 7.16. 4) | а3 |; 5) т2. 7.18. 2) -п;
5) с4; 8) -0,1д3Ь8. 7.19. 3) ІОх; 7) -а19Ьисп. 7.22. 1) [-4; +«=); 2) К;
3) [-1; 3]. 7.23. 2) лА/2-1. 7.27. 1) Коренів немає; 2) 3; 3) -1; 3.
7.28. 1) -4; 2) 2. 7.29. [3; 5]. 8.6. 1) 0; 2) З3/7т. 8.7. 1) 273/2;
2) 293/а. 8.8. 4) 3№; 5) і/х2; 6) ^128. 8.9. 5) 3/х8; 6) 3/а.
8.12. 5) *3/24; 6) 3/а3; 7) 3/3; 8) З/а4^3; 9) 8.13. 5) !^|; 6) З/аЧА
8.14. 1) 3; 2) 1; 3) 14; 4) -1; 5) 1. 8.15. 1) 25; 2) 7; 3) -1. 8.22. 2~^.
Вказівка. Скористайтеся формулою ап - Ьп = (а - Ь) (а" "1 + ап~2Ь +
+ ... + Ьл-1). 8.24. 1) аЬ > 0; 2) Ь = 0, а — будь-яке число або Ь > 0,
а > 0; 3) Ь = 0, а — будь-яке число або Ь > 0, а < 0. 8.25. 1) т2 \І-т;
2) а2Ь3УЇ>; 3) | х |-у ^/у; 4) 2т4п4 і/їт^п; 5) -ЗаЬ2с3іІ2; 6) а3Ь3ІЇ№;
7) -а3Ь®^-аЬ2. 8.26. 1) -2а ^а3; 2) -5а ^а; 3) аЬ^/аЬ; 4) а3Ь3^І.
8.27. 1) УІ2ЇЇ4; 2) Лба3Ь4; 3) і/тп; 4) 3/бЬ®, якщо Ь > 0, -^65®,
якщо Ь < 0; 5) -л/^а7; 6) -</а®Ь®. 8.28. 1) -л/Зс®; 2) ^/а7; 3) 3/ба4&4;
4) ЛЗа4Ь3; 5) -^а7. 8.29. 1) 1; 2) 4; 3) 1; 4) 2; 5) -$3. 8.30. 1) 1;
2) >/23. 8.31. 1) 2) V*; 3) ->/а; 4) ^а; 5) Ць-Ус; 6) УаЬ;
а
7) \а2 -1. 8.35. х3 - 9х - 12. Вказівка. Піднесіть обидві частини рів-
ності х = х/3 + х/І9 до кубу. 8.36. (х - З)3 - 2. 8.37. 1) Вказівка. Якщо
х/2 + ^5 = х, дехє <0>, то х3 = (^2 + х/б) , х3=7 + 3*^Ї0х. Оскільких^О,
то маємо, що у/їд = ~ — є (0; 2) Вказівка. Якщо \ІЗ + х/2 = х, де х є (і,
оХ
то (?/з)3 = (х->/2)3; З = х3-Зх2 >/2+6х-2>/2; >/2=^у^е(3. 8.39.
Зх +2
—І—. 8.40. Якщо а - 1, то 26; якщо а Ф 1, то 8.41. -Д
%-1 ^а-1
к
8.42. !=- 8.43. Вказівка. Використовуючи метод математичної
Ч/3+Ч/2
індукції, доведіть рівність
8.45. Вказівка. Помноживши обидві частини рівності на х/2 +1 і ско-
риставшись формулою суми кубів, маємо:
Х=^-і-(^+і).
^9
Далі піднесіть обидві частини останньої рівності до кубу.
9.6. 3) У = 9.7. 1) у = 5 (х - 3). 9.8. 2) у = *-~, О (у) = [0; +~).
£Х £
{х/2-1с, ЯКЩО X < 1, „ . л 1 л
9.16. к = 1, Ь - 0 або к = -1, Ь — будь-
2-х, якщох>1.
яке число. Вказівка. Обернена функція задається формулою
У = 4х~т- Звідси і = й і Ь = -~. 9.17. При довільному а, відмінному
к к к к
від 0, і Ь = 0. Вказівка. Обернена функція задається формулою
у = Тоді для всіх х таких, що х * 0 і х , має виконуватися
ах а
рівність —-—=1 яку можна переписати так: Ь (ах2 + Ьх - 1) = 0.
ах+Ь ах
Тепер зрозуміло, що підходить тільки Ь = 0. 9.18. Вказівка. Нехай
функція / — непарна, функція § — до неї обернена. Маємо: / (х0) = г/0»
8 (Уо) = х0. Тоді § (-і/о) = § (“/ (*о)) = (/ (-*о)) = “*о = (Уо)- 9-19- 1) 1;
2) -7; 3) один корінь при будь-якому с. 9.20. 2) Коренів немає.
9.21. -1. Вказівка. Дане рівняння рівносильне такому: / (£ (х)) =
= / (х3 + х + 3). 9.22. 2. 9.23. 1. Вказівка. Скористайтеся наслідком з
теореми 9.4. 9.24. 2. 9.25. 2 У2. Вказівка. Функція
4 4
/(х) = х2+|,
о
Л (/) - [0; +°°)» є оберненою до функції § (х) =
Крім того, функції / і £ є зростаючими. 9.26.
з+Уб
2
Вказівка. Зро-
біть заміну л/х = і. Далі розгляньте функції / (0 = у/ї+і9 В(/) = [0; +°°),
і е (0 = і2 - 1, Р (£) = [і; +~).
{-л/х, якщо х є [0; 1),
\ІХ, ЯКЩО X є [9; 16).
____ І -л/-х, якщо х є [-9; - 4),
9.28. в (х) = ] '
[у-х, якщо х є (-1; 0].
9.29. Вказівка. Скористайтеся
методом від супротивного. 9.31. Так. Вказівка. Наприклад, / (п) =
= п + 1, де £>(/) = N С {0}. 9.32. Так. Вказівка. Наприклад, /(п) = 1 - 2п
при п < 0, / (п) = 2п при п > 0, В (/) = 9.33. Так. Вказівка. Існу-
вання шуканої функції випливає з того, що 0 — зліченна множина
(див. п. 7 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алге-
бра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. :
Гімназія, 2008). 9.34. Так. Вказівка. = при п є ІЧ, /(х) = х
\п/ п + 1
в інших випадках. 9.35. Ні. Вказівка. Відповідь випливає з того, що
проміжок [0; 1] — незліченна множина (ідею доведення викладено на
с. 46-47 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алге-
бра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. :
Гімназія, 2008). 9.36. Існують. Наведемо два приклади: 1) /(х) = л/2 х,
5/2 г~ уі2
= — 2) /(х) = -л/2х, Я(х)~——х. Вказівка. Розгляньте
функцію / (х) = кх, к Ф 0. Тоді £(х) = ^х. 9.37. Наведемо два прикла-
к
ди: 1) ї(х) = ^±х, 8(х) = ^^х; 2) /(х) = ^-^х, 8(х)=-^±х.
а & & &
Див. вказівку до задачі 9.36. 9.38. —-—. Вказівка. Графік функції /
• 4
належить «смузі», обмеженій прямими 1/ = іх-1 І 1/ = іх+1 (див.
А
рисунок). Оскільки графіки функцій / і § є симетричними відносно
прямої у = х, то графік функції § належить «смузі», обмеженій пря-
мими у - 2х + 2 і у = 2х - 2. Нехай хг і х2 (хг > 0, х2 > 0) — абсциси
точок перетину параболи у = 10 - 2х2 з цими прямими відповідно.
Оскільки корінь рівняння § (х) = 10 - 2х2 належить проміжку (х^ х2)
Рис. до задачі 9.38
Рис. до задачі 9.40
і х2 - хг < 0,5, то за відповідь до задачі можна обрати середину
17 + л/193
проміжку (хх; х2). 9.39. -—---. 9.40. Вказівка. Перепишемо дану
16
нерівність у вигляді ±/(±)+±/(А) + ... + ±/(А) + ±^±)+
1 І 2 \ 1 / 9 \ 99
+ — § І — І +... + — я І < • На рисунку схематично зображено гра-
фік функції Д Тоді сума ~ + ’' ’+ ї(/ (10) дорівнює пло-
щі «блакитної» фігури, а сума — + —
'площі «жовтої» фігури. 9.42. / (х) - Зх. Вказівка. При у = 0 і х Ф 0
отримуємо / (/ (х)) = 9х. Звідси випливає, що / — оборотна функція
(див. задачу 9.30). При у = х і х Ф 0 маємо / (/ (х) - 2 х) = / (х).
9.43. / (х) = -х. 10.3. 1) 2) [-1; +«>); 3) (~оо; -2) □ (-2; +~);
4) (-оо; -1] и [2; +оо); 5) -1] о [1; +оо); 6) [3; +~) 0 {0}. 10.4. 1) К;
2) [2; -к»); 3) (-оо; 3) 0 (3; -к«); 4) (-оо; 1] 0 [3; -ко); 5) [-3; 3]; 6) [6; -к~) о {0}.
10.5. 1) [1; +о°); 2) [-2; +оо); 3) К; 4) [0; +оо); 5) [0; +оо). Ю.6. 1) [2; +оо);
2) [-4; +°°); 3) К; 4) [0; -ю°); 5) [0; і°°). 10.7. 1) [-3; 2]; 2) [|;10 ;
3) 10.10. 4) </б<^8; 8) 6^| = 4^|. 10.12. 4) 4 і 5;
6) -5 і -4. 10.16. 2) ^12>^5; 5) 7з<^?28. 10.17. 3) ^7<^2Т2.
10.22. 1) тах/(х) = ^2, тіп/(х) = 1; 2) тах/(х) = ^3, тіп/?(х) = 1;
[1.-2] [1;2]
3) тах/(х) = 1, тіп/(х) = 0; 4) шах/(х) = ^2, тіп/(х) = О; 5) най-
[-1;2] [-1;2]
більшого значення не існує, тіп /їх) = 0 ; 6) найбільшого значення не
[-3;+-)
існує, тіп / (х) = 1. 10.23. 3) тах / (х) = у/2, тіп / (х) = 0; 5) найбіль-
[-2; 2] [-2; 2]
шого значення не існує, тіп / (х) = 0; 6) найбільшого значення не
1-і; +-)
існує, тіп/(х) = 0. 10.24.1) (65; +~); 2) (-<=; 21); 3) Г-|; 0І; 4) (4; +~);
5) [3; +~) О {-2}. 10.25.1) (-1; +°°); 2) (-»; 10); 3) [-|; 16^; 4) [-5; -2) М
О (2; 5]. 10.26. 1) Один корінь при будь-якому значенні а; 2) якщо
а < 0, то коренів немає; якщо а > 0, то один корінь. 10.27. Якщо
а > 1 або а = 0, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то 2 корені; якщо
а < 0, то коренів немає. 10.28. 27. Вказівка. Функція і/ = ^х-26 +^х
є зростаючою. 10.29. 10. 10.30. (3; 3). Вказівка. Скористайтеся
тим, що функція /(і) = і + у/Ї зростає на В (/). 10.31. (1; 1), (-1; -1).
10.32. /(х) = \/х?. 10.33. /(х) = 1^/|Т|- Ю.34. /(х) = ^/х|х|7. 10.35. Та-
ких функцій / не існує. Вказівка. При х ~ 1 маємо, що
/(1) = /(14) = ^/ї = 1, а при х =-1 маємо, що /(1) = /((-1)4) = лД1=-1.
Г х > 0
10.36. ’ де £ (х) — будь-яка функція, що визначена
(х), х<0,
на (-°°; 0). 10.37. 2. Вказівка. Скористайтеся нерівністю ^24<^27.
10.38. 1. 10.39. 1; —--1; -. Вказівка. Скористайтеся тим, що
д
функції / (х) = — і § (х) = уі2х-1 є взаємно оберненими та зроста-
ючими. 10.40. 1; -2. 10.41. а - а5. Вказівка. Розгляньте зростаючі та
взаємно обернені функції/(а) = а5 + хі £(а) = ^а-х. Інше розв’язання
можна отримати, якщо врахувати зростання функції <р (х) = а5 + х
і спадання функції у(х) = \Іа-х. 10.42. 2. Вказівка. /(/(х)) =
= -==^===г = з/1 - і. Тоді / (/'(/ (х))) = з/1-і— = х. 10.43. Вказівка.
Розгляньте графік функції у = \[х, В (у) = [0; и*] (на рисунку зобра-
жено випадок, коли п = 4, к = 2). Нехай 8С, 83 та 8Ж — відповідно
площі синьої, зеленої та жовтої фігур. Тоді X = 8С + 83, У = 8Ж + 83.
Далі врахуйте, що площа прямокутника ОАВС дорівнює 8е +
+ 8Ж + 83.10.44. Вказівка. Позначимо А = ї]а+%ІЬ+\[с . Тоді, очевидно,
виконуються нерівності А>\/а, А>\$Ь =>/ь, А>у$^ = 2$с. Звідси
А2 > а, А6 > Ь, А24 > с. Перемноживши почленно три останні нерівно-
сті, отримуємо А32 > аЬс. 11.5. 3) 5) 8) 11.6. 3) 5) 4;
іо 1 А
6) 7^. 11.7. 3) [3; +°°); 4) (—; -1) О (7; +~). 11.9. 3) а6; 7) а15;
32
1 7 1 5 З І
11) а2; 15) а4Ь «. 11.10. 4) Ь4-, 8) 6; 12) а6М; 16) Ь~*'й. 11.11. 3) 125;
6) 10; 9) 4. 11.12. 2) 49; 5) 32; 8) 1. 11.13. 4) 11.14. 7) (т*06)2;
8) (ТиЛ 11.16.1) [2; -н»); 2) (2; +=»)11.18.1) 6; 2) 100; 3) 19,5; 4) 12|;
5) 2; 6) 10; 7) 8) 3; 9) 571; 10) 11) 12. 11.19. 1) 7; 2) 10;
3) 122^; 4) 1; 5) |; 6) 21; 7) Ж 8) 11.20. 1) 125; 2) 6; 3) ко-
У 4 <лУ
1 2 112
ренів немає. 11.21. 1) |; 3) 5. 12.9. 4) а0’5 - 2&0’5; 8) а3-а3Ь3+Ь3;
1 Ь у0»5 _ „ОЛ і 1
12) 3\ 12.10. 3) 1+-~; 6) х2У5»-п<-^пг; 9) 22. 12.11. 1) 4; 2)441.
| лГ* + у' 4
а*
1212. і) ; 2) 3) 2; 4) 5) а2 + а6 +
а2Ь12
12. 13. 1) 2тЬі*-, 2) 3; 3) 4) т12.15. 1) -і-; 2) - і .
Ч 6 х У Х3-У3
12.16.1) |3-3 |; 2) 3+3; 3)-1.12.17.1) 2)0; 3) 3-24х,
х4 -у4
якщо х є [0; 9); -3, якщо х є (9; +~). 12.18. 277. 12.19. 2 7. 12.21. 24,
л7,4 л0,2 ь12,8 кЗЗ
якщо а = 1; якщо а є І0? х) и +*)• 12-22. Д •
12.23. а0’2 - Ь. 12.24. ./ п,. 13.2. 5) -1; 1; 6) 1; 7. 13.3. 3) -1; 1.
13.4. 1) 2) і; 3) коренів немає; 4) 3. 13.5. 2) Коренів немає; 3) -5;
7; 4) 7. 13.6. 1) 1; 2) 3; 3) 1; 2; 4) 5; 5) 4; 6) 2; 7) 3; 8) -4. 13.7. 1) -5;
2) 4; 3) 0; 4) -1; 5) 5. 13.8. 1) 4; 2) 2; 3; 3) -7; 8; 4) -1; 1; 4. 13.9. 1)
2) 7; -4. 13.10. 1) 0; 5; 2) 7. 13.11. 1) 6; 2) 2; 3) -1; 3; 4) -2. 13.12. 1) 2;
2) 8. 13.13. 1) 6; 9; 2) 3) коренів немає; 4) 1; -3. 13.14. 1) -5; 4;
2) 3; 7; 3) -1. 13.15. 1) 4; 2) 2; 3) коренів немає. 13.16. 1) -1; 2) 6.
13.17. 1) 27; 2) [5; 10]; 3) коренів немає. 13.18. 1) 10; 2) [-4; +~).
13.19. При а <4 коренів немає, при а >4 х = а-\[а. Вказівка.
4 4
х = а-2>Іа. 13.21.
5 З
13.20. При а < 1 коренів немає, при а > 1
§
або а . Вказівка. Розгляньте графіки
функцій у = ах - 1 та і/ = л/8х-х2-15. 13.22. 1 < а < 3 або а = 2-\І2.
14.1. 3) 4) 0; 5) 8; 6) 25; 7) -5; б|. 14.2. 3) 5; 4) -1. 14.3. 3) 1;
4) 1; 5) ; 6) 14.4.1) 2; 6; 2) -1; 3) 3~^. 14.5. 3) 14
4) 10; 5) 4; -4; 6) ~Ц^-; 7) 5. 14.6. 1) 20; 2) 22->/464; 3) 0; 5.
14.7. 2) 7; 8. 14.8. 2) 1. 14.9. 1) 2; 2 ^--13; 2) -2; 1; 13. 14.10. 1) 0; 2;
З
2) -2; ~2+2л^. 15д 1; 2) 16; 3) 25; 4) 1; 5) 8; 6) 0; 1; ?) 1;
З 8
29; 8) 0; 16; 9) |; 10) 8. 15.2. 1) 16; 2) 1; 512; 3) 4; 4) -4; 11; 5) -8;
1; 6) -61; 7) 0; 1; 8) 2,8; -1,1. 15.3. 1) 1; 4; 2) -4ЇЇ; ->/б; 7б; Тії;
3) -1; 4; 4) -2; 5; 5) -4; 1; ~3+^22; ~3~2^2; 6) 1024. 15.4. 1) -1; 5;
2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) -6; 4. 15.5. 1) (9; 4), (4; 9); 2) (64; 1); 3) (8; 1), (1; 8);
4) (41; 40); 5) (6; 3), (3; 1,5); 6) (-2; 3), (12; 24). 15.6. 1) (27; 1), (-1; -27);
2) (4; 1), (1; 4); 3) (2; 3),
15.7. 1. Вказівка. Скористайтеся
заміною \/х-1 + л/х + 3 = і або властивостями зростаючих і спадних
функцій. 15.8. 3. Вказівка. Заміна >/х + 6 + л/х-2 ~у. 15.9. 3.
15.10. 1 + д/б. Вказівка. Заміна = і. 15.11. 3; ВКа-
уі2х + 5 8
зівка. Поділіть обидві частини рівняння на х2. 15.12. 1; ** .
1о
15.13. -2; 5. Вказівка. Нехай № + 3=а, Ш-х =Ь. Тоді а3 + Ь3 = 9.
15.14. -3; 4. 15.15. 8. 15.16. -Ц; 15.17. 10. Вказівка. Заміна
5 5
\Іх~2 = а, \/х-1~Ь. Тоді а3 - Ь2 = -1. Інше розв’язання можна
отримати, якщо врахувати зростання функції / (х) = 7х - 2 4- 7х -1.
15.18. 1; 2; 10. 15.19. 1. Вказівка. Нехай 72-х = і/. Тоді можна отри-
• [72-х = г/,
мати систему < ____ 15.20. 2. 15.21. 1) 4. Вказівка. Помножив-
[у/2-у = х.
ши обидві частини рівняння на вираз 72х2 +3х + 5 - 72х2 -3x4-5,
отримаємо 6х = Зх(72х2 4-3x4-5-72х2-Зх + 5). Зазначимо, що х~0
не є коренем початкового рівняння. Далі додамо почленно початкове
рівняння і рівняння \і2х2 + Зх+5 -\І2х2 - Зх 4- 5 = 2; 2) -1. Вказівка.
Помножте обидві частини рівняння на вираз 7x4-1 -1.15.22. 1)
2) 2. 16.2. 1) [3; 5]; 2) [0; 4-оо); 3) (-оо; -1] сі [0; 1); 4) (4; +~); 5) [-8; -4];
6) (-оо; -1) О [2; +оо). 16.3. 1) [|;4); 2) (-оо; -4] 0 [1; -н»); 3) 0.
16.4. 1) 2) [1; н»); 3) [0; 3]; 4) [-1; 0) О (0,6; 1]; 5) (^;+оо);
6) [1; 6]. 16.5.1) Г21;4) У (5;+оо); 2) (3; н»); 3) [-2; -1,6] її [0; 2]; 4) 0.
ц У /
16.6.1) (-оо; 1); 2) [-7; 2]; 3) (-оо; -1]; 4) [|;+°°); 5) (-оо; -2] У (2; +оо);
6) (3; 5]. 16.7. 1) [-2; 2); 2) [-7; 1); 3) (-оо; -3]; 4) (-оо; -5] II [1; -но).
16.8.1) 4; 2) [-2; 4] У [5; -но); 3) -2; 2.16.9. 1) [3; 12]; 2)
3) [-4; -3] У [3; 4]. 16.10. 1) ^|;2^ У (5;+<~); 2)
'-2, 1} С> [3; -Но);
3) [-4; 1] 0 {2}; 4) -1] и [4; 6) 0 (8; +-). 16.11. 1) (-1; +-);
2) [-20; 0) 0 (5; +~>); 3) {-4} 0 [2; 3]; 4) [-7; -5). 16.12. 1) (1; +~);
2)
і 2 х/91 1
3) . 16.13. 1) [6; +оо); 2)
\ О У
16.14. [1; 4-со). Вказівка. Скористайтеся тим, що функція у =
Х4-34-
4-7х3 4-х 4-6 є зростаючою. 16.15. [-2; 2). 16.16. а = ~& Вказівка.
Скористайтеся тим, що графіком функції ї/ = л/1-(х4-2а)2 є півколо
7
радіуса 1 з центром у точці А(-2а;0). 16.17. а . 17.4. 3) 10л.
17.5. 2) 17.10. 5) У II чверті; 10) у І чверті; 15) у II чверті.
17.11. 4) У III чверті; 8) у II чверті; 15) у IV чверті. 17.12. 3) (0; -1);
5) (0; 1); 8) (1; 0). 17.13. 2) (-1; 0); 6) (-1; 0). 17.14. £.
о її) 2
17.15. 17.16.15 сторін. 17.18. 3) 4) 2л; -2л.
1& О ІО ІО а А
17.19. б) ~+2лк, кеі. 17.20. б) !|+2лЛ, к є X. 17.23. 1)
2) (0; -1); 3) (0; 1), (0; -1); 4) (1; 0), (-1; 0); 5) (1; 0); 6) (1; 0), (0; 1),
(-1; 0), (0; -1). 17.25. 1) -+2лА, к є X; 2) я + 2лй, А є X; 3) -£+2лА,
к є X; 4) у+ 2лА, к є X. 17.26. 1) -|+2л*, к є X; 2) |+2лй, к є X;
3) -^+2лЛ, й є X. 17.27. 1) {лп | п є X}; 2) 0; 3) | пєх|;
2) {2ли | п є
+ ЛП
+ Злп | п є 17.28.1) {пп | п є й};
І ]^ + лп|пє2|; 5) {лп | п є й};
ІЗ ]
6) {(6п - 1) я І п є X}. 18.1. 1) 5; 3) ^2; 5) 7) -3; 9) ! 18.2. 2) 1;
4 4
4) 0; 6) 8) 9. 18.5. 2) Так; 4) ні; 6) ні; 8) так. 18.6. 1) Ні; 3) так.
6
18.7. 3) >І2. 18.8. 2) 18.9.1) 3; -3; 3) 3; 1; 5) 1; 0.18.10. 2) -1; -3;
4
або 1 < а < 2; 5) 1 < а < 2 або 3 < а < 4; 6) а # 2. 18.15. 1) 1 < а < 3;
2) таких значень а не існує; 3) -2<а<-л/2 або у/2<а<2; 4) а = 1.
18.18. 1) Найбільшого значення не існує; ~ — найменше; 2) най-
більше значення 1; найменшого не існує; 3) найбільшого і найменшо-
го значень не існує; 4) найбільшого і найменшого значень не існує.
18.19.1) -1; 2) найбільшого і найменшого значень не існує; 3) 1; -1.
З
18.20. 1) Г|;1|; 2) [0,5; -н»); 3) (-~;-^]и[2;+~)- 18.21. 1) |!;11;
2) Г|;+“); 3)(—;-1]и[|;+о=). 19.4.1)-!; 4) 19.5.1)-!; 2)
/ 1_0 / 22 а 22 О
19.6. 1) 2) 2; 3) 4; 4) 19.7. 1) 2->/2; 2) 1,5; 3) 4>/3-3.
19.14. 1) 2 зіп а; 2) -2 сов а; 3) 0. 19.15. 1) 0; 2) 0; 3) -2 сіє Р-
19.16. 1) II; 3) І або II. 19.17. 2) IV; 4) І або III. 19.18. 2) Парна; 5) не
є ні парною, ні непарною; 8) непарна. 19.19. 2) Парна; 4) не є ні пар-
г- 1 1
ною, ні непарною; 6) непарна. 20.1. 3) 73; 6) 9) 12) ——;
7) і; 8) 9) -• 20.8. 2) 4л; 3) я; 6) 4. 20.12. л. 20.13. л.
6 72 я
20.14. Вказівка, Якщо припустити, що дана функція є періодичною
з періодом Т, то обов’язково одне з чисел 0 - Т або 0 + Т не буде на-
лежати області визначення, тоді як 0 є І) (/)• 20.17. 1) 4л; 2)
•3) 6; 4) 2. 20.18. 1) 10л; 2) 176л; 3) 36; 4) 14. 20.19. а = 0. 20.20. а = 0.
20.21. а = -1 або а = і 20.22. а = -1; 0; |. 20.23. 1; -1; 5; -5. Вка-
5 З
зівка. Рівність сов п (х + 5л) віп
15 (х 4-5л) . 15х
—-------= сов пх яіп —має виконува-
ні2-----п2
75л
тись при всіх х є 1, а при х = 0 маємо совблпвіп—,- = 0. Оскільки
п
75л 75л 75
сов 5лп Ф 0, то віп—2~ = 0; —2~ = лЛ; — = Л, де к є X. Звідси випливає,
71 П П
що п2 — дільник числа 75. 20.24. 1; -1; 3; -3. 20.25. Так. Наприклад,
Т = 20.26. Так. Наприклад, Т = ^у . 20.27. Не існує. Вказівка,
Сума двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом.
20.28. Вказівка. Функція £ (і) = + і є зростаючою, а-отже, і оборот-
ною. Нехай Т — період функції у = (/ (х))3 4- / (х). Тоді для будь-якого
х є Р (/) виконується рівність (/ (х + Т))3 + / (х + Т) = (/ (х))3 + / (х).
Звідси для будь-якого х є Р (/) виконується рівність / (х 4- Т) = / (х).
20.29. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, функцію
{0, якщо х>0,
20.30. Вказівка. Припустимо, що / має додат-
ні, якщо х<0.
ний раціональний період Т = —, т є М, п є N. Тоді число пТ = т —
п
також період функції /. Далі доведіть, що серед чисел / (1), / (2), ...
не більше ніж т різних. 20.31. Існує. Вказівка. Наприклад,
[п, ЯКЩОХ = И4-7Ил/2, пєИ, тпєХ, о • -г»
/(х) = 4 20.32. Може. Вказівка. Роз-
[0 в інших випадках.
2 , х якщо х>0,
гляньте, наприклад, функції / (х) = х , £ (х) = <
(-1, якщо х<0.
20.33. 1. Вказівка. /(х+4) = /((х+2)+2)=
5/(х + 2)-1 5 7 (х)
5/(х)-1
20.34. Вказівка. Доведіть, що / (х 4- 4) = / (х). 20.35. Вказівка. Замі-
1 Можна довести, що функція / тотожно дорівнює нулю. Це ви-
( 2л Ґ 80л А -
пливає з того, що числа созх, сов Х4-— , ...,сов Х4-—— є абсциса-
\ 4іу \ 41 у
ми вершин правильного 41-кутника. Аналогічні міркування можливі
і при розв’язуванні задачі 20.25.
нивши в даній рівності хнах+іінах- 1, відповідно отримаємо дві
рівності: 1) /(х + 2) + /(х) = уі2/(х + 1); 2) /(х) + /(х-2) = >/2/(х-1). Те-
пер легко встановити, що / (х + 2) + / (х - 2) = 0. Підставимо замість
х до останньої рівності х + 2. Тоді / (х + 4) = -/ (х). Тепер можна за-
писати / (х + 8) = / ((х + 4) + 4) ~ -/ (х + 4) = / (х). Отже, число 8 —
період даної функції. 20.36. Вказівка. Припустимо, що Т — голов-
ний період функції /. Тоді при всіх х є К виконуються рівності
/ (2х + Т) = / (2х) = 2 / (х); / (2х + Т) = /
|. Звідси
/ (х+= / (х). 20.38.1) Вказівка. Легко перевірити, що / (х +=
/(х);
2) Вказівка. Доведіть дану рівність для хє|_0;^. Далі скористайтеся
періодичністю функції / з попереднього завдання. 20.43. 1Н \ <Ц>. Вка-
зівка. Слід помітити, що х = 0 — корінь цього рівняння при будь-
якому значенні а. Тоді, якщо а — раціональне число, то функція
у - 2 сов ах - З Ї&2 х - 2 є періодичною і дане рівняння має безліч
коренів. Далі треба показати, що коли а — ірраціональне число, то
дане рівняння не має інших коренів, крім х = 0. Для цього перепи-
шемо дане рівняння у вигляді 2 соя ах = З І£2 х + 2. Оскільки
2 соя ах < 2, Зі£2х + 2 > 2, то це рівняння рівносильне системі
{2 соя ах = 2,
о 20.44. К \ О. 20.45. Ні. Вказівка. Припустимо, що іс-
Зі£2х + 2 = 2.
нують такі періодичні функції / і що для всіх х є К виконується
рівність / (х) + я (х) = х2. Нехай Т — період функції /. Тоді можна
записати / (х + Т) + § (х + Т) = (х + Т)2. Звідси / (х) + § (х + Т) =
= (х + Т)2. Отримуємо я (х + Т) - § (х) = 2Тх + Т2. Проте функція
у = § (х + Т) - § (х) є періодичною, а функція у = 2Тх + Т2 періодичною
не є. 21.7.1)0081,6л < СО81,68л; 3) сов 20° > соз21°; 5) со8^<со8^;
7) зіп 2 > зіп 2,1. 21.8. 2) зіп^>зіп~; 4) СО8±^>СО8^.
’ ’ 9 18 ’ 7 9
21.11. 1) зіп 58° > сов 58°; 2) віп 18° < соз 18°; 3) соз 80° < зіп 70°.
21.12. 1) Так; 2) ні. 21.29. 19. Вказівка. Побудуйте графіки функцій
у = яіп х, у -т~. 21.30.10.21.31.1) Див. рисунок. Вказівка, п (х2 + у2) = •
Юте
= лп, п є х2 + у2 = п, п = 0, 1,2, ... . 21.33. 3) Графіком рівняння є
пряма, яка збігається з віссю ординат; 4) Вказівка. Дане рівняння
має розв’язок лише за умови яіп х > 0. Тому дане рівняння рівно-
яіпх>0,
сильне системі <Г// = яіпх, Шуканий графік зображено на рисунку.
$/ = -яіпх.
(|н-лА;0),
21.34. 3) Графіком рівняння є множина всіх точок виду
к є 2.
21.35. -8л < а < -6л або 6л < а < 8л. 21.36. Не існує. Вказівка. При
х —— і х = -— отримуємо | / (0) + 1 | < 1 і | / (0) - 1 | < 1. Звідси
‘ л2</л? о°’ 22-5- 2) 5) іе 1 < 18 1>5; 8) (-4°О) <
0</(0)<2. 5 15
< сі® (-60°). 22.6. 1) і® 100° > і® 92°; 4) сі®^>сі®^; 6) сіє (-3) <
О 1 а
< сі£ (~3,1). 22.11. 1) Ні. Вказівка. 1§80°>і§60° = \/3; 2) ні; 3) так.
22.12. 2) віп 40° < сі£ 20°. 22.17. 1) Графік рівняння — об’єднання
множини прямих виду х = пк, к є і осі абсцис, з якої «виколото»
точки виду (~ + лп;о), п є 3) множина всіх парабол у ~ х2 + к,
к є 2; 4) множина всіх точок перетину прямих виду х = пк, к є з
прямими виду у - лп, п є X. 22.18. 2) Множина прямих виду х - пк,
к є з яких «виколото» точки, ординати яких мають вид
пп
2 ’
І£Х = 0,
п є X. Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі
зіп у * 0,
сов у Ф 0.
23.1. 6) 2соз1 2а; 7) -зіп2 а; 8) 1; 9) соз2£; 10) 2. 23.2. 4) 5) 1;
2 зіп а
6) 1; 7) 1; 8) 4. 23.5. 1) —2) 1; 3) 4) -А~; 5) 0; 6)
соз а зіп а зіп х віп а
7) і® а їв Р; 8) 1; 9) соз2 а; 10) -сіє У! 11) зіп4 * а; 12) 1; 13) —;
сова
14)—і-. 23.6. 1) ; 2) 1; 3) 4) -А-; 5) 6)
СОЗ Р 8ІП2 Р СОЗ р СОЗ X СО8 р
7)1&а; 8)-1; 9) 1; 10)-сов2а. 23.7. 2) сова = ~, = сі£а = -^;
5 4 З
12 1 5 5
3) сова =—у=, віпа =—р, сі$а = -. 23.8. 1) віпа = -~, =
у5 2 13 12
12 1 7 1
сі£а = —4) 8Іпа = -т=, сова =—і£сс =—. 23.11. 2) Вказівка.
5 <50 <50 7
Подайте доданок 2 зіп2 а у вигляді суми зіп2 а + зіп2 а; 4) Вказівка.
Розгляньте різницю лівої і правої частин даної рівності і доведіть, що
вона дорівнює нулю. 23.15. 1) —Вказівка. Поділіть чисельник і зна-
менник даного дробу на сов а; 2) —; 3) -27. Вказівка. Помножте чи-
4
сельник даного дробу на зіп2 а + соз2 а. 23.16. 1) -уу» 2) 3)
23.17. 1) -зіп Р - соз 0; 2) -зіп а соз Р; 3) -2 і® а; 4) 1. 23.18.1)
2л 2я
2) 2 сі& а; 3) -1. Вказівка. Оскільки -—СаСл, то сов сов а.
З з
__і
23.19. 1) ——. Вказівка. Ь2 = (віп а + сов а)2 = 1 + 2 віп а сов а;
А
2) 3) і+*,2-< і+б*і-з,4 2320 1)ь2 _ 2.
' 2 2 7 4 (Ь2-1)4
2) Ь (Ь2 - 3); 3) Ь4 - 462 + 2; 4) Вказівка. З умови випливає, що
о
1 2 1
------------= Ь. Звідси 2 віп а сов а = -. 23.21. 1) 3-, -3. Вказівка.
зіп а сов а-Ь 8
2 сов2 а - 3 віп а - 2 (1 - віп2 а) - 3 віп а = -2 віп2 а - 3 віп а + 2.
Позначимо віп а = і і розглянемо функцію / (і) - -2і2 -3^ + 2, визна-
чену на проміжку [-1; 1]% Це квадратична функція зі старшим
від’ємним коефіцієнтом а = -2. Вона набуває найбільшого значення
-З З
В ТОЧЦ1 *0=-^=-4’
яка належить проміжку [-1; і]. Отже,
кї'<‘>''(-ї)-2-(-їГ-3-(-їЬ2-8і-
Для знаходження най-
меншого значення обчислимо значення функції / (і) на кінцях про-
міжку [-1; 1]: / (-1) = -2 + 3 + 2 = 3, / (1) = -2 - 3 + 2 = -3. Отже,
тіп/(г) = -3; 2) найбільшого значення не існує, найменше дорівнює
[—і» і]
-1; 3) 0; -1|; 4) найбільшого і найменшого значень не існує.
о
23.22. 1) зі; -2; 2) 3~; 2; 3) найбільшого і найменшого значень не
З 8
існує. 23.23. 1) Див. рисунок; 2) пряма у = -1, з якої «виколото»
точки виду ^ + лАг;-1), НІ 23.24. 1) Пряма у ~ 1, з якої «виколо-
(тгй і
—;1^, НІ 23.25. 1. Вказів-
ка» Скористайтеся тим, що зіп14 х < зіп2 х і
соз14 х < соз2 х. 23.26. 1; -1. 24.1. 3) 0; 4) 0.
24.2. 3) 0. 24.3. 2) 3) 0; 4) соз 0; 5)
6) зіп 20; 7) 1; 8) Іе 15°; 9) соз (а - 0). 24.4.
2) 3) 4) соз 20; 6) соз (а + 0). 24.5.
24.7. 2) -1; 3) 24.8. 1) ч/з. 24.11.
З * 82
24.12. 24ЛЗ- 24-14-
10 25 425
Рис.
до задачи 23.23 (1)
24.15. 2. 24.16. 5.
24.19. 1) сі£^; 2) -4—; 3) соз 2а; 4)-—. 24.20. 1) 1; 2) -1.
’ е4 яіп 2а ’ сова
24.21. 1) 2) 3) ч/3-2. 24.22.1) 2)
4 4 4 4
24.23. 1) ч/З; 2) 1. 24.24. 1) ч/З; 2) 1. 24.27. 1) 2; 2) ч/її; 3) ч/2;
4) ч/5. 24.28. 1) 2; 2) 5; 3) ч/Ї0. 24.29. Вказівка.
зіп а = зіп а)). 24.30.-0,6.24.31. 24.32.
\3 \3 І) 11 2
24.33. ^(ч/1-52-ь). 24.34. -2. 24.35. 24.36. 24.37. 60°.
2 5 4
24.38. 120°. 24.40. 45°. 24.41. 1) 3 графіка функції у - х вилучіть
точки, абсциси яких дорівнюють + п є X. 24.43. Вказівка.
З рівності (а + Р) = а + випливає, що а + Р = (а + Р) х
1 -а р
х (1 - а Р). Тоді і# а + Р + у = (а + Р)(1 - а Р) + у =
= (Я - у) (1 - а Р) + у = у (1 - а Р) + у = у +
+ а р у + у = а р у. 24.45. 2. Вказівка. З рівності
(а 4- р) = випливає, що а + Р = (а + Р) (1 - а х
х 1® р). Тоді (1+1® а) (1 + 1® 0) = 1 + 1® а +1® 0 + 1® а і® Р=1 +
+ 1® (а + 0) (1 - і® а і® 0) + і® а і® 0=1+1®у (1-1®аі®0)+і®аі®0 =
4
= 1 + 1- і£ р + І£а р = 2. 24.46. 2. 24.49. Вказівка. Припустимо,
що сов а + сов Р + сов у > 2. Тоді (сов а + сов р + сов у)2 > 4 і (віп а +
+ віп р + віп у)2 > 5. Почленно додавши дві останні нерівності, отри-
маємо 3 + 2 (сов (а - р) + сов (Р - у) + сов (у - а)) > 9. 24.50. Вказів-
ка. Скористаємося тотожністю для кутів трикутника (див. задачу
24.44): і®7І®|+і®у1®| + 1®|і®| = 1- Маємо: 1®2^+1®2|+1®2|-
л £ £ £ £ £ £ £ £
~(І82І82 + ІЄ21б2+ІЄ2І82) = гСЬ® їН4® 1) +(І8 2~ІЄ і) + (182~
-і®| >0.
Звідси і£2 —+ і£2 ^ + і£2 “1>0. 24.51. Вказівка. Роз-
Сі Сі Сі
гляньте вираз
(\2
1®^ + і®|+і®|)
скористайтесь результатами задачі
24.50. 24.52. / (х) = а віп х, де а — довільне дійсне число. Вказівка.
Підставляючи
У=2'
Я
х = £-—, отримуємо
/ (0 = / | віп і. Перевір-
кою встановлюємо, що всі функції виду / (х) - а віп х задовольняють
умову задачі. 24.53. / (х) = х або / (х) = -х. Вказівка. Підставляючи
х = —, у = 0, отримуємо / (1)/ (0) = 0. Якщо / (1) = 0, то, підставля-
ючи в дану рівність отримуємо / (сов х) / (0) = віп х. Остання
рівність неможлива, оскільки функція (х) ~ /(совх)/(0) є парною,
а £2 (х) = віп х — непарною. Якщо / (0) = 0 і / (1) і 0, то, підставляючи
в дану рівність у = 0, отримуємо / (сов х) / (1) = сов х, тобто / (сов х) =
~ а сов х. Тоді / (і) = аі для всіх І є [-1; 1]. Перевіркою встановлюємо,
що а = 1 або а = -1. 24.54. / (х) = х або / (х) = -х. 25.3. 3) -сов 38°;
4) -аіп^. 25.4. 3) (® 4) 8Іп 25.7. 2) -1; 6) 2соза. 25.8. 3) 0;
18 5 15
5 \/б
4) 1. 25.9. 1) -4; 2) 3) —; 4) 1. Вказівка. Зведіть кожну функцію
З 4
до найменшого додатного аргументу; 5) 1. 25.10. 1) 3-2\/2$ 2) 3;
3) 4) -1. 25.11. 1) -сой а; 2) 1; 3) 1; 4) -1; 5) 2; 6) 2; 7) 1; 8) 1;
4
9) ~іе2 а: Ю) 1; 11) 1® а. 25.13. 1) 1; 2) 0; 3) 0. 25.14. 1) -1; 2) 1;
3) 0. 25.16. 2. Вказівка. Оскільки = і ? = ~> то
8 8 2 11 22 2
сов2—= віп2 — і соз2 — віп2 ——. 25.17. 1) соз2а; 2) —5—1----
8 8 22 11 сов2(а+10°)
25.18. 1) Не існує. Вказівка, у = ї (сов х) — парна функція,
а у = зіп х — непарна функція; 2) не існує. Вказівка. Якщо така
функція існує, то виконується рівність
існує, то виконується
тобто / (соз х) = зіп х. 25.19. Не існує. Вказівка. Якщо така функція
= зіп ЮО - х , тобто
/(совх) = зіпІООх. Але функція у - /(совх) є парною, а у = зіпІООх —
непарною. 25.20. Вказівка. З умови випливає, що а + Р<^. Тоді
= зіп р. Аналогічно доводимо, що соз р > зіп у,
соз у > зіп а. 26.3. 1) 2соза; 2) 2а; 3) соз2 а; 4) зіп 25°; 5) 1;
6) соз а + зіп а; 7) соз^~; 8) 2; 9) 10) 1; 11) -соз^; 12) ^і£2а;
4і Сі Сі Сі
13) зіп 2а; 14) 1; 15) -|сі®2а; 16) зіп 4а. 26.4. 1) 2 зіп 40°; 2) соз 11а;
3) соз2 20; 4) зіп 40°; 5) соз20<р; 6) 1; 7) соз 35° - зіп 35°; 8) 1;
9) ^зіп4а; 10) 2зіп2а; 11) Ісоз2а; 12) -зіп 20; 13) -зіп 2а;
14) зіп За. 26.5. 1) |; 4) 5) 6) 2>/3. 26.11. 2) -4^5.
26.12. 2) -у. 26.18. 1) 1; 2) сіе 4а. 26.19. зіпа = ^, соза = -||,
І8а = 26.20.-0,8.26.21. зіпа = -^, соза = -~=. 26.22. зіп£ = ^,
12 2 4’
С08^ = ^ї, = 26.23. 1) 2) 3) 2+^;
5)-(1+>/2); 6)>/2-1. 26.24. 1) 2; 2) іі£а; 3) 2; 4) і£2а;
Сі Сі
5) зіп4а; 6) зіп2а; 7) соз2у 8) соза. 26.25. 1) 2сі§4а; 2) зіп2а;
3) іе2а; 4) 4зіпа; 5) 1; 6) -|с1еа. 26.32. 26.33. 26.34.
26 .35. Ц-. 26.36. 2. 26.37. --. 26.38. -. 26.39. 1) соз 4а; 2) а;
5 9 4
3) зіп 8а; 4) і£4 а; 5) 1; 6) -1. 26.40. 1) 2) 8соз2а; 3) -і зіп2 а;
4 4
4) 5) |сі£2а; 6) -|. 26.43.1) — с°8--; 2) 17+14сО84а+СО82 4а
2 2 2 4 32
26.44. 26.46. 1) сі£4^; 2) -|сі£2а; 3) сой2“ 26.47. 1)-2;
16 2 2 2
2)0. 26.48. 1)4; 2) -| зіп 2а. 26.53.1) соз у 2) >/2сі«2а; 3) >/2і£а.
26.54.1) Якщо 0 < а < то 2 сов а; якщо — < а < то 2 віп а; 2) сов
3) 2со8~. 26.55. 26.56. 2 або -|. 26.57. Вказівка. Маємо:
2 5 3 4
віп 36° = сов 54°. Тоді: віп (2-18°) = сов (3-їв0); 2віп 18°сов 18° =
= 4 сов3 18° - 3 сов 18°; 2 віп 18° сов 18° = сов 18° (4 сов2 18° - 3);
2 віп 18° = 4 сов2 18° - 3; 2 віп 18° = 4 (1 - віп2 18°) - 3; 2 віп 18° =
= 4-4 віп2 18° - 3; 4 віп2 18° + 2 віп 18° -1 = 0. Розгляньте останню
рівність як квадратне рівняння відносно віп 18° і врахуйте, що
віп 18° > 0. 26.58. Вказівка. Скористайтеся рівністю віп 30° =
= 3 зіп 10° ~ 4 віп3 10°. 26.60. Вказівка. Скористайтеся методом мате-
матичної індукції. 27.5. 1) 5а; 2) -сі£ За; 3) . 27.6. 1) —
З соз 4а
2) і£ба; 3) 1. 27.7. 1) 4віпвіп(|-|); 2) 4сов(^ + |)сов
(\ / \ 2зіп ?+а / \ / \
£-^)сов(£+^; 4) А®—27.8.1)4віп(^-^сов(^+^;
8 2/ \8 2/ 7 зіпа \12 2/ \12 2/
л . (а . /а я\ о\ л /я а\ /я а\ ^8^п(з- /
2) 4 віп ——-1 віп І — + — І; 3) 4 сов - + — сов ; 4) - -.
\2 12/ \2 12/ \8 2/ \8 2/ сова
~ сій а - сій па _ . ~ „ . . зіп а
27.19 .---------. Вказівка. Скористайтеся рівністю---------=
зіп а зіп «а зіп (« +1) а
= сіеЛа-сіе(*+1)а. 27.20. 27 21 —-сі«1.
зіп 2 2 2
Вказівка. Скористайтеся співвідношенням І£ Р - сі£ р = -2 сі& 2р.
27.22. Вказівка. Скористайтеся рівністю сов (п + 1) х + сов (п - 1) х -
= 2 сов пх сов х і методом математичної індукції. 27.24. Вказівка.
Скористайтеся рівностями віп 7а - віп 5а = 2 віп а сов 6а, віп 7а +
+ віп 5а = 2 сов а віп 6а. 28.1. 1) | (сов 20° + сов 10°); 2) сов2а + сов2р;
3) | (еіп 2а + еіп 10а); 4) | (сов 26°-сов 122°); 5) .?-^№+1,
28 .2. 1) сов^+сов^^; 2) ^(сов4°-сов52°); 3) і(віп8а + віп2а);
4) ----8|0(~1-. 28.3. 1) |; 2) віп За; 3) сов а; 4) 0,5. 28.4. 1) сов а;
2) |. 28.7. 1) 2) 1; 3) -віп 2а. 28.8. 1) 1; 2) віп 2а. 28.9. 1) Вказів-
ка. Помножте і поділіть ліву частину рівності на 2 віп у. 28.11. Вка-
зівка. Помножте і поділіть ліву частину рівності на 2 віп ~. Зауважи-
п
мо, що дана задача має і геометричний розв’язок. Розглянемо точки
АЦсоз^-р біп^—де к набуває всіх натуральних значень від 1
до п. Ці точки є вершинами правильного л-кутника з центром у точ-
ці О (0; 0). Сума векторів з =ОА1+ОА2 + ... + ОАп = б (див., наприклад,
задачу 23.10 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Гео-
метрія : підруч. для 9 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. :
Гімназія, 2009). Водночас перша координата вектора з дорівнює
сов—— +соз—— + ... +соз+ сов———. 28.13. 1) Якщо а = 2як, кеі,
п п п п
. па (п + 1) а
81П СОВ-------
то 8 = л; якщо а 2л/?, то 8 =-------------—. Вказівка. При а 2л/?,
а
81П -
2
к є 2, помножте і поділіть дану суму на 2 віп 2) якщо а = як, к є 2,
• 2
. х*, /ч 7 п 81П ПОі 7
то 5 = 0; якщо а £ як, то 8 =---------. Вказівка. При а* як
віп а
помножте і поділіть дану суму на 2 віп а; 3) якщо а = як, к є то
о л , о п віп па соє (п +1) а „ . ~
5 = 0; якщо а л/?, то 5 =-------------Вказівка. Скористаи-
2 2 зіп а
теся формулами пониження степеня. 28.14. 1) Якщо а = 2л/г, к є 2,
о о ™ о о віп2па
то 5 = и; якщо а = л + 2л6, к є 2», то 5 = -л; якщо а Ф як, то 5 = —-.
2 віп а
Вказівка. Помножте і поділіть ліву частину на 2 віп а; 2) якщо
7 , гт, гт л п віп па віп (п +1) а
а = як, к є то 5 = 0; якщо а Ф як, то 5 =------------—; 3) якщо
віпа
а = як, к є 4 то 5 = л; якщо а = ^ + л/г, то 5 = 0; якщо а*^-, то
п зіп 4ла
2 4 віп 2а ’
28.15 . Вказівка. Перепишемо дану нерівність у ви-
гляді 8 сов а сов Р сов у - 1 < 0. Перетворимо вираз 8 сов а соз Р соз у.
Маємо: 8 соз а соз Р соз у - 1 = 4 (соз (ос - Р) + сов (а + р)) сов у - 1 =
= 4 (сов (а - р) - сов у) соз у - 1 = 4 соз (а - Р) соз у - 4 соз2 у - 1 =
=(4 соз (а - р) соз у - 4 сов2 у - соз2 (а - р)) + соз2 (ос - Р) - 1 = -(сов (а - Р) -
- 2 сов у)2 - віп2 (а - р). Тепер нерівність стає очевидною. 29.3. 2) 1,5;
5. 29.4. 2) 7. 29.5. >/б; 3. 29.6. 13; 29.7. 1) (-1; 0); 2) (5; 0);
3) 29-8- І) М); 2) М); 3)(І; а). 29.9.1) г = >/5; 2) <р = ^
\ А А у \ \ о/ 4
або (р =—, або г- 0; 3)
4
г = 0,
4) г віп <р = соз (г соз ф).
8ІПф = ГС05 ф;
Рис. до задачі 29.11
30.3.2) ±£+~-, пє 2; 6) ±3 агссоз ~-+6 лп, пє 2.30.4.2) ±^+10лп,
5 5 3 6
п є 3) пє 1 30.5. 3) 12 + 6л ч- 12лп, пє 2;4) +
7 З З 7 7 24 9 З
пє 1 30.6. 2) ±^-6 + 4лп, пє 1 30.7. 30.8. Зл. 30.9. 4 корені.
2 6
30.10. —; —; —; —. 30.11. 2) (| + 2/г) , к є N І) {0}. (--+2п] ,
12 12 4 4 \6 / \ 6 /
пє 3) розв’язків немає. 30.12. 1) —— к є N 0 {0}, —, п є К;
- (8/? +1)2 (8п-1)2
2) и±агссо8^ + 2л&, ± агссоз (“)+2лА, к є 30.13. а = ^‘ 30.14. а = 0.
9 1
30.15. а < 1 або а > 3. 30.16. а<-~ або а > 2. 30.17. -1<а<^. Вказів-
5 2
„ . . [созх = а,
ка. Дане рівняння рівносильне системі < яка має розв язок
[созх>3а-1,
1 С а С1, і і Г7тг\
30.18. -Ка<-“ або -^<а<1. 30.19. а є ;+©о .
а>3а-1. З З ІЗ’ /
30.20. а є +оо
30.21. Якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає;
х/2 л/З
якщо а = -1 або а = 1, то один корінь; якщо -1 < а < — або — < а < 1,
& Сі
О . >/2
то 2 корені; якщо —
Уз і
—, то 3 корені. 30.22. Якщо -<а<1, то
Сі Сі
2 корені; якщо -1<а< і або а = 1, то один корінь; якщо а < -1 або
л/2
а > 1, то коренів немає. 30.23. Якщо а<—~ або а>1, то коренів
немає; якщо —^<а<0 або а = 1, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то
2 корені. 30.24. а < л, або а>^, або а = ^. 30.25. а < 0, або а>—,
н 2 6 2
або а = ^. 31.3. 3) п є 2; 4) ^р^агсзіп|+™, п є 2.
31.4. 3) (-1)Л+І П є 2. 31.5. 2) (-1)л+1 -%+%+лп, п е Я.
6 2 3 8
31.6. 2) (-1)л+1 -у+20+5лп, пє 2. 31.7. ур 31.8. 31.9. -у;
у. 31.10. 6 коренів. 31.11. 1) |+2лп, п є 2; 2) (-1)"-|+^+лп,
п є 2; 3) я + 4лп, ^+4лп, п є 2. 31.12. 1) (-1)” • 77+77+лп, п є 2;
З 6 3
2) ^+2яп, пеі. 31.13. 2) (2Л-|) , * є М; 3) + агссоз^ + 2тг*, * є 2.
31.14. 1) ----8-., к є И; 2) ±5 + лЛ, к є 2. 31.15. а < 0 або а > 2.
(Зй+(-1) ) 6
31.16. а = -4 або 4 < а < 5. 31.17. |<а<1. 31.18. -1<а<| або
2 З
|<а<1. 31.19. а>~. 31.20. 31.21. 1) Якщо а <-1 або
З 6 6
а > 1, то коренів немає; якщо а = -1, або -і<а<0, або а = 1, то
1 корінь; якщо або 0 < а < 1, то 2 корені; 2) якщо а < -1
/г-1 • і Ч С. Х/2
або а > 1, то коренів немає; якщо а = 1, або а = -1, або —— <а<—,
Сі Сі
то 1 корінь; якщо -1 < а < - або <а<1, то 2 корені. 31.22. Якщо
а<-і або а > 1, то коренів немає; якщо або а ~
1 корінь; якщо то 2 корені. 31.23. Якщо
Сі Сі
л/3
З корені; якщо 0 < а < 1 або -1<а<——, то 2 корені; якщо а -
Сі
ТО
то
-1
або а = 1, то 1 корінь; якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає.
31.24. Якщо -1<а<-і то 3 корені; якщо4 -і<а<1 або а - -1, то
2 корені; якщо а = 1, то 1 корінь; якщо а < -1 або а > 1, то коренів
немає. 31.25. Якщо -1<о<-^~, або або ^<а<1, то
2 2 2 2
\І2 \І2
4 корені; якщо а = ~1, або а = —або а = —, або а = 1, то 3 коре-
Сі Сі
V З
ні; якщо а < -1 або а > 1, то 2 корені. 31.26. Якщо -1<а<——, або
2
№ л л/3 і л . х/3
—, або —<а<1, то 4 корені; якщо а = -1, або а = —
2 2 2
/ з
або а =—, або а = 1, то 3 корені; якщо а < -1 або а > 1, то 2 корені.
£ •
32.3. 3) п є 2; 5) |агссі§^- + ^, пе 1 32.4. 2) ^+2лп,
21 7 6 11 6 З
пе 2. 32.5. 2) ^-іагсі£2+^ пє 2. 32.6. 3) -^+Л + ^, пє 1
2 2 2 3 18 З
32.7. 4 корені. 32.8.1 корінь. 32.9. 32.10. 32.11. 2) -18 ,,
4 З (4Л+1)2
к є N 0 {0}; 3) (-1)* агсзіп і + тік, (-1)* агсзіп
З
+ л&, к є 32.12.
1) —й;2) ———ке К;3) + агссоз і+2л6, +агссо8(--| + 2л6,
'206 + 5’ (4л6-л)2 4 І 4/
к е 2>. 32.13. 1) а<-і, або --<а<0, або а > 0; 2) або
. 7 З З 7 2
або і<а<1. 32.14. 1) а<-~, або -~ <а<0, або а > 0;
2 2 2 '22
2) або або ~^-<а<1. 32.15. а-~, або
7 2 2 2 2 З
або а > 0. 32.16. а = -р або або а > 0. 33.5. 1) [0; 2];
2) [0; 1]; 3) (-оо; -я - 4] І) [я - 4; +оо). 33.6. 1)
£-1;1-
2
3) її -;+оо . 33.7. 1) я; 0; 2) 2 + я; 2. 33.8. 1) 2л; л; 2) £+1;
\ ои 1.0 / 2
-|+1. 33.9. 1) 2) 33.10. 1) |; 2) 33.11. 1) 2) со8і;
£і о О 4 4 Сь
3) коренів немає. 33.12. 1) 2) коренів немає; 3) 33.13. 1) (-1; 1];
2) {-1}; 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв’язків немає; 6) {1}; 7) [-1; 1);
8) (-1; 1]. 33.14. 1) {-1}; 2) [-1; 1); 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв’язків
немає. 33.15. 1) [-1;Ц; 2) {-1}; 3) {1}; 4) {0}; 5) {0}. 33.16. 1) [-1; 1];
2) {1}; 3) [-1; 1]; 4) {1}; 5) {-1; 1}. Вказівка. Якщо х > 0, то —
х2 +1
причому рівність досягається тільки при х = 1;якщох < 0, то ——
причому рівність досягається тільки при х = -1. 33.17. 1) |_4;^ + 4_|;
2) {0}. Вказівка. Оскільки -агссоз х < 0, то область визначення даної
функції складається з однієї точки х
4)
І. 33.18. 1)
; 2) 0;
33.21.1) 2) Вказівка. зіп|!
5 25 \
2 агсзіп
агсзіп
агсзіп -І;
3) 7^; 4) 33.22.1) 2) ; 3) -£•; 4) -Д=. 33.23.1)х = 2.
65 4 3 9 25 <26
Вказівка, соз (агссоз (4х - 9)) = 4х - 9 тільки за умови | 4х - 9 | С 1;
2) [-3; -1]. Вказівка. Множиною коренів цього рівняння є його об-
ласть визначення. 33.24. 1) Вказівка. Дане рівняння рівносильне
О
системі
4х-1 <1, і
= Р 1 2) [0; 2]. 33.25. 1) 1; 2) 5. 33.26. 1) -±; 2) -2.
4х-1 = 3ха; 2
33.28. 1) 0;
33.27. 1) 2) 3) (^±^;2
33.29. 1)
2) розв’язків немає. 33.30.
до задачі 33.33
1)
2) {0}. 33.33. Див. рисунок. Вказів-
ка. Якщо -1 < х < 0, то агсвіп х < 0 і | агсзіп х | =
= -агсзіп х, агсзіп | х | = агсзіп (-х) = -агсзіп х. Тоді у = 1. Якщо
0 < х < 1, то агсзіп х > 0 і | агсзіп х | = агсзіп х, агсзіп | х | - агсзіп х.
Тоді у = 1. 33.34. 3) Див. рисунок. Вказівка. Зауважимо, що
В (у) = [”1; !]• Запишемо: соз (2 агсзіп х) = 1 - 2 зіп2 (агсзіп х) = 1 - 2х2.
Отже, шуканим графіком є частина параболи у - - 2х2 + 1; 4) Вказів-
ка. Оскільки агсзіп х +агссоз х = ~р то у = 1. Проте шуканий гра-
фік — це не пряма у = 1, а лише її відрізок, оскільки В (у) = [—1; 1].
Рис. до задачі 33.36
; 3)
о З
33.35 . 2) Вказівка, зіп (агссоз х) = >/1 - х2; 3) Вказівка, соз (2 агссоз х) -
= 2№ - 1 за умови | х | < 1. 33.36. Див. рисунок. 33.37. 1) 2) у;
3)л - 3; 4) --8. 33.38.1) —; 2) —. Вказівка. со8^ = со42л-^;
2 9 9 9 \ 9/
3) 2л-6,28; 4) у; 5) у-12'. 33.39. х = | або * = у- Вказівка.
Тотожність агсзіп х + агссоз х = — дає змогу перейти до системи
9 А
, . .о , 5Л2
(агсзіп х) + (агссоз х) = —,
- Після очевидної заміни агсзіп х = і,
п
агсзіп х + агссоз х =—.
^ + 22 = 5л^ 36
агссоз х = 2 отримуємо: < І+2=2’ 33.40. 1) 2) Сл Сі Я 2^ ^2’ я.
З 56
33.43. Вказівка. Вигідно довести таку рівність: агсзіп- = агсзіп — -
5 65
-агсзіп-^. Значення виразів, записаних у лівій і правій частинах
цієї рівності, належать проміжку тобто проміжку, на якому
функція у - зшх зростає, тому достатньо довести, що зіпІагсзіп-І =
= зіпІагсзіп^-агсзіп Д-1. 33.45. Вказівка. Нехай агсзіп х = а. Якщо
\ оо 13/
0 < х 1, то 0<а^ —
2
зіп а = х; соза = 71 -зіп2а = 71-х2. Оскільки
0 <<х < то а = агссов 71-х2. Якщо-1 < х < 0, то ~< а < 0; зіпа = х;
соза = 71-8Іп2а = 71-х2. Оскільки 0<~а<^~ і соз(-а) = 71-х2, то
-а = агссоз 71 -х2; а = -агссоз 71 -х2. 33.47. 7;—. Вказівка. Це рів-
няння перепишемо так: агсзіп 2х = “ агсзіп х . Його наслідком буде
рівняння зіп (агсзіп 2х) = зіп
- агсзіп х
Звідси 2х = ^-*71-х2 -іх;
/ Сі Сі
„ К . 25х‘=3-3х\
5х = уЗ-Зх . Це рівняння рівносильне системі <
[х>0,
І з 1
розв’язуючи яку отримуємо Х = \—- Крім ТОГО, Тому
V 28 V 28 2
0<агсзіп2.і 0<--агс8Іп.р[<-. 33.48. —• 34.1. 3)
V 28 2 З V 28 2 З
34.2. 1) 3) Ж 34.3. 2) -2л. 34.4. 1) К; 2) [1; +~). 34.5. К.
З 6
34.6. 1) (2-|;2+|); 2) 0;^. 34.7. 1) (4; л + 4); 2) 0;^.
34.8. 1) 4; 2) 5; 3) 4) л. 34.9. 1) 2) 34.10. 1) 1; 2) 1; 3) ко-
2 2 3
27 + 7з
ренів немає; 4)------——. 34.11. 1) -1; 2) коренів немає; 3) коренів не-
.. 15+л/з
має; 4) ———
24
34.12. 34-13- 34Л4- х>
2) 4=; 3) —7І=; 4) -Д=. 34.15. 1) 2) --Д=; 3) і^.
75 7113 750 V5 710 85
34.16. 1) 2) (2-л/3;+~). 34.17. 1)
\ О у \ 9 )
і л/з і
2) І _оо; — -Ц І 34.18. 1) Вказівка. (агсі£ х) - х при будь-якому х.
\ о У
34.19. 2) Вказівка. І£(агссі£х) = ^. 34.20. 1. Вказівка. Скористайте-
ся тотожністю агсі& х + агссі& х = —. 34.21. -\/з. 34.24. 1) —;
& ІЗ
2) 3) 5 -2л; 4) 5) ~-17. 34.25. 1) 2) 3) 15 -4л;
13 42 11 11
4) 5) ^-10. 34.26. Вказівка. Нехай агсі& х = а. Якщо х > 0,
то 0<а<—; а = х. Маємо: сі£(х = ——. Звідси а = агссія~.
2 а х х
Якщо х < 0, то ~<а<0 і сі&а = і. Маємо: ^<я+а<я і
сі£(я + а) = —. Тоді я + а = агссі&і; а = -я + агссі§і. 34.28. 1) Вказів-
X XX
ка. Нехай агссоз х = а. Якщо 0 < х < 1, то 0<а<~; соз а = х. Має-
1 __д.2
мо: 1 + і£2а = —; і£2а =—5—. Ураховуючи обмеження для х і а,
соз а х
запишемо і&а =-------. Звідси а = агсі£----. Якщо -1 < х < 0,
х х
то ~<а<я і і£2а = -^—. Маємо: ~^<ос-л<0. Тоді €£2(ос-я) =
2 х 2
= —(а - л) ~ - — ~х—; а - я = агсі& ; а = я + агсі£ х-.
X X X X
34.30.1 ) Вказівка. Якщо х > 0, у > 0, то нерівність < агсі£ х + агсі£ у
є очевидною, а нерівність агсі&х+агсі&рівносильна нерівності
агсіе х с ~ - агсіе У, (агсі£ х) < - агсіе у| = с1е(агсі£ у) = 1 —
тобто х<~'-> ХУ < !• Інші випадки розгляньте самостійно. 34.33. Вка-
зівка. Скористайтеся задачею 34.30. 34.35. 1) 8 = агсі£(п + 1)-^.
4
Вказівка. Доведіть, що агсі£-—-—^ = агсі§-^~Ц^- = агсІ§(Л+1)--
1 їй і 1 -І- і Л? -4- І І /?
-агсі£/г. Тепер можна записати такі рівності: агсі^і =
о
2—1 1 3—2
= агсі£-—— = агсі£2-агсі£1; агсі£- = агсі£—— = агсі£3-агсі&2;
ф 1 + 2*1 7 1 + 3*2
агсі&-----—? = агсі£ = агсі£ (п + 1) - агсі£ п. Додавши отри-
1+п+п 1 + (п + 1)п
мані рівності, маємо: 8 = агсі£(п+1) - агсі£ 1 = агсі£ (п+1) -—. Інший
4
розв’язок може спиратися на формулу задачі 34.30. Обчисливши
суму декількох перших доданків, можна побачити закономірність і
сформулювати припущення 8 = агсі§—. Цю рівність можна довес-
п + 2
ти, наприклад, методом математичної індукції. 2) £ = агсі&(п + 1)-—.
4
Вказівка. Скористайтеся задачею 34.27. 34.36. 8 = агсі£ (п2 + п +1)-—.
4
„ 2к 2к (*2 + * + 1)-(й2-Л + 1) „
Вказівка. ------5— =------;-------= ——5--- ;-------—. 34.37. Вка-
к*+к2+2 1+(к4+к2+1) 1+(к2+ к+1}(к2-к+1)
зівка. Нехай а = агсі£ х, Р = агсі£ у, у = агсі£ г. Тоді х + у + г - хуг =
= а + іб Р + V - Р У = Об « + Р) +і£У(1-і«аіеР) =
8Іп(а+В) со8(а + В) зіп (а + р) сов у + зіву сов(а + В) віп(а + В + у) _
=--------1- у---------~------------------------=-----------> у ,
соз а соз р сов ос сов р сов а соз р соз у созасоврсозу
35 .1. 1) (- 1)"-^ + лп, ~ + 2лп, п є 2; 2) ±^ + 2лп, п є 2; 3)
6 2 З
п є 2; 4) -~ + лп, агс1£ 3 + лп, п є 2; 5) + -агссї;^
я , 2лп
—------
6 3 ’
4 \ лп
З/ 2 ’
п є 2; 6) ±4 агссоз ^ + 8 л п, пє 1 35.2. 1) (-1)Л*^ + лп, ^ + 2лп, п є 2;
З 6 2
2) ±^ + лп, лп, п є 2; 3) ~ + -агсі£І + лп, п є 2; 4) ^ + 3лп,
З 4 4 4
З агссі£ +Зл п,
пє 1 35.3. 1) ~ + лп, п є 2; 2) + лп, п є 2;
4 6
3) агсІ£~+лп, п є 2; 4) іагсі£4+~^, п є 2; 5) -3 агсі£ 5 + Злп, п є 2;
З 2 2
6) ^ + лп, агсі£ 4 + лп, п є 2; 7) ~ + 2лп, 2 агсі£ 2 + 2пп, п є 2;
8) ^ + лп, п є 2.35.4.1) --” + лп, пє2;2)^ + лп, пє2;3) -агсі£- + лп,
п є 2; 4) ~-агсі^і + ^, п є 2; 5) агсі& 2 + лп, агсі£ 3 + лп, п є 2;
4 3 4
6) у + лп, -агсі£у + лп, пє 2.35.5.1) (-1)п*5+лп, (-1)п агсвіп і+лп,
4 4 6 3
п є 2; 2) ±—+2лп, п є 2; 3) + агссоз (1-\/2)+2лп, п є 2; 4) 2лп,
з
± (л - агссоз і)+2лп,
п є 2; 5) (-1)л+1 -^-ьлп, ^4-2лп, пє 6)+2л + блп,
О £
п є 7) яп, п е 2; 8) ±^ + 4лп, 2л + 4лп, п є 9) -4-лп, п є
10) ±^+2Г’ п є 2; П) + 1агс^7+“. п є 2; 12) -£+лп,
18 3 20 5 5 4 5 4
агссі£ 2 + лп, п е 2?, 13) ±^4-лп, п є 2; 14) ±- + 2лп, п є 2.
• 3 4
35.6. 1) ±^+2лп, п є 2; 2) (-1)"^+пп, -£+2лп> п є 2;
З * 6 2
3) (-1)” • агсзіп(2-7з) + лп, п є 2; 4) ^4-лп, 2лп, п є 2; 5) (-1)л + 1 л +
£л
+ блп, п є 2; 6) (-1)п+1 •- + 2лп; л + 4лп, п є 2; 7) ±-+^, п є 2;
> У \ 7 3 62
8) -4-лп, агс1£ 2 + лп, п є 9) ~ + пп, тт, пе 2; 10) ±^4-лп, пє 1
4 6 3
35.7. 1) — 4-лп, -агсі£ 2 + лп, п є X; 2) -£-4-^, |агс^і + ^, п є
4 20 5 5 7 5
3) ”^+ ;р п є 4) агсі£ 3 4- лп, агсі£ 4 4- лп, п е І; 5) -4-лп,
агсі£І + лп, пєІ;6) -4-лп, -^4-лп, п е 1а 7) лп, агсі£ 3 + лп, п є 2;
5 2 4
8) -4-лп, п е 2. 35.8. 1) -4-лп, агсі£ 3 + лп, п є Вказівка.
4 4
зіп2х = 2зіпхсозх; 2) -4-лп, агсі& — 4-лп, п є 2; 3) ~4-лп,
4 4 4
-агсі§І4-лп, пє 2; 4) лп, -4-лп, пє 5) -4-лп, пє 2;6) -—4-лп,
З 4 3 4
пеі. 35.9. —л. 35.10. 35.11. ~. 35.12. 35.13. 1) ~ + ^9 п є 2;
2 4 2 7 4 2
2) (-1)П • агсзіп 4-лп, п е 3) ±—4-лп, п є 2; 4) ±^4-2лп, п є 2;
З Зо
5) ±—і-2лп, п є 35.14. 1) ±агссоз2 + 2лп, п є 2; 2) ±^-4-лп,
З 5 6
пє 2; 3) (-1)"+1-^+^, ПЄ 2; 4) ±агссоз^^+2пп, пє 2; 5) ±£+лп,
п є 2. 35.15. 1) +^:+~, П є 2; 2) ф, п є 2. 35.16.
1.2 2 З і 1 11
1) ±—+ 2лп, пє 2; 2) п є 2. 35.17.1) £ + 2лп, -2агсІ£^+2лп,
З 8 2 2 5
пє 2) 2агсІ^(-1±л/5)-і-2лп, пє й. 35.18.1) 4-2лп, 2 агсі&4 4- 2лп,
п є 2; 2) —^4-2лп, 2 агсі£ 2 >/з 4- 2лп, пє 1 35.19. 4 корені. 35.20. 2л.
з
35.21. л - агсзіп ^-1. 35.22. |. 35.23. 1) пп, -^+лп, п є 2; 2) лп,
п є 2. 35.24. 1) ±~+пп, п є 2; 2) 5 + -Т77+^> п є 2.
'З ’ 6 З 12 З
85.25. 1) [-1; 2]; 2) 3. 35.26. 1) [-1; 2]; 2) таких значень а не існує.
35.27. 1) +~+лті, пе 2; 2) ±~ + 2лп, ±[ я-агссоз ^| + 2лп, пє 1
4 3 \ З/
Вказівка. бІЗсовхч—— ]+ + 2|9со82хч—1+5 = 0. Зробіть заміну
V СО8 X у \ СО82Х/
Зсо8Х+ 1 -у, тоді 9 сов2 х +—= у2-6. 35.28. 1) ~ + лп, п є X.
СО8 X СО8 X 4
Вказівка. (і&3 х + сі£3 х) + (і£2 х + сі£2 х) - 4 = 0. Зробіть заміну
х + сі£ х - у; 2) ^ + 2пк9 (-1)*• — + пк, (-1)*агсзіп+ пк, ке
2 6 4
35.29. 1) -~ + лп, ±~+лп, лп, п є 2; 2) “ + л/?, к є 2. Вказівка.
2 СО82 X + 5 8ІП2 X СО82 X + 8ІП4Х + соз2х “ 8Іп2х = 0; 8Іп2х - Зсоз2х =
= 5зіп2хсо82х + 8іп4х. Помножте ліву частину на вираз віп2 х + соз2 х;
3) -+пк, кЕІ. 35.30. 1) - + лп, - + лп, -+лп, п є 2; 2) -+—,
2 7 3 6 2 42
£+^, леї 35.31. 1)£ + лп» ±-+лн, пе Я; 2) (-1)л+1 -~-+^,
82 2 3 2 4 ’ 12 2
леї 35.32. 1) Злп, п є 2; 2) $ + лп, ±агссо8І——^+2лл, п є
2 4
35.33.1) (-1)" -£ + лп, пє 2;2) +^+2пп, п є 2; 3) (-1)"-^ + пп, пеі.
6 3 6
35.34. 1) +^+2пп, п є 2; 2) (-1)"-£ + лп, п є 2; 3) ±^+2тт, п є 2.
З 6 3
35.35.1) ^Сасл; 2) ^<а< —. 35.36.1) -^<а<2л; 2) ^<а<^.
6 2 6 6 3 2
35.37. 1) а < -1, або а = ~,
уІЗ 7 л/3 1 7
або а>~~; 2) — <а<—, або ~<а<—,
2 10 2 2 10
або а = -1. 35.38. 1) а<-^-,
2
або а = ~, або а > 1; 2) а = 1
або
<а<0; 3) ^<а<1 або 35.39. 1) а>~, або
2 2 2 2 2
а = -і або а <-1; 2) або а = ~1; 3) або
З 7 2 2 7 3 2
-1<а<-і 35.40. 1) 3; 2) ;1+^2
З 7 ' к 2 2 ) І 12]
3) [і;3]и{-Ц{;
4)
—2)
2 ) І8І’ ’
5) -1; 6) 35.41. 1) (-1-^;
\ І4 / X &
35.42. а < 0, або а = 2, або а = 3, або
а > 4. Вказівка. Покажіть, що друге рівняння рівносильне сукупнос-
ті
еіп х - 0,
1
81ПХ-~,
2
35.43. а - 2. Вказівка. Зауважимо, що число є
о
а-2
8іп х ~-
2
ті-. Я
коренем першого рівняння при всіх значеннях а. Підставляючи х = ~
О
У друге рівняння, отримуємо 2а2 - 5а + 2 = 0. Звідси а = 2 або а =
Залишається перевірити знайдені значення параметра. 36.1. 1) 7+77»
4 2!
- + лп, п є 2; 2) -+^, П є 2; 3) -- + 2тт, ±^+тт, п є 2;
2 ’ 2 6 З 2 6
4 \ ТС ^77 нр л ч \ ТС 7Т71 ТСП гп о\ ТС71 ТС72
4) (-1)" --+лп, --+ЛП, п є 2. 36.2. 1) -+—, —, пє 2; 2) —,
о 3 о 3 4 о 4
п є 2: 3) ±агсі&\/2 + лп, ~ + лп, п є Ід 4) ±^+2лп, агссі£ 3 + лп,
4 4
пє 1 36.3.1) ±~ + 2лп, пє й;2) (-1)” агсзіп ^- + лп, п є X; 4) 7^ + ^?,
п є X. 36.4. 1) ~~ + 2лп, п є 2) ^ + лп, п є X.
36.5. 1) (-1Г-5 + ЛП, л + 2лп, п є 2) ~ + ^, ±^ + ^, п є
о 8 4 12 2
3) -+^, +^- + 2т, пє 2; 4) пє 2; 5)лп, (-1)п+1 -~ + ^, пєХ\
4 2 3 2 12 2
6) - , (-1)"+І.2Е+™ п є 2; 7) пп, ±агссоз~ + 2лп, п є %,
4 2 7 12 2 4
о\ ТС 2ТСЛ л т г\\. ТТТІ ТС л ТС 2ТСП Г77 ТСТІ
8)- + лп, —-, л + 2пп, п є 2; 9) —, -~+2лп, —, пє 10) —,
2 5 5 2 10 5 2
(-1)Л+1*21 + Т’ П Є 36,6‘ 1) пп’ П є 2) 2лп’ (-1)"'| + їіп’ п Є 2;
3) (-1)“-^+^. л є 2; 4) ^+іт, (-1)»+і.і+’^> п є 2; 5)
4 24 4 2 18 о 2
। 2л . о _ гт] £*\ ті лп лп гп п\ лп л 2лп г^7
±—+ 2лп, п є 6) + —, п є 2; 7) —, — + ——, п є
З 6 3 5 '3 77
8) 7К + 2-, (-1)п’7 + ІТ’ п е 36-7‘ 7 + + п е
10 5 о 2 в 4 2 2
2) +^ + пп, пєХ-,3) -+^, п є 2; 4) 2пп, ^-+іт, п є 2;
' 8 4 3 3 8 4 4
5) ~+пп, п є 2; 6) 7+лп, п є 2; 7) п є 2; 8)
4 4о 4 І£л О
п ™ т* . 1-сов2х 1-сое4х 1-созбх 1-соз8х л
" + лп, п є Вказівка. -------------+--------------------------—~ = 0;
& & А &
9) А+2« -+^, п є 2; 10) ^+~, ±~+^, пєі. 36.8. 1) -^+^,
10 5 4 2 7 6 3 9 З 22 11
г77 О\ і Л । *"П 7СЛ Л ЛЛ ЗТС гіг
п є 2) —ч-----, ±—+ лтг, п е Т; 3) —, —4----, — + пп, п є X;
7 8 4 З 3 82 4
4 \ ТС о ТС 2ТСТІ гтї \ ТС 77 ТС7Т гт? ТГ7Ї । ТС , ТСТІ _ гп
4) -А-+2ЛП, п^г-,5) п & 2; 6) —, ±т^+-^-> п є £.
4 43 о 2 2 12 2
36.9. 1) ~+пп, ~ + ~, п є 2) ~+^, %,пеІ; 3) -60° + 180°п,
2 4 2 6 3 2
40° + 180°л, п є 2; 4) п є 2. 36.10.1) |+пп, п є 2; 2) 45° + 180°п,
-75° + 180°п, п є 2; 3) ±|+лп, п є 4) ~+^, п є 2.
-1-і і \ ТС 5ТГ ТС/Т Г77 о\ тс 7171 ТС । ТС о тт?
36.И. 1) --+лп, —+-, п є 2; 2) --+т» її±д+2лп, п є 2;
3) ^+лп,
о
(-1)л агсзіп ^- — + лп, п е Т. Вказівка. 4^-^- + зіп2х
-2І —созх + ізіпх 1 = 0; 2|зіп~ + 5Іп2х)-со8|х-5) = 0; 4зіп|х + ~|х
\ 2 2 7 \ З / \ б/ \ 6/
хсоз(х-^)-соз(х-^) = 0;4соз(х-^зіп(х + ^-^) = 0. 36.12. 1)
7€ гп о \ 5л
-+лп, пєД 2) --
+ лп, пе Т. Вказівка. 4
і зіп 2х + — соз 2х
2 2
-5 =
=СО8(її’Й+2х))
; 4зіп2^2х+|)-8іЦ2х+|)-5 = 0. 36.13. 1) 2ли, -^ + лп,
~ + лп, п еТ. Вказівка. 2 віп 2х сов х - 2зіпхсозх -2созх(созх - 1) = 0;
2 соз х (зіп 2х - зіп х - соз х + 1) = 0; 2 соз х ((1 4- зіп 2х) - (зіп х +
+ соз х)) = 0; 2 соз х ((зіп х + соз х)2 - (зіп х + соз х)) = 0; 2 соз х (зіп х +
+ соз х) (зіп х + соз х ~ 1) = 0; 2) — + пп, ^+пп, п е Т. 36.14. 1)
8 + П Є Вказівка, (зіп 4х + соз 4х) (зіп2 4х + соз2 4х - зіп 4х соз 4х) -
- (1 - зіп 4х соз 4х) = 0; (зіп 4х + соз 4х - 1) (1 - зіп 4х соз 4х) = 0;
2) ~— + пп, —+—, п є Т. 36.15. — + ^, п є Т. Вказівка. Якщо а задо-
8 24 3 8 2
вольняє умову задачі, то зіп а + зіп 2а + зіп За = соз а + соз 2а + соз За,
зіп 2а (1 + 2 соз а) = соз 2а (1 + 2 соз а), (1 + 2 соз а) (зіп 2а - соз 2а) = 0.
37.1. (-1)"+1 агсзіп-Д= “+пп, п е Т. 37.2. (-1)” агсзіп У^І-5--~ + пп,
2уі2 4 2л/2 4
п є Т. 37.3. 1) 2пп, ^+2лп, п Е Т. Вказівка, (зіп х + соз х) (1 ~
- зіп х соз х) = 1; 2) пп, агсі£ 2 +лп, п е Т. Вказівка. Зробіть заміну
8ІП X + СО8 X , л л Я л «7 пі-г в- і \ Я т
--------------= і. 37.4. 2лп, —+2лп, п є /. 37.5. 1) —-+пп, п є /; 2) лп,
віп х - сов х-2 4
п є й. Вказівка. сое4х=1 + -Х; 4соз22х -2 = 1 +
12 2 2
+ 4соз32х - Зсоз2х; 4соз32х - 4 соз2 2х - З соз 2х + 3 = 0; 4 сов2 2х х
X (сов 2х - 1) - З (сов 2х - 1) = 0; (4 сов2 2х - 3)(сов 2х - 1) = 0; 3)
З
/? є 2. 37.6. 1) ±^ + 2пп, п є 2; 2) пп, ±^ + пп, псі. 37.7.1)
2 6 6 15
к є 2, к * 15р, р є 2, п є 2, п * 17т + 8, т є 2; 2) к є 2,
к Ф 9р, р є й. Вказівка. Помножте обидві частини рівності на 2 еіп
я/?
3) —, к є 1,кї 9р, р є 2. Вказівка. Скористайтеся формулою по-
ниження степеня. 37.8. 1) к є 2, к £ 14р, р є 2\ 2) к є 2,
к*3р,ре 2, £ + п є 2; 3) к е 2, к * 9р, р є 2. 37.9. 1) -2;
8 2 9
2) коренів немає. 37.10. 1) 2; 2) коренів немає. 37.11. Коренів немає.
Вказівка. Якщо х > 0 або х < -1, то х2 + х+ 1 > 1. При х є [-1; 0]
зіп х < 0, а х2 + х + 1 > 0. 37.12. Коренів немає. 37.13. 1) х = 2л/?,
1 р. т , о > 1 гп оч „ -5+725-8/? -5-725-8/?
У = ~ абох = л + 2л/?, у = -~, ке 2; 2) х =----------, у--------------,
И £ £
або х =
-5-У25-8Е ^-5+%/25-8/г
2 ' У 2
, 5+>І21^3п 5-у/2І^8п
&б0Х-----2------’ У =--2~
або х =
5-У21-8п _5+У21-8п
2 ’ У 2
к є 2, п е 2, к < 3, п < 2. 37.14.
1)х = -4, у=-^+^- абох = 4, у = -~ + ^, п є 2; 2) х = ^+2лп, у = -З
або х = ~+2пп, у = 3,пє2. 37.15. 1) 4пп, п є 2; 2) ^+~, п е X.
37.16. 1) блп, п є 2; 2) у+Злп, п є 2. 37.17. 1) + 2пк, к є 2.
Вказівка. Запишемо дві очевидні нерівності: сов7х < соз2х; зіп4х <
< 8Іп2х. Додаючи почленно ці нерівності, отримуємо СО87Х + 8ІП4 X <
< 1. Тепер очевидно, що вихідне рівняння рівносильне системі
{СО87 X = СО82 X, п
2) — + 2л/г, 2л/?, к е 2. Вказівка. Покажіть, що при
8Іп4х = 8іп2х; 2
всіх допустимих значеннях х виконуються нерівності 7СО8Х СО!з2 х
і л/віп х > 8Іп2 х. 37.18. 1) ^ + 2л/?, 2л/?, к е 2\ 2) +2лА?, л/?, к є 2.
ТІ
37.19. 1) —+ 2л/?, к є 2. Вказівка. Запишемо очевидні нерівності:
8ІП5 X < ЗІП2 х; СО85 X < СО82 X. Звідси 8ІП5 X + СО85 X < 8ІП2 X + СО82 X = 1.
Разом з тим зрозуміло, що 2 - віп4 х > 1. Таким чином, вихідне
8ІП5Х —ЗІП2Х,
рівняння рівносильне системі
сой5х-со82х, 2) у + 2л&, к є X.
4
2-зіп4х = 1;
37.20. 1) ~ + 2пк, к є 2) розв’язків немає. Вказівка. Покажіть, що
/— 2
зіпх + 2со5Х<л/5. 37.21. ~ + 2к, к є 2. Вказівка. Перетворіть рів-
о
няння до вигляду 4 4 - і£2 зіп (пх - а) = 2, де зіп а = 4— =,
Л-ч’-’її
соза = Л- — . =?. Тепер слід зауважити, що ліва частина отримано-
/. . 2 ЗЛХ
---
го рівняння не більша за 2. 37.22. ^ + 2й, к є 37.23. 1) х = ^ + лА?,
у = лп, к е X, п є 2. Вказівка. Оцінимо кожний із множників лівої
частини даного рівняння. Маємо: 5+—^—>8 і 2 - зіп6х > 1. Тоді
віп х
15+—](2-зіп6х)>8. З іншого боку, очевидно, що 7 + соз 2у < 8.
\ зіп х/
Отже, вихідне рівняння рівносильне системі
5+—= 8,
зіп X
2 - зіп6 х = 1, звідси
7 + соз2і/ = 8,
зіп2 х__1
зіп х , у = ~ + 2пп, кЕ X. Вказівка. Для будь-
соз2і/ = 1; 4 2 2
>1(а+Ь)2.
яких дійсних чисел а і Ь правильна нерівність а2 + Ь2
Тоді І8ІП2ХН-----І +(сО82ХН-----І >І|8ІП2Х + СО82ХЧ------\---1---
\ ЗІП ХІ \ СОЗ XI 2 \ ЗІП X СОЗ X)
^(1+ 37.24. 1) х = -^+2л(л-Л), у =-п + 2п(п - 2к),
2\ зіп 2х/ 2 2
к є й, п є 2) * = ^=4+к(п~2)’ П Є Вказівка.
Скористайтеся нерівністю а2 + Ь2 > 2аЬ. Тоді і£4х + і£4г/ > 2і%2х і&2у
і 1§4х + і#4# + 2сі£2хсі£2і/ > 2(і£2хі£2і/ + сі£2хсі£2і/) > 4. 37.25. 7.
Вказівка. Зауважимо, що коли число х0 — корінь даного рівняння,
то і число (-х0) — теж корінь цього рівняння. Тоді дане рівняння
може мати єдиний корінь лише за умови х0 = 0. 37.26. 3. 37.27. -Ц-.
81П 1
37.28. 0; 1. 37.29. (0; 0), (1; 0). Вказівка, Підставивши замість х
числа 0, 2л і можна отримати необхідні умови, яким задовольня-
ють числа а і Ь, 37.30. а - 1. Вказівка, Число 2л є періодом функції
у = (а - а2) соз2х + зіпх - а. Нехай х0 — корінь рівняння (а - а2) соз 2х +
+8іп х = а. Тоді числа х0 і х0 + 8л — корені рівняння (а -1) віп £ + віп х =
8
х х
= 1. Маємо (а-1)8Іп-~ + 8іпх0 =1 і -(а-І)зіп —+віпх0 =1. Відніма-
8 8
ючи почленно від першої рівності другу, отримуємо 2 (а -1) зіп = 0.
8
Звідси а = 1 або х0 = 8лЛ, к є 2. Проте жодне з чисел виду 8л&, к є
не є коренем рівняння (а-1)зіп^ + зіпх = 1. 38.1. 1) як, к є к * -2;
8
2) %+2пк, кє2,к^0, (-1)" -^+лп, п є 3) (-!)*•-+*, к є 2, к * 1.
2 6 6
38.2. 1) ^ + лк, к є 2, к * 0; 2) 2лк, ке 2, | + п є 2, п * 0; 3) |+|,
ке 2, к * 1. 38.3. 1) -~ + лк, к е 2; 2) |+лй, к є 2; 3) -| + 2л/г, 2лк,
к є 2; 4) 2лк, й є 2; 5) к е 2; 6) (~1)‘+І -- + тгЛ, - + 2лк, к е
38.4. 1) 7 + л/г, к є 2; 2) як, ке 2?, 3) л + 2л&, к є 4) 2л&, - + 2л&,
4 2
к є 5) л + 2л&, ±^ + 2л&, к е й. 38.5. 1) х = к, к є №, к Ф 1; 2) х = 0,
З
х = ±1, х - ±2, х = ±^. 38.6. 1) х - З, х = ^ + 6, к е X, к < 2; 2) х = ±~,
2 2 7 2
х = ±3, х = ±1. 38.7. 1) -| + 2л/г, (-!)*• | + л/г, к є 2) 2л/г, к є
3) --- + 4л/г, к е
2
8ІПХ = 1,
соз 4х-1,
г 38.8.
х л/2
соз т;
2 2
2. Вказівка. Дане рівняння рівносильне
1) ~+2пк, -^+2лк, ~+2лк, к є 2; 2)
2 6 6
системі
л + 2лА?,
X, 38.9. 1) як,
к є
^ + 2лк, к є 2; 2) % + як, к є 2; 3) ~ + 2лк,
2 6 6
- + ЛЙ,
2
к є 38.10. 1) ~+пк9 2пк9 к є 2) ±у + 2л/г, 2л/г, к є 3) £+2л/г,
2 4 З
лк, кеХ. 38.11. 1) 7+^, -|агсіе^+^’ к є 2> ?+я*’
-агсі^+ лк, к е 2. 38.12. 1) 7 + ^. ±агсі£^+лЛ, к є 2;
2) 7+^, -|агсі8^^+^, А є 2; 3) ~ + пк, агсіе-5- + лй, ке Я.
4 2 2 ІО 2 2 11
39.1. 1) (|+2лЛ;2лл), (2л£-| + 2л/г), к є 2) (| + л*;|-лл), (|+лЛ;
7-лл), ке г;3)((-1)*-7 + 7+^;(-1)‘-7-7+^ІЛєг;4)(7+л^лй),
+ к є 2. 39.2.1) (360°Л; 60° + 360°/?), (-60° + 360°*; 360°/?),
к е 2; 2) (тг+7г;-|“), * є 2; 3) (|+2Л;|-2л), к є 2; 4) (£ + л*;
|-лл), к є 2. 39.3. 1) (| + лЛ;|-л/г), к є 2; 2) ^2лА;у-2лА^, к є 2.
39.4. (у+лМ-^ + лл), ке 2.39.5.1) ке 2; 2) (агсіе| +
+лЛ;^-агсі£І-лл), (агсі£І+лй:^-агсія1-лй), к є 2. 39.6.
І) кЕ 2;2) (?+пп;£+лга)> (-^+лп;-^ + лп), пе 2.
’ \12 2 12 2 Г \3 6 / \ 6 З )
39.7. 1) (£+£(п+2*);£+£(п-2Л)), (^+^(п+2й); £+£(п-2Л)), п є 2,
\о & О £ / \О 2 о 2 /
к є Я; 2) + | + 4 п є Я, к є %; 3) \2пк;^ + 2пп
^2яй; -
^~+2яп^, (~^ + 2я£;2яп^, (-^ + 2я&;2яи)
І, п є к є 39.8.
І) + + ЛЄ2ДЄЙ2)
я 1 уі2 , ,ч
— + -агссо8 — + л(п + Л):
- “ ЯГССО8 — + я (п - к)
8 2 4
я 1 \/2 , я 1 >/2
-— + -агссоз—— + я (п + Л); — + -агссоз — +
8 2 4 8 2 4
+ я(п-&)^ ^~-|агссо8-^+я(п+Л);-“-|агссо8-^-+я(п--^, (“з~
-іагссоз^у-+я(п + й); агссоз^- + яп є й є 2;
3) Іу + я(й4-п);я(й-~п)), |я(£ + п);-~ + я(6-п)І, п є к є 2;
‘>(1
+ 2я£;^ + 2яи
^ + 2яЛ;-^ + 2яп
~+2яй; — + 2яп
З З
^ + 2я&;
О
-^ + 2яп):
І, к є 2, п е
40.1. 2) -” + 2яп<х<^4-2яп, п є 2;
о о
3) -^ + 2яи<х<“ + 2яп, п є
4 4
8) яи<х<^ + яп, п є 9)
4
6) ^4-яп<х<^ + яп, п є
6 2
я - агсзіп ~+2яп < х < 2я + агсзіп і + 2яп,
6 6
п є 2. 40.2. 2) ~^+2яп<х<~ + 2яп, п є 3) -+2яп<х< —+ 2лп,
6 6 3 3
п є 2; 6) -^ + лп<х<-^ + лп, п є 2£; 8) ^ + лп<х< л+лп, п є 2;
10) агссі£ 2 + лп < х < л + пп, п є 40.3. 1) ~ + пп<х<^ + пп,
6 З
гіг О\ ЛП Л ЛП гіг А О\ Л ЛП Л ЛП гіг
п є 3) -7-<х< —+—, пє 2. 40.4. 3) -- + --<х<-—+ —, пє 2;
О Сіх) О 4 Сі кс. Сі
л ч 1 1 7Т/ї 7Г 1 1 7С/Ї гтт л /ч йг -< \
4) -агссо8- + — <х< —““агссое - + , п є 40.5. 1) --+лп<х<
4 42 24 42 7 6
< — + лп, пє 2;2) —+ лп < х < —^ 4-лп, п є 2; 3) Ц^ + лп<х<^ +лп,
З 4 12 12 4
п є 4) —— + + п є Я; 5) л + 4лп < х < 2л + 4лп,
7 18 3 2 3 7
пє 2;6) —+ —+ лп<х<—— + - + лп, пє 1 40.6.1) + лп<х< лп, пє 2?,
7 8 2 8 2 7 6
2) ^ + 4лп<х<Ц^+4лп, п є І.', 3) — + 2лп<х<і^ + 2лп, п є 2;
7 6 6 2 6
4) -^ + 3лп<х<-| + 3яп, п є 5) -^ + 2лп<х<^ + 2яп, п є
с*\ 17л лп 22л лп ги л , л ; • І о >_
6) _+ пє 1 40.7. І) — + 2л/?<чх< агсзіп —+ 2л&,
60 2 60 2 6 4
я-агсвіп —+2як<х<~~ + 2як, к є 2; 2) -— + 2лп < х < - агссов — + 2яп,
4 6 3 4
агссові+2лп<х<^ + 2лп, пє 2; 3) -агсі& 2 + як < х < агсі§ 3 + як,
к є 2; 4) % + яп£х<^ + яп, п є 1. 40.8. 1) ~+2як<х<~^ + 2пк,
6 4 6 З
—+2пк<х<—+2як, к є й; 2) агсвіпі+2як<х<—+2як, —+2як<
З 6 3 6 6
<х<л-агсзіпі+2л&, к є 2; 3) агссі£ 1,5 + пк < х < л - агссі£ 4 + пк,
к є X; 4) + лп<х< —+ лп, пє 1 41.1. 1) -~ + пк<х< — + пк, к є
7 6 4 7 4 4
2)Л + ^<^<-+^> 2;3) ~+як<х<~+як, кє 2; 4) ~^+як<х<
7 12 3 43 73 3 7 2
<-агсі£2 + лА, агсі£2 + л/?<х<^ + л&, А»є Х.41.2.1)-^ + ^<х<^ + ^,
2 6 2 6 2
к є 2; 2) -~+^<х<^+^-, к.е 3) ^+як<х< — + як, к є 2;
6 2 62 6 6
4) пк < х < агссі^б + пк, п ~ агссІ&5 + пк < х < л + пк, к є І.
41.3. 1) х*—+ —, к є 2) 2як, к є 2; 3) - + пк<х<—+як, к є 1.
4 2 4 12
41.4. 1) --+^<х<£+—, к є 2; 2) -+2як<х<—+2як, к є 2;
'82 82 ’ і 4
3) ~+2к<х<^- + 2к, к є 2. 41.5. 1) ~+як<х<^ + як, к є 2;
8 8 3 6
2) х * л&, к є 2£. 41.6. 1) —-+пк<х< тік, Л є 2) ~~ + тік<х<~ + тік,
6 12 12
к є 2. 41.7. 1) - + 2лй<х< — + 2л&, /?є X; 2) -агсі£2+тік<х<£ + тік,
3 3 З
к є 2; 3) ~ + 2як< х <^ + 2тск, к є 2; 4) агсІ£>/2 + пк<х<+ тік,
-агсі£л/2 + л&<х< лй, к є 2. 41.8. 1) + 2 лх + 2 л/?, /г є 2;
З З
2) тік<х<~ + тік, — + пк<х<ті + тік,кЕ X; 3)^ + тік<х<^-+тік, к е X;
2 4 4 4
4)~— + лй<х<-— + тік, пк<х< — + тік, кЕ Х.41.9.1) ~ + 2тік<х< — + 2пк,
2 4 4 5 5
п + 2тік<х< — + 2пк, ^ + 2тік<х<2ті + 2тік, к е 2) ~<х<~ + ^>
5 5 2 4 2
к є 2; 3) 2пк<х<-+2пк, —+2пк<х<п+2пк, ^ + 2пк<х<^-+2пк,
4 4 4 4
к е 4)-— + 2тік<х<2тік, — + 2тік<х< — + 2тік, к є 5) 2тік<х<
2 4 4
<- + 2пк, — + 2тік<х<ті + 2тік, —+ 2л/г<х<^ + 2л/г, к е %. 41.10.
2 3 3 2
1) 2пк < х < л + 2лА, к е X; 2) -^ + 2тік<х<2тік, ^ + 2лй<х<^ + 2л&,
5 5 2
— + 2тік<х<ті + 2тік, ^ + 2тік<х<^ + 2тік, к е 21; 3) ^ + тік<х<~ + тік,
5 5 2 о 2
тс » 5л у у Г77 а \ тс л/? тс тск тс тс/? Зл тс/? і ту?
-+пк<х<—+пк,кє 2; 4) -+ —<х<- +—, -+ — <х<—-+—, йє 2.
2 6 8 2 42 42 82
л л л ТС Л л г> о З Л X О А 2 V 6 V 2 4 О К л 2л
42.2. сой—, -соз —. 42.3. сов—. 42.4. ——; -------------------------. 42.5. соз —,
5 5 10 2 4 9
4л 6л 8л л
СО8--, СО8---, СО8--, СО8—,
9 9 9 7
Зл
СО8 —
7
со8^~. Вказівка. Доведіть, що
всі корені даного рівняння належать проміжку (-1; 1). Зробіть замі-
ну х = сов а, а є (0; л). 42.6. |а|>\/2. Вказівка. Зробіть заміну
х - | а | соз а, у ~ | а | віп а, де а є [0; 2л). 42.7. 7 розв’язків. Вказівка.
<Т . л л
Якщо покласти х = і£ос, ”2<0С<2’
то отримаємо у = 2а, 2 = 4а,
х = 8а. Тоді а = 8а і а = ^. 42.8. Вказівка. Зробіть
заміну х = г сов а, у = г віп а, де г > 0. 42.9. Існує. Прикладом такої
множини можуть бути числа соз а, сов 2а, ..., соз 2"а, де а = --^^—.
6л
42.10. Існує. Наприклад, а = 42.11.1; со8~^; соз^; соз-—;
7 ’
2л 4л 6л 8л г» . тт
соз—; сов—; соз—; соз—. Вказівка. Легко перевірити, що при
І х | > 1 / (/ (/ (х))) > / (/ (х)) > / (х) > | х | > х. Отже, розв’язків, які
задовольняють умову | х | > 1, рівняння не має. Якщо | х | < 1, то мож-
на зробити заміну х = соз і, де і є [0; я]. Отримуємо соз 8£ = соз і.
42.12. Наприклад, соз ^оо. 42.13. Вказівка. Існує а таке, що
зіп а = а, соз а = Ь. Покажіть, що ап = зіп (п - 1) а. 43.7. 1) Неспадна;
2) не є монотонною; 3) не є монотонною. Вказівка. Розгляньте від-
Л І 1 2
ношення ------. 43.8. 2) Вказівка. ап~ -3 - (п - 1) ; 3) Вказівка.
ап
~^п < 4) Вказівка. 2п-±--~2+ <3; 6) Вказівка.
п2+1 2^ п + 2 п + 2
£=±=< , п <-Д=. 43.14. 1) Так; 4) ні. 43.15. 1) а, =^; 2) ад = 1;
7^71 7^ 2 9
3) а3 = 7; 4) а2 = 1. 43.16. 1) а2 = -3; 2) а2 = 4; 3) а2 = -1; 4) а3 = -2;
5) Яі = -2; 6) а6 = 27. Вказівка. а„ = - +1^га+^6 = га+^+15; 7) а2 =-і.
43.17. Так. Наприклад, 1, 2, 2, З, З, 3, 4, 4, 4, 4, ... . 43.18. Так. На-
приклад, ап = пі. 43.19. 1) Ні; 2) ні. 43.21. 1) Вказівка.
(>/п+1 -4п) (>/п+1 + л/п) п . тт 1 1
ап =------==—==-----------; 2) Вказівка. Доведіть, що ал=1------.
УІП + 1+УІП П + 1
43.23. Ні. Вказівка. Розгляньте тл для чисел п = 2а, к є N.
43.24. Вказівка. Число п є дільником числа п. Тому о„
43.25. Так. Вказівка. Оскільки множина раціональних чисел злічен-
на (див., наприклад, п. 7 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б.,
Якір М. С. Алгебра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням матема-
тики), то існує послідовність (г„), яка містить усі раціональні числа.
43.26. Так. 43.27. 1) Вказівка. ап < 1 + + -і- + ... + -——, п > 1;
1-2 2-3 (п-1)п
2) Вказівка. Доведіть методом математичної індукції, що ап < 3 для
2012
1,01201
будь-якого п є N. 43.28. а201 =
Вказівка. Розв’язавши нерів-
ність ап + 1> ап, де п є И, отримаємо п < 200. 43.29. Ні. Вказівка.
Використовуючи нерівність Бернуллі1 (1 + х)" > 1 + пх, де л є К,
( 1 у 1 /—
х > -1, маємо 1 + -т= >1 + п*-7=>^п. 44.3. З деякого номера вона
\ \Іп 7 *\Іп
стає стаціонарною. 44.5. Так. 44.11. Вказівка. Знайдіть п з нерівно-
сті
<є. 44.12. Ні. Наприклад, у будь-якому інтервалі
1 Див с. 224 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.
Алгебра : підруч. для 9 кл. з поглибл. вивченням математики.— X. :
Гімназія, 2009.— 384 с.
(0 - є; 0 + є) міститься безліч членів послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... .
44.13. Так. 44.14. 1) Так; 2) так; 3) ні. 44.15. Так. 44.16. Послідов-
ність залишиться збіжною; границя не зміниться. 44.18. Вказівка.
Розгляньте нерівність | ап - а | < є для £<0. 44.19. Ті послідовності,
• які, починаючи з деякого місця, стають стаціонарними. 44.20. Так.
44.21. Ні. 44.22. Вказівка. Скористайтеся означенням границі послі-
довності. 44.23. Так. 44.24. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, по-
слідовність, задану формулою ап - пп. 44.25. Так. 44.28. Ні. Вказів-
ка. Розгляньте, наприклад, хп ~ (-1)л. 44.29. Ні. Вказівка. Розглянь-
те, наприклад, хп = (-1)". 44.30. Ні. Вказівка. Розгляньте, напри-
клад, хп = -п. 44.31. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, хп - п.
44.32. Ні. Вказівка. Розгляньте послідовність, у якої хр* =1, де
(рк) — послідовність простих чисел, а решта членів Хп = 0.
45.1. 2) Вказівка. Скористайтеся теоремою про двох конвоїрів і не-
рівностями = 5) скористайтеся нерівностями
\Іп3+4 \1п3 уп
«^п2+2п-1^ п2+2п2 ^п2+2п2 З о • г*
0 < —------< —------<-----— < —. 45.2. 2) Вказівка. Скористаите-
Зп3 + п-2 Зп3+п-2 п3 п
ся нерівностями ----<0. 45.3. 1) 1; 2) 3; 5) 1. 45.4. 3) 2.
\Іп у!п+2уіп-1
45.5. 1) 2) —і-; 3) 4) 45.6. 1) 2)
п п+1 9п+3 п2 + 1 у/п п
3) -~(4—; 4)—45.7. 1) Так; 2) ні. 45.8. 2) Ні. Вказівка. При
п+1 п + 3
п > 64 мають місце нерівності: | хп | = у/п -(^п~1)> %/п. Тому (х„) —
необмежена послідовність. 45.9. 3) Ні. Вказівка. При парних значен-
нях п маємо, що хп - п. 45.10. 0. Вказівка. Скористайтеся рівністю
Скористайтеся рівністю пдп -
45.11. 0. 45.12. Вказівка.
—2—9 де і >1, а 0. 45.13. Вказівка.
11\п 19 1
Починаючи з деякого номера п0, виконуються нерівності 1 < >1а < \/п.
45.14. 1) 0. Вказівка. Скористайтеся теоремою про двох конвоїрів і
нерівностями . Інший спосіб розв’язування може спирати-
5П 5П
ся на теорему 45.8 і рівність хп
2) 0; 3) 0; 4) 0. 45.15. 3) Вка-
зівка. Маємо хп=—-. 45.16. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад,
послідовність 1, і, і, і, і, і, ... . 45.17. 1) 4; 2) 0; 3) 1; 4) 1. Вка-
2 2 3 3 3
зівка. Скористайтеся співвідношеннями 1 <'ф"-1 +2""1 + ... + П""1 <
<пгІпп~1 + пп~1 + ... + пп~1 =п^п*пп~1 =пУІгі” =\/п; 5) 0. Вказівка. Скорис-
\ п доданків
5" 55 5 5 5 55 І5\п 5
тайтеся співвідношеннями - , де п > 5.
п! 5! 6 7 п 5! \6/
45.18. 1) 5; 2) 0; 3) 7; 4) 1; 5) 0. Вказівка. Скористайтеся співвідно-
шеннями 0< —= і. — . — <і. 45.19. Вказівка. При І х І > 1 ви-
п п п п п п
конуються нерівності | X | < 2\/1 + х2п < 2^2х2п = | х | • 2УІ2. Тому / (X) = І X І
при | х | > 1. Розглядаючи випадок | х | < 1, отримаємо / (х) = 1.
45.20. 1. Вказівка. Мають місце нерівності хп < . п —<1 та
Чпп+1
п П 1 тт
х„>—,---г>—г— . Далі скористайтеся теоремою про двох
п пІ п пі п , п
УІП + 71 -ХІП + П
АК. Л П • . п • (2п - 1)5 п • (2п)5 32 „
конвоїрів. 45.21. 0. Вказівка. х„ <-=—=—. 45.22. Вка-
П1 71* П
зівка. Нехай п = 2Л. Згрупуємо доданки таким чином:
х'‘=1+І+(І+ї)+(її+-+і)+-+Мтї+-+Й- Сума дробів кож‘
ної дужки більша за наприклад, |+| + | + |>| + 1+| + | = | = |
2 оо7оооооо2
к
Тому хп>-. Отже, потрібна нерівність досягається, наприклад, при
к = 200, тобто при п = 2200. 46.1. 1) 2; 2) 1; 3) 0. 46.2. 1) 2) 3) 0.
З з
46.3. 1) 2) -3; 3) 46.4. 1) -2; 2) 0; 3) 46.5. 1)
2) 3) 0,1. 46.6. 1) 1; 2) 3. 46.7. 3) 2. 46.9. Рівність
5
Ит — + ... + —1 = Ііт “ + 1іт —+... +Ііт — помилкова, оскільки тео-
71 71/ п--*<х= 71 л-»«> п 71
п доданків п доданків
рему про границю суми можна використовувати для скінченої (фік-
\І2
сованої) кількості послідовностей. 46.11. 1) —. Вказівка. Поділіть
о
чисельник і знаменник дробу на \Іп; 2) 1. 46.12. 1) і; 2) і.
46.13. Вказівка. Скористайтеся рівністю у/а=^= і задачею 45.13.
46.14. 1) Вказівка. Скористайтеся теоремою про границю добутку.
46.15. 1) 4; 2) 1. 46.16. 1) 6; 2) |. 46.17. Ні. Вказівка. Розгляньте,
наприклад, послідовність (а„) із загальним членом ап = (-1)".
46.18. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, послідовність (хп), за-
дану формулами: х2і = 2, х2і х = 3, і є N. 46.19. Ні. Вказівка. Роз-
гляньте, наприклад, послідовність (х„), задану формулою хп = п.
46.20. Ні. Вказівка. Якщо 1ітхп=х, то 1ітхп+1=х і
П—п—»°°
Ііт х„ + 4хл + 3 = х2 + 4х + 3. Маємо рівняння х = х2 + 4х + 3, яке не
п —
має розв’язків. 46.22. Так. Вказівка. хп = 8п - 8п... х. 46.23.
з п100 ( п V00
46.24. 46.25.0. Вказівка. Скористайтеся рівністю-= ------
46.26. 1) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю —77—тг = т-Ц?;
к*(к + 1) к (/г + 1)
2) і. Вказівка. Скористайтеся рівністю 12 + 22
О
2 _ п (п +1) (2п -І- 1)
_ _______;
3) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю к*к\ = (к + 1)! - к\. 46.27. 1) 1.
й 1 1 2
Вказівка. Скористайтеся рівністю (& +1)!= ~+ї)!’ З* ^каз^вка’
Скористайтеся рівностями к3 - 1 = (к - 1)(/?2 + к + 1), (к 4- І)3 + 1 =
= (й + 2) ((й + І)2 - (й + 1) + 1) = (к + 2) (к2 + к + 1); 3) і. Вказівка.
4
з_п (п+1) . 46.28. Вказівка.
4
Ііт х
Скористайтеся рівністю І3 + 23 +... + п'
2п + 1
При | х | > 1 / (х) — Ііт --= Ііт —-=---
„^1 + х п— 1 +1 1іт
X2" »->-
Ііт —- + Ііт 1
П-»оо X
= ф—р Тому / (х) = х при | х | > 1. Розглядаючи інші випадки, маємо
/ (х) = 0 при | х | < 1, /(1) = і, = 46.29. 1) Розбіжна. Вказів-
ка. Якщо 1ітзіп6п = а, то Ііт зіп 6 (п + 1) = а і Ііт зіпб(п-1) = а. Тоді
п—>°° п—п—
ліва частина рівності зіп 6 (п + 1) + зіп 6 (п - 1) = 2 зіп 6п • соз 6 пря-
мує до 2а, а права — до 2а соз 6. Отже, а = 0. З рівності зіп 6 (п + 1) -
- зіп 6 (п - 1) = 2 зіп б-соз 6п знаходимо, що 1ітсозбп = 0. Але тоді
П-»оо
Ііт (соз2 бп+зіп2 6п) = ііт соз2 бп + ііт зіп2 6п = 0; 2) розбіжна. Вказів
ка. Якщо 1ітхл=а, то Іітзіпп = Ііт(хл-хл !) = а-а = 0. 46.30. Ні.
П—п—П-»«®
47.1. 1) Ні; 2) так. 47.2. Так. 47.3. Так. 47.4. Ні. Вказівка. Якщо
кожний з відрізків [аА; Ьк] містить точки х і у (х //), то кожний
з відрізків [аА; ЬЛ] містить відрізок [х; //]. 47.5. Ні. Вказівка.
Розгляньте, наприклад, послідовність
\ / \ «5 /
47.8. 1) Вказівка, Для доведення обмеженості послідовності (а„) ско-
ристайтеся нерівністю ~; 2) Вказівка, Доведіть, що —
при п > 4; 4) Вказівка, Доведіть, що ап > ап т і- 47.9. 1) Вказівка, Ско-
ристайтеся нерівністю
1^1
3"-2^3п1
3) Вказівка, Скористайтеся нерів-
1 , 1 1 , 1 г1 1 1 1 1 1
Н1СТЮ -у + — + “ + ... Ч----? С — Ч—т- ч—? ч—? +... ч----- ч------
І2 З2 52 (2п-1)2 І2 22 З2 42 (2п-2)2 (2п-1)2
47.10. 1+^. 47.11. 3+^. 47.12. х„+1= — хп. 47.13. хи+1= —х„.
2 2 "+1 па л "+1 п+1 "
47.14. Ні. Вказівка, Послідовність (а„) є зростаючою. Якщо (ап) — об-
межена послідовність, то за теоремою Вейєрштрасса існує границя
Ііт ап = а. Переходячи в рекурентній формулі до границі, маємо рів-
няння а~а + ^, яке не має розв’язків. 47.15. Ні. Вказівка. Маємо
а
З
ал+1 = 2ал ч-----, ап > 0. Тому послідовність (ап) є зростаючою. Якщо
ич-ап
(ап) — обмежена послідовність, то за теоремою Вейєрштрасса існує
границя 1італ = а. Переходячи в рекурентній формулі до границі,
маємо рівняння а = 2а, звідки а ~ 0. Але границя зростаючої послі-
довності невід’ємних чисел не може дорівнювати нулю. 47.16. Ні.
47.17. Вказівка, Нехай хп є [а; Ь] для всіх п є N. Послідовно розби-
ваючи побудовані відрізки навпіл, отримайте послідовність вкладе-
них відрізків [а; 6] із [ах; із [а2; 62] • ••> кожний з яких містить
нескінченну кількість членів послідовності (х„). 47.18. Вказівка,
Використовуючи метод математичної індукції, неважко показати, що
ап є (0; 1) для всіх п є N. Послідовність (рп) — зростаюча. Оскільки
ап=аП-ап.і’ т0 ьп=а^ + а^ + ... +а2=(а1-а2)+(а2-а3)+... +(а„-ап+1) =
= а1-ап+1<а1. Отже, (Ьп) — обмежена послідовність. За теоремою
Вейєрштрасса існує границя Ііш Ьп <ах <1. 47.19. Вказівка, Викорис-
п —
товуючи нерівність Коші, покажіть, що 0 < ап < Ьп для всіх п є N.
Далі доведіть, що ап < ап +І9 Ьп + х < Ьп, Звідси аг < ап < Ьп < Отже,
(ап), (Ьп) — монотонні і обмежені послідовності. За теоремою Вейєр-
штрасса існують границі Ііт ап = а, Ит Ьп — Ь, Переходячи в обох
частинах рівності &л+1
ап ч- Ь . а + Ь
Д° границі при п —» ©о, маємо
Тому а - Ь. 47.20. Вказівка, Доведіть нерівності ”+\/п<2, № +1 < 2
і скористайтеся ними. 47.22. 1) >1е', 2) е5; 3) -. 47.23. 1. Вказівка,
З нерівностей
де п > 1, випливає, що
Д<п(х/е-1)<—. 47.24. Вказівка. е-(1+~] <(1 + — ] -(1+-) =
п—1 \ п) \ п) \ пі
1+—) |1-(1 + —)| = —(1 + —) <”<—. 47.25. Вказівка. Доведіть, що
і ПІ \ \ пІІ п\ пі п п
Хп + 1^ПЄП + І <1
х„ п + 1
Далі скористайтеся теоремою Вейєрштрасса.
47.26. і. Вказівка. Скористайтеся методом математичної індукції.
Предметний покажчик
Абсолютна похибка 85
Амплітуда гармонічного коливан-
ня 231
Арккосинус 240
Арккотангенс 254
Арксинус 247
Арктангенс 253
Винесення множника з-під знака
кореня 67
Висловлення 17
— логічно еквівалентні 22
Висновок теореми 34
Відрізок 356
Вісь котангенсів 140
— тангенсів 139
Внесення множника під знак коре-
ня 67
Гармонічне коливання 230
Границя послідовності 335
Диз’юнкція висловлень 19
— предикатів 31
Друга чудова границя 363
Еквівалентність висловлень 21
— предикатів 32
Закон виключення третього 23
Заперечення висловлення 21
— предиката 32
Звільнення від ірраціональності в зна-
меннику дробу 69
Знак, кореня п-го степеня 56
Імплікація висловлень 20
— подвійна висловлень 21
— предикатів 31
/івантор загальності 33
— існування 33
Кон’юнкція висловлень 18
— предикатів 31
Корінь п-го степеня 55
— арифметичний п-го степеня 57
— кубічний 56
Косинус 137
Косинусоїда 167 *
Котангенс 138
Кут в 1 радіан 129
— І чверті 145
— II чверті 145
— III чверті 145
— IV чверті 145
Логічна операція 18
— сума висловлень 19
Логічне слідування висловлень 20
Логічний вираз 21
---, тотожно істинний 23
— добуток висловлень 18
Математична логіка 17
Метод рівносильних перетворень 113
— розкладання на множники 287
Найпростіші тригонометричні
нерівності 307
---рівняння 277
Область визначення предиката ЗО
— істинності предиката ЗО
Одиничне коло 131
Основна тригонометрична
тотожність 180
Період функції 151
---головний 152
— спільний 155
Підкореневий вираз 56
Поворот навколо початку коорди-
нат 131
Полярна система координат 234
Полярний кут 234
— радіус 234
Послідовність збіжна 335
— зростаюча 325
— монотонна 325
— незростаюча 325
— нескінченна 323
— обмежена 325
— , обмежена зверху 325
-------знизу 325
— необмежена 326
— нескінченно мала 342
— неспадна 325
— розбіжна 336
— скінченна 323
— спадна 325
— стаціонарна 324
Предикат ЗО
— тотожно істинний ЗО
— хибний ЗО
Предикати рівносильні 31
Радикал 56
Радіан 129
Радіанна міра 130
Рівняння ірраціональне 109
— найпростіше тригонометричне 277
— тригонометричне однорідне п-го
степеня 279
Розв’язок рекурентного рівняння 330
Синус 137
Синусоїда 166
Спосіб задання послідовності описо-
вий 323
— рекурентний 325
Степінь з раціональним показни-
ком 96
Таблиця істинності 19
Тавтологія 23
Тангенс 138
Твердження 17
— істинне 17
хибне 17
Теорема Вейєрштрасса 355
---критерій 35
— обернена 35
— про двох конвоїрів 342
— протилежна 35
— пряма 35
Теореми взаємно обернені 35
Тригонометрична підстановка 318
Умова достатня 35
— необхідна 35
— початкова 325
— теореми 34
Формула Біне 330
— загального члена послідовності 324
— косинуса різниці 188
---суми 188
— рекурентна 325
— синуса різниці 188
---суми 188
— тангенса різниці 189
---суми 189
— різниці косинусів 220
— — котангенсів 220
— — синусів 220
---тангенсів 220
— суми косинусів 220
---котангенсів 220
---синусів 219
---тангенсів 220
— п-го члена послідовності 324
Формули додавання 187
— зведення 197
— перетворення добутку тригономе-
тричних функцій у суму 226
— перетворення суми тригонометрич-
них функцій в добуток 219
— подвійного аргументу 204
— половинного аргументу 209
— пониження степеня 205
— потрійного аргументу 207
Функції взаємно обернені 78
— тригонометричні 139
Функція булева 19
— гармонічного коливання 230
— істинності 18
— обернена 78
— оборотна 76
на множині 79
— періодична 151
— степенева з натуральним показни-
ком 39
-------раціональним показником 97
-------цілим показником 48
— у = ч/х 88
Частота циклічна гармонічного коли-
вання 231
Числа спільномірні 155
— сумірні 155
— несумірні 155
Число Ейлера 363
ЗМІСТ
Від авторів.....................................................З
Умовні позначення...............................................4
§ 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу
алгебри 8-9 класів..............................................5
1. Задачі на повторення курсу алгебри 8-9 класів..........5
§ 2. Елементи математичної логіки........................... 17
2. Висловлення та операції над ними......................17
• Про комп’ютери, електричні схеми
та теорему Поста...................................27
3. Предикати. Операції над предикатами...................29
§ 3. Степенева функція.........................................39
4. Степенева функція з натуральним показником............39
• Функціональний підхід Коші...........................46
5. Степенева функція з цілим показником..................48
6. Означення кореня п-го степеня.........................55
7. Властивості кореня п-го степеня.......................61
8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені
п-го степеня...........................................67
9. Обернена функція......................................76
• Львівська математична школа..........................86
10. Функція у->[х.........................................88
11. Означення та властивості степеня з раціональним
показником..............................................95
12. Перетворення виразів, які містять степені
з раціональним показником..............................102
13. Ірраціональні рівняння...............................108
14. Метод рівносильних перетворень при розв’язуванні
ірраціональних рівнянь.................................113
15. Різні прийоми розв’язування ірраціональних рівнянь
та їх систем......................................... 119
16. Ірраціональні нерівності.............................124
§ 4. Тригонометричні функції................................ 129
17. Радіанне вимірювання кутів........•..................129
18. Тригонометричні функції числового аргументу..........137
• Ставай Остроградським!..............................145
19. Знаки значень тригонометричних функцій.
Парність і непарність тригонометричних функцій.........145
20. Періодичні функції...................................150
• Про суму періодичних функцій................. ...161
21. Властивості і графіки функцій у = зіп х і у == соз х.164
22. Властивості і графіки функцій у = х і у = сі£ х......174
23. Основні співвідношення між тригонометричними
функціями одного й того самого аргументу...............
24. Формули додавання..................................
25. Формули зведення...................................
26. Формули подвійного, потрійного і половинного
аргументів.............................................
27. Формули для перетворення суми і різниці
тригонометричних функцій у добуток.....................
28. Формули перетворення добутку тригонометричних
функцій у суму.........................................
29. Гармонічні коливання...............................
• Полярна система координат.........................
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності..................
ЗО. Рівняння соз х = Ь.................................
31. Рівняння зіп X = Ь.................................
32. РІВНЯННЯ X = Ь І СІ£ X = Ь.........................
33. Функції у = агссоз х і у = агсзіп х................
34. Функції у = агсі£ х і у = агссі£ х.................
35. Тригонометричні рівняння, які зводяться
до алгебраїчних........................................
36. Розв’язування тригонометричних рівнянь методом
розкладання на множники................................
37. Приклади розв’язування більш складних
тригонометричних рівнянь...............................
38. Про рівносильні переходи при розв’язуванні
тригонометричних рівнянь...............................
39. Приклади розв’язування систем тригонометричних
рівнянь ...............................................
40. Найпростіші тригонометричні нерівності.............
41. Приклади розв’язування більш складних
тригонометричних нерівностей.............................
• 42. Тригонометрична підстановка...................
§ 6. Числові послідовності..................................
43. Числові послідовності..............................
• Як вивести формулу Біне...........................
44. Границя числової послідовності.....................
45. Властивості збіжних послідовностей.................
46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними
послідовностями........................................
• 47. Теорема Вейєрштрасса.........................
• Число Ейлера.....................................
Відповіді та вказівки до вправ..............................
Предметний покажчик.........................................
Навчальне видання
Мерзляк Аркадій Григорович
Номіровський Дмитро Анатолійович
Полонський Віталій Борисович
Якір Михайло Семенович
АЛГЕБРА
І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
10 клас
Підручник для класів
з поглибленим вивченням математики
Редактор Г. Ф. Висоцька
Художник С. Е. Кулинич
Коректор Т. Є. Цента
Комп’ютерне верстання О. О. Удалова
Формат 60x90/16. Гарнітура шкільна. Ум. друк. арк. 26,00.
Тираж 5000 прим. Замовлення №?5Н .
ТОВ ТО «Гімназія»,
вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 644 від 25.10.2001
Надруковано з діапозитивів, виготовлених ТОВ ТО «Гімназія»,
у друкарні ПП «Модем»,
вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
Тел. (057) 758-15-80
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ХК № 91 від 25.12.2003