Обложка 1
Форзац
Титульный
Аннотация
Арфметика
Натуральные числа
1. Системы счисления
2. Признаки делимости
3. Каноническое разложение
4. Великий мастер индукции
5. Метод математической индукции
6. Гениальный дилетант
7. Семейные проблемы
8. Генераторы простых чисел
9. Много ли простых чисел в миллиарде
10. Совершенные и дружественные числа
11. Фигурные числа
12. Шары в пространстве
13. Степенные суммы
14. Проблемы Варинга и Гольдбаха
15. Кролики, коровы и телки
16. Великая тайна пифагорейцев
Глава II. Диофаитовы уравнения
1. В ответе только целые числа
2. Алгоритм Евклида
3. Цепные дроби
4. Пифагоровы тройки
5. Вокруг теоремы Пифагора
6. Уравнение Пелля
7. Великая теорема Ферма
8. Обобщения
Упражнения
Алгебра
Глава I. Наука о решении уравнений
1. Истоки алгебры
2. Алгебра обретает язык
3. Седьмая операция
4. Математический турнир
5. Гибрид из мира идей
6. Корни из единицы
7. Математика или филология
8. Золотая теорема
9. Дама с собачкой
10. Целые корни
11. Симметрия в алгебре
Глава II. Зарождение современной алгебры
1. В погоне за синей птицей
2. Любимцы богов
3. Группа перестановок
4. Чем измеряют симметрию
5. Группы в геометрии
6. Трансцендентные числа
7. Случай на мосту
8. Векторы
9. Как решить систему
10. Алгебра Буля
Упражнения
Геометрия
Глава I. Мир кривых линий
1. Циркуль и линейка
2. Инверсия
3. Координаты
4. Золотое сечение
5. Алгебра помогает геометрии
6. Как избавиться от чумы
7. Фокусы и директрисы
8. Гиперболоид инженера Гарина
9. Траектории ракет
10. Нитки, гвозди, карандаши
11. Лист плюща
12. Трисекция угла
13. Квадратура круга
14. В движеньи мельник жизнь ведет, в движеньи
Глава II. Геометрия Лобачевского
1. Пятый постулат
2. Гений из Казани
3. Когда расцветают фиалки
4. Модели новой геометрии
5. Значение геометрии Лобачевского
6. Без космического Магеллана
7. Кривые поверхности
Глава III. Геометрия положения
1. Гомеоморфизмы
2. Тела Платона
3. Можно ли причесать ежа
4. Сферы с ручками
5. Кенигсбергские мосты
6. Хватит ли четырех красок
7. Гармоническая четверка
8. На службе у Наполеона
9. И снова координаты
10. Эрлангенская программа Клейна
Упражнения
Ответы и решения
Литература
Именной указатель
Предметный указатель
Оглавление
Выходные данные
Нахзац
Обложка 2
Text
                    Л.  ЭЙЛЕР
 Ж.  ЛАГРАНЖ
(1736—1813)
 X.  ГЮЙГЕНС
 Числа  не  управляют  миром,  но  пока¬
зывают,  как  управляется  мир.
 И.-В.  Гете
 Число  —  это  продукт  нашего  ра¬
зума...  пространство  —  это  реаль¬
ность,  лежащая  вне  нашего  разума,
которой  мы  не  можем  приписывать
свои  законы.
 К.  Гаусс
 Алгебра  щедра.  Зачастую  она  дает
больше,  чем  у  нее  спрашивают.
 Ж.  Даламбер
 Геометрия  есть  познание  всего  су¬
щего.
 Платон


Н. Я. ВИЛЕНКИН Л. П. ШИБАСОВ 3. Ф. ШИБАСОВА МАТЕМАТИКИ АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ Книга для учащихся 10—11 классов общеобразовательных учреждений Рекомендовано Главным управлением развития общего среднего образования Министерства образования Российской Федерации МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» АО «УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА» 1996 За
УДК 087.5 ББК 22.1 В44 Рецензенты: учитель школы № 871 Москвы И. В. Малышева, методист кабинета математики МГИПКРО Ю. П. Дудницын Виленкин Н. Я. и др. В44 За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10—11 кл. обще- образоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, 3. Ф. Шибасова.— М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996,—320 с.: ил,—ISBN 5-09-006575-6. Книга адресована учащимся старших классов, желающим расши¬ рить и углубить знания по всем разделам математики. Изложение новых математических понятий опирается на школьный курс и сопровождается интересными историческими фактами. Книга погружает учащихся в мир современной математики, рассказывает о роли ученых-математиков в развитии мировой науки. Теоретические сведения дополнены разнооб¬ разными задачами. d 4306020000- 266 ББК 22 х 103(03)—96 ISBN 5-09-006575-6 © Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова 3. Ф., 1996
ДОРОГИЕ ЧИТАТЕЛИ! Каждый раздел математики, изучается он в школе или в вузе, вырос из решения каких-то задач, возникавших в практической деятельности человека или в недрах самой науки. В этой книге мы познакомим вас с задачами, лежащими у истоков различных областей математики или способствовавшими их развитию. Од¬ ни задачи имеют солидный возраст, исчисляющийся тысячеле¬ тиями, другие — сравнительно молоды — им всего лишь несколько веков или даже десятилетий. История многих из них поистине драматична, овеяна тайнами и легендами. Но все эти задачи за¬ мечательны тем, что в процессе их решения появлялись новые математические понятия, выковывались новые математические методы. В повествование вплетены рассказы и предания о круп¬ ных и интересных открытиях, включены краткие биографии твор¬ цов математики. Наша книга не является первой из серии «За страницами учебника математики». Сравнительно недавно в издательстве «Просвещение» вышли две интересные книги из этой серии: Депман И. Я-, Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5—6 кл., 1989; Пичу- р и н Л. Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для уча¬ щихся 7—9 кл., 1990. Предлагаемую книгу можно рассматривать как продолжение двух указанных, но читать ее можно и неза¬ висимо от них. Мы затрагиваем еще раз многие из вопросов, содержащихся в этих книгах, только излагаем их уже на уровне, соответствующем подготовке старшеклассников. Чтобы не затруд¬ нять чтение, мы лишь изредка ссылаемся на первые две книги, обозначая их соответственно [1] и [2]. Однако полное и строгое изложение материала, позволяющее изучить какой-либо вопрос, совсем не является нашей целью. Хотя в книге достаточно много строгих определений, теорем и доказательств, которые, надеемся, не отпугнут настоящих люби¬ телей математики, многие вопросы изложены на популярном или просто ознакомительном уровне. Если кто-то из читателей. 1* з
заинтересовавшись описанной проблемой, потянется к специаль¬ ной литературе — вот тогда наша цель будет достигнута. Материал оказался столь обширным, что его пришлось разбить на две книги. В первую вошли «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия»; во вторую — «Математический анализ», «Теория вероятностей», «Старинные и занимательные задачи». Каждый из перечисленных разделов разбит на главы, нумерация формул в каждой главе своя, а рисунков сквозная. В конце каждого раздела предлагаются упражнения, также содержащие истори¬ ческие сведения. Не все упражнения одинаковой сложности. Не¬ которые из них аналогичны задачам, решенным в тексте, дру¬ гие требуют известного напряжения, упорства, может быть, обра¬ щения к дополнительной литературе. Не спешите сразу загляды¬ вать в ответ. Для удобства работы с книгой в конце приведен список использованной литературы (далеко не полный), пред¬ метный и именной указатели. Работа над книгой была начата тремя авторами. Мы вместе обговаривали ее структуру, подбирали материал. К глубокому нашему сожалению, безвременная кончина Наума Яковлевича Виленкина не позволила ему продолжить начатую работу. Но им было сделано достаточно для того, чтобы мы смогли довести до конца работу над первой книгой. Труднее обстояло дело со второй книгой, которую нам пришлось писать самостоятельно. И здесь, видимо, помог запал, который мы получили, сотруд¬ ничая с крупным ученым и замечательным популяризатором математики, каким был Наум Яковлевич. Конечно, отсутствие опытной руки Мастера могло сказаться на качестве книги, но надеемся, что дух ее мы сумели сохранить. Мы благодарны рецензентам, сделавшим ряд ценных замеча¬ ний, которые мы постарались учесть. Приглашаем наших читателей войти в прекрасный мир математики, погрузиться в ее проблемы и прикоснуться к нераз¬ гаданным тайнам. Шибасов Л. П., Шибасова 3. Ф.
Интерес к изучению чисел возник у людей в глубокой древ¬ ности. И вызван он был не только практической необходи¬ мостью. Привлекала необычайная, магическая сила Числа, которым можно выразить количество любых предметов. Неожи¬ данные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые иссле¬ дования. За два тысячелетия до новой эры в Древнем Египте и Вавило¬ не были созданы достаточно совершенные формы записи чисел. Решались задачи практического содержания, в связи с чем сло¬ жились правила арифметических действий. Вавилоняне состав¬ ляли таблицы квадратов, кубов целых чисел, таблицы обратных величию и т. п. Но наиболее значительные результаты в области изучения свойств чисел были получены в Древней Греции на¬ чиная с VI в. до н. э. Несомненно, древнегреческие ученые во время путешествий в Египет и Вавилон знакомились с имевшимися там достиже¬ ниями. Однако в отличие от египтян, более склонных к измере¬ ниям, и от вавилонян, тяготевших к вычислениям, греческие ученые отдавали предпочтение теоретическим вопросам. Более того, решение задач практического содержания считалось в Древней Элладе делом, недостойным истинного ученого,— этим должны заниматься купцы и ремесленники. Такой взгляд объясняется в значительной степени тем, что большинство древ¬ негреческих ученых, а они были и математиками, и философа¬ ми, и политиками одновременно, принадлежало к имущему классу; им не надо было заботиться о хлебе насущном и ради него заниматься «недостойным ремеслом». Арифметику — науку о числах они ставили гораздо выше логистики — науки о вычис¬ лениях. в
Наивысшего расцвета учение о натуральных числах достигло в школе знаменитого философа и математика Пифагора Самосского (ок. 580 — ок. 500 до н. э.). Об этом необычном ученом, которого еще при жизни почитали как полубога и чудо¬ творца, рассказывалось в книге [1]. До нас дошло мало биогра¬ фических сведений о Пифагоре. Известно, что по политическим мотивам он оставил свой родной остров Самос. Предполагают, что он совершил путешествие в Египет и Вавилон, где приоб¬ щился к тайнам жрецов. Вернувшись, он поселился в Кротоне — греческом городе на юге Италии и основал там тайное общество, ставшее одновременно и политической организацией, и* философско-научной школой. Члены общества давали обет вести строгий образ жизни, очищать души занятиями музыкой и математикой. Традиции школы Пифагора хранились его уче¬ никами и последователями в течение нескольких веков. В этой школе и созрело философско-мистическое учение, получившее название «пифагореизм». Если другие древние философы считали основой всего сущего материальные стихии — огонь, воду, землю, воздух — и объясняли свойства всех явлений природы сочетанием этих стихий, то пифагорейцы провозгласили основным принципом всего мироздания число и объясняли свойства всех предметов и явлений, исходя из их арифметической структуры. Они созда¬ ли оригинальную арифметику, где каждое число играло свою роль. Натуральными числами обозначались и боги, и космос, и люди, и их взаимоотношения. Естественно, что изучению натураль¬ ных чисел пифагорейцы уделяли особое почтительное внима¬ ние, при этом они обнаружили массу интересных свойств. И хотя о результатах пифагорейцев мы знаем по ссылкам на них более поздних авторов, можно с уверенностью сказать, что они изучали делимость чисел, разработали теорию пропорций, нашли различные виды средних: арифметическое, геометрическое и гармоническое, рассматривали числа четные и нечетные, простые и составные, многоугольные и пирамидальные, дружест¬ венные и совершенные и т. д. Полученные ими результаты на¬ столько глубоки и серьезны, что, отряхнув их от мистики, мы изучаем и используем их и по сегодняшний день. Почти все вопросы, которые мы будем обсуждать в этой главе, в той или иной мере связаны с именем Пифагора и его после¬ дователей. Пифагорейцы, подметив какое-либо свойство, считали необхо¬ димым его доказать. Именно им мы обязаны введением в мате¬ матику доказательств. Велики их заслуги и в области геометрии, но об этом мы будем говорить в соответствующем разделе. А сей¬ час обратимся к натуральным числам и их свойствам.
1. Системы счисления В старых книгах по арифметике, кроме четырех основных действий, упоминается и пятое — нумерация. Пожалуй, нумера¬ ция (счисление) была одной из первых проблем, с которой столкнулись люди при построении арифметики. Ведь чтобы ра¬ ботать с числами, надо прежде научиться называть их и запи¬ сывать. Процесс возникновения и развития различных систем счисления был долгим и сложным. Каждая цивилизация разра¬ батывала и использовала ту форму счета и записи чисел, кото¬ рая была достаточно приспособлена к решению стоящих перед ней задач. Подробно об этом рассказано в книге [1], и мы не станем повторяться. Привычная нам запись десяти цифр, как и сама позиционная десятичная система счисления, пришла к нам из Индии, где она зародилась около V в. н. э. Правда, начертание тех цифр только отдаленно напоминает современное. Видоизменяясь с те¬ чением веков, они распространились сначала в арабские страны, а позже в результате арабских завоеваний в Европу. Поэтому современные цифры не совсем оправданно называют арабскими. Мы сейчас настолько свыклись с десятичной системой, что не замечаем величия этого достижения человеческой мысли. Она проста и удобна как все гениальное. Тем не менее принята она была не сразу: сказывались и вековые традиции, и от¬ сутствие единой формы записи цифр, и разобщенность ученых разных стран. Важную роль в распространении десятичной системы в Евро¬ пе сыграла «Книга абака» Леонардо Пизанского (ок. 1170 — после 1228), вышедшая в свет в 1202 г. В ней автор показывает преимущества новой формы записи чисел, которую он называет индийской, по сравнению с распространенной в то время римской нумерацией, описывает правила действий над числами в новой записи и приводит очень много задач практи¬ ческого содержания. Труд по тем временам был грандиозным; достаточно сказать, что в печатном виде он насчитывал 460 стра¬ ниц. Автор его известен в истории математики еще и под вторым именем — Фибоначчи. Объясняется происхождение его имен очень просто. Леонардо родился в городе Пизе, откуда его первое имя. Отцом его был писарь по прозвищу Боначчи — добряк. А по¬ скольку по-итальянски «сын Боначчи» произносится как «фи боначчи», то от слияния этих слов возникло его второе имя. Отец Леонардо работал в Алжире в качестве торгового пред¬ ставителя города Пизы. Там и обучался будущий ученый арифметике. Способйый юноша превзошел ожидания отца, готовившего его к коммерческой деятельности. По торговым делам он вместе с отцом часто бывал в завоеванных арабами 8
странах Средиземноморья, где основательно изучил арабскую математику. Его «Книга абака» представляла собой математи¬ ческую энциклопедию того времени. В отличие от предшест¬ вующих авторов, адресовавших аналогичные работы в основном ученому миру, Леонардо обратился к широкому кругу торговых и деловых людей. Но для них книга оказалась трудновата. В полной мере она была оценена только последующими уче¬ ными. Интересные задачи из «Книги абака» и оригинальные ме¬ тоды их решения разошлись в XV—XVI вв. по многочислен¬ ным европейским книгам. И десятичная система, постепенно пробивая себе дорогу, получила в Европе повсеместное распро¬ странение и признание только в эпоху Возрождения. С записью чисел в десятичной системе все мы хорошо знако¬ мы. И все-таки сделаем небольшую остановку, вникнем еще раз в принцип этой записи, чтобы потом перенести его на другие системы. Возьмем произвольное натуральное число, например 4784. Его можно представить таким образом: 4 • 103 + 7 • 102 + 8 • 10 + 4. Другими словами, число разбивается на разряды. Первый из них (считая справа) — разряд единиц, число 10 является единицей второго разряда — разряда десятков, 100 — единицей третьего разряда — сотен и т. д. Количество единиц каждого разряда обозначается одной из цифр: 0, 1,2, ..., 9. Каждый разряд имеет свое определенное место (позицию) в записи числа, поэто¬ му одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от занимаемой ею позиции. В нашем примере последняя чет¬ верка означает 4 единицы, а первая — 4 тысячи. Такая система счисления называется позиционной. Поскольку любое натуральное число п представимо в виде п = ак* 10* + ак~\ • 10*_1 +...+ а\ • 10 + Оо, (1) где ао, ai, ..., ak равны одному из чисел 0, 1, ..., 9, йкфО, то де¬ сятичная запись этого числа имеет вид Ai = a*a*_i...aiOo. Особую роль здесь играет число 10 — основание десятичной системы счисления. Иногда записывают п= (a*a*_i...aiao) m, когда нужно именно указать основание, ведь основанием пози¬ ционной системы счисления может быть любое число q>\. Цифрами личной системы являются 0, 1, ..., q— 1. Чтобы за¬ писать произвольное число п в ^-ичной системе, его представ¬ ляют в виде n = bmqm + bm-iqm~' + ...+ btq + b0, (2) где bo, bm принимают значения 0, 1, q— 1, причем ЬтФ0. Отсюда (bmbm-\...,b]bn)q — искомая запись. Запишем, например, число 132 в троичной, пятеричной, се¬ меричной и двенадцатеричной системах: 9
132 = 1 -34+1*33 + 2-32 + 2- 3 + 0= (11220) 3, 132=1 -53 + 0-52+1-5 + 2= (1012)5, 132 = 2-72 + 4-7 + 6^= (246) 7, 132=11-12 + 0= (110), 2. В последнем примере над числом 11 поставлена объедини¬ тельная черточка, с тем чтобы не спутать с записью (110) 12 = = 1-122+1-12 + 0=156. Конечно, 132 — число небольшое, и представить его в виде (2) для различных q можно было устно. А как прийти к этому представ¬ лению побыстрее, если число достаточно велико? Приглядимся внимательно к равенству (2). Если разделить п на <7, то в частном получим bmqm~] +bm-\qm~2 + ... + fti, а в остатке — Ь0. Разде¬ лив найденное частное вновь на q, получим остаток Ь\ и т. д. Последовательность остатков, выстроенных справа налево, и даст <7-ичную запись числа п. Воспользовавшись этим правилом, представим число 4784 в восьмеричной системе. Сначала произ¬ ведем последовательное деление «углом»: 4784 | 8 40 598 | 8 78 56 74 | 8 72 38 72 9 | 8 64 32 2 8 1 64 6 1 0 Отсюда 4784= (11260)8= 1 - 84 + 1 - 83 + 2 - 82 + 6 - 8 + 0. Послед¬ нее равенство показывает, как от восьмеричной записи перейти к десятичной. Попытайтесь самостоятельно вывести правило пере¬ вода числа из q-ичной системы в р-ичную. Аналогично записывают в ^-ичной системе счисления и дроб¬ ные числа. Здесь используют представление Р I ai 1 а* I . а* / \ — —ао+— +-J7+—H г = (а0, Cl\Cl2—Qk)q• я я я Например, 1+-| + -р + -^= (1,672) 8; справа стоит так называемая систематическая дробь в 8-ричной системе счисле¬ ния— аналог десятичной дроби. Покажем на примере, каким образом переводится обыкновенная дробь в ^-ичную: Запишем 13 дробь yf в 12-ричной системе. Заметим, что 13 = (11) 12, 17= = (15) 12, а теперь поделим числитель на знаменатель: 11,0 115 105 0,733... 50 “45 5... 10
Самой простой из систем счисления является двоичная, для записи чисел здесь используются всего две цифры: 0 и 1. Но при этом теряется компактность: даже сравнительно небольшие чис¬ ла выглядят в этой системе довольно внушительно. Так, запись числа 76= 1 -26 + 0-25 + 0-24 + 1 -23+1 -2“+ 0-2 + 0= (1001100)2 содержит семь разрядов, а числа 276= 1-28 + 0-2 +0-26 + + 0 - 25 + 1 - 24 + 0 - 23 + 1 - 22 + 0 • 2 + 0 = (100010100)2 уже девять разрядов. Такая громоздкость является основным недостатком двоичной системы счисления. По этой причине она не получила бы большого распространения, не появись электронно-вычисли¬ тельные • машины (ЭВМ). ЭВМ работают на полупроводниках (а раньше — на электронных лампах), которые в одном направ¬ лении ток пропускают, а в другом нет. Тем самым они могут легко моделировать две цифры: 1 и 0. Но не только в вычисли¬ тельной технике используется двоичная система. Она бывает удобна и при решении некоторых задач. Рассмотрим одну из них. Задача. Определить наименьший набор гирь (по одной штуке каждого наименования), с помощью которого можно уравнове¬ сить любой груз массой не более N граммов, кладя гири только на одну чашу весов. (Конечно, имеется в виду, что масса груза и каждой гири выражается целым числом граммов.) Эту задачу связывают с именем французского математика и поэта Баше де Мезириака (1581—1638), приведшего ее в книге «Приятные и занимательные задачи» (1612). Про¬ анализируем ее. Пусть имеется к различных гирь массой т\ч m2, т* граммов; будем считать 1 =т\СтгС.-.Ст*. Груз в п граммов уравнове¬ шивается гирями из этого набора, если число п представляется в виде rt = a*m* + aA-i/n*-i +... + а,т1> (3) где числа аи .... а* равны единице, если соответствующая гиря кладется на чашу весов, и нулю в противном случае. Поскольку числа aj, ..., а* принимают только два значения, то естественно перейти к двоичной записи числа я, т. е. в (3) положить гщ = 21~1 для всех /= 1, 2, к. Отсюда вытекает способ решения задачи. По числу N находим такое к, что 2*“'<jV<2*. Так как любое число может быть записано в виде n = GLk'2* 1 +a*_i -2* 2 + ... + ai, то нужно иметь набор к гирь: mi = l, m2 = 2, m3 = 22, ..., n%k = 2k~1 граммов. Например, чтобы уравновесить любой груз от 1 до 59 г, достаточно иметь шесть гирь массой 1, 2, 4, 8, 16 и 32 г, так как
25<59<26. Этим же набором можно обойтись при взвешивании любого груза до 63 г, поскольку наибольшее число, которое можно записать в'двоичной системе с помощью шести цифр,— это (111111) 2 = 1 • 25 + 1 • 24 + 1 • 23 + 1 • 22 + 1 • 2 + 1 = 63. Предоставляем читателям самим убедиться в том, что полу¬ ченный набор гирь наименьший. Изменим немного условие задачи, разрешив класть гири на обе чаши весов. Интересно, что в такой более сложной поста¬ новке задача встречается еще у Фибоначчи за четыре столетия до Баше. Так, что, вероятно, Баше почерпнул свою задачу из «Книги абака». Скорее всего и Леонардо не сам придумал ее. Судя гю содержанию, задача эта имеет более древнюю историю и возникла в голове какого-то пытливого и сообразительного купца или продавца из его лавки. Для решения задачи Фибоначчи вновь обратимся к равен¬ ству (3). Теперь уже в нем числа а\, ..., а* могут принимать три значения: 1, 0 или —1. Последнее, когда соответствующая гиря кладется на ту чашу весов, где лежит груз. Естественно для решения задачи воспользоваться троичной системой счисления, т. е. в (3) положить m,= З1”1. При этом, учитывая условие задачи, поступим следующим образом. Если в троичной записи числа п встретится цифра 2, представим ее в виде суммы 2 = 3 + ( — 1) и на месте, где стояла цифра 2, запишем — 1, а 3 перенесем в сле¬ дующий разряд. Например: 59 = 2- 33 + 0-32+ 1-3 + 2= (3-1).33 + 0.32+1-3+(3-1) = = 1 -З4Ч- (— 1) -33 + 0.32 + 2.3+(-1) = = 1.з4+(-1).з3+ьз2+(-1).з+(-1). Отсюда видно, что для взвешивания груза в 59 г нужно на пустую чашу весов положить гири 81 и 9 г, а три остальные — 27, 3 и 1 г — на ту чашу, где находится груз. Очевидно, с помощью этого набора гирь можно взвесить любой груз от 1 до 121 г, так как (11 И 1)з= 121. (Двойка в записи присутствовать не может в соответствии с нашей договоренностью.) Леонардо в «Книге абака» решает свою задачу для груза от 1 до 40 г. Поскольку с помощью k гирь можно уравновесить <^к | любой груз массой jV< 1 +3 + 32 + ... + 3*~1 = —, то приходим к неравенству ^^з*_1 Наименьшее k, для которого оно выполняется, равно 4. Таким образом, достаточно четырех гирь массой 1, 3, 9 и 27 г. 12
2. Признаки делимости Простые числа являются теми кирпичиками, из которых с по¬ мощью умножения строят все остальные числа. Вот и попытаем¬ ся представить числа в виде произведения составляющих их «кирпичиков». Сначала напомним, что число р> 1 называется простым, если оно делится только на себя и на 1. Число же, имеющее больше двух различных делителей, называют составным. К числу 1 на протяжении многовековой истории развития математики отношение было неоднозначное, некоторые древние математики вообще не считали единицу числом, другие относили к простым. Ее считали простым числом даже в XVIII в. Но сейчас в целях стройности теории чисел (науки о целых числах) единицу счи¬ тают числом особого рода, не относя ее ни к простым, ни к со¬ ставным. Процесс разложения натуральных чисел на простые множи¬ тели значительно упростится, если мы будем знать признаки делимости хотя бы на некоторые простые числа. Итак, перед нами стоит следующая задача: натуральное число записано в десятичной n = ak...a\a§ или в некоторой ^-ичной п= (ak...a\ao)q системе; как по этой записи определить, делится ли оно на простое число р? Некоторые признаки делимости всем хорошо знакомы. Постараемся расширить круг знакомств. В основе теории делимости лежит утверждение, доказанное выдающимся французским ученым Блезом Паскалем (1623—1662). Читатели, вероятно, сразу вспомнили закон гидро¬ статики, носящий имя Паскаля, его опыты по атмосферному давлению, единицу давления, названную его именем. Но этот блестящий физик имеет не меньше заслуг перед математикой. Его необычайное математическое дарование проявилось очень рано. А уже в шестнадцатилетнем возрасте он написал иссле¬ дование по теории конических сечений — кривых, получающихся в сечении конуса плоскостью. Тщательно изучив известные тогда части книги древнегреческого ученого Аполлония Пергского (III в. до н. э.) об этих сечениях, он сумел вос¬ становить содержание остальных частей сочинения, считавшихся утраченными. Позже они были найдены, и предвидение Паскаля подтвердилось. Помимо геометрии, Паскаль занимался комбина¬ торикой, а также вместе с другим французским математиком П. Ферма заложил основы теории вероятностей. Значительный вклад он внес и в создание основ математического анализа. В 1642 г. Паскаль сконструировал счетную машину, произ¬ водящую операции сложения и вычитания чисел. Несмотря на замечательные научные успехи, Паскаль глав¬ ным делом своей жизни считал богословские исследования. Он принимал активное участие в спорах между иезуитами и янсенистами — представителями двух направлений в католиче¬ 13
ском богословии. Его «Письма провинциала», направленные против иезуитов, считаются одним из лучших сатирических произведений французской литературы. После победы иезуитов Паскаль подвергся преследованиям. Под влиянием своих бого¬ словских убеждений он надолго отошел от науки. Но однажды, чтобы заглушить нестерпимую боль (он часто и тяжело болел), Паскаль выполнил в течение ночи научное исследование о свой¬ ствах циклоиды (о ней будет рассказано в геометрическом разделе). С именем Паскаля мы еще неоднократно встретимся на страницах этой книги. В работе «Особенности делимости чисел» Паскаль доказал следующую теорему: пусть натуральное число п> 1 запи¬ сано в личной системе: n = akqk + ak-\qk~' + ...+ак/ + а0; обозначим через г4 остаток от деления qs на р> 1 (5=1, ..., k) и составим новое число т = акГк + ак-\гк-\ + ... + а\Г\ +а0, тогда числа тип имеют одинаковые остатки при делении на р. Для доказательства этого утверждения рассмотрим разность n — m = ak{qk — rk) +ak-\(qk~] — rk-\) +... + a2(q2 — r2) + + ai(<7 — ri). Так как rs — остаток от деления qs на р, то qs — rs делится на р при любом 5, следовательно, и вся сумма, стоящая в правой части равенства, делится на р. Это и означает, что остатки от деления чисел п и m на р одинаковы. Утверждение доказано, и из него вытекает, что пит делятся на число р или не делятся на него одновременно. Если число п достаточно громоздкое, то m сравнительно небольшое и прове¬ рить его делимость на р гораздо легче. Выведем с помощью теоремы Паскаля признаки делимости на некоторые простые числа. Иногда мы будем для удобства записывать число m так: m = a*r* + ... + airi +а0г0, считая го = 1. Известные читателям признаки делимости на 3 (и на 9) сле¬ дуют из того, что для этих значений р при любом 5 имеем rs= 1 (10 = 9+1, 102=99+1, 103 = 999+1, ...). Значит, число п = = a*...a0 делится на 3 {или на 9), если на 3 (соответственно на 9) делится число m = a* + ...-|-ai +ao — сумма цифр числа п в деся¬ тичной записи, и только при этом условии. Точно так же доказывается аналогичный признак в ^-ичной системе: п= (ак...ао)я делится на q — 1 в том и только в том случае, если m = ak + ... + ао делится на q— 1. Например, число (463573)8 делится на 7, так как сумма его цифр равна (28) ю = 4-7, а это число делится на 7. Таким признаком дели¬ 14
мости на 7 было бы удобно пользоваться, если бы мы вели вычис¬ ления в восьмеричной системе счисления. Однако эта система (а точнее говоря, тесно связанные с ней двоичная и шестнадца¬ теричная системы счисления) применяется лишь в ЭВМ. В деся¬ тичной же системе счисления признак делимости на 7 выглядит сложнее. Мы получим его ниже. Для вывода некоторых признаков делимости удобно записать число п в системах счисления с основанием, являющимся сте¬ пенью 10, т. е. положить <7 = 10'. Например, при / = 2, т. е. в системе с основанием 100, числа будут иметь вид: п = bk • 100*+... +Ь\ - 100 —J— bo, где все коэффициенты bs — двузначные числа. Из этого пред¬ ставления легко получить признак делимости на 11. Остатки от деления чисел 100, 1002, ..., 100s, ... на И равны 1. В самом деле, 100 = 9-11 + 1, 10000=9-11 • 101 + 1, 1000000= = 9-11-10101 + 1 и т. д. Здесь т = &* + ... + &0; напоминаем, что все bs — двузначные числа. Получаем следующий признак делимости на 11: Число я = а*...ао делится на II в том и только в том случае, если на 11 делится сумма, получаемая следующим образом: десятичную запись числа п разбивают на группы по две цифры справа налево (самая левая группа может состоять и из одной цифры) и все полученные числа складывают. Например, число 4092 делится на И, так как 40 + 92=132 и 1+32=33, а 33 делится на 11 (здесь признак делимости при¬ менен дважды). Иногда бывает удобно использовать не только положитель¬ ные, но и отрицательные остатки. Будем называть целое число г приведенным остатком от деления а на Ьу если a = &-d + r, причем | г | < [у], где [у]- Целая часть числа у. Например, 19 = 5*3 + 4, 4>2 = [yJ, следовательно, 4 не является приве¬ денным остатком; перепишем равенство в виде 19=5-4 + ( — 1), здесь | — 11 = 1 < [у]» т. е. — 1 — приведенный остаток. Легко видеть, что теорема Паскаля остается верной, если использовать приведенные остатки. Выведем на ее основе более простой признак делимости на 11. Поскольку 10 = 11 — 1, 102=9-11 + 1, то приведенные остатки от деления степеней числа 10 на 11 будут такими: 1, — 1, 1 — 1, ... (первым записан го=1). Отсюда следует, что число я = а*...ао делится на II в том и только в том случае, если на 11 делится знакочередующаяся сумма т = ао — а\ +аг —...+ ( — 1)*а*. Аналогичный признак делимости на <7+1 верен для любой ^-ичной системы счисления. Например, число rc = (a*...ao)i2 делится на 13= (11) 12 в том и только в том случае, если на 15
13 делится знакочередующаяся сумма а0 — а\ +а2 — ••• + ( — 1 )*я*- Это утверждение вытекает из равенства q2=(q — 1) (<7+1) + 1. Чтобы получить признаки делимости на 7 и на 13, пригодные для десятичной системы, положим <7=103 =1000 и р=1001 = = 103+1. Так как 1000=1001 — 1, то остатки от деления на 1001 степеней тысячи 1000°, 10001, 1 ООО2, ... будут иметь вид: 1, — 1, 1, — 1, ... . Поэтому получаем такой результат: числа n=(bk...bo) и m = &o — b\+b2 —...+ ( — \)кЬк имеют одинаковые остатки при делении на 1001. Здесь &0, •••, bk — трехзначные числа. Но 1001 = 7-11 • 13, и потому равны остатки и при делении п и m на 7, 11 и 13. Значит, признаки делимости на 7 и н а 13 формулируются так: Число я = а*...ао делится на 7 (соответственно на 13) тогда и только тогда, когда на 7 (соответственно на 13) делится зна¬ кочередующаяся сумма /П= #2#1#0 — Д5#4#3 #8#7#6 — ••• • (Сформулируйте словесно способ получения такой суммы.) Очевидно, аналогичный признак справедлив и для числа 11, но для него мы уже знаем более простые признаки. В ^-ичной системе счисления такой же вид имеет признак делимости на q2-q-\-\. Здесь по аналогии нужно взять Р = <73+l==s(?+l) (<72 —9 + 1)- Чтобы получить признак делимости на 37, заметим, что 999 = 9-111=27-37. Поэтому остатки от деления чисел 1, 1000, 1 ООО2, ... на 37 равны 1. Значит, число а*...ао делится на 37 в том и только в том случае, если на 37 делится сумма а2а\ао-\- + а5а4аз +08^706 + ... . Обратим внимание на формулировки признаков делимости. Они содержат словосочетания «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «если ..., и только при этом условии». Можно записать общую схему таких формулировок: «Предло¬ жение А выполняется тогда и только тогда, когда выполняется предложение В» (АоВ). Теоремы такого типа содержат два утверждения: 1) «Если Л, то В» (А=>В) —из выполнимости А с необхо¬ димостью вытекает выполнение В, поэтому В называют необходи¬ мым условием для А. 2) «Если В, то Ау> (В=>А) —выполнение В достаточно для выполнения Л, т. е. В — достаточное условие для А. Теоремы, содержащие условие, являющееся одновременно не¬ обходимым и достаточным, в математике называют критериями (от греч. «критерион» — средство для решения). Критерий уста¬ навливает признак, по которому отбирается все, что нужно, и ничего лишнего. Признак делимости на 7, 11 и 13 используется в следующем числовом фокусе. Предложите своим друзьям загадать трех¬ значное число и приписать к нему его же еще раз. Попросите 16
их разделить полученное шестизначное число на 7 (хотя бы с по¬ мощью карандаша). Несмотря на недоверие к вашей просьбе, это число на 7 разделится нацело. Затем предложите получен¬ ное число разделить на 11, а результат — на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное число. Этот фокус вы, вероятно, уже разгадали. С этим же признаком связан более сложный фокус. Вы пред¬ лагаете кому-либо задумать трехзначное число и сообщить вам остатки от деления этого числа на 7, 11 и 13. Чтобы угадать по этим остаткам а, Ь и с задуманное число, надо образовать сумму 715а + 364& + 924с и вычесть из нее наибольшее кратное числа 1001, не превосходящее этой суммы. Полученная разность и бу¬ дет задуманным числом. Например, если остатки от деления равны соответственно 5, 6 и 3, то сумма 715-5 + 364-6+924-3 = = 8531, а наибольшее кратное числа 1001, меньшее этой суммы, равно 8008. Вычитая его из числа 8531, получим в ответе 523. Для объяснения этого фокуса разложим участвующие в нем числа на множители: 715 = 5-11-13, 364 = 4-7-13, 924 = 3-4-7-11, кроме того, вычислим их сумму 715 + 364 + 924 = 2-1001 + 1. Обозначим искомое число через х. Так как х — а кратно 7, то 715(л: — а) делится на 1001. Аналогично на 1001 делятся 364(х —&) и 924(х — с), откуда и их сумма 715(л: — а) + 364(лг — &) + + 924(х — с)=(2л> 1001 +х)—(715a + 364& + 924с) кратна 1001. Поэтому обе последние скобки при делении на 1001 дают оди¬ наковые остатки. Остаток первой скобки, учитывая неравен¬ ство Ж1001, равен х. Поэтому остаток второй скобки совпа¬ дает с задуманным числом х. 3. Каноническое разложение В конце предыдущего пункта мы уже встретились с разло¬ жением чисел на простые множители и могли заметить, что порядок следования множителей в каждом из разложений не имеет значения. Например, 364 = 2-2-7-13 = 7-2-13-2 и т. д.; переставляя множители, можно получить двенадцать представ¬ лений этого числа в виде произведения простых чисел. Но дру¬ гих разложений числа 364 на простые множители не существует. Это утверждение является частным случаем следующей теоре¬ мы, которую ввиду ее особой важности для решения многих числовых проблем называют основной теоремой арифметики: Любое натуральное число п > 1 можно записать в виде произ¬ ведения простых чисел, при этом два его разложения на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком следования множителей. На первый взгляд теорема кажется очевидной, на самом деле доказательство ее не совсем легкое. Приводить его мы не 17
будем и отметим, что вообще доказательства многих предло¬ жений теории чисел, несмотря на их кажущуюся простоту, не¬ возможно провести без привлечения достаточно развитого мате¬ матического аппарата. Итак, порядок записи простых множителей в разложении числа несущественен, но все же неудобно, если они расставлены как попало. Поэтому расположим их в порядке возрастания и воспользуемся обозначением степени. В результате мы придем к разложению п = рТ-р?-...-р¥. (4) Здесь pi<p2<...<p* — простые числа, аи, а2, ..., а* — на¬ туральные числа. Такое разложение называют каноническим (от греч. «канон» — правило, норма). У каждого составного числа есть одно и только одно такое разложение. Например, 364 = 22-7-13. Для простых чисел счи¬ тают, что они сами для себя являются каноническими раз¬ ложениями, а у числа 1 канонического разложения нет. Докажем, используя каноническое разложение, лемму, которая нам неоднократно понадобится в дальнейшем. Если произведение двух взаимно простых натуральных чисел явля¬ ется квадратом, то и каждый множитель является квадратом. (Напомним, что два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих множителей, отличных от 1.) Запишем канонические разложения чисел а и Ь: a=pV • b — Из взаимной простоты а и b следует, что в этих произведениях нет совпадающих множителей. По условию леммы ab = c2. Зна¬ чит, равенство c2 = pV-...-рТ дает представление числа с2 в виде произведения степеней различных простых чисел. По основной теореме арифметики такое представление единственно с точностью до порядка множи¬ телей. Но его можно получить по-другому: взять каноническое разложение числа с и возвести его в квадрат, т. е. умножить все показатели на 2. Из этих рассуждений вытекает, что все показатели аы, ..., а*, Pi, ..., Р/ четные, а значит, числа а и b являются квадратами. Для решения многих задач бывает удобно записывать кано¬ ническое разложение числа несколько иначе, включив в него еще все простые числа, меньшие р* и не вошедшие в разложение (4), взяв их с нулевым показателем. При таком условии разложение числа 364 примет вид 364 = 22 -3°- 5°• 7 -110• 13. Нулевые показатели часто применяют, когда имеют дело од¬ новременно с двумя или большим количеством чисел; в этом случае в каноническое разложение каждого из них включают 18
все простые множители заданных чисел. Например, 364 = 22 • 5° • 7 • 110 • 13, 715 = 2°. 5-7°. 11.13. Прежде чем рассмотреть некоторые задачи, связанные с дели¬ мостью натуральных чисел, введем для краткости обозначение п\т, которое читается «п делится на т». С помощью канонического разложения можно ответить на вопрос, делится число п на т или нет. Пусть п = m = pf‘ -р\2 - . Тогда легко видеть, что п\т в том и только в том случае, если для всех 5=1, 2, ..., k выполняются неравенства Например, число 5040=24-32-5-7 делится на 360 = = 23-32-5-7°, так как для соответствующих показателей имеем 4>3, 2 = 2, 1 = 1, 1 >0. Теперь выясним, как найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел. Оче¬ видно, НОД (я, m)=p,Y' -р¥ - ...*pl\ где Ys — наименьшее из двух чисел as и ps для всех s = 1, ..., к. Аналогично НОК (п, т) = =Pi -P22-...‘P*\ здесь б5 — наибольшее из as и ps. Например, из разложений 360 = 23-32-5‘7° и 1575 = 2°-32-52-7 получаем НОД (360, 1575) = З2 - 5 = 45, НОК (360, 1575) = 2 • З2 • 52 • 7 = 12600. Заметим, что 45-12600 = 360-1575. Это не случайно. Предоставляем читателям доказать, что для любых двух на¬ туральных чисел пит выполняется равенство НОД (л, т)*НОК (я, т) = л-т. С помощью канонических разложений натуральных чисел можно решать и более сложные задачи. Например, найти сумму всех делителей натурального числа п\ обозначают ее о(п). Легко найти о(п) для небольших натуральных чисел, например а( 12) = 1 +2 + 3 + 4 + 6+ 12 = 28. Но при достаточно больших числах отыскание всех делителей, а тем более их суммы стано¬ вится затруднительным. Совсем другое дело, если уже известно, что каноническое разложение числа п таково: п=р?' •... Его делителями являются все числа m = p?' - ...-pl\ для которых 0<Ps<as, 5=1, ..., к. Ясно, что о(п) представляет собой сумму всех таких чисел при различных значениях показателей Pi, Р2, Р*. Этот результат мы получим, раскрыв скобки в произведении (1 + Pl + ...+Р?' ) (1 +Р2 + ---+Р22 )--*(1 + •••+/??* )• По формуле суммы конечного числа членов геометрической прогрессии приходим к равенству , V Pia, + 1-1 P2a2+‘-i 1 — l (5) a (All = ; : ; . Pi —I pi— 1 Рк— I По этой формуле a (360) = ^ ■■■ • t‘ = 1170. Формулу для вычисления значений функции о(п) вывел 19
замечательный английский математик Джон Валлис (1616— 1703) — один из основателей и первых членов Лондонского Королевского общества (Академии наук). Он был первым из английских математиков, начавших заниматься математическим анализом. Ему принадлежат многие обозначения и термины, при¬ меняемые сейчас в математике, в частности знак с» для обозна¬ чения бесконечности. Валлис вывел удивительную формулу, представляющую число л в виде бесконечного произведения: Д. Валлис много занимался комбинаторикой и ее приложениями к теории шифров, не без основания считая себя родоначаль¬ ником новой науки — криптологии (от греч. «криптос» — тайный, «логос» — наука, учение). Он был одним из лучших шифроваль¬ щиков своего времени и по поручению министра полиции Терло занимался в республиканском правительстве Кромвеля рас¬ шифровкой посланий монархических заговорщиков. С функцией о(п) связан ряд любопытных задач. Некоторые из них не удается решить даже с использованием формулы (5). Так, например, не иначе как подбором можно найти числа, для которых о(п) есть квадрат некоторого натурального числа. Та¬ кими числами являются 22, 66, 70, 81, 343, 1501, 4479865. Вы можете это проверить сами. Приведем еще две задачи, сфор¬ мулированные в 1657 г. Пьером Ферма: а) найти такое т, для которого а(т3) — квадрат натураль¬ ного числа (Ферма нашел не одно решение этой задачи); б) найти такое т, для которого о(пг2) —куб натурального числа. Читатели могут убедиться, что одним из решений первой задачи является т = 7, а второй т = 43098. 4. Великий мастер индукции Одним из крупнейших математиков XVIII в. был Леонард Эйлер (1707—1783). Он родился в швейцарском городе Базеле, где в 15 лет окончил университет, а в 17 лет получил сте¬ пень магистра. Во время обучения в университете Эйлер брал уроки у одного из самых известных математиков того времени Иоганна Бернулли (1667—1748) и подружился с его сыновьями Даниилом (1700—1782) и Николаем (1695— 1726). В 1726 г. Николай и Даниил были приглашены для ра¬ боты в только что созданную Петербургскую академию наук. Через год по их рекомендации туда же был приглашен и двадца¬ тилетний Эйлер. Этот выбор оказался одним из самых удачных для России. Работы Эйлера и Даниила Бернулли по математике 20
и ее приложениям выдвинули Петербургскую академию наук в число лучших в Европе. (К сожалению, Николай, проработав в нашей северной столице лишь 9 месяцев, умер от лихорадки.) С момента появления в России и до конца своих дней Эйлер неразрывно связал свою научную деятельность с Петербург¬ ской АН. Даже когда из-за осложнившегося политического по¬ ложения он прервал в 1741 г. работу в России и 25 лет работал в Берлине, его тесная связь с Петербургом не прекращалась. Он издавал здесь свои труды, присылал научные книги и при¬ боры, руководил стажировкой русских математиков. Непосред¬ ственная работа Эйлера в Петербургской АН состояла из двух периодов—14-летнего первого и 17-летнего второго, который был оборван только смертью. Научная продуктивность Эйлера была удивительной: им опуб¬ ликовано около 850 работ, многие из которых — солидные мо¬ нографии. Работать он мог сутками напролет в любой обстановке, даже если дети играли у него на коленях. Невероятна была и ско¬ рость, с которой он производил вычисления. Однажды он за три дня выполнил срочное вычисление, на которое другие ака¬ демики требовали месяц (говорят, что речь шла о составлении гороскопа по заказу императрицы). Однако такое перенапря¬ жение не прошло даром, и вскоре после этого Эйлер ослеп на один глаз. Во второй период жизни ученого в Петербурге от чрезмерного переутомления перестал видеть и второй его глаз. Лучший окулист Петербурга сделал ему операцию. Нужно было некоторое время не утруждать глаза. Но без вычислений Эйлер не представлял себе жизни. Начав раньше времени вновь напря¬ гать зрение, он навсегда лишился возможности видеть. После этого он стал диктовать свои труды сыновьям. Однако сыновья не справлялись с таким огромным объемом работы, и был пригла¬ шен секретарь. Но и совместными усилиями они едва успевали записывать вычисления Эйлера. В творчестве Эйлера переплетались исследования как в об¬ ласти непрерывной, так и в области дискретной математики. В каждом из этих направлений Эйлер выступал как математик, вырабатывающий общие методы решения задач. Самые остроум¬ ные преобразования и искусные подстановки возникали у него совершенно естественно. Такой дар дается природой только гениям. Именно они легко проникают из одной области науки в другую, находят связи, скрытые от глаз других, легко обна¬ руживают новые задачи и методы их решения. Нет такой области классической математики, где бы Эйлер не сказал своего слова. Его работы либо открывали новую об¬ ласть математики, либо питали ее в течение долгого времени. Именно поэтому Лаплас сказал: «Читайте, читайте Эйлера: это наш общий учитель», а Гауссу принадлежат слова: «Изуче¬ ние работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить». 21
Впрочем, временами у математиков от восхищения вырывались и более крепкие выражения. Один из них в письме своему коллеге писал: «Этот дьявол Эйлер»,— достижения Эйлера казались ему превосходящими человеческие возможности. Авторитет Эйлера в науке был настолько велик, что княгиня Екатерина Романовна Дашкова, назначенная Екатериной II пре¬ зидентом Петербургской АН, отправляясь на первое заседание академии, где должна была председательствовать, заехала за Эйлером. Поддерживая великого слепца под руку, Екатерина Романовна вошла с ним в зал. Один нескромный академик поспешил занять место рядом с председательским. Тогда Дашкова сказала: «Господин Эйлер! Займите любое место в зале. С этого момента оно станет первым». Почти в любой области математики сейчас используются функции, формулы, подстановки, интегралы, связанные с именем Эйлера. Познакомимся с функцией, носящей его имя. Она, так же как и функция о(п), связана с делителями числа п и тоже нам понадобится в дальнейшем. Функция Эйлера определяется следующим образом. При п = 1 она равна 1, а для любого натурального числа п, большего 1, функция Эйлера равна количеству натуральных чисел, меньших п и взаимно простых с п. Обозначают ее <р(я). Пусть п= 12. Взаимно простыми с числом 12 и меньшими его являются числа 1, 5, 7 и 11. Поэтому ф(12)=4. Совсем просто найти <р(р), если р — простое чйсло. В этом случае взаимно простыми с р будут все натуральные числа от 1 до р — 1, и потому <p(p)=p— 1. Это ра¬ венство можно переписать так: ф(р) =р ^1 — -у Более сложные рассуждения показывают, что для п =/??'• ...•/??* ••(■-£)• <б> Здесь в каноническое разложение включены лишь те простые числа ps, для которых а5фО. Например, из разложения 504 = 23*32*7 следует, что <р(504) =504- (I-!)- (l-y)* (l-y)=144. Получить этот результат непосредственным подсчетом было бы нелегко. Функция Эйлера часто встречается в различных математи¬ ческих задачах, и мы в этом сможем убедиться. А пока выведем одно ее свойство: если числа пит взаимно простые, то <р(п т) = = ф(я) -ф(т). Другими словами, функция ф сохраняет операцию умножения. Это свойство называют мультипликативностью (от лат. multiplicatio — умножение). Итак, покажем мультиплика¬ тивность функции ф. 22
В силу взаимной простоты чисел я =/??'-...-/?** и m = q\x-...-qf1 каноническое разложение их произведения пт имеет вид nm = pV-...-pkk-q\'-..--qf. Значит, (1-±)„.(1-±), f(m) _m (i_j.)...(, _j_), v(nm) _„m (| - 1)... (| _ 1) (l _ 1_ 1), откуда и следует равенство q>(mn) =ц>(п) -ц>(т). Например, ф(72-175) =2880 = 24- 120 = ср(72) -ф( 175). Докажите сами мультипликативность функции о(п). Эйлер обладал удивительной способностью открывать новые соотношения для натуральных чисел, изучая свойства некоторых первых чисел. Лишь потом ему (далеко не всегда!) удавалось найти строгие доказательства угаданных свойств. С интересными и разнообразными результатами Эйлера мы встретимся еще и в этой главе, и во многих последующих. А пока приведем заме¬ чательное тождество, к которому великий мастер пришел с по¬ мощью индукции. Оно связано с суммой делителей натурального числа. Эйлер заметил, что для любого п выполняется равенство о(п) = а(я — 1) -fa (я — 2) — а (я —5) —о(п — 7) + + а(л —12)+о(л —15)—cr(/i —22) — а(л —26) + + a(rt-35) + о(л —40) -а(/г —51) -a(/i —56) +... . (7) Здесь числа 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35„ 40, 51, 56, ... поперемен- , 3k2 —k 3k2-\-k . . 0 но выражаются формулами —^— и —J—> гДе ^=1, 2, ..., а знаки чередуются так, что после двух положительных слагаемых идут два отрицательных. Суммирование ведется до тех пор, пока аргументы функции а неотрицательны; если последнее значение аргумента окажется нулем, то считается, что а(0)=я. Эйлеру не удалось сразу найти доказательство формулы (7), но он свел его к доказательству равенства (1 —х) (1 —х^) (1 —х3) ( 1 —X*) ( 1 —ДС®) ( 1 —Jf6) ... = = 1 — X—х2-\-х?+х1—х'2—дс,5+л:22 + дс26 — х35—х40 + ..., (8) справедливость которого установил через год. В этом равенстве произведение и сумма бесконечны. Его называют сейчас тож¬ деством Эйлера. Следует заметить, что многие математические исследования не дают сиюминутной пользы, но через некоторое время выясня¬ ется их ценность. В XIX в. обнаружилась фундаментальность тождества Эйлера: оно сыграло важную роль в создании теории эллиптических функций. Еще почти через полтора столетия он.о оказалось причастным к развитию теории групп Ли.
Вот что пишет сам Эйлер по поводу наблюдений, приведших его к замечательным открытиям: «...в теории чисел, которая все еще не совершенна, наши самые большие надежды мы можем возлагать на наблюдения; они непрерывно будут вести нас к но¬ вым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания, которое подкрепляется только наблюдениями и все еще не доказано, следует тщательно отличать от истины; оно, как мы обычно говорим, приобретается индукцией... мы должны пользоваться таким открытием как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опро¬ вергнуть; в обоих случаях мы можем научиться кое-чему полезному». 5. Метод математической индукции Не всегда из наблюдения за некоторым количеством первых натуральных чисел можно сделать верный вывод. Для примера рассмотрим многочлен f(n) =п2 — п+41 и начнем придавать ар¬ гументу п значения, равные 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. В результате будем иметь /(1) =41, /(2) =43, /(3) =47, /(4) =53, /(5) =61. Каждое из полученных значений представляет собой простое число. Отсюда можно предположить, что при любом натуральном п значение многочлена f(n) есть простое число. Эта гипотеза вы¬ держивает испытание для всех п от 1 до 40. Но уже / (41) = 412 — составное число. Таким образом, наше предположение неверно. От такого рода ошибок предостерегал Эйлер: «Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке. Поэтому мы должны проявлять большую осторожность, чтобы не принять за истинные такие свойства чисел, которые мы открывали путем наблюдения и которые подкрепляются одной лишь индукцией». Такую индукцию (от лат. inductio— наведение) часто называют неполной. Мы еще будем иметь возможность убедиться в том, что и выдающиеся математики на основании неполной индукции делали неверные выводы. Как указывал Эйлер, этот метод хорош лишь для того, чтобы угадать результат, который в дальнейшем надо строго доказать. И не всегда математикам удавалось найти нужное доказательство. А иногда его просто нет, как в рассмотренном нами примере. Чтобы убедиться в этом, нам при¬ шлось перебрать 41 число, в других же случаях удача поджи¬ дает исследователя в очень длинном ряду кропотливых и гро¬ моздких вычислений. Если же свойство подмечено верно, то для его доказательства, как правило, применяется метод математической индукции. (Термин «математическая индукция» появился впервые в 1838 г.
в одноименной статье де Моргана в Британской энциклопедии.) Состоит он в следующем: если некоторое утверждение справед¬ ливо при п = \ и из предположения, что оно верно при n = k, вы¬ текает его справедливость и при n = k-\-\, то данное утверждение выполняется для любого натурального числа. Метод математической индукции был, по-видимому, впервые (1665) разработан Б. Паскалем. Сейчас он широко применяется в математике для доказательства самых разнообразных тож¬ деств, неравенств и других утверждений. Мы еще не раз обра¬ тимся к нему в этой книге. А пока докажем с его помощью неко¬ торые предложения о делимости натуральных чисел. Покажем, что сумма кубов любых трех последовательных целых неотрицательных чисел делится на 9. Поскольку (п— 1)3 + л3+ (п + 1)3 = Зп(л2 + 2), то остается доказать делимость на 3 числа п(п2-\-2) для произ- вольного натурального п. При п= 1 это так. Предположим, что утверждение верно в случае n = ky и выведем отсюда делимость на 3 числа п(п2-f2) при n = k+1. Это следует из равенства (6-f 1) ((6-f 1 )2-f2) =k{k2 + 2) +3(k2 + k+ 1), здесь первое сла¬ гаемое правой части делится на 3 по предположению. Задачи на делимость натуральных чисел часто предлагаются на математических олимпиадах. Многие из них легко доказыва¬ ются именно методом математической индукции. Приведенный пример убеждает в его удобстве. Рассмотрим еще одно утверждение: при любом нату¬ ральном п число 23"+ 1 делится на 3n + l. Докажем его. Для п = 1 число 23 +1=9 делится на 3, + ,=9. Пусть наше утверждение верно для n = т. е. (23*+1);3Л+1; перейдем к n = k+ 1: 23‘+'-t-l=23‘-3+l = (23')3+l = (23‘-fl) ((23*)2—2V+1). Первый множитель в этом произведении делится на 3*+1 по предположению, осталось показать, что ((23 )2 — 23 + 1 );3. В самом деле, (23*)2 —23*+ 1 = (23*+I)2 —3-23*; эта разность, очевидно, делится на 3, поскольку делимость на 3 уменьшаемого вытекает из предположения. Итак, (23 +1 + 1 );3*+2. Докажите самостоятельно, что сумма 1 Г+2+ 122'1+| делится на 133. В дальнейшем нам неоднократно понадобится формула, носящая название «бином Ньютона». Она настолько знаменита, что даже в таком далеком от математики литературном произ¬ ведении, как роман М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита», один из спутников Воланда часто повторяет: «Подумаешь, бином Ньютона!» Слово «бином» означает «двучлен», образова¬ лось оно от латинских слов bis — дважды, nomen — часть, член. Формула показывает, как натуральную степень двучлена пред¬ ставить в виде суммы степеней eFo слагаемых. Это умели делать 25
еще в X в. арабские математики. А они заимствовали свой способ у индийцев. Ньютон нашел разложение в сумму рацио¬ нальной степени двучлена (при этом получается бесконечный ряд слагаемых), но тем не менее за формулой закрепилось его имя. Бином Ньютона имеет вид: (а + Ь)п = ап + С\ап~ 'Ь + ... + С*а"-V +... + ОТ ]аЬп~1 + Ь\ (9) где п — натуральное число, С\, С'1 С!-1 — числовые коэф- фициенты, вычисляемые следующим образом: пк_п(п-\) (n-2)...(n-k + \) (10) Ln й . Через /?! (читается «/г-факториал») обозначено произведение 1 • 2 - 3 •... • /?. Термин «факториал» (от лат. factor — множитель) впервые появился (1880) у французского математика Луи Арбогаста (1759—1803). Обозначение k\ ввел немецкий математик Кретьен Крамп (1760—1826). Иногда при¬ меняют более компактную запись формулы (9): (а+6)"= 2 C*a"~V. k— О п Здесь знак 2 означает суммирование ПГк всем целым k от 0 до k = 0 п. Коэффициенты С* называются биномиальными. Они присут¬ ствуют во многих математических соотношениях. Формулу (10) мы выведем в разделе, посвященном теории вероятностей, а сейчас отметим, что из нее вытекает следующее свойство би¬ номиальных коэффициентов: с*-'+с£=с5+1- (11) Формулу бинома Ньютона (9) легко доказать методом мате¬ матической индукции. Заметим сначала, что она верна при n= 1 (в этом случае имеем a-\-b = a-\-b). Предположим, что она верна при n = k. Чтобы доказать ее справедливость при n = k+ 1, надо умножить обе части формулы (9) при n = k на a + fe, при¬ вести подобные члены в правой части равенства и воспользо¬ ваться соотношением (11). Предлагаем читателям проделать это самостоятельно. Иногда подмечают свойство, верное лишь для чисел, больших некоторого заданного числа т. В этом случае доказательство методом математической индукции начинают с n = m-\-1. Докажем в качестве примера такое утверждение: сумма внутренних углов произвольного (не обязательно выпук¬ лого) п-угольника равна п(п — 2). Для п = 3 утверждение из¬ вестно. Пусть оно верно для n = k, и докажем его для n = k-\- 1. В любом (п-\- 1) -угольнике найдутся хотя бы две смежные сто¬ роны, образующие угол, меньший развернутого. (Докажите!) 26
Проведем диагональ через концы этих сторон. В результате (fe-f 1)-угольник разобьется на треугольник и ^-угольник. Сумма углов (fe-f 1)-угольника равна д + д(Л — 2) =л(&— 1). 6. Гениальный дилетант Математикой занимаются не только профессионалы. Эта наука всегда притягивала внимание многих любителей. И иногда достижения людей, обращавшихся к ней в часы досуга, не усту¬ пали достижениям профессиональных ученых. Одним из самых выдающихся любителей математики был французский юрист Пьер Ферма (1601 —1665). Родился он в провинциальном городке Бомоне на юге Фран¬ ции в семье торговца кожами. Университетское образование по¬ лучил в Тулузе, где и провел почти безвыездно всю свою жизнь. Здесь он дослужился до высокого поста советника городского парламента. (В то время во Франции парламентами называли окружные судебные органы.) Высшим чиновникам судебных орга¬ нов предписывалось вести уединенный образ жизни, чтобы иметь в округе меньше знакомых и, следовательно, быть более объек¬ тивными при решении различных вопросов. Ферма неукосни¬ тельно следовал этим советам и зарекомендовал себя исключитель¬ но честным человеком и большим знатоком своего дела. Замк¬ нутый образ жизни оставлял много свободного от юриспру¬ денции времени, которое Ферма отводил разным своим увле¬ чениям. Зная многие современные ему и древние языки, а также литературу, он занимался филологическими исследованиями, сочинял стихи на латинском, французском и испанском языках. Но наибольшее время он отдавал математике. И здесь достиже¬ ния «дилетанта» поставили его в один ряд с самыми выдающи¬ мися математиками всех времен. Ферма открыл метод отыскания экстремумов и усовершен¬ ствовал способ вычисления площадей — эти исследования стали началом математического анализа. Параллельно с Декартом он создал аналитическую геометрию (его результаты даже стали известны в Европе раньше результатов Декарта). Из задач, обсуждавшихся в его переписке с Паскалем, выросла теория вероятностей. Ой сформулировал основной принцип геометриче¬ ской оптики. Несмотря на все эти замечательные открытия, о которых мы еще будем говорить в соответствующих разделах, имя Ферма чаще связывают с теорией чисел, которая была его главной любовью. Еще в 1575 г. был опубликован первый перевод на латинский язык уцелевших книг «Арифметики» древнегреческого матема¬ тика Диофанта. Богатство содержавшегося в ней теоретико-чис¬ лового материала было настолько велико, что привлекло внимание 27
многих ученых. В 1621 г. «Арифметика» Диофанта была пере¬ издана Баше де Мезириаком, снабдившим книгу своими коммен¬ тариями. Именно такой том и принадлежал Ферма. Почему мы так подробно говорим об этой книге? Дело в том, что Ферма не опубликовал ни одной печатной работы и о результатах его науч¬ ных трудов мы знаем лишь из оставшихся после него бумаг, записей на широких полях диофантовсгё «Арифметики» (к со¬ жалению, эти поля были недостаточно широки) и из переписки с другими учеными. Записи на полях «Арифметики» оказались бесценными. В них Ферма сформулировал ряд утверждений, ставших фундаментальными в современной теории чисел. Многие из утверждений приведены без доказательства. В задачах, кото¬ рые ставил Ферма в письмах европейским ученым, раскрыва¬ лись новые тайны натуральных чисел. Надо отметить, что он сумел выделить основные направления в теории чисел и опре¬ делить перспективы ее развития: в течение всех последующих веков решение задач Ферма и доказательство его утвержде¬ ний были в центре внимания ученых. Ферма переписывался со многими ведущими математиками того времени: Паскалем, Декартом, Валлисом, Робервалем, Торричелли и др. Особенно обширна была его переписка с жив¬ шим в Париже ученым-монахом Мареном Мерсенном (1588—1648). Мерсенн был разносторонним ученым (получил ряд результатов в теории чисел, определил скорость звука в воздухе, предложил схему зеркального телескопа) и прекрасным организатором. Он возглавлял кружок ученых, который впослед¬ ствии преобразовался в Парижскую академию наук. Мерсенн быстро схватывал идеи, умел выделять наиболее важные откры¬ тия. Кроме того, он имел репутацию исключительно честного человека, которому можно доверить свои еще не опубликован¬ ные результаты. Благодаря этим качествам и обширной пере¬ писке со многими учеными Мерсенн стал своеобразным центром европейской научной информации. Сообщение ему о научных открытиях было равносильно их публикации. Сети научных журналов, которая ныне дает ученым возможность сообщить научному миру о результатах своих исследований, в то время еще не существовало. Писать каждому ученому о своих открытиях непосредственно было хлопотно и не вполне безопасно. Слишком часто возникали споры о приоритете: случалось, что ученый, получивший письмо с решением какой-то задачи, сам раз¬ мышлял над ней или уже успел решить ее. Поэтому деятель¬ ность Мерсенна была необходима всему научному сообществу Европы. После смерти Мерсенна почетную миссию посредничества между учеными стал выполнять бывший юрист Тулузы королев¬ ский библиотекарь Пьер де Каркави (ум. в 1684 г.). Ферма в письме (1654) к Каркави просит его и Паскаля поза¬ ботиться о посмертном издании своих работ. Но Паскаль умер 28
раньше Ферма, а одному Каркави не под силу было выполнить просьбу друга. Его переписка оказалась разбросанной по всей Европе, и искать ее в частных архивах или библиотеках, куда родственники ученых могли передать деловую переписку, было делом почти безнадежным. Впервые за издание работ Ферма взялся его старший сын Самюэль-Клемент (1630—1690). В 1670 г. он переиздал диофантову «Арифметику» с замечаниями отца на полях, издание называлось «Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями К. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулуз¬ ского сенатора». А в 1679 г. сын опубликовал важнейшие результаты Ферма, содержащиеся в письмах Робервалю, Мерсен- ну и другим математикам. Конечно, это была только часть науч¬ ного наследия Ферма, но и она послужила развитию математики. Замечательный результат содержался в письме (1640) Ферма французскому математику Френиклю де Бесси (1605— 1675). В дальнейшем он получил название «малая теорема Ферма»: если р — простое число и а — любое натуральное число, то разность ар — а делится на р. Например, если а=8 и р = 5, то получаем число 85 —8 = = 32760, делящееся на 5. Доказательства этой теоремы не было ни в письме к Фре¬ никлю, ни в бумагах, оставшихся после Ферма. Лишь через сорок с лишним лет эту теорему доказал крупнейший немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). При этом он использовал бином Ньютона. Проведем доказательство теоремы методом математической индукции по а. Для а= 1 имеем 1Р — 1 =0, 0 'р. Предположим, что (ар — а);/?, и выведем отсюда делимость на р разности (а+ 1)р— (а+1). Применяя разложение по формуле бинома Ньютона, получим: (а+Цр-(а+1) = (ар + С'рар-'+... + Срр-'а+1)-(а+1) = = (ар_а) + (С^-, + ... + СГ1а). Так как число р простое, то во всех коэффициентах Ср, где l^.k^.p— 1, в числителе есть простой множитель р, а в знамена¬ теле его нет (см. формулу (10)). Поэтому все эти коэффициенты, а с ними и вторая, скобка делятся на р; первая скобка делится на р по предположению. Тем самым малая теория Ферма дока¬ зана. Само название «малая» подсказывает, что есть и большая теорема Ферма, или, как ее еще называют, Великая. Но о ней речь пойдет в следующей главе. Так как ар — a = a(ap_l — 1), то при условии, что аир взаимно просты, из малой теоремы Ферма следует делимость на 29
I oP ^ - j p разности ap~ — 1. Число —-— называется частным Ферма. Интересно, а делится ли оно на р? Проверка для простых чисел, меньших 1000, дала отрицательный ответ, и известный советский математик Дмитрий Александрович Граве (1863— 1939) высказал предположение, что так будет для всех простых чисел. Однако вскоре выяснилось, что, хотя 1093 — простое 2^92 j число, частное Ферма кщ- делится на 1093. (Предупреждал же Эйлер, что индукция может подвести!) Через 100 лет после того, как Ферма высказал свою теорему, Эйлер обобщил ее на случай, когда делитель не является простым. Он доказал, что при взаимно простых числах а и m разность а<р("0__ 1 делится на т. Здесь ср(т) — та самая функция Эйлера, о которой мы говорили в п. 4. Например, если а = 5, т = 6, то ср(т)=2 и разность 52 — 1 = 24 делится на 6. Это и в самом деле обобщение малой теоремы Ферма, по¬ скольку. Ц)(р) =р— 1 для простого р. В связи с утверждением малой теоремы Ферма возникает естественный вопрос: что можно сказать о делимости на т раз¬ ности ат — а в случае, когда т — составное число? Этим вопро¬ сом интересовались еще древнекитайские математики более двух с половиной тысяч лет тому назад. Правда, не в такой общей постановке: они рассматривали только случай а = 2. Если попро¬ бовать проверять делимость 2т — 2 на т для разных составных т, то окажется, что по крайней мере для составных чисел, меньших 300 (а их более двух сотен), ответ будет отрицатель¬ ным. Эта проверка породила у древнекитайских математиков уверенность в том, что числа вида 2,п — 2 при составном т не делятся на т. Если бы речь шла не о математическом утвержде¬ нии, а о физическом опыте, то вывод был бы скорее всего верен — закономерность, повторяющаяся в более чем двухстах опытах, практически всегда имеет место. Но в математике так рассуж¬ дать нельзя. Здесь даже миллиона опытов недостаточно для окончательного решения вопроса. И действительно, оказалось, что существует составное число 341 = 11*31, для которого 2341—2 делится на 341. Получить этот результат с помощью вычислений даже на самой быстродействующей вычислитель¬ ной машине весьма затруднительно, так как 234|>2340 = = (210)34= 102434> 1 ООО34 = Ю102. Мы воспользуемся тождеством 2341 — 2 = 2 ( 2340 — 1J =2( (210)34— 1) = = 2(210— 1) ((2,У3+(2,0)3Ч-...+ 1). Из него следует делимость числа 2341— 2 на 210—1 = 1023= = 3-341, а потому и на 341. Оказывается, совокупность составных чисел т, для которых 2т — 2 делится на т, бесконечна. Среди них только в 1950 г. было найдено четное число 161038. Затем нашли и другие 30
четные числа: 215326, 2568226, 14374226. А потом было дока¬ зано, что и четных составных чисел т, для которых 2т — 2 де¬ лится на т, бесконечно много. Аналогичный результат был получен для чисел вида Зш — 3. Замечательное свойство было обнаружено у составного числа 561=3-11-17. Оказывается, для любого п, взаимно простого с этим числом, разность я561 — п делится на 561. Рассмотрим еще один интересный вопрос, ответ на который позволяет дать малая теорема Ферма. Обратим обыкновенную дробь у в десятичную. Если ограничиться случаем простого р, получится бесконечная периодическая дробь. Связана ли длина периода этой дроби с числом р? Достаточно рассматривать дроби —, так как от г длина периода не зависит (покажите это самостоятельно). Этим вопросом еще в школьные годы заинтересовался не¬ мецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855). Об этом великом ученом, которого при жизни называли королем математиков, мы расскажем в алгебраическом разделе. Сейчас же отметим только, что Гаусс, как и Эйлер, отличался удиви-* тельной способностью быстро и неутомимо вычислять. В одном из писем к немецкому астроному И. Энке он пишет, что «очень часто употреблял свободные четверть часа, чтобы то там, то здесь просчитать хилиаду» (т. е. найти простые числа в какой- нибудь тысяче натуральных чисел). Не знаем, как читатели, а авторы не взялись бы за четверть часа найти все простые числа, например от 1800000 до 1801000, а Гаусс в «свободное время» нашел все простые числа, меньшие 3000000 (на это он затратил по меньшей мере 750 часов). Конечно, ЭВМ справилась бы с этой задачей значительно быстрее, но ведь во времена Гаусса не было даже приличных ручных арифмометров! Изучая вопрос о длине периода десятичной дроби, Гаусс брал одно за другим простые числа р и подсчитывал количество цифр в периоде десятичной дроби, равной у. Он сразу подме¬ тил, что длина периода является делителем числа р — 1. Например, для дроби у = 0,333... длина периода равна 1, а 1 —делитель числа 2 = 3—1. У дроби у = 0,142857142857... период имеет длину 6 и 7—1=6. Длина периода дроби -^ = 0,090909... равна 2, а 2 — делитель числа 10=11 — 1. Объясняется это следующим образом. По малой теореме Ферма для любого простого числа р, отлич¬ ного от 2 и 5, разность lO^-1 — 1 делится на р. Значит, Ю^-1 31
имеет вид mp+1. Но тогда • \(У~1 = (mp-f 1) = m-f , т. е., переместив в десятичной дроби, равной у, запятую на р— 1 шагов вправо, получим число с той же самой дробной частью. А это может быть при условии, что р— 1 кратно длине периода. У дробей у = 0,500... и у = 0,200... длина периода равна 1, поэтому для р, равного 2 или 5, подмеченное Гауссом свойство тоже справедливо. Из доказательства видно, что в десятичной системе счисления длина периода дроби — (рф2\ 5) равна наименьшему из чисел &, для которых (10* — 1) • р. Аналогичная ситуация имеет место и в других системах счисления. Именно пусть q — некоторое натуральное число, а р — простое. Если любую дробь вида знаменатель которой взаимно прост с qy записать в виде бесконечной периодической ^-ичной дроби, то длина периода будет делителем числа р— 1. Покажите, что в ^-ичной системе длина периода дроби -у равна наименьшему из чисел k, для которых (qk— 1) р. Гаусс заинтересовался вопросом: найдется ли для данного прос¬ того числа р такая система счисления, что в ней длина периода дроби — в точности равна р — 1 ? И сам доказал, что ответ на этот вопрос положительный: такие системы найдутся и даже с ос¬ нованиями qy меньшими р. Основания этих систем называют первообразными основаниями по отношению к р. Правда, теорема Гаусса ничего не говорит о том, как искать такие основания. Поэтому надо взять числа 2, 3, ..., р— 1, представить дробь у в системах с такими основаниями, а потом выбирать те, в кото¬ рых ее пёриод имеет длину р— 1. Теорема Гаусса гарантирует нам, что этот поиск не окажется, как говорится, поиском черной кошки в темной комнате, в которой кошек отродясь не бывало. Обозначим найденное первообразное .основание через q. Из малой теоремы Ферма вытекает, что (qp~l — 1) • р. Поскольку длина периода дроби в q-ичной системе равна р—1, то это наимень¬ шее из чисел Л, для которых (qk— 1); р. Теперь тео ре м у Гаус- с а можно сформулировать так: для каждого простого р найдется такое число q<p> что qk—\ не делится на р ни при каких k<p— 1. Найдем, например, первообразное основание для р = 17. Ос¬ нование 2 не годится, потому что уже 28 дает при делении на 17 остаток 1, т. е. (28 — 1) • 17 и длина периода дроби в двоичной
системе равна 8, а не 16. Но основание 3 нас уже устроит. Чтобы убедиться в этом, нужно найти остатки от деления чисел 3, З2, ..., З16 на 17. Результаты приведены в таблице, где в верхней строке стоят показатели степеней числа 3, а в нижней — соответствую¬ щие остатки. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 9 10 13 5 15 11 16 14 8 7 4 12 2 6 1 В нижней строке содержатся все числа от 1 до 16. Оказы¬ вается, это общий факт: если q — первообразное основание для простого числа р, то остатки от деления qy q2, ..., qp~{ на р все разные и принимают значения 1, 2, ..., р— 1. На самом деле всего остатков р — 1, среди них нет нулевых, поскольку q и р взаимно просты. Если бы какого-то числа 1, 2, ..., р—1 не было среди остатков, тогда другой остаток встретился бы дважды, например остаток от деления qm и qm + l на р. Но тогда бы разность qm + l — qnl = qm(ql— 1) делилась на р, откуда на р делился бы множитель (ql—1) при 1<Ср—1, что противоречит первообраз- ности основания q. Другими первообразными основаниями для р= 17 являются 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6. Заметим, что, как и основание 3, эти числа стоят на нечетных местах второй строки таблицы. 7. Семейные проблемы Давно известно, что простых чисел бесконечно много. Еще Евклид (ок. 365 — ок. 300 до н. э.) в своих «Началах» ут¬ верждал, что нет наибольшего простого числа. Доказательство Евклида мы не приводим, в популярной форме оно пересказано в книге [1]. Многие ученые занимались простыми числами, но и сегодня далеко не все известно о них. Неизвестно, например, сколько простых чисел можно записать одними единицами. Пока найдены три таких числа: это 11 и числа, состоящие из 11 и 19 единиц. Отметим, что количество единиц в записи таких чисел само должно быть простым числом. Ведь если n = km, то число, состоящее из п единиц, делится на числа, состоящие из k и из ш единиц. Например: 111111 = 111.1001 = 11.10101. Любопытно, что для любого простого числа р, отличного от 2 и 5, найдется записываемое только с помощью единиц число, делящееся на р. Если рфЪ, то таким свойством обладает, на¬ пример, число, состоящее из (р— 1) единицы. В самом деле, мы знаем, что если р отлично от 2 и 5, то 10Р — 1 — 1 делится на р. Число 10р_| — 1 записывается с помощью (р — 1) девятки. Так 2. Зак 4723 Н. Я Виленкин 33
как р отлично и от 3, то, разделив KF-1 —1 на 9, получим част¬ ное, записанное с помощью (р— 1) единицы, делящееся на р. (На р = 3 число 11 не делится, но делится, например, 111.) Иногда можно взять и менее (р— 1) единицы. Например, число 111111 делится на 13. Еще Гаусс пытался выяснить, конечна или нет совокупность простых чисел р, для которых число из k единиц (&<р — 1) не делится на р. Ответ на этот вопрос до сих пор неизвестен. Есть в теории простых чисел и такая интересная проблема: конечна или нет совокупность близнецов — так называют пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Примерами близнецов служат 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Чем дальше мы продвигаемся вперед по натуральному ряду чисел, тем реже встречаются простые числа, а уж совсем редко — близнецы. И до сего дня неизвестно, а не оборвется ли последо¬ вательность этих чисел. Пока же упорные поиски отдельных энтузиастов приводят к открытию новых и новых близнецов, достаточно далеко расположенных в натуральном ряду. С по¬ мощью ЭВМ были найдены такие близнецы: 9 • 2211 — 1 и 9-2211 + 1. Кроме близнецов в последовательности простых чисел су¬ ществует аналогичная тройня (3, 5, 7). Оказывается, она един¬ ственная. В любой тройке (п — 2, п, п + 2), где п — 2>3, одно из чисел обязательно делится на три. Вы это можете легко показать самостоятельно. Итак, две пары близнецов, исключая пары (3, 5) и (5, 7), могут находиться друг от друга самое меньшее на «расстоянии», рав¬ ном 4. Это, например, пары (5, 7) и (11, 13) или пары (11, 13) и (17, 19). Они определяют четверку {п — 4, п — 2, n-f 2, п + 4) простых чисел. Таких четверок на достаточно большом отрезке числового ряда не так уж и мало. Например, среди первых 10 мил¬ лионов натуральных чисел их насчитывается 899. Одной из них является четверка (2863308731, 2863308733, 2863308737, 2863308739). И уж если мы не знаем, бесконечно ли множество близнецов, то тем более неизвестно, бесконечно ли множество четверок простых чисел указанного вида. (И у людей близнецы встре¬ чаются редко, а четверни — поразительное событие.) Долгое время шел поиск критерия простоты числа р, т. е. такого признака, по которому можно было бы безошибочно определить принадлежность произвольно взятого числа к семей¬ ству простых. В 1770 г. английский математик Э. Варинг сформу¬ лировал гипотезу своего ученика Джона Вильсона 34
(1741 —1793): для того чтобы число р было простым, необходимо и достаточно, чтобы число (р— 1)! + 1 делилось на р. Через три года она была доказана французским ученым Жозефом Луи Лагранжем (1736—1813). Но этот признак мало что дает для практики, потому что числа вида п\ очень быстро растут с возрастанием пу и потому проверка делимости (р— 1)! + 1 на р требует слишком больших вычислений. Имеется довольно много необходимых условий простоты числа (т. е. по существу свойств простого числа), но до сих пор нет удобного для применения достаточного условия. Как мы видели, утверждение малой теоремы Ферма является необходи¬ мым условием простоты числа р, но не достаточным. Ферма сформулировал и другой (доказанный впоследствии Эйлером) необходимый признак простоты числа р: любое простое число р, имеющее вид 4я + 1, может быть единственным образом пред¬ ставлено в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. На¬ пример, 5=l2-f22, 13 = 22-f32, 17= 12-Н42, .... Но признак этот тоже не является достаточным: числа 25 = 32 + 42, 45 = 32 + 62 имеют единственное представление в виде суммы двух квадратов, но не являются простыми. Зато уж число вида Ап-\-\% имеющее два таких разложения, наверняка составное: 221 =52+ 142= 102+112 и 221 = 13-17. 8. Генераторы простых чисел Простые числа так причудливо расположены в натуральном ряду, что у математиков не было надежды вывести формулу, которая давала бы все такие числа и никаких других. Поэтому попытались достичь более легкой цели — найти формулу, под¬ ставляя в которую вместо п одно за другим натуральные числа получать каждый раз простое число. Одну из первых таких фор¬ мул предложил Ферма. Она имела вид: Fn = 22"+1. В письме к Паскалю (1654) он писал: «Последовательное квадрирование двух при увеличении на единицу всегда простое число — это свойство, за истинность которого я ручаюсь». Числа Fn получили название чисел Ферма. Такой сложный вид показателя Ферма выбрал не случайно: число 2*-fl при кфТ1 является составным. На самом деле, если число k нечетно, fe = 2m-fl, то имеет место разложение 2*+i=22m+,-fl=(2-f 1)(22w — 22w“l-f — 2+1). Таким же образом доказывается, что 2*+1 является составным числом, если у числа k есть хоть один нечетный множитель. 2* 35
И только когда k является произведением двоек, т. е. /г = 2\ можно надеяться на простоту числа 2*+1. Однако то был один из редчайших случаев, когда интуиция подвела Ферма. При я =0, 1, 2, 3, 4 действительно получаются простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Но значения я = 5 Ферма не проверял, иначе он обнаружил бы, что число 232 + 1 =4294967297 делится на 641. Разглядел это Эйлер. В настоящее время с по¬ мощью ЭВМ проверено, что при п = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, ... числа Ферма Fn составные. Более того, пред¬ полагают, что они являются составными для всех п, больших 4; но определенных результатов здесь не получено. К числам Fn мы еще вернемся в алгебраическом разделе. С ними связан вопрос о решении уравнений, к которым приводит задача на построение правильных многоугольников. (Таким образом, здесь в один узел сплетаются нити из трех различных клубков — арифметики, алгебры и геометрии.) После неудачи с числами Ферма стали искать другие гене- Юл 7 раторы простых чисел. Так, формула Рп = —^— дает простые числа для п от 2 до 8 включительно (проверьте это, используя таблицу простых чисел). Но при п= 16т + 9 (т = 0, 1, 2, ...) числа Рп делятся на 17. В самом деле 10.6m+9_7^ (10,6т + 9-109) + (109-7) _ 10,6т-1 9 109 — 7 3 “ 3 “ 3 + 3 п 1016— 1 Первое слагаемое кратно числу —^—, которое делится на 17 по малой теореме Ферма; делимость второго слагаемого проверяется непосредственно. Стремление ученых найти формулу общего члена последо¬ вательности, состоящей из одних только простых чисел, понятно. Дело в том, что, хотя простых чисел бесконечно много, указать конкретно достаточно большое простое число нелегко. Но, к сожа¬ лению, все предлагаемые формулы давали осечку. Не удались попытки записать желанную формулу и в виде многочлена. Мы уже видели в п. 5, что многочлен /(п) = п2 — я+ 41 принимает простые значения для всех п = 0, 1, 2, ..., 40. Но /(41)=412 — составное число. Еще больше простых чисел дает многочлен g(n) = п2 — 79п + 1601—они получаются при всех целых п от 0 до 79. Но при п = 80 значение многочлена равно 412. Неизвестно, бесконечно ли множество простых значений много¬ членов f(ti) и g(n). В дальнейшем попытки отыскать формулу для простых чисел в виде многочленов были оставлены в связи с результатами Эйлера и Гольдбаха — немецкого ученого, судьба которого (как и судьба Эйлера) оказалась связанной с Россией. Христиан Гольдбах (1690—1764) в возрасте 35 лет был приглашен в Петербургскую академию наук, где в течение 36
15 лет исполнял обязанности конференц-секретаря. Затем он перешел на дипломатическую работу и со временем получил весьма высокий чин тайного советника (по данной Петром Великим «Табели о рангах» выше этого были лишь чины дейст¬ вительного тайного советника и канцлера). Математикой в этих обстоятельствах он стал заниматься меньше и особо крупных достижений не имел. Но у Гольдбаха был дар подмечать раз¬ личные математические закономерности. В своей переписке с Эйлером он выдвигал различные проблемы, привлекая к ним внимание великого ученого. Об одной из этих проблем мы будем говорить в конце главы. А сейчас сформулируем теорему Гольдбаха — Эйлера: никакой многочлен f(n) с целыми коэффициентами не может при¬ нимать только простые значения. До сих пор неизвестно, су¬ ществует ли хоть один многочлен f (n) с целыми коэффициента¬ ми степени выше первой, удовлетворяющий ослабленному тре¬ бованию, состоящему в том, чтобы среди его значений было бесконечно много простых. Этот же вопрос рассматривался и по отношению к ариф¬ метическим прогрессиям (многочленам первой степени). Конечно, легко привести примеры прогрессий, не содержащих ни одного простого числа: 4, 6, 8, ..., 2 + 2 п, ...; 6, 9, 12, ..., З + Зл, ...; 6 10, 14, ..., 2 + 4л, .... С другой стороны, простейшая прогрессия — натуральный ряд — содержит все простые числа. А в последовательности нечетных чисел отсутствует лишь простое число 2. Спрашивается: каким свойством обладают прогрессии, содержащие бесконечное мно¬ жество простых чисел? Прежде чем давать ответ, рассмотрим еще одну прогрессию 4/г + 3. Заметим, что каждое нечетное число, начиная с 5, записывается либо как 4п + 1, либо как 4п + 3. Ясно, что произведение двух чисел первого вида имеет тот же вид. Поэтому любое составное число типа 4Я + 3 должно иметь по крайней мере один простой множитель этого же вида. Поль¬ зуясь этим замечанием, покажем, что прогрессия 4п-\-3 содержит бесконечно много простых чисел. Доказательство проведем мето¬ дом Евклида. Предположим, что множество простых чисел вида 4n-f3 конечно. Обозначим эти числа р|, ..., /?*, и пусть Р = = 4(/?i -...-pk) +3. По сделанному выше замечанию это число должно иметь хоть один простой делитель того же вида. Но все такие делители по нашему предположению содержатся в наборе из чисел /?|, ..., pky а Я ни на одно из них не делится. Получен¬ ное противоречие показывает, что наше предположение было неверным. Таким же способом доказывается, что прогрессия 6л-|-5 со¬ держит бесконечно много простых чисел. Эти утверждения яв¬ 37
ляются частным случаем теоремы, сформулированной в 1788 г. французским математиком Адриеном Мари Лежанд¬ ром (1752—1833): если числа а и d взаимно просты, то в ариф¬ метической прогрессии с первым членом а и разностью d содер¬ жится бесконечно много простых чисел. Доказана она была методами математического анализа только через 50 лет немецким ученым Леже ком Дирихле (1805—1859) и носит теперь его имя. 9. Много ли простых чисел в миллиарде? Большое ли число миллиард? Оно настолько часто встре¬ чается в различных экономических сводках и статистических дан¬ ных, что мы не задумываемся над тем, как оно велико. А ведь если задаться целью досчитать до миллиарда, то понадобится более 95 лет при условии, что каждое число произносится всего за 1 секунду, что ежедневно на эту работу затрачивается 8 часов, что нет ни выходных, ни каникул. Сколько же простых чисел в первом миллиарде натуральных? Оказывается, более пятидесяти миллионов, точнее, 50847534. Это немало, если учесть, что каждое второе натуральное число делится на 2, каж¬ дое третье — на 3, каждое пятое — на 5 и т. д. Дальше в нату¬ ральном ряду простые числа встречаются пореже, можно даже указать отрезок длиной опять же хоть в миллиард чисел, не содержащий ни одного простого. Правда, с этой целью надо отойти от начала натурального ряда очень далеко. В самом деле, для любого п> 2 числа я!+ 2, я!+ 3, ..., п\-\-п являются состав¬ ными: первое из них делится на 2, второе — на 3, ..., (м — 1 )-е — на п. Поэтому, начав с числа (109-f 1)!+ 2, наверняка можно отсчитать ровно миллиард идущих подряд составных чисел. Но это страшно далекие от начала натурального ряда числа. Чтобы хоть в какой-то степени составить представление о росте п\, ска¬ жем только, что 10! больше трех миллионов, а 13! уже больше шести миллиардов. Так что хоть поредение простых чисел в натуральном ряду и наблюдается, но оно очень медленное. Есть ли здесь закономерность? Этот вопрос не давал покоя матема¬ тикам. Неудачи в поисках формул заставили ученых подойти к проблеме с другой стороны. Если нет точной формулы, то может быть обратиться к усреднению? Чтобы понять, что это такое, рас¬ смотрим простой опыт. Если бросить монету один раз, то нельзя предсказать, упа¬ дет она орлом или решкой. Но при 10000 бросаний количество выпавших орлов не слишком отклонится от среднего значения 5000. Иными словами, усреднение позволяет выявить закономер¬ ность там, где ее на первый взгляд нет. 38
Лежандр, много занимавшийся теоретико-числовыми пробле¬ мами, применил эту идею к решению вопроса о распределении простых чисел. Обозначим через л(п) количество простых чисел, л(л) -v *„ не превосходящих п, и назовем отношение —— средней плот¬ ностью распределения простых чисел на отрезке натурального ряда от 1 до п. Приведем таблицу, в которой указаны количество простых чисел и их средняя плотность на отрезке от 1 до 10s (где s= 1, 2, ..., 9). п 10 102 103 104 105 106 107 108 109 п(п) 4 25 168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534 л (я) 0,4 0,25 0,17 0,123 0,096 0,078 0,066 0,058 0,051 п На основании табличных данных Лежандр стал подбирать функцию, которая мало отличалась бы от -р-. Не надо думать, что он шел путем простого подбора — нет, он применял специаль¬ но разработанные им методы. В результате кропотливого иссле¬ дования он пришел к выводу, что такой функцией является Тп~п — Говзбб’ откуда Я(Я)”ПГ7-Щ366- Здесь через 1пп обозна- чен натуральный логарифм числа я, т. е. логарифм по основа¬ нию е. (Иррациональное число e=lim (l + “f J приближенно равно 2,7182818284.) Поисками подходящих выражений для л(п) занимался и 15-летний Гаусс. Изучая таблицу простых чисел, он выдвинул гипотезу, что л(п) при достаточно больших п мало отличаются от j^-. Но это приближение было достаточно грубым. Уже в пожилом возрасте в письме к Энке он предложил другое выраже¬ ние для л (/г), а именно сумму + + ••• + Ее можно заменить так называемым интегральным логарифмом: 2 (Читатели, еще не знакомые с понятием интеграла, узнают о нем в XI классе.) Правда, письмо Гаусса было опубликовано почти через 10 лет после его смерти и не оказало влияния на решение данной проблемы. Еще более точное приближение получил вы¬ дающийся немецкий математик Бернхард Риман (1826— 1866). Оно имеет вид:
„(„)» I ^'Li (>), k*= 1 K здесь суммирование ведется по всем натуральным k, a ji(fc) — так называемая функция Мёбиуса (она равна нулю, если k делит¬ ся на квадрат простого числа, в остальных случаях \i(k) = = (— 1)^, где d — количество простых множителей числа к\ считают ji(l) = l). Это выражение дает удивительно хорошее приближение для л(п). Например, при п=109 по формуле Римана имеем д(п) «50847455. Значительный вклад в решение проблемы распределения простых чисел внес замечательный русский ученый Пафнутий Львович .Чебышев (1821—1894). Он родился в селе Окатово (ныне Калужской области). Родители прочили сыну воен¬ ную карьеру, но из-за повреждения ноги они направили его учиться в университет в Москву. По окончании университета Чебышев получил степень магистра и был приглашен в Петер¬ бургский университет на преподавательскую должность. Одно¬ временно он вел большую научную работу в Академии наук. В 1859 г. был избран академиком. Именно Чебышев стал основателем и многолетним руково¬ дителем Петербургской математической школы. После смерти Эйлера в Петербурге в течение многих лет не было математиков, имевших мировую известность. Только в 1828 г. в Петербург из Франции вернулся Михаил Васильевич Остроград¬ ский (1801 —1862), учившийся в Харьковском университете, но исключенный из него за вольнодумство и вынужденный впоследствии заканчивать образование в Париже. Научные ис¬ следования Остроградского относятся к области математической физики, где он получил ряд блестящих результатов, носящих его имя. Его научная слава была настолько велика, что провин¬ циальные помещики, отправляя своих детей учиться в универси¬ тет, говорили им: «Становись Остроградским». Остроградский был избран членом Нью-Йоркской академии, Туринской акаде¬ мии, Национальной академии деи Линчеи в Риме, членом-кор- респондентом Парижской академии наук. Несмотря на боль¬ шие научные достижения и широкую педагогическую деятель¬ ность, Остроградский не стал основателем математической шко¬ лы — его ученики (И. А. Вышнеградский, Н. П. Петров, Д. И. Жу¬ равский и др.) работали в основном в области механики. Заслуга создания математической школы в Петербурге при¬ надлежит Чебышеву. Воспитанниками этой школы были Егор Иванович Золотарев (1847—1878), Александр Ни¬ колаевич Коркин (1837—1908), Александр Ми¬ хайлович Ляпунов (1857—1918), братья Марковы — Андрей Андреевич (1856—1922) и Владимир Анд¬ реевич (1871 —1897), Георгий Феодосьевич Во¬ роной (1868— 1908), Владимир Андреевич Стек- 40
лов (1864—1926) и многие другие замечательные русские математики. На чаепитиях, которые устраивал Чебышев для бесед с математиками, бывала и Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891) —первая русская женщина- математик, которая была вынуждена изучать науки за рубе¬ жом, так как в те времена в русские университеты женщины не допускались. Характерной чертой Петербургской математической школы был интерес к конкретным задачам, которые по мере их реше¬ ния становились источниками новых глубоких теорий. Например, исследования Чебышева по наилучшему приближению функций многочленами выросли из задач теории механизмов, преобра¬ зующих вращательное движение в поступательное. Научные интересы ученых Петербургской математической школы восходили к кругу интересов Эйлера и касались математического ана¬ лиза, теории чисел, непрерывных дробей. Кроме того, они за¬ нимались теорией вероятностей, математической физикой. Для них было характерно чувство связи между различными облас¬ тями математики. Результаты, полученные в интегральном исчис¬ лении, находили применения в теории чисел и теории вероят¬ ностей, непрерывные дроби были орудием исследования и в тео¬ рии ортогональных многочленов, и в теории чисел, и в теории моментов. Большое внимание уделяли ученые Петербургской матема¬ тической школы приложениям математики. Например, Ляпунов исследовал вопрос о формах равновесия вращающихся жид¬ костей, с помощью которых хотел узнать, каковы могут быть формы планет и как возникли их спутники. Вопросами приклад¬ ной математики занимался и сам Пафнутий Львович. После поражения России в Крымской войне 1853—1856 гг. была по¬ ставлена задача усовершенствования артиллерийских орудий, нужно было увеличить точность попадания ядер и их пробив¬ ную способность. С этой целью ядра были заменены на цилиндри¬ ческие снаряды с твердыми наконечниками. Но эти снаряды «кувыркались» при полете. Для разрешения возникших проблем обратились к Чебышеву. Тот обосновал математически, что гладкоствольные орудия не дадут желаемого результата. Имен¬ но нарезные стволы увеличивают точность попадания и устойчи¬ вость полета снаряда. Чебышев и в зрелом возрасте сохранил детское стремление к конструированию. Им было создано более сорока новых механизмов, многие из которых демонстрировались на международных выставках в Париже и Чикаго. Для исследования вопроса о распределении простых чисел Чебышев использовал элементарные соображения о делимости чисел. Но сделал это он с таким мастерством, что сумел доказать утверждение: если предел произведения л(п)сущест¬ вует, то этим пределом может быть только единица. 41
Через год он нашел, что при достаточно больших значениях п выполняются неравенства 0,92129<л(п) —<1,10555. Окончательно равенство lim л (я) • 1 было доказано П—► оо Я в 1896 г. независимо друг от друга французским математиком Жаком Адамаром (1865—1963) и бельгийским матема¬ тиком Шарле м-Ж аном де Ла Валл е-П у с с е н о м (1866—1962). Их методы были основаны на результатах Ри- мана. 10. Совершенные и дружественные числа В «Маленьком принце», замечательной сказке французского писателя А. де Сент-Экзюпери, Лис спрашивает Маленького принца: — А на той планете есть охотники? — Нет. — Как интересно! А куры есть? — Нет. — Нет в мире совершенства! — вздыхает Лис. Можно поспорить с Лисом. Но пифагорейцы, жившие две с половиной тысячи лет тому назад, тоже считали совершен¬ ство редким явлением и обозначали его числами, удовлетворяю¬ щими довольно жесткому условию. Число называлось совер¬ шенным, если оно равнялось сумме всех своих собственных делителей, т. е. делителей, от¬ личных от самого числа. Приме¬ рами совершенных чисел яв¬ ляются 6= 1 +2 + 3 и 28= 1 + + 2 + 4 + 7+14. Вспомним, что значение о(п) равно сумме всех делителей числа п, получим сле¬ дующее утверждение: число п совершенно в том и только в том случае, если о(п)=2п. Совершенные числа весьма почитались в древнем мире. На¬ пример, египетская мера длины «локоть» содержала 28 «паль¬ цев»; самым почетным местом 42
на пирах у римлян было шестое; во многих обществах число членов равнялось 28. Даже сейчас, следуя древней традиции, некоторые академии по уставу состоят из 28 действительных членов. Пифагорейцы нашли правило, облегчавшее поиск совершен¬ ных чисел. У Евклида в «Началах» оно формулируется так: «Если от. единицы откладывать сколь угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их совокупность сложенная не сделается первым (в нашей терминологии простым) числом и вся совокупность, умножен¬ ная на последнее число, произведет что-то, то возникающее число будет совершенным». Иначе говоря, (1 + 2 + 22 + ... + 2к~1)-2к-]=(2к- 1)-2*~1 является совершенным числом, если число 2*—1 простое. Мы приведем доказательство, отличное от евклидова. Восполь¬ зуемся формулой (5), выражающей о(п) с помощью канониче¬ ского разложения числа п. По этой формуле получаем при п=2к~'-р M«>=!^rf5r=(2*-l) (P+D = = (2* — 1)2* = 2-2*“ *(2* — 1) = 2я. Поэтому число п совершенно. Верно и обратное утвержде¬ ние: всякое четное совершенное число имеет вид 2к _| (2*— 1), где 2к—\ —простое число. Его высказал французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650), а доказал Эйлер. Приведем это доказательство. Пусть п — четное совершенное число. Тогда п можно пред¬ ставить в виде л = 2*~1-/, где k — натуральное число, большее единицы, а / — нечетное число. Число / не может быть еди¬ ницей, так как при /= 1 мы имели бы о(п) = а(2*~ 1) =2* — 1 Ф2п, что противоречит совершенству числа п. Далее, 2*-1 и / взаимно просты, а потому из мультипликативности функции о(п) сле¬ дует, что о(п) = су(2*-1) . ст(/) = (2*— 1) *су(/). Поскольку а — совершенное число, то выполняется условие: а(п) —2п =2к •/. Сравнивая два выражения для о(п), получим (2*—1)-о(/) =2*-/. В этом равенстве числа 2к — 1 и 2к взаимно просты, а потому на 2к—1 делится число /. Значит, существует нечетное число 5, такое, что 1=(2к— \)-s и о(1) =2к -s. Если бы число 5 не равнялось 1, то мы имели бы о (/) = а ((2к — 1) s) > > 1 +s+ (2к — 1) + (2к— 1)5 = 2*-5 + 2*, откуда следует ложное неравенство а(/)^а(/)+ 2к. Значит, s=l, и потому 1 = 2к— 1, а о{1)=2к, откуда а(/)=/+ 1, а это означает, что I — простое число. Тем самым гипотеза Декарта доказана. 43
. Итак, мы можем сформулировать критерий совершенства четного числа: четное число совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид п = 2*-1 (2*— 1), где 2* — 1 — простое число. В связи с доказанным критерием поиск четных совершенных чисел сводится к выяснению вопроса: для каких k число Mk = 2k— 1 является простым? Числа такого вида изучал М. Мерсенн, тот самый патер Мерсенн, которому доверяли свои труды .все евро¬ пейские математики. Сами числа так и называются с тех пор числами Мерсенна. Он установил, что для простоты Mk число k должно быть простым. В самом деле, если бы это было не так, то k имело бы вид k = ab, где а> 1 и Ь>\. И было бы справедливо разложение 2*— 1 = 2аЬ — 1 = (2а— 1) (2а(/,-1) + 2а(/,_2) + ...+ 1), из которого следует, что 2k—1 —составное число. Таким обра¬ зом, простота k является необходимым условием простоты М*. Обратное утверждение неверно: существуют простые для ко¬ торых Mk не является простым числом. Например, Мц= 211 — 1 = = 2047 = 23-89. Отметим, что множитель 89 имеет вид 89 = = 8-11 + 1, а множитель 23 имеет вид 23 = 2-11 + 1. Вообще все простые делители числа Мерсенна Mk = 2k — 1 имеют вид р = = 2г/г+ 1, где г — натуральное число. Это облегчает поиск таких делителей. Простыми являются числа Мерсенна М2 = 3, М3 = 7, Ms = 31, М7= 127, М ,3 = 8181, М\?= 131071. Им соответствуют совер¬ шенные числа 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, из которых лишь первые четыре были известны в древности. Простыми яв¬ ляются и числа Мерсенна М19, М31, Мъ\, Ms7 (возводить двойку в 87-ю степень — довольно утомительное занятие: результат содержит 27 цифр). Поиск простых чисел Мерсенна был облегчен после того, как французский математик Франсуа Люка (1842—1891) нашел необходимое и достаточное условие простоты чисел Mk. Он доказал, что число Mk(k^2) просто в том и только в том слу¬ чае, если оно является делителем (k— \)-го числа Люка. Эти числа определяются так: первое из них равно 4, Li=4, а (я + 1)-е определяется формулой Ln + \=L}n — 2. По этой формуле получаем /.2=14, L3=194, L4 = 37634. С помощью своего критерия Люка в 1876 г. установил простоту числа М127, и 76 лет этот рекорд не был побит. Положение изменилось, когда были созданы первые электрон¬ но-вычислительные машины и математики получили возмож¬ ность проводить на них не только вычисления государственной важности, но и решать вопросы, относящиеся к чистой матема¬ тике. Конечно, поиск простых чисел Мерсенна с помощью ЭВМ имеет примерно то же отношение к ручному поиску, как ловля рыбы океанским тралом к рыбалке с удочкой. Поиск шел все быстрее, рекорды падали один за другим. В 1952 г. была установ¬ 44
лена простота чисел Мерсенна М521, М6о7, М1279, М2203, М2281, в 1957 г.— числа Мш7, в 1961 г.— М4253 и М4423, в 1963 г.— чисел М9689, М9941 и Af 11213* а в 1971 г.—числа М19937. С 1971 до 1983 г. новые рекорды устанавливались 4 раза. В 1985 г. было найдено простое число М216091, состоящее из 65050 цифр. Недавно группа американских ученых доказала, что простым является и число М216211, запись которого содержит 65087 цифр. Поиски этого числа продолжались около года. А ведь когда-то Мерсенн сказал, что не хватит вечности, чтобы узнать, просто ли двадца¬ тизначное число. И сейчас продолжают искать простые числа Мерсенна, и кто знает, какое из них будет ходить в чемпионах, когда вы прочтете эти строки. И до сих пор неизвестно, есть ли наибольшее из простых чисел Мерсенна, или последовательность таких чисел столь же бесконечна, как и последовательность всех простых чисел? Есть и другие вопросы, касающиеся совершенных чисел и не решенные до сих пор. Например, неизвестно, существует ли хоть одно нечетное совершенное число. Искать такие числа с помощью перебора безнадежно: вычисления на ЭВМ показали, что среди нечетных чисел, меньших чем Ю50, совершенных нет. В настоящее время установлен ряд свойств, которым должны удовлетворять нечетные совершенные числа в случае, если они существуют. Например, при делении на 12 они должны давать в остатке 1, а при делении на 36 остаток должен равняться 9. Эти числа должны содержать по меньшей мере 6 различных простых делителей и иметь вид: N = p^+'.q2r-q22ai-...-ql?\ где р — простое число вида 46+1, a q\, ..., qm — произвольные простые нечетные числа. При этом если все а*, кроме ai, равны 1, то а\Ф2у а если все а*, кроме а{ и а2, равны 1, то а\Ф2 и а.2ф2. Не может быть и того, что все а* = 2. Если наименьший из простых делителей числа N равен г+1, то это число должно иметь по крайней мере г простых делителей. Многое известно о нечетных совершенных числах, неиз¬ вестно лишь одно — существуют ли они вообще? Некоторую искру надежды на успех в поиске нечетных совершенных чисел могло бы заронить решение следующей задачи: найти не менее трех различных нечетных чисел, сумма обратных величин которых равна единице. Но пока и эта задача не решена. По¬ кажем, как она связана с поиском нечетных совершенных чисел. Мы знаем, что для любого совершенного числа сумма всех его делителей о(п) =2п. Отсюда вытекает, что сумма чисел, обратных °(п) г» °(п) 1 1 и этим делителям, равна —^—=2, а тогда — 1 = 1. Например, ^ 1.0.0 1,1, 1 I 1 6+3+2+1 о для лг = 6 = 1 +-2+-3 имеем — + — + — +- — = ■ — - g = 2 и 45
Поэтому если бы существовало нечетное совершенное число, то сумма обратных величин его делителей (а это разные дроби вида 2k + \) Равнялась бы 1. Правда, решение последней задачи еще не гарантирует нам существования нечетного совершен¬ ного числа. Нужно еще, чтобы знаменатели дробей представля¬ ли собой все различные делители одного из них. Такой знамена¬ тель и стал бы нечетным совершенным числом. Долгое время поиск простых чисел Мерсенна (тем самым и четных совершенных чисел) или вопросы, связанные с нечетными совершенными числами, интересовали только чистых математиков, тех самых, о которых представители прикладной математики рассказывают такой анекдот. Однажды воздухоплаватели, летевшие на воздушном шаре, потеряли ориентировку и, воспользовавшись моментом, когда шар опустился до 15 м над земной поверхностью, крикнули нахо¬ дившемуся внизу человеку: «Где мы находимся?» После трех¬ минутного размышления тот ответил: «На воздушном шаре». По¬ рыв ветра поднял шар вверх, и один из воздухоплавателей сказал: «Это, несомненно, был чистый математик». «Почему ты так думаешь?»'— спросил его другой. «А потому, что его ответ был результатом размышления, он оказался безукоризненно верным и совершенно бесполезным». Числа Мерсенна тоже были долгое время абсолютно бес¬ полезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но недавно обнаружили приложения этих чисел к некоторым вопросам вычислительной математики. Здесь уместно привести слова Эйлера из его работы «О дру¬ жественных числах»: «Из всех проблем, рассматриваемых в ма¬ тематике, нет таких, которые считались бы в настоящее вре¬ мя более бесплодными и беспо¬ лезными, чем проблемы, касаю¬ щиеся природы чисел и их дели¬ телей. В этом отношении ны¬ нешние математики сильно от¬ личаются от древних, придавав¬ ших гораздо большее значение исследованиям такого рода... Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, 46 при п = 28 имеем
которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплод¬ ности...» Изучая соотношения чисел и их делителей, пифагорейцы обнаружили, что два числа 220 и 284 обладают замечательным свойством: сумма собственных делителей числа 220 = 22-5- 1 I равна 1 +2 + 4 + 5+ 10+ 1 1 +20 + 22 + 44 + 55+ 1 10 = 284. В свою очередь 284 = 22-71. Для него соответствующая сумма равна 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Эта связь между числами скорее всего не очень удивила древних математиков. Вероятно, они увидели в этом еще одно подтверждение своей философии и объявили эту пару чисел символом дружбы. С тех пор два числа тип, такие, что каждое из них равно сумме собственных делителей другого, называются дружественными. Из определе¬ ния вытекает равенство а(т) =о(п) =т-\-п. Общий закон образования дружественных чисел неизвестен. Но существуют формулы, которые при некоторых условиях дают пары таких чисел. Арабский математик Сабит ибн Курра (836—901) показал, что числа m = 2k-p-q и п = 2к-г дружественные, если р, q и г — простые нечетные числа вида р = 3-2*-1 —1, <7 = 3-2*—1, г = 9-22*~ 1 — 1. Докажем это утверждение. Сначала найдем сумму собствен¬ ных делителей числа га. Поскольку р и q — простые нечетные числа, получим: ст(т) — т = 22+_~‘ • (р + 1) (<7+1)— 2kpq = = 2к (pq -\-2р -\-2q -\-2) — (pq-\-рq-\-1) = = 2* (9-22* - 1 +9 - 2*_ 1 — 1) — 9-22*“1 = 2* (9-22*~ 1 — 1) = 2*- г = я. Нами использованы равенства р<7 = 9-22/?_| — 9-2*-1 + 1 и p + q = 9-2к~'-2. Аналогично для числа п имеем: о(п)-п= (2*+| —1) (г+1) —2*г = 2*(г + 2)-г-\ = = 2*(9.22*“, + 1)-9-22*“, = 2*(9.22*“,-9-2*“,+ \) = 2kpq = m. Утверждение доказано. Рассмотрим частные случаи. Значение 6=1 не годится, так как при этом р = 2 является четным простым числом. При 6 = 2 (тогда р=11, я = 5, г = 71) получаем пару 220 и 284. При /г = 3 число г = 9-2 —1=297 = = 27-11 составное — условия предложения не выполняются. П. Ферма и Р. Декарт переоткрыли результат Сабит ибн Курры и, пользуясь этим правилом, нашли еще две пары дружественных чисел: Ферма — пару 17296 и 18416, отвечающую значению к = 4, а Декарт — 9363584 и 9437056 (6 = 7). Как стало недавно известно, эти две пары за три века до них нашли арабские мате¬ матики. Позже (1749) Л. Эйлер привел еще 61 пару дружествен¬ ных чисел. В настоящее время благодаря применению ЭВМ 47
найдено около 1100 таких пар. Приведем первые 12 пар дру¬ жественных чисел: 220 и 284 12285 и 14595 1184 и 1210 17296 и 18416 2620 и 2924 63020 и 76084 5020 и 5564 66928 и 66992 6232 и 6368 67095 и 71145 10744 и 10856 69615 и 87633 Интересно, что следующей за первой парой была открыта восьмая, а вторую пару нашел (1866) 16-летний итальянец Н. Паганини — тезка великого скрипача. Ее не заметили мате¬ матики, открывшие к тому времени более 60 пар дружественных чисел. Обратим внимание на то, что четность дружественных чисел одной пары одинакова. До сих пор не известно, конечно ли множество пар дружественных чисел и существуют ли пары с числами разной четности? И по настоящей день находят новые пары дружественных чисел, так, в 1972 г. нидерландский математик Херман де Риле открыл пару, состоящую из 152- значных чисел, одно из которых имеет 800, а другое — 3200 раз¬ личных делителей. Очевидно, совершенные и дружественные числа укладыва¬ ются в следующую схему. Сложим все правильные делители не¬ которого числа, получим второе число; найдем сумму всех его правильных делителей, получим третье число; найдем далее сумму всех правильных делителей третьего числа и т. д. Может оказаться, что на некотором шаге получится исходное число, т. е. цепочка замкнется. Если замкнутая цепочка состоит-из од¬ ного звена, то это число совершенное; если из двух звеньев, то об¬ разующие ее числа дружественные; если более чем из двух, то все числа этой цепочки называются общительными. Известна цепочка из пяти общительных чисел: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264. Но пока не найдено ни одной цепочки, состоящей из трех звеньев. А вот цепочка из 28 звеньев сущест¬ вует, она начинается с числа 14316. И. Фигурные числа В книге [1] рассказано о том, что Пифагор изображал числа точками, строил из точек различные фигуры. На этом пути он при¬ шел к понятию треугольных и квадратных чисел. Рассмотрим последовательность правильных треугольников, составленных из точек (рис. 1). Так как левую нижнюю точку тоже считают треугольником, то на рисунке изображено 5 членов этой последовательности. Сопоставим каждому треугольнику число, выражающее количество точек в нем. Получим числовую 48
Рис. I Рис. 2 Рис. 3 последовательность 1, 3, 6, 10, 15, .... Это и есть треугольные числа. Если обозначить их Ф3(я), где я — номер числа в после¬ довательности, то из рисунка хорошо видно, что Фз(1) = 1, Фз(2) = 1+2, Ф3(3)= 1+2 + 3, Ф3(4) = 1+2 + 3 + 4, Ф3(5) = = 1+2 + 3 + 4 + 5 и т. д. Очевидно, я-е треугольное число яв¬ ляется суммой я первых натуральных чисел, т. е. Аналогично рассматриваются последовательности квадратов (рис. 2). Подсчитывая количество точек в них, приходим к квад¬ ратным числам Ф4(1) = 1, Ф4 (2) = 1 + 3, Ф4(3) =1+3 + 5, ф4(4) = 1 + 3 + 5 + 7 и т. д. Здесь тоже подмечаем, что я-е квад¬ ратное число есть сумма я первых нечетных чисел, т. е. А теперь возьмем последовательность правильных пяти¬ угольников (рис. 3) и получим последовательность пятиуголь¬ ных чисел,'аля которых Очевидно, этим способом можно получить любые многоуголь¬ ные (или, как их еще называют, фигурные) числа. О таких числах писал еще ученик Сократа и Платона Филипп Опун- тиус. Общее определение многоугольных чисел было дано лишь во II в. до н. э. Гипсиклом Александрийским. Число называется k-угольным, если оно является одной из сумм членов арифме¬ тической прогрессии с первым членом 1 и разностью k — 2. Ис¬ пользуя формулу суммы я членов арифметической прогрессии, находим fe-угольное число с номером я: Много внимания уделено таким числам в сочинении «Изагог Ф4 (я) = 1 +3 + 5 + ... + (2я — 1) — я2. ф5 (я) = 1 + 4 + 7 +... + (Згг -2) = " (-3-^-> 49
или «Вступление к арифметике», написанном в I в. н. э. алек¬ сандрийским ученым Никомахом из Герасы. Эта книга долгое время играла ту же роль при изучении арифметики, как «Начала» Евклида для изучения геометрии, а слова «Считает, как Никомах Герасский» были большой похвалой. Никомах доказывает в «Изагоге» теорему: всякое мно¬ гоугольное число равно сумме многоугольного числа преды¬ дущего названия, но занимающего в ряду то же место, и тре¬ угольного числа, занимающего предыдущее место. В наших обозначениях она записывается следующим образом: Фк(п) = ф*_,(л) +Фз(л — 1). Н >) Доказательство этого равенства предоставляем читателям. В «Изагоге» доказано еще одно интересное утвержде¬ ние: если разбить ряд нечетных чисел на группы, число членов которых возрастает как натуральный ряд, то сумма чисел каж¬ дой группы будет равна кубу числа членов каждой группы. Для решения этой задачи запишем последовательность не¬ четных чисел, разбив ее на группы, как указывает Никомах: 1; 3, 5; 7, 9, 11; 13, 15, 17, 19; 21, 23, 25, 27, 29; ... . Заметим, что если последнее число каждой группы увеличить на 1, то получим числа 2, 6, 12, 20, 30, ..., соответственно равные удвоенным треугольным числам 1, 3, 6, 10, 15, ..., т. е. послед¬ нее число п-й группы имеет вид 2Фз(я) —1, а вся группа (если записывать ее элементы в обратном порядке) выглядит так: 2Фз(я)— 1, 2Ф3(я)— 3, ..., 2Ф3(/г) — (2/г — 1). Теперь предложение Никомаха перепишется в виде (2Ф3(п) — 1) + (2Ф3(п) -3) +... + (2Ф3(п)-2п + 1) =п\ Пользуясь алгебраическими преобразованиями, это соотно¬ шение нетрудно доказать. Но древние греки не знали алгебры и доказывали арифметические соотношения с помощью геометри¬ ческих рассуждений, как уже говорилось, изображая числа точ¬ ками. 50 Рис. 5 Рис. 4
Для доказательства утверждения Никомаха они чертили фигуру, изображенную на рисунке 4. Г-образные фигуры, выде¬ ленные на этом рисунке, называют гномонами. («Гномон» озна¬ чает по-гречески «распознаватель». Сначала это был распознава¬ тель времени: простейшие солнечные часы состояли из двух пер¬ пендикулярных шестов или досок; затем распознаватель пер¬ пендикулярности; позже фигура Г-образной формы.) Далее древ¬ ние математики убеждались, что количество точек в п-ы гномоне в точности равно значению левой части равенства, и показывали, что из них можно составить куб со стороной п. Такие геометрические рассуждения позволяют получить и дру¬ гие соотношения. Например, из рисунка 5 вытекает совсем простое равенство Ф3(п) +Ф3(я — 1) =п2. Оно является частным случаем формулы (13) при k = 4. Докажем более сложное соотношение 13 + 23 + ... + л3=(1+2 + .., + л)2. Для этого надо вернуться к рисунку 4 и подсчитать общее число точек во всех гномонах. Так как эти фигуры содержат I3, 23, ..., п3 точек, то общее их число равно 134-23 + ...-j-я3. С другой стороны, эти точки заполняют квадрат со стороной 1 +2 +... -\-п. Отсюда и следует справедливость равенства. Фигурные числа обладают многими замечательными свой¬ ствами. Вы сами можете доказать, например, утверждения: 1) всякое четное совершенное число является треугольным; 2) шестиугольное число с номером п является треугольным числом с номером 2п. Хотя фигурными числами начали заниматься еще на заре развития теоретической математики, еще совсем недавно они были предметом математических исследований весьма крупных ученых. Среди них следует назвать Огюстена Луи Коши (1789— 1857) — известнейшего французского математика XIX в. Ему при¬ надлежат фундаментальные исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории упругости, гео¬ метрии и другим областям математики. Но одной из первых работ Коши было исследование, посвященное фигурным числам. Задача, которой занимался Коши, восходит к Диофанту. Диофант, по-видимому, был уверен, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более четырех квад¬ ратов (Например, 39 = 52 + 32 + 22+I2)- Баше де Мезириак под¬ метил это свойство и указал его в своих комментариях к «Ариф¬ метике» Диофанта. Изучая этот замечательный труд, Ферма сфор¬ мулировал более общее утверждение: всякое натуральное число является суммой не более трех треугольных чисел, не более четырех квадратов, не более пяти пятиугольных чисел и т. д. В дальнейшем многие математики, в том числе и Эйлер, пытались доказать как утверждение де Мезириака, так и более общее утверждение Ферма. Только через полтора столетия Лаг- 51
ранжу удалось доказать, что догадка Баше справедлива. При этом он использовал некоторые соотношения, известные еще Эйлеру. Неясно, почему Эйлеру не удалось довести задачу до конца. Утверждение Ферма о представимости натуральных чисел в виде суммы фигурных было доказано лишь в 1815 г. Коши, только начинавшим свою научную деятельность; до этого он работал инженером. 12. Шары в пространстве Никомах рассматривал не только плоские фигурные числа, но и пространственные. У него встречаются кубические числа т3 и числа т2(т-\-1) и т2(т — /), названные им соответственно балкообразными и кирпичеобразными. К слову сказать, отсюда видно, что кирпичи в древности имели в основании квадрат, а их высота была меньше стороны этого квадрата. Изучал Никомах и пирамидальные числа. С ними имели дело и пифагорейцы. Чтобы представить себе эти числа, уложим на плоскости шары в виде правильного треугольника (рис. 6), при¬ чем число шаров в каждой стороне треугольника равно п. (Шары здесь берем вместо точек для большей наглядности.) На этот слой шаров положим следующий, располагая шары второго слоя в углублениях между шарами нижнего слоя. Продолжим этот процесс до тех пор, пока в верхнем слое не окажется один шар. Уложенные таким образом шары образуют тетраэдр — треугольную пирамиду, все грани которой — правильные тре¬ угольники. Найдем число шаров в построенном тетраэдре. Их число _ m(m+1) гт в т-м слое, считая от вершины, равно ф3(т) = ^ • П°‘ этому общее число шаров равно Фз(1) +Фз(2) +.„ + Фз(п) =-LH+2_3 + ... + ^_H!. Обозначим это число через Ф3(3)(я). Верхний индекс указывает на размерность пространства, в котором укладываются шары. (Для плоского случая индекс р = 2 мы не употребляли.) С помощью метода математической индукции можно дока¬ зать, что 52 Рис. 6
Назовем числа Ф^3) тетраэдрическими. Шары можно сложить и в виде правильной четырехугольной пирамиды, выкладывая каждый слой в виде квадрата. Число шаров в такой пирамиде равно ф^(п) =12 + 22 + ... + л2, где п — число шаров в стороне квадрата основания. Значение этой суммы было известно уже Архимеду (ок. 287— ою ч г> I 02 I I 2 л(л + 1) (2л + 1) 212 до н. э.). Он доказал, что Г + 2 я = ^ и использовал это равенство при вычислении объемов различных тел и площадей фигур. Числа Ф?)(„) = п(п + 1>з!(2п + 1> (15) называют пирамидальными. Индийский математик VI в. н. э. А р и а б х а т т а, в честь которого был назван первый индийский спутник, вывел формулу для п-то тетраэдрического числа, исходя из вида пирамидального числа и учитывая свойство треугольных чисел: Фф(п) = 12 + 22 + ... + л2 = = Фз( 1) + (Фз(1) +Фз(2)) + ... + (Ф3(я — 1) + Фз(я)), откуда 2 (Ф3 (1) +Ф3(2) +„.+Фз(„—1)) +ф3(п) =—+|)б(2п + |)1 а значит, Ф^(п) = Фз (1) +Фз(2) + Фз (п) = _ 1 /л(л + 1) (2/1+1) я(л+1) \ _л(л + 1) (л +2) 2 \ 6 + 2 ) 6 В связи с изучением пирамидальных чисел возникает такой вопрос: можно ли из шаров, составляющих правильную четырех¬ угольную пирамиду, выложить на плоскости квадрат, т. е. суще¬ ствует ли пирамидальное число, являющееся квадратным: Ф1(п) =Ф4(т) ? Английский математик Джордж Ватсон (1886—1965) в 1918 г. показал, что равенство • 12 + 22 + ... + л2 = /л2 выполняется лишь при п = т=\ (квадрат и пирамида состоят из одного шара) и при п = 24, т = 70. Формально можно было бы строить из шаров пирамиды с ос¬ нованиями в виде правильных пятиугольников, шестиугольников и т. д. Но при k >4 невозможно на правильный fe-угольник, сложенный из шаров, уложить новый слой из меньшего числа шаров, имеющий ту же форму, притом так, чтобы шары лежали плотно и не скатывались. Поскольку греки мыслили геомет¬ 53
рически, они не стали рассматривать таких пирамид и, следо¬ вательно, чисел вида (п) = Ф* (1) + Ф* (2) -f- • • • "Ь (п) при k >4, хотя и для таких сумм можно вывести различные формулы. Не возникало у древних греков и мысли о другом обобщении фигурных чисел, а именно об обобщении на большее число из¬ мерений. Конкретное мышление древнегреческих математиков не допускало возможности четырехмерного пространства и тем более пространств высшей размерности. Но в труде александрийского математика П а п п а, жившего во второй половине III в. н. э., есть удивительное высказывание: «Не существует ничего, что заключа¬ ло бы больше, чем три измерения. Однако незадолго до нас стали позволять себе выражаться подобным образом, не указы¬ вая, впрочем, при этом на что-либо сколь-нибудь вразумитель¬ ное». Из этого замечания видно, что кто-то из живших в III в. ученых преодолел вековой запрет и стал использовать геомет¬ рическую терминологию там, где раньше это было строжайшим об¬ разом запрещено. Кто же был этот гениальный провидец? Мы думаем, что из известных нам ученых той эпохи есть лишь один, к кому могли бы относиться слова Паппа,— это живший также в Александрии Диофант, которого по праву можно считать осно¬ вателем двух ветвей математической науки: теории чисел и алгебры. В своей «Арифметике» Диофант рассматривает не только квадраты и кубы чисел, но и четвертые, пятые и шестые степени. Вместе с единицей (т. е. нулевой степенью) и самим числом (первой степенью) эти степени образуют лестницу из семи ступеней, а число 7 считалось священным еще у древних вавилонян. Но если Диофант говорит о высших степенях чисел, то весьма вероятно, что именно он обращался и к высшим раз¬ мерностям пространства. Возможно, о связанных с такими мно¬ гомерными пространствами фигурных числах шла речь в утрачен¬ ных книгах «Арифметики», и, может быть, они потому и не дошли до нас, что никто из читавших и переписывавших их не понял, о чем Диофант ведет речь. Или их уничтожили по причине вре¬ доносности? Возможно, по той же причине до нас дошел лишь фрагмент работы Диофанта «О многоугольных числах», в ко¬ тором о многомерных обобщениях фигурных чисел ничего не ска¬ зано. Впервые о многомерных аналогах фигурных чисел говорится в рукописи индийского математика Н а р а й а н ы, жившего в XIV в. Индийские математики тяготели больше к арифметике и алгебре, чем к геометрии, и не были связаны в своих работах необходимостью наглядно представлять числа в виде геометриче¬ ских фигур. Чтобы познакомиться с результатами Нарайаны, вве¬ дем функцию 54
ф Пп)=п(п+х?;£п%р~х)' = « (16) Ясно, что Ф3{/7)( 1) = 1, а Фл(п\0) = 0. Простой подсчет показывает, что имеет место равенство: ф у\п) = Фз{р\п - 1) + Фг{р- 1 \п\ применяя которое, получим: Фз(р_ |)(1) +... + Фз(р~ |)(«)=Фз(р)(1) + (Фз<р)(2) — Ф3(р)(1))+ ■■■Ч- + (Ф3(р) (п) - Фз(р> (П - 1)) = Фз(р) (п) . Эту формулу для р = 1, 2, 3 знали древние греки, для р = 1, 2, 3, 4 — китайские математики XIII в. Нарайана получил ее для произвольного р. Похожую формулу знал работавший во Фран¬ ции математик Леви бен Гершон (1288—1344). Но его работы, написанные на малознакомом европейским ученым древ¬ нееврейском языке, остались незамеченными. Лишь в XVII в. фор¬ мулу получили европейские математики Б. Паскаль, Дж. Валлис, В. Оутред. Мы видели, что формула Ф3(3)(я) = Ф3(1)+... + Фз(я) задает число шаров в правильном тетраэдре с ребром п. Аналогично Фз(р)(я) равно числу шаров в правильной р-мерной пирамиде с 'ребром п. Такую пирамиду называют р-мерным симплексом (simplex с латинского означает «простой»; р-мерный симплекс является простейшим р-мерным многогранником: любой много¬ гранник можно сложить из симплексов, как многоугольник из треугольников). Поэтому Ф3(р)(я) можно назвать р-мерным симп- лициальным числом. Иногда эти числа называют (р+ ^-уголь¬ ными индекса п. Такое название нельзя считать удачным, поскольку Ф3(р)(я) является обобщением не произвольного фигур¬ ного, а лишь треугольного числа. 13. Степенные суммы В многомерных пространствах существуют аналоги и для кубов. В составленном из шаров «кубе» р-мерного простран¬ ства содержится ровно пр шаров, где п — число шаров в ребре такого «куба» (мы ставим кавычки, чтобы подчеркнуть, что этот «куб» расположен в многомерном пространстве и пред¬ ставить его себе наглядно при р> 3 мы не можем). Из р-мерных «кубов» можно сложить «пирамиду» в (р+1)- мерном пространстве. Это аналог четырехугольной пирамиды трехмерного пространства. Число шаров в этой «пирамиде» равно 1р + 2р + Зр4-... + яр. В соответствии с обозначениями предыдущего пункта это — фигурное число Ф4(р+1)(я). Оно пред¬ ставляет собой сумму р-х степеней натуральных чисел от 1 до п. 55
Будем называть эту сумму степенной и обозначать покороче: 8р(п)=1р + 2Г + ... + п". При р= 1 «куб» превращается в отрезок, «пирамида» — в треугольник, число шаров в котором S(h) = 1+2 + ... + л = п(п+\) = —-— выражается п-м треугольным числом. При р = 2 роль «куба» играет квадрат, а «пирамиды» — самая натуральная че¬ тырехугольная пирамида, и число шаров в ней Sj(n)= 1‘ + 2‘ + ...+„‘=’," + ]->в<2"±±> является п-м пирамидальным числом. При р = 3 «кубом» явля¬ ется обычный куб трехмерного пространства. Соответствующую «пирамиду» мы уже представить не можем, поскольку она нахо¬ дится в четырехмерном пространстве, тем не менее мы знаем количество шаров в ней. Оно выражается суммой SjW=.l> + 2> + ... + n»_^±I>!. как уже доказано методом Никомаха. Впрочем, формулу для S^in) мы не доказали, позаимствовав ее у Архимеда. Выведем ее, используя тождество (£+-1)3 = = £ +3fc2-f-3fc + 1. Из него следует, что v ((б+1)3-^) =3 v k2 + 3 v k-\- v l. k=i k= i k=i k=\ Отсюда S2(n)= £ Ar’=|l ((ft + i)3_^)_ £ k-±£ 1. k= 1 * k = I k=l 6 k=\ Рассмотрим суммы, стоящие в правой части равенства: п • ((fe+ 1 )3-*3) = (23— I3) + (З3 —23) + (43 — З3) + ...+ + ((л + 1)3 —л3) = (л + 1)3—I3, V h с/ \ пИ+|) V 1 2]k = S(n)= s , 2 1 =п- *=1 1 k=1 Поэтому с _ V 1.2 1 //и I ИЗ п я (я-1-1) п _ п (л + 1) (2/1+1) S2(^)= =у ((П+1) “О 2 Т “ 6 * Аналогично можно вывести формулу для S^n), не прибегая к гномонам и геометрическим построениям, но используя тож¬ дество (£+-1 )4 = &4+-4/г3+-6/г2+-4/г+-1 и формулы для S(m) и S2{n). Читатели могут это проделать самостоятельно. Формула
для произвольной степенной суммы выводится следующим об¬ разом. По биному Ньютона имеем: (fc -|- 1 )р_м — kp+1 =Cxp+\kp -{-C2p+\kp~1 +Cj5+ 2-{-••• + Q!+i& +1. Просуммируем обе части этого равенства по k от 1 до п и выразим из него сумму р-х ступеней, учитывая, что коэффициент перед этой суммой равен Cj,+ i=p+\: SP(n)= f kp = k= i = ^тт,|, ((*+*r+[-b"^'-cU>bp-'-c}+ik''-2- -...—a+lk-1). Так как 2 ((k+\)n+l—kp+l) = (n-)-\)p+l— \, то оконча- k= i тельно имеем: ==^qrr((rt+ •)',+ l— n— 1 — Cj+tSP-\(n) — -C3p+iSP-2(n)-...-CpP+lS(n)). (17) Пользуясь этой формулой, можно найти выражение для SP(n), если известны S(n), S^n), ..., Sp_ i(n). Поскольку мы знаем S(n), 5г(п) и 8з(п), то нетрудно подсчитать, что n(n + l) (2л+1) (Зп2 + Зп-1) S4(n) = 1 + 2 +... + «=■ 30 \2 /о„2 S5(n)=l5 + 25 + ... + n5 = - (" + ■) (g +2" + ») И т. д. Если раскрыть в формуле (17) скобки, то сумма Sp(n) ока¬ жется выраженной в виде многочлена от п. Строение этих мно¬ гочленов изучал выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли (1654—1705), который в труде «Искусство пред¬ положений» (1713) доказал, что они имеют следующий общий вид: С /„г , C'B.fi'-1 , С'Въп'-* , ■W) П + ~ + 2 H 4 + , СрВзпр~5 , С7рВ4пр-7 Н g 1 g h- • (18) Приглядимся повнимательнее к правой части равенства. Первые три показателя степеней п равны р-\-1, р и р— 1, а затем они убы¬ вают с каждым шагом на две единицы. Сумма конечна: послед¬ ний показатель равен единице, если р четно, и равен двум, если р нечетно. Числа С1Р, Ср, Ср, ... — биномиальные коэффициенты. Особый интерес представляют входящие в формулу (18) коэффициенты fli, В2, Вз, В4, ... . Их называют числами Бер-
нулли. Встречаются они во многих вопросах математического анализа и теории чисел. Для их нахождения положим в этой формуле п= 1. Учитывая, что Sp( 1) = 1, получим: 1 = + у Т Т + -g-Cpfi4-f..., (19) т. е. сумма всех коэффициентов в многочлене Sp(n) равна единице. Пусть теперь р = 2. Так как С2 = 2, С2 = С2 = ...=0, то в (19) останутся лишь три слагаемых, откуда В, = -^. Рас¬ сматривая затем равенство (19) при р = 4, 6, 8, найдем последовательно числа В2= — ^у В3 = В4= — ... . Можно доказать, что вообще знаки чисел Бернулли чередуются. С именами Якоба Бернулли, открывшего эти числа, его млад¬ шего брата Иоганна (учителя Эйлера) и других представи¬ телей необычайно богатого талантами рода Бернулли мы еще встретимся в последующих главах. 14. Проблемы Варинга и Гольдбаха В п. 11 мы познакомились с задачей о представлении нату¬ рального числа в виде суммы не более чем 4 квадратов, которая была положительно решена Лагранжем в 1770 г. В том же году английский математик Эдвард Варинг (1734—1798) выска¬ зал утверждение, что всякое натуральное число может быть пред¬ ставлено в виде суммы не более 4 квадратов, или 9 кубов, или 19 четвертых степеней и т. д. Например, для числа 17 имеем: 17 = 32 + 22 + 22 = 42+ 12, 17 = 23 + 23+ 13, 17 = 24+14. Это утверждение получило название гипотезы или проблемы Варинга, которую можно более строго сформулировать сле¬ дующим образом: для любого показателя п^2 найдется такое число k, зависящее только от п, что всякое натуральное число N может быть представлено в виде суммы W = *f + *2 + ...+jrf, где х\у ..., хь принимают значения 0, 1, 2, ... . Если все х\у ..., xk отличны от нуля, то число слагаемых в правой части равно &, в противном случае их меньше чем к. Важно, что к не зависит от самого числа N, иначе утверждение было бы очевидным: мы записали бы N= 1Л + 1л + ... + Г (N слагаемых). В течение долгого времени ученые не могли решить проблему 58
Варинга. Сделать это удалось лишь в 1909 г. выдающемуся немецкому математику Давиду Гильберту (1862—1943). Он показал, что гипотеза Варинга верна, правда, данная им оценка числа k = k(n) была довольно грубой. Гильберт за¬ нимался этой проблемой в течение почти двух лет, сосредо¬ точив на ней все свое внимание. Такой стиль работы был в ха¬ рактере ученого. Приступив к какой-либо задаче, он не переклю¬ чался ни на что другое, даже если на решение уходили годы. Своими фундаментальными результатами в различных облас¬ тях математики, высокой требовательностью к строгости изложе¬ ния Гильберт снискал себе огромный научный авторитет среди современников. Вместе с тем его исследования оказали сущест¬ венное влияние на дальнейшее развитие почти всех разделов математической науки. «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» — так начал Д. Гильберт свой доклад на Втором международном математическом конгрессе, состоявшемся в Париже в 1900 г. В этом докладе, сделанном на рубеже нового столетия, Гильберт сформулировал 23 проблемы, решение которых, на его взгляд, могло бы значительно стимулировать дальнейшее развитие науки. Гильберт оказался провидцем—его проблемы определили в значительной степени направление развития мате¬ матики XX в. После решения Гильбертом проблемы Варинга математики стремились уточнить границы k(п). Наилучший результат полу¬ чил советский математик Иван Матвеевич Виногра¬ дов (1891 —1983) —питомец Петербургской математической школы, основанной Чебышевым. Научные интересы Виноградова лежали в области аналитической теории чисел. Здесь он явился продолжателем дела всей замечательной плеяды петербургских математиков, получивших, начиная с Эйлера, значительные результаты в теории чисел. Виноградов создал оригинальный метод тригонометрических сумм, с помощью которого решил ряд теоретико-числовых проблем. В частности, в 1934 г. он улучшил результат Гильберта в решении проблемы Варинга, указав более точные границы для k(n). За большие научные заслуги Виноградов был избран членом многих иностранных академий. С 1932 г. он возглавил Физико-математический инсти¬ тут Академии наук, основанный в 1920 г. замечательным русским математиком Владимиром Андреевичем Стекловым. В 1934 г. от этого института отделился Математический институт, полу¬ чивший имя Стеклова, и Виноградов стал его директором. Эту ответственную и почетную должность он бессменно занимал до конца своей жизни. Решение проблемы Варинга и улучшение оценки для числа слагаемых были получены в результате использования методов 59
математического анализа, т. е. привлечения более сложного математического аппарата по сравнению с тем, в котором сформулирована сама проблема. Но математики всегда стреми¬ лись решать арифметические задачи методами самой арифме¬ тики. Поэтому параллельно шел поиск решения проблемы Ва- ринга «элементарными» методами, хотя название «элементар¬ ные» совсем не говорит об их простоте. Такое решение было найдено в 1942 г. советским математиком Юрием Влади¬ мировичем Линником (1915—1972). Познакомимся теперь с проблемой, носящей имя Гольдбаха, который в письме к Эйлеру в 1742 г. высказал гипотезу: «...каж¬ дое число, большее чем 2, есть сумма трех простых чисел». (Аналогичную закономерность столетием раньше подметил Р. Декарт, но опубликованы эти записи были лишь в начале XX в.) В ответном письме Эйлер соглашается с гипотезой и утверждает, что для этого достаточно доказать свойство, подмеченное ранее самим Гольдбахом: «Каждое четное число есть сумма двух простых чисел» (единицу они относили к простым числам). На¬ пример, 2=1 + 1, 3=1 + 1 + 1, 4 = 2 + 2 = 3+ 1, 5 = 2 + 2+ 1 = = 3+1 + 1, 6 = 3 + 3 = 5+ 1, 7 = 3 + 2 + 2 = 3 + 3+1, 8 = 5 + 3 = = 7 + 1, 9 = 5 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = 5 + 3+1 = 7 + 1 + 1. Поскольку сейчас единицу не считают простым числом, то гипотеза Гольд¬ баха звучит так: любое натуральное число, большее 5, пред¬ ставимо в виде суммы трех простых чисел, а утверждение Эйлера так: каждое четное натуральное число, начиная с 4, можно пред¬ ставить в виде суммы двух простых чисел. Покажем, что гипотеза Гольдбаха вытекает из утверждения Эйлера. Для этого рассмотрим произвольное натуральное число, оно может быть четным 2п или нечетным 2я + 1. Так как, по Эйлеру, 2(п— 1) =р\ +р2, то 2п = р\ +р^+>2 и 2я+ 1 =р\ +р2+ 3. Получаем предложение Гольдбаха. Оказывается, верно и об¬ ратное. Пусть 2п — произвольное четное число. По гипотезе Гольдбаха имеем 2(я + 1) =р,+р2 + рз. Одно из трех слагаемых, например р3, четное. Тогда р3 = 2 и 2rt = pi+p2, т. е. из спра¬ ведливости гипотезы Гольдбаха для четных чисел вытекает утверждение Эйлера. Подтверждение гипотезы Гольдбаха для нечетных чисел ничего не дает для четных. Естественно ожидать, что четный случай окажется более трудным по сравнению с нечетным. Гипотеза Гольдбаха для четного Случая (а с ней и утверждение Эйлера) до сих пор не доказана и не опровергнута. Нечетному случаю повезло больше. Сначала английские математики Г. Харди (1877—1947) и Д. Литлвуд (1885—1977) показали (1923) возможность представления достаточно большого нечетного числа в виде суммы трех простых. При этом они исходили из верности неко¬ торого результата, не доказанного до сих пор. Затем (1930) советский математик Лев Генрихович Шнирельман 60
(1905—1938) доказал, что всякое натуральное число, большее единицы, есть сумма не более С простых чисел. Правда, он указал довольно большое значение для числа слагаемых: С = 800000. В дальнейшем, усилиями математиков постоянная С постепенно уменьшалась: в 1936 г. она была доведена до 67, а в 1950 г.— до 20. И только в 1937 г. Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных чисел п (таких, что In (In п) >60368; позже граница была уменьшена). Из получен¬ ного результата следует только, что достаточно большое четное число записывается в виде суммы четырех простых. В 1957 г. опять-таки Виноградовым доказана следующая теорема: любое достаточно большое четное число можно записать в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых имеет не более трех простых множителей. Трудности решения проблемы Гольдбаха, по-видимому, свя¬ заны с тем, что сама проблема формулируется в аддитивной форме (использующей операцию сложения), а связана с понятием простого числа, которое формулируется в мультипликативной форме (на основе операции умножения). Значение проблем Варинга и Гольдбаха для математики заключается не в самих утверждаемых фактах. Ведь от того, что мы, допустим, докажем представимость числа в виде суммы трех простых, мало что изменится. Проблемы эти играют в ис¬ тории математики существенную роль, поскольку в процессе их решения разрабатываются новые методы, способствующие созда¬ нию мощного аппарата теории чисел. Например, Шнирельман в связи с решением проблемы Гольдбаха ввел в математику понятие плотности числовой последовательности, которое оказа¬ лось полезным для решения и других теоретико-числовых и ал¬ гебраических вопросов. Гольдбаху принадлежит еще одна гипотеза (1743): всякое нечетное число есть сумма удвоенного квадрата и простого числа. Многие примеры подтверждают это предположение: 5 = 2-12+ 3; 13=2*1+11=2* 2+5; 31 =2-1* + 29 = 2 * 22 + + 23 = 2-32+13. Но нашлись числа, в частности 5777 и 5993, которые не представляются в таком виде. На самом деле легко убедиться, что разность между любым из этих чисел и удвоенным квадратом последовательных чисел от 1 до 54 (так как 2*542< <5993<2-552) не является простым числом. Таким образом, эта гипотеза Гольдбаха оказалась неверной. Однако и она не была бесполезной для математики. Сам автор гипотезы писал Эйлеру в том же письме, в котором сформулировал свою зна¬ менитую проблему: «Я считаю небесполезными и такие пред¬ ложения, которые весьма вероятны, хотя и недостает их настоя¬ щего доказательства, ибо если даже они затем окажутся лож¬ ными, они могут дать повод к открытию какой-либо новой истины». 61
Именно так обстояло дело в данном случае В 1923 г. Харди и Литлвуд ослабили гипотезу Гольдбаха, высказав предполо¬ жение: достаточно большое нечетное число есть сумма двух квадратов и простого числа. Доказано оно Линником в 1960 г. Отметим еще одно наблюдение Гольдбаха — число 4я4 + 1 при /; ;> 1 составное: 4лг4 -h 1 = ( 2az2 -j- 2лг -(- 1) (2п2 — 2п -+ 1). В то же время числа вида гг+1 могут быть как простыми (22+1=5, 42 + 1 = 17, 102+1 = 101), так и составными (82 -|- 1 = 65, 122-f 1 = 145). До сих пор неизвестно, конечно ли множество простых чисел вида п2-\-\. Сколько же загадок хранит в себе натуральный ряд — эта бесконечная вереница чисел! Работы здесь хватит и совре¬ менным, и будущим математикам. Читатели, конечно, помнят, как герои жюль-верновского «Таинственного острова» сумели получить за несколько посевов громадный урожай пшеницы, вырастив его из одного-един- ственного зернышка, которое затерялось в кармане Герберта Брауна. Напомним, как планировал этот урожай Сайрус Смит: «...посадив это зернышко, мы при первом сборе урожая снимем восемьсот зерен, которые при втором сборе дадут шестьсот сорок тысяч зерен, при третьем — пятьсот двенадцать миллио¬ нов, а при четвертом — свыше четырехсот миллиардов зерен...» Сайрус Смит добавил при этом, что размножение пшеницы — ничто по сравнению с маком и табаком, у которого один корень дает триста шестьдесят тысяч семечек. Здесь мы встречаемся с тем, что математики называют геометрической прогрессией. Напомним, что так называют после¬ довательность чисел b 1, /?2> Ьп каждый последующий член которой получается из преды¬ дущего умножением на одно и то же число q=£ 0, называемое знаменателем прогрессии. С гео¬ метрическими прогрессиями люди сталкивались уже давно. Они упоминаются и в древнева¬ вилонских законах, начертан¬ ных в XVIII в. до н. э. по прика¬ зу царя Хаммурапи на камен¬ ной стеле, и в законах Афин и Рима, и в «Русской Правде». Обычно в этих законах речь шла либо о возрастании долга (в случае, когда проценты на¬ 15. Кролики, коровы и телки 62
числяются не только на основную сумму долга, но и на уже выросшие проценты), либо о размножении скота. О том, на¬ сколько быстр этот рост, видно из примера с зернышком пше¬ ницы. Но это, скажет читатель, бывает только в научно-фан¬ тастических романах. Оказывается, нет — такой рост бывал и в жизни и приводил к серьезным последствиям. Завезенные в Австралию кролики так быстро размножились, что стали на¬ циональным бедствием. Но бывают случаи размножения по более сложному закону, чем геометрическая прогрессия. Один из них рассмотрен Лео¬ нардо Пизанским в «Книге абака». Приведем его задачу: «Некто поместил пару кроликов в некотором месте, огорожен¬ ном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство кролики приносят со второго месяца своего рож¬ дения. Сколько пар кроликов в один год от одной пары рож¬ дается?» Решим эту задачу. В начале первого месяца была одна пара, в начале второ¬ го — две пары. Причем одна из них зрелая, т. е. способная через месяц принести потомство, вторая нет. Поэтому в начале третьего месяца будет три пары, две из них уже зрелые. Затем станет пять пар (три пары были и две — новое потомство), причем только три из них зрелые, и т. д. Составим таблицу. Начало месяца 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Число зрелых пар 1 1 2 3 5 8 13 21 34 1 55 1 89 144 233 Число всех пар | 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 Обозначим п-е число во вто¬ рой строке через ип. Мы видим, что иi = l, */2=1, и3 = 2, М4 = 3, м5 = 5 и т. д. Закон образования элементов последовательности 1, 1, 2, 3, 5, ... таков: каждое последующее число равно сум¬ ме двух предыдущих. Поэтому достаточно знать первые два члена этой последовательности, чтобы найти все ее дальнейшие элементы. Естественно рассматривать бесконечную последовательность
и 1, и2у из, ип, ..., образованную по этому принципу. Элементы ее называют чис¬ лами Фибоначчи. Для нее м3 = м2 + и\у м4 = из + и2, M5 = w4 + w3 и т. д.; вообще для произвольного номера п= 1, 2, ... имеем ип + 2 = ип + \ +ип. Итак, чтобы вычислить (п-\-2)-й член этой последовательности, нужно вернуться к (/г -f- 1) -му и я-му, но для нахождения (я+1)-го нужно сделать еще шаг назад и т. д.; попятное, или возвратное, движение продолжается до тех пор, пока не придем к первым двум членам. Такое возвратное дви¬ жение в математике принято называть рекуррентным (от лат. recurrere — возвращаться назад). А последовательность, для ко¬ торой существует формула, позволяющая найти п-й член по из¬ вестным предыдущим, называется рекуррентной или возвратной. Мы уже встречались в этой главе с рекуррентными после¬ довательностями: это числа Люка, степенные суммы, числа Бернулли. Читатели, несомненно, вспомнили и более простые последовательности такого типа — арифметическую и геомет¬ рическую прогрессии. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением од¬ ного и того же числа d — разности прогрессии: an+\=an-\-d, а в геометрической — умножением на одно и то же число q — знаменатель прогрессии: bn + \ = bnq. Вернемся к числам Фибоначчи. Рекуррентное соотношение ип + 2 = ип + \ + которому подчиняются члены этой последова¬ тельности, является линейным. В общем виде такое соотношение может быть записано следующим образом: Xn+k = alXn+ii-\ + a2xtl+k-2 + -.- + akxn. (20) Здесь ai, ..., а* — постоянные коэффициенты, хп—общий член рекуррентной последовательности. Число k называют порядком соотношения (20). Оно показывает, сколько предыдущих членов надо знать для вычисления *„ + *. Например, соотношение Фи¬ боначчи имеет второй порядок, рекуррентные формулы для ариф¬ метической и геометрической прогрессий — первый порядок. Соотношение (20) позволяет выразить произвольный член хп последовательности без обращения к предыдущим. Для этого составляют уравнение Хк = а]Хк 1 + а2кк 2 + ... Н~ciky (21) называемое характеристическим для (20), и находят его корни. Если корни А,1, ..., Xk уравнения (21) различны, то искомая формула для хп имеет вид: хп = Ci А.” -(- C‘2^2 -f-... (22) Здесь числа с\, ..., с* определяются заданием первых k членов последовательности. Верность полученного результата проверяет¬ ся непосредственной подстановкой. Может случиться, что среди 64
корней характеристического уравнения есть равные между собой, например к\ =А,2 = ... = А,т. Тогда в выражении (22) надо заме¬ нить сумму С\к'\ +... + CmAm На (^1 С2ПС тпт) Х'\. Применим описанный метод к выводу формулы для чисел Фибоначчи. Здесь ип + 2 = ип+ \ + Запишем соответствующее ха¬ рактеристическое уравнение: Л2 = Л+1. Его корнями являются *+V5 . 1 —л/5 п числа к\ = —^— и ^2 =—2—* Поэтому члены последователь¬ ности, удовлетворяющей данному рекуррентному соотношению, имеют вид: /1 +л/5у /1—л/5\« — С, 2 ^ +С2\—— ) ■ Чтобы найти с 1 и с2, воспользуемся тем, что первые два члена этой последовательности нам известны: иi = l, и2=\. В резуль¬ тате приходим к системе ‘+V5 , „ 1-V5 1 =С 1 5 b С2 2 3-V5 Из нее находим с\=— с2 = -р, и поэтому у5 1 //i+Vsy /i-V5y\ “#* д/5 \ \ 2 ) ( 2 ) )• Эта формула называется формулой Бине по имени получившего ее французского математика Жака Бине (1786—1856). о л/^-Ь 1 оаметим, что число —^— встретится нам в геометрическом разделе, когда мы будем говорить о золотом сечении. Свойства чисел Фибоначчи можно получить либо из рекур¬ рентного соотношения ип + 2 = ип + \-\-ип, либо с помощью формулы Бине. Например, чтобы доказать, что каждое третье из чисел Фибоначчи четное, удобнее пользоваться рекуррентной форму¬ лой. В самом деле, так как и\ = и2 = 1, то ясно, что сумма из этих чисел четна. Поэтому ua = u$-\-u2 нечетно как сумма четного и нечетного чисел, а иъ = и^ + из нечетно как сумма нечетного и четного чисел. Но тогда ие = и^-\-и4 снова четно как сумма двух нечетных чисел. Продолжая это рассуждение дальше, видим, что четность чисел Фибоначчи идет в таком порядке: н, н, ч, н, н, ч, ... . Аналогично показывается, что каждое четвертое число Фибоначчи делится на 3, а каждое шестое — на 4 и т. д. Вообще числа, делящиеся на d, встречаются периодически. Далее, из равенства ип + 2 = ип + \ + ип следует, что НОД (ип+2, ип+\) =НОД (ип+\, ип). Пятясь таким образом назад, придем к НОД (и2у иi) = 3. Зак 4723 H. Я. Виленкин 65
= НОД(1, 1) = 1, а потому каждые два соседних числа Фи¬ боначчи взаимно просты. В то же время доказать, что сумма квадратов двух соседних чисел Фибоначчи снова является числом Фибоначчи, проще с по¬ мощью формулы Бине. В самом деле, из этой формулы следует, что Поэтому 2,2 1 // 1 -нл/5Ч-" 5 + V5 /1 — V5\2« а—ч&\ U- + U +!— -д-Ц 2 ) 2 2 ) ' 2 ) ~ 1 //1+л/5\2"+ 1 /1-л/5\2»+1\ = Vf((—) “I—) Числами Фибоначчи описываются некоторые количественные соотношения в растительном мире. Например, семечки в корзин¬ ке подсолнуха расположены по спиралям, закрученным в двух направлениях. Аналогично расположены цветки в соцветии ро¬ машки, чешуйки на многих шишках и т. д. При этом количество спиралей разных видов выражается, как правило, соседними числами Фибоначчи. Например, у ромашки количество спиралей, идущих в разных направлениях, может равняться 13 и 21, а у круп¬ ных подсолнухов — 55 и 89. Числа Фибоначчи оказались связанными со многими зада¬ чами геометрии и математического анализа, в частности с зада¬ чей о нахождении оптимальной стратегии поиска приближен¬ ного экстремума функции на данном интервале. С помощью этих чисел была решена одна из важных математических проблем — 10-я проблема Гильберта, о чем будет рассказано в следующей главе. Через полтора века после написания «Книги абака» на другом конце мира — в далекой Индии, уже упоминавшийся на¬ ми математик Нарайана напи¬ сал книгу «Биджаганита» (что означает «искусство вычисле¬ ний»), в которой решил задачу, похожую на задачу Леонардо о кроликах. В этой задаче надо было найти число коров и телок, происходящих от одной коровы 66
в течение 20 лет, при условии, что корова в начале каждого года приносит телку, а телка дает такое же потомство в начале года, достигнув трех лет. Задачу Нарайаны тоже можно решить, со¬ ставив рекуррентное соотношение. Но здесь в начале п-го года надо различать следующие числа: число хп коров, которые в это время принесли потомство (число новорожденных телок тоже равно хп), число уп телок, которые принесут потомство через год, число гп телок, которые принесут потомство через два года. Общее число голов в стаде равно 2хп + уп-\- гп. В силу условия задачи эти числа связаны следующей системой соотношений: Хп+\ == Хп-\~уп<, £/rt-j_i=Zrt, Zn -f | == Xn. При этом *1 = 1, у 1=0, гi=0, и потому х* = 1, х3 = 1. Пользуясь этими равенствами, можно исключить из системы уп, уп+ i, zn, z„ + i и получить одно рекуррентное соотношение хп + з = хп + 2 + Хп. Находить формулу для хп с помощью характеристического урав¬ нения нецелесообразно, так как такое уравнение а,3 = Л +-1 имеет только один действительный корень. Лучше вычислять непосредственно х4 = Хз + Х\ =2, л:б = х4-(-дг3 = 3 и т. д. Получаем последовательность 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872. Значит, все стадо через 20 лет будет со¬ стоять из 2-872 + 595 + 406 = 2745 голов. Однако сам Нарайана решал эту задачу иначе, используя введенные им р-симплициальные числа Ф^;(я) (см. п. 12). Его решение заключается в следующем: 1. Корова приносит 20 = Ф^1}(20) телок первого поколения. 2. Первая телка первого поколения дает 17 телок второго поколения, вторая— 16 и т. д. Всего будет 17+-16+-15 + ...+-1 телок второго поколения. Но эта сумма равна Ф^2)(17). 3. Учитывая потомство телок второго поколения, нахо¬ дим: число телок третьего поколения равно Ф^2)( 14)+-Ф^2)( 13)+- + ... + Ф^2)(1). Эта сумма равна Ф^3)(14). 4. Продолжая процесс, получаем, что численность всего стада через 20 лет будет равна 1+Ф^,}(20)-f Ф^2)( 17)+-Ф^3)( 14) + +-Ф^4)( 11) +Ф^5)(8) +-Ф^6)(5) +Ф^7)(2) = 1 + 20 + 153 + 560 + + 1001 +- 792 + 210 +- 8 = 2745. Как показали исследования историков математики, за тысячу лет до Фибоначчи в работах Теона Смирнского уже содер¬ жались рекуррентные последовательности. Но там речь шла не о размножении кроликов или коров, а о вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне. Поскольку этот результат тесно связан с историей развития понятия числа, то естественно сначала обратиться к ней. 3* 67
16. Великая тайна пифагорейцев Древние знали лишь натуральные числа 1, 2, 3, 4, кото¬ рые им были нужны для счета предметов. Как же они обходи¬ лись без нуля и без отрицательных чисел? Все дело в том, что вычисления в древности производились на счетных досках: в Греции и Риме — это «абак», в Китае — «сун-пан». Да и у нас сейчас наряду с микрокалькуляторами используются счеты. А для работы на них нужны только натуральные числа. Знак нуля потребовался лишь при записи чисел в позиционной системе счисления для указания пропущенного разряда. Поэтому и появился он впервые у вавилонян, располагавших 60-ричной системой счисления. В вавилонских табличках нуль изображался в виде сдвоенного угла ^ . От вавилонян нуль перешел к греческим астрономам, записывавшим его в виде кружка (по первой букве греческого слова ovbuv — ничто). Дальнейший путь этого знака традиционный: из Греции в Индию, затем в арабские страны, а позже в Европу. Заметим, что индийцы называли нуль словом «сунья» (пустое), арабы перевели его соответствую¬ щим словом «ас-сыфр». В латинском языке это слово оставили почти без изменения. От латинского cifra и образовалось наше «цифра». Кажется вполне естественным, что вслед за натуральными числами должны были появиться отрицательные. Ведь нет ничего проще, чем обозначить долг, возникающий в процессе товарооб¬ мена, отрицательным числом. История же рассудила иначе: раньше, чем отрицательные, возникли рациональные числа. И спо¬ собствовали этому вопросы измерений. Ведь для измерений нужны лишь положительные числа. А поскольку результаты не всегда выражались целыми числами единиц измерения, стали использовать различные доли этой единицы. Так появились по¬ ложительные рациональные числа. Правда, древние греки не счи¬ тали их числами, а говорили о них лишь как об отношении натуральных. Пифагорейцы были уверены в том, что с помощью натуральных чисел можно выразить все свойства окружающего мира и все измерить. И вдруг они обнаруживают, что отношение диагонали квадрата к его стороне невозможно выразить с по¬ мощью натуральных чисел. Это открытие было как гром среди ясного неба. Подрыва¬ лась основа философских взглядов пифагорейцев, их лозунг «Весь мир есть число» становился несостоятельным. Поэтому открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной хранилось ими как великая тайна. Говорят даже, что Гиппаса Месопотамского, разгласившего ее, изгнали из сообщества пифа¬ горейцев. Но тем не менее недостаточность натуральных чисел стала явной, нужно было срочно искать выход из сложившейся кризисной ситуации. 68
Нашел его великий древнегреческий ученый Евдокс Книд¬ ский (ок: 408 — ок. 355 до н.э.). Идея Евдокса заключалась в следующем. Поскольку длины отрезков не всегда выражаются рациональными числами, то надо обратиться к самим отрезкам. Он назвал отрезки величинами и стал рассматривать отношения величин, показав, что для них выполняются все естественные числовые свойства. Тем самым Евдокс фактически расширил множество рациональных чисел до множества действительных. Однако еще более двух тысячелетий математики не считали вели¬ чины числами. Тем не менее работать с ними начали уже антич¬ ные математики, предъявлявшие к формулировкам, построениям и доказательствам требования высокой точности. Использование отношений величин заставило их обратиться к геометрической форме изложения. Стала развиваться геометрическая алгебра, базирующаяся на геометрических объектах: отрезках, прямо¬ угольниках и т. п. Геометризация математики сдерживала появление отрица¬ тельных чисел. Ведь для выражения длин, площадей или объемов они не нужны. Поэтому потребность в отрицательных числах в Европе долго не возникала. Не так обстояло дело на Востоке. В Китае отрицательные числа появились еще до новой эры. В «Математике в девяти книгах» (ок. II в. до н. э.) они встре¬ чаются в условиях некоторых задач и в промежуточных вычисле¬ ниях. Из Китая отрицательные числа, по-видимому, попали в Индию, а оттуда к арабам. Но всюду они употреблялись лишь эпизодически. В Европе отрицательные числа впервые появились у Диофан¬ та, который отошел от геометрических доказательств. В «Ариф¬ метике» он даже формулирует правила действия над ними: «Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недоста¬ ток же, умноженный на наличие, дает недостаток». Но и у Диофанта отрицательные числа играют вспомогательную роль: они используются лишь в промежуточных вычислениях; условие задачи и ответ всегда даются в положительных числах. И не прослеживается какого-либо влияния этого трактата на развитие математики в Европе в последующее тысячелетие. В средние века к отрицательным числам вновь обратился Леонардо Пизанский, толковавший их как долг. Еще долго на отрицательные чис¬ ла смотрели как на досадную необходимость, возникающую при вычислениях. Лишь с середины XVII в., когда их стали изображать на числовой оси, отрицательные числа обрели права гражданства. А теперь обратимся к результату Теона Смирнского. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной пока¬ зала, что отношение этих двух величин (число л]2) нельзя запи¬ сать в виде отношения двух натуральных чисел. А если взять бесконечную последовательность таких отношений? Другими словами, найти приближение числа л]2 рациональными числами. 69
Рис. 7 Такую задачу поставил перед собой греческий математик Теон Смирнс¬ кий, живший во II в. н. э. Как видим, в начале новой эры древнегреческие ученые уже интересовались практичес¬ кими вопросами, в том числе и прибли¬ жениями, чего раньше они себе никогда не разрешали. Правда, в этом вопросе у них были предшественники: еще вави¬ лоняне для практических целей находи¬ ли приближения квадратных корней из произвольных чисел. Но у Теона как истинного представителя греческой ма¬ тематики было иное, чисто геометрическое решение этой задачи. Пусть а — сторона, Ь — диагональ квадрата, тогда -^/2= — . Вычтем из диагонали сторону, получим а\—Ь — а (рис. 7). Рас¬ смотрим меньший из имеющихся отрезков а и а\. Снова вычтем из большего меньший: а — а\=Ь\. Отрезки а\ и Ь\ представляют собой соответственно сторону и диагональ меньшего квадрата, причем а = а\ +Ь\ и Ь = 2а\ +Ь\. Аналогично вычитая из диагона¬ ли Ь\ сторону а\9 найдем а2, затем 62 = а,— а2 и т. д. На k-м шаге получим квадрат со стороной а* и диагональю &*, для которых выполняются равенства dk—\ =CLk~\- bkj bk— i =2a* -f- bk. Остановим процесс на п-м шаге. Если п — достаточно боль¬ шое число, то соответствующий квадрат столь мал, что можно считать ап равным Ьп• Поскольку нам будут нужны отношения —, то для удобства положим an = bn— 1. Обозначим а* = = an~k+1, $k = bn-k+1, т. е. будем рассматривать последователь¬ ность сторон и диагоналей квадратов в порядке, обратном их построению. Числа ai, a2, ... и Рь р2, ... связаны рекуррентными соотношениями ОС-Аг -)- 1 = Л* + fU, Р*+1 =2a* + р/г. Так как а\=ап = 1 и р, = 6„=1, то мЫ можем выписать по нескольку членов последовательностей (а%) и (р*); 1, 2, 5, 12, 29, 1, 3, 7, 17, 41 ... . Числа первой из них пифагорейцы называли боковыми, а вто¬ рой— диагональными. Деля поочередно каждое диагональное число на стоящее над ним боковое, получим дроби вида 70
j^. Будем обозначать их через xk. Тогда xi =-j- = 1, х2 = -|- = 1,5, л'3 = у=1,4, х4 = -||~ 1,417, 1,414, ... . Они дают при¬ ближение числа -у/2 с возрастающей точностью, попеременно становясь то меньше Л/2, то больше. Очевидно, для Xk имеет 2 + ** место рекуррентное соотношение хк+1 = t . Отметим, что pl+« - 2ai+1 = (2а, + р*)2 - 2(а* + р*)2 = 2а\- р£, т. е. при переходе к следующему номеру разность р* — 2а| ме¬ няет знак. Так как р2 —2а2= —1, то отсюда следует рI — — 2а 1=( — 1)*. Таким образом, числа р* и а* при четных k явля¬ ются решениями уравнения х2 — 2у2 = \. Оно является частным случаем уравнения Пелля, о котором мы будем говорить в сле¬ дующей главе.
Необычайный расцвет древнегреческой науки в IV—III вв. до н. э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яр¬ кий факел. В III в. уже новой эры появляется сочинение алек¬ сандрийского математика Диофанта «Арифметика». О жизни са¬ мого Диофанта нам известно только из стихотворения, содер¬ жащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содер¬ жалось 48 задач в стихах, собранных греческим поэтом и мате¬ матиком VI в. Метродором. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта. Последняя оформлена в виде эпитафии — надгробной надписи. Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять, лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей. Решив эту задачу, читатели смогут расставить основные вехи жизненного пути Диофанта. Трактат «Арифметика» занимает особое место в античной математике не только по времени своего появления, но и по со¬ держанию. Большую его часть составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Но, главное, автор использует не геометрический подход, как это было принято у древних греков,— решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико¬ числовые методы. 72
К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6, а остальные погибли в перипетиях тогдашнего бурного времени. Достаточно сказать, что через 100 лет после смерти Диофанта была сожжена знаменитая александрийская библиотека, содержавшая бесценные сокровища древнегреческой науки. 1. В ответе только целые числа Задачи диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, а проблемы решения уравнений относятся скорее к алгебре, чем к арифметике. Почему же мы говорим о них в этом разделе? Дело в том, что задачи эти имеют специфические осо¬ бенности. Но прежде чем говорить о них, рассмотрим вполне современную простенькую задачу. За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200 р. и 500 р. Какими способами он может расплатиться? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2х + 5*/=17 с двумя неизвестными х и у. Такие урав¬ нения имеют бесконечное множество решений. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида / 17 — 2jc \ и »» v nr, —-—). Но для нашей практической задачи годятся только целые неотрицательные значения х и у (рвать купюры на части не стоит). Поэтому приходим к такой постановке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2х-\-Ьу=\7. Ответ содержит уже не бесконечно много, а всего лишь две пары чисел (1,3) и (6, 1). Теперь скажем об особенностях диофантовых задач. Во- первых, они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопреде¬ ленные, т. е. число уравнений в них меньше числа неизвестных. Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто на¬ туральные. Для выделения та¬ ких решений из всего бесконеч¬ ного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел, а это уже относится к области арифметики. Кстати сказать, сам Диофант находит рациональные решения своих задач. Вот несколько за¬ дач из его «Арифметики». 73
1. Найти два числа так, чтобы их произведение находилось в заданном отношении к их сумме. 2. Найти три квадрата так, чтобы сумма их квадратов тоже была квадратом. 3. Найти два числа так, чтобы их произведение делалось кубом как при прибавлении, так и при вычитании их суммы. 4. Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13. Приведем диофантово решение последней задачи. Он пола¬ гает первое число (обозначим его через А) равным х + 2, а вто¬ рое число В равным 2х — 3, указывая, что коэффициент перед х можно взять и другой. Решая уравнение (х + 2) + (2х — 3)2= 13, п . 8 » 18 г) 1 Диофант находит *= — , откуда А = В = —. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмем произвольный коэффициент перед х в выражении для В. Пусть снова А = = jt + 2, a B = kx — 3, тогда из уравнения (х + 2) + (kx — Ъ)2— 13 2(3* —2) получаем х = —5 . Отсюда К “Ь 1 . 2(k2 + 3k- 1) D 3*-’ — 4Л — 3 A=S—#+\ ’ В= *-’+! ' Теперь становятся понятны рассуждения Диофанта. Он вво¬ дит очень удобную подстановку А=х +2, В = 2х — 3, которая с учетом условия 22 + 32= 13 позволяет понизить степень квад¬ ратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве В взять 2х+3 или еще проще х±3, но тогда получаются отри¬ цательные значения для В, чего Диофант не допускал. Оче¬ видно, k = 2 — наименьшее натуральное число, при котором А и В положительны. И хотя Диофант приводит решение задачи в конкретных числах, чувствуется, что он владеет общим методом. Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математика¬ ми вопрос о решении неопределенных уравнений только в целых числах. Надо сказать, что это не было изобретением Ферма — он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далекие от нас времена. Примерно в то же время, когда жил Диофант, далеко на Востоке, в Китае, были популярны задачи на деление с остатком и задачи о птицах. Приведем в качестве примера одну задачу из древнего китайского сборника: «Найти число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 — остаток 3, а при делении на 7 — остаток 2». (Интересно, что эта задача с теми же числовыми данными почти через тысячелетие встречается в «Книге абака» Леонардо Пизанского.) Рассмотрим решение этой задачи китайским математиком 74
Сунь-цзы (III или IV в.): «При делении на 3 остаток есть 2, поэтому возьмем 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмем 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмем 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ». (Вспомните числовой фокус, рассмотренный в главе I п. 2.) Разберем решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 дает остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берется число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Оче¬ видно, для числа 233=140 + 63 + 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида м = 105/ + 233. В свою очередь 233 = 2* 105 + 23, поэтому все натуральные реше¬ ния можно записать формулой п = 105£ + 23, где k = 0y 1, .... При /? = 0 из нее получаем наименьшее натуральное решение 23. Древние математики находили в большинстве случаев одно, реже несколько решений неопределенных задач и в основном подбором. Правда, за этим подбором, как правило, стояла система, разгадав которую мы, вооруженные современной символикой, можем записать все искомые решения уравнения. В нынешней математике существует целое направление, занимающееся иссле¬ дованиями диофантовых уравнений, поиском способов их реше¬ ний. Называется оно диофантовым анализом или диофантовой геометрией, поскольку использует геометрические способы дока¬ зательств. Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. Рассмотрим сначала уравнения первой степени. Так как решение линейного уравнения с одним неизвестным не пред¬ ставляет интереса, то обратимся к уравнениям с двумя неиз¬ вестными. Мы предложим два метода их решения: с помощью алгоритма Евклида и с помощью цепных дробей. 2. Алгоритм Евклида Можно найти наибольший общий делитель натуральных чи¬ сел а и Ьч не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разде¬ лить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом деле¬ нии на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка (так как остатки 75
убывают, то это на каком-то шаге случится). Последний от¬ личный от нуля остаток и есть искомый НОД (а, Ь). Чтобы доказать это утверж¬ дение, представим описанный процесс в виде следующей це¬ почки равенств: если а> b, то Здесь г 1, ..., гп — положи¬ тельные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел а и Ь делит г\ и общий делитель b и г\ делит а, поэтому НОД (а, 6)=НОД(6, г\). Переходя к следующим ра¬ венствам системы (1), получаем: НОД (а, Ь) =НОД (6, г,) =НОД (г,, г2) = = ... = НОД (гп-1, Гп) =НОД (г„, 0) — гп. Утверждение доказано. Приведенный способ нахождения НОД носит название метода последовательного деления с остатком или алгоритма Евклида, поскольку впервые он был изложен в его «Началах». Само слово «алгоритм» имеет арабское происхождение. Algorithmus — латинизированная форма имени замечательного узбекского математика и астронома IX в. ал-Хорезми. Он позна¬ комил арабов с индийской десятичной системой счисления, кото¬ рая потом пришла в Европу. Сначала алгоритмом (алгорифмом) называлась сама десятичная система, а позже — определенная совокупность операций, выполнение которых в указанном порядке приводит к решению поставленной задачи. Обратимся снова к системе (1). Из первого равенства, выра¬ зив остаток г 1 через а и Ьу получим r\=a — bq§. Подставляя его во второе равенство, найдем r2 — b(l-\-qoq\) —aq\. Продолжая этот процесс дальше, мы сможем выразить все остатки через а и Ь, в том числе и последний: гп = Аа-\-ВЬ. В результате нами до¬ казано предложение: если d — наибольший общий делитель натуральных чисел а и Ь, то найдутся такие целые числа А и В, что d = Aa-\-Bb. Заметим, что коэффициенты А и В имеют разные знаки; если НОД (а, b) = 1, то Aa-\-Bb= 1. Как найти числа А и В, видно из алгоритма Евклида. Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид: 76
ax + by = c. (2) Возможны два случая: либо число с делится на ^ = НОД (а, b), либо нет. В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения а\х-\-Ь\у = С\у коэффициенты которого а{ = и ^\ = -j взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых х и у число ах-\-Ьу делится на d и по¬ этому не может равняться числу су которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (2) коэффициенты а и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа х0 и у0, что ax0-\-byo = 1, откуда пара (схо, суо) удовлетворяет уравнению (2). Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (ху у) целых чисел, которые можно найти по формулам х=сх0+Ыу у —суо —at. (3) Здесь t — любое целое число. Нетрудно показать, что других целочисленных решений уравнение ах-\-Ьу = с не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравне¬ ния (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение. Найдем, например, целочисленные решения уже встречавше¬ гося нам уравнения 2х-\-Ъу=\1. Применив к числам 2 и 5 алго¬ ритм Евклида, получим 2*3 —5=1. Значит, пара слг0 = 3* 17, С£/о= —1-17 удовлетворяет уравнению 2х-\-Ьу=\7. Поэтому общее решение исходного уравнения таково: * = 51+5/, у— = — 17 — 2/, где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем /, для которых выпол¬ няются неравенства ( 51 + 5/^0, {—17-2/>0. 51 17 Отсюда найдем —Этим неравенствам удовлетво¬ ряют числа —10, —9. Соответствующие частные решения за¬ пишутся в виде пар: (1,3), (6, 1). Применим этот же метод к решению одной из древних ки¬ тайских задач о птицах. Задача. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету? Для решения этой задачи обозначим искомое число петухов через ху кур через ,*/, а цыплят через 4z (из условия видно, что число цыплят должно делиться на 4).Составим систему уравнений / *+ (/ + 42=100, \5х+4у+ г= 100, 77
которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4, а второе — на ( — 1) и сложив результаты, придем к уравнению — A'+15z = 300 с целочислен¬ ными решениями х=— 300+15/, z — t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим (/ = 400—19/. Значит, целочислен¬ ные решения системы имеют вид х=—300+15/, (/ = 400—19/, 2 = /. Из условия задачи вытекает, что — 300+15/>0, 400— 19/>0, t> 0, откуда 20^/^21-^, т. е. / = 20 или / = 21. Итак, на 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка. Задачи о птицах и задачи на деление с остатком из Китая постепенно распространились в Индию и на Ближний Восток. Впрочем, наверняка указать, где эти задачи возникли впервые, довольно сложно. Интерес к ним объясняется запросами практики. В хозяйственной деятельности человека встречается много задач, допускающих только целые решения. Большую роль в постановке задач на деление с остатком сыграли календарные расчеты, в которых для вычисления различных дат надо было отыскивать промежутки времени, содержащие целое число лет, месяцев, не¬ дель, суток. С течением времени такого типа задачи проникли в Европу. Рассмотрим задачу на деление с остатком из средневекового европейского сборника. Задача. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторож¬ ный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разби¬ лись. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что числа яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо остава¬ лось лишним, а когда она их разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар? Пусть число яиц равно х. Так как х— 1 делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их наименьшее об¬ щее кратное 60. Значит, х имеет вид 60# + 1. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравне¬ ние 60(/+1 = 7г. С помощью 78
алгоритма Евклида находим у0= — 2, z0= —17, откуда все целочисленные решения уравнения имеют вид у=— 2-\-7ty z = = — 17 + 601, где t — любое целое число. Наименьшее поло¬ жительное решение получаем при /=1. В этом случае у = 5, г = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо. Можно было бы найти ответ и подбором—достаточно перебрать числа 1, 61, 121, 181, 241 и 301 и выбрать из них делящееся на 7. 3. Цепные дроби Второй метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от рассмотренного в пре¬ дыдущем пункте, но он связан еще с одним интересным матема¬ тическим понятием. Речь идет о непрерывных или цепных дробях. Чтобы определить их, вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь у можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: ± = а0+1. Но ~=4". и на основании второго равенства той о п о b о Г\ же системы имеем Значит, —!—.Далее ' \ 'I О Г 2 ?, + 7Г а 1 получим — =q0-\ Q | + ■ 1 . г* <72 + — Г 2 Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знамена¬ телю qn. В результате мы представим обыкновенную дробь ~ в следующем виде: а .1 и Qo~\~ I <7i- . 1 q2-\— "+i Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин — цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развернутой записи цепной дроби применяют компактную запись [qo\ q\, <72, •••, qn\. X 40 В качестве примера представим дробь в виДе Цепной:
— = 1 + —= 1+ —= 31 *^31 ^ 31_ 9 = 1+ -т = 1+ -V = 1+ —т- =1‘; 3, 2,4]. 3+1Г 3+т 3+—г ! 2+| Если оборвать дробь [qo\ q\, Я2, .... qn\ на знаменателе qk, то останется дробь [<70; q\, Цъ, •••» q*\ • Обращая ее в обыкновенную, получим . Это выражение называют k-й подходящей дробью Qk для исходной цепной дроби. Посмотрим, как вычисляются под¬ ходящие дроби: Ро до Р\ . 1 ^0^1 -h 1 "q7—“Г; 07~ _ qi ' р2 , 1 Я2 (<Ml + 1) “Ь^О Я^Р\ -\-Ро Q'2 ^0 , I ^2^1+1 ^Ql + Qo Я\-Г — Я 2 и т. д. Вообще имеют место рекуррентные соотношения Pk+\ =</*+1 -Pk + Pk-i и Qk+i=qk+iQk + Qk- i- Докажем, что для любого Л=1, 2, ..., я имеет место формула = (4) Для этого воспользуемся методом математической индукции. В самом деле, для k=\ имеем P0Q\ — P\Qo = qoq\ — (qoq\ + 1) = = — 1 = (— 1)1 - Предположим, что формула (4) верна для но¬ мера к, и перейдем в левой части (4) к номеру Л+1. Используя рекуррентные соотношения, получим: PkQk+1 —Pk+iQk = Pk(qk + iQk-{- Qk-\) — — (qk+ \Pk-\- Pk-1) Qk = — Pk- \Qk~h PkQk-i — (— l)k+ *. Таким образом, формула (4) доказана для любого натураль¬ ного к. Из нее, в частности, вытекает, что числа Pk и Qk взаимно просты. Используем отмеченные нами свойства цепных дробей для решения уравнения (2). Коэффициенты а и b взаимно просты. Разложим у в цепную дробь. При этом ^-=^. Поскольку обе дроби не сократимы, то а = Рп> b = Qn. По свойству (4) имеем ЬРп-\— aQn-i = ( — 1)". Умножив обе части этого равенства на ( — 1)"с, получим ( —1)"+ laQn-\c + + (— 1 )пЬРп-\с = су откуда видно, что пара чисел х0 = = ( — 1)',+ 16'Q«-1, уо= (— 1)псРп -1 представляет собой решение уравнения (2). Общее решение (2), как мы знаем, запишется в виде
*=(-1)"+' С Qn-1+bt, у=( — \)п с Pn-i-at, где t принимает целые значения. Приведем примеры. 1) Рассмотрим уравнение \7х-\-\2>у = Ъ. Поскольку = = 1 Н Ц-, то п = 2, откуда х« = — 5• 3 = — 15, у0= 3+i- Q' = 4-5 = 20 и общее решение имеет видх= — 15+ 13/, */ = 20— 17/. 2) Для уравнения 63х—100у = 90 имеем =[1; 1, 1, 2, 2, 1, 3], т. е. п = 7, Р6 = 27, Q6 = 17, поэтому лг=90-27+ 100/, у = 90-17 + 63/. Иногда на распространенных в позднее средневековье ма¬ тематических турнирах предлагалось решить (конечно, в нату¬ ральных числах) какое-нибудь уравнение типа (2) при довольно больших значениях коэффициентов. Получить такое решение под¬ бором, не имея общей формулы,— задача весьма утомительная. Так во втором примере даже наименьшее натуральное решение х = 30, у =18 (оно получается из общего при /=—24) найти подбором довольно затруднительно. Мы познакомились с разложением в цепную дробь обыкно¬ венной дроби, т. е. рационального числа. Но надо сказать, что в виде цепной дроби можно записать любое действительное число. Только конечными цепными дробями здесь уже не обойтись. В книге [2] приводится разложение в непрерывную дробь числа -д/2. Оно представляет собой периодическую цепную дробь [1; 2, 2, ...]. Оказывается, квадратичные иррациональности (т. е. числа ви¬ да а + &Ус, где а, Ьу с — рациональные числа, а -ус не является рациональным), и только они, раскладываются в бесконечные периодические цепные дроби. На этот факт впервые указал Эйлер, строгое его доказательство дал Лагранж. В качестве примера рассмотрим периодическую цепную дробь jc = [0; 2, 3, 2, 3, ...]. Для нее выполняется равенство х = 1 = j—, откуда число х является корнем квадратного уравне- 2+з+7 -3±Vns ния 2jc +6х —3 = 0, т. е. х = ^ . Так как х>0, то х = -3 + V15 _ 2 Из утверждения Эйлера—Лагранжа вытекает, что иррацио¬ нальные числа, не представимые в виде квадратичной иррацио¬ нальности, изображаются бесконечными непериодическими цеп¬ ными дробями. Интересное разложение нашел первый президент 81
Приведенные разложения поражают своей закономерностью и в какой-то мере объясняют исключительность этих чисел. Конечно, можно было бы дать их компактную запись. Для этого нужно представить полученные дроби в виде цепных с единицами в числителе, но тогда потеряется удивительная красота формул. Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число а записать в виде непрерывной дроби, то подходящая дробь ^ дает наилучшее приближение числа а среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят Qk. Именно в процессе поиска наилучшего приближения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катал ьди (1552—1626) пришел в 1613 г. к цепным дробям, с чего и началось их изучение. Правда, они встречались почти на 40 лет раньше в «Алгебре» другого итальянского матема¬ тика— Рафаэля Бомбелли (ок. 1526—1572). Но Катал ьди выделил цепные дроби в отдельный тип, выявил некоторые их свойства, в частности, показал, что цепная дробь заключена между соседними подходящими дробями. Современное обозначение непрерывных дробей предложил выдающийся нидерландский ученый Христиан Гюйгенс (1629—1695). Читатели в основном знают Гюйгенса как физи¬ ка — основателя волновой теории света. Но он был и замечатель¬ ным математиком, удивительным изобретателем и конструктором. К тому же он писал неплохие стихи, в чем у нас еще будет воз¬ можность убедиться. Гюйгенс разработал теорию упругого удара, описал форму Земли, установил (независимо от Гука) точки таяния льда и кипе¬ ния воды, обнаружил кольцо Сатурна и один из его спутников при помощи сконструированного им «воздушного» телескопа (без 82 Лондонского Королевского общества лорд У. Броункер (1620—1684): Не менее замечательные представления в виде непрерывных дро¬ бей имеют числа е и 1п2:
трубы). Он построил первые маятниковые часы и применил их к определению долготы на море, изобрел пружинный регулятор (балансир) карманных часов. Решая практические задачи, Гюй¬ генс не удовлетворялся простой прикидкой, а всегда обращал¬ ся к строгой математической теории. Работая над маятниковыми часами, он с помощью геометрических рассуждений вывел закон колебания физического маятника. Интересно, что эту задачу перед ним поставил М. Мерсенн. В то время Гюйгенсу было только 15 лет. Через три десятилетия он снова вернулся к этой задаче и полностью решил ее. К цепным дробям Гюйгенс был вынужден обратиться (1680) при построении планетария в Париже. Он хотел получить наилуч¬ шие приближения для отношений периодов обращения планет. Эти отношения и отношения чисел зубцов соответствующих связанных между собой шестерен планетария должны были совпадать. Но числа зубцов шестерен по техническим причинам не могут быть очень большими. Необходимо было так их подоб¬ рать, чтобы полученные отношения как можно меньше отлича¬ лись от истинных. Гюйгенс обратился к цепным дробям и с их помощью нашел решение стоящей перед ним задачи. При этом он детально изучил теорию цепных дробей. Гюйгенс не только успешно использовал математический ап¬ парат при решении практических вопросов, но и многое сделал для его совершенствования. Особенно это относится к математиче¬ скому анализу, где ему принадлежит решение ряда важных задач. Хорошо разбираясь в методах зарождавшегося тогда дифференциального и интегрального исчисления, он предпочитал проводить доказательства геометрическими методами, пользуясь строгим языком древних греков. Безупречность и ясность рас- суждений были его коньком. В заключение вернемся к цепным дробям и отметим их преиму¬ щество и недостаток по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине цепные дроби эф¬ фективно используются в теоретических исследованиях. Но широ¬ кого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей. 4. Пифагоровы тройки Читателям, несомненно, хорошо знакомо уравнение х2 + у2 = г2 (5) Да, конечно, это записана знаменитая теорема Пифагора. Если х и у — длины катетов прямоугольного треугольника, a z — длина 83
его гипотенузы, то равенство (5) утверждает, что площадь квад¬ рата,, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квад¬ ратов, построенных на катетах. И наверное, читатели не раз слышали о том, что результат этот более чем за тысячу лет до Пифагора был известен египтянам и вавилонянам. В практи¬ ческих целях использовали обратное предложение: если числа ху у и z связаны соотношением (5), то треугольник с такими сторонами является прямоугольным. С именем Пифагора теорему связывают потому, что он, по-ви- димому, впервые доказал ее. Существует даже легенда, что в связи с этим событием Пифагор принес в жертву богам гекатомбу (сто быков). В комментариях V в. к «Началам» Евклида об этом сказано скромнее: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Однако нидерландский математик Б. Л. Ван дер Варден, автор замечательной книги «Пробуждающаяся наука», пишет: «...этот рассказ совершенно неправдоподобен, ибо, как известно, Пифагор был непримиримым противником убоя и жертвоприношения животных, а в особенности крупного рогатого скота». К тому же Пифагор верил в переселение душ. Однажды, увидев, как били собаку, он остановил обидчика: «Перестань ее бить, в этой собаке живет душа моего друга: я узнал его по голосу». Так что ясно, что легенда о гекатомбе совершенно лишена основания. А теорема независимо от того, кто и когда ее доказал, была и остается одним из самых гениаль¬ ных человеческих открытий и одним из наиболее часто используе¬ мых геометрических утверждений. Причина, по которой фундаментальная геометрическая теорема попала в эту главу, естественна: ведь уравнение (5) — это диофантово уравнение второй степени. Сейчас мы займемся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (ху уу г). Вообще говоря, уравнению (5) удовлетворяет бес¬ конечно много решений. Но нас будут интересовать только на¬ туральные. Другими словами, наша задача состоит в том, чтобы найти общий вид троек натуральных чисел (ху уу z), удовлетво¬ ряющих (5). Такие тройки называются пифагоровыми (так же как и соответствующие прямоугольные треугольники). Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагорову тройку. Значит, от любой пифагоровой тройки легко перейти к пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимно просты. Такую тройку называют примитивной. Очевидно, для решения поставленной нами задачи достаточно найти общий вид примитивных пифагоровых троек. Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не мо¬ гут быть четными, но в то же время все три числа не могут быть нечетными одновременно. Остается один вариант: два числа нечет¬ 84
ные, а одно четное., Покажем, что z не может быть четным числом. Предположим противное: z = 2m, тогда х и и — не¬ четные числа: x = 2k-\-\y у —21-\-1. В этом случае сумма х2 ■4-у2 = = 4(fc2 + fc + /2-|-/)+2 не делится на 4, в то время как z2 = \m2 делится на 4. Итак, четным числом является либо ху либо у. Пусть х = 2иу у и z — нечетные числа. Обозначим z-\-y = 2vy z — y = 2w.Числа v и w взаимно простые. На самом деле, если бы они имели общий делитель d> 1, то он был бы делителем и для z = v-\-wy и для y = v — wy что противоречит взаимной простоте у и 2. Кроме того, v и w разной четности: иначе бы у и 2 были четными. Из равенства х2= (z + y) (z — y) следует, что u2 = vw. Поскольку v и w взаимно просты, а их произведение явля¬ ется квадратом, то каждый из множителей является квадратом (гл. I, п. 3). Значит, найдутся такие натуральные числа р и q (будем считать p>q)y что v = p2y w = q2. Очевидно, числа р и q взаимно просты и имеют разную четность. Теперь имеем z = = p2 + q2, y = p2~q\ откуда х2= (p2 + q2)2-(p2-q2)2 = 4p2q2. В результате мы доказали, что для любой примитивной пифа¬ горовой тройки (ху уу z) найдутся взаимно простив натуральные числа р и q разной четности, p>q, такие, что дг=2 pq, y=p2 — q2, z=p2 + q2. (6) Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение: при тех же условиях, наложенных на р и qy числа ху уу zy полученные по формулам (6), образуют примитивную пифагорову тройку. Итак, способ нахождения примитивных решений уравнения (5) найден. Все остальные его натуральные решения имеют вид: x=2k pq, y=k(p2 — q2), z=k(p2 + q2), где k — произвольное натуральное число. Кстати сказать, еще вавилоняне знали, что таким способом получаются стороны прямоугольного треугольника. Заметим, что взаимная простота и разная четность для чи¬ сел р и q нужны для того, чтобы тройка (ху уу z) по формулам (6) получалась примитивной. Если же р и q — произвольные натуральные числа (p>q)y то эти формулы тоже задают пифаго¬ рову тройку, но уже необязательно примитивную. Теперь рассмотрим следующую задачу: дано произвольное натуральное число т>2; существует ли пифагоров треуголь¬ никодна из сторон которого равна m? Если потребовать, чтобы заданную длину m имел катет, то для любого m ответ положительный. Докажем это. Пусть сначала т — нечетное число. Положим р = —у—> Q — —• Получаем пифагорову тройку га2 — 1 о 2 2 I 2 га2-|-1 x = 2pq = —j—' y = P ~q =my z = p2 + q 85
Убедитесь в том, что полученная тройка (хУ у, г) примитивная. В случае четного т обозначим т = 21. В свою очередь / тоже может быть четным и нечетным. Для четного I положим p = L откуда соответствующий треугольник имеет стороны x = 2pq = 21= т, у — р2 — q2 = l2 — 1 = ^ 1, z = p2 + q2 = l2 + 1=^ + 1 (это тоже примитивная тройка). Если же / — нечетное число, то /+1 /“I О t возьмем р = —^~, q = -j-' Выпишем пифагорову тройку, отвеча¬ ющую этим значениям р и q: 0 I2 — 1 2 2 , ГП 2.2 ^ ~И 2р<1 =~2~' Р —Q =l = Y' Р +q ~ 2 ' Чтобы получить стороны искомого треугольника, надо еще умно¬ жить эти числа на 2: х = 12- 1 = ^-1, у = 21 = т, 2 = /2+1 = ^ + 1- Ввиду равноправности катетов полученная тройка та же, что и в случае четного /. Приведем примеры. Для т = 7 имеем треугольник с катетами х = 24у у = 7 и гипотенузой z = 25. В случае т = 3 тройка (4, 3, 5) задает наименьший пифагоров треугольник (он же получается и при т = 4). Этот треугольник называют египетским, поскольку считается, что с его помощью египтяне строили прямые углы. Числу ш = 18 отвечает прямоугольный треугольник со сторонами *= 18, у = 80, 2 = 82. Сложнее выяснить, для каких натуральных m существует пифагоров треугольник с гипотенузой т. Так как в этом случае т должно быть кратно числу z = p2-\-q2y где р и q имеют разную четность, то необходимо найти вид чисел 2 >2, представимых в виде суммы двух квадратов разной четности. Обозначим р = 2г, q = 2s-\-\y тогда p2-\-q2 = 4 (r2 + s2 + s) + 1. Значит, число 2 имеет вид 4/+1. Однако не всякое число вида 4/+1 раскладывается в сумму двух квадратов. Например, число 9 = 4-2+ 1 так разло¬ жить невозможно. Но если число 4/+ 1 простое, то оно представи¬ мо в виде суммы двух квадратов, причем единственным способом, об этом говорилось в гл. 1 п. 7. Число вида 4/+1 можно записать в виде суммы двух квадратов еще лишь в двух случаях: когда оно является произведением простого числа того же вида на квадрат натурального и когда оно равно произведению простых чисел типа 4/+ 1. Итак, пифагоров треугольник с заданной гипотенузой m су¬ ществует только при условии, что в каноническом разложении числа пг встречается простой множитель вида 4/+1.
Рассмотрим примеры. 1) Пусть т— 17 (здесь 17 = 4-4+1). Из равенства 17 = = 42+ 1L находим р = 4, q= 1, x = ‘2pq = 8, у = р2 — q2 = 15. Тройка (8, 15, 17) задает пифагоров треугольник. 2) В случае т = 65 имеем 65 = 5-13 = 5-(4-3+1). Так как 13 = 32 + 22, то р = 3, <7 = 2’ 2pq=\2, p2 — q2 = 5, p2 + g2=13. Для отыскания нужной тройки умножим эти числа на 5 и получим (60, 25, 65). Число 65 можно представить иначе: 65= 13- (4 • 1 + 1) а 5 = 22+12, откуда р = 2, q=\, 2pq = 4% p2 — q2 = 3, p2-\-q2 = 5. Имеем еще один треугольник с гипотену¬ зой 65. Это (52, 39, 65). 3) Числа 9 и 49 не могут выражать длину гипотенузы пифаго¬ рова треугольника. Хотя 9 = 4-2+1 и 49 = 4-12+1, но их простые множители не представляются в виде 4/+1. 5. Вокруг теоремы Пифагора С теоремой Пифагора связано много других разнообразных диофантовых уравнений. Найдем, например, пифагоровы треуголь¬ ники, у которых один катет длиннее другого на 1. Здесь надо решить в натуральных числах уравнение х2+(х+\)2=у2. (7) Пифагоров треугольник со сторонами 3, 4, 5 удовлетворяет этому требованию. Следовательно, числа х\ =3, у\ =5 дают наименьшее натуральное решение уравнения (7). Остальные его решения получаются из рекуррентных соотношений, которые мы приводим без доказательства: -V/i -t-1 = Зх„ + 2уп + 1, уп -и | = 4л'„ + 3ijn -f- 2. Из них находим х2 = 20, у2 = 29; х3=119, ^=169; х4 = 696, у4 = 985, *5 = 4059, уъ = 5741 и т.д. Проверьте сами, что если пара чисел (хп, уп) удовлетворяет уравнению (7), то ему удовлетворяет и пара (хп + \, уп+1). Уравнение (7) можно переписать так: 2х(х-{-1) + 1 =у2. Похожий вид имеет уравнение *(*+1)=У2. Однако в отличие от (7) оно не имеет ни одного решения в на¬ туральных числах. В самом деле, числа х и х+ 1 взаимно просты, а потому их произведение может быть полным квадратом лишь в случае, когда х и дг+1 —полные квадраты, т. е. когда х = и2, *+1=гг. Но это невозможно, так как разность квадратов двух натуральных чисел всегда больше 1. Рассмотрим теперь аналоги уравнения (5) в трехмерном про¬ странстве. Укажем все прямоугольные параллелепипеды, у кото¬ 87
рых целочисленны и длины ребер и длина диагонали. Для этого надо найти все натуральные решения (х, у, г, t) диофантова уравнения x2 + y2 + z2 = t2. По аналогии с пифагоровыми тройками они выражаются формулами x = 2kp\q, y = 2kp2q, z=k (q2—p? — pi), t = k (q'2 + p2{+p%), где k, pi, p2, q — натуральные числа и q2>p\-\-pl. Доказано также, что существует бесконечно много прямо¬ угольных параллелепипедов, у которых длины ребер и длины диагоналей всех боковых граней выражаются целыми числами. Иными словами, система уравнений х2-\-у2 = и2у x2-\-z2 = v2y y2-\-Z2 = W2 имеет бесконечное множество натуральных решений. Одно из них, например, такое: х = 44, у =117, 2 = 240. Однако неизвестно, существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого цело¬ численны и все ребра и диагонали всех боковых граней и диаго¬ наль самого параллелепипеда, т. е. имеет ли хоть одно решение в натуральных числах система уравнений х2-\-у2 = и2, x2 + z2=u2y y2 + z2 = w2y x2 + y2 + z2 = t2. Иногда возникающие в геометрии задачи приводят к системам уравнений, решения которых выражаются очень большими чис¬ лами. Допустим, надо найти прямоугольный параллелепипед, у которого сумма площадей трех граней, имеющих общую вер¬ шину, равна площади квадрата с целочисленной стороной, а объем — объему куба с целочисленным ребром. Эта задача сво¬ дится к системе диофантовых уравнений xy-\-xz-{-yz = u2y xyz = v3. Ее наименьшее натуральное решение имеет вид: *= 1663780814400, (/ = 252782198228, 2 = 3474741085973. На древневавилонских клинописных таблицах встречается та¬ кая задача: требуется разделить трапецию прямой, параллельной основаниям, на две равновеликие части. При каких (натураль¬ ных) длинах оснований и делящего отрезка это возможно? Обозначим через ху 2, у соответственно длины меньшего, большего основания и делящего отрезка, h\ и h<i — высоты полу¬ чаемых при этом трапеций (рис. 8). Из условия задачи имеем: 2-^-/г,=2.ф-Л2=^£-(/11+Л2), hI y-\-z y + z 1 / h\ \ откуда следует, что — = и f±-j = — - + \). Исключив 88
из этой системы отношение при¬ ходим к диофантову уравнению х2 + г2 = 2 у2. Естественно, вавилоняне записывали эту формулу словесно. Как они к ней пришли и как находили реше¬ ние, нам неизвестно. Мы же можем поступить следующим образом. Пре¬ образуем уравнение к виду (5) (z + x)2+ (z—x)2=(2y)2. Воспользуемся формулами натуральных решений уравнения Пи¬ фагора: Рис. 8 z + x = 2kpq, z — x = k(p2 — q2), 2y — k(p2-\-q2), откуда *=у ( (p+q)2 — 2p2), z=-j( (р+ч)2—V). ^ / 1? I 1? \ У = т (Р +Q )• Здесь р, q— натуральные числа разной четности, p>q. При У+2. —. Взяв в ка- этом отношение высот трапеции равно тг=-гтт1'- П ‘2 X -р у С{ честве k четное число, получим все натуральные решения исходной задачи. Например, при /г = 2, p = q-\-\ имеем: x = 2q'2—\, y=(q+\)2 + q2, z = 2(q+\)2—\. Выпишем найденные тройки (х, у, г) для q= 1, 2, 3, 4: (1, 5, 7), (7, 13, 17), (17, 25, 31), (31, 41, 49). Именно эти тройки и фигурируют в вавилонских табличках. Интересно, что вавилоняне рассматривали еще деление трапе¬ ции и на четное число попарно равновеликих полос (площади различных пар различны). При этом в качестве решений воз¬ никали уже не тройки, а разной длины отрезки той же самой последовательности: 1, 5, 7, 13, 17, 25, 31, 41, 49, 61, 71, ... . Последовательность эта впервые встречается в клинописных текс¬ тах, в связи с чем и называется вавилонской. Это одна из первых числовых последовательностей, отличных от натурального ряда, которые рассматривали древние математики. По возрасту с ней может поспорить только геометрическая прогрессия. 89
6. Уравнение Пелля Начало истории уравнения, о котором ниже пойдет речь, теряется в глубине веков. Возможно, оно возникло в связи с задачей о приближенном извлечении квадратного корня. Пусть натуральное число а не является квадратом. Легко видеть, что уа не выражается отношением натуральных чисел, т. е. не существует такой обыкновенной дроби что (у) =я- Другими словами, если натуральное число а не является точным квадратом, то уравнение х —ау2 = 0 не имеет решения в нату¬ ральных числах. Попытаемся в этом случае выразить л[а отноше¬ нием натуральных чисел приближенно. Если л[аж—у то х2 — ау2ж ^0. Самое близкое к нулю натуральное число — это единица. Поэтому дело сводится к решению в натуральных числах диофан- това уравнения х2 — ау2 = 1, (8) которое носит (как мы увидим ниже, неоправданно) название уравнения Пелля. При а = 2 решения этого уравнения, как мы видели в конце первой главы, нашел Теон Смирнский в процессе построения последовательных приближений числа i/2. Для некоторых значе¬ ний а решения уравнения (8) были получены индийским мате¬ матиком Брахмагуптой (VII в.), а для любых а — тоже индийским математиком Бхаскарой (XII в.). Однако их метод решения долго оставался неизвестен европейской науке. В XVII в. этим уравнением заинтересовался Ферма. Найдя его натуральные решения, он предложил всем математикам Франции, Англии и Голландии попробовать свои силы на конкретных примерах для а = 61, 109, 149. Английские математики приняли вызов Ферма, но из-за небрежности переводчика они неправильно по¬ няли постановку задачи и в качестве ответа дали решение в рацио¬ нальных числах. А в этом случае оно элементарно: положим х=\ -\-~-y, тогда 1 + ^у+?ту2 — ау2=\, откуда у= \Pq г, х=р faq2. Я q aq—p aq—pz Когда же Ферма разъяснил постановку задачи, то Дж. Валлис сообщил, что задача решена Броункером. Позже Валлис по¬ местил это решение в своей «Алгебре». В следующем столетии «Алгебру» Валлиса прочел Эйлер. У не¬ го осталось впечатление, что решение принадлежит Пеллю, дру¬ гому английскому математику, которого Валлис упоминал в своих работах. Эйлер и назвал уравнение (8) уравнением Пелля. С легкой руки Эйлера за ним так и закрепилось это название. 90
хотя Пелль к этому уравнению никакого отношения не имел. По справедливости его следовало бы назвать уравнением Бхас¬ кары или уравнением Ферма. По-видимому, умел находить решения этого уравнения при лю¬ бом а и великий Архимед. Недаром он послал в Александрию Эратосфену следующий стихотворный вызов: Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец (Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд), Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных Их в четырех стадах много когда-то паслось. 5 Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым, Темной морской волны стада другого был цвет. Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждом Стаде была самцов множеством тяжкая мощь, Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец, Ю Белых быков в точности было равно Темных быков половине и трети и полностью рыжим; Темных число быков четверти было равно Пестрых с прибавленной пятой л также полностью рыжим; Пестрой же шерсти быков так созерцай число: 15 Части шестой и седьмой от стада быков серебристых Также и рыжим всем Ты их число поравняй. В тех же стадах коров было столько: число белошерстых В точности было равно темного стада всего Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе; 20 Темных число же коров части четвертой опять Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь И туда же быков в общее стадо причтешь. Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были Рыжего стада частям пятой и с нею шестой. 25 Рыжих коров же считалось количество равным полтрети Белого стада всего с частию взятой седьмой. Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь, Нам раздельно назвав тучных быков число, Так же раздельно коров, сколько каждого цвета их было, 30 Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя, Все ж к мудрецам причислен не будешь, учти же, пожалуй, Свойства такие еще Солнца быков числа. Если быков среброшерстых ты с темными вместе смешаешь Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину 35 Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских Плотным квадратом они площадь большую займут, Если же рыжих и пестрых в одно смешаешь ты стадо, Лесенкой станут они, счет с единицы начав, Так что фигуру они треугольную нам образуют; 91
40 Цвета иного быков нам нет нужды добавлять. Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув, И сможешь точно назвать каждого стада число, То уходи, возгордившись победой, и будет считаться, Что в этой мудрости ты все до конца превзошел. Переведем условия задачи на язык алгебры. Если X, У, Z, Т означают соответственно числа белых, черных, рыжих и пестрых быков, а X, у, z, t — числа коров того же цвета, то приходим к следующей системе (в скобках указаны номера строк, приводя¬ щих к соответствующим уравнениям): У + Z (строки 10—11) Y= (-5- + -f ) T-\-Z (строки 12—13) 7'=(-^- + y)A' + Z (строки 14—16) Л' = (т + т) (строки 17—19) У = (т + т) (7' + /) (СТР°КИ 20—22) /=(-1 + -1) (Z + z) (строки 23—24) г=(-^- + у) (X-f-л:) (строки 25—26) X + Y= □ (строки 33—36) Z+T= Л (строки 37—39) Итак, имеем 7 уравнений с 8 неизвестными, причем эти неиз¬ вестные должны удовлетворять двум последним условиям: число X-\-Y—квадратное, а Z-\-T— треугольное. После доволь¬ но громоздких преобразований эта система приводится к уравнению Пелля с коэффи¬ циентом а = 4729494. А оконча¬ тельный ответ для общего числа быков и вовсе неправдо¬ подобен: это число порядка 7766* Ю206541. k206541 Возможно, Архимед сочинил эту задачу в период своего ув¬ лечения большими числами, когда писал сочинение об исчис¬ лении числа песчинок во Все¬ ленной. Но тому числу далеко до численности стада быков Солнца. Чтобы выписать все во¬ семь чисел, составляющих от¬ 92
вет задачи, понадобилось бы 660 страниц при условии, что на каждой странице записано 2500 цифр. Архимед, несомненно, знал о том, что посылает своему оппоненту фактически не¬ разрешимую задачу. Как же отыскиваются решения уравнения Пелля в нату¬ ральных числах? Сначала, как и для любого диофантова уравне¬ ния, надо найти наименьшее натуральное решение. Для небольших значений коэффициента а это можно сделать подбором, но при больших а подбор становится затруднительным, и здесь на выручку приходят, цепные дроби. Используется разложение в цепную дробь числа л[а. Как получить такое разложение, по¬ кажем на примере. Представим в виде цепной дроби число УЗ. Для этого преоб¬ разуем разность fj 1^ (Уз-!) (У3+!)^ 2 1 _ 1 V V3+1 л/3+1 л/3+1 , . л/3-1 ' 2 2 где 0<л/3—1 < 1. Поделив на 2 обе части полученного равенства, V5-1 1 найдем —^—= —. Следовательно, 2 2 + л/З— 1 уз— 1= Ц , 1 -| — 2+(V3-l) откуда л/3 = [1; 1, 2, 1, 2, ...]. Аналогично строится цепная дробь для любого конкретного числа -у/а. Дак уже говорилось в п. 3, цепная дробь в этом слу¬ чае является периодической. Теперь мы просто сформулируем окончательный результат, не приводя доказательств, которые принадлежат Ж. Лагранжу (1769). Пусть 5 — длина периода непрерывной дроби [</(); qi, q2, ...] = = -/а. Если s четно, то находят подходящую дробь = Vs — 1 = [qo\ q\> ?s-1]. В этом случае наименьшее натуральное решение уравнения (8) имеет вид a = Ps-i, y = Qs-1. Если же 5 нечетно, то надо положить х = Р2ь-\, y = Q2s-\, где ----- = V2s-I = [<7о; qI, </2s-i]. Пусть теперь (лг0, уо) —какое-либо решение уравнения (8), тогда хЪ — ау'о= \ или (хо-\-уо~/а) (х0 — уол/а) = 1, откуда при лю¬ бом натуральном п имеем (хо + уол/а)" (хо — уол[а)п=\. Возведя обе скобки в п-ю степень по формуле бинома Ньютона и приведя подобные члены, придем к равенству {хп + Угг/а) (хп — уп-/а) = \. Из него видно, что при любом п пара (хПу уп) также является решением (8). Учитывая, что хп-\-упл/а= (хо + Уол/а)" и хп — Упл/а— (лг0 — */ол/а)п, получаем формулы 93
хп = -у ( (xq-\-уол]а)" + (*о— Уол/а)"), Уп = ^-т=((хо + Уол[а)п—(хо — уо^а)п). 2^Ja Как показал Эйлер, если (лг0, Уо) — наименьшее натуральное решение уравнения Пелля, то эти формулы дают все его натураль¬ ные решения. Рассмотрим в качестве примера уравнение х2 — 3у2=1. Раз¬ ложение -\[3 в непрерывную дробь нам известно: л/3=[1; 1, 2, 1, 2, ...]. Здесь s = 2, и поэтому находим подходящую дробь q^ = 1 +Т = 2 = —, откуда Хо = 2, у0=1—наименьшее решение уравнения в натуральных числах. Остальные решения вычисляются по фор¬ мулам x„ = -i-((2+V3)"+(2-V5n, y„=^((2+vз)"-(2-л/з)">. К решению уравнения Пелля сводится более общее диофан- тово уравнение х2 — ау2 = с. (9) Именно если (х*у у*) — какое-нибудь из решений этого урав¬ нения, а (хПу уп) — произвольное решение соответствующего урав¬ нения Пелля х2 — ау2 = 1, то числа х = х*хп + ау*уп и у=у*хп + х*уп удовлетворяют уравнению (9). Читатели могут в этом убедиться непосредственно проверкой. Правда, нельзя быть уверенным, что таким образом будут получены все решения этого уравнения. Оказывается, для этого нужно знать не одно решение (л:*, #*), а некоторый конечный набор и «размножить» их с помощью указанных формул. Решать уравнения типа (9) умел Ферма. По крайней мере по поводу уравнения 2х2 + 7967 = у2 он писал (1657): «Я нашел общее правило, чтобы решать такое уравнение, если оно возможно, или чтобы определить его невозможность. И это — во всех случаях и для всех чисел». Все рассуждения проходят лишь для натурального а, не яв¬ ляющегося точным квадратом. В противном случае уравнение (9) может иметь лишь конечное множество решений. То же самое отно¬ сится и к уравнению х2 + ау2 = су
где а—любое натуральное число. Предлагаем читателям до¬ казать оба утверждения. Закончим наше знакомство с уравнением Пелля задачей: найти общий вид чисел га, являющихся одновременно и треуголь¬ ными и квадратными. Для этого надо решить в натуральных числах уравнение Подстановкой z = t—^ оно приводится к виду t2 — 2у2 = ~. Так как t — полуцелое число, положим t = ^. В результате приходим к уравнению Пелля х2 — 8у2=\. Сначала найдем его наименьшее решение (ло, уо). Так как У8 = 2У2 = [2; j, + it 4t ...], то длина s периода полученной цепной Р Р 13 дроби равняется 2. Поэтому вычислим = —^- = 2+ —= — Vs — 1 VI * * откуда лг0 = 3, #о=1. Правда, этот результат легко получить и простым подбором. Теперь обратимся к формулам общего ре- , (3-f2V2)"-(3-2V2)" шения (хп, уп)‘ Нас интересует только уп = р . 2д/8 Искомое число т=у2 имеет вид: (17+ 12У2Г+ (\7-\2^)n-2 Ш 32 Этот результат был получен Эйлером. При п= 0, 1, 2, 3, находим га = 1, 36, 1225, 41616. Обобщением уравнения Пелля на случай третьей степени ах3+у3= 1, где а не является кубом натурального числа, занимался совет¬ ский математик Борис Николаевич Делоне (1890— 1980). Он установил, что такое уравнение может иметь не более одного (не считая очевидного решения л: = 0, у= 1) целочислен¬ ного решения. 7. Великая теорема Ферма Перейдем теперь к одной из самых знаменитых задач диофан- това анализа, получившей название Великой теоремы Ферма. Начнем с истории возникновения этой теоремы. На полях «Арифметики» Диофанта против того места, где рассматривается уравнение jc2 + (/2=z2, П. Ферма (ок. 1630) написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два 95
биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы». Так родилась эта замечательная теорема. В ней утверждается, что при п>2 уравнение xn+yn = zn (10) не имеет натуральных решений. Предоставляем читателям возможность доказать, что из этого утверждения вытекает отсутствие и рациональных решений урав¬ нения (10) при п> 2. Несмотря на внешнюю простоту формулировки теоремы, до сих пор неизвестно, справедлива она или нет, хотя над ее доказа¬ тельством трудились многие поколения математиков более трех столетий. Весьма вероятно, что и сам Ферма не нашел строгого доказательства этой теоремы. Иначе бы он предложил ее кому- нибудь из европейских математиков в качестве задачи. Он имел такое обыкновение, когда знал решение. Предлагал же он до¬ казать лишь частный случай этой теоремы для п = 4. А он следует из утверждения, выведенного Ферма на полях «Ариф¬ метики»: площадь пифагорова треугольника не может быть квад¬ ратом. Мы не будем приводить доказательства этого утвержде¬ ния, но покажем, что из него действительно вытекает отсут¬ ствие натуральных решений уравнения x'+y* = z\ (11) Если х и у — длины катетов пифагорова треугольника, то найдутся взаимно простые числа р и q разной четности (p>q)y такие, что x = 2kpqy y = k(p2 — q2) и s = ^xy = k2pq (р2 — q2). Заметим, что множитель p2 — q2 взаимно прост с числами р и q. Поэтому число s = k2pq{p2 — q ) является квадратом тогда и толь¬ ко тогда, когда каждый из множителей ру q и p2 — q2 — является квадратом: р = а2у q = b2y р2 — q2 = c2y откуда aA — bx = r. <!.'> Но поскольку нет такого пифагорова треугольника, площадь ко¬ торого выражается квадратом, то уравнение (12) не имеет на¬ туральных решений. Тогда таких решений не имеет и уравнение (11). На самом деле если бы тройка (Ьу су а) была натуральным решением (11), т. е. Ь4 + с4 = а4, то а4 — Ь4=(с2)2 и тройка (а, Ьу с2) была бы решением уравнения (12). Прежде чем говорить о попытках доказательства Великой теоремы Ферма, сделаем некоторые общие замечания. Если уравнение (10) для п>2 имеет натуральные решения, будем по аналогии со случаем п = 2 записывать их в виде троек 96
(ху уу z). И здесь, как и при п — 2, достаточно указать прими¬ тивные тройки. Далее, если уравнение xpl + ypl = zpl имеет решение (х0у J/o, zo), то тройка (лго, уо, zo) является решением уравнения = Отсюда следует, что теорему Ферма достаточно до¬ казать для всех простых нечетных показателей и для п = 4, поскольку любой показатель п>2 имеет либо простой нечетный множитель, либо множитель 4. Для доказательства многочисленных теорем, которые Ферма сформулировал в теории чисел, он ввел метод бесконечного спуска. В чем же заключается этот метод? К примеру, надо доказать, что какое-то уравнение не имеет натуральных решений. И пусть из предположения, что у данного уравнения все же есть решение в натуральных числах, можно вывести, что у него есть еще меньшее, тоже натуральное решение. Тогда из суще¬ ствования этого меньшего решения делается вывод о существова¬ нии еще меньшего; решения и т.д. Но так как натуральные числа не могут неограниченно уменьшаться, то сделанное пред¬ положение неверно и решения данного уравнения в натураль¬ ных числах не существует. Применим метод бесконечного спуска к более общему, чем (11), уравнению х4+у4 = г2. (13) Если мы покажем, что у этого уравнения нет натуральных ре¬ шений, то их и подавно нет у уравнения х4-\-у4= (z )2. Предположим, что существует натуральное решение (л:, у, г) уравнения (13), причем тройка (л:, у, z) примитивная. Тогда (л:2, у2у z) является примитивной пифагоровой тройкой. Следо¬ вательно, найдутся такие взаимно простые числа р и q разной четности, p>q, что x2 = 2pqy y2 = p2 — q2y z = p2-\-q2. Но из равен¬ ства q2-\-у2 = р2 и взаимной простоты р и q следует, что {qy уу р) — примитивная пифагорова тройка. Значит, снова найдутся взаимно простые натуральные числа а и Ьу такие, что q = 2aby y = a2 — b2y р = а2 + Ь2. В результате имеем x2 = 2pq = 4ab {а2 + Ь2)У т. е. число 4аЬ(а2 + Ь2) является квадратом. При этом легко показать, что число а2 + Ь2 взаимно просто с а и Ь. Но тогда каждое из чисел а, b, а2-\-Ь2 является квадратом: а = а\ Ь = $2У а2-{-Ь2 — у2. При этом a4 + p4 = Y2, т. е. тройка (а, р, у) снова является при¬ митивным решением уравнения (13). С помощью цепочки не¬ равенств y^y2 = a2 + b2=p<p2 + q2 = z убеждаемся, что y<z. Применяя метод бесконечного спуска, приходим к выводу, что уравнение (13) не имеет решений в натуральных числах. В письме своему другу Каркави, где Ферма изложил метод бесконечного спуска, он написал, что этим методом ему уда¬ лось доказать невозможность решения уравнения x* + y3 = z3 в 4. Зак 4723 H. Я Виленкин 97
натуральных числах, т. е. доказать свою теорему для п = 3. Только через сто с лишним лет Эйлер сумел найти такое доказатель¬ ство. Однако сомнительно, что оно совпадает с доказательст¬ вом, которое нашел Ферма. Эйлер использовал разложение сум¬ мы кубов х3 + у3 = (х-\-у) (х-\-гу) (х-\-г2у)у где через е обозна- —1 Ч-гл/3 чено комплексное число ^ (° комплексных числах речь пойдет в следующем разделе). Далее он работал с числами вида a-\-bi-\j3y где а и Ь — целые числа, используя для них свойства, аналогичные свойствам натуральных чисел. Надо заме¬ тить, что это было неправомерно, но после построения строгой теории чисел вида а+Ы^/З доказательство Эйлера с небольшими поправками осталось справедливым. После Эйлера долгое время не было новых успехов в области доказательства Великой теоремы Ферма. Интерес к этой проблеме пробудился вновь благодаря результатам, полученным в этом направлении одной из первых женщин-математиков нового вре¬ мени француженкой Софи Жермен (1776—1831). Изучив математику самостоятельно, она под мужским именем Леблан вела переписку с ведущими учеными Европы, которые высоко ценили математические способности господина Леблана и были приятно удивлены, когда «обман» раскрылся. Гаусс в связи с этим писал Софи Жермен из Геттингена: «Склонность к абстрактным наукам вообще, а к таинствам чисел в особенности,— исключительно редкое качество... Но когда особа женского пола, которой на этом тернистом пути, в соответствии с нашими обйчаями и предрассудками, приходится сталкиваться с неизмеримо большими, чем мужчинам, трудностями, все же добивается успеха в преодолении этих препятствий и проникает в самые темные области исследований,— она несомненно должна обладать самым доблестным мужеством, совершенно необычай¬ ными личными качествами и высшей одаренностью». Наряду с математикой С. Жермен занималась исследованиями и по теории упругости. За работу в этой области ей была при¬ суждена (1811) премия Парижской АН. Это была первая премия, которую Парижская АН выдала женщине. Отметим еще один факт из биографии С. Жермен: во время оккупации Германии наполеоновской армией она обратилась к генералу, командую¬ щему французскими войсками в Геттингене, с просьбой благо¬ склонно отнестись к Гауссу, поскольку такие люди принадлежат мировой науке. В письме (1828) Лежандру С. Жермен сообщила, что дока¬ зала следующее утверждение: если р и 2/?+1 простые, то в тройке (х, уу z), являющейся решением уравнения xp-\-yp = zp, хотя бы одно из чисел делится на р. Другими словами, среди троек чисел, не делящихся на /?, решений нет. Лежандр опуб¬ ликовал этот результат в своей «Теории чисел», назвав его теоремой Жермен. 98
Невозможность решения уравнения хъ-\-уъ = гъ в натуральных числах была доказана Лежандром и Дирихле. Позднее фран¬ цузский ученый Габриель Ламе (1795—1870) представил Парижской академии наук доказательство теоремы Ферма для любого п. Однако при изучении работы Ламе выяснилось, что он неправомерно перенес на комплексные числа, возникающие при решении уравнения хр=\, некоторые утверждения, кажу¬ щиеся естественными для натуральных чисел, в частности основную теорему арифметики. На этот недостаток тотчас же указал французский математик Жозеф Лиувилль (1809— 1882). Чтобы почувствовать, что метод аналогий при переходе к но¬ вым классам не всегда проходит, рассмотрим множество чисел вида а + Ь~\/3 при целых а и Ь. Естественно, все целые числа включаются в это множество, так как любое целое число а можно записать как а + 0-~\/3. В этом множестве число 2 (которое среди обычных целых чисел является простым) раскладывается на множители: 2=(УЗ+1) (л/3-1). Еще более необычным выглядит равенство 1 = (2 + V3) (2-V3). А если рассматривать числа вида а-\-Ь^—5, где а и Ь — целые, то здесь число 21 раскладывается на множители двумя спосо¬ бами: 21 = 3-7 = (1 +2-/—-5) (1-2у^-5). Обсуждение работы Ламе привлекло к себе внимание Коши, который изучил вопрос о разложении комплексных чисел спе¬ циального вида на простые множители и изложил его в ряде статей, соперничая с Ламе. Но не ему было суждено прояснить возникшую ситуацию в новых классах чисел. Спас положение с проблемой однозначности разложения чисел на простые мно¬ жители немецкий математик Эрнст Куммер (1810—1893). Математические интересы Куммера имели широкий диапазон. Он занимался вопросами геометрии, анализа, теоретической ме¬ ханики. Но главной его заслугой является создание теории алгебраических чисел. Ее методы оказали влияние на все последу¬ ющее развитие алгебры и теории чисел. Куммер поступил сле¬ дующим образом: он расширил рассматриваемые классы комп¬ лексных чисел, дополнив их новыми элементами, которые назвал идеальными. В получившихся таким образом множествах основ¬ ная теорема арифметики уже выполнялась. Чтобы проиллюстрировать идею Куммера, обратимся к числам вида a-\-b^j— 5. Добавим к этому множеству идеальные эле¬ менты Л, В, С, D, такие, что АВ = 3, CD = 7, АС=\ + 2л[—Ь> 50 = 1—27^5. 4* 99
Теперь3-7= (АВ) (CD) и (l+2^[=5) (\-2^Ъ)=(АС) (BD\ в результате однозначность разложения числа 21 восстановлена. Надуманность идеальных чисел кажущаяся; их отсутствие в рассматриваемом множестве объясняется ограниченным набором элементов в нем. Ведь нас не смущает, что среди целых чисел нет рациональных, а среди рациональных — иррациональных и т. д. Сам Куммер сравнивал идеальные числа с химическими элемен¬ тами, которые в природе существуют лишь в связанном со¬ стоянии. На основе идеальных чисел Куммера в дальнейшем возникло понятие идеала — одно из важнейших понятий современ¬ ной алгебры. С помощью своей теории Куммер доказал теорему Ферма для всех показателей, не превосходящих 100. В настоящее время она доказана для всех я, не превосходящих 125000. Поэтому тем, кто попытается построить пример, противоречащий теореме Ферма, придется иметь дело с очень большими числами. Как заметил еще в 1856 г. Грюнерт, если тройка (ху уу г) является решением уравнения xn-\-yn = zn при некотором показателе я, то должны выполняться неравенства х>пу у>пу z>n. В самом деле, так как z>xy то z = x-\-ay где а — натуральное число. По формуле бинома Ньютона имеем хп-\-уп= (х-\-а)п = = хп 4-пхп~ а-\-... + а", и потому выполняются неравенства уп>пхп~ха^пхп~\ Аналогично доказывается, что хп>пуп~\ Следовательно, (уп)п> ппхп{п~])> пппп~1у^п~1) , и потому у2п~1> >п2п~\ откуда у>п. Таким же образом, доказывается, что х>п. Тогда и подавно z>x>n. Так что если тройка (ху уу z)y удовлетворяющая (10), суще¬ ствует, то каждое из ее чисел больше чем 125000, а при под¬ становке их в уравнение придется работать с числами, боль¬ шими чем 12500012500°,— это гигантское число, значительно пре¬ восходящее ю625000. В начале XX в. проблема Ферма привлекла к себе внимание не только специалистов, но и любителей математики. Это было свя¬ зано с тем, что в 1907 г. немецкий астроном П. Вольфскель, сам всю жизнь безуспешно пытавшийся доказать теорему, учре¬ дил премию в сумме ста тысяч марок тому, кто найдет ее до¬ казательство. Чтобы получить премию, нужно было опубликовать доказательство и получить признание его верности от Геттин¬ генского математического общества не менее чем через два года. В Геттингенский университет посыпались различные «доказатель¬ ства», отличавшиеся крайней безграмотностью. Правда, инфля¬ ция, последовавшая за первой мировой войной, свела к минимуму эту премию, а заодно и число желающих доказать теорему. Однако до сих пор находятся люди, одержимые стремлением доказать знаменитую теорему. Их называют «ферматисты». Поддавшись обманчивой легкости формулировки, они надеются найти элементарное доказательство. Но, как убеждает вся ис¬ тория теоремы, сделать это невозможно. 100
У Артура Порджеса есть научно-фантастический рассказ, в ко¬ тором профессор математики Саймон Флэгг заключил с чертом договор, что отдает ему свою душу, если тот за 24 ч докажет теорему Ферма. Черт, проявив свои дьявольские способности, проштудировал за сутки сначала всю элементарную математику, затем массу областей высшей математики, но решить задачу не смог. Однако, проблема настолько затянула даже черта, что автор оставляет его углубившимся вместе с ученым в изучение этой мучительной и заманчивой задачи. После того как Гильберт решил проблему Варинга, он гово¬ рил, что смог бы решить и проблему Ферма, но не хочет резать курицу, которая несет золотые яйца. Дело в том, что проценты с капитала, завещанного Вольфскелем, шли Геттингенскому математическому обществу, которое выдавало из них премии ма¬ тематикам, получившим результаты в области проблемы Ферма. Например, немецкий математик Виферих получил премию за следующий результат: если р простое число и 2Р— 2 не делится на р , то в решении (х, уу z) уравнения xp-\-yp = zp хотя бы одно из трех чисел делится на р. Работавший в Геттингене русский математик Мириманов доказал, что в утверждении Вифериха число 2Р— 2 можно заменить числом 3я— 3. И он тоже получил премию. В конце 80-х годов XX в. в математической среде снова прошел слух о якобы найденном доказательстве. Но предложен¬ ное решение и на сей раз содержало ошибку. Так что поиски правильного доказательства продолжаются. Необходимо отме¬ тить, что предлагаемые пути поиска такого доказательства чрезвычайно далеки от тех, которые мог использовать Ферма. Так что неизвестно, то ли его посетило гениальное озарение, то ли он просто ошибся. Хоть и редко, но бывало, что и он анонсировал неверные результаты. Так, в письме Мерсенну от 1641 г. он сформулировал следующие утверждения: Ни одно из простых чисел вида 12й±1 не является делителем ни одного из чисел вида Зп+1. Ни одно из простых чисел вида 10й±1 не является делителем ни одного из чисел вида 5"+1. Из этих утверждений верно только одно относительно чисел вида (12й—1). Остальные опровергаются следующими приме¬ рами: (35+ 1); 61, (55 + 1) • 521, (57+ 1) ; 29. Независимо от того, верна или неверна теорема Ферма, следует признать, что ее практическое значение весьма мало. Как гово¬ рится, семь лет мак не родил, и то голода не было. И даже, если она в ближайшее время будет доказана при помощи уже сущест¬ вующих методов, большим событием для математики это не станет. Совсем другое дело, если для доказательства будут разработаны 101
принципиально новые подходы, возникнут новые понятия! Именно такую роль играет эта теорема в математике в течение уже трех с половиной веков. При попытках ее доказательства были созданы многие важные области высшей арифметики. Это и дало основа¬ ние назвать теорему Великой. Называют ее и Большой теоремой Ферма в отличие от Малой, о которой мы говорили в предыдущей главе. Кроме того, эта теорема — последнее утверждение Ферма, не доказанное до сих пор. В связи с этим ее иногда называют Последней теоремой Ферма. Под такими названиями она может встретиться читателям в различной литературе. Добавление. В середине 50-х годов японский математик Ютака Танияма высказал некоторую гипотезу в теории алгеб¬ раических кривых. Усилиями ряда математиков к 1990 г. было показано, что из гипотезы Танияма, если она верна, вытекает справедливость Великой теоремы Ферма. В доказательство этой гипотезы внесли свой вклад многие ученые. Последнюю точку поставил Эндрю Уалес, о чем появилось сообщение в «Заметках американского математического общества» в августе 1993 г. В настоящее время (когда рукопись книги уже подготовлена к печати) идет проверка верности доказательства гипотезы. Оно настолько сложно, что этим занимается группа ученых. Если ошибки не будет найдено, то тем самым проблема дока¬ зательства Последней теоремы Ферма будет полностью закрыта. 8. Обобщения Многие математики пытались обобщить теорему Ферма на слу¬ чай большего числа переменных. Например, Эйлер был уверен, что уравнение ХЛ+Х2 + ...+Xn=Zn при любом показателе имеет натуральные решения. В случае /2 = 3 это так: З3 + 43 + 53 = 63, о чем знал еще Диофант. Для п = 4 уверенность Эйлера была подтверждена в 1911 г.: 304 + 1204 + 2724 + 3 1 54 = 3534. Вместе с тем Эйлер высказал предположение, что уравнение x'} + xn2 + ... + xnn-i=z\ п>2, не имеет натуральных решений. Ясно, что для п = 3 оно верно — это как раз случай теоремы Ферма, доказанный Эйлером. В 1940 г. было даже высказано более общее по сравнению с гипотезой Эйлера утверждение: при 2<k<n уравнение х1+х$ + ...+х1 = гп 102
не имеет натуральных решений. Но в 1966 г. Леон Лендер и Томас Паркин нашли пример 275 + 845+ 1 105+ 1355= 1445, опровергающий предположение Эйлера, а вместе с ним и послед¬ нее утверждение в общем виде. Тем не менее до сих пор не выяс¬ нено, имеют ли уравнения *4 + У* + z4 = х4 + у4 + z4 = w2y хь + у6 + z6 + и6 + ы6 = wb натуральные решения. В то же время уравнение Jtf + Jt2 +...-\-Xk = zn +1 всегда имеет бесконечно много натуральных решений. Для доказательства рассмотрим k произвольных целых чисел а\у а2, а*. Покажем, что совокупность чисел z = a” + ... +ajj, Xi = a,i (a7 + ... + a?), /= 1, ..., ky является решением данного урав¬ нения. В самом деле, х7 + *2 + ... + х* = (af + a2 + ... + a*)n (a? + + «2+ ... + «?) = (a7 + ... + aj?)n“M =zn“M. Известно, что l3 + 23 = 32. Возникает вопрос: имеет ли урав¬ нение х3-f(/3 = z2 или более общее уравнение хп+' +уп+ =zn бесконечное множество решений в натуральных числах? Поиски решения теоремы Ферма и других аналогичных проб¬ лем поставили перед математиками вопрос о том, как узнать, имеет ли данное уравнение решение. Недаром среди 23 знамени¬ тых проблем Гильберт сформулировал следующую: «Указать метод, при помощи которого можно после конечного числа шагов установить, разрешимо ли произвольное уравнение с целыми коэффициентами во множестве целых чисел». Решить проблему долгое время не удавалось. Появилось предположение, что метода, о котором говорил Гильберт, не существует. Однако для доказательства этого факта нужно было иметь точное определение того, что такое этот метод и какими средствами его можно получить. В середине 50-х годов в трудах английского математика Ал а н а Тьюринга (1912—1954) были выработаны необходимые определения, которые легли в основу теории алгоритмов. Сразу после этого была доказана неразре¬ шимость некоторых алгоритмических проблем. В 50-е годы группа американских математиков получила существенные результаты на пути отрицательного решения проблемы Гильберта. Окончатель¬ ное ее решение удалось найти советскому математику Ю. В. М а- тиясевичу (род. в 1947 г.), который «элементарными» мето¬ дами, используя свойства чисел Фибоначчи, доказал (1970) отсутствие алгоритма разрешимости произвольного диофантова уравнения. Математиков интересовал и такой вопрос: можно ли по виду диофантова уравнения сказать, имеет оно бесконечно много рацио¬ нальных решений или нет? В начале нашего века были известны два обширных класса уравнений, обладающих бесконечным мно¬ жеством таких решений. В 1922 г. английский математик Луиз юз
Мор дел л (1888—1972) выдвинул гипотезу: остальные типы уравнений могут иметь лишь конечное число рациональных ре¬ шений. Доказана она была в 1983 г. 29-летним нидерландским математиком Г. Фалтингсом. Из его результатов следует, что уравнение хп + уп = гп может иметь не более конечного числа примитивных решений. Завершая арифметический раздел, подведем некоторые итоги и чуть-чуть заглянем вперед. При отборе материала для данного раздела мы старались не пропустить задач, ставших классическими,— тех задач, ре¬ шение которых привело к появлению и развитию понятий, свя¬ занных с числами. Наряду с арифметическими мы рассматривали задачи и проблемы теории чисел. Здесь надо уточнить, что линия раздела между этими двумя областями математики весьма условна. Арифметика изучает числа (любые), их свойства, приемы вычислений; теория чисел занимается в основном целыми числами. Теория чисел в виде отдельной области математики начала оформляться, собственно, с работ Ферма. Хотя теоретико-число- вые задачи, как мы видели, решались с древнейших времен. Ведь основным источником для исследований Ферма служила диофантова «Арифметика». По-существу, труд этот представляет собой монографию по теории чисел. Вообще у древних греков бытовало другое (по сравнению с современным) подразделение. Науку о способах вычислений они называли логистикой. Ариф¬ метикой же греки именовали науку о свойствах чисел (не будем забывать, что числа они изучали только натуральные). Так что арифметика древних греков в нынешнем понимании была теорией чисел. Только в эпоху Возрождения элементы теории чисел и прак¬ тика вычислений объединились под общим названием «Ариф¬ метика», и почти сразу от нее стала отпочковываться теория чисел. Конечно, с тех пор теория чисел неузнаваемо разрос¬ лась вглубь и вширь. Достигнуты значительные успехи в об¬ ласти изучения целых чисел, возникли разные новые направ¬ ления. Связаны эти направления, с одной стороны, с привле¬ чением для решения задач методов других математических дисциплин, например математического анализа, теории вероят¬ ностей. В результате в ней появились такие области, как анали¬ тическая теория чисел, вероятностная теория чисел. С другой стороны, изменился взгляд и на сам предмет исследования: возникла теория алгебраических чисел, теория трансцендентных чисел и т. д. А чем же занимается современная арифметика? Ее интере¬ суют самые разнообразные числовые множества, операции в них, аксиоматическая структура этих множеств. Здесь арифметика очень близко соприкасается с алгеброй. В настоящем разделе речь шла в основном о целых, рациональных числах и немного 104
об иррациональных. Рассматривая Великую теорему Ферма, мы затронули алгебраические расширения множества рациональных чисел. С другими расширениями понятия числа мы встретимся в «Алгебре». А в геометрическом разделе будем говорить об аксиоматике, причем применительно не только к геометрии, но и к любой математической теории вообще, в частности к арифме¬ тике. Мы узнаем, какую исключительную роль играет система аксиом арифметики, какой ответственный груз несет она на себе. Вернемся мы к арифметическим задачам и во второй книге, в разделе «Старинные и занимательные задачи». Там пойдет речы о старинных способах решения некоторых элементарных задач. Так что оставляем мы различные числовые проблемы ненадолго. Новые встречи с ними ожидают нас уже в слелующем разделе. Упражнения 1. В «Арифметике» Магницкого есть примеры умножения с «некоим удивлением»: 777.143=111111, 777• 286 = 222222, 777-429 = 333333 и т.д. Объясните полученные результаты. 2. Покажите, что числа Мерсенна, и только они, записываются в двоичной системе счисления с помощью одних только единиц. 3. Найдите сумму кубов последовательных нечетных чисел, начи¬ ная с единицы. 4. Докажите, что при любых натуральных пит число т4 + 4я4 составное. 5. Докажите, что числа вида 4т— 1 не представимы в виде суммы двух квадратов. 6. Почему все числа Ферма Ft при /> 1 оканчиваются цифрой 7? 7. Пусть 2п чисел xit х2, ..., хп, у*, уп удовлетворяют урав¬ нению *? + *2 + ... + *л = У? +1/2 + ••• -\~Уп- Покажите, что при любых k и I числа kx\-\-ly\y kx2-\-ly2> ..., kxn + 1уп, lx\ +ky\y lx2 + ky2> lxn+kyn удовлетворяют тому же уравнению. (В переписке Эйлера с Гольдбахом разобран случай £=10 и /=1.) 8. Покажите, что 2я + 1 последовательных натуральных чисел, таких, что сумма первых я +1 из них равна сумме п последних, начинается с числа п2. Например, 1+2 = 3, 4 + 5 + 6 = 7 + 8, 9+10+11 + 12=13+14+15. 9. Покажите, что (2я + 1) последовательных натуральных чи¬ сел, таких, что сумма квадратов первых я+1 из них равна сумме квадратов п последующих, начинается с числа 105
я(2я + 1). Например, 32 + 42 = 52, 102+ 1 12+ 122= 132+ 142, 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272. 10. Докажите, что не существует (2п+\) последовательных на¬ туральных чисел, таких, что сумма кубов первых я + 1 из них равнялась бы сумме кубов последних п чисел. 11. Решите уравнение 60х+16=13# (Бхаскара привел его ми¬ нимальное натуральное решение: *=11, # = 52). 12. Докажите единственность пифагорова треугольника (3, 4, 5), длины сторон которого выражаются последовательными на¬ туральными числами. 1S. Докажите, что в пифагоровой тройке (х, у, z) хотя бы одно из чисел х или у делится на 3 и хотя бы одно из чисел х, у или z делится на 5. 14. Докажите, что любая пифагорова тройка, члены которой составляют арифметическую прогрессию, подобна египетской (3, 4, 5). 15. Пусть Л, В, С — точки на координатных осях пространст¬ венной прямоугольной системы координат с началом в точке О. Докажите стереометрический аналог теоремы Пифагора: Soab+Soac + SoBc=Sabc, где S —площадь соответству¬ ющего треугольника. 16. Треугольник называется героновым, если его площадь и длины всех сторон выражаются натуральными числами. Покажите, что любой пифагоров треугольник является геро¬ новым. 17. Найдите общий вид героновых треугольников, длины сторон которых — последовательные натуральные числа (результат Герона). 18. Если два пифагоровых треугольника с равными катетами приложить друг к другу этими катетами, получим геронов треугольник. Покажите, что не всякий геронов треугольник можно так получить. 19. В какой степени простое число р<п встретится в канони¬ ческом разложении числа п\ на простые множители?
Если спросить выпускника средней школы, чему его учили на уроках алгебры, то в ответ почти наверняка можно услышать: «Решать уравнения». Той же точки зрения на содержание алгебры придерживаются и современные ученые. Французские матема¬ тики Александр Гротендик (род. 1928) и Ж а н Д ь%е д о н- не (род. 1906) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение полиномиальных урав¬ нений послужило исторически источником алгебры и что со вре¬ мени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из ее основных целей». Разница в мнениях школьников и ученых состоит, пожалуй, лишь в том, что те добавили не совсем понятное слово «полино¬ миальных». Оно означает попросту «многочленных». Такие урав¬ нения, как sin3jc-f-lg2x= 1 или 10*2 —4-10* + 5 = 0, к алгебре отношения не имеют. А вот уравнение -фс + у=х2 4, хоть и содержит квадратный корень, является алгебраическим, так как его можно переписать в виде х+у — (л:2Ч-4)2 = 0, а выражение х + у— (jc2 + 4)2 — многочлен от х и у. Правда, в шко¬ ле решают и не алгебраические уравнения, но они относятся скорее к математическому анализу. Итак, цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий — решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические ре¬ зультаты, менялась до неузнаваемости. 108
1. И стоки алгебры Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. В дошедших до нас папирусах решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объемы сосудов, количество зерна и т. д. Все задачи с конкретными числовыми данными. Но в некоторых из них уже проскальзывает теоретический интерес. Вот, например, задача из папируса Кахуна (ок. XVIII—XVI в. до н.э.). Мы приводим ее в современных обозначениях: «Найти два числа х и у, для которых х2-\-у2= 100 и х:у= \: — В папирусе она решена методом «ложного положения». Именно: если положить х=\, то 3 / 5 У=~4 и *2-\~*/2=(“4~) • по Условию задачи х2 + у2 = 102, сле- 5 довательно, в качестве х надо брать не 1, а 10: — =8. Тогда у = 6. Числа в условиях задач подбирались так, чтобы получались «хорошие» ответы (желательно натуральные или рациональные). Других чисел древние не знали. Как же они избегали «плохих» ответов? Чтобы выяснить это, вернемся к рассмотренному выше примеру. Найдем решение системы в общем виде: *2 + */2 = а, х:у = т:п. *г п о п2-\-т2 / am2 1ак как и——х и лг ^— = а, то х=Л —; т. v т. т2 V т2 + п2 Таким образом, решение в рациональных числах возможно лишь в случае, когда дробь 2 представляет собой квадрат ра¬ ционального числа. Для этого достаточно, чтобы а было квад¬ ратом натурального числа, а т и п были пропорциональны длинам катетов пифагорова («египетского») треугольника. Именно так египтяне и посту¬ пали, приходя к этим условиям скорее всего путем проб и оши¬ бок. Довольно значительные ус¬ пехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавило¬ не. Там решались уравнения первой, второй и даже отдель- 109
ные уравнения третьей степени. Но эти достижения еще нельзя назвать наукой, поскольку общей теории не было. Правда, способы решения конкретных уравнений дают основание счи¬ тать, что вавилоняне владели и общими правилами нахождения корней уравнений первой и второй степени. Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении х2 — х = 870. Решение его в табличке рекомендуется искать следующим об¬ разом: «Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это у. Умножаешь 111т. , ч о7Л 3481 — на у, это —. Ты складываешь (это) с 870, и это есть ——, 59 1 что является квадратом для у. Ты складываешь у, которую 59 ты умножал, с у, получаешь 30, сторона квадрата». (Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления, а мы при¬ водим их в десятичной записи.) Запишем указанные действия в привычных нам обозначениях: 1 59 откуда х = у + у = 30. Читатели, конечно, узнали формулу вычис¬ ления корня приведенного квадратного уравнения. Это уравнение 1 59 имеет еще один корень, отрицательный: х = у— — = — 29. Но, во-первых, с отрицательными числами древние не имели дела, во-вторых (как мы бы сейчас сказали), этот корень не удовлетво¬ ряет условию задачи. Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Как уже говорилось в арифметическом разделе, со времени кризиса, выз¬ ванного открытием несоизмеримых отрезков, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Любые утвержде¬ ния и доказательства имели право на существование только в случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде фор¬ мулы (а + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формулиру¬ ется так: «Если отрезок АВ разделен точкой С на два отрез¬ ка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается довольно длинное доказатель¬ ство этого факта на геометрическом языке (рис. 9).
Рис. 10 Рис. 11 Древнегреческие математики работали не с числами, а с от¬ резками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок. Посмотрим, как они решали задачу, приводящую к квадратному уравнению. Задача. Построить прямоугольник, периметр которого равен данному отрезку 2р, а площадь — данному квадрату Ь2. Эта задача сводится к системе уравнений * + У = Р, ху=Ь2 или к равносильному ей квадратному уравнению рх — х2 = Ь2. Левую его часть можно преобразовать следующим образом: рх-х2 = ^-^) — (у-'*) • Для нас равенство очевидно. Но уче¬ ные того времени еще не имели буквенной символики, к тому же единственно верным они считали геометрическое доказательство. На рисунке 10 показано, как древние греки устанавливали это ра¬ венство: сумма площадей двух заштрихованных прямоугольников равна 2^у-х^ = рх (при этом квадрат со стороной х присутствует в этих прямоугольниках дважды). Следовательно, площадь за¬ штрихованного гномона (Г-образной фигуры) равна рх — х2. С другой стороны, эта площадь равна разности площадей двух квадратов: одного — со стороной у, другого — со стороной (у ~• Равенство доказано! Теперь исходное уравнение принимает вид: Отсюда ясно, как построить огрезок л* (рис. 11). Надо построить ill Рис. 9
прямоугольный треугольник с катетом b и гипотенузой второй его катет имеет длину — ху а поэтому х — разность двух отрезков с длинами у и у—*- Геометрический подход к математике от¬ ражал, по-видимому, определенные черты духовной жизни древ¬ них греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удиви¬ тельные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго математически выверены. Это стремление к красоте, гармоничности, соразмерности, вероят¬ но, способствовало геометризации математики. Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые сте¬ пени (длины), квадраты (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в такой ситуации должны быть положительными числами. При выполнении дей¬ ствий использовался принцип однородности: не разрешалось, например, складывать числа а и Ьс. На самом деле число а озна¬ чало отрезок (точнее, его длину), Ьс— прямоугольник (его пло¬ щадь) со сторонами Ь и с. Но нельзя же складывать отрезок с прямоугольником! Наконец, алгебраические преобразования приходилось заменять геометрическими построениями, часто очейь громоздкими. Чтобы построить неизвестное, нужно было быть подлинным виртуозом — это шло на пользу геометрии, но не алгебре. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате захватнических войн арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на востоке их владения простирались до самой Индии, заняв даже часть ее территории. Многие араб¬ ские халифы для укрепления своего могущества и славы поощ¬ ряли развитие наук. В Багдаде, новой столице халифата, осно¬ ванной в конце VIII в., создаются хорошие условия для работы ученых. Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при нем оборудована прекрасная обсерватория. Сюда съезжают¬ ся ученые из разных стран. Арабские математики на первых порах усердно изучают труды древнегреческих авторов и дости¬ жения индийских ученых. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский ученый первой половины IX в. ал-Хорезми. О самом ученом мы знаем лишь то, что сказано в его полном имени Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает Мухаммед сын Мусы из Хорезма из рода магов (жрецов). Но сохранилось несколько 112
его сочинений по арифметике, алгебре, астрономии, географии и календарным расчетам. В арифметическом трактате он изложил «индийское исчисление», открыв тем самым для арабов десятич¬ ную систему счисления. Но наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь ал-Хорезми, по-видимому, впервые разработал правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах он показы¬ вает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. Квадратные уравнения различались по типу не в зави¬ симости от знака дискриминанта, как сейчас. Дело было тоже в знаках, но совсем в другом смысле. Арабы еще не рассмат¬ ривали отрицательных чисел, и поэтому у них, например, урав¬ нения ах2 -\-Ьх = с и ах2-\-с = Ьх относились к разным типам. В греческих традициях ал-Хорезми строго геометрически обосно¬ вывает свои способы. Любое другое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью двух операций: 1) восполнение — перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть; 2) противопоставление — приведение подобных членов. Сам трактат так и назывался — «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений. Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые. В XI в. известный поэт, астроном и математик Омар Хайям описал геометрическое решение урав¬ нений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и его современник арабский энциклопедист ал-Бируни. В XV в. в знаменитой Самаркандской обсерватории, основанной внуком Тимура Улугбеком, работал замечательный математик и астро¬ ном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Корни уравнений третьей и четвертой степеней все они строили при помощи пересечения парабол, гипербол, окружностей. Таким спо¬ собом решали задачи и греческие геометры. Но арабов, чья математика тяготела к вычислениям, интересовало и численное значение корней. Многие ученые пытались найти правило вычис¬ ления корней кубического уравнения, но потерпели неудачу. Вот что по этому поводу писал Омар Хайям: «Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это». из
2. Алгебра обретает язык Сейчас мы настолько свыклись с записью, например, линей¬ ного ах-\-Ь = 0 или квадратного ах2 -\-Ьх-\-с = 0 уравнения, что не задумываемся, как много символов надо было ввести, чтобы получить ее. Это и буква для обозначения неизвестного, и буквы для коэффициентов, и знаки действий, и знак равенства. Возникла буквенная символика сравнительно недавно, но она сразу позво¬ лила исследовать уравнения, записать общие формулы для корней, вывести различные соотношения, помогающие упростить или пре¬ образовать нужным образом алгебраические выражения. Зачатки буквенной символики появились еще в Древней Гре¬ ции. Например, Евклид обозначал отрезок двумя буквами, а Архимед в некоторых случаях — одной (такие обозначения сохра¬ нились и до наших дней). Но операции над буквами не произ¬ водились,— древнегреческие математики, мыслящие геометриче¬ скими образами, не могли на это решиться. Первым, кто порвал с вековыми традициями и сделал шаги к алгебраической симво¬ лике, был Диофант. Следует иметь в виду, что Диофант жил в египетском городе Александрии, где переплетались различные культуры — греческая, вавилонская, арабская, иудейская и мно¬ гие другие, куда приезжали индийские купцы. Поэтому он не был так скован запретами светил древнегреческой науки. Диофант обозначал неизвестное в уравнении буквой s (по последней букве слова «арифмос» — число; от него произошло название «арифметика»), квадрат неизвестного — знаком Av (по первым двум заглавным буквам слрва «дюнамис» — степень, си¬ ла); куб неизвестного — знаком /Cv (от «кубос» — куб); равен¬ ство— сочетанием Га (по первым двум буквам слова «изос» — равный); свободный член — буквой М (от «монас» — единица); вычитание — знаком А . Слагаемые он записывал одно за другим: сначала все положительные, затем отрицательные, после знака А; числовые коэффициенты шли после неизвестного и его сте¬ пеней. Например, многочлен х3 — 2jc2+ 10х — 3 в записи Диофанта выглядел бы так: Kvasl АДУ рУЙу (здесь а = 1, Р = 2. у = 3, t = 10), а уравнение х3=2 — х еле- дующим образом: /CvataA^pAsa. Конечно, современному читателю эти обозначения непривычны, но Диофант и его последователи отлично понимали, что здесь написано. Александрийские ученые, подвергшиеся в IV в. н. э. религиоз¬ ным гонениям со стороны фанатичных христиан, рассеялись по всему миру. По-видимому, некоторые из них добрались до Индии; 114
недаром у индийских математиков встречаются обозначения, по¬ хожие на диофантовы. Здесь зерна математической мысли упали на благодатную почву, и уже в работах Брахмагупты и Бхаскары вводятся особые знаки для разных неизвестных. Это первые слоги слов, обозначавших разные цвета. Появляются у них знаки и для обозначения всех арифметических операций, квадратного корня и степеней до 9-й включительно. Например, уравнение Злг-f- Юлг — 8 = Jt2-f 1 Брахмагупта записал бы так: йа ва 3 йа 10 ру 8 йа ва 1 йа 0 ру 1 Здесь «йа» означает неизвестное, «ва» — его квадрат, «ру» — свободный член, точка над числом означает его вычитание. По¬ скольку обозначения были первыми слогами соответствующих слов, то алгебра у индийцев излагалась в простой для запомина¬ ния стихотворной форме. В арабских странах обозначения Диофанта и индийцев не были восприняты. Здесь применяли довольно пространные словес¬ ные формулировки алгебраических соотношений. Европейские ученые, перенявшие алгебру у арабов, тоже долгое время поль¬ зовались словесной записью. Арабское название неизвестного «шай» — вещь было переведено на латынь словом res с тем же значением. По-итальянски оно звучит cose\ в Германии его стали произносить как coss. Этим словом в XV в. стали именовать алгебру, а алгебраистов — коссистами. ' Для обозначения степеней неизвестного пользовались словами censo (квадрат), cubo (куб), censo de censo (квадрат квад¬ рата). Для обозначения названий следующих степеней применял¬ ся либо принцип сложения показателей, либо принцип их умно¬ жения. Второй путь менее удобен, так как уже пятую степень нельзя выразить через квадраты и кубы. Поэтому такие степени назывались surdus — глухие или relate — отношения. Заметим, что в начале XV в. ал-Каши применял принцип сложения по¬ казателей как более естественный. Постепенно в словесную ткань алгебраических сочинений начи¬ нают проникать сокращенные обозначения неизвестных и их степеней, а потом и буквы. Они встречаются уже у немецкого математика Иордана Неморария (ум. в 1236 г.), рабо¬ тавшего в Парижском университете (языковых трудностей у него не возникало, так как все лекции читались на латыни). Но знаков действий у Неморария еще не было. Они появляются в трудах французского математика Никола Шюке (ок. 1445 — ок. 1500) и итальянского ученого Луки Пачоли (ок. 1454 — ок* 1514). Пачоли был монахом, членом ордена святого Франциска. В то время многие молодые люди, желавшие заниматься наукой, принимали монашеский постриг. Пачоли преподавал математику в крупнейших итальянских городах и был большим другом ве¬ 115
ликого художника и ученого Леонардо да Винчи. В изданной им в 1494 г. «Сумме знаний» — первой печатной книге по ал¬ гебре— неизвестное обозначается со (от cosa), его квадрат — се (censo), куб — си (cubo), четвертая степень— се се, пятая — p°r° (primo relato—первое отношение) и т.д., свободный член — п° (питего—число) ^ Пачоли использовал обозначения и для операций сложения — р (plus) и вычитания — т (minus). Знаки р и т применял и Шюке, но степени неизвестного он обозначал иначе — просто приписывал их показатели к коэф¬ фициентам. Например, современные символы 5, 5х, 5л:2 у него имели бы вид 5°, 51, 52. А рав_енство 8х3 - 7х~1 = 56х2 он записывал так: «83, умноженное на 71ш, дает 562». Таким образом, Шюке использовал уже отрицательные и нулевые показатели. Следует отметить, что сокращения р и т встречались задолго до Пачоли и Шюке в купеческих конторских книгах. Там они служили для обозначения прибыли и убытка. Знаки же « + » и « —» впервые появились у немецкого математика, уроженца чешского города Хеба, Яна Видмана (род. в 1460) в книге «Быстрый и красивый счет для всего купечества» (1489). Было бы заблуждением думать, что буквенные обозначения, раз проникнув в алгебру, начали неуклонно совершенствоваться. Нет, их развитие шло волнообразно: обозначения то улучшались, то забывались вовсе. Наряду с ними долго существовала сло¬ весная запись. В трудах математиков разных стран рождались различные обозначения одних и тех же величин и операций. К примеру, Бомбелли — итальянский ученый, который первым рассмотрел цепные дроби, записывал различные степени неизвест¬ ного через ... . Голландский ученый Симон Стевин (1548—1620), введший в употребление десятичные дроби, изменил обозначения Бомбелли на ф, ©, ®, ... . Интересна история современного обозначения корня, а также самого названия «корень». С древних времен в уравнениях, как правило, фигурировали как неизвестное, так и его степени, т. е. неизвестное являлось основой возникающих соотношений. Ин¬ дийцы называли его «мула» — корень (дерева), основание, на¬ чало; арабы — «джизр» — корень, основание квадрата, а европей¬ цы, сохранив смысл, перевели его на латынь. Так появилось название radix (по-латыни «корень»), отсюда — радикал. Сначала обозначение корня сократили до Rx, затем до строчной буквы г. В дальнейшем буква г трансформировалась в знак . Декарт объединил его с горизонтальной чертой, которую ставили над подкоренным выражением, в результате появился современный знак -yf . Относительно квадратных корней дополнительных ука¬ заний не делали, кубические же корни Виет обозначал л[с, а Стевин —Y® . Жирар ввел современную запись \] , V . Важный вклад в совершенствование алгебраической симво¬ лики внес французский математик Франсуа Виет (1540— 1603). Виет, как и Ферма, был по образованию юристом и 116
служил при дворе короля Генриха III. Но по настоянию гер¬ цогов Гизов, возглавлявших католическую реакцию, он был отстранен от должности. Де Гизы подозревали Виета в симпа¬ тиях протестантам, которых во Франции называли гугенотами (он был хорошо знаком с их идейным вдохновителем Ген¬ рихом Наваррским — будущим королем Генрихом IV). В даль¬ нейшем Виет вернулся ко двору и помог Генриху IV в расшифров¬ ке важной переписки между его противниками внутри страны и испанцами. Укреплению математического авторитета Виета способство¬ вало следующее событие. В ноябре 1594 г. нидерландский по¬ сланник, находясь на приеме у Генриха IV, сказал, что во Франции, по-видимому, нет выдающихся математиков, поскольку ученый его страны ван Роумен (1561 —1615), бросивший научный вызов лучшим математикам своего времени, не назвал ни одного француза. «У меня есть математик,— ответил ко¬ роль,— и весьма выдающийся. Позовите Виета». Получив из рук посланника письмо ван Роумена, Виет тут же написал одно из решений содержащегося в нем уравнения 45-й степени! Урав¬ нение имело вид: В правой части ученый сразу же узнал длину стороны пра¬ вильного 15-угольника, вписанного в единичную окружность. Эта сторона опирается на дугу в 24°. А по коэффициентам крайних 1 членов уравнения установил, что х — хорда — части этой дуги. На другой день Виет указал еще 22 положительных корня этого уравнения. Имелось еще 22 отрицательных решения, но дни тогда не рассматривались. В свою очередь Виет предложил Роумену задачу Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных окруж¬ ностей. Тот смог ее решить лишь с использованием конических сечений. Виет же в работе, где он себя назвал Apollonius Gallus (галльский, т. е. французский Аполлоний), решил ее с помощью циркуля и линейки. (О задаче Аполлония будет рас¬ сказано подробно в следующем разделе.) После этого Роумен стал ревностным почитателем таланта Виета. Ф. Виет первым начал обозначать буквами не только неизвест¬ ные, но и коэффициенты уравнений. В работе «Введение в ана¬ литическое искусство» (1591) он обозначил неизвестные пропис¬ ными гласными буквами латинского алфавита, а коэффициенты — согласными. Показателей степеней он не писал, заменял их словами. Например, уравнение A3-{-3BA = D у Виета выглядело следующим образом: A cub us-{-В planum in А 3 aequatur D solido. 117
В этой записи слово aequatur означает «равно» (от него же экватор, эквивалентность и т.д.), а слова planum (плоский) и solido (телесный) вставлены потому, что большой приверженец древнегреческой учености Виет хотел, чтобы все члены уравнения имели одну и ту же размерность,— иначе в его глазах равенство не имело смысла. Пользуясь своими обозначениями, он получил важные соотношения между коэффициентами и корнями алгеб¬ раических уравнений, которые сейчас называются формулами Виет а. Дальнейший вклад в формирование алгебраических обозна¬ чений внесли английские математики Р о б е р т Рекорд (1510— 1558), который ввел знак « = » для обозначения равенства (он писал, что ничто не может быть более равно, чем параллельные отрезки одинаковой длины), Томас Гарриот (1560—1621), впервые применивший знаки «<» — «меньше» и «>>» — «боль¬ ше» и обозначивший неизвестные и коэффициенты уже строч¬ ными буквами латинского алфавита, Вильям О у тред (1574—1660), придумавший знак «X» умножения чисел. Обоз¬ начение операции умножения точкой ввел Г. Лейбниц, у него же впервые появился знак деления в виде двоеточия. Для того чтобы алгебраические обозначения приняли совре¬ менный вид, не хватало только удачного обозначения для степени. Оно появилось в 1637 г. в «Геометрии» Р. Декарта. В этой книге Декарт ввел обозначения, которыми мы пользуемся и по¬ ныне: для неизвестных — последние буквы алфавита х, у, г, ..., а для коэффициентов — первые а, Ь, с, ... . Любопытно отметить; что, несмотря на неоспоримые преимущества декарто¬ вых обозначений, некоторые математики еще долгое время ис¬ пользовали устаревшие к тому времени обозначения Виета. Удачные обозначения вообще играют важную роль в матема¬ тике. По этому поводу Лейбниц писал: «Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это боль¬ шей частью бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают интимнейшую сущность вещей. Тогда пора¬ зительным образом сокращается работа мысли...» Успехи алгебры за прошедшие три с половиной века убедительно показывают, что обозначения Декарта были удачны. 3. Седьмая операция Если начать вести счет, как в средние века, с нумерации, то седьмая операция над числами после четырех арифметиче¬ ских действий и возведения в степень — это извлечение корня. От остальных шести она отличается одной неприятной особен¬ ностью — не всегда выполняется. Точнее говоря, извлечение квад¬ ратных и кубических корней всегда имело наглядный смысл: 118
найти сторону квадрата по его площади или сторону куба по его объему. Но ответ не всегда выражался натуральным или рациональным числом. Приходилось разрабатывать специаль¬ ную технику работы с корнями. При этом возникли две проблемы — научиться преобразовы¬ вать выражения, содержащие корни, и научиться с достаточ¬ ной точностью вычислять приближенное значение корня. В ре¬ шении первой задачи значительных успехов достиг древнегрече¬ ский философ и математик Теэтет (ок. 410—368 до н.э.). Сведения о нем сохранились в диалогах Платона (428— 348 до н. э.) — великого древнегреческого философа (большин¬ ство его произведений написано в форме диалога). Теэтет жил в Афинах, был членом академии Платона. Вслед за Архитом Тарентским (ок. 428—365 до н.э.) и Феодором из К ирены (V. в. до н.э.), доказавшими иррациональность квад¬ ратных корней из чисел 3, 5, 6, ..., 17, Теэтет доказал это утверж¬ дение относительно корней из любых натуральных чисел, не являющихся целыми квадратами. Но он не остановился на этом, а стал изучать различные выражения, которые можно составить из натуральных чисел с помощью арифметических операций и извлечения квадратного корня. Разумеется, исследования были облечены в геометрическую форму. Если перевести результаты Теэтета на современный язык, то окажется, что он рассматривал выражения вида <2 dz ~\[b, ~\ja zfc ~\fb . Более сложные преобразования ему не понадобились. Дело в том, что он искал способы построения правильных многогран¬ ников, вписанных в сферу (о них речь пойдет в геометрическом разделе). А для этого нужно было выразить ребро многогран¬ ника через радиус описанной около него сферы и найти соотноше¬ ния между некоторыми другими связанными с многогранниками отрезками. При этом возникали только указанные иррациональ¬ ные выражения. По той же причине он не рассматривал и кубических иррациональностей, хотя по свидетельству Платона знал о них. Теэтет вывел некоторые формулы, связывающие изученные им иррациональности. В частности, он использовал утверждение, которое в современных обозначениях имеет вид: / гг /а-Ь л] a2 —b / а — л/о2 — b Vfl±Vb= V ~2 ± V ~2 • С его помощью он умел упрощать иррациональные выражения. Так, по этим формулам имеем: У2±л/3=у (V6 + V2). Безусловно, такие преобразования чрезвычайно полезны. Запись 119
иррациональных выражений с помощью корней используется во многих теоретических исследованиях. Но при решении практиче¬ ских задач нужны числовые (рациональные) результаты, поэтому приходится обращаться к приближенным вычислениям корней. Этими вопросами занимались еще древние вавилоняне. Они нашли простой метод приближенного вычисления квадратных корней, известный нам из «Метрики» древнегреческого ученого Г ер он а (I в. н. э.). Заключается он в следующем. Любое натуральное число пред¬ ставимо в виде произведения двух множителей а*Ь. Например, 14 = 7»2, 13=13-1. Возьмем в качестве первого приближения -\jab среднее арифметическое множителей а и Ь: Вычислим отношение ab 2 аЪ УХ х\ а + Ь' Число называется средним гармоническим чисел а и Ь. (Проверьте, что обратная ему величина равна среднему ариф¬ метическому чисел, обратных а и Ь.) Покажем, что y\^~\[ab^X\ или 2 аЪ а + Ь (1) т. е. среднее геометрическое двух положительных чисел заключено между их средним гармоническим и средним арифметическим. В самом деле, из неравенства (а — Ь)2^0 следует (a + b)2^4ab, откуда / г ^ а-\-Ь Аа2Ь2 . что и требовалось доказать. Таким образом, х\ — приближение корня с избытком, а,у\ —с недостатком. Теперь найдем среднее арифметическое и среднее гармониче¬ ское чисел х\ и у\: Х\+У\ х\у\ 2х\ух 2 • У2-~7Г Из неравенств (1) получаем: х' —У\ ^ л У\(Х\—У\) ^ р. Х\ —х2=—~—^0 И у2 — у{ = ; >0. 2 XI+*/| Следовательно, y\^y2^-\[ab^.x2^x\. Продолжая этот процесс, получим две последовательности. Первая последовательность jt„, 120
состоящая из приближений л]аЬ с избытком, убывает, а вторая уп из приближений л[аЬ с недостатком возрастает. Другими словами, с увеличением номера точность приближения квадрат¬ ного корня повышается. Конечно, вавилоняне так не рассуждали. Просто они состав¬ ляли по этому принципу две последовательности и на много¬ численных примерах убеждались, что на каждом шаге получают все более точные приближения корня. Найдем приближенные значения корня У7*2: *i = =4,5, i/i = ii = 3,ll; = 3,805, у2 = — = 3,683; 2 ’ У Х-2 Х2 + У2 0-лл Х2У2 QC- *3 = —2~- = 3,744, у* = — = 3,/35. Таким образом, с точностью до 0,01 число 3,74 можно принять за приближенное значение корня УТ4. Античные ученые не могли опуститься до практических вычис¬ лений, поэтому они не интересовались приближениями корней. Методы приближенных вычислений были развиты арабами. Они позаимствовали у индийских математиков прием извлечения квад¬ ратного и кубического корней, основанный на формуле возведе¬ ния двучлена во вторую и третью степень. Возможно, этот способ извлечения корней имеет более древнее китайское происхожде¬ ние. Интересовались они и корнями более высоких степеней. В работе «Ключ арифметики» (1427) ал-Каши приводит способ приближенного вычисления корня любой степени. В наших обоз¬ начениях он может быть записан формулой А теперь вернемся к решению уравнений. 4. Математический турнир В феврале 1535 г. жители итальянского города Болоньи ока¬ зались свидетелями необычайного зрелища. К зданию Болон¬ ского университета направлялись торжественные процессии с ге¬ рольдами и знаменами. Студенты и профессора, ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять места в аудитории — ведь в университете должен был состояться турнир! Состязаться собрались математики. В то время ученые часто соревновались в решении труд¬ ных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная ре¬ 121
путация и даже право занимать кафедру. Каждый университет старался заполучить к себе победителей таких турниров. Болонцы надеялись на быструю победу своего «бойца» — Ан¬ тонио Марио Фиоре. Правда, сам Фиоре не слишком славился своими математическими открытиями. Но он был одним из ближай¬ ших учеников известного алгебраиста Сцепиона дель Ферро (1465—1526), который перед смертью открыл ему великую тай¬ ну — правило решения кубического уравнения. С тех пор Фиоре побеждал очень легко — он давал своим противникам задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. И соперники сдавались без боя — ведь даже в знаменитой книге Луки Пачоли «Сумма знаний», содержащей все сведения о тогдашней алгебре, гово¬ рилось четко и определенно: общего правила для решения куби¬ ческих уравнений нет. Уравнениями третьей степени занимался сам Архимед, изучали их и другие ученые, но никому не удалось отыскать общего метода. Ходили, впрочем, темные слухи, что испанский матема¬ тик Паоло Вальмес решил даже уравнение четвертой степени, но, когда он рассказал об этом печально известному инквизи¬ тору Томасу Торквемаде, тот счел, что это противоречит воле Бога, и приказал сжечь Вальмеса на костре. Неизвестно, на¬ сколько справедливы были эти слухи, но то, что в конце XV — начале XVI в. начался упадок испанской науки, вызванный преследованиями и казнями еретиков, это несомненно. Из страны изгонялись ученые, заподозренные либо в склонности к му¬ сульманству или иудейству, либо в том, что их взгляды расхо¬ дились с мнением инквизиторов. Центр развития науки перемес¬ тился в Италию. Но еще через столетие и там начался разгул религиозных преследований — на костре был сожжен философ Джордано Бруно (1548—1600), подвергнут угрозам пытки и домашнему аресту великий математик и механик Галилео Галилей (1564—1642). Их обвинили в приверженности уче¬ нию Николая Коперника (1473—1543). Но это случилось, намного позже турнира в Болонье. На этот раз «жертвой» Фиоре должен был стать Никколо Тарталья (ок. 1500—1557) —главный консультант по мате¬ матическим расчетам венецианского арсенала. Фиоре был тем более уверен в победе, что Тарталья не был признан официаль¬ ной наукой. Все свои знания, начиная с азбуки, он приобрел, занимаясь самообразованием. У его небогатых родителей хватило средств лишь для оплаты нескольких первых уроков грамоты, на которых Никколо ознакомился с полутора десятком букв, осталь¬ ные он разгадал сам. Да и выступать на диспуте Тарталье было трудно — он заикался с тех пор, как в детстве был ранен в гортань при взятии французами его родного города Брешии. Настоящая фамилия ученого была Фонтане, а Тарталья — его прозвище, означающее по-итальянски «заика» (в итальянских комедиях масок одним из действующих лиц всегда являлся 122
заика Тарталья; вспомните знаменитую пьесу-сказку Карло Гоцци «Принцесса Турандот»). Тарталья занимался многими вопросами математики, в част¬ ности комбинаторикой (знал формулы для числа сочетаний), геодезией, фортификацией, баллистикой. Ему было известно, что снаряд, выпущенный из артиллерийского орудия с заданной ско¬ ростью, пролетит наибольшее расстояние, если его выпустить под углом 45° к горизонту. Это открытие он под большим секретом сообщил герцогу Урбинскому, чтобы тот использовал его для эффективного ведения огня при ожидавшемся нападении турец¬ кого флота на Венецию. Тарталья хорошо понимал, какой удар его репутации нанесет поражение на турнире. Он знал, что его коллеги не испытывают к нему большой любви — характер у него был тяжеловатый. Один из современников Тартальи написал о нем даже так: «Этот человек по натуре своей был так склонен говорить только дурное, что даже хуля кого-нибудь, считал, что дает о нем лестный отзыв». Оставался единственный выход из этого от¬ чаянного положения — самому найти формулу для решения куби¬ ческого уравнения. Ведь все задачи, полученные им через но¬ тариуса от Фиоре, были связаны с решением таких уравнений. После длительных размышлений, мучительных неудачных по¬ пыток и бессонных ночей он получил желанную формулу для решения уравнений вида х3-{-ах = Ь, где а и b — положитель¬ ные числа (именно к ним и сводились задачи Фиоре). Поэтому 12 февраля 1535 г. стало черным днем болонской математики — Тарталья решил за два часа все задачи, предложенные ему соЛерником, а Фиоре не сумел решить ни одной из придуман¬ ных Тартальей задач. (Вообще в математике хорошо устроенная голова лучше, чем хорошо меблированная,— способность к реше¬ нию трудных проблем важнее обширности знаний.) Через несколь¬ ко дней после турнира Тарталья нашел способ решения урав¬ нения вида х3 = ах-\-Ь. Ученые до сих пор обсуждают, каким именно путем пришел дель Ферро к правилу решения кубического уравнения. Способ, изложенный в книге [2], по-видимому, найден Тартальей. Мы опишем еще один из возможных подходов к этой задаче. Есть предположение, что дель Ферро хотел найти такие числа р и q, при которых выполняется равенство Если обе части этого равенства возвести в куб и приравнять отдельно рациональные и иррациональные части, то получится система уравнений p3 + 3pq = a, (2) 123
Этой же системе уравнений удовлетворяют и коэффициенты в равенстве з -уа — VP = P~ V<7- Складывая его с первоначальным, найдем: 2р=-^/а+УЭ + д/а—УР . (3) Исключив q из системы (2), получаем для 2р кубическое уравнение (2р)3 + зУр-сс2 .(2р) = 2сс, (4) откуда видно, что (3) дает решение уравнения (4). Итак, одним из корней уравнения х3 + рх + 17 = 0 является *=V-f + V(f)’+(-S-f’ + V-l-Vdf+^tS) Эту формулу и получил дель Ферро. Задача Тартальи была проще, так как он уже знал, что искомая формула существует, а видов иррациональных выражений, из которых следовало сде¬ лать выбор, не так уж много. Формула (5) часто приводит к неудобным для вычислений выражениям. Например, в случае уравнения х3-\- i 5л: —16 = 0 она дает действительное решение *=V8+V189 — ^yi89—8. Но достаточно внимательно взглянуть на заданное уравнение, чтобы угадать один его корень л: = 1. Других действительных корней оно не имеет, так как х3-\- 15л:— 16= (х— 1) (л:2Н-л:+16) и дискриминант второго множителя отрицателен. Значит, фор¬ мула дает именно этот корень, но вычислить его можно лишь с помощью калькулятора или таблиц и то приближенно. Совсем плохо обстоят дела в случае, когда уравнение имеет три действительных корня. Так, корнями уравнения х3 — 7л: + 6 = 0 являются числа 1,—3 и 2, а по формуле (5) получается ,»y-3+y3f+y-3-y~-i. Для вычисления х нужно извлекать квадратный корень из от- 100 ^ * рицательного числа 27~у'а такая операция в области действи¬ тельных чисел невыполнима. В дальнейшем этот случай для кубического уравнения получил название неприводимого. В странном положении оказался Тарталья: он знал значения 124
всех трех корней, но ни одного не мог вычислить по своей формуле. Он долго пытался разобраться во всех возникших трудностях и отложил из-за этого издание книги о своих открытиях. Такую книгу написал другой ученый — Джироламо Кардано (1501 —1576), и формулу (5) называют не формулой дель Ферро или Тартальи, а формулой Кардано. Так бывает довольно часто — ведь и Америка названа не в честь открывшего для европейцев этот материк Христофора Колумба, а в честь Америго Веспуччи, который первым дал описание новой земли. Кардано был разносторонним ученым: популярными были его книги по философии и этике, помимо математики, он сделал открытия в области техники, механики и физики. Упомянем лишь о подвеске, состоящей из двух валов, предложенной им для экипажа короля Испании Карла V. Эту систему подвески, позволяющую карете занимать горизонтальное положение, теперь называют карданным валом или карданом. Правда, еще раньше Леонардо да Винчи в «Атлантическом кодексе» пред¬ ложил для судового компаса использовать такую лодвеску, и есть предположение, что Кардано с работой Леонардо был знаком. О жизни Кардано можно было бы написать авантюрный роман, не уступающий по своей занимательности лучшим образцам этого жанра. Там были и убийства, и тюремное заключение, и даже согласно легенде добровольная смерть от голода в 75 лет, вызванная желанием подтвердить истинность составленного им гороскопа. Кардано был вспыльчивым человеком, увлекался азартными играми. Но даже этот порок он использовал во благо науки: в 1526 г. он выпустил «Книгу об игре в кости», где рассмотрел некоторые вопросы комбинаторики и теории вероятностей. Карда¬ но долго вынашивал план написать книгу о новейших достиже¬ ниях алгебры под названием «Великое искусство». Он хорошо понимал, что лучшим украшением задуманной им книги было бы описание способа решения кубического уравнения. Узнав, что Тарталья владеет этим искус¬ ством, Кардоно обратился к нему с просьбой раскрыть тай¬ ну. Сначала Тарталья катего¬ рически отказался сделать это, но после ряда настойчивых просьб и клятв сохранить все сведения в тайне он поделился своим достижением, оформив его в виде стихотворения. Время шло, а Тарталья все не публиковал сделанного им открытия. И тогда Кардано включает его в свою книгу. Ка¬ ково же было возмущение 125
Тартальи! Правда, решение было приведено со ссылкой на него и дель Ферро. Но это не меняло сути дела: тайна раскрыта, клятва нарушена, а главное, его планы издания собственной книги сорвались. Тарталья обрушивает на автора «Великого искусства» град упреков. В защиту Кардано выступил его та¬ лантливый ученик Л у^и д ж и Феррари (1522—1565), который вызвал Тарталью на публичный диспут. Красноречие молодого человека и его незаурядные математические способности позво¬ лили ему выйти победителем в этом поединке. Поражение Тар¬ тальи сильно подорвало его авторитет в научном мире, а за ним и материальное положение. Справедливости ради следует отметить, что в «Великом ис¬ кусстве» многие результаты принадлежали самому Кардано. Он рассмотрел общее кубическое уравнение и ввел подстановку, приводящую его к виду, решенному Тартальей; он первым урав¬ нял в правах*положительные и отрицательные корни уравнений и обратил внимание на мнимые корни. В книге содержался еще один новый результат — метод решения уравнения четвертой сте¬ пени, полученный Феррари. Поясним его на примере решения уравнения *4 + 8*3+11=68л:, приведенного в «Алгебре» Бомбелли. Добавив к обеим частям уравнения 1 бдг2 и перенеся свободный член вправо, перепишем уравнение следующим образом: (jc2 + 4jc)2=16jc2 + 68jc-11. А теперь введем еще одно неизвестное t и добавим к обеим частям уравнения выражение t2 — 2 (х2-\-4х) t. Получим: (х2-{-4х —1)2= (16 — 2t) х2-\- (68 — 8/) х — (11 — t2). Левая часть уравнения является квадратом. Найдем такое зна¬ чение /, при котором квадратный трехчлен от х, стоящий в правой части, тоже является полным квадратом. Как известно, для этого нужнр, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся ну¬ лю, т. е. чтобы выполнялось равенство (34-4/)2+ (16-20 (11-/2)=0. Раскрыв в нем скобки, придем к кубическому уравнению /3-147/ +666 = 0. Если решать его по формуле (5), получим отрицательное число — 6760 под знаком квадратного корня. Поэтому попытаемся подобрать целый корень этого уравнения. Нетрудно проверить, что одним из его корней является число 6. (Позже мы расска¬ жем, как облегчить поиск целых корней.) Вернемся к нашему уравнению. При / = 6 оно принимает вид: 126
(jc2 + 4jc —6)2= (2jc + 5)2. Значит, x2-j-4x — 6=zh (2jc + 5). Решая оба получившихся квад¬ ратных уравнения, найдем четыре корня данного уравнения: Из этого примера видно, что Феррари сводит решение уравне¬ ния четвертой степени к решению одного кубического и двух квадратных уравнений. Общие методы решения уравнений 3-й и 4-й степеней стали первыми математическими результатами нового времени после многовекового застоя. А неприводимый случай для кубического уравнения привлек внимание ученых к квадратным корням из отрицательных чисел. Конечно, с такими корнями математики сталкивались не впер¬ вые — ведь они часто возникают при решении квадратных уравнений. Правда, от этой неприятной ситуации античные мате¬ матики были защищены диоризмами — так в Древней Греции называли ограничения, накладываемые на условия задачи. Например, для уравнения х2 — рх-{-Ь2 = 0 они полагали, что сторона b квадрата не превосходит половины отрезка р. И при нахождении решения по известному правилу под знаком корня получали неотрицательное число. Таким образом, от квадратных корней из отрицательных чисел можно было «отмахнуться»: если они вдруг появлялись, значит, коэффициенты шагнули через границу дозволенной области и уравнение просто не имеет корней (действительных). Но для кубических уравнений такие рассуждения не проходят. В непри¬ водимом случае решение по формуле Кардано — Тартальи со¬ держит квадратный корень из отрицательного числа, тем не менее уравнение имеет корни — полный набор, и все действитель¬ ные. Здесь скрывалась какая-то непостижимая связь между дейст¬ вительными числами и удивительными корнями из отрицатель¬ ных чисел. Эту связь пытался понять Тарталья. Много раз¬ мышлял над ней и Кардано. В своем «Великом искусстве» Кар¬ дано привел следующую задачу: найти два числа, сумма ко¬ торых равна 10, а произведение равно 40. Соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных реше¬ ний. Кардано назвал ее корни софистическими. Х\ч2— — 1 zb д/l 2, АГЗ. 4= —3 zb VTO. 5. Гибрид из мира идей 127
Разобрался в проблеме корней кубического уравнения итальян¬ ский математик и инженер Рафаэль Бомбелли, почитатель и последователь Кардано. Он начал действовать с корнями из отрицательных чисел так, как оперируют с обычными числами, учитывая, что (У— 1)2 = — 1. При таком подходе формула Кар¬ дано— Тартальи давала действительный корень для любого ку¬ бического уравнения. В результате работ Бомбелли и его после¬ дователей математики оказались перед загадочным фактом. Хотя квадратные корни из отрицательных чисел не имели ни¬ какого смысла и, по мнению большинства ученых, просто не существовали, применение их приводило к правильным резуль¬ татам. Пришлось, скрепя сердце, допустить такие корни в науку. Но поскольку они не имели никакого реального истолкования, их стали называть мнимыми числами. Прежде чем познакомиться с операциями над этими числами, введем некоторые понятия и обозначения. Обозначим через / число особого вида, обладающее тем свойством, что /2 = — 1. Так как мы не хотим отказываться от обычных чисел, нам придется иметь дело с произведениями Ы и с суммами вида а + Ь/, где а и b — действительные числа. В такой сумме есть и действительная часть а, и чисто мнимая часть bi. Поэтому числа вида a + bi называют комплексными (от лат. complexus — связь, сочетание). Действовать с ними будем как с многочленами от буквы /, не забывая только, что /2 =— 1. Например: (1— 40 + (6 + 7/) — (— 3 + 1) = 10 + 21 = 2(5 + /); (3 + 5/) (2-7/) =6-21/+ 10/ — 35/2 = 41 - 11/. Ясно далее, что /3 = /2• / = — /, /4 = (г)2 = (— 1)2 = 1, и потому /4/1 + А = (/4),'/* = /^ Несколько сложнее обстоит дело с делением. Для выполнения этой операции воспользуемся равенством (а+ 6/) (а — bi) = = а2 + 62. Число z = a — bi называется сопряженным числу z = = а + 6/. Из полученного равенства следует, например, что 7 — 2/ (7-2/) (3-4/) _ 13 — 34/ п со , 3 + 4/“ (3 + 4/) (3-4/) “ 25 — Заметим, что в неприводимом случае формула (5) содержит сумму кубических корней из комплексно-сопряженных чисел з х = л]а-\- Ы-\-л]а — bi. И хотя в XVI в. не было известно, как с такими выражениями обращаться, Бомбелли каким-то чудом сообразил, что кубический корень из комплексного числа вновь является комплексным числом, причем комплексная, сопряжен¬ ность сохраняется. Поэтому сумма таких корней есть действи¬ тельное число. Например: V2+lli + V2-H/ = (2 + /) + (2-г)=4. Прозорливость Бомбелли вызывает еще большее восхищение, 128
если учесть, что через столетие, когда Лейбниц сообщил Гюй¬ генсу о равенстве V1 + -д/1 —7=3 = Уб, тот очень удивился и сказал, что в этом кроется нечто для нас непостижимое. Комплексные числа на длительное время превратились во что-то таинственное, но полезное для решения математических проблем. Поэтому математики, хотя и не верили в их реальность, привыкали с ними работать. Как говорится, глаза страшатся, а руки делают. Большая заслуга в изучении комплексных чисел принадлежит Абрахаму де Муавру (1667—1754), родиной которого была Франция. Но, будучи по религиозным убеждениям гугенотом (протестантом), он был вынужден перебраться в Англию, когда в 1685 г. Людовик XIV отменил Нантский эдикт, предостав¬ лявший гугенотам свободу вероисповедания. Муавр искал формулы, позволяющие выразить косинусы и синусы двойной, тройной и других кратных дуг через косинусы и синусы самой дуги. Найденные им соотношения имеют в совре¬ менной записи следующий вид: cos пх = -у ((cos дг + / sin х) я + (cos х — i sin х)п), sin пх = Yi ((cos jc-f / sin x)n— (cos x — i sin x)n) ^ Степени в правых частях раскрываются с помощью бинома Нью¬ тона (формулу для cos пх знал Ньютон задолго до Муавра). Например, для п = 3 имеем: 1 * 1 ч cos Зх = ~2~ (cos x + i sin х) + у (cos x — i sin x) = = cos3 x — 3cos x sinL> x = 4cos3 x — 3cos x, sin 3x = Yi (cos x + * sin x)3 — (cos x—i sin x}3 = = 3 sin x cos2* — sin3jt = 3 sin x — 4 sin3 x. Из соотношений (6) для sin пх и cos пх легко получается тожде¬ ство (cos х + / sin х)" = cos nx-j-i sin пх. Именно его в учебной литературе чаще называют формулой Муавра. С помощью комплексных чисел удалось разложить на линей¬ ные множители многочлены, которые раньше такому разложе¬ нию не поддавались: jr+1 = (* + /) (х — /), х4 + 4 = (jc2 + 2x+2) (г2 —2х + 2) = = (*+1+/) (x+l—i) (x—l+i) (х—1—i). 5. Зак. 4723 H. Я Виленкин 129
Комплексные числа помогли вычислить многие сложные интегра¬ лы. И если в конце XVII в. Лейбниц писал: «Мнимые числа — это чудо анализа, гибрид из мира идей, двойственная сущность, находящаяся почти между бытием и небытием», утверждал, что эти числа являются «прекрасным и чудесным убежищем бо¬ жественного духа», то к концу XVIII в. Лагранж спокойно заявил: «Одним из важнейших шагов, сделанных анализом за последнее время, я считаю то, что его более не затрудняют мнимые величины и что вычисления с ними производятся так же, как и с действительными величинами». В настоящее время комплексные числа используются в мате¬ матике гораздо шире, чем действительные. Действительные чис¬ ла — это только часть множества комплексных чисел. Нашли они широкое применение и в технике. С помощью комплексных чи¬ сел исследуется течение воды и полет самолетов и ракет. Приме¬ няются они при вычерчивании географических карт. Используют¬ ся комплексные числа для изучения явлений в атомах и атомных ядрах и т. д. Но исторически полные права и реальное содержание комп¬ лексные числа обрели после выхода в свет в 1831 г. работы Гаусса, где он предложил интерпретировать комплексные числа как точки плоскости. Правда, работа Гаусса не была первой в этом направлении. В самом конце XVIII в. скромный датский землемер Каспер Вессель (1745—1818) нашел способ изоб¬ ражения комплексных чисел на плоскости. Свое открытие он изложил в вышедшей в 1799 г. работе «Об аналитическом пред¬ ставлении направлений». Но кто мог обратить внимание на работу никому не известного автора, да еще на датском языке? Не было замечено и анонимно опубликованное в 1806 г. в Париже сочи¬ нение швейцарского математика Жана Аргана (1768—1822) «Опыт некоторого представления мнимых единиц». Положение дел изменилось лишь тогда, когда появилось сочинение короля математиков. Хотя работа Гаусса была опубликована позднее работ Весселя и Аргана, иссле¬ дование его записных книжек показывает, что Гаусс пришел к геометрической интерпретации комплексных чисел уже в конце XVIII в. В чем же состоит эта ин¬ терпретация? Первый ее шаг очень прост: каждому ком¬ плексному числу a + bi ставит¬ ся в соответствие точка М (а, Ь) на плоскости, имеющая коор¬ динаты а и Ь. Наряду с этой точкой можно рассматривать и вектор OAf, идущий из начала 130
координат О в точку М. Но сопоставить числу точку или век¬ тор — это полдела. Надо еще изобразить арифметические опе¬ рации над комплексными числами. Что касается сложения и вычитания чисел a+ 6/ и с + d/, то достаточно сложить или вычесть соответствующие векторы (рис. 12). Для изображения умножения и деления познакомимся с дру¬ гой записью комплексных чисел. Обозначим через г длину вектора ОМ, а через <р угол, образованный вектором ОМ с положительным направлением оси Ох (рис. 13). Обычно г (по предложению Арагана) называют модулем числа 2 = а +bi, а <р — его аргумен¬ том. Заметим, что аргумент ненулевого комплексного числа имеет бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2л. Для числа 2 = 0 аргумент не определен вовсе. Очевидно, r= \z\ =-y]a2-\-b2, a = r cos<p, b = r sin<p, и потому имеет место равенство z = a-\-bi = r (cos ф + / sin <p). Запись комплексного числа z в таком виде называют его тригд- нометрической формой в отличие от записи z = a-\-biy которую называют алгебраической формой. Например, для 2=1+/ найдем 121 = "\/2, ф=^- + 2лт, поэтому 1 +/=-\/2^cos^ + 2лт^ +/sin ^ + 2лт^. Часто из всех значений аргумента выбирают наименьшее по абсолютной величине, называя его главным значением аргумента, и записывают кратко: l+/=V2(cosi -\-i sin-j-). Теперь, если имеем два комплексных числа 2 = г (cos ф + /sin ф), w = R (cosif + / sin \|?), то их произведение 5* Рис. 12 Рис. 13 131
zw = rR (cos<p+/sin ф) (cos\|)-H*sin ty) = = r/? (cos (ф + t) +i sin (ф + Ф) ) Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Разумеется, при де¬ лении модули делятся, а аргументы вычитаются: ^ = ^-(cos (ф — t*?) -h/sin (ф—г|>)), и)фО. Итак, чтобы построить вектор, изображающий произведение zw, нужно вектор ОМ, отвечающий числу z, растянуть в R раз и повернуть на угол г|г, аналогично поступают при изображении частного. Возведение комплексных чисел в степень с натуральным по¬ казателем выполняется по правилу (г (cos ф-f i sin ф) )n = rn (cos яф-f / sin дгф), которое при r= 1 превращается в формулу Муавра. По этому правилу (l+t)5=(V2(cos-J +/Sin^)) = = 4V2(cos^+/sin^) = -4-4i. Несколько сложнее выполняется извлечение корня из комп¬ лексных чисел. Ясно, что при этом из модуля извлекается корень соответствующей степени, а аргумент делится на показатель корня. Но надо еще учитывать, что аргумент определен неодно¬ значно. В связи с этим существуют п различных значений корня п-й степени из любого комплексного числа, не равного нулю. Все они задаются формулой Уг (cos ф + / sin ф) = Уг (cos ф0~^2jlfe + i sin fe = 0, i, n — 1, фо — главное значение аргумента ф. Так, например, , -г + 2л/г ^--\-2nk -$Т+7= 1/W(cos -Ц— + i sin ±-5—) , где k = 0, 1, 2, т. е. УГ+7 имеет три значения: zo=-^2 (cos^ -l-isini), z\ = -^2 (cos^p+* sin -H'sinig).
Точки zo, Z\y 22 являются вершинами правильного треуголь¬ ника, вписанного в окружность радиуса -^2 с центром в точке О (рис. 14). Вообще все корни п-й степени из комплексного числа 2 лежат в вершинах правильного дг-угольника, вписанного в окружность радиуса -\f\z\ с центром в начале координат. Так что достаточно построить один корень, а затем разделить соот¬ ветствующую окружность на п равных частей, начиная с построен¬ ного корня. 6. Корни из единицы Интересная ситуация возникает при извлечении корня в случае, когда 2 — действительное число, в частности при 2=1. Пока мы находимся на прямой (среди действительных чисел), корень п-й степени из 1 имеет всего либо одно значение 1, либо два ± 1 в зависимости от четности п. Но когда мы выходим в плоскость, этот корень уже принимает п различных значений, определяемых равенствами 2nk . . . 2л/г 1 п 1 1 8* = COS f- I Sin , tf = 0, 1, ..., П— 1. n 1 n Все они лежат в вершинах правильного я-угольника, вписанного в единичную окружность. При любом п одна из вершин этого многоугольника ео=1, при четном п противоположная вершина еп = — 1 (рис. 15). Из формулы Муавра видно, что e*=(ei)*, Y т. е. е0, ..., гп-\ являются степенями корня еь Остановимся еще на некоторых любопытных свойствах этих корней. Так как при умножении степеней с одинаковым основанием показатели этих степеней складываются, то произведение двух 133 Рис. 14
корней степени п из единицы снова является корнем того же вида: е*-е/ = е*+/. Надо только иметь в виду, что если k-\-l равно п или больше дг, то индекс /г-f/ заменяется остатком от деления его на п. Получается, что операция умножения корней дг-й сте¬ пени из единицы связана с арифметикой остатков, о которой говорилось в книге [1]. Только умножение при этом превращается в сложение. Введем теперь операцию над корнями лг-й степени из 1, соот¬ ветствующую умножению в арифметике остатков: е*о £/ = £*/. Мы ее обозначили кружком, чтобы не путать с умножением ед..е/==е*+/. Например, при п= 17 получим е13ое6 = е10 и ei2°e7 = = £i6, так как остаток от деления произведения 13*6 = 78 на 17 равен 10, а произведения 12*7 = 84 на 17 равен 16. В возни¬ кающей арифметике корней п-й степени из единицы можно оп¬ ределить и операцию, соответствующую возведению в степень,— она сводится к многократному применению операции о . Пусть снова дг=17, имеем: (8б)2 = ь'б°еб = е2, (e5)3 = e5°fc‘5°85 = 86. Корень е0=1 играет в такой арифметике роль нуля, a ei — роль еди¬ ницы: ведь 1оеЛ = е0ое*=е<).* =ео= 1 и ei°e* = ei.* =е*. Мы не знаем, в какой момент Гауссу пришла в голову мысль о том, что арифметика корней степени п из единицы имеет прямое отношение к его школьным занятиям по превращению обыкновенных дробей в десятичные периодические дроби. Он заметил, что если п — простое число, то среди корней найдется такой, который при возведении в степень по новому правилу дает все без исключения корни из единицы, кроме лишь самого числа 1. Такой корень называется первообразным. Например, при м=17 первообразным корнем является ез (посмотрите на таблицу, приведенную на с. 33, в которой выписаны остатки от деления на 17 степеней тройки). Как мы узнаем вскоре, это был великий момент в жизни Гаусса, определивший всю его дальнейшую судьбу. 7. Математика или филология? О необычайной математической одаренности Гаусса, проявив¬ шейся уже в раннем детстве, вы можете узнать из книги [1]. Казалось бы, этим предопределялся его жизненный путь, тем более что влиятельный покровитель — сам герцог Брауншвейгский Карл Вильгельм Фердинанд взялся решить все материальные проблемы, связанные с обучением вундеркинда. Но способности Гаусса были разнообразны, и его влечение к лингвистическим проблемам было не слабее, чем к математике. Поэтому он поступил на филологический факультет Геттингенского университета, 134
продолжая параллельно заниматься математикой. Следует отме¬ тить, что способности к изучению иностранных языков Гаусс сохранил до преклонных лет — в 60-летнем возрасте он выучил трудный для иностранцев русский язык, чтобы в подлиннике прочитать работы Лобачевского по неевклидовой геометрии (кроме того, он с удовольствием читал произведения русских поэтов и прозаиков). Надо было выбирать, какой же из двух наук посвятить свою жизнь. Ответ на мучившие гениального юношу сомнения пришел 30 марта 1796 г. Проснувшись утром этого дня, Гаусс вдруг понял, что из свойств корней из единицы, размышлениям о которых он предавался в последнее время, вытекает решение гео¬ метрической задачи о построении циркулем и линейкой правиль¬ ного 17-угольника — задачи, которую математики не могли решить более двух тысячелетий! О своем открытии он сообщил в короткой заметке, помещенной 1 июня того же года в «Иенском листке». Еще древнегреческие геометры умели строить циркулем и ли¬ нейкой правильные треугольник и пятиугольник, а тем самым и пятнадцатиугольник. К тому же они знали, как разделить угол пополам, поэтому могли построить любой правильный я-угольник, для которого п имело вид 2*+2/?*3, 2*-5 или 2*-15, где /г = 0, 1, ... (например, правильный четырехугольник, шестиугольник, десяти¬ угольник и т.д.). Об этих построениях мы расскажем подробнее в геометрическом разделе. Но ни правильного семиугольника, ни правильного девятиугольника древние геометры строить не умели. Поэтому они были уверены, что, кроме указанных правильных многоугольников, никакие другие построить циркулем и линейкой нельзя. Гаусс подошел к задаче о построении циркулем и линейкой с другой стороны. Он выяснил сначала, при каком условии задача на построение вообще разрешима с помощью этих двух инструментов. Оказалось, что это возможно лишь тогда, когда длина искомого отрезка выражается через единицу с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. В этом случае говорят, что искомая величина выра¬ жается в квадратных радикалах (доказательство этого утверж¬ дения будет дано в следующем разделе). Мы уже знаем, что корни дг-й степени из 1, т. е. корни уравнения zn —1=0, изображаются на комплексной плоскости вершинами правильного дг-угольника, вписанного в единичную окружность. Поэтому вопрос о том, можно ли построить цир¬ кулем и линейкой правильный дг-угольник, свелся к чисто алгеб¬ раической проблеме: выражаются ли корни п-й степени из 1 в квадратных радикалах. Разумеется, уравнение zn— 1=0 всегда имеет корень е0=1. Но нас интересуют как раз другие корни этого уравнения, т. е. числа e* = cos + i sin где 1^/г^дг— 1. Поскольку Г35
z" — 1 = (г— 1) (zn 11), то интересующие нас числа е* являются корнями уравнения Очевидно, для построения всех корней достаточно найти корень 81. Тогда, откладывая последовательно на единичной окружности, начиная с точки е0=1, дуги, равные дуге e0ei, мы получили бы все вершины правильного вписанного дг-уголь- ника. Но если мы найдем какой-то другой корень, например е3, то сможем ли построить все остальные вершины правильного многоугольника? Для случая п = 5 ответ утвердительный; чи¬ татели не раз решали эту задачу, вписывая в окружность пяти¬ конечную звезду единым росчерком карандаша (не отрывая его от бумаги и не проходя дважды по одному отрезку) (рис. 16). Но в случае п = 9 ситуация меняется: аналогичные действия приводят к правильному треугольнику, но не к девятиугольнику (рис. 17). Объясняется это тем, что в первом случае число п простое, а во втором — составное. Оказывается, при простом п можно построить все вершины правильного дг-угольника, вписанного в единичную окружность, зная любую его вершину еьфго- Итак, при простом числе п достаточно выразить в квад¬ ратных радикалах хотя бы один корень уравнения (7). Далее если мы можем построить циркулем и линейкой корни т-й и /-й степеней из единицы, где т и / — взаимно простые числа, то это можно сделать и для корней степени ml. Достаточно 1 1 А . В , записать в виде — = —-f — (существование таких целых чисел А и В, что Al-\-Bm= 1, следует из алгоритма Евклида). Остается выяснить: при каком простом р корень р-й степени из 1 выражается в квадратных радикалах? Рассмотрим сначала примеры. Если р = 3, то, решая уравнение z2 + z-f-l=0, находим t*i.2 = (7) 136 Рис. 17 Рис. 16
I i д/З i-г r = —2 =Ь При p = 5 задача сводится к решению уравнения четвертой степени z4 + z* + z2 + z+- 1 =0. С этой целью делим обе его части на г1 и вводим подстановку z-fy = <^. В результате приходим к уравнению иг + зд—1 =0, из которого находим ^1.2=—. Осталось решить два уравнения г+у= -1+V5 , 1 — 1 — У5 м = ^— и zJr~— 2— • Их корни соответственно равны «м J = T(V5-l±/V10 + 2V5),82.3 = +!-(V5+l±tV10-2V5)- Интересна идея подстановки, приведшей уравнение 4-й сте¬ пени к квадратному. Ведь корнями квадратного уравнения яв¬ ляются числа ay, = ei + e4 и ^2 = е2 + г3. Каждое из них пред¬ ставляет собой сумму сопряженных корней (e4 = ei, £3 = 62). По¬ скольку комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые дейст¬ вительные части и противоположные мнимые, то корни 81 и е4, а также корни 82 и 83 симметричны относительно оси Ох (рис. 18). Та же идея группировки комплексно-сопряженных корней за¬ ложена в подстановках, позволивших Гауссу выразить в квадрат¬ ных радикалах корни 17-й степени из 1. Но самое главное, как удачно сгруппировать корни уравнения г|6 + г|5 + ...+2+1=0 ? Размышляя над этим вопросом, Гаусс открывает неожиданную его связь с первообразными корнями из 1. Остановимся на решении этого уравнения. Выразим номер каждого корня е*, 1^/г^16, в виде степени тройки (3 — номер первообразного корня). Получим нумерацию этих корней, задаваемую таблицей (см. таблицу на с. 33). 137 Рис. 19
■■ — 1 — 2 “1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 £3 eg ею ei3 е5 ei5 еи eie e!4 e8 67 64 €12 г-2 ее ei В верхней строке таблицы записаны показатели степени, в которую возводится число 3, а в нижней — соответствующие корни. Сложим теперь отдельно все корни, стоящие под четными номерами верхней строки, и отдельно — под нечетными. Получим: Л о = ^ 9 ~I- в 1 з —(— е 1 5 —|— е 16 в 8 Н~ в 4 в 2 с 1, Л 1 = 6з + в 10 + 6 5 + £i 1 + e 14 + £7 + £12 + £б- (На рисунке 19 сопряженные корни соединены вертикальными хордами.) При этом выполняются соотношения r)o + r]i = — 1 и г|о • ЛI = — 4, которые несложно проверить, учитывая, что е j7 = 1. Это значит, что г|о и r|i являются корнями квадратного урав¬ нения х2 + х —4 = 0 и потому (из рисунка легко видеть, что Ло Л1) выражаются формулами VT7—1 -VT7-1 Ло = —у—, Л1 = 2 • Но в г]о и л 1 по восемь слагаемых. Аналогичным приемом при¬ ходим к подстановке То = 613 + 816 + 64 + 61, Т1 = 69 + 815 + 88 + 62, Т2 = 63 + 85 + 8i4 + 812, Тз = 8ю + 811 + 67 + 8б- При этом то и т\ оказываются корнями квадратного урав¬ нения с более сложными коэффициентами х2 — —-х— 1=0. Значит, To=l(Vl7-l+V34-2Vi7). t: = 4(V17-1-V34-2VT7). Далее, тг и т3 в свою очередь корни квадратного уравнения х2 — rii*— 1 =0, откуда T2 = |(-Vl7-l+V34 + 2Vr7), T3 = |(-Vi7-l-V34 + 2Vr7)- Подстановка р^е^ + еь P2 = £i3 + £4 приводит к уравнению х2 — то* + т2 = 0, один из корней которого р.=т(лД7-1+л/34-2лД7) + + тл/ 17 + 3V17- yi70 + 38Vf7 .
Так как е16 = е Г 1, то задача решена — корень выражается через натуральные числа с помощью арифметических операций и извле¬ чения квадратных корней, а потому правильный семнадцати- угольник строится с помощью циркуля и линейки! Приглядимся внимательнее к рассуждениям Гаусса. Сначала он объединяет все корни уравнения хп— 1=0, кроме во, в две равные группы ц0 и rji, затем каждую из них вновь делит на две равные части и так до тех пор, пока не приходит к уравнению, содержащему лишь два корня. Такую процедуру можно совер¬ шить лишь тогда, когда число корней еi, 82, ..., ел-1 равно степени двойки: я—1=2*. Вспомним теперь, что мы рассматри¬ ваем случай простого показателя п. А как мы уже убедились раньше («Арифметика», гл. I, п. 8), число п = 26+1 может быть простым лишь при 5 = 2k (& = 0, 1, 2, ...). Таким образом, м = 22 +1 является простым числом Ферма. Позже Гаусс дока¬ зал следующий критерий: Разделить окружность циркулем и линейкой на п равных частей возможно тогда и только тогда, когда п = 2т-рг...-рГу где т = 0, 1, 2, ...; р\% ..., рг — различные между собой простые числа Ферма. В настоящее время нам известны лишь пять простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. И хотя мы не знаем, есть ли еще и другие, тем не менее всегда можно установить, является произ¬ вольное простое число р числом Ферма или нет. Так, 7, 11, 13, 19, 23 не являются числами Ферма. Поэтому на такое число равных частей разделить окружность циркулем и линейкой нельзя. Несмотря на разложение 9 = 3*3, где 3 — простое число Ферма, разделить окружность на 9 равных частей тоже нельзя — ведь по теореме Гаусса в разложении должны участвовать лишь различные простые числа Ферма. Немецкий математик Фридрих Ришелло (1808—1875) дал описание построения правильного 257-угольника, оно заняло 80 страниц (есть сведения, что это выполнил и сам Гаусс). Для 65537-угольника такую работу проделал О. Гермес, затра¬ тивший на поиски 10 лет жизни, но его решение не опубликовано и хранится в чемодане солидных размеров в Геттингенском университете. Результат Гаусса важен для математики не столько фактом решения древней задачи, сколько идеей группировки корней уравнения. Именно эта идея, как мы увидим ниже, стала основной в вопросе решения алгебраических уравнений в радикалах. День 30 марта 1796 г. определил судьбу Гаусса. Он твердо решил стать математиком и начал вести дневник, в который заносил свои размышления. «На его страницах...— писал выдаю¬ щийся немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925),— 139
перед нами проходит горделивый ряд великих открытий, сде¬ ланных в арифметике, в алгебре и в анализе... Странно и почти трогательно видеть между этими следами неудержимо рвущегося гения проявления добросовестной, доходящей до мелочей учени¬ ческой работы, от которой не освобождены и такие люди, как Гаусс». Говоря о величии достижений Гаусса, Клейн сравнивает его .с высочайшей вершиной Баварских Альп: «Купола, посте¬ пенно уходящие вверх с востока на запад, венчаются исполин¬ ским гигантом, который, круто обрываясь, переходит в долины новой формации, в которые еще на многие десятки километров вдаются его отроги и стекают его воды, несущие с собой новую жизнь». Математики обычно весьма сдержанны в проявлении своих эмоций, особенно в печатном виде, так что зря таких слов не говорят. Фундаментальной важности новые идеи Гаусс внес и в алгебру, и в геометрию, и в математический анализ, и в высшую арифметику, которую считал царицей математики, а саму матема¬ тику Гаусс называл царицей наук. Но кроме математики, он занимался астрономией, где придумал способ вычисления орбит малых планет по немногим наблюдениям (в частности, нашел орбиту Цереры после, того, как открывший эту планету астроном ПиацЦи потерял ее • из-за многих дней плохой погоды). За¬ нимаясь картографической съемкой Ганноверского королевства, он фактически создал высшую геодезию, а на основе этой прак¬ тической работы — теорию поверхностей. Занимался Гаусс и тео¬ рией электромагнетизма. Вместе с физиком В. Вебером он ввел абсолютную систему электромагнитных единиц. И хотя многообразна была его деятельность во всех об¬ ластях математики и ее приложений, Гаусс до конца жизни сохранил воспоминание о первой победе. Перед смертью он высказал пожелание, чтобы на его могильном камне был изобра¬ жен правильней 17-угольник. Это не удалось выполнить, -но воздвигнутый Гауссу памятник в Брауншвейге стоит на 17- угольном постаменте. 8. Золотая теорема Не прошло и десяти дней после решения Гауссом проблемы построения правильного 17-угольника, как он нашел решение дру¬ гой труднейшей задачи, с которой не удалось справиться гиган¬ там математической мысли Ферма и Эйлеру. Прежде чем рас¬ сказывать об этой задаче, остановимся подробнее на разрабо¬ танной Гауссом арифметике сравнений (или, как ее еще назы¬ вают, арифметике остатков, или арифметике вычетов). Начнем с определений. Выберем произвольное натураль¬ ное число m и зафиксируем его, далее все целые числа будем 140
делить на т и сравнивать остатки от деления. Если два числа а и Ь имеют одинаковые остатки от деления на т, то говорят, что они сравнимы по модулю ш, и пишут: а = Ъ (mod т). Например, 8 = 23 (mod 5), так как при делении на 5 числа 8 и 23 дают остаток 3. Если a = b (mod т), то а называют вычетом числа b по модулю m — ведь а можно получить из b вычитанием числа, кратного т. Из нашего примера видно, что 8 — вычет чис¬ ла 23 по модулю 5. Правда, чаще берут наименьшие неотри¬ цательные вычеты (наименьшие неотрицательные остатки). Так, 3 — вычет чисел 8 и 23 по модулю 5. Иногда берут вычеты, наименьшие по абсолютной величине (приведенные остатки), таким вычетом по модулю 5 для 8 и 23 является число ( — 2). Сравнения обладают свойствами, аналогичными свойствам равенств: 1) а~а (mod m); 2) если a = b (mod m), то Ъ=а (mod m); 3) если a = b (mod m) и b = c (mod m), то а = с (mod m). Кроме того, сравнения можно почленно складывать и почленно умножать: если a = b (mod m) и c = d -(mod m), то a + c=6 + + d(modm) и ас = bd (mod m). В частности, к обеим частям сравнения можно добавить одно и то же целое число и обе части сравнения можно умножить на одно и то же число. Несколько сложнее обстоит дело с делением: делить обе части сравнения al = Ы (mod m) на / можно лишь в случае, если / взаимно просто с т. В противном случае надо еще разделить m на НОД (/, т). Например, из того, что 42=18 (mod 8), вы¬ текает сравнение 7 = 3(mod4). Ясно, что если т — простое число, то обе части сравнения можно делить на любое ненулевое число /. В одном арифметика сравнений сильно отличается от обыч¬ ной: может случиться, что афО(тодт) и 6^0 (mod т), но ab = 0(modm). Например, 2^=0 (mod6), 3^=0 (mod6), но 2-3 = 0 (mod6). Положение исправляется в случае, если т — простое число. В этом случае сравнение ab = 0 (mod т) может выполняться только тогда, когда либо a = 0(modm), либо Ь = 0 (mod m). Поэтому чаще рассматривают сравнения по простому модулю. Многие результаты, о которых шла речь в первом разделе, можно сформулировать на языке сравнений. Например, малая теорема Ферма состоит в том, что если р — простое число, то для всех а имеем ая==а (modр). А теорема Вильсона ь(крите¬ рий простоты числа р) будет выглядеть так: р просто тогда и только тогда, когда (р— 1)!= —1 (mod/?). Разумеется, для сравнений можно строить не только ариф- 141
метику, но и алгебру, в частности, решать сравнения вида Р(х) =0 (modp), гдеЯ(х) =апх" + ... + ап-\х + ап — многочлен, а р — простое число. Многие теоремы обычной алгебры оказыва¬ ются верны и для таких сравнений. Например, сравнение степени п имеет не более п корней; сравнение Р (х) Q (х) =0 (mod р) сво¬ дится к решению сравнений Р (х) =0 (mod р) и Q (х) =0 (mod р) и т.д. Решение сравнения первой степени ах= b (mod р) экви¬ валентно решению диофантова уравнения ах + ру = Ь. Сложнее обстоит дело со сравнениями второй степени. Наиболее простое из них х2 = а (mod р) (оно равносильно диофантову уравне¬ нию х2-\-ру = а). Но даже для того, чтобы решить уравнение х2 = а, надо уметь извлекать квадратные корни. А эту операцию, оставаясь в действительной области, можно проделывать только с неотрица¬ тельными числами. Поэтому, если мы хотим научиться извле-N кать квадратные корни из вычетов, надо знать, какие из них «положительные», а какие «отрицательные». Здесь не поможет использование приведенных остатков,— хотя одни из них положи¬ тельные, а другие — отрицательные; никакого отношения к извлечению квадратных корней это не имеет. Например, срав¬ нение x2 = 2(mod7), как легко можно проверить, имеет решение x==3(mod7). Нетрудно убедиться также, что сравнение х2=— 3(mod7) имеет решение x = 2(mod7). А вот сравнение х2==3 (mod7) вовсе не имеет решений — почему? Чтобы прояснить этот вопрос, познакомимся с новыми поня¬ тиями. Число а называется квадратичным вычетом (соответствен¬ но невычетом) по модулю р, если сравнение" x2 = a(modp) имеет (соответственно не имеет) решения. Квадратичные вычеты в арифметике вычетов по модулю р и играют роль положи¬ тельных чисел, а невычеты — роль отрицательных чисел. Иными словами, «положительны» те ненулевые вычеты, из которых можно извлечь квадратный корень по модулю р (либо само а, либо какой-то из его вычетов, т. е. число вида pt + ay является квадратом). Числа 0 и 1 являются квадратичными вычетами по лю¬ бому модулю, так как 02 = 0(modp) и 12н= 1 (modр). По модулю 5 квадратичными вычетами являются 0, 1 и 4, а не¬ вычетами— 2 и 3, так как никакое число вида 5/+ 2 или 5/ + 3 не может быть квадратом. По модулю 7 квадратичными вы¬ четами являются 0, 1, 2, 4; а невычетами — 3, 5 и 6. Другими словами, квадрат любого числа при делении на 7 дает остатки 0, 1,2, 4, но никогда не дает остатков 3, 5, 6. К сожалению, данное определение «положительности» и «от¬ рицательности» вычетов не слишком удобно — мы хотели узнать, решается ли сравнение x2 = a(modp), а нас отсылают именно к нему. О том, какие остатки дают квадраты при делении на простые числа, задумывались уже Ферма и Эйлер. Но оконча¬ тельный ответ на этот вопрос удалось найти только юному 142
Гауссу. Чтобы сформулировать эти результаты, используем сим¬ вол Лежандра. Дадим его определение. Пусть р — простое нечетное число. Для любого квадратич¬ ного вычета а по модулю р положим = 1 i если же а является квадратичным невычетом, то ^^ = — 1. Можно показать, что для символа Лежандра выполняется следующее равенство: (тХтМт)- Ферма, разбирая различные примеры, догадался, что числа вида jr-f 1 делятся на простые числа вида 4£-f 1 и не делятся на 4£—1. Используя символ Лежандра, это утверждение можно записать очень коротко: Доказательства этой теоремы Ферма не оставил, и первым ее доказал Эйлер в 1747 г. Размышляя дальше на эту тему, Эйлер угадал, что число 2 является квадратичным вычетом только для простых чисел вида 8£=tl, а для чисел 8£=к:3— квадратичным невычетом. И здесь символ Лежандра позволяет перейти к более краткой формулировке: Доказать это утверждение Эйлер не смог, удалось это сделать лишь Лагранжу. Анализируя большой числовой материал, Эйлер сформулировал (1772) гипотезу, которая с помощью символа Лежандра выражается так: для любых двух нечетных простых чисел р и q выполняется равенство Это замечательное утверждение, которое носит название квад¬ ратичного закона взаимности, и доказал юный Гаусс. Он назвал эту теорему золотой и привел в дальнейшем б различных ее до¬ казательств. Золотая теорема позволяет довольно легко устано¬ вить, является данное число квадратичным вычетом по модулю р или нет. Рассмотрим примеры. Выясним, имеет ли решение сравнение х2 = 31 (mod 73), т. е. является ли число 31 квадратичным вычетом по модулю 73. Для этого вычислим символ Лежандра ( —1),5*36 = 143
=Ш)=№ИШ= -(п)—rn—(А)- = — 1. Следовательно, уравнение дг==31 (mod73) не имеет ре¬ шений. А вот у уравнения х2 = 37 (mod 61) они есть, посколькх -m-(S МШ№) = О доказанной им теореме Гаусс отозвался так: «Я случайно на¬ толкнулся на одну изумительную арифметическую истину, и так как она не только показалась мне прекрасной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и с другими выдающимися фактами, я со всей энергией взялся за то, чтобы выяснить прин¬ ципы, на которых она основывается, и получить строгое ее дока¬ зательство. После того как это желание, наконец, осуществилось, прелесть этих исследований настолько увлекла меня, что я уже не мог их оставить». Продолжая исследования, связанные с квадратичным законом взаимности, Гаусс обобщил его на случаи уравнений х3 = а (mod р) и х4 = a (mod р). Различными обобщениями золотой теоремы ученые занимались и в дальнейшем. Фундаментальные результаты в этом направ¬ лении получил ученик Б. Н. Делоне советский математик Игорь Ростиславович Шафаревич (род. в 1923) Математическое дарование Шафаревича раскрылось очень рано: в 17 лет он экстерном окончил Московский университет, в 19 лет был уже кандидатом, а в 30 лет — доктором физико-математи¬ ческих наук. В 35 лет его избирают членом-корреспондентом АН СССР. За работы по алгебраической теории чисел Шафаревич наг¬ ражден Ленинской премией. 9. Дама с собачкой После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени мате¬ матики, естественно, пытались найти формулы вычисления кор¬ ней уравнений 5-й и более высокой степени. Но все их попытки приводили к неудачам. Лишь через два столетия будет доказано, что таких формул нет, а в то время возникали сомнения: может быть, так же как для решения квадратных уравнений не хва¬ 144
тало действительных чисел, так и для решения уравнений более высокой степени недостаточно комплексных? Или все-таки можно надеяться, что произвольное алгебраическое уравнение п-й степени Zn-\-C\Zn 1 ... + Сп— \Z -f- Сп = 0 с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень? А сколько всего оно может иметь корней? Считается, что первыми сформулировали положение о числе корней такого уравнения Жирар и Декарт. Французский мате¬ матик Альберт Жирар (1595—1632) в молодости вынужден был покинуть родную Лотарингию из-за гонений на протестантов. Большую часть своей жизни он провел в Голландии. Там и вышла в 1629 г. главная его книга «Новые открытия в алгебре». Она содержала много оригинальных результатов, изложенных доступ¬ ным языком. Среди них предложение: «Все уравнения алгебры получают столько решений, сколько их показывает наименование высшей величины». Книга привлекла внимание ученых, но не¬ сравненно больший резонанс имела вышедшая позже «Геометрия» Декарта. Об этом произведении, влившем в математику новые жизненные силы, мы будем говорить в следующем разделе. В ней Декарт, в частности, сформулировал утверждение, что количество действительных и мнимых корней алгебраического уравнения п-й степени может достигать значения п. Правда, еще за двад¬ цать с лишним лет до Жирара немецкий математик Петер Роте (ум. в 1617) высказал аналогичное утверждение, но его скромная работа осталась незамеченной. В XVIII в. утверждение приняло более четкую форму: коли¬ чество комплексных корней алгебраического уравнения равно его степени (каждый корень считается столько раз, какова его кратность). Появились первые попытки его доказательства, в част¬ ности, в работах Эйлера и французского математика, механика и философа Жана Лерона Даламбера (1717—1783), но они оказались не вполне строгими. Например, Эйлер рассуждал так: если zi, 22, zn — корни уравнения, то это уравнение можно записать в виде (2 — 21) (2 — 22) ... (2 — zn) =0. Отсюда Эйлер вывел обобщенные формулы Виета, связывающие корни уравнения с его коэффициентами. По этим формулам он восста¬ новил корни уравнения и считал доказанным тот факт, что уравнение п-й степени имеет ровно п корней. Позже Гаусс ука¬ зал на порочный круг рассуждений Эйлера: сначала существова¬ ние корней предполагается, а затем из полученных формул этот факт выводится. Сам Гаусс в своей докторской диссертации (1799) дал стро¬ гое доказательство теоремы, которая в настоящее время при¬ водится в следующей формулировке: всякое алгебраическое урав¬ нение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В дальнейшем Гаусс дал еще три дока¬ зательства этой теоремы, получившей название основной теоремы 145
алгебры многочленов. Одно из них мы приведем чуть ниже, а сейчас покажем эквивалентность приведенной формулировки следующему утверждению: уравнение п-й степени с комплекс¬ ными коэффициентами имеет ровно п корней. Для этого нам потребуется теорема, носящая имя французского математика Эт ье н н а Безу(1730—1783) (хотя ее формулиров¬ ка встречалась уже у Декарта): если число г0 является корнем уравнения Р(г)= 0, то ^многочлен Р(г) делится без остатка на z — zq. На самом деле если при делении получается остаток, то он может быть только некоторым числом г, а тогда выполняется равенство P(z) — (z — zq) Q(z) +г. Подставляя вместо 2 значение z о, получим слева нуль (поскольку z0 — корень уравнения P(z)=0), а справа г. Значит, г = 0 и P(z) делится на z — zo без остатка. А теперь, если Z\ — корень многочлена Р (z) = c()z"-|-oz"_1 + + ... + с«, получаем разложение P(z) = (z —zi) Q(z). Затем ана¬ логично поступаем с многочленом Q (z) и через п шагов при¬ ходим к разложению P(z) =c0(z — zi) (z — z2) ...-(z — z„). Таким образом, уравнение P(z)=0 имеет n корней zi, Z2, zn> которые называют также корнями многочлена P(z). Если среди корней есть равные, то полученное нами разложение за¬ писывается в виде P(z) =c0(z — z\)ki... (z — zm)km, где k\-\- ...-\-km = n (это равенство напоминает каноническое раз¬ ложение натурального числа). Интересно, что, когда коэффициенты много¬ члена Р (z) — действительные числа, многочлен можно разложить на множители с действитель¬ ными коэффициентами. Возможно, не все они будут первой степени. Дело в том, что такие многочлены вместе с каждым комплекс¬ ным корнем zo = a + W обязательно имеют со¬ пряженный с ним корень Zo = a — bi. А произ¬ ведение (z —z0) (z — Zo) = (z — a — bi) (z — a + + bi) после раскрытия скобок принимает вид (z — a)2-\-b2 = z2 — 2az + a2 + fe2. В этом квад¬ ратном .многочлене уже нет никакой мнимости. Когда-то выдающийся немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1804— 1851) сказал своим ученикам: «Господа, для гауссовской строгости у нас нет времени». У нас нет не столько времени, сколько места, чтобы изложить во всей полноте рассуждения Гаусса, и потому мы ограничимся рассказом об идее одного из предложенных им доказательств 146 Рис. 20
основной теоремы алгебры мно¬ гочленов. Выберем на плоскости точку и начертим какую-нибудь замкнутую кривую. Может слу¬ читься, что выбранная точка ле¬ жит вне кривой (рис. 20, а), а может случиться, что кривая несколько раз обходит вокруг точки (рис. 20, б). Можно до¬ казать следующее утвержде¬ ние: как бы мы ни деформиро¬ вали замкнутую кривую, следя лишь за тем, чтобы она не ра¬ зорвалась и ни разу не прошла через данную точку, число ее обходов вокруг этой точки не изменится. Хотя это предложение и кажется очевидным, его доказательство довольно сложно, даже определить точно, что означают слова «кривая ни разу не обходит заданную точку» совсем не просто. Но эти трудности относятся уже не к алгебре, а к другой ветви математики, называемой топологией. Иногда это утверждение шутливо называют «дама с собачкой». Представим себе, что дама, прогуливающая собачку, обходит вокруг круглой площади. Когда она один раз.обойдет всю площадь, собачка, которая движется более сложным маршрутом, обегая даму с разных сторон, все же по сути дела тоже обойдет площадь один раз (рис. 21). Итак, примем утверждение об обходах точки за истинное и выведем из него основную теорему алгебры. Заметим, что если свободный член уравнения Zn-\-C\Zn 1 -f- ... -f-Cn — 1 z -f- Cn = 0 равен нулю, то и доказывать нечего — уравнение имеет корень Рис. 21 Рис. 22
2 = 0. Будем считать, что спфО: При очень малых значениях \г\ выражение \zn-\-...-\-cn-\z\ = \z\ - \zn~l мало по сравнению с \сп\- Поэтому когда точка z описывает окружность малого радиуса г с центром в начале координат, точка w = = P(z) =zn + C\z"~l ...-\-Cn-\Z-\-Cn описывает замкнутую кри¬ вую, расположенную вблизи от точки сп (рис. 22). Совсем иной будет картина, если точка 2 снова описывает „окружность с центром в начале координат, но уже очень большого радиуса R. Из равенства p<*)=2-(i+iL+,.. + ii) видно, что отклонение кривой w = P(z) от кривой w = zn мало по сравнению с R'1 (при больших значениях \z\ все слагаемые в скобке, кроме 1, малы по модулю). Значит, эти кривые можно деформировать друг в друга вдали от начала координат, и по¬ тому число обходов, которые они делают вокруг точки О, одина¬ ково. Сколько же обходов делает кривая w = zn? При возведении в степень п числа z = r (cos ср + / sin ср) аргумент ср умножается на лг, и потому, пока точка z обходит точку О один раз, точка г" успевает обойти ее п раз. Итак, мы видим, что, когда радиус окружности, описываемой точкой 2, возрастает от очень малых до очень больших значений, число обходов, совершаемых точкой w = P(z) вокруг начала координат, меняется от нуля до п. А это может быть лишь при условии, что путь точки w при этой деформации ровно п раз проходит через точку О, т. е. многочлен P(z) обращается в нуль п раз. Это и значит, что уравнение п-й степени имеет ровно п корней. (Мы здесь не останавливаемся на некоторых осложнениях, связанных с возможным совпадением корней.) 10. Целые корни Мы уже встречались с уравнением х3 — 147x-f666 = 0 при иллюстрации метода Феррари. Решение его по формуле Тартальи имеет вид: х= У—Ш-fi V6760 + У~ —333 — г д/б760 . Это числовое выражение слишком громоздкое, и работать с ним неудобно. В то же время мы знаем, что данное уравнение имеет только один действительный корень х = 6. И хотя приближенное вычисление корня, задаваемого формулой Тартальи, дает ответ, близкий к 6, мы не были бы уверены в равенстве двух выражений, не зная заранее ответа. Но как угадать ответ? Среди каких чисел искать? Поставим общую задачу: найти рациональные корни алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. 148
В первую очередь заметим, что после умножения обеих частей такого уравнения на общий знаменатель для всех коэффициентов получим уравнение с целыми коэффициентами, причем, не теряя общности, можем считать эти коэффициенты взаимно простыми. Получившееся уравнение (XqX>1CL\Xn * -f" • • • CLn = О, вообще говоря, не является приведенным, т. е. коэффициент а() может быть не равным единице. Чтобы перейти к приведенному уравнению, умножим обе части полученного уравнения на множи¬ тель а!?-1, после чего положим аох = у. Простой подсчет показы¬ вает, что в результате получается приведенное уравнение с целыми коэффициентами у'1-\-Ь\уп 1 + ... -\-Ьп = 0- Оно не может иметь дробных корней. В самом деле, если бы не¬ сократимая дробь -у (q —ф— 1) была его корнем, то выполнялось бы равенство ^ + &,^-гТ + ... + &я==0, откуда рп= — q(bxpn~1 + ... + -\-bnq,l~x). Здесь правая часть делится на qy а левая нет, следо¬ вательно, такое равенство невозможно. Итак, общая задача свелась к следующей: найти целые корни приведенного уравнения xn + aiXn-'+... + an = 0 (8) с целыми коэффициентами. Решение этой задачи основано на следующей теореме: любой целый корень уравнения (8) явля¬ ется делителем свободного члена этого уравнения. В самом деле, если целое число а удовлетворяет уравне¬ нию (8), то выполняется равенство ап— — а (а"-1 -\-а\<хп~2 + ... + ая_1). Так как правая часть этого равенства делится на а, то и ап делится на а. Например, целые корни уравнения х3 — 2х2 — — 5х—12 = 0 надо искать среди делителей числа —12, т. е. среди чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Подставляя эти делители один за другим в заданное уравнение, видим, что единственным целым корнем является число 4. Поэтому многочлен х3 — 2х2 — 5х—12 делится без остатка на х — 4. Остается решить уравнение х2 + 2х + 3 = 0, которое имеет два корня xo,:i = = — 1 ± / д/2* Итак, все три корня найдены. Можно подобрать и комплексные корни уравнения (8) вида a-j-bi, где а и b — целые числа. В предыдущем пункте говори¬ лось, что вместе с корнем z0 = a-j-bi это уравнение имеет и сопряженный корень Zo = a — bi. Рассуждения, аналогичные проведенным выше, показывают, что в этом случае свободный член уравнения должен делиться на произведение z0z0 = = (a-j-bi) (a— bi) —a2-\-b2. Поэтому сначала надо найти делители свободного члена, представимые в виде суммы двух квадратов, а затем и сами корни. 149
Читатели легко могут доказать, что сумма квадратов двух целых чисел либо делится на 4, либо при делении на 4 дает остатки 1 и 2. Следовательно, среди делителей свободного члена надо отобрать лишь числа указанного вида. Затем для каждого из отобранных делителей найти все разложения в сумму двух квадратов. При этом нельзя упускать из виду, что разложению d = a1-\-b2 соответствуют четыре «подозрительных» числа a + bi, — а+ 6/, 6 +а/, — b + ai и четыре им сопряженных. Есть ли среди них корни уравнения (8), выясняют непосредственной подстановкой. Найдем, например, решения вида а + W уравнения а4 - 6а1 + 26а2-42а+ 91 =0. Его свободный член имеет положительные делители 1, 7, 13, 91. Из них остатки 0, 1 или 2 при делении на 4 дают лишь числа 1 и 13. Эти делители имеют следующие разложения в сумму двух квад¬ ратов: 1=02+12, 13 = 22 + 32. Нам осталось путем подстановки проверить, есть ли корни среди чисел 1, — 1, /, 2 + 3/, —2 + 3/, 3 + 2/, —3 + 2/. Проверка показывает, что уравнению удовлетво¬ ряет число 3 + 2/, а следовательно, и сопряженное с ним 3 — 2/. Мы нашли корни Ai 2 = 3=ь2/. Значит, многочлен а4 — 6а3 + + 26а2 —42а+ 91 делится на произведение (а —3 — 2/) (а — — 3 + 2/) =а2 —6а+13. Выполнив деление, приходим к уравнению а2+ 7 = 0, откуда находим еще два корня а3. 4=±/ У7. 11. Симметрия в алгебре Вернемся к разложению многочлена на линейные множители: Р(х) =а0х" + а\х"~' + ...-\-ап~\х + а„ = = а0(х—хi) (х—хо)...(х — х„). Напомним, что х\ х„ — корни многочлена Р(х)\ они могут быть как действительными, так и комплексными. Если раскрыть скобки в правой части этого разложения и сравнить коэффи¬ циенты при одинаковых степенях х слева и справа, то получим: й\ *1 +*2+ ...+•*„=— —, do xlx2 + XiX3 + ...+xn-iX„ = ^-, (9) uo * 1 *2*3 + X j X2X4 + • • • + Xn - 2X„ - I X„ = — , UO 150 X\X-z...Xn= (— a о
Эти соотношения для п^5 вывел Виет (к сожалению, сама работа была утеряна). Поэтому равенства (9) называют фор- CL ] мулами Виета. При п = 2 очи принимают вид х\+х2= — —, а2 х]х2——у хорошо знакомый читателям. Посмотрим внимательно на левые части равенства (9). Они являются многочленами от п переменных jti, ..., хп> причем каждый из этих многочленов обладает замечательным свойством: как бы мы ни меняли буквы х\, ..., хп местами, каждый раз получается многочлен, тождественно равный исходному. Например, поменяем в многочлене *i+*2 + *з + *4 местами переменные по схеме С* 7 7 х4 ) или’ как ПИШУТ коРоче> произведем перестановку (24^3)* (Чаще для обозначения перестановок используют только вторую строку. Удобство записи, содержащей две строки, выяснится в дальнейшем при определении произведения переста¬ новок.) Получится многочлен х2 + х4 + х\ +х3, который отличается от заданного лишь порядком слагаемых. Эта же перестановка переводит одночлен х1х2х3х4 в тождественно равный ему одночлен х2х4х\хъ. Полученный результат неудивителен — эти многочлены являются симметрическими, т. е. не изменяющимися при любых перестановках входящих в них переменных. Помимо приведенных выше, интересным примером симметрических многочленов являют¬ ся степенные суммы S*(*i, хп) = х\-\-х2-\- xkn. В арифме¬ тическом разделе мы уже встречались с частным случаем сте пенных сумм (гл. I, п. 13). В самом деле, если положить xi = l, jc2 = 2, ..., хп = пу то получим сумму Sk( 1, 2, ..., п) = И + 2л + ... + пл, которую мы там обозначили через Sk(n). Симметрические многочлены, записанные в левых частях равенств (9), называются элементарными и обозначаются так: Х\ + Х‘2 + ... + Хп = О 1, XI Х'2 “I- . • • ~}~ Хп— \ Хп == О 2, A'i Х2...Хп = Оп. Если теперь взять какой-либо многочлен Р (оh ..., оп) и заменить в нем все переменные на их выражения по формулам (10), то получится симметрический многочлен от Х|, ..., хп. Например, из многочлена а? — 3aia2 при п — 3 получаем симметрический многочлен (Х\ -f-Х2 -f- Хз) 3 3 (Х\ Х2-\-Хъ) (Х\Х2-\- Х\Х$-\- х2х$) = = —|— АГ2 “|“ АГз — ЗХ\Х2Хз. 151
Основная теорема теории симметрических многочленов утверж¬ дает, что этим способом можно получить любой симметрический многочлен от х\9 х2у хп. Проверьте, например, что при п = 2 выполняются следующие равенства: *§ = а? — 2а2, х]+xi = ai — 3aia2, (11) х\ +- х\ = о\ — 4а?аг + 2а§. Если же п = 3, то имеют место такие соотношения: х2 + х\ + Хз = a I — 2a2, . AT? —ЛГ2 Н- АГз = ОТ? — ЗсТ | СТ2 3(Тз Из формул Виета вытекает, что основную теорему о симметрических многочленах можно сформулировать следующим образом: любой симметрический многочлен от корней х\у ... , хп приведенного алгебраического уравнения хп-\- -\-a\Xn~l + ... + а„ = 0 является многочленом от коэффициентов этого уравнения. Симметрические многочлены применяются для решения разно¬ образных задач школьной математики. Приведем примеры. 1. Решим систему уравнений I * + # = 5, \ х4 + у4=97. Так как левые части уравнений системы являются симметри¬ ческими многочленами от х и уу то их можно выразить, исполь¬ зуя формулы (10), через a 1 = х-\-у и о2 = ху. Удобнее взять разные буквы: и=х-\-у, v = xy. В результате система примет вид: f и = 5, ( и4— 4и2и + 2и2 = 97. Подставляя значение и = 5 во второе уравнение, получим 2v2— 100^ + 528 = 0, и потому i>i=6, у2 = 44. Задача свелась к решению двух систем уравнений (Х + У = 5, и (х + у = 5, \ху = б \ху = 44, откуда х\ =2, */1 = 3; *2 = 3, у2 = 2; Хз.4 = ~2 (5 =b /У"1 87), 1/3.4= у (5=F/VT87). 2. Составим квадратное уравнение, корни которого были бы кубами корней уравнения х2-7х-\- 11 =0. Обозначим корни уравнения х2 — 7л: +11=0 через х\ и х2. По формулам Виета имеем х,+х2 = 7 и х\х2=\\. Корни урав-
нения, которое требуется составить, имеют вид #,=xf, у2 = х 1 Поэтому коэффициенты искомого уравнения таковы: р= — (#i+#2) = —(xf + xi), q = y\y2 = x*X2. Но х\+xi = ( a'i + *2) ((xi+a^)2 — ЗА1Х2) = 7(72 — 3*11) = 112, a jcfjci = (л:,л:2)3 = 1331. Поэтому p= —112, q = 1331 и требуемое уравнение имеет вид: у2- 112#+ 1331=0. 3. Для неотрицательных а и Ь докажем неравенство а3 + 63 ^ / а+ 6 \3 2 ^ V 2 / * Рассмотрим разность а3 + &3 /а + 6 \3 l/.io i 1 3 3 , ) . ч —2 Г“Т“ ) = -2" (ai — За,а2) — -g-а? = -g-а, (ат — 4а2). Из неотрицательности а и Ь следует a i^O. Кроме того, of — 4ст2 является дискриминантом квадратного уравнения а'- — aix + a2 = 0. Он неотрицателен, поскольку квадратное урав¬ нение имеет действительные корни а и Ь. Тем самым неравенство доказано.
В знаменитом спектакле Художественного театра «Синяя пти¬ ца», поставленном по пьесе Э. Метерлинка, артисты идут, взяв¬ шись за руки, и поют Мы дружной вереницей Идем за синей птицей. Но синяя птица остается неуловимой, и спектакль заканчивается пробуждением главных героев — мальчика Гильтиля и девочки Митиль. Синяя птица стала синонимом недоступной мечты. Такой же погоней за неуловимым призраком стали для математиков попытки найти способ решения уравнений высших степеней. Но для алгебры эти устремления оказались очень плодо¬ творными. Формула не была найдена, поскольку таковой не су¬ ществует вообще! Но были получены гораздо более ценные ре¬ зультаты, направившие развитие алгебры в новое русло. 1. В погоне за синей птицей После того как Феррари решил уравнение четвертой степени, начались поиски формулы корней уравнения пятой степени, т. е. уравнения вида А'5 -(- CL\ А4 -)- а>ХЛ -f- U]X~ CLj\X -j- С1$ = 0. (1) Формула должна была дать решение этого уравнения в ради¬ калахт. е. выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью четырех арифметических действий и извлечения корня. Многие математики посвятили этой проблеме долгие годы на¬ пряженного труда. Бесплодность их поисков ослабила интерес к задаче, тем более что к концу XVII в. почти все математики были захвачены
новой бурно развивающейся областью знаний — анализом беско¬ нечно малых. Его методы позволяли найти приближенные зна¬ чения корней любого уравнения с наперед заданной точностью. Поэтому задача отыскания формулы корней перестала быть ак¬ туальной. Но давно уже сказано, что не хлебом единым жив человек. Хотя эта проблема утратила свой практический интерес, находились энтузиасты, продолжавшие поиск решения в радика¬ лах уравнений пятой и более высоких степеней. Одним из них был немецкий барон Эренфрид Вальтер фон Чирнгауз (1651 —1708), который, впрочем, занимался не только алгеброй, но и математическим анализом, а еще строил заводы для изготовления невиданных тогда больших оптических линз и зеркал, был одним из изготовителей знаменитого сак¬ сонского фарфора. Предки барона жили в северных областях Чехии и носили фамилию Черноус. Чирнгауз, произведя замену х — у — свел уравнение (1) к более простому у5 + boy3 + biy2 + ЬАу + Ьь = 0, не содержащему слагаемого с четвертой степенью неизвестного. Пытаясь сделать то же самое со всеми другими степенями неиз¬ вестного, меньшими пятой, он рассмотрел более сложную под¬ становку х = С\ул + С2у2-\-Сзу + С4, подбирая специальным образом коэффициенты С\, с2, Сь Однако все меньшие степени ему исключить не удалось. Как показал позднее шведский любитель математики, профессор истории Лундского университета Э р л а н д Самуэль Бринг (1736—1798), этим методом можно свести уравнение пятой степени лишь к уравнению yb + py + q = 0. Освободиться же от слагаемого ру никак не удается. И тогда в битву вступила «тяжелая артиллерия» — проблемой решения уравнения пятой степени в 30-е годы XVIII в. занялся величайший т математиков этого века Леонард Эйлер. Он заме¬ тил, что уравнения второй, третьей и четвертой степеней сво¬ дятся к уравнениям более низкой степени, которые он назвал aequato resolvens — разрешающими уравнениями; сейчас их на¬ зывают резольвентами. Опираясь на то, что решение кубического уравнения получается в виде х=^[А-\-^[В, он применил к урав¬ нению х4 = ах2-\-bx-\-c аналогичную подстановку x = + УС. И новый способ решения уравнения четвертой степени был получен! Вдохновленный этим успехом, Эйлер предпринял по¬ пытку решить уравнение п-й степени с помощью подстановки х = !^А-\-,-\[В-\-.где число слагаемых равно п — 1. Как и у Чирнгауза, метод дал осечку при п = Ъ — уравнение пятой степени устояло. Не помогли и подстановки более сложного вида. Един¬ ственным существенным успехом было открытие способа решения 155
так называемых возвратных уравнений. Это уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от начала и от конца, оди¬ наковы. Например, возвратное уравнение пятой степени имеет вид ах5 + bxA + cx*-{-cx2 + bx + a = 0, шестой степени —вид ах6-\- + fex5 + cjc4 + dx3 + cjt2 + fcx = Для возвратных уравнений Эйлер доказал несколько предло¬ жений. Во-первых, уравнение нечетной степени имеет корень — 1; в результате деления такого уравнения на jt-fl вновь полу¬ чается возвратное уравнение уже четной степени. Во-вторых, уравнение четной степени вместе с корнем х = а содержит и корень х = ^ (нулевого решения возвратное уравнение не имеет). Таким образом, подстановка # = х + ~ позволяет уменьшить степень уравнения в два раза. Надо отметить, что такую подстановку при решении возвратных уравнений применял (1730) уже Муавр. В качестве примера рассмотрим уравнение Некоторые уравнения сводятся к возвратным при помощи подстановки x = lz. Для этого достаточно, чтобы коэффициенты уравнения а0хп + а\хп 1 + ... + ая = 0 удовлетворяли условию а*Г_* = an-klk, O^fe^n, т. е. а* = х = 2 z приводится к возвратному 4z4 — 2z3-j-2z2 — 2z + 4 = 0. Вы можете его решить самостоятельно. Издавна было известно, что допускают понижение степени уравнения вида Здесь достаточно сделать подстановку у = х2. При этом корни Так как то получаем уравнение 27 к 5 26 у2 — -jp у— 13 = 0. Из него находим kt/i = —j, У2 = у. Осталось решить уравнения 4 3 2 Например, уравнение —* + 4 = 0 подстановкой аоХ2п-f-й\Х2п 2-f-... -f-ап— \Х2-f-ап — 0. 156
таких уравнений обладают следующей симметрией: вместе с кор¬ нем а у них есть противоположный ему корень —а. Исследования Эйлера наводили на мысль, что существует какая-то связь между возможностью понизить степень уравнения и симметриями его корней. Однако пролить свет на этот вопрос удалось не ему, а другому выдающемуся математику XVIII в.— Жозефу Луи Лагранжу. Лагранж был правнуком французского офицера, поступившего в армию сардинского короля, и родился в итальянском городе Турине. Учился он в туринском артиллерийском училище, но еще до получения диплома об окончании стал преподавать в нем мате¬ матику. С 17 лет Лагранж начал исследования в области матема¬ тического анализа, а в 18 лет вступил в переписку с Эйлером, одобрившим и поддержавшим юного математика. Жизнь в Ита¬ лии, где каждый шаг любого человека и каждое его высказывание контролировались неусыпной святейшей инквизицией, и каждый ученый должен был помнить о судьбе Джордано Бруно и Гали¬ лео Галилея, не слишком нравилась молодому ученому. Он мечтает перебраться во Францию: там в эти годы выходит знаме¬ нитая «Энциклопедия наук, искусств и ремесел», во главе кото¬ рой стоят великие философы Ж. Даламбер и Д. Дидро; там же Алексис Клеро в возрасте 18 лет избран в Академию наук за свои математические открытия. Но мечте Лагранжа перебраться на родину своих предков не скоро было суждено осуществиться. А пока он вместе с друзьями организует научное общество (позже оно будет преобразовано в Туринскую АН), публикует в журнале этого общества свои результаты. Мемуар, посвященный создававшемуся в те годы вариационному исчислению, получил высокую оценку Эйлера. По его представлению Лагранж в воз¬ расте 23 лет был избран иностранным членом Берлинской ака¬ демии наук, а в 30 лет стал ее президентом. В Берлин он был приглашен по рекомендации Эйлера, возвращавшегося в Россию. И только в 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где стал действи¬ тельным членом Парижской академии наук (прежде он был ее иностранным членом). Здесь он преподавал в Политехнической и Нормальной школах, работал в комиссии по созданию метриче¬ ской системы мер и вел активную исследовательскую работу. По свидетельству современников Лагранж был необычайно скромен и равнодушен к каким-либо почестям. Помимо вариационного исчисления, этому выдающемуся ученому принадлежат значительные результаты в теории чисел и алгебре, в области дифференциальных уравнений, в теорети¬ ческой и небесной механике, в сферической астрономии, в карто¬ графии и многих других разделах математики и ее приложений. Крупнейшим трудом Лагранжа была книга «Аналитическая ме¬ ханика», в которой он подвел итог исследованиям в этой области за XVIII столетие и показал, что все вопросы этой науки сводятся к решению дифференциальных уравнений. 157
Характерной чертой творчества Лагранжа было стремление к глубокому теоретическому анализу изучаемых им вопросов. С пол¬ ным правом он мог бы сказать о себе словами Б. Л. Пастернака: Во всем мне хочется дойти До самой сути. В работе, в поисках пути, В сердечной смуте. Во всем, что он делал, Лагранж искал глубинные корни, то, что можно назвать истинной философией данного вопроса. В этом отношении интересно сравнить его со старшим современником — Эйлером. Несмотря на небольшую разницу в возрасте, Лагранж уже принадлежал следующему поколению ученых, которые заня¬ лись вопросами обоснования различных разделов математики. И если Эйлер превосходил Лагранжа в изобретательности, в выдумке новых методов решения разнообразных задач, то Лаг¬ ранж был более строг в доказательствах, глубже проникал в суть изучаемой проблемы. Например, если Эйлер дал алгоритм решения уравнения Пелля, то Лагранж доказал существова¬ ние такого решения (без этого метод Эйлера оставался необосно¬ ванным). Они часто занимались одинаковыми задачами, но, несмотря на некоторое творческое соперничество, между ними установились добрые отношения. Вопросом решения алгебраических уравнений Лагранж за¬ нялся во время отдыха от сложнейших размышлений о дифферен¬ циальных уравнениях и их приложениях к теоретической физике. В результате проведенных исследований он установил связь между разрешимостью таких уравнений в радикалах и перестанов¬ ками их корней. Чтобы понять идею Лагранжа, вспомним формулы Виета, вы¬ ражающие элементарные симметрические многочлены от корней уравнения степени п через его коэффициенты. Очевидно, реше¬ ние самого уравнения равносильно решению системы, составлен¬ ной из соотношений Виета. Йо задача при этом не упрощается, поскольку решение системы сводится к исходному уравнению. Лагранж пришел к мысли, что надо рассматривать не только симметрические многочлены, которые не меняются ни при какой перестановке корней, но и многочлены, меняющиеся только при некоторых перестановках. На этом пути можно найти резольвен¬ ту— вспомогательное уравнение, по корням которого определя¬ ются корни данного уравнения. Обратимся к примеру. Рассмотрим многочлен у = х\X2-\-X3X4 от корней уравнения четвертой степени. Он не изменяется при следующих переста¬ новках: /1 2 ^ 4 \ \2 1 3 4/ —здесь меняются местами хх и х2\ «>(!! 158
(з 4 ^ 2) —переставляются *| и *3, *2 и *4. Кроме того, можно по-разному комбинировать друг с другом эти перестановки. В результате получаются следующие 8 пере¬ становок, сохраняющих неизменным многочлен *1*2 +*3*4: /1 2 3 44 /1 2 3 44 /1 2 3 4\ /1 2 3 4\ VI 2 3 4/’ V2 1 3 А)' VI 2 4 3)' 12 1 4 з)' /1 2 3 4\ /1 2 3 4\ /1 2 3 4\ /1 2 3 4\ \3 4 1 2/’ \з 4 2 1 /’ V4 3 1 2Г V4-3 2 1 ) Общее число перестановок из 4 букв равно 4! = 1 - 2-3-4 = 24. Так как 8 из них не изменяют многочлена jcijc2 -|-ЛГ3Х4, то при всевозможных перестановках получатся лишь 24:8=3 различ¬ ных многочлена: УI =Xi*2 + X3*4, «/2 = *1*3+ *2*4 И «/3 = *1*4 + *2*3- Образуем теперь многочлен от / вида F(t) = (/ — t/i) (/ —у2) (/ — уз) — = (/ — *|*2 — *3*4) (/ — *1*3 — *2*4) (/ —*1*4 —*2*з)- При любой перестановке корней х\, *2, лг3, х4 в этом многочлене разве что переставляются множители, а поэтому сам многочлен не изменяется. Следовательно, не будут меняться коэффициенты при различных степенях t. Значит, эти коэффициенты—сим¬ метрические многочлены от корней х\, хч, лг3, х4 уравнения х4 + а\х3 + а2х2 + азх + а4 = 0. В силу основной теоремы о симметрических многочленах коэффи¬ циенты многочлена F(t) запишутся в виде многочленов от а\у ач, аз, а4. Поэтому по корням кубического уравнения F(t)= 0 можно восстановить корни х\, лг2, лг3, х4 исходного уравнения 4-й степени. Лагранж в «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений» (1771 —1773) доказал теорему: пусть х\, х2, хп — корни уравнения xn + a\xn~l +...+an-ix + an = 0 и пусть число у — значение некоторого многочлена от этих кор¬ ней; пусть, далее, при всевозможных перестановках корней х\, ..., хп этот многочлен принимает лишь k различных значений, тогда у является корнем уравнения F(t) = 0 степени k, коэффициенты которого — многочлены от коэффициентов а\, ..., ап исходного. Зная корни многочлена F, можно восстановить корни исходного уравнения. Многочлен F и является резольвентой данного урав¬ нения. 159
Лагранж показал, что для уравнения п-й степени резоль¬ вента имеет степень, равную —» где ср(/г)—функция Эйле¬ ра. При п = 3 выражение равно 1, при п = 4 оно равно 3, а при п= 5 равно 6. Значит, кубическое уравнение сводится к линейному, уравнение 4-й степени — к кубическому, а вот урав¬ нение 5-й степени — к уравнению 6-й степени, т. е. степень резоль¬ венты не уменьшается по сравнению со степенью исходного урав¬ нения, а увеличивается. Получив этот результат, Лагранж написал: «Весьма сомни¬ тельно, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать общее решение уравнения пятой степени». И заключил свой мемуар следующими пророческими словами: «Вот, если я не оши¬ баюсь, истинные принципы решения уравнений и анализ, наиболее пригодный, чтобы привести к решению; как мы видели, все сво¬ дится к некоторому исчислению комбинаций, с помощью которого получают a priori* результаты, которые следует ожидать». Исследованиями Лагранжа теория алгебраических уравнений была поставлена на правильные рельсы: все до тех пор извест¬ ное получается с единых позиций, покончено с кустарными рас¬ смотрениями частных случаев, четко выделены трудности. И глав¬ ное, указывается роль перестановок корней. Именно эта идея позволила в дальнейшем полностью закрыть проблему разреши¬ мости алгебраических уравнений в радикалах. Но это уже было сделано в следующем столетии. 2. Любимцы богов Латинская поговорка гласит, что боги рано забирают к себе своих любимцев. Дальнейшая история решения алгебраических уравнений подтверждает эту невеселую мысль. Два молодых гения решили вопрос, стоявший перед математиками почти 300 лет, и оба рано ушли из жизни. Норвежец Нильс Хенрик Абель родился в 1802 г. в небольшой деревушке. Первоначальные школьные успехи в мате¬ матике у Нильса были не слишком большими. Но, когда он учился в старших классах, в школу пришел новый учитель математики Б. М. Хольмбое, который первым заметил и выпестовал мате¬ матический талант юноши. Под его руководством Нильс стал продвигаться вперед с быстротой, отличающей гения. С особен¬ ным интересом изучал он работы Лагранжа. Еще не закончив * Латинское сочетание a priori означает буквально «от предшествующего», т. е. до проведения опыта. 160
школу, молодой математик пытался решить общее уравнение пятой степени. После нескольких недель напряженной работы ему показалось даже, что нужная формула найдена. Но, при¬ меняя ее к конкретным уравнениям, он понял, что где-то в рас¬ суждения закралась ошибка. Учась в университете, он вернулся к этим исследованиям и в 22 года получил выдающийся результат. На этот раз Абель не ставил перед собой цель отыскать фор¬ мулу корней уравнения пятой степени. Он задался вопросом: может ли вообще существовать такая формула? Преодолев боль¬ шие трудности, он доказал, что такой формулы не существует — общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах. Тем самым проблема, над которой математики столь долго бились, была полностью решена. Чтобы сделать поскорее полученный результат достоянием математиков, Абель за свой счет отпечатал брошюру с доказательством на французском языке, который был тогда самым распространенным в математике. Из-за отсутствия средств ему пришлось сократить изложение и предоставить чита¬ телям возможность додумать детали рассуждения. Неудиви¬ тельно, что лишь немногие математики смогли полностью разо¬ браться в содержании этой работы. Вскоре выяснилось, что за четверть века до Абеля аналогичный результат получил итальян¬ ский ученый Паоло Руффини (1765—1822). И хотя доказа¬ тельство Руффини было неполным, все же теорему о неразреши¬ мости уравнений пятой степени в радикалах теперь называют теоремой Руффини — Абеля. Итак, формулы решения произвольного уравнения 5-й степени не существует. Тем не менее отдельные виды уравнений 5-й и более высоких степеней решаются в радикалах. Например, урав¬ нение дг5 + дг4 + г, + лг2 + дг+ 1 =0. В качестве примера уравнения, неразрешимого в радикалах, годится уравнение jc5 + 2jc + 2 = 0. Но как это установить? Вопрос о том, как определить, разре¬ шимо ли вообще данное уравнение в радикалах, пока оставался открытым. Результат, полученный Абелем, выдвинул его в ряды первых математиков мира. Окончив университет в Осло, он получил стипендию для образовательной поездки за границу. В это время немецкий инженер и математик Август Леопольд Крелль (1780—1855) основал «Журнал чистой и прикладной матема¬ тики». Благодаря своим личным качествам он сумел привлечь к участию в своем журнале маститых ученых и одаренную моло¬ дежь. В первом номере журнала Крелля было опубликовано пять работ Абеля. Продолжал он печататься и в последующих номерах. Результаты Абеля открыли новые направления в мате¬ матике. Он развил теорию специальных интегралов и положил начало изучению так называемых эллиптических функций (в даль¬ нейшем и интегралы, и функции стали называться абелевыми). Абель первым рассмотрел уравнение, содержащее интеграл, до¬ казал теорему об области сходимости степенного ряда, носящую теперь его имя. 6. Зак 4723 Н Я Виленкин
Но на родине эти работы не принесли автору заслуженного успеха. После возвращения домой он вынужден был давать частные уроки. Нужда преследовала его. Ухудшилось и без того слабое здоровье: развился туберкулез. Тем не менее он продолжал усиленно заниматься математикой. Через год Абель наконец получил должность доцента в университете и в том же году был избран в Королевское общество Норвегии. Но вскоре он сильно простудился, болезнь обострилась, и молодой ученый скончался в 1829 г. в возрасте 26 лет. «Он работал не для себя, а лишь для науки, которую горячо любил,— писал журнал Крелля,— давайте же воздадим должное памяти человека, который отли¬ чался столь огромным талантом и столь необычайной душевной чистотой. Давайте почтим в его лице одного из тех редких людей, которых природа раз в столетие создает на нашей земле». Ф. Клейн, характеризуя творчество Абеля — этого «математи¬ ка милостию божьей», сравнивает его с блистательным Моцар¬ том. В «Лекциях о развитии математики в XIX столетии» он пишет: «...дух Абеля обладает силой, позволяющей ему подымать¬ ся ввысь и, обозревая все окрест, в полете, на первый взгляд не требующем никаких усилий, достигать еще более общих целей». Еще в более раннем возрасте оборвалась жизнь другого юного гения — французского математика Эвариста Галуа. «У ме¬ ня нет времени... У меня нет времени!» Эти слова, нацарапанные майской ночью 1832 г. почти неразборчивыми каракулями на листке бумаги, кричат о самой удивительной и трагической судьбе, которая когда-либо выпадала на долю ученого. В глазах окружающих он был недоучившимся студентом, изгнанным из Подготовительной школы, участником тайных революционных кружков, недавним арестантом. Но сам он знал, что создал новый мир в математике, открыл пути, по которым пойдут будущие исследователи. Однако, чтобы это свершилось, нужна была одна малость — успеть записать новые идеи, чтобы они дошли до совре¬ менников и потомков. А стрелки часов неуклонно продвигались вперед, приближая момент, когда он должен будет выйти на ли¬ нию огня и начать смертельную дуэль с какими-то малоизвестны¬ ми ему людьми, с которыми неожиданно вспыхнула ссора. Сколько талантливейших людей от Парижа до Кавказа уносила эта мода на дуэли, с которой безуспешно боролись короли и императоры. Эварист Галуа родился в 1811 г. в небольшом городке близ Парижа. В 12 лет он поступил в Парижский лицей Людо¬ вика Великого, где стал одним из лучших учеников. Вначале он был увлечен изучением древних языков, но растущая страсть к математике постепенно завладела всем его временем. Эварист приступил к самостоятельному изучению работ Лагранжа, Эйлера, Гаусса. В 16 лет он решил, что нашел формулу корней общего уравнения 5-й степени, сделав ту же ошибку, что и Абель. Попытка поступить в одно из лучших учебных заведений Ев¬ ропы— знаменитую Политехническую школу окончилась неуда¬ 162
чей, и он был вынужден вернуться в опостылевший ему лицей. Но тут ему повезло. Эварист попал в класс учителя Ж. Ришара, который был в курсе современных достижений науки и стремился расширить кругозор учащихся. В 17 лет Галуа получил первый научный результат. Одна его заметка была послана в известный научный журнал и вскоре увидела свет. Другую работу он послал в Парижскую академию наук, но она была там затеряна. Повторная попытка поступить в Политехническую школу тоже оказалась неудачной: предложенный им оригинальный способ решения труднейшей задачи не был понят экзаменаторами. В бу¬ магах Галуа сохранилась такая запись: «Почему экзаменаторы задают кандидатам только запутанные вопросы? Может пока¬ заться, что они боятся быть понятыми теми, кого спрашивают. Откуда взялась эта злосчастная манера нагромождать в вопросах искусственные трудности? Неужели кто-нибудь думает, что наука слишком проста? А что из этого получается? Ученик заботится не о том, чтобы получить образование, а о том, чтобы выдержать экзамены...» Вряд ли можно сказать, что эти слова устарели сегодня... Через несколько дней после провала на вступительном экза¬ мене на Эвариста свалилась новая, неизмеримо большая беда. Его отец, затравленный политическими противниками, клерикала¬ ми и иезуитами, покончил жизнь самоубийством. В феврале 1830 г. Галуа был зачислен в Подготовительную школу — ничтожную и бледную тень прежней Нормальной шко¬ лы, созданной Наполеоном и упраздненной Бурбонами в 1826 г. В ней готовились будущие преподаватели. Во время обучения в этой школе он опубликовал еще три научные работы и представил рукопись на конкурс в Академию наук. Но она, как и первая, бесследно там исчезла. В июле 1830 г. Галуа сделал попытку присоединиться к народным массам, восставшим против режима Бурбонов. Это привело к столкновению с директором школы и через некоторое время к исключению из нее. Юноша начал давать уроки математики и продолжал научные исследования. Свою очередную работу он снова послал в Парижскую академию. Но продолжал он и революционную деятельность, за что был арестован и заключен в тюрьму. В тюрьме Эварист не переставал заниматься математикой. Здесь он узнал, что рукопись его воз¬ вращена из Академии наук с письмом, где сказано, что его «рассуждения недостаточно ясны, недостаточно развернуты и не дают возможности судить, насколько они точны...». Дело было в том, что Галуа явился провозвестником новой математики, в ко¬ торой идеи важнее формул, а для математиков, воспитанных на формальных преобразованиях, такой метод рассуждений был не¬ доступен. Вскоре после освобождения из тюрьмы Галуа был убит на дуэли, по некоторым данным, подстроенной полицией. В ночь перед дуэлью он написал письмо своему другу Огюсту Шевалье, 6* 163
в котором изложил свои результаты и попросил опубликовать их. Просьба была выполнена, но работа осталась не замеченной математиками. Лишь через 14 лет на нее обратил внимание Ж. Лиувилль. Он изучил другие работы Галуа и опубликовал их в основанном им «Журнале чистой и прикладной математики». Только после этого результаты Галуа были признаны научным миром. Сейчас общеприняты термины «поле Галуа», «группа Галуа», «когомологии Галуа». И когда, читая какую-нибудь научную работу, встречаешь сокращение Gal, не надо долго размышлять о его смысле: буквы Gal означают Galois (Галуа)—имя ге¬ ниального юноши, построившего фундамент современной алгебры. 3. Группа перестановок В повседневной жизни мы часто употребляем слово «группа», имея в виду совокупность каких-либо объектов. Начиная с работ Галуа, оно стало использоваться и в математике, но здесь оно означает не любое собрание объектов, а лишь такое, для которого выполняются определенные свойства. Что это за свойства, мы сейчас узнаем. Пока лишь отметим, что в исследованиях Абеля и Галуа, посвященных проблеме разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, использовались свойства групп пере¬ становок корней уравнений. Напомним, что запись ^ ^ **’ ^ ^ означает перестановку, при которой число 1 переходит в число k\, число 2 — в Л2, а число п переходит в kn, где k\y ..., kn — те же числа 1, 2, ..., /г, взятые в другом порядке. Две перестановки а = ^ ^ ^ ^ и Ь = ^ j ^ ■" у ^ можно выполнить последовательно одну за другой (сначала а, затем Ь) следующим образом: берут число 1 и смотрят, в какое число ki оно переходит при перестановке а. Затем находят, в какое число переходит k\ при перестановке Ь. Получающееся число записывают под цифрой 1. Аналогично выясняют, в какие числа переходят числа 2, 3, ..., п. Результат последовательного выполнения двух перестановок а и b называют их произведением и обозначают Ьа (именно в таком порядке). Найдем, например, Ьау если Л_/1 2 3 4\ , /1 2 3 4\ а~\3 4 2 1 /’ 0 “V4 1 3 27- Так как при перестановке а число 1 переходит в 3, а при перестановке b число 3 переходит в 3, то при Ьа число 1 пере¬ 164
ходит в 3. Таким же образом находим, что 2 переходит в 2, далее 3 переходит в 1, а 4 — в 4. Значит, , _ /1 2 3 4\ Ьа~\Ъ 2 1 4/ (1 2 3 4\ 1 3 2 4/’ т* е* пРоизвеДение пере¬ становок не обладает переместительным (коммутативным) свойст¬ вом. Но оно обладает сочетательным (ассоциативным) свойством. Иными словами, если а, Ьу с—три перестановки, то c(ba) = (cb)a. Кроме того, среди перестановок есть похожая на единицу тож¬ дественная перестановка /1 2 ... п\ е-\1 2 ... п) Сходство этой перестановки с числом 1 заключается в том, что для любой перестановки а выполняются равенства ае = еа = а. Наконец, для каждой перестановки а есть обратная к ней перестановка а~\ такая, что аа~1 =а~ 1а = е. Чтобы написать ее, достаточно поменять местами в перестановке а верхнюю и нижнюю строки, после чего расположить столбцы в порядке возрастания чисел верхней строки. Например, об- /1 2 3 4\ * /2 3 4 1 \ ратной к (2341) будет перестановка ( j 2 3 4/’ т* е‘ (4^23)* *^егко пРовеРить> что Для любых двух перестановок выполняется равенство (ab) =±Ь~1а~1. Так, когда мы обуваемся, то сначала надеваем носки, а потом туфли; при обратной же операции (т. е. разувании) действия выполняются в обратном порядке — сначала снимают туфли, а потом носки. Обозначим множество всех перестановок чисел 1, 2, ..., п через Sn. Мы, во-первых, определили в множестве Sn операцию умножения, убедились, что она ассоциативна. Во-вторых, мно¬ жество Sn содержит единицу. И наконец, в-третьих, вместе с каждым элементом Sn содержит ему обратный. Множество, об¬ ладающее тремя указанными свойствами, в математике называют группой. Таким образом, Sn является группой. А поскольку под действием ее элементов (перестановок) симметрические много¬ 165
члены от п переменных остаются неизменными, то Sn называют симметрической группой (отсюда и обозначение). Число эле¬ ментов группы называют ее порядком. Порядок симметри¬ ческой группы Sn равен /г!, в частности, порядок группы S3 равен 3! = 1 -2-3 = 6, а порядок S4 равен 4! = 1.2- 3-4 = 24. Если взять не все множество Sn, а только какую-то его часть (подмножество), то может оказаться, что для двух пере¬ становок этой части их произведение в нее не входит. Может случиться и так, что какая-то перестановка входит в выбранную часть, а обратная к ней не входит. Но если перестановки вы¬ бираются не произвольно, а отражают симметрию некоторого многочлена, то таких неприятностей не будет. Рассмотрим, на¬ пример, перестановки переменных х\у ..., хп, оставляющие неиз¬ менным многочлен Dn= П (Xi—Xj) (произведение всех разностей Х( — Х]у для которых /</). Ясно, что все такие перестановки образуют группу. Обозначим ее Ап. При перестановках, не вошедших в эту группу, многочлен Dn меняет знак на противоположный. В связи с этим многочлен Dn называют знакопеременным, а группу Ап — знакопеременной группой. Решение уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени тесно связано с этой группой. Подмножество в группе, само образующее группу относи¬ тельно той же операции, называется подгруппой данной группы. Так что Ап является подгруппой Sn. Она содержит ровно поло¬ вину перестановок из Sn, а поэтому ее порядок вдвое меньше порядка Sn. В Sn, помимо элементов подгруппы АПу имеется еще ровно столько же перестановок, но они группы не образуют, так как среди них нет единичной (тождественной) перестановки. Еще один вид групп перестановок возникает при решении задачи о построении правильных многоугольников. Они состоят из таких перестановок чисел 1, 2, ..., /г, при которых не меняется их порядок, если они записаны на окружности (рис. 23). На¬ пример, при п = 4 к числу таких пере¬ становок относятся 0_(\ 2 3 4\ /I 2 3 4\ е ~\\ 2 3 4/* \2 3 4 1/’ Ь-( 12 3 4\ /12 3 44 1 \3 4 1 2/’ U 1 2 3/- Так как эти перестановки связаны с вращением окружности, то состоящую из них группу называют циклической (от греч. «кюклос» — круг). Интересно, что а =ЬУ а3 = су аА = еу т. е. все элемен¬ ты группы являются степенями одного Рис. 23 из них. Именно это свойство является 166
характеристическим для циклической группы и положено в основу определения такой группы. Из этого определения легко видеть, что любая циклическая группа коммутативна: а"' •ак = ат + к = ак+т = ак • а'". Приведем еще два примера циклических групп в S4: а_(\ 2 3 4\ . _(\ 2 3 4\ VI 2 3 4/’ d ~\2 4 1 3/’ t _/1 2 3 4\ „ /1 2 3 4\ 1 ~\4 3 2 1/’ 8 ~\3 1 4 2/’ здесь d2 = f, d3 = g, d* = e\ /1 2 3 4\ . _/1 2 3 4\ VI 2 3 4У’ Л V3 4 2 1/’ . /1 2 3 4\ /1 2 3 4\ / - V2 1 4 3/"m V4 3 1 2/’ где k2 = l, k3 = m, k4 = e. Очевидно, все три указанные циклические группы являются подгруппами S4, но не являются подгруппами А4. В нее входят только перестановки fe, /, / и Интересно, что они тоже образуют группу (проверьте), ее обозначают В4. Поскольку Ь2 = [2 = 12 = еу то В4 имеет три циклические подгруппы 2-го порядка. Обозначив одну из них через С4, получим следующую цепочку: 54=эЛ4=эВ4=эС4. Исследования Лагранжа, о которых говорилось выше, были основаны на следующей теореме, называемой ныне теоремой Лагранжа: если Н — подгруппа в группе перестановок G, то порядок группы G делится на порядок подгруппы Н. (Правда, сам Лагранж не употреблял слова «группа», а формулировал утверждение в иных терминах.) Проблему разрешимости урав¬ нения в радикалах Лагранж свел к отысканию подгрупп груп¬ пы Sn> сохраняющих некоторые многочлены. Утверждение, доказанное Абелем, гласит: уравнение аоХп + а\хп~{ -\-... + ап = 0 (2) разрешимо в радикалах, если каждый его корень Xk выражается в виде рациональной функции г*(х) от одного фиксированного корня, допустим х\, причем для любых k и m выполняются равенства rk(rm(x\)) =rm(rk{x 1)). Напомним, что рациональной функцией называется частное двух многочленов. Из условия теоремы ясно, что функции 167
ri (jc) , ... , rn(x) составляют группу относительно операции образо¬ вания сложной функции, причем группа эта коммутативна. Сейчас коммутативные группы называют еще абелевыми. В случае уравнения деления круга хп-'+хп~2 + ... + х+1=0 (3) рациональными функциями являются гк(х)=хку так как хк = = rk(x\)=xk\. Они образуют циклическую группу порядка п. По теореме Абеля уравнение (3) разрешимо в радикалах (необязательно квадратных) при любом п. Рассмотрим частный случай этого уравнения при п = 5: jt4 + jt3 + jt2 + jt-f 1 =0. Покажем, что утверждение Абеля связано с перестановками его корней. Сопоставим каждой из функций г\(х)=ху Г2(Х)=Х\ Гз{х) =х и г4(х) =х перестановку корней уравнения по правилу , V (Х\ Х2 Хз Х4\ r,w~U 4 4 Х\У Для простоты вместо самого корня будем записывать его номер. Тогда г, (*)~(| 2 з \)=е• Ых) -(2 4 ? з) = <*. Гз(х)^(з 14 2) = ^’ r*W^(4 3 2 1 )=f- В результате получили знакомую нам циклическую подгруппу симметрической группы S4. Однако исследования Абеля выделили лишь некоторый класс уравнений, разрешимых в радикалах. Их называют абелевыми. А как найти все такие уравнения? Ответ на этот вопрос дал Галуа. Имеем произвольное алгебраическое уравнение (2) с рацио¬ нальными коэффициентами. Будем считать, что его левую часть невозможно разложить на множители более низкой степени так, чтобы коэффициенты остались рациональными (иначе наше уравнение свелось бы к более простым уравнениям). Каждому такому уравнению сопоставляется некоторая группа перестановок его корней — подгруппа в Sn. Описать ее можно следующим образом. Найдем все рациональные соотношения между корня¬ ми уравнения. Рассмотрим группу всех перестановок корней, при которых эти соотношения переходят друг в друга или не меняются. Эту группу называют группой Галуа данного урав¬ нения. Пусть для нее можно построить цепочку подгрупп (об¬ ладающих специальными свойствами) так, что каждая следую¬ щая является подгруппой предыдущей и завершающая эту цепочку подгруппа содержит только тождественную переста¬ новку. В этом случае группу называют разрешимой. 168
Мы не можем дать строгого определения группы Галуа и раз¬ решимой группы ввиду недостаточности нашего знакомства с группами. Заметим только, что любая подгруппа разрешимой группы тоже является разрешимой. Критерий Галуа гласит: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах в том и только в том случае, если его группа Галуа разрешима. В теории групп доказывается разрешимость симметрической группы S4. Соответствующая цепочка подгрупп для нее имеет вид: S4 А 4 =з В 4 и> С 4 =>{е). Отсюда сразу вытекает, что любое уравнение степени п^.4 разрешимо в радикалах: его группа Галуа является одной из подгрупп группы S4. А вот для п^5 группа Sn неразрешима, поэтому уравнения пятой и более высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах. Тем не менее имеются от¬ дельные виды таких уравнений, составляющие исключение из об¬ щего правила (их группы Галуа являются разрешимыми под¬ группами в Sn)- Например, абелевы уравнения. Они имеют своей группой Галуа конечную коммутативную (абелеву) группу, а они все разрешимы. Разрешимы и все конечные циклические группы как частный случай абелевых, поэтому разрешимо в радикалах уравнение (3). В настоящее время построена теория, позволяющая для дан¬ ного уравнения с числовыми коэффициентами найти его группу Галуа и тем самым ответить на вопрос о его разрешимости в радикалах. Если ответ положительный, то для решения урав¬ нения в рамках общей теории Галуа составляют резольвенты Лагранжа, при этом существенно используются первообразные корни из единицы. 4. Чем измеряют симметрию Симметрия господствует в окружающем нас мире. Много¬ численные примеры симметрии поставляет нам живая приро¬ да— флора и фауна (рис. 24). Вид симметрии живого организ¬ ма (зеркальная, осевая, пово¬ ротная) определен способом его существования и принципом минимальности (экономности). Труднее разглядеть образы симметрии в неживой приро¬ де. Но и здесь ей подчинено устройство и небесных тел, и 169
Рис. 24 кристаллов, и молекул. Оно тоже не случайно, а обусловлено физическими законами. Человек живет среди симметричных предметов, созданных его руками. Это дома и машины, мебель и книги, и... почти все предметы нашего обихода. Своей соразмерностью радуют глаз замечательные произведения искусства и великолепные архитек¬ турные сооружения. Но в строительстве и технике, да и при изготовлении предметов быта симметрия используется не только из соображений красоты и удобства. Пропорциональность и уравновешенность всех частей сооружения являются основой его прочности. Немецкий математик Герман Вейль (1885—1955) писал: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Но относится ли симметрия к ведению мате¬ матики? Можно ли измерить симметричность Парфенона или вы¬ разить числом симметричность морской звезды? На первый взгляд это кажется пустым занятием. Однако не будем торопиться с ответом и вновь обратимся к группам. Сначала понятие группы связывали только с перестановками корней уравнений. Но затем обнаружили, что перестановками можно охарактеризовать симметрию многоугольников и много¬ гранников. Это и понятно: ведь для задания симметрии доста¬ точно указать, какая вершина переходит в какую. Приведем примеры. Сначала рассмотрим равнобедренный треугольник; на ри¬ сунке 25 его вершины занумерованы. Этот треугольник имеет одну ось симметрии. Симметрия его относительно этой оси опре¬ деляется перестановкой а = ^ \ а<2 = е, где е — тождественная перестановка, оставляющая вер¬ шины на месте. В самом деле, выполняя последовательно два его вершин. Очевидно, 170
Рис. 25 Рис. 26 раза отражение от оси, мы возвращаемся в исходное состояние. Таким образом, осевая симметрия описывается циклической группой 2-го порядка. Правильный треугольник обладает тремя осями симметрии — это прямые, содержащие высоты треугольника (рис. 26). Его осевые симметрии определяются следующими перестановками вершин: Каждая из этих перестановок задает циклическую группу 2-го порядка: Кроме осевых симметрий, правильный треугольник обладает двумя поворотными симметриями вокруг центра О на 120° и на 240° против часовой стрелки. Они задаются перестановками Легко видеть, что d2 = fy—выполнение двух последовательных поворотов на 120° дает поворот на 240°. Еще один поворот на 120° — и мы возвращаемся в исходное положение: d3 = e. Итак, поворотные симметрии правильного треугольника описываются циклической группой третьего порядка, состоящей из перестановок d, /, е. Далее, так как то все шесть перестановок a, ft, с, d, /, е образуют группу. Ее называют группой симметрий правильного треугольника. Она совпадает с симметрической группой S3. У прямоугольника имеются лишь две оси симметрии (рис. 27), с которыми связаны перестановки ad = bc = ca = d, ba = cb = ac = j, 171
Рис. 27 Рис. 28 /1 2 3 4\ , /1 \2 1 4 З) и Ь = {4 2 3 4 3 2 1) Причем а2 = Ь2 = е. Повороту 180° отвечает перестановка на !): вокруг центра легко видеть, )• )■ прямоугольника /1 2 3 4' \3 4 1 2> что с2 = е, т. е. группа симметрий прямоугольника имеет три циклические подгруппы второго порядка. Квадрат обладает четырьмя осевыми симметриями (рис. 28), задаваемыми перестановками „ /1 2 3 4\ ./1234' а ~ ^2 1 43/ \4 3 2 1 „ /1 2 3 4\ , /1 2 3 4> \3 2 1 4/ \ 1 4 Ясно, что a2 = b2 = c2 = d2 = e. А еще у квадрата четыре поворот¬ ные симметрии вокруг центра О против часовой стрелки на углы, кратные у. Они описываются перестановками: ; _ /1 2 3 4 \ f2 /1 2 3 4 \ ' “ \2 3 4 1 )' 1 ~ \3 4 1 2/’ /з _/1 2 3 4\ р4 — р — /1 2 3 4\ ' “U 12 3/’' ~е~\1 2 3 4 / ‘ Таким образом, группа симметрий квадрата содержит четыре циклические подгруппы второго порядка и одну циклическую подгруппу четвертого порядка. Она явно не совпадает с S4. Мы видим, что группа симметрий фигуры полностью характе¬ ризует все ее симметрии, при этом, чем большее число элементов содержит эта группа, тем более симметрична фигура. У окруж¬ ности, например, она содержит бесконечное множество элемен¬ тов: любая прямая, проходящая через центр окружности, яв¬ ляется ее осью симметрии; поворот на произвольный угол вокруг центра переводит окружность в себя. Исходя из теории групп русский кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1853—1919) и немецкий математик Артур Шенфлис(1853— 1928) независимо друг от друга дали 172
в 1890 г. классификацию кристаллических решеток. Оказалось, имеется 17 плоских (так называемых «федоровских групп») и 230 пространственных. Этот результат имеет, с одной стороны, важное значение для изучения кристаллов. С другой стороны, он оказался первым связующим звеном теории групп с физикой. Мы познакомились пока только с группами перестановок из п элементов и группами симметрий многоугольников. Но боль¬ шинство известных нам числовых множеств с существующими в них операциями также являются группами. Так, все рацио¬ нальные числа без нуля образуют группу относительно опе¬ рации умножения. Группа с операцией умножения называется мультипликативной. Если в качестве операции взять сложение, то соответствующую группу называют аддитивной. В аддитивной группе вместо единичного элемента рассматривают нуль, а вместо обратного — противоположный. Множество целых чисел, а также множество всех рациональных чисел образуют аддитив¬ ные группы. Относительно операции сложения образуют группы и множество всех действительных чисел, и множество всех комплексных чисел. Но чтобы рассматривать эти множества как мультипликативные группы, надо (подобно случаю рациональных чисел) удалить из них нуль, поскольку для него нет обратного элемента. Конечно, пока мало толку в том, что мы увидели в знакомых множествах групповые структуры. Смысл в этом несомненно был бы, если бы групповой подход позволил вывести какие-то свойст¬ ва этих множеств, о которых мы до этого не догадывались. Так оно и есть на самом деле. В настоящее время теория групп столь глубоко развита, что с ее помощью удается вывести массу новых свойств известных нам множеств. Но для знакомства с этими свойствами надо иметь более солидную подготовку по теории групп. Сегодня почти каждая область математики обращается к теории групп, без нее нельзя себе представить современную теоретическую физику. Но мы не имеем возможности рас¬ сматривать все ее приложения. Остановимся лишь на группах геометрических преобразований плоскости. 5. Группы в геометрии 1. Движения. Простейшими преобразованиями плоскости, при которых все фигуры сохраняют свою форму и размеры, являются движения. Вы, конечно, знакомы с ними из школьного курса гео¬ метрии. В математике движения стали рассматривать сравни¬ тельно недавно, во втором тысячелетии нашей эры. Впервые их использовали при решении геометрических задач арабские мате¬ матики Ибн ал-Хайсам (XI в.) и Насирэддин Туси (XIII в.). В Европе это произошло в работах французских 173
энциклопедистов. В школьном курсе геометрии движения тоже нужны для доказательства теорем и решения задач. А сейчас мы посмотрим на них с другой точки зрения. Зададим на плоскости прямоугольную систему координат. Напомним, что переносом на вектор / (а, Ь) называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка М(х, у) переходит в точку М\(х\% уi), где Л'1 =х + а, у\=у + ь. Вот здесь мы и встанем на новую точку зрения: переносы на всевозможные векторы сами образуют множество. Элементы этого множества можно складывать. Суммой двух переносов на век¬ торы /(а, Ь) и m(c,d) будем считать результат их последо¬ вательного выполнения, т. е. перенос на вектор Г+га. Ясно, что сложение обладает переместительным и сочетательным свой¬ ствами. В множестве всех переносов есть нуль_—это перенос на нулевой вектор 0 и для переноса на вектор Г есть противо¬ положный перенос на вектор —/. Все это означает, что сово¬ купность переносов образует коммутативную группу относи¬ тельно операции сложения. Поскольку мы уже знакомы с более сложной терминологией, то можем сказать, что переносы плоскости образуют аддитивную абелеву группу. Другим простейшим видом движения плоскости является поворот (вращение) вокруг фиксированной точки, например начала координат. В результате поворота на угол ср точка М переходит в точку Mi такую, что вектор ОМi равен по абсолютной величине вектору ОМ и образует с ним угол ср (положительным, как обычно, считается угол, задающий вращение против часовой стрелки). В множестве всех вращений вокруг начала координат можно выполнять сложение—последовательное выполнение по¬ воротов. Нулем здесь является поворот на нулевой угол; вра¬ щение на угол — ф противоположно вращению на угол ф. Так что и повороты образуют аддитивную абелеву группу. А теперь возьмем какой-нибудь поворот вокруг точки О и любой перенос и выполним их последовательно друг за другом. Ясно, что полученное преобразование тоже является движе¬ нием. Только здесь важно, в каком порядке выполнены исходные преобразования. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим точку М на оси абсцисс и произведем сначала ее перенос по горизонтали на вектор Ту а затем поворот на угол у (рис. 29). В результате точка М перейдет в точку Мt, лежащую на оси ординат. Если теперь, наоборот, сначала произвести поворот на угол у (при этом точка М переместится на ось ординат), а затем перенос на вектор /, то полученная в результате точка М2 не совпадет с точкой Ми поскольку уже не будет лежать на оси ординат. Преобразование, полученное комбинацией поворота и пере- 174
Рис. 29 Рис. 30 носа, называется движением первого рода. В частности, любой поворот — это движение первого рода, можно считать, что он скомбинирован с нулевым переносом. То же относится и к произ¬ вольному переносу. Движения первого рода также образуют группу, но уже не коммутативную. Если обратиться к множеству симметрий относительно все¬ возможных прямых на плоскости, то оно группы не образует, поскольку последовательное выполнение двух симметрий относи¬ тельно различных прямых уже не является осевой симметрией (рис. 30). Покажите, что последовательное выполнение симметрий отно¬ сительно двух параллельных прямых есть перенос, а относи¬ тельно пересекающихся — поворот вокруг точки их пересечения. Преобразование, представляющее собой комбинацию дви¬ жения первого рода и осевой симметрии, называется движением второго рода (в нем присутствие осевой симметрии обязательно). Движения второго рода, естественно, группы не образуют из-за обязательного присутствия осевой симметрии. Совокупность же всех движений плоскости и первого, и второго рода снова об¬ разует группу. 2. Аффинные преобразования. Впервые об аффинных преобра¬ зованиях один из авторов этой книги услышал на лекции по аналитической геометрии, которую читал юным первокурсникам профессор Б. Н. Делоне. Это был очень оригинальный человек, великолепный геометр, стремившийся к геометрической нагляд¬ ности во всех вопросах, которыми он занимался, и в то же время весьма известный альпинист, при¬ вивший любовь к путешествиям в горы многим своим ученикам. Чтобы объяснить новое понятие, Борис Николаевич нарисовал на доске кошку, а рядом изобразил ту же кошку, но уже меньшей вы¬ соты и значительно раздавшуюся в Рис. 31 175
ширину (рис. 31). «Вот это и есть аффинное преобразование»,— сказал он, и с тех пор все его слушатели навсегда запомнили основное свойство такого преобразования — сохранять родствен¬ ные черты. Ведь латинское слово affinis означает родство по жене (свойство). Впрочем, через несколько минут студенты услышали более точное определение: «Аффинным преобразованием плоскости называют взаимно однозначное отображение этой плоскости на себя, при котором каждая прямая переходит в прямую». Разу¬ меется, любое движение является аффинным преобразованием. Но преобразованием того же типа является и сжатие плоскости к некоторой прямой. Остановимся на нем подробнее. При сжатии (растяжении) к прямой / образ М' любой точки М плоскости лежит на перпендикуляре ML, опущенном из М на /, причем выполняется равенство М'L = kML (рис. 32). Положитель¬ ное число k называется коэффициентом сжатия (при k>\ будет растяжение). Если теперь точки Л4, Р и N лежат на одной прямой, то их образы (точки М\ Р\ N ) тоже лежат на одной прямой, причем если Р лежит между М и Ny то Р' лежит между М' и N\ т. е. сжатие к прямой является аффинным преобразованием. Оказывается, любое аффинное преобразование можно по¬ лучить путем последовательного выполнения сначала движения плоскости, а затем сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. Этого мы доказывать не будем, а выведем одно из важнейших свойств аффинного преобразования: при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные прямые. В самом деле, если бы это было неверно, то нашлись бы параллельные прямые 1\ и /2 такие, что их образы 1\ и W пере¬ секались бы в некоторой точке М'. Эта точка была бы образом точки Л4, лежащей как на прямой /1, так и на прямой /2. Но такой точки нет из-за параллельности 1\ и /2. Значит, утверждение истинно. Отсюда следует’ что параллелограмм при аффинном преобразовании переходит в параллелограмм. Если вспомнить, что диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам, то получаем важный вывод: при аффинном преобра¬ зовании середина отрезка переходит в середину образа этого отрезка. Можно показать, что вообще аффинное преобразование сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной или на парал¬ лельных прямых. Применим изложенные результаты, чтобы доказать теорему о точке пересечения медиан треугольника. Для этого заметим сна¬ чала, что с помощью двух сжатий (растяжений) к перпенди¬ кулярным осям можно превратить любой треугольник в равно¬ сторонний (рис. 33). А поскольку при этом середины отрезков переходят в середины их образов, то медианы перейдут в медианы. Поэтому достаточно доказать теорему для равносторон¬ него треугольника, а потом вернуться к исходному, применив обратные преобразования. Кстати, обратным преобразованием к 176
сжатию с коэффициентом k является растяжение с коэффициентом 1 D у. о равностороннем же треугольнике медианы совпадают с биссектрисами; пересечение их в одной точке следует из свойства биссектрисы угла. И еще: в равностороннем треугольнике ме¬ дианы делятся точкой пересечения в отношении 1 :2, следо¬ вательно, это свойство верно и для медиан произвольного треугольника. Совокупность всех сжатий к произвольной фиксированной прямой образует группу. Поскольку движения плоскости тоже составляют группу, то и аффинные преобразования образуют группу. С частным случаем аффинного преобразования, подобием, читатели знакомы из школы. Поэтому мы на нем не будем оста¬ навливаться, а перейдем еще к одному интересному виду преоб¬ разований плоскости. 3. Гиперболические повороты. Если поворачивать плоскость вокруг точки О, то эта точка останется на месте, а все остальные будут описывать окружности. Существует похожее преобра¬ зование плоскости, при котором точки движутся по гиперболам. Чтобы описать его, выберем на плоскости прямоугольную систему координат и зададим положительное число /. Назовем гипербо¬ лическим поворотом с параметром t такое преобразование плоскости, при котором точка М(х, у) переходит в точку M'(txy y)- Так как при этом преобразовании не изменяется произведение координат, а уравнение ху = с задает гиперболу, то при гиперболическом повороте все точки плоскости движутся по гиперболам (рис. 34). Очевидно, все такие повороты об¬ разуют группу. Гиперболический поворот не является движением, потому что при этом преобразовании меняются расстояния между точками. Но существует величина p(Afi, М2), аналогичная рас¬ стоянию, сохраняющаяся при таких преобразованиях. Именно: 177 Рис. 32 Рис. 33
положим для точек М\(х\, у\) и М2(х2, у2) р2(М|, М2) =2(Х\—Х2) (у\—уг)- Назовем р(М|, М2) гиперболическим расстоянием между точками М1 и М2. (Оно выражается мнимым числом, когда (х\ — х2) (у\ — у2) <0, и может равняться нулю для несовпадаю¬ щих точек.) Его можно записать формулой, более похожей на обычную формулу расстояния между точками плоскости. Для этого надо повернуть систему координат на 45° (рис. 35). Предоставляем читателям проверить самостоятельно, что при этом координаты преобразуются по формулам х' =^J-(X + y), у' =^j-(y — x). Поэтому Р2(М,, М2) = (х/-х2')2-(У]'-У2')2. Заметим, что это выражение отличается от известной из школьно¬ го курса математики формулы р2(Л1|, М2) = (Xi— х2)2+ (i/I— У2)2 лишь заменой суммы квадратов на их разность. Гиперболическое расстояние можно рассматривать не только на плоскости, но и в пространстве. В этом случае оно выражается формулой р2(М|, М2) = (х,— дг2)2+ (у\— У2)2— (21 — 22)2 и принимает положительные значения, если выполняется неравен¬ ство (х\ — х2)2-\- (у\ — у2)2> (z\ — z2)2. А можно рассматривать его и в четырехмерном пространстве, координаты в котором обозначим буквами (х, у, г, /). Гиперболическое расстояние играет важную роль в теории относительности. В этой теории координаты х, у, z — обычные координаты точки в трехмерном пространстве, a t — время. Основной постулат теории относитель¬ ности можно сформулировать следующим образом: гиперболи- 178 Рис. 34 Рис. 35
ческое расстояние p(Af|, М2) между точками М\(х\у у|, гi, /|) и ЛМ*2, У2у 22, /2) не изменяется при переходе к другой системе координат. Любое преобразование координат в таком четырех¬ мерном пространстве, сохраняющее гиперболическое расстояние, сводится к поворотам в обычном трехмерном пространстве и гиперболическим поворотам. С этим пространством мы еще встре¬ тимся в геометрическом разделе. Его называют пространством Минковского по имени немецкого математика Германа Мин- ковского (1864—1909), давшего геометрическое истолкование теории относительности. 6. Трансцендентные числа Вернемся к уравнениям. Но подойдем к ним с другой стороны. Раньше нас интересовали их корни, а теперь поставим обратную задачу. Имеем действительное (или комплексное) число а. Надо найти алгебраическое уравнение, корнем которого оно является. Если на коэффициенты ограничений не накладывать, то задача более чем элементарная: одно из таких уравнений х — а = 0. Поэтому потребуем, чтобы коэффициенты уравнения были ра¬ циональными. Для рационального числа а = ~ подходит то же самое уравнение х — -у = 0. А как будет обстоять дело с другими числами? Конечно, для ос = Sj/З можно взять уравнение х4 — 3 = 0, для ос = д/5 —^ подходит уравнение (5 — лг)4 — 3 = 0. При а = д/5 — д/3 найти соответствующее уравнение чуть-чуть сложнее, но вполне по силам школьнику. Но может случиться так, что а = 1п2, или a = sin 1, или а = Зл1\ Как для таких корней искать подходящие уравнения? А может быть, их и вовсе нет? Этими вопросами ученые заинтересовались еще в XVI11 в. Но прежде чем говорить об истории решения указанных вопросов, введем определение. Число а (действительное или комплексное) называется алгебраическим степени п, если оно является корнем уравнения хп + а\хп~' + ... + ап-\х + ап = 0 ^ с рациональными коэффициентами, левую часть которого нельзя разложить на множители меньшей степени с рациональными коэффициентами. Мы видели, что любое рациональное число является алгеб¬ раическим первой степени; число i также алгебраическое, но уже второй степени, так как это корень уравнения х2+ 1=0. Алгебраические числа обладают многими свойствами, аналогич- 179
ными свойствам рациональных чисел. Так, сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел вновь являются алгебраическими числами. Более того, алгебраическими являются все корни уравнения (2) с алгебраическими коэффициентами. Эти свойства для многих чисел помогают определить их принадлежность к алгебраическим, не отыскивая для них уравнений. Например, лр—л/5 + 3 — сумма алгебраических чисел; частное алгебраических чисел. И даже такой «монстр», как 180 является произведением алгебраических чисел. Вообще если число выражается в радикалах, то оно алгебраическое. А может быть, других чисел нет вообще? И если поискать получше, то для любого числа всегда найдется соответствующее уравнение с рациональными коэффициентами? Ученые были уверены, что это не так, т. е. существуют и неалгебраические числа. Их назвали трансцендентными (от лат. transtendere — превышать). Л. Эйлер в первом томе «Введения в анализ бесконечно ма¬ лых» (1744) высказал предположение о трансцендентности чисел вида logab почти при всех рациональных а и Ь. Ж. Лиувилль более чем через столетие после выхода в свет труда Эйлера до¬ казал с помощью цепных дробей существование трансцендентных чисел и привел примеры. Еще через 30 лет совершенно неожидан¬ ный и более сильный результат получил выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845—1918). Исходя из результа¬ тов созданной им теории множеств, он доказал, что трансцен¬ дентных чисел гораздо больше, чем алгебраических. После работ Лиувилля математики направили свои усилия на поиски новых трансцендентных чисел и доказательство транс¬ цендентности давно известных. Первую брешь в этом направлении пробил французский математик Шарль Эрмит (1822—1901). Этот замечательный ученый благодаря своим крупным научным достижениям, педагогическому дару и скромности снискал ува¬ жение современных ему математиков, всегда был окружен боль¬ шим числом талантливых учеников и последователей. Последние 10 лет своей жизни он возглавлял Парижскую АН. На Втором конгрессе математиков, где Эрмит из-за болезни не мог присут¬ ствовать, он был заочно избран Почетным председателем конгресса. Эрмит чрезвычайно плодотворно работал в самых различных областях классической и современной математики. Трудно на¬ звать какой-либо из ее разделов, в котором не осталось бы его
имя. Его носят полиномы, функции, формулы, пространства, ... . В 1873 г., используя методы анализа, Эрмит доказал трансцен¬ дентность числа е. Этот результат был очень важен, несмотря на то что примеры трансцендентных чисел уже были приведены, хотя бы именно потому, что те примеры строились с помощью определенного алгоритма, под который е не подпадало. А еще число е давно было в обиходе математиков, поэтому важно было знать, что оно из себя представляет. Используя метод Эрмита, немецкий математик Карл Л и н- д е м а н (1852—1939) показал трансцендентность некоторого вида действительных чисел, в том числе и л. Тем самым было доказано, что число л нельзя связать с рациональными числами никакими алгебраическими соотношениями. Отсюда немедленно следовала неразрешимость древней задачи квадратуры круга циркулем и линейкой. (Об этой задаче, возникшей более 25 веков тому назад, мы подробно расскажем в геометрическом разделе.) Затем немец¬ кий математик Карл Вейерштрасс (1815—1897) доказал трансцендентность чисел sin а и cos а почти для всех алгебраи¬ ческих а. Было выяснено, что генераторами трансцендентных чисел являются тригонометрические и логарифмические функции, тем самым подтвердилось предположение Эйлера. Но математики хотели найти генераторы таких чисел среди более простых функций, в частности степенных, тем более что алгебраические числа определяются с помощью степенных функ¬ ций. По этой причине Д. Гильберт среди своих знаменитых проблем сформулировал следующую: доказать, что любое число вида ар, где а — алгебраическое число, отличное от 0 и \, а р — алгебраическое число не ниже второй степени, является транс¬ цендентным. Сначала было неясно, как подступиться к решению этой проблемы. Лишь через три десятилетия советский мате¬ матик Александр Осипович Гельфонд (1906—1968) разработал метод, с помощью которого решил ее для случая, когда р является квадратичной иррациональностью. Дальнейшее продвижение в доказательстве гипотезы Гильберта шло с исполь¬ зованием метода Гельфонда. Наконец, в 1934 г. самому Гельфон- ду и независимо от него немецкому математику Т. Шнейдеру удалось полностью решить проблему. Теперь уже смело можно утверждать, что числа 5^, З2', (~\[7 — л[Ъ ) ^ трансцендентные. 7. Случай на мосту Как много разных вопросов возникло в связи с поисками общих методов решения алгебраических уравнений! Как много различных направлений в математике родилось из размышлений над этими вопросами! Прежде чем была Д9казана основная теоре¬ ма алгебры многочленов, ученых посещала мысль: может быть, 181
надо расширить множество комплексных чисел, чтобы выразить все корни уравнений высших степеней. Но, оказалось, для решения алгебраических уравнений этого не требуется. Однако мысль о расширении множества комплексных чисел, однажды появившись, не исчезла, тем более что этому способствовало геометрическое истолкование комплексных чисел. На самом деле действительные числа изображаются точками прямой, комплексные — точками плоскости... Может быть, добавить к комплексному числу еще какое-нибудь «мнимое» слагаемое и выйти в пространство? —Долго над этой проблемой размышлял Уильям Гамиль¬ тон (1805—1865), ирландский математик, необычайные разно¬ сторонние способности которого проявились очень рано. К 12 го¬ дам он изучил дюжину языков, знал наизусть Гомера. В 10 лет освоил «Начала» Евклида, а в 13 лет — «Всеобщую арифметику» Ньютона. В 22 года стал профессором Дублинского универ¬ ситета и директором обсерватории со званием королевского астронома Ирландии. До самых последних лет он писал стихи. Его научная работа связана с дифференциальными уравнениями и механикой. Именем Гамильтона названы дифференциальные урав¬ нения определенного типа, оператор, группа, вариационный прин¬ цип в механике. Но наиболее известным его открытием считается обобщение комплексных чисел. Думать здесь Гамильтону было над чем. Ведь если добавить к комплексным числам еще одну мнимую единицу / (/2 = — 1), получим числа вида z = a-{-bi-{-cj, где а, Ьу с — действительные числа. Их можно складывать и вычитать естественным образом как многочлены от i и /, умножать на действительные числа. Трудность возникала при перемножении таких чисел: неизвестно, куда отнести произведение //. Положим, например, //==0, откуда и /7 = 0. Но тогда найдутся отличные от нуля числа, произведение которых равно нулю: (ai-\-bj) (bi — aj) = — ab-{-ba = 0. Такие числа называются делителями нуля. Следовательно, в таком множестве нельзя делить. Ведь при делении обеих частей ра¬ венства (ai + bj) (bi — aj) = 0 на один из множителей левой части получим равенство нулю второго множителя, а они оба отличны от нуля. Когда же строят обобщение какого-нибудь множества чисел, стараются сохранить наиболее естественные его свойства. Для действительных чисел одним из таких свойств является деление, а оно не сохраняется при этом обобщении. Поэтому указанное обобщение не могло удовлетворить Гамиль¬ тона. Но в 1843 г. он догадался, как обойти эту трудность. При¬ чем произошло это не за письменным столом, где, как правило, одерживают свои победы ученые, а совсем в неожиданном месте. Гамильтон с супругой, беседуя, шли по набережной коро¬ левского канала; вдруг его осенила мысль, что все затруднения отпадут, если взять не две мнимые единицы, а три, но отказаться от основы основ алгебры — принципа коммутативности. Он сразу 182
сообразил, какими должны быть правила умножения в алгебре новых чисел: i2 = j2 = k2 = — 1, ij— —ji — k, jk = —kj = i, ki— —ik = j, где /, /, /г — мнимые единицы. В момент озарения супруги шли по мосту, и, говорят, Гамильтон в восторге от своего открытия перо¬ чинным ножом вырезал на деревянных сваях моста формулу умножение мнимых единиц. Позже он писал об этом счастливом моменте: «Казалось, замкнулась электрическая цепь и вспыхнула искра, пришел вестник многих долгих лет неуклонной работы мысли». Так как запись числа с тремя мнимыми единицами q = a + bi-{-cj-\-dk содержит 4 слагаемых, а четыре на латыни quater, то новые числа получили название кватернионов. Впоследствии английский математик Артур Кэли (1821 —1895) построил еще более общие числа, содержащие уже 8 слагаемых. Они были названы числами Кэли или октавами (от лат. octo — восемь). К сожалению, умножение октав не удовлетворяет не только переместительному закону, но и сочетательному. Мы замечаем интересную закономерность: комплексные числа получаются удвоением действительных. В самом деле, любое комп¬ лексное число z = a-\-bi можно рассматривать как пару (а, Ь), кватернионы—в виде удвоения комплексных: a-{-bi-\-cj-\-dk = (a-\-bi) (с di) j = Z\ z?j- Аналогично строятся октавы как удвоение кватернионов: X = q\-\-q2I, где qi, q2 — кватернионы, / — новая мнимая едини¬ ца, для которой /2= — 1. Возникает вопрос: можно ли ввести дру¬ гие числа, обобщающие комплексные, но без процедуры удвоения? Оказывается, можно. Рассмотрим число вида и = ао а\е\ -|- ап-1еп_ |, где ао, ... , а„_|—действитель¬ ные числа, ей ••• , еп-\ —новые единицы, которых нет среди действительных. Теперь нужно знать, как с этими числами ра¬ ботать, т. е. определить для них арифметические операции. Сло¬ жение, вычитание и умножение на действительное число вво¬ дятся естественным образом. Чтобы определить умножение таких чисел друг на друга, надо задать таблицу умножения мни¬ мых единиц ekem, где 0<£, пг<Сп. 183
Получаемые при этом числа называются гиперкомплексны- ми. Остается определить в этом множестве деление. И вот здесь нас ждет главная неприятность. Не при всех значениях п деление возможно, т. е. система гиперкомплексных чисел (как мы уже убедились на примере п = 3) не всегда является системой с де¬ делением. Деление возможно лишь в случае п = 2, 4, 8, т. е. в мно¬ жествах комплексных чисел, кватернионов и октав. В общем слу¬ чае системы гиперкомплексных чисел малоинтересны. Ведь в них нельзя даже решить линейные уравнения ux = v или xu = v. Эти уравнения различны, так как в общем случае умножение гипер¬ комплексных чисел не обладает переместительным свойством. Наблюдательные читатели, наверное, обратили внимание на одну особенность — все вновь вводимые единицы /, /, k, ... берут¬ ся такими, что их квадраты равны —1; а почему не 1 или О? Ответ заключается в проблеме делимости. Рассмотрим для при¬ мера числа вида z = a-\-bey где а, Ь — действительные числа, е2 = \. Они называются двойными числами. В этом множестве имеются делители нуля: (1 -\-е) (1 — в) =;0. Покажите, что для числа \-\-e нет обратного, т. е. такого г, для которого (1 -\-e)z= 1. Делители нуля имеются и в множестве так называе¬ мых дуальных чисел: z = a-\-bey е2 = 0. В самом деле, имеем (аг) • (Ье) = 0. Поэтому в множествах двойных и дуальных чисел отсутствует деление. Но и эти числа иногда используют в математике. Мы видели, как расширились владения алгебры в XIX сто¬ летии. Комплексные числа не только утвердились, но и получили обобщения. Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах оказался связанным с группой перестановок корней уравнения. От изучения группы перестановок перешли к изучению групп симмет¬ рий многоугольников. Была обнаружена групповая структура различных числовых множеств. Постепенно понятие группы от¬ делилось от элементов, из которых она составлена, и само стало предметом изучения. Алгебра вступила в современный этап своего развития. Современная алгебра изучает различные алгебраиче¬ ские операции, отвлекаясь от природы объектов, над которыми эти операции производятся. Такой абстрактный подход к изуче¬ нию операций, их свойств, взаимосвязей оказался очень плодо¬ творным. Он позволил алгебраическим методам проникнуть не только в различные области математики, но и в физику, кибер¬ нетику, экономику... 8. Векторы На кватернионы возлагались большие надежды. Однако они не оправдались, и сейчас кватернионы сравнительно редко встре¬ чаются в научной литературе. Но они привели к становлению 184
векторного исчисления—области математики, богатой своими приложениями в различных областях науки и практики. Понятие вектора появлялось в математической литературе и до Гамильтона — изображали же векторами комплексные числа Вессель, Арган и Гаусс. Но именно Гамильтон подразделил вели¬ чины на скалярные и векторные и ввел термин вектор. Его рабо¬ ты послужили началом векторной алгебры. Вектором Гамильтон назвал мнимую часть кватерниона, т. е. bi + cj-\-dk. Название становится понятным, если перейти к геометрическому истолко¬ ванию таких чисто мнимых кватернионов. По аналогии с геометрической интерпретацией комплексных чисел каждому ква¬ терниону bi-\-cj-\-dk поставим в соответствие точку М(Ь, с, d) в пространстве, а с ней и вектор с началом в точке 0(0, 0, 0) и концом в точке М. Сложению чисто мнимых кватернионов соответ¬ ствует сложение векторов, а умножению — сразу две операции, а именно скалярное и векторное умножение векторов. Если пере¬ множить кватернионы (b\i'+C\j + d\k) и (b2i +c2j+ d2k), то получим: b 1 b 2i2 -f" b 1 c2ij 4" b 1 d2ik 4- с i b2ji 4- с \ c2j2 4- c\d2jk 4- d\b2ki 4- -\-d\c2kj-\-d\d2k2 = — (b\b2-\-C\C2-\-d\d2) 4~ 4“ (c\d2 — d\c2)i-\- (b2d\ — b\d2) j4~ (b\c2 — b2c\)k. Слагаемое b\b2^{-C\C2-\-d\d2 наз_ывают скалярным произ¬ ведением векторов Т\ =(&,, си d\) и Т2= (b2i c2t d2)t а слагаемое (c\d2 — d\C2)i + (b2d\ — b\d2)j + (b\C2 — b2C\)k — их вектор¬ ным произведением. Векторы оказались удобным средством изображения различ¬ ных физических величин, имеющих направление (скорость, уско¬ рение, сила, электрическая напряженность и др.)* По этой причине векторы на плоскости и в трехмерном пространстве стали изучать и в школе. Являются они незаменимым средством в таких областях науки, как аэро- и гидродинамика, теорети¬ ческая механика, электродинамика и т. д. В этих науках при¬ ходится иногда рассматривать векторы большей размерности, чем три. Многомерные векторы впервые стал изучать Герман Граем а н (1809—1877), немецкий ученый, обладавший раз¬ нообразными дарованиями: он был выдающимся математиком, филологом, изучал богословие и философию. Если гуманитарные науки Грасман изучал в Берлинском университете, то мате¬ матикой он стал заниматься самостоятельно несколько позже. Сдав дополнительный экзамен, Грасман получил должность учителя математики в гимназии своего родного города Штеттцин. В этой должности он проработал до конца жизни. Хотя в мате¬ матике он был самоучкой, здесь ему принадлежат значительные достижения. Он первым рассмотрел многомерные пространства, построил гиперкомплексные числа, ввел скалярное произведение векторов. Недаром многие понятия в математике носят его имя. 185
Может показаться странным, зачем ученые рассматривают многомерные векторы, а тем более обращаются к многомерным пространствам. Ведь окружающий нас мир трехмерен. Правда, иногда его считают четырехмерным, добавляя временную коор¬ динату: но это делается лишь для удобства рассуждений. А уж большее число измерений нигде не может встретиться. На са¬ мом же деле именно запросы практики заставляют обращаться к многомерным пространствам. Рассмотрим пример. Допустим, требуется описать движение точки. Для этого нужно задать 6 чисел, 3 из которых — координаты точки, ос¬ тальные — координаты вектора скорости. Если же механическая система состоит из п не связанных между собой точек, то при¬ ходится вводить уже 6п координат. Получаемое при этом прост¬ ранство в классической механике называют фазовым. Да и в самой математике иногда приходится выходить в пространства больших размерностей. Пусть в плоскости распо¬ ложены две фигуры, симметричные относительно некоторой оси. Чтобы совместить их, надо произвести вращение вокруг оси сим¬ метрии, т. е. выйти из плоскости в пространство. Аналогично зер¬ кально симметричные тела переводятся друг в друга лишь путем выхода в 4-мерное пространство. Этот факт впервые отметил (1827) немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868), а английский писатель Г. Уэллс использовал его в фантастическом рассказе «История Платнера». У его героя после возвращения из 4-мерного пространства сердце оказалось с пра¬ вой стороны. Многомерные векторы у Грасмана задавались в виде набо¬ ров, состоящих из п чисел, взятых в определенном порядке. К сожалению, его изложение векторной алгебры было сложным и малодоступным. Сейчас эта часть математики благодаря много¬ численным практическим приложениям подробно разработана и стала достаточно прозрачной. Познакомимся с ней на примере. Пусть мебельная фабрика выпускает продукцию четырех видов: стулья, столы, шкафы и диваны. Чтобы сообщить, сколько какой продукции вы¬ пустила фабрика в январе, до¬ статочно указать 4 числа, по¬ рядок которых существен. До¬ пустим, первое из них означает число выпущенных в январе стульев, второе — столов, тре¬ тье — шкафов, а четвертое — диванов. Получаем четырехмер¬ ный вектор a=(ai, a2, a3, «4). Фабрика может выпустить не четыре наименования продук¬ 186
ции, а 10 или 20 различных наименований, которые запишутся в виде 10- или 20-мерного вектора. В общем случае рассматривается /7-мерный вектор где п — произвольное натуральное число (в зависимости от рассматриваемой ситуации). Числа а\у ... , ап называются коорди¬ натами вектора. Они также могут принимать различные значения. В нашем примере они являются натуральными числами, в другом могут быть рациональными и т. д. Мы в дальнейшем будем рассматривать векторы с действительными координатами. Сумма двух векторов дает новый вектор, который определяет выпуск продукции фабрикой за два месяца. Разность векторов указывает, на сколько изменилось количество изделий, выпус¬ каемых фабрикой за второй месяц по сравнению с первым. Уве¬ личение всех видов продукции в к раз задает умножение вектора а на число К: Рассмотрим еще один вектор b = {bi, ... , Ьп), составленный из стоимостей каждого из произведенных фабрикой изделий: стул стоит Ь\ рублей, стол — Ь2 рублей, ... . Тогда скалярное произ¬ ведение (а, В) векторов а и В, равное а\Ь\ + а2Ьо + ...-\-апЬ,и вы¬ ражает общую стоимость всей продукции, произведенной пред¬ приятием за месяц. Если мы хотим иметь данные не за один месяц, а за k месяцев сразу, то для этого достаточно составить таблицу: Здесь в первой строке указано количество изделий, выпущенных фабрикой в первый месяц, в следующей строке — продукция второго месяца и т. д. Прямоугольные таблицы из чисел в мате¬ матике называют прямоугольными матрицами (у нас выписана матрица размера kXn, содержащая k строк, п столбцов), а числа, входящие в таблицу,— элементами матрицы. Матрицу записывают в виде таблицы, заключенной в круглые скобки. Пусть имеются два предприятия, выпускающие одинаковые изделия. Продукция первого из них в течение k месяцев задается матрицей Л, продукция второго — матрицей В. Чтобы описать совместный выпуск продукции обоими предприятиями, надо сложить две матрицы: а= (а|, а2, • ап) Ха= (ка\, ... , Кап). а* 1 а*2 ... akn aw а\2 ... а\п Ьи bi2 ... Ь\п #21 #22 ... а2п b2\ b 22 ... Ь2п bk 1 bk 2 ... bkn 187
(fCL\\-\-bw ai2 + ftl2 ••• CL\n-\-b\n #21 4" ^21 #22“b^22 ••• Cl2n~\~b2n Clk\-\-bk\ Cik2-\-bk2 ••• O'kn-j-bkn/ Аналогично определяется вычитание матриц. Умножение матрицы на число К производится по правилу: КА = Кап Ка 12 ... Ка\п Ал21 Ка22 ••• Ка2п Kak 1 Aa^2 ••• Kakn Легко видеть, что совокупность всех матриц размера kXn относительно операции сложения образует группу. В ней роль нуля играет нулевая матрица (матрица, состоящая из нулей), а противоположной для матрицы А является матрица — А= ( — 1) -Л. Предположим теперь, что нас интересует вопрос: на какую сум¬ му фабрика выпустила изделий в первом, втором, ... , k-м месяце? Для этого матрицу Л, определяющую выпуск п видов изделий за k месяцев, надо умножить на вектор = (bi, 62, ... , Ьп), состав¬ ленный из стоимостей этих изделий; его координаты удобно запи¬ сать в виде столбца. Тогда (а\\ а\2 ... а\п \ /Ь\ а21 а22 ... а2п \ I &2 \CLk 1 CLk2 .. где С\ = а\\Ь\ + <212^2 +...-\-а\пЬп, с2 = а2\Ь\ -\-a22b2 + ... + a2nbn, ... , Ck = ak\b\ + <2*2^2 +... + aknbn- Аналогично определяется умноже¬ ние матрицы размера kXn на матрицу размера пХт: (а\\ а 12 ... а\п ч /Ь\\ Ь\2 ... Ь\т \ /Си Ci2 Я21 022 ... fl2n I • I b2\ b22 ... Ь2т 1 = 1 ^21 ^22 CLk2 ... akn / \bn\ Ьп2 ••• Ьпт / Of2 ••• Здесь c,-/ = a,-ifti/ + a,-262/ + ... + airt6/i/, l</<m. Другими словами, элемент сц матрицы произведения равен скалярному произведению /-й строки первой матрицы на /-й столбец второй матрицы. Очевидно, только для квадратных матриц одинакового размера произведение вновь будет матрицей того же размера. 9. Как решить систему Рассмотрим совокупность квадратных матриц размера пХп, или, как говорят, матриц я-го порядка: 188
Среди них имеется так называемая единичная матрица 1 0 ... О О 1 ... О Е— О О ... 1 Покажите, что для любой матрицы А имеет место равенство А •Е — Е‘А=А. Обратной к матрице А называется такая матрица А~\ для которой А-А~' = Е. /1 2 -1 Например, для матрицы третьего порядка А = | 0 1 у \0 0 1 '1 —2 2 обратной является А 1 = I О 1 - Проверьте это само- 2 .0 0 1 стоятельно. Но не для каждой матрицы существует обратная. Так, 0 2-1 нет обратной. Нет ее и у матрицы у матрицы 1 2 -1 о о 1 Убедитесь в этом сами. оо 1 7 Как узнать, имеет ли данная матрица обратную? Оказывается, критерием является наличие отличного от нуля определителя; сама матрица в этом случае называется невырожденной (в про¬ тивном случае — вырожденной). ' Определителем матрицы А называется число Д, равное сумме 2(— l)tau-a2j-...-anr, где сумма берется по всем пере¬ становкам из чисел 1, 2, ... , п, a t — число таких перестановок, которые приводят набор (/, /, ... , г) к натуральному порядку (1, 2, ... , п). Определитель матрицы обычно записывают сле¬ дующим образом: а\\ а\2 ... а\п а 21 £*22 ••• &2п Cln 1 &п2 Читателям предлагается проверить, что:
а) для п — 2 Л = |^П ^,2 I = 0Ц022— 012021*, 1 021 022 1 б) для П = 3 0 11 012 013 Д = 091 022 023 031 032 033 = 011022033 4-013021032 “h 012023031 —013022031 —012021033 — 01 1023032- Можно предложить простое для запоминания правило вы¬ числения определителя матрицы 3-го порядка: сначала вычисля¬ ется произведение чисел, стоящих на главной диагонали 011022033, затем чисел, расположенных в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 36). После этого перемножаются числа побочной диагонали 013022031 и числа, находящиеся в вершинах треугольников со стороной, параллельной побочной диагонали (рис. 37). Эти произведения умножаются на —1. Сумма всех шести найденных таким об¬ разом чисел равна определителю матрицы. Интересно, что модуль определителя 2-го порядка равен площади параллелограмма, образованного векторами Т\ = = (0н, 012) и /2= (021, 022), а модуль определителя 3-го порядка — объему параллелепипеда, построенного на векторах Т\ = = (0п, Я|2, 01 з), /2= (021, 022, 02;) И Г3=(а31, а32, 033). Теперь ясно, что матрица второго порядка является вырожденной, если задающие ее векторы параллельны, а третьего порядка — если все три вектора, задающие матрицу, лежат в одной плоскости. Вырожденные матрицы не имеют обратных; более того, среди них есть делители нуля, например: Так что обращаться с матрицами нужно осторожно. Произведение матриц не обладает переместительным свойством. Например,
для А = но В-А = . Совокупность всех невырожденных матриц и В = ( имеем А-В = порядка п образует группу относительно операции умножения. Как мы только что видели, эта группа не коммутативна. В настоящее время создано целое матричное исчисление, где подробно изучаются матрицы и их свойства. Матричные модели лежат в основе балансовых расчетов в экономике, на их основе строится линейное программирование и т. п. А когда матрицы появились в математике? Впервые их стали использовать китайские ученые. В «Математике в девяти книгах» (ок. II в. до н. э.) имеется задача: «Если из зерна 5 снопов хорошего урожая убавить 1 доу 1 шэн, то это соответствует коли¬ честву зерна 7 снопов плохого урожая. А если из зерна 7 сно¬ пов хорошего урожая убавить 2 доу 5 шэн, то это соответствует количеству зерна 5 снопов плохого урожая. Спрашивается, сколько зерна получается из каждого снопа хорошего и плохого урожаев». (При решении задачи следует учесть соотношение мер объема: 1 доу=10 шэн.) Если обозначить искомые величины через х и у, то условие задачи записывается в виде системы | 5*—11=7у% | 5*-7у=11, \ 7х—2Ь = Ьу, откуда \7х — 5у = 25. Китайские математики вместо полученной системы составляли таблицу, записывая коэффициенты уравнений в столбцы (расположенные справа налево): —5 —7 . Затем они умножали первый столбец на 5 и вычитали из полученного столбца семь раз второй столбец: Из первого столбца полученной матрицы они находили у = — = 2, Такой метод решения системы линейных уравнений в Китае получил название «фан-чен» — буквально «выстраивание чисел по клеткам». Приведенная задача интересна еще и тем, что здесь впервые в истории математики в условии встречаются отрица¬ тельные числа. Метод «фан-чен» приводит к последовательному исключению 7 5 25 11 35 5 -25 —7 125 11 30 5 0 5 -18-7 -► ► 24 —7 114 11 48 11, 48 М+7-2 с из второго х = —-— = 5. 191
неизвестных, знакомому читателю из школы. На самом деле пер¬ вое уравнение системы умножается на 5, а второе—на —7; полученные выражения складываются и записываются на месте второго уравнения. В результате система принимает вид: f 5х — 7у=1\, \ 0 + 24^ = 48, откуда у = 2 и х = 5. О достижениях китайских математиков ученые Европы узнали недавно. Поэтому указанный метод решения системы уравнений в настоящее время связывается с именем Гаусса, переоткрывшего его в 1849 г. Идея нумерации элементов матрицы по строкам и столбцам восходит к Г. Лейбницу, обозначившему в письме (1693) к фран¬ цузскому математику Гийому де Лопиталю (1661 —1704) систему трех уравнений следующим образом: 10+11*+12у = 0, 20 + 21* + 22у = 0, 30 + 31 х + 32 у=0. (Обратите внимание на коэффициенты: это не конкретные числа, а обозначения!) В этом же письме Лейбниц изложил способ решения системы линейных уравнений с помощью определителей. Правда, десяти¬ летием раньше такой метод нашел японский математик Ко в а Секи (1642—1708). Но оба эти результата не стали достоянием математиков Европы. Лишь в 1750 г. он был переоткрыт швей¬ царским математиком Габриелем Крамером (1704—1752) и получил название правила Крамера. Разберем его на при¬ мерах. 1. Решим систему двух уравнений / 3* — 5г/=1, I 2* + Зу = 2. Сначала вычислим определитель, составленный из коэффициентов неизвестных; его называют определителем системы. 3 -5 2 3 Д = = 3-3 —2- (—5) = 19. Заменим в этом определителе первый столбец свободными членами уравнений системы и найдем новый определитель: 1 -5 А. = = 3+10=13. Заменяя далее в Д второй столбец свободными членами, вы¬ числим еще один определитель: 192
Дг = 3 1 2 2 = 6-2 = 4. Решение системы находим по формулам 13 Д2 Х ~ \ 19 ’ У Л 19 ' 2. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными х — y-\-z= 1, 2х Зу — 2z = 2, x + y + 3z = —4. Вычислим определитель системы: 1 -1 1 Л = 2 3-2 1 1 3 9 + 2 + 2 — 3 + 2 + 6=18. Затем вычислим следующие определители: 1-1 1 Д| = Лг = Дз = откуда х = -т- = 2 3 -4 1 < 1 1 1 2 2 -2 1 —4 3 1 -1 1 2 3 2 1 1 — 4 Д| 23 18 = 9 + 2 — 8+12 + 2 + 6 = 23, = 6 —8 —2 —2 —6 —8= -20, = -12-2 + 2-3-2-8= -25, _Д2_ Ш _ Аз _ 25 У~~~ дГ’ г~Т~ 18' 10. Алгебра Буля Вероятно, многим из читателей знакома книга Э. Л. Войнич «Овод». До замужества автора этой книги звали Этель Лилиан Буль. Отцом писательницы был английский ученый Джордж Буль (1815— 1864), основоположник математической логики. Ему удалось осуществить мечту многих поколений математиков и фи¬ лософов. О возможности механизировать не только вычисления (этой цели служил еще абак), но и рассуждения ученые заду¬ мывались очень давно. Испанский рыцарь Раймон Люллий пы¬ тался построить машину, вращая колеса которой можно из пра¬ вильных утверждений (посылок) делать правильные выводы. С ее помощью он надеялся убедить мусульман перейти в христианство. 7. Зак 4723 Н Я Виленкин 193
Однако эта попытка не увенчалась успехом, да и машина не оправдала надежд изобретателя. Через несколько столетий о возможности превратить логи¬ ческие рассуждения в вычисления мечтал Лейбниц. Он надеялся, что когда-нибудь при возникновении споров между людьми они скажут: «Перейдем к вычислениям» — и таким образом смогут разрешить все возникшие проблемы. Английский писатель Джо¬ натан Свифт в третьей книге своих бессмертных «Путешествий Гулливера» подверг мечты о механизированных рассуждениях жестокой насмешке (впрочем, он смеялся и над оптическими ис¬ следованиями Ньютона). Знаменитый сатирик оказался неправ. Желанное исчисление было построено в XIX столетии. Познакомимся с ним, конечно, в современном виде. Назовем высказыванием любое утверждение, о котором можно сказать лишь одно из двух — либо оно истинно, либо ложно. Например, высказываниями являются утверждения: «Дважды два — четы¬ ре», «Сейчас здесь идет дождь». «Если 2X2 = 5, то существуют ведьмы», «Суворов победил в битвах при Фокшанах и Рымнике», «Всякий треугольник правильный» и т. п. (А вопросы и воскли¬ цания высказываниями не являются.) Из нескольких заданных утверждений можно получить более сложные. Это делается с помощью союзов «и», «или», «либо ... , либо ...», «если ... , то ...», а также отрицания «не». Чтобы такое построение новых высказываний из данных имело однозначно определенный смысл, надо каждому из союзов придать точно определенный смысл. Это делается с помощью следующих таблиц: «А и В» «А или В» «не Ах \ * л и л и и л л л л и л и и и л и л А И j л 1 1 не Л j л и В этих таблицах буква «И» означает «истинно», а «Л» — «ложно». Из первой таблицы видим, что если высказывание А и высказывание В истинны, то истинно и высказывание «А и В». В остальных случаях это высказывание ложно. Из второй таб¬ лицы высказывание «А или В» ложно лишь в случае, когда ложны и А, и В. Наконец, «не Л» ложно, если А истинно, и наобо¬ рот. Как в обычной алгебре слова, применявшиеся для обозна¬ чения арифметических операций, были заменены знаками, так и здесь союзы «и», «или» и отрицание «не» заменяются соответ¬ ственно знаками Д, V и “~| (или чертой сверху). Поэтому запись (А/\В) V С означает: «А и В, или не С». 194
Операция замены А на Л называется отрицанием, получения А Д В из А и В — конъюнкцией, а получения А\/ В — дизъюнкцией. Для этих операций при всех А, В, С выполняются соотношения: 1) ЛДЛ = Л; 2) ЛДВ=ВДЛ; 3) (А /\ В) /\С=А /\ (В /\ С) \ 4) А\/А=А; 5) A\JB = B\JA\ 6) (Л у В) \/С = А\/ (В\/С); 7) (А\/В)ЛС=(АЛС)Ч(ВЛС); 8) (ЛДВ) VC= (Л VC)A(BVC); 9) Л=Л; 10) ЛУ"В = ЛДВ; И) Л/\В= ЛVЯ. Кроме того, справедливы равенства: И = Л, ИДЛ=Л, ЛДЛ = Л, И\/Л = И, Л\/Л =Л, ЛДЛ = Л, А\/А = И, где через «И> обозначено заведомо истинное высказывание, а через «Л» — заведомо ложное. Множества, наделенные алгебраическими операциями, для краткости называют просто алгебрами. Перед нами алгебра высказываний. С помощью перечисленных тождеств можно преобразовать любые выражения, правильно составленные из высказываний Л, В, С, ... и знаков операций V» Д, • Законы преобразований таких логических выражений были найдены Булем в 1847 г., и по¬ тому алгебру высказываний называют булевой алгеброй. Она во многом напоминает обычную, но некоторые ее законы имеют иной вид. Например, в булевой алгебре (на основании свойств 1 и 4) нет ни степеней, ни коэффициентов; в ней два распределительных закона, выражающиеся тождествами 7 и 8. Иногда удобно истинному высказыванию сопоставить число 1, а ложному — число 0. Тогда конъюнкцию ЛДВ лучше записы¬ вать в виде произведения Л-В, а дизъюнкцию A\J В — в виде суммы Л + В. (Надо только иметь в виду, что при этом 14-1 = 1.) Законы булевой алгебры используются при конструировании электрических цепей и вычислительных устройств. При этом вы¬ сказываниями являются предложения типа «Ток по участку ... проходит», операция отрица¬ ния сводится к замене вклю¬ ченных рубильников на выключенные и обратно, конъюнкция соответствует последовательному соедине¬ нию, а дизъюнкция — парал¬ лельному. Разберем, напри¬ мер, пойдет ли ток по цепи, изображенной на рисунке 38. Для этой цепи по участ¬ 7* 195 Рис. 38
кам В, С, £ ток проходит, а по участкам A, D% F нет. Нам надо вычислить значения выражения (AA(CWD)) V(BA(E\SF)), если, А, D, Z7 соответствует 0, а В, С, Е соответствует 1. По пра¬ вилам 0+1=1, 0-1=0, 1-1 = 1 получаем (0-(1+0)) + + (1 • (1 +0)) =0+ 1 = 1. Таким образом, по цепи ток пойдет. Булеву алгебру можно составить не только из высказываний или из электрических проводов и рубильников, но и из мно¬ жеств. Под множеством в математике понимают любую сово¬ купность объектов (элементов), такую, что о любом объекте мож¬ но сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Например, можно говорить о множестве учителей, преподающих в данном классе, множестве всех тигров в лесах полуострова Индостан, множестве всех простых чисел, множестве всех кругов на плос¬ кости и т. д. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут а^Л, если же он не принадлежит Л, то пишут афА. Множество В называется подмножеством А (обозначают В а А), если любой элемент Ь из В принадлежит А. Приведем примеры. Множество всех учеников данного класса является подмножеством множества учеников данной школы. Множество всех квадратов на плоскости — подмножество множества всех параллелограммов на той же плоскости. Мно¬ жество всех простых чисел — подмножество множества всех на¬ туральных чисел. Множество может не содержать ни одного элемента (например, множество круглых квадратов или жителей на Луне). Такое множество называют пустым и обозначают 0. Пустым является множество действительных корней уравнения х2 + 1 •!= 0: Определим для множеств три операции — пересечение, объединение и дополнение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно входят в А и в В. Например, если А —множество ромбов, а В — множество прямоугольников, то их пересечением является множество квадратов, потому что фигура, одновременно являющаяся ромбом и прямоугольником, есть квадрат. Пере¬ сечение множеств А и В обозначают А(]В. Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех эле¬ ментов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств. Обозначают его Ли В. Например, если Л — мно¬ жество всех натуральных чисел, дающих при делении на 3 оста¬ ток 1, а В — чисел, дающих при делении на 3 остаток 2, то А[)В — множество натуральных чисел, не делящихся на 3. Наконец, если В — подмножество Л, то дополнением к В в А называют множество всех элементов из Л, не принадлежащих В. Например, дополнением к множеству простых чисел в множестве натуральных является множество, состоящее из 1 и всех составных 196
чисел. Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь множества, являющиеся подмножествами некоторого универсального мно¬ жества U. В этом случае дополнения берутся в U. При выполнении операций пересечения и объединения под¬ множеств множества U вновь получаются подмножества U. Таким образом, возникает алгебра таких подмножеств. Ее законы совпадают с законами алгебры высказываний с той лишь раз¬ ницей, что операцию дизъюнкции высказываний заменяет объединение множеств, конъюнкции — пересечение множеств, а отрицания — дополнение к множеству. Причина такой аналогии проста. Возьмем какой-нибудь элемент х из множества U. Тогда каждому подмножеству А множества U соответствует высказы¬ вание: «Элемент х принадлежит множеству Л». При этом операции над множествами превращаются в операции над высказыва¬ ниями. Булеву алгебру можно построить и из более простого мате¬ риала — обычных натуральных чисел. С этой целью возьмем какое-нибудь натуральное число, например 60, и обозначим через U множество всех его делителей (в нашем случае — мно¬ жество, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). В качестве операций в U возьмем образование НОД (а, Ь) и НОК (а, Ь)у а роль операции отрицания будет играть переход от делителя d к делителю -j. Читателям предоставляется воз¬ можность проверить, что при этом получается булева алгебра. Упражнения 1. Решите задачу индийского математика Ариабхатты «о встре¬ че» двух небесных тел, движущихся навстречу друг другу или в одном направлении, т. е. найдите, через какое время они встретятся, если известны их скорости и расстояния между ними. 2. Решите задачу индийского математика Бхаскары: «Один имеет 300 монет и 6 лошадей, другой имеет 10 лошадей, но у него недо¬ стает 100 монет. Оба оди¬ наково богаты. Какова цена лошади?» 3. Покажите, что уравнение jc3 — 3jc — 1=0 не имеет це¬ лых решений. 4. Покажите, что любая на- 197
туральная степень числа cos—-—|-/sin—— удовлетворяет уравнению хп= 1. 5. Решите уравнение л-3=15х + 4 (результат Бомбелли). 6. Решите уравнение х6-\- 10х = 6х2 + 4 (результат Кардано). 7. Найдите корни уравнения хл-\-26х= 12х2+ 12 (результат Кар¬ дано). 8. Найдите все корни уравнения х7 — х6 — x-f- 1 =0. 9. Докажите следующие свойства возвратных уравнений: а) они не имеют нулевых корней; б) если Хо — корень уравнения, то тоже его корень; в) при нечетной степени уравнения число х= —1 является корнем уравнения; г) если Я(*)=0 — возвратное уравнение нечетной степени, р(х) А то уравнение -y+i'= вновь является возвратным. 10. Из предыдущего упражнения выведите метод решения воз¬ вратного уравнения (результат Эйлера): если уравнение Р(х)=0 нечетной степени, то нужно перейти к уравнению Р(х) о = 0; в случае четной степени уравнения нужно при- X ~г i j менить подстановку t = x + — . 11. Докажите коммутативность группы S2- 12. Покажите, что группа S3 не является коммутативной. 13. Пусть о\=х + у, о2 = хуу Sn=xn-\-yn. Выведите рекуррентную формулу Sn = 0\Sn-\—02Sn-2- 14. Используя предыдущую формулу, найдите х5 + у\ *6 + гД х7 + у7. 15. Найдите серию целочисленных решений уравнения x2 + y2 = z3. 16. Найдите серию целочисленных решений уравнения х2 + у2 = г\ 17. Покажите некоммутативность произведения кватернионов.
Когда говорят о возникновении геометрии, воображение сразу рисует нам египетские пирамиды и гарпедонаптов с верев¬ ками и колышками в руках. Ведь само название геометрия в переводе с греческого означает измерение земли. Вот как по¬ вествует древнегреческий историк Геродот о рождении этой науки: «Этот царь*, как передавали жрецы, разделил землю между «эсеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной ве¬ личины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и из¬ мерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплатил подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу». Измерения были необходимы, конечно, не только в земледе¬ лии, нельзя было обойтись без них и при строительстве, и в астрономических наблюдениях. Значительные успехи в астро¬ номии были достигнуты в Вавилоне — другом важном центре древ¬ ней цивилизации. По словам того же Геродота, от вавилонян в Грецию пришли и изображение небесного свода, и деление дня на 12 частей, и солнечные часы. Первоначально геометрия носила чисто практический харак¬ тер. В дошедших до нас египетских папирусах и вавилонских табличках решаются задачи на вычисление площадей фигур, объемов тел и т. п. При этом просто указывается последова¬ тельность действий над данными числами, приводящая к искомому результату. Но в Греции геометрия приобрела совершенно другой характер. Здесь ученые, используя достижения египтян и вави- * Египетский царь Сесострис III, живший в XIX в. до н. э. 200
лонян, не только задумались над общими методами решения отдельных типов задач, но и поставили вопрос обоснования их правильности. Этому способ¬ ствовало то обстоятельство, что на народных собраниях свобод¬ ных городов (полисов) полити¬ ческие противники должны бы¬ ли отстаивать свою точку зрения, поэтому выступающим нужно было владеть логикой и, опираясь на очевидные по¬ сылки, уметь доказывать свои утверждения. Считается, что первые геометрические доказательства дал Фалес Милетский (ок. 625—547 гг. до н. э.). В юные годы он посетил Египет, где познакомился с математическими дости¬ жениями жрецов. Там он измерил высоту пирамиды по длине отбрасываемой тени и этим открытием привел в изумление жре¬ цов и египетского царя Амазиса. Не меньшее впечатление на современников произвело измерение Фалесом расстояния от бере¬ га до корабля в открытом море. Кроме того, он знал, что диаметр делит круг пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, а угол, вписанный в полукруг, прямой. Историки считают, что Фалес был первым греческим геометром и астрономом. В частности, он предсказал солнечное затмение, происшедшее 18 мая 585 г. до н. э. На гробнице Фалеса была высечена надпись: «Насколько мала эта гробница, настолько велика слава этого царя астрономов в области звезд». Становлению геометрии как науки способствовали пи¬ фагорейцы. Древнегреческий философ Прокл Диадох (ок. 410—485) писал: «Пифагор преобразовал геометрию, при¬ дав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию ирра¬ циональных количеств и открыл конструкцию космических фи¬ гур» (т. е. тел Платона). Помимо этого, пифагорейцы доказали так называемую теорему Пифагора, теорему о сумме внутренних углов треугольника, вывели экстремальные свойства круга и шара, решили задачу о разбиении плоскости на правильные многоугольники, создали геометрические методы решения квад¬ ратных уравнений и т. д. Трудами пифагорейцев практическая геометрия переросла в теоретическую. Логически завершенный вид геометрия приняла в «Началах» Евклида. Этот труд оказался настолько полным и совершенным, что стал основой для всех последующих книг по элементарной геометрии вплоть до наших дней. Но о нем мы поговорим в сле¬ дующей главе.
1. Циркуль и линейка В Древней Греции слова математика и геометрия были сино¬ нимами. Любые математические задачи, будь то доказательство свойств чисел или нахождение корней уравнений, решались гео¬ метрическими способами. Естественно, в такой ситуации важную роль приобрели задачи на построение. К построениям предъявлялись высокие требования точности, простоты, экономности. Самой совершенной линией на плоскости является окружность, а самой простой — прямая (ведь русское слово «простая» и означает «прямая», и «простить» значит «разрешить стоять прямо, не склонив головы»). Наиболее цен¬ ными считались построения, использующие только эти две линии. Поскольку прямую можно провести при помощи линейки (без делений), а окружность построить циркулем, то мы теперь говорим о задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Циркуль позволяет не только построить окружность с указанным центром и радиусом, но отложить отрезок, равный данному, и выяснить, какой из имеющихся отрезков длиннее. С помощью линейки можно провести прямую через две данные точки. (Линейка с делениями, которой мы пользуемся, не годится для измерений длин отрезков, она дает приближенный результат — этого антич¬ ные математики не могли допустить.) Методика решения задач на построение была разработана в школе Платона. Будучи философом, Платон уделял большое внимание математике. Недаром над входом в его Академию было написано: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии». Сам Платон учился математике у Феодора из Кирены, был зна¬ ком с Евклидом и пифагорейцем Архитом Тарентским. Ценны мысли Платона относительно построения математики. Он ука¬ зывал на необходимость выделения положений, которые можно принять без доказательства, на важность строгих определений. Он ввел в математику понятия анализа и синтеза, обосновал метод доказательства от про¬ тивного. В молодости Платон много путешествовал, посетил Сицилию, Египет, Персию. Вер¬ нувшись в Афины, он основал на свои средства на окраине города философскую школу, в которую привлек самых передо¬ вых ученых своего времени. Она получила название «Академия» по роще, в которой находилась: по преданию, в этой роще жил мифический герой Академ. Пла¬ тоновская Академия просу- 202
шествовала более девяти веков, только в 529 г. указом византий¬ ского императора Юстиниана она была закрыта как языческая. В школе Платона при решении задач на построение не разре¬ шалось использовать никакие другие инструменты, кроме циркуля и линейки. Такое ограничение сыграло большую роль в развитии геометрии, а в дальнейшем в установлении ее связей с алгеброй. Выясним, какие задачи можно решить с помощью циркуля и линейки. По заданным отрезкам а и Ь легко построить отрезки а + Ь, а-Ь (a>b), ka, ■£, где k—произвольное натуральное число. Читателям, конечно, знаком способ построения четвертого пропорционального Ь х ab — = —, откуда х = — (рис. 39), и среднего геометрического x = ^[ab (рис. 40). Так как равенство x2 = ab равносильно пропорции ^- = у, то среднее геометрическое еще называют средним пропорциональным величин а и Ь. Имея в распоряжении единичный отрезок, можно построить и произведение ab как четвертое пропорциональное -у-, и частное и квадратный корень ^Ja = ^Ja-1. Другими словами, циркулем и линейкой строится любой отрезок, выра¬ женный через данные отрезки в квадратных радикалах (т. е. с помощью конечного числа четырех арифметических операций и извлечения квадратного корня). С течением времени вырабатывались общие принципы и спо¬ собы решения задач на построение. Общеизвестно, что при реше¬ нии таких задач, как правило, выделяют четыре этапа: анализ, само построение, доказательство и исследование. Анализ состоит в том, что задачу предполагают решенной, строят чертеж, содер¬ жащий данные и искомые элементы фигуры, и изучают соотно¬ шения между ними. Иными словами, решение задачи начинают с конца. После того как нужные соотношения найдены, присту¬ пают к построению. Затем следует доказательство того, что про- 203 Рис. 39 Рис. 40
веденное построение действительно приводит к нужному ре¬ зультату. Завершает решение исследование, где выясняют, при каких условиях решение существует, сколько этих решений и какие частные случаи возможны. Конечно, такой детальный подход к решению задачи на построение с использованием всех четырех этапов применяется лишь в случае, когда задача довольно сложная. Рассмотрим одну из таких задач, решенную еще древ¬ негреческим математиком Аполлонием Пергским (ок.. 262—190 гг. до н. э.): «Построить геометрическое место точек плоскости, расстоя¬ ние от которых до двух фиксированных точек этой плоскости находится в отношении т:п>. Решение начнем с анализа. Пусть А и В — заданные, а Р — одна из искомых точек (рис. 41). По условию задачи APiPB = m:n. (1) Очевидно, на прямой АВ имеются две точки М и N, для которых выполняется пропорция AM:MB = AN:BN = т:п. Заметим, что точки М и N делят отрезок АВ в заданном отношении (одна — внутренним, другая — внешним образом). В этом случае четверку точек Л, В, М, N называют гармонической. Так как АР:РВ=АМ:МВ, то РМ — биссектриса угла АР В. Проведем через точку В прямую, параллельную NP. Точки ее пересечения с прямыми АР и МР обозначим через С и D. Тогда AP:CP = AN:BN = т:п. Сравнивая полученный результат с про¬ порцией (1), получим, что СР = РВУ т. е. треугольник СРВ равно¬ бедренный. Поэтому его биссектриса PD одновременно является и высотой, откуда угол MDB, а следовательно, и угол MPN прямые. Таким образом, точка Р лежит на окружности диаметра MN. Построение искомого геометрического места точек прос¬ тое: на прямой АВ находим точки М и N, удовлетворяющие усло¬ вию задачи, и на отрезке MN как на диаметре строим окружность. Доказательство состоит в обосновании того факта, что для любой точки Q построенной окружности выполняется соотно¬ шение AQ:QB = m:n. Для этого через точку В проводим прямую, параллельную >1Q (рис. 42); она пересекает MQ и QN в точках С 204 Рис. 41 Рис. 42
и D соответственно. Из подобия треугольников AQM и СМВ находим: AQ:CB = AM:MB = m:n. (2) Аналогично выводим соотношение AQ:BD = AN:BN = m:n, срав¬ нивая которое со (2), получаем CB = BD, т. е. QB является медиа¬ ной прямоугольного треугольника CQD. А медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы, откуда QB = CB = = BD. Из (2) следует AQ:QB = m:n, что и требовалось доказать. Остается провести исследование. Решением задачи яв¬ ляется множество всех точек окружности. Ее называют окруж¬ ностью Аполлония. Решение всегда существует. В частном слу¬ чае, если пг:п= 1, решением является множество точек сере¬ динного перпендикуляра отрезка АВ. Если же т:п = 0, то реше¬ нием является лишь точка А. С именем Аполлония связана еще одна задача. Но прежде чем о ней говорить, введем очень интересное преобразование плоскости, которое существенно используется в решении этой задачи. 2. Инверсия Из курса геометрии хорошо известно преобразование осевой симметрии относительно прямой. Но симметрию можно вы¬ полнять и относительно окружности. Это преобразование опре¬ деляется следующим образом. Пусть <о — окружность с центром О и радиусом /?, а М — какая-то точка на плоскости, где лежит эта окружность (рис. 43). Назовем точку N симметричной точке М относительно окружности <о, если она лежит на луче ОМ и выпол¬ няется равенство ОМ-ON = R2. Ясно, что если точка М лежит внутри окружности о), то N расположена вне этой окружности, и наоборот. При этом, чем ближе точка М расположена к центру О этой окружности, тем дальше точка N находится от центра, а чем ближе М к окружности <о, тем ближе к <о и N. Преобразование, при котором каждую точку заменяют на симметричную ей относительно окружности <о, называют ин¬ версией (от лат. inversio — переворачивание, обращение) отно¬ сительно (о. Так же как точки оси остаются неподвижными при осевой симметрии, точки окружности о> неподвижны при инверсии. Точка О называется центром инверсии, R — радиусом инверсии, (о — базисной окружностью. Построение точки, ин¬ версной данной, ясно из определения: если точка М лежит внутри окружности (рис. 43), то восстанавливают в ней перпен¬ дикуляр к лучу ОМ до пересечения в точке А с окружностью <о, а затем проводят касательную к о) в точке А; эта касательная пересекает луч ОМ в искомой точке N. Для точек, расположен- 205
Рис. 43 Рис. 44 ных вне окружности со, построение проводят в обратном порядке. Приведенный способ построения может быть принят за геометри¬ ческое определение инверсии. А теперь докажем некоторые свойства инверсии. 1. Окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, перпендикулярную линии центров данной окружности и базисной. Обозначим через О н 0\ центры базисной и данной окруж¬ ностей. Линия центров 00\ пересекает данную окружность у в точке А (рис. 44). А\—точка, инверсная А. Покажем, что у переходит в прямую, пересекающую 00\ в точке А\ под прямым углом. Возьмем произвольную точку С на у и построим точку Cj, инверсную С. Достаточно убедиться, что угол ОА\С\ прямой. Так как ОС -OC\ = OA-OA\ = R2, то = следова¬ тельно, треугольники ОСА и ОА\С\ подобны, откуда углы ОА\С\ и ОСА равны, а последний из них прямой (как вписанный, опи¬ рающийся на диаметр). Свойство доказано. Очевидно, верно и обратное утверждение: прямая, не прохо¬ дящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, про¬ ходящую через центр инверсии. Ясно, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя. 2. Окружность, не проходящая через центр О инверсии, пере¬ ходит в окружность, также не проходящую через точку О. Пусть О—центр базисной, 0\ — центр данной окружности у (на рисунке 45 базисная окружность не изображена). Линия центров 00\ пересекает окружность у в точках А и В. Инверсные им точки обозначим через A i и В\. Так как О А • О А х =ОВ-ОВ\ = п2 ОА{ ОВ\ 0 = к , то = = k. Зададим гомотетию с центром О и коэффициентом k. При этой гомотетии окружность у с диаметром АВ переходит в окружность у\ с диаметром В\А\. Покажем, что 206
Yi — окружность, инверсная у. Возьмем на у произвольную точку М и проведем луч ОМ. Пусть он второй раз пересекает окружность у в точке N, а окружность Yi в точках М\ и N\t при этом точка N\ гомотетична точке М, а М\—точке N. Тогда = -^-= k. Так как 0iAf||02Wi, то центральные углы 00\М и 002N\ равны и, следовательно, равны углы ОВМ и В\М\0. Поэтому треугольники ОВМ и ОМ\В\ подобны, откуда 0J^L = J¥L или OM'OM\ = OB-OB\ = R2. Таким образом, при Ut> | D /VI инверсии произвольная точка окружности у переходит в точку окружности yi. Свойство доказано. Приведем без доказательства еще одно важное свойство ин¬ версии. 3. При инверсии сохраняются углы между линиями. Напомним, что под углом между двумя линиями понимается угол между касательными к ним в точке пересечения (рис. 46). Из этого свойства вытекает, что при инверсии сохраняется свойство касания. Применим преобразование инверсии к решению знаменитой задачи Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей. Предварительно заметим, что искомая окружность может касаться данных разными способами — внешним и внутренним. Мы рассмотрим случай, когда она касается всех трех окруж¬ ностей внешним образом. Уменьшим радиус каждой из трех данных окружностей на величину г наименьшего из них. В результате окружность с радиусом г «стянется» в свой центр — точку Л, а две другие — в окружности р и Y* В частности, они тоже могут стянуться в точки. После такой процедуры задача Аполлония свелась к более простой: через точку А провести окружность, касающуюся двух фиксированных окружностей Р и y* 207 Рис. 45 Рис. 46
Рис. 47 Рис. 48 Допустим, что искомая окружность построена (рис. 47). Произведем инверсию с центром в точке А (радиус базисной окружности (о произвольный). В результате окружности р и у перейдут в окружности Pi и у»* а искомая окружность — в прямую, касающуюся pi и у\. Приходим к следующему построению. Строим окружности Pi и yi, инверсные окружностям Р и y относительно окруж¬ ности (о с центром в точке А. Проводим прямую, касающуюся Pi и yi- Подумайте, как это сделать. Пусть В\ и С\—точки ка¬ сания (рис. 48). Находим на окружностях Р и y точки В и С, инверсные точкам Bi и С\. Через точки Л, В и С проводим окруж¬ ность. Она касается окружностей Р й Y- Чтобы получить решение задачи Аполлония, остается уменьшить радиус построенной окружности на величину г. Отметим, что рассуждения незначительно изменятся, если искомая окружность касается остальных не внешним образом. Предлагаем читателям провести их самостоятельно. Исследования мы приводить не будем, скажем лишь, что в зависимости от расположения исходных окружностей число ре: шений может колебаться от нуля (нет решений) до восьми. Задача Аполлония содержалась в недошедшем до нас труде «О касаниях». Как решал ее сам Аполлоний, неизвестно. Задача интересна еще своими частными и вырожденными случаями (когда вместо окружностей берутся прямые или точки). Например, построить окружность, проходящую через точку и касающуюся двух прямых; провести через две точки окружность, касаю¬ щуюся прямой, и др. 3. Координаты Древнегреческие геометры были непревзойденными мастерами построений циркулем и линейкой. Но иногда и они встречались с задачами, не поддававшимися их искусству на протяжении 208
многих поколений. И конечно, у них возникло подозрение, что эти задачи вообще неразрешимы таким способом. Однако до¬ казать этого античные математики не могли. Здесь необходима была помощь алгебры, но алгебры в ту пору еще не было. Да и много позже, когда алгебра как наука уже оформилась, она еще долгое время не оказывала никакого влияния на геометрию, до тех пор пока не был создан координатный метод. Он стал мостом, по которому алгебраические методы решительно вторг¬ лись в пределы геометрии. Вообще геометрию условно подразделяют на синтетическую и аналитическую. Первая изучает построение фигур и их свойства на основе чисто геометрического метода без использования фор¬ мул и вычислений. Естественно, геометрия у греков была син¬ тетической. Вторая исследует геометрические образы средствами алгебры на базе координатного метода. Сам термин «аналити¬ ческая» восходит к Виету, который отвергал слово «алгебра» как варварское, заменяя его словом «анализ» (от греч. «ана- лозис» — решение, разрешение). Возникла аналитическая геометрия почти одновременно в работах двух выдающихся французских математиков XVII в. Рене Декарта и Пьера Ферма. Так часто бывает, что не один ученый приходит к новой идее. Просто для этого создались благоприят¬ ные условия. Зачатки координатного метода появились уже в Древней Греции. Один из основоположников астрономии Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу; существо¬ вали различные системы астрономических координат. Древнегре¬ ческие математики в словесной форме выражали зависимость между отрезками, связанными с изучаемыми линиями. Но за¬ писать эту зависимость формулой они не могли из-за отсутствия символики. К началу XVII в. была разработана алгебраическая символика, позволившая записывать уравнения с произвольными коэффициентами. Тем самым необходимые предпосылки для введения координат были подготовлены. Появление координат позволило связать точки кривых линий алгебраическими уравнениями и изучать свойства кривых, иссле¬ дуя соответствующие уравнения. В частности, Ферма вывел уравнения прямой и конических сечений, исследовал уравнения первой и второй степени в общем виде. Но, как мы уже знаем, он не публиковал в печати своих открытий. Работу «Введение в изучение плоских и телесных мест» он послал (1636) Мерсенну. Независимо от Ферма аналитическую геометрию создал Декарт. В 1637 г. вышла в свет его знаменитая «Геометрия». Здесь он ввел более совершенную алгебраическую символику, изложил координатный метод, дал классификацию алгебраиче¬ ских кривых по степени их уравнений, привел алгебраический способ построения нормалей к кривым и т. п. Отметим, что «Геометрия» составляла лишь одну из четырех книг философ¬ ского трактата «Рассуждения о методе». 209
Интерес к философии и математике Декарт проявлял с ранних лет еще во время своей учебы в иезуитской коллегии. По окон¬ чании ее он усиленно занимался математикой, но не оставлял мысли о военной карьере. В 21 год он записался в армию и при¬ нимал участие на стороне католиков в Тридцатилетней войне. Он сражался при Белой горе (возле Праги), где католическое войско разгромило чешских таборитов, а после возвращения во Францию участвовал в осаде гугенотской крепости Ла Рошели, где мог встретиться с Д’Артаньяном и его друзьями-мушкетерами. Во время военной службы Декарт продолжал свои философ¬ ские и математические размышления. Этому способствовали бе¬ седы и совместная научная работа с голландским ученым И. Бекманом (1588—1637). На всю жизнь Декарт запомнил день 10 ноября 1619 г., когда его осенила внезапно возникшая творческая мысль, позволившая заложить основания новой науки. То была идея аналитического метода в общефилософском смысле, состоящего в том, что каждую трудность сначала надо разло¬ жить на части и затем от простого и легкого продвигаться к более сложному. В применении к математике идея Декарта по¬ зволила ему построить аналитическую геометрию. Оставив воен¬ ную службу, Декарт посвящает себя занятиям философией и математикой, активно участвует в работе кружка Мерсенна — своего школьного товарища. Будучи правоверным католиком, в научных взглядах Декарт придерживался гелиоцентрической системы мира и расходился в этом вопросе с духовенством. После судебного процесса над Галилеем он решает не испытывать судьбу и, опасаясь пресле¬ дования католической церкви, переселяется из Франции в Гол¬ ландию, где более терпимо относились к прогрессивным взглядам. Здесь он уединенно прожил 20 лет, занимаясь лишь наукой: все основные научные труды были им написаны в этот период. Но и в Голландии Декарта ожидало сопротивление его позиции, на этот раз со стороны протестантских богословов. Он вынужден был переехать в Швецию, куда его пригласила юная шведская королева Кристина — большая поклонница философии Декарта. К сожалению, северный климат оказался для него слишком тяжелым, он заболел воспалением легких и скончался, не дожив до 55 лет. На смерть Декарта молодой Гюйгенс написал сти¬ хотворение: В краях природою суровых и печальных, Где весны хладные сменяют стужи зим, Обрел ты вечный дом, из мест пришелец дальних, В ком разум гения и дух величья жил... Декарт... Природою он первый был оплакан, В своем отчаяньи склонившейся над ним. В последний час угас священный факел, Но ярче вспыхнул свет идей, рожденных им. 210
Во времена Декарта большинство научных произведений писалось на латыни. Его философский трактат был написан на французском языке, что позволило познакомиться с новым произ¬ ведением большому числу читателей. Трактат вызвал ожесточен¬ ные споры, сразу же нашлись противники и защитники учения Декарта. Его последователи создали целое направление в фило¬ софии, получившее название картезианства (от Cartesius — латинизированное имя Декарта). Они, как и сам Декарт, пыта¬ лись примирить ученых с церковью: Бог — творец Вселенной, он придал материи движение и покой, а дальше она развивается по физическим законам. Декарт считал, что любую задачу природы можно свести к математической и решить ее на языке алгебры. Частично это и было им продемонстрировано в «Геометрии». Справедливости ради, следует заметить, что ни у Ферма, ни у Декарта системы координат, как таковой, еще не было: рассматривалась только горизонтальная положительная полуось и из точек кривой на нее опускались перпендикуляры. В совре¬ менном виде система координат появилась в работе Исаака Ньютона (1643—1727) «Перечисление кривых третьего по¬ рядка» (1704). Позже французский математик Ал екс и с Клод Клеро (1713—1765) ввел пространственные координаты. Но вернемся к аналитической геометрии. Здесь каждой точке плоскости ставятся в соответствие две координаты — абсцисса и ордината. Когда точка перемещается по кривой, координаты х и у пробегают некоторое числовое множество. В результате они выступают уже не в виде застывших чисел, а как переменные, зависимость между которыми определяет исходную кривую. Вот что писал об этом событии Ф. Энгельс: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря это¬ му в математику вошли движение и диалектика...» 4. Золотое сечение С работ Декарта и Ферма алгебра стала широко использо¬ ваться в геометрических исследованиях. Вернемся к задачам на построение. Чтобы решить такую задачу алгебраическим методом, сначала составляют уравнение, связывающее искомую величину с данными. Затем решают это уравнение, т. е. находят формулу, выражающую искомую величину через его коэффициенты, и про¬ изводят построение в соответствии с этой формулой. В качестве примера решим задачу. Построить правильный десятиугольник, вписанный в окруж¬ ность радиуса г. (В «Началах» Евк'лида эта задача решается геометрически.) Начнем с анализа. Пусть АВ = х — сторона правильного 10-угольника (рис. 49). Центральный угол ВО А составляет 21Г
часть полного, т. е. /.ВОА = 36°, а АВАО= АОВА= 72°. Проведем биссектрису ВС угла ОВА. (Получаемые при этом равные углы на рисунке отмечены одинаковыми дугами.) Тогда ОС = СВ = ВА=х, СА = г — х. Треугольники ОВА и ВАС подобны, поэтому (3) откуда х2 + гх — г2 = 0. Уравнение имеет лишь одно положительное решение V5-1 -Г. Остается построить отрезок такой длины. Покажем, как это делается. Строится треугольник AODy у которого АО = гу У5 2 отрезок BD = ODy в результате получается искомый отрезок л/5 г л/5-1 OD = -~ (рис. 50). Тогда AD = — г. Из отрезка AD вычитается Ав=\г -г. 2 2 Заметим, что отношение ф: АО V5+1 1,6180339.. ЛЯ ! 2 давно интересовало математиков. В Древней Греции деление отрезка длиной г на части х и г — ху для которых выполняется пропорция (3), получило название деления в среднем и крайнем отношении. Гораздо позже Леонардо да Винчи назвал такое деление золотым сечением, а Лука Пачоли — божественной пропорцией. По-видимому, такие названия связаны со многими замечательными свойствами сечения. Не последнюю роль в этом играли эстетические соображения: например, прямоуголь¬ ник, отношение длин сторон которого равно ср, хорош для вос¬ приятия. Он называется прямоугольником золотого сечения. Близкими к прямоугольнику золотого сечения делают форматы книг. 212 Рис. 49 Рис. 50
Рис. 51 Рис. 52 Рис. 53 Интересно, что если от такого прямоугольника отрезать квадрат максимальной площади, то останется вновь прямоуголь¬ ник золотого сечения. Это легко видеть из пропорции (3): отношение длины отрезка г к его большей части х равно ср, и отношение длины большей части х к меньшей r — х также равно ср. Золотое сечение часто встречается в различных задачах. Рассмотрим одну из них. Задача. Вписать в полукруг квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на диаметре. Для 'решения задачи, очевидно, достаточно найти точ¬ ку С (рис. 51). Оказывается, она осуществляет золотое сече¬ ние диаметра АВ. Покажем это. Обозначим АС = х, CD = a. Тогда -~= а^_х , откуда х2-\-ах — а2 = 0, т. е. приходим к из¬ вестному нам уравнению, определяющему золотое сечение. Зная, как разделить окружность на 10 равных частей, мы сумеем ее разделить и на 5 равных частей. Более простой спо¬ соб построения правильного пятиугольника предложил древне¬ греческий ученый Клавдий Птолемей (ок. 100 — ок. 178). Он писал: «Имеем полукруг ABC (рис. 52), описанный около центра О на диаметре АОС. Проведем ОВЛЛС в точке О. Разделим отрезок ОС пополам в точке М, проведем прямую MB и отложим отрезок MN = MB. Соединим N с В прямой NB. Я утверждаю, что N0 есть сторона правильного десятиуголь¬ ника, a NB — сторона .правильного пятиугольника». (Конечно, Птолемей использовал для обозначения отрезков буквы греческо¬ го алфавита.) Чтобы доказать утверждение Птолемея, выразим сторону а пятиугольника через радиус г описанной окружности. Вписан¬ ный угол, опирающийся на сторону правильного пятиугольника, равен 36°. Поэтому a = 2rsin36° (покажите это). Остается выразить в радикалах величину sin 36°. Из равенства sin 36° = sin 144° = 2 sin 72° cos 72° = = 4 sin 36° cos 36° (2 cos2 36° - 1). обозначив cos 36° = /, получаем: 213
1 =At{2t2— 1) или (2/+1) (4/2 — 2/-l)=0. i i ±Vs Корнями этого уравнения являются t\ = —h.3=—^—• Из них только один положительный, следовательно, COS 36°= ~~—, откуда sin 36° = "д/l — ( 1 , /Г-уз поэтому a = r\j—^ Вернемся теперь к построению Птолемея. Так как NM = = MB = л/ г2 + (у)" = ул'б. то /У0 = ЛШ-0;И = у(^5-1). Как мы знаем, это сторона правильного десятиугольника, впи¬ санного в окружность радиуса г. Найдем теперь \'В = yofi'+.vo2 = Л а это как раз сторона правильного пятиугольника. Проведем в правильном пятиугольнике диагонали. Они обра¬ зуют пятиконечную звезду и обладают удивительным свойством: точки пересечения делят диагонали золотым сечением. Чтобы доказать это, обратимся к рисунку 53. Рассмотрим треугольник ABC. У него углы при вершинах А и В содержат по 36°, а третий угол при вершине С равен 108°. По теореме синусов имеем: АВ sin 108° AC sin 36° Преобразуем правую часть равенства. С одной стороны, sin 108° cos 18° 1 п sin 36° — 2 sin 18° cos 18° — 2 sin 18° ' ДРУГ0И стороны, sin 108° sin 72° 0 0~0 0 „ • 2 i оо ЖзГ = W = 2 с05 36° = 2 -4 sin- 18 . Сравнивая полученные выражения и обозначая 2sinl8° = z, приходим к уравнению 1 Л -Л 11 ТТII — -2 — Z2 или z3 — 22+1=0. Один его корень zi = l. Следовательно, уравнение можно пере¬ писать в виде (г-1) (г2+г-1)=0. ^ — 1 ±л/5 Отсюда находим два оставшихся корня: 2:2,3= ^—• Так как 0<sin 18°<у, то 2sinl8°=-^—. Таким образом, -^т = 214
свойству золотого сечения по¬ лучаем: Итак, среди отрезков AB, AL, АКУ KL каждый предыдущий в ф раз больше последующе¬ го. По-видимому, в связи с этим замечательным свойством пи¬ фагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве своего та¬ лисмана: она считалась символом здоровья и служила опозна¬ вательным знаком. Бытует легенда о том, что один из пифаго¬ рейцев больным попал в дом к незнакомым людям; они старались выходить его, но болезнь не отступала. Не имея средств за¬ платить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома, каким образом она появилась. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. В алгебраическом разделе мы упоминали, что еще пифагорей¬ цы умели делить окружность циркулем и линейкой на 2*+|, 2*-3, 2*-5, 2*-15 равных ^частей (fc = 0, 1, 2, ...). Вы теперь тоже легко решите эти задачи. Затруднение может вызвать только деление • >• и || 2л л 2л л 2л окружности на 15 равных частей. Но так как = 2-у — 3-у, то получаем правило: нужно из удвоенной третьей части окруж¬ ности вычесть утроенную пятую ее часть. Проникновение в геометрию алгебраических методов привет¬ ствовалось далеко на всеми учеными. По-видимому, играло роль естественное стремление решать геометрические задачи методами самой геометрии. Вот что писал Ньютон во «Всеобщей арифмети¬ ке» (1707): «...геометрия была изобретена для того, чтобы мы, проводя линии, могли с удобством избегать утомительных вычислений... Древние столь тщательно отличали их (геометрию и арифметику) друг от друга, что никогда не вводили в геомет¬ 5. Алгебра помогает геометрии 215
рию арифметические термины. Современные ученые, смешивая обе науки, утратили простоту, в которой состоит все изящество геометрии». Наверное, Ньютон не сказал бы этих слов после того, как аналитическая геометрия была основательно разработана. И если говорить о решении частных задач, то здесь он, возможно, был прав: трудно переоценить красоту чисто геометрических построе¬ ний. Но алгебра преподнесла геометрам неожиданный подарок, ответив на фундаментальный многовековой вопрос о разреши¬ мости любой данной задачи на построение циркулем и линейкой. Мы знаем, что если какой-либо отрезок выражается через данные в квадратных радикалах, то его можно построить цирку¬ лем и линейкой. Оказывается, верно и обратное утверждение. В самом деле, если отрезок построен, то построены две точки—его концы. Но при построении циркулем и линейкой каждая точка получается как результат пересечения либо двух прямых, либо прямой и окружности, либо двух окружностей. На алгебраическом языке это означает, что координаты точки удов¬ летворяют одной из трех систем: Г ах + Ьу + с = Оу f ax + by4-c=0y I ai* + 6ii/ + ci=0, I (х — ai) + {у — Ь\)2 = г2, { (х-а)2+(у-Ь)2=г2, 1 (х — ai)2+ (у — Ь\)2 = г2\. Легко проверить, что решения их выражаются через коэффи¬ циенты уравнений в квадратных радикалах. Итак, справедлив следующий критерий: построение отрезка циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда его длина выражается через длины данных отрезков в виде конечной комбинации четырех арифметических действий и извлечения квад¬ ратного корня. Очевидно, корни линейных и квадратных уравнений строятся циркулем и линейкой. Примерами уравнений степени выше второй, разрешимых в квадратных радикалах, являются биквадратные и уравнение деления окружности на 17 равных частей. А как об¬ стоят дела с кубическими уравнениями? Отдельные уравнения третьей степени имеют корни, выражающиеся в квадратных ра¬ дикалах. Например, уравнение (х — 2)3 = 0 имеет трехкрат¬ ный корень х = 2у а корнями уравнения 2x3 —5х2 —6х + 4 = 0 являются числа 0,5 и 1 =Ьл/5. Но в общем случае кубические уравнения в квадратных радикалах неразрешимы. Это видно из формулы Кардано — Тартальи, содержащей корни третьей сте¬ пени. Хотелось бы найти простой способ распознавания, разрешимо кубическое уравнение в квадратных радикалах или нет. Нас будет интересовать приведенное уравнение х3 + ах2 + Ьх-\-с — 0 (4) ‘216
с целыми коэффициентами. В предыдущем разделе (гл. I, п. 11) было показано, что к такому виду можно преобразовать любое уравнение третьей степени с рациональными коэффициентами. Далее, мы уже знаем, что уравнение (4) всегда имеет один действительный корень лго, а два других корня либо комплексно¬ сопряженные, либо действительные. Причем если хо — рациональ¬ ный корень, то он обязательно целый. Таким образом, построить корень хо можно лишь при условии, если хо — целое число или квадратичная иррациональность. Оказывается, во втором случае уравнение (4) всегда имеет еще два действительных корня, причем один из них целый. Впервые это обнаружил Декарт. В своей «Геометрии» он высказал утверждение, что приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах в том и только в том случае, если оно. имеет целый корень. Строгое доказательство этого критерия было дано ровно через два столетия французским математиком Пьером Ло¬ раном Ванцелем (1814—1848). Эта теорема позволила ему установить, что знаменитые задачи древности, о которых пойдет дальше речь, неразрешимы циркулем и линейкой. 6. Как избавиться от чумы? Когда Фалес начал заниматься геометрией две с половиной тысячи лет тому назад, были известны лишь две линии — прямая и окружность. Но с течением времени математики стали изучать и использовать в своих исследованиях более сложные кривые. Много кривых было открыто в поисках решений трех класси¬ ческих задач древности: удвоение куба, трисекция угла и квад¬ ратура круга. С первой из них связывают легенду, рассказанную Эратосфеном. Однажды на острове Делос вспыхнула эпидемия чумы. Жи¬ тели острова отправились за помощью к подножию горы Парнас в город Дельфы, где при храме бога Аполлона находил¬ ся оракул, известный во всей Греции своими прорицаниями. Несчастные островитяне хотели узнать, как им смягчить разгне¬ ванного бога солнца. Оракул ответил, что они должны уве¬ личить вдвое золотой жертвен¬ ник в храме Аполлона в Афи¬ нах, исполненный в виде куба. 217
Островитяне собрали золото и изготови¬ ли новый жертвенник, ребра которого бы¬ ли вдвое больше ребер прежнего (по другим источникам, они изготовили еще один такой же куб и поставили его на прежний). Однако чума не прекраща¬ лась, и отчаявшиеся делосцы потребо¬ вали объяснений у оракула. Но тот от¬ ветил, что они неправильно выполнили повеление бога: требовалось увеличить ровно вдвое не ребро куба, а его объем. Тогда делосцы обратились за по¬ мощью к философу Платону, так как считали его весьма сведущим в геометрии. Но и он не-мог решить эту задачу циркулем и линей¬ кой. Правда, привлекая, помимо циркуля и линейки, еще и плот¬ ницкие уголки, он нашел приближенное решение (как это сде¬ лать, мы расскажем ниже). Но такое решение не было в духе древнегреческих ученых; не удовлетворяло оно и самого фило¬ софа, а потому не могло быть рекомендовано островитянам. Платон ответил делосцам, что, видимо, боги рассержены на них за то, что они мало занимаются геометрией. На самом деле задача удвоения куба возникла значительно раньше того времени, о котором повествует легенда. Известно, что ее решением занимался, например, Гиппократ Хиосский, живший до Платона. Возникновение этой задачи было вполне закономерным. Легко удвоить квадрат (как это сделать, видно из рисунка 54). Естественно было перейти от плоского случая к пространственному: построить циркулем и линейкой ребро куба, объем которого вдвое больше объема куба с заданным ребром а. Другими словами, циркулем и линейкой нужно было построить корень уравнения х3 = 2 а3. Выясним, можно ли это сделать. Обратимся к критерию Де¬ карта. Не уменьшая общности, положим а= 1 {это может только изменить масштабы кубов). На основании критерия ответ на поставленный вопрос положителен только при условии, что уравнение х3 = 2 имеет целый корень. Если такой корень есть, то он содержится среди делителей свободного члена («Алгебра», гл. I, п. 11). Но числа ±1 и ±2 не удовлетворяют уравнению. Итак, уравнение х3 = 2у а потому и х3 = 2а3 неразрешимы в квад¬ ратных радикалах. Следовательно, задача дельфийского оракула об удвоении куба не может быть решена циркулем и линейкой. Древнегреческие математики, отчаявшись в своих попытках построить ребро искомого куба циркулем и линейкой, начали искать другие подходы к этой задаче. По-видимому, первым по другому пути пошел Архит Тарентский, который использовал пересечение поверхностей конуса, тора и цилиндра. Решение 218 Рис. 54
оказалось довольно громоздким, и мы, внимая предостережению Эратосфена: «Не прибегай для этого ты к тяжелым цилиндрам Архита», не будем его здесь приводить. Но еще задолго до Архита ученые рассматривали похожие задачи на плоскости. В частности, задача построения квадрата, равновеликого прямоугольнику, сводится к нахождению среднего геометрического сторон а и Ь: х=л[аЬ, или а:х = х:Ь. Действуя по аналогии, Гиппократ Хиосский (2-я пол. V в. до н. э.) свел задачу удвоения куба к следующей: по двум задан¬ ным отрезкам а и 2а построить два других отрезка х и */, таких что а:х = х:у = у:2а. В самом деле, из этих пропорций получаем две системы: г х2 = ау, ( х2 = ау, I у2 = 2ах и I ху = 2а2. Из обеих систем вытекает дг3 = 2а3. Рассуждения Гиппократа подсказали древнегреческим мате¬ матикам мысль об использовании при решении задачи удвоения куба, помимо привычных прямых и окружностей, еще и других линий. По виду возникших уравнений читатели, конечно, дога¬ дались, что речь идет о параболах и гиперболах. Параболы и гиперболы наряду с эллипсами получаются в сечении конуса плоскостью. По некоторым свидетельствам, эти кривые открыл в IV в. до н. э. ученик Евдокса М е н е х м (ок. 360 г. до н. э.). Есть мнение, что эти кривые были известны еще раньше. Во всяком случае Менехм изучал свойства эллипсов, гипер¬ бол и парабол и использовал их при решении задач. Это дало основание Эратосфену назвать эти кривые триадой Менехма. Сами названия «эллипс», «гипербола» и «парабола» появились позже в работах Аполлония (происхождение этих названий мы поясним в следующем разделе). Менехм дал два геометрических решения задачи удвоения куба, соответствующие решению двух указанных систем урав¬ нений. Мы поступим несколько иначе, обратившись к аналити¬ ческой геометрии. Пусть в прямоугольной системе координат даны две параболы х2 = ау и у2 = 2ах (рис. 55). Абсциссы их точек пересечения Xi=0 и *2=ад/2. Итак, ребро удвоенного куба равно отрезку О А при условии, что а — ребро исходного куба. Рассмотрим теперь параболу х2 = ау и гиперболу ху = 2а2 (рис. 56). Абсцисса точки пересечения этих кривых равна ау2. И снова отрезок ОА является ребром искомого куба. Менехм рассматривал сечения конуса плоскостью, перпен¬ дикулярной одной из образующих. При этом он получил три 219
различные кривые в зависимости от вида конуса, определяемого углом при вершине в осевом сечении. В сечении остроугольного конуса плоскостью Менехм получил эллипс (рис. 57, а), прямо¬ угольного— параболу (рис. 57, б), тупоугольного — гиперболу (рис. 57, в). После Менехма коническими сечениями занимались многие ученые, в частности Аристей, Евклид, Архимед и другие, но завершенную теорию этих кривых дал Аполлоний. Его трактат «Конические сечения» состоял из 8 книг. До нас дошли 4 книги на греческом языке, 3 книги в арабском переводе, последняя книга утеряна. В сочинении Аполлония говорится о том, как про¬ вести к таким кривым касательные, и о свойствах касательных, о свойствах диаметров и хорд этих кривых, об асимптотах ги¬ перболы и т. д. Всего доказано 387 теорем. Полагают, впрочем, что автор многое заимствовал из не дошедшего до нас сочинения Архимеда, носвященного тому же вопросу. 220 Рис. 55 Рис. 56 Рис. 57
Рис. 58 Аполлоний доказал, что все три кривые можно получить, пересекая один и тот же прямой круговой конус плоскостями, наклоненными под разными углами к его оси. При этом он уже рассматривал две полы конуса, продолжая его образующие за вершину. На рисунке 58 изображены три сечения одного и того же конуса, являющиеся соответственно эллипсом (рис. 58, а), пара¬ болой (рис. 58, б) и гиперболой (рис. 58, в). Видим, что эллипс является замкнутой кривой, парабола состоит из одной бесконеч¬ ной ветви, а гипербола — из двух ветвей, уходящих в бесконеч¬ ность. Если провести сечение прямого кругового конуса, перпен¬ дикулярное его оси, то получится окружность. Поворачивая се¬ кущую плоскость так, чтобы одна из точек окружности остава¬ лась неподвижной, а диаметрально противоположная ей точка скользила по образующей, уходя в бесконечность, проследим за превращениями сечений. Мы видим, как сечение начинает вы¬ тягиваться, превращаясь в эллипс, потом в параболу — в этот момент секущая плоскость становится параллельной образующей конуса. И наконец, плоскость пересекает обе полы конуса, а сечение превращается в гиперболу. Значит, парабола в неко¬ тором смысле является кривой, промежуточной между эллипсом и гиперболой. 7. Фокусы и директрисы Одной из важных задач, стоящих перед человечеством, явля¬ ется разработка экологически чистых технологий, т, е. техно¬ логий, в наименьшей степени загрязняющих окружающую среду. И тут в первую очередь возникает вопрос об экологически чистых способах производства энергии. Для строительства гидроэлектро- 221
станций надо выводить из сельскохозяй¬ ственного использования обширные поля и луга; теплоэлектростанции отравляют ок¬ ружающую среду дымом, содержащим окислы серы, и т. д. Опасности, возни¬ кающие при использовании атомных элек¬ тростанций, показала чернобыльская тра¬ гедия. При этом все перечисленные способы добывания энергии связаны с затратой трудновосполнимых ресурсов, а для вос- ставновления, например, пластов камен¬ ного угля необходимы миллионы лет. И лишь немногие источники энергии яв¬ ляются экологически чистыми. К ним относится в первую очередь солнечная энергия. Неудивительно поэтому, что сейчас ученые и инженеры многих стран думают о том, как с наибольшим коэффициентом полезного действия использовать лучи нашего дневного светила. Начать решение этой задачи следует, очевидно, с того, чтобы суметь собрать солнечные лучи в одну точку. Тогда в этой точке температура повысится настолько, что можно будет вскипятить воду и запустить хотя бы обычный паровой котел или паровую турбину. Для этого надо найти форму поверхности зеркала, отражаясь от которого солнечные лучи собрались бы в одну точку. Искомое зеркало имеет форму параболоида вращения — по¬ верхности, получаемой вращением параболы вокруг своей оси симметрии (рис. 59). Установил это, по-видимому, еще Архимед, который, по легенде, рассказанной Плутархом, с помощью системы вращающихся зеркал поджег корабли римских завоевателей. Независимо от того, верна или нет эта легенда, известно, что Архимед в сочинении «Катоптрика» исследовал оптические свойства конических сечений. К сожалению, эта работа до нас не дошла. Арабы называли параболу «зажигательным зеркалом», а точку, в которой собираются солнечные лучи,— «местом за¬ жигания». Кеплер в «Оптиче¬ ской астрономии» (1604) пере¬ вел этот термин словом «фо¬ кус» (от лат. focus — огонь, очаг). Чаще это слово употреб¬ ляется для обозначения трюка или хитроумного приема (кар¬ точный фокус, фокус с различ¬ ными предметами...), что, как мы увидим ниже, тоже связано с названием точки зажигания. Рис. 59
Но сначала познакомимся с некоторыми свойствами параболы. Проведем через некоторую точку А конуса плоскость а, параллельную образующей / (рис. 60). Эта плоскость рассекает конус на две части, причем линией сечения является парабола. Вложим в часть конуса, содержащую вершину, маленький мяч, касающийся поверхности конуса, и начнем его раздувать. В не¬ который момент этот мяч коснется секущей плоскости, и мы получим сферу 5, касающуюся не только конуса, но и этой плоскости. Обозначим через со окружность, вдоль которой сфера 5 касается конуса, а через F — точку, в которой она касается плоскости а. Наконец, через d обозначим прямую, по которой пересекаются секущая плоскость а и плоскость р, содержащая окружность со. Назовем точку F фокусом параболы, а прямую d — ее директрисой (от лат. directrix — направляющая). Имеет место следующее замечательное утверждение: расстоя¬ ние от любой тонки параболы до ее директрисы равно расстоянию от той же точки до фокуса. Чтобы доказать это утверждение, проведем через точку М параболы образующую конуса и обо¬ значим через К точку пересечения этой образующей с окруж¬ ностью со (рис. 60). Опустим из точки М перпендикуляр MD на прямую d. Ясно, что отрезки МК и MF касаются сферы, а потому равны: MK = MF. Итак, достаточно доказать равенство отрезков МК и MD. Эти отрезки составляют с осью конуса равные углы, поскольку отрезок MD параллелен образующей /, а МК лежит на другой образующей. Далее, их проекции на ось конуса совпадают, так как точка М — их общий конец, а концы К и D лежат в плоскости р, перпендикулярной оси конуса. Поэтому рав¬ 223 Рис. 61 Рис. 60
ны и сами отрезки MK = MD. Наше утверждение доказано. Аналогично определяются фокусы и директрисы для эллипса и гиперболы с той лишь разницей, что эти линии имеют по два фокуса и по две директрисы. Дело в том, что если плоскость проходит так, как показано на рисунке 61, то можно построить две сферы, касающиеся этой плоскости и конуса. Точки касания этих сфер с плоскостью а дают фокусы эллипса, а плоскости, проходящие через окружности касания сфер и конуса, дают в пере¬ сечении с плоскостью а две директрисы d\ и d2 эллипса. Спра¬ ведливо и свойство, похожее на доказанное выше утверждение о параболе: отношение расстояния от любой точки эллипса (гипер¬ болы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей дирек¬ трисы постоянно для всех точек кривой. Это отношение называют эксцентриситетом кривой. Так как для параболы указанные расстояния равны, то их отношение равно 1 и потому эксцентриситет параболы равен единице. Для эллипса он меньше, а для гиперболы больше единицы. Заметим, что окружность является частным случаем эллипса. Только у нее оба фокуса слились в одну точку — центр окружности, а директриса удалилась в бесконечность. Поэтому эксцентриситет окружности равен нулю. Вообще эксцентриситет связан с удале¬ нием фокусов от центра кривой (по-латыни «экс» означает «вне», т. е. эксцентриситет — степень внецентральности фокусов). Наряду с указанным выше свойством, именуемым иногда директориальным, у эллипса и гиперболы есть еще одно свойство, называемое фокальным. Оно формулируется следующим образом: сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов является величиной постоянной. Для гиперболы справедливо аналогичное свойство, только сумма заменяется разностью, и она постоянна для всех точек одной ветви гиперболы. Для точек другой ветви она имеет противоположный знак. Это свойство, например, для эллипса можно доказать геометрически столь же красиво, как выше было доказано директориальное свойство параболы. Именно: впишем в конус две сферы S\ и S2y касающиеся секущей плоскости а в точках F\ и F2 (рис. 61); g>i и сог — окружности, вдоль которых эти сферы касаются конуса. Через произвольную точку М эллипса проведем образующую конуса, пересекающую окружности Ш| и шг в точках К и L. Тогда MF\ = MK и MF2 = ML (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к сфере). Поэтому MF\ +MF2 = MK + ML = KLy а значение KL равно длине отрезка образующей, заключенного между двумя параллельными плоскостями (содержащими окруж¬ ности о)1 и со2), и потому не зависит от выбора точки М. Для гипер¬ болы доказательство аналогичное, но сферы лежат в разных полах конуса. Проведенные доказательства столь геометричны, что могли быть придуманы Аполлонием и даже еще раньше Архимедом. Однако до них додумался лишь в начале XIX в. бельгийский мате¬ 224
матик Жерминаль Пьер Данделен (1794—1847). Объяс¬ няется это тем, что греки предпочитали обходиться без исполь¬ зования пространственных фигур при доказательстве свойств плоских кривых. Вы обратили внимание на необычное имя бель¬ гийского математика? Жерминаль — название апреля по кален¬ дарю, введенному во время Великой французской революции. Данделен родился вблизи Парижа в самый разгар революционных событий в апреле 1794 г., и родители, давая сыну такое имя, наверное, хотели подчеркнуть свою преданность происходя¬ щим преобразованиям. 8. Гиперболоид инженера Гарина Теперь мы в состоянии найти форму «зажигательного зер¬ кала». Известно, что угол падения луча света на зеркальную поверхность равен углу отражения. Это свойство является след¬ ствием одного из законов геометрической оптики: луч света движется по пути, на который требуется наименьшее время. Отсюда следует, что в оптически однородной среде луч движется по кратчайшему пути. Представим себе зеркальную поверхность, образованную вращением эллипса с фокусами Fi и Р2 вокруг прямой F\F2 (такая поверхность называется эллипсоидом вращения). Вы¬ ясним, куда отразится луч света, выходящий из точки F\. Оче¬ видно, рассуждения достаточно провести для самого эллипса. Возьмем на нем точку М (рис. 62) и проведем в этой точке каса¬ тельную к эллипсу. Пусть N — любая другая точка касательной. Она лежит на эллипсе с теми же фокусами, но большего размера по сравнению с исходным. Поскольку по мере расширения эллипса сумма расстояний от точек эллипса до фокусов увеличивается, то MF\ -f- MF2< NF\ -f- NF2. Значит, M — такая точка касательной, для которой сумма MF\-\-MF2 имеет наименьшее значение. А это возможно лишь в том случае, когда углы падения и отражения равны. Из сказанного следует, что все лучи, вышедшие из точки F\ и отразившиеся от зеркала, имеющего форму эллипсоида вра¬ щения, соберутся после отражения в точке F2. Если в одном фокусе поместить источник света, а в другом — воспламеняющееся вещество, то оно загорится. Это свойство использовали балаганные артисты, чтобы удивить до¬ верчивых зрителей. Эксперимент настоль¬ ко всех поражал, что само зрелище тоже стали называть фокусом. И теперь нам более привычно это слово в смысле демонстрации какого-то трюка. 8. Зак. 4723 Н Я Виленкин 225 Рис. 62
Будем удалять фокус F\ эллипса в бесконечность, оставляя другой фокус F2 на месте, при этом эллипс перейдет в параболу. А что произойдет с лучами света? Лучи, выходившие из точки F\y перейдут в лучи, идущие параллельно*оси параболы; после отра¬ жения в параболическом зеркале они соберутся в фокусе F этой параболы. Интересно, что если в одном из фокусов гиберболы поместить источник света, то после отражения от гиперболы лучи будут расходиться, а их продолжения пересекутся в другом фо¬ кусе. На сказанном основываются многочисленные практические применения параболических зеркал. Их используют в солнечных батареях и солнечных электростанциях, в автомобильных фарах и прожекторах, радиолокаторах и вообще во всех случаях, когда надо собрать в одну точку все параллельные лучи либо, наобо¬ рот, направить параллельно лучи, выходящие из одной точки. Используются параболические зеркала и в лазерах. Герой романа А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Га¬ рина» создал аппарат, посылающий лучи от точечного источника вдоль прямой. Имевший высшее техническое образование Толстой, конечно, знал, что аппарат следует назвать параболоидом. По-ви¬ димому, из чисто психологических соображений он пошел на такой «обман». Ведь приставка «гипер» (что по-гречески означает «над» или «сверх») сообщает названию нечто сверхъестественное. Изготовление параболических зеркал — занятие весьма слож¬ ное. Американский физик Роберт Уильямс Вуд (1868—1955) придумал способ сделать такое зеркало из ртути. Для этого он установил на дне колодца сосуд с ртутью, а в крыше над колод¬ цем пробил отверстие. Электромотор медленно вращал сосуд, а наблюдатель над колодцем наблюдал в окуляр изображения звезд и планет, проходивших через зенит. Идея Вуда основана на том, что поверхность равномерно вращающейся жидкости в поле тяготения приобретает форму параболоида вращения, а именно такая форма является наилучшей для зеркала телескопа. Многие поверхности, встречающиеся на практике и находящие приложения в технике, получаются при вращении того или иного конического сечения вокруг оси. Например, при вращении эллипса вокруг меньшей оси симметрии получается поверх¬ ность, напоминающая по форме мандарин, а при вращении того же эллипса вокруг большей оси симметрии — напоминающая ды¬ ню. Эти поверхности называют соответственно сплюснутым и вытянутым эллипсоидами вращения. Поверхности Солнца, Земли и других звезд и планет под действием центробежной силы принимают форму сплюснутого эллипсоида*вращения. В начале XVI11 в. долгое время шли споры о том, какова на самом деле форма поверхности Земли — явля¬ ется она вытянутым или сплюснутым эллипсоидом. Сторонника¬ ми первой гипотезы были французские астрономы огец и сын Кассини, которые пользовались неточными измерениями, сторон- 226
Рис. 63 Рис. 64 ником второй — И. Ньютон, опиравшийся на физические законы. Ответ должен был дать эксперимент. Для измерения длины дуги меридиана вблизи экватора и полюса были направлены две экспедиции: одна — в Америку на место нынешнего Эквадора, другая — в Лапландию. Результаты, полученные экспедициями, подтвердили правоту Ньютона, хотя более точные измерения по¬ казывают, что земля имеет более сложную форму, названную Листингом геоидом. Сплюснутый эллипсоид вращения лишь его приближение. У гиперболы тоже есть две оси симметрии. Одна из них пересевает гиперболу, а другая нет. Вращая гиперболу вокруг каждой из этих осей, получают два различных гиперболоида вращения. Один из них состоит из двух полостей, и его на¬ зывают двуполостным (рис. 63). Другой же состоит из одного куска и называется однополостным гипер¬ болоидом (рис. 64). Однополостный ги¬ перболоид вращения обладает замеча¬ тельным свойством — через каждую его точку проходят две прямые, целиком ле¬ жащие на этом гиперболоиде. Поэтому он как бы соткан из прямых линий. Его можно получить не только вращая гипер¬ болу вокруг ее оси, но и вращая прямую линию вокруг скрещивающейся с ней прямой. Это свойство однополостного гипербо¬ лоида использовал выдающийся русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853—1939) при строительстве радиостанции в Москве. Он построил башню, состоящую из нескольких постав¬ ленных друг на друга однополостных гиперболоидов, причем каждая часть 8* Рис. 65 227
была сделана из двух семейств прямо¬ линейных балок, соединенных в точках пересечения (рис. 65). Эта башня потом использовалась для передачи телепро¬ грамм. Она находится в Москве на улице Шаболовка. В заключение этого пункта найдем уравнения конических сечений. При этом, разумеется, надо удачно расположить систему координат. Для параболы, на¬ пример, за ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокус перпендикуляр¬ но директрисе, а за ось ординат — прямую, параллельную директрисе и равноуда¬ ленную от директрисы и фокуса (рис. 66). Для точки М(ху у) параболы имеем MF = MD. Обозначим через р расстояние от фокуса до директри¬ сы. Так как FB2-\-BM2 = BC2, то в силу равенства CO = OF = = ~Y, получаем Рис. 66 После несложных преобразований выводим отсюда, что У2 = 2рх. Аналогично, пользуясь директориальным свойством эллипса и гиперболы, можно вывести их уравнения в соответственно рас¬ положенных системах координат. Но лучше воспользоваться фо¬ кальным свойством этих кривых и провести ось абсцисс через фокусы, а за ось ординат принять прямую, равноудаленную от фокусов. В такой системе координат уравнение эллипса имеет вид (рис. 67, а): Рис. 67 228
а уравнение гиперболы (рис. 67, б) : Эти уравнения параболы, эллипса и гиперболы называют канони¬ ческими. 9. Траектории ракет Конические сечения применяются не только в математике для решения различных задач и в технике для создания различ¬ ных конструкций, встречаются они и в природе. С глубокой древности считалось, что планеты движутся по круговым орбитам, в центре которых находится Земля. Польский ученый Николай Коперник заменил геоцентрическую (от греч. «гео» — Земля) систему мира на гелиоцентрическую (от греч. «гелиос» — Солнце). Но и он считал планеты равномерно дви¬ жущимися по круговым орбитам, правда, уже вокруг Солнца. Возникающие несоответствия между теорией и астрономическими наблюдениями ученые объясняли наложением нескольких круго¬ вых вращений. Более точные измерения датского астронома Тихо Браге (1546—1601) заставили немецкого математика и астронома И о г а н н а Кеплера (1571 —1630) модернизировать эту модель. Он пришел к следующему фундаментальному закону: планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Позже было установлено, что траек¬ тории всех космических тел, как правило, являются коническими сечениями. Их вид зависит от скорости, массы и расположения окружающих светил. Известно, что космический корабль, преодолевший сопротив¬ ление воздуха и сил тяготения у поверхности Земли, выходит на одну из трех орбит: эллипти¬ ческую, параболическую или гиперболическую. Все зависит от скорости корабля в момент выхода на орбиту (когда пре¬ кращена работа двигателя). Если в это время высота подъе¬ ма не слишком велика (в пре¬ делах первых сотен километ¬ ров), а направление движения перпендикулярно радиальному (направленному к центру Зем¬ ли), то аппарату достаточно 229
иметь скорость 7,9—11,1 км/с, чтобы двигаться по эллип¬ тической орбите. Такая скорость называется первой космической. Естественно, при значительном удалении от Земли эта скорость может быть намного уменьшена. Если же корабль достигает в момент выхода на орбиту второй космической скорости, т. е. 11,2 км/с и больше (до 16,7 км/с), он движется по параболической орбите. При этом аппарат покидает зону действия земного при¬ тяжения, но не может выйти за пределы Солнечной системы. При третьей космической скорости (больше 16,7 км/с) корабль уже преодолеет притяжение нашего основного светила и уйдет за пределы Солнечной системы. Если горизонтальная составляющая скорости тела меньше первой космической, то оно упадет на Землю по параболической траектории. (Здесь не учитывается сопротивление воздуха, а ускорение свободного падения считается постоянным вне зави¬ симости от высоты.) Этот факт впервые установил Г. Галилей в «Математических доказательствах» (1638). Движения тел с космическими скоростями он не рассматривал, поскольку не мог их себе даже вообразить. В этой же работе Галилей нашел траекторию движения тела, выпущенного под углом к горизонту. Она тоже оказалась параболической, конечно, при тех же лред- положениях. Истинная траектория, естественно, отличается от той, которую рассчитал Галилей. Повторим его рассуждения. Пусть тело с некоторой скоростью выпущено под углом а к горизонту (рис. 68). Скорость ио раскладывается на две состав¬ ляющие: горизонтальную ио cos а и вертикальную и0 sin а. Гори¬ зонтальная составляющая скорости постоянна ввиду отсутствия сопротивления, а вертикальная изменяется за счет ускорения сво¬ бодного падения. Поэтому координаты тела в момент времени t запишутся так: т. е. искомои кривои является парабола, ветви которой обращены вниз. Найденное уравнение позволя¬ ет вычислить дальность полета хо = = sm 2- . Наибольшее значение g эта величина принимает при а = 45°. За век до Галилея к этому результату пришел на основании многочислен¬ ных наблюдений Н. Тарталья. 230 Рис. 68
10. Нитки, гвозди, карандаши На основании свойств ко¬ нических сечений были приду¬ маны способы построения этих кривых с использованием прос¬ тейших инструментов и подруч¬ ных средств. Опишем некоторые из них. Для построения эллипса берут лист бумаги, кладут его на картон или фанеру и вби¬ вают два гвоздика в точки F\ и f2, потом привязывают к обоим гвоздикам нить, длина которой больше расстояния между ними, и натягивают ее карандашом. В результате при движении карандаша по бумаге сумма расстояний от острия карандаша до гвоздиков оста¬ ется постоянной, и он опи¬ сывает эллипс (рис. 69). Такой способ построения эллипса вперрые предложил в 1686 г. Чирнгауз. . Похожим способом строится парабола. К линейке приклады¬ вают катет ВС чертежного тре¬ угольника (рис. 70); к вершине острого угла А прикрепляют нить, длина которой равна другому катету Л С, второй ее конец привязывают к гвоздику, вбитому в точке F. Каранда¬ шом прижимают нить к катету СА так, чтобы она была натя¬ нута. Когда катет ВС скользит по линейке, карандаш пере¬ мещается вдоль катета С А, все время оставляя нить натянутой. Покажем, что при этом он опи¬ сывает параболу. Пусть каран¬ даш находится в точке М, ле¬ жащей на построенной кривой. Так как FM + МА = СА = = СМ -\- МА, то расстояние от любой точки кривой до прямой Рис. 69 Рис. 70 Рис. 71 231
Рис. 72 Рис. 73 ВС и до точки F одинаковы. Таким образом, построена парабола с фокусом F и директрисой ВС. Для механического построения гиперболы закрепляют линейку в точке F2 так, чтобы линейка могла вращаться вокруг этой точки. К другому концу А линейки прикрепляют нить (ее длина меньше длины линейки), второй конец нити привязывают к гвоздику, вбитому в точке F\ (рис. 71). Карандашом при¬ жимают нить к линейке в точке М так, чтобы нить была натя¬ нута. При вращении линейки вокруг F2 карандаш описывает гиперболу. Предлагаем читателям убедиться в этом самостоя¬ тельно. Для построения эллипса был изобретен так называемый эллиптический циркуль, изображенный на рисунке 72. Он состоит из крестовины, в которой под прямым углом сделаны две цент¬ рально-симметричные прорези одинаковой длины. В эти прорези вложены ползуны А и В (первый передвигается по верти¬ кали, второй — по горизонтали), к которым шарнирами прикреп¬ лена линейка АВ, причем длина отрезка АВ равна длине поло¬ вины прорези. На линейке в точке М закреплен карандаш. Докажем, что при движении линейки карандаш описывает эллипс. В самом деле, пусть AM = а, ВМ = b и точка М имеет координа¬ ты (х, у) (рис. 73). Тогда из подобия треугольников ADM и АОВ находим 4й-=4тг. откУДа ОВ = х. Так как треугольники U о r\D CL АОВ и МСВ подобны, то ^ ^ . Поскольку АО = = уЛВ2 —ОВ2 = а~ь -\[а*—х2 , получаем: Преобразуя это равенство, приходим к уравнению эллипса .'32
11. Лист плюща Древнегреческие математики не были удовлетворены тем, что научились решать задачу удвоения куба с помощью кони¬ ческих сечений. Они стали придумывать для этой цели другие кривые. А поскольку кривых в те далекие времена было известно немного, каждая новая линия получала имя своего изобретателя. Во II—III вв. до н. э. геометр Диокл (иначе — Диоклес) при¬ думал для решения задачи удвоения куба кривую, похожую на листок плюща. Так как плющ по-гречески «циссос», то эта кривая получила название циссоиды Диокла. Опишем ее построение. Пусть О А — горизонтальный диаметр окружности. Возьмем на нем две точки В и С, одинаково отстоящие от концов: ОВ = СА. Через них проведем две вертикальные хорды Е\Е и D\D (рис. 74). Отрезки OD\ и OD пересекают хорду Е\Е в точках Mi и М. Будем теперь перемещать точки В и С вдоль диаметра (так, чтобы все время соблюдалось равенство. ОВ = СА). Кривая, которую опишут при этом точки Mi и М, называется циссоидой Диокла. Собственно, на лист плюща похожа не сама кривая, а фигура, ограниченная этой кривой и дугой L\AL окружности. Найдем уравнение этой кривой. Выберем систему координат так, чтобы точка О была ее началом, а диаметр ОА лежал на оси абсцисс. Положим ОА=2гу точка М имеет координаты (ху у). Из подобия треугольников ОВМ и OCD находим: Так как CD г2 — (г — х)'2 ч=-^2гх—х2 , то пропорция прини- * _ /27- у V > мает вид откуда Рис. 74 Рис. 75 233
(5) Заметим, что график этого соотношения имеет две беско¬ нечные ветви (рис. 75), а построенная Диоклом кривая яв¬ ляется только той частью графика, которая лежит внутри круга. Интересно, что существует другой метод построения циссоиды, приводящий к кривой, полностью совпадающей с гра¬ фиком функции, задаваемой уравнением (5). Для этого продол¬ жим OD до пересечения с касательной к окружности, прове¬ денной в точке А. Если точка М лежит на циссоиде в ее первоначальном опре¬ делении, то OM = DF (проверьте это утверждение самостоя¬ тельно) . Приняв это равенство за определение кривой, построим ее. Очевидно, вновь полученная кривая имеет две бесконечные ветви и в пределах круга совпадает с первоначальной. Сейчас, естественно, рассматривают циссоиду с бесконечными ветвями, а построили ее впервые бельгийский любитель математики Рене Франсуа Слюз (1622—1685), служивший каноником в Льеже, и французский математик Жюль Роберваль (1604—1675). Настоящая фамилия этого ученого Персонье. Будучи сыном крестьянина, он, приехав в Париж, взял себе псевдоним de Roberval (из Роберваля), указывающий на якобы знатное происхождение. При этом он не слишком погрешил против истины, так как на самом деле был родом из деревни Роберваль. Под таким именем он и вошел в историю математики. Посмотрим теперь, как с помощью циссоиды решается задача удвоения куба. Для этого найдем на циссоиде точку М(х, у), такую, что ВА=2ВМ. С этой целью достаточно построить угол О AM, равный а, котангенс которого равен 2. (Как это сделать, вы, конечно, уже догадались.) Поскольку ВА=2г — ху ВМ = уу то 2г~* =2. Из уравнения (5) находим: откуда х3 = 2у3. Задача фактически решена; остается лишь изменить масштаб полученных отрезков, заменив у на а (рис. 76). Тогда ОС3 = 2а3. Для построения циссоиды нужно иметь либо шаблон, либо какое-то механическое устройство, поэтому многие античные ученые скептически относились к решению Диокла. По словам Плутарха, Платон осуждал тех, кто использует в математике «механические вещи, которые требуют длительной обработки не¬ достойным ремеслом». Он считал, что «гибнет благо геометрии и этим путем геометрия возвращается обратно к чувственному, вместо того чтобы подыматься выше этого и твердо держаться вечных, нематериальных образов». 234
о Рис. 76 Рис. 77 Рис. 78 В механическом решении, по мысли Платона, нет никакого искусства, его может дать и не геометр. А чтобы показать, до каких недостойных истинного ученого инструментов можно при этом дойти, он произвел удвоение куба с помощью плотницких уголков. Рассмотрим его решение. Построим две взаимно перпендикулярные прямые, пересе¬ кающиеся в точке О. Отметим на одной из них точку Л, а на другой точку В так, чтобы ОЛ = а, ОВ = 2а. Расположим два прямых угла (мы не изображаем плотницкий уголок полностью), как показано на рисунке 77. Этого нетрудно добиться опытным путем. Покажем, что если ОА — ребро данного куба, то ОС — ребро искомого куба. Из подобия треугольников Л ОС, COD и DOB получаем равенство следующих отношений: откуда OC2 = a-OD, OD2 = 2a-OC, т. е. ОС3 = 2а3. Соотношения (6) использовал и 20-летний Декарт, когда предложил механизм, производящий удвоение куба. Его инстру¬ мент состоял из дух шарнирно соединенных стержней OL и ОМ, к которым перпендикулярно прикреплены три рейки (рис. 78): АС прикреплена неподвижно к стержню OL, а рейки CD и DB могут свободно перемещаться, первая вдоль стержня ОМ, а вто¬ рая вдоль OL (рис. 78). В сложенном состоянии все три стержня сдвинуты в точку Л. Когда угол LOM увеличивается, то стер¬ жень АС сдвигает стержень CD, а тот в свою очередь сдвигает стержень DB. При этом всегда выполняются равенства (6). Увеличение угла LOM продолжается до тех пор, пока отрезок ОВ не станет в два раза длиннее отрезка ОА. Если ОА — ребро исходного куба, то ОС является ребром удвоенного куба. О А ОС OD ОС ~ OD ОВ ’ (6) 235
12. Трисекция угла Вторая знаменитая задача древности формулируется так: разделить произвольный угол с помощью циркуля и линейки на три равные части. Интерес к этой задаче легко объясним. Зная, как разделить отрезок на любое число равных частей, естественно попытаться проделать fo же самое с дугой окруж¬ ности или с соответствующим центральным углом. Пополам разделить любой угол легко, дальше встала задача о делении угла на три части, т. е. задача трисекции угла. Еще вавилоняне умели делить прямой угол на три равные части: они проделывали это при помощи равностороннего треугольника (рис. 79). Покажем, что задача трисекции угла в общем случае нераз¬ решима циркулем и линейкой. Для этого вновь обратимся к алгебре. Но предварительно заметим, что достаточно рассмот¬ реть случай произвольного острого угла. Составим уравнение, отвечающее поставленной задаче. Пусть исходный угол равен а, а искомый р, тогда а = 3р. Для построения угла р можно, например, найти величину cos р по известному значению cos а. Обозначим cosp = y, cosa = y. Так как cosa = cos3p = 4cos3p —3cos р, то получаем уравнение Конечно, при некоторых значениях а оно разрешимо в квадрат¬ ных радикалах. Но возьмем, например, a= 1. Уравнение х3 — — Зл: — 1 = 0 не имеет целых корней и поэтому в силу критерия Декарта неразрешимо в квадратных радикалах. Итак, произ¬ вольный угол разделить на три равные части циркулем и ли¬ нейкой не всегда возможно. Интересно, что впервые задачу трисекции угла еще в сред¬ ние века свели к решению алгебраического уравнения (в сло¬ весной форме) арабы. Решали они это уравнение с помощью конических сечений. х3 — Зх — а = 0. (7) (,-2а)Ч(|-^)2=(2а)Ч(Н)2 удовлетворяет уравнению (7). Проверьте это сами. Рис. 79 Познакомимся с новыми интересными кривыми, которые придумали древние гре¬ ки для деления угла на равные части. Одну из них ввел софист Гиппий Элидский (V в. до н.э.). Он определял ее механи- 236
Рис. 80 Рис. 81 ческим способом. Дан круг с центром в точке О и диаметром АВ (рис. 80). Радиус ОА начинает вращаться с постоянной угловой скоростью о) вокруг точки О. В то же время перпен¬ дикуляр к АВ, проходящий через точку А, начинает пере¬ мещаться параллельно себе с постояной скоростью vy такой, что этот перпендикуляр попадает в точку В одновременно с концом вращающегося радиуса. Геометрическое место точек пересечения радиуса и перпендикуляра при их перемещении и есть искомая кривая. Из определения видно, как полученную кривую использовать для деления дуги окружности и, следовательно, соответствую¬ щего центрального угла на любое число равных частей, в том числе и на три. Проделайте это самостоятельно. В следующем веке греческий математик Динострат применил эту кривую для решения задачи квадратуры круга, в связи с чем кривая была названа Лейбницем квадратрисой Динострата. В дальнейшем нам понадобится ее уравнение. Выведем его. Будем считать точку О началом прямоугольной системы координат. Сначала найдем соотношение между скоростями о> и v. Пусть началу движения соответствует момент времени / = 0 и концу движения t = T. * За это время перпендикуляр перемещается из точки А(— а, 0) в точку В (а, 0), а радиус по¬ ворачивается на угол я, т. е. 2 a = vT и л = о>7\ откуда (о=|^. Для произвольного момента времени /, 0^/^Г, и соот¬ ветствующей точки М(ху у) имеем ф = о>/ = ^-, a-{-x = vt. Так как -j=tg (л-<р) = —tg<p=—tg^ = —tg^ (а + х) =ctg^-, ТО (8) 237
Это была первая неалгебраическая (которую нельзя за¬ дать многочленом) кривая, рассмотренная греками, и первая линия, введенная ими для решения одной из трех знаменитых задач древности. Делили угол на равные части и с помощью спирали Архимеда, которая определяется как траектория точки, равномерно дви¬ жущейся по лучу ОМ, в то время как сам луч равномерно вра¬ щается вокруг точки О (рис. 81). Из определения следует, что разность двух радиусов спи¬ рали пропорциональна углу между ними. Это свойство позволяет разделить произвольный угол на любое число равных частей. Например, найдем треть угла АОМ (рис. 81). Для этого разделим отрезок ОМ на три равные части: ОВ = ВС = СМ — и проведем радиусом ОВ окружность с центром в точке О. Пусть D — точка пересечения окружности со спиралью, тогда угол AOD искомый. Возможно, это замечательное свойство спирали послужило при¬ чиной ее изобретения. Еще одну любопытную кривую придумал в III в. до н. э. древ¬ негреческий математик Ни ко мед. Рассказавший об этой кри¬ вой Прокл Диадох назвал ее конхоидой (от греч. «конхе» — раковина), поскольку ее форма напоминает раковину. Кривая определяется следующим образом. Проведем прямую LL\ и выберем на плоскости произволь¬ ную точку О на расстоянии а от LL\ (рис. 82). Луч с началом в точке О пересекает прямую LL\ в точке С. На этом луче по обе стороны от точки С отложим отрезки фиксированной длины г: Геометрическое место точек Afi, отвечающих разным лучам ОС, образует внешнюю ветвь конхоиды, а точек М — внутреннюю ветвь. Точка О называется полюсом конхоиды, прямая LL\ — основанием. В зависимости от соотношения между г к а получа¬ ются разные кривые. На рисунке 82 изображена конхоида для случая г = а\ при г<а ее вид показан на рисунке 83; при г>а (рис. 84) она имеет петлю. Для построения конхоиды Никомед сконструировал прибор — конхоидограф. Он состоит из прямоугольной рамы, на которую натянута проволока LL\ (рис. 85). К раме прикреплена рейка ОВ, MC=CMi = г. Рис. 82 Рис. 83 238
свободно вращающаяся вокруг О. На рейку насажена легко скользящая по ней муфта дли¬ ной 2г. Проволока LL\ продета через отверстие в середине муф¬ ты. На концах муфты находят¬ ся два карандаша, которые при вращении рейки ОВ описывают две ветви конхоиды. Никомед с помощью конхои¬ ды произвел трисекцию угла. Посмотрим, как это можно сделать. Возьмем произвольный острый угол ВОС (рис. 86). Проведем через точку С, лежащую на стороне угла, прямую, параллельную другой его стороне ОВ. Построим конхоиду с полюсом О, основанием CL и г = ОС (очевидно, a = r sin а<г, где АВОС=а). Найдем точку М пересечения окружности с центром в точке С и радиусом г с конхоидой. Покажем, что угол ВОМ искомый. Для этого про¬ должим ОМ до пересечения с прямой CL в точке А. По свойству конхоиды АМ = г, поэтому треугольник СМ А равнобедренный. Обозначим Z. ACM = Z. САМ через р. Тогда zl СМО = 2р, /1 ВОЛ=р. Но треугольник ОСМ равнобедренный, следователь¬ но, Z. СОМ = Z. СМО = 2р. Итак, а = 3р. В только что проведенном нами рассуждении конхоида была нужна лишь для того, чтобы иметь возможность построить отрезок МА, равный радиусу окружности. Именно эту идею ис¬ пользовал Архимед для решения задачи трисекции угла при помощи линейки с отмеченным на ней отрезком фиксирован¬ ной длины г. Воспроизведем решение Архимеда. Разделим острый угол СОВ на три равные части (рис. 87). Проведем окружность радиуса г с центром в точке О, и пусть точки В и С лежат на этой окружности. Подберем на прямой, содержащей сторону ОВ, такую точку Л, чтобы отрезок AM имел длину г, где М — точка пересечения прямой АС с окружностью. Для этого используется линейка с отмеченным на ней отрез¬ ком AM. Очевидно, угол САВ в три раза меньше угла СОВ. Оста- 239 Рис. 84 Рис. 85 Рис. 86
лось провести прямую OD параллельно АС\ угол BOD искомый. В свое время Декарт придумал механизм, позволяющий производить трисекцию угла. В этом механизме (рис. 88) шар¬ ниры О, Л, В, С и D закреплены и не могут передвигаться по рейкам, а шарниры Е и F свободно передвигаются вдоль реек ОЕ и OF. Читателям предлагается доказать, что при условии AO = OB = OC = OD и AE = CE = BF = DF лучи ОЕ и OF делят угол AOD на три равные части. Величину угла AOD устанав¬ ливают в зависимости от решаемой задачи. 13. Квадратура круга Квадратура круга — самая популярная из древних задач — связана с вычислением площадей. Древнегреческие математики для определения площади фигуры сравнивали ее с площадью более простой фигуры и ответ выражали не числом, а в виде отношения площадей. Такой подход к задаче нахождения пло¬ щади — одно из ярких проявлений геометризации греческой ма¬ тематики. Чаще всего для сравнения брался квадрат. Задача построения квадрата, равновеликого данной фигуре, получила название квадратуры этой фигуры. Греки умели строить циркулем и линейкой квадрат, равно¬ великий любому многоугольнику (в следующем разделе мы расскажем, как это можно сделать). Но квадратуру круга (т. е. построение квадрата, равновеликого кругу), как они ни пытались, осуществить не могли. Однако, как это часто бывает в математике, на пути поиска решения было обнаружено немало интересных находок. Например, философ Антифон (V в. до н. э.) поступал следующим образом. Он вписывал в круг квадрат; затем, удваивая число его сторон, получал восьмиугольник; далее снова удваивал число сторон и т. д. В силу своих атомисти¬ ческих взглядов Антифон считал, что на некотором шаге полу¬ чится многоугольник, сторона которого состоит из одного атома. Но и окружность состоит из атомов. Таким образом, построен¬ ный многоугольник совпадает с кругом. Следовательно, по мне¬ нию Антифона, квадратура круга осуществлена. 240 .Рис. 87 Рис. 88
Решение Антифона не могло удовлетворить древнегре¬ ческих математиков. Недаром Аристофан в комедии «Птицы» иро¬ низирует по поводу такого упрощенного решения: Возьму линейку, проведу прямую, И мигом круг квадратом обернется, Посередине рынок мы устроим, А от него уж улицы пойдут — Ну, как на Солнце! Хоть оно само И круглое, а ведь лучи прямые! Ирония, конечно, была уместной — решения-то получено не было. И древние ученые понимали: как ни измельчай сторону многоугольника, окружность все равно не получишь. Но в са¬ мом методе содержалась в ее начальной форме идея предель¬ ного перехода, получившая затем развитие в работах Евдокса и Архимеда. По-видимому, уже древние греки пришли к выводу о нераз¬ решимости задачи квадратуры круга циркулем и линейкой, тем не менее интерес к ней не угас и в последующие века. Доста¬ точно сказать, что уже в XVIII в. Парижская академия наук приняла специальное постановление: не рассматривать больше ни одного из присылаемых решений задачи квадратуры круга (столь значителен был поток таких «решений»). На чем же строилась уверенность энтузиастов в разрешимости этой задачи? Она подкреплялась результатами Гиппократа, квадрировавшего три типа луночек — фигур, ограниченных дугами окружностей. Его результаты нам известны по отдельным комментариям Симп- ликия, жившего через тысячу лет после Гиппократа. И хотя о луночках уже упоминалось в книгах [1] и [2], мы остановимся на них подробнее. Построим на катетах и на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника (как на диаметрах) три полукруга (рис. 89). Получим две луночки, на рисунке они заштрихо¬ ваны. Нетрудно показать равновеликость объединения этих лу¬ ночек треугольнику ABC. Далее Гиппократ рассмотрел трапе¬ цию, три стороны которой равны, а квадрат большего осно¬ вания в три раза превышает квадрат любой другой стороны. Если а — длина каждой из трех равных сторон, b—длина Рис. 89 Рис. 90
большего основания, то Ь = а-^3. Около трапеции Гиппократ опи¬ сал окружность, а на большем основании построил круговой сегмент, подобный сегментам, отсеченным другими сторонами (рис. 90). Очевидно, радиус окружности нижней дуги в -д/3 раз больше радиуса окружности верхней дуги. Для доказательства равновеликости полученной луночки и трапеции Гиппократ ис¬ пользовал следующее свойство: площади подобных сегментов относятся как квадраты хорд, служащих им основаниями. По¬ скольку отношение суммарной площади трех малых сегментов к площади большого сегмента равно За2: 6 =1, то эти площади равны. Следовательно, луночка и трапеция равновелики. Послед¬ нюю же квадрировать несложно. Полученный результат обнадежил Гиппократа. Он решил рассмотреть «равнобокую трапецию, образованную диаметром круга и тремя соседними сторонами вписанного шестиуголь¬ ника». Построив полукруги на каждой из сторон шестиуголь¬ ника, Гиппократ получил три луночки (на рисунке 91 они заштрихованы). Обозначив длины сторон шестиугольника через г, покажите, что суммарная площадь трех луночек и полукруга диаметра г (на рисунке он расположен слева) равна площади трапеции. Если бы можно было квадрировать только луночки, изобра¬ женные на рисунке 91, без полукруга, то удалось бы квадри¬ ровать и полукруг. Но это сделать невозможно. Чтобы убедиться в этом, найдем уравнение, описывающее поставленную задачу. Пусть г — радиус круга, х — сторона искомого квадрата. Решение задачи квадратуры круга сводится к построению корня уравнения которое существенно отличается от уравнений удвоения куба и трисекции угла. Коэффициенты прежних были целыми числами, здесь же я — трансцендентное число, о чем стало известно лишь в прошлом веке (гл. II, п. 6 алгебраического раздела). Поэтому число также является трансцендентным и, конечно, не выражается в квадратных радикалах. Таким образом, квадратуру круга нельзя осуществить не Рис. 91
только с домощью циркуля и линейки, но и с помощью произ¬ вольной алгебраической кривой. Значение числа л — отношения длины окружности к ее диаметру — пытались найти, наверное, с тех пор, как впервые построили окружность. В Древнем Вавилоне считали это отно¬ шение равным 3. Египтяне в период Среднего царства (XX— XVII вв. до н. э.) на основании измерений пришли к выводу, что о круг равновелик квадрату со стороной, равной — диаметра. Результат египтян можно записать так: если d — длина диаметра, то я(у) 0ТКУДа л = ^ = 3,16049... . Отличный ре¬ зультат, если учесть, что это было одно из первых приближений числа л. Наилучшие границы для л в древнем мире дал Архимед. В работе «Исчисление круга» он, вписывая в окружность и описывая около нее правильные 96-угольники, пришел к следую¬ щему результату: 3,140845... = 3^<л<3у = 3,142857... . В дальнейшем границы этого числа постоянно уточнялись. В V в. н. э. китайский математик Цзу Чун-чжи нашел 3,1415926<л<3,1415927. А в XV в. ал-Каши привел значение л с 16 верными знаками после запятой. В настоящее время применение ЭВМ позволяет найти приближение числа л практически с любой степенью точности. Для этой цели используют уже не многоугольники, вписанные в окружность, а быстро сходящиеся ряды. Откуда возникло само обозначение «л»? Это первая буква греческого слова «периферия» — окружность. Впервые его употребил (1706) английский математик У. Джонс. Общепри¬ нятым оно стало после одной из работ Л. Эйлера (1736). Поскольку циркулем и линейкой квадрировать круг не уда¬ валось, древнегреческие ученые привлекали для этой цели другие кривые. В IV в. до н. э. Динострат использовал для реше¬ ния этой задачи квадратрису (см. п. 12). Напомним, что квадрат- риса Динострата задается уравнением у = х ctg^. Наиболее удаленной от оси абсцисс точкой квадратрисы (рис. 80) явля¬ ется точка С ее пересечения с осью Оу. Это значение соответствует числу х = 0. Чтобы найти его, вычислим предел ях ях 2a cos — 0 .. , пх ,. 2а ,. 2 а 2а lim х ctg = lim • lim = —. x^o 2a x-+o л • RX л Sm 2a . Мы использовали утверждение lim 1. Динострат, применяя 24a
неравенства sin<jp<C<p<Ctg<p, проводил доказательство методом от противного. Этот результат позволил ему выразить число я в виде 2 а отношения АВ : АС = 2а \ . Теперь легко построить сторону Л искомого квадрата х=-/п-г. Решается задача квадратуры круга и с помощью спирали Архимеда. Для этого рассмотрим на спирали (рис. 92) точку Му соответствующую повороту луча на угол л. Обозначим ОМ = г и проведем в точке М касательную к спирали, а в точке О — пер¬ пендикуляр к МО. Пусть В — точка их пересечения. Как пока¬ зал Архимед, ОВ = лг (мы докажем это в следующем разделе). Теперь легко квадрировать круг радиуса г: сторона искомого квадрата x=^jMO-OB. Приведем еще два примера приближенного решения этой задачи без использования кривых. Одно из решений принад¬ лежит Леонардо да Винчи (1452—1519): если взять цилиндр, осевое сечение которого квадрат со стороной а, и прокатить его по плоскости, то за один оборот он покроет пря¬ моугольник площадью па2. Можно сказать, что будет «построен» прямоугольник, равновеликий кругу, а квадратура прямоуголь¬ ника известна. Гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи больше извес¬ тен как художник. Весь мир покоряет загадочная улыбка его «Джоконды». Но Леонардо был и выдающимся скульптором, архитектором, инженером и ученым. Ему принадлежит матема¬ тическое обоснование многих вопросов механики, которую он на¬ зывал «раем математических наук». Он спроектировал много интересных устройств: от металлургических печей до печатных станков, от подводной лодки до летательных аппаратов. В част¬ ности, если вернуться к нашей тематике, Леонардо изобрел устройство для вычерчивания параболы и сконструировал пантограф — прибор для изображения гомотетичных фигур. Второе приближенное решение задачи квадратуры круга, которое мы рассмотрим, было предложено (1836) русским ин¬ 244 Рис. 92 Рис. 93
женером Бингом. Пусть АВ = 2г — диаметр круга, квадратуру которого нужно осуществить (рис. 93). Под углом а к диаметру проводят хорду АС. Угол а подбирают таким образом, чтобы cos а = ^. Поскольку 0,886, то а«27°36'. Из равенства АС : AB = ^y следует, что ЛС2 = яг2, т. е. АС — сторона искомого квадрата. 14. В движеньи мельник жизнь ведет, в движеньи Квадратриса Динострата и архимедова спираль определены не геометрически, а механически с помощью движения. Древне¬ греческие ученые старались не иметь дела с такими кривыми и использовали их лишь в крайнем случае. Они считали, что геометрия должна иметь дело лишь с математическими идеями и геометрическими объектами, построенными идеальными инстру¬ ментами (циркулем и линейкой). Такая точка зрения господство¬ вала более двух тысячелетий. И только на рубеже XVI и XVII сто¬ летий произошел коренной переворот в мировоззрении ученых, и они обратили внимание на «механические кривые». Это произо¬ шло под влиянием развития техники, потребовавшего изучения движения деталей различных машин, транспортных средств, пла¬ нет на небосводе и т. д. Способствовало этому и охлаждение математиков к античной строгости доказательств, что позволило им применять в рассуждениях различные допущения. Начиная с XVII в. в математику одна за другой входят самые различные кривые, порожденные движущимися точками. Одной из первых была циклоида (от греч. «кюклоидос» — кругооб¬ разный, круглый) — кривая, которую описывает отмеченная точ¬ ка М окружности, катящейся без скольжения по прямой. При этом окружность называют производящей, а прямую, по которой она катится,— направляющей. Циклоида изображена на рисун¬ ке 94. Она состоит из бесконечного множества арок, следующих 245 Рис. 94
А Рис. 95 одна за другой. Первым построил эту кривую и дал ей название Галилей. Выведем уравнение циклоиды. Будем считать направляющей прямой ось абсцисс. На про¬ изводящей окружности радиуса г отметим точку М. Пусть в на¬ чальный момент времени точка М совпадает с началом коор¬ динат О. В результате поворота окружности на угол ф точка М (рис. 94) будет иметь координаты х — ОВ — МС sin ф = г(ф —sin ф), у = ВС — МС cos ф = г (1 — cos ф). Такое задание кривой называется параметрическим: роль пара¬ метра играет угол ф. Когда ф меняется от 0 до 2л, точка М опи¬ сывает одну арку циклоиды. С движением круга по прямой связан известный парадокс Аристотеля. Пусть А—точка касания круга и прямой, а В — любая другая точка, лежащая на радиусе ОА (рис. 95). Когда круг сделает полный оборот, точка А вновь окажется на прямой, а В вновь на вертикальном радиусе (на рисунке это точки А\ и Вi). Как это могло случиться, если длины окружностей, опи¬ сываемых точками А и В, разные? Аристотель не дал ответа на поставленный вопрос. Он даже не изучил траектории движения точек Л и В, считая, что недопустимо вводить в геометрию соображения механики. Когда круг катится по прямой, точка В описывает укоро¬ ченную циклоиду (рис. 96). И хотя мы нашли траектории точек Л и В, ответ на вопрос Аристотеля не получили. Оказывается, дело в том, что укороченная циклоида образуется потому, что круг радиуса О В катится по прямой BBi со скольжением. На самом деле за полный оборот круг смещается на отрезок ЛЛ i, длина которого равна 2лОА. За это же время радиус ОВ пово¬ рачивается на угол 2л. Если бы круг радиуса ОВ катился по Рис. 96 246
Рис. 97 прямой В В! без скольжения, то, очевидно, он пере¬ местился бы на 2пОВ<2пОА. Таким образом, скольжение налицо. Если же окружность радиуса ОВ будет ка¬ титься по прямой ВВ\ без скольжения, то точка А опишет удлиненную циклоиду (рис. 97). У ко¬ лес железнодорожного вагона или трамвая имеют¬ ся ободья, называемые ребордами, которые не дают колесам сойти с рельс (рис. 98). Точки ободь¬ ев и описывают удлиненную циклоиду, когда коле¬ са катятся по рельсам. Циклоида была первой представительницей обширного семей¬ ства кривых, описываемых некоторой точкой окружности при ее качении без скольжения по некоторой траектории. Французские математики, изучавшие свойства этих кривых, называли их ру- леттами (от франц. roulette— колесико; сравните: рулетка, рулет, руль). Рассмотрим частный случай рулетт, когда одна окружность, подвижная, катится по другой, неподвижной. Пусть сначала эти окружности касаются друг друга внешним образом. В зависимости от соотношения радиусов окружностей точка, лежащая на под¬ вижной окружности, описывает различные кривые, которые назы¬ ваются эпициклоидами (от греч. «эпи» — над, на). На рисунке 99 изображены эпициклоиды, для которых отношение радиусов не¬ подвижной и подвижной окружностей равно 2, 3, 4. В случае равенства радиусов окружностей получается кривая, изображенная на рисунке 100. Она напоминает сердце и потому Рис. 99 Рис. 98
была названа итальянским математиком Джиованни Кас¬ тил ьоном (1708—1791) кардиоидой (от греч. «кардиа» — сердце). Это название закрепилось за ней. Чтобы вывести урав¬ нение кардиоиды, возьмем на плоскости луч Ох. Неподвижную окружность расположим так, чтобы ее центр А лежал на луче Ох, а сама она проходила через точку О (рис. 101). Пусть в началь¬ ном положении подвижная окружность касается неподвижной в точке О. Рассмотрим на кардиоиде произвольную точку М и обозначим через р длину радиуса-вектора ОМ, а через Ф величину угла АОМ, образованного вектором ОМ с лучом Ох. Числа р и ф называются полярными координатами точки М, луч Ох — полярной осью. Пусть В — центр подвижной окруж¬ ности. В четырехугольнике АОМВ углы при вершинах А и В равны и АО = ВМ, поэтому АОМВ — равнобедренная трапеция. Следо¬ вательно, АО=АМ = ф. Если провести отрезок ВС, парал¬ лельный АО, то получится равнобедренный треугольник МВС, откуда ВС = ВМ = г, т. е. точка С лежит на катящейся окруж¬ ности. Очевидно, р = ОС+СМ, но OC = AB = 2r, CM =2r cos ф. Окончательно имеем: р = 2г(1+cos ф). Полученное равенство называется уравнением кардиоиды в полярных координатах. 248 Рис. 100 Рис. 101 Рис. 102
Если точку М брать не на катящейся окружности, а на ее радиусе или его продолжении, то получим укороченную (рис. 102, а) или удлиненную (рис. 102, б) кардиоиду. Эти кривые называют улитками Паскаля. Такое название им дал Роберваль по имени их открывателя Этьена Паскаля (1588—1651) —отца Блеза Паскаля. Укороченная кардиоида получила широкое применение в технике. Для преобразования равномерного вращения в возвратно-поступательное движение применяется эксцентрик, профиль которого выполнен в виде уко¬ роченной кардиоиды. Пусть теперь подвижная окружность находится внутри не¬ подвижной. Кривая, которую при этом описывает точка окруж¬ ности, называется гипоциклоидой (от греч. «гипо» — под, внизу). Вид ее тоже зависит от соотношения радиусов R и г неподвижной и подвижной окружностей. Если R:r = 2, то гипоциклоида совпадает с диаметром не¬ подвижной окружности. Этот факт установил арабский ученый Насирэддин Туси (1201 —1274), а через три века неза¬ висимо от него польский астроном Н. Коперник. Проверим, что это действительно так. Пусть В — точка касания окружностей в начальный момент. Поаге поворота подвижной окружности на некоторый угол эта точка переходит в положение В\. Покажем, что точка В\ лежит на диаметре ВС (как это изображено на рисунке 103). Дуги BD и B\D имеют равную длину, и /? = 2г, поэтому Z. BiAD = 2Z. BOD. Проведем в катящейся окружности хорду В\0. Так как угол B\OD вписанный, a B\AD центральный, то Z. B\AD = 2Z- B\OD, т. е. хорда В\0 лежит на диаметре ВС. Утверждение доказано. Итак, в случае R:r = 2 гипоциклоида является отрезком прямой: при каждом полном обороте он проходится дважды — сначала в одном направлении, потом в другом. Если R:r = 3, то получается кривая, изображенная на рисунке 104, а. Ученые, изучавшие кривую, изображенную на рисунке 104, б (где R :r = 4), решили, что она напоминает звезду, и дали ей назва¬ ние астроида (от греч. «астрон» — звезда; от того же слова произошли слова астрономия, астрология и астра). 249 Рис. 103 Рис. 104
Можно рассмотреть укоро¬ ченные и удлиненные гипоцик¬ лоиды и эпициклоиды. Мы оста¬ новимся на последних, посколь¬ ку они встречаются в системе Мира, созданной выдающимся древнегреческим астрономом Клавдием Птолемеем. Она была изложена в «Большом матема¬ тическом построении астроно¬ мии в 13 книгах», известном больше под названием «Альма¬ гест». (Греческое название тру¬ да Птолемея «Магисте синтак¬ сис», т. е. «Большое построе¬ ние», было переведено на арабский язык как «алмаджисти» (величайший), а уже это название в средние века — на ла¬ тынь словом «Альмагест».) Теория и соответствующие вычисле¬ ния настолько хорошо согласовывались с астрономическими наблюдениями того времени, что долго считались каноническими. По Евдоксу, все планеты расположены на прозрачных сферах, а их движения есть результат вращения этих сфер вокруг Земли. Основоположник древнегреческой астрономии Гиппарх (ок. 180—125 гг. до н. э.) заменил прозрачные сферы круговыми орбитами. Эту идею и использовал Птолемей в своей модели. У него планеты вращаются по окружностям — эпициклам, а центры эпициклов каждой планеты вращаются вокруг Земли по большим окружностям—деферентам (от лат. defero — несу, перемещаю). Скорости вращения каждой пла¬ неты по эпициклу и центра эпицикла по деференту, а также радиусы этих двух окружностей Птолемей нашел на основании астрономических наблюдений. Правда, для лучшего согласования теории с практикой ему пришлось вводить не один эпицикл, а два и более. Картина движения получилась достаточно сложной. Если же оставить один эпицикл, то траектория планеты в за¬ висимости от ее параметров будет либо укороченной, либо уд¬ линенной эпициклоидой (рис. 105). Рис. 105
Еще одна проблема ждала своего решения более двух тыся¬ челетий. Это проблема доказательства пятого постулата Евклида, содержащегося в его знаменитых «Началах». «Началами» греки называли сочинения, в которых математика излагалась на аксиоматической основе, т. е. какие-то утвержде¬ ния принимались за основные, а остальные выводились из них. Считается, что первые «Начала» написал в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский. За ними последовали другие труды с таким же назва¬ нием. Но ни один из них не сохранился до наших дней. Объясня¬ ется это тем, что в IV в. до н. э. появился грандиозный трактат Евклида, состоящий из 13 книг и содержащий все основные ре¬ зультаты древнегреческой математики. Трактат был столь совер¬ шенным, что затмил собой все аналогичные работы предшест¬ вующих авторов. Все другие «Начала» просто перестали пере¬ писывать. И никто больше не решался (да и не было нужды) написать новую книгу на эту тему. «Начала» Евклида стали настольной книгой ученых всех времен и народов. Об их попу¬ лярности говорит уже тот факт, что после появления книгопе¬ чатания они издавались более тысячи раз на всех наиболее рас¬ пространенных языках нашей планеты. По количеству изданий они уступают только «Библии». О самом авторе у нас имеется очень мало сведений. Мы знаем, что он родился в Афинах, был учеником платоновской академии. Затем Евклид переехал в Александрию по приглаше¬ нию египетского царя Птолемея I, который до этого был воена¬ чальником в армии Александра Македонского. После смерти великого полководца и раздела его империи между соратни¬ ками Птолемей получил в управление Египет. Он сделал столи¬ цей Египта молодой город Александрию, развернул в нем строи¬ тельство и создал знаменитый Музей (от греч. «мусейон» — храм муз), ставший одним из главных научных центров ан¬ 251
тичного мира. Сюда были приглашены для работы крупнейшие ученые Средиземноморья: математики, астрономы, философы, поэты, и среди них Евклид. Ученым, работавшим в Музее, были созданы все условия для творчества; жалование им выдавалось из царской казны. Позже здесь работали Архимед, Эратосфен, Аристарх Самосский, Клавдий Птолемей (последний не имел отношения к царской фамилии). Но заслуга создания в Алек¬ сандрии математической школы принадлежит Евклиду. До наших дней дошла легенда, повествующая о смелости Евклида и его твердом и независимом характере. Когда царь Птолемей познакомился с «Началами», он спросил автора: «Нет ли в геометрии более короткого пути?» На что Евклид ответил: «В геометрии нет царского пути!» Эта фраза стала крылатой. Но об ученом в первую очередь говорят его работы. По «Нача¬ лам» можно судить, что Евклид был не только хорошим мате¬ матиком, но и замечательным педагогом. Ведь его работа в основном сводилась к обработке и упорядочению результатов предшествующих ученых. В настоящее время считается установ¬ ленным, что книги 1—4 (построение фигур на плоскости) и книга 11 (плоскости и линии в пространстве) содержат резуль¬ таты Гиппократа; книги 5—6 (отношения величин, подобие фигур) и книга 12 (площади фигур и объемы тел) — результаты Евдокса; книги 7—9 (натуральные числа, их отношения, про¬ порции) — результаты пифагорейцев; книги 10 и 13 (класси¬ фикация иррациональностей, построение тел Платона) — ре¬ зультаты Теэтета. Но изложение всех этих-результатов проделано мастерски. До сих пор учебники элементарной геометрии пишутся по Евклиду. Конечно, с соответствующим отбором ма¬ териала, с учетом доступности, современных воззрений и симво¬ лики. 1. Пятый постулат В фундамент своего изложения математики Евклид положил пять аксиом и пять постулатов. Все эти принимаемые без дока¬ зательств утверждения были естественными и очевидными. Особое внимание обращал на себя только V постулат: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Заметим, что для нас фраза «продолжить прямую» звучит противоестественно, ведь прямая бесконечна. Античные ученые не работали с бесконечными объектами. Так как прямая на плоскости изображается в виде отрезка, то его продолжение и имелось в виду. Термина «отрезок» у них не было, он появился (1833) в работах швейцарского математика Якоба Штейнера (1796—1863). 252
В настоящее время V постулат более известен как аксиома параллельности и приводится в эквивалентной форме: через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее. По-видимому, в такой формулировке аксиома впервые появи¬ лась у последнего значительного философа древнего мира, жив¬ шего уже в V в. н. э. Прокл а Диадоха. Они положил начало изучению проблемы V постулата Евклида. Как и все последователи Платона, Прокл много сил отдавал математике. Будучи главой александрийской философской школы, сам учил¬ ся у Герона. После переезда в Афины Прокл состоял в фило¬ софской школе Плутарха, от которого потом унаследовал руко¬ водство этой школой. Диадох и означает «преемник». Коммен¬ тарии первой книги «Начал» Евклида, принадлежащие Проклу, являются для нас почти единственным источником по истории доевклидовой математики. В силу большей сложности и меньшей наглядности V посту¬ лата по сравнению с другими у математиков возникло пред¬ положение, что его можно доказать, опираясь на остальные аксиомы. Возможно, сам Евклид пытался это сделать, недаром он в своем изложении максимально отдаляет использование этого утверждения. Попытки доказательства V постулата пред¬ принимались в течение более чем двух тысячелетий сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а позже в Западной Европе. Одним из первых это сделал Прокл. Он рассуждал так. Даны две прямые АВ и CD и секущая MN, и пусть внутренние односторонние углы BMN и DNM в сумме меньше двух прямых (рис. 106). Через точку М проведем прямую МК, параллельную прямой CD. Так как расстояние между параллельными пря¬ мыми МК и CD конечно, а расстояние между точками сторон угла ВМК может стать как угодно большим при достаточном удалении от вершины угла, то сторона ВМ этого угла пересе¬ кается с прямой CD. 253 Рис. 106 Рис. 107
В процессе доказательства Прокл использовал утверждение: расстояние между параллельными прямыми конечно, что равно¬ сильно самому V постулату. Во всех последующих доказатель¬ ствах содержалась та же самая ошибка: неявно использовалось допущение, эквивалентное самому V постулату. Приведем доказательство, предложенное уже в XVII в. Дж. Валлисом, который тоже рассматривал две прямые АС и BD, пересеченные третьей АВ, так что сумма углов САВ и ABD меньше двух прямых (рис. 107). Валлис сдвигает прямую BD к прямой Л С, сохраняя ее угол с АВ. Если сдвинуть ее до точки Л, то луч AD2 окажется вне угла САВ, а в исходном положении луч BD лежал внутри этого угла. Следовательно, в процессе перемещения наступает такой момент, когда перемещаемая прямая пересекает Л С в точке Е. Далее Валлис строит на от¬ резке АВ треугольник ABF, подобный треугольнику АВ\Е. Вер¬ шина F этого треугольника — точка пересечения АС с BD (эта точка находится за пределами рисунка). В своем доказательстве Валлис опирался на предположе¬ ние о существовании подобных треугольников (с любым коэф¬ фициентом подобия). А это утверждение снова равносильно V пос¬ тулату. На других «доказательствах» V постулата Евклида мы останавливаться не будем. Перечислим лишь некоторые утверж¬ дения, эквивалентные этому постулату: 1) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. 2) Наклонная и перпендикуляр к одной прямой пересе¬ каются. 3) Сумма углов любого треугольника равна одному и тому же числу (отсюда можно вывести, что эта сумма равна я). 4) Всякая прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону. 5) Если прямая / параллельна 1\ и 1\ параллельна 12у то / параллельна 12. Неудачные попытки прямого доказательства V постулата направили поток мыслей математиков в иное русло. А что если заменить этот постулат противоположным утверждением; из него должны получиться абсурдные следствия — не в этом ли дока¬ зательство справедливости V постулата? Одним из первых по такому пути пошел итальянский математик Джованни С а к к е р и (1667—1733). Сначала он построил четырехуголь¬ ник, носящий теперь его имя. Повторим эти построения. Из концов отрезка АВ Саккери восстановил два перпенди¬ куляра и отложил на них равные отрезки AD = BC (рис. 108). Соединив точки D и С, он получил четырехугольник и доказал, что углы D и С при верхнем основании равны. Какие же эти углы? Вообще возможны три случая: углы D и С тупые, прямые и острые. Первый случай сразу привел его к противоречию. Гипо¬ теза прямых углов доказывала V постулат. Осталось показать 254
Рис. 108 Рис. 109 невозможность третьего варианта. Саккери пытался это сделать методом от противного. Он предполагает, что углы D и С острые, и хочет прийти к противоречию. Он находит различные след¬ ствия из своего предположения. Некоторые из них настолько не согласуются с привычными нам представлениями (ведь он уже получает теоремы новой, неевклидовой геометрии!), но Саккери принимает эти результаты за доказательство невозможности гипотезы острого угла. Например, он получает такое следствие: на плоскости существуют прямые, неограниченно приближаю¬ щиеся друг к другу в одном направлении и неограниченно уда¬ ляющиеся в обратном (рис. 109). Отсюда он делает вывод, что эти прямые имеют в бесконечно удаленной точке Вобщий перпендикуляр. А поскольку этого быть не может, то он считает, что пришел к противоречию. Все дело в том, что он ошибочно перенес свойства, справедливые в конечных областях, на беско¬ нечные. Швейцарский геометр Иоганн Ламберт (1728—1777) также рассматривал четырехугольник, только с тремя прямыми углами, четвертый мог быть прямым или острым. Он не стал отрицать гипотезы острого угла и решил вывести различные следствия из нее. В частности, он доказал, что при таком допу¬ щении сумма углов Л, В, С треугольника ABC меньше я, а пло¬ щадь треугольника пропорциональна угловому дефекту, т. е. разности 6 = л — (Л + В + С): где г — постоянная величина. Можно сказать, что Саккери стоял перед входом в необыч¬ ную геометрию, а Ламберт уже приоткрыл в нее дверь, но оба так и не узнали об этом. В работах этих и других математиков выяснялись свойства новой геометрии. Правда, эти свойства за¬ частую лишь приводили их в недоумение: ведь рассуждения были безупречными с логической точки зрения. Нужен был не только математический талант, но и способ¬ ность к новому взгляду на знакомые объекты и, несомненно, большая смелость, чтобы выйти из плена традиционных пред¬ S = г2 (п — А — В — С) у 255
ставлений и осознать реальность существования других геомет¬ рий. Такими учеными оказались три математика — Н. И. Лоба¬ чевский, К. Гаусс и Я. Больяи. 2. Гений из Казани Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. Когда ему было всего 7 лет, у него умер отец; семья переехала в Казань, где мальчик был отдан на казенное содержание ч гимназию. В 15 лет он поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В это время там читал лек¬ ции по математике профессор И. Бартельс (1769—1836) — бывший учитель К. Гаусса. Он обратил внимание на одарен¬ ного мальчика и начал заниматься с Лобачевским. Как тут не удивиться поразительному чутью Бартельса на будущих гениев и не воздать должное провидению, занесшему немецкого ученого на окраину европейской культуры! Очень подвижный ребенок (ему было лишь 15 лет!) доставлял своими проказами много хлопот администрации. Одно время даже стоял вопрос о его отчислении из университета. Заступничество Бартельса и других преподавателей спасло Лобачевского для науки. Заботы учителя и регулярные занятия не пропали даром. В 19 лет Лобачевский получает степень магистра, а в 23 года становится профессором. Несмотря на большую научную и учебную работу, Лоба¬ чевский много сил отдает приведению в порядок библиотеки и музея Казанского университета, проявляя себя при этом хоро¬ шим организатором. Его назначают деканом физико-матема¬ тического факультета, но через 2 года он вынужден уйти с этой должности, так как его стремление к более научному препода¬ ванию предметов не находит поддержки у тогдашнего попечи¬ теля университета. Вскоре приезжает новый попечитель М. Н. Му¬ син-Пушкин. И в 1827 г. Лобачевский назначается ректором университета. Годы его руководства — это период расцвета Казанского университета: приглашены лучшие преподаватели, начали издаваться (1834) «Ученые записки Казанского универ¬ ситета», развернулось строительство новых зданий библиотеки, обсерватории, мастерских, клиники... Хотя Лобачевский занимался различными вопросами матема¬ тики, мировую известность он получил как создатель новой геометрии. С юношеских лет он заинтересовался теорией парал¬ лельных прямых и интенсивно ее разрабатывал. Сначала Ло¬ бачевский пытался доказать V постулат, но постепенно пришел к мысли, что этого сделать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменяет его на противоположное утверждение, кото¬ рое сейчас называют аксиомой Лобачевского: 256
через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, проходящей через эти прямую и точку, можно провести более одной прямой, не пересекающихся с данной. Остальные аксиомы Лобачевский оставляет без изменения и на основе новой системы строит геометрию, отличную от евкли¬ довой. Можно считать, что неевклидова геометрия родилась в фев¬ рале 1826 г. 7 февраля Лобачевский представляет в журнал «Записки физико-математического отделения» Казанского универ¬ ситета статью «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Но работа получила отрицательный отзыв и не была напечатана. 11 февраля того же года Лобачевский делает доклад по теме своей статьи. Присутствовавшему на нем Мусину-Пушкину доклад понравился. В 1829—1830 гг. в журнале «Казанский вестник» Лоба¬ чевский печатает работу «О началах геометрии». Так впервые в мире появилась публикация неевклидовой геометрии. К сожа¬ лению, это открытие не было понято другими математиками. Ра¬ бота «О началах геометрии» получила отрицательный отзыв М. В. Остроградского и не была опубликована в «Трудах Петер¬ бургской АН». Более того, в журналах «Сын отечества» и «Северный архив», издававшихся Н. Гречем и Ф. Булгариным, известными своими реакционными взглядами, были помещены издевательские памфлеты на эту работу. Возможно, они были написан^ кем-либо из учеников Остроградского. Несмотря на насмешки и злобную критику, Лобачевский продолжает развивать свою геометрию. В «Учебных записках» он публикует «Воображаемую геометрию», «Новые начала в гео¬ метрии», в которых дает полное и систематическое изложение своей теории. В 1840 г. в Германии выходит книга Лобачев¬ ского «Геометрические исследования по теории параллельных линий». После ее выхода Лобачевский по предложению Гаусса был избран членом-корреспондентом Геттингенского общества. Тем самым Гаусс высоко оценил труд русского ученого, хотя открыто в печати он этой оценки не дал. Признание Геттингенского общества не повлияло на положе¬ ние великого геометра. В 1846 г. его уволили с должности ректора и фактически устранили из университета. К этим невзго¬ дам добавляется слепота. Но следующие один за другим удары судьбы не сломили Лобачевского. Он не прекращает исследо¬ вания и свою последнюю работу «Пангеометрия» посвящает 50-летию любимого университета. В разработанной Лобачевским новой геометрии многие утверждения звучат неожиданно. Перечислим некоторые из них. 1. Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бес¬ конечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежа¬ щих с ней в одной плоскости (рис. 110). 9. Зак 4723 Н Я Виленкин 257
Среди них две прямые Ь и с на¬ зываются параллельными а, осталь¬ ные — расходящимися с а. Изображе¬ ние на рисунке, конечно, условное, поскольку на плоскости листа бумаги реализуется геометрия Евклида; о мо¬ делях плоскости Лобачевского мы бу¬ дем говорить позже. Прямые Ь и с образуют один и тот же угол а с пер¬ пендикуляром АН к прямой а. Он на¬ зывается углом параллельности. Оказывается, этот угол связан с длиной х отрезка АН соотношением *=— г Inctgy. Число г называют радиусом кривизны пространства Лобачевско¬ го, он постоянен и равен отрицательному числу. 2. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия. 3. Сумма углов треугольника — величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше я. 4. Площадь треугольника, как было выведено еще Ламбер¬ том, вычисляется по формуле S = r2(n — А — В — С), где г — ра- ч диус кривизны пространства, а Ау В, С — величины углов тре¬ угольника, выраженные в радианах. Создав новую геометрию, Лобачевский поставил вопрос о ее существовании в природе. Он предположил, что в пространстве при больших расстояниях имеет место его «воображаемая» геометрия. Для проверки этой гипотезы он вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого являлись звезда Сириус, Зем¬ ля и Солнце. Однако отклонения от я не превышали чувстви¬ тельности приборов. Позже Лобачевский доказал, что если в про¬ странстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии значительно мень¬ ше погрешности измерений. Все же сам он считал основной но¬ вую геометрию, а евклидову — ее предельным случаем, когда радиус кривизны пространства стремится к бесконечности. Не¬ даром свою последнюю работу он назвал «Пангеометрия» (от греч. «пан» — все), т. е. всеобщая геометрия. 3. Когда расцветают фиалки К мысли о существовании новой геометрии еще раньше пришел Гаусс. В письме своему университетскому другу вен¬ герскому математику Фаркашу Больяи (1775—1856) он 258 Рис. ПО
пишет (1799): «Я лично далеко продвинулся в моих работах... однако дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желатель¬ ной цели, а к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии». А своему ученику Герлингу он уже сообщает (1816) некоторые из полученных результатов! «Как легко доказать, если евклидова геометрия не есть истинная геометрия, то по¬ добных фигур вовсе не существует; в равностороннем треуголь¬ нике угол меняется вместе с величиной стороны, в чем я ничего абсурдного не нахожу. Угол представляет собой в этом случае функцию от стороны...» Но, разрабатывая идеи новой геометрии, Гаусс не стал публиковать своих результатов и не высказал их открыто в печати. Причин тому было несколько. В соответствии со своими представлениями о геометрии Гаусс должен был сначала получить подтверждение ее существования. Это видно из его письма (1817) к другу своего отца астроному Ольберсу: «...геометрию прихо¬ дится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой, истины которой требуют экспериментальной проверки». С этой целью он измеряет сумму углов треугольника с вершинами на близлежащих возвышен¬ ностях. Но, как и у Лобачевского, полученные им отклонения от числа я оказываются в пределах погрешности приборов. Таким образом, опыт не предоставил Гауссу веского аргумента в защиту новой геометрии. Важную роль в отказе Гаусса от публичных выступлений по этому вопросу сыграло то обстоятельство, что в Германии в то время господствовала философия Канта, по которой понятия пространства, времени и геометрии априорно вложены в наше сознание и не подлежат пересмотру. В 1829 г. в письме к из¬ вестному немецкому астроному Ф. Бесселю Гаусс пишет: «...мое убеждение в том, что мы не можем обосновать нашу геометрию полностью a priori, стало, насколько возможно, еще более твер¬ дым. Между тем я еще долго не приду к тому, чтобы обработать для опубликования мои весьма обширные исследования по этому вопросу, и, может быть, этого никогда не произойдет в моей жизни, так как я опасаюсь крика беотийцев, если я выскажу мои воззрения целиком». (По преданию, жители Беотии — об¬ ласти Древней Греции — были известны своей глупостью.) Правда, в 1831 г. Гаусс решает изложить на бумаге обстоя¬ тельно продуманную им неевклидову геометрию, чтобы вместе с ним не ушло его открытие. Но вскоре он получает (1832) от Ф. Бо- льяи его книгу «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики...». В ней в виде приложения, называвшегося «Аппендикс...» (что по-латыни и означает «приложение»), была напечатана работа его сына Яноша Больяи, где давалось систе¬ матическое изложение новой геометрии. Гаусс понял, что идея не погибнет вместе с ним. Именно эта причина повлияла на прекра¬ щение его работы над неевклидовой геометрией. В ответном 9* 259
письме он сообщает Ф. Больяи, что все это ему уже давно из¬ вестно, он даже начал записывать полученные результаты, но теперь освобожден от этой работы и очень рад, что именно сын старого друга предвосхитил его. В открытой печати Гаусс не высказался о возможности существования новой геометрии. Это было в его характере. Он никогда не пускался в спор о приори¬ тете того или иного научного открытия, но и не поддерживал молодых дарований, предоставляя им самим добиваться призна¬ ния. Теперь естественно перейти к третьему родоначальнику новой геометрии — Яношу Больяи (1802—1860). Одаренный мальчик уже к 13 годам овладел математическим анализом. Отец его Фаркаш Больяи хотел, чтобы сын после окончания школы поступил в Геттингенский университет, но в то же время считал Яноша в его 15 лет не готовым к самостоятельной жизни в большом городе. Это обстоятельство и финансовые затруднения побудили Фаркаша обратиться к Гауссу с просьбой разрешить Яношу жить в его доме. Но король математиков оставил без ответа письмо старого друга. Он предпочитал работать уединенно и без помощников, поэтому, если не считать студентов, которым Гаусс читал лекции, у него не было непосредственных учеников. Янош поступил в Венскую военно-инженерную академию. Занимаясь там теорией параллельных прямых, он уже в 1823 г. приходит к идее о существовании неевклидовой геометрии. По крайней мере в то время он пишет отцу: «Я совершил столь чудесные открытия, что не могу прийти в себя от восторга». К 1832 г. он завершает работу над новой геометрией и кратко излагает ее в книге отца. Янош был сильно расстроен ответом Гаусса, обвинив того в посягательстве на его открытие. Видимо, этот факт повлиял на решение Больяи оставить военную службу; правда, он не испытывал от нее особого удовлетворения. Будучи от природы вспыльчивым и неуравновешенным, он успел со многими своими однополчанами сразиться на дуэлях. Невезение тащится за ним по пятам. Ему несправедливо отказывают (1834) в присуждении премии Лейпцигского общества за усовер¬ шенствование геометрической теории комплексных чисел. В этой работе Больяи определил комплексные числа в виде пар, пред¬ восхитив современный подход к ним. Но самый жестокий удар ждал Яноша впереди. В 1848 г. ему в руки попадает работа Ло¬ бачевского, изданная в 1840 г. на немецком языке. Он даже подозревает, что под таким псевдонимом скрывается сам Гаусс. Все это подрывает его здоровье, отражается на психике. И хотя он продолжает интенсивную научную работу, существенных ре¬ зультатов больше не получает. Мы видели, что к идее неевклидовой геометрии пришли почти одновременно несколько ученых. С такой ситуацией мы уже встречались и еще не раз встретимся в дальнейшем. И в этом не'" ничего удивительного. Вот что писал Ф. Больяи своему сыну 260
«Как весной сразу всюду появляются фиалки, так и для научных открытий бывают эпохи, когда одни и те же мысли вспыхивают у ученых в разных местах». Сопоставление Лобачевского и Я. Больяи как личностей убеж¬ дает в том, что ученый должен быть еще и борцом, отстаивающим свои убеждения. Лобачевский не только первым опубликовал свое открытие и наиболее глубоко развил новую геометрию, но и всю жизнь отстаивал ее, поэтому она по праву носит его имя. Приведем еще высказывание английского математика Уильяма Клиффорда (1845—1879): «Чем Везалий* был для Галена**, чем Коперник был для Птолемея, тем Лоба¬ чевский был для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует любопытная параллель — оба они славяне по проис¬ хождению; каждый из них произвел революцию в научных воззрениях, и обе эти революции имеют одинаково громадное значение — это революции в нашем понимании Космоса». Заметим, что сам Клиффорд не только воспринял идеи Лоба¬ чевского, но и горячо их пропагандировал. 4. Модели новой геометрии После создания неевклидовой геометрии она долгое время не признавалась учеными. Да и далекие от математики люди отно¬ сились к ней скептически. Например, известный писатель и лите¬ ратурный критик Николай Гаврилович Чернышевский в своих письмах к сыну весьма неуважительно отозвался о Лобачевском. Положение круто изменилось, когда после смерти Гаусса были опубликованы его дневники и переписка, из которых стало видно, что сам король математиков склонялся к мысли о воз¬ можности неевклидовой геометрии и весьма интересовался рабо¬ тами в этом направлении. И первой, сразу возникшей проблемой стало доказатель¬ ство непротиворечивости новой геометрии. Сам Лобачевский до¬ вольно глубоко развил свою геометрию, получил целый ряд за¬ мечательных теорем, при этом нигде не встретился с противо¬ речием, но это не гарантировало от такой встречи в дальнейшем. Чтобы убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского, надо было реализовать ее на некоторой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве. Тогда из существования противоре- * Андреас Везалий (1514—1564) —основоположник научной анатомии, опроверг господствовавшее почти полторы тысячи лет учение Галена о движении крови в организме. ** Клавдий Гален (129—201) — римский врач, создатель античной меди¬ цины, в течение многих веков непререкаемый авторитет в области анатомии и медицины. Его учение об анатомии организма было принято за каноническое. 261
чия в геометрии Лобачевского вытекало бы существование противоречия и в евклидовой геометрии. Первым осуществил такую интерпретацию геометрии Ло¬ бачевского в 1863 г. итальян¬ ский математик Эудженио Бельтрами (1835—1900). Для этого он взял кривую на плоскости, обладающую тем свойством, что отрезок каса¬ тельной к этой кривой, заклю¬ ченный между точкой касания и осью абсцисс, имеет постоян¬ ную длину для всех точек кривой (рис. 111). Эту кривую на¬ зывают трактрисой, а в шутку — «собачьей кривой», так как она впервые появилась в связи со следующей задачей: по прямой (например, оси абсцисс) бежит собака, хозяин собаки находится вне прямой (в точке А) \ он все время держит собаку на туго натянутом поводке и бежит за ней в направлении поводка. По какой кривой бежит хозяин собаки? Подробнее об этой кривой мы будем говорить в следующем разделе. Если вращать трактрису вокруг оси Ох, то она опишет поверхность (рис. 112), которую называют псевдосферой. Бельтрами доказал, что на достаточно малой части псев¬ досферы, т. е. локально (от лат. localis — местный), имеет место геометрия Лобачевского. Локально — из-за того, что на по¬ верхности Бельтрами есть ребро, а на плоскости Лобачевского ребер нет. Позднее Гильбертом было доказано, что невозможно вложить плоскость Лобачевского в трехмерное евклидово прост¬ ранство так, чтобы сохранялись расстояния и .чтобы не было ребер или каких-нибудь других особенностей. Очень простую модель всей плоскости Лобачевского нашел в 1871 г. Ф. Клейн: точки плоскости изображаются точками внутренней области круга (рис. 113), прямые — хордами этого круга без точек, лежащих на граничной окружности (эта окруж- Рис. 112 262 Рис. 111
Рис. 113 Рис. 114 ность играет роль бесконечно удаленной прямой). Расстояние между точками А и В определяется равенством где М и N—концы хорды, проходящей через точки А и В\ г — радиус кривизны пространства Лобачевского. Можно доказать, что в этой интерпретации выполняются все аксиомы геометрии Евклида, кроме аксиомы о параллельных. Например, аксиома «Через любые две точки проходит одна и только одна прямая линия» означает в истолковании Клейна, что «через любые две внутренние точки круга проходит одна и только одна хорда». А вот евклидова аксиома о параллельных не вы¬ полняется. В самом деле, возьмем «прямую» (т. е. хорду) MN и точку А внутри круга, не лежащую на этой «прямой» (рис. 114). «Прямыми», параллельными «прямой» MN, являются BN и СМ (они не имеют общих точек с MN — ведь точки М и N не принад¬ лежат этой модели плоскости Лобачевского). Хорды, проходящие через точку А, концы которых лежат на дугах MB и С/V, изобра¬ жают прямые, расходящиеся с MN. Французский математик Анри Пуанкаре (1854— 1912) для решения одной важной проблемы теории функций комплексного переменного рассмотрел часть комплексной плос¬ кости, расположенной выше оси абсцисс, и на ней реализовал геометрию Лобачевского. Для нас не суть важно, что рассматри¬ вается именно комплексная плоскость. Нам интересна сама модель Пуанкаре. Итак, проведем на плоскости горизонтальную прямую /. Рассмотрим точки, лежащие выше этой прямой,— назовем их точками плоскости Лобачевского. Полуокружности с центром на прямой / и полупрямые, перпендикулярные к / (рис. 115), будем считать прямыми плоскости Лобачевского. Ясно, что через любые две точки проходит единственная «прямая» (это либо полуокруж¬ ность, либо прямая, если точки находятся на одной вертикали). Как видно из рисунка 116, через точку А проходят две «прямые» BN и МС (в смысле описанной модели), параллельные «прямой» MN, и имеется бесконечное множество «прямых», расходящихся с MN. 263
Рис. 115 Пуанкаре принадлежит и модель плоскости Лобачевского в круге, отличная от клейновской. А получил он ее с помощью инверсии из своей модели на плоскости. Пусть геометрия Лобачевского реализуется на верхней полу¬ плоскости, ограниченной прямой /. В нижней полуплоскости возьмем произвольную точку S и с центром в этой точке проведем окружность (о, радиус которой меньше расстояния от S до пря¬ мой / (рис. 117). В результате инверсии относительно окруж¬ ности со прямая / перейдет в окружность у, проходящую через S, а верхняя полуплоскость — во внутренность круга, ограничен¬ ного окружностью у. Прямые плоскости Лобачевского в интер¬ претации на полуплоскости перейдут в дуги окружностей, пер¬ пендикулярные у. Эти дуги назовем прямыми плоскости Лоба¬ чевского. Ясно, что параллельные прямые изобразятся при этом дугами окружностей, касающихся друг друга в точках окруж¬ ности у (рис. 118). Углом между прямыми в этой интерпретации является угол между касательными к дугам окружностей. На этой модели хорошо иллюстрируется тот факт, что сумма углов треугольника плоскости Лобачевского меньше двух прямых. Построение моделей плоскости Лобачевского доказало непро¬ тиворечивость новой геометрии и, следовательно, ее полное право на существование. Дальнейшее развитие науки обоснова¬ ло и предположение Лобачевского, и сомнения Гаусса относи¬ Рис. 117 Рис. 118 2<И Рис. 116
тельно геометрии, господствующей во Вселенной. Теория относи¬ тельности, созданная в начале XX в., установила, что геометрия реального мира связана с плотностью распределения масс, т. е. она меняется в пространстве, а в данной части простран¬ ства — с течением времени. Исследования в области элементар¬ ных частиц показали, что и для микромира геометрия Евклида уже не годится. Оказывается, при некоторых условиях и в микро¬ мире, и в макромире реализуется геометрия Лобачевского. Подтвердилось гениальное пророчество Лобачевского, выска¬ занное им еще в «Новых началах геометрии»: «...в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой Геометрии... Когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зависимости с углами... мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений». 5. Значение геометрии Лобачевского Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все естественные науки. Ее результаты используются внутри математики — в теории чисел, в теории функций комплексного переменного, в математическом анализе, в частности сам Лоба¬ чевский с помощью своей геометрии вычислил около 200 интегра¬ лов. Но наиболее широкое применение она нашла в современной физике — общей и специальной теории относительности, в кванто¬ вой механике и в других областях. Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир, вывело уче¬ ных из узких рамок созданных ими стереотипов мышления. Они стали более восприимчивыми к новым неожиданным науч¬ ным открытиям. Это касается не только математики. Достаточно вспомнить взгляд физиков на элементарные частицы. В неко¬ торых опытах эти частицы обнаруживают волновые свойства, в других — корпускулярные. Ученые пришли к выводу о сущест¬ вовании в микромире волн-частиц — такого образования, с ко¬ торым мы не встречаемся в повседневной жизни. А в дальнейшем были высказаны и приняты другими учеными такие предложе¬ ния относительно микро- и макромира, которые, казалось, вообще противоречат всякому здравому смыслу. Мы привыкли пред¬ ставлять себе весь мир и все его явления по аналогии с окру¬ жающей нас действительностью. Эти представления мы пере¬ носим и на микро- и макромир, а они могут быть ^устроены 265
совершенно иначе, и процессы, происходящие там, настолько могут отличаться от известных нам, что «здравый» смысл здесь не всегда помогает. Осознать это позволило создание новой геометрии. Более того, подобно работам Куммера в теории чисел, Галуа в алгебре, работы Лобачевского знаменовали начало нового, современного этапа в геометрии. Принцип построения неевклидовой геометрии Лобачевским, когда одна аксиома заме¬ няется на противоположную, а остальные остаются без изменения, лег в основу создания других геометрий. В результате появился целый ряд новых геометрий. Одни из них возникали в резуль¬ тате запросов практики, другие — из чисто теоретических сооб¬ ражений. Но такой подход заставил математиков более внима¬ тельно относиться к различным аксиоматическим системам. Были выработаны и неукоснительно соблюдаются требования, предъяв¬ ляемые к системам аксиом: непротиворечивость, независи¬ мость, полнота. Непротиворечивость системы аксиом означает невозможность логического вывода из нее двух взаимно исключающих пред¬ ложений. Хорошо, если такие предложения обнаружатся доста¬ точно быстро. А как быть, если противоречивые следствия сразу обнаружить не удастся? Где взять уверенность, что их нет вообще? Существует надежный способ доказательства непро¬ тиворечивости системы аксиом — это построение модели, в ко¬ торой выполняются все аксиомы данной системы. Интерпрета¬ ции Бельтрами, Клейна, Пуанкаре доказали непротиворечивость системы аксиом геометрии Лобачевского. На самом деле эти модели позволяют свести новую геометрию к евклидовой, а за ее непротиворечивость мы можем ручаться на основании много¬ векового опыта. Правда, как мы увидим ниже, наша убежден¬ ность может быть строго доказана. Независимость системы аксиом говорит о том, что никакая ее аксиома не может быть выведена из остальных аксиом этой системы. Другими словами, речь идет о минимальности числа аксиом системы. Доказательство независимости конкретной ак¬ сиомы от остальных проводится следующим образом: заменя¬ ют данную аксиому противоположной, оставляя остальные без изменений, и доказывают непротиворечивость вновь полученной системы аксиом. Из непротиворечивости геометрии Лобачевского следует независимость аксиомы параллельности от всех остальных аксиом геометрии Евклида. Следовательно, вывести V постулат из ос¬ тальных аксиом и постулатов Евклида невозможно. Полнота системы аксиом предполагает, что добавление новой аксиомы нарушит либо ее непротиворечивость, либо незави¬ симость. Полноту системы аксиом гарантирует полное соответ¬ ствие всех свойств любых двух ее интерпретаций. На основании выработанных принципов были предложены 266
различные аксиоматики евклидовой геометрии. Сначала это сделал (1882) немецкий математик Мориц Паш (1843— 1930), затем (1889) итальянский математик Джузеппе Пеан о (1858—1932). Но наиболее известной и общепринятой является система аксиом, предложенная Д. Гильбертом в «Ос¬ нованиях геометрии» (1899). Дедуктивное построение теории на базе аксиом было предпринято и в других областях матема¬ тики, а также физики. Эта тенденция является отличительной чертой современной науки. Например, в алгебре понятие группы вводится с помощью аксиом; в геометрии и анализе аксиоматически определяются различные пространства (аффинное, метрическое, топологиче¬ ское и т. д.) и даже само множество действительных чисел. Особо следует отметить систему аксиом арифметики. Впер¬ вые она была создана в 1888 г. немецким математиком Рихар¬ дом Дедекиндом (1831 —1916), а затем (1891) незави¬ симо от него Дж. Пеано. Внимание к аксиоматике арифметики объясняется следующими соображениями. Как показал Гиль¬ берт, непротиворечивость геометрии Евклида основывается на непротиворечивости арифметики. Недаром среди 23 знамени¬ тых проблем математики под номером 2 он сформулировал проб¬ лему доказательства непротиворечивости системы аксиом ариф¬ метики. Австрийский математик Курт Гедель (1906— 1978) доказал в 1931 г. невозможность положительного реше¬ ния этой проблемы конечными методами. А именно такое ус¬ ловие было поставлено Гильбертом. В 1936 г. ассистент Гиль¬ берта Герхард Генцен (1909—1945), выйдя за пределы использования средств, разрешенных Гильбертом, доказал непро¬ тиворечивость системы аксиом арифметики. Тем самым доказана непротиворечивость геометрии Евклида и вместе с ней геометрии Лобачевского. 6. Без космического Магеллана Чтобы окончательно убедиться в кривизне Земли, понадо¬ билось совершить кругосветное путешествие, задуманное и ис¬ полненное испанским мореплавателем Магелланом. Но представь¬ те себе, что Магеллан жил не на нашей Земле, а на фантасти¬ ческой планете Ялмез, где небо закрыто вечной пеленой об¬ лаков, а ветры столь сильны, что морские путешествия не¬ возможны. Возникает вопрос: смогли бы ялмезяне узнать, что они живут не на куске плоскости, а на сфере? Иными словами, смогли бы они отказаться от привычных им представлений и перейти к научному взгляду на окружающий их мир? Чтобы решить эту проблему, пришлось бы Магеллану по¬ менять профессию и заняться геодезией и геометрией. Пожалуй, 267
слова «геодезия» и «геометрия» здесь не совсем уместны, ведь «гео» — это Земля, а наш Магеллан на Ялмезе. Но оставим Землянскую терминологию. Естественно, ему бы пришлось повто¬ рить всю историю развития геометрии, начавшуюся с задачи измерения полей. Итак, в первую очередь наш геометр устанав¬ ливает важнейший факт — среди всех дуг, соединяющих две произвольные точки, есть наикратчайшая. Он называет эти дуги «прямолинейными отрезками», не догадываясь, что эти «отрезки» не прямолинейны. В геометрии доказывают, что на сфере такими «отрезками» являются дуги больших окруж¬ ностей — сечений сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Разумеется, наблюдатель, который посмотрел бы на Ялмез со стороны, сказал бы, что эти «отрезки» искривлены. Более того, он заметил бы, что при неограниченном продолжении этих «отрезков» получится замкнутая линия, а потому на Ялмезе нет никаких бесконечных прямых. Но ялмезяне уверены, что их прямые линии бесконечны. Самая мысль, что при движении по прямой в одном и том же направлении они вернутся в исходную точку, кажется им дикой, непонятной и противоречащей здра¬ вому смыслу. И пока они имеют дело с малыми участками поверхности, сделанные в пределах возможной точности изме¬ рения не могут открыть им глаза. Свойства прямых такие, какие предписываются евклидовой геометрией,— две прямые пересе¬ каются не более чем в одной точке, через каждые две точки про¬ ходит одна и только одна прямая и т. д. Однако, наконец, техника измерений на Ялмезе достигает высокого уровня, да и участки суши, которые тамошние ученые умеют измерять, становятся побольше. И тут все рушится. Чтобы понять, с какой катастрофой столкнется наш ученый, проведем на глобусе экватор и два меридиана, образующие угол 90° (рис. 119). Стороны получившегося треугольника с точки зрения ялмезянской геометрии являются прямолиней¬ ными отрезками, имеют одну и ту же длину, но каждый из его трех углов равен 90°. Поэтому такой треугольник никак нельзя назвать пифагоровым — где у него катет, а где гипо¬ Рис. 119 Рис. 120
тенуза, не смог бы сказать сам Евклид. Иными словами, ялме- зянская геометрия оказалась неевклидовой. Но не только теорема Пифагора несправедлива на Ялмезе (как, впрочем, и на любой сферической поверхности). Неверны и другие геометрические теоремы. Например, так как в нашем тре¬ угольнике все углы прямые, то сумма его углов равна 270°, а не 180°, как положено в евклидовой геометрии. А если бы геометр на Ялмезе начал измерять площади, то скоро убедился бы, что и формула площади круга в этой геометрии иная. Возьмем, например, полусферу, ограниченную экватором (рис. 120). Ее площадь, как известно, равна 2л/?2, где R — радиус сферы. С другой стороны, на поверхности Ялмеза радиус экватора равен расстоянию от Северного полюса S до экватора, т. е. г = И мы видим, что формула площади круга я г2 в ялмезянской гео¬ метрии тоже неверна. Все эти отличия от обычной геометрии объсняются тем, что поверхность Ялмеза является сферой, поэтому искривлена, а обычная планиметрия имеет дело лишь с плоскими фигурами. При этом мы убедились, что с помощью измерений, не выхо¬ дящих за пределы сферической поверхности, можно установить ее кривизну, для этого не требуются ни астрономические наблю¬ дения, ни кругосветные путешествия. С геометрией на сфере человечество впервые встретилось в связи с наблюдениями за звездным небом. Для решения астро¬ номических задач древние ученые разработали сферическую тригонометрию (тригонометрия на плоскости появилась позже). На сфере можно рассматривать те же фигуры, которые имеются на плоскости. Мы уже познакомились с «прямолинейными от¬ резками» и треугольниками ялмезянской — сферической геомет¬ рии. И видели, что многие утверждения евклидовой геометрии теряют здесь силу. Но продолжим наше знакомство со сферой. Через любые две ее точки, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная прямая (большая окружность). Через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное мно¬ жество прямых. Чтобы устранить этот недостаток, удобно отож- действить диаметрально противоположные точки сферы, т. е. счи¬ тать такие точки за одну. Тогда уже через любые две точки сферы проходит единственная прямая. Сферу с отождествлен¬ ными диаметрально противоположными точками называют не¬ евклидовой плоскостью Римана. Ее можно себе представить в виде полусферы, у которой считаются за одну диаметрально противоположные точки окружности, ограничивающей полусферу. Если О — центр сферы радиуса /?, то расстояние между точ¬ ками М\ и М2 римановой плоскости равно произведению радиу¬ са R на угол между векторами ОМ\ и ОМ2 (измеренный в ра¬ дианах). На плоскости Римана любые две прямые всегда пере- 2Ь9
секаются, т. е. здесь совсем нет параллельных прямых — все перпендикуляры к одной прямой пересекаются в одной точке. Мы уже строили сферический треугольник с тремя прямыми углами. Площадь треугольника с углами Л, В и С при вершинах (измеренными в радианах) выражается равенством S = R2(A + B+C-n). Как видим, она определяется только углами. И не только пло¬ щадь треугольника, но и сам треугольник на сфере тоже опре¬ деляется своими углами. Поэтому, помимо трех известных призна¬ ков равенства треугольников, на плоскости Римана есть еще четвертый, когда углы одного треугольника равны углам другого. Неевклидова плоскость Римана реализуется на сфере евкли¬ дова пространства. Наряду с евклидовым пространством рас¬ сматривают псевдоевклидово. Оно отличается лишь формулой, задающей расстояние между точками М\ (х\у у\у z\) и М2(х2,1/2, z2): р2(М|, М2) = (*2 — *|)2+ (у-2—у\)2— (г2 —Z|)2. Это — так называемое гиперболическое расстояние, с которым мы встречались в алгебраическом разделе (гл. II, п. 5). Очевидно, квадрат гиперболического расстояния может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Поэтому в псев- доевклидовом пространстве существуют сферы действительного, мнимого и нулевого радиусов. Их канонические уравнения имеют соответственно вид: х2 + у2 — z2 = r2y (1) х2 + у2 — z2= — q2, (2) х2 + у*-г* = 0. (3) Выясним, какие поверхности определяют уравнения (1) — (3) в привычном нам евклидовом пространстве. Начнем с последнего. Положим 2 = 20. Это уравнение гори¬ зонтальной плоскости, проходящей через точку z0 на оси апликат. Искомая поверхность и горизонтальная плоскость пересекаются по окружности x2-\-y2 = zo радиуса \zo\. При zo = 0 окруж¬ ность вырождается в точку. Плоскость лс = 0 высекает из по¬ верхности (3) пару пересекающихся прямых \y\ = \z\. Легко сообразить, что искомой поверхностью является конус (рис. 121, а). Аналогично с помощью сечений можно устано¬ вить: уравнение (1) определяет однополостный гиперболоид (рис. 121, б), а уравнение (2) —двуполостный гиперболоид (рис. 121, в). Геометрия Лобачевского, как показал Пуанкаре, реали¬ зуется на сфере мнимого радиуса в псевдоевклидовом простран¬ стве, т. е. на двуполостном гиперболоиде в евклидовом простран¬ стве (нужно только помнить, что расстояние здесь задается иной формулой). Как и в случае модели плоскости Римана, при этом диаметрально противоположные точки двуполостного 270
Рис. 121 гиперболоида отождествляются. Поэтому рассматривают лишь точки одной, например верхней, полости гиперболоида. Прямыми называют сечения этой полости центральными плоскостями, т. е. плоскостями, проходящими через начало координат. Убедимся теперь, что при этом действительно возникает модель плос¬ кости Лобачевского. Отобразим с помощью центрального проек¬ тирования из точки О верхнюю полость гиперболоида на плос¬ кость 2=1 (рис. 122). Точки гиперболоида при этом спроекти- руются внутрь круга, ограниченного окружностью х2 + у2=\. «Прямые» на гиперболоиде перейдут в хорды этого круга. В ре¬ зультате мы придем к модели Клейна в круге. Следовательно, и на гиперболоиде реализуется геометрия Лобачевского. Совершенно так же трехмерное пространство Лобачевского реализуется на трехмерной сфере мнимого радиуса в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве. Его ввел в 1909 г. Г. Минков- ский в качестве пространства, в котором имеет место специаль¬ ная теория относительности. Расстояние между точками М\(х\у у|, 2i, t\) и M2(x2, У2> z2, t2) в этом пространстве опреде¬ ляется по формуле Здесь v — проекция скорости на ось абсцисс. При скоростях, значительно меньших скорости света, можно при- v ~ нять —=0. Рис. 122 271 где с — скорость света в вакууме, t — время, *,'(/, 2 — пространственные коор¬ динаты точки, меняющиеся по закону
Отсюда получается ралилеевский закон преобразования коор¬ динат Х-+ х— vt, связанный с классической механикой Ньютона. 7. Кривые поверхности Легко представить себе, что такое кривая линия или кривая поверхности. Вообразить же кривое пространство ку¬ да труднее. Многие люди уверены, что пространство, в котором мы живем, никак не может быть кривым. «В самом деле,— говорят они,— чтобы построить самую обычную кривую линию, например окружность, нужна по крайней мере плоскость, а для винтовой линии нужно уже трехмерное пространство. Точ-но так же любая кривая поверхность, например сфера или гиперболоид, может разместиться только в трехмерном пространстве. Значит, кривое пространство нуждается для своей реализации по крайней мере в четырехмерном пространстве. А так как никто до сих пор четырехмерного пространства не наблюдал, то никаких кри¬ вых пространств быть не может». Некоторые философы пару десятилетий тому назад добавляли к таким рассуждениям всякие сильные слова об идеализме и мракобесии, считая тем самым тему исчерпанной. Зато авторам научно-фантас¬ тических рассказов и романов идея четырехмерности очень понравилась, и они описывали путешествия в четырехмерном мире. На самом деле, однако, искривленность пространства ни¬ как не связана с числом измерений мира, в котором оно нахо¬ дится, а является, так сказать, его внутренним делом. И уста¬ новить эту искривленность, как мы видели в предыдущем пункте, можно с помощью измерений, не выводящих за пределы этого пространства. А можно ли измерить эту искривленность? Начнем с линий. Самой простой кривой линией является окружность. Ясно, что чем больше радиус окружности, тем меньше она искривлена. Кривизну k окружности радиуса R считают равной . Чтобы определить кривизну k любой другой линии в некоторой точке М, берут маленькую дугу, начинаю¬ щуюся в этой точке, и находят угол а, на который поворачивает¬ ся касательная к кривой при перемещении вдоль этой дуги (рис. 123). Величину этого угла делят на длину / дуги ММ\. Если точка М\ приближается к точке М, то частное у прибли¬ жается к. некоторому числу ky которое и называют кривизной данной линии в точке М. (Нетрудно заметить, что для окружности 272
Рис. 123 Рис. 124 Рис. 125 радиуса R такое определение дает fc = -L .) Величину -£- = /? называют радиусом кривизны данной кривой в точке М. Он задает радиус соприкасающейся окружности. Вблизи точки М линия и соприкасающаяся окружность практически совпадают. Понятие кривизны играет большую роль в технике, где приходится иметь дело с прогнутыми балками (кривизна линии изгиба связана с так называемым изгибающим моментом), с раз¬ бивкой закруглений на железнодорожных путях (кривизна должна плавно возрастать от нуля до некоторого максималь¬ ного значения) и т. д. Однако для математика понятие кривизны линии не слишком важно. Дело в том, что он интересуется главным образом вели¬ чинами, не меняющимися при изгибаниях (преобразованиях, сохраняющих длины дуг), а при таких преобразованиях кри¬ визна меняется. Иначе обстоит дело в случае поверхностей. Здесь уже можно дать такое определение кривизны, чтобы она не изменялась при изгибаниях этой поверхности. Рассмотрим гладкую поверхность, т. е. такую, в каждой точке которой можно провести касательную плоскость. Выберем произ¬ вольную точку М на этой поверхности и построим в ней каса¬ тельную плоскость. Через точку М можно провести бесконечное множество нормальных плоскостей к поверхности (т. е. перпенди¬ кулярных касательной плоскости). Каждая из них высекает на поверхности кривую линию (на рисунке 124 изображена одна из них). И каждая из этих кривых линий имеет определенное значение кривизны в точке М. Среди них можно найти наи¬ большее k\ = -pr и наименьшее k2=-j-. Соответствующие нор- RI R 2 мальные плоскости, как установил Эйлер, взаимно перпенди¬ кулярны. Кривйзны k\ и k2 Эйлер назвал главными кривиз¬ нами поверхности в точке М. Например, для любой точки боко¬ вой поверхности цилиндра наибольшее значение кривизны k, = , и где R — радиус основания цилиндра, а наименьшее k2 = 0y так 273
как радиус кривизны образующей цилиндра равен бесконеч¬ ности (рис. 125). Для сферы радиус любого нормального сече¬ ния равен радиусу сферы, а поэтому наибольшее и наименьшее значения кривизны сферы в любой точке равны . и К. Гаусс в «Общих исследованиях о кривых поверхностях» (1827) ввел определение полной кривизны поверхности в точке М как произведения главных кривизн k = k\-k2. Число k берется положительным, если поверхность целиком расположена по одну сторону от касательной плоскости, в противном случае k отрицательное. Для цилиндрической поверхности k = 0t для сферы k = Гаусс доказал, что полная кривизна поверхности R не меняется при ее изгибаниях (без сжатий, растяжений, раз¬ рывов и склеек). Таким образом, она является внутренней характеристикой поверхности. К внутренней геометрии поверх¬ ности относятся и геодезические линии — кратчайшие линии, сое¬ диняющие две достаточно близкие точки поверхности. Такое название объясняется тем, что эти линии на земной поверхности играют важную роль в геодезии. На плоскости геодезическими линиями являются прямые, на сфере — дуги больших кругов. Соединим три произвольные достаточно близкие точки поверх¬ ности геодезическими линиями. Построенный таким образом треугольник называется геодезическим. Мы уже встречались с гео¬ дезическим треугольником на сфере, а на плоскости — это обычный треугольник. Сумма углов такого треугольника может быть больше л (например, на сфере), равна л (на евклидовой плоскости) или меньше л (на плоскости Лобачевского). Раз¬ ность б между суммой углов треугольника (измеренных в ра¬ дианах) и числом л называется угловым избытком. На сфере он положителен, на плоскости Лобачевского, напротив, отри¬ цателен и называется поэтому уже не избытком, а дефектом. Если рассмотреть предел отношения углового избытка треуголь¬ ника к его площади при стягивании треугольника в точку, то окажется, что этот предел совпадает с полной кривизной поверх¬ ности в данной точке. Так как на сфере радиуса R площадь треугольника 5 = б/?2, то А =-!_ 5 R2‘ Получаем постоянную величину, следовательно, ее предел совпадает с самим значением. Таким образом, для полной кри¬ визны сферы получено то же значение, что и по формуле Гаусса. На плоскости 6 = 0, откуда полная кривизна плоскости равна нулю. Поскольку на плоскости Лобачевского площадь треуголь¬ ника S = — 6R , то кривизна плоскости Лобачевского равна — ^7» т- е. она во всех точках постоянна и отрицательна. д 274
Классификацию поверхностей в зависимости от их полной кривизны дал Риман в известной лекции, прочитанной им в Гет¬ тингенском университете при вступлении в должность приват- доцента*. Он предложил на выбор две темы для своей вступи¬ тельной лекции; Гаусс остановился на названии «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии». В этой лекции Риман рас¬ смотрел многомерные поверхности самого общего вида, кривизна которых не является постоянной, а меняется от точки к точке. Переменной является на этой поверхности и формула, по кото¬ рой вычисляется расстояние между точками. Такие поверхности стали называть римановыми. Примерами двумерных римановых поверхностей постоянной кривизны являются евклидова плос¬ кость, плоскость Лобачевского и сфера. Судьба Римана отчасти напоминает судьбу Абеля. Он также был сыном сельского священника, имел слабое здоровье и в конце своей недолгой жизни заболел чахоткой. Риман не дожил до своего 40-летия. Но за это время им были получены фундамен¬ тальные результаты в различных областях математики. Многие теоремы и функции носят его имя. В теории чисел это дзета- функция Римана, в вещественном анализе — критерий интегри¬ руемости ограниченной функции, в комплексном анализе — условия дифференцируемости функции комплексного перемен¬ ного, многолистные поверхности Римана и т. д. Геометрический подход к решению математических задач привел его к открытию некоторых топологических инвариантов. Но, пожалуй, наиболее важными в идейном отношении были результаты, изложенные им в знаменитой лекции. В дальнейшем изучение римановых пространств* стало одним из основных направлений в геометрии. Вернемся вновь к картине реального мира. Мы уже говорили о том, что геометрия пространства-времени зависит от распре¬ деления массы в нем. В связи с этим оно представляет собой четырехмерное риманово пространство переменной кривизны. Остальные пространства, в том числе и евклидово, являются его приближениями. * Защита диссертации, после которой присваивалось звание доктора фило¬ софии, не давала разрешения читать лекции. Нужно было либо сдать еще один экзамен для получения звания учителя гимназии, либо выполнить научную работу по математике. После защиты этой работы перед факультетом предостав¬ лялось право читать лекции в должности приват-доцента. При этом оплата зависела от числа студентов, записавшихся на спецкурс (основные курсы чи¬ тались профессорами). Следующей ступенью была твердо оплачиваемая долж¬ ность экстраординарного профессора, а затем и ординарного.
Применение в геометрии алгебраических методов, начав¬ шееся с трудов Ферма и Декарта, как уже говорилось, одобрялось не всеми учеными. На первых порах, по словам Н. Бурбаки*, аналитическая геометрия была «громоздкой и неизящной». После красивых построений древних греков, часто поражавших своей виртуозностью, оставалось чувство неудовлетворенности. Мно¬ гие ученые пытались уберечь древнюю красивую науку от вторжения посторонних методов. Вот что писал Лейбниц, обращаясь к Гюйгенсу: «Я еще недоволен алгеброй в том от¬ ношении, что она в области геометрии не доставляет ни крат¬ чайших путей, ни наиболее красивых построений...— И далее он ратует за новый подход к изучению геометрии.— Нам нужен еще иной, чисто геометрический или линейный анализ, не¬ посредственно выражающий для нас положение, как алгебра выражает величину». Лейбниц не довел свою мысль до завер¬ шения, поэтому нам неизвестно, что он подразумевал под терминами analysis situs (от лат. situs — положение), т. е. «анализ положения» и «геометрия положения», встречающимися в этом письме. Разные ученые склонны были по-разному воспри¬ нимать эти термины и видеть в них два различных раздела математики. Эйлер, Гаусс и Риман считали, что термины Лейбница относятся к новой ветви геометрии, изучающей свойства геомет¬ рических фигур, связанные с их взаимным расположением. Возникнув из разрозненных задач и оформившись во второй половине прошлого столетия в новую область математики, она получила^название топологии (от греч. «топос» — место). * Никола Бурбаки — собирательный псевдоним группы французских матема¬ тиков. 276
Другие математики считали, что Лейбниц подразумевал здесь проективную геометрию. «Геометрия положения» — так на¬ зывалась книга французского математика Лазара Карно (1753—1823), в которой он выступил как предшественник творцов проективной геометрии. Такое же название имела книга последователя Карно немецкого математика Карла фон Штаудта (1798—1867), развившего идеи проективной геомет¬ рии. В этой главе мы кратко познакомимся и с топологией, и с проективной геометрией. 1. Гомеоморфизмы Отдельные топологические задачи решал еще в XVIII в. Эйлер. А название этой науки впервые появилось в работе немецкого математика Иоганна Листинга (1808—1882) «Предварительные исследования по топологии» (1847). Собствен¬ но, эта работа и положила начало новой области математики, бурное развитие которой пришлось на начало XX в. и связано с именами Пуанкаре и немецкого математика Феликса Хаусдорфа (1868—1942). Больших успехов добились также представители московской школы Павел Сергеевич Александров (1896—1982), занимавшийся вопросами топо¬ логии всю свою долгую жизнь, и безвременно погибший талант¬ ливый математик Павел Самуилович Урысон (1898— 1924). Выступая на международном математическом конгрессе с речью, посвященной 100-летию со дня рождения Пуанкаре, академик П. С. Александров на вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии, ответил: «Он ее создал». Замечательна многогранность Пуанкаре. Мы уже знаем, что, занимаясь вопросами теории функций комплексного пере¬ менного, он связал ее с геометрией Лобачевского. И к топологии он пришел через исследования решений дифференциальных уравнений и некоторых классов функций. Ему принадлежат дости¬ жения во многих областях математики, физики и астрономии. В частности, независимо от А. Эйнштейна он сформулировал постулат относительности и развил его математические следствия. Наверное, нет такой области математики, где бы Пуанкаре не оставил не только результатов, но — что еще важнее — новых методов исследования. Характерно высказывание Бурбаки: «Нет такого математика, даже среди обладающих самой обшир¬ ной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же кас’ается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту остав¬ ляют печать своего гения почти во всех его областях, то они Th
составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключе¬ ние». В знак признательности заслуг Пуанкаре его именем назван Математический институт в Париже. Изучает топология свойства геометрических объектов, не изменяющиеся при взаимно однозначных и взаимно непре¬ рывных преобразованиях. Такие преобразования называют од¬ ним словом — гомеоморфизмы. Попытаемся составить о них пред¬ ставление. Взаимная однозначность преобразования предполагает, что каждой точке одной фигуры сопоставляется единственная точка другой фигуры, причем различным точкам первой фигуры соот¬ ветствуют различные точки второй. На рисунке 126 показано, как можно взаимно однозначно преобразовать различные геомет¬ рические фигуры друг в друга при помощи проектирования. Это примеры не только взаимно однозначных, но и взаимно непрерывных преобразований. Понятие взаимной непрерывности несколько сложнее. Мы не будем приводить его определения, обратимся за помощью к интуиции. Она подсказывает нам, что в этом случае малое перемещение точек одной фигуры влечет за собой малое же перемещение соответствующих точек другой фигуры. Из рисунка 126, а мы видим, что два отрезка разной длины го- меоморфны между собой. Но вот если один из этих отрезков разрезать на две части, то гомеоморфизм нарушается (рис. 127) за счет того, что нарушается взаимная непрерывность преобразо¬ вания. Гомеоморфны между собой окружность и эллипс (рис. 126, б). Но если склеить две точки эллипса, то в резуль¬ тате получается восьмерка, которая уже не гомеоморфна окруж¬ ности (рис. 128), так как при этом теряется взаимная одно¬ значность соответствия. Правда, можно установить другое, более сложное взаимно од¬ нозначное преобразование восьмерки в окружность, но оно не будет взаимно непрерывным. Итак, гомеоморфизм разрешает растягивать, сжимать фигуры, изгибать их, выворачивать наизнанку и т. п., но не разрешает разрезать их и склеивать. Говорят еще, что гомеоморфные 278
фигуры можно получить друг из друга непрерывной дефор¬ мацией. Вообще говоря, доказать, что какие-либо фигуры не явля¬ ются гомеоморфными, бывает достаточно сложно. Ведь из того, что мы не нашли нужного соответствия, еще не следует, что его нет вообще. И здесь на помощь приходят топологические ин¬ варианты — свойства фигур, не изменяющиеся при гомеомор¬ физмах. Если одна из фигур обладает таким свойством, а дру¬ гая нет, то фигуры не гомеоморфны. В последующих пунктах мы познакомимся с некоторыми простейшими задачами топологии, решавшимися на заре ее появления, и встретимся попутно с некоторыми топологиче¬ скими инвариантами. 2. Тела Платона Многие из нас в детстве складывали мозаики и могли заме¬ тить, что кусочки, из которых складывается панно, чаще всего имеют форму правильных треугольников, шестиугольников или квадратов. Именно из таких многоугольников можно составить мозаику, сплошь заполняющую плоскость рисунка. Интерес к пра¬ вильным многоугольникам возник давно. Связан он не только с возможностью их плотной укладки на плоскости, но и с кра¬ сотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов или ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные. И с этим мы тоже знакомы с детства. Читатели наверняка склеивали сами или видели новогодние украшения из красивых почтовых открыток или яркой бумаги в форме правильных многогранников, т. е. выпуклых многогранников, у которых все грани — равные пра¬ вильные многоугольники, а все многогранные углы равны между собой. Выпуклость означает, что многогранник расположен по 279 Рис. 127 Рис. 128
Рис. 129 одну сторону от любой из своих граней. Какие же многоуголь¬ ники годятся в качестве граней таких многогранников? Рассмотрим сначала правильные треугольники. В каждой вер¬ шине многогранника могут сходиться три грани, в результате получается тетраэдр (4-гранник, рис. 129, а), четыре грани — октаэдр (8-гранник, рис. 129, б), пять граней — икосаэдр (20- гранник, рис. 129, в). Шесть граней в одной вершине сходиться не могут: угол каждого треугольника равен 60°, поэтому шесть треугольников оказываются в одной плоскости и не охватывают никакого многогранника. Составим теперь. многогранник из квадратов, получим куб, его еще называют гексаэдром (6-гран- ником, рис. 130, а). В каждой вершине куба сходятся по три грани. Других правильных многогранников из квадратов, очевид¬ но, составить нельзя. Из правильных 5-угольников можно полу¬ чить лишь один многогранник — додекаэдр (12-гранник, рис. 130, б). Использовать в качестве граней другие правильные многоугольники не удается. На самом деле даже если в одной вершине сойдутся три 6-угольника, то они будут лежать в одной плоскости (поскольку угол при вершине каждого 6-угольника равен 120°). Соразмерность и красота правильных многогранников на¬ столько поражали пифагорейцев, что они называли их косми¬ ческими телами. По-гречески слово «космос» означает «украше¬ ние», «порядок» (не случаен общий корень со словом «косме¬ тика»). Называют их также Платоновыми телами, потому что Рис. 130 280
Платон связал с этими телами формы атомов основных сти¬ хий природы. В его учении атомы земли имели форму куба, огня — форму тетраэдра, воздуха — октаэдра, воды — икосаэдра. «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение (до¬ декаэдр),— пишет Платон,— его бог оставил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал». Платоновы тела интересовали многих ученых. Евклид посвя¬ тил им всю 13-ю книгу своих «Начал». К ним обращались в своих трудах Декарт, Кеплер, Эйлер и другие математики. Этот интерес объясняется не только эстетическими соображениями, но и многими замечательными свойствами этих многогранников. Например, каждый из них можно вписать в сферу и около каж¬ дого из них описать сферу. Все они имеют жесткую форму — не обладают никакой подвижностью: с этим свойством сталки¬ вался всякий, кто склеивал модель любого правильного мно¬ гогранника. Знали об этом свойстве и античные математики, но доказал его для любого выпуклого многогранника только Коши. Декарт, изучая правильные многогранники, обнаружил уди¬ вительную закономерность: если из числа вершин вычесть число ребер и к разности прибавить число граней, то в результате для каждого из тел Платона получится число 2. Если обозна¬ чить через В, Р и Г соответственно число вершин, ребер и гра¬ ней многогранника, то утверждение Декарта записывается так: для тел Платона В — Р + Г = 2. Посмотрите на таблицу и убеди¬ тесь в этом сами. Тела Платона В P Г Тетраэдр 4 6 4 Куб 8 12 6 Октаэдр 6 12 8 Додекаэдр 20 30 12 Икосаэдр 12 30 20 В 1755 г. Эйлер доказал, что это замечательное равенство справедливо для произвольного выпуклого многогранника. В связи с этим число х=в—Р+Г получило название эйлеровой характеристики многогранника. 281
3. Можно ли причесать ежа? Утверждение Эйлера мы докажем для более общего случая, но предварительно познакомимся с понятием графа. Под графом понимают совокупность точек и отрезков или дуг, соединяющих некоторые из этих точек. Точки называют вершинами графа, а отрезки и дуги — его ребрами. Примеры графов приведены на рисунках 131 и 132. Нас будут интере¬ совать лишь связные графы: из любой их вершины по ребрам можно добраться до любой другой вершины. На рисунке 131 изображены связные графы, а на рисунке 132 — несвязные. Если на сфере начерчен граф, разбивающий ее на области, каждая из которых гомеоморфна треугольнику, то сферу назы¬ вают триангулированной (от лат. triangulum — треугольник) с помощью данного графа. Голландский ученый Виллеброрд С нелль (1580—1626), или, как его чаще именуют на латин¬ ский манер, Снеллиус, предложил использовать триангуляцию для более точных измерений на земной поверхности. Для этого фиксируются опорные геодезические пункты таким образом, чтобы из любого пункта хорошо просматривались соседние с ним. Эти пункты являются вершинами треугольников, на которые разбивается земная поверхность. Точные измерения на местности связаны с вычислением длин сторон и углов треугольников, на которые эта местность разбита. Перейдем к доказательству утверждения Эйлера. Лю¬ бой выпуклый многогранник можно непрерывной деформацией (гомеоморфно) преобразовать в сферу. Для этого достаточно взять сферу, охватывающую многогранник, и из любой точки, лежащей внутри многогранника, спроектировать его на сферу. При этом вершины и ребра многогранника спроектируются в неко¬ торый граф на сфере, который будет ее триангулировать. На триангулированную сферу естественным образом распростра¬ няется понятие эйлеровой характерно 1ики % = В — Р + Г, здесь В — число вершин графа, Р — число его ребер, а Г — число областей, на которые граф разбивает сферу. Покажем, что число х является инвариантом сферы, т. е. не зависит от спо¬ соба ее триангуляции. 282 Рис. 131 Рис. 132
Возьмем произвольный граф, триангулирующий сферу, и уберем из него ребро (напри¬ мер, ребро АВ на рисунке 133, а). Каждое ребро является гра¬ ницей двух соседних областей, поэтому вместе с изъятием од¬ ного ребра уменьшается на еди¬ ницу и число областей. В ре¬ зультате значение % не изменит¬ ся. При этом полученный граф снова будет триангулировать сферу. Теперь попробуем убрать из графа вершину. Рассмотрим прос¬ тейший случай, когда в вершине сходятся только два ребра. (Это всегда может быть достигнуто последовательным изъяти¬ ем ребер, сходящихся в данной вершине.) Пусть это ребра СВ и BD (рис. 133, б). Убрав вершину В, мы должны заменить ребра СВ и BD одним ребром CD, при этом число ребер уменьшится на единицу, значит, величина х опять не меняется. Продолжая последовательно убирать ребра и вершины, мы придем к графу, состоящему из одной вершины и одного замкнутого ребра, начало и конец которого совпадают с этой вершиной (рис. 134). Эйлерова характеристика сферы, триангулированной этим гра¬ фом, равна 1 —1+2 = 2. Следовательно, и для произвольным образом триангулированной сферы % = 2. Будем считать, что эйлерова характеристика сферы равна 2. Очевидно, из доказанного вытекает, что число х = В — Р + Г для любого многогранника, гомеоморфного сфере, в том числе и для произвольного выпуклого многогранника, также равно 2. Приведем пример многогранника с эйлеровой характеристикой, отличной от двух. Пусть в кубе имеется отверстие, как показано на рисунке 135. Легко подсчитать число вершин, ребер и гра¬ ней данного многогранника. Следует только иметь в виду, что грани исходного куба (ABCD и ей противоположная) с «дыра¬ ми» и потому с топологической точки зрения не могут считаться гранями многогранника — ведь они не гомеоморфны треуголь¬ нику. Чтобы поправить дело, добавим, например, ребро D\D Рис. 134 Рис. 135 283 Рис. 133
Рис. 136 (оно изображено другим цветом). Поступая аналогично с про- тивопложной стороной куба, найдем х=16 — 26+10 = 0. Нетруд¬ но заметить, что этот многогранник гомеоморфен тору (от лат. toros — валик). Представление о торе можно составить по виду баранки, бублика или накачанной камеры автомобильного колеса. Тор можно получить, вращая окружность вокруг оси, расположенной с ней в одной плоскости и не пересекающей ее. Поскольку при гомеоморфизме граф, начерченный на одной поверхности, переходит в граф, начерченный на другой, то эйлеровы характеристики гомеоморфных поверхностей совпадают. Отсюда и следует, что эйлерова характеристика поверхности является ее топологическим инвариантом. А теперь познакомимся с «задачей о еже». Пусть в каждой точке сферы растет колючка. Спрашивается: можно ли «приче¬ сать» этого сферического ежа, т. е. так уложить колючки, чтобы каждая из них касалась сферы и их направление менялось непрерывно при переходе от одной точки сферы к другой? Ока¬ зывается, этого сделать нельзя: одна или две колючки будут торчать не теле ежа (рис. 136). А вот торообразного ежа «при¬ чесать» можно (рис. 136). И весь секрет здесь заключается в том, что эйлерова характеристика тора равна нулю (доказа¬ тельство этого факта мы приводить не будем, поскольку для этого нужны дополнительные сведения по теории поверхностей). 4. Сферы с ручками Возьмем лист бумаги и начнем закрашивать его, не отрывая кисти от бумаги и не переходя через край. В результате мы закрасим только одну его сторону. В этом проявляется свойство листа бумаги иметь две стороны. Выясним, любая ли поверх¬ ность обладает этим свойством. Но сначала дадим строгое опре¬ деление этого свойства. Проведем в произвольной точке поверх¬ ности нормальный вектор, т. е. вектор, перпендикулярный ка¬ сательной плоскости. Будем перемещать этот вектор вдоль любой замкнутой линии на этой поверхности. После возвращения в ис¬ 284
ходную точку направление вектора может совпасть с первоначаль¬ ным. В этом случае поверхность называется двусторонней или ориентируемой. Очевидно, такими поверхностями являются плос¬ кость, сфера, цилиндр, тор. Но имеются поверхности, где это свойство не выполняется: на них можно найти такой замкнутый путь, что нормальный вектор, пройдя его и вернувшись в исходную точку, будет иметь противоположное направление. Такие поверхности называют од¬ носторонними или неориентируемыми. Возможно, с одной из таких поверхностей вы уже знакомы — это лист Мёбиуса (рис. 137). Совсем легко сделать его модель. Для этого надо взять прямо¬ угольную бумажную ленту и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180°. Впервые эта поверхность была изучена немецкими математиками Мёбиусом и Листингом. Из рисунка видно: если перемещать нормальный вектор вдоль ленты, то при возвращении в исходную точку этот вектор по¬ меняет направление на противоположное. Если закрашивать лист Мёбиуса, соблюдая те же условия, что и раньше, то лента окажется закрашенной с обеих сторон. Интересно, что если раз¬ резать лист Мёбиуса по средней линии, то он превратится в более узкую и длинную дважды перекрученную замкнутую ленту (рис. 138). Двусторонняя поверхность таким свойством не об¬ ладает: если ее разрезать по любой замкнутой кривой, то она просто распадется на две части. Очевидно, любая непрерывная деформация поверхности не ме¬ няет ее свойства быть односторонней или двусторонней. По¬ этому это свойство является топологическим инвариантом. Опишем еще одну одностороннюю поверхность, найденную Клейном. Реализовать ее в трехмерном пространстве невоз¬ можно. Поэтому ее изображают условно. При этом поступают так: берут цилиндр, изгибают его верхнюю часть, пропускают ее через боковую поверхность (не делая в ней отверстия!) и сое¬ диняют верхнюю часть с нижней. Называют эту поверхность бутылкой Клейна. Она изображена на рисунке 139. Налить воды в бутылку Клейна невозможно из-за того, что у нее нет ни внут¬ ренней, ни наружной стороны. Рассмотрим еще один топологический инвариант — связ- Рис. 137 Рис. 138 Рис. 139
ность. Остановимся только на не¬ строгом определении этого понятия, основанном на практическом опыте. Поверхность называют связной, если она состоит из одного куска; в про¬ тивном случае ее называют несвяз¬ ной. Так, сфера, цилиндр, лист Мё¬ биуса— связные поверхности, а дву- полостный гиперболоид нет. Он сос¬ тоит из двух связных частей (в мате¬ матике такие части называют компо¬ нентами)— верхней и нижней по¬ лостей. Произвольная замкнутая линия разбивает сферу на две связные компоненты. Это утверждение кажется очевидным, но его доказательство не совсем простое. Впервые оно было полу¬ чено французским 'математиком Камилем Жорданом (1838—1922). На торе же существуют замкнутые линии, не разбивающие его на две части. Более того, можно найти даже 2 таких разреза: один по меридиану, а другой по параллели (рис. 140). А вот три замкнутые кривые всегда разбивают тор на части. Для поверхности, имеющей форму кренделя, сущест¬ вуют даже 4 разреза (они указаны на рисунке 141), от которых она не распадается на куски. Зато пять любых замкнутых кривых разбивают «крендель» на части. Приведенные примеры позволяют дать следующее определе¬ ние: поверхность называется k-связной, если существуют (k— 1) замкнутых линий, не разбивающих ее, а любые k замкнутых ли¬ ний разбивают поверхность на части. Для сферы /?=1, для тора k = 3, для «кренделя» k = 5. Понятие fc-связности является топологическим инвариантом поверхности. Но для каждой по¬ верхности искать соответствующие разрезы — занятие утоми¬ тельное. Можно поступить гораздо проще. Будем раздувать тор в одном месте. В результате он сна¬ чала примет вид, изображенный на рисунке 142, а, а затем превра¬ тится в сферу с ручкой (рис. 142, б). Ее можно получить другим способом: сделать в сфере дырку, а затем заклеить ее ручкой. (Ручку можно сделать из тора, тоже вырезав в нем дырку; рис. 143.) Оказывается, любая замкнутая ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с р ручками (р = 0, 1,2, ...). Это утверждение является частью замечательной теоремы Мёбиуса — Жордана о классификации поверхностей. Естественно, мы ее доказывать не будем. Приведем лишь формулу эйлеровой характеристики сферы с р ручками: X —2(1 р) ■ 286 Рис. 140 Рис. 141
Так, для сферы (р = 0) х = 2, для тора (р= 1) х = 0, для «крен¬ деля» (р = 2) х=—2. Соотношение между эйлеровой характе¬ ристикой и fe-связностью поверхности имеет вид х = 3 — /?, от¬ куда находим соотношение между fe-связностью и числом ручек на сфере: k = 2p+\. Дырку в сфере можно заклеить не ручкой, а листом Мёбиуса. Делается это так. В сфере вырезается отверстие (рис. 144, а), гомеоморфное кругу (в виде воротничка). Затем образовав¬ шийся язычок поворачивают внутренней стороной наружу и к полученному краю разреза приклеивают лист Мёбиуса (рис. 144, б, в). Изобразить это на плоскости без самопересечения невозмож¬ но. В результате получается неориентируемая поверхность. Как утверждается в той же теореме Мёбиуса — Жордана, любая замк¬ нутая неориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с q отверстиями, заклеенными листами Мёбиуса. Эйлерова харак¬ теристика такой поверхности Х = 2 —<7- В частности, для бутылки Клейна (q = 2) х = 0- Если же рас¬ смотреть сферу с р ручками и q листами Мёбиуса, то Х = 2 —2 p — q. Рис. 144 287 Рис. 142 Рис. 143
5. Кенигсбергские мосты Во времена Эйлера широко обсуждалась интересная з а- д а ч а. В городе Кенигсберге, расположенном на реке Преголь, в то время было 7 мостов (они изображены на рисунке 145, а). Можно ли, гуляя по городу, пройти по всем мостам ровно по одному разу? Для решения этой задачи сопоставим плану города сле¬ дующий граф (рис. 145, б): вершина А соответствует суше, В — острову, вершины Л и П — левому и правому берегу, а линии, их соединяющие,— мостам. Остается выяснить, существует ли маршрут обхода всех ребер построенного графа, при кото¬ ром ни одно ребро не проходится дважды. Граф, удовлетво¬ ряющий такому требованию, называется уникурсальным (от лат. unus — один, cursus — путь; отсюда и слово «курс»). Так же называют и соответствующий маршрут. Заинтересовавшись этой задачей, Эйлер обобщил (1736) ее на случай произвольного расположения любого числа мостов. Именно здесь впервые в математике и появились графы. Правда, одна из их разновидностей использовалась уже в глубокой древности. Речь идет о деревьях — графах без замкнутых путей. Для наглядного изображения родственных связей применялось генеалогическое дерево. А комментатор работ Аристотеля римский философ Порфирий (ок. 233 — ок. 304) применил дерево для классификации материи: Дерево Порфирия — первое использование графа в науке, но лишь Эйлер применил графы при доказательстве некоторых утверждений. Выясним свойства уникурсального графа. Его обход может представлять собой замкнутый путь (когда начало пути и конец приходятся на одну вершину) и незамкнутый. В первом случае в каждой вершине сходится четное число ребер. На самом деле 288 материя бестелесная телесная неживая живая растения животные лишенные разума наделенные разумом
в Рис. 145 если через вершину мы проходим k раз (подходя каждый раз по одному ребру, а уходя по другому), то к ней подходят 2k ребер. Число ребер, сходящихся в вершине, называют ее порядком. При незамкнутом пути все вершины, кроме двух, имеют четный порядок. Начало и конец пути — вершины нечетного порядка. Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах, содержит 4 вершины нечетного порядка, а поэтому не является уникурсальным. Следовательно, задача не имеет решения. Заметим, что нечетных вершин оказалось четное число. Так обстоит дело в любом связном графе. Как показал Эйлер, при количестве нечетных вершин, равном 2k, весь обход может быть составлен лишь из k отдельных маршрутов. В нашем случае существуют два таких маршрута. Чтобы обойти все мосты, надо сначала пройти по одному из них, а затем по другому. Всем знакома головоломка: на листе бумаги начертить за¬ данную фигуру одним росчерком (т. е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по одной линии дважды). На рисунке 146 изображены некоторые из таких фигур. Линии этих фигур можно считать ребрами графа, соединяющими соответствующие вер¬ шины (на рисунке они выделены). Поскольку все вершины графов, изображенных на рисунке 146, а, б, четные, то нужные маршруты существуют и начинаться они могут с любой вершины. Построение их зависит лишь от нашего искусства. Предание гласит, что вторую фигуру одним росчерком меча нарисовал на земле пророк Магомет. Поэтому она называется знаком Маго- Рис. 146 10. Зак 4723 fi Я Виленкин 289
мета. На рисунке 146, в две нижние вершины нечетные, осталь¬ ные — четные, поэтому начинать рисовать «домик» надо с одной из нижних вершин. Последняя фигура (рис. 146, г) имеет уже 8 нечетных вершин, поэтому обойти этот граф уникурсальным путем нельзя. Но существуют 4 росчерка карандашом, которыми рисуется весь граф без повторений. До сих пор мы искали в заданном графе уникурсальный путь — путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз. А теперь изменим задачу: будем искать путь, проходящий через каждую вершину графа ровно один раз (при этом совершенно не обязательно проходить по всем ребрам). Впервые такую задачу поставил (1857) Гамильтон (у него речь шла об обходе вершин правильного додекаэдра), поэтому путь, удовлетворяющий поставленному условию, называют гамильтоновым. Если для задач первого типа существуют правила, позво¬ ляющие выяснить, имеют они решение или нет, то для задач второго типа таких правил фактически нет. Только для неко¬ торых видов графов установлено, что они имеют гамильтоновы пути. А поиск таких путей имеет важное значение для решения некоторых практических задач. Приведем известную задачу коммивояжера. Коммивояжер (торговый агент), отправляющийся из неко¬ торого города, должен объехать еще несколько городов и вер¬ нуться в исходный. Известны расстояния между любыми двумя городами. Какой маршрут выбрать коммивояжеру, чтобы его путь был кратчайшим? К задачам такого типа относятся задачи доставки товаров в магазины, снабжения потребителя электроэнергией, водой, газом; задачи, возникающие при автоматизации монтажа раз¬ личных схем, и т. д. Очевидно, все они сводятся к поиску в за¬ данном графе гамильтонова пути (иногда замкнутого), удовлетво¬ ряющего дополнительному условию: сумма длин пройденных ребер должна быть минимальной. К сожалению, неизвестно ни¬ какого эффективного алгоритма решения этой задачи — оно сводится к перебору всевозможных вариантов. 6. Хватит ли четырех красок? В 1852 г. лондонский студент Гутри, рассматривая карту Англии, обнаружил, что если закрашивать соседние графства разным цветом, то для раскрашивания всей карты достаточно четырех красок. Он предположил, что такого же количества красок хватит, чтобы раскрасить вообще любую карту. Здесь надо уточнить, что соседними считаются страны, имеющие об¬ щую протяженную границу; две страны, имеющие одну или не¬ сколько общих точек, можно закрашивать одним цветом. Ги- 290
Рис. .147 потеза Гутри получила название проблемы четырех красок. Обычно именно так описывают историю возникновения этой задачи, хотя появлялась она еще раньше у других математи¬ ков. По-видимому, впервые ее сформулировал в 1840 г. Мёбиус. Но проблема эта как быстро возникала, так и быстро забыва¬ лась. Внимание к ней привлек Кэли, когда предложил (1878) за¬ дачу о четырех красках на заседании английского математи¬ ческого общества. Над ее решением задумывались многие уче¬ ные, но найти его им никак не удавалось. В конце прошлого века английский математик Хивуд дока¬ зал, что пяти красок достаточно для раскрашивания любой карты. Но в некоторых частных случаях хватает и меньшего их количества. Например, всего двумя красками можно раскрасить карту, обладающую свойством: в каждом узле сходится четное число границ (узел — это точка, в которой сходятся границы более двух стран). Мы докажем это утверждение для частного случая, когда границами государств служат прямые. У такой карты на самом деле в каждом узле сходится четное число границ. Доказательство проведем методом математической индук¬ ции, по числу прямых. Одна прямая делит плоскость на две части, и утверждение очевидно. Пусть оно верно для некоторого числа прямых. Добавим еще одну границу (на рисунке 147, а она выделена другим цветом). Оставим рас¬ краску карты выше этой прямой без изменения, а ниже (рис. 147, б) поменяем на противо¬ положную. Очевидно, новая раскраска искомая. Но это были частные случаи. Для произ¬ вольной карты меньше четырех красок недоста¬ точно; на рисунке 148 изображены четыре государства, каждое из которых граничит с тремя остальными. Так сколько же нужно кра¬ сок, можно ли все-таки обойтись четырьмя? Ответ был получен лишь тогда, когда задачу о четырех красках перевели на язык графов. Рис. 148 Ю* 291
Выберем в каждом государстве по точке (вершины графа) и соединим те из них, государства которых имеют общую про¬ тяженную границу. Вопрос сводится к возможности раскраши¬ вания вершин полученного графа четырьмя красками так, чтобы вершины, соединенные общим ребром, имели разный цвет. Слож¬ ность этой задачи заключается в многообразии вариантов таких графов. В 1976 г. американские математики К. Аппель и В. Хаккен разбили все возможные варианты на 2000 типов, составили ма¬ шинную программу изучения этих типов и с помощью ЭВМ пока¬ зали, что четырех красок для раскрашивания любой карты доста¬ точно. В 1978 г. американский математик Поль Коэн (род. в 1934 г.) предложил более усовершенствованное решение задачи, упростив типы графов и составив программу, допус¬ кающую «ручную» проверку. Если считать, что у машины во время работы не было сбоя, то задачу можно считать решен¬ ной. Правда, не всех математиков удовлетворило такое решение проблемы, поскольку проверка вручную правильности машин¬ ного решения потребовала бы нескольких лет, причем нет гаран¬ тии того, что сам вычислитель при такой проверке не оши¬ бется. Отметим, что для раскрашивания карты на произвольной замкнутой поверхности тоже достаточно конечного числа красок, причем это число зависит от эйлеровой характеристики % поверх¬ ности. Для всех замкнутых поверхностей, кроме бутылки Клейна, оно равно |-7 + У49-24Х j где квадратные скобки означают целую часть числа. Для бутылки Клейна хватит шести красок. Оказывается, аналогичная задача в пространстве не имеет положительного решения ни для какого числа красок. Здесь уже раскрашиваются объемные тела, при¬ чем соседними считаются те, у которых имеется поверхностная граница. Приведем еще одну задачу о раскрашивании. Она не столь знаменита, как предыдущая, и не имеет такой богатой истории, но интересна уже тем, что до сих пор не решена. Сформулируем ее. Какое наименьшее число красок потребуется для раскраши¬ вания плоскости, чтобы любые две точки, лежащие на единичном расстоянии друг от друга, оказались в областях, закрашенных разным цветом? Покажем, что трех красок для решения этой задачи мало. С этой целью обратимся к графу, изображенному на рисунке 149. Длина каждого ребра этого графа равна единице. Предположим, что трех красок достаточно. Окрасим вершины графа в цвет об¬ ласти, содержащей эту вершину. Пусть А — синяя вершина, 292
тогда В и D окрашены в другие цвета, следовательно, вершина С синяя. Аналогично Е и G не являются синими, поэтому F снова синяя. Это противоречит условию: вершины С и F окрашены в один цвет и находятся на единичном расстоянии. С другой стороны семи красок достаточно. Это видно из рисунка 150. Здесь разные цифры означают разные цвета. Пра¬ вильные шестиугольники таковы, что расстояние между их проти¬ воположными вершинами несколько меньше единицы. До сих пор неизвестно, можно ли раскрасить плоскость в 4, 5 или 6 цветов таким образом, чтобы точки, лежащие на единичном расстоянии друг от друга, оказались в разных по цвету областях. Есть еще масса интересных топологических задач, но все они, как правило, требуют глубоких специальных знаний. Подведем некоторые итоги. Топологические методы исследо¬ вания базируются на непрерывности — фундаментальном поня¬ тии математического анализа. Непрерывные отображения, как правило, задаются какими-то функциями в некоторой системе координат. Поэтому идея Лейбница об освобождении геометрии от координатной системы и вследствие этого от алгебраических методов в топологии осуществилась лишь частично. К тому же топология существенно использует методы других смежных наук. С другой стороны, в силу своей общности идеи топологии легко проникают во все естественные науки: топологические свойства обнаруживают молекулы полимеров, кристаллы, сверх¬ проводники и т. д. Сейчас даже трудно себе представить совре¬ менное состояние физики, химии, биологии без использования топологических методов. 7. Гармоническая четверка Проективная геометрия, как видно из ее названия, связана с проекцией, причем имеется в виду центральное проектирование. К слову сказать, параллельное проектирование — это частный 293 Рис. 149 Рис. 150
случай центрального, когда центр проектирования удален в бес¬ конечность. Появилось центральное проектирование сначала, по- видимому, в живописи. Художники, используя его, создают иллюзию пространства на плоскости. Способ изображения с по¬ мощью центрального проектирования называют перспективой. Основы перспективы хорошо представляли себе уже художники Древней Греции. Она применялась в театральных декорациях еще во времена Эсхила (VI—V вв. до н. э.), а правила перспек¬ тивы упоминаются в работе Евклида «Оптика;». Но стройная теория перспективы складывается в XI—XVI вв. в работах художников и архитекторов Возрождения. Позже учение о перспективе почти полностью ушло из живописи в ма¬ тематику. Из него выросли две ветви геометрии: проективная и начертательная. Чтобы лучше понять, что изучает проектив¬ ная геометрия, обратимся к примеру. Возьмем обычную плоскость и обычную сферу. Для удобства расположим их так, чтобы плоскость касалась сферы в точке S (южный полюс) (рис. 151). Спроектируем сферу из ее центра на касательную плоскость. При этом каждая пара диаметрально противоположных точек сферы спроектируется в одну точку плоскости. Большие окружности на сфере перейдут в прямые на плоскости; не найдется только прямой, соответствующей эква¬ тору. Добавим к нашей плоскости бесконечно удаленную пря¬ мую, которую и поставим в соответствие экватору. Пополненную таким образом плоскость называют проектив¬ ной. Теперь каждой паре диаметрально противоположных точек сферы сопоставлена единственная точка проективной плоскости, причем паре диаметрально противоположных точек экватора — бесконечно удаленная точка. Чтобы установленное соответствие стало взаимно однозначным, отождествим диаметрально противо¬ положные точки сферы. Можно показать, что полученное в ре¬ зультате взаимно однозначное преобразование является гомео¬ морфизмом. Поэтому сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками является топологической моделью проективной плоскости. Вспомним определение неевклидовой плоскости Римана (гл. II, п. 6). Очевидно, проективная плос¬ кость является ее топологическим эквивалентом. И здесь, как и на плоскости Римана, каждая прямая замкнута (в результате при¬ соединения к ней бесконечно удаленной точки); все параллель¬ ные прямые имеют общую бесконечно удаленную точку и поэтому пересекаются в ней — на проективной плоскости нет непересе- кающихся прямых. Но на этом ее сходство с плоскостью Римана и кончается. А все дело в том, что на неевклидовой плоскости Римана опре¬ делено расстояние между точками, а на проективной плоскости его нет. Геометрия на проективной плоскости изучает свойства фигур, сохраняющиеся при проективных преобразованиях — это взаимно 294
однозначные преобразования, при которых любая прямая пере¬ ходит снова в прямую. Очевидно, они образуют группу. Проективное преобразование плоскости а можно устроить, например, следующим образом. Возьмем еще одну плоскость р и спроектируем плоскость а на плоскость р из некоторой точки S, не лежащей ни на а, ни на р. А затем из другой точки Я, тоже не принадлежащей аир, спроектируем плоскость р снова на плос¬ кость а. Наше преобразование плоскости а получено в результате последовательного выполнения двух перспективных отображений одной плоскости на другую. Вообще можно доказать, что любое проективное преобразование — это конечная цепочка перспектив. Чтобы прозрачнее видеть, что происходит при проективном преобразовании, мы рассмотрим одно перспективное отображе¬ ние плоскости а на плоскость р (рис. 152). Из рисунка видно, что точки Л и В прямой / переходят соответственно в точки А\ и В| прямой т, а точка С, лежащая на прямой / между Л и В, проектируется в точку С|, уже лежащую вне отрезка с концами А\ и В1; точке D, тоже лежащей на / между Л и В, вообще отвечает бесконечно удаленная точка прямой т\ т. е. при этом преобра¬ зовании не сохраняется свойство точек «лежать между», другими словами, не сохраняются отрезки. Правда, это рассуждение вер¬ но только для привычной нам плоскости, а ведь на проективной плоскости все прямые замкнуты, и точки А\ и В\ определяют два отрезка, одному из которых принадлежит бесконечно уда¬ ленная точка. Легко видеть, что проективное преобразование не сохраняет ни расстояний, ни углов, ни каких-либо фигур. Правда, кони¬ ческие сечения переходят снова в конические сечения, но при этом, например, окружность может перейти как в эллипс, так и в параболу или гиперболу. Поэтому циркуль не может быть ис¬ пользован для геометрических построений на проективной плос¬ кости. Единственным инструментом, пригодным для решения задач на построение, здесь служит линейка. Что же вообще ос¬ тается неизменным при таких преобразованиях? Основным 295 Рис. 151 Рис. 152
инвариантом проективных пре¬ образований является .двой¬ ное отношение четырех точек Л, В, М, N одной прямой. AM _ AN . ■ — А. AM При этом отношение ^ счи¬ тается положительным, если от¬ резки AM и MB одинаково на¬ правлены, и отрицательным в противном случае. Очевидно, для гармонической четверки то¬ чек (гл. I, п. 1)А= — 1, то при проективных преобразо¬ ваниях гармоническая четверка точек снова переходит в гармо¬ ническую четверку точек. Аналогично можно определить проективное пространство, если обычное трехмерное пространство пополнить бесконечно удаленной плоскостью. Любая плоскость этого пространства пересекается с бесконечно удаленной плоскостью по бесконечно удаленной прямой и тем самым является проективной плоскостью. В проективном пространстве нет непересекающихся плоскостей. Бесконечно удаленные элементы: точки, прямые, плоскости — ввел в математику французский архитектор Жирар Дезарг (1591 —1661). Он заложил основы проективной геометрии, в част¬ ности нашел инварианты проективных преобразований и до¬ казал теорему, носящую его имя: если соответствующие сторо¬ ны двух треугольников пересекаются в точках Р, Q и /?, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О (рис. 153). Работа Дезарга не была по достоинству оценена большин¬ ством его современников, и все 50 экземпляров его брошюры 296 Рис. 154 Рис. 153
затерялись. Только через два столетия, когда нашли одну ее копию, Дезарга назвали основателем проективной геометрии. Правда, с его идеями были в свое время знакомы участники научного кружка М. Мерсенна, куда входил и сам Дезарг. Лишь самый юный член кружка 16-летний Блез Паскаль по достоин¬ ству оценил работу старшего товарища и использовал его идеи при доказательстве теоремы о шестиугольнике, вписанном в кони¬ ческое сечение. Работа была напечатана (1640) в виде афиши (также в количестве 50 экземпляров) и расклеена в людных мес¬ тах Парижа. Суть работы состоит в следующем. Впишем в окружность произвольный шестиугольник и про¬ должим его противоположные стороны до пересечения (рис. 154). Оказывается, три полученные при этом точки лежат на одной прямой. В случае правильного шестиугольника все три точки расположены на бесконечно удаленной прямой. Паскаль цент¬ ральным проектированием перевел окружность в произвольное коническое сечение. Так как при этом прямые переходят в прямые, он получил утверждение: если противоположные сто¬ роны шестиугольника, вписанного в коническое сечение, про¬ должить, то точки их пересечения лежат на одной прямой. 8. На службе у Наполеона Идею проектирования использовал французский математик Гаслар Мон ж (1746—1818) при создании удобного спо¬ соба изображения пространственных фигур на плоскости. Пришел он к этому способу во время учебы в военно-инженерной школе. Конечно, сам Гаспар не был в восторге от учебы в этом заведении. Нет, преподавание математики, физики, инженерного дела здесь было поставлено прекрасно на основном отделении, куда принимали только дворян. Сын розничного торговца, Гас¬ пар был зачислен в дополнительный класс, где учили плотниц¬ кому искусству, обработке камней, лепке, рисованию и лишь началам алгебры и геометрии. И еще от учеников дополнитель¬ ного отделения требовались многочисленные измерения и кро¬ потливые вычисления. Но благодаря такому стечению обстоя¬ тельств Монжу и посчастливилось открыть новую геометрию. Одной из самых трудоемких в школе была задача по дефилиро¬ ванию укреплений — защите их от прямых пуль противника. При ее решении приходилось просчитывать множество вариан¬ тов, на что уходила масса времени. Монж придумал оригиналь-’ ный способ решения. Точки пространства проектируют (с помощью параллель¬ ной проекции) на две взаимно перпендикулярные плоскости — горизонтальную и фронтальную. Затем фронтальную вращают вокруг линии / — их пересечения — в направлении, указанном 297
стрелкой (рис. 155, а), до совмещения ее с горизонтальной. Полученную картинку называют эпюром Монжа (рис. 155, б). Любая точка пространства однозначно определяется двумя точ¬ ками Mi и Мг на эпюре. Конечно, Монж связал расположение плоскостей проекций с рельефом местности, но для метода это не имеет значения. Проекции на горизонтальную и вертикальную плоскости использовал еще древнеримский архитектор Витрувий (I в. до н. э.). Но лишь Монж рассмотрел их совмещение и указал общий метод решения различных геометрических задач с по¬ мощью эпюра. Так родилась начертательная геометрия — раздел математики, изучающий изображение пространственных фигур на плоскости и решающий пространственные задачи с помощью этих изображений. Метод оказался настолько простым и удобным, настолько ценным для инженерного дела, что Монжа сразу назначили преподавателем той же школы. Когда много позже он рассказывал о своем методе, то присутствующий на лекции Ж. Лангранж поразился этой простоте: «До слушания лекций Монжа я не знал, что мне известна начертательная геометрия». Но это произошло почти через три десятка лет после ее создания. А в то время Монж дал клятву не разглашать тайны своего, открытия для укрепления военного могущества Франции. Вообще интересы страны и народа для Монжа всегда были на первом плане. Он горячо приветствовал революцию 1789 г. и всецело посвятил себя служению ей. Одно время его уговорили даже стать министром военно-морского флота. В этой долж¬ ности он пребывал целый год. Монж руководил созданием (1793) Высшей Нормальной школы, которая с 1795 г. стала именоваться Политехнической. Преподавали там самые выдаю¬ щиеся ученые Франции, а учебная программа давала возмож¬ ность получить современные знания по многим предметам, осо¬ бенно по математике, которой уделялось исключительное вни¬ мание. Преданность революции Монж перенес на лидера возникшего 298 Рис. 155
триумвирата Наполеона Бонапарта. До конца своих дней он оставался искренним почитателем императора, за что и попла¬ тился. После реставрации Бурбонов его изгнали из академии; более того, когда он умер, то слушателям Политехнической школы запретили присутствовать на похоронах своего любимого директора и учителя. С именем Наполеона связана судьба еще одного матема¬ тика — Жана Виктора Понселе (1788—1867). Но если Монж был одним из приближенных императора, то Понселе всего-навсего служил в армии Наполеона. Во время русского похода он попал в плен. Произошло это в ноябре 1812 г. под селом Красным Смоленской губернии. Здесь разгорелся четырех¬ дневный бой, за который Кутузову был пожалован титул князя Смоленского. Среди 26 тысяч взятых в плен французов нахо¬ дился и поручик саперного батальона Понселе. Он был отправлен в Саратов, где и провел 15 томительных месяцев. Здесь выпускник Политехнической школы вел занятия по математике с другими пленными французами. Ученик Мон- жа, он излагал слушателям его метод проектирования. Де¬ тально изучая проекции и их свойства, Понселе почти через два столетия после Дезарга пришел к мысли о добавлении беско¬ нечно удаленных точек и тем самым к проективной геометрии. Он ввел все основные понятия проективной геометрии, впервые сформулировал и доказал принцип двойственности. Суть его состоит в том, что на проективной плоскости имеют¬ ся двойственные объекты — точка и прямая: относительно них высказываются двойственные утверждения: «точка лел£ит на прямой» и «прямая проходит через точку». Если доказана какая-либо теорема, то заменой в ней двойственных объектов и утверждений друг на друга снова получают верное предло¬ жение. Например, аксиоме «Через две точки проходит един¬ ственная прямая» двойственна следующая: «Две прямые пере¬ секаются в одной точке» — она выполняется на проективной плоскости. А теореме Паскаля двойственно предложение: если около конического сечения описать шестиугольник и противо¬ положные вершины соединить прямыми, то они пересекутся в одной точке. Эта теорема была доказана (1806) француз¬ ским математиком Шарлем Брианшоном (1785— 1864) и носит его имя. Аналогичный принцип двойственности имеет место и в пространстве. Только здесь двойственными объектами являются точка и плоскость. Например, аксиоме «Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость» двойственна такагя: «Три плоскости, не содержащие общей прямой, пересекаются в одной точке». Интересно применить принцип двойственности к телам Платона. При этом каждая вершина (точка) многогранника заменится на грань (плос¬ кость). Каков порядок вершины исходного многогранника, таков 299
многоугольник, служащий гранью двойственного. Мы уже приво¬ дили таблицу числовых данных тел Платона. Обратимся к ниже¬ следующей таблице. Тела Платона Порядок вершины л-угольник грани В Р Г Тетраэдр 3 3 4 6 4 Октаэдр 3 4 6 12 8 Куб 4 3 8 12 6 Икосаэдр 3 5 12 30 20 Додекаэдр 5 3 20 30 12 Из нее видно, что тетраэдр двойствен самому себе, ок¬ таэдр — кубу, икосаэдр — додекаэдру. Сейчас принцип двойственности используется в матема¬ тической логике, в топологии, анализе, теории групп, геометрии. В частности, он имеет место на плоскости Римана. Здесь помимо прямой и точки, двойственными объектами являются отрезок (часть дуги большого круга) и угол. Поэтому в сферической геометрии, помимо равенства треугольников по трем сторонам, имеется признак равенства по трем углам. Когда Понселе открыл принцип двойственности, отпала необ¬ ходимость в доказательстве «половины» двойственных теорем. В частности, теоремы Брианшона, так как она следует из теоре¬ мы Паскаля, и многих других. Ко времени выхода в свет работы Понселе результаты Дезарга были прочно забыты. Именно с ис¬ следований Понселе и началось интенсивное развитие проектив¬ ной геометрии. Сейчас это глубоко развитая ветвь геометрии. Используется она не только в математике, но и в квантовой физике, применяется в аэрофотосъемке, в номографии. 9. И снова координаты Проективная геометрия начиналась как синтетическая. Но уже в 1827 г. вышла работа Мёбиуса «Барицентрические коор¬ динаты», в которой вводились координаты на проективной плоскости. В основе рассуждений Мёбиуса лежало понятие центра тяжести («тяжесть» или «вес» по-гречески звучит как «барос», отсюда и слово «барометр»). Передадим суть его рас- суждений. Сначала введем координаты на проективной прямой. Пусть АВ— производный ее отрезок. Будем считать его невесомым стержнем, на концах которого подвешены два груза весом рi и р2 300
Рис. 156 Рис. 157 (рис. 156). Их центр тяжести (на основании закона Архимеда о равновесии рычага) сосредоточен в такой точке С, для которой p\di = p2di, где d\ и d2— расстояния от центра тяжести до точек подвеса грузов. Это равенство может быть записано в вектор¬ ном виде: —р^СЛ=р\СВ или p^UB-\-p^CA=Q. (1) Оно отличается от скалярной записи лишь тем, что в правой части стоит нулевой вектор. Если увеличить вес каждого груза в q раз, то центр тяжести (барицентр) останется на месте: d2 __>•?! Pig ~сй~!й p2q * (2) Изменяя значения чисел р\ и р2, мы зададим положение любой точки С, расположенной между Л и в, с помощью отношения р\ : р2. Пару чисел (рi, р2) можно назвать поэтому координатами точки С. С привычными нам координатами на числовой прямой они связаны равенством х = ^~. Если разрешить числам р\ и р2 принимать нулевые значения, то мы сможем определить коор¬ динаты концов отрезка АВ. Очевидно, точка А определяется парой (0, р2), точка В — парой (рi, 0). С точки зрения обычной прямой точка А — начало координат, В — бесконечно удаленная точка. Осталось ввести координаты точек вне отрезка АВ. Для этого изменим постановку задачи. Будем считать, что в точках А и В действуют силы разных направлений, одна из них направ¬ лена по вертикали вниз (положительная), а другая — вверх (отрицательная) (рис. 157). Такой рычаг будет находиться в рав¬ новесии, если его барицентр (точка С) расположен вне отрезка АВ. Точка С находится с той стороны от отрезка АВ, где действует большая по абсолютной величине сила. Это следует из равен¬ ства \p\\d\ = \p2\d2. Поскольку силы имеют разные знаки, обратимся к направленным отрезкам — векторам. Условие равно¬ весия рычага вновь задается равенством (1). С его помощью можно определить положение любой точки прямой. В результате на прямой введены координаты (рь р2), которые на основании (2) называются однородными. Перейдем к проективной плоскости. Если в вершинах тре¬ угольника поместить грузы весом р\у р2у р3, то аналогичным
образом тройка {рj, р?, р,з) задает координаты барицентра на плоскости. Причем в случае положительных значений чисел pi, /?з получаются внутренние точки треугольника, в против¬ ном случае — граничные и внешние. Геометрическое положение точки на плоскости определяется отношениями р I Pi р'' у ~ Р' ■ Барицентрические координаты (рi, /?2, рз) точек проективной плоскости также являются однородными. «То, что трем точкам плоскости возможно сопоставить такие грузы, чтобы заданная четвертая точка оказалась их центром... привело меня к новому методу задания точек на плос¬ кости»,— писал Мёбиус. С этой работы в проективную геомет¬ рию вошла система координат, а вместе с ней аналитические методы исследования и доказательств. Так что идея Лейбница не была полностью реализована и в проективной геометрии. История развития различных направлений в геометрии убе¬ дительно показывает, что в ней нет ни одной области, исполь¬ зующей только синтетические или аналитические методы исследо¬ вания. Такое подразделение сохранилось лишь в элементарной геометрии: в средних классах школы она синтетическая, а в старших и на первом курсе вуза — аналитическая. Любой дру¬ гой раздел геометрии использует где-то аналитические, где-то синтетические методы в зависимости от удобства и необходи¬ мости. 10. Эрлангенская программа Клейна Выдающемуся немецкому математику Феликсу Клейну, рабо¬ тавшему на рубеже прошлого и нынешнего веков, принадлежит ряд значительных достижений в различных областях матема¬ тики. Среди них построение модели плоскости Лобачевского, изучение групп симметрий многогранников, исследования по тео¬ рии функций. Необычайно деятельный по натуре Клейн был неутомимым организатором. Много сил отдавал усовершенство¬ ванию математического образования, был инициатором создания полной энциклопедии математических наук, в течение полувека руководил журналом «Математические анналы» и сделал его ведущим математическим журналом всего мира, возглавлял из¬ дание полного собрания сочинений Гаусса. Ко всему этому, Клейн прекрасно читал лекции и написал много замечатель¬ ных книг по математике и ее истории. Но наибольшую известность среди всех его достижений получила лекция, прочитанная им (1872) при вступлении в долж¬ ность профессора Эрлангенского университета. В этой лекции была дана перспектива дальнейшего развития геометрии, поэто¬ му среди математиков она известна как «Эрлангенская про¬
грамма». Клейн связал различные геометрии, появившиеся в XIX в., с группами их преобразований. Точнее, он установил, что любую геометрию можно рассматривать как науку, изучаю¬ щую свойства фигур, инвариантные относительно некоторой специальной группы преобразований. Например, проективная геометрия на плоскости изучает свой¬ ства фигур, инвариантные относительно группы проективных преобразований плоскости. К проективным преобразованиям предъявляется мало требований, нужно только, чтобы они любую прямую проективной плоскости переводили снова в прямую этой плоскости. При таких преобразованиях мало что и остается неизменным: основной инвариант — гармоническая четверка точек. Поэтому фигуры на плоскости имеют мало проективных свойств — проективная геометрия относительно бедна. Выделим на проективной плоскости некоторую прямую и назовем ее бесконечно удаленной. (Вспомним, что при определе¬ нии проективной плоскости мы добавили к обычной плоскости бесконечно удаленную прямую и уравняли ее в правах со всеми остальными.) Рассмотрим те проективные преобразования, кото¬ рые оставляют на месте бесконечно удаленную прямую. Легко видеть, что они образуют подгруппу в группе всех проективных преобразований плоскости — это группа аффинных преобразова¬ ний («Алгебра», гл. II, п. 5). Инварианты этой группы изучает аффинная геометрия. При аффинных преобразованиях сохраня¬ ется взаимное расположение прямых: пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся, а параллельные (они на проектив¬ ной плоскости пересекались на бесконечно удаленной прямой) — снова в параллельные; сохраняется отношение отрезков, лежа¬ щих на одной прямой и на параллельных прямых. Благодаря этим инвариантам сохраняется форма фигур на плоскости, поэтому аффинное преобразование называют родством. А вот перпендикулярность прямых не сохраняется: окружность может перейти в эллипс. В связи с этим понятие прямой относится к аффинной геометрии, а окружности — нет, параллельность пря¬ мых — аффинное свойство, а перпендикулярность — нет. Но все же аффинная геометрия плоскости богаче проективной. Определим теперь на аффинной плоскости расстояние между точками. И рассмотрим только те аффинные преобразования, которые сохраняют расстояния. Они образуют известную нам группу движений. Соответствующая геометрия на плоскости — обычная евклидова геометрия. Можно идти дальше: взять в качестве группы преобразований переносы. Получаемая при этом геометрия на плоскости будет отличаться от привычной нам. К примеру, в ней два единичных отрезка, один из которых взят на оси абсцисс, а другой — на оси ординат, не будут равными — ведь не существует, переноса, переводящего их друг в друга. Если вернуться снова к проективным преобразованиям плоскости и выделить из них преобразования, переводящие 303
в себя некоторое коническое сечение (удобно представлять себе эллипс или круг) на плоскости, придем к неевклидовой гео¬ метрии Лобачевского. Так что на обычной плоскости в зависимости от выбран¬ ной группы преобразований господствуют различные геометрии. Ту же картину мы наблюдали и на сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками (гл. II, п. 6; гл. III, п. 7). Часто для решения различных задач математики и других естественных наук необходимо использовать какие-то геометри¬ ческие свойства. Выясняют, инвариантами какой группы явля¬ ются нужные свойства, и по этому признаку определяют, по от¬ ношению к какой геометрии их надо рассматривать. Поиск инвариантов вообще очень полезен в решении многих задач. Известна ошеломляющая задача о сушке грибов. Влажность 1 кг грибов до сушки была 99%. На сколько граммов изменилась масса грибов после сушки, если их влаж¬ ность стала равна 98%? Правильный ответ кажется просто невероятным, и редко кто может дать его сразу без вычислений. Но однажды эту задачу в шутку предложили очень известному математику. Он сразу сказал: «А что здесь является инвариантом? Ясно — масса сухого вещества. Раньше она составляла 1%, а после сушки — 2%. Значит, общая масса уменьшилась вдвое и стала равна 0,5 кг». Естественно, здесь важен не сам факт решения в общем-то простой задачи, а подход к ней. Эрлангенская программа сначала была встречена с извест¬ ной долей скептицизма. Но надо помнить о том, что группы в то время не приобрели еще должного веса в математике. Ведь первое систематическое изложение теории групп было дано только в 1870 г. К. Жорданом. Тогда же начали появляться работы крупнейшего специалиста в этой области норвежского математика Софуса Ли (1842—1899) —единомышленника и друга Клейна. В дальнейшем Ли глубоко развил теорию групп преобразований и показал ее важность для построения геометрий. Сейчас единая теоретико-групповая точка зрения на различные геометрии является общепринятой. Упражнения 1. Разделите треугольник на две равновеликие части прямой, проходящей через фиксированную точку одной из его сторон. 2. Решите задачу Тартальи: разделить треугольник на три части прямыми, проходящими через данную точку на его стороне, так, чтобы площади частей относились как т : п\ к. 3. Докажите теорему Аполлония: сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадратов половины третьей и медианы, к ней проведенной. 304
4. Покажите, что число у I +V 1 + V* +••• равно числу ф, задающему золотое сечение. 5. Представьте ф в виде цепной дроби [1; 1, 1, 1, ...]. 6. Убедитесь, что подходящие дроби для ф = [1; 1, 1, 1, ...] образуют последовательность чисел Фибоначчи. 7. Решите задачу Архимеда: как надо рассечь шар плоскостью, чтобы объемы получившихся частей относились как т:п? 8. Алгебраическими методами докажите утверждение Евклида: «Если прямая разделена в крайнем и среднем отношении, то больший отрезок с присоединением половины всей прямой в квадратах будет равен упятеренному квадрату на половине». 9. Дана фигура. Найдите две, ей подобные, сумма площадей которых равна исходной, а сами площади относятся как т.п. (Задача, решенная итальянским математиком X. Кла- в и е м (1537—1612).) 10. В прямоугольник со сторонами а и Ь вписывается квадрат максимальной площади, в оставшуюся часть прямоугольника снова вписывается максимальный квадрат и т. д. Выясните: а) при каких а и Ь этот процесс конечен; б) всегда ли такое «замощение» прямоугольника использует наименьшее число квадратов. 11. Покажите квадрируемость луночек, построенных на катетах произвольного прямоугольного треугольника. 12. Докажите теорему Птолемея: «Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах». 13. На отрезках АС, СВ и АВ построены полукруги (рис. 158). Фигура, ограниченная тремя полуокружностями, называется арбелоном (от греч. «арбелос» — скребок, секира). Покажите, что площадь арбелона равна площади круга, построенного на перпендикуляре CD. (Задача, решенная Архимедом.) 14. В арбелон (см. 13) по обе стороны от перпендикуляра CD вписаны окружности (рис. 159). Покажите, что окружности равны между собой. (Задача, также решенная Архимедом.) 15. Покажите, что если сумма углов любого треугольника равна одному и тому же числу, то она равна л. 16. Найдите эйлерову характеристику замкнутого многоугольни¬ ка, круга, кольца, сферы с выколотой точкой, плоскости. Рис. 158 Рис. 159
Ответы и решения АРИФМЕТИКА 1. 777.143= (3- 7-37) • (11 • 13) = 1001 • 111. 2. Для k единиц имеем (1...1)2 = = 2*-'+2*-2+-.-Н2+1=Л1*. 3. Имеем S3(2n)-2%(n) = л2(2л2-1). 4. т4-\-4п4—(т2 — 2тп-\-2п2) (т2-\-2тп + 2я2). 5. Очевидно, (2k)2 + (21— 1)2 = = 4(Де2-1-/2 — /) +1 =5^= 4m — 1. 6. Fi = 42‘ ' + 1, а 4 в четной степени оканчивается цифрой 6. 7. (Ь:1+/(/1)2+...+ (kxn + lyn)2 = k22tx? + 2kl2xiyi + l22>y! = k2Ity? + Н” 2ktZyiXi -J- /22х? = (ky\ -J- 1х\)2 -J- (kyn /хя)2. 8. Из Ае (Де -J- 1) -|—... (/е -J- гг) = = (/г + я+ 1) + ...+ (k-\-2n) следует k = n2. 9. Так как k2-1- 1)2+...-|- + (k-\-n)2= (k-\-n-\-1)2+...+ (k + 2n)2, то k — n(2n-\- 1). 10. От противного: пусть (х — п)3 + ... + (х — О3 + х* — (х + П3 + •• • + (х + п)3* тогда 9 п2(п+\)2 х (х — 3(п-\-\)п) = 2 * чего не может быть — левая часть равенства должна быть положительной, но тогда х>Зп(п-\-1) и левая часть больше 9п2(п2-\- \). 11. jc=13/ — 80, £/=60/ — 368. 12. Так как равенство (р2 -\-q2)k = = (p2 — q2)k-1-1 невозможно, то k(p2-\-q2) —2kpq-\-1 и 2kpq = k(p2 — q2) + 1, откуда k — q= 1, р — 2. 13. Среди чисел р, q, р — q, p-\-q хотя бы одно делится на 3; на 5 эти числа не делятся лишь в трех случаях: q — 5/г+1, р = 5/ + 2; <7 = 56+1, р = 5/ 3; q — 5k+ 2, р = 5/ + 4, но тогда на 5 делится сумма p2-\-q2. 14. Решая уравнение а2+ (a-\-d)2= (a-\-2d)2, находим a = 3d\ получаем тройку (3d, 4dy bd). 15. По формуле Герона (рис. 160) имеем с2 _а + Ь + с a + b — с а + c — b b + c — а (а + Ь)2 — с2 с2—(а — Ь)2_ Авс~ 2 ’ 2 2 2 ~ 4 4 ~ _ab + z2 ab — z2__ (ab)2 — z4 ( *У\2 , (xz\2 , t Уг\2 “2*2 4 “ V"2"/ "ЧТ/ "Ч 2 У 16. В пифагоровом треугольнике длина одного из катетов — четное число, сле¬ довательно, его площадь — целое число. 17. Площадь треугольника со сторо- нами де— 1, де, дс+1 равна S = - 1 ^-1 + 1 ^ = y*V3(t ~ ') ' Поэтому х — 2а и а2— 1 = З^2, откуда х = 2а= (2 + У3)л + (2 — л/3)л- Например, (3, 4, 5), (13, 14, 15), (25, 26, 27). 18. «Египетский треугольник», являясь героно- вым, не может быть получен приложением двух пифагоровых. Легко показать, что тем же свойством обладает, например, геронов треугольник (65, 119, 180). 19. В произведении /г! = 1 - 2 • 3 *... * /г через р шагов встречаются множители, делящиеся на р; их число равно J (квадратные скобки означают целую часть числа). Среди них имеется множителей, делящихся на р2, и т. д. Итак, в каноническом раз¬ ложении п\ число р встретится а= +[^]+ раз. 306 Рис. 160
АЛГЕБРА то / = 5 5 1. 77—гтг' 77 Г“* 2. 100 монет. 3. Целыми решениями могут бьцъ лишь у \ ~Т V 2 V \ — у 2 2zik ±1, но они не удовлетворяют уравнению. 4. Пусть o* = cos-^—|- /sin —:—.тог¬ да (о*)m = со 1 Так как соi — корень уравнения хп — 1, то и о)|*"' тоже корень этого уравнения. 5. * = -^2+11/ + -^2—11/; поскольку (2±/)3 = 2± 11/, то х — = (2-И) + (2—/) =4. Из равенства (х — 4) (*2-|-4.v + 1) =0 находим два других корня: *2.3= — 2± V5- 6. После замены x = t-\-2 уравнение примет вид /(/2 —2) =0, откуда /1 = 0, /2.3= ±У2; х\ = 2, *2.з = 2 ± д/2. 7. Пусть x=t-\-4, тогда уравнение запишется так: /3 —22/—36 = 0, откуда / = + Vi8-f'Vr; т“ ,а“ '8*гл/т“(-i=F,V?) = ^ — 1 —^— 1= —2, следовательно, ЛГ| =2. Остается ре¬ шить уравнение х2 — 10л: + 6 = 0: х2 з = 5± УГ9. 8. лг| = 1—корень уравнения, поэтому (jc — 1) (jc6 — 1) = 0, или (х — 1) • (лг2 — 1) (jc4-J-*2-J- 1) =0, откуда х2.з = d= 1, 1 .V3 1 .У^ *4.5= —2~ ^ 1~2' Хь 7 = ~2 1 ~2 ‘ ^сли * = 0 было корнем уравнения, то а„ = 0, откуда а0 = о„ = 0, чего не может быт£. б) Пусть х0 — ко¬ рень уравнения; рассмотрим многочлен + ai + ... + а„ = ао-\- aiXo-\- апхоп = . Так как хоф0, а уравнение возвратное, то дробь обра¬ зе" щается в нуль, т. е. — корень уравнения, в) Если степень уравнения нечетная, Хо то число его коэффициентов четное; подставив в левую часть уравнения число х—— 1, получим —a0 + Oi — а2 + ...— ап-\ + а„ = 0, т. е. * = — 1 — корень урав¬ нения. г) Пусть х= — [—корень уравнения Р(х)=0, обозначим частное от деления Р(х) на (х+1) через Ь\хп~1 -\-Ь-2х’1~'2 +... + Ьп. Тогда (х +1) • (Ь\хп~1 + + ... + /?„) = Ь\хп + (Ь\ -\-Ь2)хп 1 + (b'2 b'i)xn " + ...+ (bn- I bn)x-\- bn = P(x). Из возвратности P(x) следует b\=b,u Ь2 — Ьп-\, .... 10. Если степень уравнения P{x) P(x)= 0 нечетная, то лг= — 1 —его корень и уравнение ^ =0 вновь воз¬ вратное, но уже четной степени. Если х() — корень уравнения четной степени, то и — — его корень, следовательно, + — корень уравнения Чтобы его найти, понижают степень 2т уравнения (деля все его члены на х") и вводят подставку t = x + 11. Группа S2 состоит из элементов | ^ и а== (2 ' Очевидно, ае = еа. 12. Это видно, например, из равенств (3^2) (2 \ з) = /1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3\ \1 3 2/ И \2 1 зДз 1 2) =(з 2 I ) 13* 5'* = *л + */" = (х+у) (хп~ ' + У ) ХУ (х Уп ‘)=OiSn_i—aaSfl-.?. 14. Ss = a? + 5aia2 (a_>— af), 5б=оч 6a?cj2+ 9ата2 — 2ai, £7 = 0^— 7aia2(a}— 2afa2 + a2). 15. Из равенства 307
= т:п или x2(3R — x) = порции 4R:х — (3R — х): . Этот результат Архимед записывал в виде про- R. 8. Пусть а — длина всего отрезка, х — длина меньшей части, тогда (а — х)2 = ах. Вычислим площадь квадрата ^а — х-\- -2- ^ = = (а — х)2 + а(а — х) + (“тр) • 9. Строится прямоугольный треуголь- Рис. 162 Рис. 163 308 Рис. 161 ГЕОМЕТРИЯ 1. Французский математик Ж. Пелетье (1517—1582) дал такое решение. Предположим, что требуется провести прямую через точку М (рис. 161). Пусть BD — медиана треугольника ABC. Проведем отрезок BN, параллельный от¬ резку MD. Тогда MN — искомый отрезок: SABC =SABD —SAMD +SMBD = — $mnd + S/MD =^/4Afiv • 2* Пусть точка Af, через которую проходят искомые прямые, лежит на стороне А В (рис. 162). Разделим отрезок А В на три части точками £ и F так, чтобы AE:EF:FB = m:ti:k. Проведем EK\\MC\\FN. Прямые МК и MN искомые. На самом деле SACE:SECF:SFCB = m:n:k, но SEKC = = $екм • Sjvcf ^^mnf • Длины отрезков указаны на рисунке 163. удовлетворяет 7^+1 уравнению jt=\-\-x\ ф=—- его положительное решение. 5. Обозначил цепную дробь через а. Так как a=l + -i-, то приходим к тому же уравнению 6. Следует из определения чисел Фибоначчи. 7. Объем шарового сегмента высоты ; о
Рис. 164 Рис. .165 ник, отношение длин катетов которого равно Ут : п. На сторонах этого треуголь¬ ника строятся фигуры, подобные исходной. С помощью гомотетии весь рисунок переводится в такой, что фигура, построенная на гипотенузе, имеет площадь 5. Фигуры, построенные на катетах, при этом перейдут в искомые. 10. Пусть а<сЬ — стороны прямоугольника. В этот прямоугольник можно вписать qo квадратов максимального размера а Ха, где b = qoa-\- а\, а\Са. Если при этом прямоугольник не будет исчерпан, то в оставшийся прямоугольник аХа\ вновь можно вписать q\ квадратов максимального размера а\Ха\ и т. д. Получаем представление дроби — в виде цепной, а) Она конечная [^0; q\, qm] лишь в случае, когда рациональное число. Число таких квадратов равно сумме qo + q\ + --\-qm- б) Нет. Например, — = [1; 5], т. е. в прямоугольник 6Х 5 вписыва* О ется таким способом 1-J-5 = 6 квадратов, но его можно разбить на 2 квадрата ЗХ 3 и 3 квадрата 2X2. 11. Пусть а и b — катеты, с — гипотенуза, тогда площадь луночек равнал У -1-л —(л("^") )) = 1Г‘ 12‘ О603*134*11* стороны четырехугольника ABCD через а, b, с, d, диагонали — через тип (рис. 164). Проведем отрезок АЕ так, чтобы Z.EAD=Z.BAC. Из подобия треугольников ABC и AED следует bd — mx. Так как треугольники АВЕ и ACD подобны, то ас — тп — тх. Складывая полученные равенства, найдем bd-\-ac = mn. 13. Пусть г| и г2 — радиусы меньших окружностей. Тогда площадь арбелона л(Г|+Г2)2 пг\ лг% —- = ЛГ1 л2. Поскольку S == - СЯ2 = ЛС.СД = 4т,.г2, Рис. 166 309
то площадь круга диаметра CD равна тому же числу. 14. Пусть О — центр большого полукруга, Е — центр вписанного круга, касающегося отрезка CD справа (рис. 165). Обозначим радиус этого круга через х. Тогда 0£ = Г| + г2 — х. ЕН~ — ОЕ2 — ОН2 = (г\-\- r-2 — x)2 — (г\ -г2-\-х)2. С другой стороны, ЕН2 = = [г2 + х)2 — (г2 — х)2. Таким образом, (г\ + г2 — х)2 — (х+г\ —г2)2 = (г2 + х)2— _(Г2_л:)2> откуда х— ■ Г|'Г—. Аналогично радиус у круга, вписанного 'в Г\-\-Г2 арбелон слева от CD, находим из уравнения Н-л2 — у)2 — (г2 + у—Г|)2 = = (nН-у)2—(г\—у)2> т. е. у — —15. Пусть сумма углов треугольника ABC Г\-\-Г2 равна х. Тогда сумма углов треугольников ABD и DBC (рис. 166) равна 2х. Но они отличаются на сумму углов 1 и 2 (равную л), т. е. 2х — л — х, откуда * = л. 16. 1, 1, 0, 1, 1.
Литература Александров И. И. Сборник геометрических задач на по¬ строение с решениями.— М.: Учпедгиз, 1954. Аргунов В. И., Б а л к М. Б. Геометрические построения на плоскости.— М.: Учпедгиз, 1957. Архимед. Сочинения.— М.: Физматгиз, 1962. Берман Г. Н. Циклоида.— М.: Наука, 1980. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения.— М.: Мир, 1986. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топо¬ логия.— М.: Наука, 1985.— Библ. «Квант».— Вып. 21. Болтянский В. Г. Пифагоровы тетраэдры // Квант.—1986.— № П.—С. 29—30. Боро В., Цагир Д., Рольфе Ю., Крафт X., Я н цен Е. Живые числа; пять экскурсий.— М.: Мир, 1985. Вайнтроб А. Ю., Сосинский А. Б. Доказательство гипо¬ тезы Морделла // Квант.— 1984.— № 3.— С. 19. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука.— М.: Физматгиз, 1959. Варпаховский Ф. П., Колмогоров А. Н. О решении десятой проблемы Гильберта // Квант.— 1970.— № 7.— С. 38—44. Вейль Г. Симметрия.— М.: Наука, 1968. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи.— М.: Наука, 1984. Г арднер М. Крестики-нолики.— М.: Мир, 1988. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.— М.: Мир, 1971. Г арднер М. Математические досуги.— М.: Мир, 1972. Г арднер М. Математические новеллы.— М.: Мир, 1974. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах.— М.: Наука, 1983. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках.— М.: Наука, 1985.— Библ. «Квант».— Вып. 14. Глейзер Г. И. История математики в школе.— М.: Просвеще¬ ние, 1983. Декарт Р. Геометрия.— М.; Л.: ГОНТИ, 1938. Д е п м а н И. Я. История арифметики.— М.: Просвещение, 1965. Д е п м а н И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики.— М.: Просвещение, 1989. Диофант. Арифметика.— М.: Наука, 1974. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника.— М.: Учпедгиз, 1962. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа.— М.: Наука, 1973. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.— М.: Наука, 1987.—Т. 1—2. 311
Колосов А. А. Книга для внеклассного чтения по матема¬ тике.— М.: Учпедгиз, 1963. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика.— М.: ОГИЗ, 1947. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности.— М.: Наука, 1983. Начала Евклида.— М.: ОГИЗ, 1948—1950.— Т. 1—3. НикифоровскийВ. А. В мире уравнений.— М.: Наука, 1987. О ре О. Приглашение в теорию чисел.— М.: Наука, 1980.— Библ. «Квант».— Вып. 3. П и ч у р и н Л. Ф. За страницами учебника алгебры.— М.: Просвещение, 1990. Постников М. М. Теорема Ферма.— М.: Наука, 1978. Прасолов В. В. Три классические задачи на построение.— М.: Наука, 1992. Радемахер О., Теплиц Г. Числа и фигуры.— М.: Наука, 1966. Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии.— М.: Наука, 1976. Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки.— М.: Просвещение, 1987. Савелов А. А. Плоские кривые.— М.: Наука, 1960. ФаермаркД. С. Задача пришла с картины.— М.: Наука, 1974. Фомин С. В. Системы счисления.— М.: Наука, 1987. X и н ч и н А. Я. Три жемчужины теории чисел.— М.: Наука, 1979. X и н ч и н А. Я. Цепные дроби.— М.: Наука, 1978. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной мате¬ матике.— Минск: Вышэйшая школа, 1978. ШкольникА. Г. Задача деления круга.— М.: Учпедгиз, 1966. Шоластер Н. Н. Элементарная геометрия.— М.: Учпедгиз, 1959. Юшкевич А. П. История математики в средние века.— М.: Физматгиз, 1961. Я г л о м И. М. Почти простые числа // Квант.— 1981.— № 9.— С. 16—19.
Именной указатель Абель Н. 160 Адамар Ж. 42 Александров П. С. 277 Аполлоний 13, 204 Аппель К. 292 Арбогаст Л. 26 Арган Ж. 130 Ариабхатта 53 Архимед 53 Архит 119 Бартельс И. 256 Баше де М. 11 Безу Э. 146 Бекман И. 210 Бельтрами Э. 262 Бернулли Д. 20 Бернулли И. 20 Бернулли Н. 20 Бернулли Я. 57 Бесси де Ф. 29 Бинг 245 Бине Ж. 65 ал-Бируни 113 Больяи Ф. 258 Больяи Я. 260 Бомбелли Р. 82 Браге Т. 229 Брахмагупта 90 Брианшон Ш. 299 Бринг Э. 155 Броункер У. 82 Бруно Дж. 122 Буль Дж. 193 Бурбаки Н. 276 Бхаскара 90 Валлис Дж. 20 Вальмес П. 122 Ван дер Варден 84 Ванцель П. 217 Варинг Э. 58 Ватсон Дж. 53 Вейерштрасс К. 181 Вессель К. 130 Видман Я. 116 Виет Ф 116 Вильсон Дж. 35 Виноградов И. М. 59 Виферих 101 Вольфскель П. 100 Вороной Г. Ф. 40 Вуд Р. 226 Галилей Г. 122 Галуа Э. 162 Гамильтон У. 182 Гарриот Т. 118 Гаусс К. 31 Гедель К- 267 Гельфонд А. О. 181 Генцен Г. 267 Гермес О. 139 Герон 120 Гильберт Д. 59 Гиппарх 250 Гиппас 68 Гиппий 236 Гиппократ 219 Гипсикл 49 Гольдбах X. 36 Граве Д. А. 30 Грассман Г. 185 Гротендик А. 108 Грюнерт 100 Гутри 290 Гюйгенс X. 82 Даламбер Ж. 145 Данделен Ж. 225 Джонс У. 243 Дедекинд Р. 267 Дезарг Ж. 296 Декарт Р. 209 Делоне Б. Н. 95 Динострат 237 Диокл 233 Диофант 72 Дирихле П. 38 Дьедонне Ж. 108 Евдокс 68 Евклид 33 Жермен С. 98 Жирар А. 145 Жордан К. 286 Золотарев Е. И. 40 Ибн Курра 47 Кантор Г. 180 Кардано Дж. 125 Каркави П. 28 Карно Л. 277 Кастильон Дж. 248 Катальди П. 82 ал-Каши 113 Кеплер И. 229 Клавий X. 305 Клейн Ф. 139 Клеро А. 211 Клиффорд У. 261 Ковалевская С. В. 41 Коперник Н. 122 Коркин А. Н. 40 Коши О. 51 Коэн П. 292 Крамер Г. 192 Крамп К. 26 Крелль А. 161 Куммер Э. 99 Кэли А. 183 Ла Валле Пуссен 42 Лагранж Ж. 35 Ламберт И. 255 Ламе Г. 99 Лаплас П. 21 Леви бен Гершон 55 Лежандр А. 38 Лейбниц Г. 29 Лендер Л. 103 Леонардо да Винчи 244 Леонардо Пизанский 8 Ли С. 304 Линдеман К. 181 Линник Ю. В. 60 Листинг И. 277 313
Литлвуд Дж. 60 Лиувилль Ж. 99 Лобачевский' Н. И.-256 Лопиталь Г. 192 Люка Ф. 44 Ляпунов А. М. 40 Магницкий Л. Ф. 105 Марков А. А. 40 Марков В. А. 40 Матиясевич Ю. В. 103 Менехм 219 Мерсенн М. 28 Метродор 72 Мёбиус А. 186 Минковский Г. 179 Мириманов 101 Монж Г. 297 Морган де 25 Морделл Л. 104 Муавр де А. 129 Нарайана 54 Насирэддин Т. 173 Неморарий Ж. 115 Никомах 50 Никомед 238 Ньютон И. 211 Остроградский М. В. 40 Оутред В. 118 Папп 54 Паркин Т. 103 Паскаль Б. 13 Паскаль Э. 249 Пачоли Л. 115 Паш М. 267 Пеано Дж. 267 Пелль Дж. 90 Пифагор 7 Платон 202 Понселе Ж. 299 Порфирий 288 Прокл 201 Птолемей К. 213 Пуанкаре А. 263 Рекорд Р. 118 Риле де X. 48 Риман Б. 39 Ришар Ж. 163 Ришелло Ф. 139 Роберваль Ж. 234 Роте П. 145 Роумен ван А. 117 Руффини П. 161 Саккери Дж. 254 Секи К. 192 Симпликий 241 Слюз де Р. 234 Снелль В. 282 Сократ 49 Стевин С. 116 Стеклов В. А. 40 Сунь-цзы 75 Танияма Ю. 102 Тарталья Н. 122 Теон 70 Теэтет 119 Торричелли Э. 28 Тьюринг А. 103 Уаллес Э. 102 Улугбек 113 Урысон П. С. 277 Фалес 201 Фалтингс Г. 104 Федоров Е. С. 172 Феодор 119 Ферма П. 27 Феррари Л. 126 Ферро С. 122 Филипп О. 49 Фиоре А. 122 Хайям О. 113 Хаккен В. 292 Харди Г. 60 Хаусдорф Ф. 277 ал-Хорезми 112 Чебышев П. Л. 40 Чирнгауз фон Э. 155 Шафаревич И. Р. 144 Шенфлис А. 172 Шнейдер Т. 181 Шнирельман Л. Г. 60 Штаудт фон К. 277 Штейнер Я. 252 Шухов В. Г. 227 Шюке Н. 115 Эйлер Л. 20 Эратосфен 91 Эрмит Ш. 180 Якоби К. 146 Цзу Чун-чжи 243
Предметный указатель Абелева группа 168 Аддитивная группа 173 Алгебраическая форма комплексног числа 131 Алгебраическое число 179 Алгоритм 76 — Евклида 76 Аналитическая геометрия 209 Аполлония задача 207 — окружность 205 Арбелон 305 Аргумент комплексного числа 131 Астроида 249 Аффинные преобразования 176 Безу теорема 146 Бернулли числа 57 Бине формула 65 Бином Ньютона 26 Биномиальные коэффициенты 26 Близнецы 34 Божественная пропорция 212 Боковые числа 70 Большая окружность сферы 268 Брианшона теорема 299 Булева алгебра 195 Вавилонская последовательность 89 Варинга проблема 58 Векторное произведение 185 Вершина графа 282 Виета формулы 151 Вильсона критерий простоты 35 Возвратная последовательность,^ Возвратное уравнение 156 Восполнения операция 113 Выпуклый многогранник 279 Высказывание 194 Вычет 141 Галуа группа 168 — критерий 169 Гамильтонов путь 290 Гармоническая четверка 204 Гармоническое среднее 120 Гаусса критерий 139 Гексаэдр 280 Геодезическая линия 274 Геодезический треугольник 274 Геоид 227 Геометрическая прогрессия 62 Геронов треугольник 106 Гиперболический поворот 177 Гиперболическое расстояние 178 Гиперболоиды 227 Главные кривизны поверхности 273 Главное значение аргумента комп¬ лексного числа 131 Гномон 51 Гольдбаха гипотеза 60 Гомеоморфизм 278 Граф 282 — связный 282 — уникурсальный 288 Группа 165 — симметрий 171 Движения 173 Двойное отношение 296 Двойные числа 184 Двойственности принцип 299 Двусторонняя поверхность 285 Дезарга теорема 296 Декарта критерий 217 Деление отрезка в среднем и крайнем отношении 212 — с остатком 75 Делители нуля 182 Дерево 288 Деферент 250 Диагональные числа 70 Дизъюнкция 195 Диоризмы 127 Диофантов анализ 75 Диофантова геометрия 75 Директриса 223 Дирихле теорема 38 Додекаэдр 280 Дополнение множества 1% Достаточное условие 16 Дружественные числа 47 Дуальные числа 184 315
Египетский треугольник 86 е — число 39 Жермен теорема 98 Знакопеременная группа 166 Знакопеременный многочлен 166 Золотое сечение 212 Икосаэдр 280 Инверсия 205 Интегральный логарифм 39 Канонические уравнения гиперболы, параболы, эллипса 229 Каноническое разложение 18 Кардиоида 248 — удлиненная 249 — укороченная 249 Квадратные числа 49 Квадратриса Динострата 237 Квадратура круга 240 Кватернионы 183 Клейна бутылка 285 — модель плоскости Лобачевского 262 Комплексное число 128 Конхоида 238 Конхоидограф 238 Конъюнкция 195 Координаты вектора 187 Корень многочлена 146 k — связность 286 Космические тела 280 — скорости 230 Крамера правило 192 Кривизна линии 272 Критерий 16 — построения циркулем и линейкой 216 Кэли числа 183 Лагранжа теорема 159, 167 Лежандра символ 143 Лобачевского аксиома 257 Луночки Гиппократа 241 Люка числа 44 Матрица вырожденная 189 — квадратная 188 — невырожденная 189 — прямоугольная 187 Математическая индукция 24 Менехма триада 219 Мерсенна числа 44 Метод бесконечного спуска 97 Мёбиуса лист 285 — функция 40 Минковского пространство 179 Мнимое число 128 Многоугольные числа 49 Множество 196 Модуль комплексного числа 131 Муавра формула 129 Мультипликативная группа 173 Мультипликативность 22 Натуральный логарифм 39 Начертательная геометрия 298 Независимость системы аксиом 266 Необходимое условие 16 Неопределенные уравнения 73 Неориентируемая поверхность 285 Неполная индукция 24 Непрерывные дроби 79 Непроводимый случай 124 Непротиворечивость системы аксиом 266 Нормальная плоскость к поверхности 273 Общительные числа 48 Объединение множеств 196 Однородные координаты 301 Октавы 183 Октаэдр 280 Определитель матрицы 189 — системы 192 Ориентированная поверхность 285 Основная теорема алгебры 145 — — арифметики 17 — — о симметрических многочленах 152 Отрицание 195 Паскаля теорема 14, 297 — улитка 249 316
Пелля уравнение 90 Первообразное основание 32 Первообразный корень 134 Перенос 174 Пересечение множеств 196 Перспектива 294 Пирамидальные числа 53 Пифагора теорема 83 Пифагоровы тройки 84 Платоновы тела 280 Поворот 174 Подгруппа 166 Подмножество 196 Подходящая дробь 80 Позиционная система счисления 9 Полная кривизна поверхности 274 Полнота системы аксиом 266 Полярные координаты 248 Порядок вершины 289 — группы 166 Правильный многогранник 279 Приведенный остаток 15, 141 Примитивные тройки 84 Проективная плоскость 294 Проективные преобразования 294 Простое число 13 Противопоставления операция 113 Прямоугольник золотого сечения 212 Псевдоевклидово пространство 270 Псевдосфера 262 Пуанкаре модель плоскости Лобачев¬ ского 263 Пустое множество 196 Пятиугольные числа 49 Пятый постулат 252 Радикал 116 Радиус кривизны 273 Рациональная функция 167 Ребро графа 282 Резольвента 155 Рекуррентная последовательность 64 Решение уравнений в радикалах 154 Римана плоскость 269 Римановы поверхности 275 Рулетты 247 Связность 286 Симметрическая группа 166 Симметрические многочлены 151 — — элементарные 151 Симплекс 55 Симплициальные числа 55 Синтетическая геометрия 209 Систематическая дробь 10 Скалярное произведение 185 Собственные делители 42 Совершенные числа 42 Сопряженное число 128 Составное число 13 Сравнение по модулю 141 Среднее геометрическое 203 — пропорциональное 203 Средняя плотность распределения прос¬ тых чисел 39 Степенные суммы 56, 151 Сумма делителей числа 19 Сферы действительного, мнимого, нуле¬ вого радиусов 270 Тетраэдр 52, 280 Тетраэдрические числа 53 Топологический инвариант 279 Топология 276 Тор 284 Трактриса 262 Трансцендентные числа 180 Треугольные числа 49 Триангулированная сфера 282 Тригонометрическая форма комплекс¬ ного числа 131 Трисекция угла 236 Угловой дефект 255 — избыток 274 Угол параллельности 258 Удвоение куба 218 Факториал 26 Ферма Великая теорема 96 Ферма малая теорема 29 — признак простоты числа 35 — частное 30 — числа 35 Фибоначчи числа 64 Фигурные числа 49 317
Фокус 223 Цепные дроби 79 Циклическая группа 166 Циклоида 245 — удлиненная 247 — укороченная 246 Циссоида Диокла-233 Четвертое пропорциональное 203 Четырех красок проблема 291 Эйлера гипотеза 60 — тождество 23 — функция 22 Эйлерова характеристика многогран¬ ника 281 Элементы матрицы 187 Эллипсоид вращения 225 Эллиптический циркуль 232 Эпицикл 250 Эпициклоида 247 Эпюр Монжа 298 Эрлангенская программа 303
Содержание 6. Корни из единицы .... 133 7. Математика или филология? 134 8. Золотая теорема 140 9. Дама с собачкой .... 144 10. Целые корни 148 И. Симметрия в алгебре . . . 150 Глава II. Зарождение современ¬ ной алгебры 154 1. В погоне за синей птицей . . — 2. Любимцы богов 160 3. Группа перестановок ... 164 4. Чем измеряют симметрию . . 169 5. Группы в геометрии ... 173 6. Трансцендентные числа . . 179 7. Случай на мосту . . . . 181 8. Векторы 184 9. Как решить систему . . . 188 10. Алгебра Буля 193 Упражнения 197 Геометрия Глава I. Мир кривых линий . . 200 1. Циркуль и линейка . . . . 202 2. Инверсия 205 3. Координаты 208 4. Золотое сечение 211 5. Алгебра помогает геометрии 215 6. Как избавиться от чумы? . . 217 7. Фокусы и директрисы ... 221 8. Гиперболоид инженера Га¬ рина 225 9. Траектории ракет .... 229 10. Нитки, гвозди, карандаши 231 11. Лист плюща 233 12. Трисекция угла 236 13. Квадратура круга .... 240 14. В движеньи мельник жизнь ведет, в движеньи .... 245 Глава II. Геометрия Лобачев¬ ского 251 1. Пятый постулат 252 2. Гений из Казани 256 3. Когда расцветают фиалки . 258 319 Арифметика Глава I. Натуральные числа . . 6 1. Системы счисления .... 8 2. Признаки делимости ... 13 3. Каноническое разложение 17 4. Великий мастер индукции 20 5. Метод математической ин¬ дукции 24 6. Гениальный дилетант ... 27 7. Семейные проблемы ... 33 8. Генераторы простых чисел 35 9. Много ли простых чисел в миллиарде? 38* 10. Совершенные и дружествен¬ ные числа 42 11. Фигурные числа .... 48 12. Шары в пространстве ... 52 13. Степенные суммы .... 55 14. Проблемы Варинга и Гольд¬ баха 58 15. Кролики, коровы и телки . . 62 16. Великая тайна пифагорей¬ цев 68 Глава II. Диофаитовы урав¬ нения 72 1. В ответе только целые числа 73 2. Алгоритм Евклида .... 75 3. Цепные дроби 79 4. Пифагоровы тройки .... 83 5. Вокруг теоремы Пифагора . 87 6. Уравнение Пелля 90 7. Великая теорема Ферма . . 95 8. Обобщения 102 Упражнения 105 Алгебра Глава I. Наука о решении уравнений 108 1. Истоки алгебры 109 2. Алгебра обретает язык . . 114 3. Седьмая операция .... 118 4. Математический турнир . . 121 5. Гибрид из мира идей . . . 127
4. Модели новой геометрии . . 261 5. Значение геометрии Лоба¬ чевского 265 6. Без космического Магеллана 267 7. Кривые поверхности .... 272 Глава III. Геометрия положе¬ ния 276 1. Гомеоморфизмы 277 2. Тела Платона 279 3. Можно ли причесать ежа? . . 282 4. Сферы с ручками 284 Учебное издание Виленкин Наум Яковлевич Шибасов Лев Петрович Шибасова Зинаида Федоровна ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА МАТЕМАТИКИ Арифметика. Алгебра. Геометрия Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. Н. Белоновская Младший редактор Н. Е. Терехина Художники Н. В. Беляева, В. В. Костин, Ю. В. Пахомов Художественный редактор Е. Р. Дашук Технические редакторы Г. В. Субочева, Н. Т. Рудникова Корректоры О. Н. Леонова, Е. Е. Никулина ИБ № 16005 Сдано в набор 31.01.95. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати 25.12.95. Формат 60X907i6. Бумага офсетная № 1. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 20-1-0,31 форзац. Уел. кр.-отт. 41,6. Уч.-изд. л. 20,08-|-0,42 форзац. Тираж 50 000 экз. Заказ 4723. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. АО «Учебная литература». 117571, Москва, проспект Вернадского, 88. Московский педагогический государственный университет. Смоленский полиграфический комбинат Комитета Российской Федерации по печати. 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1. 5. Кенигсбергские мосты . . . 288 6. Хватит ли четырех красок? 290 7. Гармоническая четверка . . 293 8. На службе у Наполеона . . 297 9. И снова координаты . . . 300 10. Эрлангенская программа Клейна 302 Упражнения 304 Ответы и решения .... 306 Литература 311 Именной указатель .... 313 Предметный указатель . . . 315
Издательство "Просвещение" предлагает учебно-методическую и научно-познавательную литературу Мы работаем на основе прямых договоров Приглашаем к сотрудничеству республиканские, краевые и областные органы образования, книготоргующие организации и оптовых покупателей на взаимовыгодных условиях О контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ, □ розничным покупателям - книги из нашего книжного киоска, □ "Книгу - почтой" По «сем допросам обращайтесь по адресу: 127521, r.MocKta 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Телефоны: отдел реализации 289 60 26 "Книга-почтой": 117571 г.Москаа, пр.Вернадского, 88 АО "Учебная литература" Телефон: 437 46 97 Книги "Просвещения” всегда нужны, интересны, познавательны, доступны. МЫ ПРЕДЛАГАЕМ: О книги со складов издательства. отдел рекламы 289 52 84 книжный киоск факс 289 13 36 200 42 66
н. И. ЛОБАЧЕВ СКИЙ (1792—1856) К. ГАУСС (1777—1855) Н. АБЕЛЬ (1802—1829) Э. ГАЛУА (1811 — 1832) П. Л. ЧЕБЫШЕВ (1821 — 1894) А. ПУАНКАРЕ (1854—1912) И. М. ВИНОГРА ДОВ (1891 — 1983) Д. ГИЛЬБЕРТ (1862—1943) Природа говорит языком матема¬ тики: буквы этого языка — ... мате¬ матические фигуры. Г. Галилей В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу. Д. Гильберт Нет ничего более важного, как обна¬ ружить источники нового открытия. Это, на мой взгляд, интереснее самих открытий. Г. Лейбниц Логическая красота так же объек¬ тивна, как красота физических зако¬ нов. Л. Мигдал