Text
                    Л. П. ШИБАСОВ
 
 
 



Дж. НЕПЕР (1550—1617) АРХИМЕД (287-212 до н. э.) Г. ЛЕЙБНИЦ (1646—1716) И. БЕРНУЛЛИ (1667—1748) Г. ГАЛИЛЕЙ (1564—1642) И. НЬЮТОН (1643—1727) Я БЕРНУЛЛИ (1654—1705)
Математический анализ столь же об- ширен, как и сама природа. Ж. Фурье Цель математической строгости сос- тоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевание интуиции. Ж. Лдамар Высшее назначение математики — находить порядок в хаосе, который нас окружает. Н.Винер Предмет математики настолько се- рьезен, что полезно, не упуская слу- чая, сделать его немного занима- тельным. Б. Паскаль
Л. П. ШИБАСОВ з. Ф. ШИБАСОВА За ctHfianuyautu учебника МАТЕМАТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СТАРИННЫЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Книга для учащихся 10—И классов общеобразовательных учреждений Рекомендовано Глаеным управлением развития общего среднего образования Министерства образования Российской Федерации МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1997
УДК 087.5 ББК 22.1 Ш55 Рецензенты: кандидат педагогических наук А. В. Шевкин; зав. кафедрой МГУ, академик Б. В. Гнеденко Шнбасов Л. П., Шибасова 3. Ф. LU55 За страницами учебника математики: Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин, и занимат. задачи: Кн. для учащихся 10—11 кл. общеобразов ат. учреждений.— М.: Просвещение, 1997,— 269 с.: ил.— ISBN 5-06-007090-3. Книга является продолжением вышедшей в 1996 г. книги с тем же названием (авт. Виленкин Н. Я-. Шнбасов Л. П., Шибасова 3. Ф.) н адресована учащимся старших классов, желающим расширить и углубить знания по математике. Кинга погружает учащихся в мнр современной математики, рассказывает о задачах н проблемах, сыгравших важную роль в становлении н развитии математического анализа н теории вероятностен. Старинные и занимательные задачи сопровождаются историческими све- дениями. ББК 22.1 ©Издательство «Просвещение», 1997 Все права защищены ... 4306020000—318 „ Ш---------------- Без объявления 103(03)—97 ISBN 5-09-007090-3
Памяти Н. Я. Виленкина Дорогие читатели! Вы держите в руках вторую книгу под названием «За страницами учебника математики». Первая написана нами в соавторстве с Н. Я. Виленкиным. Его имя знакомо многим как имя автора школьных учебников. Будучи крупным ученым, он много внимания уделял вопросам образования и популяризации математических знаний. Первая книга вышла в издательстве «Просвещение» в 1996 г. и содержит разделы: арифметика, алгебра и геометрия. Вторая посвящена математическому анализу и теории вероятностей, а заключительный раздел отдан старинным и занимательным задачам. Основное содержание книг составляют задачи, постановка и решение которых оказали глубокое влияние на возникновение, развитие и становление названных математических дисциплин. Математический анализ и теория вероятностей не имеют такого почтенного возраста, как арифметика, геометрия и алгебра. Хотя отдельные задачи, лежащие у истоков математического анализа, ставились и в глубокой древности, и в методах их решения обнаруживаются ростки основных методов анализа, интенсивное его развитие началось только с XVII в. Примерно к тому же времени относится постановка задач, из обсуждения и решения которых возникла теория вероятностей. В первых двух разделах мы познакомим вас с историей формирования базисных понятий и методов математического анализа и теории вероятностей. Вы встретитесь с именами создателей математической науки, узнаете об их жизни и творчестве. В последнем разделе мы рассматриваем несколько старинных задач. Обращение к ним естественно, оно вытекает из исторической направленности всей книги. Однако большую часть раздела составляют занимательные задачи. Подборка их не претендует на какую-либо систематизацию. Включая их в книгу, мы преследовали две цели: продемонстрировать работу понятий и методов, рассмотренных во всех предыдущих разделах и повысить занимательность. Некоторые задачи привлекли нас необычайной простотой и красотой своего решения. Структура этой книги повторяет структуру предыдущей: разделы разбиты на главы, главы — на пункты; нумерация формул в каждой главе своя, рисунков — сквозная. В конце каждого раздела даются упражнения для самостоятельного решения. Многие из них сформулированы классиками математики. В свое время их решение было по силам лишь профессионалам очень вы- 1* 3
сокой квалификации. Но сейчас, благодаря созданию современных методов, они вполне доступны старшеклассникам. В конце приведен список (далеко не полный) использованной литературы. Для удобства работы с книгой составлены именной и предметный указатели. Читать эту книгу можно независимо от предыдущей. Отметим только, что здесь мы не разъясняем понятий, которые уже встречались в первой книге, а просто даем ссылки на нее с указанием соответствующего раздела, главы и пункта. Далее, даты жизни ученых мы, как правило, указываем при первом упоминании их имени, поэтому здесь многих дат нет — они приведены в первой книге, равно как и биографии некоторых математиков. Надеемся, что вы познакомитесь с обеими книгами. Все разделы написаны на уровне, доступном учащимся старших классов. Напоминаем только, что это не учебник, многие понятия и утверждения даются здесь на популярном, ознакомительном уровне, отдельные доказательства лишь намечены. Мы не ставили себе цель сколько-нибудь полно осветить разделы книги, а хотели только показать красоту, сложность и притягательность матема- тических проблем, увлекательность научного поиска. Книга адресуется учащимся 10—11 классов. Надеемся, что она окажется полезной также учителям математики и студентам физико-математических факультетов педагогических институтов. Мы выражаем благодарность рецензентам, прочитавшим ру- копись и сделавшим ряд ценных замечаний. Будем признательны всем читателям, которые смогут прислать отзывы о книге и свои замечания в редакцию математики издательства. Л. П. Шибасов, 3. Ф. Шибасова
1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Математический анализ — область математики, изучающая функции. А поскольку все явления окружающего нас мира так или иначе связаны между собой и эти связи можно описать при помощи функций, то математический анализ чрезвычайно полезен и часто незаменим во многих областях человеческой деятельности. Средствами анализа решаются самые разнообразные задачи не только в математике, но и в физике, химии, биологии, технике, строительстве и т. д. «Нельзя объять необъятное»,— сказал Козьма Прутков. Тем не менее анализ с помощью функций смог это сделать. Для исследования функций анализ обладает мощным аппара- том — интегральным и дифференциальным исчислениями. В этой главе мы будем говорить об интегральном исчислении. Появилось оно сравнительно недавно, в XVII в. Но истоки его обнаружива- ются уже в глубокой древности. В Москве в Музее изобразительных искусств име- ни А. С. Пушкина хранится египетская математическая рукопись, написанная около 40 веков тому назад,— это Московский папирус. В нем содержится 25 задач. В одной из них указывается правило вычисления объема усеченной пирамиды с квадратными основа- ниями со сторонами 4 и 2 локтя и высотой 6 локтей: «Возведи 4 в квадрат; получишь 16. Удвой 4; получишь 8. Возведи 2 в квадрат; получишь 4. Сложи вместе эти 16 с этими 8 и 4; получишь 28. Вычисли 4- от 6; получишь 2. Умножь 28 на 2; получишь 56. Смотри, он равен 56. Ты нашел правильно». Это правило полностью соответствует вычислению объема по знакомой нам формуле v = ~(a2-^-ab-{-b2). Задачи вычисления площадей и объемов, естественно, вставали перед людьми с тех пор, как они начали заниматься хозяйственной ii
деятельностью: нужно было делить земельные участки (не всегда правильной формы), строить жилища, военные укрепления. И уже в глубокой древности, как свидетельствует запись в Московском папирусе, пытались найти общие приемы решения таких задач. Египтяне и вавилоняне, у которых математика носила прикладной характер, при определении площадей и объемов достаточно сложных фигур и тел могли вполне удовлетвориться их приближенными значениями. Древние греки, превратившие мате- матику в науку, стремились получить точные результаты. И достигли на этом пути значительных успехов. Развитие методов, применявшихся древнегреческими учеными при вычислении пло- щадей и объемов, привело к созданию интеграла — мощного инструмента, позволяющего легко и быстро найти площадь фигуры весьма причудливых очертаний, объем любого замысловатого тела, длину самой хитроумной кривой. Для понятий «длина», «пло- щадь», «объем» есть одно объединяющее их название — мера. Вычисление мер геометрических объектов — одно из самых важных приложений интегрального исчисления. Обратимся к его истокам. 1. Что такое «парабола» Сейчас любой школьник на вопрос: «Чему равна площадь параллелограмма?» — ответит: «Произведению основания на высоту». И едва ли кому придет в голову ответить, что площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника с теми же основанием и высотой. А ведь именно в таком виде формулиро- вали теоремы о площадях древнегреческие математики. Они не приводили конкретного значения площади фигуры, а указывали ее отношение к площади другой, как правило, более простой фигуры. В «Началах» Евклида мы читаем: «Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое большим треугольника». Аналогично формулировались утверждения и об объемах тел. В трактате «О шаре и цилиндре» Архимед доказывает теорему: «Всякий шар будет в четыре раза больше конуса с основанием, равным большему кругу шара, и с высотой, равной радиусу шара». Почему же была принята именно такая формулировка утверждений? Связано это с особенностями греческой математики. Следуя Платону, древние греки отделяли теоретическую математи- ку от практической. И если в практической, предназначенной «для удовлетворения нужд ремесленников», конечно, использовались конкретные вычисления, то в теоретической считалось непозволи- тельным даже ставить вопросы о числовом значении какой-либо величины. Здесь нужно было выяснять царящие в природе
соотношения между величинами. Такая постановка вопроса имела свою причину. Если вдуматься, то и мы сейчас, говоря, например, что площадь фигуры равна 2,5, утверждаем, что она в два с половиной раза больше площади квадрата со стороной 1. Имея в распоряжении единичный квадрат в качестве эталона, мы можем выразить площадь любой фигуры действительным числом. Но греки под «числами» подразумевали только натуральные. С открытием несоизмеримых отрезков они обнаружили, что при помощи «чисел» невозможно выразить длины всех отрезков. Множество отрезков оказалось значительно богаче множества «чисел» и их отношений. Поэтому и стали древнегреческие математики работать дальше не с числами, а непосредственно с отрезками, плоскими фигурами, пространственными телами, т. е. с геометрическими объектами. Операции над величинами заменялись построениями — математи- ка приняла геометрическую форму. В этих условиях, конечно, и речи не могло быть о числовых значениях величин, а только об их отношениях. Невольно вспоминается популярный мультфильм, где Удава измеряют Слоненками, Мартышками и Попугаями. Такой подход долго господствовал в математике. Уже в XVII в. И. Кеплер утверждает: «Поверхность прямого цилиндра равновелика поверхности сферы, которую он охватывает». Для сравнения площадей греки стремились «упростить» исследуемую фигуру—построить равновеликую ей (имеющую такую же площадь) более простую фигуру, чаще всего квадрат. Построение равновеликого квадрата называлось квадратурой фигуры. Строить нужно было только с помощью циркуля и линейки. Такое построение не всегда удавалось (Геометрия, гл. 1), и греки подозревали, что иногда оно вообще невозможно. Поэтому довольно часто они решали менее жесткие задачи: вместо квадрата строили другую равновеликую фигуру, или просто нахо- дили равновеликую фигуру, не требуя ее построения, или привле- кали для построения другие инструменты. Посмотрим, как сравнивали древнегреческие математики площади двух произвольных многоугольников. Сначала они разбивали оба многоугольника на треугольники диагоналями. И далее рассуждали так. Площадь каждого многоугольника равна сумме площадей составляющих его треугольников; в свою очередь, каждый треугольник равновелик прямоугольнику с тем же основанием и высотой, в два раза меньшей. Для указанных прямоугольников строили равновеликие им прямоугольники — все с одинаковыми основаниями. Такое построение называлось приложением (по-гречески «парабола») прямоугольников к одно- му основанию. Из полученных прямоугольников собирали два прямоугольника, соответственно равновеликих двум исходным многоугольникам. Сравнение высот этих прямоугольников позво- ляло выяснить, какой многоугольник имеет большую площадь. Способ приложения к стороне с прямоугольника, равновеликого к
прямоугольнику со сторонами а и Ь, изображен на рисунке 1. Заштрихованные прямоугольники на самом* деле равновелики, это следует из пропорции Ь:с=х:а. Если к стороне с приложить прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной у, то соответствующая пропорция примет вид у:с=х:у. Откуда у2 = сх. Кривую, определяемую этим уравнением, Аполлоний назвал параболой. С проблемой приложения связано происхождение названий и остальных кривых второго порядка. Древнегреческие ученые рассматривали не только точное приложение прямоугольника к отрезку, но еще приложения с недостатком (по-гречески «эллипс») и с избытком (по-гречески «гипербола»). Естественно, недостаток и избыток нс могли быть произвольными: требовалось, чтобы они были квадратами. Остановимся на задаче приложения с недостатком. Приложим прямоугольник площади S (на рисунке 2 этот прямоугольник заштрихован) к отрезку с так, чтобы «недостаток» был квадратом. Если обозначить сторону этого квадрата через х, то задача сводится к нахождению х из уравнения S = cx—x2 Геометрическими методами греки приводили разность сх—х2 к виду х). Как это сделать, видно из того же ри- сунка 2. Далее они преобразовывали прямоугольник площади S в квадрат S = y2t т. е. фактически переходили к уравнению (F-W-G)’ Оно позволяло с помощью теоремы Пифагора по заданным гипо- тенузе и катету у найти другой катет а затем и х. Аналогично приложение с избытком равносильно решению ура- внения S = cx + x2 Его можно привести к виду 9
Рассматривался и более общий случай задачи: приложение квадрата к отрезку с с недостатком или избытком, пропорцио- нальными квадрату: у2 = сх—рх2, у2 = сх-\-рх2. Кривые, отвеча- ющие этим уравнениям, были названы соответственно эллипсом и гиперболой. Читатели могут заменой переменных привести эти уравнения к каноническому виду (Геометрия, гл. I, п. 8): 2. Равносоставленность Вероятно, читатели знакомы с головоломками, в которых предлагается разбить одну из двух данных фигур на конечное число частей, а потом составить из этих частей другую фигуру. Такие две фигуры называются равносоставленными. Они, есте- ственно, равновелики. Но совершенно ясно, что не все фигуры, имеющие равные площади, равносоставлены. Например, как ни разбивай круг на конечное число частей, из них не составишь равновеликий ему квадрат. А вот любые два параллелограмма, имеющие одинаковую площадь, равносоставлены. Докажем это. Поскольку произвольный параллелограмм ABCD легко пере- водится в параллелограмм AEFG с теми же основанием и высо- той, но с другими углами (рис. 3), то доказательство утверждения достаточно провести для параллелограммов с соответственно рав- ными углами. Итак, равновеликие параллелограммы ABCD и AEFG (рис. 4) имеют соответственно равные углы. Накладываем их друг на друга, как показано на рисунке 4, и проводим отрезок DE. Предоставляем читателям возможность доказать, что &ВЕК= &GMD и Z\EFM= &KCD. Разрезав параллелограмм ABCD по DK нСМ, перекладываем треугольник GMD на место ВЕК, а треугольник KCD сдвигаем вдоль стороны KD до совмещения вершины К с точкой Е. В результате получаем параллелограмм AEFG Тем самым утверждение полностью доказано. В частности, описанным приемом можно перевести друг в друга два равновеликих прямоугольника. Рис. 4 Рис. 3 Рис. 5 10
Возьмем теперь произвольный треугольник. Разрезав его по средней линии, из полученных частей складываем параллелограмм (рис. 5). Значит, доказанное утверждение справедливо и для треугольников, т. е. равновеликие треугольники равносоставлены. Естественно, возникает вопрос: существует ли более широкий класс плоских фигур, для которых понятия равновеликости и равносоставленности совпадают? Для фигур этого класса вычисление площади можно было бы производить элементарными методами. Рассматривая различные примеры, математики пришли к мысли, что такой класс образуют многоугольники. В 30-е годы прошлого столетия уже знакомый нам Ф. Больяи — отец невезуче- го гения Я. Больяи, а также австрийский офицер и любитель математики П. Гервин доказали теорему: два многоугольника на плоскости равновелики тогда и только тогда, когда они равносо- ставлены. В самом деле, разобьем многоугольник на треугольники. Каждый из треугольников путем разрезаний и складываний нетрудно перевести в прямоугольник с фиксированным основанием. Мы это умеем делать по следующей схеме: треугольник параллелограмм прямоугольник с тем же основанием -► прямоугольник с фиксированным основанием. Прикладывая все полученные прямоугольники равными основаниями друг к другу, сложим один прямоугольник с тем же основанием. Очевидно, равновеликие многоугольники преобразуются таким способом в один и тот же прямоугольник, откуда и следует утверждение теоремы Больяи — Гервина. Теперь мы знаем, что головоломки, о которых шла речь в начале пункта, всегда имеют решение для равновеликих многоугольников. Интересно, обобщается ли теорема Больяи — Гервина на многогранники? Если бы это было так, т. е. равновеликие много- гранники оказались бы равносоставленными, то значительно упростилось бы доказательство некоторых теорем стереометрии. Вспомним теорему о равновеликости пирамид с равными площадя- ми оснований и равными высотами. Она доказывается с использо- ванием предельного перехода или метода исчерпывания и, по- видимому, не может быть доказана элементарными средствами. Подобные соображения и позволили Д. Гильберту в качестве одной из своих знаменитых проблем высказать предположение, что теорема Больяи — Гервина для многогранников несправедлива (т. е. имеются равновеликие, но не равносоставленные мно- гогранники). В том же 1900 г., когда Гильберт сформулировал свои «Проблемы», его ученик М,акс Ден (1878—1952) показал, что куб и равновеликий ему правильный тетраэдр не являются равносоставленными. Более того, Ден нашел необходимое условие равносоставленности равновеликих многогранников. В дальней- шем (1903) советский математик Вениамин Федорович Каган (1869—1953) существенно упростил и усовершенствовал очень сложное доказательство Дена. 11
Таким образом, стало ясно, что даже вычисление объема такого простого тела, как тетраэдр, не удается свести элемен- тарными методами к вычислению объема куба. Тем более такие методы не дают результата, если тело ограничено кривыми по- верхностями. 3. Метод исчерпывания Теперь становится понятным, почему при вычислении объема пирамиды нельзя обойтись конечным числом шагов. Интуитивно это чувствовали уже древнегреческие ученые. Правда, они всячески пытались избежать бесконечных процессов. Еще в V в. до н. э. древнегреческий философ Зенон Элейский привел ряд возникающих при этом парадоксов, или апорий (от греч. апория— логическое затруднение). Среди них наиболее известными явля- ются «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия». Первая апория гласит: Ахиллес — герой Троянской войны, которого бессмертный Гомер назвал быстроногим, не сможет догнать черепаху. А уж черепаха и для древних греков была символом медлительности. На самом деле, пока Ахиллес пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, она переползет на некоторое расстояние вперед. Затем, когда Ахиллес преодолеет расстояние, вновь возникшее между ними, черепаха снова переместится вперед и т. д. В парадоксе «Дихотомия» (от греч. диха — на две части, томе — сечение) утверждается, что никакой отрезок не может быть пройден движущимся телом. Чтобы пройти весь отрезок, тело сначала должно пройти его половину, а еще раньше — половину этой половины и т. д. В результате тело не сможет даже начать движения. Каждый из нас может опровергнуть последнее утверждение Зенона, сделав всего лишь один шаг. Так и поступил Диоген Синопский (ок. 404—323 до н. э.). Читатели, наверное, знакомы с легендой о том, что Диоген жил в бочке, относясь с полным равнодушием ко всем жизненным удобствам. Этот спор двух философов описал А. С. Пушкин в стихотворении «Движение»: Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой, смолчал и стал пред ним. ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит. Однако ж прав упрямый Галилей.
Гениальный русский поэт хотел подчеркнуть в этом стихотворе- нии, что объяснение парадокса не лежит на поверхности и простыми аналогиями здесь не обойтись. Многие ученые пытались объяснить парадоксы Зенона. Но ни одно из предложенных объяснений нельзя считать до конца удовлетворительным. По-видимом у, это сделать вообще не- возможно, поскольку парадоксы отражают реально существующие противоречия между дискретным и непрерывным, конечным и бесконечным. Древнегреческий философ и математик Демокрит (ок. 460 — ок. 370 до н. э.) считал бесконечный процесс деления вещества невозможным. Он полагал все тела состоящими из мельчайших неделимых частиц—атомов. В соответствии с этим Демокрит представлял себе пирамиду составленной из пластинок, параллель- ных основанию, толщиной в атом. Такая точка зрения позволила ему доказать теорему о том, что объемы пирамид, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований, и вслед за этим указать объем пирамиды. Но этот подход не мог удовлетворить ученых. Как указывал Плутарх, пирамида, собранная из пласти- нок, либо не сужается, либо «шершавая». Великолепной попыткой вырваться из плена бесконечности при вычислении мер был метод исчерпывания, разработанный выдаю- щимся древнегреческим ученым Евдоксоми плодотворно приме- нявшийся многими его соотечественниками, в том числе Евклидом и Архимедом. В алгебраическом разделе мы говорили о другом замечательном детище Евдокса — теории отношений величин. Эта теория позволила преодолеть один из самых значительных кризисов в математике — кризис, связанный с открытием несо- измеримых отрезков. Надо сказать, что деятельность Евдокса была чрезвычайно многогранной. Помимо математики он занимался астрономией, географией, философией, ораторским искусством и медициной. Учился Евдокс у крупнейших ученых своего времени, в частности математике — у знаменитого Архита Тарентского. Стремление овладеть философией привело его к Платону в Афины. Не имея достаточно средств, он поселился в гавани далеко от Академии и ходил туда пешком, затрачивая на дорогу в оба конца 4 часа. Поехать в Египет для изучения астрономии ему помогли друзья. Получив прекрасное всестороннее образование, Евдокс основал свою школу, собравшую большое количество учеников. Она продолжала существовать и после смерти Евдокса^ Руководство школой перешло к его ученику Менехму, которому приписывается открытие конических сечений. Сам Евдокс прй;жизни пользовался огромным уважением: ведь ev6o£og в переводе означает «знамени- тый», «окруженный почетом»; скорее всего, Евдокс — псевдоним, а настоящее имя ученого неизвестно. Когда Платон поставил перед астрономами задачу описать движение Солнца и планет с помощью комбинаций равномерных 13
круговых вращений, Евдокс предложил следующую модель. Вокруг неподвижной Земли расположены 27 прозрачных сфер, на которых размещены Солнце, звезды и планеты. Движения светил связаны с вращением этих сфер. Парадоксально, что Солнце, диаметр которого, по Евдоксу, в 9 раз больше диаметра Земли, в его модели вращается вокруг менее массивного тела. В дальней- шем эту модель принял за основу Клавдий Птолемей при создании своей системы мира, ставшей канонической на многие века. Работы Евдокса до нас не дошли, о его результатах мы знаем только по свидетельствам других ученых. Одно из них приписывает Евдоксу создание первой греческой обсерватории и составление первого в Греции звездного каталога. Что же представляет собой метод исчерпывания Евдокса и для чего он был нужен? Применялся он в основном при доказательстве утверждений, связанных с вычислением площадей фигур, ограни- ченных кривыми линиями, или объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями. К примеру, хотели доказать, что площадь круга совпадает с площадью S какой-то другой фигуры. Для доказатель- ства в круг последовательно вписывали многоугольники: сначала квадрат, затем восьмиугольник путем деления пополам дуг, стянутых сторонами квадрата, потом таким же способом шест- надцатиугольник и так далее до тех пор, пока разность между кругом и очередным многоугольником не станет иметь достаточно малую площадь. Круг как бы постепенно исчерпывался этими многоугольниками, но не до конца—для этого пришлось бы считать процесс вписывания бесконечным и использовать предель- ный переход. Древние математики обращения к бесконечности себе не разрешали, да и теорией предела не располагали. Поэтому, остановившись на нужном шаге, они способом от противного доказывали, что площадь круга не может быть ни меньше S, ни большеS; оставалось признать, что она принимает значениеS. Продемонстрируем метод исчерпывания на примере доказа- тельства предложения, высказанного Архимедом в работе «Изме- рение круга»: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника (т. е. другому катету)». Обозначим треугольник, фигурирующий в условии теоремы, через Г, а круг — через/( (естественно, у Архимеда обозначения другие). Надо показать, что SK=ST. Сначала Архимед предпола- гает, что SK>ST. «Действительно,— пишет он,—пусть, если возможно, круг будет больше; Впишем в него квадрат АС. Будем постоянно делить дуги попола'М, и пусть когда-нибудь получатся сегменты меньше той разницы, на которую круг больше треугольника; тогда полученная прямолинейная фигура будет тоже больше треугольника. Возьмем центр О и перпендикуляр ОЕ\ тог- да ОЕ будет меньше соответствующей стороны треугольника Т. Также и периметр прямолинейной фигуры меньше оставшейся сто- 11
роны, поскольку он меньше периметра круга; значит, полученная прямолинейная фигура будет меньше треугольника Т, а это нелепо» (рис. 6). Потом Архимед допускает, что SK<ST, и снова приходит к абсурду. Итак, остается SK=ST. Заметим, что Архимед использует утверждение, что суммарную площадь сегментов (разность между кругом и многоугольником) можно сделать меньше любого наперед заданного числа, но не доказывает этого. Дело в том, что этот факт во времена Архимеда был хорошо известен, например, из «Начал» Евклида. Евклид приводит его при доказательстве предложения об отношении площадей двух кругов. Кстати, обратите внимание на формули- ровку самого предложения: «Круги будут друг к другу как квадраты на диаметрах». Здесь и четкость, и лаконичность, и геометрический подход, и подход с точки зрения теории отно- шений — все основные черты греческой математики. Так вот, дока- зывая свое предложение методом исчерпывания, Евклид попут- но доказывает, что площадь разности между кругом и вписан- ным многоугольником можно сделать меньше наперед заданного числа. Наметим и мы это доказательство, следуя Евклиду. На первом шаге из круга вычитается квадрат, его площадь больше половины площади круга (поскольку площадь вписанного квадрата составляет ровно половину площади описанного квад- рата, которая заведомо больше площади круга). Рассмотрим один из четырех оставшихся сегментов AFL (рис. 6). На втором шаге из пего вычитается треугольник AFL. Площадь этого треугольника больше половины площади сегмента AFL (так как площадь треугольника равна половине площади прямоугольника ABDL, которая, в свою очередь, больше площади сегмента) и т. д. Нужное утверждение вытекает из содержащейся в «Нача- лах» леммы Евдокса: «Если даны две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка — снова часть, большая половины (остатка), и это повторяется постоянно, то когда-нибудь останется величина, которая меньше, чем меньшая из заданных величин». Теперь доказательство Архимеда полностью обосновано, и мы можем обсудить достоинства и недостатки метода исчерпывания. Несомненно, этот метод представляет собой первый, но гигантский 15
шаг к понятию предела последовательности в том смысле, в котором мы его понимаем сейчас: «число а является пределом последовательности ап, если для любого положительного числа е найдется номер п, начиная с которого все члены последовательно- сти отличаются от а меньше, чем на е». Древние греки нс шли дальше найденного п, но, зафиксировав его, доводили доказатель- ство до конца четко, без каких-либо натяжек или умалчиваний. Эти доказательства до сих пор представляют собой образец бе- зупречной математической строгости. Однако, как пи хорош метод исчерпывания (оставим в стороне его громоздкость), он требует для себя хорошего обеспечения. Во-первых, надо быть уверенным в том, что искомая мера существует. Правда, вопросы существова- ния возникли в математике довольно поздно, лишь в XIX в.— в период обоснования анализа. До этого существование длин, площадей, объемов не подвергалось сомнению. Во-вторых, надо знать ответ заранее. Угадать его, надо думать, было нелегкой задачей для древних математиков. В дальнейшем ученые могли только строить предположения, как древние его отыскивали. Мы еще вернемся к методу исчерпывания в пункте 5 в связи с вычислением объема эллипсоида, которое провел Архимед. Но сначала остановимся на его жизненном пути и творчестве. 4. «Эврика!» Великий математик, физик, астроном, изобретатель и инженер Архимед (ок. 287—212 до н. э.) родился в Сиракузах — центре небольшого государства в южной части Сицилии. Жил он в эпоху постоянных войн между Карфагеном и Римом за господство на Средиземном море; в истории эти войны получили название пунических (пунийцами римляне называли карфагенян). Остров Сицилия служил предметом раздора и постоянной ареной этих войн. Правда, Сиракузы ценой мирного договора с римлянами довольно долгое время сохраняли независимость. Предполагают, что отцом Архимеда был математик и астроном Фидий. По-видимому, под его руководством Архимед получил домашнее образование, поскольку не имел возможности учиться в школе, доступной только высшей аристократии. В это время ему улыбнулась фортуна. Его родственник Гиерон за выдающиеся военные заслуги был провозглашен сиракузским царем. Гиерон способствовал образовательной поездке Архимеда в Александрию — научную столицу древнего мира. Вернувшись на родину, Архимед плодотворно занимался математикой, физикой, астрономией, по поручению Гиерона руководил постройкой корабля невиданных размеров, сооружал машины оборонного назначения (понадобились они только* после смерти царя Гиерона). Не терял связей Архимед и с александрийскими п;
учеными. До нас дошли его послания Эратосфену, Конону, Досифею. В значительной мере благодаря этим посланиям, которые сохранились в Александрийской библиотеке, мы знаем о работах великого сиракузца. О жизни и творчестве Архимеда ходили легенды, поводом для которых служили его чрезвычайная гениальность и увлеченность. Одна из них дошла до нас в пересказе древнеримского архитектора и инженера Витрувия (I в. до н. э.). В ней рассказывается об открытии закона о выталкивающей силе жидкости. Дело было так. У царя Гиерона возникло подозрение, что мастера, изготовившие для него золотую корону, утаили часть золота, заменив его серебром. За разрешением своих сомнений Гиерон обратился к Архимеду. Долго бился Архимед над этой задачей. Но однажды, принимая ванну, он как-то особенно почувствовал, что тело при погружении в воду теряет в весе. Это ощущение озарило его: он выскочил из ванны и с криком «Эврика!» («Нашел!») нагим выбежал на улицу. Задача о короне была решена, а вместе с ней был открыт один из основных физических законов. Архимед совершил много других открытий в области физики, в частности определил понятие центра тяжести и вывел закон рычага. Ему приписывается ставшая крылатой фраза: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю». Занимаясь астрономическими исследованиями, Архимед сконструировал ряд приборов для измерений и наблюде- ний за светилами, в том числе действующую модель небесной сферы. Эта сфера долгое время оставалась (уже для римлян) основным пособием при изучении астрономии. Вообще характерным для творчества Архимеда было то, что свои теоретические исследования он часто с успехом применял для практических целей. Путешествуя по Египту и видя, какого колоссального труда требует полив полей в этой жаркой стране, ученый создал винт для подъема воды. Позже он придумал систему рычагов и блоков для поднятия тяжестей. В этих изобретениях
сказался не только конструкторский талант Архимеда, но и его способность откликаться на нужды людей. Несмотря на выдающиеся достижения в области механики, сам Архимед больше ценил свои математические результаты. Он придумал систему записи больших чисел (прежде греки считали только до десяти тысяч). «...Я в состоянии назвать некоторое число, превосходящее... даже число песчинок в куче, равной всей Вселенной»,— пишет Архимед в сочинении «Псаммит» («О числе песчинок»). Он вычислил сумму бесконечной геометрической прогрессии, нашел границы числа л, вполне удовлетворительные даже сегодня, исследовал кривую, названную впоследствии спиралью Архимеда. Но, пожалуй, самыми значительными являются его работы, посвященные вычислению площадей и объемов. В них Архимед заложил общие методы, применив их к фигурам, ограниченным коническими сечениями, и к телам, полученным их вращением. Методы эти настолько опередили свое время, что были вполне оценены только через две тысячи лет. Древнегреческий историк и философ Плутарх писал: «Во всей геометрии нет теорем более трудных и более глубоких, нежели теоремы Архимеда. Мне самому всегда казалось, когда я впервые знакомился с его математическими предложениями, что они до того трудны, что ум человеческий не в состоянии найти им доказатель- ства. Однако когда узнаешь, как сам Архимед их доказывает, то тебе кажется, будто ты сам нашел доказательство — до того оно просто и легко». Относительно простоты и легкости сказано слишком оптимистично: доказательства достаточно сложны, но очень ясные и четкие. Во время второй Пунической войны, после смерти Гиерона, родной город Архимеда включился в борьбу на стороне Карфагена. Сиракузы всегда представлялись Риму особо лакомым куском, поэтому против них были брошены многочисленные морские и сухопутные войска. Когда враги подошли к стенам города, Архимед, несмотря на преклонный возраст, организовал его инженерную оборону. Корабли противника, находившиеся на расстоянии полета стрелы, поджигались с помощью системы зеркал. Те, что сумели подойти близко к стенам города, мощными кранами опрокидывались в море и швырялись на скалы. Метательные машины обрушивали на суда неприятеля и на сухопутные войска шквалы огромных камней и балок. Опытный военачальник римских легионеров Марцелл заявил, что его воины не в состоянии сражаться с этим Бриареем (мифический сторукий гигант). От штурма города римляне перешли к его осаде, продолжавшейся около двух лет. Погиб великий мудрец при взятии Сиракуз. По преданию, когда римский легионер уже занес меч над Архимедом, он крикнул: «Не трогай моих чертежей!» Такая одухотворенность и увлеченность наукой до сих пор поражают воображение. Легенда о гибели Архимеда вдохновила многих писателей и поэтов, которые каждый 1ь
по-своему истолковали ее в своих произведениях. Поэту Дм. Кедрину принадлежат такие строки: Нет, не всегда смешон и узок Мудрец, глухой к делам земли; Уже на рейде в Сиракузах Стояли римлян корабли. Над математиком курчавым Солдат занес короткий нож, А он на отмели песчаной Окружность вписывал в чертеж. Ах, если б смерть - лихую гостью — Мне так же встретить повезло, Как Архимед, чертивший тростью В минуту гибели — число! А чешский писатель К. Чапек в апокрифе «Смерть Архимеда» рассказывает, что римский центурион, состоявший при штабе Марцелла, застав великого ученого за чертежами, предложил ему сотрудничать с римлянами, чтобы участвовать в завоевании мирового господства. На это Архимед ответил ему: «Ты не сердись, но у меня здесь дело поважнее. Нечто более прочное. Такое, что действительно переживет нас с тобой... Осторожно, не сотри моих кругов. Это способы вычисления площади любого сектора круга...» И на самом деле работы Архимеда пережили все катаклизмы прошедших веков и стали животворным источником для мате- матики в эпоху Возрождения. До сих пор они удивляют и восхи- щают ясностью мысли и строгостью изложения. 5. Как рассуждал Архимед Сфероидом или сфероидальной фигурой древние называли тело, ограниченное поверхностью, полученной вращением эллип- са вокруг одной из его осей симметрии. Сейчас такую поверх- ность называют эллипсоидом вращения. Рассмотрим задачу о вычислении объема половины сфероида. Архимед в трактате «О коноидах и сфероидах» формулирует следующую теорему: «Если какую-нибудь сфероидальную фигуру рассечь плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к оси, то половина сфероида будет вдвое больше конуса, имеющего то же основание и ту же ось, что и сегмент». Предварительно он доказывает все необходимые леммы. Одна из них утверждает: в половину сфероида «... можно вписать телесную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой наперед заданной телесной величины*. 19
Начнем с доказательства этой леммы. Пусть полусфероид G получен вращением половины эллипса ЛВС (вместе с внутренно- стью) вокруг оси симметрииОВ (рис. 7). Архимед описывает около G цилиндр с диаметром основания АС и высотой ОВ. Плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, он делит этот цилиндр пополам. Каждый из полученных цилиндров снова разбивает пополам плоскостями, перпендикулярными ОВ. И так продолжает до тех пор, пока не образуются цилиндры, объем каждого из которых меньше наперед заданной величины. Фиксируя полученное разбиение, обозначим через п число построенных цилиндров. Далее Архимед описывает около G тело Q, которое состоит из п цилиндров одинаковой высоты п= - с диамет- рами оснований АС, А(С|, А2С2 и т. д. И вписывает в G тело Р, состоящее из цилиндров той же высоты, с диаметрами оснований А1 Ci, А2С2 и т. д. Так как телоф отличается от телаР на цилиндр с высотой и диаметром АС, а объем цилиндра по построению меньше наперед заданной величины, то лемма доказана. Теперь посмотрим, как Архимед получает основной результат. Его рассуждения удобнее записать в современных обозна- чениях. Будем считать, что эллипс задан уравнением-^7+-^-= 1. Тогда ОС=а, ОВ = b, h—— Сначала найдем объем тела О, описанного около половины сфероида. Обозначим радиусы оснований цилиндров, составляющих Q, через х0, xi, ... xn-i, причем х0 = а, т. е. VQ= n/i(xj+xf+... +x„_() = л— £ х%. Прежде чем вычислять данную сумму, вспомним, что х2—а2(\ — -|т)и ук = kh = k • -р fe = 0,1, , n — 1. Поэтому х*=а2(1—Откуда 1Z na2b / 1 V'tiX !l/i 2n3—Злг + п\ Vo= I n--------“nabi I----------------c а т v л \ zr t- , / V 6n3 7 \ я “ I / (1) где V — удвоенный объем конуса с высбтой ОВ и диаметром осно- вания АС. При вычислении мы воспользовались равенством л-1 I*’ й=| __ 2лэ — Зп34-л — 6 20
(Арифметика, гл. 1, п. 13). Аналогично находится объем тела, вписанного в G: V—na2b(— \ 2л (2) Далее мы бы перешли к пределу У^ или Vp при л оо и получили бы, что он равен V Архимед так поступить не мог: он проводит доказательство методом от противного. Предположим и мы, что объем V с половины сфероида G больше У. Обозначим VG—У = е. На основании леммы можно добиться того, чтобы разность Vp стала меньше е. Тогда Ус—У^С Ур<:е = = Ус— У, откуда Vp> У, что противоречит равенству (2). Итак, предположение, что Ус> У, неверно. Аналогично не может быть УС<У Остается Ус= У Теорема доказана. Заметим, что Архимед применил здесь метод исчерпывания в модернизированной форме: вместо одной конечной последова- тельности, как в теореме о площади круга, он строил две — вписанных в полусфероид тел и описанных — до тех пор, пока разность между объемами соответствующих тел не станет достаточно малой. Мы уже говорили, что для применения метода исчерпывания нужно заранее знать ответ. Как же Архимед угадывал его, какими приемами вычисления мер он владел? Ученые давно имели некоторые предположения на этот счет. Они подтвердились в на- чале нашего века, когда было обнаружено «Послание к Эратос- фену». В нем Архимед сообщает, что для получения некоторых результатов он исходил из механических соображений, основыва- ясь на открытом им законе рычага и на идее Демокрита расчлене- ния фигуры (или тела) на тончайшие слои. В послании он демонстрирует свой метод на нескольких примерах, в том числе на примере вычисления объема шара. Приведем его рассуждения на современном языке. 21
Будем считать, что шар образован вращением круга с центром в точке Е (г; 0) и радиусом г вокруг оси абсцисс (рис. 8). Уравнение окружности, ограничивающей данный круг, имеет вид х2-|-у2 = 2гх. Умножив обе его части на2лг, получим 2г(лх2 + пу2) =хл(2г)2 (3) Выясним геометрический смысл каждого слагаемого в уравне- нии (3). Для этого построим прямоугольный равнобедренный треугольник ОАВ и квадрат ОАВС; вращая треугольник и квад- рат вокруг оси Ох, получим соответственно конус и цилиндр. Через произвольную точку D (х; 0) диаметра О А проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эта плоскость высечет из конуса, шара и цилиндра круги, площади которых лх2, пу2 и л (2г)2 соответственно. Подвесим два первых круга в точке/7 ( — 2г; 0), а последний оставим в точке D. Будем считать ГД рычагом (нулевого веса), у которого О —точка опоры. Уравнение (3) показывает, что такой рычаг находится в равновесии. А теперь предположим, что конус, шар и цилиндр собраны из параллельных пластин. Помещая аналогичным образом остальные сечения (меняя положение точки D на диаметре ОД), приходим к выводу, что конус и шар, подвешенные в точке Г, уравновешивают цилиндр (который можно считать подвешенным в точке £ — центре тяжести цилиндра). Другими словами, имеет место следующее равенство: 2г(Ук+^ш) = г1/ц> где Ущ, Уц—объемы конуса, шара и цилиндра. Во времена Архимеда способы вычисления объемов конуса и цилиндра были известны: Ук=4-2гл(2г)2 V =2гл(2г)2. Поэтому Кш=-^лг3 3 И о Если описать около шара цилиндр, то его объем равен уКщ. Архимед так и сформулировал свое утверждение: «Всякий шар будет в четыре раза больше конуса с основанием, равным большому кругу шара; ...всякий цилиндр с основанием, равным большому кругу шара, и высотой, равной диаметру шара, будет в полтора раза больше шара». Последний результат он особенно ценил и завещал изобразить цилиндр с вписанным в него шаром на своей надгробной плите, что и было исполнено. По этому знаку почти через полтора столетия римский оратор и писатель Цицерон отыскал среди «терниев и чертополоха» могилу Архимеда. Сознавая всю важность идеи расслоения тела на тонкие пластины, Архимед пророчески писал, что она «...может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову». Вместе с тем Архимед ясно представлял себе слабые места этого метода. Основным было предположение о том,
что тело представляет собой бесконечно большой набор бесконечно тонких пластин — опять эта бесконечность—неуловимая и запретная! Именно поэтому такие рассуждения были для Архимеда только эвристическими: «.„кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания ничего не зная». Под геометрическим методом Архимед, естественно, подразумевал метод исчерпывания, отвечающий самым высоким требованиям строгости. 6. Много долгих веков Дальнейшего прогресса в способах вычисления площадей и объемов человечеству пришлось ждать очень долго. И тому были исторические причины. Начиная с завоевания Греции Римом, в математике наступил застой. Озабоченные укреплением своего господства, римляне разрабатывали в основном прикладные дисциплины: военную технику, кораблестроение, гидротехнику, градостроительство. Лишь в Александрии, не покоренной пока Римом, продолжалась научная деятельность. Но и этот научный центр Средиземноморья страдал от нашествий. Еще во время войны Юлия Цезаря против Александрии, в результате которой на египетский престол была посажена Клеопатра, сгорела (47 г. до н. э.) часть знаменитой библиотеки, насчитывавшей тогда около 700 тысяч свитков. Правда, позже она была частично восстановлена и пополнена за счет Пергамской библиотеки, но многие сочинения исчезли безвозвратно. В 30 г. до н. э. Египет в конце концов стал римской провинцией, что незамедлительно отразилось на ученых. В обширной Римской империи началась ожесточенная борьба между христианами и язычниками. Получив в ней перевес, христиане начали преследовать своих противников. В конце IV в. император Феодосий I запретил отправление языческих обря- дов. При нем по указанию патриарха Теофила был разрушен александрийский храм бога Сераписа, а вместе с ним сожжена находящаяся при храме часть Александрийской библиотеки. Александрийские ученые, исповедовавшие философию Платона и Пифагора, представляли главную опасность для набирающего силу христианства. Особенно это относилось к их лидеру Г ипатии (370—415) — дочери математика Теона. Ей принадле- жат не дошедшие до нас комментарии к сочинениям Аполлония и Диофанта, вычисление астрономических таблиц, изобретение некоторых астрономических приборов и ареометра — прибора для 23
определения плотности жидкости. Помимо научной деятельности Гипатия принимала активное участие в общественной жизни города и пользовалась у горожан большой популярностью. На ее лекции съезжались люди со всех концов Римской империи. Поэтому архиепископ Кирилл, воспользовавшись уличными беспо- рядками, натравил фанатично настроенных христиан на Гипатию. Она была зверски растерзана. После этого события оставшиеся в Александрии ученые бежали в Афины. Приверженцы новой религии насильственным образом уничто- жали все, что было связано с языческой культурой. Часто с пергаментов, содержащих творения древнегреческих ученых, смывались или соскабливались первоначальные тексты, а вместо них писались религиозные сочинения. Такая участь постигла некоторые рукописи Архимеда, которые удалось обнаружить и частично восстановить в начале XX в. После смерти Феодосия I Римская империя разделилась на Западную и Восточную. Раздираемая изнутри восстаниями рабов и безземельных крестьян, а снаружи терзаемая постоянными войнами и набегами варварских племен, Западная Римская империя пала в 476 г. Восточная, получившая много позже название Византии, продолжала существовать еще почти тысячу лет. Более того, при Юстиниане I (VI в.) она достигла небывалого расцвета. Но и здесь основные усилия правящей верхушки направлялись на завоевание новых земель, наукой никто не интересовался. Император Юстиниан в 529 г. закрыл афинскую школу как языческую, а один из его законов «О злоумышленниках, математиках и тому подобное» гласил: «Совершенно запрещается достойное осуждения искусство математики». Математики при- равнивались к злоумышленникам в связи с тем, что многие из них занимались астрологией. Такое отношение к науке и повсеместные разрушительные войны привели к тому, что эпоха раннего средневековья (VI — XI вв.) стала для Европы эпохой застоя. В VII в. Византию значительно потеснили арабы, начавшие завоевательные войны под знаком ислама. Они в течение века подчинили себе большинство стран Ближнего и Среднего Востока, Северной Африки и Пиринеев. Культура и наука покоренных стран понесли невосполнимый урон от военных действий, пожаров, грабежей и религиозного фанатизма. По преданию, халиф Омар приказал уничто- жить награбленные книги, заявив: «Если в них содержится нечто, ведущее к истине, то мы .имеем от Аллаха то, что еще лучше ведет к ней, а если в них содержится ложное, то они не нужны». Более поздние завоеватели поняли, что в порабощенных странах был очень высокий научный и культурный уровень и достижениями этих стран надо воспользоваться. Постепенно 24
культура «неверных» народов осваивается арабами. С укреплени- ем халифата и расширением торговых связей центр научной активности формируется сначала в Сирии и Иране, а затем перемещается в Багдад. Многие багдадские халифы оказывают покровительство и содействие развитию естественных наук. На арабский язык переводятся труды древнегреческих ученых, многие из которых сохранились для последующих поколений именно в этих переводах, в частности некоторые трактаты Аполлония и Архиме- да. Благодаря торговле с Индией и Китаем, в арабские страны проникают достижения восточной науки. На этом фундаменте складывается арабская математика, характеризующаяся значи- тельными успехами в развитии алгебры, тригонометрии и прибли- женных вычислений. В средневековой Европе основными учебными дисциплинами были риторика и философия (схоластика). Интерес к естественным наукам и к математике в Европе вновь пробуждается лишь под влиянием запросов развитого феодального общества (XI — XVI вв.). В это время растут города, развивается торговля, появляется промышленность. Возникает потребность в решении многих практических задач, связанных с мореплаванием, астроно- мией, возросшим объемом вычислений. Переводятся на латынь — официальный язык науки - труды греческих и арабских математи- ков. Ученые, знакомясь с работами античных математиков, пытаются не просто освоить и возродить старые методы, но придать нм новое направление, начинают собственные исследования. Правда, прогресс в науке, постоянно сдерживаемый религиозными течениями разного толка, идет медленно и трудно. Раньше, чем в других странах, начинают развиваться торговля и ремесла, а вместе с ними и наука в Италии, благодаря ее выгодному географическому положению и сохранившимся дости- жениям древней цивилизации. В арифметическом разделе мы говорили о замечательной «Книге абака» Леонардо Пизанского, вышедшей в свет в начале XIII в. В разных странах Западной Европы совершенствуется понятие и запись числа, изучаются геометрические вопросы часто в связи с философскими, осваива- ются правила решений различных уравнений. Но к интересующей нас сейчас проблеме вычисления мер математики обращаются только в эпоху позднего Возрождения. 7. В упрощении — универсальность Одним из первых ученых, упростивших строгиё^'но громоздки? рассуждения Архимеда при вычислении площадей и объемов, следует назвать итальянского математика Луку Валерио (1552—1618). Он был членом знаменитой Академии деи Линчеи, т. е. Академии Рысьеглазых. Основана она была в 1603 г. в Риме 25
и названа так потому, что основатели ее поклялись так же зорко, как рысь, наблюдать природу. Эта Академия неоднократно закрывалась по материальным, религиозным и политическим соображениям, но всякий раз возрождалась снова; существует она и ныне под тем же самым названием. Работа Валерио «Три книги о центре тяжести тел> (1604) не получила столь широкой известности, как работы последующих математиков Кеплера и Кавальери, посвященные тем же вопросам. Валерио вел рассуждения в духе Архимеда (естественно, тоже на геометрическом языке). Чтобы это почувствовать, приведем пример вычисления им объема половины шара радиуса/? Валерио делит высоту АВ полушара на равные части (рис. 9) и описывает около пол у шара ступенчатое тело, образованное поставленными друг на друга цилиндрами. Далее он связывает площадь основания каждого из таких цилиндров с соответствующими сечениями конуса, высота которого и радиус основания равны /? Перейдем к современной символике. Пусть DF=x — радиус сечения полушара плоскостью, перпендикулярной высоте АВ; обозначим AD = EG = l. Тогда по свойству перпендикуляра DF, опущенного из точки/7 окружности на диаметр, имеем л2 = /(2/? — /). Так как /(2/? — /) = /?2— (/? — /)2, то х2=/?2—(/? — /)2 или DF2 = DG2 — DE2 Умножив обе части равенства на лй, где й -высота каждого из цилиндров, образующих ступенчатое тело, получим nhDF2 = nhD G2 - nhDE2 Цилиндры с объемами nhDF2 в совокупности приближают пол у шар, цилиндры с объемами nhDE2 — конус, а цилиндры с объемами nhDG2 составляют цилиндр, описанный около полушар а, Приближение тем трчнее, чем на более.мелкие части разбита высота АВ.. Затем Валерио замечает, что если 1$акая? нибудь величина отличается от данной на любое наперед заданное число, то ее можно%аменить на данную величину. „Принимая это замечание, он приходит к равенству УцШ = УЦ' — Ук, где Упш, Уц, — объемы соответственно полушара, цилиндра и кону- са. Так как Уц ~ЗУК, то Уцщ = 2УК или Уцщ =-к- Уц 26
Именно так формулируется теорема у Валерио: «Половина шара вдвое больше конуса или же равна двум третям цилиндра, имеющего одинаковое с ним основание и ту же высоту». Легко заметить, что в начальной части доказательства Валерио следует Архимеду, его рассуждениям при вычислении объема полусфероида. Но в заключительной части он резко отступает от строгих выводов великого сиракузца. Заменяя объемы ступенча- тых тел соответственно объемами полушара и конуса, Валерио, по существу, использует предельный переход, что позволяет ему получить верный результат и избежать утомительного доказатель- ства методом от противного. Но все это сделано па уровне интуиции, обоснования такого перехода Валерио пе дает. Больших успехов в вычислении объемов тел добился немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер. Он также использовал разбиение тела на части и замену этих частей близкими им, но более простыми с точки зрения вычисления объемов. Чтобы не ошибиться при такой замене, надо было обладать исключительным чутьем, которое у Кеплера выработала его профессия астронома. Ведь при составлении астрономических таблиц ему часто приходилось устранять неизбежные ошибки наблюдений. При этом появлялся навык: какими величинами в процессе приближений можно пренебречь, а какими — нет. Но пришло это к нему в зрелом возрасте. А в 25 лет он пишет работу «Тайна Вселенной» (1596), где выступает поборником системы мира Коперника, правда, в весьма своеобразной форме. Зная соотношения между радиусами сфер, вписанных и описанных около правильных многогранников, и используя данные астрономи- ческих наблюдений того времени, Кеплер предлагает следующую модель Вселенной. Планеты вращаются вокруг Солнца, их траектории находятся на сферах. Около сферы, по которой дви- жется ближайшая к Солнцу планета Меркурий, описывают октаэдр; сфера, описанная вокруг него, содержит траекторию 27
Венеры. Около нее описывают икосаэдр, а затем вновь сферу, содержащую траекторию Земли. Далее додекаэдр — сфера — Марс; тетраэдр — сфера — Юпитер; куб — сфера — Сатурн. Картина Вселенной получилась интересной. Правда, приведенные Кеплером расчеты радиусов всех построенных таким образом сфер лишь приближенно совпадали с расстоянием планет от Солнца. Если эти отклонения еще можно как-то объяснить влиянием внешних сил, изменивших конструкцию Мира, созданную Творцом, то открытие новых планет Нептуна и Плутона полностью развеяло геометрическую мистику Кеплера. Ведь для них уже не хватало тел Платона, поскольку их всего лишь пять — и все оказались занятыми. Религиозные преследования протестантов, к числу которых принадлежал Кеплер, заставили молодого ученого покинуть Германию. В 1600 году он переехал в Прагу, где начал работать в обсерватории под руководством Тихо Браге. Через год Тихо Браге умер, и вместо него на должность императорского астронома был назначен Кеплер. Период работы в Праге и далее в Линце (Австрия), охва- тивший около четверти века, был очень плодотворным в научной деятельности Кеплера. И это несмотря на частые материальные затруднения, на потерю близких, на начавшуюся в 1618 г. Тридца- тилетнюю европейскую войну, на постоянные притеснения со стороны католиков. Непоправимый урон карьере ученого нанесло судилище над его матерью, которая была обвинена в колдовстве и посажена в тюрьму. Процесс по ее делу длился пять лет. И только неустанные хлопоты и защита сына спасли ее от сожжения на костре. Последние годы жизни Кеплер служил астрологом у полководца Валленштейна — главнокомандующего имперской армией в Тридцатилетней войне. Сам он относился к астрологии весьма скептически, однако «лучше,— писал он,— издавать альма- нахи с предсказаниями, чем просить милостыню». Вопреки всем испытаниям судьбы радость познания и радость творчества сопровождали Кеплера всю жизнь. «Когда историю жизни Кеплера сопоставляешь с тем, кем он стал и что он сделал, радостно изумляешься и при этом убеждаешься, что истинный гений преодолевает любые препятствия»,- писал Гёте. На могильном камне Кеплера была высечена эпитафия, составленная им самим: Я измерил небеса, землю теперь измеряю. Дух воспарил в небеса, тело распалось прахом. Вернемся к научным изысканиям Кеплера. Получив результаты наблюдений Тихо Браге, он начал их обрабатывать. Точность измерений у Браге достигала половины минуты, что значительно превышало точность всех существовавших в то время таблиц. Это 28
позволило Кеплеру установить, что планета Марс вращается не по круговой, а по мало от нее отличающейся эллиптической орбите. После восьмилетнего упорного труда Кеплер пришел к открытию трех знаменитых законов движения планет: 1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2. Радиусы-векторы, проведенные от Солнца к планете, при своем движении «заметают» за равные промежутки времени секторы равной площади. 3. Квадраты времени обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца. Для облегчения огромной вычислительной работы он составил и издал логарифмические таблицы, более совершенные по сравнению с таблицами Непера (о логарифмических таблицах речь пойдет в главе IV). Естественным результатом работы Кеплера в Пражской обсерватории стало создание им астрономических таблиц, получивших название «Рудольфовых» в честь австрийско- го императора Рудольфа П. Интересующие же нас математические результаты Кеплера были получены им гораздо раньше. В 1615 г. вышла в свет его книга «Новая стереометрия винных бочек», в которой вычислены объемы 92 тел вращения. Правда, Кеплер, как и древнегреческие математики, не давал готовой формулы для вычисления объема тела, а сравнивал его с объемом более простого тела, но это не имеет принципиального значения. Посмотрим сначала, как «вычисляет» он площадь круга. «Окружность,— пишет Кеплер,— имеет столько частей, сколько в ней точек, а именно: бесконечно много. Будем рассматривать каждую часть как основание равнобедренного треугольника, имеющего вершину в центре». Затем он выпрямляет окружность, при этом треугольники образуют на прямой «частокол» (рис. 10). Основания всех треугольников в совокупности дают окружность, а высоты равны радиусу круга. Ответ, вообще говоря, готов в том виде, к которому привыкли мы: 5=уг*2лг= № WWW! 2ЛГ Рис. 11 Рис. 10
Но Кеплер должен был в соответ- ствии с требованиями древнегрече- ской математики осуществить квад- ратуру полученного «частокола», со- держащего бесконечное множество треугольников. Поэтому для тре- угольников «частокола» он строит равновеликие треугольники с общей высотой, как показано на рисунке 11, и приходит к результату: круг равно- велик прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а второй — длине окружности. Заметим, что путем замены круга «частоколом» вычислял площадь круга еще раньше (1545) индий- ский математик Ганеша, но об этом европейские ученые узнали много позже. Аналогично находит Кеплер и объемы тел. Рассмотрим в качестве примера тор. Это тело образовано вращением круга радиуса г вокруг оси I, лежащей в одной плоскости с кругом и отстоящей от его центра на расстояние /?> г (рис. 12). Кеплер рассекает тор па достаточно тонкие слои плоскостями, проходящи- ми через ось вращения, и заменяет каждый слой цилиндром, высотой которого является часть окружности радиуса R, попавшая в этот слой. Поставив эти маленькие цилиндрики друг на друга, он получает цилиндр, равновеликий тору. Высота этого цилиндра равна длине окружности радиуса /?, а основание — кругу радиуса г; так что читатели сами могут записать формулу объема тора. Конечно, такие рассуждения далеки от архимедовых по уровню строгости — Кеплер сам прекрасно понимал и не скрывал этого. Хорошо зная сочинения Архимеда, он называл его доказательства «во всех отношениях совершенными», но не считал их обязательны- ми для себя. Свою цель он видел в получении результата. В методах его поиска Кеплер явился преемником Архимеда. Математики более позднего периода были уверены в том, что нестрогие рассуждения типа кеплеровых можно четко математиче- ски обосновать. Так, Ферма писал: «Было бы легко дать доказательство в духе Архимеда... достаточно предупредить об этом раз и навсегда, чтобы избежать постоянных повторений». Но это была лишь декларация, а пока ученые в заключительной стадии решения задач больше доверяли своей интуиции и иногда при этом ошибались? Не избежал ошибок и Кеплер. Тем не менее результаты были налицо: плодотворность метода суммирования бесконечно малых элементов стала очевидной. 30
8. Неделимые Кавальери Представим себе прямоугольник, состоящий из очень тонких полосок. Сдвинем полоски относительно друг друга (рис. 13) и в результате получим параллелограмм. Так как обе фигуры, вообще говоря, состоят из одних и тех же полосок, то они имеют одинаковые площади. Эту идею взял на вооружение итальянский монах и математик Бонавентура Кавальери (1598— 1647). Кавальери происходил из знатного миланского рода, получил прекрасное гуманитарное образование. Это позволило ему основа- тельно изучить труды античных ученых. В 18 лет он сблизился с профессором математики Пизанского университета Бенедетто Кастелли (1577—1644), который обучал его математике и физике. По представлению учителя с ним некоторое время занимался сам Галилей. Нужно отметить, что Кастелли, будучи учеником и другом Галилея, воспитал целую плеяду выдающихся ученых — последователей школы великого итальянца: Кавальери, Торричелли, Риччи, Вивиани и др. Воздадим должное талантливым учителям. Об учителях мы вообще редко вспоминаем, хотя обязаны им многими своими знаниями и умениями. О них не слишком часто упоминают и в истории развития науки. Но ведь талантливой молодежи много, однако далеко не многие становятся выдающимися учеными. Очень повезло тем вундеркиндам, на чьем пути встретился учитель, сумевший разглядеть талант и взрастить его. Недаром один из пи- ков расцвета итальянской математики пришелся на конец XVII в. Кастелли, воспитав многих замечательных ученых, передал их в руки Галилея, чем еще более способствовал процветанию науки. Вспомним словами благодарности Бартельса — учителя Г аусса и Лобачевского, Хольмбое и Ришара — учителей Абеля и Галуа и многих известных и малоизвестных воспитателей молодых дарований. Они заслуживают того, чтобы в истории математики их имена стояли рядом с именами их гениальных учеников. По рекомендации Галилея Кавальери был приглашен на кафедру математики в Болонский университет. Одновременно он занимал высокий духовный пост настоятеля монастыря. В своем главном математическом труде «Геометрия, изложенная новым Рис. 13 Рис. 14
способом при помощи неделимого непрерывного» (1635) Каваль- ер и предложил новый метод определения площадей и объемов. Плоские фигуры он пересекал семейством параллельных прямых и полученные в пересечении отрезки называл неделимыми, составляющими эту фигуру. Вот что писал он сам: «...плоские фигуры мы должны представлять себе в виде ткани, сотканной из параллельных нитей... которые не ограничены числом и лишены какой бы то ни было толщины». Далее Кавальери сравнивал между собой неделимые различных фигур. При этом он пришел к выводу, который используется и сейчас и носит название принципа Кавальери. Его можно сформулировать так. Пусть плоские фигуры заключены между двумя параллельными прямыми. Если при пересечении этих фигур любой прямой, параллельной двум первым, получаются равные отрезки (или отрезки, находящиеся в посто- янном отношении), то площади этих фигур равны (находятся в том же отношении) (рис. 14). Применяя принцип, нужно строго соблюдать его условия, иначе можно получить неверный результат. Сам Кавальери приводил такой пример. Каждому неделимому KL треугольника Л ВО (рис. 15) соответствует равное неделимое MN треугольника DBC, однако треугольники явно имеют разные площади. Предлагаем читателям выяснить самим, в чем здесь причина. Аналогичный принцип Кавальери сформулировал и для тел. Разница состоит в том, что тела надо заключить между двумя параллельными плоскостями и сравнивать площади сечений этих тел любой плоскостью, параллельной двум исходным. Здесь уже в роли неделимых выступают плоские сечения тел. Конечно, если брать лишь тела, получаемые друг из друга сдвигами слоев, то принцип Кавальери достаточно очевиден. Вся прелесть его заключается в том, что неделимые могут быть совершенно разными фигурами, лишь бы их площади совпадали (или были пропорциональными). Рассмотрим в качестве примера вычисление объема чаши, приведенное Кавальери. Определяется она следующим образом. Опишем около полукруга радиуса г прямоугольник ABCD (рис. 16). Будем их вращать вокруг оси ОН. В результате получим цилиндр, в который вписан пол у шар. Чаша — это часть цилиндра, расположенная вне полусферы. Покажем, что объем чаши равен объему конуса, образованного вращением треугольника AOD вокруг оси ОН. Для этого пересечем чашу и конус плоскостью, перпендикулярной оси ОН и проходящей через произвольную ее точку М В сечении чаши получим кольцо, а конуса — круг. Сравним их площади, естественно, применяя современные обозначения. Пусть ОМ=х, тогда FM = г2 — х 2 Откуда площадь кольца равна № — л( -у/г2—х2 )2 = лх2 Ту же площадь имеет и круг радиуса ЕМ = х. На основании принципа Кавальери приходим к выводу: объем чаши равен объему конуса. Полученный результат можно сформулировать несколько
иначе: объем УП111 полушара равен разности объемов И ц цилиндра, описанного около полушара, и конуса, вписанного в этот цилиндр: V пш= иг3—у-лг3=ц А это равносильно утверждению Архимеда: объем шара равен 2 л у объема цилиндра, описанного около шара. Галилей, не разделявший до конца точку зрения своего ученика, указывал па некоторые дефекты его рассуждений. В основном это касалось понятия неделимых. С одной стороны, неделимые лишены какой бы то ни было толщины. Но, с другой стороны, в совокупно- сти они дают всю фигуру. Недаром Кавальери обозначает площадь фигуры буквами огпп — сокращение латинского словосочетания omnes lineae — все линии. Сам Кавальери, по-видимому, чувство- вал двойственность этого понятия. Поэтому он и поступал очень осторожно: использовал свои неделимые не для вычисления площадей, а для их сравнения. Не углубляясь в эти рассуждения, по сути философского характера, отметим, что не все возражения Галилея были справедливыми. Например, в случае чаши он указал Кавальери на такой парадокс: когда секущая плоскость проходит через точку О, кольцо вырождается в окружность радиуса г, а круг — в точку О, и получается, что окружность равна точке. В ответном письме Кавальери поясняет, что речь идет не о сравнении самих сечений, а лишь о сравнении их площадей, а в данном случае и та и другая равны нулю. Одновременно с Кавальери и независимо от него метод неделимых разработал Робер в аль. И в этом нет ничего удивитель- ного, поскольку идея метода уже содержалась в работах Демокрита, Архимеда и других античных математиков. Метод неделимых развил в своих работах другой итальянский ученый Эванжелиста Торричелли (1608—1647). Необычайные способности этого ученого проявились уже во время его обучения в монастырской школе. Дядя, взявший на себя заботу об Эванжелисте после смерти отца, направил одаренного юношу в Римский университет. Здесь его занятиями руководил уже знакомый нам Кастелли. По его рекомендации Торричелли был приглашен к Галилею, уже старому и больному, в качестве 2. Л. П. Шнбасов 33
секретаря и помощника. Но их совместной работе суждено было продлиться лишь три месяца. После смерти великого ученого Торричелли изучал и обрабатывал его научное наследие. Взяв на себя этот колоссальный труд, он не оставлял и собственных изыска- ний в области анализа и физики. Напомним читателям два его физических результата. Ученик Кастелли и Галилея, Вивиани обнаружил, что если стеклянную трубку, запаянную с одного конца, заполнить ртутью и опустить свободным концом в сосуд с ртутью, то столб ртути в трубке опустится. Торричелли с помощью опытов доказал, что в трубке над ртутью образуется пустота, тем самым установив ошибочность господствовавшего тогда в науке тезиса о том, что «природа боится пустоты». Сам опыт он объяснил следующим образом. Вес столба ртути в трубке уравновешивается весом столба воздуха над сосудом с ртутью. Таким образом, Торричелли открыл атмосферное давление и создал прибор, измеряющий его («трубка Торричелли»). Он очень переживал, что этот прибор не успел изобрести его глубоко почитаемый учитель Галилей. Такое благородство души чрезвычайно редко встречается в человеческом обществе. Второе открытие Торричелли связано с выводом формулы скорости истечения жидкости из отверстия: v = y/2gh, где g — ускорение свободного падения; Л — высота столба жид- кости над отверстием. В чем же состоял вклад Торричелли в развитие метода неделимых? Для плоских фигур он в качестве неделимых брал уже не отрезки, а дуги окружностей, для пространственных тел — части сфер и цилиндров. Рассмотрим для примера, как вычислял Торричелли площадь круга радиуса г. Пусть отрезок АС касательной к окружности имеет длину 2лг Соединим точку О с С и рассмотрим треугольник ОАС (рис. 17). Проведем через произвольную точку В радиусаОЛ прямуюВД, параллельнуюЛС. Очевидно, BD:AC=OB.OA. Откуда BD = 2n-0B, т. е. это длина окружности радиуса ОВ. Поскольку длины соответственных неде- лимых в круге (окружности) и в треугольнике (отрезки) равны, то равны и площади этих фигур. Таким способом Торричелли получил ряд новых результатов. Наиболее значительный из них — вычисление объема неограни- .34
чинного тела: «Бесконечно длинное острое гиперболическое тело, пересе- ченное плоскостью, перпендикуляр- ной его оси, вместе с цилиндром, построенным на его основании, равно некоторому прямому цилиндру, диа- метр основания которого равен... оси гиперболы, а высота равна радиусу основания самого острого тела». Приведем его рассуждения в совре- менных обозначениях. Рассмотрим фигуру, ограничен- ную гиперболой ху=а, отрезком АВ и осями координат (на рисунке 18 она заштрихована). Речь идет о теле, образованном вращением этой фигу- ры вокруг оси ординат. Торричелли доказывает, что объем этого тела равен объему прямого кругового цилиндра с высотой О А и радиусом основания д/2а (расстояниеотточки О до гиперболы). В самом деле, пусть М (х; у) — произвольная точка ги- перболы, С — ее проекция на ось абсцисс. Если вращать отрезок СМ вокруг оси Оу, образуется цилиндрическая поверхность площадью S = 2л-ОС-СМ = 2ла. Эти поверхности Торричелли брал в качестве неделимых бесконечного тела вращения. Соответ- ственное неделимое в цилиндре — круг, полученный в его сечении плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через точку С\ он тоже имеет площадь 2ла. На основании метода неделимых объемы этих тел равны между собой. Отсюда объем бесконечного гиперболического тела равен конечному числу: V=2na-0A. Этот результат был настолько поразительным, а решение таким простым, что открытие Торричелли произвело очень сильное впечатление на современников. Кавальери писал ему: «Я благода- рю Вас за доказательство об остром гиперболическом теле — доказательство воистину божественное. Я не в силах постигнуть, как Вы решились с такой легкостью погрузить Ваш мерный шест в бесконечные глубины этого тела». Метод неделимых позволил решить многие задачи на вычисле- ние мер. Но у него были и ярые противники. Дело в том, что этот метод имеет ряд недостатков. Во-первых, непонятно, как сумма нулей дает ненулевой результат. Во-вторых, нужно подобрать такое тело, сечение которого имеет ту же площадь, что и сечение исходного тела. В-третьих, этот метод годится для вычисления объемов и площадей, но не подходит для вычисления длин кривых* 2 35
сечение любой кривой в произвольной точке дает точку, и здесь сравнение ни к чему не приводит. Тем не менее, несмотря на справедливость многих упреков, метод неделимых, разработанный Кавальери, был важным историческим этапом в решении задач на вычисление мер. Более чем практическая польза важна его теоретическая ценность. Он явно выразил и обобщил способы вычисления мер, применявшиеся античными математиками. Лейбниц, не зная о послании Архимеда Эратосфену (оно было найдено почти два столетия спустя), уверенно заявил: «Галилей и Кавальери впервые начали разобла- чать тайные приемы Конона и Архимеда». 9. Интегральные суммы Рассмотрим на координатной плоскости фигуру, ограниченную графиком непрерывной функцииy=f(x) (где/(х)^0) , прямыми х = а, x=b и осью абсцисс (рис. 19). Она называется криволиней- ной трапецией. Найдем ее площадь. Для этого разделим отрезок [a; 6] на части точками а=х0<Х1<...<хя = Ь. Проведем через точки деления вертикальные прямые. Они разбивают кри- волинейную трапецию на п частей. Выберем в каждом из частич- ных отрезков [х*-ь JQ] по точке Сь и заменим частичную криво- линейную трапецию с основанием [x*_i; хй] прямоугольником с тем же основанием и высотой /(сй). Площадь такого прямо- угольника равна /(са)-Дхй, где Ax* = xft — x^-i, fe=l, 2, .... п. В результате вся криволинейная трапеция заменится ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников. Ее площадь равна: о= £ /’(сл)Дхй. (4) ь-| Число о называют интегральной суммой, построенной для функции [ на отрезке [ а; 6]. Естественно, интегральная сумма зависит и от способа разбиения отрезка [а; 6], и от выбора точек сь- Если длины Дхй отрезков достаточно малы, то прямоугольники мало отличаются от соответствующих частичных криволинейных трапеций. Поэтому число о можно принять за приближенное значение площади криволинейной трапеции. Приближение тем точнее, чем на более мелкие части разбит отрезок [а; й]. Устремляя к нулю длины >всех частичных отрезков, придем к точному значению площади криволинейной трапеции. Это число называют определенным интегралом функции / на отрезке [а; Ь] и обозначают ь \f(x)dx 36
Мы привели несколько упрощенное определение интеграла от непрерывной функции. Более строго и для более широкого класса функций оно было дано Б. Риманом, поэтому такой интеграл часто называют интеграл ом Римана, а соответствующие интегральные суммы (4) — суммами Римана. Сделаем небольшую остановку, вернемся к интегральной сумме (4) и вникнем в ее геометрическую суть. Что мы сделали, чтобы ее составить? Криволинейную трапецию мы разбили на узкие полоски, каждую полоску заменили прямоугольником и просуммировали площади всех этих прямо- угольников. Но разве не так же поступал Кеплер? А еще раньше Архимед? Правда, они составляли интегральные суммы в геометри- ческой форме для каждой задачи по-разному. Записать их общей для всех фигур формулой мешали непреодолимые препятствия. В древнегреческой и в средневековой математике еще не было переменных величин, позволивших записать кривые с помощью уравнений и поставить задачу вычисления площади (объема) в общем виде — для фигуры, ограниченной произвольной кривой. Поэтому от Архимеда до Кеплера существенных изменений метод отыскания мер не претерпел; пострадала лишь строгость доказа- тельств ради получения большого количества результатов. Со временем, когда появилось понятие переменной величины и была достаточно развита алгебраическая символика, интеграль- ные суммы все чаще стали встречаться в трудах ученых. Одним из первых их стал явно использовать Ферма, основываясь на результатах созданной им аналитической геометрии. В записке «О преобразовании уравнений мест... в применении к параболам п гиперболам» (ок. 1664) он с помощью интегральных сумм вычислил площадь криволинейной трапеции, ограниченной графи- ком функции у3=ах2 Метод доказательства настолько хорошо просматривается на этом примере,, что не представляет труда перенести его на случай степенной функции с произвольным р рациональным показателем у=хч (р>0, <7>0), о чем говорит н сам Ферма, приводя окончательный результат. Проведем рассуждения методом Ферма для этого общего случая. 37
Итак, требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, р ограниченной графиком функции у=х9 на отрезке [0; /] (рис. 20). Ферма делит этот отрезок не на равные части (как раньше поступал, например, Архимед), а точками, образующими геометрическую прогрессию t, at, a2t, a3t, ..., где 0<ad. Точки деления располагаются на отрезке [0; (] справа налево. Длины частичных отрезков равны соответственно t—at= (1 —a)/, at — a2t = a(l —a)t, a2t— a3t = a2(l—a)t, Далее Ферма на каждом из частичных отрезков строит прямо- угольник, описанный около соответствующей криволинейной трапеции. Высоты прямоугольников равны значениям функции в правых концах отрезков: р £. £_ 2р р Эр р t9 , a9 t9 ,а“ t9 , а9 t9 Площадь ступенчатой фигуры, образованной прямоугольника- ми, выражается суммой р+< р+ч Р + Ч „ р+ч р+ч (1—а)/ 9 +(1-а)а 9 t 9 +(1— а)а 9 t 9 +...= р+ч / р + <? ? р+ч \ р I g = (1—а)/ 9 .Ц+а ' + « ' + J = - X,-/ ’ 1—а ’ Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, остается в этом выражении перейти к пределу при а 1; тогда длины частичных отрезков устремятся к нулю. Ферма, конечно, о пределе не говорит, но фактически действует так же, как поступают при вычислении предела. Он сначала вводит подстановку a = 0fl. Р + Ч В результате коэффициент перед I 9 преобразуется следующим образом: 1-а _ 1-Р’ _ (1-Р)(1+Р + - + Р’’’) _ I+0+- + Р’-1 _£+• |-р₽+’ (1-р)(1+р+?..+ р',+*-1) l+P+... + р'Ч-’- I —а 9 Полагая затем 0=1, Ферма получает - Таким образом, ис- комая площадь S найдена, а вместе с ней вычислен интеграл о Заметим, что Ферма не был первым, кто стал делить область интегрирования на неравные части. Почти за семь веков до него такой прием деления встречается в «Книге об измерении параболического тела» арабского математика Сабита ибн Курра. Этим способом в трактате найдена площадь криволинейной 38
трапеции, ограниченной кривой у=а^х . Доказательство прове- дено в традициях Архимеда методом исчерпывания. Но этот результат стал известен европейским математикам много позже. Аналогично Ферма нашел площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ynxm = 1 (т>п>0) на проме- жутке [ Jto; +°о). Другими словами, показал, что + m л — л1 { х ndx~—-—xq " J т — л Ле Соответствующее вычисление он производит для гиперболы В этом случае ^dx=~. Ко Приведем рассуждения Ферма, заменив геометрический под- ход, основанный па использовании отношений длин отрезков, алгебраическим. Промежуток [х0; +<») он разбивает на частичные отрезки бесконечной последовательностью точекХо, Xi, х2, (рис. 21) таким образом, чтобы ХьЛо=Х2:Х| =>сз:х2= — q, где q — фиксированное число, большее единицы. Другими слова- ми, точки деления вновь образуют геометрическую прогрессию х0, X| = (jxo, X2 = q2xo, хз = д3хо. Ординаты уь соответствующих точек гиперболы равны Вычислим площадь Sa прямоуголь- q ко пика с основанием [xt; x/t+i] и высотой уь'. S^q-xoiq- 1) Я хо Суммарную площадь всех прямоугольников легко найти, используя формулу суммы членов геометрической прогрессии со знаменате- 39
Если теперь в этом выражении перейти к пределу приq -► 1 (при этом все частичные отрезки стягиваются в точки), то получается искомая площадь бесконечной трапеции 5 = —. Jto Интегральными суммами фактически пользовался и Б. Па- скаль. В «Трактате о синусе четверти круга» он с их помощью вычислил интеграл от синуса: sin xdx = cos xq Интересно, что в процессе доказательства у него появляется прямоугольный треугольник (рис. 22), составленный малым отрезком касательной к окружности и отрезками, паралельными координатным осям. Позже Лейбниц рассмотрел такой треуголь- ник для произвольной кривой и назвал его характеристическим, так как по его свойствам можно восстановить вид кривой, что делается в теории дифференциальных управнений. В письме к Я. Бернулли он писал: «Но каково было мое удивление, когда я убедился, что словно по велению судьбы глаза Паскаля были закрыты, ибо я тотчас же увидел, что эта теорема приложима вообще ко всем кривым, даже если перпендикуляры и не встречались в одном центре». А в письме к Чирнгаузу (1679) Лейбниц признавался, что его «озарило новым светом» при знакомстве с этим треугольни- ком. После появления интегральных сумм оставался один шаг до определения понятия интеграла — предельный переход, при кото- ром в интегральной сумме (4) все Ах* устремляются к нулю. Прямоугольники делаются все уже и уже, становясь в пределе просто отрезками; разве нельзя в них узнать неделимые Кавальери, которые «огпп» — все вместе давали площадь фигуры. Обозначе- ние «отп», применявшееся Кавальери, Лейбниц заменил знаком} (вытянутая латинская буква S - от summa). Однако строгое определение интеграла с помощью предела не решает практической задачи нахождения мер. Вычисляя интеграл по этому определению, мы ни на шаг не продвинулись бы вперед по сравнению со способом Ферма. Составить в каждом конкретном случае удобные для перехода к пределу интегральные суммы — занятие слишком хлопотное. Нужен был более простой и в то же время универсальный прием вычисления интегралов без обраще- ния к интегральным суммам. И такой способ был найден. Основывается он на использовании понятия производной. В чем он состоит, мы узнаем из следующей главы.
Дифференциальное исчисление не имеет таких древних корней, как интегральное. Но задачи, решение которых привело к созданию тгого исчисления, ставились с давних пор. Здесь выделяются два круга, казалось бы, совершенно не связанных между собой задач. Первый — нахождение наибольших и наименьших значений, или, как сейчас говорят, экстремумов (от лат. extremum — крайнее), различных величин. Второй — проведение касательных к кривым и вычисление скоростей. Эти задачи постоянно возникали в практике, поскольку люди всегда интересовались вопросами: что больше? Что быстрее? Что короче? Но в древности и в средние века такого рода задачи решались геометрическими и механическими способами, не связанными общей идеей. И только в XVII в. было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода привело к созданию дифференциального исчисления. Почти сразу была установлена его глубокая связь с интегральным исчислением. Оба они составили основу математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применимости математики. 1. Поиск кратчайшего пути В Древней Греции задачи на отыскание наибольших и наимень- ших значений были достаточно популярны. Задачи такого типа содержатся в трудах Евклида и Архимеда. Много подобных задач решал 3 ен одор (ок. 180 г. дон. э.), правда, его решения до нас не дошли. Мы знаем о результатах Зенодора только из «Математики» Паппа. Папп приводит 14 утверждений Зенодора. Вот некоторые из них: 11
В 1. Из треугольников с одинаковым S\. основанием и равным периметром наи- t / \ , большим будет равнобедренный. 2' Из всех многоугольников равного ----------V/x периметра и с равным числом сторон / у \ наибольшим будет правильный много- / / / \ угольник. 7 / / X 3. Если круг и правильный много- А F1 F С угольник имеют одинаковый периметр, Рис 23 то КРУГ будет больше. В традициях древнегреческой мате- матики все экстремальные задачи решались геометрическим способом. Остановимся на решении задачи, содержащейся в «Началах» Евклида. В современной формулировке она выглядит так: в треугольник вписан параллелограмм таким образом, что две стороны параллелограмма лежат на сторонах треугольника, а одна из его вершин расположена на третьей стороне. Требуется выяснить, при каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей. Это обычная задача на экстремум. Такие задачи сейчас решаются в школе с помощью производной. Посмотрим, как решал ее Евклид. Будем использовать привычные нам обозначения. Пусть D, Е и F — середины сторон треугольника АВС (рис. 23). Покажем, что параллелограмм ADEF искомый. Обоз- начим его площадь через S и сравним ее с площадью S' любого другого параллелограмма AD'E'F', вписанного в тот же тре- угольник. Пусть К — точка пересечения DE с F'E\ тогда 5 = 5 F'KEF $ DD’E’K ‘ Обозначим основание треугольника АВС через Ь, его высоту через Ht высоту треугольника КЕ'Е, опущенную из вершины Е', через h. Имеем Sf'Kef=~2'F'F, SDD'f'x4-2SKe'e=~2~- Из подобия треугольников КЕ'Е и АВС вытекает пропорция ~^=~. Откуда Н• KE = b-h.t или, учитывая, что F'F=KE, Кс b получаем Я•F'F=b‘h. Теперь мы видим, что разность S — S' = —— (-?— 2SKP£) — 2SKE,E является величиной положительной. Откуда5>5/. Итак, паралле- лограмм ADEF имеет максимальную площадь, если DE и FE — средние линии треугольника. А теперь обратимся к задаче из геометрической оптики: определить траекторию светового луча при его отражении от плоского зеркала. Задачу эту обычно связывают с именем Герона, -12
хотя неизвестно, была она поставлена и решена до него или это его собственный результат. Не дошло до нас и решение самого Герона. Л вот что несомненно: знакомая читателям формула, выражающая площадь треугольника через длины его сторон, носит имя Герона несправедливо — она встречается еще в трудах Архимеда. Л Герои жил гораздо позже Архимеда, по-видимому, в I в. н. э. Работал он в Александрин, был математиком и неутоми- мым изобретателем. Часть трудов Герона до нас дошла, о других мы знаем по комментариям более поздних авторов. Наиболее известной из работ Герона является «Метрика», представляющая собой настоящую энциклопедию античной прикладной математики. Содержалась в ней и упомянутая формула площади треугольника. Все формулы н правила Герои приводит без доказательств. Вероятно, эта книга задумывалась им как справочник по математике для ремесленников и строителей. Герои изобрел множество механизмов, приборов и автоматов самого различного назначения. В «Пневматике» он описал ряд механизмов, приводимых в движение нагретым или сжатым воздухом, а в работе «О диоптре» описал подобие теодолита — геодезического прибора для определения направлений и вычисле- ния углов на местности. Используя зубчатую передачу, он построил домкрат и прибор для измерения пройденного расстояния — прообраз современного таксометра. Пожарный насос, водяные часы, водяной орган, фонтан, носящий его имя, и даже автомат для продажи святой воды — так разнообразны изобретения Герона. 1-то конструкции использовались для изготовления механических игрушек и при сооружении метательных машин. Вернемся к задаче Герона. Итак, луч света выходит из точкиА и, отразившись от плоского зеркала, проходит через точку Я. Какова его траектория? Решим эту задачу, опираясь на принцип Ферма, состоящий о том, что луч движется по пути, на прохождение которого требуется наименьшее время. Исходя из этого принципа, покажем Рис. 24 Рис. 25
сначала, что луч движется в плоскости, перпендикулярной плос- кости зеркала. Обозначим через I линию пересечения этих плоскос- тей. Предположим, что луч выходит из перпендикулярной плос- кости и отражается от зеркала в точке С, не лежащей на прямой I (рис. 24). Опустим из точек С и В перпендикуляры на/, получим точки D и Е соответственно. Вместе с перпендикуляром BE к плоскости зеркала имеем две наклонные BD и ВС. Поскольку проекция одной из них СЕ больше другой DE, то BC>BD А это противоречит минимальности длины пути луча, точнее, времени его движения. Выясним теперь, в какой точкеD прямой / отразится луч. Для этого найдем точку В', симметричную точкеВ относительно прямой / (рис. 25). Длина пути ADB светового луча равна длине ломаной ADB* Очевидно, ее длина минимальна, если D лежит на АВ* Итак, искомая точка отражения М лежит на пересечении отрез- ка АВ' с прямой /. Задача Герона решена. Заметим, что углы, отмеченные на рисунке 25, равны. Правда, в оптике вместо углов, образованных лучами с плоскостью зеркала, рассматривают углы между лучами и перпендикуляром к плоскости зеркала; их называют углом падения и углом отражения соответственно. Таким образом, угол падения луча равен углу его отражения. Мы получили закон отражения света. Как мы могли убедиться на предыдущих примерах, в геометри- ческом решении задач на экстремумы совсем нет даже ростков дифференциального исчисления. Появились они только в работах математиков эпохи Возрождения. 2. Первые шаги В XIV в. епископ и профессор Парижского университета Никола Оресм (ок. 1323—1382), изображая графически зависимость интенсивности физических явлений от времени, заметил, что изменение вблизи точек экстремума самое медленное. Но это наблюдение не получило развития и тем более применения. Еще через два с половиной столетия Кеплер, решая задачи на экстремум, указал, что «по обе стороны от места наибольшего значения убывание вначале нечувствительно». Но и он не использовал замеченного им свойства и продолжал идти путем, проторенным древними греками. Новый метод отыскания экстремумов первым разработал Фер- ма. Мы уже упоминали, что он не публиковал научных результа- тов, а, как правило, сообщал их в письмах своим корреспондентам. В 1638 г. он написал Декарту, что решил задачу нахождения максимумов и минимумов величин; под величинами подразумева- лись многочлены. Разберем метод Ферма на конкретной задаче: «Разбить отрезок АВ точкой С так, чтобы тело. 4 1
построенное на квадрате АС и на отрезке СВ, было наибольшим». Други- ми словами, разбить отрезок АВ (рис. 26, а) точкой С так, чтобы прямоугольный параллелепипед, осно- ванием которого служит квадрат со стороной АС, а высотой — отрезок СВ (рис. 26, б), имел максимальный объем. Найдем точку максимума, следуя Фер- ма, но применяя привычные обозна- чения. Пусть С — искомая точка (рис. 26, а). Обозначим АВ = а, АС=х, тогда СВ = а—х. Объем параллелепи- педа У(х) равен х2(а—х). Да- дим малое приращение h точке С; объем нового параллелепипеда Щх + Л) = {x4-h)~-(a — x — h). По- скольку в тбчке х объем достигает наибольшего значения, выражения И(х) . х , А С В °) и И(х + Л) приближенно равны. К этой идее должен был прийти еще раньше Кеплер. Ведь у него возникла мысль о том, что в малой окрестности точки экстремума изменение функции незаметно. Но он не развил свою мысль. Ферма же пишет И(х) = И(х4-й) и называет это равенство вымышленным. Приведя в нем подобные члены и поделив его на Л, получаем 2х(а—х) — х2 + Л(а — Зх — ft) =0. Отбросив теперь чле- ны, содержащие ft, найдем «истинное» равенство (по термино- логии Ферма). Откуда х = ^-. Задача решена. Посмотрим теперь, как будут выглядеть рассуждения Ферма применительно к произвольному многочлену Р(х). Дадим аргументу х малое приращение Л и найдем Р(х + й). Если х—точка экстремума, тоР(х) = Р(х4-Л) — «вымышленное» равенство, или Р(х + Л) —Р(х) =0. Приведем подобные члены и, поделив най, Р(х + Л)-Р(х) л придем к равенству—5 ^-=0 Отбросив в нем члены, содержащие h, получим уравнение, из которого определяется точка экстремума. Для многочлена последняя операция равно- сильна предельному переходу. |.т_Р(5+Л)+РМ =0 Л г. е. полученное в результате уравнение для точки экстремума имеет вид Р/(х)=0. 45
Сейчас аналогичное утверждение для любой функции, диффе- ренцируемой в точке х, называют теоремой Ферма. Ферма, ко- нечно, к пределу не переходил. У него h было хоть и сколь угодно малым, но постоянным. Доказывал он свою теорему алгебраичес- ким способом (в другом письме от 1643 г.). Схема доказательства примерно такая. Пусть Р(х) имеет в точке х максимум, тогда P(x-^-h) <Р(х), или Р(х+й) —Р(х) <0. Здесь h может быть как положитель- ным, так и отрицательным. В левой части неравенства приведем подобные члены и сгруппируем слагаемые, содержащие h в пер- вой, второй, третьей и т. д. степенях. Неравенство примет вид йр(х)+Л2Р(х)+Л35(х)+ <0, (1) гдеф(х), Р(х), S(x), ...— многочлены. При достаточно малом h знак левой части (I) определяется знаком первого слагаемого. Но при Q(x)t£0 знак первого слагаемого сам зависит от знака й. Следовательно, неравенство (1) возможно только при Q(x) = 0. Легко видеть, что это то самое уравнение, которое получается из «вымышленного» равенства P(x + h) — Р(х) л . —-—-—----1_£_=0 удалением членов, содержащих й. Как уже говорилось, Ферма разрабатывал свой метод нахождения экстремумов для многочленов. Если рассмотреть произвольную функцию y=f(x), то левая часть равенства /(л+Л)—Пл) л «. 11 —---1—I———=0 не является многочленом отй. Например, для f(x) = ^/~x имеем /(хЧ-Л) ~f{x) = ^x + h - _ h h + "Р" А*°- Здесь выделить слагаемые, не содержащией, не удается. Но, если положить й = 0(!), тоже придем к условию Ферма —=0. Так и поступали последующие аналитики. Теорема Ферма позволяет при помощи производной найти точки, «подозрительные на экстремум». А если производной нет? Для многочленов такой вопрос излишен: все многочлены имеют производную в каждой точке числовой оси. Но у других функ- ций вполне могут быть точки, в которых производной нет, а экст- ремум есть. Возьмем функцию f (х) = -yfx*. Она имеет минимум в начале координат (рис. 27), в то время как ее производная 2 f'(x) =—-— в нуле не определена. Случаями, когда производная 3 VI равна нулю или не существует, исчерпываются все возможные -Hi
гочки, «подозрительные на экстремум»,— их называют также критическими. Но в этих точках функция не всегда имеет экстремум. Например, функция/^х) =х3 имеет в начале координат производную, равную нулю, а функция f (х) = ух не имеет про- изводной в той же точке. Тем не менее ни у той ни у другой функции н точке х = 0 экстремума нет (рис. 28). Таким образом, условие: производная функции в точке х равна нулю или не существует — является необходимым условием наличия в точке х экстремума, но не достаточным. Достаточный признак экстремума функции нашел Лейбниц. Годится он, правда, лишь для функций, имеющих в точке х не только первую, но и вторую производную: /" =(/')' Признак Лейбница можно сформулировать так: если в точке х первая производная функции f равна нулю, а вторая — отлична от нуля, то х — точка экстремума для функции f, причем х — точка минимума, если /"(х)>0, и максимума при f"(x)<0. Для многочленов этот признак был известен еще Ферма: он знал, что тип экстремума в точке х определяется знаком /?(х) в (I). Попытайтесь установить эквивалентность признака Лейбница известному из школы достаточному признаку экстремума (естест- венно, для точек, в которых вторая производная существует). Можно установить наличие в критической точке экстремума, опираясь только на непрерывность функции. Так, в задаче и параллелепипеде максимального объема доказательство того, что функция У(х) =х2(а—х) в точке х=^~ принимает максималь- ное значение, можно провести следующим образом. Поскольку И(х)^0, а У(0) = У(а) =0, то в силу непрерывности функции И(х) между двумя ее минимумами (при х=0 и х=а) лежит максимум. Других критических точек у функции нет, следователь- 2а ни, х=— — точка максимума. •17
Метод Ферма несомненно упрощал поиск экстремальных точек. Конечно, отдельные задачи на экстремум (хотя бы те, которые мы рассматривали в предыдущем пункте) и геометрически решить нетрудно. Но ведь геометрический подход не обладает универсаль- ностью, к тому же геометрическое решение для некоторых задач чрезвычайно громоздко. Так, Кеплер в «Новой стереометрии винных бочек» доказывает утверждение: «Из всех цилиндров, имеющих одну и ту же диагональ, самым вместительным будет тот, в котором отношение диаметра основания к высоте равно ^2». Геометрическое доказательство занимает несколько стра- ниц. Посмотрим, сколь оно велико, если использовать про- изводную. Пусть I — диагональ цилиндра, х — диаметр его основания (рис. 29). Тогда высота цилиндра Л= yff—x1 и его объем Откуда V"(x)=^(2*V? X* х лл(2/г-3хг) /2 /2 Так как У'(х)=0 в точках Xi = 0, х2==/"\/— хэ——/Д/— и не существует при х^ = 1 и xs =—А то имеем пять точек, подоз- рительных на экстремум функции К(х). Две из них хз и Xs не удовлетворяют условию задачи (диаметр не может быть отрица- тельным). Поскольку при Xi и х< объем минимальный — равен нулю, то в точке х21 лежащей между xt и х«, объем максимальный. В этом случае высота /г2 = —Следовательно, х2:Й2= д/2. До- казательство закончено. Рис. 29 Рис. 30 18
Новый метод нахождения экстремума помог Ферма сформули- ровать общий принцип геометрической оптики, называемый сейчас принципом Ферма: ^Световой луч распространяется по такому пути, для которого время прохождения луча минимально по сравнению с любым другим путем». Мы уже использовали этот принцип в предыдущем пункте для вывода закона отражения света. Сам Ферма, чтобы убедиться в верности принципа, вывел из него закон преломления света, открытый незадолго до этого экспериментальным путем голландским ученым Снеллиусом. Тем самым Снеллиусом, который создал метод триангуляции для измерений на земной поверхности (Геометрия, гл. III, п. 3). Закон преломления света Ферма получил геометрическим способом. Использовать найденный им необходимый признак экстремума он не мог, поскольку умел применять его только к многочленам, а здесь, как мы увидим, возникают более сложные выражения. Мы приведем вывод закона преломления света с использованием производной. Пусть луч выходит из точки А, лежащей в однородной оптической среде, скорость света в которой равна Ui, и попадает в точку В, расположенную в другой оптической среде, где скорость света равна и?; I — линия раздела сред (рис. 30). Обозначим АС=а, BD = b, CD = d, М —произвольная точка отрезка CD Пусть СМ = х и Цх) —время, затраченное лучом на весь путь: ' ' Vi ' VS Найдем минимум функции i(x) Для этого вычислим про- изводную , .__ х I d—х I Х у/аР + х* ui л/Ь*+ (d—x)* и2 и приравняем ее к нулю. Получим необходимое условие экстремума функции t(х) х I d — x I y/d'+x* ui (d — x}* v2 Преобразуем полученное равенство. Если а — угол падения, ар — угол преломления (это углы светового луча с перпендикуляром к линии/), то sina=—, sin р=—. Л~х =? И полу- ' Vaa4-Jea (d—x}* s ченное условие принимает вид sin°L=__£L sin Р из Таким образом, отношение синуса угла падения к синусу уг- ла преломления есть величина постоянная. Это И есть закон преломления света. Нетрудно доказать, что время движения светового луча при выполнении этого условия минимально. 19
3. Обратимся к механике Представим себе, что мы находимся на соревнованиях по метанию молота. Спортсмен начинает вращать снаряд по окружности, увеличивая скорость. Подобрав момент, когда молот вылетит в нужном направлении, метатель выпускает его из рук — снаряд летит по касательной к траектории вращения. Подмечено это свойство было уже в глубокой древности: на нем основано, например, действие пращи — ручного метательного оружия. А объяснение свойства в том, что вращающееся тело обладает линейной скоростью, которая направлена по касательной к окруж- ности. Когда связь (трос молота, ремень пращи и т. д.) перестает удерживать тело на окружности, оно перемещается по направле- нию линейной скорости. Такой же результат получается при движении по любой траектории: если на движущееся тело по каким- либо причинам перестают действовать (или уравновешиваются) внешние силы, то оно продолжает свое движение по касатель- ной. Например, лыжник, оторвавшись от «стола» трамплина, продолжает некоторое время двигаться по касательной к линии отрыва. Конечно, найти направление скорости движения тела, или, что то же самое, касательной к траектории, легко, когда эта траектория представляет собой окружность или прямую. А как быть, если траектория имеет более сложный вил? В этом случае на тело, как правило, действуют несколько сил, каждая из которых сообщает ему свою скорость. Результирующая их, которая направлена по касательной к траектории движения, находится по закону сложения скоростей, известному как правило параллелограмма. Оно гласит, что сумма двух скоростей представляется диагональю параллелограмма, построенного на векторах слагаемых скоростей. Проведем, используя правило параллелограмма, касательную к спирали Архимеда. Правда, эта кривая, по-видимому, была известна до него александрийскому астроному и математику Конону Самосскому (III в. до н. э.). По крайней мере, как утверждает Папп, именно Конон поставил перед Архимедом задачу о спирали. Конон много сделал для становления Архимеда как ученого. В дальнейшем великий сиракузец посылал учителю и другу для критики свои работы, счи- тая его выдающимся математиком. О самом Кононе и его научных достиже- ниях нам ничего не известно. Осталась лишь легенда, связанная с его именем. Когда в 246 г. до н. э. египетский царь Птолемей III отправился в дальний во- енный поход, его жена Вероника, молясь
ui благополучный исход похода, принесла в жертву богам свои полосы. После возвращения супруга обнаружилось, что волос и храме нет. Придворный астроном Кон он проявил находчивость в этой щекотливой ситуации и, спасая жрецов храма, объявил, что боги вняли мольбам царицы и взяли эти волосы на небо. Так появилось название созвездия — Волосы Вероники. Напомним (Геометрия, гл. I, п. 12), что спираль Архимеда представляет собой траекторию точки, движущейся по лучу с постоянной скоростью v, в то время как сам луч вращается с по- стоянной угловой скоростью со вокруг своей неподвижной началь- ной точки. (Мы указываем лишь модули векторов скоростей, счи- тая их направления известными.) Пусть М — произвольная точка спирали, соответствующая моменту времени />0 (рис. 31). Этому моменту отвечает поворот луча па угол (p = <i)Z. Обозначим ОМ через г. Очевидно, r = vt. Найдем линейную скорость Vi вращения в точке М. Она направлена перпендикулярно отрезку ОМ, и ее величина равна th = г<1) = и/<о = шр. Результирующая скорость vR совпадает с диагональю прямоугольника, образованного скорос- тями v и оь Если обозначить угол между t»i и vR через а, получим ctga=^=(p т. е. a = arcctg<p. Таким образом, направление касательной к спирали Архимеда в произвольной точке найдено. А теперь используем спираль Архимеда и касательную к ней для спрямления окружности. Сначала выясним, что такое спрямление. Это понятие возникло в связи с задачей вычисления длины произвольной кривой. Если кривая бесконечна, естественно, речь идет о длине какой-то ее части — дуги. Итак, нам нужно найти длину некоторой кривой. Представим себе, что наша кривая — это гибкая нерастяжимая нить. Распрямим ее И найдем длину полученного отрезка. Представить, конечно, нетрудно. Нона самом деле кривая — не нить, и выпрямить ее невозможно. Как же быть? Древнегреческие ученые строили отрезок, длина которого равна длине самой линии. Построение такого отрезка они называли спрямлением кривой. Позже это название стали применять и к вычислению длины кривой.
Итак, мы имеем спираль Архимеда и каса- /____\ тельную к ней в точке М. Построим окруж- I (оу) 1 ность с центром в точке О и радиусом ОМ \ 1А (рис. 32) Спрямим ее дугу AM, имеющую ради- энную меру ф. Для этого восстановим из . точки О перпендикуляр к ОМ. Он пересекает- / ся с касательной в точке В. Легко показать, что / длина отрезка ОВ равна длине дуги AM. / В самом деле, из треугольника ОВМ находим / OB = OMctg а=гф. При ф=л мы уже использо- / вали этот результат (Геометрия, гл. I, п. 13) для / решения задачи квадратуры круга с помощью / спирали Архимеда. При ф=2л (рис. 33) получа- / ем ОВ = 2л’ОА — длина всей окружности ради- / уса ОА. Это равенство у самого Архимеда / в трактате «О спиралях» формулируется так: / «Если прямая линия касается спирали, опи- / санной в течение первого оборота, в конеч- / ной ее точке и если из точки, являющейся 1g началом спирали, проведена некоторая пря- мая перпендикулярно к началу вращения, Рис. 33 то проведенная прямая встретится с каса- тельной и прямая, заключенная между ка- сательной и началом спирали, будет равна окружности первого круга». В трактате дано строгое геометрическое доказательство этого предложения. Рассуждений, подобных нашим, у Архимеда нет. Но он сам признавался, что к результату его часто приводили механические соображения. С правилом сложения скоростей Архимед, несомненно, был знаком, поскольку это правило обосновал еще Аристотель, живший до Архимеда. Так что представляется правдоподобным, что Архимед для построения касательной к спирали использовал именно параллелограмм скоростей. В XVII в. в начальный период создания математического анализа при построении касательных к кривым кинематический подход использовался довольно часто. Его активно применяли Роберваль, Торричелли и другие математики. Более того, Роберваль разработал теорию построения касательных к кривым, основанную на представлении кривой как траектории движущейся точки и описал применение своей теории ко многим известным тогда кривым. Посмотрим, как Роберваль строил касательную к циклоиде. Мы уже знаем (Геометрия, гл. I, п-. 14), что циклоида представляет собой траекторию фиксированной точки производя- щей окружности, когда эта окружность катится без скольжения по направляющей прямой. Циклоида изображена на рисунке 34. Пусть М — произвольная точка циклоиды. Она лежит и на производящей окружности с центром в точке С. Скорость точки М
гцладывается из двух скоростей: одна из них направлена по касательной к окружности, другая горизонтальна и равна скорости перемещения точки С. Поскольку эти составляющие одинаковы по пел нч ине, то соответствующие векторы образуют ромб, по цпшопали которого направлена результирующая скорость. Таким пПразом, касательная к циклоиде построена, поскольку ее ни правление в данной точке совпадает с направлением результиру- ющей скорости. Занимался этой задачей и Декарт. В одном из писем он сообщает свой способ проведения касательной к циклоиде. Его идея состояла в использовании мгновенного центра вращения: перемещение производящей окружности можно рассматривать как крашение этой окружности вокруг точки А соприкосновения ее с направляющей прямой. Откуда следует, что вектор скорости и, следовательно, касательная перпендикулярны отрезку AM. В даль- нейшем идея мгновенного центра вращения стала часто использо- впться в механике. Циклоида была самой излюбленной кривой ученых того времени. На ней проверялись методы проведения касательных, кычисления площадей и объемов тел вращения, спрямления линий. Такое неравнодушие к циклоиде объясняется, по-видимому, тем, что она является наиболее простой из неалгебраических кривых (уравнение которой не записывается в виде многочлена от х и у). Среди множества результатов, связанных с этой кривой, отметим спрямление (1658) арки циклоиды геометрическим методом, выполненное английским архитектором и математиком Кристо- фером Реном (1632—1723). Этот результат произвел на современников сильное впечатление. Во-первых, вычисление длины дуги было трудоемкой и редко решаемой задачей: всего лишь годом раньше английскому математику Уильяму Нейлю (1637— 1670) удалось спрямить первую (помимо окружности) алгебраиче- скую кривую 1/2=л3, названную позже его именем. Во-вторых, удивил сам результат. Так как циклоида связана с кругом, то естественно было ожидать, что ответ содержит число л; на самом же деле длина арки оказалась равной 8а, где а — радиус производящей окружности. Рис. 34
Интересно, что, начав серьезно заниматься архитектурой почти в 30 лет, Рен стал крупнейшим архитектором Англии. Среди его проектов — собор св. Павла в Лондоне. Это самый большой протестантский храм в мире. Здесь и был похоронен Рен. На его могильной плите начертана надпись: «Ты ищешь памятник — оглянись вокруг». Как мы увидим позже, циклоида обладает рядом замечатель- ных свойств. А пока выведем одно геометрическое свойство циклоиды, которое нам понадобится в дальнейшем. Для этого вспомним ее параметрические уравнения. Если радиус производя- щей окружности равен а, а направляющая прямая совпадает с осью обсцисс, то х=а(ф —sin<p), z/ = a(l — coscp). Здесь <р — угол поворота производящей окружности, выражен- ный в радианах. Обозначим через а угол между касательной к циклоиде в точке М и осью ординат (рис. 35). Очевидно, а = ZLOAM. Так как Х.МАС=—~-, то а = у— (у—*^) — Откуда sina = sin—= д/ 1 ~^°51у Итак, ____। V? “ V2H 1 j Равенство (2) было получено независимо друг от друга Декартом и Робервалем. Оно является характеристическим для циклоиды, т. е. можно показать, что кривая, для которой оно выполняется, является циклоидой.
4. Как провести касательную В предыдущем пункте мы видели, как механика может помочь строить касательные. Но все-таки касательная — это геометриче- ский объект, а не физический. Поэтому желательно научиться строить касательные геометрическим способом. Однако сначала выясним, какую прямую можно назвать касательной к данной кривой. Обычно бывает достаточно одного лишь беглого взгляда, чтобы определить, является прямая касательной к кривой или нет. Ведь каждый из нас интуитивно чувствует это. Но дать опреде- ление касательной совсем не просто. Сначала математики имели дело лишь с прямыми и окружно- стями, а для окружности касательной является прямая, имеющая с ней только одну общую точку (рис. 36). Но уже для конических сечений такое определение не годится. Например, ось О А симметрии параболы (рис. 37) имеет с ней одну общую точку, но не является писательной. А вот прямая ВС касается параболы в точке О. Эта прямая отличается от оси О А тем, что она расположена по одну сторону от параболы. Математики с глубокой древности и по XVII в. так и определяли касательную: это прямая, имеющая с кривой одну общую точку и расположенная по одну сторону от нее. Так понимал касательную и Архимед. Исходя из такого определения, строил касательные к коническим сечениям Апол- лоний. Но это определение не выдержало испытания временем: с появлением координатного метода стали изучаться кривые, касательные к которым не всегда лежат по одну сторону от них. Возьмем хотя бы кубическую параболу у=х3 Ее касательной и начале координат является ось абсцисс (рис. 26, а), а кривая переходит в точке касания с одной стороны касательной на другую. Такие точки называют точками перегиба кривой. Дать строгое определение касательной оказалось возможным только с помощью предела. Поясним, как это*делается. Через две точки кривой Mq и М проводят секущую (рис. 38). Затем одну Рис. 36 Рис. 37
точку, например Мо, фиксируют, а вторую М перемещают по кривой к Мо; при этом секущая М0М враща- ется вокруг точки Mq. В пределе (когда М совпадает с Мо) секущая займет положение касательной. Имен- но такая идея использовалась Декар- том в «Геометрии». Правда, вместо ка- сательных он строил нормали к кри- вым, т. е. перпендикуляры к касатель- ным в точке касания. Интерес к нормалям возник у Декарта при решении одной оптической задачи: он искал форму поверхности линзы, собирающей лучи от точечного источника света снова в точку. (На этом пути Декарт открыл знаменитые овалы, на- званные в дальнейшем его именем.) Для построения нормали к кри- вой в данной точке достаточно провести радиус окружности, ка- сающейся этой кривой в указанной точке. Поэтому Декарт вместо касательных прямых использовал касательные окружности. Разберем метод Декарта на примере проведения нормали к эллипсу, заданному каноническим уравнением „2 „2 Пусть Л1о(хо; i/o) — произвольная точка эллипса (рис. 39). Предположим, что искомая нормаль через точку Мо проведена и W — точка ее пересечения с осью Ох. Тогда окружность с центром в точке N и радиусом NMq касается эллипса в точке Л40. В силу симметрии эллипса относительно оси Ох эта окружность касается эллипса и в симметричной точке Ко- Итак, задача сводится к тому, чтобы на оси Ох найти центр N окружности, касающейся эллипса в точке Mq. Рассмотрим сначала произвольную окружность, проходящую через точку Мо(хо; Уо), с центром в точке С (с; 0) на оси Ох (рис. 40). Ее уравнение имеет вид (х — с)2+у2= (х0 — с)2+уо. Рис. 39 Рис. 40
Вообще говоря, эта окружность может пересекаться с эллипсом и 4-х точках Mo, М, Ко, К. Чтобы найти их координаты, надо решить систему (х—c)2 + y2 = (хо—с)2 + у2о Преобразуем её: х2+у2 — 2сх—х20 — у20 4- 2схо=О Ь2х2 + а2у2=а2Ь2. Хо. Исключив у2, придем к квадратному уравнению (а2—Ь2) х2 — 2а2сх—а2 (х§+уо—2схо — Ь2) = 0. Нас интересует случай, когда точки Мо иМ совпадают, другими словами, когда полученное уравнение имеет одно решение, т. е. его дискриминант обращается в нуль: а4с2+а2(о2 —Ь2) • (xo+i/o — 2сх0 — Ь2) = 0. Упростим это равенство, учитывая, что точка (хо; уо) удовлет- воряет уравнению эллипса b2xl + a2y2 = a2b2. Получим ((а2— Ь2)хо — а2с)2 = 0. Откуда а* Таким образом, абсцисса точки N найдена, и MqN — искомая нормаль. Заметим, что метод Декарта годится только для алгебраических кривых. В геометрической части он содержал идеи дифференциаль- ного исчисления: переход от секущей (окружности) к касательной (окружности), когда две ее точки пересечения с кривой сливаются п одну. Более общий способ проведения касательных к кривым предложил Ферма. Рассмотрим его способ на примере проведения касательной к параболе х=у2 в точке М с абсциссой х. Допус- тим, что касательная построена и А — точка ее пересечения с осью Ох, В — проекция точки М на ось абсцисс (рис. 41). Отре- зок А В называется подкасательной, обозначим его длину через а. Очевидно, для построения касательной достаточно найти а. Пусть /V— точка, лежащая на касательной близко к М, С — ее проекция на ось абсцисс и О — точка пересечения CN с параболой. Обозначим СВ = е. Так как точки М и D лежат на , ов вм2 - и вм ав „ параболе, то С другой стороны, Считая CD&CN, получим .или —— gs——— Откуда а1 ~ ОС АС? (а — е,)2 «2ах— ех. Устремляя е к нулю, найдем а = 2х. 57
Сам Ферма писал не приближенные равенства, а обычные, называя их «вымышленными», и затем не устремлял е к нулю, а просто полагал е = 0. Нетрудно заметить, что Ферма применял здесь тот же метод, что и при нахождении экстремумов. Об этом он сам писал в статье «Способ отыскания максимумов и минимумов». Статья была послана Мерсенну, а тот в свою очередь переслал ее Декарту. Декарт не принял метода Ферма, даже не захотел вникнуть и понять его, поскольку усмотрел в этой работе посягательство на свой непререкаемый авторитет в математике после выхода в свет знаменитой «Геометрии». Тем более, что Ферма в письме к Мерсенну высказал удивление по поводу того, что сам Декарт не нашел этого способа проведения касательных. Развернулась бурная полемика, которую Ферма назвал «малой войной с Де- картом» и в которой приняли участие многие ученые того времени. Декарт в довольно едкой форме предложил Ферма построить его способом касательную к кривой, для которой сумма кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Таким образом, речь шла о кривой, задаваемой уравнением х3+у3 = За*1/. Впоследствии она была названа декартовым листом. Для построения этой кривой удобно перейти к ее параметриче- скому заданию. С этой целью положим в ее уравнении y = tx, получим х3+/3х3=За/х2, или (/3+ 1)х=3а/. Откуда 3al 3at2 1+/3 У 1-Н3 При изменении значений параметра / от —оо до + оо точка с координатами (х; у} опишет декартов лист (рис. 42). Беско- нечная ветвьОА соответствует изменению параметра/ от — оо до 58
— I, ветвь ВО —изменению параметра от —1 до 0, участок OCD — изменению t от 0 до + оо Заметим, что прямая х + у + а=0 является асимптотой декартова листа. На самом деле для любой точки М(х; у), лежащей на кривой, имеем 3gjL fl-Q_(i+03^ °(i+')a l+/3 I+/3 I—г-н’ О -1 г. е. бесконечные ветви листа Декарта приближаются (при/-*— 1) к прямой x-|-i/ + a = O. Асимптоту листа Декарта, как и его бесконечные ветви, нашел Гюйгенс (1691). Поскольку ранние аналитики, как правило, не рассматривали отрицательных чисел, то они строили только ту часть кривой, которая лежит в первой четверти. Впервые это сделал Роберваль: он полагал, что в остальных координатных углах кривая имеет ту же форму, и назвал ее «цветком жасмина». Лишь позже появилось современное ее название. Ферма принял вызов Декарта, решил поставленную задачу, используя свой метод, и тем самым показал его универсальность. Полемика не послужила славе Декарта. Но самой математике она пошла на пользу. Она привлекла внимание ученых к зарождавше- муся исчислению и способствовала его становлению. С появлением производной задача проведения касательной стала тривиальной. На самом деле пусть требуется построить касательную к кривой, являющейся графиком функции y=f(x) , в точке Мо с координатами (х0; f(xoj) Рассмотрим на кривой другую точкуМ (л; f(x)) и проведем секущуюМоМ (рис. 43). Она образует с положительным направлением оси абсцисс угол а. Очевидно, ее угловой коэффициент Мх)-/(хо) х — Хо Если теперь перемещать точку М по графику к точке Мо. то секущая, меняя свое направление, перейдет в касательную. Этого можно добиться, устремив абсциссу х точки М к х0. Поскольку lim/(x) /(х<>) =Г(х0) х—Хо то получим 1g а0 = Г(х0), где ао — угол, который образует касательная с положительным на- правлением оси Ох. Таким образом, вычислив про- изводную функции в точке хо, мь найдем угловой коэффициент каса-
тельной. Остается провести прямую с этим угловым коэффициен- том через точку Мо. Вернемся к способу Ферма проведения касательной к параболе. Отметим, что задача определения подкасательной равносильна задаче вычисления производной функции у= у[х в точке ло- В самом деле, Строгие определения появились позже, но суть дифферен- циального исчисления уже содержалась в методах Ферма. Недаром Лагранж назвал его «первым изобретателем новых исчислений». А Ньютон, который наряду с Лейбницем является творцом дифференциального и интегрального исчислений, пи- сал: «Намек на метод я получил из способа Ферма проведения касательных, применяя его к абстрактным уравнениям, я сделал его общим». 5. Основная теорема анализа Контуры новых исчислений, интегрального и дифференциально- го, постепенно обрисовывались в решениях геометрических и механических задач. Но еще задолго до их четкого оформления начала проявляться связь между ними. Впервые взаимная обратность операций дифференцирования и интегрирования была обнаружена при решении частных кинематических задач. Сначала Галилей для равноускоренного движения установил, что площадь треугольника, построенного на скорости и времени (рис. 44), равна пути, пройденному телом за то же время. На самом деле поскольку при равноускоренном движении скорость пропорциональна времени v = at, то из ри- 1 сунка 44 видно, что площадь треугольника s = —voto = —£-. Лэто, как известно, есть путь, пройденный телом при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью. Эти соображения в дальнейшем использовал Торричелли для произвольного прямолинейного движения. Он уже рассматривал две системы координат: на осях одной из них он откладывал время и путь, а на осях другой — время и скорость. Торричелли установил, что разность ординат графика в первой координатной системе (путь, пройденный телом за некоторое время) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, построенной во второй координатной системе. В современных обозначениях это значит, что . site)— s(0) = J v(t)dt о (И)
Пока это было обобщением результата его учителя на случай произвольного движения. Но далее Торричелли получил и обрат- ную зависимость: ордината графика скорости равна тангенсу угла наклона касательной к графику пути, т. е. v (/о) =s'Go) Оставалось перевести кинематические рассуждения Торричелли на привычный для математиков того времени геометрический язык. Это сделал в «Лекциях по геометрии и оптике» (1669) Исаак В а р р о у (1630—1677) - учитель Ньютона. Повторим коротко его рассуждения. Удобства ради Барроу соединяет две торричеллевы системы координат в одну и проводит график функции y~f(x) через начало координат (рис. 45). Пусть ОК —график функции y = f(x), А — произвольная точка на этой кривой, Ai — проекция точки Л на ось Ох. На продолжении AAi отметим точку С так, чтобы длина отрезка Л|С равнялась площади криволинейной трапеции OAiA Поступая аналогичным образом со всеми остальными точками графика функции y = f (х), построим в системе хОг кривую OL. Если ОЛ|=х, AAi=y и AiC=z, то на совре- менном языке связь между кривыми ОК и OL записывается так: z= Jt/dx о Далее Барроу на оси абсцисс находит точку М, для которой А.С AM, 1 и доказывает, что в этом случае прямая МС является касатель- ной к кривой OL в точке С. Он еще не располагает понятием производной и тем более ее обозначением. Но его утверждение равносильно тому, что AAi 61
равняется угловому коэффициенту касательной к кривой OL в точке С, или y = z' Для того чтобы установить касание прямой МС и линии OL, Барроу по требованиям того времени показывает, что в окрестно- сти точки С эта прямая расположена по одну сторону от OL. Сначала он рассматривает точку D, лежащую на кривой OL ниже точки С, и выводит неравенство FE<DE. На самом деле из подобия треугольников имеем ЕС _ А\С FE ~ МА\ = AAi С другой стороны, EC=AiC—BtD = SAA ‘AAt (это неравенство Барроу устанавливает из чертежа, считая функцию монотонно возрастающей). Итак, FE-AAt^ECcBiA^AAt Откуда FE<zBiAi — DE Аналогичное неравенство можно полу- чить для точки, лежащей на OL выше С. В результате оказы- вается, что все точки прямой МС лежат по одну сторону от кри- вой OL. Этой теоремой Барроу установил связь между двумя важнейшими задачами: вычисление площади и проведение каса- тельной. Применяя современные обозначения, доказанное утверж- дение можно переписать в виде 0 =4- Сейчас его часто называют основной теоремой анализа, поскольку оно выражает связь между главными операциями анализа. Естественным следствием этой теоремы является формула ъ \f(x)dx=F(b) — F(a) а Здесь F — одна из первообразных функции f, т. е. такая функ- ция F, для которой выполняется равенство F'(x)=f(x). Эта формула носит название формулы Ньютона — Лейбница, посколь- ку была получена в общем виде в их работах и широко ими использовалась. Применение формулы Ньютона — Лейбница намного упро- щает вычисление интегралов. Уже не нужно составлять интеграль- ные суммы и находить их пределы при измельчении разбиения. Достаточно вычислить первообразную для подынтегральной функции и найти ее приращение на отрезке [а; Ь]. Нахождение же первообразной во многих случаях сведено к применению опреде- ленных алгоритмов. Поэтому упражнения на вычисление длин, площадей и объемов, предлагаемые нами в конце раздела, должны оказаться посильными читателям, хотя в период зарожде- 6’2
инн интегрального исчисления для их решения первопроходцам приходилось проявлять недюжинную изобретательность. Таким образом, основные идеи математического анализа, правда, в основном в геометрической и механической форме полностью созрели к концу XVII в. «После таких успехов науки,— писал Лейбниц,— недоставало только одного—нити Ариадны и лабиринте задач именно аналитического исчисления по образцу алгебры». Для создания дифференциального и интегрального исчислений нужно было решить следующие проблемы: объеди- нение наметившихся общих приемов, применявшихся для решения различных задач, в единый метод на базе понятия бесконечно малой величины и выработка алгоритмов для вычисления произ- водных и интегралов. Как видим, проблемы весьма глубокие и обширные. В основном они были решены двумя гениальными учеными — Ньютоном и Лейбницем, которых по праву считают основоположниками математического анализа. 6. Украшение человеческого рода Исаак Ньютон (1643—1727) родился в семье мелкого английского фермера. Отец его скончался незадолго до рождения сына, и воспитывали мальчика мать и бабушка. В раннем детстве Ньютон был очень слаб, но потом окреп, не последнюю роль сыграли в этом деревенское питание и сельский образ жизни; в дальнейшем он отличался отменным здоровьем. Большинство сведений о детских годах Ньютона появилось в то время, когда он уже стал знаменитым, поэтому здесь трудно отличить легенды от подлинных фактов. Вспоминали, что в детстве он любил мастерить механические игрушки, самокаты, водяные мельницы, водяные и солнечные часы. А однажды ночью запустил воздушного змея со светящимися фонариками, чем вызвал переполох в округе. В учебе он, по-видимому, сначала не выделялся, но рассказывают, что во втором классе его побил однокашник, который был сильнее и хорошо учился. Не имея возможности ответить обидчику тем же, Ньютон решил обойти его в учебе. С тех пор уже никто и никогда не мог его превзойти сначала в учебе, а затем и в науке. В 1661 г. Ньютон поступает в Кембриджский университет. Он много читает, часто доводит до логического конца незавершенные мысли авторов, противопоставляет им свою точку зрения. Большое влияние на него оказывает молодой профессор Барроу — талантливый математик, филолог и философ. В это время Ньютон находит знаменитую формулу разложения в ряд бинома с про- извольным рациональным показателем. В 1664 г. в Англии вспыхнула страшная эпидемия чумы, свирепствовавшая около четырех лет В самый ее разгар Ньютон покидает многолюдный 6.3
университет и проводит почти два года на ферме матери. И вновь нестандартный выход из сложившейся ситуации. Вместо того чтобы во время этих вынужденных «каникул» отдыхать и развле- каться, Ньютон продолжает интенсивно заниматься наукой. В этот период он открывает закон всемирного тяготения, устанавливает природу цвета предметов и свойство белого света разлагаться в спектр, создает метод флюксий и бесконечных рядов. Великие физические открытия Ньютона соседствуют с матема- тическими. Это было характерной чертой творчества Галилея, который считал необходимым давать любому физическому явлению математическое объяснение. С этой целью он часто использовал мысленный эксперимент, а потом подводил под него математический фундамент. Тех же принципов придерживался и Ньютон. Созданные им новые математические методы не были самоцелью, они должны были служить аппаратом для обоснования физических результатов. Вернувшись в университет, Ньютон не спешит с опубликовани- ем своих открытий. Объясняется это, по-видимому, финансовыми затруднениями молодого ученого и неуверенностью издателей в получении прибылей от печатания такой книги. Его работы по оптике увидят свет только через пять лет, об открытии закона всемирного тяготения станет известно лишь через 20 лет, а о создании Ньютоном анализа бесконечно малых узнают через тридцать с лишним лет. С течением времени финансовое положение ученого укреплялось (в 1669 г. Барроу, перейдя на придворную службу в Лондон, оставил ему кафедру в университете), но зато сильно возрастала его чрезвычайная требовательность к безоши- бочности своих утверждений. Лишь однажды он допустил ученых почти сразу в свою творческую лабораторию. Речь идет о рядах. И подтолкнула его к этому публикация работы немецкого математика Николауса Меркатора* (1620—1687) «Лога рифмотехн ика» (1668), где было приведено разложение логарифмической функции в сте- пенной ряд — бесконечную сумму степенных функций. Кроме того, прошел слух о том, что Меркатор и Броункер знают о разложении в ряд квадратного корня из двучлена. Так как все эти результаты были давно известны Ньютону, то во избежание спора о приори- тете он передал в Королевское общество трактат «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов». Задержка с публикацией открытия закона всемирного тяготе- ния привела к многолетней полемике с Робертом Гуком (1635—1703), ставшим в 1679 г. секретарем Лондонского Королевского общества. Надо сказать, что этой задачей во второй половине XVII в. занимались многие ученые, в их числе и Гук. На основании эвристических соображений он тоже пришел к предпо- ’ Настоящая фамилия ученого Кауфман; в переводе с немецкого опа означает «купец», а Меркатор его псевдоним, перевод слова «купец» на латынь. 61
лишению, что притяжение тел обратно пропорционально квадрату расстояния между их центрами. Но пока это была лишь догадка, хотя и гениальная. Необходимо было ее подтвердить соответствую- щим физическим экспериментом и его теоретическим обосновани- ем. Такую возможность ученым предоставила сама природа в виде законов движения планет, открытых Кеплером на основании астрономических наблюдений. Нужно было показать, что именно под действием силы тяготения, изменяющейся обратно пропорцио- нально квадрату расстояния, возникает эллиптическое движение планет. Ньютон справился с этой задачей, для чего ему пришлось весьма существенно развить математический аппарат — полно- стью создать дифференциальное и интегральное исчисления. В 1687 г. в значительной степени под влиянием директора Гринвичской обсерватории Эд м у н д а Галлея (1656—1742) и в основном на его средства Ньютон издает свой фундаментальный труд «Математические начала натуральной философии». В нем он изложил закон всемирного тяготения, три закона механики, именуемые теперь законами Ньютона, результаты исследования движения тел в жидкости и газе. На основании открытых законов Ньютон вывел законы движения планет Кеплера, построил теорию формы Земли, объяснил морские приливы и отливы (как следствие притяжения массы воды Луной), обосновал траектории комет и многие другие явления природы. Труд получился поистине грандиозным. О его авторе в следующем столетии Лагранж скажет с восхищением: «Он самый счастливый, систему Мира можно установить только один раз». Изложение в книге ведется в духе Архимеда. Начинает Ньютон с определений (количества материи, количества движения, разного рода сил), затем формулирует три аксиомы, известные сейчас как три закона Ньютона, выводит из них простейшие следствия (о сложении сил по правилу параллелограмма, о движении центра тяжести и т. п.) и далее развивает общую и небесную механику. Доказательства он проводит на привычном для ученых того време- ни геометрическом языке. Но при этом использует своеобразную теорию пределов, которую помещает в самом начале своей книги под названием «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается». Теория эта содержит 12 лемм, среди них леммы о вычислении площади криволинейной трапеции, о предельном положении секущей, об отношении дуги к хорде и касательной. В идущем вслед за леммами «Поучении» Ньютон излагает свое понимание бесконечно малых величин. Работы по дифференциальному и интегральному исчислениям были им изданы много позже. А основная работа в этой области «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением к геометри- ческим кривым» вообще была издана после смерти Ньютона, в 1736 году. Как уже говорилось, метод был создан для решения физических задач. Поэтому переменную величину х он называет 3. Л. II. Шнбнсов
флюентой (от лат. fluo— теку). Скорость истечения флюенты, т. е. производную флюенты, он называет флюксией (от лат. fluxio — истечение). Флюксию он обозначает через х (такое обозначение производной функции х(1) по времени / до сих пор используется в физике), бесконечно малые приращения флюенты х—через хо (где о — бесконечно малая). Основную задачу метода флюксий Ньютон видел в том, чтобы «по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями». Приведем пример его рассуждений из «Метода флюксий». Зная соотношения между переменными х и у, он выводит соотношение между их производными хну: «Пусть, например, дано уравнение х3—ахх+аху—у3 = 0, подставь в него х+хо и у+уо вместо х и у, ты получишь х3 + Зхххо 4-Зкхохо + г’о3—ахх—2аххо — — ахохо+аху + аухо + ахуо + ахоуо — Зуууо — — Зууоуо—у3о3—у3=0. По предположению х3 — ахх+аху—у3=0. Поэтому вычеркни эти члены, а остальные раздели на о. При этом останется Зххх—2ахх+аух+аху—Зууу+ + Зхххо—аххо + ахуо—Зуууо + х3оо — у3оо = 0. Но так как мы предположили о бесконечно малой величиной..., то те члены, которые на нее умножены, можно считать за ничто в сравнении с другими. Поэтому я ими пренебрегаю, остается Зххх — 2ахх + аух+аху — Зууу=0». Нетрудно заметить, что мост к ньютоновскому методу флюксий проложен непосредственно от метода Ферма нахождения экст- ремумов. Если уравнение, выражающее зависимость между х и у, не бы- ло алгебраическим, то Ньютон обращался к степенным рядам. Об этом мы поговорим в другой главе, а сейчас отметим, что почти все задачи анализа он решал с помощью сте- пенных рядов, подчеркивая универсаль- ность такого метода. В своей теории флюксий Ньютон ре- шает и обратную задачу: определить со- отношение между переменными по из- вестному соотношению между их произ- водными, т. е. осуществляет операцию ин- тегрирования. Для этого он раскладывает соответствующие функции в степенные ряды и почленно интегрирует их. Когда
разложение в ряд вызывает затруднения, он прибегает к различ- ным подстановкам. В частности, при интегрировании корня из квадратного трехчлена у него встречаются три подстановки, позже переоткрытые Эйлером и носящие сейчас его имя. Математики в свое время не обратили на них внимания: они затерялись среди россыпи решенных Ньютоном задач. Так же обстоит дело и с формулой Симпсона для приближенного интегрирования. Правда, она еще до Ньютона была известна Торричелли. В 1668 г. Ньютон изобрел и построил первый в мире зеркальный телескоп. Обращение его к зеркальному телескопу объясняется тем, что он ошибочно считал невозможным устранить в линзовом телескопе хроматическую аберрацию — окрашивание предметов. В 1671 г. Ньютон создал более совершенный телескоп, который демонстрировался при дворе в присутствии самых знаменитых тогда английских ученых. Демонстрация произвела на присутству- ющих огромное впечатление — в результате Ньютон был избран в Лондонское Королевское общество. Через 30 лет он стал президентом этого общества (за заслуги в области физики и математики). Ньютону первому в Англии за высокие научные достижения было присвоено звание дворянина. Он руководил перечеканкой всей английской монеты, приведя в порядок расстро- енное монетное дело Англии, за что получил пожизненную высокооплачиваемую должность директора Монетного двора. Интенсивная научная деятельность в области физики и матема- тики относится к первой половине жизненного пути Ньютона. Во второй он занимался исследованиями в двух модных тогда направлениях — алхимии и теологии, а в перерывах издавал свои ранее написанные работы по физике и математике. Вскоре после выхода в свет «Математических начал» его постигло несчастье — при пожаре сгорела часть рукописей. Он столь тяжело переживал эту утрату, что окружающие одно время даже опасались за его рассудок. Но все обошлось благополучно, и в преклонном возрасте Ньютон не потерял способность творческого математического мышления. Похоронен Ньютон в английском национальном пантеоне — Вестминстерском аббатстве — месте погребения всех выдающихся людей Англии. На памятнике — формула бинома и надпись: «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти боже- ственным разумом первый доказал с факелом математики движение планет, пути комет и приливы океанов. Он исследовал различие световых лучей и появляющиеся при этом различные свойства цветов, чего раньше никто не подозревал. Прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, древности и св. писания, он утверждал своей философией величие всемогущего Бога, а нравом выражал евангельскую простоту. Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого». А в Кембриджском университете на памятнике Ньютону приведена строка Лукреция: «Разумом он превосходил род человеческий». з 67
7. Создатель вещих книг Совсем иным был конец жизненного пути другого творца математического анализа — Готфрида Вильгельма ’Лей- бница (1646—1716). Но обо всем по порядку. Его предки были выходцами из Польши и носили фамилию Любениц. После переселения в Лейпциг фамилия их стала произноситься на немецкий лад. Интересно отметить, что и само название этого города тоже славянское, оно означает «место у лип». Лейбниц родился в семье профессора философии Лейпцигского университета. Он рано лишился родителей: в 6 лет остался без отца, а в 17 — без матери. В школьные годы Лейбниц поражал своих учителей умением слагать стихи на латинском и греческом языках, увлеченностью философией и математикой. Он отличался большой любознательностью, многие предметы изучал самостоятельно, до знакомства с ними в школе. Память у него была неровной: легко запоминал сложные веши и хуже — простые; не мог долго производить вычисления, но тяготел к обобщениям и абстракциям. И такая память и склад мышления сохранились у Лейбница на всю жизнь. В 15 лет Лейбниц — студент философского факультета Лейпцигского университета. Этот факультет был подготовитель- ным для юридического и богословского. Закончив с блеском философский, а затем юридический факультет, 20-летний Лейбниц не смог получить желаемой должности в родном городе. Консервативные порядки в университете ставили материальные преграды к получению докторской степени. Он едет в Нюрнберг и в тамошнем университете с небывалым успехом защищает юридическую диссертацию на степень доктора. Необычайный талант молодого ученого был замечен. Его приглашает на дипломатическую службу курфюрст (князь, имеющий право выбора короля) города Майнца, а позже — ганноверский герцог. Находясь по делам курфюрста в Париже, Лейбниц встречается со многими известными учеными. Обсуждения различных проблем пробуждают в нем интерес к математике. Позже в письме к И. Бернулли он вспоминал: «Когда я приехал в 1672 году в Париж, я был математиком-самоучкой. В этом высокомерном математическом невежестве я уделял внимание только истории и праву, видел в их изучении свою цель. Однако математика была для меня более приятным развлечением». По окончании универси- тета (1666) Лейбниц опубликовал философско-математическую работу «Размышления о комбинаторном искусстве», так что, говоря о своем «невежестве», он имел в виду неосведомленность о последних достижениях математики. Чтобы познакомиться с новыми результатами и идеями, возникшими в то время в математике, он обращается за помощью к Гюйгенсу. Тот советует ему внимательно изучить ряд работ, и Лейбниц с завидным 68
рвением берется за дело: изучает труды Сен-Винцента и Валлиса, Декарта и Паскаля, занимается собственными исследованиями. Но когда он по дипломатическим делам попадает в Лондон и сообщает о своих результатах английским математикам, то с удивлением узнает, что многие из этих результатов им уже известны из рукописи Ньютона «Об анализе с помощью уравнений», хранящейся в Королевском обществе. Лейбниц через секретаря этого общества Ольденбурга (1615—1677) пишет Ньютону о своих работах. В том же письме он просит Ньютона сообщить его результаты. В ответ он получает (опять через Ольденбурга) два письма, в которых Ньютон разъясняет операции дифференцирования и интегрирования с помощью рядов. Лейбниц не спешил обнародовать свои результаты в области нового исчисления, возможно, ожидая публикаций Ньютона. Но в 1683 г Чирнгауз печатает статью о квадратуре алгебраических кривых. В ней не упоминается имя Лейбница, хотя в решении этих вопросов Чирнгауз многим был ему обязан. Чтобы сохранить пальму первенства в этой области, Лейбниц в следующем году печатает статью «Новый метод максимумов и минимумов», а через год — «О скрытой геометрии и анализе неделимых». В первой из них содержались основы дифференциального исчисления, во второй — интегрального. В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Сейчас дифференциал d}\xa) функции у = f(x) в точке хо задается формулой dj'(xo) = f'(xo)dx, где f'(x0)—производная, вычисленная в точке хо, dx— приращение аргумента. У Лейбница дифферен- корни в обыкновенном циал определяется как один из катетов характеристического треугольника, о котором шла речь в предыдущей главе (п. 9). Из рисунка 46 видно, что эти определения эквивалентны. Лейбниц дает правила вычисления дифференциала суммы, разности, произведения, частного, степени, решает дифференци- альные уравнения. Интеграл он определяет как сумму дифференци- алов, подчеркивая взаимную обратность операций дифференциро- вания и интегрирования: «У нас суммы и разности или $ и d так же взаимно обратны, как степени и исчислении». Откуда вытекают свойст- ва интегралов и способы их вычисле- ния. В последующих статьях Лейбниц развил новый анализ. Он доказал, что любая интегрируемая функция являет- ся ограниченной (необходимое усло- вие интегрируемости), разработал ал- горитм вычисления некоторых типов интегралов, в частности способ интег- рирования рациональных функций. Значение этого способа невозможно переоценить, так как с помощью раз- личных подстановок к интегралам от (И»
рациональных функций сводится масса самых разнообразных интегралов. Остановимся на этом способе подробнее. Напомним, что рациональная функция — это отношение двух многочленов. Если рациональная дробь неправильная (степень числителя больше или равна степени знаменателя), то ее всегда можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Например, J ____х^2____ JC3 —X2H-JC—1 Ж3 —Ж2 + х— I Так что достаточно научиться интегрировать рациональные функции, записанные правильной дробью. Как мы знаем из алгебраического раздела, многочлен, стоящий в знаменателе, раскладывается на множители первой степенях — Хо или второй степени х2+рх + ^ (причем трехчлен x2-j-px~l-y уже не имеет действительных корней). В нашем примере х3—х2 + х—1 = = (<* — I) (*2+ 1)- Далее, в высшей алгебре доказывается, что в соответствии с разложением знаменателя правильная дробь представляется в виде суммы элементарных дробей первого и второго рода, т. е. дробей вида А Вл + С х—хс ’ хг+рх + д Коэффициенты А, В, С легко вычисляются. Так, в нашем примере из представления ха—2 _ А . Вх + С (х—Щх2+1) х—I х2+1 получаем равенство двух многочленов Л(х2+1) + (Вх + + С) (х—1) =х2—2. Как установил еще Декарт, многочлены равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Поэтому имеем Л + Я=1 С—В = 0 ,Л-С=-2. Откуда А — —, В = С=~ Итак, х4 ~Ь х2—3 __ I 1 I I 3 , х ~Ь 1 х3 —х2Ч-х—1 2(х—I) 2 ха+1 Теперь, чтобы найти интеграл от данной рациональной функции, достаточно проинтегрировать полученную сумму. Затруднения 70
могут возникнуть только с последним слагаемым. Перепишем его в виде х+1 _ 1 2х . 1 XJ+1 2 *хг+1 х5+1 тогда f х 4-1 , I Г d (х2 +1) । f dx I t 2 i । \ i < z' \ i , , QJC — -X \ Д , + V a , , = —1П (JC -H ) + arctg x + C. J Xs+1 2 J X2+1 1 J JC+1 2 ' 1 ' 1 Ь 1 Аналогично поступают в случае, когда знаменатель расклады- вается в произведение большего числа линейных и квадратных множителей. В случае кратных корней знаменателя теория несколько усложняется. Для графического решения задачи интегрирования произволь- ных функций Лейбниц придумал (1693) механический прибор — интегратор. Если перемещать один штифт этого прибора по графику функции, то другой вычерчивает график первообразной. Разработанными Лейбницем алгоритмами и обозначениями мы пользуемся и поныне, как и большинством введенных им математических терминов: функция, переменная, постоянная, координаты, абсцисса, алгоритм, дифференциал и др. Многие из этих терминов употреблялись и раньше, но не имели того конкретного значения, которое придал им Лейбниц. В начале следующего столетия разгорелась бурная дискуссия о приоритете изобретения анализа. Поводом к ней послужила рецензия (1704) Лейбница на работу Ньютона «Перечисление линий 3-го порядка», где он указал на идейную общность трактовки бесконечно малой у Ньютона и Фабри. Такое сравнение великого англичанина с малоизвестным французским математиком Оно- ре Фабри (1607—1688) вызвало «благородное» негодование английских ученых. (А Лейбниц не имел никаких задних мыслей; просто книга Фабри была одной из немногих, которая помогла ему в парижский период ликвидировать «математическое невеже- ство».) Они увидели в этом принижение заслуг Ньютона, и началось... В этом споре права Ньютона отстаивали английские ученые, а Лейбница — континентальные. Поддержка Лейбница большинством континентальных математиков объяснялась тем, что его обозначения оказались столь совершенными, а само учение столь доступным, что сразу нашли сторонников среди многих ученых Европы, что бывает крайне редко при появлении новой теории. По-видимому, именно этот спор имел в виду замечательный русский поэт Валерий Брюсов, когда писал такие строки: О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг! Ты выше мира был, как древние пророки. Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг И с лестью смешивал безумные упреки. 71
На самом же деле претензии обеих сторон были безоснователь- ными. Оба ученых независимо пришли к созданию дифференциаль- ного и интегрального исчислений, да и подходы у них были совершенно разные. Ньютон использовал аппарат степенных рядов, а Лейбниц — понятие дифференциала. Разгоревшийся спор привел к тому, что английские математики игнорировали все, что исходило от Лейбница и его школы, а континентальные— работы англичан. Поскольку на континенте опирались на более совершен- ную, чем ньютоновская, символику Лейбница и ученые были объединены общими идеями, опубликованными и доступными каждому, то континентальные математики в посленьютоновский период далеко ушли вперед в сравнении с английскими. Однако в судьбе Лейбница вражда между английскими и континентальными математиками сыграла роковую роль. Гер- цог, у которого он служил библиотекарем, историком и био- графом, став (1714) английским королем, уехал в Лондон. По- следовать за ним Лейбниц не мог из-за испорченных отношений с английскими математиками. К тому же герцог был недоволен своим историографом, считая, что он недостаточно уделяет вни- мания своим прямым служебным обязанностям. Лейбницу при- шлось остаться и работать в библиотеке герцога. Немилость ново- испеченного английского короля привела к тому, что окружение ученого сильно поредело. Через два года он умер, провожаемый в последний путь только секретарем и могильщиками. Обидная несправедливость судьбы по отношению к великому ученому, которым было сделано очень много. Несмотря на огромную занятость по составлению истории герцогского дома, превратившейся в историю Западной Европы, и другие отвлекающие от науки обязанности, Лейбниц оставил множество работ по математике, философии, биологии, теории познания, политике, праву, языкознанию... Будучи всесторонне талантливым ученым, он внес неоценимый вклад в каждую из этих областей. Идеи у него сыпались как из рога изобилия: каждое письмо, любая заметка или статья содержали нечто принципиально новое в рассматриваемой области науки, подчас определяющее дальнейшее ее развитие. Многое было сделано при его непосред- ственном участии. В Берлине он организовал научное общество, преобразованное впоследствии в берлинскую АН, и стал первым его президентом. Он был первым иностранным членом Парижской АН. Лейбниц неоднократно встречался в Берлине с Петром I, для которого разработал ряд проектов развития образования и госу- дарственного правления России, а также создания Петербургской АН. Но наиболее весомым оказался его вклад в математику. Вступив в нее «самонадеянным учеником», он смог полностью ее преобразовать. После его работ и трудов его ближайших сподвижников не только появился математический анализ, но и вся математика вступила в новую эпоху. 72
Создание дифференциального и интегрального исчислений явилось для математики подлинной революцией. Новые методы приковали к себе внимание всего ученого мира. Удивляла широта их применимости к задачам совершенно различных типов. В процессе решения задач профессионалы и любители математики убеждались в силе появившихся методов и их верности: ведь находились и скептики. Было престижно поставить красивую корректную задачу, т. е. задачу интересного содержания, имею- щую решение. И каждый ученый считал делом чести решить ее. Это творческое соревнование способствовало возрастанию энтузиазма в математической среде и увеличению сторонников нового исчисления. В наступившем буме математического анализа строгости доказательств не уделялось должного внимания. Достаточно было подтверждения на практике верности полученных результатов. Лозунг математиков того времени хорошо выразил Даламбер: «Шагай вперед, уверенность придет потом». Но как только плацдарм оказался завоеванным, математики направили свои усилия на обоснование фундаментальных понятий анализа. В этой главе мы проследим, как в результате решения различных задач укреплялись позиции математического анализа, как был подведен фундамент под его начала. 1. Обратные задачи на касательные Как только задачи на проведение касательных к кривым свелись к вычислению производных, они потеряли свою привлека- тельность для ученых. Их решение теперь состояло в приме- нении известных правил и не требовало творчества. Внимание 73
математиков переключается на более сложные обратные задачи на касательные. Так назывались задачи, в которых требуется найти кривые по заданным свойствам касательных к ним. Для решения такой задачи сначала по ее условию составляют уравнение, выражающее зависимость между искомой функцией, ее аргу- ментом и производной; оно называется дифференциальным. Затем, решая его, находят уравнение искомой кривой. Таким образом, общая постановка задач, приведших к появле- нию дифференциальных уравнений, возникла не из запросов практики, а в недрах самой математики. Но поскольку большин- ство практических задач приводит к дифференциальным уравнени- ям, то они тут же нашли свое применение в физике, технике, химии, биологии и других областях науки. Хотя зарождение новой области математики — теории диффе- ренциальных уравнений — относится к середине XVII в., отдельные их виды, по существу, встречались и раньше. Например, у Непера — при создании логарифмических таблиц (в этом у нас еще будет возможность убедиться), у Галилея — при изуче- нии свободного падения тел, у Декарта — при определении форм поверхностей линз. Но выступали они там в столь своеоб- разной форме, что не могли обратить на себя внимания совре- менников. Первые обратные задачи на касательные сформулировал в 1638 г. французский математик Флоримон де Бон (1601 —1652) и предложил их Декарту. Тот не смог дать решения. Чтобы понять причину этого, разберем одну из з а д а ч де Бона. Она заключалась в отыскании кривой, подкасательная которой есть величина постоянная. Приведем решение этой задачи. Пусть у(х) —искомая кривая, М(х, у) —ее произвольная точка,А —точка пересечения касательной, проведенной к кривой в точке М, с осью Ох (рис. 47). Если В — проекция точки М на ось Oxt то по условию задачи АВ = а. Из геометрического смысла производной следует, что у/=-^-, или Это и есть диф- ференциальное уравнение искомой кривой. Чтобы решить это уравнение, перепишем его в эквивалентной форме, воспользовавшись дифференциалами (напомним, что y'dx=dy): dy__ dx У ~ а При такой записи уравнения переменные х и у разделены: выражение, зависящее от л, находится в одной части равенства, а от у — в другой. Перейдя в обоих частях уравнения к перво- образным, получаем его решение: 1п|у|=-^+1п|С|, 71
откуда находим уравнение искомой кривой у=С'е“. Оно со- держит произвольную постоянную С. Решение такого вида называют общим. Давая постоянной С различные значения, получим бесконечное множество кривых, удовлетворяющих усло- вию задачи. Если потребовать, чтобы искомая кривая проходила через некоторую фиксированную точку (как говорят, задать начальные условия), то число С будет вполне определено и решением задачи будет единственная кривая. Например, выделим среди множества решений кривую, проходящую через точку (0; 2); для этого подставим ее координаты в общее решение: 2=С-е°, откуда С = 2. В результате получим кривую у=2еа. Это уже частное решение нашего уравнения. Математики того времени так решать задачу не могли. Это связано не с трудностями составления и решения дифференциаль- ного уравнения: ведь приведенный нами метод достаточно прост. Дело в том, что логарифмическая и показательная функции в привычном нам виде не были тогда известны. При необходимости говорили о соответствии между арифметической и геометрической прогрессиями. Вот как, например, рассуждал Лейбниц, решивший эту задачу почти через пол века после постановки ее де Боном. Пусть х пробегает арифметическую прогрессию, тогда прира- щение dx=c есть величина постоянная. (Для лучшего понимания рассуждения Лейбница удобнее вместо бесконечно малого приращения dx рассматривать конечное приращение Дх = с, где с — разность прогрессии.) Так как условие задачи приводит к уравнению у = или dy=-^dxt то dy=—y, т. е. переменная у пробегает при этом геометрическую прогрессию. (На самом деле, если Ду=^, то у+Ду=у4—+-£)• В результате приходим к геометрической прогрессии со знаменателем 1-|--^-.)
Из сравнения двух прогрессий следует, что х есть логарифм числа у. Подробнее о таком подходе к логарифму речь пойдет в следую- щей главе. Для пропаганды новой области математики Лейбниц в 1687 г. предложил европейским математикам задачу об изохроне (от греч. «изос» — равный, «хронос» — время): в верти- кальной плоскости найти кривую, перемещаясь по которой под действием силы тяжести материальная точка опускалась бы за равные промежутки времени на равные высоты. Сначала вид искомой кривой, исходя из геометрических соображений, нашел Гюйгенс, позже (1690) эту задачу методами нового исчисления независимо друг от друга решили Якоб и Иоганн Бернулли. Здесь следует сказать несколько слов об этих наиболее ярких соратниках Лейбница по созданию математического анализа. Братья Бернулли — уроженцы швейцарского города Базеля — являются выдающимися представителями уникального семейства Бернулли. Достаточно сказать, что более 120 его членов добились замечательных успехов в различных областях знаний: в математи- ке, механике, физике, физиологии, медицине, правоведении, богословии, литературе, искусстве и т. д. Более века кафедра математики Базельского университета возглавлялась одним из членов этой семьи, и на протяжении двух веков кто-нибудь из Бернулли был профессором этого университета. Более того, из восьми мест, предназначенных Парижской АН для иностранных ученых, два в течение ста лет были отданы представителям этой фамилии. Так как мужчины семьи Бернулли носили ограниченный круг имен: Якоб, Иоганн, Даниил, Николай, то их стали называть как коронованных особ: Иоганн I, Иоганн II и т. д., тем самым подчеркивая исключительность этого семейства. Старший из братьев Якоб Бернулли (1654— 1705) и млад- ший Иоганн Бернулли (1667—1748) окончили Базельский университет: первый — богословский факультет, второй — меди- цинский. Познакомившись с результатами Лейбница и изучив его труды, они начали активно работать в новой области математики. Сначала сотрудничая, а затем соперничая друг с другом, они разрабатывали алгоритмы решения различных типов дифференци- альных уравнений, находили новые приложения математического анализа. Их обширная переписка с другими учеными способствова- ла распространению идей дифференциального и интегрального исчислений, зарождению вариационного исчисления и теории вероятностей. Поскольку многие вопросы, которыми занимались братья, что называется, «витали в воздухе», то интересы их часто пересекались. Это имело и негативную сторону. Иоганн, обу- чившийся математике у старшего брата, стал в дальнейшем оспаривать у него авторство некоторых открытий и первенство в решении задач. Надо сказать, что соперничество братьев при всей своей негативности сыграло для математики положительную роль. Оно привело к интенсивному освоению математического анализа и внедрению его методов в различные точные пауки и практику. 7(1
Вернемся к задаче об изохроне и рассмотрим ее современное решение. Будем считать, что искомая кривая у(х) расположена относительно системы координат так, как показано на рисун- ке 48. В произвольной ее точке М(х, у) численное значение ско- рости v материальной точки равно y]2gy. По условию задачи вертикальная составляющая этой скорости постоянна, обозна- чим ее через а. Так как скорость направлена по касательной, то a=usin<p, где <р— угол, образованный касательной, прове- денной в точке М к кривой, с осью абсцисс. Используя тождество sin ф=—Дв-*? „ получим а=—У'И так как tff<p=y', Vi + igq> Vi 4-ig4> Y приходим к дифференциальному уравнению •^тгот=о- Возведем обе его части в квадрат и приведем подобные члены. Уравнение примет вид (2gy — a2) 2*t/ = a. Решается оно тем же способом, что и уравнение предыдущего примера: перейдем к дифференциалам (2gy —а2)2 dy = adx, а за- тем к первообразным (2gy—a2) a = 3g(ax-f-C). Это уравнение семейства полукубических парабол, получаемых сдвигом знакомой нам параболы Нейля//Э = лг Как и в предыду- щей задаче, число С определяется начальными условиями, например координатами точки, из которой начинается движение. 2, Цепная линия Интересно, какую форму примет массивная цепь, подвешенная за концы. Этот вопрос уже давно интересовал ученых. Сначала они считали, что цепь провисает по параболе. Первым в этом усомнился Галилей. Он пришел к выводу, что линия провиса, хотя и близ- ка к параболе, на самом деле не совпадает с ней. К концу XVII в. уравнение этой линии еще не было известно, и в 1690 г. Я. Бернулли поставил перед учеными задачу найти его. Задача была опубликована в журнале <Acta Erudiiorum» в той же статье, где н решение задачи об изохроне. Гей гене назвал искомую кривую цепной, линией. Сторонник классической математики в духе древнегреческой, он снова 77
прислал геометрическое решение. Г. Лейбниц и И. Бернулли нашли решение, использовавшее идеи анализа. Тот же самый результат, но более простое решение задачи методом дифференциального исчисления — это были первые триумфальные шаги математиче- ского анализа. Гюйгенс в письме к Лопиталю признавался: «Я вижу с удивлением и восхищением обширность и плодовитость нового метода; куда бы я ни обратил взор, я замечаю для него новые приложения, я предвижу его бесконечное развитие и прогресс». Приведем решение этой задачи. Расположим точки подвеса цепи в плоскости хОу. Выделим достаточно малый участок цепи с концами М(х; у) и М|(х-|-Ал; у+&у) (рис. 49). На него действует сила веса P = mg—gp^l (здесь р — линейная плотность цепи, А/— длина дуги JMMi) и силы натяжения Т и Т\ цепи, направленные по касательным к цепи в точках М и М| соответственно. В силу малости участка цепи дугу ММ] можно принять за отрезок, тогда его длина А/ вычисляется по теореме Пифагора: Д/= д/ (Ax)*-!- (Ду)2. Из статики известно, что для системы, находящейся в равнове- сии, сумма проекций всех сил на любую ось, в частности на координатные оси, равна нулю, т. е. Тх— Tix=Q и T]y—Ty=pgM. Из первого равенства следует, что Тх = const, из второго — что Д7\,=р#Д/. Так как у' = ^?-, то А (у') = Д0Л)=-^-=-^-А/. т 1 Обозначим -^=а. Поделив обе части равенства А(ух)=—А/ на Ах, получим^-=4д/1 + (^)2 78
Устремим теперь Дх к нулю. Поскольку отношение ~ при этом перейдет в производную от у, а отношение -в производ- ную от f/, т. е. во вторую производную от у, получим следующее дифференциальное уравнение: y"=-yli + (yV Это уравнение в отличие от уравнений предыдущего пункта содержит не только первую производную искомой функции, но и вторую, поэтому называется уравнением 2-го порядка. Подста- новкой y' = z оно сводится к уравнению 1-го порядка: z' = —д/Т+Р, или dz .=— Его общее решение имеет вид 1п(д/Т+?+г)=-±+Сь в чем легко убедиться дифференцированием. Чтобы вернуться к старой переменной у, выразим отсюда z. Для этого сначала, используя тождество 1п( д^”1 +z£ +z) = — In(yf 1 +za —z), пере- пишем полученное решение в эквивалентном виде ln(VT+?-z) = —^-С,. Имеем д/ 1 Ч-Z2 +z = eC|+o, д/T+z5—z = e 1 °, откуда г=±(е^-е^. Вернемся к прежней переменной Окончательно получим г/=у(еС,+“+₽’‘:,“')+с2 Функция у(е‘4-е“*) называется гиперболическим косинусом и обозначается chx. Рассматривают также гиперболический синус shx = ^(er — е-')- Название этих функций объясняется тем, что
они связаны с гиперболой х2 — у2 — 1 подобно тому, как обычные (круговые) косинус и синус — с окружностью х2-|-1/2=1. Для гиперболических функций справедливо тождество ch2*—sh2x= 1 (с другими их свойствами мы познакомимся позже). На рисунке 50 приведены графики этих функций. Таким образом, цепная линия задается уравнением t/=ach (С| + —) + С2. Чтобы выделить из данного семейства одну кривую, нужно определить конкретные значения постоянных Ci нСг- Это можно сделать, если в задаче заданы граничные условия — координаты точек подвеса цепи. Естественно, ни Гюйгенс, ни Лейбниц, ни И. Бернулли не могли привести решение в таком виде. Но геометрическое построение кривой соответствует указанной функции. Интересно, что все-таки имеется цепь, принимающая форму параболы. Как показал (1646) Гюйгенс, у такой цепи нагрузка по горизонтали должна быть распределена равномерно. Такую нагрузку имеет, например, цепь, поддерживающая висячий мост с помощью вертикальных тросов. 3. Трактриса Расположим в горизонтальной плоскости натянутую гибкую нерастяжимую нить, к одному концу которой прикреплен груз. Другой ее конец будем перемещать вдоль прямой, лежащей в данной плоскости и не совпадающей с направлением нити. Спрашивается: по какой кривой будет двигаться груз? Эту задачу в 1693 г. поставил французский архитектор и врач Клод Перро — брат знаменитого сказочника Шарля Перро. Читатели, несомнен- но, узнали задачу о трактрисе, пли о так называемой «собачьей кривой», которая нам уже встречалась в связи с интерпретацией ьо
плоскости Лобачевского на псевдосфере (Геометрии, гл. 11, п. 4). Там мы не стали выводить уравнения трактрисы: ведь для этого пришлось бы решать соответствующее дифференциальное уравне- ние. Теперь мы можем это сделать. Но прежде сформулируем задачу на математическом языке. В качестве прямой, по которой перемещается свободный конец нити, возьмем ось абсцисс. Так как груз движется в направлении натянутой нити, которое совпадает с направлением касательной к траектории движения, то речь идет о решении следующей задачи: найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, имеет постоянную длину. Составим сначала дифференциальное уравнение, описывающее трактрису. Для этого проведем в произвольной точке М(л, у) кривой у(х) касательную, А — точка ее пересечения с осью Ох (рис. 51). По условию задачи МА = а — постоянная вели- чина. Если В — проекция точки М на ось Ох, то МВ = у и В А = д/о2—у2. Учитывая, что tgq)=f/', получим Если взять точку М на части кривой, лежащей во второй четверти, то у правой части этого равенства поменяется знак. Итак, дифференциальное уравнение трактрисы имеет вид Преобразуем его, перейдя к дифференциалам и разделив переменные, к виду а ~у dy—^dx. Читатели могут проверить, что функция V2 2 IV — (/I "Ьа а* — tf — а 1 п -- у W д*_ у* является первообразной для —------—. Таким образом, общее Рис. 5/
решение уравнения имеет вид -г- I Г~Ч.----5 I V°i—Уг+а Т лс + С= у а — у — а • In—-—. Если в начальный момент времени груз находился в точке D (0; а), то ее координаты удовлетворяют найденному равенству. Подставив их, получаем 0 + С=0, откуда С=0. В результате приходим к уравнению трактрисы . yJdt~y2+ а /—и--к х= Та-In —---Т л/а — У • у V » Множилось количество задач, приводящих к дифференциаль- ным уравнениям. В математической среде начались поиски общих методов их решения. Ньютон в соответствии со своим методом вычисления интегралов использовал для решения дифференциаль- ных уравнений ряды. Такой метод, конечно, универсален — годится практически для любого дифференциального уравнения. Но у него есть свои недостатки. С одной стороны, он чрезвычайно громоздкий, с другой стороны, мы привыкли к классическому заданию функций при помощи формул (как говорят, в конечном виде), поэтому узнать в полученном результате знакомую нам функцию, запи- санную в виде ряда, далеко не всегда легко. Лейбниц, напротив, стремился найти алгоритм решения различных типов дифференциальных уравнений именно в конечном виде. Работая в этом направлении, он получил ряд замечательных результатов, которые были по достоинству оценены современника- ми. Последователи и продолжатели его идей братья Бернулли, Эйлер и другие математики существенно расширили множество типов дифференциальных уравнений, для которых были найдены методы решения. Хотя это наиболее часто встречающиеся уравне- ния, они и на сегодня составляют каплю в море дифференциальных уравнений. Просто невозможно дать алгоритм решения всех дифференциальных уравнений, отличный от ньютоновского. 4. Кривая наибыстрейшего спуска Какой профиль должна иметь ледяная горка, чтобы спуститься по ней из одной точки в другую можно было за наименьшее время? Поскольку кратчайшим путем, соединяющим точки А и В, является отрезок, то кажется, что искомой линией должна быть прямая, проходящая через эти точки (рис. 52). Однако время спуска зависит не только от пройденного пути, но и от скорости. Скорость движения тела по наклонной плоскости при отсутствии трепня (которым мы в данном случае пренебрегаем) вычисляется по формуле 82 u = g/sina,
где g— ускорение свободного падения; а — угол наклона отрезка АВ к горизон- тали. Если профиль ледяной горки имеет вид кривой, у которой в начальный мо- мент угол наклона больше а, то тело приобретает большую скорость. Правда, при этом получается проигрыш в пути: он удлиняется. Остается так подобрать профиль горки, чтобы увеличение ско- рости оказало большее влияние на время Рис. 52 спуска, чем удлинение пути. Этим вопросом заинтересовался И. Бернулли. В 1696 г. он поставил задачу о брахистохроне (от греч. «брахис»— короткий, «хронос» — время): «Определить кривую линию, соеди- няющую две данные точки, расположенные на различных расстояниях от горизонта, не лежащие на одной и той же вертикальной линии, и обладающую тем свойством, что тело, движущееся по ней под влиянием собственной тяжести и начинаю- щее свое движение из верхней точки, достигает нижней точки в кратчайшее время». Задача была опубликована в журнале «Ас 1а Erudilorum». Как меняются времена! Еще каких-то одно-два столетия тому назад для демонстрации своего превосходства необходимо было устраивать научные диспуты, математические турниры. Теперь же для этого стали совершенно не обязательны публичные соревнова- ния. Прогресс упростил процедуру выявления сильнейшего. Можно для этой цели использовать, например, научный журнал. Конечно, научные журналы в основном создавались для других целей. Ведь раньше у ученого фактически была лишь одна возможность обнародования полученного результата — издание книги. Но сколь ни будь мала эта книга, она должна содержать не один результат, а достаточное их число. Из-за одной теоремы или 83
решенной задачи книг не пишут. А чтобы набрать некоторое их число, нужно время. И к моменту издания книги первоначальные результаты либо устареют, либо их переоткроют другие ученые. Да и средства на издание книги нужны большие. Поэтому всегда была актуальной оперативная научная связь. Мы знаем, что француз- ские ученые Мерсенн и Каркави добровольно выполняли благо- родную посредническую миссию по сбору и передаче научной информации. Для общения ученых и обсуждения новых результа- тов создавались научные кружки, организовывались академии. Но все они связывали лишь ограниченный круг людей. Научные же журналы рассчитаны на большую аудиторию. В них можно достаточно быстро опубликовать свой новый результат и узнать, что сделано за последнее время другими учеными. Поэтому в связи с возросшей в Европе интенсивностью развития науки возникла необходимость в периодическом издании научных журналов. Первый из них «Journal de Scavans» («Журнал ученых») стал издаваться в 1665 г. в Париже. А в 1682 г. Лейбниц основал в Лейпциге «Acta Eruditorum» («Деяния ученых»). Этот журнал просуществовал до 1731 г. Но вернемся к задаче о брахистохроне. И. Бернулли отвел на ее решение полгода. В этот срок уложился лишь один Лейбниц. Свое решение он сообщил И. Бернулли в письме, где также просил его продлить срок присылки решений и повторить публикацию задачи, чтобы большее число ученых смогло с ней познакомиться. Бернулли выполнил пожелания Лейбница. Более того, он послал условие задачи лично Ньютону, расценив его молчание как затруднение при ее решении. Как вспоминала племянница Ньютона, получив письмо вечером после напряженного рабочего дня на монетном дворе, он не лег спать, пока не справился с задачей (отлично понимая смысл этого вызова как демонстра- цию И. Бернулли своего превосходства в вопросах нового исчисления). Свое решение Ньютон опубликовал в одном из журналов анонимно. Когда И. Бернулли познакомился с этой публикацией, он сразу же, «как по когтям узнают льва», понял, что ее автором является И. Ньютон. Через несколько месяцев появились решения Я. Бернулли, Г. Лопиталя и самого И. Бер- нулли. Чтобы понять необычность и сложность задачи, разберем ее подробнее. Расположим на плоскости систему координат так, как это показано на рисунке 53. Будем считать, что материальная точка движется из начала координат в точку А (хо; уо) по кривой у (х) Время спуска обозначим через Т Зависимость пути, пройденного материальной точкой, от времени выражается функцией s(Z), 0</СТ. Пусть в момент времени/ материальная точка занимает на кривой положениеМ(х; у) Скорость ее в этот момент, как мы знаем, равна у]2gy. Через промежуток времени А/ материаль- ная точка окажется в положении у + &у) на кривой. 84
Длина дуги Д/, пройденной за проме- жуток времени Д/, выражается прибли- женным равенством Д/«д/ (Дх)2+ (Ду)2. Если Дх достаточно мало, то Ду~ «у'(х)Дх, откуда д/^/НнТГдх. С другой стороны, при малом Д/ ско- рость практически не изменится, поэтому Д/»пД/. Приравнивая оба выражения для Д/, найдем Д/. и V Чтобы получить время Г, затраченное на весь путь, нужно просуммировать все Д/ и перейти к пределу этой суммы при Д/~>0. При этом, очевидно, Дх также устремятся к нулю. В результате получим <» о Остается найти такую функцию у(х) , для которой интеграл (1) принимает наименьшее значение. Теперь становится ясной специфика задачи. В прежних задачах на экстремум искали точку на числовой оси, в которой данная функция принимает экстремаль- ное значение. Здесь же надо найти не точку, а функцию, и речь идет не об экстремуме функции, а об экстремуме интеграла, зависящего от вида функции у (х) Функциональную зависимость, в которой в роли аргумента выступает функция, а в роли значения — число, называют функционалом. Итак, для решения задачи о брахистохроне требовалось найти минимум функционала Т(у) 5. Знакомая кривая Поскольку общего метода решения задач на экстремум функционала не было, то каждый ученый, решивший задачу о брахистохроне, шел своим путем. Начальный этап решения у Якоба и Иоганна Бернулли оказался одинаковым: оба обратились к оптико-механической модели. Для этого они делили пространство от начала координат
Рис. 54 до точки А на конечное число достаточно тонких горизонтальных слоев, при этом скорость материальной точки в каждом слое предполагали постоянной по величине и направлению и равной реальной скорости на выходе из данного слоя, т. е. если нижняя граница слоя имеет ординату у, то величину скорости в этом слое они считали равной y/2gy При таком предположении искомая кривая, являющаяся траекторией движения, заменялась ломаной (рис. 54). Для решения поставленной задачи надо было найти форму ломаной, при движении по которой требуется наименьшее время. С этой целью Бернулли использовали принцип Ферма (гл. II, п. 2), из которого вытекает, что если пространство разбито на оптически однородные слои, то луч света распространяется в такой среде по искомой ломаной. Следствием принципа Ферма является закон преломления света sina v sinP и где а — угол падения; 0 — угол преломления; v и и — скорости света соответственно в слоях I и II (см. рис. 54). На этом этапе пути братьев Бернулли разошлись. Якоб пошел геометрическим путем. Он переписал предыдущее sina sinfl павеыстнл в нилр----=----— откупа v и (2) Для слоя, ордината нижней границы которого равна у, он получил Оставалось устремить к нулю толщину каждого слоя. При этом ломаная переходит в брахистохрону, а угол а — в угол между касательной к брахистохроне и вертикалью. Таким образом, отношение синуса этого угла к квадратному корню из ординаты точки касания есть величина постоянная. А это свойство является характеристическим для циклоиды (гл. II, п. 3 (2)). Следователь- но, искомой кривой является циклоида. Иоганн Бернулли записал равенство, эквивалентное равенству (2), используя символику дифференциального исчисления. В ре- зультате чего получил дифференциальное уравнение, задающее
брахистохрону. Затем он вывел дифференциальное уравнение, определяющее циклоиду. Они совпали. На этом можно было остановиться, но Иоганн, решая дифференциальное уравнение, показал, что никакой другой кривой, кроме циклоиды, не получится. Ниже будут приведены еще задачи на отыскание экстре- мумов функционалов, которые были поставлены на рубеже XVII — XVIII вв. Решение этих задач вызвало к жизни новый важный раздел математики — вариационное исчисление. В нас- тоящее время оно плодотворно используется во многих облас- тях математики, физики, техники, экономики. Для решения вариационных задач нужно знать необходимое условие экстремума функционала. Такое условие нашел Эйлер. Он заменил искомую кривую вписанной в нее ломаной линией. В результате функционал заменился функцией нескольких переменных — координат вершин ломаной. Это позволило свести задачу к отысканию экстремума функции нескольких переменных. Такой подход получил в дальнейшем название прямого метода. Используя его, Эйлер вывел необходимое условие экстремума, ь которое для функционала типа F(y) = J f(y, y')dx имеет вид f-уЧ'^с.0 Здесь ['у. означает производную функции f по переменной у', С — произвольная постоянная. Это условие сейчас называют уравнением Эйлера. Позже Лагранж предложил другой метод решения подобных задач. Он ввел понятие вариации функционала (от лат. variatio — изменение), являющееся обобщением понятия производной функ- ции. Приравнивая вариацию функционала к нулю, Лагранж тоже пришел к уравнению Эйлера. В дальнейшем метод вариации был глубоко развит. В силу своей меньшей громоздкости он вытеснил «прямой» метод Эйлера. Но в настоящее время, благодаря использованию ЭВМ, «прямой» метод Эйлера возродился: для машин он оказался предпочтительнее. Вернемся к задаче о брахистохроне. Функционал, который нужно исследовать, имеет вид с Запишем для него уравнение Эйлера. Здесь /(у, у') = Вычислим сначала f'y. (считая у' переменной, а у постоянной величиной): д / I + (У)‘2 V 2gy 87
Теперь легко записать уравнение Эйлера: У» + (/)'_____(/)2 V2gy т/2₽У ’ yft+WP ИЛИ Возведя обе его части в квадрат и обозначив -=-7^ — 2а, полу- Zg с чим 2о—у У (3) Именно это дифференциальное уравнение и нашел в свое время И. Бернулли. Для упрощения последующих вычислений удобно сделать подстановку i/ = a(l — cos/). При этом dy=as\ntdt и V2a—</ __ У ~ VI +cosf sin/ I—cos/ I—cos/ Поскольку У, = ^ уравнение (3) принимает вид dx = = a(l—cos/)dt. Его решением является функция r=a(/ — — sin/)+Cj. Из начальных условий (при / = 0 х = 0) находим С| = 0. Следовательно, решение задается параметрическими урав- нениями x=a{t — sin /), f/ = a(l —cos/), по которым мы узнаем циклоиду (Геометрия, гл. I, п. 14). Таким образом, если экстремальная кривая существует, то это циклоида. Для окончательного решения задачи о брахистохроне нужно еще убедиться, что время спуска по циклоиде минимальное. С этой целью применяют достаточные условия экстремума функционала. Так как они громоздкие, мы их здесь приводить не будем; отметим только, что для циклоиды достаточные условия минимальности функционала выполняются. 6. Развертки Оказывается, циклоида обладает еще и таутохронным свой- ством (от греч. «таутос» — равный) — время спуска материальной точки под действием силы тяжести из любой точки кривой в фиксированную точку постоянно. Например, оно одинаково, как при спуске из точки О в точкуД (х0, уо), так и из точки М в точку А (см. рис. 53). Покажем это.
Только мы подойдем к задаче с другой стороны. Возьмем кривую у(х) Потребуем, чтобы она обладала таутохронным свойством и убедимся, что это циклоида. Пусть с — абсцисса начального положения материальной точки. Тогда время ее спуска, как мы знаем (п. 4), определяется формулой С’ По условию задачи это время постоянно, поэтому вариация этого функционала равна нулю (как и производная постоянной функции равна нулю). Следовательно, подынтегральная функция должна удовлетворять уравнению Эйлера (3). А его решением, как мы только что убедились (п. 5), является циклоида. Таутохронное свойство циклоиды из геометрических соображе- ний было открыто Гюйгенсом. Это свойство он использовал при конструировании совершенных маятниковых часов. У читателей может возникнуть законный вопрос: чем же плох всем известный круговой маятник, т. е. маятник, подвешенный в фиксированной точке и совершающий колебания по дуге окружности? Дело в том, что период колебания такого маятника зависит от угла отклонения. Правда, для малых углов, как показал Галилей, период не зависит от величины угла, но при больших углах, увы, это не так. Если же маятник двигается по дуге циклоиды, то он избавлен от этого недостатка: время спуска его из любой точки в положение равновесия постоянно, следовательно, период колебания не зависит от амплитуды. Но как это осуществить? И тут Гюйгенсу пришла в голову замечательная идея: заставить перемещаться точку подвеса маятника. Для этого достаточно иметь такое жесткое тело, которое ограничивает движение маятника (рис. 55). При колебаниях маятника нить подвеса касается ограничивающего тела и как бы «наматывается» на него, а потом «сматывается». Таким образом, маятник в каждый момент времени вращается вокруг точки касания, а она постоянно перемещается по ограничивающему телу. Осталось так подобрать профиль ограничивающего тела, чтобы маятник перемещался по циклоиде. Оказалось, что он должен иметь форму той же самой циклоиды. Это открытие позволило Гюйгенсу сконструировать циклоидальный маятник. Правда, конструкция не получила практического применения (ввиду своей сложности). Остались часы с круговым маятником, простейшим вариантом которых являются хорошо всем знакомые «ходики». И в их устройство Гюйгенс внес существенные усовершенствова- ния, недаром его считают изобретателем современных механиче- ских часов. Мы не будем останавливаться на изобретениях Гюйгенса в этой области, а вернемся к математике. В связи с созданием циклоидального маятника Гюйгенс пришел к понятию развертки. Дадим ее механическое определение. Пусть 89
на некоторую кривую у натянута гибкая нерастяжимая нить. Возьмем нить за свободный конец и будем сматывать ее с кри- вой у, оставляя все время натянутой (рис. 56). Линия Г, кото- рую опишет при этом конец нити, называется разверткой кри- вой у или ее эвольвентой (от лат. evolventis— разворачи- вающий). Выведем некоторые свойства эвольвент исходя из приведенного определения. Будем считать, что нить начинают сматывать в точке А. Проведем в произвольной точке М кривой у касательную, она пересекает эвольвенту Г в точке С. Очевидно, длина отрезка МС равна длине дуги МА. Точка М может быть принята за мгно- венный центр вращения отрезка МС (при разматывании этот центр перемещается по у). Таким образом, эвольвента пересека- ет касательные к исходной кривой под прямым углом. Отсюда сле- дует и обратное утверждение: нормаль к эвольвенте совпадает с касательной к исходной кривой. Более того, М является центром кривизны линии Г в точке С. Мы не будем останавливаться на определении центра кривизны, скажем только, что для его построения достаточно на нормали к кривой Г в точке С отложить (в сторону вогнутости Г) отрезок СМ, равный радиусу кривизны линии Г в точке С (Геометрия, гл II, п. 7). Итак, чтобы построить кривую у по ее эвольвенте, достаточно найти геометрическое место центров кривизны эвольвенты Г Исходную кривую у называют эволютой (от лат. evolutus — развернутый) по отношению к ее развертке Г. Итак, любая кривая у есть эволюта собственной развертки Г и, наоборот, произвольная кривая Г — одна из разверток своей эволюты у. Гюйгенс, подыскивая профиль ограничивающего тела для своих часов, показал, что эволютой циклоиды вновь является циклоида. Следовательно, и разверткой циклоиды является циклоида. А как обстоит дело с другими кривыми? Найдем уравнение развёртки единичной окружности. Будем считать нить сходящей с окружности в точке Л (1; 0) (рис. 57). Пусть М(х; у) —произвольная точка окружности и С(Х; К) — соответствующая точка развертки. Это значит, что МС касается <И)
окружности и длина отрезка МС равна длине дуги AM. Обо- значим /-AOM = t. Тогда jc=cosZ, i/=sin t, MC=t. Угол между вектором МС и положительным направлением оси абсцисс <p = Z —90° Теперь нетрудно выразить координаты X и X точки С: X=x + MCcos(p=cosf-H sin t, Y = y-^-MC sin <p = sin t — i cos t. В результате мы пришли к параметрическим уравнениям развертки окружности: X = cos t-f-t sin Z, F = sin t— t cos Z. На рисунке 57 изображена развертка, отвечающая положитель- ным значениям параметра Z. При отрицательных Z получим кривую, раскручивающуюся в противоположном направлении (рис. 58). Заметим, что длина отрезка произвольной касательной к окружно- сти, заключенного между двумя витками развертки, имеет постоянную длину, равную длине окружности. Развертки окружности часто используются в технике. Выясним, например, какую форму должны иметь профили лопастей турбины, чтобы поток воды вращал ее с наибольшей скоростью. Очевидно, для этого нужна перпендикулярность направления потока воды лопастям турбины. Именно таким свойством и обладает развертка окружности. Эту же форму имеют и профили зубчатых колес шестерен и другие механизмы. Уже эти примеры объясняют важность изучения эвольвент. В примере с окружностью не представляло труда найти длину отрезка МС: ведь это длина дуги окружности. Использовали мы и перпендикулярность касательной к радиусу окружности. Другие кривые такими простыми свойствами не обладают, и для получения уравнений их эвольвент приходится уже обращаться к методам анализа. Выведем для примера уравнение развертки цепной линии. 91
Цепная линия задается уравнением у=^(е° + е °), или y=ach~. Пусть А (0; а) — начальная точка «схода» нити, М (х; у) — произвольная точка цепной линии (рис. 59), С (X; У) — соответствующая точка на развертке. Найдем сначала длину дуги AM. В курсе математического анализа доказывается, что длина дуги кривой у(х) на участке [ 0; х] вычисляется по формуле о I — X Для нашей функции производная у =—(еа — е ’)=sh4 Поэтому V' + (!/')2 =у(е7+е“) =ch|. Остается вычислить интеграл от этой функции на отрезке [ 0; х] Итак, длина дуги AM, а следовательно, и отрезка СМ равна ashy Теперь мы можем выразить координаты точки С. Обозначим через ф угол между касательной СМ и положитель- ным направлением оси абсцисс. Легко видеть, что = у—/sirup=achy—ashy • эшф 92
у’ V1 + (у7) 1 получим Так как sin<p=—a tgcp=i/', то sirup= Учитывая, что i/ = sh— и у/ 1 + (//)2 =ch—, / sh— \ Y=a( ch—sh---------- )=— \ ° ° I* / \ ch— / ch— \ a / a Аналогично Х=х—I cos ф=Л—/• 1 а Vi + (</)s==x_cTa' как Исключим из этих равенств х. Из первого имеем ch-^- = y, так ,2X . . х Vа2—У2 _ ch ——1, то sh—=——р------. Подставив выражения для ch^ и sh-^- во второе равенство, получим X = x—a2— Y2. Осталось выразитьх через У Предлагаем читателям произве- сти выкладки самостоятельно исходя из равенства В результате получится х=а1п----. Таким образом, урав- нение развертки цепной линии найдено: Х=о|п±±2рт _ В нем мы узнаем трактрису (нами рассматривался лишь случай положительного х). А теперь посмотрим, что представляет собой эволюта цепной линии, т. е. линия ее центров кривизны. Для этого проведем в произвольной точке М (х; у) цепной линии касательную и нормаль (рис. 60). Они пересекут ось абсцисс в точках Т и N соответственно. Пусть К — проекция точки М на ось Ох. Отрезок ТК —уже встречавшаяся нам подкасательная, a KN —поднор- маль. Обозначим их длины соответственно через 1Т и Из геометрического смысла производной имеем /г=|-у|. Для вы- У числения /д воспользуемся подобием треугольников ТКМ и MKN, получим —- = —У- Откуда /Л= Найдем длину MN отрезка У *Л нормали: MN = yjKM'+KN'1 = д/у5+(<//)’ —У V1+ (»')’ 93
Для цепной линии у = achy получаем MN = ach2y Найдем теперь радиус кривизны цепной линии в произвольной точке. Для этого воспользуемся формулой, доказываемой в курсе анализа: /? = U+ (/)*)* У" Для цепной линии /? = ch — а 1 , х —СП— а а = ach2-* а Таким образом, радиус кривизны цепной линии в точке М равен MN. Отсюда вытекает способ построения эволюты цепной линии: в каждой точке М цепной линии строится нормаль; она пересекает ось абсцисс в точке N\ по другую сторону от точки М откладываем на нормали отрезок MD=MN\ геометрическое место точек D, построенных таким образом, и есть искомая эволюта. У нее В — точка возврата, она является центром кривизны для вершины А цепной линии. Мы описали геометрическое построение эволюты цепной линии. Уравнение ее приведем без вывода: 2a 4a Мы стали свидетелями того, что математический анализ помогает решать геометрические задачи. И это вполне законо- мерно. Как только какая-либо область математики «встает на ноги», она тут же подключается к решению вопросов смежных наук. Так было еще в Древней Греции, когда более развитая геометрия помогала решать алгебраические уравнения; в результа- те возникла так называемая геометрическая алгебра. Много позже, с появлением переменных величин, возникла собственно алгебра. И она сразу же занялась решением геометрических задач. Когда возникли и окрепли дифференциальное и интегральное исчисления, они тоже пришли на помощь геометрии. Здесь не только про- ведение касательных и нормалей к плоским кривым, но и прове- дение касательных плоскостей и нормалей к поверхностям, изу- чение свойств кривых линий и кривых поверхностей в прост- ранстве и другие задачи. Задачи подобного типа привели к возникновению целого математического раздела — дифференциальной геометрии. Осно- вы ее заложили работы Эйлера, в которых он исследовал кривые поверхности, в частности, нашел формулы главных кривизн по- верхностей, дифференциальные уравнения геодезических линий, условия развертываемости поверхностей на плоскость. А с фун- даментального труда Монжа «Применение анализа к геомет- рии» (1809) началась собственно дифференциальная геометрия. 94
Монж углубил и расширил исследования Эйлера, создал геомет- рическую теорию дифференциальных уравнений. В дальнейшем, благодаря результатам Гаусса и Римана по внутренней геомет- рии поверхностей (многообразий), исследования математиков переключились на изучение произвольных многообразий метода- ми анализа. И сейчас дифференциальная геометрия многообра- зий — одна из интенсивно развивающихся математических облас- тей, пограничная между геометрией, топологией и анализом. 7. Задача Дидоны С задачи о брахистохроне началось создание и интенсивное развитие вариационного исчисления. Но уже в глубокой древности возникали ситуации, когда, говоря современным языком, требова- лось решать вариационные задачи. Одна из первых дошедших до нас задач подобного рода связана с легендой об основании города Карфагена. Как повествует в «Энеиде» римский поэт Вергилий, царица финикийского города Тира Дидона, спасаясь бегством от вероломного брата Пигмалиона, ушла в море в сопровождении преданных ей людей. Пристав к берегам Ливии, они, согласно легенде, «купили клочок земли, сколько можно одною шкурой быка охватить». Дидона приказала разрезать шкуру на очень тонкие ремни, сшить их и огородить площадку, примыкающую к берегу моря, так, чтобы ее площадь была наибольшей. На этом месте возник город Карфаген. Если считать, что берег моря представляет собой прямую линию, то, как мы увидим чуть позже, для решения задачи Дидоны ремни надо было выложить в виде полуокружно- сти. Задача Дидоны относится к типу изопери метрических. В общем виде изопериметрическая задача формулируется так: среди всех кривых данной длины найти такую, для которой некоторая величина, зависящая от кривой, достигает экстремума. Сформулировал (1697) эту задачу в достаточно общем ви- де Я. Бернулли. Изопериметрические задачи, в частности задачу Дидоны, можно решать методами вариационного исчисления. Но всегда заманчивее выглядит решение, выполненное элементарными средствами. Одно из таких решений было предложено швейцар- ским математиком Якобом Штейнером (1796—1863). Штейнер являет собой один из немногих примеров выдающихся ученых, математические способности которых развились в зрелом возрасте. Сын крестьянина, он, как и Ломоносов, начав учиться лишь в 19 лет, достиг замечательных успехов в науке. Штейнер с детских лет мечтал стать учителем. Но не имея возможности получить образование, он никогда бы нс сую г осуществить свою 95
мечту. На счастье в то время выдающийся швейцарский педагог Иоганн Генрих Песталоцци (1746—1827) организовал школу-интернат для подготовки учителей начальных классов. Один из его помощников заметил пытливого юношу, и Штейнер был принят в школу. А уже через полтора года он преподавал в этой школе. Дальнейший его взлет был стремительным. После окончания университета он преподавал геометрию в вышних учебных заведениях Берлина, был избран в Берлинскую АН. Являясь ярым приверженцем синтетической геометрии, Штей- нер избегал в ней применения алгебры и анализа; более того, доказательства он проводил настолько прозрачно, что обходился без чертежей. Несмотря на это, мы проиллюстрируем его рассуждения некоторыми рисунками. Итак, требуется среди всех замкнутых линий данной длины найти такую, которая ограничива- ет фигуру максимальной площади. Штейнер исходит из предполо- жения, что искомая кривая у существует: фигура Р, ограниченная ею, имеет максимальную площадь. Сначала он показывает, что фигура Р выпуклая, т. е. вместе с любыми двумя точками она содержит и соединяющий их отрезок. Предположим противное: существует отрезок АВ, концы которого принадлежат у, а внутренние точки не принадлежат Р (рис. 61). Отразим дугу АсВ относительно прямой АВ, получим дугу Ас'В. Рассмотрим фигуру, ограниченную дугой Ас'В и оставшейся частью кривой у (за вычетом дуги АсВ). Площадь этой фигуры уже больше площади фигуры Р, а длина границы не изменилась. Это противоречит максимальности площади фигуры Р. Далее Штейнер утверждает, что если точки А и В делят у на две части равной длины, то отрезок АВ делит Р на две равно- великие области (рис. 62). И это утверждение можно доказать методом от противного. Предположим, что области не равнове- лики. Ту из них, площадь которой больше, отразим симметрично относительно АВ. Полученная в результате отражения область (на рисунке 62 она заштрихована) в совокупности с той же об- ластью до отражения дает новую фигуру с площадью, большей площади фигуры Р, но с тем же периметром, что противоречит максимальности площади фигуры Р. Рас. 61 Рис. 62
Рис. 64 Для окончательного решения задачи достаточно найти форму незамкнутой кривой (длина которой в два раза меньше длины кривой -у), которая вместе с отрезком АВ, соединяющим ее концы, охватывает фигуру максимальной площади. Тем самым будет дан ответ и на задачу Дидоны. Покажем, что такой кривой является полуокружность с диамет- ром АВ. Для этого возьмем на дуге АВ произвольную точку М, обозначим через а угол АМВ. Зафиксируем сегменты АаМ и МЬВ (на рисунке 63 они заштрихованы). Фигура, ограничен- ная дугой АВ и отрезком, стягивающим ее концы, составлена из указанных сегментов и треугольника АМВ. Будем считать сег- менты жесткими, а соединения в точках А, М и В шарнирными. Начнем перемещать точку В вдоль прямой АВ. При этом длина кривой и площади сегментов не меняются в отличие от площади треугольника АМВ, которая зависит от угла а: 5-у -AM-МВ • sina Эта площадь максимальна приа=у Следовательно, кривая АаМЬВ — полуокружность, а у — окружность. Задача решена. Заметим, что при ее решении Штейнер исходил из предпо- ложения существования фигуры максимальной площади. На са- мом деле этот факт не является очевидным, но его можно до- казать (мы этого делать не будем). Из полученного результата Штейнер вывел несколько след- ствий. В частности, такое: площадь многоугольника, вписанного в окружность, больше площади любого другого многоугольника с теми же сторонами (по длине и по порядку). Для доказательства этого следствия впишем в окружность произвольный многоугольник (рис. 64). Как и в предыдущей задаче, будем считать сегменты, отсекаемые от круга сторонами многоугольника, жесткими, а их соединения — шарнирными. Произведем деформацию полученной конструкции таким образом, чтобы получился другой заданный многоугольник с теми же сторонами. При этом окружность перейдет в другую кривую той же длины. По доказанному выше новая кривая ограничивает фигуру 'I. Л. II. Шмбасоо 97
меньшей площади. Но площадь сегментов не изменилась, значит, уменьшилась площадь многоугольника. Следствие доказано. Решение задачи Дидоны позволяет сформулировать еще одно следствие. Обозначим через £ = 2лг длину окружности, тогда Ls площадь ограниченного ею круга равна лг2= — Если теперь вместо окружности взять произвольную замкнутую плоскую кривую длины L, то она будет охватывать фигуру, площадь S L1 которой удовлетворяет неравенству S^-^- Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда кривая является окружностью. 8. Мыльные пленки Наверняка все в детстве любили пускать мыльные пузыри и любоваться тем, как эти непрочные создания плывут в воздухе, переливаясь всеми цветами радуги. И мало кто из нас задумывался над тем, почему пузыри принимают форму шара. А ведь дело в том, что из всех поверхностей, охватывающих данный объем, наимень- шую площадь имеет сфера. Мыльная пленка за счет поверхностно- го натяжения стремится занять минимальную площадь. Используя это свойство мыльной пленки, бельгийский физик и математик Жозеф Плато (1801 —1883) предложил простой экспериментальный способ получения минимальных поверхностей, ограниченных произвольными замкнутыми кривыми. Нужно придать проволоке форму этой кривой и натянуть на нее мыльную пленку. Она и займет искомое положение. Задача отыскания минимальной поверхности при заданной ее границе получила название задачи Плато. Правда, такой метод нахождения минимальной поверхности может лишь подсказать нам ответ. Для решения задачи необходимо найти уравнение поверхности, другими словами, решить задачу теоретически, а не с помощью физического эксперимента. С этой целью обратимся к вариаци- онному исчислению. Рассмотрим наиболее простую и одну из самых первых задач такого рода — задачу о минимальной поверхности вращения. Пустьу(х) —произвольная кривая на плоскости хОу с концами в фиксированных точках А (а; с) и В (b; d) (рис. 65). Выясним, для какой кривой у(х) площадь поверхности вращения ее вокруг оси абсцисс является наименьшей. Впервые эта задача была решена И. Бернулли и Г Лейбницем. Кажется, что решением задачи является отрезок, соединяющий точки А и В, а соответствующая поверхность вращения коническая или цилиндрическая в зависимости от расположения точек А и В. На самом деле это не так, и, чтобы в этом убедиться, достаточно 98
пзять два проволочных каркаса в форме окружности и натянуть между ними мыльную пленку. Она образует кривую вогнутую поверхность. Эксперимент показывает ошибочность первоначаль- ного предположения, но не дает аналитического вида искомой кривой. Чтобы получить его, обратимся к формуле площади поверхности вращения (которая выводится в курсе анализа и которую мы приведем без доказательства): ь S (у) = 2л^ уд/Т+ (/)2dx. Итак, для решения поставленной задачи требуется найти экстремум функционала S(у) Так как подынтегральная функция имеет вид у л/1 + (у')2 то уравнение Эйлера в этом случае запишется следующим образом: У л/1 + (У')2 — У'У — с V у/ -г w Vl + (7P Это дифференциальное уравнение искомой кривой. Выразим из него производную у = с------. Перейдя к дифференциалам и разделив переменные, получим dy ___ dx Уравнение такого типа мы решали (см. п. 2) при определении линии провиса цепи (правда, там вместо ^у*—С2 стояло выра- жение 1 что существенно на результат не влияет). Поэтому сразу запишем общее решение: у = C-ch(C, +-£) Таким образом, мы получили семейство цепных линий. 4 99
Учитывая, что кривая должна проходить через точки А нВ, можно из совокупности всех кривых выделить единственную, удовлетворяющую этим требованиям. Остается еще проверить, выполняются ли для нее достаточные условия экстремума функционала S(y). Мы этого делать не будем, отметим только, что если точки подвеса цепной линии расположены не слишком далеко друг от друга, то на цепной линии функционал S(y) достигает своего наименьшего значения. Поверхность, образованная вращением цепной линии вокруг оси абсцисс, называется катеноидом (от итал. «катена» — цепочка). Свойство минимальности катеноида среди всех других поверхностей вращения вариационными методами было доказано (1774) Эйлером. Он же показал, что поверхность минимальной площади (за исключением плоского случая) в каждой точке А седлообразная: часть поверхности лежит над касательной плоско- стью в точке А , часть — под ней (рис. 66). Оказывается, не только сам катеноид, но и любая его часть обладает свойством минимальности, т. е. произвольный кусок катеноида имеет наименьшую площадь по сравнению с любой другой поверхностью, ограниченной тем же контуром. Это свойство открыл .(1776) ученик Монжа французский математик и инженер Жан Менье (1754—1793). Монж привил своему ученику не только любовь к науке, но и самоотверженность в служении Отечеству. Генерал Менье был одним из героев Французской революции и погиб при обороне Майнца. Менье привел другой пример минимальной поверхности, уже не являющейся поверхностью вращения,— это прямой геликоид (от греч. «гелис» — спираль, винт). Оп представляет собой по- верхность, образованную винтовым движением отрезка, перпенди- кулярного оси вращения: отрезок вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси и одновременно перемещается по ней с постоянной скоростью. Некоторое наглядное представление о геликоиде дает винт в мясорубке — это, собственно, архимедов винт, изобретенный им для поднятия воды. Винт вертолета при вертикальном взлете и посадке описывает геликоид. Недаром сначала вертолеты назывались «геликоптерами» — буквально «винтокрылыми». Цепная линия обладает еще одним экстремальным свойством: из всех кривых данной длины I цепная линия имеет наинизшее положение центра тяжести. На самом деле, как известно из механики, ордината ус центра тяжести плоской кривой с посто- янной плотностью распределения массы определяется по формуле ь ^=4$ yV1 + (y'fdx- а Наименьшее значение этот интеграл имеет, как мы только что убедились, в случае, когда кривая является цепной линией. 100
9. Бесконечно малые Начинался XVIII век. Математический анализ продолжал свое триумфальное шествие, но почва под ним оставалась зыбкой. Дело в том, что основные его понятия, производная и интеграл, определялись с помощью бесконечно малой величины — но что это такое? Вразумительного ответа на этот вопрос дано не было. То ее считали отличной от нуля, то полагали равной нулю! Такая двойственность взгляда на бесконечно малую величину давала пищу критикам нового исчисления. И даже богатство верных результатов не действовало на оппонентов. Они говорили, что правильность результатов достигается взаимной компенсацией ошибок. С такой критикой основ анализа выступил на рубеже XVII — XVIII вв. крупный французский математик Мишель Ролль (1652—1719). Да и сами творцы анализа Ньютон и Лейбниц чувствовали слабое место в своих рассуждениях. Недаром оба они на протяжении своей творческой деятельности не раз возвращались к проблемам обоснования анализа и меняли свой взгляд на бесконечно малую. Ньютон, работая с бесконечно малыми величинами, называл их моментами в соответствии с тем, что он вообще всем величинам давал физическое истолкование. Сначала он обращался с момента- ми как ранние аналитики. Мы видели это на примере из «Метода флюксий». Но в «Началах» он уже разработал метод предельного перехода, называя его методом первых и последних отношений. Для двух переменных (флюент) х и у Ньютон рассматривал отношение приращения у к приращению х, а затем переходил к пределу, по его терминологии, к последнему отношению исчезающих (или первому отношению зарождающихся) прираще- ний. В современных обозначениях это выглядит так: л^Дл(г) ИО В результате он получал отношение флюксий. Ньютон считал, что когда приращения «уменьшаются до бесконечности», то отношение достигает своего предела, поэтому он и назвал предел последним отношением. Надо сказать, что понятие предела к тому времени уже встречалось в математической литературе. Впервые этот термин появился в работе Сен-Винцента «Геометрический труд» (1647). Валлис в «Арифметике бесконечных» (1656) дал такое определение предела: «Это величина постоянная, к которой переменная приближается так, что разность между ними может быть сделана меньше любой заданной величины». Вернемся к рассуждениям Ньютона. Его бесконечно малые не являются очень малыми застывшими, как у большинства ранних 101
аналитиков: «...если я и рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц... то следует разуметь, что это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не суммы и не отношения конечных частей, а последние суммы и последние отношения исчезающих величин». Однако строгого определения предела Ньютон не дал, считая, по-видимому, это понятие достаточно очевидным: в результате его рассуждения допускали различное толкование в течение более трех последующих веков. Бесконечно малые Лейбница — это дифференциалы, которые он считал величинами, не сравнимыми с обыкновенными конечны- ми числами: «...несравнимыми величинами я называю такие, одна из которых никогда не сможет превзойти другую, на какое конечное число ее бы ни помножили...» Бесконечно малые Лейбница в отличие от ньютоновских постоянны, но настолько малы, что добавление dx к х — это примерно то же, что добавление пылинки к земному шару. В силу свойства непрерывности, которое Лейбниц считал присущим всем величинам, бесконечно малые сохраняют соотношения между конечными величинами, из которых прои- зошли. Вообще, он считал бесконечно малые вспомогательным средством, столь же удобным в анализе, как мнимые числа в алгебре. Разъяснения, которые приводили Ньютон и Лейбниц по поводу бесконечно малых, ввиду отсутствия четких опреде- лений не могли быть положены в основу анализа. А критика не умолкала. С очень резкой статьей «Аналист» (1734) выступил ирландский епископ и философ Д ж орд ж Беркли (1685—1753). В ней он подверг критике новое исчисление, считая, как и Ролль, что верные ответы получаются только благодаря взаимной компенсации ошибок. При этом он подкреплял свою мысль конкретными примерами. Заметим, что и другие ученые приходили к этому же убеждению. Несколько позже (1761) Лагранж писал: «В методе бесконечно малых исчисление исправляет само по себе ошибки, проистекающие из ложных его предположений. Когда, например, рассматривают кривую как многоугольник с бесконечным количе- ством малых сторон, продолжение каждой из которых служит касательной к ней, то явным образом делают ложное допущение. Но ошибка погашается при вычислении другой ошибкой, ибо полагают равными нулю количества бесконечно малые». Статья Беркли носила резко выраженный тенденциозный характер и была направлена против тех ученых, которые находили изъяны в Священном писании. Автор «Аналиста» хотел сказать, что, прежде чем браться не за свое дело, следует навести порядок в собственной вотчине. Статья послужила мощным толчком, стимулировавшим работу по обоснованию анализа. Но в XVIII в. эта работа не была завершена; хотя появились очень интересные идеи. Эйлер в трактате «Дифференциальное исчисление» (1755) из- ложил исчисление нулей. Его «нули» — это бесконечно малые: 102
«...бесконечно малая величина есть не что иное, как исчезающая величина, и потому сама равна нулю. Это настолько согласуется также с определением бесконечно малой величины, по которому эти пеличины должны быть меньше любого заданного числа. Ясно, что такая величина не может не быть нулем, ибо если бы она была отлична от нуля, то, вопреки предположению, не могла быть меньше самой себя». Основным понятием дифференциального исчисления Эйлер считал не дифференциал, как Лейбниц, df о „ а производную которая для него имела вид —. Но каким же образом получается, что она имеет конкретное значение? Эйлер поясняет: так как п*0=0, то отношение нулей может быть равно любому числу п, определяемому из конкретной задачи. Например, чтобы найти производную функции у=х\ он вычисляет отно- шение приращений -^=2х+Дх и далее рассуждает: когда при- ращение Дх исчезает, то исчезает и Дг/, но из равенства вид- но, что отношение этих нулей равно 2х. Эйлер разрабатывает исчисление нулей. В частности, уста- навливает, что добавление к конечной величине бесконечно малой не меняет этой конечной величины, умножение бесконечно малой на любое конечное число и деление ее на неравное нулю число приводят к бесконечно малым величинам. Все эти правила позволили оперировать с бесконечно малыми величинами, но не прояснили их сути. Как мы видим, существовали диаметрально противоположные точки зрения на природу бесконечно малых величин. Одни ученые, и среди них Лейбниц и Эйлер, считали их существующими в завершенном виде; другие, в том числе и Ньютон,— находящими- ся в процессе становления. Эти точки зрения корнями уходят в глубокую древность. Такое подразделение ввел еще Аристо- тель (384—322 до н. э.). Он различал два вида бесконечности: актуальную — существующую и потенциальную — становящуюся. Аристотель много занимался вопросами математики и физики, особенно их философскими аспектами. Знание математики и других наук Аристотель почерпнул в Академии Платона, в которой пробыл 20 лет. В 343 г. до н.э. по приглашению македонского царя он занялся воспитанием будущего великого полководца Александра. Вернувшись через 8 лет в Афины, основал свою философскую школу — Ликей Аристотеля, названный так по расположенному рядом храму Аполлона Ликейского. Аристотель оставил после себя не только философскую школу, но и множество трудов, являющихся настоящей энциклопедией античной мудрости. Авторитет его имел огромную силу не только в древности, но и в средние века. Все, что противоречило учению Философа (именно так его с большой буквы и называли), считалось ошибочным. 103
Каково же было отношение Аристотеля к актуальной и потенци- альной бесконечности? Отвергая первую, он считал возможным использование второй. Например, допустим бесконечный процесс деления отрезка пополам, но нет отрезка, разделенного на бесконечно много частей. По этой же причине нельзя отрезок представлять себе состоящим из точек: это лишь место, где точки находятся. Отсюда и образовался термин «геометрическое место точек». Полагаясь на авторитет Аристотеля, математики древности не доверяли бесконечности. Такого же взгляда на бесконечность придерживались и ученые средневековья. Лишь эпоха Возрожде- ния принесла Европе раскрепощение во многих областях человече- ской деятельности. В первую очередь оно коснулось разного вида искусств и ремесел, а позже и наук. Это привело к тому, что математики нового времени перестали придерживаться канонов, выработанных греческими учеными. И как часто бывает в таких случаях, вместе с ненужными, сковывающими ограничениями было отброшено и много полезного, в частности строгость в отношении использования бесконечно малых величин и бесконечных про- цессов. 10. Предел Начало обоснования анализа на базе предела связывают с именем французского математика, механика и философа Даламбера (1717—1783). Он был незаконнорожденным сыном писательницы Тансен и генерала Детуша. Когда родился ребенок, отец его находился за границей, и мать распорядилась подкинуть его к церкви святого Жана ле Рона. Подкидыш был передан в полицию, где и получил имя по названию церкви, на ступенях которой был найден. Отец, вернувшись в Париж и узнав о рождении сына, разыскал еле живого младенца и устроил его на воспитание в семью стекольщика Руссо. Окруженный теплом и заботой, Жан окреп и уже в раннем детстве поражал окружаю- щих наблюдательностью и любознательностью. В 4 года отец поместил его в пансион. Но, когда Жану исполнилось 10 лет, отец умер. Однако родственники отца не оста- вили мальчика и дали ему прекрасное об- разование: после окончания престижного колледжа он изучал юридические науки и медицину. Поселился Жан ле Рон снова в прос- том и добром семействе Руссо, где к не- му относились с почтительным уваже- нием. Приемная мать любила его, как родного сына. Жизнь в этой трудовой и честной семье, несомненно, повлияла на Io I
формирование нравственного облика Даламбера. Достигнув высокого положения, он оставался скромным, душевным и простым человеком. Математику Даламбер изучал самостоятельно. Род- ственники уговаривали его не отрывать время от основных занятий. И однажды, поддавшись этим уговорам, он даже собрал все книги но математике и отнес к своему другу Дидро. Но тяга к математике у Даламбера была настолько сильной, что все его книги постепенно перекочевали обратно домой. В 1743 г. вышел в свет его «Трактат о динамике», где был сформулирован знаменитый «принцип Даламбера», позволяющий сводить задачи динамики твердых тел к статике. Известны его работы по гидродинамике и аэродинамике. Основные математиче- ские работы относятся к теории дифференциальных уравнений. Даламбер жил в эпоху Просвещения, пришедшую на смену эпохе Возрождения. Это было время торжества науки над средневековой схоластикой. Просветители создали свою филосо- фию, литературу и искусство, проникнутые безграничной верой в человеческий разум. Одним из самых важных событий этой эпохи было издание «Энциклопедии наук, искусств и ремесел», которая должна была содержать известные к тому времени научные и практические знания. Вместе с Дидро Даламбер возглавил создание этой энциклопедии и поместил в ней большое количество своих статей по математике, физике, философии, истории и литературе. Поставленный перед необходимостью дать четкое представле- ние о тогдашнем состоянии математики, в частности анализа бесконечно малых, он вынужден был обратиться к его базисным понятиям. Критически пересмотрев существовавшие точки зрения на основы анализа, он выбрал метод первых и последних отношений Ньютона, придав ему более четкую форму метода пределов. «Теория пределов является основанием подлинной метафизики дифференциального исчисления...— писал он в «Эн- циклопедии».— В дифференциальном исчислении речь идет не о бесконечно малой величине, как это обычно утверждают, речь идет лишь о пределах конечных величин». Правда, определение предела у Даламбера еще достаточно узко: переменная величина строго монотонна и не может достигать самого предела: «...разность между величиной и пределом абсолютно непреодо- лима». В конце XVIII в. Берлинская АН объявила конкурс на лучшую работу по обоснованию анализа. Премию получил швейцарский математик С и м о н Люилье (1750—1840), принявший предел п качестве фундаментального понятия анализа. Производную он определил как предел отношения приращения функции к прираще- нию аргумента: #=liin A'W. dx л^о &х 105
Выражение он уже рассматривал не как частное, а как символ, обозначающий производную. Правда, были попытки изложения анализа и без теории предела. Чтобы понять мотивы такого подхода, вспомним, как вычислял производную многочлена Ферма. Рассмотрим, например, многочлен Р(х) = ax3 + bx2-\-cx + d. Поскольку отношение P(x+h)~P(x) __ а(л + Мэ+Ь(х+Л)а+с(х + Л) +<*-(ax3 + ftjc2 + tx4-d) _ Л “ й — = (3ax2 + 26x + c) + (3ax4-fe)h+ah2 также является многочленом, то оно имеет смысл и при й = 0. Для нашего примера получаем Зах2-{-2Ьх-{-с. Таким образом, при вычислении производной многочлена можно обойтись и без предела. А если перейти к произвольным функциям? Тогда роль многочленов переходит к рядам, сходящимся к этим функциям. Производная функции, выраженной рядом, представляет собой ряд, составленный из производных членов исходного ряда (как и в случае многочленов). Именно так вычислял производные Ньютон. Эти соображения натолкнули Лагранжа на мысль обойтись в анализе без предела. В «Теории аналитических функций...» (1797) он предпринял попытку построить математиче- ский анализ на базе теории рядов. Но и при таком подходе не уда- ется избежать перехода к пределу, например, при выяснении вопроса о сходимости рядов. Важнейшим этапом на пути к современному изложению мате- матического анализа стали знаменитые лекции в Политехничес- кой школе О. Коши (1789—1857). Скажем несколько слов о самой Политехнической школе. Учиться, а тем более преподавать в ней всегда было престижно. Дело в том, что высокие технические государственные должности во Франции могли занимать лишь выпускники Политехнической школы. Поэтому здесь всегда был огромный конкурс, занятия велись лучшими учеными Франции. Обучение было двухгодичным, после чего выпускник школы в зависимости от своих склонностей и успехов продолжал с третьего курса обучение в одном из вузов страны. Политехническая школа была образована в 1794 г. В пери- од Великой французской революции были закрыты все учебные заведения, и, естественно, довольно скоро стала ощущаться острая нехватка технически грамотных молодых людей, подготовленных к военной службе. Политехническая школа должна была стать кузницей технических и военных кадров. Порядки в школе были казарменные, ученики носили специаль- ную форму. Но это внешняя сторона дела, а внутренняя выражалась в высоком уровне преподавания всех предметов, особенно математики. Ей отводилось наибольшее количество часов в учебном плане. Характерен один штрих из истории этой школы. 106
Когда для пополнения офицерского корпуса, пожираемого многочисленными военными походами, были сокращены сроки обучения в школе и занижены требования на экзаменах, Наполеон срочно поставил все на свои места, заявив, что не позволит убивать курицу, несущую ему золотые яйца. Практически все ведущие математики Франции, начиная с XIX в., являлись выпускниками Политехнической школы. Окончил ее (1807) и Коши, а позже стал в ней преподавать. На годы работы в Политехнической школе приходится пик его творческой активности. Лекции Коши по математическому анализу были изданы в двух книгах — «Алгебраический анализ» (1821) и «Краткое изложение дифференциального и интегрального исчисле- ний» (1823). В них он проявил себя поборником наведения строгости в математике. В дальнейшем он уже так тщательно не относился к своим научным публикациям. Вероятно, у него на это просто не было времени в связи с возросшим их потоком: всего Коши опубликовал более 800 работ. Как пишет Клейн, он, не доводя в одной статье мысль до конца, возвращался к ней в следующей, излагая «внезапно мелькнувшую идею, которая опять-таки не будет доведена до конца». Благодаря такой продуктивности Коши сумел внести свой вклад во все облас- ти математики. Ранее уже говорилось о его результатах в области теории чисел (Арифметика, гл. 1, п. 2 и гл. II, п. 7), но наиболее значительным является его вклад в математический анализ. В своих лекциях Коши построил весь математический анализ на базе понятия предела. Само определение предела у него уже свободно от даламберовских ограничений: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных». Пользуясь этим определени- ем, Коши разъясняет, что такое бесконечно малая величина — это переменная, имеющая пределом нуль. Наконец-то понятие беско- нечно малой освободилось от своей туманной и мистической сущности, когда, являясь чем-то неуловимым, она тем не менее обладала огромным могуществом. Далее Коши ввел понятие непрерывной функции как функции, у которой «...бесконечно малое приращение переменной порождает всегда бесконечно малое приращение самой функции». Дав строгие определения основным понятиям анализа, Коши последовательно на этой основе изложил его достижения. Но определения Коши еще носили описательных характер. Таким понятиям, как «неограни- ченно приближаются», «отличаются сколько угодно мало», нужно было придать точный математический смысл. Современное определение предела, полностью освобожденное от математически неясных терминов, привел Вейерштрасс в своих не менее зна- менитых лекциях. 107
Карл Вейерштрасс (1815—1897) родился в маленьком немецком городке в семье чиновника. В 12 лет он остался без матери. Кроме него, в семье было еще трое детей. Отец, будучи человеком образованным, стремился н детям дать хорошее образование. Карл закончил гимназию, где проявил недюжинные способности по всем предметам, и поступил на юридический факультет Боннского университета. Но юридические науки не привлекли юношу. Вероятно, поэтому молодой студент вел довольно праздный образ жизни. По прошествии четырех лет он вернулся домой без диплома и решил ускоренным путем получить математическое образование. Тягу к математике он ощутил еще в гимназии, а в студенческие годы занимался ею самостоятельно. Два года ему понадобилось на то, чтобы проштудировать необходимые предметы и успешно сдать экзамен на получение звания учителя гимназии. В этой должности он работал до 38 лет, продолжая усиленно заниматься математикой. Первая опубликованная Вейерштрассом научная работа по математике оказалась настолько серьезной, что ему без защиты диссертации была присуждена степень доктора наук. Через три года он уже преподавал в Берлинском промышленном институте и в Берлинском университете. Его лекции отличались глубиной и строгостью изложения. Необычайная ясность мышления, открытый характер и благожелательное отношение к людям снискали ему огромное уважение в математической среде. Основные результаты Вейерштрасса относятся к области матема- тического анализа, где многие теоремы носят его имя: о точ- ных границах ограниченного множества; о свойствах функций, непрерывных на отрезке; о приближении непрерывной на отрезке функции многочленами и т. д. Стиль рассуждений Вейерштрасса стал образцом математиче- ской строгости. Он полностью арифметизировал определение предела и непрерывности. Степень близости аргументов и зна- чений функции он выразил неравенствами, создав для этого язык «в — 6». Определениями Вейерштрасса на языке «е — 6» практически без изменений мы пользуемся и по сей день. Вот как, например, определяется предел функции в точке: предел функции y = f(x) в точке хо равен A (limf(x) =4), если для любого поло- X—*“Х0 жительного числа е найдется такое положительное число 6, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х—Хо|<6, выполняется неравенство | f(x) -г- А | <е. «В основном это заслуга научной деятельности Вейерштрас- са,— писал Гильберт,— что теперь в анализе существуют полное согласие и уверенность относительно таких способов рассуждений, которые основаны на понятии иррационального числа и предела вообще...» Нужно заметить, что ко многим утверждениям, полученным Вейерштрассом и другими математиками, значительно раньше 108
пришел профессор философии религии Пражского университета Бернард Больцано (1781 —1848). Но его математические достижения не стали достоянием гласности. Дело в том, что во времена Больцано Чехия находилась во власти австрийской монархии. А он выступал за освобождение своей родины от австрийского ига. В итоге над ним учредили тайный надзор полиции, лишили права публично выступать, печататься и уволили (1820) из университета. Лишь пять работ по математике успел Больцано издать в Праге. Остальные результаты ученого увидели свет только через сто лет. Сейчас историческая справедливость восстановлена и некоторые теоремы математического анализа носят двойное имя: теорема Больцано — Коши, теорема Больца* но — Вейерштрасса. Построение анализа на базе арифметики потребовало строгой теории действительного числа. К середине XIX в. четкого определения множества действительных чисел еще не было. Конечно, ученые достаточно хорошо его себе представляли, хотя на практике в основном пользовались рациональными числами и радикалами из них. Для изучения функций таких чисел было недостаточно: как ни плотно они расположены на числовой оси, сплошь ее они не покрывают. Необходимо было определить числовое множество, которое заполняет всю числовую прямую, а стало быть, несет в себе идею непрерывности, присущую прямой. Именно по этой причине строгое определение множества действительных чисел стало возможным лишь после создания достаточно развитого математического анализа. Ведь непрерыв- ность — одно из основных его понятий. И надо было довольно глубоко его освоить, чтобы понять необходимость использования этого понятия при определении действительных чисел. К тому же интуитивное представление о непрерывности должно было полу- чить математическое выражение. Но, как только это было сделано, теория построения множества действительных чисел была выдви- нута почти одновременно несколькими математиками. Наиболее известны теории Дедекинда, Вейерштрасса и Кантора. Все они исходили из множества рациональных чисел. Дедекинд определил действительные числа как сечения во множестве рациональных чисел, Вейерштрасс дал определение с помощью бесконечных десятичных дробей, Кантор — с помощью последовательностей рациональных чисел. Все построенные множества обладают естественными для числовых множеств свойствами и свойством непрерывности. И конечно, между всеми этими множествами существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее их свойства. 109
11. Сколько точек в отрезке? Сколько всего натуральных чисел? — Бесконечно много. — А сколько среди них четных? — Половина.— И половина бесконеч- ного множества снова бесконечное множество! Интересно, а это бесконечное множество меньше первого? Или такое же большое? При работе с бесконечными множествами неизбежно возникает мысль о сравнении их по запасу элементов. Но как это осуще- ствить? Обратимся к конечным множествам. Как сравнить два конечных множества? Можно пересчитать все элементы каждого множества и сравнить полученные числа. Ясно, что для беско- нечных множеств подобный способ сравнения не подходит. Но можно поступить и по-другому. Учитель в классе раздает тетради. Каждому ученику по одной тетради. Если, раздав все тетради, учитель обнаруживает, что не все ученики их получили, значит, учеников в классе больше, чем было тетрадей у учителя. Если, наоборот, все учащиеся получили тетради, а у учителя они еще остались, то тетрадей было больше, чем учащихся. Если же каждый ученик получил тетрадь и у учителя их не осталось ни одной, значит, учеников и тетрадей поровну. В этом примере между множеством учеников и множеством тетрадей устанавливается взаимно однозначное соответствие. Такой способ сравнения годится и для бесконечных множеств. Идея взаимно однозначного соответствия между множествами была четко сформулирована уже Галилеем в «Беседах и математи- ческих доказательствах» (1638). Он установил такое соответствие между натуральными числами и их квадратами, натуральными числами и квадратными корнями из них: 2 Г~ Отсюда напрашивается вывод: у перечисленных трех множеств запас элементов одинаков. Этот вывод кажется парадоксальным с точки зрения здравого смысла: ведь множество квадратов составляет лишь часть множества натуральных чисел. Однако, как замечает Галилей: «Свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где дело идет о беско- нечности, и применимы только к конечным количествам». Не менее парадоксальным выглядит соответствие л**2л между натуральными и четными числами. Ведь на первый взгляд кажется, что четных чисел в два раза меньше, чем натуральных. Тем не менее между этими множествами существует взаимно однозначное соответствие; такие множества называются эквива- лентными. Естественно считать их одинаковыми по запасу элементов. Все ли бесконечные множества эквивалентны между собой? А если нет, то как их сравнивать по запасу элементов? Ответить на 1 К)
эти вопросы удалось выдающемуся немецкому математику Георгу Кантору (1845—1918). Родился Кантор в Петербурге, где его отец успешно вел коммерческую деятельность. Здесь мальчик получил начальное образование. Но из-за болезни отца семья вынуждена была покинуть (1856) Россию и вернуться в Германию. Здесь Кантор окончил Берлинский университет и с 1872 г. работал профессором в Галле. Он получил ряд замечательных результатов в области математического анализа. Но основной областью исследований Кантора была теория множеств. Обратился он к бесконечным множествам в связи с изучением тригонометрических рядов, точнее, множества точек, в которых ряд, построенный по данной функции, не сходится к самой функции. И здесь он установил эквивалентность множеств рациональных и натуральных чисел, о чем сообщил (1873) в письме к Дедекинду. Для доказательства этого утверждения достаточно занумеро- вать все рациональные числа: при этом каждому рациональному числу будет сопоставлен его номер — натуральное число. Вспом- ним, что каждое рациональное число можно записать в виде несократимой дроби где р — целое, q — натуральное число. Расположим все дроби (не только несократимые) в следующую таблицу, бесконечную вправо и вниз: 0 1 0 1 -I 1 2 2 — 2 2 3 3 -3 3 4 4 — 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Для нумерации чисел этой таблицы применим так называемый диагональный метод: будем двигаться по стрелкам, указанным на следующей таблице, пропуская те дроби, которые занумерованы (номер указан рядом с соответствующим рациональным числом). 111
В ответном письме Дедекинд привел доказательство эквива- лентности множества натуральных и алгебраических чисел. Напомним, что действительное число называется алгебраическим, если оно является решением какого-либо алгебраического уравне- ния с рациональными коэффициентами. Неалгебраические дей- ствительные числа называются трансцендентными. Может показаться, что все бесконечные множества эквива- лентны между собой. Но это не так. В том же 1873 г. Кантор доказал, что множество точек отрезка [0; 1] не эквивалентно множеству натуральных чисел. Причина же в том, что множество натуральных чисел дискретно, а отрезок непрерывен. Поняв важность проблемы, Кантор полностью переключился на изучение бесконечных множеств произвольной природы. Для таких множеств он ввел понятие мощности — обобщение понятия количества элементов (по свидетельству самого Кантора, термин «мощность» он взял у Штейнера). Два множества имеют одинаковую мощность, если они эквивалентны. Таким образом, совокупность всех бесконечных множеств распадается на классы эквивалентных между собой, а следовательно, равномощных множеств. Каждую мощность Кантор обозначил некоторым кардинальным числом. Наименьшая из всех мощностей беско- нечных множеств — мощность множества натуральных чисел — была названа счетной, мощность множества точек отрезка [0: 11 — мощностью континуума (от лат. continuum — непрерывный). Сам Кантор был уверен, что мощность континуума есть первая мощность, превосходящая счетную. Это предположение, которое Кантор высказал в начале 80-х годов прошлого века, получило название континуум-гипотезы. Он много работал над ее доказа- тельством, но безуспешно. В течение 10 лет Кантор систематически изложил принципы своего учения о бесконечных множествах. Приведем некоторые из его результатов. Сначала отметим, что множество точек любого отрезка [а; 6] эквивалентно множеству точек отрезка [0; 1]. Как установить соответствие между этими отрезками, видно из рисунка 67. Чтобы вывести другие результаты, воспользуемся теоремой: если из бесконечного множества удалить конечное подмножество или счетное, но так, чтобы осталось бесконечное множество, то оставшее- < ся множество имеет ту же мощность, / \ что и исходное. Из этой теоремы сразу вытекает, что множество точек у любого интервала имеет мощность континуума. В самом деле, ведь \ любой интервал (а; Ь) получается \ из отрезка [а, 6] удалением его кон- \ j\ -------------------Ч°в- Далее, легко видеть, что интер- „ вал ( — j взаимно однозначно Рис. 67 \ 2 2 / 112
отображается на всю действительную прямую с помощью функ- ции t/=lgx. Таким образом, получаем утверждение: мощность множества точек любого промежутка прямой и, в частности, точек всей прямой равна мощности континуума. Позже Кантор доказал, что ту же мощность имеет множество точек n-мерного евклидова простран- ства при любом л. В результате может возникнуть мысль, что мощность континуума наибольшая из всех мощностей бесконечных множеств. Однако... Справедлива еще одна теорема Кантора: множество, состоящее из всех подмножеств данного множества, имеет мощность, большую мощности исходного множества. Поскольку для каждого множества можно найти все его под- множества и из них составить новое множество, то из теоремы Кан- тора вытекает, что не существует множества максимальной мощ- ности, т. е. последовательность кардинальных чисел бесконечна. Из предложений, доказанных Кантором, следовали поистине потрясающие выводы. Так как множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, а рациональных — счетную, то множество всех иррациональных чисел имеет мощность контину- ума; аналогично мощность континуума имеет множество всех трансцендентных чисел. В то время как ученые ломали голову над примерами трансцендентных чисел (Алгебра, гл. II, п. 6), было доказано, что их несравнимо больше, чем алгебраических. Замечательные результаты Кантора содействовали тому, что его теория множеств была с энтузиазмом встречена многими математиками. Гильберт о ней сказал: «Я считаю, что она представляет собой высочайшее проявление математического гения и одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека». Но у этой теории нашлись и противники. Наиболее ожесто- ченным нападкам теория Кантора подверглась со стороны ученика Куммера немецкого математика Леопольда Кропе- ке р а (1823—1891). Он придерживался принципа: Господь Бог создал целые числа, а все остальное — дело рук человеческих (т. е. только арифметика обладает подлинной реальностью и вся математика должна быть арифметизирована). Кронекер явился одним из основателей конструктивизма — модного течения начала нашего века. По концепции конструктивистов любое утверждение можно считать верным, если его можно построить за конечное число шагов (откуда и название этого направления в математике); бесконечность в любом ее проявлении не заслуживает внимания. Атаки конструктивистов не были беспочвенными: внутри теории множеств существовали нерешенные проблемы, например контину- ум-гипотеза, а вскоре стали обнаруживаться и парадоксы. Об одном из них сам Кантор сообщил (1896) в письме к Гильберту. Вскоре парадоксы были найдены и другими математиками, в частности английским математиком Бертраном Расселом (1872—1970). Опишем суть парадокса Рассела. 113
Будем рассматривать те множества, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Это вполне естественное требование. Например, множество натуральных чисел само не является числом, а множество функций не является функцией. Назовем такие множества правильными. Составим совокупность М всех правиль- ных множеств. Спрашивается: будет ли М правильным множе- ством? На этот вопрос нельзя дать ни положительного, ни отрицательного ответа. На самом деле, пусть М — правильное множество. Все такие множества мы собрали в М. Следовательно, М содержит себя в качестве элемента и, значит, не может быть правильным. Пришли к противоречию. Пусть теперь М не является правильным множеством. Тогда оно содержит себя в качестве элемента, но в М содержатся только правильные множества, следовательно, М — правильное множество. Снова приходим к противоречию. Более популярен вариант этого парадокса «сельский парикма- хер». В селе живет мужчина-парикмахер, бреющий тех и только тех мужчин села, которые не бреются сами. Вопрос: «Бреет ли он себя?» — также остается без ответа. В этом читатели могут, порассуждав, убедиться сами. Противоречия, обнаруженные в теории множеств, большое умственное перенапряжение, связанное с попытками их ликвида- ции, ожесточенные нападки конструктивистов сломили Кантора. Он тяжело заболел и в конце жизни уже не мог заниматься математикой. Стремясь к объединению математиков всех стран, Кантор немало содействовал проведению Первого международного мате- матического конгресса в Цюрихе в 1897 г. С тех пор междуна- родные математические конгрессы проводятся раз в четыре года, перерывы в их созывах были связаны только с двумя мировыми войнами. На первом конгрессе получила признание канторовская теория множеств и была высоко оценена работа ее создателя. Второй международный математический конгресс, на котором Гильберт сформулировал свои знаменитые проблемы, состоялся в 1900 г. Существенных сдвигов в теории множеств после работ Кантора к тому времени не произошло, поэтому Гильберт под номером один сформулировал проблему доказательства контину- ум-гипотезы. Он был уверен в ее справедливости и предложил как для ее доказательства, так и для устранения противоречий создать аксиоматику теории множеств. Первый вариант такой аксиоматики построил в 1908 г. немецкий математик Эрнест Цермело (1871 —1953). Усовершенствованная в 1922 г. немецким математи- ком Абрагамом Френкелем (1891 —1965), эта система аксиом является в настоящее время наиболее известной в теории множеств. В аксиоматике Цермело — Френкеля известные в то время парадоксы были устранены за счет естественных ограничений. А как обстоит дело с континуум-гипотезой? Ответ на этот вопрос был дан сравнительно недавно, причем совершенно III
неожиданный. Рассматривая ее по отношению к аксиоматизиро- ванной теории множеств, австрийский логик Курт Гёдель (1906—1978) доказал (1939), что она не противоречит системе аксиом Цермело — Френкеля. В 1963 г. американский математик Поль Коэн (род. в 1934 г.) показал, что континуум-гипотеза независима по отношению к этой аксиоматике. В результате в теории множеств сложилась ситуация, аналогичная той, которая имела место в геометрии после работ Лобачевского: если считать аксиоматику Цермело — Френкеля непротиворечивой, то в рамках этой системы могут быть построены как канторовская теория множеств, в которой выполняется континуум-гипотеза, так и неканторовская теория множеств. Коэн за свою работу был удостоен Международной Филдсов- ской премии на Международном конгрессе математиков в Москве (1966). История этой премии такова. Президентом седьмого Математического конгресса в Торонто (1924) был избран канадский математик Джон Филдс (1863—1932). Он предло- жил награждать на каждом конгрессе золотыми медалями двух молодых (до 40 лет) математиков за наиболее выдающиеся результаты, полученные ими в период между очередными конгрессами. Для этого им был основан специальный фонд из собственных сбережений. Поскольку Нобелевская премия на математиков не распространяется, то получение Филдсовской премии — наиболее почетная награда для математика любой страны. Она не только символизирует мировое признание его заслуг, но играет большую стимулирующую роль, поскольку присуждается молодым ученым. 12. Неожиданный поворот Итак, на базе понятия предела в анализе был наведен порядок. Были строго обоснованы результаты ранних аналитиков. Правда, при этом пришлось пожертвовать простотой, с которой они к этим результатам приходили. Анализ стал строгой и стройной областью математики. Но и развитие науки иногда совершает неожиданные повороты. В 60-е годы нашего столетия в трудах немецкого математика Абрагама Робинсона (1918— 1974) родился нестандартный, или неархимедов, анализ, где получили права гражданства бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, в котором их понимали Лейбниц1 и Кавальери. В новом анализе, благодаря успехам математический логики, были строго обоснова- ны операции, введенные Лейбницем и Эйлером над такими величинами. В связи с этим возникает предположение, что ранние аналитики видели гораздо дальше, значительно опережая свое время. «Твой век, дивясь тебе, пророчеств не постиг...» — писал Валерий Брюсов, обращаясь к портрету Лейбница в начале XX в. I 15
А в конце века эти слова наполнились еще более глубоким смыслом. Что же такое нестандартный анализ? В отличие от классическо- го стандартного он оперирует не во множестве действительных чисел, а в более широком множестве, элементы которого называют гипердействительными числами. Прежде чем описать это множе- ство, дадим определение: число е называют бесконечно малым, если п-1 е| <1 при любом натуральном п. Конечно, действительно- го числа, отличного от нуля, с таким свойством не существует. Ведь во множестве действительных чисел выполняется аксиома Архиме- да: любое действительное число а=/=0, будучи умноженным на достаточно большое натуральное, превзойдет по модулю любое другое действительное число, в том числе и единицу. Итак, е — это число нового типа. А множество гипердействи- тельных чисел устроено так, что вместе с каждым действительным числом а оно содержит бесконечно много чисел вида а4-е, где е — произвольное бесконечно малое число. В этом множестве естественным образом определены арифметические операции, введена упорядоченность, т. е. ясно, какое из двух гипердействи- тельных чисел больше другого. Вообще, это обычное числовое множество, но в нем не выполняется аксиома Архимеда. Сумма бесконечно малых чисел и произведение бесконечно малого числа на действительное вновь являются бесконечно малыми числами. Произведение бесконечно малых чисел тоже является бесконечно малым числом, но оно уже бесконечно мало даже по отношению к множителям, т. е. является бесконечно малым числом более высокого порядка по сравнению с исходными числами. Но на этих тонкостях мы останавливаться не будем. А теперь вспомним о том, что Лейбниц считал дифференциалы не сравнимыми с действительными числами, понимая под сравнимостью именно выполнение аксиомы Архимеда. Его диффе- ренциалы удовлетворяют приведенному определению бесконечно малого числа, а сумма x + dx — это ги пер действительное число. Есть во множестве гипердействительных чисел и бесконечно большие числа. Естественно, бесконечно большое число Л должно обладать свойством |Л | > п для любого натурального п. Ясно, что если е — бесконечно малое, то — — бесконечно большое, е Гипердействительные числа можно даже, конечно условно, расположить на числовой оси. Для этого надо «раздуть» каждую действительную точку а в интервал и поместить в него все точки вида а=а4-Е. Интервал этот бесконечно мал, но, чтобы его по- лучить из точки, нужно бесконечно большое увеличение. Далее, бесконечно большие числа естественно расположить за предела- ми всех действительных: положительные бесконечно большие — правее, отрицательные — левее всех действительных чисел. Эту картину можно представить себе так: чтобы разглядеть беско- нечно малые числа, нужен микроскоп с бесконечно большим 116
увеличением, а чтобы увидеть бесконечно большие числа — телес- коп с бесконечно большим приближением. Для работы с гипердействительными числами нужно не только уметь производить с ними арифметические операции, но и извле- кать корни, вычислять логарифмы, находить значения тригоно- метрических функций, т. е. надо любую функцию, заданную на множестве действительных чисел, распространить на гипердействи- тельные. Как здесь не вспомнить слова Лейбница: «Этот Анализ содержит новый алгоритм, т. е. новый способ складывать, вычитать, умножать, делить, извлекать корни, соответствующий несравнимым величинам, т. е. тем, которые бесконечно велики или бесконечно малы в сравнении с другими...» Все элементарные функции были перенесены на множество гипердействительных чисел. На этом множестве построен анализ, в котором действия ранних аналитиков обрели обоснование. Например, квадратичная функция на множестве ги пер действитель- ных чисел имеет вид: /(х) = х2 = (х + е)2=х2 + 2хе + е2. Выясним, как мыслится касательная к графику этой функции в действительной точке х. Рассматривая окрестность этой точки в микроскоп, увидим график функции у — х1 + 2хе, представляю- щий собой прямую относительно переменной е .(отклонение ее от кривой на е2 при этом незаметно: чтобы его увидеть, нужно увеличение более высокого порядка), т. е. парабола состоит из бесконечно большого числа бесконечно малых звеньев. Каждое из них является касательной к параболе. Именно так и считал Лейбниц: «...найти касательную — то же, что провести прямую, соединяющую две бесконечно близкие точки кривой». А в первом учебнике по анализу «Анализ бесконечно малых» (1696) Лопиталь постулирует: «Требуется, чтобы кривую линию можно было рассматривать как совокупность бесконечно малых прямых, или (что то же самое) как многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон, определяющих образуемыми ими углами кривизну линии». Найдем теперь производную функции х2 в действительной точке х. Дадим х бесконечно малое приращение dx и найдем соответству- ющее приращение функции df(x) = (x-J-dx)2 — x2=2xdx-\- (dx)2. Отношение ^=2x-f-dx естественно считать производной во множестве гипердействительных ч^сел. Чтобы найти ее значение во множестве действительных чисел, надо взять действительную часть 2х полученного выражения. Приведенные нами рассуждения почти дословно совпадают с рассуждениями ранних аналитиков. Аналогичным образом устраняются и другие неточности в их рассуждениях. Им, по выражению Харди, «не хватало не строгости, а техники». 117
С различными функциональными зависимостями человечество встретилось с первых шагов своей практической деятельности. Конечно, о функциях люди тогда и понятия не имели, но количественные связи между предметами и явлениями постепенно устанавливали: долгота дня зависит от высоты Солнца над горизонтом, уровень воды в реке — от длительности дождей, количество зерна, собранного с поля,— от величины поля и т. п. Со временем люди от наблюдений перешли к изучению подмечен- ных зависимостей и их использованию. Однако на научное оформление этих знаний потребовались даже не столетия — тысячелетия. Не надо думать, что функции были изобретены учеными. Как говорит Эрмит, они всегда существовали «как объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики, зоологи». Какие функции изучаются в школе? Их легко перечислить: это степенная функция, показательная, логарифмическая, тригоно- метрические и обратные к ним. Указанные функции называют основными элементарными. Функции, получаемые из них путем применения конечного числа арифметических действий и операции образования сложной функции, называют элементарными. Они образуют простейший класс функций, изучаемых в анализе. В этой главе мы познакомимся с историей того, как ученые пришли к открытию зависимостей, выражаемых основными элементарными функциями. Проследим, как формировалось само понятие функции. Здесь же мы встретимся со степенными рядами, с помощью которых можно определять как элементарные, так и неэлементарные функции. I 18
1. Тетива — залив — синус Сейчас функциональную зависимость между величинами выражают или просто описанием, или с помощью таблицы, графика, диаграммы, или формулой. Последний способ представ- ляется нам настолько естественным, что под функцией мы часто понимаем именно формулу, задающую эту зависимость. Но зада- ние функции с помощью формулы, как и с помощью графика, ста- ло возможным сравнительно недавно, после создания аналити- ческой геометрии. А до этого функциональные зависимости описывали словесно или с помощью таблиц. Древние вавилоняне для облегчения вычислений составляли таблицы квадратов, кубов, а следовательно, квадратных и кубиче- ских корней. Таким путем были введены простейшие степенные функции. В Древней Греции, где зависимости задавались с помощью геометрических образов, вторая степень определялась как площадь квадрата, третья — как объем куба. Так и закрепи- лись за этими степенями названия — квадрат и куб. Архимед в «Исчислении песчинок» фактически рассмотрел степени числа 10 при достаточно больших натуральных показателях, а Диофант в «Арифметике» определил степени положительных чисел с показа- телями от — 7 до 7 Греки имели дело и с различными радикалами, получающимися при комбинациях квадратных корней. Но только в средние века у арабов появились корни произвольной степени. Так в математику вошли выражения д/ а но в виде степени а" с рациональными показателями их не записывали — не возникало потребности. Правда, рассматривались некоторые задачи, приводящие к дробным степеням, но их решения не содержали самих степеней в явном виде. Например, Архимед, рассекая шар плоскостью на два неравных сегмента, доказал, что отношение их объемов заключено между, как он писал, «двойным и полуторным отношениями» площадей поверхностей сегментов, имея в виду степени (-^} и (7г)2 А Штифель в работе «Пол- \Sj/ \3а/ 2187 ная арифметика» (1544), постепенно деля дробь на дробь 128 27 7 —, получил ответ —. Откуда следует, что 8 □ 27 2187 8 ) ~ 128 ’ Общеупотребительными степени с рациональными показателя- ми стали после выхода в свет ньютоновской «Всеобщей арифмети- ки» (1707). В результате ученые XVIII в. хорошо себе представля- ли, что такое а" для произвольного рационального показателя. Именно для таких показателей и определял степень Эйлер во 119
«Введении в анализ бесконечно малых». Оставалось сделать последний шаг — научиться возводить числа в иррациональную степень. Но об этом мы будем говорить в следующем пункте, а сейчас обратимся к истории тригонометрических функций. Тригонометрические функции также впервые появились в виде таблиц. Необходимость в них возникла в связи с изучением звездного неба. Наблюдение за звездами началось уже в глубокой древности и диктовалось многими причинами: ориентировка в ночное время на море и в пустынной местности, определение точного времени, составление календаря. Сельскохозяйственные работы в Египте начинались, когда Нил входил в свои берега после разлива. Поэтому разлив Нила был для египтян событием чрезвычайной важности. Наблюдая за звездами, египетские жрецы заметили, что начало подъема воды в Ниле совпадает с восходом самой яркой на небесном своде звезды Сириус из созвездия Большого Пса. Промежуток между двумя восходами Сириуса был принят за год, насчитывающий 365 дней. Вавилоняне положили в основу составления календаря лунный месяц продолжительностью 30 дней, 12 месяцев составляли год. (Число 12 связано с двенадцатью зодиакальными созвездиями, через которые проходит свой годичный путь Солнце.) В результате получалось 360 дней, это соответствовало открытию вавилонских жрецов, установивших, что солнечный диск укладывается на годичном пути Солнца 360 раз. Они считали, что за каждые сутки Солнце делает один шаг, поэтому и окружность стали делить на 360 равных частей, называя их шагами. Отсюда и произошло современное название «градус», что по-латыни означает «шаг». Неиспользованные дни солнечного года вавилоняне компенсирова- ли введением в некоторые годы дополнительного месяца. Египтяне тоже делили свой год на двенадцать месяцев, по 30 дней каждый, а оставшиеся 5 дней добавляли в конце года, объявляя их праздничными. Это было как нельзя кстати: ведь из-за 120
разлива Нила заниматься земледелием все равно было невозмож- но. Дни отдыха назывались собачьими по имени звезды Сириус, которую в Египте именовали Большой Собакой. Отсюда произошло слово «каникулы» (от лат. canis — собака) — буквально «собачьи дни». Появление семидневной недели также связано с астрономиче- скими наблюдениями. Вавилонские жрецы обнаружили, что траектории Солнца, Луны и пяти известных тогда планет отличаются от траекторий остальных звезд. Исключительно важное для жизни на Земле значение Солнца вавилоняне перенесли на все эти светила. С их расположением на звездном небе связывалась судьба человека, число 7 стало считаться счастливым, а каждый день недели был посвящен одному из семи светил. Страх и ужас наводили на людей солнечные и лунные затмения. В них видели дурные предзнаменования. Чтобы избежать совпадения какого-либо важного события с затмениями, необходи- мо было уметь их предсказывать. Египетские жрецы уже за 8 столетий до н. э. знали, что солнечные и лунные затмения повторяются в одной и той же последовательности через 18 лет и 10—11 дней (в зависимости от числа високосных лет). Этот период был назван саросом (от египетского «повторение»), он содержит 43 солнечных и 28 лунных затмений. Свои знания жрецы хранили в тайне и нередко использовали в корыстных или политических целях. Жизненно важные результаты наблюдений звездного неба были получены не только в Египте и Вавилоне, но и в Древнем Китае, Индии и других странах. Более тонкой работой было составление карты звездного неба. Первым такую работу проделал китайский ученый 111 и Шень (IV в. до н. э.). Его звездный каталог насчитывал 807 светил. Но изолированность Китая от соседей не позволила им воспользоваться результатами китайского астроно- ма. Следующим по времени создания (134 г. до н. э.) был звездный каталог древнегреческого астронома Гиппарха. Все дальнейшее развитие астрономия получила в трудах греческих ученых. Для определения положения светил на небосводе в зависимости от времени года и суток они создали таблицы хорд окружностей — таблицы, отражающие зависимость хорд от дуг, которые они стягивают (или от соответствующих центральных углов). Но хорда лишь коэффициентом отличается от синуса половинной дуги AB — 2R siny (рис. 68). Таким образом, таблицы хорд представля- ли собой, по существу, таблицы синусов. Наибольшую известность получили таблицы, приведенные Птолемеем в его знаменитом «Альмагесте». Таблицы были сос- тавлены с очень малым для того времени шагом — в пол градуса; они оказались наиболее точными из всех известных тогда таблиц хорд, благодаря чему пользовались огромной популярностью среди 121
астрономов. Чтобы достигнуть такого малого шага, Птолемей фактически вывел формулы сложения и вычитания для синусов. Как он это делал, мы разберем (с использованием современной символики) на примере, взятом из «Альмагеста». Впишем в полукруг четырехугольник ABCD так, чтобы сторона AD являлась диаметром полукруга (рис. 69). Будем считать диаметр AD = d и хорды АВ и АС известными. Обозначим через 0 и у углы ADB и ADC соответственно. Очевидно, sin р=-^р, АС о bd CD ,, „ . siny— ( cosp—-^—, cos у = . Найдем формулу для вс sin (у — р). Так как sin (у — р)= —, то нужно выразить хорду ВС через стороны и диагонали четырехугольника. Здесь Птолемей обратился к ранее доказанной им теореме: сумма попарных произведений противоположных сторон четырехугольника, впи- санного в окружность, равна произведению его диагоналей (Геометрия, упражнение 12). По этой теореме BC-d + AB-CD = =AC-BDt откуда ВС= AC'BD~AB'CD Хорда разности двух углов у и р найдена. Поделив обе части полученного равенства на d, получим ВС AC BD АВ CD d — d * d d * d ' Теперь мы видим, что результат Птолемея совпадает с извест- ной формулой для синуса разности двух углов: sin (у — Р) = sin у cos р — sin р cos у. Птолемей нам известен как создатель геоцентрической системы мира, служившей астрономам в течение полутора тысячелетий. Но большой популярностью пользовалось и его «Руководство по географии» с приложением карт исследованной тогда части земной поверхности от Скандинавии до верховьев Нила и от Атлантическо- го океана до Индокитая. Естественно, чтобы проводить такие исследования, Птолемею просто необходимо было быть п рек рас- 122
ным математиком. В разделе «Геометрии» (гл. I, и. 4) мы приводили его способ построения правильного вписанного пяти- угольника, только что встретились с теоремами, которые он доказал в геометрии и тригонометрии. Помимо этого Птолемей нашел более точное по сравнению с архимедовым приближение числа л, правда, нс надо забывать, что он жил почти па четыре столетия позже Архимеда. Он впервые упомянул о трех взаимно перпендикулярных осях — прообразе пространственной системы координат, рассмот- рел проекцию сферы из полюса на плоскость экватора и доказал, что при этом сохраняются углы между линиями. Это свойство в дальнейшем стало использоваться при составлении географиче- ских карт. Птолемей написал обширный трактат по оптике, где исследовал отражение и преломление света. А его «Альмагест» в течение многих веков оставался единственным пособием для решения треугольников. Правда, плоская тригонометрия там лишь намечена — более развита сферическая, необходимая для астро- номии. Вообще, слово «тригонометрия» буквально означает измерение треугольника (от греч. «тригонон» — треугольник, «метрео» — измеряю). Но в Древней Греции она считалась введением в практику астрономических наблюдений. В геометрии для решения треугольников она совсем не использовалась. Здесь мы уже в который раз сталкиваемся с особенностью греческой математики, где найти какую-то величину означало не вычислить, а построить ее. Недаром в «Началах» Евклида нет ни одного предложения, связанного с вычислениями, в том числе ни одной задачи на метрические соотношения в треугольнике. И Птолемей, живший уже во II в. п. э., разрабатывал тригонометрию только для астрономических нужд. Начало изучения тригонометрических функций связывают с индийской математикой. Индийские ученые IV — V вв., в частно- сти Ариабхатта, были знакомы с трудами Птолемея и более ранних древнегреческих авторов. Они ввели понятие синуса, заменив хорды, которые применялись греками, на полухорды; благодаря этому они смогли связать синус с прямоугольным треугольником. Косинус они определили как синус дуги (угла), дополнитель- ной до 90°. Исходя из прямоугольного треугольника, индий- цы сразу получили основное тригонометрическое тождество sin2 a + cos2 а= 1, вывели они и формулу для синуса половинной дуги и другие тригонометрические формулы, позволявшие состав- лять таблицы. Дальнейшее развитие тригонометрические функции получили в странах ислама. У великого алгебраиста ал-Хорезм и имеются уже таблицы не только синусов; но и тангенсов. Интересно, что функции тангенс и котангенс арабы не связывали с окружностью, а определяли с помощью тени, отбрасываемой гномоном. Если h — высота шеста, I — длина отбрасываемой им тени, а—высота Солнца (т. е. угол солнечного луча с горизонтом), то l=/ictga 123
Рис. 70 (рис. 70, а). Если же расположить гномон не вертикально, а горизонтально, как показано на рисунке 70, б, то Z=/itgct- Идея обращения к теням гномонов при вычислении высот и расстояний восходит к индийским ученым. Но честь введения функций тангенс и котангенс принадлежит арабам, которые называли их обратной и прямой тенью в соответствии с определением. С помощью гномона арабы ввели и функции косеканс (coseca=-^^-) и се- канс (seca=——) как гипотенузы в соответствующих треуголь- cosa никах. Астроном и математик из Хорасана* Абу-л-Вафа (940— 998), работавший в Багдаде, ввел в употребление все 6 функций, причем определял он их без треугольников и гномонов, а с по- мощью окружности. Например, тангенс у него — это отрезок касательной к окружности. Он установил теорему синусов для сферических треугольников, составил таблицу синусов с шагом 10 минут с точностью до 60 и таблицу тангенсов. Наиболее полно достижения арабских ученых в тригонометрии изложены в «Трактате о полном четырехстороннике» (1260) иран- ского математика Н а с и р э дд и н а ат-Ту с и (1201 —1274). Это был ученый-энциклопедист. Он является автором трудов по экономике и истории, по философии и этике, по логике и теории поэзии, по астрономии и математике. Родился и жил он тоже в Хорасане, в той его части, которая сейчас входит в Иран, в большом городе Тусе. Некоторое время служил при дворе одного из иранских правителей. Когда Иран завоевали монголы, новый владыка Хулагу-хан, выбрав столицей Марату, приказал построить там обсерваторию. Насирэддин должен был руководить ее строительством и оснащением. Ат-Тус и пригласил в Мар аги некую * Хорасан область, занимавшая часть сон ременного Ирана, Афганистана н Туркмении. 124
обсерваторию многих известных ученых, создал богатую библиоте- ку, собрав в нее ценные рукописи из разных городов. Под его руководством было проведено много важных математических и астрономических исследований. В частности, был составлен астрономический каталог, названный в честь хана «Эльханскими таблицами». Развивались геометрия и тригонометрия. Сам Насирэддин еще в юности заинтересовался теорией параллельных и теорией отношений, посвятив этим вопросам ряд работ. В частности, он доказал, что пятый постулат Евклида эквивалентен предположению существования четырехугольника с четырьмя прямыми углами. Этот четырехугольник потом использовал Саккери (Геометрия, гл. II, п. 1). В «Трактате о полном четырехстороннике» Насирэддин дал систематическое изложение тригонометрии (плоской и сфериче- ской), начав с основных определений и закончив способами решения всех типов задач, связанных с треугольниками. Тригоно- метрия у него уже выступает не как вспомогательное средство для астрономических исследований, а как самостоятельная ветвь математики. Трактат Насирэддина явился главным источником для сочине- ния немецкого математика Региомонтана (1436—1476) «Пять книг о треугольниках всех видов». Настоящее имя ученого Иоганн Мюллер, но история оставила за ним имя Региомонтан — это псевдоним, взятый ученым по имени родного города. Его родина — Кенигсберг, что в переводе с немецкого означает «королевская гора», а Региомонтан — «житель королевской горы» по-латыни. Свое сочинение Региомонтан не успел издать при жизни, оно увидело свет только в 1533 г. Этот основательный труд стал базой для дальнейшего развития тригонометрии в Европе. Интересно, что в нем Региомонтан использует помимо шестидесятиричных дробей, принятых у арабов, десятичные дроби, но это нововведение прошло незамеченным европейскими учеными. Через столетие Эйлер представил тригонометрические функции в виде сумм степенных рядов. Теперь уже эти функции могли быть определены вне зависимости от линий в круге и рассматриваться для произвольного числового аргумента. Естественно, что названия основных тригонометрических функций пришли в Европу из арабских стран, хотя возникли они в Индии. Например, линия синусов в Индии называлась сначала «ардхаджива» (от «ардха» — половина, «джива» — хорда, тетива лука), а потом просто «джива».,Арабские переводчики записали это слово как «джиба», но, лишенное в арабском языке смысла, оно не прижилось и было заменено близким по звучанию словом «джайб» — залив, изгиб, пазуха1. На латынь его так и перевели «синус» — изгиб, залив. Приставка «ко» в слове «косинус» образовалась от сокращения латинского слова complementum — дополнение. Термины «тангенс», что на латыни означает «касаю- щийся», и «котангенс» появились в Европе в XVI — XVII вв. 125
2. Логарифмы Всем знакомо замечательное свойство логарифмической функ- ции: loga (ху) = logax + logoy. Оно позволяет свести операцию умножения к операции сложения. Особенно это бывает удобно при работе с тригонометрическими функциями. Например, имея таблицы десятичных логарифмов, для вычисления числа c = sin 18°*cos50° можно сначала найти его логарифм 1g с = lg sin 18° + lg cos 50°= (— I +0,4900) + (— 1 + + 0,8081) = — 1 +0,2981, а затем и с = 0,1987. (Здесь мы восполь- зовались таблицами В. М. Брадиса.) Потребность в замене операций умножения и деления более простыми — сложением и вычитанием — возникла еще в глубокой древности. Уже вавилоняне использовали для этой цели формулу ai> = 4((o + *)2— (° —&)2)’ находя правую часть равенства по таблицам квадратов. Более остро эта проблема встала в средние века в связи с возросшим объемом вычислений. Это было время зарождения промышленно- сти, бурного развития торговли и мореплавания. Особенно много внимания уделялось составлению более точных астрономических таблиц. Именно для облегчения этой работы и были созданы логарифмы. Впервые они появились в работах шотландского математика и астронома барона Джона Непера (1550—1617) По окончании колледжа он совершил пятилетнюю образовательную поездку по континентальной Европе. Вернувшись в родовой замок, Непер посвятил себя занятиям математикой, теологией и магией. Изданное им толкование «Апокалипсиса» пользовалось большим успехом и было переведено на многие языки. Его математические работы были направлены на усовершенствование и упрощение существовавших методов в арифметике, алгебре и более всего в сферической тригонометрии. Таблицы логарифмов он составил, по-видимому, к концу XVI в. По крайней мере, один из его друзей сообщил в 1594 г. астроному Тихо Браге о новом способе, облегчающем вычисления. Но только в 1614 г. работа «Описание таблиц логарифмов» была опубликована. Затем появились (1620) таблицы логарифмов швейцарского ученого Иобста Бюрги (1552—1632). Он, работая в астроно- мической обсерватории вместе д1 Кеплером, занимался ремонтом часов, астрономических приборов и помогал Кеплеру в вычислени- ях. Для упрощения этих вычислений он и создал свои таблицы. Возникло понятие логарифма и у Непера, и у Бюрги из сравне- ния двух прогрессий — арифметической и геометрической. Сейчас, уже зная свойства логарифмической функции, мы легко можем 126
убедиться, что она действительно сопоставляет геометрической прогрессии арифметическую: если bn = bi'qn~' пробегает геомет- рическую прогрессию, то a/) = logobn = logafri-|- (п— I )logafl = = С) + (n— 1)d — арифметическую. При этом умножению членов геометрической прогрессии сопоставляется сложение соответству- ющих членов арифметической. Но в то время открытие этих соотношений между прогрессиями вызывало восторг. Впервые сравнение арифметической и геометрической прогрес- сий встречается в словесной форме еще у Архимеда в его «Исчислении песчинок», много позже — в «Науке о числе» (1484) Н. Шюке. Достаточно подробно исследовал это соответ- ствие немецкий математик М и х а эл ь Штифель (1487—1567) в «Полной арифметике» (1544). Приверженец учения Лютера молодой протестантский пастор Штифель заинтересовался математикой в поисках таинственного смысла чисел, встречающихся в богословских книгах. На основании сопоставления этих чисел он предсказал наступление в 1533 г. конца света. Среди его прихожан началась паника. Многие стали раздавать и уничтожать свое имущество и деньги. Однако намеченная дата прошла, а конец света не наступил. Тогда, оставшись ни с чем, прихожане набросились на своего пастора и упекли его в тюрьму. Чтобы освободить Штифеля, понадобились хлопоты самого Лютера. И возможно, с целью найти ошибки в своих расчетах Штифель решил всерьез заняться математикой. Таким образом математика приобрела замечательного ученого. В «Полной арифметике» приведены общее правило решения квадратного уравнения и правила действий над отрицательными числами. Встречается здесь и степень с дробным показателем. Здесь же с помощью арифметического треугольника выведены свойства числа сочетаний из п элементов по k (об этом речь пойдет в следующем разделе) и вычислены биномиальные коэффициенты для всех натуральных степеней до 17-й включительно. Для упрощения вычислений с большими числами Штифель сравнивает в своей книге две последовательности — арифметиче- скую и геометрическую прогрессии: —4, —3, — 2, -1, О, I, 2, 3, 4, Числа первой последовательности он назвал экспонентами (от лат. exponent — показатель, истец) соответствующих членов второй последовательности. Умножению членов геометрической прогрес- сии отвечает сложение их экспонент, а делению — вычитание экспонент. Штифель выводит некоторые другие соотношения между этими последовательностями, в частности, связанные с возведением в степень и извлечением корня. Далее он замечает: «Можно было бы написать целую новую книгу об этих удивитель- ных свойствах чисел, но здесь я этим ограничусь и пройду мимо 127
с закрытыми глазами». А жаль, тем самым он упустил возможность создать новый способ вычислений. Заметим, что у Штифеля члены геометрической прогрессии слишком далеко расположены друг от друга — слишком велик знаменатель прогрессии. Чтобы получить числа, расположенные на числовой оси по возможности гуще, нужно брать знаменатель ближе к единице. Поэтому Бюрги при составлении своих таблиц сравнивал уже другие прогрессии: О, 10-1, 10-2, 10-п, 10». ю‘-(1+2), ю».(1+2)2 io'.(i + 2)" Множитель 10е введен по обычаю того времени для того, чтобы не прибегать к десятичным дробям: таблицы содержат только целые числа. Вычисление членов геометрической прогрессии доведено до значения 10е-10, соответствующего « = 230270022, т. е. в таблицах Бюрги приведено колоссальное количество логарифмов. Но они еще не задавали логарифмической функции в полном объеме этого слова. Как ни часто заданы таблицей ее значения, все равно это пока лишь отдельные значения. Ближе всех к понятию логарифмической зависимости подошел Непер, обратившийся к кинематике. На современном языке его рассуждения можно описать следующим образом. Пусть из точек А и С одновременно начинают двигаться два тела (рис. 71). Первое М движется по отрезку АВ равнозамедленно: его скорость пропорциональна оставшемуся расстоянию у до точки В; второе т движется равномерно по лучу с началом в точке С. Положим начальные скорости обоих тел равными v, а длину отрезка АВ равной 1. Обозначим через х расстояние, пройденное телом т за время /, и найдем связь х с у. Очевидно, x = vt. Скорость di тела М пропорциональна расстоянию у\ tf(i-y) dt -=ky. В начальный момент (при у= 1) она равна и, откуда k — v. Итак, имеем дифференциальное уравнение <f(l— у) dy 1 ~—=vu, или -±-= — vy. dt dt * A MB C m X Рис. 71 Разделив переменные —= — vdt у и перейдя к первообразным, полу, чим его общее решение: lnli/1 = — и/+1п|С|. 128
Чтобы найти С, воспользуемся начальными условиями: при f ~0 у=1, поэтому 0 = 1п|С|. Таким образом, искомое решение нашего дифференциального уравнения имеет вид 1п/у =—ц/. Учитывая, что vt — x, имеем 1пу=—х, или In—=х, или log,t/=x. У г Конечно, у Непера не было ни дифференциального уравнения, пи логарифмической функции, ни привычных нам обозначений. Просто мы хотели показать, что его рассуждения приводят к логарифмической функции, и найти основание логарифма. Сейчас в высшей математике чаше используют логарифмы с основанием е. Такие логарифмы ученик Кавальери итальянский математик П ьетр о Мен гол и (1625—1686) назвал (1659) на- туральными, т. е. естественными. Как мы уже могли убедиться при решении различных дифференциальных уравнений (см. гл. III), они на самом деле естественно возникают во многих задачах. А поскольку они впервые появились у Непера, то число е иногда называют неперовым. Обозначение «е» ввел Эйлер. Сам Непер разбивал участки движения на 107 частей, соответствующих временному интервалу 10-7 единицы времени. В результате путь, пройденный телом пг, оказался поделенным на отрезки равной длины точками: у 2и Зи 107 107 107 Покажите, что отрезок АВ разбивается при этом на части точ- ками, расстояния которых до точки В образуют геометричес- кую прогрессию со знаменателем 1 — V То7 (Чтобы иметь дело лишь с целыми числами, Непер полагал АВ= I07.) Члены первой прогрессии Непер назвал логарифмами соответствующих членов второй прогрессии, образовав это слово из двух греческих слов: «логос» — отношение и «арифмос» — число. Мы видим, что Непер, как и Штифель, сравнивает арифметиче- скую и геометрическую прогрессии. Но в самой постановке задачи о сравнении движений (т. е. непрерывных процессов) содержится идея логарифмической функции. А с помощью своих таблиц Непер фактически нашел приближенное решение дифференциального уравнения. Правда, его таблицы были далеко не идеальными. Например, log 1 у пего не был равен нулю. А поскольку числа , а х b и а x=ab и у= - удовлетворяют пропорциям и '[=р от‘ куда х~— то Непер считал 5. Л. П. Шибасоп 129
log(ab) = log a + log b — log I, log-^= log a — log b + log 1. Кроме того, у него log поэтому для чисел, отличающихся множителем 10*. приходилось заново вычислять логарифмы, что было неудобно. Размышляя над усовершенствованием своих таблиц, Непер пришел к мысли положить log 1=0 и взять за основание число 10. Но состояние здоровья не позволило ему заняться составлением других таблиц. И он был обрадован, когда узнал, что профессор лондонского колледжа Г е н р и Бригс (1561 —1630) при изучении его таблиц тоже пришел к мысли о десятичном основании логарифмов. Бригс приехал к Неперу, и они вместе обсудили принцип составления новых таблиц. В 1617 г. Бригс опубликовал таблицы десятичных логарифмов. Они сразу завоевали попу- лярность и интенсивно использовались в астрономии и при выполнении громоздких расчетов. В связи с этим появилась потребность в удобном карманном инструменте, заменяющем логарифмические таблицы. Первый такой инструмент был создан (1623) английским математиком Эдмондом Гунтером (1581 —1626). Это была линейка с логарифмической шкалой, сложение на ней осуществлялось с помощью циркуля. В 1630 г. В. Оутред усовершенствовал линейку Гунтера, заменив циркуль движком с нанесенной на нем второй логарифмической шкалой. Практически без существенных изме- нений эта линейка исправно служила вплоть до наших дней. И до появления микрокалькуляторов логарифмическая линейка была необходимой принадлежностью каждого инженера или техника. С появлением ЭВМ надобность в логарифмической линейке и в логарифмических таблицах отпала: любое вычисление на машинах производится гораздо быстрее и с большей точностью, чем с использованием таблиц, а тем более линейки. Сейчас и логарифмическая линейка, и логарифмические таблицы более интересны нам с исторической точки зрения. Подход Непера позволял определить логарифм любого поло- жительного числа, но сделано это было не скоро. Общее опреде- ление логарифмической и показательной функций как взаимно обратных было дано только в XVIII в. Эйлером. Но и тогда еще не могла быть построена строгая теория этих функций. Для этого нужно было владеть понятием степени аа с любым действитель- ным показателем а. А оно окончательно сформировалось только в XIX в., когда в математику прочно вошло понятие предела и был обнаружен тот факт, что для любого иррационального чис- ла а существует последовательность {г„ | рациональных чисел, сходящаяся к а: limr„ = а. 130
Теперь степень ав(а>0) определяется как предел a“ = limar‘. Л—► со Можно доказать, что он всегда существует и не зависит от выбора последовательности {гл), сходящейся к а. В результате такого определения стало возможным рассматривать степенную функцию у=ха с любым действительным показателем и показа- тельную функцию у=ая для любого действительного х. Правда, переменная величина в показателе без всякого на то основания встречалась уже в письмах (1679) Лейбница к Гюйгенсу. Надо сказать, что в начале XVIII в., еще не имея строгой теории, ученые свободно работали с показательными и логарифмическими функциями и получили много их интересных свойств. Логарифмическая функция x = log0i/ сейчас, следуя Эйлеру, определяется как обратная к показательной у=ах Но ее можно задать и с помощью интеграла. Впервые это установил бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1584-1667) так значи- лось имя автора на титульном листе работы «Геометрический труд о квадратуре круга и конических сечений» (1647). Фамилия ученого до нас не дошла. В истории математики он известен как Сен-В инцент. Изучая криволинейные трапеции, ограниченные гиперболой у — у длях>0, он показал, что площади трапеций, построенных на отрезках [а; 6] и [kd; kb], равны между собой (рис. 72). Этим самым было доказано равенство, которое можно записать так: в частности Из него Сен-Винцент получил замечательное следствие: если абсциссы точек гиперболы пробегают геометрическую прогрессию, то площади соответствующих трапе- ций — арифметическую прогрессию. Чтобы доказать это утверждение, У| введем функцию !/=ZW= I Пусть аргумент х пробегает гео- метрическую прогрессию х, хг, х3, х4, Покажем, что соответ- ствующие значения [(х), f(x2), функции y=f(x) обра- ~q~ зуют арифметическую прогрессию. На самом деле Рис. 72 5’ 131
J1 /(x2) = Vr+ $4=^x> + j -r=2^x>- I I X 1 Аналогично получается, что f(x3)=3f(x) и т. д. Вообще, /(x")=nf(x) Утверждение Сен-Винцента доказано. Итак,/(х) — логарифмическая функция в том смысле, в котором ее понимали до XVIII в. Убедимся, что функция у=/(х) является логарифмической и в смысле определения ее как обратной к показательной. Для этого остановимся на свойствах функции y = f(x). Во-первых, /(1)=0, так как в этом случае криволинейная трапеция вырождается в отрезок с нулевой площадью, во-вторых, легко видеть, что/(х) возрастает, в-третьих, нетрудно показать, что она непрерывна. Далее мы вывели равенство/(л?)_=nf (х) для любого натурального числа п. Пользуясь непрерывностью, покажем верность его для произвольного действительного числа. Начнем с показателя, равного -U Обозначим x" = q, тогда x~qn. Имеем f(qn) =n.f(q), откуда f(q)=±f(qn) или f(x")=-^f(x).B резуль- тате равенство справедливо для рационального показателя: /(х") =—/(х). Пусть теперь а — произвольное действительное число. Найдется последовательность рациональных чисел гп, сходящаяся к а, т. е. а= lim гп. В силу непрерывности функции / Л-»-СЮ имеем f (х“) = /(limZ*) =lim f(xr‘) = lim rn/(x) = а/(х). Л-ЮО Л^-СЮ Л—OD Итак, равенство f(xa) =af(x) верно для любого действительного числа. А поскольку функция f возрастает от нуля до + ©о, то существует такая точка а, в которой /(а) = 1, откуда /(а“)=а, т. е. функция / обратна к показательной, а потому является логарифмической: а = /(х) = logo х. Можно показать, что основание этого логарифма а=е. Итак, для любого положительного значениях имеем Г dt . \—= 1пх. 132
Логарифмическую функцию можно определить еще и с по- мощью степенного ряда. Но сначала надо познакомиться со степенными рядами. Поэтому естественно здесь сделать некоторое отступление от первой темы нашей главы и поговорить о рядах. Мы начнем с наиболее простых из них — с числовых рядов. 3. Бесконечно много слагаемых Всем известно, как находить сумму конечного числа слагаемых. Л можно ли ее определить для бесконечного множества слагаемых? Этот вопрос интересовал еще ученых древности. Они умели находить сумму бесконечной последовательности слагаемых, если эти слагаемые образовывали убывающую геометрическую прогрес- сию. Мы же, чтобы подойти к ответу на этот вопрос, начнем с наглядного примера: от отрезка единичной длины отнимем половину, затем отнимем половину от оставшейся половины, далее еще половину оставшейся части и т. д. В итоге бесконечного процесса от отрезка ничего не останется. Записать это можно следующим образом: 1 —(4+4г+"4+ -)=0- или 4+4‘+4’+~=1' В результате мы смогли придать смысл бесконечной сумме слагаемых, образующих геометрическую прогрессию с первым , 1 I членом О|=у и знаменателем Обратимся теперь к произвольной геометрической прогрессии bi, b2t Ьз................bnt где bn = bi • fl'*-1 Названием своим она обязана тому очевидному свойству, что любой ее член является средним геометрическим двух соседних членов. Вычислим сумму Sn первых п членов этой прогрессии: = ы 1+?-н2+• + <7"~1) = Ь| • Если Ifllcl, то при неограниченном возрастании п величина lflr = lflnl неограниченно уменьшается, поэтому limfl" = 0. В ре- зультате поэтому имеет смысл положить ^i + ^iA + ^iA2+ — +^я~1+-=7Г^ Как давно возник интерес к задачам на геометрическую прогрессию, показывает хотя бы тот факт, что одна из них содержится в папирусе Ринда, который датируется XVIII в. до п. э. Это египетский математический папирус, содержащий 133
84 задачи, составлен писцом Ахмесом, как свидетельствует его собственноручная подпись. Название свое папирус носит по имени английского египтолога, обнаружившего его и передавшего в дар Британскому музею. В папирусе Ринда содержится такая запись: 7 картина 49 кошка 343 мышь 2401 ячмень 16807 мера Ученые считают, что это занимательная задача типа: «У 7 лиц имеется по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь — по 7 колосьев ячменя, из каждого колоса вырастает по 7 мер зерна. Сколько всего предметов?» Так это или нет, но налицо пять членов геометрической прогрессии со знаменателем 7 Конечно, при решении такой задачи производился непосредственный подсчет. Общая формула вычис- ления суммы п членов геометрической прогрессии появилась го- раздо позже. Но уже Архимед в трактате «Квадратура параболы» находит такую сумму для прогрессии со знаменателем q = у Она ему встретилась при доказательстве теоремы: «Сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту». Приведем его рассуждения на привычном нам языке алгебры (у самого Архимеда доказательство геометрическое и обозначения другие). Для доказательства теоремы он вписывает в параболиче- ский сегмент указанный треугольник (рис. 73), обозначим его площадь через Q. В оставшиеся два сегмента таким же образом 131
Архимед вписывает по треугольни- ку ADB и ВЕС и показывает, что сум- ма Р площадей двух построенных треугольников составляет четвертую часть Q. Далее в оставшиеся сег- менты вписываются треугольники с р суммарной площадью /? = —. Про- должая аналогичные построения, Ар- химед получает пять членов гео- метрической прогрессии: Q:P=P:/? = R:L = L:M = 4:1. Чтобы вычислить их сумму Рис. 73 S=Q+P+R+L+M, он находит U «3 О О □ О О w =4е+т«з+р+я+£) и w о и w Откуда s=4<?— Этот результат совпадает с формулой суммы п членов геометрической прогрессии: „ &|(1- fe.-fen-M На самом деле при имеем о 4 а 4 h 4 h 1 fc =3bl-~3bn+1 = Tbl ”ТЬя И хотя Архимед выводит эту формулу не для любого числа слагаемых (это стали делать лишь в XVIII в.), а только для пяти, античные математики понимали, что его метод годится для любого п Представляется даже возможным, что Архимед переходил в полученном равенстве к пределу; правда, он об этом нигде не упоминает, поскольку обращение к бесконечности не могло тогда считаться надежным способом доказательства. Методом от противного он доказывает, что площадь параболического сегмента не может быть ни больше ни меньше и тем самым по- лучает нужный результат. 135
Возьмем теперь произвольную числовую последовательность at, аг, , ап, и запишем бесконечную сумму которую назовем числовым рядом. Возникает естественный вопрос: можно ли вычислить сумму этого ряда? Если да, то как? Начнем постепенно к первому члену ряда по одному прибавлять последующие члены: fli, 01 + 02, а14-а2 4-аз, .... О14-а24-оз4- 4-ап, Полученные суммыЗ], Sz, S3, Sn, называют частичными. Они образуют числовую последовательность. Если существует ко- нечный предел этой последовательности limS„ = S, то его и принимают за сумму числового ряда. В этом случае говорят еще, что ряд сходится к числу S, и записывают 014-024- 4-оя4- =S. Если же последов ательность5„ не имеет конечного предела, то говорят, что ряд расходится. В этом случае у него либо вообще нет суммы, либо она бесконечна. Часто используют предложенную Эйлером компактную запись ряда о< 4-^4“ 4-On 4-= £ ол. Л“1 (Читается: сумма ап по п от единицы до бесконечности.) Как мы видим, ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, сходится при |?| с 1. Покажем, что при остальных q он расходится. На самом деле в этом случае сумма S„ его первых п членов при п, стремящемся к бесконечности, либо неограниченно возрастает по модулю (при |?| > 1 и q~ 1), либо вообще не имеет предела (при q= — 1). Теперь мы можем привести массу примеров сходящихся рядов: f 1^=2+4+4+-=3 П=| у 3 . 3 __Э.+ ...=2 L 2"-1 2Т2! 2s Т Л " I f -^=1+0,1+0.01+0.001+... = 1| Л ™ I и расходящихся рядов: f 2л-| = 1 4-24-44-84-164-.- Л" I 136
f ( —3)я-‘=1— 3+9—27+81—... 1 f (-1)"-'=1-1+1-1+1- n= I Приведем еще пример сходящегося ряда, члены которого уже не образуют геометрической прогрессии: L. л(л+1) 1-2 ' 2-3 ' 3-4 Так как————=----— то сум му Sn первых п членов этого л(л + 1) п л + 1 J J • г ряда можно записать в виде 1-2 2-3 + - + п(л+ I) 1, то ряд сходится к еди- Поскольку lim Sn= limf 1 Л-*сЖ> нице: £|Я(п+1) 1 Уже на заре формирования учения о рядах вычислялись суммы довольно сложных рядов. Так, X. Гольдбах нашел сумму S всех - v 1 . дробей вида - при натуральных п и т. Фактически он рассмотрел следующий двойной ряд: S J СО V <я> s= У ( £ ________!____ )= У Дя+ь л=.\ 411 (л+1)«-+' / 411 где ^я + ,= £ 7л+!)-+ т = 1 Поскольку I - 1 -I—1 2 ^5"“г 23 21 ’ I 1*2’ 1 “ ’2 137
то двойной ряд можно переписать в виде л(п + I) Л = I А эту сумму мы только что нашли. Итак, 5=1. 4. Парадокс сдвинутых кирпичей Теперь, после того как мы определили сумму ряда, посмотрим, какие свойства, имеющие место для конечных сумм (в смысле числа слагаемых), переносятся на ряды. Но сначала выведем необходимое условие сходимости ряда. Пусть дан ряд £ ап, сходящийся к 5, тогда limSn = S. Яс- но, что тот же предел имеет и S„_|. Поэтому lim (5„ —5Я_|) = — S — 5 = 0. Но 5П —5„_i = an, следовательно, limая = 0. Дока- л— за иное утверждение называют также необходимым признаком сходимости ряда: если ряд сходится, то предел его п-го члена равен нулю. Обратное предложение неверно. Покажем это на примере следующего ряда: f 4=1+1+т+-+4+ п-1 Этот ряд называется гармоническим, поскольку каждый его член является средним гармоническим двух соседних членов, т. е. обрат- ная величина любого члена равна среднему арифметическому обратных величин членов, соседних с ним: (л—1) + (л+1) Я ------ ----— _ 138
Название «среднее гармоническое» появилось в связи с иссле- дованиями пифагорейцев в теории музыки. Они установили, что звуки, издаваемые струнами длины I и 2/, для нашего восприятия практически сливаются. Интервал, образованный этими звуками, назван октавой. А струна длины --1 издает звук, образующий О вместе с двумя исходными гармонично звучащий аккорд. При этом * I 1 I , . обратные величины длин струн — , -& , образуют арифмети- ~з 1 1 / 1 I 1 \ п ческую прогрессию, так как -т^-=-=-(—+). По аналогии, если т для чисел а, Ь, с выполнено равенство -1- = + у), число с стали называть средним гармоническим чисел а и Ь. Расходимость гармонического ряда доказал Оресм в работе «Вопросы по геометрии Евклида» (ок. 1350). Рассуждал он так. Первые два члена ряда оставим без изменения, а остальные разобьем на группы, состоящие из двух, четырех, восьми и т. д. слагаемых: Поскольку 1 J___1_ 3 4 ’ 4 — 4 1 £ ± _L J L 5 "> 8 ' 6 >8 ’7^8 ’ 8 ~ 8 9 > 16 * 10 > 16 ’ II 16 16 16 то сумма гармонического ряда, если она существует, больше суммы ряда 1 +i+(T+7)+(i+i+T+i)+ 8 слагаемых 2*2'2 ~ Но последняя сумма бесконечна. Сле- довательно, гармонический ряд расхо- дится.
I | ~х А» В 6) г) Рис. 74 На этом свойстве основан «парадокс сдвинутых кирпичей». Он состоит в том, что, укладывая на горизонтальную поверхность одинаковые кирпичи друг на друга, можно сложить искривленную колонну так, что самый верхний кирпич окажется сдвинутым относительно самого нижнего на любое расстояние, в частности на длину целого кирпича. Покажем, как это можно сделать. Уложим два первых кирпича. Верхний из них не упадет, если его центр тяжести (точка 4) проектируется на нижний кирпич. Поэтому верхний можно сдвинуть относительно нижнего макси- мально на половину кирпича (рис. 74, а). Если / — длина кирпича, то первый (сверху) сдвинут относительно второго на Затем оба эти кирпича положим на третий. Максимально возможный сдвиг двух верхних кирпичей относительно нижнего получится в случае, когда их центр тяжести — точка В (это середина отрезка, соединяющего центры тяжести двух первых кирпичей) — спро- ектируется на ребро третьего (рис. 74, б). Если обозначить черезх расстояние, на которое сдвинут второй кирпич относительно нижнего, то на основании закона о равновесии рычага получим р*=р(1-х), где Р — вес одного кирпича. Откуда х=-^. Центр тяжести этих трех кирпичей находится в точке С (рис. 74, в). Она лежит на отрезке с концами в точке Вив центре третьего кирпича и делит этот отрезок в отношении 1:2, так как в точке В сосредоточен вес двух кирпичей. Максимальное расстояние у, на которое можно сдвинуть край третьего кирпича, находится из равенства 2Ру=Р^—у^, откуда У=^- Аналогично находится но
следовательно, z =4-. Про- О величина г сдвига четырех уложенных кирпичей (рис, 74, г) относительно пятого: 3Pz — должая этот процесс, на n-м шаге найдем величину сдвига I предпоследнего кирпича относительно последнего t = Она на- ходится из равенства (л-1)Я=р(4~/). В результате край первого кирпича окажется сдвинутым относительно края (п+1)-го на величину —+—+—+ _|_____—=—(\ -X.—+—+ .+—Y 2'4 6 2л 2\ ^2^3^ В скобках стоит частичная сумма 5Я гармонического ряда. Поскольку он расходится, можно набрать столько его членов, что их сумма£л будет больше любого наперед заданного положитель- ного числа М А тогда 4(1+Т+Т+- + 4')>4'М’ Другими словами, можно сдвинуть верхний кирпич относительно нижнего на любую величину. В частности, достаточно пяти кирпичей, чтобы этот сдвиг превысил длину целого кирпича: Мы начали с необходимого условия сходимости ряда: lima„ = 0. Пример гармонического ряда убеждает, что выпол- нение этого условия не гарантирует сходимости ряда. Но, оказывается, есть один тип рядов, для которых необходимый признак сходимости является и достаточным. Речь идет о знакоче- редующихся рядах — рядах, в которых два любых соседних члена имеют разные знаки. Например, ряд £<^=,-4-+<» л= I является знакочередующимся. Если модули членов знакочередующегося ряда, монотонно убывая, стремятся к нулю, то он сходится. Теорему эту впервые (1682) доказал Лейбниц, поэтому она носит его имя. Для ряда, приведенного в качестве примера, условия теоремы выполняются, и поэтому он сходится. А теперь выясним, какие свойства конечных сумм переносятся на бесконечные. В конечной сумме можно произвольным образом расставлять скобки, а в рядах это не всегда возможно. Например, если в ряде 1—1 + I-1 + 1 —1+... 1-11
расставить скобки так: 1 — (1 — 1) — (1 — 1) —то получится ряд 1—0—0—0 —.... сходящийся к единице. Если же скобки расставить иначе: (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + то придем к ряду 0+0+0+..., сходящемуся к нулю. Эти парадоксы возникают из- за расходимости исходного ряда. В сходящихся рядах скобки можно расставлять каким угодно способом. Более того, сходящиеся ряды можно почленно склады- вать и умножать на фиксированное число. Но и на сходящиеся ряды нельзя переносить автоматически все свойства конечных сумм. Так, переместительное свойство (комму- тативность), формулировка которого перешла в поговорку «От перемены мест слагаемых сумма не изменится», не всегда верно для сходящихся рядов. В качестве примера рассмотрим сходящийся ряд (1). Позже (см. п. 6) мы покажем, что его сумма равна 1п2. Переставим члены этого ряда так, чтобы за одним положи- тельным шли два отрицательных: |_±_±+±_±_±+1__!___!_+... 2 4'3 6 8 ' 5 10 12 т и расставим в нем скобки следующим образом: 0-B-T+(T-4)-i+(y-,V)-4+- Получим ряд ±-±+l_J-+J_______ 2 4^6 8 10 12 т 1/1 । 1 1 । I 1 1 । \ I . о ~2\ 2“*"Э 4 + 5 6 + 2 П2‘ Мы видим, что от перемены мест слагаемых сумма уменьшилась вдвое. Чтобы ряд обладал свойством коммутативности, мало его сходимости — нужна еще сходимость ряда, составленного из модулей его членов. В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Если для ряда (1) составить ряд из модулей, то получим гармонический ряд, а он расходится. По этой причине свойство коммутативности для ряда (1) не выполняется. Но для положительных рядов (у которых ая>0) понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Поэтому положительные сходящиеся ряды обладают переместительным свойством. Поскольку для сходящихся рядов выполняются многие свойства конечных сумм, то они представляют наибольший интерес — математики стремятся, как правило, работать со сходящимися рядами. В связи с этим важно уметь выяснять, сходится данный ряд или расходится. Сделать это на основании Н2
определения не всегда легко. Поэтому ученые искали и нашли много признаков, по которым можно установить сходимость ряда, но мы на них останавливаться не будем. 5. Степенные ряды у Ньютона Степенные ряды начали широко использоваться в математике с работ И. Ньютона. Мы уже встречались в арифметическом разделе с формулой бинома Ньютона для натурального показателя (a+jt)',=a" + Cla"-'*+CSa"-2x2+-.4-CS ж". где > и говорили, что формула была изве- стна задолго до рождения великого ученого. Его заслуга заключалась в распространении этого результата на дробные показатели. По аналогии с известной формулой он пришел к равенству (а + х)' = а' + гаг~1 х + г^2! 2х2 + + Д^'1,<^>-О'-Зх3 +...+ r(r-O..U-* + l)a,-tjct + для произвольного рационального г. Строгое доказательство этой формулы было дано значительно позже (1811) Гауссом. Для натурального показателя, т. е. для г — п, коэффициенты С* = 0 при k>n, поэтому в правой части остается многочлен. Но, если г не является натуральным числом, этого не происходит и правая часть представляет собой бесконечную сумму степенных функций. Бесконечную сумму степенных функций с произвольными вещественными коэффициентами называют степенным рядом. В общем виде его можно записать так: £ апхП=ао + aiX + агх2+ ... + СлХл +... л=() Интересно, что каждый степенной ряд имеет на числовой прямой свой фиксированный интервал сходимости (— /?; /?), симметрич- ный относительно точки О. Если взять любую точку из интервала сходимости и подставить в данный степенной ряд вместо х, то получим сходящийся числовой ряд. Если же вместо х подставить произвольную точку, лежащую вне интервала сходимости, придем к расходящемуся числовому ряду. Радиус R интервала сходимости может быть (в зависимости от ряда) равен нулю — тогда ряд сходится лишь в точке О, произвольному конечному числу и даже ЫЗ
бесконечности — в этом случае ряд сходится на всей числовой прямой. На концах интервала сходимости ряды ведут себя по- разному. Так, ряд f (-I)—.£=JC_^+'_'+... (2) Л— I сходится в интервале ( — 1; 1). При х= — 1 он принимает вид 2 —--------5-— = — ) ““ “ это гармонический ряд (если не П-1 Л=1 считать знака « — »), который, как мы уже знаем, расходится. При х = 1 имеем V --— -----знакомый нам ряд (1) —он сходится. t—i п п~ I Итак, степенной ряд (2) сходится на промежутке (—1; I]. Поскольку сумма степенного ряда существует для любой точки из интервала сходимости, то она представляет собой функцию, определенную на ( — R; R): f(x)= f оях" п—0 Говорят также, что функция /(х) в интервале (— /?;/?) разложена в степенной ряд. Так как у сходящегося ряда п-й член стремится к нулю, то наиболее существенными являются первые члены ряда — это свойство используется в приближенных вычислениях: функцию заменяют суммой нескольких первых членов ее степенно- го ряда, т. е. многочленом. Естественно, приближение тем точнее, чем больше взято членов ряда. Степенные ряды отличаются друг от друга только своими коэффициентами во, ai, .... поэтому кажется, что они задают узкий класс функций. На самом деле это не так. Все основные эле- ментарные функции раскладываются в свои степенные ряды. Очень красивые ряды получаются для показательной функции с основа- нием е и для тригонометрических функций sin х и cos х: * if if^ Sin x=———+-——4-... I! 3! '5! 7! x2 x* x6 COS X= I 2^+ dT— 6! + ' Эти разложения справедливы для любой точки х числовой прямой. Каждый степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать, т. е. справедливы следующие равенства: Н-1
ru)s( Efl/j = I (0^")'= X п-ая-лл \ n=0 J n™0 it"l n=0 где отрезок [0; /] целиком лежит в интервале сходимости. Вновь полученные ряды имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд. Продифференцируем ряды для функций г*, sin х и cos л: 1 9г 4 г3 (И'=0+4+-£-|-^-+^+. х х2 X3 •=1+ 11+ 21 + 31+ = «• . . . - 1 Зх2 . 5х4 7х6 . (smx) и 31+51 71 + — . X2 , X1 X6 | _ 2! 4! 6|+ ——COSX, , п 2х . 4хэ 6х5 . (cosx)=0 21+4, 6|+-.= х . х3 х5 . 11+31 «+•••= s,njt- В полученных результатах мы узнаем известные формулы — это естественно: ведь мы имеем дело с теми же функциями, только записанными по-другому. А теперь проинтегрируем ряды для е1, sin х и cos х: Снова пришли к знакомым формулам. Указанные свойства убеждают в том, что задание функции в виде степенного ряда ничуть не хуже привычного нам задания конечной формулой. Имея степенной ряд, можно найти все свойства его суммы и вычислить ее значение с любой степенью точности. Но перечисленные свойства были получены математиками в более позднее время. Как же работали с рядами ученые в XVII в.? Обратимся сначала к рассуждениям Ньютона. Рассмотрим II5
решение одной задачи из его работы «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»: найти площадь фигуры, ограниченной частью гиперболы у= и осью абсцисс. Ньютон, чтобы «освободить это уравнение от знаменателя», производит деление числителя на знаменатель: Откуда у= а'х 1 «...искомая b ь2 1 ь3 ь* площадь будет равна а2х с?х2 । а2*3 а2х* —TF и т' я-’ Поэтому Ньютон пишет: И здесь же замечает, что «для любой цели достаточно точно взять небольшое число его начальных членов, если только х в несколько раз меньше Ь». Это замечание очень важно для приближенных вычислений. Кроме того, оно показывает, что Ньютон имел четкое представление о сходимости ряда. При достаточно большом х он предлагал разложение функции в ряд с отрицательными показателями. Аналогичную задачу еще раньше независимо от Ньютона решил Меркатор, который показал, что полученный ряд сходится к логарифмической функции. Ньютон, в отличие от Меркатора, не устанавливает этого факта. Он работает с функциями, заданными в виде рядов, и его не интересует, как они записываются с помощью привычных нам формул. В том же «Анализе...» он пишет: «Все, чего обычный анализ достигает (когда это возможно) при помощи уравнений с конечным числом членов, здесь всегда достигается при помощи бесконечных уравнений. И я не колеблюсь употребить и здесь термин: анализ. Действительно, рассуждения в нем не менее достоверны, чем в первом, и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять все их члены так, чтобы точно узнать из них искомые величины». Ньютоновский подход вполне понятен: ведь математи- ческий анализ был им разработан для решения физических задач. А для этого, как правило, достаточно знать приближения функций, 146
например, многочленами. Методом приближений Ньютон идет и при решении дифференциальных уравнений. Остановимся на решении одного из них: — 1 — Зх+у + хх+ху. Через — Ньютон обозначает производную у'(х). Искомую функ- цию у (х) он последовательно приближает степенными. Пусть у' = = 1, тогда у=х. Произведем замену переменных y=x+z, при этом у'= Iи уравнение примет вид I + z'= 1 —3x+ (x + z) + x2 + x(x + z), или z' = — 2x + 2x2 + z+xz. Положим теперь z' = — 2х, откуда z = — х2. Заменим z= — х2-Н соответственно z' =—2x-j-t' и перейдем к уравнению t' = x2 — x3+t + tx. Далее, рассуждая аналогично, будем считать 1' = х2, тогда JC3 JC3 / = -=-. Заменив I на —+« (при этом С=х2 + и'), получим J о U' = — + 4 и + их. Из равенства и'=—|-хэ приходим к следующей замене: и=—и т- Д- Возвращаясь к исходным переменным, получим решение данного дифференциального уравнения: y=x + z=x—x2 + t=x — x2 + -^-+u = x—х2+^—— □ JO Как мы уже говорили в главе II, заслуга Ньютона заключается в выработке единого метода, основанного на разложении функций в степенные ряды, который он применял при дифференцировании и интегрировании функций и при решении дифференциальных уравнений. 6. Бесконечная квадратура Как нашел ряд для логарифмической функции Меркатор? Он воспользовался интегральным определением логарифма, данным Сен-Винцентом (см. п. 2): я J -ф-=1пх. 147
Функцию -у стоящую под знаком интеграла, он сдвинул на единицу влево, чтобы получить сумму геометрической прогрессии со знаменателем q=—tz Почленное интегрирование этого ряда возможно на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости (— 1; 1). В качестве отрезка интегрирования можно взять, например, [0;х] при |х|<1. Тогда Сам Меркатор не заботился о сходимости ряда (у него даже на чертеже взято х> 1). Интегралы от степенных функций ему были хорошо известны из работ Кавальери, Ферма, Паскаля. В резуль- тате он получил разложение 1п(х+1)=х- 7+^-7+- (3) В правой части полученного равенства стоит знакомый нам ряд (2). Он сходится при хе(-1; 1]. Положим х=1 в (3), тогда |п2=>-4+4-4+- т. е. сумма числового ряда (1) равна 1п2. Разложение (3) функции 1п( 1 -|-х) в степенной ряд имеет два недостатка. Во-первых, ряд сходится к функции 1п(1 +х) только на промежутке (— 1; 1], в то время как исходная функция In (1 -|-х) определена на полупрямой ( — 1; 4-оо). Во-вторых, сходимость ряда очень медленная. Для того чтобы вычислить, например, 1п2 с точностью до 0,01, надо взять 99 слагаемых ряда (1). Оба эти недостатка легко устраняются. Заменив к на —х в равенстве (3), получим равенство 1п(1 -х) = -Л—2"—V— справедливое на промежутке [ — 1; 1). Вычтем его из равенства (3). Поскольку 1п(1+х) — 1п(1—х) = In-j-придем к разложе- нию |п~Г^7=2(х+т+~г+v+) Ю верному для |х!<1- Разложение это со свойственным ему изяществом получил Эйлер. Несмотря на такие жесткие границы для х, равенство (4) позволяет найти логарифм любого положительного числа. 14«
Рис. 75 На самом деле под знаком логарифма стоит функция Ее график изображен на рисунке 75. Когда х пробегает промежу- ток (— I; 1), переменная у пробегает все множество положитель- ных Чисел. Поэтому для любого у>0 можно найти такое х из интервала ( — 1; I), что у= ~*"х- Полученный ряд сходится гораздо быстрее ряда (3). Вычислим 1п2 с помощью разложения (4). Для этого подставим в него Чтобы найти значение In 2 с тремя верными знаками после за- пятой, достаточно взять всего три слагаемых: 1п2 « АЛ + А+ ' 0,6938. Соответствующее значение, указанное в четырехзначных табли- цах М. Брадиса, равно 0,6931. (Мы не останавливаемся на определении погрешности вычислений.)
Рассмотрим еще один ряд, составленный из членов геометриче- ской прогрессии: Ее знаменатель q= —/2. Ряд сходится при |/| < 1. Интегрируя обе части равенства на отрезке [0; х], |х| < 1, получим [ dt ____ X3 ( XS X7 j х з+-5 " о г С другой стороны, интеграл ^-j-^p-=arctg х В результате име- о ем разложение в степенной ряд еще одной функции arctgx=x—7^+-^— Оно справедливо для всех хе (— 1; 1]. Разложение это впервые встречается в «Научном сборнике» (1501) индийского математика Нилоканты в виде sin «р sin3‘w । sirtsw Гф= Г---г——э + г-— ... cos ф 3cos ф 5cos <р Правило составления ряда Нилоканта дает в традиционной для индийских ученых стихотворной форме. В Европе ряд (5) стал известен в 1671 г. из письма шотландского математика Джеймса Г р е г о р и (1638—1675) к секретарю Лондонского Королевского общества Д. Коллинсу. При х=1 разложение (5) превращается в равенство Правда, мысль о подстановке в общий ряд значения х— 1 не приходила в голову ни Грегори, ни другим английским математи- кам, знакомым с его результатом. Числовой ряд (6) появился (ок. 1673) в одном из писем Лейбница, поэтому его и связывают с именем Лейбница. Лейбниц нашел сумму ряда (6) при вычис- лении площади кругового сегмента. Разложение это он назвал арифметической квадратурой круга. Результат привел в восхище- ние Гюйгенса. Ведь невозможно осуществить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки за конечное число шагов. Но если допустить бесконечную цепочку построений циркулем и линей- кой, то невозможное становится возможным, конечно чисто теоретически. Хотя ряд Лейбница позволяет вычислить число л с любой степенью точности (чем гордился сам Лейбниц), сделать это трудно. Все дело в том, что ряд (6) сходится очень медленно. 150
Например, для получения значения п с точностью до 0,01 надо вычислить сумму 50 первых слагаемых. Эйлер для устранения этого недостатка использовал тождество 2 1 3 1 1 arctg 1 = arctg--= arctg— + arctg— । 1 I 2 3 Мы предлагаем читателям доказать его. Полученные ряды > I 1 I . 1 । . arctg-g= -2—3^5-+“ 7^+ - arctgy=у 3 Зз+ 5 3s 7.37 + — сходятся гораздо быстрее ряда (6). Достаточно взять только по три первых слагаемых этих рядов, чтобы получить значение л с двумя верными знаками после запятой: л«4(4-^7+-^)+4(4— у 2 24 IDU / \ Л 01 1210/ as 1,8583-h 1,2872 = 3,1455. В заключение пункта заметим,что работа ЭВМ основана на использовании разложений функций в степенные ряды и вычисле- нии суммы нескольких слагаемых этого ряда. При этом математик должен предложить для каждой функции наиболее быстро сходящийся ряд. 7. Аналогия и интуиция Кто бы мог подумать, что такая непростая конструкция, как ряды, окажется связанной с простыми числами? Обнаружил эту связь Эйлер. Работая с рядами, он получил поразительные результаты в теории чисел, в алгебре и анализе. Наиболее известны его исследования, связанные с так называемым обобщенным гармоническим рядом (7) На самом деле формула (7) задает бесконечное множество рядов, отвечающих различным действительным k. Этому множеству принадлежат, например, ряды 151
при fe=l получается гармонический ряд. Ряд типа (7) сходится при Л>1, и его сумма связана с соответствующими степенями простых чисел. Эйлер доказал удивительное тождество Ё>П-Ч- <8> л=| р I--г р гдеП —произведение, распространенное на все простые числа, р и вычислил сумму ряда (7) для четных k. Сейчас сумму обобщенного гармонического ряда обозначают t(k) и называют дзета-функцией Римана. Связано это с тем, что более чем через столетие после Эйлера эту сумму изучал Риман, но уже для комплексного аргумента s = o+t7. Это позволило ему открыть новые ее интересные свойства. В частности, оказалось, что распределение простых чисел в ряду натуральных связано с распределением нулей (корней) дзета-функции. Установлено, что она имеет нули в точках s=—2m, где m — натуральное число; эти нули называют тривиальными (очевидными). Остальные (нетривиальные) нули являются комплексными и расположены в полосе 0<а< I. Риман высказал гипотезу, что все нетриви- • 1 альные нули дзета-функции лежат на прямой <г = -2- Гипотеза Римана до сих пор не доказана, но среди всех 3,5* 106 нетривиальных нулей, найденных с помощью ЭВМ, нет ни одного, который не лежал бы на указанной прямой. Все это вселяет уверенность в ее справедливости. Изучение дзета-функции Римана привело математиков к созданию аналитической теории чисел, где задачи из области теории чисел решаются средствами анализа. В настоящее время исследования дзета-функции и различных ее обобщений составляют основу этой теории. Но вернемся к резуль- тату Эйлера и посмотрим, как он пришел к тождеству (8). Во «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) он пишет: «Пусть Л = 1+^г+у+^+^г+^+^-+^+и т.д.; если вычесть ^ = ^+^+^4- ит.д., то получим (1-4’)л=1+?:+?+?+?+ ит-д=в; здесь отсутствуют все члены, делящиеся на 2. Если вычесть зГ^=У~Ьдг+"15*"+'2[г+ ит.д., 152
in будем иметь (1--^)в=1+з+Х+Л-+^+ ит.д.= С; здесь, сверх того, опущены все члены, делящиеся на 3. Если вычесть । г I । 1 । 1 . 1 I „ 5*С —S’”*" 25* + 35г“*" 55* + И т‘ Д - то получится /. 1 1 i 1 I 1 1 1 1 1 \1 5*)С~ +уг+ ] [* + 13* + 17* + и т- д- здесь недостает, кроме того, всех членов, делящихся на 5. Таким образом устраняются члены, делящиеся на 7, 11 и на остальные простые числа; при этом ясно, что по удалении всех членов, которые делятся на простые числа, останется одна только единица. Поэтому после подстановки значений В, CtD,E и т. д., наконец, получится »(« -Я* - =$ -Я' ~ Л1 и т- д = 1 ’• Тождество (8) доказано. Эйлер предложил еще одно доказательство своего тождества. На этот раз он обратился к суммам геометрических прогрессий со знаменателями fl=^г для всех простых чисел р = 2, 3, 5, Перемножив левые и правые части всех равенств, Эйлер вновь пришел к тождеству (8). При этом его, конечно, не зани- мал вопрос: можно ли правила почленного умножения много- членов распространять на ряды, тем более что множителей бес- конечное множество? К счастью, все это может быть обосновано. Тождество Эйлера продуктивно используется (в основном для случая комплексного k) в теории чисел. Докажем для примера с его помощью бесконечность множества простых чисел. Предположим противное: множество простых чисел конечно. Тогда в правой части (8) при любом k имеем конечное число. Левая часть при k= 1 представляет собой гармонический ряд, который расходится, т. е. не имеет конечной суммы. Полученное противоречие указывает па неверность предположения. 153
Остановимся еще на одном интересном результате Эйлера. Мы знаем, что многочлен, т. е. конечная сумма степенных функций, раскладывается в произведение a0 + aix+... + anx" = an(x—х() (х—х2)...(х—х„), где Xi, Х2, ха — корни многочлена, вообще говоря, комплекс- ные. А можно ли представить в виде произведения бесконечную сумму степенных функций, т. е. степенной ряд? Эйлер дал положительное решение этого вопроса для неко- торых рядов, действуя по аналогии с представлением много- члена. Но указанное разложение для проведения аналогии не го- дится, хотя бы потому, что у ряда нет старшего коэффициента. Положив в этом равенстве х=0, получим одну из формул Виета: ао = (— 1 )"a„XiX2...xn. Она поможет нам преобразовать разложение многочлена в про- изведение другого вида: а„(х—xi)...(x—х„) =а„( — I)" Х|...хя* -*-= Это уже подходящий для нашей цели вид произведения. Далее, представление многочлена в виде произведения содер- жит п множителей в соответствии с количеством его корней. По аналогии разложение ряда должно содержать бесконечное множество множителей, а сумма ряда должна иметь бесконечно много ненулевых корней. Так что не для всякого ряда (или функции, являющейся его суммой) задача имеет смысл. _ „ „ . sin х л Эйлер рассмотрел степенной ряд для функции ——. Она имеет бесконечно много ненулевых корней:х= ±л, ±2л, ±3л, Сам степенной ряд легко записать, поделив почленно нах ряд для sin х: sin л . __j6 । x ~ 1 3! + 5! 7 По аналогии с многочленом Эйлер представил этот ряд в виде бесконечного произведения (|-£И,+т)-(1~£И|+-£)- Сгруппировав попарно множители, он получил >-4+4-4+ (9) Конечно, Эйлер не обосновывал своих рассуждений, это было сделано через столетие Вейерштрассом. Но каким-то чудом он угадал, что в этом случае можно перенести свойство конечной суммы на бесконечную. 15-1
Математики были изумлены результатом Эйлера. Не меньшее впечатление произвели и различные следствия из формулы (9), найденные Эйлером. Если сравнить коэффициенты прил2 в левой и правой частях (9), придем к равенству откуда + + -- = U2) Сумму ряда чисел, обратных квадратам натуральных, безуспешно пытались найти многие математики. Вот что писал по поводу данного ряда Я. Бернулли: «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны». Сравнение коэффициентов прил\ х6 формулы (9) позволяет найти значение дзета-функции Римана при других четных s (соответствующие выкладки мы предлагаем читателям проделать самостоятельно): U4) = l+|+^+... + Jt + ... = ^- £ <6) =1 + -+^г+ -=-^j- К сожалению, получить похожие выражения для дзета-функции при нечетных значениях аргумента не удается. Переписав равенство Эйлера в виде можно вывести и другие любопытные соотношения. Например, при X=Y получается 4=(‘ ~^)(‘ “ 22-22) (’ “ 22-..2) т 1 I (2л— 1)(2л+1) , Так как 1—-------------2п 2п —~ то’ пеРеходя к обратным вели- чинам, имеем л__ 2 2 4 4 6 6 6 8 2 — 1 *3*3 *5*5 *7*7*9 *" С этой формулой мы уже встречались (Арифметика, гл. I, п. 3). Ее получил Валлис (1655), занимаясь квадратурой круга. Но не он был первооткрывателем бесконечных произведений. Еще раньше (1593) «отец алгебры» Франсуа Виет вывел ра- венство 155
Рис. 76 исходя из следующих геометрических со- ображений. Впишем в круг радиуса Р правильный n-угольник. Его площадь обозначим через Sn, а радиус ОС впи- санной в него окружности — через г„ (рис. 76). Удвоим число сторон вписанно- го многоугольника, получим 2п-угольник с площадью S2n и стороной АВ. Так как •$J1:S2fl=SOCB:S(W|B, а 5ОСВ =—•СВ-гп , ^олв = ~2'^^'^> то Sn:S2n = rn:/? = cos—. Л Предположив, что первым был к следующей цепочке равенств: вписан квадрат (п = 4), придем S^:Se = cos4 4 5e:Si6 = cos-g- 5^:5 2„+l—cos-£ Перемножая их левые и правые части, найдем Si л л л -=cos--cosT-...-cos^ Поскольку Si = 2/?2, a limS^,+i=л/?2 то в пределе получим л—►«* 2 л л л _=cos-.cos^-....cos-^-... Теперь, учитывая, что cos-^-= а COS— V) +cosa вычислим последовательно косинусы углов С 16 cos^=”\/4(1+лА(1+А/4))’ Остается подставить полученные выражения в предыдущее равенство. 15(»
Виет не доказывал сходимость бесконечного произведения, будучи уверенным в справедливости полученного тождества. Обобщим результат Виета. Для произвольного угла а имеем sin а = 2cos— • sin—=22- cos—-cos-^-*sin-^-= ...= 2 2 2 2® 2г = 2"-cos— -cos—...-cos— sin-^ , 2 2s 2 2 a a a sin откуда cos—cos—-...-cos—==----- 2 2® 2" . Перейдем в этом равенстве к пределу прил-*оо Предел правой части а sin а .. sin а 2я sin а 1 im------= hm--------------=------ (Здесь мы использовали так называемый замечательный предел: Значит, существует предел и левой части' равный /—О * sins тому же самому числу —~, т. е. П cos^= л-1 * sina а Произведение Виета получается из этого равенства при а=у 8. Что называть функцией Вернемся к разговору, начатому в пунктах 1 и 2. Путь к современному понятию функции был долог и извилист. Первоначально, как уже говорилось, функции задавались в основ- ном таблицами. Но свою роль в формировании этого понятия сыграло и графическое изображение зависимостей. Сейчас мы чаще используем график не для задания, а для иллюстрации связи между величинами. Методами анализа мы можем всесторонне исследовать функцию по ее аналитическому выражению, а уж потом построить соответствующую кривую. Однако исторически кривые появились в математике гораздо раньше формул. Много интересных кривых изучили древнегреческие ученые. Но эти кривые появились совсем не как графики каких-то соотноше- ний — они возникли, как правило, в результате геометрических построений. 157
Первыми линиями (помимо прямой и окружности), которые исследовали древние греки, были эллипс, гипербола и парабола (Геометрия, гл. I). Возникли они как сечения конуса плоскостью. Но, изучая эти кривые, ученые установили их симптомы — свойства, выражающие зависимость между отрезками, связанны- ми с этими линиями. При определенном выборе системы координат некоторые из этих свойств в современной записи представляют собой уравнения кривых. В этом смысле уравнения параболы и гиперболы были известны уже Менехму, а Архимед даже определял конические сечения их симптомами. Иногда древнегреческие ученые использовали и механическое определение кривых. Достаточно вспомнить квадратрису Дино- страта или спираль Архимеда. Вот как, например, Архимед описывает спираль: «Если на плоскости проведена прямая линия, которая, сохраняя один свой конец неподвижным и вращаясь с одинаковой скоростью, любое число раз вернется в исходное положение, и если одновременно с вращением этой линии какая- нибудь точка будет с постоянной скоростью перемещаться по этой прямой, начиная движение из неподвижного конца, то эта точка опишет на плоскости спираль». Но к механическому определению кривых греки относились скептически, считая безупречными только геометрические определения. Механический способ задания функции приобретает много приверженцев, особенно среди физиков в XVI — XVII вв. Мы уже видели, как его использовал Непер для введения логарифмов. Дальнейшее развитие механический подход получил в трудах Галилео Галилея (1564—1642). Основное кредо великого итальянского ученого можно сформу- лировать так: все явления природы обусловлены какими-либо причинами, отыскание их и есть высшая цель познания. Галилей был богато одарен природой. Сын известного музыканта, он полу- чил прекрасное образование. Сам он был музыкантом, художником и литератором, в университете изучал медицину. Но в истории науки он остался как крупнейший физик, механик и астроном. Галилей возродил математический подход Архимеда к изучению «великой книги природы». И если с работ Архимеда начинается развитие статики, то с работ Галилея — развитие динамики. Он вывел закон свободного падения тела и закон движения по наклонной плоскости, нашел траекторию полета тела, брошенного под углом к горизонту. В 1608 г. Липпершеем и Янсеном в Голландии был изобретен первый линзовый телескоп. В следующем году Галилей изготавли- вает зрительную трубу собственной конструкции, дающую 3-крат- ное увеличение. Не удовлетворившись этим результатом, он вскоре создает усовершенствованный телескоп, увеличивающий предметы почти в 1000 раз и приближающий их в 30 раз. Стало видно огромное количество новых небесных тел. Оказалось, что Юпитер имеет 4 спутника, а Млечный Путь распадается на отдельные 158
шсзды. Результаты наблюдений звездного неба ошеломили совре- менников Галилея. В то время господствовала точка зрения Аристотеля о совершенстве небесных тел. А тут оказалось, что на Солнце есть пятна, а на Луне— горы и кратеры. Потрясающим было открытие колоссальной удаленности звезд. Эти наблюдения укрепили уверенность Галилея в бесконечности Вселенной, в существовании суточного вращения Земли вокруг своей оси и годичного ее вращения вокруг Солнца. Эти взгляды согласовыва- лись с учением Коперника. Но учение Коперника в 1616 г. было объявлено еретическим, и Галилею частным образом было приказано отказаться от его защиты. Все его наблюдения святейшая инквизиция трактовала как оптический обман. Много лет Галилей был вынужден молчать, но в 1632 г. при поддержке нового папы Урбана VIII, бывшего другом ученого, он смог опубликовать «Диалог о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой», где обосновал учение Коперника. Инквизиция заставила престарелого Галилея публично отречься от своих убеждений и наложила на него домашний арест. Последние годы жизни он провел под Флоренцией на своей вилле Арчетри. Здесь он и закончил свой последний труд «Беседы и математиче- ские доказательства...» (1638). В нем он разработал научный метод познания природы: создание модели реального процесса, отбрасывание несущественных факторов, неоднократное повторе- ние опыта. Но прочитать свою работу Галилей уже не мог: к этому нремени он ослеп. Через 4 года Галилей умер и был похоронен и Арчетри. Почти через 100 лет прах его был перенесен во Флоренцию — такова была последняя воля ученого. Он покоится в церкви Санта-Кроче рядом с Микеланджело. В результате исследований Галилея механический подход при описании функциональной зависимости стал конкурировать с тра- диционным геометрическим, унаследованным от древнегреческой математики. С возникновением аналитической геометрии появля- ется возможность описать зависимость между координатами точек кривой алгебраическим уравнением. В результате появляется аналитический способ задания функций — с помощью формулы, указывающей связь между переменными величинами произволь- ной природы. Правда, математики еще долго находились в плену геометрических и механических представлений. Лейбниц, впервые нведший термин «функция» (от лат. functio — совершение, исполнение), связывал его с различными геометрическими объ- ектами: абсциссой, ординатой, касательной, подкасательной, нормалью и др. Ньютон для выражения функциональной зависимо- сти использовал механические аналогии, поэтому и переменная у него называлась флюентой. Абстрактное определение функции было дано только в 1718 г. И. Бернулли: «Функцией переменной величины здесь называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». А через 30 лет вышел 159
2 Рис. 77 трактат Эйлера «Введение в анализ бесконечно малых», в котором не было не только никакого геометриче- ского истолкования функций, но и са- мих чертежей, а функция определя- лась как «аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из ►- этого переменного количества и чисел * или постоянного количества». Под «аналитическим выражением» Эйлер понимал не только произвольную комбинацию элементарных функций, записанных конечными выражения- ми, но и бесконечные ряды, и бесконечные произведения. Функции, заданные различными аналитическими выражениями на разных участках своей области определения, Эйлер назвал «неправильны- ми» или «смешанными». Многие из его современников (в их числе Даламбер) вообще не считали их функциями. Однако вскоре Эйлеру стали тесны рамки своего определения и он расширил его. Произошло это, когда он занялся задачей о поперечных колебаниях струны. Остановимся на этой задаче. Если струну вывести из положения равновесия, то она начнет колебаться. Требуется найти функцию, выражающую отклонение точек струны от положения равновесия в любой момент времени и ее скорость. Впервые к этой задаче обратился (1715) английский математик Брук Тейлор (1685—1731), который вывел дифференциальное уравнение колебания струны. Решение этого уравнения нашел (1747) Даламбер, а через год Эйлер связал решение Даламбера с начальными условиями: положением и скоростью струны в момент начала колебания. Начальное положение струны задается графиком функции. При этом Эйлер расширил свое понимание функции, считая графиком любую линию, «начер- танную свободным движением руки». В связи с этим между Эйлером и Даламбером возник спор. Эйлер считал возможным за- дать начальное положение струны, например, графиком (рис. 77) соотношения I (Ю) У= £ 2 С достаточной степенью точности та- кого положения можно достигнуть, «от- щипнув» струну за середину. Даламбер полагал, что начальное положение стру- ны должно задаваться единым аналити- ческим выражением для всех х; соотно- шение (10), по его мнению, не задавало функции.
В это время к спору подключился Даниил Бернулли — сын И. Бернулли. Мы уже упоминали в первой книге, что он работал в Петербургской АН со дня ее основания и способствовал приглашению в Петербург своего друга Леонарда Эйлера. После возвращения (1733) на родину в город Базель Бернулли опубликовал фундаментальный труд «Гидродинамика» (1738), в котором он исследовал движение жидкости. В предисловии он писал, что вся работа выполнена в период его пребывания п России, и выражал признательность руководству Петербургской АН за поддержку и создание соответствующих условий. Д. Бернулли занимался многими прикладными задачами, в том числе и задачей колебания струны. При этом он обнаружил, что дифференциальному уравнению колебания струны удовлетворяют гармоники (синусоиды) с кратными периодами, а стало быть, и любая сумма таких гармоник. Этот факт полностью соответство- вал реальной картине: колеблющаяся струна издает, помимо основного тона, еще бесконечное множество обертонов. Исходя из этих соображений, Бернулли пришел к выводу (но не мог доказать), что любое положение струны, в том числе и изобра- женное на рисунке 77, представляется в виде суммы тригонометри- ческого ряда, т. е. бесконечной суммы гармоник. С таким выводом не согласились ни Даламбер, ни Эйлер. Они утверждали, что Бернулли нашел только часть решений уравнения струны. И понять их можно: ведь члены тригонометрического ряда — функции периодические, дифференцируемые, как могут они дать в сумме кривую, не обладающую такими свойствами? Но эти возражения годятся только для конечного числа слагаемых! А что происходит в случае бесконечной суммы? Ответы на все эти вопросы были получены через столетие французским математиком Жозефом Фурье (1768—1830). Разрабатывая теорию теплопроводности, он обратился к представ- лению функций тригонометрическими рядами OD г / Оо I V /_ л ЛПХ . , - лпх X /(*)== 2-+ £ (ancos—-—l-Mm— и вычислил их коэффиценты ап и Ьп: i ап= l- j f (х) cos—j—dx t = ~ j/(x)sin-^dx Пользуясь этими формулами, можно функцию, заданную различ- ными выражениями на отдельных частях отрезка, записать в виде суммы тригонометрического ряда, т. е. задать единым аналитиче- ским выражением. Результат Фурье примирил позиции Эйлера и Дал а м бора и подтвердил правоту Д. Бернулли. б. Л. П. Шнбасоп !(')]
Все это привело в восхищение математиков. Работа Фурье оказалась очень важной для выяснения сущности понятия функции. К тому же Фурье широко использовал тригонометриче- ские ряды для решения многообразных задач математической физики. Поэтому тригонометрические ряды по предложению Римана стали называть рядами Фурье. Итак, в процессе решения спора выяснилось, что для определения функции совершенно не важен вид формулы, задающей ее, а важен лишь тот факт, что она устанавливает соответствие между значениями переменных величин. Именно так в середине XIX в. математики и стали определять функцию. Например, Дирихле пишет: «Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у». Возникшая в начале XX в. тенденция строить все математические понятия на базе теории множеств нашла свое отражение и в современном определении функции, упрощенный вариант которого содержится в школьном учебнике: «Функцией с областью определения D называется соответствие, при ко- тором каждому числу х из множества D сопоставляется неко- торое вполне определенное число у». 9. Чудо анализа Для вычисления интеграла от функции -------г ее представля- ют в виде -——=—• ——• И. Бернулли применил ана- логичное преобразование к функции и пришел к равенству 1 _ 1 1 I 1 1 1+? — 2 * I 4-xi 2 * 1 -xi (сам Бернулли вместо i писал -^—1). Первообразная левой ча- сти равна arctg х, а правой — разности логарифмов. В резуль- тате Бернулли получил удивительную формулу ±1п4±4. 2i I — xi Логарифм комплексного числа вполне реальное выражение! Вопрос о природе логарифмов комплексных чисел заинтересо- вал многих математиков, но удалось на него ответить лишь Эйлеру. Он разработал теорию функций, аргументами и значениями которых являются комплексные числа. В этой теории были определены все элементарные функции комплексного переменного 1(12
и, в частности, логарифмическая функция как обратная к показа- тельной. Эйлер нашел выражение для логарифма любого комплекс- ного числа z=#0: Lnz= ln|z|+/(<р+26л). (11) Здесь k пробегает множество целых чисел, |z|—модуль чис- ла z, <p=argz (Алгебра, гл. 1, п. 5); ln|z| — это обычный логарифм положительного числа |z|. Из формулы (11) следует, что логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество комплексных значений. Если z — положительное действительное число (тогда <р=0), то среди этих значений лишь одно дейст- вительное, оно получается из (11) при 6 = 0. С этим значением мы и имеем дело в школе. Оказывается, что в комплексной области и отрицательные числа имеют логарифмы. Например: Ln( — 1) = 1п| — 11 +/(л + 2йл) =/л(1 +26). Правда, он ни при каком 6 не является действительным числом. Вообще, существует логарифм любого комплексного числа, кроме нуля. Не надо себе представлять функции комплексного аргумента как нечто новое, не связанное с соответствующими функциями из действительной области. Это те же самые функции, только распространенные на более широкую область. В частности, показательная и тригонометрические функции имеют такие же разложения в степенные ряды: со COS Z = £ л—О (- ПУ" (2п)! sin z= (2п+1)! ' о При z=x + t0 элементарные функции комплексного перемен- ного полностью совпадают с соответствующими вещественными функциями. Отличие заключается в том, что множество комплекс- ных чисел богаче множества действительных, а потому функции комплексного аргумента обладают многими, подчас неожиданными свойствами по сравнению с функциями вещественного переменно- го. Самое интересное то, что в комплексной области все элемен- тарные функции оказываются связанными между собой: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и им обрат- ные могут быть получены одна из другой. Нам хорошо известно, как получить в действительной области логарифмическую функцию из показательной, выразить степенную через показательную и логарифмическую: хл=еаХпх (х>0). Но нам и в голову не при- дет мысль сравнить, допустим, функции синус и косинус с пока- зательной — настолько они различны. Но при выходе из действи- тельной прямой на плоскость комплексного переменного обнару- живается связь между этими функциями. Она выражается за- мечательным тождеством e*z = cos z+Z sin z. (12) 163
Недаром Лейбниц назвал комплексные числа «чудом анализа». Тождество (12) открыл Эйлер, и теперь оно носит его имя. При z = л из него получаем равенство е"'= — 1, о котором советский академик А. Н. Крылов сказал: «Эта замечательная формула Эйлера как бы символизирует единство всей математики: в ней — 1—представляет арифметику, i — алгебру, л—геометрию и е — анализ». Из формулы Эйлера вытекает масса неожиданных свойств участвующих в ней функций. Например, показательная функция является периодической. Только ее период мнимый, он равен 2л/. А функции синус и косинус на мнимой оси неограниченно возрастают. Чтобы убедиться в этом, выразим sinz и cosz через е* Сначала заменим в (12) z на —z и учтем, что функция cos z остается четной в комплексной области, a sin z — нечет- ной. В результате e_(2 = cos( — z) +i sin( —z) —cos z — i sin z. Складывая полученное равенство с (12) и вычитая его из (12), находим откуда при z = ti имеем cos(fZ) =— ±с-, sin(H) = —(13) Значения этих функций на мнимой оси содержат слагаемое уходящее в бесконечность при Z-»-+oo. В правых частях равенства (13) читатели, несомненно, узнали гиперболический косинус и гиперболический синус сЫ=-<+^, sh/=^_Cl (14) встречавшиеся нам при решении задачи о цепной линии (гл. Ill, п. 2). Таким образом, гиперболические функции весьма просто выражаются через соответствующие тригонометрические функции мнимых аргументов chZ = cos (ti), sh/ = ysin (ti). (15) Оказывается, параллель между ними можно проследить и в опреде- лении. Покажем это. Обратимся сначала к тригонометрическим функциям. Рассмот- рим единичную окружность x2-|-i/2=l и выберем на ней в первой четверти произвольную точку М(х; у) (рис. 78). Пусть t — величина угла АОМ, выраженная в радианах. Тогда s'mt — BM = y, cost = OB = x. Дадим аргументу i иное толкование. Рассмотрим сектор АОМ (на рисунке 78 он заштрихован). Так как /?=1, то его пло- 161
щадь S равна у. Итак, t = 2S, т. е. t равняется удвоенной площади кругового сектора. А теперь произведем те же построения для точки М(х; у), расположенной на гиперболе х2—!/ — 1 (рис. 79). Обозначим через i удвоенную площадь S гиперболического сектора А ОМ, т. е. t = 2S. Как и для кругового сектора, по аналогии введем гиперболические функции sh( = BM=y, ch/ = OB = x. Назовем их соответственно гиперболическим синусом и гиперболи- ческим косинусом. Покажем, что это те же самые функции, что и определенные формулами (14). Для этого выразим координаты точки М через i помня, что i=2S. Из рисунка 79 видим, что $=3Л0аи —s&obm = yx^ Найдем площадь криволинейной трапеции ASM: J ydx= J д/х2-1 dx. । i Предлагаем читателям убедиться в том, что первообразной функцией для д/х2— 1 является -^--^х2—Т — yln(x-|- д(х2— 1) Поэтому J д/х2—1г/х = уд/х2-Т i;-yln(x+ д/^-Т)1{=2у— yin (*+у)- 1 Итак, откуда / = 1п (х+у) и, следовательно, х + у = е1 165
Далее, e т=~=-~—=-^—^=х—у, и решая систему получим х — у=е ------2—, —2— Таким образом, введенные нами гиперболические функции совпадают с ранее рассмотренными. Равенства (15) позволяют вывести свойства гиперболических функций из соответствующих свойств тригонометрических. Обра- тимся, например, к основному тригонометрическому тождеству cos2 /-{-sin2 t= 1. Заменив в нем / на 1х, получаем ch2 х—sh2 х= 1. Читатели могут аналогично получить теоремы сложения ch(x±y) = ch л*ch у±sh x-sh у, sh(x±y) = sh x-ch t/±ch x-sh y. 10. Проблемы существования Всякая ли плоская фигура имеет площадь? Мы сейчас не будем говорить о неограниченных фигурах, уходящих в бесконечность, хотя мы видели, как Ферма нашел площадь бесконечной криволинейной трапеции. Речь идет только об ограниченных фигурах. Каждую такую фигуру можно заключить в круг конечного радиуса. Итак, всякая ли ограниченная фигура на плоскости имеет площадь? На первый взгляд вопрос кажется абсурдным. Как это... фигура есть, а площади у нее нет? Это... ну, прямо, как Чеширский Кот без улыбки. Вы помните удивительную сказку JI. Кэрролла о приключениях Алисы в стране чудес? Улыбка была настолько необходимой принадлежностью Чеширского Кота, что сначала появлялась улыбка, а уж вслед за ней появлялся и сам Кот. И действительно, такого вопроса не возникало, пока математи- ки имели дело с достаточно простыми фигурами: многоугольника- ми, кругом и его частями, с фигурами, ограниченными различными коническими сечениями, циклоидой, спиралью и другими замеча- тельными кривыми. Но в XIX в. в связи с изучением плоских множеств, иногда довольно сложно устроенных, естественно, встал вопрос о вычислении их площади, и это оказалось очень непростым делом. Например, возьмем единичный квадрат на плоскости и рассмот- рим его точки, обе координаты которых рациональны. Множество всех таких точек обозначим буквой А Как найти площадь I (>(')
множества А? Множество А дискретно, оно не содержит целиком никакого, даже очень маленького, кусочка плоскости. Вы можете сами показать, что его точки образуют счетное множество. Площадь каждой точки равна нулю, и если бы набор точек оказался конечным, то и площадь всего множества равнялась бы пулю. Но, как мы уже имели возможность убедиться, при переходе к бесконечным множествам аналогии не всегда проходят. Вот здесь мы и подходим вплотную к вопросу: имеет ли множество А площадь? Чтобы ответить на него, мы должны выяснить вообще, при каких условиях существует площадь ограниченного множества на плоскости. Будем исходить из того, что понятие площади многоугольника читателям известно. Построим произвольный многоугольникР, содержащий данное множество, и произвольный многоугольник Q, содержащийся в нашем множестве. ЕслиР hQ можно построить так, что разность их площадей будет меньше любого наперед заданного числа, то данная фигура имеет пло- щадь, в противном случае нет. Обратимся к множеству/1 Ясно, что любой многоугольник Р, содержащий А, содержит и единичный квадрат, поэтому его площадь S(P)^1. Но вписать в А никакой многоугольник, отличный от точки, не удается. Поэтому S(Q)=0. Так что усло- вие существования площади для множества А не выполняется. Поэтому задача о вычислении площади множества А некорректна. Математики называют задачу корректной, если она имеет решение и оно единственно. В нашей повседневной жизни корректность означает безупречную вежливость. И в самом деле, наверное, некорректно — невежливо ставить задачу, не имеющую решения. Надо сказать, что в математике используется много терминов, заимствованных из повседневной речи: подозрительная точка, гладкая кривая, открытое множество, полное пространство, ожидание, кортеж и т. п. Всем им дается строгое математическое определение, но берутся названия не с потолка. Все эти математи- ческие объекты в чем-то схожи со своими бытовыми прототипами. Заметим, что и сама постановка вопроса о существовании понятия должна быть корректной, т. е. должно быть четко указано, по отношению к какому определению надо рассматривать это понятие. Ведь то же самое множество А, не имеющее меры (площади), становится измеримым, если дать более общее определение меры плоского множества. Конечно, проблемы существования неявно присутствовали в математике с ее первых шагов. Диоризмы древних греков, т. е. ограничения, которые они накладывали на условия задачи, гарантировали существование ее решения во множестве действи- тельных чисел. Конечно, греки не работали непосредственно с числами, а работали только с отрезками, но по сути это одно и то же. А еще раньше египтяне и вавилоняне так подбирали числовые данные для своих задач, чтобы получить решение в рациональных 167
числах — других они просто не знали. Сейчас мы знаем много числовых множеств. Поэтому, выясняя вопрос о существовании решения какого-либо уравнения, надо знать, в каком множестве искать это решение. Например, квадратное уравнение с отрица- тельным дискриминантом не имеет действительных решений, но имеет комплексные. В течение очень долгого времени перед математиками стояла задача о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Но ведь сначала ученые, занимавшиеся этой задачей, просто искали соответствующую формулу для корней уравнения. «А суще- ствует ли вообще такая формула?» — этот вопрос возник на рубеже XVIII — XIX вв. Правда, еще раньше обратил внимание на вопросы существования Гаусс в связи с доказательством основной теоремы алгебры. Но недаром Гаусса называли «королем математиков» — он во многом опередил свое время. В XIX в. проблемы существования заявили о себе во весь голос. Это был период наведения строгости в математике. И проблемы существования тесно переплелись с проблемами определения различных понятий. Мы только что рассмотрели пример с пло- щадью плоского множества. Аналогично обстояло дело с длинами кривых и объемами тел, со сходимостью рядов, с дифференцируе- мостью и интегрируемостью функций и т. д. Остановимся еще совсем кратко на проблеме существования интеграла. Как только появилось риманово определение интеграла, сразу были найдены примеры неинтегрируемых функций. Это навело на мысль обобщить понятие интеграла, с тем чтобы расширить класс функций, для которых интеграл существует. Таким образом, вслед за интегралом Римана в математику вошли интеграл Лебега, интеграл Стилтьеса и др. И теперь при постановке различных теоретических задач, связанных с интегрированием, всегда оговаривается, о каком интеграле идет речь. Так что проблемы существования, с одной стороны, стимулировали развитие матема- тики, а с другой — заставили ученых более требовательно относиться к постановке задач, к формулировке определений и теорем. В этот период был доказан ряд теорем существования. Одна из наиболее простых и важных теорем была доказана Вейерштрас- сом: «Функция, непрерывная на отрезке, принимает свои мини- мальное и максимальное значения». Возможна первая реакция: «А разве может быть иначе?» Может. Посмотрите на рисунок 80. Здесь изображены графики ограниченных функций (значения которых не уходят в бесконечность), не имеющих ни минимально- го, ни максимального значения (на рисунке 80, а функция опреде- лена на отрезке [а, 6], но на его концах разрывна, а на рисун- ке 80, б функция определена на интервале (а; Ь)). Много внимания уделял вопросам существования Коши. Занимаясь дифференциальными уравнениями первого порядка, он обратил внимание на следующее обстоятельство. В качестве 1 (i<s
решения, если оно вообще есть, появляется целая совокупность функций, зависящая от произвольной постоянной, а нужно найти единственную функцию, удовлетворяющую условиям задачи. Как правило, это начальные условия: при х=хо функция принимает значение у=у$. Задача нахождения решения дифференциаль- ного уравнения, удовлетворяющего конкретным начальным усло- виям, получила в дальнейшем название задачи Коши. Чтобы найти решение задачи Коши, надо быть уверенным, что оно су- ществует и единственно, или на геометрическом языке: надо быть уверенным, что через точку (хя; у0) проходит единственная интег- ральная кривая — график решения. А это не всегда так. Например, легко проверить, что решением дифференциального уравнения ху'=у является совокупность прямых y=kx, где k—произвольная постоянная. Если мы захотим среди них выбрать ту, которая проходит через точку (0; 0), то не ясно какую: они все проходят через начало координат. Если мы возьмем любую другую точку (0; уо) на оси ординат, то снова не найдем искомой линии: через эту точку не проходит ни одной интегральной кривой нашего уравнения. Таким образом, задача отыскания решения, проходя- щего через точку (х0; у0). корректна лишь при хо=#О. В этом случае из равенства yo = kxo найдем k=— и получим решение Коши нашел условия существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяюще- го начальным данным. Если это условие выполнено, а оно проверяется по виду самого уравнения, то поставленная задача корректна: через точку (х0; у0) проходит единственная интеграль- ная кривая. Отыскание ее уже зависит только от нашего искус- ства, поскольку мы заведомо знаем, что она существует. 169
Дальнейшие исследования, посвященные задаче Коши, связа- ны с именем Софьи Васильевны Ковалевской (1850— 1891). Ее математический талант, проявившийся в раннем детстве, не мог развиваться в России, где девушкам не разрешалось учиться в университетах. За границей не везде придерживались этого запрета. Чтобы выехать из России, Софье Васильевне, тогда еще совсем юной 18-летней Соне, пришлось вступить в фиктивный брак. В Гейдельберге ей разрешили слушать лекции тех профессоров, которые сами не возражали против ее присутствия. В течение года она успешно изучала математику, физику, физиологию. Затем для углубления знаний по математике она решила прослушать лекции Вейерштрасса. Но Берлинский ученый совет не допустил Ковалев- скую в стены университета. Тогда она обратилась к самому Вейерштрассу с просьбой давать ей частные уроки. Чтобы отвязаться от назойливой посетительницы, знаменитый профессор предложил ей несколько трудных задач. Каково же было его изумление, когда она с решенными в срок задачами вновь появилась у него дома. Вейерштрасс согласился давать талантли- вой русской девушке частные уроки. После четырех лет упорного труда Софья Васильевна опубликовала три научные работы. В одной из них была доказана теорема существования и един- ственности решения важного класса дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков. За научные результаты Ковалевская получила степень доктора и решила вернуться в Россию, чтобы преподавать в университете. Но ее надеждам не суждено было сбыться. Работу она смогла найти лишь в Стокгольме, где продолжала успешно заниматься наукой. Достаточно сказать, что она дважды получала премию сначала Парижской, а затем Шведской АН за работы по исследованию вращения твердого тела. Выдающийся математик, Ковалевская была и одаренной писательницей. Увлекательны ее автобиографический роман «Воспоминание детства» (1890) и по- весть «Нигилистка» (1891). Жизнь ее оборвалась неожиданно. Она скончалась от воспаления легких на 42-м году жизни, полная творческих замыслов. Научный подвиг Софьи Васильевны — одна из самых светлых страниц истории отечественной науки. С конца XIX в. теоремы существования прочно вошли в математику и заняли там достойное место, хотя физики до сих пор не придают должного значения проблемам существования. И это не единственный вопрос, который они оставляют в стороне, позволяя себе отступать от строгости доказательств. В связи с этим у математиков даже появилась поговорка: «Доказать на физиче- ском уровне». Возможно, со своей точки зрения, физики и правы: их задача — найти законы природы, а строгое математическое обоснование надо оставить специалистам. I/O
Упражнения Задачи, решаемые элементарными методами 1. Среди треугольников данной площади и с фиксированной стороной найти тот, у которого сумма двух других сторон наименьшая. 2. Через заданную внутри угла точку провести прямую так, чтобы получившийся треугольник имел минимальный периметр. 3. Решить задачу Вивмани: построить точку, суммарное рас- стояние от которой до вершин данного треугольника мини- мальное. 4. Показать, что искомая точка для предыдущей задачи при 2л условии, что ни один из углов не превышаетявляется о точкой Торричелли^ т. е. точкой пересечения окружностей, описанных около правильных треугольников, построенных на сторонах данного треугольника вне его. (Задача, предло- женная Ферма и решенная (1640) Торричелли.) 5. Решить задачу Региомонтана (это первая задача средневе- ковья на экстремум, решение не сохранилось): жердь длиной в 10 стоп подвешена вертикально так, что ее нижний конец отстоит от земли на 4 стопы; из какого места на земле жердь видна под наибольшим углом? 6. Доказать предложение Галилея: «Если из высшей точки круга, построенного над горизонтом, проведены различные наклонные плоскости, доведенные до окружности, то время падения по ним одинаково». 7. Показать счетность множества целых чисел. Задачи, решаемые методами анализа 8. Найти серию рациональных решений уравнения ?=/ (Задача Эйлера.) 9. Найти кривую, у которой ордината точки касания относится к подкасательной, как отрезок а к разности между ордина- той и абсциссой точки касания. (Это одна из задач, предло- женных де Боном и решенных методами анализа Лопиталем и И. Бернулли.) 10. Найти кривую, у которой поднормаль в любой точке обратно пропорциональна ординате этой точки. (Задача, решенная в 1675 г. Лейбницем.) II. Повторить результат Ферма: найти конус максимального объема и цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности, вписанные в заданный шар. 171
12. Показать, что площадь арки циклоиды равна утроенной площади производящего круга. (Результат, впервые полу- ченный Робервалем и Торричелли «методом неделимых». Торричелли назвал этот результат теоремой Галилея, посколь- ку Галилей впервые его получил обычным взвешиванием пластины, выполненной в виде арки циклоиды, и трех производящих кругов, сделанных из того же материала.) 13. Повторить результат Паскаля: найти объем тела, полученного вращением арки циклоиды вокруг оси абсцисс. (Воспользо- ь ₽ ваться формулой v = n^y2(x}dx=n^y2(t)x'(t)dt.) а а 14. Вывести результат Гюйгенса и Ферма: площадь фигуры, ограниченной циссоидой (Геометрия, гл. 1, п. 11) и ее асимптотой, равна утроенной площади производящего круга. 15. Получить результат Слюза: объем тела, ограниченного поверхностью вращения циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объему тора, полученного вращением круга, производящего циссоиду, вокруг той же асимптоты. 16. Показать, что площадь криволинейной трапеции, ограни- ченной графиком показательной функции, пропорциональна разности значений этой функции на концах отрезка. (Резуль- тат Торричелли.) 17. Повторить результат Архимеда: вычислить площадь фигуры, ограниченной спиралью Архимеда р = а<р(0^ф^2л) и по- лярной осью. (Воспользоваться формулой S =-^p2(<p)d(p.) а 18. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = х2 (Результат, полученный (1657) Нейлем.) 19. Повторить результат Лопиталя (1692): найти длину про- извольной дуги графика показательной функции. ti «. v 2 v 6 20. Найти суммы рядов X„(„+l)’ 2.| П(п+1) (л + 2)' (Результат Лейбница, задача предложена Гюйгенсом (1672).) 21. Подтвердить результат Я. Бернулли: £ - - t =е—1

Знакома ли вам притча о буридановом осле? Он стоял между двумя совершенно одинаковыми копнами сена и не знал, какой из них отдать предпочтение. Бедняга умер с голода, так и не сумев сделать выбор. Жаль, что у осла не было монетки. Люди довольно часто с ее помощью решают подобные проблемы: выпадет орел — пойду направо, решка — налево. Почему же к монетке такое доверие? Потому, что бросание монеты — это простейший опыт, моделирующий ситуацию двух равных возможностей. Выпадение орла или решки — события случайные. Но, раз уж выбор так затруднителен, пусть решает случай — ведь на 50% можно быть уверенным, что выпадет орел, соответственно на 50%, что выпадет решка. В практической деятельности людям постоянно приходится сталкиваться с разнообразными случайными событиями. И есте- ственно, всегда возникает вопрос, можно ли надеяться и в какой степени, что это событие произойдет. Например: выпадет ли выигрыш на купленный лотерейный билет, выйдет ли любимая футбольная команда в финал, будет ли первосортной хотя бы половина месячной продукции фабрики, улучшится ли состояние больного в результате предлагаемого способа лечения? И т. п. Ответы на подобные вопросы зависят от многих сопутствующих условий, но даже при одинаковых условиях результаты могут быть различными. Тем не менее, как показывает практика, если какие-то опыты многократно повторяются (носят массовый характер), то появление в них интересующих нас событий подчиняется некото- рым законам. Изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям, и занимается теория вероятностей. 171
1. Все началось с игр Мы часто слышим, что вероятность какого-то события равна такому-то числу. А что же такое вероятность? Прежде чем определить это понятие хотя бы для простейших случаев, обратимся к примеру. В ящике лежат шары, совершенно одинаковые по всем своим качествам, кроме цвета: 30 белых, 20 красных и 10 черных — всего 60 шаров. Не глядя, опускаем руку в ящик и берем один шар. Если вынутый шар белого цвета, обозначим это событие буквой Б, красного — К, черного — Ч. Поскольку в ящике всего 60 шаров и любой из этих шаров может быть вынут, то возможны 60 исходов нашего опыта. Из них 30 исходов благоприятствуют событию Б, 20 — событию К и 10 — событию Ч. Найдем отношение числа благоприятных исходов для каждого из указанных событий к числу всех исходов нашего опыта: 30 1 /1/Х 20 1 /их 10 1 Р(Б) — 60 — 2« Р(К) — — 3, Р(Ч) — б0 — 6- Эти отношения и называют вероятностью соответствующих событий. Вообще вероятность р(А) события А — это отношение числа благоприятных для этого события исходов к числу всех равно- возможных исходов. Очевидно, 0^р(А)^ 1. Если р(Л) = 1, то событие называют достоверным, и, напротив, при р(А)=0 — невозможным. На основании такого определения вероятность выпадения орла при бросании монеты равна у Конечно, практический опыт далеко не всегда совпадает со своей теоретической моделью. Можно подбросить монету 4 раза и все 4 раза получить решку; но если ее подбросить 1000 раз, то, скорее всего, решку получим приблизительно в пятистах случаях. Аналогично обстоит дело и в примере с шарами (естественно, соблюдается чистота эксперимента: вынутый шар снова опускается в ящик и шары тщательно перемешиваются). То, что р(К)=у совсем не означает, что при последовательных испытаниях каждый третий вынутый шар будет красным. Однако если этот опыт повторить достаточно большое число раз, то приблизительно третья часть опытов доставит нам красные шары. Таким образом, вероятность дает возможность предвидеть частоту наступления события при большом числе опытов. Подсчитать вероятность события не всегда так легко, как в рассмотренном примере с шарами, поскольку не всегда просто определить количество благоприятных для данного события исходов. Чтобы убедиться в этом, нам придется познакомиться с игрой в кости. В детских настольных играх часто используется
кубик, на гранях которого обозначено число очков от одного до шести. Это и есть игральная кость. Изобретение игры в кости приписывается Паламеду — герою послегомеровских троянских сказаний, обладавшему разносто- ронними незаурядными способностями. По преданию, погиб он от коварства Одиссея. Когда Агамемнон собирал войско для похода на Трою, Одиссей не захотел к нему присоединиться. Он не желал расставаться со своей мирной налаженной жизнью на острове Итака. Но ахейцы решили во что бы то ни стало заполучить его в свои ряды, поскольку Одиссей славился умом, красноречием и хитростью. Для переговоров на Итаку был направлен Паламед. Тогда Одиссей притворился сумасшедшим. Однако Паламед разгадал его хитрость. Одиссей вынужден был выступить в поход, но затаил на Паламеда черную обиду. Во время осады Трон Одиссей подбросил в шатер Паламеда подложное письмо и золото якобы от имени троянского царя Приама. Обвиненный в предатель- стве Паламед был закован в цепи и побит камнями. К сожалению, до нас не дошли произведения афинских драматургов, рассказы- вавшие о жизни и трагической смерти мудрого греческого героя. Легенды приписывают Паламеду изобретение маяка, весов, введение мер длины и времени, совершенствование греческого алфавита. Игры в шашки и кости были придуманы им для развлечения ахейских воинов, томившихся во время многолетней осады Трои. Однако результаты археологических раскопок показывают, что игра в кости была известна уже за пять тысячелетий до новой эры. Для нее использовались косточки коленного сустава барана или козла (в России их называли бабками), они и дали название этой азартной игре. Наибольшее распространение она получила на Ближнем Востоке, а в средние века оттуда пришла в Европу. Да и само слово «азарт» образовалось от арабского сочетания «аз — захр» — игральная кость,— которое трансформировалось 1 / ь
но французское hasard — случай, риск. Играющие поочередно подбрасывали одну, а чаще две или три кости одновремен- но н подсчитывали сумму выпавших очков. Условия игры могли быть самыми разнообразными. Естественно, думающие игроки издавна пытались просчитать всевозможные комбинации и уловить какие-то закономерности в выпадении различных сумм. Рассказывают, что однажды к Галилею обратился один игрок с просьбой разъяснить ему непонятное явление: почему при бросании трех игральных костей сумма 10 выпадает чаще, чем 9? Это кажется странным, ведь сумма 10 выпадает в шести комбинациях: (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4) и сумма 9 тоже в шести: (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3). Галилей разъяснил этот парадокс: оказывается, не все перечисленные комбинации равновозможны. В частности, комби- нацию (1, 3, 6) можно получить шестью способами: 1 3 6, 16 3, 3 16, 3 6 1, 6 13, 6 3 1, комбинацию (2, 4, 4) —тремя: 2 4 4, 4 2 4, 4 4 2, а (3, 3, 3) лишь одним. Позже Галилей рассмотрел эти вопросы в работе «О выходе очков при игре в кости». Здесь он вычислил количество способов выпадения суммы от 3 до 18 при бросании трех игральных костей. Приведем его результаты в виде таблицы. Сумма очкоп 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 16 17 18 Число способов 1 3 "" 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 Предлагаем читателям убедиться в ее верности. Интересно, что числа, равноудаленные от концов таблицы, совпадают. Как мы увидим позже, такое совпадение не случайно. Работа Галилея была напечатана лишь в 1718 г., а до того времени разъяснение парадокса не было предано гласности, и вновь находились люди, которых аналогичные вопросы ставили в тупик. Не смог на него ответить и кавалер де Мере (1607— 1648). В свое время он был заметной фигурой при дворе Людо- вика XIV. Философ и литератор, он переписывался или был лично знаком со многими европейскими математиками. Будучи страстным игроком в кости, он придумывал различные варианты этой игры. Часто за разъяснением возникающих недоразумений обращался к Б. Паскалю, с которым находился в дружеских отношениях. Один из вопросов, который Паскаль объяснил де Мере, касался того же парадокса: почему при бросании трех костей 177
чаще выпадает сумма, равная 11, чем 12? (Вы легко можете на пего ответить, посмотрев на таблицу Галилея.) Имя де Мере нам еще не раз встретится в этой главе. Именно он своими вопросами, связанными с азартными играми, пробудил у Паскаля интерес к задачам вероятностного характера. Рассмотрим еще две задачи де Мере, с которыми он обратился к Паскалю. В первой требовалось подтвердить наблюдение, что вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях игральной кости больше Паскаль по- казал, что это действительно так. К сожалению, вычисления Паскаля не сохранились, поэтому мы изложим наиболее есте- ственный вариант решения этой задачи. Рассмотрим ее предварительно для двух бросаний. При одном бросании кости возможны 6 исходов, а при двух — уже 36: каждый исход первого опыта может сочетаться с каждым из исходов второго: 62 = 36. Подсчитаем количество исходов, благоприятных для события А ,— выпадение хотя бы одной шестерки. Шестерка может выпасть в одном из двух опытов и не выпасть в другом — таких исходов 10=5*2 — и может выпасть в обоих опытах — такой исход один; всего 11 исходов. Так что р(Л)=4^-. 36 Для четырех бросаний такой метод подсчета затруднителен, поскольку шестерка может появиться один, два, три и четыре раза. Проще подойти к задаче с другой стороны. Будем вычислять не вероятность события А, а вероятность противоположного собы- тия А — шестерка не выпадает ни в одном опыте. Сначала произ- ведем подсчет для двух бросаний. При одном бросании событию А благоприятствуют 5 исходов и 5 — при другом. Комбинируя каждый исход первого опыта, благоприятный для /Г, с каждым аналогичным исходом второго опыта, имеем 25 = 52 исходов, — 52 — благоприятных для А, значит, p(A)=-gj-. Поскольку Л наступает тогда и только тогда, когда не наступает Л, то р(Л) +р(Л) = 1, 53_______________________________________________11 откуда р(Л) = 1—Легко видеть, что такой способ подсчета р(А) можно распространить на любое число опытов, в частности на 4. В результате решение задачи де Мере имеет вид р(Л) = 1 — р(Л) = 1 — “|г= Действительно, полученная веро- ятность больше так что наблюдения кавалера оказались верными. Аналогично решается и вторая задача де Мере: «Сколько раз надо подбросить две игральные кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы однажды двух шестерок сразу, было больше, чем случаев, когда ни при одном бросании не 17К
появляются две шестерки одновременно?» Решив эту задачу двумя способами, де Мере получил разные ответы: 24 раза и 25 раз, откуда он сделал вывод, что математика вообще не применима к решению таких задач. Паскаль показал, как решается эта задача при правильном использовании математических методов. Решим ее и мы. Обозначим через р(п) вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок сразу при п испытаниях, через q(n) вероят- ность противоположного события, т. е. невыпадения двух шесте- рок сразу ни в одном из п испытаний. Очевидно, q(n) = 1 —р(п). Задача сводится к нахождению такого минимального п, для которого р(п) >q(n). При одном бросании двух костей возможны 36 исходов, выпадание двух шестерок — только один из них, поэтому р( 1) = -^, q( 1) = 1 — р( 1) =-||-. Так как все испытания неза- 36 36 висимые, то при п испытаниях имеем 36” исходов, из них 35” составляют те, в которых две шестерки сразу не выпадают. Отсюда q(n) = следовательно, р(п) = 1 — Требуется найти наименьшее число п, для которого выполняется неравенство I — (4|)П> ("Ц)" ПеРепишем ег0 в виде (11)Л>2* откУДа п>1е^«24,605. . do '*35 Таким образом, необходимо произвести не менее 25 испытаний. 2. Справедливый раздел ставки Заметная роль в становлении теории вероятностей как науки выпала на долю задачи о справедливом разделе ст а в к и. В чем же она состоит? Два игрока делают ставку (вносят одинаковую сумму денег) и договариваются играть до тех пор, пока кто-либо из них первым не выиграет определенное число партий. Победитель получает всю ставку. Предположим, что игра была прервана. Как справедливо разделить ставку между игроками? Эта задача в различных занимательных вариантах встречалась еще в XIII в. Правда, формулировалась она для конкретных числовых значений. Несколько задач такого типа приводит Пачоли в своем трактате «Сумма знаний» (1487). Например: «Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. Игра была прервана в момент, когда одна из сторон имела 50, а другая — 179
30 очков. Как справедливо разделить ставку?» Пачоли предлагает разделить ее пропорционально числу выигранных партий, т. е. 5:3. Аналогично он поступает и в случае, когда в игре участвует более двух игроков. «Трое соревнуются в стрельбе из арбалета*; ставка 10 дукатов. Выигрывает тот, кто шесть раз оказался первым. Когда первый из них имел четыре лучших попадания, второй — три, а третий — два, игра была прервана. Как следует справедливо разделить ставку?» Пачоли считает, что разделить ее надо в отношении 4:3:2. Деление ставки пропорционально числу выигранных партий в то время считалось справедливым. Тем самым предполагалось, что дальнейший ход игры не изменит сложившегося соотношения, другими словами, характер всей игры определен ее началом. Последующие ученые вносили некоторые коррективы в решение этой задачи. Кардано в «Практике общей арифметики» (1539) воз- ражает Пачоли: он считает необходимым учитывать и оставшиеся партии. Пусть для победы необходимо выиграть п партий. Если игра была прервана, когда один игрок выиграл k партий, а другой — т партий, то, по мнению Кардано, ставка должна делиться в отношении l+2 + -+(n-m) 1+2 + ...+ (л-Л) ' Н. Тарталья в «Общем трактате о мере и числе» (1556) приводит свое решение. При тех же условиях он считает, что ставка должна быть разделена в отношении 1+-^- _____п ___ — m I k — m п Конечно, знать, сколько партий выиграл каждый игрок, нужно для того, чтобы иметь представление о том, кто из них искуснее в игре или кому больше в ней везет. Но продолжение игры (если бы оно состоялось) может резко отличаться от предыдущего ее хода. В этом нас нередко убеждают спортивные соревнования любого ранга: казалось, безнадежно проигрывающий спортсмен находит в себе силы переломить ход игры и выиграть соревнование. Естественно, это не математический под- ход. Математический подход предпола- гает, что участники игры одинаково ис- кусны и имеют равные шансы на успех в каждой партии. Эти соображения под- • Арбалет — укрепленный на деревянном ложе лук, из которого стреляли мелкими стрелами. Применялся в средние века в Западной Европе, в России назывался самострелом. 180
сказывают, что необходимо просчитать все возможные вариан- ты дальнейшей игры и тем самым определить вероятность получения ставки каждым из игроков. Кавалер де Мере, обратившийся к Паскалю с этой задачей, признался, что не знает даже, как к ней подступиться. По размышлении Паскаль пришел к выводу, что исходить надо именно из числа партий, оставшихся каждому игроку до полного выигрыша. Рассмотрев все благоприятные исходы для каждого из игроков в последующих партиях, он получил решение задачи, в корне отличающееся от всех предыдущих. По-видимому, никто из его ближайшего окружения не смог по достоинству оценить предложенного решения. И тогда он послал (1654) его на суд Ферма. Ферма заинтересовался задачей и в ответном письме предложил свое решение. Он рассмотрел случай, когда одному игроку, назовем его А , осталось выиграть две партии для получения всей ставки, а другому В—три партии. Мы приведем решение задачи методом Ферма для более простого случая: А — недостает одной партии, а В — трех партий до выигрыша всей ставки. Ясно, что будет сыг- рано не более трех партий. Составим таблицу всех возможных вариантов исходов этих партий. Буквой А в таблице обозначен выигрыш игрока А, буквой В — выигрыш игрока В. Лишь в двух последних вариантах будут сыграны все три партии, а в остальных — игра закончится раньше. Но Ферма подчеркивал, и Паскаль разделял его точку зрения, что и такие варианты необходимо просчитывать до конца. Подведя итоги всех вариантов, получаем ответ: ставка должна быть разделена в отношении 7:1. Очевидно, методом Ферма можно решить задачу для любого числа оставшихся партий и даже при условии, что в игре участвует более двух игроков. Обратимся теперь к рассуждениям Паскаля. Сначала он рассмотрел случай, когда игроку Л осталось выиграть одну партию, а В —две. Если первую партию выигрывает А, он получает всю ставку S, если выигрывает В, то шансы игроков уравниваются, каждый имеет право на половину ставки, т. е. игрок А имеет верные полставки, а на оставшуюся половину права игроков одинаковы. IВI
S I s Следовательно, игрок А должен получить —+—-у — ТРИ чет- верти ставки, соответственно В — четверть ставки. Теперь вернемся к разобранному нами случаю. Паскаль рассуждал так. Если в первой партии выигрывает А, он получает всю сумму S. Если выигрывает В, то игроку А остается выиграть одну партию, а В — две. Таким образом, мы оказываемся в только что рассмотренной ситуации. В результате игрок А полу- S 3 5 7 I чает -+——=AS,‘ а игрок В получает AS. 2 4 2 о В Такой подход натолкнул Паскаля на мысль составить следующую треугольную таблицу, охватывающую все случаи: 1 1 1 2 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 В этой таблице первая строка содержит одно число, вторая - два, третья — три и т. д. Числа записаны в шахматном порядке, в начале и конце каждой строки стоят единицы. Любое другое число равно сумме двух чисел предыдущей строки, между которыми оно расположено. Полученный треугольник называют арифметическим или треугольником Паскаля, хотя он был известен еще индийским и китайским математикам во 11 в. до н. э., арабским математикам в XII в. и встречался у Штифеля в «Полной арифметике» (1544). Покажем, как используется этот треугольник при решении задачи о разделе ставки. Пусть игроку А осталось до победы выиграть k партий, а игроку В — выиграть m партий. Обраща- емся к строке треугольника с номером Л + m, она содержит k-^-m чисел. Находим сумму пг первых чисел этой строки и сумму k оставшихся чисел строки. Отношение этих сумм дает решение задачи. Например, если игроку А осталось выиграть одну партию, В — три, то выделяем четвертую строку (так как 1+3 = 4); сумма первых трех чисел этой строки равна 7, а оставшихся равна 1; следовательно, ставка делится в отноше- нии 7:1. Позже (п. 5) будет показано, почему такой алгоритм приводит к решению. Получив решение Ферма, Паскаль в следующем письме пишет: «Я восхищен Вашим методом для партий, тем более что я хорошо понимаю, что он полностью Ваш, ничего общего не имеет с моим 182
и легко приводит к тому же результату». Между двумя великими математиками завязалась переписка, в которой они обсудили ряд вопросов, связанных со случайными событиями. Фактически в этой переписке и зародилась теория вероятностей, появились первые ее понятия. Правда, в письмах не было слова «вероятность», а шла речь лишь о числе благоприятных исходов или, в крайнем случае, о его отношении к числу всех исходов, но ведь дело не в названии. Познакомимся с простейшими операциями, которые можно производить над событиями,— сложением и умножением. Под суммой двух событий А и В понимается третье событие Л + В, которое заключается в том, что совершается хотя бы одно из событий А или В. Произведение же АВ наступает тогда и только тогда, когда совершаются оба события А и В. Например, рассмотрим бросание игральной кости. Назовем событием А выпадение 1,2, 3, 4 очков, событием В выпадение 3 или 6 очков, событием С выпадение 5 или 6 очков. Все данные об операциях над этими событиями сведем в таблицу. Событие Выпадение очков Вероятность события А 1. 2, 3, 4 D В 3, 6 р(В)=~ о С 5, 6 2 Р(С) =4 о А+В 1. 2, 3. 4, 6 Р(л+в)=4 6 А + С 1, 2, 3, 4, 5, 6 рИ + С) =4 и в+с 3, 5, 6 р(В+С)=4 АВ 3 р(ЛВ)=4 о АС 0 Р(ЛС)=О ВС 6 P(SC)=4 6 1 I 83
6 4 2 Можно заметить, что р(А + С) =—=—+-^ = р (Л ) Ц-р (С), в то время как р(Л + В) =т-<"^ +"Г=РИ) +р(в)- р(В + С) = ООО 3 2 2 =—<—+—=р(В)+р(С), т. е. вероятность суммы событий не ООО превосходит суммы их вероятностей. Но когда выполняется точное равенство? Присмотримся повнимательнее к таблице. Это имеет место только для несовместных событий, т. е. тех, которые не могут произойти одновременно. В частности, события А и С несовмест- ные; в то время как события А и В совместные — они наступают вместе при выпадении трех очков; события В и С тоже совмест- ные — наступают при выпадении шести очков. Для совместных событий формула приобретает более сложный вид: ₽</1+в)=4+4-А=р(л)+р(В)_р(лв), 2 2 1 р(В + С) =|+|_^=р(В) +р(с) -р(ВС). Итак, вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятно- стей минус вероятность произведения. А может вероятность произведения двух событий равняться произведению их вероятностей? Это имеет место только для независимых событий: наступление одного из них не меняет шансов появления другого. В этом случае С независимыми событиями мы встречаемся, например, при последовательных испытаниях. В предыдущем пункте мы фактиче- ски пользовались этим свойством при решении задач де Мере. А сейчас вернемся к примеру с шарами (п. 1) и найдем вероятность того, что, проведя последовательно два опыта, мы в одном из них получим красный шар, а в другом — белый. Условия опытов одинаковые: шар, вынутый при первом испытании, опускается обратно в ящик. По формуле произведения вероятностей независи- мых событий имеем р(КБ)=р(К)-р(Б)=4-4=4- О £ U 181
3. Разорение игрока Переписка Паскаля и Ферма велась через Каркави, продолжив- шего после смерти Мерсенна его благородную миссию. О содержа- нии переписки знали многие ученые. Задачи, обсуждавшиеся Паскалем и Ферма, привлекли их внимание к вопросам вероятно- стного характера. Узнал о переписке знаменитых математиков и Гюйгенс, когда приехал в Париж. Глубоко заинтересовавшись этими вопросами, он решает различные комбинаторные задачи, в том числе и задачу о справедливом разделе ставки. Интересно, что его метод совпадает с методом Паскаля. В 1657 г. Гюйгенс издает работу «О расчетах в азартной игре» — первое достаточно полное для того времени сочинение по теории вероятностей (переписка Паскаля и Ферма была опубликована лишь в 1679 г.). Во введении он пишет: «Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». В этой работе Гюйгенсом была поставлена задача «О разорении игрока». Сформулируем ее. Пусть двое играют в игру, в которой учитываются лишь результативные партии. Проигравший партию игрок А отдает противнику В один рубль, в противном случае получает от В один рубль. Игра идет до полного разорения одного из игроков. Найти вероятность разорения игрока А, если он имеет а рублей, а игрок В — b рублей. Искомая вероятность зависит от искусства игроков и от их капиталов. Мы пока будем считать их одинаково искусными (удачливыми), т. е. каждый из них с одинаковой вероятностью может выиграть в любой партии. Так практи- чески обстоит дело при бросании монеты. Поскольку разорение игрока Л при любом его конечном капитале может наступить, то искомая вероятность существует и зависит от величины а этого капитала, поэтому мы ее обозначим через ра. В первом же испытании игрок А может как выиграть с вероятно- стью став обладателем (а+1) рубля, так и проиграть с той же вероятностью, уменьшив свой капитал до (а—1) рубля. Пос- ле первого испытания вероятность его разорения в случае выиг- рыша станет равной ра+i и в случае проигрыша pa~i, откуда 1 । * Ро = "2р°+1 । уР“- 1 Это равенство является частным случаем формулы полной вероятности: вероятность события равна сумме произведений условных вероятностей (в нашем случае pa+i и pa-i) по каж- дой из гипотез на вероятность самих гипотез (в нашем случае [ К5
--)• Из этого равенства видно, что числа ра образуют арифме- тическую прогрессию. Обозначим ее разность через Д. Тогда pa=Po + aA. Если начальный капитал игрока А нулевой (а = 0) , то его разорение является достоверным событием, т. е. ро= 1 Следова- тельно, ро = 1 +аД. Если игрок А имеет капитал а-^-b, что соответствует разорению игрока В, то разорение игрока А — невозможное событие, а поэтому рЛ+й = 0, откуда po+ll = 1 + (а + b) Д=0, или Д = —у. Окончательно получаем Для случая, когда оба игрока одинаково искусны, задача решена. Из формулы видно, что больше вероятность разорения того игрока, чей капитал меньше. Если капитал В практически неограничен, то игрок А с любым конечным капиталом в конце концов разоряется. Такая ситуация наблюдается при игре А с банком в любую безобидную игру, когда вероятность выигрыша в каждой партии одинакова для обеих сторон. Поэтому стратегия игрока должна быть такой: сыграть небольшое число партий, веря в свою удачу, и не втягиваться в дальнейшую игру, а тем более не отыгрываться бесконечно. Несколько сложнее выглядит решение в случае, когда игроки неодинаково искусны. Пусть вероятность выигрыша игрока А в каждой партии равна р, а игрока В равна q, причем p^g, р + <7 = 1 Тогда р _ (тУ- (1Г- Эту формулу привел в статье «О мере случая» (1711) А. Муавр. Она позволяет сделать следующий вывод. Еслир много меньшеq (т. е. ~«0), то ра мало отличается от единицы. Тогда при любых конечных капиталах разоряется менее искусный игрок. Если считать капитал игрока В неограниченным (как в случае игры с банком), то для вычисления ра надо в последнем ра- венстве перейти к пределу при Это приводит к результату 18(1
Таким образом, игрок А не разорится (разорится банк) лишь тогда, когда он играет более искусно, чем банк, т. е. в случае, когда p>q. Банк этого допустить не может, а поэтому играет лишь в безобидные игры (p = q=±) и вероятность разорения Л и по этой формуле снова равна единице. Остановимся еще на одном понятии теории вероятностей — математическом ожидании. Начнем с простого примера. Предполо- жим, что спортсмен стреляет по мишени. При каждом выстреле он может выбить любое число очков от 0 (когда он не попадает в мишень) до 10. Пусть произведено N выстрелов; из них п0 выстрелов не достигли мишени, Л| раз выбивалось одно очко, л2 раза — два очка и т. д. Сколько же очков в среднем приходится на каждый выстрел? Это число равно 0-ЛоЧ" I П| +... 4" 10-Лю л Яо | | Л| ( । |П Лю N ~ U' N + 1 ‘ N IU’ N • Отношение (где е=0, 10) выражает частоту, с которой выбивалось i очков в данной серии выстрелов. С возрастанием N эта частота приближается к вероятности pit с которой стрелок выбивает i очков, а среднее число очков приближается к числу О-ро4-1 *р> + -.. + 10«рю- Приблизительно на такое число очков может рассчитывать спортсмен, производя выстрел. Ясно, что эта величина характери- зует качество стрельбы по мишени, другими словами, искусство стрелка. Дадим теперь определение в общем виде. Пусть случайная величина принимает значения х(, х2, .... хп с вероятностям ирь ..., ря, тогда ее математическим ожиданием (иногда говорят сред- ним, или центром) называется сумма M = Xipi Ч-лгргЧ- +хпрп • Это то значение, которое мы вправе ожидать при многократном повторении опыта. Эта величина не обязана совпасть с каким-либо из Х|, хп. Для примера найдем математическое ожидание числа очков, которое выпадет при бросании игральной кости. Так как вероятность появления любого числа очков равна I то искомая величина равна b|+2.-l+,..+6..1-3.5. Это не значит, что при одном бросании кости наиболее вероятно выпадение трех или четырех очков. Но это означает, что, подбросив кость 10 раз, скорее всего можно набрать около 35 очков. IH7
Важную роль в формировании понятия математического ожидания сыграл известный парадокс, возникающий при игре с удваивающимися ставками. Впервые он был изложен (1713) в од- ном из писем Николая Бернулли (1687—1759) — племянни- ком Я. и И. Бернулли. Парадоксом заинтересовался Д. Бернулли, который опубликовал свое исследование по этому вопросу в «Комментариях Петербургской АН», почему парадокс получил название петербургского. Опишем его. Два игрока, Петр и Павел, уговариваются сыграть в орла и решку на следующих условиях: выигрышем для Петра считается выпадение орла; если Петр выигрывает первую партию, то Павел выплачивает ему 2 р. и игра прекращается; если Петр первую партию проигрывает, а выигрывает вторую, то Павел выплачи- вает ему 4 р. и игра прекращается и т. д. Вообще, если Петр проигрывает (л — 1) первых партий и выигрывает л-ю, Павел выплачивает ему 2" ,р. и игра прекращается. Определить ставку Петра, т. е. какую сумму должен он до начала игры выплатить Павлу в качестве компенсации за его обязательства (чтобы шан- сы обеих сторон в игре были равны). Для ответа на этот вопрос нужно вычислить, какой выигрыш ожидается Петром. С вероятностью у он получит от Павла 2 р., с вероятностью-^- получит 4 р. и т. д.; вообще с вероятностью он получит2” р. Итак, математическое ожидание выигрыша для Петра представляет собой сумму 2- y+4’T+" +2"4+ ~= 1 +1 ++1 + I НК которая бесконечна, т. е. игра для Петра выгодна, сколь бы ни была велика его ставка. Парадокс заключается в том, что ни один здравомыслящий игрок не согласится на месте Петра поставить и 100 р. против обязательств Павла. Предлагалось несколько вариантов разрешения этого пара- докса. Как правило, в них содержались какие-либо дополнительные условия. Швейцарский математик Г Крамер, име- нем которого назван способ решения системы линейных уравнений (Алгебра, гл. II, п. 9), предложил (1730) считать капитал Павла ограниченным, что отвеча- ет реальному состоянию. Пусть этот капитал равен, например, 220 р. При этом условии прежний договор остается в силе, если орел впервые выпадает не позже чем
при 21-м бросании. Если же орел впервые выпадает позже, то Петр псе равно получает только 2го р. Поэтому его ставка составляет вполне реальную сумму: f 2"(4)"+ f i2»'(4)=20+(i+4+4+4+...)=20+2 = 22. Другое решение петербургского парадокса предложил фран- цузский естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707— 1788). По специальности он был не математиком, а биологом, работал директором Ботанического сада в Париже. Наибольшую славу Бюффону принесли 36 томов увлекательно написанной «Есте- ственной истории» о животных. Много занимался он и геологией, изучением развития земного шара и его поверхности; выдвинул интересную гипотезу образования земного шара и других пяти известных тогда планет как осколков, оторванных от Солнца врезавшейся в него кометой. Для обоснования этой гипотезы он использовал теорию вероятностей. Вообще Бюффон был одним из первых естествоиспытателей, начавших применять теорию вероятностей в своих исследованиях, при этом он внес много ценных предложений. В частности, предложил считать в практических задачах вероятности, меньшие 1 -Тпмп, равными нулю, поскольку редкие события при единичном 1 ииии испытании практически неосуществимы. В петербургском пара- доксе вероятность выпадения орла лишь на 14-м шаге равна mln»» ПОЭТОМУ ожидаемый Петром выигрыш, по Бюффону, х 1 LnJvU вычисляется так: 13 Z 2"(4)"=13- п = I Правда, теоретически возможны события, имеющие пусть ничтожную, но ненулевую вероятность. Этот довод обыграл писатель-фантаст Р. Мэлони в рассказе «Несокрушимая логика». Герой рассказа мистер Бэйнбридж услышал в кругу друзей, что если усадить шесть шимпанзе за шесть пишущих машинок и они станут наобум ударять по клавишам, то по теории вероятностей за миллион лет они напишут все книги, хранящиеся в библиотеке Британского музея. Мистер Бэйнбридж решил провести соответствующий экспери- мент. Обезьяны начали без помарок печатать труды классиков; сам экспери- ментатор и еще более его друг, профессор математики, были повергнуты в шоковое состояние. 189
4. Счастливый билет В сборнике занимательных задач Я. И. Перельмана «Живая математика» есть рассказ «Бесплатный обед». В нем описывается, как десять выпускников, решив отпраздновать товарищеским обедом в ресторане окончание школы, не могли прийти к соглаше- нию, как усесться вокруг стола. Примирил их официант. Он предложил молодым людям сесть как попало, а на другой день прийти снова и сесть по-другому и так каждый день, пока не бу- дут перепробованы все варианты. «Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня,— сказал официант,— тогда обещаю торжественно — я начну ежедневно угощать вас бесплат- но самыми изысканными обедами». Как вы думаете, пришлось ли друзьям дождаться бесплатного обеда? Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти число всевозможных перестановок из 10 элементов. Вообще перестановка из п элементов — это упорядоченный набор этих элементов. С перестановками мы встречались в алгеб- раическом разделе (гл. II, п. 3). Но там нас интересовала алгебраическая структура множества всех перестановок из п элементов, здесь же нам нужна его количественная характеристи- ка. Число всевозможных перестановок из п элементов обознача- ется Рп по первой букве латинского названия перестановки permutatio. В следующем пункте мы докажем, что РП = п1. А сейчас вернемся к рассказу о бесплатном обеде. Прежде чем да- вать ответ, уточним ситуацию: мы учитываем не только, в каком порядке сидят друзья вокруг стола, но и кто из них какое место занимает. В самом деле, представим себе, что мы разомкнули круг друзей и усадили их в один ряд. Если каждый из них, находясь за столом, пересядет, допустим, на соседний стул справа, то порядок, в котором они сидят вокруг стола, не изменится, однако в соот- ветствующем ряду последнему придется перейти на первый стул — возникнет новая перестановка. Выходит, что друзьям придется ждать бесплатного обеда Рю = 101=3 628 800 дней. Так что офици- ант ничем не рисковал, ведь это почти 10 000 лет. Вообще число л! с ростом п растет необычайно быстро. Об этом говорилось еще в арифметическом разделе (гл. I, п. 7). Приведем еще один пример. Число 100! больше, чем 9* 10157, в то время как число электронов во Вселенной (по оценке Эддингтона) значительно меньше: оно составляет 136-2256 Пока речь шла о перестановках из п различных элементов. Интересен случай, когда некоторые из них совпадают. Выясним, например, сколькими способами можно получить повое буквосоче- тание из слова «баобаб». Ясно, что всего возможно Рб=6! перестановок. Но некоторые из них не меняют слова. Это произойдет при перестановках букв «б» между собой (ихРз=3!) 190
и букв «а» между собой (их Р2 = 2!). Таким образом, новые г 6! СП буквосочетания получаются лишь в р3.р2 = з!-2! случаях. Вообще если в наборе из п элементов содержатся п\ одних совпадающих элементов, л2 — других совпадающих элементов и т. д. и, наконец, — последних совпадающих элементов (Mi + п2 + ... + пА = п), то число всех различных перестановок из элементов этого набора равно _____ъ_____________5!_____. (1) Р, Р л,|.л,1..... л*1 VI П| п2 я* Формула справедлива и для случая, когда некоторые изп|, Пь равны единице. Применим полученные нами формулы для реше- ния одной занимательной задачи. Друзья отправились на рыбалку автобусом. — Нам сегодня повезет,— сказал один из них, получив билет. — Это было бы здорово, но почему ты так думаешь? — У меня «счастливый» билет. — А как ты это определил? — Смотри, номер 731 506, сумма первых трех цифр равна сумме трех последних. — Может быть, и у меня тоже «счастливый», давай проверим. — Нет, этого не может быть, ведь твой билет следующий по номеру. И вообще «счастливые» билеты попадаются не очень часто. — А давай прикинем, так ли уж редко. Посчитаем и мы вместе с друзьями вероятность получения «счастливого» билета. Количество всех шестизначных номеров от 000000 до 999999 равно 106 Найдем среди них число «счастливых» билетов. Подсчет свяжем с суммой левой тройки цифр номера (у правой тройки сумма такая же), она может равняться 0, 1, 2, 3, ..., 27. Число вариантов, которыми достигается нужная сумма, определяется не только количеством наборов из трех цифр, дающих указанную сумму, но и качеством этих наборов. В самом деле, набор может содержать три одинаковые цифры — имеем един- ственную перестановку; может содержать две одинаковые циф- Р Зт ры — получаем -^=—^-=3 несовпадающие перестановки; может состоять из различных цифр - здесь все Рэ = 3!=6 перестановок различны. Например, сумма 3 достигается наборами (111), (300), (120), поэтому имеется 1+3+6=10 вариантов. Поскольку такое же число вариантов возможно и для правой тройки, то всего существует 102 счастливых билетов с суммой цифр тройки, равной 3. Составим следующую таблицу: 191
Сумма тройки цифр 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Число троек 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 63 69 73 75 При сумме, равной 14, вновь получим 75 вариантов, при сумме 15 — 73 варианта и т. д., при сумме 27 — один вариант — но- мер 999999. Такая симметрия объясняется следующим обстоятель- ством. Для подсчета вариантов совершенно безразлично, будем мы считать сумму трех цифр или сумму недостатков каждой из них до цифры 9. Например, сумма, равная 2, достигается наборами ИО и 200 и сумма 25 = 27—2 получается при двух наборах 889 и 799. По этой же причине в таблице, приведенной Галилеем (п. 1), числа, равноудаленные от середины, совпадают. Чтобы найти число «счастливых» билетов с данной суммой трех цифр, нужно соответствующее число троек возвести в квадрат. А число всевозможных «счастливых» билетов равно (12+32+62+102+...+752)- 2=55252, откуда искомая вероятность 55252 р= |Од =0,055252 Значит, проехав в автобусе 100 раз, вы имеете шанс 5—6 раз оказаться обладателем «счастливого» билета. Число перестановок, получаемых по формуле (1), даже для малых значений п достаточно велико. Этим пользовались с древ- них времен для шифровки слов или целых предложений: в них переставлялись произвольным образом буквы и понять смысл зашифрованной фразы было делом чрезвычайно трудным. Такая перестановка получила название анаграммы (от греч. «ана» — пере, «грамма» — буква). Появились они еще в III в. до н. э. в Греции. В Европе к анаграммам часто обращались ученые, чтобы заявить о своем приоритете в каком-то открытии, кото- рое по разным причинам пока не хотели обнародовать. Например, Гук зашифровал открытый им закон упругости следующим образом: «ceiii по ssstluv». Через два года, убедившись в верности своего открытия, он дал расшифровку: «ut lensio sic vis», что означает «удлинение пропорционально силе». Найдем число перестановок букв анаграммы Гука. Так как i и $ встре- 14' чаются по 3 раза, a t — 2 раза, то это число равно Д! 3, -. Оно превышает 109. Перебрать все эти варианты и найти среди них зашифрованный под силу лишь современным ЭВМ. В этой связи интересна следующая история. Когда граф Якопо Риккати (1676—1754) опубликовал (1724) решение диффе- ренциального уравнения у' + ш/2 = bxm 192
н виде анаграммы, его статья сопровождалась заметкой Д. Бернул- ли, подтверждавшей, что действительно уравнение такого вида до сих пор не решено. Через год Бернулли сам решил уравнение; видимо, ему это сделать было легче, чем разгадать анаграмму. А за уравнением осталось название уравнения Риккати. Ио, несмотря на трудности, ученые все же предпринимали попытки расшифровать анаграммы. Так было с анаграммой Галилея, помещенной им в небольшой книге «Звездный вестник» (1610), где он сообщал о своих астрономических открытиях. Безуспешно пытаясь се расшифровать, Кеплер, убрав три буквы, составил фразу, которая в переводе с латыни звучит так: «Привет вам, близнецы, Марса порожденье». Но он ошибся. Когда Галилей перепроверил свое открытие, он сообщил Кеплеру истинный смысл фразы: «Высочайшую планету тройною наблюдал». Речь шла о Сатурне — самой далекой из известных тогда планет, отку- да ее название «высочайшая». С помощью своего телескопа Галилей не смог обнаружить кольцо Сатурна, а разглядел толь- ко два более светлых его края. Расшифровка анаграммы существенно облегчалась, если ученый знал, в каком направлении работает его корреспондент. Через 46 лет после Галилея Гюйгенс, используя более мощный телескоп, обнаружил кольцо Сатурна и поместил об этом анаграмму в брошюре, где описывал свое открытие спутника Сатурна*. Валлис, имея конкретные сведения о содержании работы, расшифровал: «Кольцом окружен тонким, нигде не прикасающимся, к эклиптике наклоненным». Но вспомним, что Валлис вообще был искусным дешифровальщиком (Арифмети- ка, гл. I, п. 3). Он решил подшутить над Гюйгенсом. Составив свою анаграмму о том же открытии, он послал ее Гюйгенсу. Когда они открыли друг другу свои шифровки, то получилось, что Валлис сделал открытие раньше. Какой удар для Гюйгенса! Конечно, Валлис признался, что пошутил, чтобы доказать бессмысленность анаграмм, но Гюйгенс все равно на него очень обиделся. Прибегали к анаграммам ученые и по другим поводам. В «Письмах к провинциалу» Б. Паскаля содержалась убий- ственная критика иезуитов. Опасаясь преследования, он издал эти письма под псевдонимом Louis de Montalte* **. В дальнейшем Паскаль использовал различные анаграммы (с небольшими отступлениями) этого псевдонима. Организовав конкурс по реше- нию ряда метрических задач, связанных с циклоидой (вычисле- ние площади и центра тяжести ее произвольного сегмента, объе- ма тела вращения и т. д.), он побеждает (1658), участвуя в кон- ’ Речь шла о Титане — самом крупном и потому открытом первым средн 10 известных сейчас спутников Сатурна. ** Псевдоним Луп де Моптальт возник как воспоминание о горе (от фр. 1а mon[agne — гора) Пюи-де Дом, на которой по просьбе Паскаля муж его сестры проводил опыты по изучению атмосферного давления. 7. Л. П. Шмбасов 193
курсе под псевдонимом Amos Dettonville. В последнем неокончен- ном произведении Паскаля «Мысли» среди авторов, которым он следовал в своем произведении, назван Solomon de Tulli. 5. Генуэзская лотерея В 50-е годы школьная программа по математике сильно отличалась от нынешней. Мы говорим здесь о нынешней программе для обычных классов, оставляя в стороне разнообразные программы для альтернативных школ и классов со специальными уклонами. Старая программа по математике совсем не содержала элементов математического анализа, но зато содержала другие разделы, в частности комбинаторику. Мы сейчас не собираемся обсуждать достоинства и недостатки существующей программы, но, право, жаль, что нынешние выпускники не знакомы с таким интересным разделом математики. Чем же занимается комбинато- рика? В основном подсчетом количества комбинаций разного вида, которые можно составить из элементов данного множества. В предыдущем пункте мы говорили о перестановках — это одно из основных понятий комбинаторики. Чтобы познакомиться со следующим ее понятием, обратимся к задаче. Мы взяли ее из сборника задач по алгебре (автор П. А. Ларичев), которым пользовались старшеклассники 50-х годов. Задача. Учащиеся школы изучают 10 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день, чтобы при этом было 5 различных предметов? В этой задаче речь идет о размещениях. Что же это такое? Это упорядоченные наборы (кортежи) из элементов данного множе- ства. Все элементы одного кортежа различны. Если множество содержит п элементов, а каждый из кортежей — k элементов, то мы имеем размещение из л элементов по k. Для решения зада- чи мы должны найти число всех размещений из 10 элементов по 5. Начнем составлять расписание. Сначала определим, какой урок будет первым. Здесь мы имеем 10 вариантов. Вторым уроком мы можем поставить какой-то из девяти оставшихся предметов, третьим — уже любой из восьми, четвертым — из семи и, наконец, пятым — один из шести оставшихся предметов. В результате имеем 10-9-8-7*6 = 30 240 способов. И это только на один день для одного класса. Нелегкое дело составление расписания! Рассмотренный пример подсказывает, что число всех размеще- ний из л элементов по k вычисляется по формуле Д‘ = л(л— 1)...(л —fe+1). Докажем ее индукцией по k. При А=1, очевидно, Aj,= n. Пред- положим, что формула верна при k = mt и покажем ее верность для = 1. Для получения всевозможных наборов из л элементов по 194
m+ I элементов достаточно взять все наборы по т элементов (а их по предположению Ал=п(п — 1)...(л~т + I)) и к каждому из них добавлять поочередно каждый из оставшихся п — т элементов. Поэтому А™+'=Ал(п — т) = л(л — l)...(n —I) (л —т). Формула для А* доказана. Обозначение числа размещений бук- вой А пошло от латинского arrangement, что по-русски означает «размещение». «Легко видеть, что при k = n размещения содержат все п элементов данного множества, т. е. мы имеем дело с перестановка- ми из п элементов, откуда Ря=Алл = п(п- 1) •...-2-1 =п! Часто в наборе, содержащем k различных элементов из дан- ного множества, не важен порядок их следования. Такие наборы называются сочетаниями из п элементов по k. Например, в отборочных соревнованиях по любому виду спорта несуще- ственно, какое из призовых мест занято, важно войти в число участников следующего этапа соревнований. Аналогичная ситуа- ция наблюдается при формировании какой-либо делегации: достаточно попасть в этот список, а под каким номером стоит твоя фамилия, совершенно безразлично. Число сочетаний из п элементов по k обозначают С„ (от лат. combinatio — соединение). Найдем формулу для вычисления С„. С этой целью в каждом сочетании произведем всевозможные перестановки входящих в него элементов, их Рь- В результате мы получим все размеще- ния из п элементов по k, а их число равно А„. Итак, л:=с;.р* откуда Ck_ _ П(Л- 1) ••(n-fe+l)______л1 _ /2) п Pb A! (n-k)lk\' 1 7 Эту формулу знал уже Тарталья. Она верна для всех k = 0,1, п. Причем Сп —1, так как 01=1 (по определению). Число сочетаний из л элементов по k обладает рядом интересных свойств. Выделим некоторые из них. 1. Из формулы (2) вытекает равенство С Л_ л — й л— I* л Для л = 7 это свойство открыл астролог бен Эзра (XII в.). Наблюдая прохождение планет через зодиакальные созвездия, он просчитывал их сочетания по одной, по две, потри и т. д. Указанное равенство легко получить и не глядя на формулу (2). Пусть имеется п элементов. Выберем из них k элементов, оставшиеся п — k элементов можно считать также сгруппированными. Поэто-
му, сколько имеется групп по k элементов, столько же имеется по п — k элементов. 2. С*= Cjz| +С*_|. Это равенство (естественно, в словесной форме) привел ал-Каши. Позже (1544) Штифель переоткрыл закон образования чисел С*- Для доказательства этого свойства обратимся к (2): г*-1 I г* _ («—>)’ 1 (" — *)! _ ил-|~гЬя__| (я —1)|"Г (л — л— 1)!А! _ (Л-1)!(Й4-П-Л) _ п! _ „ (rt —fe)!AI (л —Л)!*! 3. Числа Cfi называют еще биномиальными коэффициентами, поскольку они совпадают с коэффициентами при степенях х* в разложении бинома (1+х)" (1 +*)"₽ 1 +-77*+ =c;+cix+c’x2+...+c;z. Из первого свойства вытекает, что коэффициенты членов, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой. 4. При х=1 из приведенного разложения бинома находим следующее удивительное равенство: c°+c’ + cS+... + c;;=2n. Оно было известно еще в Древней Индии. 5. Если в том же разложении положить х= — 1, то получим не менее интересное свойство биномиальных коэффициентов: с°-с'+с*-с’+... + (-1)я*с;;=о. А теперь вернемся к треугольнику Паскаля (п. 2). Окаймляющими числами этого треугольника являются единицы, и С^ = СЙ = 1 Любое другое число треугольника представляет собой сумму двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предыдущей строке. Это согласуется со свойством 2 сочетаний. Значит, в (л+1)-й стро- ке арифметического треугольника стоят числа С°, Ch, Си- Следовательно, этот треугольник можно переписать в виде rg ci Ci a ci ci ci
Теперь становится ясно, почему арифметический треугольник возник у Паскаля при решении задачи о справедливом разделе ставки. Ведь число cj выражает количество вариантов, в которых игрок выигрывает k партий из п оставшихся. Обратимся к рассмотренному случаю задачи, когда игрокам осталось сыграть максимум три партии. Благоприятными для игрока А являются варианты, в которых он выигрывает одну, две или три партии. Количество их выражается соответственно числами Сз =3, Сз = 3, Ci = 1. Таким образом, благоприятными для А являются Сз +Сз +Сз = 7 вариантов. Для игрока В благоприятный вариант только один: когда он выигрывает все три партии, что соответству- ет Сз=Сз = 1. Все эти числа стоят в четвертой строке арифметиче- ского треугольника, которую мы выделяли, рассматривая решение Паскаля. В общем случае, когда игроку А осталось выиграть k партий, а В выиграть т партий, т. е. всего остается сыграть максимум A + m— 1 партию, нужно обратиться к (А + т)-й строке ариф- метического треугольника, поскольку именно в ней выписаны чис- ла всех возможных сочетаний из k-\-m—1 элементов. Легко видеть, что ставку надо разделить между игроками А и В в отно- шении Ch + m— l + Cfc + nt — 1 + - + C£i Я1— ] . „Л + л1—I C-4 + m-l + ---~rLJt + m— I Рассмотрим еще одну задачу, в которой для подсчета вероятностей применяются сочетания. Речь пойдет о генуэзской лотерее. В XVI в. в итальянском городе Генуе получила большое распространение лотерея. История возникновения ее такова. В городе ежегодно избирались по жребию пятеро из ста сенаторов в «светлейшую коллегию». В связи с этим событием для генуэзцев устраивалась лотерея. Игроки должны были угадать эту пятерку. 197
В зависимости от числа угаданных фамилий они получали соответствующий выигрыш. В 1620 г. фамилии сенаторов были заменены числами от 1 до 90. Игра получила название генуэзской лотереи и широко распространилась по всей Европе. Существовало несколько разновидностей игры. Опишем одну из них. Игроки участвуют в одном из видов лотереи, имеющих специальные итальянские названия. Например, estrado simplice (простое извлечение), здесь нужно указать один из счастливых номеров: ambo (оба) — нужно угадать два номера, если вы угадываете лишь один из них, то ничего не получаете; lerno (по три) — нужно угадать три счастливых номера и т. д. В зависимости от того, сколько номеров вы беретесь отгадать (т. е. участвовать в соответствующем виде лотереи), вас ожидают разные выигрыши. При угадывании одного номера он составляет 15-кратную цену купленного билета, двух номеров — 270-кратную, трех — 5500-кратную, четырех — 75 000-кратную, а пяти —1 000 000-крат- ную сумму. Найдем вероятность выигрыша в каждом из пяти случаев. При решении задачи удобно считать, что все пять номеров уже разыграны и мы вытаскиваем номера как шары из ящика, причем пять шаров имеют особую окраску. Найдем вероятность выиграша 15-кратной суммы. Мы можем выбрать любое число от 1 до 90, т. е. всего исходов 90 Из них благоприятных С& = 5 от- куда искомая вероятность р(1)=с;:с^=^=-^. При отгадывании двух номеров (т. с. при участии в лотерее «амбо») число всевозможных вариантов их выбора равно Сдо- Из них благоприятными являются Ct Следовательно, ве- роятность выигрыша р(2)=С-С?0=^-=^. В случае трех номеров имеем Р(3)=С1-.С^=^й1 Для четырех номеров / j ч ^"*4 ____ <3 • *1 J Z — с5 ^90— “эо.89-88-87 11748' 511038* а для пяти номеров р(5) — :Сэо_ до йд.87.86 43949268’
Из полученных результатов видно, что в первом случае выигрыш выпадает в среднем один раз из восемнадцати. Другими словами, игроки, заплатив за 18 билетов, выигрывают 15-кратную его стоимость; выручку от продажи трех билетов получают устроители лотереи. Во втором случае из 801 билета выигрывают два, что дает стоимость 270*2 = 540 билетов; деньги за оставшийся 261 билет поступают в пользу устроителей. В остальных вариантах эти отчисления значительно возрастают. Другой картины мы и не должны были ожидать: не будут же устроители лотереи тратить силы и энергию, чтобы прогореть на этом деле. Хотя от случайно- стей пикто не застрахован. Может случиться так, что продано очень мало билетов и при этом в одном из них угаданы все пять номеров. В этом случае устроители лотереи терпят огромные убытки. Чтобы этого не случилось, они должны продать как можно больше билетов. Чем больше билетов продано, тем больше прибыли. Поэтому организа- торы лотереи заинтересованы в хорошей рекламе. Вот что пишет по этому поводу Лаплас: «Большинство людей, играющих в лотерею, не знают, сколько шансов в их пользу и сколько противопо- ложных... Без сомнения, все испугались бы огромного числа проигранных ставок, если бы могли его знать; по прилагаются старания, наоборот, к тому, чтобы придать наибольшей гласности выигрыш, гласности, которая становится новой причиной возбуж- дения к этой пагубной игре». 6. Геометрическая вероятность До сих пор мы имели дело лишь с конечной совокупностью случайных событий и подсчитывали вероятность способом, полу- чившим название классического. А можно ли классический подход к определению вероятности перенести на бесконечное множество событий? Оказывается, иногда это можно сделать. П. Л. Чебышев решил следующую задачу: «Какова вероятность того, что наудачу взятая дробь несократима?» Поскольку множество дробей бесконечно, то мы должны объяснить смысл поставленной задачи. Рассмотрим дроби вида где р и q про- бегают все натуральные числа от 1 до N включительно (очевид- но, искомая вероятность не изменится, если ограничимся лишь положительными дробями). Обозначим через /(7V) количество несократимых дробей среди выделенного нами множества, содер- жащего № дробей. Вероятность того, что выбранная среди них к ДАТ) наудачу дробь несократима, равна — —. N‘ Для решения задачи Чебышева требуется найти Пт —если он существует. /v—оо N 199
Для выяснения механизма нахождения числа /(/V) начнем с конкретного значения /V=1000. Определим, сколько дробей — (l^p^lOOO, l^tj^lOOO) сокращается на 2. Это возможно лишь в том случае, когда р и q четные. Количество же четных чисел в границах от 1 до 1000 равно 500. Так как р и q независимо друг от друга принимают любые из 500 четных значений, то всего таких дробей 5002, что составляет четвертую часть количества всех дробей рассматриваемого множества. Откуда доля дробей, которые нельзя сократить на 2, равна 1 —Аналогично уста- навливается, что доля дробей, не сокращающихся на 3, примерно равна!—X Поясним, почему употреблено слово «примерно». □ Дело в том, что число 1000 не кратно трем, поэтому среди чисел от 999 1 до 1000 на 3 делятся—^—=333 числа, т. е. доля дробей, сокра- тимых на 3, равна ( 333Продолжая дальше, найдем долю дробей, не сокращающихся на 5, она равна 1—X и т. д. и Легко видеть, что все рассуждения остаются в силе для любого числа N. Доля дробей, несократимых одновременно на простые числа 2, 3, 5, ..., pN, где pN — наибольшее простое число, не превосходящее N, приближенно равно произведению Переходя к пределу при /V—>-оо получим искомую вероятность Осталось вычислить бесконечное произведение. Обратная величи- на такого произведения встречалась нам (Математический анализ, гл. IV, п. 7) при рассмотрении дзета-функции Римана: nO-^)-=z>=4 Итак, 0 = 4-^0,6079 г л Отметим следующий интересный факт, касающийся несократи- мых дробей. Так как каждой дроби отличной от нуля, со- ответствует дробь— и наоборот, то можно считать, что множе- 200
ство правильных несократимых дробей составляет «половину» множества всех несократимых. Но если несократимые дроби плотно заполняют всю числовую прямую, то правильные—лишь интервал (— 1; 1) Это еще один из парадоксов бесконечных множеств. Если в задаче Чебышева потребовать, чтобы несократи- мая дробь была правильной, то искомая вероятность будет равна з числу —. л* Решая задачу Чебышева, мы уже почувствовали сложность вычисления вероятности появления случайной величины, принима- ющей бесконечно много значений. Еще сложнее обстоит дело, когда случайная величина принимает значения, образующие непрерывное множество. Обратимся к следующей задаче: «Двое друзей условились встретиться между часом и двумя пополудни, причем пришедший ждет 20 мин, а затем уходит. Какова вероятность их встречи?» Сложность решения этой задачи заключается в том, что время прихода каждого из друзей принимает любое значение из промежутка от 13 до 14 ч, а это множество непрерывное. Для решения такого рода задач вводится понятие геометрической вероятности. Пусть G — квадрируемая (т. е. имеющая площадь) область на плоскости. В область G наудачу бросается точка. Определим вероятность ее попадания в некоторую фиксированную квадрируе- мую область#с G. Фраза «точка бросается наудачу» означает, что ее попадание в любую точку области G равновоэможно. Ситуация аналогична классической, только вместо конечного множества исходов имеется бесконечное непрерывное множество точек области G, а вместо конечного числа благоприятных исходов — бесконечное непрерывное множество точек#. В количественном отношении область характеризуется площадью, так же как конечное множество — числом своих элементов. Поэтому есте- ственно определить искомую вероятность по аналогии с классиче- ской как отношение _ s<g> р S(G)' где5(#) hS(G) —площади областей# иб соответственно. Решим теперь задачу о встрече. Для удобства заменим промежуток между 13-ю и 14-ю часами промежутком от 0 до 1 ч. Очевидно, математическая сторона задачи от этого не пострадает (чего, наверное, нельзя сказать о друзьях). Пусть х — момент прихода одного из друзей, у — другого. Воспользуемся для изображения всех возможных ситуаций прямоугольной системой координат. Будем изображать время прихода друзей в минутах на соответствующих координатных осях. Очевидно, х и у могут принимать любое значение от 0 до 60 мин. Таким образом, область 201
G —это квадрат со стороной 60 (рис. 81). Встреча произойдет тогда и только тогда, когда |(/-х|^20, т. е.х—204-20. Область# — это множество точек квадра- та G, лежащих между прямыми у = х — 20 и#=л4~20. Она на рисунке 81 заштрихована. Чтобы найти вероятность встречи, вычислим отношение площади заштрихованной области к площади квадрата G: __ 601—40*__5 р~ 60* “ 9 Если перевести ответ на язык конечных множеств, то друзья имеют на встречу пять шансов из девяти. Стоит ли так неопределенно договариваться? Познакомимся еще с игрой, популярной в Америке. Игра заключается в следующем. Поверхность прямоугольного стола разграфлена, допустим, на однодюймовые квадраты. Игрок с некоторого расстояния бросает на этот стол монету, например, з - ъ диаметром— дюйма. Он получает приз, если его монета попадает полностью в какой-либо квадрат; в противном случае он проигрывает свою монету. Каковы его шансы на успех в предполо- жении, что монета упала на стол? Решим эту задачу. Будем считать, что центр монеты с одинаковой вероятностью может попасть в любую точку стола, а поэтому рассмотрим расположение этого центра относительно произвольного квадрата. Монета лежит целиком в квадрате (рис. 82), если ее центр отстоит от каждой из сторон квадрата больше чем на радиус, т. е. з дюйма. Следовательно, благоприятными для игрока исходами о являются те, в которых центр монеты располагается в за штрихо- 202
ванном квадрате (рис. 82). Его площадь равна—- площади од- 16 нодюймового квадрата. Такова вероятность выигрыша. Важная роль выпала на долю задачи «о бросании иглы», предложенной Бюффоном. Она послужила основой для создания метода статистических испытаний. Сформулируем задачу Бюффона:«На горизонтальной плоскости проведены параллель- ные прямые, отстоящие друг от друга на расстояние 2а. Наудачу бросают иглу длиной 21 (гд.е1<а). Найти вероятность пересечения ею одной из параллельных прямых». Для решения задачи введем два параметра: / — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, <р — наименьший угол между иглой и прямой (рис. 83, а). Фраза «наудачу бросают иглу» математически истолковывается так: параметры <р и / независимы и равномерно распределены в прямоугольникеG (рис. 83, б), для точек которого 0,0^/^а. Поэтому каждое возможное положение иглы изображается точкой (<р; t) прямоугольника G с площадью S(С) Условие пересечения иглой какой-либо 203
из параллельных прямых задается неравенством fusing). Оно выделяет в G область g, лежащую под синусоидой t = l sintp. На рисунке 83, б она заштрихована. Ее площадь ~2 к S(g) = J I sin <pd<p= —/cos (р|02 = /, о откуда находим искомую вероятность _ -S(g)___ Р S(G) па Многократное воспроизведение опыта Бюффона с иглой позволило экспериментально определить при заданных значениях а и I вероятность р, а затем исходя из равенства л = ~“ найти приближенное значение числа л. Заменим в задаче Бюффона иглу произвольным выпуклым замкнутым контуром длиной 2L Естественно, диаметр контура меньше 2а. В этом случае получается неожиданный результат: вероятность того, что контур пересечет какую-либо из параллель- ных прямых, L Р = ~^> т. е. не зависит ни от площади фигуры, ограниченной контуром, ни от его формы, а определяется лишь его периметром. Решение задач на вычисление геометрической вероятности подвергалось справедливой критике. Дело в том, что такое решение, как мы видели, связано с параметризацией геометриче- ских объектов, например иглы в опыте Бюффона. Способ параметризации условием задачи не определен, и поэтому ответ может зависеть от выбранной параметризации. Один из таких парадоксов привел (1889) французский математик Ж о з е ф Бертран (1822—1900). Рассмотрим его. Наудачу проводится хорда в круге; найти вероятность того, что эта хорда больше стороны правильного вписанного треугольни- ка. Бертран предложил три решения этой задачи, приводящие к разным результатам. Решение 1. Проведем числовую ось так, чтобы ее начальная точка О совпала с центром круга (рис. 84, а). Опустим из точки О перпендикуляр на хорду. Положение хорды однозначно определя- ется длиной р этого перпендикуляра и углом <р, который он образует с положительным направлением числовой оси. Каждой хорде таким образом сопоставляется точка (р, ф) прямоугольника G (рис. 84, б), определяемого неравенствами (г—радиус круга), 0< ср2л. Хорда больше стороны правильного вписанного треугольника, еслирСу при любом ф. Этим условием выделя- 20 1
ется область g — половина прямоугольника G (на рисунке 84, б она заштрихована). Следовательно, искомая вероятность Р = -2 Решение 2. Зададим хорду двумя ее точками аир, лежащими на окружности. Можно считать одну из этих точек а вершиной правильного треугольника (рис. 85). Хорда больше стороны этого треугольника, если отрезок [а; р] лежит внутри угла треугольника, 60° I что составляет lflQO =— часть всевозможных хорд с данной вершиной. Отсюда получаем ₽=4- Решение 3. Выберем на плоскости систему координат так, чтобы ее начало (точка О) совпало с центром круга. Опустим из точки О перпенди- куляр на хорду (рис. 86). Хорда определена координатами (х, у) основания перпендикуляра. Очевидно, для любой хорды jc2+t/2^r2 Таким образом, область G представляет собой круг Рис. 85 Рис. 86
радиуса г. Условию задачи удовлетворяют те хорды, для которых х2 + у2<(-^-) т-е- область g— внутренность круга радиуса -g Так как площади полученных кругов относятся как квадраты их радиусов, то искомая вероятность ,= Р Р 4 Объяснил этот парадокс Пуанкаре: фактически Бертран решает три различные задачи. На самом деле каждое решение связано с введением пары параметров, равномерно распределенных в соответствующих областях. Можно найти зависимость одной пары от другой и установить, что равномерное распределение одной из них в своей области изменения не гарантирует равномерного распределения другой. Сравним для примера параметры первого и третьего решений, т. е. (р, <р) и (х, у) Очевидно, х = р cos ф, у = р sin ф. Параметры х и у от р зависят линейно, а от ф нет. Возникает вопрос: каким образом Бертран, исходя из одной задачи, пришел к трем разным? Оказывается, дело в том, что в условии задачи не определено слово «наудачу» и разные параметризации — это различные толкования этого слова. Этот парадокс показал, что задача о хорде была некорректна и что вообще при постановке задач, связанных с поиском геометрической вероятности, нужно быть более требовательными к их условиям. Поиск путей устранения парадоксов, возникающих при решении задач на вычисление геометрической вероятности, привел математиков к изучению инвариантной меры множеств. Тем самым было положено начало новой области математики — интеграль- ной геометрии. Это направление получило самые неожиданные применения на стыке математического анализа, геометрии, топологии и других математических дисциплин. В настоящее время оно интенсивно развивается. 7. Закон больших чисел Теория вероятностей как наука начала развиваться по существу с работы Я- Бернулли «Искусство предположения». Издана она была в 1713 г., через 8 лет после смерти автора, его племянником Николаем. Прежде чем говорить об основном результате работы, остановимся на статистическом определении вероятности. 206
В ряде случаев классический способ вычисления вероятности наталкивается на принципиальные трудности. В частности, во многих ситуациях бывает очень сложно определить, являются ли различные исходы равновозможными. Например, при стрельбе по мишени, при проверке качества продукции, в страховом деле, в разного рода демографических исследованиях и т. д. Мы уже говорили, что при многократных испытаниях выявляется устойчи- вость частот, т. е. благоприятные события происходят с частотой, которая колеблется около некоторой фиксированной величины. Такую картину можно наблюдать в опытах, связанных с бросанием монеты. Число р, около которого колеблется частота появления некоторого события при многократном повторении опыта, называ- ют статистической вероятностью этого события. Приведем прос- той пример, когда необходимо знание статистической вероятности. При создании наборных касс в типографиях необходимо запасти все буквы в достаточном количестве. При этом естественно надо поменьше иметь редко используемых букв, а побольше — часто используемых. Конечно, следует иметь в виду тематическую направленность типографии. Для определения оптимального запаса букв проводятся статистические исследования текстов соответствующей тематики. Так, исследования над литературными текстами, написанными на русском языке, позволили выявить следующую картину. Наиболее часто встречается буква «о», а наиболее редко — буквы «э» и «ф», причем частота появления последних в 45 раз меньше частоты появления буквы «о». Другими словами, вероятность появления буквы «о» в 45 раз больше вероятности появления букв «э» и «ф». Приведем все буквы алфавита в порядке убывания частоты появления: о, е, а, и, т, н, с, р, в, л, к, м, д, п, у, я, ы, з, ь, ъ, б, г, ч, й, х, ж, ю, in, ц, щ, э, ф. Такие исследования позволяют создать наиболее рациональный запас букв. Во второй половине XVII в. статистическая вероятность стала широко использоваться в различных областях практической деятельности человека. Приведенное определение статистической вероятности не является математическим, так как использует термины, не имеющие строго математического толкования: опыт, частота колеблется, появление события. Немецкий математик и механик Рихард Мизес (1883—1958) предложил другое определение статистической вероятности события: I- * р= um—, гдеп — число испытаний, k — число тех испытаний, при которых интересующее нас событие произошло. Но при таком определении, во-первых, нельзя быть уверенным, что предел вообще существует, 207
во-вторых, он может меняться в зависимости от выбора представителей. Например, нас интересует выполнение какой-то спортивной нормы. Ясно, что частота этого события будет принимать совершенно различные значения для разных возра- стных групп. Таким образом, это определение, хотя и позволяет просто (если не считать огромного количества испытаний, необходимых для его реализации) определить вероятность, не является корректным. Исследования Я. Бернулли и последующих математиков поста- вили это понятие на твердую математическую основу. Бернулли рассмотрел независимые испытания с двумя исходами. Пусть вероятность одного из них, назовем этот исход благоприятным, равна р, другого равна q=\—p. Тогда вероятность появления ровно k благоприятных исходов при п испытаниях вычисляется по формуле pn(k) = C*-рк-дп~к. На самом деле вероятность появления в k первых испытаниях благоприятного события, а в остальных — ему противоположного по правилу произведения вероятностей равна p-qn"b Остается учесть распределение k благоприятных исходов по всем п испытаниям — это число сочетаний из л элементов пой. Распределение вероятностей по такому правилу называют биномиальным, так как Pn(k) является (/г+1)-м слагаемым в разложении бинома (/? + <?)" Рассмотренная схема испытаний привела Бернулли к изучению чисел РЯ(А). Обратимся к ним и мы. Зафиксируем л и будем менять/г. Так как С* =--—---- , то А!(п — k)! 1) n — k р Pn(k) Л-Н ’V Это отношение больше единицы при k<Znp — q, при k = np — q оно равно единице, а прий>лр — q меньше единицы. Следовательно, при возрастании k числа Pn(k) возрастают, достигают максималь- ного значения (при k = np — q), а затем убывают. Приведем диаграмму (рис. 87) изменения величины Pn(k) в зависимости от k (здесь л= 15, p=q = -^ ). Величина P|S(A) задает, например, вероятность выпадения орла равно k раз при 15 бросаниях монеты. Заметим, что даже максимальное значение Р|5(7)=Р|5(8)«0,196 достаточно мало. А при увеличении л оно лишь уменьшится. Так, при 100 бросаниях монеты ₽-(5°)=5^Г-^«°-073- Вычислим теперь вероятность того, что при 15 бросаниях монеты орел выпадает от 5 до 10 раз. Для этого нужно найти сумму 20Н
Pis(5) 4-Pi5(6) 4-Pis(7) 4-Pis(8) 4-Pib(9) 4-^is(10) Как видно из графика, она приближенно равна 0,8. Таким образом, сумма третьей части биномиальных слагаемых в 4 раза превышает сумму всей оставшейся части. Это связано с тем, что рассматрива- ются Л((Л) для значений k, близких к числу np — q. При возрастании количества испытаний вырисовывается еще более четкая картина. Например, при 100 бросаниях монеты вероятность выпадения орла от 40 до 60 раз (что составляет лишь пятую часть всех значений) равна 0,955. т. е. в пределах от 40 до 60 орел выпадает примерно в 21 раз чаще, чем вне этих пределов. Такого типа соображения позволили Я. Бернулли сформулиро- вать и доказать для биномиального распределения следующую теорему: кПусть число благоприятных случаев относится к числу всех случаев как г Kt, каковое отношение заключается в пределах •'•у ~ и r f . Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (с раз) было вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадает в эти пределы, а не вне их, т. е. что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех будет не более чем г+ 1 и не менее F— 1 чем —-— ». Эта теорема, получившая с легкой руки Пауссона название закона больших чисел, стала фундаментальной. Наиболее интен- сивное развитие в теории вероятностей получили исследования, связанные с различными обобщениями закона больших чисел. И это естественно. Данный закон играет главную роль в примене- нии теории вероятностей к изучению массовых случайных событий в естественных науках, технике, практике измерений, экономике, демографии и т. д. 8. Л. II. Шпбасов 209
Первое обобщение теоремы Бернулли предложил французский математик Симеон Пуассон (1781 — 1840). Он рассмотрел более сложную задачу, когда вероятность благоприятного исхода меняется от опыта к опыту. Последующие обобщения закона больших чисел связаны с именем Чебышева, его учеников и последователей. Они распространили этот закон на более сложные системы опытов. Наиболее значительные результаты в этой области получены выдающимся русским математиком Андреем Андреевичем Марковым (1856—1922). Он рассмотрел такую схему испыта- ний, в которой вероятность наступления любого исхода при очередном испытании однозначно определяется результатом предыдущего испытания. Приведем пример. На столе лежит стопка из трех книг. Занумеруем книги, начиная с верхней, числами I, 2, 3. Начальный порядок их следования в стопке определен перестановкой (1; 2; 3). Будем брать одну из книг этой стопки и затем класть ее сверху. Причем первая книга берется с вероятностью pi, вторая — с вероятностью pz, а третья — с вероятностью рз. Состояние системы характеризуется переста- новкой из трех элементов (порядком расположения книг в стопке). Всего имеется Рз = 3!=6 состояний: А, = (I, 2, 3), Az=(2, 3, I), Аэ=(3, I, 2), A4=(l, 3, 2), Л5=(3, 2, 1), А6=(2, I, 3). Можно составить матрицу, содержащую вероятности перехода от одного состояния к другому. У нее на пересечении t-й строки и /-го столбца стоит вероятность перехода от состояния А,- к состоянию А/, если этот переход возможен за один шаг, в противном случае стоит 0. fPi 0 Рэ 0 0 рЛ ' Pi P2 0 0 Рз 0 \ Р—1 0 P2 Рз Pi 0 0 1 * —1 1 0 0 Рз Pi 0 Р2 1 i 0 P2 0 Pi Рз 0 / \PI 0 0 0 Рз Р2/ Например, переход от состояния А] к состоянию Ai совершается, когда взята первая книга, а она берется с вероятностью pi, поэтому в первой строке и первом столбце стоит рг, переход от состояния А| к состоянию Az за один шаг невозможен — на втором месте первой строки стоит 0; переход от Ai к Аз возможен — берется третья книга и кладется сверху, что происходит с вероятностью р3, поэтому на третьем месте первой строки стоит р3 и т. д. Бесконечную последовательность испытаний, при которой состояния системы сменяют друг друга с определенной вероятно- стью, Марков назвал цепью. Если переходные вероятности записать в виде матрицы, то исследование цепей Маркова можно свести к изучению этих матриц. Марков показал, что основные теоремы, доказанные для независимых случайных величин, верны 210
и для цепей, в частности, справедлив и закон больших чисел. Теория цепей Маркова положила начало новому, основному сейчас в теории вероятностей направлению — теории случайных про- цессов. Сам Марков продемонстрировал свои цепи па изучении чередования гласных и согласных в романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин». На самом деле вероятность появления гласной буквы зависит от числа предшествующих ей согласных. В дальней- шем чередование гласных и согласных букв стало использоваться при кодировании, например в процессе передачи текста по телеграфу. Помимо теории вероятностей, Марков получил глубокие результаты в теории приближений функций, в дифференциальных уравнениях, в теории алгебраических чисел. В лекциях и книгах он четко и ясно излагал свои мысли, был замечательным педагогом и мужественным гражданином. Когда М. Горького исключили из почетных членов Академии наук, Марков в знак протеста публично отказался от всех титулов и отличий, присвоенных ему Академией. Он неоднократно выступал против притеснения студентов и ущем- ления прав университета правительством и полицией. Кроме Маркова-старшего математикой занимался и его сын, тоже Андрей Андреевич (1903—1979), Марков-млад- ш и й. Он является создателем, отечественной научной школы по так называемой конструктивной математике, занимался тополо- гией и математической логикой. Брат Маркова-старшего Влади- мир Андреевич Марков (1871 —1897) также успешно за- нимался математикой, но из-за болезни рано ушел из жизни. Другое важное направление развития теории вероятностей связано с предельными теоремами. Даже в простейшем случае, которым является биномиальное распределение, вычисление вероятности Pn(k) при достаточно большом числе п испытаний требует громоздких вычислений. Чтобы убедиться в этом, решим следующую задачу. В ящике 100 шаров, из них 10 белых. Найти вероятность появления 12 белых шаров при 20 испытаниях. Здесь р = -^=0,1, <7 = 0,9, п = 20,й= 12. Искомая вероятность равна Оказывается, можно избежать таких громоздких вычислений при достаточно больших п. Для этого устремляют п к бесконечно- сти и находят выражение, к которому стремится Pn(k) (так называемая асимптотическая формула). Для p = q=-^ такая формула была впервые (1730) получена А. Муавром, а для произвольных (но близких к р и q — П. Лапласом. Результа- 8* 21 I
ты Муавра и Лапласа носят название локальной предельной теоремы. Она утверждает, что при достаточно больших п —7 Pn(fe)~ . ' -е~т, гдех=-^ ^J2nnpq y/npq Конечно, подсчет вероятностей по приведенной формуле тоже весьма затруднителен. Но для функции е 1 составлена таблица (как говорят, функция е_'а «протабулирована»), что существен- но облегчает вычисления. Случай, когда одно из чисел р или q мало, был рассмотрен Пуассоном. Дальнейшие обобщения предельной теоремы были получены Чебышевым, Марковым, Ляпуновым, Бернштейном и другими математиками. 8. Вместо заключения В конце XVIII в. решалось большое число вероятностных задач прикладного характера (астрономические наблюдения, измерения в технике, баллистические исследования и др.). Это потребовало выяснения характера распределения ошибок наблюдений. Еще Галилей в «Диалоге о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» подразделил ошибки на систематиче- ские и случайные. Первые зависят от методики измерения, от выбранных инструментов, от систематических помех, а вторые произвольно изменяются при каждом измерении. От утверждал, что случайные отклонения группируются по разные стороны от истинного значения, причем малые ошибки встречаются чаще, чем большие. В «Теории движения небесных тел» (1809) Гаусс формулирует принцип среднего арифметического: «Если какая-нибудь величина будет определена из многих непосредственных наблюдений, проведенных при одинаковых обстоятельствах и с одинаковой тщательностью, то среднее арифметическое из всех наблю- давшихся значений окажется наиболее вероятным значением...» На основании этих соображений Гаусс описал плотность распреде- лений ошибок наблюдений. Она выражается функцией У = с-е 0 , где хо — математическое ожидание случайной величины. На рисунке 88 схематически изображен график этой функции. Закон, открытый Гауссом, получил в дальнейшем его имя. В настоящее время более употребительно название нормальное распределение. Площадь криволинейной трапеции на отрезке [а; 6] равна вероятности попадания случайной величины на этот отрезок. Из рисунка видно, что вероятность попадания на любой отрезок фиксированной длины будет наибольшей, если этот отрезок 212
симметричен относительно точки xq. Напомним, что аналогичная ситуация была нами подмечена при биномиальном распределении, да и кривая распределения Бернулли напоминает только что построенную нами (нужно лишь учесть, что при биномиальном распределении аргумент пробегает конечное множество точек, а при нормальном — всю числовую ось). В то же время Лаплас выдвинул идею: если случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой остальных, то суммарная величина будет распределена по нормальному закону. Это положение было теоретически обоснова- но лишь много лет спустя. Оно следует из центральной предельной теоремы, доказанной в 1900 г. Ляпуновым. Теорема Ляпунова позволила объяснить широкое распространение нормального закона распределения в природе и технике. Этому закону подчиняются случайные величины измерений, отклонения при стрельбе по цели, броуновское движение частицы, размеры различных особей (взятых в определенном возрасте) данной популяции и т. д. Надо отметить, что многие результаты теории вероятностей в XIX в. стали безосновательно применяться в социальной сфере: политике, юриспруденции, законодательстве и т. п. Это приводило к абсурдным результатам, например к установлению характера среднего человека, к вычислению вероятности для любого гражданина быть обвиненным или оправданным и т. д. Это породило недоверие к теории вероятностей. Интерес к ней в XIX в. в Европе снизился. В России же благодаря влиянию Чебышева и его школы продолжались интенсивные исследования в этой области. Именно поэтому большинство работ по обоснованию закона больших чисел и предельной теоремы принадлежит русским математикам. Их усилиями были установлены границы различных приложений теории вероятностей. Например, А. Н. Колмогоров 213
нашел (1926) необходимые и достаточные условия, при которых имеет место закон больших чисел, а Сергей Натано- вич Бернштейн (1880—1968) окончательно решил вопрос об условиях приложимости центральной предельной теоремы. Правда, фундамент, на котором базировалась теория вероятно- стей, не был достаточно прочен. Многие определения годились лишь для наиболее простых схем с конечным числом исходов. Возникали, как мы уже видели, парадоксы. Поначалу все это не очень смущало ученых, так как теория вероятностей успешно работала в различных областях науки и практики. Но затем к ней стали предъявляться более строгие требования. Здесь уместно вспомнить об аналогичной ситуации в математическом анализе. Более того, таков общий характер становления и развития любой научной области. Появилась мысль о необходимости формализации основных понятий теории вероятностей. Об этом, в частности, шла речь в знаменитых проблемах Гильберта. Правда, он ставил вопрос об аксиоматизации физики. Но Гильберт, как и большинство ученых того времени, считал теорию вероятностей частью физики, поскольку теоретическая физика широко использует вероятно- стные методы. Хотя закономерности случайных явлений изучаются не только в физике, но и в химии, экономике, биологии, лингвистике и в других областях науки. Одну из первых аксиоматик теории вероятностей создал в 1917 г. Бернштейн. В дальнейшем были предприняты и другие попытки формально-логического обоснования этой науки. Наибо- лее употребительной и широко известной оказалась система аксиом Колмогорова (1933). Он использовал идею, высказанную французским математиком Эмилем Борелем (1871 —1956), о связи теории вероятностей с теорией мер. Для реализации этой идеи нужно было создать и развить метрическую теорию функций. К тому времени соответствующий аппарат был создан математика- ми, в том числе и самим Колмогоровым. Это позволило ему дать аксиоматику теории вероятностей, исходя из теоретике-множе- ственных представлений. Научная деятельность Андрея Николаевича Колмо- горова (1903—1987) многогранна: теория функций действитель- ного переменного, конструктивная логика, обоснование математи- ки, функциональный анализ, история математики, теория веро- ятностей и многое другое. В каждой из этих областей им получены фундаментальные результаты, носящие его имя. Отметим лишь один из них, связанный с переходом от функций многих переменных к функциям меньшего числа переменных. Его ученик Владимир Игоревич Арнольд (род. 1937), используя этот результат, еще в студенческие годы доказал тринадцатую проблему Гиль- берта: невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух аргументов. Колмогоров создал две научные школы в области теории функций 21 1
и теории вероятностей. Его учениками являются академики Анатолий Иванович Мальцев (1909—1967), Сергей Михайлович Никольский (род. 1905), Ю р и й Василь- евич Прохоров (род. 1929), Израиль Моисеевич Гельфанд (род. 1913), Борис Владимирович Гне- денко (род. 1912) и др. А. Н. Колмогоров был инициатором создания научно-популярного журнала «Квант», физико-матема- тической школы при МГУ. К работе в ней он привлек видных ученых и сам читал там лекции. Он принимал активное участие в разработке вопросов преподавания математики в средней школе. Мы знаем его как автора школьных учебников по математике. Многолетняя дружба связывала Колмогорова с другим замеча- тельным ученым Павлом Сергеевичем Александровым (1896-1982). Эта дружба являет собой образец взаимного уважения и трогательной заботы друг о друге. Большие любители спорта, они проводили свои отпуска в различных походах, где обсуждали научные проблемы, составляли планы новых работ. Всю жизнь оба они посвятили беззаветному служению науке. В основу аксиоматики теории вероятностей Колмогоров положил множество элементарных событий. Так как эти события имеют произвольную природу, то теория вероятностей допускает большое число различных приложений, чем объясняется попу- лярность и всеобщее признание аксиоматики Колмогорова. Построенная система аксиом ввела теорию вероятностей в число математических дисциплин, помогла устранить парадоксы, способ- ствовала дальнейшему ее развитию и установлению границ многочисленных приложений. В настоящее время теория вероятностей представляет собой глубоко развитую математическую теорию, которая не только успешно решает стоящие перед ней задачи, но без обращения к которой невозможны достижения современной физики, теории массового обслуживания, математической статистики и других областей пауки. Упражнения 1 Указать количество исходов при бросании двух игральных костей, в которых единица или двойка появляется хотя бы па одной кости. (Задача, решенная Кардано.) 2. Как разделить ставку между игроками, если они договорились играть до выигрыша 6 партий, а прервали игру, когда первый выиграл 4 партии, а второй — 3? (Задача Ферма.) 3, Решить задачу Пачоли: как разделить ставку между игроками, если они договорились играть до выигрыша 6 партий, а прервали игру, когда первый выиграл 5 партий, а второй — 2? 215
4. Решить задачу Ферма: играют трое; игра была прервана, когда игроку А недоставало до выигрыша ставки одной партии, а игрокам В и С — по две. Как справедливо разделить ставку? 5. Играют трое; игра была прервана, когда двум из них недоставало до выигрыша ставки по одной партии, а третье- му—двух. Как справедливо разделить ставку? (Задача Гюйгенса.) 6. Некто хочет при первом бросании игральной кости получить единицу, при втором — два, при шестом — шесть. Как велико его ожидание? (Задача Я. Бернулли.) 7. Решить еще задачу Я. Бернулли: в колоде 40 карт по 10 каждой масти; один игрок держит пари с другим, что вынет 4 разно- мастные карты; каковы его шансы на выигрыш? 8. Семеро друзей решили пообедать вместе и заспорили, кому с кем сесть за стол. Один из них предложил сесть как придется, а в последующие дни обедать вместе до тех пор, пока не будут перебраны все возможные комбинации. Как долго им придется обедать в такой компании, считая стол круглым? (Задача французского математика Жака Озанама.) Считать, что друзьям безразлично, где сидеть, важно только — с кем. 9. Задача индийского математика Мага- виры (IX в.): «О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов». (Ожерелья, составленные из камней одинаковых наименований, не разли- чаются.) 10. Сколькими способами можно полу- чить 12 очков при одновременном бросании четырех игральных костей? (Задача Я- Бернулли.)

Со страниц сборников старинных задач веет историей. Читая задачи, мы узнаем, какие проблемы волновали людей в те далекие времена, соприкасаемся с их бытом, языком, рассуждениями. Приемы решения некоторых задач столь наглядны и поучительны, что можно лишь сожалеть о том, что сегодня они почти забыты. Правда, эти приемы послужили основой для возникновения современных методов; об этом мы будем говорить в первых пунктах настоящего раздела. Остальная, значительно большая часть раздела отдана занимательным задачам. Они в основном тоже имеют солидный возраст. Из огромной массы игровых задач и задач-головоломок, содержащихся в различных сборниках, мы взяли лишь малую часть. В основном задачи подбирались так, что при их решении используются рассмотренные нами математические понятия и методы. 1. Златая строка Замечательный русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) фамилию свою получил (1700) от Петра I за умение притягивать к наукам молодых людей. Понимая необходимость улучшения системы образования в России, Петр I издал ряд указов об организации новых учебных заведений. В начале 1701 г. была создана Школа математических и навигацких наук в Москве. Распоряжением царя Магницкий был назначен туда преподавателем математики. В этой школе он и работал до конца жизни. В 1703 г. Магницкий издал свою «Арифметику», представляющую собой для России того времени энциклопедию математических знаний. Она состояла из двух книг, содержащих в общей сложности 662 страницы. Многие задачи и их решения приведены в виде стихотворных поучений. Сборник получился настолько удачным, что более ста лет являлся основным учебным пособием по математике в России. Недаром великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов назвал «Арифметику» «вратами своей учености». Рассмотрим задачу из этого учебника. Чтобы лучше почувство- вать дух повествования, мы приведем ее дословно: «Паки аще случится кому иметь штуку сребра весом токмо един фунт, а была бы она двойного сребра: едино сребро имеет пробу 11, а другое 14, и хотительно есть да будет оная штука пробы 12, и коликому до- стоит в той штуке быти лучшему сребру и худшему?» Сейчас эта задача звучала бы так: имеется два вида серебра, одно 11-й про- бы, другое 14-й; сколько надо взять того й другого серебра, чтобы получить фунт серебра 12-й пробы? Заметим сначала, что 1 фунт содержал 96 золотников. На основе такого соотношения в России существовала золотниковая система обозначения пробы. «Один фунт серебра 12-й пробы» это значит, 218
что в I фунте сплава содержится 12 золотников чистого серебра. Вообще проба означала количество благородного металла в 96 единицах сплава. А теперь вернемся к задаче и посмотрим, как предлагает решить ее Магницкий. «...и ты твори сице: слож. 3 И будет общее число 3. еже пише на тройное правило сице: 3—96—2 2 192 Паки такожде пиши 3—96—1 1 96 1 192 32 96 32 64 золотника 32 золотника И будет в сребре 12 пробы, в фунте из пробы 11,64 золотника, а из пробы 14, 32 золотника». Схема решения, использованная Магницким, была известна в Европе уже во времена средневековья. Она применялась для решения разнообразных задач на смешение. Чтобы понять ее, сформулируем задачу для произвольных данных и проведем анализ. В каком отношении надо взять серебро пробы а и пробы Ь, чтобы получить серебро пробы с? Пусть взято А золотников сплава пробы а и В золотников пробы Ь. Тогда в А 4-В золотниках сплава аА . ЬВ аЛ'+ ЬВ - п содержится-=—4--=—=—у - золотников чистого серебра. По Уи Уи УО условию задачи мы должны получить серебро пробы с, следова- , cM + fl) тельно, в сплаве должно быть —- золотников чистого се- уо ребра. Таким образом, аА + ЬВ = с(А +В) или А (с— а) =В(Ь—с), А Ь~с .. откуда -g— с_д. Именно это соотношение и получается по старинному правилу: Ь — с с —а В задаче Магницкого серебра 11-й пробы надо взять 14 —12 = 2 части, а 14-й пробы 12—11 = 1 часть. Для ответа на вопрос Задачи остается применить тройное правило. Что же это за правило? 214
И почему оно называется тройным? Это просто-напросто правило, указывающее, как найти неизвестный член пропорции по трем данным. Две последние записи в решении Магницкого следует понимать так: 3----96 3----96 2----х 1----у х=64 золотникам, £/ = 32 золотникам Но, как мы видели, вместо равенства отношений записывалась строка, содержащая три данных числа в строго определенном порядке. Неизвестное находилось по правилу: второе число умножается на третье и результат делится на первое. Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ. Вот еще одна задача из старинной русской летописи XVII в.: «Один человек выпьет кадь кваса за 14 дней, а вместе с женой выпьет ту же кадь за 10 дней. Нужно знать, за сколько дней жена его одна выпьет ту же кадь». Автор рукописи указывает способ решения: «А считай сице. Выли 10 из<14: останется 4. Молви: 4 даст 10. Что даст 14? Умножи 14 с 10, придет 140; дели ж ту 140 на 4, станет 35 дней. В столько дней одна жена его кадь квасу выпьет». Мы видим, что автор решает задачу с помощью тройного правила, находя неизвестное из пропорции 4:10= 14:х или (в старинной записи) из тройной строки 4----10----14. Но как он пришел к такому решению? Все поиски остаются за кадром. Тройное правило в средние века (наряду с фальшивым правилом) было одним из основных способов решения арифметиче- ских задач. В программе обучения арифметике и в Западной Европе, и в России оно занимало важное место вплоть до начала нынешнего века. Оно приводило в восхищение самих составителей арифметических пособий. Один из авторов русской летописи пишет: «Та строка тройная похвальная и лутчая строка изо всех иных строк. Философы ее зовут златою строкою». Тройное правило было разработано в Древнем Китае и Индии, а уже потом вместе с другими математическими достижениями оно через страны ислама попало в Европу. Еще в древности в Индии это правило получило обобщения. Наряду с простым тройным правилом рассматривалось обратное. В задачах на обратное тройное правило величины одного вида находятся в отношении, обратном отношению соответствующих величин другого вида. В качестве примера рассмотрим еще одну 2'20
задачу из русской рукописи: «При цене ржи 4 алтына за меру на 2 деньги можно купить 3-^ фунта хлеба. Сколько хлеба можно купить на ту же сумму, если мера ржи стоит 2 гривны?» Это типичная задача на обратное тройное правило, поскольку, чем выше цена, тем меньшее количество хлеба можно купить на ту же сумму. В рукописи дается следующий рецепт ее решения: «А считай сице. Постави на строку тройную и молви: 2 гривны даст Зпг фунта, что даст 4 алтына?» Учитывая, что 4 алтына=12 к., О а 2 гривны=20 к., решение рекомендуется получить из тройной строки 20---3^-—12. Мы видим, что принцип составления златой строки здесь другой, нежели при простом тройном правиле, однако никаких разъяснений по поводу этого принципа в рукописи нет. По-видимому, мастеровые и торговые люди, познакомившись с достаточным количеством аналогичных задач, усваивали принципы составления тройной строки механически: в одном случае поступай так, а в другом — этак! Существовали и другие обобщения тройного правила, но уже не качественные, а количественные. Еще в Индии были сформулиро- ваны правила пяти, семи, девяти и т. д. величин. Например, по правилу пяти величин находят неизвестное х, удовлетворяющее двум пропорциям x:y = d:et у:а = Ь:с, без промежуточных вычислений сразу в виде частного: abd х=-------------------------------. се Теория пропорций была глубоко развита в Древней Греции. Ведь вся греческая математика стояла на евдоксовой теории отношений. Ученые не находили численных значений различных геометрических величин — вместо этого выясняли, в каком отношении они находятся. Недаром равенство двух отношений греки называли словом аналогия. Позже Цицерон перевел его на латынь как proportio — соразмерность. С помощью пропорций формулировались результаты, доказывались теоремы, производи- лись построения. Вспомним, например, что Гиппократ для решения задачи удвоения куба методом вставки использовал пропорции а:х=х:у=у:2а, а Архимед записывал с помощью пропорций геометрическую прогрессию. Папп определил различные виды средних с для отрезков а и b следующими пропорциями: (Ь — с): (с — а) = 1:1 — среднее арифметическое, (Ь — с): (с — а) =с:а — среднее геометрическое, (Ь — с): (с— а) =Ь:а — среднее гармоническое. 221
Чтобы построить отрезок x=ab или */=-у. древние обраща- лись соответственно к пропорциям jc:a = fr:l, у.а=\:Ъ. В разделе «Арифметика» на примере задач, решенных Непером, Кеплером, Ферма и др., мы видели, что пропорции широко использовались и в новое время. Декарт даже определяет степени 2 □ у=х » у=х , из равенств у:х = х:\, y.z = z:x = x: 1, а корни у — у = \[х так: \:у=у.х, \'.y=y:z = z:x, Современная запись пропорции a.b = c:d появилась (1708) у Лейбница, а до него, помимо словесного описания, применялись разнообразные обозначения, например: A Bi-.C-D, А | В| | С| D. 2. Фальшивое правило Для решения многих задач приходится пользоваться методом линейной интерполяции (от лат. inter — между, polio — сглажи- вать). Это метод приближенного восстановления функции по известным ее значениям в некоторых точках — узлах интерполя- ции. Суть его состоит в том, что искомую функцию между любыми двумя соседними узлами интерполяции заменяют линейной. Линейную интерполяцию применяют при обработке результатов физических экспериментов, при приближенном вычислении интегра- лов, в процессе составления и работы с математическими таблицами и т. д. Заметим, что для линейной функции ее линейная интерполя- ция в точности совпадает с ней самой. А прообразом метода линейной интерполяции был метод Regula Falsi — фальшивого правила, или ложного положения. Впервые этот метод встречается в папирусе Ринда, которому уже четыре тысячи лет. «Количество и его четвертая часть дают вместе 15». Требуется найти это количество. В папирусе приводится такое решение: «Считай с 4, от них ты должен взять четверть, а вместе 5». Поскольку получается число, в 3 раза мень- шее данного, то исходное (фальшивое) число увеличивается в 3 раза: 4*3= 12. Ответ получен. Метод ложного положения применяется тогда, когда в задаче участвуют величины, находящиеся в прямо пропорциональной зависимости. Например, в предыдущей задаче. Рассуждаем так: если искомое количество обозначить через х, то в сумме количество *222
11 33 и его четверть дают//=х-|-~=—х Если же зависимость имеет чуть более сложный вид у=ах-\-Ь, то этот способ решения не годится. В таком случае уже применяется метод двойного ложного положения. Он встречается в китайской «Математике в девяти книгах». Через много веков у китайцев этот метод переняли арабы, а уже потом он перекочевал в Европу. Магницкий в своей знаменитой «Арифметике» решает ука- занным способом, например, такую задачу: «Вопроси некто учителя некоего глаголя: повеждь ми кол и ко имаши учеников у себе во учил ищи, понеже имам сына отдати во училище: и хощу уведати о числе учеников твоих. Учитель же отвещав рече ему: аще придет ми учеников толико же, елико имам, и полтолика, и четвертая часть, еще же и твой сын, и тогда будет у мене учеников 100: вопросивый же удивился ответу его отиде, и начат изобре- тати». Мы думаем, что эта задача не нуждается в переводе на современный язык. Решение Магницкий дает (как и во всех средневековых учеб- никах) с помощью «весов», изображенных на рисунке 89, а. Здесь О — точка опоры, А и В — чаши весов. У центра вращения ставится число 100. Далее Магницкий предполагает, что в классе 24 ученика, и помещает число 24 на одну чашу весов. Затем он находит в соответствии с условием задачи сумму 24 + 24+12+6+1=67. До данного значения суммы недостает 100 — 67 = 33. Это число он ставит над той же чашей (рис. 89, б). Далее делает второе предположение, что в классе 32 ученика. Помещает это число на другую чашу весов и тоже находит сумму 32 + 32+16+8+1=89. Она снова меньше данной, но уже на II. Этот недостаток он записывает над второй чашей весов. Дальнейшие действия таковы. Перемножают числа, располо2 женные по диагонали: 32*33=1056 и 24-11 = 264; находят разность полученных результатов 1056 — 264 = 792 и разность недостатков 33—11 = 22 и делят первую разность на вторую: 792:22 = 36. Итак, в классе было 36 учеников. Выясним, почему такой путь приводит к ответу. Пусть в классе х учеников. Если взять еще столько, и полстолько, и четверть столько да еще одного, то получится у=х + х+-^+-^+1 =~х+ 1, т. е. зависимость между искомой величиной и данной выражается 223
линейной функцией y = ax-\-b. Положим х=Л|, тогда yi=axi + b\ при х = х? имеем у2=ахг + Ь. Очевидно, у2— yi = а(х?— Xi), откуда а= ~ Найдем теперь b=yi—axi = х^/1~УаХ| Остается ре- шить уравнение 100=ах+6 при найденных а иЬ: х 100 —f> (10Й —(100 —|Уг)Л| а У2—У1 Получаем именно то правило, которому мы следовали при решении задачи с помощью весов. Заметим, что в нашей задаче числа 100 —|/i = 33 и 100 — 1/2=11 положительные. При других знаках этих чисел правило несколько меняется (вместо разности следует брать сумму). Изобретен метод весов был, по-видим ому, арабами, от которых он перешел в Европу. Для более сложной функции по сравнению с линейной правило двойного ложного положения дает линейную интерполяцию — приближение этой функции. Как оно получается, видно из рисунка 90. При этом истинное значение у0 функции в точке Xq отличается от полученного приближенного у на величину тем меньшую, чем меньше разность Х2—Х|. 3. Алгоритм выигрыша В предыдущем разделе мы рассмотрели несколько задач, связанных с игрой в кости. В них вычислялась вероятность события, вероятность выигрыша. Конечно, если игра повторяется доста- точно много раз, какая-то закономерность наблюдается. Но результат каждой отдельной игры целиком зависит от случая. В этом разделе мы будем иметь дело с играми другого типа. Это, если так можно сказать, управляемые игры. Они допускают разработку алгоритма, следуя которому игрок выигрывает. Приведем простой пример. 221
1. Играют двое; у каждого из партнеров имеется набор одинаковых кружков (монет) в достаточном количестве. Игроки по очереди кладут на круглый или прямоугольный стол по одному кружку. Накладывать кружки друг на друга не разрешается. Игра продолжается до тех пор, пока положить кружок будет некуда. Выигрывает тот, кто делает последний ход. Тактика выигрыша для игрока, начинающего игру, предельно проста: он кладет первый кружок в центр стола, а дальше, куда бы ни положил кружок второй игрок, первый кладет свой кружок симметрично относительно центра. Этот алгоритм годится для стола любой формы, лишь бы он был центрально-симметричным. Алгоритма выигрыша для второго игрока в этой игре не существует. Игры такого типа отличаются от игр, в которых выигрыш зависит от случая или от мастерства игрока. Они носят характер занимательных задач или головоломок, поскольку если тактика выигрыша известна обоим участникам, то игра теряет смысл. Исторически одним из первых европейских сборников задач такого рода был уже упоминавшийся (Арифметика, гл. I, п. 1) сборник Баше «Приятные и занимательные задачи» (1612). Среди большого числа задач, собранных Баше в этой книге, содержалась такая. 2. Играют двое. Первый игрок называет любое натуральное число, не превосходящее десяти; второй прибавляет к этому числу любое натуральное слагаемое также от 1 до 10 включительно и называет полученную сумму и т. д. Выигрывает тот, кто называет число «сто». Проанализируем игру. Первый игрок выигрывает, если его партнер называет на последнем шаге любое из чисел, отличающихся от 100 не более чем на 10: 90, 91, ...» 98, 99. Чтобы создать такую ситуацию, первый игрок на предпоследнем шаге называет число 89. А чтобы иметь такую возможность, он на предыдущем шаге называет число 78 и т. д. Двигаясь в обратном направлении, получаем все ключевые числа: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100. Первый игрок называет эти числа и выигрывает. Стоит ему ошибиться, как второй игрок перехватывает инициативу и, естественно, выигрывает. Приглядимся к выписанной последовательности ключевых чисел. Она представляет собой арифметическую прогрессию с разностью d=ll Число 100 является членом прогрессии, поскольку ее первый члена| равен 1 — остатку от деления числа 100 на 11. Этот анализ позволяет построить алгоритм выигрыша в более общей ситуации. На каждом шаге разрешается прибавлять число, не превосходящее л; выигрывает участник, назвавший число N Разделив W на n + 1 , найдем остаток ai — первое ключевое 225
число. Остальные являются членами арифметической прогрессии с разностью d — n+ 1 в|. fli И- (л-|-1), at-|-2(л + 1), Л/ Начинающий игрок называет эти числа и выигрывает. 3. Обобщением этой задачи является игра «ним». Она заклю- чается в следующем. Некоторое количество камешков разложено в три кучки: в первой — а камешков, во второй — Ь, в третьей — с. Играют двое. Игроки по очереди берут любое число камешков из какой-либо одной кучки. Выигрывает тот, кто возьмет последний камешек. Анализ игры впервые провел (1901) американский матема- тик Ч. Бутон. Он и дал этой игре название «ним» от устаревшей формы английского глагола nim, означавшего «брать». Будем записывать расположение камешков в кучках в виде тройки чисел (а, 6, с). Прежде чем давать решение, рассмотрим некоторые частные случаи, возникающие после хода одного из игроков, назовем его А. 1) Расположение камешков описывается тройкой (0, п, л), где п — любое натуральное число. При любом ходе соперника игрок А уравнивает число камешков в оставшихся кучках и выигрывает. 2) В случае (0, л, л + fe) игрок А проигрывает: его соперник, взяв k камешков из последней кучки, сводит позицию к варианту 1. 3) Рассмотрим случай (й, л, л). При любом л игрок А проигрывает: его соперник забирает первую кучку, сводя ситуацию к варианту I. 4) Для варианта, когда число камешков во всех трех куч- ках различно, рассмотрим простейший случай (1, 2, 3). При любом ходе соперника игрок А следующим ходом сводит пози- цию к варианту 1 и выигрывает. Дальнейший разбор вариантов мы проводить не будем, поскольку он усложняется с увеличением числа камешков в кучках. 226
Приведем удивительно простое решение задачи. Оно связано с записью чисел а, Ь, с в двоичной системе счисления. Пусть а=ат’2т4-а„1-1 •2я -1 +... Ч-ai *2 + ао, b = bm-2m+bm_t-2m~l + .. - + *i-2 + *0, С = Ст • 2m + Cm_ | *2m ' + ...+ t| *2 + Со- Все коэффициенты принимают значение 0 или 1. Для простоты будем считать, что записи чисел а, *, с содержат одно и то же чис- ло разрядов. Этого всегда можно добиться, дополнив меньшие числа недостающими разрядами с нулевыми коэффициентами. При каждом ходе меняется двоичная запись одного из чисел а, b или с. Составим суммы цифр, стоящих в одинаковых разрядах этих чисел: 5т — От + Ьт 4" Ст, 5т — I =От_ | + Ьт— I 4“Ст— Ь ц) 5о = Оо + *о + Со. Они могут равняться О, 1, 2 или 3. После любого хода хотя бы одна из этих сумм меняется. Покажем, что выигрышная тактика игрока А такова: после каждого его хода должно оставаться столько камешков в кучках, чтобы все суммы Sm, So были четными. Сначала проиллюстрируем это утверждение на рассмотренных вариантах. В первом варианте а( = 0, bi=Ci для всех i=m, .... О, т. е. все 51 = 2*1 — четные числа. Этот вариант приводит к выигры- шу игрока А. Во втором варианте все а,-=0, но зато не все bi равны Ci, так как число камешков во второй и третьей кучках различно. Следовательно, некоторые из сумм 5/ нечетные. Этот вариант не является выигрышным для Л. Аналогично обстоит дело и в третьем варианте: все bi=Ci, но некоторые а/=1, соответствующие сум- мы 5, нечетные. В четвертом варианте 5о=1+О+1=2. Si = 0+l + l=2, что приводит игрока А к выигрышу. Обратим теперь внимание на два обстоятельства. 1) Если в исходной позиции все суммы Si четные, то любой ход приводит к тому, что хотя бы одна из указанных сумм становится нечетной. На самом деле каждый ход означает уменьшение числа камешков в одной из кучек, например в первой. При этом в двоичной записи исходного числа а по крайней мере один из коэффициентов, равных единице, заменится нулем, обозначим его cik; следовательно, для новой позиции сумма S* уже нечетная. 2) Если некоторые из сумм 5; нечетные, то можно сделать такой ход, после которого все суммы станут четными. Покажем это. Пусть в (I) первой (в порядке убывания индекса) нечетной суммой является 5лг = а*+*fc+tfc. Ясно, что либо одно из ее слагаемых, либо все три равны единице. Предположим, что о* = 1. Тогда надо взять из первой кучки столько камешков, чтобы коэффициенты ат, Om-i, ..., а*+| не изменились, но аь стал равным нулю, остальные 227
коэффициенты аА_],aD заменяются (если нужно) на 0 или I так, чтобы все соответствующие суммы стали четными. Этого всегда можно добиться. Приведем пример: а = 21, Ь = 23, с=4. Запишем эти числа в двоичной системе: 21 = 1*24 + 0*23+ 1 *22+0*2 + 1 = (10101)2, 23= 1 •2< + 0-23+ 1 -22+ 1 *2+ 1 = (10111 )2, 4=0-24 + 0-23+ 1 -22 + 0-2 + 0= (00100) 2. Найдем суммы S,: S4= 1 + 1 +0 = 2, S3 = 0+0+0 = 0, S2= 1 + 1 + | =3, S) = 0+l+0=l, S0=l + 1+0=2. Первой нечетной суммой является Ss- Так как в ней каждое слагаемое равно единице, то можно брать камешки из любой кучки. Возьмем их из первой, тогда сумма S2 заменится на 0+1 + 1; поскольку сумма Si тоже нечетная, то изменим и ее: 1 + 1+0; сумму So менять не будем. В результате число 21 заменится на 1-2,’ + 0*23 + 0-22+1 *2+1 = 19, т. е. из первой кучки возьмем 2 камешка. Если брать камешки из второй кучки, то надо сум- му S2 заменить на 1+0+1, а сумме Si придать вид 0+04-0; другими словами, во второй кучке оставить 1 •2', + 0*23 + 0-2й + + 0*2+1 = 17 камешков; следовательно, из нее надо взять 6 камешков. Если выборку производить из третьей кучки, то сумму $2 надо заменить на 1 + I +0, a Sj — заменить на 0+ 1 + 1, т. е. в третьей кучке оставить 0*24 + 0*23 + 0*22+ 1 *2+0 = 2 камеш- ка, а 2 взять. Поскольку завершающему ходу в игре соответствуют суммы Sj, все равные нулю, а значит четные, то это и определяет алгоритм выигрыша игрока А: после каждого его хода для соответствующей тройки (а, Ь, с) все суммы S* становятся четными. Итак, если игра начата с позиции, при которой хотя бы одна из сумм S, нечетная, то алгоритм обеспечивает выигрыш игроку, делающему первый ход. Если же в начале игры все суммы S, четные, выигрывает игрок, делающий второй ход. Например, позиция (21, 23, 4) выигрышная для игрока, делающего первый ход, а (19, 23, 4) —для игрока, делающего второй ход. Задача полностью решена. Легко заметить, что алгоритм выигрыша не изменится, если имеется любое число кучек. 4. Игра «цзяньшицзы» Познакомимся еще с одной похожей на игру «ним» китайской игрой «цзяньшицзы» — «выбирание камней». Имеются две кучки камешков. Два игрока Л мВ поочередно берут камешки из этих кучек. На каждом ходу разрешается брать либо любое число камешков из одной кучки, либо поровну из обеих сразу. Выигрывает тот, кто забирает последний камешек. 228
Выработка алгоритма выигрыша в этой игре приводит к интересной системе счисления, связанной с числами Фибоначчи. Но прежде чем описывать ее, рассмотрим некоторые конкретные ситуации, возникающие в игре. Будем записывать количество камешков в кучках парой чисел (а, Ь) , гдеа^й, т. е. первой считается кучка, содержащая меньшее число камешков; в случае равенства их числа первой можно считать любую кучку. Очевидно, пара (1,1) является выигрышной для начинающего игрока А. Пара (1, 2) —проигрышная для А: после его хода остается либо одна кучка, либо две, содержащие по одному камешку. В обоих случаях, забрав все оставшиеся камешки, выигрывает В. Далее, все другие пары (а, Ь), которые содержат число 1 или 2 или для них Ь — а=1, являются выигрышными для А: начиная игру, он первым же ходом сводит ее к положению (1, 2). Следующая проигрышная для Л пара (3, 5): после любого его хода игрок В либо сразу выигрывает, либо переводит игру в положение (1, 2). Остальные пары (а, Ь) , содержащие число 3 или 5 или имеющие разность^— а=2, выигрышные для Л : он сразу переходит к паре (3, 5). Нетрудно найти другие проигрышные для Л положения. Выпишем десять проигрышных для начинающе- го игрока пар: (1, 2), ( 3, 5), ( 4, 7), ( 6, 10), ( 8, 13), (9,15), (11,18), (12,20), (14,23), (16,26). Усмотреть какую-либо закономерность в образовании последова- тельности этих пар трудно. Правда, можно заметить, что разности между вторыми и первыми числами пар образуют натуральный ряд. Но как это доказать и как получить первые числа пар? Чтобы ответить на эти вопросы, перейдем к записи чисел в фибоначчиевой системе счисления. В арифметическом разделе (гл. I, п. 1) мы рассматривали системы счисления с произвольным натуральным основанием q Для записи любого натурального числа N в^-ичной системе его представляют в виде суммы W = 9я-1 + ...+сц7 + со. где все коэффициенты с(- натуральные и удовлетворяют неравенствам J+1 ——= q. Другими словами, N раскладывают в сумму по степеням q. Оказывается, в качестве базиса не обязательно брать степени числа q. Можно взять произвольную строго возрастающую последовательность натуральных чисел, в частности последова- тельность чисел Фибоначчи: Uo, И|, 112, U3, Щ, U5, Uq, Uy, Ug, Ug, U|O 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,34,55,89, Нетрудно доказать однозначность представления числа /V в виде суммы: # = |Цл-l + --+VlU|= -.?!>. 229
Номер п легко находится из условия un^N<an+i; коэффициенты yt принимают значения либо 0, либо I, что вытекает из соотношений и‘+щ ~1 <2 (мы воспольэовались рекуррентным свой- ством чисел Фибоначчи ui+i = uj + ui_1 ). Рассмотрим примеры: 19 13 4“ 5 4~ 1 U( 4~ и< 4~ и ।==: 101001 , 133 = 89 4-34 + 8 + 2 = u10 + ue + «s+ “2 = < 1010010010 >. Заметим, что две единицы подряд в такой записи идти не могут: в силу равенства 1 *Ui4-1 • Ui+i = 1 • и,+2, две идущие подряд единицы дают единицу следующего разряда. Запишем перечисленные проигрышные для начинающего игрока пары в фибоначчиевой системе счисления: (1. 2) = (< Z 1 > < :ю> ), (3, 5) = (< С100> ,< : юоо> ), (4, 7) = (< : Ю1 > ,< : юю> ), (6, 10)= (< С 1001 > ,< : юою> ), (8, 13)= (< ;юооо>, < :1ооооо> ), (9, 15)= (< С 10001 >, < юоою : >), (Н, 18)= (< Z 10100 >, < ююоо : >), (12, 20) = (< С10101 >, < 1010Ю : >), (14, 23)= (< С 100001 >, < 1000010>), (16, 26)= (< Z 100100 >, < Ю01 ооо: >)• Теперь закономерность образования пар довольно легко просматривается. Во-первых, каждое первое число пары заканчи- вается четным числом нулей или единицей, в последнем случае можно считать, что число заканчивается нулевым количеством нулей, т. е. тоже четным их числом; будем говорить, что первое число пары заканчивается четным числом (в широком смысле) нулей. Во-вторых, второе число любой пары получается из первого приписыванием справа одного нуля и оканчивается оно уже, следовательно, нечетным количеством нулей. Все пары, обладаю- щие указанными свойствами, назовем особыми. Из этого определения вытекает, что каждое натуральное число входит в одну и только в одну особую пару. На самом деле, если это число в фибоначчиевой записи оканчивается четным числом (в широком смысле) нулей, то оно является первым числом соответствующей пары. В противном случае — вторым числом. Из правила образования особых пар видно, что дважды одно и то же число встретиться не может. Расположим особые пары в порядке строгого возрастания пер- вых чисел (а следовательно, и вторых) и рассмотрим разности b — а между вторыми и первыми числами пар этой последователь- ности. Докажем два свойства полученных разностей: 230
а) Последовательность разностей строго возрастает. Рас- смотрим произвольную пару (а, Ь). Пусть a = anun + «n-iU/i-1+ + ...-t-a2U2 + aiU|. Вычислим разность Л — a= (аяип +1-|- + CLn— ... + 012^3 + Ct 1^2) — + an-|Wn —1 + + Ct2U2 + + (Z|«|) = an(un+i — un) + a„ _ i(un — un_i) + + a2(«3 — — u2) +ai(u2—ul)=afltzn_|-|-afl_iUn_2 + ...4-a2Ui4-aiUo. Так как u0=ui, то b —a=anun_i+ a„_|Un_2 + ...4-a3U2+(ai4-a2)«i- Вид последнего коэффициента не должен нас смущать, ведь из замечания относительно записи чисел в фибоначчиевой системе следует, что ai+a2 равно либо 0, либо 1. Итак, разность b— а определяется числом а. Чем больше а, тем больше разность Ь — а. Отсюда и следует наше утверждение. 6) Для каждого натурального числа /V найдется особая пара (а, Ь) такая, что N = b— а. Доказательство этого утверждения зависит от фибоначчиевой записи числа N= <Y«--Y2Yi > Пусть оно оканчивается нечетным числом нулей, тогда а= <Cyn...yzyi 0> оканчивается четным числом нулей и пара (а, 6), где б = = <.уя.-. Y2Yi00>, особая. Найдем разность Ь — а=(у„ип+2-(- + ... + Y2U4 + Y * из) — (Упип + 1 +... + Y2«3 + Y1u2) = Y« (un + 2 — — U„ + l) +-..+Y2(U4 — Us) +yi(«3 — u2) =Y^ + - -+Y2“2 4-Yiui = = N. Рассмотрим теперь случай, когда N оканчивается четным числом (в широком смысле) нулей: N = <.уп... Y2m+10 ...0>, здесь Y2m + r= 1- Обратимся к особой паре (а, Ь), у которой а= <Y/--Y2w+2OI-.O1 >, b = <уп„.угт+201...010>. Вычислим m+ I раз 01 разность d—a = Y«(Un + 2 — Un+l) +-.. + Y2m + 2 (и2т + А — U2m + 3) + + (U2m + 2 — U2m + l)4" + (th — Кд) + (u2 — dl)=Y"U«4" 4" -i-Y2rn + 2U2m + 2+U2m+l =W. Mbl ИСПОЛЬЗОВЭЛИ СООТНОШСНИС U2m + 4" + U4 + U2~l- Uq = U2m + ... + Ua + (U24“ Ul) = U2m4“ ... + (^4+ + Из) =U2m+ 4" (Яб4“ U5) = ... = U2m 4- |. Из свойств а) и б) вытекает справедливость замеченного нами ранее свойства особых пар: разности между числами этих пар образуют натуральный ряд: I, 2, 3, 4, Теперь мы можем отойти от записи чисел в фибоначчиевой системе и сформулировать правило образования последователь- ности особых пар (oi, bi), (а2, Ь2), (аз, Ьз), ...» опираясь на их свойства: О| = 1, Ь*=а* + /г (k=\, 2, 3, ...), at±i — наименьшее натуральное число, не содержащееся среди чисел di, bi, а2, b2, ..., аь, Ьь. Для получения алгоритма выигрыша в игре «цзяныиицзы» осталось доказать два предложения: 1. При любом ходе особая пара переходит в неособую. Действительно, если игрок возьмет камешки из одной кучки, то пара перейдет в неособую: в противном случае обе особые пары содержали бы одно и то же число. Если игрок берет одинаковое число камешков из обеих кучек, то разность b — а не изменится. Так как для данной разности особая пара единственная, то вновь полученная пара неособая.
2. Существует ход, переводящий неособую пару (с, d) в особую. Случай c = d неинтересен: начинающий игрок, забирая все камешки выигрывает. Итак, c<d Рассмотрим особую пару, содержащую число с. Если с — второе число особой пары (а, с), то для перехода к пей достаточно взять из второй кучки d — а камешков. Если с — первое число особой пары (с, Ь), то возможны два варианта: либо b<z.d, либо b>d. В первом случае достаточно из второй кучки выбрать d — b камешков, чтобы перейти к паре (с, Ь) Во втором случае перейти к паре (с, Ь) невозможно, и мы укажем другую особую пару. Обозначим разность d — c = kt она определяет единственную особую пару (a*, bk) , где Ьь — ak = k. Покажем, что ак<с. В самом деле, если ак> с, то k >b — с, откуда b<k + c=(d—c)-\-c = d, и мы приходим к противоречию. Итак, bk — ak=d — c, поэтому с—ak = d—bk=m и для перехода к паре (аА, Ьк) достаточно из обеих кучек взять по т камешков. Доказанные предложения дают возможность сформулировать следующий алгоритм выигрыша в данной игре: если исходная пара неособая, то начинающий игрок достигает победы либо одним ходом, либо постепенно: переводя каждым ходом позицию в особую. Если исходная позиция особая, то выигрывает второй игрок, пользуясь только что описанным алгоритмом. В заключение укажем еще один способ получения особых пар (Да, Ьь) Числа этих пар выражаются формулами: Gft = [—]’ = 4“ • где квадратные скобки означают целую часть числа. Вспомним, что числа Фибоначчи тоже связаны с числом <р= (Арифмети- ка, гл. I, п. 15). Как мы только убедились, для нахождения алгоритма выигрыша в играх «цзяньшицзы» и «ним», оказалось целесо- образно обратиться к системам счисления, отличным от деся- тичной. 5. Задача Эйлера В этом пункте мы рассмотрим несколько задач, связанных с разбиением па части различных геометрических фигур. Начнем с простой, но любопытной задачи, разобранной известным американским популяризатором математики Мартином Гард- нером (род. 1914 г.). Дан произвольный тупоугольный треугольник. На какое наименьшее число остроугольных треугольников его можно разбить? (Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые.) 232
Ясно, что дли решения задачи необходимо провести отрезок, делящий тупой угол треугольника. Но если этот отрезок достигает противоположной стороны исходного треугольника, то хотя бы один из двух вновь полученных треугольников не является остроугольным и мы вновь оказываемся в исходной ситуации. В результате если мы в конце концов и придем к разбиению на остроугольные треугольники, то оно не будет минимальным. Поэтому отрезок, делящий тупой угол, должен оканчиваться внутри треугольника, а его конец служить вершиной остроугольных треугольников. В этой вершине не может сходиться меньше пяти сторон треугольников, иначе по крайней мере один из углов не будет острым. Таким образом, мы приходим к разбиению, изображенному на рисунке 91. Это и есть минимальное разбиение, в результате которого получено 7 остроугольных треугольников. В следующей задаче речь пойдет уже не о минимуме, а о максимуме. Имеется квадрат, разбитый на п2 равных квадратиков, как показано на рисунке 92. (Его можно представ- лять себе в виде шахматной доски размером лХл.) Спраши- вается: сколько квадратов можно насчитать на данном рисунке? Очевидно, имеется ровно п2 квадратов размером 1X1; (л —I)2 квадратов размером 2Х 2: любой такой квадрат допускает (п— 1) смещений как по горизонтали, так и по вертикали; аналогично насчитывается (л—2)2 квадратов размером ЗХ 3 и т. д. Для ответа на поставленный вопрос осталось найти сумму л2+(и-1)2+(л-2)2 + ...+ 12 С такой суммой мы встречались в арифметическом разделе (гл. I, п. 12), она равна л-му пирамидальному числу ф»>(я>= "<" + п<2"+»> Несколько сложнее найти на том же рисунке число всевозмож- ных прямоугольников. Сначала подсчитаем количество всех прямоугольников, мень- шая сторона которых равна единице. Среди них содержатся л2 233
квадратиков 1X1; затем 2л(л—1) прямоугольников размером 1 Х2; 2л (л — 2) прямоугольников размером I ХЗ, и вообще имеется 2л(л — А+1) прямоугольников размером IXА (предлагаем дока- зать это читателям). В результате число всех прямоугольников с меньшей стороной, равной 1, выражается суммой л2+2л(л- 14-л-24-... +1) =л2 + 2л-^Ц-1^=л3 Покажем, что прямоугольников с меньшей стороной, равной 2, насчитывается (л—1)э. На самом деле среди них (л—I)2 квадратов 2X2; 2(л—1)(л —2) прямоугольников 2x3; 2(л— 1)Х X (л —3) прямоугольников 2X4 и т. д. Общее их число равно (л- l)2 + 2(n- 1) (П-2 + Л-3 + ...+ 1) = = (п- I)2+ 2(п- 1) '> = (п_ 1) = Продолжая подсчет дальше, найдем число всевозможных прямо- угольников, возникающих при данном разбиении квадрата. Оно записывается в виде суммы п3+(л-1)3+ (л-2)3+...+13 Эту сумму мы также вычисляли в арифметическом разделе (гл. 1, п. 11). Она совпадает с квадратом л-го треугольного числа Фз(л) = 1+2 +... + л. В результате число всех прямоугольников /п(п+1) \2 равно Мы видим, что задачи, связанные с разбиением даже таких простых фигур, как треугольник и квадрат, приводят к замечатель- ным результатам. Это объясняет интерес к ним не только любителей занимательных задач, но и специалистов, и даже крупных математиков. Много занимался задачами подобного рода Эйлер. Обратимся к одной из его задач: сколькими способами выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники непере- секающимися диагоналями? Предварительно найдем число диагоналей, участвующих в одном разбиении произвольного и-угольника. Поскольку при лю- бом разбиении образуется л — 2 треугольников, то число всех их сторон равно 3(л — 2). Из них л являются сторонами исходного многоугольника, а остальные — его диагоналями, причем каждая из диагоналей — общая сторона двух соседних треугольников. Следовательно, всего в разбиении участвуют э1п~^2>~л -.п — 3 диагоналей. Как видим, это число не зависит от способа разбиения многоугольника. Обозначим через Тп искомое число разбиений л -угольника на треугольники. Рассмотрим (л + 1) -угольник А |Л2...ЛлЛл +1 и зафиксируем в нем одну из сторон, например Л|Л2- При любом разбиении найдется треугольник А 1Л2Лл > содержащий эту
a) 5) Рис. 93 сторону. ВершинаAk может оказаться соседней со сторонойAiA2 ,а может и нет. В первом случае (рис. 93) k = 3 или fe = n-(-l. При этом для каждого из оставшихся п -угольников возможны Тп разбиений на треугольники, а значит, столько же способов имеется и для (л 4-1)-угольника. Во втором случае (рис. 94) fe = 4, .... п. Тогда по разные стороны от треугольника A tAИл располагаются (k— I) -угольник и (n — k 4-3) -угольник, каждый из которых разбивается на треугольники соответственно Tk-i и Тя-л+з способами; всего для (л4- 1) -угольника при этом возникает 7*-1 -Тп-к+з вариантов. В результате число всевозможных способов разбиения (п+1) -угольника на треугольники равно Тл + 1 = 2ТП 4-ТзГл-14- T^Tn-i^- Tn - 1T3 . (2) Теперь представим себе, что вершины A । иЛ2 сливаются. При этом совершается переход от («4- О -угольника к/г-угольнику. Треугольник ДИИл превращается в отрезок, причем в первом случае (fe = 3, /г = л-|-1) это сторона л-угольника, а во втором (А = 4, .... л)—его диагональ. Посмотрим на правую часть равенства (2). Сумма всех слагаемых, кроме первого, выражает теперь число всех разбиений л-угольника, в которых участвует какая-либо диагональ, проходящая через фиксированную вершину (Л|=Д2) Суммируя это число по всем вершинам, мы получим (ТзТп— 14- 2 4_"-4_7л-|7з)л В этом выражении каждая диагональ учтена дважды, а каждое разбиение л-угольника посчитано столько раз, сколько диагоналей участвует в этом разбиении, т. е. (и —3) раза. Итак, (ГэГл-i 4~ ТjTn_$...4" Т„ . [Гз) п = = 2(л —3)Т„. Используя полученное равенство, выражение (2) можно записать в виде Т„+,=2Т.+2-^Тл=2-^-Т,. 235
Эта рекуррентная формула позволяет найти Тп ' гг ___________л 2л 5 у ______„2 (2п 5) (2л 7) ~ " л-1 z* (л—|)(л —2) "-2 __ 9Л—3 — 5) (2л — 7)...3 у лл- з 3-5-7-...• (2л — 5) (л — 1) (л — 2)...3 3— * 3-4-5-...-(л — 1) ~ __9л—2 I-3-5- —• (2л — 5) (л-1)! Выпишем несколько первых значений Гл дляп = 3, 4, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, Члены этой последовательности называются числами Каталана по имени бельгийского математика Эжена Каталана (1814— 1894). Они возникли (1838) у него при решении следующей задачи: имеется цепочка из п букв, расположенных в определенном порядке; сколькими способами можно расставить п— 1 пару скобок таким образом, чтобы внутри каждой скобки имелось ровно 2 «выражения» (эту пару могут составлять либо две соседние буквы, либо буква и соседнее выражение в скобках, либо два соседних выражения)? Очевидно, длял = 2 возможен лишь один вариант (ab), дляп = 3 —два варианта ((aft)с) и (а(Ьс)), для л = 4 их уже пять: ((aft)(cd)), (a(ft(cd))), (a((ftc)d)), (((aft)c)d), ((a(ftc))d) и т. д. Числа Каталана часто встречаются при решении различных задач. Сам Каталан занимался многими вопросами, относящимися к области дифференциальной геометрии, математического анализа, теории чисел и др. В 1842 г. он высказал предположение, что уравнение хг—у‘= 1 не имеет натуральных решений при х, у, z, /, больших 1, кроме тривиального 3 — 23=1. Эта гипотеза до сих пор не доказана. 6. Граф решает задачу Многие занимательные задачи решаются с помощью графов (Геометрия, гл. III, п. 3). Приведем некоторые из них. Начнем со следующей простенькой задачи. Имеются три дома Di, £>2. £>з и три колодца Ki, К?, Кз- Можно ли проложить от каждого дома к каждому колодцу тропинки так, чтобы они не пересекались? Для решения задачи соединим один дом, допустим Di, тропинками со всеми тремя колодцами, а затем продолжим эти тропинки до дома £>з (рис. 95, а). Три непересекающиеся тропинки DtKiD3, D1K2D3 и DiK3D.i образуют замкнутый граф (рис. 95, б), разбивающий плоскость на три области. Точка попадает в одну 23(1
из этих областей, в то время как одна из вершин (в нашем случае Кг) не принадлежит этой области. Поэтому соединить D2 сК2, не пересекая ломаной D^KiDs (или Р|Кз£>з), невозможно. Задача не имеет решения. С помощью графа можно решить и популярную задачу о переливании жидкости, приведенную Тартальей (еще раньше такую задачу решал Шюке). Пусть имеется 8-литровый сосуд, до краев наполненный водой, и два пустых, объемом 3 л и 5 л. Требуется разлить воду поровну в два больших сосуда. Решение задачи таково. Сначала наполняют 5-литровый сосуд; из него отливают 3 л в пустой сосуд. Эти 3 л снова выливают в 8-литровый. Оставшиеся 2 л переливают из 5-литрового в 3-литровый. Затем из 8-литрового вновь наполняют 5-литровый, а из него уже отливают 1 л, наполняя до краев 3-литровый. В 5-литровом остается 4 л. Перелив воду из 3-литрового сосуда в 8-литровый, получают и в нем 4 л воды. При более сложных соотношениях емкостей сосудов решение не столь простое. Покажем, как его можно довести до автоматизма, используя специальный граф. Выберем на плоскости систему 237
координат (необязательно прямоугольную). На одной оси отложим отрезок ОС, равный пяти единицам масштаба, на другой — отрезок ОА, равный трем единицам. Построим параллелограмм ОАВС (рис. 96). Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами — это вершины графа. Соединим точки (0; 1) и (1; 0) отрезком и проведем параллельно ему отрезки, соединяющие отмеченные точки. Кроме того, соединим вершины графа, лежащие на противоположных сторонах параллелограмма, отрезками, па- раллельными координатным осям. Все эти отрезки являются ребрами построенного графа. Выясним, как этот граф связан с задачей о переливании. Точка О соответствует тому состоянию, когда 5-литровый и 3-литровый сосуды пустые. Перемещение по ребру ОС отвечает наполнению 5-литрового сосуда, а по ребру ОА — наполнению 3-литрового. На сосудах нет никаких меток, поэтому процесс наливания заканчива- ется тогда, когда сосуд наполнен. Этому процессу соответствует движение по ребрам графа, параллельным координатным осям до границы параллелограмма ОАВС. Но можно часть воды перелить из одного сосуда в другой, либо вылить остаток из одного сосуда, либо долить другой сосуд до краев — этим операциям соответству- ет перемещение из одной вершины графа в другую по диагональ- ным ребрам. Приведем решение задачи Тартальи е помощью графа. Нужно выделить в данном графе маршрут, ведущий из вершины О в вершину D (рис. 97). Искомый маршрут отмечен цветной линией. Прокомментируем его. Ребро ОС изображает наполнение 5-литрового сосуда (точка С имеет координаты (5; 0)); СЕ: из 5-литрового вода переливается в 3-литровый (точка Е имеет координаты (2; 3), т. е. в 5-литровом осталось 2 л воды, а 3-литровый налит до краев); EF: из 3-литрового вода выливается в 8-литровый (F имеет координаты (2; 0)); FG: 2 л, находящиеся в 5-литровом, переливаются в 3-литро- вый; GH: наполняется вновь 5-литровый; НК: из него доливается недостающая часть в 3-литровый, в 5-литровом остается 4 л воды;
K.D: из 3-литрового вода выливается в 8-литровый. Для облегчения построения маршрута можно воспользоваться методом бильярдного шара. Для этого возьмем угол АОС нашего параллелограмма равным 60° и будем считать, что бильярдный стол выполнен в форме такого параллелограмма. Если учесть, что при ударе шара по бортику стола он продолжает движение по принципу: угол падения равен углу отражения, то шар, выпу- щенный из точки О вдоль одной из сторон стола, воспроизведет требуемый маршрут. Он будет двигаться по пути, изображенному на рисунке 97, если будет выпущен вдоль стороны ОС. Очевидно, можно выбрать другой маршрут: начать движение по ребру ОА (т. е. сначала наполнить 3-литровый сосуд) Этот маршрут менее экономичен; проверьте, что он требует на одно переливание больше, чем в приведенном решении. Очевидно, таким способом можно решать задачи о переливании и с другими данными. Построив соответствующий граф, легко выяснить, имеет ли предложенная задача решение. В рассмотренном графе, выйдя из точки О, можно по его ребрам попасть в любую вершину. Поэтому, имея сосуды объемом 3 л и 5 л, можно отмерить любое число литров от I до 5. Но при помощи сосудов объемом 4 л и 6 л, удается получить только 2 л, 4 л и 6 л, в чем читатели могут убедиться, построив соответствующий граф. Это объясняется тем, что числа 3 и 5 взаимно простые, а числа 4 и 6 нет. Приведенные нами рассуждения верны лишь при условии, что третий сосуд, изначально наполненный, имеет вместимость, большую или равную суммарной вместимости пустых сосудов. В противном случае решение задачи связано с усеченным параллелограммом. Метод бильярдного шара позволяет решить аналогичную задачу и для четырех сосудов. Но в этом случае уже потребуется аналогичный пространственный граф. Однажды французский математик Ф р а н с у а Люка (1842— 1891) предложил следующую задачу: «Пусть каждый день, в полдень, отправляется из Гавра в Нью-Йорк пароход и в то же время из Нью-Йорка в Гавр отправляется другой пароход той же компании. Время пароходов в пути в том и другом направлении 7 дней. Сколько судов своей компании встретит пароход, отбывающий из Гавра, по пути в Нью-Йорк?» Устные прикидки могут привести к ошибочному ответу. Но подсчет производится элементарно, если построить соответствующий граф. Дни отправления пароходов из Гавра и Нью-Йорка отметим на двух параллельных прямых (рис. 98). Эти точки — вершины будущего графа (они изображают полдень соответствующего дня). Соединим их отрезками, как показано на рисунке. Каждый отрезок — ребро графа. Оно соответствует времени нахождения парохода в пути; поскольку рейс длится ровно 7 суток, то, например, ребро, выходящее из точки 0 в Гавре, заканчивается в точке 7 в Нью-Йорке. Очевидно, это ребро пересечется с 15 другими ребрами. Причем почти половина из них соответствует 239
Нью-Йорк Рис. 98 движению пароходов, вышедших из Нью-Йорка раньше, чем вышел данный пароход из Гавра. Таким образом, встречи будут происходить ежесуточно в полдень и в полночь; первая встреча — при выходе из Гаврского порта, последняя — при заходе в Нью- Йоркский порт. Графы нам встретятся и в задачах следующего пункта. 7. Ходом шахматного коня Рассмотрим известную задачу: ходом шахматного коня обойти все поля шахматной доски, побывав на каждом из них ровно один раз. Переведем задачу на язык графов. Обозначим каждое поле доски точкой (вершина графа). Соединим пары вершин между собой, если между соответствующими полями возможен ход конем. Получим граф. Требуется пройти по всем вершинам графа ровно по одному разу, т. е. найти гамильтонов путь (Геометрия, гл. III, п. 5). Ввиду громоздкости мы не будем вычерчивать граф и выделять в нем необходимый маршрут, вместо этого будем записывать на полях доски числа, указывающие последовательность ходов конем. Эта задача связывается с именем Эйлера, который заинтересо- вался ее математическим аспектом. Аналогичную задачу можно сформулировать для доски прямоугольной и вообще произвольной формы, естественно, имеющей какую-то симметрию, лишь бы она состояла из квадратов одинакового разме- ра (полей); для удобства ее раскрашива- ют в шахматном порядке. Маршрут, начало и конец которого приходятся на одну клетку, называется замкнутым. Замкнутые гамильтоновы пу- ти возможны только на досках с четным числом полей. Это следует из того, что при замкнутом маршруте конь оказывает- ся одинаковое число раз на белых и чер- ных полях (последний ход на исходное 210
поле не считается). На рисунке 99 приведен один иэ таких путей. В то же время на прямоугольной доске размером 4Хп замкнутого гамильтонова мар- шрута не существует. Доказательство этого факта проведем от противного. Пусть замк- нутый маршрут существует. У нас п полей рас- положено в верхнем ряду и п — в нижнем, на- зовем эти ряды крайними. Остальные 2п полей расположены в средних рядах. Всего у коня 4л ходов. Половина из них начинается с полей, в крайних рядах. Причем из крайних рядов конь может попасть только в средние, а из средних может попасть как в крайние, так и в средние ряды. Если допустить возможность хода со среднего ряда на средний, то число ходов со средних полей будет больше, чем с крайних, а их должно быть поровну. Таким образом, конь из крайнего ряда переходит в средний, а из него снова в крайний. Но так как при каждом ходе конь меняет цвет поля, получается, что любые два поля крайних рядов имеют одинаковый цвет, чего не может быть. В настоящее время найдено много гамильтоновых маршрутов коня на шахматной доске, но до сих пор не удалось перечислить их все; более того, не определено даже количество таких маршрутов. А вот для другой известной задачи, также связанной с шахмат- ной доской, Эйлеру удалось найти число решений. Речь идет о расстановке ладей на доске таким образом, чтобы ни одна из них не была «под боем» других, не стояла на главной диагонали и чтобы ни одна строка (горизонталь) и ни один столбец (вертикаль) не оказались пустыми. (На шахматной доске главной диагональю считается та, которая идет из нижнего левого угла в правый верхний.) Из условия задачи вытекает, что на каждой горизонтали и каждой вертикали находится только одна ладья. Выясним, сколько имеется требуемых расстановок ладей на произвольной доске размером п'Х.п. Обозначим это число рас- становок через Qn. Пусть в первой строке ладья находится на r-м месте. Выясним, как могут располагаться ладьи в остальных строках. Возможны два варианта: либо на поле, симметричном выбранному нами отно- сительно главной диагонали, имеется ладья, либо нет. В первом случае расположение двух ладей на доске зафиксировано: (I; г) и (л — г+1; п). Удалим строки и столбцы, содержащие эти две ладьи. Получим доску размером (п — 2)Х(л — 2) На ее главной диагонали нет ни одной ладьи. На рисунке 100 приводится пример такого преобразования для доски 4X4 (изменение цвета полей не должно нас смущать). Число расстановок ладей на такой доске равно Qn_2 Во втором случае положение лишь одной ладьи фиксировано: (1; г). Удаляя первую строчку и г-й столбец, мы получим доску размером (л — |) Х(л — 1) Но при этом столбцы. 9. Л. П. Шнбасо! 211
находящиеся на исходной доске за r-м, сдвигаются влево, и некоторые ладьи могут оказаться на главной диагонали. При расстановке ладей, изображенной на рисунке 101, после такого удаления на главной диагонали окажутся три ладьи. Чтобы этого не случилось, на место г-го столбца переместим последний. На главной диагонали при этом окажется (п — г4-1)-е поле послед- него столбца, а на нем ладьи не было. Поэтому на вновь полу- ченной доске на главной диагонали ладей нет. Число различных расстановок ладей на ней равно Qn_i Итак, при фиксированном положении ладьи в первой строке всего возможно Qn_2 + Qn-i расстановок остальных ладей. Так как ладья в первой строке может занимать любое из (л — 1) мест, то Очевидно, Q(=0, Qa=l. и п0 рекуррентной формуле Эйлера находим Q$ = 2, Q5=44, Q6==265, Q7=1854. А для обыч- ной шахматной доски существует QH= 14833 различных расста- новок ладей. Вернемся к первоначальной задаче о гамильтоновом маршруте шахматного коня. Иногда в ней выдвигаются дополнительные требования. Например, требуется найти такой маршрут, при котором сумма чисел, указывающих номер хода, вдоль любой горизонтали и любой вертикали шахматной доски равняется фиксированному числу. Соответствующий квадрат называется полу магическим, а само число — магическим. Магическое число однозначно определяется размером доски. На самом деле на доске размером лХ а расположены числа от 1 до л2; их сумма равна 1+2+3 + ... + п2=-!^Щ- п ла(пг4-1) Л Пусть s —магическое число, тогда s*n =——— откуда л(пя+1) 2 (3) Для обычной равно 260. шахматной доски (л=8) магическое число Рис. 100 242
1 30 47 52 5 28 43 54 48 51 2 29 44 53 6 27 31 46 49 4 25 8 55 42 50 3 32 45 56 41 2£ 7 33 62 15 20 9 24 39 58 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 6G 37 22 11 Рис. 102 Маршрут, образующий полумагический квадрат, также назы- вается полумагическим. На рисунке 102 изображен первый полумагический маршрут, составленный (1848) В. Беверли. Инте- ресно отметить, что после разбиения этого пол у магического квадрата на четыре равные части размером 4 Х4 каждый из полученных квадратов снова является полумагическим с суммой чисел вдоль строк и столбцов, равной 130. Эту сумму нельзя полупить по формуле (3), так как в данном случае квадраты 4 Х4 содержат не только числа от 1 до 42. И конечно, малые квадраты уже не связаны с ходом шахматного коня. Если каждый из ма- лых квадратов вновь разделить на четыре части, то сумма всех чисел каждого полученного квадрата размером 2X2 снова рав- на 130. Квадрат, у которого сумма чисел по любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали одна и та же, называется магическим. Ходом шахматного коня построить магический квадрат для доски размером 8 Х8 пока никому не удалось. Ждет своего решения эта задача и для доски 12X12. Заметим, что для досок размером 4лХ4л, где л = 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, соответствую- щие магические квадраты построены. А для досок, размер кото- рых нельзя записать в виде 4лХ4л (л ^2), доказано, что маги- ческого маршрута не существует. А теперь остановимся подробнее на магических квадратах, уже не связывая их с ходом шахматного коня. 9*
8. Магические квадраты 4 Он 2 7 1 6 Рис. 103 Легко проверить, что магического квадрата по- рядка 2 (т. е. размером 2X2) не существует. А ес- ли взять п = 3? В этом случае магическое число s=15. После, некоторых прикидок и рассуждений приходим к таблице, изображенной на рисунке 103, или к таблицам, которые можно получить из нее, применяя осевые симметрии и вращения на углы, кратные у. Эти квадраты умели строить уже за 40 веков до наших дней в Древнем Китае. Существует легенда, рассказывающая о том, что император Ю из династии Шан (ок. XX в. дон. э.), стоя па берегу Ло (приток Желтой реки), увидел священную черепаху (по другим источни- кам— рыбу, сказочное чудовище), на панцире которой был изображен рисунок из белых и черных кружков (рис. 104). Рисунок на панцире черепахи сочли магическим символом и стали использовать его при заклинаниях, а таблицу эту назвали документом Ло Шу (документ реки Ло). Для китайцев это была священная таблица, и потому у них в течение трех десятков веков даже не возникало мысли о составлении аналогичного квадрата большего размера. Лишь в IX в. н. э. стали появляться такие таблицы, получившие название магических квадратов. Магические квадраты из Китая распространились в Индию, а затем и в другие близлежащие страны. И там они использовались в качестве талисманов, охраняющих от болезней. Вера в их сверхестественные свойства вполне объяснима. Расположение чисел в таких таблицах обладает внутренней гармонией, слагаю- щие 104 шейся из равновесия и наличия мас- сы интересных свойств. Кажется, рас- положившись таким образом, числа об- ретают новую жизнь. Количество маги- ческих квадратов с возрастанием п рез- ко увеличивается. Если квадрат Ло Шу единственный, не считая поворотов и отражений, магический квадрат поряд- ка 3, то для п = 4 их существует уже 880, а порядка 5 почти четверть милли- она. До сих пор все еще не установ- лено точное число магических квад- ратов для п^5. В Греции магические квадраты, по- видимому, были известны уже в IV в. до н. э. Во II в. н. э. Теон Смирнский в комментариях к трудам Платона опуб- ликовал магический квадрат 3-го по- 244
Рис. 105 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Рис. 106 2 9 11 18 и V 16 23 5 s 14 10 12 1Г 1Г вшш 19 21 3 ЕЕЗЕ^ШЕШ ШЕЕЕЯЕШ рядка. Но широкой европейской аудитории они достигли лишь в средние века через арабскую математику. Свойствами магических квадратов интересовались не только профессионалы, но и любители математики. Немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471 —1528) в знаменитой гравюре «Меланхо- лия» за фигурой крылатой женщины изобразил магический квадрат 4-го порядка (рис. 105). Квадрат Дюрера обладает рядом замечательных свойств. Во-первых, числа 15 и 14, стоящие в середине нижней строки квадрата, указывают год создания картины. Во-вторых, если разделить квадрат на четыре равных квадрата, то сумма чисел, стоящих в каждом квадрате, равна магическому числу 34. Тому же числу равна эта сумма и для центрального квадрата из 4 клеток. Читатели при желании могут найти другие интересные свойства квадрата Дюрера. Остановимся на одном из них. Числа, расположенные симметрично относитель- но центра квадрата, дают в сумме одно и то же число 17. Ма- гические квадраты с таким свойством называются симметри- ческими. Сумма центрально-симметричных чисел для квадрата размером лХп равна л2+1. Среди магических квадратов имеются и сверхмагические. Если такой квадрат приставить к нему же, то сумма чисел по произволь- 215
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 ной диагонали (рис. 106) равна магическому числу. Такие квадраты называют еще совершенными. И хотя число магических квадратов 5-го порядка до сих пор не установлено, известно, сколько среди них совершенных — 3600, а совершенных магиче- ских квадратов 4-го порядка лишь 48. Совершенных квадратов порядка 4п-|-2 вообще не существует ни при каком п. Конечно, можно получить магический квадрат подбором. Но это слишком утомительное занятие. Существуют различные способы построения таких квадратов. Опишем один из них — метод террас, восходящий к древним китайцам, а затем неоднократно перестиры- вавшийся другими учеными. Этот метод годится для построения магического квадрата любого нечетного порядка. Метод террас заключается в следующем. Выписывается «естественный» число- вой квадрат, который затем поворачивается на 45° относительно центра. Рамкой выделяется квадрат того же размера, что и исходный (включая пустые клетки). На рисунке 107 воспро- изводятся соответствующие построения для п = 3 и п = 5. Числа, расположенные вне рамки, образуют уступы — террасы. Эти числа перемещают параллельно сторонам квадратной рамки до проти- воположных ее сторон и заполняют таким образом пустые клетки таблицы. В результате получается магический квадрат. Интерес к магическим квадратам в наше время не только игровой, но и теоретический, что объясняется использованием таких квадратов при обнаружении и коррекции ошибок в кодах, при расчетах электрических цепей и т. п. Рассматривается для магических квадратов и более сложная задача: можно ли составить их из одних только простых чисел? Естественно, при этом сумма чисел любого столбца, любой строки и диагонали не может совпадать с магической постоянной S, определяемой размером квадрата, поскольку числа берутся не все 2 Hi
67| 1 4 1 1_| 37 6J 3 | 72 7 317 97 67 307 157 10] 227 127 277 257 137 347 47 37 367 Рис. 108 по порядку. Оказывается, такие квадраты существуют. Два из них представлены на рисунке 108. Заметим, что первый из них имеет наименьшую магическую постоянную для квадратов, составленных из простых чисел. Она равна Ill. Нашел этот квадрат английский математик, создатель многочисленных головоломок Генри Дьюдени (1857— 1930). Правда, в приведенных квадратах участвуют достаточно большие простые числа. А если использовать только последова- тельные числа? Естественно, число 2 при этом придется исключить, зато можно допустить единицу. Составление такого магического квадрата—задача нелегкая. Лишь в 1913 г. Дж.Манси доказал, что наименьшим магическим квадратом, состоящим из единицы и всех последовательных простых нечетных чисел, является квадрат порядка 12. Он приведен на рисунке 109. 1 82; 82<1 809 811 797 19 29 313 31 3 37 89 83 211 79 631 619 709 617 53 43 739 97 227 103 107 193 157 719 727 607 139 757 281 223 653 499 197 109 113 479 173 761 587 157 367 379 521 383 241 467 257 263 269 167 601 349 359 353 647 389 331 317 311 409 307 293 449 503 523 233 331 547 397 421 17 401 271 431 433 229 491 373 487 461 251 443 463 137 439 457 283 509 199 73 541 347 191 181 569 577 571 163 593 661 101 643 239 691 701 127 131 179 613 277 151 659 673 677 683 71 67 61 47 59 743 733 41 827 3 7 5 13 11 787 769 773 419 149 Рис. 109 2-17
1 16 25 24 2 15 26 23 28 21 4 13 27 22 3 14 8 9 32 17 7 10 31 18 29 20 5 12 30 19 6 11 1811 17 3 Рис. ПО Рис. Ш Кроме квадратов, используют и другие магические фигуры. Например, Нарайана нашел прямоугольник 4Х 8, у которого сумма чисел вдоль любого столбца и диагоналей двух квадратов, на которые можно разбить прямоугольник, равняется 66, а вдоль любой строки равна 132 (рис. 110). Существует магический шестиугольник (рис. 111), содержащий все числа от единицы до 19. Его магическая постоянная равна 38. Интересно, что такой шестиугольник был найден в конце 50-х годов нашего столетия не- зависимо друг от друга У. Ад а м с о м и Т. Викер с оном. Но самое удивительное заключается в том, что существуют магические шестиугольники только 3-го порядка (когда окаймляющая сторона содержит три числа). Ни для какого другого порядка их нет. Этот факт доказал в 60-е годы нашего столетия американский математик Чарлз Тригг. Более того, расположение чисел, приведенное на рисунке 111, единственное (не считая поворотов и отражений). Можно рассматривать не только магические фигуры на плоскости, но и тела в пространстве, в частности магические кубы. Такой куб порядка п должен быть заполнен числами от 1 до л3, причем сумма чисел в любой строке и любом столбце произвольного слоя и на любой из четырех диагоналей куба равна магической постоянной. Эта постоянная Z находится из равенства bn*=-L±il.n3, т.е. /=—(п3Ц-1) Для л = 3 получаем /=42. Магическими кубами занимались Лейбниц и Эйлер. Приведем пример магического куба порядка 3, построенного Эйлером. Нижний слой Средний слой Верхний слой 4 12 26 II 25 6 27 5 10 20 7 16 9 14 19 13 21 9 24 Н 18 23 1 22 3 17 2 16 24
9. Задача о 36 офицерах Имеется еще один тип квадратов, связанных с магическими, точнее, полумагическими. Это латинские квадраты. Об этой связи мы поговорим в конце пункта. А сейчас возьмем игральные карты и сложим из тузов, королей, дам и валетов всех четырех мастей квадрат 4X4, так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказались карты разных масте