Text
САВЕЛЬЕВ И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике: Учеб, пособие.— 2-е изд., перераб.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—288 с.—ISBN 5-02-013851-7
Составлен применительно к трехтомному «Курсу общей физики» автора (М.: Наука, 1986—1987) и служит дополнением к нему. Содержит около 1250 вопросов и задач, большинство которых являются оригинальными. Имеются задачи разной степени трудности, наиболее трудные из них снабжены указаниями или решениями. Отдано предпочтение не абстрактным, а реальным задачам из повседневной жизни, науки и техники. В новом издании большинство задач имеют не только числовые ответы, но й ответы в общем виде.
Для студентов высших технических учебных заведений; может быть полезен преподавателям высшей и средней школы,
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................. 5
Введение................................................ 7
Часть 1. Физические основы механики................. 14
1.1. Кинематика................................... 15
1,2, Динамика материальной точки и поступательного движения тела. Работа и мощность................ 22
1.3. Энергия . . . ................................ 28
1.4. Импульс....................................... 32
1.5. Момент импульса . . 35
1.6. Неинерциальные системы отсчета. ...... 38
1.7. Механика твердого тела........................ 40
1.8. Всемирное тяготение........................... 52
1.9. Колебательное движение , ......... 57
1.10. Релятивистская механика .......... 63
1.11. Гидродинамика , .............................. 68
Ч а с т ь 2. Молекулярная физика и термодинамика .... 71
2.1. Молекулярно-кинетические представления. Первое начало термодинамики................................ 72
2.2. Идеальный газ............................... 74
2.3. Кинетическая теория , ............. 80
2.4. Распределения................................. 81
2.5. Энтропия . . 84
2.6. Циклы......................................... 91
2.7. Уравнение Ван-дер-Ваальса..................... 93
2.8. Жидкости и кристаллы.......................... 96
2.9. Фазовые равновесия и превращения.............. 98
2.10. Физическая кинетика .......................... 99
Ч асть 3. Электричество и магнетизм . . ............ 103
3.1. Электрическое поле в вакууме................. 104
3.2. Электрическое поле в диэлектриках............ 114
3.3. Проводники в электрическом поле.............. 117
3.4. Энергия электрического поля.................. 120
3.5. Электрический ток............................ 122
3.6. Магнитное поле в вакууме .................... 128
3.7. Магнитное поле в веществе ,.................. 133
3.8. Электромагнитная индукция................... 135
3.9. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.................................. 141
3.10, Электрические колебания ... , . ............ 143
3
Часть 4. Волны........................................
4.1. Упругие волны.................................
4.2. Акустика......................................
4.3. Электромагнитные волны........................
Ч а с т ь 5. Оптика.................. . . ..........
5.1. Геометрическая оптика. Фотометрия ........
5.2. Интерференция света...........................
5.3. Дифракция света...............................
5.4. Поляризация света.............................
5.5. Взаимодействие световых волн с веществом......
5.6. Оптика движущихся сред........................
Часть 6. Атомная физика...............................
6.1. Тепловое излучение............................
6.2. Фотоны........................................
6.3. Формула Резерфорда. Атом Бора.................
6.4. Спектры атомов и молекул......................
6.5. Квантовая механика............................
6.6. Квантовомеханическое описание состояний атомов
6.7. Физика твердого тела..........................
6.8. Энергия связи ядра. Радиоактивность...........
Ответы................................................
Указания к решению задач..............................
Приложения ...........................................
1. Основные физические постоянные..................
2. Единицы и размерности физических величин в СИ . .
3. Астрономические величины........................
4. Плотность веществ...............................
5. Постоянные газов................................
6. Постоянные Ван-дер-Ваальса......................
7. Постоянные воды и льда..........................
8. Поверхностное натяжение.........................
9. Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам спектра ....................................
10. Работа выхода электрона из металла.............
11. Атомный номер и масса некоторых элементарных частиц и изотопов..................................
12. Формулы для приближенных вычислений............
13. Вычисление сумм при помощи интегралов..........
14. Некоторые математические формулы...............
15. Некоторые числа................................
16. Десятичные приставки к названиям единиц . . . .
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный сборник является дополнением к трехтомному «Курсу общей физики» И. В. Савельева (М.: Наука, 1986— 1988). Он содержит около 1250 вопросов и задач разной степени трудности. Поэтому сборник с равным успехом может быть использован во втузах как с обычной, так и с расширенной программой по физике.
При подготовке второго издания было добавлено около 50 задач. В отличие от первого издания почти все задачи, кроме числовых ответов, снабжены также ответами в общем (буквенном) виде.
При составлении сборника отдавалось предпочтение не абстрактным, а реальным задачам, заимствованным из повседневной жизни, науки и техники. Кроме того, мы стремились включить побольше таких задач, решая которые, учащийся испытывал бы нетерпеливое любопытство, каким же окажется искомый результат.
Где это было возможно, задачи расположены в логической последовательности и в порядке возрастающей трудности. Поэтому работа над предшествующими задачами подготавливает учащегося к решению последующих задач.
Сборник состоит из трех разделов. В первом приведены вопросы и условия задач, во втором — ответы, в третьем — указания к решению более трудных задач. Указания отделены от ответов, чтобы дать возможность учащимся после получения неправильного ответа продолжать попытки решить задачу самостоятельно. В помещенных в конце книги приложениях, кроме таблиц физических величин, даны некоторые материалы, которые могут помочь при работе над задачами (значения некоторых интегралов и т. п.).
5
Исходные данные и ответы к задачам даны с учетом точности соответствующих величин и правил действий над приближенными числами.
Следует иметь в виду, что работа над задачами принесет максимальную пользу при соблюдении рекомендаций, которые содержатся во Введении к данному сборнику, поэтому надо начать с внимательного прочтения этого Введения и время от времени перечитывать его вновь.
Москва, май 1987 г.
И. В. Савельев
Прежде чем приступить к решению задач, прочтите внимательно это Введение и ознакомьтесь с Приложениями в конце книги!
ВВЕДЕНИЕ
I. Очень кратко о психологии творчества
Решение задач принесет наибольшую пользу только в том случае, если учащийся решает задачи самостоятельно. Решить задачу без помощи, без подсказки часто бывает нелегко и не всегда удается. Но даже не увенчавшиеся успехом попытки найти решение, если они предпринимались достаточно настойчиво, приносят ощутимую пользу, так как развивают мышление и укрепляют волю. Следует иметь в виду, что решающую роль в работе над задачами, как и вообще в учении, играют сила воли и трудолюбие.
Не следует смущаться тем, что некоторые задачи не решаются «с ходу». Достоверно установлено, что процесс творчества в области точных наук (а решение задач есть вид творчества) протекает по следующей схеме х). Сначала идет подготовительная стадия, в ходе которой ученый настойчиво ищет решение проблемы. Если решение найти не удается и проблема оставлена, наступает вторая стадия (стадия инкубации) — ученый не думает о проблеме и занимается другими вопросами. Однако в подсознании продолжается скрытая работа мысли, которая часто приводит в конечном итоге к третьей стадии — внезапному озарению и получению требуемого решения. Нужно иметь в виду, что стадия инкубации не возникает сама собой — для того чтобы пустить в ход машину бессознательного, необходима настойчивая интенсивная работа в ходе подготовительной стадии.
Решение задач, как мы уже отмечали, есть также вид творчества и подчиняется тем же закономерностям, что и работа ученого над научной проблемой. Правда, в некото-
См. книгу: Жак Адамар. Исследование психологии процесса изобретения в области Математики.— М.: Сов. радио, 1970.
7
рых случаях вторая стадия — стадия инкубации — может быть выражена настолько слабо, что остается незамеченной.
Из сказанного вытекает, что решение задач ни в коем случае не следует откладывать на последний вечер перед занятиями, как, к сожалению, нередко поступают студенты. В этом случае более сложные и притом наиболее содержательные и полезные задачи заведомо не могут быть решены. Над заданными «на дом» задачами надо начинать думать как можно раньше, создавая условия для реализации стадии инкубации.
Если в условии задачи имеются числовые данные, не ленитесь доводить решение до числового ответа. Чтобы получить правильный числовой ответ, необходимо хорошо знать единицы физических величин и уметь производить аккуратно и надежно расчеты. И то, и другое может быть достигнуто только длительной практикой. Особое внимание нужно обращать на правильное определение порядка искомой величины. Среди учащихся часто встречается удивительное заблуждение — они считают, что ошибка в порядке величины (даже на несколько порядков) менее существенна, чем ошибка в значащих цифрах. Необоснованность такого мнения легко обнаруживается на следующем примере. Ошибка, заключающаяся в том, что вместо 5 получено 7, составляет 40 %, в то время как ошибка всего на один порядок (скажем, вместо 104 получено 105) составляет 900 %.
В разделе, который следует за ответами, содержатся указания к решению более трудных задач. Обращаться к ним нужно лишь после того, как несколько попыток решить задачу не приведут к успеху. «
Наконец, надо иметь в виду, что в ряде случаев задачи расположены в логической последовательности и в порядке возрастающей трудности. Поэтому толчком к решению данной задачи может послужить ознакомление с несколькими предшествующими задачами.
II. Методические указания к решению задач
При решении задач целесообразно руководствоваться следующими правилами.
1. Прежде всего нужно хорошо вникнуть в условие задачи. Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте рисунок, поясняющий ее сущность.
2. За редкими исключениями, каждая задача должна
8
быть сначала решена- в общем виде (т. е. в буквенных обозначениях, а не в числах), причем искомая величина должна быть выражена через заданные величины. Получив решение в общем виде, нужно проверить, правильную ли оно имеет размерность. Если это возможно, исследовать поведение решения в предельных случаях. Например, при рассмотрении движения тела, брошенного под углом к горизонту (задача 1.32), заданы модуль начальной скорости va и угол а, под которым брошено тело; известно также ускорение g. Для высоты подъема h и дальности полета I получаются значения
_ vo sjn2 а ___ vo sin 2а ~ 2g ’ “ g •
Обратите внимание на то, что в оба выражения входят только заданные величины п0, а и g. Выражение для I можно написать в виде /=n0cos а-т, где т — время полета. Однако это выражение не может считаться решением, так как т не принадлежит к числу заданных величин, оно само является функцией v0 и а. Проверка дает, что оба выражения, как и должно быть, имеют размерность длины. При а=л/2 получается h=v%/2g, что совпадает с известным выражением для высоты подъема тела, брошенного по вертикали. Для I получается правильное значение — нуль.
В тех случаях, когда в процессе нахождения искомых величин приходится решать систему нескольких громоздких уравнений (как, например, часто бывает при нахождении токов, текущих в сложных разветвленных цепях), целесообразно сначала подставлять в эти уравнения числовые значения коэффициентов и лишь затем определять значения искомых величин.
3. Убедившись в правильности общего решения, подставляют в него вместо каждой из букв числовые значения обозначенных ими величин, беря, разумеется, все эти значения в одной и той же системе единиц. Чтобы облегчить определение порядка вычисляемой величины, полезно представить исходные величины в виде чисел, близких к единице, умноженных на 10 в соответствующей степени (например, вместо 247 подставить 2,47-102, вместо 0,086— число 0,86-10-1 и т. д.). Подставив в формулу числа, прежде чем начать вычисления, проверьте, нельзя ли воспользоваться формулами для приближенных вычислений, приведенными в Приложении 11 (см. также задачу 1.41).
4. Надо помнить, что числовые значения физических величин всегда являются приближенными. Поэтому, при
9
расчетах необходима руководствоваться правилами действий с приближенными числами. В частности, в полученной значении вычисленной величины нужно сохранить последним тот знак, единица которого превышает погрешность этой величины. Все остальные значащие цифры надо отбросить.
5. Получив числовой ответ, нужно оценить его правдоподобность. Такая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата. Например, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме, дальность полета камня, брошенного человеком, не может быть порядка 1000 м, масса молекулы — порядка 1 мг и т. п.
III. Некоторые сведения
о вычислениях с приближенными числами
1. В физике полагается, помимо числового значения величины, указывать погрешность, с которой эта величина определена. Например, запись I—356+2 м означает, что истинное значение длины I заключено в пределах от 354 до 358 м. Строго говоря, должна еще быть указана вероятность того, что высказанное утверждение имеет место (доверительная вероятность). Часто, однако, при записи значений физической величины погрешность ее (доверительный интервал) не указывается и приводится лишь одно число, например 1=467 м. В этом случае следует считать, что погрешность величины не превосходит одной единицы последней значащей цифры (в нашем примере это 1 м). Следовательно, все значащие цифры числа, выражающего значение физической величины, кроме последней, нужно считать верными; последнюю же цифру надо считать сомнительной (истинное значение этой цифры может отличаться от указанного на единицу).
Напомним, что значащими цифрами называются все цифры в десятичном изображении числа, кроме нулей, стоящих в начале числа. Например, в числе 0,03040 первые два нуля не являются значащими. Они служат только для установления десятичных разрядов остальных цифр. Нули после 3 и 4 являются значащими цифрами.
В случае больших целых чисел с нулями на конце (например, 123 000) возникает вопрос о том, для чего служат нули — для обозначения значащих цифр или для определения разряда остальных цифр. Чтобы избежать такой неопределенности, следует писать подобные числа в виде 10
1,23-10®, если они имеют три значащие цифры, или в виде
1,230-10®, если они имеют четыре значащие цифры и т. д.
2. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина
Да = | А—а |,
где А — точное значение того же числа.
3. Относительной погрешностью приближенного числа а называется величина
В физике при вычислениях мы обычно имеем дело с такими числами, точные значения которых остаются неизвестными. Поэтому на практике относительную погрешность приходится определять по формуле
Вносимая при этом ошибка невелика, так как обычно Ажа.
4. Если величина и является функцией величин х,, х2, . . ., хп:
U = f(Xt, Х.2, ..., хп),
то предельная ределяется по
абсолютная погрешность величины и оп-формуле
ды = ^ | _ | дх.,
где Дхг — абсолютные погрешности величин хг.
5. Разделив Дц на |ы|, получим предельную относительную погрешность величины и:
8и = -ДД- = 1 In и | Дх;.
I«I I dxt | 1
6. В табл. 1 приведены выражения предельных абсолютной Ди и относительной 6ц погрешностей некоторых функций. Под Дхг и подразумеваются абсолютная и относительная погрешности величины xt.
7. Рассмотрим пример на определение погрешности результата вычислений. Возьмем уже упоминавшуюся задачу о движении тела, брошенного под углом к горизонту. Высота подъема тела дается формулой
u vo sm2 а
П~ 2g •
II
Таблица 1
Вид функции Предельная абсолютная погрешность Дл Предельная относительная погрешность ди
п п
II м * Ди= 2 Дж/ ——
i=l i=i
и = Ху — Х3 Ди = Д^ + Дл'а
1 *1— *2|
U ~ ХуХ%. . .Хп Ди = | и | би 6u = 2 ^xi i=l
X и = — У — би ~ бх + бу
XiXZ...Xn УхУг- -Ут "п т
—— би=2 б*/+2 1=1 1=1
и~хт &и = т | -11 Дж би = тбх
би = —
m
и~ In X А Л Ди = — ~ох
X |1пх|
u=lgx . 1 Дж бх
iW—2,30 х 2,30 Л/1 _
2,30 |lgx|
и — е±ах (а > 0) Ди = ае±ах Дж би = а.&х
u = e/W Дн = е/«Шдж 1 С*Л 1 а 1 1 Л би= —т— Да: 1 dx |
u = sin тх Ди = т|соз тх] &х би = т | ctgmx | Дж
и = cos тх Ьи — т | sin тх | Дж би = т | tg тх | Дж
u = tgmx А Л Ди 5 Д X „ 2т . би = —-г Д ж
cos2 tnx sin 2тх
12
Воспользовавшись формулами табл. 1, найдем для предельной относительной погрешности h выражение
8h = 2бо0 + 28 (sin a) 4- 8g — 28va + 21 ctg a | Aa 4- 8g
(число 2 в знаменателе является точным, его погрешность равна нулю).
Пусть t’o=95 м/с, а=45°; для g примем значение 9,81 м/с2. Тогда Av0=l м/с (единица последней значащей цифры), 8п0=1/95, Аа=1°=1/57 рад, 8g= 1/981 «0,001. Подставим эти значения в формулу для 8h (ctg 45°=1): a-fi+S + <W|01«S~5’'"-
Заметим, что ускорение g не было надобности брать с точностью до третьего знака. Если принять g=9,8 м/с2 и тем самым увеличить относительную погрешность 8g до 2/980, относительная точность результата практически не изменится, но зато вычисления станут проще.
Теперь вычислим h:
, vo sin2 a 952-0,7072 „ Q
= 2g =.......27978—= 2’3’10 M‘
Мы не имеем права записать результат в виде 230 м, потому что такая запись означала бы, что погрешность найденного значения h не превышает 1 м. На самом же деле, как мы выяснили, при заданной точности п0 и a высоту h нельзя вычислить с относительной точностью, превышающей 5 %, т. е. с абсолютной погрешностью, меньшей 10 м.
IV. Разъяснения по поводу числовых коэффициентов в условиях задач
Выражения вида г=1ея4-2/ей4-3/2ег либо U= lx4-2g24-4~Зг3 и т. и. следует рассматривать как сокращенную условную запись выражений r= (1 м)ея4~ (2 м/с)/ей4~ 4- (3 м/с2)/2е2, либо U= (1 Дж/м)х4~ (2 Дж/м2)г/24~ (3 Дж/м3)?3 ит. и., т. е. приписывать числовым коэффициентам надлежащие размерности.
13
Часть 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Обозначения:
А — работа а — амплитуда В — магнитная индукция С— центр масс с — скорость света в вакууме d — диаметр
Е — единичный тензор
Е — энергия
еХ1 е„, ег — орты координатных осей
е — основание натуральных логарифмов, элементарный заряд
F — сила
g — ускорение свободного па-. дения
h — высота
I — момент инерции К. — система отсчета k — жесткость, коэффициент трения
I — длина, расстояние М — момент импульса М, т — масса N — момент силы
Л1’ — вращающий момент
Nz — момент силы относительно оси z
п *- частота вращения
Р — мощность р — импульс р — давление Q — добротность колебательной системы, поток жидкости
q — электрический заряд
R — радиус-вектор
14
Р — радиус, радиус кривизны, расстояние
Re — число Рейнольдса г — радиус-вектор г — радиус, расстояние 5 — площадь, поверхность s —- путь Т — тензор
Т — кинетическая энергия, период колебаний
t — время
U — потенциальная энергия и, v — скорость
V — объем, скорость w — ускорение а — поверхностное натяжение, угол
Р — угловое ускорение
Р — коэффициент затухания колебаний, угол
у — гравитационная постоянная, угол
7] — ВЯЗКОСТЬ
А, — линейная плотность (масса единицы длины), логарифмический декремент затухания
р — приведенная масса р — плотность
а — поверхностная плотность (масса единицы поверхности)
т — время
<р — угол, широта местности Q — телесный угол
<о — угловая скорость со — круговая частота
1.1. Кинематика
1.1. Частица движется с постоянной скоростью v. Что определяет выражение: a) v(/2—ti), б) v(t2—/2), в) ия(/а—4)?
1.2. Частица движется с постоянным ускорением w. В начальный момент времени она находилась в точке с радиус-вектором г0 и имела скорость v0. Написать выражение для: а) приращения скорости частицы Av за время t, б) проекции скорости частицы на ось у в момент времени t, в) перемещения частицы Аг за время t, г) приращения координаты z частицы за время t.
1.3. В каком случае векторы а и b могут быть связаны соотношением a=ab, где а — скаляр? Как соотносятся их орты, если а<0?
1.4. Может ли приращение модуля вектора Аа оказаться равным модулю приращения вектора |Да|?
1.5. В каком соотношении находятся приращение модуля вектора Аа и модуль приращения вектора |Аа|, если векторы а и Аа направлены в противоположные стороны?
1.6. Вектор а изменил направление на обратное. Найти: Аа, |Аа|, Аа.
1.7. Вектор а повернулся без изменения «длины» на малый угол 6<р. а) Написать приближенное выражение для |Аа|. б) Чему равно Аа?
1.8. Начальное значение скорости равно у1=1ея+3ег/+ +5е2 (м/с), конечное v2=2ex+4ey+6e2 (м/с). Найти: а) приращение скорости Av, б) модуль приращения скорости ]Av|, в) приращение модуля скорости Аи.
1.9. Написать выражение для косинуса угла а между векторами с компонентами ах, ау, az и bx, by, bz.
1.10. Компоненты одного вектора равны (1, 3, 5), другого — (6, 4, 2). Найти угол а между векторами.
1.11. Преобразовать к виду, содержащему только модули векторов и угол а, выражение а [Ьс], в котором векторы а и с взаимно перпендикулярны, а вектор b образует с нормалью к плоскости, в которой лежат векторы а и с, угол а.
1.12. Заданы функции vx(t), vy(t) и vz(t), определяющие в некоторой системе координат скорость частицы v. Написать выражение для: а) перемещения частицы Аг за промежуток времени от /2 до /2, б) пути s, пройденного частицей за тот же промежуток времени, в) приращения Ах координаты х частицы за время от /2 до /2, г) среднего значения ускорения частицы <w) за то же время.
15
1.13. Частица Г движется со скоростью vt=aea, частица 2 — со скоростью Vi—bty (а и b — Константы). Найти скорость v второй частицы относительно первой и модуль v этой скорости.
1.14. Исходя из определения среднего значения функции, доказать, что:
а) среднее за время т значение скорости точки (v> равно перемещению точки Дг за это время, деленному на т,
б) среднее за время т значение ускорения точки (w) равно приращению скорости Ду за это время, деленному на т.
1.15. Частица движется равномерно по часовой стрелке по окружности радиуса R, делая за время т один оборот. Окружность лежит в координатной плоскости х, у, причем центр окружности совпадает с началом координат. В момент Л=0 частица находится в точке с координатами х=0, y=R. Найти среднее значение скорости точки за промежуток времени: а) от 0 до т/4, б) от 0 до т/2, в) от 0 до Зт/4, г) от 0 до т, д) от т/4 до Зт/4.
1.16. Частица прошла за некоторое время 3/4 окружности со средним значением модуля скорости (и). Найти модуль средней скорости частицы |(v)| за то же время.
V 1.17. Первоначально покоившаяся частица прошла за время т=10,0 с полторы окружности радиуса R=5,00 м с постоянным тангенциальным ускорением. Вычислить соответствующие этому промежутку времени значения: а) среднего модуля скорости (и), б) модуля средней скорости |<v>|, в) модуля среднего ускорения |(w>|.
1.18. Постоянный по модулю вектор а, равномерно поворачиваясь против часовой стрелки в плоскости х, у, переходит за время t из положения, при котором он совпадает по направлению с осью х, в положение, при котором он совпадает по направлению с осью у. Найти среднее за время t значение вектора а и модуль этого среднего.
1.19. Радиус-вектор точки г изменяется: а) только по модулю, б) только по направлению. Что можно сказать о траектории?.
1.20. Радиус-вектор частицы определяется выражением: r=3/2ea+4/2ej,+7e2 (м). Вычислить:
а) путь s, пройденный частицей за первые 10 секунд движения,
б) модуль перемещения |Дг| за то же время, в) объяснить полученные результаты.
1.21. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: г£=3/аех+2/е,,4-1е1 (м). Найти:
16
а}' скорость v и ускорение w частицы,
б) модуль скорости v в момент /=1 с,
в) приближенное значение пути s, пройденного частицей за 11-ю секунду движения.
1.22. Частица движется со скоростью у=1еж+2/е„+ +3/2ег (м/с). Найти:
а) перемещение Дг частицы за первые 2 секунды ее движения,
б) модуль скорости v в момент t=2 с.
1.23. Частица движется со скоростью у=а/(2еж+3ег,+ +4ez) (а=1,00 м/с2). Найти:
а) модуль скорости v частицы в момент времени /=1,00 с,
б) ускорение частицы w и его модуль w,
в) путь s, пройденный частицей с момента 4=2,00 с до момента 4=3,00 с,
г) какой характер имеет движение частицы.
1.24. Лифт начал подниматься с постоянным ускорением ©=1,00 м/с2. Спустя время /=1,00 с от потолка кабины лифта отделился и стал падать шуруп. Определить:
а) время Д/ падения шурупа до удара о пол кабины, б) путь s, пройденный шурупом за время Д/ в системе отсчета, связанной с Землей. Высота кабины лифта/1=2,75 м.
1.25. Известна функция v(/) для частицы, движущейся по криволинейной траектории. Написать выражение для радиуса кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент /.
. 1.26. Частица движется равномерно по криволинейной траектории. Модуль ее скорости равен v. Найти радиус кривизны R траектории в той точке, где модуль ускорения частицы равен w.
1.27. По какой траектории движется частица в случае, если ©т=0, ©n=const?
V 1.28. В некоторый момент времени / компоненты скорости v частицы имеют значения (1,00, 2,00, —3,4)0) (м/с), а компоненты ускорения w — (—3,00, 2,00, 1,00) (м/с2). Найти:
а) значение выражения dv/dt в момент /,
б) радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент 4
1.29. Точка движется вдоль оси х, причем координата х изменяется по закону х=а соз(2л/7")/. Найти:
а) выражения для проекций на ось х скорости v и ускорения w точки,
б) путь sb пройденный точкой за промежуток времени от /=0 до /=71/8, _...... . _________
I it
в) путь s2, пройденный точкой за промежуток времени от t=Ti% до t=TK,
г) путь s, пройденный точкой за промежуток времени от /=0 до t=T.
1.30. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: vx=a cos mt, vv=a sin mt, vz=0, где а и co — константы. Найти модули скорости v и ускорения w, а также угол а между векторами v и w. На основании полученных результатов сделать заключение о характере движения частицы.
1.31. Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид х—а cos mt, у=а sin mt, z=0 (а и co — константы).
а) Определить радиус-вектор г, скорость v и ускорение
w частицы, а также их модули.
б) Вычислить скалярное произведение векторов г и V. Что означает полученный результат?
в) Вычислить скалярное произведение векторов г и w. Что означает полученный результат?
г) Найти уравнение траектории частицы.
д) В каком Направлении движется по траектории частица?
е) Охарактеризовать движение частицы.
ж) Как изменится движение частицы, если в выражении
для у изменить знак на обратный?
1.32. Небольшое тело (материальная точка) брошено
из точки О под углом а к
горизонту с начальной скоростью v0 (рис. 1.1). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) время полета т,
б) дальность полета /,
в) наибольшую высоту поднятия тела h,
г) уравнение траектории тела в координатах х', у',
д) значения \dv/dt\ и d\v\/dt
в вершине траектории,
е) радиус кривизны R траектории в точках О и О'. Точки бросания и падения считать лежащими на одном
уровне.
1.33. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти среднее значение скорости (v) за первые т секунд полета.
1.34. Под каким углом а к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на рас
18
стоянии Z=10,0 км, если начальная скорость снаряда о0= =500 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.35. Известны: функция f(s), определяющая зависимость производной dvldt от пройденного частицей пути s, модуль скорости va в начале пути. Написать выражение для u(s) — модуля скорости, которую имеет частица, пройдя путь s.
1.36. Дана функция v(s), определяющая зависимость модуля скорости частицы от пройденного частицей пути s. Написать выражение для времени t, затрачиваемого частицей на прохождение пути s.
1.37. Зависимость модуля скорости частицы v от пройденного частицей пути s определяется функцией v(s) = —v0—bs.
а) Найти зависимость s от времени t.
б) Определить зависимость v от t.
в) Написать приближенные выражения для s(/) и v(f), справедливые для /<^1/Ь.
1.38. Модуль скорости частицы изменяется со временем по закону v=vl)e~bt. Каков физический смысл константы Ь?
1.39. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды, перпендикулярной к берегам скоростью v=0,300 м/с. Ширина реки равна В=63,0 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону
. Un [ 6 \ 2
% 2" у ’
где х — расстояние от берега, и0 — константа, равная 5,00 м/с. Найти снос s лодки вниз по течению от пункта ее
отправления до места причала на противоположном берегу реки.
1.40. Ось х на рис. 1.2 служит границей между участком, поросшим травой, и участком, покрытым рыхлым песком. Пешеходу нужно попасть из пункта А в пункт В, По траве пешеход может идти со скоростью v1=5,00 км/ч, по песку — со скоростью н2=3,00
км/ч. Чтобы совершить
переход за самое короткое время, пешеход выбирает ломаный путь АОВ. При каком соотношении между синусами углов и аа время движения пешехода из Л в В будет минимальным?
19
1.41. Ниже приводятся приближенные выражения для некоторых функций, справедливые при х-<1:
a) « 1 Т х, б) V1 ± х » 1 ± 4 , в) е± х « 1 ± х,
ж2
г) ln(l ±x) ~ ±х, д)зшх«х, е) cosx« 1—
Определить для х=0,1 относительную погрешность значений этих функций, найденных по формулам для приближенных вычислений.
1.42. По прямой дороге АВ движется с постоянной скоростью «=20,0 м/с автомобиль. Из точки С, которая находится от АВ на расстоянии /=2000 м, в момент, когда автомобиль и точка С оказываются на одном перпендикуляре к АВ, производится выстрел из пушки (рис. 1.3). Предполагая, что снаряд летит прямолинейно с постоянной скоростью v=200 м/с, определить:
а) угол а, на который нужно повернуть ствол пушки, чтобы поразить автомобиль,
б) время t полета снаряда,
в) путь s, который пройдет автомобиль за время t.
1.43. Имеются две моторные лодки, развивающие относительно воды скорость «=5,00 м/с. Вода течет с одинаковой по всей ширине реки скоростью «=0,500 м/с. Ширина
и (/ реки /=1,000 км. На середине реки
Л ор- *- в вбиты две сваи С и D, отстоящие | / друг от друга на расстояние, рав-
। / ное ширине реки / (рис. 1.4). Од-
। / ной лодке нужно пересечь реку
। строго в поперечном направлении
Рис. 1.3 Рис. 1.4
из точки А в точку В и обратно. Второй лодке нужно проделать путь от сваи С до сваи D и обратно.
а) Как должна двигаться первая лодка относительно воды, чтобы относительно, берегов перемещаться вдоль прямой АВ?
20
б) Найти времена и /2, затрачиваемые на прохождение пути 21 первой и второй лодками.
приближенные выражения, с помощью этих выражений
с точны-
м летит постоянной
в) Получить ДЛЯ 4 И ti справедливые для u<<w. Найти значения и i2; сравнить их ми значениями.
1.44. На высоте й=5000 прямолинейно самолет с скоростью и —100,0 м/с. В момент, когда он находится над зенитной батареей, производится выстрел (рис. 1.5). Начальная скорость снаряда t>o=5OO,O м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) под каким углом а к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд и самолет достигли одновременно точки пересечения их траекторий,
б) на какую продолжительность полета t нужно установить взрыватель, чтобы, снаряд разорвался в точке встречи с целью, 4
в) на какое расстояние s по горизонтали отстоит от батареи точка встречи.
1.45. Известно, что Луна все время обращена к Земле одной и той же стороной и обращается вокруг Земли за
27,3 суток. Определить угловую скорость сод вращения Луны вокруг ее оси. Сравнить эту скорость с угловой скоростью со3 суточного вращения Земли.
1.46. Часы каждые сутки отстают на 2 минуты. Чему равно угловое ускорение 0 минутной стрелки?
1.47. Постоянный по модулю век-постоянной угловой скоростью й/во-
тор а вращается с
круг фиксированной перпендикулярной к нему оси. Выразить производные а и а через векторы а и а.
1.48. Цилиндр катится без скольжения со скоростью v (рис. 1.6). Найти скорости точек 1, 2 и 3, выразить их через орты координатных осей.
1.49. Шар вращается с угловой скоростью <» вокруг оси, которая поворачивается в плоскости х, у с угловой скоростью <в'=ю'ег (рис. 1.7). Найти:
а) угловую скорость £2 и угловое ускорение 0 шара, а также модули этих векторов,
21
б) угол а между векторами Й и о,
в) угол <р между векторами 0 и Й. Считать, что в на-
чальный момент времени вектор со направлен по оси х.
1.50. Тело участвует в двух вращениях, происходящих
со скоростями ш1=а/2е
= 60 км/ч. После начала
х и (o2=2a/2ey («=1,00 рад/с3).
а) На какой угол <р повернется тело за первые 3,00 с?
б) Вокруг какой оси произойдет этот поворот?
1.51. Якорь электромотора, вращавшийся с частотой п~ = 50 с-1, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав полное число оборотов У=1680. Найти угловое ускорение р якоря.
1.52. До начала торможения автомобиль имел скорость у0= торможения автомобиль двигался
прямолинейно с непостоянным ускорением и остановился спустя время /=3,00 с. За это время он прошел путь
s=20,0 м. Определить среднюю угловую скорость (со) и среднее угловое ускорение (0) колеса автомобиля за время торможения. Радиус колеса /?=0,23 м.
1.53. Частица движется по радиусу вращающегося диска со скоростью п=3,С0 м/с. В начальный момент времени частица находится в центре диска. Угловая скорость вращения диска и=20,0 рад/с. Найти приближенное значение пути s, пройденного частицей в неподвижной системе отсчета за время с момента /t=9,00 с до момента /2=10,00 с.
1.2. Динамика материальной точки
и поступательного движения тела. Работа и мощность
Указание. При решении задач на динамику надо поступать следующим образом.
1. Выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемое тело. Соответственно установить силы, действующие на это тело.
2. Написать уравнение движения тела в векторном виде. Если система, движение которой рассматривается, состоит из нескольких связанных друг с другом тел, такое уравнение пишется для каждого из тел в отдельности.
3. Перейти в каждом уравнении от векторов к их проекциям на соответствующим образом выбранное направление.
22
Может случиться, что для уравнений, относящихся к разным телам, эти направления окажутся различными. Если направление какого-либо вектора заранее известно, его проекцию надо выражать через модуль вектора, взятый с
надлежащим знаком.
4. Решить систему получившихся скалярных уравнений. Поясним сказанное следующим примером. Система со-
стоит из тел 1 и 2, связанных невесомой *) нерастяжимой
нитью (рис. 1.8). Масса тела Нить может скользить без трения по направляющему желобу. Трения между телом 1 и наклонной плоскостью, на которой оно лежит, нет. Плоскость образует с горизонтом угол а. Найти ускорения тел 1 и 2.
1. Система, движение которой рассматривается, со-
1 равна /Hj, тела 2 — тг
стоит из тел 1 и 2 и связывающей их нити. Тело 1 взаи-
модействует с нитью, с плоскостью и с Землей. Соответственно на него действуют: сила натяжения нити Fn сила реакции плоскости Fr и сила тяжести Тело 2 взаимодействует с нитью и с Землей. Соответственно на него действуют: сила натяжения нити F2 и сила тяжести /n2g. Нить невесома, поэтому она взаимодействует только с телами 1 и 2, а также с желобом. Соответствующие силы равны —F, и —F2 (эти силы на рисунке не показаны; они противоположны по направлению силам F, и F2), кроме того, имеется сила, распределенная по всей длине желоба. Все элементы этой силы перпендикулярны к
нити и влияния на ее движение в продольном направ
лении не оказывают.
2. Уравнения движения тел 1 и 2 имеют вид
OTiWi = Fi + F, +/n2w2 = F2 + /n2g.
Масса нити равна нулю. Поэтому уравнение движения для нити имеет вид: 0=0. Писать его нет смысла.
Из невесомости нити вытекает, что модули сил Fj и Fa одинаковы. Обозначим этот одинаковый модуль буквой F (f^—F^F). Из нерастяжимости нити следует, что смеще
*) Под невесомой нитью здесь и в дальнейшем подразумевается нить с пренебрежимо малой массой.
23
ния, а следовательно, скорости и ускорения тел 1 и 2 одинаковы по модулю.
3. Уравнение для тела 1 целесообразно «спроектировать» на ось х, уравнение для тела 2—на ось х' (см. рис. 1.8). При проектировании следует учесть, что а) проекция силы Fr на ось х равна нулю, б) проекция силы mtg на ось х равна —m±g sin а, в) проекция силы F, на ось х равна Fi—F, г) проекция силы F2 на ось х' равна —F2=—F, д) проекция силы /n2g на ось х' равна m2g, е) проекция ускорения wx тела 1 на ось х (т. е. ш1я) и проекция ускорения w2 тела 2 на ось х' (т. е. w2x,) одинаковы и по модулю, и по знаку. Поэтому введем обозначение wlx=w2x.—wx.
4. С учетом всего сказанного выше уравнения движения в проекциях можно написать следующим образом:
miwix = Fi—/Higsina, или tn1wx = F—m^sina, m2w2X, = m2g—F2, или m2wx = m2g—F.
Решив совместно эти два уравнения, получим для wx значение
Wx
т2— mi sin а
g-
В зависимости от соотношения между массами и т2, а также от значения угла а проекция ускорения wx может оказаться либо положительной, либо отрицательной, либо равной нулю. В случае ускорение тела 1 направлено вдоль оси х вправо, ускорение тела 2 направлено вниз. В случае ^х<0 направления ускорений противоположны. Наконец, в случае wx=Q система либо покоится, либо движется равномерно в ту сторону, в какую ей сообщат скорость.
1.54. Чтобы определить коэффициент трения k между деревянными поверхностями, брусок положили на доску и стали поднимать один конец доски до тех пор, пока брусок не начал по ней скользить. Это произошло при угле наклона доски а=14°. Чему равен k?
1.55. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, по которому они могут скользить без трения. Масса первого бруска т1=2,00 кг, масса второго бруска /п2=3,00 кг. Один из брусков толкают с силой Fo=lO,O Н (рис. 1.9).
1. Найти силу F, с которой бруски давят друг на друга в случае, если сила Fo приложена к бруску 1 (а), к бруску 2 (б).
24
2. Что примечательного в полученных результатах?
1.56. Решить задачу 1.55 в предположении, что коэффициент трения между бруском и столом равен kv—0,100 для бруска 1 и />,=0,200 для бруска 2.
1.57. Решить задачу 1.56, положив ^=0,200 и &а=0,100. Сопоставить результаты задач 1.55, 1.56 и данной за» дачи.
1.58. Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске (рис. 1.10). Масса первого бруска т1=2,00 кг, масса второго бруска т2— а .-------------------- s
=3,00 кг. Коэффициент тре- —п т’ I г*—
ния между бруском и доской равен ^=0,100 для бруска 1 и &2=0,200 для бруска 2
Угол наклона доски а=45°. Щ1
1. Определить: а) ускоре- рис. i.g
ние w, с которым движутся
бруски, б) силу F, с которой бруски давят друг на друга.
2. Что происходило бы в случае kF>k^
1.59. На горизонтальном столе лежат два тела массы М = 1,000 кг каждое. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.11). Такая же нить связывает тело 2 с
грузом массы т=0,500 кг. Нить может скользить без трения по изогнутому желобу, укрепленному на краю стола. Коэффициент трения первого тела со столом kx—0,100, второго тела &2=0,150. Найти:
а) ускорение w, с которым движутся тела,
б) натяжение F12 нити, связывающей тела 1 и 2,
в) натяжение F нити, на которой висит груз.
1.60. Эстакада на пересечении улиц имеет радиус кривизны 7? = 1000 м. В верхней части эстакады в дорожное покрытие вмонтированы датчики, регистрирующие силу давления на эстакаду. Отмечающий эту силу прибор проградуирован в кгс (1 кгс=9,81 Н). Какую силу давления F показывает прибор в момент, когда по эстакаде проезжает со скоростью и=60,0 км/ч автомобиль массы т—1,000 т?
25
1.61. На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует магнитная сила F=q tvB] (q— заряд частицы, v — ее скорость, В — характеристика поля, называемая магнитной индукцией). Найти уравнение траектории, по которой будет двигаться частица в однородном магнитном поле (т. е. поле, во всех точках которого В одинакова по модулю и направлению) в случае, если в начальный момент вектор v перпендикулярен к В. Никаких сил, кроме магнитной, нет. Известными считать массу т, заряд q и скорость v частицы, а также магнитную индукцию поля В. В качестве координатной плоскости х, у взять плоскость, в которой движется частица.
1.62. Шарик массы т=0,200 кг, привязанный к закрепленной одним концом нити длины /=3,00 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса 7?=1,00 м. Найти:
а) число оборотов п шарика в минуту,
б) натяжение нити F.
1.63. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг проходящей через его центр вертикальной оси с частотой п=10,0 об/мин. На каком расстоянии г от центра диска может удержаться лежащее на диске небольшое тело, если коэффициент трения k—0,200?
1.64. Небольшому телу сообщают начальный импульс, в результате чего оно начинает двигаться поступательно без трения вверх по наклонной плоскости со скоростью и0= =3,00 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол а=20,0°. Определить:
а) на какую высоту h поднимется тело,
б) сколько времени 4 тело будет двигаться вверх до остановки,
в) сколько времени /2 тело затратит на скольжение вниз до исходного положения,
г) какую скорость v имеет тело в момент возвращения в исходное положение.
1.65. Решить задачу 1.64 в предположении, что коэффициент трения между телом и плоскостью k =0,100. Масса тела /тг=1,00 кг. Помимо указанных в предыдущей задаче величин, определить:
д) какую работу А совершает сила трения на всем пути снизу вверх и обратно.
Сравнить результаты задачи 1.64 и данной задачи.
1.66. Шарик массы т помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и отпущен без толчка. Плотность жидкости в ц раз меньше плотности шарика. При движении 26
шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения: F=—kv.
а) Описать качественно характер движения шарика.
б) Найти зависимость скорости шарика v от времени t.
♦4.67. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями, имеющая длину 1= 1,000 м и массу т — 10,0 г, лежит на горизонтальном столе. Цепочка вытянута в прямую линию, перпендикулярную к краю стола. Конец цепочки свешивается с края стола. Когда длина свешивающейся части составляет ц=0,275 длины I, цепочка начинает соскальзывать со стола вниз. Считая цепочку однородной по длине, найти:
а) коэффициент трения k между цепочкой и столом, б) работу А сил трения цепочки о стол за время соскальзы-. вания, в) скорость v цепочки в конце соскальзывания.
1.68. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями висит вертикально, касаясь нижним концом стола. Масса цепочки т, длина I. В момент t=0 цепочку отпускают. Считая цепочку однородной по длине, найти:
а) мгновенное значение F(f) силы, с которой цепочка действует на стол,
б) среднее значение (F) этой силы за время падения.
1.69. Сила, действующая на частицу, имеет вид F = =пех(Н), где а — константа. Вычислить работу А, совершаемую над частицей этой силой на пути от точки с координатами (1, 2, 3) (м) до точки с координатами (7, 8, 9) (м).
1.70. Частица движется равномерно по окружности. Чему равна работа А результирующей всех сил, действующих на частицу: а) за один оборот, б) за полоборота, в) за четверть оборота?
1.71. Частица перемещается по окружности радиуса г под действием центральной силы F. Центр окружности совпадает с силовым центром. Какую работу А совершает сила F на пути s?
1.72. Тангенциальное ускорение wT частицы массы т, движущейся по некоторой криволинейной траектории, изменяется с расстоянием s, отсчитанным вдоль траектории от некоторого начального положения частицы, по закону ayT=ayx(s). Написать выражение для работы А, совершаемой над частицей всеми действующими на нее силами, на участке траектории от Sj до s2.
1.73. Тело массы т=1,00 кг падает с высоты й=20,0 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) среднюю по времени мощность (/’), развиваемую силой тяжести на пути h,
27
б) мгновенную мощность Р на высоте Л/2.
V 1.74. Брошенный камень массы т поднимается над уровнем, на котором находится точка бросания, на высоту h. В верхней точке траектории скорость камня равна V. Сила сопротивления воздуха совершает над камнем на пути от точки бросания до вершины траектории работу Лсопр. Чему равна работа А бросания камня?
/1.75. Тело массы т брошено под углом а к горизонту с начальной скоростью и0- Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) мгновенную мощность P(t), развиваемую при полете тела приложенной к нему силой,
б) значение мощности Р в вершине траектории,
в) среднее значение мощности (Р)под за время подъема тела,
г) среднее значение мощности (Р)пол за все время полета (точка бросания и точка падения находятся на одном уровне).
1.76. Тело массы т начинает двигаться под действием силы Р=2/ея+3/2еу. Найти мощность P(f), развиваемую силой в момент времени t.
1.3. Энергия
1.77. Найти приращение энергии \Е, если: а) Е1=2 Дж, £2=5 Дж, б) £1=10 Дж, Е2=8 Дж.
1.78. Для указанных в задаче 1.77 начальной Ei и конечной Е2 энергий найти убыль энергии —Д£.
1.79. Первоначально покоившаяся частица, находясь под действием силы F=1 едЧ-Де^+Зег (Н), переместилась из точки (2, 4, 6) (м) в точку (3, 6, 9) (м). Найти кинетическую энергию Т частицы в конечной точке.
1.80. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) (м) в точку 2 с координатами (3, 2, 1) (м).
а) Какая при этом совершается работа Л?
б) Как изменилась кинетическая энергия частицы? 1.81. Доказать соотношение
T^T^A-mVl/2,
где Тя — кинетическая энергия системы материальных точек, определяемая в лабораторной системе отсчета (л-си-стеме), Тц — кинетическая энергия, Определяемая в си
28
стеме центра масс (ц-системе), т — суммарная масса системы, Vc — скорость центра масс в л-системе.
1.82. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением U=1,00х+2,00г/2+ +3,00г3 (U в Дж, координаты в м). Найти работу Д, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,00; 1,00; 1,00) в точку с координатами (2,00; 2,00; 2,00).
Рис. 1.14
1.83. Потенциальная энергия частицы определяется выражением U=a(x2A~y2A~z2), где а — положительная константа. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3,00; 3,00; 3,00) (м). Найти ее кинетическую энергию Т в момент, когда частица находится в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00) (м).
1.84. Два тела соскальзывают без трения и без начальной скорости с наклонных плоскостей 1 и 2 (рис. 1.12).
а) Сравнить скорости тел vx и va в конце соскальзывания.
б) Одинаковы ли времена соскальзывания t± и /2?
1.85. Имеются две наклонные плоскости, совпадающие с хордами одной и той же окружности радиуса R (рис. 1.13). С каждой из них соскальзывает без трения и 6g3. начальной .скорости небольшое тело. Для какой из плоскостей время соскальзывания больше?
1.86. Небольшое тело массы т устанавливают в верхней точке наклонной плоскости высоты h и сообщают ему начальную скорость у0, в результате чего оно начинает сползать по плоскости вниз (рис. 1.14). Поверхность плоскости неоднородна, поэтому скорость сползания изменяется некоторым произвольным образом. Однако в нижней точке плоскости скорость имеет первоначальное значение v0. Какую работу А совершают силы трения на всем пути движения тела?
V 1.87. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы радиуса R вниз (рис. 1.15). На какой
29
высоте ft над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно?
1.88. По желобу, имеющему форму, показанную на рис. 1.16 (горизонтальный участок желоба сдвинут относительно наклонного в направлении, перпендикулярном к рисунку), с высоты h начинает скользить без трения небольшое тело (материальная точка).
Рис. 1.15
Рис. 1.16
а) При каком минимальном значении высоты h тело опишет полную петлю, не отделяясь от желоба?
б) Чему равна при таком значении h сила F давления тела на желоб в точке А?
1.89. Градиент скалярной функции ф в некоторой точке Р представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением 1, вдоль которого функция ф, возрастая по величине, изменяется в точке Р с наибольшей скоростью. Модуль этого вектора равен значению dqtdl в точке Р. Аналитически это можно записать следующим образом:
V<P = ^ez.
1. Исходя из этого определения, найти выражения для: а) уг, б) в) v/(r)> гДе г — модуль радиус-вектора точки Р.
2. Убедиться в том, что такие же выражения получаются с помощью формулы
= -4- —е + —е
ф дх * ду и дг
Ц.90. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a) U— ~atr, б) U=kr%t2, где г — модуль радиус-вектора г частицы; а и k — константы (£>0). Найти силу F, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей при переходе ее из точки (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).
30
1,91. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = a(xly—y/z),
где а — константа. Найти:
а) силу F, действующую на частицу,
б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3).
(,/ 1.92. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид
U = а/г3—Ь/г2,
где а и Ь — положительные константы.
а) Имеется ли у этой частицы положение устойчивого равновесия по отношению к смещениям в радиальном направлении?
б) Нарисовать примерную кривую зависимости U от г.
1.93. Частица движется по окружности в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от силового центра. В каком соотношении находятся в этом случае кинетическая Т, потенциальная U и полная Е энергии частицы?
1.94. Частица массы m находится в силовом поле вида F=—(а/г2)ег (а — положительная константа, г — модуль, а ег — орт радиус-вектора частицы). Частицу поместили в точку с радиус-вектором г0 и сообщили ей начальную скорость v0, перпендикулярную к г0. По какой траектории будет двигаться частица?
1.95. При каком условии траекторией частицы из предыдущей задачи будет окружность?
1.96. Невесомая нерастяжимая нить может скользить без трения по изогнутому желобу (рис. 1.17). К концам нити прикреплены грузы массами т^З.ОО кг и т3=1,00 кг. Груз массы поднимают настолько, чтобы груз массы т2 коснулся пола, и отпускают. Высота йх=1,00 м. На какую высоту h2 над полом поднимется груз массы т2 после того, как груз массы т1 ударится о пол?
1.97. Автомобиль массы т=1,00 т ехал некоторое время по горизонтальному участку дороги с постоянной скоростью 1>=80 км/ч. При въезде на подъем, образующий с горизонтом угол а = 10,0°, для того чтобы сохранить прежнюю скорость, пришлось, «прибавив газ», увеличить вращающий момент, приложенный к ведущим колесам,
Рис. 1.17
31
в у] =6,20 раза. Считая силу F сопротивления воздуха движению автомобиля пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент k в формуле F=kv2. Трением в шинах пренебречь.
1.98. По резиновому шнуру, подвешенному одним концом к кронштейну (рис. 1.18), может скользить с неза-п висящим от скорости трением муфта массы т— и|=р =0,300 кг. Трение характеризуется силой F= =0,294 Н. Длина недеформированного шнура /о=1,ОО м, коэффициент пропорциональности между упругой силой и удлинением шнура k— =560 Н/м. На нижнем конце шнура имеется
I упор. Муфту поднимают в крайнее верхнее положение и отпускают. Пренебрегая внутренним трением в шнуре, размерами муфты, а также Рис. 1.18 массами шнура и упора, определить:
а) удлинение шнура Д/ в момент достижения муфтой упора,
б) скорость муфты v в этот момент, в) максимальное удлинение шнура Д/тах.
1.4. Импульс
1.99. Система состоит из частицы 1 массы 0,100 г, частицы 2 массы 0,200 г и частицы 3 массы 0,300 г. Частица 1 помещается в точке с координатами (1,00; 2,00; 3,00), частица 2 — в точке с координатами (2,00; 3,00; 1,00), частица 3 — в точке с координатами (3,00; 1,00; 2,00) (значения координат даны в метрах). Найти радиус-вектор гс центра масс системы и его модуль.
1.100. Из астрономических наблюдений установлено, что называемый барицентром центр масс системы Земля — Луна расположен внутри земного шара на расстоянии цЛз °т центра Земли (г]=0,730, 7?3— радиус Земли). Считая известными массу Земли т3, радиус Земли 7?3 и средний радиус лунной орбиты R, вычислить массу Луны шл. Сравнить полученное значение с табличным.
1.101. Однородный круглый конус имеет высоту h. На каком расстоянии I от вершины находится его центр масс?
1.102. Чему равен импульс р системы частиц в системе их центра масс?
1.103. Как ведет себя центр масс, если суммарный импульс системы частиц равен нулю?
1.104. Система взаимодействующих тел находится в поле сил тяжести вблизи поверхности Земли. Как ведет себя ‘
32
центр масс системы? Сопротивлением воздуха пренебречь.
11.105. Тело массы т бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Спустя время т тело упало на Землю. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) приращение импульса тела Др за время полета, б) среднее значение импульса (р) за время т.
V 1.106. Частица массы т движется в плоскости х, у под действием постоянной по модулю силы F, поворачивающейся в этой плоскости по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью (о. В начальный момент времени сила направлена по оси х, скорость частицы равна v0. Найти импульс частицы р в момент времени t.
1. 107. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль прямой, проходящей через их центры. Масса и скорость первого шара равны 4,00 кг и 8,00 м/с, второго шара — 6,00 кг и 2,00 м/с. Как будут двигаться шары после абсолютно неупругого соударения?
1. 108. Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До удара шар массы т2 неподвижен, шар массы mj движется с некоторой скоростью. Какая часть ц первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если: а) т^-т-г, б) m^O.l m2, в) m^lO m2?
1. 109. Шар массы т1 совершает центральный абсолютно упругий удар о покоящийся шар массы т2.
а) При каком соотношении масс т1 и т2 первый шар полетит после удара в обратном направлении?
б) Что происходит с первым шаром, если массы шаров одинаковы?
в) Что происходит с первым шаром, если
1. 110. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль оси х. Масса первого шара /п^ОДОО кг, масса второго шара т2=0,300 кг. До столкновения проекции скоростей шаров на ось равны: и1О=1,00 м/с, и20=—1,00 м/с. Найти проекции скоростей шаров vlx и и2ж после их центрального абсолютно упругого соударения.
1. 111. Шар массы тг, движущийся со скоростью v0, ударяет о неподвижный шар массы т2. После абсолютно упругого соударения шары летят со скоростями Vj и v2 в направлениях, указанных на рис. 1.19.
1. При каком соотношении масс и т2 возможны случаи: а) а=л/2, б) а=р=^0, в) а=р=0, г) а=л, р=0?
2. Возможен ли случай р=л/2?
3. Чему равно при а=л/2 предельное возможное значение угла р?
2 И. В. Савельев
33
4. Какую относительную долю г] своей кинетической энергии передает первый шар второму в случаях: а) а=л/2, б) а = Р=/=0, в) а = р=0, г) а=л, р=0?
5. Сравнить результаты п. 4а — г.
6. Чему равно предельное значение г] в случае 46?
7. При каких значениях тъ т2 и р первый шар после удара покоится?
8. Найти угол р в случае, если: а) а=л/2 и /и^О.ЭЭ т2, б) а=р=/=0 и m!=/n2.
9. Сравнить угол разлета шаров (т. е. «+Р) в случаях 8а и 86.
10. Доказать, что в случае ш1=/и2 при любом значении а (в пределах 0<а<л/2) угол разлета шаров равен л/2.
1.1 12. Два одинаковых шара претерпевают центральный удар. До удара второй шар неподвижен, первый движется со скоростью и0- Характер удара т,£) таков, что потеря энергии состав-v т Л ляет т1'ю часть той, которая имела
—£----" бы место при абсолютно неупругом
X ударе.
у 1- Определить скорости шаров Х2 Vj и и2 после удара.
Рис- 1>1Э 2. Исследовать случаи: а) т|=1,
б) т]=0.
1.113. Вычислить скорости шаров из задачи 1.112 для значений ц, равных: а) 0,1, б) 0,5, в) 0,9. Сравнить полученные результаты.
V 1.114. Расшалившиеся дети бросили мяч вслед проехавшему мимо грузовому автомобилю. С какой скоростью v отскочит мяч от заднего борта грузовика, если скорость автомобиля ц=7,0 м/с, скорость vB мяча непосредственно перед ударом равна 15,0 м/с и направлена по нормали к поверхности борта. Удар считать абсолютно упругим.
1.115. Протон начинает двигаться по направлению к свободной покоящейся альфа-частице «из бесконечности» (т. е. с расстояния, при котором взаимодействие между протоном и альфа-частицей пренебрежимо мало) со скоростью ио=1,00-10° м/с. Считая «соударение» центральным, определить, на какое минимальное расстояние rmin сблизятся частицы.
При решении задачи учесть, что взаимная потенциальная энергия двух точечных зарядов и q2, находящихся на расстоянии г друг от друга, равна U=kq1qi!r (ср. с выражением U=—ym^trijr для взаимной потенциальной энергии двух тяготеющих друг к другу точечных масс), 34
в СИ числовое значение коэффициента пропорциональности k равно 9-109. Заряд протона равен +е, заряд альфа-частицы равен +2е, где е — элементарный заряд. Масса протона тр=1,67-10"27 кг, масса альфа-частицы та= =6,64-10-27 кг.
V 1.116. Водометный двигатель катера забирает воду из реки и выбрасывает ее со скоростью « = 10,0 м/с относительно катера назад. Масса катера /14 = 1000 кг. Масса ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и равна т— = 10,0 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить:
а) скорость катера v спустя время /=1,00 мин после начала движения,
б) какой предельной скорости г?гаах может достичь катер.
1.5. Момент импульса
1.117. Сила с компонентами (3, 4, 5) (Н) приложена к точке с координатами (4, 2, 3) (м). Найти:
а) момент силы N относительно начала координат, б) модуль вектора N,
в) момент силы Л'\ относительно оси г.
Н 1.118. Вращение от двигателя к ведущим колесам автомобиля передается через ряд устройств, одно из которых, называемое едеплепием, позволяет в случае надобности отключить двигатель от остальных устройств. Сцепление в принципе состоит из двух одинаковых фрикционных накладок, прижимаемых друг к другу сильными пружинами. В автомобиле «Жигули» фрикционные накладки имеют форму колец с внутренним диаметром dx= 142 мм и наружным диаметром d2=203 мм. Коэффициент трения накладки по накладке k=0,35. Найти наименьшую силу F, с которой нужно прижимать накладки, чтобы передать вращающий момент 7V=100 Н-м.
1.119. Тело массы т—\ ,00 кг брошено из точки с координатами (0, 2, 0) (м) вверх по вертикали с начальной скоростью уо=1О,О м/с. Найти приращение момента импульса ДМ относительно начала координат за все время полета тела (до возвращения в исходную точку). Ось z направлена вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.120. Тело массы т брошено с начальной скоростью v0, образующей угол а с горизонтом. Приняв плоскость, в которой движется тело, за плоскость х, у и направив ось у вверх, а ось х — по направлению движения, найти 2* 35
вектор момента импульса тела М относительно точки бросания в момент, когда тело находится в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.121. Две частицы движутся равномерно в противоположных направлениях вдоль параллельных прямоли-। । нейных траекторий (рис. 1.20). Рассто-
! п I яние между траекториями равно I. На
J ® I рисунке п обозначает направленную за
| чертеж нормаль к плоскости, в кото-
а ъг рой лежат траектории частиц. Найти:
। а) суммарный импульс частиц р,
|ft . । б) суммарные моменты и М2 им-
। । пульса частиц, взятые относительно ука-
1 1 занных на рисунке точек OL и О2.
Рис< 1,20 Рассмотреть два случая: 1. Импульсы частиц различны по модулю. 2. Модули импульсов частиц одинаковы: р±= р%=р.
1.122. Имеется замкнутая система, состоящая из п взаимодействующих частиц. Вследствие взаимодействия между частицами их импульсы рп р2, . . ., рп являются функциями времени: р,=рг(О- Однако в силу замкнутости системы 2 Pi — const. Доказать, что в случае, когда суммарный импульс системы равен нулю, момент импульса системы не зависит от выбора точки, относительно которой он берется.
.1.123. Доказать соотношение
Мо — Мс -| [Rcp],
где Мо — момент импульса системы материальных точек относительно начала О лабораторной системы отсчета (л-си-стемы), Мс — момент импульса относительно центра масс С (собственный момент импульса), Rc — радиус-вектор центра масс в л-системе, р —• суммарный импульс системы точек, определенный в л-системе.
1.124. Небольшое тело (материальная точка) массы т начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости (рис. 1.21). Буквой п обозначена на рисунке нормаль, направленная за чертеж. Найти выражения для:
а) момента N результирующей силы, действующей на тело, относительно точки О,
б) момента импульса М(/) тела относительно точки О.
1.125. Материальная точка (частица) массы т брошена под углом а к горизонту с начальной скоростью v0. Траектория полета частицы лежит в плоскости х, у (рис. 1.22;
36
ось z направлена «на нас»). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени:
а) момента N силы, действующей на частицу, б) момента импульса частицы М.
Оба момента берутся относительно точки бросания.
1.126. Тело массы т=0,100 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью v0= =20,0 м/с. Найти модуль приращения момента импульса тела |АМ| относительно точки бросания за первые т=5,00 с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.127. Четыре одинаковых шара массы т=0,300 кг каждый объединены попарно с помощью невесовых стержней длины /=1,000 м в две гантели. Размеры шаров много меньше /, поэтому их можно считать материальными точками. Гантели движутся поступательно навстречу друг другу с одинаковой скоростью и=1,000 м/с (рис. 1.23). Считая удар шаров мгновенным и абсолютно упругим,
а) охарактеризовать движение гантелей после соударения,
б) найти угловую вращения гантелей,
в) определить время это вращение,
г) охарактеризовать времени .
1.128. Решить задачу 1.127, считая удар абсолютно
скорость О)
т, в течение
Рис. 1.23
>т
'и
коротого происходит
движение гантелей по истечении
т с
U 4
и т
и
<т
I
неупругим.
а) Охарактеризовать движение гантелей после удара.
б) Найти скорость vc, с которой движутся центры гантелей.
в) Вычислить угловую скорость со вращения гантелей,
г) Определить, как изменяется механическая энергия Е системы.
37
1.129. Имеется система из двух гантелей, аналогичная описанной в задаче 1.127. Первоначально левая гантель покоится, а правая движется поступательно со скоростью 2и (рис. 1.24). Ответить на вопросы, сформулированные в задаче 1.127.
1.130. Решить задачу, аналогичную задаче 1.128, с тем лишь отличием, что первоначально левая гантель покоится, а правая движется поступательно со скоростью 2и.
1.131. Наибольшее расстояние от Солнца до Земли /?тах=1,52-1011 м, наименьшее Дга1П= 1,47 • 1011 м, среднее расстояние /?=1,495-1011 м. Исходя из этих данных, найти среднюю <v>, максимальную игоах и минимальную v min скорости движения Земли по ее орбите. Сравнить максимальную и минимальную скорости со средней.
1.132. Чему равна приведенная масса р. системы из двух частиц одинаковой массы ш?
1.133. Найти приближенное значение приведенной массы р частиц с массами т и М для случая, когда ш<Л1.
1.6. Неинерциальные системы отсчета
1.134. Относительно горизонтально расположенного диска, вращающегося с угловой скоростью <оо, тело, лежащее на диске, находится в покое. Масса тела равна т, расстояние от оси вращения г.
а) Какие силы действуют на тело в неподвижной системе отсчета?
б) В какой системе отсчета к предыдущим силам добавится только центробежная сила инерции?
в) В какой системе отсчета появится еще и сила Кориолиса?
1.135. Какую мощность Р развивает сила Кориолиса?
1.136. Какую работу А совершает над частицей кориолисова сила при перемещении частицы относительно вращающейся системы отсчета из точки 1 в точку 2?
1.137. Движение частицы массы т~ 10,0 г рассматривается в системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной системы с угловой скоростью <о = 10,0 рад/с. Какую работу А совершают, над частицей силы инерции при перемещении ее из точки, отстоящей от оси вращения на
28
расстояние /?!=1,00 м, в точку, отстоящую на расстояние /?2=2,00 м?
1.138. Небольшое тело падает без начальной скорости на Землю на экваторе с высоты h—10,0 м. В какую сторону и на какое расстояние х отклонится тело от вертикали за время падения т? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сравнить най- # денное значение х с разностью As 5 ]
путей, которые пройдут вследствие / ! \
вращения Земли за время т точка, / находящаяся на высоте/г, и точка, на- I I
ходящаяся на земной поверхности. \ L /
1.139. Имеется горизонтально рас- \ у /
положенное ружье, дуло которого s'
совпадает с осью вертикального ци-
линдра (рис. 1.25). Цилиндр враща- Рис' !-25 ется с угловой скоростью и.
а) Считая, что пуля, выпущенная из ружья, летит горизонтально с постоянной скоростью v, найти смещение s точки В цилиндра, в которую попадет пуля, относительно точки А, которая находится против дула в момент выстрела. Решить задачу двумя способами: в неподвижной, системе отсчета и в системе отсчета, связанной с цилиндром.
б) Зависит ли результат от того, вращается ружье вместе с цилиндром или неподвижн)?
1.140. На широте <р=45° из ружья, закрепленного горизонтально в плоскости меридиана, произведен выстрел по мишени, установленной на расстоянии /=100,0 и от дула ружья. Центр мишени находится на оси ружейного ствола. Считая, что пуля летит горизонтально с постоянной скоростью ц=500 м/с, определить, на какое расстояние и в какую сторону отклонится пуля от центра мишени, если выстрел произведен в направлении: а) на север, б) на юг.
1.141. Электровоз массы т=184-103 кг движется вдоль меридиана со скоростью ц=20,0 м/с (72 км/ч) на широте <р=45°. Определить горизонтальную составляющую F силы, с которой электровоз давит на рельсы.
1.142. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью о». По диску движется равномерно на неизменном расстоянии от оси вращения частица. Найти мгновенное значение:
а) скорости частицы v' относительно диска, при которой сила Кориолиса будет уравновешиваться центробежной
39
силой инерции. Выразить v' через мгновенное значение радиус-вектора г, проведенного к частице из центра диска, б) скорости частицы v относительно неподвижной системы отсчета при тех же условиях.
1.143. Горизонтально расположенный стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец, с угловой скоростью со = 1,00 рад/с. Расстояние от оси до другого конца стержня /=1,00 м. На стержень надета муфта массы /п=0,100 кг. Муфта закреплена с помощью нити на расстоянии /о=О,1ОО м от оси вращения. В момент /=0 нить пережигают и муфта начинает скользить по стержню практически без трения. Найти:
а) время т, спустя которое муфта слетит со стержня,
б) силу F, с которой стержень действует на муфту в момент т,
в) работу А, которая совершается над муфтой за время т в неподвижной системе отсчета.
1.144. Горизонтально расположенный диск вращается с угловой скоростью <о. Вдоль радиуса диска движется частица массы т, расстояние которой от центра диска изменяется со временем по закону r=at (а — константа). Найти результирующий момент N сил, действующих на частицу в системе отсчета, связанной с диском. Имеется в виду момент относительно центра диска.
1.145. Имеется система отсчета, вращающаяся относительно инерциальной системы вокруг оси z с постоянной угловой скоростью со. Из точки О, находящейся на оси z, вылетает в перпендикулярном к оси направлении частица массы т и летит относительно инерциальной системы прямолинейно с постоянной скоростью V. Найти наблюдаемый во вращающейся системе отсчета момент, импульса М(/) частицы относительно точки О. Показать, что возникновение М(/) обусловлено действием силы Кориолиса.
1.7. Механика твердого тела
1.146. Тело произвольной формы вращается вокруг оси 00 с угловой скоростью <о. Доказать, что угловая скорость вращения тела вокруг любой другой оси 0'0', параллельной оси 00, также равна ш.
1.147. Точка 1 тела, вращающегося с угловой скоростью ш, имеет в некоторый момент времени скорость vx. Найти для того же момента времени скорость у2-точки 2, смещенной относительно точки 1 на г12.
40
1.148. Тело совершает плоское движение в плоскости х, у. Центр масс тела С перемещается вдоль оси X с постоянной скоростью v0. В момент t=Q центр масс совпадал с началом координат О. Одновременно тело вращается в указанном на рис. 1.26 направлении со скоростью <о.
Рис. 1.26
Записать выражение для радиус-вектора г точки пересечения мгновенной оси вращения тела с плоскостью х, у.
1.149. Балка массы /тг=300 кг и длины /=8,00 м лежит на двух опорах (рис. 1.27). Расстояния от концов балки до опор: /,=2,00 м, /2= 1,00 м. Найти силы Л и F2, с которыми балка давит на опоры.
f 1.150. Лестница длины /=5,00 м и массы /тг=11,2 кг прислонена к гладкой стене под углом а=70° к полу (рис. 1.28). Коэффициент трения между лестницей и полом /з=0,29. Найти:
а) силу Fj, с которой лестница давит на стену,
б) предельное значение угла а0, при котором лестница начинает скользить.
1.151. Протяженное тело произвольной формы брошено под некоторым углом к горизонту. Как движется центр масс тела в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь?
41
( 1.152. Невесомая нерастяжимая нить скользит без трения по прикрепленному к стене желобу (рис. 1.29) под действием грузов, массы которых tn1 = 1,00 кг и т2=2,00 кг. С каким ускорением wc движется при этом центр масс грузов?
1.153. На рис. 1.30 изображены две частицы 1 и 2, соединенные жестким стержнем. Могут ли скорости частиц быть такими, как на рисунке? Частицы и скорости лежат в плоскости рисунка.
+ 1.154. Две частицы (материальные точки) с массами тг и т2 соединены жестким невесомым стержнем длины I. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через цешр масс.
1.155. Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы т и радиуса R относительно оси цилиндра.
1.156. Плотность цилиндра длины /=0,100 м и радиуса R=0,0500 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения рх=500 кг/м3 до значения р2=Зр1=1500 кг/м3. Найти:
а) среднюю по объему плотность (р)у цилиндра; сравнить ее со средней по радиусу плотностью (р)г,
б) момент инерции I цилиндра относительно оси; сравнить его с моментом инерции Г однородного цилиндра такой же массы и размеров.
1.157. Найти момент инерции I однородного шара радиуса R и массы т относительно оси, проходящей через центр шара.
1.158. Прямой круглый однородный конус имеет массу т и радиус основания R. Найти момент инерции I конуса относительно его оси.
1.159. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длины / и массы т относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через: а) центр масс стержня, б) конец стержня.
1.160. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массы т, длины а и ширины b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через: а) центр пластинки, б) одну из вершин пластинки.
Сравнить полученные результаты с ответом к предыдущей задаче.
1.161. Найти момент инерции I однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба т, длина ребра а.
42
1.162. Можно доказать, что момент инерции всякого тела, вычисленный относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, связан с главными моментами ицер-ции 1Х, 1У, Iz (т. е. моментами инерции относительно главных осей) соотношением
I — Ix cos2 а +1у cos2 0 + Iz cos2 у, где а, р, у — углы, образованные данной осью с осями х, у, z. Основываясь на этом, показать, что момент инерции однородного куба относительно любой оси, проходящей через его центр, одинаков (как и у шара!).
1.163. Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной а, относи-тельно’оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамиды равна т.
1.164. Найти отношение моментов инерции:
а) пирамиды (с квадратным основанием) и конуса одинаковой высоты, плотности и массы,
б) куба и шара одинаковой плотности и массы (у куба, как и у шара, момент инерции относительно любой проходящей через центр оси одинаков; см. задачу 1.162).
Имеются в виду оси, проходящие через вершину и центр основания в случае а) и проходящие через центр в случае б).
+1.165. Найти главные моменты инерции тонкого однородного диска массы т и радиуса R. Иметь в виду, что вычисление целесообразно производить в полярных координатах г и <р.
1.166. Вычислить момент инерции однородного круглого прямого цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии цилиндра и проходящей через его центр. Масса цилиндра т, радиус R, высота h. Сравнить полученный результат с ответами к задачам 1.159 и 1.165. Рассмотреть предельные случаи: R<^h и h<^R.
1.167. Имеется однородный прямой круглый цилиндр. При каком отношении высоты цилиндра h к его радиусу R все три главных момента инерции будут одинаковыми? + 1.168. Найти момент инерции однородного тела, имеющего форму диска, в котором сделан квадратный вырез. Одна из вершин выреза совпадает с центром диска. Радиус диска R=20,0 см, сторона квадрата а=10,0 см, масса тела т=5,00 кг. Имеется в виду момент относительно оси, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр.
1.169. Имеется однородная тонкая пластинка, ограниченная контуром произвольной формы. Через одну из точек пластинки проведены три взаимно перпендикуляр
43
ные реи, две йз кагорах — х и у — лежат в плоскости пластинки, а ось z перпендикулярна к этой плоскости. Ндйт.и соотношение между моментамй инерции 1Х, 1У и /г пластинки отнбейтельно этих осей,
1.170. Использовать ответ предыдущей задачи для нахождения момента инерции / тонкого однородного диска относительно оси, лежащей в плоскости диска и проходящей через его центр. Масса и радиус диска равны соответственно т. и R. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска, считать известным. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 1.165.
1.171. Однородная пластина имеет длину ц=20,0 см, ширину Ь = 10,0 см и толщину с=5,00 см. Масса пластины т=2,70 кг. Начало координат Помещено в центр пластины, ось х направлена параллельно стороне а, ось у — параллельно стороне Ь, ось z — параллельно стороне с. Найти относительно этой системы координат компоненты тензора инерции пластины и написать сам тензор.
1.172. Имеются вектор а с компонентами ах=1, ау=2, az --3 и тензор второго ранга Т, все компоненты которого одинаковы и равны Tik=l. Найти компоненты вектора Ь, получающегося в результате умножения вектора а на тензор Т (Ь=Та).
1.173. Имеются произвольный вектор а с компонентами аж, пу, az и тензор второго ранга Е, определяемый таблицей
/1 ° °\
Е= 0 1 0 )
\0 0 1/
(такой тензор называют единичным). Найти вектор Ь, получающийся в результате умножения вектора а на тензор Е (Ь=Еа).
1.174. Вычислить компоненты тензора инерции и написать сам тензор для однородного шара радиуса R = 10,0 см и массы /72=25,0 кг для случая, когда начало координат помещается в центре шара.
1.175. В каких случаях момент импульса М и угловая скорость © вращающегося тела коллинеарны?
1.176. В каких случаях уравнение динамики вращательного движения может быть представлено в виде /©=N?
1.177. В каких случаях кинетическая энергия вращающегося тела определяется выражением 71=/©2/2?
1.178. Пластина из задачи 1.171 вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Компоненты угловой скорости ®»=®i,=<j)z=l,00 рад/с. Найти:
44
а) модуль момента импульса пластины М и угол а между векторами а и М, <
б) кинетическую энергию Т пластины.
1.179. Две частицы одинаковой массы ш, находящиеся все время на противоположных концах диаметра (рис. 1.31), движутся по окружности радиуса г с ОДИНаКОВЫМИ ПО МОДУЛЮ СКОрОСТЯМИ Vj
и va [v1=v2=v(t)]. 'у
а) Определить суммарный момент / \ \
импульса М частиц относительно про- I \ /
извольной точки О (не обязательно ле- \ \/
жащей в плоскости окружности). Выра- О зить М через угловую скорость ю (/), с * которой поворачивается диаметр, соеди- 2
няющий частицы. Рис- 1,31
б) Зависит ли М от выбора точки О?
1.180. Однородный шар радиуса R и массы т вращается с угловой скоростью ® вокруг оси, проходящей через его центр. Найти момент импульса М шара относительно произвольной точки 0 (рис. 1.32).
Рис. 1.32
Рис. 1.33
VI. 181. Тело произвольной формы падает, вращаясь, в однородном поле сил тяжести. Сопротивление среды отсутствует. Как ведет себя собственный момент импульса тела? (См. задачу 1.123.)
1.182. Однородный цилиндр массы т и радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью Vo (рис. 1.33). Найти модуль момента импульса цилиндра относительно точек 1, 2 и 3, которые лежат в перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр.
1.183. Вычислить момент импульса Земли Мо, обусловленный ее вращением вокруг своей оси. Сравнить этот момент с моментом импульса М, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли — окружностью.
45
Рис. 1.34
1.184. Горизонтально расположенный однородный цилиндр радиуса R вращается без трения вокруг оси, совпадающей с одной из его образующих.
а) Указать положения цилиндра, в которых модуль углового ускорения цилиндра р максимален и минимален.
б) Найти максимальное и минимальное значения р.
1.185. На горизонтальном столе лежат два тела, которые могут скользить по столу без трения. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.34). Такая же нить,
переброшенная через блок, связывает тело 2 с грузом массы /л=0,500 кг. Блок представляет собой однородный сплошной цилиндр. Масса тел и блока одинакова п равна М = 1,00 кг.
а) Считая, что блок вращается без трения, а нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел ю, натяжение F12 нити, связывающей оба тела, натяжение нити F2 па участке от тела 2 до блока, натяжение нити Fm на участке от блока до груза т.
б) Определить те же величины, предполагая, что блок не вращается, а нить скользит по нему без трения. Сравнить полученные результаты.
1.186. Доказать, что потенциальная энергия тела произвольной формы, находящегося вблизи поверхности Земли, равна mgh, где т — масса тела, h. — высота центра масс тела над уровнем, принятым за пулевой.
1.187. Топкий стержень длины 7=1,00 м и массы т= =0,600 кг может вращаться без трения вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси, отстоящей от центра стержня на расстояние д=0,100 м. Стержень приводится в горизонтальное положение и Отпускается без толчка с нулевой начальной скоростью. Определить:
а) угловое ускорение стержня ро и силу давления Fo на ось в начальный момент времени,
б) угловую скорость а> и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем положения равновесия.
1.188. Тонкий стержень массы т=0,200 кг и длины /— = 1,00 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Трение в оси создает постоянный по модулю вращающий момент N. Выберем в качестве координаты, определяющей 46
положение стержня, угол <р между стержнем и вертикалью, отсчитываемый от верхнего положения стержня. При значении этого угла, равном сро=10,0°, стержень начинает самопроизвольно поворачиваться. Найти:
а) угловую скорость и стержня в момент, когда стержень проходит через нижнее положение,
б) модуль момента импульса М стержня в этот момент.
+1.189. Столб высоты й=3,00 м и массы т=50,0 кг падает из вертикального положения на Землю. Определить модуль момента импульса М столба относительно точки опоры и скорость v верхнего конца столба в момент удара о Землю.
Рис. 1.35
Л-1.190. Линейка массы т=0,1200 кг и длины /=1,000 м лежит на гладком столе. По точке, отстоящей от центра линейки на расстояние а=40,0 см (рис. 1.35), наносится удар, при котором линейке сообщается импульс р— =7,50-10~2 кг-м/с. Считая удар «мгновенным» и пренебрегая трением,
а) найти расстояние х от центра линейки до точки О, которая не «почувствует» удара,
б) определить, как движется линейка непосредственно после удара.
1.191. Однородный шарик помещен на плоскость, образующую угол а=30,0° с горизонтом (рис. 1.36).
1. При каких значениях коэффициента трения k шарик будет скатываться с плоскости без скольжения?
2. Полагая £=0,100, а) определить характер движения шарика, б) найти значения скоростей точек Л, В и С шарика спустя /=1,00 с после начала движения.
1.192. Однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он начинает катиться без скольжения вверх по наклонной плоскости со скоростью о0==> =3,00 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол a=20,0Q. + а) Сколько времени /х будет двигаться цилиндр до остановки?
47
б) На какую высоту h поднимется цилиндр?
в) Сколько времени t2 затратит цилиндр на скатывание вниз до исходного положения?
г) Какую скорость v имеет цилиндр в момент возвращения в исходное положение?
Сравнить полученные результаты с ответом к задаче 1.64.
1.193. Решить задачу 1.192 в предположении, что на цилиндр действует постоянный по модулю момент силы трения качения ЛСр=0,100 Н-м. Масса цилиндра /п=
F =1,00 кг, радиус р =0,100 м. Помимо указанных в предыдущей задаче ве-| личин, определить:
V д) какую работу А совершает си-
ла трения качения на всем пути сни-р* ' , 37' зу вверх п обратно.
‘ ' Сравнить полученные результаты
с ответами к предыдущей задаче и к задаче 1.65.
1.194. На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой т=50,0 г, а момент инерции относительно ее оси /=5,00- 10'6 кг-м2. На катушку намотана практически невесомая и нерастяжпмая нить (рис. 1.37). Радиус внешнего слоя витков г=2,00 см, радиус торцов катушки 7?=3,00 см. Коэффициент трения между катушкой и плоскостью £=0,200. За нить тянут с силой F.
1. Найти условие для силы F, при котором катушка катится по плоскости без скольжения.
Рис. 1.39
2. Как ведет себя катушка, если сила F и угол а имеют значения: a) F=0,128 Н, а=30,0°, б) F=0,100 Н, а=48,2°, в) F=0,100 Н, а=30,0°, г) F=0,100 Н, а=60,0°?
Для всех случаев определить wx — проекцию на ось х ускорения оси катушки.
48
У1.195. Однородный сплошной цилиндр массы 7П=1,00 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис. 1.38). Цилиндр отпускают без толчка.
а) За сколько времени t цилиндр опустится на расстояние /г=50,0 см?
б) Какое натяжение F испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?
1.196. Блок радиуса R может вращаться вокруг своей оси с трением, характеризуемым вращающим моментом jVtp, который не зависит от скорости вращения блока. На блок намотана прикрепленная к нему одним концом практически невесомая нерастяжимая нить, к другому концу которой подвешен груз массы т (рис. 1.39). Груз отпускают без толчка и он начинает опускаться, раскручивая блок. Найти момент импульса M(t) этой системы тел относительно оси блока спустя время t после начала ее движения.
1.197. Найти момент импульса М относительно оси блока и кинетическую' энергию Т системы из предыдущей задачи в момент, когда скорость груза массы т равна v. Момент инерции блока принять равным /.
/ 1.198. Имеются два одинаковых однородных диска. Один из них может вращаться без трения вокруг вертикальной фиксированной оси, проходящей через его центр. Этот диск первоначально неподвижен. Второй диск раскручивают, сообщив ему угловую скорость со0, и роняют в горизонтальном положении на первый диск так, что край одного из дисков совпадает с центром другого. Придя в соприкосновение, диски мгновенно склеиваются. Определить:
а) угловую скорость а>, с которой будет вращаться образовавшаяся система,
б) как изменится кинетическая энергия дисков.
V 1.199. Горизонтально расположенный деревянный стержень массы т=0,800 кг и длины /=1,80 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массы т' =3,00 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью и=50,0 м/с. Определить угловую скорость со, с которой начинает вращаться стержень.
1.200. Решить задачу 1.199, заменив пулю пластмассовым шариком такой же массы и движущимся с той же скоростью. Удар считать абсолютно упругим. Определить:
а) угловую скорость © стержня,
б) скорость V1 шарика после удара.
49
Результат, полученный для <в, сравнить с ответом к задаче 1.199.
1.201. Горизонтальный диск массы т и радиуса R может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На краю диска стоит человек массы т'. Вначале диск и человек неподвижны. Затем человек начинает идти по краю диска со скоростью v' относительно диска. С какой скоростью о вращается при этом диск относительно неподвижной системы отсчета? Размерами человека по сравнению с R можно пренебречь.
1.202. Тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью w=w(/). На тело действует момент сил Nz=Nz(t). Напи-___ сать выражение для работы, совершенной
приложенными к телу силами за промежу-I X?_____\ , ток времени от tx до t2.
I ~ j 1.203. Расположенный горизонтально \. J однородный круглый цилиндр массы т= = 10,00 кг вращается без трения вокруг Рис. 1.40 своей оси под действием груза массы т' = = 1,000 кг, прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти кинетическую энергию Т системы спустя ^=3,53 с после начала движения.
1.204. Вытащенное из колодца ведро с водой уронили, и оно стало опускаться вниз, раскручивая ворот. Трение в подшипниках ворота создает постоянный вращающий момент M=0,170 Н-м. Масса ведра с водой т=13,2 кг. Масса ворота т'=43,1 кг, радиус ворота г=12,8 см. Расстояние от края сруба до поверхности воды в колодце /г=7,0 м. Определить:
а) по какому закону изменяется со временем угловая скорость со вращения ворота,
б) натяжение веревки F во время опускания ведра, в) через сколько времени t ведро коснется воды в колодце,
г) какую скорость v будет иметь ведро в конце падения, д) какую работу А совершают силы трения за время падения ведра.
Ворот считать сплошным однородным цилиндром. Массой и толщиной веревки, массой рукоятки ворота, а также сопротивлением воздуха пренебречь.
1.205. Расположенный горизонтально однородный цилиндр радиуса R может вращаться вокруг оси, совпадающей с его геометрической осью. Трение в оси создает не зависящий от скорости вращения момент Мтр. К цилиндру 50
прикреплена точечная масса т' (рис. 1.40). Цилиндр устанавливают так, чтобы масса оказалась на уровне осп, и отпускают без толчка. Определить, при каком значении т’\ а) цилиндр придет во вращение,
б) сделав 1/4 оборота, цилиндр остановится.
1.2GS. Диск массы т и радиуса R первоначально вращается вокруг своей оси с угловой скоростью и. Под действием внешних сил диск останавливается. Чему равна работа А внешних сил?
1.267. Однородный цилиндр массы т и радиуса R вращается вокруг своей оси. Угловая скорость цилиндра изменяется за время I от значения до значения <в2. Какую среднюю мощность (Р) развивают силы, действующие на цилиндр?
1.208. Ротор некоторого агрегата снабжен дисковым тормозом. Этот тормоз состоит из двух дисков радиуса Р = = 150 мм, один из которых закреплен на конце оси ротора, а другой, лишенный возможности вращаться, может прижиматься к первому с силой Р=100 Н. Тормоз включают в момент, когда ротор вращается по инерции со скоростью и =50,0 рад/с (трением в подшипниках можно пренебречь). Момент инерции ротора вместе с укрепленным'на нем диском тормоза /=0,628 кг-м2. Коэффициент трения между поверхностями дисков не зависит от их относительной скорости и равен £=0,250. Считая, что сила F равномерно распределяется по поверхности дисков, определить, сколько оборотов N успеет сделать ротор до остановки.
1.269. Гироскоп в виде однородного диска радиуса /? = =8,00 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со =3,00-102 рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа со' = 1,00 рад/с. Определить расстояние / от точки опоры до центра масс гироскопа. Моментом инерции оси гироскопа пренебречь.
1.210. Гироскоп массы т=1,000 кг, имеющий момент инерции /=4,905-10-3 кг-м2, враш,ается с угловой скоростью а = 100,0 рад/с. Расстояние от точки опоры до центра масс /=5,00 см. Угол между вертикалью и осью гироскопа а =30,0°. Найти:
а) модуль угловой скорости прецессии со',
б) модуль углового ускорения гироскопа 0.
1.211. Поместив начало координат в точку опоры гироскопа и направив ось z вверх по вертикали,
а) найти угловое ускорение 0 гироскопа из предыдущей задачи; считать, что в начальный момент ось гироскопа находилась в плоскости х, z;
51
б) вычислив скалярное произведение <о0, определить, как направлен вектор 0.
1.212. Гироскоп, вращающийся вокруг оси симметрии с угловой скоростью ® = 100 рад/с, прецессирует в поле земного тяготения с угловой скоростью ®' = 1,00 рад/с. Угол между вертикалью и осью гироскопа а=30,0°. Определить угол <р между осью симметрии и направлением угловой скорости гироскопа й (см. задачу 1.49). Решить задачу методом последовательных приближений, положив ф в нулевом приближении равным нулю.
1.8. Всемирное тяготение
1.213. В опыте, аналогичном тому, с помощью которого Кавендиш определил в 1798 г. гравитационную постоянную у, массы малых и больших свинцовых шаров были равны соответственно /«=0,729 кг и /14 = 158 кг. Малые шары были укреплены на легком, подвешенном на стальной проволоке коромысле, длина которого, измеренная между центрами шаров, 7=216 см. Диаметр проволоки равнялся 0,6 мм, длина была около метра. При расстоянии г между центрами малого и соответствующего большого шаров, равном 300 мм, проволока, несущая коромысло с малыми шарами, закручивалась на угол а=39,6". Определенный экспериментально коэффициент пропорциональности k между углом закручивания проволоки и приложенным вращающим моментом равен 1,04-103 рад/(Н-м). Найти значение у.
1.214. С какой силой F притягивают друг друга два одинаковых однородных шара массы т= 1,000 кг каждый, если их центры отстоят друг от друга на расстояние г= = 1,00 м?
1.215. Два одинаковых однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой F. Как изменится сила, если увеличить массу шаров в п раз? Материал, из которого изготовлены шары, предполагается одним н тем же.
1.216. Имеется очень тонкий однородный прямой стержень длины I и массы М. На прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, находится на расстоянии b частица массы т.
а) Найти модуль F силы, с которой стержень действует на частицу, если Ь=1—2а.
б) Исследовать случай Ь^>1.
62
в) Сравнить F с силой F', с которой взаимодействовали бы материальные точки массами М и т, находящиеся на расстоянии Ь=2а друг от друга.
1.217. Решить задачу 1.216, считая, что частица находится на оси стержня, на расстоянии Ь=/=2а от его центра.
1.218. Имеется очень тонкое однородное кольцо массы М и радиуса R. На прямой, перпендикулярной к плоскости кольца и проходящей через его центр, находится на расстоянии х от центра частица массы т. Найти:
а) взаимную потенциальную энергию U (%) частицы и кольца,
б) силу Fx, действующую на частицу со стороны кольца. Силу вычислить двумя способами: 1) путем суммирования элементарных сил, 2) использовав выражение для U(х).
в) Исследовать случай x^§>R.
1.219. Имеется очень тонкий однородный диск радиуса R. Поверхностная плотность (масса единицы площади) диска равна о. На прямой, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, находится на расстоянии b от диска частица массы т. Определить:
а) силу F, с которой диск действует на частицу,
б) при каком условии сила F отличается от своего предельного значения Fm, получающегося при 7?->оо, не более чем на 1 %.
1.220. Имеется бесконечная очень тонкая однородная пластинка с поверхностной плотностью о. На расстоянии b от нее находится частица массы т.
а) Найти модуль F силы, с которой пластинка действует на частицу.
б) Чем примечательно выражение для F?
в) Как изменится результат, если пластинку с пренебрежимо малой толщиной заменить пластиной конечной толщины d, изготовленной из вещества с объемной плотностью р?
1.221. Имеется бесконечная однородная пластина толщины d=0,100 м, плотность которой р=10,0 г/см3. С какой силой F действует эта пластина на находящееся вблизи от нее тело массы т=1,00 кг?
1.222. С какой силой F (в расчете на единицу площади) притягивают друг друга две параллельные бесконечные однородные пластины плотности р —10,0 г/см3 и толщины d—0,100 м каждая?
1.223. Имеется бесконечный очень тонкий однородный прямой стержень с линейной плотностью (массой, прихо
53
дящейся на единицу длины), равной' X. На расстоянии b от его оси находится частица массы т.
а) Найти модуль F силы, с которой стержень действует на частицу.
б) Частица какой массы М, находясь от частицы массы т на расстоянии Ь, действовала бы на нее с такой же силой?
1.224. Как связаны телесный угол dQ и поверхность dS, вырезаемая им на сфере радиуса R, центр которой совпадает с вершиной телесного угла?
1.225. Выразить в сферических координатах элемент поверхности dS сферы радиуса R, центр которой находится в начале координат.
1.226. Выразить в сферических координатах элементарный телесный угол dQ, вершина которого помещается в начале координат.
1.227. Определить гравитационную силу F, которую будет испытывать материальная точка, находящаяся внутри однородного шарового слоя.
1.228. Внутри однородного шарового слоя находится однородный шаровой слой меньшего размера. Центры слоев не совпадают. Чему равна сила F взаимодействия между слоями?
1.229. Имеется очень тонкий однородный слой в виде полусферы радиуса R и массы М. В центре полусферы находится частица массы т. Найти модуль F силы, с которой слой действует на частицу.
1.230. Найти взаимную потенциальную энергию U (г) очень тонкого однородного шарового слоя и частицы массы tn, находящейся на расстоянии г от центра слоя. Масса слоя равна 74, радиус R. Рассмотреть случаи: a) r<ZR, б) r>R.
1.231. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, найти взаимную потенциальную энергию U (г) толстого шарового слоя и частицы массы т, находящейся на расстоянии г от центра слоя. Масса слоя равна М, внутренний радиус Rlt внешний радиус R2.
1. Рассмотреть случаи: a) r<ZRi, б) r>R2.
2. Какое заключение о силе F, действующей на частицу со стороны слоя, можно сделать па основании ответа на п. 1 а?
1.232. С помощью каких данных можно определить массу: а) Земли, б) Солнца?
1.233, Воспользовавшись значениями астрономических величин и физических констант, вычислить массу т и среднюю плотность (р): а) Земли, б) Солнца.
54
1.234. Найти силу F, с которой притягиваются друг к другу: а) Земля и Солнце, б) Луна и Земля. Сравнить эти силы.
1.235. Считая, что Земля движется по круговой орбите, найти ускорение w, сообщаемое Земле Солнцем. Сравнить и» с g.
1.236. Найти первую космическую скорость щ для Земли, т. е. скорость, которую нужно сообщить телу для того, чтобы оно стало спутником Земли.
1.237. Найти вторую космическую скорость v2 для Земли, т. е. наименьшую скорость, которую надо сообщить телу для того, чтобы оно могло преодолеть действие земного притяжения п навсегда покинуть Землю. Сравнить v2 с первой космической скоростью щ.
1.238. В каком случае тело удалится на большее расстояние от Земли: а) при запуске вверх по вертикали со скоростью 10 км/с или б) при запуске под углом к горизонту, равным 5°, со скоростью 12 км/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.239. Определить, при каком радиусе орбиты 7? (в метрах) спутник может двигаться в плоскости экватора так, чтобы все время находиться над одной и той же точкой поверхности Земли. Сравнить 7? с радиусом Земли 7?3.
1.240. Планета движется по круговой орбите. Найти связь между радиусом орбиты R и периодом Т обращения планеты вокруг Солнца.
1.241. Исходя из того, что радиус земной орбиты 7?3 = = 149,6-106 км, а радиус орбиты Марса 7?м=227,8-10s км, найти период обращения Марса вокруг Солнца (выразить его в годах).
1.242. Считая Землю однородным шаром и пренебрегая вращением Земли, найти:
а) ускорение свободного падения g(h) как функцию расстояния h от земной поверхности,
б) значения этого ускорения для h, "равных: 100, 1000, 10 000 км. Выразить найденные значения через g — ускорение вблизи поверхности Земли.
Т 1.243. а) Найти потенциальную энергию U тела массы tn, находящегося на расстоянии h от земной поверхности. Потенциальную энергию на высоте h=Q считать равной нулю.
б) Получить приближенное выражение для U, справедливое при h<^R3 (7?з — радиус Земли).
1.244. Тело запущено с поверхности Земли под углом а=45,0° к горизонту со скоростью ио=5,2О-1О3 м/с. Пре
55
небрегая сопротивлением воздуха и вращением Земли, определить:
а) высоту h, на которую поднимется тело над поверхностью Земли,
б) скорость v тела в верхней точке траектории,
в) радиус кривизны Ккр траектории в верхней точке.
1.245. Считая Землю однородным шаром и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, как будет двигаться небольшое тело, если его уронить в узкий канал, просверленный вдоль земной оси.
1.246. В условиях предыдущей задачи найти:
а) модуль ускорения тела u>(r) как функцию расстояния г от центра земного шара,
б) модуль скорости тела v(r) как функцию г,
в) скорость тела ДО) в момент, когда оно достигает центра Земли; сравнить ДО) с первой космической скоростью Vi (см. задачу 1.236),
г) время т, спустя которое тело вернется в исходную точку; сравнить т с временем tlt за которое тело, движущееся с первой космической скоростью, облетает вокруг Земли,
д) среднюю (по времени) скорость тела (и); сравнить ее с v(0).
1.247. Для тела из задачи 1.245 найти:
а) потенциальную энергию U(г) как функцию расстояния г от центра земного шара (положить потенциальную энергию тела на бесконечно большом удалении от Земли равной нулю),
б) потенциальную энергию С(0), которой обладает тело в центре Земли; сравнить U(0) с потенциальной энергией тела вблизи земной поверхности U(R).
1.248. Введем вращающуюся систему отсчета, ось которой проходит через центр Солнца и перпендикулярна к плоскости земной орбиты. Система вращается в ту же сторону, что и Земля, с угловой скоростью, в два раза большей, чем скорость вращения Земли.
а) Какие силы нужно учесть, рассматривая в этой системе движение Земли относительно Солнца?
б) Вычислить значение и указать направление этих сил. Сравнить их с силой Fg гравитационного притяжения Земли к Солнцу.
1.249. Определить силу F, с которой притягивает к себе Землю небольшое тело массы т, находящееся на экваторе недалеко от поверхности Земли. Ускорение свободного падения на экваторе считать известным и равным gbliB.
56
1.9. Колебательное движение
1.250. Частица колеблется вдоль оси х по закону х= —a cos со/. Построить графики:
а) функций х, х и х в зависимости от t,
б) функций х и х в зависимости от х.
1.251. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой а и периодом Т. Найти:
а), время tY, за которое смещение частицы изменяется от 0 до а/2,
б) время /2> за которое смещение изменяется от а/2 до а.
1.252. Частица колеблется вдоль оси х по закону х= -=0,100 sin 6,28/ (м). Найти среднее значение модуля скорости частицы (и): а) за период колебания Т, б) за первую 1'8 часть Т, в) за вторую 1/8 часть Т. Сопоставить полученные значения:
1.253. Для частицы из задачи 1.252 найти среднее значение вектора скорости (v): а) за период колебания Т, б) за первую четверть Т, в) за вторую четверть Т.
1.254. Как, зная амплитуду смещения а и амплитуду скорости vm, найти частоту гармонического колебания со?
1.255. Как, зная амплитуду скорости vm и амплитуду ускорения wm, найти амплитуду а и частоту со гармонического колебания?
V 1.258. Горизонтальная платформа совершает в вертикальном направлении гармоническое колебание х=а cos со/. На платформе лежит шайба из абсолютно неупругого материала.
а) При каком условии шайба будет отделяться от платформы?
б) В каком положении находится ив каком направлении движется платформа в момент отрыва от нее шайбы?
в) На какую высоту /г будет подниматься шайба над ее положением, отвечающем среднему положению платформы, в случае, если а=20,0 см, со = 10,0 с-1?
1.257. Найти средние значения sin2 х и cos2 х на промежутке от а до а+пл (а — произвольный угол, п — целое число).
1.258. Чему равна при гармоническом колебании работа А квазиупругой силы за время, равное периоду колебаний?
1.259. а) Найти уравнение, связывающее значения импульса рх=гпх со значениями координаты х одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора т, частота ®, амплитуда колебания а.
- , 57
б) Нарисовать кривую, описываемую этим уравнением.
в) Выразить площадь S, ограниченную этой кривой, через энергию осциллятора Е.
1.260. Определить частоту <в малых колебаний частицы из задачи 1.92, возникающих в том случае, если частицу сместить в радиальном направлении из положения устойчивого равновесия. Массу частицы принять равной т.
1.281. а) При какой длине I период колебаний математического маятника будет равен 1 с?
б) Чему равен период колебаний Т математического маятника длины 1=1 м?
1.262. Роль физического маятника выполняет топкий стержень, подвешенный за один из его концов.
а) При какой длине I стержня период колебаний этого маятника будет равен 1 с?
б) Чему равен период колебаний Т при длине стержня в 1 м?
V 1.263. На каком расстоянии х от центра нужно подвесить тонкий стержень заданной длины I, чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной частотой? Чему равно значение согаах этой частоты?
1.264. Найти закон, по которому изменяется со временем натяжение F нити математического маятника, совершающего колебание <p=q?mcos со Л Масса маятника равна т, длина I.
1.265. В неподвижной кабине лифта качается маятник. Вследствие обрыва троса кабина начинает падать с ускорением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва троса он
а) находился в одном из крайних положений,
б) проходил через положение равновесия?
\/ 1.266. В кабине лифта подвешен маятник, период колебаний которого, когда лифт неподвижен, равен То.
а) Каков будет период Т колебаний маятника, если лифт станет опускаться с ускорением, равным 3/4g?
б) С каким ускорением w нужно поднимать лифт для того, чтобы период колебаний маятника был равен 1/2Т0?
1.267. В кабине самолета подвешен маятник. Когда самолет летит без ускорения, маятник качается с частотой СВ0.
а) Какова будет частота св колебаний маятника, если самолет летит с ускорением w, направление которого 'образует с направлением вниз по вертикали угол а?
б) Найти св для случая, когда w~g и сс=л/2.
58
1.268. Найти период колебаний Т математического ма-ятника, длина подвеса которого I равна радиусу Земли 7?3. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 1.246, п.г).
1.269. Физический маятник устанавливают так, что его центр масс располагается над точкой подвеса. Из этого положения маятник начинает двигаться без трения с нулевой начальной скоростью. В момент прохождения через нижнеа положение угловая скорость маятника достигает значения фтах. Найти собственную частоту <в0 малых колебаний этого маятника.
Рис. 1.43
1.270. Шарик массы /и—50,0 г подвешен на пружина жесткости £=49,3 Н/м. Шарик поднимают до такого положения, при котором пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой пружины,
а) найти период Т и амплитуду а возникших колебаний, б) направив ось х вниз и совместив точку х=0 с начальным положением шарика, написать уравнение движения шарика.
^/1.271. Пренебрегая трением, определить частоту со малых колебаний ртути, налитой в U -образную трубку с внутренним сечением 5=0,500 см2 (рис. 1.41). Масса ртути т=136 г:
1.272. Деревянный молоток состоит из цилиндрического бойка радиуса /?=4,00 см и рукоятки длины 1=90,0 см. Масса бойка =0,800 кг, масса рукоятки та=0,600 кг. Молоток положен на два параллельных бруска (рис. 1.42). Найти период Т малых колебаний этой системы.
1.273. Бревно массы Л4=20,0 кг висит на двух шнурах длины 1= 1,00 м каждый (рис. 1.43). В торец бревна ударяет и застревает в нем пуля массы т=10,0 г, летящая со скоростью а=500 м/с. Найти амплитуду <рт и период Т возникших колебаний этой системы. Трением пренебречь.
59
1.274. Шар массы /п=2,00 кг подвёшен к двум соединенным последовательно пружинам (рис. 1.44). Жесткость пружин равна: ^=1000 Н/м, £2=3000 Н/м. Пренебрегая массой пружин и трением, найти:
а) частоту малых колебаний шара,
б) амплитуду а колебаний, возникающих в том случае,
если шар установить на уровне, при котором пружины не *///////, напряжены, и отпустить без толчка.
L 1.275. Блок показанного на рис. 1.45 уст-ройства представляет собой сплошной однород-<5 1 ный цилиндр, который может вращаться вокруг Г оси без ощутимого трения. Масса блока 44 = <3 У =5,00 кг. Жесткость пружины £=1000 Н/м.
г Массой пружины и переброшенного через блок Г шнура можно пренебречь. Масса висящего на
©т шнуре груза т=1,00 кг. Полагая, что про-
Рис. 1.44 скальзывание шнура по блоку отсутствует, найти: а) частоту ю малых колебаний устройства, б) максимальную силу натяжения шнура слева (Flm) и справа (F2m) от блока в случае, когда амплитуда колебаний а=5,00 мм.
1.276. Два шара массами тх и т2 могут скользить без прения по тонкому горизонтальному стержню (рис. 1.46). '/////////////л Шары связаны невесомой пружиной жест-
Л Т кости k. Сместив шары в противополож-
ные СТ0Р0НЫ> их отпускают без толчка.
- Определить:
а) как ведет себя центр масс системы, б) частоту о) возникших колебаний,
в) максимальное значение относительной скорости шаров vmax, если начальное относительное смещение шаров равно а.
1.277. Два шара массами т1 и т2 могут скользить без трения по длинной натянутой горизонтально проволоке (см. рис. 1.46). Шары связаны невесомой пружиной жесткости k. Первоначально система неподвижна и пружина не напряжена. Первому шару сообщается импульс ро=т^о. Определить:
60
а) скорость vc центра масс системы,
б) энергию £пост поступательного и Дколеб колебательного движения системы,
в) частоту со и амплитуду а колебаний.
1.278. Однородный диск массы т=3,00 кг и радиуса R=20,0 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис. 1.47). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания) й=6,00 Н-м/рад.
Определить: ——
а) частоту со малых крутильных колеба- £ j ПИЙ ДИСКа,
б) амплитуду <рт и начальную фазу а рис> i>47 колебаний, если в начальный момент <р=
=0,0600 рад, ср=0,800 рад/с.
1.279. Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков одинаков и равен R=0,500 м. Массы дисков равны: /п1=2,00 кг и т2=3,00 кг.
-—Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между / \ возникающим вращательным моментом и
i \ / углом закручивания равен/г=5,91 Н-м/рад.
\ \/ Диски поворачивают в противоположные
х---стороны и отпускают. Чему равен период
Рис. 1.48 ? крутильных колебаний дисков? Диамет-
ром оси пренебречь.
1.280. По диаметру горизонтального диска может перемещаться, скользя без трения по направляющему стержню небольшая муфта массы т=0,100 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой £ = 10,0 Нм (рис. 1.48). Если пружина не напряжена, муфта находится в центре диска. Найти частоту со малых колебаний муфты в том случае, когда диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью <р, равной:
а) 6,00 рад/с,
б) 10,1 рад/с.
1.281. К куполу зала подвешен на легком нерастяжимом шнуре шар массы т=5,00 кг. Длина подвеса /=9,81 м. Шар отвели в сторону вдоль некоторого направления х на расстояние а=30,0 см и сообщили ему в перпендикулярном к х направлении у импульс р=2,00 кг-м/с. Пренебрегая трением, найти уравнение траектории, по которой будет двигаться центр.шара.
61
1.282. За 10 с амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раз. За какое время т амплитуда уменьшится в 100 раз?
1.283. За 1,00 с амплитуда свободных колебаний уменьшается в 2 раза. В течение какого промежутка времени т амплитуда уменьшится в 10 раз?
1.284. За время /=16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в п=5,00 раз.
а) Найти коэффициент затухания колебаний |3.
б) За какое время т амплитуда уменьшится в е раз?
1.285. За 100 с система успевает совершить 100 колебаний. За то же время амплитуда колебаний уменьшается а 2,718 раз. Чему равны:
а) коэффициент затухания колебаний [3,
б) логарифмический декремент затухания X,
в) добротность системы Q,
г) относительная убыль энергии системы —ДЕ/Е за иериод колебаний?
1.286. За время, в течение которого система совершает #=100 колебаний, амплитуда уменьшается в ц=5,00 раз. Найти добротность системы Q.
1.287. Добротность некоторой колебательной системы Q=2,00, частота свободных колебаний со = 100 с-1. Определить собственную частоту колебаний системы сос.
1.288. Затухающие колебания частицы были возбуждены путем смещения ее из положения равновесия на расстояние по=1,ОО см. Логарифмический декремент затухания Z.=0,0100. При столь слабом затухании можно с большой степенью точности считать, что максимальные отклонения от положения равновесия достигаются в моменты времени /П=(772)п (и=0, 1, 2, . . .). В этом приближении найти путь s, который пройдет частица до полной остановки.
1.289. Частота свободных колебаний некоторой системы (о = 100,0 с”1, резонансная частота сорез=99,0 с-1. Определить добротность Q этой системы.
1.290. Железный стержень, подвешенный к пружине, будучи выведен из положения равновесия, совершает свободные колебания частоты со'=20,0 с-1, причем амплитуда колебаний уменьшается в ц=2 раз в течение времени т=1,11 с. Вблизи нижнего конца стержня помещена катушка, питаемая переменным током (рис. 1.49). При частоте тока оэ=»11,0 с-1 стержень колеблется с амплитудой а™ 1,50 мм.
а) При какой частоте тока сорез колебания ' стержня достигнут наибольшей интенсивности?
б) Какова будет амплитуда арсэ колебаний при этой частоте? Предполагается', что амплитуда вынуждающей силы неизменна. Учесть, что частота вынуждающей силы равна удвоенной частоте изменений тока в катушке.
1.291. Под действием вынуждающей силы Fx=Fm cos at система совершает установившиеся колебания, описываемые функцией х=а cos(at—ср).
а) Найти работу Двын вынуждающей силы
за период. <
б) Показать, что работа силы трения за пе- 5 рИОД Дтр ^вни1
1.292. При неизменной амплитуде вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний г—
при частотах и1=100 с-1 и о>2=300 с-1 ока- V §3 зывается одинаковой. Найти-резонансную ча- — стоту сорез. Рьс. 1.49
1.293. При неизменной амплитуде вынужда-
ющей силы амплитуда скорости при частотах й1=100с-1 и w2=300 с-1 оказывается одинаковой. Найти частоту с0рез, при которой амплитуда скорости максимальна.
1.10. Релятивистская механика
1.294. Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление о теле в виде шара радиуса /? = 1,00 м, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью и=3,30-108 рад/с?
1.295. Согласуется ли с принципами специальной теории относительности представление об электроне как о вращающемся вокруг своей оси однородном шарике массы /лг=0,911-10~30 кг (масса электрона) и радиуса /?=2,82Х Х10-16 м (классический радиус электрона), обладающем собственным моментом импульса Л1=0,913-10~34 кг-м2/с (вытекающее из квантовой теории и подтвержденное экспериментально значение собственного момента импульса электрона)?
1.296. В системе К некоторое событие произошло в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00) в момент /=1,00 с. Определить координаты и время этого события в системе К', Движущейся относительно К в направлении совпадающих осей х и х' со скоростью ио=О,8ОО с.
1.297. Имеются два одинаковых стержня. Стержень 1 покоится в. системе отсчета Kt, стержень 2 покоится в системе отсчета Кг- Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осей х. Стержни параллельны
63
этим осям. Какой стержень будет короче: а) в системе Ki, б) в системе К2?
V1.298. Какую продольную скорость v нужно сообщить стержню для того, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состоянии покоя?
1.299. а) Чему равно относительное приращение длины стержня Д///о, если ему сообщить скорость о=0,1с в направлении, образующем с осью покоившегося стержня угол а?
б) Вычислить Д///о для значений а, равных: 0, 45, 90°.
1.300. Решить задачу 1.299 для скорости v=0,9c.
V1.301. В системе К', относительно которой стержень покоится, он имеет длину /' = 1,00 м и образует с осью х' угол а'=45°. Определить в системе К длину стержня Z и угол а, который стержень образует с осью х. Относительная скорость систем равна по=О,5О0с.
1.302. Неподвижное тело произвольной формы имеет объем Vo. Чему равен объем V того же тела, если оно движется со скоростью о=0,866с?
1.303. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющего форму куба, равна So. Чему равна поверхность S того же тела, если оно движется в направлении одного из своих ребер со скоростью о=0,968с?
1/1.304. Имеются две системы отсчета К и К', относительная скорость которых неизвестна. Параллельный оси х' стержень, движущийся относительно системы К' со скоростью о^=0,100с, имеет в этой системе длину /' = 1,10 м. В системе К длина стержня /=1,00 м. Найти скорость vx стержня в системе К и относительную скорость систем v0.
1.305. Имеется двое одинаковых часов. Часы 1 покоятся в системе отсчета Кг, часы 2 покоятся в системе отсчета К2. Системы движутся друг относительно друга. Какие часы идут быстрее: а) в системе Ki, б) в системе К2?
1.306. Двое одинаковых синхронизированных часов укреплены на концах стержня с собственной длиной /0. При каком значении /0 разность показаний часов Д/', определенная наблюдателем, движущимся параллельно стержню со скоростью по=О,6ООс, окажется равной: а) 1,000 мкс, б) 1,000 с?
1.307. Решить предыдущую задачу для 00=0,999с.
U.308. На концах двух стержней собственной длины /»= 10,00 м укреплены одинаковые синхронизированные друг с другом часы (рис. 1.50). Стержни приведены в движение с относительной скоростью о0=с/2. В момент, когда 64
часы 1 и Г находятся друг против друга, стрелки обоих часов показывают нулевой отсчет. Определить:
а) показания Tj и т2 часов 1 и 2' в момент, когда они поравняются друг с другом,
б) показания т2 и часов 2 и Г в момент, когда они поравняются друг с другом,
в) показания т2 и т2 часов 2 и 2' в момент, когда они поравняются друг с другом.
1.309. Собственное время жизни некоторой частицы оказалось равным т=1,00-10-в с. Чему равен интервал As между рождением и распадом этой частицы?
1.310. С какой скоростью и должна лететь частица относительно системы отсчета К для того, чтобы промежуток собственного времени Дт был в 10 раз меньше промежутка Д/, отсчитанного по часам системы К?
1.311. За промежуток времени Д/=1,000 с, отсчитанный по часам некоторой системы отсчета Д, частица, двигаясь прямолинейно и равномерно, переместилась из начала координат системы К в точку с координатами x~y—z= = 1,50x10® м. Найти промежуток собственного времени частицы Дт, за который произошло это перемещение.
1.312. Собственное время жизни нестабильной элементарной частицы равно т. Считая движение частицы прямолинейным и равномерным, определить путь /, который она пройдет до распада в системе отсчета, в которой время жизни частицы равно t.
1.313. Собственное время жизни нестабильной элементарной частицы, называемой мюоном, т=2,2 мкс. Определить время жизни t мюона в системе отсчета, в которой он проходит до распада путь /=30 км. Считая движение мюона прямолинейным и равномерным, найти скорость мюона v.
1.314. Система отсчета К' движется относительно системы Д' со скоростью ио=О,5ООс. Скорость некоторой частицы в системе Д' равна v'=0,1732 с(е^+е^+е2). Найти:
3 И. В. Савельев 65
а) модуль v' скорости v' и угол а', образуемый v' с осью х',
б) скорость v частицы в системе К, модуль v этой скорости и угол а, образуемый v с осью х,
в) отношение v/v' модулей векторов v и v'.
1.315. Две одинаковые частицы движутся в некоторой системе отсчета Д навстречу друг другу с одинаковой по модулю скоростью V.
1. Определить модуль скорости v', с которой каждая из частиц движется относительно другой частицы.
2. Вычислить v' для случая: а) у—0,1с, б) v=0,5c, в) у=0,99с.
1.316. Решить задачу 1.315 для случая, когда частицы движутся в системе Д во взаимно перпендикулярных направлениях.
1.317. При какой скорости v погрешность при вычислении импульса по ньютоновской формуле p=tnv не превышает 1 %?
1.318. Найти отношение релятивистского и ньютоновского импульсов для скорости, равной: а) 0,1с, б) 0,5с, в) 0,999с.
1.319. Найти скорость v релятивистской частицы массы /ш—0,911 IO-?0 кг (масса электрона), импульс которой р = 1,58-10~22 кг-м/с.
1.320. Энергия покоя частицы равна Ео. Чему равна полная энергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицы равен р?
1.321. Импульс тела массы т равен р~тс. Чему равна кинетическая энергия Т тела?
1.322. При какой скорости частицы v ее кинетическая энергия равна энергии покоя?
1.323. Найти импульс р релятивистской частицы массы т, кинетическая энергия которой равна Т,
1.324. Воспользовавшись результаты задачи 1.323, определить импульс р релятивистской частицы массы т, кинетическая энергия Т которой равна энергии покоя частицы тс3.
1.325. При скорости частицы v0 импульс частицы равен р0.
а) Во сколько раз т] нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ее импульс удвоился?
б) Найти значения т) для v0/c, равных 0,1, 0,5, 0,9 и 0,99.
в) Получить приближенное выражение т] для значений v0, близких к с.
66
1.326. Полная энергия частицы равна 10 тс2. Чему равна ее скорость у?
1.327. Частица массы т=1,00-10“20 кг обладает в системе К кинетической энергией 7'=2,25-10“4 Дж. Определить кинетическую энергию Т', которой обладает частица в системе К', движущейся относительно К со скоростью уо=0,800с, перпендикулярной к скорости частицы в системе К-
1.328. Две одинаковые частицы массы т каждая летят навстречу друг другу с одинаковой по модулю скоростью v. Столкнувшись, частицы сливаются в одну частицу,
1. Какова масса М образовавшейся частицы?
2. Найти М для у, равной: а) 0,1с, б) 0,5с, в) 0,999с. #1 .329. Неподвижная частица массы М распадается на две одинаковые частицы массой /п=0,4 М каждая. Найти скорость у, с которой движутся эти частицы.
1.330. Найти отношение кинетической энергии Т к энергии покоя частицы Е() для случая, когда |3=у/с составляет: а) 0,9, б) 0,1, в) 0,01,
Выразить Т/Ео через 13 и (З2. Установить закономерность в зависимости Т/Ео от |32.
1.331. Какую работу А нужно совершить, чтобы сообщить электрону скорость, равную: а) 0,5с, б) 0,999с? Энергия покоя электрона Ео=0,82• 10~13 Дж (0,51 МэВ).
1.332. Над первоначально покоившимся протоном силами электрического поля была совершена работа Л = = 1,00-10~10 Дж. Найти импульс р и скорость у, которые приобрел в результате этого протон.
* 1.333. Частица массы m начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость от времени импульса р и скорости v частицы.
1.334. Над частицей массы m=0,911 • 10~30 кг, двигавшейся первоначально со скоростью Ух=0,100 с, была совершена работа Л=8,24-10“14 Дж. Как изменились в результате этого скорость, импульс и кинетическая энергия частицы? (Найти Ду, Ар и АТ.)
*1.335. Относительная скорость систем отсчета К и К' равна уо=0,800с. В системе К' импульс частицы р'=2,30 х X 1б~18 (ei+ey+e^) (кг-м/с), а энергия £' = 1,50-10~8 Дж. Найти импульс р и энергию Е частицы в системе К-
1.336. Система отсчета К' движется относительно системы К со скоростью у0=0,500с. В системе К' импульс протона р'= (0,774е^4-1,548е^+2,322ег)-10~18 кг-м/о. Определить:
3*
67
а) энергию E' и модуль скорости у' протона в системе К!,
б) импульс р, энергию Е и модуль скорости v протона в системе К.
1.337. Два протона с энергией £=50 ГэВ каждый движутся в системе К навстречу друг другу и претерпевают лобовое соударение. Рассмотрев этот процесс в системе К', в которой один из протонов неподвижен, определить энергию Е' другого протона. (Энергия покоя протона £0=938 МэВ.) Какой вывод можно сделать из полученного результата?
1.11. Гидродинамика
1.338. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты Н, наполненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда.
1.339. Цилиндрический сосуд высоты /г=0,500 м и радиуса £ = 10,0 см наполнен доверху водой. В дне сосуда открывается отверстие радиуса r= 1,00 мм. Пренебрегая вязкостью воды, определить:
а) время т, за которое вся вода вытечет из сосуда,
б) скорость v перемещения уровня воды в сосуде в зависимости от времени.
1.340. Щприц, применяемый для заправки смазкой шарнирных соединений автомобиля, заполнили для промывки керосином. Радиус поршня шприца £==2,00 см, ход поршня /=25,0 см. Радиус выходного отверстия шприца г=2,00 мм. Пренебрегая вязкостью керосина и трением поршня о стенки, определить время т, за которое будет вытеснен керосин из шприца, если давить на поршень с постоянной силой £=5,00 Н. Плотность керосина р принять равной 0,800 г/см3.
V 1.341. С мостика, переброшенного через канал, по которому течет вода, опущена узкая изогнутая трубка, обращенная открытым концом навстречу течению (рис. 1.51). Вода в трубке поднимается на высоту /г= 150 мм над уровнем воды в канале. Определить скорость v течения воды.
1.342. Устройство, называемое трубкой Пито — Прандт-ля, состоит из двух узких коаксиальных трубок (рис. 1.52). Внутренняя трубка открыта на нижнем конце, внешняя имеет боковые отверстия. Верхние концы трубок подключены к дифференциальному манометру (т. е. манометру,
68
показывающему разность давлений Др). С помощью этого устройства можно измерять скорость жидкости (или газа). Для этого его погружают в жидкость, обратив открытым концом навстречу потоку, и отсчиты- /( дидчреренциамнанд вают Др. При погружении трубки в monempj
поток жидкости с плотностью р = * Л
= 1,10-103 кг/м3 была обнаружена ^11
разность давлений Др=4,95-103 Па.
Найти скорость v течения жидкости.
Рис. 1.52
VI.343. По горизонтальной трубе радиуса /? = 12,5 мм течет вода. Поток воды через сечение трубы Q=3,00x Х10~5 м3/с. Определить:
а) характер течения,
б) перепад давления на единицу длины трубы dpldl. Вязкость воды принять равной ц = 1,00-10-3 Па-с.
1.344. Два одинаковых цилиндрических бака соединены узкой трубкой с краном посредине (рис. 1.53). Радиус баков /?=20,0 см, радиус трубки r= 1,00 мм. Длина трубки /=1,00 м. Проходное отверстие крана совпадает с сечением трубки. В один из баков налита вода до высоты й=50,0 см, второй бак вначале пустой. В момент /=0 кран открывают.
Определить:
а) характер течения воды в трубке в первые секунды,
б) время т, по истечении которого разность уровней воды в баках уменьшается в е раз.
Вязкость воды принять равной j] = l,00-10“s Па-с.
v 1.345. Над нагретым участком поверхности Земли установился стационарный поток воздуха, направленный вертикально вверх и имеющий скорость «=20,0 см/с, В потоке находится шаровидная пылинка, которая движет
69
ся вверх с установившейся скоростью t»=4,0 см/с. Плотность пылинки р=5,00-103 кг/м3, плотность воздуха р0=1,29 кг/м®. Вязкость воздуха т] = 1,72-10-6 Па-с.
а) Определить радиус пылинки г.
б) Убедиться в том, что обтекание пылинки воздухом имеет ламинарный характер.
Примечание. Для шарика критическое значение, числа Рейнольдса Re (т. е. значение, при котором ламинарное обтекание шарика переходит в турбулентное) равно 0,250, если в качестве характерного размера принять радиус шарика.
1.34S. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность ро=1,21-103 кг/м3, вязкость т]=0,350 Па-с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса г=1,00 мм. Плотность шарика р= = 10,0-103 кг/м3. Первоначальная высота шарика над дном сосуда Л=0,500 м.
а) Определить, можно ли силу сопротивления движению шарика вычислять по формуле Стокса (см. примечание к задаче 1.345).
б) Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t.
в) Найти время т, за которое шарик достигнет дна сосуда.
г) Определить время t, по истечении которого скорость шарика будет отличаться от предельного значения у0, не более чем на 1%.
70
Часть 2
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Обозначения'.
А — работа
Аг относительная атомная масса
а, b — константы, постоянные Ван-дер-Ваальса
С — молярная теплоемкость, скорость откачк-и, теплоемкость
Ср — молярная теплоемкость при постоянном Давлении
Су— молярная теплоемкость при постоянном объеме
с — Удельная теплоемкость
D — коэффициент диффузии
Di% — коэффициент взаимной диффузии
d — диаметр, расстояние
Е — энергия
F т- свободная энергия, сила g — ускорение свободного падения
h — высота, глубина
k -и- постоянная Больцмана
I — длина
М •— молярная масса
Мг — относительная молекулярная масса
m — масса
N — число молекул
Nj ~~ постоянная Авогадро
п показатель политропы, число частиц в единице объема
Р — вероятность
р давление
Q а- количество теплоты
q удельная теплота фазового перехода
— газовая постоянная, радиус
г — радиус
S — площадь, поверхность, энтропия
$м •— молярная энтропия
Т термодинамическая температура
t — Время, температура по шкале Цельсия
U — внутренняя энергия
С/м — молярная внутренняя энергия
и — скорость
V — объем
Цм *— молярный объем
v — удельный объем, скорость а — угол, поверхностное натяжение
Р — коэффициент затухания колебаний
у —- отношение теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме
е энергия молекулы
т] — вязкость; коэффициент полезного действия
& — угол
х — теплопроводность
к — средняя длина свободного пробега
V количество вещества (число молей)
р плотность
t время
Ф угол
% *— коэффициент кручения
Й — статистический вес состояния
со — угловая скорость
71
2.1. Молекулярно-кинетические представления. Первое начало термодинамики
2.1. Сколько молекул содержится в стакане воды?
2.2. Воспользовавшись постоянной Авогадро, определить массу: а) атома водорода, б) молекулы кислорода (О2), в) атома урана.
2.3. Вычислить массу М моля электронов.
2.4. Использовав постоянную Авогадро, определить атомную единицу массы (а. е. м.).
2.5. Оценить диаметр d атомов ртути.
2.6. Моль таких газов, как гелий, водород, азот, кислород, занимает при нормальных условиях (/=0 °C, р = = 1013 гПа) объем, равный 22,4 л. Чему равно в этом случае:
а) число п молекул газа в единице объема,
б) среднее расстояние {а) между молекулами? Сравните это расстояние с диаметром молекулы d.
2.7. Как, зная плотность р и молярную массу Л1, найти число п молекул вещества в единице объема?
2.8. Из металлов наибольшим значением отношения р/Дг обладает бериллий, наименьшим значением — калий. Определить для этих металлов число п атомов в единице объема.
2.9. Имеется поток молекул массы т, летящих с одинаковой по модулю и направлению скоростью v. Плотность молекул в потоке равна п. Найти:
а) число v ударов молекул за секунду о единицу поверхности плоской стенки, нормаль к которой образует угол •& с направлением v,
б) давление р потока молекул на стенку. Считать, что молекулы отражаются стенкой зеркально и без потери энергии.
2.10. Газ расширяется в идентичных условиях от объема Vi до объема 14 один раз быстро, другой раз — медленно. В каком случае совершаемая газом работа будет больше?
2.11. Газ сжимают в идентичных условиях от объема Vi до объема 14 один раз быстро, другой раз — медленно. В каком случае совершаемая газом работа будет по модулю больше?
2.12. При неизменном давлении /?=3,00-105 Па газ
а) расширяется от объема 14=2,00 л до объема 14= =4,00 л,
б) сжимается от объема 14=8,00 л до объема 14=5,00 л.
72
Найти работу А, совершаемую газом, и работу А', совершаемую над газом.
2.13. Некоторый газ совершает процесс, в ходе которого давление р изменяется с объемом V по закону р— =роехр[—«(И—14)], где ро=6,00-105 Па, а=0,200 м~3, 14=2,00 м3. Найти работу А, совершаемую газом при расширении от 14=3,00 м3 до 14=4,00 м3.
2.14. Тело с не зависящей от температуры теплоемкостью С=20,0 Дж/К охлаждается от 4=Ю0°С до 4=20 °C. Определить количество теплоты Q, полученное телом.
2.15. В рассматриваемом интервале температур теплоемкость некоторого тела определяется функцией С=10,00+ +2,00-10~2 Г+3,00И0~6 Т2 (Дж/К). Определить количество теплоты Q, получаемое телом при нагревании от Т\— =300 К до 74=400 К.
2.16. Некоторое тело переходит из состояния 1 в состояние 3 один раз посредством процесса 1—2—3, а другой раз посредством процесса 1—4—3 (рис. 2.1). Используя данные, указанные на рисунке, найти разность количеств теплоты Q123—Qi43, получаемых телом в ходе обоих процессов.
2.17. Круговой процесс на диаграмме р, V изображается эллипсом, показанным на рис. 2.2. Используя данные, приведенные на рисунке, определить количество теплоты Q, получаемое рабочим телом за один цикл.
2.18. Внутренняя ^энергия некоторого воображаемого газа определяется формулой (7=aln(7774)+61n(p/p0), где <3=3,00 кДж, 6=7,00 кДж, 74 =200 К, ро=1О,О кПа. Газу сообщается при постоянном давлении р=1,00-106 Па количество теплоты Q=500 Дж, в результате чего объем газа получает приращение ДИ=0,500 л. Как изменяется при этом температура газа?
2.19. Газ из предыдущей задачи нагревается от Т\— =250 К до 74= 500 К. В ходе нагревания газ получает
73
количество теплоты Q~ 14,33 кДж и совершает работу /1=4,56 кДж. Как изменяется при этом давление газа?
2.20. Внутренняя энергия некоторого воображаемого газа определяется формулой U—a In(77T0)-bb In(У/Vo), где й=4,00 кДж, 6=5,00 кДж, То и Vo — константы. Первоначально газ находится в состоянии, характеризуемом следующими параметрами: V\=20,0 л, ^=1,00-105 Па и Ti=300 К. Затем газ изобарически расширяется до объема Г2=30,0 л. В ходе расширения газ получает количество теплоты Q=4,00 кДж. Определить конечную температуру Т2 газа.
2.2. Идеальный газ
2.21. Определить число п молекул воздуха в единице объема (м3 и см3) при температуре 0 °C и давлении 1,013 X X 106 Па (1 атм).
2.22. Найти массу: а) одного кубического метра, б) одного литра воздуха при температуре 0 °C и давлении 1,013 X Х105 Па (1 атм).
2.23. Вблизи поверхности Земли 78,08 % молекул воздуха приходится на долю азота (N2), 20,95 % — на долю кислорода (О2), 0,93 % — на долю аргона (Аг), 0,04 % — на долю других газов.
а) Полагая давление воздуха равным 1,013-105 Па, найти парциальное давление азота, кислорода и аргона.
б) Определить среднюю молекулярную массу Мг воздуха.
2.24. Ротационный насос захватывает за один оборот объем газа v и выталкивает его в атмосферу. Сколько оборотов п должен сделать насос, чтобы понизить давление воздуха в сосуде объема V от значения pQ до д?
2.25. Форвакуумный насос (насос предварительного разрежения), подключенный к сосуду объема V, удаляет из сосуда за время dt объем газа dV=C dt (константу С называют скоростью откачки). Считая, что во время откачки давление газа во всех точках сосуда одинаково, и пренебрегая перепадом давления на патрубке, соединяющем сосуд с насосом, найти закон p(t), по которому изменяется давление газа в сосуде. Начальное давление рй. Газ предполагать идеальным.
2.26. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, определить, сколько времени т потребуется, чтобы с помощью насоса, имеющего скорость откачки С=1,00 л/с, 74
снизить в сосуде объема У= 10,0 л давление от р0—1,00- 10s Па до /7=0,300 Па.
2.27. Изобразить для идеального газа примерные графики изохорического, изобарического, изотермического и адиабатического процессов на диаграммах: а) р, V; б) Т, V; в) Т, р. Графики изобразить проходящими через общую для них точку.
2.28. На рис. 2.3 изображены две изотермы для одной и той же массы идеального газа. Какая из температур больше?
2.29. На рис. 2.4 изображены пять процессов, протекающих с идеальным газом. Как ведет себя внутренняя энергия газа в ходе каждого из процессов?
2.30. Изобразить для идеального газа примерные графики:
а) изохорического, изобарического и адиабатического процессов на диаграмме U, Т;
б) изохорического, изобарического, изотермического и адиабатического процессов на диаграммах U, V и U, р; U откладывать по оси ординат. Исходной для всех графиков принять общую точку.
2.31. Температура одного моля идеального газа с известным у повышается на АТ при изобарическом, изохорическом и адиабатическом процессах. Определить приращение внутренней энергии At/ газа для всех трех случаев.
2.32. Чему равна теплоемкость С, идеального газа при процессе: а) изотермическом, б) адиабатическом?
2.33. Некоторое количество идеального газа с трехатомными жесткими молекулами перешло адиабатически из состояния с температурой 7’1=280 К в состояние, Характеризуемое параметрами: 72=320 К, р2=2,00- 10а Па, К2=50,0 л. Какую работу А совершает при этом газ?
75
2.34. Некоторое количество газа перешло из состояния с (/1=600 кДж в состояние с Д2=200 кДж, совершив при этом работу А =300 кДж. Какое количество теплоты Q получил газ, если процесс перехода: а) обратим, б) необратим?
2.35. Некоторое количество одноатомного идеального газа сжимают адиабатически до тех пор, пока давление не превзойдет начальное давление р± в 10 раз. Затем газ расширяется изотермически до первоначального объема. Во сколько раз конечное давление р2 газа превышает начальное давление р^
2.36. Идеальный газ (у=1,40), находившийся первоначально при температуре ^=0 °C, подвергается сжатию, а результате чего: а) объем газа уменьшается в 10 раз, б) давление газа увеличивается в 10 раз. Считая процесс сжатия адиабатическим, определить, до какой температуры /2 нагревается газ вследствие сжатия.
2.37. На рис. 2.5 показан обратимый переход двухатом-состояния 1 в состояние 2. Процесс перехода состоит из изотермического участка 1—3 и адиабатического участка 3—2. В начальном состоянии Ух= = 1,00-10-з м3> А=3,00-106 Па, в конечном состоянии V2= =2,00-10-з ms, р2=1,33-105 Па. Вычислить работу А, совершаемую газом в ходе процесса 1—3—2. Колебательные степени свободы молекул газа не возбуждаются.
2.38. Температура в комнате объема V поднялась от Т2. Как изменилась при этом
внутренняя энергия воздуха, содержащегося в комнате? Атмосферное давление предполагается не изменившимся.
2.39. Атмосферное давление изменилось от рх=983 гПа до /?а=1003 гПа. Какое приращение AU получает при этом внутренняя энергия воздуха, содержащегося в комнате объема К=50,0 м3? Температура в комнате предполагается неизменной.
2.40. Закрытый цилиндр разделен на две части поршнем радиуса г=10,0 см и массы т~1,00 кг, который может перемещаться без трения. Установив поршень в среднее положение, обе части цилиндра наполняют газом до одина- , 78 '
значения 7> до
кового давления ро=1,ОО-1О5 Па. Объем газа в каждой из половин Vo=5,OO л. Газ можно считать идеальным, его 7=1,40. Пренебрегая теплообменом через стенки цилиндра и через поршень, найти частоту v колебаний поршня, возникающих при небольшом смещении поршня из среднего положения.
2.41. Некоторое количество идеального газа с одноатомными молекулами совершило при р=1,00-105 Па обратимый изобарический процесс, в ходе которого объем газа изменился от значения V1 = 10,0 л до V2=20,0 л. Определить:
а) приращение внутренней энергии газа Д77,
б) совершенную газом работу А,
в) полученное газом количество теплоты Q.
2.42. Идеальный газ (7=1,40) расширяется изотермически от объема К=0,160 м3 до объема Va=0,300 м3. Конечное давление газа р2—2,00-105 Па. Определить:
а) приращение внутренней энергии газа Д£7,
б) работу А, совершаемую газом,
в) получаемое газом количество теплоты Q.
2.43. При изобарическом нагревании от 0 до 100 °C моль идеального газа поглощает количество теплоты Q= =3,35 кДж. Определить:
а) значение у,
б) приращение внутренней энергии газа Д£7, в) работу А, совершаемую газом.
2.44. Моль идеального газа, имевший первоначально температуру 7\=290 К, расширяется изобарически до тех пор, пока его объем не возрастет в 2,00 раза. Затем газ охлаждается изохорически до первоначальной температуры 7\. Определить:
а) приращение внутренней энергии газа ДД,
б) работу А, совершаемую газом,
в) получаемое газом количество теплоты Q.
2.45. На рис. 2.6 изображен процесс перехода некоторого количества идеального газа из состояния 1 в состояние 2. Получает или отдает газ теплоту в ходе этого процесса?
2.46. Некоторое количество идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2 один раз посредством процесса /, другой раз посредством процесса II (рис. 2.7). В ходе какого из процессов количество теплоты, полученное газом, больше?
2.47. Некоторое количество идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2 один раз посредством процесса I, другой газ посредством процесса II (рис. 2.8).
77
а) Какой знак имеют работы Аг и А[Г, совершенные газом в ходе каждого из процессов?
б) В ходе какого из процессов количество теплоты, полученное газом, больше?
2.48. Первоначально 1,00 кг азота (N2) заключен в объеме ^=0,300 м3 под давлением р1=5,00-105 Па. Затем газ расширяется, в результате чего его объем становится равным К2=1,00 м3, а давление — равным р2=1,00-105 Па.
а) Определить приращение внутренней энергии газа ЛИ.
б) Можно ли вычислить работу, совершаемую газом при расширении?
2.49. В результате обратимого изотермического (при Т=300 К) расширения 531 г азота (N2) давление газа уменьшается от /?1=20,0-105 Па до р2=2,00-105 Па. Определить:
а) работу А, совершаемую газом при расширении, б) получаемое газом количество теплоты Q.
2.50. В результате обратимого адиабатического расширения температура 1,00 кг азота (N2) понижается на 20,0 К. Определить работу А, совершаемую газом при расширении. Учесть, что колебательные степени свободы молекул азота при рассматриваемых температурах не возбуждаются.
2.51. Гелий (Не) массы т=321 г, находившийся первоначально при температуре 1=20 °C и давлении /?1= —1,00-105 Па, сжимают адиабатически до давления р2= = 1,00-107 Па. Считая процесс сжатия обратимым, определить:
а) температуру газа Т2 в конце сжатия,
б) работу А, совершаемую газом,
в) во сколько раз уменьшился объем газа.
2.52. Одноатомный идеальный газ совершает процесс, в ходе которого молярная теплоемкость газа остается постоянной и равной 5/2R. Чему равен показатель политропы п этого процесса?
78
2.53. Теплоемкость идеального газа при некотором политропическом процессе равна С=СУ+О,17?. Найти значение показателя политропы п этого процесса.
2.54. Молярная теплоемкость идеального газа (у= = 1,40) изменяется в ходе некоторого процесса по закону С=20,00+500/Т (Дж/(мать-К)).
а) Является ли этот процесс политропическим?
б) Найти работу А, совершаемую молем газа при нагревании от 7\=200 К до Т2=544 К-
2.55. Идеальный газ совершает процесс, в ходе которого давление р растет пропорционально объему V. Является ли этот процесс политропическим?
2.58. Для процесса из задачи 2.55 найти: а) показатель политропы п, б) молярную теплоемкость С.
2.57. Выразить работу Л12, совершаемую v молями идеального газа при политропическом процессе (с показателем политропы п), через температуры Т\ и Т2 начального и конечного состояний.
2.58. а) Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону рV2=const?
б) Какова молярная теплоемкость С газа при этом процессе?
2.59. Выразить молярную теплоемкость С идеального газа при политропическом процессе через показатель политропы' п и отношение теплоемкостей у.
2.60. Воспользовавшись ответом предыдущей задачи, определить, при каких значениях показателя политропы п теплоемкость С идеального газа в ходе политропического процесса: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю, г) бесконечно велика.
2.61. В ходе некоторого политропического процесса идеальный газ (у = 1,40) был сжат от объема V\=10,0 л до объема У2=5,00 л. При этом давление возросло от р±~ = 1000 гПа до /?2=5000 гПа. Определить:
а) показатель политропы п,
б) молярную теплоемкость С газа для рассматриваемого процесса.
2.62. Определить молярную теплоемкость С (выразить через /?) идеального газа (у=1,40) в ходе политропического процесса с показателем политропы, равным: а) п=0,9, б) п=0,99, в) ц=0,999, г) п—1,1-
2.63. Для идеального газа (у = 1,40) нарисовать примерный график зависимости молярной теплоемкости С при политропическом процессе от показателя политропы п. Отметить на графике асимптоты и характерные точки,
79
2.64. Идеальный газ расширяется в ходе политропического процесса. При каких значениях показателя политропы п температура газа будет: а) возрастать, б) уменьшаться, в) оставаться постоянной?
2.65. Некоторое количество идеального газа (у=1,40) расширяется от 14=20,0 л до 14=50,0 л так, что процесс на диаграмме р, V имеет вид прямой линии. Исходное давление /?х = 1000 гПа, конечное ра=2000 гПа.
а) Является ли процесс политропическим?
б) Найти количество теплоты Q, поглощаемое газом в ходе расширения.
2.3. Кинетическая теория
-^2.66. Сколько молекул v ударяется за 1 с об 1 м2 стенки сосуда, в котором находится азот (N2) при давлении 1013 гПа (1 атм) и температуре 20 °C?
2.67. В сферическом сосуде с внутренним радиусом г=5,00 см содержится водород (Н2) при температуре Т= =300 К и давлении /2=1,00-105 Па. Сколько молекул v ударяется о стенки сосуда за 1 с?
2.68. Определить число и характер степеней свободы молекул газа, для которого у равно: а) 1,67, б) 1,40, в) 1,33, г) 1,29, д) 1,17.
2.69. Вычислить молярные теплоемкости Cv и Ср (выразить их через R), а также отношение этих теплоемкостей 7 для идеального газа с: а) одноатомными молекулами, б) двухатомными жесткими молекулами, в) двухатомными упругими молекулами, г) трехатомными жесткими молекулами (атомы которых не лежат на одной прямой).
2.70. Из скольких атомов состоят молекулы газа, если при «замораживании» колебательных степеней свободы у увеличивается в 1,20 раза?
2.71. При Т=1,00-103 К у четырех атомных молекул некоторого идеального газа оказываются возбужденными все степени свободы (включая колебательные). Определить внутреннюю энергию t/M моля газа.
2.72. Сосуд наполнен аргоном (Аг). Температура газа равна 0 °C. Сосуд сначала движется со скоростью и=100 м/с, затем внезапно останавливается. Пренебрегая теплообменом между газом и стенками сосуда, определить температуру t газа после остановки сосуда.
2.73. Средняя энергия молекул одноатомного идеального газа (е)=6,00-10~?1 Дж. Давление газа р=2,00х Х10в Па. Найти число молекул газа в единице объема п.
80
2.4. Распределения
2.74. Дана f (х) — функция распределения вероятностей величины х. Написать выражение для Р(а^х^Ь') — вероятности того, что значение величины х находится в интервале от а до Ь.
2.75. Даны Д(х) и f2(y)—функции распределения вероятностей для статистически независимых величин х и у. Написать выражение для Р (а-^х^а^, Ь^у^Ь2)— вероятности того, что значение величины х находится в интервале от <21 до <г2> а значение величины у заключено при этом в интервале от Ь± до Ь2.
2.76. На рис. 2.9 приведены графики четырех различных функций распределения вероятностей значений некоторой
величины х. Для каждого из графиков найти константу А, при которой функция оказывается нормированной. Затем вычислить средние значения х и х2. Для случая а вычислить также <|х|>.
2.77. Функция распределения вероятностей величины х имеет вид f(x)=Ae~ax2 4пх2, где Лиа — константы. Написать приближенное выражение для вероятности Р того, что значение х окажется в пределах от 7,9999 до 8,0001.
2.78. Гармонический осциллятор совершает колебания с амплитудой а. Масса осциллятора равна т, собственная частота со. Найти:
а) функцию f(x)=dPx/dx распределения вероятностей значений координаты х осциллятора,
б) среднее значение координаты (х),
в) среднее значение модуля координаты (|х|),
г) среднее значение квадрата координаты <ха>,
д) среднее значение потенциальной энергии осциллятора (U).
2.79. Найти температуру Т, при которой средняя квадратичная скорость молекул азота (N2) больше средней скорости на 50,0 м/с.
81
2.80. При какой температуре Т воздуха средние скорости молекул азота (N2) и кислорода (О2) отличаются на 30,0 м/с?
2.81. Преобразовать функцию распределения Максвелла, перейдя от переменной v к переменной u=v/vBep, где иЕер — наиболее вероятная скорость молекул.
2.82. В запаянном стеклянном баллоне заключен моль одноатомного идеального газа при температуре 7=293 К. Какое количество теплоты Q нужно сообщить газу, чтобы средняя скорость его молекул увеличилась на 1 %?
2.83. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости молекул кислорода (О2) при 20 °C.
42.84. Моль азота (N3) находится в равновесном состоянии при 7=300 К. Чему равна:
а) сумма х-вых компонент скоростей всех молекул ^vx,
б) сумма скоростей всех молекул 2 v>
в) сумма квадратов скоростей всех молекул J v2,
г) сумма модулей скоростей всех молекул
4- 2.85. Найти среднее значение модуля х-вой компоненты скорости молекул газа, находящегося в равновесном состоянии при температуре 7. Масса молекулы равна tn.
2.86. Найти сумму модулей импульсов молекул, содержащихся в моле азота (N2), при температуре 20 °C.
2.87. Определить, исходя из классических представлений, среднеквадратичную угловую скорость вращения молекул азота (N2) при 7=300 К. Расстояние между ядрами молекулы Z=3,7-10-10 м.
«2.88. Некоторый газ находится в равновесном состоянии. Какой процент молекул газа обладает скоростями, отличными от наиболее вероятной не более чем на 1 %?
2.89. Написать выражение, определяющее относительную долю т| молекул газа, обладающих скоростями, превышающими наиболее вероятную скорость.
2.90. Средняя энергия] молекул гелия (Не) (е)= =3,92-10~21 Дж. Определить среднюю скорость (и) молекул гелия при тех же условиях.
2.91. Азот (N2) находится в равновесном состоянии при 7=421 К.
1. Найти наиболее вероятную скорость молекул wBep.
2. Определить относительное число AN/N молекул, скорости которых заключены в пределах: а) от 499,9 до 500,1 м/с, б) от 249,9 до 250,1 м/с, в) от 749,9 до 750,1 м/с, г) от 999,9 до 1000,1 м/с.
82
2.92. На рис. 2.10 дан график зависимости плотности п молекул воздуха от высоты h над поверхностью Земли, Какой смысл имеет заштрихованная площадь?
•2.93. Молекулы идеального газа находятся в равнове-
сии в центрально-симметричном силовом поле, так что по-
тенциальная энергия отдельной молекулы имеет вид ер=ер(г). Написать выражение для dNr — числа молекул, расстояния которых от силового центра лежат в интервале от г до г—dr. Известно, что плотность молекул на рассто-
янии равна Пр Рис> 2.10
2.94. В опыте, посредством ко-
торого Перрен определил постоянную Авогадро NA, использовалась взвесь шариков гуммигута (р = 1,254 г/см3) в воде. Температура взвеси равнялась 20 °C. Радиус шариков г—0,212 мкм. При перемещении тубуса микроскопа на Дй=30 мкм: число шариков, наблюдавшихся в микроскоп, изменялось в 2,1 раза. Исходя из этих данных, найти Na-
2.95. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление а) на высоте 5 км, б) на высоте 10 км, в) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для Т=293 К- Давление
на уровне моря принять равным р0.
V2.9&, Вблизи поверхности Земли отношение объемных концентраций кислорода (О2) и азота (N2) в воздухе т]о= =20,95/78,08=0,268. Полагая температуру атмосферы не зависящей от высоты и равной 0 °C, определить это отношение!] на высоте /г=10 км.
V2.971 Установленная вертикально закрытая с обоих концбВтруба наполнена газообразным кислородом (О2). Высота трубы h=200 м, объем Р=200 л. Стенки трубы имеют всюду одинаковую температуру Т=293 К. Давление газа внутри трубы, вблизи ее основания равно р0= = 1,00-105 Па. Определить:
а) давление р в трубе вблизи ее верхнего конца,
б) количество N молекул кислорода, содержащихся в трубе.
2.98. 1. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не зависящими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха меньше своего значения на уровне моря: а) в 2 раза, б) в е раз. Температуру воздуха положить равной 0 °C.
83
2. Получив результаты, убедиться в допустимости предположения-о независимости g от h. Для этого оценить по полученной в задаче 1.242 формуле, на сколько процентов отличается на найденных высотах ускорение свободного падения от своего значения g на уровне моря.
2.99. Закрытая с одного конца труба длины 1—1,00 м вращается вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси, проходящей через открытый конец трубы, с угловой скоростью со=62,8 рад/с. Давление окружающего воздуха ра= 1,00-105 Па, температура /=20 СС. Найти давление р воздуха в трубе вблизи закрытого конца.
2.100. Имеется N частиц, энергия которых может принимать лишь два значения Et и Е2. Частицы находятся в равновесном состоянии при температуре Т. Чему равна суммарная энергия Е всех частиц в этом состоянии?
2.5. Энтропия
2.101. В сосуде содержатся пять молекул.
а) Каким числом способов могут быть распределены эти молекулы между левой и правой половинами сосуда?
б) Чему равно й (0, 5) — число способов осуществления такого распределения, при котором все пять молекул оказываются в правой половине сосуда? Какова вероятность Р (0, 5) такого состояния?
в) Чему равно Й (1, 4) — число способов осуществления такого распределения, при котором в левой половине сосуда оказывается одна молекула, а в правой — четыре? Какова вероятность Р (1, 4) такого состояния?
г) Чему равно Й (2, 3)? Какова вероятность Р (2, 3) такого состояния?
2.102. Как ведет себя статистический вес Й состояния некоторой термодинамической системы при протекании обратимого адиабатического процесса?
2.103. Некоторая термодинамическая система перешла из состояния 1 в состояние 2. Статистический вес второго состояния превосходит статистический вес первого состояния в т)=2 раза. Чему равно приращение энтропии системы AS12?
2.104. Статистический вес состояния некоторой массы газа равен Йх. Определить статистический вес Й2 состояния в ц раз большей массы того же газа. Температура и давление газа в обоих случаях одинаковы.
2.105. Статистический вес й некоторого состояния термодинамической системы равен: а) 1,00- 101 020, б) 5,00- Ю1 020. 84
Чему равна энтропия S системы в этом состоянии? Чему равна по порядку величины относительная разность энтропий AS/S для случаев а) и б)?
2.106. Логарифм М! можно вычислить по приближенной формуле Стирлинга:
In N! = N In N—М + V2 In (2лN).
Относительная погрешность, даваемая этой формулой, убывает с увеличением М. Сравнить точные значения In N\ со значениями, вычисленными по формуле Стирлинга для: а) М=5, б) М=10.
2.107. В статистической физике пренебрегают третьим членом в формуле Стирлинга (см. задачу 2.106) и полагают, что
InM! «АИпМ—М.
Определить относительную погрешность, которая получается при этом для: а) М=5, б) 7V=10, в) А=20, г) М=30, д) М=100. Для АС^20 в качестве точного значения In АП принять значение, вычисленное по трехчленной формуле Стирлинга, приведенной в задаче 2.106.
2.108. Оценить для газа, находящегося при нормальных условиях (р=1,013-105 Па, 7'=273 К), линейные размеры I объема АК=/3, приходящегося в среднем на число молекул АМ=103.
2.109. Энтропия моля водорода (Н2) при температуре 25 °C и давлении 1,013-105 Па (1 атм) равна Ам= = 130 Дж/(моль-К). Определить статистический вес Q:
а) одного моля;
б) двух молей водорода при указанных условиях.
2.110. Определить, во сколько раз увеличивается статистический вес Q моля воды при переходе ее из жидкого в газообразное состояние при температуре 100 °C.
2.111. Как ведет себя энтропия термодинамической системы при адиабатическом процессе?
2.112. Может ли возрастать энтропия системы в ходе процесса, при котором система отдает тепло внешней среде?
2.113. Некоторый газ переходит из состояния 1 в состояние 2 посредством обратимого адиабатического процесса. Может ли этот газ перейти из состояния 1 в состояние 2 посредством необратимого адиабатического процесса?
2.114. На рис. 2.11 изображены две изоэнтропы для одной и той же массы идеального газа. Какая из энтропий больше?
85
2.115. Изобразить для идеального газа графики изотермического и адиабатического процессов на диаграмме U, S.
2.116. Изобразить для идеального газа примерные графики изотермического, изохорического, изобарического и адиабатического процессов на диаграмме: а) Т, S; б) V, S;
в) р, S. Энтропию S откладывать по оси ?I I абсцисс. Графики изобразить проходя-
I I щими через общую для них точку.
I 1 2.117. Как ведет себя энтропия в
\ \ ходе каждого из процессов, изображен-
\ V2 ных на рис. 2.4 (см. задачу 2.29)?
ХД \ 2.118. Изобразить для идеального
X. газа примерные графики изохорическо-
______го, изобарического, изотермического и у адиабатического процессов на диаграм-Рис. 2.11 ме: a) S, Г; б) S, V; в) S, р. Энтропию
S откладывать по оси ординат. Исходной для всех графиков принять общую точку.
2.119. Некоторое количество газа переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 посредством: а) обратимого адиабатического процесса, б) некоторого необратимого процесса. Начальное и конечное состояния газа для обоих процессов одинаковы.
1. Чему равно приращение энтропии газа AS в обоих случаях?
2. Может ли второй процесс быть также адиабатическим?
2.120. На рис. 2.12 некоторым количеством
изображен процесс,. совершаемый идеального газа. Известно, что
86
приращение энтропии ASi2 в ходе процесса 1—2 отличается от приращения энтропии AS23 в ходе процесса 2—3 только знаком. Что можно сказать о состояниях 1 и 3?
2.121. На рис. 2.13 изображен процесс 1—2—3, переводящий идеальный газ из состояния 1 в состояние 3. Процесс 1—2 обратим, процесс 2—3 необратим. Состояния 1 и 3 лежат на одной адиабате. Процесс 1—2 изотермический; он протекает при Т=300 К и сопровождается совершением газом работы А 2=3,00 Дж. Чему равно приращение энтропии AS2з в ходе процесса 2—3?
2.122. В некоторой температурной области энтропия термодинамической системы изменяется с температурой по закону: S=aJrbT, где а — константа, 3=5,00 Дж/К2-Какое количество теплоты Q получает система при обратимом нагревании в этой области от 7\=290 К до Т2= =310 К?
2.123. Моль одноатомного идеального газа нагревается обратимо от 7\=300 К До Та=400 К. В процессе нагревания давление газа изменяется с температурой по закону р—р0 ехр(аТ), где а=1,00-10~3 К-1- Определить количество теплоты Q, полученное газом при нагревании.
Рис. 2.14
2.124. Круговой процесс на диаграмме Т, S изображается эллипсом, показанным на рис. 2.14. Используя данные, приведенные на рисунке, определить работу А, совершаемую рабочим телом за цикл.
2.125. Энтропия 1 г азота при температуре 25 °C и давлении 1,00-105 Па равна Si=6,84 Дж/(г-К). Определить энтропию 2 г азота при температуре 100 °C и давлении 2,00-10s Па.
2.126. Энтропия моля кислорода при температуре 25 °C и давлении 1,00-10® Па равна Si=204,8 Дж/(моль-К).
87
В результате изотермического расширения объем, занимаемый газом, увеличился в два раза. Определить энтропию S2 кислорода в конечном состоянии.
2.127. Найти приращение энтропии ASM моля одноатомного идеального газа при нагревании его от 0 до 273 °C в случае, если нагревание происходит:
а) при постоянном объеме,
б) при постоянном давлении.
2.128. Идеальный газ, расширяясь изотермически (при 7=400 К), совершает работу Л =800 Дж. Что происходит при этом с энтропией газа?
2.129. В ходе обратимого изотермического процесса, протекающего при температуре Т=350 1\, тело совершает работу Л =80 Дж, а внутренняя энергия тела получает приращение Д(/=7,5 Дж. Что происходит с энтропией тела?
2.130. Идеальный газ, расширяясь изотермически при температуре Т, переходит из состояния 1 в состояние 2 (рис. 2.15). Состояние 1 лежит на адиабате, отвечающей энтропии Si, состояние 2 — на адиабате, отвечающей энтропии S2. Какую работу А совершает газ в ходе процесса?
2.131. Найти приращение энтропии AS при превращении массы т=200 г льда, находившегося при температуре =—10,7 °C, в воду при /2=0 °C. Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. Температуру плавления принять равной 273 К.
2.132. Найти приращение энтропии AS при конденсации массы т=1,00 кг пара, находившегося при температуре ti=100 °C, в воду и последующем охлаждении воды до температуры /2=20 °C. Теплоемкость воды считать не зависящей от температуры. Конденсация происходит при давлении, равном 1 атм.
2.133. В ограниченном интервале температур приращение энтропии некоторого вещества оказывается пропорциональным приращению температуры: AS=aAT. Как зависит от температуры теплоемкость С вещества в том же интервале?
2.134. Теплоемкость тел с простыми кристаллическими решетками изменяется вблизи абсолютного нуля по закону: С=аТ3, где а — константа. Определить энтропию S тела при этих условиях.
2.135. Найти зависимость энтропии SM моля идеального газа (у — известно) от объема Км для процесса, при котором давление газа пропорционально его объему.
88
у 2.136. Моль идеального газа (у=1,40) совершает обратимый процесс, в ходе которого энтропия газа изменяется пропорционально термодинамической температуре. В результате процесса внутренняя энергия газа изменяется от £7±=6,00 кДж/моль до £/2=7,00 кДж/моль. Энтропии в исходном состоянии S1=200 Дж/(моль-К). Найти работу А, совершаемую газом в ходе процесса.
У 2.137. 1,000 г кислорода первоначально заключен в объеме ¥2=0,200 л под давлением р!=500 Па. Затем газ расширился, в результате чего объем газа стал равным ¥2=0,500 л, а давление — равным р2=200 Па. Считая
газ идеальным, определить:
а) приращение энтропии газа AS,
б) приращение внутренней энергии газа AU.
/ 2.138. Сосуд разделен на две равные части перегородкой с закрытым пробкой отверстием. В одной из половин со-суда содержится моль идеального газа, в другой половине сосуда — вакуум. Пробку удаляют, и газ распространяется
на весь объем. Считая процесс адиабатическим, определить:
а) приращение внутренней энергии газа At/M,
б) приращение энтропии газа ASM.
2.139. Доказать, что внутренняя энергия U, энтропия S и свободная энергия F смеси двух идеальных.
газов равны сумме соответствующих
l-й газ
2-й^аз
Сосуд f
Сосуд 2
Рис. 2.16
величит отдельных компонент сме-
си. С этой целью рассмотреть процесс разделения смеси, содержащей Vi молей компоненты 1 и v2 молей компоненты 2. Поместить смесь в сосуд, состоящий из двух вставленных друг в друга сосудов одинакового объема V (рис. 2.16). Дно сосуда 1 свободно пропускает молекулы 2 и непроницаемо для молекул 1. Крышка сосуда 2 свободно пропускает молекулы 1 и непроницаема для молекул 2. Вначале сосуды полностью вдвинуты друг в друга и в их общем объеме V содержится газовая смесь. Стенки сосудов не пропускают тепло. Очень медленно выдвигая сосуд 2 из сосуда, 1, можно осуществить обратимое адиабатическое разделение компонент. Требуется доказать, что U, S и F системы при этом не изменяются. Тем самым будет доказано высказанное вначале утверж
дение.
2.140. Имеется сосуд, разделенный перегородкой на две части. В одной из них находится Vj. молей одного газа,
89
в другой — v2 молей другого газа. Оба газа идеальные. Температура и давление обоих газов одинаковы. Перегородку убирают и газы полностью перемешиваются. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, найти приращение энтропии AS.
2.141. Решить задачу 2.140, рассмотрев изотермический процесс разделения смеси посредством перемещения
двух перегородок, одна из которых свободно пропускает молекулы 1 и непроницаема для молекул 2, другая свободно пропускает молекулы 2 и непроницаема для молекул 1. Первоначально первая перегородка помещается у левого дна сосуда, вторая — у правого (рис. 2.17). Затем перегородки пе-
Рис. 2.17
ремещаются поочередно в положение, при котором давление в обеих частях сосуда будет одинаковым.
2.142. При 7=25 °C и р—1013 гПа энтропия моля азота равна 192 Дж/(моль- К), а моля кислорода 205 Дж/(моль- К). Полагая, что в воздухе на одну молекулу кислорода приходится четыре молекулы азота, и пренебрегая остальными компонентами воздуха, найти:
а) энтропию SM моля воздуха при 25 °C,
б) зависимость SM от Т в области температур, в которой
воздух подчиняется законам идеального газа.
В обоих случаях р=1013 гПа.
. 2.143. Температура в комнате объема 7=50,0 м3 поднялась от 15,0 до 20,0 °C. Использовав результат предыдущей задачи, определить приращение энтропии AS воздуха, содержащегося в комнате. Атмосферное давление предполагается неизменным и равным р = 1013 гПа.
2.144. Некоторый идеальный газ совершает при температуре Т=300 К обратимый изотермический процесс, в ходе которого над газом совершается работа А' =—900 Дж. Найти приращение энтропии AS и приращение свободной энергии AF газа.
2.145. Переход некоторой термодинамической системы из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 сопровождается получением количества теплоты Q й приращением свободной энергии AF. Температура и энтропия изменяются от значений 7\, Si до Т2, S3. Какую работу А совершает при этом система?
2.146. В результате обратимого адиабатического расширения температура моля одноатомного идеального газа
90
понижается на Л7'=10,0 К. Энтропия газа SM= =20,0 Дж/(моль- К). Найти приращение свободной энергии газа
2.147. Найти приращение свободной энергии газа А К в ходе процесса 7—2, описанного в задаче 2.130.
2.6. Циклы
2.148. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор (рис. 2.18).
1. Как ведет себя: а) внутренняя энергия, б) энтропия на различных участках цикла?
2. На каких участках: а) совершаемая газом работа А, б) получаемое газом количество теплоты Q больше (меньше) нуля?
2.149. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух адиабат и двух изобар (рис. 2.19).
1. Как ведет себя: а) внутренняя энергия, б) энтропия на различных участках цикла?
2. На каких участках: а) совершаемая газом работа А, б) получаемое газом количество теплоты Q больше (меньше) нуля?
2.150. Изобразить на диаграмме Т, V совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из: а) двух изотерм и двух изобар, б) двух изобар и двух изохор.
2.151. Изобразить на диаграмме Т, р совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из: а) двух изотерм и двух изохор, б) двух изохор и двух изобар.
2.152. Изобразить на диаграмме Т, S совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор.
91
2.153. Круговой процесс состоит из изотермы, адиабаты и двух изобар (рис. 2.20). Изобразить этот процесс на диаграмме Т, S.
V 2.154. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от нагревателя количество теплоты Qj=300 кДж. Температуры нагревателя и холодильника равны соответственно 7'1=450 К и Т2=280 К. Определить работу А, совершаемую рабочим веществом за цикл.
Рис. 2.20
2.155. На рис. 2.21 изображен на диаграмме р, V цикл Карно для идеального газа. Какая из заштрихованных площадей — / или // — больше?
2.156. На рис. 2.22 показан цикл Карно. Рабочим веществом служит двухатомный идеальный газ. Объем газа в состояниях 1 и 2 равен соответственно Vi = l,00- 10-2м3 и У2=2,00-10~г м3. Работа, совершаемая за цикл, Л = =7,2 кДж. Вычислить работу Л41, совершаемую газом в ходе процесса 4—1. Колебательная степень свободы молекул не возбуждается.
\/2.157. Идеальный газ (у известно) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Изотермические процессы протекают при температурах Ti и Т2 (Т^Тг), изохорические — при объемах Vi и V2 (Va в е раз больше, чем KJ. Найти к. п. д. ц цикла.
2.158. Идеальный газ (у известно) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар. Hsq-термические процессы протекают при температурах 7\ и Т2 (7\>-Тя), изобарические — при давлениях р^ и рг (ри в е раз больше, чем рг). Найти к. п. д. ц цикла,
92
2.159. Приняв в качестве рабочего вещества идеальный газ (у=1,40) и положив температуры равными Т^бОО К и 7\=300 К, вычислить к. п. д. rj цикла:
а) Карно,
б) рассмотренного в задаче 2.157,
в) рассмотренного в задаче 2.158.
2.160. Доказать, что к. п. д. любого обратимого цикла, совершающегося в интервале температур от 7\ до Т2 (T^Tz), меньше к. п. д. соответствующего цикла Карно.
I ....... I-;—
St S
Рис. 2.23
Указание. Сопоставить циклы на диаграмме Т, S.
2.161. Обратимый цикл, совершаемый некоторой термодинамической системой, имеет на диаграмме Т, S вид, показанный на рис. 2.23. Найти к. п. д. цикла.
2.7. Уравнение Ван-дер-Ваальса
2.162. Моль азота охлажден до температуры —100 °C. Определить давление р, оказываемое газом на стенки сосуда, если объем V, занимаемый газом, равен: а)' 1,00 л,
93
б) 0,100 л. Сравнить р с давлением рял, которое имел бы азот, если бы сохранил при рассматриваемых условиях свойства идеального газа.
2.163. Решить предыдущую задачу для двух молей азота и тех же значений температуры и объема. Сравнить полученный результат с ответом к предыдущей задаче.
2.164. Для определения постоянных Ван-дер-Ваальса некоторое количество газа, занимающее при 7’1=300 К и р1=1,00-107 Па объем К1=6,79-10-4 м3, было изотермически сжато до объема V2=4,00-10-4 м3, в результате чего давление возросло до значения р2=1,65-107 Па. Затем газ был охлажден при неизменном объеме до температуры 7’2=200 К. Давление при этом уменьшилось до значения р3=0,819 • 1 О’ Па. Воспользовавшись этими данными, вычислить постоянные а и & для моля газа.
2.165. Моль азота расширяется адиабатически в пустоту, в результате чего объем газа увеличивается от значения Ух = 1,00 л до К2=10,0 л. Определить приращение температуры газа А 7.
2.166. Два моля водорода расширяются в пустоту, в результате чего объем газа увеличивается от значения V1=2,00i л до К2=10,0 л. Какое количество теплоты Q нужно сообщить газу, чтобы температура его не изменилась?
2.167. Получить выражение для работы А, совершаемой молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении от объема Vi до объема У2. Температура газа Т, постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь. Сравнить полученное выражение с аналогичным выражением для идеального газа.
2.168. Моль кислорода, занимавший первоначально объем V1 = l,000 л при температуре —100 °C, расширился изотермически до объема К2= 10,00 л. Найти:
а) приращение внутренней энергии газа Д£7М,
б) работу А, совершенную газом (сравнить А с работой Двд, вычисленной по формуле для идеального газа).
в) количество теплоты Q, полученное газом.
>2.169. Получить для ван-дер-ваальсовского газа уравнение адиабаты в переменных V и Т, а также в переменных V и р. Сравнить полученные уравнения с аналогичными уравнениями для идеального газа.
4,2.170. а) Определить для ван-дер-ваальсовского газа разность молярных теплоемкостей CP—CV.
б) Вычислить эту разность для азота в объеме V= 1,00 л при температуре (==—100 °C (выразить ее через /?),
94
2.171. Вычислить по формуле, полученной в задаче 2.170, разность Ср—Cv для кислорода при р=5,00х X107 Па и Т=273 К. При этих условиях моль кислорода занимает объем У=0,564-10“4 м3.
2.172. Пропуская поток газа через пористую перегородку, установленную в теплоизолированной трубе, Джоуль и Томсон наблюдали изменение температуры газа, обусловленное отклонением газа от идеальности (это явление получило название «эффект Джоуля — Томсона»).
Пусть перед перегородкой состояние газа характеризуется молярным объемом Vi и температурой Тр За перегородкой температура газа равна Т2. Считая процесс адиабатическим и применив первое начало термодинамики к порции газа, проходящей через перегородку, найти приращение температуры газа ДТ=Т2—Т\ (выразить ДТ через Vi и Т^. До расширения газ считать ван-дер-вааль-совским, после расширения — идеальным.
2.173. Что будет происходить с газом вследствие эффекта Джоуля — Томсона (см. задачу 2.172), если ТТ> >2а!Ы&
2.174. Вычислить приращение температуры ДТ водорода вследствие эффекта Джоуля — Томсона (см. задачу 2.172), получающееся в случае, если /71 = 1О,О-1О5 Па и Тх равна: а) 273, б) 210,5, в) 173 К. Значения Vi можно определять по уравнению состояния идеального газа.
2.175. Вычислить приращение температуры ДТ азота вследствие эффекта Джоуля —• Томсона (см. задачу 2.172),
95
получающееся в случае, если pi=10,0 106 Па и равна: а) О °C, б) 100 °C. Значения Vt можно определять по уравнению состояния идеального газа.
V2.176. Найти выражение для энтропии моля ван-дер-ваальсовского газа (в зависимости от Т и У). Сравнить полученное выражение с аналогичной формулой для идеального газа.
2.177. Сосуд объема V делится на две равные части перегородкой с закрытым пробкой отверстием. В одной из половин сосуда содержится моль ван-дер-ваальсовского газа (с известными а, b и Cv), имеющий температуру Т. Пробку удаляют, и газ распространяется на весь объем. Считая процесс расширения адиабатическим, определить:
а) приращение внутренней энергии газа At/M,
б) приращение температуры газа Д71,
в) работу Лмол сил межмолекулярного притяжения, г) приращение энтропии газа ДД’М.
2.178. Доказать, что площади I и II, заключенные между участками изотермы Ван-дер-Ваальса и прямым участком 1—2 реальной изотермы (рис. 2.24), одинаковы.
2.8. Жидкости и кристаллы
2.179. Может ли: а) неоднородное тело быть изотроп-
ным, б) однородное тело быть анизотропным?
2.180. Кристаллы CsCl имеют кубическую объемно-
центрированную
решетку. В вершинах кристаллической ячейки с ребром, равным 0,41 нм, находятся ионы хлора, в центре ячейки — ион цезия. Найти молярный объем Ум и плотность р кристаллов.
2.181. Использовав закон Дюлонга и Пти, определить удельную теплоемкость с: а) меди, б) алюминия.
2.182. Сферическая капля ртути была разделена на: а) 10, б) 100, в) 1000 одинаковых капель. ’Как изменилось при этом капиллярное давление внутри капель?
2.183. U -образный сосуд состоит из сообщающихся широкой и узкой трубок (рис. 2.25). При наливании в сосуд воды между уровнями ее в узкой и широкой трубках устанавливается разность высот й=8,0 см. Внутренний радиус широкой трубки rf=5,0 мм. Считая смачивание полным, найти радиус узкой трубки гг.
96
, 2.184. В стеклянную трубку с внутренним диаметром ^*=20,00 мм вставлена коаксиально стеклянная палочка >диаметра d2= 19,00 мм. Считая смачивание полным, определить высоту h капиллярного поднятия воды в кольцевом зазоре между трубкой и палочкой.
2.185. Капля ртути объема 7=22,5 мм3 помещена между двумя расположенными горизонтально стеклянными пластинками. С какой силой F нужно прижимать друг к другу пластинки, чтобы установить между ними зазор <2=3,00 мкм? Несмачивание ртутью пластин считать полным.
2.186. По краю одной из круглых стеклянных пластин имеется кольцевой выступ высоты й=2,00 мкм. Между пластинами помещена капля воды объема 7=15,0 мм3, после чего пластины прижаты друг к другу (рис. 2.26). Какую силу F нужно прило- ,
жить к пластинам, чтобы _________________Г_________
оторвать их друг от друга. I ч////т777т77т7777тл - Ч Смачивание считать полным. Г __________
2.187. Две вертикальные
параллельные друг другу РИС. 2.26
стеклянные пластины погру-
жены частично в воду. Зазор между пластинами <7=0,500 мм, размер пластин по горизонтали 7=10,0 см. Считая смачивание полным, определить:
а) высоту А, на которую поднимается вода в зазоре, б) силу F, с которой пластины притягиваются друг к другу.
2.188. Две стеклянные пластины сложены так, что зазор между ними образует вертикально расположенный клин с очень малым углом <р при вершине. Пластины погружают частично в жидкость плотности р. Считая смачивание полным, определить уравнение кривой, по которой пересекается каждая из пластин с поверхностью жидкости в зазоре. Ось у направить вверх по ребру клина, ось х — горизонтально вдоль внутренней поверхности пластины, расположив эту ось на уровне жидкости вне клина. Поверхностное натяжение жидкости равно а.
2.189. После покрытия слоем парафина радиус отверстий решета стал равен г=1,50 мм. Приняв во внимание, что вода не смачивает парафин, определить высоту h слоя воды, который можно носить в решете так, чтобы вода не пролилась через отверстия.
2.190. Определить, на какой глубине h образуются пузырьки газа в воде, если при всплытии пузырьков их
4 И. В. Савельев
97
радиус увеличивается в т) = 1,10 раза, достигая на по-* верхностй значения г=1,00 мкм. Атмосферное давление р=1,00-Ю6 Па. Считать, что температура газа в пузырьке во время всплытия не изменяется.
М: 1^гее? io7jZot<
2.9. Фазовые равновесия и превращения
2Q ^9.00
2.191. У каких веществ равновесный переход из твердой фазы в газообразную происходит при атмосферном давлении, минуя жидкую фазу?
v 2.192. Для области температур, в которой удельным объемом жидкости можно пренебречь по сравнению с । удельным объемом насыщен-
ного пара, найти зависимость давления насыщенных паров п от температуры Т. Удельную теплоту парообра-р ......... т _____зования q считать не зави-
Л'7 I | сящей от температуры.
__________!_______I 2.193. На рис. 2.27 дана °'_______________________изотерма некоторого вещест-
Р j S7 ва. Горизонтальный участок
изотермы соответствует двухфазным состояниям «жидкость + насыщенный пар». Известны: температура Т, давление насыщенного пара п при этой температуре, масса вещества пг, удельная теплота испарения qx,, удельные объемы жидкости V'x и насыщенного пара V2. Найти:
а) работу А)г, совершенную веществом при переходе из состояния 1 в состояние 2,
б) количество теплоты Q12, полученное при этом переходе,
в) приращение внутренней энергии U2—Ux,
г) приращение энтропии S3—St,
д) приращение свободной энергии Г2—Fx.
2.194. На рис. 2.28 показана точка А на кривой упругости насыщенного пара некоторого вещества. Что соответствует этой точке на диаграмме р, V?
2.195. На рис. 2.29 показан участок изотермы, отвечающий переходу некоторого вещества из кристаллического в жидкое состояние. Что соответствует этому участку на диаграмме р, Т? 98
2,196. На рис. 2.30 а изображены три изотермы и изо-
бара.
а) Изобразить эти линии на диаграмме р, Т, приведенной на рис. 2.30 б.
Рис. 2.29
б) Что соответствует на диаграмме р, Т области, расположенной под колоколообразной кривой на рис. 2.30 а?
2. 10. Физическая кинетика
2.197. Зазор между двумя очень длинными коаксиальными цилиндрическими поверхностями заполнен однородным изотропным веществом. Радиусы поверхностей: г± = =5,00 см, г2=7,00 см. Внутренняя поверхность поддерживается при 7'1=290 К, наружная поверхность — при Т2= =320 К. Найти для средней части цилиндров зависимость температуры Т от расстояния г до оси.
2.198. Зазор между двумя концентрическими сферами заполнен однородным изотропным веществом. Радиусы 4* 99
С
I
Рис. 2.31
сфер равны: ^=10,0 см и г2=20,0 см. Поверхность внутренней сферы поддерживается при температуре 7\=400,0К, поверхность внешней сферы — при температуре 7\=300,0К. В этих условиях от внутренней сферы к внешней течет установившийся тепловой поток <7=1,000 кВт. Считая теплопроводность % вещества в зазоре не зависящей от температуры, определить:
а) значение х,
б) температуру в зазоре Т (г) как функцию расстояния г от центра сфер.
2.199. Два тела, теплоемкость каждого из которых ра-
вна С=500 Дж/К, соединены стержнем длины /=40,0 см с площадью поперечного сечения 5=3,00 см2 (рис. 2.31). Теплопроводность стержня не зависит от температуры и равна х=20,0 Вт/(м-К). Тела и стержень образуют теплоизолированную систему. В начальный момент температуры тел отличаются друг от друга. Найти время т, по истечении которого разность температур тел уменьшится в г] =2 раза. Теплоемкостью стержня и неоднородностью температуры в пределах каждого из тел пренебречь. •
2.200. Кислород находится при температуре Т=300 К под давлением /7=1,00-10® Па. Определить:
а) среднюю длину свободного пробега молекул X, б) среднее время свободного пробега молекул т.
Сравнить X со средним расстоянием между молекулами (а) (см. задачу 2.6).
2.201. Найти число v столкновений за секунду между молекулами азота, содержащимися в 1 м3 при р = 1,00 105 Па и Т=300 К.
2.202. Теплопроводность гелия при /=0°С и /7 = 1013 гПа равна х =0,143 Вт/(м-К). Считая числовой коэффициент в выражениях для D, х и ц равным 1/3, оценить коэффициент самодиффузии D и вязкость ц гелия при тех же условиях. Сравнить полученные значения с табличными (полученными экспериментально).
2.203. Коэффициентсамодиффузии кислорода при /=0 °C и /7 = 1013 гПа равен £> = 1,8-10-5 м2/с. Оценить среднюю длину свободного пробега X молекул кислорода при тех же условиях. Сравнить X со средним расстоянием (а) между молекулами (см. задачу 2.6).
2.204. Вычислить коэффициент взаимной диффузии водорода и азота при температуре £=300 К и давлении /7=1,00-10в Па.
100
2.205. Между двумя параллельными плоскими очень большими пластинами имеется зазор <2=1,00 см, заполненный аргоном. Между пластинами поддерживается разность температур А7'=1,00 К (Т1=299,5 К, 7\=300,5 К). Оценить плотность теплового потока q/S в случае, если давление аргона равно: а) 1,00-10® Па, б) 1,00-104 Па, в) 1,00-10"1 Па, г) 1,0010“2 Па.
Примечание. Следует иметь в виду, что формула х = %р(ц)Л<?у дает лишь порядок величины теплопроводности газов. Числовое значение х, определенное по этой формуле, может отличаться от экспериментального в несколько раз.
2.206. В термос налита вода массы т=1,00 кг. Внутренняя поверхность баллона термоса 5=700 см2. Зазор между внутренним и внешним сосудами баллона «=5,00 мм. Давление газа в зазоре р=0,100 Па. Полагая, что отвод тепла от содержимого термоса осуществляется только за счет теплопроводности газа в зазоре, определить, за какое примерно время т температура воды уменьшится от 90 до 80 °C. Температуру вне термоса принять равной 20 °C.
2.207. Горизонтально расположенный диск радиуса 7?= =0,200 м подвешен на тонкой упругой нити над таким же укрепленным на вертикальной оси диском. Коэффициент кручения нити (отношение приложен-ного вращающего момента к углу закручивания) %=3,62-10“4 Н-м/р ад.
Зазор между дисками «=5,00 мм. На какой угол а закрутится нить, если нижний диск привести во вращение с угловой скоростью о =20,0 рад/с? C.J'1
2.208. Один из способов измерения ________
вязкости газов заключается в наблюде- Q нии скорости затухания крутильных ко- %ййа===3я«>,\ лебаний горизонтального диска, подве- У
шейного на ТОНКОЙ упругой НИТИ над
таким же неподвижным диском (рис. Рис. 2.32
2.32). Получить формулу, связывающую
вязкость ц газа, находящегося между дисками, с массой диска т, радиусом диска /?, зазором а и коэффициентом затухания колебаний р. Считать, что трения в подвесе нет.
2.209. В тонкой перегородке, разделяющей сосуд на две части, имеется круглое отверстие радиуса г=1,00 мм. В сосуде находится гелий под давлением /7 = 1,00 Па. Стенки сосуда поддерживаются при температуре Т=300 К.
101
Определить количество v молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени в каждом из направлений.
2.210. Газ, заключенный в сосуде объема V, вытекает в вакуум через отверстие, диаметр которого много меньШе длины свободного пробега молекул. Площадь отверстия равна S. Процесс протекает изотермически при Температуре Т. Найти время т, за которое давление газа в сосуде уменьшается в г] раз. Молярная масса газа равна М.
2.211. Два сосуда разделены тонкой не проводящей тепло прокладкой. Стенки сосуда 1 поддерживаются при температуре 7\=300 К, сосуда 2 — при температуре 7\= =500 К. Сосуды сообщаются через отверстие, размеры которого в 15 раз меньше средней длины свободного пробега молекул газа, заполняющего сосуды. Установившееся давление газа в сосуде 1 равно Д!=0,100 Па. Чему равно давление газа р2 в сосуде 2?
102
Часть &
е--------•
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Обозначений
А работа
Аг — относительная атомная масса
а — радиус
В — магнитная индукция Ь — радиус, расстояние С — электрическая емкость Са — циркуляция вектора а с — скорость света в вакууме D — электрическое смещение d — Диаметр, расстояние, толщина
Е — напряженность электрического поля
$— электродвижущая сила, действующее значение э. д. с.
е — элементарный заряд
F — сила
Н — напряженность магнитного поля
I — сила тока
J — намагниченность j — плотность тока k — коэффициент кручения, коэффициент трения
L — индуктивность
Lj2 — взаимная индуктивность
I — длина, расстояние М — момент импульса т — масса
тс — масса электрона
п — число витков на единицу длины, частота вращения
Р — поляризованность
Р — мощность
Рг — остаточная поляризованность
р — электрический дипольный момент, импульс
Рю ‘— магнитный момент
Q — добротность контура, количество теплоты
q — электрический заряд
R — активное сопротивление, радиус
г — радиус-вектор t — радиус, расстояние S — площадь, поверхность s — путь
Т — период колебаний t — время
U — напряжение, разнежь потенциалов
V — объем
W — энергия w — ускорение w — плотность энергии а — угол
6 — относительная погрешность, плотность (масса единицы объема)
е — диэлектрическая проницаемость
& — полярный угол
Z. — линейная плотность заряда р — магнитная проницаемость v — частота р — объемная плотность заряда, удельное сопротивление о — поверхностная плотность заряда
°р — прочность на разрыв т — время
Фа — поток вектора а
<р — потенциал
со +- круговая частота, угловая скорость
103
3.1. Электрическое поле в вакууме
3.1. С какой относительной погрешностью 6 надо измерять заряды порядка 10-9 Кл, чтобы обнаружить дискретную природу заряда?
3.2. Некоторый заряд имеет в системе отсчета К величину q. Какова будет величина этого заряда q' в системе отсчета К', движущейся относительно /< со скоростью щ?
3.3. Чему равен суммарный заряд q моля электронов?
3.4. Найти суммарный заряд q атомных ядер меди, содержащихся в 1 см3.
3.5. Сопоставить силу кулоновского взаимодействия Fe двух электронов с силой их гравитационного взаимодействия Fg.
3.6. Вычислить ускорение w, сообщаемое одним электроном другому, находящемуся от первого на расстоянии г = 1,00 мм.
3.7. Какую массу т’р должен был бы иметь протон для того, чтобы сила электростатического отталкивания двух протонов уравновешивалась силой их гравитационного притяжения?
3.8. Какие заряды qc и q3 (пропорциональные массам тс и т3) нужно было бы сообщить Солнцу и Земле для того, чтобы сила кулоновского взаимодействия между ними оказалась равной силе гравитационного взаимодействия?
3.9. При каком одинаковом для Солнца и Земли удельном заряде q/m сила кулоновского взаимодействия между ними оказалась бы равной силе гравитационного взаимодействия? Сравнить полученное значение q/m с удельным зарядом е/те электрона.
3.10. Имеются две системы точечных зарядов <?!, q2 . . , qit . . ., qN) и q[, q’2, . . ., q'k, . ., <7.'v2, закрепленных в точках с радиус-векторами г1( г2, . . ., гг, . . ., rKj и г(, г2, . . r'k, . . ., r’v2. Найти силу F, с которой система зарядов q/ действует на систему зарядов qt.
3.11. По телу объема V распределен заряд q с плотностью р=р(г); по телу объема V' распределен другой заряд q' с плотностью р=р(г')- Написать выражение для силы F, с которой заряд q' действует на заряд q.
3.12. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а помещаются точечные одинаковые по модулю заряды q. Найти потенциал <р и напряженность поля Е в центре шестиугольника при условии, что:
а) знак всёх зарядов одинаков,
б) знаки соседних зарядов противоположны.
104
3.13. N точечных зарядов qit q2, . . qit . , qN расположены в вакууме в точках с радиус-векторамй ri( г2, ... .. ., гг, . . ., rN. Написать Выражения для потенциала <р и напряженности поля Е в точке, определяемой радиус-вектором г.
3.14. По области V распределен заряд с плотностью р=р(г). Написать выражения для потенциала ср и напряженности поля Е в точке, определяемой радиус-вектором г'.
3.15. Найти потенциал ср и напряженность поля Е в центре сферы радиуса R, заряженной однородно с поверхностной плотностью о.
3.16. Заряд <7=2,00 мкКл распределен равномерно по объему шара радиуса /?=40,0 мм. Найти потенциал ср и напряженность поля Е в центре шара.
3.17. Найти потенциал ср и модуль Е напряженности поля в центре полусферы радиуса R, заряженной однородно с поверхностной плотностью о.
3.18. Сфера радиуса R с центром в начале координат заряжена с поверхностной плотностью G=kz, где k — константа, z — координата соответствующей точки сферы. Найти для центра сферы:
а) потенциал ср и напряженность поля Е,
б) значения производных д<$/дх, д<$/ду и dq/dz.
3.19. Что представляют собой эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля?
3.20. Напряженность некоторого поля имеет вид Е= =Еех, где Е — константа. Написать выражение для потенциала поля ср.
3.21. Электростатическое поле имеет вид Е=£'1еж+ +E2ey+E3ez, где Elt Е2, Е3 — константы.
а) Является ли это поле однородным?
б) Написать выражение для ср.
3.22. Напряженность некоторого электростатического поля определяется выражением: Е= (а/г3/2)е7, где а — константа.
а) Является ли это поле однородным?
б) Найти потенциал этого поля ср (г).
3.23. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: ср=ср (x24~</24~z2).
а) Что можно сказать о характере поля?
б) Найти модуль Е напряженности поля в точке х, у, г.
3.24. Потенциал некоторого- электростатического поля имеет вид: ср=ср(г, •&), где г—расстояние от начала координат, О — полярный угол.
а) Что можно сказать о характере поля?
10 5
б) Найти модуль Е напряженности поля в точке г, •&.
3.25. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: <p=a(x24-z/2)+&z2, где а и & — положительные константы.
й). Найти напряженность поля Е и ее модуль Е.
б) Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?
в) Какую форму имеют поверхности, для которых Е— =const?
3.26. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: <р=а(х24~«/2)—&z2, где а и & — положительные константы.
Ответить на те же вопросы, что и в задаче 3.25.
3.27. Находящийся в вакууме очень тонкий прямой стержень длины 2а заряжен с одинаковой всюду линейной плотностью %. Для точек, лежащих на прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, найти модуль Е напряженности поля как функцию расстояния г от центра стержня.
3.28. Для стержня из задачи 3.27 найти потенциал <р и модуль Е напряженности поля в точках, лежащих па оси стержня вне его, как функцию расстояния г от центра стержня. Исследовать случай г^>а.
3.29. Воспользовавшись ответом к задаче 3.27, получить выражение для модуля Е(г) напряженности поля бесконечной прямой нити, заряженной однородно с линейной плотностью /. (г — расстояние от оси нити).
3.30. По тонкому проволочному кольцу радиуса г— =60,0 мм равномерно распределен заряд </=20,0 нКл.
а) Приняв ось кольца за ось х, найти потенциал <р и напряженность поля Е на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца).
б) Исследовать случаи: х=0 и |х|^г.
в) Определить максимальное значение модуля напряженности Ет и координаты хт точек, в которых оно наблюдается.
г) Построить примерные графики функций <р(х) н Ех(х). Выяснить, чем для кривой <р(х) являются точки хт.
Напряженность поля вычислить двумя способами: 1) исходя из выражения для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей, 2) исходя из выражения для потенциала. Сравнить оба способа вычислений.
3.31. По круглой очень тонкой пластинке радиуса г= =0,100 м равномерно распределен заряд 7=1,00 мкКл. Приняв ось пластинки за ось х,
106
а) найти ф и Ех для точек, лежащих на оси, как функции х; исследовать полученные выражения для
б) вычислить ф и Ех в точке х=100 мм.
3.32. Очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь. По пластинке равномерно распределен заряд q. Приняв ось пластинки за ось х, найти ф и Ех на оси пластинки как функции х. Исследовать случай \х\^>Ь.
3.33. Воспользовавшись результатом задачи 3.31, получить выражение для Ех поля бесконечной плоскости, заряженной однородно с плотностью о (ось х перпендикулярна к плоскости).
3.34. В задаче 3.33 для напряженности поля, создаваемого бесконечной однородно заряженной плоскостью, получено выражение Е = . Возьмем точку Р, отстоящую от плоскости на расстояние Ь (рис. 3.1). Проведем вокруг
основания перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки Р, окружность радиуса а. Требуется найти значение а, при котором напряженность, создаваемая в Р зарядами, расположенными внутри окружности, составляет половину полной напряженности; определить также г и •&, соответствующие этому значению а.
<5
3.35. Имеется плоский конденсатор с круг- Рис. 3.1 лыми пластинами радиуса г, отстоящими друг
от друга на расстояние 2а (а<Сг). Пластинам сообщены одинаковые по модулю разноименные заряды. Ось, проходящую через центры пластин, обозначим буквой х. Начало координат поместим в центр конденсатора. Полагая, что
заряды распределены по пластинам равномерно с плотностью +сг и—<7, исследовать напряженность поля Е в точках, лежащих на оси х. С этой целью найти:
а) Ех как функцию х,
б) Ех(0), т. е. Ех в центре конденсатора,
в) Ех(а—0), т. е. Ех в точке с координатой х=а—5 (3->0), ‘
г) Ex(a+ty, т. е. Ех в точке с координатой х=а+6 (6-»-0),
д) Ех как функцию х в точках, для которых |x|S>r. Толщиной пластин пренебречь.
3.36. Найти потенциал ф и модуль Е напряженности поля диполя как функции г и •& (г — расстояние от центра диполя, •& — угол между осью диполя и направлением от
107
центра диполя к данной точке). Электрический момент диполя равен Р-
3.37. Каким свойством обладает электрический дипольный момент р нейтральной системы зарядов?
3.38. Какую работу А нужно совершить, чтобы повернуть диполь с моментом р из положения по полю Е в положение против поля?
3.39. Чему равен электрический дипольный момент р: а) квадруполя, б) октуполя?
3.40. Найти силу F взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на расстояние /=1,00-10-6м (10 нм). Электрический дипольный момент молекулы воды р=0,62-10~29 Кл-м. Дипольные моменты молекул считать расположенными вдоль соединяющей молекулы прямой.
3.41. Два одинаковых заряда +</ помещаются в точках с координатами (+«, 0) и (—а, 0) (рис. 3.2). Найти электрический дипольный момент р этой системы относительно точек с координатами: а) (—а, 0), б) (+а, 0), в) (0, 0), г) (0, +я).
3.42. Решить задачу 3.41, заменив в точке (—а, 0) заряд +<7 на —q.
3.43. На рис. 3.3 изображена система зарядов.
1. Как называется такая система?
2. Чему равен электрический дипольный момент р этой системы зарядов?
3. Найти приближенное значение потенциала ср в точке с координатами: а) (г, 0), б) (г, г), в) (0, г). Во всех случаях г^>а.
4. Сравнить потенциал ср в точке (г, 0) с потенциалом <р', который создавал бы в той же точке диполь, заряды которого -\~q и —q помещались бы в точках (+щ 0) и (—а, 0).
108
3.44. Заряды системы, изображенной на рис. 3.4, лежат
в плоскости х, у и помещаются в вершинах шестиугольника со стороной <2=10,0 мм; 7=1,00 мкКл.
1. Найти электрический дипольный момент р системы, а
также модуль р этого момента.
2. Определить в дипольном приближении потенциал (р,
создаваемый системой в
точке с координатами x1—yi — = 1,00 м.
3. Найти наибольшее сртах и наименьшее <pmin значения потенциала на расстоянии г= = 1,00 м от центра системы.
3.45. Расположенный на оси х тонкий стержень длины 2а
Рис. 3.4 Рис. 3.5
заряжен однородно с линейной плотностью X (рис. 3.5). Найти электрический дипольный момент р стержня относительно: а) левого конца, б) середины, в) правого конца стержня.
3.46. Решить задачу 3.45 для случая, когда линейная плотность заряда изменяется по закону k=kx (k — константа, начало координат помещается в середине стержня).
3.47. По тонкому кольцу радиуса R распределен равномерно заряд —q. В центре кольца расположен точечный заряд +q.
1. Чему равен электрический дипольный момент р этой системы зарядов?
2. а) Приняв ось кольца за ось х, начало которой помещается в центре кольца, найти потенциал <р и напряженность поля Е для точек оси, координата х которых по модулю много больше радиуса кольца R (|х|^>/?); б) каким мультиполем создается данное электрическое поле?
3.48. Найти электрический дипольный момент р сферы из задачи 3.18.
3.49. Воспользовавшись результатом задачи 3.48, найти потенциал <р поля, создаваемого сферой из задачи 3.18 на расстояниях от центра сферы г, много больших радиуса сферы R (r»R).
3.50. У изображенной на рис. 3.6 системы зарядов е —« элементарный заряд, а=0,100 нм.
109
1. Определить:
а) дипольный момент р системы,
б) приближенные значения потенциала ф и модуля напряженности поля Е в точке, лежащей на оси системы и отстоящей от центра системы на расстояние г=10,0 нм,
в) каким мультиполем обусловлены <р и Е.
2. Сравнить полученные значения ф и Е со значениями ф' и Е' поля точечного заряда —е на том же расстоянии г.
3.51. Вокруг заряда -\-е движется равномерно по круговой траектории радиуса а=0,100 нм заряд —е. Центр траектории совпадает с зарядом +е. Найти:
а) среднее значение' дипольного момента (р) этой системы,
б) средние значения потенциала (ф) и модуля напряженности поля (Е) в точке, лежащей в плоскости траектории па ~е +2е ~е расстоянии г= 10,0 нм от за-
—у— ' а-------о-- ряда -\-е. Сравнить получен-
" a J _ д I ’ ный результат с ответом к
** ** задаче 3.50, п. б).
Рис. 3.6 3.52. Исходя из опреде-
ления дивергенции вектора а как предела отношения потока Фа через замкнутую поверхность к объему V, ограниченному этой поверхностью: Va = lira (Фв/У), определить дивергенцию следующих век-V-f о торных полей:
а) а=/(х)еж, где f(x) — некоторая функция декартовой координаты х,
б) а=г, где г — радиус-вектор точки, в которой определяется дивергенция,
в) а=ег, где ег — орт радиус-вектора точки, в которой определяется дивергенция,
г) а=/(г)ег, где/(г) — некоторая функция модуля радиус-вектора.
3.53. Имеется однородное поле некоторого вектора а. Определить:
а) дивергенцию этого поля Va,
б) поток вектора а через произвольную замкнутую поверхность Фа.
3.54. Воспользовавшись тем, что однородное векторное поле не имеет источников, доказать, что для произвольной замкнутой поверхности £dS = O.
3.55. Вычислить поток Фг радиус-вектора г через сферу радиуса 7? с центром в начале координат.
110
3.56. Чему равен интеграл^) г dS, где г — радиус-вектор s
точки, в которой помещается элемент поверхности dS, S — произвольная замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
3.57. Известна функция /(г)', определяющая дивергенцию векторного поля a: Va=/(r). Написать выражение для потока Фа вектора а через сферу радиуса R с центром в начале координат.
3.58. В области векторного поля а имеется воображаемая замкнутая поверхность S, внутри которой всюду Va=0. Разделим S произвольно на две части Si и S2. В каком соотношении находятся потоки и Ф2 вектора а через Si и S2?
3.59. Имеется осесимметричное поле, создаваемое в вакууме тонкой бесконечной однородно заряженной нитью. Линейная плотность заряда равна X. Имеется также воображаемая сферическая поверхность радиуса R с центром на нити. Найти:
а) проекцию на нормаль к поверхности напряженности поля Еп,
б) поток Ф£ вектора Е через поверхность.
3.60. Найти зависимость плотности зарядов р от декартовых координат х, у, г, при которой напряженность поля описывалась бы функцией E=lxex-r2y2e„+3z3ez.
3.61. Найти зависимость плотности зарядов р от модуля г радиус-вектора, при которой напряженность поля описывалась бы функцией Е=Л ехр(—аг)ег, где Айа — константы.
3.62. 1. Какая система зарядов может создать в вакууме поле с напряженностью Е=от (а— константа, г—радиус-вектор)?
2. Чему равен для такого поля потокФя вектора Е через произвольную поверхность S, ограничивающую объем V?
3.63. Исходя из определения проекции ротора вектора а на направление п как предела отношения циркуляции Са по контуру, лежащему в плоскости, перпендикулярной к направлению п, к ограниченной контуром поверхности S: [?а]пр n=lim(Ca/S), определить ротор следующих вектор-о
ных полей:
a) a=f(x)ex, где — некоторая функция декартовой координаты х,
б) а=г, где г — радиус-вектор точки, в которой определяется ротор,
111
в) а=ег, где ег — орт радиус-вектора точки, в которой определяется ротор,
г) а=/(г)ег, где /(г) — некоторая функция модуля радиус-вектора.
3.64. Воспользовавшись тем, что взятый по любому замкнутому контуру ф d\ равен нулю, доказать, что однородное векторное поле является безвихревым.
3.65. Может ли электростатическое поле иметь вид Е= =а(уеж—хеу)?
3.66. Для поля Е=—а(уех—хеу) вычислить:
а) ротор в точке с координатами (х, у, г),
б) циркуляцию С по окружности радиуса Ь, лежащей в плоскости х, у (с центром в произвольной точке); направление обхода образует с осью z правовинтовую систему.
3.67. Имеется бесконечная плоскость, заряженная однородно с плотностью о. Ось х перпендикулярна к плоскости; начало отсчета х находится в точке пересечения оси с плоскостью.
а) Воспользовавшись теоремой Гаусса, найти выражение для Ех в точке с координатой х. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 3.33.
б) Найти зависимость <р от х.
в) Можно ли отнормировать выражение для <р так, чтобы <р обращался в пуль па бесконечности?
3.6’ 8. Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля?
3.69. Две параллельные бесконечные плоскости заряжены: одна с плотностью о1=+4,42-10-10 Кл/м2, другая с плотностью о2=—8,84-10~10 Кл/м2 (рис. 3.7). Найти напряженность поля Е для каждой из областей А, В и С.
+ <5f -<52
Рис. 3.7
Рис. 3.8
3.70. Две параллельные бесконечные плоскости заряжены разноименно с разными по модулю плотностями -f-cFi и —о2. Абсциссы указанных на рис. 3.8 точек равны: хх== 112
«в—3,00 м, х2=—1,00 м, х3=+2,00м, х4=+3,00м. Разность потенциалов между точками 2 и 1 равна <р2—Ф1= =*400 В.
а) Какая из плотностей (+(т4 или —<т2) больше по модулю?
б) Чему равна разность потенциалов <р4—<р3?
3.71. Имеется бесконечная очень тонкая прямая нить, заряженная однородно с линейной плотностью Z. Воспользовавшись теоремой Гаусса, найти модуль напряженности поля Е как функцию расстояния г от нити. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 3.29.
3.72. Бесконечная тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью Х=2,00 мкКл/м.
а) Найти Е и ср как функции расстояния г от нити. Потенциал на расстоянии г0=1 м положить равным нулю.
б) Вычислить Е и ср для г—10,0 м.
в) Можно ли отнормировать потенциал так, чтобы он обращался в нуль на бесконечности?
3.73. Электроды двухэлектродной лампы (диода) имеют форму нити радиуса а=0,100 мм (катод) и коаксиального с ней цилиндра радиуса &=2,72 мм (анод). На электроды подано напряжение (/=100 В. Найти модуль силы Fe, которую будет испытывать электрон, и силы FK, которую будет испытывать молекула воды, находясь в точке, отстоящей от оси катода на расстояние г= 1,00 мм. Дипольный момент молекулы воды р=0,62-10-29 Кл-м.
3.74. С какой силой F (на единицу длины)отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой плотностью заряда ?i=3,00 мкКл/м, находящиеся на расстоянии &=20,0 мм друг от друга? Какую работу А (на единицу длины) нужно совершить, чтобы сблизить нити до расстояния а=10,0 мм?
3.75. Имеется сфера радиуса R, заряженная однородно с поверхностной плотностью о.
а) Найти напряженность поля Е в точке, отстоящей на расстояние г от центра сферы (г<7?).
б) Какое заключение вытекает из ответа на п. а)?
в) Чему равен потенциал ф внутри сферы?
3.76. Какая сила F действует на электрон, находящийся в полости, образованной заряженным шаровым слоем, если объемная плотность р заряда в слое зависит только от расстояния г до центра слоя?
3.77. Шар радиуса R заряжен однородно с объемной плотностью р. Найти напряженность поля Е и потенциал ф для точек внутри шара.
113
3.78. Внутри шара, заряженного однородно с объемной плотностью р имеется сферическая полость, в которой заряды отсутствуют. Смещение центра полости относительно центра шара определяется вектором а. 14айти напряженность поля Е внутри полости. Рассмотреть случай а=0.
3.79. В 1903 г. Дж. Дж. Томсон предложил модель, согласно которой атом водорода представляет собой равномерно заполненный зарядом +е шар радиуса R, внутри которого находится электрон. Предполагая, что «сил трения» нет, определить характер движения электрона после того, как он будет выведен из положения равновесия.
3.80. Исходя из' модели атома, описанной в задаче 3.79, определить радиус положительно заряженного шара R, при котором частота колебаний электрона совпадает с частотой спектральной линии водородного атома, обозначаемой символом На. Длина волны этой линии Х=656,3 нм. Сравнить полученное значение R с размерами атомов, получающимися из кинетической теории газов.
3.81. Заряд <7=1,00 нКл распределен по шару радиуса R = 10,0 см с объемной плотностью, пропорциональной расстоянию г от центра шара. Найти:
а) потенциал ср0 в центре шара,
б) потенциал ср (г) внутри шара как функцию г,
в) модуль напряженности поля E(R/2) посередине расстояния от центра шара до его поверхности.
3.82. Пространство заполнено зарядом, плотность которого изменяется по закону р=р0/г, где р0 — константа, г — расстояние от начала координат. Найти напряженность поля Е как функцию радиус-вектора г. Исследовать характер линий напряженности. Область вблизи начала координат исключить из рассмотрения.
3.83. Пространство заполнено зарядом плотности р= =роехр(—аг3), где р0 и а — константы. Найти Е как функцию г. Исследовать характер поля при больших и малых г (большими считать значения г, удовлетворяющие условию аг3^>1, малыми — условию а/-:;«1).
3.2. Электрическое поле в диэлектриках
3.84. Диэлектрическое тело заряжено однородно с объемной плотностью ро=1,00 мкКл/м3. Какова будет объемная плотность заряда р, если тело привести в движение со скоростью v—0,500с?
3.85. Диэлектрическое тело, имеющее форму куба, заряжено однородно с поверхностной плотностью
114 '
= 1,00 мкКл/м2. Какова будет поверхностная плотность заряда а, если тело привести в движение в направлении одного из его ребер со скоростью о=0,500с?
3.86. Тонкий диэлектрический стержень заряжен однородно с линейной плотностью Хо=1,00 мкКл/м. Какова будет линейная плотность заряда X, если стержень привести в движение со скоростью п=0,500с в направлении, образующем с первоначальным направлением оси стержня угол а = =30°?
3.87. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью е электрическое смещение имеет значение D. Чему равна поляризованность Р в этой точке?
3.88. Имеются две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с плотностями +ст и —ст. Первоначально они находятся в вакууме. Затем зазор между плоскостями заполняется однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью е. Что происходит при этом с: а) напряженностью Е поля в зазоре, б) смещением D, в) разностью потенциалов U между плоскостями?
3.89. В однородное электрическое поле с напряженностью £0=100 В/м помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика с проницаемостью е=2,00. Пластина расположена перпендикулярно к Ео. Определить:
а) напряженность поля Е и электрическое смещение D внутри пластины,
б) поляризованность диэлектрика Р,
в) поверхностную плотность связанных зарядов ст'.
3.90. Бесконечная пластина толщины а из изотропного диэлектрика поляризована так, что поляризованность вблизи одной границы пластины Р1=Р1п, а вблизи другой границы Р2=Р2п, где ' п — единичный вектор, перпендикулярный к пластине и направленный от первой границы ко второй. Найти среднюю по объему пластины объемную плотность связанных зарядов (р'>. (
3.91. Бесконечная пластина из изотропного диэлектрика помещена в перпендикулярное к ней однородное внешнее электрическое поле напряженностью
Толщина пластины а, проницаемость изменяется линейно от значения gj на левой границе до е2 на правой границе. Вне пластины е=1. Найти:
а) ?Е внутри пластины как функцию х,
115
б) поток Фл вектора Е через воображаемую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными Оси х; основания цилиндра расположены в точках с xt=—а/2 и х2=+а/2; площадь каждого основания равна S,
в) объемную плотность р' связанных зарядов как функцию X.
3.92. Найти р' в середине пластины из задачи 3.91, если е!=2,00, е2=4,00, <2=1,00 см, Ео=3,ОО кВ/м.
3.93. Бесконечная диэлектрическая пластина толщины а (рис. 3.10) помещена во внешнее перпендикулярное к пластине однородное электрическое поле с напряженностью Ео. Проницаемость пластины изменяется по некоторому закону е(х) [е(0)=е1]. Какой вид должна иметь функция е(х) для того, чтобы плотность связанных зарядов изменялась по закону: p'=Pi/(14-ax), где р' и а — константы? Вне пластины е=1.
Рис. 3.10
3.94. Стеклянная пластинка с проницаемостью е2= =6,00 внесена в однородное электрическое поле с напряженностью E! = 10,0 В/м и расположена так, что угол между нормалью к пластинке и направлением внешнего поля равен 30°. Найти напряженность Е2 поля в пластинке, угол а2, который это поле образует с нормалью к пластинке, а также плотность о' связанных зарядов, возникших на поверхностях пластинки. Считать диэлектрическую проницаемость среды вне пластинки e^l.
3.95. В зазор между разноименно заряженными плоскостями ввели пластину из диэлектрика, не несущую сторонних зарядов (рис. 3.11). Штриховой линией на рисунке показана воображаемая замкнутая поверхность, частично проходящая внутри диэлектрика, частично вне его. Чему равен поток вектора D через эту поверхность?
3.96. Воображаемая замкнутая поверхность S проходит частично вне пластины из изотропного диэлектрика, частично — внутри нее (рис. 3.12). Поток вектора D через эту поверхность равен нулю, поток вектора Е больше нуля. Какие можно сделать из этого выводы?
116
3.97. Бесконечная пластина из диэлектрика с проницаемостью е заряжена однородно с объемной плотностью р. Толщина пластины равна 2а. Вне пластины 8=1. Направим ось х перпендикулярно к пластине; начало координат поместим в середине пластины. Найти <р и Ех внутри и вне пластины как функцию х (потенциал в середине пластины положить равным нулю). Построить графики <р и Ех.
3.98. Для пластины из задачи 3.97 найти:
а) поляризованность Р диэлектрика как функцию х, б) поверхностную плотность о' связанных зарядов на левой (х=—а) и на правой (х=+а) границах пластины, в) объемную плотность р' связанных зарядов.
3.99. Пластина из задачи 3.97 заряжена с плотностью р=р0 ехр(—а|х|), где р0 и а — константы. Найти:
а) проекцию напряженности поля на ось х,
б) объемную плотность связанных зарядов как функцию х.
3.100. Поляризованность Р некоторой среды оказывается пропорциональной выражению ег/г2, где ег — орт, а г — модуль радиус-вектора г. Чему равна объемная плотность р' связанных зарядов?
3.101. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика с е=5,00 создано однородное электрическое поле с напряженностью £'=100 В/м. Найти максимальную поверхностную плотность ОмаКС связанных зарядов и среднее значение о' одного знака.
3.102. Палочка из сегнетоэлектрика, обладающая остаточной поляризованностью Рг, направленной вдоль оси палочки, подвешена за середину в горизонтальном положении на тонкой неупругой нити. Определить частоту со малых колебаний, которые палочка будет совершать в однородном горизонтально направленном поле с напряженностью Е, настолько слабом, что оно не оказывает существенного влияния на поляризованность палочки. Длина палочки I, плотность б.
3.3. Проводники в электрическом поле
3.103. Точечный заряд 7=20,0 нКл находится в вакууме на расстоянии а=50,0 мм от заземленной плоской металлической стенки. Найти силу F, с которой стенка притягивает к себе заряд.
3.104. Вблизи заземленной плоской металлической стенки находится на расстоянии а от нее точечный заряд q. Определить поверхностную плотность о зарядов, индуци
117
рованных на стенке, как функцию расстояния х от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на стенку. Вычислить суммарный индуцированный заряд <7ИНД, полагая размеры стенки бесконечно большими.
3.105. Металлический шарик радиуса г=1 см заряжен до потенциала <р=1 В. В каком знаке изменится заряд шарика q, если с шарика вылетят 100 электронов?
3.106. Первоначально в пространстве между обкладками плоского конденсатора имеется вакуум. В этом случае
напряженность поля в зазоре равна Е, а электрическое смещение D. Затем половина зазора заполняется так, как показано на рис. 3.13 однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью е. Найти возникающие после этого значения Ех и D1 в части зазора 1, а также значения Е2 и D2 в части зазора 2. Рассмотреть два случая:
а) остается прежним напряжение между об-
Рис. 3.13
кладками,
б) остаются неизменными заряды на обкладках.
Изобразить примерный ход линий Е и D в зазоре.
3.107. Решить задачу, аналогичную задаче 3.106, с тем отличием, что диэлектриком заполняется половина зазора так, как показано на рис. 3.14.
3.108. Площадь каждой обкладки плоского
Рис. 3.14 конденсатора 5=1,00 м2, расстояние между обкладками d=5,00 мм. Зазор между обкладками заполнен двухслойным диэлектриком. Проницаемость и толщина первого слоя ех=2,00, dx=3,00 мм, второго слоя е2=3,00, d2=2,00 мм. Найти емкость С конденсатора.
3.109. Площадь каждой обкладки плоского конденсато-
ра 5=1,00 м2, расстояние между обкладками d=5,00 мм. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком, проницае-
мость которого изменяется в направлении, перпендикулярном к обкладкам, по линейному закону от значения ех=2,00 вблизи одной обкладки до 82=5,44 вблизи другой. Определить емкость С конденсатора.
3.110. Пренебрегая рассеянием поля вблизи краев обкладок, получить выражение для емкости С цилиндрического конденсатора. Радиусы обкладок гх и r2 (g<z2), длина их I. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком с проницаемостью е.
118
8.111. Газоразрядный счетчик элементарных частиц состоит из трубки радиуса г2=:=10,0 мм и натянутой по оси трубки нити радиуса гх=50,0 мкм. Длина счетчика «150 мм. Положив е=1, оценить межэлектродную ем-кбсть С.
3.112. Получить выражение для емкости С сферического конденсатора. Радиусы обкладок гх и г2 Зазор
между обкладками заполнен диэлектриком с проницаемостью е.
3.113. Радиусы обкладок сферического конденсатора гх = =9,00 см и r2=11,00 см. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется с расстоянием г от центра конденсатора, по закону е=ех(гх/г), где ех=2,00. Найти емкость С конденсатора.
3.114. Имеется N конденсаторов, емкости которых равны Сх, С2 . . ., СЛг. Получить выражение для емкости С системы конденсаторов при а) параллельном, б) последовательном соединении их друг с другом.
3.115. Соединены последовательно 10 одинаковых конденсаторов, емкость каждого из которых равна 100 пФ. Чему равна емкость С этой системы?
3.116. Как нужно соединить конденсаторы Сх=2 пФ, С2—4 пФ и С3=6 пФ, чтобы получить систему с емкостью С=3 пФ?
3.117. На два последовательно соединенных конденсатора с емкостью С, = 100 пФ и С2=200пФ подано постоянное напряжение {7=300 В. Определить напряжения 77х и U2 на конденсаторах и заряд q на их обкладках. Какова емкость С этой системы?
3.118. В изображенной на рис. 3.15 схеме <£=100 В, Сх = 1,00 мкФ, С?=2,00 мкФ, С3=3,00 мкФ. Сначала замыкается ключ Кх. Затем его раз- jf кг 1 мыкают и замыкают ключ К2.
Какие заряды о.,, а-, и q3 пройдут при этом в указанных стрелками направлениях через сечения 7, 2 и 3?
3.119. Конденсаторы с емкостью Сх=2,00 мкФ и С2= =3,00мкФ соединены последовательно и подключены к батарее сэ. д. с. <f? = 120 В, средняя точка которой заземлена (рис. 3.16). Провод, соединяющий конденсаторы, может быть заземлен с помощью ключа К- Определить заряды qlt q2 и q3, которые пройдут после замы-
119
кания ключа через сечения 1, 2 и 3 в направлениях, указанных стрелками на рисунке.
3.120. Два длинных провода радиуса а=1,00 мм распо-
ложены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями &=200 мм. Найти взаимную емкость С проводов, приходящуюся на единицу их длины.
3.121. Найти емкость С конденсатора, образованного двумя одинаковыми шариками радиуса а, находящимися в среде с ди
электрической проницаемостью е. Расстояние между центрами шариков равно &(&^>д). Вычислить С для <2=10,0 мм й е=1,00.
3.4. Энергия электрического поля
3.122. Вычислить энергию W кулоновского взаимодействия двух электронов, находящихся друг от друга на расстоянии г=1,00 мм.
3.123. Среднее значение величины, обратной расстоянию электрона от ядра в атоме водорода, (1/г>=1/г0, где г0= =0,0529 нм — так называемый боровский радиус. Определить:
а) среднее значение (F) энергии кулоновского взаимодействия электрона и ядра,
б) суммарную энергию W кулоновского взаимодействия электронов и ядер для моля атомарного водорода.
+/ +? +? +? +? ?---------------------------------?
!
'_____а______£
+? +? к +4 ~Ч . -Ч
а о а
Рис. 3.17
3.124. Найти взаимную потенциальную энергию 1С для каждой из систем точечных зарядов, изображенных на рис. 3.17. Все заряды одинаковы по модулю и располагаются в вершинах квадрата со стороной а.
3.125. Найти взаимную потенциальную энергию W системы N точечных зарядов qu q2 . . qi} . . ., qN, рас-120
положенных в вакууме в точках с радиус-векторами 1у, Гц, • • •> Г/, • • ., С_\Г.
3.126. По телу объема V распределен заряд с плотностью р=р(г). Найти выражение для энергии W этого тела, полагая внутри и вне тела диэлектрическую проницаемость е=1.
3.127. Заряд <7=1,00- 10~хо Кл равномерно распределен по поверхности шара радиуса г= 1,00 см. Диэлектрическая проницаемость окружающей шар среды е=1.
а) Вычислить энергию W поля, связанного с шаром.
б) Какая часть т| этой энергии заключена в пределах концентрической с шаром воображаемой сферы радиуса R = 1,00 м?
в) Чему равен радиус 7? сферы, в пределах которой заключена половина энергии?
3.128. Заряд 7=1,00-Ю'10 Кл равномерно распределен по объему шара радиуса г=1,00 см. Определить:
а) энергию W поля, связанного с шаром,
б) энергию Wi, заключенную внутри шара,
в) энергию Ц72, заключенную в окружающем шар пространстве.
Диэлектрическая проницаемость внутри и вне шара е = 1.
3.129. Первоначально заряд <7=1,00-10-10 Кл распределяется равномерно по объему шара радиуса г=1,00 см. Затем вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу А совершают при этом электрические силы над зарядами? (е=1.)
3.130. Найти так называемый классический радиус гкл электрона, руководствуясь следующими соображениями. В классической физике электрон рассматривается как заряженный шарик, энергия покоя которого отождествляется с энергией связанного с ним электростатического поля. Чтобы не делать предположений о характере распределения заряда по объему шарика, вместо числового множителя 1/2 (отвечающего распределению заряда по поверхности; см. ответ к задаче 3.127) или 3/5 (отвечающего распределению заряда равномерно по объему; см. ответ к задаче 3.128) в выражении для энергии поля берется множитель, равный единице.
3.131. Точечный заряд 7=3,00 мкКл помещается в центре шарового слоя из однородного и изотропного диэлектрика с е=3,00. Внутренний радиус слоя а=250 мм, внешний Ь=500 мм. Найти энергию W, заключенную в пределах диэлектрика.
3.132. Внешняя обкладка сферического конденсатора может сжиматься, сохраняя строго сферическую форму и оставаясь концентричной с внутренней жесткой обкладкой.
а) После того как обкладкам были сообщены заряды разного знака, но одинаковой величины 7=2,00 мкКл, внешняя обкладка сжимается- под действием электрических сил, в результате чего ее радиус уменьшается от значения а= 100,0 мм до значения Ь=95,0 мм. Найти совершенную электрическими силами работу А. Проницаемость среды между обкладками считать равной единице.
б) Почему вычисление работы по формуле J а приводит к неправильному результату?
3.133. Определить работу А, которую нужно совершить, чтобы увеличить на Дх=0,200 мм расстояние х между пластинами плоского конденсатора, заряженными разноименными зарядами 7=0,200 мкКл. Площадь каждой пластины 5=400 см2. В зазоре между пластинами находится воздух.
3.134. Имеется заряженный плоский конденсатор. Зазор между обкладками конденсатора заполняется диэлектриком с проницаемостью е. Что происходит при этом с плотностью энергии w поля в зазоре, если конденсатор а) соединен с источником напряжения, б) отключен от источника напряжения?
3.5. Электрический ток
3.135. Имеется N сопротивлений RN.
Получить выражение для /? системы сопротивлений при а) параллельном, б) последовательном соединении их друг с другом.
f 2 -- 5
__Д________ ________-А . _ ________
у I, р,
I I
Рис. 3.18
3.136. Как нужно соединить сопротивления 7?х=2 Ом, /?2=3 Ом и 7?з=6 Ом, чтобы получить систему с Ом?
3.137. На рис. 3.18 изображена бесконечная цепь, образованная повторением одного и того же звена, состоящего
122 . .
из сопротивлений 7?i=2 Ом и 7?2=4 Ом. Найти сопротивление 7? этой цепи.
3.138. Участок цепи представляет собой тело вращения из однородного материала с удельным сопротивлением р (рис. 3.19). Площадь попе- _____
речного сечения тела зави- 7 Л. ‘—-у——
сит от х по закону S(x). J w х
Написать выражение для /
сопротивления R этого уча- м ~ стка цепи. Рис- 3.19
3.139. Требуется изготовить нагревательную спираль для электрической плитки мощностью 0,50 кВт, предназначенной для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколько нужно взять для этого нихромовой проволоки диаметра 0,40 мм? Удельное сопротивление нихрома в нагретом состоянии равно 1,05 мкОм-м.
3.140. Из материала с удельным сопротивлением р изготовлено плоское кольцо толщины d. Радиусы кольца равный и b (Ь>а). Между внешней и внутренней цилиндрическими поверхностями кольца поддерживается некоторая разность потенциалов. Найти сопротивление R кольца в этих условиях.
3.141. Металлический шар радиуса а окружен концентрической с ним металлической оболочкой радиуса Ъ. Пространство между этими электродами заполнено однородной и изотропной проводящей средой с удельным сопротивлением р. Найти электрическое сопротивление межэлектродного промежутка. Рассмотреть случай 5->со.
3.142. Через воображаемую замкнутую поверхность течет постоянный ток силы /. Чему он равен и как направлен, если за промежуток времени Д/ поток электрического смещения через поверхность Фп возрастает от значения Ф* до зн ачения Ф 2 (Ф^Ф 2) ?
3.143. Две квадратные пластины со стороной а=300 мм, закрепленные на расстоянии d=3,0 мм друг от друга, образуют плоский конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения t/=250 В. Расположенные вертикально пластины погружают в сосуд с керосином (е=2,00) со скоростью п=5,0 мм/с. Найти силу тока /, текущего при этом по подводящим проводам.
3.144. Конденсатор емкости С=300 пФ подключается через сопротивление R =500 Ом к источнику постоянного напряжения Uo. Определить время t, по истечении которого напряжение на конденсаторе 77=0,990 Uo.
123
3.145. Обкладкам конденсатора емкости С=2,00 мкФ сообщаются разноименные заряды </о=1,ОО мКл. Затем обкладки замыкаются через сопротивление Р =5000 Ом. Найти:
а) закон изменения тока, текущего через сопротивление, б) заряд q, прошедший через сопротивление за время т= =2,00 мс,
в) количество теплоты Q, выделившееся в сопротивлении за то же время.
3.146. Конденсатор емкости С заряжают до напряжения U, после чего замыкают на сопротивление R. Какое количество теплоты Q выделится в сопротивлении при разряде конденсатора?
3.147.___Конденсатор емкости С=5,00мкФ подсоединяется к источнику постоянного тока с напряжением £7=200 В __________II (рис. 3.20). Затем переключатель П пе-ell 3 реводится с контакта 1 на контакт 2.
П Найти количество теплоты, выделившее-?Ц ся в сопротивлении 7^=500 Ом. Со-77 । ^' [ противление /?2=300 Ом. Сопротивле-
Z 1----' нием соединительных проводов прене-
/ бречь.
_____|1_____ 3.148. Имеется N=24 одинаковых ис-и' точниковтока с э. д. с. <£ = 1,00 В и внут-Рис. 3.20 ренним сопротивлением 7?о=О,2ОО Ом.
Эти источники соединены так, что образуют батарею из п последовательных секций, каждая из которых состоит изМ/n соединенных параллельно источников. К батарее подключен прибор, обладающий сопротивлением 7? =0,30 Ом. При каком п мощность Р, отбираемая прибором, будет максимальной? Чему равно максимальное значение 73?
3.149. Между обкладками плоского конденсатора помещена параллельно им медная пластинка, толщина которой равна 1/3 зазора между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствие пластинки С=0,0250 мкФ. Конденсатор подключен к источнику тока, вследствие чего заряжен до напряжения £7=100,0 В. Определить:
а) работу Л1, которую нужно совершить, чтобы извлечь пластинку из конденсатора,
б) работу А а, совершаемую при этом источником тока. Нагреванием пластинки пренебречь.
3.150. Решить задачу, аналогичную задаче 3.149, с тем отличием, что пластинка изготовлена не из меди., а из диэлектрика с проницаемостью 8=3,00.
124
3.151. Бумажный конденсатор (т. е. конденсатор, в котором диэлектриком служит пропитанная вазелином бумага; е=2,10) теряет за время т=5,00 мин половину сообщенного ему заряда. Предполагая, что утечка заряда происходит только через диэлектрическую прокладку, вычислить ее удельное сопротивление р.
3.152. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком, удельная проводимость которого изменяется в направлении, перпендикулярном к обкладкам, по линейному закону от значения <Tj = = 1,00-10~13 См/м до значения о2= = 1,00-10-11 См/м. Найти силу I
тока утечки через конденсатор при условии, что напряжение на обкладках 1/=300 В. Площадь обкладок 5 = 100 см2, зазор между обкладками d=2,00 мм.
3.153. Диэлектрик плоского конденсатора состоит из двух слоев (рис. 3.21), характеризуемых проницаемостями £1=2,00, е2=3,00 и удельными сопротивлениями рх = = 10,0 ГОм-м, р2=20,0 ГОм-м. Толщины слоев Д1=2,00 мм, ^2=1 ДО мм. На конденсатор подано напряжение £7= 100,0 В (плюс на левую обкладку, минус — на правую).
1. Определить:
а) значения напряженности поля Е± и Ег, а также значения электрического смещения D, и D2 в обоих слоях,
б) плотность сторонних зарядов на левой обкладке на правой обкладке ст2 и на границе раздела слоев п,
в) плотность связанных зарядов вблизи левой обкладки <У1, вблизи правой обкладки и на границе раздела слоев о', г) плотность / тока, текущего через конденсатор.
2. Определить перечисленные в п. 1 величины для случая Pi = OO.
3. 154. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с проницаемостью е=7,00 и удельным сопротивлением р = 100 ГОм-м. Емкость конденсатора С— =3000 пФ. Найти силу / тока утечки через конденсатор при подаче на него напряжения 17=2000 В.
3. 155. Обкладки конденсатора произвольной формы разделены слабо проводящей средой с проницаемостью е и удельным сопротивлением р. Емкость конденсатора равна С. Найти силу / тока утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U.
125
3.156. Два электрода в виде металлических шариков радиуса а помещаются в среде, удельное электрическое сопротивление которой равно р. Расстояние между центрами шариков b(b^a). Найти сопротивление R между электродами.
3.157. Радиусы обкладок сферического конденсатора равны а и b (а<Ь). Пространство между обкладками заполнено
веществом с проницаемостью 8 и удельной проводимостью о. Первоначально конденсатор не заряжен. Затем внутренней обкладке сообщается заряд qQ. Найти:
а) закон изменения заряда q на внутренней обкладке, б) количество теплоты Q, выделяющееся при растекании заряда; сравнить Q с изменением электрической энергии конденсатора.
3.158. По участку цепи с сопротивлением R течет постоянный ток силы I, Может ли при этом разность потен
циалов на концах участка равняться нулю?
3.159. На рис. 3.22 изображена цепь постоянного тока,
2>°8 5 * *ЯВ 2,00м 2:0В
3,00м
Рис. 3.22
состоящая из трех источников тока и трех сопротивлений, включенных последовательно. Определить разность потенциалов <Pi—<р2 между точками 1 и 2. Сопротивлением источ-
ников тока и соединительных проводов пренебречь.
3.160. N одинаковых источников тока с э. д. с. и внутренним сопротивлением Ro и такое же число одинаковых
сопротивлений R образуют замкнутую цепь из N звеньев, изображенную на рис. 3.23. Найти разность потенциалов между точками А и В, делящими цепь на п и N— п звеньев. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
3.161. В схеме, изображенной на рис. 3.24, <£>=5,0 В, R±= = 1,00 Ом, R 2=2,00 Ом, 7?3 = =3,00 Ом. Сопротивление источника тока 7?о=О,1О Ом. Найти
силы токов Л и /2-
3.162. В схеме, изображенной на рис. 3.25, <c?i = 10,0 В, <^2=20,0 В, <^3=ЗО,О В, 7?1=1,00 Ом, 7?2=2,00 Ом, 7?3=
=3,00 Ом, 7?4=4,00 Ом, Rb=5,00 Ом, 7?в=6,ОО Ом, Т?7=
126
=7,00 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы токов Д, /2, и /в,
3.163. На рис. 3.26 изображены две разветвленные цепи постоянного тока. Определить токи, текущие через сопротивления в обоих случаях. Сопротивлением источников
тока и соединительных проводов пренебречь. Как изменятся токи в случае а, если разрезать провода в точках А и В?
3.164. Элементы схемы, изображенной на рис. 3.27, имеют следующие значения: <^1 = 1,00В, d?2=2,00 В, d?3 = =3,00 В, /?! = 100 Ом, 2=200 Ом, /?3=ЗОО Ом, 7?4=400 Ом.
Рис. 3,26
Определить токи Л—Ц, текущие через сопротивления. Сопротивлением источников тока и соединительных проводов пренебречь.
3.165. На рис. 3.28 изображена схема потенциометра. С помощью этого устройства можно регулировать подаваемое на прибор, имеющий сопротивление 7?, напряжение U
127
в пределах от 0 до Uo, где Uo — напряжение источника постоянного тока. В простейших потенциометрах сопротив* ление Ro выполняется в виде однородной проволоки, по
которой скользит ползунок П. Найти напряжение U, снимаемое с потенциометра на прибор R, как функцию расстояния х ползунка потенциометра от конца проволоки Ro. Исследовать случай
3.6. Магнитное поле в вакууме
3.166. Электрон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v=3,00-105 м/с. Найти индукцию В поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии от него г=1,00-10~9 м (10 А) и лежащей на перпендикуляре к v, проходящем через мгновенное положение электрона.
3.167. Найти силу I бесконечного прямого тока, при которой индукция В поля на расстоянии от провода 6=1,00 м равна 4,8-10-3 Тл (см. ответ к задаче 3.166).
3.168. Два электрона движутся в вакууме «бок о бок» по параллельным прямым с одинаковой скоростью v= =3,00-105 м/с. Расстояние между электронами а=1,00 мм. Найти силу FM магнитного взаимодействия между электронами. Сравнить FM с силой Fe кулоновского взаимодействия между электронами.
3.169. По круговому витку радиуса г= 100 мм циркулирует ток силы 7=1,00 А. Найти магнитную индукцию В:
а) в центре витка,
б) на оси витка на расстоянии 6=100 мм от его центра.
3.170. В замкнутой цепи постоянного тока I имеется участок в виде двух образующих прямой угол прямолинейных проводов (рис. 3.29). Длина этих проводов настолько 128
велика, что влиянием остальных участков цепи на поле в окрестности вершины угла можно пренебречь. Найти магнитную индукцию В в указанной на рисунке точке А.
3.171. По плоскому контуру, изображенному на рис. 3.30, течет ток силы. 7=1,00 А. Угол между прямолинейными
участками контура прямой. Радиусы имеют значения: /у-d0,0 см, г2‘=20,0 см. Найти магнитную индукцию В в точке С.
3.172. Цепь постоянного тока включает однородное
кольцо и два подсоединенных к нему очень длинных радиальных проводника (рис. 3.31). Замыкаю-
щая эти проводники часть цепи (включа- . X.
ющая источник тока) расположена так да- ]\ч
леко, что не оказывает заметного влияния на поле в области кольца. Чему равна магнитная индукция В в центре кольца?
3.173. Замкнутая цепь с током силы I включает в себя прямолинейный участок
длины 2а. Точка А лежит на расстоянии b Рис. 3.32
от этого участка на перпендикуляре, прохо-
дящем через его середину. Найти ту часть магнитной индукции В в точке А, которая создается данным участком. Исследовать случай а->оо.
3.174. По проволоке, согнутой в виде правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса г, пропускается ток силы I. Найти магнитную индукцию В в центре многоугольника. Исследовать полученное выражение для случая п-э-оо.
3.175. Ток силы /=1,00 А циркулирует в контуре, имеющем форму равнобочной трапеции (рис. 3.32). Отношение оснований трапеции т]=2,00. Найти магнитную индукцию В в точке А, лежащей в плоскости трапеции. Меньшее основание трапеции /=100 мм, расстояние Ь=50 мм,
5 И. В. Савельев 129
3.176. Соленоид радиуса г и длины I. имеет на единицу длины п витков. По соленоиду течет ток силы I. Определить напряженность поля Н на оси соленоида как функцию расстояния х от его центра. Исследовать случаи:
а) х конечное, Z->oo, б) х=1/2, 1-^оа.
3.177. Какое влияние на поле соленоида оказывает то обстоятельство, что переход от витка к витку сопровождается перемещением вдоль оси соленоида?
3.178. По круглому прямому проводу радиуса R течет ток одинаковой по всему сечению плотности j. Найти выражение для напряженности поля Н в точке, положение которой относительно оси провода определяется перпендикулярным к этой оси радиус-вектором г. Рассмотреть случаи, когда точка лежит внутри и вне провода.
3.179. Внутри прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода. Смещение оси полости относительно оси провода определяется вектором а. По проводу течет ток одинаковой по всему сечению плотности j. Найти напряженность магнитного поля Н внутри полости. Рассмотреть случай а=0.
3.180. Эбонитовый шар радиуса /?=50,0 мм заряжен равномерно распределенным поверхностным зарядом с плотностью о=10,0 мкКл/м2. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью со = 100 рад/с. Найти магнитную индукцию В в центре шара.
3.181. Шар из задачи 3.101 приводится во вращение вокруг своей оси, параллельной вектору Е внутри шара. Чему равна магнитная индукция В в центре шара?
3.182. По объему однородного шара массы т и радиуса R равномерно распределен заряд q. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью со. Найти возникающие в результате вращения момент импульса (механический момент) М и магнитный момент рт, а также отношение рт к М.
3.183. Магнитный момент кругового контура с током рт = 1,00 А-м2. Радиус контура Л=10,0 см. Найти индукцию В в центре контура.
3.184. Изолированный провод намотан так, что образует плоскую спираль из М=100 витков. Радиус внутреннего витка (по оси провода) равен 10,0 мм, внешнего витка /?а=40,0 мм. Каким магнитным моментом р1п обладает эта спираль, когда по ней течет ток силы 7=10,0 мА? Чему равна в этом случае напряженность магнитного поля Н в центре спирали?
130
3.185. Небольшая магнитная стрелка совершает в май нитном поле Земли малые колебания с периодом 7'1=8,92 с. При помещении ее внутрь соленоида, по которому течет ток, стрелка колеблется с периодом 7’2=0,68 с. Определить магнитную индукцию Ва поля внутри соленоида. Горизонтальная составляющая индукции земного магнитного поля В!=18,0 мкТл. Затуханием колебаний стрелки пренебречь.
3.186. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат на одной прямой. Расстояние между катушками /=2,00 м значительно превышает их линейные размеры. Число витков каждой катушки М=150, радиус витков г=50 мм. С какой силой F взаимодействуют катушки, когда по ним течет одинаковый ток /=1,00 А?
3.187. Рядом с длинным прямым проводом, по которо.му течет ток /1==10,0 А, расположена квадратная рамка с током /2=1,00 А. Рамка и провод лежат в одной плоскости. Проходящая через середины противолежащих сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние /> = 100 мм. Сторона рамки а=80 мм. Найти силу F, действующую на рамку, и работу А, которую нужно совершить, чтобы повернуть рамку вокруг ее оси на 180°.
3.188. Рамка зеркального гальванометра подвешена на нити, коэффициент кручения которой (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания) k = = 10,0 мкН-м/рад. Рамка состоит из М=100 прямоугольных витков тонкой проволоки. Размеры витка 50x30 мм. Рамка может вращаться в зазоре между полюсами магнита, в которых имеются углубления цилиндрической формы. По оси зазора внутри рамки установлен железный цилиндр, благодаря чему поле в зазоре между полюсами и цилиндром имеет осевую симметрию. В той части зазора, где находится одна сторона рамки, поле направлено к оси, а в той части, где находится другая сторона,— от оси рамки. Напряженность поля в зазоре можно считать одинаковой по модулю и равной //=100 кА/м. На расстоянии от зеркальца гальванометра 4 = 1200 мм расположена шкала, нанесенная на линейку длины /2=800 мм. В отсутствие тока световой зайчик, отбрасываемый зеркальцем, попадает в середину шкалы.
Какая максимальная сила тока 1т может быть измерена этим прибором?
3.189. В центре длинного соленоида, число витков на единицу длины которого «=5000 м-1, помещена укрепленная на конце коромысла весов небольшая катушка с числом 5* 131
витков /У=200 (рис. 3.33). Ось катушки перпендикулярна к оси соленоида. Диаметр витков катушки d—20,0 мм. Плечо коромысла имеет длину /=1,00 м. Катушка уравновешена гирьками, установленными на чашке весов. При пропускании по-соленоиду и катушке тока равновесие коромысла нарушается. На какую величину ДР нужно изменить груз,
Рис. 3.33
помещающийся на чашке весов, чтобы восстановить равновесие в том случае, когда через соленоид и катушку течет одинаковый ток силы /=1,00 А?
3.190. Катушка, по которой течет ток силы /=1,00 А, помещена в однородное магнитное поле так, что ее ось совпадает с направлением поля. Обмотка катушки выполнена из медной проволоки диаметра </=1,00 мм; радиус витков г= = 100 мм. При каком значении магнитной индукции В внешнего поля обмотка катушки была бы разорвана? Прочность меди на разрыв ор=230 МПа.
3.191. Известно, что: 1) плотность) стационарного тока параллельна оси г и зависит только от расстояния г до этой оси, 2) циркуляция С вектора Н по перпендикулярному к оси z плоскому контуру радиуса г с центром на этой оси пропорциональна третьей степени г: С=агэ. Найти вид функции j(r).
3.192. Зазор между двумя параллельными круглыми пластинами заполнен однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью о и диэлектрической проницаемостью е (магнитная проницаемость среды р=1). Зазор d много меньше радиуса пластин /?.. На пластины подается напряжение, изменяющееся по закону t/=t/mcos <о/ (со достаточно мала для того, чтобы выполнялись условия квазистационарности). Найти выражение для напряженности магнитного поля Н в зазоре на расстоянии от оси пластин г, значительно меньшем /?. .
3.193. Показать, что, несмотря на наличие токов проводимости, текущих в радиальных направлениях, напряженность магнитного поля Н в зазоре сферического конденсатора из,задачи 3.157 равна нулю.
132
3.7. Магнитное поле в веществе
Рис. 3.34
Рис. 3.35
3.194. Что произойдет с полем бесконечного соленоида при заполнении соленоида однородным изотропным магнетиком с проницаемостью р?
3.195. Чему равно среднее значение модуля тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля для произвольного замкнутого контура длины /, охватывающего провод, по которому течет ток силы /?
3.196. В однородное магнитное поле с индукцией Во помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного магнетика с проницаемостью р. Пластина расположена перпендикулярно к линиям Во. Определить магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Н в магнетике.
3.197. Две пластины из магнетиков с проницаемостями Pj и р2 сложены вместе и помещены в перпендикулярное к ним однородное поле с индукцией Во (рис. 3.34). Штриховой линией показана воображаемая у цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными Во, и ос-в нованиями площади S, перпендику-лярными к Во. Чему равны поток Фв а______________г вектора В и поток Фя вектора Н
z через эту поверхность?
3.198. Бесконечная пластина из изотропного магнетика помещена в т перпендикулярное к ней однородное внешнее поле с индукцией В» (рис. 3.35). Магнитная проницаемость пластины изменяется линейно от значения Pj на левой границе до ра на
правой границе. Найти:
a) ?Н внутри пластины как функцию х,
б) поток Фн вектора Н через воображаемую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси х: Основания цилиндра расположены в точках с координатами Хх=а/2 и х2=За/2. Площадь каждого основания равна S.
3. 199. В однородное магнитное поле с индукцией Be помещен шар из однородного и изотропного1 магнетика* с проницаемостью р.
133
а)" Определить напряженность Н и индукцию В поля
в магнетике. Размагничивающий фактор считать известным.
б) Написать приближенное выражение для В в случае, если
3.200. Железный сердечник, изображенный на рис. 3.36, несет на себе обмотку, по которой течет постоянный ток. В результате в сердечнике возникает поле с индукцией В. Проницаемость железа при этих условиях равна р. Площадь поперечного сечения сердечника равна S. Один из концов сердечника входит внутрь воображаемой
замкнутой поверхности S'. Найти для этой поверхности поток Фв вектора В и поток Фн
вектора Н.
134
3.201. На железном сердечнике в виде тора диаметра (1=500 мм имеется обмотка с числом витков У= 1000. В сердечнике сделана поперечная прорезь, в результате чего образовался воздушный зазор ширины 6=1,00 мм. При силе тока в обмотке /=0,85 А напряженность поля в зазоре //= =600 кА/м. Определить магнитную проницаемость ц железа при этих условиях. Рассеянием поля у краев зазора пренебречь.
3.202. На рис. 3.37 изображена полученная экспериментально основная кривая намагничивания технически чистого железа. Пользуясь этим графиком, построить кривую зависимости магнитной проницаемости ц от напряженности магнитного поля Н. Найти максимальное значение проницаемости рИакс и напряженность Н, при которой оно достигается.
3.203. Имеется железное кольцо квадратного сечения. Средний диаметр кольца (1=300 мм, площадь поперечного сечения S=500 мм2. Кольцо несет на себе обмотку из А= =800 витков. По обмотке течет ток /=3,00 А. В кольце имеется поперечная прорезь ширины 6=2,00 мм. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, найти:
а) магнитную проницаемость ц железа при этих условиях,
б) поток магнитной индукции Ф через поперечное сечение кольца,
в) энергию IFi, заключенную в железе, энергию W2 в воздушном зазоре и полную энергию поля W7,
3.8. Электромагнитная индукция
3.204. На рис. 3.38 'изображен круговой проводящий плоский контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В, направленное на нас. Указать направление тока, возникающего в контуре в случае, если: а) В растет, б) В убывает, в) контур растягивается, г) контур сжимается.
3.205. Имеется круговой проводящий плоский контур радиуса а с сопротивлением R (рис. 3.39). Первоначально ток в нем отсутствует. Затем включается перпендикулярное к плоскости контура однородное магнитное поле с индукцией В, направленное за чертеж.
а) В каком направлении будет течь возникший при этом ток?
б) Какой заряд q протечет по контуру?
3.206. По П-образному проводу перемещается с постоянней! скоростью о под действием силы F замыкающая провод
135
иеремычка (рис. 3.40). Контур находится в перпендикулярном к его плоскости однородном Магнитном поле. Чему равна сила F, если в контуре выделяется каждую секунду количество теплоты Q?
3.207. Тонкий металлический стержень длины /= 1,200 м вращается с частотой п=120 мин-1 в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к стержню и отстоящей от одного из его концов на расстояние Zx=0,250 м. Вектор В параллелен оси вращения, В=1,00 мТл. Найти разность потенциалов U, возникающую между концами стержня.
3.208. Изолированный металлический диск радиуса а= =0,250 м вращается с частотой п=1000 мин-1. Найти разность потенциалов U между центром и краем диска, возникающую:
а) в отсутствие магнитных полей,
б) в случае, когда имеется перпендикулярное к диску однородное поле с индукцией В=10,0 мТл.
3.209. Между полюсами электромагнита помещена небольшая катушка, расположенная так, что оси катушки и полюсных наконечников магнита совпадают. Площадь, поперечного сечения катушки S=3,00 мм2, число витков М=60. При повороте катушки на 180° через соединенный с ней баллистический гальванометр протекает заряд q= =4,50 мкКл. Определить напряженность поля Н между полюсами. Сопротивление катушки, гальванометра и соединительных проводов У? =40,0 Ом.
3.210. На цилиндрический каркас диаметра d=120 мм намотано в один слой А/=100 витков проволоки. Вся намотка разместилась на длине /=60 мм. Определить индуктивность L этой катушки. Магнитную проницаемость сердечника принять равной единице.
Указание. Индуктивность однослойных катушек вычисляется по формуле А=аЛм, где Lx — индуктивность идеального соленоида, во всем объеме которого поле такое 136
же, как у бесконечного соленоида с тем же значением JV//, а — коэффициент, приближенно определяемый выражением а= 14-0,45(d//)]-1. _ ;
3.211. Из провода радиуса а=1,00 мм сделана прямоугольная рамка, длина которой /=10,0 м значительно больше ширины &=0,100 м (измеренной между осями сторон рамки). Найти индуктивность L рамки. Магнитную проницаемость среды положить равной единице. Полем внутри провода пренебречь.
3.212. Найти индуктивность Ц проводов из задачи 3.120, приходящуюся на единицу их длины. Магнитную проницаемость материала проводов и окружающей среды принять равной единице.
3.213. Так называемый коаксиальный кабель состоит из двух коаксиально расположенных проводников, разделенных слоем диэлектрика. Определить емкость Ci и индуктивность Ц единицы длины кабеля, у которого радиус внутреннего проводника а=1,50 мм, а радиус внешнего проводника (имеющего форму тонкостенной трубки) &=5,4 мм. Диэлектриком служит полиэтилен (е=2,3). Учесть, что при больших частотах (для которых предназначаются коаксиальные кабели) переменный ток течет по поверхности провода.
3.214. Определить индуктивность L обмотки из задачи 3.203. Рекомендуется вычислить L двумя способами — с помощью выражения для потока вектора Вис помощью выражения для энергии поля — и сравнить полученные результаты.
3.215. По соседству расположены два витка проволоки. По первому течет ток /=10,0 А. В цепь второго включен баллистический гальванометр. Полное сопротивление второй цепи R=5,00 Ом. Чему равна взаимная индуктивность L12 витков, если при выключении тока / через гальванометр проходит заряд <7=1,00-10~8 Кл?
3.216. На бесконечный соленоиде п витками на единицу длины и площадью поперечного сечения 5 намотана катушка из М витков. Найти взаимную индуктивность LJ2 катушки и соленоида. Проницаемость среды, заполняющей соленоид, равна р.
3.217. Определить взаимную индуктивность La тороида и проходящего по его оси бесконечного прямого провода. Тороид имеет прямоугольное сечение ширины а. Внутренний радиус тороида равен rlt внешний г2. Число витков тороида равно А/. Тороид и провод погружены в среду с проницаемостью р. . ,,
137
3.218. Прямой провод с сопротивлением на единицу длины согнут под углом 2а (рис. 3.41). Перемычка из такого же провода, расположенная перпендикулярно к биссектрисе угла 2а, образует с согнутым проводом замкнутый треугольный контур. Этот контур помещен в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное к его плоскости. Найти направление и силу / тока, текущего в контуре, когда перемычка движется с постоянной скоростью V. Сопротивлением в местах контактов 1 и 2 пренебречь.
Рис. 3.41
Рис. 3.42
3.219. Имеется бесконечный прямой провод, по которому течет ток силы 1й. На расстояниях а и b от него расположены два параллельных ему неизолированных провода, закороченных на одном конце сопротивлением R (рис. 3.42). Все три провода лежат в одной плоскости. По закороченным сопротивлением проводам скользит со скоростью v замыкающий их стержень 3—4. Определить:
а) силу / и направление тока в контуре 1—2—3—4, б) силу F, необходимую, чтобы поддерживать постоянной скорость стержня 3—4, и расстояние х от провода с током /0 до точки, в которой нужно приложить эту силу, чтобы стержень двигался поступательно,
в) мощность Р, затрачиваемую на перемещение стержня.
Сопротивлением проводов, стержня и контактов в точках 3 и 4 пренебречь.
3.220. По двум медным шинам, установленным под углом а к горизонту, скользит под действием силы тяжести медный брусок массы т (рис. 3.43). В окружающем шины пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное к плоскости, в которой перемещается брусок. Вверху шины закорочены сопротивлением R. Коэффициент трения между поверхностями шин и бруска равен A(A<tga). Расстояние между шинами равно I. Пренебрегая сопротивлением шин, бруска и мест контакта между ними, найти установившуюся скорость бруска v.
138
3.221. Имеется устройство, отличающееся от рассмотренного в задаче 3.220 (см. рис. 3.43) лишь тем, что вместо сопротивления 7? к концам шин подключен конденсатор емкости С. Брусок устанавливается на шины и отпускается. Определить характер движения бруска в предположении, что электрическое сопротивление цепи равно нулю.
3.222. Металлический стержень массы т может качаться как маятник вокруг оси О (рис. 3.44). Нижним концом
стержень касается проводника 1—2, изогнутого по дуге радиуса Ь. Середина этого проводника закорочена с точкой подвеса О через сопротивление R. Все устройство помещено в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное к плоскости качаний. Расстояние от точки подвеса до центра масс С стержня равно а; момент инерции стержня относительно оси, проходящей через С, равен /0- Пренебрегая трением, а также электрическим сопротивлением стержня, проводника 1—2 и места их касания, определить характер движения, совершаемого после того, как стержень отклоняют на малый угол а0 и отпускают с нулевой начальной скоростью.
3.223. Имеется устройство, отличающееся от рассмотренного в задаче 3.222 (см. рис. 3.44) лишь тем, что вместо сопротивления R включен конденсатор емкости С. Считая сопротивление контура равным нулю, определить характер движения, совершаемого после того, как стержень отклоняют на малый угол а0 и отпускают с нулевой начальной скоростью.
3.224. Стержень массы т может вращаться без трения вокруг оси О, скользя (также без трения) по кольцевому проводнику радиуса Ь, расположенному в вертикальной плоскости (рис. 3.45). Все устройство помещено в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное к
139
плоскости кольца. Ось и кольцо подключены к зажимам источника тока. Определить:
а) по какому закону должен изменяться ток /, текущий по стержню, для того чтобы стержень вращался с постоянной угловой скоростью го. Отсчет времени начать с момен-
R та, когда стержень находится в правом го-—r/rrv—. ризонтальном положении; ток считать положительным, когда он течет от оси враще-
* ния к кольцу,
I---1 б) какой должна быть э. д. с. источника
1 S, необходимая для поддержания требу-
-----^-||--- емого тока.
6 Полное сопротивление цепи считать по-
Рис. 3.46 стоянным и равным /?. Индуктивностью цепи пренебречь.
3.225. Катушка с индуктивностью L=250 мГн и сопротивлением К=0,300 Ом подключается к источнику постоянного напряжения. Через какой промежуток времени т сила тока в катушке достигнет а) 50 %, б) 75 % установившегося значения? Сопоставьте оба значения т.
3.226. Катушка с индуктивностью L=2,00 мкГн и сопротивлением 7?о= 1,00 Ом подключена к источнику постоянного тока с э. д. с. (9 = 3,00 В (рис. 3.46). Параллельно катушке включено сопротивление R=2,00 Ом. После того как ток в катушке достигает установившегося значения, источник тока отключается выключателем. Найти количество теплоты Q, выделившееся в сопротивлении R после разрыва цепи. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь.
3.227. Железный сердечник, имеющий форму кольца с квадратным сечением, несет на себе обмотку из jV=1000 витков. Внутренний радиус кольца а=0,200 м, внешний Ь= =0,250 м. Определить энергию W, запасенную в сердечнике в том случае, когда по обмотке течет ток /=1,26 А. Определение произвести приближенно, полагая напряженность поля по всему сечению сердечника одинаковой и равной значению Н в центре сечения.
3.228. На кольцо из задачи 3.227 намотана дополнительная обмотка из N1=20 витков, которая подключена к баллистическому гальванометру. Общее сопротивление дополнительной обмотки, гальванометра и соединительных проводов /?=31,0. Ом. Какой заряд q пройдет через гальванометр, если выключить ток, текущий в основной обмотке? Остаточной намагниченностью сердечника пренебречь.
140
3.9. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях
3.229. Вычислить скорость у, которую- приобретает электрон, пройдя разность потенциалов U, равную: а) 100 В, б) 100 кВ.
3.230. Для случая б) предыдущей задачи сравнить значения ук и ур, получающиеся по классической и релятивистской формулам.
3.231. Вначале электрон летит свободно со скоростью v0. В момент 1—0 включается однородное электрическое поле с напряженностью Е, образующее с направлением v0 угол а.
а) По какой траектории движется электрон после включения поля?
б) Каков радиус кривизны R траектории в той точке, где скорость электрона минимальна?
в) Чему равно приращение импульса Ар электрона за время т?
г) Как изменяется-со временем модуль момента импульса электрона М относительно точки, в которой находился электрон в момент включения поля?
3.232. В расположенном горизонтально плоском конденсаторе с зазором между пластинами d=10,0 мм находится заряженная капелька массы т=6,40• 10-1’ кг. В отсутствие напряжения между обкладками капелька падает с постоянной скоростью Ух=0,078 мм/с. После подачи на конденсатор напряжения U=95,0 В капелька движется равномерно вверх со скоростью у2=0,016 мм/с. Определить заряд капельки е'.
3.233. Определить силу F, действующую на электрон в момент, когда он пересекает под прямым углом ось длинного соленоида в непосредственной близости от его конца. Сила тока в соленоиде /=2,00 А, число витков на единицу длины п=3000 м-1. Скорость электрона у=3,0-107 м/с. Магнитную проницаемость среды принять равной единице.
3.234. Первоначально а-частица движется свободно со скоростью у=0,350-107 м/с. В некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное к ее скорости однородное магнитное поле с индукцией В= = 1,000 Тл. Найти:
а) радиус г траектории частицы,
б) модуль и направление ее магнитного момента рт, в) отношение магнитного момента рт частицы к ее механическому моменту Л1.
И»
Заряд а-частицы е'— 2е, масса /п=6,65-10~и кг.
3.235. Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр d=80 мм и шаг /=200 мм. Индукция поля В=5,(Ю мТл. Определить скорость электрона V.
3.236. В направленном вдоль оси х однородном магнитном поле с индукцией В=10,0 мТл из некоторой точки О выходит в направлении х слегка расходящийся пучок моно-энергетических электронов, имеющих скорость п=6,0х X 106 м/с. Определить расстояние I от точки О до ближайшей точки, в которой пересекаются траектории всех электронов (точки, в которой фокусируется пучок).
3.237. Имеются однородные скрещенные поля Е и В (Е<р'сВ). Выберем оси координат так, чтобы ось у была направлена вдоль вектора Е, а ось z — вдоль вектора В. Поместим в начало координат частицу с массой т и зарядом е' и отпустим ее с нулевой начальной скоростью.
а) Как будет двигаться частица?
б) По какому закону изменяется со временем скорость частицы а?
3.238. В приборе, аналогичном тому, с помощью которого Томсон определил отношение заряда электрона к его массе (рис. 3.47), электронный пучок может отклоняться в
- Приемник
Селектор ( |
®В
Рис. 3.47
Рис. 3.48
вертикальном направлении либо с помощью вертикально направленного электрического поля, либо с помощью горизонтально направленного магнитного поля. Оба поля действуют на длине /х=50 мм. Расстояние от отклоняющей системы до флуоресцирующего экрана Z2=175 мм. Электроны пучка ускоряются напряжением /7 =500 В, приложенным между катодом К и анодом А. При некотором электрическом поле след пучка отклоняется по экрану на расстояние Ь=50 мм. Включение магнитного поля с индукцией В = =370 мкТл возвращает след пучка в первоначальную точку.
142
Определить из приведенных данных удельный заряд электрона.
3.239. В масс-спектрометре Бейнбриджа (рис. 3.48) расстояние между выходной щелью селектора скоростей и входной щелью регистрирующего ионы прибора /=400 мм. Индукция магнитного поля В'=В=50,0 мТл. При плавном изменении напряженности электрического поля селектора наблюдаются пики ионного тока в приемнике при значениях £'1 = 120 В/см и £2=160 В/см. Определить атомные массы Аг/ и Аг2 соответствующих ионов, полагая их однозарядными. Идентифицировать эти ионы (т. е. указать, какому химическому элементу они соответствуют).
3.240. Внутренний диаметр дуантов циклотрона d— — 1,000 м. Индукция магнитного поля В = 1,20 Тл. Ускоряющее напряжение /7 = 100 кВ. Найти:
а) максимальную энергию W, до которой могут быть ускорены в этом циклотроне протоны, и скорость v, приобретаемую протонами к концу ускорения,
б) время т, в течение которого длится процесс ускорения,
в) приближенное значение пути s, проходимого протонами за это время.
3.241. Среднее значение магнитной индукции (В) поля, создаваемого магнитом бетатрона, изменяясь приблизительно по линейному закону, возрастает за время т=1,00 мс от нуля до значения Bi=200 мТл. Радиус орбиты электронов г=300 мм. Найти:
а) путь s, проходимый электронами за время ускорения до энергии 1У=50 МэВ,
б) скорость v электронов, ускоренных до такой энергии.
3.10. Электрические колебания
3.242. Конденсатор емкости С заряжается до напряжения Uо и замыкается на катушку с индуктивностью L. Чему равна амплитуда 1т силы тока в образовавшемся колебательном контуре? Активным сопротивлением контура пренебречь.
3.243. Замкнутый контур в виде рамки с площадью В=60,0 см2 равномерно вращается с частотой п=20,0 с-1 в однородном магнитном поле с индукцией В=20,0 мТл. Ось вращения и направление поля взаимно перпендикулярны. Определить амплитудное <§т и действующее S значения э. д. с. в контуре.
143
3.244. Цепь переменного тока образована последовательно включенными активным сопротивлением Р =800 Ом, индуктивностью 7=1,27 Гн и емкостью С—1,59 мкФ. На зажимы цепи подано 50-периодное действующее напряжение 77=127 В. Найти:
а) действующее значение силы тока I в цепи,
б) сдвиг по фазе <р между током и напряжением,
в) действующие значения напряжений UR, UL и Uc на зажимах каждого из элементов цепи,
г) мощность Р, выделяющуюся в цепи.
3.245. Переменное напряжение, действующее значение которого 77=220 В, а частота v=50 Гц, подано на катушку без сердечника с индуктивностью
L=31,8 мГн и активным сопротив- '
Рис. 3.49 Рис. 3.50
а) Найти количество теплоты Q, выделяющееся в катушке за секунду.
6) Как изменится Q, если последовательно с катушкой включить конденсатор емкости С=319 мкФ?
3.246. Н:а зажимы цепи, изображенной на рис. 3.49, подается переменное напряжение с действующим значением 7Л- 220 В и частотой v=50 Гц. Активное сопротивление цепи 7? =22 Ом, индуктивность 7=318 мГн. Емкость цепи подбирается так, чтобы показание вольтметра, включенного параллельно катушке индуктивности, стало максимальным. Найти показания вольтметра их и амперметра I в этих условиях. Полным сопротивлением амперметра и ответвлением тока в цепь вольтметра можно пренебречь.
3.247. На точки Л и В схемы, изображенной на рис.- 3.50, подается переменное напряжение с действующим значением 77=220 В. Емкость контура С=1,00 мкФ, индуктивность 7=1,00 мГн, активное сопротивление 7? = = 100 мОм.
144 ।
а)' При каком значении частоты а ток через сечение 1 будет минимальным?
б) Чему равны при этой частоте действующие значения 1и 12 и /3 сил токов, текущих через сечения 1, 2 и 5?
3.248. Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки с индуктивностью L=1,00 мГн и переменного конденсатора, емкость которого может изменяться в пределах от 9,7 до 92 пФ. В каком диапазоне длин волн может принимать радиостанции этот приемник?
3.249. Активное сопротивление колебательного контура К=0,33 Ом. Какую мощность Р потребляет контур при поддержании в нем незатухающих колебаний с амплитудой силы тока /,„=30 мА?
3.250. Параметры колебательного контура имеют значения: С=1,00 нФ, L=6,00 мкГн, /?=0,50 Ом. Какую мощность Р нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе t/m = 10,0 В?
3.251. Параметры колебательного контура имеют значения: С=4,00 мкФ, L=0,100 мГн, /? = 1,00 Ом.
а) Чему равна добротность контура Q?
б) Какую относительную погрешность мы сделаем, вычис-лив добротность по приближенной формуле Q = /?-1KA/C?
3.252. Добротность колебательного контура Q=10,0. Определить, на сколько процентов отличается частота свободных колебаний контура со от собственной частоты контура соо. (Найти (соо—со)/соо.)
: 3.253. Собственная частота колебаний контура v0= =8,0 кГц, добротность Q=72. В контуре возбуждают затухающие колебания.
а) Найти закон убывания запасенной в контуре энергии W со временем t.
б) Какая часть первоначальной энергии Wa сохранится в контуре по истечении времени т=1,00 мс?
3.254. Какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при которой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает резонанс напряжений, не более чем на 1 %?
145
3.255. Емкость цепи, изображенной на рис. 3.51, С~ = 1000 пФ, индуктивность А=1,00 мГн. На точки А и В подается одновременно два переменных напряжения одинаковой амплитуды, но различной частоты: частота первого напряжения совпадает с собственной частотой контура (<в1=сд0), частота второго напряжения превышает собственную на 10 % ((£>2=1,10 со о)- Найти отношение амплитуд токов I-JIz, возбуждаемых в контуре обоими напряжениями, для случаев, когда добротность контура Q равна: а) 100, б) 10.
3.256. Колебательный контур, изображенный на рис. 3.52, имеет емкость (7=1,00 нФ и индуктивность L— = 10,0 мкГн. На контур и соединенное с ним последовательно сопротивление Л?'= 10,0 Ом подаются одновременно два одинаковых по амплитуде, но различных по частоте напряжения Uг и U Амплитуда каждого из напряжений равна 10,0 В. Частота первого напряжения совпадает с резонансной частотой контура (<Oi=copea), частота второго напряжения превышает резонансную на 10 % (<о2=1,10 <орез). Найти амплитуды напряжений U[ и U'2, снимаемых с сопротивления /?', в случаях, когда добротность контура Q равна: а) 200, б) 20.
14fi
Часть 4
ВОЛНЫ
Обозначения: t — время
А, а — амплитуда и, v — скорость
А — комплексная амплитуда V — объем
Е — напряженность электри- V — фазовая скорость
ческого поля W ' — энергия
Е — модуль Юнга W — плотность энергии
— кинетическая энергия а — начальная фаза
F — сила Y — коэффициент затухания
Н — напряженность магнит- волны, отношение теплоем*
ного поля костей при постоянном дав-
I — интенсивность волны, сила лении и при постоянном
тока объеме
/ — плотность потока энергии е- - диэлектрическая проницае-
К — импульс мость
к — волновой вектор X — коэффициент поглощения
k — волновое число волны
L — уровень громкости звука X — длина волны
1 — длина, расстояние И — магнитная проницаемость
М — молярная масса V — частота
т — масса — смещение частицы из полф*
Р — мощность жения равновесия
р — давление Р — плотность
R — газовая постоянная Pl — линейная плотность (мас-
г — радиус, расстояние са единицы длины)
S — вектор Пойнтинга т — время
Т — термодинамическая тем- ф — угол, фаза
пература со — круговая частота
4.1. Упругие волны
4.1. Какую волну — продольную или поперечную — описывает уравнение £=«cos(co^—kx)?
4.2. Упругая волна переходит из среды, в которой фазовая скорость волны равна v, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше. Что происходит при этом с частотой волны со и длиной волны к?
4.3. Вдоль оси х распространяется плоская волна длины X. Чему равно наименьшее расстояние Ах между точками среды, в которых колебания совершаются в противофазе?
147
4.4. На рис. 4.1 дана «моментальная фотография» смещений | частиц среды, в которой распространяется вдоль оси х упругая волна. Указать 5(1 __ направления скоростей частиц в
' точках А, В и С в случае:
\ - / ~ а) продольной волны,
в ~7сх б) поперечной волны, коле-
бания в которой происходят в плоскости рисунка.
Рис. 4.1 4.5. в однородной среде рас-
пространяется плоская упругая волна, описываемая уравнением |=аехр(—ух)х Xcos(g)/—kx). Положив Х=1,00м и у=0,100м-1, найти разность фаз в точках, для которых отношение амплитуд смещения частиц среды р = 1,0100. •
4.6. Какие данные содержит в себе комплексная амплитуда Л?
4.7. Два когерентных колебания одинакового направления характеризуются комплексными амплитудами Аг= =5exp(tn/6) и А 2=6 ехр (in/З). Найти комплексную амплитуду А результирующего колебания.
4.8. Написать уравнение цилиндрической гармонической волны, излучаемой источником в виде бесконечной
прямой нити.
4.9. Исследование некоторой физической величины по-
казало, что она удовлетворяет уравнению
d2f _ 1 ay дх2 a dt^’
где а — постоянная величина, числовое значение которой в СИ равно 1,44-108.
а) Определить из вида уравнения размерность величины а.
б) Что можно утверждать относительно величины /?
4.10. Что описывает уравнение вида —kx), где
f — некоторая функция, со и k — константы? Какой смысл имеет величина со/й?
4.11. Определить скорость v продольных упругих волн в медном стержне. Положить модуль Юнга £=1,12-1011 Па.
4.12. На рис. 4.2 дана «моментальная фотография» смещений частиц в бегущей волне.
• 1. Указать места, в которых деформация среды: а) отсутствует, б) максимальна.
2. Чему равна (нулю, отлична от нуля, максимальна) 148
плотность кинетической, потенциальной и полной энергии в точках: а) Л и С, б) В и D?
4.13. В упругой среде распространяется продольная плоская волна £=а cos (tot—kx). Изобразить для t=0 один под другим примерные графики зависимости смещения £ от х и зависимости плотности среды р от х.
4.14. На рис. 4.3 дан график смещений £ в бегущей волне для некоторого момента времени t. Нарисовать под этим графиком примерный график плотности энергии w для того же момента t.
4.15. В упругой среде плотности р бежит вдоль оси х волна £=acos(tot—kx-\-a). Написать выражение для вектора Умова j (вектора плотности потока энергии).
4.16. Что представляет собой поток вектора Умова через некоторую поверхность S?
4.17. По трубе с площадью сечения S бежит плоская затухающая волна [амплитуда волны убывает по закону ехр (—ух)]. В сечении с координатой х± среднее (по времени) значение модуля вектора Умова равно Д. Какая энергия W поглощается за время t, много большее периода волны, в объеме, заключенном между сечениями с координатами л* и х2?
4.18. По какому закону убывает с расстоянием г от источника интенсивность затухающей а) сферической, б) цилиндрической волны?
4.19. От двух точечных когерентных источников распространяются по поверхности воды две волны. Какую форму имеют линии, для которых амплитуда колебаний максимальна?
4.20. На рис. 4.4 изображена картина смещений в стоячей волне для момента времени t, когда смещения достигают максимального значения.
1. Чему равно (нулю или отлично от нуля) мгновенное значение потока энергии через каждую из поверхностей, 1,2, 3,..., 9: а) в момент/, б) в моменты времени, следующие за /?
149
2. Чему равен средний (по времени) поток энергии через те же поверхности?
3. Как направлен вектор Умова j в течение следующей за моментом t четверти пе-
риода для поверхностей 2, 4, 6, 8?
4. Тот же вопрос, что и 3, для последующей четверти периода.
4.21. Найти характер движения частиц упругой среды, в которой распространяются две плоские поперечные волны — одна . Колебания в обеих вол-
вдоль оси х, другая вдоль
нах происходят вдоль оси г. Длины и амплитуды обеих волн одинаковы и равны X и а. Разность начальных фаз волн равна а.
4.22. Решить задачу 4.21, заменив поперечные волны продольными.
4.2. Акустика
4.23. При некотором натяжении струны длины /= = 1,000 м частота основного тона струны оказывается равной v = 1000 Гц. Какова скорость v распространения волны по струне в этих условиях?
4.24. Как изменится частота основного тона струны, если
а) середину струны прижать пальцем к грифу,
б) изменив натяжение струны, увеличить скорссть распространения волны по струне в три раза?
4.25. Имеется струна массы т, круговая частота основного тона которой равна Wj. В струне возбуждена ц-я гармоника (основному тону соответствует п=1). Чему равна амплитуда ап в пучностях струны в случае, если средняя за период колебаний кинетическая энергия струны равна <£к)?
4.26. Скорость распространения волны по струне определяется формулой v = VrF/pt, где F — сила натяжения струны, pt —• линейная плотность (масса единицы длины) струны. Определить силу натяжения, при которой основным тоном стальной струны диаметра 41=0,500 мм и длины /=0,500 м будет ля первой октавы (v=440 Гц). Плотность стали принять равной р=7,80 г/см3.
150
4.27. Предельная высота звука, достигнутая певицами, равна 2,35 кГц. С какой силой F нужно было бы натянуть струну из предыдущей задачи, чтобы ее основной тон имел такую частоту?
4.28. Как изменится частота основного тона струны, если линейную плотность струны увеличить в два раза? Натяжение струны предполагается неизменным.
4.29. Стальной стержень длины 1,00 м закреплен в середине. Положив модуль Юнга равным 2,00-10й Па, найти частоты vn собственных продольных колебаний стержня. Плотность стали р=7,8 г/см3.
4.30. Имеется закрытая с одного конца труба длины 1= = 1,00 м. Положив скорость звука и=340 м/с, определить собственные частоты vn колебаний воздуха в трубе.
4.31. Отверстие в торце замочного ключа имеет глубину /=17 мм. Если дуть вблизи торца в направлении, перпендикулярном к оси отверстия, в столбе воздуха, находящемся в отверстии, возникают звуковые колебания. Чему равна частота v основного тона этих колебаний?
4.32. Что будет слышать человек, если на его ухо будут воздействовать одновременно две звуковые волны с примерно одинаковой амплитудой и -частотами, равными: а) 500 и 550 Гц, б) 50 и 51 Гц, в) 10 и 11 Гц?
4.33. Из проволоки, один метр которой имеет массу рг = 1,00 г, изготовлены две струны — одна длины /х = =51,0 см, другая 12=49,0 см. Струны натянуты с одинаковой силой F=200 Н. Какова будет частота Av биений, которые возникнут, если обе струны заставить колебаться одновременно?
4.34. В каком газе при одной и той же температуре скорость звука v больше—в азоте (N2) или в углекислом газе (СО2)? Во сколько раз? Колебательные степени свободы молекул газов не возбуждаются.
4.35. 1. Определить скорость звука в воздухе при температуре: а) —40 °C, б) 0 °C, в) 40 °C.
2. Найти отношение найденных значений, приняв скорость при 0 °C за единицу.
4.36. Предположим, что температура воздуха изменяется с высотой h по линейному закону от значения 7\=300К при /гх=0 до значения 712=250К на высоте й2=10,0км. Сколько времени t потребуется возбужденной на высоте h2 звуковой волне, чтобы достичь земной поверхности?
4.37. Во сколько раз уменьшается на некотором пути интенсивность волны, если затухание на этом пути составляет 30 дБ?
151
4.38. Вдоль осн х в воздухе распространяется плоская звуковая волна. Коэффициент поглощения звука х= =2,07-10~3 м-1. В плоскости х=0 уровень громкости звука Ло=1ОО дБ. Найти уровень громкости L для х, равных: а) 2,00 км, б) 4,00 км, в) 6,00 км, г) 8,00 км, д) 10,00 км.
4.39. От изотропного источника в воздухе распространяется сферическая звуковая волна. На расстоянии гв== = 100 м от источника уровень громкости звука Lo—100 дБ. Полагая, что поглощения звука в воздухе нет, найти уровень громкости L на расстоянии г, равном: а) 2,00 км, б) 4,00 км, в) 6,00 км, г) 8,00 км, д) 10,00 км. Сравнить результат с ответом к задаче 4.38.
4.40. Изотропный источник возбуждет в воздухе сферическую звуковую волну частоты 3 кГц. На расстоянии гх=100 м от источника уровень громкости звука Бх=60 дБ. Определить уровень громкости Ьг на расстоянии г2=200 м и расстояние г0, на котором звук перестает быть слышным: а) положив коэффициент поглощения звука в воздухе х= =2,42-10~3 м-1, б) пренебрегая поглощением. Сравнить полученные результаты.
4.41. Два звука в некотором газе отличаются по уровню громкости на Б12=20,0 дБ. Найти отношение амплитуд колебаний давления (Ар)т для этих звуков.
4.42. Найти для звука частоты 3 кГц амплитуду колебаний давления воздуха (Лр)т, соответствующую: а) порогу слышимости, б) уровню громкости Б = 100 дБ. Положить 7'==293 К, р=Ю00 гПа.
4.43. Для звуковой волны, описываемой уравнением £= 1,00-10“4 cos (6280/ —18,5х),
где множитель при косинусе выражен в м, множитель при / — в с-1, множитель при х — в м-1, найти:
а) амплитуду скорости vm частиц среды,
б) отношение амплитуды а смещения частиц среды к длине волны Л,
в} отношение амплитуды скорости частиц vm к скорости распространения волны v.
4.44. Покоящийся источник испускает по всем направо лениям звуковую волну длины К- Как изменится длина волны, если источник привести в движение со скоростью, равной половине скорости звука?
4.45. По прямому шоссе едет со скоростью о1=60 км/ч легковой автомобиль. Его догоняет движущаяся со ско-152
роетью а,=90 км/ч специальная автомашина с включенным звуковым сигналом частоты v0= 1,00 кГц. Сигнал какой частоты v будут слышать пассажиры автомобиля? Считать скорость звука «=340 м/с.
4.46. Два электропоезда движутся по прямолинейному участку пути во встречных направлениях с одинаковой скоростью «=50 км/ч. Поравнявшись, машинисты приветствуют друг друга продолжительными гудками. Частота обоих сигналов одинакова и равна vo=2OO Гц. Что слышит железнодорожный рабочий, находящийся на путях на некотором расстоянии от места встречи поездов. Температура воздуха равна —10 °C.
4.47. Два электропоезда идут с одинаковой скоростью и=90 км/ч по прямому пути вслед друг другу с интервалом между ними /=2,00 км. В момент, когда они оказываются расположенными симметрично относительно точки А, отстоящей от железнодорожного пути на расстояние Ь~ = 1,00 км (рис. 4.5), оба поезда дают кратковременный 4
звуковой сигнал одинаковой /
частоты vo=500 Гц. Каков бу- / ь
дет характер звука в точке Л, / 'К
когда в нее придут колебания, i___________—tes-X
возбужденные сигналами? ______________ I - Л
Скорость звука «=350 м/с.
4.48. По прямому участку Р*10, 4-5
дороги движутся в одном направлении с одинаковой скоростью 90 км/ч два автомобиля (второй позади первого). Когда вдали показался едущий навстречу со скоростью 72 км/ч третий автомобиль, водитель первого автомобиля дал продолжительный звуковой сигнал частоты 700 Гц. Звук какой часто-п | ты воспримут пассажиры второго и ———В третьего автомобилей? Температура
I воздуха равна 30 °C.
4.49. Вблизи неподвижной стен-Рис. 4.6 ки расположены в указанной на
рис. 4.6 последовательности приемники /71 и /72, а также источник И, генерирующий звук частоты vo=1000 Гц. Приемники неподвижны, источник же движется по направлению к стенке со скоростью м=8,5 м/с. Скорость звука «=340 м/с.
а) Какой из приемников будет регистрировать биения?
б) Какова частота этих биений?
153
4.3. Электромагнитные волны
4.50. В вакууме распространяется вдоль одной из координатных осей плоская электромагнитная волна. Написать возможные выражения (через параметры волны и орт одной из осей) для волнового вектора к в случае, если а) вектор Е коллинеарен с еу, частота волны равна со, б) вектор Н коллинеарен с ег, длина волны равна X.
4.51. В однородной и изотропной среде с е=3,00 и р= = 1,00 распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны £т = 10,0 В/м. Найти:
а) амплитуду напряженности магнитного поля волны Нт,
б) фазовую скорость и волны.
4.52. Распространяющаяся в вакууме плоская электромагнитная волна, описываемая уравнениями
Е = Е,лсоз(со/—kx), H = H^cos(co/—kx),
отражается без потери интенсивности от плоскости, перпендикулярной к оси х. Написать уравнения, описывающие отраженную волну.
4.53. Рассмотреть суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях. Определить:
1. Координаты пучностей хпуцн и узлов л'уЗЛ для а) электрического вектора Е и б) магнитного вектора Н возникшей в результате суперпозиции стоячей волны. Для упрощения формул начальную фазу а в уравнениях прямой и обратной волн считать равной нулю. Сравнить результаты, полученные для Е. и Н.
2. Как соотносятся фазы колебаний векторов Е и Н.
4.54. В некоторой среде распространяется электромагнитная волна частоты со. При частоте со диэлектрическая проницаемость среды е=2,00, магнитная проницаемость практически равна единице. Найти вектор Пойнтинга S в той точке, в которой электрический вектор изменяется по закону Е=10,0 соз(со/+а)ег (В/м). Амплитуда вектора Н имеет вид Нтех.
4.55. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с со порядка 101ас-1. Амплитуда электрического вектора волны Ет =0,775 В/м. На пути волны располагается поглощающая волну поверхность, имеющая форму полусферы радиуса г=0,632 м, обращенная своей вершиной , 154
в сторону распространения волны. Какую энергию W поглощает эта поверхность за время т=1,00 с?
4.56. Плоский конденсатор с круглыми пластинами заряжается постоянным током в течение времени т до напря- жения U. Зазор между пластинами равен d. Проведя между пластинами коаксиальную с ними воображаемую цилиндрическую поверхность, радиус которой г много меньше радиуса пластин, определить:
а) модуль и направление вектора Пойнтинга в точках поверхности,
б) количество энергии W, протекающей через поверхность за время т. Сравнить W с энергией электрического поля, содержащейся в ограниченном поверхностью объеме V после окончания процесса зарядки.
4.57. Сила тока в очень длинном соленоиде увеличивается равномерно от нуля до I в течение времени т. Число витков соленоида на единицу длины равно п. Проведя внутри соленоида в средней его части коаксиальную с ним воображаемую замкнутую поверхность длины I и радиуса г, определить:
а) модуль и направление вектора Пойнтинга в точках поверхности,
б) количество энергии W, протекающей через поверхность за время т. Сравнить W с энергией магнитного поля, содержащейся в ограниченном поверхностью объеме V после установления силы тока I.
4.58. В вакууме распространяется вдоль оси х плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны Нт=0,0500 А/м. Определить:
а) амплитуду напряженности электрического поля волны Ет,
б) среднюю по времени плотность энергии волны (да),
в) интенсивность волны I,
г) среднюю по времени плотность импульса волны (Кед. об^*
4.59. Описанная в задаче 4.58 волна падает по нормали на поверхность тела, полностью поглощающего волну. Чему равно давление р, оказываемое волной на тело?
4.60. Стержень из сегнетоэлектрика имеет направленную вдоль его оси поляризованность 5^=0,050 Кл/м2. Диаметр стержня d=5,00 мм, длина /=200 мм. Стержень приводят во вращение вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр с угловой скоростью <р=314 рад/о (3000 об/мин). Найти длину волны X и мо цность Р излучения стержня.
155
4.61. Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем, распространяется в вакууме. В волновой зоне на луче, проведенном из диполя перпендикулярно к его оси, в точке, находящейся на расстоянии г=1,00 м от диполя, амплитуда напряженности электрического поля Ет~ = 1,00 мВ/м. Вычислить мощность Р излучения диполя (т. е. энергию, излучаемую диполем в единицу времени по всем’ направлениям).
4.62. Какая часть г] всей мощности излучения диполя приходится на интервал углов 0 от 70 до 110° (0— угол с осью диполя)?
4.63. Радиус круговой орбиты электрона в бетатроне г= =15,0 см. В конце цикла ускорения скорость электрона достигает значения и=0,99995 с. Найти мощность Р излучения электрона при этой скорости.
4.64. Электрон движется в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к вектору В. Индукция поля В=1,00 Тл, скорость электрона п=1,00-107 м/с. Определит,:
а) какую долю т] своей кинетической энергии теряет электрон на излучение за один оборот,
б) за какое время т кинетическая энергия электрона уменьшится на 1 %,
в) число оборотов N, которое совершит электрон за время т.
4.65. Решить задачу 4.64, заменив электрон протоном.
156
Часть 5
ОПТИКА
Обозначения’,
А — амплитуда колебания, амплитуда световой волны, механический эквивалент света .
а — амплитуда, расстояние
Ь — расстояние, толщина, ширина
с.-~- скорость света в вакууме
D — дисперсия дифракционной решетки
d — диаметр, период дифракционной решетки, расстояние
Е — световой вектор
Е — напряженность электрического поля, освещенность
F — передний фокус оптической системы, сила
F' —задний фокус оптической системы
f — переднее фокусное расстояние
f — заднее фокусное расстояние
Н — напряженность магнитного поля, передняя главная плоскость оптической системы
Н' — задняя главная плоскость оптической системы
1 — интенсивность света, сила света
j — плотность потока к — волновой вектор L — яркость
I — длина, расстояние
М — светимость
т — масса, целое число
N — узловая точка оптической системы
п — концентрация частиц, показатель преломления
Р — степень поляризации
Р — радиус, разрешающая сила оптического прибора г — радиус, расстояние и — групповая скорость, скорость
V — объем, относительная спектральная чувствительность человеческого глаза v — параметр, скорость, фазовая скорость
X — длина световой волны в веществе
Ао — длина световой волны в вакууме
р — радиус когерентности
Ф — оптическая сила, световой поток
(о — круговая частота
Тонкая линза условно изображается в виде
собирающая
Л
рассеивающая
157
5.1. Геометрическая оптика. Фотометрия
5.1. Сколько времени требуется световой волне, чтобы пройти расстояние, равное: а) среднему расстоянию от Солнца до Земли, б) среднему расстоянию от Луны до Земли, в) диаметру Солнца, г) диаметру Земли?
5.2. Свет, имеющий в воздухе длину волны 665 нм, в воде имеет длину волны 500 нм. Означает ли это, что цветовое восприятие глазом этого света в воздухе и в воде будет разным?
5.3. Для некоторой длины волны показатель преломления плоскопараллельной прозрачной пластинки изменяется от значения п1=1,40 на одной из поверхностей до «2=1,60 на другой. Толщина пластинки d=10,0 мм.
а) Какое время t затрачивает свет на прохождение пластинки в перпендикулярном к ней направлении?
б) С какой средней скоростью (v) распространяется свет в пластинке (выразить ее через с)?
5.4. Секунда определяется как промежуток времени, равный сумме 9 192 631 770 периодов излучения, соответ-
ствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Чему равна длина волны X этого излучения?
5.5. Воспользовавшись принципом Гюйгенса, доказать,
что отношение показателей преломления двух сред обратно
отношению скоростей света в этих средах:
5.6. При каком значении угла падения светового луча на границу раздела двух сред (с показателями преломления пх и п2) отраженный и преломленный лучи образуют угол я/2?
5.7. а) Найти выражение для угла отклонения <р луча призмой (рис. 5.1), ограничившись случаем, когда преломляющий угол призмы й-Cl рад, а
углы а1( а2, а3, а4 таковы, что синусы этих углов с достаточной степенью точности можно заменить самими углами (если а=5°, sin а отличается от а на 0,13 %, если а = 10°, — на 0,5%). Показатель преломления призмы равен п, окружающей среды — па. Предполагается, что падающий луч (а следовательно, и вышедший из призмы луч) лежит в главном сечении призмы, т. е. в плоскости, перпендикулярной к преломляющему ребру.
158
б) Чем примечателен полученный результат?
5.8. Заднее фокусное расстояние f линзы равно а) 200 мм, б) — 400 мм. Чему равна оптическая сила Ф линзы?
Рис. 5.2
5.9. В каком случае световой луч проходит через центр тонкой линзы, не изменяя своего направления?
5.10. Где помещаются узловые точки N и N' тонкой линзы, если среда по обе стороны линзы одна и та же?
5.11. Построить ход луча за тонкой линзой (рис. 5.2). Показатель преломления среды по обе стороны линзы
5.12. На рис. 5.3 показана тонкая собирающая линза, ее фокусы F и F’ и совпадающие узловые точки N и N'. Требуется построить ход луча 1 за линзой.
5.13. На рис. 5.4 изображена тонкая собирающая линза, ее оптическая ось 00', сопряженные лучи 1 и Г, а также луч 2. Требуется построить сопряженный с лучом 2 луч 2' (п=п').
5.14. В задней фокальной плоскости тонкой собирающей линзы расположено зеркало (рис. 5.5). Произведя построение хода луча 1 в пространстве между линзой и зеркалом, а затем — по выходе из линзы, определить, в каком соотношении находятся направление луча, вышедшего из линзы влево, и направление луча 1.
5.15. Имеются собирающая линза 1 и рассеивающая линза 2, расположенные так, что их задние фокусы F{ и F'a
159
совпадают (рис. 5.6). Среда между линзами и по обе стороны от линз одна и та же. В передней фокальной плоскости линзы 1 помещается предмет Р. Построив изображение предмета, ответить на вопросы:
1. Где располагается изображение?
2. Каким будет изображение: а) действительным или мнимым, б) прямым или обратным?
Рис. 5.5
3. В каком случае размер изображения совпадает с размером предмета?
5.16. На рис. 5.7 даны ось, главные и фокальные плоскости центрированной оптической системы, а также предмет Р. Плоскости Н и Н' находятся вне системы.
а) Построить изображение Р' предмета Р.
б) Основываясь на свойствах главных плоскостей, ответить на вопрос: что будет происходить с изображением Р' при перемещении предмета Р к плоскости Я?
Рис. 5.7
Л О’
Рис. 5.8
5.17. На рис. 5.8 показаны: оптическая ось 00’ центрированной оптической системы, главные плоскости Н и Н', передний фокус F и луч 1. Среда по обе стороны системы одна и та же. Построить сопряженный с лучом 1 луч Г.
5.18. На плоскую поверхность падает по нормали к ней монохроматическая световая волна с Л.=510 нм. Интенсивность волны 7=0,32 Вт/м2. Воспользовавшись изображенным на рис. 5.9 графиком относительной спектральной Чувствительности глаза, определить освещенность Е поверхности. При Л.=555 нм световому потоку в 1 лм соответ-
160
ствует поток энергии, равный 0,00160 Вт. Величину Д = =0,00160’ Вт/лм называют иногда механическим эквивалентом света.
5.19. Световому потоку в 1 лм, образованному излуче-
0,00160 Вт. Какой поток энергии соответствует световому потоку в 100 лм, образованному излучением, для которого относительная спектральная чувствительность глаза У = =0,762?
5.20. Какой световой поток соответствует потоку энергии в 1,00 Вт, образованному излучением, для которого относительная спектральная чувст- ^ф ,,, вительность глаза У=0,342? h э__________________
5.21. Допустим, что связанный Г I
со световой волной поток энергии j I
распределен равномерно по дли- { |
нам волн, т. е. AD3/dZ,=const. Как —-±------—'
выглядела бы в этом случае кривая * ,нп
распределения светового потока по Рис' °’10 длинам волн?
5.22. Допустим, что световой поток распределен равномерно по длинам волн в интервале от 400 до 760 нм (рис. 5.10).
а) Как выглядел бы в этом случае график функции распределения световой энергии по длинам волн?
б) Возможно ли такое распределение?
5.23. Монохроматическая световая волна с Х=510 нм при нормальном падении на некоторую поверхность создает освещенность £?=100 лк. Определить давление р, оказы-
6 И. В. Савельев
161
ваемое светом на поверхность, если отражается половина падающего света.
5.24. Интенсивность (средняя плотность светового потока) монохроматической световой волны /=100 лм/м2. Частота волны <о=3,69-101* с-1. Показатель преломления среды, в которой распространяется волна, п=1,50, магнитная проницаемость р=1. Найти значения амплитуд Ет и Нт напряженностей электрического и магнитного полей этой волны.
5.25. Точечный изотропный источник света испускает по всем направлениям поток Ф = 1257 лм. Чему равна сила света / этого источника?
5.26. Параллельный пучок лучей, несущий однородный световой поток плотности /=200 лм/м2, падает на плоскую поверхность, внешняя нормаль к которой образует с направлением лучей угол а=120°. Какова освещенность Е этой поверхности?
5.27. На высоте й=3,00 м над полом висит точечный осесимметричный источник, сила света которого описывается функцией /(-&)==/0 cos2-& в пределах и равна нулю
приКж/2 (/0—константа, — угол, образуемый световым лучом с вертикалью). Освещенность пола под источником Е=100 лк. Определить световой поток Ф, излучаемый источником.
5.28. Точечный изотропный источник света помещается вад центром круглого стола. Сила света источника /= =50,0 кд, радиус стола /?=0,500 м, высота источника над столом /1=1,00 м. Определить:
1. Зависимость освещенности Е стола от расстояния г от центра.
2. Значение освещенности: а) в центре, б) на краю стола.
3. Поток света Ф, падающий на стол.
4. Какая доля т] полного потока, испускаемого источником, падает на стол?
5.29. Как должна зависеть от угла й между направлением луча и вертикалью сила света / (й) источника из предыдущей задачи для того, чтобы падающий на стол поток Ф=33 лм (см. ответ к п. 3 задачи 5.28) распределялся по поверхности стола равномерно? Какова будет при этом освещенность Е стола? Сравнить значение Е с ответом к пи. 2а и 26 предыдущей задачи.
5.30. Яркость однородно светящейся плоской поверхности описывается функцией L (0, <р) (й — угол с нормалью к поверхности, <р — азимутальный угол). Написать выражение для светимости М этой поверхности.
162
5.31. Имеется однородно светящийся диск радиуса R — >=10,0 см, яркость которого L=L0cos$ (Lo — константа, равная 1,00-103 кд/ма, $ — угол с нормалью к поверхности). Найти световой поток Ф, испускаемый диском.
5.2. Интерференция света
5.32. Чему равна амплитуда А колебания, являющегося суперпозицией N некогерентных колебаний одинакового направления и одинаковой амплитуды а?
5.33. Две световые волны создают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления, описываемые функциями A cos at и A cos[(co+Aco)/], где Ди = =0,628 c~J. Как ведет себя интенсивность света в этой точке?
5.34. Найти интенсивность I волны, образованной наложением двух когерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. Значения интенсивности этих волн равны Д и 12.
5.35. В некоторую точку приходят N параллельных друг другу световых колебаний вида
Ет = a cos [со/ + (т—1)6] (т=1, 2, ..., N).
Методом графического сложения колебаний определить амплитуду А результирующего колебания.
5.36. Источник света диаметра d=30,0 см находится от места наблюдения на расстоянии /=200 м. В излучении источника содержатся длины волн в интервале от 490 до 510 нм. Оценить для этого излучения:
а) время когерентности /КОг,
б) длину когерентности 1К0Г,
в) радиус когерентности рКОг,
г) объем когерентности Уког.
5.37. Оценить радиус когерентности рю света, приходящего от Солнца на Юпитер. Сравнить его с радиусом когерентности рз света, приходящего от Солнца на Землю. Длину световой волны принять равной 500 нм.
5.38. Угловой диаметр звезды Бетельгейзе (а Ориона) равен 0,047 угловой секунды. Чему равен радиус когерентности рког света, приходящего на Землю от этой звезды?
5.39. Волновые векторы lq и двух плоских когерентных волн одинаковой интенсивности образуют угол ср, много меньший единицы. Волны падают на экран, установленный так, что векторы lq и к2 симметричны относительно
6* 163
нормали к экрану. Определить ширину Ах интерференционных полос, наблюдаемых на экране;
5.40. Какая длина волны подразумевается в выражении Для разности фаз 6 интерферирующих световых волн, . оптическая разность хода ко1
b I Р торых равна А(б=2лА/Х),—
-j-t*---------длина волны в вакууме или
Л Л длина волны в среде, в кото-
X рой распространяются волны?
___________i _______ 5.41. На рис. 5.11 изобра-Г*~ ' Н жена интерференционная схе-
Рис. 5.11 ма с двумя идентичными светя-
щимися щелями. Колебания от соответствующих точек щелей (например, отточек, прилежащих к верхнему краю щелей, или от точек, лежащих в середине щелей, и т. п.) являются когерентными, в то время как колебания от точек, находящихся на неодинаковых расстояниях от края щели, являются некогерентными.
а) Полагая показатель преломления среды равным единице, определить 6А=АЕ—Дн, где Ав — оптическая разность хода до некоторой точки Р экрана от верхних краев первой и второй щели, Дн — оптическая разность хода до той же точки Р от нижних краев первой и второй щели.
б) Оценить максимальную ширину Ьтах щелей, при которой интерференционные полосы будут еще различимы достаточно отчетливо.
5.42. В некоторой интерференционной установке на пути белого света был установлен один раз красный, другой раз зеленый светофильтр. Полоса пропускания АХ у обоих светофильтров одинакова. В каком свете — красном или зеленом — число различимых интерференционных полос будет больше?
5.43. На какую величину а изменяется оптическая разность хода интерферирующих лучей при переходе от середины одной интерференционной полосы к середине другой?
5.44. Пучок лазерного излучения с Х0=632,8 нм падает по нормали на преграду с двумя узкими параллельными щелями. На экране, установленном за преградой, наблюдается система интерференционных, полос. В какую сторону и на какое число полос сместится интерференционная картина, если одну из щелей перекрыть прозрачной пластинкой толщины а=10,0 мкм, изготовленной из материала с показателем преломления п—1,633?
5.45. В опыте, подобном тому, с помощью которого Юнг впервые определил длину волны света? пучок солнеч-164
ных лучей, пройдя через светофильтр и узкую щель в непрозрачной преграде, падал на вторую преграду с двумя узкими щелями, находящимися на расстоянии d=l,00MM друг от друга. За преградой на расстоянии /=1,00 м располагался экран, на котором наблюдались интерференционные полосы. Ширина полосы Ах оказалась равной: а) 0,65 мм для красного света и б) 0,45 мм для синего света. Чему равна длина световой волны %0?
5.46. В схеме, предложенной Ллойдом, световая волна, падающая на экран Э непосредственно от светящейся щели S, интерферирует с волной, отразившейся от зеркала 3 (рис. 5.12). Пусть расстояние от щели до плоскости зеркала /i=l,00 мм, расстояние от щели до экрана /=1,00 м, длина световой волны %о=5ОО нм. Определить ширину интерференционных полос Ах.
5.47. В изображенной на рис. 5.13 установке с бизеркалами Френеля S — источник света в виде перпендикулярной к плоскости рисунка щели, Э — экран. Расстояние г=0,100 м, 5=1,00 м. Определить:
а) значение угла <р, при котором для Х=500 нм ширина интерференционных полос на экране Ах=1,00 мм,
б) максимальное число N полос, которое можно наблюдать в этом случае.
Рис. 5.15
5.48. В изображенной на рис. 5.14 интерференционной схеме с'бипризмой Френеля расстояние от светящейся щели S до бипризмы а=0,300 м, расстояние от бипризмы до экрана 5=0,700 м. Показатель преломления бипризмы /г= = 1,50. Положив Х0=500 нм, определить:
165
а) при каком значении преломляющего угла призмы $ ширина Ах интерференционных полос, наблюдаемых на экране, будет равна 0,400 мм,
б) максимальное число N полос, которое можно наблюдать в этом случае.
5.49. Из тонкой линзы с оптической силой Ф = = +2,00 дптр была вырезана по диаметру полоска ширины й=1,00 мм. Затем образовавшиеся части линзы были составлены вместе. В фокальной плоскости образовавшейся билинзы параллельно разрезу поместили источник 3 в виде светящейся щели, испускающей монохроматический свет с Х=500 нм (рис. 5.15). За билинзой на расстоянии от нее 7?=1,00м размещен экран. Определить:
а) ширину интерференционных полос Ах,
б) максимальное число N полос, которое можно наблюдать в этом случае.
5.50. Плоская световая волна длины Ао в вакууме падает по нормали на прозрачную пластинку с показателем преломления п. При каких толщинах b пластинки отраженная волна будет иметь а) максимальную, б) минимальную интенсивность?
i Л П’
2 3 л2 . Л3
Рис. 5.16
5.51. Имеются два световых пучка одинаковой длины волны и одинаковой интенсивности /0=100лм/м2. Один пучок испускается лазером, другой — газоразрядной лампой. Определить интенсивность I каждого из пучков после прохождения ими пластинки толщиной примерно 1 мм с показателем преломления п=1,600, если толщина пластинки равна: а) А/1, б) (А/+1/4)А (W— целое число, А — длина волны в пластинке). Ослаблением пучков за счет поглощения в пластинке пренебречь.
5.52. Имеются две параллельные друг другу плоские границы раздела трех прозрачных сред (рис. 5.16). Для некоторой длины волны показатели преломления первой и третьей среды равны соответственно п1=1,20 и п3=1,40.
а) При каком значении показателя преломления п2 второй среды доля отраженного света будет для обеих поверхностей одна и та же?
166
б) Будет ли при найденном значении п2 также одинакова доля отраженного от обеих поверхностей света при обратном ходе луча (из третьей среды в первую)?
5.53. Стеклянная пластинка покрыта с обеих сторон пленкой прозрачного вещества (рис. 5.17). Для света длины волны в вакууме Zo=48O нм показатель преломления пластинки п=1,44, показатель преломления пленки п' = 1,20, показатель преломления воздуха па практически равен единице. При какой минимальной толщине пленок а свет указанной'длины волны будет проходить через пластинку без потерь на отражение?
5.54. На рис. 5.18 буквой S обозначен точечный источник, испускающий свет с Х=600 нм. Половина падающего на полупрозрачное зеркало ППЗ светового потока отражается по направлению к двум параллельным друг другу стеклянным пластинкам. Вращая микрометрический винт МВ, нижнюю пластинку можно перемещать, изменяя тем самым зазор b между пластинками.
Половина потока, отраженного пластинками, пройдя через полупрозрачное зеркало, попадает в зрительную трубу ЗТ. Какая картина будет наблюдаться в поле зрения трубы, если зазор между пластинками &=0,5мм, а степень монохроматичности света, характеризуемая отношением Z/AK, равна: а) 500, б) 5000?
5.55. Что будет происходить с картиной, наблюдающейся в поле зрения трубы, в случае б) задачи 5.54, если, вращая плавно микрометрический винт МВ, а) увеличивать, б) уменьшать зазор между пластинками?
167
5.56. В изображенной на рис. 5.19 установке плоская световая волна с Х=600 нм падает на полупрозрачное зеркало ППЗ. Половина светового потока отражается по направлению к установленным под небольшим углом друг к другу стеклянным пластинкам. Вращая микрометрический винт МВ, нижнюю пластинку можно перемещать параллельно самой себе, изменяя тем самым на одинаковую величину зазоры bi и b2 между краями пластинок.
Половина потока, отраженного пластинками, пройдя через полупрозрачное зеркало, попадает в зрительную трубу ЗТ. Какая картина будет наблюдаться в поле зрения трубы, если зазоры между краями пластинок ^=497 мкм, fc2=503 мкм, а степень монохроматичности света МАЛ равна: а) 500, б) 5000, в) 2500?
5.57. Что будет происходить с картиной, наблюдающейся в поле зрения трубы в случае б) задачи 5.56, если, вращая плавно микрометрический винт МВ, а) уменьшать, б) увеличивать зазор между пластинками?
5.58. На пленку толщины Ь=367 нм падает под углом & параллельный пучок белого света. Показатель преломления пленки п=1,40 (изменения п в зависимости от % заключены в пределах 0,01). В какой цвет будет окрашен свет, отраженный пленкой в случае, если {} равен: а) 30°, б) 60°?
5.59. Клиновидная пластинка ширины а=100,0 мм имеет у одного края толщину ^=0,358 мм, а у другого Ь2-=0,381 мм. Показатель преломления пластинки п=1,50. Под углом $=30° к нормали на пластинку падает пучок параллельных лучей. Длина волны падающего света Л=655 нм (красный цвет). Определить ширину Ах интерференционных полос (измеренную в плоскости пластинки), наблюдаемых в отраженном свете, для случая, когда степень монохроматичности света VAX равна: а) 5000, б) 500.
5.60. Расположенная вертикально проволочная рамка затянута мыльной пленкой. При освещении пленки зеленым светом с Ло=53О нм и степенью монохроматичности Л/АЛ= =40 на верхней части пленки наблюдаются интерференционные полосы равной толщины. Оценить толщину b пленки.
5.61. При освещении клиновидной прозрачной пластинки зеленым светом (Ло=55О нм) на части пластинки наблюдаются 36 интерференционных полос равной толщины (остальная часть пластинки освещена равномерно). Какое число полос N будет наблюдаться, если осветить пластинку вместо зеленого красным светом (Ха=660 нм), степень моно-168
хроматичности которого Х/ДА, в 1,20 раза меньше, чем у зеленого света?
5.62. Угол между гранями прозрачной клиновидной пластинки а=1,03'. Средняя толщина пластинки 6=3,00 мм, длина пластинки /=100 мм. При нормальном падении на пластинку света, имеющего в пластинке j— ----
длину ванны ^=400,00 нм, на полови- _ — не длины пластинки наблюдаются ин- । - и л ' терференционные полосы равной тол- EZl|CZ3 щины. На какой части пластинки х бу-
дут наблюдаться интерференционные Рис 5 20 полосы, если осветить пластинку светом
с длиной волны А2=401,00 нм, степень монохроматичности которого А/ДА такая же, как у первоначального света?
5.63. На стеклянную пластинку положена выпуклой стороной плоско-выпуклая линза. При нормальном падении на плоскую границу линзы красного света (Ао=61О нм) радиус 5-го светлого кольца Ньютона оказывается равным г6=5,00 мм. Определить:
а) радиус кривизны R выпуклой границы линзы,
б) оптическую силу Ф линзы (показатель преломления линзы п=1,50; линзу считать тонкой),
в) радиус г3 3-го светлого кольца.
5.64. Во сколько раз возрастет радиус т-го кольца Ньютона при увеличении длины световой волны в полтора раза?
5.65. Обращенная выпуклостью вниз плоско-выпуклая линза закреплена неподвижно. Под линзой на небольшом расстоянии от нее находится стеклянная пластинка, которую можно перемещать по вертикали, вращая головку винта В (рис. 5.20). Шаг винта /г=100,0 мкм. Сверху линзу освещают светом с Ао=58О нм и наблюдают в отраженном свете кольца Ньютона.
1. Что будет происходить с интерференционной картиной, если, плавно вращая винт, а) увеличивать, б) уменьшать зазор между линзой и пластинкой?
2. Какое число N новых колец возникнет (а старых исчезнет), если повернуть винт на один оборот?
5.3. Дифракция света
5.66. Точечный источник света с А=500 нм помещен на расстоянии а=0,500 м перед непрозрачной преградой с отверстием радиуса /=0,500 мм. Определить расстояние Ъ
169
от преграды до точки, для которой число т открываемых отверстием зон Френеля будет равно: а) 1,6) 5, в) 10.
5.67. Точечный источник света с Х=550 нм помещен на расстоянии а=1,00м перед непрозрачной преградой с отверстием радиуса г—2,00 мм.
а) Какое минимальное число rnmin открытых зон Френеля может наблюдаться при этих условиях?
б) При каком значении расстояния Ь от преграды до точки наблюдения получается минимальное возможное число открытых зон?
в) При каком радиусе г отверстия может оказаться в условиях данной задачи открытой только одна центральная зона Френеля?
5.68. Имеется круглое отверстие в непрозрачной преграде, на которую падает плоская световая волна. За отверстием расположен экран. Что будет происходить с интенсивностью в центре наблюдаемой на экране дифракционной картины, если экран удалять от преграды?
5.69. Исходя из определения зон Френеля, найти число т зон Френеля, которые открывает отверстие радиуса г для точки, находящейся на расстоянии b от центра отверстия, в случае если волна, падающая на отверстие, плоская.
5.70. На непрозрачную преграду с отверстием радиуса г= 1,000 мм падает монохроматическая плоская световая волна. Когда расстояние от преграды до установленного за ней экрана 61=0,575 м, в центре дифракционной картины наблюдается максимум интенсивности. При увеличении расстояния до значения 62=0,862 м максимум интенсивности сменяется минимумом. Определить длину волны X
света.
5.71. Доказать следующие равенства:
б) [a cos (оф ф а)] = Re [a exp (t (со/ ф
в) a cos (со / ф а) dt = Re { а ехр [г (со/ ф а)] di),
г) [«! cos (соф ф ах)] ф § а2 cos (со.ф ф а2) dt =
= Re -4г Гф exp (I (соф ф а,))1 ф С a, exp [I (a.d ф а,)
k
= Re Ц ak ехР
I k J
170
е) 2 \ Oft C°s (®ft^ + aft) dt —
k
*= Re •{ 2 $ Oft exP [i (®ft^ + aft)] dt |.
5.72. Предположив, что колебание, создаваемое в центре дифракционной картины от круглого отверстия m-й зоной Френеля, можно представить в виде
Ет = Xjp'»-1 exp {i [at + (tn— 1) л]},
где Аг— амплитуда колебания, создаваемого 1-й зоной, р — число, чуть меньшее единицы (имеется в виду, что надо взять вещественную часть этого выражения), определить результирующую амплитуду колебания, создаваемого N зонами Френеля.
5.73. Интенсивность, создаваемая на экране некоторой монохроматической световой волной в отсутствие преград, равна 10. Какова будет интенсивность I в центре дифракционной картины, если на пути волны поставить преграду с круглым отверстием, открывающим: а) 1-ю зону Френеля, б) половину 1-й зоны Френеля, в) полторы зоны Френеля, г) треть 1-й зоны Френеля?
5.74. Как изменится в условиях предыдущей задачи интенсивность в точке против центра отверстия, если половину отверстия перекрыть полуплоскостью?
5.75. На пути световой волны с Хо=5ОО нм установлена большая прозрачная пластинка, в которой на площади, соответствующей для некоторой точки наблюдения полутора зонам Френеля, сделана круглая цилиндрическая выемка, обращенная в сторону распространения волны. Показатель преломления пластинки п=1,500. При какой наименьшей глубине выемки интенсивность в точке наблюдения будет а) максимальной, б) минимальной, в) равной интенсивности падающего света?
5.76. Освещенность экрана в случае дифракции от круглого отверстия описывается функцией Е=Е(г), где г—-расстояние от центра дифракционной картины. Написать выражение для светового потока Ф, проходящего через отверстие.
5.77. Радиусы окружностей, разграничивающих непрозрачные и прозрачные кольца амплитудной зонной пластинки, имеют значения гт=аКиг, где а=1,000мм, т=1, 2, 3, . . . Определить основное фокусное расстояние b пластинки для длин волн X, равных: а) 400 нм, б) 580 нм, в) 760 нм. (Фокусным расстоянием зонной пластинки назы-
171
вается расстояние от пластйнкн до точки на ее оси, в которой наблюдается максимум интенсивности при нормальном падении на пластинку плоской световой волны. Основным называется фокусное расстояние, соответствующее нанболь-v а шему по интенсивности максимуму. Неос-— 1 — новные максимумы получаются, еслй в пер-
L—Г вой зоне, начерченной на пластинке, укла-
\ » j ' дываются 3, 5, 7, ... зон Френеля.)
' । 5.78. Исходя из предположения, выска-
' I ь занного в задаче 5.72, и положив р=0,95,
' оценить интенсивность 1 в фокусе зонной
\ ' пластинки, перекрывающей четные зоны
3 \| ,, Френеля. Выразить I через интенсивность
-----~~р 10 в отсутствие преград.
Рис. 5.21 5.79. Решить задачу 5.78 для случая
фазовой зонной пластинки. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 5.78.
5.80. Фазовая зонная плаётинка изготовлена из материала с показателем преломления п=1,50. Какой минимальной высоты 1г должны быть выступы над четными (пли нечетными) зонами пластинки для длины волны Хо=58О нм?
5.81. Па пути плоской световой волны с длиной X помещена непрозрачная плоскость, в которой имеется очень длинная («бесконечная») щель ширины а. За преградой на расстоянии b от нее поставлен экран Э (рис. 5.21). Возьмем на экране точку наблюдения Р и разобьем совпадающую с преградой волновую поверхность па параллельные краям щели прямолинейные зоны Френеля (т. е. зоны, разность хода от краев которых до точки Р равна М2). Внутреннюю границу первой зоны поместим против точки Р. Получатся две симметричные системы зон. Зонам, лежащим справа от Р, припишем нештрихованные номера 1, 2, . . .; зонам, лежащим слева от Р, припишем штрихованные номера 1', 2', ...
Требуется определить:
1. Число т нештрихованпых и число т' штрихованных Зон, открываемых щелью для точки экрана Р, расположенной против а) середины, б) левого края, в) правого края щели. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 5.69.
2. Координату гт внешней границы т-й нештрихованной зоны Френеля (ось х перпендикулярна к краям щели,-отсчет значений х ведется от точки Р).-
3. Отношение значений ширины Ах первых пяти зон Френеля.
172
5.82. Положив в задаче 5.81 Х=500 нм, а=3,162мм, 5=1,000 м, вычислить:
1. Числа т и т' для точки Р, лежащей против а) середины, б) левого края, в) правого края щели.
2. Значения координаты хт правой границы первых пяти зон Френеля.
5.83. На рис. 5.22 дана кривая Корню. Эта кривая позволяет методом векторного сложения колебаний определить амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке наблюдения Р различными участками ВвлноВая поеврхтсп,ь волновой поверхности, находящейся —г---------
на расстоянии b отточки Р (рис. 5.23). ]
Волновая поверхность разбивается {
на перпендикулярные к проведенной ь j через точку Р оси х бесконечно длин- i
ные элементарные зоны dS ширины i
dx. Амплитуда dA, порождаемая зо- Р____________! ..
ной dS, определяется элементом di з ? кривой Корню (|dl|oodx). Отсчитан- рис 5 23 ное вдоль кривой расстояние этого элемента от начала координат характеризуется значением безразмерного параметра и, Числа, проставленные на кривой, означают значения этого параметра; Соответствие между значением и (определяющим положение точки на кривой Корню) и координатой х (определяющей положение
173
зоны dS относительно точки Р) в случае плоской волны устанавливается соотношением
v = х К 2/ЬХ
(X — длина волны).
В точках, для которых и=1, 3, 5,. . касательная к кривой Корню параллельна оси т]; в точках, для которых v= =2, 4, 6, . . ., касательная параллельна оси
1. Какие точки кривой Корню соответствуют границам между зонами Френеля?
2. Какое значение параметра v соответствует границе между 2-й и 3-й а) нештрихованпыми, б) штрихованными зонами Френеля?
5.84. Воспользовавшись ответом к задаче 5.81 и формулой, приведенной в условии предыдущей задачи,
а) определить значение параметра и, соответствующее внешней границе m-ii зоны Френеля,
б) вычислить значения v для т=1, 2, . . ., 5.
5.85. В отсутствие преград интенсивность, создаваемая падающей по нормали на экран плоской световой волной, равна /0. Определить с помощью кривой Корню интенсивность / в точке экрана Р, создаваемую: а) только нештрихованными (или штрихованными) зонами Френеля, б) 1-й
Рис. 5.24
пештрихованной (или штрихованной) зоной, в) всеми штрихованными (или нештрихованными) зонами, кроме 1-й, г) 2-й зоной, д) 1-й и 2-й эонами, е) 2-й и 3-й зонами Френеля.
174
5.86. На границе тени, отбрасываемой на экран полуплоскостью, образуется система дифракционных полос. Положив длину волны Х=580 нм, расстояние между полуплоскостью и экраном 6=20,0 см и интенсивность падающей волны /о=1ОО лм/м2, определить:
а) интенсивность /так 1-го дифракционного максимума, б) интенсивность 7т-1П следующего за ним 1-го минимума, в) отношение
г) примерные значения отсчитываемой от края геометрической тени координаты х для середины 1-го максимума и середины 1-го минимума.
5.87. На рис. 5.24 изображен график интенсивности света в случае дифракции Френеля от края полуплоскости. В каком соотношении находятся суммарные площади, отмеченные штриховкой разного наклона?
5.88. На щель ширины а=2,00 мм, установленную на расстоянии 6=2,00 м от экрана, падает по нормали плоская световая волна длины А,=500 нм. В отсутствие преград волна создавала бы на экране освещенность £'„=100,0 лк. Определить освещенность Е в точке экрана Р, расположенной а) против середины, б) против края щели.
5.89. В каком фазовом соотношении находится колебание, создаваемое всеми штрихованными зонами Френеля, с колебанием, создаваемым второй нештрихованной зоной в случае дифракции от края полуплоскости?
5.90. На пути падающей на экран плоской световой волны длины Х,=600 нм поместили очень длинную непрозрачную полоску ширины а= 1,90 мм на расстоянии от экрана 6=1,50 м. В отсутствие полоски освещенность экрана Ей~ =300 лк. Определить освещенность Е в точке Р, находящейся а) против середины, б) против края полоски.
175
5.91. На рис. 5.25 изображена кривая интенсивности света в случае фраунгоферовой дифракции от щели.
1. Какой смысл имеет площадь, ограниченная кривой?
2. Как изменятся при увеличении ширины щели в два раза: а) высота дифракционных максимумов, б) ширина максимумов, в) положение минимумов, г) число наблюдаемых минимумов, д) площадь, ограниченная кривой?
5.92. Белый свет падает по нормали на щель ширины Ь=0,10 мм. За щелью установлена линза, в фокальной плоскости которой помещен экран. Оптическая сила линзы Ф =+5,0 дптр. Оценить:
а) ширину а радужного канта на границе наблюдаемого на экране центрального дифракционного максимума,
б) отношение ширины канта а к средней ширине (Дх) центрального максимума.
5.93. Плоская световая волна падает нормально на непрозрачную плоскую преграду, в которой имеется щель ширины Ь=0,200 мм. За преградой расположен экран. Волновые поверхности, преграда и экран параллельны друг другу. Расстояние между преградой и экраном /=1,00 м. Длина волны Х=500 нм. Показатель преломления среды практически равен 1. Условия когерентности соблюдены. Определить;
а) какой вид дифракции наблюдается в этом случае, б) ширину а0 центрального дифракционного максимума, в) расстояние а12 между серединами 1-го и 2-го дифракционных максимумов.
5.94. Какой вид дифракции будет наблюдаться в условиях задачи 5.93, если ширину щели увеличить до 1,0 мм?
5.95. Будет ли перемещаться по экрану дифракционная картина от щели при перемещении щели параллельно самой себе в случае, если дифракция наблюдается: а) с помощью линзы, б) без линзы? Предполагается, что свет падает на щель по нормали.
5.96. Как ведет себя интенсивность света в середине дифракционной картины от щели при увеличении ширины щели в случае: а) дифракции Френеля, б) дифракции Фраунгофера?
5.97. Построить примерный график зависимости интенсивности I, от sin ф для дифракционной решетки с числом штрихов У=5 и отношением периода решетки к ширине щели d/b=2.
5.98. На рис; 5.26 показаны главные максимумы интенсивности, создаваемые некоторой дифракционной решеткой с большим числом штрихов.
176
1. Какой смысл имеет суммарная площадь максимумов?
2. В промежутках между соседними штрихами решетки наносятся дополнительные штрихи. Как изменятся при этом: а) положение максимумов, б) высота центрального макси-
5.99. Что произойдет с дифракционной картиной, если щели дифракционной решетки перекрыть через одну?
5.100. Половина дифракционной решетки перекрывается с одного края непрозрачной преградой, в результате чего число штрихов уменьшается в два раза. Как изменятся при этом:
а) положения дифракционных максимумов,
б) высота центрального максимума,
в) ширина максимумов,
г) суммарная площадь максимумов?
Предполагается, что радиус когерентности падающего на решетку света значительно больше длины решетки.
5.101. Ответить на вопросы задачи 5.100 при условии, что радиус когерентности падающего на решетку света много меньше длины решетки.
5.102. 1. Определить, при каком значении отношения x=bld (d — период дифракционной решетки, b — ширина щели) дифракционный максимум т-го порядка, будет иметь а) максимальную интенсивность, б) интенсивность, равную нулю. Интенсивность падающего на решетку света и период решетки d предполагаются заданными.
177
2. Найти отвечающие максимуму интенсивности значения х для максимума а) 1-го, б) 2-го, в) 3-го порядка.
3. Найти значения х, при которых интенсивность обращается в нуль, для максимума а) 1-го, б) 2-го, в) 3-го порядка.
5.103. В спектре, даваемом дифракционной решеткой с периодом d=2300 нм, видны при ^=500 нм только два максимума (кроме центрального). Какова ширина щелей b этой решетки?
5.104. Ограничиваясь случаем нормального падения света на решетку, оценить максимальное возможное значение угловой дисперсии D дифракционной решетки, о которой известно, что один нз максимумов для ^=550 нм накладывается на один из максимумов для Z2=660 нм. Имеется в виду дисперсия в спектре 1-го порядка.
5.105. Минимальное значение угловой дисперсии некоторой дифракционной решетки 0 = 1,266-10“3 рад/нм. Найти угловое расстояние Дф между линиями с ^=480 нм и ^,2=680 нм в спектре, даваемом решеткой. Предполагается, что свет падает на решетку нормально.
5.106. Свет, падающий на дифракционную решетку нормально, состоит из двух резких спектральных линий с длинами волн ^=490 нм (голубой свет) и Х2=600 нм (оранжевый свет). Первый дифракционный максимум для линии с длиной волны М располагается под углом ф1=10,0°. Найти угловое расстояние Аф между линиями в спектре 2-го порядка.
5.107. Будут ли разрешены дифракционной решеткой с ЛЛ=100 штрихов спектральные линии с М=598 нм и Л2= = 602 нм в спектре а) 1-го, б) 2-го порядка?
5.108. Какое число N штрихов должна иметь дифракционная решетка для того, чтобы разрешить в спектре 1-го порядка линии желтого дублета (двойной желтой спектральной линии) натрия, длины волн которого равны 589,0 и 589,6 нм?
5.109. 1. Предполагая, что свет падает на дифракционную решетку нормально, получить точное выражение для угловой дисперсии D решетки в зависимости от Л.
2. Положив период решетки d= 1000 нм, вычислить по найденной формуле угловую дисперсию в спектре 1-го порядка в окрестности длин волн: а) 400 нм, б) 580 нм, в) 760 нм.
3. Сравнить полученные результаты со значениями D, вычисленными по приближенной формуле Dwnild (т — порядок спектра).
178
5.110. 1. Для случая, когда свет падает на дифракционную решетку нормально, получить точное выражение для линейной дисперсии ОЛ1.Н решетки в зависимости от X.
2. Положив период решетки d=1000 нм, а фокусное расстояние линзы /=1,000 м, вычислить по найденной формуле линейную дисперсию в спектре 1-го порядка в окрестности длин волн: а) 400 нм, б) 580 нм, в) 760 нм.
3. Сравнить полученные результаты со значением Рлин, вычисленным по приближенной формуле F&mfld (rn — порядок спектра).
5.111. В спектрографе установлена перпендикулярно к падающему световому пучку дифракционная решетка, период которой d=1000 нм, а длина рабочей части = 100,0 мм. Фокусное расстояние объектива спектрографа /=1,000 м.
1. Определить длину Ах видимого спектра, получающегося на фотопластинке, установленной в фокальной плоскости объектива.
2. Оценить: а) линейную дисперсию Олпн, б) разрешающую силу R прибора.
5.112. Имеется дифракционная решетка, на которую падает нормально световой пучок.
1. Предполагая, что число т, определяющее порядок дифракционного максимума, изменяется непрерывно, получить формулу для дср/б/тт в зависимости от т. Эта формула дает при подстановке в нее т=^+1/2 приближенное значение углового расстояния между k-м и (А-]-1)-м максимумами.
2. Приняв X/d=0,3, вычислить точное значение углового расстояния Дер между: а) 1-м и 2-м, б) 2-м и 3-м максимумами. Сравнить результат с приближенными значениями, найденными по формуле, полученной в п. 1.
5.113. Почему период d прозрачных дифракционных решеток должен быть порядка длины волны к и не может быть, например, равным 1 мм?
5.114. На дифракционную решетку с периодом =2500 нм падает под углом <р0=20,0° к нормали свет длины волны 2,==600 нм. Полагая углы, отсчитанные от нормали против часовой стрелки, положительными, а по часовой стрелке — отрицательными (заметим, что <р0 положителен),
1. Получить формулу, определяющую угловые положения <р главных максимумов.
2. Найти:
а) угол <р, под которым получается центральный (нулевой) максимум,
17»
б) углы <р+, под которыми получаются положительные максимумы, и углы <р_, под которыми наблюдаются отрицательные максимумы,
в) число т+ наблюдаемых положительных максимумов и число т_ наблюдаемых отрицательных максимумов.
3. Сравнить полное число максимумов с числом максимумов, которые получились бы при нормальном падении света на решетку.
5. 115. На отражательную дифракционную решетку с периодом d падает под углом скольжения свет с длиной волны X. (Угол скольжения является дополнительным к углу падения.)
1. Получить формулу, определяющую углы скольжения О, под которыми получаются главные дифракционные максимумы.
2. Определить углы О, под которыми возникают дифракционные максимумы а) 1-го, б) 2-го, в) 5-го порядков, для случая, когда d= 1,00 мм, Х=500 нм, Оо=1,00°.
5.116. 1. Получить выражение для угловой дисперсии D-dy/db дифракционной решетки в случае падения света на решетку под углом <p0 к нормали. Сравнить полученный результат с ответом к п. 1 задачи 5.109.
2. Положив период решетки d=2250 нм, длину волны Х—500 нм, вычислить D в спектре 1-го порядка для значений фо, равных: а) нулю, б) 30°, в) 50°, г) 51°.
5.117. Можно ли различить невооруженным глазом два находящихся на расстоянии 2 км столба, отстоящих друг от друга на 1 м? Диаметр зрачка принять равным 4 мм.
5.118. В зрительную трубу рассматривается лунная поверхность. Диаметр объектива трубы d=4,00 см. При каком минимальном расстоянии amin между двумя кратерами их можно увидеть раздельно? Длину световой волны принять равной 600 нм.
5.119. В растровом рисунке изображение образовано точками различной насыщенности (т. е. разной «жирности»). Начиная с какого расстояния I глаз перестанет различать отдельные точки и рисунок будет выглядеть как непрерывный переход от более светлых мест к более темным, если число точек на 1 см2 равно 2500. Диаметр зрачка принять равным 4,0 мм, а длину волны равной 600 нм.
5.120. Плотность каменной соли (NaCl) р—2,163 г/см3. Исходя из того, что кристаллическая ячейка соли имеет форму куба, в вершинах которого помещаются, чередуясь, ионы натрия и хлора, найти расстояние d между атомными 180
плоскостями, параллельными естественным граням кристалла.
5.121. Английские физики У. Г. и У. Л. Брэгги (отец и сын Брэгги) впервые измерили в 1913 г. длину волны рентгеновских лучей. Основываясь на том, что, как было установлено кристаллографами, каменная соль принадлежит к кубической системе, Брэгги вычислили расстояние d между атомными плоскостями, параллельными внешним граням кристалла (см. задачу 5.120). Измерив затем углы, под которыми возникают дифракционные максимумы при отражении от этих плоскостей, Брэгги определили длину волны X использованного ими рентгеновского излучения. В частности, для монохроматического излучения, испускаемого палладиевым антикатодом (/\а палладия), максимумы интенсивности были получены при углах скольжения, равных 5°59', 12°3' и 18°14'. Найти длину волны X этого излучения.
5.122. На поликристаллический образец меди падает узкий пучок рентгеновского излучения с Х=0,0214 нм (Ка вольфрама). За образцом на расстоянии от пего /= = 100,0 мм установлена фотопластинка. Найти радиусы У?! и R 2 колец, образующихся на фотопластинке за счет дифракционных максимумов 1-го и 2-го порядков, возникающих при отражении от атомных плоскостей, параллельных граням кристаллической ячейки. Ячейка меди является кубической гранецентрированной.
5.4. Поляризация света
5.123. Как ведет себя световой вектор Е в фиксированной точке пространства в случае эллиптически поляризованной волны?
5.124. Чему равна степень поляризации Р света, представляющего собой смесь естественного света с плоскополя-ризованным, если отношение интенсивности поляризованного света к интенсивности естественного равно: а) 1,6) 10?
5.125. Плоскополяризовапный свет интенсивности /0— = 100 лм/м2 проходит последовательно через два совершенных поляризатора, плоскости которых образуют с плоскостью колебаний в исходном луче углы а^^О.О3 и а2= =50,0° (углы отсчитываются от плоскости колебаний по часовой стрелке, если смотреть вдоль луча). Определить интенсивность света / по выходе из второго поляризатора.
5.126. Что такое пластинка в четверть волны?
5.127. Как получить свет, поляризованный по кругу?
181
5.128. Можно ли получить свет, поляризованный по кругу, с помощью пластинки с «толщиной» иной, чем в четверть волны?
5.129. Световой вектор Е плоской волны изменяется по закону Е=Е0 cos (at—kx), причем вектор Ео образует с осями у и z соответственно углы а и (л/2—а). Написать выражения для составляющих вектора Е по осям у
и z.
5.130. На пути световой волны из предыдущей задачи расположен плоскопараллельный слой однородного анизотропного диэлектрика, в котором составляющие Еу и Е2 распространяются с неодинаковой скоростью. Написать выражения для этих составляющих Еу и Е2 по выходе из
слоя.
5.131. Как ведет себя результирующий световой вектор Е' с составляющими Еу и Е^ (см. задачи 5.129 и 5.130), если: а) а=0; б) а=90°; в) а=30°, б=л; г) а=30°, б=л/6; д) а=45°, б=л/6; е) а=30°, б=л/4; ж) а=45°, б=л/4?
5.132. На пути плоскополяризованного монохромати-
ческого света установлена кристаллическая пластинка в четверть волны. Какие видоизменения будет претерпевать вышедший из пластинки свет при вращении пластинки вокруг направления луча?
5.133. На совершенный поляризатор падает поляризованный по кругу свет, интенсивность которого равна /0-Какова будет интенсивность 1 света за поляризатором?
5.134. Между двумя скрещенными совершенными поля-
ризаторами установлена кристаллическая пластинка в четверть волны. Как будет изменяться интенсивность света,
Тест
Рис. 5.27
вышедшего из второго поляризатора, при вращении пла-С стинки вокруг направления луча, если на первый поляризатор падает естественный свет интенсивности /ест?
5.135. Кристаллическая
пластинка в полволны установлена между двумя совершенными поляризаторами. На первый (по ходу луча) поляризатор падает естественный монохроматический свет интенсивности /ест с длиной волны, соответствующей пластинке. Оптическая ось пластинки образует с вертикалью угол а=30°. Первый поляризатор
закреплен в положении, в котором его плоскость вертикальна. Второй поляризатор может вращаться. Определить интенсивность I света, вышедшего из второго поляризатора,1
182
для случаев, когда плоскости поляризаторов: а) параллельны, б) взаимно перпендикулярны.
5.136. Естественный свет интенсивности /ест проходит последовательно через поляризатор П2, кристаллическую пластинку в полволны и поляризатор П2 (рис. 5.27). Ось пластинки установлена вертикально. Ось поляризатора 7?! образует с вертикалью угол а1( ось поляризатора П2 — угол а2 (углы отсчитываются от вертикали по часовой стрелке, если смотреть вдоль луча). Считая, что пластинка не поглощает света, а поляризаторы являются совершенными, определить:
а) характер света в точках А, В, С,
б) интенсивность света 1А и Iв в точках А и В,
в) интенсивность света 1С в точке С, если а1=30°, а угол а2 равен: 60°, 150°,
г) интенсивность света 1С в точке С при произвольных углах и а2.
5.137. Имеется система, аналогичная изображенной на рис. 5.27 (см. задачу 5.136), с тем отличием, что вместо пластинки в полволны установлена пластинка в 3/8 волны. Определить:
а) характер света в точках В и С,
б) интенсивность света 1В в точке В.
в) Может ли при каких-либо значениях углов а2 и а2 из интервалов 10э^а1<^80° и 0^а2^90э интенсивность света 1С в точке С оказаться равной нулю?
г) Может ли 1С оказаться равной 7ест/2?
5.138. Несовершенный поляризатор пропускает в своей плоскости aj=0,90 часть интенсивности соответствующего колебания, а в перпендикулярной плоскости а2=0,10 часть интенсивности соответствующего колебания. Определить степень поляризации Р света, прошедшего через поляризатор, если первоначально свет был естественным.
Примечание. Естественный свет может быть представлен как наложение двух некогерентных волн одинаковой интенсивности, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. При таком представлении интенсивность естественного света равна сумме интенсивностей этих волн.
5.139. Имеются два одинаковых несовершенных поляризатора, каждый из которых в отдельности обусловливает степень поляризации Р^О.800. Какова будет степень поляризации света, прошедшего последовательно через оба поляризатора, если плоскости поляризаторов: а) параллельны, б) перпендикулярны друг другу?
183
5-140. Естественный свет проходит через системуиз двух одинаковых несовершенных поляризаторов. Каждый из них пропускает в своей плоскости а1=0,95 часть интенсивности соответствующего колебания и обусловливает степень поляризации Р=0,90. Какую долю первоначальной интенсивности света составляет интенсивность света, прошедшего через эту систему, если плоскости поляризаторов взаимно перпендикулярны (поляризаторы скрещены)?
5.141. Естественный свет пропускают через два одинаковых поставленных один за другим несовершенных поляризатора. Интенсивность прошедшего через эту систему света при параллельных плоскостях поляризаторов (7ц ) превышает интенсивность при взаимно перпендикулярных плоскостях (/х) в т]=9,53 раза. Определить:
а) степень поляризации света, прошедшего только через один из поляризаторов,
б) степень поляризации /’ll, обусловливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов.
5.142. На пути плоскополяризованного монохроматического света поставлена двоякопреломляющая клиновидная пластинка, оптическая ось которой параллельна ребру клина. Ось образует с плоскостью колебаний в падающем свете угол 45°. Каков будет характер света за пластинкой?
5.143. 1. Как будет выглядеть поверхность клиновидной пластинки из предыдущей задачи, если ее рассматривать с тыльной стороны через поляризатор, плоскость которого: а) параллельна оси пластинки, б) параллельна плоскости колебаний в падающем свете, в) перпендикулярна к плоскости, колебаний в падающем свете?
2. Что произойдет с наблюдаемой картиной, если повернуть поляризатор из положения, при котором его плоскость совпадает с плоскостью колебаний в падающем свете, на 90°?
5.144. Между двумя скрещенными поляризаторами находится клиновидная пластинка, вырезанная из исландского шпата так, что оптическая ось пластинки параллельна ребру клина. Угол при вершине клина 9=4,72'. Ось пластинки образует с плоскостями поляризаторов углы, равные 45°. Найти расстояние Дх между серединами светлых полос, наблюдаемых за вторым поляризатором при прохождении через систему света с Х=486 нм. Для этой длины волны показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей по=1,668чи пе=1,491.
5.145. Заполненный нитробензолом сосуд, в котором расположены пластины плоского конденсатора (рис. 5.28; 184
такое устройство называется ячейкой Керре), при подаче
на конденсатор электрического напряжения приобретает свойства двоякопреломляющего кристалла с оптической
осью, параллельной напряженности поля в конденсаторе. Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей пропорциональна квадрату напряженности поля Е. Поэтому при прохождении света через ячейку между составляющей светового вектора, параллельной полю, и составляющей, перпендикулярной к полю,
возникает разность фаз б, пропорциональная Е2 и длине I
конденсатора по ходу луча, что принято записывать в виде &=2лВ1Е2, где В — характеристика вещества, называемая постоянной Керра. Эта постоянная зависит от длины волны света и от температуры. У нитробензола при комнатной температуре для Х=600 нм постоянная Керра В = =2,2-10-12 м/В2.
Поместим ячейку Керра между скрещенными поляризаторами Пг и П2, расположив ее так, что «оптическая ось» ячейки (т. е. направление электрического поля в ней) образует с плоскостями поляризаторов угол 45°. Положив /= = 10,0 см, определить:
а) минимальное значение £min напряженности поля, при котором система будет пропускать максимальную долю
падающего на нее света,
б) сколько просветлений и затемнений ячейки произойдет за время, в течение которого напряженность поля возрастет от нуля до 3,38-106 В/м.
5.146. На описанную в предыдущей задаче систему, состоящую из ячейки Керра и двух скрещенных поляризаторов, подается переменное напряжение частоты v=50 Гц. Амплитудное значение напряженности возникающего при этом электрического поля Ет=3,38- 10е В/м.
а) Сколько раз будет прерывать свет такой световой затвор в течение 1 секунды?
б) Будут ли временные интервалы между прерываниями одинаковыми?
5.147. Поляризованный в вертикальной плоскости белый свет проходит через вырезанную перпендикулярно к оптической оси 00' правовращающую кварцевую пластинку толщины а=3,00 мм, за которой установлен поляроид П (рис. 5.29). В интервале длин волн от 500 до. 650 нм постоян-
185
ную вращения а кварца можно приближенно (с точностью до 5 %) считать изменяющейся линейно с длиной волны от значения <х1=31 угл. град./мм при ^=500 нм до значения
Рис. 5.29
п а2=17 угл. град./мм при Х2=650 нм. Определить, какой цвет будет преобладать в свете, вышедшем из поляроида, если плоскость поляроида образует с вертикалью угол <р, равный: а) 55°, б) 64°, в) 72°, г) 85° (<р отсчитывается по часовой стрелке, если смотреть вдоль луча).
5.148. Имеется
Параллельный пучок
призма, вырезанная из кварца так, что оптическая ось 00' перпендикулярна к грани АВ (рис. 5.30). Преломляющий угол призмы -&=30°. ~ плоскополяризованного света с Х= ; -590 нм падает на призму под таким углом, что в призме свет распространяется вдоль оптической оси. Если смотреть на тыльную сторону призмы через поляроид > П, наблюдаются чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные ребру призмы АВ. Расстояние между серединами светлых (или темных) полос Ах=15,0мм.
Найти:
а) постоянную вращения а кварца для рассматриваемой
длины волны,
б) функцию 7(х), описывающую зависимость интенсивности света за поляроидом от х.
5.5. Взаимодействие световых волн с веществом
5.149. Какая длина волны подразумевается в формуле для групповой скорости н—v—^(dv/dk) — длина волны в вакууме или длина волны в той среде, в которой скорость света равна V?
5.150. 1. Допустим, что фазовая скорость v света в некоторой среде изменяется: а) с частотой света и по закону у=аи«, б) с длиной волны X в данной среде по закону v= [3/Z (q и р-—числа; меньшие 1, а и |3 — константы). Найти значение групповой скорости и.
2. Вычислить и для случая: a) q=—1, б) р=—1.
5.151. Для многих прозрачных бесцветных веществ зависимость показателя преломления п от длины волны в ва-186
кууме Хо может быть приближенно представлена формулой n=a+iAo> где а и b — константы. Ниже приведены экспериментальные данные для одного из сортов стекла:
Ао, нм 759,0 589,3 486,0 397,0 п 1,510 1,515 1,521 1,531
1. Найти по наибольшему и наименьшему значениям п значения констант а и b для данного стекла.
2. Вычислить по приведенной выше формуле с использованием найденных значений а и b показатель преломления для двух указанных в таблице промежуточных длин волн. Сравнить результат с табличными значениями.
5.152. Исходя из предположения о том, что зависимость показателя преломления п от длины волны в вакууме Хо для некоторой среды определяется формулой п=а+Ь/Ц, где а и b — константы (см. задачу 5.151),
а) найти выражение (через Хо) для групповой скорости и света в данной среде,
б) вычислить значения групповой скорости и (выразить их через с) для указанных в задаче 5.151 длин волн (для а и b принять значения, найденные в задаче 5.151). Сравнить их со значениями фазовой скорости v.
5.153. Свободный электрон находится в поле распространяющейся в вакууме монохроматической световой волны. Длина волны Х=600 нм, интенсивность /=375 лм/м2.
а) Пренебрегая в первом приближении действием на электрон магнитной составляющей поля волны, найти амплитуду а колебаний электрона и амплитуду ит его скорости.
б) Использовав полученный результат, определить отношение амплитуд магнитной Fвт и электрической FEm сил, действующих на электрон. Выразить его через амплитуду скорости и скорость света с.
5.154. Имеется разреженная плазма с концентрацией свободных электронов, равной п. Рассмотрев прохождение через плазму электромагнитной волны частоты ®, найти выражение для диэлектрической проницаемости в плазмы в зависимости от <в. Взаимодействием волны с ионами плазмы, а также воздействием на электроны магнитной составляющей волны пренебречь (см. предыдущую задачу).
5.155. При прохождении в некотором веществе пути I интенсивность света / уменьшается в два раза. Во сколько раз уменьшится / при прохождении пути 3/?
5.156. В некоторой среде распространяется ллоская монохроматическая световая волна. Коэффициент поглощения среды для данной длины волны х = 1,00 м-1 (коэффициентом поглощения такого порядка обладают стекла). На
187
сколько процентов уменьшается интенсивность света при прохождении волной пути, равного: а) 5,00 мм (оконное стекло), б) 10,0 мм (зеркальное стекло), в) 1,00 м, г) 4,60 м?
5.157. Имеется прозрачная пластина толщины а= = 10,0 см. Для некоторой длины волны X коэффициент поглощения пластины изменяется линейно от значения Х!= =0,800 м-1 у одной поверхности пластины до х2= = 1,200 м-1 — у другой поверхности. Определить ослабление (в процентах) интенсивности монохроматического света данной длины волны при прохождении им толщи пластины.
5.158. На стеклянную плоскопараллельную пластину падает по нормали плоская монохроматическая световая волна интенсивности 10=100,0 лм/м2. Показатель преломления пластины для данной длины волны п = 1,500, коэффициент поглощения х=1,000м-1. Толщина пластины а— = 10,00 см. Длина когерентности волны много меньше а. Найти интенсивность I света, прошедшего через пластину, а) без учета, б) с учетом многократных отражений.
5.159. Решить задачу 5.158 в предположении, что поглощение света в пластине отсутствует. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 5.158.
5.160. 1. На сколько процентов уменьшается интенсивность света при прохождении им оконного стекла толщины а=4,00 мм за счет: а) поглощения, б) отражений? Коэффициент поглощения стекла х принять равным 1,23 м-1, а показатель преломления п — равным 1,52. Вторичными отражениями света пренебречь.
2. Во сколько раз уменьшение интенсивности за счет отражений превосходит уменьшение за счет поглощения?
3. Чему равно полное ослабление света (за счет поглощения и отражений) в процентах?
5.161. В лаборатории имеются изготовленные из некоторого сорта стекла пластинки толщины ^=2,16 мм и а2= =36,82 мм. Предложите такой способ определения коэффициента поглощения х данного сорта стекла для некоторой X, при котором не требуется знать коэффициент отражения света пластинками. Получите соответствующую расчетную формулу.
5.162. Пусть первая из описанных в предыдущей задаче пластинок пропускает 92,5 % упавшего на нее света, а вторая — 88,2 %. Найти коэффициент поглощения света стеклом для данной длины волны.
5.163. Во скодько раз интенсивность молекулярного рассеяния синего света (Х=460 нм) превосходит интенсивность рассеяния красного света (Х=650 нм)?
188
5.6. Оптика движущихся сред
5.164. В опыте, аналогичном тому, посредством которого Физо определял коэффициент увлечения мирового эфира водой, суммарный путь света в воде 21=2,00 м. Длина волны света Ло=600 нм. Определить число полос ДМ, на которое смещается интерференционная картина при приведении воды в движение со скоростью и=6,00 м/с. Показатель преломления воды п=1,33.
5.165. Самолет летит по направлению к радиолокатору, работающему на длине волны Х=20,0 см. Какова скорость v самолета, если регистрируемая локатором частота биений между сигналом, посылаемым локатором, и сигналом, отраженным от самолета, Av=2778 Гц?
5.166. В земных условиях длина волны испускаемой атомарным водородом спектральной линии На равна =656 нм. При измерении длины волны этой линии в излучении, приходящем от диаметрально противоположных краев солнечного диска, было обнаружено различие, составляющее ДХ=0,0088 нм. Воспользовавшись этими данными, найти период Т обращения Солнца вокруг его оси.
5.167. Какое относительное изменение частоты Дсо/и излучаемой атомом световой волны наблюдается, если ато?л а) приближается к спектрографу, б) удаляется от спектрографа со скоростью v, равной средней скорости теплового движения атомов при температуре Т? Масса атома равна т.
5.168. Невзаимодействующие друг с другом идентичные атомы (например, атомы газа, близкого к идеальному) излучают одинаковый набор резких спектральных линий с частотами coj, из, ... Хаотическое тепловое движение приводит к тому, что вследствие эффекта Доплера спектрограф регистрирует вместо частоты о), непрерывный набор частот, заключенных в интервале б®;, расположенном в окрестности иг. Возникающее таким образом уширение спектральных линий называется доплеровским и обозначается би D (или бХр). Основная часть атомов движется со скоростями, близкими к средней скорости (у) теплового движения. Поэтому при вычислении бсо D предполагают, что все атомы движутся со скоростью (и).
а) Написать выражение для относительной доплеровской ширины спектральной линии бид/и через среднюю скорость (а).
б) Вычислить доплеровскую ширину 6ZD спектральной Линии длины А,=656 нм, испускаемой атомарным водородом при температуре Т=2000 К» .
189
5.169. При наблюдении излучения, испускаемого нагретым аргоном, была определена доплеровская ширина спектральных линий, относительная величина которой оказалась равной 6<ол/<о=4,9- 10~в. Найти температуру газа Т.
5.170. В опыте, аналогичном опыту Айвса, наблюдалось излучение, испускаемое пучком положительных ионов, возникающих в газоразрядной трубке. Наблюдение велось в направлении, перпендикулярном к направлению движения ионов. Было обнаружено относительное смещение спектральных линий в сторону меньших частот на величину До)/й) = 1,3-10-5. Найти скорость v ионов в пучке.
5.171. Внесший большой вклад в развитие оптики известный американский физик Роберт Вуд очень любил шутку и розыгрыш. С его именем связано много легенд. Согласно одной из них Вуд однажды, управляя автомобилем, проехал на красный свет. Остановившему его полицейскому Вуд объяснил свой проступок тем, что вследствие эффекта Доплера красный свет ему показался зеленым. Полицейский тоже любил шутку. Поэтому он согласился принять версию Вуда, однако оштрафовал его за превышение скорости. Требуется найти скорость автомобиля v, при которой красный свет с длиной волны 690 нм был бы воспринят водителем как зеленый с длиной волны 530 нм.
190
Часть б
АТОМНАЯ ФИЗИКА
Обозначения'.
А — массовое число, механический эквивалент света, работа выхода
Аг — относительная атомная масса
а — амплитуда, поглощательная способность
В — магнитная индукция b — прицельный параметр С — молярная теплоемкость с — скорость света в вакууме D — символ состояния атома с
Л=2
d — диаметр, расстояние, ридберговская поправка, символ состояния электрона с Z=2
Е — напряженность электрического поля
Е — модуль Юнга, освещенность, энергия
Ер—уровень (энергия) Ферми Ек — кинетическая энергия £св — энергия связи
— электродвижущая сила
F — символ состояния атома с L=3
f — символ состояния электрона с 1=3
g — кратность вырождения (статистический вес), множитель Ланде
Н — символ состояния атома с L=5
I — интенсивность излучения, момент инерции, сила света, сила тока
J — вращательное квантовое число, квантовое число момента импульса атома, квантовый выход фотоэффекта
k — постоянная Больцмана
L — орбитальное квантовое число атома
Еэ — энергетическая яркость
I — длина, орбитальное квантовое число электрона, расстояние
М — момент импульса (механический момент)
т — масса
— масса электрона
та — масса альфа-частицы
— масса мюона
N — число состояний, число уровней, число частиц
п — квантовое число, номер уровня, число частиц в единице объема (концентрация)
Р — вероятность, символ состояния атома с L= 1
р — давление, ридберговская поправка, символ состояния электрона с 1=1
q — электрический заряд
R — радиус, постоянная Ридберга, электрическое сопротивление, энергетическая светимость
R* — энергетическая светимость абсолютно черного тела
г — испускательная способность, радиус, расстояние
г0 — боровский радиус, расстояние между ядрами в молекуле
S — площадь, символ состояния атома с £=0, спиновое квантовое число атома
s — ридберговская поправка, символ состояния электрона с /=0, спиновое квантовое число электрона
191
Т — термодинамическая температура, период полураспада t — время
U — напряжение, разность потенциалов, энергия и — плотность энергии
V — объем, относительная спектральная чувствительность человеческого глаза
V — скорость
v — колебательное квантовое число
Z — атомный номер элемента а — угол
в — энергия осциллятора, энергия частицы
0 — температура Дебая
О — угол
X — длина волны, постоянная радиоактивного распада
Ас — комптоновская длина волны (Хс=Ас/2л) ц — магнитный момент цБ — магнетон Бора v — частота р — плотность о — постоянная Стефана — Больцмана, постоянная экранирования, удельная
электрическая проводи-
мость
т — время, среднее время жизни Ф — поток энергии
Фо — квант магнитного потока Ф — потенциал, угол ф — пси-функция to — круговая частота ыг — угловая скорость «р — собственная частота колебаний
со — знак пропорциональности
6.1. Тепловое излучение
6.1. Чему равна испускательная способность r(co, Т) идеально отражающей поверхности?
6.2. На поверхность с поглощательной способностью а=0,5, находящуюся в равновесии с излучением, падает поток лучистой энергии Фпад. Какой поток Ф распространяется от поверхности по всем направлениям в пределах телесного угла 2л? За счет чего образуется этот поток?
6.3. Определить длину волны Хт, отвечающую максимуму испускательной способности абсолютно черного тела при температуре Т, равной: а) 3 К, б) 300 К, в) 3000 К, г) 5000 К- В какую спектральную область попадают найденные длины волн?
6.4. При переходе от температуры 7\ к температуре Т,, площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн, увеличивается в 16 раз. Как изменяется при этом длина волны Хт, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела?
6.5. Энергетическая светимость абсолютно черного тела 7?* =250 кВт/м2. На какую длину волны приходится максимум испускательной способности этого тела?
6.6. Найти среднюю энергию (е) квантового осциллятора при температуре Т. Частота осциллятора равна о.
6.7. Вычислить среднюю энергию (е)кв квантового осциллятора (см. задачу 6.6) при температуре Т для: а) час-192
тоты <Bi, отвечающей условию ^®i=feT, б) частоты ®2= =0,1®/, в) частоты ®s=10®i. Выразить <е)кв через kT. Сравнить найденные значения со средней энергией <е>кл классического осциллятора.
6.8. Найти среднюю энергию <е> (в эВ) электромагнитного колебания при температуре 3000 К для длин волн %, равных: а) 500 мкм, б) 50 мкм, в) 5 мкм, г) 0,5 мкм (видимая область спектра). Сравнить найденные значения (е> со значением kT.
6.9. Найти: а) температурную зависимость частоты ®т, на которую приходится максимум функции f(®, Т), определяющей испускательную способность абсолютно черного тела,
б) значение произведения %m®m, где Хт — длина волны, отвечающая максимуму функции ф(Х, Т). Сравнить это значение с 2лс.
6.10. Поверхность Солнца близка по своим свойствам к абсолютно черному телу. Максимум испускательной способности приходится на длину волны %„(=0,50 мкм (в излучении Солнца, прошедшем через атмосферу и достигшем поверхности Земли, максимум приходится на Х= =0,55 мкм). Определить:
а) температуру Т солнечной поверхности,
б) энергию Е, излучаемую Солнцем за 1 секунду в виде электромагнитных волн,
в) массу т, теряемую Солнцем в 1 секунду за счет излучения,
г) примерное время т, за которое масса Солнца уменьшилась бы за счет излучения на 1 %, если бы температура Солнца оставалась постоянной.
6.11. Полагая, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела, определить интенсивность I солнечного излучения вблизи Земли за пределами ее атмосферы (эта интенсивность называется солнечной постоянной). Температура солнечной поверхности 7=5785 К.
6.12. Интенсивность испускаемого Солнцем видимого излучения вблизи поверхности Земли за пределами ее атмосферы /вид=0,60 кВт/м2. Полагая, что в видимой области энергия излучения распределена равномерно по длинам волн, и воспользовавшись кривой относительной спектральной чувствительности человеческого глаза (см. рис. 5.9), оценить:
а) освещенность Е перпендикулярной к направлению лучей поверхности, создаваемую солнечным излучением на внешней границе земной атмосферы,
7 И. В. Савельев
193
б) силу света Солнца 7, Механический эквивалент света А =0,0016 Вт/лм.
6.13. Как зависит энергетическая яркость £э абсолютно черного тела от температуры 7?
6.14. В тонкостенной замкнутой оболочке имеется отверстие, линейные размеры которого много меньше линей-ных размеров оболочки. Стенки оболоч-О.А ки поддерживаются при температуре п £=300 К. Приняв во внимание, что аб-
1^/ солютно черное тело является ламбер-
товским источником, определить энергетическую яркость £э отверстия.
6.15. В сферической оболочке диаметра 30 см имеется отверстие диамет-Рис. 6.1 ра й=4,00мм. На расстоянии /=500 мм от центра отверстия расположена круглая площадка 3, радиус которой г=3,00 мм (рис. 6.1). Линия, проведенная из центра отверстия в центр площадки, образуете нормалью к отверстию угол 0=45,0°. Площадка перпендикулярна к этой линии. Стенки полости поддерживаются при температуре £=2000 К. Определить падающий на площадку поток энергии Ф, обусловленный излучением, выходящим из отверстия.
6.16. /На корпусе космической лаборатории, летящей вокруг Солнца по круговой орбите, радиус которой R равен среднему расстоянию от Земли до Солнца, установлено устройство, моделирующее абсолютно черное тело. Наружная поверхность оболочки этого устройства является идеально отражающей. Отверстие в оболочке все время обращено к Солнцу. Пренебрегая теплообменом через крепление устройства к корпусу лаборатории, определить равновесную температуру Т, которая установится внутри устройства. Температуру солнечной поверхности Тс принять равной 5800 К.
6.2. Фотоны
6.17. Определить пределы (в эВ), в которых находится энергия фотонов, соответствующих видимой части спектра.
6.18. Монохроматический свет длины волны Х=555 нм, падая на некоторую поверхность, создает освещенность £=100 лк (такая освещенность в белом свете необходима для того, чтобы можно было читать без напряжения). Сколько фотонов попадает на площадку 3=1 см2 в 1 секунду?
Механический эквивалент света А =0,0016 Вт/лм.
194
6.19. Определить энергию е (в эВ) и импульс р фотона с длиной волны 1, равной: а) 555 нм (видимый свет), б) 0,1 нм (рентгеновские лучи), в) 0,001 нм (гамма-лучи). Сравнить е с энергией покоя электрона, а р с импульсом электрона, движущегося со скоростью v= 1000 м/с.
6.20. При какой скорости v импульс электрона р совпадет по модулю с импульсом фотона, длина волны которого X—0,001 нм (см. задачу 6.19, п. в).
6.21. Параллельный пучок световых лучей с интенсивностью /=1,37 кВт/м2 (см. задачу 6.11) падает на шарик радиуса г=1,00 см, обладающий идеально гладкой поверхностью. Определить, исходя из корпускулярных представлений, силу F, которую испытывает шарик, если поверхность его обладает:
а) коэффициентом поглощения, равным 1,
б) коэффициентом отражения, равным 1.
6.22. Солнечная постоянная (т. е. интенсивность солнечного излучения вблизи Земли за пределами земной атмосферы) / = 1,37 кВт/м2. Примерно 40 % этого потока энергии приходится на видимую часть спектра. Считая, что эта энергия распределена равномерно по частотам,
а) найти функцию <р(<о) распределения плотности потока фотонов по частотам,
б) определить плотность потока /фот «видимых» фотонов, падающего на внешнюю границу атмосферы.
6.23. Определить длину волны Хт1П, отвечающую коротковолновой границе рентгеновского спектра, для случая, когда к трубке приложено напряжение (7=50 кВ.
6.24. Увеличение напряжения на рентгеновской трубке в т| =2 раза сопровождается изменением длины волны, отвечающей коротковолновой границе рентгеновского спектра, на ДХ=0,025 нм. Определить первоначальное напряжение U, приложенное к трубке.
6.25. В 1916 г. Р. Милликеном при исследовании фотоэффекта с поверхности натрия были получены данные, приведенные ниже:
v, 1014с-1 5,49 6,92 7,41 8,22 9,60 11,83
U, В 0,47 1,02 1,20 1,60 2,13 3,02
Здесь v — частота света, U — задерживающее напряжение х). Используя эти данные, определить:
а) значение постоянной Планка Н,
б) работу выхода электрона А для натрия.
х) Данные взяты из оригинальной работы Милликена. В значения U внесена поправка на контактную разность потенциалов.
7* 195
6.26. Работа выхода электрона для никеля Д=4,84 эВ. Найти длину волны К, отвечающую красной границе фотоэффекта.
6.27. Красной границе фотоэффекта для алюминия соответствует длина волны А0=332 нм. Найти:
а) работу выхода электрона А для этого металла,
б) длину световой волны X, при которой задерживающий потенциал (7=1,00 В.
6.28. До какого потенциала <р можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны Х= =200 нм?
6.29. Катод вакуумного фотодиода освещается равномерно монохроматическим светом с Х=450 нм. Площадь катода 5 = 1,00 см2, освещенность £=100 лк (такая освещенность в белом свете нужна для того, чтобы можно было читать без напряжения). Определить ток насыщения 7нас, текущий через диод. При указанной длине волны световому потоку в 1 лм соответствует поток энергии в 0,040 Вт. Квантовый выход фотоэффекта J (т. е. число фотоэлектронов, приходящееся на один падающий фотон) принять равным 0,050.
6.30. Фотон длины волны А.=700 нм (видимая часть спектра) рассеивается под углом 11=л/2 на свободном покоящемся электроне. Определить:
а) какую долю первоначальной энергии теряет при этом фотон,
б) какую скорость v приобретает электрон.
6.31. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для случая А.=0,100 нм (рентгеновское излучение).
6.32. а) Определить кинетическую энергию £к, приобретаемую первоначально покоившейся свободной частицей массы т при рассеянии на ней под углом й фотона с энергией е.
б) Упростить полученную формулу для случая, когда е.<^тс2.
6.33. Гамма-квант с энергией 8=1,00 МэВ рассеивается под углом {1=90° на свободном покоящемся протоне. Определить:
а) какую кинетическую энергию Ек сообщает гамма-квант протону,
б) с какой скоростью v будет двигаться протон после «соударения».
6.34. При исследовании излучения, возникшего в результате рассеяния на графите под углом 0=90° рентгенов-196
ского пучка с длиной волны Х=0,0714 нм (Ка молибдена), дифракционный максимум 1-го порядка несмещенной компоненты получился при падении на кристалл рентгеновского спектрографа под углом скольжения <р=30,0°. На какой угол 6<р нужно было повернуть кристалл для того, чтобы максимум несмещенной компоненты был заменен максимумом смещенной компоненты?
6.35. Используя постоянную Планка К, скорость света в вакууме с и массу частицы т, составить выражение для величины, имеющей размерность длины. Что это за величина?
6.3. Формула Резерфорда. Атом Бора
6.36. На какое расстояние rmin может приблизиться к неподвижному ядру атома золота а-частица при центральном «соударении», если скорость частицы на большом расстоянии от ядра о=3,00-107 м/с?
6.37. Определить значение прицельного параметра b в случае рассеяния а-частицы на угол й=л/2 ядром атома серебра. Скорость а-частицы v=l,00-107 м/с.
6.38. Написать формулу Резерфорда для рассеяния протонов веществом с атомным номером Z.
6.39. В опыте, аналогичном опыту Резерфорда, поток а-частиц, равный 2,70-105 частиц/с, рассеивался золотой фольгой толщины о=4,00 мкм. Кинетическая энергия частиц £к=8,30 МэВ. Рассеянные частицы регистрировались путем наблюдения сцинтилляций на круглом экране площади S = 1,00 см2. Расстояние экрана от места пересечения пучка а-частиц с фольгой /=0,200 м. Определить среднее число сцинтилляций, наблюдавшихся за время А/= = 1,00 мин при установке регистрирующего частицы устройства под углом •& к направлению падающего пучка, равным: а) 30°, б) 60°, в) 90°, г) 120°, д) 150°.
6.40. Найти вероятность Р того, что а-частица в опыте, описанном в задаче 6.39, будет рассеяна в заднюю полусферу, т. е. на угол -&^л/2.
6.41. В каком соотношении находятся вероятности ре-зерфордовского рассеяния в заднюю полусферу (см. задачу 6.40) для а-частицы (Ра) и для протона (Рр) при идентичных условиях (т. е. при одинаковых v, Z, п и а)?
6.42. В опыте с парами ртути, аналогичном опыту Франка и Герца, наблюдались пики тока при разностях потенциалов U, равных 4,9 и 9,8 В. При понижении давления
Г9/
паров ртути появился дополнительный пик при С/=6,7В. Как надо интерпретировать эти результаты?
6.43. Определить скорость vlt с которой электрон движется по первой боровской орбите в атоме водорода.
6.44. Имеется система, состоящая из ядра атома водорода (протона) и мюона (частицы, имеющей такой же заряд, как у электрона, и массу, равную 207 массам электрона) (такую систему называют мезоатомом или мюонным атомом). Исходя из представлений теории Бора, определить:
а) радиус гх первой боровской орбиты мюона; сравнить с боровским радиусом г0,
б) энергию Есв (в эВ) связи мюона с протоном в основном состоянии,
в) скорость Vi мюона на первой орбите; сравнить Vj с ответом к задаче 6.43.
г) число оборотов, которое успеет совершить мюон до своего распада (среднее время жизни мюона т=2,2 мкс; по истечении этого времени мюон распадается на электрон, нейтрино и антинейтрино).
6.45. В рамках теории Бора найти:
а) выражение для энергии связи Есв электрона с ядром в основном состоянии атома водорода, учитывающее движение ядра,
б) относительную величину 6 поправки к энергии связи, получающейся в результате учета движения ядра.
6.46. Чему равна относительная величина 6 поправки (см. задачу 6.45, п. б) для мюонного атома (см. задачу 6.44)?
6.47. Используя постоянную Планка ti, массу те и заряд е электрона, составить выражение для величины, имеющей размерность длины. Что это за величина?
6.48. Используя постоянную Планка Л, массу /тге и заряд е электрона, составить выражение для величины, имеющей размерность энергии. Что это за величина?
6.49. Определить магнитный момент щ электрона, находящегося в атоме водорода на первой боровской орбите. Сравнить полученный результат с магнетоном Бора рБ.
6.50. Определить магнитный момент р4 мюона, находящегося в мюонном атоме (см. задачу 6.44) на первой боровской орбите. Сравнить р* с магнитным моментом рд электрона, находящегося в атоме водорода на первой боровской орбите (см. задачу 6.49).
6.51. Найти для электрона, находящегося в атоме водорода на n-й боровской орбите, отношение магнитного момента рп к механическому моменту Мп. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 3.165.
198
6.52. Частица массы tn движется в центрально-симметричном силовом поле F(r)=—kt (k — положительная константа). Полагая, что момент импульса частицы может иметь лишь значения, кратные fl (как в теории атома Бора), найти:
а) возможные радиусы гп круговых орбит частицы,
б) возможные значения Еп полной энергии частицы. Выразить Еп через частоту со, с которой колебалась бы частица под действием силы F(r).
6.4. Спектры атомов и молекул
6.53. а) Выразить через постоянную Ридберга R частоту Ирг головной линии m-й спектральной серии водородного атома.
б) Найти отношение частот головных линий первых четырех серий, приняв за единицу частоту со2 головной линии серии Бальмера.
6.54. Потенциал ионизации водородного атома <рг = = 13,6 В. Исходя из этого, вычислить значение постоянной Ридберга R.
6.55. Исходя из того, что энергия ионизации атома водорода £г = 13,6эВ, определить первый потенциал возбуждения срх этого атома.
6.56. Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения водородного атома <р1==10,2 В, определить энергию е (в эВ) фотона, соответствующего первой линии серии Бальмера.
6.57. ' Энергия ионизации водородного атома £^ = 13,6эВ. Исходя из этого, определить энергию е (в эВ) фотона, соответствующего второй липин серии Бальмера.
6.58. Основываясь на том, что потенциал ионизации водородного атома равен 13,6 В, определить длину волны первой линии и длину волны границы серии: а) Лаймана, б) Бальмера, в) Пашена.
6.59. Исходя из того, что длина волны спектральной линии Яр равна 486,1 нм, найти значение постоянной Ридберга R.
6.60. Исходя из того, что первый потенциал возбуждения водородного атома = 10,2 В, найти длину волны:
а) линии На, б) границы серии Бальмера Н„.
6.61. Потенциал ионизации водородного атома равен 13,6 В. Исходя из этого, определить, сколько линий серии Бальмера попадают в видимую часть спектра.
199
6.62. Спектральные линии каких длин волн возникнут, если атом водорода перевести в состояние 3S?
6.63. Фотон с энергией 15,0 эВ выбивает электрон из покоящегося атома водорода, находящегося в основном состоянии. С какой скоростью v движется электрон вдали от ядра?
6.64. Энергия валентного электрона в основном состоянии Е± ——3,8 эВ. Чему равен потенциал ионизации <рг атома?
6.65. Границе главной (т. е. возникающей при переходе в состояние с наименьшей энергией) серии некоторого атома соответствует длина волны Хм=250 нм. Найти потенциал ионизации ср; атома.
6.66. Основным состоянием атома натрия является состояние 3S. Ридберговская поправка для S-термов равна •—1,35. Исходя из этих данных, вычислить энергию ионизации Et атома натрия (выразить ее в эВ).
6.67. Основным для атома натрия является состояние 3S. Ридберговская поправка для Р-термов р=—0,87. Длина волны резонансной линии (обусловленной переходом ЗР -> 3S)A,=590 нм. Исходя из этих данных, найти потенциал ионизации фг атома натрия.
6.68. Основным для атома натрия является состояние 3S. Ридберговские поправки отрицательны и находятся в соотношении |s|>\р|>|d|. Уровень пР лежит ниже уровня (л+1)5, а уровень nD — ниже уровня (л+1)Р. Исходя из этих данных, перечислить возможные последовательности переходов, посредством которых атом натрия может перейти из возбужденного состояния 5S в основное состояние.
6.69. Длины волн желтого дублета натрия ^=589,00 нм Х2=589,59 нм. Исходя из этих данных, определить разность частот Леи дублетов резкой серии.
6.70. Исходя из приведенных в задаче 6.69 длин волн, найти для уровня ЗР атома натрия значение расщепления ДЕ (в эВ), обусловленного спин-орбитальным взаимодействием.
6.71. Приняв во внимание водородоподобность F-тер-мов атома натрия, найти разность частот Дю первой и второй линий основной серии. .
6.72. Потенциал ионизации атома лития <рг=5,39 В, а первый потенциал возбуждения (pj = l,85B. Исходя из этих данных, найти ридберговские поправки $ и р jpsxn лития.
6.73. Используя результаты, полученные в задаче 6.72, определить длины волн спектральных линий, возникаю-200
щих при переходе атомов лития из состояния 3S’ в состояние 2S.
6.74. Потенциал ионизации атома цезия <рг=3,89 В. Основным является состояние 6S. Исходя из этих данных, найти ридберговскую поправку s к S-термам цезия.
6.75. Какую скорость v приобретает первоначально покоившийся атом водорода при испускании фотона, соответствующего головной линии серии:
а) Лаймана,
б) Бальмера?
6.76. Найти энергию отдачи Е и скорость и, приобретаемую первоначально покоившимся свободным атомом натрия при испускании им фотона, отвечающего переходу ЗР -> 3S (желтая линия натрия, см. задачу 6.69). Какую долю энергии фотона Тш составляет энергия отдачи £?
6.77. Определить скорость V, приобретаемую первоначально покоившимся свободным атомом ртути при поглощении им фотона резонансной частоты (резонансной, называется частота, отвечающая переходу атома на первый возбужденный уровень). Первый потенциал возбуждения атомов ртути равен 4,9 В.
6.78. Первоначально покоившийся свободный атом натрия испускает фотон.
а) Чему равно изменение длины волны ДА фотона, возникающее вследствие отдачи, претерпеваемой атомом при излучении?
б) Чем примечателен полученный результат?
6.79. Свободный покоящийся атом лития поглотил фотон частоты <в=2,81-1016 с-1, в-результате чего перешел на первый возбужденный уровень и начал двигаться с некоторой скоростью. Затем атом вернулся в основное состояние, испустив новый фотон в направлении, перпендикулярном к направлению своего движения. С какой скоростью v движется после этого атом?
6.80. Фотон с энергией е=5,4852 эВ вырывает из свободного покоящегося атома лития валентный электрон. Электрон вылетает под прямым углом к направлению, в котором летел фотон. С какой скоростью v и в каком направлении движется ионизованный атом? Потенциал ионизации лития (ft=5,3918 В.
6.81. Длина волны линии у ванадия (Z=23)AV= =0,25073 нм, а у меди (Z=29)ACu=0,15443 нм.
а) Исходя из этих данных, найти значения констант С и ст в уравнении закона Мозли: K<a=C(Z—ст). Сравнить
201
найденное значение С с величиной, равной И3/?/4 (R — постоянная Ридберга).
б) Определить атомный номер Z элемента, у которого длина волны линии Ка ^=0,19399 нм. Что это за элемент?
6.82. Длина волны линии Ка равна у вольфрама (Z— =74) 0,021381 нм, а у серебра (2=47) 0,056378 нм. Исходя из этих данных, определить значения констант С и ст (см. задачу 6.81). Сравнить полученные значения с результатом задачи 6.81. Объяснить наблюдающееся расхождение.
6.83. Длина волны линии La равна у вольфрама (Z=74) 0,147635 нм, а у свинца (Z=82) 0,117504 нм.
а) Исходя из этих данных, найти значения констант С и ст в уравнении закона Мозли: Kw=C(Z—о). Сравнить найденное значение С с величиной, равной К57?/36 (R — постоянная Ридберга).
б) Определить атомный номер Z элемента, у которого длина волны линии La равна 0,131298 нм. Что это за элемент?
6.84. Длина волны линии La равна у железа (Z=26) 1,7602 нм, а у цинка (Z=30) 1,2282 нм. Исходя из этих данных, определить значения констант С и о (см. задачу 6.83). Сравнить полученные значения с результатом задачи 6.83.
6.85. У какого из элементов — меди или серебра — относительное изменение частоты Асо/со линии /Са при комптоновском рассеянии на некотором веществе будет больше? Во сколько раз?
6.86. Первый потенциал возбуждения электронной оболочки молекулы СО равен 6,0 В. В основном электронном состоянии молекулы собственная частота колебаний ы„ = =4,09> 1014 с'1. Найти:
а) число N колебательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным электронными уровнями,
б) отношение энергии ДЕе, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный электронный уровень, к энергии AEV, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень.
6.87. В основном электронном состоянии молекулы СО собственная частота колебаний <в11=4,09-1014 с-1, а равновесное расстояние между ядрами го=О,112нм. Найти:
а) число N вращательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным колебательными уровнями,
б) отношение энергии t^Ev, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень, 202
к энергии АЕТ, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный вращательный уровень. Сравнить полученные результаты с ответом к задаче 6.86.
6.88. Расстояние между линиями вращательной полосы молекулы CN Дю=7,19-10й с-1. Определить равновесное расстояние га между ядрами молекулы.
6.89. Имеется двухатомная молекула, момент инерции которой равен I. Определить угловую скорость вращения со,. молекулы в состоянии с вращательным квантовым числом J. Сравнить <х>г с частотой со спектральной линии, возникающей при переходе с <7-го на (7—1)-й вращательный уровень.
6.90. Расстояние между ядрами молекулы НО г0= —0,127 нм. Найти угловую скорость вращения <ог молекулы, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне.
6.91. Газ, состоящий из молекул CN, находится в термодинамическом равновесии при температуре Г=400 К. Собственная частота колебаний молекулы CN «=3,90 X Х1014с-1. Определить отношение числа Ni+± молекул, находящихся на (i'+1)-m колебательном уровне, к числу Nt молекул, находящихся на j-м колебательном уровне.
6.5. Квантовая механика
6.92. Написать выражение для дебройлевской длины волны А. релятивистской частицы массы т: а) через ее скорость v, б) через кинетическую энергию Ек.
6.93. При каком значении скорости v дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской длине волны?
6.94. При какой скорости v электрона его дебройлевская длина волны будет равна: а) 500 нм, б) 0,1 нм? (В случае электромагнитных волн первая длина волны соответствует видимой части спектра, вторая — рентгеновским лучам.)
6.95. При движении вдоль оси х скорость оказывается определенной с точностью Дих==1 см/с. Оценить неопределенность координаты Ах: а) для электрона, б) для броуновской частицы массы т~10~13 г, в) для дробинки массы z?i~0,l г.
6.96. Поток летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость о=1,00-105 м/с, проходит через щель ширины &=0,0100 мм. Найти ширину Дх центрального дифракционного максимума, наблюдаемого на экране,
203
отстоящем от щели па расстояние Л= 1,00 м. Сравнить Ах с шириной щели Ь.
6.97. Узкий пучок летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость v= 1,00-10’ м/с, проходит через поликристаллическую никелевую фольгу и попадает на расположенный за ней на расстоянии /=10,0 см экран. Найти радиусы двух первых дифракционных колец, получающихся на экране за счет отражения электронов от кристаллических плоскостей, отстоящих друг от друга на расстояние с/=0,215 нм.
6.98. Использовав соотношение неопределенности, оценить минимальную энергию Elf которой может обладать частица массы т, находящаяся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ширины а.
6.99. Оценить с помощью соотношения неопределенности минимальную энергию Еа одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора равна т, собственная частота со.
6.100. Исходя из того, что радиус г атома имеет величину порядка 0,1 нм, оценить скорость движения электрона v в атоме водорода.
6.101. Задана пси-функция частицы ф(х, у, г). Написать выражение для вероятности Р того, что частица будет обнаружена .в области объема V.
6.102. Найти пси-функции и значения энергии частицы массы т, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (О^х^а). (Бесконечная глубина ямы означает, что потенциальная энергия частицы внутри ямы равна нулю, а вне ямы — бесконечности.) Сравнить результат для наименьшей энергии Et с ответом к задаче 6.98.
6.103. Частица из задачи 6.102 находится в основном состоянии (т. е. в состоянии с наименьшей энергией). Вычислить вероятность Р того, что координата х частицы имеет значение, заключенное в пределах от т]а до (1—т))я, где т] = =0,3676.
6.104. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ширины а=1,00 см. Найти:
а) плотность энергетических уровней dnJdE электрона (т. е. число уровней, приходящееся на единичный интервал энергии),
б) значение этой плотности в окрестности уровня с номером п=1010,
в) среднее значение энергии {Еп} первых А/=1010 уровней.
204
6.105. Найти пси-функции и значения энергии частицы массы т, находящейся в двумерной бесконечно глубокой (см. задачу 6.102) потенциальной яме, размер которой равен а по оси х и b по оси у (О^х^хг, 04х/^6).
6.106. Для частицы из задачи 6.105 найти значения энергии (в эВ) трех нижних уровней, положив т=0,911Х X 10-30 кг (масса электрона) и а=&=1,00нм.
6.107. Найти пси-функции и значения энергии частицы массы т, находящейся в трехмерной бесконечно глубокой (см. задачу 6.102) потенциальной яме, размер которой равен а по оси х, b по оси у и с по оси z (О^х^а, O^z^c).
6.108. Частица массы т находится в бесконечно глубокой (см. задачу 6.102) сферической потенциальной яме радиуса 7?. Найти:
а) пси-функции, соответствующие тем состояниям, у которых ф зависит только от г. Чтобы осуществить вычисления, представить пси-функции в виде фп(г)=фп(г) 'г, б) значения энергии Еп частицы в состояниях, описываемых функциями фп(г).
Примечание. Кроме состояний вида ф(г), возможны состояния, у которых пси-функции зависят также от угловых координат 4 и <р.
6.109. Пси-функция некоторой частицы имеет вид ф= „ ехр (— г/а)
= А—где г — расстояние частицы от силового
центра, а — константа. Найти:
а) значение коэффициента А,
б) среднее расстояние (г) частицы от центра.
6.110. Пси-функция некоторой частицы имеет вид
Ф^(/^Ж)~1ехр(~/2/а2)л
где г — расстояние частицы от силового центра, а — константа. Найти среднее расстояние (г) частицы от центра.
6.111. Пси-функция некоторой частицы имеет вид ф= =А ехр(—г2/2а2), где г — расстояние частицы от силового центра, а — константа. Найти:
а) значение коэффициента А,
б) наиболее вероятное гвер и среднее (г) расстояния частицы от центра.
6.112. а) Какой наименьший отличный от нуля момент импульса Mmin встречается в природе?
б) Перечислить «объекты», обладающие таким моментом.
6.113. В задаче 1.183 был вычислен момент импульса М
205
Земли, обусловленный ее вращением вокруг своей оси. Выразить этот момент в единицах А.
6.114. Пси-функция основного состояния гармонического осциллятора имеет вид
где а = Ити/^(т—^масса, и — собственная частота осциллятора). Энергия осциллятора в этом состоянии £0= =1/2^и. Найти:
а) среднее значение модуля координаты (|х|>; выразить (|х|> через классическую амплитуду а (которая связана с энергией осциллятора соотношением £=wz2o)'2/2 и сравнить найденное выражение с полученным в задаче 2.78 выражением для <|х|> классического осциллятора,
б) среднее значение потенциальной энергии осциллятора <t7>.
6.115. Математический маятник имеет массу т=10,0 мг и длину /=1,00 см. Найти:
а) энергию Ео нулевых колебаний этого маятника, б) классическую амплитуду а маятника, отвечающую энергии £0-
6.116. Пси-функция основного состояния водородного атома имеет видф=Л ехр(—г/г0), где г0 — боровский радиус (т. е. радиус первой боровской орбиты). Найти:
а) значение константы А,
б) плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии г от ядра dPIdr,
в) наиболее вероятное расстояние гвгр электрона от ядра,
г) среднее расстояние (г) электрона от ядра,
д) среднее значение потенциальной энергии электрона <[7>,
е) вероятность того, что электрон находится на расстоянии от ядра, превышающем т)г0 (л —• некоторое число).
6.117. Воспользовавшись результатом задачи 6.116, п. е), вычислить вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на расстоянии, превышающем: а) г0, б) 1,5г0, в) 2г0, г) 5г0, д) 10г0.
6.118. Некоторое количество атомарного водорода находится в тепловом равновесии при температуре Т=3000 К. Сколько N атомов, находящихся в основном состоянии, приходится на один атом, находящийся в первом возбужденном состоянии? Учесть,-что вероятность нахождения в со-206
стоянии с энергией Е пропорциональна, кроме больцманов-ского множителя, кратности вырождения g (или, как говорят, статистическому весу) данного энергетического уровня.
6.6. Квантовомеханическое описание состояний атомов
6.119. Чему равен квадрат орбитального момента импульса М2 электрона в состояниях: а) 2р, б) 4/?
6.120. Состояние атома характеризуется квантовым!! числами L и S, равными: а) 2 и 2, б) 3 и 2, в) 2 и 3, г) 1 и 3/2. Написать возможные значения квантового числа J при данных значениях L и S.
6.121. Какие из термов: 1) 2Si, 2) 2Plt 3) 3Pi/2, 4) 3PS, 5) 3D0, 6) 1F0, 7) 8F13/2 написаны неверно?
6.122. А^ультиплетность F-состояния равна пяти. Написать термы, принадлежащие этому состоянию.
6.123. Из скольких компонент состоит терм: a) 1S, б) 2S, в) 2Р, г) 3Р, д) iP, е) £>?
6.124. D-терм состоит из пяти компонент. Какова может быть мультиплетность этого терма?
6.125. Каждое из состояний PhD имеет три компоненты. Чему равны возможные значения спинового квантового числа S этих состояний?
6.126. Найти возможные мультиплетности % термов вида: a) KS0, б) *Р2, в) KD3/2, г) хК1/2.
6.127. Какие термы возможны в случае электронных конфигураций: a) 2s2, б) 2p3s, в) Зр2?
6.128. Электронная оболочка атома состоит из s-, р-и d-электрона. Написать символ терма для состояния, в котором атом обладает: а) максимальным, б) минимальным для этой конфигурации полным механическим моментом.
6.129. Написать для системы из двух эквивалентных d-электронов символы термов для состояний с а) наибольшим, б) наименьшим возможным значением полного механического момента Мj. Чему равны эти значения?
6.130. Написать символ терма, соответствующего состоянию, в котором механический момент атомаМ/=АК 2, магнитный момент равен нулю, а спиновое квантовое число S=2.
6.131. Атом, находящийся в состоянии, мультиплетность которого равна четырем, обладает механическим моментом Mj = (А/2) J/63. Какие значения может иметь квантовое число L этого состояния?
6.132. Чему равен полный механический момент Mj
207
атома, находящегося в состоянии, в котором магнитный момент атома равен нулю, а орбитальное и спиновое квантовые числа имеют значения: L=2, S=3/2?
6.133. Чему равен максимальный возможный полный механический момент Mj атома лития, валентный электрон которого находится в состоянии с п=3? Напишите символ терма соответствующего состояния.
6.134. Решить задачу, аналогичную задаче 6.133, для атома натрця, валентный электрон которого находится в состоянии с п=4.
6.135. В случае четырех эквивалентных р-электронов принципу Паули не противоречат термы XSO, 3Р2, 3Рг, 3Р0, Ч)2. Какой из этих термов является основным?
6.136. Сверх заполненных оболочек и подоболочек атом имеет пять эквивалентных р-электронов. Определить основной терм атома.
6.137. Сверх заполненных оболочек и подоболочек атом имеет три эквивалентных р-электрона. Определить согласующиеся с принципом Паули термы атома. Какой из этих термов является основным?
6.138. Какие из переходов: 1) 2S1/2 -> 2Р3/г, 2)
—* 2^3/2» 3) 2Pj/2, ~* 251/2, 4) 2£?5/а —> 2Р1/2, 5) 2К?/2 ~* -* 2D3/2, 6) 2О3/2-> 2F5/2 7) 2F5/2->2P3/2 запрещены правилами отбора?
6.139. Валентный электрон атома натрия находится в состоянии с м=4. Значения остальных квантовых чисел электрона таковы, что атом имеет наибольший возможный механический момент Му. Определить магнитный момент ц атома в этом состоянии.
6.140. Атом углерода с электронной конфигурацией Is2 2s2 2р 3d обладает максимальным возможным при такой конфигурации полным механическим моментом. Чему равен (в магнетонах Бора) магнитный момент ц атома в этом состоянии?
6.141. Найти три самых простых терма, для которых множитель Ланде g=0.
6.142. Выразить через магнетон Бора магнитный момент р. атома в состоянии: a) 3S!, б) 1Р0, в) 1Р1, г) 4£>i/2, д) 6Ft, е) Ш2.
6.143. На сколько компонент расщепится в магнитном поле терм: a) XS, б) гР, в) Ч), г) 2£>s/2?
6.144. На сколько компонент расщепляется в опыте, аналогичном опыту Штерна и Герлаха, пучок атомов, находящихся в состоянии: а) 2Р3/2, б) 3Dlt в) 3К4?
6.145. На сколько компонент расщепляется в опыте, 208
аналогичном опыту Штерна и Герлаха, пучок атомов, находящихся в состояниях: a) 1S0, б)
6.146. В опыте, аналогичном опыту Штерна и Герлаха, пучок атомов хлора, находящихся в состоянии гР3/2, проходит через область неоднородного магнитного поля с dB/dx—100 Тл/м. Протяженность этой области /х=40,0 мм. На расстоянии /2=100мм от границы области установлен экран. Скорость атомов на входе в область поля v=600 м/с. Найти расстояние а между соседними следами, оставляемыми на экране пучками, на которые расщепляется при прохождении через поле исходный пучок.
6.147. Атом находится в магнитном поле с индукцией В=1,00Тл. Найти полное расщепление А£ (в эВ) термов: a) 1S, б) 1Р, в) Ф, г) Ф5/2.
6.148. Найти числовое значение нормального (лоренце-ва) смещения Асо0 (смещения компонент спектральной линии при простом эффекте Зеемана), соответствующее В = 1,00 Тл.
6.149. Излучающие атомы находятся в магнитном поле с индукцией В=1,00Тл. Найти интервал Асо между соседними зеемановскими компонентами для переходов: а) -> Фо, б) Ф2 -> Фх, в) 2Рх/2 -> 2S1/2, г) 2Р3/2 -> 2S1/2, д) -> Фо.
6.150. Сравнить интервал Асо между линиями желтого дублета натрия (см. задачу 6.69) с интервалом Асо' между зеемановскими компонентами, на которые расщепляются линии дублета при В=1,00 Тл. Линии дублета соответствуют переходам 2Pi/2-> 2Sx/2 и 2Р3/2-> 2S1f2 (см. задачу 6.149, п. в, г).
6.151. С каким числом штрихов N требуется дифракционная решетка для того, чтобы разрешить зеемановские компоненты, на которые расщепляются при В = 1,00Тл спектральные линии желтого дублета натрия (см. задачу 6.150)? Длины волн линий равны 589,0 и 589,6 нм.
6.7. Физика твердого тела
6.152. Ребро ячейки кубического кристалла равно а. Найти расстояние I между точками с индексами:
а) [[I 0 4]] и [ [1 1 1] ] ,б) [[000]] и [[1 1 1]], в) 1 0 т] j И [/2 1 т]
6.153. Найти угол а между направлениями [2 3 6] и [3 2 1] в кубическом кристалле.
209
6.154. Найти угол а между плоскостями (1 2 3) и (3 2 I) в кубическом кристалле.
6.155. Имеется струна длины I, которая может совершать поперечные колебания в заданной плоскости. Скорость распространения колебаний равна V. Определить число ЙЛД нормальных колебаний струны с частотами в интервале от ы до
6.156. Имеется прямоугольная мембрана площади S. Скорость распространения поперечных колебаний в мембране равна v. Определить число dNa нормальных колебаний мембраны с частотами в интервале от и до (и-Д/о). Сравнить результат с ответом к задаче 6.155.
6.157. Упругое тело объема V имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Скорость распространения поперечных колебаний в теле равна и. Определить число dNai нормальных поперечных колебаний тела с частотами в интервале от ы до Сравнить результат с ответами к зада-
чам 6.155 и 6.156.
6.158. Определить температуру Дебая 0 для одномерного химически простого кристалла, т. е. цепочки одинаковых атомов, совершающих колебания вдоль прямой линии, на которой они размещаются. Концентрация атомов (число их, приходящееся на единицу длины) «=5,00- 10е м-1, скорость волн в кристалле и=3000 м/с.
6.159. Определить температуру Дебая 0 для двумерного кристалла, состоящего из атомов одного сорта. Атомы могут колебаться в плоскости, на которой они размещаются. Равновесные положения атомов находятся в вершинах прямоугольных кристаллических ячеек. Концентрация атомов (число их, приходящееся на единицу площади) «=2,50X X 1019 м-2, скорость поперечных и продольных волн в кристалле одинакова и равна и=3000 м/с.
6.160. Определить температуру Дебая 0 для трехмерного кристалла, состоящего из атомов одного сорта. Равновесные положения атомов находятся в вершинах прямоугольных кристаллических ячеек. Концентрация атомов (число их, приходящееся на единицу объема) «=1,25х X 1029 м-3. Скорость поперечных и продольных волн в кристалле одинакова и равна н=3000 м/с. Сравнить полученный результат с ответами к задачам 6.158 и 6.159.
6.161. Найти среднее значение частоты (ы) нормальных колебаний:
а) одномерного кристалла из задачи 6.158,
б) двумерного кристалла из задачи 6.159,
в) трехмерного кристалла из задачи 6.160.
210
6.162. Ниже приведены значения скорости поперечных волн скорости продольных волн V|| и концентрация п атомов для: а) бериллия, б) серебра, в) свинца. Определить температуру Дебая 0 для этих металлов.
Металл V , м/с м/с п, 10” и—’
Бериллий Серебро Свинец 8830 1590 700 12 550 3600 2160 1,23 0,586 0,328
6.163. Скорость поперечных упругих волн в алюминии u_L=3130 м/с, продольных волн Цц =6400 м/с. Определить температуру Дебая 0 для алюминия.
6.164. Определить энергию Uа нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона (температура Дебая 0=92 К).
6.165. При давлении р = 1013гПа аргон затвердевает при температуре,' равной 84 К. Температура Дебая для аргона 0=92 К. Экспериментально установлено, что при 7\=4,0 К молярная теплоемкость аргона Ct= = 0,174 Дж/(моль-К). Определить значение молярной теплоемкости аргона С2 при 7’3=2,0 К.
6.166. Входящий в дебаевское выражение для теплоем-хт
Р еА'х4 dx
кости интеграл \ х_ 2- при хт -> оо принимает значе-J 1)
, о
ние, равное 4л4/15. С учетом этого определить примерное значение молярной теплоемкости С аргона (0=92 К) при Г=4,0 К. Сравнить полученное значение с приведенным в задаче 6.165 экспериментальным значением.
6.167. Найти максимальную энергию ет фонона, который может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температурой Дебая 0=300 К. Фотон какой длины волны X, обладал бы такой же энергией?
6.168. Воспользовавшись данными задачи 6.162 и ответом к ней, оценить максимальное значение рт импульса фонона в серебре. Фотон какой длины волны X обладал бы таким же импульсом?
6.169. Атомная масса серебра Аг=107,9, плотность р= = 10,5 г/см3. Исходя из этих данных, оценить максимальное значение рт импульса фонона в серебре. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 6.168.
211
6.170. Что происходит с энергетическим спектром фоно-нов при увеличении объема кристалла (при неизменной концентрации атомов) в два раза?
6.171. Зависит ли среднее число фононов (пг) строго определенной частоты <ог, возбуждаемых при данной температуре в некотором кристаллическом образце, от числа атомов в этом образце?
6.172. Как зависит число фононов dn с частотами от w до w+dw, возбуждаемых при данной температуре в некотором кристаллическом образце, от числа N атомов в этом образце?
6.173. Как зависит полное число п фононов всех частот, возбуждаемых при данной температуре в некотором кристаллическом образце, от числа N атомов в этом образце?
6.174. Какое число (пт) фононов максимальной частоты возбуждается в среднем при температуре Т=400 К в кристалле, дебаевская температура которого 0=200 К?
6.175. Приняв для серебра значение температуры Дебая 0=208 К (см. ответ к задаче 6.162, п. б), определить:
а) максимальное значение энергии ет фонона,
б) среднее число (nm) фононов с энергией ет при температуре Т=300 К.
6.176. В эксперименте, аналогичном опыту Толмена и Стюарта, катушка диаметраг/=500 мм имела М=400витков медной проволоки. Через скользящие контакты катушка присоединялась к баллистическому гальванометру с нулем посередине шкалы (рис. 6.2). Общее сопротивление катушки, гальванометра и соединительных проводов имело значение
7?=50,0 Ом. Катушка приводилась в равномерное вращение в направлении, указанном стрелкой, с частотой п=100 с-1 и затем резко затормаживалась. При этом через гальванометр проходил заряд q=\ 1,0 нКл, вызывавший отклонение стрелки в левую сторону. Определить знак и отношение заряда к массе носителей тока в меди.
6.177. Медная пластинка имеет длину /=60,0 мм, ширину 6=20,0 мм и толщину а=1,00 мм (рис. 6.3). При пропускании вдоль пластинки тока силы 7 = 10,0 А между точками 1 и 2 наблюдается разность потенциалов /712=0,51 мВ, 212
разность потенциалов между точками 3 и 4 равна нулю. Если, не выключая тока, создать перпендикулярное к пластинке однородное магнитное поле с индукцией .8=0,100 Тл, то между точками 3 » 4 возникает разность потенциалов t/34=55 нВ. Воспользовавшись этими данными, определить для меди концентрацию свободных электронов п и их подвижность иа.
6.178. Зависит ли средняя энергия (е) свободных электронов в кристалле от числа атомов, образующих кристалл?
6.179. Что произойдет с энергетическим спектром свободных электронов при увеличении числа N атомов, образующих кристалл, в т] раз?
6.180. Что произойдет с интервалом Де между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле при увеличении объема металла в три раза?
6.181. Кристаллический образец содержит 0,17 моля некоторого химически простого вещества. Ширина разрешенной зоны энергий ДЕ=10эВ. Чему равно среднее значение интервала между соседними энергетическими уровнями (Де)?
6.182. Написать выражение для интервала Де между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле.
6.183. Положив объем V образца металла равным 1 см3, вычислить по формуле, полученной в задаче 6.182, интервал Де (в эВ) между соседними уровнями энергии свободных электронов для значений энергии Е, равных: а) 0,1 эВ, б) 1 эВ, в) 3 эВ, г) 5 эВ.
6.184. Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, определить:
а) уровень Ферми при абсолютном нуле Ег{0) для меди, б) среднюю кинетическую энергию (Е) свободных электронов при абсолютном нуле,
в) температуру Т, при которой средняя кинетическая энергия электронов классического электронного газа равнялась бы средней энергии свободных электронов в меди при Т=0.
6.185. Положив уровень Ферми при абсолютном нуле ЕХ0)=бэВ, определить уровень Ферми при Т=300 К. Выразить ЕР через ЕД0).
213
6.186. Какая часть г] свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
6.187. Какая часть т] свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую среднюю энергию?
6.188. Чему равна вероятность Р того, что в состоянии с энергией, равной энергии Ферми ЕР, будет находиться свободный электрон?
6.189. Чему равно среднее число (п) свободных электронов, находящихся на уровне с энергией, равной энергии Ферми
6.190. Приняв заряд носителя тока равным удвоенному элементарному заряду, вычислить квант магнитного потока Фо.
6.191. На рис. 6.4 изображена полученная экспериментально зависимость проводимости о кремния от величины, обратной термодинамической температуре Т. Определить ширину запрещенной энергетической зоны АЕ для кремния.
6.192. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К проводимость: а) металла, б) собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого ДЕ=0,30ОэВ? Каков характер изменения в обоих случаях?
6.193. Какова работа выхода А электрона из металла, если повышение температуры металла от значения Т= =2000 К на Л7'=0,0100 К увеличивает ток насыщения термоэлектронной эмиссии на 0,0100 %?
214
6.194. Зазор между пластинами плоского конденсатора d = 1,00 мм. Одна из пластин изготовлена из платины (для которой работа выхода электрона А =5,29 эВ), другая—-из алюминия (для которого А =3,74 эВ). Пластины закорочены медным проводом. Какова будет напряженность Е электрического поля между пластинами? Как будет направлено поле?
6.195. Между электродами двухэлектродной лампы (диода) включена батарея с э.д.с. <£ = 10,0 В. Материалом катода является вольфрам’ (для которого работа выхода электрона Aw=4,50 эВ), материалом анода — никель (для которого Л№=4,84 эВ). Какую энергию Е приобретают электроны на пути от катода к аноду? Скоростью, с которой электроны вылетают из катода, можно пренебречь.
6.196. Имеются два металла с концентрацией свободных электронов «1=1,00-1028 м~3 и n2=l,00-102’м-3. Определить внутреннюю контактную разность потенциалов t7tHyTp, возникающую при приведении этих металлов в соприкосновение.
6.8. Энергия связи ядра. Радиоактивность
6.197. Определить энергию связи ECJA (в МэВ), приходящуюся на один нуклон, для ядра: а) “В, б) fgNe, в) ^Si, г) yFe, д) ^Zn, е) '^Ва, ж) 2^РЬ, з) 2g3|U. Построить на миллиметровке график зависимости ECJt/A от массового числа А.
6.198. Ядро свободного покоящегося атома радия ^Ra претерпевает а-распад. Энергия связи ядра 2ffRa равна 1731,6 МэВ, ядра 2slRn равна 1708,2 МэВ, а-частицы 28,3 МэВ. Полагая, что дочернее ядро радона ^Rn образуется в невозбужденном состоянии, определить:
а) скорость va образовавшейся а-частицы,
б) скорость v дочернего атома.
6.199. Исходя из закона радиоактивного распада, найти: а) период полураспада Т радиоактивного ядра, б) среднее время жизни т ядра, в) соотношение между Тит.
Считать известной постоянную распада X.
6.200. Что больше — среднее время жизни т радиоактивного ядра или период полураспада 7? Во сколько раз?
6.201. Какая часть т] атомов радиоактивного вещества остается нераспавшейся по истечении времени t, равного трем средним временам жизни т атома?
6.202. Какая часть р атомов радиоактивного вещества
215
распадается за время t, равное трем периодам полураспада 7?
6.203. Чему равна вероятность Р того, что радиоактивный атом распадется за время t, равное периоду полураспада Т?
6.204. Среднее время жизни атомов некоторого радиоактивного вещества т=1,00с. Определить вероятность Р того, что ядро распадется за промежуток времени t, равный-а) 1,00 с, б) 10,0 с, в) 0,100 с.
6.205. Имеется препарат, состоящий из вещества, претерпевающего цепочку радиоактивных превращений. Первое в ряду (материнское) вещество обладает столь большим периодом полураспада, что образование дочернего вещества можно считать происходящим с постоянной скоростью Ь— = 1,00-10s ядер/с. Дочернее вещество обладает периодом полураспада Т=10,0 сут. Полагая, что в момент t—О имеется только материнское вещество, найти:
а) зависимость числа N ядер дочернего вещества, содержащегося в препарате, от времени /,
б) число N атомов дочернего вещества по истечении времени, равного периоду полураспада ядер этого вещества,
в) число N атомов дочернего вещества по истечении времени, значительно превышающего период полураспада этого вещества.
6.206. Радиоактивные ядра X с постоянной распада \ превращаются в радиоактивные ядра Y с постоянной распада Полагая, что в момент /=0 имеется только N^o ядер X,
а) найти зависимость числа 2Vy ядер Y от времени t,
б) определить время tm, по истечении которого 2Vy достигает максимального значения,
в) исследовать случай Хх<^Х2, кд<§;1. Сравнить получающийся в этом случае результат для Л/у с ответом к задаче 6.205.
6.207. Чтобы определить возраст t древней ткани, найденной в одной из египетских пирамид, была определена концентрация в ней атомов радиоуглерода 14С. Она оказалась соответствующей 9,2 распадам в минуту на один грамм углерода. Концентрация 14С в живых растениях соответствует 14,0 распадам в минуту на один грамм углерода. Период полураспада 14С равен 5730 лет. Исходя из этих данных, оценить t.
ОТВЕТЫ
Часть 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
1.1. а) Перемещение частицы Дг за промежуток времени от it до 12, б) путь s, пройденный частицей за тот же промежуток времени, в) приращение Ах координаты х частицы за то же время.
1.2. а) \v~vjt, б) о,7—в) Дг —v0/-|-w/2/2, г) \2 = V<izt-\-Wzt2ft.
1.3. Если а и b коллинеарны; еа = — еь-
1.4. Да, если векторы а и Да имеют одинаковое направление.
1.5. Да = —|Да|.
1.6. Да = — 2а, |Да| = 2я, Да = 0.
1.7. а) | Да | а абср, б) Дя = 0.
1.8. a) Av= 1ех+1еУ+1ег, б) | Ду |= 1,73 м/с, в) Дц=1,57 м/с.
«Х>>X ~ ^yby
1.9. cos а=— ' — — ,
К (а*+^+4)(^+^+^)
1.10. а = 50,8°.
1.11. a [bc] = b [са] =sbccos а.
Д
1.12. а) Дг = {оА (/) ex4-oy (/) ey-\-vz (/) ez}dt, t.
Д
б) S= $ V [о. (0]2+[^ (012+^ (012^.
д
^2
в) Az — vx (/) dt,
h
^2
г) <W> = 1 С {vx (/) ех + Vy (t) ey + иг (Z) e2) dt.
» 2— J
Л _______
1.13. v = feey — sex, o=Traa+Z>a.
1.15. a) <v> = (4/t) R (ex — ey), 6) <v> = — (4/t) R ey, в) <v> = —(4/3t) 7?(ex4-ey), r) <v> = 0, д) <v> = — (4/t) Rex.
1.16. | <v> | = (2 У 2/Зл) <o> = 0,300 <o>.
1.17. a) <o> =3л7?/т = 4,7 м/с, 6) | <v> I = 2R/x= 1,00 м/с, в) I <w> | = 6л7?/та = О,94 м/с2.
1.18. <a> = (2й/л) (ex + ey), | <a> | = (2 /l/л) a = 0,900a,
217
1.19. а) Траекторией является прямая линия, выходящая из начала координат; б) траекторией являетси линия, все точки которой лежат на сфере радиуса г с центром в начале координат.
1.20. a) s = 500 м, б) | Дг | = 500 м, в) частица движется в одну сторону по прямолинейной траектории, поэтому з = |Дг|.
1.21. a) v---6iex-r2ev (м/с), w = 6eA. (м/с2), б) v = 6,3 м/с, в) s » 63 м.
1.22. а) Дг = 2ех + 4е„ + 8ег (м), б) v=13 м/с.
1.23. а) v = 5,4 м/с, б) w = а (2ех+Зеу 4-4ег), и = 5,4 м/с2, в) $=13,5 м, г) частица движется равноускоренно по прямолинейной траектории.
1.24. а) Д/ = 1/Л2/г/(д' + Е') = 0,71 с, б) s = w2t\lg-^hg/fg-^-w) — — wti = 1,9 м.
1.25. £ = [v (/)]2//[v(/)]2-[i Wl2.
1.28. R = v2/w.
1.27. По окружности или винтовой линии.
1.28. a) dv/dt = —0,53 м/с2, б) R = 3,8 м.
1,29. a) ох —— (2я/Т) a sin (2я/Т) t, wx —— (2л! Т)- a cos (2л/Т) t, б) Si=0,293a, в) s2 = 0,707a, r) s = 4a.
1.30. v = a, w = aa, а — п/2. Частица движется равномерно по окружности радиуса R = a,'a.
1.31. a) r=a(cosw/.ex+sinwZ-e2/), v=aco (—sin at-e^-J-cos (g.^), w = —aa2 (cos oOe^-J-sinat-ea) = — a2r, r — a, v=aa, w=aa2.
6) rv = 0. Это означает, что векторы г и v взаимно перпендикулярны.
в) rw = — а2а2 = — по. Это означает, что векторы г и w имеют противоположные направления.
г) х1-/гу2 = а2—окружность радиуса а.
д) Против часовой стрелки.
е) Частица движется равномерно против часовой стрелки по окружности радиуса а, центр которой находится в начале координат.
ж) Направление движения частицы изменится на противоположное.
. „„ . 2v0 sin а .. . v? sin 2а sin2 а
1.32. а) т = —, б) Z =------------------, в) /г =-------=----,
g g ^g
, , g ,2 J 1 V I A . n Vo
Г 2v(icos2a* ’ A| di l~g’ dt ~ ’ e g cos a ’
Vo cos2 a
g
1.33. <v> = v0 + gT/2.
1.34. a=ll,5° или 78,5°.
s
1.35. v(s)= Vo+ 2 J f (s) ds
1/2
1.37. a) s =-y (1 —e-6<), 6) v = v6e-bt, в) s и vot, v к v0 (1 — bt).
1.38. Константа b есть величина, обратная промежутку времени те, за который скорость частицы уменьшается в е раз.
1.39. s=2u0fc/3v = 7,0.102 м.
218
1.49. sin aJ/slnaJ=o1/oa= 1,67.
1.41. a) 0,01, 6) 0,001, в) 0,005, r) 0,05, д) 0,002, 4.10~B.
1.42. a) a=5,7°, б) 1 = 1[Уu2—u2— 10,1 с, в) s=201 m.
1.43. а) Под углом к линии АВ, синус которого равен н/о, б) = 21/Уv*—u2 1) « 402 с (402,02 с), t, = 2/v/(v2 — u2) w
ss 404 с (404,04 c); в) /1 = ^ 1+Л« 402 a (402,00 c), ^=v(1+'S')~4t)4 c (404’00 c)-
1.44, a) rz -arccos (u/v0) = 78,5°, 6) t= (vofg) [У 1 — u2/o’ —
— 1 — (u24-2gk)/vo] = 11,5 с, в) s~ut = l,15 km,
1.45. а>л = 2,66-10-s рад/с = 0,037(i>3.
1.46. 0 = 0.
1.47. a=[wa], a = —co2a.
1.48. У1 = о(ел+е1,), у2 = 2вех, v3 = o(eJ. —ey).
1.49. a) cos oi’Z • cv i-oi sin oi'z c,y i-w'cz, fl==mca'(cosa>7-ei/— — sin co7-ej, Q = У a>24-co'2, 0 = mo/; 6) rz=arctg (a>'/w); в) ф = л/2,
1.50. а) ср = 20 рад. б) Вокруг оси, лежащей в плоскости X, у и образующей с осью х угол, равный 63°.
1.51. 0 = 4,7 рад/с2.
1.52. <е>>-S.74 = 29 рад/с, <0> = н0/Н? = 24 рад/с2.
1.53. s « яо (/2 — /Э/2=5,7-102 м.
1.54. 6 = 0,25.
1.55. I. a) 5 = 6,0 Н, б) 5 = 4,0 И.
2. Сумма результатов в случаях (а) и (б) равна силе Рв.
1. 50. а) 5 = [50m2 —m1m2g(kl —к2)]/(пцУт2)=7,2 Н,
б) F = [50/И! — rngn-ig (62 — 62)]/(/И! + «2) =2,8 Н.
1.57. а) 5 = 4,8 Н, б) 5 = 5,2 Н.
1.58. 1. a) w = g [(/Hi + m^ sin a— (kitni-Y k2m^ cos a]/(nti-f-= 5,8 м/с2, б) 5 = fflim.g (62 — ki) cos a/(mi + = 0,83 H.
2.- Второй брусок скользил бы с большим ускорением, чем первый. В результате зазор между брусками увеличивался бы со временем.
1.59. a) w~g[m—(61 + ^2) Л1|/(2М-|-m) = 0,98 м/с2,
б) 512 = Mg [т (1 + 6j) — М (62- 6i)]/(2Af + т) = 2,0 Н,
в) F-mg[M (2 + 614-62)]/(2Л14-т) = 4,4 Н.
1.60. 5 = 972 кгс.
1.61. х2 - g2 — (tnv'qB)2._____
1.62. a) n = (l/2n)Kg/K5 —/?2 = 0,296 с~1 = 17,8 мин-»,
б) 5 = mg//K'2-tf2=l,06 mg = 2,l Н.
1.63. 1,8 м.
1.64. a) /i = Ho '2g = 0,46M, б) /х= vQ/g sin a = 0,89 с, в) = 0,89 с, г) н= гв = 3,00 м/с.
1.65. а) h =[>о sin a/2g (sin ± k cos a) = 0,36 m,
6) ti = v0/g (sin a + k cos a) = 0,70 c.
в) /2 = v0/g У sin2 a — k2 cos2 a = 0,93 c,
г) и = oo У (sin a—k cos a)/(sin a + k cos a) = 2,3 м/с,
д) Л = — HWofe cos a/(sin a-[-A cosa) = —1,9 Дж.
1.66. 6) v — (mglty (1— l/н) [1 — exp (— kt!m)\.
*) Ср. с ответом к п, б) задачи 1.42,
t!9
1.67, a) fe = n/(l—n)=0,38, б) Л = —n)/2 = —9,8мДж, в) v=]/~gl(l—i]) = 2,67 м/с.
1.68. a) F (i) =3mg2i2/'it = 3mg (I—h)/l (h—высота верхнего конца цепочки над столом в момент /); таким образом, F (/) равна утроенному весу части цепочки, лежащей в момент i на столе, б) <F> — mg.
1.69. Л = 6а Дж.
1.70. а), б), в) Д=0.
1.71. Д = 0.
s2
1.72. А= mwx (s) ds.
s« __________
1.73. a) <P> = m]Ag3/i/2 = 97 Вт, 6) P = <P> K'2= 137 Вт.
, ,, , mv2 , . .
1.74. A = ——\-mgh — Дсопр.
1.75. a) P (f) = mg (gt— yosina), б) P = 0, в) <Р>под = — 1hmgv0X Xslna, г) <Р>пол=0-
1.76. P (0 = (l/m) (2/3 + 3/6).
1.77. а) АЕ = ЗДж, б) ДЕ = — 2 Дж.
1.78. a) —ДЕ =— 3 Дж, б) — ДЕ = 2 Дж.
1.79. Т = Fx (х2—хх) + Fy (y2—yi) + Fz (г2 — гг) = 14 Дж.
1.80. а) Д = —10 Дж, б) кинетическая энергия получает приращение АТ = — 10 Дж, т. е. уменьшается на 10 Дж.
1.81. Очевидно соотношение: R/ = Rc + r > где R,- — радиус-вектор i-й материальной точки в л-системе, Rp — радиус-вектор центра масс, г— радиус-вектор i-й точки, проведенный из центра масс. Дифференцирование этого соотношения дает: V, = Vc + v/. По определению
Первое слагаемое можно написать в виде: 1/2mVc (т = У\ m). Сумма 2 m/v; эквивалентна mVc, где Vc— скорость центра масс
в ц-системе, т. е. нуль; следовательно, второе слагаемое равно нулю. Третье слагаемое есть Гц. Таким обра-/Д зом, Гл = Гц-|-1/2ш1/с, что и требовалось
U доказать.
1.82. Д = — 28 Дж.
1.83. 7 = 24а.
1.84. a) Oi = 'c>2, б) /т > /2.
1.85. Время соскальзывания для обеих плоскостей одинаково.
1.86. А = — mgh.
Г 1.87. Л = 2/3/?.
1.88. а) Л = 5/2Я, б) Е = 0.
Рис. 1 1.89. !• а) V7 = er, б) v(l/r) =
=—(1/г2)ег, в) vf (г) = (df/dr) ег (ег — орт радиус-вектора г точки Р).
Примечание. В случае б) е/=—ег, в случае в)"в/=е/, если df/dr>Q, и ez = — ег, если df/dr <0. ч
220
1.90. a) F = (a/r2) er, Д = 0,082a, 6) F = — kr, Д = —7.5Л.
1.9t. a) F = e|-lex+(^-+l)e!,-^.eJ, 6) X=t/f-
1.92. а) Да, при r = 3a/2b. б) См. рис. 1.
1.93. U = —2T, E — —T, E—U/2.
1.94. При v0 > V2a./mr0 по гиперболе, при v0 = P<2a/mr0 по параболе, при v0 < V2a/mr0 по эллипсу (в частном случае по окружности).
1.95. При v0 = 'Ка.1тг0, что равнозначно условию:5 = — та2/2А43 (Е — полная энергия, М. —момент импульса частицы).
1.96. h2 = 2m1h1/(m1Jt-mi)— 1,50 м.
1.97. k = mg sin а (4 — 1) у2 = 0,66.
1.98. а) Д/ = F/6 = 0,53 мм,
б) у = К2 (g~F/m) (ln + F/k) xy~2(g- F/m) lQ = 4,2 м/с,
в) Д/тах=^+ ]/W2g^7 f2 + j- (mg— F) Zo = 103 мм, Д/„ах«
~ -f-+ у -fc(mg — F) /0 = Д/ст + Д/кин = 5мм + 97мм, где Д/кин— удлинение, связанное с кинетической энергией Т, приобретенной муфтой при движении до упора, соотношением 6Д/2Нн/2 = 7 яа (mg—F) 10.
1.99. гс = 0,23ел4-0,18е„4-0,18ег, | гс | = 0,34 м.
1.100. тл = /пзп^з/(7? — т]/?з) = 7,3-1022 кг.
1.101. / = 3/4й.
1.102. р = 0.
1.103. Центр масс неподвижен.
1.104. Движется с ускорением g.
1.105. a) Др = mgr, б) <р> = mv0 4- mgx/2 = р0 4- Др/2.
1.106. p = mv04~(F/<о) [e^sinco/ —еу (1 —coscoZ)].
1.107. Оба шара будут двигаться со скоростью 2,00 м/с в направлении, в котором до соударения двигался первый шар.
1.108. а) 4=1/2, б) 4=10/11 » 0,91, в) 4=1/11 ~ 0,091.
1.109. а) т± < т2. б) Шар остановится, в) Шар будет лететь в обратном направлении с практически такой же по модулю скоростью, с какой он двигался до удара.
1.110. vlx ==—1,40 м/с, у2х = 0,60 м/с.
1.111. 1. а) /И! < т2, б) тх < Зт2, в) тх > т2, г) тх < т2.
2. Нет, невозможен.
3. р < 45°.
4. a) 4 = 2m1/(/n14-m2), б) i] = mi/(ml-\-m2), в) и г) 4 = = 4zn1m2/(mi4-w2)2-
6. 4 < 3/4.
7. mi — m2, ₽ = 0.
8. а) р = 4°, б) 0 = 45°. ____ ________________________
1. 112. 1. у1 = (у0/2)(1 — V1-4), У2= (у0/2) (1+ V”1 —- 4).
2. а). Скорости шаров одинаковы —абсолютно неупругий удар, б) У1 = 0, у2 = у0— абсолютно упругий удар.
1.113. а) 14 = 0,026^0, у2 = 0,974уо; б) t4 = 0,146o0, о2 = 0,854у0; в) t4 = 0,342yo, у2 = 0,658уо.
1.114. v = 1,0 м/с (направление v противоположно направлению v0).
1.115. rmin = 4fe2/pno = 0,69.10-12 м (p = znpma/(mp4-/na) —приведенная масса протона и альфа-частицы).
221
1.116. a) v = u [1—exp (—m//A4)]'=4,5 м/с, 6) nmax = « = 10,0 м/с.
1.117. a) N = —2ex—lle„-f-10ег (H-m), 6) JV=15 H-м, b) Nz = = 10 H-m.
1.118. d-|~d[=3,3 кН.
k dl-dl
1.119. ДМ =—40ex (кг-м2/с).
1.120. Л1 = —(nwo sin2 a cos a/2g) ег.
1.121. 1. a) p = pi + p2 # 0, б) Mi = [/p2 + 6i (р2 — Pi)] n, М2 = = UPi + MPi —Рг)) n (Mt ф М2).
2. а) р = 0, б) М1 = М2 = /рп (ср. с моментом пары сил).
1.123. Воспользуемся соотношениями: RZ=Rc+>7, Vz = Vc + vz (см. ответ к задаче 1.81). По определению
Mo = S mi [RZVZ] = 2 mt [(Rc+rz) (Vc+ vz)J =
= 2 mi [RcVd + 2 mi [Rcvz] +2 [rZVd + 2 mi [r,vz]. Первое слагаемое можно написать в виде [R^, mV с] —: [RcP]- Второе слагаемое [Rc-S m;vi]=[Rc> тУс] = 0(так как vc —скорость центра масс в ц-системе—есть нуль). Третье слагаемое [2 тх,, V^] = = [mrc, Vd = 0 (потому что Гс—радиус-вектор центра масс в ц-системе—• есть нуль). Четвертое слагаемое представляет собой М<; — момент импульса системы материальных точек в ц-системе. Таким образом, Mq — Mc + [Rc, р], что и требовалось доказать.
1.124. a) N = 1/2mg/i sin 2а-n, б) Л1-- 1l2mgh sin 2а-tn.
1.125. a) N = —mgu0 cos a te2, б) Л1-—V2mgn0 cos а-/2ег.
1.126. | ДМ | =1/2mgu0T2 = 2,5-102 кг-м2/с.
1.127. а) Гантели вращаются по часовой стрелке с одинаковой угловой скоростью, центры гантелей неподвижны, б) со = 2а/I = = 2,00 рад/с, в) т = л/со=1,57 с, г) гантели движутся поступательно с той же скоростью и в тех же направлениях, что и вначале, удаляясь друг от друга.
1.128. а) Центры гантелей движутся вдоль первоначальных направлений, гантели вращаются вокруг центров по часовой стрелке, б) vc = v/2 = 0,500 м/с, в) <в = п//=1,бО рад/с, г) Е уменьшается в два раза.
1.129. а) Центры гантелей движутся вниз (иа рис. 1.24) со скоростью v, гантели вращаются по часовой стрелке с одинаковой угловой скоростью со, б) со = 2v/l = 2,00 рад/с, в) т= л/со=1,57 с, г) левая гантель покоится, правая движется поступательно с той же скоростью и в том же направлении, что и вначале, удаляясь от левой гантели.
1.130. б) Центры обеих гантелей движутся вниз — левой со скоростью vc = 1/2п = 0,500 м/с, правой со скоростью г-'с = 3/2f 1,500 м/с, в) обе гантели вращаются с угловой скоростью со = v/l— 1,00 рад/с, г) Е уменьшается в 4/3 раза (ср. с ответом к п. г) задачи 1.128).
1.131. <о> = 2,98-104 м/с и 30 км/с, с’тах = 1,017 <а> = 3,03-104 м/с, Цшп = 0,984 О> = 2,93-104 м/с.
1.132. |i=m/2.
1.133. ц » т (1—т/М).
1.134. а) Сила тяжести mg, сила нормального давления со стороны диска, равная —mg, и направленная к оси вращения сила трения, модуль которой равен moj/r. б) В системе отсчета, вращающейся вместе с диском, в) В системе отсчета, вращающейся вокруг оси вращения ДИСКа С уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ, ОТЛИЧНОЙ ОТ СОО.
1.135. Р = 0.
222
1.136. л=о.
1.137. Л = mco2 (/?2—7?4)/2== 1,5 Дж.
1.138. Тело отклонится к востоку на расстояние х=(2/3)а>з8Х XV^hfg = 0,69 мм, hs-ashY^h/g^ (3/2) х.
1.139. a) s=<£>R2/v, б) не зависит.
1.140. а) На со/2 sin ср/у = 1,03 мм вправо (т. е. на восток), б) на 1,03 мм вправо (т. е. на запад).
1.141. F = 2тссоз sin ср = 0,38 кН.
1.142. a) v' = 372 [те»}, б) v = У2 [сот}.
1.143. а)'т = (1/со) In[///„ + /(/Д0)2—1] = 3,0 с,
б) f=-m/4oj1 (72—7?) + g2=l,00 Н,
в) Л = тш2 (/2 —/2) = 0,10 Дж.
1.144. N=—2ma2tti>.
1.145. М(/)= — mv2t2ti>.
1.147. v2 = v14-[(or12].
1.148. r = v0/ + [cov0]/co2 = y0/ex—(у0/ш) e„.
1.149. F1=l,76-103 H, f’2 = l,18-103 H.
1.150. F1 = —20ex(H), 6) a0 ' • 60°.
1.151. Центр масс тела движется по параболе с ускорением g.
1.152. wc = 0,ll g.
1.153. Нет, не могут. Вследствие жесткости стержня составляющие обеих скоростей в направлении стержня должны быть одинаковыми.
1.154. / = ц/2, где p. = m1m2/(mi+ т2) — приведенная масса частиц.
1.155. / = 1/2снД2.
1.156. а) <р>у = 1/з (pi + 2р2) = 7/3р! = 1,17-10». кг/м3, <р>,=« =J/2(pi+p2) = 2pi, <р>у=7в<р>„ б) / = 13/1ср1/л/?4 = 39/70тД2 = =1,3-10"» кг-м2, / = 3%5/'.
1.157. 7 = 2/5т/?2.
1.158. 7 = 3/10ffi7?2.
1.159. а) /с=1/12щ/2, б) /=1/3т/2.
1.160. a) 7c = 1/i2m(a2 + 62), б) 7 = 1!3т (a2 +52).
1.161. 7 = 1/6ma2.
1.163. 7 = 1/10ma2 (ср. с ответом к задаче 1.158).
1.164. а) 7пирам//К0НуС = л/3 = 1,047, б) 7куб/7щар — (б/12)Х Х(4л/3)2/3 = 13/12= 1,083.
1.165. 71 = 72 = 1/4тД2, /3 = 1/2т7?2.
1.166. / = т(1/4Д2 + 1/12/12).
1.167. h=R /З.
1.168. 1 — m(3nR*— 4а4)/6(л/?2— а2) = 0,106 кг- м2.
1.169. 1.170. 1.171. 1.172. 1.173. 1 Х~\~ Iy~ I = m/?2/4. /0,28 0 0 \ 1 = 10-2 0 0,96 0 1(кг-м2). \о о 1,137 b % ~ by —. Ь% = 6. b = a. /0,100 0 0 X /1 0 О'
1.174. 1=0 0,100 0 1 = 0,100(0 1 0
\0 0 0,100/ \0 0 1
= 0,100 Е (кг-м2) (см. задачу 1.173).
1.175. При вращении тела вокруг одной из его главных осей инерции.
223
1.176. Если: а) тело является шаровым волчком, б) векторы а и N совпадают .по направлению с одной из главных осей инерции тела.
1.1^7. При вращении тела вокруг одной из его главных осей инерции.
1.178. а) Л4 = 1,5.10-2 кг-м2/с, а = 24°, б) Т=1,2.10-? Дж.
1.179. а) М (Z) = 2<№(в (Z). б) Не зависит.
1.180. М = 2/6т/?2о>.
1.181. Остается постоянным.
1.182. Mi — mvaR, M2 = llrfnvaR, 2И3 = 0.
1.183. Л1о = 7,О-1О33 кг-м2/с, Л4=2,7-1040 кг-м2/с = 3,9.10е Л40.
1.184. а) Угловое ускорение Р максимально в моменты, когда ось цилиндра находится на одном уровне с осью вращения, р минимально в верхнем и нижнем положениях цилиндра, б) ртах = 2^/31?, Ptnin = O-
1.185. а) w = 1/6g = 1,6 м/с2, Fi2 = 1/6Alg-= 1,6 Н, F2 = 1/3Alg = = 3,2Н, Fm = 5/6rng = 4,lH.
б) ш = 1/^ = 2,0 м/с2, F12 = 1/6Mg=2,0H, F2=FOT=4/5mg=4,0 Н.
1.187. a) p0=12g«/(/2+12а2) =11 рад/с2, F0 = mgZ2/(Z2+12a2) = = 5,3 Н = 0,89mg,
б) ю=2/6ga/(Z2 + 12а2) = 4,6 рад/с, F=mg (Z2 + 36a2)/(Z2 + 12a2)=
= 7,1 Н= l,21mg. ______________________________
1.188. а) со = V(3g//) [1 -|-cos фр —(л —ф0) sin ф0] = 6,6 рад/с, б) M=ml К(gZ/3) [1 +_cos фо —(л —фо) sin ф0] = 0,44 кг-м2/с.
1.189. M = mh prg^/3 = 4,7-102 кг-м2/с, v = У 3gh -- 9,5 м/с.
1.190. а) x=Z2/12a = 20,8 см, б) линейка вращается вокруг точки О с угловой скоростью <а= 12/м/ш/2 =3,0 рад/с.
1.191. 1. /г?>2/7 tga-0,165.
2. а) Шарик скользит по плоскости, одновременно вращаясь, б) ул = (81па — 7/2/г cos a) gt~ 1,9 м/с, vg = (sin а +3/2й cos a) gt = = 6,2 м/с, vc~ (sin a — k cos a) gt~ 4,1 м/с.
1.192. a) Z1 = 3o0/2gsina = 1,34 c, 6) h = 3y'o/4g = 0,69 m, b) Z2 = = Z! = 1,34 с, r) n = t’o = 3,OO м/с.
1.193. a) Zi = :——5- = 1,03 c,
2 (gsina -}-NJp/mR)
,, , 3^0 fiin a О KO
— 4 (g sin a +yTp/mZ?) ’ M’
в) /2=-^^.._!У0 . ^_^. = 1,41 c,
2pg2 sin2 a — Njpfm2R2
/ gsina — NTp/mR
Г) V^=UQ I/ -----:-r—T-, —5-= 2,2 М/С,
’ У g sma-[-Njp/mR
3t>2/VTp
A = ~2R (gsina-LlVTp/m/?)^—3,1 Дж’
1.194. 1. Катушка катится без скольжения, если
F < kmg (? + mR2)/[mRr -}-I cos a + k sin a (/-rm/?2)].
2. а) Катушка ползет no плоскости, не вращаясь, с ускорением шх = 0,51 м/с2, б) катушка неподвижна, в) катушка катится без скольжения вправо, wx = 0,36 м/с2, г) катушка катится без скольжения влево, шх = —0,30 м/с2.
1.195. а) / = Кз/г^ = 0,39 с. б) F = mg/6= 1,64 Н.
1.196. М (t) = (mgR—N^)t.
1.197. M = (f/R2+m)vR, Т^(//R2+m) n2/2.
224
1.198. а) <й=(й0/4, б) уменьшится в четыре раза.
1.199. a> = 6m'o/(m + 3m') / = 0,62 рад/с.
1.200. а) о>= 12m'v/(3m'-|-m)/= 1,24 рад/с, б) v' =—v(m—3m')/(m+3m') = —48,9 м/с.
1.201. a>=[2m'/(2m'-|-m)] v’/R.
1.202. Л=^ЛГг(/)и (t)dt.
it
1.203. 7’ = g2/2m7(2m'4-m) = 100 Дж.
1.204. a) (o = [2(mgr—N)l(2m-\-m') r2] t = 29t рад/с,
6) F = mg-^'r + 2N^8- = 81 H,
в) t = Vh (2m-|-m') rl(mgr— TV) = 1,9 c,
r) v = 2 Уh (mgr—N)l(2m-\-m') r = 7,2 м/с, д) A = —Nh/r = —9,3 Дж.
1.205. a) m' > N-tJgR, 6) m' — (n/2) NTJgR-
1.206. A = — mR2<»2/4.
1.207. </’> = m/?2(ffl3 — (Oi)/4/.
1.208. N — 3Ia>2/8nkFR — 50 об.
1.209. I = (oco'R2l2g = 9,8 cm.
1.210. a) w' — mg///co= 1,00 рад/с, б) 0 = exo'sin a = mg/sin a//= = 50 рад/с2.
1.211. a) 0 = (mgZ sin a//) (cos <o'/-e„ — sin w'Z-ex) = 50 (cos l/-e„— — sin 1/-еж),
б) вектор 0 перпендикулярен к вектору <в и лежит в плоскости, перпендикулярной к оси г.
1.212. ф= 17,04' (в первом приближении ф = 17,19').
1.213. Y = a/-2/WmA4 = 6,7.10-li Н»м2/кга.
1.214. F = 6,7.10~11 Н.
1.215. Сила увеличится в п4^3 раз.
1.216. а) F = ymM/a2-2 /5 , б) F х утМ/b2, в) Г = Г'.2//Г = = 0.894F'.
1.217. а) F = утМ/За2, б) F = утМ/Ь2, в) F = 4/3F'.
1.218. а) U = — утМ/У/?2-|-ха, б) Fx —— утЛ4л:/(/?24-л:а)3^2, в) U~—утМ/х, Fxk—утМ/х2.______________
1.219. а) F = 2лута(1—b/УЬа-|-/?а), б) при b/R < 102.
1.220. а) F — 2nyma. б) F не зависит от Ь. в) F = 2nympd.
1.221. F = 2nypmd = 0,42 мкН.
1.222. F = 2nyp2d2 = 0,42 мН.
1.223. а) F = 2утк/Ь, б) М = 2Ьк,
1.224. dS=R2dQ.
1.225. dS = R2 sin 0 dO dtp.
1.226. dQ = sin OdO dtp.
1.227. F = 0.
1.228. F = 0.
1.229. F = ymM/2R2.
1.230. a) U (r) = — ymM/R = const, 6) U(r)= — ymM/r.
1.231. 1. a) U (r)=— ’/a-ymM^i+^^/^J+^a+^D^const, 6) U (r) = — yrntd/r.
2. Внутри слоя F = 0, вне слоя сила такова, как если бы масса слоя была сосредоточена в его центре»:
1.232. a) g, у, радиус Земли, б) у, масса Земли, радиус земной орбиты, период обращения Земли по орбите,
8 И. В. Савельев
225
1.233. а) т3 = £/?з/т = 5,97-10м кг (7?з—средний радиус Земли), <р>3 = 5,5-103 кг/м3, б) тс = 4лг/?орб/т’7'г= 1.98-1О30 кг (Л?Орб — средний радиус земной орбиты, Т—период обращения Земли вокруг Солнца), <р>с= 1,40-103 кг/м3.
1.234. a) Fc_3 = 3,5.1022 Н, б) 7ЛЗ= 1,92.1020Н = 1/1827с_3.
1.235. i4i = 6,0-10_ig=5,9• 10-3 м/с2 к 6 мм/с2.
1.236. = 7,9 км/с (7?з —радиус Земли).
1.237. v2 = ]/r2gR3 = ui У 2 =11,2 км/с (7?з — радиус Земли).
1.238. В случае б)._
1.239. R = y/ уА1372/4п2 = 4,22-107 м = 6,6 R3 (М3 — масса Земли, Т—период обращения Земли вокруг своей оси).
1.240. 7?3 = а72, где а —не зависящий от массы планеты коэффициент, равный -уЛ4с/4л2 (Л4с— масса Солнца).
1.241. Тм=1,88 год.
1.242. a) g (h) = g [Я3/(*з +Л)]2> где Яз — радиус Земли, б) g(100 KM) = 0,97g, g(1000 KM) = 0,75g, g(10000 KM) = 0,151g.
1.243. a) U=mgR3h/(R3+h). 6) U и mgh.
1.244. Введем безразмерные величины: a = gR3 /t>o cos2 a, x = a~~ —V a2—2a-j- 1 /cos2 а. Тогда: а) Л=7?з(1 — x)/x= l,00-10s м, 6) v = = xv0 cos a = 3,2-103 м/с, в) /?кр = ио cos2a/g= l,38-10° м.
1.246. a) w (r) =gr/R3 (R3 — радиус Земли), 6) v (г)— = Kg (7?з — г2)/7?з, в) и (0) = КgR3 = 7,9 км/с = t>i, г) т = 2лХ X КЯз/Я = 84,4 мин = /1, д) <и>= (2/л) VgR3 = (2/л) v (0).
1.247. a) U(r)^[m^r2-^/2R ДЛЯ r^R’
I —mgR2/r для r^R,
б) (/(0) = —3/2mgT? = 3/2[/(/?).
1.248. а) Центробежную силу инерции Fag и силу Кориолиса F/<.
б) Pu6 = FK = 4Fg= 1,41 • 1023 Н; Рщ, направлена от Солнца, F/< —к Солнцу.
1.249. F = m ^экв+мз/?з), где соз—угловая скорость вращения Земли, R3— радиус Земли.
1.251. а) Ц = 7/12 = (1/3) (7/4), б) /а = 7/6 = (2/3) (7/4).
1.252. а) <и> = 0,40 м/с, б) <о> = 0,57 м/с, в) <и> = 0,23 м/с.
1.253. a) <v> = 0, б) <v> = 0,40ex (м/с), в) <v> = —0,40ех (м/с).
1.254. (o = vm/a.
1.255. a = v2m/wm, o = wm/vm.
1.256. а) асо2 > g. б) В момент отрыва шайбы платформа движется вверх от среднего положения (х > 0, х > 0). в) /i = g/2co2 + -Ц a2w2/2g = 25 см.
1.257. <sin2 х> = <cos2 х> = 1/2.
1.258. Д = 0.
1.259. a) x2/a2 + px/m2a2co2= 1, в) S = (2л/со) Е.
1.260. w = (26/3a)2 р^26/т = (1/го) р^ЙЬ/щ, где г0 — равновесное расстояние частицы от центра поля.
1.261. а) 7 = 0,248 м « м, б) 7 = 2,006 с я 2с.
1.262. а) / = 0,373 м я; г/зм, б) 7= 1,64 с я 1,5с.
1.263. х = (7/2)//3 ,,<втах = V(g/l) /3".
1.264. F.= mg cos (<ря cos й>() -f-mla>2(pn sin2 co/.
226
1.265. а) Маятник остается неподвижным, б) маятник равномерно вращается вокруг точки подвеса.
1.266. а) Т = 2Т0. б) w = 3g.___________
1.267. a) со = О)0У(g2 — 2gw cos a-]-K;2)/g2, б) co = co0 у/2 = = l,19coo. ____________
1.268. T = 2n )/^3/g = 84,4 мин.
1.269. C00 = 1/2фтах-
1.270. a) T = 0,200 c, <z = 0,0100 м, 6) x=0,0100 (1 —cos 10л/).
1.271. co--У 2pgS m = 9,9 c-x.
1.272. T = 2n}/ (9mi£J2-|-2m2/2)/3m2g (/4-2£J) = 1,50 c.
1.273. фга = arccos {1 — [m,'(Al-Цт)]2 n2/2g/} = 4,6°, Т~2лУ l/g = = 2,0 c. ____________
1.274. а) co= Уй/т= 19,4 с-1, где k = йхй2/(йхk2) (ср. с выражением для приведенной массы), б) а = 26 мм.
1.275. а) со = У2й/(2т + Al) = 16,9 с - г, б) FJm = ka-^mg = 14,8 Н, Fim-П (g + aw2) = U,2 H.
1.276. а) Центр масс системы остается неподвижным, б) со = У А/р, где р = т2) — приведенная масса шаров, в) pn;,x = сио —
= а У /гр.
1.277. а) пс = т1п0/У14-т2), б) у1Ост = £'полнт1/('П1+'И2), £колеб = £полнт2/(т1Ч-т2), где £полн = т1Оо/2—полная энергия системы, в) со = Уй/р, где р = т^т^Ктг Ц- т.г)—приведенная масса системы, а = v0 У р/А.
1.278. а) со = y2k/mR2= 10,0с-1, б) фт = Уфо + фотА?2/2£ = = 0,100 рад, а = arctg (— ф0/ф0со) =—0,93 рад.
1.279. Т = лЕ У2р//г= 1,00 с, где p = m1m2/(m1-|-m2)— приведенная масса дисков.
1.280. а) со = УА/m —ф2 = 8,0с-1, б) в случае, когда q>2 (/г/т),
колебания не возникают.
1.281. x2/900-j-y2/1600 = 1 (х и у выражены в см).
1.282. т = 20 с.
1.283. т = 3,3 с.
1.284. а) ₽ = In г]// = 0,100 с-1, б) т = //In т] = 10,0 с.
1.285. а) ₽-1,00.10-2 с-1, б) Х=1,00-10-2, в) Q=314, г) —A£/F = 2,00-IO-2.
1.286. Q = 195.
1.287. <о„ = со У1 + 1/4Q2 = 103 с-1.
1.288. s = a0 (l+e-V2)/(i—e-V2) = 4i0 м.
1.289. Q = l/2yi-(cope3/co)2 = 4.
1.290. а) сорез = 1/2Усо'2 — q2 ж 1/2со'= 10,0 с-1.
б) арез = (a/2a'q) V (со'2-Цу2— 4со2)2+16со2у2 = 5 мм (<?= In т]/т).
1.291. a) c4BblH=nofm sin ср.
1.292. сорез = У(сО1 + со2)/2 =224 с"1.
1.293. сорез = У<о1а>2= 173 с-1.
1.294. Нет, не согласуется. Скорость экваториальных точек такого тела п = 3,3-108 м/с превышает скорость- света в вакууме.
1.295. Нет, не согласуется, так как скорость на «экваторе» та
8* 227
кого шарика была бы равна 0,89-10** м/с, т. е. превышала бы скорость света в вакууме почти в 300 раз.
1.296. х' = —4,0-10® м, у' = г' = 1,00 м, /' = 1,66 с.
1.297. а) Стержень 2, б) стержень 1.
1.298. v = 0,866с.
1.299. а) Д///о = }/’1 —cos2a-o2/c2—1, б) —0,005; —0,0025 ; 0.
1.300. а) См. 1.299, п. а); б) —0,564; —0,229; 0.
1.301. l = /')/rsin2a+(l — о®/с2) cos2 a'= 0,94 м, -
1.302. V = O,5OOVo-.1.303. 5 = 0,505®.
1.305. а) Часы 1, б) часы 2.
1.306. /0 = (с2Д/'М) К1 —о2/с2; а) Z® = 400 м, б) Zo = 4OO- 10° м.
1.307. а) Zo = 13,4 м, б) Zo= 1,34-Ю7 м.
1.308. а) Xi = (Z0/o0) V 1 - и?/с2 = 5,77-10~» с, = Z0/o0 =
= 6,66-10“8 с, б) t2 = Z0/o0 = 6,66-10“® с, t'i = (Z0/o0) 1— о2/с2= = 5,77.10-® с, в) т2 = Х2 = (Z0/o0) (l+Kl —о?/с2) = 12,43.10“8 с.
1.309. As = ст = 300 м.
1.310. v = 0,995с.
1.311. Дт = /Д/2-(x2 + i/2+z2)/c2 = 0,50 с.
1.312. 1=с/12—т2.
/Z2 г
т2+-з- = 100 мкс. о= —=- -------= 0,99976с.
с К1 + (ст//)2
1.314. а) о'=0,300с, а' = 55°, б) v = с (0,620 ex4-0,138 еи Ч-+ 0,138ег), о = 0,650с, а = 17,5°, в) о/о'=2,17.
1.315. 1. о'=2о/(1+о2/с2).
2. а) 0,198с, б) 0,8с, в) 0,99995с.
1. 316. 1. v’ — vV~2—иг/с2.
2. а) 0,141с, б) 0,661с, в) 0,99980с.
1.317. ог=:0,14 с.
1.318. а) 1,005, б) 1,155, в) 22,4.
1.319. t> = cp/'Kp2+zn2c2 = 0,50c.
1.320. Е = 1/Ео+Р2с2.
1.321. Т = 0,414тс2.
1.322. о = 0,866 с.
1.323. р = (Т/с) /1 + 2тс2/Т.
1.324. р = тс V 3 _
1.325. а) т] = 2/|/ 1+Зоо/с2. б) 1,971, 1,512, 1,080, 1,0075. в) т] « « 1+3/,(1-о^с2).
1.326. о=0,995 с.
228
1.327. Т' = Ео { 1 /И 1 - [ 1 - (Ео/Е)2J (1 - vo/ca)-l} =0,65- 10~4Дж (E0 = mc2, Е = Е0+7). _______
1.328. 1. M = 2m/Vl — v*/c2.
2. a) 2,01m, б) 2,31m, в) 44,7m.
1.329. t> = 0,6c.
1.330. a) 1,29=1,440=1,600*, 6) 0,00504 = 0,05040 = 0,5040*. в) 0,0000500 = 0,005000 = O.5OO02. При P —► 1 TjEa—при p->0 T/E0->i/2p2. ___________
1.331. Л = £0(1/К1—у2/с2—1); а) A = O,155Eo = 1,3-10~14 Дж (0,08 МэВ), 6) A=21E(> = 1,8-Ю”12 Дж (11 МэВ).
1.332. p = (l/c) VA. (A2E0) = 0,67-10~13 кг-м/с,
v = c / (A2 + 2АЕ0)/И 4-Eo)2 = 0,80 c.
1.333. p = F/, v = cFZ//m2c2+E2/2.
1.334. До = eV 1 —1/a2 —tf! = 0,77c, '" '“H
Др = me (l^cc2 — 1 — Pi/j^ 1 — Pi) — 4,5-10~22 кг-м/с, УГ—А—\ = 8,24-IO-14 Дж (a= 1/И 1 —Pi + A/^c2, Pr^ Uj/c).
1.335. p= 10~18 (10,5 ex + 2,30 e„ + 2,30 e2) (кг-м/с), E = 3,4- IO-9 Дж.
L336. а) £' = 1,15Ео=1,74-1О”10 Дж, u' = 0,50c, 6) p = = (4,24 ex+1,548 e„+2,322 e2)-10-19 кг-м/с, E=l,42E0 =
= 2,14-IO”10 Дж, o = 0,71c.
1.337. E' = 2E2/E0— E0 = 53-102 ГэВ. Столкновение двух встречных пучков протонов, ускоренных до энергии 50 ГэВ, эквивалентно бомбардировке мишени из неподвижных протонов пучком протонов, ускоренных до энергии 5300 ГэВ. В этом состоит преимущество ускорителей частиц, основанных на принципе встречных пучков.
1.338. h = Hl2. _________
1.339. а) T=(R/r)2/2h/g = 3,2-103 с = 53 мин,
б) t>=(r/R)4g(t—/). _________________ _________________
1.340. т = (Л?/г)2 IR / (лр/2Е)[1-(г//?)4] « (7?/г)2 IR / лр/2Е = = 7,9 с. __________
1.341. у=У2gh= 1,72 м/с.
1.342. 1>=У2Др/р = 3,00 м/с.
1.343. a) Re — р<9/лг|/?—764 < 1000—течение ламинарное, б) dpldl — 8r|Q/л/?4 = 3,1 Па/м (р—плотность воды).
1.344. a) Re = p2gAr3/8r]2/ « 600 < 1000 — течение ламинарное, б) x = 4r]/R2/pgr4= 1,6-104 с = 4,5 ч (р — плотность воды).
1.345. а) г = 3 У т] (и — v)/2g (р — pq)= 1,59-10“* мм, б) Re = — р (и — v) г/г] = 0,19 < 0,25 — обтекание имеет ламинарный характер.
1.346. a) Re = 2gp0(p— р0) г3/9т]2 = 0,19 < 0,25—да, можно.
б) « = -^--^-(1 —е”а<)> где « = 9п/2рга, b = g(p — р0)/р, в) та; a; (ha2-\~l>)lab = 9,1 с, г) t = 1п 100/а = 0,029 с.
Часть 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Приблизительно 6-Ю24 молекул.
2.2. а) 1,67-10“*’ кг, б) 5,31-10“?» кг, в) 3,96-Ю1-25 кг.
2.3. М = 5,49-10“’ кг.
2.4. 1 а. е. м. = 1,66-10”?’ кг.
229
2.5. </=3,6.10-1® м=3,6 А.
2.6. а) п = 2,69-1026 м-3, б) <а> = 33-Ю"10 м х 10d.
2.7. п — рМд/М.
2.8. пВе= 1,2.1029 м-3, пк=1,3-1023 м"3.
2.9. v = nncosO, б) р = inrnifl cos2 О. '
2.10. При медленном расширении.
2.11. При быстром сжатии.
2.12. а) Л = 0,60 кДж, А'=~0,60 кДж, б) Л =—0,90 кДж, Л'= 0,90 кДж.
2.13. Л = 45.104 Дж.
2.14. Q = —1,6 кДж.
2.15. Q=2,l кДж.
2.16. Q123 — Q 14з “ 2,0 кДж.
2.17. С? =—94 Дж.
2.18. Увеличивается в 1,16 раза.
2.19. Увеличивается в 3,00 раза.
2.20. 7'2 = 7'1exp{[Q-p1(V2-V1)-/iln(V2/V1)]/a} = 3,8.102 К.
2.21. п = р/’И' = 2,69.1028 м-3 = 2,69.1019 см-3. Сравните с ответом к задаче 2.6.
2.22. а) 1,29 кг/м3, б) 1,29 г/л.
2.23. a) pNa = 0,791 • 105-Па, pOi = 0,212-105 Па, рДг=0,009-1№ Па. б) /И,. = 28,9.
2.24. п— In (p0/p)/ln (1 + v/V).
2.25. р (/)=роехр (—Ct/V).
2.26. т= 127 с.
2.27. См. рис. 2.
2.28. Т2 > 7\.
2.29. 1 и 2 —растет, 3 —постоянна, 4 и
2.30. См. рис. 3.
Рис. 3
5—убывает.
230
2.31. Для всех трех процессов Д/7 = [/?/(у—1)] Д7’.
2.32. а) С =оо, б) С = 0.
2.33. X = 3p2V2(7’i/7’2—l) = —3,8 кДж.
2.34. а) и б) Q=—1,00-Ю5 Дж.
2.35. В 2,51 раза.
2.36. а) /2 = 413°С, б) t2 = 254 °C.
2.37. Л—01 [МЧ ln(p2V?/p1V'i) + piV'1—p2V2]=0,20 кДж.
2.38. bU=0.
2.39. Д U = 0,25 МДж.
2.40. v = r2KYPo/2mVo = 37 Гц.
2.41. а) ДС/ = [1/(у— 1)]р(У2—Г1) = 1,5 кДж, б) A = p(V2—Vi)= = 1,0 кДж, в) Q = [у/(т— 1)] Р (V2—Vi) = 2,5 кДж.
2.42. а) ДД = 0, б) Д = 66 кДж, в) Q=66 кДж.
2.43. а) 7=1,33, б) ДС/ = 2.5 кДж, в) Д = 0,83 кДж.
2.44. а) ДС' = 0, б) Д = 2,41 кДж, в) Q =2,41 кДж.
2.45. Газ отдает теплоту внешним телам (Qi2 < 0).
2.46. Qf>Qrr.
2.47. а) Аг > 0, Д7/ < 0, б) 07 > Qz/.
2.48. а) Д0’ =—0,13 МДж, б) Нет, потому что не указан харак-
тер процесса расширения.
2.49. а) А =109 кДж, б) Q = 109 кДж.
2.50. А= 14,8 кДж.
2.51. a) T2 = T1(p2/pi)<V-i).'V= 1,85.10’ К,
б) A = \mRT1/M (у—1)] [1 — (p2/pi)<v-1,/vJ = —1>56 МДж, в) в 16 раз.
2.52. п = 0.
2.53. п = — 9.
2.54. а) Нет, не является, б) Д = 0,23 кДж.
2.55. Да, является.
2.56. а) п = — 1, б) C = Cv+R/2
2.57. Д12 = гТ? (?!-?,)/(«— 1).
2.58. а) При расширении газ
2.59. C=R (п—у)/(у— 1>(п — 1).
2.60. а) п < 1 и п > 7, б) 1 < < п < 7, в) п = у, г) ,1=1.
2.61. а) п=2,3. б)С=1,7/? = = 14 ДжДмоль- К).
2.62. а) С= 12,5/?, б) С = = 102,57?, в) С= 1002,5/?, г) С = =—7,5/?.
2.63. См. рис. 4.
2.64. а) При п < 1, б) при п > 1, в) при п= 1.
2.65. а) Нет, не является.
б) Q = 25 кДж.
2.66. v = 2,95-1027 с-1-м~2.
2.67. v = 3,4- 1026 с"1.
2.68. а) Три поступательные, б) три поступательные и две вращательные, в) три поступательные и '
: 1/г (С/Д-Ср);
охлаждается, б) С = Су—/?.
вращательные, г) три посту-
пательные, две вращательные и одна колебательная, д) три поступательные, три вращательные и три колебательные.
2.69. a) Cv=^I2R, Cp = ^2R, у=1,67, б) Cr = 3/2/?, C^ = 7/2Z?, 7=1,40, в) Cr=’/2/?, Cp = s/2R, y=1,29, г) Cr=3/?, Cp=4R, 7=1,33.
2.70. Из четырех.
231
2.71. 0/м = 75 кДж/моль.
2.72. 1 = 16 °C.
2.73. п = 5,0-1022 м”3.
ь
2.74. Р (a<x<b)=^ f(x)dx.
а.
а2
2.75. Р (а! < х < а2; bi < у < b2) = (х) /2 (у) dx dy.
at bt
2.76. Д = 1/2а, <x> = 0, <х2> = а2/3, <|х|> = а/2 (а), А = 1/2«, <х> —а, <х2> = 4а2/3 (б), А = 1/а, <х> = 0, <х2> = а2/6 (в), Д = 1/а, <х> = а, <х2> = 7а2/6 (г).
2.77. Р к А ехр (—64а).4л-64-0,0002.
2.78. а) / (х)= 1/(л/а2 —*2), б) <х> = 0, в) <| х |> = 2а/л = 0,637а, г) <х2> = а2/2, д) <i/> = 1/4ma2<o2 = 1/2£' (Д—полная энергия осциллятора).
2.79. Т = 454 К.
2.80. Т = 288 К. _
2.81. dNu = N (4/К it) е-“-и2 du.
2.82. Q =3/2Я (1,012 — 1)7-73 Дж.
2.83. рвер = 390 м/с, <о> = 440 м/с, vcp. нв = 478 м/с.
2.84. а) ^Ул = 0, б) 2v = 0> в) Sу2== 1.61- 1029 м2/с2, г) 2 0 = 2,87-!026 м/с.
2.85. <| |> = У2kT/лиг.
2.86. 2 =-М <t)> = 13,2 кг-м/с.
2.87. ]/<S2>=K8RT/M12 =2,3.1012 рад/с.
2.88. 1,66%.
оо
2.89. п = —fe-“2u2du.
Кл J
2.90. <г?>=1,00 км/с.
2.91. 1. овер = 500 м/с.
2. а) 3,32-10-*, б) 1,76-10-*, в) 2,14-10-*, г) 0,66-10-*.
2.92. Заштрихованная площадь численно равна количеству молекул, заключенных в цилиндрическом столбе воздуха с площадью основания 1 м2 и высотой hj.
2.93. dNr--n1 exp {— [е„ (r) — e„ (r^/kT} 4лг2 dr.
2.94. Л'л = 6-1023 моль-1.
2.95. а) р = 0,56ро, б) р = О,31ро, в) р=1,26р0.
2.96. Г| = т|оехр 1(A1Ni —Л102) gh/RTj =0,226.
2.97. а) р = 0,97-105 Па = О,97ро,
б) N = (VNAPv/Mgh) [1 —exp (— Mgh/RT)] = 4,9-102*.
2.98. 1. а) А = 5,5 км, б) h = 8,0 км.
2. а) 0,17%, б) 0,25%.
2.99. р = р0 ехр (Л1<о212/2/?Г) = 1,О2ро= 1,02-105 Па.
9 100 Р - V E1 ехр (—Et/kb + E2 СХР (—Ej/kT)
z.wu. exp(_E1/kT) + exp{_Ei,kT) •
2.101. а) 25 = 32 способами. б) й(0,5) = 1, Р (0, 5) = 1/32, в) Q(l, 4)=5, Р (1, 4) =5/32, г) й(2, 3) = 10, Р (2, 3) = 5/16.
2.102. Я остается постоянным.
2.103. Д512= 0,96-10-23 Дж/К.
232
Изотерма
-2.104. й2 = й1'1.
2.105. а) и б) S = 3,18-1O-S Дж/К; AS/S ~ Ю"20.
2.106. а) 4,7875 и 4,7709 (—0,35 %), б) 15,1044 и 15,0961 (—0,05 %).
2.107. а) —36%, б) —14 %, в) —6 %, г) —3,5 %, д) —0,9 %.
2.108. I и 3-10"8 м.
2.109. а) Й=104’11О“, б) Q=1O8-2'1024.
2.110. В 103’121°!* раз.
2.111. Если процесс обратим, энтропия остается постоянной, если процесс необратим— возрастает.
2.112. Может, если процесс необратим.
2.113. Нет, не может.
2.114. S2 > Sj.
2.115. См. рис. 5.
2.116. См. рис. 6.
2.117. 1, 2 н 3—растет, 4 — постоянна, 5—убывает. “ "S
2.118. См. рис. 7. р 5
2.119. 1. В обоих случаях AS = 0.
2. Нет, не может.
2.120. Состояния 1 и 3 лежат на одной адиабате.
е
2.121. AS23 = — 1,00-10-2 Дж/К.
2.122. Q = Z> (Т2—Т2)/2 = 30 кДж.
2.123. Q = (/?/2)(T3— 7’1)[5 — а (ТаTj)]ж= 1,8 кДж.
2.124. А = 47 кДж.
2.125. S2= 13,73 Дж/К.
233
2.126. S2 = 210,6 Дж/(моль.К).
2.127. а) Д8М = 8,6 Дж/(моль-К), б) Д8М=14,4 Дж/(моль-К).
2.128. Энтропия получает приращение Д5 = 2,00 Дж/К.
2.129. Энтропия тела получает приращение Д8 = 0,25 Дж/К-
2.130. A — T(St— St).
2.131. Д8 = т[с1п(Т2/Т1) + <7пл/Т2] = 261 Дж/К (?пл—удельная теплота плавления).
2.132. AS — m[c\n(T2!T1) — qn/Tl] = —7,0 Дж/К (</„ —удельная теплота парообразования).
2.133. С = аТ.
2.134. 8 = С/3.
2.135. SM = [(y+ 1)/(у— 1)] R In VbI + const.
2.136. А = [(у— 1) (1 +(/,/(/1)-27?] (Д2-Д1)/27? = 9,4 кДж.
2.137. а) ДЗ = 0,24 Дж'К, б) АД =0,00 Дж.
2.138. а) ДПм = 0, б) Д851 = 7?!п2.
2.139. Дно и крышка сосуда / испытывают одинаковое обусловленное молекулами 1 давление рр, дно и крышка сосуда 2 испытывают одинаковое обусловленное молекулами 2 давление р2. Поэтому работа при выдвижении сосудов равна нулю. Теплоты система не получает. Следовательно, внутренняя энергия, а значит, и температура системы не изменяются. При обратимом адиабатическом процессе-энтропия также не изменяется. Из неизменности U, Т и 8 следует неизменность F. Из неизменности U, 8 и F и их аддитивности вытекает высказанное в условии задачи утверждение.
2.140. Д8 = R {vj In [(vj + т2)Д1] + v2 In [(vj + v2)/v2]}.
2.142. a) SM=199 Дж/(моль-К), 6) SM= [199 + 29,1 In (T/To)] Дж/(моль-К), где Тв = 298 К-
2.143. Д8 = —6,1 кДж/K-
2.144. Д8 = —А'/Т = 3,0 Дж/К, AF = A' = —900 Дж.
2.145. A = Q—AF —(T2S2 —ТА).
2.146. AFM = (3/27?— 8f.) AT = 75 Дж/моль.
2.147. AF = 7 (Sx —S2).
2.148. 1. a) 1— 2 и 3—4 — постоянна, 2 — 3— убывает, 4—1— растет, б) 1 — 2 и 4 — 1—растет, 2 — 3 и 3 — 4 —убывает.
2. а) 1 — 2: А > 0, 3 — 4: А < 0, 2 — 3 и 4 — 1: А = 0, б) 1 — 2 и 4 — 1: Q > 0, 2—3 и 3 — 4: Q < 0.
2.149. 1. а) 1 — 2 и 4 — 1 — растет, 2—3 и 3 — 4 — убывает, б) 2 — 3 и 4—1 — постоянна, 1 — 2—растет, 3 — 4 — убывает.
2. а) 1 — 2 и 2 — 3: А > 0, 3 — 4 и 4 — 1: А < 0, б) 1 — 2: Q > 0, 4—3: Q <0, 2—3 и 4—1: Q=0.
Рис. 8
2.150. См. рис. 8
2.151. См. рис. 9.
2.152. См. рис. 10.
2.153. См. рис. 11.
234
2.154. Л = 113 кДж.
2.155. Площади / и // одинаковы.
2.156. Л41 = — ACV/R In (Vi/Vj) = — 26 кДж.
2 157 п=______11 — 1 2____ i i — ‘ 2
’ ’ 1 Л + ^х-^Дт-!) Л •
2 154 ___Ti — Ti_____<_______T^Tj_______
Л Л + т(Л-7г)/(Т-1) < 71 + (71_72)/(v-l) (CM'3 дачу 2.157).
2.159. a) x]=2)5, 6) t] = 1 /5, в) r]=l/6.
2.160. На рис. 12 изображены рассматриваемый цикл (замкнутая кривая) и соответствующий цикл Карно (прямоугольник). Заметим,
что к.п.д. цикла Карно зависит лишь от Тг и Т2 и, следовательно, не зависит от «размера» цикла по оси S. Поэтому мы взяли цикл Карно, имеющий такую же протяженность по оси S, как и рассматриваемый цикл.
Из рисунка видно, что для любого цикла площадь аАВСЬ (т. е. количество теплоты <?!, полученное за цикл) меньше, чем площадь, а12& (т. е. Qt в случае цикла Карно). Площадь же aADCb (т. е. количество теплоты Qi, отданное за цикл) больше, чем площадь а43Ь (т. е. Q2 в
случае цикла Карно). Таким
образом, .отношение Q2/Qi для любого цикла больше, чем для цикла Карно. Отсюда следует, что т] < Лкарно-
2.161. г] = 1 - (Т3 + 74)/(7х + Г2).
2.162. а) р= 1,36-Ю6 Па = 0,95 рил, б) р= 1,0-10’Па = 0,70рид.
2.163. а) р = 2,6-10® Па = 0,90рид, б) р = 8-107 Па = 2,7/тид.
2.164. а= 0,150 Па-м6/моль2, 5 = 3,3-10-5 м3/моль.
2.165. АТ=а(у— 1) (1/К2—1/К!)/Я=—5,8 К.
2.166. Q=a'(i/V1—1/К2) = 38 Дж (а' — постоянная Ван-дер-Ваальса).
2.167. A = RTln[(V2-ЭД+а(1/К2-1/К1).
2.168. а) Д(7м = а (1/Кх —1/Кг)= 122 Дж, б) Л = 3,23 кДж = == 0,98Лид, в) Q = 3,35 кДж.
235
2.169. Т (V—b)R^v— const, (pya/V2) (V—6)R^Cy+1 = const (а и b—постоянные Ван-дер-Ваальса).
2.170. a) Cp — Cy—R![l — 2a(V— bf/RTy3] я R(l-f-2a/R7y),
б) Ср—Cy—\,2\R.
2.171. Ср—Су = 1,66R. .
2.172.
2a \
V'l /'
R7\b
Vi-b
2.173. Газ будет нагреваться.
2.174. а) \Т = 4-0,21 К, б) ДГ = 0, в) ДГ = — 0,20 К.
2.175. а) АГ = — 2,7 К, б) АГ = -1,6 К.
2.176. S = Cv In Т 4- R In (И—Ь) 4* const.
2.177. а) ДЛ7М = О, б) А7’ = — a/VCv, в) 4М0Л = — a/V, г) ASM и и Сг1п(1 — о/УГСу) 4-/?1п 2(14-6/1/) и R (In 2-Н/Г) — a/VT.
2.178. Рассмотрим обратимый изометрический цикл 1— 3—4—5— 2 — 4 — 1 (рис. 13). Из условий ДЗ = Д7/=0 н 7’ = const следует, что Q=0 и Д = 0 (Q — количество теплоты, полученное за цикл, А — совершенная за цикл работа). На участке 1— 3—4 — 5—2 работа поло-житёльна, на участке 2—4 — 1 работа отрицательна. Суммарная работа равна нулю. Поэтому площади фигур 6 — 1 — 3—4 — 5—2—7—6 и 6 — 1 — 4—2 — 7—6 должны быть одинаковыми. Отсюда следует, что площади 1 и // равны.
Заметим, что проведенные рассуждения не применимы для циклов 1 — 3—4 — 1 и 4—5—2—4. Эти циклы необратимы, так как включают совершаемый в точке 4 необратимый переход из состояния, принадлежащего изотерме Ван-дер-Ваальса 1 — 3—4—5—2, в состояние, принадлежащее прямолинейному участку 1—4—2 реальной изотермы.
2.179. а) и б): да, может.
2.180. Км = 42 см3, р = 4,1 г/см3.
2.181. а) с = 0,39 Дж/(г-К), б) с=0,92 Дж/(г-К).
2.182. Возросло в: а) 2,15,. б) 4,64, в) 10 раз.
2.183. r2 = 2ar1/(2a4-pgftr1j=6,18 мм.
2.184. fc = 4a/p£(d1—<у = 3,0 см.
236
2.185. О = 2аУ/а2 = 2,4 кН.
2.186. 0 = 2аУ/Л2 = 0,55 кН.
2.187. а) Л = 3,0 см, б) F = 2a2//pga2 = 0,43 Н.
2.188. xy — 2a/pgq>.
2.189. /i = 2а/pgr =1,0 см.
2.190. h = (l/pg) [p(n3— l) + (2a/r)r]X Х(г)2 — 1)] =7 м.
2.191. У веществ, у которых давление в тройной точке превышает атмосферное давление.
2.192. рнп=Сехр(—qM/RT), где С — константа.
2.193. а) /.12 = Рн. v,m (^2—^i)>6)Qi2 = mq12, в) U2 — Ut = mq12 — p„,nm(V'2—К), г) S2 — S^mq^/T, д) F 2 — Fi = — ри,„тх x04-K).
2.194. Весь горизонтальный участок в двухфазной области.
изотермы, проходящий
2.195. Точка на кривой плавления.
2.196. а) См. рис. 14. б) Области под колоколообразной кривой
соответствует кривая испарения.
2.197. Г = 7'14 (7’2^7’1)J^p^l-=147 + 891nr(r-B см).
2.198. а)х= / Га~Г1 = 4,0 Bt/(m-K), б) 7'=(7'1-7'2)Х
чл (/ 1 — 1 2) Гif2
Г1Г2
Г (Г 2— Н)
^££>22111.=£2 + 200.
г2—Г1 г
2.199. т= IC In r]/2xS = 1,16-104 сиЗч.
2.200. а) Х = 0,76-10-’ м»20<а>, б) т= 1,71-Ю"10-с.
2.201. v = 8,4-1034 м-з.с-1.
2.202. О = 2,6-Ю“4 м2/с, т] = 4,6-10~6 Па с.
2.203. к 1,3-10-’ м к 38 <а>.
2.204. О12 = 0,70-10-4 м2/с.
2.205. а) и б) q/S х 0,5 Вт/м2, в) q/S и 0,03 Вт/м2, г) q/S и 0,003 Вт/м2.
2.206. т « 40 ч.
2.207. а = лг]й)Л4/2ах = 0,48 рад.
2.208. г] = 2$tna/nR2.
2.209. v = 2,4.1017 м-2-с~4.
2.210. т = (4У/5) In т) VtiM/8RT.
' 2.211. р2 = 0,129 Па.
Часть 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
, 3.1. б~ 10-11.
3.2. q' = q — заряд релятивистски инвариантен.
3.3. <? = — 9,65-Ю4 Кл/моль = —F, где F—постоянная Фарадея.
3.4. 9 = 3,9.10» Кл.
" 3.5. Ое/Ог = 4,2-Ю42.
3.6. щ = 2,5.10s м/с2.
3.7. /Пр = 1,86-10~# кг « 1018/пр; где т0 — истинная масса протона.
3.8. 9с = 1,70-102° Кл,- <73 = 5,13.101* Кл.
237
3.9. q'm — 0,8&- 10-x° Кл/кг = 4,9.10~22е/те.
3.10.
з
3.11.
dV dV.
3.12.
3.13.
У V'
а) ф = (1/4ле0) (6<7/а), Е = 0, б) ф=0, Е = 0.
_ 1 V qi
Ф~ 4яе° 1Г-Г'1 ’
N
Е
4ле,
4i
° ;
.14.
f- 1 С P (r) dV __ 1 Г* p (r) (r' - r) dV
v ' 4ne0 J |r' — r| ’ 4ne0 J |r'~ r |3 V V
cp = 7?ff/'e0, E = 0.
Ф- (l/4ne0) (3r/, 2;?) 6,8-105 B, E = 0.
<j> = Ro'2e0, E = <7/4e0.
a) ф=0, E=— (kR/3e0) ez, 6) Эф/5х--Эф/Эу=0, dip/dz=kR/3e.a.
Систему равноотстоящих параллельных друг другу плоско-
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
стей.
3.20.
3.21. а) Да, является, б) ф =—Etx—£2t/ —£3? +const.
3.22. а) Нет, не является, б) ф(г) = а/2г2.
3.23. а) Поле является центрально-симметричным, б) £ = = 21 ф' | К x2 + y24-z’2.
3.24. а) Поле является осесимметричным.
б) £=К(Ар/<9г)2-|-(1/г2) (Лр,Ж)2.
3.25. а) Е —2 (axex-[-aye,J-\-bze.z), £ = 2 К а2 (х2 + у'1) + b2z2-
б) Эллипсоид вращения с полуосями: У<р/а, Уq/a, Уq/b.
в) Эллипсоид вращения с полуосями: £/2а, £/2а, £/2&.
3.26. а) Е = —2 (ахехЧ аг/Су — &zez), £ = 2 У а2 (х2 Д- у2) Д- &2z2 •
б) При ф > 0 — однополостный гиперболоид вращения, при ф = 0— прямой круговой конус, прн ф < 0-—двуполостный гиперболоид вращения.
в) Эллипсоид вращения.
3.27. £ =-------......- .
2ле0г у а2 г2
3.28. ф = -Д-Y 4ле0
кого заряда: ф = ——-
4 Л
3.29. £ = Х/2ле0г,
3.30. а) ф= 1
q> = — £x +const.
1п£Х^, £ = г — а
<7
4ле0 ]ЛГ2^_Х2
1 2аХ „
------п---=. При г > а — поле точеч-4ле0 г2 — а2
1 q , „ ч
-----\ (q—полный заряд стержня).
4 Л cq Г
F- 1 ЗХ с ’ 4лев (га_]_х2)3/а
238
5)Длях=0: ф = 1±_±,Е = О; для |х| > q, «
с 1 q х .
Е я -j---—г ех (как для точечного заряда).
4ле0 х2 | х | г ’
в) £'л='4л87з7Г/1 = 1,92,104 В/м’ х'л=± '•//’2=± 42,4ми.
г) Точки хт являются точками перегиба.
3-31. а) ф = _^_(/724^2_/^2), х
' т 2е0№ ' х 2еолт2
(X X \
—------- - ) ; при | х | > г — поле точечного заряда: ф=
Ух2 У г2 + х2 )
= £л=4лё7 х2 |х|' б) ф=±75 кВ’ £х = 0>53 МВ/м.
3-32, ф = ад^^2 + "2-^ + ^>
Е _ / 1___________________________!_
х 2е0л(62 — а2) \>|/'а2_|_ж2 у~Ь2^х2
При |х| > Ь — поле точечного заряда.
3.33.
3.34.
3.35.
х-\-а х—а
У г2+ (х+а)2 У (х— а)2 -Г
х—а
У г2 + (х— а)2
б) £*(0)=—А---------~ . Л «Л— A--Y
ео \ Уr2-\-a2 J «о \ г J
в) Ех (а-0) =— fl------а -Л я — А —i Y
7 ео \ r2+4a2) «о \ г J
г) £х(а+0) = -— г я---
7 7 «о Уг2+4«2 ео г
. „ 12 (2aq) „
д) Ех = — -г------3 , где q = nr2a (как для диполя с момен-
t’JToq X
том p = 2aq).
3.36. ф= (1/4ле0) р cos O'/т2, £,= (1/4ле0) (р/г^ У l+3cos2'&-
3.37. Момент р не зависит от выбора точки, относительно которой он берется.
3.38. Л = 2р£.
3.36. а) и б) р = 0.
3.40. F = (1/4ле0) 6р2//4 = 2,1.10"»’ Н.
3.41. a) p = 2aqex, б) р = —2aqex, в) р = 0, г) р = —2aqey.
3.42. а), б), в), г) р = 2арех.
3.43. 1. Квадруполем
2. р = 0. 3. а) ф = (1/4ле0) 3</«2/г3, б) ф = 0, в) ф — — (1 /4ле0) Зфа2/т®.
4-, ф = (За/2т) ф'. _
3.44. 1, p = 2aq(exy 34-еД p = 4a9<=4,0.10~s * Кл-м.
239
2. q> = (l/4ne0) 2qa (xt У 3+У1)/(х?+У1)3/2 = 1™ В.
3- <ртах = (1/4лео)р/г2 = 36О В, <рт!п = О-
3.45. а) р = 2Ха2ех, б) р = 0, в) р = —2Ха2ех.
3.46. а), б), в) р = (2to3/3) ех.
3.47. 1. р = 0. 2. а) ф = (1/4ле0)<7^2/2 | х|3, Е==(1/4ле0)
X (х/| х |) ех; б) квадруполем.
3.48. р = (4л/3)£Я4е2.
3.49. ф = W?4 cos $/Зеог2, где •& — угол между осью г и направлением на точку, в которой определяется потенциал.
3.50. а) р = 0, б) ф==—(1/4ле0) 2еа2/г3 =—29 мкВ, Е~ = (1/4ле0) 6еа2/г4=8,6 кВ/м, в) квадруполем, г) ф=2 (а/r)2 ф'==2.10-4ф', Е = 6 (а/r)2 Е’ =6-10"4£'.
3.51. а) <р>=0, б) <ф> = —(1/4лв0)еа2/4г3 = —3,6 мкВ, <£> = = (1/4лв0) Зеа2/4г4= 1,1 кВ/м.
3.52. a) v [/ (х) ех] = df/dx, б) Vr=3, в) уег~2/г, г) V [/ (г) ег]= x=2/(r)/r + d/(r)/dr.
3.53. a) va = 0, б) Фа = 0.
3.55. Фг = 4л/?3.
3.56. Интеграл равен 3V.
R
3.57. Фя=$ f (r)-4nr2dr. о
3.58. Фх —— Ф2.
3.59. а) Еп — к/2лъ0Е (чем примечателен этот результат?), б) Ф/?=2Х/?/Е(>.
3.60. р — Eq (1Н-4(/ + 9г2).
3.61. р = е0Л (2/г—а) ехр (— аг).
3.62. 1. Заряд, распределенный по пространству с одинаковой всюду плотностью p = 3aE0.
2. Ф£=3а/.
3.63. а)—г) [va] = 0. >.
3.65. Нет, не может—это поле не потенциально. ’
3.66. a) (vE] = 2ae2, б) С~2апЬ2.
3.67. а) £х=2^-|у[-• б) Ф =------2^- | x|+const. в) Нет, нельзя.
3.68. Да, может, если модуль плотностей зарядов пластин различен.
3.69. Ед = 25ех (В/м), Ед = 75ех (В/м), Ес = —25ех (В/м).
3.70. а) ох > а2, б) ф4— фз = — 200В.
3.71. £ = Х/2леог.
3.72. а) £==(1/2ле0) Х/r, ф = —(Х/2лв0) 1п (г/г0), б) Е~3,6 кВ/м, Ф = — 83кВ, в) нет, нельзя.
3.73. Гг = е(//г1п(6/а)«4,9-10-13Н, FH = p(J/r21п (Ь/a) =
= 1,9-10-22 Н.
3.74. Г = Х2/2лёо& = 8,1 Н/м. Д = (Х2/2ле0) In (5/а) = 0,11 Дж/м.
3.75. а) Е = 0. б) Потенциал во всех точках внутри сферы, включая н центр сферы, одинаков, в) ф — Ra/e0 (см. ответ к задаче 3.15).
3.76. F = 0 (ср. с ответом к задаче 1.227).
3.77. Е = рг/Зе0, ф = (р/2е») (7?2—№/3).
3.78. Поле внутри полости однородно и имеет напряженность Е = (р/3ео)а.
3.79. Электрон будет совершать гармонические колебания около положения равновесия, совпадающего с центром шара. Частота колебаний <о= У e3J4nsatneR3.
240
3.80. R = р/ (еХ/2яс)а/4явоте=0,31 нм.
3.81. а) ф0 = (1/4ле0) 4<y/3R = 120В,
б) <р = (1/4я80) (<j-/3R) [4 —(r/R)3] = 120-3-10* г (r-в метрах, <р — в вольтах), в) £ (R/2) = (1/4яе0) <у/4/?а=225 В/м.
3.82. Е = (ро/2е0) г/г.
3.83. Е = (рог/3воаг3) [1—ехр (—аг3)]. При больших г: Ея и (р0г/Зв0аг3), т. е. пропорциональна 1/г2 (как для точечного заряда), при малых г: Ея рог/3ео (ср. с ответом к задаче 3.77).
3.84. р = р0/У1 — и2/са= 1,15 мкКл/м3.
3.85. На гранях, перпендикулярных к скорости, а= 1,00мкКл/ма, на остальных гранях о = 1,15 мкКл/м2.
3.86. к — 1 — (о/с)2 cos2 а = 1,11 мкКл/м.
3.87. P = (l —l/e)D.
3.88. a) Е уменьшается в 8 раз, б) D остается неизменным, в) U уменьшается в 8 раз.
3.89. а) Е — £0/8 = 50 В/м, D = 80£'() = О,88нКл/м2, б) Р =
— е0Е0 (с—1)/е = 0,44 нКл/м2, в) о' = ± Р = ± 0,44 нКл/м2.
3.90. <р'> = (Р1-Р2)/а.
3.91. a) vE = —£<Л/(61 + ^х)2, где ft=(e2— 8i)/a, б) Фй = = S£0[2/(8i + e2) — 1], в) р' = —80£0/г/(81 + йх)2.
3.92. р' = — (480£o/a) (е2—e1)/(8i + e2)2 = — 0,59 мкКл/ма.
3.93. е (x) = aeI8o£'() In (1 -'-ax)+ae()£llj.
3.94. £2 = (i'l/e.,))/" e2 sin2 at + e2 cos2 ai = 5,2 В/м, a2 =
= aratg [(e-z/et) tg ai] = 74°, o' =e0 (e2—1) (8i/e2) £i cos a1 = 64 пКл/ма.
3.95. Нулю.
3.96. На выделяемой поверхностью S части пластины: а) суммарный сторонний заряд равен нулю, б) суммарный связанный заряд больше нуля.
3.97. При |х|г£а: <р = — рх2/2ее0, £x=px/ee0, при | х | > а:<р = == — (pa/e0) I х| + (ра2/е0) (1 — 1/2е), £х=(ра/е0) (х/| х|).
3.98. а) Р = (1 — l/g) рхех, б) на обеих поверхностях а'=(1 — 1 /е) pa, в) р' = —(1 — 1/8) р.
3.99. а) Ех=(х!\х\) (po/aeeo) [1—ехр (—а | х [)], б) р =—(1 — 1/е) рох Хехр (—а|х|).
3.100. р'=0.
3.101. атах=(б— 1) е0£ = 3,5 нКл/м2, a' = aJnax/2 = 1,75 нКл/ма-
3.102. ш = 2КзРг£//26.
3.103. £ = (1/4ле„) <?а/(2а)а = 0,36 мН.
3.104. <г= —<7а/2я(а2 + ха)3/а, <7инд = —<7-
3.105. В пятом знаке.
3.106. а) £1 = £а = £, П1 = О, D2 = eD, б) £1 = £г = 2£/(1+е),-О1 = 27>/(14-в), 7>2 = 2еО/(14-е). Густота линий Е во всем зазоре одинакова, линии D в части зазора 2 в в раз гуще, чем в части зазора /.
3.107. а) £1 = 2в£/(1+е), £а = 2£/(1+е), £1 = П2 = 2в£/(1-|-в), б) £i = £, Е^ — Ё/ъ, = = Густота линий D во всем зазоре
одинакова, линии £ в части зазора 2 в в раз реже, чем в части зазора 1.
3.108. С = BQBiBgS/^icia B2di)—4,1 нФ.
:.М88-~~.в*).£=б,1 нФ. 1п(82/е1}4 .
2яев0/
in (г2М1) *
3.109. С
3.110. С
241
3.111. Си 1,6 пФ.
3.112. С = 4лее0г1г2/(г2—и).
3.113. С = 4леое1г1/1п (г2/гх) = 100 пФ.'
N N
3.114. а) С=2С4, б)С=1/2«1.
А=1 А=1
3.115. С=10пФ.
3.116. Соединенные параллельно конденсаторы емкостью Сх и С2 соединить последовательно с конденсатором емкостью С3.
3.117. Пх = 200В, £72 = 100В, 9 = 20 нКл. С = 67пФ.
3.118. 91 — 92 —+С2С3+С3Сх)=55мкКл.
3.119. 91 = £С! (Сх - С2)/2 (Cj + С2) = — 24 мкКл, q2 =
= (§С2 (Сх —С2)/2 (Сх+С2)=— ЗбмкКл, 93=(£> (С2 — Сх)/2=+ бОмкКл.
3.120. С»лее0/1п (6/а) = 5,2 пФ/м.
3.121. C«2neFoa = C72 = 0,56 пФ (С — емкость шара радиуса а),
3.122. 117 = 2,3-10~2'- Дж.
3.123. а) <Г> = — (1/4ле0) (е2/г0) = — 4,4.10~18 Дж = — 27 эВ, б) Г = <Г>^ = — 2,6-106 *Дж = — 1,6-1025 эВ. _
3.124. а) Г=(1/4ле0) №а)(У 2+4), б) й7=(1/4ле0) (92+)(/ 2—4), в) Г = -(1/4ле0)(92/а)/ 2.
(« =# *)
3.126. П7 = -д-!— Cp(r')dV С -У, -.
8ле0 J r J |г—г' | v v
3.127. W = (1/4ле0) 92/2г = 4,5 нДж. б) т] = (/?— г)/7?=0,99. в) R = 2r = 2,00 см.
3.128. а) Ц7 = (1/4ле0) Зу2/5г = 5,4 нДж, б) Д7х = 1/в1Г = 0,9 нДж, в) W'2 = 3 * 5/6WZ = 4,5 нДж.
3.129. А = (1/4ле0) у2/10г = 0,9 нДж.
3.130. гк л = (1 /4л е„) 92 /т е с2 = 2,82 . 10 -15 м.
3.131. W = (1 /4л е0) 92 (6 — а)/2гаЬ = 27 мДж.
3.132. a) A = q2(a—6)/8лееоа6 = 9 мДж. б) Потому что эта формула не учитывает работу, затрачиваемую на сгущение зарядов на сжимающейся обкладке.
3.133. 4 = 92Ax/2ee0S= 11,3 мкДж.
3.134. a) w увеличивается в е раз, б) w уменьшается в в раз.
N N
3.135. а) Я=1 / 2 \ б) R= 2
1 k=1
3.136. Соединенные параллельно R2 и /?3 соединить последовательно с Ri.
3.137. R = /?х/2 + КRi/4 + Rrfz = 4 Ом.
I
3-‘ss-g-^rq)-
О
3.139. 12 м.
3.140. 7? = (p/2nd) In (b/a).
-3.141. /? = (р/4л) (1/а—1/6). При 6 = со R = p/4na.
242
3.142. / = (Ф2 —Ф1)/Д^, направлен ток внутрь замкнутой поверхности.
3.143. /=е0(е— l)aUv/d=l,l нА.
3.144. 1 = —RC In (1 — U/ий) = 0,69 мкс.
3.145. a) i = (?0/RC) ехр (— tjRC), б) ? = ?0 [1 — ехр (—т/RQ] = = 0,18 мКл, в) Q = (?о/2С) [1 — ехр (— 2т/ЯС)] =82 мДж.
3.146. Q=CH3/2.
3.147. (2=С1/г/?1/2(«1 + «2) = 63мДж.
3.148. n=VNR/R0 = 6. Ртах = А\£2/47?о = ЗОВт.
3.149. а) А1 = 1/4СС73 = 63мкДж, б) А2 = —112СУ2 = — 125 мкДж.
3.150. a) A1 = 1/2CL/2(s—1)/(2е + 1) =36 мкДж, б) А2 — = —CU" (е—1)/(2еф-1) = 72 мкДж.
3.151. р = т/ее0 In 2 = 2,3 -1013 Ом-м.
3.152. / = US (о2 — О1)/1п (a2/oi) <1 = 5,9 нА.
3.153. 1. a) E1 = p1l//(p1d1 + p3d2)=25KB/M, E2=p2U/(рЛ+р342) = = 50 кВ /м, /Д = 808i£'i = 0,44 мкКл/м3, D2 = еое2£2 = 1,33 мкКл/м3; б) О1 = £>1 = 0,44 мкКл/м2, о2 =— D2 = —1,33 мкКл/м3, <j = D2~D1 — = 0,89 мкКл/м2; в) oi= —е0 (сг— 1) £t =—0,22 мкКл/м3, о2 = = е.о (е2—1) £2 = 0,88 мкКл/м2, о' =—(п1 + пг)=—0,66 мкКл/м3; г) / = £i/pi=£2/р2 = 2,5мкА.
2. a) £j = (//di =50 кВ/м, £3 = 0, О, = eoei£i = 0,88 мкКл/м3, Z?2 = 0; б) с1 = £)1 = 0,88 мкКл/м2, а2 = 0, о =— £1 = — 0,88 мкКл/м2; в) си—— е0 (ех—1) Ei=—0,44 мкКл/м2, с3=0, о'=— а^ = 0,44 мкКл/м3, г) / = 0.
3.154. /= УС/рее0 = 0,97 мкА.
3.155. / = UC/p№0.
3.156. R =p/2na = 2R', где R’— сопротивление между шариком радиуса а и концентрической с ним сферической оболочкой очень большого радиуса г (г > а) (см. ответ к задаче 3.141).
3.157. a) q = qa ехр (— о//ее0), б) Q = (<7о/8леео) (1/а—1/6).
3.158. Может, если на участке действует э. д. с., равная IR.
3.159. <рх — <р3 = —4,5 В.
3.160. <рд — сря = О.
3.161. Л=7?25?/£> = 0,87 А, /3 = — R3£/D = — 1,30А, где D = = U?o + -Z?i) R3 + (^o + Ri4- RA/Ri-
3.162. /1 = 0,63А, Z2 = — 2,86 А, /3= — 2,23 А.
3.163. /1=/3=1,00А, /2 = /л=—1,00 А. Не изменятся (а). 71 = —0,92А, /"2 = 0,04 А, /3=0,36А, /4 = 0,52А (б).
3.164. /1 = —6,4мА, /2 = 1,8мА, /3 = 4,6мА, £.=0,
3.165. U = L/oRx/[R/ + Ro (^ — х) х/l], при R > Ro U~Uox/l.
3.166. 5 = (р0/4п) га/г2 = 4,8 мТл.
3.167. / = 2лВ6/р0 = 24 кА.
3.168. £м= (р0/4л) е2о2/а2 = 2,3-10“23 Н = (ц/с)2 £е= 10~» Fе.
3.169. а) В — 6,3 мкТл, б) В =2,2 мкТл.
3.170. В = 1/2В», где В„ = (р0/4л)-2//6 —магнитная индукция на расстоянии Ь от бесконечного прямого тока.
3.171. В = 5,5 мкТл.
3.172. В = 0. _____
3.173. В = р.0//2л6 1 + (b/а)2. При а= оо В = р01/2лЬ — поле
бесконечного прямого тока.
3.174. В пределе при п—>-со B = p0(Z/2r) —
поле в центре кругового тока.
243
3.175. 5=^2--y =z— (1-1/г)) =1.4 мкТл.
4л ь V/2 + 4й2 •
3.176. Я=^-1 //2~*---------------Z/2+*' ., Д ,
2 I /r2+'[(Z/2)-xJ2 /,2+((//2)+х]2 /
а) Н = п1, б) H — nI/2.
3.177. Это приводит к возникновению осевой составляющей тока н соответственно к появлению дополнительного поля, аналогичного полю прямого тока.
3.178. Н= ValF] для r^R, Н = ’/2 (P2/r2) [jr] для г:>й.
3.179. Поле внутри полости однородно н имеет напряженность H = V2[jaJ.
3.180. В = 2p0waP/3 = 42 пТл.
3.181. В = 0.
3.182. Л1 = 2/5тР2со, рт — 1/5qR2a, рт/М — q/2m.
3.183. В = (ц0/4л) 2pm/P3 = 0,20 мТл.
3.184. рт я ПзлЛГ/(Я? + Я1Я2+Я2) = 2,2 мА-м2.
Н kN I ln(R2l/R1)/2(R2—Rl) = 23 А/м.
3.185. В2 = (Г1/Г2)2В1 = 3,1 мТл.
3.186. Г = 3/2ц0л (Аг/г2//2)2 = 0,05 мкН.
3.187. 7; = 2р,0717го2/л (4й2— о2)=1,5 мкН,
А = (go/л) Iil2a In [(26-|-а)/(26— а)] = 0,27 мкДж.
3.188. Iт = (k/2NSp.0H) arctg (Z2/2/i)=0,09 мА (S — площадь рамкн).
3.189. ДР = p^d2nJV72/4Z = 0.39 мН.
3.190. В = арлгР/47г= 1,8 кТл (предельное достижимое при помощи электромагнитов с железным сердечником значение составляет менее 10 Тл).
3.191. j (г) = (За/2л) /е^_
3.192. H—(Umr!2d} Ya2 + (ee0w)2 cos [m/-|- arctg (ееош/а)].
3.194. В увеличится в ц раз, Н останется прежним.
3.195.
3.196. В = В0, Н = Н0/ц, где Но —напряженность внешнего магнитного поля.
3.197. а) Фд = 0, Ф/7=(ВР0/р0)(1/ц2-1/ц1).
3.198. a) vH =—(В0/ц0) [А/(Ц1 + ^)а], где k= (ц2 — ц^/а,
б) Фн=(5Во/Цо)[1—2/(Ц1 + Ца)]•
3.199. а) Н = [3/цо (2 + p)J В0 — [3/(24-ц)] Но (Но —напряженность внешнего магнитного поля), В = [Зц/(2-|- pi)] Во. б) В я ЗВ0.
3.200. Фв=0, Фн=(5В/Ио)(1-1/и).
3.201. p = (nd—й) Щ(Ы1—ЬН) = 38-102.
3.202. р1Макс ~ 9800 при /7 = 65 А/м.
3.203. а) ц = 3-103, б) Ф=0,7 мВб, в) №4 = 0,1 Дж, Н72 = 0,7Дж, «7 = 0,8 Дж.
3.204. а) и в) против часовой стрелки, б) и г) по часовой стрелке.
3.205. а) Против часовой стрелки, б) q = Bna2/R.
3.206. F = Q/o.
3.207. U — jiBnlil—2/1) = 5,ЗмВ.
3.208. а) 17 = 2л2а2 (n/60)2me/e = 2,0 нВ, б) U — — ла2(п/60)В + 4- 2л2а2 (n/60)2me/e ~ —ла2 (п/60) В~—33 мВ.
3.209. Н = дЯ/2р0'А5 = 400 кА/м.
3.210. L = nppo№d2/4(/ + O,45d)=l,3 мГн.
3.211. L = (ц0//л) Гп [(й—а)/а] = 18 мкГн.
3.212. В1= (р0/л) [l/24-ln (й/а)]= 1,4 мкГн/м.
3JJ13. :Ci = 2л ^1^=100. цФ/м, 1П -£-=0,26 мкГн/м,
244
3.214. £ = #Ф// = 2И7/а = 0,2 Гн.
3.215. £12 — qR/I=5,0 нГн.
&.216. £12 ppotiA/S.
3.217. £12 = (1 /2л) pp(,Na In (/’2//’i).
3.218. I = Bv sin a/Ri (1 +sin a) = const, направление тока — против часовой стрелки.
3.219. а) / = Цо^о In (b/a)/2nR, направление тока — против часовой стрелки, б) F — [p0Z0 In (b/a)/2n]2v/R, x=(b — a)/ln (b/a), в) P=RI2.
3.220. o = mgR(sina—k cos a)/B2/2.
3.221. w = mg (sina—k cos a)/(m + CB2/2) = const.
3.222. При В < Bo (So = 8R Уmga(In — ma2)/i4) угол отклонения a = (cto/cos у) е-& cos (co/ + y),__где P = BW/SR (/„ + ma2),
co = /mga/(/o + ma2) —B468/64R2 (/„-(-ma2)2, y = arqtg (— fj/co).
При В Bo — апериодическое возвращение маятника в положение равновесия.
3.223.
3.224.
3.225.
3.226.
a=aocos<,)/, где со = ]/,
а) / = (mg/Bb) cos wt, б) <£ = (1/2) B&tn-^mgRIBb) cos ut. x = (£/R) In [io/(i'o — i)]; а) т = О,58 с, б) t= 1,16 c.
Q = RL^>2/2R?(R + Ro) = 6,0 мкДж.
3.227. W = л (b+a) (b — a)2 J HdB = 0,7 Дж. о
3.228. 9 = 7ViB(6-a)2/R = 2,4 мКл.
3.229. a) t)=pr2i?(7/me = 5,9.109 м/с,
6) а = сУ1— [mec2/(e(/-|-mec2)]2 = I,64-10s м/с.
3.230. t)K = l,88-10e м/с, vp=l,64.108 м/с = 0,872 vk.
3.231. а) По параболе. 6) R = m&Vo sin2 a/eE. в) Др = — еЕт. г) М = 1/it2eEv0 sin a.
3.232. e' = mg (I +fs/fi) d/U~ 8,0-10-19 Кл = 5е.
3.233. F = |i0n/w/2= 1,8-10~14 H.
3.234. a) r~mv/e'B--7,3 cm, 6) pm — mv2/2B = 4,1.10~i4 Дж/Тл, направления pm и В противоположны, в) рт1 М=е'/2т = 2,41.10’ Кл/кг.
3.235. v—-eB У/2-| (пД2/2лте = 4,5-10’ м/с.
3.236. / = 2лпте/сВ = 21 мм.
Рис. 15
3.237. а) Движение частицы описывается уравнениями: x = val— — asincot, у = а(1 — costo/), г = 0, где п0 — Е/В, а — тЕ/е'В2, со = = (е' 1т) В (рис. 15).
Если перейти в систему координат К', в которой х' = х—vQt, у' —у—а (начало этой системы смещено вдоль оси у на а и движется вдоль оси х со скоростью о0), то'в этой системе движение частицы описывается уравнениями: х' = — a sin cot, у'~ — a cos col. Это озна
. ... ... . 245
чает, что в системе /С' частица движется по часовой стрелке по окружности радиуса а с постоянной угловой скоростью со. Следовательно, относительно неподвижной системы частица движется так, как двигалась бы точка обода колеса радиуса а, катящегося по плоскости со скоростью ц0. Траектория, описываемая точкой в этом случае, называется циклоидой.
б) Скорость частицы изменяется в пределах от 0 до 2 ц0 по закону V — v0 Y 2 — 2 cos и/.
3.238. —e/me = —2C62/B2/h^/2 + ^)2= — 1.8-Ю11 Кл/кг.
3.239. Ar = elBB'Nд!2Е\ Лг1 = 4,0, Лг2 = 3,0. Пики соответствуют изотонам гелия 4Не и 3Не.
3.240. а) W' = B2e2</2/8mp = 17 Мэь, v = BeJ/2mp = 5,8-107 м/с, 172 _
б) т = 7?л<12/817 = 4,7 мкс, в) s = 0,131 Y п ~ 198 м (для вычнс-
м= 1
ления суммы воспользоваться формулой из Приложения 12).
3.241. а) з = 21Гт/г51Г= 1,7-106 м=1700 км,
б) v~cY 1 — [mec2/(^ + mec2)]2 = 0,99995 с.
3.242. I^UOVCJL.
3.243. <£„=15,1 мВ, <£=10,7 мВ.
3.244. а) 7 = 71 мА, б) (р = —63° (ток опережает напряжение), в) 17^ = 57 В, 17/= 28 В, Uc= 142 В, г) Р = 4,0 Вт.
3.245. a) Q = t/2/?/(/?2 + 4n2v2L2) = 2,4 кВт. б) Увеличится в два раза.
3.246. Ui = UaL/R = 1,0 кВ, /=П//? = 10 А.
3.247. a) (o = w0-|Z—4Р2/соо + |/ 1 + 8Р2/(^ и и0 =
= 3,16-101 с-1 (<.>„= 1/КАС, р = /?/2£).
б) h = (U/Z) V4p2w2/wJ + (l— w2/coo)a к, 2₽(7/Zco0 =22 мА (Z=K/?2 + w2A2« Aw0), /-2=l/C(o w t/Cco0 = 7,0 A, I3 = U!Z^ « U/Еч>0 = 7,0 A.
3.248. От 186 до 570 м.
3.249. P = RIm!2 = 0,15 мВт.
3.250. P = RCUm/2L = 4,2 мВт.
3.251. a) Q = VL/CR2—0,25 = 5,0. 6) AQ/Q «C7?2/8£ =
= 0,005 ~ 0,5 %.
3.252. (coo —co)/(o0=l —2Q/K4Q2+1 = 0)0012 -0,12%.
3.253. a) H7 = H70 exp ( —coo//Q). 6) 50 %. __________
3.254. Требуемое условие имеет вид 1 — l/(2Q2 + 0,5) 5= 0,99, откуда Q ёг 5,0.
3.255. /i//2=Kl + (l,Ю— 1/1.10)2 (Q2 + 0,25); а) Zi/Z2=19,
б) Л//а = 2,2.
3.256. а) (71 = 5 мВ, 172=191 мВ, б) 171 = 50 мВ, 1/;=195мВ. Из полученных результатов вытекает, что контур плохо пропускает ток резонансной частоты, причем тем хуже, чем больше добротность контура.
Часть 4. ВОЛНЫ
4.1. Это уравнение может описывать с равным правом как продольную, так и поперечную волну.
246
4.2. Частота остается прежней, длина волны увеличивается в два раза.
4.3. Лх = ?./2.
4.4. См. рис. 16. В точке В скорость в обоих случаях равна нулю;
16
Рис.
4.5. Sep = 0,63 рад.
4.6. Комплексная амплитуда А содержит в себе данные об обычной амплитуде А и начальной фазе колебаний а.
4.7. 4=10,6 ехр (г'л/3,9).
4.8. ^ = (а/)/Л г) cos (ш/ — kr-{-а), где г —расстояние от нити.
4.9. а) Размерность а совпадает с размерностью квадрата скорости.
б) Изменения величины f в пространстве и времени могут иметь характер плоской волны, бегущей вдоль оси х со скоростью, равной 1,20-104 м/с.
4.10. Уравнение такого вида описывает плоскую волну произвольной формы (т. е. не обязательно гармоническую), распространяющуюся вдоль оси х со скоростью V = (i>lk.
4.11. Е/р = 3,5 км/с.
4.12. 1. а) В точках А и С, б) в точках В и D.
2. а) Нулю, б) максимальна.
4.13. См. рис. 17, р0 — плотность среды в отсутствие волны.
4.14. См. рис. 18.
4.15. j = (ра2ш3/^) sin2 (a/ —а) ех.
4.16. Поток энергии, переносимый упругой волной через поверхность 5.
4.17. 117 = 5/! {1 - ехр [—2у(х3 —Xi)]} t.
4.18. а) (1/г2)ехр(—хг) (г—расстояние от центра),
б) (1/г)ехр(—хг) (г — расстояние от оси).
4.19. Эти линии являются гиперболами, в фокусах которых помещаются источники.
247
4.20. 1. а) Для всех поверхностей —нулю, б) для поверхностей I, 3, 5, 7, 9—нулю, для поверхностей 2, 4, 6, 8 — отлично от нуля.
2. Для всех поверхностей — нулю.
3. Для поверхностей 2 и 6—вправо, для поверхностей 4 и 8—влево.
4. Для поверхностей 2 и 6 — влево, для поверхностей 4 и 8 — вправо.
4.21. Вдоль прямых у — х+(а7./2л) ± пк (n = 0, 1, 2, ...) располагаются максимумы амплитуды, равные 2а (см. жирные прямые на рис. 19, выполненные для а = 0). Вдоль прямых у = х-|-(аЛ/2л) ± ± (n-1-1/2) A. (n=0, 1, 2, ...) располагаются минимумы амплитуды, равные нулю (тонкие прямые на рисунке). Фаза имеет одинаковую величину в точках, удовлетворяющих условию х + !/ = const. Точки, лежащие иа соседних штриховых прямых (см. рисунок), колеблются в противофазе. Штриховые прямые отстоят друг от друга на к/У 2.
4.22. В точках, лежащих на прямых у = х + (аА/2л) ± пк (n = 0, 1, 2, ...), частицы среды колеблются вдоль этих прямых (см. рис. 20, выполненный для а = 0). В точках, лежащих на прямых у — х+(аХ/2л) ± (п-|-1/2) к (п=0, 1, 2, ...), частицы среды колеблются перпендикулярно к этим прямым (и к оси г). Наконец, в точках, лежащих на прямых у=х-^-(ак/2л) ± (n-j-l/4)k (п = 0, 1,2, ...), частицы среды движутся по окружностям, лежащим в плоскости х, у. В остальных точках частицы движутся по эллипсам. Такой характер движения имеет место в любой плоскости г —const,
4.23. v = 2,(X) км/с.
4.24. а) Увеличится в два раза, б) увеличится в три раза.
4.25. ап = (1/ло>1) У 8 <ЕК>1т.
4.26. F = ?id2pv2Z2 = 0,30 кН.
4.27. F = 8,4 кН. _
4.28. Уменьшится в У2 раз.
4.29. v„ = 2,5(2n — 1) кГц, где п = 1, 2, 3, ...
4.30. vn = 85(2n—1) Гц, где п=1, 2, 3, ...
4.31. v = v/4/ = 5 кГц.
4.32. а) Звук „частоты 50 Гц, б) звук частоты 50 Гц, интенсивность которого будет пульсировать с периодом в Г с, в) ничего.
4.33. Av = t(Zi - 1г)/21112] KF/p7= 6 Гц,
4.34. В азоте v больше в 1,3 раза.
248
4.35, 1. a) 306 м/с, б) 331 м/с, в) 354 м/с.
2. 0,92:1:1,07.
4.36. /=2Й2//?ЯМ1(1/’7’1+/ Т2) = 30 с.
4.37. В 1000 раз.
4.38. а) 82 дБ, б) 64 дБ, в) 46 дБ, г) 28 дБ, д) 10 дБ.
4.39. а) 74 дБ, б) 68 дБ, в) 64,5 дБ, г) 62 дБ, д) 60 дБ,
4.40. а) Д2 = 53 дБ, го = 3,О км; б) Дг=54 дБ, го=1ОО км.
4.41. (Др)И1/(Др)и2= 100,0^и = 10._______
4.42. (Ар) т--У 2ри/2/а-IOL'10 р У y.M/RT = а) 2,9.1О-«Па, б) 2,9 Па (70 — интенсивность, соответствующая порогу слышимости, которая принимается равной 10~12 Вт/м2) (ср. с ответом к предыдущей задаче).
4.43. а) ост=0,63 м/с, б) а/Л—2,9-10~4, в) ист/п= 1,9.10-3.
4.44. Перед источником А, = О,5Хо. позади источника Л=1,5Х0, в направлениях, перпендикулярных к направлению движения источника, Х = Х0.
4.45. v = v0 (и— fi)/(v— f2) = 1,03 кГц.
4.46. Биения частоты Av и 2v0 (v/u) = 17 Гц (и —скорость звука при данной температуре).
4.47. В точке А будут слышны биения, частота которых Av = =2uv cos (n/4)/[u2— v2 cos2 (л/4)] = 50 Гц.
4.48. Второго 700 Гц, третьего 800 Гц.
4.49. а) Только приемник П1. б) Av = 50 Гц.
4.50. а) к=±(ш/с)ех, к=±(и/с)ег, б) к=±(2л/Л)ех,
к = ± (2л/Л) еу. _______ ________________
4.5L_ а) Нт=Ет Уее0/рр0 = (Ест/120л) Уе/р = 46 мА/м, б) v = = с/Уе,р~1,7-108 м/с.
4.52. Е = Ей cos (ш/^-Лх+а), Н = Нт cos (<о/+Лх-(-а-|-л).
4.53, 1. а) Хпучн = Т лЛ/2, хузл = ± (л-)-1 /2) Л/2 (л = 0, 1,2, ..-.), 6) *лучн = ± (л +1 /2) X/2, xy3J1=i лХ/2 (л = 0, 1, 2, ...). Пучности Е совпадают с узлами Н, и наоборот.
2. Фазы колебаний Е и Н отличаются на л/2. Когда Е максимальна, Н равна нулю, и наоборот.
4.54. S = 0.38 cos2 (tat + <z) ey (Вт/м2).
4.55. W = (1/2) EmHmnr2t — (1/240) E?nr2t = 1,00 мДж.
4.56. a) S = (re0(/2/2x2d2) t, направление внутрь, 6) W — = e,aU2nr2/2d = wV, где to—плотность энергии.
4.57. а) На боковой поверхности 5 = (р0п2/2г/2т2) t, направление внутрь; на торцах 5 = 0, б) w = p.0n2/nr2l/2 = wV, где ш—плотность энергии.
'4.58. а) £и = 120л//л= 18,8 В/м, б) <щ> = (1/2) =
= 1,57 нДж/м3, в) / = (1/2) ЕтНт = 6№Шт = 0,47 Вт/м2, г) <Кед об>= = (//с2) ех = 60л (Нт!с)2 ех = 5,2-10- 18ех [кг/(м2-с)].
4.59. р = <ш>=1,57 нПа.
4.60. Л = 2лс/<р = 600-10* м, Р = (5/4) (ла2/5эф2/с)2 = 8,3.10-20 Вт.
4.61. Р = <| S [>• 4лг2 = (2/3) [(1/2) Дт/120лг2]4лг2=11 нВт «| S|>— модуль вектора Пойнтинга, усредненный по времени и по направлениям).
4.62. г) = 0,493 « 1/2._
4.63. Р=(1/6лс2)Кpo/soe2v2=2OeV/c2r2=2,0.10-18Вт=12,5эВ/с.
4.64. а) г) = 80ле3В/Ал2= 1,38-10-u, б) т = —1п0,99с2т3/4СИВ2= = 0,026 с, в) N = — In О.ЭЭс^/вОл^В = 0,73-109 об.
4.65. а) г) = 4,1.10-18, б)т = 1.6-108 с я 5 лет, в) /V ==2,5.1059 об.
.249
Часть 5. ОПТИКА
Б.1. а) 498,3 с ге 500 с и 8,3 мин, б) 1,3 с, в) 4,6 с, г) 0,04 с.
6.2. Нет, не означает. Цветовое восприятие определяется не длиной волны, а частотой света.
5.3. a) Z = (ni+na)d/2c = 0,50-10-i« с. б) <»>=2c/(zii+n2) = ж> 0,67 с.
5.4. Х=32,6 см.
5.6. f} = arctg(n2/ni).
5.7. а) ф = (л/п0—1) fl. б) В рассматриваемом приближении угол отклонения ф не' зависит от угла падения аг.
5.8. а) Ф = 5 дптр, б) Ф = —2,5 дптр.
5.9. Если показатель преломления среды по обе стороны линзы одинаков.
5.10. В центре линзы.
5.12. См. рис. 21.
Рис. 22
Рис. 23
5.13. См. рис. 22. Последовательность построения: параллельный лучу 1 луч 3—фокальная поверхность F'—параллельный лучу 2 луч 4. Луч 2' проходит через точку пересечения луча 4 с F'.
5.14. Лучи распространяются вдоль параллельных направлений.
5.15. 1. В общей фокальной плоскости Fi—F2-
2. а) Мнимым, б) прямым.
3. Если фокусные расстояния линз равны по модулю.
5.16. б) Изображение будет перемещаться к плоскости Н'. Когда предмет окажется в плоскости Н, изображение попадет в плоскость Н', причем размер изображения станет равным размеру предмета.
5.17. Построение показано на рис. 23: N и N'-—узловые точки системы, 2 и 2'—вспомогательные
параллельные друг другу сопряженные лучи, луч Г параллелен лучу 2'.
5.18. Е=1,0-10а лк.
5.19. 0,21 Вт.
5.20. 214 лм.-
5.21. Эта кривая имела бы такой же вид, как изображенная на рис. 5.9 кривая относительной спектральной чувствительности глаза.
5.22. а) См. рис. 24. б) Нет, невозможно.
5.23. p=3EA/2cV = 1,6 нПа (А—механический эквивалент света, см. задачу 5.18; И-^относительная спектральная чувствительность глаза).
250
5.24. Ет— К(2/Д/ЛУ)/щ/Ео=13 В/м, Я„=/(2/ДЯ/»0УгЖ-= 0,050 А/м (А и V—см. ответ к предыдущей задаче).
5.25. 7=100,0 кд.
5.26. £=100 лк.
5.27. Ф = (2л/3) £й2 = 19-102 лм,
5.28. 1. £=/й.'(й2 + г2)*/а.
2. а) 50 лк, б) 27 лк.
3. Ф = 2я7(1—й//Й2 + Яа)=33 лм.
4. г] = 0,053.
5.29. I (&) = !q/eos3#, где /0 = 42 кд. £ = 42 лк.
2л л/2
5.30. М — dtp 7.(0, ср) cos 0 sin О 40.
6 о
5.31. Ф = (2.3)_л27?27.0 = 66 лм.
5.32. А = а/У.
5.33. Интенсивность пуль- , сирует с периодом, равным 4/Л 10 с.
5.34. 1 = Л + /а.
5.35. A=asm(A,S/2)/sin(6/2).
5.36. а) /ког « 4-10~и с,
б) 7КОГ» 0,01 мм, в) рког га к 0,3 мм, г) ИКОг ~ 0,003 мм3.
5.37. рю « 0,3 мм « 5р3_
5.38. рког ~ 2,5 м.
5.39. Дх = Х/ф.
5.40. Длина волны в вакууме.
5.41. а) Для точек, расстоя
ние которых от середины экрана много меньше 7, <5Д = bd[L б) « яг /X/4d.
5.42. В красном.
5.43. n = Ao, где Ло—длина волны света в вакууме.
5.44. Картина сместится в сторону перекрытой щели на 10 полое.
5.45. а) 7.0 -650 нм, 0 <о—45О нм.
5.46. Дх= Xq/,'2/; = 0,25 мм.
5.47. а) ф = Л(г + 6)/2гДх=10', б) N = 5.
5.48. а) 0 = (a-}-fc) Х/2а(ге—1)Дх=14,3', б) N = 7.
5.49. а) A.v — /./<!>/; = 0,25 мм, б) N--7.
5.50. a) fc = (X0/2n) (m-j-1/2) (m=l, 2, 3, ...), б) b = Q^]2n) т (т — 0, 1, 2, ...).
5.51. У пучка, испущенного газоразрядной лампой, в обоих случаях 7=90 лм/м2. У лазерного пучка в случае а) 7=100 лм/м*, в случае б) 7 = 80 лм/м2.
5.52. а) п2 = )/ЛП1П3= 1,30. б) Да, будет.
5.53. а = Хо/4п' = 0,100 мкм.
5.54. а) Равномерно освещенное поле зрения, б) чередующиеся светлые и темные кольца.
5.55. а) Кольца будут увеличиваться в диаметре; внешние кольца будут уходить из поля зрения трубы; в центре будут возникать новые кольца, по одному кольцу на каждое перемещение пластинки на расстояние А/2. б) Кольца будут уменьшаться в диаметре; внутреннее кольцо будет стягиваться в точку и исчезать; извне в доле зрения трубы будут появляться новые кольца.
£51
5.56. а) Равномерно освещенное поле зрения, б) чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные линии пересечения плоскостей, ограничивающих пластинки, в) очень слабо различимые полосы, отчетливость которых будет возрастать по направлению от зазора Ь2 к зазору 61.
5.57. Полосы будут смещаться а) вправо, б) влево (по отношению к рис. 5.19). Перемещение пластинки на Х/2 сопровождается смещением картины на одну полосу.
5.58. а) В красный (К=640 им), б) в зеленый (К = 538 нм).
5.59. Интерференционные полосы видны при (Х/ДХ)
^2Ь sin2d/Xo = 1,6-Ю3, а) Дх = аХ0/2 (62—6i) Vna-Sin2d = = 1,0 мм, б) полосы не наблюдаются,
5.60. b « (Х/ДХ)/2= 10 мк.
5.61. Л'= 30.
5.62. Полосы будут видны надлине х=/Г£1^21—
| СС1 ~ J *
5.63. а) /? = 2г!/Ло(Ю—1) = 9,1 м, б) Ф = (л—1)/1? = 0,55 дптр, в) r3= VR/.o (6— 1)/2 =3,7 мм.
5.64. В 1,225 раз.
5.65. 1. а) Кольца будут уменьшаться в диаметре; внутреннее кольцо будет стягиваться в точку и исчезать; на внешней границе картины будут возникать новые кольца, б) Кольца будут увеличиваться в диаметре; внешние кольца будут уходить за пределы картины; в центре будут возникать новые кольца.
2. Л'= 345.
5.66. 6=l/2(m—1); а) 6=оо, б) 6=125 мм, в) 6 = 56 мм.
5.67. a) rnmin равно наименьшему целому числу, превышающему r2/aA,= 8. б) Ь — аг?/(сАт— га) = 10 м. в) г<угаХ = 0,74 мм.
5.68. Максимумы и минимумы интенсивности будут поочередно сменять друг друга.
5.69. m = ra/6X.
5.70. X = ra(62 — 61)/6162 = 58.10-f> м.
a A-(-1)Vm .
5.72. А ------т-r---£------«---- ------— (р очень мало отли-
1 + р 2
чается от единицы).
5.73. а) 1=А1й, б) и в) / = 2/0, г) / = /0.
5.74. Интенсивность уменьшится в четыре раза.
5.75. а) 375 нм, б) 875 нм, в) 750 нм,
00
5.76. Ф=^ Е (г)-2яг dr, _ =
о
5.77. 6 = а2/Х; а) 6 = 2,50 м, б) 6=1,72 м, в) 6=1,32 м.
5.78. / = 4/0/(1 —р2)2 = 421/0.
5.79. / = 4/0/(1—р)2 = 1600/о.
5.80. h = Хо/2 (л—ло) = 0,58 пм (По—показатель преломления окружающей пластинку среды, который в случае воздуха можно считать равным единице).
5.81. 1. а) т — т‘ = а2/46Х, б) т=а2/6Х, т' = 0, в) т = 0, m' = a2/6X. ______
2. xm — Y mbk.
3. 1 ;0;414:0,318:0,268:0,236.
5.82. 1. а) т=/л' = 5, б) Л1 = 2О, т' =0, в) т=0, /л’ = 20.
2. xj = 0,7l мм, «а = 1,00мм, «в = 1,22 мм, х4=1,41мм, х5=1,58мм.
252
5.83. 1. Точки, в которых касательные к кривой параллельны оси g.
2. а) о=2, б) о = — 2.
5.84. а) о=/2й. б) 1,41; 2,00; 2,45; 2,83; 3,16.
5.85. a) 7 = О,257о, б) Z = O,38Zo, в) Z = O,O25Zo, г) Z = O,O7Zo, д) Z = O,18Zo, е) Z = O,OO4Zo.
5.86. a) Zmax = 137 лм/м2, б) 7min = 78 лм/м2, в) 7шах/7т1п = 1,76, г) *тах = 0>3 мм, хт,п = 0,45 мм.
5.87. Суммарная площадь участков, заштрихованных с наклоном влево, равна суммарной площади участков, заштрихованных с наклоном вправо.
5.88. а) 153 лк, б) 80 лк.
5.89. Эти колебания сдвинуты по фазе друг относительно друга на Зл/4.
5.90. а) Полоска закрывает одну иештрихованиую и одну штрихованную зону Френеля. Из кривой Корию получаем, что £/£0 = = (6/19)2, откуда £ = 30 лк; б) полоска закрывает четыре иештрихо-ванные либо четыре штрихованные зоны Френеля. Из кривой Корию: £/£0 = (21/38)2, откуда £ = 92 лк.
5.91. 1. Площадь характеризует световой поток, проходящий через единицу длины щели.
2. а) Высота максимумов увеличится в четыре раза, б) ширина максимумов уменьшится в два раза, в) координаты всех минимумов уменьшатся в два раза, в результате чего 2-й минимум окажется на месте 1-го, 4-й на месте 2-го и т. д., г) число минимумов станет в два раза больше, д) площадь увеличится в два раза.
5.92. а) а=(^кр — ^фиол)/*® « 0,7 мм, б) а/<Дх> = = (Акр — ^фиол)/(^кр + ^фиол) ~ 0,3. (В качестве ширины максимума взято среднее значение ширины максимумов для различных длин волн.)
5.93. а) Дифракция Фраунгофера, б) ао = 5,Омм, в) а12 = 2,5мм.
5.94. Дифракция Френеля.
5.95. а) Нет, центр картины находится против центра линзы, б) Да, центр картины находится против середины щели.
5.96. а) Если первоначально щель была достаточно узка, то интенсивность сначала монотонно растет, затем пульсирует со все уменьшающимся размахом, колеблясь около значения 70, которое наблюдается в отсутствие преград; б) монотонно растет.
5.98. 1. Суммарная площадь максимумов характеризует световой поток, проходящий через единицу длины щелей.
2. а) 1-й максимум займет место 2-го, 2-й — 4-го и т. д. б) высота центрального максимума увеличится в четыре раза, в) ширина максимумов останется прежней, г) суммарная площадь максимумов удвоится.
5.99. Максимумы станут в два раза гуще; высота центрального максимума уменьшится в четыре раза; ширина максимумов останется прежней; суммарная площадь максимумов станет в дПа раза меньше (ср. с задачей 5.98). -
5.100. а) Положения максимумов не изменятся, б) высота центрального максимума станет в четыре раза меньше, в) ширина максимумов удвоится, г) суммарная площадь максимумов уменьшится в два раза.
5.101. а) Положения максимумов не изменятся, б) высота центрального максимума станет в два раза меньше, в) ширина максимумов останется прежней, г) суммарная площадь максимумов уменьшится в два раза. »
5.102. 1. а) х = (2й+1)/2т, где£=О, :1, ... (значения k, при которых х > 1, исключаются); б) x=kjm, где А=1, 2, .. м т— 1. - . <, - 253
2. a) x=l/2, б) ж=1/4 и 3/4, в) x=l/6, 3/6 n 5/6.
3. а) Интенсивность ни при каких значениях х,. кроме не имеющих смысла значений 0 и 1, не обращается в нуль, б) х= 1/2, в) х= 1/3 и 2/3.
5.103. 6=1150 нм.
5.104. D « 3-Ю5 рад/м а; 1 угл. мин/нм,
5.105. Дф = 22,0°.
5.106. Дф=4,8°.
5.107. а) Не будут, б) будут.
5.108. Л’ и 1000 штрихов.
5.109. 1. D = m/dV \ — (nAjd}2.
2. а) 1,09.10“® рад/нм, б) 1,23-10“3 рад/нм, в) 1,54-10“® рад/пм.
5.110. 1. D.MH = fm/d[l —(mX/d)2]3/2
2. а) 1,30 мм/нм, б) 1,85 мм/нм, в) 3,64 мм/нм.
5.111. 1. Дх=733 мм.
2. а) ОЛИн ~ 1 мм/нм (см. задачу 5.110), б) R=105.
5.112. 1. бф/бнг = Ald)lV 1 —(m7,/d)2.
2. Точные значения: а) 19,4°, б) 27,3°. Вычисленные по формуле, полученной в п. 1: а) 19,2°, б) 25,9°.
5.113. При большом периоде дифракционные максимумы располагаются очень густо (см. ответ к п. 1 задачи 5.112). При d=\ мы угловое расстояние между соседними максимумами будет порядка Z/d зе 0,5-10-® рад а; 2'.
5.114. 1. d (sin ф — sin фо) = ± tni..
2. а) ф = фо = 2О,О°; б) ф+ = 35,6°, 55,3°; ф_ = 5,9°, —7,9°, —22,2°, —38,2°, —59,1°; в) т+=2, т_=5.
3. При нормальном падении полное число максимумов на единицу больше.
5.115. 1. d (cos — cos О) = ± nA.
2. а) 2,07°, б) 2,75°, в) 4,17°._____
5.116. 1. О = | »г|/4/1 — (sin фо+тЛ/d)2, где — (d,A) (1 + sin ф0)< (d/?.) (1 — sin фо).
2. a) 1,6 угл. мин/нм, б) 2,2 угл. мин/нм, в) 10 угл. мин/нм, г) 43 угл. мин/нм.
5.117. Да, можно.
5.118. amjn = 7,0 км._
5.119. Z = d/l,22X V~N = 1,1 м (d —диаметр зрачка, N — число точек на 1 м3). ________
5.120. d = р/Л4/2Длр =0,282 нм (Л4 — молярная масса NaCl).
5.121. Л = 0,0588 нм.
5.122. R = Z tg [2 arcsin (тЛ/а)], где т—порядок максимума, а= y/^4M/NАр; Rj. = 11,9 мм, /?2 = 24,2 мм.
5.123. Вектор Е вращается вокруг направления луча, одновременно изменяясь по модулю так, что конец вектора описывает эллипс.
5.124. а) Р=0,50, б) Р = 0,91.
5.125. I = /0 cos2 ai cos2 (а2 — aj) = 66 лм/м2.
5.126. Вырезанная параллельно оптической оси одноосная двояко-преломляющая пластинка, создающая сдвиг по фазе между обыкновенным и необыкновенным лучами на Дя/4. Толщина d этой пластинки удовлетворяет условию: d = [(m-J- 1/4) Хо]/(| п0—пе |), где т — целое число или нуль, %0—длина световой волны в вакууме, п0 и пе — показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей.
254
5.127. Пропустить плоскополяризованный свет через пластинку в четверть волны, установленную так, что ее оптическая ось образует с плоскостью колебаний плоскополяризованного света угол 45°,
5.128. Нет, нельзя.
5.129. Ey = £0cosa еу cos (со/ — kx), Ег = £0з1па ег cos (<оТ — kx).
5.130. Еу—Е0 cos а еу cos (at—йх + б1),
Ег = £0 sina ег cos (at — kx-]-62) (6i # 62).
5.131. а) и б) E' —E, где E — исходный вектор (см. задачу 5.129); в) Еу = Еу, Ez = —Ег — плоскости колебаний векторов Е и Е' симметричны относительно оси у; г) н д) вектор Е' вращается вокруг осн х, описывая своим концом эллипс, оси которого не совпадают с осями у и г; е) конец вектора Е' описывает эллипс, оси которого совпадают с осями у и г; ж) вектор Е' вращается вокруг оси х, описывая своим концом окружность.
5.132. Четыре раза за один оборот свет становится плоскополя-ризованным, четыре раза (в промежуточных положениях) — поляризованным по кругу. В остальное время свет будет эллиптически поляризованным с непрерывным видоизменением формы эллипса от отрезка прямой до окружности и обратно.
5.133. I = 1^.
5.134. Интенсивность будет изменяться в пределах от нуля до /ест/4, четыре раза за один оборот достигая минимума и четыре раза — максимума.
5.135. а) /ц = /ест/8, б) /± = 3/ест/8.
5.136. а) Во всех трех точках свет плоскополяризованный, б) /д= = /;у~/ест/2, в) /<--=0, г) /47 = (/ест/2) cos2 («1-j-a2).
5.137. а) В точке В—свет эллиптически поляризованный либо при «1 = 0 или л/2—плоскополяризованный; в точке С—плоскополяризованный свет, б) Ig = /ест/2, в) Нет, не может, г) Может, если «1 = а3 — 0 или л/2.
5.138. Р = 0,80.
5.139. а) Р|| = 2Р1/(1+Р?)=0,976, б) Р± = 0.
5.140. t) = al(l —Р)/(1+Р) = 0,048.
5.141. а) Р1=К(П-1)/(п+1) =0,900. б) Р„ = Кп2- 1/т) = = 0,994.
5.142. Против мест пластинки, для которых оптическая разность хода Д обыкновенного и необыкновенного лучей равна т/. (т — целое число), свет будет плоскополяризованным с плоскостью колебаний, совпадающей -с плоскостью колебаний в падающем свете. Против мест, для которых А = (т-|-1/2)Х—плоскополяризованный свет с плоскостью колебаний, перпендикулярной к плоскости колебаний в падающем свете. Против мест, для которых Д = (т ± 1/4) X—свет, поляризованный по кругу. В остальных местах — эллиптически поляризованный свет.
5.143. 1. а) Поверхность будет освещена равномерно, б) и в) поверхность будет испещрена чередующимися светлыми и темными полосами.
2. Темные и светлые полосы поменяются местами.
5.144. Дх = Х/О (по—пе) = 2,0 мм.
5.145. а) E^in = 1,51 • 10е В/м, б) три просветления и три затемнения (с учетом затемнения при E — Q).
5.146. а) 500 раз. б) Нет, не будут.
5.147. а) Красный, б) оранжевый, в) желтый, г) зеленый.
5.148. а) a = n/(AX'tgfr) = 21 угл. град/мм, б) 1(х) = 1т соз2(лх/Дх), где 1т—константа.
255
5.149. Длина волны в среде, в которой скорость света равна v.
5.150. 1. а) и — о/(1—q), б) ii = (l—р) v.
2. a) u = v/2, б) u = 2t>.
5.151. 1. а= 1,502, 6 = 4,56-103 нм2.
5.152. а) и = сХо/(а?.§ + Зй),
б) Хо, нм 759,0 589,3 486,0 397,0 и/с 0,655 0,649 0,641 0,629
v/c 0,662 0,660 0,658 0,653
и lv 0,990 0,983 0,975 0,964
5.153. а) а = е£,Л/теш2 = 4,9.10-10 м, vm = аы = 1,53.10“3 м/с (Ет — амплитуда напряженности электрического поля), б) FnmlFгт = >= om/2c = 0,26-10“**.
5.154. е(со) = 1-----2--.
г0тео>2
5.155. В 8 раз.
5.150. а) па 0,50 %, б) на 1,00%, в) на 63 %, г) на 99,0%.
5.157. [(/-/0)//0] 100 % = {1 - ехр [- a (xi + x2)/2]} 100 % 4=9,5 %.
5.158. а) / = /0а(1-р)2 = 83,4 лм/м2, б) 1 = /оа (1 — р)2/(1 — о2р2) = = 83,5лм/м2. {а = ехр(—ха), р = ((п—l)/(n + I)]2}.
5.159. а) / = /0 (1-р)2 = 92,2 лм/м2, б) / = 70 0 —р)2/(1-р2) = = 92,3 лм/м2.
5.160. 1. а) 0,49%, б) 8,33%.
2. В 17 раз. 3. 8,78 %.
5.161. х = 1п (т1/т2)/(а2 — щ), где т — коэффициент пропускания света пластинкой (отношение интенсивности света, прошедшего через пластинку, к интенсивности падающего света).
5.162. х= 1,37м-*.
5.163. В четыре раза.
5.164. ДА = 4с/ан/Ло (с2/л2 —a2a2) = 0,10. (Буквой а обозначено выражение 1 — 1/п2.)
5.165. v = AAv/2 = 278 м/с = 1000 км/ч.
5.166. 7’= (Х/ДХ) 4лДс/с = 25сут (7?с—радиус Солнца).
5.167. Дш/ш= ± (1/с) V8kT/nm; плюс в случае а), минус в случае б) (k— постоянная Больцмана).
5.168. а) ёсод/св = 2 <и>/с, б) бХд = 0,020 нм.
5.169. Т — лМс2 (&оо/ю)2/327? = 1,0-10® К (М—молярная масса, 1? — газовая постоянная).
5.170. у — сУ'2 (Дш/ш) = 1,5-106 м/с.
5.171. v = 0,26с = 78 000 км/с.
Часть 6. АТОМНАЯ ФИЗИКА
6.1. г (а, Т)~=0.
6.2. Ф = Фпад.0,5Ф образуется за счет излучения, 0,5ф —за счет отражения полорины падающего потока.
6.3. а) 0,97 мм (далекая инфракрасная область, граничащая с микроволновым радиодиапазоном), б) 9700 нм (инфракрасная область), в) 970 нм (близкая инфракрасная область), г) 580 нм (видимая часть спектра).
6.4. уменьшается в два раза.
6.5. = o/R* = 2,00 мкм. :
256
о.о. =-------------------.
ехр (JiaikT)— 1
6.7. а) <е>кв = 0,582^Т = 0,582 <е>кл, б) <е>кв = 0.950ЙТ =
— 0,950 <е>кл, в) <е>кв = 0,00045467’= 0,000454 <е>кл.
6.8. а) <е> = 0,257 эВ = 0,99367', б) <е> = 0,247 эВ = 0,95467’, в) <е> =0,154 эВ =0,60067’, г) <е> = 0,0178мэВ=0,00068767’.
6.9. а) шт = 2,821 (6/Д) 7’ = 3,71-10117', б) XmwOT= 1,08-109 м/с = = 0,57 • 2.-е.
6.10. а) 71 = 5,8 • 103 К, б) £ = 3,9-1026Вт, в) т = 4,3-10® кг/с, г) т « 1011 лет.
6.11. 7 = сг7’1 (г//?)2 = 1,37кВт/м2 (г —радиус Солнца, R — расстояние от Солнца до Земли).
Х3
6.12. а) Е = ' 1 V (?.) d'/.-- 1,1 • 105 лк (точное значение:
л (Л2 — М) <1
М
1,36- Ю5лк), б) 7 = £/?2 = 2,5- 1027 кд (точное значение: 3,0-1027 кд). Здесь Xi и Х2 — границы видимой части спектра, V (X)— относительная спектральная чувствительность глаза, R— расстояние от Солнца до Земли.
Указание: значение интеграла определить путем подсчета числа квадратов координатной сетки, охватываемой кривой на рис. 5.9.
6.13. Ьэ Т*.
6.14; Ьэ = сг7’а/я = 0,15 кВт-м2/ср.
6.15. Ф = оТЧпДг2 cos 0/4/2 = 0,29 мВт.
6.16. Т = Тс У r/R = 395 К (г —радиус Солнца).
6.17. От 1,6 до 3,1 эВ.
6.18. N = АЕ7,!2л%с = 4,5-1013 фотон/(см2-с).
6.19. а) е = 2,23 эВ = 4,4- 10"6/пес2, р= 1,2-10-27 кг-м/с= 1,3пгец, б) е= 12,3 кэВ = 2,4-10~2тес2, р = 0,66-10~23 кг-м/с = 0,7- 104пгео, в) е = 1,23 МэВ = 2,4/пес2, р = 0,66-10“21 кг-м/с = 0,7-l()Gmco.
6.20. v = — С---------------= 0,92с.
V- 1 + (/песХ/2л/г.)2
6.21. а) и б) F = №7/с = 1,43 нН.
6.22. а) <р (ш)=а/ш, где <z=0,40Z/i£ (ш2 — ш1) = 2,3-1021 фотон/(м2-с), б) /фОТ = <х1п (со2/Ы1) = 1,5.Ю21фотон/(м2-с) (шх и w2 — частоты, соответствующие границам видимой части спектра).
6.23. /.min = 2л/ c!eU = 0,025 нм.
6.24. U = 2nti,c-—= 25 кВ. еДХ
6.25. а) /г-~ 1,04• 10~31 Дж-с, б) А=1,8эВ (более поздние работа дают значение, немного превышающее 2 эВ).
6.26. Ао = 2nhc/A = 256 нм.
6.27. а) А = 2яАсДо=3,74эВ, б) Х=-------—-------— =262 нм.
1+е7П0/2л£с
6.28. <р= .- = 2,5 В.
т е
6.29. /нас 7 мкА.
6.30. а) ДВ/£ = Ас/(Х+Ас) «/.см = о,347-Ю-5 (Хс = 2л^/тес = ж= 0,002426 нм — комптоновская длина волны электрона), б) v = 2nh У 2/7.111^ = 1,47 км/с.
И. В, Сазельев
257
6.31. а) Д£'/£'=0,024,-6) и = 1,03* 107м/с= 0,034с.
6.32. а) Ек = e°‘..sin , где а = 2е/тс2,
' к 1 + a sin2 (0/2) ’ ' '
б) Ек = (e2/mc2) (1 — cos О). ________
6.33. а) Ек = (e2/mpc2) (1 —cos 0) = 1,07 кэВ, б) v= eV2ЕК /тл2 = = 1,5- 10~3с=4,5.10§м/с.
6.34. 6<р = 2гЛ (1 —cos 0) tg cp/mec^= Ы°.
6.35. — комптоновская длина волны данной частицы.
7р2 Г 1 \
6.36. rmin = 77-----j ( -т==--1 ) = 1,2.10-Мм.
2ле0т,хс2Д у2/с2 у
Ze2
6.37. 5 = =—----- ctg (0/2) = 3,3.10-14м.
2ле0таУ2 ь ' ‘ '
6.38. В СИ:
dN __ / 1 Ze2 \ a «И
N Па \ 4ле0 2трУ2 ) sin4 (О/2) ’
где п—число атомов в единице объема фольги, а а—толщина фольги, тр —масса протона, v — скорость протона.
В гауссовой системе — то же выражение, но без множителя 1/4пе0.
6.39. а) 100, б) 7,2; в) 1,8; г) 0,8; д) 0,5.
6.40. Р = лр1\1да (Ze2/im0EK'2IM= 1,4.10~4 (р — плотность, М — молярная масса золота).
6.41. Рр = 4Ра.
6.42. Первый потенциал возбуждения атомов ртути qpi = 4,9B, второй потенциал возбуждения <ра = 6,7В.
6.43. В СИ: Vi — (1/4зте0) е2Д = 2,2- 10е м/с. В гауссовой системе: = е2!% — 2,2 • 108 см/с.
6.44. В СИ: а) г1=4даой.2/тце2=го/2О7=2,56-10-« м (m(l/mc=207), б) Есв — т^/2 (4ле0)2 А2 = 2,82 кэВ.
В гауссовой системе: те же формулы, но без множителей 4ne0.
в) ct = 2,2-10е м/с (ср. с ответом к задаче 6.43), г) =
= 3,0-1012 оборотов.
6.45. а) В СИ: £,св = тпре4/2 (4ле0)2Й-2= 13,59 эВ, где и?Лр = = тстр/(те-[- тр)— приведенная масса системы электрон — протон.
В гауссовой системе: то же выражение, но без множителя (1/4ле0)2, б) 6 = —l/(l + mp/me) = —0,00054 = —0,054 %.
6.46. б = —1/(1+mp/mg) = —0,101 = —10,1 %.
6.47. r0 = ^a/meca — боровский радиус.
6.48. ягес4/&2 =—2Et, где Ег—энергия атома водорода в основном состоянии.
6.49. jit = еК/2те = 0,927.10~23 Дж/Тл = цб-
6.50. ptj-=<?Д/2тм = (1/207) рц.
6.51. р.п/Мп=е/2те.
6.52. а) гп = УГrih/tam, б) En = nha> (п=1, 2, ,,.).
6.53. a) am=R (2m-\-V)/m2 (m4~l)2. б) «ц:со2:ш3:й>4=5,4:1:0,35:0,16.
6.54. /? = е<р1-/Л = 2,07-1016с-1.
6.55. ф1 = 3£г/4е= 10,2 В.
6.56. е = 5е<рр/27= 1,9 эВ.
6.57. е = ЗЕ,/16 = 2,6эВ.
6.58. а) Х1=122нм, ^„0 = 91 нм, б) Хг = б57нм, А.„ = 365нм, в) Х1=1876вм, Х«, = 821нм.
258
6.59. R = 2,068- 10lec-1.
6.60. a) /.а=6б0пм, б) Xoo = 370hm,
6.61. Четыре линии.
6.62. 657 и 122 нм.
6.63. v = 7,0-105 м/с.
6.64. <р/ = 3,8 В.
6.65. <р,=2ллс/еХоо = 5,0В.
6.66. 7?; = 5,0эВ (экспериментальное значение равно 5,1 эВ).
6.67. <о/ = 5,1 В.
6.68. 1) 5S 4Р 4S ЗР 3S; 2) 5S 4Р -+ 3D -> ЗР 3S;
3) 5S -> 4Р -> 3S; 4) 5S -> ЗР 3S.
6.69. Асо = 2лс (12 — /Х^ = 3,2• 1012 с~ Ч
6.70. AE — 2nhc (Х2—Xi) AiX.2=2,1 мэВ.
6.71. Дш = R (1 /42 — 1 /52) = 4,65-Ю14 с~Ч
6.72. s = —0,41, р = —0,04.
6.73. Xi =820 нм и Х2 = 680нм.
6.74. s = —4,13.
6.75. a) v = 3tR/4mHc = 3,25 м/с, б) и = 5Й-7?/36тнс = 0,60 м/с.
6.76. £' = И^^1=1,66.10-2» Дж = 0,49-10-»ЙШ,
v = 2nft/mNaX= 2,95 см/с.
6.77. v = 0,79 см/с.
6.78. a) A7, = nA/ffiNac = 7,c/2 = 2,9-10~17 м (Хс —комптоновская длина волны атома), б) Д7. не зависит от энергии испущенного фотона.
6.79. v = h(i>y 2/ffiLic = 0,12 м/с.
6.80. v=V"^ + 2/nec2 (e — «p,)/mL.c= 14,3 м/с; атом движется под углом а = arctg [У2тес2 (е—е<р/)/е] =89,0° к направлению, в котором летел фотон.
6.81. a) C = f2^ l<1^Cu~^1/?“v.= l,253-Ю8 с~1/2 = ^Си —
.----ZvV 1/Х-Си'—2сиК l/7-v
= l,006/3R/4, g=—--------~=-------_ ___V = 1,12.
V 1Аси-К 1MV
V 2nc/l
6) Z — о -]--— = 26 — железо.
6.82. С= 1,336-108с-1,/2 = 1,07]/" 3R/4, а = 3,7. С увеличением Z график функции ]^a> = f(Z) все больше отклоняется от прямолинейности, постепенно загибаясь вверх.
6.83. a) C = 5,398-107c~1/2=1,007)/'5R736> о = 7,8, б) 2 = 78 — платина.
6.84. С = 5,098-Ю7 c-1/2 = 0,95K5R/36, <7 = 5,7.
6.85. У серебра. В (46/28)2 = 2,7 раза.
6.86. а) У = 22, б) Д£е/Д£'„ = 22. .
6.87. а) У = 32, б) AEP/Agr = 553.
6.88. го = 1/ЛЙ-//лПрДй> = 0,118 нм (/тгПр — приведенная масса атомов углерода и азота).
6.89. = (k//) //(/+!) = co V(7+1)/Л
6.90. сог = 5,8>101? рад/с.
6.91. Л;+1/^ = ехр (—Л<о/йТ) = 1/1716.
9*
259
„„„ „ч , 2лЙ Vl—о2с2 , 2лк
6.92. з) Л»— , о) Л»— . — — • 4
mv У2/пЕи (l-j-En/Smc2)
6.93. v = с/У1 = 0,707с.
6.94. a) v= 1,46-103 м/с, б) v = 0,73-107 м/с = 0,024 с.
6.95. а) Дх = 0,5 см, б) Дх ~ 10-14 см, в) Дх ~ 10~27 см.
6.96. Дх = 4лЙ//6//гсо= 1,5 мм=1506.
6.97. r= I tg [2 arcsin {kntilm^d)}, где fe—номер кольца; rj = 35 мм, г2 = 83 мм.
6.98. Et ~ Ута2.
6.99. Ео » Йш (точное значение равно Й-со/2).
6.160. v ~ hlm^r я 1С6 м/с ~ 0,01 с (ср. с ответом к задаче 6.43).
6.101. Р — | ib (х, у, г) ]2 dV.
у
6.102. урп = У 2/а sin (nwc/а), Еп = (n2’h2/2ma2) п2, где n—квантовое число, принимающее значения 1, 2, 3, ...
на Р 9 -ТУ V
6.103. Р=1—21 — sin2— dx = 0,500.
J а а о
6.104. a) dnjdE=:(a!nfl) У тъ!2Е,
б) с?я/!/£' = йгеа2/л2^2л = 0,83-102? Дж~*= 1,33-104 эВ-*,
= 1^ = 2,0-10-14 Дж = 0,12 МэВ.
6.105. АрП11 (лг, у) = У 4/S sin (Я1ПХ/а) • sin (п2лу/Ь), Еп^ П2 = = (п2У/2т) (,*!i/a2+ nl/b2), где S = ab—площадь ямы, щ и п2— квантовые числа, принимающие независимо друг от друга значения 123...
6.106. £*11 = 0,75 эВ, £'12 = £2i= эВ, £й2 = 3,02 эВ.
6.107. 1рП1) П2) Пз (х, у, г) = у 8/V sin (п^пх/а) -sin (п2п.у/Ь)Х
Xsin (n3nz/c), ДП11 „2, п3 = (л2Йа/2т) (тг(Уа2+я2/62 + пз/с2), где V — abc— объем ямы, Kf, п2, п5 — квантовые числа, принимающие независимо друг от друга значения 1,2,3, ...
„ ... ч , УУолР. .
6.108. а) 4’„ =------sin б) ; где п=1, 2, 3...
6.109. а) Л=1/КЪг«> б) <г> = а/2.
6.110. <г> = а/1^ 2л.
6.111. а) Л= 1/Ула3 У п, б) гВер = а> <г> = 2а/1^ л.
6.112. а) ЛДщП = Й (К 3/2) = 0,913-10~34 кг-м2/с. б) Электрон, протон, нейтрон и другие элементарные частицы со спином, равным 1/2, 6.113. М = 6,7- 1067Й.
260
6.114. a) <| x |> = Кй./лтш = а/К л = 0,564a = (}<л/2) <| х|>к_ =. = 0,886<|х|>кл, б) <G> = ftco/4 = E„/2. '
6.115. Ео = (&/2) У gjl = 1,65 • 10~33 Дж, а=К(4/т)К7/§ = = 0,58-10~15 м.
6.118. а) Д = 1/Клго, б) dP/dr=(4r2/ro) ехр (—2г/г0), в) гв„„=г0, г) <г> = Зг0/2, д) <(/> = —е2/г0, е) Рп = (2г)2 + 2т] + 1) ехр (—21]).
6.117. а) Р4 = 0,677, б) Р3/2=0,423, в) Р2=0,238, г) Р5=0,00276, д) Р1о = 4,45-10-’.
6.118. (V = (g4/g2)exp (Еш/й7) = 3,53-1010 (со — частота головной линии серии Лаймана).
6.119. а) М2 = 2&2 б) М2 = 12ЙА
6.120. а) 0, 1, 2, 3, 4; б).и в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 1/2, 3/2, 5/2.
6.121. Первый, второй, третий, четвертый и шестой.
6.122. 5F1? =F2, 3F3, 3F4, r>F6.
6.123. а) и б) из одной, в) из двух, г) и д) из трех, е) из пяти.
6.124. 5, 6, 7, ...
6.125. Для Р-состояния S может иметь значения: 1, 2, 3, ...; для £)-состояния 5=1.
6.126. а) х=1, б) и = 3, 5, 7, в) х — 2, 4, 6, 8, г) х = 6, 8.
6.127. a) 4S0, б) ХР„ 3Р2, 3Рх, 3Р0, в) 4S0, 3Р2, 3Р4, ?Р„, М)2.
6.128. a) 4F0/2, б) 2Р1/2.
6.129. a) 3F4 и 1G4; Mj = iv У 20, б) 450 и 3Р0; Mj = 0.
6.130. ьр4.
6.131. L=2, 3, 4, 5.
6.132. Mj = А1/3/4._
6.133. Mj = (Л/2) У35. 2£>5/2.
6.134. Mj = (Д/2) j<63. 2/77/2_
6.135. 3Р2.
6.136. 2р,/2.
6.137. 45 . , 2Ро/„, 2Р1/9, 2D.,.., 2D„,„. Основным является терм 453/2,
6.138. Второй, четвертый, пятый и седьмой.
6.139. ц = (4/7) ЦБ К 63.
6.140. р = (цб/2) У125.
6.141. 4£>1/2, 6Fi, ’Д2.
6.142. а) ц = цбК 2, б) ц = 0, в) р, = [д.б 2 2, г), д) и е)ц = 0.
6.143. а) Не расщепится, б) на три, в) на пять, г) на шесть.
6.144. а) На четыре, б) на три, в) на девять.
6.145. а) и б) расщепления не будет.
6.146. а = цБг^-. J^(lzr+/2)=0,28 мм.
6.147. а) ДЕ = 0, б) ДЕ=116 мкэВ, в) ДЕ = 232 мкэВ, г) ДЕ = «= 348 мкэВ.
6.148. Дсоо = 0,879-1011 с”1.
6.149. а) и б) Дсо = 0,88-101' c~J, в) и г) Дш = 0,59-101' с1, . д) Дш = 0,44-1011 с-1.
6.150. Дсо = 55Дсо'.
6.151. N = 2лс/ХДсо и 5• 104 штрихов (Дсо — интервал между зеемановскими компонентами; см. задачу 6.149),
261
6.152. a) l = a, б) / = а/ 3, в) / = а/ 5/4.
6.153. а = 46,6°.
6.154. а = 44,4°.
6.155. dNa = (//ли) da.
6.156. AVa=(S/2nu2)(od(o.
6.157. dNa = (V/nV) co2 da.
6.158. 0 = лАотг/А = 360 К (/г —постоянная Больцмана).
6.159. 6=(h/k) 2vV л/г = 406 К.
6.160. G-th/k) v 6л2п — 447 К.
6.161. а) <ш> = (1/2) /2Й=2,4.1013 с"1, б) <ш>=(2/3) ат=
= 2&0/ЗЙ-= 2,7-Ю13 с-1, в) <Ш> = (3/4)шЛ, = 3/г0/4А = 2,9-10И с"1.
6.162. а) 1420 К, б) 208 К, в) 76 К.
A. -1Z 18л2Ллр
М(1,Ц+2/-4)
6.163.
К.
6.164. Uo = (9/8) /?0 = 86О Дж (/?— газовая постоянная).
6.165. С2 = (TVT’i)3€7 = 0,022 Дж/(моль-К).
6.166. С « 2,4л4/? (770)3 = 0,16 Дж/(моль-К).
6.167. ет = 0,026 эВ, /, = 0,048 нм.
6.168. рт ~ 10-24 кг-м/с, /, = 0,66 нм.
6.169. рт к nA- рМ^/Л! = 1,3-10-24 кг-м/с.
6.170. Уровни энергии становятся в два раза гуще.
6.171. Нет, не зависит.
6.172. dnuiN.
6.173. nwN.
i -1’54-
6.175. a) em = 0,018 эВ, 6) </im> = l,0.
6.176. elm=—Nn (nd)2/qR =—1,8-Ю1^ Кл/кг.
6.177. /г = ZB/ea/734= 1,1 • 1029 м~3, ио = lU3i/bBU12 = 3,2- IO-3 м2/(В-с).
6.178. Нет, не зависит.
6.179. Плотность уровней dn/dE возрастет в г] раз.
6.180. Де уменьшится в 3 раза.
6.181. <Де> = 1,0-10~22 эВ.
6.182. Де = (2лА)3/4лУ(2т)3/2 V£.
6.183. а) 4,7-10-22 эВ, б) 1,5-10~22 эВ, в) 0,85-10~22 эВ, г) 0,66-10 - 22 эВ.
6.184. а) Ер (0)=(Зл2Мло/Л1)2/3Д2/2те=7,04эВ, б) <£>=3£> (0)/5= = 4,23 эВ, в) 7’ = 2<£>/ЗА = 3,27-104 К.
6.185. Ер » gF(0) 1-= (0) (1—2,2.10-?).
6.186. т] = 1 —(1/2)3/2 = 0,65.
6.187. п = 1 —(3/5)3/2 = 0,54.
6.188. Р = 0,5.
6.189. <п>=1.
6.190. В СИ: Фо = лй/е = 2,07-10_13 Вб, в гауссовой системе: Фо = лА-с/е = 2,07-Ю-’ Мкс.
6.191. Д£= 1,1 эВ.
:б2
6.192. a) a2/a1 = 7’i/7’2= 1/1,033; уменьшится в 1,033 раза (на 3,3%), б) ст2/сГ1 = 1,21; увеличится в 1,21 раз (на 21%).
6.193. A = kT (ТЬЩЬТ— 2) = 3,1 эВ.
6.194. £=1,55 кВ/м. Поле направлено от алюминиевой пластины к платиновой.
6.195. £ = е^ + Лда—Л№ = 9,7 эВ.
6.196. £внутр = (^2/2те) (Зл2)2/3 (п2/3-n^3) =6,2 В.
6.197. а) 6,93, б) 8,03, в) 8,45, г) 8,79, д) 8,76, е) 8,39, ж) 7,87, з) 7,59 МэВ.
6,198. а) Уд 2 (£24-£а — £х) Mint(М-/-/;;) = ! ,5-107 м/с, б) п= = К2 (£2 + Ед — £j) m/M (М + m) = 2,7.10Б м/с. (£х, £2 и £а — энергия связи исходного ядра, дочернего ядра и а-частицы, М —масса дочернего ядра, m — масса а-частицы).
6.199. а) 7’ = 1п 2/Л, в) т=1/Л, в) Т = т1п2.
6.200. т больше Т в 1,44 раза.
6.201. т] = ехр (—3) = 0,050.
6.202. 11 = 0,875.
6.203. Р= 1/2.
6.204. £=1—ехр (—//т). а) £=0,63, б) £=0,999955, в) £=0,095.
6.205. а) ^ = (^>T/lп2)[l— ехр (— /1п2/Т)], б) N = 6,2,1010, в) N « 6Г/1п2= 1,25-1011.
6.206. а) Л'у г-Л'хо[Л1/(Л2 —Xi)] [ехр (—Лх/) — ехр (— Л2/)], б) Im = 1П (WM/Ai— М-
6.207. /=3,5-103 лет.
263
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1.28. Воспользоваться выражением для косинуса угла между
двумя векторами (см. ответ к задаче 1.9).
, „ dv du dV
1.35. Использовать преобразование :——-==u—
at CIS dt CIS
1.37. Воспользоваться формулой exp (+x) » 1 i x, справедливой
для x < 1.
1.66. б) Чтобы решить получающееся для v дифференциальное уравнение, следует перейти к переменной х, связанной с v соотношением х = п— mgjk.
1.69. Воспользоваться формулой A = FEr = Fx.Ex-\-FyEy-\-FzEz.
1.94. Принять во внимание, что в случае центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от силового центра и имеющей направление к этому центру, траектория частицы представляет собой: а) гиперболу, если полная энергия частицы Е > 0, б) параболу, если £ = 0, в) эллипс, если Е < 0.
1.122. Написать выражения для момента импульса относительно двух произвольных точек О и О', смещенных друг относительно друга на отрезок Ь, и убедиться .в том, что эти выражения равны друг Другу.
1.125. а) Воспользоваться тем, что модуль момента вектора равен произведению модуля вектора на плечо; б) использовать соотношение ДМ = N dt.
1.129. Перейти в ц-систему, которая движется относительно л-сиетемы вниз (на рисунке) со скоростью v. В ц-системе события разыгрываются в точности так, как в задаче 1.127. После рассмотрения процессов соударений вернуться в л-систему.
1.130. См, указание к задаче 1.129.
1.143. См. задачи 1.35 и 1.36.
1.146. При повороте направления от 0 к 0' на угол Дер направление от 0' к 0 поворачивается на тот же угол Д<р (рис. 25). Отсюда следует, что со = со'.
1.212. Угол ср определяется соотношением sin <р = (со'/со) sin ta-'p). Положив в правой части <р = 0, получим в первом приближении ф! = 0,286 ° и т. д.
1.219. Воспользоваться результатом задачи 1.218.
1.220. Воспользоваться результатом задачи 1.219.
1,221. См. задачу 1.220.
1.224. Телесным углом Q называется часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью. Телесный угол измеряется отношением площади S, вырезаемой им на сфере с центром в 264
вершине конической поверхности, к квадрату радиуса сферы: Q = = S/R2.
1.227. Рассмотреть действие на материальную точку т бесконечно тонкого однородного шарового слоя. Разбить слой на противолежащие элементарные площадки dSt и dS2 (рис. 26), отвечающие одинаковому телесному углу dQ. Величина i-й площадки dS,— dfi/cos а/. Из рисунка следует, что аг = а2. Поэтому dSttnr}. Отсюда легко заключить, что силы, с которыми участки слоя dSx и dS2 действуют на т, уравновешивают друг друга.
Рис. 25
1.230. Вычисления целесообразно вести в сферических координатах, представив элемент массы слоя в виде dM = (Л4/4л) sin О dQ dtp и поместив частицу иа полярной оси.
1.241. Воспользоваться результатом задачи 1.240.
1.244. Использовать законы сохранения энергии и момента импульса, а также результаты задач 1.242 и 1.243. Для упрощения выкладок целесообразно ввести обозначения: х = а =
— gR/vo cos2 а.
. „ dv dv dr dv
1.246. Принять во внимание соотношения: —г~——-----— ——v,
dt dr dt dr
dt=±.
v
1.291. б) Сила трения FTp =—rx, где r = 2Pm. Следовательно, т т
Лтр= С Гтрл:£Й=—г J х2 dt — —^-га2ш2Т=—па(гаш)=—ла(2[5шат). о о
Из формулы tg ф = 2Р(о/((Оо — со2) вытекает, что sin ф = = 2Pw/|/<(wo—w2)2+ 4(32w2 = 2f3w (am/Fm). Отсюда 2$(мт= Fm sin ф. Подстановка этого значения в выражение для работы дает: Лтр = — —naFт sinф — 14вын.
1.337. Воспользоваться формулой преобразования энергии: Е' = = (Е—1 — (З2; ₽ определить из соотношения £ = mc2/K 1 — (З2! учесть, что рх = —р =—Ev/c2 ——Efyc (скорость системы К' по отношению к системе /< и модуль скорости протонов в.системе /< совпадают).
265
1,346. а) Предположив, что сила сопротивления определяется формулой Стокса, получим для предельной скорости шарика значение u0 = 2g(p — ро) г2/9т). Этой скорости соответствует значение числа Рейнольдса Re — 0,19, меньшее чем 0,25. Отсюда следует, что сделанное предположение справедливо — силу сопротивления можно определять по формуле Стокса, в) При нахождении т пренебречь е~ах по сравнению с единицей.
2.45. Воспользоваться уравнением первого начала термодинамики.
2.46. См. указание к задаче 2.45.
2.88. Перейти в распределении Максвелла к переменной и = п/пвер и произвести вычисления по формуле Дп/п = /(п)Ди, положив и—1, Ди = 0,02.
2.123. Воспользоваться соотношением d'Q=T dS.
2.142. Использовать результаты задачи 2.140.
2.145. Воспользоваться уравнением первого начала термодинамики и соотношением F = U — TS.
2.177. Использовать ответ к задаче 2.176 и формулу In (1 ± х) as и ±х (для х<1).
2.192. Ввиду малой плотности пара можно считать, что он ведет себя как идеальный газ.
2.201. v = (<v>/X) (rt/2) (и — число молекул в единице объема).
2.207. Выделим на верхнем диске кольцо радиуса г и ширины dr. На кольцо действует сила трения dF = i] (dv/dz) dS = т] (гы/а) 2яг dr. Момент этой силы dN~rdF. Полный момент силы трения, прило-
R
женный к верхнему диску N ~ J dN = 2m] (co/а) г3 dr — ш\шК*/2а.
о
2.208. См. указание к задаче 2.207.
3.17. Для нахождения Е поместить в центр полусферы начало сферической системы координат, разбить поверхность полусферы на элементы площади dS = R2 sin 0 d0 drp.
3.31. Воспользоваться результатом задачи 3.30 и принципом суперпозиции полей.
3.32. Воспользоваться результатом задачи 3.31 и принципом суперпозиции полей.
3.35. См. указание к задаче 3.32.
3.36. Учесть, что «длина» диполя I много меньше г, пренебречь членами, содержащими степени отношения Ijr выше первой. Вычислив ф, найти радиальную Ег и перпендикулярную к ней составляющую напряженности поля.
3.51. При разложении выражения (1-фх)-1/2, где х=(а/г)2 — — 2 (a/r) cos а, учесть член, квадратичный по х, и лишь в окончательном результате отбросить слагаемые, содержащие отношение а(г в степенях, больших двух (а — угол между направлением от -фе к —е и направлением от -фе на данную точку поля; по этому углу производится усреднение).
3.56. Воспользоваться теоремой Остроградского — Гаусса.
3.59. Ввести оси х и у, перпендикулярные к нити, и выразить Е через орты этих осей. Учесть, что нормаль к сфере равна ег = г/г.
3.62. Воспользоваться формулой vE = p/e0.
3.75. См. указание к задаче 1.227.
3.78. Воспользоваться векторным выражением для напряженности поля внутри объемно заряженного шара и принципом суперпозиции полей.
3.103. Из условия равновесия зарядов на проводнике вытекает,
266
что поле внутри металла, представляющее собой суперпозицию поля заряда q и поля индуцированных на стенке поверхностных зарядов о, равно нулю. Следовательно, поле, создаваемое зарядами а в металле, совпадает С полем, которое создавал бы заряд —q, помещенный в ту же точку, где находится заряд q. В силу симметрии поле, создаваемое зарядами а вне металла, совпадает с полем, которое создал бы заряд —q, помещенный в точку внутри металла, являющуюся зеркальным изображением точки, в которой находится заряд q (рис. 27). Фиктивный заряд —q называют изображением заряда q, а метод решения с использованием таких фиктивных зарядов — методом изображений.
3.126. Применить формулу W = -i- J <р (г') р (г') dV' и использо-V
вать ответ задачи 3.14.
3.137. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены сопротивлением, равным искомому сопротивлению R.
3.155. Существуют два способа решения.
1. Предположить, что заряженный до напряжения U и отключен-
ный от источника тока конденсатор среду. Написать для момента времени, следующего сразу за погружением, выражение для силы тока, текущего через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую одну из обкладок конденсатора. Затем применить к той же поверхности теорему Гаусса дляЕ.
2. Разбить пространство между обкладками на очень малые (в пределе — бесконечно малые) объемы, ограниченные эквипотенциальными поверхностями и линиями Е (совпадающими с линиями j). На-
погружается в рассматриваемую
Рис. 27
писать выражения для сопротивления и емкости возникшей в результате такого разбиения параллельно-последовательной системы бесконечно большого числа сопротивлений (конденсаторов).
3.156. Воспользоваться результатами задач 3.121 и 3.155. .
3.157. Ток через поверхность радиуса г (а < г < Ь) равен I (г) = = 4nr2j (г) = 4пг2аЕ (г), где Е (г) = (4nee0)-1 q (r)/r2 (q (г) — сторонний заряд, заключенный внутри сферы радиуса г). Силу тока / (г) можно представить в виде —dq (r)ldt. Заменив I (г) и Е (г) их значениями, придем к уравнению q (г) =—(а/ее0) q (г). Его решение имеет вид (7 (г) = ехр (—а//ее0). Это выражение не зависит от г. Отсюда вытекает, что избыточный заряд имеется только на внутренней обкладке. Таким образом, заряд на внутренней обкладке изменяется по закону <7 = ^оехр(—<т//ее0).
Продифференцировав q (г) по t, получим выражение для силы тока
1 (И = —? (г) = (а<7о/еео) ехр (—ст//ее0), которое также не зависит от
267
Выделившееся количество теплоты находим по формуле
00
Q — ^RHdt, о
где в качестве R нужно взять значение, найденное в задаче 3.141 (заменив р на о).
3.179. Воспользоваться ответом к задаче 3.178 и принципом суперпозиции полей.
3.184. Считать ток распределенным равномерно в радиальном направлении.
3.193. Рассмотреть циркуляцию вектора Н по произвольному контуру, расположенному на сферической поверхности радиуса г (а < г < ft); учесть токи смещения.
3.203. Из теоремы о циркуляции вектора Н получается следующее уравнение, связывающее Н и В в железе:
в = _• И = а __ kH.
о о
Кроме того, между В и Н в железе имеете» соотношение В =f (Н), изображенное графически на рис. 3.37. Искомые значения Н и В удовлетворяют одновременно обоим уравнениям. Решив эту систему уравнений графически (т. е. найдя координаты точки пересечения прямой В = сг — kH с кривой B-f(H')'), получим 77 = 0,33 кА/м, В = = 1,3 Тл. Дальнейшие выкладки предоставляем читателю.
3.213. Для нахождения Li вычислить энергию связанного с кабелем магнитного поля.
3.226. Воспользоваться выражением для энергии тока.
3.227. Формула w — для плотности магнитной энергии годится только в случае линейной связи между Н и В. В противном в
случае плотность энергии находится по формуле ш = И dB. Значе-о
ние этого интеграла можно определить путем подсчета числа клеточек под кривой H==f(B) на рис. 3.37. Напряженность Н в сердечнике находится по теореме о циркуляции.
3.247. Воспользоваться векторной диаграммой. Приняв за исходную ось U, построить векторы токов, текущих через ветвь С и ветвь L, R. Сумма этих векторов даст вектор тока. /j.
3.256. Приняв за исходную ось напряжения UK, приложенного к контуру, построить совместную векторную диаграмму для токов 1С, ![_, В' и напРяжений UK, U ]>, U. Рассмотреть треугольник, образованный токами, а также треугольник, образованный напряжениями.
4.5. Разность фаз в точках, отстоящих друг от друга на расстояние Дх, определяется выражением 6ф = 2лДхД. При вычислении In г; воспользоваться тем, что т; мало отличается от единицы.
4.25. При вычислении интеграла воспользоваться тем, что среднее за период значение квадрата синуса равно 1 /2.
4.28. См. формулу для v в условии задачи 4,26.
4.31. См. задачу 4.30.
4.33. См. формулу для v в условии задачи 4,26.
4.40. Уравнение вида Igr0 = a—Ьг^ решить графически, построив на миллиметровке графики функций lg г0 и а — Ьг(). Целесообразный масштаб: 50 мм для единицы по оси ординат, 50 мм для 1000 м по оси абсцисс.
268
Можно решить это уравнение и методом последовательных приближений. Представим уравнение в виде r0 = (a— lg r0)!b. Из характера задачи ясно, что г0 > 200 м. Возьмем в качестве нулевого приближения значение го = 200 м. Подставим его логарифм в правую часть уравнения. В результате получим значение г0 = г§\ Подставим его логарифм в правую часть уравнения — получим значение го2> и т. д. Уже г!/’ отличается от точного значения примерно на 1 %, а гд5’ —на 0,3%.
4.55. Воспользоваться тем, что t на много порядков больше периода волны Т.
4.56. Учесть магнитное поле, создаваемое током смещения.
4.57. Учесть электрическое поле, создаваемое изменяющимся магнитным полем.
4.61. Плотность потока энергии, излучаемой диполем в направлении, образующем с его осью угол О, пропорциональна sin21>.
5.24. Воспользоваться графиком, изображенным на рис. 5.9.
5.34. Колебание светового вектора в результирующей волне имеет вид E = Ai cos co/-J-A2 cos (ю/Да). Результирующая интенсивность I = <Е2> = <[Af cos2 со/ + Аг cos2 (со/Да) Д-
+ 2AiA2 cos со/ cos (со/ -фа)]> = Ai/2 + Аг/2 = /1 + /2 (AiA2 = 0).
5.47. б) N равно максимальному нечетному целому числу, которое не превосходит значение выражения 4г5ср2Д (г + &).
5.48. а) См. ответ к задаче 5.7. б) N равно максимальному нечетному целому числу, которое не превосходит значение выражения 4сгЬ (re— I)2 'иДД (а-|-/>).
5.49. а) См. задачу 5.39. б) N равно максимальному нечетному целому числу, которое не превосходит значение выражения МаФ8/Х.
5.51. Учесть, что в случае лазерного пучка волны, отраженные от обеих поверхностей пластинки, когерентны и будут интерферировать.
5.72. Комплексная амплитуда Л результирующего колебания оказывается в данном случае вещественной и равной сумме членов N
геометрической прогрессии 2 (—р)”1-1.
т= 1
5.86. Воспользоваться кривой Корню (рис. 5.22) и приведенной в условии задачи 5.83 формулой, связывающей параметр v с координатой х.
5.88. Воспользоваться кривой Корию (рис. 5.22).
5.102. Интенсивность, создаваемая решеткой под углом <р, определяется формулой
_____ sin2 (лЬ sin tp/Л) sin2 (Nnd sill cp/A) реш— о sin ср/А)2 sin2 (nd sin <р/Х) ’
где /0 — интенсивность, создаваемая одной щелью под углом <р = 0, N — число щелей. Для m-го максимума sintp/X=m/d. Интенсивность /0 пропорциональна квадрату ширины щели, т. е. пропорциональна х2. С учетом этого получаем, что /реш пропорциональна sin2 (mnx). Максимум этой величины достигается при значениях х, удовлетворяющих условию тлх = (йД- 1/2) л; нулевое значение —при условии, что тлх = kit.
269
5.122. На одну гранецентрированную ячейку приходится четыре атома. Расстояние между атомными плоскостями равно 1/2 ребра ячейки.
5.139. Выразить Р и Pi через долю «1 интенсивности, пропускаемой одним поляризатором в его плоскости, и долю а2 интенсивности, пропускаемой в перпендикулярной плоскости. Затем исключить «1 и а2 из получившихся уравнений.
5.141. См. указание к задаче 5.139.
5.147. См. Приложение 9.
5.153. См. задачу 5.24.
5.154. Вычислить поляризованность плазмы Р, затем—диэлектрическую восприимчивость и и, наконец, проницаемость е.
6.104. Уровни располагаются очень густо. Поэтому при вычислении dn/dE можно считать, что переменная п в выражении для Еп изменяется непрерывно.
6.105. Представив пси-функцию в виде ф (х, у) ~ A sin feiX-sin k2y, найти значения ki и k2, удовлетворяющие граничным условиям. Для нахождения значений энергии подставить удовлетворяющее граничным условиям выражение для ф (х, у) в уравнение Шрёдингера.
6,108. Воспользоваться уравнением Шрёдингера в сферических координатах и учесть, что дф/дО- и дф/<?<р равны нулю.
6.135. Воспользоваться правилами Хунда.
6.136. Составить таблицу, аналогичную табл. 37.2 в княге И. В. Савельева «Курс общей физики», т. 3, § 37 (М.— Наука, 1987). Применить правило Хунда.
6.137. См. указание к задаче 6.136.
6.145. В случае б) £ = 0.
6,169. Определить межатомное расстояние d и положить Xmin « 2d.
270
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические постоянные
Атомная единица массы Боровский радиус Универсальная газовая постоянная Гравитационная постоянная Магнетон Бора Масса нейтрона Масса протона Масса электрона Постоянная Авогадро Постоянная Больцмана Постоянная закона смещения Вина Постоянная Планка Постоянная Ридберга Постоянная Стефана — Больцма-' на Скорость света в вакууме Стандартное атмосферное давление Стандартное ускорение свободного падения Элементарный заряд Электрическая постоянная Магнитная постоянная 1 , _ /1,6605655. 10-27 кг 1 а. е. м.~^931)42 МэВ г0 = 0,52917706-10-10 и 7? = 8,31441 Дж/(моль-К) у = 6,6720-10-11 Н-ма/кг2 10,9274078-10-23 Дж/Тл ^Б-\0,9274078-10-20 эрг/Гс __ f 1,6749543-10 - 27 кг “/939,57 МэВ _ 1 1,6726485.10-2’ кг /938,28 МэВ _ /0,9109534.10-30 кг те~ /0,51100 МэВ МА =6,022045.1023 моль-Л . _ / 1,380662-10-23 Дж/К /0,8617082.10-4 эВ/К 5 = 2,898-10-3 м-К + _ / 1,0545887-10-34 Дж-с а ~ /0,6582176-10~15 эВ-с R = 2,0670687- 101в с-1 0 = 5,670.10-8 Вт/(ма-К4) с = 2,99792458-108 м/с р= 1013,25 гПа £ = 9,80665 м/с1? _ / 1,6022-10-1Э Кл е ~ /4,803-10-1» СГСЭ l/4ned = 8,9875-10® Н-м2/Кл2 цо/4л=1О-’ Н/А2
271
2. Единицы и размерности физических величин в СИ
Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены полужирным шрифтом) и дополни-ю тельных единиц СИ. Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком
Величина Единица
наименование размерность наименование обозначение связь с основными единицами СИ
Длина L метр “астропомическ а я единица длины “световой год “парсек' м а. е. св. год ПК Основная единица Метр представляет собой расстояние, проходимое в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299 792 458 долю секунды 1 а. е. = 1,49598-1011 м' 1 св. год-9,4605-1015 м 1 пк = 3,0857-1016 м
Площадь L3 квадратный метр °гектар м2 га 1 га = 104 м2
Объем L3 кубический метр “литр м3 л 1 л = 10~3 м3
Плоский угол радиан рад Дополнительная единица Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу
“градус “минута “секунда
Телесный угол — стерадиан
Времи т секунда
“минута “час “сутки
Скорость LT-1 метр в секунду
Ускорение LT~2 метр на секунду в квадрате
Угловая скорость Т-1 радиан в секунду
Угловое ускорение Т-2 радиан на секунду в квадрате
о г, п 1° = (л/180) рад 1' = (л/10 800) рад 1" = (л/648 ООО) рад
ср Дополнительная единица Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы
с мин ч сут Основная единица Секунда равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 1 мин = 60 с 1 ч = 3600 с 1 сут = 86 400 с
м/с
м/с2
рад/с 1 рад/с = 1 с-1
рад/с? 1 рад/с? =1 с_3
Продолжение
Величина Единица
наименование размерность наименование обозначение связь с основными единицами СИ
Частота периодического процесса Т-1 герц Гц 1 Гц=1 с-1
Частота вращения Т-1 секунда в минус первой степени С-1
Масса м килограмм °тонна °атомная единица массы кг т а. е, м. Основная единица Килограмм равен массе международного прототипа килограмма 1 т= 103 кг 1 а. е. м. = 1,6605655-10~?7 кг
Плотность L-3M килограмм на кубический метр кг/м3
Удельный объем L3M-1 кубический метр на килограмм м3/кг
Массовый расход мт-i килограмм всекун' ДУ кг/с
Объемный расход L3T-1 кубический метр в секунду м3/с
Сила LMT~2 ньютон н 1 Н — 1 кг-м-с~2
Давление L-iMT-2 паскаль Па 1 Па=1 Н/м2 = 1 м_1-кг-с~2
Жесткость мт-2 ньютон на метр Н/м 1 Н/м = 1 кг-с~2
Напряжение (механическое) L-iMT-2 паскаль Па 1 Па = 1 Н/м2 = 1 м_1-кг-с~2
Динамическая вязкость L-iMT-i паскаль-секунда Па-с 1 Па-с = 1 м-1-кг-с~1
Кинематическая вязкость L2T-1 квадратный метр в секунду м2/с
Поверхностное натяжение мт-2 ньютон на метр Н/м 1 Н/м = 1 кг-с~2
Импульс LMT-1 килограмм-метр в секунду кг-м/с
Момент силы L2MT-2 ньютон-метр Н-м 1 Н-м = 1 м2-кг-с“2
Момент импульса L2MT~1 килограмм-метр в квадрате в секунду кг • м2/с
Момент инерции L2M килограмм-метр в квадрате кг-м2
П родолжение
Величина Единица
наименование размерность наименование обозначение связь с основными единицами СИ
Работа, энергия L2MT-2 джоуль Дж 1 Дж=1 Н.м = 1 м2-кг-с~2
Мощность, поток энергии L2MT~3 ватт Вт 1 Вт=1 Дж/с—1 м3-кг-с-3
Температура (термодинамическая) 0 кельвин °градус Цельсия К °C Основная единица Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды //“С^Т/К —273,15
Температурный коэффициент 0-1 кельвин в минус первой степени к-i
Температурный градиент L-i© кельвин на метр К/м
Количество вещества N моль МОЛЬ Основная единица Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг При применении моля структурные элементы должны быть специфицировании
могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц
Молярная масса MN~i килограмм на моль кг/моль
Молярный объем L3N~l кубический метр на моль м3/моль
Количество теплоты (теплота) L2MT-2 джоуль Дж 1 Дж = 1 Н-м = 1 м2-кг-с-2
Удельная теплота L2T~2 джоуль на килограмм Дж/кг 1 Дж/кг=1 м--с"2
Молярная теплота L2MT~2N-1 джоуль на моль Дж/моль 1 Дж/моль = 1 м2-кг-с~2 моль-1
Теплоемкость, энтропия джоуль на кельвин Дж/К 1 Дж/К = 1 м2-кг-с~2-К-1
Удельная теплоемкость, удельная энтропия L2T-20-i джоуль на килограмм-кельвин Дж/(кг-К) 1 Дж/(кг-К) = 1-м2-с~2-К-1
Молярная теплоемкость, молярная энтропия L2MT-20-1N-1 джоуль на моль-кельвин Дж/(моль-К) 1 Дж/(моль-К) 1 м2-кг.с-2-К-1-моль-1
Тепловой поток L2MT-3 ватт Вт 1 Вт--1 Дж/с=-1 м2-кг-с-3
П рсдолжение
Величина Единица
наименование размерность наименование обозначение связь с основными единицами СИ
Плотность теплового потока МТ-3 ватт на квадратный метр В т/м2 1 Вт/м2: КГ-С”3
Теплопроводность LMT-30-1 ватт на метр-кельвин Вт/(м-К) 1 Вт/(м-К) = 1 м-кг-с-з-К-1
Коэффициент теплопередачи МТ"3©-1 ватт на квадратный метр-кельвин Вт/(м2-К) 1 Вт/(м2-К) = 1 кг-с-з-К”1
Концентрация (плотность числа частиц) L-? метр в минус третьей степени м-3
Молярная концентрация L-3N моль на кубический метр моль/м3
Коэффициент диффузии L2T-i квадратный метр на секунду м2/с
Сила электрического тока I ампер А Основная единица Ампер равен силе пеизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, рас-
Плотность электрического тока L-4 ампер на квадратный метр
Количество электричества (электрический заряд) TI кулон
Поверхностная плотность электрического заряда L~2TI кулон на квадратный метр
Пространственная плотность электрического заряда L~3TI кулон на кубический метр
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электри-. ческих потенциалов, электродвижущая сила L-МТ-"l-i ВОЛЬТ
Напряженность электрического поля LMT-M-i вольт на метр
положенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2-10-- Н
А/м3
Кл 1 Кл — 1 с • А
Кл/м2 1 кл/м2 = 1 м~2 с-А
Кл/м3 1 Кл/м3=1 м-3-с-А
В 1 В = 1 Вт/А = 1 м2-кг-с~3-А-1
В/м 1 В/м—1 Вт/(А-м) = 1 м-кг-с~3-А~1
П р одолжение
Величина Единица
наименование размерность наименование обозначение связь с основными единицами СИ
Электрическое сопротивление LaMT-3I-2 ОМ Ом 1 Ом-1 В/А= 1 -м^кг-с-3-А_?
Удельное электрическое сопротивление L3MT-3I~2 ом* метр Ом-м 1 Ом-м —1 м3-кг-с~3-А~2
Электрическая проводимость L-2M-JT3!2 сименс См 1 См — I Ом _ 1 =-1 м _ 2 • кг _ 1 • с3 • А2
Удельная электрическая проводимость L-sM-1?3!3 сименс на метр См/м 1 См/м—= 1 Ом-1-м-1 = 1 м_3-кг-1-с3-А2
Электрическая емкость L-2M-1T4!3 фарад ф 1 Ф = 1 Кл/В = 1 м-2-кг-1-с4-А2
Электрическая постоянная, абсолютная диэлектрическая проницаемость L~3M-iTq2 фарад на метр Ф/м 1 Ф/м=1 м~3-кг~:1-с‘1-А2
Поток электрического смещения TI кулон Кл 1 Кл^1 с-А
Электрическое смещение L-2TI кулон на квадратный метр Кл/м2 1 Кл/м2 = 1 м”2-с-А
Магнитный поток (поток магнитной индукции) L2MT-2I-1 вебер Вб 1 36—1 Б с =-1 Тл • ма — = 1 м2-кг-с~2.А-1
Магнитная индукция (плотность магнитного потока) МТ"2!-1 тесла Тл 1 Тл=-1 В-с/м2^1 Вб/м2 = = 1 кг-с~2-А-1
Индуктивность L2MT“2I-2 генри г» 1 Гп— 1 м2-кг-с-2-А“2
Магнитная постоянная, абсолютная магнитная проницаемость LMT"2!-2 генри па метр Гн/м 1 Гн/м=1 м-кг-с-2-А~2
Напряженность магнитного поля L-Ч ампер на метр А/м
Энергия излучения L2MT~2 джоуль Дж 1 Дж—1 м2-кг-с“2
Мощность излучения (поток излучения) L2MT_? ватт Вт 1 Вт—1 Дж/с=1 м3-кг.с~3
Интенсивность излучения (плотность потока излучения) мт-* ватт на квадратный метр В т/м2 1 Вт/м2=1 кг-с~3
Продолжение
Величина Единица
наименование размерность наименование обозначение связь с основными единицами СИ
Поток .частиц T~i секунда в минус первой степени с-1
Плотность потока частиц L-2T-1 секунда в минус первой степени на метр в Минус второй степени с-1-м~2
Сила света J кандела кд Основная единица Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540-1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср
Световой поток J люмен ЛМ 1 лм = 1 кд-ср
Световая энергия TJ люмен-секунда ЛМ»С 1 лм-с—1 с-кд-ср
Светимость L~?J люмен на квадратный метр
Освещенность L~2J люкс
Яркость L~2J кандела на квадратный метр
Оптическая сила L-* “диоптрия
Энергетическая сила света (сила излучения) L2MT_? ватт на стерадиан
Энергетическая светимость (излуча-тельность) мт-а ^ватт на квадратный метр
Энергетическая освещенность (облученность) МТ-з ватт на квадратный метр
Энергетическая яркость (лучистость) МТ-а ватт на стерадиан-квадратный метр
лм/м? 1 лм/м3=1 м~2-кд-ср
лк 1 лк = 1 лм/м2 = 1 м~2-кд-ср
кд/м2
дптр 1 дптр = 1 м-2
Вт/ср 1 Вт/ср — 1 м2-кг-с_3-ср-2
Вт/м2 1 Вт/м2=1 КГ-С~2
Вт/м2 1 Вт/м2=1 кг-с-2 .
ВтДср-м2) 1 Вт/(ср>м2) — 1 •КГ'С-3-Ср-1.
3. Астрономические величины
Величина Ее значение
Масса (в кг) Солнца Земли Луны Средний радиус (в м) Солнца Земли Луны Среднее расстояние (в м) от Солнца до Земли от Солнца до Юпитера от Земли до Луны 1,'97-Ю30 5,96-1021 7,35. Ю23 6,96.108 6,37-106 1,74-Ю3 1,496.104 7,778.104 3,844.103
4. Плотность веществ
Вещество р, 103 кг/м3 Вещество р, 103 кг/м3
Алюминий Бериллий Калий 2,70 1,84 0,8Г Медь Ртуть Соль NaCl 8,93 13,6 2,17
5. Постоянные газов (при нормальных условиях)
Газ Относительная молекулярная масса Диаметр молекулы d, нм Коэффициент самодиффузии D, 10“4 ма/с Вязкость Г], мкПа-с Теплопроводность X, Вт/(м-К)
Аг 40 0,35 0,16 21,0 0,017
Не 4 0,20 1,62 20,7 0,143
на 2 0,27 1,28 8,6 0,168
n2 28 0,37 0,17 16,7 0,024
02 32 0,35 0,18 19,9 0,025
Воздух 29 —— 17,2 0,024
284
6. Постоянные Ван-дер-Ваальса
Газ а, Па-м6/моль2 Ь, 10""5 м8/моль
Азот (N2) 0,135 3,9
Водород (Н2) 0,024 2,7
Кислород (О2) 0,136 3,2
7. Постоянные воды и льда
Величина Ее значение
Удельная теплоемкость (в кДж/(кг*К)) воды льда Удельная теплота (в кДж/кг) плавления льда парообразования воды 4,18 2,10 333 2250
8. Поверхностное натяжение
Вещество а, Н/м Вещество а, Н/м
Вода 0,073 Ртуть 0,470
9. Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам спектра
Цвет спектра Интервал длин волн, нм Цвет спектра Интервал длин волн, нм
Фиолетовый Синий Голубой Зеленый 400—450 450—480 480—500 500—560 Желтый Оранжевый Красный 560—590 590—620 620—760
285
10. Работа выхода электрона из металла
Металл А, эВ Металл А, эВ
Алюминий Натрий 3,74 2,27 Никель Цинк 4,84 3,74
11. Атомный номер н масса некоторых элементарных частиц н изотопов
Z Название Символ m, a. e. м
Электрон е 0,0005485
— Нейтрон п 1,0086650
1 Протон р 1,0072765
1 Водород »н 1,007825
5 Бор ИВ 11,0093
10 Неон 20Ne 19,99244
14 Кремний 28Sj 27,9769
26 Железо 66Fe 55,9349
30 Цинк esZn 67,9248
56 Барий 137Ba 136,9058
82 Свинец 2о?рь 206,9759
92 Уран 235U 235,04393
12. Формулы для приближенных вычислении
Неравенства указывают значения х, при которых расчет по при-лбиженным формулам приводит к ошибкам, не превышающим 0,1 %.
1 1 ± slTx, x < 0,031
/тть s x’ x < 0,093
S1~V’ x < 0,085
И±х, x < 0,045
In (1 ± x) ? Й ±x, x < 0,045
sin x £ i X x < 0,077 рад (4,4 °)
COS X Й i 1— * x < 0,387 рад (22,2 °;
286
13. Вычисление сумм при помощи интегралов
Пусть имеется сумма вида
2 f (a+nh) = f(a)+f (a+h)+f (а+2й) + . п=0
где / (х)— некоторая, не слишком быстро изменяющаяся функция; h — малая величина; b = a-\-Nh.
Легко сообразить, что искомая сумма равна площади S изображенных на рис. 28 столбиков, деленной на h. Заменив площадь столбиков площадью, ограниченной кривой f (х), можно написать, что ь
s « J / W dx+ у hf (a)+yhf (b).. a
Отсюда следует приближенное соотношение
ь
f (<*)+/ (? + h) + f (a+2/i)+ ,,. +f (6) dx+ 1 f(a) + ~f(b}.
a
Отметим, что при уменьшении величины h точность формулы возрастает.
14. Некоторые математические формулы
, „ - « + Р О£— Р
cos а + cos р = 2 cos —cos —,
At At
sin a + sin P = 2 sin —cos а - >
Площадь эллипса S — nab, где а и b—полуоси эллипса.
a [be] = b [ca] = c [ab],
[a [be]] = b (ас) —c (ab).
287
П родолжение
(arcsin х) - ’ (arctg х} -1+^ •
' dx 1.x “ТП—5=~ arctg— , а~-\ х- а а
dx
a2 Jr х2 dx
+ Х2)3/2 dx х2 — а2
dx
— а-
arcsin — , а
х2 dx
а2 — х2
а2
arcsin —----У а2 — х2
а 2
2
С g-fix dx = 4- ,
J Р
о
о
о
о
, Je-^x3dx=^.
о 0
15. Некоторые числа
е = 2,718282 1g е=0,434294 In 10 = 2,302585 In x = 2,3026 1g x л = 3,1415926 л2 = 9,869624
1g х = 0,4343 In х У л = 1,7724538
16. Десятичные приставки к названиям единиц
Г — гига (109) М—мега (106) к — кило (103) г—гекто (102) с—санти (10 ~2) м — милли (10~3) мк—микро (10-6) н — нано (10~9) п —ПИКО (10~12)
288