/
Author: Волчкевич М.А.
Tags: прикладные науки медицина технология аналитическая геометрия геометрия задачи по геометрии издательство просвещение
ISBN: 978-5-09-075052-3
Year: 2020
Text
М.А.Волчкевич
Е К
АЕ
ГЕОМЕТР И
7
Учебное пособие
для общеобразовательных
организаций
Под редакцией
И. В.Ященко
1
1
Москва
«Просвещение»
2020
УДК
6+
373:514+54(075.3)
БЕК 22.151я721
В67
Рубрикатор
ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Дополнительная
информация
по
между
теории,
ными
связь
дисциплинами,
науч
истори
ческие сведения
Подробный разбор задач всех
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
типов с
решениями
Упражнения практического ха
УПРАЖНЕНИЯ
рактера
для
освоения
нового
материала
* f:.
ЗАДАЧИ
**l
**
Простые
Задачи для самостоятельного
Типовые
решения
Повышенной сложности
ности
трёх
уровней
слож
Вопросы на повторение мате
ВОПРОСЫ
риала параграфа
ВИДЫ ВЫДЕЛЕН ИЙ В ТЕКСТЕ
е
Естественно-научные
~
~
В67
о пределе-
ни я
«Обратите
теоремы,
Теоремы,
внимание!»
Аксиомы,
свойства, признаки
свойства,
с доказательствами
признаки
@
@)
@)
Волчкевич М. А.
Математическая вертикаль. Геометрия.
образоват. организаций / М. А. Волчкевич
Просвещение, 2020. 287 с. : ил. - ISBN
Вопросы по ходу параграфа
Историческая
гия
справка,
этимоло-
слова
Научное
дополнение,
интересная
заметка
7 класс : учеб. пособие для
; под ред. И. В. Ященко. 978-5-09-075052-3.
общеМ. :
Материал данного пособил представляет собой курс геометрии за 7 класс дл.я школ участни
ков проекта <<Математическая вертикаль>>. Пособие позволит сформировать представления о гео
метрии, овладеть методами доказательств, дать представление о свойствах геометрических фигур
и развить пространствеиное мышление, применять полученные знания на практике. В пособиях
есть материал международных исследований, оценивающих уровень и качество математического
и естественнонаучного образования учащихс.я 7- 9 классов основной школы.
Линия учебных пособий по математике дл.я 7 классов разработана с учётом возрастных и
психологических особенностей данного возраста. В пособии реализована технология уровневой
дифференциации.
Учебное пособие издаётс.я в авторской редакции.
Сайт поддержки курса http://vgeometry.mccme.ru/ .
Авторы курса будут признательны за отклики, замечания и предложения по совершенствова
нию курса, которые можно присылать на электронный адрес
vgeometry@mccme.ru.
УДЕ 373:514+54(075.3)
ББВ: 22.151я721
ISBN 978-5-09-075052-3
©
©
©
Издательство <<Просвещение>>,
Художественное оформление.
Издательство <<Просвещение>>,
ЧОУ ДПО МЦНМО
Все права защищены
2020
2020
Первые учёные
С чего всё началось?
Ребята, сегодня мы с вами приступаем к изучению геомет
рии. Геометрия
-
наука древняя, ей уже несколько тысяч
лет. В государствах тех времён
-
Египте и Вавилоне, Ин
дии и Китае всегда были необходимы строители, землеме
ры
и
астрономы.
другие
роги.
Одни
размечали
А
возводили
земельные
жрецы
следили
дворцы
участки
за
и
и
пирамиды,
прокладывали
движением
звёзд,
до
Солнца
и Луны, измеряли по ним время и предсказывали солнеч
ные
затмения.
уже
потом
Строителей
греки
стали
на их языке означало
нятно
-
Древнего
называть
Египта
и
Вавилона
гарпедонавтами,
<<натягиватели верёвок>>.
что
Это и по
ведь для проведения прямых линий они исполь
зовали обыкновенную верёвку. С её помощью египтяне чер
тили
на земле
не
только
прямые линии,
но
и
3
окружности.
Само слово геометрия с древнего греческого языка
переводится
как
происхождении
<<землемерие>>.
Вот
что
знаменитый греческий
говорит
о
его
<<Царь Сесострис разделил землю вдоль Нила между всеми
жителями и дал каждому по равному квадрату. От этого
он стал получать доход, повелев собирать каждый год по-
Рис.
1
4
историк Геродот:
Правило
12
узелков
петский треугольник
Рис.
2
и
Еги
Рис.
3
дать.
Если река смывала у кого-то
мог сообщить об этом царю,
часть
, его
надела,
он
и тот посылал своих людей
измерить, насколько уменьшился участок. Тогда его владе
лец
должен
был
платить
подать
соразмерно
величине
А знаете,
как одной
кой
изобретено землемерное искусство, а затем уже перенесено
мой угол? Для этого нужно
в Элладу>>. Примерно в то же время геометрия возникла в
можно
верёв
оставшегася у него надела. Мне думается, что так и было
сделать
вязать
из
неё
на
Древней Индии и Китае. Алтари индийских храмов имели
на
равных
самую разную форму:
от
друга,
были алтари в виде квадрата; или
построить
нём
кольцо,
расстояниях
а
потом
верёвку между тремя
ми
сделать
новый
алтарь,
нужно было уже
неплохо владеть
геометрией. Сведения о строительстве таких алтарей сохра
нились
в
специальных
трактатах,
которые
называются
на рисунке
это название. Не догадываетесь? Конечно же они пазыва
лись <<Правила верёвки>>!
угольник,
дии
или
Китае
было
собрано
множество
геометрических
и
5.
шедших
при
исторических
документов
мы
не
найдём
никаких объяснений этим фактам и ни одной попытки до
казать их. Возможно, дело заключалось в том, что во всех
государствах того времени научными знаниями обладали
только жрецы
вали
в
особое сословие людей, которые участво
-
религиозных
культах,
писали
законы
и
передавали
стороны
как
Такой
которого
числа
часто
строительстве
что
прямой,
и
один
но
4
на
Египтя
использовали
сооружений
ли,
3,
треугольник
зывают египетским.
не
нас
верёвка пой
в том, что натянутая
верёвка образует тре
относятся
фактов. Может показаться странным, но ни в одном из до
до
Тогда в одном
2.
Почему это работает?
так
Ин
узла
показано
дёт под прямым углом.
Дело
Египте,
это
из этих узлов
<<Сульва-сутра>>. Вы можете легко сообразить, что означает
За много веков в древнем Вавилоне,
как
друг
натянуть
площади всегда должны были быть одинаковыми.
так,
за
узелков
12
круга, а бывали в виде треугольника или черепахи. Но их
Чтобы
пря
его
своих
хорошо
зна
угол
него
никак
у
не
лись это объяснить.
Позже это объяснили
пыта
уже
греческие учёные.
свои должности по наследству. Любое знание было там на
бором правил или указаний, с которыми никто не спорил.
Не нужно было убеждать других людей в правильиости за
конов или применяемых ими формул
просто сказать:
времени были
достаточно было
-
<<Делай так>>. А ведь многие формулы того
неточными,
а некоторые
-
просто
непра
вильными. Всё совершенно поменялось, когда с геометрией
познакомились древние греки. Греция тогда не была еди
ным государством
-
по всему Средиземному морю возни
кали маленькие греческие колонии. Люди в них жили до-
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
5
статочно
а
свободно,
жрецы
в
храмах
над
ними
не
выбирались
было
самим
единой
власти,
народом.
Власть
в этих городах-государствах часто тоже выбиралась наро
дом, а суды были открытыми и публичными. Свою право
ту там необходимо было доказывать другим людям, а науч
ная
истина
рождалась
в
спорах
философов.
Узнав
геометрические факты от египтян, греческие мудрецы ста
ли их проверять и доказывать
в истине.
В этот момент и
то есть убеждать других
-
появилась настоящая геомет
рия, да и вообще наука как таковая.
ФАЛЕС ИЗ МИЛЕТА
Считают,
что
первым
греком,
который
стал
заниматься
геометрией, был знаменитый мудрец Фалес. Он жил в го
роде Милет на берегу Средиземного моря. Это был порто
вый город,
и сам Фалес плавал на кораблях,
торговал и
много путешествовал. Он несколько лет пробыл .в Египте,
научился там у жрецов астрономии, счёту времени и воз
ведению речных плотин. Однажды фараон Амасис, желая
проверить мудрость Фалеса, попросил его вычислить высо
ту пирамиды Хеопса. Фалес сумел это сделать,
маясь на саму пирамиду.
Знаете,
не подни
как он это сделал?
Он
догадался, что в солнечный день все предметы одинаково
отбрасывают свои тени. А значит, тень от пирамиды мож
Фалес Милетский
(нач. Vll-кoн.VI до н.э.)
Рис.
4
но
вычислить
палка.
ды.
так,
как
если
бы
это
была
обыкновенная
Вначале Фалес измерил длину основания пирами
Потом воткнул в песок палку и стал ждать, когда её
тень станет равна длине самой палки. В этот момент он за
метил,
куда упала тень
от
вершины
пирамиды,
и
нашёл
расстояние от этого места до центра квадрата в её основа
нии (рис.
6).
Это расстояние и равнялось высоте пирамиды!
Такое рассуждение привело в восторг фараона,
и он при
знал Фалеса великим мудрецом. Возможно, именно Фалес
первым догадался, что луна на небе светится не сама по
себе,
а отражает солнечный свет.
лишь то, что в
585
ное солнечное затмение,
Рис.
после которого
стал знаменитым.
5
Рис.
6
Но достоверно известно
году до нашей эры он предсказал пол
6
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
-......
-- ...
--.._, ...
Про Фалеса рассказывали анекдоты.
шёл по дороге,
наблюдал за звёздами,
Однажды он
и упал в колодец.
Жители Милета стали над ним смеяться:
<<Думает о небе,
а под ноги не смотрит!>> Тогда Фал ее сумел вычислить, что
на следующий год должен быть богатый урожай оливок, и
скупил зимой в городе все давильни дл.я масла. На следу
ющий год действительно случился богатый урожай,
всем
потребовалось делать из оливок масло, а Фалес стал отда
Рис .
вать в наем свои давильни и заработал много денег. Так он
7
доказал жителям Милета, что философы тоже могут стать
богатыми, но просто к этому не стремятся.
Именно
Фалес "первым
стал
объяснять
и доказы
вать геометрические факты. Так, он доказал, что при пере
сечении двух прямых линий получаютел равные друг дру
гу
углы,
показал,
как
по
сторонам
и
углам
находитi>
на
чертежах равные треугольники, и даже объяснил, почему
диаметр окружности всегда <<виден>> из любой её точки под
прямым углом (рис.
5).
Фалес придумал, как с помощью
геометрических построений находить расстояние от кораб
ля до берега, не покида.я при этом самого берега. Никаких
записей от Фалеса не сохранилось, но возможный способ
вычисления такого рассто.яни.я от берега в точке А до ко
рабля
в
море
показан
по чертежу на рисунке
7
на
нашем
рисунке.
Попробуйте
понять, как он мог это делать.
ПИФАГОР
Следующим после Фалеса греческим ученым был Пифагор.
Родился
он
море
-
шей
Пифагор
на
маленьком
острове
Самое
в
Эгейском
теперь это глухая греческал провинци.я. Ещё юно
встретился
со
стариком
.Фалесом
и
узнал
от него о геометрии. Фалес посоветовал ему плыть в Еги
пет, чтобы продолжать учение. Десять лет провёл Пифагор
в Египте, потом на десять лет попал в рабство в Вавилон
и снова вернулся на остров Самое. Уже после этого он от
правился на юг Италии, где в то время было много грече
ских колоний,
Пифагор
(570- 490
Рис.
поселился в городе :Кротон и основал там
свою знаменитую школу. Эта школа была огромной: внача
гг. до н.э.)
8
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
ле
в
ней
было
200
учеников,
потом
---'-
больше
тысячи.
Дл.я своих учеников Пифагор был мистиком и пророком
-
7
он ходил в белых одеждах, пропаведавал презрение к бо
гатству и говорил о переселении душ. Имущество у пифа
горейцев было общим, они не ели мяса и воздерживались
от чрезмерного употребления вина. По преданию, Пифагор
изобрёл специальную чашу, в которую можно было налить
Рис.
лишь немного вина: у тех, кто наливал больше, оно сразу
9
же выливалось на землю (рис.
11).
Пифагор говорил ученикам так: <<Боги дали людям
две благодати: говорить правду и делать добро>>. Но глав
ным в его учении было то, что очищение души человека
должно
кой.
достигаться
Знание
через
математики
постоянное
приближает
занятие
математи
человека
к
богам:
ведь даже бог не может сделать так, чтобы дважды два не
Квадратные числа
1
г.-i
D L_i
4
9
равнялось четырём! Значит, в мире есть законы, которым
D
•
16
1
у
3
так говорил Пифагор, но имел
-
разделил все числа на чётные и нечётные. Кроме того, чис
ла могли быть квадратные или треугольные (рис.
жить
v
10).
Если
полный
из
квадрат,
камешков
то
это
число
было
квадратным.
складывался треугольник,
то число
считалось треугольным. Таким образом, даже числа у Пи
фагора имели вид геометрических фигур.
всё
10
10
<<Всё есть число>>
он в виду только целые числа. Считается, что именно он
А если
6
Рис.
знает эти законы и становится равен самому богу!
число камешков было таким, что из него можно было сло
Треугольные числа
•
подчиняются и люди, и боги. А кто знает математику, тот
числа могли
-
Пифагора
изучали
звучать.
ещё
и
Но это ещё не
Не удивляйтесЪ
музыку,
ведь
ученики
-
именно
Пифагор
изобрёл первую музыкальную гамму. В её основе находи
лись
те
же
целые
Если длины частей
числа,
вернее,
отношения
струны на монохорде
этих
музыкальный инструмент с одной струной, рис.
лисЪ
как
1 : 2
несколько
3,
первых
целых
чисел
-
чисел.
(а это древний
9)
относи
например
как
то они звучали <<Согласно>>, то есть давали гармо
нию.
Пифагор и его ученики открыли, что сумма углов
во
всех
углам
треугольниках
(рис.
12).
одинакова
Кроме
того,
Сумма
и
углов
Чаша Пифагора
равна двум
Рис.
Рис.
8
11
равна
они
двум
изучали
прямым
свойства
треугольника
прямым углам
12
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
пентаграммы
(рис.
13)
правильной
пятиконечной
звезды
и сделали её главным знаком своей школы. Пять
концов этой звезды означали для них пять стихий, из ко
торых состоит весь мир: огонь, воду, воздух, землю и эфир.
Пифагорейцы нашли отношение отрезков,
лят
друг
друга
звенья
пентаграммы,
и
на которые де
научились
строить
её циркулем и линейкой. Пентаграмма была для них сим
волом
здоровья.
чужбине
Рис.
без
Если
денег,
пентаграмму (рис.
13
дев
этот
знак,
пифагореец
он
тяжело
нарисовать
заболевал
на
стене
на
дома
Тогда другой член их братства, уви
15).
платил
просил
щедрое
вознаграждение тому челове
ку, который ухаживал за пифагорейцем.
Но
самое
главное
Пифагору
приписывают
открытие важнейшей теоремы о прямоугольном треуголь
нике. Звучит она так:
Теорема Пифагора
Если три квадрата своими сторонами образуют
треугольник с прямым углом, то больший из этих
квадратов
по
площади равен сумме двух других.
J
Одна легенда говорит о том, что Пифагор догадал
ся до своей теоремы, просто рассматривая мозаику на полу
храма (рис.
Мозаика,
привести
которая
к
открытию
мы Пифагора
Рис .
14
могла
теоре
Другая
14).
о том, что за это открытие он
-
принёс в жертву богам гекатомбу, то есть
гласитесь, сто быков
-
100
это очень много, в те времена та
кую жертву могли позволить себе только цари. Сами пифа
горейцы
город
мяса
не
ели
и
пригласили
на
Египетский треугольник со сторонами
людям
15
,• т ·-,. @
_. .
С,
t-=_j_
(-::J
пир
целый
вот насколько богата была школа Пифагора!
-
известен
Рис.
быков. Со
1
,-'
!
гораздо
раньше,
но
только
3, 4
и
теперь
5
был
стало
понятно, почему один из его углов прямой. Оказалось, всё
дело в том, что
Чему
равно
пятое
по
счету
«треугольное» число?
32 + 42
52 •
=
Очень важно, что Пифагор не
просто открыл свою теорему, но ещё и доказал её. Таким
образом он объяснил причину самого явления.
Пифагор погиб в результате заговора местной зна
ти:
ей
не
нравилось,
что
молодые
люди
оставляют
свои
дома и уходят учиться в его школу. Но сама школа пифа
горейцев не распалась
сле
его
она существовала ещё долго по
-
смерти.
ЕВКЛИД
Знаете, какая книга занимает первое место в мире по ко
личеству изданий? Не догадываетесь?
кая
книга
после
неё
занимает
Это Библия. А ка
почётное
второе
место?
Вы удивитесь, если узнаете, что это книга по математике.
Но она тоже очень старая
сан больше
2000
это учебник, который напи
-
лет назад. Автором этого учебника был
знаменитый греческий учёный Евклид. Он жил и работал
в Александрии, городе на севере Африки, который больше
лет был научным центром всего мира. Там была зна
500
менитая александрийская библиотека, про которую вы, на
верное, слышали. Евклид написал
книг по математике,
13
но первые из них были посвящены именно геометрии. Ин
тересно,
мире
что
прямо
изучали
по
вплоть
этим
до
книгам
ХХ
века.
геометрию
Да
и
во
сейчас
всём
многие
современные учебники содержат целые главы из этой кни
Евклид
(кон.
Рис.
IV- нач. 111
ги.
в. до н.э.)
Знаете,
язык
как она называлась?
<<Начала>>, а на латыни
-
В
переводе
на русский
<<Элементы>> (рис.
-
17).
Скорее всего, вы уже слышали, что всю математи
16
ку
условно
делят
на
две
части:
элементарную
и
высшую.
Элементарную по большей части проходят в школе, а выс
шую
в университетах. Многие думают, что <<элементар
-
ная>> значит <<простая>>. Но это не так: в элементарной ма
тематике
встречаются
очень
сложные
задачи!
На
самом
деле естественно предположить, что такое деление объяс
няется очень просто:
к элементарной математике
относят
те её разделы, о которых говорится в знаменитых <<Элемен
тах>>, то есть в книгах Евклида.
Все знания по геометрии, которые были получены
греками раньше, Евклид привёл в единую систему: он дал
определения
геометрическим
фигурам
и
строго
доказал
множество теорем, которые называл <<положениями>>. А то,
что было совсем очевидным и не удавалось доказать,
назвал
аксиомами и
постулатами.
С
он
аксиомами должны
были согласиться все, кто собирался изучать математику.
Они служили основой, или фундаментом, на котором по
том строилось всё научное <<здание>>.
В
все
они
первой книге
отражали
<<Начал>>
очевидные
было
законы
восемь
логики,
аксиом
-
знакомые
каждому из вас. Например, первая аксиома гласила следу
Рис.
10
17
ющее:
<<Равные
одному
и
тому
же
должны
быть
равны
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
Рис .
18
между
собой>>.
А
восьмая:
<<Целое
больше
своей
части>>.
Как с этим не согласиться? Из школьной математики вы
знаете, что если к двум частям уравнения прибанить оди
наковое число, то само уравнение не изменится. В этом за
ключалась вторая аксиома Евклида.
Постулатами
же
Евклид
назвал
аксиомы
геомет
рии. Постулатов у него было всего пять.
Приведём здесь первые четыре постулата:
Постулаты Евклида
1
2
3
4
Между любыми двумя точками можно провести отрезок.
Любой отрезок можно сколько угодно продолжать до прямой линии.
Из любой точки можно провести круг любого радиуса.
Все прямые углы равны между собой.
Эти
четыре
постулата
настолько
очевидны,
что
каждый из вас может проверить их на листе бумаги. Прав
да, бумага должна быть для этого бесконечной ... А вот пя
тый свой постулат Евклид формулировал гораздо сложнее,
Рассказывают,
и м:рт приводить его здесь не будем. Вы можете прочитать
царь
Птолемей
о нём
чить
геометрию.
в
лельным
§13
нашего учебника,
который
посвящён
парал
прямым.
Александрийскую библиотеку основал царь Птоле
мей
-
один из военачальников Александра Македонского.
что
однажды
решил
Он
изу
позвал
Евклида и попросил указать
ему самый лёгкий для этого
способ. Евклид ответил ему
так:
«В
геометрии
нет
цар
Из всех царей того времени он был самым умным, ценил
ской дороги!» С тех пор это
литературу и науку,
высказывание
собирал книги со всего света и при
глашал в Александрию известных учёных. В его библиоте
ке потом насчитывалось более
представляла
собой
свиток
-
500 000
ризмом (рис.
стало
афо
18).
книг. Каждая книга
свёрнутую
в
трубку руко
пись на длинной полосе папируса.
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
11
Как греки вычислили радиус Земли?
Как вычислить радиус земного шара, ведь он должен быть
огромен? Размеры Земли первым определил Эратоефен
-
он заведовал Александрийской библиотекой уже после Ев
Древние греки хорошо зна
клида. Знаете, как он это сделал?
На юге Египта был город Сиена (сейчас он называ
етс.я
Асуан,
там
стоит
большал
плотина
на
реке
В этом городе был глубокий высохший колодец.
Нил).
Жители
Сиены знали, что всего один раз в году, а именно в пол
день
22
июня, солнце освещает дно этого колодца. Эрато
ли,
что
есть
Земля
имеет
Скорее
этого
всего,
в зените,
под
пяти тысяч египетских стадиев, то есть до неё было около
800
километров. В полдень
дрией не дошло
до
22
зенита,
июня солнце над Алексан
и все
предметы
отбрасывали
до
пифаго
рейцы. Они наблюдали, как
уходящие в море корабли
постепенно
дрия находилась от Сиены точно на север на расстолнии
то
шара.
первыми
догадались
ефен догадался, что в это время солнце над Сиеной стоит
а лучи его падают отвесно на землю. Алексан
круглая,
форму
воду»,
«погружались
оставляя
ризонтом
лишь
над
го
верхушки
своих мачт. Греки понимали ,
ЧТО
ЭТО
которой
-
ИЛЛЮЗИЯ,
в
ПрИЧИНа
«закруглении »
самой Земли.
там тени. По их длине Эратоефен измерил угол, под кото
рым падали на землю лучи солнца. Получилось, что они
<<отклонились
что
от
соответствует
вертикали>>
1
на
полного
50
семь
с
лишним
круга (рис.
19).
градусов,
Имел
эти
данные, Эратоефен понял, что расстояние от Александрии
до Сиены должно быть тоже в
земной
окружности.
И
50
он легко
вокруг Земли должен быть равен
результат
удивительно
данными
о
примерно
размерах
6 370
хорошо
земного
раз меньше длины всей
посчитал,
800 · 50
согласуется
шара,
что весь путь
40 000
=
с
радиус
км. Этот
современными
которого
равен
км, а ведь получен он с помощью элемен
тарной геометрии больше
2000
лет назад!
1
1
1
1
7"
1
1
Александрия
1
1
1
1
Сиена
1
1
1
1
Рис.
12
19
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
Далеко ли до Солнца?
Небо над головой для древних людей было полно загадок.
Посмотрите
на
Луну
и
Солнце:
далеко
ли
до
них?
На глаз сказать очень трудно. А древним грекам это было
ещё труднее. Многие из них думали, что Солнце размером
с небольшой остров, но уж точно не больше всей Греции.
А звёзды
которая
-
просто светящиеся точки на небесной сфере,
вращается
вокруг
Земли
и
до
которой
ну
не
дальше, чем от Афин до Милета. И всё же нашелся чело
век, который сумел вычислить размеры и Луны, и Солнца,
и
нашёл
расстояния
до
них!
Этого человека
звали Ари
старх, родился он на том же маленьком острове Самое, что
Рис.
20
и Пифагор.
Аристарх также много лет работал в Александрий
ской библиотеке, а точнее
Солнце
Луна
в астрономической обсервато
-
рии при ней. Он наблюдал за небесными светилами и за
метил,
или
что
бывает
вечернем
Луны
такое
небе
и Солнце
положение,
одновременно
(рис.
20).
В
это
видны
понял,
что
ровно
на
утреннем
одна
половина
время он
между Луной и Солнцем и получил
Аристарх
когда
87
половина
измерил угол
градусов (рис.
Луны
может
21).
быть
видна с Земли только тогда, когда направления на неё с
Земли и Солнца образуют прямой угол. Астрономы Jазы
вают это положение квадратурой. Потом он нарисовал тре
Рис.
21
угольник с такими же углами на песке и нашёл отношение
длин
двух
его
сторон.
Так
он
понял,
насколько
Солнце
дальше от Земли, чем Луна. У него получилось, что в
19
раз. А поскольку во время солнечных затмений Луна точ
но загораживает собой Солнце, то с Земли они видны оди
наково.
в
19
Значит,
Солнце должно быть больше Луны тоже
раз. Дальше Аристарх использовал свои наблюдения
уже лунных затмений и сумел получить приблизительные
размеры Луны и Солнца. Эти вычисления сложнее и тре
буют очень хорошего знания геометрии. Мы приводить их
здесь не будем, ограничимся его рисунком (рис.
22).
Аристарх
. ошибся
больше
чем в 1О раз, но главное он
понял:
Солнце
гораздо
больше
Луны
и
Земли.
Поэтому было бы странно,
чтобы оно вращалось вокруг
Земли.
Наоборот,
должна
вращаться
· земля
вокруг
Солнца! А простые люди, да
и
учёные
так,
чти
А
никто
ведь
это
тогда
думали
не
поэтому Аристарху по
его
вают
он
не
был
поверил.
прав,
справедливо
«Коперником
и
за
назы
Антично
сти».
Рисунок Аристарха
Рис.
22
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
13
АРХИМЕД
Вы можете спросить:
гениальным?
кто из древних ученых был самым
Трудно сказать
все
-
они были гениями ...
Но самым разносторонним из них был точно Архимед. Ар
химеда одинаково интересовали и
математика,
и
физика,
и астрономия. А ещё он был выдающимся инженером.
Удивительно
то,
что
настоящей
стал заниматься лишь в возрасте
40
наукой
Архимед
лет. По тем временам
это было очень поздно. Но лучше поздно, чем никогда, как
говорит
известная
пословица.
3а оставшиеся
ему
35
лет
жизни Архимед сделал больше, чем все его современники
вместе
взятые!
можные
Медаль
меда
Рис.
с
профилем
(287- 212
Архи
гг. до н.э.).
С
юности Архимеда интересовали
механизмы,
и
многие
из
своих
всевоз
изобретений
он
сделал ещё в молодости. Известно только, что примерно в
лет Архимед отправился в Александрию и познакомил
40
ся там с Эратосфеном, астрономом Кононом и другими учё
23
ными мужами. Потом уже Архимед вернулся в Сиракузы
и
стал
писать
оттуда
научные
письма.
Приходили
письма на имя одного из учеников Конона
эти
Досифея, и
-
каждое начиналось так: <<Архимед приветствует Досифея>>.
Что же содержалось в этих письмах? В них Архи
мед
сообщал
удивительные
вещи:
вычислить площадь круга (рис.
сти параболоида (рис.
26),
каким
образом
можно
или найти центр тяже
25)
какую часть от объёма всего ци
линдра должен занимать вписанный в этот цилиндр шар и
многое другое (рис.
27).
Для всех этих фигур он получал
идеально точные формулы, а ведь шар или параболоид
-
всё это <<Кривые>> тела, греки с ними работать тогда ещё не
Родился
Архимед
в
городе
Сиракузы на острове Сици
лия
-
на
карте
напоминает
рому
этот
«МЯЧ»,
носком
остров
по
ударил
кото
«сапог»
Италии.
Его
отец
Фидий
был астрономом и, конечно,
привил
Архимеду
любовь
к математике
и
астрономии.
умели.
Каждое письмо Архимеда было
открытием,
методы были совсем не <<Элементарны>>
-
зать,
он
что
за два
века
до
нашей
эры
а его
можно даже ска
первым
открыл
<<высшую>> математику!
Архимед
очень
гордился
тем,
как
он
вычислил
объём шара, и просил своих родственников изобразить на
его могильной плите шар внутри цилиндра, а рядом напи
сать соотношение их объёмов. Об этом через
его
смерти
вспомнил
римский
оратор
150
лет после
Цицерон,
поехал
в Сиракузы и по данному чертежу нашёл там могилу Ар
химеда. По его словам, вся она заросла терновником.
Архимед много занимался элементарной геометри
ей
-
в школе проходят его знаменитую лемму об окруж
ностях1
(рис.
28),
иногда решают
задачу
об
арбелосе
-
ноже, которым в Сиракузах разделывали кожи животных
(рис.
29).
Посмотрите
что две окружности,
на его чертежи:
Архимед доказал,
вписанные в части любого арбелоса,
непременно равны друг другу. Ни одному кожевеннику это
не пришло бы в голову! Но больше всего народ уважал Ар
химеда не
1
Рис.
24
за это
-
всеобщее восхищение
вызывали его
Эта лемма состоит в том, что если какая-то окружность касается одного
сегмента
круга в двух точках,
то
проходящая
через
них прямая
всегда де
лит дугу другого сегмента пополам.
14
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
@---~
Круг
имеет
площадь,
равную
площади
треугольника,
которого
-
ние
Рис.
-
радиус,
а
высота
Параболоид
основа
длина окружности
Рис.
25
\
\
\
/
от
27
1
\
1 /
\ \ 1 1
\ \ 11
\~1
/
Лемма об окружностях
Теорема об арбелосе
Рис .
Рис . 2~
28
Корабль Гиерона
Арх имедов винт
Рис.
2
3
1
\
\
составляет
объёма цилиндра
26
Рис.
Шар
30
Рис.
31
инженерные изобретения. Он придумал, как специальным
винтом поднимать воду из реки в город (рис.
мощью
блоков
и
верёвок
переносить
30),
как с по
огромные
тяжести.
(Кстати, архимедов винт до сих пор используют в обычной
мясорубке!)
Однажды
правитель
Сиракуз
Гиерон
построить корабль в подарок египетскому царю
повелел
-
внуку
того Птолемея, который разговаривал с Евклидом. Корабль
получился
столь
большим
и тяжёлым,
что
сдвинуть с места все жители Сиракуз (рис.
р он
попросил помощи у Архимеда.
Тот
его
31).
не
могли
Тогда Гие
смастерил такую
систему блоков и рычагов, что смог в одиночку спустить
этот
корабль
на
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
воду.
Гиерон
был
в
полном
восторге.
15
Рис.
32
Архимед же сказал так:
сдвину Землю!>> (рис.
<<Дай мне точку опоры, и я тебе
32).
Архимед был так поглощён своей наукой, что вре
менами забывал есть и пить. Сидя перед очагом, он чер
тил
круги
и треугольники
общественную баню
-
прутом
на
золе,
а когда ходил
в
на своём намазанном маслом теле.
Именно в бане он и сделал ещё одно выдающееся откры
тие. Дело было вот в чём. Как-то Гиерон заказал своему
мастеру
Рис.
сделать
золотой
венец
и
отвесил
ему для
этого
нужную меру золота. Венец он получил, но в то же время
33
получил
и
донос,
что
тот
мастер
утаил
часть
золота
и
за
менил его серебром. Проверить это не было никакой воз
можности
вес,
(рис.
-
ведь полученный им венец имел правильный
а его форма была слишком сложной для измерений
33).
Гиерон опять обратился за помощью к Архимеду.
Тот стал думать над этим вопросом и как раз отправился
в баню. Принимая там ванну, он заметил, что чем больше
погружает в неё своё тело, тем больше выливается из в ан
ны воды ... Наверняка каждый из вас в своей жизни на
блюдал нечто подобное. Но Архимед выскочил из ванны и,
Катапульты
метали
ные ядра весом до
Рис.
16
камен
кг
250
34
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
Рис.
«Коготь» Архимеда
35
не одеваясь, прямо по улице побежал домой. Говорят, что
при этом он громко кричал: <<Эврика! Эврика!>> -что озна
чало:
<<Нашёл!
просто:
Нашёл! >>
дома он
ным венцом
погружать
(рис.
36).
Дальше
всё
было
уже
сделал два слитка одинакового веса с нуж
один из золота, другой из серебра. Он стал
-
эти
слитки
в
воду
и
смотрел,
сколько
они
вы
тесняют воды. Оказалось, что серебряный слиток вытесня
1
ет воды больше, чем золотой. Тогда он погрузил в воду
<<ЗолотоЙ>>
венец и понял, что он тоже вытесняет больше
воды, чем нужно. Так Архимед установил, что мастер при
его
изготовлении
сколько
именно
Но главное
погружении
в
подмешал
он утаил
серебро,
и
даже
вычислил,
золота.
Архимед открыл новый закон: при
-
воду тело
всегда вытесняет
количество
воды,
равное объёму самого тела. Этот наблюдение стало первым
в его исследованиях свойств жидкостей.
Может быть, мы с вами и не узнали бы столько об
Архимеде, если бы он не прославился при обороне своего
родного города от римлян.
Тогда Рим уже много лет вое
вал с Еарфагеном, Сицилия долго была независима, но в
214
г. до н.э. Сиракузы решили принять сторону Еарфаге
на. Римское войско осадило город. Во главе его стоял луч
ший полководец Марцелл. Он рассчитывал взять Сиракузы
за неделю,
но
не
мог
ожидать,
что участие
одного человека
может всё поменять. Просто этим человеком был великий
Архимед. Для обороны своего города он создал небывалые
военные машины:
на
огромные
это были катапульты,
расстояния
(рис.
34);
метавшие камни
подъёмные
краны
с
крючьями, которые цепляли римские корабли и топили их
в гавани (рис.
35).
Дошло до того, что солдаты Марцелла в
ужасе разбегались, как только видели над крепостной сте
ной верёвку или бревно!
Существует даже легенда о том, что Архимед уста
новил
на
крепостных
стенах
множество
зеркал
и
с
помо
щью силы солнца поджигал ими римские корабли. Многие
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
Рис.
36
17
потом сомневались,
что
это
в
принципе
было
возможно.
Однако к тому времени греки уже знали об удивительном
свойстве зеркального параболоида собирать солнечный свет
в одной точке
фо:кусе. Чем больше и шире параболоид,
-
тем дальше находится от него его фокус и тем сильнее на
гревается эта точка. Похожий опыт каждый из вас может
провести
с увеличительным стеклом
-
с его помощью лег
ко зажечь бумагу или палку. Где же Архимед взял такой
огромный параболоид, чтобы им можно было на расстоя
нии зажигать целые корабли? Первым на этот вопрос отве
тил в
фон.
году французский ученый Жорж-Луи де Бюф
174 7
Он
построил
систему
из
небольтих
128
плоских
зеркал, расположил их по параболе и с их помощью смог
Параболоид
солнца
в
фокус
Рис.
37
собирает
одну
лучи
точку
зажечь дерево на расстоянии
том
же
месте
он
расплавил
метров. Более того
50
этими
ребро. Тот же опыт повторили в
зеркалами
на
-
свинец
и
се
году исследователи
2005
из Технологического института в Массачусетсе
им уда
-
лось похожим способом поджечь корабль, стоявший на рас
стоянии
50
метров от берега (рис.
Так что идея Архи
37).
меда вполне могла бы осуществиться.
К
зеркалам,
сожалению,
его
сочинение
знаменитая
Архимеда,
<<Катоприка>>,
посвящённое
оказалось полно
стью утраченным. Хотя можем ли мы быть уверены в этом
до конца? Ведь другой его важный труд <<Метод механиче
ских теорем>> тоже считали навсегда потерянным. А потом
его случайно обнаружили в середине
библиотеки
Константинополя
на
XIX
стёртом
века в подвале
пергаменте,
по
верх которого были написаны богослужебные тексты. Этот
палимпсест
100
снова
потерялся,
лет и расшифрован уже в
Осада
Наконец
Сиракуз
римляне
был
XXI
найден
продолжалась
взяли
город
только
через
веке.
почти
хитростью
и
два
года.
предатель
ством. На улицах начались резня и грабёж. Римский леги
онер ворвался к Архимеду с приказом немедленно следо
вать за ним к Марцеллу.
Но Архимед так был поглощён
решением геометрической задачи, что не слышал шума в
городе и сказал ему только: <<Не наступи на мои чертежи!>>
Это
были
убил его.
его
последние
слова
-
раздражённый
Историк Плутарх пишет, что Марцелл,
солдат
узнав о
смерти Архимеда, сильно опечалился и потом сторонился
его убийцы. Он разыскал родственников Архимеда и мило
стиво обошёлся с ними. Впрочем, вряд ли это было дей
ствительно так. В ту эпоху для всего греческого мира рим
ляне
были
ещё
варварами
и
жестоко
расправлялись
с
побеждёнными. Известно, что на память о великом учёном
Марцелл взял себе его <<небесную сферу>>
-
чудесный ма
ленький планетарий, сделанный руками Архимеда. На нём
можно
Планетарий
Рис.
18
38
было
наблюдать
движение
солнца и фазы Луны (рис.
38).
пяти
планет,
восходы
<<Небесную сферу>> Архиме
да потом несколько веков всем показывали в Риме
-
она
всегда вызывала восхищение!
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
Рис.
39
Античная математика
Спустя
два
века
с уважением
после
относиться
взятия
к
Сиракуз
римляне
культуре древних
греков,
стали
учили
их язык и ценили занятия наукой. В Афинах и Алексан
Как вы думаете, кто
ражён на рисунке 39?
изоб
дрии ещё несколько веков трудились многие выдающиеся
учёные.
Назовём
лишь
некоторых:
знаменитый
астр9ном
Птолемей, который составил атлас звёздного неба; матема
тик Аполлоний,
женер Герон,
изучавший
сечения круглого конуса;
ин
сделавший масляную лампу и первую паро
вую турбину. А последним математиком Античности была
женщина
прекрасная Гипатия,
-
которая разрабатывала
астролябию и была убита толпой религиозных фанатиков.
После этого точная наука пришла в упадок и возродилась
только через много веков. Но об этом мы поговорим в дру
гой раз.
Важно помнить, что для древних учёных математи
ка во многом была геометрией
измеряли площади и расстояния,
рическими
была
фигурами.
колыбелью
Если
всей
они рисовали чертежи,
-
да и мыслили они геомет
сказать
современной
образно
-
геометрия
математики.
Поэтому
неудивительно, что её изучают в школе. Она и на сегодняш
ний
день
тельных
сами,
не
потеряла
теорем
вы
своей
сможете
красоты.
понять
Сколько
или
даже
удиви
доказать
приняв на веру лишь несколько очевидных фактов!
Геометрия учит логике,
ясности рассуждений и смелости
мысли. Она учит и аккуратности: с помощью плохих черте
жей рассуждать можно, но очень неудобно. Старайтесь все
гда рисовать крупные и красивые чертежи! Ну и потом ...
разве не интересно вам пройти самим по стопам великих
мудрецов и гениев того времени? Ведь все они в вашем воз
расте знали не больше вас! Возможно, кто-нибудь из ваших
сверстников
своего
ума...
даже
захочет
Старинная
ungue leonem pingere>> ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
помериться
латинская
с
древними
мощью
поговорка гласит:
<<Ех
по когтям узнают льва.
19
Геометрия и современность
Многие думают, что в математике давно уже всё сделано,
всё доказано и открыто. Не верьте им
нового и неизведанного,
в ней столько же
-
как в биологии,
физике или хи
мии. Исаак Ньютон говорил так: <<Сам себе я кажусь маль
чиком,
играющим
великий
океан
на
морском
истины
берегу...
расстилается
в
то
предо
время
мной
как
неис
следованным>>. Люди всегда пытались понять, как устроен
этот мир. И для этого им всегда была нужна математика.
Математика
самолёты
нужна
и
для
возводить
того,
чтобы
здания,
гайки, чтобы считать деньги и
правильно
чтобы
делать
строить
винты
и
расстояния до далёких
-
звёзд. Она нужна, чтобы узнать, сколько рыб живёт в пру
ду и сколько их будет там через год. Роботы, мобильные
телефоны, компьютеры,
-
вы думаете, их сделали люди,
Рис.
которые не знали математики?
Теперь геометрия
клида
и
открыты
Архимеда
геометрии
в
-
ней
на
это её часть.
было
кривых
Гиперболоид
сделано
40
Со времён Ев
многое.
поверхностях,
где
Были
треуголь
ники имеют разные суммы углов. Первым, кто исследовал
такую гиперболическую геометрию, был наш великий рус
ский ученый Николай Лобачевский. Уже потом оказалось,
что геометрия Лобачевского необходима для теории отно
сительности Эйнштейна, и теперь её используют даже для
наведения
искусственных
спутников.
Были
исследованы
геометрии с большим числом измерений, геометрия
стилиновых>> фигур
венной
кружки
<<пла
топология. В топологии из обыкно
-
легко
можно
сделать
Мёбиуса имеет всего одну сторону (рис.
баранку,
а
лента
41)!
Лента Мёбиуса
С появлением компьютеров появилась возможность
строи ть фракталы
извилистой
-
границей
геометрические фигуры с бесконечно
и
дробной
размерностью
(рис.
Рис.
41
42).
Удивительно, но такие сложные и красивые узоры компью
тер рисует по очен_р простым
В
геометрии
осталось
Множество Жюлиа
много
математическим формулам!
ещё
никем
не
решённых
Множество Мандельброта
Множество
Мандельброта
под увеличением
Рис.
20
42
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
СзJ
о ГЕОМЕ: 1'рп
Н bi Н •.fj
В О
~!\Е
nовЕл'ВнiЕмЬ
Грс•rсское
В Е Л
i
Ч Е С Т В Л.
Hanc•ramaнo
вЬ м о с к в
1709 ro лtma '
1>
IJb Фсвруарii мtслr(Ь .
ссшЬ
,
c_\Onu
на руско~1Ь
:г. е яslJJк·ь , естЬ оrюс so1·
ле~t·.Брiс 1 xyso;ra:cmвo ,
nоля isм'.Брлшl. 1 iм'fscmb
ЕГО
ч.лрсклrо
О б Щ Е.
ЕОМЕТрiл
:-tc:r;gy
iскусшвамr
кrмi Лсрвснсшво.
i
сутЬ
J
машсмаmi•rсс-
беsЬ онЬш cnocoaa могушЬ [хотя :t:c 'i !сшiннЬr
оsнако:r; Ь
шруsносшно
ocnrsьmcлcrrшoвamYcЬ.
I'coмcrnpia ссmЬ сугуба.
Перnая oaxosimcя токмо сgi'нfлмЬ
paS!'IllJШACI·йcмb о
soBOfjaXb вЬ xy-
goжccrrшaxb i j'скусшвахЬ, no вЧgo
J>J!Jrмb лi прав'iламЬ онЬш употрс
аллюшt~а, mar< o;г§c
л
Рис.
Например,
fcmiннaro
л'i
пока никто не знает точно, чему равна
площадь самого первого фрактала
брота;
можно
ли
в
любую
нужно
раскрасить
на расстоянии
значительное
1
плоскость,
вас
есть
линию
44);
чтобы
на
плоскости
во сколько цветов
любые
две
её
точки
см были разных цветов? Интересно, что
продвижение
в решении последней из
проблем произошло только в
одного
множества Мандель
-
кривую
вписать обыкновенный квадрат (рис.
У
isb
43
задач.
ещё
2
вопроса,
на
большой
2018
который
диван,
и
этих
году. А вот вам пример
очень
вы
сложно
хотите
ответить.
занести
его
в свою комнату. Пролезет этот диван через открытую дверь
или нет?
Помните, что в геометрии нет
<<царскоЙ>>
дороги?
Так вот, русский царь Пётр Великий сам изучал геомет
На любой ли замкнутой кри
рию
вой можно расположить все
-
даже в паходах он читал по ней книги и своей ру
кой вносил туда исправления. Первая книга, которую на
печатали русским гражданским шрифтом в
году, была
1709
подготовлена им лично. Она называлась <<Приёмы циркуля
и линейки>> (рис.
43).
ных часов
Первый
Пётр
четыре вершины квадрата?
Рис .
44
Одну её главу о построении солнеч
вообще
написал
сам.
Известно,
что по-русски царь писал с ошибками, но на своих черте
жах он ошибок никогда не делал. Историки называют Пет
ра царём-инженером или царём-плотником. Он строил ко
рабли
и
крепости,
отливал
пушки,
закладывал
города.
Запомните: любой инженер или конструктор обязан знать
геометрию.
Но её должен знать и каменщик,
и плотник.
Да и вообще любой образованный человек!
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
21
~ УПРА)КНЕНИЯ
1
Склеиваем лист Мёбиуса (рис.
моугольную
полоску
углах буквы А,
В,
45).
бумаги.
С и
Возьмите пря
Напишите
углом
кольцо.
Тогда
D.
Теперь
у
вас
склейте
её
~F ------------------- 1~
с двух сторон бумаги.
D
Вначале совместите угол А с углом В,
с
на
получится
короткие
а угол
С
обыкновенное
стороны
бумаги
(они отмечены красным цветом) так, чтобы угол А
совпал с углом С, а угол В
вас
при этом
тый лист Мёбиуса!
с углом
-
<<перекрутится>>
D.
Лента у
и получится знамени
Профессор математики Август
Фердинанд Мёбиус жил в
1858
году
его служанка случайно сшила ленту в такое
<<Не
правильное>>
кольцо,
и
веке.
XIX
Мёбиус
В
обнаружил,
что
Рис.
45
у этой ленты всего одна <<сторона>>! Проверьте это
и
2
вы.
Разрезаем ленту Мёбиуса. Возьмите ещё одну пря
моугольную
с
двух
полоску
сторон
бумаги
линию
на
от её краёв (на рисунке
вым цветом).
этой
два
кольцо,
оранжевой
колечка.
Мёбиуса
и
проведите
на
ней
Е ----- - ------
--- I
расстояниях
она показана оранже
46
Если опять из этой полоски сделать
обыкновенное
по
и
одинаковых
А
а
линии,
теперь
разрежьте
потом
разрезать
то
распадётся
оно
склейте
его
по
из
полоски
оранжевой
его
на
лист
линии ...
Попробуйте вначале угадать, что у вас получится!
3
Сделайте из бумаги третью прямоугольную полос
ку,
проведите
(рис.
два
46),
раза
с двух её
сторон такую
же линию
Рис.
46
Рис.
47
а теперь перекрутите полоску вокруг себя
и
склейте
её
концы.
Если
теперь
раз
резать полоску по данной линии, то она распадёт
ся... Попробуйте догадаться на что!
4
Завяжите на верёвке узлы на равных расстояниях
друг от друга, а потом сделайте из неё кольцо так,
чтобы на нём было ровно
узлов и все расстоя
30
ния между соседними узлами были одинаковыми.
А
теперь
натяните
верёвку
между
тремя
узлами
так, чтобы в одном из них получился прямой угол.
5
Положите на лист бумаги три карандаша так, что
бы
они
(рис.
6
касались
его
только
своими
Положите на стол
6
неотточенных карандашей так,
чтобы каждый касался всех остальных.
22
грифелями
47).
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
ВОПРОСЫ
1
2
3
4
Как проводили прямые линии древние строители?
Какой треугольник называют египетским?
Как Фалес измерил высоту пирамиды Хеопса?
Кто написал
первый учебник геометрии?
Как он
назывался?
5
Какие
утверждения
в
математике
называются
ак
сиомами и постулатами?
6
Где находилась самая большая библиотека Древне
7
Что
го мира? Кто её основал?
такое
пентаграмма?
Для
какой
школы
она
была опознавательным знаком?
8
Кто первым определил радиус земного шара? Как
9
Кого называют <<Коперником Античности>>? Что та
он это сделал?
кое квадратура Луны?
10
В
каком
городе
родился Архимед?
В
каком году
и как он погиб?
11
Какое изобретение Архимеда используется в обык
12
Что просил изобразить Архимед на своём надгро-
новенной мясорубке?
i
бии?
13
Какое свойство параболоида использовал Архимед
для защиты родного города?
14
Почему
школьную
математику
называют
элемен
тарной?
15
Кто первым открыл геометрию,
отличную от гео
метрии Евклида?
16
Какую
вы
17
Назовите
знаете
поверхность,
у
которой
только
одна сторона?
хотя
бы
геометрическую
18
одну ещё
никем
не
решённую
задачу.
Кто из русских царей занимался геометрией?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
1
На
рисунке
48
изображены
четыре
карандаша,
каждый из которых касается трёх других. Возмож
на ли эта конструкция?
2
В
Совершенном
площадь
городе
шесть
площадей.
соединена прямыми улицами
Каждая
ровно
с
тре
мя другими площадями. Никакие две улицы в го
роде не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от
каждой
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
площади,
одна
проходит
внутри
угла,
Рис.
48
23
образованного двумя другими. Начертите план та
кого
города.
Пять человек разделили один арбуз на
3
После того
как они
их съели,
осталось
5
6
частей.
корок.
Как такое могло быть, если корки никто не грыз?
Какие провода в городе выше: у троллейбуса или
4
у трамвая? Можно ли на этот вопрос ответить, не
выходя на улицу?
Рис.
49
Рис.
50
Рис.
51
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Ошибка Колумба
Все знают, что Колумб открыл Америку. Но удивительно
то, что сам Колумб этого так и не узнал... Более того, сту
пив на берег Америки, он совершенно искренне думал, что
открыл Индию или Китай!
Подходил к концу
XV
век, а морской путь в далё
кую Индию так и не был ещё найден... Отважные порту
гальцы пытались плыть туда вокруг Африки
очень
долго
и
опасно,
причём
свои
карты
-
это было
они
держали
в секрете. И цели пока не достигли.
Христофор Колумб был итальянцем
в Генуе в семье ткача (рис.
50).
-
он родился
Генуя же тогда была горо
дом купцов, банкиров и мореплавателей. Не удивительно,
что
Колумб уже
и
сделался
и
океанов
ские
с
14
опытным
его
карты.
лет плавал
капитаном.
интересовали
Именно
как
на торговых кораблях
Правда,
деньги,
географ
больше
слава
он
и
морей
географиче
совершил
главную
ошибку в своей жизни. Ошибка эта и привела его к вели
кому открытию. Вот как это случилось.
Образованные
наша Земля
вычислил
рым
-
люди
того
времени
это огромный шар.
-
<<Отец>>
античной
понимали,
что
Первым его размеры
географии
-
Эратосфен,
вто
знаменитый астроном Птолемей. Надо сказать, что
размер Земли у него получился значительно меньше. Мно
гие
тоже
это
знали,
и стали
сомневаться.
А всё потому,
Индия была для европейцев сказочной страной: Марко
Поло писал, что там водятся люди с хвостами, мура
вьи величиной с собаку и многое другое. Но глав-
ное
-
из Индии арабы везли пряности: перец, мускат
ный орех, корицу. В те времена восточные пряности
были на вес золота. В буквальном смысле корабль
с грузом пряностей стоил дороже корабля, гружённого
золотыми слитками.
24
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
Путь
из
Африки
Индию
что путь вокруг Земли Эратоефен считал в египетских ста
1474
диях.
в
на карте Тосканелли.
г.
же
в
Древнем
мире
бывали
разные:
вави
...
В 1410 году в ~вропе были опубликованы труды
52
Рис.
Стадии
лонские,
греческие,
мусульманского
египетские
математика
Аль-Фергани,
который
тоже
измерил Землю. Все его вычисления были проведены уже
в арабских милях. Только арабские мили были в полтора
раза длиннее европейских
-
в разных странах тогда люди
не только говорили на разных языках,
Считалось,
это
что
расстояние,
взрослый
за
то
время,
солнца
нией
пока
поднимается
это
стадия
от
измеряли,
в
что
но
и
-
бы
голо
длина
зависела
страны,
времени года
летом
над ли
пришло
одного
диск
Кому
Получалось,
только
и
проходит
горизонта.
сейчас
ву?
которое
человек
где
не
от
ведь зимой
солнце
чайно приняли арабские мили за более короткие европей
ские,
чти
и
в
восходит
было
разобраться?
их
Возможно,
умах
они
сократилась
больше
по
поверили
25 000
км. Получа
Дошло до того, что по заказу португальского коро
ля астроном Паоло Тосканелли в
1474
году даже нарисовал
карту мира, на которой самый короткий путь из Европы в
(рис.
этом
раза.
в
восток, а на запад!
были
стадии
длиной
175 метров, а бывали и 209
в
полтора
экватора
круг неё должен был составить всего
Индию
Как
земного
лось, что плыть до вожделенной Индии было короче не на
неодинаково. Даже в Египте
метров.
длина
Птолемею. Но Земля стала для них маленькой, а путь во
его
просто
но и мерили всё
разными способами! Возможно, ученые из Флоренции слу
стадий
и
52).
Китай
лежал
через
Атлантический
океан
Этим и воспользовался Христофор Колумб, когда
решил <<Обогнуть>> Землю с другой стороны. Известно, что
он читал <<Географию>> Птолеме.я, общалел с Тосканелли и
Кроме того, Эратоефен мог
производил свои собственные выкладки.
По его расчётам
не
до
километров.
очень
угол,
под
солнечные
мог
точно
которым
падали
лучи
землю,
просто
на
ошибаться ...
И учёные эпохи
ния
стали
измерить
Возрожде
проверять
матиков Античности.
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
мате
Индии
плыть
было
не
больше
5000
Это
было далеко, но вполне возможно. На такой путь в одну
сторону должна была уйти пара месяцев. Дело было за м а
лым
-
убедить короля дать деньги на снаряжение экспе
диции. Больше десяти лет убеждал Колумб королей Пор
тугалии
и
Испании
в
возможности
своего
путешествия.
25
Колумб перед королём и королевой в
Рис.
1493
г.
53
Ещё раньше он пытался убедить в этом же правителей Ге
нуи
-
если бы ему это удалось, то не Испания, а Италия
могла бы стать на века богатейшей страной Европы.
Наконец
3
августа
1492
года три испанских кораб
ля покинули порт Палое и взяли курс на Канарские остро
ва,
а потом прямо на запад.
Плыли они, держась строго
27-го градуса северной широты. Не догадываетесь почему?
Конечно же, это была широта Индии! Экспедиция Колумба
состояла из трёх каравелл.
Самая большая из них
та-Мария>>
имела в длину не больше
две другие
-
около
рабли эти были
20
40
<<Сан
метров (рис.
55),
метров. Даже для того времени ко
очень маленькими.
через океан с командой из
90
Отправиться на них
человек казалось невероятно
смелым решением. Собственные постели там были только
Убедить
королей
Испании
и Португалии оказалось не
просто -- Колумбу не вери
ли. Вот что, например, ему
говорили: «Если бы вам уда
лось как-нибудь спуститься
в
другое
что
не
влезть
спать по очереди на полу в тесных трюмах на сырых боч
Колумбу действительно очень повезло: если бы на
его пути в Индию не встретился новый материк,
экспедиция
непременно
бы
Ведь Эратоефен был прав
-
погибла
от
голода
и
вся его
жажды.
он правильно рассчитал раз
меры нашей планеты: до Индии на самом деле было боль
ше
26
20 000
км.
Если бы там был один бескрайни~ океан,
на
огромную
ет выпуклость Земли».
Были
.ящиках.
как
водяную гору, какую образу
доводы:
и
то
оттуда обратно?
самом благопри
ятном ветре кораблю ни за
у самого Колумба И капитанов. Матросам же приходилось
ках
полушарие,
подняться
Даже при
и
более
если
длиннее,
хватит
ды.
Европы
до
него
запасов
окажется
просто
пищи
и
не
во
Кроме того, с «той сто
роны»
не
на
серьёзные
путь
океана
к
никто
ещё
приплывал
Индии
берегам
никогда
поэтому
должно
быть
очень далеко.
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
,.
тнf
FOUR
V O YдGES.
OF
\
1
е '0-
-p:l.-
-----
1
f
---+1
1".193 -
Четыре путешествия Колумба.
Рис.
1492-1503
гг.
54
корабли Колумба никогда бы не вернулись обратно. Через
месяц
плавания
в
открытом
море
команда
стала
роптать,
назревал бунт: матросы требовали, чтобы Колумб повернул
назад. На его счастье,
12
октября
ризонте они увидели землю
остров,
который
Колумб
в
Испанию,
везя
в
это был первый маленький
-
назвал
<<святой Спаситель>>. В марте
года наконец на го
1492
1493
трюмах
Сан-Сальвадор,
то
есть
г. его корабли вернулись
немного
золота,
диковинные
растения, яркие перья птиц и нескольких туземцев. Хри
стофор Колумб объявил, что открыл западную Индию,
а
её коренных жителей назвал индейцами. По иронии судь
бы так их и называют до сих пор.
Всего Колумб совершил четыре экспедиции в <<Ин
ДИЮ>> (рис.
54)
через Атлантический океан, но так и не по
нял, где он находился. Бросив якорь летом
1498
года у бе
р ега Южной Америки, в пресноводной бухте реки Ориноко,
он вообще считал, что нашёл Земной Рай. В том же году
конкуренты
Испании
Индии по морю.
-
португальцы
наконец
достигли
Васко да Гама обогнул Африку с юга
и через два года вернулся из далёкой Индии с пряностями
«Санта-Мария».
Самая
боль
шая из каравелл Колумба
Рис.
55
на борту. Из его команды в живых осталась только поло
вина людей,
лись в
60
но
зато затраты
на саму экспедицию
окупи
раз! Колумба стали подозревать в обмане, ведь
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
27
!
1
/
/
56
Рис.
он нашёл совсем <<не ту>> Индию. Пряностей не было, золо
та
тоже.
открытых
:Кроме
им
того,
островах
первые
испанские
подвергались
поселения
частым
на
нападениям
индейцев. Испанцы их жестоко подавляли. В результате на
остров Эспаньола (так Колумб назвал остров Гаити) при
был новый наместник, который заковал Колумба в канда
лы и отправил в Испанию. Его лишили звания адмирала
и всех дарованных ему привилегий. Уступив возмущению
народа,
кандалы потом сняли,
но Колумб не расставался
с ними до конца своей жизни и даже просил положить их
с собой в гроб.
Таким образом, приходится признать исключитель
ную
важность математических расчётов даже для
фических
ствием
открытий.
Колумб
не
Перед
стал
своим
рискованным
проверять
древних
геогра
путеше
учёных
и
ошибся <<всего>> на несколько тысяч километров! Он не су
мел бы их преодолеть и должен был по дороге погибнуть
мучительной смертью.
случайности ...
А
Этого не произошло по счастливой
ошибка,
которую
он
допустил,
стала
самой великой из тех, какие совершили путешественники
всех времён и народов.
Ошибка Аристарха
Каковы же настоящие размеры Луны и Солнца и расстоя
ния до них? Если вы заглянете в современную энциклопе
дию или интернет,
то обнаружите,
что Луна примерно в
четыре раза меньше Земли, а Солнце в
Но с Земли они видны почти
109
одинаково -
раз больше её.
древние люди
вообще сначала считали, что Луна и Солнце одинаковых
Рис.
57
размеров. Получается, что на самом деле Солнце почти в
28
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
400х ----------------------~-------
Сравнение
расстояния
x_j
меж
дУ Солнцем и Луной
Рис.
58
400
раз больше Луны (рис.
и поэтому должно быть во
58)
столько же раз дальше её! Давайте вспомним: у Аристарха
получилось не так
всего в
--
он считал, что Солнце дальше Луны
раз. То есть ;Аристарх ошибся почти в
19
раз!
20
Как же так вышло?
Самая главная ошибка возникла на первом шаге:
Аристарх
не
имел
ещё
точных
приборов
для
измерения
угла между Солнцем и Луной. Когда на небе была видна
Луна
примерно
в
400
раз
меньше Солнца и в 400 раз
ближе к Земле. Размер обо
их небесных тел кажется на
блюдателю с Земли
ковым.
Поэтому
затмений
Луна
в
одина
моменты
может
ностью закрыть Солнце.
пол
<<половинка>> Луны, этот угол у него получился равным
87
градусам. А на самом деле нужный угол должен быть на
два градуса больше. Казалось бы, Аристарх ошибся совсем
немного
это не должно было привести к такой разнице
--
значений. Но привело, поскольку эти два угла почти пря
мые. А в таком случае треугольник, образованный Луной,
Землей и Солнцем, сильно меняется даже при небольтом
изменении угла.
Ошибку
Аристарха
позже
астроном Гиппарх и Архимед.
нашли
и
исправили
Это, безусловно, делает им
честь! Но в отличие от самого Аристарха, оба они побоя
лись . поставить Солнце в
Аристарха
гораздо
центр Вселенной ... Хотя модель
лучше
объясняла
движение
Луны
и
планет на небе, в неё не верили больше тысячи лет. Поче
му?
Скорее
всего,
просто
боялись.
признать, что наша Земля в космосе
планета, а не центр мира.
Людям
--
было
сложно
рядовая маленькая
По Аристарху получалось, что
Земля движется вокруг Солнца по огромному кругу, ради
ус которого в
23 000
раз больше радиуса её самой!
Но это ещё не всё: за один год она делает оборот
вокруг Солнца, поэтому должна лететь в пустоте с гигант
ской скоростью,
и за полгода перемещаться на
150
мил
лионов километров. Почему же тогда в течение года звёзды
на
ПЕРВЫЕ УЧЁНЫЕ
небе
не
становятся
к
нам
ближе,
не
меняется
их
29
•
Рис.
59
яркость и форма созвездий? Это был главный вопрос, ко
торый
задавали учёные Аристарху.
Он смело
отвечал на
него так: величина звёзд, форма созвездий и их яркость не
меняются потому, что они ещё дальше от нас
в тысячи
-
раз дальше Солнца и Луны!
Представьте
Большой
на
этом
оранжевый
макете
-
шар
Солнце.
Рядом с ним планеты. Какая
из них наша Земля?
себе:
в
ный апельсин с диаметром
На расстоянии
10
чёрном
10
космосе
висит
метров от него по окружности движется
голубая крупинка с диаметром всего
миллиметр
1
будет наша Земля. Вокруг неё на расстоянии
ров
и
тоже
по
огнен
см. Это будет наше Солнце.
окружности
движется
белая
Луна. А ближайшая к нам другая звезда
тящийся апельсин
-
-
6
-
это
сантимет
пылинка
-
такой же све
находится где-нибудь за
2000
км от
вас. Представили? Тогда вы поймёте, почему древним лю
дям становилось страшно при одной мысли об этом. Вме
сто уютного небольшага мира Аристарх предлагал им бес
конечную чёрную бездну.
Да, Аристарх ошибся почти в
20
-
ка не повлияла на главный его вывод
раз больше Земли,
раз. Но эта ошиб
Солнце во много
поэтому именно оно должно быть по
ставлено в центр нашего мира.
Земля же миллионы лет
вращается вокруг этого центра в огромной и бесконечной
Вселенной.
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
...
.
...
:.с
Ч о такое геометрические фигурь
?
Вы можете спросить: что изучает наука геометрия? Неуже
ли она нужна только для того, чтобы <<мерить землю>>? Ко
нечно, нет! Ещё геометрия нужна людям для того, чтобы
правильно
строить здания,
ных
механизмов,
(рис.
1.1),
делать игрушки
чтобы
создавать
и детали
красивые
слож
орнаменты
да и просто нашу с вами одежду и обувь. Дома,
ботинки, детали машин, плитки на полу
рические
фигуры.
Значит,
в
общем
-
всё это геомет
случае
геометрия
и должна изучать свойства геометрических фигур.
Но что такое геометрические фигуры? Любой язык
многозначен, и слово
Часто
Рис.
1.1
говорят
о
<<фигура>>
фигуре
может обозначать многое.
человеческого
тела,
шахматных
фигурах, о фигуре речи. Даже существует вид спорта, свя
занный с этим словом: фигурное катание. Кстати, как вы
думаете,
почему он так называется? В любом случае мы
с вами пользуемся словом
<<фигура>>,
когда хотим сказать
о форме чего-либо. Например, садовник подстригает кусты,
чтобы придать им определённую форму (рис.
но
то же
самое делает
с
нашими
волосами
1.4).
Пример
парикмахер.
Обратите внимание: когда мы рассуждаем о форме
какого-либо предмета, нас не интересуют его цвет или вес .
Не имеет значения и материал, из которого он сделан. Ка
менный шар, мяч или мыльный пузырь имеют одну и ту
же форму
рой
-
будет не
форму шара.
мяч
или
Значит,
пузырь,
геометриче<:кой фигу
а именно
шар
(рис.
1.5).
С точки зрения геометрии нас будет интересовать только
Рис.
1.2
форма самого предмета и его размеры.
Рис.
32
1.3
ГЛАВА
1
Рис.
1.4
Что такое размер предмета,
или
тот
ким
-
же
ботинок
может
быть
поимет каждый:
большим
или
шар
малень
в конце концов, ботинок меньшего размера на ногу
просто не наденешь! А вот что такое форма?
Любой человек понимает, что форма вещи
то,
как она выглядит:
круг
и квадрат
очевидно
-
это
имеют раз
ную форму, шар и ботинок тоже. Но почему? На этот не
простой
так:
античные
форма вещи
стей,
зать
вопрос
философы
отвечали
это соотношение между собой её ча
-
это внутренние пропорции самой вещи,
-
формы
чашки,
примерно
можноJ ска
<<душа>> предмета. Вот жидкость не имеет никакой
(рис.
1.7).
-
Вернее,
амфоры
любого
она
принимает
сосуда,
куда
любую
её
форму:
нальют.
Так
и материал, из которого сделан любой предмет, <<принима
ет>> форму этого предмета, а значит, форма вещи существу
ет сама по себе
-
неважно, из чего эта вещь сделана.
Рис.
В
математике
шар
и
сферу.
с
его
Если
различают
поверхность
сравнить
апельсином,
1.5
то
-
шар
сфера
это кожура апельсина.
Рис .
§1
Рис .
1.6
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
1.7
33
УПРАЖНЕНИЯ
Посмотрите
1
на рисунок.
геометрические
фигуры,
На
1.8.
нём
которые
изображены
можно
нарисо
вать на листе бумаги или на плоскости.
Все они
имеют легко узнаваемую форму и служат моделя
ми
предметов
окружающего
нас
мира.
Поста
райтесь на этих рисунках найти каждую из таких
фигур и подобрать к. ней название из списка.
куб
о о г- о о ~
конус
пирамида
отрезок
круг
угол
80
трапеция
цилиндр
пятиугольник
сфера
спираль
ломаная
o<t
прямоугольник
овал
квадрат
Рис.
1.8
Если вы без труда угадали все фигуры на данных
рисунках,
значит,
у
вас
прекрасная
геометрическая
интуи
ция! А теперь скажите: чем прямоугольник отличается от
трапеции или круг от овала? Согласитесь
сделать это
-
уже сложнее ... А ещё сложнее дать всем геометрическим
фигурам точные математические определения.
Отрезок., прямая или ломаная линия, угол, прямо
угольник., круг
ные
фигуры.
случайно.
было
арену
Купол Исаакиевекого собора
в Санкт-Петербурге
Рис.
1.9
всё это довольно простые, но очень важ
-
В
прак.тик.е человечества они
Чтобы
к.ак.-то
проложить
провести
цирка
или
прямо
прямую
купол
храма,
появились
улицу,
линию,
нужно
не
необходимо
чтобы
построить
было
начертить
окружность. А чтобы возвести здание, всегда вешали верёв
к.у с грузом
-
отвес, чтобы по нему строить вертикаль, на
языке геометрии
но
заметили,
перпендик.уляр. .Кроме того, люди дав
-
что
на
ровной
местности
самый
короткий
путь из одного места в другое всегда идёт по отрезку пря
мой линии. Поэтому обычно так. и говорят: <<Иди прямо>>.
Сначала в курсе геометрии мы будем изучать фи
гуры
на
плоскости,
которые
вообще
не
имеют
никакого
веса и объёма. Геометрию таких плоских фигур называют
34
ГЛАВА
1
планиметрией. Это название возникло от греческого слова
<<Планис>>,
него
что
означает
произошло
и
<<плоскость>>.
русское
слово
:Кстати,
план,
то
именно
есть
от
<<плоский
чертёЖ>>. На плоскости некоторые геометрические фигуры
не имеют даже площади. :Какая площадь может быть у от
резка или прямой? Да и любая кривая линия на плоско
сти
не имеет площади.
любая линия
Можно
сказать,
что в
геометрии
это как будто нитка, но только бесконечно
-
тонкая. Даже разглядывая её в микроскоп, мы всё равно
не заметим у неё никакой толщины.
Ма ематичес ие
Улица в древних Помпеях
оде
Рис.
1.10
Скажите: на что похожа окружность? Правильно: она похо
жа на обруч или на обод колеса (рис.
нее
было
бы
окружности.
веса
и
сказать,
Но
в
толщины.
Окружность
-
что
колесо
отличие
Однако
от
и
них
Ещё правиль
1.14).
обруч
имеют
окружность
она имеет
и
размер,
форму
не
и
имеет
форму.
это замкнутая линия, которая служит аб
страктной моделью колеса, а с колесом человек постоянно
имел дело.
Древние люди считали окружность самой со
вершенной из всех линий.
А как же дать строгое определение окружно~ти?
Чем она отличается, например, от овала? Интуитивно это
понятно:
всюду
овал
вытянут,
<<круглая>>.
Но
а
для
окружность
геометрии
везде
такое
одинакова,
интуитивное
определение никак не годится. Давайте вспомним, как мы
рисуем окружность: обычно мы пользуемся для этого цир
кулем. :Кстати, за две тысячи лет циркуль не сильно изме
нился
(рис.
античного
арену
1.13).
города
амфитеатра
А теперь представьте,
и
вам
или
необходимо
цирка
что вы инженер
построить
диаметром
100
Слово «линия» образовалось
от
linea
латинского
restis,
«льняная
Рис.
что
выражения
означает
нить»
1.11
круглую
метров,
но
у вас нет такого большого циркуля? Древние строители ис
пользовали
конец
Рис.
§1
для
верёвки
1.12
этого
обыкновенную
привязать
к
Рис.
верёвку.
вбитому
1.13
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
в
Если
землю
Рис.
один
шесту,
1.14
35
t
Рис.
1.15
а . другой свободный её конец вести по земле, то он опишет
нужную нам окружность (рис.
Важно только, чтобы
1.15).
верёвка оставалась всё время натянутой. Почему это важ
но? Дело в том, что тогда расстояние от конца верёвки до
шеста не будет меняться, ведь длина верёвки остаётс.я той
же. А раз так, то любая точка нарисованной окружности
окажется на одинаковом расстоянии от места, где был за
креплён шест.
Это место (или эта точка) называется цен
тром окружности.
имеют и все спицы колеса
центра
на
одно
и
Рис.
1.16
По той же причине одинаковую длину
то
же
-
любая его точка удалена от
расстояние,
называемое
радиусом.
Итак, мы с вами пришли к естественному и строгому опре
делению
окружности:
Окружностью
точки
от
называют
которой
замкнутую
находятся
на
линию,
равном
все
расстоянии
центра.
Теперь уже .ясно, чем овал отличается от окружно
сти,
-
он
просто
не
подходит
под
это
определение:
точки
овала находятся на разных расстояниях от любой точки
Окружность
на плоскости 1 •
Вы уже знаете, что для проведения прямой линии
Рис.
1.17
древние строители (да и современные) использовали всё ту
же
в
верёвку.
Если
верёвку
отрезок прямой линии,
натянуть,
то
она
превратится
а если сказать точнее:
отрезок
прямой служит математической моделью натянутой верёв
ки. Ведь реальная верёвка имеет толщину и какой-то вес,
а её математическая модель не имеет никакой толщины и
невесома.
Вот
почему
строителей
пирамид
Древнем Египте и Древней Индии называли
л.ями верёвок>>.
1
и
храмов
в
<<нат.ягивате
Овал
Рис.
1.18
Ещё необходимо проверить, что вообще не существует ни одной точки, которая бы находилась на одина
ковом расстоянии от всех точек овала. Мы сделаем это строго, когда будем изучать свойства окружности.
36
ГЛАВА
1
~ з че о состоят все геометр
А как
ры?
вы
думаете:
Ломаная
и
из
чего
квадрат,
состоят
геометрические
наверное,
А из чего состоит сам отрезок,
чес ие фигуры?
состоят
окружность,
из
фигу
отрезков.
да и вообще
произвольпая фигура, нарисованная на листе бумаги? Лю
бая
линия,
которая
получается
как
след
от
движения
ка
----------------~~ ·
рандаша или ручки по бумаге, соединяет точки на плоско
сти. Даже маленькая часть этой линии
таких
точек,
каждая
из
которых
это множество
-
отмечает
прикосновение
пишущего предмета к бумаге в данный момент времени.
Поэтому считают, что любая геометрическая фигура состо
ит из точек. В геометрии вообще любое множество точек
называют фигурой. Но тогда получается, что две точки
это тоже фигура,
да и одна точка
деле это так, ведь точка
фигура.
-
-
На самом
Рис.
1.19
это простейшая и неделимая
-
фигура геометрии, можно сказать, её <<атом>>. Как вся ма
терия состоит из атомов, так и любая геометрическая фи
гура
состоит из
точек.
Правда, многие сложные фигуры на плоскости го
раздо проще рисовать, если мысленно разделить их на бо
лее
простые
геометрические
фигуры
-
отрезки,
прямо
угольники, спирали, окружности или овалы. Можно даже
сказать, что такие фигуры состоят из более простых.
Как
вы
думаете ,
почему
слово «точка» образовалось
от глагола « точить »?
J
УПРАЖНЕНИЯ
Посмотрите на рисунки в таблице. Попробуйте по
2
вторить каждый из них в тетради и скажите, ка
кие простые геометрические фигуры вы в каждом
случае
использовали.
возьмите
стей
-
линейку,
циркуль.
рисовать от руки
@
конверт
~
мышь
Рис.
§1
5
кружка
СбСDСО
~ 00
соты
а
Для
для
Только
проведения
построения
овал
вам
отрезков
окружно
придётся
на-
как ещё говорят, <<на глазок>>.
i n
лампочка
стол
~
Е~ [[1] а
цветок
узор
•
ограда
мозаика
рожок
2
квадрата
1.20
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
37
ВОПРОСЫ
Из чего состоят все геометрические фигуры?
1
2
3
4
Какие простые геометрические фигуры вы знаете?
Как в геометрии определяют окружность?
Каким
способом
древние
строители
чертили
на земле отрезки и окружности?
5
Какие геометрические фигуры служат математиче
6
В
скими моделями натянутой верёвки, обода колеса?
в
первом
1709
ление:
русском
учебнике
геометрии,
г. под редакцией Петра
<< 7:**,
изданном
•
есть такое опреде
I,
или заострённый каравай, есть такой
корпус, егоже базис, циркульна круглая плоскость
есть,
а
наружная
выпуклая
ху башенпо заостряется>>.
плоскость
онаго
в
вер
i•
1- ~
i
t-
1
f
f .
Как вы думаете, какую
.
т--- ·
фигуру так определяли?
• 1
Рис.
(@J) УПРАЖНЕНИЯ
-
.
+
1
1.21
~
.
.
1
На бумаге в клетку отмечены две точки (рис.
3
а
1.21).
Нарисуйте квадрат так, чтобы эти две точки были
его
б
противоположными
вершинами.
Постройте окружность, которая проходит через все
•
•
t
~
•
j
i
t
- t
...
j.
•
1
-т
1
вершины
этого
квадрата.
Рис.
Постройте окружность, проходящую через три точ
4
ки, показанные на рисунке
5
1. 22.
Постройте окружность, проходящую через три точ
ки, показанные на рисунке
На
6
рисунке
квадрата
1.24,
можно
а
за
--
1
~
как
другом
.
-
1.23.
показано,
друг
1.22
все
..
вершины
соединить
тремя
три
отрезка
через
все
вершины
так, чтобы вернуться в исходную точку
а)
.
т
+
!
1
t
1
--- г:r
•
1
1
1
б)
t
•
l
1
1
1
I
•
+
....
.i
1
1
+
-4
t
1
квадрата
(1.24, 6).
Рис.
1.23
1
1
r ,
I
Рис.
.
.
~
.
~
отрезками, не отрывая карандаша от бумаги. Про
ведите
.
-г
+1
'
.
• i
-t
•
l
т
1 •
1 ...
i
r
t
.
t •
1
!
!
t
1
т
- '"1'
т
i!
1
~
-
.
i-
1.24
ГЛАВА
38
РиГ'
?
?~
1
геометрические зада
и
Решают ли на уроках геометрии задачи?
ют
Конечно,
реша
ПЕРИМЕТР
и очень много! Скажем больше: вы уже это делали
-
:н:а уроках математики в пятом и шестом классах.
ь
Любая
задача, где нужно найти площадь :комнаты или длину за
бора, будет задачей по геометрии. Но не только:
как вы
брать самый короткий путь от школы до дома; :как поло
жить
на
:касался
стол
всех
шесть
других;
:карандашей,
как
чтобы
разрезать
.
:каждый
пиццу
на
из
равные
них
ча-
сти; как повернуть зеркало, чтобы солнечный зайчик по
пал в нужную точку,
-
всё это тоже задачи по геометрии.
Давайте вспомним, что из геометрии вы уже проходили на
уроках
P=a+b+c+d+e
математики раньше:
Рис.
Периметр геометрической фигуры
-
1.25
это длина её
границы или сумма длин всех её сторон.
Длина забора, :который окружает участок земли,
это тоже его периметр (рис.
1.25).
Конечно, не у всех гео
метрических фигур существуют прямые стороны, но пери
ПЛОЩАДЬ
метры таких <<Кривых>> фигур мы пока считать не будем.
ь
Также вы наверняка знаете, что у прямоугольника
противоположные стороны
Площадь
равны,
прямоугольника
и что
S
двух его соседних сторон (рис.
равна
произведению
а
а
1.26).
Всё остальное следует из здравого смысла и ваше
го пра:ктичес:кого опыта.
Пусть, например,
некоторую фи
гуру разрезали на части, площади :которых вы знаете. Ска
жите:
:как теперь найти площадь всей фигуры?
Конечно,
нужно просто сложить площади всех её частей (рис.
ь
S=a
·Ь
Рис.
1.26
1.27)!
s = s1 + s2
Рис.
§1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
1.27
39
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
J
ПРИМЕР 1.1
* 'tltl
родской
На рисунке
квартиры,
в
которой
а показан план го
1.28,
есть
три
комнаты,
кухня,
ванная и коридор. На этом плане указаны размеры неко
торых
а)
из
кухни;
этих
б)
помещений.
детской
Найдите
комнаты;
в)
на
нём
спальни;
г)
площадь:
коридора.
б)
а)
6м
3м
2м
гостиная
6м
6м
6м
3м
спальня
3м
гостинал
2м
спальня
'--'-
!-=-==
1,5м
1,5м
3м
---
... ___.
...._.._..
3м
детскал
3м
детскал
о.
о
1::(
:s:
о.
---
т;
о
~
о.
о
1::(
3м
кухнл
:s:о.
1
1
1
кухнл
3м
о
-
2м
Рис.
~
2м
1.28
РЕШЕНИЕ:
а)
Давайте
на плане
квартиры
продол
жим стены некоторых её комнат так, как это показано на
рисунке
1.28,
б. Тогда вся квартира окажется разбитой на
прямоугольники.
Легко
заметить,
что
спальня,
детская,
кухня, коридор и ванная все вместе образуют один такой
прямоугольник со сторонами
и
6
9
метров. Значит, сумма
ширины кухни, ванной и коридора равна
6
метрам. Поэто
му неизвестная нам сторона кухни равна:
= 2,5
(м). Значит, её площадь равна
6 - 2 - 1, 5
3 · 2,5 = 7,5 (м ).
=
2
б) Точно так же большая сторона детской комнаты равна
6 - 1,5 = 4,5 (м).
4,5 · 3 = 13,5 {м 2 ).
в)
Чтобы
найти
А
значит,
площадь
её
площадь
спальни,
нужно
будет
из
равна
площади
большого прямоугольника со сторонами 3 и 6 метров вы
честь
площадь
попавшей
этого <<выступа>> равна
равна
1,5 · 1
=
в
3 - 2
него
=
1
части
коридора.
Длина
(м). Поэтому его площадь
{м 2 ). Тогда площадь спальни равна
1,5
3 · 6 - 1,5 = 16,5
{м 2 ).
г) Площадь коридора можно считать разными способами.
Например, для начала найдём, что ширина ванной комна
ты равна
=
со
40
3
3 - 1,5
=
1,5
(м). Тогда её площадь равна
2 · 1,5
=
(м 2 ). А теперь из площади большого прямоугольника
сторонами
6
и
9
метров
вычтем
площади
спальни,
ГЛАВА
1
детской, кухни и ванной:
6 · 9 - 16,5 - 13,5 - 7,5 - 3 =
. = 13,5 (м 2 ).
2
ОТВЕТ: площадь кухни равна
ской
-
13,5 м
13,5
2
, площадь спальни
ридора
-
* <(?<(;:{
ПРИМЕР
7,5 м , площадь дет
16,5 м 2 , площадь ко
-
м2 •
Ваня
1.2
разрезал
лист
прямоугольные части (рис.
1.29). Потом
равны 80 и 90 см.
риметры этих частей
ватмана на две
он нашёл, что пе
ВОем
Кроме того, он по
мнит, что периметр целого листа ватмана был равен
90см
м.
1
Найдите площадь этого листа.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим длину разреза буквой х.
По
скольку Ваня разрезал лист ватмана на два прямоугольни
ка,
то
стороны
этих
линии разреза,
прямоугольников,
тоже равны х.
противоположные
Теперь сложим периметры
двух этих частей. Мы получим периметр целого листа ват
мана плюс удвоенную длину разреза, то есть
100
+
2х. Откудах =
угольник.
80
90
см
х
+ 90 =
см. Посмотрим на первый прямо
35
ВОем
х
Его периметр
80 см, а сумма двух противопо
ложных сторон равна 2 · 35 = 70 см. Значит, две другие
его стороны в сумме дают 80 - 70 = 10 см. То есть каждая
из них равна 10 : 2 = 5 см. Площадь этого прямоугольника
равна 35 · 5 = 175 см •
Рис.
1.29
2
Точно так же найдём другие стороны второго ;пр я
моугольника. Получится
площадь равна
35 · 10
(90 - 70): 2
350 см •
10
=
см. Значит, его
2
=
Чтобы найти площадь целого листа ватмана, нуж
но просто сложить площади двух его частей. То есть пло
щадь целого листа равна
ОТВЕТ:
**<C:r
525
ПРИМЕР
175 + 350 = 525
см 2 •
2
см •
Как
1.3
с
помощью
одной
линейки
на
а)
рисовать на клетчатой бумаге треугольник, площадь кото
рого равна ровно трём клеткам?
РЕШЕНИЕ: С помощью линейки легко провести пря
мую через любые два узла клетчатой бумаги.
выбрать три таких узла
-
Попробуем
они и будут вершинами нашего
треугольника. Мы не будем разбирать самый общий слу
чай,
а
попытаемел
расположив
две
построить
его
нужный
стороны
прямо
нам
на
треугольник,
линиях
б)
сетки.
То есть один из углов такого треугольника будет прямым,
как у квадрата (рис.
1.30,
а).
Давайте впишем в сетку любой треугольник с пря
мым углом и подумаем:
сколько клеток составляет его пло
щадь? Конечно, можно заняться подсчётом количества кле
ток, которые в нём содержатся целиком, потом прибавлять
к
ним
части
треугольник,
клеток,
которые
и так далее.
Но
полностью
мы
<<Не
влезают>>
ванный
§1
нами
треугольник
1.30,
1.30
-
это по
б). Например, нарисо
составляет
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Рис.
пойдём другим путём:
легко догадаться, что любой такой треугольник
ловинка прямоугольника! (Рис.
в
ровно
половину
41
от прямоугольника со сторонами в
его площадь равна
(2 · 4): 2
и
а)
клетки. Поэтому
4
клетки. Видите, как про
4
=
2
сто! Дальше всё уже понятно: нужно нарисовать на клетчатой бумаге прямоугольник с площадью в
6
лить
это
его
пополам
диагональю.
разными способами.
на рисунках (рис.
Сделать
клеток и раздеможно
тоже
Нужные нам треугольники отмечены
а, б) фиолетовым цветом. Каждый
1.31,
из них имеет площадь, в точности равную трём клеткам.
ПРИМЕР 1.4
б)
На свой день рождения Николай по
г-
лучил шоколадный торт, семь горящих свечей на котором
образовывали букву
ке
1.32,
чтобы
<<Н>>
так, как это показало на рисун
а. Коля хочет разделить свой торт на куски так,
на каждом
из
них
было
только
по
одной
Рис.
свечке.
1.31
При этом он не хочет делать больше трёх прямых разре
а) .
зов. Помогите Коле это сделать!
РЕШЕНИЕ:
Легко
убедиться,
что
тремя
прямыми
разрезами разделить торт больше, чем на семь частей не
получится. Значит, в каждой из них должно гореть по од
ной свече. Давайте одну из этих частей сделаем треуголь
ной формы и поместим в неё свечку,
торта.
Один
из
возможных способов
торта показал на рисунке
1.32,
горящую в центре
нужного
б)
разрезания
б.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
Рис.
Перед вами план городской квартиры,
1.1
есть
две
комната
жилые
и
обозначены
комнаты,
кухня,
коридор
(рис.
размеры
некоторых
1.33).
в которой
туалет,
На
из
1.32
ванная
этом
этих
плане
помеще
ний.
Найдите на нём площадь: а) большой ком
наты, б) маленькой комнаты, в) кухни.
Найдите площадь коридора.
4м
.
2м
4м
~
~
L<":i
2м
,....;-
кухня
5м
1
5м
...
большая
гараж
, туалеl
l м
с
lм
комната
малая
комната
гости н ая
котельная
кухня
4м
·1
3м
Рис.
42
1.33
3м
3м
6м
Рис.
прихожая
5м
3м
1.34
ГЛАВА
1
36
5м
1
4
Рис._
м
Рис.
1.35
1.2
1.36
Рис.
1
План
1
1
1
м
3
первого
на рисунке
этажа
загородного
дома
1.37
показан
30
см
На этом плане обозначены разме
1.34.
ры некоторых из его помещений.
1.3
*"tr"tr
Найдите
*
-tr
Найдите ширину лестницы на второй этаж,
f
если площадь кухни равна
6)
на
нём
площадь:
а)
70
гостиной,
см
90см
прихожей, в) котельной.
17
м2•
В двух смежных комнатах квартиры дела
*"tr"tr
ют ремонт. Их размеры показаны на рисунке
причём
ширина
каждой
двери
равна
1
1.35,
Рис.
1.38
метру.
i
Сколько необходимо купить метров плинтуса, что-
12
бы прибить его по периметру в этих комнатах?
1.4
* -tr-tr
тов
Прямоугольник разрезали на семь квадра
так,
щадь
см
как это
одного
показано
из
на рисунке
маленьких
1.36.
квадратов
Пло
равна
1.
Найдите площадь всего прямоугольника.
1.5
* '(;:{'(;:{
Прямоугольник разрезали на восемь квад
ратов так, как это показано на рисунке
щадь одного из этих квадратов равна
те
1.6
площадь
* -tr -tr
всего
Потом
70
он нашёл,
и
90
* 'i:t-tr
цепь из
* '{:{'(;:{
Рис.
1.40
что периметры
см. Кроме того, он по
что длина большей стороны листа ватмана
равна
30
Звено
на рисунке
1.8
1.39
м • Найди
см
(рис.
1.38).
Найдите
площадь
этого листа.
1.7
Рис.
прямоугольника.
этих частей равны
была
Пло
2
Ваня разрезал лист ватмана на две прямо
угольные части.
мнит,
36
1.37.
10
цепи
1.39.
имеет
размеры,
показанные
На какую длину можно растянуть
таких звеньев?
3
У какой из двух фигур на рисунке
1.40
пе
риметр больше?
1.9
*"tr"tr
8
Найдите периметр и площадь прямоуголь
ной фигуры на рисунке
§1
2
1.41.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Рис.
1.41
43
:g
g
90м
e••••••••••••••• jl .~---·-·········-~
Рис.
1.10
Рис.
1.42
На рисунке
*"(::{"(::{
1.42
Рис.
1.43
1.44
указаны периметры всех
четырёх малых треугольников.
Найдите периметр
30
составленного из них большого треугольника.
1.11
* "(: { "(: {
40
Чтобы по красить деревянный прямоуголь
ный брусок, нужно
20
20
г краски. Брусок распилили
в трёх направлениях (рис.
1.43).
50
Сколько получи
лось частей, и сколько нужно краски, чтобы покра
сить их со всех сторон?
1.12
* *"(: {
90
1.45
Старинный замок на плане
прямоугольника,
и
Рис.
стороны
м. Замок окружает ров
полненный
водой.
По
1.44 имеет вид
равны
60
шириной 4 метра, за
12
которого
внешнему
краю
этого
L
рва
установили забор из заострённых сверху брёвен
частокол. Найдите длину этого частокола.
1.13
* *"(: {
Перед вами план квадратного дома, внутри
которого
(рис.
есть
1.45).
внутренний
дворик
Всего в доме четыре комнаты, перимет
ры которых равны
20, 30, 40
и
50
1
патио
Рис.
1.46
Рис.
1.47
м. Найдите дли
ну одной стены этого дома.
1.14
* * "(: {
Найдите периметр прямоугольной фигуры
на рисунке
1.15
**"(::{
1.46.
На рисунке
расположен
1.47 внутри большого квадрата
Внутри крестика малый
1. Площадь крестика равна 17.
крестик.
квадрат площадью
Найдите площадь большого квадрата.
1.16 **~
малых
На рисунке 1.48 известны периметры трёх
прямоугольников.
четвёртого
малого
Найдите
прямоугольника
периметр
и
периметр
6
12
8
?
всего большого прямоугольника.
1.17
* "(: { "(: {
На клетчатой бумаге нарисовали несколько
фигур (рис.
1.49).
Сколько клеток составляет пло
щадь каждой из них?
44
Рис.
1.48
ГЛАВА
1
г
Р ис. 1.49
Рис.
Рис.
1.50
1.18
**
~
1.51
На клетчатой бумаге нарисовали несколько
фигур (рис.
Сколько клеток составляет пло
1.52).
щадь каждой из них?
Р ис. 1.52 ·
Р ис.
1.19
Когда знаменитый философ Сократ объяс
нял геометрию рабу своего друга Менона, он про
rn O
1.53
* *~
сил его построить квадрат,
в восемь раз больший
другого по площади. А сможете ли вы построить
квадрат с площадью в восемь клеток на клетчатой
бумаге в своей тетради (рис.
1.20
**fi
В
своейi тетради
1.53)?
Петя
Угольников
обвёл
по клеточкам фигуру так, как это показано на ри
.
1
1
.
-
1
1.54.
Он хочет провести через угол А этой
фигуры прямую линию,
1
1
t
А
сунке
1
t
которая разделит её пло
щадь пополам. Помогите Пете это сделать.
l
1.21
t
**
~
Найдите
на рисунке
1
1.55.
площадь
ступенчатой
фигуры
Все ступеньки квадратные и оди
наковые.
Рис.
1.54
1.22
**~
Сложите из набора шести геометрических
фигур,
показанных на рисунке
1.50,
один прямо
угольник.
7
1.23
* *Y:J
На
свой
день
рождения
близнецы
Витя
и Митя получили шоколадный торт прямоугольной
формы,
7
Рис.
диагональ которого была проведена белой
глазурью.
разрезал
1.55
так,
Через
точку
на
этой
глазури
их
папа
весь торт на четыре прямоугольных куска
как это показано на рисунке
1.51.
Близнецы
терпеть не могут белой глазури, поэтому они взяли
себе
те
два
куска
торта,
на
которых
её
больше
не было. На каждом из этих кусков написано имя
того
мальчика,
который
его
получил.
Кому
из близнецов досталось больше торта?
1.24
Рис.
§1
*~~
Проведя всего ·две прямые, разделите фла
жок на рисунке
1.56
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
1.56
на шесть частей.
45
а)
б)
D
Рис .
1.57
L!!YO
Рис .
1.25
***
1.59
На день рождения к девочке Маргарите мо
жет прийти от четырёх до десяти человек. Она со
ш~
Рис.
Рис.
1.58
бирается
испечь
на
пиццу
потом
разделить
и
всех
одну
её
большую
на
круглую
части,
только четыре прямых разреза (рис.
проведя
1.57).
Сможет
ли Маргарита это сделать в любом случае, если ей
самой и каждому её гостю должно достаться ровно
по одному (не обязательно равному) куску пиццы?
1.60
Лист прямоугольной формы сложили попо
1.26 **1:.?
лам,
а
потом
ещё
раз
пополам.
Если
теперь
его
разрезать ножницами по прямой линии, то он рас
падётся на несколько частей (рис.
1.60).
Можете ли
вы сказать, сколько будет частей? Сколько может
быть разных вариантов? Попробуйте разобрать все
возможные
1.27
Рис.
**1:.!
случаи.
Как
стороной в
1.61
разделить
сложить
на
четыре
резом ножниц (рис.
1.28
***
квадратный лист
клетки так,
2
бумаги
со
чтобы его можно было
равных
квадрата
одним
раз
1.61)?
Герб древнего венецианского рода Борромео
состоит
из
трёх
колец,
которые
зацеплены
друг
за друга так, что разрыв любого из них приводит
к распадению сразу всех колец (рис.
такой герб из
невозможно.
1.62).
Сделать
абсолютно жёстких круглых колец
Но
его
легко
изготовить
из
гибкой
проволоки или трёх замкнутых резинок. А вы по
Рис.
пробуйте
1.62
теперь
по
тому
же
принципу
зацепить
друг за друга четыре резиновых кольца!
1.29
*
1:.?
Если смотреть на аквариум спереди, то си
реневая рыбка проплыла, как показано на рисун
ке
ке
1.30
1.58, а. А если справа - то как на рисун
1.58, б. Нарисуйте вид на путь рыбки сверху.
* f::r f::r
Деревянный куб по красили со всех сторон
и распилили на
46
27
одинаковых кубиков (рис.
1.59).
ГЛАВА
1
t
~~1Р
~
Рис .
1.63
~ Jk
6
16
l____fl5
Е1=ь
9
?
6
Рис.
Рис .
1.64
Сколько среди них имеют:
а) одну,
1.65
б) две,
в) три
окрашенные грани?
*fr
1.31
гур
Какие из показанных на рисунке
являются
развёртками
куба?
1.63
фи
Вырежите
их
из бумаги и покажите, как сделать из них куб.
1.32
* ""'"
На
равна
5
ны
парадную
м,
м
17
(рис.
лестницы,
1.33
1.66
*
с
Сколько
1.66).
высота
ковровую
если~ ширина
которой
дорожку
ступеней
каждой
дли
у
ступени
этой
равна
см?
30
Рис .
лестницу,
положили
1:.?
Труба
любой
камина
внешней
в
башне
стороны
старинного
имеет
размер
замка
51
см.
Каждый слой её кладки состоит из шести одина
ковых кирпичей, уложенных так, как это показано
на старинном чертеже
1.67.
Профессор Сивилла ут
верждает, что её шар для прорицаний может прой
ти через дымоход
его
стенок.
шара,
если
толщина
кладки равна
Рис .
1
камина,
каков
касаясь
диаметр
раствора
между
сразу всех
магического
кирпичами
см?
Таня нарисовала по линиям сетки на клет -
1.34
1.67
этого
Скажите,
чатой бумаге картину в виде чёрного прямоуголь
ника ,
в
1
а
потом
заключила
её
в
рамку
шириной
клетку. Площадь рамки оказалась в точности
равна
площади
самой
картины
(рис.
1.68).
Чему
могла быть равна площадь картины?
1.35
**
На
рисунке
1.64
известны
площади
трёх
малых прямоугольников. Найдите площадь четвёр
того
1.36
*
малого
Найдите периме~р прямоугольной фигуры
на рисунке
Рис.
§1
прямоугольника.
1.65.
1.68
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
47
2
о
с
Геометрия изучает свойства фигур на плоскости.
Фигуры
эти могут быть сложные и простые, а могут быть настоль
ко
простые,
гие
что
фигуры.
их
уже
Такие
невозможно
фигуры
определить
называют
через
дру
элементарными.
С их помощью описывают всё многообразие мира геомет
рии.
К
элементарным
фигурам
относят
точку,
прямую
и плоскость.
Что такое точка?
Как мы уже с вами знаем, все фигуры в геометрии состо
ят из точек. А что такое точка, как её понимать? Каждому
ясно,
что точка-
это что-то
совсем маленькое,
крошечное.
Наверное, точку и увидеть невозможно. А как вы думаете,
может ли быть точкой каждый из нас? Самое удивитель
ное, что не только каждый из нас, но и школа, и целый
город, да и вся наша планета может быть точкой.
Всё
зависит
от
того,
откуда
на
неё
смотреть.
Посмотрите на ночное небо: каждая звезда для нас выгля
дит светящейся точкой,
хотя звёзды
-
это огромные ог
ненные шары, большинство из которых размером во много
раз превосходит нашу Землю.
далеко,
что
их
размеры
не
Просто они находятся так
имеют
для
нас
значения.
Для нас важно только расположение звёзд на небосклоне.
Рис.
48
2.1
Рис.
Это
фотография
нашего
Солнца,
телескопом
(рис.
2.1)
сделанная
со спутника
2.2
ГЛАВА
1
Хотите знать, как древние учёные определяли точ
ку? Великий Евклид в своих <<Началах>> написал так: <<Точ
ка
это то, что не имеет частеЙ>>. Даже совсем маленький
-
кружочек
можно
разделить
на
части,
песчинка
скопом будет выглядеть камнем (рис.
расколоть
на
меньшие
пом не станет больше
куски,
а
точка
под
микро
который можно
2.2),
даже
под
микроско
мы не сумеем разглядеть её частей
-
А
даже с большим увеличением. Таким образом, для нас:
Точка
это
математическая
модель
•
в.
предмета,
.
размерами которого можно пренебречь.
Точки в геометрии мы будем изображать на бумаге
как
маленькие
имеют
размеров.
буквами
(рис.
кружочки,
Их
но
мысленно
обозначают
латинского
алфавита,
считать,
большими
например:
что
они
заглавными
А,
В,
С,
D
Рис.
это прямая линия, или просто прямая. Строго рпре
-
делить
прямую
2.3
ямая?
n
Следующая по важности после точки геометрическая фигу
ра
•
D
не
2.3).
то та ое
с
линию
совсем
не
так легко,
как
это
111/llllj!llljlllljlllljl!lljiii!JIIIIjiШ!IIilj!!lljlllljlil!jiШjlilijllllj!!!ljliiij!l!ljШ!jiШji!!IJH!Ij!i
о
1
2
4
5
б
7
в
9
а что такое ли
Г1' 1'''1'''1'''1 '''
·''T''J'"l'"l ''
'l'j'l'
!'' ·~'''!'''!~' '!''' j'l' !' "1'
\
нейка, почему она прямая? И становится понятно, что ни
чего
не
понятно.
Чем
вообще
прямая
линия
отличается
от кривой?
Мы
попросили
ответить
на
этот
вопрос
Рис.
2.4
Рис.
2.5
ваших
сверстников, ещё не располагающих тысячелетним опытом
цивилизации. Вот что из этого получилось: прямая
-
это
<<бесконечный ряд точек, стоящих вплотную друг к другу в
одном направлении>>, прямая <<идёт всегда прямо, а кривая
где-то
заворачивает>>,
наково
расположена
-
прямая
это
прямая
по
<<линия,
закругления>>. Правда,
определений
-
это
отношению
не
<<линия,
ко
имеющая
всем
ни
которая
своим
одного
оди
точкам>>,
угла
или
одно из этих наивных, но честных
принадлежит
знаменитому
Евклиду.
Попро
буйте догадаться, какое именно. :Конечно, мы не могли за
вопрос
самому
Евклиду
дать
этот
2000
лет назад. Но, видимо, даже он понимал прямую ли
-
он
жил
больше
нию лишь интуитивно.
Давайте
вспомним:
чтобы
получить
отрезок
пря
мой, древние строители всегда натягивали верёвку. Значит,
прямая
между
двумя
своими
точками
всегда
понималась
человеком как натянутая верёвка, была её математической
моделью. А наблюдения за тем, как предметы отбрасывают
свою тень, убеждали человека в том, что солнечные лучи
также
и
§2
идут
огонь
по
маяков
прямым
указывал
линиям.
кораблям
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
По
той
верн·ое
же
10 11
кажет
ся. :Конечно, отрезок прямой можно начертить по линейке,
но тогда возникает естественный вопрос:
3
причине
направление.
49
1'
То есть для человека
Прямая
это математическая модель натянутой
-
нити, верёвки или луча света.
Конечно,
линия
в
отличие от реальной верёвки,
бесконечна
мысленно
её
можно
прямая
продолжать
сколько угодно в любую сторону. Из опыта человек знал,
что
натянуть
верёвку
между
только одним способом.
две
точки
первое
но
в
с
должна
свойство
которым
математике
колышками
можно
Но тогда и прямая линия через
проходить
прямой
только
линии,
согласится
называют
двумя
одна.
которое
каждый.
Это
нельзя
Такие
нам
даёт
доказать,
утверждения
аксиомами.
Первая аксиома прямой
Через
любые
две
точки
на
плоскости
проходит только одна прямая.
А
Рис.
Данная
аксиома
следует
из
человеческого
в
2.7
опыта,
именно её великий Евклид записал как первый постулат
для построения всей геометрии.
Плотники,
каменщики и столяры для проведения
прямой до сих пор пользуются шнуром, который натирают
углём или мелом. Шнур натягивают, а потом резко отпус
кают. На стене или на доске остаётся след шнура в виде
отрезка прямой линии.
Две
кривых
данные
линий,
точки
прямая
можно
же
через
соединить
них
множеством
проходит
только
одна. Так и верёвка, которая лежит на полу и не натяну
та,
может принимать
какую угодно форму между своими
концами и занимать множество положений. Когда же мы
А
~
натянем верёвку, она сразу займёт единственное положение
между двумя своими точками и будет иметь только одну
форму
-
форму прямой линии.
в
Первое свойство прямой позволяет нам обозначать
её по двум точкам, через которые она проходит. Например,
прямая (АВ)
-
это прямая, проведённая через две точки
А и В. Посмотрите на рисунок
2.8:
на нём вы видите две
<<Жирные>> точки, которые изображены как маленькие кру
ги. По линейке можно соединить эти кружки множеством
50
Прямая (АВ)
Рис.
2.8
ГЛАВА
1
прямых линий. Давайте теперь постепенно уменьшать ра
диус двух этих кружков так., чтобы они превратились в ма
тематические
2
3
4
точки.
Хорошо
сти две прямые через
видно:
в
этом
случае
прове
них уже никак. не получится.
Прямые линии обычно рисуют по линейке. А как.
проверить,
6) _________________
что линейка правильная,
то есть что она даст
именно прямую? На этот счёт есть лёгк.ий прак.тическ.ий
способ. Надо взять на бумаге две любые точки и через них
карандашом аккуратно провести линию по краю линейки.
Затем перевернуть линейку другой стороной и снова прове
сти через те же точки другую линию. Когда линейка сде
лана
Если
Проверка линейки
РЙ'с .
(рис.
2.9
правильно,
линии
а,
2.9,
полученные
различаются,
б).
две
линии
то
На чём основано
должны
линейка
совпасть.
неправильная
это правило?
Конечно,
на первой аксиоме прямой!
Прямые в геометрии обозначают либо двумя точ
ками, либо маленькими латинскими прописными буквами,
например: а, Ь, с,
d.
Считают, что прямая проходит через
данную точку, если эта точка принадлежит прямой. На ри
сунке
А,
Для
на
того
чтобы
практике,
проверить
перед
2.11,
а пок.азано, как. прямая а проходит через точку
а прямая Ь не проходит через точку В .. А можно ска
зать, что точка А лежит на прямой а, а точка В не лежит
вами
на прямой Ь. Также говорят, что две прямые пересек.аются
при
в нек.оторои точке, если эта точка у них общая. На рисун-
!
v
прямая
или
нет,
пожить
к
тянуть
вдоль
нитку или
Прямая
ней
нужно
линейку,
этой
пустить луч
должна
на
линии
света.
всюду
идти
по краю линейки, вдоль нит
ки
или
луча.
способлений
глаз
ся.
нок
Без
этих
ке
2.11,
б пок.азано, как. прямые а и Ь пересек.аются в точ
ке С.
б)
а)
ь
при
человеческий
может легко
Посмотрите
ошибать
на
рису
2.10.
Кажется невероятным, но на
нём ни одной кривой линии!
Рис.
2.11
«Провешивание» прямой
В
своей
прак.тическ.ой жизни человек.
короткой
линейкой
или
куском
обычно
верёвк.и.
А
пользуется
что
делать,
если необходимо провести прямые линии на большие рас
стояния
сотни метров или даже километры? Как. полу
-
чить отрезок. прямой линии, который больше длины вашей
линейки? Такое построение каждый из вас наверняка де
лал не раз,
Рис. 2.10
если проводил прямую через
с помощью короткой линейки.
две данные точки
Это очень просто: вначале
нужно приложить линейку к. точкам А и В, соединить их
§2
отрезком,
потом взять на отрезке АВ произвольную точ
ку
и
С
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
-
сдвинуть
туда
линейку,
приложив
её
уже
51
Рис.
2.12
к точкам В и
С.
провести отрезок
Тогда по той же линейке · можно будет
причём точка
CD,
окажется на этой же
D
прямой, но уже на продолжении отрезка АВ (рис.
б).
2.12,
а,
Так можно поступать сколько угодно раз и получить
отрезки любой длины на прямой АВ.
Почему этот приём работает? А дело здесь опять в
первой аксиоме прямой линии: через точки В и С можно
провести лишь одну прямую. Можно сказать и по-другому:
прямые АВ и
должны совпадать, поскольку они прохо
CD
дят через одни и те же две точки В и С. Именно об этом
писал
Евклид
во
втором
постулате
геометрии:
<<Отрезок
прямой можно неограниченно продолжать в обе стороны>>.
Похожий
способ используют для проведения пр я
-
мой линии на местности
ем>>
прямой.
Им
Рис.
2.13
Рис.
2.14
он называется <<провешивани
пользуются
при
разметке
заборов,
прокладке автомобильных дорог и линий электропередач.
Данный метод основан на том,
что луч света также рас
пространяется по прямой линии. :Как же это делают? Два
человека
бы
-
устанавливают
в
нужных
точках А
и
В
стол
вехи. Потом один из них ставит третью веху в точке
С за вехой В так, чтобы при взгляде из точки А веха В её
полностью закрывала.
В этом случае веха С должна ока
заться на одной прямой с вехами А и В, ведь луч света
распространяется
профессиональные
именно
по
прямой
геодезисты
для
(рис.
этого
2.13).
просто человеческий глаз, а специальные приборы
номер
или
тахеометр,
которым
наводят
Правда,
используют
луч
лазера
не
даль
-
на
ко
нец вехи и потом фиксируют отражённый ею сигнал.
Что такое nлоское ь?
Посмотрите
на
гладь
спокойного
.... --'
озера,
на
поверхность
оконного стекла или зеркала. Все они дают нам представ
ление о плоскости. Можно сказать, что:
Плоскость
это
-
математическая
модель
ровной
поверхности.
Но что значит
<<ровная>>
поверхность? Интуитивно
поверхность для нас ровная, если на ней нет бугров, впа
дин и складок. Так,
52
<<ровное поле>> отличается от гористой
Рис.
2.15
ГЛАВА
1
-
Л ёд на озере Байкал обра
местности,
з ует ровную плоскость
самого стола. Если мы соединим две точки плоскости пря
Р ис.
а
смятая
скатерть,
лежащая
на
столе,
от
мой линией, то полученная прямая целиком будет лежать
2.16
в нашей плоскости.
Так не произойдёт,
если поверхность
имеет кривизну или какую-то неровность. В этом вы легко
убедитесь, если проткнёте спицей круглый арбуз,
войдёт
в
его
арбуза (рис.
мякоть
2.15).
и
не
будет
лежать
на
-
спица
поверхности
Значит, эта поверхность не плоская.
По той же самой причине и земной шар, на кото
ром
мы
живём,
тоже
не
является
плоскостью:
если
бы
люди захотели прорыть прямой туннель от Москвы до Пе
тербурга, он прошёл бы на глубине
километров от её по
8
верхности! Итак,
Поверхность
считают
плоскостью,
если
прямая,
проходящая через любые две её точки, целиком ле
П роверка
неровностей
жит на этой поверхности.
пола
с помощью линейки-уровня
Р ис .
На практике проверить, что поверхность плоская,
2.17
очень
легко.
Достаточно
приложить
к
ней
линейку
в
разных направлениях и убедиться, что линейка нигде не
отступает от самой поверхности (рис.
2.17).
Точка, прямая и плоскость являются изначальны
ми, или основными, фигурами геометрии. Через них опре
деляются все
остальные геометрические
уже знаете, точка, прямая и плоскость
-
фигуры.
математические модели объектов реального мира,
рыми человек постоянно
имел
дело на
:Как вы
это абстракции,
с кото
практике.
Первые три года в курсе геометрии мы с вами бу
дем
изучать
свойства
плоских
геометрических
фигур,
то
есть фигур, лежащих в одной плоскости. Этот раздел гео
метрии называется планиметрией.
Почему в дикой природе так мало прямых линий,
а большинство зданий и предметов мебели, сделанных ру
ками человека, состоят из прямых и плоскостей? :Конечно,
это вопрос философский. Но вполне возможно, что челове
Мебель,
созданная
челове
ком из ровных деталей
Рис .
§2
2.18
ку было всегда проще из таких ровных или прямых частей
возводить здания, строить мосты, создавать для себя сто
лы и скамейки (рис.
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
2.18).
53
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Немного позже мы с вами объясним ещё одно важ
ное, но также очевидное всем свойство прямой:
Свойство прямой линии
Прямая линия проходит по самому короткому пу·ги между любыми двумя
своими
Если
на
точками.
натянуть
плоскости,
то
она
верёвку
пойдёт
по
между
двумя
самому
короткому
точками
пути
между ними. А если натянуть её на поверхности шара, ве
рёвка искривится. Из опыта все мы знаем, что натянутая
верёвка должна лежать на прямой линии. Значит, прямые
линии
существуют
Правда,
такие
не
линии
только
не
смысле этого слова (рис.
на
плоскости,
.являются
2.19).
но
и
пр.ямыми
в
на
шаре.
обычном
В геометрии (да и в геогра
фии!) их называют геодезическими.
Геодезическую
поверхности
-
линию
можно
провести
на
любой
в гористой местности, на глобусе или даже
на своём теле. Она представляет собой кратчайший марш
Рис.
2.19
Рис.
2.20
рут между двумя точками на данной поверхности.
А знаете, что будет, если двигаться по поверхности
земного
шара
всё
время
<<прямо>>,
то
есть
всегда
идти
по ней <<Кратчайшим путём>>? В конце концов обязательно
придёшь туда, откуда вышел. Это кажется удивительным,
но на самом деле причина в том, что наша Земля
и геодезические линии на ней
-
шар,
-
это окружности, наподо
бие известных вам меридианов. По геодезическим линиям
идут
корабли
в
океане
и
летают
самолёты.
Знаете,
как
без Интернета на обычном глобусе вычислить расстояние
между двумя городами земного шара? Нужно просто натя
нуть нитку между этими городами на глобусе (рис.
2.20),
потом приложить нитку к линейке, найти её длину и ум
ножить на масштаб карты.
ВОПРОСЫ
1
2
3
4
54
Что такое точка?
Чем прямая отличается от кривой линии?
Какую аксиому прямой линии вы знаете?
Чем плоскость отличается от других поверхностей?
ГЛАВА
1
5
Что такое геодезические линии? Как выглядят та
кие линии на поверхности земного шара?
УПРАЖНЕНИЯ
1
2
Найдите на рисунке
а, б прямые линии.
2. 21
а)
Отметьте на листе бумаги две любые точки А и В.
Проведите прямую (АВ). Возьмите на том же ли
сте
точку
С,
которая
не лежит
Постройте прямые (АС) и (ВС).
на прямой
(АВ).
Начертите теперь
ещё одну прямую так, чтобы она пересекла три по
строенные
вами
прямые только
в двух точках.
3
Лежат ли на одной прямой две линии (рис.
4
Отметьте на листе бумаги три точки А, В и С, ко
2.22)?
б)
торые не лежат на одной прямой. Проведите пря
мые через каждую пару этих точек. На сколько ча
стей делят плоскость проведённые вами прямые?
;
5
Возьмите короткую линейку. Отметьте на её краю
точки А и В. Соедините эти точки прямой линией.
А теперь постройте точку С на этой прямой так,
чтобы расстояние от неё до точки А было больше
длины вашей линейки.
6
Рис.
2.21
Постройте на листе бумаги три прямые, которые:
/
а) проходят через одну точку;
б) не имеют точек пересечения.
7
8
Нарисуйте
прямые
точки
Нарисуйте
пять
всего
9
три
только две
пять точек
так,
чтобы
у
них
было
у
них
было
пересечения.
прямых
так,
чтобы
пересечения.
Отметьте на листе своей тетради четыре точки так,
чтобы
никакие
три
из
них
не
лежали
на
Р ис.
2.22
одной
прямой. Проведите через каждую пару этих точек
прямую.
Сколько
получилось
прямых?
Сколько
у этих прямых получилось точек пересечения?
10
С помощью глобуса, нитки и линейки вычислите
наименьшее расстояние от Москвы до Нью-Йорка.
Около каких островов Атлантического океана про
летают самолёты, когда следуют по самому корот
кому маршруту между этими городами?
§2
ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ
55
а
Две npямrorne
с
ne
есекаю ся или
na
алле
ны
Как на плоскости можно расположить две прямые линии?
На рисунке
3.1
показаны две прямые, которые имеют толь
ко одну общую точку. В этом случае говорят, что две пря
мые пересекаются: в этой точке.
На рисунке
3.2
показаны две прямые, которые во
обще не имеют общих точек.
Рис.
3.1
называют
дельные
параллелъными.
прямые
ведь любой лист
на листе
-
В геометрии такие прямые
Конечно,
бумаги
изобразить
можно
лишь
это только часть плоскости,
парал
условно ,
а сами
прямые бесконечны. В жизни мы часто встречаемся: с па
раллельностью.
Говорят о параллельности улиц в городе,
хотя: улицы всегда где-то заканчиваются: (рис.
3.3). Парал
3.4), хотя
лельны друг другу рельсы железной дороги (рис.
рано или поздно любая: дорога поворачивает ... Параллель
ны противоположные края: письменного стола или обыкно
Рис.
3.2
венной линейки. Даже в школе разные классы с одним но
мером
когда
называют
говорят
о
параллельными.
параллельности
Что
в
же
имеют
повседневной
в
виду,
жизни?
Конечно, все мы считаем, что параллельные улицы или те
же рельсы лежат на двух параллельных прямых. Другими
Параллельные улицы
Манхэт
Рис.
3.4
тена ночью
Рис.
56
3.3
ГЛАВА
1
словами,
они
не
пер есекутся,
даже
если
их
продолжать до
бесконечности. А если уж две прямые где-то
друг друга,
пересекают
то их пер есечением может быть только одна
точка. Разве может быть как-то иначе? Это же очевидно!
Мы запишем это как важное утверждение:
Дв е
пр я мы е на пл оскости
то ч ке , ли бо п а ралл ельны.
ли бо
п е р есекаютс я
в
одн о й
ЧТО ТАКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО?
Только что мы с вами сформулировали утверждение. А от
куда оно следует? Вы скажете: оно следует из нашего чер
тежа
3.5.
На
нём
видно,
что
две
прямые
пересекаются
только в одной точке или же параллельны. Очень хорошо.
А могут ли две прямые на плоскости быть расположены
совсем другим способом? Например, в городе Екатеринбур
Могут ли две прямые
пере
секаться в двух точках?
Рис.
3.5
ге
есть
улицы,
которые
пересекают
Конечно, на плане этого города (рис.
вольно
<<криво>>.
ли
прямые
две
точках (рис.
Давайrw
на
ти.
Правда,
странно.
друга
два
раза.
они выглядят до
вопрос
пересекаться
ребром:
сразу
могут
в
двух
Такой вопрос обычно вызывает недоуме
3. 7)?
ние. На рисунке
поставим
плоскости
друг
3.6)
3.5
прямые
Скажите:
показано, как это могло бы произой
линии
на
нём
выглядят
довольно
а что может запретить прямой выгля
деть так? Как строго объяснить или как доказать, что та
кого не может быть? Обратите внимание: мы с вами так и
не дали чёткого определения прямой. Мы говорили только
об её аксиоме. А раз так, то прямые могут выглядеть как
угодно, главное
Необычные
улицы
в
Екате
Вот
как
могут
ринбурге
ся» автострады
Рис .
Рис.
§3
3.6
-
чтобы они подчинялись этой аксиоме.
«пересекать
3.7
ДВЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
57
Рис.
3.8
Итак., давайте попробуем строго доказать, что одна
прямая
не
может
пересек.ать
другую
более
чем
в
одной
точке. Посмотрите, какое рассуждение придумала для это
го
одна
из
учениц
7
класса.
Вот
её
<<доказательство>>:
<<Пусть прямая а пересекает прямую Ь в точке А. Если бы
она пересекала эту прямую ещё и в точке В,
то должна
была бы изменить своё направление на плоскости
-
изо
гнуться. Но тогда это уже не прямая линия, а кривая>>.
Слово
«аксиома»
никло
из
тоже
воз
древнегреческого
Является
ли
это
рассуждение
настоящим
доказа
тельством? Конечно же, нет! Данное рассуждение явно ис
языка, и на нём оно значило
пользует
«достойное, общепринятое».
ние
о
рисунок,
том,
вспомним:
то
как
есть
наше
должна
меридианы
на
интуитивное
выглядеть
поверхности
играют роль прямых линий,
однако
представле
прямая.
земного
они
Давайте
шара также
пересек.аются
в
двух точках- на Северном и Южном полюсах нашей пла
неты! Значит, рисунок только помогает доказательству, но
никак не может его заменить. Так же, как речь прокурара
или
адвоката
принятые
тельство
все
в
на
честном
обществе
должно
опираться
соглашаются.
всех.
В
смысле
Тогда
геометрии
они
и
открытом
законы,
на
являются
опирается
строгое
утверждения,
такое
существуют
суде
настоящее
с
которыми
доказательство
убеждает
свои
правилами
на
доказа
законы.
игры
в
В
каком-то
геометрию,
а
иг
рать нужно по правилам. Такие законы в математике на
зывают
аксиомами.
Остальные утверждения, которые строго доказыва
ют,
опираясь
(рис.
3.9).
на
аксиомы,
называются
теоремами
На теоремы также можно опираться в дальней
ших рассуждениях и доказательствах. Итак,
Аксиома
это утверждение, с которым все согла
-
шаются без доказательства.
Чтобы построить строгое доказательство, опираться
необходимо только на аксиомы или теоремы. Мы уже зна
ем
одну
из
таких
аксиом,
которую
предложил
Евклид
в своих <<Началах>>. Звучит она так: через любые две точ
Рис.
58
3.9
ки
на
плоскости
можно
провести
только
одну
прямую.
ГЛАВА
1
Теперь давайте дадим строгое доказательство того, что две
прямые могут пересекаться не больше чем в одной точке.
Теорема
Две прямые на плоскости могут пересекаться не более чем в одной точке.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть какие-то две прямые
а и Ь первсекаются больше чем в одной точке
(рис.
Тогда у них есть по крайней мере
3.10).
две общие точки. Обозначим эти точки буква
ми А и В. Если точки А и В общие для
наших прямых,
то
они лежат
одновременно
как на прямой а, так и на прямой Ь. Значит
через точки А и В проходят две различные
-
прямые
а и Ь. Но это запрещает первая
аксиома прямой!
Таким образом, наше предположение о том,
что две
прямые
могут пересекаться
в
двух
точках, противоречит первому свойству пря
мой линии. Значит, такого не может быть.
Доказательство
тельства
завершено.
обычно
доказать>>,
или
пишут
В
конце
<<ЧТО
сокращенно
и
доказа
требовалось
Рис.
<<Ч. т. д.>>.
3.10
Во всех старинных книгах по математике в конце
доказательств на латыни писали так:
е.
ние
demonstrandнm.
латинского
переводе
До
сих
оно
пор
выражения
означает
такая
qнod
<<ЧТО
q.
erat
необходимо
традиция
d.
Это сокраще
было
сохраняется
в
В
показатЬ>>.
современной
научной литературе на английском языке.
Проведённое
зательством
<<ОТ
нами
доказательство
противоположного>>
или
называют дока
<<ОТ
противного>>.
В таких доказательствах всегда исходят из того, что нуж
ное
нам
утверждение
неверно,
а
потом
логически
из
этого
получают противоречие с аксиомами или теоремами.
лученное
противоречие
и
доказывает,
что
на
самом
По
деле
нужное утверждение является верным.
(@) УПРАЖНЕНИЯ
1
Нарисуйте на листе белой бумаги две параллель
ные
прямые
между
§3
ними,
(рис.
3.11).
проведите
Через
десять
ДВЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
точку,
прямых,
лежащую
которые
Рис.
3.11
59
пересекают данные параллельные прямые.
тесь,
что
зрительна
параллельные
прямые
Убеди
искажа
ются.
Нарисуйте на листе белой бумаги несколько парал
2
дельных прямых. Перечеркните эти прямые отрез
ками
так,
Убедитесь
прямых
при
Найдите
3
как
в
на
это
том,
этом
показано
что
на
зрительна
рисунке
3.12.
параллельность
нарушается.
рисунке
3.13
параллельные
прямые.
Рис.
3.12
Какими буквами они обозначены?
Нарисуйте четыре прямые так, чтобы у них было
4
всего пять точек пересечения. Обязательно ли сре
ди них должны быть две параллельные?
мую,
параллельную
на рисунке
@
*tft?
прямой
(ВС),
показаиной
3.14.
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР
На
3.1
плоскости
Ь
с
d
е
f
Проведите через точку А на клетчатой бумаге пря
5
а
отметили
10
g
h
Рис.
3.13
точек,
причём никакие три из них не лежат на одной прямой.
Через каждую пару этих точек провели прямую. Докажи
те, что при этом получится ровно
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
точек по
45
А
прямых.
Через каждую пару данных нам
,..............
свойству прямой линии можно провести только
одну прямую. По условию никакие три отмеченные точки
не лежат на одной прямой, поэтому все полученные пря
_.....,
мые будут различны.
_.,......... ~
...-с
в
Любую из десяти точек можно соединить прямыми
с девятью оставшимися точками. Значит, из каждой дан
ной нам точки выходят ровно девять прямых (рис.
Тогда всего прямых должно быть
9 · 10
=
3.15).
Рис.
3.14
Рис.
3.15
90.
На самом деле число проведённых прямых ровно в
два
раза
меньше
-
ведь
каждую
из
них
мы
считали
два
раза. Например, прямая, соединяющая точки А и В, будет
посчитана один раз среди прямых, выходящих из точки А,
а второй
раз
среди
-
Таким образом,
=
45.
*tft?
всего
прямых,
выходящих из
прямых будет проведено
точки
В.
90 : 2
=
ч. т. д.
ПРИМЕР 3.2
На плоскости отметили четыре точки.
Через каждые две из них провели прямую. Сколько всего
при этом могло получиться прямых?
РЕШЕНИЕ:
ния
60
точек
на
Разберём
плоскости.
различные
Если
все
случаи
четыре
расположе
точки
лежат
ГЛАВА
1
в:а
одной
прямой,
то
данная
прямая
единственная,
3.16, а).
:которую можно провести через них (рис.
а)
А
Если на одной прямой лежат какие-то три точки,
в:апример точки А, В и С, а четвёрта.я точка
в:аших
и (АВ) (рис.
Наконец,
остаётс.я
точек
лежат
не
D
б)
б).
3.16,
случай,
на
с
не лежит
D
в:а этой прямой, то всего можно провести четыре прямые:
(A D), (BD), (CD)
в
одной
когда никакие
прямой.
Тогда
три
из
каждую
пару из этих точек можно соединить своей прямой, а всего
таких пар будет шесть (рис.
в). Значит, и различных
3.16,
прямых будет тоже шесть.
ОТВЕТ: Через четыре точки на плоскости в зависи
мости от их расположения всего можно провести
1, 4
или
б прямых.
** <{;:r
ПРИМЕР
В каком
На
3.3
плоскости
наибольшем числе
провели
точек могут
прямых.
10
пересекать друг
в)
друга эти прямые?
РЕШЕНИЕ:
мые
том.
Рассмотрим
на рисунке
-
Эти
прямые
3.17,
либо
сначала
только
две
пря
а они проведены фиолетовым цве
параллельны,
либо
пересекаютс.я
только в одной точке. То есть две прямые могут иметь не
больше одной точки пересечения.
Проведём третью прямую
на рисунке
-
3.17,
б юна
отмечена красным цветом. Красная прямая может пересе
кать каждую из двух фиолетовых прямых не больше чем
в одной точке. Значит, красная прямая добавит не больше
двух новых точек пересечения. Таким образом, три прямые
на плоскости
в
1
+2
=
3
могут
пересекать
друг
друга
более
Рис.
3.16
чем
точках.
Проведём теперь четвёртую прямую
3.17,
не
-
на рисунке
а)
в она отмечена голубым цветом. Голубал прямая мо
жет пересекать каждую из трёх уже имеющихс.я на черте
же прямых не больше чем в одной точке. Поэтому при её
пр оведении
возникнут
самое
большее
три
новые
точки
пересечения. То есть четыре прямые могут иметь не более
+3
1+ 2
=
6
точек пересечения.
Аналогично
четыре
и т.
новые
д.
пятая
точки
Сколько
же
прямая
пересечения,
новых
точек
добавит
шеетал
-
максимум
пять
пересечения
точек
может
по
явиться при проведении десятой прямой? Конечно же, не
больше девяти новых точек, ведь она может пересечь каж
дую из уже проведённых девяти прямых.
Давайте теперь сложим все точки пересечения, ко
торые
мы
получали
при
проведении
прямых
на
каждом
этапе. Всего мы получим не более чем
1
точек
+ 2 + 3 + 4 + ... + 9
пересечения.
Значит,
десять
=
45
прямых
могут пересекать друг друга не больше чем в
ОТВЕТ:
45
на
плоскости
45
точках.
точек.
Рис.
§3
ДВЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
3.17
61
ВОПРОСЫ
1
Какие прямые называются параллельными?
2
Сколько точек пересечения могут иметь две пр я
3
Что такое аксиома? Чем от неё отличается теоре
4
Чем доказательство отличается от правдаподобного
мые?
ма?
рассуждения?
5
Что
означает
на
латыни
сокращение
q.
е.
d.?
Где его писали?
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
3.1
На плоскости отметили
*{:J"tr
20
точек. Известно,
что никакие три из них не лежат на одной пря
мой.
Через
каждую пару точек провели прямую.
Сколько всего получилось прямых?
3.2
Могут ли семь прямых пересекаться ровно
*)}{?
в девяти точках?
3.3
*
Могут ли пять прямых пересекаться ровно
{! {!
в восьми точках?
3.4
* {! {!
Через
шесть
точек
на
плоскости
провели
несколько прямых , причём на каждой прямой ле
жит по три данные точки.
мых,
если
через
каждую
Сколько провели пря
точку
проходят
ровно
две
из них?
3.5
* * {!
В
каком
пересекаться
3.6
20
наибольшем
числе
точек
могут
прямых?
* * {!
На плоскости провели
10
прямых, только
две
из
которых
В
скольких точках
эти
прямые
параллельны.
пересекают
друг
друга,
если
никакие
три из них не проходят через одну точку?
3.7
**{!
пары
На плоскости взяли пять точек. Через все
этих
точек
провели
прямые.
Сколько
всего
могло получиться прямых? Разберите все случаи.
3.8
* **
10
В каком числе точек пересекают друг друга
прямых,
если
среди
них
нет
параллельных
и ровно три из них проходят через одну точку?
62
ГЛАВА 1
* *
3.9
Несколько
каются
так,
что
прямых
через
на
плоскости
каждую
точку
ния проходит
ровно две прямые,
этих
лежит
прямых
н
ровно
что
пересе
пересече
а на каждой
шесть
и
Докажите,
их
точек
из
пересече-
я
таких
прямых
не
меньше
семи.
Приведите пример таких прямых.
@ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Как вы думаете: верно ли, что через данную точку
на
плоскости
ний?
ны
С
-
можно
одной
провести
стороны,
интересно
это
знать,
сколько
угодно
очевидно.
можно
ли
прямых
А с другой
это
строго
ли
сторо
доказать,
то есть вывести из аксиом?
Давайте попробуем это сделать.
Теорема
J
Через данную точку плоскости можно провести любое число прямых.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Обозначим данную точку
буквой А (рис.
Если мы возьмём
3.18).
на плоскости любую другую точку В,
то по первой аксиоме прямой линии через
точки А и В можно провести единственную
прямую (АВ). То есть одна прямая у нас уже
есть. Возьмём теперь точку С так, чтобы она
не лежала на прямой (АВ). По той же аксио
ме через точки А и С мы можем построить
вторую прямую (АС). Вторая прямая будет
в
отличаться от первой хотя бы потому, что она
содержит точку С, которая не лежит на пря
мой (АВ). Понятно, что делать дальше. Нужно
взять точку
D
так, чтобы она не лежала на
первых двух прямых,
(AD).
и
построить
прямую
Так мы получим третью прямую, даль
ше аналогичным образом четвёртую, пятую
Рис.
и сколько угодно новых прямых. Ч. т. д.
Как вы думаете:
3.18
завершено ли данное доказатель
ство? Является ли оно полностью строгим? Может быть,
в ходе
данного
рассуждения
мы
использовали
Известную вам аксиому прямой линии,
не
только
но и сам чертёж?
Если уж говорить о математической строгости, то в приве§З
ДВЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
63
дённом
только
что
доказательстве
откуда
содержится
следует,
что,
несколько
недочётов.
Во-первых,
проведя
мую (АВ),
мы всегда сможем взять точку С, которая на
пря
ней не лежит? В нашей аксиоме прямой об этом ничего не
сказано. Конечно, это очевидно. Ведь прямая линия не мо
жет
занимать всю плоскость
какое-то
раз
это
<<свободное>>
и
место.
невозможно
на ней должно
-
остаться
Самое удивительное, что кю~
доказать
исходя
из
уже
известных
нам свойств прямой линии.
Поэтому в строгие курсы геометрии обычно добав
ляют ещё одну аксиому прямой:
Для любой прямой на плоскости всегда можно взять точ
ку, которая лежит на этой прямой, и точку, которая
не лежит на ней.
Кроме того,
один недостаток.
недостаток
и
как
в данном доказательстве остался ещё
Попробуйте сказать,
провести
в чем состоит этот
доказательство
без
него.
Для
этого вам придётся принять без доказательства ещё одно
очевидное утверждение, которого тоже не было у Евклида:
Между любыми двумя точками на прямой всегда можно
взять ещё одну точку.
Такие аксиомы добавил Дэвид Гильберт (рис.
в свои <<Основания геометрии>>
-
3.19)
первое совершенно стро
гое изложение древней теории, которое было им завершено
в
1899
году.
Давид Гильберт
Рис.
64
3.19
ГЛАВА 1
ез
и
у
В жизни мы часто говорим об отрезках. В магази
не можно попросить отрез ткани или какой-нибудь ленты
(рис.
к ак
Наверное,
4.1).
<<отрезок пути>>,
вы уже
слышали такие
<<отрезок времени>>
и даже
выражения
<<отрезок ис
т ории>>.
Кстати, после отмены крепостного права в России
кр естьяне
получали
наделы
земли,
которые
-
ли отрезками. Итак, для нас отрезок
рая часть чего-то длинного
счёте,
под
отрезком
и
тоже
протяжённого.
понимают
то,
называ
это всегда векото
что
В
можно
конечном
<<отрезать>>
от прямой линии.
Рис.
4 .1
Рис.
4.2
Порядок точек на прямой
Давайте
ясно,
возьмём
какая
из
на прямой три
этих
точек
любые
находится
точки.
между
Каждому
двумя
други
ми точками. Понятие <<лежать между>> является для чело
века интуитивным. Попросите трёх человек сесть на одну
скамейку
-
сразу станет понятно, кто из них сидит в се
редине, а кто с краю (рис.
4.2).
А попробуйте посадить тех
же трёх человек за круглый стол
уже
нельзя.
Ведь
каждый
из
и сказать это будет
-
троих
за
круглым
столом
имеет двух соседей, то есть сидит между двумя другими.
Таким образом, мы с вами здесь обнаруживаем вторую ак
сиому прямой линии:
Вторая аксиома прямой
Из
трех
точек,
л ежащих
на
одной
прямой,
только одна лежит между двумя другими.
А
Рис.
§4
ОТРЕ З КИ И ЛУЧИ
в
с
4.3
65
~
~
Эта аксиома показывает, что прямая не замкнута,
как
окружность
или
какая-либо
другая
кривая
На замкнутой кривой нельзя сказать, какая из трёх вы
бранных на ней точек <<Средняя>> (рис.
Из трёх же то
4.4).
чек на прямой линии всегда есть одна <<Средняя>> точка.
Давайте
Сколько
отметим
существует
Правильно
-
на
точек,
прямой
которые
две
точки
лежат
о
линия.
А
и
rA
~
~
~
В.
между ними?
таких точек бесконечно много. Можно даже
сказать, что все эти точки заполняют на прямой некото
Каждая
рый промежуток. Этот промежуток прямой линии, ограни
окружности
ченный
с
двух
сторон
точками
А
и
В,
и
есть
отрезок.
Итак,
из
трёх
точек
«лежит
на
между »
двумя другими
Рис.
4.4
Отрез:ком АВ называют все точки на прямой, ле
жащие между двумя её точками А и В.
А
Точки А и В называют :концами отрезка, они так
же принадлежат отрезку (рис.
4.5).
Отрезок АВ обознача
в
Отрезок [АВ]
Рис.
4.5
ют так: [АВ] или [ВА].
Если отметить на прямой любую точку, то она раз
делит
прямую
линию
на
две
части
прямыми или лучами. На рисунке
4.6
их
называют
полу
видно, как точка О
А
делит прямую (АВ) на два луча, которые обозначают так:
[ОА) и [ОВ). Точка О называется началом каждого из этих
лучей.
Часто говорят, что луч образуют все точки прямой
линии, которые лежат по одну сторону от данной её точки
-
о
в
Точка О делит прямую
лучи [ОА) и [ОВ)
Рис.
на
4.6
начала луча. Но что может значить выражение <<лежать
по одну сторону>>,
как его понимать?
Здесь всё довольно
просто: точки А и В лежат на прямой по одну сторону от
о
точки О, если точка О не лежит между ними, то есть если
она не принадлежит отрезку [АВ]. Итак,
Точки А
мой
«ПО
Лучом называют все точки на прямой, которые ле
точки о
жат по одну сторону от данной её точки.
Рис.
Данная точка называется началом луча, она также
принадлежит лучу. Чтобы задать луч, достаточно указать
его начало и ещё хотя бы одну точку на нём.
4.7
А
и
в
В лежат на
одну
пря
сторону»
от
Например, луч с началом в точке О и проходящий
ч:ер ез точку А обозначают так: [ОА).
Полупрямые
вы помните,
называют
лучами
свет распространяется по
в отличие от неё имеет начало
:исходит.
звезда
не
случайно:
как
прямой линии,
но
источник, из которого
-
Им может быть маяк на берегу,
лампочка или
светящаяся точка. Важно, что у луча есть нача
-
ло , но нет конца
-
как и прямая, в геометрии луч беско
нечен.
УПРАЖНЕНИЯ
Отметьте
1
в
тетради
на одной прямой.
точек
отрезком.
четыре
точки,
не
лежащие
Соедините каждые две из этих
Сколько
всего
получилось
отрез
ков?
2
Поставьте четыре точки на одну прямую. Сколько
существует отрезков с концами в этих точках?
J
Возьмите
3
всего
на
прямой
получилось
три
лучей
с
любые
точки.
началами
в
Сколько
этих
трёх
точках?
Нарисуйте три луча, которые пересекают друг дру
4
га в трёх точках.
Нарисуйте в своей тетради четыре точки и соеди
5
ните их шестью отрезками так, чтобы эти отрезки
больше не имели других общих точек (кроме этих
четырёх).
Соедините шесть точек на плоскости девятью от
6
резками так, чтобы эти отрезки больше не имели
других общих точек (отличных от данных шести).
Дл
на
трезка. Меры д
ны
Каждый современный человек знает, что длину всегда из
меряют
линейкой
с
делениями
или
рулеткой
(рис.
4.8).
Рис.
4.8
Чтобы узнать размеры какого-то предмета, к нему обычно
nрикладывают линейку и смотрят, сколько в нём <<уложит
СЯ>> сантиметров и миллиметров. Сантиметры и миллимет
ры
-
это
длины,
ции.
§4
сотые
и
тысячные
доли
метра
-
эталона
принятого в эпоху Великой французской револю
Во
все
века
человек
ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
измерял
предметы,
сравнивая
Не имели наши предки
ни линейки, ни рулетки.
Но могли предмет любой
измерять самим собой.
Людмила Гринина
67
аршин
71,12
см
одна пядь
17,78 см
одна ладонь
7,5
Рис.
см
Рис.
4.10
4.9
их размеры с длиной какого-нибудь отрезка. Для этого го
дилось всё, что в прямом смысле попадало под руку: ло
коть,
ладонь или палец. А мелкие предметы сравнивали
с толщиной нити или волоса.
В
в Англии
каждой
-
теры, в России
ница
в
стране
была
своя
система
футы и дюймы, в Германии
-
системах
-
измерений:
руты и клаф
пяди, вершки и аршины (рис.
мер
была
очень
неудобна:
4.9).
каждый
Раз
раз
приходилось помнить, что семь дюймов составляют четыре
вершка, или вычислять, сколько футов умещается в одном
аршине. Неудивительно, что все народы до сих пор гов о
рят на своих языках,
но достойно удивления то, что все
они имели свои системы измерения. Например, в Англии
один дюйм был равен ширине большого пальца взрослого
мужчины,
а в России один вершок равнялся длине верх
ней фаланги мужского указательного пальца. Изначально
одна миля равнялась тысяче двойных шагов солдат рим
Один
из
нов
публичных
метра,
выставленных
на улицах Парижа.
горожане
нейки
Рис.
4.11
этало
сверяли
ского легиона, но уже в
насчитать
ли
XVIII
веке в Европе можно было
различных сухопутных миль.
В настоящее время в большинстве стран мира при
По нему
свои
46
пята единая система мер. Длину измеряют в метрах, сан
тиметрах и миллиметрах; большие расстояния
-
в кило
метрах. В конечном счёте все отрезки сравнивают с одним
эталонным отрезком -метром (рис.
В революционной Франции
тать
началом
новой
эры.
4.11).
1789 год
Идеалами
решили счи
Великой
революции
стали Свобода, Равенство и Братство. Её идеологи провоз
гласили: свободный человек
68
-
мера всех вещей. Равенство
ГЛАВА
1
всех людей предполагало единую меру, обязательную для
всех. Законодательное собрание Парижа постановило, что
необходимо определить новую единицу измерения. Для её
разработки
комиссия,
Академией
в
состав
наук
которой
была
создана
специальная
вошли
лучшие
математики,
физики и астрономы Франции. Комиссия занялась поиска
ми основы для новой единой меры. Нужно было найти не
что постоянное, неизменное, что не зависело бы от произ
вола людей и могло служить единым метром.
вн ачале
думали
принять
равным
длине
Один метр
нити
маятника,
который совершал один свой взмах за одну секунду. Но в
1791
году комиссия решила взять за константу окружность
Земли
земной меридиан. Длину меридиана невозможно
-
из менить,
длины
но
поскольку
решено
было
часть меридиана. В
она
очень
принять
1792
велика,
одну
то
за
единицу
сорокамиллионную
году астрономы Жан Батист Жо
зеф Деламбер и Пьер Франсуа Андре Метен вз.ялись за
из мерения
о тр е з ка
земного
меридиана
между
Рис.
4.12
городами
Дюнкерк и Барселона . На это у них ушло несколько лет.
В
1796
году Парижекое Национальное собрание провозгла
сило введение новой и единственной метрической системы.
Тогда и полвился на свет первый в истории эталон метра.
Он был отлит из платины и передан на хранение в Нацио
нальный
архив
Франции.
Сейчас
метр
-
это
основная
единица измерения длины в современной системе СИ. Учё
ные в конце ХХ века решили его уточнить и стали счи
тать один метр равным длине пути, который проходит луч
1
лазера за
299 792 458
секунды. Можете быть уверены: сей-
час метр вычислен с точностью до
0,00000002
мм, то есть
до одной сотой ширины спирали ДИК!
Однако
пользуютел
в
Англии,
исторической
США
и
Либерии
системой
в Х веке. Например, один ярд
мер,
до
сих
припятой
пор
ещё
-
это расстояние от кончи
ка носа его величества короля
Эдгара до конца среднего
пальца
вытянутой
им
в
сторону руки.
Один
фут
-
это
длина ступни английского джентельмена, и он равен при
близительно
то
один
(рис.
фут
4.10).
30
см.
Если
соответствует
говорить
48-49
о
размерах
европейскому
обуви,
размеру
Согласитесь, ступни у английских аристократов
были немаленькие! До сих пор во многих странах (вклю
чая Россию) диаметры водопроводных труб или колёсных
дисков автомобилей считают в дюймах, в них же измеря
ют длину гвоздей (рис.
4.12),
толщину досок и даже диаго
нали мониторов компьютеров. Калибр стрелкового оружил
считают в сотых долях дюйма. Например, 45-й калибр
эт о
0,45
дюйма.
-
До революции на вооружении в россий
ской армии была винтовка изобретения Сергея Мосина, ко
торую ещё называли <<трёхлинейкоЙ>> (рис.4.13). Такое на
зв ание она получила потому,
что имела калибр,
трём линиям, то есть трём десятым дюйма.
§4
ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
равный
Винтовка
М осина,
или
«трёхлинейка»
Рис.
4.13
69
Сво~ства о резков
Как вы уже знаете, все отрезки состоят из точек. Но мож
но ли длину отрезка мерить числом находящихся на нём
точек? Конечно, нет! Точки в геометрии настолько малы,
что
не
самом
имеют
никаких
размеров:
маленьком отрезке
на
любом,
пусть
даже
их всегда бесконечно много.
В
чем же тогда можно измерять отрезки? Правильно: отрез
ки
можно
нужно
мерить
выбрать
только
другими
единицу длины
отрез.ками!
Для
этого
эталонный отрезок и
-
Перед плаванием моряка м
желают «семь футов под к и
лем » ,
подразумевая
под
этим
безопасное
расстоя
ние от нижней точки суд на
до морского дна (рис. 4.15).
Чему равно это расстоян ие
в сантиметрах?
каждый раз считать, сколько раз выбранный эталон дли
ны
можно
последовательно
отложить
на
данном
отрезке.
Например, когда мы говорим, что длина карандаша равна
10
см,
это
значит,
что
вдоль карандаша ровно
длины
не
отрезок в
10
укладывается
1
см
можно
отложить
раз . Если же выбранный эталон
целое
число
ке, его делят на части (обычно на
раз
на
данном
отрез
и смотрят, сколько
10)
десятых частей эталона можно отложить на данном отрез
ке.
Когда нужна ещё большая точность ,
измеряют
в
сотых частях эталона и
Давайте
теперь
приложим
нужный отрезок
т. д.
карандаш
с делениями и найдём его длину. На рисунке
что
и
3
длина
карандаша
равна
примерно
9,3
см
к
линейке
Рис.
4.15
видно,
4.14
или
9
см
мм. Почему примерно? Дело в том, что наверняка мож
но утверждать лишь то, что длина карандаша больше
см, но меньше
9,4
9,3
см. Для ещё большей точности его дли
ну нужно мерить уже в десятых долях миллиметра (или
сотых частях сантиметра) и пользоваться для этого штан
генциркулем. Как это делают, вы можете прочитать в кон
В
повести
«Муму»
сим
Ивана
сказано,
был
Тургенев а
что
«мужчина
це параграфа в разделе <<Для тех, кто хочет знать больше>>.
дцати
Итак,
женный богатырем » .
Это
Длина отрезка
-
это число,
которое показывает,
сколько раз единичный отрезок и его части можно
последовательно
отложить на данном отрезке.
Можно ли любой отрезок измерить данным этало
ном?
Бывают ли
отрезки,
длина
которых
отрицательна?
Существуют ли отрезки любой длины? Если прямую пал
ку разломать на две части и измерить длины этих частей,
вершков
Гера
двена
росту,
сло
противоречит здравом у
смыслу,
так
как
вершо к
на Руси был равен пример
но 4,5 см. Однако никакого
противоречия
здесь
нет,
по
скольку
взрослого
че
ловека
рост
в
то
время
начинал и
считать от двух аршинов.
А теперь скажите:
вен
чему ра
рост Герасима в санти
метрах?
то как по ним найти длину всей палки? Каждый из вас
уже знает ответы на все эти вопросы. Они следуют из че
ловеческого опыта и являются основными свойствами дли
ны
отрезков.
как
аксиомы.
11 ' 1 1; ' ' 1
Рис .
70
1; 1' '
Мы
их примем
1~ 1 1 1
1~
1
j
без
доказательства,
1 1 ~ 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1; 1 1 1 1~ 1 1 1 1 ~ 1 1 1
так же
~·~
1 1 11
4.14
ГЛАВА
1
Аксиомы отрезков
1
Каждый отрезок имеет определенную
а)
длину, большую нуля. За единицу
А
а
в
длины можно принять любой отрезок
(рис.
2
4.16,
Эталон длины
а).
отрезок а
Длина отрезка равна сумме длин
-
любой
О
б)
частей, на которые он разбивается
любой своей точкой (рис.
>
А
4.16, 6).
с
в
Для любой точки С на [АВ]
АС+ ВС =АВ
а
3
На любом
луче
от
его
начала
можно
а)
отложить отрезок любой длины и толь
ко одним способом (рис.
4.16,
о
в).
l
А
На луче можно отложить
отрезок любой длины а
Рис.
>
О
4.16
~ УПРАЖНЕНИЯ
7
На зрительное восприятие человеком длины влия
ют многие факторы ... На рисунке
4.17,
а, б изобра
жены фиолетовые и оранжевые отрезки. Равны ли
два
оранжевых
Попробуйте
из
отрезка
догадаться
этих отрезков
в
длиннее
на
рисунке
4.17,
каждом
случае,
другого.
А потом
в?
какой
про
верьте себя с помощью линейки!
б)
а)
<
>
а)
)>----<(
Рис.
§4
4.17
ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
71
Петя
8
взял
тетрадь
.в
клетку
и
стал
соединять
1
~
на ней отрезками узлы сетки. Он утверждает, что
один
из
его
отрезков
а его длина равна
не
идет
см (рис.
5
по
линиям
4.18).
сетки,
"'\
Можете ли вы
\
тоже нарисовать такой отрезок?
1
@
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
Рис.
4.18
а)
ПРИМЕР 4.1
*tltl
АВ =
см, ВС =
2
3
Про
точки А,
см, АС=
В
и
С известно,
что
см. Могут ли эти точки ле
4
жать на одной прямой?
РЕШЕНИЕ: Предположим, что точки А, В и С лежат
2х
3х
~
А
м
в
на одной прямой. Тогда по аксиоме прямой какая-то одна
из
этих
точек
лежит
на
отрезке
между
двумя
другими.
Пусть точка В лежит на отрезке АС. По аксиоме отрезков
+
в этом случае должно выполняться равенство АВ
=
АС. Но
2
+
*
3
ВС =
б)
11у
~
А
4.
Получили противоречие.
Совершенно
так же
ка С не может лежать на отрезке АВ и точка В
к
в
точ
на от
-
9у
Рис.
4.19
резке АС.
ОТВЕТ: точки А, В и С не лежат на одной прямой.
а)
3х
*"tltf
ПРИМЕР 4.2
так, что АМ
:
На отрезке АВ взяли точки М и К
ВМ =
АК
2 : 3,
длину отрезка МК, если АВ
:
= 10
ВК =
11 : 9.
Найдите
см.
: ВМ = 2 : 3, то обозна
чим АМ = 2х, ВМ = 3х (рис. 4.19, а). Тогда по аксиоме
отрезков 2х + 3х = 10 см. Значит, х = 2 см, а АМ = 2х =
= 4 см. Аналогично можно считать, что АК = 11у, ВК =
= 9у (рис. 4.19, б). Тогда 11у + 9у = 10. Откуда у = 0,5 см
и АК = 5,5 см. Значит,
МК = АК - АМ = 5,5 см - 4 см = 1,5 см.
ОТВЕТ: 1,5 см.
12
РЕШЕНИЕ: Поскольку АМ
* * tf
ПРИМЕР 4.3
м
б)
С
у
А
12 м
В
~------А ~
3у
Рис.
4.20
Рис.
4.21
Точки А, В и С лежат на одной пря
мой. Известно, что АС
ВС =
:
1 : 3,
АВ
= 12
м. Чему мо
жет быть равна длина отрезка АС? Разберите все случаи.
РЕШЕНИЕ: По аксиоме прямой одна из точек А, В
и С лежит между двумя другими. Рассмотрим первый слу
чай,
АС
:
когда
ВС
точка
= 1 : 3,
С
лежит
на
обозначим АС
=
отрезке
х, ВС
=
АВ.
По свойству отрезков АС+ ВС =АВ, то есть х
Откуда АС =
3
Так
3х (рис.
+
как
4.20,
3х =
а).
12.
м.
Пусть во втором случае точка А лежит между В
и
С.
(рис.
Тогда АВ
4.20,
+
АС
АВ,
=
б). Откуда АС
=
у
и,
= 6
значит,
12 +
у
=
3у
м.
В третьем случае точка В лежит на отрезке АС.
Тогда должно быть
72
12 + 3z = z.
Получаем, что АС
= z =
ГЛАВА
1
===
-6
м. Но это невозможно, поскольку длина любого от
резка положительна.
ОТВЕТ: длина АС может быть равна
**{!
ПРИМЕР 4.4
м или
3
В магазине продаётся книжный стел
лаж, сделанный из деревянных паиелей толщиной
в котором
6
равна
см, а высота подставки равна
237
м.
6
18
мм,
полок. Общая высота стеллажа с подставкой
77
мм (рис.
Рис.
4.22
4.21).
Найдите расстояние между полками стеллажа.
РЕШЕНИЕ: Чтобы получить высоту стеллажа нужно
А
с
В
к высоте подставки прибанить семь расстояний между пол
ками и толщину восьми деревянных панелей.
Обозначим расстояние между полками за х. Тогда
получаем
х
= 307
уравнение
7х
+
+
18 · 8
77
4.23
Рис.
4.24
Рис .
4.25
Откуда
2370.
=
Рис.
D
мм.
ОТВЕТ:
мм.
307
® РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
4.1
Как выяснить на практике толщину листа
*i::r{J
из
учебника геометрии?
Больше
одной десятой миллиметра (рис.
4.2
в
прямой
указанном
АС =
4.3
На
*i::ri::r
см,
5
отметили
порядке
BD
6
=
см,
(рис.
AD
=
она или
точки
4.23).
7 см.
А,
В,
С,
Известно,
D
что
Найдите ВС.
* f:t t.r
По периметру прямоугольного пар ка проло
жили
две
велосипедные
дорожки
(рис.
Найдите расстояние между дорожками,
из них на
4.4
меньше
4.22)?
1
км длиннее другой.
Подарочная
*f:tf:t
ширину
25
4.24).
если одна
см
и
коробка
высоту
имеет
40
см.
длину
Её
35
см,
перевязали
крест-накрест лентой так, чтобы бантик был свер
ху (рис.
4.25).
Однако Маша перевязала эту же ко
робку своим способом,
10
и бантик у неё получился
см
на другой стороне коробки. Маша утверждает, что
на это у неё пошло меньше ленты. Сколько ленты
могла сэкономить Маша?
4.5
**fi
Две точки разбивают отрезок, длина кото
рого равна
10
4.6
* * t.r
(рис.
§4
4.26).
На
4.27).
4.26
см, на три части. Расстояние между
серединами крайних из этих частей равно
(рис.
Рис .
8,5
см
Найдите длину среднего отрезка.
старой
линейке
все
деления
5
1З
стёрлись
Случайно уцелели лишь отметки О см,
ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
1~
Рис.
4.27
73
с
А
Е
5
в
см и
см. Как с помощью такой линейки отло~
13
жить отрезок длины: а)
Рис.
4.28
4.7
*
tr
Длина
см; б)
2
отрезка АВ
1
см?
равна
18 см. Точки:
С и Е лежат на данном отрезке так, что АС
=
4.8
3 : 5,
* *i:l
мя
из
АЕ
ЕВ =
:
:
Найдите СЕ (рис.
5 : 4.
СВ =
4.28).
Квадратный оконный проём образован дву~
прямоугольными
них
(рис.
написали
Найдите
4.29).
рамами.
число,
Внутри
равное
сторону
каждой
периметру
квадрата
рам ы
оконного
проёма.
4.9
Рис.
**i:r
Точки А, В, С и Е лежат на одной прямой ,
причём известно, что АС
4.29
=
АС.
+
ВС =
АВ, АЕ
+
СЕ
=
Какая из данных точек лежит на отрезке
ВЕ?
4.10
а)
* *tr
Точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
Известно, что
А
с
в
AD = 3, DC = 2,
4.11
б)
*
в
с
жет
быть
(рис.
Рис.
4.30
4.12
равно
= 10,
7
4.13
10
Рис.
Мастер выложил квадратную площадку со
и
1
м прямоугольными плитками двух ви
квадратами
4.32.
***
так,
как
это
показано
из
если ВС =
14
см.
4.33).
Сумма всех от
10.
Найдите
2.
:Квадратный оконный проём образован тре
прямоугольными
них
(рис.
рисун
Точки А, В, С, D в указанном порядке ле
* **
мя
на
Найдите сторону квадратов, если ширина
резков с концами в этих точках равна
AD,
4.15
случаи
**
жат на одной прямой (рис.
4 .31
все
4.31.
двух других плиток равна
4.14
Чему мо~
= 2 : 3.
Найдите периметр прямоугольной фигуры,
ке
~------------~1 1
ВС
* *tr
дов
8
:
Разберите
4.30).
стороной
r---_..1 1
АС
АС?
показаиной на рисунке
5
= 5, BD = 8.
Точки А, В и С лежат на одной прямой .
1:.i
Известно, что АВ
А
АС
Найдите АВ.
написали
4.34).
рамами.
число,
равное
Внутри
каждой
периметру
рамы
Найдите, чему равна сторона квадрата
всего оконного проёма.
4.16
Геометрически
быть
Рис .
74
4.32
(рис.
верно
4.35).
поясните,
неравенство
1
2
1
4
почему
1
8
должно
1
1024
- + - + - + ... +--<1
ГЛАВА
1
1
о
2
4
~.с:::>.
D
А
рис.
Рис.
4.33
Рис.
**
4.17
На рисунке
греческого
1
4.35
4.34
показан фрагмент древне
4.36
орнамента,
1
который
называется
<<ме
андр>>. Нарисуйте такой же орнамент на клетчатой
бумаге,
взяв
ширину
его
полосы
1
равной
см.
Из скольких клеток состоит вся извилистая линия
меандра
на
рисунке,
мент имеет длину
4.18
**
16
если
показанный
его
16
фраг
см?
Рис.
см
4 .36
:Комендант измерил периметры всех комнат
в доме и написал их на плане
ту он не сумел попасть,
4.37.
В одну комна
зато обошёл дом
и нашёл, что его периметр равен
160
кругом
47
м. Чему рав
30
на толщина стен в доме, если она везде одинакова?
i
40
Четыре дома находятся на прямой дороге,
4.19
причём
(рис.
в
4.38).
каждом
живёт
по
одному
34
человеку
Где на этой дороге нужно вырыть коло
дец, чтобы за водой всем вместе было ходить как
Рис.
4.37
Рис.
4.38
можно меньше?
4.20
* *
Найдите периметр прямоугольной фигуры
на рисунке
4.39.
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Из
ере
ия
танrенц
ркулем
С помощью обычной линейки с делениями можно измерять
предметы с точностью
жизни
этого
сложных
двигатели
жие
-
не
достаточно,
-
механизмов
внутреннего
более
но
1
при
таких
мм.
как
сгорания
Для повседневной
изготовлении
механические
или
3
деталей
огнестрельное
часы,
1
ору
3
7
необходима гораздо большая точность. В этих слу
чаях используют штангенциркуль. Впервые такие инстру
менты
появились
и назывались
мерно
§4
тогда
в
Лондоне
в
vernier caliper -
на
них
появилась
ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
самом
конце
XVIII
века
раздвижной калибр. При
дополнительная
шкала
-
7
Рис.
4.39
75
1О
= 39
делений н ониуса
Рис.
4.40
нониус,
ний
мм
которая
минимум
и
в
повышала точность проводимых измере
десять
раз.
Как
устроен
классический
штангенциркуль?
В
его
основе
лежит
штанга
1
с делениями, идущими через
обычная линейка
-
мм, и движущаяся по ней
рамка, на которую нанесены ещё
10
специальных делений.
Десять делений шкалы на подвижной рамке по длине сов
Про
падают с
на
39
делениями основной шкалы,
на штанге (рис.
расположенной
Такая дополнительная шкала назы
4.40).
вается Верньер или нониус. Впервые придумал использо
вать
вторую
шкалу
для
более
точных
французский математик Пьер Вернье в
тил,
что
глаз
человека
гораздо
точнее
измерений
1631
углов
году. Он заме
определяет
совпаде
очень умного
Руси
«семи
пядей
пользуясь
рами
говорили,
человека
что
старинными
длины,
он
во лбу». А вы,
можете
ме
ска
зать, сколько пядей в шири
ну была тогда грудь взрос
лого мужчины (рис.
4.41)?
ние делений на двух разных шкалах, чем положение кон
кретного
деления
между
двумя
другими
делениями
на одной шкале. Позже его прибор был усовершенствован
португальским
изобретателем
Педро
и получил второе своё название
-
Нунишем,
потому
нониус.
Давайте посмотрим, как работает штангенциркуль.
Предположим, мы хотим более точно измерить диаметр ка
кой-нибудь трубы или монеты. 3ажмём её между губками
штангенциркуля.
Первое деление шкалы нониуса покажет нам целое
число
миллиметров,
которое
приблизительно
метру нашей монеты. На рисунке
4.42
это
37
равно
диа
Рис.
4.41
мм. Правда,
на глаз видно, что измеряемый диаметр немного больше.
Посмотрим теперь,
практически
какое деление дополнительной шкалы
совпадает
с
делением
на
случае это четвёртое деление нониуса
штанге.
-
В
нашем
на рисунке оно
отмечено красным цветом. Это деление отвечает за десятые
76
ГЛАВА
1
4-е
деление
совпало
с
нониуса
одним
почти
делением
на штанге
Рис.
4.42
доли
37,4
миллиметра!
То
есть диаметр
нашей монеты равен
мм. Видите, как просто! Но почему это работает?
Давайте разбер~мся.
находился
в
начальном
Когда наш штангенциркуль
нераздвинутом
положении,
десятое
деление на пониусе совпадало с
39 делением на штанге.
3,9 мм. На глаз сразу видно,
больше 37 мм, но меньше 38 мм.
Значит, шаг пониуса равен
что
штанга
диаметр
монеты
Обозначим его за
37
+
х (мм).
Тогда положение красной
риски на штанге относительно нуля будет равно
+ 4 · 3,9
37
+
х
+
мм. С другой стороны, красная риска на штанге
соответствует
53 мм. Значит, мы получаем такое уравне
ние: 37 + х + 4 · 1, 9 = 53, откуда х ~ 0,4 мм, и диаметр
монеты равен 37,4 мм. Ошибка измерения таким способом
не может превышать 0,1 мм!
Рис.
В общем случае рассуждать можно так. Пусть пер
4.43
вое деление пониуса оказалось между делениями
нониус
на шкале штанги (рис.
измеряемой детали
Обозначим его как
нониуса совпало
с
4.43)
больше
n +
Очевидно,
n и n
n мм, но меньше n
х. Пусть теперь
+1
что тогда размер
k-e
+
1
мм.
деление рамки
каким-то делением шкалы
на неподвиж
ной штанге. Если от первого до k-го деления нониуса нахо
дится примерно
равенство
нию
n +
пониуса
штанге, то
да х ~
l
х
+
3,9k
=
n + l.
соответствуют
~
0,1 · k.
n + 0,1 · k
делений штанги, то должно выполняться
l
4k.
Значит,
Поскольку каждому деле
примерно
n +
х
четыре
+ 3,9 ·
k
~
деления
n + 4k,
на
отку
Поэтому размер измеряемой детали равен
мм.
Для ещё более точных расчётов были изобретены
штангенциркули с нониусом, на котором было
Они давали точность уже до
§4
ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
0,05
30
делений.
мм.
77
Аксиома nолу ласкостей
Давайте проведём на плоскости какой-нибудь отрезок или
•
луч (рис.
5.1).
•
разные
части
государства
плоскости
на
карте
-
это
будут ли они делить всю
как
мира.
разными цветами (рис.
•
Рис.
Как вы думаете:
плоскость на две части? Каждому ясно, что не будут. Ведь
разные
Обычно
страны
их
или
же
закрашивают
Отрезок или луч были бы то
5.4).
гда границей между этими странами. Но если начать рас
крашивать
5.1
каждую
из
этих
стран
своим
цветом,
ничего
не
получится. Почему так? Чтобы это понять, давайте пред
ставим, что мы с вами из одного города в другой проехали
а)
по
дороге
и
нигде
не
встретили
Что это может означать?
находятся в
одной
е~енную
Только одно:
и той же
стране.
границу.
оба наших города
Совершенно
так же
и на плоскости любые две точки можно соединить линией
(или дорогой) так, чтобы она не пересекала данного отрез
ка или луча (рис.
5.2).
Но тогда эти точки должны быть
обязательно одного цвета, принадлежать одной части плос
кости.
б)
Значит,
и вся плоскость должна иметь один цвет.
Получается, что ни отрезок, ни луч не могут разделить её
А
~в
на две
разные части.
Наоборот, очевидно, что прямая линия делит всю
плоскость
половины.
Причём
именно
Эти
любые
на
части
две
две
части,
можно
так
и
называют
точки
в
одной
сказать
-
на
две
полуплос:костями.
полуплоскости
всегда
Отрезок и луч не разбивают
плоскость на две части
Рис.
5.2
1-я полуплоскость
А~
в
2-я полуплоскость
Рис.
78
5.3
Рис .
5.4
ГЛАВА
1
можно соединить
<<прямой дорогоЙ>>
или обычным отрез
ком так, чтобы он не пересекал данную прямую (рис.
5.3).
Это свойство не доказывают и считают его ещё одной акси
омой
аксиомой полуплоскостей.
-
Аксиома полуплоскостей
Любая прямая делит всю плоскость на две полу
плоскости.
Если
и
концы
находятся
отрезка
в
одной
не
лежат
на
этой
полуплоскости,
прямой
то
отрезок
не пересечёт данную прямую.
Если же концы отрезка лежат в разных полуплос
костях,
то он
пересекает прямую.
Рис.
5.5
Так же как и другие аксиомы прямой, аксиома по
луплоскостей
позволяет
отличить
прямую
от
других
ли
ний. В самом деле, если бы прямая имела любую <<Неров
ностЬ>>,
какие-то
<<выступы>>
или
<<зигзаги>>,
то
это сразу на-
рушало бы аксиому по.Jiуплоскостей. На рисунках
видно,
с
что
в
этих
случаях
концами
в
одной
всегда
можно
<<полуплоскости>>,
5.6
найти
который
и
5.7
отрезок
пересекал
бы данную <<прямую>>. Но тогда нарушалась бы и аксиома
полуплоскостей.
Рис .
5.6
е рееекает
яма я
еуголь
Как в геометрии используют аксиому полуплоскостей? Она
очень
удобна
утверждений
это
для
и
доказательств
для
решения
некоторых
задач.
Возьмите
три
соедините
точки,
их
которые
между
собой
и вы получите треугольник (рис.
называют
ними
5.7
ны
вершинами
его
-
этого
рону.
в
том,
одну
§5
не
А
5.8).
теперь
лежат
тремя
треугольника,
сторонами.
треугольника,
Сделав
что
это
сторону
но
несколько
на
одной
отрезками
-
Три данные точки
а
отрезки
попробуйте
пересекала только
попыток,
между
провести
невозможно:
как
треугольника,
~с
одну
его
сто
вы
быстро
убедитесь
только
прямая
пересекает
она
пересечь и вторую его сторону. В
Рис .
рассмотрим
прямую линию так, чтобы она не проходила через верши
в
А
Давайте
на примере.
прямой,
Рис .
<<очевидных>>
сразу
1882
же
<< стремится>>
году немецкий ма
тематик Мориц Паш обнаружил данный факт и заметил,
что его нельзя вывести из аксиом, которые были у Евкли
да. Мы же с вами докажем его, пользуясь аксиомой полу
плоскостей. Поэтому будем называть теоремой.
5.8
ПОЛУПЛОСКОСТЬ
79
~
Теорема
Если прямая не проходит Через вершины
а)
треугольника и пересекает одну его сторону,
в
то она обязана пересечь ещё одну сторону
треугольника (рис.
5.9,
а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть прямая
l
пересекает старо-
ну АВ треугольника АВС. Давайте посмотрим,
А
как могут быть расположены точки А, В и С
относительно самой прямой
Прямая
l
l.
разбивает всю плоскость на две полу-
6)
плоскости по аксиоме. Так как по условию теоремы она пересекает отрезок АВ, то концы этого
отрезка (точки А и В) должны лежать по разные
стороны от прямой
l,
то есть находиться в
разных от неё полуплоскостях (рис.
5.9, 6).
Третья вершина треугольника (точка С) не может
лежать на данной прямой по условию теоремы.
в)
Значит, она лежит в одной из этих двух полуплоскостей. Но тогда могут быть только две
возможности: либо точка С лежит в одной полу-
плоскости с точкой А, либо же точка С лежит в
одной полуплоскости с точкой В. В первом случае отрезок В С обязан пересекать прямую
аксиоме полуплоскостей (рис.
5.9,
l
в
по
в), так как его
концы лежат по разные стороны от этой прямой.
Тогда прямая
l
г)
пересекает стороны АВ и ВС
А
нашего треугольника.
Во втором случае точки А и С будут лежать по
разные стороны от прямой, и тогда по аксиоме
полуплоскостей уже отрезок АС пересечет
(рис.
мая
5.9,
l
l
в
г). Получится, что в этом случае пря-
будет пересекать стороны АВ и АС тре-
угольника АВС.
Теорема доказана.
@
**1:!
Рис.
5.9
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 5.1
Десять точек на плоскости
попарно
соединили отрезками. Прямая линия не проходит ни через
одну из этих точек. а) Может ли она пересекать ровно
из
этих
отрезков?
6)
Может ли
она пересекать ровно
21
20
из этих отрезков?
во
ГЛАВА
1
РЕШЕНИЕ: Для ответа на вопрос пункта (а) данной
· задачи достаточно привести нужный пример.
g a рисунке
т ать,
сколько
Он показан
Но даже на нём совсем не легко подсчи
5.10.
отрезков
пересекает
наша прямая,
поскольку
в любом случае она проходит очень близко от точек пере
сечения некоторых отрезков между собой.
б) В одном из предыдущих параграфов мы с вами
уже вычислили, что всего между
депо ровно
10
точками будет праве
отрезков. Но сколько из них может пересечь
45
одна прямая линия? Попробуйте провести такую прямую,
чтобы она пересекла ровно
10
отрезков. У вас ничего не
nолучится, как бы вы ни старались. Точно так же никак
g e выходит пересечь ровно
11
или
12
отрезков. Но почему?
в чём здесь дело? Более того, если ваши попытки не увен
Рис.
5.10
чались успехом, это ещё не значит, что решение вообще не
возможно. Прямая может проходить на плоскости любым
количеством способов, и перебрать их все никогда не полу
чится.
Поэтому необходимо провести доказательство того,
ч то это в принципе невозможно.
Давайте
рассуждать
только те из всех наших
прямую
Прямая
l.
кости по аксиоме.
прямую
этой
то
строго.
Мы
будем
считать
отрезков, которые пересекают
разбивает плоскость на две полуплос
Отрезок только тогда будет пересекать
когда его
l,
прямой,
Если все
l
45
концы лежат по разные стороны от
есть
в
разных
от
неё
полуплоскостях.
точек лежат в одной полуплоскости, то по той
10
же аксиоме ни один отрезок не пересечёт прямую.
Пусть теперь одна из точек лежит по одну сторону
от прямой
а девять других находятся в другой полуплос
l,
кости (рис.
Ясно, что все девять отрезков,
5.11).
которые
соединяют данную точку с девятью точками в другой по-
. луплоскости,
ные
То
9
пересекут прямую
отрезки по
есть
в
этом
той
же
случае
l
l
пересекает ровно
отрезков
Рис.
5.11
по аксиоме. А все осталь
аксиоме
прямая
Прямая
9
не
l
будут
будет
её
пересекать.
пересекать
ровно
отрезков.
Пускай теперь в одной полуплоскости относитель
но
прямой
остальные
сторону.
находятся
l
8
только
две
из
наших
точек,
а
точек тогда будут лежать по другую от неё
Обозначим две эти точки буквами А и В. Ясно,
что все восемь отрезков, соединяющих точку А с точками
в другой полуплоскости, пересекут прямую
l.
А
Столько же
в
отрезков, пересекающих нашу прямую, будет выходить из
точки В. Остальные отрезки не будут пересекать прямую,
так как их концы находятся от неё в одной полуплоскости.
Таким образом, всего прямую l будет пересекать ровно
16
5.12). Случай, когда по одну сторону от пря
находятся 3 точки, а остальные 7 лежат в другой по
отрезков (рис.
мой
луплоскости, был показан в пункте (а). Там прямая
секала
21
l
пере
отрезок.
Чтобы разобрать все остальные случаи, будет удоб
нее составить таблицу. Пусть по одну сторону от прямой
§5
ПОЛУПЛОСКОСТЬ
l
Прямая l пересекает ровно
16 отрезков
Рис.
5.12
81
лежит т точек, а по другую
-
n
точек. Сколько отрезков
тогда пересекут прямую? Давайте считать: из каждой точки в одной полуплоскости выходит ровно
секающих
нашу
прямую,
а
всего. таких
n
отрезков, пере-
точек
т.
Значит,
общее число всех таких отрезков, которые пересекут прямую, равно т
Давайте теперь заполним таблицу:
· n.
1-я полуплоскость
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2-я полуплоскость
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
о
Всего пересечений
о
9
16
21
24
25
24
21
16
9
о
Мы разобрали все возможные случаи. Значит, пря
мая линия не может пересекать ровно
это
20
отрезков. Теперь
доказано.
ВОПРОСЫ
1
Что такое полуплоскость? В чём состоит аксиома
2
3
Что такое треугольник?
полуплоскостей?
Сколько
сторон
треугольника
может
пересекать
прямая, если она не проходит через его вершины?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
5.1
*tl"tl
Отрезки АВ, ВС и СЕ пересекают данную
прямую, а их концы не лежат на ней. Пересекает
ли эту прямую отрезок АЕ?
5.2
* "f::!i:l
Две
пересекающиеся
плоскость на четыре части.
ченных на рисунке
5.13,
прямые
разбивают
В двух из них,
отме
взяли произвольные точ
ки А и В. Всегда ли отрезок АВ будет пересекать
обе прямые? Как вы это объясните?
~......
5.3
На плоскости отметили
соединили
ни
через
их
одну
отрезками.
из
этих
11
точек и попарно
Прямая
точек.
Какое
не
проходит
наибольшее
число полученных отрезков она может пересекать?
82
Рис.
5.13
ГЛАВА 1
* * {: {
5.4
На
плоскости
отметили
несколько
точек
и попарно соединили их отрезками.
Провели пря
мую,
одну
которая
не
проходит
ни
через
из
точек. Оказалось, что она пересекла ровно
зок.
Сколько
отрезков
не
пересекла
21
этих
отре
эта прямая?
Будьте внимательны: у задачи может быть несколь
ко решений!
*
5.5
Рис.
5.14
Пятиугольная звезда состоит из пяти от
* {::{
резков,
которые
соединяют
пять
её
как это показано на рисунке (рис.
вершин
так,
Проведите
5.14).
в
прямую, которая пересечёт все эти пять отрезков.
Можно ли провести прямую так, чтобы она не про
**{::{
5.6
На сторонах АВ,
АВ С
взяли
(рис.
\
А
ВС и АС треугольника
произвольные
точки
М,
К
и
Е
Докажите, что отрезок ВЕ обязательно
5.15).
ili
м
ходила через вершины этой звезды?
Рис .
Е
С
5.15
пересечёт прямую МК.
* **
5.7
Отец оставил в наследство трём сыновьям
квадратный
участок
земли.
Каждый
из
них
на
этом участке построил себе дом и калитку в зр.бо
ре
на рисунке
-
калитка и дом каждого сына
5.16
отмечены одной цифрой. Два брата построили свои
3
2
1
брат
-
лисЪ
друг
вплотную к нему. Потом братья перессори
с
другом
и
решили
проложить
r~Jrt:J'!!:rl
нигде не пересекались. Смогут ли они это сделать?
изменился
бы
ответ
этой
задачи,
2
дорожки
от своих калиток к домам так, чтобы эти дорожки
Как
~
GJ1
дома на пекотором расстоянии от забора, а третий
если
бы
вплотную к забору свой дом построил бы не тре
3
Рис.
5.16
тий, а второй брат?
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Ч о происходит на
rpa
ице?
К ак вы уже знаете, прямая линия делит всю плоскость
на две полуплоскости. Она служит границей данных полу
плоскостей.
Но
принадлежит
ли
двум
этим
полуплоско
стям их общая граница? Такой вопрос не столь прост, ка
ким
в
он
кажется
современном
государствами
А если
§5
мире
на
на
обычно
граница
первый
границе
лежит
проходит
ПОЛУПЛОСКОСТЬ
по
взгляд.
между
двумя
<<ничейная>>
морю,
то
Например,
соседними
полоса
там
земли.
находятся
83
Рис.
5.17
<<нейтральные воды>>. В геометрии также считают, что гра
ница
между
полуплоскостями
не
принадлежит
этим
полу
плоскостям, она как будто <<НИЧЬЯ>>. Конечно, можно было
бы
есть
считать,
что
что
она
граница
между
принадлежит
плоскостями
сразу
двум
общая,
то
~
------- -.----
полуплоскостям.
Но как тогда поступать с <<нарушителями государственной
границы>>, с теми, кто пересёк эту границу? Посмотрите на
отрезок,
один
конец
которого
находится
двумя полуплоскостями (рис.
5.18).
на
границе
между
Здравый смысл подска
зывает, что этот отрезок всё ещё лежит по одну сторону от
этой прямой, ведь его концы находятся в одной полуплос
кости. С формальной же точки зрения данный отрезок ле
жит в разных полуплоскостях, ведь он уже пересёк грани
цу.
Поэтому
границу
между
плоскостями
не
относят
Рис.
5.18
к самим полуплоскостям.
Разделять
прямая.
Если
плоскость
любая
на
другая
части
линия
может
делит
не
только
плоскость
на
несколько частей, то эти части называют геометрическими
областями.
Разделяющая
их
линия
-
граница
между
ними. Как понять, что две точки находятся в одной гео
'
метрической области? Только одним способом: нужно свя
зать их непрерывной
'
<<дорогоЙ>> так, чтобы она не пересе
кала границу. Тогда от одной точки до другой можно будет
<<Проехать
в одной
по
дороге>>,
<<стране>>,
а
значит,
эти
две
точки
находятся
принадлежат одной области (рис.
5.19).
Такое свойство точек в одной геометрической области мате
матики называют связностью. Например, если на плоско
сти из одной точки провести два луча, то они тоже разде
лят
всю
плоскость
на
две
области.
В
каждой
из
этих
областей любые две точки можно соединить, или связать,
между
собой
данные лучи.
непрерывной
линией,
которая
не
пересечёт
А если начать соединять точки из разных
Два луча с общим
начало м
делят плоскость на две о б
ласти
Рис.
5.19
областей, то обязательно пересечёшь границу между ними.
84
ГЛАВА
1
-.
Угол
Каждый человек знает, что такое угол. Угол может быть у
дома, у стола или у комнаты. Об угол можно удариться или
даже за него заглянуть. Иногда маленьких детей родители
вообще ставят <<В угол>> в качестве наказания... Корабль мо
жет идти под углом к ветру, и это называется галс. Дорога
может
подниматься
под
она имеет наклон (рис.
углом
6.2).
в
гору,
и
тогда
говорят,
что
Конечно, во всех этих случаях
речь идёт о различных углах,
в том числе и об углах в
трёхмерном пространстве. А что такое угол с точки зрения
Рис.
6.1
Рис.
6.2
геометрии на плоскости? Как его можно определить?
Удивительно, но не любой взрослый человек может
ответить на этот
вопрос
услышать такие ответы:
мой линии>> или <<Угол
сразу правильно.
<<Угол
-
Иногда можно
это резкий перелом пря
-
это наклон двух прямых в дан
ной точке>> и так далее. Конечно, такие образные <<опреде
ления>> нам с вами никак не подходят. Ведь в них остаётся
непонятным,
что такое перелом прямой линии или даже
её наклон.
Вместо
этого
давайте
просто
посмотрим,
из
чего
же состоит любой угол. Мы увидим одну точку и два раз
личных луча, которые из неё выходят. Таким образом,
Геометрический угол 1
образованная
двумя
-
это фигура на плоскости,
лучами,
выходящими
из
од
а
два
ной точки.
Данная
точка
называется
выходящих из неё луча
-
вершиной
угла,
Углы обычно задают тремя буквами: одна из них
-
.,~-------------------
А
сторонами угла.
обозначает его вершину, а две другие
/ /
точки на сторо
нах. Важно, что при такой записи вершину угла всегда пи
Угол
Рис.
с
L BAC
6.3
шут средней. Например, угол ВАС с вершиной А обознача
ют так:
LBAC
(рис.
6.3).
Вы можете спросить: <<Будут ли образовывать угол
два луча, если они выходят из одной точки, но лежат на
одной
угол
1
-
прямой?>>
Конечно,
такие
лучи
его называют развёрнутым (рис.
тоже
образуют
6.4).
Далее геометрический угол везде мы будем называть просто углом.
86
ГЛАВА 2
Значит,
угол
называется
развёрнутым,
если
его
А
в
стороны лежат на одной прямой.
с
Развёрнутый угол
Так же как и прямая линия, геометрический угол
делит всю плоскость на две части. Если рассмотреть угол
Рис.
6.4
вместе с одной из этих частей плоскости, мы получим так
называемый плоский угол. Значит, вместе с обычным уг
лом на плоскости всегда образуются два плоских угла
они показаны разными цветами на рис.
Плоский угол
-
на которые он разбивает
плоскость.
Если две прямые пересекаются,
несколько
1-й плоский
угол
это геометрический угол вместе
с одной из двух частей,
всю
-
Итак,
6.5.
пар
углов,
по-разному
то они
образуют
расположенных
по
отно
шению друг к другу. Давайте разберём эти случаи.
Рис.
6.5
Когда два угла имеют общую сторону, а другие их
стороны лежат на одной прямой, то такие углы называют
смежными
угла
(рис.
вместе
6.6).
Видно,
заполняют
одну
что
два
смежных
полуплоскость.
плоских
Таким
об-
iм,
Углы
называют
смежными,
если
одна
сторона
у них общая, а две другие лежат на одной прямой.
Кроме того,
при пересечении двух прямых линий
образуются углы, которые не имеют общих сторон. Евклид
называл
их
<<углы через
вертикальными
(рис.
вершину>>.
6.7).
Свое
Сейчас
их
название
называют
вертикальные
углы получили благодаря буквальному переводу латинско
го слова
vertex,
о
А
в
Смежные углы АОС и ВОС
Рис.
6.6
что означает <<вершина>>. Таким образом,
Углы считают вертикальными, если стороны одно
го
из
них дополняют
стороны
другого до
двух пр я
мых линий.
При пересечении двух прямых образуется несколь
ко пар как смежных,
так и вертикальных углов.
Измерение углов
Еак и отрезки, плоские углы также измеряют по отноше
нию
к
векоторому
эталону
-
специально
для
этого
вы
бранному углу. В качестве эталона обычно берут угол в
(1 градус), который составляет
1
180
часть
угла. Выходит, что развёрнутый угол равен
1о
развёрнутого
180°
Вертикальные
и
углы
АОС
BOD
Рис.
6.7
просто по
оnределению. На практике величину измеряемого угла на
ходят с помощью знакомого уже вам транспортира. Обыч
но
§6
он
представляет
УГЛЫ
собой
половину
круга,
окружность
87
которого поделена на
нужный нам угол,
равных частей. Чтобы измерить
180
его вершину помещают в центр этого
круга, одну сторону угла совмещают с линейкой транспор
тира (проходящей через отметку
и смотрят, на каком
0°)
делении пересечёт его шкалу вторая сторона данного угла
(рис.
То есть величина угла показывает, сколько эта
6.8).
лонных углов (или их частей) можно последовательно отло
жить внутри данного угла,
другими словами
-
сколько он
составляет градусов.
Угол, измеренный транспор
тиром, равен 70°
Рис.
Вам кажется, что угол в
мерно
под
этим
углом
видит
1°
слишком мал? Но при
человек
одним
глазом
миз и
нец своей вытянутой руки. А Солнце и Луна видны глаз ом
6.8
вообще
под
Солнце
и
углом
Луну
в
половину
можно
градуса!
закрыть
Получается,
мизинцем
своей
что
руки!
Но будьте осторожны: на Солнце нельзя смотреть без за
щитных тёмных очков: это очень опасно. Бельгийский уче
ный Жозеф Плато,
ния
человека
в
который
конце
на Солнце в течение
25
исследовал физиологию
XIX
века,
неотрывно
секунд и ослеп до конца жизни.
Почему же развернутый угол делят не на
180
Но
градусов?
скорее
из версий,
На
всего,
этот
он
зре
глядел
вопрос
тоже
нет
связан
100,
однозначного
с
солнцем.
а на
ответа.
По
одной
жрецы Древнего Вавилона придумали считать
Гномон
отбрасывает
тень
на циферблат солнечных ча
сов
Рис.
6.9
/
/
/
/
/
1
-<-
1
1
а
1
1
Рис.
88
6.9
1
1
ГЛАВА 2
\
\
~,,, ,,~
б)
а)
- __.- _
в)
~'"''~~
~~
::::=-.
-111811!
--- -~-
~~
~~
Xll
•,
~s.;:
~s
~~1111\\\,
~111'\~
1
(J'Г·
:::::::;
~
..
~
·~
~
.-.:m-.:д,l.I;
,{"~//
s~
~::::
Рис.
~
,'
.
~
~ IЛ ~
_.- .:
о
!!!I-
~
Рис.
6.11
6.10
а)
1
Прямой угол
время по положению тени, которую днём отбрасывал спе
циальный столб или прут, называемый гномон, на круг с
делениями
(рис.
циферблат
древних
вершает примерно
360
i=йугол
солнечных
<<шагов>>
180
(рис.
6.10). Отсюда и
180, а всего круга -
воз
на
частей. Интересно, что само слово <<градус>> в переводе
с латыни
тоже
значит
По другой
<<ШаГ>>.
версии,
Вавилона состоял из
один
год у жителей Древнего
дней, а число
360
было у них свя
60
щенным. Существует гипотеза, что это число было выбра
но ими не случайно: ведь это первое число, которое можно
нацело разделить на
и
2, 3, 4
5.
Поэтому все вычисления
в Древнем Вавилоне бьtли связаны с числом
они
в)
часов
Они заметили, что за один день <<бог солнца>> со
6.9).
никло деление половины круга на
6)
в
использовали
так
называемую
60, то есть
шестидесятеричную
си
стему счисления. Эта система сохранилась до наших дней,
Тупой угол
все мы по ней до сих пор считаем время: один час состоит
из
минут, а одна минута
60
блат часов остался тем же:
60
равных частей (рис.
Величину
г)
60
секунд. Да и цифер
в).
6.10,
угла
из
-
это круг, который поделен на
называют
его
градусной
мерой.
Часто градусные меры углов обозначают буквами греческо
го алфавита: а, В, у, б и т. д. На чертеже их ставят прямо
Развёрнутый угол
внутри
около
плоского
вершины
запись
LAOB =
угла,
на
6.12
90°,
для
наглядности
две
его
окружности.
стороны
Например,
а просто означает, что величина угла АОВ
равна а градусам (рис.
Р ис .
а
соединяют дугой
Угол, величина которого рав
6.11).
называют прямым углом и на чертеже обозначают
маленьким квадратиком, вписанным в этот угол (рис.
а).
Если
величина
острым углом (рис.
зывают тупым (рис.
угла
меньше
6.12, 6),
6.12, в).
90°,
то
а если больше
его
6.12,
называют
угол на
90° -
Напомним, что величину развёрнутого угла счита
ют равной
180°.
относительно
Считать её можно в любой полуплоскости
прямой,
на
которой
лежат
стороны
этого
угла. Если же сложить величины двух плоских развёрну
тых
углов
+ 180°
=
с
общими
360°.
Те же
сторонами,
360°
то
получится
180° +
мы получим, если сложим ве
личины двух любых плоских углов, у которых совпадают
стороны
(рис.
Р ис. 6.13
§6
УГЛЫ
и
которые
вместе
заполняют
всю
плоскость
6.13).
89
Луч,
который выходит из вершины угла и делит
его пополам (то есть на два угла равной величи
ны), называется биссектрисой (рис.
Слово
<<биссектриса>>
буквально
6.14).
означает
<<рассе
кающая надвое>>. Начинается оно с приставки <<бИ->>, как и
6.14
Рис.
другие известные вам слова: бидокль, бисквит, бином, бис
и так далее. Дело здесь в том, что в латинском языке при
ставка <<бИ->> всё удваивает.
Как мы уже говорили, при пересечении двух пря
а
мых линий возникает несколько углов. Какой из них счи
тать
<<углом наклона>>
двух прямых между собой?
В гео
метрии
Углом между двумя прямыми
ший
из
тех
ними (рис.
углов,
назывют наимень
которые
образуются
6.15
Рис.
между
6.15).
а
Если угол между двумя прямыми равен
называют
перпендикулярными.
В
этом
случае
90°,
то их
все
углы,
которые образуются при их пересечении, равны
пендикулярность
(рис.
прямых
а
и
Ь
90°.
записывают так:
а
а l_ Ь
ь
Пер
l_
Ь
6.16).
Рис.
6.16
Аксиомы углов
Так же как и для отрезков, при измерении углов легко за
метить их очевидные свойства, которые мы примем без до
Все планеты Солнечной с и
казательства, как аксиомы. Очевидно, что любой плоский
стемы
угол
меньшим одной угловой м и
можно
измерить
транспортиром,
то
есть
сказать,
нуты.
сколько приблизительно он составляет градусов.
Когда величина угла не равна целому числу граду
сов, считают его меньшие доли. Для этого один градус де
лят на
60
равных частей
-
угловых минут, а каждую уг
ловую минуту на
60
Угловые
обозначают
рый
минуты
пишут
над
их
ещё меньших угловых секунд и т. д.
числом
наклонным
справа.
обозначают двумя такими штрихами.
А
штрихом,
кото
угловые
секунды
Например,
средний
угловой размер Луны (угол, под которым она видна с Зем
ли) равен
~~<
Рис.
90
31' 05",
а для Солнца он составляет
::::::::
1"
45
31' 59".
км
мы
видим
под угло м,
Угловые же
величи ны
видимых звёзд
вообще
ставляют
доли
ды.
одна
сотые
Представьте
угловая
ветствует
углу,
теоретически
себе,
секунда
под
со
секу н
ч то
соо т
которы м
можно
был о
бы увидеть футбольный м яч
с расстояния
ров
(рис .
в 45 киломе~
6.17) ... Попробу й
те-ка его разглядеть!
,,
••
\.
6.17
ГЛАВА 2
Мы же с вами примем без доказательства, что лю
бой плоский угол при желании можно было бы измерить
сколь
угодно
точно,
ж,:и:тельное число,
а
значит,
равное
существует
его
некоторое
настоящей
что все развернутые углы равны
величине.
поло
кого угла быть больше
просто традиция,
180°, -
:и:дущая ещё от Древнего Вавилона.
Давайте теперь посмотрим,
что будет,
Может ли величина плос
1
А то,
2
если плос
Чему
равна
180°?
сумма
ве
личин двух смежных углов?
к:и:й угол разделить лучом на два меньших угла. Пусть ве
л:и:чины этих меньших углов равны, например,
40о и
3
50°.
дет равна
40°
складывать
+
50°
90°.
=
градусные
углов,
на
которые
луч
делит
Если
посмотреть
Сколько
4
данный нам угол, мы примем без доказательства.
Ну и последнее.
получается
при
пересе
чении двух прямых?
А то, что в общем случае нужно
меры
Сколько пар смежных уг
лов
Какова будет величина всего угла? Очевидно, что она бу
угловых
секунд
в одном градусе?
на биссектрису
любого угла, то сразу видно, что к ней с двух сторон при
легают одинаковые углы. То есть угол с заданной градус
ной мерой можно отложить от одного луча в две разные
полуплоскости. А какие углы можно откладывать от дан
ного луча в одну из этих полуплоскостей? Мы примем за
очевидное, что отложить можно любой угол, величина ко
торого меньше
180°,
ведь иначе он просто не поместится
в эту полуплоскость! Итак, мы готовы сформулировать три
аксиомы углов:
Аксиомы углов
1
Каждый
плоский
градусную
вёрнутый
(рис.
6.18,
меру,
угол
угол
имеет
большую
равен
определённую
нуля.
180°
по
Любой
раз
\а> О
а)
определению
----\--
а).
Развёрнутый
угол
равен
180°
2
Градусная
мера
градусных
мер
любым
(рис.
лучом,
плоского
углов,
на
угла
равна
которые
выходящим
из
он
его
сумме
делится
вершины
б)
6.18, 6).
с
Из данной аксиомы следует, что когда несколь
ко лучей делят плоский угол на меньшие углы,
сумма
их
величин
равна
величине
о
исходного
угла.
Для
LAOB
Рис.
§6
УГЛЫ
в
любого
луча
ОС
=а+ [З
6.18
91
3
От любого луча в заданную от него полуплос
кость
ной
можно
отложить
мерой,
меньшей
способом (рис.
угол
180°,
с данной
и
градус
только
а
одним
6.19).
а
От данного луча в любую
из
полуплоскостей
отложить угол а ~
Рис.
можно
180°
6.19
Пришло время доказать первую теорему об углах,
которую
так:
сформулировал
вертикальные
ещё
углы
мудрец
имеют
Фалес.
Звучит
одинаковую
она
величину.
Можно сказать проще: вертикальные углы равны.
Теорема о вертикальных углах
Вертикальные углы равны (рис.
6.20,
а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим вертикальные
углы АОС и
BOD,
которые получаются
при пересечении двух прямых АВ и
(рис.
6.20, 6).
меры а и
13,
а)
CD
Пусть они имеют градусные
а величина угла СОВ равна у.
Поскольку углы АОС и ВОС смежные по
определению,
то
сумма их величин
равна
величине развёрнутого угла, то есть
а+ у=
180°.
Совершенно также углы
BOD
и СОВ являются смежными. Значит,
13 +
у =
180°. Но тогда должно выполняться
равенство а
+
у =
следует, что а =
13 +
б)
у. Из него очевидно
13.
Что и требовалось доказать.
с
Рис.
92
D
6.20
ГЛАВА 2
ВОПРОСЫ
1
Что такое геометрический угол? Какой угол назы
2
Что такое плоский угол? Чем он отличается от гео
вается развёрнутым?
метрического угла?
3
4
Какие углы называются смежными?
Какие
углы
называют
вертикальными?
возникло такое название?
Почему
В чем состоит теорема
о вертикальных углах?
5
Что такое биссектриса угла? Какие ещё слова на
чинаются с приставки <<бИ->>?
6
Что
считается
Как
называются
равен
7
углом
между
прямые,
двумя
угол
прямыми?
между
которыми
90°?
Какая
система
Древнем
счисления
Вавилоне?
Где
она
использовалась
используется
до
в
сих
пор? Что такое гномон и циферблат?
8
9
Какие аксиомы углов вы знаете?
Что такое угловой градус, минута и секунда?
~ УПРАЖНЕНИЯ
1
Нарисуйте любой треугольник.
щью
транспортира,
восходит
2
что
один
Проверьте с помо
из
его
углов
не
пре
60°.
На клетчатой бумаге нарисовали четырёхугольник.
Рис.
6.21
Попробуйте определить <<На глаз>>, какой из его уг
лов
3
прямой,
какой
том
проверьте
(рис.
6.21).
Нарисуйте
и
острый,
себя
с
треугольник.
транспортира
а
какой
помощью
С
проверьте,
тупой.
помощью
что
По
транспортира
линейки
напротив
самой
длинной его стороны лежит самый большой угол.
4
У вас есть карандаш и клочок бумаги без ровного
края.
Как
без
линейки
и
транспортира,
только
складывая бумагу, получить на ней прямой угол?
А можно ли так получить угол в
5
На клетчатой бумаге показал угол АВС (рис.
Измерьте
его
он или меньше
§6
45°?
УГЛЫ
с
помощью
60°?
транспортира.
6.22).
Больше
А
Рис.
с
6.22
93
@
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 6.1
*{;:({;:(
Часы показывают
между их стрелками (рис.
Найдите угол
10:30.
а).
6.23,
а)
РЕШЕНИЕ: :Как известно, циферблат часов разделен
на
12
дит
равных частей. За один час минутная стрелка прохо
полный
круг,
то
есть
поворачивается
на
угол
360°.
Часовая же стрелка за один час сдвигается всего на одно
деление, то есть проходит
за
1
часть циферблата. Значит,
1/12
час она повернется на угол
движение
часовой
стрелки
Поскольку
360° : 12 = 30°.
можно
считать
равномерным,
б)
за половину часа она должна повернуться на половину это
го угла, то есть на
15°.
В половину одиннадцатого между
стрелками часов будет четыре целых деления циферблата
и ровно половина ещё одного деления, то есть угол между
4 · 30° + 15°
135°.
ними будет равен
ОТВЕТ:
* *{;:(
ПРИМЕР
=
135°
Докажите,
6.2
(рис.
что
6.23,
б).
биссектрисы
верти-
Рис.
6.23
кальных углов лежат на одной прямой.
РЕШЕНИЕ:
в
точке
О
и
Пусть
образуют
прямые АВ
и
пересекаются
CD
вертикальные углы АОС и
Нужно доказать, что их биссектрисы ОЕ и
OF
BOD.
лежат на
одной прямой. По теореме вертикальные углы АОС и
а)
BOD
имеют одинаковую величину, обозначим её буквой а. Ве
f3 (рис. 6.24, а). Так как углы
+ f3 = 180°. Так как биссектри
личину угла ВОС обозначим
АОС и ВОС смежные, то а
а
са делит угол пополам, то углы ЕОС и
вайте найдём величину угла
сами:
EOF
а
EOF
а
LEOF = - + f3 + - =
2
2
а
FOB
равны
6.24,
2
Да-
+ f3 = 180°.
То есть угол
OF
лежат
б).
б)
Что и требовалось доказать.
* * {;:(
ПРИМЕР 6.3
мого угла.
Его
с
между этими биссектри-
развернутый, значит, и биссектрисы ОЕ и
на одной прямой (рис.
- .
Прямая проходит через вершину пря
стороны образуют с ней два острых угла.
Чему может быть равен угол между биссектрисами двух
этих острых углов?
РЕШЕНИЕ:
Обозначим
АОВ, и пусть прямая
CD
данный
прямой
угол
как
проходит через его вершину. Воз
можны два принципиально разных случая: либо эта пря
мая больше не имеет с данным плоским углом общих то
чек, либо разбивает его на два меньших угла.
Рассмотрим вначале первый случай. Обозначим величины
нужных нам острых углов АОС и
ку угол
COD
ство:
+ f3 + 90°
94
а
BOD
как а и
f3.
Рис.
6.24
Посколь
развернутый, то должно выполняться равен
=
180°.
Откуда а
+ f3
=
90°.
В этом
ГЛАВА 2
случае биссектрисы углов АОС и
.:которыи~
EOF,
-а + 90о + ~ -- 90о + а + ~ = 90о + 45о
равен
2
= 135°
образуют угол
BOD
2
(рис. в.25, а).
Во втором
случае
а)
=
Е\
2
прямая разбивает дq.нный
А
а
нам
nрямой угол на два острых угла, величины которых равны
а и jЗ. По основному свойству углов должно быть а
=
Тогда угол
90°.
будет равен
а+~
90о
2
2
ОТВЕТ: 45о или
***
ПРИМЕР 6.4
+ 13
=
между биссектрисами этих углов
EOF
45°
=
(рис. в.25,
6).
6)
135°.
На фотографии Спасской башни Мо
сковского Кремля запечатлён момент времени между ше
стью
(рис .
и
семью
в.2в,
часами,
а).
когда
Найдите
стрелки
точное
курантов
время
этого
совпадают
совпадения.
Если бы на этих курантах была ещё секундная стрелка,
сколько бы она показала секунд? На какой угол в этот мо
мент времени отклонятся стрелки от вертикали?
в
РЕШЕНИЕ: За один час минутная стрелка поворачи
вается на 3воо. Значит, за одну минуту она поворачивается
:
на 3во о
во =
в о. Часовал же стрелка курантов за
1
Jчас
Рис.
6.25
проходит одно деление циферблата, то есть поворачивается
на
Значит,
30°.
30° :
на
во =
за
минуту
1
5,5°.
ка <<догоняет>> часовую на
движением
наших
есть в в часов
30
она
повернется
всего
То есть за одну минуту минутная стрел
0,5°.
стрелок
Давайте начнём следить за
ровно
в
половину
седьмого,
а)
то
минут. В этот момент часовал стрелка на
циферблате стоит точно посредине между в и
образует с минутной стрелкой угол в
15°
часами и
7
(рис. в.2в,
рез сколько минут после половины седьмого её
6).
Че
<<догонит>>
минутная стрелка? Чтобы это найти, нужно разделить 15о
на <<скорость сближения>> стрелок в минуту, то есть на
Значит, стрелки совпадут ровно через
=
15 : 5,5
=
5,5°.
30 : 11 =
2 9 минут после половины седьмого, то есть точное вре11
мя: их совпадения равно в часов 32JL минут. Давайте пере11
ведём JL минуты в секунды: JL мин =
11
кунд.
11
Таким
совпадут
образом,
в
в
часов
с
точностью
32
до
минуты
9 60
'
11
с ~ 49 се-
секунды
и
б)
стрелки
секунд.
49
Поскольку в в:30 минутная стрелка была в вертикальном
положении, а за
рез
2
1
минуту она поворачивается на в о, то че
минуты она отклонител от вертикали на угол, рав
ны й
Рис.
ОТВЕТ:
49
секунд.
стрелки
Угол
их
совпадут
в
отклонения
в
от
часов
32
6.26
минуты
вертикали
равен
16° 21' 49".
§6
УГЛЫ
95
ЗАДАЧИ
6.1
*.л,<С?
Один из двух смежных углов на
другого.
30°
больше
Найдите величину меньшего из этих уг
лов.
{':::л
6.2
углов
Докажите, что биссектрисы двух смежных
перпендикулярны
1: л
6.3
Два
угла,
друг другу.
величины
которых
и
20°
Рис.
6.27
Рис.
6.28
Рис .
6.29
Рис.
6.30
50°,
имеют общую сторону. Какой угол могут образовы
вать две другие их стороны?
(Все углы считайте
меньше развёрнутого.)
л .л
6.4
Почему
из
точки,
лежащей
на
прямой,
можно провести к ней только один перпендикуляр
(рис.
6.5
6.27)?
*А ..л_у
В вершине угла, равного
70°,
восстановле
ны перпендикуляры к его сторонам. Найдите угол
между этими перпендикулярами (рис.
6.6
*.л л
так,
6.28).
Пять прямых пересекаются в одной точке
что
отмеченные
на
рисунке
углы
равны.
Найдите величину отмеченных углов (рис.
<С:?
6.7
6.29).
Три луча выходят из одной точки и обра-
зуют три угла, каждый из которых меньше развёр
нутого.
Величина
(рис.
6.30).
двух
других
одного
Найдите
углов.
угол
из
них
между
Внимание:
у
равна
100°
биссектрисами
задачи
может
быть несколько решений!
6.8
* *{.
Из точки О в указанном порядке выходят
лучи ОА, ОВ, ОС и
OD (рис. 6.31). Известно, что
COD равна 180°. Докажите,
углов АОС и BOD перпендикуляр
сумма углов АОВ
что биссектрисы
и
ны.
6.9
**А
Лист бумаги перегнули по прямой линии и
<<сложили>> так, как показано на рис.
получившихся углов оказался равен
6.32.
50°.
Один из
Найдите
другой угол.
6.10
Найдите угол
между часовой
и
минутной
стрелками:
а) в
б) в
96
9 часов 30 минут (рис. 6.33, а);
10 часов 40 минут (рис. 6.33, б).
ГЛАВА 2
б)
а)
ри с.
Рис.
6.31
**
6.11
9:00,
Найдите
первый
момент
времени
когда стрелки часов образуют угол в
**
6.12
Рис.
6.32
Первый раз после
6.33
после
156°.
часовая и минутная
9:00
стрелки исправных часов лежат на одной прямой
(рис.
6.34).
Что в этот момент показывает секунд
ная стрелка?
Рис .
6.34
Рис.
6.35
В некоторый момент времени Аня измери
6.13
ла
угол
между
часовой
своих часов (рис.
6.35).
и
минутной
стрелками
Ровно через один час она
снова измерила угол между стрелками.
Угол Q>Ка
зался таким же. Каким мог быть этот угол? (Раз
берите все возможные случаи.)
® ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Астр ляб
Как
древние
мореплаватели
определяли
на поверхности Земли? Не имея
гатора,
как
они
в
открытом
G PS
океане
своё
положение
и современного нави
понимали,
на какой
географической широте и какой долготе находится их суд
но?
до
Это
был
XVIII
открывали
далеко
не
века
многие
по
нескальку
нуться туда,
праздный
острова
раз,
а
где уже побывали...
диции были очень опасны
-
и
вопрос,
ведь
архипелаги
капитаны
не
вплоть
теряли
могли
и
вер
Далекие морские экспе
часто из них просто никто не
возвращался. Для определения широты, на которой нахо
дилось судно в океане, ещё со времен античности применя
ли астролябию.
Слово
это
означает
<<хватающая
звёзды>>.
Астролябия состояла из круглого латунного диска со шка
лой, как у транспортира, и поворачивающейся вокруг его
центра прямой планки
алидады
§6
были
УГЛЫ
-
алидады (рис.
проделаны
маленькие
6.36).
На концах
отверстия
Морская астролябия
Рис.
6.36
97
Полярная
звезда
Полярная
звезда
Земная
ось
горизонт
____ С_
Угол,
над
под
которым
горизонтом
звезда,
равен
видна
Полярная
углу
широты
наблюдателя
Рис.
6.37
Полярная звезда указывает
на
полюс
Рис.
мира
6.38
диоптры, через которые смотрели на звёзды. Астролябию
подвешивали
за
кольцо,
ее
диск
оказывался
в
вертикал ь
ном положении, и тогда через отверстия в обоих диоптрах
необходимо было увидеть Полярную звезду. В этот момент
положение
рым
над
алидады
на
горизонтом
места (рис.
6.37).
диске
видна
показывала
Полярная
угол,
звезда
под
из
кот о
данного
Этот угол и давал географическую широ
ту или ту параллель,
где находился корабль в Северном
полушарии Земли.
Почему
1500
лет
это
Полярная
работало?
звезда
Дело
<<ВИСИТ>>
в
том,
прямо
что
над
вот
уже
Северным
полюсом нашей планеты, то есть направление на неё прак
тически совпадает с направлением земной оси (рис.
Астрономы
Рис.
6.39
мира.
называют
это
место
на
небосводе
6.38).
полюсом
Если фотоаппарат закрепить на штативе и сделать
им снимок ночного неба с выдержкой в несколько часов,
то звёзды на нём опишут круги, а в их центре будет нахо
диться Полярная звезда (рис.
6.39).
Многие народы назы
вали ее <<небесным колом>> или <<северным гвоздём>>. Эвен
ки называли Полярную звезду
более поэтично
-
<<дырой в небе>>,
а хакасы
<<привязанным конём>>. В любом случае
эта звезда всегда указывала людям направление на север .
Говорят, что астролябию изобрел кто-то из древних
греков: либо астроном Евдокс, либо знаменитый математик
Аполлоний. Потом ее усовершенствовала женщина-матема
тик, астроном и философ Гипатия, которая была растерз а-
98
ГЛАВА 2
Астролябия
Астролябия с тимпаном
Рис.
на
в
Рис.
6.40
толпой
эпохи
Возрож
дения
религиозных
фанатиков
в
6.41
Александрии
году нашей эры. После её смерти многие ученые бе
415
жали из Александрии, солнце античной науки закатилось,
и
астролябия
на
много
веков
была
<<забыта>>
Европой.
Правда, ею продолжали пользоваться в Византии и араб
ском
мире,
с
её
помощью определяли широту и
сверяли
время: днём его измеряли солнечными часами, а ночью
-
водяными или песочными. Астролябия позволяла произво
дить сверку этих часов. Для этого необходимо было днём
наблюдать высоту Солнца, а ночью
-
одну из ярких звёзд,
нанесённых на специальный диск, или <<паук>>, астролябии.
<< Паук>>
(рис.
совмещали с еще одним ее диском
6.40),
тимпаном
-
на котором помещалась карта звёздного неба
данной местности.
Только
в
XII
веке через
средневековую
Испанию
астролябия снова вернулась в Европу. Она стала необычай
но популярна в эпоху Возрождения, снова была усовершен
ствована, и лучшие мастера изготавливали астролябии как
nроизведения искусства (рис.
6.41).
С помощью астролябии
можно было не только определить географическую широту,
координаты
звёзд
и
Солнца,
но
и
находить
направления
на многие города (особенно на Мекку) и вычислять фазы
Луны.
То есть астролябия была как бы
средневековым
Городские
часы
в
Праге
сделаны в виде астролябии
<<КомпьютерОМ>>. Даже городские часы кафедральных собо
ров
(рис.
§6
Европы
долгое
время
делали
в
форме
астролябий
Рис.
6.42
6.42).
УГЛЫ
99
Переносной квадрант
Рис.
Переносной секстант
6.43
Рис.
6.44
~
\
\
\
\
\
\
\
\
зеркало
горизонт
диоптр
отвес
1
d
горизонт
Принцип работы квадранта
Принцип работы секстанта
Рис.
Рис.
6.45
Позже
(рис.
6.43)
астролябию
и секстант
(рис.
заменили
6.44),
на
6.46
квадрант
которые представляли
собой одну четвёртую или же одну шестую полного круга.
Диоптры
квадранта
рамы,
положение
угол
а
звезды
над
располагались
отвеса
горизонтом
на
на
шкале
(рис.
регулировки (рис.
и
круга
6.45).
большую точность, чем астролябия,
раздо большие размеры
краю
его
прямой
показывала
Квадрант
давал
потому что имел го
более совершенные винты для
6.4 7).
Секстант изобрёл Исаак Ньютон в
1699
году. В нём
с помощью отражения от зеркала свет звезды (или Солнца)
попадал на второе зеркало,
зрачна,
что позволяло
половина которого была про
совмещать в одном окуляре
и звезду одновременно (рис.
6.46).
горизонт
Это приводило
к ещё
большей точности наблюдений. Сейчас для точного измере
ния углов используют теодолит,
ляет всего
100
ошибка которого состав
несколько угловых секунд.
Рис.
6.47
ГЛАВА 2
7
ая
многоуг
н
Ломаная
Интуитивно
ломаная
линия
отличается
от
гладкой
или
плавной линии тем, что она состоит из прямых участков
и резко меняет своё направление при переходе от каждого
такого участка к следующему.
То есть ломаную можно представить себе как цепь
отрезков
или
звеньев,
которые
идут
друг
за
другом,
но
не
лежат на одной прямой. Форму ломаной имеет <<складной
метр>> (рис.
для
7.1)
или многие диаграммы, где точки графика
наглядности
также
соединяют
отрезками
(рис.
7.2).
По ломаным траекториям движутся мельчайшие частицы,
наход.ящиес.я
в
жидкостИ,
благодаря
постоянным
ударам
о них молекул этой жидкости. Такое .явление было откры
то Джаном Брауном в
1827
году и с тех пор называется
броуновским движением (рис.
Чтобы
7.3).
определить ломаную,
взять несколько точек и по очереди
на плоскости
--
нужно
одну за другой
--
соединить их отрезками. Данные отрезки будут звеньями
ломаной,
Р ис.
а указанные
точки
--
её
вершинами.
Образно
можно сказать, что в каждой своей вершине ломаная резко
7.1
меняет
<<своё
обозначают
направление>>.
заглавными
следования друг
Вершины
буквами
и
ломаной
пишут
их
в
обычно
порядке
за другом.
~
Само
название
отражает
ва
-
суть
этого
сло
и1
Если
надломить
в
1\
\
"1\/
оно образовано от гла
гола «ломать».
п алку
«ломаная»
N.
прямую
несколь
\1
к их местах, она превратится
\1
в ломаную линию.
~
Диаграмма
индекса
вого рынка США в
Рис.
§7
7.2
ЛОМАНАЯ И МНОГОУГОЛЬНИК
фондо
1929
году
Браунавекое
стицы
Рис.
движение
ча
в жидкости
7.3
101
с
А
в
7.4
Рис.
Рис.
Например,
ABCDE, которая
[CD] и [DE]. Эту
на
рисунке
7.5
показана
7.4
ломаная
а)
состоит из четырех отрезков [АВ], [ВС],
~
<
же ломаную при желании можно обозна
чить и в <<обратном порядке>> как
Две такие запи
EDCBA.
си по сути обозначают одну и ту же геометрическую фигу
ру,
которую
можно
нарисовать
<<одним
росчерком>>,
не отрывая карандаша от бумаги (рис.
7.5).
то
есть
Важно только,
чтобы соседние звенья ломаной никогда не лежали на од
ной прямой,
ведь иначе их можно будет
<<начертить>>
вершина
как
зве~
один отрезок. Итак, мы с вами готовы дать определение:
вершина
Ломаной называется фигура, состоящая из отрез
ков,
которые
друг
на плоскости,
за
другом
соединяют
точки
причём её соседние отрезки не ле
жат на одной прямой.
Данные точки называются вершинами ломаной, а
соединяющие их отрезки
-
звеньями ломаной (рис.
7.6,
а).
Ломаную обычно обозначают последовательностью
её
вершин.
Например:
ломаная
А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7А 8 А 9 А 10
или более коротко А 1 А 2 ••• А 10 (рис.
Длиной
ломаной
7.6, 6).
называют
сумму
длин
всех
её
состоящую всего
из
звеньев.
Считать ли ломаной фигуру,
одного отрезка? Этот вопрос кажется странным, ведь у от
резка нет никакого
<<излома>>.
Рис.
7.6
Однако под наше определе
ние подходит и один отрезок. А как вы думаете: сколько
ломаных соединяет две данные точки А и В?
что есть только
Его
А
с
с
можно
нарисовать
точкой
точкой А
ОДНО
И
одна такая ломаная
В,
или
(рис.
же
7.7).
В
-
карандашом,
наоборот
любом
-
соединив
точку
случае
Очевидно,
это отрезок АВ.
у
точку
В
соединить
вас
получится
ТО же.
Давайте
возьмём
в обратном порядке
-
любую
ломаную
и
нарисуем
её
от последней её вершины к первой.
Получится ли у нас другая фигура? Конечно же нет! Ведь
набор
отрезков,
из
которого
состояла сама ломаная,
при
этом не изменится, поменяется только обозначение её вер
шин.
Поэтому мы с вами и будем считать, что ломаные
A 1A 2 ••• An
и
An An- l ...
А
2
Рис.
3
4
5
6
7
8
9
~~ J
7.7
А 2 А 1 , нарисованные с <<разных кон
ЦОВ>>, описывают одну и ту же геометрическую фигуру.
102
ГЛАВА 2
Если первая
следней,
вершина у ломаной
совпадает с
по
то она называется замкнутой (рис.
7.8).
Все остальные ломаные называют незамкнутыми.
Кроме того, в геометрии различают простые и не
nростые ломаные. Они показавы на рисунках
По
7.9, 7.10.
пробуйте сами догадаться, чем отличаются простые лома
ные от всех других. Наверняка вы уже заметили, что все
непро стые
торые
их
ломаные
звенья
имеют
самопересечения,
пересекаются
в
точках,
то
есть
отличных
неко
от
Замкнутая ломаная
их
вершин. Но это ещё не все. У простых ломаных из каждой
Рис.
7.8
вершины выходит не больше двух звеньев, а у непростых
ломаных так бывает не всегда. Встречаются даже случаи,
когда вершины непростой ломаной вообще нельзя последо
вательно
пронумеровать,
не
повторяя
какую-то
вершину.
Попробуйте отыскать такие ломаные на рисунке. Итак,
Ломаная
называется
простой,
если
из
каждой
её вершины выходит не более двух звеньев и все
её звенья не имеют общих точек, отличных от вер
шин (рис.
7. 9).
Многоугольник
В жизни все мы имеем дело с многоугольниками. Но что
Простые ломаные
такое
Рис.
многоугольник?
должно
жен
быть
иметь
угольник
-
три
все
окружить
названия
угла,
следует,
Например,
четырехугольник
что
у
него
треугольник дол
-
четыре,
и
очень
какую
просто:
участок
они
образуют
представьте
земли
забором.
фигуру?
себе,
что
Вначале
в
\~IN
На самом
вы
7.9
пяти
пять углов и так далее. Но как расположены
все эти углы
деле
Из
<<много углов>>.
хотите
углах
вы
укрепите опорные столбы, а потом уже между ними пове
сите перекладивы (рис.
7.11,
а). Полученный забор и будет
многоугольником. Правда, в отличие от забора многоуголь
ник состоит не из досок, а из отрезков, причём соседние его
отрезки никогда не лежат на одной прямой (рис.
7.11,
б).
\. 1
\
L-
а)
1""
б)
Непростые ломаные
Рис.
7.10
Р ис. 7.11
§7
ЛОМАНАЯ И МНОГОУГОЛЬНИК
103
Надо
сказать,
что
соседние
столбы
заборов часто ставят
по одной линии, но это связано лишь со сложностью изго
товления слишком длинных секций забора. У многоуголь
ника же соседние его стороны никогда не идут по одной
вершина
прямой. А на геометрическом языке это определение будет
звучать
так:
Многоугольником
ломаная (рис.
Вершины
многоугольника,
называется
простая
замкнутая
7.12).
такой
ломаной
-
а звенья
его
называют
вершинами
сторонами.
Многоугольник обозначают последовательной запи
сью
его
вершин,
причём
начинать
такую
запись
Рис.
7.12
Рис.
7.13
можно
с любой из них.
~ УПРАЖНЕНИЯ
Найдите многоугольники на рисунке
1
Легко
заметить,
что
количество
7.13.
сторон
у
много
угольника всегда равно количеству его вершин. Обозначать
вершины многоугольника буквами нужно всегда по поряд
ку
так, чтобы в полученной записи соседние буквы обя
-
зательно
были
концами
одной
стороны
многоугольника.
А вот начинать обозначать многоугольник можно с любой
его вершины. Например, четырёхугольник на рисунке
можно обозначить как
Отрезок,
ABCD, BCDA, DABC
который
соединяет две
7.14
и так далее.
вершины
D
много
угольника и не совпадает с его стороной, называ
ется диагональю (рис.
в
7.15).
А
Рис.
7.14
дuагоnаль
Рис.
7.15
Слово
ского
языка,
по-гречески
<<диагоналЬ>>
и
тоже пришло к нам из грече
означает оно
<<диа->>
значит
<<идущая через
<<через>>,
а
<<гониа>>
углы>>.
-
это
Ведь
угол.
От этого угла, а вернее, от его корня <<ГОН>> появилось из-
104
ГЛАВА 2
в естпае
слово
тригонометрия,
потому
что
изначально
три
гонометрией называли науку об измерении треугольника.
В едь
треугольник
Ч:етырёхугольник
угольник
-
древние
у
них
греки
называли
назывался
<<тригон>>.
<<тетрагон>>,
а
пяти
<<пентагон>>.
Многоугольники можно встретить и в живой при
роде. На рисунке
7.16
показан фрагмент крыла стрекозы
nод увеличением. Его стяжки образуют почти геометриче
ские многоугольники. Здесь можно найти четырёхугольни
к и,
пятиугольники,
шестиугольники
и
даже
несколько
се
миугольников. Сколько вы нашли шестиугольников?
® УПРАЖНЕНИЯ
2
На рисунке
7.17
изображен пятиугольник.
Прове
Рис.
7.16
Рис.
7.17
дите все диагонали этого пятиугольника. Сколько
всего у него получится диагоналей?
3
Соедините шесть точек на рисунке
образовался шестиугольник.
нали
этого
7.18
так, чтобы
Проведите все диаго
шестиугольника.
Сколько
всего
полу
чится диагоналей?
4
Соедините четыре точки на рисунке
ломаными так,
7.19
разными
чтобы получилось три различных
четырёхугольника.
5
Нарисуйте пятиугольник, у которого все вершины
лежат на двух пересекающихся прямых (рис.
6
Нарисуйте
многоугольник,
две
лежат на данной прямой (рис.
7
стороны
7.20).
которого
7.21).
Нарисуйте многоугольник, две диагонали которого
лежат на данной прямой (рис.
•
•
•
7.22).
•
•
Рис.
7.18
•
Рис.
§7
7.19
Рис.
7.20
ЛОМАНАЯ И МНОГОУГОЛЬНИК
Рис.
7.21
Рис.
7.22
105
Плоский м
Так
же,
как
о о гол н
прямая
линия
или
геометрический
угол,
многоугольник делит всю плоскость на две части. Это со
вершенно
естественно:
ведь
если
какой-то
участок
окру
жить забором, то эта часть земли должна находиться вну
три забора, а всё остальное
снаружи. Тем не менее для:
-
многоугольников очень сложной
очевидно. На рисунке
ник,
7.23
формы это вовсе не так
показан один такой многоуголь
похожий на лабиринт,
и чёрная точка.
Сможете ли
вы сразу сказать, где находится чёрная точка: внутри это
го многоугольника или вне его? Подумайте: как это можно
было бы определить?
В
отличие
многоугольник
(рис.
Рис.
7.23
ма
7.24,
его
-
а,
от
всегда
б).
непростых
делит
замкнутых
плоскость
ровно
ломаны х,
на
две
Однако это утверждение уже не
можно
доказать.
Правда,
час ти
аксио
доказательство
это
сложное и здесь мы его приводить не будем.
Одну
а)
из
двух частей,
на
которые
многоугольник
делит всю плоскость, называют его внутренней областью,
а другую часть
-
внешней. Но как отличить внутреннюю
область от внешней? Вы можете сказать, что это глупый
вопрос. Ведь внутренняя область
дится
у
многоугольника
внутри,
а
это та, которая нахо
внешняя
-
это
та,
ч то
лежит снаружи от него. Хорошо, но тогда попробуйте объ
яснить, ЧТО такое <<ВНУТРИ>> ИЛИ <<СНаруЖИ>>!
Например, если человек сидит в крепости, логично
предположить, что он находится внутри этой крепости. Од
нако
Самопересекающиеся лома
ные делят плоскость больше
чем на 2 части
если
тот
же
человек
будет
обладать
абстрактным
мышлением, он может предположить, что в данной крепо
сти оказался весь остальной мир, а он как раз гуляет око
ло её бастионов (рис.
7.25)!
И математики просто договорились считать внеш
ней областью многоугольника ту из двух областей, которая
б)
содержит в себе хотя бы одну прямую линию, то есть ту,
которая бесконечна (рис.
7.26).
Ведь внутри многоугольни
ка целиком поместить прямую линию никак не
Многоугольник
кость на
Рис.
2
делит
плос
части
7.24
Рис.
106
получится .
7.25
ГЛАВА 2
прямая
внешняя
область
многоугольника
Рис.
многоугольник
Рис.
7.26
7.27
Если многоугольник нарисовать на бумаге, а потом
вырезать
его
из
многоугольник
тренней
этой
вместе
областью
бумаги
с
ножницами,
куском
(рис.
плоскости
Такую
7.27).
то
получится
или
с
фигуру
его
вну
называют
плоским многоугольником. Итак,
Плоским многоугольником называется простая за
мкнутая
ломаная
вместе
со
своей
внутренней
областью.
с
Элементы треу ольника
Треугольник
Изучение
любых
является
всех
простейшим
остальных
геометрических
к рассмотрению
в
многоугольником.
многоугольников,
фигур
в
треугольников.
конце
Вы
да
и
концов
уже
знаете,
вообще
А
сводится
что
тре
Рис.
7.28
угольник образует простая замкнутая ломаная, которая со
стоит
из трех звеньев.
Поэтому треугольник имеет всего
три вершины, три стороны и три угла. Все они называют
ся элементами треугольника.
Например,
вершинами тре
угольника АВС будут точки А, В и С, которые не лежат
на одной прямой, а его сторонами- отрезки АВ, ВС и АС
(рис.
7.28).
угол
между
(рис.
7.29).
При каждой вершине треугольника образуется
двумя
лучами,
на которых лежат
его
стороны
Треугольник АВС имеет три таких плоских
угла ВАС, АВС и ВСА,
каждый из которых содержит в
А
себе данный треугольник.
Кроме
вершин,
угольника относят и
угольником.
сторон
некоторые
и
углов
отрезки,
Самые важные из них
-
к
элементам
тре
связанные с
тре
это медиана,
бис
сектриса и высота треугольника. Все их можно провести
из каждой его вершины.
§7
ЛОМАНАЯ И МНОГОУГОЛЬНИК
Угол треугольника
угол
ВАС,
находится
Рис.
внутри
-
плоский
которого
сам треугольник
7.29
107
в
в
в
А
А
с
м
ВМ- медиана треугольника
АВС
Рис.
7.30
А
с
Е
ан
ВЕ биссектриса треуголь
ника АВС
АВС
Рис.
Рис.
7.31
н
-
высота
вершину
треугольника
противоположной стороны (рис.
Биссектрисой
треугольника
и
середину
треугольника
7.32
в
Медианой треугольника называется отрезок, соеди
няющий
с
его
7.30).
называется
отрезок
биссектрисы угла треугольника от вершины этого
угла до пересечения
(рис.
с
противоположной стороной
7.31).
Высотой треугольника называется перпендикул.яр 1 ,
проведённый
из его вершины к противоположной
стороне или её продолжению (рис.
Медиана,
из
одной
биссектриса
вершины
и
высота,
произвольнога
чаще всего не совпадают (рис.
0
1
2
3
7.32).
проведенные
с
н
Высота ВН падает на про
должение стороны
Рис.
7.33
треугольника,
7.34).
в
ВОПРОСЫ
Что такое ломаная? Как называютел её элементы?
Какие ломаные называют простыми?
Что такое многоугольник? Какие вы знаете элемен
ты многоугольника?
4
5
6
А
Что называют медианой треугольника?
А
с
МЕН
Медиана, биссектриса и вы
сота
проведены
из
одно й
вершины треугольника
Что называется высотой треугольника?
На сколько частей делит плоскость многоугольник?
Рис.
7.34
Что такое плоский многоугольник?
7
Как определяют внутреннюю и внешнюю область
многоугольника?
1
Перпендикуляром из точки к прямой линии называют отрезок, соединяющий данную точку с точкой
на этой прямой и образующий с ней угол
108
90".
ГЛАВА 2
8
Сколько
9
В
всего
в
треугольнике
можно
провести
медиан?
каком
случае
высота
треугольника
падает
на продолжение его стороны?
@
Рис.
ПРИМЕР 7.1
*fl"tl
7.35
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
угольника (рис.
Сколько всего диагоналей у двадцати
7.35)?
РЕШЕНИЕ: Из одной вершины двадцатиугольника во
все другие его вершины можно провести ровно
ков.
Два
из
них
стороны
-
Значит, остальные отрезки
из
каждой
вершины
нашего
это его диагонали.
-
двадцатиугольника
диагоналей. Если мы умножим
17
19
17
отрез
двадцатиугольника.
на
То есть
выходит
ровно
то получим
20,
в два раза больше диагоналей, чем есть у двадцатиуголь
ника, так как каждую его диагональ мы будем считать два
Рис.
раза. Значит, настоящее число диагоналей двадцатиуголь-
7.36
17·20
2
- -
ника равно
а)
ОТВЕТ:
•
170 .
ПРИМЕР 7.2
*{;:{fl
•
170.
Пр.яма.я линия не проходит через вер
шины: а) четырёхугольника; б) пятиугольника. Может ли
она пересекать все его стороны?
РЕШЕНИЕ:
на рисунке
а)
Может.
Нужный
пример
показан
7.36.
б) Не может. Если бы это было возможно, то кон
б)
цы
в)
•
•
...
каждой
стороны
•
1
7.37
находились
бы
в
по разные стороны от неё было бы одинаковое число его
вершин. А число
Рис.
пятиугольника
разных полуплоскостях относительно этой прямой, и тогда
* :_.
ке
А
ПРИМЕР
7.3
Соедините
девять
точек
на
рисун
а отрезками так, чтобы получился многоугольник.
7.37,
Не
нечётное. Противоречие.
5 -
забудьте,
что
соqедние
стороны
многоугольников
не должны лежать на одной прямой!
РЕШЕНИЕ:
Примеры
показаны на рисунках
ПРИМЕР 7.4
*
маных,
ке
которые
7.38?
ТОЛЬКО
7.37,
7.37,
многоугольников
в.
Сколько существует незамкнутых ло-
соединлют
Через
возможных
б и
п.ять
красных
каждую точку ломаная
точек
может
на
рисун
проходить
ОДИН раз.
РЕШЕНИЕ: Поскольку через каждую красную точку
ломаная
Ри с. 7.38
§7
у
всех
и
4
ЛОМАНАЯ И МНОГОУГОЛЬНИК
по
условию
таких
звена.
должна
ломаных
Давайте
проходить
должно
попробуем
быть
только
ровно
нарисовать
один
5
одну
раз,
вершин
такую
109
ломаную (рис.
7.39).
Первой её вершиной может быть лю
бая из пяти данных нам точек, то есть её можно выбрать
пятью способами.
Обозначим первую вершину буквой А 1 •
Первое звено ломаной, выходящее из этой вершины, мож
но
провести
четырьмя
способами.
Обозначим
его
А 1А 2 •
Второе её звено, выходящее из точки А 2 , можно провести
уже тремя способами, поскольку точки А 1 и А 2 мы уже ис
пользовали. Обозначим его как А 2 А 3 • Для выбора третьего
звена А 3 А 4 остается всего два способа,
а четвёртое зв~но
А 4 А 5 придётся провести однозначно. Значит, всего для та
ких ломаных мы получим
вариантов.
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
При этом ломаные А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 и А 5 А 4 А 3 А 2 А 1 мы считали
разными, а по нашему определению это одна и та же фи
гура. То есть настоящее число ломаных должно быть в два
раза меньше, поэтому оно равно
ОТВЕТ:
60
Рис.
7.39
60.
ломаных.
•
с
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
~л7 А
7.1
У
простой
ломаной
10
вершин.
Сколько
Рис.
7.41
Рис.
7.42
Рис.
7.43
Рис.
7.44
у неё может быть звеньев?
*
7.2
?<!'-?
Какие цифры индекса (рис.
7.40)
являются
простыми ломаными?
Нарисуйте
7.3
замкнутую
ломаную
из
шести
звеньев, которая каждое своё звено пересекает ров
но
ОДИН
* * '?
7.4
раз.
Нарисуйте
замкнутую
ломаную
из
семи
звеньев, которая каждое своё звено пересекает ров
но
\ 7.5
*
1
два раза.
.!?
Соедините 16 точек на рисунке 7.41 отрез
ками так, чтобы получился многоугольник (не за
'- ..
будьте,
что
у
многоугольника
соседние
стороны
не лежат на одной прямой!).
7.6
**.,л,
Соедините
13
точек на рисунке
7.42
отрез
ками так, чтобы получился многоугольник.
Рис.
110
7.40
ГЛАВА 2
Могут ли четыре данные точки на плоско-
7.7
'
сти быть вершинами разных четырёхугольников?
Разрежьте
периметры
''
''
квадрат на два пятиугольника,
которых равны.
@тор~~о л~:а:с~:т:";~:т;:~~~ник, все стороны коНарисуйте двенадцатиугольник,
7.10
7.11
ны
которого
*
А
У
лежат
на
шести
многоугольника
все старо-
прямых.
всего
диагоналей.
20
Рис .
7.45
Сколько у него сторон?
*
7.12
*А
Число диагоналей многоугольника в
4
раза
больше числа его сторон. Сколько у него вершин?
**
7.13
а)
Сколько всего существует
ломаных, соединяющих данные
ке
7.43?
б)
Сколько
всего
6
незамкнутых
-- -
точек на рисун
существует
таких зам
кнутых ломаных?
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Рис.
7.46
Рис .
7.47
А всё-таки что такое угол многоугольника? Ясно,
что это угол между двумя его сторонами при одной верши
не. Но, как вы помните, любые два луча, которые выходят
из одной точки, образуют два плоских угла. Какой из них
считать углом многоугольника при этой вершине? При всей
своей очевидности, вопрос этот не так уж прост. Разумно
было бы выбрать тот из двух плоских углов при этой вер
шине, в котором находится сам многоугольник. Для много
угольников, показанных на рисунках
но
так .
Но
который
на
рисунке
полностью
не
7.4 7
и
7.45
по казан
содержится
ни
это имен
7.46,
многоугольник ,
в
одном
из
двух
плоских углов при его вершине. Как же тогда поступить?
Давайте
в
данной
нарисуем
вершине
маленький
многоугольника
-
круг
такой,
с
центром
чтобы
он
пересекал только две его стороны, выходящие из этой вер
шины (рис.
называют
7.48).
В математике такой маленький кружок
<<окрестностью>>
данной точки.
В
<<окрестности>>
нужной вершины уже легко понять, какой из углов между
данными
сторонами
Это
плоский
тот
будет углом нашего
угол,
часть
которого
многоугольника.
внутри
малой
окрестности данной вершины попадает во внутреннюю об
ласть многоугольника.
Рис .
§7
ЛОМАНАЯ И МНОГОУГОЛЬНИК
7.48
111
8
у
1
Вы уже знаете, что такое ломаная и плоский многоуголь
ник. Но существуют и другие фигуры, у которых вообще
нет сторон или углов, такие как круг или овал. Помните,
что
любая
геометрическая
фигура
состоит
из
точек?
Это значит, что отрезок и прямая, плоский угол или даже
одна точка тоже являются фигурами.
В этом параграфе мы будем говорить о форме все
возможных
геометрических
фигур
и
научимся
разделять
их на два типа: выпуклые и невыпуклые. Во многих слу
чаях сделать это нам помогает интуиция. Мы же с вами
строго определим вначале плоский выпуклый многоуголь
ник, а уже потом дадим общее определение произвольной
выпуклой фигуры.
На рисунке
8.1
показаны различные объекты окру
жающего нас мира. Попробуйте догадаться, что есть обще
го
у
фигур
слева
и
что
отличает
их
от
фигур
справа .
ПостарайтесЪ не обращать внимание на цвет или матери
ал, из которого созданы эти объекты.
а
в
г
Рис .
112
е
3
ж
Фигуры слева
в
д
е
д
ж
б
а
3
Фигуры справа
8.1
ГЛАВА 2
ВОПРОСЫ
1
Изобразите в своей тетради каждый объект в виде
плоской геометрической фигуры. Чем теперь будут
отличаться фигуры слева от фигур справа?
Опираясь
2
на
здравый
попробуйте сказать,
смысл
и
свою
фантазию,
какие из нарисованных вами
плоских фигур можно назвать выпуклыми.
Рис.
8.2
Слово выпуклый происходит от глагола <<пучить>>
или <<выпучить>> в значении
<<вздуть, надутЬ>>. В обычной
жизни мы можем сказать <<выпуклая ваза>> (рис.
<<выпуклое
тоже
зеркало>>
происходит
лыЙ>>,
когда
рообразной,
описания
от
говорим
(рис.
8.3).
него.
Мы
о
форме,
<<выпирающей
деталей
во
некоторых
Даже
<<пучина
используем
которая
8.2)
слово
кажется
все стороны>>,
предметов,
или
морская>>
<<выпук
нам
ша
а также для
которые
<<высту
пают наружу>> с их поверхности. Таковы, например, клас
сический
барельеф
(рис.
А в переноснам смысле слово
8.5).
(рис.
пользуют в выражении
8.4)
или
азбука
для
слепых
<<выпуклыЙ>>
<<выпуклый образ>>,
ис
когда что-ни
будь яркое и выразительное остаётся в нашем сознdнии
после чтения
интересной
книги,
стихотворения или
про
Выпуклое зеркало
Рис.
смотра запоминающегося фильма.
8.3
Часто говорят, что предмет выпуклый, если у него
нет никаких вмятин или вогнутостей.
Конечно,
если на
чать разглядывать любой предмет под микроскопом, на его
поверхности всегда можно обнаружить какие-то царапины
и неровности. Каждому известно, что на Земле есть горы
и моря,
впадины и возвышенности.
Но из космоса нашу
планету можно считать просто шаром (рис.
8.6).
С науч
ной точки зрения такие различия не имеют значения. Ведь
мы
говорим
о
выпуклой
форме
предмета
тогда,
когда
рассматриваем упрощенную модель реального тела. Имен
но с такими моделями обычно имеет дело любая наука.
Барельеф
Рис.
8.4
Азбука Брайля для слепых
Рис .
§8
Рис.
8.5
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ
8.6
113
ЫПУКЛ IЙ
ro
г
л
ис
Мы начнем с плоских многоугольных фигур
уже знако
-
мых вам многоугольников. В отличие от круга или овала,
формы
многоугольников
Давайте
нарисуем
угольников
(рис.
проще
несколько
Не
8.7).
изучать
различных
будем
и
определять.
плоских
принимать во
много
внимание
количество их сторон или вершин. Можете вы сказать, чем
по своей форме одни из этих многоугольников отличаются
от других?
8.7
Наверняка вы заметили, что некоторые из них
имеют <<Вогнутые>> углы с величиной больше
многоугольники
<<Выходят>>
Рис.
имеют
и
<<внешние>>
Эти же
180°.
диагонали,
которые
из внутренней области самого многоугольника
и не содержатся в нём полностью. Наличие таких <<вогну
ТЫХ>> углов и <<внешних>> диагоналей характерно для невы
пуклых многоугольников (рис.
Наоборот,
8.8).
все другие многоугольники на рис.
имеют углы меньше
180°
8.8
и целиком содержат все свои диа
гонали (проверьте!). Именно это является свойством выпук
«Вогнутые·»
ние»
углы
диагонали
и
«внеш
невыпуклых
многоугольников
лых многоугольников.
Давайте пока запишем наше наблюдение как:
Рис.
8.8
Свойство выпуклых плоских многоугольников
Все углы выпуклого плоского многоугольника меньше
находятся
в этом
180°,
и все его диагонали целико м
многоугольнике.
~ УПРАЖНЕНИЯ
1
Найдите
все
на рисунке
2
выпуклые
плоские
многоугольники
8.7.
Нарисуйте пятиугольник, у которого три диагона
ли проходят снаружи.
Будет ли такой пятиуголь
ник выпуклым?
3
Приведите пример семиугольника, который не со
держит целиком
5
своих диагоналей.
Давайте мысленно изготовим камень в виде много
угольника,
столкнём
склону
114
все
этот
(рис.
углы
которого
камень
8. 9).
с
меньше
вершины
Камень
180°.
<<горы>>
по катится
по
вниз
А
теперь
пр ям ому
и
будет
Рис.
8.9
ГЛАВА 2
ложиться
на
склон
по
очереди
всеми
своими
сторонами.
При этом он <<ударится>> о гору каждым своим углом. Если
ж.е у камня хотя бы один угол будет больше
180°,
то он не
сможет им коснуться склона горы и лечь на него каждой
своей
стороной
многоугольники
(рис.
Скажем
8.10).
можно
так:
<<ПрокатитЬ>>
по
одни
плоские
прямой
линии
каждой своей стороной, а другие нет. Или же другими сло
вами:
многоугольники
жить>>
другого вида
лые
-
вида
всегда
записать
можно
<<поло
а многоугольники
не всегда. Как раз это и отличает выпук
многоугольники
можем
одного
на прямую любой их стороной,
это
от
невыпуклых.
Теперь
мы
с
Рис.
8.10
вами
как определение:
Многоугольник называют выпуклым,
если он це
ликом лежит в одной полуплоскости относительно
прямой, проходящей через любую его сторону.
следует,
что
многоугольник с <<Вогнутым>> углом, который больше
Из
такого
определения
180°,
будет невыпуклым (рис.
одной
полуплоскости
сразу
1
1
.........................
Ведь он не может лежать в
8.11).
относительно
проходит сторона этого угла,
же
прямой,
по
которой
такой его угол просто не
-
льзя поместить в одну полуплоскость!
Да и сам этот угол, если он больше развёрнутого,
Рис.
8.11
будет невыпуклой фигурой: положить его на <<склон горы>>
невозможно
ни
одной
стороной.
По
той
же
причине
и
многоугольник с таким углом должен иметь хотя бы одну
<<внешнюю>>
его
сторон,
диагональ.
которые
го угла (рис.
Она
выходят
будет
из
соединять
вершины
концы
этого
двух
невыпукло
8.12).
УПРАЖНЕНИЯ
Невыпуклый угол
4
Объясните,
что
плоский
прямоугольник
должен
Рис.
8.12
Рис.
8.13
быть выпуклой фигурой.
5
Как
вы
объясните,
что
треугольник
может
быть
только выпуклым?
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
* ~~А
ПРИМЕР 8.1
Разрежьте
пятиконечную
звезду
на
пять выпуклых фигур.
РЕШЕНИЕ: Мы приведём два способа. Первым спосо
бом
§8
(рис.
8.13)
звезда
разрезается
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ
на
пять
выпуклых
115
четырёхугольник.ов.
Вторым
и четыре треугольника (рис.
ПРИМЕР 8.2
*'ti"tr
Разрежьте
один четырёхугольни:к
квадрат на два невыпу:к
8.15).
лых пятиугольника (рис.
Рис.
- на
8.14).
РЕШЕНИЕ: Проведём ломаный разрез в виде <<зигза
8.14
га>>
от левой верхней вершины квадрата до правой ниж
ней, как. пок.азано на схеме справа. Две части, на которые
окажется
разрезан
угольниками,
квадрат,
поскольку
у
будут
невыпук.лыми
каждого
из
них
есть
пяти
невыпу:к
лый угол.
**.л
ПРИМЕР 8.3
К
стороне
плоского
многоугольни:ка
прилегают два его угла, каждый из которых меньше
Рис.
(рис.
8.15
Верно
8.16).
можно
ли,
что
этот
<<положить на прямую>>
обязательно
ли
данный
плоский
данной стороной?
плоский
180°
многоугольни:к
То есть
многоугольник.
в одной полуплоскости относительно прямой,
лежит
проходящей
через данную его сторону?
РЕШЕНИЕ: Для того чтобы ответить на этот вопрос ,
нужно либо доказать, что в любом случае многоугольни:к
будет лежать в одной полуплоскости относительно данной
прямой
Рис.
либо
привести
опровергающий
Мы приведём контрпример
8.16
-
это
к.онтрпример.
он пок.азан на рисунке
8.17.
Значит, данное утверждение неверно.
Контрпримерам
в
математике
называют
частный
случай общего утверждения, для которого оно не является
верным.
То
есть
контрпример
всегда
опровергает
общее
утверждение. Возьмём хотя бы такое утверждение: нет тако
го слова в русском языке, в котором было бы riять соглас
ных звуков подряд. Это утверждение не является верным.
Рис.
Приведите для него к.онтрпример.
8.17
@ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
8.1
Рис.
* 1::'
.л
Разрежьте
треугольник.
четырехугольника (рис.
8.18
8.2
.л.л
*
~
8.4
116
8.19
Рис.
8.20
* **
выпуклых
8.19).
Разрежьте пятиконечную звезду на четыре
выпуклых многоугольника (рис.
Рис.
три
Разрежьте квадрат на два невыпук.лых ше-
стиугольника (рис.
8.3
на
8.18).
Разрежьте
угольники (рис.
квадрат
на
8.20).
выпуклые
пяти
8.19).
ГЛАВА 2
фигура
выпукла
Давайте теперь поговорим о произвольных геометрических
фигурах.
Вы уже умеете отличать выпуклые многоуголь
ники от невыпуклых. А как отличить выпуклую фигуру
от невыпуклой, если у неё нет прямых сторон или вообще
нет углов? Рассмотрим некоторые плоские геометрические
фигуры,
которые
не
.явл.яютс.я
многоугольниками.
из них вам кажутел выпуклыми и почему (рис.
Какие
8.21)?
Для того чтобы дать общее пон.ятие выпуклой фи
гуры, давайте вспомним, каким свойством обладали диаго
н али
плоских
принадлежали
выпуклых
этим
многоугольников:
многоугольникам.
они
целиком
Оказывается,
дан
вое свойство верно не только для диагоналей, но и вообще
Рис.
8.21
Рис.
8.22
для всех отрезков, которые соединлют любые точки такого
многоугольника.
целиком
лежит
Помните,
в
одной
что
выпуклый
полуплоскости
многоугольник
относительно
ка
ждой своей стороны? Значит, в той же полуплоскости ле
жат и все его точки. Тогда любой отрезок АВ, соединяю
щий
эти
точки,
не
пересечёт
данную
сторону
многоугольника. Но точно так же он не пересечёт и любую
другую его сторону. Значит, отрезок АВ не сможет выйти
з а пределы самого многоугольника ни одной своей точкой.
J
Ведь иначе он пересекал бы одну из его сторон. А этого не
может быть.
Поэтому любой такой отрезок целиком при
надлежит ему (рис.
8.22).
Конечно, не у каждой фигуры вообще есть сторо
ны, углы или диагонали. Но вместо них по аналогии с вы
пуклым многоугольником давайте рассматривать отрезки,
которые соединлют две любые точки данной фигуры. Если
какой-нибудь из
таких отрезков даже частично окажется
вне фигуры, то это будет означать, что у фигуры есть <<ВО
гнутостЬ>> и что она невыпукла.я. Если же все такие отрез
ки
будут
принадлежать
самой
фигуре,
то
фигура
будет
выпуклой. Сформулируем это в виде общего определения.
Плоская
фигура называется
выпуклой,
если
лю
бой отрезок, соединяющий две её точки, полностью
лежит внутри фигуры.
С помощью такого определения очень удобно объ
яснять, почему данная фигура невыпукла.я. Для этого до
Выпуклая фигура
статочно найти хотя бы один отрезок, соединяющий две её
точки, который выходит за границы самой фигуры.
А вот для доказательства того, что фигура выпук/
ла,
обычно
ждения.
приходител
проводить
более
сложные
рассу-
Ведь по общему определению для такого доказа
тельства нуж.но перебрать все отрезки, соединяющие точки
данной фигуры. А это невозможно.
На самом деле даже
очевидная выпуклость круга требует отдельного внимания.
Невыпуклая фигура
R этому вопросу мы вернемел в § 20.
Рис.
§8
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ
8.23
117
@
*
1".л
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 8.4
Какие из фигур на рисунке
а, б,
8.24
в являются выпуклыми, а какие невыпуклыми и почему?
РЕШЕНИЕ:
форме грушу,
а)
Первая
невыпуклая,
фигура,
напоминающая
по
поскольку можно провести от
резок, который соединяет две её точки, но целиком не про
ходит внутри неё (рис.
8.24,
г).
б) Вторая фигура в форме английского ключа яв
ляется невыпуклой по той же причине (рис.
в)
это
ше
Третья
фигура
многоугольник,
у
является
которого
8.24,
выпуклой,
все
плоские
д)
поскольку
углы
мень
180°.
ПРИМЕР
8.5
д)
г)
Докажите, что полуплоскость являет
ся выпуклой фигурой.
РЕШЕНИЕ:
Докажем,
соединяет две точки в
жит в ней (рис.
что
любой
отрезок,
одной полуплоскости,
который
целиком ле
8.25).
По аксиоме (см.
§ 6)
любой отрезок, соединяющий
две точки в одной полуплоскости, не пересекает её грани
цы.
Значит,
любой такой отрезок целиком лежит в
Рис.
8.24
Рис.
8.25
этой
полуплоскости. Но тогда полуплоскость является выпуклой
фигурой по определению.
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Интересно,
дится
не
что
общее
только
для
определение
выпуклых
выпуклой
фигуры
многоугольников
или
го
дру
гих плоских фигур, но и для линейных фигур, которые не
имеют
площади.
и прямая,
Какие
это
фигуры?
Например,
это
луч
отрезок или ломаная.
Любой отрезок будет выпуклой фигурой по опреде
лению. В самом деле, если на отрезке АВ взять любые две
точки М и
N,
то отрезок
отрезку АВ (рис.
8.26).
MN
будет целиком принадлежать
А
М
N
в
А вот ломаная, напротив, будет не
выпуклой. Легко видеть на рисунке, что достаточно взять
пару точек на соседних её звеньях и соединяющий эти точ
ки
(рис.
118
отрезок
не
будет
принадлежать
самой
Рис.
8.26
Рис.
8.27
ломаной
8.27).
ГЛАВА2
Ра
§9
ье
гурь
Одинаковые фигуры вокруг нас
Люди
уже
давно
научились
создавать
одинаковые
вещи
и предlV,Iеты. Например, очень трудно отличить друг от дру
га
две
монеты
одного
достоинства
из одного тиража или
Даже костюмы,
и
года
чеканки,
книги
автомобили одной серии выпуска.
сшитые по одной мерке,
или обыкновен
ные стулья могут отличаться по цвету, но быть одинаковы
ми по форме и размерам.
В
в
природе
горах трудно
такое
встречается
нечасто.
найти два абсолютно
Например,
одинаковых камня,
а любые два дерева в лесу всегда отличаются расположени
ем своих веток. И всё-таки даже в природе мы видим ино
гда
практически
одинаковые
на цветке ромашки,
вещи.
совершенно
Одинаковы
лепестки
неотличимы друг от друга
два крыла бабочки. У одинаковых фигур совпадают и фор
Рис.
9.1
Рис.
9.2
Рис.
9.5
ма, и размеры. Если совпадает что-то одно, фигуры могут
оказаться
выложен
все
у
эти
различными.
квадратными
плитки
Кафельный
плитками.
назвать
пол
Но
нельзя,
на
ведь
рисунке
9.5
одинаковыми
поскольку
стороны
них разные.
Или другой пример: размеры телевизора или мони
тора компьютера часто определяют д,линой его диагонали.
Однако экраны двух мониторов с одинаковой длиной диа
гонали часто имеют разную форму (рис.
9.6).
То же можно
сказать и об обуви. Каждый носит ботинки определённого
размера,
но
ведь
их
модели
могут
сильно
отличаться,
в том числе по форме колодки и своему внешнему виду.
Рис.
120
9.3
Рис.
9.4
ГЛАВА З
Рис .
9.6
Рис.
9.7
Рис.
9.8
Рис .
9.9
Рис.
9.10
Как вы знаете, размеры земельных участков опре
деляют по их площади. Но участки равной площади также
могут иметь разную форму (рис.
Необходимость со
9.7).
здавать одинаковые по форме и размерам вещи возникает
повсеместно. Конечно, на практике это может достигаться
с
пекоторой
точностью.
немного отличаться,
кройке.
А
вот
Два
предмета
одежды
могут
даже если они сшиты по одной вы
шестерёнки
часов
нужно
делать
гораздо
точнее, иначе сложный механизм не будет работать (рис.
9.8).
Стоит ли говорить о телескопах и космических спут
никах!
Знание
одинаковые
геометрии
предметы,
помогает
детали
для
человеку
точных
создавать
механизмов,
де
лать копии различных вещей. Иногда копию удаётс.f.f сде
лать механическим способом
пресса
штампуют
так на заводе с помощью
-
одинаковые
детали,
раньше
так
печата
ли книги, да и сейчас ставят одинаковые печати на доку
менты (рис.
9.10).
Точную копию предмета может дать и
плоское зеркало: не случайно все мы его используем, что
бы видеть там своё отражение (рис.
невозможно
отпечаток
повторить
9.9).
механически.
футбольного
поля
или
Но многие вещи
Невозможно
без
расчётов
сделать
построить
ровно такое же здание школы. Человеку бывает необходи
мо сначала изготовить предмет определённой формы и раз
мера, а уже потом повторять его. А для этого ему нужно
уметь строить фигуры, которые бы совпадали по форме и
размерам.
В
геометрии
их
называют
равными.
Понятие
равенства фигур очень важно для понимания всего курса
геометрии Евклида. Можно даже сказать, без него не было
бы и самой геометрии!
~ УПРАЖНЕНИЯ
1
Какие
вы
можете
назвать
одинаковые
по
форме
и размеру предметы на кухне своего дома? Назови
те
равные
друг
другу
детали
автомобиля.
Есть
ли равные предметы в вашем школьном кабинете?
Какие это предметы?
§9
РАВНЫЕ ФИГУРЫ
121
2
На
рисунке
изображено
9.11
несколько
фигур.
Среди них имеются пары фигур, равных между со
бой. Найдите все такие пары. Сколько таких пар?
Для каких фигур не найдётся пары?
3
Представим
в
паркете,
себе,
что
которые
мы
хотим
показаны
закрыть
на рисунке
Какие заплаты для этого подойдут (рис.
Каждая
заплата
отмечена
цифрой,
какая
ей
соответ
какой дырки потребуется сразу две
заплаты
а дырка
на
рисунке
дырки
9.12, а.
9.12, б)?
буквой.
-
а) Напишите
для
каждой
буквы,
Рис.
9.11
а)
ствует цифра.
б) Для
из данного набора? Перерисуйте её в тетрадь и по
кажите,
как положить
в) Может быть,
некоторых
их
эти две
заплаты.
вы заметили, что при укладывании
заплат
в
перевернуть
нужные
<<другой
дырки
вам
стороноЙ>>?
пришлось
Какие
это
заплаты?
б)
На рисунке
4
9.13
а) Нарисуйте
отрезок
1
равный
ему
треугольник
так,
чтобы
был одной из сторон этого треугольника.
б) Нарисуйте
чтобы
изображён треугольник.
ещё
отрезок
один
2
такой
же
треугольник
так,
одной
из
сторон
тре
был
· этого
угольника.
Понятие равенства
Рис.
9.12
Рис.
9.13
геометрических фигур
Итак, две фигуры считают равными, если их можно нало
жить
друг
на
друга так,
чтобы
они
полностью
совпали.
Добиться такого совпадения не просто: для этого, возмож
но,
одну из фигур придётся повернуть или даже перевер
нуть
<<другой
стороноЙ>>
(рис.
9.14).
На
плоскости
<<Переворот>> совершает зеркальная симметрия (рис.
такой
9.15).
Посмотрите, как треугольник А совмещается с тре
угольником В на рисунке
9.16.
Вначале мы сдвигаем тре
угольник А, как будто он вырезан из картона, по плоско
сти
стола,
совмещаем
одну
вершиной треугольника В,
его
вершину
с
нужной
потом поворачиваем треуголь
ник А вокруг этой вершины и уже тогда добиваемся пол
ного совпадения с треугольником В.
На
угольники
угольник
рисунке
С и
С
-
D.
9.17
показано
Вначале
мы
переворачиваем
как
совмещаются
зеркально
его
отражаем
<<другой
Потом сдвигаем <<ПеревернутыЙ>> треугольник
cl
тре
тре
стороноЙ>>.
так, чтобы
совместить его вершину с нужной вершиной треугольника
D.
Наконец, поворачиваем треугольник С1 вокруг этой вер-
122
Рис.
9.14
ГЛАВА З
в
Р ис.
9.15
D
9.16
Рис.
Рис.
9.17
шины и добиваемся полного совпадения его с треугольни
ком
D.
т огда,
Получается, что две фигуры на плоскости равны
когда
движений
одну
из
наложить
них
на
можно
другую
с
помощью
фигуру
различных
так,
чтобы
они
полностью совпали. Итак:
Геометрические
если
их
можно
фигуры
~
называются
совместить
друг
с
равными,
другом
так,
что
бы они совпали каждой своей точкой.
Понятно, что если фигуру перемещают как единое
целое, то размеры фигуры и взаимное расположение её ча
Расстояния
между
стей остаются теми же. При движении у фигуры не могут
ственными
и змениться
фигур равны
длины
сторон,
величины
углов,
не
меняются
расстояния между любыми её вершинами. Если мы с по
мощью
движения
совместятся
друг
полностью
с
другом
совместим
все
их
две
фигуры,
соответствующие
то
Рис.
точками
соответ
равных
9.18
сторо
ны, углы, и вообще каждая точка одной фигуры совпадёт
с пекоторой точкой другой фигуры.
Представим себе,
фигуры. Те их точки,
мы
будем
что
мы
совместили две равные
которые при этом будут совпадать,
называть
соответственными
(рис.
9.18).
Соответственные вершины многоугольников часто обозна
чают одной буквой,
но с разными индексами.
Например,
А 1 и А 2 , В 1 и В 2 • Понятно, что расстояния между всеми
п арами
соответственных
точек
в
равных
фигурах
тоже
будут равны, например А 1 В 1 = А 2 В 2 •
Каждому
быть
одинаковой
понятно,
длины.
что
Но
равные
верно ли,
отрезки
что
должны
одинаковые
по длине отрезки можно совместить друг с другом? В гео
метрии приним~ют без доказательства, что это так. То есть
Равные по длине отрезки равны и как геометрические фи
Отрезки
гуры. Аналогично считают равными два угла с одинаковой
углы АВС и
гр адусной мерой (рис.
§9
9.19).
РАВНЫЕ ФИГУРЫ
Рис.
АВ
и
DEK
СО
равны,
равны
9.19
123
1
- t - - г-
.L_
1
............
1
-
1-
r-
1--1 - -
-
-~-
-=~-]
v l~
Vt-
v(tт
/
~
""" ;~---
~J
'--
v
Vl
~v
r-
1
_,_
1-
-
11
1
1
1
/
""
1
-- ._J.
' - -, -
-1-
1
---
..
-
...........
9.20
0
1
2
...............
.............
ВОПРОСЫ
Какие геометрические фигуры называют равными?
Какие вы можете привести примеры равных пред
Обязательно
ли
равны
ли
два
прямоугольника,
-~ -
--· ~ -
J
..........
.............
Приведите
пример
двух
-
=
l/
r--
-
-j~ -- -.....
~
-
--
1
1
разных
фигур,
площади
которых равны.
5
r---....
r-- ~-
если у них равны диагонали?
4
-- r--1--.... .............
1
r--...
·-- ·
метов из окружающего мира?
3
-
9.21
_j
- -
v
v
~v~
1 1~
r-
-
-
1
б)
Рис.
-
Рис.
>-
-V-
1""'-
а)
Рис .
v
/
~
1--r-
-r-
1
9.22
Можно ли из двух равных фигур сложить различ
ные фигуры?
6
От двух равных фигур отрезали по равной фигуре.
1
Верно ли, что оставшиеся фигуры будут обязатель
но равны?
7
Равны
ли
две
любые
прямые
или
два луча
как
1-
геометрические фигуры?
·- - -·--
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
* i::r i::r
9.20
-
..........
1
1
Рис.
9.1
~
1
9.23
Посмотрите, как одну из фигур на рисунке
разрезали на две равные части.
Попробуйте
разрезать на две равные части остальные фигуры
на этом
* * i::r
резать
рисунке.
Какую из этих фигур вы могли бы раз
на две
равные части
разными
- -
способами?
Способы считаются разными, если части, получен
9.2
ные от разных способов, не равны друг другу.
-- r-- - -
* i::ri::r
1
ческие
124
На рисунке
фигуры.
9.21,
а показаны три геометри
Дорисуйте
контуры
на
рисунке
Рис.
1
1
1--
1
9.24
ГЛАВА З
9.21,
б так, чтобы на нём получились точно такие
же фигуры.
9.3
*Y:IY:I
сунке
:Каждую
9.22,
**У:?
р ис. 9.25
из
фигур,
изображённых
на
ри
разрежьте на две равные части.
:Какие из данных фигур можно
на две равные части двумя разными
Перерисуйте
найденные
фигуры
в
разрезать
способами?
свою
тетрадь
и покажите эти способы.
,·-
-
-
а)
1---
1
9.5
1
9.6
~
"""~
-~
rr
изображён
9.23
шестиугольника;
Разрежьте
*Y:IY:I
б)
восьмиуголь
пятиугольника;
показанный
на
на четыре равные части.
*Y:IY:I
На
рисунке
тетрамино,
f\~
по игре
которые
показаны
9.25
могут
быть
в)
десяти
рисунке
9.24
пять
фигурок
вам
знакомы
<<Тетрис>>. :Каждая такая фигурка состоит
из четырёх рав:Еtых квадратиков,
-
.,
**У:?
причем соседние
квадратики всегда имеют общую сторону. Сложите
1-
из
фигур тетрамино
9.26.
-f--
поле,
показанное на рисунке
При заполнении поля каждую фигуру из на
бора используйте только один раз.
1
Р ис.
рисунке
шестиугольник на две равные части;
9.26
1
-
На
угольника.
=~:t
-
_j=
**У:?
ник. Разрежьте его на два равных
1-- :-
1
Р ис.
9.4
·t--~
-~
1
9.27
9.7
**У:?
Можно ли сделать по указанному правилу
ещё одну фигурку из четырёх равных квадратиков
так, чтобы она не была равна ни одной из фигурок
набора?
9.8
**У:?
ке
9.9
Разрежьте
* **
Символ
состоит
Р ис.
из
которые
9.28
центры
''
(рис.
'
на две
\
\
\
1
1
1
1
1
1
1
1
1
''
'
....
.._.
___ _
..,."."./
показанную
китайской
двух равных
вместе
их граница
,----- ....
фигуру,
на рисун
на две равные части.
9.27,
философии
фигур
составляют
один
образована двумя
которых
9.28).
равные
находятся
Разрежьте
фигуры.
(чёрной
круг.
белой),
Общая
полуокружностями,
на
диаметре
белую
:Как
Инь-Ян
и
одну
часть
из
круга
Инь-Ян
них можно
их совместить с другой?
9.10
***
Фигура на рисунке 9.29 состоит из четырёх
равных отрезков и дуги окружности. Углы между
ее соседними отрезками равны
90°.
Разрежьте дан
ную фигуру на две равные части. :Как одну из них
Р ис. 9.29
§9
РАВНЫЕ ФИГУРЫ
можно совместить с другой?
125
(J) ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Мы с вами определили равные геометрические фигуры как
те,
которые
можно
полностью
совместить
друг
с
другом.
Причём все пары точек, которые совпадут при этом совме
щении,
мы
назвали
соответственными.
Но
что
означает
само понятие совмещение, как его понимать?
Если какая-то фигура движется как твёрдый пред
мет и сохраняет свою форму, то расстояния между любы
ми её точками не меняются. Напротив, мягкий кусок пла
стилина
можно
легко
изменяет
скатать
в
лепить вазу (рис.
ми
такого
форму:
шарик,
сделанный
комка
глины
из
можно
него
куб
даже
вы
Значит, и расстояния между точка
9.30).
предмета,
из
сделанного
из
мягкого
материала,
можно изменять. С твёрдым предметом такого сделать не
Рис.
9.30
Рис.
9.31
Рис.
9.32
льзя. При движении любой фигуры каждая её точка дви
жется вместе с фигурой и тоже меняет своё положение на
плоскости. Пусть фигура, как твёрдый предмет, из одного
места
плоскости
была
перемещена в
другое.
Математики
говорят, что тогда каждой точке А 1 первой фигуры будет
соответствовать точка А 2 второй фигуры, точке В 1 В 2 и т. д. (рис.
точка
Если при этом расстояние между точ
9.31).
ками А 1 и В 1 первой фигуры всегда будет равно расстоя
нию между точками А 2 и В 2 второй фигуры, то такое соот
ветствие между точками двух фигур называют изометрией 1 ,
а
способ
совмещения
этих
фигур
движением.
Таким образом:
Одна фигура переходит в другую движением, если
можно
найти
этих фигур,
соответствие
между
всеми
точками
которое не меняет расстояний между
ними.
Итак,
если
из
фигуры
в
существует
них
в
геометрии
движение,
называют
которое
равными,
переводит
одну
другую.
Здесь необходимо добавить следующее. Две равные
фигуры не всегда возможно совместить физически, как ма
териальные
предметы.
Наверняка вы
обратили
внимание
на то, что при совмещении фигур на плоскости иногда нам
приходилось их переворачивать <<дРУ.ГОЙ стороноЙ>>. Сделать
это можно, только выйдя из самой плоскости в трёхмерное
пространство.
А как физически совместить правую и левую две
ри автомобиля, правый и левый ботинки, да и просто обе
ваши руки (рис.
9.32)?
равными друг другу?
мает,
126
что
правая
и
Или всё же их не нужно считать
Каждый человек интуитивно пони
левая
двери
автомобиля,
обе
наши
ГЛАВА З
Зеркальная симметрия
Мишель Шаль
Рис.
Рис.
9.34
9.33
руки, да и ботинки на ногах равны между собой как фигу
ры.
И равны они потому, что в этих фигурах одинаковы
расстояния
(рис.
9.33).
между
всеми
парами
соответственных
точек
Это и называется изометрией. Для физического
совмещения
правой
и
левой
перчаток
одну
из
них
при
шлось бы вывернуть наизнанку. А для совмещения тех; же
дверей автомобиля пришлось бы выйти в следующее изме
рение
пространства.
Равные
фигуры
в
трёхмерном
про
Параллельный перенос
странстве не обязательно совмещать физически. Это можно
сделать мысленно или абстрактно.
Подойдите к любому плоскому зеркалу: оно меняет
вашу правую руку на левую и то же самое делает с батин
ками.
Зеркало даёт нам представление о симметрии про
странства,
поэтому
данную
симметрию
и
называют
зеркальной. С помощью симметрии мы также можем мыс
ленно
совмещать
равные
предметы,
ведь
она
не
может
из
менить расстояния между точками фигур, а только меняет
эти точки местами.
Интересно, что всех видов движений не так много,
как
это
кажется.
угольника
на
Когда
рис.
9.17,
мы
с
нам
вами
для
совмещали
этого
два тре
поиадабилось
зеркально отразить один из них (перевернуть его
<<другой
стороноЙ>>), потом сдвинуть и повернуть. На языке геомет
Поворот вокруг точки
рии эти движения называются осевой симметрией, парал
лельным переносом и поворотом вокруг точки. Можно до
казать,
что
любое
представляется
как
перемещение
фигуры
последовательность
на
этих
плоскости
трёх
движе
ний.
Данная теорема была доказана в
ским геометром Мишелем Шалем (рис.
1830
9.34) и
г. француз
Виды
движений
фигур
на
плоскости
Рис.
9.35
называется
теорема Шаля.
1
В переводе с древнегреческого языка слово «изометрия» означает «равноразмерность».
§9
РАВНЫЕ ФИГУРЫ
127
§10
Признаки равенства
треугольников
Что такое признаки равенства?
В предыдущем параграфе мы с вами говорили о равенстве
геометрических фигур. Давайте вспомним, что геометриче
ские фигуры равны,
если можно движением одну из них
полностью совместить с другой. Но как применять это пра
вило на практике? Неужели каждый раз придётся их на
кладывать друг на друга и пытаться физически совмещать!
Хорошо
ещё,
если
фигуры
можно
вырезать
из
а как быть, если они нарисованы на стене (рис.
j
Рис.
10.1
бумаги,
10.1)
или
просто очень больших размеров? Посмотрите на футб оль
ное поле: две его половины должны быть абсолютно одина
ковыми, но как бы вы их совместили (рис.
это
можно
только
мысленно,
проведя
10.2)?
рассуждение
Сделать
или
до
казательство.
Возьмём другой пример. Перед тем как поставить
в
доме
новую
дверь,
замерщик
дверного проёма (рис.
нужную дверь,
же и
10.3),
измеряет
высоту
и
шири ну
потом по ним изготавливают
и тогда уже её ставят на своё место. Так
портной снимает нужные
мерки с человека,
чтобы
изготовить одежду по его фигуре. То есть на практике все
гда берут какие-то характеристики предмета,
Рис.
10.2
по которым
однозначно определяют его размеры и форму. Набор таких
параметров в геометрии называется признаком фигуры.
Впрочем,
<<Усы,
лапы
признаки
и хвост
-
есть
не
только
в
вот мои документы!>>
геометрии.
-
говорил
персонаж известного мультфильма кот Матроскин. В био
логии
тоже
существуют
а в медицине
Под
-
признаки
растений
и
животных,
признаки заболеваний.
признаком
в
биологии
понимают
набор
ка
ких-то качеств или особых свойств, по которым однозначно
можно
определить
конкретный
вид
живых
организмов.
Подумайте, как бы вы сформулировали, например, призна
ки слона (рис.
10.4)?
А знаете ли вы самый известный при
знак класса насекомых (рис.
10.5)?
Как бы вы его сформу
лировали, глядя на приведённый рисунок? Какие вы знаете
Рис.
128
10.3
признаки простуды? Обычно их называют симптомами.
глдвдз
Рис.
Рис.
10.4
10.5
Равенство двух многоугольников
Вернёмся к признакам равенства фигур.
сформулировать
их
довольно
сложно.
В
общем
Однако
для
случае
много
угольников существует простое правило. Вы знаете, что два
многоугольника равны, если их можно совместить. Но тогда
у них
должны
их
называют
и
обратное:
совпасть
если
все
каждой
многоугольника
стороны
соответственными.
стороне
соответствуют
и
все
углы
-
потому
Оказывается,
и
каждому
равные
им
верно
углу
и
одного
сторона
и
угол
другого, то такие многоугольники можно будет совместить.
Мы
сформулируем
это
правило
как
признак
равенства
1
Является ли наличие иго
лок и
шишек на дереве при
знаком ёлки?
2
Назовите
приметы
признаки
или
грозы.
многоугольников, но пока примем его без доказательства.
J
Признак равенства многоугольников
Если
их
у двух
многоугольников
соответственные
равны
стороны
то такие многоугольники
и
все
углы,
равны.
Рис.
10.6
С помощью данного признака легко проверить ра
в енство
сунке
оранжевых
10. 7.
или
равенство
красных
фигур
на ри
В самом деле, на клетчатой бумаге без линейки
и транспортира можно найти у каждой пары этих фигур
все их равные соответствующие стороны, а также убедить
ся
в
равенстве
углов
между
этими
сторонами
(сделайте
это!). В то же время для проверки равенства фиолетовых
треугольников
по
хватает данных.
нашему
признаку
на
этом
рисунке
не
Без измерительных инструментов на нём
мы не можем утверждать, что у фиолетовых треугольников
Р авны их острые углы и стороны,
соединяющие вершины
этих углов. Если бы мы могли вырезать данные треуголь-
§10
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рис.
10.7
129
ники из бумаги и совместить, мы убедились бы в их ра~
венстве. Но делать это не обязательно. Достаточно прове~
рить равенство лишь некоторых элементов у двух треуголь~
ников, и тогда остальные их элементы тоже будут равны.
Для
этого
нам
и
понадобятся
признаки
равенства
тре~
угольников, которые мы сформулируем чуть позже.
Какие элементы определяют
треугольник?
в
Если у двух треугольников равны все их соответствующие
стороны и углы, то по нашему признаку (пока не доказан~
ному!) такие треугольники должны быть равны. Три старо~
ны
А
и
(рис.
три
10.8).
угла
-
это
шесть
элементов
треугольни ка
Можно ли обойтись меньшим числом соответ~
ственно равных элементов, чтобы проверить равенство тре~
угольников?
Сколько
вообще элементов
могут однозначно
определить треугольник?
Вначале попробуем проверить,
не будет ли дос та~
точно двух равных элементов. Это могут быть две стороны,
два угла или
один угол
и
одна сторона треугольника.
Зафиксируем длины двух его сторон и будем ме~
нять угол между ними. Как можно видеть на рисунке
мы
можем
получить
сколько
угодно
различных
10.9,
тре~
угольников с этими элементами. Значит, только две старо~
10.8
Рис.
легко
ны
Теперь
зафиксируем
одну сторону треугольника и один его угол,
ещё
не
определяют треугольник.
прилежащи й
к этой стороне. Если мы будем изменять вторую сторону
треугольника
много
Две стороны
и
угол
не оп
(рис.
то
10.10},
треугольников
опять
получим
бесконечно
с данными элементами.
Одна сторона и угол не оп
ределяют треугольник
ределяют треугольник
Рис.
Рис.
10.9
\
,,
\
,
,,
t~-'-J
\
t~
Два
угла
треугольник
Рис.
130
10.11
10.10
,,
,
__________ _
Один угол
не
определяют
ная
от
и
него
противополож
сторона
не
оп
ределяют треугольник
Рис.
10.12
глдвд з
Так же легко показать, что только два угла не мо
гут
однозначно
е сли
их
задать
два
вершинами
определить
его
угла
(рис.
и
10.11),
треугольник.
начать
то
В
менять
можем
самом
сторону
получить
деле,
между
сколько
у годно разных треугольников.
Аналогично легко проверить, что только одна сто
рона треугольника и
один
лежащий
против
неё
:м:огут однозначно определить треугольник (рис.
угол
не
10.12).
® УПРАЖНЕНИЯ
Покажите,
1
что
угольников,
у
существуют
которых
сколько
неизменны
угодно
одна
и противоположный от неё угол (рис.
Итак,
только
двух
элементов
тре
сторона
10.12).
недостаточно
для
определения треугольника. Возьмём теперь три его элемен
та. Пусть это будут две стороны и один угол треугольника,
противоположный одной из этих сторон (рис.
10.13).
Ока
зывается, набор таких элементов опять не может однознач
но определить треугольник. Посмотрите на рисунок н).14:
на нём показаны различные треугольники АВС 1 и АВС 2 ,
у которых совпадает сторона АВ, есть один и тот же угол
А , который лежит против равных сторон ВС 1 и ВС 2 •
Д ва
разных
и меют
и угол,
две
треугольника
равные
стороны
который лежит про
ти в ОДНОЙ ИЗ НИХ
Р ис .
10.13
Рис.
10.14
Первый признак равенства
''
треугольников
''
''
''
Зафиксируем теперь две стороны треугольника и угол меж
ду ними (рис.
становится
10.15).
Интуитивно такая конструкция сразу
<<жёсткоЙ>>, то есть уже не может менять свою
форму. Что это значит? Как раз то, что больше нет двух
Разных треугольников с данными элементами. То есть та-
§10
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Фиксируем
и угол
Рис.
''
''
'
две
стороны
между ними
10.15
131
кой
набор
равных
элементов
однозначно
определяет
тре
угольник, а поэтому будет признаком их равенства! Прав
да, данное рассуждение ещё не является доказательством.
Чтобы оно им стало, нужно строго показать, что два тре
угольника с таким набором одинаковых элементов можно
совместить движением.
Итак, мы готовы сформулировать первый признак
равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников
Если
в
две
стороны
одном
равны
и
угол
треугольнике
двум
сторонам
и
в другом треугольнике,
ники
между
ними
соответственно
углу
между
ними
то такие треуголь
равны.
Треугольники равны по первому призна ку
Рис.
10.16
Если мы докажем этот признак, то без измеритель
ных инструментов сможем утверждать,
что у фиолетовых
треугольников на клетчатой бумаге (рис.
соответствующие
дут
равны по
Как
элементы.
первому
же
ными
и
доказать
строго
и
10.7)
равны все
треугольники
бу
первый
признак
равенства
тре
необходимо провести общее рассу
показать,
сторонами
такие
признаку равенства треугольников.
угольников? Очевидно,
ждение
Ведь
что
углом
треугольники
между
ними
с
двумя
можно
рав
всегда
совместить друг с другом. Давайте вспомним, что геомет
рические
фигуры
считаются
движение плоскости,
которое
равными,
если
существует
переводит одну из них в дру
гую. Напомним, что движение сохраняет расстояния меж
ду всеми точками фигуры,
а сама фигура при этом пере
мещается как единое целое.
Из опыта мы знаем, что треугольник можно пере
мещать
его
Это
ся
на
плоскости
как угодно,
<<другой стороноЙ>>,
-
очевидно,
но
можно
даже
перевернуть
как будто он вырезан из бумаги.
все-таки как это доказать?
Оказывает
никак не докажешь. Это еще одна аксиома, которую
называют аксиомой движения плоскости. Обычно её фор
мулируют так:
132
ГЛАВА З
Аксиома движения
Любой
треугольник
можно
его
вершина
вторая
будет
совпадёт
лежать
с
на
А
движением
припожить к данному лучу так,
что первая
началом
луче,
а
луча,
третья
с
окажется в нужной полуплоскости от пря
мой, на которой лежит луч.
в
А
Прикладываем
треугольник
к
лучу
нуж
ным нам образом
Рис.
10.17
Теперь мы с вами готовы доказать
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть у нас есть два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 , у кото
рых углы А и А 1 равны, АВ
=
А 1 В 1 и АС
=
А 1 С 1 • Попро
буем мысленно совместить эти треугольники. Вначале при
ложим треугольник А 1 В 1 С 1 к лучу АВ так, чтобы вершина
А 1 совпадала с началом луча
жала на луче,
-
точкой А, вершина В 1 ле
а вершина С 1 оказалась по ту же сторону
от прямой АВ, что и вершина С (рис.
10.19).
Сделать так
можно по аксиоме движения плоскости. Так как по усло
вию АВ =
(рис.
А 1 В 1 , то вершины В и В 1 обязательно совпадут
10.20),
отложить
иначе от точки А на луче АВ можно было бы
отрезок
данной
длины
двумя
способами.
Это
запрещено аксиомой откладывания отрезков.
Р ис. 10.18
§10
Рис.
10.19
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рис.
10.20
133
По условию углы ВАС и В 1 А 1 С 1 равны и отложе
ны от луча АВ в одну полуплоскость,
совпадёт с лучом АС.
Иначе нарушалась бы аксиома от
кладывания углов (рис.
Значит,
АС
точка
10.20).
С1
лежит
на
луче АС.
Поскольку
А 1 С 1 , то точки С 1 и С должны совпасть по аксиоме
=
откладывания
разом,
нам
поэтому луч А 1 С 1
мы
отрезков
смогли
на
луче
совместить
треугольников,
а
при
(рис.
все
этом,
Таким
10.21).
три
вершины
очевидно,
об
данных
совместятся
Рис.
10.21
все
их стороны и углы. Значит, эти треугольники равны.
Что и требовалось доказать.
а)
Построение треугольника по двум
сторонам
а
и углу между ними
ь
Возьмём теперь лист бумаги и нарисуем на нём любые два
Даны
отрезка и один угол. Пусть длины этих отрезков равны а
треугольника
и Ь, а величина угла равна а (рис.
перь нарисовать
две
стороны
(или построить)
равнялись
бы
10.22,
этим
между ними оказался бы равен а.
пользовать
древние
только
линейку
и
стороны
и
у которого
отрезкам,
а
угол
Мы с вами будем ис
циркуль,
как
это
делали
греки.
Поставим ножку циркуля в точку
О
-
вершину
данного нам угла и проведём окружность с радиусом, рав
А
ным а. Точку пересечения этой окружности с одной сторо
ной
у гол
а). Попробуем те
треугольник,
двум
две
угла
обозначим
буквой
А.
окружность с центром в точке
Аналогично
О и радиусом,
проведём
равным
Ь.
Точку её пересечения со второй стороной угла обозначим
буквой В. Так циркулем откладывают нужные отрезки на
данных лучах. Теперь с помощью линейки соединим точки
А и В отрезком. Треугольник ОАВ построен
нужные
две
(рис.
10.22,
ко
одному
стороны
и
нужный
угол
-
он имеет
между
Построение треугольника п о
двум сторонам
и углу меж ду
ними
ними
б).
Как видно, сделанное построение привело нас толь
к
треугольнику
при
условии,
что
данные
нам
отрезки а и Ь мы откладывали на соответствующих сторо
нах нашего угла. А если отложить эти отрезки на других
сторонах угла,
получим
самом деле нет.
показаны
два
ли
мы
другой
Посмотрите на рисунок
построенных
таким
треугольник?
10.22,
образом
в:
На
на нём
треугольника
АОВ и А 1 0В 1 • Но ведь они и должны быть равны как раз
по первому признаку равенства треугольников!
Замечание: важно, что известный угол лежит меж
ду
данными
нам
сторонами.
Если
бы
он
находился
не
между ними, мы смогли бы построить два различных тре
Треугольники
ОАВ
и
ОА 1 81
угольника с этими элементами. Как это сделать, было по
равны по первому признаку
казана на рисунке
Рис.
134
10.14.
10.22
ГЛАВА З
второй признак равенства
треугольников
Давайте зафиксируем одну сторону треугольника и два его
Фиксируем
угла, прилежащих к этой стороне (рис.
треугольника
10.23).
Попробуем
теп ерь начертить треугольник с такими элементами.
Возьмём
данную
нам
сторону
треугольника
одну
и
два
сторону
приле
жащих к ней угла
Рис.
10.23
Рис.
10.24
и транспортиром из её концов в одну полуплоскость про
ведём два луча так, чтобы они образовывали с этой сторо
ной нужные нам углы (рис.
10.24).
Полученные лучи пересекутся в единственной точ
ке. Это и будет третья вершина треугольника. То есть тре
угольник можно однозначно определить по этим трём его
элементам.
Это даёт нам
Второй признак равенства треугольников
Если
угла
но
сторона
в
одном
равны
и
два
прилежащих
треугольнике
стороне
и
к
ней
соответствен
двум
прилежащим
к ней углам в другом треугольнике, то та
кие треугольники
равны.
Треугольники равны по второму признаку
Рис.
10.25
ДО КАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть мы имеем треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 , у которых
угол А
равен
углу А 1 ,
сторона АВ
равна
стороне А 1 В 1
и углы В и В 1 равны. Попробуем совместить эти треуголь
ники. Приложим треугольник А 1 В 1 С 1 к лучу АВ так, что
бы вершина А 1 совпала с точкой А, вершина В 1 лежала на
луче, а вершина С 1 оказалась с той же стороны от прямой
АВ, что и вершина С (рис.
10.26,
а). Сделать это можно по
аксиоме движения плоскости.
Так как по условию АВ =
А 1 В 1 , то точки В 1 и В
совпадут по аксиоме откладывания отрезков. Так как угол
В 1А 1 С 1 равен углу ВАС, то по аксиоме откладывания уг
лов луч А 1 С 1 совпадёт с лучом АС (рис.
гично луч В 1 С 1 совпадёт с лучом ВС.
10.26,
б). Анало
Но тогда совпадут
также точки С и С 1 , поскольку лучи АС и ВС пересекают-
§10
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
А=А1
Рис.
10.26
135
ел только в одной точке. Значит, совместятся все три вер
шины
треугольников
(рис.
То
10.27).
есть
треугольники
АВС и А 1 В 1 С 1 равны.
Что и требовалось доказать.
~ УПРАЖНЕНИЯ
2
Рис.
Найдите на рисунке
10.28
10.27
пары равных треуголь
ников и докажите их равенство. На чертежах рав
ные отрезки
а равные
обозначены одинаковыми штрихами,
углы
Указание:
-
одинаковыми дугами.
у двух треугольников
рисунках может быть
щий угол.
у
В
таких
(или
общая
этих случаях логично считают,
треугольников
углы)
на приведённых
сторона или же
одинаковы,
совпадающие
так
как
что
стороны
каждый
или каждый угол равен сам себе.
об
отрезок
Общая сторона
у двух треугольников обозначается значком
б)
а)
Е
А
с
в
с
D
А
в
D
----------------------------------------4--------------------------------------l
в)
г)
А
в
в
N
Рис.
136
А
в
10.28
ГЛАВА З
3
Соедините
10.29
отрезками
нужные
точки
на
рисунке
и найдите на них равные треугольники. На
рисунке
ковыми
равные
10.29
штрихами,
отрезки
равные
обозначены
углы
одина-
одинаковыми
дугами.
б)
а)
А
н
А
в
Е
D
G
F
D
D
г)
в)
А
и
в
в
т
Е
в
с
Е
Р ис .
х
10.29
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
* t1й
A BCD
ПРИМЕР
BD
четырехугольника
образует равные углы с его сторонами АВ
Известно,
ВС
Диагональ
10.1
что АВ
= CD
(рис.
10.30,
а)
а).
и
CD.
Докажите,
что
= AD.
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим треугольники
У них есть по две равные стороны: АВ и
условию, а сторона
н ыми
сторонами в
ABD и CBD.
CD равны по
общая. Между соответственно рав
BD
б)
этих треугольниках лежат равные углы
в
с
A BD и CDB (рис. 10.30, б). Значит, треугольники ABD
и CBD равны по первому признаку. Так как стороны ВС
и AD в этих треугольниках соответственные, то они рав
ны. Значит, ВС = AD.
Что и требовалось доказать.
* t1i
ПРИМЕР 10.2
В треугольнике АВС равны стороны
АВ и ВС. Точки М и К
те, что АК =
§10
СМ (рис.
- середины
10.31, а).
этих сторон. Докажи
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рис.
10.30
137
а)
РЕШЕНИЕ:
в
как
половины
на рис.
Отрезки
равных
АМ,
ВМ,
отрезков
ВК
АВ
и
и
СК
ВС.
равньr
Поэтому
б отмечены одинаковыми штрихами. Теnерь
10.31,
рассмотрим треугольники АВК и СВМ. У них равны
две стороны: АВ =
ВС, ВК =
no
ВМ. Кроме того, равны угльr
АВК и СВМ между этими сторонами, так как они совnа
дают с углом АВС (он общий для двух треугольников).
Значит, треугольники АВК и СВМ равны по пер
А
с
вому признаку. Отрезки АК и СМ
соответственные сто
-
роны этих треугольников (они лежат против общего угла
АВС). Следовательно, АК =
в
б)
СМ.
Что и требовалось доказать.
**~
ПРИМЕР 10.3 Два квадрата имеют общую вершину.
Докажите, что отрезки АВ и
РЕШЕНИЕ:
точкой О (рис.
CD
Обозначим
10.32,
равны (рис.
общую
а).
10.32,
вершину
квадратов
б).
Все стороны у квадрата равны по определению, а
А
Рис.
с
углы прямые. Пусть величина угла СОВ между сторонами
квадратов равна а. Рассмотрим треугольники АОВ и
У них равны по две стороны: АО
10.31
того, углы АОВ и
COD
равны
СО, ВО
=
90° +
а.
Значит, треугольники АОВ и
му признаку.
а)
D
поэтому АВ
Стороны АВ
и
CD
COD.
Кр оме
= DO.
COD
равны по перво
у них соответственные,
= CD.
Что и требовалось доказать.
0
с
ВОПРОСЫ
1
Какой вы знаете признак равенства многоугольни
2
3
Какие вы знаете признаки в биологии и медицине?
ков?
б)
D
Должны
ли
треугольники
быть
равными,
если
у них есть два равных угла?
4
Как построить треугольник по двум его сторонам
и углу между ними? Сколько разных треугольни
ков можно построить с этими элементами?
5
с
Рис .
Как построить треугольник по двум его стор онам
и углу,
лежащему против одной из них?
разных
треугольников
можно
построить
Сколько
с
этими
элементами?
6
10.32
Две стороны и угол между ними в одном треуголь
нике
соответственно
равны
двум
сторонам
и
углу
между ними в другом. Верно ли, что у этих тре
угольников равны и другие углы?
7
Два угла и одна сторона в одном треугольнике рав
ны двум углам и одной стороне другого. Верно ли,
что такие треугольники обязательно равны?
138
глдвдз
в
-\
- \. """
- \ /
- .Lr\
/
1
"'-...
-
/
/_,
1
р ис.
lA
-
-~
\
1
i"'
=--L"г
-
1
\
\ ./
"'"""'
V-r - f- -
10.33
с
\в
:--......
1
1
1
-------j_~
D
Рис.
с
А
J
1
Рис.
10.34
10.35
Рис.
10.36
с
в
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
D
10.1
* ~л
Сколько пар равных треугольников на ри
сунке
10.33?
По
какому
признаку
можно
утвер
ждать, что они равны?
10.2
Рис.
* ·
На
АВ
CD
~
и
клетчатой
так,
Докажите,
что
как
они
бумаге
нарисовали
показано
равны
на
(все
рисунке
клетки
* .л."{'--
Все
стороны
равны
(рис.
10.35).
на
10.34.
в
бумаге
/
и
все
углы
Докажите,
что
пятиугольника
равны
все
его
диагонали.
10.4
* f::~
А
На сторонах АВ
и ВС треугольника АВС
взяли точки М и К так, что АМ =
(рис.
10.5
10.36).
'{:;~
Докажите, что АК =
в
точке
АО =
вен
10.6
OD, ВО =
углу BCD.
*л
делит
СК, ВМ =
О
(рис.
ABCD
пере-
Известно,
10.37).
что
BAD
и
BCD
диагональ АС
ABCD
пополам
(рис.
10.38).
Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
10.7
**i::l
L BAC
В
=
10.38
ВК
ОС. Докажите, что угол АВС ра
В четырёхугольнике
углы
Рис.
D
СМ.
Диагонали четырёхугольника
секаются
10.37
отрезки
считаем квадратами).
10.3
А
А
Рис.
D
10.39
в
четырёхугольнике
LBDC, LCAD
CD.
=
ABCD известно, что
LADB (рис. 10.39). Дока
жите, что АВ =
10.8
* {::{ {::{
На сторонах угла с вершиной В отложили
равные отрезки ВА и ВС. Внутри угла АВС взяли
точки Е и К так, что угол АВК равен углу СВЕ,
а угол ВАЕ равен углу ВСК (рис.
те, что ВЕ =
§10
10.40).
ВК.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Докажи
Рис.
10.40
139
в
.......-
.......-v
\
\
.......
с
12
3
9
\
А \
6
Рис .
10.41
10.9
Рис.
**{::]
равен
10.10
* **
из
10.11
Докажите, что угол АВС на рисунке
* <C'I'{.?.
10.43
10.41
90°.
Разрежьте квадрат на две неравные части,
которых
(рис.
Рис .
10.42
можно
потом
сложить
[
·~
------
треугольник
~-,
10.42).
,
,,
,,
Докажите, что расстояние между концами
часовой и минутной стрелок на механических ча
сах в
* * {: ]
16:00
16:00
В
и
какой
* * {: ]
первый
момент
времени
Рис.
10.44
Рис.
10.45
после
расстояние между концами стрелок будет та
ким же (рис.
10.12
одинаковы.
20:00
10.43)?
У двух выпуклых четырёхугольников соот
ветственно
равны
три
этими сторонами (рис.
стороны
10.44).
и
два
угла
между
Докажите, что у них
равны и четвёртые стороны.
10.13
* **
А
можете
ли
вы
привести
пример
двух
не равных друг другу невыпуклых четырёхуголь
ников с тем же условием?
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Как же доказать признак равенства многоугольников, о ко
тором мы с вами говорили в начале этого параграфа? Оче
видно, для этого нам необходимо мысленно совместить эти
многоугольники так, чтобы они совпали каждой своей точ
кой (рис.
10.45).
Мы сделаем это, используя признаки ра
венства треугольников.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО :
Пусть все соответствующие стороны у двух многоугольни
ков
140
равны
и
соответственно
равны
все
углы
между
этими
глдвдз
D
D=D 1
С=С 1
El
в
В=В 1
С=С 1
El
В=В 1
А=А 1
Рис.
Рис.
10.46
А=А 1
Рис.
10.47
10.48
сторонами. Давайте возьмём два их равных угла и обозна
чим их буквами В и В 1 (рис.
вершин
должны
наших
многоугольников.
вс
и
В1С1.
выходить
По
По условию из этих
10.46).
соответственно
Обозначим
условию
АВ
равные
их
А1В1
=
АВ
и
стороны
и
А 1В1,
=
В1С1.
вс
Тогда треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по первому при
знаку,
поскольку
ними.
Но
это
равны
значит,
две
что
их
стороны
такие
и
угол
треугольники
между
можно
совместить.
Давайте
расположим
два
наших
многоугольника
.----------·
на плоскости так, чтобы треугольник АВ С совместился с
треугольником А 1 В 1 С 1 (рис.
ли
при
этом
другие
10.47).
вершины
и
Посмотрим, совместятся
стороны
этих
многоуголь
ников. По условию два угла при вершинах С и С 1 наших
•
многоугольников равны. От луча ВС эти углы отложены в
одну полуплоскость, поэтому лучи
CD
и
C1D 1
·---------·
должны сов
1
пасть по аксиоме откладывания углов. Кроме того, сторо
ны
CD
D1
должна совпасть с вершиной
и С 1 D 1 у многоугольников равны, поэтому вершина
ния отрезков (рис.
10.48).
D
1
1
J
по аксиоме откладыва
Таким образом, мы видим, что
совмещение сторон треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 привело к
совмещению
сторон
CD
и
С1 D 1
наших
многоугольников.
Точно так же легко доказать, что совместятся стороны
и
D 1E 1
многоугольников,
DE
а потом все их вершины и все
стороны. То есть эти многоугольники будут равны.
Что и требовалось доказать.
Замечание:
для
того
чтобы
совместить
два
тре
угольника, достаточно совместить три их вершины. Оказы
вается, что для многоугольников это правило работает не
всегда. Посмотрите на рисунок
дв а
различных
совместить
пятиугольника,
всеми
пятью
10.49:
на нём изображены
которые
вершинами.
мы
Как
легко
вам
можем
кажется,
в чём здесь дело? Попробуйте нарисовать два аналогичных
четырёхугольника.
§1 0
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рис.
10.49
141
о
§11
е
а
симмет
"'
и
е
обе
ра
руг
и
и
Осевая симметрия
а)
Сложите обычный лист бумаги по прямой линии и про
•
ткните его иголкой (рис.
вернуть его
11.1,
на плоскость,
диться по разные
стороны
расстояниях от неё (рис.
а). Если теперь снова раз
то точки прокола будут нахо
от линии
сгиба и на равных
Такие точки назыв ают
11.1, 6).
симметричными относительно прямой.
Любой точке А, которая не лежит на данной пря
мой
l,
таким образом можно найти пару
-
симметричную
ей точку А1: для этого нужно из точки А на прямую
l
опу
стить перпендикуляр АН и продолжить полученный отре
б)
зок на свою длину. Все точки на самой прямой
l
не имеют
пары: при симметрии относительно этой прямой они сов
-
падают сами с
-
собой
(рис.
11.1,
в).
осью симметрии, а саму симметрию
относительно прямой
l
Прямую
-
обозначают так:
l
назыв ают
осевой. Симметрию
Sz.
Осевую симметрию можно встретить в живой при
роде.
Симметричны
крылья
бабочки,
панцирь
жука или
тельце стрекозы, да и все насекомые обладают явной осью
симметрии (рис.
Точки прокола находятся на
равных
расстояниях
от
сги
ба бумаги
11.2).
В то же время листья деревьев обычно немного не
симметричны
(рис.
11.4),
то
же
самое
можно
сказ ать
и о строении млекопитающих. Например, правая и левая
в)
Б
ж
Точки
А
и
А1
симметричны
относительно прямой
Рис.
142
11.1
1
Рис.
11.2
ГЛАВА 3
П ортреты,
п равых
л ица
составленные
и
левых
человека,
из
половин
отличаются
д руг от друга
Р ис.
11.3
А
половины лица человека всегда отличаются. Чтобы в этом
убедиться,
из
этих
нужно
симметрично
<<половинок>>
с оригиналом (рис.
матери
по
этим
до
11.3).
целого
<<дополнить>>
лица
и
каждую
потом
сравнить
Говорят, что иногда даже родные
изображениям
не
могли
узнать
своего
ребёнка.
Свойс во осевой си
е
и
Пусть точки А и А1 симметричны относительно прямой
Тогда любая
точка М на
прямой
одинаковых
расстояниях
от
АМ =
всегда
l
точек
А
находится
и
А1,
то
l.
на
есть
А1М. В таких случаях говорят, что точка М равно
удалена от точек А и А1 (рис.
Доказать
это
очень
11.5).
просто:
достаточно
Листья деревьев не облада
ют полной симметрией
Рис.
11.4
заметить,
чт о треугольники АМН и А1МН равны по первому при
знаку, ведь сторонаМНу них общая, АН= А1Н, а углы
lм
АНМ и А1НМ прямые. Отсюда и следует, что АМ = А1М.
Прямую
называют серединным перпендикуляром
l
к отрезку АА1, поскольку он проходит через сере
дину этого отрезка и образует с ним угол
90°.
Мы с вами только что доказали его главное свой
ство:
все
точки
серединного
перпендикуляра
к
отрезку
р авноудалены от концов этого отрезка.
Давайте теперь возьмём любые две точки А и В
и отразим их относительно
прямой
l.
Полученные точки
обозначим буквами А1 и В1.
Оказывается,
что
отрезок АВ
всегда
будет
равен
Для любой точки М на пря
мой 1 МА
МА 1
=
Рис.
11.5
отрезку А1В1, то есть при симметрии относительно прямой
линии отрезки сохраняют свою длину.
Это
можно
сформулировать
как
важное
свойство
ос евой симметрии.
§1 1
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
143
Свойство осевой симметрии
Осевая симметрия сохраняет длины отрез:ков.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим вначале случай,
когда точки А и В лежат в одной полуплоско
сти относительно прямой
Так как точки А
l.
и А1 симметричны относительно
отрезок
АА1 образует с этой прямой
и при
этом АМ
=
l, то
угол 90°,
А1М. Поскольку точки В и В1
также симметричны относительно прямой
то отрезок ввl тоже образует с ней угол
и ВН =
l,
90°
В1Н. Треугольники ВНМ и В1НМ
Для любых точек А и В АВ= А 1 8 1
равны по первому признаку, поэтому ВМ =
=
В1М, а угол ВМН равен углу В1МН. Обозна
чим величину этих углов буквой а. Тогда углы
АМВ и А1МВ1 равны
90° -
а. Рассмотрим
теперь треугольники АВМ и А1В1М.
Они равны по первому признаку, поскольку
АМ = А1М, ВМ
=
В1М, а угол АМВ равен
углу А1МВ1. Значит, и другие их стороны
соответственно равны, то есть АВ
=
А1В1.
Что и требовалось до:казать.
Случай, когда точки А и В лежат по разные сторо
ны от прямой
l,
разберите самостоятельно.
~ УПРАЖНЕНИЯ
1
Какая фигура должна быть следующей . в приведён
ном ряду на рисунке
2
Нарисуйте
на рисунке
фигуру,
11.7
11.6?
симметричную
показаиной
мой. Какое слово у вас получилось?
Какие фигуры нужно нарисовать на местах, отме
3
Рис.
11.6
относительно горизонтальной пря
ченных точками на рисунке
11.8,
_2D_ O_ U_ O_~-
чтобы при сим
метрии получился осмысленный текст? Как распо
Рис.
11.7
ложить ось этой симметрии?
AV'JE · V'J Olb · ЖV · Р
Рис.
144
11.8
ФNL · bPI
ОГlА • С13Е
Рис.
11.9
ГЛАВА 3
Какую
4
фигуру
нужно
поставить
вместо
точки
и как расположить прямую, чтобы при симметрии
относительно
неё
на
рисунке
11.9
получилось
осмысленное слово?
5
На рисунке
друг
11.10
другу
есть пары фигур, симметричных
относительно
некоторых
прямых.
Найдите все такие пары. Запишите в своей тетра
ди
номера
фигур
всего этих пар?
каждой
такой
пары.
Сколько
Относительно какой прямой сим
Рис.
11.10
метрична каждая пара фигур?
Повторите в своей тетради рисунок
6
те
на
нём
точки,
симметричные
11.11
' "\
и отметь
точкам
А
и
В
относительно показаиной прямой.
ра получить угол в
i"'"\
i.D
Как, складывая бумагу, без линейки и транспорти
7
!L:l.
22° 30'?
Рис.
11.11
Рис.
11.12
"'1"\ "'
Как сложить несколько раз лист бумаги, чтобы по
8
том одним прямым разрезом сделать в нём квад
ратную дыру (рис.
11.12)?
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если он
имеет две равные
стороны.
Эти равные стороны называют боковыми, а третью
сторону
-
основанием треугольника (рис.
ренные треугольники изучал
он
же
первый
доказал
11.13).
свойства
и
признаки
гольников. Грани египетских пирамид (рис.
ны античных храмов (рис.
у которых есть две
11.15) -
равные
Равнобед
ещё великий мудрец Фалес,
таких
11.14),
треу
фронто
всё это треугольники,
стороны.
Изучая
окружность,
боковая
основание
также не пройти мимо равнобедренного треугольника, ведь
он сразу возникает, если соединить две её точки с центром
(рис.
11.16).
угольник
Рис.
§11
11.14
сторона
Рис.
11.13
Как мы с вами увидим, равнобедренный тре
является
симметричной
фигурой,
Рис.
то
есть
он
11.15
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Рис.
11.16
145
имеет
ось симметрии,
при
отражении
от которой каждая
его точка переходит в точку того же треугольника.
А те
перь давайте назовём главные его свойства:
Свойства равнобедренного треугольника
1
Углы при основании равнобедренного
треугольника равны (рис.
2
11.17,
а).
а)
Биссектриса, медиана и высота,
проведённые к основанию равнобедренного
треугольника, совпадают (рис.
11.17,
б).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим треугольник АВС,
у которого равны стороны АВ и ВС. Проведём
биссектрису угла АВС между этими сторонами:
пусть она пересекает основание АС треугольника
б)
в точке М. Треугольники АВМ и СВМ равны по
первому признаку, т~к как сторона ВМ у них
общая, АВ =
ВС, а углы АВМ и СВМ равны.
Значит, углы при вершинах А и С этих треуголь-
ников должны быть равны (рис.
11.17,
в).
Первое свойство доказано.
Докажем второе свойство. Из равенства тех же
треугольников АВМ и СВМ следует, что равны
в
в)
их стороны АМ и СМ, то есть точка М является
серединой стороны АС. Значит, в треугольнике
АВС биссектриса ВМ совпадает с медианой.
Кроме того, у этих треугольников должны рав
няться углы АМВ и СМВ. Обозначим их величи
ну~уквой а. Поскольку они смежные, то сумма
таких углов равна
получаем, что а
180°,
= 90°.
то есть 2а =
180°.
Отсюда
А
м
с
м
с
То есть проведённая нами
в
биссектриса перпендикулярна основанию треуголь
ника и совпадает с его высотой (рис.
11.17,
г).
г)
Второе свойство доказано.
Обратите внимание: точки А и С оказались сим
метричны относительно прямой ВМ. Если сделать
симметрию относительно этой прямой, то вершина
В нашего треугольника останется на месте, а
А
вершины А и С перейдут друг в друга, как будто
<<поменяю'l'СЯ местами>>. При Э'l'ОМ сам треугольник
совпадёт со своим отражением относительно дан
Прямая
рии
ВМ
-
ось
симмет
треугольника
ной прямой. Значит, прямая ВМ является осью
симметрии треугольника АВС.
Рис.
146
11.17
ГЛАВА 3
симмет
ичные фигу
ы
а)
Если при симметрии относительно некоторой прямой каж
дая точка геометрической фигуры переходит в точку той
же фигуры, то говорят, что данная фигура имеет ось сим
метрии.
Симметричны
ний (рис.
(рис.
а),
11.19,
фасады
многих классических зда
розы витражей в готических соборах
форма автомобилей (рис.
11.19, 6),
11.19,
в), правый и
левый ботинки. Некоторые фигуры имеют только одну ось
симметрии,
-
другие
квадрат имеет
4
несколько
таких
осей.
Например,
оси симметрии: две из них проходят через
6)
середины его противоположных сторон, а ещё две идут по
диагоналям (рис.
11.18,
а). Если согнуть бумажный квад-
рат вдоль каждой из этих прямых, то его <<половинки>> совпадут (рис.
б, в).
11.18,
На принципе симметрии основан способ вырезания
новогодних снежинок из бумаги: лист бумаги складывают
несколько раз, из полученного треугольника вырезают кра-
сивый
узор,
скость (рис.
метрию
а
потом
11.19,
снова
г).
из
лист
на
в)
пло
Каждое сложение бумаги даёт сим
относительно
резанный
разворачивают
линии
своего
треугольника узор
сгиба,
поэтому
многократно
вы
повторяется
и образует ажурную снежинку.
6)
а)
Рис .
г)
в)
Рис.
11.18
® УПРАЖНЕНИЯ
9
На рисунке
\JG~A
11.20
показано несколько геометриче
ских фигур. Каждая из них симметрична. Изобра
зите эти фигуры в своей тетради и поставьте вну
три
каждой
симметрий.
11.19
фигуры
число,
равное
числу
её
Одна из этих фигур имеет бесконечно
80GG
Рис.
11.20
Рис.
11.21
много осей симметрии. Какая это фигура?
10
Листок бумаги согнули три раза и получили рав
нобедренный треугольник . Из него вырезали фигу
ру так, как показано на рисунке
в
своей
если
этот
тетради
листок
снежинку,
потом
снова
11.21.
которая
Изобразите
получится,
развернуть
на
плос
кость.
§11
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
147
Признак равнобедренного
треугольника
Можно ли, измеряя только углы треугольника, понять, что
он
равнобедренный?
равнобедренного
Мы
с
вами
треугольника
у
знаем,
него
что
по
должны
свойству
быть
два
равных угла. Но существуют ли ещё треугольники, у кото
рых
есть
равные
углы,
а длины
всех
сторон
различны?
Например, четырёхугольники такие бывают. Мы же с вами
выясним,
В
что
треугольников
этом
и
таких нет.
заключается
признак
равнобедренного
треугольника. Звучит он так:
Признак равнобедренного треугольника
Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть в треугольнике АВС равны
углы при вершинах А и С. Через середину его старо-
а)
ны АС под прямым углом к этой стороне проведём
прямую
-
серединный перпендикуляр. Мы уже
знаем, что в равнобедренном треугольнике такой
перпендикуляр к основанию АС должен проходить
через вершину В. Давайте предположим, что наш тре
угольник не являе·rся равнобедренным, и получим
противоречие.
Итак, мы будем рассуждать <<ОТ противоположного>>.
Пусть серединный перпендикуляр к стороне АС тре
в
б)
угольника не проходит через его вершину В.
Тогда он должен пересекать ещё одну сторону этьго
треугольника: либо его сторону АВ, либо сторону ВС.
Пусть он пересекает сторону АВ в точке К. Треуголь-
ники АКМ и СКМ равны по первому признаку,
поэтому их углы КАМ и КСМ равны а. По условию
в треугольнике АВС равны углы при его вершинах А
А
и С. Поэтому угол АСВ также равен а. Но этот угол
м
с
должен быть больше а, поскольку он содержит в себе
угол АСК. Мы получили противоречие.
Полученное противоречие показывает, что серединный
перпендикуляр не может пересекать сторону АВ
Рис.
11.22
треугольника АВС. Точно так же легко доказать,
что он не может пересекать его сторону ВС. Значит, остаётся только одно: этот перпендикуляр обязан
проходить через вершину В треугольника. Но тогда
треугольник АВС должен быть равнобедренным.
Что и требовалось доказать.
148
ГЛАВА 3
/
Р ис.
11.23
Прямые и обратные утверждения
Вы наверняка заметили, что только что доказанный нами
признак равнобедренного треугольника очень похож на его
свойство,
только
сформулирован
он
как
бы
<<задом
наперёд>>. Так оно и есть, поскольку свойство фигуры и её
признак
всегда взаимно обратные утверждения. Их ещё
-
называют прямой и обратной теоремами.
А что такое вообще теоремы? В математике так на
зывают утверждения,
в правильиости которых люди убе
ждаются путём строгих логических рассуждений или дока
зательств.
Каждую
теорему
можно
сформулировать
так,
чтобы она состояла из двух частей: из условия и заключе
ния. Условие обычно начинается со слова <<если>>, а заклю
чение
со слова <<ТО>>. Например, теорема о вертикальных
-
углах в этой форме будет звучать так:
<<Если углы верти
кальные, то они равны>>. В следующей таблице показаны
примеры математических теорем, представленных в форме
условия и
заключения.
Заключение
Условие
Если два угла вертикальные,
то они равны между собой.
Если треугольник равнобедренный,
то два его угла равны.
Если два угла треугольника равны,
то этот треугольник равнобедренный.
Если сумма цифр числа делится на
то само это число делится на
3,
3.
Последняя теорема вам, скорее всего, известна из арифме
тики. Значит, и там существуют теоремы. А если в теоре
ме
§11
условие
и
заключение
поменять
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
местами,
то
получится
149
утверждение, обратное к данной теореме. Такое утвержде
ние, если оно окажется верным, логично назвать обратной
теоремой. В следующей таблице приведены несколько тео
рем и обратных к ним утверждений.
Обратите внимание: не все обратные утверждения
являются верными!
Обратное утверждение
Теорема
Если два угла вертикальные, то они
Если два угла равны, то они
равны.
вертикальные.
Против равных сторон в треугольнике
Против равных углов в треугольнике
лежат равные
лежат
углы.
Если число делится на
цифр тоже делится на
3,
3.
Если сумма цифр числа делится на
то сумма его
то и само число делится на
соответственно
соответственно равны.
соответственно
утверждение
прямая
верно
то треугольники
Если все стороны двух треугольников
соответственно
равны.
теорема
не
равны,
. равны.
У двух равных треугольников все
Если
3,
3.
Если все углы двух треугольников
У двух равных треугольников все углы
стороны
равные стороны.
всегда.
равны,
то треугольники
равны.
верна,
то
обратное
Как вы думаете:
к
какие
ней
из
обратных утверждений в приведённой выше таблице вер
ны, то есть какие из них являются обратными теоремами?
@) УПРАЖНЕНИЕ
Напишите утверждения, обратные к данным:
11
а
Если начинается дождь, то человек открывает зонт.
б
Если два числа чётные,
то их сумма тоже чётное
число.
в
Равнобедренный треугольник имеет ось симметрии.
г
Квадрат
углы
д
-
это
четырёхугольник,
у
которого
Каждый семиклассник занимается геометрией.
Верны ли все эти обратные утверждения?
150
все
прямые.
Рис.
11 .24
ГЛАВА 3
0
ВОПРОСЫ
Какие
1
точки
называют
симметричными
относи
тельно прямой линии?
Какое свойство осевой симметрии вы знаете?
2
3
Что
такое
серединный
перпендикуляр
к
отрезку?
Какое его свойство вы знаете?
Какой
4
треугольник
называется
равнобедренным?
Как называются его стороны?
5
Какие свойства равнобедренного треугольника вы
6
Какая
знаете?
фигура
называется
симметричной
относи
тельно прямой? Может ли одна фигура иметь сра
зу несколько осей симметрии?
В чём состоит признак равнобедренного треуголь
7
ника? Чем он отличается от его свойства?
Из
8
каких
двух
Покажите
на
частей
примере
состоит
каждая
теоремы
о
теорема?
вертикальных
углах, в чём состоят эти части.
Приведите пример прямого и обратного утвержде
9
ний
так,
гое-
@
в
* {:: .f'J
чтобы
одно
из
них
было
верно,
а дру
нет.
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 11.1
Докажите, что в равнобедренном тре
угольнике равны биссектрисы, проведённые к его боковым
сторонам.
РЕШЕНИЕ: Пусть в треугольнике АВС стороны АВ
с
А
Р ис.
и ВС равны, СЕ и АК- биссектрисы треугольника, про
ведённые к этим сторонам (рис.
бедренного
11.25
равны,
в
треугольника
значит,
равны
и
его
11.25).
углы
половины
По свойству равно
при
вершинах А
этих углов,
то
есть
и
С
угол
КАС равен углу АСЕ. Треугольники АЕС и АКС равны по
второму признаку, так как сторона АС у них общая, угол
САК равен углу АСЕ, а угол ЕАС равен углу КСА. Зна
чит, АК
=
СЕ как соответственные стороны равных тре
угольников.
Что и требовалось доказать.
*У:!У:!
ПРИМЕР 11.2
но, что у него АВ
нали
такого
другу (рис.
D
Р ис. 11.26
§11
=
Про четырёхугольник
ВС,
AD = DC.
четырёхугольника
ABCD
извест
Докажите, что диаго
перпендикулярны
друг
11.26).
РЕШЕНИЕ:
Треугольник АВС равнобедренный,
поэ
тому угол ВАС равен углу ВСА. Обозначим их величину
ОСЕВАЯ - СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
151
в
а)
буквой а. Точно так же треугольник
ADC равнобедренный:
поэтому углы ACD и CAD равны 13. В задаче может бы'!'~
два
различных
случал:
либо
четырёхугольник
A BCD
выпуклый, либо невыпуклый.
Рассмотрим
BAD
CBD
CBD
и
BCD
вначале
+ 13.
равны а
первый
случай.
Тогда
угльr
Значит, треугольники
равны по первому признаку. Поэтому их
равны, то есть диагональ
BD
ABD 11
углы ABD 11
лежит на биссектрисе
угла АВС. Но в равнобедренном треугольнике АВС биссеR
триса к его основанию совпадает с высотой. Поэтому диа
гональ
BD
Во
перпендикул.ярна диагонали АС (рис.
втором
случае,
невыпуклый, углы
и
BAD
11.27,
когда четырёхугольник
а).
A BCD
BCD равны а- 13. Отсюда таR
ABD и CBD равны и диаго
же следует, что треугольники
наль
BD
лежит на биссектрисе угла АВС. Поэтому в рав
нобедренном треугольнике АВ С она совпадёт с высотой, то
есть
Рис.
(рис.
11.27
пр.яма.я
перпендикул.ярна
BD
прямой
АС
11.27, 6).
Что и требовалось доказать.
**{J
ПРИМЕР 11.3
точку М.
Её
Внутри пр.ямого угла взяли любую
отразили
симметрично
относительно
сторон
этого угла и получили точки М1 и М2. Докажите, что вер
шина угла лежит на середине отрезка М1М2 (рис.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим
данный
нам
11.28,
прямой
а).
угол
ЕОК. Треугольники МОМ1 и МОМ2 равнобедренные, _ так
как в них высота совпадает с медианой,
и поэтому лучи
ОЕ и ОК .являются биссектрисами их углов. Пусть углы
ЕОМ и КОМ равны а и
13.
Поскольку угол ЕОК прю.уюй,
+ 13. = 90°.
+ 13) = 180°. То
то по аксиоме углов должно быть а
Е
угол М1ОМ2 равен 2а
+ 213 = 2
(а
ка О лежит на отрезке М1М2. Кроме того,
=
ом2, поэтому омl =
отрезка мlм2 (рис.
Но тогда
есть точ
ОМ1 =
ом2, значит, точка о
-
ОМ =
середина
11.28, 6).
Что и требовалось доказать.
Рис.
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
11.28
11.1
в
*
<{;:{ fJ
Найдите
рисунке
11.29.
пары
равных
треугольников
на
По какому признаку можно утвер
ждать, что они равны?
11.2
*{J{J
В
равен углу
четырёхугольнике
ABCD угол А ВС
ADC, ВС = CD. Докажите, что его диа
гонали перпендикул.ярны друг другу (рис.
А
Рис.
152
11.29
М
к
с
11.3
<{;:{ <{;:{
Докажите,
что
биссектриса
его осью симметрии (рис.
угла
11.30).
.являет ся
11.31).
ГЛАВА 3
с
в
в
в
с
с
А
D
р ис.
Рис.
11.30
в
D
А
11.31
Рис.
**~
Рис.
11.32
В квадрате
ВМ =
DM.
11.33
ABCD
' D
А
11.5
11 .34
* "(}
11.32).
Диагонали четырёхугольника
секаются в точке О (рис.
в
BAD
равен углу
АВ=
CD.
*1::!
11.6
углу
и
11.7
с
CD
АО
ADC,
= OD.
пере
ABCD
Докажите,
угол А
что
равен
а угол В равен углу С, причём прямые АВ
не параллельны (рис.
**~
каются
МО =
ABCD
Известно, что угол
11.34).
Докажите, что
CD.
взяли
11.35
11.33).
В четырёхугольнике
D,
АВ=
А
взяли точку М так, что
Докажите, что точка М лежит на диа
гонали квадрата (рис.
Р ис.
D
с
11.4
Р ис.
А
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
точки М и К.
в
точке
КО (рис.
О.
Отрезки АК и
Оказалось,
что
СМ пересе
АО
=
СО,
Докажите, что треугольник
11.35).
АВС равнобедренный.
~ М~
i
Ри с.
11.36
!-=11
11.8
*ti
Точка М не лежит на прямой. Её соедини
ли отрезком с некоторой точкой А на этой прямой
1
так, что отрезок АМ не перпендикулярен данной
прямой (рис.
11.36).
Докажите, что на этой прямой
можно найти ещё ровно
одну точку на таком же
расстоянии от точки М.
о
11.9
**
~
Сколько осей симметрии у двух пересекаю
щихся прямых?
11.10
* **
Точку
тельно
сторон
М
симметрично
угла
АОВ
и
отразили
получили
относи
точки
М1
и М2. На отрезок М1М2 из точки О опустили пер
пендикуляр
ОН (рис.
11.37).
АОН и ВОМ равны.
_ ./ .-. _., ('e wo
Р ис.
11.37
()), \\c\t;\\
o.Jo
Докажите, что углы
'D
"()_
f
\(/1\
1
\' ~
_ c.rPf1KИ ~е
\1А этО\1\
§11
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
'*
n
<!
153
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Су
ествование
ne
пен
икуляра из точки
Наше знакомство с осевой симметрией мы начали со сло
жения листа бумаги.
сложении
листа
Это
вдоль
наглядно
прямой
и
очень
линии
для
просто:
каждой
при
точки
на одной его половине (то есть в одной полуплоскости) од
нозначно находится точка на другой половине листа (в дру
гой полуплоскости). Эти точки будут симметричными друг
другу
относительно
данной
прямой.
Хорошо,
но
как
всё
это следует из уже принятых нами аксиом? Может быть,
нам необходимо добавить ещё одну аксиому геометрии, ак
сиому <<сложения листа бумаги>>?
Откуда следует, что для любой точки на плоскости
найдётся симметричная ей точка? Вы можете справедливо
сказать,
что
про
это
написано
в
самом
начале
нашего
раграфа: нужно просто из точки А на прямую
l
па
опустить
перпендикуляр АН и продолжить полученный отрезок на
свою
длину...
Так
и
получится
точке А относительно прямой
l.
точка А1,
симметричная
Всё так и есть, и особенно
хорошо то, что вы читали этот параграф с самого начала!
Но всё-таки остаётся ещё один последний вопрос:
почему из точки А на прямую
l
в принциле можно опу
стить перпендикуляр? Следует ли его существование из ак
сиом
или
сама
возможность
данную
не
следует?
прямую
Мы
с
опустить
следует
из
вами
сейчас
перпендикуляр
аксиом,
убедимся,
из
принятых
что
точки
нами
на
рань
ше. То есть это можно доказать.
Теорема
Из любой точки плоскости на данную прямую можно опустить перпендикуляр.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть точка А не лежит на прямой
l.
Возьмём
А
на этой прямой любую точку В и проведём отрезок
АВ. Если прямая АВ случайно образует с прямой
угол
90°,
то нам повезло
-
L
l
мы нашли нужный пер
пендикуляр. В противном случае между лучом ВА
и прямой
l
с
в
возникнут не равные друг другу смежные
углы, один из которых будет острым. Допустим,
что угол АВС острый и равен а (рис.
11.38).
Рис.
154
11.38
ГЛАВА 3
От луча ВС в другой полуплоскости всегда можно
отложить угол, равный а. Это следует из аксиомы
откладывания углов. Обозначим этот угол
(рис.
CBD
11.39).
Теперь на луче
BD
отложим отрезок ВА 1 =
ВА.
А
Это тоже можно всегда сделать по аксиоме
откладывания отрезков. Точки А и А 1 находятся
по разные стороны от прямой
l,
с
l
поэтому отрезок АА 1
в
должен пересечь эту прямую в некоторой точке Н.
Получаем, что треугольник АВА 1 равнобедренный,
причём луч ВС является его биссектрисой. Но по
свойству равнобедренного треугольника биссектриса,
проведённая к его основанию, совпадает с высотой
и медианой. Тогда прямая АА 1 образует с прямой
угол
90°,
l
то есть является искомым перпендикуляром.
Рис.
11.39
Что и требовалось доказать.
Симметрия в архитектуре
Слово
<<симметрия>>
на языке древних греков означало; со
размерность, то есть правильиость отношений. Симметрич
ны
античные
европейского
садовые
парки:
ландш афте
там,
где
личие
храмы,
во
Франции
симметрия
мы
египетские
пирамиды,
архитектура
классицизма (рис.
её
порядка,
11.40, 11.41), регулярные
(рис. 11.42). В естественном
обычно
наблюдаем,
наведённого
не
встречается.
Поэтому
она всегда указывает
самим
человеком.
В
на на
Европе
слова <<симметричныЙ>> и <<красивыЙ>> когда-то были почти
синонимами ,
показывали
ясность
плана,
равновесие
и единство частей целого. Любое крупное государство все
гда
стремилось
формы:
в
архитектуре
дворцы и храмы,
Арка
генерального
в Санкт-Петербурге
штаба
создавать
правительственные здания,
§11
зик-
Собор св. Павла в Лондоне
Рис.
11.40
Регулярный парк в Версале
Рис.
Рис .
симметричные
11.42
11.41
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
155
Министерство
Замок в городе Осака
иностранных
дел в Москве
Рис.
Рис.
11.44
11.43
кураты
и
пирамиды.
Они
символизировали
собой
проч
ность и стабильность самой власти, можно сказать, её не
сокрушимость
(рис.
11.43).
Кроме
того,
монументальные
сооружения так в принципе проще было строить:
попро
буйте-ка возвести высокую башню несимметрично
-
может
она
рухнуть.
В то же время, например, культура Японии сложи
лась под сильным влиянием буддизма с его представлени
ем о мимолётности красоты и отсутствием полной симмет
рии
в
имеет
Японский сад камней
Рис.
11.45
-
окружающем
мире.
несимметричный
японский сад (рис.
Традиционный
план
11.45).
(рис.
японский
11.44),
таков
дом
же
и
<<В симметрии нет жизни>>,
говорят японцы. Хотя это не помешало им в
XVII
и
XVIII
веках усердно заниматься классической геометрией. В этот
период храмовым искусством геометрических задач Санга
ку
увлекались
и
самураи.
и
развитием
многие
японцы
монахи,
крестья не
В последнее время с появлением новых материалов
компьютерного
моделирования
появилась
в оз
можность возводить огромные устойчивые здания, не обла
дающие
никакой
симметрией.
Таковы,
например,
менные небоскрёбы во многих странах Азии (рис.
Рис.
156
совре
11.46).
11.46
ГЛАВА
3
Третий
12
р з ак
енства треугольников
Треугольник- жёсткая фигура
Если две доски сбить одним гвоздём, то их можно свобод
но
поворачивать
друг
угол между ними.
относительно
друга,
то
есть
менять
Если же взять четыре доски и закре
пить их между собой четырьмя гвоздями, то получится де
ревянный <<четырёхугольниК>> (рис.
а). На опыте лег
12.4,
ко убедиться, что эта конструкция будет
<<ПодвижноЙ>>, то
есть может менять свою форму. Достаточно потянуть такой
<<Четырёхугольник>> за две его противоположные вершины,
и
он
(рис.
сразу
начнёт
двигаться,
меняя
все
свои
углы
б). Давайте возьмём теперь три доски и тремя
12.4,
Рис.
12.1
Рис.
12.2
Рис.
12.3
гвоздями собьём их между собой. Полученный деревянный
<<треугольник>> сразу станет <<жёстким>>, то есть его Фоt>му
невозможно
(рис.
12.4,
будет
изменить,
даже
приложив
силу
в). Почему так происходит? Дело в том, что из
одних и тех же четырёх отрезков можно составить сколько
угодно разных четырёхугольников, а треугольник с данны
ми тремя сторонами может быть только один. Поэтому го
ворят, что треугольник
ег о стороны
однозначно
Человек
давно
-
это жёст:кая фигура, . то есть три
определяют все его углы.
заметил,
что
три
доски,
сбитые
в треугольник, дают жёсткую конструкцию. А если необхо
димо сделать жёсткий четырёхугольник, то нужно прибить
ещё одну доску по его диагонали (рис.
12.4,
г). Тогда этот
четырёхугольник будет состоять из двух жёстких треуголь
ников и поэтому сам обретёт жёсткость. Вот почему на за
боре, калитке или двери, сбитой из досок, есть поперечная
перекладина, прибитая наискосок, так сказать, по диагона
ли (рис.
не
12.1).
позволяет
Она придаёт
ей
жёсткость
<<складываться>>.
всей
Принцип
конструкции,
жёсткого
тре
угольника необходим при установке стропил на крыше дома
(рис.
12.2),
а)
перекрытий железнодорожного моста (рис.
б)
12.3).
г)
Ри с. 12.4
§1 2
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
157
Даже
строительные
кбзлы
сколачивают
так,
иначе
они
упадут под тяжестью человека. Из жёстких треугольников
можно
собирать
и
более
сложные
инженерные
ции, которые будут сохранять свою форму (рис.
конструк
12.5, 12.6).
Третий признак равенства
треугольников
Рис.
12.5
Рис .
12.6
И всё же: почему из трех данных досок можно сколотить
только один треугольник? Это кажется настолько очевид
ным, что похоже на аксиому. Тем не менее данное утвер
ждение не аксиома,
доказать.
а теорема.
угольника
однозначно
сторон,
тогда
вить
из
То есть его можно строго
Давайте рассуждать вместе:
то
одних
все
и
определяются
треугольники,
тех
же
отрезков,
если все углы тре
по
длинам
которые
трёх
его
можно
соста
быть
равны
должны
между собой. В этом и заключается важная теорема, кото
рая
совершенно
логично
называется
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соот
ветственно равны трём сторонам другого,
то такие треугольники равны (рис.
12.7,
а)
а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 соответ
ственно равны все стороны. Докажем, что эти
треугольники равны. Поскольку длины сторон
АС и А 1 С 1 одинаковы, совместим их так,
чтобы вершина А совпала с вершиной А 1 ,
авершинаС-с вершиной С 1 • При этом
в
по аксиоме треугольники АВС и А 1 В 1 С 1
всегда можно
расположить
в
разных полу
б)
плоскостях относительно прямой АС.
Давайте теперь соединим точки В и В 1 отрез
ком. Здесь может возникнуть три разных
случая: либо отрезок ввl будет пересекать
А
С
А1
cl
--~-----~--------~·
сторону АС, либо он не пересечёт её, либо
пройдёт через один из концов отрезка АС.
Пусть вначале отрезок ВВ 1 пересекает сторону
АС. Треугольник АВВ 1 равнобедренный,
поэтому углы при его основании ввl равны.
Обозначим их величину а. Треугольник СВВ 1
тоже равнобедренный, значит, его углы
при том же основании равны
158
f3
(рис.
12.7,
б).
Рис.
12.7
ГЛАВА 3
~
Но тогда величина углов АВС и А 1 В 1 С 1 одинакова и равна а
+ [3.
в
а)
Значит, треугольники
А 1 В 1 С 1 и АВС равны по первому признаку,
поскольку имеют две
стороны и угол
соответственно равные
между ними.
Второй случай показан на рисунке
12.8,
а.
с
Здесь будут те же равнобедренные треугольники АВВ 1 и СВВ 1 с углами а и
[3
cl
при их
основаниях, величина углов АВС и А 1 В 1 С 1
окажется также одинакова и будет равна
[3 -
а или а
- [3.
В этом случае треугольники
АВС и А 1 В 1 С 1 будут равны по тому же перво-
в
Bl
му признаку равенства.
Пусть в последнем случае отрезок ВВ 1 проходит прямо через вершину А. Тогда мы получим только один равнобедренный треугольник
б)
сввl, углы при основании которого равны
(рис.
12.8,
А
б). Значит, треугольники АВС
с
cl
Al
и А 1 В 1 С 1 опять будут равны по двум сторонам
и углу между ними. Точно так же разбирается случай, когда отрезок ввl
проходит через
точку с.
Теорема доказана.
Bl
Рис.
12.8
Построение треугольника по трём
сторонам
Предположим, что на листе бумаги нарисованы три отрез
ка и
требуется
р авны
трём
построить треугольник,
этим
отрезкам
(рис.
12.9).
стороны
которого
Как
сделать?
это
а
ь
Для этого мы с вами будем, как и древние греки, пользо
в аться
всего
двумя
классическими
инструментами
-
с
цир
с
кулем и линейкой. Циркулем можно рисовать окружности
с необходимым нам радиусом, а линейкой соединять отрез
Рис.
12.9
ком любые две точки на плоскости.
Пусть длины трёх данных нам отрезков равны а, Ь
и с. Давайте построим треугольник АВ С на отрезке с дли
ной с , концы которого обозначим буквами А и В. Для это
го нам необходимо построить третью вершину С этого тре
угольника, которая должна быть на расстоянии а от точки
В и одновременно на расстоянии Ь от точки А. Вот здесь
нам и потребуется циркуль. Ведь циркулем рисуют окруж
ности,
а окружность
скости,
которые
центра.
Поэтому мы
§12
как раз
лежат
на
берём
и
состоит
одинаковом
циркуль,
из
всех точек
расстоянии
разводим его
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
пло
от
её
концы
159
на длину отрезка Ь и рисуем окружность с центром в точ
ке А и радиусом Ь. Точно так же циркулем проводим вто
рую окружность с центром в точке В и радиусом а. Нуж
ная нам точка С должна находиться на пересечении этих
двух окружностей. Остаётся по линейке соединить точку С
отрезками с точками А и В, и треугольник АВС построен.
Его стороны в точности равны данным нам отрезкам а, Ь
и с. Как можно увидеть из рисунка
12.10,
две построенные
нами окружности пересекаются в двух точках С и С 1 • Ка
кую же точку следует тогда брать? Ответ- любую из них.
Рис.
12.10
Оба треугольника АВС и АВС 1 нам подходят, ведь их сто
роны равны нужным нам отрезкам а,
эти
по
треугольники
должны
третьему признаку
быть
Ь и с.
равны
Более того,
между
собой
равенства треугольников.
ВОПРОСЫ
Почему треугольник называют жёсткой фигурой?
1
2
Почему
инженерные
конструкции
часто
состоят
из треугольников?
В чём заключается третий признак равенства тре
3
угольников?
4
Какая аксиома была использована при доказатель
5
Почему
стве третьего признака равенства треугольников?
третий
признак
равенства треугольников
проходят после равнобедренного треугольника?
Как циркулем и линейкой построить треугольник
6
по длинам трёх его сторон?
в
а)
@
*{::{{::{
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 12.1
Противоположные стороны выпукло
го четырёхугольника попарно равны (рис.
жите,
что
его противоположные углы
12.11,
равна стороне
CD,
ABCD
диагональ
АС
этого
разобьёт его на треугольники АВС и
ВС =
AD,
ADC.
ADC
в
AD.
равны.
Она
Эти треуголь
поскольку АВ
а сторона АС у них общая (рис.
чит, углы АВС и
D
четырёхугольника.
ники равны по третьему признаку,
D
сторона
а сторона ВС равна стороне
Мы докажем, что углы при его вершинах В и
Проведём
а). Дока
также равны.
РЕШЕНИЕ: Пусть в четырёхугольнике
АВ
с
А
12.11,
=
CD,
б). Зна
в этих треугольниках соответствен
но равны. Точно так же можно доказать, что равны углы
D
при вершинах А и С этого четырёхугольника.
Что и требовалось доказать.
160
Рис.
12.11
ГЛАВА 3
с
в
а)
в
б)
с
а)
с
в
А
р ис.
А
D
//1':: --......r-1
""'~
1
D
D
Е
А
12.12
ПРИМЕР 12.2
** {:J
АВ и
В четырёхугольнике
стороны
ABCD
равны. Его диагонали тоже равны и пересекают
CD
ся в точке О. Докажите, что АО =
РЕШЕНИЕ:
Заметим,
что
DO
(рис.
12.12,
треугольник
1
б)
а).
ABD
с
в
равен
треугольнику
ACD по третьему признаку. В самом деле, у
них АВ = CD, BD = АС, а сторона AD общая. Значит,
их углы ADB и DAC соответственно равны (рис. 12.12, 6).
Но угол ADB совпадает с углом ADO, а угол DAC совпа
дает с углом DAO. Получается, что в треугольнике AOD
равны два угла при стороне AD, то есть он равнобедрен
к
//11'Hr:: --......r--1 ~
~
1
м
А
Рис .
D
Е
12.13
ный по признаку равнобедренного треугольника. Но тогда
АО
= DO.
Что и требовалось доказать.
*** D
ПРИМЕР 12.3
В , С,
На клетчатой бумаге взяли точк~ А,
и Е так, как это показано на рисунке. Докажите,
что угол АСВ равен углу
РЕШЕНИЕ:
(рис.
Покажем,
12.13, 6).
равны
по трём сторонам.
угольники АСМ и
му АС=
DTC
DCK
(рис.
12.13,
точку
Т
а).
на
отрезке
СЕ
что треугольники АВС и
DTC
Очевидно,
Тре
что АВ
=
TD.
в
равны по первому признаку, поэто
Кроме того, из равенства треугольников вен
CD.
и ТСН следует,
АВС и
DCE
Отметим
что
ВС
СТ.
=
Значит,
у
треугольников
равны все стороны, а сами треугольники рав
ны по третьему признаку. Поэтому их углы АСВ и
с
DCT
со ответственно равны.
Что и требовалось доказать.
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
~~
*{:J{:J
D
В четырёхугольнике
равна стороне
AD,
ABCD
Рис.
12.14
Рис.
12.15
сторона АВ
а сторона ВС равна стороне
CD.
На его диагонали АС взяли произвольную точку К
(рис.
12.14).
Докажите, что ВК
= DK.
~ *У::!{;:{ Все стороны выпуклого шестиугольника
· -
равны. Внутри него оказалась точка, которая нахо
дится
на
шин (рис.
одинаковых
12.15).
стиугольника тоже
§1 2
расстояниях
от
всех
его
вер
Докажите, что все углы этого ше
равны.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
161
12.3
У
* {::[fl
пятиугольника
равны
все
стороны.
:Кроме того, все его диагонали равны между собой
(рис.
Докажите,
12.16).
что
все углы
этого пяти
угольника равны.
12.4
Окружность
fl{::[
четырёх точках.
пересекает
стороны
угла
в
Оказалось, что две из них нахо
Рис.
12.16
Рис.
12.17
Рис.
12.18
дятся на равном расстоянии от его вершины (рис.
Докажите,
12.17).
что центр этой
окружности ле
жит на биссектрисе данного угла.
12.5
**{::[
ника
его
Противоположные
попарно
равны
диагонали
стороны
(рис.
делятся
четырёхуголь
Докажите,
12.18).
точкой
пересечения
что
попо
лам.
12.6
**-f'r
В выпуклом пятиугольнике
ABCDE диаго
AD равна
стороны ВС и CD
стороны АВ и DE
наль АС равна диагонали СЕ, диагональ
диагонали ВЕ,
12.7
(рис.
12.19).
тоже
равны.
*
а также равны
Докажите, что его
Равны ли треугольники АВС и
ti
ражённые на рисунке
12.8
** '{?
и
CD
В
четырёхугольнике
равны.
:Кроме того,
такая точка О, что АО
PQR, изоб
12.20?
ABCD
стороны
АВ
внутри него существует
= OD,
ВО
=
СО (рис.
12.21).
с
Докажите, что диагонали этого четырёхугольника
равны.
12.9
* *
D
и Е
На клетчатой бумаге взяли точки А, В, С,
так,
как это
показано
на рисунке
Докажите, что угол АСВ равен углу
12.10
***
Все
стороны
четырёхугольника
и
одна
в
диагональ
соответственно
12.22.
DCE.
равны
D
первого
сторонам
и диагонали второго. Докажите, что другие диаго
Е
А
нали этих четырёхугольников тоже равны.
Рис .
12.19
в
в
с
с
v
v
./
в
D
А
162
12.20
Рис.
12.21
v
А
R
Рис.
/
Рис.
"
\~ D
\
Е
12.22
ГЛАВА
3
§13
арал
ьнь1е
е
прямые
Параллельные прямые
Помните ли вы, что такое параллельные прямые? В конце
двадцатого века по телевизору можно было услышать за
бавную рекламу бытовой техники: <<Параллельные прямые
не пересекаютс.я
доказано Евклидом. Надежная бытовая
-
-
техника существует
доказано фирмой
Z>>.
У человека об
разованного такая реклама могла вызвать только улы бку.
Ведь параллельные прямые не могут пересекатьс.я просто
по
своему определению.
Давайте
Рис.
13.1
вспомним:
на
плоскости
две
различные
прямые либо пересекаютс.я только в одной точке, либо во
обще не пересекают друг друга. Тогда их и называют па
раллельными. Итак:
Две различные прямые на плоскости называют па
раллельными, если они не имеют общих точек.
Слово
параллельные
с
древнегреческого
.языка
переводится как <<идущие рядом>>. А вот как длинно и тя
желовесно
определял
<<Параллельные
суть
параллельные
прямые,
прямые
которые,
сам
Евклид:
находясь
в
одной
плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограни
ченно,
ни
с
встречаются>>.
той,
ни
Почему
с
другой
же
стороны
Евклид
так
между
собой
подробно
дал
простое определение? Начнём с того, что слово
обозначало у Евклида обычный отрезок.
не
это
<<Пр.яма.ю>
Вот почему его
нужно было мысленно продолжать в ту или другую сторо
ну.
Кроме того,
для древних учёных само существование
параллельных прямых было далеко не очевидным.
По определению параллельные прямые должны ле
жать в одной плоскости. Но где на Земле взять эту плос
кость? Можно сделать плоский стол, ровный каменный пол
в
доме,
городскую
площадь,
в
конце
концов.
Но
где на
практике взять всю бесконечную плоскость? На Земле не
может быть таких плоскостей.
А раз так,
то как прове
рить, что две прямые, пров~дённые на маленьком кус очке
этой
плоскости,
произойдёт через
никогда
100
не
пересекутс.я?
Вдруг
это
километров от нашего чертежа или
ещё дальше? Конечно, Евклид не стал бы доказывать того,
что параллельные прямые не пересекаютс.я. Но он приду-
ГЛАВА 4
секущая
односторонние углы
Накрест лежащие углы
Соответственные углы
ри с.
Рис.
Рис.
13.2
мал,
13.3
как
проверить,
пересекутся,
Теорема
О тличить
и
накрест
односторонние
д ругих
совсем
не
лежащие
углы
трудно
их
стороны,
которые
на
секущей,
всегда
лежат
содер
две
данные
прямые
никогда
не
даже если их продолжать до бесконечности.
об
этом
называется
признаком
параллельности
двух прямых.
от
-
что
13.4
Для того чтобы кратко сформулировать этот при
знак,
нам с вами необходимо будет ввести несколько но
вых обозначений.
Предположим,
д анными
для краткости называют просто секущей. Секущая с двумя
данными
нам
третья
прямыми
прямая.
образует
Тогда
прямые
пересекла
прямыми.
векоторая
что две данные
жат её отрезок между двумя
всего
эту
прямую
восемь
углов.
Пару углов, которые лежат по одну сторону от этой секу
щей так, как это показано на рисунке
13.2,
называют од
носторонними углами. Другую пару углов на рисунке
13.3,
которые лежат уже по разные стороны от секущей, назы
вают накрест лежащими углами.
Всего же при пересече
нии двух прямых и секущей образуется две пары односто
ронних и две пары накрест лежащих углов.
пару
углов,
которые
тоже
лежат
по
одну
А ещё одну
сторону
от
секу
щей, называют соответственными. Эти углы показавы на
рисунке
13.4.
Теперь
уже
мы
готовы
сформулировать
первый
признак параллельности двух прямых.
Первый признак параллельности прямых
Если секущая образует с двумя пря
мыми односторонние углы,
которых равна
180°,
сумма
то эти прямые
параллельны.
Если а+
Рис.
§1 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
f3
180°, то а
11
Ь
13.5
165
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть секущая пересекла прямые а и Ь в точках
а)
а
А и В и образовала с ними односторонние углы
а и rз, причём а
+
rз =
углом rз, будет равен
180°.
180° -
Угол, смежный с
rз =
а (рис.
Также угол, смежный с углом а, равен
13.6, а).
[3. Зна
чит, с двух сторон от секущей мы имеем одина
ь
ковые углы а и rз.
Мы докажем, что прямые а и Ь не могут пересе
180° -
rз =
а
каться. Будем рассуждать от противоположного.
Предположим, что прямые а и Ь не параллель
ны, значит, они пересекаются в пекоторой точке
С. Тогда по одну сторону от секущей обязательно
б)
а
образуется треугольник АВС, два угла которого
равны а и rз (рис.
13.6,
б).
Давайте в другой полуплоскости от луча ВА
отложим угол, равный а, и потом на этом луче
отложим отрезок ВС 1 = АС (рис.
это
можно
по
аксиомам
13.6,
откладывания
в). Сделать
отрезков
и
углов. Тогда треугольники АВС 1 и АВС будут
равны по первому признаку (рис.
угол ВАС 1 должен быть равен
[3.
13.6,
Получается, что
углы САС 1 и СВС 1 развёрнутые, поскольку ве
личина каждого из них равна а
+
rз =
ь
г). Значит,
в)
180°.
Но тогда точки С, А и С 1 должны лежать на од
ной прямой. И то же самое можно сказать и про
точки С, В и С 1 • Получается, что через точки С
и
cl
(рис.
проходят две различные прямые
13.6,
д). А это невозможно по аксиоме
прямой линии. Мы по,чучили противоречие с
аксиомой. А раз так, то наше предположение
г)
о пересечении прямых а и Ь в пекоторой точке С
неверно. Поэтому такой точки не может быть.
То есть прямые а и Ь параллельны.
Что и требовалось доказать.
д)
Рис.
166
13.6
ГЛАВА 4
Итак,
первый
признак
параллельности
двух
пря
мых доказан. Мы с вами сформулировали его так же, как
Евклид,
через
сумму
односторонних
углов
при
секущей.
Однако часто в рассуждениях удобно использовать и дру
гие его формы. Мы приведём здесь две самые известные из
них:
Первый признак параллельности прямых
Д руги е формулир о вки
1
Е сли секущая образует с двумя
2
Е сли соответств енные углы при
пр.ямыми равные накрест л е жащи е
двух прямых и с екущей равны,
углы,
то
то
э ти
прямые
паралл е льны.
э ти прямы е
п аралл е льны.
секущая
Если а =
Ри с.
rJ,
то а
11
Ь
Если а =
Рис.
13.7
rJ,
то а
11
Ь
13.8
~ УПРАЖНЕНИЕ
1
Покажите, что две другие формы первого призна
ка параллельных равнозначны
Так почему же через точку,
в
ему.
которал не лежит на данной
прямой, всегда можно провести параллельную ей прямую?
Теперь понять это уже легко. Пусть точка М не лежит на
прямой а. Возьмём на этой прямой любую точку К и со
единим её отрезком с точкой М. Если на данной прямой
а
взять любую другую точку А, то образуется угол АКМ с
К
Существование
пекоторой величиной а. По аксиоме углов от луча КМ в
параллель
но й прямой через точку М
Ри с. 13.9
§13
другую полуплоскость всегда можно отложить угол КМВ с
той
же
величиной
а.
Тогда
прямые
ВМ и АК должны
быть параллельны по первому признаку, поскольку при се
кущей МК равны накрест лежащие углы (рис.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
13.9).
3на-
167
f
1
Рис.
Рис.
13.10
чит,
13.11
прямая
прямая
ВМ
параллельна
прямой
а.
То
есть
така.я:
существует.
Существует множество практических способов дл.я:
проведения
параллельных
прямых
с
помощью
различ ных
инструментов. Давайте посмотрим, как с помощью линей
ки и чертёжного угольника можно проводить прямые, nа
раллельные данной.
мую,
Чтобы провести через точку М пр.я:
параллельную прямой
прямой чертёжный
а,
угольник,
нужно
приложить
а к нему
как это показано на рисунке (рис.
13.10).
к этой
линейку так,
-
Потом необходи
мо сдвигать угольник вдоль этой линейки, пока точка М
не окажется на той его стороне, которая была приложена
к прямой а. Вдоль этой стороны и проводят нужную пря
мую Ь. Прямые а и Ь будут параллельны по первому при
знаку,
поскольку
образуют
с
линейкой
равные
соответ
ственные углы.
Похожим
способом
параллельные
прямые
проводить с помощью чертежной рейсшины (рис.
можно
13.11).
Аксиома параллельных
Среди всех аксиом Евклида была одна, которая две тысячи
лет не давала покоя множеству математиков. Её называли
<<пятном на сочинениях Евклида>> и пытались доказать как
теорему, то есть вывести из других его аксиом. В списке
геометрических
постулатов
Евклида
это
был
его
послед
ний, так называемый пятый постулат.
Дело в том, что эта аксиома не была так очевидна,
как другие, и сложно формулировалась. Видимо, сам Е в
клид
это
понимал
и
старался
как
можно
позже
начать
пользоваться пятым постулатом в изложении своей теории.
Так что же это
была за аксиома?
ведём её формулировку,
Давайте вначале
данную самим Евклидом:
при
<<Если
прямая, падающая на две прямые, образует по одну сторо
ну внутренние углы, в сумме меньшие двух прямых углов,
то продолженные неограниченно эти две прямые встретят
Евклид
ся
Рис.
На современный язык это можно перевести так:
168
13.12
с
той
стороны,
где
расположены
данные
углы>>.
ГЛАВА
4
Аксиома параллельных
Формулировка Евклида
Если секущая образует с двумя прямыми
внутренние односторонние углы,
рых меньше
180°,
сумма
кото
то эти прямые пересекутся
в той полуплоскости, где расположены дан
ные углы.
Если а
+
~
<
180~ то а не
параллельна Ь
Рис.
В
дельных
такой
-
это
формулировке
утверждение,
ясно,
которое
что
аксиома
является
13.13
парал
противопо
ложным к признаку параллельных прямых. Скорее всего,
Евклид сам пытался его доказать, не смог этого сделать и
оставил в виде аксиомы. Многие математики <<доказывали>>
пятый постулат Евклида,
но в их доказательствах ~егда
потом
:Каждый
находили
ошибки.
раз
оказывалось,
что
в ходе очередного <<доказательства>> незаметно был исполь
зован какой -то совершенно очевидный факт, которого тем
не менее нет в списке аксиом Евклида. А значит, с мате
матической точки зрения это доказательство незаконно.
Со
временем
накопился
очевидных утверждений,
целый
список
из
таких
каждое из которых может заме
нить собой аксиому параллельных прямых. В конце данно
го параграфа вы можете найти несколько утверждений из
этого списка. Но самое известное из них мы приведём сей
час. Оно принадлежит греческому математику Проклу, ко
торый
работал
в
Александрии
в
IV
веке
нашей
эры.
Вот как оно звучит:
Аксиома параллельных
Современная формулировка
м
Через точку, не лежащую на прямой, можно
провести не более одной прямой, параллель
ной данной.
Только одна прямая
Рис.
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
13.14
169
а)
~-а"-
б)
а+
Рис.
а+
13 =180°
секущая
13 < 180°
13.15
Такая
формулировка
аксиомы
параллельных
теперь считается общепринятой. Она очевидна, легко запо
минается и на первый взгляд никак не связана со старин
ной формулировкой, данной Евклидом. Мы же с вами сей
час убедимся, что оба этих утверждения говорят об одном
и том же.
Действительно, пусть две прямые с одной стороны
от секущей образовали внутренние углы,
равна
мые
180°
(рис.
должны
13.15,
быть
сумма :которых
а). Тогда, :как вы знаете, эти пря
параллельны
по
первому
призна:ку.
Но легко заметить, что с другой стороны от секущей сум
ма внутренних углов при этих прямых также должна быть
равна
с
180°.
одной
прямую
том.
из
-
Проведём через точку М пересечения секущей
наших
параллельных прямых любую другую
на рисунке
Посмотрите:
13.15,
либо
с
б она по:казана чёрным цве
одной,
либо
с
другой
стороны
от секущей новая прямая со второй из параллельных бу
дет образовывать углы, сумма :которых будет меньше
180°.
Тогда она обязана пересечь вторую из этих параллельных
прямых по знаменитому пятому постулату Евклида.
Зна
чит, через точку М нельзя провести больше ни одной пря
мой параллельна данной. То есть такая прямая единствен
ная.
Так
мы
с
вами
убедились,
что
из
старинной
формулировки Евклида следует общепринятая.
@) УПРАЖНЕНИЕ
2
По:кажите, что из современной формулировки акси
омы параллельных прямых следует пятый посту
лат Евклида.
А что вытекает из
знаменитого пятого
постулата
Евклида, зачем он вообще нужен? Коротко ответить можно
так:
данная
аксиома
определяет
<<плоскую>>
геометрию,
у
которой нет никакой <<Кривизны>>. Из этой аксиомы также
следует, что сумма углов любого треугольника на плоско
сти одинакова и равна
180°.
Но чтобы доказать это исклю
чительно важное свойство плоскости, вначале нам потребу
ется доказать свойство параллельных прямых.
170
ГЛАВА
4
ервое свойство
араллельных
рямых
Если две прямые параллельны, то любая
секущая образует с ними равные накрест
лежащие углы (рис .
13.16,
а)
а).
а
ДОКАЗАТЕЛЬ СТВО:
Пусть прямые а и Ь параллельны и некоторая
секущ ая
секущая пересекает их в точках А и В. Будем
опять рассуждать
от
противоположного:
допу
стим, что эта секущая образует с прямыми а
и Ь накрест лежащие углы а и
!3,
ь
которые не
равны друг другу. Пусть, например, а>
!3.
Проведём через точку А ещё одну прямую а 1
б)
так, чтобы угол между ней и прямой АВ был
в точности равен
!3
(рис.
13.16, 6).
Тогда
прямые а 1 и Ь должны быть параллельны
по признаку, поскольку секущая АВ образует
с ними равные накрест лежащие углы. Но то
Ь
гда получается, что через точку А, кроме
/В
прямой а, проходит ещё одна прямая а 1 ,
также параллельная прямой Ь. А вот это уже
противоречит аксиоме параллельных. Полу
ченное
противоречие
крест лежащие
углы
и
показывает,
что
Если а
11
Ь, то а
=
13
на
при двух параллельных
и секущей всегда должны быть равными.
Рис.
13.16
Что и требовалось доказать.
Как и в случае с признаком,
у данного свойства
параллельных тоже есть другие формы. Все они являются
утверждениями,
они
обратными к своим признакам.
Вот как
звучат:
Первое свойство параллельных прямых
Другие формулировки
1
Если две прямые параллельны, то сум
ма
внутренних
односторонних
при любой секущей равна
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
180°.
углов
2
Если
две
прямые
параллельны,
то при любой секущей соответствен
ные
углы
равны.
171
~ УПРАЖНЕНИЕ
Нарисуйте нужные чертежи и покажите,
3
что две
другие формы свойства параллельных равнозначны
первому их свойству.
Транзитивность параллельности
Возьмём две параллельные прямые. Давайте проведем тре
а
тью прямую параллельна одной из них. Будет ли она па
раллельна второй прямой? Конечно,
с
же
очевидно,
есть
в
прямом
-
смысле
скажете вы,
-
слова
на ши
видно
это
ми глазами!
ь
Но как вы уже знаете, в геометрии все очевидные
вещи либо вообще берут на веру и тогда их называют ак
Транзитивность
сиомами,
параллельности
имеем
Рис.
то
ний,
13.17
его
либо
дело
с
которую
докажем.
строго
доказывают.
утверждением
называют
Что
два
такое
ученика,
данном
параллельности
транзитивностью.
И
транзитивность?
проще всего на примерах.
есть
о
В
Предположим,
которые
с
вами
случае
мы
прямых л и
мы
с
вами
Объяснить
это
в вашем клас се
сейчас
одного
роста.
Можно ли утверждать, что их рост одинаковый? Конечно,
можно!
скажете
-
вы.
Вот
это
и
есть
транзитивность.
То же самое можно сказать о размере вашей обуви или,
допустим,
цвете
совпадение
ваших
роста двух
волос.
Можно
учеников
даже
передаётся
сказать,
от
одного
что
из
них к другому через вас. Вы являетесь как бы посредни
ком
при
передаче
этого
равенства
между
двумя
другим и
учениками. Вообще любое отношение равенства, очевидно ,
должно обладать транзитивностью.
Или возьмём другой пример. Предположим, что вы
ростом немного выше Пети, зато Ваня выше вас на целую
Слово «транзитивность» об
разовалось
глагола
«ПрОХОДИТЬ»
ВаТЬ».
mundi»
от
transit,
«Sic
латинского
что означает
ИЛИ
«Переда-
transit
эта
gloria
фраза
голову. Верно ли, что Ваня тогда будет выше Пети? А как
же может быть иначе? - скажете вы. Всё правильно. Дело
в том, что такое понятие, как <<быть больше>>, тоже облада
ет свойством транзитивности. Это нам с вами подсказ ыв ает
наш человеческий опыт.
на
древней латыни вот уже две
тысячи лет гласит: «Так про
-- 1 о
ходит мирская слава!»
1
Рис.
172
13.18
ГЛАВА 4
~ УПРАЖНЕНИЕ
а)
Маша
В арифметике тоже есть транзитивность. Проиллю
4
стрируйте её на примере делимости целых чисел.
Однако далеко не все отношения между объектами
или
даже
людьми
обладают
транзитивностью.
Если
Петя
Ваня
вы
дружите с двумя ребятами, то они вовсе не обязаны дру
Дружба не обладает транзи
жить между собой. Два ваших друга могут даже не знать
тивностью
один
о
другом.
Значит,
отношение
транзитивностью (рис.
13.19,
зать
знакомство.
про
вражду
или
а).
дружбы
не
обладает
То же самое можно ска
Конечно,
в
б)
геометрии
ь
а
тоже есть такие примеры. Если две прямые одновременно
перпендикулярны к третьей прямой,
то между собой эти
прямые вовсе не будут перпендикулярны
раллельны.
Значит,
отношение
-
с
они будут па
перпендикулярности
прямых тоже не обладает транзитивностью (рис.
двух
13.19,
б).
Перпендикулярность прямых
А вот параллельность различных прямых обладает транзи
тивностью, то есть передаётся через
«посредника»
-
не
тре
обладает
транзитивно
стью
тью прямую. Давайте теперь сформулируем это строго
Рис.
13.19
Транзитивность параллельности прямых
Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны между собой.
а)
а
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
ь
Пусть прямые а и Ь одновременно параллель
ны некоторой прямой с. Мы докажем, что
прямые а и Ь должны быть параллельны
с
между собой. Будем рассуждать от противопо
ложного. Допустим, что прямые а и Ь не
Если а
параллельны. Тогда они по определению
11
с и Ь
11
с, то а
11
Ь
должны пересекаться в пекоторой точке М
(рис.
13.20,
б).
Посмотрите на получившийся чертёж внима
тельно
-
б)
вы ничего не замечаете? На нём
а
~
через одну точку М проходят сразу две пря
мые, параллельные прямой с! То есть это
ь
противоречит аксиоме параллельных. Значит,
наличие самой точки М пересечения прямых
с
а и Ь противоречит аксиоме. Получается, что
такой точки нет, то есть прямые а и Ь долж
ны быть параллельны между собой.
Что и требовалось доказать.
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Рис.
13.20
173
~ УПРАЖНЕНИЕ
Мы только что с вами дока
зали
транзитивность
лельности
на пятый
прямых,
парал
Докажите, что из транзитивности параллельност:и
5
опираясь
прямых следует пятый постулат Евклида.
постулат Евклида.
Если же принять транзитив
ность
параллельности
аксиому,
легко
то
из
получить
него
можно
аксиому
раллельных.
Получается, что пятый постулат Евклида и тр ан
пря
мых без доказательства, как
па
зитивность
То
параллельности
есть каждое
другого.
из
-
прямых
этих утверждений
это
одно
можно
и
то
же.
вывести :и 3
Математики в таких случаях говорят, что такие
утверждения равнозначны или эквивалентны. В конце па
раграфа
вы
можете
найти
другие
знаменитому
утверждения,
пятому
которые
также
эквивалентны
постулату
клида.
Любое из них определяет плоскую геометрию Ев
Ев
клида, где через одну точку можно провести не больше од
ной прямой, параллельной данной.
~ УПРАЖНЕНИЕ
6
Найдите
неизвестные
13.21, a-i.
На каждом из них параллельные пря
углы
на
рисунках
мые обозначены стрелочками.
а
б
г
д
е
3
и
в
х
3х
ж
Рис.
174
13.21
ГЛА ВА
4
Свойство полосы
На что похожа пара параллельных прямых? Конечно, она
nохожа на рельсы поезда,
на лыжню, двойную сплошную
линию на дороге или следы от колёс проехавшей телеги.
Древние греки думали так же
-
не зря они назвали такие
nрямые <<идущими рядом>>. Правда, подобное сравнение бу
д ет
уместным,
только
когда
поезд
или
та
же
телега
сами
движутся по прямой линии. А на что похожа часть плос
кости,
расположенная
между
пар аллельными
Рис.
13.22
прямыми?
Конечно же, на бесконечную полосу. С похожими полоса
ми, только конечной длины, все мы имеем дело в жизни:
любая лента, тесьма или ковровая дорожка, разложенные
н а плоскость,
дадут нам такую полосу.
Каждый человек по
опыту знает,
что
противопо
ложные края у ленты или ковровой дорожки параллельны,
а её ширина всюду одинакова. Вот только почему это так?
Давайте вспомним, как вообще измеряют ширину полосы.
О бычно перпендикулярно к её краю прикладывают линей
ку и смотрят, какой отрезок этой линейки окажется вну
три полосы. Длину данного отрезка и считают расстояни
Рис.
13.23
Рис.
13.24
ем между краями полосы или её шириной.
Можно,
конечно,
свернуть ленту в рулон и изме
рить высоту полученного цилиндра (рис.
13.24). Будеl:г то
же самое. Только почему ширина любой полосы всюду оди
накова? А дело в том, что с этим связано ещё одно важное
свойство параллельны х прямых.
Втор ое свойство параллельных прямых
Длина перпендикуляра, опущенного из любой
точки прямой линии на параллельную ей пря
мую,
постоянна.
ширина полосы
!
Длину такого перпендикуляра называют расстоя
нием
между параллельными
прямыми или
шириной полосы между ними.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Возьмём две параллельные прямые и на одной
г
г
J
из них отметим две произвольвые точки А и В.
Опустим из них перпендикуляры АА 1 и ВВ 1
на параллельную прямую (рис.
жем, что АА 1
=
13.25).
Мы дока
ВВ 1 • Для этого проведём отрезок
А 1 В и рассмотрим треугольники АА 1 В и А 1 ВВ 1 •
Прямые АА 1 и ВВ 1 одновременно перпендикуляр
ны одной прямой, поэтому должны быть парал-
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
175
лельны друг другу по
первому признаку парал
лельных. Значит, по первому свойству
параллельности они образуют с секущей А 1 В
равные накрест лежащие углы АА 1 В и В 1 ВА 1 •
А так как сами прямые АВ и А 1 В 1 параллельны
по условию, то они тоже образуют с секущей А 1 В
равные накрест лежащие углы АВА 1 и В 1 А 1 В.
Но тогда треугольники
AAl в
и
Al ввl
ДОЛЖНЫ
быть равны по второму признаку, поскольку
имеют общую сторону А 1 В и два прилегающих
к ней равных угла. Поэтому АА 1 =
ВВ 1 • Таким
образом, длина перпендикуляра, опущенного
Ри с .
из любой точки В нашей прямой на параллель
13.25
ную ей прямую, равна отрезку АА 1 , то есть она
постоянна.
Что и требовалось доказать.
Знаете, как плотники или строители проводят па
раллельные
линии?
Наивно
думать,
что
для
этого
они
каждый раз проводят секущую прямую и откладывают от
неё равные накрест лежащие углы. На практике это было
бы слишком сложно.
Вспомните,
обыкновенные полки.
Чтобы полка висела горизонтально,
она
должна
быть
параллельна
с неё будут падать (рис.
13.26).
как у вас дома вешают
полу
-
иначе
предметы
А как проще всего добить
ся этой параллельности? Все правильно: точки крепления
полки к стене нужно отметить на одинаковой высоте над
полом, тогда ваша полка будет висеть <<Прямо>>, а не <<кри
ВО>>. Расстояние до пола обычно вычисляют по длине отве
са или перпендикуляра к нижнему краю
Знаете,
связано
с
ещё
почему так делают?
одним
признаком
стены.
Это простое правило
параллельных
прямых,
Рис.
13.26
с которым мы сейчас познакомимся.
Второй признак параллельных прямых
Если две точки одной прямой лежат по одну
сторону от другой прямой и находятся на одина
ковых расстояниях от неё, то эти две прямые
параллельны.
г
Рис.
176
13.27
ГЛАВА 4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Напомним, что расстоянием от точки до прямой
считают
длину перпендикуляра,
из неё на эту прямую
(рис.
l
опущенного
а).
13.28,
Пусть точки А и В находятся с одной стороны
от прямой
l
на равных от неё расстояниях.
Итак, пусть АА 1 и ВВ 1 -два перпендикуляра,
проведённых из точек А и В к прямой
условию они равны, то есть АА 1 =
докажем, что прямые АВ и
l
По
l.
ВВ 1 • Мы
параллельны. Для
этого проведём отрезок А 1 В и рассмотрим тре
угольники АА 1 В и А 1 ВВ 1 • Так как прямые АА 1 и
ввl одновременно перпендикулярны прямой
то
l,
Расстояние от точки до пря
мой
они должны быть параллельны друг другу по
признаку. Тогда по первому свойству параллель
ных они образуют с секущей А 1 В равные накрест
лежащие углы АА 1 В и В 1 ВА 1 • Значит, треуголь
б)
ники АА 1 В и А 1 ВВ 1 будут равны по первому
признаку, поскольку АА 1 =
lв
ВВ 1 , сторона А 1 В у
них общая, а углы между этими сторонами равны.
t
Поэтому в этих треугольниках равны углы АВА 1
13.28,
и ВА 1 В 1 (рис.
б). Но эти углы
лежащие при прямых АВ,
l
-
накрест
и секущей. Значит,
прямая АВ должна быть параллельна прямой
l
по
Bl
Al
первому признаку параллельных.
Что и требовалось доказать.
в)
Давайте теперь с одной стороны от прямой
l
-
возьмём три любые точки, расстояние от которых
до этой прямой одинаково. Будут ли все эти точки
лежать на одной прямой? Конечно,
вы,
-
-
скажете
как же может быть по-другому? Так оно
в
г
и есть, а связано это опять с аксиомой параллель
ных. В самом деле, если расстояния от точек А, В
и С до прямой
равны, то прямые АВ и ВС
l
должны быть параллельны прямой
l
по второму
г)
признаку. Но по аксиоме параллельных через
точку В можно провести только одну прямую,
параллельную
l
(рис.
13.28,
в). Поэтому прямые
АВ и ВС должны совпасть. А это значит, что
точка С лежит на прямой АВ. Поскольку точка С
была выбрана нами произвольно, то:
Все
точки,
расположенные
по
одну
сторону
от данной прямой и находящиеся от неё на оди
наковом
расстоянии,
лельную прямой
образуют
прямую,
парал
l.
Рис.
В
данной
полуплоскос~и
относительно
13.28
прямой
других таких точек нет.
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
177
Расстояние от точки до прямой
го
короткого
из
отрезков,
которым
это длина само~
-
можно
соединить
дан~
ную точку с точками прямой линии. Через несколько па~
раграфов мы с вами строго докажем, что самый короткий:
из
этих
отрезков
это
перпендикуляр,
опущен ный:
из данной точки на прямую.
~ УПРАЖНЕНИЯ
7
Натяните
в
комнате
две
нитки
так,
чтобы
они
были параллельны.
8
На листе бумаги проведите прямую линию, не па~
раллельную краям листа. Без циркуля и линейки,
только
складывая
эту
бумагу,
получите
прямую, параллельную нарисованной (рис.
9
С
помощью
листа
бумаги
квадрат со стороной
21
формата А4
на
ней:
13.29).
изготовьте
см. Постройте в нем точку
так, чтобы расстояния от неё до сторон квадрата
были равны .
Рис.
13.29
8
см и
13
см (рис.
13.30).
Верно ли,
что эта точка лежит на диагонали квадрата?
10
Возьмителист бумаги формата А4. Проведите диа~
гональ этого прямоугольника. А теперь постройте
на
этом
листе
все
точки
от данной диагонали (рис.
13 см
_j
Рис .
. ~ 8см
13.30
0
на
расстоянии
10
см
13.31).
ВОПРОСЫ
1
2
3
Какие прямые называют параллельными?
4
Как Евклид формулировал свой пятый постулат?
5
Как звучит общепринятая формулировка аксиомы
6
Что
7
Где расположены все точки, находящиеся по одну
Какие вы знаете признаки параллельных прямых?
Что называется расстоянием от точки до прямой?
параллельных прямых?
такое
транзитивность
параллельности
пря
мых?
сторону от прямой на равном от неё расстоянии?
8
Рис.
13.31
Какие вы знаете геометрические отношения, кот о
рые не обладают транзитивностью?
9
Какие вы
знаете отношения
<<ИЗ жизни>>,
котор ые
не обладают транзитивностью?
178
ГЛАВА 4
На чём
10
основан
параллельных
практический
прямых
с
способ
проведения
помощью
чертёжной
в
рейсшины?
Две точки одной прямой находятся на равных рас
11
стояниях
от
другой
прямой.
Обязательно
ли
эти
прямые параллельны?
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
*t"'л
ПРИМЕР
13.1
Прямая
пересекает
две
параллель
ные в точках А и В. Биссектрисы двух смежных углов с
в ершиной в точке В при одной из этих прямых пересекают
другую параллельную прямую в точках С и Е. Докажите,
Рис.
13.32
что АС= АЕ.
РЕШЕНИЕ:
Угол АСВ
равен
углу МВС,
поскольку
с
они накрест лежащие при двух параллельных и секущей
В С.
Поэтому углы АСВ
и АВС равны.
Значит,
треуголь
ник АВС равнобедренный по признаку, то есть АС =
в
АВ.
Также легко доказать, что и треугольник АВЕ тоже равно
бедренный. Поэтому АЕ
=
АВ. Таким образом, АС
=
АЕ.
Что и требовалось доказать.
А
*<' ·
ПРИМЕР
ABCDE стороны
А В и DE параллельны, а углы АВС и CDE равны 100° и
120° соответственно. Найдите величину угла BCD.
РЕШЕНИЕ: Проведём через точку С прямую CF па
раллельно прямым АВ и DE. Тогда углы АВС и BCF бу
дут односторонними при параллельных АВ и CF и секу
щей ВС. Поэтому их сумма должна быть равна 180°.
Значит, угол BCF равен 180°- 100° = 80°. Также получим,
что угол DCF равен 180° - 120° = 60°. Таким образом, ис
комый угол BCD равен 80° + 60° = 140°.
Ответ: 140°.
**л
угла
ПРИМЕР
провели
В
13.2
каждой
стороне
перпендикулярную
В:
прямую.
13.3
с
пятиугольнике
в
А
Рис.
13.33
неразвёрнутого
Докажите,
что
эти перпендикуляры пересекаются.
РЕШЕНИЕ: Давайте рассуждать от противоположно
го.
Предположим,
что
два
перпендикуляра,
проведённых
в
с
к сторонам данного угла АВС, не пересекаются. Тогда они
должны
быть параллельны.
лельные прямые
k
мой
по
поэтому
k,
и
Z.
Нарисуем
их как две
первому
свойству
параллельных
должна быть также перпендикулярна и прямой
мая
ВС
также
парал
k
Прямая АВ перпендикулярна пря
перпендикулярна
прямой
l
по
l.
она
Но пря
условию.
А
Тогда по признаку параллельности прямые АВ и ВС долж
ны быть параллельны. Но эти прямые имеют общую точку
В , чего не может быть по определению. Мы получили проРис.
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
13.34
179
тиворечие. Значит, прямые
ны,
то
есть
они
и
k
l
не могут быть параллель
Что и требовалось доказать.
* *"<:t
ПРИМЕР 13.4
с
Докажите, что прямые АВ и
рисунке клетчатой бумаги параллельны (рис.
-
D
пересекаются.
-
CD на
_..,.... ~
....-
ведём отрезок ВС.
MCD
сторонам
и
Треугольники
прямому углу
MDC
между
-г-
-г-
r-
13.35).
-г-
РЕШЕНИЕ: Отметим точки М и К на чертеже и про
двум
-г-
и ВАВ
ними,
равны по
-
l....-""
поэтому угол
равен углу КВА. Обозначим их величину буквой а.
..".,....... !---'
в
r-
А
r-
Кроме того, прямые СМ и ВК параллельны, поэтому углы
МСВ и КВС равны как накрест лежащие при них и секу
углов
DCB
и АВС равна а+ ~. Поскольку эти углы равны
с
,.
и являются накрест лежащими при секущей ВС, то пря
CD
мые АВ и
параллельны по первому признаку.
~
tra
к
13.1
* f:t f:t
....-
м
""< 1'..~
Что и требовалось доказать.
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
г
--
D
щей ВС. Обозначим их величину буквой ~. Тогда величина
" "~~
----
_g;... ~
в
А
Параллельна стороне равнобедренного тре
Рис.
13.35
Рис .
13.36
угольника провели прямую. Докажите, что она от
секает от
(рис.
13.2
*
тоже
равнобедренный треугольник
13.36).
-<:-r <:r
но
него
Через точку на биссектрисе угла параллель
его
сторонам
провели
две
прямые.
Они
кают от данного угла четырёхугольник (рис.
отсе
13.37).
Докажите, что все его стороны равны.
13.3
*~
f..
Стороны двух углов, показанных на рисун
13.38, соответственно параллельны. Докажите,
ке
что
13.4
эти
*A'(J
углы
равны.
Биссектриса угла прямоугольника разбива
ет его другую сторону на отрезки с длинами
7
см
так,
как
это
показано
на
рисунке
5 и
13.39.
Найдите площадь этого прямоугольника.
в v
7
5
1
1
А
1
v
v
1
1
1D
1
v
l c
Рис .
180
13.37
Рис .
13.38
Рис .
13.39
Рис .
13.40
ГЛАВА 4
-с Г"--.
у
в
1
1
1'-.
li-
-
~ D
1
р ис.
Рис.
13.41
13.5
13.6
13.42
Рис.
Докажите, что прямые АВ и CD на клетча
** ·
Докажите, что отрезки АВ и CD на клетча
той бумаге (рис.
параллельны.
13.40)
делятся точкой пересечения
13.41)
пополам.
13.7
**<?
Противоположные
ника попарно
равны.
стороны
Докажите,
*
~ 1::!
роны
эти
стороны
угла.
Одна
из
них
образует
с
В
D
Рис.
13.45
Рис.
13.46
Рис.
13.47
Рис.
13.48
его
13.43)?
Одна из двух параллельных прямых пере
секает
данную
прямую
прямая также пересечёт
* * 1::!
Бумажную
Докажите,
l.
l
полосу
(рис.
жите, что углы САВ и
согнули
.л.
ABD
что
вторая
13.44).
вдоль
АВ так, как это показано на рисунке
что
~А
Какой угол образует вторая
50°.
**й
13.11
с
13.42).
прямая со второй стороной этого угла (рис.
13.10
13.44
Две параллельные прямые пересекают сто
прямого
стороной угол в
13.9
l l
четырёхуголь
что
лежат на параллельных прямых (рис.
13.8
Рис.
13.43
* * t?
той бумаге (рис.
\\
~
........_
А!/
отрезка
13.45.
Дока
равны.
Прямоугольный лист бумаги согнули так,
совместилисЪ
его
противоположные
вершины.
Докажите, что линия сгиба перпендикулярна диа
гонали этого прямоугольника (рис.
л
13.12
Две прямые
13.46).
пересекаются под углом
50°.
Третья прямая образует с ними равные углы. Чему
могут быть равны эти углы (рис.
13.13
* **
те,
что
больше
§13
13.47)?
На плоскости провели 10 прямых. Докажи
угол
18°
между
(рис.
какими-то
двумя
из
них
не
13.48).
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
181
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
«Я должен ещё подумать!»
Очистить геометрию Евклида от <<Пятна>>, доказать знаме
нитый его пятый постулат пытались на протяжении два
дцати веков многие учёные. Вот далеко не полный список
этих
попыток:
Птолемей
в.),
(XIII
Витале
(1766),
Клавий
Бертран
(1514);
Валлис
(1680),
(1778),
в.),
(11
Хайсам (Х в.), Омар Хайям
Прокл
(IV
в.),
Ибн Аль
в.), Насир ад-Дин ат-Туси
(XI
Катальди
Барелли (1658),
(1733), Ламберт
(1810), Лежандр (1823).
(1603),
Саккери
(1663),
Лагранж
Известен курьёзный случай, когда Жозеф Луи Ла
гранж (рис.
наук
со
вдруг
своим
доказательством
его
со
словами:
аксиомы
<<Я
13.49
параллельных,
должен
об
этом
ещё
подумать!>>
К началу
Рис.
делая доклад в Парижекой академии
13.49),
оборвал
Жозеф Луи Лагранж
XIX
u
L
п
г
века количество ошибочных доказа
тельств аксиомы параллельных достигло
55.
Николай Ло
бачевский сказал об этом так: <<Напрасные старания в про
должение двух тысяч лет>>.
Как
правило,
ошибки
всех
подобных
<<доказа
Рис.
13.50
Рис.
13.51
тельств>> состояли в том, что их авторы брали на веру ка
кое-нибудь другое очевидное утверждение, из которого они
уже
строго
выводили
потом
знаменитый
пятый
постулат
Евклида. По сути эти допущения были другими формами
того же постулата, то есть все они были эквивалентны ему.
Приведём здесь некоторые из них.
ЭКВИВАЛЕНТЫ АКСИОМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
1
Параллельность
различных
прямых
обладает
свой
ством транзитивности.
2
Существует хотя бы один прямоугольник (рис.
3
Сумма
(рис.
4
углов
во
всех
треугольниках
13.50).
одинакова
13.51).
Сумма
углов
хотя
бы
в
одном
треугольнике
равна
180°;
5
Все точки в одной полуплоскости, лежащие на одина
ковом расстоянии от прямой линии, находятся на од
ной прямой (рис.
6
13.52
13.53).
Через любые три точки проходит либо прямая, либо
окружность (рис.
13.54).
·r-
h
Рис.
182
Рис.
\L
13.53
.
1
r-
r-
11 11
Рис.
13.54
ГЛАВА 4
7
Существуют
неравные
ковыми углами (рис.
8
треугольники
с
тремя
одина
13.55).
Любая прямая, проходящая через точку внутри остро
го угла, пересекает хотя бы одну его сторону.
Если принять на веру любое из этих утверждений,
м:ы
сразу
окажемся
в
<<плоскоЙ>>
геометрии
Евклида,
то
есть на бесконечном ровном листе бумаги, где нет никакой
<< КРИВИЗНЫ>>. Если отвергнуть любое из этих утверждений,
т о геометрия сразу станет искривленной, неплоской, гораз
до
более
сложной.
Такую
геометрию
обычно
называют
неев:клидовой или геометрией Лобачевского.
Рис.
13.55
Геометрия Лобачевского
Что же будет,
если отвергнуть пятый постулат Евклида?
Очевидно, что тогда через данную точку на плоскости мож
но
будет
провести
больше
данной. Больше одной
-
одной
прямой,
параллельной
значит, как минимум две. Имен
но так и сформулировал великий русский математик Ни
колай Иванович Лобачевский
11
февраля
года глав
1826
,ный постулат своей геометрии.
Аксиома Лобачевского
Ч ерез
то ч ку,
не
л ежа щу ю
на
прям о й ,
м ож н о
пр овести д ве п р ямы е, п ара лл ельны е да нн ой .
Ри с .
13.56
Сразу бросается в глаза, что аксиома Лобачевского
является
отрицанием
аксиомы
параллельных
И это не случайно: Николай Лобачевский (рис.
и многие
его
предшественники,
сначала тоже
Евклида.
13.57),
пытался
как
до
казать пятый постулат Евклида. Он даже привёл своё до
казательство
на
лекции
перед
студентами,
но
после
тоже
нашёл в нём ошибку. Неудивительно, что Лобачевский на
ч ал доказывать аксиому параллельных методом
<<ОТ проти
воположного>>. Удивительно то, что, получив на этом пути
множество
очень
странных
выводов,
он
не
остановился
в
своём исследовании, а продолжал его дальше. Ведь полу
ченные
им
результаты
противоречили
всякому
здравому
смыслу! Попробуйте себе представить следующее: в геомет
рии
Лобачевского
существует
прямая,
которая
проходит
Через точку внутри острого угла и не пересекает его сто-
§1 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Н. И. Лобачевский
Рис.
13.57
183
ран! Или такое: все точки в dдной полуплоскости от пр,я.
мой, лежащие на одинаковом от неё расстоянии, образуют
Николай
Иванович Лобачев
ский провел
ском
40
лет в Казан
из
кото
рых 19 лет был его
тором.
Его усилиями
университете,
рек
этот
университет
лучших
в
стал
России.
одним
Он
из
читал
лекции по арифметике, тео
рии
и
вероятностей,
геометJj)ии,
астрономии
лике.
Писал
и
алгебре
по
физике,
даже
гидрав
учебники
для
гимназий и заведовал биб
лиотекой. Также его интере
совали химия,
ботаника и
анатомия
человека.
но,
в
что
смерти
юности
своего
после
старшего
линию.
Если
вдуматься,
в
этом
нет
ничего
странного
_
ведь в геометрии Лобачевского не действует пятый посту.
лат Евклида. Но современникам Николая Лобачевского это
было трудно понять, над ним просто смеялись. Не помогло
даже то, что Лобачевский стал ректором Казанского уни
-
верситета
то
сама природа,
есть
очень
казалось,
уважаемым
человеком.
противоречила его
выводам:
Ведь
легко
ли себе представить, что существует геометрия, где нет ни
одного квадрата, даже нет ни одного прямоугольника? По
смотрите
вокруг:
нас
-
прямоугольники
с
вами
плитки
окружают
на
полу,
одни
столы
квадраты
и
двери,
и
ска
мейки и тетради ...
Тем не менее в новой геометрии Николай Лобачев
Извес~
брата, он два года посвятил
медицине.
кривую
ский не мог обнаружить противоречия.
Да его там и не
было, но поняли это уже только после его смерти. Оказа
лось,
что
подобная геометрия
верхностях,
точнее
-
на
суn~ествует на кривых по
поверхностях,
кривизна
котор ых
отрицательна. Такие поверхности устроены довольно слож
но,
а
вот
поверхность
с
положительной
кривизной
нам
должна быть очень хорошо знакома. Это поверхность наше
го с вами земного шара. На ней тоже нет ни одного квад
рата и ни одного прямоугольника, и при этом на ней нет
никаких противоречий!
Николай Лобачевский более
30
лет в одиночку со
здавал совершенно новую неевклидову геометрию. Эти за
нятия дорого ему стоили
научное общество Петербурга
-
резко критиковало эти его труды.
отзыв
о
его
работе
академика
Чего стоит,
например,
Остроградского:
<<Автор,
по-видимому, задалея целью писать таким образом, чтобы
его
нельзя
было
понять.
Он
достиг
этой
цели;
большая
часть книги осталась для меня столь же неизвестной, как
если бы я никогда не видал её ... Все, что я понял в гео
Рис.
13.58
метрии
Лобачевского,
ниже
посредственного.
Из
этого
я
вывел заключение, что книга господина ректора Лобачев
ского опорочена ошибками, что она небрежно изложена и,
следовательно, не заслуживает внимания Академии>>. Лоба
чевскому
не
дали
защитить
диссертацию,
и
его
авторит ет
как учёного сильно пошатнулся. Вот какова была цена че
ловеческого непонимания!
Справедливости ради,
все
современники
Николая
необходимо сказать, что не
Ивановича,
Лобачевского
не
могли его понять. В это же время в Германии жил и рабо
тал знаменитый математик Карл Гаусс
(рис.
13.58),
кото
рый получил множество глубоких результатов в арифмети
ке
и
алгебре,
циркулем
13.59).
и
а
будучи
линейкой
ещё
смог
построить
17-угольник
(рис.
Гаусса даже называли королём математиков,
его отец был простой садовник.
184
юношей,
правильный
хотя
Гаусс тоже много думал
ГЛАВА 4
в:ад
проблемой
пятого
постулата
Евклида
и
одно
время
даже занимался геометрией кривых поверхностей. Видимо,
он
был
первым,
кто
догадался
о
существовании
других
ВОО:ВРА.1КАЕDIА8
геометрий. Известно, что Гаусс измерял углы треугольни
ка, образованного тремя горными пиками, и надеялся об
наружить отличие в своих измерениях от теории Евклида.
(
Однако он публично хранил молчание об этих исследовани
ях и не опубликовал своих результатов
Н.
.,loбatllcжato. )
видимо, боялся
-
уронить этим свой авторитет в научном мире. В
году
1819
Гаусс получает письмо некоего Фердинанда Швейкарта,
в
:котором тот пишет, что обнаружил <<звёздную>> геометрию,
где нет необходимости в пятом постулате Евклида.
li АЗА НЪ .
В том же письме Швейкарт сообщал, что обычная
D ъ Yнl!nEP\IITF.тc • o ii т поо rМ.ФIИ
геометрия .является лишь ограниченной частью <<звёздноЙ>>,
11135.
в которой сумма углов любого треугольника меньше двух
прямых
углов.
Ответ
Гаусса
на
это
письмо
был
таким:
<<Почти всё это списано с моей души!>>
Сам Фердинанд Швейкарт был профессором рим
ского
права
и
математикой
занимался
как
Рис .
13.59
любитель.
Он тоже не опубликовал своих исследований, хотя навер
няка сделал бы это первым. До конца своей жизни Гаусс
публично хранил молчание о геометрии без аксиомы па
раллельных,
но
даже
ней не так далеко,
в
своих
мыслях
как Лобачевский.
он
продвинулся
Когда в
в
rоду
1840
Николай Лобачевский впервые опубликовал свои результа
ты на немецком .языке, в научной среде Германии их тоже
не поняли. Однако Карл Гаусс прочёл эту книгу и был вос
хищён ею, о чём написал своим друзьям. После смерти в
его библиотеке были найдены два экземпляра <<Геометри
ческих
исследованиЙ>>
Лобачевского.
Более
того,
в
1842
году Гаусс предложил избрать никому тогда не известного
Лобачевского
в
академики
Геттингенского
учёного
обще
ства и послал ему об этом письмо и соответствующий ди
плом. Вот его рекомендация:
<<Королевскому обществу поз
волю себе предложить в корреспонденты нашего общества
русского имперского статского советника Н. Лобачевского,
профессора в Казани, одного из самых выдающихс.я мате
Карл Гаусс
Рис.
13.60
Рис .
13.61
матиков русского государства>>.
Гаусс даже стал учить русский .язык, чтобы прочи
тать другие труды Лобачевского в оригинале! Вот выдерж
ка из его письма:
<<Я начинаю читать по-русски довольно
успешно и нахожу в этом большое удовольствие. Господин
Кнорре прислал мне небольшой мемуар Лобачевского, на
писанный
большая
им
по-русски,
книжка
о
и
как
этот
параллельных
мемуар,
линиях
на
так
и
не
немецком
.языке ... возбудили во мне желание узнать больше об этом
остроумном математике>>.
Правда, даже Гаусс сообщает о трудности понима
ния
работ
Лобачевского:
<<Его
работы
можно
уподобить
запутанному лесу, через который нельзя найти дороги, не
изучив предварительно каждого дерева>>.
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
185
Есть ещё один человек, имя которого навсегда свя
зано с открытием новой неевклидовой геометрии. Его зо
вут Янош Больаи. Он был венгром, а Венгрия тогда при
надлежала
Австрийской
империи.
Еще
в
детстве
Яноm
проявил способности к математике и музыке: к десяти го
дам он имел собственные музыкальные сочинения, а в
лет
овладел
уже
основами
дифференциального
и
13
ин те
грального исчислений. Его отец, Фракаш Больаи, сам был
математиком и даже другом знаменитого Гаусса. Отец хо
тел, чтобы его сын учился у его великого друга, но вышло
по-другому.
В
лет
20
Янош
заканчивает военпо-инженер
ную академию в Вене и тогда же увлекается теорией па
раллельных. Об этом он сообщает своему отцу и получает
от него следующий красноречивый ответ:
пытаться
Янош Больаи
Рис.
одолеть
теорию
параллельных
<<Ты не должен
линий...
я
знаю
этот путь, я прошёл его до конца, я пережил эту беспро
13.62
светную ночь,
и всякий светоч,
всякую радость жизни я
похоронил в ней ... Молю тебя: оставь в П@:Кое учение о па
раллельных
оно лишит тебя здоровья, досуга и покоя ,
-
оно погубит для тебя всю радость жизни>>. Согласитесь: по
сле
такого
высокопарного
сыну удержаться и не
может
поглотить
предостережению
Уже в
предостережения
заглянуть
тысячи
своего
в
эту
Ньютонов>>!
отца,
И
последовал
трудно
<<бездну,
Янош,
его
было
которая
не
вняв
примеру.
году он приходит к выводу, что пятый
1823
постулат Евклида доказать невозможно, и пишет свой пер
вый
и
единственный
законченный
трактат,
где
кратко и
очень изящно излагает основы совершенно другой геомет
рии. <<Я создал странный новый мир из ничего!>> -так го
ворит он в письме своему отцу. В том же году Янош посту
пает
10
офицером
на
военную
службу
и
потом
отдаёт
ей
лет жизни.
Но история на этом не заканчивается. Волею судь
бы
его
трактат под
содержащее
науку
о
витиеватым названием
пространстве,
не
<<Приложение,
зависящую
от истин
ности или ложности последней аксиомы Евклида>> так и не
182
oк-,rinu.
был опубликован. Похоже, отец Яноша сам не мог его до
конца понять и потому не дал ему хода. А его сын всё это
время служил офицером в маленькой румынской крепости
Тамешвар. Только через восемь лет отец решается послать
трактат Яноша своему другу по университету
Гауссу.
В
письмах друзьям Гаусс
-
великому
называет юного
Яноша
гением высшего класса. А вот его ответ отцу юного гения
был
довольно
холоден.
Приведём
его
здесь:
<<Теперь
несколько слов о работе Вашего сына. Вероятно, Вы будете
~-~•inu,
·в~~~omR81'8~-·,......a.
~8JIТТSOk.~oaк---
---.a.a·~~-z~~
1RI84ж,ТO_,I..Ia0Cn.Citnlelf'f&Z_,....,~,Ь - Qfic' • "
(80КII-~~0~8tor'O~-~
~~~~ -
немало
поражены,
лить её.
Но я
не
если
я
начну с
того,
что
могу сделать ничего
не
могу
иного,
пахва
поскольку
хвалить её означало бы хвалить самого себя. Всё содержа
ние его работы, её результаты и путь, на который встал
Ваш сын, почти везде согласуются с моими собственными
Рис .
186
13.63
мыслями,
которые
занимали
меня
в
течение
последних
ГЛАВА
4
Рис.
13.64
30
лет. Я имел намерение сам перенести их на бумагу, но
не
хотел
ничего
из
этого
публиковать
при
жизни.
Ведь
большинство людей совершенно не имеют понятия о том, о
Янош
чём здесь идёт речь. Поэтому .я немало поражён тем, что
гениальным
освобожден от необходимости делать это сам, и меня раду
веком
ет,
что
именно
сын
моего
старого
друга
предвосхитил
меня>>. Таким образом, получалось, что молодой Янош про
сто прочитал мысли Гаусса!
Ответ
Гаусса
кую душевную рану.
Больаи
был
поистине
молодым
он
знал
чело
девять
языков (включая китайский!),
играл
на скрипке,
фехтовал
и
слыл
прекрасно
отъявлен
ным дуэлянтом.
нанёс
честолюбивому
Яношу
глубо
Его здоровье пошатнулось, характер
сильно испортился, и в
1833
году Янош навсегда оставляет
военную службу. Годом раньше его отец публикует книгу
по
математике,
в
приложении
к
которой
помещает
Appendix- трактат своего сына, написанный им на латы
ни (рис. 13.61). Трактат был наконец опубликован, но ни
Янош, ни его отец не знали, что в далёкой России ещё в
1829-1830
. ситета>>
годах в каком-то <<Вестнике казанского универ-
впервые были
опубликованы результаты по
неев
клидовой геометрии Николая Ивановича Лобачевского. До
конца своей жизни Янош Больаи занимался математикой,
но так и не смог завершить и опубликовать больше ни од
ной своей работы.
После его смерти было обнаружено несколько де
сятков тысяч черновиков. Более того, узнав о работах Ло
бачевского
только
в
1848
году,
Янош
Больаи
пришёл
в
ярость. До конца своей жизни он был уверен, что никако
го Лобачевского не существует,
а все его результаты при
своил и опубликовал <<ЖадныЙ>> Гаусс. Правда, как истин
ного
учёного,
его
восхитили
некоторые
теоремы
и
доказательства <<Геометрических исследованиЙ>>, и он напи
сал к ним подробные комментарии. Последние годы жизни
этот гениальный человек провел в глубокой депрессии. Он
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
187
много
думал
над
тем,
почему
великие
ются разными людьми почти
В конце жизни Лобачевский
диктует свою ' Пангеометрию
(то есть всеобщую геомет
рию), будучи уже слепым.
Она была опубликована за
год
до
его
кончины
в
году
в
«Учёных за
писках Казанского универ
1855
ситета».
открытия
одновременно.
В
соверща~
одном из
его черновиков была найдена такая запись: <<Для идей, ка!\.
и
для
растений,
разных
местах,
ляются везде,
настаёт
подобно
время,
тому,
когда
как
они
весной
созревают
фиалки
в
паяв~
где светит солнце>>.
Николай Лобачевский, Янош Больаи, :Карл Гаусс и
Фридрих Швейкарт по праву считаются первооткрывателя~
ми неевклидовой геометрии. Но геометрия эта носит имя
именно Лобачевского потому, что он первым опубликовал
результаты своих исследований в печати.
современного
Запомните: для
научного мира это имеет огромное значение!
Но дело не только в этом. Николай Иванович Лобачевский
не испугался насмешек современников, всеобщего непони~
мания
и
далеко
продвинулся
в
построенной Им
теории .
Он продолжал работу над ней до самой смерти.
Последнюю свою работу Николай Иванович закан~
чивает
вопросом
окружающего
о
нас
том,
какова
пространства,
на
то
самом
есть
деле
каков
природа
этот
мир
-
евклидов он или нет? И сам же отвечает на этот вопрос
так: <<Один только опыт может подтвердить истину данного
предположения:
ног о
например, измерением углов прямолиней~
треугольника
Итак,
... >>
один только опыт может подтвердить исти
ну... Это вам ничего не напоминает? :Конечно же! Данный
подход
Псевдосфера Бельтрами
Рис.
13.65
-
это основа физики, в которой эксперимент реша
-
ет всё. Получается, что геометрия
это тоже часть физи
ки, то есть математическая теория, с помощью которой че
ловек
исследует
данный
ему
покажет только эксперимент.
мир.
А
каков
этот
мир,
Так на самом деле и оказ а
лось. Вскоре после смерти Лобачевского появились первые
модели неевклидовой геометрии. В
1856
году итальянский
математик Эудженио Бельтрами обнаружил материальные
тела,
на
поверхности
которых
Лобачевского. Одно из них
выполняется
геометрия
это так называемая псевдо
-
сфера, немного похожая на трубу старинного граммофона
(рис.
13.62).
Оказалось, что на этой поверхности через одну точ
ку можно провести много <<прямых>> линий, не пересекаю
щих данную <<прямую>>. Само собой разумеется,
на такой кривой поверхности
-
<<прямые>>
это не прямые в обычном
смысле этого слова. Так же как и на поверхности нашей
Модель Клейна
Рис.
188
13.66
Земли, такие <<Прямые>> всегда идут по кратчайшему пути
между своими точками
-
ческими. Ещё через
лет немецким математиком Фелик-
15
поэтому их и называют геодези
ГЛАВА 4
сом Клейном была обнаружена очень простая, но абстракт
gая
модель
неевклидовой
--
плоскость
это
геометрии.
внутренность
которого медостижима (рис.
В
этой
некоторого
13.63).
модели
круга,
вел
граница
Можно даже сказать,
что это такал <<круглая вселенная>>, на приближение к гра
gице которой уходит бесконечное время. Точки в этой <<все
ленноЙ>>
это
обыкновенные, отрезки тоже,
отрезки,
концы
которых
а вот
находятел
на
<<прямые>>
границе
--
нашего
круга. То есть дойти до <<конца>> такой <<прямоЙ>> невозмож
IIО за
конечное
время.
Аксиома
Клейна не
параллельных
выполняется.
в
<<круглой
вселенноЙ>>
Посмотрите на рисунок:
на нём
через точку М проходит много прямых, которые не пересе
кают данную прямую с. Таким образом, перед нами .явная
модель неевклидовой геометрии.
Как жаль, что ни Лоба
чевский, ни Больаи, ни Швейкарт или Гаусс не могли уви
деть её при жизни!
её
смогла
геометрия?
ответить
лой
модели
няются
рии
В
В
пекоторой
теория
степени
на этот
относительности,
вопрос
созданная
ещё
одним гением Альбертом Эйнштейном. Оказалось, что со
гласно этой теории вблизи очень массивных тел лучи сол
нечного света должны искривляться.
Клейна
выпол
все аксиомы
геомет
Евклида,
сиомы
кроме
ак
параллельных.
самом
её
деле:
точки
любые
можно
две
соединить
обычным отрезком, который
можно
продолжить до
сечения
с
границей
пере
нашего
круга. То есть через любые
две
точки
прямую.
можно
Из
прямой
трёх
здесь
провести
точек
тоже
на
только
одна лежит между двух дру
гих, и любая прямая разби
вает
Ну а как же обстоит дело в нашей вселенной? Ка
кова
Легко проверить, что в круг
всю
части
рии
так
плоскость
же,
Евклида.
резков
и
как
в
на
две
геомет
Аксиомы
углов
здесь
от
тоже
ВЫПОЛНЯЮТСЯ, еСЛИ ОСОбЫМ
образом определить длину
отрезка
и
величину угла.
То есть прямые ли
нии в поле очень сильной гравитации идут не так, ка:k у
Евклида. А ведь дл.я человека путь луча света
дель
прямой
линии.
Получается,
что
само
--
это мо
пространство
должно искривляться силой тяготения! Как и любую фи
зическую теорию,
этот вывод необходимо было проверить
на практике, то есть нужно было подтвердить его экспери
ментом. Эйнштейн пришел к своему открытию в
1916
году
в разгар Первой мировой войны, и необходимо было ещё
дождаться
Ведь
её
окончания,
провести
солнечного
чтобы
его можно
поставить
было только
во
такой
время
опыт.
полного
затмения.
Идея эксперимента состояла в том, чтобы во время
затмения
сфотографировать
звезду,
которал
по
всем
,,
рас
,
,,
,
чётам должна находиться позади Солнца и которую невоз
можно в этот момент увидеть с Земли. Если же световые
лучи, проходя вблизи огромного Солнца на самом деле ис
кривляются полем его гравитации, то они обогнут Солнце
и звезду станет
был поставлен
ле
западного
догадку
видно.
29
мал
Этот фантастический эксперимент
1919
побережья
Эйнштейна
года на маленьком острове воз
Африки
(рис.
13.64)!
и
блестяще
Видите,
'
подтвердил
как
Солнце во время
затмения
сложно
устроен мир, в котором мы с вами живём!
Вопрос,
поставленный
Николаем
Лобачевским
конце жизни, так и остаётс.я пока открытым.
окружающее нас пространство искривлено,
на тех рассто.яни.ях,
невозможно.
мент:
§13
он
Сам
измерял
с
Даже если
то заметить это
которыми человек имеет дело,
Лобачевский
углы
проводил
треугольника,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
в
одна
такой
пока
экспери
3емл.я
Опыт Эйнштейна
Рис.
13.67
вершина кота-
189
о
Вега
11
Денеб
о
Альтаир
А
Рис.
(
13.68
рога находилась в определённой точке на Земле, вторая
на
Солнце,
а
третья
на
-
звезде
Сириус
13.6).
(рис.
Данный его эксперимент не показал отличия от геометрии
Евклида.
Но
это
ничего
не
доказывает.
Если
на
Рис .
13.69
нашей
Земле нарисовать маленький треугольник со сторонами не
больше
метра,
1
то он тоже будет практически плоским,
как у Евклида. Треугольник же со сторонами в
будет
иметь
совершенно
другую
форму
и
10 000
другую
км
сумму
своих углов. То есть даже на Земле на таких больших рас
стояниях
(рис.
должна
13.66)!
работать
уже
другая
геометрия
А расстояния в окружающей нас Вселенной
вообще превосходят всякое воображение
свет некоторых
-
видимых нами звёзд идёт к нам от них миллионы лет!
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
13.14
**л
Попробуйте найти ошибку такого <<доказа
с
тельства>> пятого постулата Евклида. Докажем, что
------------- Е
через точку С проходит единственная прямая, па
раллельная АВ.
Как известно, из точки С можно
опустить единственный перпендикуляр
К
прямой
CD
перпендикуляр
можно
СЕ.
восстановить
Прямая
СЕ
CD
на АВ.
единственный
Поскольку наши построения выполнены единствен
но
возможным
одна (рис.
13.15
*л
ского
190
образом,
то
D
А
параллельна АВ.
такая
прямая
только
Рис.
~:.. :~. . .-- в
r
13.70
13.67).
Как вы уже знаете, в геометрии Лобачев
через
одну
точку
можно
провести
две
пр я-
ГЛАВА 4
мые,
что
которые
через
не
пересекают
любую
точку
в
данную.
этой
Докажите,
геометрии
можно
провести сколько угодно таких прямых (рис.
0
13.68).
ВОПРОСЫ
Рис.
Используем интернет
1
Известно, что у Карла Гаусса и Николая Лобачев
2
Кто из первооткрывателей неевклидовой геометрии
13.71
ского был один учитель математики. Кто это был?
несколько
лет
преподавал
в
харьковском
универси
тете?
3
Кто из первооткрывателей неевклидовой геометрии
вьшвал на дуэль родного отца?
4
Обыватели часто полагают, что в геометрии Лоба
чевского параллельные прямые пересекаются. Как
вы объясните, почему это не так?
5
Кто из основателей неевклидовой геометрии лично
наблюдал полное солнечное затмение?
6
В одном произведении русской литературы так рас
суждают
о
неевклидовой
геометрии:
<<Объявляю,
что принимаю Бога прямо и просто. Но вот, одна
ко,
что
надо
отметить:
действительно
создал
шенно известно,
если
землю,
Бог
есть
и
то,
как
нам
если
Он
совер
создал Он её по эвклидовой гео
метрии, а ум человеческий с понятием лишь о трёх
измерениях пространства.
Между
тем
находились
и находятся даже и теперь геометры и философы
и даже из замечательнейших,
которые сомневают
ся в том, чтобы вся вселенная, или ещё обширнее,
всё бытие было создано лишь по эвклидовой гео
метрии,
осмеливаются
даже
мечтать,
что
две
па
раллельные линии, которые по Эвклиду ни за что
не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись
бы
где-нибудь
шил
так,
что
в
бесконечности.
если
я даже
этого
Я,
не
голубчик,
могу понять,
ре
то
где ж мне про Бога понять. Я смиренно сознаюсь,
что
у
меня
нет
никаких
способностей
разрешать
такие вопросы, у меня ум эвклидовский, земной, а
потому где нам решать о том, что не от мира сего>>.
Попробуйте
определить,
кто
написал
это
произведение.
§13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
191
умма у
§14
треугол
ов
ника
Сумма углов треугольника
Пожалуй, самым важным свойством
<<плоскоЙ>>
геометрии
Евклида является то, что сумма углов любого треугольни
ка в этой геометрии одинакова и равна
заметили ещё ученики Пифагора,
Впервые это
180°.
но вряд ли они могли
бы доказать данное утверждение строго. Знаменитый фран
цузский математик, физик, инженер и философ
XVII
века
Влез Паскаль заново открыл его, когда ему было всего
12
лет. Мы же с вами сделаем это со всей строгостью, опира
ясь на свойство параллельных прямых.
'
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов любого треугольника равна
180°.
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть углы произвольнаго треугольника АВС
соответственно равны а,
13
и у. Проведём через
его вершину В прямую ЕК, параллельную пря
мой АС.
Тогда углы САВ и ЕВА окажутся накрест лежа
а
щими при двух параллельных и секущей АВ.
По свойству параллельных прямых эти углы
равны, поэтому величина угла ЕВА равна а.
13
у =
180°
б)
Точно так же величина угла КВС равна у.
Легко видеть, что углы с величинами а,
+ 13 +
Е
в
к
и у
вместе составляют развёрнутый угол ЕВК, поэто
му их сумма а
+ 13 +
у
= 180°.
Таким образом,
сумма углов любого треугольника равна развёр
нутому углу, или
180°.
Теорема доказана.
А
Рис.
192
с
14.1
ГЛАВА 4
Рис.
14.2
~ УПРАЖНЕНИЕ
Вырежьте из бумаги треугольник, отметьте середи
1
ны двух его сторон и проведите высоту к третьей
.•.
его стороне. Теперь загните два его угла так, как
это показано на рисунке
что
вместе
все
углы
14.3.
этого
,. '
,, .. ' '
Убедитесь на опыте,
треугольника
1
,'
состав
1
1
....
•
лов
треугольника
очень
часто
используется
для
'\
',
,'QZ]';· ..
ляют развёрнутый угол.
Мы с вами скоро увидим, что теорема о сумме уг
1
:
Рис.
1
1
1
'
.. .. -. .
'
'
14.3
решения
самых разных задач. А для того чтобы нам было удобнее
группировать углы на чертежах, мы с вами докажем ещё
одну теорему.
Она называется теоремой о
внешнем угле
треугольника.
Но давайте сначала определим, что такое внешний
угол треугольника или даже многоугольника.
Внешний угол многоугольника
ный
с
углом
(рис.
14.4).
многоугольника
-
это угол, смеж
при
его
вершине
При одной вершине у многоугольника всегда обра
зуются два его внешних угла. Эти углы всегда равны друг
другу,
§14
поскольку являются вертикальными.
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Внешние
и
углы
треугольника
многоугольника
Рис.
14.4
193
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух
его углов,
не
смежных
с ним.
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть углы при вершинах А и В треугольника
АВС соответственно равны а и
[3.
Угол ВСЕ
-
внешний угол этого треугольника при вершине С.
Мы докажем, что он равен а
+ [3.
Проведём через вершину С прямую, параллельнут
Внешний угол =
а
А
с
прямой АВ. Луч СК этой прямой, лежащий вну
три угла ВСЕ, разбивает его на два меньших угла.
+ [3
б)
Угол ЕСК равен а, поскольку он соответственный
углу ВАС при двух параллельных и секущей АС.
Угол ВСК и АВС равны
[3,
поскольку они накрест
лежащие при тех же параллельных. Таким об
разом, получается, что внешний угол ВСЕ тре
угольника равен а
+
rз.
Что и требовалось доказать.
Рис.
yrno
ноrоугопьни
Е
14.5
а
Мы с вами сейчас увидим, что сумма углов любого много
угольника зависит только от количества его углов. Для на
чала возьмём любой четырёхугольник.
был
-
выпуклым или нет,
-
диагональю на два треугольника (рис.
жим
шесть
углов
этих
Каким
бы
он
ни
его всегда можно разбить
треугольников,
сумму углов всего четырехугольника.
Если мы сло
14.17).
то
как
раз
получим
В самом деле,
угол
каждого из них либо совпадает с углом нашего четырёх
угольника,
либо
прилегает
к
Сумма углов многоугольника
равна 180° · (п - 2)
Рис.
194
14.6
проведённой
диагонали.
Сумма
А
углов
любого
угольника равна
Рис.
четырех
360°
14.7
ГЛАВА 4
все
такие
углы
в
сумме
дают
два угла нашего четырёх
угольника, между которыми проведена эта диагональ. Зна
чит,
сумма углов любого четырёхугольника должна быть
равна
Произвольный пятиугольник можно двумя его
360°.
диагоналями
разрезать
на
три
треугольника
(рис.
Поэтому сумма его углов должна быть равна
540°.
ник
Можно строго доказать,
можно
таким же
образом
что произвольный
разрезать
на (п
угольника. Поэтому сумма его углов равна
Для
невыпуклых
14.8).
3 · 180° =
многоугольников
это
п-уголь
2) тре
2) · 180°.
-
(n -
доказательство
Сумма
не
углов
любого
угольника равна
так просто, поэтому мы с вами строго докажем эту форму
лу для случая, когда многоугольник выпуклый.
Рис.
пяти
540°
14.8
Теорема о сумме углов многоугольника
Сумма углов любого п-угольни:ка равна
180° · (n - 2).
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть выпуклый многоугольник имеет
n
углов.
Давайте возьмём любую точку О внутри много
угольника и соединим её со всеми его вершина
ми. Каждый проведённый отрезок будет лежать
внутри нашего
плоского
многоугольника,
по
скольку он выпуклый. Если разреза'lъ много
угольник по всем этим отрезкам, он распадётся
ровно
на
n
Сумма углов равна
180° · (n - 2)
треугольников.
Теперь сложим все углы в этих
n треугольниках.
б)
Мы получим сумму углов данного нам много
угольника и
сверх того
-
сумму всех углов
этих
треугольников с вершиной в точке О. Сумма этих
углов равна
360°,
поскольку вместе они состав
ляют так называемый полный угол, или два
развёрнутых угла. Таким образом, сумма углов
нашего
п-угольника равна
n · 180° - 360°
=
(п
- 2) · 180°.
Что и требовалось доказать.
Сумм
Рис.
14.9
внешних углов
многоугольника
Итак, мы с вами доказали, что сумма углов многоугольни
ка зависит только от количества его вершин. А знаете ли
вы,
что сумма внешних углов любого многоугольника не
зависит даже от этого, то есть она одинакова для всех тре
угольников, четырёхугольников, пятиугольников и любых
n-угольников? И доказать это совсем просто.
§14
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
195
Теорема о сумме внешних углов
Сумма внешних углов любого многоугольника
всегда одинакова.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть углы нашего многоугольника равны
а 1 , а 2 , ••• ,
an.
Отметим при каждой его вершине
по одному его внешнему углу. Поскольку каждый
внешний угол
-
угольника,
эти
а 1 ),
(180° -
то
смежный с углом самого много
внешние углы равны
а 2 ), ••• , (180° - ап). Тогда их
(180° - а 1 ) + (180° - а 2 ) + ... +
180° · n - (а 1 + а2 +... + ап).
(180° -
сумма будет равна
+ (180° -
ап) =
Поскольку мы уже доказали, что (а 1
+
+
а2
ап) =
равна
(n - 2) · 180°, то сумма внешних
180° · n - (n - 2) · 180° = 360°.
+ ... +
углов
Таким образом, мы убедились, что сумма
Сумма внешних углов лю
внешних углов любого многоугольника всегда
бого
одинакова.
на
Что и требовалось доказать.
Рис.
многоугольника
рав
360°
14.10
Интересно, что понять данный факт можно и безо
всякой теории, как говорят,
спичках.
Мы
будем
<<На пальцах>>. А точнее
двигать
контуру многоугольника так,
вне
его.
Если
обыкновенную
чтобы
спичка переходит
с
она всё
одной
-
спичку
на
по
время была
стороны
много
Как вы думаете,
доказательстве
угольника на следующую, она каждый раз поворачивается
используется
на внешний угол этого многоугольника при данной верши
раллельных?
где в этом
«на
спич ках»
аксиома
па
не. А когда спичка обойдёт весь многоугольник, то повер
нётся вокруг самой себя на сумму всех его внешних углов
и вернётся на прежнее место! То есть спичка сделает во
круг себя один полный оборот, или же повернётся на
Значит, сумма внешних углов многоугольника равна
а)
360°.
360°.
в)
'
Рис.
196
14.11
ГЛАВА 4
ВОПРОСЫ
Чему равна сумма углов треугольника? Чему мо
1
жет быть равен угол равностороннего треугольни
ка?
2
Используется ли в теореме о сумме углов треуголь
3
Что
4
Чему равна сумма углов четырёхугольника, пяти
ника аксиома параллельных прямых?
такое
внешний
угол
многоугольника?
Чему
равна сумма всех его внешних углов?
угольника?
5
Существует ли
6
Чему равна сумма углов многоугольника, показан
7
Можно ли десятиугольник разрезать на семь тре
рого равна
многоугольник,
сумма углов
кото
Рис.
14.12
Рис.
14.13
900°?
ного на рисунке
14.12?
угольников?
Могут
8
ли
биссектрисы
двух
углов
треугольника
быть перпендикулярны друг другу?
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
• <:rд
ПРИМЕР 14.1
Один угол шестиугольника прямой,
а все другие равны между собой. Найдите величину этих
углов (рис.
14.13).
РЕШЕНИЕ:
Обозначим
величину
равных
углов
ше
стиугольника буквой а. Тогда сумма всех его углов будет
+ 90°.
равна ба
Мы уже знаем, что сумма углов любого
180° · (6 - 2) = 720°. Таким об
разом, получаем уравнение ба + 90° = 720°. Отсюда нахо
дим, что а = 126°.
ОТВЕТ: 126°.
шестиугольника равна
** ~
ПРИМЕР 14.2
строили
На стороне квадрата внутри него по
равносторонний
треугольник.
Найдите
отмечен
ный на рисунке угол, под которым из вершины этого тре
угольника
(рис.
14.14,
видна
РЕШЕНИЕ:
внутри
противоположная
него
Пусть
на
стороне
60°. Все углы квадрата
ВАЕ равен 90° - 60° = 30°. Но у
также равны, значит, АВ = AD =
равнобедренный.
квадрата
ABCD
AED.
прямые, поэтому угол
квадрата все стороны
АЕ. То есть треуголь
Обозначим
nри основании ВЕ буквой а (рис.
§14
AD
то их величина должна
быть равна
АВЕ
квадрата
построен равносторонний треугольник
Поскольку все его углы равны,
ник
сторона
а).
его
14.14, 6).
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
равные
углы
По теореме о
а)
с
а)
с
А
Рис.
А
14.15
+ 30° = 180°,
75°. Точно так же можно дока
зать, что угол DEC равен 75°. Но тогда искомый угол ВЕС
равен 360° - 60° - 2 · 75° = 150°.
ОТВЕТ: 150°.
сумме углов треугольника должно быть 2а
с
Отсюда получаем, что а =
** ~
ПРИМЕР 14.3
Найдите сумму углов при вершинах
любой пятиконечной звезды (рис.
14.15,
а).
РЕШЕНИЕ: Обозначим вершины звезды буквами А,
В, С,
Е. Пусть величины углов при этих вершинах рав
D,
ны а, ~' у, В и ~ соответственно. Задача состоит в том, что
бы найти сумму а
А
+
+
~
у
+
+
В
~-
Обозначим точки пересечения отрезка
с
AD с отрез
14.15, 6). Заметим,
треугольника DMB, поэто
ками ВЕ и СЕ буквами М и К (рис.
что угол
внешний для
DME -
му он равен ~
Точно
+
В (рис.
так
же
в).
14.15,
угол АКЕ
является
треугольника КАС, поэтому он равен а
+
внешним
у (рис.
Таким образом мы получаем, что сумма а
+
~
+
равна сумме всех углов треугольника ЕМК (рис.
для
14.16,
+
у
В
а).
+
е
14.16, 6),
то есть она равна
ОТВЕТ:
*
А
<
14.16
ПРИМЕР 14.4
На боковых сторонах АВ и ВС рав
нобедренного треугольника АВС взяли точки М,
так,
Рис.
180°.
180°.
что
ВК =
КМ =
МЕ
ЕА
=
АС
=
(рис.
К и Е
14.17,
а).
Найдите угол этого треугольника, лежащий против осно
вания.
РЕШЕНИЕ : Обозначим величину искомого угла бук
вой а.
Треугольник МВК равнобедренный,
-
ВМК тоже равен а. Угол МКЕ
угольника, поэтому он равен а
Поскольку
+
треугольник
поэтому угол
внешний для этого тре
а =
2а (рис.
КМЕ
тоже
14.17, 6).
равнобедрен
ный, то его угол МЕК также равен 2а. Давайте и дальше
<<складывать>>
нужные
нам
углы
по
теореме
угле треугольника. Заметим, что угол АМЕ
для треугольника ВМЕ,
(рис.
14.17,
поэтому он равен а
о
внешнем
внешний
-
+
2а
=
За
в). Треугольник АМЕ опять равнобедренный,
значит, его угол МАЕ тоже равен За. А угол АЕС является
198
ГЛАВА 4
в
в
в
в
с
D
о
с
D
о
с
D
с
D
Е
с
А
Рис.
А
с
с
А
с
А
14.17
внешним для треугольника АВЕ, следовательно, он равен
а
3а =
+
4а.
Поскольку треугольник АЕС равнобедрен
ный, то угол АСЕ тоже равен 4а. Нам осталось заметить,
что
сам
треугольник АВС по
условию
был
равнобедрен
ным, поэтому его угол ВАС равен 4а. Если теперь мы сло
жим все углы треугольника АВС, то получим а+ 4а
9а (рис.
14.17,
угольника
равна
=
Значит, а
180°,
4а =
поэтому
должно
быть
9а
=
180°.
20°.
ПРИМЕР 14.5
го равна
+
По теореме сумма углов любого Тре
= 20°.
ОТВЕТ:
***
г).
50°,
На сторонах угла, величина которо
взяли точки А, В, С,
на рисунке, причём АВ
ВС
=
те угол между прямыми АС и
D так, как это показано
= CD (рис. 14.18, а). Найди
BD.
РЕШЕНИЕ: Обозначим вершину данного угла буквой
О,
а точку пересечения отрезков АС и
BD -
г)
буквой Е.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому его углы при
вершинах А и С равны. Обозначим их величину а. Заме
тим, что для треугольника АВС угол ОВС внешний, поэто
му он равен а
+
а =
Треугольник
2а (рис.
14.18, 6).
также равнобедренный, поэтому
BCD
его углы при вершинах В и
D
го треугольника внешний,
значит,
(рис.
14.18,
равны
/3.
Угол ВСО для это
он равен
/3 + /3
=
о
2/3
в).
Конечно, найти по отдельности углы а и
/3
мы не
д)
сможем: для этого у нас не хватает данных. Но найти их
сумму очень просто. В самом деле, сумма углов треуголь
ника
+
+
ОВС должна быть равна
180°, поэтому 50° +
+ 2/3 = 180° (рис. 14.18, г). А отсюда следует, что 2а +
2/3 = 130°, то есть а + /3 = 65°. До ответа нам остался
2а
всего один шаг. Нужный нам угол между прямыми АС и
BD
является внешним углом к треугольнику ВСЕ, поэтому
он как раз равен а
ОТВЕТ:
§14
+ /3
=
65°
(рис.
14.18,
65°.
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
д).
Рис.
14.18
199
Рис .
14.19
Рис.
А
Рис.
14.20
14.21
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
14.1
Рис.
*17
.л.
Один из угдов равнобедренного треугольни
ка равен
14.22
50°.
Найдите его другие углы. Могут ли
быть у задачи различные решения?
14.2
*
~ 1::r
*
~
Один из углов равнобедренного треугольни
ка в два раза больше другого. Найдите этот угол.
14.3
Биссектриса прямого угла треугольника об
разует с
его
противоположной
стороной
угол
65°.
Найдите меньший угол этого треугольника.
с
*
14.4
Биссектриса угла при основании равнобед
ренного треугольника образует с его боковой сторо
ной угол
75°
(рис.
14.19).
Найдите угол при основа
нии этого треугольника. Может ли у задачи быть
второе решение?
Рис.
14.23
14.5
*<'-
--:j
Два угла пятиугольника прямые, а осталь
ные равны между собой (рис.
14.20).
Чему равны
эти углы?
14.6
*
~
область
На стороне квадрата во внешнюю от него
построили
равносторонний
треугольник.
Найдите угол, под которым из вершины этого тре
угольника
рата (рис.
14.7
Рис.
*
tl
видна
сторона
кв ад
На двух сторонах квадрата построили рав
носторонние
14.24
противоположная
14.21).
на рисунке
треугольники
14.22.
Лежат
так,
ли
как
это
показано
отмеченные
на
нём
точки А, В и С на одной прямой?
14.8
*
На трёх сторонах квадрата построили рав-
носторонние
на рисунке
Рис .
200
14.25
треугольники
14.23.
так,
как
это
показано
Найдите на нём величину угла
АВС.
ГЛАВА 4
с
А
Рис.
14.9
•
Е
в
14.26
**-Qo
два
Рис.
при основании
меньших
равнобедренных
этого
14.11
основании
**.л.
Рис.
14.29
Рис.
14.30
так,
Найдите угол
равнобедренных
этого
треугольника
14.25.
так,
Найдите угол
треугольника.
Треугольник с внешним углом, равным
разрезали
так,
треугольника
14.24.
треугольника.
как это показано на рисунке
при
14.28
Равнобедренный треугольник разрезали на
<::r
два
Рис.
Равнобедренный треугольник разрезали на
меньших
как это показано на рисунке
14.10
14.27
на
три
равнобедренных
как это показано на рисунке
80°,
треугольника
14.26.
Найдите
меньший угол этого треугольника.
14.12
*
Угол треугольника равен а.
между
(рис.
14.13
. биссектрисами
14.27).
**~
Угол
трисой
(рис.
*.л
14.14
треугольника
биссектрисой
между
двух
внешнего
его
угла
равен
а.
его
углов
Найдите угол
угла
второго
при
Найдите угол
других
биссек-
и
третьей
вершине
14.28).
Найдите сумму углов при вершинах шести
звенной замкнутой ломаной, показаиной на рисун
ке
14.15
14.29.
**.л
Найдите сумму углов при вершинах семи-
звенной замкнутой ломаной, показаиной на рисун
ке
14.16
14.30.
А
с
к
14.31
На продолжении стороны АС треугольника
,
что АМ =
АВ,
СК =
ВС. Найдите угол МВК, если угол АВС ра
вен
(рис.
13
***
14.31).
Выпуклый
шестиугольник
таков,
что
его
противоположные углы попарно равны (рис.
14.32).
Докажите,
такого
что
противоположные
шестиугольника параллельны.
§14
~
м
Рис.
*
АВС отметили точки М и К так
14.17
в
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
стороны
Рис.
14.32
201
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Ещё раз о сумме углов
треугольника
Можно
ли
пользуя
сделать
вычислить
аксиомы
с
сумму
углов
параллельных?
помощью
следующего
треугольника,
Давайте
не
ис
попробуем
это
в
рассуждения.
Предположим, что сумма углов треугольника нам
неизвестна, и обозначим её буквой
Возьмём произволь
S.
ный треугольник АВС и отметим на его стороне АС лю
бую точку М. Если мы проведём отрезок ВМ, то получим
два меньших треугольника АВМ и ВСМ.
Теперь сложим
все шесть углов в этих двух треугольниках. С одной сторо
ны, в сумме мы должны получить
сумма
всех
углов
этих
2S.
треугольников
равна
сумме
смежные, то их сумма равна
S
мы с вами получаем такое
Откуда следует, что
S
=
м
углов
исходного треугольника АВС, к которой нужно ещё приба
вить углы АМВ и СМВ (рис.
с
А
С другой стороны,
Рис.
14.33
14.33). Поскольку эти углы
180°. Значит, для величины
уравнение: 2S = S + 180°.
180°.
Выходит, что мы с вами доказали теорему о сумме
углов любого треугольника и нигде не пользавались аксио
мой
параллельных?
Нет
ли
здесь
логической
ошибки?
Конечно, такая ошибка есть. Только что проведённое нами
<<доказательство>>
неудачных
-
попыток
хороший пример из длинного списка
доказать
пятый
постулат
Евклида.
Попробуйте теперь сами найти в нём ошибку.
202
ГЛАВА 4
Расчёт углов
§15
в равных треугольниках
и дополни
е
ьные
построения
В этом параграфе мы с вами не будем проходить
никакой теории.
Правда,
бами,
или,
Мы
вами
с
Он полностью посв.ящён решению задач.
многие из этих задач решаютел похожими спосо
как
ещё
говорят,
познакомимся
с
одним
двумя
и
тем
такими
же
методом.
методами
-
расчётом углов в равных треугольниках и методом допол
нительных построений.
Расчёт углов в равных
Рис.
треугольниках
В
этих
равные
углы,
задачах мы
с
вами
треугольники,
а
потом
угольника.
будем
отмечать
использовать
Равные
на чертежах
их
треугольники
находить
соответственно
теорему
о
будут
сумме
равные
углов
нашими
тре
<<помощ
никами>>: не бойтесь искать их на своём чертеже, пробуйте
разные
варианты,
обозначайте
равные
углы
в
15.1
этих
тре
а)
\
угольниках одинаковыми буквами и считайте ... А начнём
'\
мы с примера на клетчатой бумаге.
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
* й"С:!
АВ и
ПРИМЕР 15.1
CD
с
А
/
vl'
'1\...,v
/ V'\ i\.
./
в
'\ \D
На листе в клетку провели прямые
так, как это показано на рисунке. Докажите, что
эти прямые перпендикул.ярны друг другу (рис.
15.2,
а).
б)
РЕШЕНИЕ: Отметим на отрезке
ED = BD.
тельно,
AD точку Е так, что
AD = СЕ, и, следова
треугольники ABD и CDE равны
На чертеже видно, что
прямоугольные
по первому признаку (рис.
ветственные
углы
сать
его
а
+
§15
~
= 90°.
и
углов:
а
15.2, 6).
Значит, равны их соот
DCE. Обозначим их величину
буквой а. Величину угла CDE давайте обозначим ~. По
скольку треугольник CED пр.ямоугольный, то можно запи
сумму
BAD
+
~
+
90°
Пусть наши прямые АВ и
180°.
CD
Отсюда
пересекаютс.я
Рис.
15.2
РАСЧЁТ УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
203
в точке О (рис.
с
'\.
, gv
должна быть равна
./
скольку а
в
r
v~
Обозначим величину угла
AOD.
а + (3
180°, поэтому
то 90° + у = 180°.
CD
+
у =
Значит, у
180°. По~
= 90°, то
перпендикулярны.
~ ~.
ПРИМЕР
*{::rt1
15.2 ·На
сторонах
угольника АВС взяли точки
D
равностороннего
15.3
кажите, что АЕ =
в
BD
(рис.
тре~
и Е так, что отмеченный
на рисунке угол между отрезками АЕ и
Рис.
буR~
AOD
Сумма его углов
Что и требовалось доказать.
n \
/
+ (3 = 90°,
есть прямые АВ и
/ /) ~
А
15.3).
вой у и рассмотрим треугольник
15.4,
BD
равен
До~
60°.
а).
РЕШЕНИЕ: Обозначим угол САЕ буквой а. Посколь~
•
ку все углы равностороннего треугольника равны
60°,
угол ВАЕ равен
пересе~
60° -
каются в точке О (рис.
а. Пусть отрезки АЕ и
15.4,
BD
то
б). Угол ВОЕ -внешний для
треугольника АВО, поэтому сумма углов ОАВ и ОВА рав~
на
60°.
а.
=
Значит,
угол
АВО
равен
60° -
Теперь рассмотрим треугольники
ABD
(60° -
=
а)
и АЕС.
Они
равны по второму признаку, поскольку АВ =АС, а приле~
А
с
D
в
гающие к этим сторонам углы равны а и
60°
(рис.
Из
и
следует,
равенства
АЕ =
данных
треугольников
в).
15.4,
что
BD.
Что и требовалось доказать.
* *
ПРИМЕР 15.3
стороны
СК
=
AD
Соединим
точки
угольники ВСК и ВАЕ равны по
с
D
CD и на продолжении
взяли точки Е и К так, что
ABCD
АЕ. Найдите угол ВЕК (рис.
РЕШЕНИЕ:
А
На стороне
квадрата
скольку ВС =
в
ВА, СК =
15.5,
а).
В
К отрезком.
и
а углы СВК и АВЕ равны.
а) =
90°
Рассмотрим
(рис.
15.5,
ВЕ,
Обозначим их величину бук
вой а. Тогда угол АВК равен
+ (90° -
по~
АЕ, а углы ВСК и ВАЕ прямые.
Из равенства данных треугольников следует, что ВК =
а
Тре~
первому признаку,
90° -
а, а угол КВЕ рав ен
б).
треугольник
КВЕ.
Он
равнобедрен~
ный, поэтому его углы ВЕК и ВКЕ равны. Обозначим их
величину буквой
А
Рис.
D
15.5, в). По теореме о сумме углов
треугольника получаем (3 + (3 + 90° = 180°. Отсюда (3 = 45°.
Таким образом, угол ВЕК равен 45°.
ОТВЕТ: 45°.
с
15.4
в
с
в
(3
(рис.
-------·D
204
с
к
к
к
Рис.
в
с
б)
а)
Е
А
D
Е
А
D
15.5
ГЛАВА 4
в
с
с
Е
А
Рис.
к
Рис.
15.6
D
Рис.
15.7
15.8
D
@) РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
15.1
* * -tr
Докажите,
Рис.
15.2
что
прямые АВ
* -tr -tr
Точки К и Е
ABCD.
Докажите, что отрезки СК и
•-tr-tr
15.4
15.8
**{}
DE
А
перпенди
15. 7).
Рис.
с
15.10
изображённый на ;ри
на клетчатой бумаге.
Два квадрата имеют общую вершину. Дока
жите, что отрезки АВ и
ке
CD, изоб
середины сторон квадрата
-
Найдите угол ВАС,
сунке
и
перпендикулярны
15.6).
кулярны друг другу (рис.
15.3
к
в
ражённые на клетчатой бумаге,
друг другу (рис.
15.9
15.9,
CD,
показанные на рисун
перпендикулярны друг другу.
Е
15.5
**л
Равносторонние треугольники АВС и
расположены так, как показано на рисунке
Докажите,
что
прямая
ВК
параллельна
CDK
15.10.
стороне
АС.
15.6
**л
Квадраты
вершину
Верно
(рис.
15.7
* *{}
А
D
Рис.
15.11
Рис.
15.12
ABCD и DEFK имеют общую
причём точка Е лежит на стороне АВ.
D,
ли,
что
точка
К
лежит
на
прямой
ВС
15.11)?
Вокруг
квадрата
описали
прямоугольник
так, что каждая вершина квадрата лежит на одной
из
сторон
этого
прямоугольника.
Верно
данный прямоугольник тоже квадрат (рис.
ли,
что
15.12)?
Дополнительные построения
Во всех предыдущих задачах мы с вами находили равные
треугольники, которые помогали нам решить данную зада-
§15
РАСЧЁТ УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
205
чу.
Эти треугольники уже были нарисованы на чертеже,
нужно было только их отыскать. Но есть задачи, где нуж
ных для решения треугольников
(или других фигур) нет
на чертеже, их необходимо построить самому. Тогда гово
рят,
что
ния.
в
таких
Задачи
сложные,
именно
цию,
задачах
с
нужны
дополнительные
дополнительными
построе
построениями
самые
но одновременно и самые красивые. Более того,
такие
задачи
развивают
геометрическую
ин туи
умение видеть то, что необходимо для решения,
было скрыто от глаз.
но
Можно даже сказать, что дополни
Рис.
15.13
Рис.
15.14
тельные построения подобны строительным лесам, которые
ставят
(рис.
архитекторы,
когда
возводят
высокое
здание
Для того чтобы научиться решать такие зада
15.14).
чи, нужен опыт и некоторое терпение. Никогда не извест
но
заранее,
какое
именно
дополнительное
построение
поз
волит найти ответ. Конечно, есть некоторые <<стандартные>>
дополнительные построения или приёмы, которые мы раз
берём вместе. А дальше вы будете думать сами. Только ре
шив
много
таких
задач,
вы
научитесь
сами
видеть,
что
нужно сделать в каждом конкретном случае. А теперь да
вайте перейдём к примерам.
@
*
с.
<С!
ПРИМЕР 15.4
Напротив
угол
Ь
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
+
120°.
Стороны треугольника равны а, Ь и
стороны
с
Покажите,
длиной
а
в
треугольнике
что из отрезков
с длинами
лежит
а,
с и
с можно сложить новый треугольник. Чему равен сред
ний
(рис.
по
величине
15.15,
угол
полученного
•
Треугольник,
который
нам
строить, должен иметь сторону с длиной Ь
Один
из
120°
а)?
РЕШЕНИЕ:
нарисовать
ь
с
а)~
треугольника
на
нашем
самых
чертеже
простых
отрезок
способов
с
нужно
+
с. Как нам
такой
продлить
-
•
а
по
к
длиной?
сторону
с
длиной Ь данного _ нам треугольника на длину другой его
стороны с. Давайте так и сделаем. На продолжении сторо
ны АС возьмём точку К так, что АК
Тогда длина отрезка СК будет равна Ь
дополнительное
равен
построение,
мы
с (рис.
=
+
получим,
15.15, 6).
с. Сделав такое
что
угол
с
а
ВАК
к
120° = 60°. Отсюда легко понять, что тре
АВК равносторонний! Значит, длина отрезка
будет равна с (рис. 15.15, в). Осталось только за
180° -
угольник
ВК тоже
в
с
метить, что треугольник СВК имеет нужные нам стороны:
а, с и Ь
+
с. То есть мы с вами его построили! В задаче
ещё спрашивалось, чему равен средний по величине угол
этого
треугольника.
Давайте
посмотрим
нами чертёж: угол СВК больше
206
60°,
на
полученный
угол при вершине К
с
Рис.
а
в
15.15
ГЛА ВА 4
в
в
а)
Е
А
Рис.
Е
А
с
в
с
с
Е
А
15.16
равен
60°,
Значит,
а угол век меньше
средний
точности
СКВ
(подумайте почему!).
60°
этого
треугольника
равен
в
60°.
ОТВЕТ:
** t:r
угол
60°.
ПРИМЕР 15.5
сектрису ВЕ.
В
треугольнике АВС провели
Оказалось,
что ВС
+
СЕ =
АВ.
бис
Докажите,
что один из углов этого треугольника в два раза болыпе
другого (рис.
а).
15.16,
РЕШЕНИЕ:
Давайте перепипrем данное нам в усло
вии равенство так: АВ
ВС
-
ски получить разность АВ
Самый лёгкий способ
ВС =
-
J
б). Для этого на стороне АВ
15.16,
возьмём точку К так, что ВК
=
ВС в виде одного отрезка?
это отложить сторону ВС на сторо-
-
не АВ от точки В (рис.
Но по условию АВ
СЕ. Как теперь геометриче
=
-
=
ВС. Тогда АК
АВ
=
а)
ВС.
-
СЕ. Значит, должно быть СЕ =
АК. Вы можете спросить: как всё это связано с биссек
трисой и отрезком ЕС? А вот как:
треугольники ВЕС и
ВЕК должны быть равны по первому признаку, ведь у них
сторона ВЕ общая, стороны ВС и ВК равны, а угол КВЕ
равен углу СВЕ. Поэтому ЕС
а значит,
быть
АК =
КЕ.
То
равнобедренным.
есть
2а,
поскольку
КЕ. По условию ЕС
треугольник АКЕ
Обозначим
основании АЕ буквой а (рис.
вен
=
он
его
АК,
должен
углы
при
в). Тогда угол ВКЕ ра
15.16,
внешний
равные
=
для
этого
треугольника
АКЕ. Но тогда и угол АСВ тоже равен 2а, ведь мы дока
зали,
что
треугольники
ВКЕ
и
ВСЕ
равны.
Таким
об
разом, в треугольнике АВС угол при вершине С в два раза
б)
в
больше угла при вершине А.
Что и требовалось до:казать.
*
*
ПРИМЕР 15.6
D
На клетчатой бумаге нарисовали два
угла. Верно ли, что они равны по величине (рис.
15.17,
а)?
РЕШЕНИЕ: Давайте попробуем на чертеже перенести
нужные нам углы а и ~ ближе друг к другу. Треугольники
АВС и
КТЕ
равны
КЕТ тоже равен а.
лельны, то углы
по
первому
признаку,
Поскольку прямые
TED
и
EDF
поэтому угол
ТЕ и
MF
парал
равны как накрест лежащие.
Обозначим их величину буквой у. В нашей задаче требует
ся выяснить: верно ли, что а =
проверить равенство а
§15
+
у =
А
С
Е
F
~- Но это то же самое, что
~
+
у. Однако ~
+
у =
45°,
Рис.
15.17
РАСЧЁТ УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
207
а)
поскольку треугольник
в
к
т
м
вершине
F
равнобедренный,
CDF
а угол при
у него прямой. Значит, нам осталось только вь1 -
яснить, действительно ли а
+
45°. Теперь посмотрим
15.18, а). Они равны
по первому признаку, поэтому ED = DK, а угол DKM ра
вен у. Тогда угол KDM равен 90° - у. Значит, угол K DE
равен 180° - у - (90° - у ) = 90°. Выходит, что треуголь
ник KDE равнобедренный и угол при вершине D у него
на треугольники
EDF
прямой.
сразу
равны
что и rз
rз
А
+
Отсюда
45°
+
и
у =
(рис.
DKM
следует,
что
другие
два
его
угла
15.18, 6). Значит, а + у = 45°. Помните,
45°? Таким образом, мы доказали, что а + у =
(рис.
у =
у, или же а =
rз.
ОТВЕТ: Указанные в условии углы равны.
б)
в
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
15.8
* * -tJ
в
Один из углов при основ ании треугольника
раза больше
2
основание,
делит
другого.
его
на
Высота,
два
опущенная на
отрезка.
Докажите ,
что разность этих отрезков равна одной из сторон
треугольника (рис.
А
с
Рис.
Е
15.9
15.18
**-tl
Три
Найдите
-~
Рис.
15.19).
F
не
**-tl
четырёхугольника
четвёртую
прилегающие
(рис.
15.10
стороны
его
к
сторону,
этой
если
стороне,
равны
1.
два
угла,
равны
120°
15.20).
На сторонах ВС и
CD
квадрата
ABCD взя
45°. До
15.21).
ли точки К и М так, что угол МАК равен
15.19
кажите, что ВК
1
15.11
* **
Вне
+ DM
=
МК (рис.
равностороннего
треугольника
взята точка Е так, что угол ВЕС равен
жите, что ВЕ
15.12
Рис . 15.20 х
***
+
ЕС = АЕ (рис.
Дока
ABCD
45°.
взяли
15.22).
На диагонали АС квадрата
точки М и К так, что угол МВК равен
с
в
в
•
А ВС
120°.
Дока-
в
/
/к
м
А
Рис.
208
D
15.21
/
с
А
Рис .
15.22
•
м
А
Ри с.
D
15.23
с
А
Рис.
15.24
ГЛАВА 4
жите, что из отрезков АМ, МК и СК можно сло
жить
треугольник.
Чему
этого треугольника (рис.
***
15.13
равен
наибольший
угол
15.23)?
В равностороннем треугольнике АВС взя:ли
точку М так, что
отрезков АМ,
LAMC
ВМ и
Докажите, что из
150°.
=
СМ можно
угольный треугольник (рис.
сложить прямо
15.24).
Продление медианы на свою длину
Есть ещё один приём или стандартное дополнительное по
строение, которое помогает решать многие задачи. Заклю
чается
он
в
том,
что
медиану
треугольника
продлевают
на
свою длину. Посмотрим, как он работает, на примере сле
дующей задачи.
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
** ~
ПРИМЕР
В
15.7
треугольнике
медиана
J
совпала
в
а)
с биссектрисой. Верно ли, что этот треугольник равнобед
ренный (рис.
15.25,
РЕШЕНИЕ:
задачи
а)?
Легко
заметить,
что
утверждение
этой
обратное к свойству равнобедренного треуголь
--
ника. :Конечно, ниоткуда не следует, что оно обязано быть
верным. Давайте сначала попробуем вместе найти равные
А
треугольники на чертеже без дополнительных построений.
Треугольники АВС
и
СВМ
имеют
общую
сторону
м
ВМ,
равные стороны АМ и СМ и равные углы при вершине В.
с
в
б)
Однако такие треугольники не подходят под известные нам
признаки
равенства,
соответственно
ведь
равными
их равные углы
сторонами.
не лежат
Следует
ли
между
отсюда,
что треугольник АВС не будет равнобедренным? Пока не
следует.
Просто обычные методы решения
результата.
Попробуем
пойти
другим
здесь не дают
путём.
Теперь
про
длим медиану ВМ на свою длину за точку М. То есть на
прямой ВМ возьмём точку
треугольники
AMD
D
так, что
DM =
ВМ.
А
Тогда
и СМВ будут равны по двум сторонам
и углу между ними, поскольку углы
AMD
и СМВ верти
кальные (рис.
15.25, б). Значит, их стороны AD и ВС бу
ADM будет равен углу СВМ. Но тогда
выходит, что угол ADM равен углу АВМ, и по признаку
треугольник BAD должен быть равнобедренным. То есть
АВ = AD = ВС. Таким образом, АВ = ВС, и наш тре
угольник АВС -- равнобедренный. Значит, мы с вами до
дут равны, а угол
Рис.
15.25
казали ещё один признак равнобедренного треугольника.
ОТВЕТ: Верно, треугольник всегда равнобедренный.
§15
РАСЧЁТ УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
209
**{]
ПРИМЕР
Медиана
15.8
треугольника
образует
со сторонами, выходящими из той же вершины, углы
и
40°.
70°
Докажите, что она равна половине одной из сторон
этого треугольника (рис.
15.26,
а).
РЕШЕНИЕ: Пусть в треугольнике АВС проведена ме
диана ВМ, а углы АВМ и СВМ соответственно равны
и
70°.
мём
ВМ точку
Тогда треугольники АВМ и
так
как
у
них
есть
по
две
равные
стороны,
чит, угол
а
углы
15.26, б). Зна
70°. Теперь вы
CDM равен углу АВМ и равен
BCD. Поскольку сумма углов треугольника
CBD равна 180°, то угол BCD равен 180° - 70° - 40° = 70°.
Получается, что треугольник BCD должен быть равнобед
ренным
по
признаку,
поэтому BD
ВС.
Поскольку
числим угол
=
с
в
D так, что MD = ВМ = т.
CDM равны по первому при
между ними равны как вертикальные (рис.
BD
м
А
40°
Продлим эту медиану на свою длину, то есть возь
на прямой
знаку,
в
а)
2m,
то т =
вс
.
2
Рис.
D
15.26
в
То есть медиана ВМ равна полови-
не стороны ВС треугольника .
Что и требовалось до:казать.
А
@) РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
15.14
* tr 1::r
Как
Рис.
М
с
М
с
15.27
в
разрезать
произвольный
треугольник
на две части, чтобы потом сложить из них другой
треугольник?
15.15
**<C:r
На медиане ВМ треугольника АВС взяли
точку К так, что угол АКМ равен углу МВС. До
кажите, что отрезок АК равен одной из сторон тре
угольника (рис.
15.16
**iJ
А
Рис.
15.27).
Прямая АЕ образует равные углы со сторо
ili
ной ВС и медианой ВМ треугольника АВС. Найди
те
длину
(рис.
ВМ,
если
ВЕ
=
5,
СЕ
=
4
15.28).
*t?
15.17
медианы
15.28
У двух треугольников соответственно рав-
ны две стороны и медианы, проведённые к их тре
тьим сторонам. Докажите, что такие треугольники
равны (рис.
15.18
***
15.29).
90°.
15.29
в
Оказалось,
что
ВК
АВМ, если угол СВМ равен
=
ВС.
60°
L
ВМК =
Найдите
(рис.
угол
15.30).
А
Рис.
210
<1
В треугольнике АВС провели медиану ВМ.
На стороне АВ взяли точку К так, что
=
Рис .
м
с
15.30
ГЛАВА
4
Прямоугольный
16
реугольник
Прямоугольный треугольник
Среди всех треугольников в геометрии прямоугольный тре
угольник играет особую роль. Из самого названия следует,
что у такого треугольника должен быть один прямой угол.
А вот другие его углы должны быть острыми
сумма равна
угольник
земле
ведь их
возникает,
если
вертикально
поставленный
к
столб закрепить наклонной перекладиной или тро
сом (рис.
которого
ный
-
(подумайте почему). Прямоугольный тре
90°
16.2).
В основе любого кронштейна, с помощью
вешают
на
треугольник
стену
(рис.
полки,
16.3).
тоже
Такую
лежит
же
прямоуголь
форму
имеет
чертёжный угольник, которым пользуются плотники,
-
Рис.
16.1
и
с
его помощью легко чертить на плоской поверхности парал
лельные или перпендикулярные прямые (рис.
16.4).
Любой треугольник можно разделить на два пря
моугольных
(рис.
16.1).
треугольника,
Значит,
многоугольник,
любой
всегда
если
провести
треугольник,
состоит
из
в
и
нём
вообще
нескольких
высоту
любой
прямоуголь
ных треугольников. Почему это важно? Дело в том, что с
помощью прямоугольных треугольников очень удобно счи
тать
площади
и
расстояния
между
точками
на
плоскости.
Теорема
что
Пифагора
гласит,
квадрат гипотенузы
моугольного
равен
сумме
катетов.
квадратов
Именно
египетский
треугольник
сторонами
3, 4
Пифагора, которую мы с вами изучим в
прямой угол.
Рис.
§16
16.2
Рис.
16.3
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
классе.
Рис.
и
его
поэтому
Например, расстояния вычисляют по знаменитой теореме
8
пря
треугольника
5
со
имеет
16.4
211
А
Ведь
пока
давайте
прямоугольный
его
стороны
это
делали
вершины
принято
ещё
дадим
называть
древние
прямого
несколько
треугольник
угла
определений.
фигура
-
древняя,
-
соответственно
греки.
такого
Стороны,
так,
выходящие
треугольника,
и
как
из
называются
катетами. По-гречески это слово значит <<идущий вниз>>, а
ещё <<Отвес>>. В этом нет ничего удивительного, ведь с по
мощью отвеса (верёвки с грузом) во все времена строители
проводили
вертикальную
прямую
или
опускали
на
землю
перпендикуляр (рис.
16.5).
Такие слова, как каталог, ката
пульта,
тоже
образованы
катастрофа,
при
помощи
катет
грече
Рис.
ской приставки ката-, которая и означает <<ВНИЗ>>.
Третья сторона прямоугольного треугольника,
жащая
против
его
прямого
угла,
называется
16.5
ле
гипотенуза.
С происхождением этого странного названия не всё до кон
ца ясно. Дословно оно значит
<<ГИПО->>
означает
внизу,
а
<<стягивающая внизу>>.
<<тейно>>
тянуть,
-
Ведь
стягивать.
Существует предположение, что данную сторону треуголь
ника греки назвали гипотенузой,
зонтальном
ке
16.6.
положении
Сам
же
-
так,
как
треугольник
когда она была в гори
это
им
показано
мог
на
напоминать
рисун
гипотенуза
гору,
возвышающуюся над морем. А приставка гипо- аналогич
Рис.
16.6
Рис.
16.7
на приставке под- русского языка. С её помощью образова
лось
слово
гипотеза
и
множество
медицинских
терминов:
гипофиз, гипоксия, гипотония и другие.
Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Установить равенство двух прямоугольных треугольников
можно по известным уже вам признакам равенства обыч
ных
треугольников.
по -другому,
Только
поскольку
звучать
стороны
ников имеют специальные
они
будут
прямоугольных
немного
треуголь
названия.
Равенство по двум катетам
Если у дву х прямоугольны х треугольников равны
катеты , то такие треугольники равны (рис. 16.8).
""
""
Ри с.
212
"
""
""
""
16.8
ГЛАВА 4
Равенство по гипотенузе и острому углу
Если у двух прямоугольных треугольников равны
гипотенузы
и
один
из
острых
треугольники равны (рис.
углов,
то
такие
16.9).
Рис.
16.9
УПРАЖНЕНИЯ
1
Докажите два признака равенства прямоугольных
треугольников,
используя
ранее
изученные
вами
признаки.
Однако для прямоугольных треугольников
суfце
ствуют особые признаки равенства, которые прямо не сле
дуют из общих признаков. Самый известный из них
п ризнак
равенства
прямоугольных
треугольников
по
-
это
гипо
тенузе и катету. Звучит он так:
Равенство по гипотенузе и катету
Если гипотенуза и :катет одного прямо
угольного треугольни:ка равны гипотенузе
и :катету другого,
равны (рис.
то
та:кие треугольни:ки
16.10).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
,
Пусть прямоугольные треугольники АВС и
А 1 В 1 С 1 имеют равные гипотенузы АВ и А 1 В 1
,,
,,
,
,,
,,
гипотенуза
и равные катеты АС и А 1 С 1 • Докажем, что эти
А
треугольники равны. Поскольку катеты АС
и А 1 С 1 равны, можно совместить их так,
чтобы вершина А 1 совпала с вершиной А,
вершина С 1 -
с вершиной С, а вершины В 1 и
В оказались по разные стороны от прямой АС
(рис.
16.11,
нутым,
а). Тогда угол ВСВ 1 будет развёр
поскольку он
равен
сумме двух
с
пря
мых углов. Значит, точка С будет лежать
Рис.
§16
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
16.10
213
на отрезке ввl и два наших прямоугольных
треугольника вместе составят один большой
а)
треугольник АВВ 1 , а отрезок АС окажется
его высотой.
Так как треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 имеют
в
равные гипотенузы, то полученный треуголь
ник АВВ 1 будет равнобедренным. А высота,
опущенная на основание равнобедренного
треугольника,
как вы помните,
совпадает
б)
с
его медианой и биссектрисой. Значит, углы
ВАС и В 1 А 1 С 1 должны быть равны. Но тогда
треугольник А 1 В 1 С 1 равен треугольнику АВС
по первому признаку (рис.
16.11, 6).
в
Что и требовалось доказать.
Рис.
16.11
Медиана прямоугольного
треугольника
У прямоугольных треугольников есть особое свойство, ко
торого нет у других треугольников. Оно связано с их ме
дианой,
проведённой из вершины прямого угла к гипоте
нузе. Заключается оно в следующем:
Свойство медианы прямоугольного треугольника
Медиана прямоугольного треугольника,
проведённая к его гипотенузе, равна полови
не гипотенузы (рис.
16.12,
а).
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС из
вершины его прямого угла С провели медиану
СМ (рис.
16.12, 6).
Докажем, что медиана СМ
в два раза короче его гипотенузы АВ.
А
Давайте обозначим острые углы нашего тре
угольника буквами а и rз. Из теоремы о
сумме углов треугольника следует, что а
б)
+
rз
= goo.
Сделаем дополнительное построение: продлим
медиану СМ на свою длину за точку М.
На луче СМ мы тогда получим точку Е
такую, что ЕМ =
с
СМ. Треугольники ВМЕ
Рис.
214
в
16.12
ГЛАВА 4
и АМС будут равны по первому признаку,
поскольку АМ
=
ВМ, СМ
=
ЕМ, а их углы
при вершине М равны как вертикальные
(рис.
16.13).
А
Е
с
в
Из равенства данных треугольников следует,
что ВЕ
=
ВС и угол МВЕ равен а. Значит,
угол СВЕ будет равен а
+ f3
90°.
=
Теперь рассмотрим треугольники АВС и ЕВС.
Они равны по первому признаку, поскольку
АС =
ВЕ, сторона ВС у них общая, а углы
АСВ и СВЕ равны
Поскольку СЕ
90°.
Тогда СЕ = АВ.
2СМ, то СМ
=
=
.! АВ.
2
Что и требовалось доказать.
Рис.
16.13
Могут ли медианы других треугольников облаДать
данным свойством? Чтобы это выяснить, давайте сформу
лируем обратное утверждение и докажем, что оно верно.
Такое обратное утверждение называют признаком фигуры.
Признак прямоугольного треугольника
Если медиана треугольника равна половине
стороны, к которой она проведена, то данный
треугольник -
прямоугольный (рис. 16.14, а).
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Предположим, медиана СМ некоторого тре
угольника АВС равна половине его стороны
АВ. Нужно доказать, что данный треугольник
'
прямоугольный.
Так как сторона АВ в два раза больше медиа
ны СМ, то отрезки АМ, ВМ и СМ должны
быть равны. Тогда треугольники АМС и ВМС
будут равнобедренными. Давайте обозначим
с
б)
равные углы при их основаниях АС и ВС бук
вами а и
АВС (рис.
f3
и сложим все углы в треугольнике
16.14,
б). По теореме о сумме углов
+ 2 f3 = = 2
треугольника получим: 2а
= 180°.
Тогда а
+ f3 = 90°.
(а
что угол АСВ нашего треугольника равен
То есть треугольник АВ С
+ f3)
А это и означает,
-
А
м
в
90°.
прямоугольный.
Что и требовалось доказать.
Рис.
§16
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
16.14
215
·.
"
Прямоугольный треугольник
с углом зоо
Если острый угол прямоугольного треугольника равен
то
он
обладает
ещё
одним
замечательным
30°,
свойством.
Дело в том, что такой треугольник можно считать <<ПОЛО
винкоЙ>> от равностороннего треугольника. Но давайте вна
чале
запишем
Свойство прямоугольного треугольника
с углом зоо
Катет прямоугольного треугольника, лежа-
щий против угла в
равен половине его
гипотенузы (рис.
а).
30°,
16.15,
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
АВС равен
30°,
с
с
Пусть угол С прямоугольного треугольника
2
а его гипотенуза АВ равна с.
Другой угол В этого треугольника легко
найти: он равен
180° - 90° - 30° = 60°.
ем дополнительное пос'!'роение:
треугольник симметрично
Сдела
отразим
наш
относительно
пря
б)
в
мой АС. Как вы помните, для этого нам
нужно продолжить катет ВС на свою длину
и взять такую точку В 1 , что В 1 С =
(рис.
16.15,
ВС
б).
Тогда треугольники АВ 1 С и АВС будут равны
по
первому признаку,
поскольку
их
катеты
равны. Значит, его углы САВ 1 и АВ 1 С будут
равны
30°
и
60°
соответственно. Посмотрите
теперь на треугольник АВВ 1 : все его углы
равны
60°.
Значит, треугольник равносто
ронний. Поэтому ВВ 1
=
2ВС = АВ. Таким
образом, катет ВС ровно в
2
раза меньше
гипотенузы АВ.
Рис.
Что и требовалось доказать.
Прямоугольный треугольник с углом
ется
Его
так
же
можно
часто,
как
встретить
на
и
равносторонний
портиках
зданий
30°
16.15
встреча
треугольник.
(рис.
16.16)
и даже под землей... Не удивляйтесь: эскалаторы в метро
имеют как раз такой наклон
-
30°
(рис.
16.17).
Поскольку
фонари на них устанавливают обычно на одинаковых рас-
216
ГЛАВА4
Рис .
Рис.
16.16
стояниях друг от друга,
16.17
то,
посчитав количество этих фо
нарей и расстояние между ними, можно легко вычислить
примерную глубину станции метро (рис.
16.18).
ВОПРОСЫ
1
Что такое катет и гипотенуза? Какие слова русско
го языка содержат те же греческие приставки?
2
Рис.
Чему
16.18
равна
сумма
острых
углов
прямоугольного
треугольника?
Верно ли, что любой треугольник можно составить
3
из двух прямоугольных треугольников?
Могут
4
ли
разные
прямоугольные
треугольники
иметь равные гипотенузы?
5
Какие вы знаете признаки равенства прямоуголь
ных треугольников? Какой из них прямо не следу
ет из общих признаков равенства треугольников?
6
Чему
равна
медиана
прямоугольного
треугольни
ка, проведённая из вершины его прямого угла?
7
8
Как звучит признак прямоугольного треугольника?
Чему
равен
катет
прямоугольного
треугольника,
если прилегающий к нему угол равен
9
Самый
большой
станции
метро
в
мире
эскалатор
<<Адмиралтейская>>
бурге. Его длина равна
137
60°?
находится
в
на
Санкт-Петер-
метров. На какую глу
бину он опускает пассажиров?
10
Верно ли, что середина одной стороны прямоуголь
ного
треугольника
находится
на
одинаковых
рас
стояниях от всех его вершин? Как называется эта
сторона?
11
Как бы вы сформулировали признак прямоуголь
ного треугольника с углом
§16
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
30°?
217
@
а)
* '{: ('{: (
ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР
Две
16.1
высоты
треугольника
Докажите, что он равнобедренный (рис.
р авньr.
а).
16.19,
РЕШЕНИЕ: Пусть в треугольнике АВС равны высо
ты АК и СЕ. Тогда прямоугольные треугольники АКС и
АЕС будут равны по гипотенузе
в
и катету,
поскольку их
сторона АС общая. Значит, их углы при вершинах А и с
б)
треугольника АВС равны.
Отсюда следует, что треуголь
ник АВС- равнобедренный по признаку (рис.
16.19, 6).
Что и требовалось доказать.
**'{::(
ПРИМЕР 16.2
В квадрат вписали равнобедренный
треугольник так, как показано на рисунке. Докажите, что
одна
А
Рис.
С
сторона
этого
квадрата (рис.
треугольника
16.20,
РЕШЕНИЕ:
параллельна
диаг онали
а).
Пусть вершины К и Е равнобедренного
треугольника СКЕ лежат соответственно на сторонах АВ и
16.19
AD
квадрата
Поскольку стороны квадрата равны и
ABCD.
углы у него прямые, а СК =
угольники
а)
(рис.
АК
ВКС
16.20,
=
б).
И
DEC
СЕ, то прямоугольные тре
равны
Поэтому ВК =
по
гипотенузе
Отсюда
ED.
и
катету
следует,
что
АЕ и треугольник АКЕ равнобедренный с прямым
углом при вершине А. Значит, его углы при вершинах К и
Е равны
45°.
Точно также треугольник
ABD прямоуголь
ADB тоже равен
ный и равнобедренный, поэтому его угол
45°.
и
в
А поскольку углы АЕК и
BD
равны, то прямые ЕК
16.20,
в).
Что и требовалось доказать.
с
**'{::(
б)
ADB
параллельны по признаку (рис.
ПРИМЕР 16.3
ложных
угла
В четырёхугольнике два противопо
прямые,
а
его
диагонали
перпендикуля рны
друг другу. Докажите, что одна из этих диагоналей делит
к
другую пополам (рис. 16.21, а).
РЕШЕНИЕ:
при
его
Если
в
противоположных вершинах В
диагональ АС разбивает
А
Е
в
D
·
четырёхугольнике
его
на два
и
D
ABCD
углы
прямые,
то
прямоугольных тре
угольника. Давайте проведём в этих треугольниках медианы
с
в)
б)
а)
в
к
с
А
Рис.
218
Е
16.20
D
Рис.
16.21
D
ГЛАВА4
вМ и
к их общей гипотенузе АС. По свойству прямо
DM
угольных треугольников эти медианы должны быть равны
nоловине гипотенузы АС, то есть ВМ =
(рис.
DM
Если точка М окажется на отрезке
BD,
в
в)
б).
16.21,
то она бу
дет серединой сразу двух диагоналей нашего четырёхуголь
nика, и тогда все доказано. В другом случае получаем ран
nобедренный
треугольник
Поскольку
BMD.
по
условию
д иагонали четырехугольника перпендикулярны друг другу,
то
отрезок
КМ
будет
высотой
треугольника
BMD
(рис.
D
в). Но в равнобедренном треугольнике высота, про
16.21,
ведённая к его основанию, совпадает с медианой. Значит,
точка К является серединой диагонали
Рис.
16.21
BD. То есть в лю
BD пополам.
бом случае диагональ АС делит диагональ
Что и требовалось доказать.
***
ПРИМЕР
16.4
острый угол равен
15°,
В
а)
прямоугольном
а гипотенуза равна
треугольнике
1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
гипотенуза
тр еугольника АВС равна
АВ
16.22,
а).
прямоугольного
а его угол А равен
1,
15°.
зы ,
По свойству эта медиана равна половине гипотену-
то
есть
1
2
СМ
равнобедренный,
Угол СМВ
равен
15°
поэтому
16.22,
его
б).
Треугольник АСМ
!
угол АСМ тоже
равен
15°.
внешний для треугольника АСМ, поэтому он
-
+
(рис.
15°
б)
с
~
А
l/2
М
l/2
В
30°.
=
Теперь
~\
Про
ведём медиану СМ к гипотенузе АВ данного нам треуголь
ника.
~1
Найдите вы
соту треугольника, опущенную на гипотенузу (рис.
~
проведём
высоту
СН
и
рассмотрим
угольник МСН- он прямоугольный с углом
30°.
тре
с
По свой
ству такого треугольника катет СН должен быть равен по-
1
2
лавине гипотенузы, то есть -СМ=
1
(рис. 16.22, в).
4
-
Итак, высота треугольника, опущенная на гипотен узу,
равна
1
4
ОТВЕТ:
.
1
м
А
Рис.
16.22
Рис.
16.23
н
в
4
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
16.1
**~
У
стороны,
четырёхугольника
равны
две
соседние
а два противоположных его угла прямые.
Докажите, что диагонали этого четырёхугольника
взаимно перпендикулярны (рис.
16.2
*~~
В четырёхугольнике две противоположные
стороны
§16
16.23).
равны,
а
два
противоположных
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
угла
рав-
219
ны
Докажите,
90°.
что
все
угольника прямые (рис.
16.3
* <:т~
Докажите
углы
этого
четырёх
16.24).
равенство
...
прямоугольных
·~
тре
угольников по катету и проведённой к нему медиа
не (рис.
16.4
• <:ru
ные
16.25).
гипотенузе
* tJ '<:!
Одна
больше
прямоугольного
сторона
другой,
Найдите
·-_./
Рис.
16.25
Рис.
16.26
треугольника,
а
треугольника
угол
меньший
из
между
углов
в
ними
16.26).
два
раза
равен
треугольника
60°.
(рис.
16.27).
16.~·)
16.24
Докажите, что медиана и высота, проведён
к
образуют равные углы с его катетами (рис.
16.5
Рис.
* '<:! U
Медиана, проведённая к гипотенузе прямо
угольного треугольника, равна одному из его кате
тов. Найдите острые углы этого треугольника.
16.7 1• 1"-'<:l
Найдите высоту дома,
показаны на рисунке
16.29,
ными скатами его крыши равен
16.8
* i:r i:r
размеры которого
если угол между рав
120°.
Ваня поднялся по неподвижному эскалато
ру метро и насчитал на нём
90
ступенек и
фона
8
рей. Чему равно расстояние между соседними фо
нарями, если высота одной ступеньки равна
(рис.
16.9
**fr
равен
**'&
равен
2а
см
/
а
16.30)?
Острый угол прямоугольного треугольника
30°.
На
его
гипотенузу
опустили
В каком отношении она её делит (рис.
16.10
20
высоту.
16.28)?
Рис.
16.27
Рис.
16.28
Рис.
16.31
Острый угол прямоугольного треугольника
30°.
К его
гипотенузе провели серединный
перпендикуляр. В каком отношении он делит катет
этого треугольника (рис.
Рис.
220
16.29
16.31)?
Рис.
16.30
ГЛАВА 4
Рис.
Рис.
16.32
16.11
Рис.
16.33
**'i:I
В
16.33
четырёхугольнике
ACD прямые.
рон AD и ВС
соответственно. Докажите, что пря
мая МК перпендикулярна
четырёхугольника (рис.
Рис.
16.34
16.12
* * ti
ABCD углы ABD и
- середины его сто
Точки М и К
одной
из
сторон
этого
16.32).
Через середины двух сторон треугольника
провели
прямую.
Докажите,
что
расстояния
от
всех вершин этого треугольника до данной прямой
одинаковые (рис.
16.13
**ti
равен
с
Рис.
ну
16.14
Острый угол прямоугольного треугольника
30°,
а его rипотенуза равна
отрезка,
(рис.
16.35
а).
16.33,
на
1.
Найдите дли
рисунке
пунктиром
б).
16.33,
* **
отмеченного
Выразите
сторону
четырёхугольника,
обозначенную буквой х на рисунке, через его сто
в
роны а и Ь (рис.
16.15
* **
Докажите
16.34).
равенство
прямоугольных
тре
угольников по гипотенузе и высоте, опущенной на
3
А2Н
Рис .
D
гипотенузу (рис.
16.16
***
В четырёхугольнике ABCD углы при вер
шинах В и
16.36
D
равны
перпендикуляра
(рис.
16.35).
90°,
ВН,
АВ
если
=
ВС. Найдите длину
АН
=
2,
=
CD
3
16.36).
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Когда вы самостоятельно доказывали признак ра
венства
и
прямоугольных
острому
углу,
то
треугольников
наверняка использовали
по
гипотенузе
теорему
о
сум
ме углов треугольника (подумайте, в каком месте!). Таким
§16
образом,
ваше доказательство должно было опираться на
аксиому
параллельных,
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
то
есть
на
знаменитый
пятый
221
постулат Евклида. А можно ли доказать этот признак без
аксиомы
параллельных?
Другими
словами,
выполняется
ли он в других геометриях?
Оказывается, что и в геометрии на шаре, и в гео
метрии
Лобачевского
признаки равенства прямоугольных
треугольников тоже <<работают>>. Значит, все их можно до
казать, не используя пятый постулат Евклида, в том числе
и
признак
потенузе
ство,
в
равенства
и
острому
котором
не
прямоугольных
углу.
Давайте
используется
треугольников
приведём
теорема
о
по
ги
доказатель
сумме
углов
треугольника.
Равенство прямоугольных треугольников
по гипотенузе
и
острому углу
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть прямоугольные треугольники АВС и
а)
А 1 В 1 С 1 имеют равные гипотенузы АВ = А 1 В 1
и равные острые углы а при вершинах А и
А 1 (рис.
16.37,
а). Давайте докажем, что эти
треугольники равны. Отразим вершины В и
В 1 симметрично относительно прямых АС и
А 1 С 1 и получим точки
и
Тогда треугольники
будет равен треу
D
ACD
с
D 1.
гольнику АСВ, а треугольник
A 1 C1 D 1
-
треу
гольнику А 1 С 1 В 1 по первому признаку. Можно
сказать,
что
мы
<<удвоили>>
ные треугольники (рис.
в
наши прямоуголь
б)
16.37, 6).
Значит,
AD =АВ = А 1 В 1 = A 1 D 1 • Кроме того,
углы BAD и B 1A 1 D 1 будут равны 2а. Тогда
треугольники BAD и B 1A 1 D 1 будут равны по
двум сторонам и углу между ними. Значит,
должны быть равны их углы В и В 1 • А если
так, то треугольник А 1 В 1 С 1 равен треугольни
ку АВС по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
Что и тр ебовало сь доказать.
222
Рис.
16.37
ГЛАВА4
о
у
Неравенства в математике
До сих пор мы с вами искали на чертежах равные тре
угольники,
отмечали
равные
отрезки
и
углы.
Значит,
мы имели дело с равенством фигур. В этом же параграфе
мы будем выяснять, какой угол или какой отрезок на чер
теже больше другого, то есть будем сравнивать их между
собой. В таких случаях говорят, что имеют дело с неравен
ствами.
Неравенства
встречаются
не
только
в
геометрии.
На уроках алгебры вы уже сравнивали числа и знаете, что
одно число больше другого, если их разность больше нуля.
Отсюда сразу следует, что неравенство между двумя числа
ми
не
поменяется,
если
к
каждому
из
них
прибавить
(или . отнять) одинаковое третье число. Это свойство нера
венств
каждый
из
вас
может
легко
проверить
на
себе.
Допустим, сейчас ваш рост больше, чем у вашего друга, а
за лето вы оба вырастете на одинаковое число сантимет
ров. Скажите, будете ли вы выше вашего друга в начале
8
класса? <<Конечно,
-
ответите вы,
-
это же так очевид
но!>> Очевидно также и то, что при сложении двух больших
чисел мы всегда получим больше, чем при сложении двух
меньших.
и
два
Ведь
арбуза
если
весят
Другими словами,
арбуз
весит
больше
двух
больше
апельсина,
апельсинов
(рис.
Рис.
17.1
то
17.1).
неравенства можно складывать. А вот
вычитать их нельзя. Приведём лишь один пример: если из
верного неравенства
ство
4 > 2,
5 > 4 вычесть другое верное неравен
5 - 4 > 4 - 2, что не может быть
то получится
верно.
Давайте запишем несколько свойств числовых не
равенств, чтобы потом их использовать.
224
ГЛАВА5
Свойства числовых неравенств
1
2
3
4
5
> Ь, то а - Ь > О.
> Ь, то а + с > Ь + с, для любого
< Ь < с, то а < с.
> Ь, то а · с > Ь · с, для с > О.
> Ь и с > d , то а + с > Ь + d.
Если а
Если а
Если а
Если а
Если а
Рис.
с.
17.2
Перейдём
теперь
к
перавенетвам
в
геометриИ .
Мы будем считать, что из двух отрезков по определению
меньше
тот,
который
можно
целиком
поместить
А
С
в
D
внутри
другого отрезка. Точно также меньший из двух углов все
Отрезок СО м ень ш е отрезка
гда можно расположить внутри большего угла, если его от
АВ
кладывать
Рис.
от
их
общей
стороны.
Из
пройденных
нами
17.3
свойств отрезков и углов следует, что у меньшего отрезка
или угла должна быть и величина меньше, чем у большего
(рис.
17.3, 17.4).
Впрочем,
сравнивать,
как
не
все
фигуры
отрезки
и
углы.
в
геометрии
Например,
можно
нельзя
так
ска
зать, что один из двух треугольников просто больше друго
го.
Необходимо
периметры
ди
(рис.
этих
17.5).
указать,
что
конкретно
треугольников
Нетрудно
или,
мы
сравниваем:
например,
придумать
два
их
площа
о
треугольника,
у одного из которых периметр больше, а площадь меньше
другого.
А
Угол АОС больше угла АОВ
Рис.
17.4
Больший у ол и большая сторона
т
еугольника
Как вы уже знаете, углы при основании равнобедренного
треугольника равны. То есть против равных стор он в тре
угольнике лежат р авные углы. А что будет, если эти сто
роны
разной
длины?
Ответ
на
этот
вопрос
даёт теорема
о большей стороне.
§17
БОЛЬШАЯ СТОРОНА И БОЛЬШИЙ УГОЛ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Синий
треугольник
имеет
пе ри метр больше,
а пло
щадь меньше, чем зелёный
Рис.
17.5
225
Теорема о большей стороне
В треугольни-ке против большей стороны
лежит больший угол (рис.
17.6,
а).
в
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
а)
Пусть в треугольнике АВС сторона ВС больше
стороны АВ. Мы докажем, что угол при
вершине А всегда больше угла при вершине С.
Давайте обозначим величины этих углов
буквами а и rз и убедимся, что а
(рис.
17.6,
rз
>
А
с
а).
Сделаем дополнительное построение: отложим
Если а
от вершины В на стороне ВС нашего тре
угольника отрезок ВК, равный стороне АВ.
Ь, то а
> f3
в
б)
Поскольку сторона ВС по условию больше
>
стороны АВ, то точка К окажется где-то
на отрезке ВС (рис.
б). Тогда треуголь
17.6,
ник АВК будет равнобедренным, поэтому его
углы ВАК и ВКА будут равны. Обозначим их
величину буквой у. Ясно, что луч АК лежит
внутри угла ВАС, поэтому у
<
сравним величины углов у и
f3.
угол АКВ
-
А
а. Теперь
с
Поскольку
внешний для тре-
Рис.
17.6
угольника АКС, то по теореме он равен сумме
углов
f3
и САК. Поэтому у
> f3.
Значит, мы
получаем двойное неравенство: rз
Откуда следует, что
f3 <
<
у
<
а.
а.
Что и требовалось до-казать.
Мы с вами доказали, что против большей стороны
в
треугольнике
всегда лежит
обратное утверждение?
больший
угол.
А верно
ли
Оказывается, что оно тоже верно.
То есть против большего угла в треугольнике всегда долж
на лежать
большал
сторона.
Называют
это
утверждение
теоремой о большем угле треугольни-ка.
Теорем а о большем угле
В треугольни-ке против большего угла
всегда лежит большая сторона (рис.
17. 7).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть в треугольнике АВС угол при вершине А
больше угла при вершине С. Мы докажем, что
226
ГЛАВА5
сторона
больше
ВС
его
в
треугольнике
стороны
углы буквами а и
АВ .
13,
должна
Обозначим
быть
данные
-
ст ороны треугольника
в
а)
а противоположные им
как а и Ь.
13.
По условию нам дано а>
Будем рассуждать от противного. Допустим,
что сторона В С не больше стороны АВ. Тогда
возможны всего два случая: либо а =
>
Ъ
с
Ь, либо
а. В первом случае треугольник АВ С
должен быть равнобедренным, и тогда по его
свойству а =
13.
в
б)
А это противоречит условию
нашей теоремы. Во втором случае по доказан
ной раньше теореме о большей стороне тр е
угольника против его большей стороны Ъ дол
жен лежать б ольший угол
13.
То есть тогда должно быть а
условию дано, что а>
13.
<
13.
А
Но по
Мы опять пришли
Если а
к противоречию. Значит, наше предположение
неверно, и на самом деле а
>
ne
д
куляр
и
>
13,
то а
>
Ъ
Ъ.
Что и требовалось доказ ать .
е
с
Рис.
17.7
наклонна
Вы уже знаете, что из точки на прямую всегда можно опу
стить перпендикуляр.
Длину этого перпендикуляра назы
вают расстоянием от данной точки до прямой.
А знаете почему? Дело в том, что перпендикуляр
короче
всех
других
отрезков,
которые
соединяют
данную
точку с точками прямой линии. Все такие отрезки называ
ют
наклонными
к
прямой
или
просто
наклонными.
Другими словами, самый короткий путь от точки до пря
мой идёт не по наклонной,
а по перпендикуляру к ней.
Именно так плывёт в море человек к берегу, чтобы сокра
тить себе путь. Так же переходят оживлённую улицу или
~--_,---
Рис.
§17
17.8
Рис.
17.9
БОЛЬШАЯ СТОРОНА И БОЛЬШИЙ УГОЛ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
227
стр оят мост через реку
--
перпендикулярно к её берегам,
потому, что так короче. С помощью перпендикуляра изме
ряют высоту или глубину. Опуская якорь , по длине цепи
определяют расстояние до дна. Потом цепь всегда удлиня
ют, чтобы корабль мог немного отойти в сторону. Именно
потому, что перпендикуляр короче наклонной. Причём дан
ное утверждение
не аксиома, а теорема. И мы её сейчас
--
докажем.
Теорема о перпендикуляре и наклонной
Перпендикуляр короче любой наклонной,
проведённой из данной точки к прямой
(рис.
17.10,
•
а)
а).
перпен-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
наклонная
дикуляр
Опустим из данной точки М на прямую
перпендикуляр МН. Давайте проведём из этой
же точки к прямой произвольную наклонную
МК и докажем, что она длиннее перпендику
ляра МН (рис.
17.10, 6).
Рассмотрим треугольник МНК. В нём отрезок
МК является гипотенузой, а перпендикуляр
м
б)
МН-- катетом. Против гипотенузы в тре
•
угольнике лежит прямой угол, а против катета
МН лежит угол МКН. Но этот угол острый,
иначе сумма углов в треугольнике была бы
больше
180°.
Значит, угол, лежащий против
гипотенузы, всегда больше угла, лежащего
н
против катета. По теореме о большем угле в
этом треугольнике
гипот е нуза
к
всегда должна
быть больше катета, а значит, отр езок перпен
дикуляра МН короче любой наклонной МК.
Рис .
Что и требовалось доказать .
17.10
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
*{:r..l''r
ПРИМЕР
17.1
Докажите,
что
угол
треугольника,
лежащий против самой ег о коро т кой стор оны , не превосхо
дит
60°.
Если
все
с тор оны
то все его углы равны
РЕШЕНИЕ:
60°.
Ес л и же какие-то стороны не
тр еуг ольника
равны,
равны по длине, то среди них есть наименьшая. По теоре
ме о большей стороне треугольника прот ив его самой ко
роткой
228
стороны
должен
лежать
самый
маленький
угол.
ГЛАВА5
Обозначим величину этого угла буквой а. Два других угла
треугольника тогда
будут
сумма
нашего
всех
углов
больше
или
равны
треугольника
больше или равна За. Тогда За ~
а.
Значит,
должна
Откуда а ~
180°.
быть
60°.
Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 17.2
{..:..
На
основании
равнобедренного
тре-
угольника взяли произвольную точку. Докажите, что рас
а)
стояние
от
этой
точки
до
противоположной
больше боковой стороны треугольника (рис.
вершины
не
а).
17.11,
РЕШЕНИЕ: Пусть М- произвольная точка на осно
вании АС равнобедренного треугольника АВС. По свойству
углы
при
его
основании
равны.
Обозначим
буквой а, а величину угла АМВ
угол АМВ
вен
в
буквой
-
их
13.
величину
Поскольку
внешний для треугольника ВМС, то он ра
-
сумме угла
а и
угла МВС.
Поэтому
13 >
а.
Теперь
рассмотрим треугольник АВМ. В нём сторона АВ должна
б)
быть
больше
стороны
ВМ по теореме,
этой стороны лежит угол
чит ВМ
<
АВ (рис.
13, который
17.11, 6).
поскольку против
больше угла а. Зна
Что и требовалось доказать.
***
ПРИМЕР 17.3
На боковой стороне ВС равнобедрен
1
ного треугольника АВС построили квадрат
м
А
Рис.
с
АЕ
и
больше:
пересекаются
BD
DO
в
или ЕО (рис.
точке
17.12,
О.
BCDE.
Какой
из
Отрезки
отрезков
а)?
РЕШЕНИЕ: Пусть угол В треугольника АВС равен а.
17.11
Тогда угол АВЕ равен
бедренный,
Е
ведь
90°
стороны
+
а. Треугольник АВЕ равно
квадрата
углы при основании АЕ равны
сумму углов треугольника АВЕ:
равны.
Поэтому
его
13 (рис. 17.12, 6). Запишем
90° + а + 213 = 180°. Отку-
да [3 ~ 45° - ~- Значит, угол AED равен 90° - ( 45о - ~) ~
а
=
45° + -
(рис. 17.1З). Диагональ
BD
делит квадрат на два
2
равных треугольника, поэтому угол
рассмотрим
угла
ODE,
треугольник
OED.
В
EDO
нём
равен
угол
45°.
OED
Теперь
больше
поэтому по теореме о большем угле сторона
OD
больше стороны ОЕ.
ОТВЕТ:
OD >
ОЕ.
Е
А
Рис.
§17
с
17.12
БОЛЬШАЯ СТОРОНА И БОЛЬШИЙ УГОЛ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
А
Рис.
с
17.13
229
в
ВОПРОСЫ
1
Можно ли складывать числовые неравенства? Мож
но ли их вычитать?
А
Рис.
2
3
с
Примелима ли к перавенетвам транзитивность?
Верно
ли,
что
в
треугольнике
против
самой
большой стороны лежит угол, который не меньше
17.14
60°?
4
Что длиннее в прямоугольном треугольнике: катет
5
Как
или гипотенуза? Почему это так?
выглядит
самый
короткий
путь
от
точки
до прямой линии?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
Рис.
17.15
ti tl
17.1
Докажите, что в треугольнике против тупо-
го угла лежит самая большая сторона.
17.2
*fl<:l
и
С.
(рис.
17.3
Рис.
17.16
* 'i:l fJ
На клетчатой бумаге отметили точки А, В
Какой
из
углов
больше:
АВС
или
ВСА
17.14)?
Нарисуйте
четырёхугольник,
все
которого больше двух его диагоналей.
стороны
Может ли
он быть выпуклым?
17.4
* '{: [ ~
Точку на катете прямоугольного треуголь
ника соединили
вершиной.
резка
(рис.
А
Рис.
с
17.5
*
fJ
не
их
больше
На
катетах
по
отрезок
(рис.
что
с
его
противоположной
длина
полученного
гипотенузы
от
треугольника
17.15).
отметили
17.17
отрезком
Докажите,
точке.
не
прямоугольного
Докажите,
больше
треугольника
что
соединяющий
гипотенузы
треугольника
17.16).
в
А
Рис.
230
с
17.18
А
Рис.
с
17.19
А
Рис.
м
с
17.20
ГЛА ВА5
{':; 1':1
17.6
Серединный
треугольника
>
Докажите, что ВС
Рис .
17.7
17.21
1"r{:J
перпендикуляр
АВС
пересекает
АВ (рис.
к
его
стороне АС
сторону
ВС.
17.17).
Перпендикуляр к стороне АС треугольника
АВС пересекает его сторону АВ в точке М, а про
должение стороны ВС
АВ
в
17.8
*
>
1::r
в точке К. Известно, что
-
>
ВС. Докажите, что ВК
Высота
делит
сторону
ВМ (рис.
17.18).
неравнобедренного
треугольника на два отрезка. Докажите, что мень
ший из них прилегает к большему углу треуголь
ника (рис.
.л.
17.9
что
и СВМ (рис.
Е
Рис.
В треугольнике АВС провели медиану ВМ.
Известно,
А
17.19).
17.22
17.10
**~
>
АВ
ВС.
Сравните
углы
АВМ
17.20).
Медиана
ВМ
треугольника
АВС
меньше
половины его сторон АВ и ВС. Докажите, что угол
АВС больше
D
17.11
tt
.-л-
120°
(рис.
17.21).
На продолжении боковой стороны ВС рав
нобедренного
треугольника
АВС
взяли
точку
Е
так, что угол ВАЕ равен
угла АВС верно, что АС
17.12
*
Два
квадрата
Отрезки АВ и
Рис.
CD,
90°. При какой величине
> СЕ (рис. 17.22)?
имеют
общую
вершину
О.
которые соединяют их вершины
на рисунке, пересекаются в точке К. Известно, что
17.23
АК
> DK.
больше (рис.
У
какого
из
этих
квадратов
сторона
17.23)?
в
•
17.13
На
основание
АС
равнобедренного
тре-
угольника АВС опущена высота ВН. Из точки Н
на его боковую сторону ВС опустили · перпендику
ляр НК. Отрезки АК и ВН пересекаются в точке О.
Какой отрезок больше: ВО или ВК (рис.
А
Рис.
§17
н
17.24)?
с
17.24
БОЛЬШАЯ СТОРОНА И БОЛЬШИЙ УГОЛ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
231
о
Не
е нет
ольника
ре
Каждый человек знает, что на плоскости самый короткий
путь от одной точки до другой идёт по отрезку прямой ли
нии или просто <<ПО прямоЙ>>. Так обычно и говорят: <<Иди
напрямик>>. В самом деле, данное утверждение очень похо
же на аксиому. В своё время древние философы смеялись
над великим Архимедом, когда он пытался это строго об
основать.
<<Даже
осёл
знает,
стогу сена идёт по прямой!>>
что
-
самый
короткий
путь к
говорили они. Все это, ко
нечно, так... А теперь представьте, что с утра от дома до
школы вы шли пешком
на автобус и проехали
500 м.
3 км
После уроков у школы сели
кружка. А после занятий с этого кружка на другом автоРис.
232
ш
3км
к
по прямой улице до своего
Рис.
18.2
18.1
ГЛАВА 5
N
Рис.
18.3
N
бусе и уже по другой улице вернулись домой. Могли ли ве
чером вы проехать ровно
2
км? Перед тем как отвечать на
этот вопрос, давайте нарисуем схему ваших передвижений
в течение дня. Там будут всего три точки: ваш дом, школа
и кружок. Школу и кружок соединяет отрезок прямой до
роги длиной
проехали
км (рис.
3
от
кружка
до
Теперь вообразите, что вы
18.2).
дома,
а
потом
вечером
снова
при
шли в школу. Весь ваш1 путь от кружка до школы тогда
составил бы всего
+ 500
км
2
м =
2,5
км. Но разве могло
такое быть, если <<ПО прямоЙ>> между ними было
км? Ко
3
нечно, нет! Ведь путь по отрезку прямой должен быть все
Рис.
18.4
гда короче любого другого.
Теперь разберём другой пример. Один самолёт про
летел
5000
км
2000
на
км на запад и
север,
после
км
2000
на
юг,
затем
вернулся в исходную точку... Могло
-
ли такое быть? Удивительно, но такое бывает. Например,
если исходная точка- в
ли.
лёт.
На рисунке
На
18.4
2000
км от северного полюса Зем
показано,
географической
карте
как мог лететь этот само
его
маршрут
как треугольник, стороны которого равны
и
5000
км
(рис.
18.3).
Но
разве
2000
может
выглядел
км,
бы
км
2000
быть такой
тре
угольник? Ведь самый короткий путь между двумя точка
ми на плоскости должен идти по прямой! В том-то и дело,
что географическая карта плоская, а наша Земля круглая.
:Расстояния на такой карте неизбежно искажаются, причём
тем
сильнее,
чем
ближе
вы
подходите
к
полюсу
Земли.
Если бы мы с вами рисовали путь нашего самолёта нагло
бусе, то сразу бы увидели, что при движении на запад по
параллели
он
летит
между точками.
верхности
Земли
вовсе
А для
не
по
самому
короткому
самых коротких отрезков
выполняется
для трёх точек на плоскости.
то
И
же
на по
неравенство,
называется
пути
что
и
оно так же,
как и на плоскости, неравенством треугольни:ка. Причём,
как
это
ни
удивительно,
человек
его
может
строго
дока
зать. Итак, давайте для плоскости сформулируем
§18
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
233
Неравенство треугольника
В треугольни:ке :каждая сторона меньше
суммы двух других сторон (рис.
а).
18.5,
•
а)
;1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Возьмём любой треугольник АВС и докажем,
ь
что его сторона АС меньше суммы двух дру
с
гих сторон АВ и ВС. Помните, как геометри
чески получить сумму двух сторон АВ
+
с< а+ ь
ВС?
Правильно: нужно отложить их на одной
Е
б)
прямой. Итак, отложим на продолжении
''
стороны ВС нашего треугольника отрезок ВЕ,
равный АВ. Тогда АВ
+
ВС
(
СЕ. Нам с
=
>
вами осталось доказать, что СЕ
а
АС.
\/
Посмотрите на треугольник АВЕ: он равнобед
ренный, поэтому его углы ВАЕ и ВЕА при
•
основании АЕ равны. Угол САЕ больше угла
А
ВАЕ. Значит, он больше и угла АЕВ. Теперь
•
в
•
с
посмотрите на треугольник АЕС: в нём по тео
Рис.
реме против большего угла САЕ лежит сторо
18.5
на СЕ, которая должна быть больше стороны
АС. То есть АВ
+
ВС
>
АС (рис.
18.5,
б).
Точно так же легко проверить, что в этом
треугольнике и сторона АВ, и сторона ВС
меньше
суммы
двух других его
сторон.
Что и требовалось до:казать.
Может
и
6?
ли
быть
треугольник
со
сторонами
него должно
было
угольника. Но ведь
выполняться главное неравенство тре
2
+ 3 < 6.
Поэтому такого треугольни
ка нет. А существует ли треугольник со сторонами
4?
2, 3
Конечно нет! Ведь если бы он существовал, то для
Такой
треугольник
существует.
Именно
2, 3
потому,
и
что
каждая его сторона меньше суммы двух других! Такой тре
угольник
можно
легко
построить
циркулем
и
линейкой.
Давайте сделаем это вместе. Вначале возьмём отрезок АС,
длина которого равна
4.
Потом построим две окружности с
центрами в точках А и С, радиусы которых равны
2
и
3.
Любая из точек пересечения этих окружностей будет тре
тьей вершиной нужного нам треугольника АВС. Треуголь
ник со сторонами
2, 3
и
4
построен (рис.
18.6).
Самые умные из вас (или самые сомневающиеся)
могут задать такой вопрос:
окружности
Это
можно
вообще
доказать,
<<А почему построенные нами
будут
хотя
пересекать
само
друг
друга?>>
доказательство
довольно
Рис.
18.6
сложно. Поэтому мы примем без доказательства, что:
234
ГЛАВА 5
Из трёх отрезков, каждый из которых меньше сум
мы двух других,
всегда можно построить треуголь
ник.
Пусть длины сторон треугольника равны а, Ь и с.
Каждая
его
сторона
сколько она меньше?
меньше
суммы
двух
других.
А
на
Может ли эта сторона быть совсем
маленькой? Давайте запишем неравенства для каждой сто
роны
нашего
треугольника:
с
'
<
а
+
Ь, а
<
Ь
+
с, Ь
<
а
+
с.
В предыдущем параграфе мы с вами говорили, что
если от обеих частей неравенства отнять одно и то же чис
ло,
то знак неравенства не поменяется.
Давайте
отнимем
от двух частей второго неравенства число Ь. Тогда мы по
лучим верное неравенство а
а
Ь
от
обеих
а
-
<
-
Ь
третьего
<
с. Если же отнять число
неравенства,
то
получится
с. Итак, число с не может быть слишком малень
ким
-
(а
Ь) и (Ь
-
частей
оно обязано быть больше каждого из двух чисел
а). Значит, в любом случае оно больше раз
-
ности двух других сторон треугольника. А под разностью
этих
сторон
в
дальнейшем
мы
будем
понимать
разницу
между большей и меньшей из них.
Итак,
мы доказали важное следствие из нерщзен
ства треугольника:
Следствие из неравенства треугольника
В тр еугольни ке к аждая сто р о на больше р аз но
сти дву х други х его стор о н (ри с .
18.7).
с
Ь-а<с
Рис.
е
ве
ств
о
18.7
н
Из доказанной нами теоремы следует, что путь на плоско
сти из точки А в точку В по отрезку АВ
пути,
который
проходит через
любую
всегда короче
точку
С,
не лежа
щую на отрезке АВ. Можно сказать и так: ломаная, состо
ящая из двух звеньев АС и
СВ,
всегда длиннее отрезка
АВ, который стягивает её концы. А верно ли это для ло
маной, состоящей из любого количества звеньев? Ответ на
этот вопрос даёт неравенство ломаной.
§18
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
235
Неравенство ломаной
Длина ломаной не может быть меньше отрез
а)
ка, соединяющего её начало и конец
(рис.
18.8,
а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Обозначим вершины данной нам ломаной
буквами А 1 , А 2 , Аз,
и покажем, что её
... , An
длина больше длины отрезка
A 1An.
Сумма всех звеньев ~
Для этого
мы соединим начало нашей ломаной сразу
A 1An
А2
6)
с её третьей вершиной Аз отрезком А 1 Аз и
рассмотрим треугольник А 1 А 2 Аз.
По теореме о неравенстве треугольника имеем
<
А 1 Аз
А 1А 2
+
А 2 Аз (рис.
18.8,
б). Поэтому,
если мы <<пропустим>> вершину А 2 и сделаем
новую ломаную А 1 АзА 4 ••• Ап без этой верши
ны, то её длина будет меньше (рис.
18.8,
в).
На следующем шаге соединим первую верши
в)
•
ну данной ломаной "уже с четвёртой её верши
ной А 4 и по неравенству треугольника А 1 АзА 4
получим, что А 1 А 4 ~ А 1 А з
(рис.
18.8,
+
А4
АзА 4
.----·Аз
г). Отсюда следует, что без вершин
Al
А 2 и Аз мы получим ещё более короткую
ломаную А 1 А 4 А 5 •••
An
(рис.
18.8,
д).
Если продолжать этот процесс дальше, на
А2
г)
An •
звена полученной нами ломаной на одно новое
звено,
которое
короче
их суммы
,,
.~А
по неравен
ству треугольника. Таким образом, каждый
Al
раз мы будем уменьшать длину всей ломаной
нется только одно звено
A 1A n.
Значит, отрезок
короче длины всей нашей ломаной
(рис.
18.8,
з
/ n-1
и количество её звеньев, пока у нас не оста
A 1An
An - 1
•А47
каждом шаге мы будем заменять два соседних
А2
д)
е).
Что и требовалось доказать.
Al
Аз
е)
•
Аз
Рис.
236
18.8
ГЛАВА 5
Треугольн
к в треугольнике
Существует ещё одно важное неравенство, которое связано
с треугольником.
Предположим,
Вернее,
что
один
сразу с двумя треугольниками.
треугольник
целиком
находится
в
другом. Скажите: какой из них имеет больший периметр?
<<Это же очевидно,
скажете вы,
-
-
больше тот, который
снаружи!>> Вы совершенно правы, но этот ответ вам подска
зывает интуиция. А знаете, как это строго доказать? Да
в айте попробуем это сделать.
Неравенство периметров двух треугольников
Если один треугольник целиком содержится в дру
гом, то он имеет меньший периметр (рис.
а).
18.9,
а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Представим себе, что один из наших треугольников
сделан из белой бумаги и на нём нарисован еще один
треугольник
-
зелёного цвета. Возьмем ножницы и
попробуем ими вырезать зелёный треугольник из
белого. Каждый раз мы будем резать бумагу по пря
мой линии, то есть делать один прямолинейный
б)
с
разрез. Вначале мы разрежем её по отрезку АВ, на
котором лежит одна из сторон зелёного треугольника.
Белый треугольник тогда распадётся на две части,
причём зелёный треугольник останется в одной из
этих частей (рис.
18.9,
б).
А что можно сказать про периметр этой части? Ока
зывается, он всегда будет меньше, чем у исходного
белого треугольника. И вот почему. Чтобы получить
периметр отрезанной нами части, из периметра белого
треугольника нужно вычесть отрезки АС и ВС, но
зато добавить длину линии разреза- отрезок АВ.
Поскольку в треугольнике АВС сторона АВ меньше
суммы сторон АС и ВС, то после такого <<отрезания>>
мы всегда отнимем больше, чем прибавим. А значит,
периметр отрезанной нами части будет меньше, чем
у белого треугольника.
На следующем шаге мы будем резать бумагу по
прямой
DE,
на которой лежит вторая сторона зелёно
Рис.
18.9
го треугольника. Бумага опять распадётся на две
части, в одной из которых окажется наш зелёный
треугольник (рис.
18.9,
в). Периметр этой части станет
ещё меньше, поскольку по сравнению с предыдущим
куском к нему мы добавим длину отрезка
DE,
но
отнимем длину ломаной, соединяющей те же точки.
§18
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
237
По неравенству ломаной мы снова отнимем больше,
чем прибавим.
Как вы уже догадались, так можно сделать сколько
угодно раз, и каждый раз периметр <<обрезков>> бума
ги будет становиться только меньше. Однако нам
осталось сделать
всего один разрез
-
на этот раз
по
прямой МК. Сделав его, мы полностью отрежем
зелёный треугольник от белой бумаги (рис.
18.10).
Поскольку на каждом шаге мы уменьшали периметр
полученных частей, то и периметр зелёного треуголь
ника будет менЬше периметра исходного белого тре
Рис.
18.10
угольника.
Что и требовалось доказать.
Замечание. Точно так же можно доказать, что если внутри
данного многоугольника лежит не треугольник, а любой
другой выпуклый многоугольник, то его периметр всегда
будет меньше исходного (рис.
18.11,
а). Если же внутрен
ний многоугольник будет невыпуклым, то его периметр
может быть сколь угодно большим (рис.
18.11, 6).
б)
а)
Выпуклый многоугольник вну
Периметр невыпуклого много
три имеет меньший периметр
угольника может быть любым
Рис.
Снежинка Коха
Рис.
18.12
18.11
Интересно, что теоретически на обыкновенном ли
сте бумаги можно расположить фигуру, периметр которой
будет
сколь угодно
стые>>
фигуры
фракталов,
в
1904
г.
большим.
называют
описанных
шведским
Такие
<<бесконечно извили
фракталами.
в
Один
математике,
математиком
из
был
Хельге
первых
придуман
фон
Кохом.
Строится он так.
Вначале
рисуют
любой
равносторонний
треуголь
ник.
Потом каждую его сторону делят на три равные ча
сти.
На средней части
каждой
стороны во
внешнюю
об
ласть строят ещё по одному равностороннему треугольнику.
Получается равносторонний
12-угольник или шестиуголь
ная звезда. На третьем шаге каждую сторону этой шести
угольной звезды опять делят на три равные части, на сред
ней
части
каждой
треугольник...
238
Так
стороны
опять
получают
строят
Построение снежинки Коха
равносторонний
48-угольник
(рис.
18.12).
Рис.
18.13
ГЛАВА 5
д альше
этот
процесс
повторяется
сколько
угодно
раз.
nериметры получаемых снежинок все время увеличивают
ся . В самом деле: на любом шаге мы из каждой стороны
выбрасываем
Зн ачит,
и
треть
её
периметр
длины,
v
всеи
но
добавляем
снежинки
две
трети.
увеличивается
1
на
З
nериметра предыдущей. То есть периметр каждой следующей снежинки будет равен Р
с ать
256 ,
последовательность
-
... ,
81
(4)n
- .
3
1
+ -
этих
Р =
4
Р. Можно напи-
-
3
3
периметров:
1
,
i,
16
3
9
,
64
27
,
Можно доказать, что такая последователь-
IIOCTЬ ничем не ограничена, а снежинка Коха
это
изви-
листая линия, которая получается в пределе за бесконеч
ное число шагов. Выходит, что и периметр снежинки Коха
должен быть сколь угодно большим.
® УПРАЖНЕНИЯ
Нарисуйте на листе писчей бумаги многоугольнид,
1
периметр которого равен
3
м.
Сделайте в обычном листе бумаги из тетради та
2
кую дыру, через которую вы сами могли бы про
лезть.
Рис.
18.14
Нарисуйте на листе белой бумаги снежинку Коха,
3
сделав
128
4
в
шага так, чтобы её периметр был ровно
см (рис.
18.14).
еравенство «резинки»
Ещё
одно
важное
неравенство
связано
с
ломаной
в
тре
угольнике. Возьмите внутри треугольника АВС произволь
ную
точку М . и
скажите,
АВС или АМС (рис.
какая ломаная
будет длиннее:
18.15).
Интуиция вас опять не обманет
-
А
Рис.
18.15
Рис.
18.16
с
длина ломаной
АВС будет больше. Это станет особенно очевидно, если обе
ломаные мысленно считать эластичными
<<резинками>>.
Представьте себе, что вы натянули резинку на ро
гатке пальцем в точке М и хотите перевести палец в точ
ку В.
Ясно, что для этого необходимо ещё растянуть ре
зинку, то есть увеличить её длину (рис.
18.16).
Мы с вами
это сейчас строго докажем безо всяких рогаток. Тем более
что это неравенство было ещё в первой из книг Евклида.
§18
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
239
Неравенство «резинки»
Если точка М принадлежит треугольнику
АВС, то АМ
+
СМ~ АВ
+
ВС (рис.
18.17).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть точка М лежит внутри треугольника
в
АВС. Посмотрите на треугольник АМС: он
целиком находится внутри треугольника АВС.
Тогда по доказанному нами неравенству о
двух треугольниках периметр треугольника
АМС должен быть меньше периметра тре
угольника АВС. Это значит, что
АМ
+
+
МС
+
АС ~ АВ
+
ВС
АС.
Отнимем теперь длину отрезка АС от двух
А
с
частей нашего неравенства. Как вы помните,
неравенство от этого не изменится. Но тогда
мы
и
получимнеравенство
АМ
+
Рис.
<<резинки>>:
+
ВМ ~ АВ
18.17
ВС.
Что и требовалось доказать.
Замечание. Точно так же можно доказать, что если
внутри
треугольника
<<выпуклую>>
АВС
расположить
ломаную АМК... NC,
какую
в
угодно
которая лежит по одну
сторону от любого своего звена (или его продолжения), то
длина
АВ
+
такой
ломаной
тоже
будет
меньше
ВС данного треугольника (рис.
ломаная
невыпукла,
большой (рис.
18.18,
то
её
суммы
а).
18.18,
длина
может
сторон
Если же
быть
очень
б).
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
* .л.~
равны
ПРИМЕР
2
и
5,
18.1
Длины
быть равно это число (рис.
РЕШЕНИЕ:
угольника
двух
сторон
а длина третьей
буквой
- целое
18.19)?
Обозначим
n.
В
длину
математике
Выпуклая ломаная
короче АВ + ВС
треугольника
AMKNC
в
число. Чему может
третьей
такой
стороны
буквой
тре
часто
обозначают целые числа. В треугольнике каждая сторона
должна быть меньше суммы двух других сторон, поэтому
должны выполняться неравенства:
Из них сразу следует, что
лое
число,
то
ОТВЕТ:
240
это
может
4, 5, 6.
n
3 < n < 7.
быть
< 2 + 5, 5 < n + 2.
А поскольку
только
при
n
=
n - це
4, 5, 6.
А
Рис.
с
18.18
ГЛАВА 5
2·-------------·
/
а)
4
n
Рис.
* .-;:-.л.
4
18.19
ПРИМЕР
Рис.
Одна
18.2
сторона
18.20
треугольника
см, а длины двух других относятся как
что периметр треугольника меньше
РЕШЕНИЕ:
5х
3х
<
и
5х.
+ 4.
3х
4 + 8 · 2
3 : 5,
По
=
неравенству
4 + 3х +
20 см.
в
б)
мы можем обозначить их длины
треугольника
Отсюда следует, что х
угольника равен
чем
см
Поскольку длины двух сторон треуголь
ника относятся как
как
20
равна
3 : 5. Докажите,
(рис. 18.20).
.~
5х =
4 +
< 2.
имеем
Периметр тре
8х. Значит, он меньше,
Что и требовалось доказать.
* -('ка
ПРИМЕР
меньше
18.3
половины
Докажите, что медиана треугольнисуммы
двух
его
сторон,
выходящих
Рис.
18.21
D
из той же вершины.
РЕШЕНИЕ: Обозначим длины сторон АВ, ВС и Jllе
дианы ВМ треугольника АВС соответственно буквами а, Ь
и т (рис.
18.21,
а).
1
Мы должны доказать, что т
дополнительное
построение
-
< -
2
продлим
(а
+
Ь). Сделаем
медиану
свою длину. То есть на луче ВМ возьмем точку
DM
ВМ =
=
т. Тогда треугольники АВМ и
D
а)
ВМ на
так, что
будут
CDM
равны по первому признаку. Следовательно, должны быть
CD
равны их стороны
=
АВ =
а.
Теперь рассмотрим треугольник
BD <
ству треугольника:
Откуда т
1
< -
2
(а
+
Ь) (рис.
ВС
+ CD.
BCD. По неравен
2m < а + Ь.
Или
б)
18.21, 6).
Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР
любые
точки А
меньше
18.22,
18.4
Внутри
и
Докажите,
В.
половины
многоугольника
что
периметра
взяли
две
отрезок АВ
всегда
многоугольника
(рис.
в)
а).
РЕШЕНИЕ: Продолжим отрезок АВ до пересечения с
границей
нашего
многоугольника
(рис.
Если
18.22, 6).
многоугольник невыпуклый, прямая АВ может пересекать
его более чем в двух точках. Мы обозначим буквами А 1 и
В 1 две самые удалённые друг от друга точки пересечения
этой прямой с границей многоугольника (рис.
гда должно быть верно, что АВ
<
18.22,
бивают контур всего многоугольника на две части
§18
в). То
А 1 В 1 • Точки А 1 и В 1 раз
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
-
две
Рис.
18.22
241
ломаные, длины которых мы обозначим как
видно,
что
периметр
всего
многоугольника
l1 + l 2
длин этих ломаных, то есть Р =
(рис.
l1
и
l 2 • Оче
равен
сумме
18.23).
Как вы помните, по неравенству ломаной должньr
быть выполнены неравенства А 1 В 1
мы их сложим, то получим 2А 1 В 1
1
А 1В 1
Рис.
18.23
< - Р.
1 2
< - Р. То
АВ
2
риметра всего
АВ
<
А1В 1,
то
должно
быть
есть длина отрезка АВ меньше половины
ne-
многоугольника.
Что и требовалось доказать.
с
в
Поскольку
< l1 и А1В 1 < l 2 • Есл:и:
< l1 + l 2 = Р. Значит
'
а)
***
ПРИМЕР 18.5
Внутри квадрата взяли произволь
ную точку. Докажите, что сумма расстояний от неё до вер
шин
квадрата меньше
периметра этого
РЕШЕНИЕ: Возьмём в квадрате
точку М (рис.
б)
D
в
с
М
обязательно
попадёт
Предположим,
что
(рис.
Значит,
18.24,
б).
угольниках АВС и
произвольную
а). Диагонали квадрата пересекаютс.я
18.24,
в точке О и разбивают квадрат на
А
квадрата.
ABCD
в
она
один
4
из
окажется
треугольника. Точка
этих
в
треугольников.
треугольнике
ВОС
точка М будет находиться в тре
одновременно. Обозначим сторону
BCD
квадрата буквой а. Поскольку точка М лежит в треуголь
нике АВС, то по неравенству <<резинки>> имеем, что:
АМ
+
+
СМ ~ АВ
ВС
=
2а (рис.
18.24, в).
BCD,
А поскольку точка М лежит в треугольнике
же
по
неравенству
ВМ
А
+ DM
в)
а
<<резинки>>:
+ CD
~ ВС
=
2а (рис.
18.24,
г).
Сложим два этих неравенства и получим, что
D
АМ
в
то так
с
+
ВМ
+
СМ
+ DM <
4а.
То есть сумма расстояний от точки М до вершин квадрата
меньше его периметра.
Точно так же можно рассмотреть
случаи, когда точка М попадает в треугольник АВО или
принадлежит другим треугольникам.
Что и требовалось доказать.
а
Существует
можно
А
г)
в
другое
для
решение
последней
прямоугольников
задачи,
и
которое
некоторых
дру
гих четырёхугольников. Мы также приведём его здесь.
D
а
и
применить
с
с
в
в
с
А
D
б)
а)
а
А
Рис.
242
18.24
D
D
А
Рис.
18.25
ГЛАВА
5
Второе решение. Проведём через точку М две пр.я
J.УIЫе, параллельные сторонам квадрата. Они разобьют дан
ный
нам
(рис.
18.25,
квадрат
на
меньших
4
DM в этих прямо
(рис. 18.25, б). Легко
угольниках .являются диагоналями
доказать,
что
друг другу.
прямоугольника
а). Отрезки АМ, ВМ, СМ и
диагонали
В
каждом
любого
прямоугольника
в
с
~
равны
из четырёх прямоугольников
про
ведём другую диагональ. Тогда они вместе будут образовы
вать
(рис.
четырёхугольник,
18.26).
вписанный
Сумма отрезков АМ,
в
ВМ,
наш
СМ и
равна периметру этого четырёхугольника.
четырёхугольник можно
<<вырезать>>
рата,
будет
то
его
периметр
квадрат
будет
DM
Поскольку этот
D
А
Рис.
18.26
из данного нам квад
меньше
периметра
самого
квадрата.
Что и требовалось доказать.
ВОПРОСЫ
1
Какой
путь
между
двумя
точками
на
плоскости
самый короткий? Из какого неравенства это следу-
ет?
2
1
Длины
двух
сторон
треугольника
равны
а
и
Ь.
В каких пределах может меняться длина его тре
тьей стороны?
3
Прямоугольный лист бумаги по прямой линии раз
резали на две части. Может ли периметр одной из
этих частей быть больше периметра исходного ли
ста?
4
5
В чём состоит неравенство <<резинки>>?
6
Что такое снежинка Коха? Чем она отличается от
Можно
ли
на
листе
тетради
угольник с периметром
нарисовать
много
м?
10
обычных многоугольников?
7
Верно ли, что каждая сторона треугольника мень
ше половины его периметра?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
18.1
* {::{{::;
Четыре
ученика
длинам
некоторого
ошибся,
а
другие
если Дима сказал
5,
а Володя
назвали
числа,
треугольника.
сказали
2,
сказал 7
правду.
Вася сказал
(рис.
Один
18.27)?
3,
Кто
равные
из
них
ошибся,
Миша сказал
•
•
•
•
2
Рис.
§18
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
3
5
•
7
•
18.27
243
Одна сторона равнобедренного треуголынr
* "'":-.!?
18.2
ка равна
5,
а другая
12
(рис.
Найдите пер:и
18.28).
метр этого треугольника.
* -tJ
18.3
Найдите длину основания равнобедренного
'{;f
треугольника,
Рис.
18.28
если
одна
его
сторона
больше другой, а периметр равен
~ i:I
18.4
в
два
см (рис.
7
Сколько существует различных треугольн:и
ков, длины двух сторон которых равны
длина третьей
18.5
Рис.
18.29
18.6
Отрезки АВ и
что АС
+ BD <
* «'J ~
Докажите,
выпуклого
что
(рис.
18.31).
сумма
пятиугольника
может
1, 5
и
* -tJ 't'
18.8
принимать
длина
-
ВС =
2,
7, CD = 1.
18.34).
равна целому числу (рис.
в
18.33).
его
Какие
четвёртой
целое число?
Длина звена
AD
Какие значения
она может принимать?
** Y::r
18.9
Одна сторона треугольника равна
ны двух других относятся как
D
Рис.
периметра
В ломаной АВ CD известны длины трёх её
звеньев: АВ =
с
диагоналей
его
(рис.
2
стороны, если известно, что она
18.30
всех
больше
Длины трёх сторон четырёхугольника по
значения
Рис.
а
CD пересекаются. Докажите,
+ CD
следовательно равны
n
7,
18.32).
* i:I f?
18.7
7
АВ
и
3
18.30)?
целое число (рис.
-
* 1-.~ "i-.Y
(рис.
раза
18.29).
18.31
все
стороны
(рис.
18.35).
* * «'J
18.10
этого
5 : 7.
треугольника
** ~
и
5
меньше
14
18.36).
Длины двух сторон треугольника равны
(рис.
18.37).
* * fi
2
Докажите, что медиана, проведён
ная к третьей его стороне, больше
18.12
а дли
Докажите, что сумма диагоналей четырёх
угольника меньше его периметра (рис.
18.11
4,
Докажите, что
1,5.
Внутри треугольника взяли произвольную
точку. Докажите, что сумма расстояний от неё до
Рис.
18.32
в
D
2
n
Рис.
244
18.33
......
с
А
Рис.
1
х
18.34
Рис.
18.35
Рис.
18.36
ГЛАВА 5
вершин
(рис.
18.13
Рис.
треугольника
* * <''?
его
периметра
Дан выпуклый четырёхугольник. Где необ
ходимо
18.37
меньше
18.38).
взять
точку,
чтобы
сумма
расстояний
неё до его вершин была наименьшей (рис.
18.14
* **
Дан
жите,
что
невыпуклый
точка с
четырёхугольник.
минимальной
от
18.39)?
Дока
суммой расстоя
ний до всех его вершин совпадает с одной из них
(рис.
18.15
Рис.
18.38
18.40).
**f1
В четырёхугольнике
Докажите, что
18.16
* * fJ
CD <
Боковые
+
АВ
ABCD угол D прямой.
ВС (рис.
стороны
угольника равны
1,
18.41).
равнобедренного
тре
а угол между ними равен
45°.
1
2
Верно ли, что основание треугольника больше
(рис.
Рис.
18.17
18.39
-
18.42)?
* **
В
треугольнике
взяли
две
произвольные
точки М и К. Для каждой нашли сумму расстоя
ний
от
неё
до
что
эти
две
суммы
~ершин
длину отрезка МК (рис.
18.18
* **
ника,
Рис.
18.40
с
18.19
не
Докажите,
более чем
противоположных
меньше
половины
сторон четырёхуголь
суммы
его
диагоналей.
18.44).
***
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС
взяли произвольные точки М и К. Точка О
редина отрезка МК.
в
1
А
Рис.
<
18.20
D
на
18.43).
Докажите, что отрезок, который соединяет
середины
(рис.
треугольника.
отличаются
АО
+
СО (рис.
Докажите, что АМ
+
-
се
СК
<
18.45).
* * 1:I
Может ли сумма расстояний от пекоторой
точки
внутри
четырёхугольника
до
его
вершин
быть больше периметра этого четырёхугольника?
18.41
в
А
х
Рис.
§18
18.42
Рис.
18.43
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Рис.
18.44
Рис.
с
18.45
245
18.21
* **
В результате измерения четырёх сторон и
одной из диагоналей некоторого четырёхугольника
получились
числа
1; 2; 2,8; 5; 7,5.
Чему
равна
длина измеренной диагонали?
u
18.22
Боковые
угольника равны
(рис.
18.46).
ка больше
18.23
* **
равнобедренного
а угол между ними равен
тре -
20°
Докажите, что основание треугольни-
1
3
Боковые
угольника равны
(рис.
стороны
1,
18.47).
стороны
1,
равнобедренного
а угол между ними равен
тре
40°
Верно ли, что основание треугольника
больше ~?
3 .
х
х
Рис.
246
18.46
Рис.
18.47
ГЛАВА
5
е
еоме
рическое место
о чек
Когда на уроке алгебры вы решаете уравнение, то в ответ
записываете
только
те
числа,
для
которых
оно
верно.
А что такое вообще любое уравнение? Это всегда некоторое
условие,
так
же
которое и определяет нужные нам числа.
в
геометрии
для
точек
на
плоскости
можно
Точно
задать
какое-нибудь условие, а в ответ <<Записать>> только те точ
ки, для которых оно выполняется. Множество всех таких
точек,
подходящих
рическим
местом
под
данное
точек
или
условие,
называют
сокращённо
ГМТ.
геомет
Обратите
внимание: мы считаем, что ГМТ · найдено, если мы нашли
не
две
или
три
нужные
нам
точки,
а
все
точки,
подходя
щие под это условие. Само же условие или правило может
быть
произвольным.
Давайте
приведём
здесь
несколько
примеров таких условий или ГМТ на плоскости:
Все
точки,
одинаково
удалённые от данной точки:
Все
точки,
удалённые
от
одинаково
двух
данных
Все
точки,
от
удалённые
одинаково
пря
данной
прямая
Все
точки,
сумма
расстоя
ных точек постоянна:
точек:
окружность
Все
ний от которых до двух дан
точки,
равноудалённые
от двух данных прямых:
мой:
эллипс
Все
точки,
сумма
расстоя
ний от которых до двух дан
ных прямых постоянна:
·rг
2
~
г
_j
параллельные прямые
Рис .
248
2
перпендикулярные прямые
прямоугольник
19.1
ГЛАВА б
Геометрическое место точек не всегда представляет
собой линию. Это может быть несколько линий, целая об
ласть,
а
может
Например,
быть
внутри
всего
любого
одна
или
несколько
треугольника
есть
а)
точек.
всего
одна
точка, одинаково удалённая от всех его сторон (рис.
19.2,
а). И наоборот, точки с одинаковой суммой расстояний до
сторон
равностороннего
треугольник
(рис.
19.2,
треугольника
б).
заполняют
Конечно,
может
весь
этот
случиться
и
так, что под данное условие вообще не подойдёт ни одна
точка. Такое бывает, ведь и в алгебре встречаются уравне
ния, которые не имеют решений.
Окруж ость
Возьмите
циркуль,
поставьте
его
иглу
в
данную
точку
плоскости и поворачивайте так, чтобы другой конец цир
куля двигался по бумаге.
опишет
замкнутую
3акреплённый на нём грифель
кривую,
которую
называют
окружно
Рис.
19.2
Рис.
19.3
стью.
Само слово циркуль в переводе с латыни означает
кружок, то есть маленький круг. Большие же круги рим
ляне называли цирками и чертили их,
на,
с помощью натянутой верёвки.
верёвка,
закреплённая
за
один
как и во все време
Почему же натяну'Рая
свой
конец,
рисовала
окружность? Дело в том, что длина верёвки при этом не
менялась,
её
а
конца до
вращении
значит,
не
менялось
закреплённой
сохраняет
точки.
расстояние
и
расстояние
Так же
между
от
другого
и циркуль при
своими
концами,
поэтому расстояние от всех точек начерченной им линии
до острия иглы циркуля остаётся одним и тем же. Теперь
мы
можем дать
математическое
определение
окружности.
О:кружность
кости,
это множество всех точек на плос
-
находящихся
на
одинаковом
расстоянии
от данной точки.
Данная
точка
называется
-
а указанное расстояние
Окружность
с
центром
обозначают так: акр (О;
центром
о:кружности,
её радиусом.
в
точке
R)
(рис.
О
и радиусом
R
19.4).
Окружность (О;
Рис.
~ УПРАЖНЕНИЯ
R)
19.4
Постройте окружность с центром в точке О, кото
1
рая проходит через точку А. Сколько других узлов
сетки
лежат
узлы (рис.
на
этой
окружности?
А
эти
19.5).
о
Нарисуйте окружность,
2
Отметьте
на которой лежат четыре
отмеченные на рисунке точки. Отметьте центр этой
окружности (рис.
19.7).
Постройте три окружности так, чтобы каждая из
3
них
проходила
(рис.
19.6).
через
центры
двух
Рис .
19.5
Рис.
19.7
других
Обязаны ли быть равны радиусы этих
окружностей?
Рис.
19.6
Круг
Знаете, чем круг отличается от окружности? На этот про
стой
с
<<Круг
виду
-
это
вопрос
блин,
один
ученик
а окружность
7
-
класса
это
ответил
форма
так:
блина>>.
Другой же сказал ещё интереснее: <<Круг закрашен, а вну
три окружн<;>сти пустота!>>
Так или иначе, но каждый человек интуитивно по
нимает,
что круг
-
это то,
что находится
<<внутри>>
окруж
ности. Можно даже сказать, что для окружности круг
это
её
внутренняя
область.
определением не очень удобно.
250
Правда,
работать
с
-
таким
Рис.
19.8
ГЛАВА б
1- -
- -
-
-
-
-
..
,, ,
- 1
1
1
,,
1
;
,,
....
''
;
''
1
\
''
!.._ ________ •
....
,,
,
'\
\
,
;
'
Ромбовекий
Квадрин
Рис .
''
'
'
1
....
...
__ .. , ,
Круглов
19.9
Возьмём для примера следующую ситуацию. В но
вом городском районе четыре станции метро находятся в
вершинах квадрата. Расстояние между соседними станция
ми
равно
жилой
км.
2
Строительная
комплекс
так,
чтобы
компания хочет построить
его
жителям
этих станций было добираться меньше
положение
ный
комплекса
метр
жилья.
комплекс?
компании
Перед
может
Где
увеличить
имеет
смысл
ответственным
поручил
2
до
каждой
цену
за
квадрат
расположить
совещанием
аналитическому
из
км. Удачное рас
отделу
этот
директор
подготовить
план-проект будущего строительства. Глава аналитическо
го отдела от трёх своих заместителей получил три плана
местности, где была изображена подходящая часть района.
Все
они показаны на рис.
телей
знает
геометрию
и
Только один из
19.9.
представил
своему
замести
начальнику
верный чертёж. Определите, кто это был.
Перед тем как читать дальше, постарайтесЪ само
стоятельно ответить на данный вопрос. Можно сказать, по
ставьте себя на место начальника ...
Как же правильно определить круг? Давайте поду
маем. Ясно, что любую точку М в области, ограниченной
окружностью,
можно соединить отрезком с её центром О.
Луч ОМ пересекает окружность только один раз, посколь
ку по аксиоме на нём можно отложить только один отре
зок,
равный радиусу.
на этом радиусе (рис.
Точка М,
19.10).
очевидно, должна лежать
Рис.
19.10
Значит, и длина отрезка ОМ
не может превышать радиуса окружности. Таким образом,
мы
с вами приходим к определению круга:
Круг
это
множество
всех
точек
плоскости,
удалённых от данной точки не более чем на длину
данного
отрезка.
Данная
точка
называется
занный отрезок
-
центром
:круга,
Таким
ука
радиусом :круга.
Круг с центром в точке О и радиусом
ют так: круг (О;
а
R
обознача
Рис.
R).
определением
Круг (О;
круга
пользоваться
R).
ОМ ~
R
19.11
гораздо
удобнее. Предположим, один фермер выпустил на луг па
стись свою козу, а чтобы она далеко не уходила, привязал
§19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
251
Рис.
Коза съест траву на пересе
19.12
чении двух кругов
Рис.
19.13
Рис.
19.14
её к двум колышкам А и В с помощью двух верёвок. Дли
на каждой верёвки
10
метров, а расстояние между колыш
ками оказалось таким же. В течение дня коза выщипала
всю траву везде, куда она смогла дотянуться. Как выгля
дит
та
часть
луга,
где
паслась
коза
и
где
теперь
не
стало
травы?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте нарисуем
две окружности радиусом
10
м с центрами в точках А и В.
Поскольку обе верёвки имеют длину
10
м, то коза не смо
жет отойти от каждого колышка дальше, чем на это рас
стояние. Поэтому она должна находиться сразу в двух кру
гах с центрами в точках А и В и радиусами
10
м. Значит,
коза выщиплет траву лишь на пересечении данных кругов.
Нужная часть луга показана на рис.
9.13.
Вернёмся теперь к вопросу о строительстве жилог о
комплекса.
Если
его жителям до
метро добираться не больше
2
какой-либо
из
станций
км, то сам комплекс должен
находиться внутри круга с центром на этой станции и ра
диусом
2
км. Нужное расположение комплекса будет толь
ко в том случае, когда он окажется в каждом из четырёх
о
таких же кругов с центрами на всех станциях метро. Пере
сечение данных кругов показано на рисунке
цветом.
Выходит,
аналитического
что
отдела
из
трёх
19.14
заместителей
компании
геометрию
голубым
начальника
знал
тольк о
один Ромбовский.
Рис .
19.15
~ УПРАЖНЕНИЯ
4
о
Сторона одной клетки квадратной сетки равна еди
нице. Отметьте все узлы этой сетки, расстояние от
которых до отмеченной точки О меньше
всего таких узлов (рис.
5
252
19.16
Сколько
Сторона одной клетки квадратной сетки равна еди
нице.
Рис.
2.
19.15)?
Сколько её узлов находится от точки О на
расстоянии большем
2,
но меньшем
3
(рис.
19.16)?
ГЛАВА б
1
Расстояние между точками А и В на клетчатой бу
6
маге равно
а до точки В
7
-
больше
(рис.
в
круг,
радиус
2,
2?
Можно ли квадрат со стороной в
стить
Рис.
Сколько существует узлов этой бу
2.
маги, расстояние от которых до точки А меньше
1
которого
4
клетки поме
равен
клеткам
3
19.17)?
19.17
еред
а)
нны
е
пен
икуляр
Согните на столе обычный лист бумаги и посмотрите на
линию его сгиба. Она представляет собой идеальную пр я
мую линию.
ный
ткнуть
(рис.
Знаете почему? Потому, что она
перпендикуляр.
сложенный
19.18,
Но
давайте
нами
лист
по
в
любом
середин
-
порядку.
Если
месте
про
иголкой
а, б) и снова разложить его на плоскость, в ме
стах прокола мы увидим две точки: А и В (рис.
19.18, 6).
Отметим теперь любую точку К на линии сгиба. Отрезки
АК и ВК обязаны быть одной длины, поскольку при сло
жении бумаги они совпадали (рис.
б)
дет для любой точки на' сгибе -
19.18,
в, г). Так же бу
значит, все его точки
должны быть одинаково удалены от точек А и В нашего
про кола.
А
Где на плоскости могут лежать все точки, которые
•
равноудалены от А и В? Давайте это выясним. Одна из та
ких точек должна быть на середине отрезка АВ
чим её буквой М. Пусть теперь К
-
-
любая точка на плос
кости, равноудалённая от А и В. Поскольку АК =
треугольник АКВ равнобедренный,
в)
обозна
а отрезок МК
медиана, проведённая к основанию (рис.
19.19,
ВК, то
его
-
а). Данная
медиана в равнобедренном треугольнике совпадает с высо
той, поэтому прямая МК должна быть перпендикуляром к
отрезку АВ и
в
проходить через его середину. Другими сло
вами, точка К должна лежать на серединном перпендику
ляре к отрезку АВ. Обратите внимание: перпендикуляр
-
это прямая линия. Поэтому все точки линии сгиба листа
бумаги обязаны лежать на прямой!
г)
а)
А
Рис.
§19
19.18
Рис.
б)
К ·
м
:к
в
19.19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
253
в)
Какая бы ни была у нас бумага, она всегда огра
К
ничена. Плоскость же бесконечна, как и серединный пер
пендикуляр к нашему отрезку АВ.
Верно ли,
что любая
точка данного перпендикуляра будет равноудалена от кон
цов отрезка АВ? Можете в этом не сомневаться: для любой
такой точки К треугольники АМК и ВМК будут равны по
первому признаку (рис.
19.19, 6),
ведь стороны АМ и ВМ
у них равны, сторона МК общая, а углы между этими сто
ронами прямые. Значит, для любой точки на перпендику
ляре
отрезки АК и ВК будут
равны.
Итак,
мы
с
вами
получили ещё одно важное геометрическое место точек
серединный перпендикуляр к отрезку.
Рис.
Множество всех точек плоскости,
от
концов
данного
перпендикуляром
к
отрезка,
АК
-
= ВК
19.19
равноудалённых
является
серединным
этому отрезку.
УПРАЖНЕНИЯ
Постройте
8
серединный
перпендикуляр
АВ на клетчатой бумаге (рис.
Постройте
9
серединный
Постройте
10
серединный
к
отрезку
к
отрезку
А
1/
v
19.21).
перпендикуляр
АВ на клетчатой бумаге (рис.
в
отрезку
19.20).
перпендикуляр
АВ на клетчатой бумаге (рис.
к
Рис .
19.20
19.22).
Возьмите лист писчей бумаги и согните его так,
11
в
чтобы линия сгиба была серединным перпендику
ляром к его диагонали (рис.
1
19.23).
1
Возьмите лист писчей бумаги и согните его так,
12
чтобы
получить
середину
большей
стороны.
Al/
Как
теперь, сгибая бумагу, получить точку, одинаково
удалённую от этой середины и концов противопо
ложной стороны листа (рис.
А
-
г---
Рис.
254
19.22
t--- t--- :--
19.24)?
Рис.
19.21
в
Рис.
19.23
Рис.
19.24
ГЛАВА б
Можно ли построить серединный перпендикуляр к
данному отрезку циркулем и линейкой? Конечно,
можно!
И даже очень просто. Ведь нам достаточно получить всего
две точки, равноудалённые от концов этого отрезка. Потом
мы
по
линейке
проведём
через
них
прямую
и
получим
нужный нам серединный перпендикуляр! Почему это рабо
тает? Всё очень просто: если точки равноудалены от кон
цов
отрезка,
то
они
должны
лежать
на
дикуляре к нему. Но перпендикуляр
По
аксиоме через
две
точки
можно
серединном
перпен
это прямая линия.
-
провести лишь одну
Построение
прямую. Значит, проведённая нами прямая и будет сере
динным
перпендикуляром
Итак,
ляр
и
к
давайте
отрезку
проведём
АВ.
к данному отрезку.
построим
Поставим
окружность
серединный
иглу
радиусом,
перпендику
циркуля
равным
в
точку
отрезку
серединного
перпендикуляра
Рис.
19.25
А
АВ.
Потом построим окружность с тем же радиусом, но с цен
тром в точке В. Эти две окружности пересекутся в точках
К1 и К2 • Теперь по линейке проведем прямую К1 К2 -
она
и
АВ
будет
(рис.
серединным
перпендикуляром
к
отрезку
19.25).
Точки
на
серединном
перпендикуляре
к
отрезку
АВ равноудалены от его концов. А где находятся все точ
ки, которые ближе к А, чем к В? Интуиция нам подсказы
вает, что они должны быть с той стороны от этого перпри
дикуляра, где находится точка А. Так оно и есть, но мы
докажем
это
строго.
Теорема
Геометрическим местом точек М на плоско
сти, находящихся ближе к точке А, чем к
точке В, является полуплоскость, располо
а)
м
женная с той стороны от серединного перпен
дикуляра к отрезку АВ, что и точка А
(рис.
19.26,
а).
в
А
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть точка М находится в одной полуплоско
АМ<ВМ
сти с точкой А относительно серединного
перпендикуляра к отрезку АВ. Тогда точки
М и В лежат в разных полуплоскостях отно
сительно
этого
перпендикуляра,
и
по
. 6)
аксиоме
м
отрезок МВ должен пересекать его в пекото
рой точке К (рис.
19.26, 6).
Поскольку точка
К лежит на серединном перпендикуляре
к отрезку АВ, то доЛжно быть АК = ВК.
А
Поэтому отрезок ВМ можно представить как
сумму отрезков ВМ
=
МК
+
ВК =
АК
+
О
в
МК.
Но в треугольнике АМК должно выполняться
Рис.
§19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
19.26
255
неравенство: АМ
<
АК
+
МК. Значит, АМ
<
ВМ.
Точно так же можно доказать, что любая точка
в другой полуплоскости относительно серединного
перпендикуляра к отрезку АВ лежит ближе к
точке В, чем к точке А. Значит, все точки М, для
которых АМ
<
ВМ, находятся с точкой А в одной
полуплоскости
относительно
этого перпендикуляра.
То есть данная полуплоскость и есть их геометри
ческое место.
Что и требовалось доказать.
а)
Биссек
иса уг
Вы
помните,
(рис.
19.27,
что
а
биссектриса
делит
угол
пополам
а)? Если бумажный угол сложить так, чтобы
совместились его стороны,
то линия сгиба бумаги станет
его биссектрисой. Отсюда следует, что биссектриса угла ле
жит на оси его симметрии (рис.
19.27,
б).
Давайте возьмём любой угол А, меньший
180°,
на
6)
его биссектрисе выберем произвольную точку М и опустим
из неё на стороны этого угла перпендикуляры МВ и МС
(рис.
а).
19.28,
Тогда треугольники АМВ
и АМС
будут
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, должны быть
равны их катеты МВ и МС (рис.
б). Помните, что
19.28,
-
расстояние от точки до прямой линии
это длина пер
пендикуляра, опущенного из неё на эту прямую? Значит,
любая точка М на биссектрисе угла должна находиться на
равных расстояниях от его сторон. Другими словами, все
Рис.
19.27
точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.
Все ли точки внутри угла, равноудалённые от его
сторон,
находятся
на
его
биссектрисе?
Оказывается,
а)
что
других таких точек нет. В самом деле, пусть какая-то точ-
ка М удалена от сторон угла А на равные расстояния. Это
значит, что равны перпендикуляры МВ и МС, опущенные
из неё на стороны это угла. Но тогда прямоугольные тре
угольники АМВ и АМС будут равны по гипотенузе и ка-
А
в
А
в
тету. В самом деле, гипотенуза АМ у них общая, а катеты
ВМ и СМ равны по условию. Значит, у этих треугольни
ков
должны
быть
равны
острые
углы
при
вершине
А.
6)
Поэтому точка М лежит на биссектрисе данного угла.
Мы с вами доказали, что все точки на биссектрисе
данного угла, меньшего
180°,
равноудалены от его сторон и
других таких точек внутри этого угла нет. Значит, биссек
триса
угла
-
это
геометрическое
место
всех
Давайте теперь запишем это как теорему:
256
таких
точек.
Рис.
19.28
ГЛАВА б
Теорема
Геометрическим
угла,
которые
местом
точек
внутри
равноудалены от
его
сто
рон, является биссектриса этого угла.
А
Рис.
в
19.29
~ УПРАЖНЕНИЯ
Возьмите
13
лист
белой
бумаги,
проведите
на
нём
прямую, не параллельную его краю. Перегибая бу
магу, получите на этом листе несколько точек :А:а
одинаковых
расстояниях
от
этой
прямой
и
края
19.30).
листа (рис.
На листе белой бумаги проведите два отрезка пр я
14
мых
линий,
которые
пересекаются
этого листа.
Перегибая бумагу,
биссектрисы
угла,
(рис.
за
пределами
Рис.
19.30
Рис.
19.31
Рис.
19.32
постройте отрезок
образованного
этими
прямыми
19.31).
Проведите на белом листе бумаги прямую, которая
15
отсекает
от
постройте
него
треугольник.
биссектрисы
Перегибая
всех его
углов.
блюдение теперь можно сделать (рис.
бумагу,
Какое
на
19.32)?
Как построить биссектрису данного угла с верши
ной А циркулем и линейкой? Например, можно поступить
так. Поставим иглу циркуля в вершину и проведём окруж
ность любого радиуса. Она пересечёт стороны нашего угла
в точках В и С (рис.
куля,
тем
же
19.33).
радиусом
Потом, не меняя раствора цир
построим
ещё
две
окружности
с
центрами в точках В и С. Эти окружности должны пройти
через вершину угла А, но ещё один раз они пересекутся в
пекоторой точке М.
линейке
-
Осталось соединить точки А и М по
и биссектриса угла построена! Почему луч АМ
будет биссектрисой данного угла? Всё просто: треугольни
ки АВМ и АСМ равны по третьему признаку, ведь сторо-
§19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
257
на АМ у них общая, а другие стороны равны радиусу вьr
бранной
нами
окружности.
Значит,
равны углы ВАМ :и
САМ этих треугольников. То есть АМ- биссектриса дан
ного
нам
угла.
А что представляет собой множество точек, кото
рые равноудалены от двух пересекающихся прямых? Отве
тить на этот вопрос теперь несложно. Две пересекающиеся:
прямые образуют две пары вертикальных углов. В каждо:м:
из них точки, равноудалённые от их сторон, лежат на бис
сектрисах этих углов. :Как вы помните, биссектрисы верти
Рис.
кальных углов вместе образуют одну прямую. Значит, ис
19.33
комое множество точек
это две прямые, образованные
-
биссектрисами четырёх данных углов
доказать,
что
эти
две
прямые
(рис.
19.34).
перпендикулярны
Легко
друг
дру
гу. :Как вы думаете, почему это так?
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 19.1
*i:.li:.l
Рис.
Дан отрезок АВ. Закрасьте на плос
кости множество всех таких точек М,
19.34
что АМ ~ АВ
<
в м.
РЕШЕНИЕ: Двойное неравенство, данное в условии,
означает
одновременное
выполнение
двух неравенств: АМ ~ АВ и АВ
рассмотрим
..
из
''
М
сразу
~
АВ,
то
все
точки
М должны
равен отрезку АВ.
"
1
1
1
,
точек
принадлежать кругу с центром в точке А, радиус которого
\
1
~
для
ВМ. Давайте вначале
них.
Поскольку АМ
\
;
первое
<
Второе неравенство АВ
<
ВМ показывает, что рас
стояние от точки М до точки В должно быть больше дли
ны отрезка АВ,
и,
значит,
она не может лежать внутри
круга с центром в точке В и радиусом АВ. Таким образом,
нужные
нам
точки
М должны
лежать
вне
этого
круга.
Остаётся закрасить все такие точки в первом круге, кото
Рис.
19.35
рые при этом не попадают во второй круг. Нужное геомет
рическое
место
точек
отмечено
на рисунке
голубым цве
том. Обратите внимание: граница второго круга с центром
в точке В не входит в ответ, поэтому она по казана на чер
теже
с
пунктиром.
ОТВЕТ: область ГМТ на рисунке
19.35
показана го
лубым цветом.
* i:.li:.l
ко
АМ
А
Рис.
258
D
19.36
ПРИМЕР 19.2
всего
=
на
Дан четырёхугольник
плоскости
СМ, ВМ
= DM
существует
(рис.
таких
Сколь
ABCD.
точек
М,
что
19.36)?
РЕШЕНИЕ: Условие АМ =
СМ показывает, что точ
ка М равноудалена от концов отрезка АС и поэтому долж
на лежать
на серединном
перпендикуляре
к нему.
Точно
ГЛАВА б
так же равенство ВМ =
DM
означает, что точка М нахо
дится на серединном перпендикуляре к отрезку
с
Зна
BD.
чит, точка М должна лежать на пересечении серединных
nерпендикуляров к этим отрезкам.
Отрезки АС и
диагонали нашего четырёхугольника,
раллельны
-
ним
друг
это две
другу.
Серединные
различные прямые
BD -
поэтому они не па
перпендикуляры
линии,
к
поэтому они мо
гут пересекаться только в одной точке (рис.
ОТВЕТ: точка М единственна.
**f:I
ПРИМЕР
19.3
Дан
Рис.
равносторонний
D
А
19.37).
19.37
треугольник
АВС. Закрасьте внутри него все такие точки М, для кото
рых выполняются неравенства АМ
РЕШЕНИЕ:
двум
Точки
неравенствам: АМ
М
<
<
должны
ВМ
<
удовлетворять
ВМ и ВМ
<
в
СМ.
СМ.
сразу
Первое из
них означает, что точка М ближе к точке А, чем к точке
В. Тогда по теореме точка М должна лежать в той же по
луплоскости от серединного перпендикуляра к отрезку АВ,
что
и точка А.
Этот
серединный
перпендикуляр
пройдет
через вершину С, поскольку данный нам треугольник рав
носторонний. Совершенно так же второе условие ВМ
<
СМ
означает, что точка М лежит в той же полуплоскости от
серединного перпендикуляра к отрезку ВС, что и точка В.
Рис.
19.38
Таким образом, нужные нам точки лежат на пересече~ии
двух этих полуплоскостей.
Искомое геометрическое место
точек внутри треугольника АВС отмечено голубым цветом.
Сами перпендикуляры в него не входят, поэтому они пока
заны пунктиром (рис.
19.38).
ОТВЕТ: область ГМТ на рисунке показана голубым
цветом.
**fi
с
а)
ПРИМЕР 19.4
Дан выпуклый четырёхугольник,
у
которого нет параллельных сторон. Где на плоскости нахо
дится
такая
точка,
которая
одновременно
равноудалена
от
двух пар его противоположных сторон? Сколько всего та
ких точек (рис.
19.39,
а)?
РЕШЕНИЕ: Сделаем дополнительное построение: про
А
D
длим стороны данного нам четырёхугольника до пересече
ния в двух точках К и Е. Поскольку по условию точка М
равноудалена
от
противоположных
четырёхугольника,
угла
CKD.
то
сторон
AD
и
ВС
б)
она должна лежать на биссектрисе
Точно так же точка М должна лежать на бис
сектрисе угла
AED,
поскольку равноудалена от его сторон.
Значит, точка М лежит на пересечении этих двух биссектрис.
Таким
образом,
существует
только
nодходящая под условие задачи (рис.
ОТВЕТ:
существует
только
19.39,
одна
одна
точка
М,
б).
точка
с
нужным
свойством.
к
Рис.
§19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
А
D
19.39
259
***
ПРИМЕР 19.5
Известно,
<
АО
что
Точка О -
< ВМ,
19.40, а)?
АМ
ВО (рис.
АК
середина отрезка МК.
<
ВК.
Обязательно
ли
к
а)
РЕШЕНИЕ: Возьмём отрезок АВ и проведём к нему
серединный
<
АМ
кости
перпендикуляр.
Так
как
по
условию
ВМ, то точка М должна лежать в той же полуплос
относительно
этого
серединного
перпендикуляра,
что
и точка А. По той же причине и точка К лежит в этой же
полуплоскости, поскольку АК
<
А
в
ВК. Но тогда весь отрезок
МК лежит в данной полуплоскости по аксиоме, поскольку
ей принадлежат его концы. Значит, и середина отрезка
-
б)
точка О лежит с той же стороны от серединного перпенди
м
куляра, что и точка А. Поэтому обязательно должно быть
АО
<
ВО (рис.
19.40, 6).
ОТВЕТ: обязательно.
0
1
ВОПРОСЫ
Принадлежит ли окружности её центр? Тот же во
прос
2
А
для
Рис.
19.40
Рис.
19.41
в
круга.
Почему линия сгиба листа бумаги прямая? С каким
геометрическим
местом
точек
на
плоскости
это связано?
3
Верно ли, что угол симметричен относительно сво
ей биссектрисы?
4
Как получить биссектрису бумажного угла без цир
5
Где
куля и линейки?
на
плоскости
находятся
все
точки,
равно
удалённые от двух данных точек?
6
Каким
свойством
обладают точки
на биссектрисе
угла, меньшего развёрнутого?
7
Как циркулем и линейкой построить серединный
перпендикуляр к отрезку?
8
Как циркулем и линейкой
построить биссектрису
угла?
9
Верно ли, что центр окружности лежит на середин
ном перпендикуляре к любому отрезку, соединяю
щему две её точки?
10
Где находятся на плоскости точки,
расстояние от
которых до данной прямой постоянно?
~ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
19.1
260
* tt tt
Дан
19.41).
Закрасьте все точки плоскости, расстояние
равносторонний
треугольник
(рис.
ГЛАВА б
от
которых
до
всех
вершин
этого
треугольника
меньше его стороны.
19.2
Внутри квадратного участка, огороженного
* {I{I
забором, пасётся коза.
трём
столбам,
Её привязали верёвками к
стоящим
в
углах
участка.
Длина
каждой верёвки равна стороне забора. Коза съеда
ет всю траву там, куда может дотянуться. На ка
Рис.
19.42
кой части участка коза съест траву (рис.
.. . ' '
с
19.3
''
Даны две точки А и В. Закрасьте на плос
*{I{I
кости все точки С так, чтобы в треугольнике АВС
''
сторона АВ была наибольшей (рис.
'
в
А
Рис.
19.42)?
19.4
19.43
19.43).
Даны две точки А и В. Закрасьте на плос
*{I{I
кости все точки С так, чтобы в треугольнике АВС
сторона АВ была наименьшей (рис.
1
19.5
\
1
\
\
\
1
1
Дана прямая и две точки А и В по одну
{I Y:J
сторону от неё (рис.
19.45).
Может ли на этой пря
мой
одной
точки
быть
больше
М
такой,
что
АМ= ВМ?
\
\
1
*
19.44).
-
1
Рис.
19.6
в
А
19.44
в
~
19.7
ся все такие точки О, что АО =
ВО =
ко может быть таких точек (рис.
19.46)?
*
В четырёхугольнике
{I{I
ных
сторон.
АМ
=
19.8
19.45
*
Где
= DM?
19.47)?
Биссектрисы
{I {I
точка
19.9
принадлежит
(рис.
19.48).
**{I
В
СО? Сколь
нет параллель
такие
точки
М,
что
Сколько может быть таких
углов
АВС пересекаются в точке
в
ABCD
находятся
ВМ, СМ
точек (рис.
м
Рис.
Дан треуJ.Гольник АВС. Где могут находить
*{I{I
также
шестиугольнике
А
О.
и
и
С
треугольника
Докажите,
биссектрисе
что эта
угла
нет параллельных
В
сто
рон. Сколько существует точек, которые равноуда
лены
А
Рис.
(рис.
от
трёх
его
данных
несмежных
сторон
19.49)?
19.46
в
с
А
Рис.
§19
D
19.47
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
А
Рис.
с
19.48
Рис.
19.49
261
с,,
,
,
,,
,,
,
,,
,
,
,,
,
,
,,
в
,
в
с
;
,
;
;
;
м;"';
...
D
А
в
А
с
А
Рис.
19.50
Рис.
Рис.
19.51
19.10
в
19.11
* *~
Рис.
19.52
На пекоторой прямой l нет ни одной точки,
равноудалённой
от
между прямыми
l
**{{
19.53
точек
А
и
В.
Найдите
угол
и АВ.
Даны две точки А и В. Закрасьте на плос
кости все точки С так, чтобы в треугольнике А ВС
сторона АВ была средней по длине (рис.
А
с
19.12
*
*~
В квадрате ABCD закрасьте все такие точ
ки М, что АМ
Рис.
19.50).
<
СМ
<
ВС (рис.
19.51).
19.54
19.13
**~
Дан равносторонний треугольник АВС. За
красьте внутри него все такие точки М, что отре
зок ВМ меньше отрезковАМ и СМ (рис.
19.14
** *
19.52).
На сторонах прямоугольника выбрали два
равных отрезка АВ и
CD
так, как это показано на
рисунке. Найдите на плоскости все такие точки М,
чтобы
треугольники
АВМ
и
CDM
Сколько существует таких точек (рис.
Рис.
19.55
19.15
**
1,
ВМ =
2,
СМ =
что такая точка единственна (рис.
**
равны.
19.53)?
Дан треугольник АВС. Некоторая точка М
такова, что АМ =
19.16
были
3. Докажите,
19.54).
В квадрате ABCD отметили точку М так ,
что АМ
=
АВ,
ВМ
=
СМ.
Найдите угол А МВ.
Есть ли такие точки вне квадрата (рис.
19.55)?
ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
ё
ош бка?
С серединным перпендикуляром к отрезку и биссектрисой
угла связано одно замечательное рассуждение, которое << до
казывает>> явную ложь, но так правдоподобно, что в нём
262
ГЛА ВА б
очень
трудно
найти
ошибку.
Такие
рассуждения
ещё
со
времён Древней Греции называют софизмами. В древних
Афинах была целая школа софистов, или
рости>>,
<<учителей муд
которые брались убеждать других людей во всём
что угодно.
Суды в древних Афинах были публичные,
nолитические
вопросы
и: ли так. называемом
решались
на
народном
Совете пятисот.
nеред народом на суде
а
собрании,
3а подготовку речи
софисты брали немалые деньги с
тех, кому они их писали. Софисты учили ораторскому ис
кусству и проповедовали, что любая истина относительна.
Ради смеха, её всегда можно было перевернуть <<С ног на
голову>>. Например, учитель мудрости мог сначала убедить
собеседника в чём-то одном, а потом
-
в прямо противо
nоложном. Спорить с софистами было очень трудно. Знаме
нитый философ Сократ
:и:х
риторику
и
(рис.
пустословие,
осуждал софистов
19.56)
не
раз
вступал
с
ними
в
Философ Сократ
Рис .
19.56
за
сло
в
весные <<поединки>> и разоблачал их искусство.
Но
давайте
перейдём
знаете,
треугольники
ронние
и
вами
вообще
сейчас
к.
бывают
самой
геометрии.
произвольной
<<докажем>>,
что
Как
прямоугольные,
все
вы
формы.
Но
треугольники
на
деле равнобедренные. Не удивляйтесь
-
уже
равносто
мы
с
самом
именно так.! А вы
следите внимательно за рассуждением и попробуйте найти
в нём ошибку.
<<Доказательство>>:
Возьмём
что
он
произвольный
треугольник.
равнобедренный.
Давайте
АВС.
Мы
построим
докажем,
серединный
в
перпендикуляр к. отрезку АС и проведём биссектрису угла
АВС. Если они совпадут или окажутся параллельными, то
в обоих случаях данная биссектриса будет перпендик.уляр
на стороне АС. Но тогда она должна совпадать с высотой
этого треугольника, и он будет равнобедренным по извест
ному признаку (рис.
а). Рассмотрим теперь случай,
19.57,
когда биссектриса угла АВС и серединный перпендик.уляр
к стороне АС пересек.ают друг друга в нек.оторой точке О
(рис.
19.57, 6).
Здесь снова возможны два случая: либо точ
ка О находится внутри нашего треугольника АВС,
лежит
либо
вне него.
Рассмотрим
сначала
первый
случай.
в
Поскольку
точка О находится на биссектрисе угла АВС, то она долж
на быть равноудалена от его сторон. Опустим из этой точ
ки
перпендик.уляры
ОМ
и
ОК
на
стороны
угла
АВС.
По свойству биссектрисы они должны быть равны, то есть
ОМ =
ОК (рис.
19.57,
в).
Теперь пора вспомнить, что точка О также лежит
и
на
серединном
перпендикуляре
к
отрезку АС.
она должна быть равноудалена от его концов,
ОА
=
ОС (рис.
треугольники
19.58,
ОАМ
и гипотенузе (рис.
§19
а).
и
19.58,
Значит,
и поэтому
Посмотрите на прямоугольные
ОКС:
они
равны
по
катету
а). Значит, угол ОАМ равен углу
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
Рис.
19.57
263
ОСК. Обозначим их величину буквой а. А теперь посмот
рите
на
треугольник
АОС.
Он
равнобедренный,
значит,
углы ОАС и ОСА при его основании должны быть тоже
равны.
Итак,
Обозначим их величину буквой
величина каждого из углов
+ /3.
треугольника АВС равна а
13
(рис.
б).
19.58,
при вершинах А
и
С
То есть эти углы равны, и
по признаку треугольник АВС должен быть равнобедренным!
рассмотреть случай, когда точка О лежит вне треугольни
Здесь
принципиально
ничего не меняется:
тре
угольники ОАМ и ОСК будут снова равны по гипотенузе
и
катету,
поэтому их углы
ОАМ и
угольник АОС равнобедренный,
ОСА равны
/3.
ОСК равны
значит,
+ /3.
имеют равную величину а
А эти углы
Значит,
в
что
они
смежные
-
(а
180° -
+ /3)
в). Не важно, чему равны эти два угла, важно,
равны
между
собой.
Ведь
из
этого
следует,
кто-то уже до
доказательстве
пропущен случай, когда точ
ка О лежит прямо на сторо
не треугольника АВС.
в
середине
стороны
АС,
биссектриса в нашем тре
угольнике совпала бы с ме
дианой. А мы с вами уже
доказывали,
чае
что
в
треугольник
этом
тоже
слу
дол
жен быть равнобедренным.
Вам
придётся
ещё
поду
мать. Ведь этот софизм -
нашем треугольнике
АВС углы при его вершинах А и С равны
19.58,
Тре
ОАС и
Выходит, что внешние углы МАС и АСК
углам треугольника АВС.
(рис.
а.
его углы
в
Да, это действительно так.
Но ошибка вовсе не в том.
Если бы точка О находилась
Чтобы завершить доказательство, мы должны ещё
ка АВС.
Может быть,
гадался:
один
из
самых
сложных
в элементарной геометрии.
что
треугольник АВС равнобедренный по признаку! Итак, мы
разобрали все случаи расположения точки О. И в каждом
случае треугольник оказался равнобедренным.
разом,
все
треугольники
быть равнобедренными!
в
-
Таким
Евклида
А если вам кажется,
так, не верьте глазам своим
го
геометрии
об
должны
что это не
это всего лишь обман ваше
зрения.
Что и требовалось <<доказать>>.
Комментарий:
зательства>>
можно
Из только что приведённого
сделать
далеко
идущие
<<дока
выводы
...
Например, из него следует, что все треугольники должны
быть не только равнобедренными,
но и равносторонними
(подумайте
все
почему).
А
значит,
и
расстояния
между
точками на плоскости должны быть вообще равны! Если
в
бы всё это было правдой, то геометрия Евклида сразу ста
ла бы бессмысленной и противоречила бы человеческому
опыту. К счастью, ошибка в этом рассуждении есть ...
Вам осталось её только найти!
в
а)
б)
в
в)
о
Рис .
264
19.58
ГЛАВА б
с
у
Колесо
Бесспорно,
одним
из
величайших
изобретений
человече
ства за всю его историю было колесо. Кажется, что колесо
Рис.
вообще появилось одновременно с человеком. Как предста
20.1
вить себе нашу жизнь без колеса? Без него не сделать ни
телеги,
ни велосипеда!
Машины без колёс не поедут,
не
пойдут никуда поезда.; Остановятся стрелки часов, турби
ны самолётов, швейные машинки ... Без колеса не вращал
ел
бы
гончарный
мельницы.
круг,
Может быть,
не
поворачивались
бы
жернова
колесо вообще никто не изобре
тал? История сама ответила на этот вопрос, когда выясни
лось,
что
древние
цивилизации
Америки,
Австралии
и
Южной Африки не знали колеса. В государствах инков и
ацтеков
грузы
А колесо
7
перемещали
появилось
на
полозьях,
на территории
тащили
Евразии
волоком.
уже
больше
тысяч лет назад. Самые старые окаменевшие колеса на
шли при раскопках в Румынии и в предгорьях Кавказа.
Изображения древних повозок на колёсах,
Рис.
20.2
были найдены в Вавилоне и Египте
пяти
-
или колесниц,
им тоже
больше
тысяч лет.
В чём же главный секрет колеса? По ровной твёр
дой поверхности его гораздо легче катить, чем таrцить во
локом предмет такого же веса. Физики скажут, что трение
о
дорогу
при
качении
колеса
значительно
меньше
трения,
возникаюrцего при скольжении по ней. Это очевидное пре
имущества
и
сделало
колесо
незаменимым
для
создания
всевозможных телег, тачек и повозок. А чтобы еще умень
шить сопротивление при вращении колеса об ось телеги,
люди придумали подшипник. В нём много маленьких ша
риков или
цилиндров,
зажатых между втулкой
осью, тоже катятся по кругу.
Шариковый подшипник
Рис.
§20
20.3
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
колеса и
Самые первые подшипники
были найдены археологами при раскопках останков древне
римских кораблей.
А повсеместно подшипники стали ис
пользовать в технике только в ХХ веке.
265
Окружность
Что
является
математической
моделью
колеса?
:Конечно,
окружность. Древние греки считали окружность самой со
вершенной из всех геометрических фигур.
:Круги на воде, радуга на небе, даже линия гори
зонта
всё это окружности или части окружностей. Лю
-
бая точка окружности одинаково расположена по отноше
нию
к
её
центру,
поэтому
окружность
можно
вращать
вокруг этого центра и она будет совпадать сама с собой.
Круги
на
поверхности
воды
от упавшей на неё капли
Рис.
Солнце, Луна и звезды движутся по окружностям
в
20.4
так
-
думали люди древнего мира. А Земля должна находиться
центре
(рис.
всех
20.6).
звёзды
этих
окружностей
-
центре
Вселенной
:Как же могло быть иначе? Правда, некоторые
странно
планетами,
но
окружностям,
<<блуждали>>
считали,
только
ходят по кругу
их
по
что
небу,
планеты
центры
не
за
это
тоже
стоят
на
их
назвали
движутся
месте,
а
по
сами
деференту. Такую теорию двойных кру
-
говых движений планет, или эпици:клов, придумал знаме
нитый
античный
астроном Птолемей.
Теорией
эпициклов
пользавались больше тысячи лет, пока другой выдающий
ел астроном Иоганн :Кеплер не провёл более точные наблю
дения
и не установил,
что
на самом деле
планеты
движут
ся не по окружностям, а по эллипсам, в фокусах которых
находится не Земля, а Солнце. Правда, открытие это было
сделано только в начале
XVII
века.
Движение по окружности с давних пор стало осно
вой понятия человека о времени. Ведь перемещение Солн
Мозаика
из
пересекающих
ся окружностей
Рис.
ца на небе чередует день и ночь, тень от шеста и часовая
стрелка всегда идут по кругу, а Луна повторяет свою фор
му каждый месяц (рис.
20.5
чивает колесо
........--- - 4-~-.........
.--~---- -~
-
20.7).
Божественная рука повора
и всё повторяется снова.
:Какие же элементы есть у любой окружности?
Во-первых,
это центр.
Все точки окружности уда
лены от него на равное расстояние. Это расстояние обычно
и называют радиусом окружности. Также радиусом назы
вают любой отрезок, соединяющий точку на окружности с
-~
~
~
/
/ /
.
---~
/
····--
.
/
)
1
/,
' ,.
-- //
.
~~/
Модель
Птолемея.
Земля
находится в центре Вселен
ной, а планеты движутся по
окружностям
-
эпициклам
Изменение
дый
лушарии
Рис.
266
20.6
Рис.
фаз
месяц в
и
Луны
Северном
каж
по
на экваторе
20.7
ГЛАВА б
Радиус окружности
Рис.
Хорда окружности
20.8
её центром (рис.
20.8). Само слово
XVI веке, а в
требление толы-со в
означает
<<ЛУЧ>>
и даже
<<радиус>> вошло в упо
переводе с латыни оно
<<спица колеса>>.
Если две любые точки окружности соединить от
резком, то получится хорда. Хорда в переводе с греческого
языка означает
разделить
нить
(рис.
Рис .
20.9
эти
<<Струна>>
несколькими
точки
20.9).
хордами,
Но
или
<<тетива>>.
точками
то
на
получаются
хорды !бывают
не
Если окружность
равные
части
красивые
только
Так, хордой принято называть отрезок,
у
и
соеди
чертежи
окружностей.
соединяющий две
точки любой кривой линии, а в биологии хордой называют
вытянутый вдоль тела гибкий хребет
-
предшественник
позвоночника большинства животных.
Если хорда окружности
проходит через
её
центр,
то её называют диаметром окружности и обычно обознача
ют
буквой
D.
Понятно,
что
длина диаметра
окружности
должна быть равна двум её радиусам, то есть "должно быть
D
=
2R.
Кроме того, вы наверняка слышали, что с окруж
ностью связано знаменитое число л
Рис.
20.10
показывает,
во
: : : : 3,1415 ...
Это число
сколько раз длина окружности больше
её
диаметра. То есть длину окружности можно вычислить по
формуле
l
=
лD =
2лR. Сейчас число л вычислено уже со
многими тысячами знаков после запятой, а когда-то вели
кий Архимед считал
угольники.
его,
вписывая в
окружность много
Например, легко проверить, что отрезок,
рав
ный радиусу окружности, можно последовательно отложить
на
ней
ровно
(подумайте,
6
раз
-
это
хорошо
почему это так!).
видно
на рис.
20.10
Поэтому длина окружности
должна быть немного больше шести её радиусов или трёх
диаметров. А это значит, что число л должно быть немного
больше
3.
Хотите узнать,
откуда взялось само это обозначе
ние для числа л? Тогда попробуйте прочесть это древнегре
ческое слово: лepLcpepeia. Не догадываетесь? Это слово су
ществует
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
и
в
русском
языке,
читается
оно
<<периферия>>
267
и означает место, сильно удалённое от центра, например
от любого крупного города или какого-либо события. Го
ворят
<<уехать из столицы на периферию>>,
<<скользить по
периферии знаниЙ>>, <<периферия сознания>>. Даже появил
ся современный термин
печения>>
ства
-
компьютера.
греческом
<<Периферия компьютерного обес
так обычно
языке
А
называют
изначально
означало
просто
все
внешние устрой
слово
периферия
окружность.
От
на
этого
древнего греческого слова лepLcpepela великий математик
XVIII
века Леонард Эйлер взял первую букву л и стал ей
обозначать главное число окружности. А теперь давайте
повторим ещё раз:
Леонард Эйлер
Рис .
20.11
ЭЛЕМЕНТЫ ОКРУЖНОСТИ
Радиус окружности
отрезок,
-
соединяющий лю
а)
бую её точку с центром. Все радиусы окружности
равны (рис.
Хорда
20.12,
а).
окружности
отрезок,
-
любые её точки (рис.
20.12,
Диаметр окружности
-
соединяющий
две
б).
это хорда, которая прохо
дит через центр окружности (рис.
20.12,
б)
б).
Что такое диаметр фи уры?
Каждому
ясно,
что
большая её хорда.
диаметр
окружности
-
это
самая
В этом смысле и говорят о диаметре
Рис.
20.12
труб, гвоздей или колёс автомобилей. В технике существу
ет даже специальный знак, обозначающий диаметр: е5. Да
и
само
значит
это
слово
в
переводе
<<Поперечник>>.
с
древнего
И всё-таки:
греческого
языка
почему диаметр окруж
ности не может быть короче её хорды? Ответ на это даёт
следующая теорема.
Рис .
20.13
ГЛАВА б
Теорема
Любая хорда окружности не превышает её
а)
диаметра.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Возьмём на окружности с центром в точке О
и радиусом
R
любые две точки А и В. Если
хорда АВ проходит через центр окружности,
то по определению она будет её диаметром
и равна
Если же хорда АВ не содержит
2R.
центра окружности, то образуется треугольник
хорда ~ диаметра
АОВ. Тогда для него должно выполняться
неравенство
треугольника:
АВ
<
АО
+
б)
ВО =
2R.
Значит, в любом случае хорда АВ не может
быть больше диаметра окружности.
Что и требовалось доказать.
АВ~
Рис.
Полезно
знать,
что
в
геометрии
диаметр
2R
20.14
можно
определить не только для окружности или круга. Он есть
у квадрата,
треугольника,
да и вообще у многих других
геометрических фигур. А знаете, что называют диаметром
фигуры? Так же как и у окружности, диаметр фигуры
-
это самая длинная её хорда.
Диаметр
диаметр
геометрической
фигуры
это
-
самое
большое расстояние между любыми двумя точка
ми этой фигуры.
6
'
1
......
'
, ',
0
'
1
\
\
\
__ ,
\
,1
Диаметр
-
самая
длинная
хорда
1
....
__ ... "'
Рис .
20.15
Диаметры квадрата и треугольника
Рис.
20.16
Приведём
сложно доказать,
всего
несколько
что диаметром
примеров.
его диагональ, диаметром треугольника
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Не
очень
квадрата служит любая
-
самая большая
269
его
сторона.
сторонами
Получается,
диаметр
у окружности
только
что
у
один,
треугольника
у
квадрата
с
разными
их уже
два,
а
сколько угодно. Может даже возникнуть
-
предположение, что геометрическую фигуру с данным диа
метром
можно
диаметра.
тельно
20.16
всегда
Для
поместить
квадрата
верно,
а
для
и
внутрь
круга
прямоугольника
треугольника
-
уже
такого
же
это
действи
нет.
Рисунок
на
рисунке
показывает, почему это так.
~ УПРАЖНЕНИЯ
1
Можете
20.17
2
ли
вы
увидеть
окружности
Проверьте это с помощью циркуля.
А что изображено на рисунке
спираль или
20.18,
окружности? Проверьте это с помощью циркуля.
3
Сравните
20.19:
4
диаметры
кругов
на
рисунке
какой из них больше?
Проверьте,
является ли фигура на спицах колеса
окружностью (рис.
Рис.
голубых
20.20).
20.17
•••
••
Рис.
20.18
Рис.
20.19
Рис.
20.20
Где находится центр окружности?
Предположим, что на листе бумаги начертили окружность,
а потом её центр стёрли. Можно ли снова построить этот
центр? Оказывается, сделать это очень просто! Даже если
нет целой окружности, а есть только её небольшал часть ...
Где по отношению к самой окружности может находиться
её центр?
270
ГЛАВА б
Мы с вами его сейчас построим.
Для этого возь
а)
мём на окружности две любые точки А и В. По определе
l О?
нию центр окружности должен быть одинаково удалён от
этих точек. Значит, он обязан находиться ... Правильно
-
на серединном перпендикуляре к отрезку АВ! Вот для того
чтобы сразу так сказать, мы и проходили геометрические
места точек.
Другими
словами,
центр нашей
окружности
лежит на серединном перпендикуляре к её хорде АВ (рис.
20.21,
а). Правда, на нём расположено много точек
ка
-
кая из них будет центром? Заметим, что на нашей окруж
ности есть и другие точки
давайте возьмём на ней тре
-
б)
тью точку С. Хорда АС ничем не хуже хорды АВ, поэтому
центр
окружности точно также должен находиться и на се
рединном перпендикуляре к ней (рис.
20.21,
б). Значит, он
с
лежит на пересечении этих перпендикуляров!
Серединные
перпендикуляры
это
-
прямые
ли
нии, а две прямые могут пересекаться только в одной точ
ке. То есть существует только одна точка на плоскости, где
может
располагаться
строится
он
центр
однозначно
окружности.
Давайте
нами результат в
данной
даже
теперь
виде
по
нам
окружности,
небольшой
сформулируем
части
и
Рис.
этой
20.21
полученный
теоремы.
Теорема
Центр
окружности
лежит
на
серединном
перпендив:уляре в: любой её хорде.
Рис.
20.22
Окружность симметрична
Является ли окружность симметричной фигурой? Сколько
всего у неё осей симметрии?
Конечно,
никогда
А
осей
любая
не
окружность
назвали
симметрии
прямая,
бы
её
симметрична,
самой
окружность
проходящая
имеет
через
иначе
совершенной
её
сколько
центр,
греки
фигурой!
угодно
будет
-
такой
осью. Если бумажный круг согнуть так, чтобы линия сги
ба
была его диаметром,
то две
совпадут между собой (рис.
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
<<половинки>>
этого
о о·
Рис.
20.23
круга
20.23).
271
Но это нужно еще доказать. Мы же сформулируем
это утверждение
в
виде теоремы.
Теорема
Окружность симметрична относительно любо
го своего диаметра (рис.
20.24,
а)
а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Проведём любой диаметр АВ данной нам
окружности
и
покажем,
что
она симметрична
относительно него. Возьмём на окружности
произвольную точку С, не лежащую на этом
диаметре, и построим её хорду
кулярную прямой АВ (рис.
ccl,
20.24,
'
перпенди
б).
По предыдущей теореме центр О окружности
должен лежать
на серединном перпендикуляре
б)
к этой хорде. Диаметр АВ проходит через
центр о и перпендикулярен хорде
му точки с и
cl
ccl,
поэто
окружности симметричны
в
относительно прямой АВ. Таким образом, при
А
симметрии относительно любого диаметра АВ
все точки С нашей окружности снова попада
ют на эту окружность. Это значит, что при
данной симметрии окружность переходит сама
в себя, то есть она симметрична относительно
любого своего диаметра.
Рис.
Что и требовалось доказать.
20.24
Три точки определяют окружность
Помните, что прямую линию однозначно задают всего две
её точки
--
по аксиоме через две точки проходит только
одна прямая (рис.
20.25).
~
в
Рис.
20.25
Рис .
20.26
А какое наименьшее число точек
однозначно определяют окружность?
В аксиомах геометрии про это ничего не сказано.
Легко понять, что двух точек для этого недостаточно:
рисунке
20.26
ходят через две данные
Мы
задать
всего
данные
Правда,
докажем,
тремя
точки
её
может
точки.
что
окружность
точками
проходить
--
то
можно
однозначно
есть что через
только
одна
три
окружность.
для этого данные три точки не должны лежать
на одной прямой.
272
на
показано много окружностей, которые про
ГЛАВА 6
Теорема
..,.
Через
три
прямой,
точки,
можно
не
лежащие
провести
на
одной
только
одну
,' "
в
...
--
...
''
•
'
\
\
окружность.
1
\
\
А
Рис.
-',,
...
___ ...
~t'
"
с
20.27
Если три точки не лежат на одной прямой, то их
можно всегда соединить между собой
отрезками и полу
чится треугольник. Наша теорема тогда будет звучать так:
Теорема
1
Через вершины любого треугольника проходит
только
одна
а)
окружность.
Именно эту окружность, проходящую через все
вершины треугольника,
в
геометрии называют
описанной вокруг треугольника (рис.
20.28,
а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Возьмём произвольвый треугольник АВС и
докажем,
что существует
только одна описанная
вокруг него окружность. А начнём с того, что
Описанная окружность
построим центр данной окружности.
треугольник.а
Где может находиться этот центр? Ясно, что он
должен быть на равных расстояниях от точек
А и В, поэтому находиться он может только на
б)
в
серединном перпендикуляре к отрезку АВ
(рис.
20.28, 6).
Совершенно так же центр нашей
окружности должен быть равноудалён от точек
А и С, следовательно, он обязан находиться на
серединном перпендикуляре к отрезку АС. Да
____
вайте построим серединные перпендикуляры к
...
сторонам АВ и АС данного нам треугольника
(рис.
20.29,
а). Центр нужной окружности может
быть только на их пересечении. Вот только
всегда ли эти перпендикуляры пересекаются?
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Рис.
20.28
273
Оказывается, что в геометрии Евклида это всегда
так. И вот почему. Будем рассуждать от противо
положного. Пусть серединные перпендикуляры к
сторонам АВ и АС треугольника АВС (назовём
их
l
и
k)
в
не пересекают друг друга. Тогда они
должны быть параллельны между собой, ведь
перпендикуляры
-
это
прямые линии.
Нарисуем их параллельными и посмотрим, как
могут
располагаться
относительно
нашего треугольника (рис.
них вершины
б).
20.29,
А
Поскольку сторона АВ перпендикулярна прямой
l,
то она перпендикулярна и прямой
k.
с
k
То же
самое можно сказать и про сторону АС. Значит,
в этом случае точки А, В и С должны лежать на
общем перпендикуляре к прямым
l
и
k.
б)
Но тогда
они принадлежат одной прямой, а это противоре
чит тому, что АВС - треугольник.
с
в
Полученное противоречие показывает, что сере
динные перпендикуляры к сторонам АВ и АС
треугольника АВС не могут быть параллельными
и обязаны пересекаться в некоторой точке О.
k
Эта точка О подходит для центра искомой нами
окружности. В самом деле, она лежит на сере
динном перпендикуляре к отрезку АВ, поэтому
должна быть равноудалена от его концов, значит,
АО =
ВО. Точно так же точка О лежит и на
в)
в
серединном перпендикуляре к АС, поэтому
АО =
СО. Но тогда выходит, что расстояния от
точки О до всех вершин треугольника о дина
ковы: АО =
ВО =
СО =
(рис.
R
20.29,
в).
Если теперь поставить иглу циркуля в точку О и
провести окружность с радиусом
R,
то она пр ой
дёт через все вершины нашего треугольника.
То есть её существов ание доказано.
____ ..
Но почему эта окружно сть только одна? На этот
вопро~ тоже легко ответить. Если бы через все
вершины
нашего тр еу гольника проходила вторая
окружность, то её центр
01
по определению
должен был быть также равноудалён от точек А,
В и С. Но тогда точка
самых прямых
l
и
k.
01
Рис.
20.29
лежала бы на тех же
Поскольку две прямые
могут пересекаться только в одной точке, то
центр второй окружности обязательно совпал бы
с центром первой. Тогда совпали бы и радиусы
окружностей, поскольку они обе проходят через
точку А.
Что и требовалось доказать.
274
ГЛАВА б
Важная теорема доказана, но она имеет и не менее
важные следствия. Вот первое из них:
Следствие
Серединные
перпенди:куляры
Е
из теоремы
1
трём
в ~;'
сто
.. ----
ронам любого треугольника пересе:каются
в
одной
точке
центре
-
его
'
''
'
\
описанной
\
окружности.
,
,,
Рис.
,
20.30
~ УПРАЖНЕНИЯ
Докажите
5
первое
следствие
из
теоремы
самостоя
тельно.
Нарисуйте
6
верьте,
произвольный
пересекаются ли
четырёхугольник.
серединные
Про
перпендикуля
ры ко всем его сторонам в одной точке. Как нужно
нарисовать четырёхугольник,
чтобы
для
него
это
было верно?
Вы,
конечно,
знаете,
как
правильно
обыкновенную кружку? Обратите внимание
отверстие
изображают
в
виде
деле является эллипсом (рис.
овала,
плоскую
окружность
в
20.31
Два
эллипса
её круглое
-
который
на
самом
20.31).
Так, в виде эллипса, мы с вами видим
НЫ>>
Рис .
нарисовать
трёхмерном
<<СО сторо
пространстве.
В
этом самом по себе нет ничего удивительного. А странно
то,
что
два
четырёх
20.32.
эллипса
точках,
и
Если же мы
пересекаться
не
могут
это
пересекать
тоже
друг
хорошо
друга
видно
возьмём две окружности,
смогут.
Ведь две различные
сразу
в
на
рисунке
то
они так
окружности
могут иметь не более двух общих точек.
И
в
этом
заключается
второе
важное
следствие
могут
пересе
каться в четырёх точках
Рис.
20.32
из нашей теоремы:
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
275
Следствие
из теоремы
2
Две различные окружности могут пересе
каться не более чем в двух точках.
Рис.
20.33
УПРАЖНЕНИЯ
7
Докажите второе следствие из теоремы самостоя
тельно.
8
Начертите четыре
лись бы ровно в
Теперь
окружность.
окружности,
которые
пересека
точках.
4
нарисуйте
прямую,
которая
пересекает
Сколько точек пересечения у вас получится?
Конечно, две. В крайнем случае одна
-
тогда ваша пря
мая будет касаться окружности. А почему общих точек не
может быть больше? Это настолько очевидно, что, кажется,
не нуждается ни в каком доказательстве. Но согласитесь:
очевидным должно быть то, что легко доказать! И мы это
сейчас докажем.
Теорема
Црямая может пересекать окружность не
более чем в двух точках (рис.
20.34).
Вначале нужно заметить, что очевидность
доказываемого
нами утверждения прямо
следует из рисунка
-
так мы себе представ
ляем окружность. Если быть точным, то даже
не
саму окружность,
а круг,
ведь интуитивно
мы считаем его выпуклой фигурой. Выпуклая
фигура с прямой линией всегда имеет либо
276
Рис.
20.34
ГЛАВА б
одну общую точку, либо только один отрезок
посмотрите на рисунки
-
20.35,
а.
а)
Но ведь это надо ещё доказать! Мы же проведём строгое доказательство прямо из определения окружности.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Будем опять рассуждать от противоположного.
Допустим, что прямая линия пересекла
Прямая
окружность более чем в двух точках. Для того
20.35,
пересекает
отрезку
нарисовать окружность уже невыпуклой фигу
рой (рис.
линия
выпуклую фигуру по одному
чтобы себе это представить, нам придётся
б).
6)
Итак, пусть окружность и прямая имеют
хотя бы три точки пересечения А, В и С
(рис.
20.35,
в). Посмотрим, где может нахо
диться центр этой окружности. Поскольку АВ
и ВС- хорды нашей окружности, то её
центр должен быть на серединном перпенди
куляре к каждой из них. Но эти серединные
перпендикуляры
не
-
пересекают друг друга
они параллельны. Поэтому центра у этой
в)
окружности нет, а значит, нет и самой окруж
ности. Полученное противоречие доказывает,
что
прямая
и
окружность
не
могут
иметь
с
А
три
общие точки. Значит, они пересекаются не
более чем в двух точках.
Что и требовалось до:казать.
Рис.
од каким углом
в
20.35
иаме р?
ден
Одним из первых открытий в геометрии было ещё одно за
мечательное
свойство
окружности
-
считается,
что
пер
вым его обнаружил знаменитый мудрец Фалес.
Он заме
тил,
её точки
под
что диаметр окружности виден из любой
прямым углом.
Можно
было
бы
сказать
по-другому:
угловой размер диаметра окружности для любой её точки
равен
в
90°
(рис.
окружность
равны
20.36).
углы,
А
можно
которые
и
так:
опираются
все
на
вписанные
её
диаметр,
90°.
Рис.
20.36
Достоверно неизвестно, мог ли сам Фалес доказать
это свойство, ведь для этого ему нужно было уже знать,
чему равна сумма углов треугольника. Мы же сейчас его
докажем со всей строгостью.
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
277
Свойство диаметра окружности
Диаметр окружности из любой её точки,
отличной от его концов, виден под прямым
углом (рис.
а)
а).
20.37,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО :
Пусть АВ
а С
-
диаметр окружности с центром О,
любая другая точка этой окружности.
-
Мы докажем, что угол АСВ всегда равен
90°.
Проведём в точку С радиус ОС. Треугольник
АОС равнобедренный, поэтому углы при его
основании АС равны. Обозначим их величину
б)
буквой а. Треугольник ВОС тоже равнобедрен
ный, поэтому углы при его основании ВС
равны между собой. Пусть они имеют величи
ну
13
(рис.
20.37,
б). Запишем теперь сумму
углов в треугольнике АВС:
2а
+ 213
= 2
(а
+ 13)
Отсюда сразу следует, что
= 180°.
угол АСВ =
а
+ 13
= goo.
Что и требовалось доказать.
Рис.
20.37
Итак, из любой точки окружности её диаметр ви
ден под прямым углом. А под каким углом он виден из
других точек плоскости? Оказывается, это напрямую зави
сит
от
того,
где
находится
данная
точка:
внутри
круга
с
этим диаметром или вне его. Для всех точек внутри круга
данный угол тупой,
а для точек вне его
-
острый.
Мы
запишем это как теорему:
Теорема
Диаметр круга виден из любой точки вну
три
этого
круга
чек вне круга
-
под тупым углом,
а
из
то
под острым углом.
Рис.
278
20.38
ГЛАВА б
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть АВ
Диаметр круга, а М
-
-
любая
а)
точка внутри этого круга. Мы докажем, что
угол АМВ тупой. Продолжим отрезок ВМ до
пересечения с окружностью в точке К (рис.
а). Тогда по свойству диаметра окруж
20.39,
ности угол АКВ равен
90°.
Угол АМВ являет
ся внешним для треугольника АМК, поэтому
он больше угла АКМ, то есть должен быть
тупым.
б)
Рассмотрим теперь случай, когда точка М
лежит вне круга с диаметром АВ. Тогда один
из отрезков АМ или ВМ должен пересечь
окружность. Допустим, что отрезок ВМ пере
секает её в точке К (рис.
опять равен
90°,
20.39,
б). Угол АКВ
так как он опирается на
диаметр. Для треугольника АМК этот угол
внешний, поэтому он больше угла АМК.
Значит, угол АМВ острый.
Что и требовалось доказать.
Рис.
20.39
ВОПРОСЫ
1
2
3
Какие элементы окружности вы знаете?
Что такое диаметр геометрической фигуры?
Под
каким
углом
из
точек
окружности
виден
её
диаметр?
4
В скольких точках могут пересекаться две окруж
ности?
5
Сколько
6
В
общих
точек
может
иметь
прямая
с
окружностью?
каком
случае
через
три
данные
точки
можно
провести окружность?
7
Где
пересекаются
серединные
перпендикуляры
к
сторонам треугольника?
8
Где
на
плоскости
находятся
точки,
из
которых
данный отрезок виден под тупым углом?
9
Может
ли
у
геометрической
фигуры
быть
ровно
три диаметра?
10
Что можно сказать о четырёхугольнике, если сере
динные
перпендикуляры
ко
всем
его
сторонам
пересекаются в одной точке?
11
Сколько осей симметрии у окружности? А сколько
12
Что означает число л? Почему оно больше
их у половины круга?
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
3?
279
а)
в
в
Рис.
20.40
Рис.
20.41
@ ДАВАЙТЕ РАЗБЕРЁМ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ПРИМЕР 20.1
*tf{;:{
В
окружности
провели
две
а)
парал
лельные хорды. Докажите, что у них есть общий середин
ный перпендикуляр.
D
РЕШЕНИЕ: Пусть АВ и
параллельные хорды
CD -
одной окружности. Опустим из её центра О перпендикуляр
ОН на хорду АВ (рис.
прямая
ОН
будет
20.40).
также
По свойству параллельных
перпендикулярна
и
хорде
CD.
Как вы уже знаете, центр окружности лежит на середин
ном
перпендикуляре
к
любой
её
хорде,
поэтому
б)
прямая
ОН и будет общим серединным перпендикуляром к хордам
АВ и
CD.
D
Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 20.2
*{;:{{;:{
Дана окружность и точка А, не ле
жащая на ней. Где на окружности находится такая точка
В, для которой отрезок АВ самый короткий (рис.
РЕШЕНИЕ:
Будем
считать,
что
точка А
внутри данного нам круга с радиусом
R.
20.41,
а)?
в)
находится
Другой случай
разбирается точно так же. Проведём через точку А радиус
D
ОМ нашей окружности. Мы докажем, что точка М иско
мая,
то есть что
отрезок АМ самый
короткий.
В
самом
деле, поскольку точка А лежит на отрезке ОМ, то ОА
+
АМ =
R.
+
Для любой же другой точки В окружности по
неравенству
треугольника
Поэтому АВ
+
>
АО
должно
+
ОА
быть АВ
АМ.
Значит,
+
АО
АВ
>
> R.
Рис.
20.42
Рис.
20.43
АМ.
То есть отрезок АМ действительно короче любого другого
отрезка АВ.
ОТВЕТ: искомая точка лежит на пересечении отрез
ка ОМ с окружностью.
*
У:!
ПРИМЕР 20.3
непересекающиеся
АС
= BD
(рис.
20.42,
РЕШЕНИЕ:
В окружности провели две равные
хорды
АВ
и
Пусть
О
-
центр
Рассмотрим треугольники АОВ и
сторонам, поскольку АВ =
280
CD.
Докажите,
что
а).
CD,
данной
COD.
окружности.
Они равны по трём
а их другие стороны равны
ГЛАВА б
:как радиусы окружности.
Из равенства этих треугольни
ков следует, что равны их углы АОВ и
их величину буквой а, а величину угла ВОС
углы АОС и
равны а
BOD
+ [3
теперь треугольники АОС и
ронам
(рис.
и
углу
20.42,
между
(рис.
Обозначим
COD.
-
[3.
а)
Тогда
Рассмотрим
20.42, 6).
Они равны по двум сто
BOD.
ними.
Поэтому
АС
BD
в).
Что и требовалось доказать.
**{)
ПРИМЕР 20.4
Через точку М внутри круга с цен
в
б)
тром О проводят произвольные хорды. Найдите геометри
ческое место середин всех таких хорд (рис.
РЕШЕНИЕ:
:которая
Пусть АВ
проходит через
20.43).
любая хорда окружности,
-
данную
точку М и
не
содержит
центра О круга. Точка Н- середина этой хорды. По свой
ству окружности её центр лежит на серединном перпенди
куляре
лярна
к любой хорде,
отрезку
АВ
поэтому прямая
(рис.
а).
20.44,
ОН перпендику-
Значит,
угол
ОНМ
прямой, и отрезок ОМ из точки Н виден под углом
90°.
в)
в
Как вы уже знаете, геометрическим местом всех точек Н,
из которых отрезок
ОМ виден под прямым углом,
будет
окружность, построенная на отрезке ОМ как на диаметре
(рис.
Правда,
20.44, 6).
точки О и М -
отдельно ещё нужно рассмотреть
концы этого отрезка. Оказывается, i они
тоже подходят: точка О будет серединой диаметра данной
нам окружности,
проходящей через точку М. А точка М
будет серединой хорды АВ,
когда эта хорда перпендику
лярна отрезку ОМ. Итак, геометрическим местом середин
хорд,
проходящих
через
данную
точку
М
круга,
будет
Рис.
20.44
окружность, построенная на отрезке ОМ как на диаметре
(рис.
20.44,
в).
ОТВЕТ: окружность с диаметром ОМ.
***
ПРИМЕР 20.5
а)
В окружность вписана простая лома
ная, состоящая из трёх равных звеньев. Расстояние между
началом
и
Найдите
(рис.
концом
угол
20.45,
ломаной
между
равно
радиусу
соседними
окружности.
звеньями
ломаной
а).
РЕШЕНИЕ:
Пусть
точки А
и
В
-
концы .Нужной
нам ломаной АМКВ, вписанной в окружность с центром О.
По условию отрезок АВ равен радиусу окружности, поэтаму треугольник АОВ
чит, угол АОВ равен
Кроме
того,
должен быть равносторонним.
60°
(рис.
б)
Зна-
20.45, 6).
треугольники
АОМ,
МОК
и
КОВ
должны быть равны по трём сторонам, поскольку все звенья у ломаной равны, а остальные их стороны
окружности.
-
радиусы
Из этого следует, что углы этих треугольни-
ков при вершине
О также должны быть одинаковы,
обозначим их величину буквой
принципиально
разных
случая:
[3.
мы
Дальше возможны два
либо
ломаная
и
центр
окружности лежат по одну сторону от прямой АВ, либо по
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Рис .
20.45
281
о
разные
стороны.
Вначале
рассмотрим
первый
для него сумма углов наших треугольников
центре
окружности равна
3/3 + 60 = 360°.
что
случай
с вершинами в
360°. Значит, можно написать,
/3 = 100°. Углы трёх равных
Откуда
треугольников АОМ, МОК и КОВ, прилегающие к равным
звеньям нашей ломаной, тоже должны равны. Обозначим
их величину буквой а и запишем сумму углов треугольни
+ 100° = 180°.
ка МОК: 2а
Откуда а
Тогда искомый
= 40°.
нами угол АМК между соседними звеньями ломаной будет
равен 2а =
м
Рис.
20.46
к
80°.
Во втором случае искомая ломаная и центр О на
шей окружности лежат по разные стороны от прямой АВ
(рис.
20.46).
Треугольник АОВ здесь будет также равносто
ронним, и треугольники АОМ, МОК и КОВ также будут
равны. А разница с первым случаем будет в том, что здесь
3/3
=
60°.
Откуда
/3
=
20°.
Давайте опять запишем сумму
углов треугольника МОК: 2а
Значит,
искомый
+ 20° = 180°.
угол АМК между
нашей ломаной равен 2а =
20.47
80°,
либо
160°.
@) РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
20.1
* f::r-tr
жите,
Две окружности имеют общую хорду. Дока
что
она перпенди:кулярна прямой,
рой лежат их центры (рис.
20.2
Рис.
= 80°.
звеньями
160°.
ОТВЕТ: искомый угол равен либо
Рис.
Откуда а
соседними
*f::rf::r
на :кото
20.47).
В окружности провели две равные хорды.
Докажите, что они находятся на одинаковых рас
20.48
стояниях от её центра (рис.
20.3
* f::r f::r
В окружность вписали шестиугольник, все
стороны
:которого
окружности
(рис.
20.4
*f::rf::r
20.48).
равен
равны.
Докажите,
стороне
этого
что
радиус
шестиугольника
20.49).
Внутри
круга
взяли
произвольную
точ
ку А. Где на окружности нужно взять такую точку
Рис.
20.49
Рис.
20.50
282
Рис.
20.51
Рис.
20.52
ГЛАВА б
В,
чтобы
(рис.
20.5
длина
отрезка
АВ
была
наибольшей
20.50)?
*"tl-ti
Окружность высекает на сторонах угла рав
ные хорды. Докажите, что её центр лежит на бис
сектрисе этого угла (рис.
20.6
20.7
* * -tr
20.51).
Как построить центр окружности с помо
щью
только
(рис.
20.52)?
**{:;:[
чертёжного
Диаметр
угольника
окружности
делит
без
её
Рис.
20.53
Рис.
20.54
Рис.
20.55
делений
хорду АВ
пополам. Докажите, что хорда АВ либо перпенди
кулярна этому диаметру, либо сама является диа
метром данной окружности (рис.
20.8
*
Треугольник
*{:;:[
которой
что
лежит
этот
на одной
треугольник
прямоугольный (рис.
20.9
**tl
вписан
Две хорды
в
его
или
20.53).
окружность,
медиане.
Докажите,
равнобедренный,
окружности
пересекаются так,
жите, что сами хорды тоже равны (рис.
**-ti
Хорды АВ и
Докажите,
(рис.
20.11
что
**"-t.f
CD одной окружности равны.
ВС и AD параллельны
прямые
В окружность вписан треугольник, причём
окружности
ника.
Докажите,
угольный (рис.
**"-tr
оказался
что
внутри
данный
этого
треуголь
треугольник
остро
20.57).
Прямая не пересекает окружность. Где на
окружности
находится
точка,
расстояние
рой до данной прямой наименьшее (рис.
20.13
Дока
20.55).
20.56).
центр
20.12
или
20.54).
что отмеченные на рисунке отрезки равны.
20.10
центр
**tl
от
D
кото
20.58)?
Две хорды окружности точкой пересечения
Рис.
20.56
делят друг друга пополам. Верно ли, что эта точ
ка
Рис.
§20
-
центр окружности (рис.
20.57
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Рис.
20.59)?
20.58
Рис.
20.59
283
в
,с
,,
1
,'
А
.. -- ·-- .. ..
•
'
'
\
1
1
1
\
1
1
\
Рис.
,,
' . ..
.. D
20.60
Рис .
20.61
Рис.
20.62
с
20.14
**"'{;:[
Два противоположных угла четырёхуголь
ника тупые.
Докажите,
что соединяющая их диа
в
гональ короче другой его диагонали.
20.15
А
**"'{;:[
Отрезки АВ и
не пересекаются. Дока
CD
жите, что на плоскости есть не более двух точек М
таких, что углы АМВ и
90°
20.16
(рис.
**ti
CMD
D
одновременно равны
Рис.
20.60).
20.63
с
Две точки лежат по одну сторону от пря
мой. Докажите, что есть не более одной окружно
сти с центром на данной прямой,
дит
через
данные
точки.
окружности не будет (рис.
20.17
* *ti
В
которая прохо
каком
случае
такой
20.61)?
На всех сторонах произвольнога четырёх
угольника как на диаметрах построили круги. Все
гда ли
(рис.
20.18
эти
круги
покроют
весь четырёхугольник
Точки А, В, С и D
в указанном порядке
20.62)?
**tl
расположены на окружности.
такую точку М, что АМ
=
D
Рис.
20.64
Рис.
20.65
Рис.
20.66
На плоскости взяли
СМ, ВМ
= DM.
Обяза
тельно ли точка М находится в центре окружности
(рис.
20.19
20.63)?
**"'{;:[
Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче,
но для другого
(рис.
20.20
расположения точек на окружности
20.64).
* *ti
В окружность вписали пятиугольник, две
соседние
стороны
которого
равны
радиусу
окруж
ности, а три другие равны между собой. Найдите
отмеченный
(рис.
20.21
* **
хорды.
рисунке
угол
пятиугольника
В окружности провели две пересекающиеся
Оказалось,
пересечения
284
на
20.65).
до
что
центра
расстояние
окружности
от
точки
равно
их
расстоя-
ГЛАВА б
м
Рис .
20.67
Рис.
Рис .
20 .68
20.69
нию между серединами этих хорд.
между данными хордами (рис.
***
20.22
Найдите угол
20.66).
В окружность вписана самопересекающа.яс.я
ломаная,
состоящая из трёх равных звеньев.
Рас
стояние между началом и концом ломаной равно
радиусу
окружности
(рис.
Найдите
20.67).
угол
между соседними звеньями этой ломаной.
***
20.23
Рис .
В окружность вписана замкнутая п.ятизвен
на.я ломаная, четыре звена которой равны, а пятое
20.70
.является
диам~тром
окружности
(рис.
20.68).
Найдите угол между её равными звеньями.
20.24
**
Сколько существует ломаных, которые впи-
саны
в
одну
окружность,
состоят
из
семи
равных
звеньев и выходят из одной точки М этой окруж
ности (рис.
20.25
***
Докажите, что полукруг
* **
На каждой стороне выпуклого пятиуголь
гура (рис.
20.26
20.69)?
выпуклая фи
-
20. 70).
ника как на диаметре построили круг. Существует
ли
точка,
которую
покрывают
все
эти
5
кругов?
А что будет, если пятиугольник будет невыпуклым
Рис.
(рис.
20.71
20. 71)?
~ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ
Паче
у кру
выnуклый?
Каждому человеку .ясно, что круг
-
это выпуклая фигура.
Но почему это действительно так? Нужно ли вообще дан
ное
§20
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
утверждение
как - то
доказывать
или
можно
его
при -
285
нять без доказательства как ещё одну аксиому? Оказывает
ся,
доказать
выпуклость
круга
можно
строго
и
совсем
не
сложно.
Вначале нужно напомнить, как в математике при
нято определять выпуклую фигуру.
Геометрическая
если
отрезок,
фигура
называется
выпуклой,
соединяющий любые две
её
точки,
целиком содержится в этой фигуре.
Например, фигура на рисунке
рисунке
просто
Выпуклая фигура
Рис.
20.72
выпукла, а на
20.72
нет. Мы не будем ничего придумывать, а
20.73 -
проверим
это
определение
для
всех
точек
круга
и
убедимся, что он выпуклый.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Давайте в круге с центром О и радиусом
R
возьмём любые
две точки А и В. Точка принадлежит кругу, если расстоя
ние
от
(рис.
неё
до
центра
Точки
20.74).
А
круга
и
В
не
превышает
принадлежат
должны выполняться оба неравенства АО
его
радиуса
кругу,
поэтому
и ВО
: : :; R
Невыпуклая фигура
Рис.
20.73
Рис.
20.74
: : :; R.
Мы покажем, что любая точка на отрезке АВ тоже при
надлежит
нашему
кругу.
Итак,
давайте
возьмём
точку М на отрезке АВ и докажем, что ОМ:::::;;
любую
Это и бу
R.
дет означать, что весь отрезок АВ
со всеми его точками
принадлежит
круг
нашему
кругу.
Тогда
будет
выпуклой
фигурой по определению.
Обозначим величины углов АМО и ВМО буквами
а и
180°.
f3
(рис.
Либо
20. 75).
оба
Эти углы смежные,
этих
угла равны
больше другого. Допустим, что а
180°.
Откуда а
тив стороны
> 90°.
90°,
> f3.
+ f3
поэтому а
либо
один
Тогда 2а
>
из
а
=
них
+ f3 =
Но тогда в треугольнике АОМ про
ОА лежит тупой угол,
и по теореме против
него в нём должна лежать самая большая сторона. То есть
должно выполняться неравенство ОМ
следует, что ОМ
< R.
<
ОА
< R.
Откуда
Значит, точка М принадлежит кру
гу. Точно так же разбирается случай, когда а
< f3.
Это рас
суждение подходит для любой точки на отрезке АВ,
каждом случае оказывается, что ОМ
< R.
и в
Значит, весь от
резок АВ принадлежит кругу.
Что и требовалось доказать.
286
Рис.
20.75
ГЛАВА б
Оглавление
ГЕОМЕТРИЯ КАК НАУКА
Первые учёные
ГЛАВА
1
2
3
4
5
............................................................................................. 32
.......................................................................................... 48
Две прямые на плоскости .......................................................................................... 56
Отрезки и лучи ......................................................................................................... 65
Полуплоскость .......................................................................................................... 78
Точка, прямая, плоскость
3
120
Признаки равенства треугольников ......................................................................... 128
Симметрия и равнобедренный треугольник .............................................................. 142
Третий признак равенства треугольника .................. "/ .............................................. 157
4
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Параллельны е прямые
...........................................................................................
Сумма углов треугольника ......................................................................................
Расчёт углов в равных треугольниках ......................................................................
Прямоугольный треугольник ..................................................................................
5
164
192
203
211
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Большая сторона и больший угол в треугольнике .....................................................
Неравенство
ГЛАВА б
19
20
РАВЕНСТВО ФИГУР
Равные фигуры .......................................................................................................
ГЛАВА
17
18
УГЛЫ И МНОГОУГОЛЬНИКИ
........................................................................................................................ 86
Ломаная и многоугольник ........................................................................................ 101
Выпуклые фигуры .................................................................................................. 112
ГЛАВА
13
14
15
16
2
Углы
ГЛАВА
9
10
11
12
ТОЧКИ И ПРЯМЫЕ
Геометрические фигуры
ГЛАВА
6
7
8
1
............................................................................................................... 4
224
треугольника ...................................................................................... 232
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
Геометрическое место точек
Окружность и круг
.................................................................................... 248
................................................................................................ 265
287
Учебное
издание
Волч:кевич Максим Анатольевич
Математическая вертикаль
Геометрия
7
:класс
Учебное пособие для общеобразовательных организаций
РедакцИя математики и информатики
Заведующий редакцией Е. В. Эргле
Ответственный за выпуск П. А. Весеарабава
Редакторы Е. А. Разипкова, В. Г. Щепеткип
Младший редактор Е. А. Апдреепкова
Художественный редактор Т. В. Глушкова
Художники О. В. Попович, Алексей Вайнер
Использованы фотографии фотобанков <<Shиtterstock>>, <<Alamy>>, <<Lori>>
и фондов Музея Н. И. Лобачевского Казанского федерального университета
Компьютерная графика И. В. Губипой
Дизайн макета
3.
С. Дорофеевой
Техническое редактирование и компьютерная вёрстка
3.
С. Дорофеевой
Корректоры Н. В. Белозерова, И. А. Григалашвили
Налоговая льгота
-
лиц. Серия ИД N2
Бумага офсетная.
005-93-953000. Изд.
04.11.19. Формат 84х108 1 / 16 •
офсетная. Уч.-изд. л. 0,00.
Общероссийский классификатор продукции ОК
от 12.09.01. Подписано в печать
Гарнитура SchoolBookSanPin. Печать
05824
Тираж
20 100
экз. Заказ
N2
5612ТДЛ.
Акционерное общество <<Издательство <<Просвещение>>.
Российская Федерация, 127473, г. Москва, ул. :Краснопролетарская, д.
стр. 3, этаж 4, помещение I.
Предложения по оформлению и содержанию учебников
электронная почта <<Горячей линии>>
-
16,
-
fpu@prosv.ru.
Отпечатано в России.
Отпечатано по заказу АО <<ПолиграфТрейд>> в филиале <<Тверской полиграфи
ческий комбинат детской литературы>> ОАО <•Издательство <<Высшая школа>>.
170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября,
+7 (4822) 44-85-98. Факс: +7 (4822) 44-61-51
Российская Федерация,
Тел.:
д.
46.