АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Группы
Произведением А х В множеств А и В называется множество пар (а, 6), где а - элемент А,
a b - элемент В. Отображение / : А —>■ В множества А в множество В называется инъек-
тивным, или инъекцией, или вложением (это все синонимы), если оно переводит разные
элементы множества А в разные элементы множества В. Отображение называется сюръек-
тивным, или сюръекцией, или наложением, если в каждый элемент множества В
переходит хотя бы один элемент множества А. Отображение называется биективным (биекцией,
взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно.
Пусть А - некоторое множество (конечное или нет). Обозначим через S(A) множество
биективных отображений из А в себя. Если f,g- два таких отображения, их можно
"перемножить", взяв композицию fog:
f °д(а) = f{g{a))-
Множество S(A), наделенное такой операцией, называется "группа подстановок (или
перестановок) элементов из А". Тождественная подстановка обозначается 1^ (часто также пишут
1сЦ, от слова identity).
Также S(A) называется симметрической группой. Если А - конечное множество из п
элементов, S(A) обозначается Sn.
Подстановки можно записывать в виде таблиц; например, подстановка 1 \—> 3, 2 \—> 4,
/ 1 2 3 4 \
3 i—^ 1, 4 i—^ 2 чисел 1,2,3,4 записывается как а — ( I. В верхней строке пишут
числа в порядке возрастания, в нижней - их образы.
Задача 1.1. Найти произведение
12345\/12345
45213уу35412
Задача 1.2. а. Сколько существует подстановок чисел 1,2,..., 5? Сколько из них
оставляют число 1 на месте?
б. Сколько из них переводят 1 в 5?
в. Для скольких из них сг(1) < сг(2)?
г. Для скольких из них сг(1) < сг(2) < сг(3)?
Задача 1.3. Сколько элементов в £(А), если А - конечное множество из п элементов?
Задача 1.4. Верно ли что f ° д — д ° f для любых /,д\
1

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Для каждой подстановки / £ S(A) (через "£" обозначается элемент множества)
существует и единственна "обратная подстановка" /_1, т.е. такая подстановка, что f ° f~l — f~l ° f —
и.
Циклическая перестановка множества а, 6, с, <i,..., w отображает а в 6, 6 в с, с в d
и так далее по кругу. Такая перестановка обозначается (а, 6, с, <i,. . ., w). Ее порядок - это
количество элементов в скобках. Транспозиция - это циклическая перестановка порядка 2;
она переставляет два элемента и оставляет на месте все остальные.
Задача 1.5. Пусть а = (123), г = (34). Чему равно т о а о г-1?
Задача 1.6. Доказать, что каждая подстановка представима как произведение
транспозиций.
Задача 1.7 (*). Может ли произведение нечетного числа транспозиций быть тождественной
перестановкой?
Указание. Что произойдет с многочленом (х\ — x2)(xi — х3)... {х\ — хп)(х2 — ж3)...
(произведение (xi — Xj) по всем г > j), если поменять местами Х{ и хр.
На группе подстановок S(A) заданы следующие структуры: произведение, взятие
обратной подстановки, тождественная подстановка. Эту ситуацию удобно аксиоматизировать.
Определение 1.1. Пусть G - множество, где задана операция "произведения" f^g^f'g,
"взятие обратного" / \—> /_1, и задан "единичный элемент" 1^, и все это удовлетворяет
следующим аксиомам.
а. "Ассоциативность": (/ • д) • h — f • (д • К) для всех /, g, h.
б. "Единица": / • 1G = 1G • / = / для всех /.
в. "Обратный элемент": / • f~l — f~l • f = 1G для всех /.
Тогда G называется группой.
Подмножество G, замкнутое относительно этих операций, называется подгруппой в G.
Задача 1.8. Дана группа G.
а. Если fg = f или gf = /, то д = 1.
б. Если fg — 1 или gf — 1, то д — f~l.
Замечание. Тем самым, для того, чтобы полностью определить структуру группы на
множестве G, достаточно задать операцию умножения. Единица и обратный элемент, если они
существуют, восстанавливаются по умножению однозначно.
Задача 1.9. Являются ли группами следующие множества, с указанными операциями.
а. Натуральные числа с операцией сложения.
б. Целые числа с операцией сложения.
в. Целые числа с операцией умножения.
г. Рациональные числа с операцией умножения.
2

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
д. Вещественные числа с операцией сложения.
е. Вещественные числа с операцией умножения.
ж. (*)Движения плоскости с операцией композиции.
з. Числа строго больше —1 и строго меньше 1, с операцией u*v — (u-\-v)/(\-\-uv) (проверьте
также, что операция корректно определена).
и. Фигуры (множества точек) на плоскости с операцией оъединения.
к. (*)Фигуры (множества точек) на плоскости с операцией симметрической разности: А*В
состоит из точек, принадлежащих ровно одной из фигур А, В.
л. (*)Отображения из фиксированного множества С в фиксированную гриппу G, с
операцией (f-g)(s) = f(s)g(s).
"Произведение групп" G\ и G2 есть множество пар (gi,g2), 9\ £ G\^g2 Е G2: с групповой
операцией
(9и92) • (g'i,g'2) = (91 - 9х,92 - gf2)
Отображение / : G —>■ G' из группы G в группу G' называется гомоморфизмом, если оно
сохраняет умножение: f(gi • д2) — f(gi) ' /(92)- Гомоморфизм называется мономорфизмом,
если он инъективен, эпиморфизмом если он сюръективен, и изоморфизмом если он
биективен. Группы G, G' изоморфны если между ними существует изоморфизм. Изоморфизм
группы в себя называется автоморфизмом.
Задача 1.10. Докажите, что если / : G —>■ G' - гомоморфизм групп, то /(1g) = 1g; и
f{g~l) = (/Ы-1) Для любого д eG.
Определение 1.2. Если задан гомоморфизм G —> S(A) группы G в группу S(A)
перестановок множества А, то говорят, что G действует на множестве А (в самом деле, в этом
случае каждый элемент G каким-то образом переставляет элементы А). Действие G на А
можно записать как отображение G X А —> А, а,д \—> р(д,а). Иногда действие группы на
множестве записывается проще: а,д ь->■ д(а).
Задача 1.11. Докажите, что любая группа допускает иньективный гомоморфизм в группу
подстановок (не обязательно конечного множества).
Указание. Подумайте, в чем может быть смысл фразы "Группа G действует на себе
умножениями слева".
Задача 1.12. Верно ли, что
а. Любая группа из двух элементов изоморфна группе перестановок S2.
б. Любая группа из шести элементов изоморфна или группе перестановок £з, или
произведению двух нетривиальных групп.
Задача 1.13 (*). Докажите, что группа перестановок Sn не изоморфна произведению двух
нетривиальных групп.
Задача 1.14. Пусть G - группа, д Е G - ее элемент. Верно ли, что последовательность
д^д1!,д3, • • • периодическая? Верно ли это, если G - конечная группа?
3

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Пусть п - натуральное число. Говорят, что д £ G - элемент порядка п в группе G, если
дп — 1g5 но 9 Ф 1g Для к < п.
Задача 1.15 (!). Дана конечная группа из п элементов. Докажите, что порядок любого
элемента группы делит п.
Указание. Рассмотрите действие группы на себе умножениями слева.
Задача 1.16 (*). Дана группа с четным числом элементов. Докажите, что в ней есть элемент
порядка 2.
Задача 1.17 (*). Верно ли, что
а. Группа Z)12 движений правильного 12-угольника изоморфна произведению D6 X £2, где
D6 - это группа движений пгестиугольника.
б. Группа D6 изоморфна произведению D3 X ^ гДе ^з ~ это группа движений
треугольника.
Группа называется коммутативной, или абелевой, если f • д = д • f для всех /, д. Два
элемента /, g коммутируют, если / • д = д • }'.
Задача 1.18. Какие из групп, рассмотренных в задаче 1.9, коммутативны?
Задача 1.19 (*). а. Центром группы G называется подмножество, состоящее из всех
элементов д £ G таких, что ggf — gfд для всех д' £ G. Докажите, что центр - это
подгруппа.
б. Дана группа G, в которой есть элементы порядка > 2. В ней дана подгруппа G' такая,
что все элементы д £ G, не принадлежащие G", имеют порядок 2. Приведите пример
такой ситуации (или докажите, что она невозможна). Всегда ли в такой ситуации G
конечна?
в. Докажите, что в такой ситуации G' абелева.
г. Пусть G' содержит центр G. Докажите, что группа G единственным образом (с
точностью до изоморфизма) задается условием из пункта (2) и подгруппой Gf.
(Такая группа называется диэдральной группой).
д. Дана диэдральная группа G, связанная с абелевой группой G' как выше. Пусть G' -
произведение #2 и еще одной абелевой группы: G' — S2 X G". Докажите, что G -
произведение $2 и диэдральной группы.
Кольца и поля
Рассмотрим вещественные числа, целые числа или конечные десятичные дроби. На этих
множествах заданы
а. Сложение, которое коммутативно и превращает наше множество в группу (обозначается
плюсом; взятие обратного относительно сложения обозначается минусом)
б. Умножение, которое коммутативно, но группы не задает, потому что не все числа
обратимы (обозначается точкой; точку часто опускают для краткости и пишут просто ху
вместо х • у).
4

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Эти структуры полезно аксиоматизировать.
Определение 1.3. Пусть R - множество с двумя операциями а, Ъ \—> а + b (сложение) и
а, b I—>■ а • b (умножение). Пусть в R заданы элементы 0 и 1 (ноль и единица). Если следующие
свойства выполнены, R называется кольцом.
а. R является коммутативной группой относительно операции сложения, 0 есть единица в
этой групповой структуре
б. 1 является единицей относительно умножения: 1 • а — а • 1 — а для всех а.
в. Ассоциативность по умножению: а • (Ь • с) — (а • Ь) • с.
г. Дистрибутивность: а • (Ь + с) = а • b + а • с.
Если умножение коммутативно, говорят, что кольцо R коммутативно. Если к тому же
умножение обратимо для всех а ф 0, т.е. i?\{0} есть группа относительно умножения, то R
называется полем.
В этом и нескольких следующих листках, мы будем рассматривать только
коммутативные кольца, и слово "коммутативный" будем для краткости опускать; если явно не указано
обратное, все кольца предполагаются коммутативными.
Задача 1.20. Являются ли кольцами следующие множества (с естественными операциями,
если они не указаны явно):
а. Натуральные числа.
б. Целые числа.
в. Четные целые числа.
г. Рациональные числа.
д. Иррациональные числа.
е. Конечные десятичные дроби.
ж. Пары целых чисел, сложение и умножение покоординатные.
з. Пары целых чисел, сложение покоординатное, умножение задается формулой (а, Ь) •
(с, d) — [ас — bd, ad + be).
и. (*) Пары рациональных чисел, сложение покоординатное, умножение задается
формулой (а, Ь) • (с, d) = (ас + 26<i, ad + be).
к. (*)Фигуры на плоскости (сложение - симметрическая разность, умножение -
пересечение).
л. (*)Отображения из фиксированного множества С в фиксированную гриппу G, с
операцией (f-g)(s) = f{s)g(s).
Задача 1.21. Какие из колец, рассмотренных в задаче 1.20, являются полями?
5

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Задача 1.22. Дано кольцо R. Рассмотрим множество последовательностей
а = (а0,аи. . . , а,,. . ., 0, 0,. . .)
элементов R с конечным числом ненулевых элементов. Опеределим операции в этом
множестве как
(а + Ъ)г = аг + Ъг,
г
(a---b)i = ^afii-j.
j=o
Докажите, что это множество является кольцом (в частности, проверьте, что умножение
ассоциативно).
Кольцо, определенное в задаче 1.22, называется кольцом полиномов от одной
переменной над i?, и обозначается через R[x]. Элементы R[x] называются "полиномы" или
"многочлены". Они обычно записываются как а0 + а\х + • • • + а{Х% (все а3 с j > г нулевые).
В курсе алгебры мы будем предполагать понятие вещественного числа известным
(например, можно думать про вещественные числа как про бесконечные десятичные дроби с
обычными операциями "в столбик"). Строгое определение дается в курсе геометрии,
топологии и анализа. Все, что нам нужно в курсе алгебры, это
Важное замечание: Вещественные числа образуют поле.
Это "важное замечание" также доказывается в курсе геометрии, топологии и анализа.
Кроме того, нужно следующее свойство:
Задача 1.23 (*). Докажите, что каждое уравнение вида
2п+1 | 2п \ 2п—1\ | | п
имеет вещественное решение.
Эту задачу надо решать, когда вы узнаете из курса анализа определение вещественных
чисел, или выучите его самостоятельно по книгам.
Задача 1.24 (*). Будет ли полем кольцо, определенное в задаче 1.20 9, если в определении
вместо "рациональные числа" сказать "вещественные числа"?
Задача 1.25. Зафиксируем целое число п. При делении на п другие числа дают остатки 0, 1,
2, ... 77, — 1. Обозначим эту операцию за mod п. Два числа, у которых равны остатки mod п,
называются сравнимыми по модулю п. Определим сумму и произведение на множестве чисел
mod п таким образом, чтобы
[х mod п) + (у mod п) — ((ж + у) mod п),
(ж mod п) • (у mod п) = (ху mod п)
выполнялось для любых целых чисел ж, у. Докажите, что это определение корректно, и
множество остатков образует кольцо.
Задача 1.26 (*). Докажите, что множество остатков mod п со сложением и умножением,
определенными выше, образует поле тогда и только тогда, когда число п простое.
Замечание. Если вы сейчас не можете решить эту задачу, отложите ее: через некоторое
время, после введения полезных промежуточных понятий, та же задача будет без звездочки.
6

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Задача 1.27. Постройте поля из
а. 2-х,
б. 3-х,
в. (*)4-х элементов.
Задача 1.28 (*). Докажите, что не существует поля из шести элементов.
Задача 1.29. Докажите, что если р - простое число, то поле из р элементов единственно с
точностью до изоморфизма.
Определение 1.4. Характеристикой поля к называется число 0, если 1 Е & имеет
бесконечный порядок относительно сложения, или порядок р элемента 1 £ /с, если он конечен.
Задача 1.30. Докажите, что если характеристика р поля к ненулевая, то р простое.
Задача 1.31 (*). Дано поле харакетристики р. Докажите, что отображение Фробениуса
х \—> хр сохраняет умножение и сложение (как и для групп, такое отображение
называется гомоморфизм).
Указание. Воспользуйтесь формулой бинома.
Задача 1.32 (*). Выведите из этого малую теорему Ферма: для любого целого числа ж, хр
сравнимо с х по модулю р.
Пусть Р = хп + an_ixn_1 + ... + а\х + а0 - многочлен с коэффициентами в поле к. Корень
Р - это такой элемент а в поле к, что Р(а) — 0.
Задача 1.33. Пусть а - корень многочлена Р над полем к. Докажите, что многочлен Р
делится на z — а в кольце k[z]
Указание. Воспользуйтесь делением многочленов в столбик:
х2 +2х - 12 |х + 5
х2 + Ъх \х — 3
^3^- 12
— Зх — 15
Задача 1.34. Докажите, что ненулевой многочлен степени п над полем не может иметь
больше п разных корней.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Пусть Р - ненулевой многочлен над полем к. Многочлен Р называется неприводимым,
если его нельзя представить в виде произведения многочленов меньшей степени.
Воспользовавшись делением многочленов в столбик, рассмотрим множество остатков в
кольце к[х] по модулю Р.
Задача 1.35. Докажите, что это множество образует кольцо (мы обозначим его за к[х]
mod Р).
7

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Комплексные числа.
Множество целых чисел обозначается за Z, а вещественных чисел - за Е. Пусть С -
множество пар вещественных чисел (а, 6), со сложением, определенным как (а, Ь) + (с, d) —
(а + с, Ъ + d) и с умножением, определенным формулой
(а, Ъ) • (с, d) — [ас — bd, ad + be).
Элементы С называются комплексными числами.
Задача 1.36. Проверьте, что С - кольцо. Докажите, что уравнение х2 + 1 = 0 имеет решение
в С. Сколько решений оно имеет?
Задача 1.37. Выберем решение уравнения х2 + 1 в С и обозначим его за у/—1 . Докажите,
что любое комплексное число можно едиентвенным образом представить в виде а + Ьу/—1 ,
a,be R.
Задача 1.38. Постройте изоморфизм С = (Ж[х] mod Р), где Р - многочлен Р = х2 + 1.
Задача 1.39. Дано комплексное число z := а + Ъу/—\ . Сопряженное z число — это ~z \ —
а — Ъу/—\ . Докажите, что комплексное сопряжение сохраняет умножение и сложение в С
(такие отображения называются автоморфизмами поля С).
Задача 1.40. Дано комплексное число z \— а + Ъу/—\ . Докажите, что z~z вещественно (это
значит, что в представлении комплексного числа в виде (ж, у) компонента у равна нулю).
Задача 1.41. Дано комплексное число z \— а-\-Ьу/—1. Докажите, что zz = a2-\-b2. В частности,
это число всегда неотрицательно, и равно нулю только если z — 0. Часто z~z записывают как
|^|2, поскольку длина вектора (а, Ь) на плоскости это у а2 + Ь2 (|^|, расстояние на плоскости
от z до 0, называется модулем z).
Задача 1.42. Выведите из предыдущей задачи, что комплексные числа образуют поле.
Указание. z~l — z\z\~2
Задача 1.43. Докажите "неравенство треугольника": \zi\ — \z2\ ^ \zi + z2\ ^ \zi\ + \z2\
Задача 1.44. Докажите, что \ziz2\ = l^iH^I-
Задача 1.45 (!). Пусть z = а + by/—l - комплексное число с модулем 1: \z\ = 1. Рассмотрим
умножение на z как преобразование плоскости IR2, отождествленной естественным образом с
С. Докажите, что если z ф 1, то это преобразование — движение с единственной неподвижной
точкой О G К2.
Задача 1.46 (!). Из геометрии известно, что движение с единственной неподвижной точкой
О G IR2 — это поворот на какой-то угол (р вокруг 0. Для движения из задачи 1.45, как найти
а и 6, зная (/??
Замечание. Угол (р называется аргументом комплексного числа z.
Задача 1.47 (!). Докажите формулу косинусов cos((/? + ф) = cosc^sin^ + simp cos ф.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
8

АЛГЕБРА 1: определение группы, кольца, поля
Задача 1.48 (!). Докажите, что уравнение zn — 1 имеет ровно п решений в комплексных
числах.
Указание. Воспользуйтесь тригонометрической интерпретацией комплексных чисел.
Задача 1.49 (*). Дан полином Р степени меньше п, и пусть £l5 • • • •> (п ~ "корни n-й степени
из 1", иначе говоря, все комплексные решения уравнения zn = 1. Докажите, что среднее
- ^2 P(d) значений Р по всем d равно Р(0).
Указание. Воспользуйтесь тригонометрической интерпретацией комплексных чисел.
Задача 1.50 (*). Дан полином Р степени меньше п. Пусть S - правильный n-угольник на
комплексной плоскости С = IR2. Докажите, что значение Р в центре S равно среднему
значений Р в вершинах S.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Замечание. Архимед определил периметр окружности как предел периметров вписанных
в нее многоугольников. Если следовать примеру Архимеда, то средним значением функции
/, определенной на окружности, можно считать предел (по п) средних -^/(СО? гДе zi ~
вершины правильных n-угольников, вписанных в эту окружность. Из предыдущей задачи
можно вывести, что среднее значений полиномиальной функции Р в единичной окружности
\z\ — 1 равно значению Р в ее центре.
Задача 1.51. Вычислите группу автоморфизмов С,
а. (*)переводящих в себя подполе ЕсС.
б. переводящих в себя подполе К. С С, и оставляющих на месте все его элементы.
Задача 1.52 (!). В определении комплексных чисел заменим
(а, Ъ) • (с, d) — [ас — bd, ad + be).
на
(a, b) • (с, d) = (ас + bd, ad + be).
Обозначим получившееся за IR2- Будет ли IR2 кольцом? А полем? Найти все решения уравнения
z2 = 1 в IR2- Найти все решения уравнения z2 = 0 в IR2-
Задача 1.53 (!). В определении комплексных чисел заменим
(а, Ь) • (с, d) = (ас — bd, ad + be).
на
(a, b) • (с, d) = (ас: ad + be).
Обозначим его за IR£. Будет ли IR£ кольцом? А полем? Будет ли оно изоморфно IR2 из
предыдущей задачи? Найти все решения уравнения z2 — 1.
Задача 1.54 (*). В предыдущих двух задачах, найдите также все решения уравнения z2 — z.
Задача 1.55 (*). Пусть Р — апхп + an_ixn_1 + ... -\-а\х + а0 полином степени п, у которого п
корней, лежащих снаружи единичной окружности. Докажите, что -^ < ип, где Ln — кип_ку
- биномиальный коэффициент.
9

АЛГЕБРА 2: делимость в кольцах и алгоритм Евклида
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
АЛГЕБРА 2: делимость в кольцах и алгоритм Евклида
Наибольший общий делитель
Пусть R — кольцо.
Определение 2.1. Делители нуля в кольце R это такие ненулевые элементы ж, у, что
ху = 0. R называется областью целостности, если в R нет делителей нуля.
На протяжении этого листка, все кольца предполагаются областями целостности.
Определение 2.2. Обратимый элемент в R называется единицей кольца R.
Задача 2.1. Целые гауссовы числа - это комплексные числа вида х + уу/—1 , где ж, у целые.
Докажите, что они образуют кольцо. Оно обозначается Ъ\у/— 1 ].
Задача 2.2. Опишите все единицы в кольце целых гауссовых чисел.
Указание. Если комплексное число z обратимо в Z[л/— 1 ], то zz тоже обратимо в Ъ\у/— 1 ].
Задача 2.3. Зафиксируем целое положительное число п. Рассмотрим множество всех
комплексных чисел вида х + уд/—п, где ж, у целые. Докажите, что это кольцо.
Задача 2.4 (*). Зафиксируем целое положительное нечетное число п. Рассмотрим
множество всех комплексных чисел вида х ^ -> гДе х-> У одновременно четные либо одновременно
нечетные. Докажите, что это кольцо, и опишите все единицы. Мы обозначим это кольцо
Определение 2.3. Пусть R кольцо, ж, у Е R элементы R. Если х — yz в i?, то говорят, что
х делится на у в i?, а у делит х. Отношение делимости обозначается х : у.
Определение 2.4. Пусть R — кольцо, ж, у Е R элементы R. Наибольший общий
делитель (НОД) х, у — это такой элемент z Е i?, что z делит х и у, и для всякого z', делящего ж,
z' делит z. х и у называются взаимно простыми, если 1 - наибольший общий делитель ж, у.
Вообще говоря, в произвольном кольце для произвольных элементов НОД может и не
существовать.
Задача 2.5. Докажите, что если НОД существует, то он единственный с точностью до
единицы: если z и z' - наибольшие общие делители х и у в кольце i?, то z — ez', где е - единица
кольца R.
Задача 2.6. Пусть Q(2) - множество всех рациональных чисел, представленных дробями
вида - с нечетным знаменателем q. Докажите, что это множество замкнуто относительно
умножения и сложения и образует подкольцо в кольце рациональных чисел.
1

АЛГЕБРА 2: делимость в кольцах и алгоритм Евклида
Задача 2.7. Приведите пример необратимого элемента в Q(2).
Задача 2.8. Опишите единицы кольца Q(2).
Задача 2.9 (!). Докажите, что в Q(2) существует наибольший общий делитель любых двух
элементов.
Указание. Докажите, что любой элемент Q(2) представим в виде е2п, где е — единица.
Определение 2.5. Пусть р - элемент кольца R. Он называется простым, если для любых
д, г с р = qr либо д, либо г - единица кольца R.
Задача 2.10. Опишите все простые элементы в Q(2).
Делимость в кольце целых чисел
Задача 2.11. Пусть ж, у - целые положительные числа, a z — (ж — ку) — остаток от деления
х на у. Докажите, что если НОД(у,^) существует, то НОД(ж,у) также существует, и равен
НОД(у^).
Определение 2.6. Алгоритм Евклида берет два целых положительных числа ж, у, х > у, и
выдает целое положительное число z.
а. Если х делится на у, алгоритм заканчивает свою работу и выдает в качестве результата
У-
б. Если х не делится на у, алгоритм повторяет свою работу, примененный к числам х\ — у,
У\ — х — ку^ где х — ку остаток от деления х на у.
Задача 2.12. Докажите, что алгоритм Евклида заканчивает свою работу после конечного
числа итераций
Задача 2.13. Докажите, что результат применения алгоритма Евклида к целым числам ж, у
является НОД(у,^)
Задача 2.14. Решите задачу 1.26 из листка 1 (если вы ее еще не решили).
Задача 2.15. Докажите, что результат применения алгоритма Евклида к числам ж, у
выражается как линейная комбинация х и у с целыми коэффициентами: z — ах + by.
Задача 2.16. Пусть ж, у - взаимно простые целые числа, ар- простое число. Предположим,
что ху делится на ра для некоторого натурального а. Докажите, что или х делится на ра,
или у делится на ра.
Задача 2.17 (!). Выведите из этого однозначность разложения на простые множители: если
целое положительное число х представлено в виде произведения простых чисел двумя
способами, то эти два способа отличаются лишь порядком сомножителей.
Указание. Запишите х в виде произведения pf\ где pi разные простые числа, и
воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы убедиться, что показатель щ определен однозначно.
2

АЛГЕБРА 2: делимость в кольцах и алгоритм Евклида
Факториальные кольца
Определение 2.7. Пусть R - кольцо. Два разложения г £ R на простые множители, г =
PiP2---Pk-) г — qiq2---Qk называются эквивалентными, если после некоторой перестановки
сомножителей pi и домножения простых сомножителей pi на единицы кольца мы получим
разложение г = qiq2---Qk- Мы говорим, что R факториальное, или же кольцо с однозначным
разножением на множители, если для любого г Е R разложение г в произведение простых
чисел существует и единственно с точностью до эквивалентности.
Замечание. Термин "факториальное" звучит страшно, но он, увы, вошел в традицию; по-
английски, например, то же самое называется куда более понятным словосочетанием unique
factorization ring (буквально "кольцо с единственным разложением").
Задача 2.18 (!). Пусть в кольце R существует разложение на простые множители, и
наибольший общий делитель z любой пары элементов ж, у. Пусть к тому же z выражается в R
как линейная комбинация ж, у: z = ах + by с коэффициентами а,Ь £ R. Докажите, что R -
факториальное кольцо.
Указание. Воспользуйтесь доказательством, приведенным выше для целых чисел.
Задача 2.19. Зафиксируем целое положительное число п. Рассмотрим кольцо Ъ[у/—п\ С С
комплексных чисел вида z — х + ул/— п, хну целые. Докажите, что \z\2 - целое для всех
z Е Ъ[у/=п\.
Задача 2.20. Докажите, что z - единица в Ъ[у/—п\ тогда и только тогда, когда \z\2 — 1.
Указание. \z~l\2 = (|г|2)-1.
Задача 2.21. Пусть z - такой элемент Ъ[у/— п], что \z\2 просто в Z. Докажите, что z просто
В 1i[y/—n].
~\г I /19 I 191 /19
Указание. \zz\ — \z\\z\ .
Задача 2.22 (!). Рассмотрим кольцо Ъ\у/— 3]. Докажите, что 2 и 1±д/—3 простые. Выведите
из этого, что Ъ\у/—Ъ\ не факториально.
Указание. Воспользуйтесь соотношением 22 = 4.
Деление с остатком в кольцах
Определение 2.8. Пусть R некоторое кольцо. Мы говорим, что в R задано деление с
остатком, если для каждой пары ж, у, у ф 0 в R заданы z,k £ i?, удовлетворяющее
соотношению z — х — ку. В этом случае z называется остатком от деления и к частным.
Примеры. Деление с остатком задано в кольце целых чисел. Еще деление с остатком задано
в кольце полиномов k[t] над полем к:
х2 + 2х
х2 + Ъх
— Зх
— Зх
- 12
х + 5
х — 3
- 12
-15
3

АЛГЕБРА 2: делимость в кольцах и алгоритм Евклида
Определение 2.9. Пусть в кольце R задано деление с остатком. Алгоритм Евклида в
R применяется к паре ж, у ненулевых элементов из Д и определяется рекурсивно. Если х
делится на у, алгоритм Евклида останавливается и выдает в качестве результата у. Если
же х не делится на у, то алгоритм Евклида применяется к паре у,^, где z есть остаток от
деления х на у. Априори, этот процесс может длиться бесконечно.
Задача 2.23 (!). Пусть в кольце R задано деление с остатком. Предположим, что алгоритм
Евклида, примененный к паре ж, у £ i?, остановился через какое-то число шагов и выдал в
качестве результата z £ R. Докажите, что
а. z — ах + by для каких-то а, Ъ £ R.
б. z есть наибольший общий делитель х и у.
Указание. Доказательство в случае произвольного кольца дословно такое же, как и для
кольца целых чисел.
Определение 2.10. Пусть R кольцо. Еоворится, что в R существует алгоритм Евклида,
или же R евклидово если в R задано деление с остатком, и для любых ж, у £ R алгоритм
Евклида заканчивается через конечное число шагов.
Задача 2.24 (!). Пусть в кольце R существует разложение на простые множители и
алгоритм Евклида. Докажите, что R факториально.
Указание. Воспользуйтесь вышеприведенными задачами
Задача 2.25. Докажите, что кольцо k[t] многочленов над полем к факториально.
Задача 2.26. Докажите, что уравнение х • у = 0 неразрешимо (для ж, у ф 0) в k[t] mod Р
тогда и только тогда, когда многочлен Р неприводим.
Целая часть [z] комплексного числа z = х + уд/—1 определяется как [ж+ 0.5] + [у+ 0.5]д/— 1,
где [ ] обозначает операцию взятия целой части для вещественного числа (если
интерпретировать комплексные числа геометрически как точки плоскости IR2, то [z] - ближайшая к z
точка с целыми координатами). Деление с остатком в кольце Z[у/— 1 ] целых гауссовых чисел
определяется следующим образом: частное от деления с остатком z\ на z2 равно [—], а остаток
равен z\ — [—]%2-
Задача 2.27. Докажите, что
z\
%2
< ы
Задача 2.28. Докажите что в кольце Ъ\у/— 1 ] целых гауссовых чисел алгоритм Евклида
всегда заканчивается.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей. Выведите, что на каждом шаге алгоритма
Евклида уменьшается min(|^i|2, I^P)-
Пусть R — Ъ\\/—п\ или R — Ъ\у/— 3]. Для любого z £ С обозначим за [z]r ближайшую к
z точку комплексной плоскости, соответствующую числу из R. Если таких точек несколько,
возьмем ту, в которой значение Re[z]ji (вещественной части) больше, а если и таких точек
несколько - возьмем ту, у которой Im[z]ji (мнимая часть) больше. Определим деление z\ на ^2
с остатком таким образом, что частное от деления с остатком z\ на ^2 равно [—]#, а остаток
равен zx - [^}rz2.
4

АЛГЕБРА 2: делимость в кольцах и алгоритм Евклида
Задача 2.29 (*). Докажите, что при п — 1 мы получим стандартное деление с остатком в
Задача 2.30 (*). Пусть \z — [z]r\ < 1 для всех z G С. Докажите, что на каждом шаге
алгоритма Евклида уменьшается \z2\2.
Задача 2.31 (*). Пусть для каждой точки z G С найдется г G R такой, что \г — z\ < 1.
Докажите, что R евклидово.
Задача 2.32 (*). Докажите, что следующие кольца евклидовы: Ъ\у/— 2], Ъ\у/— 3].
Задача 2.33. Разложите число 2 на простые сомножители в Ъ\у/—\ ].
Указание. Воспользуйтесь задачей 2.21.
Задача 2.34 (*). Разложите числа 3, 5, 7 на простые сомножители в Ъ\у/—\ ].
Задача 2.35 (*). Докажите, что простое в Z число вида р = 4/с + 3 всегда просто в Z [д/— 1 ].
Указание. Докажите, что р не представимо в виде суммы квадратов
Задача 2.36. Пусть z = а + Ъу/—\ целое гауссово число, которое не делится на 1 + у/—1 .
Предположим, что а и b взаимно просты. Докажите, что z и ~z взаимно просты.
Указание. Докажите, что если а и Ъ взаимно просты в Z, то 2 можно представить в виде
линейной комбинации а + Ъу/—\ , а — Ъу/—\ .
Задача 2.37 (!). Пусть а,Ъ,с- такие взаимно простые целые числа, что а2 + Ь2 = с2.
Докажите, что с = |^|2, для какого-то z G Ъ\у/— 1 ].
Указание. Воспользуйтесь тем, что с2 — (а + Ьд/— 1 )(а — Ъу/—\ ), а а, 6 взаимно просты.
Примените единственность разложения на простые множители в Ъ\у/— 1], и выведите из этого,
что каждый простой сомножитель а + Ъу/—\ , а — Ьд/— 1 встречается дважды.
Задача 2.38 (!). Укажите все тройки целых чисел а, 6, с, таких, что а2 -\-Ь2 — с2 ("укажите"
следует понимать как "напишите формулу, которая дает все такие тройки при подстановке
в нее целых чисел").
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 2.39 (*). Укажите все тройки взаимно простых целых чисел а,Ъ,с, таких, что а2 +
2Ь2 = с2.
Задача 2.40. Примените однозначность разложения на множители в Ъ\у/—2\
Задача 2.41 (**). Укажите все тройки взаимно простых целых чисел а, 6, с, таких, что а2 +
с2
ЗЬ2 - -2
5

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные
отображения
Векторные пространства
Напомним, что абелева (другой термин "коммутативная") группа - это группа, где
соблюдается соотношение коммутативности
f -9 = 9- f
Операцию группового умножения в абелевых группах часто обозначают знаком + и называют
сложением; единичный элемент в таком случае обозначают 0 и называют нулем.
Определение 3.1. Линейное, или векторное, пространство У над полем к - это абелева
группа, наделенная операцией к X V \—> V ("умножение вектора на элементы поля"), которая
согласована со сложением в следующем смысле:
а. Для любых Л £ к, u, v £ У, имеем Х(и + v) = Хи + Xv. Для любых Ai, А2 £ к, и £ У, имеем
(Ai + Х2)и = Xiu + Х2и (дистрибутивность умножения относительно сложения).
б. Для любых Ai,A2 £ к, и £ У, имеем Ai(A2u) = (AiA2)u (ассоциативность умножения).
в. Для любого v £ У, имеем lv = г?, где 1 £ к - единица.
Элементы векторного пространства называются векторами, групповая операция - сложением
векторов.
Задача 3.1. Дано поле к. Докажите, что к является векторным пространством над собой.
Задача 3.2. Докажите, что группа /с* обратимых элементов в /с по умножению действует на
любом линейном пространстве над к.
Замечание. Эта группа называется мультипликативной группой поля к.
Задача 3.3. Докажите, что группа параллельных переносов плоскости имеет структуру
векторного пространства над IR.
Задача 3.4. Дано векторное пространство У над к. Докажите, что Ok(v) = Оу, для любого
v £ У. Здесь 0^ есть ноль в поле к, а Оу - единичный элемент в У.
Задача 3.5. Дано поле К, и в нем подполе к. Докажите, что К является векторным
пространством над к.
Задача 3.6. Дано поле к.
а. Обозначим через кп множество n-ок (ai, a2,. . . , ап) элементов из к. Определите на кп
естественное сложение и действие /с* и докажите, что это будет линейное пространство.
1

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
б. Дано множество S. Обозначим через k[S] множество таких наборов элементов
\ctSl, aS2,. . . /
из /с, по одному для каждого элемента S{ G S, что все as кроме конечного числа равны
нулю. Введите на k[S] структуру линейного пространства над к
Векторное пространство k[S] называется векторным пространством, порожденным
множеством S. Множество S естественным образом вкладывается в k[S] - каждому элементу
s G S сопоставляется такой набор [s] G k[S], что все asi равны нулю, кроме as, которое равно
1.
Определение 3.2. Пусть А, В - два множества, на которых задано действие группы G.
Говорится, что отображение к : А —>■ В совместимо с действием G если к(д(а)) = д(к(а)).
Напомним, что гомоморфизм абелевых групп есть отображение, которое сохраняет
групповую операцию
/: Gi^Gt, f(g + д') = f(g) + f(g') (3.1)
Определение 3.3. Гомоморфизм векторных пространств над к есть отображение, которое
сохраняет сложение векторов (см. (3.1)) и совместимо с действием к*.
Иначе говоря, гомоморфизм векторных пространств есть отображение / : V\ —> 14,
которое удовлетворяет условиям f{y\ + v2) = f(v\) + /(^2)5 f{^v) — ^f{v)- Мономорфизм,
эпиморфизм, изоморфизм и автоморфизм векторных пространств определяются так же, как
для групп (колец, полей, и вообще всех алгебраических структур). В случае векторных
пространств, вместо "гомоморфизм" часто говорят "линейный оператор" или "линейное
отображение" .
Напомним, что тождественное отображение из векторного пространства V в себя
обозначается Idy. Очевидно, Idy - автоморфизм.
Задача 3.7. Докажите, что линейное отображение (р : V\ —> 14 биективно тогда и толко
тогда, когда оно обратимо, т.е. существует такое линейное отображение ф : 14 -> 14 5 что
ф о <р = ldy:, <р о ф = ldy2 . (3.2)
Достаточно ли выполнения только одного из этих условий?
Задача 3.8. Если векторные пространства У, V изоморфны, то пишут V = V1'. Докажите,
что
а. Если У^^аУ'^ V"', то V ^ V".
б. Если V ^ У, то V = V.
в. Всегда V = V.
Задача 3.9. Докажите, что множество гомоморфизмов из 14 в 14 образует линейное
пространство (его часто обозначают Нот(14,14)).
Задача 3.10. Докажите, что множество автоморфизмов V образуют группу (эту группу
часто обозначают GL{V)). Коммутативна ли эта группа?
2

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Определение 3.4. Подгруппа V С V векторного пространства V называется векторное
подпространством или линейным подпространством V, если она сохраняется
действием /с* (иначе говоря, для любых Л £ /с, v, vf £ V имеем X(v) £ У, v + v' £ У').
Линейное подпространство само очевидно является векторным пространством над тем же
полем.
Задача 3.11. Дано множество S. Докажите, что множество всех отображений Мар(£, к) из
S в к - линейное пространство.
Задача 3.12 (*). Пусть дано векторное пространство W и множество S. Докажите, что
любое отображение S —> W единственным образом продолжается до линейного отображения
k[S] —> W. Будет ли это верно, если в определении k[S] разрешить наборы элементов поля,
из которых бесконечное число не равно нулю?
Задача 3.13. Пусть k[t] - множество полиномов antn + an_itn_1 + ... + a0 с коэффициентами
в поле к. Докажите, что это линейное пространство.
Задача 3.14. Рассмотрим множество Мар(/с, к) всех отображений из поля к в к. Для каждого
полинома Р = antn + an_itn_1 + ... + a0 и каждого А £ /с положим Фр(А) = Р(А). Получаем
отображение Ф : k[t] —> Мар(/с,/с), Р \—> Фр. Докажите, что это гомоморфизм.
Задача 3.15 (*). Пусть к - конечное поле. Докажите, что Ф : k[t] —> Мар(/с,/с) - не
мономорфизм. Докажите, что это эпиморфизм.
Задача 3.16 (*). Пусть к - бесконечное поле. Докажите, что Ф : k[t] —> Мар(/с,/с) -
мономорфизм.
Задача 3.17 (*). Докажите, что это не эпиморфизм.
Пусть дано множество А и бинарное отношение ^ на элементах А (т.е. для некоторых
пар а, 6 £ А объявлено, что а ~ Ь). Говорят, что ^ это отношение эквивалентности, если
выполнены следующие условия:
а. Для любого элемента a £ А верно а ~ а.
б. Если а ~ Ъ ж Ъ ~ с, то а ~ с (транзитивность).
в. Если a rsj Ь, то b ~ а (симметричность).
Если задано отношение эквивалентности ~, то класс эквивалентности элемента a £ А -
это множество всех таких элементов а1 £ А, что а1 ~ а. Легко проверить, что если а ~ а\
то класс эквивалентности а такой же, как у а'; поэтому можно говорить просто про класс
эквивалентности, не указывая в нем конкретный элемент а. Пример отношения эквиваленто-
сти - отношение а — b mod п на множестве целых чисел. Задачу 3.8 на этом языке можно
переформулировать так: "У = Vf есть отношение эквивалентности".
Замечание. Отношение эквивалентности встречается также при рассмотрении
последовательностей Коши в листке Ееометрия 1, хотя там этого термина мы явным образом не
вводили.
Задача 3.18. Пусть V - векторное пространство, Vf С V - подпространство. Рассмотрим
такое отношение эквивалентности на V: а ~ Ь тогда и только тогда, когда а + v — b для
какого-то v £ V1'. Докажите, что множество классов эквивалентности образует линейное
пространство.
3

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Определение 3.5. Это пространство называется факторпространством и обозначается
V/V.
Задача 3.19. Рассмотрим естественное отображение V —> V/V\ которое элемент переводит
в его класс эквивалентности. Докажите, что это гомоморфизм и эпиморфизм.
Задача 3.20. Пусть (р : V\ —> V2 ~ линейное отображение, a Vo С У\ - подмножество всех
элементов, которые переходят в ноль.
а. Докажите, что Vo - линейное подпространство в V\.
б. Докажите, что образ (р - иными словами, подмножество всех элементов v £ V2 вида
^(^О? v' ^V\ ~ линейное подпространство в У2-
Определение 3.6. В этих предположениях, Vo называется ядром (р.
Задача 3.21. Пусть (р : V\ —> V2 — линейный оператор. Докажите, что образ (р изоморфен
факторпространству 14/Vo, где Vo — ядро (р.
Линейная оболочка, базис, размерность
Задача 3.22. Пусть V - векторное пространство над полем /с, xi,...,xn - вектора в V.
Линейной комбинацией векторов xi,...,xn называется любой вектор вида v — \\Xi +
А2х2 + • • • + Ашхп, где Ai - произвольные элементы из к. Докажите, что линейные комбинации
векторов Xi,. . ., хп образуют линейное подпространство в V.
Определение 3.7. Это подпространство называется линейной оболочкой xi,..., хп и
обозначается (xi, х2,..., хп). Также говорят, что (xi, х2,..., хп) - подпространство,
порожденное векторами х\ . . ., хп.
Задача 3.23. Постройте эпимоморфизм из кп
Указание. Отобразите гг-ку (0, 0, 0,..., 1,..., 0) £ кп (единица на 1-м месте) в х\.
Определение 3.8. Вектора xi,... ,хп, называются линейно независимыми, если для
любой линейной комбинации v — \\Xi + А2х2 + • • • + Ашхп, где хотя бы одно А; ф 0, мы имеем
уфО
Задача 3.24. Пусть xi,...,xn - вектора векторного пространства У, а (р - эпиморфизм,
построенный в задаче 3.23. Докажите, что (р инъективно тогда и только тогда, когда вектора
Xi,. . . , хп линейно независимы.
Определение 3.9. Пусть xi,..., хп - такие линейно независимые вектора в векторном
пространстве У, что V = (xi, х2,..., хп). Тогда набор xi,..., хп называется базисом V.
Задача 3.25. Постройте базис в кп.
Задача 3.26. Докажите, что векторное пространство с базисом xi,..., хп изоморфно кп.
Задача 3.27. Пусть v - ненулевой вектор в V = кп, (v) - порожденное им подпространство,
a V/(v) - факторпространство. Докажите, что V/(v) изоморфно кп~1.
4

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Указание. Рассмотрите подпространство V/ С V = /сп, порожденное n-ками вида
(Ai, А2,..., A/_i, 0, A/_|_i,..., Ап)
(на /-м месте стоит 0). Это пространство очевидно изоморфно кп~1. Докажите, что для
какого-то / = 1, 2,. . . , п естественная проекция V/ —> V/(v) - изоморфизм.
Задача 3.28. Пусть Xi,...,x/ - линейно независимые вектора в V = кп. Докажите, что
У/(х1, х2,..., х{) изоморфно кп~1
Указание. Воспользуйтесь индукцией.
Задача 3.29. Пусть V\ С 14 - подпространство в У2 = кп. Предположим, что V\ = кт.
Докажите, что т ^ п.
Задача 3.30. Пусть xi,..., х\ - базис вУ = кп. Докажите, что I — п.
Задача 3.31 (!). Пусть векторные пространства к1 и кт изоморфны. Докажите, что I — т.
Определение 3.10. Векторное пространство У над к называется конечномерным, если
оно изоморфно кп. Число п в таком случае называется размерностью У. Это записывается
так: dim У = п. Как видно из предыдущей задачи, п определено однозначно.
Задача 3.32. Пусть Xi, х2,. . . , х\ - такие линейно независимые вектора в линейном
пространстве У, что Vf :— Vy(xi, х2,. . ., х\) - ненулевое пространство. Пусть xi+i £ V - такой вектор,
что его образ при естественной проекции в Vf ненулевой. Докажите, что Xi, х2,. . . , ж/, xi+i
линейно независимы.
Задача 3.33 (!). Пусть V - линейное пространство, которое не конечномерно. Тогда
существует бесконечная последовательность линейно независимых векторов Xi, х2,. . . , ж/,. . . £ V.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 3.34 (!). Пусть V С V - подпространство конечномерного пространства.
Докажите, что V конечномерно. Выведите из этого, что dim У ^ dim У'
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 3.35. Пусть V — V/V" - факторпространство конечномерного пространства.
Докажите, что Vf конечномерно. Докажите, что dim У ^ dim У'. Выведите из этого, что dim У' =
dim У + dim У".
Указание. Действуйте от противного: выберите в У бесконечную последовательность
линейно независимых векторов, и поднимите эти вектора в V1'.
Задача 3.36. Пусть / : V ^ V - гомоморфизм векторных пространств одинаковой
размерности п. Предположим, что / вложение, либо наложение. Докажите, что / - изоморфизм.
Линейные формы, билинейные формы
Определение 3.11. Пусть У - линейное пространство над к. Линейной формой, или
линейным функционалом на У называется гомоморфизм линейных пространств из У в /с.
Пространство линейных форм на У обозначается У*.
5

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Задача 3.37. Дано конечномерное линейное пространство У. Докажите, что dim У = dim У*.
Задача 3.38. Пусть к - поле, S - любое множество. Верно ли, что (&[£])* = Мар(£, /с)?
Задача 3.39 (!). Рассмотрим естественное отображение V —> У**, v \—> (А \—> А(г?)), вектор
v G У переводит в форму Л \—> X(v) на У*. Пусть У конечномерно. Докажите, что У —> У** -
изоморфизм.
Указание. Докажите, что это вложение, и воспользуйтесь задачей 3.36.
Задача 3.40 (**). Дано бесконечномерное линейное пространство У. Докажите, что У —>
У** - не изоморфизм.
Определение 3.12. Пусть U, У, W - линейные пространства над полем к. Отображение
U х У —> W, u^v \—> fi(u,v) называется билинейным, если для каждого и отображения
/i(u, •) : У —> W и /i(-, и) : U —> W линейные.
Задача 3.41. Докажите, что сумма билинейных отображений билинейна. Докажите, что это
задает структуру векторного пространства на множестве билинейных отображений (7хУ -^
W.
Пространство билинейных отображений обозначается Hom(£/ ® У, W). Причина этого в
следующем:
Задача 3.42 (*). Даны векторные пространства U и У. Рассмотрим множество U х У и
порожденное им пространство k[U X У]. Элемент k[U X У], соответствующий паре (и, и) G (/х,
будем обозначать через и ® v. Рассмотрим подпространство в нем, порожденное векторами
вида au®v — a(u®v): u®av — a(u®v): (и\ -\-u2)®v — Ui®v — u2®v: u® (y\ -\-v2) — u® v\ — u® v2,
и обозначим факторпространство через U ® У. Докажите, что для любого W пространство
Нот(£/ ® У, W) изоморфно множеству билинейных отображений из U х У в W.
Пространство U ® V называется тензорным произведением пространств U и У.
Задача 3.43 (*). Размерность £/, У, И^ равна а, 6, с. Определите размерность Нот(£/®У, И7').
Определение 3.13. Пусть У - векторное пространство над к. Билинейная форма на У есть
билинейное отображение У X У —>■ /с. Билинейная симметрическая форма есть форма,
удовлетворяющая соотношению /i(x,y) = /i(y,x). Билинейная кососимметрическая форма есть
форма, удовлетворяющая соотношению /i(x,y) = —/i(y,x). Обозначим пространство
билинейных симметрических форм за £2У*, билинейных кососимметрических форм за Л2У*, а всех
билинейных форм за (У ® У)*.
Определение 3.14. Мы говорим, что характеристика поля к не равна 2, если число 2 = 1 + 1
обратимо в к.
Замечание. В поле из двух элементов это очевидно неверно.
Вплоть до конца этого раздела, мы предполагаем, что характеристика базового поля к не
равна 2.
Определение 3.15. Если £/, У - векторные пространства, то произведение U х У множеств
U и У тоже наделено естественной структурой векторного пространства. Это произведение,
рассмотренное как векторное пространство, называется прямая сумма U и У и
обозначается (7®У.
6

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Задача 3.44. В векторном пространстве W заданы такие подпространства £/, V, что
пересечение их состоит из одного элемента 0 £ V, а линейная оболочка равна равна всему W.
Докажите, что W изоморфно U ф V.
Замечание. В таком случае, также пишут, что W — U ф V.
Задача 3.45. Рассмотрим отображение симметризации из всех билинейных форм в
симметрические Sym(/i)(x,y) = |(/i(x,y) + /i(y,x)) и отображение альтернирования Alt(/i)(x, у) =
|(/i(x,y) — /i(y,x)). Докажите, что эти отображения задают линейные операторы
{V ®vys^ S2V\ (V®V)*^AV*
Докажите, что сумма
Sym ф Alt : (V ® V)* -> S2 V* ф Л2 V*
задает изоморфизм.
Задача 3.46 (*). Пусть dim У = п. Определите размерность S2V* и А2У*.
Задача 3.47. Пусть /и - билинейная симметрическая форма. Докажите соотношение ji(u +
v,u + v) — ji{v^ v) -\- ji{u^ и) -\- 2ji{u^ v).
Задача 3.48 (!). Пусть /и - ненулевая билинейная симметрическая форма на V. Докажите,
что /i(x, х) ф 0 для какого-то х £ V.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Определение 3.16. Пусть V - линейное пространство с заданной на нем билинейной
симметричной или кососимметричной формой ji : V X V —> к. Для каждого v £ У, ji определяет
линейную форму /i(v, •) : V —> к. Мы говорим, что v лежит в радикале /i, если эта форма
равна нулю.
Задача 3.49 (*). В этих предположениях, докажите, что радикал - линейное
подпространство в V.
Радикал обозначается rad/i.
Задача 3.50 (*). Докажите, что ji(v + г, v' + г') = /i(v, v') для г, г' £ rad /i.
Замечание. Из этого следует, что /и естественно определена на факторпространстве V/rad /i.
Определение 3.17. Билинейная симметричная (или кососимметричная) форма /и
называется невырожденной, если ее радикал равен нулю. Невырожденная билинейная
кососимметричная форма называется симплектической.
Задача 3.51. Пусть /и - невырожденная симметричная (или кососимметричная) билинейная
форма на конечномерном векторном пространстве V. Определим отображение V —> У*, v \—>
/i(^, •), переводящее v в форму t \—> ji(v^t). Докажите, что это изоморфизм.
Указание. Докажите, что это мономорфизм пространств одинаковой размерности.
7

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Задача 3.52. Пусть /и - невырожденная симметричная (или кососимметричная) билинейная
форма на конечномерном пространстве У, и Л : V —> к - линейный функционал. Докажите,
что существует такой вектор v £ V, что \{t) — ji(v^t).
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Определение 3.18. Пусть V - пространство с билинейной симметричной (или кососимме-
тричной) формой /i, V\ С V его линейное подпространство. Определим ортогональное
дополнение V^~ как множество всех векторов v £ V таких, что fi{y,vi) — 0 для всех v\ £ V\.
Задача 3.53 (!). В этих предположениях, пусть /и невырождена на У и на V\. Предположим,
что V\ конечномерно. Тогда V — V\ ф У\~-
Указание. То, что V\ и V^~ не пересекаются, можно увидеть непосредственно. Осталось
доказать, что каждый вектор v £ V представляется в виде суммы векторов из V\ и V^~.
Рассмотрим /i(v, •) как функционал на V\. Воспользовавпгись предыдущей задачей, мы найдем
v\ £ V\ такой, что форма ji{v — г?15 •) равна нулю на V\. Но это значит, что v — v\ £ V^~.
Задача 3.54 (!). Выведите из этого такое утверждение. Пусть /и - билинейная
симметрическая невырожденная форма на векторном пространстве V. Тогда в V есть такой базис
Xi,. . . , хп, что /i(x;, Xj) = 0 для всех г ф j, и /i(x;, Х{) ф 0 для всех г.
Указание. Найдите вектор х такой, что /i(x,x) ф 0. Примените разложение V = (х) ф (ж)1,
полученное в предыдущей задаче. Воспользуйтесь индукцией.
Задача 3.55 (*). Пусть /и - билинейная симметрическая форма на V Тогда в V есть такой
базис Xi,..., хп, что /i(x;, х3) — 0 для всех г ф j. Такой базис называется ортогональным.
Задача 3.56 (*). Пусть /и - симплектическая форма на пространстве V. Докажите, что V
четномерно. Найдите в V такой базис Xi, ...,х2п, что
АЧХ2г-Ъ Х2г) — — АЧХ2г7 ^2r-l) — 1
при г = 1, 2,..., п, и /i(x;, х3) — 0 для всех остальных пар (i,j).
Указание. Действуйте так же, как действовали в симметрическом случае.
Определение 3.19. Пусть V - векторное пространство над IR, а /и - билинейная
симметрическая форма на нем. Форма ji называется положительно определенной, если /i(x,x) > 0
для любого ненулевого вектора х.
Задача 3.57. Пусть /и - положительно определенная билинейная форма на V. Тогда в V есть
такой базис Xi,. . ., хп, что /i(x;, х3) — 0 для всех г ф j, и /i(x;, Х{) = 1 для всех г.
Определение 3.20. Такой базис называется ортонормальным.
Задача 3.58 (*). Пусть ж, у - произвольные векторы в пространстве У, а /и - положительно
определенная билинейная форма. Докажите неравенство
/i(x,x) + /i(y,y)
> /Ч^У)-
8

АЛГЕБРА 3: векторные пространства и линейные отображения
Задача 3.59 (*). В тех же предположениях, докажите неравенство Коши:
л/ц(х,х)ц(у,у) > fJ,(x,y).
Задача 3.60 (*). Докажите неравенство треугольника
\МЖ,Ж) + л/КУ'У) > л/[*(х + у,х + у).
9

Алгебра 4: алгебраические числа
Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи
без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с двумя
звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка. Задачи,
обозначенные (!), следует сдавать всем.
Алгебра 4: алгебраические числа
Алгебраические числа
Определение 4.1. Пусть к С К - поле, содержащееся в поле К (в такой ситуации говорится,
что к подполе в К, а К расширение к). Элемент х Е К называется алгебраическим над
к, если х - корень ненулевого многочлена с коэффициентами в к.
Довольно часто, когда говорят про алгебраические числа, подразумевают комплексные
числа, алгебраические над Q, т.е. корни многочленов с рациональными коэффициентами.
Задача 4.1. Пусть к - подполе в К, ах- элемент в К. Рассмотрим К как линейное
пространство над к. Пусть Кх С К - линейное подпространство К, порожденное степенями х.
Докажите, что Кх конечномерно тогда и только тогда, когда х алгебраично.
Задача 4.2. Пусть к - подполе в К, х - алгебраический элемент в К, а Кх С К - линейное
подпространство, порожденное степенями х. Для ненулевого вектора v Е Кх, рассмотрим
операцию mv домножения на v в К. Докажите, что mv - /с-линейное отображение, которое
сохраняет подпространство Кх С К.
Задача 4.3. В условиях предыдущей задачи, докажите, что ограничение гомоморфизма mv
на Кх С К обратимо.
Задача 4.4 (!). Выведите из этого, что Кх - подполе в К.
Определение 4.2. Конечное расширение поля к - это поле К D к, которое конечномерно
как векторное пространство над к.
Задача 4.5. Пусть К\ D К2 D Кз поля, такие, что К\ конечномерно над К2, которое
конечномерно над А"з- Докажите, что К\ - конечное расширение А"3-
Задача 4.6 (!). Выведите из этого следующее: сумма, произведение, частное
алгебраических над к элементов снова алгебраично над к.
Задача 4.7. Докажите, что любое конечное поле - конечное расширение поля остатков по
модулю р для какого-то простого числа р. Выведите из этого, что конечное поле имеет рп
элементов (для каких-то чисел р, n, р простое).
Задача 4.8 (*). Докажите, что существует неалгебраическое комплексное число.
Задача 4.9 (**). Докажите, что вещественное число число 0,0100100001000000001... (число
нулей после г-й единицы равно 2г) неалгебраично.
Задача 4.10 (*). Пусть комплексное число х алгебраично. Докажите, что его комплексно-
сопряженное х тоже алгебраично.
1

Алгебра 4: алгебраические числа
Указание. Воспользуйтесь тем, что комплексное сопряжение есть автоморфизм С,
сохраняющий Q.
Задача 4.11 (*). Пусть комплексное число х — а + Ъл/—1 алгебраично. Докажите, что
вещественные числа а и Ъ алгебраичны.
Алгебраическое замыкание
Задача 4.12. Пусть P(t),Q(t) Е k[t] - полиномы положительной степени над полем /с, не
имеющие общих делителей. Докажите, что 1 можно выразить как линейную комбинацию Р
и Q над k[t\:
l = Q(t)A(t) + P(t)B(t).
Указание. Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов (делением в столбик с
остатком и индукцией).
Задача 4.13. Пусть P(t) - неприводимый полином (не раскладывается в произведение
многочленов положительной степени с коэффициентами из /с), а произведение Q(t)Qi(t) делится
на P(t), где Q(t), Qi(t) - ненулевые полиномы. Докажите, что Q{t) или Qi(t) делится на P(t).
Указание. Пусть Q{t) не делится на P(t). Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы
выразить 1 как линейную комбинацию Q{t) и P(t):
l = Q(t)A(t) + P(t)B(t).
Тогда 1 • Qi(t) = Q(t)Qi(<)A(<) + P(t)£(t)Qi(t) очевидно делится на P(t).
Задача 4.14. Пусть P(t) - многочлен над к. Рассмотрим кольцо k[t] полиномов от t и фак-
торпространство k[t]/Pk[t] всех полиномов по полиномам, которые делятся на Р. Докажите,
что k[t]/Pk[t] есть кольцо (относительно естественных операций умножения и сложения).
Задача 4.15. Докажите, что умножение на полином Q{t) действует на k[t]/Pk[t] как
эндоморфизм (эндоморфизм это гомоморфизм из пространства в себя).
Задача 4.16. Пусть умножение на полином Q{t) действует на k[t]/Pk[t] нулем. Докажите,
что Q делится на Р в кольце k[t].
Задача 4.17. Пусть P(t) неприводим. Предположим, что Q{t) - полином, который не
делится на P(t). Докажите, что оператор умножения тд на Q{t) на пространстве k[t]/Pk[t] -
мономорфизм.
Указание. Пусть v лежит в ядре mg, a Qi(t) - полином, представляющий v. Тогда QQ±
делится на Р в силу утверждения предыдущей задачи. Воспользуйтесь алгоритмом Евклида
для полиномов, чтобы получить, что Q делится на Р либо Qi делится на Р.
Задача 4.18 (*). Пусть А : V —> V - линейный оператор. Докажите, что есть такой
полином P(t) = tn + antn~l + ..., что Р(А) = 0. Всегда ли можно найти неприводимый полином
P{t) такой, что Р{А) = 0?
Задача 4.19 (!). Пусть P(t) неприводим. Докажите, что k[t]/Pk[t] - поле.
2

Алгебра 4: алгебраические числа
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы доказать, что если Q не делится на
Р, то умножение на Q{t) задает на k[t]/Pk[t] обратимый линейный оператор.
Определение 4.3. Пусть P(t) - неприводимый полином. Говорится, что поле k[t]/Pk[t] есть
расширение, полученное добавлением корня P(t).
Определение 4.4. Алгебраическое расширение поля к - это такое поле К D /с, что все
элементы К алгебраичны над к.
Задача 4.20. Докажите, что любое конечное расширение алгебраично.
Задача 4.21 (*). Докажите, что не любое алгебраическое расширение конечно.
Определение 4.5. Пусть к - поле. Поле к называется алгебраически замкнутым, если
любой полином положительной степени Р £ k[t] имеет корень в к.
Определение 4.6. Алгебраическое замыкание поля к - это алгебраическое расширение
к D /с, которое алгебраически замкнуто.
Задача 4.22 (*). Пусть К - расширение поля /с, a z £ К - корень ненулевого многочлена
P(t), коэффициенты которого алгебраичны над к. Докажите, что z алгебраичен над к.
Задача 4.23 (*). Пусть К - такое алгебраическое расширение поля /с, что любой многочлен
P{t) £ k[t] имеет корень в К. Докажите, что любой многочлен P(t) £ k[t] разлагается в
произведение линейных многочленов из K[t].
Задача 4.24 (*). В условиях предыдущей задачи докажите, что К алгебраически замкнуто.
Указание. Пусть Р £ K[t] - неприводимый многочлен с коэффициентами из К. Добавим его
корень а к К. Воспользовавшись задачей 4.22, получаем, что а алгебраичен над к. Значит, а
- корень многочлена из k[t]. Но любой такой многочлен разлагается в произведение Y\(t — аг-),
OL{ £ К, как следует из предыдущей задачи. Выведите из этого, что а £ К.
Задача 4.25 (*). Докажите, что у каждого поля к есть алгебраическое замыкание.
Указание. Возьмем любое алгебраическое расширение поля к. Если оно алгебраически
замкнуто, мы все доказали. Иначе существует P{t) £ /c[t], который не имеет корней в К.
Добавим к К его корень, получим поле К\. Заменим К на К\. Повторяя эту процедуру столько
раз, сколько необходимо, перейдем к объединению всех алгебраических расширений к. Мы
получим поле, которое содержит корень любого многочлена из k[t]. Воспользовавшись
предыдущей задачей, убедитесь, что это поле алгебраически замкнуто.
Задача 4.26 (**). В наброске доказательства, приведенном выше, неявно использовалась
лемма Цорна. Придумайте, для счетного поля /с, доказательство, не использующее лемму
Цорна, и независимое от аксиомы выбора.
Задача 4.27 (**). Можно ли доказать существование алгебраического замыкания для
произвольного поля, не используя аксиому выбора?
Задача 4.28 (**). Докажите, что алгебраическое замыкание поля единственно с точностью
до изоморфизма.
3

АЛГЕБРА 5: Алгебры над полем
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
АЛГЕБРА 5: Алгебры над полем
Алгебры над полем
Зафиксируем поле к.
Напомним, что отображение (V! х V2) —> V2 векторных пространств называется
билинейным, если для любых v\ £ Vi, v2 G 14, отображения
/i(ui,-): V2—>V3, (i(-,v2) : Vi—У V3
(один аргумент фиксируется, другой пробегает пространство V2: У\ соответственно)
линейные. Еще говорят, что билинейное отображение есть "отображение, линейное по каждому
аргументу". Для билинейных операций используется значок тензорного произведения (см.
листок Алгебра 3): в вышеприведенном примере, мы пишем
ц: Ух ® V2 —> У3.
Определение 5.1. Пусть А - векторное пространство над полем к, а /и : А® А —> А
билинейная операция ("умножение"). (A,/i) называется алгеброй над к, если /и ассоциативно:
/i(ai,/i(a2,a3)) = /i(/i(ab a2), a3)).
Произведение в алгебре обыкновенно записывается как а • Ъ. Если в алгебре задан элемент 1
такой, что /i(l,a) = ji(a: 1) = а для всех a G А, этот элемент называется единичным, а
алгебра называется алгебра с единицей. Гомоморфизм г : А —> А! алгебр - это линейное
отображение, которое сохраняет произведение, а изоморфизм алгебр - это обратимый
гомоморфизм. Подалгебра алгебры есть линейное подпространство, замкнутое относительно
умножения.
Задача 5.1. Пусть дана такая алгебра с единицей, что для любых а, Ъ имеем ji(a: Ъ) — /i(6, а).
Докажите, что это (коммутативное) кольцо.
Задача 5.2. Приведите пример алгебры без единицы.
Задача 5.3. Докажите, что единица единственна.
Задача 5.4 (*). Приведите пример некоммутативной алгебры без единицы.
Задача 5.5. Пусть V - векторное пространство, а End(V) - пространство линейных
гомоморфизмов из У в У, с операцией композиции. Докажите, что End(V) - это алгебра.
Определение 5.2. В такой ситуации алгебра End(V) называется матричной алгеброй, и
обозначается Mat(V).
Задача 5.6. Коммутативна ли алгебра Mat(V)?
1

АЛГЕБРА 5: Алгебры над полем
Задача 5.7. Пусть дан изоморфизм матричных алгебр Mat(V) = Mat(V).
а. Предположим, что V, V конечномерны Докажите, что У, V изоморфны. Найдите
множество всех изоморфизмов а : V —> У, которые совместимы с заданным
изоморфизмом Mat(V) ^ Mat(V').
б. (*)Докажите, что V = Vf для любых (возможно, бесконечномерных) У, V1'. Используйте
лемму Цорна. г
в. (**)Можно ли в (б) обойтись без аксиомы выбора?
Задача 5.8 (!). Дана алгебра А с единицей. Докажите, что А можно реализовать как
подалгебру в Maty для некоторого векторного пространства У (возможно, бесконечномерного).
Указание. Возьмите V — А.
Определение 5.3. Алгебра А с единицей над полем называется телом, если А\0 - группа
по умножению. Иначе говоря, алгебра А называется телом, если все ненулевые элементы А
обратимы.
Задача 5.9. Пусть Ш - четырехмерное векторное пространство над IR, с базисом 1,7, J, К.
Докажите, что на Ш существует и единственна такая структура алгебры, что
1. 1 • а — а для любого а G Н,
2. Р = J2 = К2 = -1,
3. I-J=-J-I = K.
Определение 5.4. Алгебра Ш называется алгеброй кватернионов.
Задача 5.10 (!). Рассмотрим отображение "комплексного сопряжения" z —>~z, заданное на
Ш по формуле
а + Ы + cJ + dK —у а — Ы — cJ — dK.
Докажите, что Z\Z2 — ~%2%\-
Задача 5.11. Докажите, что zz — а2 + Ь2 + с2 + <i2, если z = а + Ы + с J + dK.
Задача 5.12 (!). Докажите, что Ш - тело.
Указание. Воспользуйтесь тем же аргументом, который использовался для доказательства
обратимости комплексных чисел.
1Имеется в виду следующее утверждение. Пусть в V задана система подмножеств S, удовлетворяющая
следующим свойствам.
а) Для любого Va G «S, не равного всему У, в S есть подмножество Va> •> которое содержит Va и ему не
равно.
б) Пусть дан набор Sf С S из некоторых подмножеств У, лежащих в 5, таких, что любые Va,Va> G S'
лежат одно в другом: либо Va С Va> •> либо Va> С Va. Тогда объединение всех Vai G Sf тоже лежит в S
Тогда V содержится в S. Лемма Цорна следует из аксиомы выбора.
2

АЛГЕБРА 5: Алгебры над полем
Задача 5.13. Пусть в условии задачи 5.9 равенство I2 — J2 — К2 — — 1 заменили на I2 — — 1,
J2 — К2 — 1, а второе равенство записали в виде I-J-K = —1 Докажите, что опять получится
структура алгебры на IR4 (эта алгебра называется алгеброй пара-кватернионов). Будет
ли она телом?
Задача 5.14 (*). Докажите, что алгебра пара-кватернионов изоморфна Mat(IR2).
Задача 5.15. Докажите, что конечномерная алгебра А с единицей является телом тогда и
только тогда, когда в ней нет делителей нуля.
Алгебры, заданные образующими и соотношениями
Пусть задано векторное пространство У над к. Полилинейная форма (р на V - это
отображение У х У х У х ... —> /с, линейное по каждому аргументу. Мы записываем это в
виде
(р: У ®У ®У (g) ... —У к.
Если (/?, ф - полилинейные г-форма и j-форма, отображение
(р (g) ф : V х V х Ух... —У к,
заданное в виде
((р ® ф)(уиу2,... ,^+j) = 4>{vu... ,Vi)(p(vi+1,.. .,vi+j)
очевидно, тоже полилинейно. Таким образом задается произведение на пространстве
полилинейных форм.
Задача 5.16. Докажите, что прямая сумма ®iM.lV пространств AAlV z-линейных форм
образует алгебру, относительно произведения, определенного выше.
Задача 5.17. Пусть У конечномерно. Докажите, что любой элемент алгебры полилинейных
форм представим в виде линейной комбинации произведений элементов из У* (в такой
ситуации говорят, что алгебра порождена У*).
Определение 5.5. Пусть У, W - векторные пространства над к. Рассмотрим пространство
U — (V X W), свободно порожденное парами векторов v,w £ V,W. Вектора £/,
соответствующие паре v,w, мы будем обозначать за v (g) го. Отфакторизуем U по подпространству,
порожденному следующими элементами:
(Xv) (g) w — X(v (g) го), v (g) (Лгу) — X(v (g) го), Л £ A;
(v + vf) (g) w — v (g) w — vf (g) го, v (g) (го + го') — v (g) го — v (g) го'.
Полученное факторпространство называется тензорным произведением У и W, и
обозначается У (g) ИЛ
Задача 5.18 (!). Докажите, что (У® W)* естественно изоморфно пространству билинейных
форм на (У, W).
Задача 5.19. Найдите размерность У (g) W, если dim У = гг, dimH/ = га. Докажите, что
У (g) W* естественно изоморфно пространству гомоморфизмов из W в У.
3

АЛГЕБРА 5: Алгебры над полем
Задача 5.20 (!). Докажите, что U ® (V ® W) канонически изоморфно (U ® V) ® W.
Замечание. Это утверждение позволяет опускать скобки при записи: мы пишем U®V®W^
подразумевая любую расстановку скобок (они все эквивалентны).
Замечание. Тензорное произведение V с собой г раз обозначается через У®ъ, Построенный
выше изоморфизм ассоциативности позволяет снабдить (J); ^^ ассоциативным умножением
у®г х у®з у у®з+з
Определение 5.6. Свободная (или тензорная) алгебра, порожденная V - это алгебра
Q. V®1 с операцией умножения, заданной Bbinie. Эта алгебра обозначается T{V). Нулевая
компонента T{V) естественно отождествляется с основным полем к. В частности, T{V) -
алгебра с единицей.
Задача 5.21 (!). Пусть V - конечномерное векторное пространство. Докажите, что T{V)
изоморфна алгебре полилинейных форм на У*.
Задача 5.22 (*). Пусть задано линейное отображение из У в некоторую алгебру А.
Докажите, что оно однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр T{V) —> А.
Задача 5.23 (!). Пусть (х{) - базис в V. Докажите, что базис в T{V) задается всеми
мономами вида Х{ХХ{2Х{Ъ
Задача 5.24 (!). Пусть задано пространство V над к ("пространство образующих"). Пусть
также задано подпространство W С T(V) ("пространство соотношений"). Рассмотрим фак-
торпространство T{V) по подпространству T(V)WT(V) , порожденному векторами вида
vwv\ где w G W. Пусть оно ненулевое. Докажите, что на этом факторпространстве
существует естественная структура алгебры с единицей.
Определение 5.7. В условиях предыдущей задачи, пусть Х{ - базис в У, a W{ - базис в W.
Каждое соотношение W{ = 0 можно записать в виде некоммутативного полинома вида
где / пробегает какой-то набор мультииндексов, a G^b...5;n - коэффициенты из поля к. Алгебра
Т(V)IТ(V)WT(V) называется алгеброй, заданной образующими vt и соотношениями
Задача 5.25. Докажите, что любую алгебру с единицей А можно задать образующими и
соотношениями. Докажите, что если А конечномерна, то это можно сделать так, что
пространство образующих V и пространство соотношений W тоже конечномерны.
Указание. Возьмите А — У.
Определение 5.8. Алгебра называется конечно порожденной, если ее можно задать
образующими и соотношениями, как выше, причем пространство образующих V конечномерно.
Алгебра называется конечно представимой, если ее можно задать в таком виде, причем
пространство соотношений W тоже конечномерно.
Задача 5.26. Приведите пример алгебры, которая не конечно представима.
4

АЛГЕБРА 5: Алгебры над полем
Задача 5.27 (*). Всякая ли конечно порожденная алгебра конечно представима?
Задача 5.28. Докажите, что алгебра Mat(IR2) конечно представима.
Задача 5.29. Задайте алгебру полиномов Лорана /c[t,t_1] образующими и соотношениями.
Определение 5.9. Пусть V - векторное пространство с билинейной симметричной формой
д : V ®V —> IR. Рассмотрим алгебру С7(У), порожденную У, и заданную соотношениями
вида
^1 • v2 + v2 • vi = g(vuv2) - 1,
где Vi,v2 пробегает V. Эта алгебра называется алгеброй Клиффорда над основным полем
к.
Задача 5.30. Представьте комплексные числа в виде алгебры Клиффорда над IR.
Задача 5.31. Найдите все алгебры Клиффорда над R для dimV = 1,2.
Задача 5.32 (!). Представьте кватернионы и пара-кватернионы в виде алгебры Клиффорда
над IR.
Задача 5.33 (*). Пусть размерность V равна п. Чему равна размерность Cl{V) как
векторного пространства?
Задача 5.34 (**). Представьте алгебру матриц Mat(IR2 ) в виде алгебры Клиффорда.
5

АЛГЕБРА 6: Алгебра Грассмана и определитель
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
АЛГЕБРА 6: Алгебра Грассмана и определитель
Алгебра Грассмана
Определение 6.1. Алгебра А называется градуированной, если А представлена в виде
А = ®А\ где г пробегает Z, и произведение действует так: Аг • А3 С Al+J. Вместо ®iAl часто
пишут А\ подразумевая все индексы сразу. Некоторые из подпространств Аг могут быть
равны нулю. Единица алгебры (если она есть) всегда лежит в А0.
Задача 6.1. Укажите естественную градуировку на T{V).
Определение 6.2. Подпространство W С А* градуированной алгебры называется
градуированным, или однородным, если W есть прямая сумма компонент вида W1 С Аг.
Задача 6.2 (!). Пусть W С T(V) - градуированное подпространство, Докажите, что
алгебра, заданная пространством соотношений W - градуированная.
Задача 6.3. Пусть V векторное пространство, (х{) - его базис. Рассмотрим
подпространство W С V®V^ порожденное векторами вида х®у — у®х. Докажите, что алгебра полиномов
к[х\,. . ., хп] порождена образующими V и соотношениями W. Опишите естественную
градуировку, унаследованную с T{V).
Определение 6.3. Полученная алгебра называется симметрическая алгебра
пространства У, и обозначается через Sym#(V).
Задача 6.4. Пусть dim У > 1. Существует ли инъективный гомоморфизм алгебр Sym#(V) —>
Определение 6.4. Пусть V - векторное пространство, a W С V ® V - градуированное
подпространство, порожденное векторами вида х®у-\-у®х и векторами вида х ® х.
Градуированная алгебра, заданная пространством образующих V и пространством соотношений W,
называется алгеброй Грассмана, и обозначается как A*(V). Пространство Al(V)
называется г-й внешней степенью пространства У, а умножение в алгебре Грассмана - внешним
умножением. Внешнее умножение обыкновенно записывают как Л.
Замечание. Про элементы грассмановой алгебры можно думать как про
"антикоммутативные полиномы" на V.
Замечание. Грассманова алгебра - частный случай алгебры Клиффорда, определенной в
листке Алгебра 5.
Задача 6.5. Докажите, что KlV изоморфно V.
Задача 6.6. Пусть V конечномерно. Докажите, что Л2(У)* изоморфно пространству
билинейных кососимметричных форм на V.
1

АЛГЕБРА 6: Алгебра Грассмана и определитель
Задача 6.7. Рассмотрим подалгебру A2'(V) С Л#(У), состоящую из линейных комбинаций
векторов четной градуировки. Докажите, что эта подалгебра коммутативна.
Определение 6.5. Вектор A*(V) называется четным, если он лежит в четной компоненте
градуировки, и нечетным, если он лежит в нечетной компоненте. Для четного либо
нечетного ж, определяется число ж, которое называется четностью х. Оно равно нулю для х с
четной градуировкой, и 1 для х с нечетной градуировкой.
Задача 6.8 (!). Докажите, что ху = { — 1)хуух.
Задача 6.9 (*). Найдите все элементы ту £ A2(V) такие, что ту2 — 0.
Задача 6.10 (!). Пусть xi,x2,... - базис в V = АгУ. Обозначим через Х{х Л жг-2 Л хгз Л • • •
произведение этих векторов в A'(V). Докажите, что вектора вида Х{х Л ж;2 Л ж;3 Л • • • , причем
Н < Z2 < гз < ..., задают базис в A'(V).
Задача 6.11 (!). Пусть V - ^/-мерное векторное пространство. Найдите dimA2(V).
Докажите, что AdV одномерно.
Определение 6.6. Пространство AdV называется пространством детерминантных
векторов в V.
Задача 6.12 (!). Пусть V - ^/-мерное векторное пространство, xi, х2,..., х& - его базис, а
det := х\ Л х2 Л х3 • • • Л х& - детерминантный вектор в AdV. Для данной подстановки / =
(zi, z2,. . . , id) рассмотрим вектор /(det) := х^ Лж;2 Лж;3 • • • Лхч. Докажите, что /(det) = ± det.
Докажите, что это соответствие задает гомоморфизм из группы Sn подстановок в {±1}.
Докажите, что этот гомоморфизм отображает произведение нечетного числа транспозиций
в —1, а произведение четного числа транспозиций - в 1.
Определение 6.7. Построенный выше гомоморфизм Sn —> Z/2Z называется знаком
подстановки. По историческим причинам, тут принято использовать аддитивную запись.
Говорят, что подстановка четная, если ее знак равен 0, и нечетная, если ее знак равен 1.
Задача 6.13. Пусть подстановка разложена в произведение циклов:
I = (П,Ь Z2,l • • • Ubl)(&l,2, ^2,2 • • • U2)2) • • •
длин /ci, к2 и так далее. Докажите, что / четная только и только тогда, когда среди всех к{
число четных четно.
Отныне и до конца этого раздела, мы предполагаем, что базовое поле к имеет
характеристику 0.
Определение 6.8. Пусть ту £ V®1 ~ вектор в г-й тензорной степени пространства V.
Рассмотрим естественное действие Si на У®\ Определим Alt (ту) как
AltW:=^E(-ir(/)/^)-
' iest
Эта операция называется альтернированием. Говорят, что вектор ту £ У^г тотально ко-
сосимметричен, если ту = Ак(ту).
2

АЛГЕБРА 6: Алгебра Грассмана и определитель
Задача 6.14. Пусть г] = ^ Ylies- ^Х7/)- Докажите, что /(ту) = т] для любой подстановки / Е S{.
Задача 6.15 (!). Пусть дан тотально кососимметричный вектор ту Е у®\ Докажите, что
/(ту) = ( — 1)а^т] для любой подстановки / £ Si.
Задача 6.16 (!). Докажите, что Alt(Alt(Ty)) = Alt(77) для любой ту.
Задача 6.17. Рассмотрим тензор х^Х{2 • • • Х{к £ V®1. Докажите, что
rWtyX^ Хг'2 . . . Х{к J rWlyX^Xi^ • • • ХцХц — 1 . . . X<l^ J
(во втором выражении Хц переставлен местами с x^_i).
Задача 6.18. Докажите, что отображение х^Х{2 ... Х{к —> Alt^x^x^ ... Х{к) зануляется на всех
тензорах вида awb, где w лежит в пространстве соотношений A*(V). Выведите из этого, что
определено естественное отображение Al(V) —> Rl из Al{V) в пространство тотально косо-
симметричных тензоров.
Задача 6.19 (!). Докажите, что построенное выше естественное отображение Al(V) —> Rl
взаимно однозначно.
Задача 6.20 (!). Мы отождествили Al{V) и пространство тотально кососимметричных
тензоров. Это задает мультипликативную структуру на кососимметричных тензорах.
Докажите, что она устроена следующим образом - берется два тотально кососимметричных тензора
а,/3 £ Г(У), перемножаются в Г(У), затем к ним применяется Alt.
Задача 6.21. Пусть даны алгебры А и В над полем к. Определим мультипликативную
структуру на А ® В следующим образом: a®b-af®bf — aaf ® bbf. Докажите, что такое умножение
задает на А ® В структуру алгебры.
Определение 6.9. Тензорное произведение алгебр А и В - это пространство А® В с
мультипликативной структурой, определенной выше. Если алгебры наделены градуировкой,
градуировка задается на тензорном произведении по формуле [А ® В)п = Q)i+3=nAl ® В3.
Задача 6.22 (!). Пусть Vi, У2 ~ векторные пространства. Докажите, что Sym#(V) изоморфна
(как алгебра) Sym#(Vi) ® Sym#(Vi). Докажите, что A#(Vi ф V2) и A#(Vi) ® А#(У2) изоморфны,
как векторные пространства. Будет ли этот изоморфизм изоморфизмом алгебр?
Задача 6.23. Докажите, что dimA#(V) = 2dimy.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 6.24 (*). Рассмотрим отображение
V®A\V)^Al+\V),
заданное формулой х ® г] \—> х А г/. Зафиксировав г], получаем линейный оператор Lv :
V —> Лг+1(У). Докажите, что для г] ф 0 имеет место неравенство dimker/^ ^ г.
Задача 6.25 (*). Пусть в предыдущей задаче имело место равенство dimkeri^ = г.
Докажите, что в этом случае т\ представляется в виде т\ — х\ Л х2 Л • • • Л Х{ для каких-то векторов
хь...,х% е V.
Задача 6.26 (*). Пусть Р Е Sym*(V*) - симметрическая г-форма на V. Предположим, что
Р(у, v, v,. . .) = 0 для всех v Е V. Может ли Р быть ненулевой?
3

АЛГЕБРА 6: Алгебра Грассмана и определитель
Определитель
Задача 6.27. Пусть дано одномерное векторное пространство V над к. Докажите, что End V
естественно изоморфно к.
Задача 6.28 (!). Пусть заданы линейное пространство V и линейный оператор А £ End(V).
Докажите, что действие А на V = Л1 V продолжается единственным образом до
сохраняющего градуировку гомоморфизма из ЛТ в себя.
Определение 6.10. Пусть заданы ^/-мерное векторное пространство V над к и линейный
оператор А Е End(V). Рассмотрим индуцированный А эндоморфизм пространства детерми-
нантных векторов
detA £ End(Arf(V))
Поскольку Ad(V) одномерно, пространство End(Arf(V)) канонически отождествлено с к. Это
позволяет рассматривать det А как число, т.е. элемент к. Это число называется
определителем, или детерминантом линейного оператора А.
Задача 6.29 (!). Пусть xi,..., х& - набор из d векторов в векторном пространстве V.
Докажите, что их произведение Х\ Л х2 Л . . . в Л#(У) равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы линейно зависимы.
Задача 6.30. Пусть оператор А Е End( V) имеет ненулевое ядро (такой оператор называется
вырожденным). Докажите, что det А = 0.
Задача 6.31. Пусть оператор А Е End(V) обратим (такой оператор называется
невырожденным). Докажите, что det А ф 0.
Задача 6.32 (!). Докажите, что det задает гомоморфизм из группы GL(V) обратимых
матриц в /с*, мультипликативную группу всех ненулевых элементов к.
Задача 6.33 (!). Пусть даны два векторных пространства V и У, а А, А! - их
эндоморфизмы. Тогда А ф А! задает эндоморфизм V ф V1'. Докажите, что det(A ф Af) — det A det А!.
Задача 6.34. Пусть дано конечномерное векторное пространство У, снабженное
положительно определенной билинейной симметричной формой д. Напомним, что эндоморфизм А £
End У называется ортогональным, если он сохраняет д, т.е. для любых ж, у £ V имеем
д(Ах^Ау) = д(х,у). Докажите, что ортогональный оператор всегда обратим. Пусть задан
ортогональный оператор в IR2. Какие значения может принимать det А?
Задача 6.35 (*). Пусть V векторное пространство, снабженное
а. невырожденной билинейной симметричной формой д
б. невырожденной билинейной кососимметричной формой д
в. (**) невырожденной билинейной формой (то есть изоморфизмом д : V —> У*).
Пусть А £ End(y) - линейный оператор, сохраняющий д. В каждом из этих случаев докажите,
что А обратим, и найдите все значения, которые может принимать det А.
4

Алгебра 7: матрицы и определители
Алгебра 7: матрицы и определители
В этом листке предполагается, что все векторные пространства заданы над полем к.
Задача 7.1. Пусть г?15..., vn Е V, i^i,..., wm Е W - базисы в векторных пространствах V
и W. Рассмотрим гомоморфизм е\ из V в И^, переводящий ^ в Wj, все остальные V{ в ноль.
Докажите, что ег- задают базис в пространстве гомоморфизмов Hom(V, W).
Определение 7.1. В условиях предыдущей задачи, пусть задан гомоморфизм 7 Е Hom(V, W).
Запиптем 7 = l)e%j-> l) ^ к. Матрица
d\
\7Г
7.
1\
In)
называется матрицей гомоморфизма 7-
Задача 7.2. Даны гомоморфизмы а Е Нот(£/, У), 6 Е Hom(V, И^). с матрицами (<й), (bf).
Докажите, что композиция а и 6 задается матрицей с^ = ^ • а*&[.
Замечание. Заметим, что формула произведения матриц имеет смысл также и для матриц
с элементами из произвольного кольца.
Задача 7.3. Рассмотрим пространство А квадратных матриц п х п, с умножением А х
А—У А, которое задается по формуле (а*) о (6^) —у S? aj^fc' Докажите7 что это алгебра
с единицей. Докажите, что эта алгебра изоморфна алгебре линейных операторов из кп в кп.
Определение 7.2. Эта алгебра называется алгеброй матриц, обозначается Mat(n).
Единица этой матрицы (диагональная матрица с а] = 1) называется единичной матрицей,
обозначается Id.
Задача 7.4. Пусть дан линейный оператор / Е Hom(V, У), г?15
базис в У, а (Я)
-1 \ г N
матрица /. Пусть задан другой базис v[,...,vfn в У. Докажите, что существует
единственный оператор д, переводящий V{ в ^, и g обратим. Запипгем д, д~1 матрицами (#!•), ((#"
Докажите, что / записывается в базисе v[,. . . , v'n матрицей Щ :— (дгА о (Я) о ((g_1V-).
Определение 7.3. В такой ситуации, говорится, что матрицы (М), (/j) эквивалентны.
Задача 7.5. Найдите все матрицы, эквивалентные eld, где с Е к
Задача 7.6 (!). Пусть E(i,j) - матрица
/о ... О ... 0\
о
\о
о
о
о/
у которой на i^j-м месте стоит 1, а на всех остальных местах - 0. Для каких г, j, г', У, матрицы
E(i,j) и Е(г',У) эквивалентны?
1

Алгебра 7: матрицы и определители
Задача 7.7 (!). Пусть А - матрица, эквивалентная E(i,j). Докажите, что все строки А
пропорциональны. Докажите, что все столбцы А пропорциональны.
Задача 7.8 (*). Докажите, что если все строки и столбцы А пропорциональны, то А
эквивалентна E(i,j).
Определение 7.4. Пусть V - векторное пространство, А Е End(V) - его эндоморфизм (т.е.
гомоморфизм из У в себя), а У* - двойственное пространство. Рассмотрим оператор А* :
У* —> У*, отображающий линейный функционал 7 £ V в функционал А*(7)(^) = ^(А(у))
Оператор А* называется сопряженным оператором для А.
Задача 7.9. Пусть У - конечномерное векторное пространство, У* двойственное
пространство. Постройте естественный изоморфизм между Ak(V)* и Л^(У*).
Замечание. "Естественный" значит: не требующий дополнительного выбора (выбора
базиса, например). В подобной ситуации, естественный изоморфизм Ak(V)* = Ak(V*)
перестановочен с стандартным действием GL(V) на Л^(У)*, Ak(V*). Пространства У и У* изоморфны,
но можно доказать, что не существует С£(У)-инвариантного изоморфизма V ^ V. Иначе
говоря, построить естественный изоморфизм V ^ V нельзя.
Задача 7.10 (!). Пусть У - векторное пространство, А Е End(y) - его эндоморфизм, а А*
- сопряженный оператор к А. Докажите, что det А* = det А
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Определение 7.5. Пусть дана квадратная матрица (А*), а (ВгА получена из (АгА отражением
относительно диагонали: Вг- — А\. Тогда (ВгА называется транспонированной матрицей
для (AM, и обозначается через (А*-)1.
Задача 7.11 (!). Пусть г?15...,г?п, - базис в У, a vl^...^vn - двойственный базис в У* (уг
отображает V{ в 1, все остальные v3 в ноль). Рассмотрим оператор А Е End(y) и его матрицу
(А*). Докажите, что А* задается матрицей (А*)1.
Определение 7.6. Пусть на векторном пространстве У задана невырожденная билинейная
симметрическая форма д. Оператор А Е End(y) называется ортогональным
относительно д (или просто ортогональным) тогда и только тогда, когда g(Av, Av) = д(у, г?), для любого
vev.
Задача 7.12 (!). Докажите, что ортогональный оператор всегда обратим.
Задача 7.13 (!). Пусть А Е End(y) - линейный оператор на векторном пространстве,
наделенном невырожденной билинейной симметрической формой д. Используя д, отождествим У
и У*. Тогда двойственный оператор А* можно рассматривать как эндоморфизм У. Докажите,
что линейный оператор А ортогонален тогда и только тогда, когда А-1 = А*.
Задача 7.14 (!). Докажите, что определитель ортогонального оператора равен ±1.
Определение 7.7. Невырожденная билинейная кососимметрическая форма (см. листок
Алгебра 3) называется симплектической.
2

Алгебра 7: матрицы и определители
Задача 7.15 (*). Пусть V - векторное пространство с заданной на нем симплектической
формой to. Оператор А Е End(V) называется симплектическим, если он сохраняет cj, т.е.,
если lo(Av^Av) — u:(v,v). Докажите, что симплектический оператор всегда имеет
определитель 1.
Задача 7.16 (!). Пусть V двумерное векторное пространство над IR, а А - матрица
а Ъ\
с d I
Рассмотрим матрицу
А'
d Ъ
-с а
Докажите, что АА! — A Id, где А Е к - число, равное А = ad — be. Докажите, что А обратима
тогда и только тогда, когда А ф 0.
Задача 7.17 (!). В условиях предыдущей задачи, докажите, что А равно определителю А.
Задача 7.18. Пусть V - двумерное векторное пространство над Ж с положительно
определенной билинейной симметрической формой, А - ортогональный оператор, и пусть его
матрица записывается в ортогонормированном базисе как
а Ъ
с d
Из задачи 7.14 следует, что det А = ±1.
а. Пусть det А = 1. Докажите, что b = —с, а = <i, и а2 + Ь2 = 1.
б. Пусть det А = —1. Докажите, что b = с, а = —<i, и а2 + Ь2 = 1.
Задача 7.19 (*). Используя предыдущую задачу, опишите группу движений плоскости,
сохраняющих начало координат, в терминах матриц 2 на 2. Докажите, что это диэдральная
группа (см. листок Алгебра 1).
Определение 7.8. Пусть дана матрица (АгА. Мы говорим, что матрица (ВгА получена из
(Alj) преобразованием Гаусса по строкам, если (Bj) = (Аг3) о Е, где Е это матрица
такого вида:
/1
Л
о
1
(7.1)
V
з

Алгебра 7: матрицы и определители
либо такого:
(7.2)
(точками обозначаются нули). Если (Bj) — Е о (А*), где Е такие же, как выше, то говорят,
что (Bj) получена из (Аг3) преобразованием Гаусса по столбцам.
Задача 7.20. Докажите, что преобразования Гаусса по строкам описываются следующими
операциями на матрицах: (Bj) получается из (АгА перестановкой строк, либо добавлением к
г-й строке j-й строки, почленно умноженной на Л. Какими операциями описываются
преобразования Гаусса по столбцам?
Задача 7.21. Докажите, что матрица вида (7.1) имеет определитель -1, а матрица вида (7.2)
имеет определитель 1.
Задача 7.22 (!). Докажите, что преобразования Гаусса вида (7.2) не меняют определитель
матрицы, а преобразования вида (7.1) умножают его на -1.
Определение 7.9. Матрица (АгЛ называется верхнетреугольной, если Аг- — 0 при г < у.
(* * *
О * *
0 0*
0 0 0
0 0 0
\о о о
* * * \
* * *
* * *
* * *
о * *
0 0*
Матрица называется диагональной, если Аг3 — 0 при г ф j.
Задача 7.23 (!). Пусть (АгА - верхнетреугольная матрица п х п. Докажите, что det(A^
равен произведению всех диагональных коэффициентов:
Задача 7.24. а. Докажите, что преобразованиями Гаусса по строкам любую матрицу
можно привести к верхнетреугольному виду.
б. Докажите, что преобразованиями Гаусса по строкам и по столбцам любую матрицу
можно привести к диагональному виду.
Замечание. Поскольку преобразования Гаусса не меняют определителя (с точностью до ±1),
определитель квадратной матрицы можно вычислить, приведя ее к верхнетреугольному виду
и перемножив диагональные коэффициенты.
4

Алгебра 7: матрицы и определители
Задача 7.25 (*). Пусть А - кольцо с алгоритмом Евклида (см. листок Алгебра 2), и пусть
у любого элемента а £ А существует разложение на простые сомножители. Решите задачу
7.24 для матриц с элементами из А.
Указание. Сначала рассмотрите матрицы (а*) размера 1x2, потом по индукции матрицы
размера 1 X п (и тем самым п X 1). Докажите к тому же, что после приведения единственный
оставшийся ненулевой элемент матрицы будет равен НОД(а{,. . . , а1п). Для матрицы
произвольного размера т X п, переставьте сначала строки и столбцы так, чтобы а\ стало
ненулевым. В пункте (б) затем, применяя преобразования по строкам, потом по столбцам, потом
вновь по строкам, и так далее, добейтесь того, что а\ ф 0, и в то же время все остальные
элементы первого столбца и первой строки равны нулю.
Грассманова алгебра и миноры матриц
Задача 7.26 (!). Пусть г?15..., vn - базис векторного пространства У, a v^ Л V{2 Л • • • Л Vik,
Zi < %2 < • • • < ik - соответствующий базис в Ak(V). Рассмотрим матрицу А Е End У, и
пусть A(zi, z2,. . . , ik] &i, ^5 • • • ъ'к) ~ коэффициенты матрицы эндоморфизма, индуцированного
А на Ak(V), в вышеописанном базисе. Докажите, что A(zi, z2,..., z&; г'15 z'2,..., z^) это
определитель матрицы, полученной из А выкидыванием всех строк, кроме н-й, z2-fi, . . . , г^-й, и всех
столбцов, кроме г^-ro, z^-ro, . . . , z^-ro.
Замечание. Такой определитель называется минором матрицы А.
Указание. Взяв композицию А с оператором, который переводит v^ в ?v, сведите задачу к
случаю ц — г\. Докажите, что коэффициенты A(zi, z2,. . ., %к\ &i5 &2> • • • •> ^к) не зависят от строк,
кроме н-й, z2-fi, . . . , u-й, и столбцов, кроме z^-го, z^-ro, . . . , z^-ro, и положите Аг- — 0, если г и
j не принадлежат {zi, z2,. . ., г&}. Это сводит задачу к случаю, когда V = V\ ф У2, а А имеет
вид £?фОу2, где В Е End(Vi), а 0у2 действует нулем на У2. В этой ситуации можно применить
формулу Л*(У) = Л*(Т4) ® Л*(У2), и получить искомое.
Определение 7.10. Пусть А Е End(V) - линейный оператор. Рассмотрим эндоморфизм,
который индуцируется А на Л*(У). Рассмотрим самое большое число TV, для которого этот
эндоморфизм не равен нулю на AN(V). Это число N называется рангом линейного
оператора А (записывается rkA). Если А выражается матрицей (А*), то гкА называется рангом
этой матрицы.
Задача 7.27 (!). Пусть А действует нулем на Ak(V). Докажите, что А действует нулем на
Л*(У), для любого I > к.
Задача 7.28. Докажите, что ранг матрицы - это размер ее самого большого ненулевого
минора.
Задача 7.29. Докажите, что ранг оператора А равен самому большому числу TV, для
которого найдутся такие вектора г?15. . ., ^дг, что А(у\),. . ., А(ун) линейно независимы.
Задача 7.30 (!). Докажите, что ранг оператора А равен размерности его образа.
Задача 7.31. Пусть задана матрица ранга 1. Докажите, что все ее строки пропорциональны.
Докажите, что все ее столбцы пропорциональны.
Задача 7.32. Докажите, что rkА = гкА*.
5

Алгебра 7: матрицы и определители
Указание. Воспользуйтесь задачей 7.9.
Определение 7.11. Билинейная форма ji : V\ (g) V2 —>■ & называется невырожденным
спариванием, если для каждого ненулевого ^ Е V\ найдется такой вектор v[ Е 14, что
/л(^х^х) 7^ 0, м для каждого ненулевобо ^2 Е 14 найдется такой вектор v'2 Е 14, что /i^,^) ф
0.
Задача 7.33. Пусть 14, 14 конечномерны. Докажите, что невырожденное спаривание ji :
14 ® 14 —>к задает изоморфизм между 14 и У2*, и любой изоморфизм между этими
пространствами задается таким образом.
Задача 7.34 (!). Пусть V - n-мерное векторное пространство. Постройте естественный
изоморфизм
Ak(Vy ^ An~k(V) ® det У*
(через det У обозначается одномерное пространство An(V)).
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 7.35. Пусть V - n-мерное векторное пространство с базисом г?15 ^2,..., г?п, и дано
А Е End У. Рассмотрим базис w\, w2,..., wn в ЛП_1(У), где wj- = ^х Л v2 Л ... ^-i Л v^+i Л
. . . (перемножаются все ^-, кроме одного). Запишем А матрицей (А*), и пусть Аг- - минор,
полученный из А выкидыванием г-й строки и j-ro столбца. Докажите, что А действует на
ЛП_1(У) матрицей (А)).
Задача 7.36. В условиях предыдущей задачи, рассмотрим невырожденное билинейное
спаривание
У^Л"-1^)—> det У,
заданное формулой v(g)W —> vf\w. Выберем изоморфизм к = det У таким образом, что г^Л^Л
• • • Avn переходит в 1. Это задает невырожденное спаривание между У и ЛП_1(У). Докажите,
что базис в ЛП_1(У), двойственный к г?х, ^2,. . . , г?п, равен г^х, — го2, г^з, —г^,.... Докажите, что
в этом базисе А действует на ЛП_1(У) матрицей (( — l)lJr3 А1-).
Задача 7.37. Пусть /и : V®Vf —> к - невырожденное билинейное спаривание, а А Е End У и
В Е End V - такие эндоморфизмы, что /л(Аг?, £??/) = /i(v, ?/) для любых г?, г/ Е V, У'. Выберем
двойственные базисы в У, У', и пусть (а*-) и (/??•) - их матрицы. Докажите, что (а^о^.)1- = Id.
Задача 7.38 (!). Пусть А Е End У, где У - n-мерное векторное пространство с базисом
г?х, ^25 • • • 5 vn5 а (^?) ~~ матрица оператора А. Докажите, что А обратим тогда и только тогда,
когда det А ф 0. Докажите, что
Указание. Докажите, что для естественного спаривания
V®An-\V) -A det У,
мы имеем ji(A(v)^ A(w)) — det Aji(v: w), где A(w) обозначает естественное действие А на
ЛП_1(У). Затем воспользуйтесь предыдущей задачей для {А1-) — (о^-), -^д(( — \)гАг-) — (/J*)1.
6

Алгебра 7: матрицы и определители
Замечание. Мы получили хорошо известную формулу вычисления обратной матрицы
через миноры. Геометрический смысл этой формулы можно объяснить так - миноры матрицы
суть (по определению) матричные коэффициенты действия этой матрицы на ЛП_1(У), а
естественное спаривание между V и ЛП_1(У) при действии А умножается на det А, что позволяет
вычислить А~1 через det А и А.
Вычисление определителя
Задача 7.39 (!). Пусть (АгА - матрица линейного оператора А. Докажите, что det А равен
aeSn
sgu((j)Al A2 ...Апа
где (o"i, сг2,. . . , стп) G Sn - перестановка, суммирование происходит по группе всех
перестановок, a sgn - снак перестановки а.
Указание. Воспользуйтесь явной формой тензора v\ Av2 Л • • • f\vn: который выписан в листке
Алгебра 6 через суммирование по группе Sn.
Замечание. Обыкновенно детерминант определяют посредством этой формулы.
Задача 7.40. Пусть {А1-) матрица линейного оператора А. Докажите, что det А может быть
вычислен как
^4-1^-1 — ^2^2 + АзАз • • •
где А1- - миноры, полученные выкидыванием г-й строки и j-vo столбца.
Замечание. Эта процедура называется разложением определителя по столбцам.
Задача 7.41 (*). (определитель Вандермонда) Рассмотрим матрицу
/ 1 1 1 ... 1 \
t2
t2
L2
t2
V
n — 1 j.n — 1 j.n — 1
t2
*Г7
n > 1. Докажите, что ее определитель равен Пг<7(А' — А?)-
Задача 7.42 (*). Рассмотрим матрицу
t2
t4
Х\
х2 х3
4
V2
У
и обозначим ее детерминант через Pn(t, Xi, ...хп). Пусть основное поле равно Z/2Z. Докажи
те, что Pn(t, х\
линейную комбинацию Х{. Выведите из теоремы Безу, что
,. . . ,хп) обращается в ноль, если взять в качестве t = Ylaixi произвольную
Pn(t, хь . . . , хп) = Q(xu . . ., хп) JJ(t
где OL{ G Z/2Z, a Q G Z/2Z[xi,..., xn] есть некий полином.
У (%iXi ) •)
7

Алгебра 7: матрицы и определители
Указание. Разделите Рп в столбик на t — ^2aixi- Если получится не ноль, то и при
подстановке в P(t) значения t = Y2aixi тоже будет не ноль.
Задача 7.43 (*). Докажите, что в условиях предыдущей задачи Q = Pn_i(xn).
Задача 7.44 (*). Выведите из предыдущей задачи, что Q(#i,..., хп) ф 0.
Задача 7.45 (*). (теорема Диксона) Рассмотрим полином
Fn{t) = Y[(t - J2 а«ж0G z/2Z^b ...,xn].
Докажите, что
n-l
Fn(t) = t2n + Y,Cn,tt2\
i=0
где cn^ G Z/2Z[xi,..., xn] - полиномы от xi,..., xn.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей и задачей 7.42.
Замечание. Полиномы сп?г- G Z/2Z[xi,..., хп] называются инвариантами Диксона.
Задача 7.46 (*). Рассмотрим коэффициенты Qr (равные, по теореме Диксона, сп^)
полинома Fn(t) как элементы симметрической алгебры £*(У), где V - векторное пространство
над полем Z/2Z с базисом Xi,. . . , хп. Рассмотрим действие группы GL(V) обратимых
линейных операторов на У, и продолжим его естественным образом (по мультипликативности) на
симметрическую алгебру. Докажите, что Qr инвариантен относительно GL{V):
Qr(x1,x2,... ,xn) = Qr(h(x1),h(x2),. • • ,h(xn))
где h G GL{V) - любой обратимый эндоморфизм.
Замечание. Рассмотрим в кольце полиномов S*(V) подкольцо С£(У)-инвариантных
полиномов. Диксон (1911) доказал, что это кольцо есть кольцо полиномов от образующих сп^.
Подробности см. в статье
A PRIMER ON THE DICKSON INVARIANTS, Contemporary Mathematics 19 (1983),
421-434. http://www.math.purdue.edu/^ wilker/papers/dickson.pdf
8

Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический
полином
Характеристический полином
Определение 8.1. Пусть А £ End У - линейный оператор на векторном пространстве V.
Пусть задан такой вектор v £ V, что А(у) — \v. Тогда v называется собственным
вектором, а Л - собственным значением оператора А.
Задача 8.1. Пусть V - двумерное векторное пространство над IR, снабженное
невырожденной билинейной симметрической формой g, а А £ End V - ортогональный автоморфизм,
который не равен ±Ы. Докажите, что если д положительно или отрицательно определена
(такие нормы называются знакоопределенными), то А не имеет собственных векторов.
Докажите, что если д не знакоопределена, то у А есть два линейно независимых собственных
вектора. Какие собственные значения могут быть у А в таком случае?
Задача 8.2. Рассмотрим множество дробей вида ^44, где Р, Q - многочлены над к, и Q ф 0.
Рассмотрим отношение эквивалентности, порожденное -Л4 ~ оил-> если
P(t) = Z(t)P'(t), Q(t) = Z(t)Q'(t)
Определим сложение и умножение на классах эквивалентности обычным способом:
P(t) P'(t) = P(t)Q'(t) + P'(t)Q(t) P(t) P'(t) = P(t)P'(t))
Q(t) Q'(t) Q(t)Q'(t) ' Q(t)Q'(t) Q(t)Q'(t)
Докажите, что получится поле.
Определение 8.2. Это поле называется полем рациональных функций от одного
переменного, или просто полем рациональных функций, и обозначается kit).
Задача 8.3. Докажите, что это поле не алгебраично над к.
Задача 8.4. Пусть дано n-мерное векторное пространство V над к, а К D к - другое поле.
Рассмотрим тензорное произведение К ®& V•> снабженное естественным действием
мультипликативной группы А"*. Докажите, что это будет линейное пространство. Докажите, что
это линейное пространство конечномерно над К, если V конечномерно над к. Найдите
размерность К ®k У над К, если известна размерность V над к.
Пусть даны векторное пространство V над к и линейный оператор А £ End V в нем. Тен-
зорно домножая V над k(t) над к, мы получим векторное пространство V®kk(t). Действие А
естественно продолжается до линейного оператора на V ® k(t). Злоупотребляя
обозначениями, мы будем обозначать соответствующий линейный оператор А £ End/^^V ®& k(t)) через
А.
1

Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином
Задача 8.5 (!). Пусть А £ End V - линейный оператор на n-мерном векторном пространстве
V над /с, a det(t • Id — А) £ k(t) - определитель оператора t • Id — А, действующего на V®kk(t).
Докажите, что это полином над к степени п, со старшим коэффициентом 1.
Определение 8.3. Этот полином называется характеристическим полиномом
оператора А и обозначается Chpoly^(t).
Задача 8.6 (!). Пусть Л - корень характеристического полинома А. Докажите, что он
является собственным значением А. Докажите, что все собственные значения А являются корнями
ChpolyA(t).
Указание. Оператор Xld — А имеет ядро тогда и только тогда, когда Л - корень Chpoly^(t).
Задача 8.7. Пусть г?15...,г?п - собственные векторы с попарно различными собственными
значениями. Докажите, что они линейно независимы.
Задача 8.8. Пусть А £ End У - линейный оператор на n-мерном векторном пространстве.
Предположим, что у характеристического полинома п корней, причем все разные. Докажите,
что А диагонализуем, иначе говоря, представляется диагональной матрицей в некотором
базисе.
Задача 8.9 (*). Пусть V - конечномерное векторное пространство над С. Рассмотрим
множество всех линейных операторов над V как векторное пространство с естественной
топологией на нем. Докажите, что диагонализуемые операторы плотны в End V. Докажите, что
недиагонализуемые операторы нигде не плотны.
Задача 8.10 (!). Докажите, что Chpoly^(t) = С\\ро\уBAB-i{t) для любого обратимого
линейного оператора В.
Определение 8.4. Пусть А £ End V - линейный оператор на n-мерном векторном
пространстве, a Chpoly^(t) = tn + an_itn_1 + an_2tn~2 + . . . - его характеристический полином.
Коэффициент an_i называется следом А и обозначается tr А.
Задача 8.11 (!). Пусть А задан матрицей А1-. Докажите, что tr А = ^ А\ (сумме всех чисел
на диагонали матрицы).
Задача 8.12 (*). Докажите, что tr АВ — tr В А, для любых линейных операторов А, В.
Замечание. Если В обратим, это следует из 8.10.
Задача 8.13. Пусть V - конечномерное линейное пространство. Рассмотрим гомоморфизм
V ® У* —> Нот(У, У), переводящий и®АеУ®У*в?/ —> A(V) ® v £ Нот(У, V). Докажите,
что это изоморфизм.
Задача 8.14 (*). Пусть А £ End У - линейный оператор на конечномерном векторном
пространстве, а А® А* - индуцированный А оператор на V® V*. Рассмотрим тензор Id £ V® V*,
соответствующий тождественному оператору при изоморфизме Hom(V, V) = V (g) V"*, и
естественное спаривание У ® У* —> к. Докажите, что tr А = ji(A ® A*(ld)).
Верхнетреугольные матрицы
2

Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином
Задача 8.15. Пусть V С V - /с-мерное подпространство в векторном пространстве, а А Е
End V - оператор, сохраняющий V (то есть переводящий V в себя). Выберем базис ei,. . ., еп
в V таким образом, что ei,. . . , е& Е V. Докажите, что А в этом базисе имеет вид
/* * * ... * * *\
0 0 0...***
\о о о ... * * */
(нижний левый прямоугольник к X {п — к) заполнен нулями, остальные коэффициенты
произвольные).
Определение 8.5. Пусть дано n-мерное векторное пространство V. Последовательность
подпространств Q — Vo d V\ d V2 d • • • d Vn — V называется флагом (или полным
флагом), если dim V = i. Базис ei,..., еп называется согласованным с флагом, если ег- Е V.
Мы говорим, что линейный оператор А Е End У сохраняет флаг {К'}5 если A{Vi) С V.
Задача 8.16 (!). Пусть Q — Vo dV\ dV2 d • • • dVn — V - флаг в У, ei,..., еп -
согласованный с ним базис, а А Е End У - линейный оператор. Докажите, что А сохраняет некоторый
флаг {Vi} тогда и только тогда, когда А представляется верхнетреугольной матрицей в
базисе ei,. . ., еп.
Задача 8.17 (!). Пусть V - векторное пространство над алгебраически замкнутым полем.
Докажите, что А Е End V сохраняет флаг 0 = Vo С Vi С V} С • • • С Vn = V (а, следовательно,
представляется верхнетреугольной матрицей в каком-то базисе).
Указание. Возьмите в качестве V\ любой собственный вектор, а затем примените индукцию.
Задача 8.18 (*). Пусть задан обратимый линейный оператор А Е End У на n-мерном
пространстве, у которого есть п попарно различных собственных значений. Рассмотрим
подалгебру Ra в End У, порожденную А. Докажите, что dim Ra = п.
Указание. Воспользуйтесь определителем Вандермонда.
Задача 8.19 (*). Пусть задано два коммутирующих линейных оператора. Докажите, что
они представляются верхнетреугольными матрицами в одном и том же базисе ei,. . ., еп.
Задача 8.20 (*). Пусть задано / штук попарно коммутирующих линейных операторов.
Докажите, что они представляются верхнетреугольными матрицами в одном и том же базисе
Симметрические и кососимметрические матрицы
Определение 8.6. Матрица называется симметричной, если она равна своей
транспонированной: А — А1. Матрица называется кососимметричной, или антисимметричной,
если А = —AL.
3

Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином
Определение 8.7. Пусть V - векторное пространство, снабженное невырожденной
билинейной симметрической формой g, а А £ End У - линейный оператор. Оператор А называется
симметрическим, если для любых ж, у £ У имеем д(Ах, у) = g(x, Ау), и кососимметриче-
ским, если имеем д(Ах^у) = —д(х^Ау).
Определение 8.8. Пусть V - векторное пространство, снабженное невырожденной
билинейной симметрической формой д. Напомним, что базис ei,. . ., еп £ У называется ортонорми-
рованным, если разные ег- попарно ортогональны, а д(ег-,ег-) = 1.
Задача 8.21. Пусть V - векторное пространство, снабженное билинейной симметрической
невырожденной формой g, a ei,...,en - ортонормированный базис. Рассмотрим линейный
оператор А £ End У. Докажите, что А симметрический тогда и только тогда, когда его
матрица симметричная, и кососимметрический тогда и только тогда, когда его матрица
анти-симметричная.
Задача 8.22. Пусть V - конечномерное векторное пространство, снабженное билинейной
невырожденной формой д. Докажите, что любая билинейная форма получается как д(Ах^у)
для какого-то линейного оператора А, и такой оператор единственный.
Замечание. В условиях предыдущей задачи, положим, что д симметрическая. Очевидно,
форма д(Ах^у) симметрическая тогда и только тогда, когда А симметрический, и кососим-
метрическая, тогда и только тогда, когда А кососимметрический.
Задача 8.23. Пусть V - конечномерное векторное пространство. Пространство билинейных
форм естественно изоморфно У* ® У*, а пространство End У естественно изоморфно V ®V*.
Форма д устанавливает изоморфизм между У и У*. Это дает изоморфизм между У* ® У* и
V ®V*^ т.е. между билинейными формами и линейными операторами. Докажите, что этот
изоморфизм совпадает с построенным в задаче 8.22.
Задача 8.24 (!). Пусть У - конечномерное векторное пространство, снабженное
невырожденной билинейной симметрической формой g, а А - симметрический оператор.
Предположим, что А сохраняет подпространство V С У. Докажите, что А сохраняет ортогональное
дополнение к V1'.
Определение 8.9. Пусть У - векторное пространство над IR, а У ® С его тензорное
произведение с С. Поскольку С = R ф у/—1 IR, имеет место изоморфизм У ® С = У ф у/—1 У. Это
значит, что любого вектора v £ У ®С можно рассмотреть вещественную и мнимую часть
Re г?, lm v.
Задача 8.25. Пусть У - векторное пространство над IR, снабженное билинейной
симметрической формой д. Рассмотрим комплексное векторное пространство У®С, и продолжим д на
У®С по линейности до билинейной комплекснозначной формы. Для любого вектора v £ У®С
обозначим через v вектор Re(^) — у/—1 1т(г?) (такой вектор называется комплексно
сопряженным к v). Докажите, что g(v,v) = g(Re(i?), Re(i?)) + g(Im(v), 1т(г?)).
Задача 8.26 (!). Пусть У - конечномерное векторное пространство над Ж размерности п,
снабженное положительно определенной билинейной симметрической формой д (такое
пространство называется евклидовым), пусть А - симметрический оператор, a P(t) - его
характеристический полином. Докажите, что у P(t) ровно п вещественных корней.
4

Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином
Указание. Рассмотрим действие А на V ® С, и пусть v - собственный вектор,
соответствующий невещественному собственному значению. Докажите, что g(y,v) — 0. Воспользуйтесь
задачей 8.25.
Задача 8.27 (!). Пусть V - евклидово пространство, а А Е V - симметрическый оператор.
Докажите, что у V есть ортогональный базис из собственных векторов А. Другими словами,
А диагонализуем в некотором ортонормированном базисе.
Указание. Воспользуйтесь задачами 8.26 и 8.24.
Задача 8.28 (*). Пусть V - конечномерное векторное пространство над IR, снабженное
невырожденной, но не обязательно положительно определенной билинейной симметрической
формой. Любой ли симметрический оператор диагонализуем?
Задача 8.29 (*). Пусть V - евклидово пространство, а А Е V - кососимметрическый
оператор. Обозначим через to кососимметричную форму д(А-, •). Пусть v - собственный вектор
оператора А2 (с ненулевым собственным значением). Докажите, что to невырождена на
линейной оболочке (v,A(y)).
Задача 8.30 (*). В условиях предыдущей задачи, докажите, что в некотором
ортонормированном базисе ei,. . ., е2ш, e2m+i,. . . , еп to записывается в виде
т — 1
i=0
Задача 8.31 (*). Пусть А - кососимметрический оператор, заданный в евклидовом
пространстве, a det А - его определитель. Рассмотрим det А как полином от матричных
коэффициентов А (в некотором базисе). Докажите, что в нечетномерном пространстве У, этот
определитель равен тождественно нулю. Докажите, что det А - полный квадрат другого
полинома от матричных коэффициентов. Этот полином называется пфаффиан А.
Указание. Пусть 2т = dim У. Запишем билинейную форму to как выше. Докажите, что
iom (взятая как элемент грассмановой алгебры Л*(У*)) пропорциональна е1 Л е2 Л • • • Л е2т с
полиномиальным коэффициентом Q, причем Q2 = det А.
5

Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты
Определение 9.1. Пусть дана коммутативная R алгебра с единицей над полем к. Говорят,
что R артиново кольцо над полем к, если R конечномерна как векторное пространство.
Задача 9.1. Пусть дан линейный оператор А Е End У. Рассмотрим подалгебру в End У,
порожденную к и А. Докажите, что это артиново кольцо над к.
Определение 9.2. Элемент г Е R в алгебре (или кольце) R называется нильпотентным,
если гк — О, для какого-то к Е N.
Задача 9.2. Пусть г, г' - нильпотентные элементы в артиновом кольце над полем. Докажите,
что любая линейная комбинация г, т' нильпотентна.
Задача 9.3. Пусть г, г' - нильпотентные элементы в алгебре Mat(V). Всегда ли г + г' ниль-
потентен?
Замечание. Нильпотентный элемент в алгебре матриц называется нильпотентным
оператором.
Задача 9.4. Пусть дан нильпотентный оператор А Е End У. Докажите, что в V есть такая
цепочка подпространств V D У\ D V2 D • • • D Ук — О, что A{Vi) — Vi+\
Задача 9.5 (!). Пусть дан нильпотентный оператор А Е End У. Докажите, что в некотором
базисе А выглядит так:
/О **...** *\
0 0*
0 0 0
0 0 0
0 0 0
\о о о
* * *
* * *
о * *
о о *
0 0 0/
(т.е. как верхнетреугольная матрица с нулями на диагонали). Докажите, что любая матрица
такого вида нильпотентна.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 9.6 (!). Пусть А Е End У-нильпотентный оператор. Докажите, что tr(A) = det(A) =
0, a ChpolyA(t) = tdimy.
Определение 9.3. Пусть R - кольцо. Подмножество m С R называется идеалом, если
следующие свойства выполняются.
(i) m замкнуто относительно сложения (т.е. сумма элементов из m принадлежит т)
(и) Для любого m Е т, а Е i?, произведение am лежит в R.
1

Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты
Задача 9.7. Пусть дан гомоморфизм колец R —> R!. Докажите, что ядро этого
гомоморфизма - идеал.
Задача 9.8. Пусть дан сюръективный гомоморфизм / : R\ —>■ R2 алгебр над полем /с, причем
Ri - поле. Докажите, что либо R2 = 0, либо / - изоморфизм.
Задача 9.9. Дан идеал m С R. Рассмотрим фактор i?/m, то есть множество смежных
классов вида г + т. Постройте на R/m естественную структуру кольца.
Определение 9.4. Кольцо R/m называется факторкольцом кольца R. Идеал называется
простым, если соотвествующее факторкольцо ненулевое и не имеет делителей нуля, и
максимальным, если оно, кроме того, поле.
Задача 9.10. Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце максимален.
Задача 9.11 (*). Опишите все максимальные идеалы в кольце полиномов k[t].
Задача 9.12. Рассмотрим множество всех нильпотентных элементов в кольце R. Докажите,
что это идеал.
Определение 9.5. Этот идеал называется нильрадикалом кольца R.
Задача 9.13 (!). Рассмотрим фактор кольца R/xx по его нильрадикалу. Докажите, что в R/xx
нет ненулевых нильпотентов.
Задача 9.14. Пусть дан идеал в артиновом кольце, не совпадающий со всем кольцом.
Докажите, что он содержится в максимальном.
Задача 9.15 (*). Пусть дан идеал в кольце (не обязательно артиновом), не совпадающий со
всем кольцом. Докажите, что он содержится в максимальном.
Указание. Используйте лемму Цорна.
Определение 9.6. Артиново кольцо R называется полупростым, если в нем нет ненулевых
нильпотентов.
Определение 9.7. Пусть i?i,...,i?n - алгебры над полем. Возьмем прямую сумму ®i?;, с
естественным (почленным) умножением и сложением. Получившаяся алгебра называется
прямой суммой R^ обозначается ®i?;.
Задача 9.16. Докажите, что прямая сумма полупростых артиновых колец полупроста.
Задача 9.17. Пусть v - элемент конечномерной алгебры R над к. Рассмотрим
подпространство i?, порожденное 1, г?, г;2, г;3,. . . (для всех степеней v). Пусть оно гг-мерно. Докажите, что
Р(у) — 0 для некоторого полинома Р — tn+1 + antn + . . . с коэффициентами из к. Докажите,
что такой полином единственен.
Определение 9.8. Этот полином называется минимальным полиномом элемента v и
обозначается Minpoly(^).
Задача 9.18. Пусть v £ R - элемент артинового кольца над /с, a P(t) - его минимальный
полином. Рассмотрим подалгебру Rv: порожденную v и к. Докажите, что Rv изоморфно кольцу
k[t]/Р остатков по модулю Р.
2

Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты
Определение 9.9. Пусть v £ R - такой элемент алгебры i?, что v2 — v. Тогда v называется
идемпотентом.
Задача 9.19. Пусть е £ R - идемпотент в кольце. Докажите, что 1-е тоже идемпотент.
Докажите, что произведение идемпотентов - идемпотент.
Задача 9.20. Пусть е £ R - идемпотент в кольце. Рассмотрим пространство eR С R (образ
умножения на е). Докажите, что eR - подалгебра в й, е- единичный элемент в ei?, и R —
eR®{l-e)R.
Задача 9.21 (!). Пусть R — k(t)/P, где Р - полином, который разлагается в произведение
попарно взаимно простых полиномов, Р = PiP2 . . . Рп. Докажите, что в R есть т
идемпотентов ei,. . ., еп С i?, причем e{R = k[t\/ Р{.
Указание. Найдите многочлены Q(t), Q'{t), такие, что QP\ + QfP\P^...Pn — 1. Напишем
е — QfPiPs . . . Рп. Докажите, что е2 = е( mod Р), и eP\(t) — 0( mod Р). Выведите из этого,
что k[z]/Pi(z) = eR, причем изоморфизм задается соответствием z \—> et.
Задача 9.22. Пусть R - полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов.
Докажите, что это поле.
Указание. Пусть R - не поле. Рассмотрите подалгебру к(х) С i?, порожденную
необратимым элементом х £ i?, и примените к ней утверждение предыдущей задачи.
Определение 9.10. Говорят, что два идемпотента ei,e2 £ R в коммутативной алгебре R
ортогональны, если е^е2 — 0.
Задача 9.23. Пусть ei, е2, е3 £ R - идемпотенты в артиновом кольце R над полем к, причем
^1 = е2 + е3, а е2 и е3 ортогональны. Докажите, что е2, е3 £ eii? и eii? = e2R ф e3i?.
Задача 9.24. Пусть char/с ^ 2. Предположим, что ei, е2, е3 - идемпотенты в артиновом
кольце R над к, и е\ — е2 + е3. Докажите, что е2 и е3 ортогональны.
Определение 9.11. Пусть R - артиново кольцо над полем к, Идемпотент е в R называется
неразложимым, если нельзя найти такие ненулевые ортогональные идемпотенты е2, е3, что
ег = е2 + е3.
Задача 9.25 (!). Пусть R полупростое артиново кольцо, а е - неразложимый идемпотент.
Докажите, что eR - поле.
Задача 9.26 (!). Пусть R - полупростое артиново кольцо над полем к. Докажите, что 1
разлагается в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов: 1 = ^е«- Докажите, что
это разложение единственно.
Указание. Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент е £ i?, разложите R =
eR® (1 — e)i?, и воспользуйтесь индукцией. Для единственности, перемножьте два возможных
разложения 1.
Задача 9.27 (!). Пусть R - полупростое артиново кольцо над полем к, Докажите, что R
изоморфно прямой сумме полей.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
3

Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты
Задача 9.28 (!). Пусть Ri —> R2 - сюръективный гомоморфизм артиновых колец, причем
Ri полупросто и тем самым разложено в прямую сумму полей по какому-то множеству
индексов /, Ri = Q)iejKi. Докажите, что R2 = фг-е//А^, где Г - некоторое подмножество /, а ф
- естественная проекция (т.е. ф действует тождественно на А^-, i £ /', и равно нулю на А^-,
г i Г).
Указание. Разложите 1 Е R\ в сумму неразложимых идемпотентов ег-, г Е /, докажите, что
/ : eiR —> f(ei)R2 сюръективен для всех г Е /, и примените задачу 9.8.
Задача 9.29 (*). Пусть R — k[t]/Р, а у полинома Р есть кратные корни над алгебраическим
замыканием к. Может ли R быть полупросто? Разберите случаи char/с = 0, char/с ф 0.
Задача 9.30 (*). Пусть R - полупростое артиново кольцо над полем /с, а 1 = е\ + • • • + еп -
разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов. Докажите, что у R есть
ровно п простых идеалов. Опишите эти идеалы в терминах ег-.
Задача 9.31 (*). Пусть дано артиново кольцо R над полем к (любой характеристики).
Докажите, что пересечение всех простых идеалов R - это нильрадикал R.
Определение 9.12. Пусть R - алгебра над полем /с, а д - билинейная форма на R. Форма д
называется инвариантной, если g(x,yz) — g(xy^z) для любых ж, у, z.
Задача 9.32. Пусть R - артиново кольцо, снабженное билинейной инвариантной формой, а
m - идеал в R. Докажите, что гп1 - тоже идеал.
Задача 9.33 (*). Найдите артиново кольцо, не допускающее невырожденной инвариантной
билинейной формы.
Задача 9.34 (!). Пусть R - артиново кольцо над полем к. Рассмотрим билинейную форму
a, b—> tr(ab), где tr(ab) - след эндоморфизма Ьаь G End i?, х ьА аЪх. Докажите, что если
форма невырождена, то R полупросто. Докажите, что если R полупросто, а char/с = 0, то
форма невырождена.
Указание. В одну сторону, воспользуйтесь задачей 9.6. В другую сторону, рассмотрите
сначала ситуацию когда R - поле.
Задача 9.35. Пусть У, Vf - векторные пространства над /с, снабженные билинейными
формами д, д1'. Определим на V ® V билинейную форму д ® д', исходя из
д ® g\v (g) v\ w (g) wf) — g(v, w)gf(v\ wf)
Докажите, что это определение корректно, и единственным образом задает билинейную
форму на V ® V'.
Задача 9.36. Пусть i?, R' - коммутативные алгебры над к. Рассмотрим тензорное
произведение R ® R1'. Введем на R ® R' мультипликативную структуру, исходя из v ® vf • w ® w =
vw ® v'w'. Докажите, что это корректно и единственным образом задает структуру кольца
на R ® R'.
Задача 9.37. Опишите алгебру С ®м С.
Задача 9.38. Опишите алгебру Q[y/—Т] ®qQ[^/^T].
4

Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты
Задача 9.39 (!). Пусть P(t) и Q{t) - полиномы над полем к. Обозначим К\ — k[t]/P(t) и
К2 = k[t]/Q(t). Докажите, что К\ ® К2 = Ki[t]/Q(t) = K2[t]/P(t).
Задача 9.40 (*). Пусть i?, R! - артиновы кольца над k, char А; = 0. Обозначим естественные
билинейные формы a, b—> tr(ab) на них через д, д'. Рассмотрим тензорное произведение
R ® R! с естественной структурой артиновой алгебры. Рассмотрим форму д ® gf на R ® R1'.
Докажите, что д ® gf равна форме а, Ъ —> tr(ab).
Задача 9.41 (*). Докажите, что тензорное произведение полупростых артиновых колец над
полем к характеристики 0 полупросто.
Указание. Воспользуйтесь задачей 9.34.
Задача 9.42 (*). Найдите такие два поля К\, К2, алгебраических над Q и не равных Q, что
К\ ®q К2 - тоже поле.
Задача 9.43 (*). Пусть P(t) G Q[t] - многочлен, у которого нет рациональных корней, но
есть ровно г вещественных и ровно 2s комплексных, но не вещественных. Докажите, что
S г
Задача 9.44 (*). Пусть P(t) - неприводимый многочлен над Q, у которого нет
вещественных корней, а v £ Q[t]/P - любой элемент, не лежащий в Q С Q[t]/P. Докажите, что у
минимального полинома элемента v нет вещественных корней.
5

Алгебра 10: нормальные подгруппы и представления
Алгебра 10: нормальные подгруппы и представления
10.1. Нормальные подгруппы
Определение 10.1. Пусть G - группа, а ж, у - ее элементы. Обозначим через ху элемент
вида уху-1. Подгруппа G\ С G называется нормальной, если для любых х £ Gi, у £ G
имеем ху £ G\.
Задача 10.1. Центром группы G (обозначается Z(G)) называется множество всех
элементов х £ G, коммутирующих со всеми элементами С Докажите, что Z(G) С G - нормальная
подгруппа.
Задача 10.2. Пусть G\ С G - подгруппа. Левыми смежными классами по подгруппе G\
называются подмножества вида G\ • х С G, где х пробегает все G. Правыми смежными
классами называются подмножества вида x-G\ С G. Докажите, что правые (левые) смежные
классы либо пересекаются, либо совпадают. Докажите, что правые смежные классы являются
левыми (и наоборот) тогда и только тогда, когда G\ - нормальная подгруппа.
Задача 10.3. Пусть G\ С G - нормальная подгруппа, a 5i, ^ - смежные классы по ней.
Выберем х £ 5\, у £ £2. Докажите, что смежный класс произведения ху не зависит от выбора
ж, у в Si,^. Докажите, что таким образом определенное произведение задает структуру
группы на множестве G2 смежных классов по G\.
Определение 10.2. В такой ситуации говорят, что G2 - факторгруппа G по G\ (это
записывается G2 = G/Gi), aG- расширение G2 с помощью G\. Расширение групп
записывается так: 1 —> G\ —> G —> G2 —> 1.
Задача 10.4. Пусть G —> Gf - гомоморфизм групп. Докажите, что ядро (р (т.е.
подмножество элементов, которые переходят в \qi) - нормальная подгруппа в G.
Задача 10.5. Пусть G —> Gf - сюрьективный гомоморфизм групп. Докажите, что G' =
GI ker (/?, где ker (р - ядро (р.
Задача 10.6. Рассмотрим множество Aut(G) автоморфизмов группы G, с операцией
композиции. Докажите, что это группа. Докажите, что сопоставление (ру{х) \—> ху задает
гомоморфизм G —> Aut(G).
Определение 10.3. Пусть G,G' - группы, причем задан гомоморфизм
G—> Aut(G').
В такой ситуации говорят, что G действует на G' автоморфизмами. Автоморфизмы вида
х —У ху называются внутренними.
Задача 10.7. Найдите группу Aut(G) для G = Ъ/рЪ (р простое).
Задача 10.8 (*). Найдите группу Aut(G) для G — Z/nZ {п любое).
Задача 10.9. Пусть задан гомоморфизм G2 —> Aut(Gi). Определим на множестве пар
(91^92) следующую операцию: (gi,g2) * {hi,h2) = (^1^(^2^1)7#2^2)- Докажите, что получится
группа.
1

Алгебра 10: нормальные подгруппы и представления
Определение 10.4. Эта группа называется скрученным произведением G\ и G2 и
обозначается G\ XI Сг2-
Задача 10.10. В условиях предыдущей задачи докажите, что (Gi,l) задает нормальную
подгруппу вС, а фактор по этой подгруппе изоморфен G2-
Задача 10.11. Опишите группу Ss как скрученное произведение двух нетривиальных абе-
левых групп.
Задача 10.12 (!). Опишите диэдральную группу как скрученное произведение двух
нетривиальных абелевых групп.
Задача 10.13 (*). Групппй Клейна называется группа кватернионов вида ±1, ±/, ±J, ±А",
с естественной операцией умножения. Можно ли получить группу Клейна как скрученное
произведение двух абелевых групп?
Задача 10.14 (*). Пусть 1 —> G\ —> G —> G2 —> 1 - распгирение групп. Предположим,
что задан такой гомоморфизм G —У Gi, такой, что ф о <р - тождественный автоморфизм G2
(в такой ситуации говорится, что (р допускает сечение). Докажите, что G можно получить
как скрученное произведение G\ XI G<i-
Задача 10.15 (!). Пусть дана группа G. Рассмотрим подгруппу [G, G] С G, порожденную
элементами вида хух~1у~1. Докажите, что это нормальная подгруппа, а фактор по ней
коммутативен.
Определение 10.5. [G, G] называется коммутантом группы G.
Задача 10.16 (*). Найдите коммутант симметрической группы.
Задача 10.17 (!). . Рассмотрим группу четных подстановок An, п ^ 5. Докажите, что она
совпадает со своим коммутантом.
Указание. Посчитайте хух~1у~1, где ж, у - циклические подстановки порядка 3.
Разрешимые группы
Определение 10.6. Группа G называется разрешимой, если существует
последовательность 1 = Gn С Gn-i С • • • С Go = G нормальных подгрупп, причем все Gi/Gi-i абелевы.
Задача 10.18. Докажите, что подгруппа разрешимой группы разрешима.
Задача 10.19. Докажите, что симметрическая группа Ss разрешима.
Задача 10.20. Докажите, что симметрическая группа S4 разрешима.
Задача 10.21. Докажите, что группа Клейна {±1, ±/, ±J, ±А"} разрешима.
Задача 10.22 (!). Пусть Go - группа, G\ - ее коммутант, G2 = [Gi,Gi] - коммутант
коммутанта, и так далее, G{ — [Gr;_i, Gr;_i]. Докажите, что Go разрешима тогда и только тогда,
когда на каком-то шаге мы получим Gn = 1.
2

Алгебра 10: нормальные подгруппы и представления
Задача 10.23 (!). Докажите, что группа четных подстановок An, п ^ 5 неразрешима.
Задача 10.24 (*). Докажите, что группа движений IR3 неразрепгима.
Указание. Постройте изоморфизм между А5 и группой движений икосаэдра, и
воспользуйтесь задачей 10.17.
Задача 10.25. Пусть G - группа порядка рп. Докажите, что центр G содержит больше
одного элемента.
Указание. Рассмотрим действие G на себе автоморфизмами Порядок G равен сумме
мощностей классов вида xG, где xG есть совокупность всех элементов вида ху, у £ G. Докажите
сначала, что если х не лежит в центре, то порядок xG делится на^. Мы получаем \G\ — 1 + Х^ \у?\->
причем если у G нет центра, все \yf\ делятся на р.
Задача 10.26 (!). Пусть G - группа порядка рп. Докажите, что G разрешима.
Задача 10.27 (*). Пусть G - группа порядка р2, р простое. Докажите, что G абелева.
Задача 10.28 (*). Приведите пример неабелевой группы порядка р3, р - любое простое
число.
Задача 10.29 (*). Рассмотрим множество S верхнетреугольных матриц п X п с единицей
на диагонали над полем к. Докажите, что такие матрицы образуют подгруппу в GL{n,k).
Докажите, что эта группа разрешима. Найдите ее порядок для к — Ъ/рЪ.
10.2. Представления и инварианты
Определение 10.7. Представлениет группы G в векторном пространстве V
называется гомоморфизм G —> GL{V) из Gb группу GL{V) обратимых эндормофизмов V. Если
задано представление G в У, то говорят, что G действует на V. Подпредставление V -
это подпространство, которое сохраняется действием G.
Задача 10.30. Пусть G действует на векторных пространствах У, V1'. Определим действие
G на V ® V по формуле д(у ® vf) — д(у) ® g(vf). Докажите, что это определение корректно и
задает представление Сна У® V1'.
Определение 10.8. Пусть G - группа, действующая на векторном пространстве V. Вектор
v £ V называется инвариантным относительно действия G, или инвариантом G, если
д(у) — v для любого д £ V. Пространство всех G-инвариантных векторов обозначается VG.
Задача 10.31. Рассмотрим действие симметрической группы Sn на V = i?n, заданное
перестановками координат. Найдите пространство инвариантов.
Задача 10.32 (*). В условиях предыдущей задачи, найдите пространство инвариантов
действия Sn на V ® V.
Задача 10.33. Рассмотрим действие циклической группы Z/nZ на V = i?n, заданное
циклическими перестановками координат. Найдите пространство инвариантов.
Задача 10.34 (*). В условиях предыдущей задачи, найдите пространство инвариантов (У®
уу,/пъ действия %jn% на V ® V.
3

Алгебра 11: Теория Галуа
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
Алгебра 11: Теория Галуа
Расширения Галуа
Задача 11.1 (!). Пусть задан полином P(t) G K[t] степени п с коэффициентами в поле К, у
которого п попарно различных корней в К. Докажите, что кольцо K[t]/Р остатков по модулю
Р изоморфно прямой сумме п копий К.
Указание. Похожая задача была в листке 9.
Определение 11.1. Пусть К - алгебраическое расширение поля к (это часто обозначается
как [К : к]). Говорят, что [К : к] расширение Галуа, если К ®к К изоморфно (как алгебра)
Задача 11.2. Пусть P(t) G k[t] - неприводимый полином степени п, имеющий п попарно
различных корней в К = k[t]/Р. Докажите, что [К : к] - расширение Галуа.
Задача 11.3. Докажите, что [Q[v—1 ] : Q] - расширение Галуа.
Задача 11.4. Пусть [к : Q] - расширение степени 2 (т.е. К двумерно как векторное
пространство над Q). Докажите, что это расширение Галуа.
Задача 11.5 (!). Пусть р простое. Докажите, что для любого корня из единицы ( степени
Р-) [Q[C] : Q] ~~ расширение Галуа.
Задача 11.6 (*). Будет ли [Q[y2] : Q] расширением Галуа?
Задача 11.7 (*). Пусть F - поле характеристики р, а к — F(z) - поле рациональных
функций над F. Докажите, что полином P{t) — tp — z неприводим над к. Докажите, что [k[t]/P : к]
- не расширение Галуа.
Задача 11.8. Пусть К\ D К2 D Кз ~ последовательность распгирений полей. Докажите, что
К2 ®къ К\ = (К2 ®к3 К2) ®к2 Кг.
Задача 11.9. Пусть К\ D К2 D Кз ~ последовательность распгирений полей. Докажите, что
Кг ®к2 (К2 ®к2 ®к3К2) ®к2 Кг = Кг ®Кз Кг.
Задача 11.10 (!). Пусть К\ D К2 D Кз - последовательность распгирений полей, причем
[К\ : К2] и [К2 : Кз] - распгирения Галуа. Докажите, что [К\ : Кз] - распгирение Галуа.
Задача 11.11. Докажите, что Q[y2, 2~ ] - распгирение Галуа.
поямои сумме нескольких копии К
1

Алгебра 11: Теория Галуа
Задача 11.12. Пусть К\ D К2 D Кз ~ последовательность расширений полей. Докажите,
что естественное отображение
Кг ®Кз Кг —> Кг ®к2 Кг
- сюрьективный гомоморфизм алгебр.
Задача 11.13 (!). Пусть К\ D К2 D Кз - последовательность расширений полей, причем
[Кг : Кз] - расширение Галуа. Докажите, что [Кг : К2] - тоже распгирение Галуа.
Указание. Воспользуйтесь задачей 9.28 листка Алгебра 9.
Задача 11.14. Пусть Р Е k[t] - полином степени п над полем к. Положим К\ — к, и
рассмотрим последовательность расширений, К\ D К\-\ D • • • D К\, полученных индуктивно
следующим образом. Пусть К3 построено. Разложим Р на неприводимые сомножители Р — \\Pi
в Kj. Гели все Р{ линейны, мы закончили. В противном случае, пусть Р0 - неприводимый
сомножитель Р степени > 1. Возьмем Kj+i = Kj[t]/P0. Докажите, что этот процесс закончится
через конечное число шагов и даст некоторое поле К D к.
Определение 11.2. Это поле называется полем разложения многочлена Р.
Задача 11.15 (!). Пусть К - поле разложения для многочлена P(t) Е k[t]. Докажите, что К
изоморфно подполю в алгебраическом замыкании /с, порожденному всеми корнями Р.
Задача 11.16. Пусть P(t) - многочлен степени п. Докажите, что степень его поля
разложения не больше п\.
Задача 11.17. Пусть Р Е k[t] - многочлен степени п, имеющий п попарно различных корней
в алгебраическом замыкании /с, и пусть [К : к] - его поле разложения, а К\ D К\-\ D • • • D Кг
соответствующая цепочка расширений. Докажите, что К ®кг-г К{ изоморфно прямой сумме
нескольких копий К.
Указание. Это сразу следует из Задачи 11.1.
Задача 11.18 (!). Пусть P(t) Е k[t] - неприводимый полином степени п, имеющий п попарно
различных корней в алгебраическом замыкании к (такой полином называется не имеющим
кратных корней), а К - его поле разложения. Докажите, что [К : к] - расширение Галуа.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 11.19 (*). Пусть P(t) Е k[t] - неприводимый многочлен над полем к характеристики
0. Докажите, что у Р нет кратных корней.
Указание. Докажите, что у P(t) = tn + an_itn_1 + ... нет кратных корней тогда и только
тогда, когда Р не имеет общих множителей с многочленом
P'(t) = ntn~l + (п - 1)ап_г^~2 + • • • + 2a2t + аг.
Для этого докажите, что (PQ)f = PQ' + Q'P-> и вычислите P'{t) для Р — (t — Ьг) . . . (t — bn).
Замечание. Из предыдущей задачи следует, что над полем характеристики 0, поле
разложения любого многочлена является расширением Галуа.
2

Алгебра 11: Теория Галуа
Задача 11.20 (*). Приведите пример поля к (ненулевой характеристики) и такого
неприводимого многочлена Р Е /c[t], что его поле разложения не является расширением Галуа.
Группа Галуа
Определение 11.3. Пусть [К : к] - расширение Галуа. Группой Галуа [К : к] называется
группа /с-линейных автоморфизмов поля К. Мы обозначаем группу Галуа через Gal([A" : к])
или через Autk(K).
В дальнейшем мы будем рассматривать К®к К как А"-алгебру, с действием А"*, заданным
формулой a{v\ ® v2) = avi (g) v2. Такое действие А"* называется левым. Оно отличается от
"правого действия", заданного формулой а(у\ ® v2) = Vi (g) av2.
Задача 11.21. Пусть [К : к] - расширение Галуа. Постройте биекцию между множеством
А"-линейных гомоморфизмов К ®& К —> К и множеством неразложимых идемпотентов в
К ®к К.
Задача 11.22. Пусть /и : К ®& К —> К - ненулевой А"-линейный гомоморфизм, а к ®& К С
K®kK - /с-подалгебра, естественно изоморфная К. Докажите, что ji \щкк задает /с-линейный
автоморфизм К —> К.
Задача 11.23. Докажите, что всякий /с-линейный автоморфизм К получается таким
образом.
Указание. Пусть и Е Gal([A" : к]). Определим гомоморфизм К ®& К по формуле v\ ®
v2 —у viis(v2).
Задача 11.24 (!). Пусть [К : к] - расширение Галуа. Постройте естественную биекцию
между Gal([A" : к]) и множеством неразложимых идемпотентов в К ®к К. Докажите, что порядок
группы Галуа равен размерности К как векторного пространства над к.
Задача 11.25. Пусть [К : к] - расширение Галуа, и Е Gal([A" : к]) - элемент группы Галуа, а
ev - соответствующий идемпотент в К®^К. Обозначим через /i/ стандартное (левое) действие
А"* на К (g>k А", а за jir правое действие. Докажите, что fii(a)eu = /ir(V(a))e^.
Задача 11.26. Пусть [К : к] - расширение Галуа, а а Е К - элемент, инвариантный
относительно Gal([A" : к]). Докажите, что а 8 1 = 1 8 а в /( ®& К.
Указание. Воспользуйтесь задачей 11.25.
Задача 11.27 (!). Пусть [К : к] - расширение Галуа, а а Е К - элемент, инвариантный
относительно Gal([A" : к]). Докажите, что а Е к.
Задача 11.28. Пусть [К : к] - расширение Галуа, а К' - промежуточное поле, К D К' D к.
Докажите, что К' = KG\ где G С Gal([tf : к]) - группа А^-линейных автоморфизмов А", а
KG обозначает множество ^-инвариантов.
Указание. Докажите, что [К : К'\ - расширение Галуа, и воспользуйтесь предыдущей
задачей.
3

Алгебра 11: Теория Галуа
Задача 11.29 (!). Докажите основную теорему теории Галуа: пусть [К : к] -
расширение Галуа. Тогда G' —> К устанавливает биекцию между множеством подгрупп G' С
Gal([A" : к]) и множеством промежуточных подполей К D К' D к.
Задача 11.30. Пусть [К : к] - расширение Галуа, а К' - промежуточное поле, К D К' D
к. Постройте естественное отождествление между множеством /с-линейных гомоморфизмов
К' —> К и множеством Gal([A" : к])/ Gal([A" : К'\) смежных классов группы Галуа Gal([A" : к])
по погруппе Gal([A" : К']) С Gal([A" : к]).
Задача 11.31. Найдите группу Галуа [Q[y^] : Q]-
Задача 11.32 (!). Пусть [К : к] - распгирение Галуа, а а Е К - элемент, порождающий К
над к (такой элемент называется примитивным). Докажите, что если z/l5 v2,. . ., vn ~ попарно
различные элементы Gal([A" : к]), то Vi(a),v2(a),. . .vn(a) линейно независимы над к.
Задача 11.33 (!). Пусть [К : к] - расширение Галуа, а V С К - объединение всех
промежуточных полей к С К' С А", которые строго меньше к. Пусть К бесконечно. Докажите, что
V ф К.
Указание. V есть объединение конечного числа ^-подпространств в А", которые имеют (над
к) размерность меньше, чем размерность К как линейного пространства над к. Докажите,
что в такой ситуации V ф К.
Замечание. Из этого следует, что в любом расширении Галуа [К : к] бесконечного поля к
есть примитивный элемент.
Задача 11.34 (!). Пусть [К : к] - расширение Галуа. Докажите, что для любого а Е К
произведение P(t) = Yiv-eGaKlK-k]) ^ (^ ~~ ui{a)) ~ многочлен с коэффициентами в к.
Задача 11.35 (*). В условиях предыдущей задачи предположим, что а примитивный.
Докажите, что P(t) неприводим.
Задача 11.36 (!). Напомним, что корень n-й степени из единицы называется
примитивным, если он порождает группу корней n-й степени из единицы. Пусть £ Е С - примитивный
корень степени п. Докажите, что группа Gal([Q[£] : Q]) изоморфна группе Aut(Z/nZ)
автоморфизмов группы Z/nZ. Найдите ее порядок.
Задача 11.37 (*). Зафиксируем целое число п. Пусть P(t) = Y\(t — ^), где £г- пробегает все
примитивные корни степени п из единицы. Докажите, что P(t) имеет рациональные
коэффициенты и неприводим над Q.
Замечание. Этот многочлен называется круговым многочленом.
Задача 11.38 (*). Разложите хп — 1 на неприводимые множители над Q.
Задача 11.39. Пусть ai,...,an £ Z - взаимно простые числа, не являющиеся квадратами.
Докажите, что [Q[^/aT, д/ог, • • • ? у/йп\ '• Q] ~~ расширение Галуа.
Задача 11.40. Найдите группу Галуа этого расширения.
Задача 11.41 (!). Докажите, что д/аГ, д/ог,..., л/а^ линейно независимы над Q.
4

Алгебра 11: Теория Галуа
Конечные поля
Из предыдущих листков нам известны следующие вещи про конечные поля. Порядок
конечного поля равен рп, где р - его характеристика. На любом поле к характеристики р задан
гомоморфизм Фробениуса, Fr : к —> к, х —> хр. В любое поле характеристики р
естественно вложено конечное поле ¥р из р элементов.
Мы обозначаем поле порядка рп через ¥рп.
Задача 11.42. Пусть х £ Fpn, х ф 0. Докажите, что хр _1 = 1.
Указание. Воспользуйтесь теоремой Лагранжа (порядок элемента делит число элементов в
группе).
Замечание. Из этого следует, что многочлен P(t) — tv ~1 — 1 имеет ровно рп — 1 корней в
¥рп.
Задача 11.43 (!). Докажите, что Yitew п\о ~ tpn_1 — 1.
Задача 11.44 (!). Докажите, что [¥рп : ¥р] - расширение Галуа.
Задача 11.45 (!). Докажите, что Аг, Аг2,..., Arn_1 - попарно различные автоморфизмы
¥рП.
Задача 11.46 (!). Докажите, что Gal([Fpn : ¥р]) - циклическая группа порядка п.
Задача 11.47 (*). Докажите, что поле разложения многочлена tp _1 —1 над ¥р имеет порядок
рп.
Задача 11.48 (*). Докажите, что поле порядка рп единственно с точностью до
изоморфизма.
Задача 11.49 (!). Перечислите все подполя в ¥рп.
Задача 11.50 (!). Пусть [К : к] - расширение Галуа. Докажите, что в К есть примитивный
элемент.
Замечание. Для бесконечных полей мы это уже доказали, см. замечание к задаче 11.33.
Теорема Абеля
Теорема Абеля утверждает, что общий многочлен пятой степени неразрешим в радикалах;
иначе говоря, что решение общего уравнения пятой степени нельзя выразить через посредство
алгебраических операций (умножения, сложения, деления) и операции извлечения корня гг-й
степени. В этом разделе мы приведем пример уравнения, неразрешимого в радикалах.
Задача 11.51. Пусть [К : к] - расширение Галуа. Докажите, что подгруппа G' С Gal([A" : к])
нормальна тогда и только тогда, когда [KG : к] - расширение Галуа.
Задача 11.52 (!). Пусть G' С Gal([A" : к]) - нормальная подгруппа. Докажите, что группа
Gal([A"G : к]) изоморфна фактору Gal([A" : k])/Gf.
Определение 11.4. Расширение Галуа [К : к] называется циклическим, если его группа
Галуа циклическая.
5

Алгебра 11: Теория Галуа
Задача 11.53 (!). Пусть группа Галуа [К : к] разрешима. Докажите, что [К : к] можно
представить в виде последовательности расширений Галуа к = Ко С A'i С ... С Кп — К,
таким образом, что для каждого г, Gal([A^- : Ki-i]) - циклическая группа.
Задача 11.54 (*). Пусть поле к содержит все корни из единицы порядка п, а [К : к] - поле
разложения многочлена tn — а, не имеющего корней над к. Докажите, что это расширение
циклическое.
Указание. Пусть а - какой-то корень многочлена tn — а. Тогда все корни tn — а имеют вид
а, а£, а£2,. . ., а£р-1, где £ - корень из единицы. Докажите, что автоморфизм, переводящий а
в а£% переводит a£q в а£я+г.
Задача 11.55 (*). Зафиксируем п £ N и п £ Q. Пусть для любого к > 1, делящего n, а £ Q
не равен /с-й степени никакого рационального числа, а [К : Q] - поле разложения многочлена
tn — a. Докажите, что К содержит все корни n-й степени из единицы, a Gal([A" : Q]) изоморфно
скрученному произведению Z/nZ xi Aut(Z/nZ).
Задача 11.56 (*). Пусть к - поле характеристики 0, а [К : к] - поле разложения многочлена
tn — а. Докажите, что группа Галуа Gal([A" : к]) разрешима.
Указание. Гели к содержит корни n-й степени из 1, мы все доказали. Гели нет, докажите,
что К их содержит. Рассмотрите промежуточное расширение К', полученное добавлением
этих корней к /с, и докажите, что [К : К'\ и [К1 : к] - расширения Галуа с абелевыми группами
Галуа.
Задача 11.57. Пусть [К : к] - циклическое расширение порядка n^v- образующий группы
Gal[A" :&],££&- примитивный корень из единицы степени п, а а £ К - примитивный
элемент. Напишем резольвенту Лагранжа
L = а + £-г1/(а) + (T2v2(a) + • • • + £~n+1 v"-1 (а)
Докажите, что v(L) — £L. Докажите, что L ф 0.
Задача 11.58 (*). Докажите, что YYi=o (^ — и%{^)) — tn — Ln. Докажите, что L порождает К
над к, и что Ln £ к.
Указание. Чтобы убедиться в том, что L порождает К над к, воспользуйтесь тем, что
Gal[/c[v Ln], к] = Z/nZ, а следовательно, размерность k[L] над к такая же, как размерность
К над к.
Задача 11.59 (*). Пусть [К : к] - распгирение Галуа порядка п, причем к содержит все
корни n-й степени из единицы. Докажите, что [К : к] циклическое тогда и только тогда,
когда его можно получить добавлением корня n-й степени из а £ /с.
Задача 11.60 (*). (теорема Галуа) Выведите из этого такую теорему. Расширение Галуа
[К : к] порождается последовательным добавлением решений уравнения tn — а тогда и только
тогда, когда группа Gal[A" : к] разрешима.
Замечание. Пусть P(t) £ k[t] - многочлен. Группой Галуа Р называется группа Галуа его
поле разложения. Теорема Галуа утверждает, что уравнение P(t) = 0 разрешимо в радикалах
тогда и только тогда, когда группа Галуа P(t) разрешима.
6

Алгебра 11: Теория Галуа
Определение 11.5. Пусть группа G действует на множестве Е. Действие называется
транзитивным, если любой х £ S можно перевести в любой у £ Е применением подходящего
#£ G.
Задача 11.61. Пусть G С Sn - подгруппа, содержащая транспозицию и действующая тран-
зитивно на {1, 2, 3,... , п}. Докажите, что G — Sn.
Задача 11.62. Пусть Р £ k[t] - неприводимый многочлен, £l5..., £п - его корни, и пусть все
эти корни различны. Докажите, что группа Галуа Р действует на {£l5. . . , <^п} транзитивно.
Указание. Разобьем {£i,...,£n} на смежные классы по действию Gal(P). Пусть S такой
класс. Докажите, что полином Y\,.eS(t — £;) имеет коэффициенты в А;, и делит Р.
Задача 11.63 (!). Пусть Р £ Q[t] - неприводимый многочлен степени п, у которого ровно
п — 2 вещественных корня. Докажите, что его группа Галуа равна Sn.
Указание. Докажите, что Gal(P) транзитивно действует на корнях Р, а комплексное
сопряжение сохраняет поле разложения Р и действует на множестве корней как транспозиция.
Задача 11.64 (!). (теорема Эйзенштейна) Пусть Q = tn + tn_1an_i + tn_2an_2 + • • • + а0 -
такой многочлен с целыми коэффициентами, что все аг- делят заданное простое число р, а
а0 /р2. Докажите, что Q неприводим над Q.
Задача 11.65 (*). Докажите, что Q{t) — хъ — 10х + 5 - неприводимый (над Q) многочлен, у
которого ровно 3 вещественных корня. Выведите из этого, что его группа Галуа это S$.
Задача 11.66 (*). Докажите, что уравнение хъ — 10х + 5 = 0 неразрептимо в радикалах.
7

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все
задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим к задач с
двумя звездочками разрешается не сдавать 2к задач со звездочками из того же листочка.
Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.
Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Артиновы алгебры над алгебраически замкнутым полем
Пусть R - артиново кольцо над полем к. Напомним, что в листке 9 мы построили каноническое
разложение R = фгегДг-, где ег- - неразложимые ортогональные идемпотенты, а e{R - артиново
кольцо, в котором нет неединичных идемпотентов, причем это разложение единственно.
Задача 12.1 (!). Предположим, что R не имеет неединичных идемпотентов, а к
алгебраически замкнуто. Докажите, что если R полупросто, то R = к.
Задача 12.2 (!). Предположим, что R не имеет неединичных идемпотентов, а к
алгебраически замкнуто. Докажите, что R = к ф п, где п - нильрадикал.
Указание. Докажите, что R/xx полупросто, и примените предыдущую задачу.
Задача 12.3 (!). Пусть R - артиново кольцо над алгебраически замкнутым полем к.
Докажите, что R = RssQ)n, где Rss - полупростое артиново подкольцо в R. Докажите, что Rss С R
определяется однозначно.
Задача 12.4 (*). Верно ли это, если к не алгебраически замкнуто?
В дальнейшем, нам понадобится следующее утверждение.
Задача 12.5 (!). Пусть R полупростое артиново кольцо над полем к, a R —> Rf - сюрьек-
тивный гомоморфизм /с-алгебр. Докажите, что R' - тоже полупростое артиново кольцо.
Указание. Похожая задача была листке Алгебра 9.
Определение 12.1. Пусть R - алгебра над полем к. Представлением алгебры R
называется гомоморфизм алгебр из R в End(V), где V - линейное пространство над к.
Задача 12.6. Пусть R - алгебра над полем к. Рассмотрим отображение R —> End(i2),
заданное формулой г I—>■ (v —> rv). Докажите, что это представление.
Задача 12.7. Пусть R - алгебра над к, изоморфная конечному расширению к, а V -
конечномерное представление R. Докажите, что V = i?n, то есть V изоморфно (как представление
R) сумме нескольких копий R.
Задача 12.8. Пусть V - конечномерное представление алгебры кватернионов Ш над IR.
Докажите, что V изоморфно Шп.
1

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Задача 12.9. Пусть G - группа, к - поле. Групповой алгеброй G над к (обозначается
&[Сг]) линейное линейное пространство, свободно порожденное линейными комбинациями вида
^2 Xigi (A; G к, gi GG), с умножением, которое задается по формуле
(ЕА^)(ЕА^-) = ЕА'-А^-
Докажите, что это действительно алгебра. Докажите, что любое представление группы G
однозначно продолжается до представления групповой алгебры.
Задача 12.10 (!). Пусть Gi, G2 - группы, a k[G\ х G2] ~ групповая алгебра их произведения.
Докажите, что k[G\ х G2] = k[G\] ® k[G2].
Задача 12.11 (!). Пусть G = (Z/2Z)n - произведение п копий Z/2Z. Докажите, что k[G] =
к®2П (прямая сумма 2п копий к).
Указание. Докажите, что /c[Z/2Z] = /сф/с, а затем воспользуйтесь соотнопгением k[G\ xG2] =
k[G1]®k[G2].
Задача 12.12 (*). Рассмотрим группу Клейна (подгруппу порядка 8 в кватернионах,
состоящую из {±1, ±/, ± J, ±А"}). Докажите, что ее групповая алгебра над R изоморфна Ш ф Ж ф
ЕфЕфЕ.
Задача 12.13 (*). Пусть G - конечная абелева группа, а к - алгебраически замкнутое поле
нулевой характеристики. Докажите, что k[G] - полупростое артиново кольцо над к. Выведите
из этого, что k[G] - прямая сумма \G\ копий к.
Указание. Воспользуйтесь критерием, приведенным в листке 9: артиново кольцо R над
полем нулевой характеристики полупросто тогда и только тогда, когда след задает на R
невырожденную форму.
Задача 12.14 (*). Пусть G - конечная абелева группа, к - алгебраически замкнутое поле
нулевой характеристики, а р : G —> End(V) - представление G над к. Докажите, что V
разлагается в прямую сумму одномерных G-инвариантных подпространств.
Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей и задачей 12.5.
Задача 12.15 (*). Пусть G - конечная абелева группа, a IR[G] - ее групповое кольцо над IR.
Докажите, что IR[G] изоморфно прямой сумме нескольких копий КиС.
Задача 12.16 (*). Пусть G - конечная абелева группа, а р : G—> End(V) -
представление G над IR. Докажите, что V разлагается в прямую сумму одномерных и двумерных G-
инвариантных подпространств.
Задача 12.17 (!). Пусть G - конечная абелева группа, а р : G —> End(V) - ее трехмерное
представление над IR. Докажите, что в V найдется G-инвариантная прямая.
Полупростые операторы
Пусть A G End(y) - линейный оператор на конечномерном векторном пространстве.
Легко видеть, что подалгебра (1, А, А2, А3,... (с End(V), порожденная А, коммутативна.
2

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Определение 12.2. Оператор А Е End(V) называется полупростым, если порожденная
им подалгебра в End(V) полупроста.
Задача 12.18. Докажите, что линейный оператор над алгебраически замкнутым полем
полупрост тогда и только тогда, когда он диагонализуем.
Задача 12.19 (!). Пусть к С к - два поля, причем к алгебраически замкнуто, и пусть V -
конечномерное векторное пространство над к. Рассмотрим V ®кк как векторное пространство
над к. Докажите, что End(V) ®& к естественно изоморфно End^V ®& к). Это задает
естественное вложение End(V) —> End^V ®kk). Докажите, что линейный оператор А Е End(V)
полупрост тогда и только тогда, когда доответствующий линейный оператор в V ®& к
диагонализуем.
Задача 12.20. Пусть V - двумерное векторное пространство над IR, наделенное
положительно определенной билинейной симметричной формой, а А Е End( V) - ортогональный оператор.
Докажите, что он полупрост.
Задача 12.21 (*). Пусть V - векторное пространство над К. произвольной конечной
размерности, наделенное положительно определенной билинейной симметричной формой, а А Е
End(y) - ортогональный оператор. Докажите, что он полупрост.
Задача 12.22 (*). Пусть V - векторное пространство над IR, наделенное невырожденной
билинейной симметричной формой, не обязательно положительно определенной, а А Е End( V)
- ортогональный оператор. Всегда ли он полупрост?
Определение 12.3. Элемент артинового кольца над к называется полупростым, если он
порождает полупростую подалгебру в R.
Задача 12.23. Пусть R - артиново кольцо над к, а г Е R - полупростой элемент. Докажите,
что при любом представлении R —> End(V), г переходит в полупростой эндоморфизм V.
Указание. Воспользуйтесь задачей 12.5.
Задача 12.24 (!). Пусть V - конечномерное векторное пространство над алгебраически
замкнутым полем, а А Е End(V) - линейный оператор. Докажите, что А разлагается в сумму
полупростого и нильпотентного оператора, А — Ass + Ап, которые коммутируют. Докажите,
что это разложение единственно, и Ass, Ап полиномиально выражаются через А.
Указание. Воспользуйтесь 12.3.
Задача 12.25 (*). Верно ли это, если основное поле к не алгебраически замкнуто?
Задача 12.26 (!). Пусть А - верхнетреугольная матрица, А$ - ее диагональная часть.
Докажите, что А и As коммутируют.
Задача 12.27 (**). Пусть (V,g) - векторное пространство, снабженное билинейной косо-
симметричной формой, пусть А - антисимметрический оператор, а А = Ass + Ап - его
разложение в полупростую и нильпотентную часть. Докажите, что Ass, Ап антисимметричны.
Задача 12.28 (*). Может ли антисимметричный оператор над С быть нильпотентным?
3

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Теорема Гамильтона-Кэли
Пусть к - любое поле, k(t) - поле рациональных функций над к, V - n-мерное векторное
пространство над к, a B(t) £ End(V)[t] - полином с коэффициентами в End(V). Напомним,
что в такой ситуации det(B(t)) - полином от t (см. листок 8). Рассмотрим B(t) как k(t)-
линейный эндоморфизм V ® k(t) Рассмотрим эндоморфизм ЛП_1(У ® k(t)) индуцированный
B(t), и пусть B(t) - сопряженный к нему относительно естественного спаривания
An-\V ® k{t)) ® V ® k{t) —> det V ® k{t)
эндоморфизм V ® k(t). В листке 7 доказывается, что B(t)B(t) = B(t)B(t) = det(B(t)) Idy.
Задача 12.29. В этой ситуации, докажите, что B(t) это End(V)-3Ha4Hbrii полином: B(t) £
End(V)[t].
Указание. Выразите B(t) через миноры B(t).
Задача 12.30. Пусть А £ End(V). Применив это рассуждение к В = t — А, докажите, что
(t — A)(t — А) = Chpoly^(t). Докажите, что коэффициенты многочлена (t — А) £ End(V)[t]
коммутируют с А.
Задача 12.31. Пусть R С End(V) - некоторое подмножество. Обозначим через Z(R)
множество всех операторов А! £ End(V), коммутирующих со всеми операторами г £ R (это
множество называется централизатором R). Докажите, что Z(R) - подалгебра в End(V).
Задача 12.32. Пусть R £ End(V) - некоторая подалгебра, А\ £ Z(A) - элемент
централизатора i?, R[t] - алгебра Д-значных полиномов, a R[t] —> Rf - гомоморфизм алгебр. Обозначим
через i?[Ai] подалгебру End(V), порожденную R и А\. Докажите, что существует такой
гомоморфизм (fo : i?[Ai] —> R\ что (р0\ = Н и V^o^i) = ^(t)- Докажите, что эти условия
однозначно определяют ip0.
Задача 12.33. Пусть А £ End(V) - линейный оператор, Применив предыдущую задачу,
постройте гомоморфизм Z(A)[t] —> Z(A): переводящий t в А, и тождественный на Z(A).
Задача 12.34 (!). (Теорема Еамильтона-Кэли) Рассмотрим соотношение (t — A)(t — А) =
Chpoly^(t) в Z(A)[t]. Применим к правой и левой частям уравнения гомоморфизм Ф,
построенный выше. Докажите, что получится следующее соотношение в алгебре End(V):
Chpo\yA(A) = 0.
Задача 12.35 (*). Пусть А, В £ End У - линейные операторы. Рассмотрите функцию от
двух переменных Q(ti,t2) = det(tiA + i2B\ где t\A + t2B рассматривается как линейный
оператор на V ®& &(^i,t2), a /c(ti,t2) = k(ti)(t2) - поле рациональных функций над k(t\).
Докажите, что Q(ti,t2) - полином с коэффициентами в к. Докажите, что в кольце End У
имеет место соотношение Q( — B,A) = 0.
Задача 12.36 (!). Пусть А £ End(V) - линейный оператор, действующий на конечномерном
пространстве над алгебраически замкнутым полем к. Пусть {Ai,...,An} - корни
характеристического полинома оператора А. Рассмотрим пространство V\t всех v £ V таких, что
(A — Xi)mz(v) = 0, где rrii - кратность корня А; полинома Chpoly^(t). Докажите, что V — ®V\i5
где Х{ пробегает все корни характеристического полинома А.
4

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Указание. Воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли
Замечание. Пространство V\t называется корневым пространством для оператора А.
Минимальный многочлен и характеристический многочлен
Определение 12.4. Пусть А £ End(V) - линейный оператор, действующий на
конечномерном пространстве над к. Рассмотрим последовательность эндоморфизмов 1,А,А2,--- £
End(V). Поскольку пространство (1, А, А2,...) конечномерно, начиная с какого-то г все Аг
выражаются через сумму такого вида: AN — ^2-10^А% где А; £ /с, / = dim(l, А, А2,...).
Запишем такое соотношение для А1: А1 + Хл=о ^'^ = 0. Напомним, что полином P(t) =
называется минимальным полиномом А и обозначается MinpolyA(t).
Задача 12.37 (!). Докажите, что в алгебре End(V) выполняется такое соотношение:
MinpolyA(A) = 0.
Докажите, что любой полином Q(t) = tm + /im_it/_1 + • • • + /io5 Для которого Q(A) = 0, делится
на MinpolyA(t).
Задача 12.38. Докажите, что характеристический полином оператора делится на его
минимальный полином.
Задача 12.39. Пусть А £ End(V) - линейный оператор.
а. Докажите, что А нильпотентен тогда и только тогда, когда Minpoly^(t) = tn.
б. Докажите, что А является неединичным идемпотентом тогда и только тогда, когда
MinpolyA(t) = t2 -t.
Задача 12.40. Пусть А £ End(V) - линейный оператор, действующий на конечномерном
пространстве над алгебраически замкнутым полем /с, а V = ®V\z - разложение V в сумму
корневых подпространств. Пусть P(t) - минимальный полином A, a Pi(t) - минимальные
полиномы для ограничений А на V\t. Докажите, что P(t) = Pi(t)P2(t) . . . . Докажите, что
P8(t) = (t - A8)fc, где k^d\mVXr
Указание. То, что Pi(t) = (t — A8)fc, ясно, поскольку оператор А — Аг- на V\t нильпотентен.
То, что Pit) = Pi(t)P2(t) . . . легко следует из того, что все Pj(A) j ф i) обратимы на V\%.
Замечание. Таким же свойством мультипликативности обладает, очевино, и
характеристический полином.
Задача 12.41. Пусть А £ End(V) - линейный оператор в n-мерном векторном пространстве.
Докажите, что Minpoly^(t) = it — Х)п тогда и только тогда, когда в некотором базисе А
записывается в виде матрицы
/А 1 0 0\
0 А 1 0 0
0 0 А 1 0 ... 0
0 0 А 1 0
0 0 А 1
\0 0 А/
:i2.r
5

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Указание. Заменив А на А — Aldy, можно считать, что Minpoly^(t) = tn. Возьмите такой
вектор v £ V, что (А — А)п (г?) ф 0. Докажите, что г?, А(у), А
в У, и в этом базисе А записывается в виде (12.1).
Ап (у) образуют базис
Замечание. Такая матрица называется жордановой клеткой. Мы будем обозначать ее
через <7(гг, Л).
Определение 12.5. Пусть ei,..., еп - базис в векторном пространстве, а А\ - матрица
линейного оператора А, записанная в этом базисе. Предположим, что ei,. . ., еп разбиты в
группы (блоки) [ei,. . ., e^Jfe^+i,. . ., е&2] . . ., причем А переводит каждый ег- в линейную
комбинацию векторов, лежащих в том же блоке. В таком случае А составлен из квадратных кусков
размера к{ — &;_i, а вне этих квадратов располагаются нули:
Л
о
о о
о о
* о
* о
о *
о\
\о ... о о ... о *
Такая матрица называется блочно-диагональной.
Задача 12.42. Пусть А £ End(V) - линейный оператор, действующий на конечномерном
пространстве над алгебраически замкнутым полем к. Предположим, что минимальный
полином Minpoly^(t) равен характеристическому полиному Chpoly^(t). Докажите, что в некотором
базисе А записывается в виде блочно-диагональной матрицы, составленной из жордановых
клеток J{p,i,\i), причем все А; разные.
Указание. Воспользовавшись мультипликативностью Minpoly и Chpoly при разложении V в
сумму корневых подпространств, сведите задачу к случаю V — V\t. Теперь примените 12.41.
Определение 12.6. Пусть оператор А записывается в некотором базисе в виде блочно-
диагональной матрицы, составленной из жордановых клеток. Эта запись называется
жордановой нормальной формой оператора.
Сейчас мы докажем сначала единственность жордановой нормальной формы, а потом - ее
существование. Мы работаем в предположении, что основное поле алгебраически замкнуто.
Задача 12.43. Пусть А Е End(V) - нильпотентный оператор, с жордановой нормальной
формой, составленной из клеток «7(0, ni),. . ., «7(0, гг&). Докажите, что число клеток в
жордановой нормальной форме А равно размерности пространства V/AV. Докажите, что AJV/AJ+1V
- число клеток <7(0,ггг) с п3 ^ j. Выведите из этого, что жорданова нормальная форма ниль-
потентного оператора определена однозначно, с точностью до перестановки клеток.
Задача 12.44 (!). Докажите, что жорданова нормальная форма любого оператора
единственна, с точностью до перестановки клеток.
6

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Указание. Раскладывая V в сумму корневых подпространств, сведите задачу к случаю V =
V\t. Заменяя А на А — А;, можно ограничиться нильпотентными операторами. Теперь все
следует из предыдущей задачи.
Определение 12.7. Пусть А Е End(V) - линейный оператор. Мы говорим, что А
циклически действует на У, если в v найдется такой элемент, что г?, Av^ A2v, A3v,... порождает
V.
Задача 12.45. Пусть А £ End(V) - линейный оператор, который циклически действует на
V. Докажите, что MinpolyA(t) = ChpolyA(t).
Указание. Если А действует циклически, то степень Minpoly^(t) равна dim У равна степени
ChpolyA(t).
Задача 12.46. Пусть А £ End(V) - такой линейный оператор, что V разлагается в сумму
А-инвариантных подпространств, на которых А действует циклически. Докажите, что А
приводится в некотором базисе к жордановой нормальной форме.
Указание. Воспользуйтесь задачей 12.42.
Модули над кольцом и жорданова нормальная форма
Определение 12.8. Пусть R - кольцо. Модулем над R называется абелева группа М,
наделенная операцией R X М —> М, которая согласована со сложением в следующем смысле
(i) Для любых Л G R-) u^v Е М, имеем Х(и + v) = Хи + \v. Для любых Ai,A2 Е i?, и Е М,
имеем (Ai + A2)u = Xiu + Х2и (дистрибутивность умножения относительно сложения).
(и) Для любых Ai,A2 (z R, и £ М, имеем Ai(A2u) = (AiA2)u (ассоциативность умножения).
(in) Для любого v Е М, имеем 1г? = г?, где 1 обозначает единицу в R.
Замечание. Это определение почти дословно повторяет определение векторного
пространства над полем. Многие понятия, которые определялись для векторных пространств
(например, гомоморфизм, мономорфизм, эпиморфизм, ядро, образ, факторпространство)
определяются без каких-либо изменений и для модулей над кольцом.
Задача 12.47. Пусть R - алгебра над полем к. Для любого модуля М над R рассмотрим М
как линейное пространство над к С R. Рассмотрим операцию умножения на элементы из г
как эндоморфизмы М. Докажите, что это задает гомоморфизм R —> EncU(M). Докажите,
что все представления получаются таким образом.
Задача 12.48. Докажите, что любая абелева группа имеет единственную структуру модуля
над Z.
Определение 12.9. Рассмотрим группы Rn как модуль над i?, с действием, заданным
формулой г • (xi,..., хп) = (rxi,..., гхп). Этот модуль называется свободным. Фактор Rn по
подмодулю называется конечно порожденным. Если М можно представить как фактор
свободного модуля по конечно порожденному подмодулю, то М называется конечно пред-
ставимым.
7

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Определение 12.10. Пусть <р : М —> Mf - гомоморфизм модулей над алгеброй R. Коядром
<р (обозначается Сокепр) называется фактор М1 по образу (р.
Задача 12.49. Пусть М - модуль над R. Докажите, что М конечно порожден тогда и только
тогда, когда в нем есть набор таких элементов mi,. . . , т^ элементов, что любой элемент М
представим в виде их линейной комбинации, т — Гхгпх + • • • + гдгтдг, ri,. . . , гдг £ R.
Задача 12.50. Пусть М - модуль над R. Докажите, что М конечно представим тогда и
только тогда, когда он изоморфен коядру какого-то гомоморфизма (р : RN —> RM свободных
R-мо дулей.
Задача 12.51 (!). Пусть к поле, а М- модуль над к[t], который имеет конечную размерность
над к. Докажите, что М конечно порожден и конечно представим над k[t].
Указание. Рассмотрите М как векторное пространство над к, выберите базис тх,. . ., гпм £
М, и возьмите эти элементы в качестве образующих. Затем докажите, что ядро отображения
(р : М (g)k k[t] —> М порождено элементами элементами вида mi ®i — trrii ® 1.
Задача 12.52 (!). Пусть М- конечная абелева группа. Докажите, что М конечно порождена
и конечно представима как модуль над Z.
Указание. Возьмите в качестве множества образующих тх,..., тп^ £ М все элементы М.
Задача 12.53. Пусть R - некоторое кольцо, а V - модуль над i?, представленный как коядро
гомоморфизма (R)n —> (R)m. Запишем (р матрицей /И с коэффициентами в R. Пусть Вг- -
матрица, полученная из R гауссовыми преобразованиями по строкам и по столбцам (см.
листок Алгебра 7). Докажите, что V изоморфно коядру гомоморфизма, соответствующего
В).
Определение 12.11. Пусть R - кольцо, а а £ R - некоторый элемент. Рассмотрим aR как
модуль над R. Циклическим модулем над R называется фактормодуль R/aR.
Задача 12.54. Пусть М - некоторый Z-модуль. Докажите, что М циклический тогда и
только тогда, когда соответствующая абелева группа циклическая.
Задача 12.55. Пусть М - /ф]-модуль. Докажите, что М циклический тогда и только тогда,
когда для некоторого v £ М, v,tv,t2v,t3v,. . . порождают М.
Задача 12.56 (!). Пусть R - такое кольцо, что любую матрицу размера п х m с
коэффициентами в R можно привести к диагональному виду гауссовыми преобразованиями по строкам
и по столбцам. Докажите, что всякий конечно порожденный и конечно представимый модуль
над R изоморфен прямой сумме циклических.
Указание. Если {R)n ^Ч {R)n задан диагональной матрицей, с а\ на диагонали, то коядро
этого гомоморфизма имеет вид ®iR/a\R
Задача 12.57 (!). Пусть R - евклидово кольцо (см. листок Алгебра 2). Докажите, что любую
матрицу размера п X m с коэффициентами из R можно привести к диагональному виду
гауссовыми преобразованиями по строкам и по столбцам. Выведите из этого, что любой конечно
порожденный и конечно представимый модуль над R - прямая сумма циклических.
Указание. Эта задача была в листке Алгебра 7.
8

Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы
Задача 12.58 (!). Пусть G - конечная абелева группа. Докажите, что G - прямая сумма
циклических групп.
Задача 12.59 (!). Пусть V - модуль над /c[t], конечномерный над к. Докажите, что V -
прямая сумма циклических модулей.
Указание. Кольцо k[t] евклидово, а V конечно порожден и конечно представим, как следует
из задачи 12.51.
Задача 12.60 (!). Пусть А £ End(V) - линейный оператор. Докажите, что V разлагается
в прямую сумму А-инвариантных подпространств, на каждом из которых А действует
циклически. Выведите из этого, что если поле к алгебраически замкнуто, то А приводится к
жордановой нормальной форме.
Указание. Рассмотрим действие k[t] на У, заданное формулой P(t)(v) = P(A)v. Докажите,
что V будет /ф]-модулем. Разложите V в прямую сумму циклических подмодулей: V = ®К'.
Докажите, что все Vi А-инвариантны, и А действует на них циклически.
Задача 12.61 (*). Найдите коммутативное кольцо и модуль над ним, который не
разлагается в прямую сумму циклических.
9