О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева
мптемптико
О. С. Шейнина, Г.М. Соловьева
Математика
Занятия школьного кружка
5-6 классы
Москва
«Издательство НЦ ЭНАС»
2002
УДК 372.8(072):51
ББК 74.202.5
Ш39
Шейнина О.С., Соловьева Г.М.
Ш39 Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. - М.:
Изд-во НЦ ЭНАС, 2002. - 208 с. - (Портфель учителя).
ISBN 5-93196-092-9
Книга написана с целью помочь руководителю школьного
математического кружка в проведении систематических
(не менее двух раз в месяц) занятий, заинтересовать учеников
дополняющими обязательный учебный материал сведениями
о математике и математиках, выработать у них навыки устно-
го счета, развить начала математического и логического мыш-
ления, расширить кругозор и, главное, пробудить желание за-
ниматься изучением одной из основных наук.
Для учителей математики. Будет интересна ученикам
и родителям - большая часть материала изложена в доступ-
ной форме.
УДК 372.8(072):51
ББК 74.202.5
ISBN 5-93196-092-9
© О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева, 2001
© «Издательство НЦ ЭНАС», 2001
Содержание
Предисловие................................................. 9
Занятие!................................................... 10
1.	Как возникло слово «математика»..................... 10
2.	Приемы устного счета. Признаки делимости чисел........ 10
3.	Счет у первобытных людей............................... 13
4.	Логические задачи, решаемые с использованием таблиц.	14
5.	Математическая игра «Не собьюсь»....................... 15
Занятие 2.................................................. 17
1.	Приемы устного счета. Умножение двухзначных чисел на 11 ....	17
2.	Цифры у разных народов................................ 17
3.	Решение логической задачи.............................. 21
Занятие 3................................................... 22
1.	Приемы устного счета. Интересный способ умножения...	22
2.	Мы живем в мире больших чисел......................... 23
3.	Решение олимпиадных задач............................. 24
4.	Уникурсальные кривые (фигуры)......................... 26
5.	Конкурс «Кто больше знает пословиц, поговорок, загадок,
в которых встречаются числа?»............................ 28
Занятие 4.................................................. 29
1.	Приемы устного счета. Возведение в квадрат чисел, оканчиваю-
щихся на 5............................................... 29
2.	Биографическая миниатюра. Пифагор.................... 29
3.	Решение олимпиадных задач............................. 32
4.	Игра «Перекладывание карточек»........................ 35
5.	Стихотворная страничка................................ 36
Занятие 5.................................................. 37
1.	Метрическая система мер............................... 37
2.	Решение олимпиадных задач............................. 39
3.	Литературная страничка. Геометрия Гулливера........... 41
4.	Геометрическая головоломка. Танграм................... 41
3
Занятие 6.................................................. 43
1.	Решение олимпиадных задач............................. 43
2.	Лабиринты............................................ 44
3.	Решение логических задач матричным способом.......... 46
4.	Старинная восточная притча........................... 48
5.	Как играть, чтобы не проиграть?....................... 49
Занятие 7.................................................. 50
1.	Приемы устного счета. Возведение в квадрат трехзначных
чисел, оканчивающихся на 25.............................. 50
2.	Решение олимпиадных задач.......................... 51
3.	Занимательная страничка. Один раз в день.............. 52
4.	Стихотворная страничка. Арифметика................... 53
Занятие 8.................................................. 54
1.	Приемы устного счета.................................. 54
2.	Простые числа........................................ 54
3.	Решение олимпиадных задач............................. 55
4.	Задачи-шутки......................................... 56
5.	Игра «Буриме» с использованием чисел.................. 57
Занятие 9.................................................. 58
1.	Приемы устного счета. Возведение в квадрат чисел пятого
и шестого десятков....................................... 58
2.	Биографическая миниатюра. Архимед.................... 58
3.	Решение олимпиадных задач............................. 60
4.	Старинные меры....................................... 62
5.	Оригами............................................... 63
6.	Шуточные вопросы по геометрии........................ 67
Занятие 10................................................. 68
1.	Тренировка памяти и внимания.......................... 68
2.	Биографическая миниатюра. Пьер Ферма................. 68
3.	Решение олимпиадных задач............................ 70
4.	Логическая задача «Обманутый хозяин» ....'......... 71
5.	Юмористическая страничка.............................. 72
Занятие 11 ................................................ 73
1.	Приемы устного счета.................................. 73
2.	Происхождение математических знаков.................. 73
3.	Решение олимпиадных задач............................ 75
4.	Задача-сказка «Иван Царевич и Кащей Бессмертный, умевший
считать только до 10».................................... 76
5.	Стихотворная страничка................................ 78
4
Занятие 12................................................. 79
1.	Приемы устного счета. Умножение на 155 и 175.......... 79
2.	Биографическая миниатюра. Блез Паскаль............... 79
3.	Решение олимпиадных задач............................. 81
4.	Геометрические иллюзии............................... 82
5.	Геометрическая задача-фокус «Продень монетку»......... 84
Занятие 13................................................. 85
1.	Приемы устного счета. Умножение двухзначных чисел,
близких к 100............................................ 85
2.	Биографическая миниатюра. Рене Декарт................ 86
3.	Решение олимпиадных задач............................. 87
4.	Литературная страничка. О «происхождении» дробей..... 88
5.	Игра-шутка............................................ 90
Занятие 14................................................. 91
1.	Считаем устно......................................... 91
2.	Биографическая миниатюра. Исаак Ньютон............... 93
3.	Решение олимпиадных задач............................ 94
4.	Стихотворная страничка............................... 95
Занятие 15.................................................. 97
1.	Приемы устного счета. Деление на 5(50), 25(250)....... 97
2.	Математические мотивы в художественной литературе...	97
3.	Игра «Попробуй сосчитай!»............................ 99
4.	Решение олимпиадных задач............................. 100
5.	Стихотворная страничка. Задачи в стихах.............. 100
6.	Математическая шутка................................ 102
Занятие 16.................................................. ЮЗ
1.	Интересные свойства чисел.............................. ЮЗ
2.	Биографическая миниатюра. Л. Ф. Магницкий............. 104
3.	Решение олимпиадных задач.............................. Ю6
4.	Задача-сказка «Бездельник и черт»..................... Ю7
5.	Поэтическая странич ка................................. Ю8
Занятие 17.................................................. Ю9
1.	Приемы устного счета. Еще один способ сложения много-
значных чисел........................................... Ю9
2.	Биографическая миниатюра. Карл Фридрих Гаусс......... Ю9
3.	Решение олимпиадных задач............................ И2
4.	Юмористическая страничка............................. ИЗ
5.	Стихотворная страничка................................ ИЗ
5
Занятие 18................................................ 115
1.	Приемы устного счета. Умножение на 9,99, 999......... 115
2.	Биографическая миниатюра. Леонард Эйлер............. 115
3.	Задача, приписываемая Л. Эйлеру...................... 117
4.	Решение олимпиадных задач.......................... 118
5.	Как играть, чтобы не проиграть?...................... 118
6.	Стихотворная страничка............................... 120
Занятие 19................................................ 122
1.	Некоторые особые случаи счета........................ 122
2.	Математические мотивы у Дж. Свифта................... 122
3.	Решение олимпиадных задач............................ 123
4.	Стихотворная страничка............................... 125
5.	Феномены. Эти непостижимые «живые компьютеры».......	126
6.	Математические фокусы................................ 127
Занятие 20................................................ 129
1.	Приемы устного счета. Умножение на 111............... 129
2.	Биографическая миниатюра. И.И. Лобачевский.......... 129
3.	Решение олимпиадных задач............................ 130
4.	Поэтическая страничка. Поэзия уравнений.............. 131
5.	Из истории интересных чисел. Число 71................ 133
Занятие 21................................................ 135
1.	Приемы устного счета................................. 135
2.	Биографическая миниатюра. П.Л. Чебышев............... 135
3.	Простые числа........................................ 138
4.	Решение олимпиадных задач........................... 139
5.	Число Шехерезады..................................... 141
6.	Поэтическая страничка................................ 142
Занятие 22................................................ 143
1.	Приемы устного счета. Мгновенное умножение........... 143
2.	Возраст и математика................................. 143
3.	Задачи со спичками................................... 144
4.	Решение олимпиадных задач........................... 145
5.	Математические софизмы............................... 146
6.	Задачи в стихах...................................... 146
7.	Стихотворная страничка............................... 148
Занятие 23................................................ 150
1.	Приемы устного счета. Признак делимости на	11........ 150
2.	Биографическая миниатюра. М.В. Остроградский........ 151
6
3.	Решение олимпиадных задач.............................. 152
4.	Поэтическая страничка................................. 153
5.	Игра «Кубики».......................................... 154
Занятие 24.................................................. 155
1.	Прием устного счета. Умножение крестиком............... 155
2.	Распространение десятичных дробей..................... 156
3.	Решение олимпиадных задач.............................. 157
4.	Биографическая миниатюра. Эварист Галуа............... 158
5.	Знакомьтесь, новый знак «!»(факториал)................. 159
Занятие 25.................................................. 161
1.	Устный счет в сказках.................................. 161
2.	Биографическая миниатюра. С.В. Ковалевская............ 161
3.	Решение олимпиадных задач............................. 163
4.	Геометрическая задача-стихотворение................... 165
Занятие 26.................................................. 166
1.	Устный счет............................................ 166
2.	Биографическая миниатюра. Норберт Винер............... 166
3.	Решение олимпиадных задач. Принцип Дирихле и его
применение к решению задач.............................. 168
4.	Игра «Астрономия на координатной плоскости»........... 169
5.	Поэтическая страничка.................................. 173
Занятие 27.................................................  174
1.	Устный счет............................................ 174
2.	Премия Дж. Филдса..................................... 175
3.	Решение олимпиадных задач.............................. 177
4.	Решение примера с картины художника................... 178
5.	Юмористическая страничка............................... 178
6.	Стихотворная страничка................................ 179
Занятие 28.................................................. 180
1.	Приемы счета. Быстрое сложение и вычитание натуральных
чисел................................................... 180
2.	Из истории математики. Проценты в прошлом и настоящем.	180
3.	Математический кроссворд.............................. 181
4.	Решение олимпиадных задач............................. 182
5.	Биографическая миниатюра. Л.Д. Ландау................. 183
6.	Юмористическая страничка. Для тех, кто готовится
стать математиком....................................... 185
7
Занятие 29....................................................... 186
1.	Приемы счета. Умножение однозначного или двухзначного
числа на 37............................................ 186
2.	Биографическая миниатюра. М.В. Келдыш....................... 186
3.	Задачи в стихах............................................. 189
4.	Юмористическая страничка. Результат получен лакеем..	192
5.	Маленькая викторина «Знаешь ли ты великих математиков?» ....	192
Занятие 30....................................................... 194
Приложение....................................................... 195
Рекомендуемая литература......................................... 205
Предисловие
Перед вами книга, авторы которой Заслуженный учитель России
Г.М. Соловьева с 40-летним педагогическим стажем и ее ученица
О.С. Шейнина, учительствующая 17 лет, работают в московской гим-
назии № 1534 (бывшая школа № 21).
Пособие отражает опыт авторов и многих учителей; материал
собран из разных источников и использовался авторами при прове-
дении семинаров для молодых учителей Севастопольского района
Москвы, учителей из Монголии, Армении, студентов Российского
университета дружбы народов и Московского областного педагоги-
ческого университета.
Книга адресована в первую очередь начинающим учителям ма-
тематики, стремящимся привить учащимся 5-6 классов интерес
к одному из основных изучаемых предметов. А он зависит прежде
всего от качества учебной работы на уроке и продуманной системы
внеурочных кружковых занятий.
В пособии дано 30 занятий (по 1,5-2 часа), каждое из которых
включает:
-	приемы устного счета;
-	рассказ на математическую тему;
-	«золотые мысли» математиков и о математике;
-	решение задач повышенной трудности;
-	игру (играя, проверяем, что умеем и знаем);
-	занимательные задачи, стихи;
-	биографические миниатюры.
Все задания снабжены пояснениями, решениями, ответами.
Книга будет полезна и детям, и родителям.
Занятие 1
1.	Как возникло слово «математика»
Слово «математика» возникло в Древней Греции примерно в
V в. до н. э. Происходит оно от слова «матема» - «учение», «знания,
полученные через размышления».
Древние греки знали четыре «матемы»:
•	учение о числах (арифметика);
•	теорию музыки (гармонию);
•	учение о фигурах и измерениях (геометрию);
•	астрономию и астрологию.
В древнегреческой науке существовало два направления. Пред-
ставители первого из них, возглавляемые Пифагором, считали зна-
ния предназначенными только для посвященных. Никто не имел
права делиться своими открытиями с посторонними. Последовате-
ли этого направления назывались акузматиками (акузма - священ-
ное изречение). Второе направление возглавлял Гиппас Метапонт-
ский. Последователи Гиппаса, напротив, считали, что математика
доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они
называли себя математиками. Победило второе направление.
2.	Приемы устного счета.
Признаки делимости чисел
Рассмотрим некоторые признаки делимости чисел.
1.	На 2 делятся все четные числа, т. е. оканчивающиеся цифрами
О, 2, 4, 6, 8.
2.	На 3 делятся ... Стоп! Выясним прежде, какие числа делятся
на 9, так как каждому ясно: если нечто можно разделить без остатка
на девять равных частей, то уж на три и подавно.
Для записи чисел широко используется десятичная позиционная
система (десятичная потому, что в ней 10 арабских цифр: 0, 1,2,3,4,
5, 6, 7, 8, 9, а позиционная потому, что единицы, десятки, сотни, ты-
сячи и т. д. строго занимают свои позиции - разряды, нумерующие-
ся справа налево: I - разряд единиц, II - десятков, III - сотен, IV -
тысяч и т.д.).
10
Любое, сколь угодно большое, число можно условно записать
так;___________
yv...ts...edcba,
где буквами могут обозначаться все цифры от нуля (0) до девяти
(9). Заметьте, что самая последняя (самая левая) буква не может
обозначать нуль (ни одно число, большее единицы, с нуля не начи-
нается!).
Но вернемся к признаку делимости числа на 9. Запишем, для
примера, любое четырехзначное число:
dcba.
Сколько же в нем единиц? - А вот сколько:
а + 106+ 100с + ЮООб/,
ведь а - число единиц, b - число десятков, а в каждом десятке по 10
единиц, ... Понятно?
Перепишем число « dcba » так:
10006/ + 100с + 10Z> + а = (999с/ + d) + (99с + с) +
+ (9Z) + Ь) + а = 999с/ + 99с + 9b + d+ c + b + a =
= 9(111 с/ + 11с + b) + (d + с + b + а\
т.е. мы представили его в виде двух слагаемых, из которых первое,
очевидно, делится на 9 всегда; а второе слагаемое - ни что иное, как
сумма цифр нашего числа\ И если она разделится на 9 без остатка,
значит, и все число dcba будет делиться на 9, так как если каждое
из слагаемых делится на какое-то число, то и вся сумма делится на
это число.
Итак, признак делимости на 9, а значит, и на У. если сумма цифр
числа делится на 9 (на 3), то это число обязательно делится (без
остатка) на 9 (на 3).
Примеры:
1)2358711 :9 = ?	2)357:9 = ?
2 + 3 + 5 + 8 + 7+1 + 1=27	3 + 5 + 7= 15
Делится.	Не делится.
3)357:3 = ?	4) 17426:3 = ?
3 + 5 + 7 = 15	1 + 7 + 4 + 2 + 6 = 20
Делится на 3.	Не делится ни на 3, ни на 9.
3.	На 4 делятся те числа, двухзначное число-окончание которых
делится на четыре. И вот почему.
Любое число ...edcba содержит
(...С(7с) х 100 + (10b + а) единиц.
11
Первое слагаемое всегда делится на 4, так как 100:4 = 25 (делит-
ся!). Стало быть, если число 10/)+а, или Ьа , делится на 4, то и вся
сумма, т. е. все число ...edcba делится на 4.
Примеры:
390578472 : 4 = ?
72 : 4 = 18
Делится.
32548138:4 = ?
38:4*
Не делится.
4.	На 8 делятся числа, трехзначное число-окончание которых
делится на восемь (признак аналогичен признаку делимости на 4):
Всегда делится на 8
(так как 1000:8=125)
...edcba = (,..е<7)х1000 + cba
Делится
на 8 - ура! -
Все число
...edcba
делится
на восемь
! Еще один признак делимости на 8 {четных чисел):
если двухзначное число из цифр разрядов сотен и десятков, сло-
женное с половиной числа единиц, делится на четыре, то все чет-
ное число (...edcba) делится на восемь.
Примеры:
1)592
59+1=60
60:4=15
Делится.
2) 967656
65 + 3 = 68
68 :4= 17
Делится.
5.	На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 (десятки всегда де-
лились и будут делиться на 5) или на 5.
6.	На 6 делятся числа, которые делятся на 2 ина 3.
7.	На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем.
8.	На 12 делятся числа, которые обладают одновременно при-
знаками делимости на 3 ина 4.
9.	На 15 делятся числа, которые обладают одновременно при-
знаками делимости на 3 и на 5.
И так далее. Здесь пропущены признаки делимости, в частно-
сти, на 7, 11, 13, которые не просты (значительно проще проверить
вычислением делимость числа на 7, И, 13, чем использовать при-
знаки делимости!).
12

«Золотые мысли»
•	Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
Михаил ВасилъеМ Ломоносов (1?11~1^6§),
беликиЖ русский yienuii,
основатель Московского университета
•	Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается
пользоваться математикой.
Щл Маркс (1818—1883),
основоположник науЬного коммунизма
•	Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы,
но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия.
Фьердь Лойа, венгерский математик
3.	Счет у первобытных людей
Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала
они различали просто один или много предметов. Прошли сотни лет
прежде чем появилось число 2. Счет парами оказался очень удобен, и
не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до после-
днего времени были только два числительных: один и два, а все числа
больше двух получали название в виде сочетания этих двух числи-
тельных. Например, три - «один, два»; четыре - «два, два»; пять -
«два, два, один». Позже появились особые названия для чисел. Снача-
ла для небольших, а потом для все больших и больших. Число - одно
из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты
счета или измерения. Когда-то численность множества не отделялась
от других его качеств, и для того, чтобы сравнить два множества, их
элементы располагали один против другого. Но потом оказалось, что
удобно сравнивать все множества с одним и тем же «множеством -
посредником». Так как пальцы всегда при нас, то и считать стали по
пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной ма-
шиной» издавна являются пальцы рук и ног.
Даже в настоящее время еще используют этот древний «прибор».
Маленькие дети, начиная учиться считать, часто пользуются при сче-
те своими пальцами. На пальцах можно решать примеры не только в
пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком, поэтому
13
могли использовать для счета пальцы как рук, так и ног. С помощью
«босоногого калькулятора» они считали до чисел, значительно боль-
ших двадцати, так как фактически использовали пятеричную систе-
му счисления, т. е. каждые 5 единиц (5 пальцев) составляли единицу
следующего разряда-сустава, и т. д.
Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме паль-
цев рук и ног «задействовались» другие приспособления. Например,
перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завязан-
ными на них узлами. Веревочные счеты с узелками были в ходу
в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда
завязывают узелки на носовых платках на память.
Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки пос-
ле окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал
кредитор, а другую - должник. Половинка играла роль «квитанции».
В деревнях использовали счеты в виде зарубок на палках.
Очень рано у людей появилась необходимость сообщать друг
другу о количестве предметов. Счет был даже у тех народов, у кото-
рых имелось только два числительных. Люди умели считать доволь-
но большое число предметов, в строго определенном порядке. Чаще
всего счет начинали с мизинца левой руки; после того, как все пять
пальцев этой руки были использованы, переходили к запястью, лок-
тю, плечу, затем к правой руке и т.д. Если частей тела одного челове-
ка не хватало для счета предметов, то приглашали второго человека.
На более высокой стадии развития люди при счете стали применять
разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками.
Это были первые счетные приборы, которые в конце концов приве-
ли к образованию разных систем счисления и к созданию современ-
ных быстродействующих электронных вычислительных машин.
4.	Логические задачи,
решаемые с использованием таблиц
Отметим важные особенности логических задач. Во-первых, для
их решения, как правило, не требуется большого запаса математиче-
ских знаний и можно ограничиться только некоторыми сведениями
из арифметики. Во-вторых, логические задачи почти всегда занима-
тельны, и поэтому привлекают даже тех, кто не любит математику.
И, главное, их решение развивает логическое мышление, а это
способствует не только лучшему усвоению математики, но и успеш-
ному изучению основ любой другой науки.
Рассмотрим логические задачи, которые решают с помощью таблиц.
14
Задача 1. Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поста-
вили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Пло-
хих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины
не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?
Решение: у Нины не «3» и не «5», значит,-«4». У Ани не «3»,
но и не «4» («4» у Нины), значит, у Ани «5».
Тогда, очевидно, у Жени «3» (не «4» и не «5»).
О т в е т: у Ани «5», у Жени «3», у Нины «4».
3 а д а ч а 2. Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в
соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля -
ни 1 -е, ни 4-е; Боря - 2-е; Вова - не 4-е. Какие места заняли мальчики?
Решение: составим таблицу исходных данных
Место	Коля	Боря	Вова	Юра
1-е	—			
2-е		+		
3-е				
4-е	—		—	
Между множеством имен мальчиков и множеством завоеванных
мест должно быть взаимно однозначное соответствие.
У Коли ни 1-е, ни 4-е, но и ни 2-е (оно у Бори), следовательно,
у него 3-е место.
У Вовы ни 4-е, ни 3-е, ни 2-е, значит, - 1-е место.
У Бори 2-е место (по условию).
Значит, у Юры 4-е место.
Ответ (в виде таблицы с исходными данными):
Место	Коля	Боря	Вова	Юра
1-е	—		+	
2-е		+		
3-е	+			
4-е	—		—	+
5.	Математическая игра «Не собьюсь»
Ведущий вызывает одного из играющих и задает ему вопрос:
- До какого числа ты умеешь считать?
Играющий смущен, медлит с ответом. Руководитель приходит
на помощь:
- Ну, говори смелее. До ста? До тысячи?
15
-	Даже до миллиона!
-	Вот и хорошо. Попросим тебя посчитать вслух. Не до милли-
она, конечно, а только до тридцати. Сумеешь?
-	Конечно.
-Начинай, но с одним условием - ты не должен называть «три»,
числа, делящиеся на три, и в название которых входит «три» (напри-
мер, 13). Вместо этих чисел ты всегда должен говорить: «Не со-
бьюсь!»
После первой же ошибки играющего сменяет другой. Редко кому
удается сосчитать до тридцати и ни разу не сбиться:
«Один, два, не собьюсь, четыре, пять, не собьюсь, семь, восемь,
не собьюсь, десять, одиннадцать, не собьюсь, не собьюсь, четыр-
надцать...»
Игра проходит очень оживленно и даже весело, между тем в ней
прекрасно тренируются собранность и внимательность.
Занятие 2
1. Приемы устного счета.
Умножение двухзначных чисел на 11
При умножении двухзначного числа на 11 возможны два случая.
1. Сумма цифр числа, умножаемого на 11, меньше 10. В этом
случае надо между ними вставить их сумму:
17x11 = 1(1 + 7)7= 187; 81 х 11 = 8(8 + 1)1 = 891.
2. Сумма цифр числа, умножаемого на 11, больше 9. В этом слу-
чае надо между ними вставить количество единиц в сумме цифр дан-
ного числа, а первую цифру множимого числа увеличить на 1:
28 х 11 = (2 +1)08 = 308; 94 х 11 = (9 +1)34 = 1034.
2+8	9+4
В заключение можно провести соревнование между тремя ученика-
ми. Пусть один из них умножает числа на 11 в столбик, другой - на
микрокалькуляторе, а третий, применяя изученный прием. Результат, как
правило, приводит ребят в восторг: побеждает тот, кто считал устно!
На следующем занятии этот прием необходимо закрепить не ме-
нее чем шестью примерами, решаемыми «на скорость».
2. Цифры у разных народов
Мысль выражать все числа знаками
настолько проста, что именно из-за этой простоты
сложно осознать, сколь она удивительна.
Пьер Симон Лаплас (1749-1827),
франц, астроном, математик, физик
Цифры - условные знаки для обозначения чисел. Первыми запи-
сями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или кос-
тях, а позднее - черточки. Но большие числа изображать таким об-
разом неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для
некоторых совокупностей черточек. В Древнем Египте около 5 000
лет назад стали обозначать число 10 так: п, число 100 - знаком
17
Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например,
число 124 записывали (справа налево) так:
lllinng.
Народы Междуречья (жившие между Тигром и Евфратом) сна-
чала обозначали числа с помощью кругов и полукругов разной ве-
личины, а затем только двумя клинописными знаками - «прямым»
клином ▼, обозначавшим единицу, и «лежащим» ◄ - 10. Исполь-
зуя десятеричную систему счисления, число 23, например, изобра-
жали так: ◄ ◄
В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10 000 обозна-
чали соответственно буквами Г, Д, Н, X, М, а 1 - наклонной черточ-
кой /. Например, 12136 изображалось так: МХХНДДДГ/.
Вавилоняне считали не десятками, а шестидесятками, т.е. 60 еди-
ниц составляли одну единицу следующего разряда. Например, чис-
ло 185 представлялось как три раза по 60 и 5. От этой шестидесяте-
ричной системы осталось измерение времени. Действительно, час
состоит из 60 минут, минута - из 60 секунд. Деление окружности на
градусы, секунды тоже пришло к нам от вавилонян.
Современные цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые используют
большинство народов мира, - ценнейший вклад народов Индии в со-
кровищницу математических знаний. У индусов цифры заимствова-
ли арабы, от них эти цифры распространились в Х-ХШ вв. в Европе,
а затем и во всем мире. Европейцы назвали их арабскими. То, что одна
и та же цифра может обозначать число единиц, десятков, сотен или
тысяч в зависимости от того, какое место (позицию) в записи числа
она занимает, было великим открытием. Оно поражает своей просто-
той. Такая система нумерации называется позиционной.
Арабские числа в России стали применять в основном в XVIII в.
До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над бук-
вами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа.
В одной из русских рукописей XVIII века написано: «... Знай же
то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион,
и что есть леодр...;... сто есть десятью десять, а тысяща есть десять
сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть де-
сять легионов...»
Первые девять чисел записывались так:
1	2	3	4	5	6	7	8	9
к	Б	г	А		5	3	й	
18
десятки обозначались так:
10	20	30	40	50	60	70	80	90
т	К	А	м	N	3	0	п	ч
Д - 1 000, g-2000,	-7000.
X	X	X
Десятки тысяч назывались «тмы», и их обозначали, обводя зна-
ки единиц кружками, например, числа 10 000, 20 000, 50 000 соот-
ветственно записывались следующим образом:
Отсюда и произошло выражение «тьма народу», т. е. очень мно-
го народу.
Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя
знаки единиц кружками из точек. Например, числа 100 000, 200 000
соответственно имели обозначение
©•
Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя зна-
ки единиц кружками лучей или запятых. Так, числа 106 и 2 • 106 обо-
значались соответственно
(А)или (А| ’ (Б)или t Б •
Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», и
их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя
по обе стороны букву К, например, числа 107, 2 • 107 обозначались
соответственно
КЙК, 1хБ/илиКБК
х + *	* + *
19
Сотни миллионов назывались «колодами».
«Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под бук-
вой ставили квадратные скобки. Например, число 108 записывалось
в виде	,_j
А-
Числа от 11 до 19 обозначались так:
11	12	13	14	15	16	17	18	19
AI	Б1	п	дП	€1	si		Й1	
Остальные числа записывались буквами слева направо, напри-
мер, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение
<^>ЛЛД, Ja^A€.
При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельнос-
ти (счете, торговле и т.д.) часто вместо кружков ставили знаки «X» перед
буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч, например, запись
фллд фллд
означает соответственно 500044 и 54004.
В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч
миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых руко-
писях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до
числа 1050. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому
уму разумети».
В основе римской нумерации использованы принципы сложения
(например, VI = V + I) и вычитания (например, IX = X -1). Римская
система нумерации десятичная, но непозиционная. Римские цифры
произошли не от букв, первоначально обозначались, как и у многих
народов, «палочками» (1 - один, X - 10 - перечеркнутая палочка,
V - 5 - половина от десяти, сто - кружочек с черточкой внутри, пять-
десят - половина этого знака и т. д.).
Со временем некоторые знаки изменились: С - сто, L - пятьде-
сят, М - тысяча, D - пятьсот. Например: XL - 40, LXXX - 80,
ХС - 90, CDLIX - 459, CCCLXXXII - 382, CMXCI - 991,
MCMXCVIII - 1998, MMI - 2001.
20
«Золотые мысли»
•	Учиться нелегко, но интересно.
Ян сЛмОС Коменскиб (4 §9 2—46%О),
ieiucknd педагог, писатель
•	Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил
ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию.
Ян сЯмос КоменскиЖ
•	Учиться можно только весело... Чтобы переваривать знания, надо
поглощать их с аппетитом.
сАнатоль Ф^анб,
французский писатель ХТХ—ХХ М.
--------  Г'1"	-----------
3. Решение логической задачи
Имеются три карточки, одна из сторон которых - красная или
зеленая, или синяя, другая сторона у всех белая. На белой стороне
одной из карточек написано «красный», на другой - «зеленый», а на
третьей - «красный или синий». Ни одна из записей не соответству-
ет действительности. Какого цвета каждая карточка?
Решение. Начинать рассуждения надо с карточки, на которой
написано «красный или синий»: эта запись неверна, значит, карточ-
ка зеленая. Далее смотрим на карточку, на которой написано «крас-
ный». Значит, она или зеленая, или синяя. Но зеленая уже есть, сле-
довательно, эта карточка синяя. И, наконец, карточка с надписью
«зеленый» - красная.
Вариант этой задачи. На одной из сторон каждой из
трех карточек нарисованы квадрат, треугольник, круг. На другой сто-
роне написано «круг или треугольник», «квадрат», «треугольник».
Ни одна из записей не соответствует действительности. На какой из
карточек изображены: квадрат, треугольник, круг?
Занятие 3
1.	Приемы устного счета.
Интересный способ умножения
В ы ч и с л и т ь: а) 13 • 64; б) 24 • 17.
Решение:
а)	произведение 13 • 64 не изменится, если первый множитель
умножить на 2, а второй разделить на 2, т.е. 13  64 = 26 • 32 = 52 • 16
и так далее, пока не получим 832 • 1 = 832;
б)	24 • 17 = 12 • 34 = 6 • 68 = 3 • 136 = ?
лучше так:
24- 17 = 24-16 + 24,24-16 = 48-8 =96-4= 192-2 = 384-1 =384,
тогда 24 • 17 = 384 + 24 = 408.
Занимательное умножение. Парад чисел:
а)11 • 11 = 121
111 • 111 = 12321
1111 • 1111 = 1234321
11111 • 11111 = 123454321
111111111 • 111111111 = 12345678987654321
б) 1 • 9 + 2 = 11
12-9 + 3 = 111
123 -9 + 4= 1111
1234-9 + 5 = 11111
12345 -9 + 6= 111111
123456-9 + 7= 1111111
в) 9-9 +7 = 88
98-9 + 6 = 888
987  9 + 5 = 8888
9876-9 + 4 = 88888
98765 • 9 + 3 = 888888
987654-9 + 2 = 8888888
9876543-9+ 1 =88888888
98765432 • 9 + 0 = 888888888
Не правда ли, красиво?
22
2. Мы живем в мире больших чисел
Задумывались ли вы когда-нибудь о том, сколько километров
проходит человек за свою жизнь, сколько товаров производится и
приходит в негодность ежечасно в пределах города, страны? Сколь-
ко времени заняло бы выполнение самым быстрым расчетчиком
миллиона вычислительных операций, которые современная вычис-
лительная машина выполняет за... секунду? Во сколько раз скорость
пассажирского реактивного самолета превосходит скорость трени-
рованного спортсмена-пешехода? Ответы на эти и тысячи подобных
вопросов выражаются числами, занимающими зачастую по числу
своих десятичных разрядов целую строку и даже больше.
Для сокращения записи больших чисел давно используется сис-
тема величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз боль-
ше предыдущей:
1000 единиц - просто тысяча (1000 или 1 тыс.)
1000 тысяч - 1 миллион (1 млн)
1000 миллионов - 1 биллион (или миллиард, 1 млрд)
1000 биллионов - 1 триллион
1000 триллионов - 1 квадриллион
1000 квадриллионов - 1 квинтиллион
1000 квинтиллионов - 1 секстиллион
1000 секстиллионов - 1 септиллион
1000 септиллионов - 1 октиллион
1000 октиллионов - 1 нониллион
1000 нониллионов- 1 дециллион
ит. д.
Таким образом 1 дециллион запишется в десятичной системе
единицей с 3-11=33 нулями:
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Как писал Самуил Яковлевич Маршак: «Напрасно думают, что
ноль играет маленькую роль».
При записи больших чисел часто используют степень числа 10.
Степень числа - произведение его самого на себя требуемое число
раз, которое называется показателем степени (а само число - ее осно-
ванием). Например, 3 • 3 = 32(здесь 3 - основание, 2 - показатель степе-
ни), 2 • 2 • 2 = 23, 10- 10 = 102 = 100, 105 = 10 • 10- 10- 10- 10= 100000.
Заметьте, что число нулей степени 10 всегда равно ее показателю:
101 = 10, 102= 100, 103= 1000 и т.д.
И еще одно: математики во всем мире давно приняли, что любое
число в нулевой степени равно единице (о°= 1).
23
Таким образом,
единица	- 10°	=1
тысяча	- 103	=1	000
миллион	- 106	=1	000	000
биллион	- 109	= 1	000	000	000
триллион	— 10*2	= 1	000	000	000 000
квадриллион- 10'5 = 1 000	000	000	000	000
квинтиллион- 10’8 = 1 000	000	000	000	000	000
секстиллион — 1021 = 1 000	000	000	000	000	000	000
септиллион - 1024 = 1 000	000	000	000	000	000	000	000
октиллион - 1027 = 1 000	000	000	000	000	000	000	000 000
В заключение приведем несколько интересных сведений:
радиус Земли - 6400 км;
длина земного экватора - около 40 тыс. км;
площадь земного шара - 510 млн км;
масса земного шара - 6 секстиллионов тонн;
среднее расстояние от Земли до Солнца - 150 млн км;
диаметр нашей Галактики - 85 тыс. световых лет (1 световой
год = 9 трлн 500 млрд км).
Примерно 1 млн дней минул со дня открытия первых Олимпий-
ских игр в Древней Греции (776 г. до н. э.).
С начала нашей эры прошло немногим более миллиарда секунд.
Попробуйте подсчитать, сколько дней вы прожили, сколько ки-
лометров (приблизительно) прошагали. Задумайтесь об этих числах.
3. Решение олимпиадных задач
Задача 1. Тетрадь, ручка, карандаш, книга стоят 37 р. Тетрадь,
ручка, карандаш стоят 19 р. Книга, ручка, карандаш стоят 35 р. Тетрадь и
карандаш вместе стоят 5 р. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?
Решение:
(1) Т + Р + Кр + Кн = 37
(2)Т + Р + Кр= 19
(3) Кн + Р + Кр = 35
(4) Т + Кр = 5
(1)-(2): Кн = 37-19=18,
(2)-(4): Р = 19-5 = 14,
(1)-(3): Т = 37-35 = 2,
(4):	Кр = 5-2 = 3.
Ответ: книга стоит 18, ручка - 14, тетрадь - 2, карандаш - 3 р.
24
Задача 2. Даны восемь точек. Никакие три из них не лежат на
одном отрезке прямой. Сколько всего разных отрезков прямых мож-
но провести через эти восемь точек? (Решение сопроводить поясне-
нием.)
Решение: каждая из восьми точек может быть соединена с
каждой из семи точек (сама с собой не соединится) 8 • 7, но при
соединении мы проводили отрезок прямой к восьмой, поэтому все-
го разных отрезков будет 8 • 7 : 2 = 28.
О т в е т: 28 отрезков.
Задача 3. Пять мальчиков, встретившись, обменялись руко-
пожатиями. Сколькими?
Решение: 5 -4:2 = 10.
Ответ: 10 рукопожатиями.
«Золотые мысли»
•	Истинную философию вещает природа; но понять ее может
тот, кто научился понимать ее язык, при помощи которого
она говорит с нами. Этот язык есть математика.
Калиле о Калиле^ (4 §64—4642),
итальянский у1еный, один иЗ основателей
тоЬного естестбоЗнания
•	Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает вни-
мание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе
настойчивость и упорство в достижении цели.
сАлександ^ Мбано6и1 Маркуше 6и1 (4908—49^9),
советский педагог и математик
•	Математика - первая из всех наук и полезна, и необходима
для них.
Родэ/сеф Ъэкон (4244— 4292),
английский философ и естествоиспытатель
•	Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу-
чение природы.
Юмитфий К1бано6и1 К1исафе6 (4840—4868),
фусский публицист и литефатуфный кантик
---------  П|	I I 	------
25
4. Уникурсальные кривые (фигуры)
Начертите каждую из фигур, изображенных на рис. 1, не отры-
вая карандаша от бумаги и не проводя более раза по одной и той же
линии.
Многие начинают с фигуры г, по виду наиболее простой, однако
все попытки нарисовать ее одним росчерком, как правило, не удают-
ся. С меньшей уверенностью ученики приступают к остальным фи-
гурам и, к своему удивлению и удовольствию, без больших затруд-
нений справляются с фигурами а и б и даже с замысловатой в. Но
фигуры г и д никому не удавалось нарисовать одним росчерком.
Нельзя ли указать какой-нибудь признак, по которому можно было
заранее судить о том, можно ли нарисовать конкретную фигуру од-
ним росчерком или нет?
Решение. Назовем каждый перекресток, в котором сходятся
линии данной фигуры, узлом: четным, если в нем сходится четное
число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий не-
четное. На фигуре а все узлы четные, на б (в узлах ее сходятся по
2 линии) два нечетных (Л и В) и четыре четных (С, D, Е, F) узла, на
фигуре в нечетными узлами являются точки А, 5; на фигурах г и д по
четыре нечетных узла.
Рассмотрим сначала фигуру а, в которой все узлы четные. Нач-
нем свой маршрут из любой точки. Проходя через узел, мы прово-
дим две линии: подводящую к узлу и выводящую из него. Так как из
каждого четного узла есть столько же выходов, сколько и входов в
26
него, то по мере продвижения от узла к узлу каждый раз непрове-
денных линий становится на две меньше, следовательно, принципи-
ально возможно, обойдя их все, вернуться в исходную точку.
Фигуру а можно, например, обойти так:
Фигуру б с двумя нечетными узлами Л и В тоже можно начертить
одним росчерком.
Начнем обход с одного нечетного узла и пройдем по какой-ни-
будь линии до другого нечетного узла, например, по АСВ. Тем са-
мым мы исключили по одной линии из каждого нечетного узла.
В результате оба нечетных узла стали четными, и мы получили ос-
тавшуюся фигуру только с четными узлами (треугольник BDA с ок-
ружностью), которую, как было показано, можно начертить одним
росчерком.
Замечание. Начиная обход с одного нечетного узла, надо
путь, ведущий в другой нечетный узел, выбрать таким, чтобы не об-
разовалось фигур, изолированных отданной. Например, при вычер-
чивании фигуры б было бы неверно идти из нечетного узла А в не-
четный узел В по прямой АВ, так как при этом окружность останет-
ся изолированной от остальной фигуры.
Итак, если фигура содержит два нечетных узла, то успешный
росчерк должен начинаться в одном из них и заканчиваться в дру-
гом. Значит, концы росчерка разъединены. Отсюда, в свою очередь,
следует, что если фигура имеет четыре нечетных узла, то ее можно
нарисовать не одним росчерком, а двумя, но это уже не соответству-
ет условию нашей задачи. Таковы, например, фигуры г и д.
Фигуры a-е имеют в математике специальное название - уни-
курсалъные.
Итак:
1) в уникурсальной кривой может быть любое число четных уз-
лов, но не более двух нечетных;
2) если в фигуре только четные узлы, то обход можно начинать с
любой точки;
3) если в фигуре два нечетных узла,
то обход нужно начинать с одного из
них, а заканчивать - в другом нечетном
узле.
Задание. Начертите каждую из
фигур, изображенных на рис. 2, одним
росчерком.
27
5. Конкурс «Кто больше знает
пословиц1, поговорок, загадок,
в которых встречаются числа?»
Например:
•	Воюй не числом, а умением.
•	Два конца, два кольца, посередине гвоздик.
•	Под одной шляпкой четыре братца стоят.
•	Сто одежек, и все без застежек.
•	Семьсот ворот, да один выход.
‘Gw. также с. 201.
Занятие 4
1. Приемы устного счета. Возведение
в квадрат чисел, оканчивающихся на 5
Любое такое число можно представить в виде 10А + 5,
где А - общее количество десятков в числе (например, в 395А = 39).
Умножим число 10А + 5 само на себя (сначала - на 1ОА, потом - на
5 и результаты сложим):
(10А + 5) • (10А + 5) = (10А + 5)10А + (10А + 5)5 =
= 100А2+ 50А + 50А + 25 = 100А • А + 100А + 25 = 100А (А + 1) + 25.
В этом числе А(А+1) - количество сотен. Т.е., чтобы возвести в
квадрат число, оканчивающееся на 5, надо: отбросив 5, перемно-
жить оставшееся число (десятков) на следующее по порядку и к
результату приписать 25. Например, чтобы 395 умножить на 395,
надо 39 умножить на 40, а это 1560, и приписать справа 25,
т.е. 395-395 = 156 025.
Аналогично,
15- 15 = 225 (1 умножаем на 2 и приписываем 25),
75 • 75 = 5 625 (7 умножаем на 8 и приписываем 25),
9 005 • 9 005 = 81 090 025 [900 умножаем на 901 (устно - наобо-
рот: 901 • 900 = 810 900) и приписываем справа 25]. Проверьте себя,
разделив последний результат на 9005 столбиком или на калькулято-
ре. Запомните этот прием умножения, он поможет вам не раз.
2. Биографическая
миниатюра.
Пифагор (ок. 570 г. —
ок. 500 г. до н. э.)
Крепкого телосложения юношу
судьи одной из первых в истории
Олимпиад не хотели допускать к
спортивным состязаниям, так как он не
вышел ростом. Но он не только стал
Участником Олимпиады, но и победил
29
всех противников. Такова легенда... Этот юноша был Пифагор - зна-
менитый математик.
Вся его жизнь - легенда, точнее, наслоение многих легенд. Он
родился на острове Самос, у берегов Малой Азии. Всего пять кило-
метров водной глади отделяло этот остров от большой земли. Со-
всем юным Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Егип-
та, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших
перед ним тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет - в
Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и
там, в Кротоне, создает удивительную школу, которую назовут пи-
фагорейской.
Они были трудолюбивы и аскетичны - Пифагор и его ученики.
Вот заповеди пифагорейцев.
•	Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не прину-
дит раскаиваться.
•	Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что
следует знать.
•	Не пренебрегай здоровьем своего тела.
•	Приучайся жить просто и без роскоши.
•	Прежде чем лечь спать, проанализируй свои поступки за день.
Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору,
какие - его воспитанникам. Но рассказывают, что Пифагор, доказав
свою знаменитую теорему, отблагодарил богов, принеся им в жерт-
ву 100 быков.
Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пере-
сказах Аристотеля и Платона. Греческий ученый Гераклит утверж-
дал, что Пифагор ученее всех современников, однако порицал его за
склонность к магии. Дело в том, что числа для пифагорейцев были
наполнены мистическим содержанием, они преклонялись перед гар-
монией чисел.
Четные числа, допускавшие раздвоение, казались пифагорейцам
более разумными, олицетворяли некое положительное начало. Чис-
ло 4, например, олицетворяло у пифагорейцев здоровье, гармонию,
разумность. Мистика цифр и чисел сохранилась и до наших дней.
Так, число 13 - «чертова дюжина», 3,12-«счастливые» числа, 666-
«число зверя, дьявола».
Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему при-
надлежит немало великих догадок. Вот почему люди помнят его уже
две с половиной тысячи лет, а среди знаменитых олимпийских чем-
30
пионов Пифагор наиболее знаменит, - ему выпало счастье победить
не только соперника, но и время.
Теорема Пифагора доказана более чем 100 способами. И хотя
изучают ее в 8-м классе, понять ее может и пятиклассник. Приведем
наиболее простое геометрическое доказательство этой теоремы: пло-
щадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треу-
гольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его
катетах.
Нарисуем два равных квадрата, стороны которых равны (а + Ъ) -
сумме двух катетов (сторон, образующих прямой угол) прямоуголь-
ного треугольника (рис. 5). Затем в полученных квадратах выпол-
ним построения (рис. 4, рис. 5).
Все заштрихованные на рис. 4, 5 фигуры - квадраты со сторона-
ми равными катетам (рис. 4) и гипотенузе (рис. 5) нашего треуголь-
ника. Очевидно, что сумма площадей заштрихованных квадратов на
рис. 4 равна площади заштрихованного квадрата на рис. 5,а именно
площади квадрата со стороной (а + Ь) за вычетом четырех площадей
равных между собой треугольников.
Итак, теорема Пифагора доказана.
Необычное начинается уже с названия этой теоремы.
Теорема Пифагора (без доказательства) встречается еще в ва-
вилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была
известна в Китае и Индии. Одно из древнейших доказательств
теоремы Пифагора, очень громоздкое и трудное, дано Евклидом.
О прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 единиц дли-
ны за 200 лет до н. э. знали и египтяне, считая его магическим.
Числа 3, 4, 5 обладают и другими интересными свойствами. На-
пример,
З3+ 43+ 53= 63.
31
---- 	г 	---------
«Золотые мысли»
• Разумеется, хорошая математика красива.
97.S). Коэн, собр. у1еныЖ-экономист
•	Арифметика... есть основание всей математики.
Л.<Н. <Л1олсшо4 (1828—1910),
беликиА русский писатель
•	Счет и вычисления - основа порядка в голове.
<Иоганн Генрих ЧЗесталоууи (1^46—182^),
шбеЖу. педагог-демократ
•	Возможно, что, если бы люди имели не по десять, а по один-
надцать пальцев на руках, была бы принята одиннадцатирич-
ная система счисления.
<Лнри Лебег (18^§—1941), франц, математик
---------------------- I1		--------
3.	Решение олимпиадных задач
Рис. 6
Рис. 7
1	15	17
3	13	19
5	11	21
7	9	23
Рис. 8
Задача 1. Разделите сад (рис. 6) на четыре
равные части.
Решение: см. рис. 7.
Задача 2. Можно ли из таблицы (рис. 8)
выбрать пять чисел, сумма которых равна 50?
Решение: все числа в таблице нечетные, а
сумма пяти нечетных чисел - число нечетное и
поэтому равняться 50 - четному - не может.
Задача 3. Проведите через шесть точек
четыре прямые так, чтобы на каждой прямой было
по три точки.
Р е ш е н и е: см. рис. 9 и 10.
Задача 4. Проведите через 10 точек пять пря-
мых так, чтобы на каждой было по четыре точки.
Решение: см. рис. 11.
Среди математических задач и развлечений
часто встречаются числовые ребусы или крипто-
рифмы. Вот несколько из них. В этих примерах
32
все цифры заменены буквами. Одинаковы-
ми буквами обозначены одинаковые цифры,
а разными буквами - неодинаковые цифры.
Требуется восстановить первоначальный вид
примера.
УРАН
Задача 5. + УРАН
НАУКА
Решение подобных задач достигается
не механическим перебором вариантов, а
строго логически. Можно рассуждать, напри-
мер, так:
сумма двух четырехзначных чисел равна
пятизначному. Это возможно, если буква Н
УРАХ
обозначает!: + Vnn
УРАХ
{АУКА	УР21
Значит, буква Л обозначает цифру 2: + ур2\
ПУК2
6Р21
Далее, буква У обозначает цифру 6: +
126ЛГ2
Таким образом, буква Р обозначает цифру 3, буква К-цифру 4.
Окончательно
6321
+6321
12642
Решение единственное.
Интересно, что ответ неоднозначен.
ВОРОН
Задача 6. Восстановить цифры в примере + СГЛЯ ,если
ЛЕТЕЛА
разные буквы обозначают разные цифры, и число СТО делится на 139.
Решение. Заметим, что сумма пятизначного и четырехзнач-
ного чисел может быть шестизначной только когда первая цифра
суммы 1, вторая цифра 0, а первая цифра пятизначного числа 9.
33
<ЮРОН
Поэтому данный пример принимает вид + СТАЯ •
10T0L4
Так как СТО делится на 139, то оно является одним из следую-
щих чисел: 139,278,417, 556,695, 834,973, и поскольку разные бук-
вы обозначают разные числа, то надо рассмотреть только два слу-
чая: СТО =278 и СТО =834.
В первом случае в разряде тысяч «сверху вниз» стоят цифры 8,2,7,
но при сложении 8 + 2 даже при переносе единицы из разряда сотен
не может получиться цифра 7, и, следовательно, этот случай
94Р4Н
невозможен, т.е. = 834. Теперь пример принимает вид + ^АЯ '
1030Ы
Ясно, что при сложении в разряде десятков переносится еди-
ница, и поэтому Р = 6, и из того же разряда десятков видно, что
А = 7. Для букв НиЯ остаются две возможности: одна из них 2,
другая 5.
Таким образом, данный пример расшифровывается двумя
103017
8372 '
94645
-	103017
способами: -
8375
94642
Задача 7. ДВА
ДВА
****
*** 2J
2?***
ЧЕТЫРЕ
Решение: буква А обозначает не единицу, не пятерку и не
шестерку, так как последние цифры множителей и произведения раз-
ные. Значит, второе частное произведение
ДВА • В = ***В
может оканчиваться буквой В, только если она обозначает пятерку, а
буква А - какую-то нечетную цифру.
Из столбца шестого разряда видно, что Е меньше Ч. Следова-
тельно, Е не может обозначать девятку, поэтому (см. 1-й разряд произ-
ведения) А не может быть тройкой или семеркой. Отсюда А = 9, Е = 1.
34
После этого несложно найти, что 4= 2, Д = 4.
Окончательно, 459
Х459
4131
+ 2295
1836
210681
Решение единственное.
Задание на дом:
1) ТУЗИК 2) СПОРТ 3) РЕБУС
ТУЗИК СПОРТ Х Р
КАРТУЗ КРОСС ССССС
О т в е т: 1) ТУЗИК-54271; 2) СПОРТ-$3 972; 3)РЕБУС-79365.
4.	Игра «Перекладывание карточек»
Напишите на 16 одинаковых карточках числа от 1 до 16. Предло-
жите одному из присутствующих загадать какое-нибудь из написан-
ных чисел. Соберите карточки в одну стопку числами вниз, а затем,
раскрывая карточки по одной, складывайте их числами вверх попе-
ременно в две стопки А и Б. Спросите у человека, задумавшего чис-
ло, в какой стопке оно находится. Предположим, получен ответ, что
задуманное число находится в стопке А. Наложите тогда стопку Б на
стопку А и, перевернув получившуюся стопку из 16 карточек числа-
ми вниз, разложите опять карточки на две стопки, как указано выше.
Эту процедуру с разложением карточек следует проделать четыре
раза. После четвертого ответа легко найти карточку с задуманным
числом. Она будет нижней в стопке из восьми карточек, указанных в
последний раз. Это легко понять, если представить, куда будет попа-
дать карточка с задуманным числом при каждом раскладывании.
В момент после того, как карточки были разложены на две стопки
в первый раз, затем опять сложены в одну стопку, как указано в усло-
вии задачи, карточка с задуманным числом находится среди восьми
нижних. Эти восемь карточек при следующем раскладывании распре-
делятся между двумя стопками поровну. Значит, после того как кар-
точки будут собраны в одну стопку второй раз, карточка с задуман-
ным числом будет находиться среди четырех нижних. В третий раз
она будет среди двух нижних карточек, и, наконец, после четвертого
раскладывания загаданная карточка будет нижней в одной из стопок.
35
5.	Стихотворная страничка
«Математика во всем», - нам твердят.
Многие не верят, спорить норовят:
«Математика от нас далеко...
Жить на свете без нее так легко!..»
Но пойдет однажды вечером дождь.
Подойдешь ты к окну и поймешь:
Всё на свете, что видишь, давно
Математикой отражено.
Ты вглядись: от фонаря свет
Векторами разлетается. Нет?
Точки капель, окружности луж -
Неужели ты не видишь? Ну ж...
Окошек плоскости отрезками полны...
И вечна траектория Луны...
А по параболе летит метеорит.
Через мгновенье в атмосфере он сгорит...
Многоугольники, квадраты и круги...
Пространства - времени неслышные шаги...
Всё движется и мчится, все улетает вдаль.
А кто не видит этого...
того мне просто жаль.
Дарья Артёмова,
ученица гимназии №1534
Занятие 5
1.	Метрическая система мер
При любой деятельности человек выполняет разные измерения
и вычисления. Но для этого ему нужны разные меры длины, массы,
объема. Первыми мерами длины на Руси были: вершок - расстояние
между концами большого и указательного пальцев, сажень, косая
сажень, локоть, ладонь, шаг и т. д. До сих пор мы иногда измеряем
небольшие расстояния шагами. Но для измерения больших земель-
ных участков длины шага было недостаточно, поэтому появились
новые меры: двойной шаг, тысяча двойных шагов, т. е. миля. У раз-
ных народов известны свои древние меры длины: «бычий рев», т. е.
расстояние, на котором слышен рев быка; «коровий крик»; «петуши-
ный крик»; «пока закипает котел воды», т. е. расстояние, на которое
человек уходит за это время; «стрела», т. е. расстояние дальности
полета стрелы; «бука» - расстояние, с которого человек перестает
видеть раздельно рога быка (Сибирь).
В Японии мерой длины был «лошадиный башмак», т. е. путь, про-
ходимый лошадью, пока не сносится соломенная подошва (японская
подкова). Индейцы при покупке земли считали в качестве единицы из-
мерения территорию, которую мог обойти человек за один день. Поэто-
му покупатели нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.
В 1101 г. в Англии за единицу длины было принято расстояние
от кончика носа короля Генриха I до конца среднего пальца его вы-
тянутой руки. Эта единица получила название «ярд». В XIV в. анг-
лийский король Эдуард II ввел малую единицу длины - дюйм, рав-
ную длине трех ячменных зерен, вынутых из средней части колоса и
приставленных одно к другому своими концами». Фут же равнялся
среднему арифметическому «длины ступней 16 человек, вышедших
от заутрени в воскресный день».
Все эти меры были случайными, часто очень неудобными. Из-за
неправильных измерений возникали ссоры, недовольства, волнения.
Появилась необходимость упорядочить существующее многообра-
зие мер.
Во многих странах работали над созданием новых, единых мер.
И в 1875 г. представители почти 20 государств подписали соглаше-
37
ние о принятии единой метрической системы. Были изготовлены и
выданы государствам - членам метрической конвенции эталоны мет-
ра (длины) и килограмма (массы). Большая роль в создании этой еди-
ной международной метрической системы принадлежит Петербург-
ской Академии наук и, прежде всего, одному из ее членов -
Б.С. Якоби (1801—1874), русскому физику и электротехнику.
Задача 1. Как бы вы назвали известный роман Жюля Верна
«20 000 льё под водой» в существующих ныне единицах длины?
Решение: 1 морское льё = 5,555 км, следовательно,
5,555-20 000= 111 100 км.
О т в е т: «111 100 километров под водой».
Задача 2. В этом же романе говорится о загадочном существе
длиной три мили и шириной в милю. Выразите размеры этого суще-
ства в современных единицах.
Решение: морская миля равна 1 852 м. Таким образом, суще-
ство имело следующие размеры:
ширина 1 852 м = 1 км 852 м,
длина 1 852 м • 3 = 5 556 м = 5 км 556 м.
Ответ: ширина загадочного существа 1 км 852 м, длина 5 км 556 м.
-------  I ,ГТ		-------
«Золотые мыслив
•	Мы... никогда не стали бы разумными, если бы исключили
число из человеческой природы.
Платой (428—348 до н. э.),
дфобимф^оскиЖ философ-идеалист
•	Число, выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и
русский, и араб, и янки одинаково.
Фмитфий 34бано6и1 Мвндвлвоб (4834—490^),
быдаюцийся русский у1вны4-%нмик
•	Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир,
дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.
Спвнсвф (4820—4903),
английский философ и социолог
•	Твой ум без числа ничего не представляет.
^Николай Кубанский (4404—4464),
немецкий философ
38
2.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Двести лет назад в городе Калининграде (в те годы
он назывался Кенигсберг) было семь мостов (рис. 12), соединяю-
щих берега реки Прегель.
Рис. 12
В 1736 г. крупнейший математик того времени Леонард Эйлер
(тогда ему было 30 лет) решил выяснить: можно ли, гуляя по городу,
пройти все семь мостов, но каждый из них только по одному разу?
Решение. Эта задача равносильна задаче о вычерчивании фи-
гуры, изображенной на рис. 1, д, не имеющей решения. Л. Эйлеру
не оставалось ничего другого, как доказать невозможность обхода
всех семи мостов по разу, что он и сделал.
Задача 2. Оса забралась в банку из-под сахара. Банка имеет
форму куба. Сможет ли оса последовательно обойти все двенадцать
ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и
перелетать с места на место она не может.
Решение: каждая вершина куба есть узел, причем нечетный.
Таких узлов больше двух (вершин 8), значит, оса не сможет обойти
все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру.
Задача 3. На рис. 13 приведен план подземного лабиринта
(подвала из 16 комнат, соединенных дверями).
Можно ли, начиная с комнаты 1, обойти комнаты так, чтобы прой-
ти все двери комнат только один раз? В какой комнате закончится
обход?
39
13 II	_ 14 ||	_15	16 II
12 " II	//II II	10 ||	9 I'
5 II	= 6"	= II	_7 II	_ 8 I' ||
4 II	- 5	_2	= 1
Рис. 13
Решение: заменим комнаты точками, а двери - отрезками
(рис. 14).
Так как у нас два нечетных узла
7 и 5, то данная фигура является уни-
курсальной. Значит, можно, начиная
с одного нечетного узла (7), обойдя
все узлы по одному разу, прийти в
другой нечетный узел (5).
Ответ: можно, закончив обход
в комнате 5.
Задача 4. На рис. 15 изоб-
ражен план подвала из десяти ком-
нат. Можно ли пройти через все
двери всех комнат, запирая каждый
раз дверь, через которую вы про-
ходите? С какой комнаты надо на-
чать движение?
Решение: заменяя комнаты
точками, а двери - дугами, отрез-
ками, получим фигуру с двумя не-
четными узлами 8 и 10 (рис. 16),
значит, она является уникурсаль-
ной, т. е. можно пройти через все
двери комнат, запирая каждый раз
ту, через которую прошли.
Ответ: можно, начав движение
с комнаты 8 или 10.
40
3.	Литературная странника.
Геометрия Гулливера
Джонатан Свифт - автор «Путешествия Гулливера» - осмотри-
тельно избежал опасности запутаться в геометрических отношени-
ях. В стране лилипутов нашему футу соответствовал дюйм, а в стра-
не великанов, наоборот, дюйму - фут. Другими словами, у лилипу-
тов все было в 12 раз меньше, а у великанов - во столько же раз
больше. Эти на первый взгляд простые отношения сильно усложня-
лись, когда приходилось определять, например:
во сколько раз Гулливер съедал за обедом больше, чем лилипут?
во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм,
нежели лилипутам?
Автор «Путешествия» успешно справился с этими задачами. Он пра-
вильно рассчитал, что раз лилипут меньше Гулливера в 12 раз, то объем
его тела меньше в 12 • 12- 12, т. е. в 1 728 раз; следовательно, для насы-
щения Гулливера нужно в 1 728 раз больше пищи, чем лилипуту. И мы
читаем в «Путешествии» такое описание обеда Гулливера:
«Триста поваров готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были
поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими
семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и
ставил их на стол, а 100 прислуживало с пола; одни подавали кушанье,
остальные приносили бочонки с вином и другими напитками на шестах,
перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху, по мере надобности,
поднимали это на стол при помощи веревок и блоков...».
Правильно рассчитал Свифт и количество материала на костюм
Гулливеру. Поверхность его тела больше, чем у лилипута, в
12 • 12 = 144 раза; во столько же раз нужно ему больше материала,
портных и т. п. Все это учел Свифт, когда писал, что к Гулливеру
«было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить
пару платья по местным образцам». (Спешность работы потребова-
ла двойного количества портных.)
4.	Геометрическая головоломка. Танграм
Занимательных задач на разрезание квадрата
множество. Если разрезать квадрат, как показано
на рис. 17, то получится популярная китайская
головоломка танграм. которую в Китае называют
«чи чао тю», что означает «хитроумный узор из
семи частей».
41
Название «танграм» возникло в Европе, вероятнее всего, от сло-
ва «тань» (что означает «китаец») и корня «грамма» - «буква» (греч.).
Задание. Сложите фигуры, изображенные на рис. 18. (Указа-
ние. Первоначально найдите место самого большого треугольника.)
Об увлекательности этой игры говорит то, что французский импера-
тор Наполеон, сосланный на о. Св. Елены, часами занимался там
складыванием танграма.
Решение: см. рис. 19.
Эти фигуры можно собирать в течение нескольких занятий,
а потом устроить соревнование между учениками: кто быстрее?
Занятие в
1. Решение олимпиадных задач
Известно, что с помощью единицы последовательно получают-
ся все натуральные числа: 2 = 1 + 1;3 = 1 + 1 + 1;и т.д. Можно ли
натуральные числа представить иначе?
Задача 1. Можно ли для представления первых пятнадцати
чисел натурального ряда обойтись лишь одной цифрой 2, применяя
ее только пять раз и используя арифметические действия?
Ответ - можно:
1=2 + 2-(2+ 2: 2); 9 = 2- 2- 2 + 2:2;
2 = 2 + 2 + 2-2-2;	10 = 2 • 2 + 2  2 + 2;
3 = 2 + 2-2+ 2: 2;	11=22:2 + 2-2;
4 = 2 -2 -2-2 -2;	12 = 2 • 2 • 2 + 2 • 2;
5 =2 + 2 + 2-2 : 2;	13 = (22 + 2 • 2) : 2;
6 = 2-2 + 2 + 2-2;	14 = 2 • 2 • 2 • 2-2;
7 = 22:2-2-2;	15=22:2 + 2-2.
8 = 2-2-2 + 2-2;
Задание на дом. Можно ли первых десять натуральных
чисел представить цифрой 4, применяя ее только четыре раза и ис-
пользуя арифметические действия?
Ответ - можно:
1 = (44): (44);
2 = 4 : 4 + 4 : 4;
3 = (4 + 4 + 4) : 4;
4 = 4 + (4-4). 4;
5 = (4 • 4 + 4): 4;
6 = 4 + (4 + 4):4;
7 = 4 + 4-4:4;
8 = 4 + 4 + 4-4;
9 = 4 + 4 + 4:4;
Ю = (44-4):4.
Задача 2. В записи числа 16+12:4 + 2-12 расставьте скобки
так, чтобы получилось:
а)	наименьшее возможное число;
б)	наибольшее возможное число.
Решение:
(16+ 12): 4 + 2- 12 = 31, (16+12:4 + 2)- 12 = 252.
43
Задача 3. Изобразите числа 7; 23; 28; 100 только одинаковы-
ми цифрами: 2, 3, 5, 9, применяя арифметические действия.
Решение:
7	23	28	100
2-2-2-2:2 3+3+3:3 5+(5+5):5 9-(9+9):9	22+2:2 3-3-3-(3+3:3) 5-5-(5+5):5 (99+99+9):9*	22+2-2+2 3-3-3+3:3 55-5-5-(5+5):5 9+9+9+9:9	(222-222):2 33-3+3:3 5-5-5-5-5 99+9:9
*Это интересно! Число (аа + аа + а): а тождественно (всегда рав-
но) 23, если а - любая из цифр 1, 2, ..., 9:
[(10а + а) • 2 + а]: а = 23а: а = 23.
2.	Лабиринты
«Лабиринт» в переводе с греческого - сооружение со сложно рас-
положенными и запутанными ходами. Есть природные подземные
ходы в подземных пещерах. Люди, попавшие в них, могут заблу-
диться и умереть от голода и жажды. Есть искусственные: шахты
рудников или катакомбы.
Задачи о лабиринтах возникли в глубокой древности, но многие
и теперь считают их неразрешимыми.
До нас дошло много легенд о лабиринтах. Приведем одну
из них.
Дедал на острове Крит построил для царя Миноса лабиринт.
В центре лабиринта жил Минотавр - кровожадное чудовище с чело-
вечьим телом и головой быка, и никто из попавших туда не мог вый-
ти обратно, становясь в конце концов жертвой. Семь юношей и семь
девушек ежегодно приносили афиняне в дань Минотавру. Наконец,
юный Тесей не только убил Минотавра, но и вышел из лабиринта по
нити из клубка Ариадны: привязав конец нити у входа, Тесей, взяв
клубок, пошел искать Минотавра и, найдя, вступил с ним в поеди-
нок, который закончился победой юноши; возвращаясь по нити Ари-
адны, он вывел из лабиринта всех обреченных. С тех пор «нитью
Ариадны» называют способ, дающий выход из самого затруднитель-
ного положения.
Выход из каждого лабиринта может быть найден одним из сле-
дующих трех сравнительно простых методов.
1.	Метод проб и ошибок. Выбираете любой путь, а если он заво-
дит вас в тупик, то возвращаетесь назад и идете другим путем.
44
2.	Метод зачеркивания тупиков.
Последовательно зачеркиваете тупики,
т. е. маршруты, не имеющие ответвле-
ний и заканчивающиеся перегородкой
(рис. 20). Незачеркнутая часть коридо-
ров оказывается маршрутом к выходу.
3.	Правило одной руки. Оно состо-
ит в том, что по лабиринту надо дви-
гаться, не отрывая одной руки (пра-
вой или левой) от стены. Это прави-
ло не универсальное, но часто бывает
полезным. Его используют, когда все
стены хотя и имеют сложные пово-
Рис. 20
роты и изгибы, но составляют непре-
рывное продолжение наружной сте-
ны. Лабиринты не должны содержать
замкнутых маршрутов.
Задача 1. Как можно достать из
муравейника (рис. 21) зернышко?
Задача 2. Помогите Винни-
Рис. 21
Пуху пройти в домик Пятачка (рис. 22).
Рис. 22
45
Задача 3. Можно ли пройти по лабиринтам, изображенным
на рис. 23, а, б, используя правило одной руки (сворачивая только
направо, либо только налево)?
а
Рис. 23
Задача 4. Клад.
Стороны пяти квадратов, изобра-
женных на рис. 24, - коридоры, ве-
дущие к наименьшему внутреннему
квадрату, где зарыт клад, который
сможет получить только тот, кто до-
берется до него, пройдя все коридо-
ры по разу. Ни один коридор, даже ча-
стично, нельзя пройти дважды. Та-
ким же образом необходимо
вернуться назад.
Ответ: на рис. 25 показан путь
к кладу и обратно.
3.	Решение логических
задач матричным
способом
Задача 1. Катя, Маша, Вера,
Юля заняли первые четыре места в со-
ревновании. На вопрос, какие места
они заняли, трое ответили:
Катя: ни 1-е, ни 4-е;
Вера: не 4-е;
Маша: 2-е.
Решение: занесем условие
в таблицу.
46
Имя девочки	Занятое место			
	1-е	2-е	3-е	4-е
” Катя	—			—
Вера				—
Маша		+		
Юля				
Так как между множеством имен и множеством мест должно быть
взаимно однозначное соответствие, получаем:
Имя девочки	Занятое место			
	1-е	2-е	3-е	4-е
Катя	—	—	+	—
Вера	+	—	—	—
Маша	—	+	—	—
Юля	—	—	—	+
Ответ: Вера заняла 1-е, Маша - 2-е, Катя - 3-е, Юля -
4-е место.
Задача 2. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чер-
нов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что ни у кого из нас
цвет волос не соответствует фамилии, да и ты не брюнет». Какой
цвет волос у каждого из друзей?
Решение: составим таблицу:
Фамилия	Цвет волос		
	рыжий	черный	русый
Белокуров		—	—
Чернов		—	
Рыжов	—		
Так как между множеством фамилий участников беседы и мно-
жеством цвета волос должно быть взаимно однозначное соответ-
ствие, то получаем:
Фамилия	Цвет волос		
	рыжий	черный	русый
Белокуров	+	—	—
Чернов	—	—	4-
Рыжов	—	+	—
Ответ: Белокуров - рыжий,
Чернов - блондин,
Рыжов - брюнет.
47
Задача З.Из восьми колец одно легче других. Каково число взве-
шиваний на чашечных весах для определения более легкого кольца?
Решение: 1-й способ. Разобьем восемь колец по четыре. Взве-
сим ту группу колец, которая легче, разобьем ее по два кольца. Взве-
сим повторно. Кольца из более легкой пары подвергнем сравнитель-
ному взвешиванию. Таким образом, потребовались три взвешива-
ния для выявления легкого кольца.
Способ 2. Разобьем восемь колец натри группы: 3, 3 и 2.
Первое взвешивание: если группы по три кольца весят одинако-
во, то легкое находится среди оставшихся двух колец.
Второе взвешивание: взвесим оставшиеся два кольца и найдем
легкое кольцо.
Если группы по три кольца весят по-разному, то легкое содер-
жится среди той группы, которая весит меньше. Из этой группы
возьмем два кольца и взвесим, если они весят одинаково, то третье -
легкое. Если же весят по-разному, то легкое кольцо найдено.
Ответ: способ 1 - три, способ 2 - два взвешивания.
--------  । ----------------------------
«Золотые мысли»
•	Самодеятельность детей возбуждается только тогда, когда
задача или задачка более или менее замысловатая.
•	...дети чрезвычайно любят делать задачи с большими числами,
без всякого приложения, увлекаясь поэзией чистой математики.
./1.91. УПолстоА
•	Если мне в жизни и удавалось совершить какое-нибудь цен-
ное открытие, то в большей степени за счет терпения и вни-
мания, чем благодаря какому-либо другому таланту.
Исаак Ньютон (1643-^4?),
атл. математик, механик, астфоном и фиЗик
•	Нужно всеми средствами обучить искусству доказывать,
не забывая при этом и об искусстве догадываться.
Фъвфдъ ПоЖа
4.	Старинная восточная притча
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил трем
сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину их
числа, среднему - четвертую часть, а младшему - пятую. Не сумев
48
найти решение самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах»
решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
- О, мудрец! - сказал старший брат, - отец оставил нам 19 верблю-
дов и велел разделить между нами: старшему - половину, среднему -
четверть, младшему - пятую часть их числа. Но 19 не делится ни на 2,
ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, почтенный, помочь нашему горю?
- Нет ничего проще, - ответил им мудрец.
Что же он посоветовал?
Решение: возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -
Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5,
а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19)
остался «лишним». Братья вернулись к мудрец)' и пожаловались:
- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд
лишний.
- Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его
и идите домой.
5.	Как играть, чтобы не проиграть?
Кто раньше назовет число 1ОО?
Играют двое. Первый называет любое целое число от 1 до 9 включи-
тельно. Второй прибавляет к названному числу любое целое число от 1
до 9 и называет сумму, и т.д., выигрывает тот, кто первым назовет 100.
В этой игре начинающий (первый) всегда проигрывает, если его
партнер (второй) играет правильно. Нетрудно обнаружить способ
игры второго, обеспечивающий ему победу: «Добавляй до числа,
кратного 10!» Если, например, первый назвал 4, то второй прибав-
ляет 6 и называет сумму 10. Если первый теперь прибавит 9 и назо-
вет 19, то второй прибавит 1 и назовет сумму 20.
Ясно, что, как бы ни играл первый, второй при такой стратегии
первым «доберется» до суммы 100 и выиграет. Разумеется, если вто-
рой хоть раз ошибется, то этой же стратегией сможет воспользовать-
ся первый и одержит победу.
Замечание. Способ игры, обеспечивающий выигрыш одному
из игроков в любом случае, как бы ни играл его противник, называется
выигрышной стратегией. В рассмотренной игре выигрышная страте-
гия имеется у второго из партнеров, а начинающий всегда проигрывает.
Выигрышная стратегия - это секрет успеха, «ключ к победе»,
обладая которым, можно выиграть у любого сколь угодно сильного
противника.
Занятие 7
1. Приемы устного счета.
Возведение в квадрат трехзначных чисел,
оканчивающихся на 25
Для получения квадрата трехзначного числа (например, 325):
1)	пишем в конце 625;
2)	число сотен (3) умножаем на 5, у полученного числа(15) последнюю
цифру (5) пишем впереди числа 625, а первую цифру (1) запоминаем;
3)	число сотен данного числа (3) возводим в квадрат (3 • 3 = 9) и
прибавляем ту цифру, которую только что запомнили (9 + 1), а получен-
ный результат (10) пишем впереди написанных нами чисел: 105 625.
Примеры:
125-125 = [625; 1-5 = 5; 0;	5625;1 • 1 = 1;	1 + 0 = 1] = 15 625;
725 • 725 = [625;	7 • 5 = 35; 3;	5625;7-7 = 49;	49	+ 3 = 52] = 525 625;
525 • 525 = [625;	5-5 = 25; 2;	5625;5-5 = 25;	25	+2 = 27] = 275 625;
625 • 625 = [625;	6 • 5 = 30; 3;	0625;6 -6 = 36;	36	+ 3 =39] = 390 625;
225 • 225 = [625;	2-5= 10; 1;	0625;2-2 = 4;	4	+ 1 = 5] = 50625.
«Золотые мысли»
•	Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными спо-
собностями к счету бывают восприимчивы, можно сказать,
ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они
обучаются тому и упражняются, то хотя бы они не извлекали
из этого для себя никакой иной пользы, все же становятся
более восприимчивыми, чем были раньше.
Платон
•	Счет является, правда, низкой, но уже идеальной деятельно-
стью человека и с помощью его столь многое осуществляет-
ся в обыденной жизни.
$4<нанн Лолъфкии &inn
нем. писатель, мыслитель, естествоиспытатель
50
Твой ум без числа ничего не постигает.
(Николай Кубанский
•	Единица есть то, через что каждое из существующих счита-
ется единым.
•	Число же - множество, составленное из единиц.
$вклид (III в. до и. э.),
древнегреческий математик
•	Ни один человек еще не научился думать, читая в готовом
виде записанные мысли другого человека. Научиться думать
можно, лишь размышляя самостоятельно.
Михай Вминеску (48§0—'1889),
румынский (молдавский) поэт-романтик

2.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. В 5-м классе 30 учеников. Во время диктанта один
из учеников сделал 12 ошибок, а остальные - меньше. Докажите,
что в классе по крайней мере три ученика сделали одинаковое число
ошибок.
Решение: разобьем всех учеников класса на 13 групп:
1-я - ученики, которые написали диктант без ошибок;
2-я - ученики, которые сделали одну ошибку;
13-я - ученики, которые сделали 12 ошибок.
Если в каждой группе по два ученика, то 2 • 13 = 26; 30 = 26 + 4,
значит, есть группа, в которой хотя бы три ученика сделали одинако-
вое количество ошибок. (Такого рода задачи будут решены ниже,
когда мы познакомимся с принципом Дирихле.)
Задача 2. Разрезать
прямоугольник длиной 9 см
и шириной 4 см на две рав-
ные части, из которых мож-
но составить квадрат.
Решение: получит-
ся квадрат 6 х 6 см
(см. рис. 26).
Рис. 26
51
Задача 3. Можно ли
разрезать шахматную доску
без противоположных угло-
вых клеток (рис, 27, а) на пря-
моугольники из двух клеток
разных цветов (рис. 27, б).
Решение: поскольку
противоположные по диаго-
нали угловые клетки шах-
матной доски всегда одного
цвета, клеток одного цвета
останется на две больше, чем
другого, поэтому разрезать всю доску на прямоугольники из двух
разноцветных квадратиков невозможно.
Задача 4. Какое число нужно поставить вместо «*» в после-
довательности 7; 17; 37; 77; *; 317; ...?
Решение: каждое следующее число равно удвоенному пре-
дыдущему, сложенному с числом 3, поэтому вместо «*» следует по-
ставить число 157.
Ответ: 157.
Задача 5. Какое число нужно поставить вместо «*» в после-
довательности 17; 23; 13; 11; *; 15?
Решение: каждое число, начиная со второго, равно сумме уд-
военного числа десятков и утроенного числа единиц предыдущего
числа. Вместо «*» нужно поставить число 5. Могут быть и другие
способы образования подобной последовательности и тогда число,
которое нужно поставить вместо «*», будет другим.
О т в е т: 5.
3.	Занимательная страничка.
Один раз в день1...
То дождь, то снег...
- ежедневно на Землю выпадает столько осадков, что все ее жи-
тели могли бы пять раз принять ванну.
Чашка чая
- из ежедневно собираемого на нашей планете чайного листа
можно заварить три миллиарда чашек чая.
’«Комсомольская правда». 1998. 7 мая.
52
Пыльные звезды
- ежедневно на нашу планету из космоса падает 110т «звездной пыли».
Автомобилей больше, чем стиральных машин
- в течение суток во всем мире производят 137 тыс. автомашин,
столько же холодильных аппаратов, 2,3 млн автомобильных шин, 101 тыс.
стиральных машин и 6,5 млн км шпагата. Последним можно было
бы 17 раз связать Землю с отстоящей на 384 404 км Луной.
4.	Стихотворная страничка. Арифметика
Арифметика - основа всех разделов математики, она и в жизни
применяется наиболее часто. Не забывайте мнение героя известного
детского спектакля «Димка-невидимка»:
Чтоб водить корабли,
Чтобы в небо взлететь,
Надо многое знать,
Надо много уметь.
И при этом, и при этом,
Вы заметьте-ка,
Очень важная наука -
А-риф-ме-ти-ка.
Почему корабли
Не садятся на мель,
А по курсу идут
Сквозь туман и метель?
Потому что, потому что,
Вы заметьте-ка,
Капитанам помогает
А-риф-ме-ти-ка.
Чтоб врачом, моряком
Или летчиком стать,
Надо прежде всего
Арифметику знать,
А на свете нет профессий,
Вы заметьте-ка,
Где бы нам не пригодилась
А-риф-ме-ти-ка.
Занятие 8
1.	Приемы устного счета
Вычислить устно (с записью в строчку):
1)34-48+18-12+23-24;	5)594+267;
2)195-6;	6) 158-82;
3) 195-38;	7)42-99;
4)63+29;	8)32-197.
Решение:
1)	34 • 48 + 18 • 12 + 23 • 24 = 34 • 2 • 24 + 9 • 2 • 12 + 23 • 24 =
= 68 • 24 + 23  24 + 9 • 24 = 24 • (68 + 23 + 9) = 24 • 100 = 2400;
2)	195 • 6 = (200 - 5) • 6 = 1200 - 300 = 1170;
3)	195 • 38 = (200 - 5) • 38 = 7600 - 380 : 2 = 7600 - 190 = 7410;
4)	63 + 29 = (63 - 1) = (29 + 1) = 62 + 30 = 92;
5)	594 + 267 = (594 + 6) + (267 - 6) = 600 + 261 = 861;
6)	158-82 = (150 + 8)-(90-8)= 150 + 8-90 + 8= 150-90+ 16 =
= 60+ 16 = 76;
7)	42 • 99 = 42 • (100 - 1) = 4200-42 = 4158;
8)	32 • 197 = 32 • (200 - 3) = 6400 - 96 = 6304.
2.	Простые числа
Простые числа, делящиеся только на единицу и на самих себя (2,
3, 5, 7, 11, 13,17,...), с давних времен привлекают внимание матема-
тиков. Более двух тысяч лет назад великий древнегреческий матема-
тик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен. Простые
числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден.
Эти числа то надолго исчезают из натурального ряда, то появляются
в нем часто, а иногда и по соседству: 11, 13; 5 971 847, 5 971 849.
Профессор И.К. Андронов в книге «Арифметика натуральных
чисел» приводит рассказ о воображаемом путешествии по бесконеч-
ной дороге простых чисел: «Мысленно возьмем прямолинейный про-
вод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, про-
бивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает
вращение, и далее за огненный шар Солнца, в мировую бесконеч-
ность.
54
Мысленно подвесим на провод через каждый метр электричес-
кие лампочки, нумеруя их, начиная с ближней: 1, 2, 3, ..., 1 000, ...,
1 000 000, ..., включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все
лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода».
Вместе с автором этой книги мы начинаем движение с первой
электрической лампочки, которая не осветила нам старта; она
не горит, так как ее номер (единица) не является простым числом.
Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа
простые. Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронуме-
рованы простыми числами. На нашем длинном пути очень редко
будут попадаться такие числа-близнецы. Вот промелькнули следу-
ющие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираем ско-
рость; оставляем позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь все
реже и реже встречаются освещенные островки из лампочек, прону-
мерованных простыми числами-близнецами. Вот на фоне темноты
и мрака где-то вдали засверкали лампочки с номерами 10 016 957
и 10 016 959; это последняя пара известных простых чисел-близне-
цов. Возможно, где-то в бесконечных просторах обрадуют наш взор
еще светящиеся пары лампочек, или такие «близнецы» исчезнут
навсегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемые лам-
почками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона
промелькнуло всего 78 498 горящих лампочек, 921 502 не горели.
Однако мы только начали движение, они еще встретятся, но в
какой миг? Закономерности нет.
Как и пространство, множество простых чисел бесконечно.
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Улитка взбиралась на ветку длиной 1 м. За день она
поднималась по ветке на 40 см, ночью сползала вниз на 20 см. Через
сколько дней улитка достигнет конца ветки?
Решение. В сутки она поднимается на 20 см, следовательно,
она доберется до конца ветки через
1 +(100 -40): 20 = 4 (дня).
Ответ: через 4 дня.
Задача 2. Незнайка хвастался умением умножать в уме. Чтобы
его проверить, Знайка предложил написать какое-нибудь число, пере-
множить его цифры и сказать результат. «2 310», - немедленно выпалил
Незнайка, лишь успев записать число. «Не может быть», - ответил, по-
думав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?
Решение. 2310 = 2- 3- 5- 7- И. Увы, 11 - простое двухцифро-
вое число.
55
Рис. 28
Задача 3. Сколько треугольников в каждой из фигур на
рис. 28, а-в?
О т в е т: а) 4 + 1 = 5; б) 4 + 4 + 1 = 9; в) считать треугольники в
определенном порядке, например, сначала - простые, затем состав-
ные из двух и т. д. Всего их 32.
4.	Задачи-шутки
Отвечайте быстро, но думая...
Задача 1 (прогноз погоды). Если в 12 ч ночи регулярно идет
дождь, то можно ли ожидать, что через 168 ч будет солнечная по-
года?
Ответ: нет, так как через 168 ч, т. е. через 7 суток, опять будет
12 ч ночи.
Задача 2 (мешок пшеницы). Как можно одним мешком пше-
ницы, смолов ее, наполнить два таких же мешка?
Ответ: надо один из пустых мешков вложить в другой такой
же, а затем в него насыпать пшеницу.
Задача 3. Летели утки - одна впереди и две позади, одна по-
зади и две впереди, однако между двумя и три в ряд. Сколько всего
летело уток?
Ответ: три утки.
Задача 4. Что это может быть: две головы, две руки, шесть
ног, а идут или бегут только четыре?
Ответ: всадник на лошади.
Задача 5. Мой знакомый Саша однажды мне сказал: «Поза-
вчера мне было 10 лет, а в будущем году исполнится 13 лет». Может
ли такое быть?
Ответ: может. 31 декабря Саше исполнилось 11 лет, а разговор
происходил на следующий день, 1 января.
56
Задача 6.
В нашем классе два Ивана,
Две Татьяны, два Степана,
Три Катюши, три Полины,
Восемь Львов, четыре Саши,
Пять Ирин и две Наташи.
И всего один Виталий.
Сколько всех вы насчитали?
Вот оценки по контрольной:
Получили «пять» все Саши,
Иры, Кати и Наташи.
По четверке Тани, Гали,
Левы, Поли и Виталий.
Остальные все Иваны,
Все Андреи и Степаны
Получили только «тройки»
А кому достались двойки?
Решение:
всего учеников в классе: 2-3+3-3 + 8 + 4+5 + 2+1=32;
получили «пять»: 4 + 5 + 3 + 2 = 14;
«четыре»: 2 + 8 + 3 + 1=14;
«тройки»: 2 + 2 = 4;
Итого: 32.
Ответ: «двойку» не получил никто.
5.	Игра «Буриме» с использованием чисел
Буриме в переводе с французского означает рифмованные кон-
цы. Это литературная игра, которая заключается в составлении сти-
хов (обычно шуточных). Попробуем сочинить стихи на заданную
рифму, например, пять - опять, раз - запас.
Вы устроили на «пять»
Этот праздник нам опять,
не иссяк и в этот раз
Вашей доброты запас.
Занятие 9
1. Приемы устного счета.
Возведение в квадрат чисел пятого
и шестого десятков
Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41, 42, ... , 49),
надо к числу единиц прибавить 15, затем к полученной сумме при-
писать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат -
однозначное число, то перед ним приписывается 0).
Например,
432= (15 + 3) • 100 + 72 = 1849,
482= (15 + 8) • 100 + 22= 2304.
Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,..., 59).
Для этого надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме припи-
сать квадрат числа единиц.
Например,
542=(25 + 4)- 100+ 42= 2916,
572 = (25 + 7) • 100 + 72 = 3249.
2. Биографическая миниатюра.
Архимед (287—212 гг. до и. э.)
В конце III в. до н. э., вероятнее всего в 287 г., в семье астронома
Фидия появился сын Архимед. Фидий был его первым учителем.
Молодость Архимеда прошла в родном городе Сиракузы на
средиземноморском острове Сицилия. Уже став известным ученым -
механиком и математиком, Архимед некоторое время жил в тогдаш-
ней столице наук - Александрии. Там он познакомился с другими
крупнейшими математиками и позднее, вернувшись на Сицилию,
переписывался с ними (одно из писем Архимеда к Эратосфену со-
хранилось до наших дней).
III в. до н. э. был золотым веком античной математики. Средиземно-
морье сотрясали жестокие войны: александрийцы бились с селевкида-
ми, Рим - с Карфагеном, а математики - Евклид, Архимед, Эратосфен,
Аполлоний - работали, добиваясь удивительных результатов.
58
Когда началась Вторая пуническая война (пунийцами называли
жителей Карфагена), сиракузский царь сначала поддерживал рим-
лян, а затем перешел на сторону Карфагена. Римские войска осади-
ли Сиракузы. Но все попытки взять город штурмом оканчивались
неудачей - настолько мощными оказались защитные устройства,
сконструированные Архимедом. В 212 г. до н. э. он погиб во время
атаки римлян. Но и после смерти ученого Сиракузы продолжали ус-
пешно обороняться, используя его изобретения.
Современники в полной мере оценили Архимеда как военного инже-
нера. Его достижения в чистой математике были не менее значительны.
Есть ли бесконечно большие и бесконечно малые числа? Архи-
мед поставил точку в долгом споре: «Всякое малое число, будучи
сложено само с собой достаточное количество раз, превзойдет вся-
кое наперед заданное число». Этот принцип вошел в математику под
названием аксиомы Архимеда.
Архимед - гениальный математик, наметивший принципиально
новые пути развития этой науки, и одновременно замечательный
инженер, превзошедший своих предшественников и современников.
Его теоретические занятия дополнялись инженерной деятельностью.
Труды Архимеда посвящены математике, механике, физике и астро-
номии. Он автор многих изобретений и открытий, в частности, ма-
шины для орошения полей, рычагов, блоков и винтов для подъема
больших грузов, военных метательных машин и т. п.
Известен описанный Архимедом прибор для определения види-
мого диаметра Солнца, который можно считать первой измеритель-
ной установкой. По преданию, Архимед сжег римский флот близ
Сиракуз с помощью «зажигательных вогнутых зеркал». Теория по-
строения изображений кривыми зеркалами к тому времени (И в. до н. э.)
была известна, на практике ее воплотил греческий инженер Саккас,
сумевший с помощью 70 полированных щитов в течение трех минут
поджечь деревянные модели римских кораблей с 55 м. Сохранились
четыре письма Архимеда к одному александрийскому математику:
«Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфе-
роидах», «О спиралях», которые причисляют к числу его важней-
ших математических работ. В этих письмах ученый предвосхищает
идеи интегрального и дифференциального исчислений.
Значение трудов Архимеда прекрасно выразил Лейбниц: «Вни-
мательно читая Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим
открытиям геометров».
Архимед установил, в частности, что:
«Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избыт-
ком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти
семьдесят первых».
59
«.Золотые мысли»
•	Из всех языков мира самый лучший - это искусственный, весь-
ма сжатый язык математики...
fH.fyt. ЛобаШскиб
•	Счет и внимание - основы порядка в голове.
Я. У%есталоууи
•	Единственный естественный предмет математической мыс-
ли есть целое число.
Жюлъ сАнфи Т1уанкафе (^8§4~^9^2),
ффану. математик, фиЗик и философ
•	Общество не замедлит ни минуты признать заслуги систе-
мы, в которой все взято из природы и которая обладает та-
кой простотой, какой не существует ни в какой другой сис-
теме.
Т1ъеф Ффансуа сАдфе Мешен (^44—^804),
ффану. астфоном и геодеЗист,
и Жан Лефен ЧУсАламбеф (^^~~^88),
ффану. математик, о метфи1еско4 системе меф.

3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Сколькими нулями оканчивается произведение пер-
вых ста натуральных чисел?
Решение:
Десятки	Числа										Нулей
1-й	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Два .
2-й	И	12	13	14	15	16	17	18	19	20	Два .
											
9-й	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	Два _
10-й	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	Три
Таким образом, имеем: 2-9 + 3=21.
Ответ: произведение первых ста натуральных чисел оканчива-
ется 21 нулем.
60
Задача 2. По улице шла девочка. Встретив старичка, она поздо-
ровалась. Старичок в ответ сказал: «Добрый день, маленькая девочка!»
Девочка возразила, что она не маленькая, и тогда старичок спросил,
сколько ей лет. Она ответила: «Я в три раза младше мамы, а мама на 2
года младше отца. Вместе нам 100 лет». Сколько лет девочке?
Решение: пусть х- возраст девочки, Зх- возраст мамы, (Зх + 2)-
возраст отца.
Составим уравнение:
х + Зх + (Зх + 2) = 100,
х= 14.
Ответ: девочке 14 лет.
Задача 3. Три землекопа за 2 ч выкопали три ямы. Сколько
ям выкопают шесть землекопов за 5 ч?
Решение: составим таблицу:
Количество землекопов	Время работы, ч	Количество выкопанных ям
3	2	3
6	2	6
6	5 = 2 • 2,5	6 • 2,5 = 15
О т в е т: за 5 ч шесть землекопов выкопают 15 ям.
Задача 4 (расстановка часовых). Вдоль стен квадратного ба-
стиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их
так, как показано на рис. 29, а, по 5 человек с каждой стороны.
Затем пришел полковник и, недовольный размещением часо-
вых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны
их было по 6.
Вслед за полковником пришел генерал, рассердился на полков-
ника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой
стороны. Как расставили солдат полковник и генерал?
Решение: так расставил солдат полковник (рис. 29, б).
А генерал расставил солдат так (рис. 29, в):
Рис. 29
61
Задача 5. Задача. «Алло, Катя! Нам поставили телефон. Но-
мер такой же, как у тебя, пятизначный. Первая цифра - простое чис-
ло, следующие две цифры - двухзначное простое число, а последние
две цифры получаются из предыдущей пары перестановкой и обра-
зуют точный квадрат. Так какой у меня номер телефона?
Решение: имеется всего шесть двухзначных чисел, являющих-
ся точными квадратами: 16, 25, 36, 49, 64, 81, но лишь одно из них
16 после перестановки цифр образует простое число 61. Таким об-
разом, есть четыре номера телефона, удовлетворяющие условию:
2-61-16; 3-61-16; 5-61-16; 7-61-16.
4.	Старинные меры
Меры длины во многом связаны с названиями частей тела чело-
века.
Пядь - расстояние между кончиками пальцев мизинца и боль-
шого при их наибольшем удалении.
Локоть - расстояние от локтя до первого сустава среднего пальца.
Маховая сажень - расстояние между кончиками пальцев вытя-
нутых в противоположные стороны рук.
Косая сажень - расстояние от левого каблука до концов пальцев
вытянутой вверх правой руки.
С XVIII в. до 1917 г. на Руси действовала следующая систе-
ма мер.
Меры длины:
миля = 7 верст = 7,5 км;
верста = 500 саженей = 1,068 км;
сажень = 3 аршина = 213,36 см;
аршин = 4 четверти = 16 вершков = 28 дюймов = 71,12 см;
четверть = 4 вершка = 17,77 см;
вершок = 4,445 см;
локоть = 66,6 см;
фут = 12 дюймов = 30,48 см;
дюйм = 2,54 см.
Меры площади:
десятина = 2 полудесятины = 4 четверти десятины = 8 осьмых
десятины = 10925 м2;
квадратная сажень = 4,552 м2;
квадратный аршин = 0,5058 м2;
квадратный вершок = 19,76 см2.
62
Меры массы и объема сыпучих и жидких
материалов
Мерой массы служила гривна, которую затем стали называть
фунтом. К концу XVII в. самыми распространенными были меры,
которые частично сохранились до настоящего времени:
1 четверть = 2 осьминам = 8 четверикам = 209,91 л;
1 четверик = 26,239 л;
1 гарнец = 3,75 л;
1 берковец = 10 пудам = 163,8 кг;
1 пуд = 40 фунтам = 16,58 кг;
1 фунт = 32 лотам = 96 золотникам = 409,512 г;
1 лот = 3 золотникам = 12,79 г;
1 золотник = 96 долям = 4,267 г;
1 доля = 0,044 г;
1 аптекарский фунт = 12 унциям = 0,875 фунта = 358,323 г;
I унция = 8 драхмам = 29,86 г;
1 драхма = 3 скрупулам = 61 аптекарскому грану = 3,696 г;
1 скрупула = 20 аптекарским гранам = 1,232 г;
1 аптекарский гран = 1,4 доли = 0,0616 г;
1 бочка = 40 ведрам = 401,96 л;
1 ведро = 4 четвертям = 10 штофам = 20 бутылкам = 40 полу-
бутылкам = 100 соткам = 200 шкаликам = 12,299 л;
1 четверть = 5 бутылкам = 4 полубутылкам = 10 соткам = 20 шка-
ликам = 1,23 л;
1 бутылка (полуштоф) = 0,615 л.
Задание. Скольким килограммам равен 1 ласт и 1 берковец,
если: 1 ласт = 72 пудам; 1 берковец = 10 пудам?
5. Оригами
Приятно, когда на новогодней елке не только дорогие игрушки
из магазина, но и украшения, сделанные своими руками. Попробуем
сделать несколько простых украшений. Поможет нам в этом орига-
ми - японское искусство складывания из бумаги.
История возникновения оригами уходит корнями в глубокую
Древность. Начало этого искусства, как утверждают «Японские хро-
ники» («Нихонги»), восходит к 610 г. Все фигуры складываются из
одного или двух прямоугольных листов бумаги (рис. 30). Порядок
изготовления нескольких фигурок показан на рис. 31—35.
63
Условные обозначения на чертежах (рис. 31-35):
линии, по которым надо согнуть лист ребром внутрь
(как полураскрытая книга);
линия сгиба, по которой надо согнуть лист ребром
наружу (как крыша дома);
линии предыдущих сгибов;
направление сгиба;
согнуть и разогнуть;
разъединить слои бумаги;
точки А и В свести в точку С.
64
Это же сделать
с другой стороны
Рис. 32. Фонарик
Рис. 33. Кузнечик
65
Сворачивается,
как шаг у лягушки
Рис. 34. Сорока
Рис. 35. Зайчик
66
6. Шуточные вопросы по геометрии
1.	Что такое точка? [Угол, из которого вырваны стороны.}
2.	Что такое прямая? [Убежавшая точка.}
3.	Что такое угол? [Треугольник, из которого вынули одну сторо-
ну]
4.	Что такое круг? [Равномерно расплывшаяся точка.} А шар?
[Раздувшаяся точка.} А окружность? [Линия, которая без конца
доходит до своего второго конца.}
5.	Можно ли нарисовать на доске точку? [Нельзя: то, что нари-
совано, представляет собой тело.}
6.	Можно ли начертить на доске прямую? [Нельзя: мы не можем
уйти в бесконечность.}
7.	Что такое кривая? [Это когда из последнего вагона виден ло-
комотив.}
Занятие 10
1.	Тренировка памяти и внимания
Задание. Назвать все числа из таблицы по порядку за возможно
короткое время.
Заранее заготавливается яркая таблица, числа в которой записа-
ны разными цветами и не по порядку:
5	16	11	8	21	12
14	7	3	1	15	18
2	24	20	19	9	10
23	13	4	22	6	17
Ученики по очереди выходят и указкой показывают, называя,
числа. Важно перечислить все правильно и быстро.
2.	Биографическая миниатюра.
Пьер Ферма (1601—1665)
Быть может, потомство
будет признательно мне за то, что я доказал:
древние не все знали. И это может проникнуть
в сознание тех, кто придет после меня
для передачи факела сыновьям...
Пьер Ферма
О жизни Ферма, прошедшей очень
спокойно, мы знаем мало. Подготавли-
ваясь к трудовой деятельности, он изу-
чал юридические науки, затем стал
адвокатом и, наконец, советником про-
винциального парламента. Часы досу-
га Ферма отдавал главным образом за-
нятиям математикой. В этой науке он
достиг исключительного успеха. Фер-
ма не напечатал при жизни ни одной
строчки своих исследований. Они
68
сохранились в форме рукописей, отдельных записей на клочках бу-
маги или на полях страниц книг. Но, несмотря на это, его открытия в
области математики уже при жизни автора становятся известными и
оказывают влияние на научную мысль.
Часто, сформулировав ту или иную теорему в связи с прочитан-
ным, Ферма даже не утруждал себя записью доказательств. Так слу-
чилось и с доказательством невозможности решить в целых числах
уравнение
а” + Ь" = с" при п > 2.
На полях одного из сочинений греческого математика Диофанта
была обнаружена запись Ферма: «Сумма одинаковых степеней двух
чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего числа.
Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это воз-
можно. У меня есть поистине удивительное доказательство, но поля
слишком узки, чтобы вместить его».
Если другие теоремы, записанные Ферма на полях книг и не дока-
занные им, впоследствии были доказаны другими математиками, то
теорема (ее назвали большая, или великая, теорема Ферма) о равенстве
ап + Ьп = сп
ждала своего доказательства 350 лет.
П. Ферма оставил доказательство этой теоремы только для п = 4.
В 1738 г. этот случай теоремы вновь доказал Леонард Эйлер, но про-
шло еще 30 лет, прежде чем он сумел дать доказательство для и = 3.
Конец XX в. ознаменовался для математиков настоящим успе-
хом: была наконец доказана теорема Ферма.
Летом 1995 г. в одном из ведущих журналов «Анналы математи-
ки» было опубликовано ее доказательство. Оно заняло более 100 стра-
ниц. Основная часть доказательства принадлежала сорокадвухлет-
нему английскому математику Эндрю Уайлсу, профессору Принстон-
ского университета (США), «штурмовавшему» знаменитую проблему
почти десять лет. На последнем этапе к работе подключился Ричард
Тейлор, профессор Оксфордского университета.
Первоначальное доказательство Уайлс изложил 23 июня 1993 г.
в цикле лекций, прочитанных им в институте математических наук
имени Исаака Ньютона в Кембридже. Специалисты тщательно про-
веряли доказательство Уайлса в течение нескольких месяцев. В це-
лом его идеи они признали глубокими, красивыми и современными,
однако были обнаружены и пробелы.
Уайлс принялся исправлять доказательство. Прошел почти год и
вместе с приглашенным к сотрудничеству Тейлором завершил эту
69
работу к 19 сентября 1994 г. На этот раз оно выдержало скрупулез-
ные проверки. Так завершилась 350-летняя история доказательства
великой теоремы.
А могло ли доказательство самого Ферма (если таковое суще-
ствовало) быть аналогичным уайлсовскому? По мнению Уайлса,
«Ферма не мог располагать им: это доказательство XX века».
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Дядя Федор (Ф), кот Матроскин (М), Шарик (Ш) и
почтальон Печкин (П) сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий спра-
ва от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот станет край-
ним слева. В каком порядке они сидят?
Р е ш е н и е: по условию М Ш Ф П.
Ответ. Слева направо сидят: Матроскин, дядя Федор, почталь-
он Печкин, Шарик.
Задача 2.У мальчика было 10 монет достоинством 1 р. и 5 р.
Он насчитал 37 р. Не ошибся ли?
Решение: пусть х - количество монет по 5 р., тогда (10 -х) -
количество монет по 1 р. Составим уравнение:
5х+1 -(10-х) = 37
или
4х+10 = 37.
4х + 10 при любом х - четное число, а 37 - нечетное. Значит,
мальчик ошибся.
Задача 3. Вычислите:
(И + 1)2 , (И + 2)2 + (Н + З)2 + । (11 + 9)2
144	169	196	"	400
D	(12)2 (13)2 (14)2	(20)2 , , ,
Решение: -^- + ——+ -^-^- + ... + -—— = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 9.
Задача 4. Заполните натуральными числами от 1 до 9 таб-
лицу 3x3 так, чтобы сумма чисел по всем строкам, столбцам и
диагоналям была равна 15.
Решение: очевидно, в центре должно быть число 5, 9 и 1
не могут быть в углах... В результате получаем:
Штриховыми линиями показаны оси, относитель-
но которых можно менять расположение чисел в таб-
лице.
70

«Золотые мысли»
•	Именно математика придает естественным наукам степень
достоверности, недостижимую без нее.
дбншшвбн	49§§),
фиЗик-шво^вшик
•	«Умение решать задачи - такое же практическое искусство,
как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научить-
ся только путем подражания или упражнения».
Gloria
•	Мы приближаемся к тому утопическому времени, когда на
долю математики останется только составление уравнений,
решать же эти уравнения будут машины.
Celled 34бано6и1 Набилоб ('/89'/—'/93'f)/
быдаюуиЖся собвтски^ фиЗик, академик
------- 11 I' ",Г~|НК»41№ОМ1»1' ТП|1 	----
4.	Логическая задача «Обманутый хозяин»
Хозяин устроил в своем погребе шкаф в форме квадрата с девя-
тью отделениями. Среднее (внутри) отделение он оставил свобод-
ным для пустых бутылок, а в остальных расположил 60 бутылок вина
так, что в каждом угловом отделении их было по 6, а в каждых сред-
них по 9, т. е. на каждой стороне по 21 бутылке (рис. 35, а). Слуга
заметил, что хозяин проверяет число бутылок, считая только бутыл-
ки по сторонам квадрата, следя затем, чтобы на каждой стороне квад-
рата было по 21 бутылке. Тогда слуга унес сначала 4 бутылки, а ос-
тальные расставил так, что вновь получил 21 бутылку на каждой
стороне квадрата (рис. 35, б). Так он повторял, пока было возможно.
О т в е т: за три раза унес 12 бутылок: [осталось (9 + 3) • 4 = 48].
71
5.	Юмористическая страничка
Математик или футболист
Однажды братья - физик Нильс Бор и математик Гаральд Бор
вместе с приятелем отправились на прогулку по Копенгагену. К удив-
лению приятеля, прохожие довольно часто здоровались с Гаральдом,
Нильса же никто не приветствовал. «По-видимому, математики в
Копенгагене котируются высоко», - заметил приятель. Нильс Бор
ему: «Не математики, а Гаральд. Ведь он любимый футболист наше-
го города!»
Ум и остроумие
Еще в школьные годы Карл Фридрих Гаусс неоднократно пора-
жал учителей своим умом и находчивостью. Однажды учитель спро-
сил его: «Гаусс, я сейчас задам тебе два вопроса. Если на первый ты
ответишь правильно, то на второй можешь не отвечать. Итак, скажи
мне, сколько иголок на рождественской елке?» Гаусс без промедле-
ния ответил: «67 543». «Как ты так быстро сосчитал иголки? - изу-
мился учитель. «А это уже второй вопрос, господин учитель», - улыб-
нулся Гаусс.
Что больше?
Однажды инспектор на уроке арифметики в начальной школе
вмешался в педагогический процесс, чтобы лично убедиться, пони-
мают ли ученики суть сокращения дробей. Он спросил ученика:
3	9
«На одной тарелке - колбаски, на другой —. Какую тарелку ты
возьмешь?» Последовал ответ: «Тарелку с — колбаски».
Недовольный инспектор обращается к другому ученику: «А ты?» -
«Обе тарелки».
Занятие 11
1. Приемы устного счета
Чтобы умножить число на 5 (50), надо разделить его на 2 и умно-
жить на 10 (100).
Примеры:
446-5=446:2-10 = 2230;	4672-50 = 4672:2-100 = 233 600;
638-5 = 638:2-10 = 3 190;	832-50 = 832:2- 100 = 41 600.
Чтобы умножить число на 25 (250), надо умножить его на 100
(1 000) и разделить на 4.
Примеры:
88-25=8800:4=2200;	24 • 250 = 24 000 : 4 = 6 000;
248 • 25 = 24 800:4 = 6 200;	484 • 250 = 484 000 : 4 = 121 000;
1 256-25 = 125 600:4 = 31 400; 6404-250=6404000:4=1601000.
2. Происхождение математических знаков
Сколько раз, складывая, вычитая, умножая и деля, вы использо-
вали математические знаки: «+»,«-», «•»,«:». Задумывались ли вы о
том, откуда они пришли к нам и что изначально обозначали?
Происхождение употребляемых нами в арифметике и алгебре
знаков не всегда можно точно установить. Существует мнение, что
знаки «+» и «-» возникли в торговой практике. Виноторговец чер-
точками отмечал, сколько мер вина он продал из бочки. Доливая в
бочку новые запасы, он перечеркивал столько расходных черточек,
сколько мер восстанавливал. Так в XV в. возникли знаки сложения и
вычитания. До этого долгое время слагаемые записывали одно ря-
дом с другим без всякого знака между ними. В начале XV в. для
обозначения действия сложения использовали начальную букву слова
«плюс» (лат. «plus» - сложить).
Но вскоре общее признание получил знак «+». Относительно его
происхождения существует и другое, не менее правдоподобное,
объяснение, вместо «а + Ь» писали «а и 6», по-латыни «а et Ь», Так
как слово «еЬ> (и) приходилось писать очень часто, то его стали со-
кращать: писали сначала одну букву Г, которая в конце концов пре-
вратилась в «+».
73
Однако «приобретение» особых знаков для обозначения ариф-
метических действий нельзя полностью приписывать только евро-
пейским математикам. Еще древние египтяне обозначали сложение
специальным знаком - рисунком шагающих ног.
Название «слагаемое» впервые встречается в работах математи-
ков XIII в. До этого времени оно имело более широкий смысл - сум-
мой называли результат любого из четырех арифметических дей-
ствий.
Для обозначения вычитания в III в. до н. э. в Греции использова-
ли знак Ж- перевернутую греческую букву «пси» (\|/). Итальянские
математики использовали для этого букву т (ц), начальную букву в
слова «минус». В XVI в. для обозначения действия вычитания стали
применять знак «-» и, чтобы отличать минус от тире, Л.Ф. Магниц-
кий (XVIII в.) стал обозначать вычитание знаком «-*-».
Для обозначения действия умножения некоторые европейские
математики XVI в. употребляли букву М - начальную букву латин-
ского слова, обозначавшего увеличение, умножение, - multiplicatio
(мультипликация). В XVII в. некоторые математики стали обозна-
чать умножение косым крестиком «х», а другие употребляли для этого
точку. В XVI-XVIII вв. единообразия в употреблении символов не
было. Лишь в конце XVIII в. большинство математиков стало
употреблять для обозначения умножения точку, однако допускали и
употребление косого креста.
Знаки умножения «х», и «•» стали общеупотребительными и
общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого ма-
тематика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).
В Европе продолжительное время произведение называли «сум-
ма умножения». Название «множитель» упоминается в работах XI в.,
а «множимое» - в XIII в.
В России впервые дал названия компонентам умножения в нача-
ле XVIII в. Леонтий Филиппович Магницкий. В своем учебнике
«Арифметика» он писал: «34 - еличество (количество), 2 - множи-
тель, 68 - продукт, или произведение».
На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали
знаком. Его просто называли и записывали словами. Индийские ма-
тематики первыми стали обозначать деление начальной буквой на-
звания этого действия - D. Арабы ввели для обозначения деления
черту. Ее перенял от арабов в XIII в. итальянский математик Фибо-
наччи (Леонардо Пизанский). Он же первым употребил термин «ча-
стное». Знак двоеточия «:» для обозначения деления вошел в упо-
требление в конце XVII в. До этого у некоторых математиков встре-
чался знак «4-», которым они обозначали это действие. В России
74
названия «делимое», «делитель», «частное» впервые ввел также
Д.Ф. Магницкий.
Знак равенства обозначали в разные времена по-разному: и сло-
вами, и разными символами. Знак «=», столь удобный и понятный в
настоящее время, стали широко использовать только в XVIII в.
А предложил его для обозначения равенства двух выражений автор
учебника алгебры англичанин Роберт Рикорд в 1557 г. Он так объяс-
нил свой выбор: «Никакие два предмета не могут в большей степени
быть равны между собой, как две параллельные прямые».
Знак «=» стал общепризнанным благодаря Г.В. Лейбницу.
--------  Hi	।	-------
«Золотые мысли»
•	Химия - правая рука физики, а математика - ее глаза.
Михаил 33асилъе6и1 Ломоносов
•	В математике нет символов для неясных мыслей.
Жюлъ zAnjfH $1уанка£е
•	Строгость математическая, которая состоит в том, чтобы ни-
чего кроме известного и ясно доказанного за основание
не принимать, нечувствительно приучает рассуждать о вещах
твердо и основательно.
Степан Яко6ле6и1 РумобскиЖ (47872),
русский астроном, академик
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. У Володи был аквариум, который имел в основании
квадрат со стороной 40 см. Уровень воды достигал 48 см. Володе
купили новый аквариум в виде прямоугольного параллелепипеда,
длина основания которого 48 см, а ширина 40 см. Володя перелил
воду из старого аквариума в новый. Определить уровень воды в но-
вом аквариуме.
Решение: первоначально объем воды был 40 х 40 х 48 см3. Объем
воды в новом аквариуме 48 х 40 х h см3, где h - новый уровень воды.
Объем воды не изменился, значит, 40 • 40 • 48 = 48 • 40 • А, откуда h=40 см.
Ответ: уровень воды в новом аквариуме 40 см.
75
Задача 2. Разность двух чисел 57. Если у большего (двух-
значного) числа зачеркнуть цифру единиц, равную 3, то получится
меньшее число. Найти эти числа.
Решение: пусть большее число 10у + 3, тогда другое число у.
Согласно условию
(10у + 3)-у = 57, 9у = 54,у = 6.
Ответ: большее число 6-10 +3 = 63; меньшее число 6.
Задача 3. Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на
землю в понедельник, воскликнул: «А!» Во вторник он воскликнул:
«АУ», в среду - «АУУА», в четверг - «АУУАУААУ». Что он восклик-
нул в субботу?
Решение: разделив каждое последующее высказывание по-
полам, видим, что первая половина совпадает с предыдущим выс-
казыванием, а вторая получается из предыдущего заменой А на У и
наоборот. Итак:
в понедельник - А,
во вторник - АУ,
в среду - АУУА,
в четверг - АУУАУААУ,
в пятницу - АУУАУААУУААУАУУА,
в субботу - АУ УАУААУ УА АУЛУ УАУААУАУУААУ УАУААУ.
4.	Задача-сказка
«Иван-Царевич и Кащей Бессмертный,
умевший считать только до 10»
В некотором царстве, некотором государстве жил-был Иван-Ца-
ревич, и было у него три сестры: Марья-Царевна, Ольга-Царевна,
Анна-Царевна. Отец и мать у них умерли. Отдал Иван-Царевич сес-
тер за царей медного, серебряного и золотого царств, остался один.
Прошел год, стало молодому царевичу скучно, пошел он искать
Марью, Ольгу, Анну. Повстречал Иван-Царевич Елену Прекрасную,
полюбили они друг друга. Но похитил ее Кащей Бессмертный и пре-
вратил в стройную березку. Собрал Иван-Царевич 23 воина и пошел
искать свою любимую. По дороге встретил он Бабу-ягу, которая рас-
сказала ему, как снять чары Кащея, так как давно враждовала с ним:
«Надо собрать у ворот его дворца царей трех царств: медного, сереб-
ряного, золотого. Ровно в полночь должны они произнести волшеб-
ное заклинание. Тогда чары спадут, и Кащей будет бессилен что-либо
сделать». Подслушал этот разговор ворон и передал все Кащею.
А Баба-яга, прощаясь с Иваном-Царевичем, дала ему волшебное кольцо.
76
- Оно приведет тебя к Кащею.
А коль нужно тебе будет какой замок
отпереть или замкнуть крепко, проси
кольцо о том.
Кащей подстерег Ивана-Царевича
и воинов, схватил и бросил в подземе-
лье с восемью погребами вдоль стен.
В каждом погребе оказалось по 3 плен-
ника (рис. 36).
Из подземелья был один выход,
накрепко запиравшийся семью зам-
ками. Каждый вечер приходил и про-
верял своих пленников Кащей. Но
считать он умел только до 10, поэто-
му проверяя узников, сидящих в по-
гребах вдоль каждой из стен, насчи-
тывал 9 человек и, успокоившись,
уходил. Однако Иван-Царевич не ра-
стерялся, отпер замки и послал четы-
рех гонцов к трем царям. А чтобы Ка-
щей ничего не заметил, рассадил всех
воинов (с собою 20) иначе, но вдоль
каждой стены опять по 9 человек.
Гонцы Ивана-Царевича доехали до
царей, рассказали им про заговор Ка-
щея. Цари собрались и с быстротой
ветра домчались до владений Кащея.
Как раз в это время захотел Кащей ос-
мотреть своих узников. Иван-Царе-
вич рассадил всех с собою 27 (24 да
3 царя) опять по 9 вдоль каждой сте-
ны. И опять удалось ему обмануть
Кащея. Произнесли Иван-Царевич с
царями волшебное заклинание и сня-
ли чары кащеевы.
Расскажите, как Иван-Царевич
рассаживал узников в подземелье.
Решение: (см. рис. 37, а, б).
77
5.	Стихотворная страничка.
Прославление вычислений в уме
Из книги «Введение в устный счет» Бирмана (Biermann), издан-
ной в 1795 г.
Доску мою вы отложили,
Меня вы этим не смутили.
К чему теперь доска моя,
Когда в уме считаю я.
Как быть мне, девушке веселой,
С доской большою и тяжелой?
Везде она помехой будет,
Пускай я дома, пусть на людях.
Но прежде без доски не раз
Могли обсчитывать ведь нас,
Теперь же я в уме считаю,
Все незаметно проверяю.
И как-то проще думать мне,
Яснее стало в голове,
Науки легче постигать.
Как хорошо в уме считать!
Занятие 12
1.	Приемы устного счета.
Умножение на 155 и 175
На предыдущем занятии мы познакомились с приемами умно-
жения на 5 (50 и т. п.), а также на 25 (250 и т. п.). Эти знания можно
использовать и для умножения чисел на 155 и 175. Имеем:
а  155 = а- 100 + а • 50 + а • 5 = а • 100 + а : 2 • 100 + а : 2 • 10;
а • 175 = а • 100 + а • 50 + а • 25 = я • 100 + а : 2 • 100 + а : 4 • 100.
Примеры:
348 • 155 =34 800 +348:2 • 100+348:2 • 10=34 800+17400+1740=53 940;
742-155=74 200+742:2-100+742:2-10=74200+37100+3710=115010;
84-175 = 8400 + 84:2-10 + 84:4-100 = 8400 + 4200 + 2100=14700;
128-175 = 12800+128:2-100+128:4-100=12800+6400+3200 =22400.
2.	Биографическая миниатюра.
Блез Паскаль (1623—1662)
Биография этого французского уче-
ного - одна из самых ярких и траги-
ческих в истории науки.
Еще в детстве Паскаля поразила не-
понятная нервная болезнь: мальчик па-
нически боялся воды, бился в судорогах.
Но он выжил и довольно скоро оправил-
ся от недуга. Отец развивал в нем ум и
память и никогда не требовал ничего за-
учивать. Блез надолго сохранил великий
Дар детства - способность удивляться.
Отец слыл страстным и талантливым
Я хотел открыть вечные законы.
Блез Паскаль
любителем математики. Он переписывался с Рене Декартом, Пьером
Ферма, и математические споры не были редкостью в его доме.
79
«Папа, что такое геометрия?» - спросил однажды Блез. «Как тебе
объяснить? Это средство чертить правильные фигуры и находить
существующие между ними отличия». Такое пояснение, по расче-
там отца, вряд ли могло возбудить детскую любознательность, но он
ошибся. На бумаге и на полу детской Блез выводит начальные тео-
ремы Евклида. Он не знает даже общепринятых терминов и называ-
ет прямую - «палкой», круг - «колесом», параллелограмм - «длин-
ным квадратом». Застав его за таким занятием, отец был смущен и
обрадован. - «Мой сын будет великим математиком! Это я открыл
сегодня!»
И сын действительно стал великим математиком. В 16 лет он
доказал «теорему Паскаля», написал трактат о конических сечени-
ях. В 18 лет изобрел счетную машину - прообраз арифмометров.
Этого юношу уже называли «великим математиком», он спорил с
Ферма, а чопорный Декарт отказывался верить, что автору прислан-
ных ему математических трудов только 16 лет. Но в 24 года Паскаля
разбил паралич. С трудом передвигаясь на костылях, он продолжал
работать.
В 25 лет наступает резкий перелом. Паскаль оставляет все заня-
тия математикой и физикой, читает только богословские книги. Он
считает, что отказ от науки будет жертвой Богу, который послал ему
физические страдания. Но здоровье его катастрофически ухудшает-
ся. Постепенно, несмотря на физические страдания, Паскаль начи-
нает искать выход в труде. Постепенно он выкарабкивается из бездны
отчаяния и начинает опять заниматься математикой. Здоровье идет
на поправку, он даже подумывает о женитьбе. И надо же случиться
этой поездке на праздник в Нейи! Лошади понесли карету, на мосту
через Сену шарахнулись в сторону. Карета уцелела чудом. Когда к
ней подбежали, Паскаль был без сознания. Он прожил еще восемь
лет.
Паскаль умер 19 августа 1662 г., 39 лет от роду. Согласно леген-
де, в 1789 г. герцог Орлеанский приказал вырыть кости Паскаля и
отдать алхимику, который обещал добыть из них философский ка-
мень.
Многие изобретения Паскаля стали настолько привычными в
повседневной жизни, что сегодня уже никто не вспоминает имени
их автора. И.С. Тургенев писал Н.А. Некрасову: «Я в одном месте
говорю о паскалевой тачке. Ты знаешь, что Паскаль изобрел эту, по-
видимому, столь простую машину». А еще Паскалю принадлежит
идея омнибусов - общедоступных «карет за 5 су» с фиксированны-
ми маршрутами - первого регулярного городского транспорта.
80
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящи-
ков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросе-
нок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят маль-
чика?
Решение: согласно условию,
М + П = 5Я,
П = 4К,
2К + П = ЗЯ.
(1)
(2)
(3)
Подставим (2) в (3): 6К= ЗЯ или 2К = Яи (2) в (1): Л/+ 4К = 5Я.
С учетом Я = 2К.
М+4К= 10КитМ=6К.
Ответ: 6 кошек уравновесят мальчика.
Задача 2. Четыре чашки и один кувшин для воды весят
столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько,
сколько одна чашка и 7 шариков. Сколько шариков уравновешивают
кувшин?
Решение: если одна чашка весит столько, сколько х шари-
ков, тогда кувшин весит столько, сколько (х+7) шариков, и следо-
вательно:
4х + (х + 7)= 17,
5х = 10,
х = 2,
кувшин уравновешивают 2 + 7 = 9 шариков.
О т в е т: 9 шариков.
Задача 3. На вопрос, сколько весит его рыба, рыбак ответил:
«Хвост весит 150 г, голова - столько, сколько хвост и половина туло-
вища, а туловище - сколько голова и хвост вместе». Сколько весит
рыба?
Решение: согласно условию
Х = 150,
Г = Х +—Т = 150 + —Т,
2	2
т=г+х=зоо+—т.
2
81
-т = зоо,
2
Тогда |т = 300, Т = 600, Г = 150 + 300 = 450.
Таким образом, Р = Х + Т + Г=150 + 600 + 450 = 1 200 (г).
Ответ: рыба весит 1 кг 200 г.
Задача 4. Не выполняя вычислений, найдите частное:
(454 • 889 - 435): (454 + 889 • 453).
Решение: имеем
[(453 + 1) • 889 - 435] : (454 + 889 • 453) = (453 • 889 + 889 -
- 435): (454 + 889 • 453) = (453 • 889 + 454): (454 + 889 • 453) = 1.
4.	Геометрические иллюзии
Изображения могут быть обманчивыми.
Убедитесь, что на рис. 38, а-г выделенные отрезки - прямые
и параллельные.
На рис. 39, a-в изображены окружность, две пары параллельных
прямых и квадрат в квадрате. Штриховка вызывает ощущение иска-
жения их форм.
Рис. 39
Задание. Какие искажения фигур (отрезков, прямоугольни-
ков и пр.) наблюдаются на рис. 40, а-el -гъгегъг.
83
5.	Геометрическая задача-фокус
«Продень монетку»
Возьмите две монеты современной чеканки: пятикопеечную и
пятирублевую. На листе бумаги обведите пятикопеечную монету и
аккуратно вырежьте круг. Как вы думаете, «пролезет» ли пятирубле-
вая монета через него?
Рис. 41
Решение. Как ни странно, но «продеть»
пятирублевую монету через такое отверстие
можно (рис. 41).
Диаметр пятикопеечной монеты 19 мм, пя-
тирублевой 25 мм. Бумажку изгибают так, что
круглое отверстие вытягивается в узкую щель.
Длина щели будет приблизительно равна по-
ловине длины окружности пятикопеечной мо-
неты: (19 • 2 • 3,14): 2 = 29 мм > 25 мм. Через
нее проходит пятирублевая монета.
Занятие 13
1. Приемы устного счета.
Умножение двухзначных чисел,
близких к 100
Рассмотрим еще один прием устного счета, строгое доказатель-
ство которого будет дано в 7-м классе в курсе алгебры.
Пример 1. Вычислить 95-89.
Решение: чтобы получить две последние цифры ответа (еди-
ницы и десятки), необходимо:
1)	100-95 = 5;
2)	100-89= 11
и результаты перемножить:
3)	5 • 11 = 55.
Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо:
4)95- 11 = 84.
В результате имеем: 95 • 89 = 8 455.
Пример 2. Вычислить 93 • 87.
Решение:
1)	100-93 = 7;
2)	100-87 = 13;
3)	7 • 13 = 91 - последние две цифры;
4)	93 - 13 = 80 - первые две цифры.
Таким образом, 93 • 87 = 8 091.
Пример 3. Вычислить 98 • 87.
Решение:
1)	100-98 = 2;
2)	100-87= 13;
3)	2 • 13 = 26- последние две цифры;
4)	98 - 13 = 85 - первые две цифры.
Таким образом, 98 • 87 = 8 526.
Пример 4. Вычислить 82 • 94.
Решение:
1)	100-82= 18;
2)	100-94=6;
3)	18 • 6 = 108; 08 - последние две цифры;
4)	82 - 6 = 76; 76 + 1 = 77 - первые две цифры.
Таким образом, 82 • 94 = 7 708.
85
2.	Биографическая миниатюра.
Рене Декарт (1596—1650)
Каждая задача, которую я решал,
становилась правилом, служившим впоследствии
для решения других задач.
Рене Декарт
Рене Декарт родился в 1596 г. на
юге Франции в небогатой дворянской
семье. Восьми лет отец отправил его
учиться в католический коллеж в го-
роде Ла Флеш.
Обучение в школах того времени
было оторвано от реальной жизни.
Оно опиралось на церковные догмы
и авторитет античных мудрецов,
прежде всего Платона и Аристотеля.
Неудивительно, что активно мысля-
щим ученикам, к числу которых от-
носился Декарт, полученные знания представлялись неполными.
Окончив коллеж, Декарт сменил немало занятий: вел светскую
жизнь, служил в армии, путешествовал.
В 1628 г. он поселился в Голландии, недавно пережившей наци-
онально-освободительную буржуазную революцию и ставшей од-
ним из самых передовых государств того времени. В Голландии из-
давались сочинения авторов, во многом расходившиеся с церковным
учением, в том числе книги Коперника и Галилея.
Декарт прожил в Голландии 20 лет. Именно там в 1637 г. вышла
в свет его знаменитая книга «Рассуждения о методе». В ней Декарт
сформулировал четыре принципа, которым должен следовать уче-
ный: 1) включать в свои суждения только то, что никоим образом не
может дать повод к сомнению; 2) делить каждую из рассматривае-
мых трудностей на столько частей, сколько потребуется, чтобы луч-
ше их разрешить; 3) руководить ходом своих мыслей, начиная с пред-
метов простейших и легко познаваемых, и восходить мало-помалу,
как по ступеням, до познания наиболее сложных; 4) делать всюду
настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уве-
ренным, что ничего не пропущено.
Истин, не подлежащих сомнению, по Декарту, совсем немного.
Самая знаменитая из них: «Я мыслю, - следовательно, я существую».
«Рассуждения о методе» содержало три приложения, названные
«Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия».
86
В истории математики Декарт обессмертил свое имя тем, что
связал кривые на плоскости с уравнениями, которыми они описыва-
ются в координатной системе. Он выяснил, что уравнения с пере-
менными в первой степени задают на плоскости прямые линии. Сим-
волика, предложенная Декартом, сохранилась до сих пор. Вслед за
ним мы обозначаем переменные последними буквами латинского
алфавита: x9y,z 9 а для заданных величин используем начальные
латинские буквы: а9Ь9с и т. д. Нынешнее обозначение степени ап
также предложено Декартом.
В 1649 г. по приглашению шведской королевы Декарт переехал в
Стокгольм. Но северный климат оказался для него слишком холо-
ден. Год спустя ученый умер от воспаления легких.
Из высказываний Декарта:
«Особенно нравилась математика верностью и очевидностью
своих рассуждений».
«Из всех прочих известных нам наук только арифметика и гео-
метрия чисты от всякого ложного или недостоверного».
«Каждая задача, которую я решал, становилась правилом, слу-
жившим впоследствии для решения других задач».
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. У вас одно- и двухрублевые монеты. Сколькими
разными способами вы можете разменять одну 10-рублевую ассиг-
нацию?
Решение:
10= 1 • 10 = 2-1+ 1- 8 = 2-2+1- 6 = 2-3 +1- 4 = 2-4+1-2 = 2-5.
Ответ: шестью способами.
Задача 2. Следующие карточки (рис. 42) нужно расположить
в таком порядке, чтобы можно было прочитать известное математи-
ческое правило.
ОТ ПЕ	1	СЛА	2	МА	3	ЕСТ	4
							
СУМ	5	НЫ М	6	НЕ ME	7	ых	8
							
ГАЕМ	9	ся	10	НЯЕТ	11	РЕМЕ	12
Рис. 42
О т в е т: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (1, 12,
6, 4, 2, 9, 8, 5, 3,7, И, 10).
87
Задача 3. Что больше:-------или------.
100	101
Решение: для сравнения этих дробей дополним калодую из
них до 1:
21+_!_ = 1.	™+_L = i,
100 100	101 101
99	___1_	= 1__L
100	100’	101 ”	101’
1	1	99 100
но —> —следовательно, —-<—-•
100 101	100 101
Задача 4. Шофер, взглянув на счетчик своей машины, уви-
дел число 15 951. Он обратил внимание, что количество километров,
пройденных машиной, читается одинаково как слева направо, так и
справа налево.
- Занятно! - пробормотал шофер. - Теперь не скоро, наверное,
появится на счетчике другое симметричное число.
Однако ровно через два часа счетчик показал новое число, кото-
рое тоже в обе стороны читалось одинаково.
С какой скоростью ехал эти два часа шофер?
Решение: счетчик машины показывал 15 951, цифра десятков тысяч
за 2 ч измениться не могла. Следовательно, первой и последней цифрой
нового симметричного числа останется 1. Цифра тысяч могла и должна
измениться, так как за эти два часа машина прошла, конечно, больше 49 км.
Следовательно, цифра тысяч, а вместе с нею и цифра десятков 6. Цифра
сотен либо 0, либо 1, и счетчик показал либо 16 061, либо 16 161.
В первом случае машина за 2 ч прошла 16 061 - 15 951 = 110 км
(со скоростью 55 км/ч, по городу), во втором 16 161-15 951 = 210 км
(с ветерком, со скоростью 210 : 2 = 105 км/ч по загородному шоссе).
О т в е т: 55 км/ч, 105 км/ч.
4.	Литературная страничка.
О «прохождении» дробей
То, чем в прежние эпохи занимались
зрелые умы ученых мужей, в более поздние времена
стало доступно пониманию мальчишек.
Гегель
- Павел Васильевич! - будит Пелагея Ивановна своего мужа.
-А, Павел Васильевич! Ты бы пошел позанимался со Степой, а
то он сидит над книгой и плачет. Опять чего-то не понимает.
88
Павел Васильевич поднимается, крестит зевающий рот и гово-
рит мягко:
- Сейчас, душенька!
Кошка, спящая рядом с ним, тоже поднимается, вытягивает хвост,
перегибает спину и жмурится. Тишина... Слышно, как за обоями
бегают мыши. Надев сапоги и халат, Павел Васильевич, помятый и
хмурый спросонок, идет из спальни в столовую; при его появлении
другая кошка, которая обнюхивала на окне рыбное заливное, прыга-
ет с окна на пол и прячется за шкаф.
- Просили тебя нюхать! - сердится он, накрывая рыбу газетной
бумагой.
- Свинья ты после этого, а не кошка...
Из столовой дверь ведет в детскую. Тут за столом, покрытым
пятнами и глубокими царапинами, сидит Степа, гимназист второго
класса, с капризным выражением лица и с заплаканными глазами.
Приподняв колени почти до подбородка и охватив их руками, он ка-
чается, как китайский болванчик, и сердито глядит в задачник.
- Учишься? - спрашивает Павел Васильевич, подсаживаясь к сто-
лу и зевая. - Так, братец ты мой... Погуляли, поспали, блинов поку-
шали, а завтра сухоядение, покаяние и на работу пожалуйте. Всякий
период времени имеет свой предел. Что это у тебя глаза заплакан-
ные? Зубренция одолела? Знать, после блинов противно науками
питаться? То-то вот оно и есть.
- Да ты что там над ребенком смеешься? - кричит из другой ком-
наты Пелагея Ивановна. - Чем смеяться, показал бы лучше! Ведь он
завтра опять единицу получит, горе мое!
- Ты чего не понимаешь? - спрашивает Паве^ Васильевич у Сте-
пы.
- Да вот... деление дробей! - сердито отвечает тот.
- Деление дроби на дробь...
- Гм... чудак! Чего же тут? Тут и понимать нечего. Отзубри прави-
ло, вот и все... Чтобы разделить дробь на дробь, то для этой цели нуж-
но числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, и это
будет числителем частного... Ну-с, засим знаменатель первой дроби...
- Я это и без вас знаю! - перебивает его Степа, сбивая щелчком
со стола ореховую скорлупу.
- Вы покажите мне доказательство!
-Доказательство? Хорошо, давай карандаш. Слушай. Положим,
нам нужно семь восьмых разделить на две пятых. Так-с, механика
тут в том, братец ты мой, что требуется эти дроби разделить друг на
дружку... Самовар поставили?
- Не знаю.
- Пора уж чай пить... Восьмой час... Ну-с, теперь слушай. Бу-
дем так рассуждать. Положим, нам нужно разделить семь восьмых
89
не на две пятых, а на два, то есть только на числителя. Делим. Что
получается?
- Семь шестнадцатых.
- Так. Молодец. Ну-с, штукенция в том, брат ты мой, что мы...
что, стало быть, если мы делим на два, то... Постой, я сам запутался.
Помню, что у нас в гимназии учителем арифметики был Сигизмунд
Урбанович, из поляков. Так тот, бывало, каждый урок путался. Нач-
нет теорему доказывать, спутается и побагровеет весь и по классу
забегает, точно его шилом кто-нибудь в спину, потом раз пять выс-
моркается и начинает плакать. Но мы, знаешь, великодушные были,
делали вид, что не замечаем. «Что с вами, - спрашиваем, - Сигизмунд
Урбанович? У вас зубы болят?» И скажи пожалуйста, весь класс из
разбойников состоял и сорвиголов, но, понимаешь ты, великодуш-
ны были! Таких маленьких, как ты, в мое время не было, а все верзи-
лы, один другого выше. К примеру сказать, у нас в третьем классе
был Мамахин: господи, что за дубина! Понимаешь ты, дылда в са-
жень ростом, идет - пол дрожит, хватит кулачищем по спине - дух
вон! Не то, что мы, даже учителя его боялись. Так вот этот самый
Мамахин бывало...
За дверью слышатся шаги Пелагеи Ивановны, Павел Василье-
вич мигает на дверь и шепчет:
- Мать идет. Давай заниматься. Ну, так вот, братец ты мой, - воз-
вышает он голос, - эту дробь надо помножить на эту. Ну-с, а для
этого нужно числителя первой дроби пом...
- Идите чай пить! - кричит Пелагея Ивановна. Павел Василье-
вич и его сын бросают арифметику и идут пить чай...»
А.П. Чехов. «Накануне поста»
5.	Игра-шутка
Исход такой игры зависит не от того, как играют соперники, а
только от начальных данных.
На доске написаны т единиц и п двоек. За один ход каждому из
игроков разрешается стереть любые две цифры и, если они были
одинаковыми, написать двойку, если они были разными - написать
единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то
выигрывает первый игрок, если двойка - выигрывает второй.
Решение: отметим, что четность количества единиц после
каждого хода не меняется. Поэтому, если в начальный момент вре-
мени на доске было написано четное количество единиц, т. е. если т-
четное, то после последнего хода одна единица остаться не может,
значит, в этом случае выигрывает второй игрок. И, наоборот, если т -
нечетное, то выигрывает первый игрок.
Занятие 14
1.	Считаем устно
1.	Выразите число 1000 с помощью арифметических действий:
а) тринадцатью пятерками;
б) шестью тройками.
Ответ:
а)5-5-5-5 + 5- 5- 5 + 5- 5- 5 + 5- 5- 5 = 1000,
((5 + 5) • 5 + (5 + 5)-5) • (5 + 5) +(5-5 + 5-5): 5 = 100 • 10=1000;
6)333 - 3 +3 :3 = 1000.
2.	Найдите сумму всех натуральных чисел:
а)	от 1 до 100;
6)	от 1 до 200.
Решение:
а)	1 + 2 +... +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 +98) +... +(50 + 51) =
= 101 -50 = 5050;
б)	1 +2 + 3 +... + 199 + 200 = (1+200) + (2 +199)+...+(100+101) =
= 201 • 100 = 20 100.
Задача. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу
и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться крестья-
нин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста.
Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить
козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевезти свой груз кре-
стьянину?
Решение: крестьянин перевозит козу, возвращается и берет
волка, которого перевозит на другой берег, где и оставляет, но берет
и везет обратно козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капу-
сту. Возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается
благополучно.
91
Вопросы по математике,
где важна не только математика...
Шуточные примеры часто имеют
больше значения, чем полезные.
Штифелъ (1553),
немецкий математик
1.	Между пятью детьми надо разделить пять яблок, причем одно
яблоко должно остаться в корзине.
(Отдать одному ребенку корзину с яблоком.)
2.	Два отца и два сына застрелили три зайца, каждый по одному. Как
это возможно?
(Всего было три человека: дед, отец и сын.)
3.	На крыше сидят семь воробьев. Кошка бросается и съедает одно-
го. Сколько воробьев осталось на крыше?
(Ни одного не осталось - остальные улетели.)
4.	У трех маляров был брат Прокоп, а у Прокопа братьев не было.
Как такое могло случиться?
(Маляры - сестры Прокопа.)
5.	Сколько яиц можно съесть натощак?
(Одно, второе уже не натощак.)
6.	Пять стогов и семь стогов сена свезли и сложили вместе. Сколько
получилось стогов?
(Один.)
7.	Дед рассказывал своим внучатам: «В комнате было 5 стульев, на
них сидели 4 матери, 4 дочки, 3 бабушки, 2 прабабушки и одна
прапрабабушка. При этом каждая женщина сидела на отдельном
стуле». «Это невозможно», - возразили внучата. «Я сам видел», -
ответил дед. Возможно ли это?
(Да, это были дочь, мать, бабушка,
прабабушка, прапрабабушка.)
92
2. Биографическая миниатюра.
Исаак Ньютон (1643-1723)
Исаака Ньютона, великого англий-
ского ученого, математики считают
математиком, физики - физиком, аст-
рономы - астрономом.
Родился он в Англии в местечке Вул-
строп, около города Грантема, в семье
небогатого фермера. Уже в детстве
Исаак любил строить сложные механи-
ческие игрушки, модели разных машин,
солнечные и водяные часы, воздушные
змеи, увлекался решением математиче-
ских задач. Это увлечение склонило род-
ственников Ньютона к мысли дать ему университетское образование.
В 1661 г. Ньютон поступает в Кембриджский университет, в престижный
Тринити-колледж (нечто вроде факультета). Он был принят в качестве
субайзера - так называли студентов из бедных семей, которые помимо
учебы выполняли обязанности слуг для преподавателей колледжа.
Наибольшее влияние на Ньютона в Кембридже оказал Исаак
Барроу, молодой профессор, заведующий кафедрой. Он был священ-
ником, занимался вопросами богословия, но подходил к ним с мате-
матической точки зрения. В дальнейшем Барроу оставил науку, уехал
в Лондон и стал придворным проповедником.
В сохранившихся документах Тринити-колледжа отмечена акку-
ратность студента И. Ньютона. В 1664 г. он становится «действую-
щим студентом», в начале 1668 г. получает степень магистра, или
«мастера искусств», а еще через год становится заведующим кафед-
рой, сменив И. Барроу.
Основную часть своих открытий Ньютон совершил в течение двух
лет по окончании Кембриджского университета. В то время в Анг-
лии свирепствовала эпидемия чумы - страшной болезни, от которой
умирали тысячи людей. Чтобы избежать инфекции, Ньютон уехал в
родной Вулстроп, где погрузился в научную работу.
Занятия математикой привели Ньютона к созданию ее раздела,
который называется сейчас высшей математикой. Придуманные им
математические понятия и методы позволили изучать движения раз-
ных тел и механизмов, определять площади и объемы произволь-
ных фигур и тел, благодаря чему техника получила возможность
быстро развиваться.
93
Огромный вклад внес Ньютон и в теоретическую физику. Обще-
известны физические законы И. Ньютона (закон всемирного тяготе-
ния и др.).
Всю свою дальнейшую жизнь Ньютон приводил в порядок и пуб-
ликовал открытия, сделанные им с 1665 по 1667 г. в Вулстропе. Много
лет он преподавал в Кембриджском университете. Затем был назна-
чен директором Монетного двора, где провел несколько реформ,
в частности, ввел насечку на ребре монеты. Последние 25 лет жизни
Ньютон был президентом Лондонского королевского общества -
Английской академии наук и много сделал для развития науки.
3. Решение олимпиадных задач
Задача 1. Два жадных медвежонка нашли головку сыра. Они
долго спорили, как ее поделить, но никто не хотел уступать. Мимо
пробегала лиса. Узнав, о чем спор, она предложила помочь.
Разломив головку сыра на два куска так, чтобы один из них был
ровно в полкилограмма, а другой меньше, она спросила, облизнув-
шись:
- Куски равны?
- Нет! - закричали жадные медвежата.
Тогда лиса откусила от большего куска столько, что он стал мень-
ше другого, и повторила вопрос. И на этот раз медвежата сообщили,
что получились неравные куски. Затем лиса еще 9 раз пыталась сде-
лать куски равными, поочередно откусывая от них одинаковое коли-
чество сыра. В результате остались маленькие кусочки. Причем один
из них оказался на 20 г больше другого. После этого лиса заявила, что
медвежатам сложно угодить. Она отправила оба кусочка в рот и, виль-
нув хвостом, скрылась в кустах. Какова была масса головки сыра?
Решение: лиса всего откусила 10 раз - от каждой части по-
очередно по пять раз. Значит, от каждой части откушено одинаковое
количество сыра, т. е. вторая часть содержит сыра на 20 г меньше,
чем первая. Первоначальная масса головки сыра была такова:
500 + (500 - 20) = 980 г.
Задача 2. У мальчика было 25 монет по 1, 5, 10, 50 копеек.
Имеется ли среди них семь одинаковых?
Решение: если монет каждого достоинства по шесть, то все-
го будет 24 монеты, следовательно, еще одна, 25-я, позволяет поло-
жительно ответить на вопрос задачи. Если же каких-нибудь монет
меньше шести, то других будет семь или более.
Ответ: обязательно имеется.
94
Задача 3. Решить уравнение: 2у =у2.
Решение: запишем исходное уравнение в виде у + у = у - у.
Очевидно у] = 0. Подбором находим у = 2.
О т в е т: 0; 2.
------------  ri		--------
«Золотые мысли»
•	Рано или поздно всякая правильная математическая идея на-
ходит применение в том или ином деле.
Алексей <Николае6и1 Крылоб (4863—4943),
советский кораблестроитель,
механик и математик, академик
•	Высшее назначение математики - находить порядок в хаосе,
который нас окружает.
Норберт Линер (4894—4964),
американский у1еный, «отец» кибернетики
•	Математики содержат в себе черты волевой деятельности,
умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому
совершенству.
Рихард Курант (4888~49?2),
немецкий математик
--------   ----------------------------
4. Стихотворная страничка.
О теореме Пифагора
Следующее стихотворение (авторство приписывается Г. Веберу)
посвящено не раз воспетой теореме и является пародией на извест-
ное стихотворение Г. Гейне:
Не знаю, чем кончу поэму
И как мне печаль избыть:
Древнейшую теорему
Никак я не в силах забыть.
Стоит треугольник, как ментор,
И угол прямой в нем есть,
И всем его элементам
Повсюду почет и честь.
95
Прелестная гипотенуза
Взнеслася так смело ввысь!
И с нею в вечном союзе
Два катета тоже взвились.
Она царит на квадратах,
И песню поет она;
Та песня влечет куда-то -
Геометров древних волна.
И все на торжищах света,
Как в огненном кольце,
И все повторяю это:
Ах, а2, Л2, с!
И даже в холодной медузе
Огонь эта песня зажгла,
И всё это гипотенузы
И катетов двух дела!
Познакомимся теперь с остроумным стихотворением Адельбер-
та фон Шамиссо (1781-1838), немецкого писателя и ученого-есте-
ствоиспытателя:
Суть истины вся в том, что нам она - навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее, увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда они учуят, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.
Занятие 15
1. Приемы устного счета.
Деление на 5 (50), 25 (250)
Эти приемы основываются на том, что:
2	2	4	4
а : 5-а—;а: 50 = а---,а : 25 = а-,а : 250 = а---.
10	100	100	1000
Таким образом, чтобы разделить данное число на 5(50) его надо
умножить на 2 и разделить на 10( 100), а для того чтобы разделить на
25(250), его надо умножить на 4 и разделить на 100(1000).
Примеры:
235:5 = 235-2: 10 = 47;
825:5 = 825-2: 10= 165;
430:50 = 430-2: 100 = 86;
86 020 : 50 = 86 020 • 2 : 100 = 17 204;
1 225 : 25 = 1 225 • 4 : 100 = 4 900 : 100 = 49;
725 : 25 = 725 • 4 : 100 = 2 900 : 100 = 29;
562 : 250 = 562 • 4 : 1000 = 2 248 : 1000 = 2,248;
456 : 250 = 456 • 4 : 1000 = 1 824 : 1 000 = 1,824.
2.	Математические мотивы
в художественной литературе
Английский математик и логик Чарльз Латуидж Доджсон (1832—
1898), в течение 26 лет бывший профессором в Оксфорде, на досуге
написал сказку «Приключения Алисы в Стране Чудес». Эта книга
сразу стала любимой «детской» книгой в Англии. Сам же автор с
этого момента стал знаменитым Льюсом Кэрроллом.
Рассказывают, что когда королева Англии Виктория, придя в во-
сторг от знакомства с «Алисой», потребовала все, написанное Кэр-
роллом, ей положили на стол стопку... трактатов по геометрии.
И «Приключения Алисы» (1865) и их продолжение - «Алиса в
Зазеркалье» (1871)- родились из устных рассказов, которыми автор
забавлял маленьких детей своих знакомых. Основной сюжетный
мотив сказок составляют причудливые сны Алисы. Отсутствие
97
назидательности придает книгам особую прелесть. Но «небылицы»
Кэрролла интересны и для взрослых. В сказках легко прослеживает-
ся насмешка над нравами англичан. В «Приключениях» затрагива-
ется множество тонких логических и философских вопросов. Это
послужило Бертрану Расселу (1872-1970), английскому философу,
логику, математику, общественному деятелю основанием для того,
чтобы отнести сказки Л. Кэрролла к категории книг «только для взрос-
лых».
Л. Кэрролл (Доджсон) о математике
«Овладев ... методами “символической логики”, вы получите увле-
кательное развлечение, не требующее ни специальных досок, ни карт, и
к тому же полезное, независимо от того, чем вы занимаетесь. Методы
эти позволяют вам обрести ясность мысли, способность находить соб-
ственное, оригинальное решение трудных задач, выработают у вас при-
вычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно, умение
обнаруживать логические ошибки и находить изъяны и пробелы тех,
кто не пытался овладеть увлекательным искусством логики».
Новые приключения Алисы
Алиса, героиня книги, не очень любит математику, но благодаря
своему характеру постоянно попадает в математические приключения.
Задача 1. Сейчас Алиса будет решать задачу. Она у нее, ко-
нечно, получится. Если задача, которую она решит после того, как
справится со следующей, окажется труднее, чем та, которую она ре-
шит после того, как покончит с этой задачей, то Алиса перейдет сра-
зу к последней. Отложите ручку и лист бумаги и подумайте, о каких
именно задачах сказано выше (каковы их номера). И решит ли Али-
са 3-ю задачу? Она всегда решает задачи по порядку.
Решение: перечитайте условие, мысленно нумеруя задачи.
«Сейчас Алиса будет решать задачу № 1». «Следующей» окажется
задача № 2. Задача № 3 находится «после следующей». Вот что по-
лучится: «Если задача № 3 окажется труднее задачи № 2, то, решив
ее, Алиса перейдет к задаче № 4».
Задача 2. Льюис Кэрролл нарисовал на бумаге 2 000 квадра-
тов (рис. 43). Алиса уменьшилась до муравья, бумага стала океаном,
а стороны квадратов - тонкими мостками. Покажите Алисе самый
удобный путь, чтобы обойти все мостки и вернуться на прежнее
место. Но учтите, что чернильные мостки разрушаются сразу же,
как только Алиса по ним пробежит.
98
Решение: путь Алисы отмечен стрелочками (рис. 44).
Попробуйте провести Алису по другим мосткам.
Рис. 44
3.	Игра «Попробуй сосчитай!»
Умеете ли вы считать? Если умеете, то попробуйте сосчитать хотя
бы до 30 (рис. 45)
Сосчитайте их подряд, начиная с верхней строчки: «Первый тре-
угольник, первый угол, второй треугольник, первый круг, первая
прямая, второй угол,... Сосчитайте по очереди, кто ошибется, тот
выходит из игры.
Эта игра на умение распределять внимание между разными пред-
метами.
99
4.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Разрежьте квадрат на 4 равные части. Затем такой
же - на 16 равных частей. Получилось? А теперь точно такой же
Рис. 46
Задача 2. Найти площадь прямоугольника, если его длина на
5 см больше ширины, а половина периметра равна 19 см.
Решение: пусть х - ширина прямоугольника, (х + 5) - длина;
тогда
х + (х + 5)=19,
2 х = 1 4,
х = 7;
7 + 5 = 12 см, S = 7- 12 = 84 см2.
О т в е т: 84 см2.
Задача 3. Площадь квадрата 25 см2, сторону квадрата увели-
чили на 3 см. Найти площадь полученного квадрата.
Решение: сторона исходного квадрата равна 5 см, нового -
5 + 3 = 8 см, площадь - 64 см2.
Ответ: площадь полученного квадрата 64 см2.
5. Стихотворная страничка.
Задачи в стихах
Задача 1 (про яблоки).
Нам из Гомеля тетя
Ящик яблок прислала.
В этом ящике яблок
Было, в общем, немало.
100
Начал яблоки эти
Спозаранок считать я.
Помогали мне сестры,
Помогали мне братья.
И пока мы считали,
Мы ужасно устали,
Мы устали, присели
И по яблоку съели.
А осталось их - сколько?
А осталось их столько,
Что пока мы считали,
Восемь раз отдыхали,
Восемь раз мы сидели
И по яблоку ели.
А осталось их - сколько?
Ох, осталось их столько,
Что когда в этот ящик
Мы опять поглядели,
Там на дне его чистом
Только стружки белели...
Только стружки-пеструшки,
Только стружки белели.
Вот прошу угадать я
Всех ребят и девчонок:
Сколько было нас братьев?
Сколько было сестренок?
Поделили мы яблоки
Все без остатка.
А всего-то их было
Пятьдесят без десятка.
Л. Пантелеев
Ответ: 3 брата и 2 сестры.
Задача 2 (про хвосты).
По тропинке вдоль кустов
Шли 11 хвостов.
Сосчитать я так же смог,
Что шагало 30 ног.
101
Это вместе шли куда-то
Петухи и поросята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было петухов?
И узнать я был бы рад,
Сколько было поросят?
Ты сумел найти ответ?
До свиданья, вам привет.
Решение: пусть было х поросят, (11-х) петухов. Тогда
4х + 2(11 -х) = 30, х = 4, 11-4 = 7.
О т в е т: 4 поросенка, 7 петухов.
в. Математическая шутка
Как доказать, что ученики ничего не делают?
Доказательство:
1.	По ночам занятий нет, значит, половина суток свободна. Остается
365- 182= 183 дня.
2.	В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая по-
ловина (или четвертая часть суток) может быть свободна. Остается
183 - 183:4 = 137 дней.
3.	В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится
=15 дней, таким образом выходных в учебном году
52 - 15 = 37 дней.
Итого остается
137-37 = 100 дней.
4.	Но есть еще каникулы: осенние (= 5 дней), зимние (=10 дней),
весенние (« 7 дней), летние (= 78 дней).
Всего 5 + 10 + 7 + 79 = 100 дней.
5.	Итак, школьники заняты в году
100 - 100 = 0 дней.
Когда же учиться?!
Где ошибка в рассуждениях? (Каникулы и воскресенья подсчи-
таны дважды.)
Занятие 16
1.	Интересные свойства чисел
Рассмотрим ряд примеров умножения на 9 с любопытными ре-
зультатами.
Присмотритесь к отдельным столбцам чисел и цифр:
1 • 9 = 09
2-9=18
3-9 = 27
4-9 = 36
5  9 = 45
90 = 9-10
81 =9-9
72 = 9 • 8
63 = 9 • 7
54 = 9-6
Выделенные числа - зеркальные отражения соседних.
Еще любопытные закономерности:
92=81	9-7 = 63
992=9 801	99-77 = 7 623
9992 = 998 001	999 • 777 = 776 223
9 9992 = 99 980	001	9 999 • 7 777 = 77 762 223
99 9992= 9 999	800 001 99 999 • 77 777 = 7 777 622 223
И в заключение удивительные примеры:
12 345 678-9
12 345 678- 18
12 345 678 • 27
12 345 678-36
12 345 678-45
12 345 678-54
12 345 678-63
12 345 678-72
12 345 678 • 81
= 1 111 111 111
= 2 222 222 222
= 3 333 333 333
= 4 444 444 444
= 5 555 555 555
= 6 666 666 666
= 7 777 777 777
= 8 888 888 888
= 9 999 999 999
103
2.	Биографическая миниатюра.
Л.Ф. Магницкий (1669—1739)
Сведения о жизни и деятельности Леонтия Филипповича
Магницкого немногочисленны. Известно, что родился он 9 июня 1669 г.
в Тверской губернии. Достоверных сведений о том, где и какое он
получил образование, нет. Его сын по этому поводу пишет так: «...на-
укам изучался дивным и неудобовероятным способом».
В конце XVII в. Магницкий живет в Москве и является широко
известным своей образованностью человеком. За «остроумие в на-
уках» в 1700 г. Петром I он был «...именован прозванием Магницкий
и учинен российскому благородному юношеству учителем матема-
тики...»
Реформы, начатые Петром I в конце XVII - начале XVIII в., кос-
нулись и образования. 14 января 1701 г. Петр I подписал указ об уч-
реждении в Москве Школы математических и навигацких наук.
В школу принимались дети из разных сословий. По окончании шко-
лы они направлялись на военную, морскую и государственную служ-
бу. 22 февраля 1701 г. учителем школы по приказу Петра I назначен
Магницкий, который был известен как лучший математик Москвы.
Ему было поручено создать для школы учебник по математике и на-
вигации. В короткий срок Магницкий написал учебник -
21 ноября 1701 г. он представил его рукопись.
В 1703 г. «Арифметика» была напечатана, что явилось знамена-
тельным событием для отечественной науки и культуры. Книгу ис-
пользовали не только в учебных заведениях, она широко служила
для самообразования. Один из экземпляров «Арифметики» в 1725 г.
попал в руки юному М.В. Ломоносову, который хранил эту книгу
до конца своих дней. Позже М.В. Ломоносов назвал «Грамматику»
Смотрицкого и «Арифметику» Магницкого «вратами учености».
В предисловии к «Арифметике» отмечается, что отпечатана
она по распоряжению Петра 1 «ради обучения мудролюбивых рос-
сийских отроков и всякого чина и возраста людей». Магницкий
проделал огромную работу, чтобы излагаемый материал был дос-
тупным и интересным для читателя. Многие параграфы заканчи-
ваются стихотворениями, подытоживающими изученное. Стихо-
творения, в которых даются советы и назидания, «разбросаны»
по всей книге.
Вот, например, пожелания из предисловия к «Арифметике»:
И желаем да будет сей труд
Добре пользовать русский весь люд.
104
А о приложениях математики, о пользе науки говорится в таких
строках:
Прими, юне, премудрости цвета,...
Арифметике любезно учися,
В ней разных правил и штук придержися,
Ибо в гражданстве к делам есть потребно,
Лечити твой ум аще числит вредно.
Та пути в небе решит и на мори,
Еще на войне полезна и в поли.
Обще всем людям образ дает знати,
Дабы исправно в размерах ступати.
В 1715 г. в Петербурге была открыта Морская академия, куда
было перенесено обучение военным наукам, а в Московской на-
вигацкой школе стали учить только арифметике, геометрии и три-
гонометрии. С этого момента Магницкий становится старшим
учителем математико-навигацкой школы и руководит ее учеб-
ной частью. Наряду с преподавательской работой ему поручает-
ся набор учителей для открывшихся в то время в России цифир-
ных школ.
С 1732 г. и до последних лет своей жизни Л.Ф. Магницкий яв-
лялся руководителем навигацкой школы. Скончался он 30 октября
1739 г.
Высокую оценку деятельности Магницкого дали его современ-
ники и потомки. П.В. Чичагов, сын выдающегося боевого адмира-
ла В.Я. Чичагова (1726-1809), учившегося в свое время в навигац-
кой школе, вспоминает по рассказам отца: «Один из учителей, Маг-
ницкий, слыл за великого математика. Он издал ... сочинение,
бывшее у меня в руках, в котором заключались арифметика, гео-
метрия, тригонометрия и начатки алгебры. Позже эту книгу при-
знали за образец учености. Тут-то отец мой почерпнул свои позна-
ния».
Василий Кириллович Тредиаковский (1703-1768)-русский поэт,
ученый-филолог, писал: «Магницкий Леонтий - муж, сведущий сла-
вянского языка... добросовестный и нельстивый человек, первый
Российский арифметик и геометр; первый издатель и учитель в Рос-
сии арифметики и геометрии».
105
3.	Решение олимпиадных задан
Задача 1. Найти площадь четырехугольника АМСР, если сто-
роны прямоугольника ABCD:
середины отрезков ВС и AD.
Рис. 47
АВ = 5 см, ВС = 10 см, а точки Ми Р -
Решение: соединим точки
МпР (см. рис. 47). Очевидно
с - —
°АМСР “ 2 ° AB?D ’
т. е.
5 • Ю : 2 = 25 см2.
О т в е т: 25 см2.
Задача 2. В кошельке было шесть двух- и пятирублевых мо-
нет. Сколько было тех и других, если общая сумма мелочи в кошель-
ке 18 рублей?
Решение: пусть двухрублевых монет было х, тогда пятируб-
левых - (6 -х). Составим уравнение:
2х + 5(6-х) = 18,
12 = 3х,
х = 4,
6-х = 2.
Ответ: четыре двухрублевых и две пятирублевых монеты.
Задача 3. Как девять деревьев посадить в восемь рядов, что-
бы в каждом ряду было по три дерева?
Решение: см. рис. 48.
106
4.	Задача-сказка «Бездельник и черт»
Появился в одной деревне Бездельник. И учиться ему лень, и от
работы увиливает, а деньги любит, жаден. Никак в толк взять не мо-
жет, что только те деньги хороши, которые честным трудом зарабо-
таны. Ходит без дела Бездельник и вздыхает:
- Эх, доля моя горемычная! Никто и знаться со мной не хочет!
Говорят: «Бездельники нам не нужны. Сам ничего не делаешь и нам
мешаешь. Иди к черту!» Да разве какой черт посоветует мне, как
богатым сделаться?
Только подумал это Бездельник, глядь, а черт перед ним стоит.
- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. Работа легкая и
богатым будешь. Вот видишь мост через речку?
- Вижу, - отвечает немного оробевший Бездельник.
- Ну, так перейди по мосту на другой берег, и у тебя будет вдвое
больше денег, чем перед этим.
- Ой ли?! - обрадовался Бездельник.
- Верное слово! - уверил черт. - Только, чур, уговор! За то, что я
тебе устраиваю такое счастье, ты каждый раз, перейдя через мост,
отдашь мне по 24 к. за добрый совет.
- Ну, что же, - согласился Бездельник, - раз деньги будут удваи-
ваться, так отчего же не давать тебе каждый раз по 24 к.
- Начнем, пожалуй.
Прошел мост Бездельник один раз, сосчитал деньги... Вот диво!
Действительно, денег стало двое больше, чем было. Отдал он черту
24 к., прошел мост второй раз. Опять стало денег вдвое больше, чем
перед этим. Отсчитал он 24 к., отдал черту и прошел по мосту в тре-
тий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их
ровнехонько 24 к., которые по уговору пришлось все отдать черту.
Черт захохотал и с глаз сгинул. Остался Бездельник без копейки.
Видно, на чужой совет надо еще свой ум иметь.
Сколько же у Бездельника сначала денег в кармане было?
Решение: начнем с конца. После третьего перехода - 24 к.
Перед третьим переходом - 12 к. Но 12 к. получились после отдачи
24 к., следовательно, было 12+24=36 к.
Второй переход Бездельник начал с 18 к. Но 18 к. получилось, когда
он перешел мост и отдал 24 к. Следовательно, было 18 + 24 = 42 к. Таким
образом, перед первым переходом у Бездельника в кармане была 21 к.
Проверка:
была 21 к. После 1 -го перехода 21 • 2 = 42 к.; осталось 42 - 24 = 18 к.;
после 2-го: 18 • 2 = 36 к.; осталось 36 - 24 = 12 к.;
после 3-го: 12 • 2 = 24 к.; осталось 24 - 24 = О!
О т в е т: у Бездельника была 21 к.
107
5.	Поэтическая страничка.
Баллада о математике
Как воздух математика нужна,
Одной отваги офицеру мало!
Расчеты! Залп! И цель поражена
Могучими ударами металла.
И воину припомнилось на миг,
Как школьником мечтал в часы ученья
О подвиге, о шквалах огневых,
О яростном порыве наступления.
Но строг учитель был, и каждый раз
Он обрывал мальчишку резковато:
«Мечтать довольно! Повтори рассказ
О свойствах круга и углов квадрата!»
И воином любовь сбережена
К учителю, далекому, седому.
Как воздух математика нужна
Сегодня офицеру молодому!
М. Борзаковский
Занятие 17
1. Приемы устного счета.
Еще один способ сложения
многозначных чисел
При сложении многозначных чисел можно суммировать цифры
отдельных разрядов и результаты записывать ступенчатым спосо-
бом. Подсчет идет, как обычно, справа налево. Для проверки счет
проводим наоборот, слева направо, и в том же порядке располагаем
ступеньки.
Пример 1.	Проверка.	Пример 2.	Проверка.
2564	2564	12549	12549
+ 392	+ 392	+ 3846	+ 3846
1897	1897	9234	9234
13	3	19	1
24	16	11	14
16	24	15	15
3		13_	14	11
'4853	4853	_3	 25629	19 25629
2. Биографическая миниатюра.
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855)
В истории Европы начало XIX в. -
эпоха Наполеона, в истории европей-
ской математики - эпоха Гаусса.
Величайший немецкий математик,
астроном и физик родился в Браунш-
вейге - столице одного из многочислен-
ных германских герцогств, княжеств и
королевств того времени. Его отец, са-
довник и фонтанных дел мастер, сла-
вился искусством быстро и легко счи-
тать. Эта способность перешла к сыну,
109
говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить».
Первый успех пришел к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел
ученикам найти сумму чисел от одного до сорока. Он рассчитывал
надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообра-
зил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:
(1 + 40) + (2 + 39) + (3 + 38) + ... + (20 + 21) = 41 • 20 = 820.
С 1791 г. Гаусс, ученик гимназии, бывает во дворце герцога Бра-
уншвейгского, развлекая придворных искусством счета. В 1795 г.
герцог помогает Гауссу поступить в Геттингенский университет.
Гаусс чаще посещает лекции по филологии, чем по математике, од-
нако самостоятельно на досуге много считает и с удивительной лег-
костью переоткрывает многие результаты теории чисел, с трудом
доказанные другими математиками XVIII в., в том числе великим
Леонардом Эйлером.
В конце XVIII в. Гаусс алгебраическим методом решил задачу о
построении правильных многоугольников циркулем и линейкой. Еще
древние греки знали, как строить правильные треугольники, пяти-
и пятнадцатиугольники. Знали и то, что, имея правильный много-
угольник, можно построить новый, с удвоенным числом сторон. Но
как быть, если число сторон семь или 17?
Проводя арифметические опыты, Гаусс заметил, что числа 3, 9,
27, ... , З16 не имеют одинаковых остатков при делении на 17. Это
наблюдение позволило ему построить правильный семнадцатиуголь-
ник. Рассуждая о произвольных и-угольниках, Гаусс свел задачу к
случаю простого и, доказал, что она разрешима, если п = 22 +1. Для
к= 0 и к- 1 получаются уже известные треугольник и пятиугольник.
Семнадцатиугольнику соответствует к = 2. Число сторон следующе-
го многоугольника этой серии равно 257. А вот правильных семи-
и одиннадцатиугольников при помощи циркуля и линейки постро-
ить нельзя.
В 1801 г. Гаусс опубликовал в Германии свои «Арифметичес-
кие исследования» - многотомный труд по теории чисел. Однако
немецким математикам идеи Гаусса оказались недоступны, а пуб-
ликации во Франции, где работали светила науки: Лагранж,
Лаплас, Лежандр - сорвались из-за банкротства книготорговца.
Один из немецких экземпляров книги попал в Казань, по нему
учился Лобачевский. Тогда же, в начале XIX в., Гаусс увлекается
астрономией. Благодаря его расчетам удается открыть первые ас-
тероиды - малые планеты между Марсом и Юпитером. Санкт-
Петербургская академия наук приглашает Гаусса на должность
директора обсерватории. Однако вскоре после этого обсерватория была
организована в Геттингене. И Гаусс остался там, не подозревая,
ПО
что через несколько лет Германия будет по частям завоевана
Наполеоном, что его покровитель, герцог Брауншвейгский, по-
гибнет в бою, а самому Гауссу предстоят несколько лет тяжелей-
шей жизни в оккупации.
В эти же годы Гаусс много занимается геодезией и геометрией.
Ему мы обязаны понятием внутренней геометрии поверхности, т. е.
тех свойств, которые связаны со структурой поверхности, а не ее
положением в пространстве. Например, плоский лист бумаги мож-
но свернуть в цилиндр или в конус. А в шар нельзя - внутренняя
геометрия не позволяет.
Неудивительно, что Гаусс живо интересовался исследованиями
по неевклидовой геометрии. И хотя сам он ничего не публиковал, и
другим не советовал - дескать, «осы из разрушенного гнезда собе-
рутся над вашей головой», но вместе с тем с величайшим интересом
отнесся к работе Яноша Бойяи и Николая Лобачевского. Правда, уча-
стие Гаусса по-разному повлияло на судьбы этих математиков. Бойяи,
получив отзыв от Гаусса: «Ваши идеи верны, но хвалить Вас означа-
ло хвалить себя», - навсегда оставил занятия геометрией. Что каса-
ется Лобачевского, то заслуга Гаусса в международном признании
русского математика несомненна.
В конце жизни Гаусса больше всего интересовала физика. Ему
принадлежат фундаментальные открытия в теории электричества и
магнетизма.
Умер Карл Ф. Гаусс в 1855 г. Великий математик завещал начер-
тать правильный семнадцатиугольник, вписанный в круг, на своей
надгробной плите: при жизни он восхищался и гордился первой ре-
шенной задачей больше всего. Завещание этого великого человека
было исполнено.
«Золотив мысли»
•	Ничего не сделано, если хоть что-то осталось недоделанным.
Каф л Ф. Каус с
•	Не знание, а изучение, не обладание, а приобретение, не су-
ществующее, а грядущее доставляет величайшее наслажде-
ние.
К13 письма К.Ф. Каусса Яношу ЪоЖяи
--------- г1 г ---------------------------
111
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Составить квадрат 4x4, симметричный относи-
тельно его диагоналей, из чисел 1, 2, 3, 4, чтобы в горизонталях и
вертикалях не было одинаковых цифр.
Ответ: возможные варианты (рис. 49).
Задача 2. Сумма четырех последовательных четных чисел
равна 3 348. Найти их.
Решение: пусть 2п - первое число, 2п + 2 - второе, 2п + 4 -
третье, 2п + 6 - четвертое. Имеем:
2п + (2п + 2) + (2п + 4) + (2п + 6) = 3 348;
«и = 3 336
п = 417.
Ответ: 834, 836, 838, 840.
Задача 3. Разрезать фигуру (рис. 50) на две равные части.
Ответ: см. рис. 51.
Задача 4. Границы каждой из четырех территорий - треуголь-
ники. Как расположены эти территории одна относительно другой,
если каждая граничит с тремя другими?
112
4.	Юмористическая страничка
Только очень глупые люди
не понимают шуток.
Петр Леонидович Капица (1894-1984),
советский физик, академик
В 7-м классе, после того как был изложен вводный курс геомет-
рии, педантичный преподаватель начал с простейшей фигуры - точ-
ки. «Какую фигуру мы рассмотрим следующей?» - обратился он к
классу. - «Запятую».
Некто купил палку. Он возвращается в магазин: палка ему не со-
всем подходит, она слишком длинная. Продавец хочет подрезать пал-
ку снизу. «Нет, зачем же, снизу палка вполне меня устраивает, вот
сверху она слишком длинна».
5.	Стихотворная страничка.
Квадрат
Присмотритесь-ка к квадрату -
Он здоровый, тароватый.
Он надежнее как друг,
Чем уж слишком круглый круг.
Каждый может быть свидетель,
Что в нем дышит добродетель;
В нем четыре стороны,
И все стороны равны.
Без обмана перед нами
На бумаге он с углами,
Честен каждою чертой,
Каждый угол в нем прямой.
Тем еще квадрат отличен,
Что вполне он симметричен.
Несомненно, каждый рад,
Что на свете есть квадрат.
И. Троян
113
Треугольник и квадрат
Жили-были два брата:
Треугольник с квадратом.
Старший - квадратный,
Добродушный, приятный.
Младший - треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать квадрат:
«Почему ты злишься, брат?»
Тот кричит ему: «Смотри,
Ты полней меня и шире,
У меня углов лишь три,
У тебя их все четыре».
Но квадрат ответил: «Брат!
Я же старше, я - квадрат».
И сказал еще нежней:
«Неизвестно, кто нужней!»
Но настала ночь, и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато
Срезать старшему углы.
Уходя, сказал: «Приятных
Я тебе желаю снов!
Спать ложился - был квадратом,
А проснешься без углов!»
Но на утро младший брат
Страшной мести был не рад:
Поглядел он - нет квадрата...
Онемел... стоял без слов...
Вот так месть! Теперь у брата
Восемь новеньких углов!
Е. Пайн
Занятие 18
1.	Приемы устного счета.
Умножение на 9, 99, 999
Умножение на 9
254 • (10 - 1) = 254 • 10-254- 1 =2 540-254 = 2 286;
38 478 • (10- 1) = 38 478 • 10-38 478 = 384 780-38 478 = 346 302.
Таким образом, для умножения многозначного числа на 9 надо при-
писать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число.
Например,
254-9 = 2 540-254 = 2286;
38 478  9 = 384 780 - 38 478 = 346 302.
Умножение на 99, на 999
Умножение на 99, на 999 осуществляется тем же способом, что и
на 9. В этих случаях приписывают два, три нуля и вычитают множи-
мое число:
324  99 = 32 400 - 324 = 32 076;
546 • 999 = 546 000 - 546 = 545 454.
2.	Биографическая миниатюра.
Леонард Эйлер (1707—1783)
Вместе с Петром I и Ломоносовым
Эйлер стал добрым гением
нашей академии, определившим ее славу,
ее крепость, ее продуктивность.
С.И. Вавилов
Творчество Эйлера изумительно
и в науке беспримерно.
А.Н. Крылов
Леонард Эйлер родился 4 апреля
1707 г. в селении Рихен вблизи города
Базеля, Швейцария. Начальное образо-

115
вание получил дома под руководством отца, затем продолжил обуче-
ние в гимназии Базеля. Одновременно он посещает лекции по мате-
матике в университете. Известный математик Иоганн Бернулли об-
ратил внимание на способного ученика. Как писал сам Эйлер,
И. Бернулли «...высказал чрезвычайно полезный совет, состоявший
в том, чтобы я сам принялся за некоторые труднейшие математиче-
ские книги и прочитывал их с особым вниманием; в случае же (не-
сомненно, что это лучший способ делать счастливые успехи в мате-
матических науках) какого-либо недоразумения или трудности... он...
разъяснял мне встреченные затруднения».
В 1723 г. Эйлер получил степень магистра искусств, а в 1727 г.
защитил диссертацию о распространении звука.
В 1727 г. Эйлер (тогда ему едва исполнилось 20 лет) принял при-
глашение только что созданной Петербургской академии наук и при-
ехал в Петербург, где был назначен адъюнктом математики.
В 1730 г. Л. Эйлер получил место профессора (академика) кафедры
физики, а в 1733 г. - кафедры математики.
В этот период Эйлер ведет кипучую деятельность. Он постоянно
делает научные доклады на академических конференциях, выступа-
ет с публичными лекциями, с лекциями по физике и математике в
университете и гимназии при Академии наук, принимает активное
участие в работе комиссий по обследованию машин и многочислен-
ных технических проектов, в составлении полного географического
атласа России, публикует в каждом томе «Комментариев Петербург-
ской академии наук» по нескольку своих научных трудов и т. д.
В 1741 г. Л. Эйлер переехал в Берлин. Покинув Петербург, он
поддерживал непрерывную связь с Петербургской академией наук.
Оставаясь ее почетным членом, продолжал печататься в академи-
ческих изданиях, по запросам академии сообщал о новых изобре-
тениях и открытиях, исполнял различные поручения. Кроме того,
Л. Эйлер руководил занятиями молодых людей, которых академия
направляла на учебу за границу. Он считал необходимым готовить
русских людей для замещения профессорских должностей в Рос-
сии. Так, например, на просьбу Петербургской академии наук ре-
комендовать ученого для занятия в ней кафедры механики он пи-
сал: «Лучше всего будет заменить это место способным русским...»
Эйлер очень высоко ценил русских ученых Семена Кирилловича
Котельникова - автора первого русского учебника механики и
М.В. Ломоносова. Он предлагал С.К. Котельникова на должность
профессора высшей математики Петербургской академии наук, от-
давая ему предпочтение перед рядом иностранных ученых:
«...по сравнению с ними я могу с полным правом считать Котельникова
116
Архимедом или Ньютоном...» О работах по физике и химии
М.В. Ломоносова Эйлер пишет: «сии диссертации не токмо хоро-
ши, но и весьма превосходны...» Предлагая Петербургской акаде-
мии наук рекомендовать М.В. Ломоносову участвовать в конкурсе
на тему «О селитре», он писал: «Я сомневаюсь, чтобы мог кто-ни-
будь кроме Ломоносова написать об этом лучше, почему и прошу
убедить его приняться за работу».
В 1766 г. Эйлер со своей семьей возвращается в Петербург и при-
ступает к активной деятельности в Академии наук. Он продолжает
вести обширные научные исследования и заниматься большой науч-
но-организационной работой. В этот период он справедливо считал-
ся первым математиком в мире и пользовался всеобщим уважением
и почетом.
Умер Л. Эйлер 18 сентября 1783 г. в Петербурге.
Необычайно велико научное наследие Л. Эйлера. Полное собра-
ние его сочинений насчитывает более 70 томов, а списки его трудов -
более 850 названий. Он автор книг по механике, теории движения
Луны и планет, по географии, по теории кораблестроения, теории
музыки и т. д.
Л. Эйлер является основателем русской научной математичес-
кой школы. Приведем в заключение выдержку из одного письма
Л. Эйлера: «Его королевское величество (Фридрих II) недавно меня
спрашивал, где я изучил то, что знаю? Я согласно истине ответил,
что всем обязан моему пребыванию в Петербургской академии наук».
Именем Леонарда Эйлера в современной математике названы
критерий, метод, многочлены, подстановки, постоянная, преобразо-
вание, произведение, ряд, теоремы, тождества, уравнения, форму-
лы, функции, характеристика, интегралы, углы, числа и т. д.
3.	Задача, приписываемая Л. Эйлеру
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы-
новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно-
вей должен получить 1 000 р. и восьмую часть остатка; следующий -
2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и
восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
Решение: так как все сыновья получили поровну, то восьмая
часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час-
ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р.
меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделе-
ны полностью, то, когда младший сын получил по завещанию,
117
кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого
остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8 000 р. Из него
предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос-
тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом,
был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма
7000-7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
4.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 199.
Решение:
1+3 + 5+...+ 195 + 197+199 = (1 +199) + (3 + 197) + 99-101 = 200х
х 50 = 10 000.
Задача 2. В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 га
содержится 1 млн л воды. Можно ли в этом бассейне проводить со-
ревнования по плаванию?
Решение:
1 га = 10 000 м2;
К= 1 000 000 л = 1 000 м3;
Я = 1 000 : 10 000 = 0,1 м.
Глубина бассейна 1 дм. Соревнования по плаванию проводить
нельзя!
5.	Как играть, чтобы не проиграть?
Для учащихся младших классов наиболее интересны и доступ-
ны задачи-игры, в которых участвуют двое. Будем называть участ-
ников таких игр «начинающим» и «противником».
В задачах-играх требуется установить наличие выигрышной стра-
тегии для начинающего или противника, а в случае ее отсутствия
показать, что при правильной игре участников она может закончить-
ся только ничейным результатом.
3 а д а ч а. На столе ваза конфет. Двое берут по очереди по одной,
по две или по три конфеты. Проигрывает тот, кому осталась последняя
конфета.
1. В вазе шесть конфет.
Как должен играть начинающий, чтобы выиграть? Как должен
играть противник, если начинающий в одном из своих ходов допус-
тил ошибку? Как меняется план игры, если в вазе семь или восемь
конфет?
118
2. В вазе одиннадцать конфет.
Как должен играть начинающий, чтобы выиграть? Как должен
играть противник, если начинающий в одном из своих ходов допус-
тил ошибку?
Решение.
1.	В вазе шесть конфет. Расположим шесть конфет в ряд, выде-
лив первую и последнюю конфеты, а в середине - группу из четырех
конфет:
«г **** «г
Рассмотрим варианты игры в поисках стратегии игры начинаю-
щего, при которой он выигрывает. Эта стратегия должна обеспечить
такой порядок ходов начинающего, при котором к последнему ходу
противника остается невзятой только одна конфета.
Так как начинающий при первом ходе может взять одну, две или
три конфеты, то возможны следующие три варианта:
1.	При первом ходе начинающий берет три конфеты. Тогда про-
тивник, взяв две, выигрывает, так как начинающему остается одна;
2.	При первом ходе начинающий берет две конфеты. Тогда про-
тивник, взяв три конфеты, выигрывает, так как начинающему оста-
ется одна конфета;
3.	При первом ходе начинающий берет одну конфету. Тогда при
любом числе конфет, взятых противником из «четверки» конфет, на-
чинающему остается из этой четверки одна, две или три конфеты,
которые он может забрать при своем втором ходе, оставляя против-
нику последнюю конфету. Значит, выигрывает начинающий.
Пункт 3 дает выигрышную стратегию игры начинающему. В пунк-
тах 1 и 2 рассмотрены ситуации, в которых начинающий совершает
ошибку при своем первом ходе; там же указывается выигрышная
стратегия противника при ошибке начинающего.
Но начинающий может допустить ошибку при своем втором ходе.
Действительно, пусть после первого хода начинающего противник
взял одну конфету, а начинающий при своем втором ходе взял одну
или две конфеты (или противник взял две конфеты, а начинающий
при своем втором ходе взял одну конфету). Тогда противник получа-
ет возможность взять оставшиеся от четверки конфеты и тем самым
занять позицию начинающего, т. е. оставить начинающему после-
днюю конфету.
Пусть теперь в кучке семь или восемь конфет. Тогда их можно
расположить следующим образом:
а) ее ееее е
б)еее ееее е
119
Ясно, что начинающему для получения выигрышной стратегии
необходимо изменить только свой первый ход (в случае семи конфет
брать при первом ходе две, а в случае восьми - брать при первом
ходе три конфеты).
2) В вазе одиннадцать конфет. Расположим их в ряд, выделив
две первые и последнюю конфету, а между ними две группы по че-
тыре конфеты:
«г	**** ЛЛ
Для получения выигрышной стратегии начинающему, очевид-
но, нужно при первом ходе взять две конфеты, а после каждого
хода противника брать столько, чтобы сумма конфет, взятых этим
ходом начинающего и предыдущим ходом противника, была равна
четырем.
Как вести себя противнику, если начинающий в одном из своих
ходов допустил ошибку?
Если начинающий при первом ходе взял не две, а одну конфету,
то противнику следует также взять одну конфету, и он занимает по-
зицию начинающего, поэтому выигрывает.
Если начинающий при первом ходе взял не две, а три конфеты,
то противнику следует также взять три конфеты, и он занимает по-
зицию начинающего, поэтому выигрывает.
Наконец, если начинающий допустил ошибку при втором
ходе, например, противник взял из первой четверки конфет
одну, а начинающий - одну или две конфеты, то противнику
следует взять последние конфеты этой четверки, тогда он
выигрывает.
в. Стихотворная страничка
Что такое ноль? Что такое «ничего»? Пустое место! Если ниче-
го нет, кому придет в голову что-то писать, когда можно не писать
ничего!
Кто первым догадался обозначить цифрой «ничто»? Мы никогда
не узнаем. Можем только утверждать, что таких гениев было несколь-
ко. Кто-то придумал знак для нуля в Древнем Вавилоне. Кто-то из
индейцев майя - в Америке. Кто-то в Китае и кто-то из мудрецов
Индостана обозначил пустое место тем самым кружочком, которым
весь мир пользуется до сих пор.
120
Стихи о нуле
Меня кружочком окрестили.
Понять же людям мудрено
То, что во мне воплощено.
Они запомнили названье
И видят только начертанье -
Для них всего лишь цифра я.
Подвергли действиям меня...
Мне умноженье лишь приятно,
А при сложеньи, вычитаньи
Меня оставят без вниманья.
О том же, чтоб на нуль делить,
Не стоит даже говорить...
А то, что ты на нуль помножишь,
В одно мгновенье уничтожишь.
Так берегись же ты нуля,
Чтоб он к нулю не свел тебя!
Напрасно думают, что ноль
Играет маленькую роль.
С. Я. Маршак
Занятие 19
1.	Некоторые особые случаи счета
На занятии 12 были рассмотрены случаи умножения на 5 и 25.
Повторим эти правила и рассмотрим умножение на 125.
Умножение на 5
При умножении многозначного числа на пять надо приписать
к этому числу нуль и разделить затем получившееся число на 2.
Если же многозначное число четное, то сначала лучше разде-
лить его на 2, а затем к частному приписать нуль:
367-5 = 3 670:2 = 1 835;
345 862-5 = 172 931 • 10= 1 729 310.
Умножение на 25
Чтобы умножить число на 25, надо приписать к нему два нуля,
а затем разделить получившееся число на 4:
342-25 = 34 200:4 = 8 550;
164-25 = 16400:4 = 4 100.
Умножение на 125
Приумножении числа на 125 нужно приписать к нему три нуля
и получившееся число разделить на 8:
384- 125 = 384 000:8 = 48 000;
749- 125 = 749 000:8 = 93 625.
2.	Математические мотивы у Дж. Свифта
«Мои математические познания оказали мне большую услугу при
изучении их (лапутянского) языка. В этом языке много выражений
заимствовано из математики и музыки. Головы у этих людей наби-
ты геометрическими чертежами и фигурами. Желая, например, по-
хвалить красоту женщины или какого-нибудь животного, они непре-
менно используют геометрические фигуры: ромб, окружность, па-
раллелограмм, эллипс - или же заимствуют сравнения из музыки.
В королевской кухне я видел всевозможные математические и музы-
кальные инструменты, по образцу которых повара режут жаркое для
122
стола его величества. Дома лапутян построены очень плохо. Стены
почти всегда перекошены, ни в одной комнате нельзя найти прямого
угла. Дело в том, что они глубоко презирают прикладную геомет-
рию. По их мнению, это чрезвычайно вульгарная наука, которой мо-
гут заниматься только ремесленники. Они увлекаются лишь высши-
ми отвлеченными вопросами, и все указания, которые они дают ра-
бочим, так сложны и непрактичны, что на этой почве сплошь и рядом
возникают самые забавные ошибки. Они довольно искусно владеют
на бумаге линейкой, карандашом и циркулем. Но мне никогда
не приходилось видеть людей, которые в обыкновенной жизни были
бы так неловки, неуклюжи и косолапы, так туги на понимание всего,
что не касается математики и музыки. Они очень плохие мыслите-
ли; опровергнуть их рассуждения не стоит никакого труда, - разуме-
ется, кроме тех случаев, когда истина на их стороне, но это бывает
очень редко. Эти люди совершенно лишены воображения, фантазии
и изобретательности. В их языке нет даже слов для выражения этих
понятий. Кроме математики и музыки, они ничего не знают, да и
не желают знать».
Джонатан Свифт
«Путешествие в некоторые отдаленные страны света
Лемюэля Гулливера, сначала хирурга,
а потом капитана нескольких кораблей»
3.	Решение олимпиадных задан
Задача 1. Помните, у К.И. Чуковского:
У меня зазвонил телефон.
-	Кто говорит?
-	Слон.
А потом позвонил Крокодил...
А потом позвонили Зайчатки...
А потом позвонили Мартышки...
А потом позвонил Медведь...
А потом позвонили Цапли...
Итак, у Слона, Крокодила, Зайчат, Мартышек, Медведя, Цапель
и у автора установлены телефоны. Каждые два телефонных аппара-
та соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого понадоби-
лось проводов?
Решение: всего телефонных аппаратов семь, каждый соеди-
нен с шестью. Следовательно, соединений всего 7 • 6 = 42. А провод-
это два соединения. Значит, всего понадобился 21 провод.
123
Задача 2. На какую цифру оканчивается число 1989'989? А на
какие цифры оканчиваются числа 19891992, 19921989,19921"2?
Решение: поскольку нас интересуют только последние циф-
ры результатов, достаточно определить последние цифры чисел 9'989,
91992 21’8’ и 21992
1.	Число 9 при возведении в степень дает два варианта последних
цифр: 9 (если степень нечетная) и 1 (если степень четная). Это зна-
чит, что 9”89 имеет последнюю цифру 9, а 91992 - цифру 1.
2.	Число 2 при возведении в степень может давать следующие
последние цифры: 2,4,8,6. Если показатель степени при делении на
4 дает остаток 1 - последняя цифра 2; если остаток 2 - последняя
цифра 4; остаток 3 - последняя цифра 8; без остатка - последняя
цифра 6. Следовательно, 21989 имеет последнюю цифру 2, а 21992 -
цифру 6.
Задача 3. Игра на внимание. На доске написан «столбик»
чисел. Быстро и вслух суммируйте число за числом:
1000
30
1000
+ 40
1000
20
1000
10
Возможная ошибка - обычно в результате называют 5 000
вместо 4 100.
Задача 4. Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам
музея так, чтобы обойти все залы с 1-го по 12-й, ни в какой зал
не заходя дважды.
1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
Где (в каком зале) нужно начать и где закончить маршрут? (Най-
ти один из возможных маршрутов.)
Ответ: начало осмотра в зале 6, далее 3, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 11,
10, 7, выход.
124
4. Стихотворная страничка.
И снова о нуле
Когда-то многие считали,
Что нуль не значит ничего.
И, как ни странно, полагали,
Что нуль совсем не есть число.
Но на оси средь прочих чисел
Он все же место получил,
И все действительные числа
На два разряда разделил.
Нуль ни в один из них не входит,
Он сам составил чисел класс,
О всех его особых свойствах
Мы поведем сейчас рассказ.
Коль нуль к числу ты прибавляешь
Иль отнимаешь от него,
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.
Попав как множитель средь чисел,
Он сводит мигом всех на нет.
И потому в произведенье
Один за всех несет ответ.
А относительно деленья,
Во-первых, нужно помнить то,
Что уж давно в научном мире
Делить на нуль запрещено.
Причина всем ведь очевидна,
А состоит причина в том,
Что смысла нет в таком деленье,
Противоречье в нем самом.
И впрямь: какое из известных
Число за частное нам взять,
Когда с нулем в произведенье
Все числа нуль лишь могут дать?
«А» в нулевой есть единица,
Так все условились считать.
Но глубоко бы тот ошибся,
Кто б вздумал это доказать.
125
5. Феномены. Эти непостижимые
«живые компьютеры»
Существуют люди, которые могут необыкновенно быстро про-
изводить в уме сложные вычисления. Их называют «живыми компью-
терами».
Возвести 121 в третью степень, например для Шакунталы
Деви, которой больше 50 лет, проще простого. Ведь несколько
лет назад Деви, слывущая одним из гениев молниеносного счета,
удостоилась чести быть включенной в «Книгу рекордов Гинне-
са». Всего за 28 секунд она перемножила тогда два тринадцати-
значных числа.
Все восхищаются «живыми компьютерами» и другими самород-
ками, которые уже в самом юном возрасте способны творить чудеса
с числами. При этом во многом остальном они остаются подчас зау-
рядными людьми. Однако некоторые из них добиваются выдающихся
достижений в музыке, математике, шахматах-сферах человеческой
деятельности, имеющих много общего. Математическая одаренность
проявляется у вундеркиндов часто еще до осознания ими, что на свете
существует такая наука, как математика.
Феномен, поражающий воображение, - Ханс Эберстарк. Он по-
мнит значение числа я до 119 444-го знака после запятой и говорит
на 20 языках. Однажды он попросил назвать в хаотичном порядке
50 цифр, которые тотчас были воспроизведены на экране у него за
спиной. Называя их одну за другой - медленно и методично, он сна-
чала пропустил последовательность из 10 знаков, но быстро попра-
вился. Было ясно, что Эберстарк пользуется какой-то системой за-
поминания; позднее он объяснил, что переводит каждую цифру в
определенный звук, составляет таким образом слоги и получает свой
собственный, ни на что не похожий «язык».
Удивительно, что, обладая феноменальными способностями,
некоторые из этих людей неграмотны и имеют смутные представле-
ния об арифметике.
Есть и такие поразительные личности, которые способны на-
звать день недели, приходящийся на любую дату на протяжении
тысячи лет, и которые, тем не менее, не могут запомнить даже про-
стейшую формулу. Они просто влюблены в числа, играют с ними
днем и ночью, получая наслаждение от всевозможных математи-
ческих операций. Гениями «по части чисел» были и прославлен-
ные ученые Джон фон Нейман, Карл Фридрих Гаусс, Андре Мари
Ампер.
126
Многие «счетчики» в качестве одной из постоянных забав по
привычке возводят в ту или иную степень любое встретившееся им
большое число, представив его в удобном для восприятия виде. Не-
которые из них знают наизусть таблицу умножения не до 10, как все
мы, а до 100 и дальше. Некоторые знают на память логарифмичес-
кие таблицы.
в. Математические фокусы
Большинство математических фокусов связано с «угадыванием»
чисел. Математической основой такого фокуса чаще всего является
некоторое тождество. Каждый раз, рассматривая математический фо-
кус, необходимо донести до учащихся математическую сущность фо-
куса (не только показать, что и как получится, но и почему это так). Без
этого образовательная ценность фокуса незначительна. Лучше всего,
если учащиеся сами найдут тождество, на котором основан фокус.
Фокусы на «угадывание» чисел можно разделить на две категории:
1) «угадывается» результат некоторых операций над задуманным
числом; в этом случае результат не зависит от величины задуманно-
го числа;
2) «угадывается» задуманное число; при этом сообщается отгад-
чику результат некоторых операций, которые были проведены над
задуманным числом.
«Угадывание» результата вычислений. В простейших случаях же-
лательно, чтобы ученик - отгадчик выполнял в уме нужные алгебраи-
ческие операции с неизвестными (задуманными) числами. В более слож-
ных случаях лучше воспользоваться готовой формулой (тождеством).
Примеры.
1. Угадывание задуманного числа.
Отгадчик говорит:	
вслух	«про себя»
Задумай число (любое) Прибавь 4 Умножь на 3 Прибавь 3 Удвой результат Вычти 12 Результат раздели на 6 Вычти задуманное число Результат умножь на 4 Ты получил 12	X х + 4 (х + 4) • 3 = Зх + 12 (Зх + 12) + 3 = 3+ 15 (Зх+15)-2 = 6х+30 (6х + 30)-12 = 6х+18 (6х + 18):6 = х+3 х + 3 - х= 3 3 - 4= 12
Фокус основан на тождестве:
({[(х + 4) • 3 + 3] • 2 - 12} : 6-х) • 4 = 12.
127
2. Угадывание размера обуви (костюма, рубашки) и возраста
Отгадчик говорит	Действия партнера
Запиши номер своей обуви	37
Умножь это число на 2	37 • 2 = 74
Прибавь 35	74 + 35 = 109
Результат умножь на 50	109 • 50 = 5 450
Прибавь 251	5 450 + 251 =5 701
Вычти год своего рождения и назови результат	5 701 - 1 962 = 3 739
Размер вашей обуви (число из первых двух цифр)	37-й
Вам (число из последних двух цифр)	39 лет
Если говорят, что возраст указан неверно, то отгадчик говорит:
«Простите, пожалуйста, я действительно ошибся: вам полных 38 лет,
так как месяц вашего рождения еще не наступил».
Секрет этого фокуса в следующем. Обозначив размер обуви х, а
год рождения человека/, получим:
(2х +35) • 50+ 251 -у = 100х+ 1 750+ 251 -у = 100х +2 001-у.
Заметьте, что 2001 - это текущий год. Разность между текущим
годом и годом рождения (у) дает возраст человека. Так как возраст
человека определяется текущим годом, то в 2002 г. надо прибавлять
не 251, а 252, в 2003 г. - 253 и т. д.
Занятие 20
1.	Приемы устного счета.
Умножение на 111
Найдем произведение чисел 1294 и 111, выполнив его «в столбик»:
х1294
111
1294
1294
1294
143634
Чтобы найти это произведение, поступают так (согласно приведен-
ной записи): слева от последней цифры множимого записывают после-
днюю цифру суммы его единиц и десятков (9 + 4, т. е. 3), затем последо-
вательно приписывают суммы цифр, взятых по три: (2 + 9 + 4) + 1
(от 13) = 16, те. 6; (1 + 2 + 9) + 19 (от 16) = 13, те. 3; затем - сумму
последних двух цифр (1 + 2) + 1 (от 13) = 4; первую цифру множимо-
го (1) приписывают слева к полученному результату.
Примеры:
1 294- 111 = 143 634,	52 628 • 111 =5 841 708,
241 • 111 =26 751,	175 654- 111 = 19 497 594.
2.	Биографическая миниатюра.
Н.И. Лобачевский (1792—1856)
В геометрии я нашел несовершенства.
Н.И. Лобачевский
Первым усомнился в абсолютной
однозначности законов Евклида и Нью-
тона величайший русский геометр Ни-
колай Иванович Лобачевский. Его та-
лант признали довольно рано. В 34 года
он стал ректором Казанского универси-
тета и исполнял эту должность в тече-
ние 19 лет. В 1824 г. с учетом рекомен-
дации К.Ф. Гаусса Н.И. Лобачевский
129
был избран членом-корреспондентом Геттингенского Королевского
общества, но за границу он никогда не ездил. Гаусс же отклонил при-
глашение работать в Петербурге. Встреча их, столь необходимая, так
и не состоялась. Уже после смерти Гаусса стало ясно, что уму его
открылись труды русского геометра, но столь дерзки были они, столь
сокрушительны по новизне своей, что даже у Гаусса не хватило сме-
лости открыто признать их.
Жизнь шла обычно: университет (лекции, преданные глаза уче-
ников), дом (большая семья - 15 детей). С годами ухудшилось зре-
ние, Лобачевский скрывал слепоту от жены и детей; учился узнавать
людей по шагам.
Умер он в 63 года от паралича легких. Понимая, что умирает,
сказал просто: «Человек родится, чтобы умереть». И ушел из жизни
так тихо, что даже доктор не поверил, все щупал пульс, капал на
лицо свечной воск, следил, не дрогнут ли мускулы. В имении своем
посадил Николай Иванович молоденькие кедры и потом часто гова-
ривал: «Ничего, доживем до кедровых шишек!» Первые шишки по-
явились в год его смерти. Не дожил.
А годы шли... И вот сын бедного провинциального священника
Бернгард Риман выстроил здание своей геометрии - «геометрии Ло-
бачевского наоборот», такой же странной, строгой и логичной. Так
был открыт путь геометрий разных пространств, ведущий в четы-
рехмерный мир теории относительности, в океан невероятных, не-
постижимых далей и глубин, на берег которого вышло человечество.
3.	Решение олимпиадных задан
Задача 1. В классе 35 учеников. Они занимаются в кружках:
физкультурном, литературном, математическом. В физкультурном -
17 человек, в литературном - 30, в математическом - 13. Сколько
учащихся принимают участие в работе только одного кружка, если
известно, что во всех трех кружках занимаются 5 человек?
Решение:
1) 17+13 + 30-5 • 3 = 45 - общее число занимающихся не в трех
кружках, т. е. или в одном, или в двух, причем из них:
2)17-5 = 12-в физкультурном,
13 - 5 = 8 - в математическом,
30 - 5 = 25 - в литературном;
3)	35-5 = 30 занимаются не в трех кружках;
4)	45 - 30 = 15 занимаются в двух кружках;
5)	30 - 15 = 15 занимаются в одном кружке.
Ответ: 15 человек.
130
Задача 2. В магазине картофель расфасовали в 24 пакета по
3 и 5 кг. Масса всех 5-килограммовых пакетов равна общей массе 3-
килограммовых. Сколько было 3- и 5-килограммовых пакетов?
Решение: так как масса 5-килограммовых пакетов равна мас-
се 3-килограммовых пакетов, то наименьшее количество 5-килограм-
мовых пакетов 3, а 3-кг пакетов - 5, т. е. 5 • 3 = 3 • 5, но тогда всего
пакетов 3 + 5 = 8, в три раза меньше, чем у нас есть, значит, пакетов по
5 кг не 3, а 9, а по 3 кг - не 5, а 15.
Ответ: было 15 пакетов по 3 кг и 9 - по 5 кг.
Задача 3. Сумма шести (последовательных) четных чисел
равна 3 018. Найти эти числа.
Решение: пусть х - меньшее число, тогда
х + (х 4- 2) + (х + 4) + (х + 6) + (х + 8) + (х + 10) = 3 018,
6x4-30 = 3 018,
х 4- 5 = 503,
х = 498.
Ответ: искомые числа 498, 500, 502, 504, 506, 508.
Задача 4. Длина прямоугольного параллелепипеда 250, ширина
120, высота 40 мм. Его разрезали на кубические сантиметры и размести-
ли их в один ряд вплотную один к другому. Какой длины получился ряд?
Решение:
/ = 25 см, b = 12 см, h = 4 см; V= Ibh = 25 • 12 • 4 = 1200 см3, т.е.
число кубиков по 1 см3 равно 1200, длина каждого 1 см, значит, дли-
на ряда 1200 см.
Ответ: 12 м.
4. Поэтическая страничка.
Поэзия уравнений
Мне приходится делить свое время
между политикой и уравнениями. Однако уравнения,
по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует
только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.
А. Эйнштейн
Одним из способов повышения интереса к предмету являются
математические задачи в стихотворной форме.
Задача 1.
Четыре фонтана струями играли -
Неспешно о силе своей рассуждали:
«Тот пруд, что работники роют вдали,
За сколько бы дней мы заполнить смогли?»
131
Фонтан первый вымолвил: «Что до меня,
Четыре всего мне достало бы дня».
«Мне - три», «Мне - лишь два», «Ну а мне одного»,-
Тотчас отвечали коллеги его.
«Л если всем вместе нам пруд наполнять,
Как долго придется ночами не спать?»
Смеркалось, защелкал в саду соловей,
Вторгаясь в шум струй неумолчный друзей.
Решение: все фонтаны, работая вместе, заполнят пруд за х
дней. Каждый из фонтанов заполнит за день соответственно 1, 1,
1 / 43
- часть пруда либо весь пруд. Тогда
1 1 L
(1+ — + — + —)• х = 1,
2 3 4
25 Л 12
—х = 1, х =—.
12	12	25
О т в е т: за — дня.
25
Задача 2.
Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
Из последних уже выбивался сил.
«Тяжело мне идти!» - лошадь громко стенала.
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало):
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Моя ноша значительно больше твоей.
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
Одинаковый груз наши спины б согнул».
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
Сколько нес на спине умный маленький мул?
Решение: х- поклажа, которую несла лошадь; у - поклажа
которую нес мул; тогда
у +1 = 2(х -1), (у +1 = 2х - 2, (х + 2 +1 = 2х - 2,
у -1 = х +1, [у = х + 2,	[5 = х, тогда у = 7.
Ответ: лошадь несла пять мешков, мул - семь.
132
5. Из истории интересных чисел. Число Л
Более двух тысячелетий назад было подмечено, что длина лю-
бой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз.
Впоследствии это было строго доказано.
Отношение длины окружности к ее диаметру стали обозначать крат-
ко буквой 71 - первой буквой греческого слова периферия (лЕрирерих),
что означает окружность. В первый раз этот символ употребил в 1706 г.
английский математик Вильям Джонс. Всеобщее признание этот сим-
вол получил лишь в середине XVI в., после издания «Анализа» Леонар-
да Эйлера (академика Петербургской академии наук).
В Древнем Вавилоне считали, что длина окружности больше ее
диаметра в 3 раза (т. е. 71 = 3). Но древнегреческие геометры уже
знали, что л^З. То, что число 71 не целое и не выражается в виде
какой-либо простой дроби, создает некоторые неудобства. Известен
даже случай, когда законодательное собрание штата Индиана (США)
приняло закон, по которому число 71 должно считаться равным 3,2.
Понятно, что такой закон пришлось вскоре отменить: число 71 не под-
властно юридическому законодательству.
Число 71 можно представить в виде бесконечной десятичной
непериодической дроби. Было найдено много разных рациональных
приближений для числа л. Например, древнеримский архитектор
Витрувий принимал л = 3-. Это было очень удобное приближение
8
для строительной практики тех времен, так как, если измерить дли-
ну диаметра окружности, то затем легко получить отрезок, длина
которого равна длине окружности.
Архимед (III в. до н. э.) нашел, еще за несколько столетий до
Витрувия, более точное приближение числа л; он показал, что
10	. 1	Л
3— < л < 3— и принял л ~ 3—.
71	7	7
Чтобы вычислить приближенно число л, в течение многих сто-
летий поступали так: в окружность с диаметром, равным единице,
мысленно вписывали правильный многоугольник с большим чис-
лом сторон и вычисляли периметр этого многоугольника, используя
известную «формулу удвоения». Периметр такого многоугольника и
принимался равным числу л. Для оценки погрешности такого при-
ближения приходилось рассматривать также периметры правильных
описанных многоугольников.
Так, например, голландский математик Лудольф ван Цейлен
(нач. XVII в.) после десятилетних вычислений подсчитал этим спо-
133
собом число п с точностью до двадцати знаков после запятой. Для
этого ему пришлось рассматривать правильные многоугольники с
числом сторон 60 • 22? Книгу, в которой изложены эти вычисления,
он закончил словами: «У кого есть охота, пусть пойдет дальше». Од-
нако вскоре такую охоту проявил он сам и за следующие 12 лет на-
шел еще 15 десятичных знаков числа л.
Поиски более точного приближения п продолжались и в даль-
нейшем. Количество знаков после запятой в XX в. возросло до 500 000.
Приближение числа л, найденное Архимедом, 3—, можно предста-
22	7
вить в виде дроби —. Запоминанию чисел 22 и 7 способствует риф-
мованная шутка:
22 совы скучали
На больших сухих суках.
22 совы мечтали
О семи больших мышах,
О мышах довольно юрких,
В аккуратных серых шкурках.
Такие шуточные примеры
часто имеют большие значения,
чем полезные.
Штифелъ
Занятие 21
1.	Приемы устного счета
Умножение числа, состоящего из одинаковых цифр, на двухзнач-
ное число, у которого сумма цифр равна 10, например:
333 • 91; 8 888 • 64; 66 666 • 37.
В этих случаях поступаем так: цифру десятков двухзначного числа
увеличиваем на 1 и умножаем на цифру, которая повторяется в много-
значном числе; приписываем множимое без двух его цифр; далее справа
приписываем двухзначное (!), например, 1 • 5 = 05, произведение цифры
единиц множителя на ту цифру, которая повторяется у множимого:
333-91=| (9 + 1)-3 |3|ГЗ|= 30303,
'	30	'	03
8888-64 =1(6+1)-8 | 88 14-8 |= 568832,
56	32
66666-37 =| (3 + 1)-6 | 666 17^6 |= 2466642.
2.	Биографическая миниатюра.
П. Л. Чебышев (1821—1894)
Сближение теории с практикой дает
самые благотворные результаты. И не одна только практика
от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее.
П.Л. Чебышев
Жизнь Пафнутия Львовича Чебы-
шева небогата внешними событиями.
Родился он 26 мая 1821 г. в сельце Ока-
тово Боровского уезда Калужской об-
ласти. Лев Павлович и Аграфена Ива-
новна Чебышевы со всей многочислен-
ной семьей жили почти безвыездно в
имении Окатово, в просторном дере-
вянном доме.
О детстве Чебышева известно
немногое. Грамоте он выучился у своей
135
матери, а французскому языку и арифметике - у двоюродной се-
стры, Авдотьи Квинтиллиановны Сухаревой, девушки очень об-
разованной и сыгравшей, по-видимому, важную роль в воспита-
нии Чебышева. Портрет ее Пафнутий Львович хранил до конца
жизни.
Десяти лет Чебышев с дядей Петром Павловичем совершил пер-
вую длительную поездку на Кавказ, побывал в Железноводске, Пя-
тигорске и других местах. От рождения он немного хромал и ходил
с палкой. Эта хромота очень печалила родителей, хотевших видеть
своего старшего сына офицером.
Первый учитель Чебышева по математике - инспектор гимназии
П.Н. Погорельский - отличался суровым обхождением с учениками.
Всегда серьезный, с нахмуренным лицом, отрывистой речью, требо-
вательный до педантичности, он не оставлял ни одного поступка
ученика без сурового замечания, выговора или наказания.
Весной 1837 г. в «Московских ведомостях» было объявлено, что
«желающие поступить в Московский университет для продолжения
наук должны подать ректору прошение не позже 15 июля, объяснив,
в какой факультет или отделение вступить намерены». При этом ука-
зывалось, что «никто не может быть принят в студенты, не имея
16 лет от роду и надлежащих познаний в предметах полного гимна-
зического курса».
К указанному сроку Чебышеву минуло полных 16 лет, и он подал
ректору Московского университета, Михаилу Трофимовичу Каченов-
скому, прошение следующего содержания.
Господину ректору
Императорского Московского университета
от дворянина Пафнутия Львова, сына Чебышева
Прошение.
Родом из дворян, от роду имею 16 лет, обучался в доме роди-
теля моего разным языкам и наукам, потребным для поступления
в университет. Теперь, желая усовершенствовать себя в науках,
покорнейше прошу, сделав мне в науках испытание, принять в чис-
ло студентов университета по 2-му отделению философского фа-
культета.
К сему дворянин Пафнутий, сын Чебышев, руку приложил.
17 июня 1837 г.
Чебышеву предстояло сдать вступительные экзамены по следу-
ющим предметам: закону божьему, священной и церковной истории,
российской грамматике, словесности и логике, языкам - латинско-
136
му, немецкому и французскому, математике, физике, географии,
истории и статистике. При этом требовались особенно прочные зна-
ния в законе божьем, российской словесности и латинском языке, а
для обучающихся во 2-м отделении философского факультета-так-
же и в математике.
Экзамены П.Л. Чебышев сдал успешно и в сентябре 1837 г. был
зачислен «своекоштным» студентом 2-го отделения философского
факультета. Поступив в университет, он получил на руки табель, т. е.
краткие правила поведения. Одно из них гласило, что студент дол-
жен посещать лекции, носить треугольную шляпу и быть всегда в
застегнутом вицмундире. К этому последнему университетское на-
чальство было особенно требовательным: студенты должны быть
подтянутыми.
Чебышев в точности исполнял все требования, указанные в
табеле. Он аккуратно посещал занятия, на протяжении четырех
лет студенческой жизни имел «отличные успехи», как об этом го-
ворят университетские отчеты за 1837-1841 гг., и «был отличного
поведения».
Чебышев окончил Московский университет в 1841 г. «отличней-
шим из студентов» математического отделения философского факуль-
тета, о чем было сообщено министру народного просвещения.
Питомец Московского университета всю свою профессорскую
деятельность с 1847 по 1882 г. посвятил Санкт-Петербургскому уни-
верситету.
Заслуги Чебышева оценены ученым миром достойным образом.
Он был членом Императорской академии наук с 1853 г., членом Па-
рижской академии наук, членом-корреспондентом множества уче-
ных обществ Западной Европы и почетным членом всех русских уни-
верситетов.
К самым замечательным трудам Чебышева относятся, прежде
всего, труды по теории чисел; теорема, лежащая в основе теории
вероятностей; работы по практической механике, которой он зани-
мался много и с большой любовью. Им создано более 40 механиз-
мов и около 80 их модификаций (один из приборов хранится в Па-
риже).
Чебышев создал школу русских математиков. Скончался
П.Л. Чебышев 26 ноября 1894 г.
137
3.	Простые числа
Бесконечный ряд чисел, который мы получаем в результате сче-
та предметов, называется натуральным рядом чисел: 1,2, 3,4,5,....
Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа.
Простыми числами называются такие, которые делятся только
на 1 и на самих себя. Наименьшее простое число 2.
Выделение простых чисел является сложной задачей математи-
ки. Ученые на протяжении многих веков пытались найти формулу,
которая позволила бы из множества натуральных чисел выписать
простые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий матема-
тик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Эрато-
сфен был главным библиотекарем знаменитой Александрийской биб-
лиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, филосо-
фом и поэтом. Эратосфен вычислил наклон эклиптики - большой
окружности небесной сферы, по которой происходит видимое го-
дичное движение Солнца, расстояния до Солнца и Луны, длину зем-
ного меридиана (измерив расстояние от Асуана до Александрии),
составил карту мира с учетом шарообразности Земли и т. д.
Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел чрезвы-
чайно прост и не требует даже проверки чисел на делимость. Он
воспользовался особым методом, который в честь ученого был на-
зван «решето Эратосфена». Чтобы очистить зерно, мы его просеива-
ем. Подобно этому Эратосфен «просеивал» числа натурального ряда,
пользуясь особым приемом.
Допустим, что были выписаны (в таблице из 10 рядов) все по-
следовательные числа от 1 до 100. Прежде всего надо «выбросить»
все четные числа, кроме 2. Подчеркнув число 2, остальные числа,
делящиеся на 2, зачеркнем. После двойки в таблице идет простое
число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящи-
еся на 3, зачеркнем. (Числа, кратные трем, стоят на местах через два
на третье.) Теперь следующее простое число 5, которое опять под-
черкиваем; выбрасываем все числа, кратные 5, которые расположе-
ны на местах через четыре на пятое, считая ранее зачеркнутые. Даль-
ше подчеркиваем следующее простое число 7 и зачеркиваем числа,
делящиеся на семь, и т.д. Заметьте, что из всех натуральных чисел
остаются незачеркнутыми только простые числа. Эратосфен у каж-
дого составного числа прокалывал отверстие, и получалось нечто
вроде решета, через которое эти составные числа «просеивались».
Древнегреческих ученых заинтересовало: сколько может быть
всех простых чисел в натуральном ряду? Ответил на этот вопрос
Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество.
138
Однако способ Эратосфена не мог удовлетворить ученых, и они
пытались найти формулу простых чисел. На протяжении многих
столетий это сделать не удавалось. В ряду натуральных чисел были
найдены многие интересные закономерности, но поставленная за-
дача оставалась без ответа. Первым вплотную приблизился к реше-
нию проблемы простых чисел П.Л. Чебышев.
В 1750 г. Леонард Эйлер установил, что число 231- 1 является
простым. Оно оставалось самым большим из известных простых
чисел более ста лет. В 1876 г. французский математик Лукас устано-
вил, что огромное число
2127- 1 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727
также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были
использованы механические настольные счетные машины. В 1957 г.
было найдено следующее простое число: 23217- 1. А простое число
244 497_ * состоит из ]з 000 цифр.
4.	Решение олимпиадных задан
Задача 1. Три туриста решили вместе поесть.Один из них дал
две булки, другой - три булки, а третий 10 р. Сколько из этих денег
должен взять первый и сколько - второй турист?
Решение:
1)	10 • 3 = 30 р. - стоимость булок на троих;
2)	30 : 5 = 6 р. - стоимость одной булки;
3)	6 • 2 = 12 р. - стоимость двух булок;
4)	12 - 10 = 2 р. - надо отдать первому туристу;
5)	6 • 3 = 18 р. - стоимость трех булок;
6)	18 - 10 = 8 р. - надо отдать второму туристу.
О т в е т: 2 р. надо отдать первому туристу и 8 р. - второму.
Решение задач со спичками помогает развивать не только сооб-
разительность, но и пространственное воображение.
139
3 а д ач a 3.	°
1)	Составьте три равных квадрата из десяти
спичек.	•	>
Решение: см. рис. 54.
2)	От данных 5 квадратиков из спичек (рис. 54, а) -• —
2 отнимите 3 спички так, чтобы осталось 3 таких	Рис. 54
же квадратика.
Решение: см. рис. 55, б.
а Рис. 55 и
3)	Из 18 спичек, составляющих 6 данных квадратиков (рис. 56, а),
отнимите 2 спички так, чтобы осталось 4 таких же квадратика.
Р е ш е н и е: см. рис. 56, б.
а	б
Рис. 56
4)	От данных 24 спичек, расположенных указанным способом
(рис. 57, а), отнимите 8 спичек так, чтобы осталось «шесть».
Р е ш е н и е: см. рис. 57, б.
а
Ш Е С Т N
б
Рис. 57
Задача 4. Имеется 16 палочек длиной по 2 см, 12 палочек
длиной по 1 см, 13 палочек длиной по 3 см. Можно ли из всех этих
палочек сложить прямоугольник?
Решение: имеем
(2- 16)см + (1 • 12)см + (3 • 13) см.
Получим нечетное число, а периметр прямоугольника - число
четное, значит, сложить прямоугольник из этих палочек нельзя.
140
5.	Число Шехерезады
Существуют числа, носящие имена великих математиков: число
Архимеда - число я, неперово число - основание натуральных ло-
гарифмов е = 2, 718 281 [Непер Джон (1550-1617), шотландский ма-
тематик, изобретатель логарифмов.]
Число, о котором пойдет речь, не менее популярно. Это 1001, его иног-
да называют числом Шехерезады, известно каждому, кто читал сказки
«Тысяча и одна ночь». Число 1001 обладает рядом интересных свойств.
1)	Это самое маленькое натуральное четырехзначное число, ко-
торое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных
чисел: 1001=10М3;
2)	Число 1001 состоит из 77 «злополучных чертовых дюжин»
(1001 = 77 • 13), из 91 одиннадцатки или из 143 семерок (вспомним,
что число 7 считалось магическим числом); далее если будем счи-
тать, что год равен 52 неделям, то
1001 - 143 • 7 = (104 + 26 +13) • 7 = 2года + года + ± года.
3)	На свойствах числа 1001 базируется метод определения дели-
мости числа на 7, на 11 и на 13.
Рассмотрим этот метод на примерах.
Пример 1: делится ли на 7 число 348 285?
348 285 = 348-1 000 + 285 = 348-1 000 + 348 - 348 + 285 =
= 348- 1001 -(348-285).
Так как 1001 делится на 7, то чтобы 348 285 делилось на 7, доста-
точно, чтобы на 7 делилась разность 348 - 285. Так как 348 - 285 = 63,
то 348 625 делится на 7.
Пример 2: делится ли на 7 число 946 988 875?
946 988 875 = 946 988 • 1 000 + 946 988 + 875 = = 946 1001-
-(946 988-875).
946 988 875 делится на 7, если на 7 делится 946 988 - 875 = 946 113.
946 113 = 946 • 1000 + 946 - 946 + 113 = 946 • 1001 - (946 - 113),
а так как 946 - 113 = 833 делится без остатка на 7, то на 7 делится
число 946 113, следовательно, делится на 7 и 946 988 875.
Правило. Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 11 и на 13),
необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число
из трех последних цифр; если эта разность делится на 7 (И или
13), то и заданное число также делится на! (11 или 13).
141
3	а д а ч а. В шестизначном числе, которое делится либо на 7, либо
на 13, либо на 11, либо на 37, переставьте первую цифру в конец его.
Убедитесь, что полученное число вновь будет иметь тот же дели-
тель. Почему?
Решение: пусть А - шестизначное число, а - его первая циф-
ра. Если убрать первую цифру, полученное число запишется как
А - 100 000б/. Число, полученное из него, приписыванием справа его
первой цифры а:
10 • (А - 100 000а) + а или ЮЛ - 999 999а,
но
999 999 = 7- И • 13-27-37,
поэтому если число А делится на какое-либо из этих сомножителей,
то на него делится и новое число.
6.	Поэтическая страничка
Если бы я родился музыкантом,
Я бы стремился
Перебороть шумы мира
С помощью стройных звуков.
Если бы я родился архитектором,
Я бы строил людям
Не квартиры, а домашние очаги.
Я одарил бы их
Светом, цветом и тишиной.
Но поскольку я поэт,
Я хотел бы так же четко и ясно
Говорить на языке слов,
Как математика
Говорит на языке чисел.
Лайош Кошмак,
классик венгерской поэзии
Занятие 22
1.	Приемы устного счета.
Мгновенное умножение
Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вы-
числительную деятельность, прибегая к несложным алгебраическим
преобразованиям.
Например, 9882 можно вычислить так:
988 • 988 = (988 + 12) • (988 - 12) + 122= 1 000 • 976 + 144 = 976 144.
Вычислитель в этом случае использует алгебраическое преобра-
зование:
а2 = a2-b2+b2=(a-b)-(а +Ь) + Ь2.
Можно с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок:
272= (27 - 3) • (27 + 3) + 32= 24 • 30 + 9 = 729,
632= (63 - 3) • (63 + 3) + 32= 60 • 66 + 9 = 3 969,
482= (48 - 2) • (48 + 2) + 22 = 46 • 50 + 4 = 2 304.
2.	Возраст и математика
Многие утверждают, что математика-«сухая наука, занимающая-
ся абстрактными понятиями, хороша только для взрослых, что не мо-
жет заинтересовать молодежь, которая больше увлекается такими на-
уками, которые содержат элементы приключений или путешествий
(например, география), или повествуют о судьбах людей и народов
(например, история), или о явлениях, происходящих в окружающем
мире, или же, наконец, затрагивают извечные вопросы бытия и строе-
ния вселенной (биология, астрономия). На самом деле и математика
может увлечь молодежь, стать захватывающим занятием.
Несколько примеров из истории.
Норберт Винер (1894-1964) в 3 года научился читать, в 11 по-
ступил в колледж, в 18 получил степень доктора в Гарвардском уни-
верситете, защитив диссертацию на стыке математики и философии.
Блез Паскаль (1623-1662) увлекался математикой с детского
возраста. Примерно в 8 лет открыл и доказал ряд теорем Евклида; в
16 лет написал сочинение о конических сечениях, а в 24 года открыл
закон давления жидкости и создал основы теории вероятности.
143
Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) в 18 лет стал профессором
университета в Турине, годом позже сформулировал общую теорию
решения изопериметрических задач1.
Пьер Симон Лаплас (1749-1827) в 18 лет преподавал матема-
тику в военном училище, а в 20 лет стал профессором высшего учеб-
ного заведения в Париже.
Огюстен Луи Коши (1789-1857) в 21 год уже был инженером и
опубликовал выдающееся сочинение по теории чисел.
Леонард Эйлер (1707-1783) имел исключительное влечение к
математике. В 20 лет стал адъюнктом Академии наук в Петербурге,
спустя три года стал профессором физики, а в 26 лет - профессором
математики Петербургского университета.
Эварист Галуа прожил всего 20 лет (1811-1832). В возрасте
16-18 лет он разработал основные положения раздела алгебры, на-
званного позднее теорией Галуа.
Нильс Хенрик Абель (1802-1829) - один из создателей основ
теории алгебраической функции, доказал невозможность решения
уравнений пятой и высших степеней. Прожил всего лишь 27 лет.
3.	Задачи со спичками
Задача 1. Как из трех спичек сделать четыре, не ломая их?
Решение:
Было ТТТ.
Стало TV.
Задача 2. Переложите только одну спичку, чтобы равенство
стало верным:
VTT -Ь ТТТ =J V.
(Возможны два решения.)
Отв ет: VTT — ТТТ - TV или VTT * ТТТ - V.
Задача З.Из спичек составлены три неверных равенства:
V= ТТ + VTTT,
VT = Y+T,
VTT= TY+T.
Необходимо внести изменения так, чтобы получились верные
равенства.
Ответ: Y = ТТ + VTTT, VT = V +Т, VTT=V + тт.
’Простейшие из которых - нахождение многоугольника или замкнутой кривой
соответственно заданных периметра или длины, ограничивающих наибольшие
площади.
144
Задача 4. Из двенадцати спичек сложено имя «Толя» (рис. 58, а):
Рис. 58, а
Переложите одну спичку так, чтобы получилось женское имя.
Ответ: (см. рис. 58, 6).
4.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Решить уравнение:
{6099 948-756 : [(30 + х):336]-201}: 407 025 = 12.
Решение:
1) 407 025 • 12 = 4 884 300;
2)6 099 948-4 884 300= 1 215 648;
3)	1 215 648:201 =6 048;
4)	756 • 336 : (30 +х) = 6 048;
5)	336 : (30 +х) = 8;
6)30+* = 42;
7)х = 12.
Задача 2. Решить уравнение:
2	 [0,2 - 0,02 : (0,002 + 0,0002*)] = 0,3.
Решение:
1)	0,3 : 2 = 0,15;
2)	0,2-0,15 = 0,05;
3)	0,02 : 0,05 = 0,4;
4)	0,4 - 0,002 = 0,398;
5)	0,398 : 0,0002 = 1 990;
6)х= 1990.
145
5.	Математические софизмы
Правильно понятая ошибка -
путь к открытию.
И.П. Павлов
Заблуждения, заключающие в себе
некоторую долю правды, самые опасные.
Адам Смит
Рассуждение, в котором явно неправильный результат доказыва-
ется благодаря использованию доводов, ошибочность которых со-
знательно замаскирована, называется софизмом.
1)	Докажем, что 4 р. = 40 000 к.
Известно, что 2 р. = 200 к., следовательно, 22 р. = 2002 к., т.е.
4 р. = 40 000 к.
2)	Докажем, что 2-2 = 5.
Известно, что 4 : 4 = 5 : 5, следовательно, 4 • (1 : 1) = 5 • (1 : 1).
Таким образом, получили: 4 = 5, 2 • 2 = 5.
3)	Докажем, что любое число равно числу, в 2 раза большему его.
Возьмем любое число а. Рассмотрим разность квадратов:
а2 - а2= а2 - а2.
В левой части вынесем за скобку а, а в правой части разложим на
множители. В результате получим:
(а - а) • а = {а - а) • (а + а)
Следовательно, а = 2а.
6.	Задачи в стихах
Задача 1.
От числа одну восьмую
Взяв, прибавь ты к ней любую
Половину от трехсот,
И восьмушка превзойдет
Не чуть-чуть - на пятьдесят
Три четвертых. Буду рад,
Если тот, кто знает счет,
Мне число то назовет.
(Эту задачу более 200 лет назад задавал своим ученикам учитель
математики Иоганн Хемелинг.)
146
Решение: «Тот, кто знает счет», без труда составит уравнение
- X +150 = - X + 50,
8	4
—х = 100,
8
х : 8 = 20,
х = 160.
Ответ: 160.
Задача 2 (гастрономическая).
Рыбу прекрасно готовят тут,
Форель отварная - король всех блюд.
Вот примут заказ. Все готово. Несут!
По порции рыбы на стол подают.
Но что там за шум? То кричат повара:
«Для порции нам не хватает стола,
И по две на стол мы подать не смогли бы,
Остался бы стол чей-то вовсе без рыбы.»
Было бы славно, если б сумели
Определить, сколько порций форели
Надо подать, сколько надо столов
Там, где все хвалят так поваров.
Решение: пусть х- число порций рыбы, приготовленных ис-
кусными поварами; у - число столов. Тогда
х = у + 1, Гх = у + 1,	(2у-2 = у + 1, (у = 3,
х:2 = у-1, [х=2у-2, [х = у +1, [х = 4.
О т в е т: 4 порции рыбы, 3 стола.
Задача 3.
Говорил принцессе поэт:
«Мне, увы, вдвое больше лет,
чем Вам было тогда,
в былые года,
когда Ваших сейчас я был лет.
Но когда подрастете (состарюсь ли я?),
будет Вам сколько мне сейчас лет
(вместе ж нам, хоть умри,
шесть десятков и три),
буду я Вам любезен иль нет?»
Интересно, сколько лет каждому из них?
147
Решение.
Способ 1. Составим таблицу:
Персонажи задачи	Количество лет		
	было	стало	будет
Поэт	X	2У	х+у
Принцесса		1		X	
Составим систему из двух уравнений, зная, что им вместе будет
63 года и разность возрастов поэта и принцессы постоянна:
2у + (* + у) = 63, (Зу + х = 63, (3х = 63, (х = 21,
2у-х = х-у, [Зу = 2х, [Зу = 2х,	= 14.
Таким образом, поэту сейчас 28 лет, принцессе - 21 год.
Способ 2. Эту задачу можно решить, не составляя системы урав-
нений. Обозначим через t разницу возрастов поэта и принцессы «сей-
час», «тогда» и «всегда». Поскольку «сейчас» принцессе столько лет,
сколько было поэту «тогда», значит, от «тогда» до «сейчас» прошло
тоже t лет.
Разница между возрастом поэта «сейчас» и принцессы «тогда»
равна сумме двух чисел: разницы этих возрастов «всегда» и отрезка
от «тогда» до «сейчас». Эта сумма 2t. Значит, возраст принцессы «тог-
да» 2/, а возраста поэта «сейчас» 4t лет. «Сейчас» принцессе 3/лет, и
поэту «было» 3/лет.
Когда принцессе станет 4t лет, поэту будет 5t лет. И все вместе
эти 9t составят 63 года. Отсюда t = 7. Итак, «сейчас» поэту 28 лет, а
принцессе 21 год.
Ответ: поэту 28 лет, принцессе 21 год.
7.	Стихотворная страничка
Из сборника песен Бременского союза архитекторов и инжене-
148
Вот предо мной кривая: абсциссы - это даты;
И следует запомнить, что деньги - ординаты.
Когда звенит в кармане, кривая - на подъем;
Когда карман пустеет, - по ней мы вниз идем.
Когда-то при получке был ход кривой высок,
Но вскоре, volens-nolens1, мы шли под изволок.
Все это - в милом прошлом, а нынче - тяжело!
Под ось абсцисс кривую, к несчастью, увлекло.
Конечно, в этой песне не новые слова:
И жизнь дороже стала, и денег-то едва!
Но вам моя кривая поможет затвердить:
Не трать ты больше денег, чем можешь получить!
Фр. Граф
’Вольно-невольно (лат.).
Занятие 23
1. Приемы устного счета.
Признак делимости на 11
Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме осталь-
ных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и
данное число делится на 11. Если же указанные суммы цифр через
одну не равны между собой и их разность не делится на 11, то и
данное число не делится на 11.
Пример. Делится ли 3 528 041 на 11?
Решение:
^ = 3 + 24-0+1=6,
52= 5 + 8 + 4 = 17,
S,-S2= 11-
Таким образом, - S2 делится на 11.
Обосновать этот признак делимости нетрудно, если предвари-
тельно заметить, что числа такого вида, как, например, 10 + 1; 100 - 1;
1 000 + 1; 10 000 - 1; 100 000 + 1 и т. д. делятся на 11.
Рассмотрим сначала разности:
100-1 =99,
10 000 - 1 =9 999 и т.д.
Все они записываются четным числом девяток и, следовательно,
делятся на 11; делятся на 11 и все суммы следующего вида:
10+ 1 = 11,
1 000+ 1 =990+ 11,
100 000 + 1 = 99 990+ 11 и т.д.,
так как каждая сумма разлагается на два слагаемых, каждое из кото-
рых делится на 11.
Установим признак делимости на 11. Возьмем какое-нибудь мно-
гозначное число, например 3 516 282, и разобьем его следующим
образом:
2 + 8- 10 + 2- 100 + 6- 1 000 + 1 • 10000 + 5- 100000 + 3- 1 000 000.
Все вторые сомножители (единицы с нулями) преобразуем так,
чтобы образовались рассмотренные выше суммы и разности: 10+1;
100-1 и т. д.
150
Имеем:
3 516 282 = 2 -ь 8 • (10 4-1 - 1) 4- 2 • (100- 1 4-1) 4- 6 • (1 000+ 1-1) +
+ 1 • (10 000 - 1 + 1) + 5 • (100 000 + 1 - 1) + 3 • (1 000 000 - 1 +1) = 2 +
+ 8 • (10 + 1)-8+ 2 • (100-1) +2 +6 • (1 000 + 1)-6+ (10 000-1)+ 1 +
+ 5-(ЮОООО + 1)-5 + 3 • (1 000 000-1) + 3 = (2-8+ 2-6+ 1 -5 + 3) +
+ [8-(10 +1 ) + 2• (100- 1)4-6-(1 000+1)4-(ЮООО- 1)4-5 • (100000+1)
+ + 3 • (1 000000-0].
Все слагаемые, заключенные в квадратные скобки, непременно
делятся на 11. Значит, делимость рассматриваемого числа на 11 пол-
ностью зависит от делимости на 11 числа, заключенного в первой
круглой скобке: если оно делится (не делится) на 11, то и рассматри-
ваемое число делится (не делится) на 11. Но в первой скобке записа-
на разность цифр данного числа через одну:
(2 + 2 + 1 + 3) - (8 + 6 + 5) = -11.
Так как разность, равная -11, делится на 11, то делится на 11 и
данное число.
Примеры.
Делятся ли на 11 числа: а) 61 974; б) 30 316?
Решение: а)^ = 6 + 9 + 4= 19,52= 1+ 7 = 8,5Г5 = 19 - 8 =11.
Значит, 61 974 делится на И.
б) = 3 + 3 + 6 = 12, S2 = 0 + 1 = 1, Sj- S2= 12 - 1 = 11. Значит,
30 316 делится на И.
2. Биографическая миниатюра.
М.В. Остроградский (1801—1862)
Михаил Васильевич Остроград-
ский математик, академик Петербург-
ской, Туринской, Римской, Американ-
ской академий наук, член-корреспон-
дент Парижской академии наук.
Родился Михаил Васильевич в де-
ревне Пашенная (ныне Украина). На
девятом году был определен в пансион
при Полтавской гимназии, называв-
шейся «Домом для воспитания бедных
дворян». Не окончив и трех классов,
мальчик по желанию отца оставил гим-
назию. Отец хотел видеть сына военным, таково же было и желание
подростка. Поэтому в 1816 г. они отправились в Петербург, чтобы
добиться зачисления в один из гвардейских полков. Но по совету
одного из родственников Остроградский поступил в Харьковский
151
университет. Учился поначалу плохо, так как продолжал мечтать
стать офицером. Лишь к концу второго года учебы почувствовал
призвание к математике. В 1820 г. с блеском сдал экзамены, и ему
была присвоена первая ученая степень - кандидата. Но реакционная
часть профессуры добилась лишения его диплома об окончании уни-
верситета, мотивируя свое решение вольнодумством студента и
непосещением лекций по богословию. Остроградский отправился в
Париж - тогдашнюю столицу математической мысли, где слушал
лекции Ампера, Коши, Лапласа, Пуассона и Фурье. Репутация та-
лантливого ученого, приобретенная во Франции, позволила стать ему
адъюнктом Академии наук, а в 1831 г. - получить звание академика
по прикладной математике. Продолжая научную работу, Остроград-
ский увлеченно занимался преподаванием. Многие его ученики сами
стали профессорами. Скончался ученый в Полтаве, возвращаясь из
своего поместья в столицу.
3. Решение олимпиадных задач
Задача 1 (Кант и часы). Один из крупнейших немецких фи-
лософов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского
(ныне Калининград) университета, был одиноким, старым холостя-
ком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигс-
берга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направ-
ляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы
остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, кото-
рого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо
сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поста-
вить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля-
нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при-
мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При вхо-
де в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели
в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с
ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал-
ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размерен-
ным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих
часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
Решение: Кант определил время следующим образом.
1.	Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично
сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать,
сколько времени он находился вне дома (А часов).
152
2.	Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выхо-
де сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько
времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3.	Разница (A-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант за-
тратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколь-
ко он вышел от Шмидта, математик без труда определил время.
Задача 2 («Восьмое путешествие Синдбада»}. Синдбад-Море-
ход попал на остров, где жили только правдолюбы (всегда говорив-
шие правду) и лгуны. Синдбада сопровождал проводник-островитя-
нин. Вскоре они увидели еще одного жителя острова. Синдбад по-
слал проводника узнать, кто этот житель - правдолюб или лгун.
Проводник вернулся и отвечал: «Говорит, что лгун».
Кто был проводник - правдолюб или лгун?
Ответ: проводник оказался лгуном.
(Если бы житель острова оказался правдолюбом, то он об этом
сообщил бы проводнику. Если же житель острова лгун, то он по-
прежнему сообщил бы, что он правдолюб. Таким образом, ожидае-
мый ответ: правдолюб. Проводник же Синдбаду сообщил о жителе
острова, что он лгун. Следовательно, проводник-лгун.)
4.	Поэтическая страничка.
Об Архимеде
Нет, не всегда смешон и узок
Мудрец, глухой к делам земли,
Уже на рейде в Сиракузах
Стояли римлян корабли.
Над математиком курчавым
Солдат занес короткий нож,
А он на отмели песчаной
Окружность вписывал в чертеж.
Ах, если б смерть - лихую гостью -
Мне так же встретить повезло,
Как Архимед, чертивший тростью
В минуту гибели, - число!
* * *
Гордый Рим трубит победу
Над твердыней Сиракуз.
Но трудами Архимеда
153
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь:
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть.
Три - четырнадцать - пятнадцать -
Девяносто два и шесть!
1
4	2	3	5
6
5. Игра «Кубики»
Из плотной бумаги изготавливают шесть куби-
ков одинакового размера, на гранях каждого пишут
числа от 1 до 6, причем таким образом, чтобы сумма
чисел, лежащих на противоположных гранях куби-
ка, была равна 7. Выкройка такого кубика изображе-
Рис. 60 на на рИС go.
Игру проводит ученик, желательно тот, кто делал эти кубики, так
как ему известен «секрет». Ведущий предлагает положить кубики на
стол один на другой и обещает отгадать сумму всех чисел, находя-
щихся между кубиками, т. е. скрытых от всех играющих. Для большо-
го интереса он может сказать, что обладает необыкновенным зрением
и видит числа через плотную бумагу, из которой сделаны кубики.
Как он это делает? Так как сумма чисел, находящихся на проти-
воположных гранях кубика, равна 7, то сумма всех чисел, находя-
щихся на горизонтальных гранях шести кубиков, равна 7 • 6 = 42.
Ведущий выполняет только одно действие: от 42 отнимает число,
которое он видит на горизонтальной грани сверху на самом верхнем
кубике. Эта игра достаточно легкая, и обычно ученики сами догады-
ваются, в чем «секрет». Число кубиков надо менять: если кубиков
пять, то сумма чисел, находящихся на горизонтальных гранях, равна
7*5 = 35, если кубиков четыре, то 7 • 4 = 28, и т. д.
Занятие 24
1.	Прием устного счета.
Умножение крестиком
В одной старинной русской рукописи описывается интересный
прием «умножения крестиком», который применялся еще в древней
Индии и назывался «молниеносным».
1)	Умножим 48 на 27:
27
Говорим 7 • 8 = 56, пишем 6, в уме 5.
х48
27
6
Говорим 7 • 4 = 28; 28 + 5 = 33, в уме 33, 2 • 8 = 16; 16 + 33 = 49.
Пишем 9, в уме 4.
х48
27
96
Говорим 2-4 = 8, 8 + 4=12.
Пишем 12, получаем 48 • 27 = 1 296.
2)	Умножим 34 на 65:
х34
65
Говорим 4 • 5 = 20, пишем 0, в уме 2.
х34
65
0
ГоворимЗ -5 = 15; 15 + 2= 17, 17 в уме, 4 • 6 = 24, 24 + 17 = 41.
Пишем 1, в уме 4.
х34
65
10
Говорим 3 • 6 = 18, 18 + 4 = 22.
Пишем 22, получаем 34 • 65 = 2 210.
Этим способом удобно пользоваться.
155
2.	Распространение десятичных дробей
Кто хочет ограничиться настоящим
без знания прошлого, тот никогда его не поймет...
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716),
немецкий философ, математик, физик, языковед
Высокообразованный математик и астроном аль-Каши ибн Ма-
суд (умер ок. 1430 г.) работал в Самарканде в обсерватории Улугбека
и внес большой вклад в развитие математики. Он первым изложил и
применил теорию десятичных дробей. Чтобы отличить целое число
от десятичного, он использовал вертикальную черту или чернила
разного цвета; например, целое число записывал черными чернила-
ми, а дробные знаки - красными.
В Европе о трудах аль-Каши долгое время не знали. Потребность
же в простых вычислениях с дробями с развитием науки и культуры
росла, математики настойчиво искали пути решения этой проблемы.
В 1585 г., независимо от аль-Каши, нидерландский ученый Си-
мон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в
своей книге «Десятая». Эта маленькая работа (всего семь страниц)
содержала объяснение записи и правил действия с десятичными
дробями. Стевин еще не использовал запятую, но писал дробные
знаки в одну строку с цифрами целого числа. При этом он нумеро-
вал десятичные знаки, вписывая порядковые номера в кружочек ря-
дом с цифрой или над цифрой. Например, число 12,761 он записы-
вал так:
12© 7® 6© 1®
© ф ® ®
или 12 7	6 1
В первом случае вместо запятой стоит нуль в кружочке, десятые
доли обозначены знаком ф, сотые - ® и т. д. Во втором случае цифры
в верхней строке указывают, сколько нулей содержит предшествую-
щий десятичный знак (семь десятых, шесть сотых и одна тысячная).
Впервые запятую при записи дробей стали применять в 1592 г.
В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дроб-
ной, была введена точка, которая поныне играет эту роль в США,
Англии и некоторых других странах. Запятая, как и точка, в каче-
стве разделительного знака была предложена в 1616-1617 гг. зна-
менитым английским математиком Джоном Непером. Десятичную
запятую применял и немецкий астроном Иоганн Кеплер. Как деся-
тичная система счисления, так и десятичные дроби пробивали себе
156
дорогу в упорной борьбе со старыми шестидесятеричными дробя-
ми. Однако благодаря своим большим преимуществам и достоин-
ствам десятичной системы в целом десятичные дроби неустанно
завоевывали позиции в математике. Развитие промышленности и
торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычис-
лений, с помощью десятичных дробей выполнять которые было
легче. Окончательно шестидесятеричные дроби были вытеснены
десятичными только в XVIII в. В России учение о десятичных дро-
бях впервые изложил в своей «Арифметике» Леонтий Магницкий
(1703 г.). Широкое применение десятичные дроби получили в XIX в.,
после введения тесно связанной с ними метрической системы мер
и весов. В сельском хозяйстве и промышленности нашей страны, в
науке, во всех отраслях хозяйства десятичные дроби и их частный
вид - проценты применяются намного чаще, чем обыкновенные
дроби.
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Найти значение дроби:
382 + 498-381
382-498-116’
Решение:
382 + 498-381 _ 382 + 498-381 _	382 + 498-381	_
382-498-116 " (381 +1)• 498-116 ” 381-498+ (498-116) '
__ 382 + 498-381 ^
" 381-498 + 382 " ’
Задача 2*. Сократите дроби:
37 373 737.	609609609
а 81818181 ’ } 205 205 205’
Решение:
ч 37 373 737 37 • 106 + 37 • 104 + 37 • 102 +37 37-1010101 37
81818181	81-106 + 81-104 +81-1O2 +81	81-1010101 81
609 609 609 _ 609-106+609-103+609 _ 609 -1001001 _ 609
б) 205 205 205 " 205•106 + 205 • 103 + 205 " 205 • 1001001 ” 205 ’
* Здесь и далее задачи повышенной сложности.
157
Задача 3. Вычислите:
1 1 1
---+----+----+
1-2 2-3 3-4
1
19-20’
Решение:
----+------+-----+ ...+
1-2 2-3 3-4
1
19-20
1 1 1
11)111111	1	1	1	19
---=1-1--1--1-ь...-1-— —
19 20 J	2 2 3 3 4 4	19 19 20 20
4.	Биографическая миниатюра.
Эварист Галуа, (1811—1832)
В математике, как и в любой другой науке,
есть вопросы, требующие решения именно
в данный момент. Это те насущные проблемы,
которые захватывают умы передовых мыслителей
независимо от их собственной воли и сознания.
Э. Галуа
В среду утром 30 мая 1832 г. какой-то
крестьянин увидел около пруда Гласьер
в Жантийи незнакомого человека, лежа-
щего без сознания. Удалось выяснить, что
он был брошен здесь тяжело раненным
после дуэли на пистолетах. Неизвестно-
го перенесли в больницу Кошен. На сле-
дующий день в 10 часов утра он умер.
Так в возрасте 20 лет оборвалась
жизнь Эвариста Галуа - замечательного
математика, выдающиеся заслуги которо-
го признаны сейчас учеными всего мира.
Дуэль была политическим убийством: незадолго до нее Эварист
в публичном собрании встал с кинжалом в правой руке, направлен-
ным в бокал с красным бургундским вином, который держал на уров-
не сердца, и на весь зал произнес тост: «За здоровье Луи Филиппа!» -
короля Франции, ненавидимого многими.
В последние часы перед роковой дуэлью он привел в порядок
свою статью. Эти шестьдесят страниц в числе других стали истоком
современной теории групп - одного из основных и наиболее развитых
разделов алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность
158
реального мира - симметрию. Эварист хотел внести в разросшийся
математический аппарат новое единство. Его теория групп - это прежде
всего наведение порядка в математическом языке. «Здесь я занима-
юсь анализом анализа», - писал Галуа.
Смерть ученого замедлила развитие математики на многие деся-
тилетия. Но при жизни он не добился известности. Короткая био-
графия Галуа полна поразительных фактов. Свою первую работу он
опубликовал в 17 лет, еще будучи воспитанником лицея Луи-ле-Гран.
Закончить образование Галуа не сумел: три года спустя за активное
участие в политической жизни он был исключен из Нормальной
школы; пылкий республиканец, Галуа дважды отбывал тюремное
заключение.
Судьба его исследований тоже трагична. Современные ему ма-
тематики не только не поняли, что работы Галуа знаменуют но-
вую эпоху в математике, но даже не обратили на них серьезного
внимания. Его рукописям дважды не повезло. Первый раз Огюс-
тен Луи Коши, которому было поручено рассмотреть работу Га-
луа, потерял рукопись (как потерял раньше рукопись Нильса Хен-
рика Абеля (1802-1829, норвежского математика). Второй раз ра-
бота Галуа была передана на рассмотрение П. Ферма, который
вскоре умер. Должно было пройти полвека, прежде чем научный
мир оценил оригинальность и глубину его мышления. Э. Галуа -
гордость французской науки, лучшие черты которой воплощены
в его работах.
5.	Знакомьтесь, новый знак «!» (факториал)
Этот чрезвычайно полезный математический знак был введен в
1808 г.
п\ = 1 • 2 • 3 • 4 •	5 ... (и - 2) (п - 1) п.
0! = 1	11! = 39 916 800
1! = 1	12! =479 001 600
2! =2	13! = 6 227 020 800
3! = 6	14! = 87 178 291 200
4! =24	15! = 1 307 674 368 000
5! = 120	16! = 20 922 789 888 000
6! = 720	17! = 355 687 428 096 000
7! = 5040	18! = 6 402 373 705 728 000
8! =40 320	19! = 121 645 100 408 832 000
9! = 362 880	20! = 2 432 902 008 176 640 000
10! = 3 628 800	21! = 50 090 942 171 709 440 000
159
Задача 1 *. Придумайте число, которое можно выразить сум-
мой факториалов его цифр.
Ответ: 40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!; 145 = 1! +4! + 5!
Задача 2*. Сколькими нулями оканчивается число 1999! ?
Решение: выясним, с какими показателями степени входят
числа 5 и 2 в произведение
1 - 2- 3 - 4- ... • 1 992 - 1 993 • ... • 1 998 - 1 999= 1 999!
В последовательности 1, 2,..., 1 999 каждое пятое число делится
на 5, а всего их 399 (так как 1 999 = 399 -5 +4).
Среди этих чисел каждое пятое делится еще на 5, т. е. делится на
25, а всего их 79 (так как 399 = 5 • 79 + 4).
Продолжая делить на 5, получаем
79 = 5-15 + 4
15 = 5-3 + 0.
Итак, 15 чисел в последовательности натуральных чисел от 1 до
1 999 делятся на 125 и три делятся на 625.
Таким образом, число 5 входит в 1999! с показателем степени,
равным
399 + 79+ 15 + 3 = 496.
Показатель степени, с которым входит в рассматриваемое произ-
ведение число 2, больше 998. Следовательно, запись результата вы-
числения 1 999! оканчивается 496 нулями, т. е.
1 999! = Л • 10496,
где А - натуральное число.
Ответ: 1 999! оканчивается 496 нулями.
Занятие 25
1. Устный счет в сказках
Задача. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с раз-
ными цифрами.
Если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двух-
значное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наи-
большим.
Первая цифра больше последней в четыре раза.
Сколько лет Хоттабычу?
Решение: наибольшим двухзначным числом с суммой цифр,
равной 13, является 94. Последней цифрой может быть либо 1, либо
2 (так 3 • 4 уже двухзначное число). Пусть последняя цифра 1. Тогда
первая цифра 1 • 4 = 4. Но она есть в числе 94, а цифры должны быть
разными. Пусть последняя цифра 2, тогда первая цифра 2-4 = 8. Все
цифры разные. Итак, возраст Хоттабыча 8 942 года.
О т в е т: 8 942 года.
2. Биографическая миниатюра.
С.В. Ковалевская (1850—1891)
Всего 41 год прожила эта заме-
чательная женщина, талантливая
писательница, выдающийся матема-
тик. Труды Софьи Васильевны Ко-
валевской в одной из сложных об-
ластей механики обогатили науку и
поставили ее имя рядом с именами
величайших математиков того вре-
мени - Леонарда Эйлера и Жозефа
Луи Лагранжа. В условиях старой
России ее талант не мог быть рас-
крыт полностью, так как высшее
образование оказывалось практически недоступным для жен-
щин. Получив блестящее образование за границей, Ковалев-
ская достигла мировой славы.
161
В 1888 г. Парижская, а через год Шведская академии наук высо-
ко оценили математические исследования Ковалевской, удостоив ее
высоких премий и ученых степеней. Награждая С.В. Ковалевскую,
президент Парижской академии наук сказал: «Между венками, ко-
торые мы даем сегодня, один из прекраснейших и труднейших для
достижения возлагается на чело женщины, труд которой является не
только свидетельством глубокого и широкого знания, но и призна-
ком ума великой изобретательности.»
Одаренность Софьи Ковалевской проявилась еще в детские годы.
С исключительной легкостью она самостоятельно овладела основа-
ми математических знаний. Ковалевская так описывает случай, ко-
торый ее особенно заинтересовал и заставил заниматься высшей
математикой в 14 лет.
При ремонте стены в доме Ковалевских предварительно оклеили
листами использованной бумаги с дифференциальными и интеграль-
ными вычислениями. Эти непонятные математические символы за-
хватили любознательную девочку. Долго она простаивала перед эти-
ми таинственными записями. «Листы эти, - вспоминала Ковалевская, -
испещренные странными непонятными формулами, скоро обратили
на себя мое внимание. Я проводила целые часы перед этой таинствен-
ной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот по-
рядок, в котором листы должны были следовать один за другим».
Впечатлительная, трудолюбивая, обладающая от природы осо-
бым дарованием, девочка увлеклась математическими идеями, и для
нее открылся новый, чудесный мир.
Математик Софья Ковалевская навсегда останется гордостью
русской науки.
«Золотые мысли»
•	В течение всей моей жизни математика привлекала меня боль-
ше философскою своею стороною и всегда представлялась
мне наукою, открывающею совершенно новые горизонты.
•	Я действительно серьезным образом и небезуспешно зани-
малась математикою, которую изучала исключительно по
любви, без всяких посторонних целей.
•	Поэт должен... видеть то, что не видят другие, видеть глубже
других. И это же должен и математик.
C.J8. Кобалвбская
162
3. Решение олимпиадных задан
Задача 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить
из цифр 3, 4, 5, 6 (цифры в записи числа не повторяются)?
Решение:
4 • 3 • 2 • 1 = 24, так как цифры в числе не повторяются и:
на 1-м месте может быть любая из четырех цифр;
на 2-м месте может быть любая из оставшихся трех цифр;
на 3-м месте - любая из оставшихся двух цифр;
на 4-м месте - оставшаяся цифра.
О т в е т: 24 (или 4!) четырехзначных числа.
Задача 2.В одном из рассказов английского писателя Артура
Конан-Дойля из «Приключений Шерлока Холмса» есть такой эпи-
зод: Доктор Уотсон и его гость Холмс сидят у открытого окна. Из
сада доносится детский гомон.
Холмс. Скажите, пожалуйста, сколько у вас детей?
Уотсон. Тут дети четырех семей. В моей детей больше всех, в
семье брата - меньше, сестры - еще меньше, но еще меньше в семье
дяди. Они так шумят, потому что не хватает участников для двух
команд по девять в каждой. И любопытное совпадение: если пере-
множить четыре числа, выражающие количество детей наших се-
мей, то получим номер нашего дома.
Холмс. Попробую вычислить количество детей в каждой из семей.
После небольшой паузы Холмс заявил: «Для решения задачи дан-
ных мало. Скажите, у дяди один ребенок или больше?» Уотсон дал
требуемый ответ.
Холмс. Теперь я могу дать точный ответ о числе детей!
Решение {сокращенное изложение решения из книги И.Я. Деп-
мана «Рассказы о решении задач»)', всех детей в четырех семьях мень-
ше 18 (так как детей не хватило для двух команд по 9 человек). У дяди
или один ребенок, или двое детей (если у дяди было бы трое детей, то
наименьшее число детей в четырех семьях было 3+4+5+6=18).
Если у дяди два ребенка, то возможны только 7 комбинаций чи-
сел детей в остальных семьях:
	Сумма	Произведение
1)2, 3,4, 5	14	120
2)2, 3,4, 6	15	144
3)2, 3,4, 7	16	168
4)2, 3,4, 8	17	192
5)2, 3,5, 6	16	180
6)2,3, 5, 7	17	210
7) 2, 4, 5, 6	17	240
163
Если допустить, что среди семи найденных произведений нет
числа, одинакового с номером дома, то Холмс должен был отверг-
нуть предположение, что у дяди было двое детей, и ему не надо
было задавать дополнительный вопрос: «Скажите, у дяди был один
ребенок или больше?» Значит, среди семи произведений есть чис-
ло, совпадающее с номером дома. Почему же Холмс задал допол-
нительный вопрос? Объяснение может быть только одно: такое же
произведение получится и при предположении, что у дяди был толь-
ко один ребенок.
Так как номер дома не меньше 120 (иначе он не был бы среди
найденных семи произведений), то, предполагая, что у дяди только
один ребенок, составим комбинации количеств детей по семьям так,
чтобы их было меньше 18, а произведение не меньше 120. Таких
комбинаций только четыре:
	Сумма	Произведение
1) 1,3,5, 8	17	120
2) 1,3, 6, 7	17	126
3)1,4, 5, 6	16	120
4)1,4, 5, 7	17	140
Общим числом в обеих группах произведений является толь-
ко 120. Значит, номер дома - 120, который Холмс знал. Не зная,
сколько детей у дяди - один или два ребенка, Холмс не имел
данных для выбора одной из трех комбинаций с произведени-
ем 120. Поэтому он и задал дополнительный вопрос. Если бы
он знал, что у дяди был один ребенок, то он не мог бы дать
точный ответ о числе детей в каждой семье, так как в этом слу-
чае были бы равноправны две комбинации с произведением
120. Но в задаче сказано, что, получив ответ на вопрос, он пра-
вильно назвал число детей в каждой семье. Значит, Уотсон ска-
зал Холмсу, что у дяди больше одного ребенка; если у дяди двое
детей, то единственная комбинация с произведением 120 по-
зволяет точно назвать число детей в каждой семье: двое, трое,
четверо и пятеро.
О т в е т: 2; 3; 4; 5.
164
4. Геометрическая задача-стихотворение
«Путешествие червяка»
В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача:
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь -
Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
Решение: в первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре
локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем
сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал-
ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал-
ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.
Занятие 26
1.	Устный счет
Какой цифрой оканчиваются:
а)	сумма 26 • 27 • 28 • 29 + 51 • 52 • 53 • 54;
б)	разность 41 • 43 • 45 • 47 - 37 • 39 • 41 • 42;
в)	произведение всех натуральных чисел от 7 до 81 включительно;
г)	сумма всех трехзначных чисел?
Решение:
а)	перемножив только единицы, фиксируя, в частности, только послед-
ние цифры произведений: 6*7—> 2 • 8 —>6-9—>4 получим, что каждое
оканчивается цифрой 4, поэтому вся сумма оканчивается цифрой 8;
б)	произведя аналогичные действия, находим, что первое произ-
ведение (очевидно, большее, чем второе) оканчивается цифрой 5,
второе - цифрой 6. Вычитая 6 из 15, получаем 9, поэтому разность
оканчивается цифрой 9;
в)	нулем, так как среди множителей есть 10;
г)	в сумме 100 + 101 + 102 +... + 997 + 998 + 999 всего 999 - 99 = 900
чисел или 450 равновеликих пар: (100 + 999) + (101 + 998) + ...
450 оканчивается нулем, поэтому и сумма всех трехзначных чи-
сел (450 • 1099) тоже оканчивается нулем.
2.	Биографическая миниатюра.
Норберт Винер (1894—1964)
Математика - наука молодых.
Иначе и не может быть. Занятие
математикой - это такая гимнастика ума,
для которой нужны вся гибкость
и вся выносливость молодости.
Н. Винер
Норберт Винер относится к тем
выдающимся ученым, чьи мате-
матические способности открылись
в раннем возрасте. Он родился в 1894 г.
в г. Колумбии (штат Миссури, США)
166
в семье профессора современных языков местного универси-
тета.
Норберт был вундеркиндом: в три года научился читать, а в 11
уже поступил в колледж. В 18 лет Винер получил степень доктора в
Гарвардском университете, защитив диссертацию на стыке матема-
тики и философии. Затем два года он изучал математику в Европе у
таких мировых светил, как Бертран Рассел и Давид Гильберт. Винер
обладал широкими познаниями и в нейропсихологии, медицине,
физике, электронике, владел несколькими языками.
Вторая мировая война наложила свой отпечаток на исследова-
ния и разработки Винера. Он занялся вопросами обеспечения про-
тивовоздушной обороны США. Им были разработаны системы уп-
равления зенитным огнем, использующие вычислительные маши-
ны и средства радиолокационного обнаружения авиации противника.
Н. Винер был убежден, что наиболее перспективны научные ис-
следования в пограничных областях, которые нельзя однозначно от-
нести к какой-либо конкретной дисциплине. Изучая результаты ис-
следований нервной деятельности и работы в области создания ЭВМ,
он установил принцип обратной связи, суть которого в том, что ма-
шина использует информацию, поступающую из внешнего мира, для
изменения своего поведения. На основании этого принципа им раз-
работана теория машинного и человеческого разума. Винер доказы-
вал, что все живое приспосабливается к окружающей среде и добива-
ется своих целей. «Все машины, претендующие на “разумность”, -
писал он, - должны обладать способностью преследовать опреде-
ленные цели и приспосабливаться, т. е. обучаться». Созданной им
науке Н. Винер дал название «кибернетика», что в переводе с гре-
ческого означает «рулевой».
«Золотые мысли»
•	Существует еще одна причина, по которой математику надле-
жит ценить высоко: именно математика придает естествен-
ным наукам степень достоверности, недостижимую без нее.
^лъ^ерт Эйнштейн
•	В математике есть своя красота, как в живописи и в поэзии.
Николай $юроби1 Жукобокий (484%—
русский у1еный, оснобополоэ!сник аэродинамики
------------- I		--------
167
3. Решение олимпиадных задан.
Принцип Дирихле1 и его применение
к решению задан
Познакомимся с принципом Дирихле в такой шутливой форму-
лировке: «Если в N клетках сидят не менее N+ 1 кроликов, то в ка-
кой-то из клеток их не менее двух».
Рассмотрим этот принцип на примерах.
Задача 1.10 пар черных и 10 пар коричневых перчаток одно-
го и того же размера были разрознены и вперемешку положены в
коробку. Какое наименьшее число перчаток, не рассматривая их, надо
вынуть из коробки, чтобы быть уверенным, что среди них есть хотя
бы одна пара?
Решение: если среди 20 перчаток окажутся все 10 штук чер-
ных с правой (или левой) руки и 10 штук коричневых тоже с одной
руки, то 21-я перчатка обязательно образует с одной из этих 20 пару
черного или коричневого цвета.
О т в е т: 21 перчатку.
Задача 2. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каж-
дой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся
две елки с одинаковым числом иголок.
Решение: перед нами миллион «кроликов» (елок) и, увы, всего
лишь 600 001 «клетка» с номерами от 0 до 600 000. Каждого «кролика»
(елку) сажаем в клетку с номером, равным количеству иголок на этой
елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем «клеток», то в какой-то
«клетке» сидят по крайней мере два «кролика», а если два «кролика» -
елки «сидят в одной клетке», то количество иголок у них одинаково.
Задача З.В мешках лежат шарики: белые и черные. Какое
наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так,
чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
Решение: роль клеток выполняют цвета: черный и белый. Оче-
видно, надо вынуть из мешка три шарика.
Задача 4. В магазин привезли 34 ящика с яблоками трех сор-
тов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта.
Можно ли найти 12 ящиков с яблоками одного сорта?
Решение: имеем 3 «клетки» (сорта), 34 = 3 • 11 + 1. В каждую
«клетку» (сорт) мы можем «посадить» 11 «кроликов» (ящиков)
и еще у нас есть один ящик. Значит, в какую-то «клетку» (сорт) мы
1 Петер Густав Дирихле (1805-1859), немецкий математик.
168
посадим еще одного «кролика» (ящик). Таким образом, можно утверж-
дать, что, по крайней мере, в 12 ящиках находятся яблоки одного сорта.
Задача 5. В ящике лежали цветные карандаши: 10 красных,
по восемь зеленых и синих, четыре желтых. В темноте берем из ящика
карандаши. Какое наименьшее число карандашей нужно взять, что-
бы среди них было:
а)	не меньше четырех карандашей одного цвета;
б)	хотя бы один карандаш каждого цвета;
в)	не меньше шести синих?
Решение:
а)	В четыре «клетки» (цвета) сажаем «кроликов» (карандаши).
Самый неблагоприятный случай, когда в каждой «клетке» поровну
карандашей каждого цвета, т. е. по три. Если мы возьмем еще один
карандаш, то он окажется одного из перечисленных цветов, т. е. если
взять 3+3 + 3 + 3 + 1 = 13 карандашей, то среди них будет не менее
четырех карандашей одного цвета.
б)	Самый неблагоприятный случай: девять красных, по семь си-
них и зеленых, три желтых, т. е. надо взять 9 + 7 + 7 + 3 + 1=27
карандашей.
в)	Самый неблагоприятный случай: 10 красных, пять синих, во-
семь зеленых, четыре желтых, т. е. надо взять 10 + 5 + 8 + 6+ 1 =28
карандашей.
4.	Игра «Астрономия
на координатной плоскости»
В 6-м классе изучается тема «Координатная плоскость и постро-
ение на ней точек». Работа с заданием-игрой «Астрономия на коор-
динатной плоскости»1 закрепляет полученные знания, прививает
навыки в построении графиков функций в старших классах.
Первая легенда. У древних греков существовала легенда о со-
звездиях Большой и Малой Медведиц. Всемогущий бог Зевс решил
взять в жены прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини
Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто
от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую Медве-
дицу, ее любимую собаку - в Малую Медведицу и взял их на небо.
Вторая легенда. В незапамятные времена у царя эфиопов Це-
фея была красавица-жена - царица Кассиопея. Однажды Кассио-
пея похвасталась своей красотой в присутствии нереид - житель-
ниц моря. Обидевшись, завистливые нереиды пожаловались богу
’Математика в школе. 2001. № 1.
169
моря Посейдону, и он напустил на берега Эфиопии страшное чу-
довище - Кита. Чтобы откупиться от Кита, опустошавшего стра-
ну, Цефей вынужден был по совету оракула отдать на съедение
чудовищу свою любимую дочь Андромеду. Ее приковали к при-
брежной скале. Каждую минуту Андромеда ожидала, что из мор-
ской пучины вынырнет Кит и проглотит ее.
В это время герой Древней Греции Персей совершал один из сво-
их подвигов: он проник на уединенный остров на краю света, где оби-
тали три страшные женщины - горгоны - с клубками змей на голове
вместо волос. Взгляд горгоны превращал в камень все живое. Вос-
пользовавшись сном горгон, Персей отсек голову одной из них по
имени Медуза. Из ее тела выпорхнул крылатый конь Пегас. Две дру-
гие горгоны, проснувшись, хотели броситься на Персея, но он вско-
чил на крылатого Пегаса и, держа голову Медузы, полетел домой.
Пролетая над Эфиопией, Персей заметил прикованную к скале
Андромеду. К ней уже направлялся Кит, вынырнувший из морской
Рис. 61
пучины. Персей вступил в смертель-
ный бой с чудовищем. Одолеть Кита
удалось лишь после того, как на него
упал леденящий взгляд мертвой голо-
вы Медузы. Кит окаменел, превратив-
шись в небольшой остров. Персей рас-
ковал Андромеду, привел ее к Цефею
и женился на ней.
Главных героев этого мифа фанта-
зия древних греков поместила на небо.
Так появились созвездия Цефея, Кас-
сиопеи, Андромеды, Персея, Пегаса
(рис. 61), Кита.
Задание на дом: подготовьте сообщения о созвездиях и
изобразите их на координатной плоскости (рис. 62-71).
(-3; 4)
(-2; 2)
(0; 0)
(2;-2)
(5;-3)
(3; I)
(-3;-1)
(-7;-2)
170
(i; 5)
(-2; 4)
(-5; 5)
(-5; -1)
(-1;-2)
(3; 1)
(2; 5)
(i; 4)
(0; 4)
(-1; 3)
(-1; 2)
(-5; 1)
(-7;-2)
(-5; -1)
(0; 0)
(0; 5)
(-1; 4)
(-2; 1)
(6;-D
(3; 2)
(-5; 0)
(-3, 2)
(-1; 0)
(1; 0)
(3;-2)
Рис. 66. Кассиопея
(-5;-3)
(-2;-2)
(0;-1)
(2;-2)
(4;-1)
(5; 0)
(6; 2)
(1; 1)
(1; 3)
171
(-2; 9)
(0; 7)
(1; 4)
(2; -2)
(-2;-1)
(-2; 5)
(-4; 4)
(-6; 8)
(-4; 9)
(0; 7)
(1; 5)
(8; 5)
(8;-2)
(0;-1)
(-2;-4)
(-2;-2)
(П;-7)
(9; 40
(Ю;-5)
(7;-1)
(4;-1)
(2; 0)
(-4; 0)
(0; 3)
(6; 1)
(9; 2)
Рис. 68. Андромеда
Рис. 70. Кит
172
Рис. 71
5.	Поэтическая страничка.
Числа
В вечной области науки - только в книгу я взгляну -
Вижу чисел батальоны, выходящих на войну.
Всюду числа выступают беспредельною толпой,
Чтобы с косностью и мраком завязать смертельный бой.
В странных формулах, как в фортах, заперлися их полки.
Там не страшны им ни пули, ни шрапнели, ни штыки.
Между ними, как знамена, гордо символы корней
Развеваются в защиту возвещаемых идей.
Знаки равенств - их окопы. Неприступны числа там,
Не разбить их укреплений мрачным истины врагам!
Но из формул этих странных, лишь настанет час нужды,
Вновь выходят тех же чисел непрерывные ряды.
Синус, косинус и тангенс - их привычные вожди,
На разведку логарифмы смело мчатся впереди,
И, над всеми поднимаясь, как суровый генерал,
Управляет их походом всемогущий интеграл.
Так упорно бьются числа уже много-много лет
За сознанье человека и за правды вечный свет.
Они встали незаметно из глубокой тьмы веков
И посбили уж немало с человечества оков!
Числа, числа! Выходите ж бесконечной чередой,
Всею армией великой вы бросайтесь в правый бой,
Это - честная, святая, это - славная война,
Долго-долго в вольном мире не окончится она!
Но победа будет ваша. Смело ж далее в поход!
С каждым веком, с каждым годом
Вы ведете нас вперед. я Антокольский
Занятие 27
1.	Устный счет
1.	Какой знак надо поставить между двумя двойками, чтобы по-
лучить число более 2, но меньшее 3?
2.	Одного человека спросили, сколько у него детей. Ответ был
замысловатый: «У меня 6 сыновей, а у каждого сына есть родная
сестра». Сколько детей в семье?
3.	Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче
других. Как найти это кольцо одним взвешиванием на чашечных
весах?
4.	Один из двух сомножителей равен 36. Как изменится произве-
дение, если другой сомножитель увеличить на 9?
5.	Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз в этой
записи встретится цифра 5?
6.	Какой цифрой оканчивается разность:
1 -2-3 • ... • 18- 19-1 -3 • ... • 17- 19?
7.	Назовите возможно большее число последних цифр 49!
8.	Какой цифрой оканчивается число:44 ?
9.	Число 82** делится на 90. Найти частное.
10.	Из шести семерок и знаков, употребляемых в арифметике,
составить число 100. (Найдите два решения.)
Ответы и решения:
1.	Запятую.
2.	Семь (6 мальчиков и одна девочка).
3.	По кольцу положить на чашки весов. Если будет равновесие,
то третье кольцо - искомое. Если же равновесия не будет, то искомое
кольцо обнаружится сразу.
4.	Увеличится на 36 • 9 = 324.
5.	В десятке 50 - 59 цифра 5 встречается 11 раз, в каждом из
девяти остальных - по разу. Всего 20 раз.
6.	Уменьшаемое оканчивается нулем, вычитаемое - пятью. Сле-
довательно, разность оканчивается цифрой 5.
7.	Произведение числа, кратного 5, на четное число оканчивает-
ся нулем. Среди сомножителей 1 • 2 • 3 • ... • 48 • 49 чисел, кратных 5,
будет девять (числа 5, 10, 15, ..., 45). Среди этих девяти сомножите-
174
лей число 25 может быть представлено в виде произведения двух
сомножителей, кратных 5. Таким образом, произведение
1 • 2 • 3 • ... • 48 • 49 оканчивается 10 нулями.
8.	Число 4 в любой нечетной степени оканчивается цифрой 4, а в
любой четной - цифрой 6. Здесь 4 возводится в четную степень. Зна-
чит, 44 оканчивается цифрой 6.
9.	Число 82** делится на 10 и 9. Значит, последняя цифра его -
нуль, а сумма цифр 8 + 2 + * + 0 делится на 9, что возможно лишь в
случае, если цифра десятков - 8.
10.	(777 - 77) : 7; (7 + 7) • 7 + (7 + 7): 7.
2.	Премия Дж. Филдса
Эту награду международный математический конгресс присуж-
дает раз в четыре года молодым ученым за особые достижения в
области математики. Ее часто называют Нобелевской премией по
математике. Как известно, Нобелевские премии стали присуждаться
с 1901 г. по завещанию шведского инженера-химика, изобретателя
динамита, промышленника и миллионера Альфреда Бернхарда Но-
беля (1833-1896). Премия присуждается за выдающиеся работы в
области физики, химии, медицины, физиологии, экономики, за ли-
тературные произведения, за деятельность по укреплению мира.
Первоначально в этом списке была и математика, но потом Нобель
сам исключил математиков из возможных претендентов. В научных
кругах этот поступок расценили как по меньшей мере странный.
Существует несколько версий, объясняющих причины решения
А.Б. Нобеля. Но ни одну из них нельзя доказать документально.
В среде математиков утвердилось мнение, что недружелюбный жест
миллионера объясняется его личной неприязнью к известному швед-
скому математику Магнусу Густаву Миттаг-Леффлеру (1846-1927),
занимавшемуся теорией аналитических функций и получившему ряд
важных результатов. Именно он пригласил Софью Ковалевскую чи-
тать лекции в Стокгольмском университете.
Миттаг-Леффлер основал математический журнал и сумел при-
влечь к его работе выдающихся математиков. Он был инициатив-
ным и общительным человеком, к тому же очень хорош собой. Та-
кие люди обычно легко наживают себе как врагов, так и друзей. Проч-
ная и продолжительная дружба связывала Миттаг-Леффлера с
канадским математиком Дж.Ч. Филдсом. «Именно от Филдса, - пи-
сал секретарь оргкомитета международных математических конгрес-
сов Дж.Л. Сайн, - я впервые услышал о трениях между Нобелем и
Леффлером. Полагаю, это было вызвано взаимной завистью...» Как
175
бы то ни было, но пробел, созданный А.Б. Нобелем, впоследствии
заполнил Дж.Ч. Филдс.
Джон Чарльз Филдс (1863-1932) родился в Гамильтоне на юге
Канады. Окончив университет в Торонто, более 10 лет провел в Ев-
ропе, где продолжил образование и завязал дружеские отношения
со многими математиками. С 1902 г. был профессором Торонтского
университета. Основные его труды - по теории алгебраических функ-
ций и теории абелевых интегралов. Дж.Ч. Филдс был президентом
Канадского и членом Лондонского королевских обществ, членом-
корреспондентом АН СССР. С 1924 по 1932 г. занимал пост прези-
дента Международного математического союза.
Это было в годы Первой мировой войны, когда математики раз-
ных стран оказались разобщенными. Традиция математических конг-
рессов, регулярно проводившихся в 1897-1913 гг., нарушилась. В этих
условиях предложение Филдса награждать математиков разных стран
за выдающиеся достижения получило горячую поддержку научных
обществ Америки, Италии, Швейцарии и Германии.
В 1932 г. Филдс составил меморандум, в котором подробно
охарактеризовал статут новой премии. Он подчеркивал, что премия
должна быть интернациональна и объективна. «Она ни под каким
видом не должна включать упоминание о какой-либо стране, инсти-
туте и личности». Филдс выступал против того, чтобы она называ-
лась чьим-то именем. Будь он жив, то, скорей всего, возражал бы
против названия «Филдсовская премия». Тем не менее это название
утвердилось, что совершенно справедливо.
До формального учреждения премии Дж.Ч. Филдс не дожил.
Согласно завещанию, значительная часть его состояния перешла в
премиальный фонд. Филдсовской премией не только отмечаются
заслуги того или иного лица, но и стимулируется его дальнейшая
деятельность в области математики. Поэтому, согласно уставу, она
присуждается исследователям, не достигшим 41 года.
Вместе с премией (1500 канадских долларов) лауреату вруча-
ется и золотая медаль. На ее лицевой стороне (аверсе) изображен
профильный портрет Архимеда. Надпись по окружности аверса
гласит: «Превзойти человеческие возможности и познать вселен-
ную». На оборотной стороне (реверсе) написано по-латыни: «Ма-
тематический мир приветствует шаг к познанию», на заднем пла-
не - цилиндр, вписанный в сферу, - чертеж к знаменитой теореме
Архимеда.
Первые лауреаты Филдсовской премии были названы в 1936 г.
За минувшие 64 года эта премия была присуждена более чем 30 мо-
лодым математикам.
176
3.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. Петя любит математику, но не любит рисовать. Когда
у него не получился набросок вазы, он разорвал его на 10 частей,
потом некоторые из них - еще на 10 и т. д. Вскоре Петина мама за-
глянула в комнату и сказала сердито: «Зачем ты разбросал по полу
пятьсот клочков бумаги?» Петя тут же ответил: «Вовсе не пятьсот!»
Прав ли Петя? И может ли оказаться так, что на полу лежит ровно
1 000 клочков бумаги? А 1999?
Решение: каждый раз, когда вы рвете любой кусок бумаги на де-
сять частей, то прибавляете не 10, а 9 кусков к общему количеству. Про-
верьте - разорвите на 10 кусочков одну из 20 частей. Поэтому всего кус-
ков может быть: 19= 10 + 9, или 28 =10 + 9 + 9ит. д. Так прав ли Петя?
Получаем:
500= 10 + 490;
490 не делится на 9, поэтому Петя, отвечая маме, был прав;
1 000 = 10 + 9- ПО,
следовательно, Петя может разорвать рисунок на 1000 кусков.
1 999 = 10 + 9-221,
он справится и с таким количеством кусков (если не устанет).
Задача 2. Один из героев Жюля Верна подсчитывал, голова его
или ступни ног прошли более длинный путь за время его кругосветного
странствия. Представьте, что вы обошли земной шар по экватору: бо-
лее длинный путь «прошла» макушка вашей головы или ваша пятка?
Решение: ноги прошли путь
8 = 2nR,
где R - радиус земного шара.
Верхушка головы при этом прошла путь
8 = 2л(7? + Н),
где Н- рост человека.
Разность путей:
S2 = 2л(7? + Н) - 2nR = 2пН.
Ответ: голова прошла на 2рН метров больше.
Задача 3. Два двухзначных простых числа получаются одно
из другого перестановкой цифр, а их разность - полный квадрат.
Какие это числа?
Решение: цифры а и Ь, из которых составлены эти числа,
нечетны и ни одна из них не равна 5. Пусть а > Ь, тогда их разность
(10а + Ь) - (106 + а) = 9(а - 6) должна быть полным квадратом, что
возможно лишь при а-Ь = 4.
Отсюда получаем, что а = 7, b = 3.
О т в е т: 37 и 73.
177
4.	Решение примера с картины художника
У известного русского художника Н.П. Богданова-Бельского есть
картина, изображающая занятия устным счетом. В классе возле дос-
ки сидит учитель, а около него стоят ученики, занятые устным реше-
нием трудного примера. Они сосредоточены и увлечены работой, так
как пример действительно труден и интересен. Вот он:
102+ 112 + 122 + 132 + 142 = 730.
Решите и вы этот пример устно.
На картине «Устный счет», экспонируемой в Третьяковской га-
лерее, художник изобразил учеников школы села Татево Смоленс-
кой губернии в начале XX в. Педагог - Сергей Александрович Ра-
чинский (1833-1902) - был учителем Н.П. Богданова-Бельского.
Решение:
а)	102 + Ц2+ 122= 100 + 121 + 144 = 365 - число дней в году,
132+ 142 = 169 4- 196 = 365 - то же.
Всего: 730.
б)	102+(10+ 1)2+(10 + 2)2+(10 + 3)2+(10 + 4)2 =
=	5 • 102 + 2(10 + 20 + 30 + 40)+ 1 +22 + 32 + 42 = 500 + 200 + 30 = 73 0
с использованием формулы: (а + Ь)2 = а2+ lab + А2).
5. Юмористическая страничка
Хорошая математическая шутка
всегда лучше целой дюжины посредственных
математических работ.
Джон Идензор Литлвуд (1885-1977),
английский математик
Верность Вейерштрасса.
Любопытно, что С.В. Ковалевская, очень ревнивая по своей на-
туре, взяла однажды с Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса
(1815-1897, немецкого математика) обещание, что он никогда не бу-
дет заниматься математикой ни с какой другой женщиной. Однако
уже вскоре сама с чисто женской непоследовательностью сообщи-
ла, что хотела бы послать ему симпатичную ученицу, на что учитель
ответил, что он помнит свое обещание и уже отказал одной немец-
кой даме, которая просила его заниматься с ней математикой.
Что такое математика?
Известный русский математик академик Андрей Андреевич Мар-
ков (1856-1922) на вопрос «что такое математика?» ответил: «Матема-
тика- это то, чем занимаются Гаусс, Чебышев, Ляпунов, Стеклов и я».
178
Давида Гильберта (1862-1943) спросили об одном из его быв-
ших учеников.
- Ах, этот-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для мате-
матики у него было слишком мало воображения.
Проще простого
Знакомая просила Альберта Эйнштейна позвонить ей по теле-
фону, но предупредила, что номер очень трудно запоминается: 24361.
- И чего же тут трудного? - удивился Эйнштейн. - Две дюжины
и 19 в квадрате.
в. Стихотворная страничка
Еще раз о нуле
Внимай! Кому? Ты в удивленьи?
Доступен слуху я - не зренью.
Я бестелесен, невесом,
А кто таков, скажу потом.
Без «Некто» я остался б нем,
И «Некто» возвещает всем,
Что нет меня. И правда, я -
Лишь отрицанье бытия.
Меня кружочком очертили,
Нулем кружочек окрестили,
Понять же людям мудрено
То, что во мне воплощено.
Они запомнили названье
И видят только начертанье -
Для них всего лишь цифра я;
Подвергли действиям меня
И всем прямым, и всем обратным ...
Мне умноженье лишь приятно,
Ведь при сложеньи, вычитаньи
Меня оставят без вниманья,
О том же, чтоб на нуль делить,
Не стоит даже говорить ...
А то, что ты на нуль помножишь,
В одно мгновенье уничтожишь.
Так берегись же ты нуля,
Чтоб он к нулю не свел тебя!
Занятие 28
1	. Приемы счета.
Быстрое сложение и вычитание
натуральных чисел
1.	Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из
суммы надо вычесть столько же.
П р и м е р: 364 + 592 = 364 + (592 + 8) - 8 = 364 + 600 - 8 = 956.
2.	Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а вто-
рое уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.
П р и м е р: 997 + 856 = (997 + 3) + (856 - 3) = 1 000 + 853 = 1853.
3.	Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшае-
мое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.
Пример: 1351 -994 = (1351 +6)-(994 + 6) = 1357- 1000 = 357.
4.	Если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получим
удвоенное меньшее число, т.е.
(а + Ь) - (а - Ь) = 2Ь.
5.	Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результа-
те получится удвоенное большое число, т.е.
(а + Ь) + (а - Ь) = 2а.
2.	Из истории математики.
Проценты в прошлом и настоящем
Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum , что
буквально означает «за сотню» или «со ста». Проценты очень удоб-
но использовать на практике, так как они выражают части целых
чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упро-
щать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.
Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях,
вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности
у вавилонян, которые пользовались шестидесятиричными дробями.
Проценты были распространены в Древнем Риме. Римляне называли
процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую
сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
180
Долгое время под процентами понимались исключительно при-
быль или убыток на каждые 100 денежных единиц. Их применяли
только в торговых и денежных сделках. Затем область их примене-
ния расширилась, проценты стали встречаться в финансовых и хо-
зяйственных расчетах, статистике, науке и технике.
Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля
целого (принимаемого за единицу). Знак % закрепился для обозна-
чения процентов в XVII в. Вероятно, он произошел от сокращения
латинского слова «centrum» до «cto». При скорописи «cto» стало выг-
лядеть как «о/о», а затем «%». Довольно долго этот знак записывали
только с горизонтальной чертой.
Иногда применяют и более мелкие, тысячные, доли - так назы-
ваемые промилле (от латинского слова pro mille - «с тысячи»), обо-
значаемые °/оо по аналогии со знаком процента. Однако на практике
в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, деся-
тые же - слишком крупные. Поэтому наиболее удобны сотые доли,
иначе говоря, проценты. В нашей стране ими пользуются при со-
ставлении и учете выполнения производственных планов в промыш-
ленности и сельском хозяйстве, при денежных расчетах.
3.	Математический кроссворд
181
По горизонтали-. 1. 2х - 6 = 2; 2. Число, которое прибавляют.
3. Сумма длин всех сторон треугольника. 4. Число. 5. Арифметичес-
кое действие. 6. Число, показывающее количество единичных квад-
ратов в геометрической фигуре. 7. Трудный путь от условия к ответу.
8. Излишек. 9. с + d. 10. То, на что делят.
По вертикали: 11. Угломер. 12. То, что стоит под чертой.
13. Место, на котором стоит цифра в записи числа. 14. Пятнадцати-
минутное сумасшествие (школьное). 15. Записная книжка ученика.
16. Отрезок, делящий круг пополам. 17. Числа, соединенные знака-
ми действий (образец для подражания). 18. Есть у уравнения и рас-
тения. 19. Результат сложения. 20. Он бывает натуральным. 21. За-
писывается с помощью цифр.
О т в е т ы: 1. Уравнение. 2. Слагаемое. 3. Периметр. 4. Тридцать.
5. Деление. 6. Площадь. 7. Решение. 8. Остаток. 9. Формула. 10. Де-
литель. 11. Транспортир. 12. Знаменатель. 13. Разряд. 14. Перемена.
15. Тетрадь. 16. Диаметр. 17. Пример. 18. Корень. 19. Сумма.
20. Ряд. 21. Число.
4.	Решение олимпиадных задач
Задача 1. При переоборудовании котельной установки, по-
требляющей 100 кг топлива в час, были применены два усовершен-
ствования: одно - дающее 25 % экономии топлива, и другое - даю-
щее 20 %. Сколько килограммов топлива стала потреблять установ-
ка после переоборудования в течение часа?
Решение:
1)100- 0,25 • 100 = 75 (кг) - расход топлива (с одним усовершен-
ствованием);
2)75-0,2 • 75 = 60 (кг)-потреблениетоплива в час после полно-
го переоборудования.
О т в е т: 60 кг.
Задача 2. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влаж-
ность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98 %.
Какой стала масса этих грибов?
Решение:
1)	100 - 0,99 • 100=1 (кг) - масса сухого вещества;
2)	100 - 98 = 2 (%) - доля сухого вещества после подсушивания;
3)	Составим пропорцию:
1 кг-2%
х кг - 100%
или
1:х = 2 : 100,
2х= 100,
х = 50 кг.
О т в е т: 50 кг.
182
Задача 3. Цена билета для входа на стадион была 180 р. Пос-
ле снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50 %,
а выручка выросла на 25 %. Сколько стоил билет после снижения
входной платы?
Решение: входная плата с каждых двух зрителей до сниже-
ния была 360 р. После снижения вместо каждых двух зрителей ста-
дион посещали 3 человека, платившие 360 + 90 = 450 р. Стоимость
билета 450 : 3 = 150 р.
Ответ: 150 р.
5.	Биографическая миниатюра.
Л.Д. Ландау (1908—1968)
С любознательности начинается познание мира.
Именно она составляет наиболее характерную
и значительную особенность юности, когда формируется
личность и знания усваиваются особенно быстро
и прочно. Без любознательности, по моему мнению,
человек не может развиваться нормально.
Л.Д. Ландау
Математическое дарование буду-
щего академика Льва Давидовича
Ландау раскрылось очень рано. Пред-
ставьте такую сцену: в городском
саду Баку крошечный мальчик пишет
на дорожках длинный-предлинный
ряд цифр, потом идет вдоль написан-
ного и говорит ответ. Сразу видно,
что занят он обыкновенным сложе-
нием и вычитанием, но для него это -
самая интересная игра. По цифрам на
песке его и находит мама, берет за
руку и ведет домой. Математику четыре с половиной года.
Лев Ландау родился 22 января 1908 г. в семье инженера одного из
бакинских нефтепромыслов Давида Львовича Ландау. Супруги Ландау
уделяли много внимания воспитанию детей (у Левы была старшая сест-
ра Соня): в доме жила гувернантка-француженка, приходили учителя
музыки, ритмики и рисования. Мать учила детей читать и писать.
В школе парта Левы чаще пустует. Занимается он больше для
собственного удовольствия, и чаще всего арифметикой. Все осталь-
ное выполняет быстро, лишь бы отделаться и приняться за свои чис-
ла. В гимназии Лев Ландау по точным наукам был первым.
183
Вскоре в связи с установлением в Баку советской власти нача-
лась перестройка системы народного образования. Целый год Лев
проводит дома: гимназии были ликвидированы. Родители мальчика
принимают решение определить его с сестрой в коммерческое учи-
лище. Надо было сдать вступительные экзамены, к ним дети готови-
лись вместе. Лев обогнал Соню - он уже в 12 лет умел дифференци-
ровать и научился интегрировать в 13. Занятия математикой достав-
ляли ему такую радость, что он забывал обо всем на свете.
Экзамены сданы на «отлично». В 1920 г. сестра и брат Ландау
зачислены в предпоследний класс училища.
Тщедушный мальчик в первый же день стал мишенью для на-
смешек и небезобидных шуток великовозрастных одноклассников.
Но - лишь до первого урока математики.
Преподаватель предложил решить задачу двумя способами, и
молодые люди склонились над тетрадями.
-	А ты даже не пытаешься решать? - спросил учитель, заметив,
что новенький не написал ни строчки.
В классе все захихикали.
-	Я уже решил, - ответил Лев.
-	Какой у тебя ответ?
Ландау сказал.
-	Ну, так решай второй вариант.
-	Решил.
-	Иди к доске.
Знакомство состоялось. Теперь уже никому в голову не приходи-
ло подшучивать над возрастом Левиньки (так его звала мама).
В 1922 г. Лев Ландау успешно сдает экзамены в Азербайджанский
государственный университет. Четырнадцатилетний студент занимался
сразу на двух факультетах: физико-математическом и химическом.
Таким было начало пути выдающегося советского физика, лауреата
Ленинской и Нобелевской премий академика Л.Д. Ландау1.
В 19 лет Л.Д. Ландау оканчивает Ленинградский государствен-
ный университет и поступает в аспирантуру Ленинградского физи-
ко-технического института, которым руководил выдающийся физик
А.Ф. Иоффе2. В 1929 г. он едет в полуторагодовую научную коман-
дировку за границу в ведущие научные центры (Берлин, Геттинген,
Копенгаген, Кембридж, Цюрих) для продолжения образования.
1 Советуем прочитать книгу: Бессараб М.Я. Ландау. Страницы жизни. - М.:
Московский рабочий, 1978.
2 Этот институт остается ведущим научно-исследовательским центром. В 2000 г.
его директору, академику РАН Ж.И. Алферову присуждена Нобелевская премия по
физике.
184
Во время командировки посещает семинары лучших физиков мира:
Макса Борна, Вернера Гейзенберга, Поля Дирака, Вольфганга Пау-
ли, Нильса Бора.
Занимаясь вопросами теоретической физики, Ландау, как и все
известные ученые того времени, внес вклад в решение оборонных
задач. Его работы в атомном проекте СССР были отмечены высши-
ми наградами государства.
Л.Д. Ландау была создана школа физиков-теоретиков, а его курс
теоретической физики, написанный совместно с Е.М. Лившицем, до
настоящего времени является непревзойденной энциклопедией фи-
зических знаний.
В 1962 г. Л.Д. Ландау удостоен Нобелевской премии по физике
за «пионерские работы в области теории конденсированных сред, в
особенности жидкого гелия».
в. Юмористическая страничка.
Для тех, кто готовится стать математиком
Юный студент-математик заявил известному специалисту по тео-
рии чисел Эдмунду Ландау - немецкому математику (1877—1938),
что ему удалось найти доказательство великой теоремы Ферма, ут-
верждающей, что ни при каком целом п > 2 нельзя найти три целых
числа х, у, z, которые бы удовлетворяли уравнению
х" +У1 =zn.
Э. Ландау, терпеливо выслушав студента, усмехнулся и попро-
сил его решить простую задачу, которую тут же продиктовал. Как ни
старался студент, решить задачу Ландау ему так и не удалось. И тог-
да известный профессор дал ему ценный совет: «Прежде чем пы-
таться потрясти основы науки, необходимо их изучить!»
Занятие 29
1. Приемы счета.
Умножение однозначного или двухзначного
числа на 37
Мы знаем, что число 37 - простое. Способ умножения однознач-
ного или двухзначного числа на 37 основан на следующих равен-
ствах:
2 • 37 = 74 и 3 • 37 = 111.
Используя распределительный закон и эти равенства, можно
упростить процесс умножения.
Примеры:
37-6 = 37-3 -2 = 111 -2 = 222;
37 • 8 = 37 • (6 + 2) = 222 + 74 = 296;
37- 18 = 37- 3-6 = 111 -6 = 666;
37-45 =37-3 • 15 = 111 -15 = 1 665;
37-66 = 37-3 - 2- 11 = 111 - 2- 11 = 222 - 11 =2 442.
2. Биографическая миниатюра.
М.В. Келдыш (1911—1978)
Особенность таланта академика
М. Келдыша заключалась в умении
предвидеть дальнейший ход развития науки.
Академик Ю.Б. Харитон
Он был и абсолютно «закрытой»
фигурой, и человеком, хорошо извест-
ным всему миру. Случай поразитель-
ный, если не уникальный.
Многие годы в репортажах с Бай-
конура и других публикациях о наших
успехах в освоении космоса упомина-
лись две загадочные личности: Глав-
ный конструктор и Теоретик космонав-
тики. Но если первого до самой его
смерти в 1966 г. мало кто знал, как
186
Сергея Павловича Королева, конструктора космической техники,
то Мстислав Всеволодович Келдыш был более популярен. Вначале
как талантливый ученый-математик, академик, ас 1961 г. и как пре-
зидент Академии наук СССР. Мало кто догадывался, что этот на-
ходящийся постоянно на виду человек и есть тот самый строго за-
секреченный «теоретик».
Всему миру известна фотография «Три К - Королев, Курчатов,
Келдыш», на которой худощавый седой человек и есть Мстислав
Всеволодович Келдыш.
Благодаря его расчетам сегодня человечество имеет возможность
преодолевать звуковой барьер. С его именем связано решение мно-
гих задач механики и прикладной физики, создание ракетно-ядерно-
го щита нашего государства.
Многими из своих замечательных качеств, предопределивших
его успехи, Мстислав Келдыш обязан семье, уклад жизни которой
глубоко чтил до конца своих дней.
Он родился в Риге в профессорской семье. Отец, Всеволод
Михайлович Келдыш, окончил Политехнический институт в Риге. Пос-
ле переезда в Москву в 1923 г. преподавал в Высшем инженерно-строи-
тельном училище, а затем, с 1932 г., в Военно-инженерной академии.
Кроме заведования кафедрами отец постоянно ездил в командировки,
был членом государственных приемных комиссий, консультировал спе-
циалистов - строителей Днепрогэса, Днепропетровского алюминиево-
го завода, канала им. Москвы, Московского метрополитена.
187
В большой и дружной семье Келдышей было семеро детей. Мать,
Мария Александровна, целиком посвятила себя их воспитанию. Азы
грамоты дети получали дома и к четырем-пяти годам уже умели чи-
тать. В семье была большая библиотека детской и классической ли-
тературы. Еще до школы все дети знали немецкий язык, которому их
обучала учительница-немка, владела немецким и французским язы-
ками и Мария Александровна.
В семье увлекались оперой, любили концерты классической му-
зыки. Мария Александровна хорошо играла на рояле, и все дети полу-
чили некоторое музыкальное образование. Музыку, как и живопись,
Мстислав Келдыш будет страстно любить всю жизнь.
В доме часто собиралась молодежь, в основном студенты и аспи-
ранты, друзья сестры Людмилы, которая училась на математиче-
ском отделении Московского университета. В этом доме бывали мно-
гие из будущих известных математиков. Молодежь умела веселить-
ся, устраивала разные игры. Очень часто при этом присутствовали
родители, которые охотно привечали всех приятелей детей.
Людмила, старшая из сестер Мстислава Всеволодовича, была
личностью яркой и сильной. Известный математик, одна из лучших
учениц академика Николая Николаевича Лузина, она в 36 лет защи-
тила диссертацию на соискание ученой степени доктора математи-
ческих наук, имея к тому времени троих детей. Людмила оказала
влияние на выбор братом Мстиславом профессии математика воп-
реки желанию отца, который хотел, чтобы тот стал, подобно ему,
строителем. В 1931 г. М.В. Келдыш окончил физико-математичес-
кое отделение МГУ и стал заниматься прикладной математикой.
Шли ЗО-е годы... Одной из проблем авиации было преодоление
флаттера - разрушения самолета при достижении звукового барье-
ра. М.В. Келдыш решил ее. Полученные результаты используются
при создании современной авиационной техники.
Другая проблема, решенная М.В. Келдышем, - шимми. Это на-
звание американского танца на самом деле означает сильные само-
произвольные колебания переднего колеса самолета, которые неодно-
кратно приводили к катастрофам. И сейчас тысячи людей, поднима-
ясь в воздух, не задумываются о том, что их безопасность обеспечена
математическими расчетами выдающегося ученого современности.
Институт прикладной математики в Москве, созданный в свое
время академиком Келдышем, носит теперь его имя. Золотая медаль
им. М.В. Келдыша, учрежденная Академией наук СССР, вручается
за выдающиеся научные работы в прикладной математике, механи-
ке и теоретические исследования в области освоения космического
пространства.
188
3. Задачи в стихах
Задача 1.
Галки и палки
Прилетели галки, сели на палки,
Если на каждой палке
Сядет по одной галке,
То для одной галки
Не хватит палки.
Если же на каждой палке
Сядет по две галки,
То одна из палок
Будет без галок.
Сколько было галок?
Сколько было палок?
Решение.
Способ 1. Пусть х - число палок, у - число галок. Запишем и
решим систему уравнений:
у = х + 1, [у = х + 1, Гу = х + 1, Глг = 3,
у / 2 + 1 = х, у + 2 = 2х, х + 1 + 2 = 2х, у = 4.
Способ 2. Пусть х - число палок, (х + 1) - число галок. Составим
уравнение:
(х + 1): 2 + 1 = х,
х + 1 + 2 = 2х,
х = 3.
О т в е т: 3 палки и 4 галки.
Задача 2.
Колючая загадка
Лев старше дикобраза
В два с половиной раза,
А год назад в три раза старше был.
Запомните все это
Для полного ответа,
Учтите все и взвесьте.
Так сколько лет им вместе?
189
Решение: пусть льву х лет, дикобразу у лет. Составим систему:
х = 2,5 .у,	(х = 2,5 .у,	(х = 2,5у,
х -1 = 3(у -1),	х-1 = 3у-3, [х = Зу-2,
х = 2,5у,	Jx = 2,5y,	fy = 4,
4 2,5у = Зу - 2, [0,5у = 2,	[х = 10.
Ответ: льву 10 лет, дикобразу 4 года, вместе им 14 лет.
Задача 3.
Осенний кросс
Кросс осенний вспоминая,
Спорят белки два часа:
«Победил в забеге заяц,
А второй пришла лиса!»
«Нет, - твердит другая белка, -
Ты мне шутки эти брось.
Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, -лось!»
«Я, - промолвил филин важный, -
В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.»
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж, взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Решение: согласно наполовину верным условиям:
а)	заяц -1, лиса - II,
б)	заяц-II, лось-1.
Если заяц -1, то лиса - не II, тогда заяц - не II и лось -1, следова-
тельно, заяц - не I, а лиса - II. Окончательно получаем: лось - I,
лиса - II, заяц - III.
Ответ: первым был лось, второй - лиса, третьим - заяц.
Задача 3.
В универмаге встретил я
Осла, козу и кошку,
Они купили красный мяч
И желтую гармошку.
190
Зайдя потом, увидел я
Осла, козу и белку,
Они купили красный плащ
И белую тарелку.
Зашел я в третий, встретил там
Опять осла и кошку.
Они купили в этот раз
Лишь желтую матрешку.
Мне срочно нужен твой совет,
Задумайся немножко.
Скажи: какой любимый цвет
У белки и у кошки.
И кто не сделал ни одной
Покупки в магазинах.
Поскольку не было, увы,
Товаров ярко-синих.
Совет: учтите, что каждый из героев этого стихотворения по-
купает товары только одного любимого им цвета.
Решение:
в первом магазине купили:
осел
коза
кошка
красное,
желтое;
во втором магазине купили:
осел '
коза
белка ,
красное,
белое;
кошка любит желтое,
белка любит белое;
в третьем магазине купили :
осел
кошка
---желтое.
Но мы уже знаем, что кошка любит желтое. Значит, осел не ку-
пил ничего. По условию каждый зверь любит свой цвет, но сегодня
товаров темно-синего цвета в продаже нет. Следовательно, осел лю-
бит синий цвет, а коза - красный.
Ответ: любимый цвет у белки - белый, у кошки - желтый,
ни одной покупки не сделал осел.
191
4. Юмористическая страничка.
Результат получен лакеем
Когда на пути в Париж Михаил Васильевич Остроградский был
обобран своим попутчиком, то не стал возвращаться домой, а про-
должил свой путь «пешим порядком». Прибыв в Париж без гроша в
кармане, Остроградский нанялся лакеем к Лапласу.
Лакей (Остроградский) видел, как ученый несколько дней без-
успешно бился над решением одного весьма трудного вопроса из
небесной механики, исписывая мелком большую доску. Однажды,
придя домой, Лаплас увидел на доске доведенные до конца преобра-
зования его формул с давно уже предвиденным результатом. Еще
больше было удивление ученого, когда он узнал, что результат полу-
чен его новым лакеем. После этого случая они стали большими дру-
зьями.
5. Маленькая викторина
«Знаешь ли ты великих математиков?»
1.	Кто из великих русских математиков занимался поэзией? [Ми-
хаил Васильевич Ломоносов (1711-1765), Софья Васильевна Кова-
левская (1850-1891)].
2.	Каково имя первой женщины-математика? [Гипатия Александ-
рийская (370-415)].
3.	Кто была первая русская женщина-математик? [Софья Васи-
льевна Ковалевская].
4.	Кто автор первого в России учебника по арифметике? [Леон-
тий Филиппович Магницкий (1669-1739)].
5.	Кто из ученых, любя делать пометки на полях читаемой
книги, однажды на полях одной из них написал теорему и при-
писал: «Нашел удивительное доказательство этой теоремы, но
недостаток места не позволяет мне его здесь привести»? В бу-
магах ученого этого доказательства не нашли, и до последних
лет эту теорему считали «вызовом прогрессивному человече-
ству». [Пьер Ферма (1601-1665)].
6.	Кто нашел отношение длины окружности к диаметру? Чему
оно равно? [Архимед (ок. 287-212 до н. э.); л].
7.	Кто, несмотря на свою молодость, успел сделать много откры-
тий в математике, но, к сожалению, был убит на дуэли в двадцать
лет? [Эварист Галуа (1811-1832)].
8.	Кто из математиков изобрел тачку? [Блез Паскаль (1623-1662)].
192
9.	Назовите крупнейшую международную премию для молодых
ученых-математиков. [Премия Дж. Филдса (1863-1932)].
10.	В честь какого ученого названа прямоугольная система коор-
динат? [Рене Декарта fl 596-1650)].
11.	Кто из математиков был «Главным теоретиком космонавти-
ки», Президентом АН СССР? [Мстислав Всеволодович Келдыш
(1911-1978)].
12.	Кто из русских математиков усомнился в единственности мира
Евклида и Ньютона? [Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)].
13.	Кто из математиков создал школу русских математиков, ус-
пешно сочетая создание теории чисел с разработкой механических
устройств и приборов. [Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894)].
14.	Кого называли «добрым гением» Российской академии наук?
[Леонард Эйлер (1707-1783)].
15.	Кто является основателем кибернетики? [Норберт Винер
(1894-1964)].
Занятие 30
Заключительное
1.	Подведение итогов работы кружка за год, награждение самых
активных, самых умных, способных, «самых-самых» кружковцев.
2.	Рекомендации детям что прочесть, над чем поработать каждо-
му во время предстоящих летних каникул.
3.	Проведение учителем - руководителем кружка заключитель-
ных блиц-конкурсов на знание проблемного материала, сообрази-
тельность, быстроту счета «Тот из вас нам всем милее, кто считает
всех быстрее» и т.п.
И, дорогие коллеги - преподаватели математики, если вы сможе-
те отозваться мысленно (а может, и вслух) о своих учениках, пере-
фразируя А.С. Пушкина: «Предо мной вы все равны - все способны
и умны», то наша общая цель достигнута.
Приложение
Праздник математики
Одним из приемов приобщения к математике, воспитания любви к ней,
являются праздники. Цель таких праздников:
1.	Показать учащимся, что математика - чудесная, не сухая наука и
занимаются ею замечательные люди.
2.	Расширить знания, повысить интеллект (ведь при подготовке членам
каждой команды и всем консультантам приходится много перечитать книг).
3.	Сплочение коллективов разных классов.
Девиз праздника - мысли, оформленные в виде плакатов.
«Решай, ищи, твори и мысли».
«В геометрию тропинку одолеем без запинки».
«Дорогу осилит идущий, а математику - мыслящий».
«Гений состоит из одного процента вдохновения и 99 процентов потения».
(Т Эдисон).
«Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед».
«Когда английского ученого Фарадея спрашивали, как и почему он до-
бился выдающихся успехов в науке, он отвечал: «Потому что, начиная
дело, я всегда довожу его до конца».
План проведения праздника математики
I.	Представление команд (с юмором, в стихах, в виде песен, но все с
математическим содержанием).
II.	Сведения о великих математиках: Архимеде, Евклиде, Н.И. Лобачев-
ском, К.Ф. Гауссе, Ф. Виете.
III.	Математический ералаш.
1.	Составление слов на букву П.
Команды стремятся назвать наибольшее количество слов на букву П,
а зрители (в то время, пока команды работают) - самое длинное слово.
2.	Задается слово «арифметика»
Команды составляют из букв этого слова как можно больше слов, а зри-
тели - самое длинное слово.
195
IV.	Что мы знаем о числах. Сообщение учителя: «Мифы и числа». Чле-
ны команд рассказывают как можно больше о каком-либо числе, например:
-	7 «А» - о числе «7»;
-	7 «Б»-о числах «40» и«41»;
-	7 «В» - о числах «12» и «13»;
-	7 «Г» - о числе «0» и числе «3».
V	. Пословицы и поговорки с числами.
Команды называют по одной пословице с заданным числом. Выигрывает
та, которая последней назовет пословицу. Используются числа 1, 5, 7, 10.
V	I. Домашнее задание. Чтение стихов, инсценировка математической
сказки, составленной членами команд разных классов.
Пример проведения праздника математики
I. Представление команд
(I) Ведущий учитель перед началом состязаний: «Сегодня с нами
те, кто хочет учиться с увлечением, все, кто любит тайны, загадки, при-
ключения, кто любознателен, трудолюбив, настойчив. Дорогие участ-
ники игры, захватите с собой смекалку, находчивость, смелость, а сме-
лость, говорят, города берет, и тогда победа всегда будет за вами. Успе-
хов Вам!»
Разыгрывается порядок входа команд: № 1, № 2, № 3, № 4.
За каждый выход команды получают баллы по пятибалльной системе.
Выбор жюри (из учителей).
II. Соревнование
«Знаете ли вы великих математиков?» Для подсказки: Лобачев-
ский, Архимед, Гаусс, Евклид, Виет.
Вопрос 1.
Многие знаменитые математики мира на протяжении двадцати веков
старались решить величайшую проблему: сколько прямых, параллельных
данной, можно провести через заданную точку? Кто разрешил эту про-
блему?
Ответ: Н.И. Лобачевский, русский математик, ректор Казанского уни-
верситета, создатель неевклидовой геометрии, в 1826 г.
Вопрос 2.
Он был задумчив и спокоен
Загадкой круга увлечен,
Над ним невежественный воин
Взмахнул разбойничьим мечом.
Прошла столетий вереница
Научный подвиг не забыт.
Никто не знает, кто убийца,
Но знают все, кто был убит.
196
Кто из математиков древности погиб от меча римского солдата, гордо
воскликнув: «Отойди, не трогай моих чертежей!»?
Ответ: греческий ученый-математик Архимед, основатель гидроста-
тики, создатель мощных катапульт, гигантских кранов, защитник Сиракуз.
И сегодня известны: спираль Архимеда, закон Архимеда, винт Архимеда.
А кто не знает его знаменитого восклицания «Эврика!»?
Вопрос 3.
У этого крупнейшего математика XIX в. рано проявились математичес-
кие дарования. Рассказывают, что в трехлетием возрасте он заметил ошиб-
ку в расчетах отца. В 7 лет пошел в школу. В это время в одной комнате
занимались ученики разных классов. Чтобы занять первоклассников, учи-
тель предложил им сложить все числа от 1 до 100 включительно.
Не успев отойти от них, он увидел, как один мальчик положил свою гри-
фельную доску с записанным числом 5 050 и - никаких вычислений. С со-
жалением учитель посмотрел на ученика: было ясно, что за такой срок он
не смог бы сделать 99 сложений. Остальные ученики терпеливо складыва-
ли числа. Сбиваясь, стирали написанное и снова складывали.
Назовите имя будущего великого математика.
Ответ: немецкий математик ХЕХ века Карл Гаусс - «король» математики.
Вопрос 4.
Однажды французам удалось перехватить приказы испанского прави-
тельства командованию войск, написанные очень сложной тайнописью.
Вызванный для их прочтения математик сумел найти ключ к шифру. С тех
пор французы знали планы испанцев, с успехом упреждая их действия. Ин-
квизиция обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола,
и приговорила к сожжению на костре. Но «дешифровщик» не был выдан
инквизиции. В своем городе он был лучшим адвокатом, а позднее стал ко-
ролевским советником. Главным же делом его жизни была математика. Он
мог несколько ночей не спать, решая очередную математическую задачу.
- Кто из математиков был на волосок от пламени на костре?
Ответ: французский математик XVI века Франсуа Виет, основопо-
ложник буквенной символики. Его называют «отцом буквенной современ-
ной алгебры».
Вопрос 5.
Кто впервые систематизировал геометрические сведения?
Ответ: Евклид-древнегреческий геометр III век до н. э. В своих три-
надцати книгах под названием «Начала» он систематизировал основные в
то время геометрические знания.
Вопрос 6.
Кому принадлежат слова: «Математика - царица наук, арифметика -
царица математики»?
Ответ: Карлу Фридриху Гауссу.
197
Вопрос 7.
Вслед за кем мы часто горделиво восклицаем: «Дайте мне точку опоры
и я переверну Землю?»
О т в е т: за Архимедом.
Ш. Математический ералаш
Предмет “математика” настолько серьезен,
что полезно не упускать возможности
сделать его более занимательным.
Блез Паскаль
Учить можно только весело...
Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.
Анатоль Франс
Именно этими девизами мы пользовались при проведении этого этапа
соревнований. Понятно, что здесь речь идет не о веселье в прямом смысле,
а о чувстве удовлетворения, которое возникает в процессе обучения.
Дается минута, за которую надо составить как можно больше матема-
тических терминов, слов, связанных с математикой, в единственном числе,
именительном падеже.
Итак, буква П. Время пошло! (с помощью песочных часов):
параллелепипед, параллельность, перпендикулярность, последователь-
ность, прямая, повторяемость, призма, пустое, параллелограмм, пирамида,
пять.
Время истекло!
В это время ведущий учитель проводит игру со зрителями на составле-
ние самого длинного слова. Им оказалось ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ -
18 букв.
А теперь задано слово: АРИФМЕТИКА.
Время пошло!
Рифма, метка, фетр, тик, кит, миф, риф, фирма, ар, рама, комета, тема,
фри, арктика, рак, карма...
Время истекло!
IV.	Что мы знаем о числах
Перед новым этапом соревнований, в котором учащиеся расскажут
о некоторых числах, учитель кратко рассказывает о «Мифах и числах».
Современные люди широко применяют в своей жизни числа. Вряд
ли кто-нибудь сейчас вкладывает в числа сказочный или мифический
смысл.
198
Но так было не всегда. Для древних людей числа были элементами осо-
бого кода, с помощью которого описывался мир человека.
В наиболее древних текстах число «1» встречается крайне редко и оз-
начает не только первый элемент ряда в современном смысле, сколько целост-
ность, единство. Число «1» приписывалось Богу и Космосу.
Число «2» лежало в основе противопоставлений, с помощью которых в
некоторых мифах описывался мир. Например, Небо и Земля, День и Ночь,
Жизнь и Смерть.
Во многих древних культурах числовой ряд открывало число «3», часто
означающее абсолютное совершенство. Достаточно вспомнить знаменитую
икону Андрея Рублева «Троица». Число «3» очень часто встречается в рус-
ских народный сказках.
Число «4» широко использовалось в мифах о сотворении Вселенной
и ориентации в ней: четыре стороны света, четыре времени года.
Число «7» считалось магическим и характеризовало общую идею Все-
ленной. До нас эта идея дошла в семи цветах спектра, семи тонах музыки.
Интересно отметить, что наша память особенно хорошо удерживает лишь
до семи разных впечатлений или предметов. При большей нагрузке ошибки
в запоминании резко возрастают.
Наверное, поэтому число «7» очень часто встречается в пословицах и
поговорках.
«7» считается счастливым числом. (7 слоников на счастье).
В любых древних культурах одно из наиболее употребляемых чисел -
«12». Оно оставило яркий след в нашей современной культуре. Вспомним
12 месяцев, 12 часов. Число «12», как и «7», тоже считается счастливым.
Ему противостоит «несчастливое число» «13». Это число называют
«чертова дюжина». Многие суеверные люди и сейчас боятся или остере-
гаются этого числа. В Англии на улицах пропускают номер «13» для обо-
значения номеров домов. Даже моряки стараются 13-го числа не выхо-
дить в море.
Нам кажется удивительным, что число «10» практически не встречает-
ся в мифах, но зато в современной системе счисления оно играет централь-
ную роль (счет десятками).
Некоторые мыслители древности старались представить поэзию и искус-
ство в виде своего рода математики. Сторонники Пифагора вслед за своим учи-
телем считали, что сущность красоты кроется во внутренних числовых отно-
шениях. Интересно и удивительно, что современная наука, например, физика
элементарных частиц, не может обойтись без новейших разделов математики.
Кажется загадочным, что именно математика так хорошо описывает окружаю-
щий нас мир. Без глубокого знания математики, мифического происхождения
чисел, трудно разобраться в искусстве, поэзии, литературе.
199
Загадочная семерка
Семь чудес света. Семь дней недели. Семь цветов радуги. Семь недель
поста. Семь смертных грехов... Француз дает самую сильную клятву: «Креп-
ко, как семь». Счастливый чувствует себя на седьмом небе. Герои сказок
надевают семимильные сапоги и сражаются с драконом о семи головах.
Названия сказок: «Волк и семеро козлят» (русская); «Семь козьих го-
лов» (албанская).
Пословицы: «Семь раз отмерь, один раз отрежь»; «Семь бед - один от-
вет»; «Семеро одного не ждут»; «Семь пятниц на неделе».
Число «7» буквально пронизывает всю историю культуры народов Земли.
Зародился культ числа «7» в Древнем Вавилоне. Наблюдая небо, древ-
ние астрономы насчитывали 7 планет: Солнце, Луну, Меркурий, Венеру,
Марс, Юпитер, Сатурн.
Число «7» стало символом благоприятствия. И все-таки почему 7? По-
чему знаменитый вавилонский зиккурат, храм богов и одновременно башня
для астрономических наблюдений, имел 7 этажей. Почему седьмые дни
некоторых месяцев в календаре вавилонян считались несчастливыми? По-
чему в сказаниях о потопе дождь лил 7 дней, а ковчег имел 7 отделений?
Может быть, почитание семерки связано не только с обожествлением пла-
нет? Ведь еще до вавилонян, уже у людей палеолита, было какое-то особое
отношение к ритму «7» в орнаментации. Причем не только в Европе, но и в
Азии.
Неожиданный ответ был найден американским ученым Миллером в
психологии. Он объяснил особенности семерки пропускной способностью
нервной системы человека. Статистика опыта подтвердила, что самые раз-
ные испытуемые могут без ошибок сравнить в среднем только 7 раздражи-
телей. Человек при кратковременном восприятии может мгновенно охва-
тить не более семи сходных элементов.
О числе «три». За тридевять земель
Кто из нас не помнит знаменитых сказочных зачинов «За тридевять зе-
мель», «В тридевятом царстве», «Жили-были»...
И кто из нас не зачитывался в детстве сказками, не сталкивался с таин-
ственным числом «три».
«У крестьянина три сына:
Старший умный был детина,
Средний сын и так и сяк,
Младший вовсе был дурак».
П.П. Ершов
«Конек-горбунок»
200
И вот этого младшего, любимого всеми Иванушку-дурачка, судьба всегда
испытывает трижды.
С числом «3» связаны и названия сказок, впрочем, не только русских:
«Три сокровища» (японская), «Три брата» (осетинская).
Само наблюдение над природой наводило на мысль об особом значе-
нии этого числа.
Люди всюду встречали или думали, что встречают деление на 3. Они
видели, что Вселенная состоит из Неба, Земли, Воды.
В телах они наблюдали три измерения - длину, ширину и высоту.
Во времени - прошлое, настоящее, будущее.
Число получило значение священного. Пифагорейцы считали число
«три» совершенным, потому что оно имеет начало, середину и конец, и изоб-
ражали его в виде треугольника.
Это число стало играть большую роль в магических образах.
Так, например, заклятья и заговоры для придания им колдовской силы
произносятся трижды. Число «три» вошло в христианскую религию, веру-
ющие представляют бога в виде триединства: отец - сын - святой дух.
Это число легло в основу построения ряда художественных произведе-
ний. Наиболее яркий пример - «Божественная комедия» Данте. Она состоит
из трех частей: «Ад», «Чистилище», «Рай». Поэма написана трехстишиями. В
начале путешествия поэта преследуют три зверя: пантера, волчица, лев.
Числовым суевериям были подвержены и многие выдающиеся люди.
Так, Бисмарк придавал очень большое значение числу «три», его девизом
было: «В троичности сила». Он служил при трех императорах, принимал
участие в трех войнах, подписал три мирных договора, имел троих детей,
владел тремя поместьями,...
Любопытно, что число «три» рассматривали не только как счастливое
(Бог троицу любит), но и как несчастливое (треклятый).
V.	Примеры пословиц и поговорок
«1»	и «2»: • Один в поле не воин. • Беда никогда не приходит одна.
• Ум хорошо, а два лучше. • Двум смертям не бывать, а одной не миновать.
• За одного битого двух небитых дают. • Старый друг лучше новых двух.
• За двумя зайцами погонишься - ни одного не поймаешь.
«7»:	• Семеро одного не ждут. • Семь раз отмерь, один раз отрежь.
• Семь бед - один ответ.
VI.	Домашнее задание
Математика и лирика. Стихи
Соревновались по одному-два участника от каждой из команд. Наря-
ду с отобранными из книг читались стихи и собственного сочинения.
201
К теме: «Решение задач
на нахождение длины или ширины
по известной площади прямоугольника»
Если ищем ширину,
Делим площадь на длину,
Хочешь ты найти длину -
Раздели на ширину.
7 «Г»
Инсценировка математической сказки
По мнению академика Н.П. Бехтеревой, чтобы маленький человек ос-
воил ему впервые встретившуюся мысль, надо добиться того, чтобы вокруг
этой мысли работали все его органы чувств. Не случайно в некоторых стра-
нах принято таблицу умножения заучивать, распевая соответствующие куп-
леты-считалки.
Все четыре класса сочинили и инсценировали собственные математи-
ческие сказки.
Вот пример одной из них.
Сказка о стране Числандии
Далеко-далеко, за морями и горами, была страна Числандия. Жили в
ней очень честные числа. Только Нуль отличался ленью и нечестностью.
Однажды все узнали, что далеко за пустыней появилась королева Ариф-
метика, зовущая к себе на службу жителей Числандии. Служить королеве
захотели все. Между Числандией и королевством Арифметики пролегала
пустыня, которую пересекли четыре реки: Сложение, Вычитание, Умно-
жение и Деление. Как добраться до Арифметики? Числа решили объеди-
ниться (ведь с товарищами легче преодолеть трудности) и попробовать
перейти пустыню.
Рано утром, как только солнце косыми лучами коснулось земли, числа
двинулись в путь. Долго шли они под палящими лучами солнца и, нако-
нец, добрались до реки Сложение. Числа бросились к реке, чтобы напить-
ся, но река сказала: «Станьте парами и сложитесь, тогда дам вам напить-
ся.» Они исполнили приказания реки. Исполнил желание и лентяй Нуль,
но число, с которым он сложился, осталось недовольно: ведь воды река
давала столько, сколько единиц было в сумме, а сумма не отличалась от
числа.
Солнце еще больше печет. Дошли числа до реки Вычитание. И она тоже
потребовала за воду плату: стать парами и вычесть меньшее из большего; у
кого число получится меньше, тот получит больше воды.
И снова число, стоящее в паре с Нулем, оказалось в проигрыше. Побре-
202
ли числа дальше по знойной пустыне. Река Умножение потребовала от чи-
сел перемножиться. Число, стоящее в паре с Нулем, вообще не получило
воды. Оно еле добрело до реки Деление.
А у реки Деление никто из чисел не захотел становиться в пару с Нулем.
С тех пор ни одно число не делится на Нуль.
Правда, королева Арифметика примирила все числа с этим лентяем:
она стала просто приписывать Нуль рядом с числом справа, которое от это-
го увеличивалось в 10 раз.
* * *
По окончании всех представлений дается время на подведение итогов
жюри. В это время ведущий учитель задает собравшимся вопросы не столько
«чисто» математические, сколько логические.
Задача 1. Король с бывшей у него в гостях Кошкой играли в загадки.
Король спросил: «Пришел мельник на мельницу, на мельнице четыре
угла, в каждом углу - по четыре мешка, в каждом мешке - по четыре кошки,
у каждой кошки - по четыре котенка.
Сколько всего ног?
Ответ.
- Это очень просто! - улыбнулась Кошка. - Две.
- Как две? - возмутился король. - Сосчитай-ка!
- А чего тут считать, - отвечала Кошка. - Ноги только у мельника, а у
кошек, всем известно, лапки!
Задача 2.
- Сколько стоит «один»?
- Пять рублей, - ответил продавец хозяйственного отдела.
- Сколько стоит «двенадцать»?
- Десять рублей.
- Хорошо, дайте мне «восемьсот двадцать пять».
- С вас пятнадцать рублей.
Что покупал покупатель?
Ответ: номерок для квартиры (1, 12, 825).
Задача 3. У меня в руках игральная карта: бубновый король. По-
смотрите внимательно: на карте вы видите изображение ромба. Почему на
картах бубновой масти изображен именно ромб, а не что иное?
Ответ: слово «ромб» происходит от греческого слова «ромбос», озна-
чающего «бубен». Мы привыкли к тому, что бубен имеет круглую форму, но
раньше бубны имели форму квадрата или ромба.
Задача 4. Скажите точно, когда начнется XXII век?
Ответ: некоторые считают, что XXII век начнется 1 января 2100 года.
Это неверно. 2100 год принадлежит XXII веку, так как нулевого года в I веке
не было. Итак, XXII век начнется 1 января 2101 года.
203
Задача 5. На камзоле студента протерлись локти. Повстречавший
его придворный щеголь ехидно заметил по этому поводу:
-	Ученость выглядывает оттуда...
-	Нисколько, сударь, - немедленно нашелся студент. - Глупость загля-
дывает туда.
Кто был этот студент?
Ответ: Михайло Ломоносов.
Задача 6. На уроках геометрии при решении задач, связанных с ок-
ружностью, обычно указывают, чему равен радиус окружности. А вот на
технических чертежах и эскизах обязательно наносят диаметры окружно-
стей, а не радиусы.
Можете ли вы объяснить причину этого явления?
Ответ: при вычерчивании окружности надо знать ее радиус, но в го-
товой - измеряют диаметр. Кроме того, большинство отверстий получают
сверлением, а для этого необходимо знать диаметр сверла, а не радиус.
* * *
Праздник закончен. Итоги подведены. Все члены команд, а в каждой
команде по шесть-семь человек, получили призы. Призы получили и наи-
более активные участники из «зрителей», а также ученики, которые прини-
мали участие в подготовке, но не вошли в команды: сочиняли или подыски-
вали стихи, сказки, оформляли плакаты, лозунги...
В качестве призов вручают логические игры, а 1 апреля - в День смеха -
на уроках проводят соревнования с использованием этих игр (более десяти
видов).
Так не обрывается цепь состязаний.
Рекомендуемая литература
Акимова С. Занимательная математика. - СПб.: Тритон, 1997.
Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. - М.: Учпедгиз, 1954.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Рождественское оригами. Состав-
ление, текст, рисунки-диаграммы. - М.: Аким, 1994.
Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике (Б-ка
учителя математики). - М: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999.
Белл Э.Т. Творцы математики. Предшественники современной матема-
тики: Пособие для учителей / Пер. с англ. / Под ред. С.Н. Киро. - М.: Про-
свещение, 1979.
Балк М.Б., Балк Г Д., Математика после уроков: Пос. для учителя. -
М.: Просвещение, 1971.
Боголюбов А.Н. Математики, механики: Биогр. справ. - Киев: Паукова
думка, 1983.
Бессараб М.Я. Ландау. Страницы жизни. - М.: Московский рабочий,
1978.
Гачев И. и др. Математический фольклор / Пер. с болг. - М.: Знание, 1987.
Гаднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и
головоломки. - М.: Наука, 1977.
Галай Т.Я., Гришевич ГД. Учням про видатних математшв. - Львив:
Радяньска школа, 1976.
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математи-
ческие кружки: Пособие для внеклассной работы. - Киров: АСА, 1994.
Германович П.Ю. Сборник задач по математике на сообразительность:
Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1960.
Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. - М.: Наука, 1982.
Гнеденко Б.В., Марон И.А. Научная и педагогическая деятельность
М.В. Остроградского / В кн.: М.В. Остроградский. Избранные труды. -
М.: Физматгиз, 1958.
Голованов Я. Этюды об ученых. - М.: Молодая гвардия, 1976.
Губарев В.С. Прощание с XX веком. - М.: Наука, 2000.
Гюнтер Н.М. О педагогической деятельности А.А. Маркова // Извес-
тия Российской академии наук. - 1923. - Т. 17. -№ 118.
Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик / Пер. с франц. -
М.?Наука, 1984.
Демьянов В.П. Рыцарь точного знания. - М.: Знание, 1991.
205
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: По-
собие для учащихся 5-6 кл. - М.: Просвещение, 1989.
Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь АЛ. Математические сорев-
нования. Арифметика и алгебра. - М.: Просвещение, 1970.
Еленьский Щепан. По следам Пифагора. Занимательная математика /
Пер. с польск. -М.: Детгиз ,1961.
Занимательно о физике и математике/ Сост. С.С. Кротов, А.П. Савин. -
М.: Наука, 1987.
Заслуженные учителя Российской Федерации - молодым коллегам. -
М.: Центр инноваций в педагогике, 1998.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. - М.: Наука, 1978.
Кобринский Н., Пекелис В. Быстрее мысли. -М.: Молодая гвардия, 1959.
Коваль С. От развлечения к знаниям. Математическая смесь / Пер. с
польск. - Варшава, 1972.
Козлова Е.Г. Сказки и подсказки: задачи для математического кружка. -
М.: МИРОС, 1995.
Колосов А.А. Книга по математике для внеклассного чтения для уча-
щихся. 8 кл. - М.: Учпедгиз, 1958.
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Математичес-
кие головоломки и задачи для любознательных: Кн. для учащихся. - М.:
Просвещение, 1986.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: Гостехиздат, 1957.
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики
4-5 кл. - М.: Просвещение, 1986.
Литцман Вальтер. Веселое и занимательное о числах и фигурах. -
М.: Физматгиз, 1963.
Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984.
Леман И. Увлекательная математика / Пер. с нем. - М.: Знание, 1985.
Лойд С. Математическая мозаика / Пер. с англ. / Сост. М. Гарднер. -
М.: Мир, 1984.
Математика: Школьная энциклопедия / Под ред. С.М. Никольского. -
М.: «Большая Российская энциклопедия», 1996.
Мочалов Л.П. 400 игр, головоломок и фокусов. - М.: НТЦ «Универси-
тетский», 2000.
Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занима-
тельные задачи. - М.: УНЦ ДО МГУ, 1996.
Оникул П.Р. 19 игр по математике: Учеб, пособие. - СПб.: Союз,
1999.
Перельман Я.ИЛ&тъя математика.-М.; Л.: Огиз -Гостехиздат, 1948.
ПерельманЯ.И. Занимательная геометрия. -М.: Гостехиздат, 1955.
Подашов А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. -
М.: Учпедгиз, 1962.
206
Позднякова А.Г. Математический вечер в школе И Математика в шко-
ле. - 1989.-№ 5.
Поисковые задачи по математике (4-5 кл.): Пос. для учителя /
А.Я. Крысин, В.Н. Руденко, В.И. Садкова, А.В. Соколова, А.С. Шепетов,
Ю.М. Колягин -М.: Просвещение, 1979.
Произволов В. В. Задачи на вырост: Учеб, пособие для внеклассных за-
нятий по математике. - М.: МИРОС, 1995.
Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников: Кн.
для учителя-М.: Просвещение, 1990.
Ройтман П.Б. Повышение вычислительной культуры учащихся: Пос.
для учителя -М.: Просвещение, 1980.
Физики продолжают шутить. -М.: Мир, 1968.
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пос.
для общеобр. уч. завед. - М.: Дрофа, 1998.
Ященко И.В. Приглашение на математический праздник. - М.: МЦНМО,
ЧеРо, 1998.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Под ред. О. Г. Хинн. -
М.: АСТ-ЛТД, 1997.
ISBN 5-93196-092-9
Учебное издание
Ольга Семеновна Шейнина,
Галина Михаиловна Соловьева
Математика
Занятия школьного кружка
5-6 классы
Пособие для учителей
Редактор А.В. Савенков
Художественный редактор В.Е. Горин
Художники: В.Е. Горин, А.Е. Жданов, ГВ.Котлярова
Технический редактор Ж.М. Голубева
Компьютерная верстка и графика М.А. Толокновой
Корректоры: И.Н. Боханова, Н.Н. Шипулина
Лицензия № 071727 от 01.09.98.
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.000626.02.02 от 04.02.2002 г.
Подписано в печать 29.01.2002. Формат 60х90’/16. Бумага офсетная № 1.
Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 13,0. Уч.-изд. л. 13,7.
Тираж 10 000 экз. (1-й завод 1 - 3 000 экз.) Заказ № 44.
ЗАО «Издательство НЦ ЭНАС».
115201, г. Москва, Каширское ш., 22, корп. 3.
Тел./факс: 113-53-90, 234-71-82. E-mail: pr@enas.ru
www.enas.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП Московской типографии № 6 Министерства РФ
по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
109088, г. Москва, ул. Южнопортовая, 24.
Уважаемый учитель!
Вы держите в руках книгу из серии
«Портфель учителя».
Назначение серии — передать российскому
учителю-предметнику разнообразный дополнительный
материал, с помощью которого можно украсить,
оживить урок, организовать увлекательные внеклассные
занятия, школьные соревнования, олимпиады, наладить
кружковую работу.
Начинающему учителю будут полезны методические
и дидактические разработки авторов серии —
талантливых ученых, опытных педагогов,
учителей-новаторов, победителей конкурсов
«Учитель года».
Обмен опытом через книгу — вот главная задача
серии. «Портфель учителя» постоянно пополняется.
Приглашаем учителей, которым есть чем поделиться
со своими коллегами, стать авторами будущих
книг серии.
Издательство
«Издательство НЦ ЭНАС».
115201, г. Москва, Каширское ш., д. 22, корп. 3.
Тел./факс (095)113-53-90, 234-71-82.www.enas.ru
E-mail: pr@enas.ru